Premiers cycles • Licence
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JOSE-PHILI'PE PEREZ
^OBE'-T CA'LES
ROBERT FLECK GER
Électromagnétisme
Fondements et applications
Alvec 00-exercices
et problèmes' résolus
4'éditio
Oo
DUNOD

Électromagnétisme
Fondements et applications
Avec 300 exercices et problèmes résolus
José-Philippe PÉREZ
Robert CARLES
Robert FLECKINGER
Professeurs à l'université Poul-Sobotier de Toulouse
Avec la collaboration de
Christophe Lagoute
Professeur ou lycée Bellevue de Toulouse
4e édition
DUNOD

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© Dunod, Paris, 2002
© Masson, Paris, 1990,1996,1997
ISBN 2 10 005574 7
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Table des matières
Avant-propos x
Les grands noms de l'électromagnétisme xii
Constantes physiques, notations et symboles xvii
Description de l'ouvrage xxii
L'électromagnétisme en vingt questions xxviii
1. Charges électriques. Distributions de charges
I. — Électrisation. Charge électrique 1
II. — Distributions de charges 5
Exercices et problèmes 10
2. Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
I. — Loi de Coulomb 13
II. — Champ électrostatique 15
III. — Théorème de Gauss 19
Exercices et problèmes 25
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
I. — Interaction d'une charge avec un système de charges 29
II. — Potentiel créé par un ensemble de charges 32
III. — Énergie électrostatique d'un système de charges > 38
IV . — Énergie d'une distribution continue de charge 41
Exercices et problèmes 45
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
I. — Premières considérations sur les symétries 49
II. — Invariances des sources 53
III. — Exemples d'utilisation des symétries 56
IV . — Symétries et principe de Curie 62
Exercices et problèmes 68

iv Table des matières
5. Dipôles électrostatiques
I. — Dipôle électrostatique 70
II. — Dipôle dans un champ électrostatique 73
III. — Approximation dipolaire 76
IV . — Moments dipolaires des atomes et des molécules 80
Exercices et problèmes 83
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
I. — Électrocinétique 86
11. — Caractère conservatif de la charge 91
III. — Conducteur en régime stationnaire 93
IV. —Loi d'Ohm 96
Exercices et problèmes 104
7. Conductivité électrique
I. — Différents types de courants électriques 107
II. — Théorie élémentaire de la conductivité 109
III. — Structure de bandes et conductivité des solides 116
Exercices et problèmes 122
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
I. — Champ produit par un conducteur en équilibre 125
II. — Distributions d'équilibre d'un conducteur 130
III. — Équilibre d'un système de deux conducteurs 134
IV. — Équilibre des conducteurs 139
V. — Applications 141
Exercices et problèmes 143
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
I. — Puissance électrique 147
Il. —Effet Joule 149
TH. — Bilan d'énergie d'un convertisseur 150
IV.—Force électromotrice et courant électromoteur 153
V. — Loi d'Ohm généralisée 154
VT. — Exemples de générateurs et de récepteurs 160
Exercices et problèmes 164
10. Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
I. — Condensateur. Charge et capacité 168
II. — Capacité de condensateurs de forme simple 169
III. — Condensateurs réels 172
IV. — Groupements de condensateurs 173
V. — Énergie d'un condensateur 175
VI. — Actions sur les armatures d'un condensateur 177
Exercices et problèmes 180

Table des matières v
11. Champ électromagnétique. Propriétés
I. — Champ électromagnétique 185
II. — Loi de Biot et Savart 188
III. — Propriétés du champ magnétique 192
IV. — Potentiel vecteur 198
V . — Équations de passage du champ magnétique 200
VI. — Solénoïde 201
VII. — Équations du champ électromagnétique stationnaire 204
Exercices et problèmes 206
12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
I. — Premières considérations sur les symétries 209
II. — Invariances des sources 213
III. — Exemples d'utilisation des symétries 215
IV . — Dipôle magnétique 220
V . — Symétries d'un système magnétostatique 225
Exercices et problèmes 227
13. Électrodynamique des régimes stationnaires
I. — Conducteur au repos dans un champ (E, B) stationnaire 231
II. — Loi d'Ohm dans un conducteur en mouvement 235
III. — Actions sur un conducteur. Force de Laplace 238
IV . — Travail électromoteur et travail des forces de Laplace 242
V . — Actions sur un dipôle magnétique rigide 249
Exercices et problèmes 251
14. Induction électromagnétique
I. — Approche expérimentale 256
II. — Lois de l'induction 258
III. — Relation de Maxwell-Faraday 259
IV . — Circuit mobile dans un champ magnétique 263
V . — Circuit de constitution variable 267
Exercices et problèmes 270
15. Inductances propres et mutuelles des circuits électriques
I. — Inductance mutuelle de deux circuits 274
II. — Inductance propre d'un circuit 277
III. — Auto-induction 279
IV. — Inductance d'un ensemble de deux circuits couplés 280
V . — Transformateurs 282
Exercices et problèmes 284

vi Table des matières
16. Equations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
I. — Équation de Maxwell-Ampère 287
II. — Équations de Maxwell dans le vide 289
III. — Potentiel électromagnétique 291
IV . — Régimes quasi stationnaires 293
V. — Milieu conducteur dans l'ARQS 295
VI. — Effets de capacité 296
Exercices et problèmes 298
17. Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
I.—Effets d'induction dans un conducteur 301
II. — Effet de capacité 306
III. — Électrodynamique des circuits dans l'ARQS 309
Exercices et problèmes 316
18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
I. — Énergie électromagnétique dans le vide 320
II. — Stockage d'énergie électromagnétique dans l'ARQS 323
III. — Création d'énergie électromagnétique dans l'ARQS 327
IV . — Bilan dans des circuits fixes 330
V . — Conversion électromécanique 333
Exercices et problèmes 341
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
I. — Équations de propagation du champ et du potentiel 347
II. — Ondes planes et ondes sphériques 350
III. — Ondes planes monochromatiques 354
IV. — Polarisation d'une onde plane monochromatique 356
V. — Énergie associée à une onde électromagnétique 361
VI. — Superposition d'ondes 366
Exercices et problèmes 370
20. Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
I. — Potentiel produit par un dipôle oscillant 373
II. — Champ produit par un dipôle oscillant 375
III. — Rayonnement à grande distance 377
IV. — Rayonnement dipolaire d'un électron atomique 380
V. — Rayonnement d'une antenne rectiligne 384
VI. — Dipôle magnétique oscillant 386
Exercices et problèmes 389

Table des matières vii
21. Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
I. — Polarisation des milieux matériels 392
II. — Vecteur polarisation volumique 393
III. — Équation de Maxwell-Gauss dans un milieu 396
IV . — Potentiel et champ créés par un milieu polarisé 398
V . — Milieux diélectriques linéaires 402
Exercices et problèmes 407
22. Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
I. — Aimantation des milieux matériels 410
II. — Vecteur aimantation volumique 411
III. — Équation de Maxwell-Ampère dans un milieu 414
IV. — Potentiel et champ créés par un milieu aimanté 416
V. — Milieux magnétiques linéaires 420
Exercices et problèmes 425
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
1. — Polarisation et aimantation dans le cas général 428
II. — Équations de Maxwell dans un milieu matériel 433
III. — Forces électromagnétiques sur un milieu matériel 435
IV . — Énergie électromagnétique dans un milieu matériel 440
V. — Bilan d'énergie dans un milieu linéaire non dissipatif 442
VI. — Bilan d'énergie dans un matériau dissipatif 445
VII. — Bilans d'énergies dans une machine 448
Exercices et problèmes 451
24. Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
I. — Mécanismes microscopiques de polarisation 454
II. — Champ local et champ macroscopique 462
III. — Polarisation des fluides 463
IV . — Polarisation des solides 466
Exercices et problèmes 470
25. Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
I. — Origines microscopiques du magnétisme 473
II. — Interaction d'un moment magnétique avec un champ 476
III. — Paramagnétisme 479
IV. — Diamagnétisme 483
Exercices et problèmes 485
26. Ferromagnétisme
I. — Aspect macroscopique 488
II. — Interprétation microscopique 494
III. — Domaines de Weiss et aimantation macroscopique 497

viii Table des matières
IV. — Interprétation quantique 499
V . — Circuits magnétiques 502
VI. — Effets gyromagnétiques 509
Exercices et problèmes 511
27. Supraconductivité
I. — Conductivite parfaite et supraconductivité 515
II. — Propriétés magnétiques des supraconducteurs 518
TII. — Courant supraconducteur d'intensité non nulle 523
IV . — Théorie élémentaire de la supraconductivité 526
V . — Matériaux supraconducteurs et applications 530
Exercices et problèmes 532
28. Dispersion. Absorption
I. — Équations de Maxwell dans un milieu matériel 536
II. — Modèle de Drude-Lorentz 537
III. — Polarisation des milieux en régime sinusoïdal 542
IV. — Propagation d'une onde dans un milieu LHI 547
V . — Dispersion dans un milieu transparent 549
VI. — Bilan d'énergie électromagnétique. Absorption 554
Exercices et problèmes 558
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
I. — Propagation dans un milieu matériel limité 561
Il. — Réflexion sur un conducteur en incidence normale 567
III. — Réflexion et transmission entre deux diélectriques 574
Exercices et problèmes 583
30. Propagation guidée
I. — Ondes TEM dans un câble coaxial 585
II. — Analyse dans le cadre de l'ARQS 587
III. — Guide d'ondes 594
Exercices et problèmes 605
Annexe 1. Dérivées et différentielles 609
I. — Dérivées 609
II. —Différentielles 611
III. — Systèmes de coordonnées 613
Annexe 2. Flux et circulation d'un vecteur 616
I. — Flux d'un champ de vecteur 616
II. — Circulation d'un champ de vecteur 621
III. — Opérateurs différentiels du second ordre 623
IV. — Relations d'analyse vectorielle 625

Table des matières ix
Annexe 3. Simulation en électromagnétisme 628
I. — Électrostatique d'une distribution de charges 628
II. — Champ électrique par temps d'orage 635
III.—Champ magnétique terrestre 641
Réponses aux vingt questions 648
Solutions des exercices et problèmes 650
Bibliographie 728
Index 730

Initialement, Maxwell concevait l'espace comme
rempli de sortes d'engrenages, et Faraday y voyait
des lignes de force ; mais les équations de Maxwell
par elles-mêmes sont indépendantes de tout énoncé
verbal qui en tente une description physique.
La vraie description physique n 'est que celle
donnant le sens expérimental des quantités
physiques figurant dans les équations.
R. Feynman, Conférence Nobel, 1965
« La nature de la physique », Ed. Seuil, 1980
Avant-propos
Ce cours, intitulé Électromagnétisme, fondements et applications, correspond globalement à
l'enseignement d'électromagnétisme donné dans le premier cycle universitaire, en licence et dans les classes
préparatoires aux Grandes Écoles.
Comme en Mécanique et en Optique, il nous a paru intéressant de le découper en leçons quasi
autonomes et progressives. C'est ainsi que le traitement relativiste de l'électromagnétisme a été exclu
de l'ouvrage et placé dans un autre cadre, celui d'un exposé de la relativité restreinte (cf. Relativité).
On peut distinguer trois grandes parties.
Dans la première, on trouve les thèmes classiquement étudiés au niveau de la première année du
DEUG A :
( 1 ) l'électrostatique ;
(2) la conductivité ;
(3) l'électrocinétique ;
(4) l'électrodynamique des régimes stationnaires.
Dans la deuxième, les thèmes sont ceux couramment enseignés en deuxième année du DEUG A :
(5) l'induction électromagnétique ;
(6) les équations de Maxwell ;
(7) l'approximation des régimes quasi stationnaires ;
(8) l'émission et la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide.
La troisième partie, relative aux milieux matériels autres que les conducteurs, est plus délicate, mais
plus physique. Elle est souvent laissée de côté en premier cycle universitaire et développée en licence
de physique ; elle figure explicitement dans les programmes avancés des classes préparatoires PC. Les
thèmes abordés sont les suivants :
(9) l'étude macroscopique de la polarisation et de l'aimantation en régime stationnaire et en
régime variable ;
(10) les milieux diélectriques et magnétiques en régime stationnaire ;
(11) l'énergie électromagnétique en présence de milieux diélectriques et magnétiques ;

Avant-propos
xi
(12) le ferromagnétisme ;
(13) la supraconductivité ;
(14) la propagation des ondes électromagnétiques dans des milieux matériels illimités ;
(15) le guidage des ondes électromagnétiques.
Cette troisième partie rend incontestablement les objectifs de l'ouvrage ambitieux. Cependant,
elle nous a semblé indispensable pour éviter que l'électromagnétisme, amputé de toute l'électricité
des circuits et des propriétés des matériaux, n'apparaisse en 2002 comme une discipline académique
achevée.
Nous avons tenté de rendre compatible le respect des programmes des DEUG A et des classes
préparatoires avec la nécessaire actualisation de l'électromagnétisme. Mises à part l'organisation en
leçons quasi autonomes (le renvoi à des formules éloignées est pratiquement inexistant), l'illustration
par de nombreux exemples numériques et la volonté de ne proposer qu'un seul ouvrage, cet effort a
notamment porté sur les points suivants :
(1 ) l'analyse de l'influence des symétries dans les lois physiques et dans les distributions de charge
et de courant ;
(2) le choix délibéré de privilégier le concept d'énergie pour les définitions du potentiel
électrostatique et de la force électromotrice d'un convertisseur ;
(3) l'étude de la conductivité dans les matériaux conducteurs et semi-conducteurs ;
(4) la présentation de l'induction électromagnétique ;
(5) l'interprétation énergétique du théorème de Poynting, en termes de bilan de l'énergie
électromagnétique, grandeur extensive non conservative puisque le terme de création est généralement non
nul ; l'énergie magnétique des courants est alors confortablement introduite ;
(6) l'aspect macroscopique de la polarisation et de l'aimantation des milieux matériels, d'abord en
régime stationnaire puis en régime quelconque ;
(7) l'écriture des bilans d'énergies dans les milieux matériels, notamment dans les machines
électromécaniques ;
(8) l'exposé didactique de la supraconductivité : théorie macroscopique et aperçu de la théorie
microscopique.
L'ouvrage s'adresse principalement aux étudiants : il doit donc être clair, efficace, peu coûteux, et
ne pas être un formulaire « sans physique » ou un recueil d'exercices calculatoires « sans intérêt ».
Les exercices proposés à la fin des chapitres décrivent des situations physiques concrètes. Leurs
solutions suffisamment détaillées, données à la fin de l'ouvrage ou sur le site web http: //webast.ast.obs-
mip.fr/people/perez/index.html, permettront à l'étudiant, et plus largement à l'autodidacte, de tester
sa propre compréhension du cours, de prolonger sa réflexion et de développer son autonomie.
Nous pensons ainsi avoir rassemblé, dans un seul livre, les éléments indispensables à une
acquisition d'un savoir et d'un savoir-faire en électromagnétisme.
Cette quatrième édition ne diffère pas notablement de la première ; elle s'est cependant enrichie par
un contenu plus progressif, mieux illustré par des exemples concrets et accompagnés d'exercices avec
ordre de grandeurs réalistes.
Certaines parties délicates ont été reformulées afin de mieux séparer ce qui relève d'un
enseignement classique et ce qui est en marge des programmes (énergie électromagnétique en présence de
milieux matériels). D'autres ont été développées en raison de leurs applications pratiques.
Ce livre doit beaucoup aux étudiants du premier cycle universitaire, de la licence et de l'agrégation,
ainsi qu'à tous nos collègues des universités et des classes préparatoires. Nous les remercions pour leurs
remarques et commentaires constructifs.
Les auteurs, octobre 2001

Les grands noms de P électromagnétisme
André Marie Ampère
Physicien français, né à Lyon en 1775 et mort à Marseille en 1836. À la fois mathématicien,
mécanicien, chimiste, il enseigne également la philosophie à la faculté des lettres de Paris. Ses principales
découvertes concernent l'électricité : loi des actions électrodynamiques, hypothèse des courants dans
la matière ; on lui doit les termes de courant et tension pour désigner ces grandeurs électriques. Il
devient membre de l'Académie des Sciences en 1814, puis professeur au Collège de France en 1824.
François Arago
Astronome et physicien français, né à Estagel en 1786 et mort à Paris en 1853. En électricité, il met en
évidence l'aimantation induite dans le fer par le champ créé par un courant. En astronomie, il découvre
l'existence de la chromosphère solaire. Enfin, en politique, comme Ministre de la Marine et de la Guerre,
il fait abolir l'esclavage dans les colonies françaises.
John Bardeen
Physicien américain, né à Madison en 1908 et mort à Boston en 1991. Il contribue de façon décisive à
l'essor de deux grands domaines du milieu du xx e siècle : les semi-conducteurs et la supraconductivité,
ce qui lui valut deux prix Nobel de physique, le premier, en 1956, pour la mise au point du transistor à
germanium, avec W.H. Brattain et W. Shockley, et le second, en 1972, qu'il partage avec L.N. Cooper
et J.R. Schrieffer pour la théorie B.C.S de la supraconductivité.
Peter Barlow
Mathématicien et physicien anglais, né à Norwich en 1776 et mort à Woolwich en 1862. Il invente
en 1828 le premier modèle d'un convertissseur électromécanique, la roue de Barlow appelée aussi le
cylindre de Faraday.
Jean-Baptiste Biot
Physicien français, né à Paris en 1774 et mort à Paris en 1862. Ses contributions scientifiques sont
nombreuses et concernent plusieurs domaines de la physique, notamment l'optique et l'astronomie. En
électromagnétisme, il est connu essentiellement pour la détermination, en collaboration avec Savart, du
champ magnétique créé par un courant. Il est nommé professeur au Collège de France en 1800.
Charles Augustin de Coulomb
Physicien français, né à Angoulème en 1736 et mort à Paris en 1806. À 36 ans, il abandonne l'armée
où il exerçait des fonctions d'ingénieur pour se consacrer à la recherche scientifique. Ses deux
contributions majeures sont la formulation des lois sur le frottement mécanique entre deux solides et la loi de
Coulomb, en 1/r2 , entre deux charges électriques ponctuelles. Cette dernière loi, qu'il a établie expé-

Les grands noms de Vélectromagnétisme
xiii
rimentalement, est l'un des modèles d'interaction les mieux vérifiés expérimentalement. Il montre aussi
que les charges d'un conducteur en équilibre se répartissent en surface. Il devient membre de
l'Académie des Sciences en 1781.
John Frédéric Daniel!
Physicien et chimiste anglais, né à Londres en 1790 et mort à Londres 1845. Il invente en 1836 la pile à
deux liquides.
Petrus Josephus Wilhelmus Debye
Physicien américain d'origine néerlandaise, né à Maastricht en 1884 et mort à Ithaca (Cornell, USA)
en 1966. Ses principales contributions sont la théorie des capacités thermiques des solides, précisément
l'effondrement de ces grandeurs avec la température, et la mesure de la distance entre les atomes dans
les molécules à l'aide de leur moment dipolaire. Il reçoit en 1936 le prix Nobel de chimie pour ces
derniers travaux.
René Descartes
Philosophe, mathématicien et physicien français, né à La Haye-Descartes (Touraine) en 1596 et mort à
Stockholm en 1650. Il publie en 1637 un essai, Dioptrique, dans lequel figure la loi de la réfraction.
Paul Drude
Physicien allemand, né à Brunswick en 1863 et mort à Berlin en 1906. Il est à l'origine du premier
modèle explicatif de la conductivité des métaux et de leur éclat : la conduction électrique est assurée
par des porteurs de charge soumis au champ électrique mais aussi à une force phénoménologique de
frottement proportionnelle à la vitesse de dérive.
Michael Faraday
Physicien et chimiste anglais, né à Southwark en 1791 et mort à Hampton Court en 1876. Garçon de
courses chez un bibliothécaire, il devient autodidacte en lisant de nombreux ouvrages scientifiques,
notamment de chimie. Employé dans un laboratoire de chimie comme apprenti, il se révèle rapidement
expérimentateur de génie. Il devient alors directeur du laboratoire et professeur de chimie. Ses
contributions remarquables furent d'abord l'énoncé des lois de l'électrochimie et la découverte du benzène
en 1824. En 1831, il énonce la célèbre loi de l'induction puis la nature discontinue de la charge
électrique et sa propriété d'être conservative.
Léon Foucault
Physicien français, né à Paris en 1819 et mort à Paris en 1868. Autodidacte et inventeur de talent, il
apporte des contributions importantes dans de multiples domaines, notamment en optique pour corriger
les miroirs de leurs aberrations géométriques et pour mesurer avec précision la vitesse de la lumière.
Il est surtout connu pour ses contributions en mécanique : il met en évidence, de façon spectaculaire,
l'influence de la rotation de la Terre sur le comportement d'un pendule simple (pendule de Foucault)
et invente le gyroscope. En électromagnétisme, il introduit les courants induits dans la matière, appelés
depuis courants de Foucault. Il devient membre de l'Académie des Sciences en 1865.
Augustin Fresnel
Opticien français, né à Broglie (Eure) en 1788 et mort à Ville d'Avray (région parisienne) en 1827.
Il reprend les expériences d'Young, les étend et propose, avec le physicien français François Arago,
l'interprétation ondulatoire de la lumière. Il étudie également la diffraction à distance finie ainsi que la
propagation de la lumière dans les milieux cristallins. Il présente un mémoire complet sur ce dernier
sujet à l'Académie des Sciences en 1823.

xiv
Les grands noms de Vélectromagnétisme
Cari Friedrich Gauss
Mathématicien, astronome et physicien allemand, né à Brunswick en 1777 et mort à Gôttingen en 1855.
Mathématicien de génie, Gauss est connu en physique pour avoir apporté, à partir de 1829, d'importantes
contributions en optique, notamment l'approximation linéaire des instruments, et en électromagnétisme
(théorème de Gauss, magnétisme terrestre).
Edwin Herbert Hall
Physicien américain, né à Gorham (Maine) en 1855 et mort à Cambridge (Massachusetts) en 1938.
Spécialiste de la conduction thermique et électrique des matériaux, il découvre en 1880 l'effet qui porte
son nom depuis. Cet effet, d'utilisation répandue dans les appareils de mesure actuels (sonde de Hall,
etc.), s'est renouvelé grâce à la découverte, un siècle plus tard, par von Klitzing, de l'effet Hall quantique.
Joseph Henry
Physicien américain, né à Albany en 1797 et mort à Washington en 1878. Spécialiste
d'électromagnétisme, il découvre en 1832 l'auto-induction. On a donné son nom à l'unité internationale d'inductance.
Heinrich Hertz
Physicien allemand, né à Hamburg en 1857 et mort à Bonn en 1894. Il démontre en 1877 l'existence
des ondes électromagnétiques prévues par Maxwell, et fonde le domaine des télécommunications.
James Prescott Joule
Physicien anglais, né à Salford près de Manchester en 1818 et mort à Sale en 1889. Expérimentateur de
génie, il fait connaître les idées de von Mayer en étudiant les conversions énergétiques thermoélectriques
et thermomécaniques. Il formule en 1831 les lois de dissipation du travail électrique en chaleur dans
un conducteur parcouru par un courant. Il détermine ensuite l'équivalent mécanique de la calorie. Il
découvre aussi les deux lois, dites de Joule et Gay-Lussac et de Joule et Thomson (Lord Kelvin) suivies
par un gaz parfait. Son nom a été donné à l'unité de travail dans le système international.
Willem Hendrik Keesom
Physicien néerlandais, né dans l'île de Texel en 1876 et mort à Leyde en 1956. Il fut le premier
physicien qui solidifia l'hélium, découvrit ses deux phases et les propriétés exceptionnelles de l'hélium II
(superfluidité et conduction thermique exceptionnellement élevée). Il succéda à K. Onnes à la
direction du laboratoire de Leyde (cf. Thermodynamique).
Gustav Robert Kirchhoff
Physicien allemand, né à Kœnisberg en 1824 et mort à Berlin en 1887. Il est l'auteur de la théorie du
corps noir et l'inventeur du spectroscope, ce qui lui permet de découvrir le césium et le rubidium. Il est
surtout connu pour ses travaux en électricité, sur les lois des courants dérivés, lesquelles portent depuis
son nom, ainsi que pour l'établissement de l'équation des télégraphistes.
Paul Langevin
Physicien français, né à Paris en 1872 et mort à Paris en 1946. D'origine modeste, il est admis d'abord
à l'Ecole de Physique et Chimie, puis à l'École Normale Supérieure. Ses domaines d'intérêt sont
variés et ses contributions théoriques ou expérimentales multiples. Sa contribution théorique majeure en
électromagnétisme est l'interprétation de la polarisation des diélectriques et de l'aimantation des corps
paramagnétiques. Il devient professeur au Collège de France en 1902 et membre de l'Académie des
Sciences en 1934. En outre, il a joué un rôle essentiel dans l'intégration de la physique moderne dans

Les grands noms de Vélectromagnétisme
xv
l'enseignement ; après la libération, il propose une réforme audacieuse de l'enseignement, appelée plan
Langevin- Wallon.
Pierre Simon Marquis de Laplace
Astronome, mathématicien et physicien français, né à Beaumont en Auge en 1749 et mort à Paris en
1827. Bien que professeur de mathématiques et homme politique, ses travaux en physique sont
nombreux. Il signe diverses contributions sur la capillarité, la propagation du son dans l'air, l'évolution adia-
batique des gaz ; en électromagnétisme, citons l'équation de Laplace de l'électrostatique, la force de
Laplace exercée par un champ magnétique sur un courant et le travail des forces électromagnétiques.
Cependant, c'est sa publication sur la mécanique céleste, Exposition du système du monde, qui est la plus
remarquée. On y trouve développée notamment sa conception d'un déterminisme rigoureux à la base
d'une physique totalement prédictive. Il devient membre de l'Académie des Sciences en 1783. Il fut
ministre de l'Intérieur de Bonaparte puis vice-président du Sénat sous Napoléon ; enfin, il devint marquis
sous Louis XVIII.
Heindrik Anton Lorentz
Physicien néerlandais, né à Arnhem en 1853 et mort à Haarlem en 1928. Il devient titulaire de la chaire
de physique théorique à l'université de Leyde en 1878. Il est considéré comme l'un des fondateurs de
la théorie électronique de la matière : ses contributions importantes concernent en effet
l'électromagnétisme des milieux matériels et notamment l'influence d'un champ magnétique sur le rayonnement
lumineux émis par les atomes, ce qui lui valut le prix Nobel en 1902, prix qu'il partagea avec son élève
P. Zeeman. Il est surtout connu pour les formules de transformation de la relativité restreinte qu'il
propose, indépendamment du physicien irlandais G. Fitzgerald, pour tenter d'interpréter, dans le cadre new-
tonien, le résultat de l'expérience de Michelson et Morley.
James Clerk Maxwell
Physicien écossais, né à Edimburgh en 1831 et mort à Cambrigde en 1879. Il publie en 1857 un
article sur la constitution probable des anneaux de Saturne, ce qui le fait connaître de la communauté
scientifique et l'incite à s'intéresser aux systèmes constitués d'un grand nombre de particules. Il
établit alors les principaux résultats de la théorie cinétique des gaz. C'est ensuite comme professeur
d'université au King's Collège de Londres qu'il travaille sur l'électromagnétisme, chez lui ( !) assisté par
son épouse. Admirateur de Faraday, il parachève la synthèse de l'électromagnétisme en 1865 et en
déduit une théorie de la lumière qui sera vérifiée expérimentalement par Hertz en 1887. Il est ensuite
nommé à Cambridge pour diriger la construction du célèbre Cavendish Laboratory.
Louis Néel
Physicien français, né à Lyon en 1904 et mort à Paris en 2000. Spécialiste de magnétisme, il découvre
l'antiferromagnétisme et le ferrimagnétisme, ce qui lui vaut le prix Nobel de physique en 1970.
Georg Simon Ohm
Physicien allemand, né à Erlangen en 1789 et mort à Munich en 1854. Il découvre en 1827 la loi sur
les circuits linéaires entre tension et courant, alors qu'il est professeur au collège de guerre de Berlin.
En 1849, il devient professeur de physique à l'université de Munich. On a donné son nom à l'unité
internationale de résistance.
Hans Christian Oersted
Physicien et chimiste danois, né à Rudkôbing en 1777 et mort à Copenhague en 1851. Travaillant dans
une pharmacie pour subvenir à ses besoins, Oersted s'intéresse non seulement à la chimie mais aussi
à la philosophie, l'astronomie et la physique. En 1820, alors qu'il est enseignant à l'université de Co-

xvi
Les grands noms de V électromagnétisme
penhague, il découvre qu'une boussole orientée dans la direction d'un conducteur parcouru par un fort
courant est déviée de 90° . Il suscite ainsi les recherches intenses dans ce domaine qui aboutiront à la
synthèse de l'électromagnétisme par Maxwell.
John Henry Poynting
Physicien anglais, né à Monton près de Manchester en 1852 et mort à Birmingham en 1914. Il est
surtout connu pour le théorème qui porte son nom sur l'énergie électromagnétique et la pression de
rayonnement. Il a été le premier à mesurer la densité moyenne de la Terre.
Félix Savart
Physicien français, né à Mézières en 1791 et mort à Paris en 1841. Après avoir été médecin, il s'intéresse
à l'acoustique et publie dans ce domaine une contribution remarquable. Il est surtout connu pour la
formule qu'il propose avec Biot, en 1820, donnant le champ magnétique créé par un courant. Il devient
membre de l'Académie des Sciences en 1827, puis professeur au Collège de France.
John Strutt ou Lord Rayleigh
Physicien anglais, né à Lanford Grove en 1842 et mort à Witham (Essex) en 1919. Fils d'aristocrate,
il s'intéressa à un grand nombre de sujets en physique en travaillant de façon originale, chez lui, en
dehors de tout environnement universitaire. Il fit d'importantes contributions sur la propagation du son,
l'hydrodynamique, la théorie ondulatoire de la lumière, la vision des couleurs, la diffusion de la lumière
(interprétation du bleu du ciel), le rayonnement du corps noir, etc. Il succcéda à Maxwell, en 1879,
pour diriger le Cavendish Laboratory à Cambridge. Il obtint en 1904 le prix Nobel de physique pour la
découverte de l'argon. Avec J. Maxwell et W. Thomson (Lord Kelvin), il est considéré comme l'un des
trois plus grands physiciens britanniques du XIX e siècle.
Nikola Tesla
Ingénieur électricien croate puis américain, né à Smiljan en 1856 et mort à New York en 1943. Ses
contributions en électrotechnique sont très nombreuses : on lui doit l'invention des courants
polyphasés, la réalisation du premier moteur asynchrone à champ tournant et celle des générateurs industriels
d'ondes hertziennes. L'unité SI de champ magnétique porte son nom.
Joseph John Thomson
Physicien anglais, né à Manchester en 1856 et mort à Cambridge en 1940. Elève et successeur de
Maxwell au Cavendish Laboratory de Cambridge, il détermine, en 1894, le rapport e/me pour l'électron
puis la valeur de la charge élémentaire e. À l'aide du spectrographe de masse qu'il invente, il étudie
la structure de la matière à l'échelle atomique et imagine le premier modèle de l'atome d'hydrogène
(modèle de Thomson). Toutes ces contributions lui valent le prix Nobel en 1906.
Alessandro Volta
Physicien italien, né à Côme en 1745 et mort à Côme en 1827. Il est connu pour avoir introduit la pomme
de terre en Italie et pour ses recherches en électricité qui le conduisent à inventer la pile électrique. Il fut
fait comte par Bonaparte en 1801. L'unité SI de tension électrique dérive de son nom.

Constantes physiques, notations et symboles
Les symboles utilisés sont généralement ceux recommandés par VAFNOR
'' e - 1,602 176462 (63) x i0~l? C
—e
\ eV = 1J;602 176462 (63) x 10"19J
'; eo^85854187817x 10-l?:F^m^^
' ie = e2'/(47T60)
/ulo=4ttx 10-7'N;A^2
c = 2,99792458 x 10? « 3 x 10* m • s"*
\ m^ 0,910938 188(72) x 10~30kg,
[ ( mec2 = 0,510 998 MeV « 0,511 MeV )
.mp=z 1,67262158(13) x 10~27kg,
'; (m/;c2 -938,272 MeV)
: h = 6,62606876(52) x 10~34 J -s
■- h= 1,054571596(82) x 10^34J-s
' n - q2e/{mec2) = 2, 817 93423 x 10"l5 m
l G-= 6,673(10) x llT^-kg-1 -s^2
» R =-8,314472(15) J • mol~k■ K~»
\ NA = 6,022141 99(47) x 1023 mol"1
;i kB = R/Na = 1,3806503(24) x lp~23 J • K~J
j F = NAe^ 96485,341 5(39) C/mor1
■ fis = eh/\pne)<= 927,400899(37) x 10™26 J"■ T J
; jjln■= eh/(2mpy^ 5vO50783 17(20) xlO"27 J^T"1
\ <î>o =i/?/(2è) = 2,067 833 636(81) x 10"15 Wb
; /fc = /z/^ =25 812,807 572(95)^
ja = q2e/{hcp> 297 352 533(27)
; ^1/137,036
charge élémentaire (charge du proton)
charge de F électron
électron^volt
permittivité du Vide (valeur exacte)
ql =230/707 705 6 x 1.0-30 SI
perméabilité du vide (valeur exacte)
vitesse de la lumière dans le vide
(valeur exacte)
masse de l'électron
masse du proton
constante de Planck
constante de Planck divisée par 2rr
rayon classique de l'électron (re œ-2,8 F)
constante newtoniennè de gravitation
constante molaire des gaz parfaits
nombre d'Avogadro
constante de Boltzmann
constante de Faradav
magnéton de Bohr
magnéton nucléaire
quantum de flux magnétique
constante dé von Klitzihg.
constante de structurefine.

Constantes physiques, notations et symboles
référentiel (repère d'espace et de temps)
base orthonormée de 1Z
coordonnées cartésiennes
coordonnées cylindriques
coordonnées sphériques
point courant où l'on calcule l'effet produit
point courant où est située la source
élément de volume
élément surface matérielle
élément de courbe matérielle C
élément de surface mathématique S
élément vectoriel sur une courbe mathématique C
vitesse de déplacement le long d'un circuit
vitesse de déplacement d'un élément de circuit
vitesse d'un point courant (v = u -f- V)
vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur
angle solide
logarithme népérien
exponentielle
sensiblement égal à
de l'ordre de
valeur moyenne (dans le temps) de/
signe de/
valeur complexe de/
module de/
complexe conjugué de/
parties réelle, imaginaire de/
normes d'un vecteur, d'un vecteur complexe
charges volumique, surfacique , linéique ou densités de
charges ponctuelle, totale (d'une distribution)
vecteurs courants volumique, surfacique ou densités de
intensité d'un courant stationnaire
champ électrique
champ magnétique
champ électromagnétique
potentiel scalaire

Constantes physiques, notations et symboles
xix
A potentiel vecteur
(V, A) potentiel électromagnétique
Va — Vg différence de potentiel (d.d.p) entre A et B
<î> flux du champ magnétique
i{i) intensité d'un courant variable
U, u(t) tension stationnaire, tension variable
E, e force électromotrice stationnaire et variable (f.e.m)
Iem, iem courant électromoteur stationnaire et variable (ce.m)
R, G résistance, conductance
C, Cy capacité, coefficient d'influence
L, M inductance propre, inductance mutuelle
p moment d'un dipôle électrique
m moment d'un dipôle magnétique
P polarisation électrique volumique
M aimantation volumique
J,„ courant volumique de maille
V moment dipolaire électrique macroscopique
A4 moment dipolaire magnétique macroscopique
(Ef/, Bfl) champ électromagnétique appliqué
(EIH, B,„) champ électromagnétique créé par un milieu
(E//?ev, B/„^ex) valeurs du champ électromagnétique à l'extérieur,
y conductivité d'un milieu matériel
e = €Q€r, jn = /LiojuLr, permittivité et perméabilité d'un milieu matériel
er, jJLr permittivité et perméabilité relatives d'un milieu matériel
a polarisabilité d'un milieu p = a^oE
Xe susceptibilité diélectrique P = ^^oE
Xm, Xm susceptibilités magnétiques : M = Xnfi/fM), M = ^* H
D vecteur excitation électrique ou déplacement
ou induction électrique
H vecteur excitation magnétique
^(r, t) = tym exp(/k • r) exp(—icot), Expression complexe d'une onde plane
monochromatique
e = e' + ie", x = x' + lx" constante diélectrique, susceptibilité diélectrique
complexes
n, n = n + îk indice, indice complexe
k = k! + ik" nombre d'onde complexe

XX
Constantes physiques, notations et symboles
V
T,
Ao;
A,
o-0
V<p.
Fe.
r
= Y + 'V
w, 1/ (ou/)
,k0
k
,^
, F„„ FL...
sw, w
V
£/b
£e.
= SW/dr
Z7 F
*^p-> *^me
F F
we, wm, w
R<
Pe,
M
3U Je/»
P/w» Prad
conductivité complexe
période, pulsation (ou fréquence angulaire), fréquence
longueur, vecteur d'onde dans le vide
longueur, vecteur d'onde dans un milieu
nombre d'onde (spectroscopique) dans le vide
vitesses de phase, de groupe
forces électrique, magnétique, de Laplace...
moment d'une force
travail élémentaire, travail total d'une force
puissance
énergies cinétique, potentielle, mécanique
énergies électrique, magnétique, électromagnétique
énergies électrique, magnétique, électromagnétique
C'est volumiques
vecteur de Poynting
pressions électrostatique, magnétostatique, de radiation
coefficient d'atténuation linéique en intensité.

Constantes physiques, notations et symboles
xxi
Alphabet grec
alpha A a
beta B f3
gamma T y
delta A ô
epsilon E e
zêta Z £
eta H 77
thêta © 6
iota I t
kappa K k
lambda A À
mu M jii
nu N v \
xi H f
omicron O 0
pi n 7T
rho P p
sigma S cr
tau T r
upsilon Y v
phi <I> 0
chi X X
psi ■*• i/f
oméga H &>

Description de l'ouvrage
L'ouvrage comporte trois grandes parties qui correspondent aux différentes étapes de
l'enseignement de l'électromagnétisme dans les universités ou dans les classes préparatoires aux Grandes Ecoles
scientifiques. Le déroulement du cours est le suivant :
i) Partie I, Première année universitaire : l'électrostatique, les courants stationnaires et la magné-
tostatique
Leçons 1 à 13 : Charges électriques, champ électrostatique, potentiel, les symétries des charges et
des champs, les dipôles électrostatiques, la loi d'Ohm dans les milieux conducteurs, les aspects
microscopiques de la conductivité électrique, les conducteurs électriques, l'effet Joule, les générateurs et les
récepteurs électriques, les condensateurs, les propriétés du champ électromagnétique, les symétries des
courants et des champs, enfin F électrodynamique des régimes stationnaires.
ii) Partie II, Deuxième année universitaire : les régimes variables
Leçons 14 à 20 : L'induction électromagnétique, les inductances propres et mutuelles des circuits,
les équations de Maxwell, l'approximation des régimes quasi stationnaires, l'énergie électromagnétique,
les ondes électromagnétiques dans le vide et le dipôle oscillant.
iii) Partie III, Licence : les milieux matériels
Leçons 21 à 30 : La polarisation des milieux diélectriques, l'aimantation des milieux magnétiques,
les équations de Maxwell dans les milieux matériels, les aspects microscopiques de la polarisation et
de l'aimantation, le ferromagnétisme, la supraconductivité, la dispersion, l'absorption, la réflexion et la
réfraction des ondes électromagnétiques et la propagation guidée.
Les leçons 1, 2, 3, 6, 9, 11, 14, 16, 21 et 22, ont un rôle central car elles contiennent les éléments
indispensables (définitions, lois et principes) à l'étude des leçons qui suivent. Il faut donc les étudier
avant d'aborder les suivantes. Même si ces dernières sont présentées dans un certain ordre, il est possible
de les étudier dans un ordre différent qui tienne compte des préoccupations et des intérêts du lecteur ; en
effet, les leçons sont quasi autonomes et le renvoi à des formules éloignées pratiquement inexistant.
Par exemple, si l'on souhaite étudier la leçon 17 sur les régimes quasi stationnaires, il est conseillé
de lire avant les leçons 1, 2, 3, 6, 9, 11, 14 et 16.
Méthode de travail
Lecture des leçons
Dans une phase d'initiation, une leçon doit être lue une première fois, en insistant, d'une part,
sur l'introduction, laquelle situe la leçon dans le cours, et d'autre part sur la conclusion qui énumère
l'ensemble des résultats essentiels.

Description de l'ouvrage
xxiii
Dans une deuxième phase, l'étudiant doit refaire avec soin tous les calculs intermédiaires.
Enfin, une dernière lecture devrait permettre d'appréhender complètement la leçon, notamment les
résultats essentiels, les exemples significatifs et les ordres de grandeur.
Exercices et problèmes
Une fois la lecture de la leçon effectuée, l'étudiant doit passer à la phase d'application en faisant
des exercices simples et courts, directement liés au contenu de la leçon ; il doit essayer de résoudre ces
exercices avec le seul support que constitue le cours. En cas de difficultés, un coup d'œil rapide sur la
solution, proposée en fin d'ouvrage, devrait l'aider. Eviter la simple lecture de la solution proposée et la
mémorisation de la démonstration : mieux vaut revenir sur la leçon pour résoudre l'exercice. En cas de
difficulté majeure, lire la solution et tenter de la refaire sans aucune aide un ou deux jours plus tard.
Une fois ces exercices rédigés, tenter de résoudre des problèmes d'examens et concours
généralement plus longs.
Pour des raisons à la fois pédagogiques et économiques, la correction de ces problèmes, un sur
deux environ, a été transférée sur le site internet http://webast.ast.obs-mip.fr/people/perez/index.html.
Révision
Pour réviser, une ultime lecture devrait conforter l'apprentissage. Ne pas hésitera souligner au
crayon les parties essentielles et à porter en marge des remarques personnelles suggérées par la lecture
d'autres livres ou de documents annexes, tels que des revues à grand public (La Recherche, Science et
Vie, Ciel et Espace, etc.).
Comment résoudre un problème <T électromagnétisme
On résout correctement un problème d'électromagnétisme si l'on s'astreint à répondre
successivement à plusieurs questions, même lorsque le texte n'invite pas à y répondre explicitement.
Quel est le système étudié ?
Il faut définir le système dont on veut faire l'analyse, c'est-à-dire le délimiter en précisant sa
frontière commune avec l'extérieur. La réponse a cette question n'est pas immédiate. Par exemple, dans un
milieu matériel, il importe de préciser si l'on s'intéresse au seul matériau contenu dans le volume
considéré ou au contraire à l'ensemble du matériau et du champ électromagnétique dans ce même volume.
Le système est-il électriquement isolé ?
S'il est électriquement isolé, sa charge est constante, mais il peut échanger de l'énergie avec
l'extérieur, sous forme de travail mécanique par exemple.
Quelles sont les équations structurelles de l'électromagnétisme ?
Ce sont les équations de Maxwell-Faraday indépendantes des charges et des courants. Elles
s'écrivent localement :
dB-
rotE + -r- = 0 et divB = 0
dt

XXIV
Description de Vouvrage
ou globalement ;
e=0E-dl = — et /B-nd^O
Je dt 75
En régime stationnaire, la première équation (dite de Maxwell-Faraday) se réduit à :
rotE = 0 ou E^-gradV ou iE-dUO
Quelles sont les équations reliant le champ sources en régime stationnaire ?
Ce sont les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère qui s'écrivent localement :
div E = — et rot '
ou globalement :
£
E-nd«S= — et <bB-d\ = /uLoI
s £o Je
Comment calcule-t-on les champs et les potentiels ?
On calcule les champs, à partir des sources, en utilisant les équations de Maxwell-Gauss et
Maxwell-Ampère sous leurs formes globales ou locales.
On choisit la forme globale lorsqu'il existe des invariances ou des éléments de symétrie, ce qui est
souvent le cas dans les modèles proposés. On en déduit alors les potentiels en intégrant. Lorsque les
calculs de champ s'avèrent plus laborieux, en raison du faible degré de symétrie, une méthode efficace
consiste à commencer par calculer le potentiel électrique, qui est un scalaire, puis à en déduire le champ
électrique par intégration. La détermination du potentiel vecteur est plus laborieuse mais elle peut être
facilitée par les analogies formelles entre V et A .
On en déduit la force qui s'exerce sur une particule chargée à l'aide de la formule de Lorentz :
F = #(E + vxB)
Les sources sont-elles décomposables en éléments simples ?
Les équations de Maxwell étant linéaires, il est parfois judicieux d'utiliser le principe de
superposition linéaire qui permet d'évaluer la grandeur totale à partir de grandeurs élémentaires. Cependant, cette
linéarité ne concerne pas les grandeurs énergétiques qui dépendent quadratiquement des champs.
Précisément, les interférences proviennent de la superposition linéaire des champs électromagnétiques et de
la non-superposition des énergies transportées par ces champs.
Le système présente-t-il des éléments de symétrie ?
Si le système présente des éléments de symétrie ou d'antisymétrie, il en résulte des propriétés
géométriques des champs qui permettent de simplifier leur étude. Ainsi, le champ électrique en un point
d'un plan de symétrie de la distribution de charge est contenu dans ce plan ; en revanche, en un point
d'un plan d'antisymétrie, il est orthogonal à ce plan (cf. chapitre 4). C'est l'inverse pour le champ
magnétique (cf. chapitre 12).

Description de Vouvrage
XXV
Le système est-il indépendant de certaines variables ?
Si le système n'est pas modifié sous des transformations associées à certaines variables de position
(linéiques ou angulaires), les différentes grandeurs physiques ne dépendent pas non plus de ces variables.
Par exemple, si le système est invariant par translation suivant l'axe Oz, aucune grandeur ne
dépend de la variable z . Il est alors avantageux de choisir pour sa description un système de coordonnées
adapté à cette invariance (cf. chapitre 4 et 12). De façon plus générale, si les sources de champ ne
dépendent pas d'une variable donnée, il est impératif de choisir le système de coordonnées (cartésiennes,
cylindriques ou sphériques) qui réduit le nombre de variables indépendantes.
Comment calcule-t-on les forces sur les conducteurs ?
i) Sur un conducteur chargé en équilibre, les forces qui s'exercent sont rarement obtenues en
intégrant la force élémentaire de Coulomb. Le calcul est laborieux et souvent inextricable. Il vaut mieux
utiliser le concept d'énergie électrostatique et d'en déduire la force par dérivation. Il convient de veiller
aux conditions expérimentales précises du problème ; le système est-il isolé ou maintenu à un
potentiel constant ? Selon le cas, la relation formelle entre force et énergie potentielle change de signe :
i- d£eQ d£ey
Fx = —^ ou Fx= —-î-
ax dx
x étant la variable linéique ou angulaire. Dans ce dernier cas, Fx est un moment de force.
ii) Dans le cas de l'interaction entre deux distributions de courant, le calcul des forces est aussi
laborieux. On applique rarement la loi des actions électrodynamiqes d'Ampère. On utilise plutôt
l'expression de la force de Laplace qui s'exerce sur un conducteur parcouru par un courant et plongé dans un
champ magnétique :
FL= f JxBdV ou FL = I fdlxB
si le circuit est filiforme. Comme en électrostatique, la méthode la plus efficace est celle s'appuyant sur
l'énergie magnétique. La force s'obtient par dérivation. Il faut veiller aux conditions expérimentales du
problème : l'intensité est-elle constante ou est-ce le flux qui l'est ? Suivant le cas, on aura :
. OCm<$ \ ( OCm i
Fx = - „ ou Fx
dx J ^ \ dx
x étant la variable linéique ou angulaire.
La loi d'Ohm s'applique-t-elle ? Comment ?
La loi d'Ohm n'est pas une loi fondamentale mais une loi constitutive des milieux conducteurs.
Elle s'applique localement sous la forme d'une relation linéaire entre le vecteur courant volumique et le
champ électrique dans un conducteur : J = yE .
Globalement, cette relation s'écrit U = RI, avec R = l/(yS) si le conducteur est homogène et de
section constante.
Est-on dans l'approximation des régimes quasi stationnaires ?
Dans ce cas, les lois de l'électromagnétisme sont celles de l'électrostatique et de la magnétostatique
valables à chaque instant avec une modification majeure concernant le champ électrique. En effet, la

xxvi
Description de Vouvrage
circulation de ce dernier le long d'un contour fermé n'est pas nulle mais égale à :
e(t) = - I ^-nd<S + /(VxB)-dl soit e(t) = -^
pour un circuit de constitution constante.
Electromagnétisme des milieux matériels
Dans les milieux matériels, on doit distinguer les champs d'excitation D et H, reliés aux sources,
des champs fondamentaux E et B qui agissent sur la matière. Ils sont décrits par deux groupes distincts
d'équations de Maxwell. Le lien se fait par la description phénoménologique du milieu, le plus souvent
linéaire. On a alors :
D = eE et B = /aH
Bilans énergétiques
Les bilans énergétiques en électromagnétisme nécessitent une identification claire des énergies
mises enjeu et des échanges énergétiques.
Évidement l'énergie électromagnétique n'est pas une grandeur conservative, car le terme de
création est en général non nul. Elle se conserve en l'absence d'effet Joule et de travail des forces de La-
place.
Citons deux fautes fréquentes sur les bilans énergétiques. Dans le cas du déplacement de l'armature
d'un condensateur à potentiel constant, l'échange énergétique avec le générateur de tension joue un rôle
essentiel (cf. chapitre 10). L'interprétation locale du vecteur de Poynting, comme densité surfacique du
flux d'énergie électromagnétique, peut conduire à des indéterminations voire à des paradoxes, si l'on
n'a pas préalablement souligné que seul présente un sens physique le flux de ce vecteur à travers une
surface fermée (chapitre 18).
Doit-on effectuer un calcul en notations réelles ou complexes ?
Rappelons que la notation complexe n'a de sens que si l'on s'intéresse à un régime sinusoïdal.
i) Dans les phénomènes sans propagation, comme c'est le cas dans l'étude des circuits électriques,
on fait correspondre conventionnellement à cos(&tf) la quantité exp(/W), avec j2 = — 1 .
ii) En revanche, dans les phénomènes avec propagation, comme c'est le cas dans l'étude des ondes
électromagnétiques, on associe conventionnellement à cos((ot) la quantité exp(—icot), avec i2 = — 1 .
La notation complexe exige de la rigueur, car les erreurs liées aux confusions entre norme
(arithmétique), composante (algébrique) et amplitude complexe d'une grandeur sont fréquentes. Ainsi, on
écrira :
B = £^ avec B =\\ B ||= |^| et B(p = Rt{B(p}
Pour revenir à l'expression réelle d'une grandeur (amplitude d'un courant, d'une tension ou d'une
onde), il est préférable au préalable de mettre l'expression complexe sous la forme polaire pexp(/#).
Soulignons que, pour les grandeurs énergétiques, la notation complexe ne peut être conservée que
pour expliciter des valeurs moyennes temporelles.

Description de l'ouvrage
xxvii
Comment résoudre les équations différentielles aux dérivées partielles ?
C'est un problème technique. S'il y a deux variables, on intègre l'une des équations précédentes
par rapport à l'une des variables, la constante d'intégration étant une fonction de l'autre variable. Puis
on injecte la solution obtenue dans l'autre équation (cf. annexe 1).
Quelle est l'interprétation des résultats obtenus et quel est leur ordre de grandeur ?
Cette dernière phase est capitale, car elle permet de vérifier les calculs et donc de revenir sur
des erreurs de signes décisives : deux charges de signes opposés s'attirent et deux courants de mêmes
signes s'attirent aussi. Dans les bilans énergétiques, dans lesquels on compte positivement ce qui est
effectivement reçu, un travail négatif doit être interprété comme un travail fourni au milieu extérieur.
Les ordres de grandeur sont essentiels : par exemple, il est difficile de charger un conducteur métallique
avec une charge de quelques coulombs ; de même, le tesla est une unité grande de champ magnétique.

V électromagnétisme en vingt questions
1. L'énergie potentielle d'une charge q dans un potentiel V est qV. Pourquoi un facteur 1/2
s'introduit-il dans l'énergie d'un conducteur, de charge Q , porté à un potentiel V ?
2. Pourquoi le développement dipolaire du potentiel électrostatique d'un système de charge est-il plus
utile que le développement dipolaire analogue du potentiel gravitationnel d'un système de masse ?
3. Soumis à un champ électrique uniforme E , les électrons d'un métal devraient acquérir un
mouvement accéléré. Pourquoi alors la loi d'Ohm s'interprète-t-elle par la proportionnalité entre le champ E
et la vitesse de dérive des électrons ?
4. La conduction électrique dans les fils de cuivre des installations électriques est assurée par des
électrons dont la vitesse de dérive est de l'ordre de 1 mm • s- ' . Pourquoi la durée qui sépare la fermeture
de l'interrupteur de l'effet d'éclairement par une lampe n'est-elle pas perceptible ?
5. Pourquoi la conductivité d'un métal diminue-t-elle avec la température, alors que celle d'un
semiconducteur augmente ?
6. Pourquoi la résistance d'un conducteur métallique ne peut-elle être interprétée par les collisions des
électrons avec les ions du métal ?
7. Pourquoi la surface de la Terre est-elle chargée électriquement ?
8. Pourquoi se protège-t-on de la foudre en montagne en s'éloignant des arbres et en s'accroupissant ?
9. Le champ électrostatique au voisinage de la Terre est d'environ 130 V • m-1 . Pourquoi ce champ
est-il sans influence sur les êtres vivant sur la Terre ?
10. Pourquoi ne ressent-on pas d'effet électrique dans un avion frappé par la foudre ?
11. Pourquoi sent-on l'ozone dans l'atmosphère après un orage ?
12. Pour créer un champ magnétique intense, on fait imploser radialement un anneau cylindrique
conducteur traversé par un flux magnétique. Pourquoi ?
13. La force magnétique de Lorentz ne travaille pas, alors que la force de Laplace liée aux interactions
magnétiques, elle, travaille. Pourquoi ?
14. Un circuit ouvert ne peut pas être parcouru par un courant continu, alors que, dans un simple fil,
de longueur finie, qui joue le rôle d'antenne, peut circuler un courant. Pourquoi ?
15. Pourquoi introduit-on un diélectrique entre les armatures d'un condensateur ?
16. Pourquoi utilise-t-on un noyau de fer feuilleté dans un transformateur ?
17. Pourquoi le ferromagnétisme ne peut-il pas être interprété par l'interaction entre les différents
moments magnétiques contenus dans un matériau ?
18. Pourquoi la supraconductivité ne se réduit-elle pas à une superconductivité ?
19. Pourquoi la couleur du ciel est-elle bleue et celle du Soleil couchant rouge ?
20. Dans un guide d'onde, la vitesse de phase est supérieure à la vitesse c de propagation de la lumière
dans le vide. Pourquoi ce résultat n'est-il pas en contradiction avec la théorie de la relativité restreinte ?

1
Charges électriques. Distributions de charges
Les phénomènes électriques ont été découverts très tôt dans l'histoire de l'humanité. Ils ont été
d'abord objet de curiosité ou de crainte, puis d'expériences spectaculaires aux XVIIe et XVIIIe siècles.
Leur analyse scientifique entre 1785 et 1875 a conduit à l'élaboration d'une théorie cohérente de
l'électricité dont la validité subsiste encore aujourd'hui sans modification essentielle.
Dans ce chapitre, nous nous bornons à rappeler brièvement les expériences classiques d'électrisa-
tion. En revanche, nous insistons sur les propriétés fondamentales de la charge électrique ainsi que sur
la modélisation des distributions réelles de charge.
I. — ÉLECTRISATION. CHARGE ÉLECTRIQUE
1.1. — Lois qualitatives
Frottons, avec un tissu de laine, un bâton d'ébonite, corps obtenu après traitement du caoutchouc
par le soufre (vulcanisation). On constate qu'il attire des corps légers. Cette propriété, appelée la tribo-
électricité (du grec tribein qui signifie frotter), est à l'origine de la découverte de l'électrisation. Il est
ainsi possible d'électriser certains corps ; ce phénomène obéit à plusieurs lois qualitatives :
i) Les corps électrisés exercent des actions mécaniques.
ii) L'électrisation peut être transférée d'un corps à un autre.
iii) Il existe deux électrisations, conventionnellement qualifiées de positive et de négative.
iv) Deux corps de même électrisation se repoussent, alors que deux corps d'électrisations
différentes s'attirent.
v) Tout corps non électrisé est attiré par un corps électrisé, quel que soit le type d'électrisation. Par
exemple, si l'on approche une règle en plastique, préalablement frottée avec de la laine, d'un filet d'eau,
ce dernier est attiré par la règle.
On distingue schématiquement deux types de matériaux :
i) ceux pour lesquels le phénomène est local, que l'on nomme isolants ; c'est le cas de l'ébonite
utilisée ci-dessus, du verre, des matières plastiques, de la laine, de l'air, etc.
i) ceux pour lesquels le phénomène est global, appelés conducteurs ; c'est le cas, par exemple, des
métaux, des solutions acides ou alcalines, du corps humain. Comme l'électrisation concerne tout
le volume des conducteurs, sa mise en évidence nécessite que l'on isole ces conducteurs.

2
1. Charges électriques. Distributions de charges
Enfin, on peut former des séries de corps classés de telle sorte que si l'on frotte l'un d'entre eux
avec le suivant il se charge positivement. Par exemple, à l'aide de la série :
verre
mica
laine
peau de chat
soie
bois
ébonite
on déduit qu'une tige de verre, frottée avec de la laine ou une peau de chat, se charge positivement, alors
qu'un bâton d'ébonite frotté de la même façon se charge lui négativement.
1.2. — Charge électrique élémentaire
Les résultats expérimentaux sur l'électrisation ont été interprétés dès 1785 par le physicien français
C.A. Coulomb. Cependant, une explication totalement satisfaisante n'a pu être donnée que plus tard, lors
de la découverte des particules élémentaires chargées, notamment de l'électron par le physicien anglais
J. J. Thomson en 1881.
Finalement, des expériences successives ont établi l'existence de corps minuscules dont
l'électrisation est indépendante de l'état de mouvement, des forces subies, de l'environnement, etc. L'estimation
actuelle de la dimension de ces corps est de l'ordre du fermi, ou femtomètre 1 F = 1 fm = 10~15 m .
Ces édifices élémentaires interviennent de façon déterminante dans la conception scientifique actuelle
du monde physique.
Il est remarquable que les plus fines et les plus récentes expériences n'aient pas remis en cause
l'existence de charges élémentaires, même si certaines particules chargées se sont révélées être, elles-
mêmes, des systèmes complexes composés d'éléments encore plus fondamentaux.
1.3. — Propriétés de la charge électrique
La charge électrique, qui caractérise l'état d'électrisation d'une charge élémentaire, est toujours
liée à la matière : toutes les particules élémentaires chargées ont une masse non nulle. En outre, la
charge électrique possède des propriétés remarquables que nous nous proposons d'analyser.
a) Charge positive et charge négative
La charge électrique peut exister sous deux formes, l'une qualifiée de positive l'autre de négative.
Notons que le choix d'une charge négative pour l'électron est purement conventionnel.
h) Extensivité de la charge
La charge électrique d'un système est une grandeur extenslve, c'est-à-dire qu'elle peut se mettre,
sous la forme de la somme algébrique des charges élémentaires qui la constituent. Elle ne suffit pas
à caractériser complètement l'état d'électrisation du système; il faut pour cela connaître en outre sa
répartition spatiale.
c) Caractère conservatif de la charge électrique
Effectuons le bilan de la charge Q contenue dans un volume V , entre deux instants t et t + kt : .
la variation À<2 de la charge Q se met sous la forme de la somme de deux termes, l'un Qr est la charge
reçue (algébriquement) par le système de volume V , à travers la surface S qui le limite, l'autre Qc
est la charge éventuellement créée ou produite dans V :
AG = Qr + Qc
Cette écriture est conforme à la convention habituelle de la thermodynamique qui consiste à compter
positivement ce qui est reçu par le système (cf. Thermodynamique).

Charges électriques. Distributions de charges
3
L'expérience montre que la charge électrique totale d'un système ne peut être ni détruite ni créée .
Par conséquent :
-êc='b d'où AQ = Qr
Ainsi, la charge électrique totale est une grandeur conservative.
Si le système considéré est fermé, c'est-à-dire si la surface S est infranchissable à tout élément de
matière, alors :
gr = 0 et Ag = 0
En outre, la conservation concerne la charge totale et non un type donné de charges. Ainsi, les bilans
séparés des charges négatives et des charges positives dans un volume s'écrivent respectivement :
Ae+ = e; + ec+ et Ae- = ô- + ôL
Comme la production totale de charge est nulle : Qc = Qc+ -f- Qc_ = 0, d'où :
Q?+ = -QL et Ae = Ae+ + AÔ- = G; + Ôr- = Ôr
Ce résultat rend compte des processus au cours desquels apparaissent ou disparaissent, simultanément
et en un même point, des charges élémentaires opposées ; ainsi, dans une réaction de matérialisation,
une paire électron-positron peut être créée.
Le rôle des machines électrostatiques est précisément de produire des charges d'un signe
déterminé. La figure 1.1 représente un générateur de van de Graaff : une courroie C isolante, entraînée par
un moteur M, transporte, jusqu'au sommet d'une colonne isolante /, des charges positives créées à
l'aide d'un générateur auxiliaire de tension continue ; ces charges sont alors transmises à une sphère
conductrice S par contact.
</•*?
Générateur |-
auxiliaire
\C-
FlG. 1.1.
Remarque : Il existe peu de grandeurs conservatives en physique. Citons, avec la charge totale, la
masse totale d'un système en physique newtonienne et l'énergie totale (cf.
Thermodynamique).

4
1. Charges électriques. Distributions de charges
d) Quantification de la charge
De nombreuses expériences, dont la plus célèbre fut réalisée par le physicien américain P. Millikan
en 1910 (cf. Exercices), montrent que la charge électrique d'un système ne peut varier que par multiples
entiers d'une charge élémentaire de valeur (Fig. 2.13) :
e= 1,602 177 33 x 10"19 « 1,6 x 10"19 C
l'unité C du système international étant le coulomb. La charge d'un système quelconque s'écrit donc :
Q = Ze, Z étant un entier positif ou négatif. Cette écriture suppose que les charges élémentaires
positive et négative aient la même valeur absolue. Il est remarquable que les porteurs stables usuels de
ces deux types de charge aient des masses très différentes :
Pour l'électron q = -e me = 0,91091 x 10~30 kg
Pour le proton q — e mp = 1,672 5 x 10-27 kg
Remarque : Depuis 1964, on a postulé l'existence de particules, appelées quarks, dont la charge est
une fraction de e . Les quarks n'ont jamais été observés à l'état libre, mais la théorie qui
les prédit explique également cette difficulté d'observation (cf. Relativité).
e) Invariance de la charge électrique
La charge électrique d'un système est invariante par changement de référentiel galiléen, c'est-à-
dire que sa valeur ne dépend pas du référentiel galiléen dans lequel on la mesure.
1.4. — Comparaison des propriétés de la charge et de la masse
La charge électrique joue, dans l'interaction électromagnétique, le même rôle que la masse de
gravitation dans l'interaction gravitationnelle, d'où une forte analogie entre ces deux grandeurs
fondamentales. Mise à part l'existence de deux types de charge électrique de signes différents, l'analogie se fonde
sur plusieurs propriétés.
i) Charge et masse sont des grandeurs qui caractérisent la propriété des corps d'être à la fois source
et objet de la force, comme le montrent les expressions de la loi de Coulomb (cf. chapitre 2) et de la loi
de la gravitation entre deux points matériels A] et A2 (cf. Mécanique) :
^ ~ 47TS0 r2 e' et ^ " ° fi *r
avec
er=- r = r,-r2 = A2Ai « 9 x 109 SI et G = 6,67 x 10-11 SI
r 47T€o
Le rapport des coefficients caractéristiques \/4tteo et G prouve la faiblesse de l'interaction
gravitationnelle comparée à l'interaction électrostatique.
ii) Charge et masse sont des grandeurs extensives.
iii) Charge et masse (en mécanique newtonienne) sont des grandeurs conservatives.
iv) Charge et masse sont des grandeurs invariantes par changement de référentiel galiléen.
Alors que les propriétés d'invariance et de conservation de la charge seront largement utilisées
dans la suite, la quantification ne sera pas décisive dans le développement, car les systèmes étudiés sont
généralement constitués d'un très grand nombre de charges élémentaires. Nous serons alors conduits à
introduire des valeurs moyennes ou lissées, d'où découle le concept de charge volumique.

Charges électriques. Distributions de charges
5
II. — DISTRIBUTIONS DE CHARGES
II. 1. — États d'electrisation microscopique et macroscopique
Même dans un échantillon de matière de 1 mm3 de volume, il existe un très grand nombre de
charges élémentaires. Par exemple, dans les conditions normales de température et de pression, 1 mm3
de dioxygène contient environ 4,3 x 1017 charges élémentaires positives et autant de charges
élémentaires négatives; en effet, puisqu'une mole de gaz contient N& = 6,02 x 1023 molécules et que
l'atome d'oxygène a 8 protons et 8 électrons, le nombre cherché est, le volume molaire étant pris égal
à 22,4 L :
2x8X^22,40x1o-3-4-3x1017
Les charges positives et négatives se compensent rigoureusement au niveau atomique : par exemple,
chaque atome d'oxygène contient 8 électrons et 8 protons dans un volume de l'ordre de 10-30 m3 .
Aussi la matière apparaît-elle généralement neutre à notre échelle.
Dans une expérience d'electrisation usuelle, le nombre de charges en excès est très faible
relativement au nombre total de charges présentes. Cependant il demeure trop grand pour qu'une
description individuelle soit pertinente. Par exemple, pour porter une sphère conductrice en cuivre, de rayon
R = 1 cm, à un potentiel V = 100 V, il faut lui fournir un nombre de charges élémentaires
positives égal à :
Q = 4ve0RxV = 0,01x100 8
e e 9x 109x 1,6 x 10"19 ~
car on montre que (cf. chapitre 8) : Q = AttbqR x V . Comparons ce nombre de charges en excès au
nombre de charges N de chaque type que cette sphère métallique contient :
yv = Zx4^xA^:
3 MCu
puisque la masse volumique du cuivre est p* = 8 960 kg • m-3, qu'un atome de cuivre contient Z = 29
électrons par atome et que la masse d'une mole d'atomes est Mqu = 64 g . On a donc la double inégalité
suivante :
1 < AN < N
Dans ces conditions, il est naturel de ne s'intéresser qu'à des grandeurs moyennes (nivelées ou lissées).
Pour un volume V contenant la charge Q, la charge volumique moyenne est Q/V . Comme
cette quantité ne renseigne que partiellement sur l'état d'electrisation, on décrit mieux cet état par la
charge volumique en un point.
II. 2. — Distribution volumique de charge. Charge volumique
II. 3. — Charge volumique
Dans la plupart des cas, la charge électrique d Q contenue dans le volume élémentaire est
proportionnelle à d V . On introduit alors la charge volumique p telle que :
ÔQ = pdV
où p , que l'on exprime en C • m-3 dans SI, est une fonction de la position de l'élément d V . On
l'appelle aussi densité volumique de charge. La charge totale de la distribution est alors la somme

6
1. Charges électriques. Distributions de charges
algébrique des charges de chaque élément de volume :
Q= pdV
Jv
Notons que si la charge est répartie uniformément, la charge volumique s'identifie à la charge volumique
moyenne Q/T9 .
Exemple : Charge volumique d'un noyau d'uranium
Assimilons la charge Q d'un noyau d'uranium à celle d'une sphère uniformément chargée en
volume (Fig. 1.2a) ; la densité volumique de charge p vaut, puisque Q = 92e et R « 1 fm = 10-15 m :
Q
4tt/?3/3
35 x 10z/ C-rrr
z±
-*- lfm
a)
b)
Fie. 1.2.
a) Moment dipolaire d'une distribution volumique de charge
Le moment dipolaire, à l'origine des coordonnées, d'une distribution volumique de charge est la
quantité vectorielle suivante :
I p{r)
Jv.
ràV
Il joue un rôle important en électromagnétisme car il permet souvent de décrire le comportement, à
grande distance, d'une distribution quelconque de charge (cf. chapitre 5).
Calculons le moment dipolaire au point O, centre de la boule génératrice (Fig. 1,2b), d'une demi-
boule, de rayon R, uniformément chargée. En raison de la symétrie, ce moment dipolaire est porté par
l'axe de la demi-boule. En adoptant le système de coordonnées sphériques (cf. annexe 1), il vient :
V = Vz e. avec V2
■-/
porcosO x rd6 dr27rrsmd
Le calcul donne :
2irp{
o / r3 d r I sin 6 d(cos 6) = 2irpQ
Jo Jo
R4
4 2
TTpo-
Introduisons le barycentre K de cette distribution de charge électrique défini comme suit, à l'aide
de la charge totale Q non nulle et de V :
QOK = T> d'où OK= A^P0RL,^z
4 x 2<7rp0R3/3
3R
e7 = — e7

Charges électriques. Distributions de charges
7
II. 4. — Distribution surfacique de charge. Charge surfacique
a) Charge surfacique
Il arrive que les seuls éléments de volume contenant des charges soient situés autour d'un élément
de surface dS et que la charge qu'ils contiennent est proportionnelle h dS (Fig. 1.3a). C'est le cas
des conducteurs électriques, en équilibre, dans lesquels on constate que les charges se répartissent au
voisinage de leurs surfaces, sur une épaisseur a de quelques nm (nanomètres), très faible devant les
dimensions de la surface et devant la distance d'observation (cf. chapitre 8). Aussi définit-on une charge
surfacique <j selon :
ôQ = p d TJ = pa d S soit ôQ = ad S avec a = pa
L'unité SI de cr est C • m-2 . La charge totale Q s'obtient alors en intégrant sur la surface :
Q= fadS
Évidemment un tel modèle convient d'autant mieux que l'épaisseur de la distribution est faible
devant les autres dimensions. Dans les conducteurs, cette épaisseur est surtout définie par la diffusion :
les charges mobiles de même signe s'accumulent sur la surface par répulsion électrostatique, mais
diffusent aussi à l'intérieur du conducteur vers les régions de faible concentration en suivant la loi de Fick
(cf. Thermodynamique). On réalise actuellement des dispositifs électroniques rapides en empilant des
couches, d'épaisseur de quelques nm, contenant des charges avec une densité surfacique de ns = 1012
électrons par cm2 . La charge surfacique correspondante vaut dans ce cas :
o- = nse= 1016 x 1,6 x 10~19 = 1,6 x lO^C-m"2
Remarque : Le modèle de distribution surfacique introduit naturellement une discontinuité de la
distribution de charge à la traversée de la surface et par conséquent une discontinuité de
certaines propriétés électriques ; on évitera les problèmes éventuels soulevés par cette
modélisation en revenant à une distribution volumique de charge plus réaliste.
t
a)
Fig. 1.3
b) Moment dipolaire d'une distribution surfacique de charge
Le moment dipolaire, à l'origine des coordonnées, d'une distribution surfacique de charge est le
vecteur :
V= a(r)rdS
Calculons le moment dipolaire d'une demi-sphère, de rayon R, chargée uniformément avec une charge
surfacique aQ , au centre O de la sphère génératrice (Fig. 1.3b). En raison de la symétrie, le moment

8
1. Charges électriques. Distributions de charges
dipolaire est porte par l'axe de révolution Oz de la demi-sphère :
V = Vzez avec Vz = / z(t0 d S = / a0Rcos6 x 2tt x Rsm6 x Rd6 = tta0R3
Js Jo
On peut en déduire la position du bary centre K de cette distribution de charge, à l'aide de la charge
totale Q = 77 o-o R3 et de V :
ôOK = 7> d'où OK=|^ez = fez
II. 5. — Distribution linéique de charge. Charge linéique
a) Charge linéique
Dans certains cas, les charges se répartissent dans le voisinage d'un fil C de section s sur des
distances très faibles devant sa longueur et devant la distance d'observation. Comme précédemment,
les seuls éléments de volume contenant des charges sont ceux qui sont situés autour d'un élément de
courbe d/. Lorsque la charge qu'ils contiennent est proportionnelle à d/ (Fig. 1.4a), on définit une
charge linéique À selon :
ôQ = p d V = ps d / soit ôQ = À d / avec À — ps
L'unité SI de À est C m-1 . La charge totale Q s'obtient alors en intégrant sur le fil C :
Q= /Ad/
Un fil conducteur de section s très faible constitue une bonne réalisation d'une distribution
linéique. Certains composés organiques, tels que les polymères, s'ordonnent en chaînes ; en fixant sur ces
chaînes des ions métalliques, on réalise une telle distribution.
cjy^
— Xq + Aq
' + + + +• -F)
a) b)
Fig. 1.4.
b) Moment dipolaire d'une distribution de charge linéique
Le moment dipolaire, à l'origine des coordonnées, d'une distribution de charge linéique est le
vecteur :
-/*,.
V= À(r)r dZ
Dans le cas d'une distribution de charge sur un segment NP, de longueur /, centré en O, de charge
négative — Àq sur la partie NO et de charge positive Àq sur la partie OP (Fig. 1.4b), on trouve :
,o ,//2 z:
V = Vxex avec Px = (-À0)xdx+ / (A0)xdx = A0-
J-l/2 JO ^
1/2 JO

Charges électriques. Distributions de charges
9
II. 6. — Charge ponctuelle
a) Modèle de la charge ponctuelle
Lorsque la répartition réelle de charge occupe, au voisinage d'un point P, un volume V très
faible devant les distances d'observation, la distribution est assimilée à une charge ponctuelle en P. La
charge ponctuelle représente bien les charges élémentaires,fondamentales dans tous les problèmes où
les distances caractéristiques sont supérieures au picomètre ( 1 pm = 10-12 m ). Elle est donc adaptée
pour décrire les particules chargées fondamentales, électrons, protons dans les atomes, etc. À une échelle
encore plus petite, de l'ordre d'une fraction de fermi, le proton n'apparaît plus comme ponctuel.
Exemple
Lorsque la représentation d'une charge par un point géométrique est insuffisante, on l'abandonne
pour une distribution volumique de charge ; c'est par exemple le cas d'un noyau atomique : en première
approximation, on le considère comme une charge ponctuelle de valeur Ze, Z étant le nombre de
protons ; en seconde approximation, on le représente par une distribution volumique sphérique uniforme
de charge (Fig. 1.5) :
p(r) = po pour r < R et 0 ailleurs
r étant la distance du point considéré au centre de la distribution et R une longueur caractéristique. On
calcule aisément la charge volumique po en imposant à la charge totale d'être égale à Ze . On a donc :
Ze= f p(r) dV=p0 [ d V = PoV
Jv Jv
4ttR3
Po
d'où
Po
3Ze
AttR?
pWI
Po
R
Fig. 1.5.
C(-q)
D(+q)
Frc. 1.6.
b) Charge ponctuelle en physique quantique
En physique quantique, on définit la probabilité dP d'observer une charge ponctuelle q dans un
élément de volume d V , autour d'un point M , par :
d/> = <A(M)<A*(M) dV
où \\f est l'amplitude complexe de l'onde associée à la particule ; cette fonction est solution de
l'équation de Schrodinger (cf. Physique quantique). La charge attribuée à d T) et la charge volumique
correspondante p sont alors respectivement :
dQ = qdP = qi//(M)il/*(M) dV et p = qijj{M)^{M)

10
1. Charges électriques. Distributions de charges
c) Moment dipolaire d'un système de charges ponctuelles
Le moment dipolaire en un point O d'un système de N charges, situées aux points A,, est le
vecteur :
i
qi étant la charge placée en A,. Dans le cas d'un système de quatre charges {q, —q, —q, q} placées
respectivement aux sommets A, #, C, D d'un carré de côté a (Fig. 1.6), ce moment au centre s'écrit :
p = ^(OA - OB - OC + OD) = 2qBA
CONCLUSION
Enumérons les principaux résultats.
(1) Les lois qualitatives de l'électrisation s'interprètent à l'aide du concept de charge électrique
élémentaire dont l'existence est prouvée par de nombreuses expériences.
(2) La charge est une grandeur extensive, conservative, invariante par changement de référentiel et
quantifiée :
&Q = Qr et e^ 1,602 x 1(T19 C
est la charge élémentaire.
(3) En physique macroscopique où interviennent un très grand nombre de charges élémentaires,
assimilées à des charges ponctuelles, il est nécessaire d'introduire des grandeurs nivelées et de définir
des charges volumique p , surfacique u et linéique À , telles que :
Q= f pdV Q=[adS et Q=[xdl
Jv Js Je
EXERCICES ET PROBLÈMES
PI- 1. Distribution isotrope de charge
1. La densité volumique de charge électrique p dans une sphère de rayon R a pour expression :
( rl\
p = po I 1 — —2 ) si r < R et p = 0 si r > R
r désignant la distance du point considéré au centre O de la sphère, et po la densité en O . Calculer
la charge totale de la sphère q . En déduire la charge volumique moyenne pw .
2. A.N: R= 1,2 x l(r15m, q= 1,6 x 10"19 C. Calculer p0 et pm .

Charges électriques. Distributions de charges
11
PI- 2. Charge volumique électronique dans l'atome d'hydrogène
La charge volumique électronique dans l'atome d'hydrogène peut être représentée par
l'expression :
p(r) = Cexp (--^
où «o = 52,9 pm est le rayon de Bohr et r la distance du point considéré au centre de l'atome.
Calculer la constante C afin que la charge volumique p caractérise bien la distribution de charge — e
d'un électron.
PI- 3. Charge surfacique d'une couche sphérique
L'expression de la densité volumique de charge p d'une couche sphérique chargée d'épaisseur a
est :
p(r) = po si R — a/2 < r < /? + a/2 et p(r) = 0 sinon
R étant le rayon de la sphère et a l'épaisseur de la couche.
1. Exprimer la charge totale Q de la sphère en fonction de go — 47rR2apo et du rapport a/R .
2. Dans quelles conditions peut-on considérer cette distribution de charge comme une distribution
surfacique ? Trouver alors la densité surfacique u ?
PI- 4. Distribution surfacique moyenne radiale de profil parabolique
Un disque, de centre O et de rayon R, est chargé électriquement avec une charge surfacique
d'expression :
r2^
(Jo étant une constante et r la distance qui sépare le point considéré de O . Quelle, est en fonction de
<jq et R, la charge électrique portée par le disque ? En déduire la charge surfacique moyenne um .
PI- 5. Distribution volumique radiale de profil parabolique Cyveb}
1. Une boule, de rayon R, est chargée en volume avec une charge volumique d'expression :
r2
po étant une constante. Calculer la charge portée par la boule et la charge volumique moyenne pm .
2. A.N: R= 1,2 x 10~15 m,q = 1,6 x 10~19 C. Calculer p0 et pm .
PI- 6. Sphère de distribution surfacique en cos 6
Une sphère de rayon R est chargée électriquement avec une charge surfacique o-q cos 6 , 6 étant
l'angle que fait un rayon avec l'axe polaire de la sphère.
1. Calculer la charge de la calotte sphérique 0 ^ 6 ^ a .
2. En déduire la charge surfacique moyenne d'une calotte demi-sphérique.
3. A.N : R = 5 mm, a0 = 0,26 C • m'2 .

12
1. Charges électriques. Distributions de charges
PI- 7. Charge volumique d'un noyau
Un modèle simple du noyau atomique consiste à admettre que les Z protons et les A nucléons
qui le composent sont uniformément répartis en volume. Montrer que le rayon du noyau s'écrit :
R = RqA1/3 . Quelle est sa charge volumique p ? Calculer sa valeur dans le cas du carbone sachant
que R0 = 1,2 F.
PI- 8. Distribution linéique de charge QoQ)
Un segment porte une charge non uniforme dont la charge linéique varie spatialement selon :
À = Ào[l — cos(7rx/à)] pour — - ^ x ^ -
Ailleurs, le fil n'est pas chargé. Calculer la charge portée par le fil et sa charge linéique moyenne Àm .
PI- 9. Barycentre d'une distribution linéique de charge ^î^
Une distribution linéique uniforme de charge est répartie selon un arc de cercle d'angle 2a .
Trouver la position du barycentre des charges. Cas d'un demi-cercle.
PI- 10. Réalisation d'une distribution surfacique en cos 0 Cyveb)
1. On considère la superposition de deux distributions de charge caractérisées par des charges vo-
lumiques uniformes, de valeurs respectives po et — po . Ces charges sont réparties dans deux boules de
rayon R dont les centres sont distants de a <^R .
Montrer que cette distribution est équivalente à une distribution surfacique dont on calculera la
densité o-0 en fonction de po, a et 6 = (eZîer) (Fig. 1.7).
2. A.N : a = 0,28 nm, <jq = 0,26 C • m-2 . Calculer la charge volumique po .
Fig. 1.7.
PI- 11. Modèle de charge ponctuelle
On représente la charge élémentaire e par la charge volumique suivante :
p(r) = £ exp (-|)
où a est une longueur caractéristique, C une constante et r la distance du point considéré au centre
de la distribution.
1. Calculer la constante C .
2. Quelle est la charge contenue dans la sphère de centre l'origine et de rayon R = 3a ?
Commenter.

2
Loi de Coulomb. Champ électrostatique
Théorème de Gauss
L'interaction électrostatique obéit à des lois quantitatives simples qui ont été interprétées par
Coulomb en 1785. Il est remarquable que les lois énoncées par Coulomb soient confirmées par les
expériences les plus récentes dans un domaine très vaste qui s'étend de l'atome à l'Univers.
L'interaction coulombienne entre deux charges ponctuelles, de même forme que l'interaction
gravitationnelle, est souvent admise comme modèle pour d'autres types d'interactions, pourtant de nature
différente. Historiquement, l'analogie entre l'électrostatique et la gravitation (cf. Mécanique) a été un
guide puissant dans la tentative d'étendre un mode de raisonnement à toutes les forces fondamentales
introduites en physique.
Dans tout ce qui suit, les grandeurs introduites sont exprimées dans le référentiel du laboratoire
supposé galiléen.
I. _ LOI DE COULOMB
Expérimentalement, on constate que les actions entre charges ponctuelles immobiles obéissent aux
lois suivantes entre charges électriques ponctuelles.
1.1. — Additivité vectorielle des actions électriques entre charges ponctuelles
Si FA^C représente la force exercée par une charge A sur une charge C et FB^C la force
qu'exerce une charge B sur la même charge C, alors FA_^C + ^b^c est la force résultant de l'action
simultanée des charges A et B sur C.
Cette constatation expérimentale simplifie notablement l'étude des systèmes qui y satisfont. Elle
permet d'énoncer que, dans un système de charges, l'interaction entre deux charges ponctuelles
quelconques est indépendante de la présence des autres charges. Tout le problème des interactions
électrostatiques se trouve donc ramené à celui de deux charges ponctuelles.
1.2. — Opposition des actions réciproques
Les forces électrostatiques qu'exercent entre elles deux charges ponctuelles A et B sont opposées :
^A-^B = —^B-^A

14
2. Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
1.3. — Enoncé de la loi de Coulomb
La loi d'interaction de Coulomb entre deux particules distinctes, établie en 1785, comporte deux
aspects distincts.
i) La norme de la force F^^^ qu'exerce la charge ponctuelle A sur la charge ponctuelle B est
inversement proportionnelle au carré de la distance AB qui sépare les charges :
*b = HFa-^sII =
AB2
où g(A, B) est un coefficient qui dépend des charges en présence mais non de leur position relative.
ii) La direction de F^^^ est celle de AB . On peut donc écrire, er étant le vecteur unitaire
AB/AB :
La force Fa-^b présente le même caractère de symétrie que la répartition géométrique des charges,
laquelle privilégie la direction AB ; g (A, B) est donc une grandeur scalaire.
Coulomb a établi cette loi en extrapolant les résultats d'expériences réalisées avec des épingles à
grosse tête, chargées et plantées dans des bâtonnets en cire d'Espagne. Il mesurait les forces avec un
dispositif qu'il avait lui-même construit, la balance de Coulomb (Fig. 2.1). Cette mesure consistait à
compenser, à l'aide du couple de torsion exercé par un fil d'argent, l'action exercée par une charge A ,
placée à l'extrémité d'une tige verticale, sur la charge B, située à l'extrémité d'une tige horizontale et
rigidement liée au fil vertical. Notons que l'auteur avait auparavant établi la loi donnant le couple de
torsion d'un fil en fonction de ses caractéristiques (matériau constitutif, longueur, diamètre).
Fil de torsion
en argent
Fig. 2.1.
1.4. — Caractérisation de Pélectrisation par une charge
Considérons une première charge électrique q située en A exerçant, sur une charge d'épreuve
située en B , la force FA^B = g(A, B)AB/AB3 . Remplaçons en A la charge q par une autre charge q'.
La force subie par la charge d'épreuve, toujours située en B , est :
_g'(A,B) _ AB
F^B--^-^-g(A,B)-^
L'expérience montre que le rapport F'A^B/FA^B = g'(A,B)/g(A,B) ne dépend pas de la position de
la charge B. Ce rapport permet donc de comparer les deux états d'électrisation successifs en A : on dit
que l'électrisation est due à des charges égales si sa valeur est 1. On pose alors :
f'a-^b
d'où
^A^B _ ^A-+B
Fa^b q q q'
La comparaison des forces permet ainsi, après le choix d'une charge prise comme unité, de mesurer des
charges électriques.

Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
15
L'unité SI de charge est une unité dérivée : le coulomb (C). Rappelons la valeur de la charge
élémentaire: e = 1,602 177 33 x 10~19 C « 1,6 x 10~19C.
1.5. — Expression de la force de Coulomb
Compte tenu de ce qui précède, on écrit la force de Coulomb entre deux charges ponctuelles
immobiles dans le vide, sous la forme :
Atteç) ABl AB 4tt€o
La quantité €q est appelée la permittivité électrique du vide. Quant au facteur Air, il a été introduit
pour des raisons de commodité.
Exemple : Forces dans un atome d'hydrogène
Dans le modèle planétaire de l'atome d'hydrogène, un électron (charge — e) décrit une orbite
circulaire de rayon a$ — 52,9 pm autour d'un proton ponctuel de charge e . La force électrostatique
entre ces particules vaut :
F "4^ÂB2"- (52,9xl0-'2)2 82x10 N
Cette force est gigantesque comparée à la force d'interaction gravitationnelle de norme :
Fgrav r'»AmB 6,67 xlQ-"x 1846 x (0,9 x UT30)2 n_48 M
F =G^^ = (52,9 xlO-'2)2 35X1° N
Elle est également très grande par rapport au poids terrestre de chacune des particules :
mpg « 16,7 x 10~27 N et meg ^ 9 x 10~30 N
puisque -g « 10 m • s-2 . On néglige donc l'interaction gravitationnelle entre particules chargées ainsi
que leurs poids devant l'interaction électrostatique.
Remarque : (1) Bien que très faible par rapport à l'interaction électrostatique, c'est la force de
gravitation qui régit l'équilibre de l'Univers à grande échelle, en raison de la compensation des
forces électrostatiques entre charges positives et négatives.
(2) Dans ses mémoires à l'Académie, Coulomb ne fit pas allusion à la force de gravitation
universelle. Il est cependant difficile de penser que la loi découverte par Newton n'ait pas
influencé ses recherches.
II. — CHAMP ELECTROSTATIQUE
II. 1. — Champ créé par une charge ponctuelle
Considérons en un point M une charge q en interaction coulombienne avec une charge q\ située
au point Pt. On a, en vertu de la loi de Coulomb :
Fp,.^m 1 qi 1 q\ P/M P/M
= r- ez = z- puisque e, =

16
2. Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
Ce rapport ne dépend que de la charge qi, en Pi, et de la position de M . C'est une fonction, à valeur
vectorielle, appelée champ électrostatique créé en M par la charge q,- située en P; :
E/(M)
1
P/M
4tt€0 PiM2 PjM
L'unité SI de champ électrostatique est le volt par mètre (V • m-1 ).
Remarques : (1) Le champ électrostatique peut être mesuré en un point quelconque : il suffit de mesurer
la force sur une charge test. Cela n'implique pas une connaissance précise des sources
pourvu que la charge test ne les perturbe pas. Le champ apparaît donc comme une grandeur
physique locale permettant d'analyser l'interaction à distance entre particules chargées.
(2) Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle n'est pas défini en son point
source, car \/PM2 tend vers l'infini. Cette difficulté doit être attribuée à la limite de
validité du concept de charge ponctuelle qu'il faut reconsidérer lorsqu'on veut étudier les
interactions à très faible distance.
II. 2. — Champ créé par un ensemble de charges ponctuelles
L'additivité vectorielle des forces électrostatiques permet d'écrire, dans le cas d'une charge q
placée en M et soumise à l'action d'un ensemble de N charges distinctes {qf} situées aux points {Pi}
(Fig. 2.2a) :
d'où :
F(M)
1 A PiM
1
r-r,
4tt€o^ f-^PiM3 4tt€0 * f-f||r-r;|
l—] 7=1
El — 1/
F(M)
_ A^n 2^/
PiM
E(M) = ^ = ^^'W = 5>(M)
r5yv
a)
O
M
/ r
FIG. 2.2.
fi
b)
II. 3. — Champ créé par une distribution quelconque de charge
Considérons une répartition volumique de charge caractérisée par sa densité volumique p dans un
volume V fini (Fig. 2.2b). En un point M suffisamment éloigné de tout point P de la distribution, un
élément de volume d V , entourant P, apparaît comme une charge ponctuelle d Q = p(P) d V créant
le champ élémentaire :
1 p(P) d V PM
4tt€0 PM2 ~PM
dE(M)

Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
17
Le champ résultant en M s'écrit donc :
1 f PM
v ; 4tt€0 Jv PM3 HK )
l'intégration portant sur les variables qui caractérisent le point P. Si l'on désigne par r et r' les
vecteurs OM et OP respectivement, il vient, en explicitant :
E(r)
1
47T€o
f r-r'
p(r') dV
De la même façon, dans le cas des distributions surfaciques ou linéiques de charge de densités
respectives a et À , on obtient les expressions suivantes :
E(r) = -J- [ ur~r'.3a(rf)dS et E(r) = -^- / * ~ ** A(r') d/
47T€0JS ||r-r'||3 47reoJc\\r-r'\\3
Remarque : Le problème de la définition du champ aux faibles distances, déjà évoqué, se pose aussi
dans les distributions de charge lorsque l'on veut calculer le champ en un point intérieur de
la distribution. On peut montrer que la formule donnant le champ créé par une distribution
volumique reste applicable pour un point intérieur de la distribution volumique si p est
borné, c'est-à-dire si \p(P)\ < pmax • En revanche, le champ est discontinu au voisinage
d'une distribution surfacique et n'est pas défini sur une distribution linéique ou ponctuelle,
ce que l'on doit évidemment attribuer à la modélisation.
II. 4. — Lignes de champ
Les lignes de champ de E sont les courbes orientées telles que leur tangente, en chaque point, ait
même direction et même sens que le champ électrostatique.
Ainsi les lignes de champ produit par une charge ponctuelle placée au point P sont des droites
passant P (Fig. 2.3a).
P
C'V E
a)
n ex,2
Fig. 2.3.
En un point où se coupent deux lignes de champ, E est soit nul soit indéfini. En effet, en ce
point, le champ doit être tangent à deux lignes différentes (Fig. 2.3b) ; s'il n'est pas nul, il n'a pas de
valeur définie. C'est le cas pour une charge ponctuelle positive (respectivement négative) d'où divergent
(respectivement convergent) toutes les lignes de champ.
Comme les lignes de champ sont caractéristiques de E, la visualisation de quelques lignes permet
de connaître la topographie de E , c'est-à-dire sa répartition spatiale.
Un faisceau de lignes de champ s'appuyant sur un contour donné forme un tube de champ ; à la
surface d'un tel tube, les lignes de champ lui sont tangentes (Fig. 2.3c).

18
2. Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
Pour établir l'équation d'une ligne de champ, il suffit d'exprimer qu'un élément dl de la ligne est
parallèle à E , soit :
dlxE = 0
En explicitant cette équation dans une base, on obtient un système d'équations différentielles dont
l'intégration donne l'équation des lignes de champ.
Retrouvons, à titre d'exemple, l'équation des lignes du champ créé par une charge ponctuelle placée
à l'origine O . On a, dans le système des coordonnées sphériques adapté à cette symétrie (Fig. 2.4) :
dr
rù6
rs'me dç
d'où :
sin e
d <p = 0 soit <p = Cte
g
47T€o
= Cte
1/r2
o = g
47T€o
0
de
et —
0
sin e d cp/r
-de/r
= 0 soit e =
= Cte
r r
On obtient bien des droites formant un faisceau de sommet O (Fig. 2.3a).
i
o
<f
,z
M
S
vr
)
er/
/
c*v
\
V
y
Fig. 2.4.
II. 5. — Champ créé par un plan uniformément chargé
Un plan chargé, avec la densité uniforme cr , produit au point M(r) le champ électrique
d'expression :
«"-js;/-
r/||3
dS
l'extrémité de r' décrivant le plan chargé Oxy (Fig. 2.5a). Un raisonnement basé sur la symétrie de la
distribution, qui sera analysé en détail ultérieurement (cf. chapitre 4), montre que E n'a qu'une
composante suivant Oz, laquelle ne dépend ni de x ni de y . Pour calculer aisément l'intégrale précédente,
choisissons l'origine O , sur la projection dans le plan du point M fixé ; en situant le point P par ses
coordonnées polaires (r', 6'), on obtient (cf. annexe 1) :
oo p2tt
pOO p.
(r/2 + z2)3/2
r' à r' d 6
<rz
l
2eo h (r'2 + z2)3/2
âr1
Posant u = (r'2 + z2), il vient : d u = 2r' d r' et
F m - El r du
tz(Z)~2e0L 2«3/2-
(TZ
2e0
1
M'/2
OO
72
crz 1
" 2e0 v^ "
cr z
2e0 \z\
cr
~ 2e0
sgn(z)

Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
19
Finalement, le champ E a pour expression :
E
2eç
sgn(z) ez
..a
2so ■«
Ez
O
a
2eo
a)
b)
FIG. 2.5.
La figure 2.5b donne le graphe Ez(z) . Notons sur cet exemple de distribution surfacique que le
champ varie brutalement, à la traversée du plan chargé.
III. — THEOREME DE GAUSS
Le théorème de Gauss traduit l'une des deux propriétés du champ électrostatique, celle liée à la
loi de force en 1/r2 , qu'il est commode d'exprimer à l'aide du concept de flux d'un vecteur à travers
une surface. La seconde propriété doit être rapprochée du caractère conservatif de la force de Coulomb
(cf. chapitre 3).
III. 1. — Flux du champ électrostatique
Avant de donner la définition du flux d'un vecteur à travers une surface, il convient d'orienter cette
surface.
a) Orientation d'une surface
Pour orienter une surface S , on trace, autour d'un point P de S , un contour fermé C sans point
double. On choisit alors arbitrairement un sens de parcours sur C. Le sens de la normale positive
n à S en P s'obtient par la règle de Maxwell (ou d'Ampère), appelée aussi règle du tire-bouchon
(cf. annexe 2). La figure 2.6a explicite une telle orientation. Dans le cas d'une surface fermée (Fig. 2.6b),
où il n'y a pas d'ambiguïté, il est d'usage d'orienter la normale de l'intérieur vers l'extérieur.
«S., '
/
d«S
b)
FiG. 2.6.

20
2. Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
b) Flux d'un champ de vecteurs à travers une surface
On appelle flux W du champ E, à travers une surface orientée S, la quantité (algébrique)
suivante :
^F= JE-ndS
L'unité SI (V-m) n'a pas reçu de nom, probablement parce qu'en électrostatique le flux de E n'est
qu'un intermédiaire de calcul sans intérêt majeur.
Comme tout système de charges peut être considéré comme un ensemble de charges ponctuelles,
exprimons le flux du champ électrostatique produit par une charge ponctuelle q, placée à l'origine O
des coordonnées. On a :
a f G a f y
M* = / ~ • n d$ soit aussi ^ = H en posant H = / --nd«S
4tt€0 Js rl 4tt€o Js >*3
Ainsi, le flux du champ électrique créé par une charge électrique, à travers une surface S , est
directement relié à la quantité sans dimension H , appelée angle solide, sous lequel on voit la surface depuis
le point où est placée la charge (cf. annexe 2).
La figure 2.7. permet de préciser la signification géométrique de H : elle représente un cône
élémentaire dont le sommet est le point où se trouve la charge q . D'après ce qui précède, l'angle solide
élémentaire s'écrit :
f~ r n f „ dScosO d2
dil = —— d£= 5 = —r-
d 2 étant la surface élémentaire découpée par le cône sur une sphère de centre O et de rayon r.
FlG. 2.7.
c) Angle solide sous lequel est vue une surface fermée
Considérons le cône élémentaire issu du point P découpant, sur une surface fermée S, deux
surfaces élémentaires orientées nj d<Si et n2 de>2 , conformément à l'orientation d'une surface fermée.
Deux cas se présentent suivant que P est à l'extérieur ou à l'intérieur de la surface fermée.
i) P est à l'extérieur de <S
Les angles solides définis par les surfaces n, d<Si = — ni dS] et n2 d^ sont égaux puisque
relatifs au même cône (Fig. 2.8a). Par conséquent dCt\ = — dlli et dlli + dH2 = 0. Il en est de
même pour tous les cônes élémentaires. Il en résulte que l'angle solide défini par une surface fermée ne
contenant pas le point P est nul.
a)
Fig. 2.8.

Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
21
ii) P est à l'intérieur de S
Lorsque P est à l'intérieur de S , les deux angles solides définis par un même faisceau
élémentaire de droites passant par P sont égaux. On calcule la valeur de l'angle solide total en remplaçant
localement les éléments de surface quelconques par des éléments de surface d 2 sphériques. On
obtient, en explicitant à l'aide des coordonnées sphériques :
H = (f) — = é sin 6 d6 dq> puisque dX = r s'mO dç> x r d6
Il en résulte en intégrant :
p7T PL7T
(1= ûn6 d6 I d<p= (-cos#)q x 2tt = 4tt
Jo Jo
Retenons donc :
H = 0 si P est extérieur à S et H = Ait si P est intérieur à S.-
Le cas où P est sur S peut se ramener à l'un des précédents en affinant la modélisation.
III. 2. — Énoncé du théorème de Gauss
Exprimons le flux du champ électrostatique E , produit par une distribution discrète de charge, à
travers une surface fermée S . D'après ce qui précède, on a, en sommant les contributions des différentes
charges ponctuelles :
avec flz =0 si la charge Pi est à l'extérieur de S et fl, = Ait si elle est à l'intérieur. On en déduit :
y = — x4<IrY<H = — soit ^E.nd5 = ^
47760 h? £° ^ "E°
Qi„ étant la somme des charges intérieures à la surface S . D'où l'énoncé du théorème de C. Gauss :
Le flux du champ électrostatique créé par une distribution de charge, à travers une surface fermée
quelconque, est proportionnel à la charge totale intérieure à cette surface.
Ce résultat est aisément étendu aux distributions volumiques de charge ; la charge intérieure totale
est alors :
Qin = pdV
JTJ
Ce théorème est fondamental, tant par ses conséquences directes que par la simplification qu'il apporte
au calcul des champs lorsque ces derniers présentent des symétries (cf. chapitre 4). Il est caractéristique
d'une loi d'interaction en 1/r2 , c'est dire que les vérifications de ses conséquences sont aussi des
vérifications de la loi de Coulomb. Certaines de ces vérifications atteignent actuellement une précision
relative de 10-10 alors qu'initialement la loi de Coulomb n'avait été établie expérimentalement qu'à
quelques pour cent près !
Notons qu'en Y absence de charge électrique intérieure, le flux du champ E est nul. Par exemple,
si la surface fermée, construite à partir d'un tube de champ de faible section (Fig. 2.3c), ne contient pas
de charge, le champ est plus intense sur la surface de base la plus faible ; en effet, on a, en désignant par
ASi et A^2 les surfaces de base et par Si la surface latérale :
■*• = 0 = ^i + *2 + ■*/ = -EiASi + E2AS2 puisque ■*/ = / E • n dS = 0
■*•/ = /En
JSi

22
2. Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
III. 3. — Forme locale du théorème de Gauss. Divergence
a) Forme locale du théorème de Gauss
Considérons une surface fermée S qui délimite un volume V contenant une distribution de charge
de densité p. Traçons sur <S un contour fermé C qui sépare S en deux surfaces ouvertes S[ et «S^
et désignons par S\2 une surface qui s'appuie sur C et partage V en deux volumes V\ et V2
(Fig. 2.9) :
i) TJ] est délimité par S\ réunion de S[ et «Si2(—),
iï) V2 est délimité par S2 réunion de «S^ et <Si2(+),
où «Si2(t) indique que «Si2 est orientée différemment suivant qu'elle participe à S\ ou £2 ; on
préserve ainsi l'orientation vers l'extérieur de la normale à une surface fermée. On a alors, avec des
notations explicites :
^s,+^s2=^s d'où ^1 + ^=2
£0 £0 £0
FIG. 2.9.
En recommençant plusieurs fois le processus de séparation d'une surface en deux, on construit des
surfaces fermées de plus en plus petites qui englobent des volumes de plus en plus petits. Pour un tel
volume élémentaire d V , délimité par une surface élémentaire d<S , on a :
On appelle divergence du champ de vecteurs E la limite suivante lorsque d<S et d V tendent vers 0
(cf. annexe 2) :
div E = hm ——
d a
Dans le cas d'une distribution volumique de densité p , on en déduit que, pour un volume élémentaire
dV :
divEdtV = d¥ = — = ^A^. d'0Ù divE=-^
Cette équation entre le champ vectoriel E et le champ scalaire p en tout point de l'espace
constitue l'expression locale du théorème de Gauss. Cette définition intrinsèque de la divergence donne
immédiatement la relation connue sous le nom de formule d'Ostrogradsky :
/ divEdt? = é EndS
Jv Js
dans laquelle n désigne la normale extérieure en tout point de la surface fermée S .

Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
23
b) Expression de la divergence de E en coordonnées cartésiennes
Soit un champ de vecteur E, de composantes Ex, Ey, Ez dans une base cartésienne. Le flux
de ce champ à travers une surface entourant un volume élémentaire dV = dx dy dz, construit au
point M(x,y,z), se met sous la forme (Fig. 2.10) :
d'V=Ex(x + dx,y,z) dy dz - Ex(x,y,z) dy dz
+ Ey(x,y + dy,z) dz dx — Ey(x,y,z) dz dx
+ Ez(x,y,z + dz) dx dy — Ez(x,y,z) dx dy
ce qui s'écrit aussi
dEx
dW
&Ey , , , &Ez , , , (dEx 0Ey dEz
-- dxdydz+^r1 dxdydz+^r1 dx dy dz = [-^ + -^ + —-
ox oy oz V vx oy oz
dV
Il en résulte que la divergence d'un champ de vecteur a pour expression en coordonnées cartésiennes :
,. ^ &EX dEy dE'
divE=—^+-^ + —^
ox oy oz
O
dy
Vm/dx
dz
FIG. 2.10.
III. 4. — Exemple : sphère uniformément chargée en surface
Le champ E produit, en tout point de l'espace, par une sphère, de rayon R, décentre O et chargée
uniformément en surface avec la densité cr , est radial en raison de la symétrie (cf. chapitre 4). En outre,
sa seule composante Er, dans le système de coordonnées sphériques, ne dépend que de r. Calculons
le flux de E à travers une sphère quelconque de rayon r et de centre O (Fig. 2.1 la). Il vient :
\\r
é E • n dS = Er(r) dS = Er{r) x S = 4<7rr2Er(r)
Js Js
d'où, d'après le théorème de Gauss :
pour r <R 4<7rr2E(r) = Qin = 0 et E(r) = 0
pour r > R
On a donc, dans ce dernier cas :
47rr2E(r) = et E(r)
cr
R2
£o
€0 r*
E(r)
crR2
e0r2
Q
47T€or:
er

24
2. Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
Le champ à l'extérieur de la sphère est donc le même que celui créé par une charge ponctuelle
Q = AttR^c placée à l'origine des coordonnées. La figure 2.1 lb représente le graphe Er(r). On peut
noter que E est une fonction discontinue de r, ce qui résulte, comme nous allons le voir de la
présence d'une distribution de charge superficielle.
kEr
1 Q
47T60 R2
a)
R
b)
FIG. 2.11.
III. 5. — Discontinuité de la composante normale du champ à la traversée d'une couche chargée
Considérons une surface S chargée avec une densité surfacique a. Traçons sur S une courbe
fermée C et construisons le volume cylindrique, de base C , engendré par les normales à S et limité
par deux surfaces élémentaires voisines d«Si et d<S2 de part et d'autre de S (Fig. 2.12). La hauteur e
du cylindre est négligeable devant les dimensions latérales de la base C .
n2dc>2
ni dS
Fig. 2.12.
Appliquons le théorème de Gauss sur la surface entourant le volume cylindrique. Il vient, en
désignant par ni2 la normale à la surface orientée de «Si vers S2 et en négligeant le flux à travers la surface
latérale :
^ = E2-n,2 d«S-E, -n,2 d«S= d'où n12 •■ (E2--Ej) = —
en simplifiant par d<S . Cette relation montre qu'à la traversée d'une distribution superficielle de charge,
la composante normale du champ électrique est discontinue.
CONCLUSION
Retenons les points essentiels de ce chapitre.
(1) La loi de Coulomb entre deux charges A et B distantes de r a pour expression :
^ 1 ÇaÇb AB
Ta-^b = 2~ er avec er = —
4tt€o r2 AB

Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
25
(2) Le champ électrostatique, créé par une charge ponctuelle q , placée à l'origine, en un point M,
de vecteur position r, a pour expression :
^/ x 1 Q Q r
E(r) = -4^ = —— -r
Attsç) r2 47T€o r3
Celui créé par une distribution volumique quelconque de charge s'écrit :
1 f PM 1 f r - r'
E(r) - —L_ / ^p(P) d ?? = —!— / „ „„ p(r') d V
K } 47T60 iv PM^K } 47T60 Jv \\v - r'|P ^K }
où y' représente le point courant de la distribution. On en déduit les cas limites de distributions surfa-
cique et linéique :
(3) La décroissance en 1 /r2 du champ électrostatique E, créé par une charge ponctuelle, est à
l'origine des formes globale et locale du théorème de Gauss, respectivement :
(£ EndS=— et divE= —
Cette propriété appliquée à la traversée d'une distribution superficielle donne la relation suivante :
n,2-(E2-E,)
£o
Ces résultats, caractéristiques de la forme de la loi de Coulomb en 1/r2 , rappellent ceux connus en
gravitation (cf. Mécanique).
EXERCICES ET PROBLEMES
P2- 1. Expérience de Coulomb
Dans la balance utilisée par Coulomb décrite figure 2.1, la constante de torsion du fil de suspension
était C = 2,6 x 10~8 x 10-12 N ■ m • rad-1 et la distance OB = d = 10, 83 cm. Les deux boules
déchargées étaient en contact à la position d'équilibre. Une fois les boules chargées, un nouvel équilibre
s'établissait pour un écart angulaire a = tt/5 . Calculer la charge de chaque boule en supposant les
deux charges égales.
P2- 2. Balance de torsion de Coulomb
Une balance de Coulomb est constituée d'une tige horizontale isolante dont une extrémité B,
située à la distance R de son centre O, porte la charge électrique qs , de masse m , l'autre une masse
identique électriquement neutre. Cette tige, de moment d'inertie / par rapport à un axe perpendiculaire
passant par O , est soumise à un couple de rappel — C6 .

26
2. Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
1. Trouver l'expression de la période d'oscillation 7b de ce pendule.
2. On soumet le pendule, initialement à l'équilibre, à l'action d'une charge électrique A , de valeur
qA , placée à une distance Dde O. Trouver la nouvelle période des petites oscillations du pendule, T^ ,
sachant que R est très petit devant D .
P2- 3. Champ électrostatique produit par deux charges ponctuelles
Quelle est, en tout point, l'expression du champ électrostatique créé par deux charges ponctuelles
identiques, situées respectivement aux points de coordonnées cartésiennes (0,0, a) et (0,0, —a) ?
Expliciter la composante Ez du champ en fonction de z dans les deux cas suivants : \z\ > a
et \z\ < a .
P2- 4. Champ électrostatique créé par un cercle chargé
On considère une distribution linéique de charge, de densité À , uniforme sur le cercle d'équations
cartésiennes x2 + y2 = R2 , z = 0 . Calculer le champ électrostatique créé en un point M de l'axe Oz,
de coordonnée z •
P2- 5. Champ électrostatique créé par une demi-sphère chargée QoQ)
On considère une distribution surfacique de charge uniforme u sur une demi-sphère. Calculer le
champ électrostatique à l'origine O . A.N : o-0 = 10-6 C • m-2
P2- 6. Champ électrostatique créé par une ligne infinie
1. Calculer directement le champ électrostatique E créé, en un point M, à la distance R, par une
distribution linéique de charge, de densité À , répartie uniformément sur une ligne infinie.
2. Retrouver ce résultat en appliquant le théorème de Gauss.
P2- 7. Champ électrostatique créé par une distribution sphérique uniforme de charge
Quel est le champ électrostatique radial produit, en tout point de l'espace, par une distribution
sphérique uniforme de charge, de densité p0 » à l'intérieur d'une sphère de rayon R ?
P2- 8. Champ créé par une distribution volumique radiale, en 1 jr et écrantée CwebT)
On considère une distribution volumique de charge, à symétrie sphérique, de la forme :
p(r) = 4^7expH)
1. Quelle est la charge contenue dans une sphère, centrée à l'origine et de rayon r ? Que devient
cette charge lorsque r tend vers 0 et lorsque r tend vers l'infini ?
2. Trouver le champ électrostatique radial produit par cette distribution.

Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
27
P2- 9. Expérience de Millikan
Pour mesurer les charges électriques, Millikan pulvérisait des gouttelettes d'huile ou de glycérine
entre deux plateaux horizontaux parallèles, placés dans une cloche en verre contenant un gaz (Fig. 2.13).
11 créait alors un champ uniforme vertical E en chargeant ces plateaux et observait le mouvement des
gouttelettes à l'aide d'un microscope. Lors de la pulvérisation, certaines gouttelettes s'électrisaient et
prenaient une charge q . On désigne par r le rayon d'une gouttelette, p* sa masse volumique et p*
celle du gaz, et on admet que le gaz exerce une force de frottement visqueux — a\ proportionnelle à la
vitesse et au rayon des gouttelettes : a = ôirrjr, rj étant la viscosité.
1. Calculer la vitesse limite v de chute d'une gouttelette pour E = 0 et E ^ 0 .
2. Montrer que l'on peut en déduire la valeur de q .
3. La viscosité étant rj =
champ nul v = 0,392 mm • s~
la charge d'une gouttelette.
,8x10 ^ Pa • s et le rayon des gouttelettes r = 2 |mm , on a trouvé en
, et pour un champ E = 400 kV • m-l v = 0,458 mm • s- ] . Calculer
pulvérisateur /^
>c=
10
FIG. 2.13.
A2
P
H
O
Ax
^ÈSa/
Fig. 2.14.
P2- 10. Champ électrostatique créé par un segment chargé
On considère un segment A\A2 avec une charge linéique uniforme À , d'équations en coordonnées
cartésiennes : x = 0, y = 0 , \z\ ^ c (Fig. 2.14). On se propose d'exprimer le champ électrostatique
produit par cette distribution au point M du plan Ozx de coordonnées x, z .
1. Donner l'expression du champ électrostatique élémentaire d E produit au point M par l'élément
de charge situé en P. On introduira l'angle 6 que fait le vecteur MP avec le vecteur MH, H étant
la projection de M sur la direction du segment. En déduire que le champ E est le même que celui créé
par un arc de cercle, de rayon x et de centre M, dont les extrémités sont les points d'intersection du
cercle avec les directions MA \ et MA2 .
2. Trouver les composantes Ex et Ez du champ E au point M, en fonction des angles
6X = (MH,MAi )et 62 = (MH,MA2).
3. Que deviennent les expressions précédentes en des points situés sur les axes Ox et Oz ?
4. Quel est le champ produit par une droite chargée infinie ?

28
2. Loi de Coulomb. Champ électrostatique. Théorème de Gauss
P2-11. Champ créé par la distribution sphérique de charge surfacique ctq cos 6 ^£5)
Calculer le champ électrostatique créé, en son centre O , par une distribution surfacique de charge,
de charge surfacique a = o-q cos 6 . A.N : o~o = 10~6 C • m-2
P2- 12. Champ électrostatique créé par une distribution volumique écrantée
1. Quel est le champ électrostatique radial produit, par une distribution volumique de charge, à
symétrie sphérique, de la forme : p(r) = poexp(—r/a), en un point M, situé à la distance R de
l'origine ? Étudier le cas où R est très grand devant a .
2. Calculer po sachant que a = IF.

Energie potentielle. Potentiel électrostatique
Nous avons vu que le champ électrostatique E , introduit à partir de la force de Coulomb, satisfait
à une première propriété fondamentale, connue sous le nom de théorème de Gauss, attribuée à la forme
en 1/r2 de cette force. Nous nous proposons d'établir une seconde propriété du champ E , en relation
avec son aspect énergétique, et dégager ainsi le concept de potentiel.
Il apparaît alors naturel de se référer au théorème de l'énergie en mécanique et avant tout
d'exprimer le travail de la force de Coulomb. Notons que cette démarche est analogue à celle adoptée pour la
force de gravitation qui, comme la force électrostatique, varie en 1/r2 (cf. Mécanique).
I. _ INTERACTION D'UNE CHARGE AVEC UN SYSTEME DE CHARGES
Désignons par {Pi} un ensemble de charges électriques immobiles, de valeurs {qi} , que l'on
repère, par rapport au référentiel 1Z = Oxyz, supposé galiléen, à l'aide des vecteurs positions {r,-}
(Fig. 3.1). La force qu'exerce cet ensemble de charges sur une particule test, de charge q, placée en M
(OM = r), se met sous la forme :
q y--^ P/M q s-^ r — r,
47T€(
E*
si l'on pose R, = P/M = r — r,
O
n/';
n
9*
FIG. 3.1.
r-n
M
O,
* Mc
Sx
y
FIG. 3.2.
F

30
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
1.1. — Travail élémentaire de la force électrostatique
Le travail de F, au cours d'un déplacement élémentaire d r de la charge M, a pour expression :
4tt€0 t-fH Rf 4tt€0 ^ R]
puisque, les charges étant fixes, d r,- = 0 quel que soit /, et donc d r = d R,-.
Cette forme différentielle ôW peut se mettre sous la forme de la différentielle d'une certaine
fonction. En effet, puisque Rj = Rj donne en différentiant, 2R, d Rz = 2/?, d Rj, il vient :
R,- RtdRi dRi (\
d'où :
ÔW =
1.2. — Énergie potentielle associée
47T€q
Ç"d(i^
Le travail élémentaire apparaît comme l'opposé de la différentielle d'une fonction £pe, appelée
énergie potentielle d'interaction électrostatique de la charge q avec le système de charges {Pj} :
ÔW=-d£pe avec £pe(r) = —— Y „ Çi „ + Cte
47T£o t—^ ||r — r/||
Par conséquent, le travail de la force électrostatique F est égal à la variation d'une fonction de position :
il ne dépend pas des différents chemins possibles suivis par la particule, entre les positions initiale et
finale (Fig. 3.2). On dit que F est à circulation conservative ou mieux qu'elle dérive d'une énergie
potentielle. Il en résulte que, le long d'une courbe fermée quelconque C , on a :
£
F-dr = 0
c
L'énergie potentielle ainsi définie comporte une constante additive. Cette constante est déterminée dès
que l'on adopte une origine particulière. L'origine « naturelle » correspond au cas où la particule est
infiniment éloignée des sources {Pi} . L'énergie potentielle s'écrit alors :
pe{ } 47TS0 4* PiM 47T80 ^ ||r - r/||
Remarque : Ce choix de l'origine de l'énergie potentielle n'est possible que si l'on suppose qu'il n'y
a pas de charges infiniment éloignées les unes des autres.
Le nom d'énergie potentielle vient de l'interprétation énergétique donnée par le théorème de
l'énergie cinétique (cf. Mécanique). Rappelons que, dans la puissance des forces qui s'exercent sur un point
M, on distingue généralement les forces qui dérivent d'une énergie potentielle de celles qui n'en

Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
31
dérivent pas. Dans le cas d'une particule soumise à la seule force électrostatique, on a, entre deux
instants voisins :
d£k = ÔW=-d£pe
Donc :
d(£k + £pe)=0 et £k + £pe = £ = Cte
Ainsi, le concept d'énergie potentielle électrostatique permet d'élargir celui d'énergie cinétique d'une
particule chargée en faisant apparaître l'énergie totale £ = £k + £pe .
Exemple : Distance minimale d'approche d'une particule a et d'un noyau lourd
En 1911, le physicien néozélandais E. Rutherford mit en évidence la structure atomique (noyau
central chargé positivement entouré d'une distribution de charge négative), en bombardant une cible
d'or avec des particules a , de charge 2e , de vitesse v (cf. Mécanique). Il estima'les dimensions d'un
noyau d'or en écrivant que certaines particules a étaient freinées par la force répulsive, de charge Zne ,
exercée par le noyau, jusqu'à rebrousser chemin. L'équation de conservation de l'énergie entre un point
éloigné et le point de rebroussement, situé à la distance b de l'atome lourd, donne en effet :
mav2 1 2Zne2
2 ~ 4tt€o b
1.3. — Définition opérationnelle de l'énergie potentielle électrostatique
À partir de ce qui précède, on peut donner une autre définition, dite opérationnelle, de l'énergie
potentielle. Cette définition fait intervenir un opérateur extérieur, d'où son nom.
Considérons une particule chargée, en interaction avec un système de charge, qui se déplace sous
l'action d'un opérateur exerçant sur elle une force Fop . Appliquons le théorème de l'énergie cinétique
à la particule, entre deux instants voisins, sachant que la particule est en outre soumise à des forces de
frottement. Il vient (cf. Mécanique) :
d£k = ÔWe + ÔWop + ÔWf
où ôWe = —d£pe est le travail des forces électrostatiques, ôWop le travail de la force exercée par
l'opérateur et ôWf le travail des forces de frottement. Il en résulte :
d£pe = 8Wop-d£k + 8Wf
ce qui donne, en intégrant, entre l'instant pris comme origine où M et {Pj} sont infiniment éloignés et
l'instant où ils sont dans la configuration considérée :
b£pe = £pe-0 = Wop-b£k + Wf soit £pe = Wop
si l'on impose à la fois, à£k = 0 et Wf = 0 . Ainsi, l'énergie électrostatique est égale au travail fourni
par l'opérateur pour amener la particule de l'infini à la position considérée, en l'absence de variation
d'énergie cinétique et de travail des forces de frottement.
Remarque : De telles conditions A£& = 0 et Wf = 0 définissent la réversibilité en thermodynamique
(cf. Thermodynamique).

32
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
II ; — POTENTIEL CREE PAR UN ENSEMBLE DE CHARGES
II. 1. — Potentiel créé par un système de charges ponctuelles
L'énergie potentielle est proportionnelle à la valeur q de la charge de la particule test. Par
définition, le potentiel créé par le système de charges {/^(r,)} , en un point M(r), est l'énergie potentielle
par unité de charge placée en M :
K } q 47re0 V F[M 47T£o i Hr ~ r'"H
Ainsi, V et £pe sont directement liés, de la même façon qu'en gravitation le potentiel et l'énergie
potentielle de gravitation le sont par l'équation : <I> = Efav jm (cf. Mécanique). Cependant, alors
qu'en mécanique, <ï> et £pMV sont toujours de même signe, en électrostatique V et £pe sont de signes
opposés lorsque la charge est négative (cas d'un électron par exemple), d'où le soin qu'il convient
d'apporter dans la distinction entre V et £pe dans ce dernier cas. L'unité SI de potentiel est le volt (du
nom du physicien italien A. Volta).
II. 2. — Cas d'une distribution continue de charge
Le passage d'un système de charges discrètes {P/} à une distribution continue s'opère en
remplaçant la sommation discrète par une intégration. On désigne alors par r7 le vecteur OP. Pour une
distribution volumique p de charge, on a (Fig. 3.3a) :
pe 477e,
47re0A, ||r-r'|| **£<>.JVPM 47re0 Jv ||r- r'||
Pour une distribution surfacique a de charge, les résultats sont analogues (Fig. 3.3b) :
tpe - 4^ Js ||r - r'H " 4ve0 Js PM " 4TOo Js lk - A\
ainsi que pour une distribution linéique À de charge (Fig. 3.3c) :
1
£pe~ aLJc]
p(w ? /
■$0? # j r
r'\ /
Vo
a)
A(r')
k-r'||
d/
47reo Je PM
y
f \ /
b)
1
47T6C
O
d&t"
/ •• : "\ M
! f
i
c)
Fig. 3.3.

Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
33
Il convient de dire, dès à présent, que dans la presque totalité des cas, le calcul de V s'appuie
largement sur les considérations de symétrie de ces répartitions. Généralement, les distributions de charges
présentent, au moins dans les modèles adoptés, une symétrie soit plane, soit axiale, soit sphérique. Ces
symétries, que nous analyserons ultérieurement (cf. chapitre 4), seront précieuses pour calculer
efficacement et rapidement V et donc £pe .
II. 3. — Relation entre le champ E et le potentiel V
Cette relation découle de ce qui précède. Elle peut prendre soit une forme intégrale soit une forme
locale.
a) Forme intégrale
C'est la forme la plus utile pour résoudre la plupart des problèmes qui se posent. Comme on a :
W = F-dr = -d£pe
il vient, le long d'un chemin quelconque entre deux points A et B :
£pe(B) - SpeiA) = - / F-dr
JA
En introduisant le champ E = F/q et le potentiel V = £pe/q, on en déduit la différence de potentiel
U (d.d.p en abrégé) entre les points A et B :
pA pB
y = V(A) - V(B) = - / Ê-dr= / Edi
Jb J'a
Notons que la d.d.p U ne dépend que des positions initiale et finale, comme la variation d'énergie
potentielle à laquelle elle est directement reliée. On dit que la circulation de E est conservative, ou que
la force associée est conservative (cf. Mécanique).
Dans le cas où les points A et B coïncident, l'équation précédente donne :
£
E-..dr = 0
c
La circulation du champ électrostatique le long d'une courbe fermée est donc nulle.
Remarque : L'origine naturelle prise pour £pe nous a conduits à poser V(oo) = 0 . Rappelons que ce
choix est arbitraire, car seule la d.d.p entre deux points est une grandeur mesurable. Nous
verrons que, dans les cas où le modèle adopté suppose l'existence de charges à l'infini, on
effectue un autre choix.
b) Forme locale
Notant ( E\ , Ei, £3 ) les composantes du champ E dans une base orthonormée directe
(ei,e2,e3) et (d/[ , d/2 , d/3 ) les composantes de dr dans cette même base, la relation
différentielle E • d r = — d V s'explicite suivant :
Ex d/i +E2 d/2+£3 d/3 = -dV

34
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
Il en résulte que :
dv ^ dV ^ dV
ol\ oh oh
Par définition, on appelle gradient d'une fonction V, le champ de vecteurs défini par :
dV dV dV
ol\ oh oh
Les relations précédentes peuvent donc être condensées sous la forme :
E -* - grad V
Ce résultat est souvent utilisé sous la forme différentielle suivante : d V = grad V • d r = —E • d r .
i) En coordonnées cartésiennes x,y,z où dl\ = dx, dh = dy et d/3 = dz (Fig. 3.4), ces
composantes s'écrivent (cf. annexe 1) :
ÔV
*, = --
dx
y 8y
et
E7 = -
dz
ii) De même, en coordonnées cylindriques p,<p,z (Fig. 3.4) où d/| = dp,d/2 = pà<p et
d/3 = dz, on a (cf. annexe 1 ) :
dV 1 dV dV
p~~~dp p_~p% et z~~~d~z
iii) Enfin, en coordonnées sphériques r,0,<p (Fig. 3.4) où dl\ = dr, dh
d/3 = rsin#d^? (cf. annexe 1), les composantes du gradient ont pour expression :
dV IdV 1 dV
E» — et E =
dr r 36 ç r sin 6 dcp
rdO et
Er
Fig. 3.4.
c) Surfaces équipotentielles
Les surfaces équipotentielles sont les ensembles de points de l'espace tels que V(r) ait une valeur
déterminée. Montrons que E est normal à ces surfaces.
Entre deux points voisins A et B ( AB = dr) appartenant à une même surface (Fig. 3.5), on a :
dV = 0. Comme d V = —E • d r = —E • AB = 0, E est perpendiculaire à tout vecteur élémentaire
AB appartenant à la surface équipotentielle. D'autre part, si dr7 désigne un vecteur élémentaire A A7
orienté suivant E , on a :
dV= -E.dr/ = -||E||||dr/|| <0
Il en résulte que E est normal aux surfaces équipotentielles et qu'il est orienté suivant les potentiels
décroissants.

Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
35
Remarque : Notons que les relations entre le potentiel et le champ obtenues ci-dessus ne font pas
intervenir la présence des charges. Ce sont des relations de structure du champ
électrostatique.
%w V = Cte
Fig. 3.5. Fig. 3.6.
d) Relation de passage
La propriété qu'à le champ électrostatique de dépendre d'une fonction potentiel permet d'établir
une relation de passage entre les composantes tangentielles du champ à la traversée d'une surface. En
effet, considérons, de part et d'autre d'une surface séparant deux milieux 1 et 2 , une courbe
rectangulaire ABCD, de dimensions AB = DC = À/ parallèles à la surface, et BC = DA = a <$; À/ (Fig. 3.6).
Il vient, en désignant par ni2 la normale à la surface orientée de 1 vers 2 :
Ei-AB + E2-CD = (£,r£2if)A!«0 d'où £2,,-£i,, = 0 ce qui s'écrit : n,2x(E2-Ei) =0
puisque AB et DC sont des vecteurs quelconques parallèles à la surface.
e) Continuité de la fonction potentiel
Si on applique la relation E = — grad V ou d V = —E • dr , entre deux points infiniment voisins
M et M', on obtient :
V(M) - V(Af') = E • MM'
On voit que, si le champ électrostatique a une valeur finie, ce qui est le cas dans le voisinage de
distributions volumique ou surfacique, la fonction potentiel V est continue.
II. 4. — Équation de Poisson et propriétés du potentiel
a) Équation de Poisson
Établissons l'équation locale à laquelle satisfait le potentiel V . Elle est issue du théorème de Gauss
(cf. chapitre 2) et de la relation de strucure du champ :
divE=— et E = -gradV
Remplaçant E par son expression dans la première équation, il vient :
div(gradV) = - —
Donc, en introduisant l'opérateur À = div(grad V), appelé laplacien (cf. annexe 2), on obtient
l'équation de Poisson (du nom du physicien français D. Poisson) :
£0

36
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
En coordonnées cartésiennes x,y, z, le laplacien s'explicite selon :
d_ fdV\ d_ fdV\ d_ fdV\ _ d2V d2V d2V
dx \dx J dy \ dy ) dz\dz) dx2 dy2 dz2
b) Propriétés de la fonction potentiel
De l'équation de Poisson, on peut en déduire que la fonction potentiel V(r) ne peut présenter de
maximum ou de minimum en dehors des charges.
Soit, en effet, Mo un point où V est maximal. Entourons ce point d'une petite surface fermée
AS. En tout point M de cette surface, le champ E est dirigé vers l'extérieur puisque V(M) < V{Mq) .
Donc :
6 EndS>0
Jas
ce qui implique, en vertu du théorème de Gauss, la présence d'une charge positive à l'intérieur de la
petite surface. Un raisonnement analogue pour V minimal aboutit à un flux de E négatif et donc à la
présence d'une charge négative.
c) Exemple de résolution de l'équation de Poisson
La résolution de l'équation différentielle de Poisson n'est pas en général immédiate. Elle est
grandement facilitée par la prise en compte des symétries du problème.
Considérons le cas d'une diode à vide telle que le potentiel V et la charge volumique p ne
dépendent que d'une seule coordonnée x de position (Fig. 3.7a). On a :
d2V _ p{x)
dx2 eo
On peut montrer qu'entre la cathode K qui émet des électrons par effet thermoélectronique, et l'anode A,
portée au potentiel d'accélération U' = V(A) — V(K) par rapport à K dont le potentiel est pris comme
référence ( V# = 0 ), la densité volumique des électrons nv est proportionnelle à V~]/2 (cf. chapitre 7).
L'équation différentielle à laquelle satisfait V s'écrit donc :
a) b)
FlG. 3.7.

Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
37
Montrons qu'une solution de la forme V = kxa , k et a étant des constantes, convient. En
remplaçant dans l'équation différentielle précédente V par son expression, on trouve :
ka(a - l)xa-2 = Cte x k'l/2x-a/2
ce qui implique : a — 2 — —a/2 soit a = 4/3 et :
V = Cte x jc4/3
On en déduit la relation entre la d.d.p U et la distance d entre la cathode et l'anode : U = Cte x d4/3
(Fig. 3.7b).
II. 5. — Équation de Laplace
Dans le cas où la charge volumique est nulle, le second membre de l'équation de Poisson est nul.
On obtient alors l'équation de Laplace, du nom du mathématicien français P. S de Laplace :
AV = 0
Lorsque les conditions aux limites du potentiel sont correctement précisées, on peut montrer que la
solution de l'équation de Laplace est unique. Pour résoudre une telle équation, il est naturel de choisir
un système de coordonnées adapté à la symétrie du problème : par exemple, si certaines équipotentielles
sont planes, on adopte les coordonnées cartésiennes ; si elles sont sphériques, on prend les coordonnées
sphériques, etc.
D'autre part, comme cette équation est linéaire, toute combinaison linéaire de solutions est aussi
une solution.
Exemple : Dans le cas simple où le potentiel ne dépend que d'une coordonnée cartésienne, x par
exemple, on a :
d2 V dV
-—r = 0 soit — = Ctei et V = Ctei x x + Cte2
dxl ax
Si l'on admet que V = V\ pour x = 0 et V = V<i pour x — d, on trouve :
V2 -V\ V2- V]
Cte2 = Vj Ctei = — et V= — -x + Vx
d d
Les surfaces équipotentielles sont donc les plans x = Cte. Quant aux lignes de champ, ce sont des
droites normales à ces plans et donc parallèles à Ox.
II. 6. — Énergie d'interaction d'une charge et d'un système de charges
a) Énergie électrostatique d'un électron dans un microscope électronique
En microscopie électronique, un électron, émis par un filament K de tungstène, est accéléré vers
une anode A (Fig. 3.8). Si K est porté au potentiel —Va(Va > 0) par rapport à A , pris comme
référence, l'énergie électrostatique de la particule vaut sur la cathode £pe = (—e)(—Va) = eVa . À
l'anode où £pe = 0, l'énergie est essentiellement cinétique. La vitesse lors de l'émission étant supposée
négligeable, on a, puisque l'énergie totale se conserve :
0 + eVa = £k + 0 soit £k = eVa

38
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
A t
7777,
Fig. 3.8.
b) Énergie potentielle d'interaction entre une particule et un champ E uniforme
nM rIVi
V(M) - V(0) = - / E ■ dr = -E • /
Jo Jo
Considérons une particule évoluant dans une région de l'espace où règne un champ électrostatique
uniforme E . Le potentiel en un point quelconque M s'obtient aisément :
lr = -E- / dr = -E-OM=-£jt
Jo
si Ox désigne l'axe défini par le champ uniforme E . L'ensemble des points tels que V(M) = Cte est
caractérisé par l'équation x = Cte . On en déduit la variation d'énergie potentielle d'interaction :
£pe -£pe{0) = -qEx
c) Énergie potentielle d'interaction de deux charges opposées distantes de r
C'est le cas du modèle classique de l'atome d'hydrogène :
&ne — ^
1
— avec qe =
r 4tt€o
= 230,71 x 10
-30
SI
K47T€o r) 47T€or
Pour r = 52,9 pm (rayon de Bohr), on trouve : £pe = —27,2 eV .
d) Énergie potentielle d'un électron dans un métal
Dans un métal, l'ensemble des ions fixes crée un potentiel électrostatique V(r) périodique, de
période égale à celle du réseau d'ions (Fig. 3.9a). On en déduit l'expression de l'énergie potentielle
d'un électron de conduction du métal (Fig. 3.9b) : £pe{r) = —eV(r).
\V(x)
O
a)
Fig. 3.9.
O
Çpey^J.
b)
III. — ENERGIE ELECTROSTATIQUE D'UN SYSTEME DE CHARGES
Nous nous proposons maintenant d'exprimer l'énergie électrostatique propre d'un système {P/}
de charges, c'est-à-dire l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes charges qui le constituent
Pour cela, nous considérons d'abord le système simple constitué de 2 charges. Nous généralisons ensuite
au cas de Af charges ponctueLles et à celui des distributions continues. '.'■'."'■

Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
39
III. 1. — Système de deux charges ponctuelles
Exprimons le travail élémentaire des forces électrostatiques intérieures au système constitué de
deux charges ponctuelles P\ et Pi. Il vient, pour des déplacements élémentaires indépendants dr2 et
d r2 , en notant X\2 — r2 — X\ :
ôW = F2-+\ -dr, + Fi_>2 -dr2 = ^ (r2i -dri + r)2 -dr2)
SW = T— 3-r,2-dri2 = rdr12 = -d£e
1 q\qi
4tt€0 r]2
Comme les vecteurs rI2 et r2\ sont opposés et Y\2 • drI2 = r]2 d ri2 , puisque r2l2 = r22 , on obtient :
47T£0 rf2 47T£0 rj2
en introduisant l'énergie électrostatique du système des deux charges :
4tt€o r]2
Si £e est pris égal à 0 lorsque r\2 est infini, la constante est nulle, et :
4142
£e
4tt€0 rX2
Notons que Ee s'écrit aussi, en appelant V(l) le potentiel produit par P2 en P\ , et V(2) le potentiel
produit par P\ en P2 :
Se = qlV(])=q2V(2) = -[qlV(\)+q2V(2)]
lie du système prot
On retrouve cette énergie déjà calculée :
21
Exemple : Énergie potentielle du système proton-électron dans l'atome d'hydrogène
6 ' '
2 4tt€o
H;)+«(t)]-
1 e2 q\
,2
4ttso r
r désignant la distance qui sépare les deux particules.
III. 2. — Système de N charges ponctuelles
Le résultat précédent se généralise aisément au cas de N charges dont les éléments génériques
sont Pi et Pj :
£e = ^- y m = J_LyqiySL
En introduisant les potentiels V(i) aux points P{, il vient :
Retenons donc :
1 N

40
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
Exemples :
i) Énergie électrostatique de la molécule de dioxyde de carbone CO 2
On peut représenter cette molécule par le schéma de la figure 3.10. L'énergie électrostatique est la
somme des énergies des différents couples :
Se
-2q*
d 2d
1
4tt€o \ d d 2dJ 4tt€o
On obtient évidemment la même expression à partir des potentiels :
H
2 d
Se
1
2 4tt€0
-Q
2q
2d
+ 2q
2q
2d
47T€0
1 q1
2~d
Si on admet que la liaison C = O est ionique à 25 %, la charge q, on peut prendre q = e/4 . Comme
d = 0, 116 nm, on trouve :
£e =
47T€od V 32
(— ) ^-2,7eV
d
6= c = o
-q 2q -q
FIG. 3.10.
-O-Q-O-O-^-O-
Fig. 3.11.
il) Énergie électrostatique d'un système linéique de charges ponctuelles régulièrement réparties
Considérons une file de deux types de charges, A et B , de valeurs respectives q et — q , distantes
de r et disposées régulièrement le long d'un axe. Cette file constitue un modèle simplifié unidimen-
sionnel d'un cristal ionique (Fig. 3.11). Calculons l'énergie électrostatique de ces charges, à partir de
l'expression générale précédente.
La file étant supposée infinie, on peut admettre que l'énergie électrostatique de n couples est le
produit de l'énergie d'un couple (A, B) par n . Par conséquent :
Se
qV(A)-qV(B)
Comme les potentiels V(A) et V(B) ont pour expressions respectives :
V(A)
1
47T€o
q(-\)"
et V{B)
1
47T€o
m=l
<?(-])"
-V(A)
le facteur 2 traduisant les contributions des deux parties de la chaîne de chaque côté de A et B, il
vient :
Se — nqVA = —n
1 q2
4tt€o r
m—\
(-1)"
Dans cette expression, apparaît la série alternée suivante qui est convergente :
00
m=\
2 + 3
1 1
+
[ln(l+x)]
x=l
ln2 = 0,693

Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
41
Finalement, l'énergie électrostatique de la file, par couple de charges, a pour expression :
— = —— x 2x0,693= 1,386^c où Sec = -—^— —
n 4tt€o r ' ' 47T£o r
est l'énergie électrostatique du couple (AB) isolé. Ainsi, l'énergie par couple de la file se met sous la
forme du produit de l'énergie électrostatique du couple isolé (AB) par le facteur 1,386 . Ce dernier,
qui représente l'influence des autres couples de charges, est appelé la constante de E. Madelung de la
chaîne linéique considérée.
IV. — ÉNERGIE D'UNE DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGE
IV. 1. — Expression de l'énergie électrostatique en fonction du potentiel
Utilisons l'expression de l'énergie électrostatique établie dans le cas de N charges pour établir
celle relative à une distribution continue de charge. Il vient, en remplaçant la sommation discrète par
une intégrale et la charge qi par p dTJ :
£e = \ [ pVdV
z Jv
Si la répartition des charges est surfacique, la formule précédente devient :
£e = ^f<rVdS
Le modèle des distributions surfaciques est très important car, comme nous le verrons, les conducteurs
en équilibre réalisent une telle distribution avec une excellente approximation (cf. chapitre 8). En outre,
le potentiel étant uniforme sur toute la surface, l'énergie Ee peut se mettre, dans ce cas, sous la forme
simple suivante :
1 f 1
8e = 2VJ adS=2QV
puisque l'intégrale représente la charge totale Q du conducteur.
Exemples
i) Énergie électrostatique d'une boule uniformément chargée en volume
On a déjà vu qu'une telle distribution constituait un modèle approximatif du noyau d'un atome ou
même de l'électron (cf. chapitre 1). Considérons une boule de rayon R et de charge q répartie
uniformément en volume. Sa charge volumique est p = q/(47rR3/3). D'après ce qui précède, le calcul
de son énergie électrostatique nécessite la détermination préalable du potentiel qu'elle crée en son
intérieur. Comme le système présente la symétrie sphérique, le potentiel ne dépend que de la distance r du
centre O au point intérieur considéré (cf. chapitre 4). L'énergie électrostatique s'écrit donc :
Ee = \ f,pv{r) d v = \pj v(r) w d r
Compte tenu de la symétrie radiale de la distribution, le champ et le potentiel prennent les formes
simples suivantes (cf. chapitre 4) :
E(M) - Er(r) er et V(M) = V(r)

42
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
er étant le vecteur unitaire radial OM/r. Le calcul de Er(r) s'effectue aisément à partir du théorème
de Gauss, appliqué sous sa forme intégrale à une boule S de rayon r. Sur la surface, la normale
extérieure coïncide avec le vecteur unitaire er et le champ est de norme constante. Donc :
Js
E-ndS = Er x4irr2 = —
,, . „ 1 Qin
d ou E = -er
4tT€q r
À une distance r, il est identique à celui produit par une charge ponctuelle Qin placée à l'origine.
Si r ^ R, Qin = Q = 4ttR3p/3 , où Q est la charge totale :
E,
Q
4ttۍ) r2
la constante d'intégration étant nulle car V(oo) = 0
Si r < R, Qin = 47rr3p/3 = (r/R)3 Q et :
1 Qr
er et Vej
1 Q
47T€o r
E;,
4tt€0 R3
1 Qf2 r - l Q f3
\
car la constante d'intégration, déterminée à partir de la continuité de V en r = R, vaut 3Q/(Stt€oR) .
Sur la figure 3.12, on a tracé les graphes Er(r) et V(r) dans le cas où Q > 0 .
; £(r
a)
On en déduit l'énergie électrostatique :
b)
3g2
87T£n/?4
r
FIG. 3.12.
r ' 2 2/?V 87T£0^4
r2 \
123 «Wo V
1
3g2
47T£07 5 ^
Pour un noyau d'uranium qui contient Z — 92 protons, Q = Ze = 92e et R = 9 fermi (fm). Donc, en
introduisant q2 = e2/(4tteç)) , on trouve :
8e = -Z2^ = 813,5 MeV
5 /?
Remarque : On introduit parfois le rayon classique de Vélectron re obtenu en identifiant l'énergie de
masse mec2 de cette particule à l'énergie électrostatique approximée à la valeur q2/re
(cf. Relativité). On trouve :
230,71 x 10
-30
mec2 0,91 x 10-30 x (3 x 108)2
-2,82 x 10"15m = 2,82fm

Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
43
ii) Énergie électrostatique d'un conducteur sphérique
Un conducteur sphérique, de rayon R, porté au potentiel V et possédant une charge Q, a une
énergie électrostatique égale à :
s. = \qv
Or, on montre que V est relié à la charge Q par l'équation (cf. chapitre 8) V = \/(4tteo) Q/R . Il en
résulte que :
Se = ]^e0RV2
Par exemple, si R = 10 cm et V = 1 kV , alors Q « 11 nC et £e » 5 |ulJ . Notons que cette énergie est
faible comparée à l'énergie cinétique que l'on peut communiquer au conducteur, de masse m = 0,1 kg ,
en lui donnant une vitesse v = 2 m • s-1, puisque £* = mv2/2 = 0,2 J .
IV. 2. — Expression de l'énergie électrostatique en fonction du champ
Afin de relier l'énergie électrostatique £e au champ E, utilisons l'équation locale divE = p/eo
dans l'expression de £e . On a :
£e = - [ pVdV = — j VdivE d V
2 Jv 2 Jv
V étant un volume quelconque englobant la distribution puisqu'en dehors de cette distribution p = 0 .
Exprimons autrement la quantité (VdivE), en l'explicitant en coordonnées cartésiennes :
f dEx dEy , dEz
VdivE= V -^ + -^ +
\ ox oy oz
Or:
vdEx = d(VEx) EdV = d(VEx) [ e2
dx dx x dx dx x
En combinant ce résultat avec les deux autres termes VdEy/dy et VdEz/dz , on obtient :
£e=6-^ /[div(VE)+E2] dV
L'intégrale du premier terme s'écrit aussi, à l'aide du théorème d'Ostrogradsky (cf. annexe 2) :
VE-ndS
s
S étant la surface fermée entourant le volume TJ considéré. Plaçons-nous dans le cas où il n'y a pas
de charge à l'infini et augmentons les dimensions de la surface fermée. Vue d'un point de cette surface
infiniment grande, la distribution de charge est assimilable à une charge ponctuelle. Il en résulte que V
varie comme r-1 , E comme r~2 et donc VE comme r-1 x r~2 = r~3 ; la surface variant, elle,
comme r2 , l'intégrale précédente tend vers 0 lorsque r augmente jusqu'à l'infini. Par conséquent :
/
J est
J'espace *-
l'intégration portant sur tout l'espace. Ainsi, tout se passe comme si l'énergie électrostatique d'une
distribution continue de charge était répartie dans tout l'espace avec une densité volumique €qE2/2 .

44
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
L'énergie potentielle électrostatique ainsi exprimée apparaît comme une grandeur toujours positive.
Ce résultat n'est pas en contradiction avec l'énergie potentielle d'interaction négative de deux charges
ponctuelles de signes opposés, car, dans ce dernier cas, on n'avait pas pris en compte les énergies
propres des particules, lesquelles sont positives. Ainsi, en transposant au cas des distributions continues
de charge l'expression de l'énergie établie dans le cas de charges ponctuelles, on prend en compte
l'énergie propre des particules.
CONCLUSION
Résumons les points essentiels.
(1) La force électrostatique, comme la force de gravitation, est une force qui dérive d'une énergie
potentielle.
(2) Le potentiel électrostatique créé par une distribution de charge est l'énergie potentielle
d'interaction d'une charge unité avec cette distribution. Il s'écrit :
V = >^ —- pour une répartition discrète de charges
4ïreo^||r-r/||
V = / — d V pour une répartition volumique de charge
4tt€0 Jv llr-rll
(3) La relation entre le champ électrostatique E et le potentiel correspondant V est :
V = — / E • d r + Cte ce qui s'écrit localement E = — grad V
Il en résulte qu'entre deux points A et B, la différence de potentiel (d.d.p) U s'écrit :
U =V(A)-V(B) = - E-dr= / E-di
Jb Ja
On dit que la circulation du champ électrostatique est conservative
E-dr = 0
c
(4) Comme le champ électrostatique satisfait à l'équation : divE = p/e0 , il en découle pour le
potentiel V l'équation :
(5) L'énergie électrostatique d'interaction mutuelle d'un système de charges est :
Ee = - Y^ qiV(i) pour une répartition discrète
1 r r f P^
£e = - / pV d V = / d V pour une répartition volumique.
^ JV Jespace ^

Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
45
EXERCICES ET PROBLEMES
P3- 1. Potentiel et champ créés par une répartition symétrique de quatre charges
1. Calculer le potentiel créé par quatre charges A , B , C et D, disposées aux sommets d'un carré
de demi-diagonale a , en un point M du plan Oxy voisin du centre de symétrie O : |*| <C a, \y\ <C a
(Fig. 3.13).
2. En déduire le champ électrostatique et l'équation des lignes de champ.
B d) — q z |
C O
M
A
o ! -1 o -»► O
Q n ! q x
-«-- a —^
£>o -g
a/2
Ofe)
-a/2
FIG. 3.13. FlG. 3.14.
P3- 2. Pénétration d'une particule dans un gaz chargé
La région, représentée sur la figure 3.14 par l'inégalité \z\ < a/2 , contient des charges électriques
ponctuelles identiques q uniformément réparties avec le nombre particules par unité de volume nv .
1. Établir, en fonction de z, les expressions du champ et du potentiel créés par cette distribution.
2. Une particule, de même charge q, située initialement en un point / de l'axe Oz, de coordonnée
—d, pénètre dans le plasma suivant l'axe Oz .
a) Tracer la courbe donnant l'énergie potentielle £p(z) de la particule en fonction de z .
b) En déduire la valeur minimale de l'énergie cinétique initiale de la particule pour qu'elle puisse
traverser le plasma. Calculer cette valeur en MeV, dans le cas d'un proton, situé au point tel que
d = a , et pénétrant dans l'ionosphère : q = e , nv — \QU m-3 et a = 1 cm .
P3- 3. Énergie électrostatique d'un système symétrique de charges élémentaires
1. Calculer l'énergie électrostatique d'un système de quatre électrons régulièrement espacés sur un
cercle de rayon r au centre duquel se trouve un proton (Fig. 3.15).
2. Si on abandonne un tel système, comment varie r ?
-e s "-N —e
P X
+ e
-e\
Fie. 3.15.

46
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
P3- 4. Énergie électrostatique d'une molécule NaCl
L'énergie électrostatique d'interaction entre les ions Na+ et Cl _ d'une molécule de vapeur de
chlorure de sodium a pour expression :
£< r = ''A + "9
47T€or ry
r étant la distance séparant les ions.
1. Sachant que r vaut r0 = 276 pm lorsque la molécule est stable (minimum de Ee ), calculer b .
2. Calculer, en eV puis en J • mol-1, l'énergie de dissociation de la molécule.
P3- 5. Position stable d'une particule chargée Cyveb}
Une particule chargée M (charge q) évolue sur un axe Ox entre deux particules fixes, l'une de
charge q\ en P] et l'autre de charge qi en Pi, à la distance d de P\ .
1. Trouver l'expression de l'énergie potentielle électrostatique de M, en fonction de sa position
définie par P\M — x. Comparer cette énergie à celle du système des trois charges. Quelle est la force
qui s'exerce sur M ?
2. À quelle condition sur les charges, l'équilibre de M est-il possible ? Retrouver le cas simple où
Q\ = 42 •
3. On se place dans le cas où q\ — 3q2 . Trouver la position d'équilibre de M .
P3- 6. Énergie d'une distribution tétraédrique régulière centrée Cyveb}
On considère quatre charges A ~ , de valeur commune ( — e ), disposées aux sommets d'un tétraèdre
régulier dont le centre est occupé par la charge M4+ , de valeur 4e .
1. Montrer que la distance a qui sépare les charges A- est reliée à la distance r = MA par
l'équation r = ay/6/4 .
2. Exprimer, en fonction de r, l'énergie potentielle de l'édifice. Dans le cas où cette distribution
représente la molécule S1F4 (tétrafluorure de silicium) pour laquelle r = 154 pm , calculer l'énergie
électrostatique de cette molécule en eV.
P3- 7. Champ et potentiel à symétrie cylindrique
En optique corpusculaire, on utilise des lentilles électrostatiques dont le potentiel V ne dépend
que des variables cylindriques p et z.
1. Écrire l'équation de Laplace et la relation entre la composante radiale du champ Ep et le
potentiel en fonction des coordonnées.
2. En déduire la relation entre cette composante et la dérivée seconde de V, par rapport à z,
supposée constante.
P3- 8. Potentiel et champ créés par une distribution linéique de charge
Un arc de cercle AB, de rayon R, d'angle 2a , porte une charge Q répartie uniformément. Cet arc
est contenu dans un plan Oxy dont l'origine est le centre du cercle générateur ; Ox est axe de symétrie.

Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
47
1. Trouver l'expression du potentiel V en un point M, de coordonnée z , situé sur l'axe Oz
normal au plan.
2. En déduire la composante électrostatique selon Oz du champ E .
3. Montrer que le champ a une seconde composante dans le plan de symétrie de l'arc. Calculer
directement son expression.
4. Étudier le cas d'une distribution linéique uniforme sur un cercle complet. Calculer le champ et
le potentiel au centre du cercle sachant que la charge linéique vaut À = 50 pC • m-1 .
P3- 9. Potentiel écranté
Une distribution de charge à symétrie sphérique, crée, à une distance r, un potentiel de la forme :
J 4tt€o r V a)
q et a étant des quantités positives dont on précisera la dimension physique.
1. Trouver le champ électrostatique correspondant.
2. En déduire la charge Q(r) contenue dans la sphère de centre l'origine O et de rayon r. Que
vaut cette charge dans les deux cas extrêmes : r tend vers 0 et r tend vers l'infini? En déduire
qualitativement la nature de la distribution de charge.
3. Donner l'expression de la densité radiale de la charge, c'est-à-dire de la quantité pr — d Q/ d r .
Calculer cette densité dans le cas de l'atome d'hydrogène pour lequel a = 52,9 pm .
P3- 10. Lentille quadrupolaire (®)
Dans une lentille électrostatique quadrupolaire utilisée en optique corpusculaire, le potentiel est
donné par l'expression :
V=Ar2cos(26)
dans laquelle r et 6 désignent respectivement les coordonnées radiale et orthoradiale d'un point dans
un plan. (Fig. 3.16).
1. Sachant que les électrodes sont portées au potentiel ±Vq et que la distance minimale qui les
sépare de l'origine O est a , calculer la constante A . Quelle est la nature des équipotentielles ?
2. Donner les expressions des composantes radiale et orthoradiale du champ électrostatique. En
déduire la nature des lignes de champ ?
âA
> y
Équipotentielles
xxV^ " r
-Vo
LignëV de champ
Fig. 3.16.

48
3. Énergie potentielle. Potentiel électrostatique
P3- 11. Calcul de l'énergie d'une boule chargée à l'aide du champ
1. Retrouver l'expression de l'énergie potentielle électrostatique d'une boule uniformément
chargée en volume à l'aide de l'expression du champ créé par cette distribution ; on désigne par Q sa charge
et par R son rayon.
2. Par analogie, donner l'expression de l'énergie gravitationnelle d'une telle boule de masse M .
Quelle devrait être le rapport Q/M pour que les énergies aient même valeur absolue ?
P3- 12. Potentiel et champ créés par une distribution surfacique de charge a = o-q cos 6
Une distribution de charge surfacique est obtenue en maintenant à très faible distance a, devant
leur rayon, les centres 0\ et 02 de deux sphères identiques uniformément chargées en volume avec des
charges volumiques opposées — p et p (Fig. 1.7) ; la distribution qui en résulte a une charge surfacique
aocosO sur une sphère : o-0 = pa et 6 est l'angle que fait un rayon de la sphère avec le diamètre
perpendiculaire à 0\02 = «ez.
1. Rappeler les expressions du champ et du potentiel électrostatique produits par une distribution
sphérique uniforme en volume, en tout point de l'espace.
2. En déduire le champ et le potentiel produit par la distribution surfacique en cos 6 , en tout point
intérieur. Calculer la valeur du champ en tout point intérieur, dans le cas où p = 2 x 106 C • m-3 et
a = 5 pm .
P3- 13. Potentiel électrostatique créé par un segment chargé
1. Établir directement l'expression du potentiel V produit par un segment chargé A\A2 = 2c, de
charge linéique uniforme À (Fig. 2.14), au point M, du plan Ozx, de coordonnées x,z ■ On introduira
l'angle 6 = (MH,MP) et on utilisera l'intégrale suivante :
/
de
= m
cos 6
tan(- + J
+ Cte
2. Montrer que les quantités r\ = MA\ , r2 = MA2 , c, a\ = 6\ + tt/2 et a2 = 62 + tt/2 sont
reliées par les équations géométriques suivantes :
/a\\ . (n +r2+2c)(n -r2 + 2c) /a2\ . (n + r2 + 2c)(r2 - r, + 2c)
tan — sin ai = — et tan — sin a2 = —
V 2 ) 4cr{ V 2 ) 4cr2
3. En déduire l'expression suivante du potentiel :
À , /a + c
V = In
47T£o \a — C
a étant une quantité que l'on exprimera en fonction de r\ et r2 . Quelles sont les équipotentielles ?
Calculer le potentiel en un point situé dans le plan médian du segment A\A2 à une distance b — 5 cm ,
sachant que la charge du fil est Q = 0,25 nC et sa longueur 2c = 15 cm .

4
Symétrie des distributions de charges
et symétrie des champs
Les lois de l'électrostatique expriment l'interaction entre une distribution de charge fixée et une
charge test située en un point M quelconque de l'espace. On sait que les relations entre le champ
électrostatique E, le potentiel associé V et la distribution de charge, source de E et V, sont les
suivantes :
4tt€0 Jv pm3 47T£o Jtj PM
Le calcul de ces grandeurs physiques peut être facilité par la prise en compte des symétries particulières
du système étudié (planaire, cylindrique, sphérique, etc.). Il est alors possible de prévoir que E et V ne
dépendent pas explicitement de certaines coordonnées du point M et qu'une ou deux composantes de
E dans une base appropriée sont nulles.
Notons d'emblée qu'il est souvent plus simple de calculer le potentiel, qui est une quantité scalaire,
et d'en déduire les trois composantes du champ éélectrique par E = — grad V . Cependant, lorsque la
distribution de charge présente une symétrie suffisante, il est parfois préférable de déterminer le champ
grâce au théorème de Gauss et d'en déduire le potentiel par intégration :
/E-ndS=— et V = - /*E • dr+ Cte
Js £o Je
la constante étant obtenue par des conditions aux limites, notamment V = 0 à l'infini lorsqu'il n'y a
pas de charges à l'infini.
I. — PREMIÈRES CONSIDÉRATIONS SUR LES SYMÉTRIES
Dans cette analyse introductive, nous nous proposons d'étudier directement, à partir des
expressions précédentes donnant E et V en fonction des distributions de charge les propriétés de symétrie du
champ et du potentiel associées aux symétries des distributions.

50
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
1.1. — Distribution de charge ayant un plan de symétrie
Une distribution de charge 2 possède un plan de symétrie électrostatique V si deux éléments
de volume, centrés en des points symétriques P et P' par rapport à V , contiennent la même charge
(Fig.4.1):
d q' = d q avec d q = p(P) d V et dq' = p(P') d V
Comme les volumes élémentaires sont égaux, p(P') = p(P).
Exprimons les contributions au potentiel, en deux points M et M' symétriques par rapport à V ,
des deux éléments de charge placés respectivement en P et P'. Il vient :
d V(M) =
1 fdq dq'
+
1
dq
(-
1
et de même :
4tt£0 \PM P'M) 4tt£0 * \PM P'M
1
d V{M')
dq
^- + -L
4tt£{) l \PM' P'M'y
Comme PM = P'M' et PM' = P'M, les potentiels d V(M) et d ^(M7) sont égaux. Il en résulte, en
intégrant que les potentiels en deux points symétriques sont égaux :
; V(M') = V(M)
M 9c.
Pou S
FlG. 4.1.
En ce qui concerne le champ, on a :
v? M'
dE(M) =
1
d<7
r
PM P'M
+
4tt€0 \PM3 P'M3
E(M) E,
E, symE(M)
FlG. 4.2.
et dE(M')
4tt£0
d^
PM' P'M'
+
PM'
•'M'*
P'M
Comme PM = P'M' et PM' = P'M, le champ élémentaire dE(M') est le symétrique du champ
d E(M). Il en résulte, en intégrant, que les champs produits en deux points symétriques sont symétriques
(Fig. 4.2) :
: E(M') = symE(M) soit En(M') ==--Ew(Af) et Er(Af;) = E,(M)
en explicitant les composantes du champ, perpendiculaires ou parallèles au plan V .

Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
51
Comme tout point S du plan de symétrie coïncide avec son symétrique, on a En (S) = 0 .
Ainsi, en tout point appartenant à un plan de symétrie électrostatique d'une distribution de charge,
le champ E est contenu dans ce plan.
Exemple : Champ électrostatique créé par un cercle chargé
Calculons le champ E créé par un cercle, de rayon R , uniformément chargé (charge linéique À ),
en un point M de son axe (Fig. 4.3).
Les plans méridiens Oyz et Ozx étant des plans de symétrie de la distribution, les composantes
Ey(M) et EX(M) sont nulles. Le champ s'écrit donc :
E = E7 e7 avec E7 =
47T€o
(/cSd/)-ez = ^/c
PM ez
PM3
d/
L'intégration est immédiate car PM = (R2 + z2)1/2 est une constante ainsi que l'angle 6 que fait PM
avec ez :
À cos# v _ XR z
ez
E7 =
x 2ttR d'où E
4tt€0 PM3 2e0 (R2 + z2)3/2
Notons que E est donné par une fonction impaire de z, ce qui était prévisible à partir des résultats de
l'analyse précédente : en effet, le plan Oxy étant aussi un plan de symétrie, on a :
E(M') - -E(M) d'où Ez(~z) = ~Ez(z) et E(0) = 0
Quant au potentiel, on le trouve aisément par intégration :
_A_ f AL - ÀR {
4^ Jc~PÂ~~
V(M) =
2e0 (R2 + z2)1/2
La fonction potentiel est bien symétrique : V(z) = V(—z) •
1.2. — Distribution de charge ayant un plan d'antisymétrie
Une distribution de charge S possède un plan d'antisymétrie électrostatique Q si deux éléments
de volume symétriques par rapport à Q contiennent des charges opposées (Fig. 4.1). On en déduit, de
façon analogue :
d q = - d q d'où p{P') = -p{P)

52
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
Exprimons les contributions au potentiel, en deux points symétriques M et M' par rapport à Q, de
deux éléments de charge placés respectivement en P et P'. Il vient :
dV(M)
' ■Yi-.U et l
dq
4tt€0 ^ \PM P'M
dV(M') = —î— dq ( — —
v ' 4ke0 H \PM' P'M'
Comme PM = P'M' et PM' = P'M, les potentiels d V(M) et d V(M') sont opposés. Il en résulte, en
intégrant, que les potentiels, en deux points symétriques, sont opposés :
y (M1) =--V(M)
D'autre part, un raisonnement analogue pour le champ donne :
dE(M)
1 /PM P'M \ , /x
M 777^ "7^1 ^ dE(M')
4tt€0 \PM3 FM3
1 , /PM7 P'M7
dq
47T£o
PM'3 P'M'3
Comme PM = P'M' et PM' = P'M, le champ élémentaire dE(M7) est l'opposé du symétrique du
champ dE(M). Il en résulte en intégrant que les champs, produits en deux points symétriques, sont
antisymétriques (Fig. 4.4) :
..E(M') = -symE(M) soit E„(M') = E„(Àf) et Ef(M;) = -Et{M)
E(M)
symE(M)/
.^
M,/..—•
V'\
^^^x.?Û''' ^V'' l-ÎM E(M)
"v .e;
2/^>.-
O
M"
->, ,^'
M'
Fig. 4.4.
Fig. 4.5.
En un point T du plan d'antisymétrie Q , on a donc : E,(7) = 0 . Ainsi, en tout point d'un plan
d'antisymétrie électrostatique Q, le champ électrique est normal à ce plan.
Notons que la relation sur les potentiels conduit à un valeur nulle de y en tout point T du plan
d'antisymétrie :
y (M') = -y'(M) entraîne V[T) = 0
On vérifie bien que le champ en T est normal au plan d'antisymétrie qui est l'équipotentielle 0 .
Exemple : Doublet électrostatique
Étudions le cas d'un doublet électrostatique formé de deux charges opposées, q et — q ( q > 0 ),
placées aux points P et /V, distants de a (Fig. 4. 5). En un point M du plan méridien V = Ozx qui est
plan de symétrie, le champ E est contenu dans ce plan. Le plan Q = Oxy étant un plan d'antisymétrie,
on a, en un point T de Q : V(T) = 0 et le champ E(7) est normal à Q . En outre :
E(M') = -symQE(M)

Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
53
Comme, par ailleurs, V = Oyz est aussi plan de symétrie, on a la relation établie en 1. 1 pour deux
points symétriques tels que M et M" ou M' et M'" :
E(M") = symp/E(M) et E(M'") = symp,E(M/)
Finalement, on a :
E(M") = E(Af') - -symQE(M) et E(M'") = E(M)
Il suffit donc d'étudier le potentiel et le champ seulement dans le premier quadrant (x > 0, z > 0 ).
II. — INVARIANCES DES SOURCES
Nous avons vu que les plans de symétrie ou d'antisymétrie permettaient de réduire les calculs aux
seules composantes non nulles du champ. Il est possible de simplifier encore davantage ces calculs en
prenant en considération des propriétés d'invariance des sources. Par exemple, en régime stationnaire,
la variable temps ne joue aucun rôle puisque le système est invariant par translation dans le temps,
c'est-à-dire par changement de l'origine des temps.
II. 1. — Modélisations spatiales des sources
Les distributions de charge sont souvent idéalisées pour faciliter l'analyse. Ainsi, lorsque la
distance entre le point M, où l'on calcule le champ et le potentiel, et la distribution de charge, qui les
crée, est très faible devant l'étendue des sources, on admet que la distribution de charge s'étend à
l'infini. Il en résulte une impossibilité d'adopter la convention habituelle pour le potentiel, à savoir V nul
à l'infini ; on convient alors d'adopter un autre choix, ce qui est toujours possible puisque, seule la
différence de potentiel a une signification physique.
II. 2. — Invariance des sources par translation le long d'un axe
Considérons une distribution telle que la charge volumique p soit invariante par une translation
d'un vecteur quelconque parallèle à Oz (Fig. 4.6) :
p(r' + a) = p(r/) soit p(x',y',z! + a) = p(x ,y',z')
On a alors :
dp = lim p(x',y':z' + a)-P(x',y',z') = Q
dz! a^o a
Ainsi, p ne dépend pas de z' '• p(r') = p(V, /) .
Le potentiel créé en un point M (x, 3;, z) a pour expression :
V(r) = V(x,y,z) = -^ f if-l\\ dV' aVeC d V' = dx'Ûy'd^
Calculons le potentiel en un point Af défini par r + a avec a = a ez. Il vient :

54
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
%k
O
r'/
H*
%
Va
TV
i?
a?
FlG. 4.6.
ce qui donne, en effectuant le changement de variable x" — x' — a :
; 4tt£o Js Ik-^H 47T£o A; ||r-r"||
puisque p(r" -f- a) = p(r") • Ainsi, lorsque les sources sont invariantes par translation, le potentiel V
et par conséquent le champ E = — grad V le sont aussi :
p{x' + a) = p{x') entraîne V(x + a) = V(x) et E(r + a) = E(r)
Il en résulte que, comme p , V et E ne dépendent pas de z :
<9V
l/(M) - V(x,y) Ez
dz
0 et E(*, y) - Ex(x?y) er + ^(x, y) ev
Remarque : Ce dernier résultat était prévisible puisque tout plan perpendiculaire à Oz est plan de
symétrie de 2.
Exemple : Plan uniformément chargé
Dans le cas d'un plan chargé Oxy, avec une densité surfacique a uniforme (Fig. 4.7), la
distribution est invariante par translation parallèlement aux axes Ox et Oy du plan. Par conséquent, E et
V ne dépendent que de la variable z le long de l'axe perpendiculaire à Oxy. On sait que (cf.
chapitre 2) :
E=(£)sgnWez d'où V= - f E-dr = - J Ez dZ = - / (£) sgn(,) dZ = - (£) |z|
en prenant l'origine des potentiels en z = 0 .
II. 3. — Invariance des sources par rotation autour d'un axe
Considérons une distribution 2 telle que la charge volumique p soit invariante par rotation autour
d'un axe Oz, c'est-à-dire que p(r') ne dépend pas de la variable azimutale <p' (Fig. 4.8) :
p(r')=p(r'±,z')

Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
Fig. 4.8.
r'± désignant la coordonnée cylindrique radiale afin d'éviter toute confusion avec la charge volumique.
Le champ électrique E(M) produit en un point M, de coordonnées cylindriques (r±,ç>,z), par
cette distribution, est contenu dans le plan méridien V = Or±z , qui est un plan de symétrie. On a donc :
E<p = 0 soit, puisque : E = — grad V :
1 dV dV
E9 = g-=0 5L=0 et V(M) = V(r±lZ)
r_\_ ocp ocp
Il en résulte que :
ErAM) = -d-^=Er±(r„z) et EZ(M) = -*%*> = Ez(r±,z)
dr\
dz
Ainsi, lorsque les sources sont invariantes par rotation, le potentiel V et par conséquent le champ
E = — grad V le sont aussi. Explicité en coordonnées cylindriques, ce résultat s'écrit :
V(M) = V(r±1z) et E(M) = Er± (r±,z) er + ^(ri,.*)>,
Exemple : Sphère chargée uniformément en surface
Une sphère chargée uniformément en surface, par exemple un conducteur sphérique, de rayon R,
est invariante par rotation autour de tout axe diamétral : la distribution de charge ne dépend d'aucune
variable angulaire ; elle vaut <jq pour r = R et 0 ailleurs. Elle ne dépend donc pas des coordonnées
sphériques angulaires 6, <p . Il en résulte que V(M) = V(r), d'où :
E = Er er avec Er = — -— = —;—
or dr
Ce résultat a permis d'établir, au chapitre 2, grâce au théorème de Gauss, l'expression du champ créé :
E
l Q
-z er pour r > R et E = 0 pour r < R
4tt€o r2
Le potentiel s'obtient alors aisément en intégrant et en choisissant V = 0 à l'infini :
h«--f"'-M<k)/ï
V=- / E-dr
1 Q
47T€o r
+ Cte
1 Q
4tt£ç) r

56
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
III. — EXEMPLES D'UTILISATION DES SYMETRIES
III. 1. — Distribution à symétrie plane
Un exemple important de distribution de charge S à symétrie plane est fourni par une feuille
plane d'épaisseur e ayant une charge volumique uniforme po (Fig. 4.9a). Pour calculer le champ et
le potentiel électrostatiques au voisinage de cette distribution, c'est-à-dire lorsque \z\ est très inférieur
aux dimensions latérales de S , on suppose celles-ci infinies, ce qui revient à négliger les effets de bord.
V
1
\x
4' V) A/7"
A ylvl
- Sy
a)
1.
4-+~y e
î
o
b)
FlG. 4.9.
Dans cette approximation, S est invariant par toute translation parallèle au plan Oxy. D'autre
part, tout plan passant par M et orthogonal à Oxy est également plan de symétrie. Le champ est donc
parallèle à ez. Par conséquent :
V(M) = V(z) et E(M) = - grad V(z) = E(z) = Ez ez
Comme le plan Oxy est plan de symétrie pour S , le champ électrique en tout point appartenant à ce
plan doit être contenu dans ce dernier : il est donc nul. Les valeurs de V et E, en deux points M et
M' symétriques par rapport à Oxy, vérifient les équations suivantes :
V(M) = V(M') soit V(z) = V(-z)
E,2(M) = -E„(M') soit Ez(z) = ~Ez{-z)
Ainsi, V(z) est une fonction paire et Ez(z) une fonction impaire de z. On en déduit la topographie des
lignes de champ et des équipotentielles : ce sont respectivement des droites parallèles à l'axe Oz et des
plans perpendiculaires à cet axe.
Le champ étant de la forme E(M) = E(z) ez, l'expression locale du théorème de Gauss :
divE
Po
£o
conduit à
ÙEZ
~dz
Po
^0
Pour tout point M intérieur à 2 , \z\ < e/2 : Ez = poz/eo + Cte . Comme Ez(0) = 0, la constante
est nulle et :
E(M) = ^ez
£o
Pour tout point M extérieur à S , \z\ > e/2 : Ez
continuité du champ en z = e/2 :
Cte. Cette constante est déterminée par la
Cie = Ez(e-) = ^ et
Z\2J 2e()
donc
E(M) = ^e,
2e0
Par symétrie, on en déduit E(M') = — p0eez/(2eo) pour z < —e/2 .

Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
57
En résumé, les expressions du champ à l'intérieur et à l'extérieur de la distribution sont
respectivement :
E/>? = — ez et Eex = ^£ sgn(z) e,
€q Z€q
On obtient le potentiel V en intégrant l'équation locale E :
-dV(z)
grad V qui donne :
dz
V(z)
-^z + Cte, si z>6- et y(z) =-^-z2+Cte2 si \z\ < *-
Z€q Z Z€q Z
Dans une telle modélisation, le potentiel ne peut être pris égal à 0 à l'infini. Rappelons que cette
représentation n'a de sens que si M reste au voisinage de la distribution. L'indétermination de la constante
qui apparaît est levée en choisissant arbitrairement l'origine des potentiels, par exemple dans le plan
équipotentiel Oxy. On a alors : Cte2 = 0. Par continuité de V(z), en z = e/2, on en déduit
Qei = poe2/(8eo). Le potentiel étant dans ce cas une fonction paire, nous trouvons finalement :
Vin
Po 2 of T/ Poe. , , Po<r
-■z— z et Vex = --—\z\ +
2eçT " '" 2eo 8e0
Les graphes des fonctions p{z), Ez(z) et V(z) sont représentés sur la figure 4.10, pour p0 > 0 .
-PI
2
e
2
a)
P*
W
a)
Ez>
2eo
-kl
,
â .
0 '
_P£
2e0
b)
Fig. 4.10.
Ez,
f
2e0
^
:o
~~1
a
2e0
b)
Fie
ï. 4.11.
z
z
c)
c)
Dans le cas où la distance \z\ est grande devant e , la distribution est assimilable à une distribution
surfacique de densité a (Fig. 4.11a) : dq = po d V = poe dS — a dS d'où a = p^e. Le champ
vaut alors (cf. chapitre 2) :
E:
2£0
sgn(z)e,

58
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
La distribution surfacique implique donc une discontinuité telle que :
ez-[E(z>0)-E(z<0)}
£o
soit nI2 ■ (E2 — Ei) =
cr
les indices 1 et 2 désignant les deux régions de l'espace délimitées par la surface chargée et n\2 la
normale à cette surface, orientée de la région 1 vers la région 2. Notons que cette discontinuité du
champ E est caractéristique d'une distribution surfacique (Fig. 4.11b). En revanche, le potentiel est
continu à la traversée de la surface (Fig. 4.1 le). Son expression est dans ce cas :
cr
v(,) = --N
III. 2. — Distribution à symétrie cylindrique
Soit une distribution, de charge volumique po uniforme dans un fil cylindrique de rayon R
(Fig. 4.12a). Pour calculer le champ et le potentiel électrostatiques, en un point M situé à une
distance r_\_ de l'axe de ce fil, faible devant sa longueur L, on modélise cette distribution par un fil
de longueur infinie. Ici aussi, nous noterons la coordonnée radiale cylindrique r_\_ en précisant que
||OM|| = (ri +Z2)1/2 .
a)
Fig. 4.12.
Dans cette approximation, la distribution est invariante par translation le long du fil et par rotation
autour de celui-ci. Ces invariances impliquent donc, en coordonnées cylindriques ( r±, cp, z ) :
V(M) = V(r±) et E(M) = - grad V(r±) = E(r±)
r± r±
Ainsi les lignes de champ sont radiales et les surfaces équipotentielles sont des cylindres d'axe Oz.
On obtient aussi E(M) en appliquant le théorème de Gauss : la surface fermée S, qui respecte
les symétries de la distribution et donc celles du champ, est un cylindre de rayon r± , d'axe Oz et de
hauteur h arbitraire, le système étant invariant par translation le long de Oz (Fig. 4.12b) :
<bE-ndS = [
Js Jv
E-nd<S = / — dV

Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
59
Le premier membre peut être décomposé en trois parties, ce qui s'écrit symboliquement :
f-hh!
i/o i/o| «/ O2 J S/
Sur les deux bases du cylindre «Si et <S2 , le flux de E est nul car E est tangent à ces surfaces
(E • n = 0). Pour la surface latérale «S/, n = er et :
/ E • n d<S = f Er± (rj_) d«S = Er± f dS = ErA2irrA
J Si J Si J Sf
h
Distinguons deux cas.
(l)Si r±^R f
Jv
(2) Si r± ^ R f
Jv
Po
Po
dV
El
£o
irRrh et EPX = —
Elit
£o 2r_
±
dV = —irr±h et
v £o £o
E -Elr-le
e0 2
Notons que le champ est continu à la traversée de la surface et qu'il est nul sur l'axe, comme cela
était prévisible par raison de symétrie, puisque E doit être contenu dans tout plan passant par l'axe
et que tout plan perpendiculaire à l'axe est également plan de symétrie. Le potentiel s'en déduit en
intégrant la relation E = — grad V = — (d V/ d r±) erL :
R2
(l)Si r± ^R, V(M) = - ——lnr_L+Cte
£0 2
Dans ce modèle, où il y a des charges à l'infini, le potentiel ne peut être pris égal à 0 pour r
infini ; comme précédemment, choisissons un potentiel de référence, par exemple celui du cylindre équi-
potentiel de rayon arbitraire Rq> R.l\ vient :
V(*)-0 e, V^,--^ -.(£
2
(2) Si r± ^ R , V(r) = j=- -f- Cte . Cette dernière constante est déterminée par continuité
du potentiel à la surface du fil. II en résulte
V(r±)
Po
£o
R2
R2 ( R
Les graphes des fonctions p(r±), ErL(r_\_) et V(r±) sont représentés sur la figure 4.13.
Po
O
R
ErJr±)\
a)
V(rJ
c)
Fig. 4.13.

60
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
Lorsque la distance r± est très grande devant R, on peut négliger la section du fil et définir ainsi
une distribution linéique de charge répartie uniformément le long de l'axe. La charge linéique À est
alors reliée à la charge dq de l'élément de longueur d / par (cf. chapitre 1) :
d q = pottR2 d / = À d / avec À = PottR2
En un point M, distant de r±_ de l'axe (i? « a « L), le champ et le potentiel ont alors pour
expressions respectives :
E(M)
• er± et V{M)
27T€o V^O
2tt€0 rj_
La figure 4.14 représente les graphes p(r±), ErL(r±) et V(r±) dans ce cas limite.
PITjH
ErJr±)\
-r\_
V(rL)
r±
a)
b)
Ha
c)
. r±
FlG. 4.14.
III. 3. — Distribution à symétrie sphérique
Considérons une distribution de charge 2 isotrope autour d'un point O pris comme origine
(Fig. 4.15). Le champ et le potentiel prennent, en coordonnées sphériques (r, 6. <p), les formes simples
suivantes :
E(M) = Er{r) er et V(M) = V(r)
z,
^/___
/
■ a
,
";0\y
~f*ïl
^X
f^r
^^S^^^ V
m\
W^x\
'"yj V
FiG.4.15.
Le calcul de Er(r) s'effectue aisément à partir du théorème de Gauss, appliqué sous sa forme
intégrale à une sphère S de rayon r. Sur la surface, la normale extérieure coïncide avec le vecteur
unitaire er et le champ est de norme constante. Donc :
EndS = Er xAirr1 = — et E =
-e,-
Atteç) r2
À une distance r, il est identique à celui produit par une charge ponctuelle Q\n placée à l'origine.

Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
61
Examinons l'exemple simple d'une distribution surfacique uniforme sur une sphère de rayon R ; il
est important car, comme nous le verrons ultérieurement, les charges d'un conducteur en équilibre sont
réparties en surface (cf. chapitre 8).
(1) Si r>R :
Er = ^3— 3 et V(r) =
4tt€o r2
4tt€o r
la charge totale Q étant reliée à la densité surfacique uniforme <tq par : Q = 4ttR2<jo .
(2) Si r < R, Qin = 0 . Il en résulte que :
Er = 0 et V = Cte
cette constante étant déterminée à partir de la continuité de V en r = R : Cte = Q/(4tt€oR) . Les
graphes Er(r) et V(r) représentés sur la figure 4.16 sont relatifs au cas où Q > 0 .
p(r)
OLl
R
CM
O
V{r)
O
R r
Fig.4.16.
R"
La discontinuité du champ à la traversée de la surface chargée vérifie bien la relation donnée
précédemment : ni2 • (E2 — Ei) = (To/eo, où les régions 1 et 2 désignent respectivement l'intérieur et
l'extérieur de la sphère, ni2 la normale orientée selon er et <ro = Q/(4ttR2) la charge superficielle
uniforme.
Lorsque le rayon de la sphère est très faible devant la distance r, seules les valeurs du potentiel et
du champ à l'extérieur sont utiles. La distribution radiale de la charge, désormais localisée en O, est
sans effet ; on retrouve ainsi le concept de charge ponctuelle déjà introduit (cf. chapitre 1) ; la figure 4.17
représente les graphes p{r), Er(r) et V(r) dans ce modèle de charge ponctuelle.
p(r)
Ol
Er(r}
O
y(r)f
FlG.4.17.
Remarque : Un autre cas important de distribution sphérique a été étudié au chapitre 3, lorsqu'on
a cherché à déterminer l'énergie électrostatique d'une sphère uniformément chargée en
volume. En faisant R très faible devant r, on retrouve, dans ce cas aussi, le concept
de charge ponctuelle. Cette modélisation est souvent adoptée pour décrire les particules
élémentaires (électron, proton, noyau, etc.).

62
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
IV. — SYMETRIES ET PRINCIPE DE CURIE
IV. 1. — Principe de Curie
Nous avons établi, à l'aide des lois de l'électrostatique, que les propriétés de symétrie ou d'anti-
symétrie des distributions de charge, sources des phénomènes électrostatiques, se retrouvaient dans les
champs et les potentiels qui permettaient d'analyser les effets produits. Ce résultat est en réalité la
manifestation d'un principe général en physique, appelé principe de Curie, du nom du physicien français
P. Curie : les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits.
Ce principe s'appuie, non pas sur la nature singulière de telle ou telle loi de la physique, mais plus
largement sur la nature mathématique des grandeurs physiques considérées : scalaire, vecteur, tenseur
antisymétrique d'ordre deux, symétrie, antisymétrie, etc.
Nous nous proposons de retrouver, à l'aide ce principe, les résultats établis précédemment.
IV. 2. — Invariance des lois de l'électrostatique au cours d'un déplacement
Le référentiel du laboratoire peut être considéré comme inertiel, c'est-à-dire que, dans ce référen-
tiel, le principe de l'inertie est vérifié : un corps abandonné en tout point de cet espace conserve sa
vitesse quelle que soit sa direction (cf. Mécanique). Dans le cas où l'on néglige l'interaction
gravitationnelle devant l'interaction électrostatique, il n'existe donc ni origine ni direction privilégiées : on dit
que l'espace est homogène et isotrope.
L'expérience montre que les résultats d'une expérience d'électrostatique s'interprètent à l'aide des
mêmes lois en des lieux différents et suivant des orientations différentes. Il en résulte que les équations
traduisant les lois physiques doivent de transformer dans un déplacement de façon à respecter cette
invariance.
Considérons une charge ponctuelle q située en P (Fig. 4.18). Elle crée un champ électrique E et
un potentiel V , d'expressions respectives au point M :
E(M) = -!-^ et y{M)^J-J-
v ; Atte{) PM3 v ; 4tt€0 PM
Effectuons un déplacement dans l'espace qui amène la charge située au point P en P' et le point M
en M'. L'invariance des lois de l'électrostatique sous un tel déplacement permet d'écrire les nouvelles
valeurs du champ et du potentiel en M' sous la forme :
1 a'Y'M' 1 a'
E(M) E'(M') = E(M)
^^^^^^^^ E(M') ^ E(M)
P P'
FlG.4.18.
Comme un déplacement ne modifie ni les distances ( PM = P'M' ) ni la charge ( q = q' ), il vient :
E/(Af') = -J_îI^ et Vf(Mf) = -^-^- = V(M)
v ; 47TS0 PM3 v ; 4tt€0PM v ;

Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
63
Ainsi, le champ E(M) créé par une charge se transforme comme le vecteur PM et le potentiel V(M)
est égal à V'{M'). Cependant, aucun renseignement ne peut être obtenu sur la topographie du champ et
du potentiel, c'est-à-dire sur leurs valeurs en différents points de l'espace, car en général :
E(M') ^ E(M) et V(M') / V(M)
IV. 3. — Application du principe de Curie à l'électrostatique
Soit une distribution des sources 2 présentant une symétrie telle qu'un déplacement fasse
coïncider la nouvelle distribution des sources 2' avec la distribution initiale; l'opération géométrique S
correspondante est dite de recouvrement. Cette opération de symétrie S pour la distribution 2 (sources)
est aussi une opération de symétrie pour les effets (champ et potentiel), ce que l'on traduit par :
2 -^+2' = 2 entraîne p'{P)=p{P)
et, en un point M quelconque :
E'(M) = E(M) et V'(M) = V(M)
En particulier, au point M' qui coïncide avec le transformé de M par l'opération S , on a également :
E'(M') = E(M') et V'(M') = V(M')
Comme, d'autre part, le potentiel se transforme selon V'{M') = V(M), nous obtenons :
V(M') = V(M)
Le potentiel prend donc la même valeur au point M et au point M' qui coïncide avec le transformé
de M sous l'opération de recouvrement S .
En ce qui concerne la relation entre les valeurs du champ E en deux points distincts, il est
indispensable d'établir les lois de transformation d'un vecteur par déplacement. Dans la suite, nous
n'envisageons que les deux cas particuliers les plus importants.
a) Invariance des sources par translation le long d'un axe
Soit une distribution continue de charge 2 caractérisée en chaque point P par une charge volu-
mique p{P). En raison de F extension finie des distributions réelles, une translation T ne peut être une
opération de recouvrement. Cependant, pour calculer le champ et le potentiel en un point M, au
voisinage d'un fil ou d'une surface chargée, on peut considérer que la distance entre M et ce fil, ou cette
surface, est faible devant l'étendue de la distribution.
Exemple : Fil rectiligne
Un fil, de section quelconque mais uniforme, chargé avec une densité volumique p, elle aussi
uniforme, forme une distribution invariante par translation le long de son axe (Fig. 4.19a).
En effet, si cette distribution 2 est translatée parallèlement à l'axe du fil d'un vecteur a , la
nouvelle distribution 27 coïncide avec 2 : p'(P) = p{P) • Par conséquent, le champ et le potentiel sont
inchangés, et en un point M quelconque :
E7(M) = E(M)
En particulier, au point M', tel que MM7 = a (Fig. 4.19b), on a :
E'(M') =E(M7)

64
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
Comme d'autre part une translation T ne modifie pas un vecteur, ni donc la valeur du champ
électrostatique : E'(M') = T{E(M)} = E(M), nous obtenons finalement :
E(M') = E(M) et V(M') = V(M)
T = ae
lp
=*
M
a)
E'(M)
E(M)
M'
T = a e?
M
E(M')
E(M)
b)
FlG. 4.19.
Repérons M par ses coordonnées cartésiennes x,y, z, et choisissons l'axe Oz parallèle au fil. Les
relations ci-dessus s'expliquent, en posant a = aez :
E(x,y,z + a) = E(x,y,z) et V(x,y,z + a) = V(x,y,z)
Ces relations doivent être vraies quel que soit a, puisque toute translation a ez est une opération de
recouvrement pour les sources S. Le système est invariant par translation le long de Oz, d'où la
limitation du nombre des variables indépendantes aux deux coordonnées x et y. Par conséquent, on
écrira :
E(M) = E(x,y) et V(M) = V(x,y)
b) Invariance des sources par rotation autour d'un axe
Considérons une distribution de charge volumique p uniforme, telle que toute section
perpendiculaire à une direction soit circulaire (Fig. 4.20a). Si l'on fait subir à cette distribution, une rotation 1Z
d'un angle çq autour de cet axe, la nouvelle distribution X' coïncide avec S : p'(P) = p(P) . Cette
opération de symétrie pour S l'est aussi pour E . Ainsi, en un point M quelconque, on a :
E'(M) =E(M)
En particulier, au point M' qui coïncide avec le transformé de M par rotation 7Z, on a également :
E'(M') = E(M')
Comme, d'autre part, la transformation d'un vecteur par rotation s'écrit P7]^ = 7^{PM} , où 7Z est
l'opérateur de rotation associé, il vient (Fig. 4.20b) :
Finalement
E\M') =1Z{E{M)}
E(M') = 7Z{E(M)} et V(M') = V(M)

Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
65
E(M) M ^-e(M)
b)
FlG. 4.20.
Si nous choisissons de repérer la position de M dans un référentiel par ses coordonnées
cylindriques (r±,<p,z), l'axe de rotation coïncidant avec Oz, il vient :
V(r±,ç> + <p0,z) = V(r±,<p,z)
Or cette relation doit être vraie quel que soit cpo , puisque toute rotation d'angle quelconque ç>q autour
de Oz est une opération de recouvrement pour S et donc pour E et V . Par conséquent le système
est invariant par rotation autour de Oz. Cette invariance permet de limiter le nombre des variables
indépendantes aux deux coordonnées r± et z . Aussi écrit-on : V(M) = V(r±, z) .
L'explicitation de la valeur de E en M' en fonction de celle en M est plus complexe que pour
le potentiel. Cependant, l'invariance du champ par rotation se traduit par celle de sa valeur à
condition d'expliciter celle-ci dans une base qui subit la même rotation. Ainsi, en projetant E(M) dans la
base tournante (erj_, e^, ez) associée aux coordonnées cylindriques, on obtient une valeur indépendante
de <p :
Er±(M) = Er±(r±,z) EV(M) = Ev(r±,z) EZ(M) = Ez(r±,z)
Nous voyons donc que le choix du système des coordonnées et de la base de projection permet dé limiter
le nombre des variables indépendantes. A chaque type d'invariance liée aux symétries particulières d'un
système, on peut associer un système de coordonnées approprié. Retenons que :
i) l'invariance d'un système par translation parallèlement à un plan (symétrie plane) est
commodément décrite en utilisant les coordonnées cartésiennes ( jc, y, z ),
ii) l'invariance d'un système par rotation autour d'un axe (symétrie cylindrique) l'est en utilisant
les coordonnées cylindriques (rj_, <p, z),
iii) enfin, l'invariance d'un système par rotation autour d'un point (symétrie sphérique) l'est en
utilisant les coordonnées sphériques (r, 0, <p).
Remarque : Les propriétés de symétrie d'un système électrostatique sont analysées ici à l'échelle
macroscopique et non à l'échelle microscopique où les symétries sont généralement plus
faibles.
IV. 4. — Lois physiques et symétrie par rapport à un plan
Soit l'opération géométrique de symétrie par rapport à un plan V , notée S/V . Au cours d'une
telle opération, chaque point M est transformé en son image M1 (Fig. 4.21a). Comme la droite
devient la gauche et réciproquement, l'espace image est inversé : un trièdre direct (d, e2, es) tel que e3
coïncide avec ei x ^ devient inverse : e^ coïncide avec -e{ x ef2 . La plupart des lois physiques,
dont celles de l'électrostatique, sont invariantes sous une telle opération de symétrie par rapport à un
plan. L'image dans un plan d'une expérience d'électrostatique-est une expérience d'électrostatique
réalisable.

66
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
$ m.
e'i te'3
a)
E(Af)
E'(M')
PM'
b)
FIG.4.21.
Reprenons l'exemple simple d'une charge q située en P, et soient E(M) et V(M) les valeurs
du champ et du potentiel au point M (Fig. 4.21b). L'invariance de la loi de Coulomb par S/V permet
d'écrire :
1 q'V'M ..,,_„,, 1
E'(M')
et V'(M')
4
4tt60 />'M'3 " ' v'" y 4tt€0 P'Mf
Comme cette opération est une isométrie, P'M' = PM. D'autre part, on admet que q' — q : on dit
que la charge présente un caractère scalaire, par opposition à d'autres grandeurs, qualifiées de
pseudoscalaires, qui se transforment en leurs opposées. Il en résulte que :
E'(M')
1 <?P'M'
4tTۍ) PM3
et V\M')
1
4tt€0 PM
V(M)
Le caractère scalaire de la charge électrique implique donc que le champ électrique en un point est
représenté par un vecteur qui se transforme, dans la symétrie par rapport à un plan, comme un vecteur
habituel. Le potentiel électrostatique, lui, est un scalaire.
Projetons PM et P'M' dans la base d'un même repère Oxyz tel que V coïncide avec le plan
Oxy (Fig. 4.21b). Si X, F, Z sont les coordonnées de P et x,y,z celles de M, nous avons :
/>(X,r,Z)^V(X,K,-Z) et M{x,y,z)^M'(x,y,-z)
Alors : (P'M')x = (PM), = x-X, (P'M'^, = (PM)>; = y - Y et (P'M7); = -(PM)Z = -(z-Z).
Le vecteur E^M7), symétrique de E(M) par rapport à V , est représenté par un vecteur de
composantes :
E'X(M') = EX(M) E'y(M') = Ey{M) et E'z(Mf) = -EZ{M)
Ainsi, là composante tangentielle au plan est la même, alors que la composante normale est changée en
son opposée. Retenons donc, si M' est le transformé de M dans l'opération de symétrie par rapport à
un plan, alors :
V'(M') = V(M) et E'(M') = symE(M) soit E,'(M') - E,(M) et E,',(M') = -E„(M)
Remarque : Certaines lois physiques ne sont pas invariantes par inversion de l'espace. On dit qu'elles
ne conservent pas la parité. Parmi les interactions fondamentales, seule l'interaction dite
faible, responsable de la désintégration (3 des noyaux, ne respecte pas cette invariance.
Cette différenciation par inversion de l'espace est connue en chimie sous le nom de chira-
lité.

Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
67
IV. 5. — Conséquences
a) Cas d'un plan de symétrie
On dit qu'une distiibution de charge S possède un plan de symétrie électrostatique V lorsque
l'opération de symétrie par rapport à ce plan ne la modifie pas : p'(P) = p(P) (Fig. 4.22).
E'(Af)
V
x
E(M)
E(Af') = symE(Af)
b)
FlG. 4.22.
Conformément au principe de Curie, cette opération doit laisser le champ E et le potentiel V
inchangés. Ainsi, en un point M quelconque :
E'(M) = E(M) et V'(M) = V(M)
En particulier, au point M' symétrique de M par rapport à V , on a également :
E'(M') = E(M') et V'(M') = V(M')
Comme d'autre part, les valeurs de E et de V se transforment dans l'opération de symétrie par rapport
à un plan selon :
E'(Af') = sym E(M) et V'(Af') = V(M)
il en résulte les relations suivantes entre les valeurs du du potentiel et du champ créés par S aux deux
points M et M' :
V(M') = V(M)
et:
E(M') = sym E(M) soit Et(Mf) = E,(M) et En(Mf) = -E„(M)
b) Cas d'un plan d'antisymétrie
Lorsqu'une opération de symétrie par rapport à un plan Q change une distribution de charge S
en son opposée : p'(P) = —p(P) , on dit que le plan de symétrie géométrique Q est un plan
d'antisymétrie électrique pour S . Conformément au principe de Curie, cette opération doit changer le champ
et le potentiel en leurs opposés. Ainsi, en tout point M , on a :
E'(M) = -E(M) et V'(M) = -V(M)
En particulier, au point M', symétrique de M par rapport à Q , on a également :
E'(M') = -E(M7) et V'(M') = -V{Mf)
Comme, d'autre part, les valeurs du champ et du potentiel se transforment dans l'opération de symétrie
par rapport à un plan selon :
E'(M') - sym E(M) et V'(Af') = V(M)

68
4. Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
nous obtenons finalement :
V(M') = -V(M)
et:
E(M/) - -sym E(M) soit E,(Af') = -Ef(M) et En{Mf) = E„(M)
En un point T du plan d'antisymétrie Q ( M' = M = 7), alors : V(7) = 0 et Et(T) = 0
CONCLUSION
Retenons les points essentiels.
(1) Le champ électrostatique E produit par un système de charge est contenu dans les plans de
symétrie et il est orthogonal aux plans d'antisymétrie de la distribution de charge.
(2) Pour tout système invariant par translation le long d'un axe, les valeurs de E et V en un point
M ne dépendent pas de la coordonnée de M suivant cet axe.
(3) Pour tout système invariant par rotation autour d'un axe, les valeurs de V et les composantes
de E dans la base tournante ne dépendent pas de la coordonnée angulaire correspondante.
(4) Lorsqu'une distribution de charge présente certains éléments de symétrie, le principe de Curie
permet d'affirmer que le champ et le potentiel créés par cette distribution possèdent ces mêmes éléments
de symétrie.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P4- 1. Sphère uniformément chargée en volume
1. Etablir les expressions du champ électrostatique et du potentiel produits, en un point quelconque,
par une distribution volumique de charge répartie uniformément dans une sphère de rayon R .
2. Calculer les valeurs correspondantes du champ, dans le cas d'un noyau de baryum, de charge
56 <? et de rayon R = 6,3 fm , aux distances R/2 et 2R .
P4- 2. Demi-sphère uniformément chargée en surface Cw^
Une demi-sphère, de rayon R, est chargée uniformément en surface, avec une densité u .
1. Montrer que le champ électrostatique, au centre O de la face plane non chargée, est normal à
cette face.
2. Calculer sa valeur sachant que R = 5 cm et que la charge totale est Q = 0,5 nC .
3. Quel serait le champ au point O produit par deux calottes hémisphériques identiques formant
une sphère de centre O ?

Symétrie des distributions de charges et symétrie des champs
69
P4- 3. Disque uniformément chargé Cweb)
1. Établir l'expression du potentiel créé sur son axe Oz par un disque plan, de rayon R ,
uniformément chargé avec une densité o~.
2. En déduire le champ électrostatique créé. Calculer la valeur du champ sur l'axe dans le voisinage
du disque et à l'infini, pour o~ = 8 nC • m-2 . Représenter graphiquement Ez(z).
3. Retrouver le cas du plan infini.
P4- 4. Champ électrostatique créé par deux plans infinis chargés ( a, — a )
1. Quelles sont les symétries d'un système de deux plans parallèles, et distants de e chargés
uniformément avec des densités surfaciques opposées <j et — <j ?
2. Trouver les expressions du champ et du potentiel créés par cette distribution. Application au cas
où a = 5 nC • m-2 et e = 2 |mm : calculer la valeur du champ à l'intérieur et celle du potentiel sur les
deux plans.
P4- 5. Ligne bifilaire
1. Etablir les expressions du champ et du potentiel électrostatiques créés par deux fils parallèles
chargés uniformément avec des densités linéiques opposées À et — À .
2. Quelle est la forme des équipotentielles ? Situer géométriquement l'équipotentielle V = 120 V ,
sachant que a = 0,3 m , À = 5 nC ■ m- ' .
P4- 6. Champ électrostatique créé par un plan percé ^web>
1. À l'aide de la superposition linéaire des champs, trouver le champ électrostatique créé par un
plan, percé d'un trou circulaire de rayon R , et chargé uniformément avec la densité o~.
2. Calculer la valeur du champ au centre du trou, et sur l'axe à une distance z — R, dans le cas où
a= 15nCm~2.
P4- 7. Modèle quantique de l'atome d'hydrogène
La théorie quantique permet d'établir que la charge électronique d'un atome d'hydrogène dans
l'état fondamental est répartie autour du proton, avec une densité pe = Aexp(—2r/ao) où A est une
constante et ao le rayon de Bohr ( oq = 53 pm ).
1. Déterminer A . On donne la primitive de u2 exp(—u) : — (u + 2u + 2) exp(—u).
2. Calculer le champ et le potentiel électrostatiques créés par cet atome.
3. Discuter les cas extrêmes où r/ao ^ 1 et r/ao <$: 1 .
P4- 8. Champ et potentiel électrostatiques créés par une distribution à symétrie
sphérique CwebT)
On considère la distribution de charge formée par une sphère (rayon R\ = 10 cm), de
charge Q = 1 nC, répartie uniformément en volume, entourée par une couche sphérique (rayons
R2 = 14 cm et /?3 = 15 cm ), de charge —Q répartie uniformément en volume.
1. Etablir les expressions du champ et du potentiel en tout point de l'espace.
2. Calculer la valeur maximale du champ ainsi que le potentiel correspondant.

Dipôles électrostatiques
Les dipôles électrostatiques sont constitués de deux charges opposées dont la distance est très
faible devant les distances d'observation. Ils tirent leur importance de la structure électrique globalement
neutre des corps à l'état naturel. En outre, certains corps se comportent spontanément, ou sous l'action
d'un champ électrique excitateur, comme des dipôles électrostatiques. C'est ainsi que les molécules
peuvent souvent être considérées comme des dipôles microscopiques, d'où l'importance de l'étude en
chimie.
Il convient d'abord de préciser la définition d'un dipôle électrostatique et d'exprimer le potentiel et
le champ qu'il crée en tout point.
I. — DIPOLE ELECTROSTATIQUE
1.1. — Définition
Rappelons qu'un doublet électrostatique est l'ensemble de deux charges opposées q et —q,
maintenues à une distance constante a l'une de l'autre (cf. chapitre 4). Les conventions d'écriture sont fixées
sur le schéma de la figure 5.1 : au point P est placée la charge positive q et en N la charge négative
—q . On a :
NP = aez = 20P = -20N
Un dipôle électrostatique est un doublet électrostatique pour lequel la distance a est très inférieure aux
distances d'observation : r ^> a avec r = OM .

Dipôles électrostatiques
71
1.2. — Potentiel électrostatique créé par un dipôle
Le potentiel créé en un point M par un doublet s'obtient en effectuant la somme algébrique des
potentiels créés par chacune des charges :
V{M) = _^_ ( J L
où l'on a imposé V(oo) = O.Or M = ||PM|| = ||r - a*z/2\\ = (r2 + a2/4 - ar cos 0)x/2 et
MM = (r2 + a2/4 -f- arcosO)^2 . Il en résulte, en développant PM~X et NM~~] en fonction des
puissances de a/r :
V(r)
1
47T€o r
a cos 6
a cos 6
2r
+ ■
1 qa cos 0
4tT£q
La quantité p = qa , norme du vecteur p = gNP, apparaît naturellement. D'où :
V(r) =
1 p cos 6
47T€0
1 p r
4tt€o r3
soit
V- =
1 p-er
47TS0.
en introduisant er = r/r. Il en résulte qu'un dipôle est uniquement caractérisé par le vecteur p, appelé
moment dipolaire électrique, et que le potentiel qu'il crée décroît comme 1/r2 , les termes en \jr
s'annulant en raison de la neutralité électrique de l'ensemble. L'unité SI de moment dipolaire est le
coulomb-mètre ( Cm).
1.3. — Champ électrostatique créé par un dipôle
Le champ électrostatique créé, au point M, par le doublet s'obtient en effectuant la somme
vectorielle des champs créés en ce point par chacune des charges, d'où :
E(r)=EP(r)+E„(r)
q / PM NM \_ q f r - aez/2 _ r + aez/2
4^~0 \PÂP ~ ~NM3) ~ 4^0 V||r-ae,/2||3 " ||r + «ez/2||
La distribution des charges étant invariante par rotation autour de l'axe Oz du doublet, la topographie
est indépendante de l'angle azimutal <p des coordonnées sphériques. On peut la représenter dans un plan
méridien quelconque passant par l'axe MP. On trouve le champ E(r) en effectuant les développements
limités :
E(r)
a
47T€o r?>
4tt€o >*3
q
(-h)
or • e7 a
4r2
-3/2
(r + h)
or ■ e7 a
1 + T"i +
4r2
-3/2 >
/ a \ ( ^ 3 or - ez
47T€o r?>
3qr . ,
aez + - -(aez •!■) + ■••
1
/ a x / 3 ax • e7
3(p r)r p
47T€or5
d'où
'E-.~=
47T€o
1 3(p--er)er-p
iTTSç) r3
On en déduit les composantes de E dans la base des coordonnées sphériques :
1 2pcos6 1 ps'mO
E-er
47T£0
E-ee
47T€q
et
E-ett

72
5. Dipôles électrostatiques
On peut retrouver l'expression vectorielle du champ à l'aide de la relation : E
cices). Quant aux composantes, on les obtient aisément selon :
Er
dV_
' dr
1 2/7 cos 6
4tt€o
dV
rd6
psïnO
47T€o
et
grad y (cf.
Exerce
rs\r\6d(p
0
Notons la décroissance en 1/r3 du champ électrostatique produit par un dipôle, les termes en 1/r2
s'annulant en raison de la neutralité électrique de l'ensemble.
1.4. — Lignes de champ et équipotentielles d'un dipôle
On obtient l'équation différentielle de la famille des lignes de champ en écrivant l'équation
vectorielle : E x d r = 0 qui exprime que E est parallèle à un élément d r de ligne. On a donc :
dr rd6 . dr Er d6 2cos#dé>
Er Eq r Ee sin0
ce qui donne par intégration :
In f —— j = ln(sin2 6) soit r = Cte x sin2 6
Quant aux surfaces équipotentielles, elles ont pour équation :
1 pcosO ^ . n r
V=- —5—= Cte soit r = r0\/|cos#|
47T€o
ro étant la valeur maximale de r correspondant à 6 = 0 pour une équipotentielle donnée. En chaque
point, autre que l'origine, ne passent qu'une surface équipotentielle et une ligne de champ. Sur la figure
5.2, on a représenté, dans un plan méridien, les lignes de champ et les équipotentielles. Notons que ces
réseaux de courbes sont orthogonaux puisque le champ E est perpendiculaire aux équipotentielles.
Fig. 5.2.
Remarques : (1) La zone centrale de la figure a été exclue car, dans cette région, l'hypothèse o<r de
définition du dipôle n'est pas satisfaite.
(2) Le dipôle électrostatique peut également être défini comme la limite du doublet
lorsqu'on fait tendre a vers 0 et q vers l'infini de telle sorte que le moment dipolaire soit
fini : p = qa = Cte .

Dipôles électrostatiques
73
II. — DIPOLE DANS UN CHAMP ELECTROSTATIQUE
II. 1. — Actions subies par un dipôle dans un champ appliqué
a) Force et moment résultant des actions d'un champ uniforme sur un dipôle
Les actions d'un champ appliqué Efl sur un doublet sont représentées par l'ensemble des deux
forces (Fig. 5.3) :
F, = qEa(P) et F2 = -qEa(N) de somme F = F, + P2
Si le champ est uniforme, Efl(P) = Ea(N), la force résultante est nulle : F = 0 . Les actions se réduisent
à un couple dont le moment, que l'on peut calculer en n'importe quel point, TV par commodité, est :
r = NP x qEa
En faisant tendre a vers 0 de telle sorte que p = qa reste fini, on obtient le moment du couple auquel
est soumis le dipôle :
r.= P-xEfl
Notons que F est nul si p est colinéaire aux lignes du champ appliqué Ea .
b) Cas d'un champ non uniforme
En notant x,y, z les coordonnées du point M où est placé le centre d'un doublet NP (Fig. 5.3) et
( a, /3, y ) les composantes de NP dans la base ( eA, ev, ez ), la composante F\iX de Fj s'écrit :
fa (3 y\ ( a B y
F\Jx = qEajX U+ 2"^+ ^'z+ 2 ) et de même F2;x = -qEa,x lx- ^y ~ ^z~ 2
Il en résulte l'expression suivante de Fx :
\ ^ f a B y\ { a f3 y
On obtient l'expression pour un dipôle en effectuant un développement limité au premier ordre en
a, (3, y , soit :
8F 8F 8F
F* = qa^r+^-dy-+q7^r
que l'on note symboliquement Fx = (p • grad)ZsfljJC, puisque qa , q/3 , qy sont les composantes de
p = <?NP.

74
5. Dipôles électrostatiques
On a donc, en généralisant aux deux autres composantes :
F=(p grad)E,
Quant au moment, en un point O quelconque, des actions qui s'exercent sur le dipôle placé au point
M, il a pour expression : T0 = OP x qEa(P) — ON x qEa(N), soit :
r0 = p x Ea(o)
II. 2. — Énergie potentielle d'interaction d'un dipôle rigide et d'un champ appliqué
Considérons l'interaction d'un doublet de moment dipolaire p avec un champ appliqué Ea . Si le
doublet est rigide, c'est-à-dire si p ne dépend pas de Ea , l'énergie d'interaction s'obtient en sommant
les énergies potentielles de chacune des charges qui le constituent avec le champ. On a donc :
£Pte = q[Va(P)-Va(N)]
Si P et N sont très voisins à l'échelle des variations de Va , le doublet apparaît comme un dipôle et on
a sensiblement :
Va(P)-Va(N) = -Ea(M).XP
M étant le point où est placé le dipôle. Par conséquent, l'énergie potentielle d'interaction d'un dipôle
rigide avec le champ appliqué Efl a pour expression :
-£Pie = ~P • Efl =- -pEa cos 6
où 6 désigne l'angle (Efl, p) que fait le moment dipolaire avec le champ appliqué.
Dans le cas d'un champ non uniforme, l'énergie potentielle dépend à la fois de la position du dipôle
et de son orientation par rapport au champ en ce point.
On sait que la position d'équilibre stable est celle qui correspond à une valeur minimale de
l'énergie potentielle (cf. Mécanique). Cette condition est réalisée lorsque le dipôle est aligné avec le champ
appliqué ( cos 6 maximal et donc 6 = 0 ) et qu'il se trouve dans les régions de forte intensité du champ
( Ea maximal). Notons que le dipôle est toujours attiré vers les sources du champ appliqué quel que
soit leur signe. La position 6 = tt , pour laquelle le moment est nul, correspond à une valeur
maximale de l'énergie potentielle. C'est donc une position d'équilibre instable.
Le dipôle étant rigide, on a :
F = - grad £Pie = grad(p Efl)
Dans le cas où Ea est uniforme, les expressions précédentes permettent de retrouver des résultats
déjà établis :
d£
F = 0 et T = pxEfl puisque T0 = -^ = —pEa sin 6

Dipôles électrostatiques
75
Remarque : Ces dernières expressions de F et F peuvent être obtenues à partir de la relation de
définition de l'énergie potentielle d'interaction entre un dipôle rigide et un champ appliqué.
En effet, on a :
-d£Pte = ÔW = F • d\ + T • de
ôW désignant le travail élémentaire des actions qu'exerce le champ sur le dipôle au cours
d'un déplacement élémentaire constitué d'une translation dl et d'une rotation d0.
Exemple : Énergie potentielle d'interaction d'une charge et d'un dipôle
L'énergie potentielle d'interaction d'une charge ponctuelle q , située à l'origine, et d'un dipôle, de
moment p, placé en r = OM, a pour expression :
Le dipôle est donc soumis à la force :
q 3(p ■ er)er - p
F = -grad^ = 448rad(E?)
4tt€o \ r2 J 4tt€o r3
Cette force est bien l'opposée de celle qE que le dipôle exerce sur la charge q. Quant au moment
résultant, il vaut :
r = pxEo = J^^
4ttۍ) r1
Comme ce moment est nul lorsque p et er sont alignés, le moment dipolaire p tend à s'aligner suivant
le rayon vecteur r.
II. 3. — Énergie potentielle d'interaction de deux dipôles
L'interaction électrostatique de deux dipôles rigides est caractérisée par quatre paramètres qui
sont représentés sur la figure 5.4a : rJ2 — ||AiA2|, 6\ = (ri2,pi), 02 = (i"i2,P2) et l'angle
<P = (ri2 x Pi, ri2 x P2) entre les plans définis par (ri2, Pi ) et (rJ2, p2) .
C21 Pi • \ A2
-<>-^ -<>^ -<>*- '
p2 \ Ai ; p2
A
P, D2
a) b)
FlG. 5.4.
*P2
Pour exprimer l'énergie potentielle d'interaction de ces dipôles, il suffit de déterminer l'énergie
potentielle du dipôle 2 dans le champ créé par le dipôle 1. Le champ Ej, créé par le dipôle A\ , au
point A2 où se trouve le dipôle 2, a pour expression :
t? (a \ x 3(Pi • ei2)ei2 — Pi ru
Ei [Ai) = = avec el2 = — et rJ2 = r2 - n
4tt£o r\2 r\2

76
5. Dipôles électrostatiques
D'où l'énergie potentielle d'interaction des deux dipôles ;
ç n v (A x ] Pi -P2-3(pi -ei2)(p2-e12)
£Ple = -P2 « E, (A2) = — ^
Cette expression, invariante lorsqu'on permute les indices 1 et 2, montre que l'interaction varie en r\2
et qu'elle ne dépend pas uniquement de la norme de 1*12 ; cette force n'est donc pas centrale.
Étudions les positions d'équilibre stable du système dans le cas où les deux dipôles appartiennent
à un même plan (<p = 0) et où rI2 est constant. Pour cela, explicitons £Pi6 en fonction de 6\ et 62 :
— ^ [cos(02 - 0,) - 3cos0, cos02] = -r*—1^1 '—
4ttۍ) r\2 Aires r\2
£pe = r— [cos(02 — 6\) — 3cos0i cos02] = ^— (sin0i sin 62 — 2cos0i cos02)
En annulant la dérivée de £Pye par rapport à 6\ , on obtient la condition d'équilibre :
d£pe 1 p\p2 , . „ „ „ . „ x . tan02
—— = t— (sin02cos0i + 2cos02sin0i) = 0 soit tan#i=
d0, 4tt€0 r]2 v ' 2
L'équilibre est stable si :
0 p,e = ^^ (-sin02sin0, + 2 cos 92 cos 01 ) > 0
d202 4tt£0 r32
Sur la figure 5.4b, on a représenté quatre configurations stables du système pour lesquelles le dipôle 1
est placé à l'origine O et le dipôle 2 occupe successivement les points A2,Z?2, C2 et Z)2 sur un cercle
décentre A\ et de rayon n2 :
i) 0i=O, d'où 02 = 0 ; les moments dipolaires sont parallèles et dirigés suivant rI2(/\2 ).
ii) 0i = 7r/2 , d'où 02 = — 7r/2 ; les moments dipolaires sont parallèles entre eux et tous deux
perpendiculaires à ri2(Z?2).
iii) 0i = 77 , d'où 02 = 77 ; cette configuration est identique à la première ( C2 ).
iv) 0i = —77/2 , d'où 02 = 77/2 ; cette configuration est identique à la deuxième (D2 ).
III. — APPROXIMATION DIPOLAIRE
III. 1. — Potentiel créé par une distribution de charges ponctuelles en un point éloigné
Considérons une distribution de charges ponctuelles {#,-}, situées en des points {Pj} intérieurs à
un volume V de l'espace (Fig. 5.5). Le potentiel créé en tout point M par cette distribution est :
V(M) = —Y^
Choisissons une origine quelconque O dans V . On a, en posant OM = r et OPz = rz :
v J 4tt€o ^ ||r - r,-|| 477£0 z^ r
puisque ||r — rz|| = (r2 — 2r • rz + r?)1/2 .
21
2r • rz rj
1 + —
rL r1
-1/2

Dipôles électrostatiques
11
Supposons que M soit très éloigné de tout point de V , il vient alors r, <C r pour tout /, et donc :
V(r)
1
47T€0
£?
r r, 3 / r • r,- \ 2 rf
1 +—^ +
(^)'
2 V r
2r2
+
puisque :
,-^+îT"2
i . Llli _ zL i 3 f2r'ri
+ ■
r2 2r2 8 V >*2
Ainsi V(r) se met sous la forme d'une somme de plusieurs contributions :
V(r) = Vb(r) + V,(r) + V2(r) + .-.
où
1 1 ^
est la contribution unipolaire
4tt€o r
1 1
J2^
Vo(r)
V/2(r)
1
47T€o r
^E^-
f(n-e,)2-f
est la contribution dipolaire
est la contribution quadrupolaire...
Remarque : Ce développement multipolaire est identique à celui fait en mécanique dans l'étude du
champ de gravitation : les charges sont remplacées par les masses et la constante (Airso)" '
par l'opposée de la constante de gravitation G (cf. Mécanique).
M
FlG. 5.5.
III. 2. — Distribution unipolaire
Lorsque la charge totale de la distribution Q = ]T\ qx est différente de zéro, la distribution est
qualifiée & unipolaire. Introduisons l'origine au barycentre K des points Pt affectés des charges
électriques qi :
E,- g**
OK
E/#
En choisissant l'origine en K, la quantité E,^/'r/ est al°rs nuile et la distribution se comporte, à des
termes de troisième ordre près, comme une charge ponctuelle Q = ^\ qf, puisqu'on a alors :
V(r)
1 Q
4tteo r

78
5. Dipôles électrostatiques
Remarque : On ne confondra pas le barycentre électrique K et le centre de masse C, barycentre
mécanique des points affectés des masses. En mécanique, ]P;. m,- ^ 0 ; le terme unipolaire
est donc prépondérant dans le développement.
III. 3. — Distribution dipolaire
Dans le cas où Q = ^ qx■ = 0, le barycentre K n'est plus défini. Le premier terme non nul du
développement de V(r) s'écrit alors :
en introduisant le moment dipolaire de la distribution :
i
Montrons que V ne dépend pas du choix de l'origine. Si O' est une nouvelle origine, on a, en effet :
V = J24<OP< = J2^°°' + °'P<) = ( Yl* ) 00/ + Y,*'°/p' = QOO' + V' = V
puisque 2 = 0. Ainsi, la distribution se comporte, au cinquième ordre en \Jr près, comme un dipôle
de moment dipolaire V. Lorsque cette distribution se réduit à deux charges opposées, on retrouve
évidemment le dipôle étudié précédemment :
V = qOP - 40N = <?NP = p
Dans le cas de distributions volumique, surfacique ou linéique de charges, la formule donnant le moment
dipolaire se généralise selon :
V=[p(r')r'dV V= [ a(r')r'dS ou V = / A(r;) r' d/
Jv Js Je
III. 4. — Distribution quadrupolaire
Il peut arriver que *P soit également nul. C'est par exemple le cas d'une distribution à symétrie
sphérique. Le terme suivant du développement limité est caractérisé par un moment quadrupolaire [D]
dont l'explicitation dans une base orthonormée fait apparaître neuf composantes de la forme :
i
où Xja et xip sont les composantes du vecteur position rz de la /eme charge suivant les vecteurs de base
ea et e^ . On démontre alors, si Q = 0 et V = 0 , que le moment quadrupolaire [D] est indépendant
de l'origine choisie.

Dipôles électrostatiques
79
Le terme quadrupolaire du potentiel s'explicite, dans le système d'axes Oxyz, selon :
4tt€o 2r5
1
— Y^Qi [x2(2xj -yf-£) + ••- + 6xyxiyi + • • ■ ]
4tt€0 2r5
Etudions le cas particulier important où la répartition des charges présente la symétrie de révolution
autour d'un axe Oz (Fig. 5.6).
<p* \--yr
■ 3o
•"o.l....
Fig.
5.6.
En raison de la symétrie cylindrique, les sommes comportant une puissance impaire de xt ou y;
s'annulent contrairement aux sommes Dxx = ^2fqixf et Dyy = Y2i^iyf °lu^ sont égales. On a donc :
V2(r) = i h Ç* tx2(x? -z<}+y2{xf ~ z>]+z2{2z* ~^
soit :
en posant :
d = J2 n&ï -x' - yf) =2D* - D" -*>»- = 2(°zz - a«)
Puisque z = rcos 6 , V2 s'écrit, en coordonnées polaires :
V2(r) = -L- ^-A2z2 -x2 -y2) = ^-^z2 - r2) = -L-^(3cos20 - 1)
v y 4tt€o 4r2 v ^ y 47T£0 4r5 v J 4tt€0 4r3 v J
Remarque : (1) Notons que D s'exprime à l'aide de quantités analogues aux moments d'inertie en
mécanique (cf. Mécanique) :
D = 2(J0x-Joz) où J0x = ^i(yf + ^) et J0z = Y^qitë+tf)
i
(2) Le terme unipolaire est caractérisé par un scalaire Q qui est un tenseur d'ordre 0 , le
terme dipolaire par un vecteur V qui est un tenseur d'ordre 1 , le terme quadrupolaire
[D] par un tenseur d'ordre 2, etc. Pour des distributions telles que 2 = 0, V = 0 et
[D] = [0],..., on définit des moments multipolaires d'ordre plus élevé.

80
5. Dipôles électrostatiques
IV. — MOMENTS DIPOLAIRES DES ATOMES ET DES MOLÉCULES
IV. 1. — Moment dipolaire permanent
Dans leur état fondamental, les atomes sont neutres et ont une distribution de charge à symétrie
sphérique. Ils n'ont donc pas de moment dipolaire. Lorsqu'ils s'associent pour former des molécules, ils
mettent en commun un certain nombre d'électrons pour former les liaisons. La molécule est également
neutre, mais, selon sa symétrie, T> est nul ou non. Ainsi, les molécules n'ayant pas de centre de symétrie
électrique possèdent un moment dipolaire permanent. C'est le cas de HC1, H2O , CO et NH3 . Celles
qui, comme O = C = O, présentent un centre de symétrie, n'ont pas de moment dipolaire mais possèdent
un moment quadrupolaire.
Examinons le cas de la molécule de gaz chlorhydrique HC1 : le chlore, plus électronégatif que
l'hydrogène, attire les deux électrons qui participent à la liaison. Le barycentre des charges négatives se
trouve donc, en moyenne, déplacé vers l'atome de chlore. Il en résulte un moment dipolaire dirigé du
chlore vers l'hydrogène. Sa valeur p = 3,43 x 10-30 C • m , obtenue expérimentalement, est équivalente
à celle du dipôle formé de deux charges élémentaires opposées, distantes de :
p 3,43 x 10"30 ^
1 = 1,602 xl0-""2°pm
Cette distance est très faible devant la longueur moyenne de la liaison qui vaut ici : a = 126 pm.
Elle constitue une mesure du caractère partiellement ionique de la liaison. En effet, dans une liaison
purement ionique, les ions portent une charge égale à un multiple de la charge élémentaire, d'où le
moment dipolaire p = qa. On mesure également la polarité de la liaison par le rapport p/(eà) du
moment dipolaire vrai à celui de deux charges élémentaires distantes de a . Ce rapport varie de 0 , pour
une liaison covalente pure, à 1 , pour une liaison ionique pure. Le tableau 5 .1 donne les moments
dipolaires de molécules en debye, du nom du chimiste américain P. Debye :
1 D = 1/3 x 1(T29 « 3,33 x 1CT30 C • m
Molécule
P(D)
H20
1,86
NH3
1,5
HC1
1,03
CO
0,12
co2
0
CH4
0
Remarque : L'existence du moment dipolaire de la molécule d'eau permet d'expliquer la déviation
d'un jet d'eau par le champ créé par une règle en plastique ou un bâton d'ébonite électri-
sés. Comme le prévoit la théorie précédente, les molécules polaires sont attirées vers les
sources de champ.
IV. 2. — Moment dipolaire induit. Polarisabilité
Un atome, une molécule ou un ion, dont le moment dipolaire est nul à l'état fondamental, acquièrent
un moment dipolaire sous l'action d'un champ appliqué, puisque les charges de signes différents sont
sollicitées dans des sens opposés. Les barycentres des charges positives et négatives ne coïncidant plus, il
apparaît un moment dipolaire induit. Dans l'approximation linéaire valable pour des champs excitateurs
suffisamment faibles, ce moment dipolaire induit est proportionnel au champ appliqué Ea , ce que l'on
traduit par :
p = ae0Ea
La quantité a, dont la dimension physique est celle d'un volume, est la polarisabilité de l'édifice
(cf. chapitre 24).

Dipôles électrostatiques
81
IV. 3. — Interaction entre une charge et un édifice polaire
a) Dipôle rigide
L'énergie électrostatique d'interaction entre une charge qa et un dipôle rigide, de moment dipo-
laire p , a pour expression :
qa 1 qap • er
£,
-p,e
P E„
P A 2e'
47T€orZ
47T€o
Exemple : Solvatation d'un ion
Dans un solvant à molécules polaires, tel que l'eau, les ions d'un électrolyte en solution s'entourent
d'un certain nombre de ces molécules en raison de l'interaction charge-dipôle. Ce phénomène est appelé
la solvatation de l'ion, précisément hydratation si le solvant est de l'eau. Par exemple, le sulfate de
cuivre, Q1SO4, en solution dans l'eau, est constitué d'ions Cu2+ entourés de 4 molécules d'eau
(Fig. 5.7a) et d'ion SO \~ associé à 1 molécule d'eau. Notons que l'ion Cu 2+ hydraté a une structure
plane carrée mais non tétraédrique comme l'ion Zn 2+ solvaté par des molécules polaires d'ammoniac
(Fig. 5.7b).
NH3 Jk
n: %
H20
\Cu2+/
H,0
H2G
zn2+ri.
^
.qsà^s
^—" ~"X
H20
-^
a)
b)
Fig. 5.7.
b) Dipôle induit
Pour déterminer l'énergie potentielle d'un dipôle induit, de moment dipolaire p, et d'un champ
appliqué JLa , nous devons considérer que, lors d'une variation dEa du champ appliqué, le moment
dipolaire induit varie suivant d p = a €0 d Ea . Il en résulte une variation d £Pie = — Ea • d p de l'énergie
potentielle du dipôle. On a donc :
£».
-ae0
Efl-dEtf d'où £.
ae0
El
1
'P,e
acà
47T€() STTr4
1
:P Efl
IV. 4. — Interactions dipôle-dipôle
L'interaction électrostatique dipôle-dipôle a été introduite par J.D. van der Waals en 1873, dans le
cas des molécules, afin d'interpréter les écarts des gaz réels par rapport au gaz parfait (cf.
Thermodynamique).

82
5. Dipôles électrostatiques
a) Interaction de van der Waals
Les forces de van der Waals sont répulsives lorsque la distance entre les molécules est très faible
car elles s'opposent à l'interpénétration des nuages électroniques, ce que l'on exprime en introduisant
leur volume (covolume).
En revanche, elles sont attractives lorsque cette distance est suffisante. On attribue cette attraction
à trois types d'interaction mettant en cause des dipôles rigides ou induits :
i) les forces entre molécules polaires (dipôles rigides), dites de W. Keesom (physicien néerlandais),
ii) les forces entre une molécule polaire (dipôle rigide) et une molécule polarisable (dipôle induit),
dites de Debye,
iii) les forces moyennes entre les dipôles induits instantanés, qui apparaissent même lorsque les
molécules ne sont pas polaires, dites de F. London (physicien américain).
Dans le cas des dipôles rigides, l'énergie électrostatique est négative (attraction) et varie comme
r~4 . Pour le montrer, calculons l'énergie d'interaction entre deux dipôles rigides, de moments dipolaires
Pi et p2 :
c v j? ] 3(p2-er)er-p2
£Pe = -Pi ' E2 avec E2 = ^
E2 étant le champ créé par le dipôle 2 au point où se trouve le dipôle 1. Par conséquent :
ç cte -, . r à£pe aCte
r5 dr r
On montrerait de façon analogue que les interactions dipôle rigide-dipôle induit ou dipôle induit-dipôle
induit conduisent à des forces en r-7 . Cette décroissance très rapide de la force de van der Waals avec
la distance permet d'expliquer sa très courte portée et par conséquent son influence lorsque le milieu est
suffisamment dense.
b) Liaison hydrogène
L'interaction entre molécules polaires, de type Keesom, est rendue très importante par la présence
de l'atome d'hydrogène, car ce dernier, en raison de sa petite taille, interagit aussi avec les atomes
différents des autres molécules. C'est elle qui est à l'origine de la liaison hydrogène.
Sur la figure 5.8a, on a représenté en pointillés la liaison hydrogène entre un atome d'hydrogène et
l'atome de fluor de la molécule de fluorure d'hydrogène voisine. Cette liaison, à l'origine de la structure
tétraédrique de la glace, permet d'expliquer la faible compacité de l'eau solide (Fig. 5.8b).
hVh
MO
if' F^
a)
FIG. 5.8.
H
HO
/ ■!!- \
/ W \
O ^H
b)

Dipôles électrostatiques
83
CONCLUSION
Rappelons les points importants.
(1) Le dipôle électrostatique est entièrement caractérisé par son moment dipolaire p . Placé à
l'origine, il crée en tout point M(r) le potentiel et le champ d'expressions respectives :
V(r) = -L-^ et E(r) = -L3(P-^-P
(2) Soumis à l'action d'un champ appliqué Ea , un dipôle rigide subit les actions (force et moment)
suivantes :
F = grad(p Efl) et T = p x Efl
L'énergie potentielle associée a pour expression :
£p,e = —P ' Ea
(3) Les structures électriques globalement neutres sont assimilables, en première approximation, à
une distribution dipolaire de moment électrique :
V = J2^
(4) Enfin, l'interaction entre les dipôles microscopiques que forment les édifices atomiques et
moléculaires joue un rôle décisif dans l'interprétation des forces de cohésion des milieux matériels. Le
chapitre 24 sur les mécanismes microscopiques de la polarisation permettra d'illustrer l'importance
physique du dipôle électrique.
EXERCICES ET PROBLEMES
P5- 1. Champ électrostatique et potentiel créés par un dipôle
1. Rappeler l'expression du potentiel V créé par un dipôle situé en O , en un point M de l'espace,
en fonction de son moment dipolaire p et du vecteur r = OM .
2. En déduire le champ électrique E à l'aide de la relation E = — grad V .
3. Calculer le champ et le potentiel pour r = 1 m, 0 = tt/3 sachant que p = 0,5 nC • m .
4. En quels points d'un plan méridien le champ électrique est-il perpendiculaire au moment
dipolaire ?
P5- 2. Moment dipolaire de la molécule d'eau
La molécule d'eau H 2 O a un moment dipolaire de 1, 85 D. Sachant que la distance O-H est
a = 97 pm et que l'angle que font entre elles les deux liaisons O-H vaut 6 = 104, 30° , quelle est la
fraction a de charge élémentaire du doublet O-H ?

84
5. Dipôles électrostatiques
P5- 3. Molécule de gaz carbonique CwebT)
Dans un modèle de la molécule CO 2 , on considère que l'atome de carbone, placé à l'origine, porte
la charge 2q ( q > 0 ) et que les deux atomes d'oxygène, situés en (0,0, à) et (0,0, —à), a désignant
la longueur des liaisons C=0, portent la charge — q .
1. Calculer la charge totale, le moment dipolaire et les composantes non nulles du moment quadru-
polaire de cette molécule.
2. Donner l'expression du potentiel et des composantes du champ en des points éloignés de
l'origine.
P5- 4. Dipôle dans un champ uniforme
On superpose un champ électrique uniforme Ea = Ea ez et le champ d'un dipôle de moment p ez
placé à l'origine des coordonnées. À quelle condition le champ résultant présente-t-il une équipotentielle
sphérique ? Trouver le rayon de cette équipotentielle.
P5- 5. Moment dipolaire d'une distribution surfacique ^^
On considère une distribution surfacique de charge, de densité u = cq cos 6, sur une sphère de
centre O et de rayon R : o~o est une constante et 6 = (Oz, OP) désigne l'angle que fait le vecteur
position OP d'un point P de la surface avec la direction déterminée Oz . Calculer la charge totale et
le moment dipolaire de cette distribution.
P5- 6. Énergie électrostatique propre d'un doublet
1. Calculer l'énergie électrostatique propre d'un doublet de charges élémentaires (—e,e) et de
moment p = ea . A.N : a = 0, 1 nm .
2. Quelle est l'énergie potentielle d'interaction de ce même dipôle avec un champ appliqué de
105 Vm-1 ?
P5- 7. Interactions dipolaires ^E>
1. Un dipôle de moment pi = p\ ez est placé à l'origine des coordonnées O. Au point de
coordonnées cartésiennes (0,0, a), on place un dipôle de moment P2 . Calculer la force qui s'exerce sur P2
dans les deux cas suivants : P2 = P2 ez et P2 = Pi e* •
2. Même question avec p] = p\ ex .
P5- 8. Hydratation carrée de l'ion Cu 2+
L'ion Cu 2+ est hydraté par quatre molécules d'eau, de moment dipolaire p , placées aux sommets
d'un carré, de côté a , centré sur lui.
1. Montrer que l'énergie potentielle électrostatique de l'ion hydraté a pour expression :
£Ple = 4£,+4£2 + 2£3
où £\ , 82 et £3 sont des énergies dont on donnera la signification physique.

Dipôles électrostatiques
85
2. Trouver 8\ en fonction de a et p . En déduire la relation numérique entre 8\ en eV , a en
nm et p en D.
3. En utilisant la formule donnant l'énergie d'interaction entre deux dipôles, déterminer £2 et 83
en fonction de a et p. Comparer 8\ , 82 et 83 sachant que /? ~ 1D et a ~ 0, 1 nm.
P5- 9. Solvatation tétraédrique de l'ion Zn 2+ par l'ammoniac ^î^
L'ion Zn2+ est hydraté par quatre molécules d'ammoniac, de moment dipolaire p, placées aux
sommets d'un tétraèdre régulier centré sur lui. On désigne par r la distance qui sépare le centre du cube,
occupé par l'ion, des huit sommets dont quatre sont occupés par les molécules d'ammoniac, et par a la
distance entre deux molécules d'ammoniac.
1. Montrer que l'énergie potentielle électrostatique de l'ion hydraté a pour expression :
£Ple = 4£, + 682
où 8\ et 82 sont des énergies dont on donnera la signification physique.
2. Établir la relation entre r et a . En déduire le cosinus de l'angle a que font deux dipôles voisins
entre eux.
3. Trouver 8\ en fonction de a et p . En déduire la relation numérique entre 8\ en eV, a en pm
et p en D.
4. En utilisant la formule donnant l'énergie d'interaction entre deux dipôles, déterminer 82 en
fonction de a et p. Comparer 8\ et 82 pour p « 1D et a ~ 0,1 nm.
P5- 10. L'interaction de van der Waals entre atomes d'hélium
L'énergie potentielle de van der Waals entre les atomes d'hélium peut se mettre sous la forme
suivante :
^^[exp^-^J -d(y) J
où 8q = 178 eV, r est la distance entre les atomes, a = 2, 1 et ro = 52,9 pm . Sachant que la distance
re qui sépare les deux atomes à l'équilibre est re = 5, 85 ro , calculer la valeur du facteur d et l'énergie
potentielle pour r = re .
P5- 11. Moments d'une distribution surfacique sphérique de charge
Deux sphères concentriques, de rayons R\ et R2 , portent respectivement les charges Q et — Q
réparties de façon uniforme sur leurs surfaces.
1. Quelles sont les charges surfaciques sur chaque sphère ?
2. Calculer le moment dipolaire de la distribution.
3. Montrer que le moment quadrupolaire n'est pas nul.

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
Un milieu matériel contient en général un ensemble considérable de porteurs de charge, situés à
des distances microscopiques les uns des autres, inférieures ou de l'ordre de 1 nm. Une description qui
nivelle les détails de l'échelle microscopique s'impose donc. Les distributions sont alors caractérisées
par des grandeurs moyennes macroscopiques.
Parmi les milieux matériels, les conducteurs jouent un rôle essentiel. Dans de tels milieux, certains
porteurs de charge sont libres de se déplacer sur des distances macroscopiques, sous l'action d'un champ
électrique par exemple. De tels déplacements forment les courants électriques et l'étude systématique
du mouvement de ces charges est Y électrocinétique.
Il convient tout d'abord de définir les grandeurs qui caractérisent les courants.
I. — ELECTROCINETIQUE
1.1. — Charge volumique
Considérons une distribution de porteurs de charge dans laquelle chaque porteur P, a une masse m,
et une vitesse v, par rapport au référentiel du laboratoire 1Z . Admettons que ces porteurs soient
ponctuels, ce qui revient à négliger leurs structures internes.
En chaque point P de la distribution, la charge volumique macroscopique p est définie par :
1
A/V
7=1
où la sommation est effectuée sur les À7V charges contenues dans un élément de volume àV entourant
P ; les dimensions de cet élément sont grandes devant les distances interatomiques, mais faibles devant
la distance d'observation (Fig. 6.1).
J(P)
Fig. 6.1.

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
87
Les différents porteurs de charge peuvent être répartis en plusieurs groupes (électrons, protons,
anions ou cations particuliers) caractérisés par une même valeur qa de la charge. La charge
volumique pa associée à un type déterminé de particules s'écrit alors :
1 A
Pa = -i--hNaqa = naqa
&Na étant le nombre de porteurs a contenus dans l'élément àV et na = ANa/àV leur densité
volumique. La charge volumique totale p est donc la somme des charges volumiques partielles pa :
p = Ât? £qa^Na = £qa~^y = £ qaUa = Ylpa avec pa = Ha qa
a a a a
Remarquons que, dans un milieu neutre ( p = 0 ), les densités volumiques de charges pa , de signes
opposés, peuvent atteindre des valeurs très élevées.
1.2. — Courant volumique
On caractérise le transport de matière associé à une particule de masse m,, animée d'une
vitesse V;, par sa quantité de mouvement m,-v,-. De même, on caractérise le transport de charge en
introduisant la quantité gzvz. Il est alors naturel de définir, en chaque point P de la distribution, le vecteur
courant volumique J par :
1 A/V
Le calcul de J s'effectue en plusieurs étapes. D'abord, on sépare les divers types a de porteurs :
£±Na
J = Â^£*«> v
a j=\
On définit ensuite la vitesse moyenne, appelée aussi vitesse de dérive de l'ensemble des porteurs a,
par :
Va = ÂÂT ^ VaJ
a j=\
Il en résulte que J peut se mettre sous la forme :
J = -r^- ^2 kNaaaxa = £ J« avec J« = naqa\a = pa\a
a a
Le vecteur courant volumique total apparaît ainsi comme la somme vectorielle des courants volumiques
partiels. Notons que, parmi les différents types de porteurs a, seuls participent au courant électrique
ceux dont la vitesse de dérive \a n'est pas nulle, alors que tous contribuent à la charge volumique.
Les lignes de courant sont les courbes tangentes en chaque point au vecteur courant volumique J .
Remarque : La condition \a = 0 traduit une isotropie de la distribution des vitesses \aj et non
nécessairement le repos de toutes les charges qa . On montre, dans une approche
statistique de l'équilibre, que la répartition des vitesses des particules est isotrope
(cf. Thermodynamique) ; chacun des courants partiels Ja est dans ce cas nul. En
revanche, un courant volumique total J nul peut être observé hors de l'équilibre ther-

88
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
modynamique ; il traduit alors une compensation entre les différents courants partiels.
Dans l'exemple simple d'un morceau de matière neutre (p = ^apa = 0) en
mouvement de translation, à la vitesse V par rapport au référentiel d'observation, le courant
associé à chaque type a de particules n'est pas nul ( Ja = pa\ ^ 0 ), alors que le
courant volumique total l'est :
j = J2 J«= J2p«v = vI>« = °
a a a
1.3. — Intensité du courant électrique
Dans les matériaux conducteurs, on distingue habituellement deux catégories de charge. Les unes
fixes ou liées, dont l'amplitude des déplacements reste microscopique, ne participent pas au courant
volumique macroscopique en régime stationnaire. Les autres, mobiles ou libres, peuvent se déplacer
dans l'ensemble du matériau ; aussi sont-elles seules à contribuer au courant macroscopique. Ainsi,
dans le cuivre, en moyenne, un électron par atome se déplace librement dans le réseau des ions Cu +
fixes.
Si p, pf et pm représentent respectivement les charges volumiques totale, fixe et mobile, on a
évidemment :
P = Pf + Pm
Notons que les lois de l'électrostatique, théorème de Gauss par exemple, font intervenir la charge
volumique totale p, alors que les lois qui régissent le mouvement macroscopique des charges ne font
intervenir que pm . Dans un milieu neutre (p = 0), la densité des charges mobiles, souvent très
importante, est compensée en tout point par celle des charges fixes (py = —pm) •
Lorsqu'il n'existe qu'un seul type de charges mobiles de densité pm et de vitesse de dérive
moyenne v, le vecteur courant volumique s'écrit simplement :
L intensité du courant électrique qui traverse une surface orientée S est définie par le flux du vecteur J,
à travers cette surface :
/= fj-ndS
Pour un élément de surface dS autour d'un point P dans un milieu matériel, le courant élémentaire
correspondant à pour expression :
d/^Jnd^^ pm v • n d S
si la distribution ne contient qu'un type de charge mobile. Ainsi, l'intensité d'un courant est une grandeur
algébrique : elle est positive si le sens positif arbitrairement choisi pour n coïncide avec le sens de
déplacement des charges positives ; sinon elle est négative :
pour pm > 0 d / = pm v • n d S > 0 si v • n > 0
L'unité SI d'intensité est l'ampère (A), du nom du physicien français A.M. Ampère. La définition de
cette unité s'appuie sur l'interaction entre deux courants rectilignes, distants de 1 m (cf. chapitre 13).
Le courant volumique s'exprime donc en A.m _2 . La norme de J représente le courant qui traverse
l'unité de surface perpendiculaire à J (Fig. 6.2) :
/=||j|| = f^ avec d£ = dScos6> et 0=(n,J)

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
89
L'intensité d/ , qui traverse l'élément de surface dS, est donc :
dl — pmvdScos6
Dans cette expression, pmvdScos6 dt est la charge mobile ôqm contenue dans un cylindre d'axe
parallèle à v, s'appuyant sur l'élément de surface dS et de longueur vdt. L'intensité d/ représente
donc la charge 8qm qui traverse dS pendant l'unité de temps : d/ = 8qm/ d t.
i z
^pff^Sff5» !^^r ys
dE = d£cos6>
FlG. 6.2.
Pour une surface quelconque S, l'intensité / représente la charge mobile totale ôQm qui traverse
cette surface, dans le sens défini par la normale n , pendant l'unité de durée :
/ =
SQm
dt
1.4. — Exemples et ordres de grandeur
a) Matériaux solides conducteurs
Dans une installation électrique domestique, un courant, d'intensité I = 10 A, qui circule dans un
fil métallique de section s — 1 mm2 , admet un vecteur J de norme égale à :
/= - = 107 A m"2
s
Dans le cuivre, qui est l'un des métaux conducteurs les plus utilisés, le nombre d'électrons par unité de
volume ne est égal au nombre d'atomes par unité de volume ; comme M = 64 g est la masse molaire
du cuivre et p* = 8 960 kg • m-3 sa masse volumique, on a :
NA
NAp* 6,02 x 1023 x 8 960
M/p*
M
0,064
8,4 x 102* m
NA étant le nombre d'Avogadro. On en déduit la charge mobile volumique et la vitesse de dérive
associée à un courant volumique de 107 A • m~2 :
pm = -nee = -13,5 x 109 C-irT3 et v = -—r ^0,74 x 10~3 m-s"1 =0,74 mm-s"1
\Pm\
Notons la faiblesse de cette vitesse de dérive.
b) Matériaux solides semi-conducteurs
Dans les semi-conducteurs, la conduction est assurée par deux types de porteurs, les électrons et
les trous (cf. chapitre 7). Par exemple, dans le silicium, on a :
J = Je+ Jt = neeve + ntevt avec ne
12,5 xlO15 m"3 et nee = 2 x 10"3 Ci

90
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
Comme une valeur typique de J est :
J = 64 x 10~6 A-m"2 avec Je = 48 x 10-6 A • m"2 et Jt = 16 x 10~6 A ■ m~2
ve et ^ valent respectivement :
Je 48 x 10~6 _ , 7, 16xl0~6 0
i>e = — = — ——r = 24 mm • s et vt = — = — 1„ ~ = 8 mm • s '
rcee 2 x 10"3 nee 2 x 10~3
c) Matériaux liquides ou gazeux
Dans ces matériaux, tous les porteurs de charge (électrons et ions) sont mobiles et évoluent parmi
des entités neutres (atomes et molécules).
Considérons une solution d'un électrolyte fort, de formule chimique MpXq , de concentration
molaire C, qui se dissocie entièrement selon :
MpXq —> pMz+ + qXz~
Les porteurs sont des cations Mz+ , de charge z+e, et des anions Xz~ , de charge z~e. Leurs
densités volumiques sont respectivement n+ = CpNA et rc_ = CqNA . Les charges volumiques
correspondantes s'écrivent alors :
p+ = Cpz+NAe = Cpz+F et p_ = Cqz-F
F désignant la constante de Faraday du nom de physicien et chimiste anglais M. Faraday :
F = NAe « 96500 C . La neutralité de la molécule MpXq conduit à l'équation : pz+ + qz~ = 0 . Le
courant volumique total s'écrit donc :
J = Cpz+F(\+ - v_)
v+ et v_ désignant les vitesses de dérive des différents ions.
Remarque : Nous avons négligé le rôle joué par les ions du solvant car leur concentration est souvent
très faible devant celle des ions de l'électrolyte.
d) Courants d'électrons dans l'espace vide d'un canon de microscope électronique
Dans un microscope électronique, le courant d'électrons du faisceau est de quelques dizaines
de microampères : / ~ 50 |ulA . Si l'échantillon étudié reçoit un faisceau corpusculaire de diamètre
D = 60 |mm , il vient :
/ 50xl0~6 _2
18 kA-m l
ttD2/4 tt x 302 x 10"12
Comme la vitesse des électrons est, dans un microscope de tension d'accélération 100 kV, de l'ordre de
0,5 c , c étant la vitesse de la lumière dans le vide (cf. Relativité), on en déduit la charge volumique :
pe = -- = - 1770° , =-0,12x 10~3 C-m-3 soit n, = -^=0,75x 109 m-3

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
91
\5
;;/.:
.iï=.
JS
yJ
y
n
Z <\
1
tr
II. — CARACTERE CONSERVATIF DE LA CHARGE
II. 1. — Caractère conservatif de la charge électrique et équation intégrale
Nous savons que la charge électrique est une grandeur conservative (cf. chapitre 1). Entre deux
instants voisins t et t+d t, la variation d Q de la charge contenue dans une surface fermée délimitant un
système de volume V doit être attribuée exclusivement à un échange avec le milieu extérieur (Fig. 6.3) :
dQ = ÔQr
V
Fie. 6.3.
L'intensité / du courant qui traverse, à l'instant t, la surface S enfermant le volume TJ vaut :
I = é J-nd«S= ——
Js dt
où ôQm est la quantité de charges (mobiles) qui traversent S vers l'extérieur, entre les instants t et
t + d t. La variation de la charge intérieure, pendant cette durée d t, est donc :
dQ
dQ = -8Qm d'où 1=--^
dt
II. 2. — Équation locale du bilan de charge
En tenant compte de l'expression de la charge totale contenue dans le volume V , l'équation
précédente s'écrit :
4- [ pdV = - <£ J-ndS = - [ div J d
dtJv Js Jv
en utilisant la formule d'Ostrogradsky.
Comme, en général, la densité volumique de charge p dépend à la fois du temps et de la position,
p = p(r, f), et que la surface S est fixe, on a :
^- / p d T) = [ ^ d V d'où / ^ d V = - [ div J d V
dtJvH Jp dt Jv dt Jv
Cette relation étant vraie quel que soit V , on en déduit l'équation locale traduisant le caractère
conservatif de la charge électrique ; appelée aussi équation de continuité relative à la charge :
^ = -dlvJ
Remarque : Ce type de relation locale est établi pour toute grandeur physique conservative. C'est ainsi
qu'il existe une équation analogue liant le courant volumique de masse et la masse
volumique en mécanique newtonienne (cf. Mécanique).

92
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
Lorsqu'il existe plusieurs types de porteurs, ces derniers peuvent se neutraliser en se rencontrant
suivant un processus de recombinaison ; c'est le cas dans les semi-conducteurs, les électrolytes et les
gaz ionisés. Inversement, des paires de porteurs de charges opposées peuvent être créées au cours d'un
processus de génération. Le nombre de porteurs d'un type donné n'est donc pas conservatif :
—— = - div Ja + ua avec ua ^ 0
aa étant le taux de production de ce type de porteurs par unité de temps et par unité de volume. Cette
écriture met en évidence les deux processus à l'origine de la variation locale de la charge des
porteurs de type a : d'une part l'échange (algébrique), par écoulement de certains porteurs dans
l'élément de volume entourant le point considéré (le signe moins provient de l'orientation de la normale
vers l'extérieur), et d'autre part la création (algébrique) traduisant l'apparition ( cra > 0 ) ou la
disparition ( aa < 0) de charges de type a dans l'élément de volume. Le bilan global qui tient compte des
différents types de porteurs conduit naturellement à l'équation de continuité précédente.
Remarque : Pour satisfaire au principe de relativité, selon lequel toutes les lois physiques sont
invariantes par changement de référentiel galiléen (cf. Relativité), la caractère conservatif de
la charge doit être localement vraie. Montrons-le en considérant un système isolé
délimité par une surface fermée S (Fig. 6.3) : aucune charge ne peut traverser cette surface.
La charge totale Q contenue dans le volume V du système est donc constante.
Notons que les porteurs de charge peuvent être mobiles et qu'en outre ils peuvent être créés
ou annihilés. Dans ce dernier cas, l'apparition d'une charge positive est simultanément
compensée par la disparition d'une charge équivalente ou par l'apparition d'une charge
opposée. La simultanéité de ces deux événements dans deux référentiels galiléens n'est
possible que si ces deux événements ont lieu au même point dans chacun de ces
référentiels. Il en résulte que le caractère conservatif de la charge doit être vérifié localement. Par
conséquent, si une particule portant une charge élémentaire est créée en un point,
simultanément et en ce même point, apparaît une particule de charge opposée ou disparaît une
particule de même charge.
II. 3. — Régime stationnaire
a) Définition
On dit qu'un régime est stationnaire si les grandeurs physiques qui le caractérisent ne dépendent
pas explicitement du temps. Considérons, par exemple, la valeur du champ électrique E en un point M
à l'instant t. Si les sources de ce champ ne varient pas au cours du temps, E ne dépend que des
variables de position de M dans l'espace :
E(MHE(W) et «=0
b) Équation locale de conservation en régime stationnaire
En régime stationnaire, la charge volumique en tout point M ne dépend donc pas explicitement du
temps : p{M) = p(x,y,z) et dp/dt = 0 . Il en résulte que l'équation de conservation se réduit à :
divj = 0
Dans un volume V , délimité par une surface S fixe, la charge totale Q est donc constante :
Jv dt dtjv àt

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
93
L'intensité / du courant à travers S est donc nulle, à chaque instant :
/= (f J-nd5= / divjdî? =0
Js Jv
Il entre dans V une charge égale à celle qui en sort.
c) Conséquence
Considérons deux surfaces S\ et S2 ouvertes s'appuyant sur un même contour fermé C (Fig. 6.4).
L'orientation du contour détermine, par convention, celle de ces surfaces. Le volume total compris
entre «Si et S2 contient une charge constante en régime stationnaire. Par conséquent, le courant total
traversant la surface fermée S , constituée par la réunion de S\ et £2 , est nul :
è J • nex dS = / J neXj] dS + / J n^2 d«S = 0
Js Jsi Js2
En tenant compte de l'orientation des surfaces ouvertes S\ {\\\ = — nex,\) et <S2 (ni = ne*,2) »
on trouve :
/ J • il] dcS = / J • n2 dcS soit 1\ = h
JS\ JS2
On dit que le vecteur courant volumique de charge est h flux conservatif. Dans ce cas, l'intensité du
courant ne dépend que du contour C : 1\ = I2 = I.
Fig. 6.4.
III. — CONDUCTEUR EN RÉGIME STATIONNAIRE
III. 1. — Milieu conducteur
Un milieu matériel est conducteur s'il contient des porteurs de charges libres de se mouvoir à une
échelle macroscopique. Dans le cas contraire, le milieu est isolant : toutes les charges sont liées, ce qui
réduit l'amplitude des déplacements à une valeur microscopique.
Le milieu conducteur peut être solide, liquide ou gazeux. En réalité, les porteurs mobiles ne sont
pas libres, mais en constante interaction entre eux et avec les porteurs liés.
Dans un solide, la surface est pratiquement infranchissable aux charges, car, pour extraire les
porteurs mobiles, il est nécessaire de fournir une énergie. Cette énergie, appelée travail de sortie, est de
quelques eV pour les métaux usuels.
Considérons un matériau conducteur, de volume V , délimité par une surface S, et placé dans le
vide. Comme cette surface est infranchissable, l'intensité d/ du courant qui traverse un élément d<S
est nulle :
d/ = J-nd<S = 0 d'où J • n = 0

94
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
Ainsi, en régime stationnaire, les lignes de courant sont tangentes à la surface d'un conducteur.
Cette condition permet d'établir un lien entre la géométrie du conducteur et la topographie des lignes de
courant.
III. 2. — Intensité du courant dans un conducteur en régime stationnaire
Évaluons l'intensité du courant qui traverse une section S quelconque d'un volume conducteur.
En adjoignant à cette section une portion Sc de la surface du conducteur, on réalise une surface fermée
(Fig. 6.5). En régime stationnaire, le flux du courant volumique J à travers une surface fermée est nul :
/ J.n«dS+ [j.nexdS = 0
JSr JS
Comme la surface Sc est infranchissable, la première intégrale est nulle, et par conséquent la seconde
aussi.
Plusieurs formes de conducteurs doivent être envisagées : les conducteurs simplement connexes
(Fig. 6.5a), doublement connexes (Fig. 6.5b) et multiplement connexes (Fig. 6.5c) .
a) Conducteur simplement connexe
Un milieu est simplement connexe si tout contour fermé entièrement intérieur peut être réduit
continûment à un point. C'est par exemple le cas d'une boule ou d'un cylindre pleins. L'intensité / à travers
une section S de ce conducteur (Fig. 6.5a) est donc nulle, puisque, d'après la relation précédente :
l
JnexdS = I = 0
nex\ ^
a)
nexVV ^-^
nex,i
c)
b) Conducteur doublement connexe : intensité dans un circuit
Un conducteur ou une chaîne de conducteurs sont dits doublement connexes s'ils ont la forme d'un
anneau. C'est par exemple le cas d'un circuit électrique ne comportant qu'une maille. Considérons, sur
la figure 6.6b, la surface qui définit deux sections S\ et £2 • II vient :
/ J-n^i dS + J-11^2 dS = 0
JSx JS2

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
95
En choisissant, de façon arbitraire, une orientation du circuit de Si vers S2 , on définit les intensités I\
et I2 à travers les surfaces ouvertes S\ et £2 , orientées selon ni = — neXj] et 112 = neXj2 .On en déduit:
/, = /j-n,d5= [ 3n2dS = I2
Jsi Js2
Comme l'intensité ne dépend pas de la section considérée, on l'appelle l'intensité / dans le circuit.
c) Conducteur multiplement connexe : loi des nœuds
Un conducteur qui se ramifie en plusieurs boucles est dit multiplement connexe. Un point de
connection entre différentes boucles est appelé un nœud. Le raisonnement précédent, appliqué à une
surface fermée, entourant un nœud TV et construite à partir des sections S\ , S2 , ^3 et d'une
portion de surface Sc (Fig. 6.5c), conduit à l'équation :
h = h + h
Cette relation, appelée loi des courants dérivés ou loi des nœuds, se généralise à un ensemble de
conducteurs connectés formant un réseau électrique. En tout nœud, elle s'écrit :
k
où chaque courant a son intensité h affectée d'un facteur e# , égal à +1 s'il est orienté vers le nœud et
égal à —1 dans le cas contraire. Dans l'exemple précédent (Fig. 6.5c), la loi des nœuds en TV donne :
h ~ h - h = 0.
III. 3. — Distributions surfaciques et linéiques de courant
Considérons un conducteur ayant la forme d'une feuille, d'épaisseur a faible devant ses
dimensions latérales. L'intensité d/ qui traverse l'élément de surface dS = a d/ (Fig. 6.6a) s'écrit :
dl = 3 • na d/
En définissant la normale n' à la feuille, telle que n dS = a(n' x dl), on a :
d/ = Js • (n' x dl) où
3S = 3 ci est le vecteur courant surfacique. Sa norme, qui s'exprime en A-m-1 , représente la
valeur de l'intensité qui traverse la feuille conductrice par unité de longueur perpendiculaire aux lignes
de courant.
a) b)
Fig. 6.6.

96
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
Lorsque le conducteur est filiforme, c'est-à-dire de section s faible devant sa longueur, on
caractérise cette distribution linéique de courant par l'intensité / dans cette section (Fig. 6.6b) :
/ = J- ns
Ces approximations sont très utiles lorsqu'on s'intéresse aux effets de ces courants à grande distance r
de la distribution (r ^> a ou r ^> y/s) (cf. chapitre 12). Dans ce cas, on admet les transpositions
suivantes :
3 dV =3adS = 3s dS et 3 dTJ = 3s dl = J s d\ = I d\
où dV = a dS = s dl représente un élément de volume de la distribution.
IV. —LOI D'OHM
La loi d'Ohm, établie par le physicien allemand G. Ohm en 1826, est une relation liant les courants
qui apparaissent dans un conducteur aux causes qui les produisent. Une telle loi ne présente pas le
caractère universel des lois de l'électromagnétisme. On dit que c'est une loi constitutive ou une relation
de milieu.
IV. 1. — Loi d'Ohm locale. Conductivité
a) Conductivité
L'apparition d'un courant électrique dans un milieu conducteur traduit la rupture d'un équilibre.
Expérimentalement, on constate qu'un courant circulle dans un conducteur s'il existe un gradient de
température, de potentiel électrique ou de concentration de porteurs. Dans ce chapitre, nous ne
considérons que le cas d'un courant provoqué par un gradient de potentiel, c'est-à-dire par un champ
macroscopique E , la concentration des porteurs et la température étant supposées uniformes.
Le lien entre le vecteur courant volumique J et le champ E dépend du milieu considéré et de la
valeur de E . L'expérience montre que, si l'écart par rapport à la situation d'équilibre est assez faible,
ce qui est réalisé si E n'est pas trop grand, le vecteur J est, en première approximation, proportionnel
au champ E qui lui a donné naissance :
3 = yE
où le coefficient y , qui ne dépend pas de E , s'appelle la conductivité du milieu. Cette relation linéaire
est connue sous le nom de loi d'Ohm locale. Lorsqu'elle est vérifiée expérimentalement, le milieu est
dit linéaire. Si le milieu est homogène, y est en outre uniforme. Dans la plupart des matériaux, J est
parallèle à E : le milieu est isotrope, sa conductivité est représentée par un scalaire réel positif
L'unité légale de conductivité est le siemens par mètre (S • m-1 ), du nom de l'ingénieur allemand
W. Siemens. On introduit parfois l'inverse de la conductivité, 1 /y , ou résistivité, noté souvent p , à ne
pas confondre avec la charge volumique ou la masse volumique.
Ordre de grandeur : La conductivité du cuivre, qui est un métal très utilisé pour le transport du
courant, vaut 5, 8 x 107 S • m-] . Celle du verre, qui est un bon isolant, est de l'ordre de \0~u S • m-] .
Sur le tableau 6 I, on a rassemblé les conductivités de quelques métaux.
y (K^S-m-1)
Ag
6,21
Cu
5,8
Au
4,55
Al
3,65
Hg
0,1

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
97
Dans certains matériaux linéaires, J n'est pas parallèle à E : la conductivite est alors un tenseur
[y] qui s'explicite, dans une base donnée, par une matrice carrée à neuf éléments y y (ij = x,y,z) •
Dans un tel milieu électriquement anisotrope, la loi d'Ohm s'écrit :
Ji = Yl ?iJEJ
j
On peut en général choisir une base, dite principale, dans laquelle la matrice associée au tenseur [y] est
diagonale :
/y, 0 0\
0 72 0
\0 0 73/
Les éléments diagonaux sont les conductivités principales.
Cette anisotropie est directement liée à la structure atomique. Un conducteur monocristallin dont la
structure est cubique a une conductivite isotrope ; de même, les matériaux polycristallins ou amorphes
sont isotropes à l'échelle macroscopique. En revanche, un matériau comme le graphite, qui est constitué
d'un empilement de feuillets entre lesquels les électrons peuvent se mouvoir, est rendu facilement ani-
sotrope : sa conductivite est plus élevée dans une direction parallèle au plan des feuillets que dans une
direction perpendiculaire.
b) Conducteur en équilibre électrostatique
L'absence de courant volumique dans un conducteur, homogène en composition et température,
définit un équilibre électrostatique caractérisé par l'absence de champ électrostatique macroscopique en
tout point intérieur au conducteur :
J,-,! = 0 entraîne Ez,z =0 et Vin = Cte
Ainsi, dans un conducteur en équilibre électrostatique, le potentiel est uniforme.
c) Conducteur en régime stationnaire
Si le conducteur, supposé homogène et isotrope, est parcouru par un courant stationnaire et
uniforme, il vient, puisque div J = 0 et J = 7E :
div(7E) = 7divE = 0
Par conséquent, en régime stationnaire, le champ E à Y intérieur d'un tel conducteur satisfait aux deux
relations locales :
divE = 0 et E = - grad V
La première équation n'implique pas que E soit uniforme; par exemple, dans un fil conducteur de
section variable (Fig. 6.7), l'intensité / est la même à travers toute section ; il en résulte que J et par
conséquent E varient d'une section à l'autre de telle sorte que :
77 c
I = J\S\ = J2S2 d'où yE]S\ = yE2S2 et -^ = -!-
Ei S2
De l'équation div E = p/e0 , qui traduit localement le théorème de Gauss, on déduit que la charge
volumique moyenne p est nulle en tout point à l'intérieur d'un conducteur. Ainsi la densité des charges
mobiles est compensée par celle des charges liées ; un excès de charge ne peut apparaître que sur la
surface du conducteur.

98
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
Fie. 6.7.
V2< V,
Notons que cette surface n'est pas équipotentielle car les lignes de courant et donc les lignes de
champ électrique lui sont parallèles. Par exemple, dans un fil conducteur rectiligne, parcouru par un
courant stationnaire (Fig. 6.8), les surfaces équipotentielles sont des plans perpendiculaires à la direction
matérialisée par le fil.
IV. 2. — Résistance en régime stationnaire. Loi d'Ohm intégrale
a) Résistance
Considérons une portion d'un conducteur isotrope comprise entre deux sections S\ et £2 (Fig. 6.9)
entre lesquelles existe une différence de potentiel stationnaire : U = V\ — V2 • Toute section S de ce
conducteur est traversée par la même intensité / de courant électrique. On a, d'après ce qui précède :
U
/ ]
Edr et /
ij-
dS
>M\ JS
J et E étant liés en tout point par la loi d'Ohm locale : J = yE .
Iab
R
B
Fig. 6.9.
Uab
Fig. 6.10.
Montrons que U et I sont proportionnels. Le rapport R = U/I s'écrit aussi :
rM2
R =
E-dr
ij-
dS
Il est inchangé si le champ électrique et donc le courant sont multipliés par un facteur constant. Notons
que la première intégrale représente aussi la circulation du champ E le long d'une ligne de courant
dont l'élément d'intégration d 1 est orienté dans le même sens que n . Comme y est positif, ce rapport,
appelé résistance de la portion de conducteur considérée, est aussi positif.
La résistance d'un échantillon matériel dépend de sa nature, de sa géométrie et de sa disposition
par rapport au champ électrique.

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
99
L'unité légale de résistance est l'ohm noté H . La découverte récente de l'effet Hall quantique (cf.
chapitre 13) a conduit en 1988 a adopter une nouvelle définition légale de l'ohm à partir des constantes
fondamentales e^ l,6x 10~19 C et h. » 6,63 x 10~34 J • s . En effet h je1 a les dimensions d'une
résistance :
h_ ,,£j<Z (=\EJQ (^Ur-M> ^ h
elK ] Q2 [ }Q/T[
b) Loi d'Ohm intégrale
;(=)-(=)/? et -^-25 812,805 6 11
D'après ce qui précède, la relation entre la d.d.p U et l'intensité / qui traverse une section de
conducteur se met donc sous la forme connue : U = RI. Une portion résistive d'un circuit électrique,
appelée résistor, est généralement schématisée comme sur la figure 6.10. L'application de la loi d'Ohm
à cette portion conduit à la formule explicite :
Uab = RI'àb
Uab = Va — Vb étant la différence de potentiel entre A et B et IAB l'intensité qui parcourt le circuit
dans le sens de A vers B . On retient cette formule en remarquant que les flèches représentant la d.d.p
Uab et l'orientation du courant IAB sont opposées.
Remarque : On dit que cette formule est écrite en convention récepteur, expression que l'on justifiera
ultérieurement à partir d'une analyse énergétique (cf. chapitre 9).
c) Résistance d'un conducteur homogène, isotrope et de section constante
On effectue le calcul de la résistance d'une portion de conducteur en considérant un élément de
tube de courant de section droite d S et de longueur d /. Ce tube de courant étant aussi un tube de
champ, nous pouvons écrire :
dV = -E-dr = -Edl et d/ - J • n dS = J dS = yE dS
Si le conducteur est homogène et de section constante S, entre les deux surfaces équipotentielles
distantes de / (Fig. 6.11), le champ électrique est uniforme. Par conséquent :
U = - dV=V]-V2 = El et 1= dI = yES
Jm\ Js
D'où l'expression de la résistance du conducteur :
'H
L'inverse de la résistance G = \/R est la conductance que l'on exprime en siemens ( S ou H-1 ).
C'est en mesurant la résistance d'un conducteur ayant cette géométrie que l'on détermine
expérimentalement la conductivité y d'un milieu. Pour cela, on s'assure que le champ électrique et donc
le vecteur courant volumique sont bien uniformes. En pratique, la d.d.p est mesurée entre les bornes
( C,D) d'une portion de conducteur plus réduite que celle comprise entre les bornes (A,B)
d'amenée du courant (Fig. 6.12).

100
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
sM
D\
FiG. 6.11.
U
FiG. 6.12.
B
d) Ordres de grandeur
(1) Les connexions entre les appareils électriques sont réalisées le plus souvent à l'aide de fils de
cuivre. Un tel fil, de 1 mm2 de section et de 30 cm de long, a une résistance égale à :
R
1
58 x 106
0,3
: o, 005 a
Cette résistance est généralement très faible devant celle des différents appareils (moteurs, rhéostats,
voltamètres), aussi la néglige-t-on.
(2) La conductivité de l'eau pure est de 4 x 10-6 S -m-1 . Par conséquent, la résistance du
volume d'eau compris entre deux électrodes planes, de surface 10 cm2 , distantes de 10 cm, vaut :
R = 25 MU, ce qui est très élevé. La présence de substances en solution diminue considérablement
cette valeur ; aussi le degré de pureté est-il souvent évalué en mesurant sa conductivité.
(3) La résistance du corps humain dépend fortement de ses caractéristiques physiologiques. On
adopte couramment une valeur minimale de 5 kfl entre les mains, mais elle peut atteindre 100 kfl
si les mains sont sèches et calleuses, et chuter à 1 kfl si elles sont humides. Seule l'intensité du
courant qui traverse le corps est dommageable pour l'individu : on admet généralement qu'une intensité
de 50 mA d'un courant stationnaire est mortelle. Aussi, la d.d.p stationnaire dangereuse est-elle de :
1 000 x 0,050 = 50 V . La valeur de sécurité retenue est 25 V .
(4) En 1893, au Congrès international des Electriciens de Chicago, on a adopté comme étalon-
ohm la résistance d'un conducteur cylindrique de mercure, de longueur / = 106, 3 cm, de section
s = 1 mm2 , de masse m = 14,4521 g , à la température T = 273,15 K . On en déduit la conductivité
du mercure :
/
~Rs
1,063
1,063 x 10bS-nr
1 x 10-6
Actuellement, F étalon-ohm est réalié à partir du farad.
e) Exemples de calcul de résistance
(1) La première étape dans le calcul de la résistance R d'un conducteur consiste à déterminer
la topographie des lignes de champ E et de courant J. Dans le cas où ces champ sont uniformes,
la formule R = l/(yS) peut être utilisée. Cependant, à un même conducteur correspondent plusieurs
valeurs de résistance selon la topographie du champ. Ainsi, un matériau homogène de conductivité y ,
ayant la forme d'un parallélépipède rectangle de dimensions a , b et c , peut présenter plusieurs valeurs
de résistance suivant la topographie du champ. Dans les trois cas de la figure 6.13, on a, respectivement :
1 a
y bc
R2
1 c
y ab
R3
\_b_
y ac

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
101
a) b) c)
Fie. 6.13.
(2) Considérons un tube cylindrique, de rayons intérieur a et extérieur b , de longueur /,
constitué d'un matériau homogène de conductivité y . Une différence de potentiel U = V\ — V2 est appliquée
entre deux plans perpendiculaires à l'axe et distants de / (Fig. 6.14a). Admettons que tous les plans
perpendiculaires à l'axe soient équipotentiels ; ils le seraient sans approximation si le tube était infiniment
long, puisque dans ce cas il s'agit des plans d'antisymétrie du système. Les lignes de champ et de
courant sont parallèles à l'axe Oz. D'autre part, la neutralité du conducteur conduit à :
divE= — =0
dz
Comme E et J sont alors uniformes à l'intérieur du conducteur, on en déduit la résistance du tube :
y S y7r(b2 — a2)
a) b)
FiG. 6.14.
(3) Si le même conducteur est soumis à une différence de potentiel U = V\ — V2 , entre sa surface
intérieure et sa surface extérieure (Fig. 6.14b), les lignes de champ et de courant sont contenues dans
les plans diamétraux. En négligeant les effets de bords, ce qui revient à admettre que le conducteur est
un tronçon, de longueur /, d'un conducteur infiniment long, les champs sont invariants par translation
le long de Oz et contenus dans les plans z — Cte. Leurs valeurs ne dépendent que de la coordonnée
cylindrique radiale p :
J(p) = yE(p)=J(p)tp

102
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
Calculons l'intensité du courant, qui parcourt le conducteur de M\ vers Mi, en considérant une surface
cylindrique S de rayon p («^p^Z?)etde longueur / :
/ = / J • n dS = / J(p) dS = J(p)S = J(p)2ttP1
Exprimons la différence de potentiel en fonction de / , en calculant la circulation de E = J/y , le long
d'une ligne de courant entre deux points M\ et Mi, situés respectivement sur les surfaces intérieure et
extérieure :
»M-, oh . oh J
p
La résistance R du conducteur, dans cette nouvelle configuration est donc :
u=ri.ir-Lfj(P)il,-'l''-i
Jm{ y y Ja iTryUa p
n u ] i (b
R = — = In -
/ liryl \a
IV. 3. — Composition des résistances
a) Résistors en série
Considérons un ensemble de n résistors, de résistances Rk(k = 1,2,... , n), en série (Fig. 6.15).
Rx
J A
T, /H h
/ Rl
ér Rk
\^^~-—| . ,|-
\" x^_
In ^H ■ h
Rn
U
Fig. 6.16.
-~^>\\ B I
^^y
" /
~) >
Fig. 6.15.
L'intensité est la même pour toute section comprise entre les extrémités A{) et An : /* = /. La
d.d.p U aux bornes de l'ensemble est égale à la somme des d.d.p aux bornes de chacun des résistors :
pA„ » / rAk \ n
ja« k=\ v-7^-' y k=\
uk
Or les résistances Rk sont telles que : Uk = Rkl • Par conséquent, on a : U = J2k ^ — RI en
introduisant la résistance R équivalente à l'ensemble :
* = £**
k=\
Ainsi, les résistances d'un ensemble de résistors en série s'ajoutent.

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
103
b) Résistors en parallèle
Disposons l'ensemble des n résistors de telle façon que leurs extrémités A et B soient communes
(Fig. 6.16). La loi des nœuds en A donne :
/-E'* = °
k=\
D'autre part, la circulation de E étant conservative, la d.d.p U est la même aux bornes des différents
résistors et égale à :
U=VA-VB= I E-dr
/
JA
JA
Ainsi, l'intensité du courant dans la branche k s'écrit :
Uk U 1
l' = Tk=iï = CkU où Gk = ^
est la conductance du kc résistor. Finalement, il vient :
n n
k= 1 k= 1
G étant la conductance équivalente à l'ensemble :
n 1 " 1
G = y^Gk soit - = V —
^ R ^ Rk
, k=l . . k=\ K
Ainsi, les conductances d'un ensemble de résistors en parallèle s'ajoutent.
CONCLUSION
Rappelons les points fondamentaux suivants.
(1) Pour étudier les milieux conducteurs, on introduit les grandeurs nivelées que sont la charge
volumique p et le vecteur courant volumique J , cela afin de gommer les fluctuations microscopiques.
(2) La conservation de la charge électrique est traduite localement par l'équation :
i—■"
(3) En régime stationnaire, les grandeurs macroscopiques ne dépendent pas explicitement du temps.
Le courant volumique J est alors à flux conservatif (div J = 0). Son flux à travers une surface, appelé
intensité I du courant, ne dépend que du contour sur lequel s'appuie cette surface.
(4) Dans un milieu conducteur, homogène et isotrope, la loi d'Ohm est une relation constitutive
linéaire qui permet de caractériser ce milieu par sa conductivité y :
J = yE
(5) En régime stationnaire, un conducteur ohmique est neutre en volume et les lignes de courant
sont tangentes à sa surface.

104
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
(6) La relation entre la résistance R d'un conducteur, la différence de potentiel Uab = Va ~ Vg
appliquée entre ses extrémités A et B et l'intensité IAb qui parcourt le conducteur de A vers B,
s'écrit :
Uab = RIab
(7) La valeur de la résistance dépend de la nature du conducteur, de sa forme, ainsi que de la
manière dont est appliquée la d.d.p. Celle d'un conducteur homogène, de section constante, s'écrit :
R = l/iys) .
(8) Enfin, les résistances d'un ensemble de résistors en série s'ajoutent, alors que ce sont les conduc-
tances (inverses des résistances) qui s'ajoutent pour un ensemble de résistors connectés en parallèle.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P6- 1. Résistance de divers conducteurs ohmiques
On donne les conductivités suivantes du cuivre, de l'aluminium et de l'argent :
yCu = 5,8 x 107 S-m"1 yA1 = 3,5 x 107 S-m"1 yAg = 6, 1 x 107 S-m"1
1. Quelle est la résistance d'un câble en cuivre, de 1 m de long et de diamètre 1, 8 mm ?
2. Quel doit-être le diamètre d'un câble en aluminium, de même longueur et de même résistance ?
3. Quelle doit-être la longueur d'un câble en argent, de même section et de même résistance ?
P6- 2. Résistance de fuite d'un câble coaxial
Un matériau, de faible conductivité y , est limité par deux cylindres coaxiaux, de hauteur h et de
rayon a et b , portés aux potentiels V\ et V2 . Calculer la densité volumique de courant au voisinage
du conducteur central. Quelle doit être la valeur de a pour que, V2 — ^i étant fixé, cette densité soit
minimale ? A.N : y = 10-7 S • m-1 , h= 10 cm , b = 5 mm . Quelle est alors la résistance du câble ?
P6- 3. Résistance d'un conducteur massif entre deux électrodes sphériques v^^
Calculer la résistance entre deux électrodes sphériques (rayon a ) parfaitement conductrices,
distantes de d ( d ^> a ) et immergées dans un milieu faiblement conducteur de conductivité y. Pour
cela, on utilisera la similitude entre les lignes de courant et celles du champ électrostatique que
créeraient ces électrodes, portant une charge Q et — Q respectivement, placées dans un milieu que l'on
assimilera au vide (constante diélectrique €0 ). A.N : y (terre humide) ^4x 10-3 S • m-1 .
P6- 4. 4 Résistance d'un conducteur tronconique CwebT)
Calculer la résistance d'un fil conducteur tronconique, de conductivité y , de longueur / et de bases
circulaires de rayons r\ et ri. A.N : y = 6 x 107 S • m-1 , / = 1 km , r\ = 1 mm , r2 = 0,9 mm .

Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
105
P6- 5. Résistance équivalente
On considère le circuit de la figure 6.17 dans lequel K\ et K2 sont deux interrupteurs. Calculer
la résistance qui est en parallèle avec la résistance de 36 H, entre les points A et B, dans les cas
suivants :
1. K\ et Ki sont fermés,
2. K] et K2 sont ouverts,
3. K] est ouvert et K2 est fermé,
4. K\ est fermé et Ki est ouvert.
Fig. 6.17.
A
R
C
B
3^
DR
B
B
>
Fig. 6.18.
P6- 6. Composition de quatre résistances
On considère le dipôle AB de la figure 6.18 composé de quatre résistances identiques R. Quelle
est sa résistance en fonction de R ?
P6- 7. Résistance d'une tresse métallique ^web>
Une tresse métallique, de largeur / et de longueur L, est réalisée avec un fil conducteur de section
s . Le maillage en carrés, de diagonale a , est maintenu par deux fils rectilignes placés de chaque côté de
la tresse (Fig. 6.19). Calculer la résistance de cette tresse lorsqu'on établit une d.d.p entre les extrémités
distantes de L. A.N :/ = 0,5m,L=10m,5=l mm2 , a = 1 cm et y = 5 x 104 S • m-1 .
S
-/
T""*"
_/:>-_]
i
^4 r M r £
7V<
r
1 r
r
r 1
FiG. 6.19.
D r Q r C
FlG. 6.20.
P6- 8. Résistance équivalente d'un treillis plan Cw^
On réalise le treillis de la figure 6.20 dans lequel les divers brins sont de même résistance r.
Calculer, en fonction de r, la résistance des dipôles suivants : AD, AO, AB, MQ et MN .

106
6. Milieux conducteurs. Loi d'Ohm
P6- 9. Intensité du courant dans une branche
Quelle est l'intensité qui circule dans la branche CD du circuit représenté sur la figure 6.21,
lorsqu'on ferme l'interrupteur, sachant que la source de courant débite un courant d'intensité /() = 5 A ?
A
30 n
20 fi
M
io n
B
20 Q
D
Fig. 6.21.
P6- 10. Résistance équivalente d'un conducteur ohmique en forme de tétraèdre régulier
Un réseau de six résistors identiques est disposé selon les côtés d'un tétraèdre régulier ABCD.
Trouver la résistance équivalente entre deux sommets du tétraèdre, sachant que la résistance de chaque
composant est R — 10 H .

7
Conductivité électrique
La loi d'Ohm traduit, dans l'approximation linéaire, la dépendance du courant volumique J avec
le champ électrique E la conductivité y étant le coefficient de proportionnalité. Le domaine de validité
de cette loi constitutive est très vaste puisque la gamine des conductivités s'étend entre les très mauvais
conducteurs (les isolants) et les très bons conducteurs (les métaux), sur plus de vingt ordres de grandeur :
1(T12 <y< IC^S-m-1
Nous nous proposons dans ce chapitre d'interpréter cette loi à partir de mécanismes microscopiques,
afin d'expliquer des valeurs aussi différentes de la conductivité. Nous serons alors conduis à préciser
l'influence de la structure, de la composition, de la température du milieu, et à cerner les limites de
validité de l'approximation linéaire.
I. _ DIFFÉRENTS TYPES DE COURANTS ÉLECTRIQUES
En électrodynamique classique, on distingue généralement deux types de courants de matière,
chargée ou non : les courants de convection caractérisés par un déplacement global de matière et les autres
courants, dits de diffusion ou de conduction ; ces derniers sont dus à une ra?/z-uniformité de potentiel
électrique, de densité de particules, de température, etc. (cf. Thermodynamique).
1.1. — Courants de convection
a) Courants dans le vide
La matière peut, sous l'effet de perturbations extérieures (champ électrique, température), émettre
des particules chargées (électrons ou ions). Cette émission se produit parfois spontanément, comme
en radioactivité a où des noyaux lourds perdent, sans contrainte extérieure, des noyaux d'hélium ;
les faisceaux de particules peuvent alors être accélérés, déviés, focalisés, ce qui est utilisé dans de
nombreux dispositifs : canons à électrons pour oscilloscopes, tubes de télévision, microscopes électroniques,
diodes à vide, accélérateurs de particules. En raison de la forte absorption des particules par la matière,
ces courants sont généralement créés dans un vide poussé, de l'ordre de 10-10 Pa dans un microscope
électronique à effet de champ (électrique).

108
7. Conductivité électrique
L'application de la loi fondamentale de la dynamique, pour analyser l'action d'un champ
électrique E sur une particule chargée (charge q , masse m ), donne l'équation vectorielle suivante :
dp ^ ,, v , ,,, . dv qE
— = qE a ou 1 accélération a = — = —
dt dt m
la quantité de mouvement p se réduisant à m\ si v <C c (c^3x 108 m • s-1 ).
En l'absence de milieu matériel, les courants électriques dans le vide ne satisfont pas à la loi
d'Ohm. L'intensité / du courant qui parcourt l'espace entre électrodes, dans une diode à vide, ne varie
pas linéairement en fonction de la d.d.p U appliquée entre ces électrodes. Pour de faibles valeurs de U,
on peut montrer (cf. Exercices) que la relation entre U et I suit la loi de Child-Langmuir :
I = Cte x U3/2
En outre, à un courant de particules dans le vide correspond une densité volumique de charge p non
nulle. Ainsi, lorsqu'il n'existe qu'un seul type de particule, p se réduit à la densité pm de charge
mobile. L'application du théorème de Gauss conduit alors à :
divE=-^- = ^^0
1.2. — Courant de convection par déplacement d'ensemble
Un ensemble de charges, fixées sur un support isolant en mouvement, constitue un autre exemple
de courant de convection. Un tel courant est à la base du fonctionnement de la machine électrostatique
de van de Graaff (cf. chapitre 1). Si cet ensemble de charges est neutre, ce qui est le cas des circuits
électriques en mouvement, le courant de convection est nul.
a) Courant de convection par gravité
L'action de la pesanteur sur des gouttelettes de liquide électrisées peut produire des courants de
convection (pluies atmosphériques, par exemple). Le poids du porteur de charge n'est plus négligeable
devant la force électrique. Rappelons que c'est par l'étude du mouvement de gouttelettes d'huile
électrisées, sous l'action combinée du champ de pesanteur et d'un champ électrique uniforme, que Millikan
a déterminé, en 1913, la valeur de la charge élémentaire avec une précision de l'ordre de 10 % (cf.
Exercices).
1.3. — Courant de conduction et courant de diffusion
Lorsqu'un milieu matériel est hors d'équilibre, c'est-à-dire lorsque les grandeurs telles que le
potentiel électrique, la densité de particules, la température, ne sont pas uniformes, en l'absence de champ
appliqué, des courants électriques apparaissent. L'approximation linéaire fournit une relation de
proportionnalité entre le vecteur densité de courant J et le gradient de ces grandeurs dites intensives (cf.
Thermodynamique).
a) Conduction électrique
Le courant de conduction est lié au gradient du potentiel électrique. On sait que le courant
volumique associé obéit à la loi d'Ohm dans la quasi-totalité des cas, ce qui permet de caractériser le milieu
par sa conductivité (cf. chapitre 6). Ce type de courant est utilisé en pratique pour le transport de
l'énergie électrique. Il peut exister dans des milieux matériels solides, liquides ou gazeux ; seule diffère la
nature des porteurs de charge en mouvement : électrons dans les solides, ions dans les électrolytes,
électrons et ions dans les gaz et les plasmas. Dans tous les cas, c'est l'interaction des porteurs mobiles avec
le milieu qui est à l'origine de la loi d'Ohm.

Conductivité électrique
109
b) Diffusion électrique
Le courant de diffusion électrique est dû à un gradient de concentration ; ces courants jouent un rôle
déterminant dans le fonctionnement des piles électrochimiques et des jonctions entre deux matériaux
solides différents : diodes et transistors à semiconducteurs.
Un gradient de température dans un milieu matériel peut aussi être à l'origine d'un courant
électrique dit courant thermoélectrique (cf. Thermodynamique).
II. — THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DE LA CONDUCTIVITÉ
II. 1.— Modèles de Drude
Dans un conducteur, les charges mobiles ne sont pas complètement libres, car elles interagissent
entre elles et avec les autres édifices microscopiques qui composent le matériau. Dans un électrolyte,
les charges sont des ions qui évoluent parmi des molécules neutres ; les interactions sont alors décrites
comme des collisions entre ces différentes particules. Cette description est également adaptée aux gaz
ionisés et plasmas peu denses.
En revanche, dans un matériau solide, les interactions ne peuvent pas être décrites aussi
simplement ; une théorie quantique est indispensable. Cependant, une approche phénoménologique de la
conductivité des solides, proposée en 1900 par le physicien allemand P. Drude, consiste à considérer
que les électrons qui participent à la conduction évoluent dans un réseau de charges quasiment
immobiles, leur mouvement n'étant limité que par la surface infranchissable et des collisions. À l'équilibre
thermodynamique, c'est à dire en l'absence de tout gradient de température ou de potentiel électrique,
les vitesses v, des TV électrons contenus dans tout élément de volume macroscopique sont dirigées au
hasard et le vecteur vitesse moyen v est nul :
1 N
1=1
Sous l'action d'un champ électrique E , l'isotropie de la distribution des vitesses est rompue et une
vitesse de dérive v =^ 0 apparaît : c'est la conduction électrique. Rappelons (cf. chapitre 6) que cette
dérive est très lente (quelques 10-3 m • s- ' ) par rapport à la norme moyenne de la vitesse d'un porteur
(quelques 103 à 106m-s_I).
Notons que, sous le seul effet de E supposé constant, une charge mobile ( q ) acquerrait une
accélération constante :
dv; _ qE
d t m
On peut prendre en compte le rôle essentiel du milieu, comme l'a fait Drude, soit de façon
phénoménologique en introduisant une force de frottement visqueux, soit, plus réaliste à l'aide d'une interprétation
collisionnelle.
a) Interprétation phénoménologique
Pour un type donné de porteurs mobiles, de charge volumique pm et de masse volumique p* ,
contenues dans un élément de volume d T) , la force de frottement visqueux est linéaire de type Stokes
(cf. Mécanique), cette force, opposée à la vitesse de dérive v, s'écrit :
dFf_^m = —a\ d V avec a > 0

110
7. Conductivité électrique
En admettant que le mouvement de ces charges est provoqué par un champ électrique macroscopique
E à l'intérieur du milieu, la loi fondamentale de la mécanique, appliquée à l'élément de volume d V ,
donne :
p* d V — = d F, + d Ff^,„ où d Fe = p„,E d V
est la force électrique. Si m et q désignent respectivement la masse et la charge du type de porteurs
considéré et si nv représente leur densité volumique, on a :
p* = nvm et pm = nq
Il en résulte l'équation différentielle suivante :
d v gE a\
d t m n,,m
ce qui s'écrit aussi :
dv v qE p*
1— = — en posant r = —
dt t m a
La signification physique du coefficient r, homogène à une durée, apparaît clairement si l'on étudie
l'évolution de la vitesse v en fonction du temps, lorsque le champ électrique est supprimé brusquement
à un instant pris comme origine. On a, dans ces conditions, pour t ^ 0 :
d v v
T- + -
dt r
0
Cette équation différentielle du premier ordre admet comme solution
\(t) = v0exp(—)
si v() est la vitesse à l'instant origine. Le graphe de la norme v(t) est représenté sur la figure 7.1.
Ainsi, r caractérise la rapidité de la décroissance exponentielle de la vitesse de dérive v : au bout de
quelques valeurs de r , cette vitesse est pratiquement nulle et la distribution des vitesses redevient
isotrope. Comme la mémoire du mouvement collectif est alors perdue, on appelle r la durée de relaxation
des vitesses.
n(t)
no
no
e
Ô
>
■-^\
r
" T
FIG. 7.1.
La solution de l'équation différentielle avec second membre s'obtient en ajoutant, à la solution
précédente, une solution particulière de l'équation globale (cf. Mécanique). Cette solution particulière
définit le régime établi (ou forcé). On l'obtient en écrivant :
v = Cte soit
dr
ce qui conduit à
m
en posant
qr
m
La vitesse moyenne de dérive est donc proportionnelle au champ électrique. Le coefficient /n, appelé
mobilité, caractérise un type de porteurs déterminé dans le milieu ; il peut être positif ou négatif.

Conductivité électrique
111
b) Interprétation collisionnelle
Dans ce cadre, Drude fit l'hypothèse, bien plus réaliste, que le mouvement obéissait à l'équation
différentielle d v/ d t = qE/m , pendant la durée t qui sépare deux collisions successives et que chaque
collision fait perdre à la particule toute mémoire de son mouvement antérieur.
En choisissant Ox comme direction du champ appliqué, exprimons la dérive Ax d'un électron
induite par le champ, au bout d'une durée t. Il vient :
\ qE 0 — 1 qE^r
Ax = - —r d'où Ax = -—t2
2 m 2 m
en effectuant une moyenne sur un grand nombre de collisions successives. Nous avons négligé l'effet
d'agitation, présent même en l'absence de champ, car sa contribution est nulle en moyenne en raison
des pertes de mémoire lors des collisions.
C'est ce caractère aléatoire qui nous permet maintenant de transposer l'échantillonnage dans le
temps des événements subis par une seule particule à l'échantillonnage d'un même événement vécu par
l'ensemble des particules (hypothèse ergodique). Choisissons une origine quelconque pour les durées
et soit n(t) le nombre de particules n'ayant subi aucune collision à l'instant t. En raison du caractère
aléatoire des collisions ce nombre décroît, pendant une durée élémentaire df, proportionnellement à
n(t) :
dn = —n{t)— d'où n{t) = HQtxp ( J
si no désigne le nombre de particules à l'instant origine / = 0 et r une durée caractéristique des
collisions (Fig. 7.1).
On en déduit la probabilité dP pour qu'une particule subisse une collision entre t et t + dt et la
densité de probabilité p(t) associée :
dP = p{t)dt = avec p(t) = - exp (-- ] et dP= / p(t)dt=\
flo t \ tJ J Jq
La durée moyenne qui sépare deux collisions successives, appelé communément durée de collision,
s'identifie à r . En effet :
f°° f°° t ( t\ f°°
t= I tp(t)dt= / -exp —\dt=r xexp(—x)dx=T
Jo Jq t v tJ Jq
car l'intégrale précédente est égale à 1 . En effet, l'intégration par parties donne :
/ *exp(-A-)dA-= (-A-exp(-jr)}^0 + / exp(-x) dx = {-exp(-x)}^° = 1
Jq Jq
La statistique des collisions n'étant pratiquement pas modifiée par la présence du champ E , le calcul
de t2 donne (cf. Exercices) :
fl = \ t2P(t) dt = 2t2 et donc Ax = — r2
Jq m
On en déduit la vitesse moyenne de dérive selon :
Ax . ^ qr
v = — soit v = julE en posant jul = —
r m
La vitesse moyenne de dérive est donc proportionnelle au champ électrique. Le coefficient /x, appelé
mobilité, caractérise le type de porteurs dans le milieu ; il est positif ou négatif ^ selon le signe de q .

112
7. Conductivité électrique
Le courant volumique s'écrit alors :
nvq2r
J = nvq\ = nvq/uE soit J = yE avec y =
m
Le modèle de Drude permet donc d'établir la loi d'Ohm.
c) Influence des différents porteurs
Lorsqu'il y a plusieurs porteurs, on a :
\a = E = yi6aE avec jma =
ma ma
Le courant volumique qui en résulte a alors pour expression :
2
J = Yl n^a^a = ^2 n^a^a^ = yE avec y = ^ naqafxa = ^2 a > °
t7la
a a a a
Ainsi, la loi d'Ohm peut être interprétée par la limitation de la vitesse de dérive des porteurs, limitation
due aux interactions avec le milieu matériel ; la conductivité, qui est toujours positive, dépend, pour
chaque type de porteurs présents dans le milieu :
i) de leur mobilité \xa ,
ii) de leur densité volumique na .
Il. 2. — Application à la conduction métallique
Dans un métal, le courant électrique est dû au mouvement d'ensemble des électrons de conduction
(masse me ), de densité volumique ne . Par conséquent, pour /a et y :
er nee2T
/a = et y =
me me
On peut déduire de y et de ne un ordre de grandeur de /a et r : dans le cas du cuivre on a, puisque
7 = 5,8 x 107 S-m"1 etne^8,4x 1028 m"3 :
fi= —— = -4,2 x 1(T3 it^-V"1 -s"1 et r = ^ =0,024x l(T12s = 0,024 ps
nee neel
La faible valeur de r, due à la faible masse des électrons, montre que ces particules réagissent très
rapidement (moins de 1 ps) à toute sollicitation électrique. La durée du régime transitoire est donc
négligeable tant que les durées caractéristiques de la variation du champ électrique sont très supérieures
à 10-14 s.
II. 3. — Semi-conducteurs et isolants
Dans les solides, l'échelle des conductivités permet de classer les différents matériaux. Les
meilleurs conducteurs sont les métaux dans lesquels y est supérieur à 104 S • m-1 , à température
ambiante. Les semi-conducteurs, comme le germanium ou le silicium, sont des matériaux de
conductivité plus faible : 10~6 < y < 104 S • m-1 . Enfin les meilleurs isolants sont certains verres ou matières
plastiques pour lesquels la conductivité est inférieure à 10-6 S • m-1 .

Conductivité électrique
113
Cependant, cette classification est imprécise car, pour un même matériau, y dépend de façon
spectaculaire de la nature cristalline, de la pureté et de la température. En fait, la véritable distinction entre
un métal, un semi-conducteur ou un isolant réside dans les mécanismes responsables de la conduction,
car ce sont eux qui permettent d'expliquer les différentes variations de la conductivité avec la
température ou avec l'introduction d'impuretés.
Dans un semi-conducteur, deux types de porteurs sont pris en compte : les électrons et les trous.
Si ne et np désignent les densités volumiques respectives des électrons et des trous, /ne et jnp les
mobilités associées, les vitesses de dérive s'écrivent :
\n = fjLeE et \p = fipE
Notons que jme est négatif et donc que les vecteurs Jp et J/7 sont de même sens (Fig. 7.2) :
in = ne(-e)/neE et Jp = npe/npE
Il en résulte :
J = in + iP = e(-nefie + npfjLp)E = yE avec y = e(-nefxe + np/ubp) = e(ne\/Lie\ + np^p)
0— -_-n ®-^vp '—**E
—e èr^Lç, , ' ———**j
Frc. 7.2.
Si le semi-conducteur est pur (ou intrinsèque), les trous et les électrons qui assurent la conduction
proviennent de la création de paires ; ils sont ainsi en quantités égales : ne = np = nz. La conductivité
intrinsèque yz vaut donc :
7/ = rije(\/uLe\ + fip)
Dans le tableau 7.1, on a rassemblé les valeurs des mobilités des porteurs, à température ambiante,
exprimées en unités SI (m2 • V_I • s-1), dans les semi-conducteurs fréquemment utilisés en électronique.
Ces mobilités sont élevées par rapport à celle du cuivre qui vaut 4 x 10-3 SI.
/n (SI) Silicium (Si)
jul (SI) Germanium (Ge)
jn (SI) Arsénure de gallium (GaAs)
électrons
0,13
0,45
0,88
trous
0,05
0,35
0,04
Tab.7.1.
Notons que la conductivité du silicium n'est que de 0,4 x 10-3 S • m-1 ; la densité de porteurs
est en effet très faible devant celle d'un métal. Le graphite, dont nous avons mentionné les propriétés
d'anisotropie, tient une place particulière; c'est un semi-conducteur dont la conductivité est élevée
au point qu'il est couramment utilisé pour conduire un courant. Sous sa forme polycristalline, il se
comporte macroscopiquement comme un corps isotrope dont la conductivité, à température ambiante,
dépasse 104 S -m-1 .
Certains matériaux isolants sont en réalité des semiconducteurs dans lesquels la densité de porteurs
est très faible, à la température d'utilisation, malgré une mobilité élevée. Ainsi, le diamant à température
ordinaire ou le silicium à très basse température sont d'excellents isolants.

114
7. Conductivité électrique
D'autres matériaux sont de très bons isolants parce que la mobilité des porteurs est très faible. C'est
le cas, par exemple, du chlorure de sodium ou de certains verres, dont la faible conductivité est due à la
très faible mobilité des ions dans ces matériaux.
II. 4. — Électrolytes
Dans les milieux fluides, toutes les particules sont mobiles. Aussi, le milieu étant neutre, au moins
deux types de porteurs de signes opposés sont simultanément présents. Dans le cas d'un électrolyte
fort MpXq , le vecteur densité de courant dû aux deux types d'ions Mz+ et Xz~ s'écrit, pour une
concentration en quantité de matière C, en moles par litre (cf. chapitre 6) :
J = Cpz+ F\+ + Cq z- Fv_ = Cpz+ F(y+ - v_) puisque pz+ + qz~ = 0
en raison de la neutralité électrique. En introduisant les mobilités p+ et //,_ des cations Mz+ et
des anions Xz- , v+ = yi6+E et v_ = p_E = — |/x |E, on obtient l'expression suivante de la
conductivité :
7 = Cpz+F (fi+- fi_)
On compare des électrolytes de concentration et de formule chimique différentes à l'aide de leur
conductivité équivalente Ae, définie selon :
y
Ae = — où Ce = Cpz+ = Cqz-
est la concentration équivalente. En réalité, seules les molécules d'un électrolyte fort sont entièrement
dissociées. Dans le cas général, une fraction a seulement des molécules, appelée degré de dissociation,
fournit des ions à la solution. Il en résulte la conductivité équivalente effective suivante :
A = aAe = aF(p+ — >tc_ ) = aF(p+ + \p-\)
On distingue généralement deux catégories importantes d'électrolytes :
i) les électrolytes forts (HC1, NaOH, NaCl), pour lesquels la dissociation est complète (a = 1 ) .
Dans ce cas, l'évolution au cours du temps de A traduit celle des mobilités ; ces dernières diminuent
avec la concentration.
ii) les électrolytes faibles (solutions d'acide éthanoïque ou d'ammoniaque), pour lesquels la
dissociation diminue fortement lorsque la concentration augmente ; cet effet sur A est alors dominant.
Le tableau 7.2 rassemble quelques valeurs expérimentales de conductivités équivalentes pour
quelques ions, dans l'eau, à 300 K .
A, (SI)
H30+
35 x 10~3
OH"
20 x 10~3
Na+
5 x 10-3
cr
7,6 x 10~3
Tab. 7.2.
On déduit de Ae la mobilité des ions ; par exemple, pour les ions Na + , p « 50 x 10 9 SI, ce qui
correspond à une vitesse de dérive de quelques |mm • s-1 dans les électrolytes soumis à un champ de
100 V-m"1 .
Remarque : La forte valeur relative des conductivités équivalentes, et donc des mobilités, des ions
H 3 O + et OH ~ , est due à la nature de ces ions qui sont aussi ceux du solvant (l'eau).

Conductivité électrique
115
II. 5. — Gaz ionisés : plasmas
Les molécules et les atomes d'un gaz peuvent être ionisés, c'est-à-dire perdre ou gagner au moins
un électron, sous l'effet des collisions. Pour qu'un processus d'ionisation ait lieu, il faut que l'énergie
fournie à l'édifice dépasse un certain seuil appelé énergie d'ionisation. Le processus inverse, qui conduit
à la neutralisation d'une paire de porteurs, de charges opposées, est la recombinaison.
Envisageons le cas d'un plasma, gaz ionisé neutre, dans lequel on maintient constante la
densité volumique j?o des paires de porteurs, constituées par des électrons (charge — e, masse me)
et des ions positifs (charge e, masse M). Pour de faibles valeurs du champ électrique E, la loi
d'Ohm est satisfaite. Si /li+ et yii_ sont les mobilités des deux types de charges, la conductivité y
s'écrit :
y = /!oé?(/*+ + l/x-l)
En raison de leur faible masse, ce sont les électrons qui contribuent de manière prépondérante à la
conductivité du plasma, leur mobilité étant beaucoup plus grande que celle des ions. Les durées de
relaxation r+ et r_ sont données respectivement par :
M/u+ me\jUL-\
r+ = et r_ =
e e
Dans le cas d'un plasma, les processus de relaxation sont dus aux différentes collisions subies par les
porteurs.
II. 6. — Limites de validité de la loi d'Ohm
La loi d'Ohm locale suppose que la conductivité soit indépendante du champ électrique E
appliqué. Comme y = J2a na02aTa/ma , cette loi n'est plus valable lorsque les durées de relaxation ra ou
les densités de porteurs na dépendent de E .
a) Écarts liés à la durée de relaxation
La relaxation de la distribution des vitesses individuelles des porteurs n'est possible que si la
perturbation apportée par le champ électrique E reste faible.
Dans le cas d'un plasma, on exprime cette condition en comparant le travail fourni à une particule
(charge q ) par le champ à son énergie cinétique Eu ■ Ce travail est de l'ordre de qE£, si £ est le libre
parcours moyen de la particule (cf. Thermodynamique). Comme £* = 3kBT'/2 , kB étant la constante
de Boltzmann et T la température absolue, on a :
\q\E£ <C —— d ou El <C —— ~
2 2q e
A7^ 300 K , la loi d'Ohm est valable si eE£ <$; 0,025 eV . Dans un gaz, à la pression atmosphérique,
£ est de l'ordre de 1 nm ; par conséquent £<2,5x 106 V • m-1 . Cette valeur est considérablement
réduite pour un gaz ionisé à basse pression ; les écarts à la loi d'Ohm sont alors importants même pour
des champs électriques usuels (quelques kV • m-1 ).
b) Écarts liés à la densité
Dans les plasmas, les semi-conducteurs et les électrolytes, où les porteurs existent sous forme de
paires de charges opposées (électron-ion, électron-trou, anion-cation), les densités peuvent varier
notablement si le gain d'énergie cinétique dû au champ électrique permet de dépasser le seuil de création
d'une paire. Sous l'action d'un champ intense, cette création de porteurs par ionisation peut être suffi-

116
7. Conductivité électrique
santé pour provoquer l'enchaînement de tels processus et ainsi un régime (¥ avalanche. L'intensité du
courant croît alors très rapidement. De tels régimes sont l'objet d'applications importantes : tubes à
décharges pour les plasmas et diodes Zener pour les semi-conducteurs.
c) Absence de relaxation
Nous avons déjà mentionné qu'un courant dans le vide ne pouvait satisfaire à la loi d'Ohm. On
retrouve une situation analogue dans un matériau de dimensions inférieures au libre parcours moyen
des porteurs ; tout se passe comme si les porteurs évoluaient dans le milieu matériel sans freinage. Un
tel régime, dit balistique, est observé dans certains composants de microélectronique que la technologie
actuelle peut réaliser.
d) Régime variable
Nous savons que les porteurs de charge ne répondent à une sollicitation extérieure qu'au bout
d'une durée de quelques r . Si le champ électrique varie de manière significative pendant une durée T
inférieure à r , la loi d'Ohm n'est plus respectée. Cette limite est en réalité peu restrictive pour un bon
conducteur, puisque, pour le cuivre par exemple, r ~ 10-14 s ; dans ce cas, la loi d'Ohm reste valable,
même pour des systèmes électroniques très rapides ( v <C 1014 Hz ).
Remarque : Une relation courant-d.d.p non linéaire ne traduit pas nécessairement une violation de
la loi d'Ohm. En effet, le courant peut être partiellement dû à des phénomènes autres
que la conduction électrique. Les composants électroniques (diodes, transistors, circuits
intégrés, etc.) présentent rarement des caractéristiques courant-d.d.p linéaires, même si la
relation de proportionnalité entre le vecteur densité volumique de courant de conduction
et le champ électrique y est généralement respectée.
III. — STRUCTURE DE BANDES ET CONDUCTIVITÉ DES SOLIDES
III. 1. — Limites du modèle de Drude
Pour montrer les limites d'une description classique de la conductivité des solides, estimons la
vitesse quadratique moyenne vq d'un gaz parfait d'électrons à température ambiante ( T = 300 K).
Compte tenu de l'énergie cinétique moyenne d'un électron U = mev^/2 et de la définition de la
température (cf. Thermodynamique), il vient :
1 Q / 1. Jr T \ /
-mev2a = -kBT d'où vq = ( -^— ) = 0, 12 x 106 m • s"1
2 y 2 \ me )
Il en résulte que dans le cuivre, le libre parcours moyen £ entre deux collisions aurait pour valeur :
£ = vqT soit £-0,12 x 106 x 0,024 x 10~12 - 2, 8 nm
Cette valeur est très supérieure, d'au moins un ordre de grandeur, aux distances interatomiques
(« 0,2 nm). D'ailleurs les mesures expérimentales de ce libre parcours moyen montrent qu'il est
encore plus élevé et qu'il augmente avec un abaissement de la température, deux résultats
incompatibles avec une description classique du gaz d'électrons. Il en résulte que ce ne sont pas les collisions
sur les ions du réseau qui sont responsables de la loi d'Ohm.
En outre le modèle de Drude s'avère incapable de rendre compte des différences essentielles entre
métaux, semi-conducteurs et isolants. La conductivité des solides ne peut être interprétée que dans le
cadre de la physique quantique.

Conductivité électrique
117
III. 2. — Résultats de la théorie des solides
a) Structure de bandes
Un solide peut être décrit comme un ensemble rigide d'atomes, dont la stabilité est assurée par des
liaisons. Si les matériaux sont constitués d'un seul élément chimique, comme le cuivre ou le silicium,
ces liaisons sont soit métalliques soit covalentes. Ces deux types de liaisons correspondent aux deux
catégories principales de solides, relativement à la conduction électrique : les conducteurs et les isolants.
Dans un isolant, tous les électrons des couches atomiques externes sont liés car ils participent aux
liaisons (Fig. 7.3a) En revanche, dans un métal, certains électrons sont libres d'évoluer dans tout le
réseau, ce qui leur permet d'assurer la conduction électrique (Fig. 7.3b).
En physique quantique, on montre que, dans un atome, l'énergie d'un électron est quantifiée, c'est-
à-dire qu'elle ne peut prendre que des valeurs déterminées appelées niveaux d'énergie (cf. Physique
quantique). Dans un solide, du fait des interactions entre les ions, ces niveaux se rassemblent et forment
des bandes d'énergie à l'intérieur desquelles la différence entre les niveaux successifs est si faible que
l'on peut considérer que l'énergie varie de manière continue (Fig. 7.4). En revanche, entre différentes
bandes d'énergie, existe un large domaine d'énergies interdites, appelé bande interdite ou gap (mot
anglais qui signifie saut).
8k
T'=0K
© © ■© ©
a) Isolant
Si
Fig. 7.3.
© © ï© &
b) Métal
Cu
Bande
permise
Bande
interdite
Bande
permise
Niveaux
d'énergie
FIG. 7.4.
b) Niveau de Fermi dans les isolants et les conducteurs
La répartition des électrons sur les différents niveaux d'énergie obéit au principe d'exclusion de
W. Pauli (physicien autrichien), selon lequel un état quantique ne peut être occupé par plus d'un
électron. De ce fait, elle suit une loi statistique, établie en 1926 par E. Fermi et P. Dirac (physiciens italien
et britannique), qui donne la probabilité d'occupation p{£) d'un niveau d'énergie £ .
À basse température {T œ 0 K) seuls les niveaux d'énergie inférieure à une certaine valeur £F ,
appelée énergie de Fermi, sont occupés. La distinction entre isolant et conducteur n'est finalement liée
qu'à la position du niveau de Fermi dans le diagramme énergétique des bandes (Fig. 7.5a) :
/) Si le niveau de Fermi est situé dans une bande interdite, tous les niveaux de la bande permise
d'énergie inférieure, appelée bande de valence, sont occupés. Tous ceux de la bande permise d'énergie
supérieure, appelée bande de conduction, sont libres. Il est alors impossible de modifier cette répartition
sans fournir une énergie importante. En effet, cette énergie doit être supérieure au gap £g pour qu'un
électron de la bande de valence accède à la bande de conduction. Comme un champ électrique usuel est
insuffisant pour réaliser une telle transition, les électrons restent tous liés et le matériau est isolant.

118
7. Conductivité électrique
ii) Si le niveau de Fermi est situé dans une bande permise (Fig. 7.5b), des électrons peuvent, sous
l'action d'un champ électrique, acquérir de l'énergie et occuper des niveaux d'énergie supérieure
inoccupés en l'absence de champ : le matériau est alors conducteur.
£\
Bande de
conduction
Bande de
valence
T=0K Sk
a) Isolant b) Conducteur
FIG. 7.5.
c) Semi-conducteurs
Un semi-conducteur ne se distingue d'un isolant que par une largeur de la bande interdite £g
plus faible (Fig. 7.6a). Cette distinction apparaît clairement si l'on examine l'action de la
température sur la probabilité d'occupation p(£). Lorsque la température est différente de 0 K la transition de
la valeur 1 à la valeur 0 de cette probabilité, au voisinage de £F , n'est pas abrupte (Fig. 7.6b).
Certains niveaux, d'énergie £ supérieure à £p , peuvent être occupés, l'énergie supplémentaire pour que
des électrons y accèdent étant fournie par l'agitation thermique. Des niveaux de la bande de
conduction peuvent être ainsi occupés, si l'écart £ — £F n'est pas trop grand devant l'énergie k^T,
caractéristique de l'agitation thermique.
Niveaux
partiellement
occupés
Niveaux
partiellement
libres
£h T=300K £h
Sf
Semi-conducteur
a)
Isolant
FIG. 7.6.
[kBT
Alors que, dans un métal, l'influence de la température sur la répartition des électrons dans la
bande de conduction est sans effet particulier, dans un semi-conducteur, l'effet est spectaculaire :
isolant parfait à 0 K le semi-conducteur devient conducteur à température ambiante. À cette température,
les électrons qui sont dans la bande de conduction peuvent occuper, sous l'action d'un champ
électrique, des niveaux d'énergie immédiatement supérieure ; la conductivité électrique par des électrons
de conduction est ainsi possible. En outre, certains niveaux du haut de la bande de valence sont
également disponibles en raison du transfert dans la bande de conduction des électrons qui s'y trouvaient.
Les trous ainsi créés peuvent être ensuite comblés par d'autres électrons de valence ; on peut alors dé-

Conductivité électrique 119
crire le déplacement de ces électrons sous l'action d'un champ électrique comme un déplacement de
trous en sens inverse.
L'énergie d'agitation thermique n'étant que de quelques dizaines de meV, à température ambiante,
les propriétés des semi-conducteurs ne sont observées que pour des matériaux dont la largeur de bande
interdite n'est pas très élevée (£g ~ 1 eV ). Si cette largeur est très grande (plusieurs eV), le matériau
reste isolant à température ambiante (Fig.7.6b).
Dans le tableau 7.3, on donne, en eV, les largeurs de bandes interdites de quelques
semiconducteurs et isolants à 300 K .
£8 (eV)
Ge
0,67
Si
1,14
GaAs
1,43
Diamant
5,4
Silice
- 10
Tab. 7.3.
Remarque : L'énergie nécessaire à un électron pour passer de la bande de valence à la bande de
conduction peut lui être fournie par un rayonnement. Dans le cas d'une absorption de lumière,
l'énergie hv d'un photon doit être suffisante pour créer une paire électron-trou : hv ^ £g .
À basse température, un tel processus est capable de rendre le matériau conducteur. Cette
propriété, appelée photoconductivité, est mise à profit pour réaliser des photorécepteurs
(cf. Optique).
III. 3. — Paramètres influant sur la résistance
On a vu précédemment que seuls les électrons dont l'énergie était voisine de celle du niveau de
Fermi pouvaient participer à la conduction. L'énergie cinétique £F = mev2F/2 de tels électrons est
imposée par le remplissage des niveaux disponibles ; elle est donc très supérieure à l'énergie cinétique
moyenne U = mev^/2 introduite précédement.
Par exemple, dans le cas du cuivre, £F = 1 eV alors que, à 300 K :
U = —^ = ~2 37' 5 meV
On en déduit :
vF = vq l -y ) « \4vq et £ = vFr = \Avqr = 14 x 2, 8 « 40 nm
soit plus de 100 distances atomiques. Le libre parcours moyen £ d'un électron de conduction est donc
beaucoup plus grand que celui que nous avions déterminé à partir d'un modèle classique. Ainsi, la
relaxation des vitesses des porteurs de charges n'est pas due aux collisions avec les ions du réseau ; elle
est imputable aux imperfections du réseau : défauts de structure, atomes étrangers, agitation thermique
des ions (Fig.7.7).
Comme la conductivité a pour expression : y = J2a naQaPa , l'influence des défauts de structure,
des impuretés et de la température sur la conductivité se, manifeste d'une part sur leur mobilité pua et
d'autre part sur le nombre na de porteurs de charge par unité de volume.
D'après ce qui précède, fia, qui est proportionnel au libre parcours moyen £a , diminue si le
nombre de défauts ou la température augmentent. La variation de na avec la température et le nombre
des impuretés joue un rôle décisif, puisque c'est par na que se manifeste la différence entre conducteurs
et semi-conducteurs.

120
7. Conductivité électrique
Fig. 7.7.
III. 4. — Influence de la température
a) Cas des métaux
Dans les métaux, le nombre d'électrons assurant la conduction est pratiquement indépendant de
la température ; la modification de la conductivité est donc directement reliée à celle de leur mobilité,
laquelle diminue si le nombre de défauts ou si la température augmentent.
Expérimentalement, on constate que la résistivité p = \/y croît linéairement avec la température
T . On a approximativement :
I = J-[l+a(r-7b)]
y ro
7o étant la conductivité à la température 7q = 273,15 K et a un coefficient que l'on détermine en
mesurant la conductivité du métal à une autre température, par exemple à la température d'ébullition
normale de l'azote liquide ( 77 K ).
À basse température, l'effet des impuretés devient prédominant et leur présence limite la valeur de
y . En revanche, lorsque les métaux sont très purs et monocristallins, y peut atteindre des valeurs très
élevées.
b) Cas des semi-conducteurs
Une analyse thermodynamique montre que le nombre de paires de porteurs créées dans un
semiconducteur intrinsèque augmente exponentiellement avec la température T. Une telle augmentation
masque la décroissance quasi linéaire des mobilités, si bien que la conductivité yf- = erij(\pe\ + pp)
augmente très rapidement avec T. Ce comportement diffère donc qualitativement et quantitativement
de celui d'un métal.
Ainsi, la résistance R d'une thermistance, constituée d'un mélange d'oxydes de semi-conducteurs
frittes, varie avec la température T selon une loi de la forme :
R = A exp ( — ) ce qui s'écrit aussi In/? = In A H—
où A et B sont des constantes. On vérifie aisément cette dépendance en représentant graphiquement
In R en fonction de 1 jT .
c) Applications
La grande sensibilité de la conductivité des solides aux variations de température est à l'origine
de nombreuses applications, tant pour les métaux que pour les semi-conducteurs. On réalise ainsi des
thermomètres à résistance de platine ou de germanium (cf. Thermodynamique).

Conductivité électrique
121
III. 5. — Rôle des impuretés
Comme dans le cas d'un métal, la présence d'atomes étrangers dans le réseau d'un semi-conducteur
rompt la symétrie de translation du cristal et donc diminue la mobilité des porteurs. Cependant,
certains types d'impuretés affectent considérablement la conductivité d'un semi-conducteur en modifiant
le nombre de ces porteurs. L'adjonction de ces atomes étrangers appropriés est le dopage.
Considérons un cristal de silicium. Comme l'élément Si qui se trouve sur la colonne IV de la
classification périodique est tétravalent, chaque atome est entouré de quatre voisins avec lesquels il
forme quatre liaisons covalentes (Fig. 7.8a). Si, à l'un de ces atomes, on substitue un atome de phosphore
ou un autre élément pentavalent appartenant à la colonne V, il y aura un électron en excès pour assurer
la liaison avec les atomes voisins. Un faible apport d'énergie, ici de 45 meV, fourni par l'agitation
thermique, suffira à cet électron faiblement lié, pour participer à la conduction électrique. L'atome de
phosphore ainsi ionisé en un cation P+ est alors donneur d'électrons : le dopage est de type n .
-(Si)=
Electron
de conduction
<§)=
11 Électron
de valence
lIonB-
(§)^©^(§>
Il ï^ou j{
(SiW(Si)—(Si)
a)
b)
Fig. 7.8.
La substitution par un atome tri valent, comme le bore, conduit inversement à un manque d'électron
pour assurer les liaisons (Fig. 7.8b). Grâce à l'agitation thermique, ce manque peut être comblé par la
capture d'un électron de valence du silicium, ce qui crée un trou. L'atome de bore ainsi ionisé en un
anion B~ est alors accepteur d'électrons : le dopage est de type p .
Du point de vue énergétique, un dopage n revient à introduire, dans la bande interdite, un
niveau d'énergie proche du bas de la bande de conduction (Fig. 7.9a). Ce niveau donneur est une source
d'électrons de conduction libérés lors de processus d'ionisation. En revanche, un dopage p revient à
introduire un niveau accepteur dans la bande interdite, proche du haut de la bande de valence (Fig. 7.9b).
Électrons de
conduction !
Niveau donneur
Trous
* 8a Niveau accepteur
a) Dopage n
b) Dopage p
FIG. 7.9.
De faibles taux d'impuretés dopantes modifient considérablement le nombre de porteurs et donc la
conductivité. Ainsi, le remplacement d'un seul atome de Si, sur un million, par un atome de la colonne V

122
7. Conductivité électrique
(dopage n ) ou de la colonne III (dopage p ), suffit pour que la conduction, à température ambiante, ne
dépende que des électrons ou des trous créés par ionisation des atomes étrangers. Ces porteurs sont alors
qualifiés de majoritaires.
Pour un même matériau, cette conductivité extrinsèque, essentiellement due aux impuretés
dopantes, varie considérablement. Cette grande modulation des propriétés électriques des
semiconducteurs est à la base du grand essor de l'électronique.
C'est en juxtaposant des matériaux de dopage, de nature et de géométrie différents, que l'on a
obtenu des composants dont les propriétés sont non linéaires. Dans de tels composants non homogènes,
des courants de diffusion se superposent aux courants de conduction ; la loi d'Ohm seule ne rend plus
compte des phénomènes électriques.
CONCLUSION
Retenons les points importants.
(1) La conductivité y est un paramètre qui caractérise la réponse que donne un milieu matériel,
lorsqu'on le soumet à l'action d'un champ électrique macroscopique.
(2) L'interprétation microscopique du phénomène permet de rendre compte du large éventail des
valeurs de conductivité. Deux paramètres essentiels caractérisent les différentes charges mobiles dans
un milieu donné : leur mobilité jul et leur densité volumique n . Ces paramètres sont directement liés à
la structure, à la nature des constituants et à la température.
(3) Le classement des différents milieux, relativement à la conduction électrique, traduit des
différences à la fois qualitatives et quantitatives :
(a) métaux ( y élevé) ; la conduction est assurée par des électrons ; y diminue avec la
température,
(b) isolants ( y pratiquement nul) ; toutes les charges (ions et électrons) sont liées et assurent les
liaisons chimiques,
(c) semi-conducteurs ( y faible ou moyen) ; la conduction est assurée par les électrons et les
trous ; y augmente rapidement avec la température et la présence d'impuretés dopantes,
(d) électrolytes ( y moyen) ; la conduction est assurée par des ions (cations et anions) ; la
conductivité dépend de la concentration et de la température,
(e) plasmas ( y moyen) ; la conduction est assurée par des ions et surtout par des électrons ; la
loi d'Ohm est facilement mise en défaut sous fort champ électrique ou sous faible pression.
Notons que, dans un solide, toute perte de symétrie (défauts structuraux, impuretés, vibrations de
réseau) diminue la mobilité des porteurs. Dans les milieux où des porteurs peuvent être créés, leur
densité augmente avec la température.
La supraconductivité, qui ne se réduit pas à une simple superconductivité, sera analysée
ultérieurement, une fois étudiées les propriétés magnétiques des matériaux (cf. chapitre 27).
EXERCICES ET PROBLÈMES
P7- 1. Diode à vide : loi de Child-Langmuir
Deux plaques métalliques planes, de surface S et distantes de d, sont soumises dans le vide à
une d.d.p U. L'une des plaques, la cathode, dont le potentiel Vc est pris comme origine, émet des
électrons par effet thermoélectronique. Ces électrons sont captés par l'autre plaque, l'anode, polarisée
positivement : Va = U ^ 0 . Le courant volumique est supposé uniforme.

Conductivité électrique 123
1. Établir, à l'aide du théorème de l'énergie cinétique et de l'équation de Poisson, l'équation
différentielle à laquelle satisfait le potentiel V en fonction de la distance x à la cathode.
2. Trouver la relation I(U) entre l'intensité / et la d.d.p U ; on admettra que le champ électrique
est nul pour x — 0 .
P7- 2. Cuve électrolytique
1. Calculer la résistance d'une cuve électrolytique, contenant de l'eau pure, dont les électrodes
planes, de surface S = 10 cm2 , sont distantes de 10 cm.
2. Que devient cette résistance si l'on dissout du sulfate d'aluminium à une concentration
0, 1 mol • L-1 ? On donne, en unité 10-9 SI :
/x+(H30+) = 3,28 x 10"8 /x_(OH_) = -1,76 x 10"8
M_(SO;-) - -8 x 10~8 M+(A13+) = 6 x 10"8
P7- 3. Courant électrique dans un gaz Cyveb)
1. Calculer la vitesse quadratique d'un ion O \ , à T = 300 K , ainsi que la vitesse de dérive d'un
tel ion (masse molaire M = 32 g), de mobilité /n+ = 0, 15 x 10-3 SI, en présence d'un champ
électrique de 105 V • m-1 . Conclure.
2. En admettant que le libre parcours moyen est le même pour un ion O f et un électron, montrer
que la conductivité est essentiellement due aux électrons.
P7- 4. Phénomène de diffusion : distance de Debye ^î£>
Lorsque la concentration // ou nombre de porteurs de charge par unité de volume n'est pas
uniforme, il apparaît un courant de diffusion dont l'expression est donnée par la loi de Fick (cf.
Thermodynamique) : i(i = —D grad n où D est le coefficient de diffusion.
1. Ecrire la condition d'équilibre électrique entre les courants de conduction et de diffusion pour
un métal que l'on assimile à un gaz d'électrons libres, de densité n, de mobilité /ne, évoluant dans un
réseau d'ions fixes de concentration n^ . On admettra que n — no <ti no .
2. Déduire du théorème de Gauss que l'équation différentielle, à laquelle satisfait le champ
électrique, est de la forme :
AE_E 0 Qù A fjoD_\l/2
XlD \n0e2fxeJ
est la longueur de Debye.
P7- 5. Charges à la surface d'un conducteur Cweg)
Comme la diffusion s'oppose à l'accumulation de charges électriques sur la surface d'un
conducteur en équilibre, les charges se répartissent sur une certaine épaisseur que l'on se propose d'évaluer.
1. Résoudre l'équation différentielle, établie dans P7 .4, lorsqu'une surface plane limite le
conducteur. En déduire que les charges se répartissent sur une couche d'épaisseur égale à quelques XD .
2. Evaluer XD dans le cas d'un conducteur métallique pour lequel le coefficient de diffusion s'écrit
D = 2/Lie8F/3 . On prendra n0 = 1028 m~3 et £F = 7 eV .

124
7. Conductivité électrique
VI- 6. Durée de relaxation des vitesses
On se propose d'établir la loi d'Ohm en utilisant un modèle simple pour calculer la conductivité.
Les porteurs, de masse m et de charge q, sont animés d'une même vitesse moyenne v . Leur interaction
avec le réseau s'exprime par une force de frottement visqueux — a\ , avec a > 0 .
1. Etablir l'équation différentielle du mouvement d'un porteur en présence d'un champ électrique
constant. Montrer qu'en régime stationnaire, on retrouve bien la loi d'Ohm. Exprimer la conductivité
du milieu en fonction de a , de q et de la densité volumique de porteurs n .
2. À un instant, le champ est supprimé. Montrer que l'évolution ultérieure de la vitesse moyenne
est caractérisée par une durée r . Justifier son nom, durée de relaxation des vitesses. Calculer r pour le
sodium dont la densité électronique est ne = 2,5x 1028 m-3 et la conductivité y = 2, 1 x 107 S • m-1 .
P7- 7. Distance de dérive et libre parcours moyen
Dans le modèle de Drude, la probabilité pour qu'un électron dans un métal subisse une collision
entre t et t-\-ùt s'écrit p(t)dt = Cexp(—t/r)dt,où C est une constante.
1. Évaluer C et les valeurs moyennes des durées 1 et de leur carrés t2 en fonction de la durée
de collision r. En déduire la vitesse moyenne de dérive et la distance moyenne de dérive entre deux
collisions, en présence d'un champ électrique E . Retrouver l'expression de la conductivité.
2. La conductivité de l'aluminium à température ambiante est y = 3,65 x 107 S • m-1 . Sachant
que l'énergie de Fermi vaut £F = 11, 63 eV et la densité d'électrons libre ne = 18,06 x 1028 m-3 ,
en déduire la durée de collision. Comparer la vitesse de dérive, sous l'action d'un champ électrique
de valeur E = 10 V-m-1, à la vitesse de Fermi. Comparer le libre parcours moyen à la distance
interatomique d = 0,286 nm .

8
Conducteurs en équilibre électrostatique
Les conducteurs sont des matériaux qui contiennent des charges électriques mobiles, capables de
se déplacer dans tout le volume disponible. Ils contiennent évidemment d'autres particules chargées
(noyaux, électrons atomiques) dont les déplacements sont très limités.
En raison du grand nombre de particules, l'état électrique macroscopique en un point M d'un tel
système matériel est défini par le champ électrostatique E(M) dans un élément de volume
macroscopique centré en M.
Dans ce chapitre, nous nous proposons d'établir les propriétés du champ E créé par un ensemble de
conducteurs homogènes, chargés ou non, immobiles dans le référentiel du laboratoire. Nous analysons en
détail la structure de ce champ et introduisons les paramètres qui permettent de le déterminer dans les cas
d'un et de deux conducteurs. Nous généralisons ensuite les résultats obtenus à un nombre quelconque
de conducteurs.
I. _ CHAMP PRODUIT PAR UN CONDUCTEUR EN ÉQUILIBRE
1.1. — Champ à l'intérieur d'un conducteur en équilibre électrostatique
Un conducteur est dit en équilibre électrostatique s'il n'existe en son sein aucun flux
macroscopique de charge ; le courant volumique est alors nul : J = 0 . Comme le conducteur contient des charges
libres de se déplacer, la force moyenne qui s'exerce sur chacune d'elles est nulle. Si la seule force
capable de mettre les charges en mouvement est la force électrostatique, on a alors J = yE//7 = 0 (loi
d'Ohm locale), d'où la valeur nulle du champ à l'intérieur en tout point du conducteur :
E/n - 0
Cette propriété est Y équation constitutive d'un milieu conducteur en équilibre électrostatique. Comme
le champ est nul à l'intérieur du conducteur, le but de l'étude se réduit à le déterminer à l'extérieur, c'est-
à-dire dans le vide. C'est probablement pour cette raison que l'électrostatique des milieux conducteurs
est souvent présentée de façon formelle, sans étude préalable des milieux matériels (cf. chapitres 6 et 7).
Remarque : Lorsque, dans un conducteur, Ein ^ 0 , l'équilibre électrique n'est possible que si d'autres
forces capables de mettre les charges en mouvement compensent la force électrostatique.
C'est le cas dans un générateur de tension en circuit ouvert, comme on le verra
ultérieurement (cf. chapitre 9).

126
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
1.2. — Densité de charge et potentiel à l'intérieur d'un conducteur
a) Répartition surfacique de charge
Appliquons à un conducteur, en équilibre électrostatique, le théorème de Gauss et, pour cela,
choisissons une surface fermée S quelconque, intérieure au conducteur, délimitant un volume V
(Fig. 8.1a). Avec les notations habituelles, on a :
é E • n d S = —— avec Qin = / pin d V
Js £o Jp
Comme E,„ = 0 , on en déduit que Qj„ = 0 , ce qui implique pm — 0 puisque la surface S est
quelconque. Il en résulte que, pour un conducteur chargé, la distribution de charge est nécessairement
surfacique. La charge Q répartie sur la surface S d'un conducteur, avec la densité a , a pour expression :
Q = éadS
Remarques : (1) La distribution de charge n'est évidemment surfacique qu'à l'échelle macroscopique.
Une analyse plus fine montre que les charges se répartissent dans une couche d'une
épaisseur de l'ordre de quelques dixièmes de nanomètre (cf. exercices).
(2) Le cas d'un conducteur creux, pour lequel des surfaces intérieures ne peuvent être
continûment réduites à un point, sera analysé plus loin en 1.4.
b)
b) Potentiel électrostatique d'un conducteur
Considérons deux points A et B quelconques, appartenant à un même conducteur, et C un
parcours de A à B entièrement intérieur à son volume V (Fig. 8.1b). Comme, quel que soit le point M
de C , E — O , on obtient :
yA-yB = - E-dr = 0 soit VA = VB
Jb
Ainsi, dans tout le volume du conducteur, le potentiel est uniforme :
Vm = Cte
La fonction potentiel étant continue à la traversée d'une surface, chargée ou non, le potentiel Vin est
aussi celui de la surface du conducteur. Les charges mobiles dans un conducteur restent confinées dans
le volume limité par sa surface, grâce à une interaction attractive, d'origine quantique, avec les autres
charges, laquelle compense l'influence de la répulsion électrostatique ; on décrit globalement cette
interaction attractive par une barrière d'énergie potentielle. Bien que la hauteur de la barrière ne soit
généralement que de quelques eV, elle est quasiment infranchissable à toute charge individuelle, car, lorsque
l'on charge un conducteur, l'énergie qu'on lui fournit ne concerne qu'un petit nombre de charges, en
excès ou en défaut, comparé à la totalité des charges du conducteur.
S/
a)
Fie. 8.1.

Conducteurs en équilibre électrostatique
127
1.3. — Champ au voisinage d'un conducteur
a) Théorème de Coulomb
Nous avons établi au chapitre 2 que les valeurs du champ électrostatique, de part et d'autre d'une
surface chargée avec une densité a , vérifiaient la relation :
n12-(E2-E,) = —
ni2 étant la normale à la surface orientée du milieu 1 vers le milieu 2 (Fig. 8.2). Cette équation permet
de calculer le champ au voisinage de la surface d'un conducteur chargé. En effet, en affectant les indices
1 au conducteur et 2 au vide, on a : Ej = E,„ = 0. D'autre part, la surface étant équipotentielle, le
champ E2 — Eex lui est orthogonal. Il en résulte, en désignant par n^- — n]2 la normale au conducteur,
dirigée vers l'extérieur :
F --n
Cette expression du champ électrostatique, au voisinage d'une surface conductrice chargée, est connue
sous le nom de théorème de Coulomb.
Notons que la valeur du champ E^ produit par toute la distribution de charge du conducteur
ne dépend que de la densité superficielle au voisinage du point considéré. Ce fait remarquable doit être
attribué à la longue portée des interactions électrostatiques : l'équilibre de chacune des charges est assuré
par rensemble de toutes les autres dont l'influence se manifeste localement par la charge surfacique.
Fig. 8.2.
b) Pouvoir des pointes
Le champ électrique au voisinage d'un conducteur chargé devient très intense si ce dernier a la
forme d'une pointe, c'est-à-dire si sa courbure est élevée. C'est le pouvoir des pointes.
Pour établir la relation entre le champ produit et la courbure d'une pointe, rappelons que le potentiel
d'un conducteur sphérique, de charge Q et de rayon R, et le champ au voisinage de sa surface valent
respectivement, en un point extérieur :
47T£o R 477-50 R2 R
Considérons un conducteur, formé de deux sphères, de rayons R\ et Ro < R\ , reliées par un fil
conducteur long et fin (Fig. 8.3a). Comme V\ = V2 = V, le champ au voisinage de chacune de ces sphères
vaut respectivement : V/R\ et V/R2 • Il est donc plus intense au voisinage de la sphère de plus
petit rayon. Ce résultat se généralise à un conducteur de forme quelconque et explique le pouvoir ionisant
des pointes.
Ce pouvoir des pointes permet d'expliquer les décharges électriques, dues à la foudre, que reçoivent
les clochers, les mâts, les arbres, et justifie l'utilisation de paratonnerres pour canaliser ces décharges
vers des zones non dangereuses.

128
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
En outre, ces pointes, lorsqu'elles sont fortement chargées, sont capables d'ioniser l'air
environnant, ce qui se traduit par des crépitements et par l'émission d'un rayonnement visible. C'est
Yeffet de couronne. Ce rayonnement visible se présente sous la forme de filaments bleu-violet
dont la longueur atteint plusieurs dizaines de cm. On explique ainsi l'existence des feux de Saint-
Elme.
Un dispositif simple mettant en évidence le pouvoir des pointes est le tourniquet électrique qui,
lorsqu'on le charge, à l'aide d'une machine de van de Graaff par exemple, se met à tourner (Fig. 8.3b).
Cette propriété est actuellement utilisée dans les canons à émission froide où les électrons sont
extraits d'une cathode sous l'effet d'un champ électrostatique intense (cf. Physique quantique)\ ils
équipent les microscopes à effet de champ.
\"i
<^b> Machine
j*8^3^ de van de Graaff
/\ Isolant
b)
1.4. — Champ à l'intérieur d'une cavité dans un conducteur
Un conducteur creux, de surface extérieure S\ et de surface intérieure S2 , entoure un volume non
conducteur exempt de charges (Fig. 8.4a). A l'équilibre électrostatique, quel que soit l'état électrique
à l'extérieur du conducteur, la surface £2 et le volume qu'elle englobe sont équipotentiels, sinon la
fonction potentiel présenterait à l'intérieur un maximum ou un minimum, ce qui est exclu en l'absence
de charges.
Ainsi, le champ est nul à l'intérieur de la cavité. En appliquant le théorème de Coulomb, au
voisinage de £2 , on obtient :
o~2
E = — neji:2 — 0 d'où cr2 = 0
£0
La surface intérieure 5? n'est donc pas chargée : l'excédent éventuel de charge se répartit sur la surface
extérieure Si , que le conducteur soit plein ou creux.
a)
Fig. 8.4
En revanche, s'il existe des charges dans la cavité, la surface intérieure se charge (Fig. 8.4b).
Fig. 8.3.

Conducteurs en équilibre électrostatique
~ 129
Comme le champ reste nul dans le conducteur, l'application du théorème de Gauss sur une
surface S quelconque, intérieure au conducteur et englobant la cavité, montre que la charge totale qui
apparaît sur la surface intérieure £2 est opposée à la charge Q contenue dans la cavité :
E-nd<S = g + / <r2 dS = 0 d'où a2 dS =-Q
s Js2 Js2
En outre, si le conducteur creux est maintenu au potentiel zéro, par mise à la terre, le potentiel à
l'extérieur est nul, puisqu'il doit être nul sur le conducteur et à l'infini. Tl en résulte que le champ à l'extérieur
est nul, quelle que soit la charge intérieure.
1.5. — Pression électrostatique et forces sur les conducteurs
a) Pression électrostatique
Évaluons la force électrostatique qu'exerce, sur la charge cr dS de l'élément de surface dS d'un
conducteur en équilibre, l'ensemble des autres charges (Fig. 8.5).
E(N)
TV
Ea(M)
M'
dS
E(M)=0
Ea(M)
:Ui>t
FiG. 8.5.
FIG. 8.6.
D'après la propriété de superposition, le champ en tout point est la somme du champ Ef7 , créé par
la charge a d S elle-même, et du champ Efl créé par le reste de la distribution : E = Ea + Ea . En un
point M intérieur au conducteur, on a :
Ea(M)+Ea(M)=0
et en un point /V à l'extérieur, il vient, d'après le théorème de Coulomb :
Etr(N) + Ea(N) = -nex
D'autre part, la charge cr dS crée, au voisinage immédiat de dS, un champ identique à celui d'une
distribution surfacique plane de densité cr . On a montré, que ce champ vérifiait la relation (cf. chapitre
4):
En reportant cette égalité dans les équations précédentes, on obtient :
E«(M) = ^~nex et Ea(N) = ^-ne_

130
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
Ainsi, Ea est continu à la traversée de la surface et a pour valeur o-ncx/(2ço) sur la surface. On en
déduit la force s'exerçant sur a dS due à l'action du seul champ Efl créé par les autres charges de la
distribution :
a2 a2 Eq E2
d F = a d S Ea = -—neK d S = pe nex d S avec pe = -— = ———
2eq 2e0 2
La force est donc toujours orientée vers Vextérieur du conducteur; la quantité pe, homogène à une
pression, est appelée la pression électrostatique.
Remarque : Dans la plupart des situations électrostatiques usuelles, le champ macroscopique, au
voisinage de la surface d'un conducteur en équilibre, a une intensité négligeable devant le
champ microscopique interne qui maintient les charges à l'intérieur du conducteur. La
force qu'il exerce sur la couche superficielle est alors entièrement transmise au milieu
matériel formant le support de la distribution de charge.
b) Somme des forces électrostatiques sur un conducteur
Comme les forces électrostatiques s'exercent sur la surface du conducteur, leur somme F a pour
expression :
Exemple : Répulsion de deux hémisphères chargés
Considérons une couche sphérique conductrice, de rayon R, portant, de façon uniforme, une
charge Q que l'on coupe en deux suivant un plan diamétral (Fig. 8.6). Par symétrie, la somme des
forces qui s'exercent sur l'un des deux hémisphères, maintenus au contact, n'a de composante non nulle
que suivant l'axe perpendiculaire au plan diamétral choisi. En appelant Oz cet axe, on a, en
coordonnées sphériques :
Tt/2 rllT
f fa2 a2 r/z [A7T 0
F-= / dF-e7 dS= / —e, • e. dS= / / R2cos6sm6 d6 dç
J *" J 2e0 " 2e0 J0 Jo
7T(T2R2
2e0
Comme a = Q/(4ttR2) , la force totale vaut :
1 Q2
F = -=— e-
4tt£o 8/?2 c
II. _ DISTRIBUTIONS D'ÉQUILIBRE D'UN CONDUCTEUR
Nous proposons maintenant d'établir les propriétés des distributions d'équilibre sur un conducteur,
seul dans le vide, précisément la relation linéaire entre sa charge Q et son potentiel V .
II. 1. — Propriétés des distributions à l'équilibre
D'après ce qui précède, une distribution d'équilibre d'un conducteur seul est une distribution
superficielle de charge qui réalise E = 0 à Y intérieur du conducteur.

Conducteurs en équilibre électrostatique
131
a) Première propriété
Si E et E' sont les champs créés respectivement par les distributions surfaciques d'équilibre or
et a', la distribution aa + a'a', a et a' étant deux nombres réels, crée le champ aE + a'E'. Comme
E et E' sont nuls à l'intérieur du conducteur, le champ résultant l'est aussi.
Ainsi, la superposition linéaire de deux distributions d'équilibre pour un conducteur seul est aussi
une distribution d'équilibre.
b) Deuxième propriété
Le conducteur étant le seul élément portant des charges et la fonction potentiel ne présentant pas
d'extremum en dehors des charges, son potentiel est minimal ou maximal. Au voisinage de sa surface,
on a donc :
. . a dV
E -nex = — = - grad V nev = - —
£o on
dV/dn représentant le taux de variation de V le long de la coordonnée normale définie par nex . Le
signe de —dV/dn et par conséquent celui de or est positif si V est maximal, et négatif si V est
minimal.
Ainsi, toute distribution superficielle d'équilibre d'un conducteur seul est de signe uniforme.
c) Troisième propriété
Si nous supposons or > 0, alors :
t
Le potentiel décroît à partir de la surface ; puisqu'il est nul à l'infini, il est positif sur la surface, comme
dV o-
Q=éo-dS>0 et - — = — >0
an £q
Ainsi, pour une distribution d'équilibre d'un conducteur seul, or , Q et V sont de même signe.
d) Quatrième propriété
Considérons deux distributions d'équilibre, caractérisées respectivement par les charges
surfaciques or et or' et supposons or positive. Admettons que l'on ait, en deux points quelconques M\
et A42 de la surface :
cr'(Mi) = a\a(M\) et <r'(M2) = a2or(M2)
a\ et a2 étant deux nombres réels tels que a\ < a2 . La distribution de charge surfacique :
or" = a'— bor avec ci\ < b < a2
prend en M\ la valeur :
cr'{Mx) -ba(Mx) < cr'(M\) - a{a{Mx) =0
En M2 , cette distribution prend la valeur :
a'(M2) - bor[M2) > a'(M2) - a2or[M2) = 0
Elle change donc nécessairement de signe, ce qui est en contradiction avec la deuxième propriété. Il en
résulte que : a\ = a2. Comme ce résultat concerne tout couple de points de la surface, on en déduit que
les deux fonctions a et a' sont proportionnelles.
Ainsi, les charges surfaciques de deux distributions d'équilibre d'un conducteur seul sont
proportionnelles. Leur répartition n'est donc fonction que de la géométrie.

132
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
II. 2. — Capacité d'un conducteur seul
Nous avons vu que, sur un conducteur, les charges mobiles se réparti s s aient de façon à assurer
E/w = 0 . En pratique, on ne maîtrise que la charge totale Q ou le potentiel d'équilibre V . La répartition
exacte des charges dépend de la géométrie de la surface du conducteur. Nous allons montrer que la
donnée de l'un des paramètres, Q ou V, suffît à caractériser la distribution d'équilibre.
a) Distribution d'équilibre d'un conducteur seul de charge Q
Désignons par or et or' deux charges surfaciques correspondant à la même charge totale Q. Il
vient :
Q = la dS = 1er' dS d'où ê(a - or') àS = 0
«/ S «/ S J S
Comme (a — a') est une distribution d'équilibre, donc de signe uniforme, il en résulte que or — or' = 0
soit : or = or'.
Ainsi, pour un conducteur de charge Q donnée, il existe une seule distribution d'équilibre.
b) Équilibre d'un conducteur seul de potentiel fixé
Si les charges surfaciques or et or' correspondent au même potentiel V, la charge surfacique
(a — a') correspond à un équilibre de potentiel nul. La fonction potentiel V" associée à la densité
(a — or') est donc nulle sur le conducteur et à l'infini. Comme elle ne présente pas d'extremum en
dehors des charges, elle est nulle partout. Il en résulte que :
// a — a' ,
- grad V • nex = = 0 d'où or = or
Ainsi, pour un conducteur porté à un potentiel V donné, il existe une seule distribution d'équilibre.
c) Capacité d'un conducteur
D'après ce qui précède, à chaque distribution or correspondent une seule charge totale Q et un
seul potentiel d'équilibre V . À la distribution or' — acr , a étant un facteur multiplicatif, correspondent
la charge totale et le potentiel suivants :
Q' = iao- dS = aQ et V'(r) = -^— & ^ \x dS = aV(r)
Js 47re0./s||r-r'|| yJ
On en déduit que le rapport C = Q/V = Q'/V ne dépend que de la géométrie de la surface du
conducteur : on l'appelle la capacité du conducteur seul et on la mesure en farad (F), du nom du physicien
anglais M. Faraday. Cette grandeur est toujours positive d'après la troisième propriété des distributions de
charge. Retenons donc, pour un conducteur :
Q = CV avec C>0
Pour calculer la capacité d'un conducteur, il suffit d'expliciter Q et V :
Q=(fadS et V(r) = —!— / ,, ,„ dS
Js 47re0./s||r-r'||
r étant le vecteur position d'un point quelconque intérieur au conducteur. On a donc :
(p or dS
C — 4tt£o
^dS

Conducteurs en équilibre électrostatique
133
Cette expression confirme que C ne dépend que de la géométrie du conducteur puisque deux charges
surfaciques d'équilibre sont proportionnelles.
La relation Q = CV s'explicite aussi en fonction du champ. En effet, si C est un contour partant
du conducteur et allant jusqu'à l'infini, on a :
é E neA dS
crdS = C I E-dr d'où C = e0
iadS = C / ]
E-dr
c
puisque a = &oE • nejf. Cette expression de C est surtout utile lorsqu'on a déjà calculé E , à l'aide du
théorème de Gauss.
Exemple : Capacité d'une sphère conductrice
Dans le cas d'une sphère conductrice, de rayon R, de charge totale Q, le potentiel V a pour
expression (cf. chapitre 4) :
V=—ï— - d'où C=- =4tt£0R
47T£o R V
Ainsi, la capacité d'une sphère, de rayon R = 1 m , vaut 0, 11 nF. On voit sur cet exemple que le farad
est une unité trop grande pour mesurer des capacités usuelles. Aussi utilise-t-on fréquemment ses sous
multiples. Un autre exemple de sphère conductrice est fournie par la Terre seule ; sa capacité vaut :
6,4 x 106
CT = 4ireoRT = g x tQ9 = 0,71 mF
II. 3. — Energie électrostatique d'un conducteur
L'expression de l'énergie électrostatique d'une distribution surfacique de charge (cf. chapitre 3)
donne, dans le cas d'un conducteur porté au potentiel V :
\ r \ f 1 1 1 O2
£e = t: é <rV dS = -V é a dS = -QV - -CV2 - ^
2Js 2 Js 2 2 2 C
puisque Q = CV .
Exemple : Énergie électrostatique d'un conducteur sphérique de charge Q
Comme, dans ce cas, C = AtteqR , on a :
s =Q2 = l Ql
e 2C 4tt£0 2R
Evaluons la variation d'énergie électrostatique correspondant à une variation éléémentaire dR du rayon,
à charge constante. Il vient, en différentiant £e :
1 Q2 o2
dEe — d R soit d £e = d T) = — pe d V
4tt£0 2R2 2e0 le
puisque a = Q/(4ttR2) , d V = 4iTR2dR et pe = ct2/(2e0) .

134
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
Si le conducteur évolue spontanément à partir du repos sous l'action des seules forces
électrostatiques qui sont conservatives, son énergie cinétique augmente alors que son énergie totale se conserve
(cf. Mécanique) ; il en résulte une diminution de l'énergie potentielle 8e et donc une dilatation de la
sphère ( d V > 0 ).
III. _ ÉQUILIBRE D'UN SYSTÈME DE DEUX CONDUCTEURS
Dans le cas d'un système de deux conducteurs en équilibre, les relations entre les potentiels
(V\, Vi) et les charges [Q\ •> Qi) sont linéaires. C'est ce que nous nous proposons d'établir.
III. 1. — Distributions d'équilibre
Considérons un système de deux conducteurs C\ et C2 dont les volumes respectifs V\ et V2
sont limités par les surfaces S\ et S2 (Fig. 8.7). Une distribution d'équilibre est un ensemble {or\, or2)
de deux distributions surfaciques sur Si et S2 qui réalisent l'annulation du champ à l'intérieur des
conducteurs.
nh
Fig. 8.7.
a) Première propriété
Si la distribution de charge surfacique (cr\:a2) des conducteurs crée un champ E nul dans V\
et V2 , et si (or[,af2) crée un champ E' nul dans TJ\ et V2 , la distribution :
a((r\, 0*2) + a'(or\, a'2) = {acr\ + clcr\, aa2 + claf2)
où a et a' sont deux nombres réels, crée un champ ( aE + a'E' ) nul dans V\ et V2 . C'est donc une
distribution d'équilibre.
Ainsi, la superposition linéaire de deux distributions d'équilibre est aussi une distribution
d'équilibre.
b) Deuxième propriété
Plaçons-nous dans le cas où la charge Q2 de C2 est nulle. D'après le théorème de Coulomb, la
charge surfacique cr2 est reliée au gradient de la fonction potentiel au voisinage de C2 par (Fig. 8.8) :
cr2 — — £q grad V n2
Fig. 8.8.

Conducteurs en équilibre électrostatique
135
Donc, au voisinage d'un point où cr2 est positif, le potentiel décroît à partir de la surface. En
revanche, au voisinage d'un point où cr2 est négatif, le potentiel croît à partir de la surface. Comme
Q2 — 0, cr2 change de signe sur S? et la fonction potentiel croît ou décroît à partir de C2 selon
le point considéré. Elle n'est donc ni minimale ni maximale sur C? et présente par conséquent un
minimum ou un maximum sur C\ . Il en résulte que cr\ — — Eq grad V i\\ est de signe uniforme.
Explicitons ce résultat dans le cas de la figure 8.9 où Q\ et donc cr\ sont positifs : le potentiel
décroît à partir de sa valeur sur C\ et le potentiel V? de C? est inférieur à V\ mais supérieur au potentiel à
l'infini qui est nul. La distribution cr2 change de signe sur la ligne neutre qui sépare les régions pour
lesquelles o~2 < 0 , où arrivent des lignes de champ provenant de C\ , des régions pour lesquelles o"? > 0
d'où partent des lignes de champ qui vont jusqu'à l'infini. Le graphe, représenté sur la figure 8.9, décrit
les variations de la fonction potentiel suivant l'axe Ox. La relation cr\ = — eograd V • nj nous
permet de conclure que, si cr\ > 0 , alors le potentiel de C\ est maximal et donc V\ > 0 , puisque V = 0
à l'infini.
Ainsi, pour une distribution d'équilibre (o"i,o-2) d'un système de deux conducteurs C\ et C?
dont la charge Q2 est nulle, la densité cr\ est de signe uniforme.
III. 2. — Équilibre à charge fixée ou à potentiel fixé
Dans un système de deux conducteurs, les charges mobiles se répartissent de façon à annuler le
champ à l'intérieur de chacun d'eux. La répartition dépend naturellement de la géométrie du système.
Montrons qu'un état d'équilibre d'un système, de géométrie donnée, est entièrement caractérisé par
la donnée de deux seulement des quatre paramètres Q\ , Q2 , V\ et V2 , qui sont respectivement les
charges et les potentiels de chacun des conducteurs.
a) Unicité de la solution
Montrons d'abord que la seule distribution d'équilibre des conducteurs, correspondant à
Q\ = Qi = 0, est (0-1,0-2) = (0,0) .Si Qo = 0, on sait que a\ est de signe uniforme. Comme, en
outre :
Q}= <£ a}dS = 0
JSi
o-\ =0. Pour des raisons analogues, Q2 = 0 entraîne o"2 = 0. Donc Q\ = Q2 = 0 entraîne
°~] — °~2 — 0 .
Supposons maintenant qu'il existe deux distributions surfaciques d'équilibre (o-j, o"2) et (a\, o*2),
correspondant aux mêmes charges totales Q\ et g2 • H vient :
Q\ = é a\ dS = S a\ dS et g2 = <x> o"? dS = <x> o"2 dS
J S\ JS\ J S2 J S2
La distribution (or\ — or\, o"? — o"2) est une distribution d'équilibre correspondant à deux charges totales
nulles, puisque :
(2'/= <L (o-7, -o-,) dS = 0 et Q,2,= (£(a2-a2)dS = 0
Elle est donc nulle, ce qui entraîne : cr\ — cr\ et cr2 = cr'0 .
Ainsi, à un ensemble (Qi,ô?) des charges des conducteurs C\ et C? , correspond une seule
distribution d'équilibre.

136
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
b) Relations linéaires entre charges et potentiels
Montrons que, pour une distribution d'équilibre telle que Qo = 0, le potentiel de chacun des
conducteurs est proportionnel à Q\ . Les charges Q\ ^ 0 et Qo = 0 étant fixées, appelons (crj,cr2)
la distribution d'équilibre correspondante.
Un autre état d'équilibre, pour cette même distribution surfacique de charge, est donné par :
Q\ = aQ\ et Q'2 = 0, a étant un facteur multiplicatif. La distribution a(o~\,o-2) = (cio~\,ao~2) a
pour charges totales Q\ et 0 puisque :
aa{ dS = ^-Q{ = Q\ et é aa2 dS = =^-Q2 = 0
%-Q\=& et (faa2dS=^
Cette distribution est celle du système dans le deuxième état d'équilibre. Ainsi, les deux distributions
d'équilibre sont proportionnelles. Il en résulte la proportionnalité des potentiels car, dans une
configuration donnée des deux conducteurs, le potentiel V\ se met sous la forme :
V\{MX) = —— 6 -P- dSi + —!— i -p- dSi
M\ étant un point quelconque de C\ (Fig. 8.10). On a une expression analogue pour V2(M2) .
m, f^\-'^m
'"■>- ...^\^P[ -■■■ *>-■?■■'''
FIG. 8.10.
Si les densités surfaciques sont multipliées par a , les potentiels le sont aussi :
V, V2 Q,
Par conséquent :
£) = (£) -°"« M) -(£) -°»
Dans ces formules, Dj i et D?i sont des coefficients qui ne dépendent que de la géométrie du système.
Si Q\ > 0, on a Vi > 0 et par conséquent D\\ > 0 . De plus, le potentiel V2 n'étant ni un maximum
ni un minimum de la fonction potentiel, on a :
0< V2 < V{ d'où 0<D21 <DU
De la même façon, les coefficients :
vérifient une relation analogue (il suffit de permuter les indices) : 0 < D\2 < D22 . On en déduit
l'inégalité : DUD22 > DnD2i soit : A = DnD22 - DX2D2\ > 0.

Conducteurs en équilibre électrostatique
137
III. 3. — Coefficients de capacité et d'influence
a) Coefficients de capacité
Considérons deux conducteurs 1 et 2 , de charges respectives Q\ et Q2 , et appelons (o-11,0-21)
la distribution d'équilibre correspondant à (<2i,0) et (ct|2,cr22) la distribution correspondant à
(0, Qo) . D'après ce qui précède, les potentiels des conducteurs, pour la première distribution, s'écrivent
respectivement :
Vn=DnÔi et V21=D2,e,
Il en est de même pour la deuxième distribution. Par conséquent :
V\2=DnQ2 et V22 =D22Q2
La distribution (crn + cr\2-, o-2\ + #"22) est la distribution d'équilibre correspondant à (<2i, Qi) ■ On a
donc pour cette distribution :
V\ = V,, +Vi2=D,iGi +Di2Ô2
V2 = Vil + ^22 = AîlÔl + ^2202
Ainsi, toute distribution d'équilibre peut être réalisée par combinaison linéaire de deux distributions
d'équilibre pour lesquelles la charge totale de l'un des conducteurs est nulle. La linéarité de ces
équations peut être soulignée grâce à l'écriture matricielle suivante : [V] = [D][Q] dans laquelle
[v] =
et [Q] =
Ci
Ô2
désigne respectivement la matrice colonne des potentiels et celle des charges des conducteurs.
Les relations précédentes, donnant les potentiels à partir des charges, sont très utiles pour
déterminer les coefficients géométriques D,y dans des cas concrets. Cependant, on introduit le plus souvent les
coefficients de capacité C,y obtenus à partir de la relation inverse :
[Q] = [C][V] où [C\ = [D]~l
dans laquelle [C] est la matrice capacité du système des deux conducteurs. Les coefficients C,j se
déduisent des Dy selon :
D9? Dp Do\ Du
Cn=~p>0 CP = t^<0 Coi = f1<0 et C99 = -^ > 0
A "A "A A
avec A = D\\D22 — ^12^21 > 0. On constate que C\\ > —C\2 et C22 > — C2\ , puisque D\\ > D2\
et D22 > D\2 . Les deux éléments diagonaux C\ \ et C22 portent le nom de coefficients de capacité, les
deux autres de coefficients d'influence.
b) Relation entre Ci2 et Co\
Montrons que D\o = Do\ en explicitant la charge Q\ et le potentiel V\ du conducteur C\ . Si
l'on désigne par (cr\, cr2) la distribution d'équilibre sur les surfaces Si et S2 ,ona:
Js, 477£0J5l PyMt ' 47T£0JS2 P2Mt 2
en un point quelconque M\ de C\ .

138
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
Multiplions Vx par o~x{M\) et intégrons sur S\ . On obtient, puisque V\ est uniforme sur S\
/"""
d'où :
dSx =VlQ] =
V\ =
1
4tt£0 Q\
47T£o
H
JSi JSi
11-
JS\ JS\
(Mi)ci(Pi)
/s, Js, p\M\
dSi dS'
JS\ JS:
crX(MX)a2(P2)
P2M\
d^ dS'0
J U02
ax(Mx)ax(Px)
S, JSi r\
P\MX
dSx dS'
\ + i i
JS\ JS2
°WW*) dSl dS'
P2MX
1 uo2
En posant :
Du =
1 1
4^o Q\ Js, JSl
f f ax{Mx)ax
L L p^mx
(Pi)
dSx dS\
et
on retrouve la relation
Dr
1 1
47T£q QX
\QiJsJs, PiMx 2
Vi=D„Gl+0|2Ô2
De même, on retrouverait : V2 = D2\ Q\ + D22Q2, avec :
1 1 f f Cr2(M2)orl(Pl)
D21
47T£o Q
-H
1 Qi Js2 Js,
PXM2
dS2 dS'x
et
Don =
1 1
//
Js2 Js7
OT2{M2)or2{P2)
47T£0 Q\ Js2 Js2 P2M0
dS2 dS'2
Une simple permutation des indices, dans l'expression des coefficients DX2 et D2X , conduit à :
DX2 = D2X d'où C,2 = C2i < 0
c) Interprétation des coefficients Cy
D'après les relations :
Qx =C,IV1+CI2V2
Ô2 = c2iV, + C22V2
où Cj2 = C21 et Cn est la charge du conducteur C] lorsque le potentiel de Ci est égal à 1 V et le
conducteur 2 est au potentiel nul ; on vérifie ainsi que C\X > 0 . En outre, puisque le conducteur 1 est
chargé positivement, il attire des charges négatives sur la surface de 2 ; par conséquent Q2 < 0. On
vérifie ainsi que C21 < 0 .

Conducteurs en équilibre électrostatique
139
III. 4. — Énergie d'un système de deux conducteurs
L'énergie électrostatique d'un système de deux conducteurs est celle de sa distribution d'équilibre :
£<> = - é o~xVx dS+- é or2V2 dS
i axVx dS+- f
Js, 2 JSj
JSx * JS2
Comme les surfaces sont équipotentielles, on trouve :
£e = \vx& <rxùS+^y2& <r2ùS soit £e\(VyQi + V2Q2)
On en déduit deux autres expressions de £e en utilisant les relations linéaires entre charges et potentiels.
£e = \DuQ\ + ^D22Ql+DX2QxQ2 ou £e = X-Cxx V] + ]-C22VJ + CnV\ V2
IV. — EQUILIBRE DES CONDUCTEURS
L'étude précédente peut être généralisée sans difficulté à un nombre quelconque de conducteurs.
Aussi nous contenterons-nous d'énoncer les principaux résultats.
IV. 1. — Unicité de l'état d'équilibre
On montre, en s'appuyant sur les propriétés de linéarité, que l'état d'équilibre d'un système de n
conducteurs est déterminé de façon unique par la donnée arbitraire des Q\ charges de k conducteurs,
/G [1,... , k] , et des V) potentiels des (n — k) autres conducteurs, jG [n — k,... , n] .
IV. 2. — Coefficients de capacité et d'influence
Si l'état d'équilibre du système des n conducteurs est fixé par la donnée des n charges
Q\, Qi, •••, Qn , les potentiels Vx, V2,..., V„ sont des fonctions linéaires et homogènes de ces charges,
ce que l'on peut écrire sous la forme matricielle suivante :
[V] = [D][Q] avec [V]
Vi
Vn
et [Q} =
Qn
[D] étant une matrice carrée d'ordre n . Inversement, si l'on se donne les potentiels et donc la matrice
[V], on a :
[Q] = [C][V] avec [C] = [D]"1
Ainsi, les relations obtenues dans le cas des deux conducteurs se généralisent aisément :
Cn>0 Cij = Cji<0 et Cu^-^dk

140
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
IV. 3. — Ecrans électriques
a) Définition et propriété essentielle
Un écran électrique est un conducteur creux maintenu à un potentiel constant. La propriété
essentielle d'un écran électrique est qu'il permet de rendre électriquement indépendants les espaces intérieur
et extérieur qu'il définit. Pour l'établir, considérons trois conducteurs en équilibre électrostatique. Le
premier 1 , creux, définit deux espaces : l'espace intérieur dans lequel on a placé un deuxième
conducteur 2 et l'espace extérieur où se trouve un troisième conducteur 3 (Fig. 8.1 la).
D'après ce qui précède, on a, entre les charges et les potentiels de ces conducteurs, les relations
suivantes :
Ôi = Ci, V, + C12V2 + C13V3 02 = C2i Vi + C22V2 + C23V3 Q3 = C3, Vx + C32V2 + C33V3
Les coefficients d'influence C03 et C32 , qui sont égaux, sont ici nuls. On le montre en se plaçant dans
le cas où V\ = 0 et Vo = 0 . On a alors C23 = (Ô2/V3). Comme il n'y a pas de charges entre 1 et 2 ,
la fonction potentiel, nulle sur 1 et 2 , l'est aussi dans tout le volume intérieur à 1 . Le champ est donc
également nul, d'où cr2 = 0, Q2 = 0 et par conséquent C23 = 0 .
Pour établir la propriété essentielle des écrans électriques, imposons au potentiel de 1 d'être
constant (V\ = Vb ) en Ie maintenant en contact avec un générateur ou plus simplement en le
reliant à la Terre (Fig. 8.11b). Les équations précédentes deviennent :
Ôi=C,iVb + Ci2V2 + C13V3 Ô2 = C2iVo + C22V2 et Q3 = C3l V0 + C33V3
Ainsi, Vo étant fixé, Q2 n'est fonction que de V2 et Q3 n'est fonction que de V3 ; il en résulte que
les espaces extérieur et intérieur sont électriquement indépendants : le conducteur creux 1 est donc un
écran électrostatique entre le conducteur 2 situé à l'intérieur et le conducteur 3 situé à l'extérieur.
a)
Van de Graaff
Bandes
métalliques
b)
Fig. 8.11. Fig. 8.12.
b) Cage de Faraday
L'effet d'écran électrostatique est largement utilisé lorsque l'on veut protéger des appareils de
mesure des champs électriques extérieurs. En pratique, on réalise une enceinte, sur pieds isolants, à l'aide
d'une grille métallique dont le pas est suffisamment faible devant les distances qui séparent les
conducteurs ; on l'appelle cage de Faraday. On met aisément en évidence une telle propriété en accrochant
des bandes de papier d'aluminium sur les faces intérieure et extérieure de la cage (Fig. 8.12) :
lorsqu'on électrise la cage, les bandes extérieures s'écartent de la grille alors que les bandes intérieures ne
bougent pas.
Une telle enceinte s'avère efficace même en régime lentement variable. C'est pour cette raison que
la plupart des appareils électriques sont placés à l'intérieur d'une carcasse métallique reliée à la Terre.

Conducteurs en équilibre électrostatique
141
y. —APPLICATIONS
Les phénomènes électrostatiques sont présents dans l'environnement terrestre et aussi dans de
nombreux appareils d'utilisation courante.
V. 1. — Électrostatique terrestre
a) Activité électrique de l'atmosphère
La Terre subit une activité électrique due à la couche supérieure de l'atmosphère, l'électrosphère,
située à une altitude d'environ 50 km (Fig. 8.13a). Par beau temps, cette couche est électriquement
chargée par le rayonnement cosmique provenant du Soleil qui ionise en permanence les atomes. Avec
une densité surfacique de charge, de l'ordre de 1, 1 x 10-9 C . m-2 , elle crée entre elle et la surface du
globe un champ électrique d'environ a je^ ~ 130 V . m-1 . Il en résulte une différence de potentiel de
l'ordre de 220 V entre la tête et les pieds d'un homme debout ; ce champ ne présente cependant pas de
danger car l'homme, suffisamment conducteur, modifie la répartition des lignes de potentiel, ce qui lui
permet d'être équipotentiel (Fig. 8.13b).
a) b) ' {■-"-."*■■"" ■'->"i--- --■;:.*-Sol
Fig. 8.13. Fig. 8.14.
b) Foudre
L'une des manifestations les plus spectaculaires des phénomènes électriques qui se déroulent en
permanence dans l'environnement terrestre est la foudre. On appelle ainsi la décharge brutale de
l'électricité accumulée dans un nuage, lors d'un orage. L'étude précise des conditions atmosphériques et
électriques qui précèdent la foudre a montré qu'une zone située à la base d'un nuage d'orage se charge
positivement de quelques coulombs, alors que la région centrale du nuage, entre 2 et 6 km se charge, elle,
négativement; simultanément la partie haute des nuages, à une altitude d'une dizaine de kilomètres,
se charge positivement (Fig. 8.14). Il en résulte des différences de potentiel de plusieurs MV entre
les nuages et le sol ou entre diverses parties d'un nuage, ce qui explique les décharges électriques
violentes constatées sur la Terre.
Par temps d'orage, le champ électrique dans le voisinage de la Terre est dangereux puisqu'il peut
atteindre 500 kV . m-1 . On s'en protège en s'accroupissant dans un fossé et en évitant les objets pointus,
les aspérités et les arbres qui, devenus conducteurs sous la pluie, attirent la foudre en raison du
pouvoir des pointes.
V. 2. — Séparateurs électrostatiques et assainisseurs
La propriété des corps électrisés de s'attirer ou de se repousser est utilisée pour séparer, dans
un mélange, les isolants des conducteurs. En effet, si on électrise négativement un tel mélange, à l'aide

142
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
d'une pointe chargée, les conducteurs perdent leur charge par contact avec une masse métallique chargée
positivement, alors que les isolants la conserve. Il en résulte une action mécanique différente et donc un
triage électrostatique des composants (Fig. 8.15).
Tambour f
métallique! \ + )
© °
Isolants
Fig. é
//Pointe
\0~ électrisante
/©
©C
©
5.15.
onducteurs
Pointe
électrisante
Air avec "
fumées "
W\
Trappe
±i
Conduit
de cheminée
en métal
Dépôt de fumées
Frc. 8.16.
Cette séparation électrostatique est utilisée aussi dans les assainisseurs d'atmosphère. Par exemple,
on épure les gaz rejetés dans l'atmosphère par les cheminées industrielles en chargeant électriquement
les fumées et en provoquant leur dépôt. Dans certaines d'entre elles, un fil chargé, placé suivant leur
axe, produit un champ intense qui ionise les particules en suspension et les attire sur le pourtour de
la cheminée (Fig. 8.16). Il est alors facile de récupérer mécaniquement les dépôts ainsi formés. Les
assainisseurs d'atmosphère dans les salles publiques fonctionnent de façon analogue; on fait passer
l'air extrait d'une salle par un conduit dans lequel les particules solides en suspension (fumées, etc.)
sont séparées par ionisation, grâce à un champ électrostatique, puis par dépôt.
V. 3. — Xérographie
La xérographie, appelée aussi copie sèche par opposition à la photographie habituelle (xéros
signifie sec en grec), a été inventée en 1935 par l'américain C. Carlson.
Actuellement, les photocopieuses xérographiques comportent un rouleau central conducteur,
recouvert d'une couche photoconductrice isolante (sélénium) et porté à un potentiel négatif (Fig. 8.17).
Page à photocopier
Lentille
Pistolet diffuseur
Particules de peinture
Couche de sélénium
chargée positivement
Objet métallique
à peindre
FIG. 8.17.
Fig. 8.18.
La couche photoconductrice est préalablement chargée en électricité positive par effet de pointe.
On forme sur sa surface latérale l'image géométrique de la page à photocopier, ce qui rend conductrices
les parties les plus éclairées et donc neutralise les charges positives qu'elles portaient. Le rouleau porte
donc des zones chargées positivement reproduisant fidèlement l'image des parties encrées de la page.

Conducteurs en équilibre électrostatique
143
Dans une deuxième étape, on fait passer le rouleau au voisinage d'une cartouche contenant de
l'encre pulvérulente dont les fines particules de carbone chargées négativement sont attirées par les
zones chargées du rouleau.
Dans une troisième étape, ces particules d'encre sont déposées sur la feuille à imprimer qui passe
entre le rouleau et une électrode positive.
Dans la phase finale, on fixe ces particules par pression et chauffage, ce qui donne une reproduction
du document initial.
V. 4. — Peinture électrostatique des objets métalliques
Lorsqu'on veut peindre des objets métalliques telles que des grilles, on diminue considérablement
les pertes de peinture en électrisant négativement les particules de peinture et en portant à un potentiel
positif l'objet à peindre (Fig. 8.18). En maintenant une différence de potentiel entre le pistolet-diffuseur
et l'objet, les particules de peinture sont attirées par ce dernier.
CONCLUSION
Rappelons les points essentiels.
(1 ) Dans un conducteur en équilibre, le champ E est nul et le potentiel V uniforme. La distribution
purement surfacique de charge ne dépend que de la géométrie du conducteur.
(2) Au voisinage de la surface d'un conducteur en équilibre, le champ est lié à la charge surfacique
par le théorème de Gauss :
E = —nex
Ce champ est très important au voisinage des pointes conductrices.
(3) L'équilibre électrostatique d'un système de deux conducteurs est caractérisé seulement par deux
variables choisies parmi leurs charges ou leurs potentiels. Les relations entre les charges et les potentiels
sont linéaires et homogènes :
Gi=C„V,+C12V2 et e2 = C2,V,+C22V2
avec Cn > 0, C22 > 0, C12 < 0, C21 < 0. La généralisation de ces relations à n conducteurs est
immédiate. L'application au cas de trois conducteurs permet de comprendre l'intérêt pratique des écrans
électriques.
(4) Les applications de l'électrostatique des conducteurs sont nombreuses : on les trouve en
électricité atmosphérique mais aussi dans des secteurs industriels aussi importants que la séparation des
matériaux et la xérographie.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P8- 1. Théorème de Coulomb (^)
Le champ électrostatique en un point Mq , voisin d'une surface conductrice, a pour expression, en
unité SI : E(M0) = 4 ev + 3 ez.
1. Écrire l'équation du plan tangent à la surface en M0 .
2. Quelle est la charge surfacique en M0 ? En déduire la pression électrostatique.

144
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
P8- 2. Éclateur sphérique
1. Quelle est la charge surfacique d'une sphère conductrice, de rayon R = 1 cm , portée au potentiel
V= 100 V ?
2. À quel potentiel doit-on porter cette sphère pour que le champ à sa surface atteigne la valeur
disruptive de 106V-m_l
P8- 3. Répartition des charges entre deux sphères conductrices reliées par un fil métallique
Deux sphères métalliques, de rayons R\ = 10 cm et R2 = 1 cm , distantes de D très supérieur à
R\ et R2 , portent respectivement les charges g0 = 10~10 C et 0 . Trouver leurs charges à l'équilibre
ainsi que les champs électrostatiques qu'elles produisent dans leur voisinage, lorsqu'on les relie par un
fil métallique.
P8- 4. Répulsion de deux hémisphères chargés
Une sphère chargée, de rayon R = 10 cm, est divisée suivant un plan diamétral en deux
hémisphères. Entre ces deux hémisphères laissés en contact, s'exerce une force de 0,9 N. Quel était le
potentiel auquel était portée la sphère ? Quelle était son énergie électrostatique ?
P8- 5. Conducteurs sphériques concentriques ^i^
Une coquille sphérique conductrice, de rayons extérieur et intérieur R\ et R\ , entoure une sphère
conductrice concentrique de rayon Ro : R2 < R[ < R\ . La sphère porte une charge Q2 et la coquille
une charge totale Q\ . Calculer le potentiel des deux conducteurs. En déduire les coefficients de capacité.
P8- 6. Calotte sphérique conductrice entourant une sphère conductrice
Une sphère conductrice S\ , de rayon R\ = 0,2 m , est portée au potentiel V\ = 1 MV . On
l'entoure d'une calotte sphérique conductrice 5? , concentrique, de rayon intérieur R2 = 1 m, d'épaisseur
e — 1 cm et reliée au sol.
1. Calculer le champ et le potentiel en tout point de l'espace.
2. Quelles sont les charges Q\ et Q2 portées par Si et S2 ? Comparer gi à go = 4tteoR\ V\ •
P8- 7. Coefficients de capacité d'un système de deux sphères conductrices ^i^
Deux sphères conductrices, de rayons R\ et R2 , ont leurs centres distants de d avec d ^> R\ et
d^>R2.
1. Calculer les coefficients D\j de la matrice [D] du système.
2. En déduire la matrice [C] . Comparer C\\ à la capacité d'une sphère seule. 3. A.N :
R\ = R2 = 1 cm, d = 3 cm

Conducteurs en équilibre électrostatique
145
P8- 8. Capacité mutuelle de deux conducteurs
On appelle capacité mutuelle d'un système de deux conducteurs C\ et C2 > de charge totale nulle
( Q\ + Qi = 0), la quantité C = Q\/(V\ - Vi) • Calculer C en fonction des coefficients de capacité
Cjj . On dit que C? est influencé totalement par C\ si C\2 = —C\\ . Quelle est alors la valeur de C ?
P8- 9. Influence d'une charge ponctuelle sur un plan
Une charge positive, q = 10 C, est placée en F à une distance d = 1 km au-dessus d'un plan
conducteur horizontal porté au potentiel 0 .
1. Quelle est l'expression littérale du potentiel V en un point quelconque M au-dessus du plan ?
2. Trouver que le potentiel V est le même que celui que créeraient la charge q et une charge — q
placée symétriquement par rapport au plan de la distribution surfacique.
3. Calculer la charge surfacique et le champ électrique au voisinage de la projecton orthogonale de
P sur le plan ?
P8- 10. Influence d'une charge ponctuelle sur une sphère conductrice
On considère une sphère conductrice, de rayon R, isolée, en présence d'une charge ponctuelle
extérieure q située à la distance d de son centre.
1. La sphère étant neutre, calculer son potentiel en fonction de d.
2. Même question, si la sphère porte la charge totale Q .
P8- 11. Images électriques
1. Trouver l'équipotentielle V = 0 du système constitué par la charge q placée au point de
coordonnées cartésiennes (0,0,2R) et la charge — q/2 située au point de coordonnées (0,0, R/2) .
2. Une sphère, de centre O et de rayon R, est maintenue au potentiel zéro. On place au point
(0,0,2R) une charge q . En utilisant le théorème d'unicité, montrer que le potentiel à l'extérieur de la
sphère a même valeur que dans la question précédente. On dit alors que la charge — q/2 placée au point
(0,0, R/2) est l'image de q par rapport à la sphère.
3. La sphère est maintenant isolée et sa charge totale est nulle. Quel est son potentiel en présence
de la charge q en (0,0,2R) ? Montrer que, dans ces conditions, l'image électrique de la charge q est
un dipôle que l'on déterminera.
P8- 12. Modèle volumique de distribution de charge dans un conducteur
Un conducteur occupe l'espace compris entre les deux plans x = a et x = — a. Un modèle
réaliste de la distribution de charge, ou voisinage de sa surface est décrit par une charge volumique
d'expression :
p(x) =0 si \x\ > a et p(x) — p
x + a\ fx-a
exp I — 1 + exp
8 / ' r V 8
\x\ < a
8 étant très inférieure à a .

146
8. Conducteurs en équilibre électrostatique
1. Trouver l'expression du champ électrique créé dans tout l'espace.
2. En déduire la force de pression électrostatique sur les parois du conducteur. Examiner le cas où
8 tend vers 0 de telle sorte que la quantité pô = a soit finie. 3. A.N : p = 50 C • m-3, 8 — 0,2 nm .

9
Effet Joule.
Générateurs et récepteurs électriques
On sait, que dans un conducteur métallique, le déplacement collectif des porteurs de charge qui
assurent le transport du courant est perturbé par leurs collisions sur les imperfections du matériau (cf.
chapitre 7). Le modèle de Drude en rend compte en introduisant une force de frottement visqueux ; la
dissipation d'énergie, sous forme thermique, qui en résulte est appelée Y effet Joule.
On constate qu'en dehors de l'effet Joule, les éléments d'un circuit électrique peuvent soit fournir
de l'énergie aux charges électriques qui le composent, soit en recevoir. Ce sont des convertisseurs
d'énergie ; les premiers convertissent de l'énergie, d'origine mécanique, chimique ou lumineuse, en énergie
électrique : ce sont des générateurs électriques ; inversement, les seconds convertissent de l'énergie
électrique en une autre forme d'énergie : ce sont des récepteurs électriques.
Il convient avant tout d'exprimer la puissance reçue par un conducteur, précisément par toute
portion de circuit parcourue par un courant électrique.
I. — PUISSANCE ÉLECTRIQUE
1.1. — Puissance électrique reçue par les charges mobiles d'un élément de volume conducteur
Considérons un élément de volume d V d'un matériau conducteur au repos dans lequel règne un
champ électrique E et circule un courant volumique J. Exprimons le travail que fournit le champ E
aux charges mobiles. En fonction de leur densité locale pm et de leur vitesse moyenne v , J s'écrit :
J = pmv
Le travail de la force électrique dF = pm d V E , pendant la durée élémentaire d t, est :
SWe = pmE - v d V dt = E • J d V dt
d'où la puissance électrique reçue par les charges mobiles de l'élément d V :
ôW
ÔV = — = E • J d V
dt
dans laquelle (E-J) , que l'on mesure en W • m-3 , représente la puissance électrique volumique reçue.
Remarque : Cette expression de la puissance électrique volumique, établie ici en régime stationnaire,
est encore vraie en présence d'un champ magnétique ou en régime variable.

148
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
1.2. — Puissance électrique reçue par un dipôle électrocinétique en régime stationnaire
L'expression précédente permet, par intégration, de déterminer la puissance électrique reçue par
les charges mobiles d'un volume quelconque TJ :
X
V= / E-JdtV
Notons que E ne fournissant pas de travail aux charges fixes, cette puissance est aussi celle reçue par
l'ensemble du conducteur.
Considérons un dipôle électrocinétique , c'est-à-dire une portion AB de circuit , limitée par deux
sections et parcourue par un courant. Supposons que le courant soit stationnaire et que les sections
d'entrée et de sortie, A et B, soient équipotentielles (Fig. 9.1a). Le circuit étant un tube de courant
entre ces deux sections, la puissance V s'obtient en sommant d'abord transversalement aux lignes de
courant, puis suivant une ligne :
V= f E-JdW = f E f f J-ndSjd\ = f IABE - d\
où IAb est l'intensité du courant qui traverse la section variable S de A vers B . En régime stationnaire,
l'intensité ne dépend pas de S et sort de l'intégrale :
P = Iab ÏE-dl soit P = Iab(Va - VB) = UabIab où Uab = Va - Vb
JA
désigne la différence de potentiel entre les extrémités A et B du dipôle (Fig. 9.1b). On retient souvent
l'expression suivante de la puissance électrique reçue par un dipôle AB :
V^UI avec U = UAB - VA - VB et I ^ 1AB
L'unité SI de puissance est le watt (W). On en déduit le travail élémentaire reçu par le dipôle pendant la
durée dt :
ÔW= Uldt
Dipôle
I = Iab Aï \B
Ligne
de courant
U = UAB
a) Ftg. 9.1. b)
Remarque : La gamme des puissances électriques usuelles est très étendue. Dans certains circuits
électroniques, chaque composant ne consomme que quelques /x W ( 10~6 W), alors que la
France entière utilise, certains matins d'hiver, une puissance de 100 GW ( 101 ' W).
En général, on ne sait pas a priori dans quel sens circule le courant dans le dipôle, ni dans quel
sens est la d.d.p, d'où l'intérêt d"orienter préalablement le conducteur et de préciser le sens de la d.d.p.
Comme la puissance V reçue par le dipôle électrocinétique est positive lorsque U et / sont tous deux
positifs, la convention choisie est la convention récepteur ; c'est elle que nous choisirons
systématiquement, conformément au choix fait en thermodynamique et plus largement en physique.
On mémorise ces résultats en comparant le sens de la flèche de l'intensité lAB , à la flèche de la
d.d.p Uab dont la base est en B (point « froid ») et la pointe en A (point « chaud »). Si les flèches ont
des sens opposés, on est en convention récepteur et la formule à retenir de la puissance reçue est la
précédente : V — UI (Fig. 9.1b).

Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
149
Remarque : Une autre convention consiste à changer le sens positif de U ou celui de / : les flèches
associées à U et / sont alors dans le même sens. Ce choix arbitraire constitue la convention
générateur ; on comprend pourquoi : lorsque U et / sont positifs, le dipôle fournit
effectivement la puissance UI au milieu extérieur. Retenons donc que si les flèches ont même
sens, la puissance reçue a pour expression : V — —UI.
1.3. — Dipôle récepteur et dipôle générateur
Suivant le signe de la puissance électrique V qu'il reçoit, un dipôle électrocinétique présente deux
types de comportement.
(1) Si V > 0, le dipôle reçoit effectivement de la part de l'extérieur de la puissance électrique :
c'est un récepteur électrique.
(2) Si V < 0 , le dipôle fournit effectivement au milieu extérieur de la puissance électrique : c'est
un générateur électrique.
Le dipôle est donc un récepteur si U et /, ainsi définis, sont de même signe et c'est un générateur
si U et / sont de signes opposés.
Le dipôle étant caractérisé électriquement par les deux grandeurs U et /, il y a donc quatre
possibilités de fonctionnement qui correspondent aux quatre quadrants du plan cartésien (£/,/). Dans les
premier et troisième quadrants (UI > 0) le dipôle fonctionne en récepteur, alors que dans les deuxième
et quatrième quadrants (UI < 0) il fonctionne en générateur (Fig. 9.2).
Suivant la valeur des autres paramètres qui caractérisent ce dipôle, le point de coordonnées (U,I) ,
appelé point de fonctionnement, peut se situer dans l'un quelconque des quatre quadrants. Pour les
dipôles qui ne fonctionnent qu'en récepteur, le point de fonctionnement évolue dans les premier et
troisième quadrants.
©
Générateur
l Récepteur
i
CD'
Récepteur t
o û
Générateur
FlG. 9.2.
II. —EFFET JOULE
II. 1. — Effet Joule local
La puissance électrique reçue par un élément de volume d TJ d'un conducteur immobile, de
conductivité y , s'exprime en fonction de la densité de courant selon :
T2
ÔV = E • J d V = — d T) puisque J = yE

150
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
d'après la loi d'Ohm locale. On en déduit le travail électrique élémentaire correspondant : 8W — ôV d t.
L'interaction des charges mobiles avec le réseau peut être modélisée par une force de frottement
visqueux. Désignons par 8Vj la puissance de cette force de frottement et par ôWj — ôVjdt le travail
élémentaire correspondant.
Effectuons le bilan d'énergie cinétique entre deux instants voisins t et t + d t : comme, en régime
stationnaire, l'énergie cinétique de l'ensemble des charges mobiles de l'élément de volume d V ne
.varie pas, il vient :
J2 J2
à£k = 8W + 8Wj = 0 d'où 0 = — dT) dt + 8Vj dt et ÔVj ^-~ d f? < 0
y y
Cette dissipation de puissance électrique, sous forme thermique, est connue sous le nom d'effet Joule, du
nom du physicien anglais J. Joule. Notons, d'après l'expression de 8Vj , que l'effet Joule est déterminé
localement par le courant volumique et non par l'intensité du courant; le travail (J2/y) d V dt est
transformé en chaleur dans l'élément d V pendant la durée d t, ce qui élève sa température si l'échange
thermique n'est pas suffisant. On devra donc, pour un matériau, de conductivité électrique et de capacité
thermique données, limiter la densité de courant afin d'éviter un échauffement trop grand. En revanche,
on augmentera cette densité si réchauffement est le phénomène recherché (lampes à incandescence,
fusibles).
Pour des fils conducteurs usuels, qui sont en cuivre, on admet une densité maximale de 5 A • mm-2,
ce qui détermine la section des fils en fonction des utilisations prévues.
II. 2. — Effet Joule global
La puissance électrique dissipée par effet Joule dans un conducteur de volume T) s'obtient
évidemment par intégration :
V= j -dV
Jv y
Dans le cas d'un dipôle ohmique, de résistance R , cette puissance s'écrit :
V .=. Uï = RI2 = GU2
compte tenu de la loi d'Ohm intégrale U — RI et de la définition de la conductance G = \/R (cf
chapitre 6).
Ainsi, la puissance électrique reçue par le système de charges mobiles dans un dipôle purement
ohmique est toujours positive : un tel dipôle est donc toujours récepteur et la puissance reçue toujours
dissipée sous forme de chaleur.
III. — BILAN D'ÉNERGIE D'UN CONVERTISSEUR
III. 1. — Convertisseur d'énergie électrique
En régime stationnaire, la puissance électrique totale reçue par l'ensemble des charges mobiles
d'un circuit ohmique fermé est nulle, puisque la circulation du champ électrique E le long d'un contour
fermé est nulle :
V = UI = I 6 E-dl = 0

Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
151
Pour qu'un courant puisse circuler dans un tel milieu et donc dissiper de l'énergie ( y fini), il est
nécessaire de fournir à ces charges de l'énergie d'origine non électrique (au sens macroscopique), par
exemple chimique, mécanique ou lumineuse.
D'autre part, certains récepteurs ne se comportent pas comme de simples conducteurs ohmiques
qui dissipent de l'énergie sous forme thermique : une partie de l'énergie électrique qu'ils reçoivent est
transformée en une autre forme d'énergie, mécanique, chimique, lumineuse, etc.
On appelle convertisseur électrique un dispositif capable de transformer, en énergie électrique,
toute autre forme d'énergie et réciproquement.
III. 2. — Bilan d'énergie pour un dipôle comportant un convertisseur
a) Fonctionnement d'un convertisseur électrique
Considérons, en régime stationnaire, un dipôle électrocinétique AB comportant un convertisseur
d'énergie électrique. Établissons le bilan des travaux reçus par les charges contenues dans le dipôle,
pendant la durée élémentaire d t. Pour cela, appliquons, entre les instants voisins t et t + d t, le théorème
de l'énergie cinétique au système constitué par les charges mobiles comprises entre les sections A et B
du dipôle (Fig. 9.1a). La variation d'énergie cinétique étant nulle, il vient, en désignant par SW le
travail de la force électrique, ôWj le travail des forces de frottement à l'origine de l'effet Joule et 8WC le
travail fourni par le convertisseur aux charges :
d£k = ÔW + ÔWj + ÔWc = 0
soit, puisque SW = UI dt :
UI dt+ÔWj + ÔWc = 0
Comme nous l'avons déjà fait pour un dipôle électrocinétique, caractérisons le fonctionnement d'un
convertisseur par le signe de la puissance Vc = 8WC/ dt qu'il fournit aux charges mobiles pendant la
durée df :
i) lorsque Vc > 0 , le convertisseur est générateur,
iï) lorsque Vc < 0 , le convertisseur est récepteur.
En divisant l'équation précédente par la durée élémentaire d?, on obtient le bilan de puissance
suivant :
UI + Vj + Vc = 0
Rappelons que UI est la puissance électrique reçue par le dipôle de la part du circuit extérieur, Vj ^ 0
celle provenant des forces dissipatives à l'origine de l'effet Joule et Vc la puissance fournie par le
convertisseur aux charges.
Remarque : Il n'est pas toujours possible d'expliciter le travail 8WC à l'aide d'une force déterminée,
d'où l'intérêt de privilégier les concepts énergétiques.
b) Efficacités électriques d'un dipôle comportant un convertisseur
Pour un dipôle comportant un convertisseur (Fig. 9.3), l'efficacité rj de la conversion est le rapport
de la puissance utile sur la puissance dépensée. Il en résulte que nous devons considérer trois types de
fonctionnement.
(1) Le dipôle est générateur {UI < 0) (Fig.9.3a). La puissance électrique fournie au milieu
extérieur, — UI, est positive ; le bilan énergétique donne alors :
Vc = -UI -Vj^O car UI < 0 et Vj ^ 0

152
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
Le convertisseur est un générateur. On voit qu'en raison du terme dissipatif, la puissance électrique
fournie par dipôle, — UI, est inférieure ou égale à la puissance de conversion, ceci quel que soit son
fonctionnement. Comme — UI est la puissance utile et Vc la puissance dépensée, Y efficacité r]g s'écrit:
-UI
V8 = -Zp~ avec 0 < Vg ^ 1
Le cas où rjg = 1 correspondrait à un convertisseur idéal pour lequel il n'y aurait pas d'énergie dissipée
par effet Joule.
Exemple : Dans une pile électrique fournissant la puissance —UI à un circuit extérieur, la puissance
de conversion Vc est l'énergie provenant de la réaction chimique par unité de temps ; rjg < 1 en raison
des pertes par effet Joule dans la pile.
La puissance électrique —UI qu'est capable de fournir le dipôle est l'une de ses caractéristiques
importantes. C'est ainsi qu'une batterie d'accumulateurs de 12 V peut délivrer une puissance de
1 200 W , alors qu'une lampe de poche de 4,5 V ne fournit au maximum que quelques watts.
Remarque .
Comme l'efficacité a pour valeur maximale 1 , c'est aussi un rendement tel qu'on le définit
en thermodynamique, c'est-à-dire un rapport des efficacités en présence et en absence de
phénomènes dissipatifs (cf. Thermodynamique).
+
A
Réaction
chimique
t
Énergie
mécanique
B
AL
B
U
U
U
a) Dipôle et convertisseur
générateurs
(J<0, U>0, Vc>0)
b) Dipôle et convertisseur
récepteurs
(7>0, U>0, Vc<0)
FiG. 9.3.
c) Dipôle récepteur
et convertisseur générateur
(J>0, U>0, Vc>0)
(2) Le convertisseur est récepteur (Vc < 0)
Le convertisseur reçoit une puissance — Vc positive (Fig.9.3b). Le bilan de puissance donne donc :
U1 = -Vc-Vj^-Vc car Vj < 0
Comme la puissance utile est — Vc et la puissance électrique est UI ^ 0, le dipôle est récepteur et
l'efficacité r\r a pour expression :
-Vc
Vr
UI
avec 0 ^ rjr ^ 1
Ici aussi, le cas où iqr = 1 correspondrait à un convertisseur idéal pour lequel il n'y aurait pas d'énergie
dissipée par effet Joule.
Exemples : Un moteur électrique est un récepteur qui reçoit de l'énergie électrique du circuit
d'alimentation et la convertit en énergie mécanique ; une diode électroluminescente (D.E.L) convertit
l'énergie électrique reçue en énergie lumineuse.
(3) Le dipôle est récepteur (UI > 0) et le convertisseur est générateur (Vc > 0) (Fig.9.3c).
Dans ce cas, les charges mobiles reçoivent de l'énergie électrique à la fois du circuit extérieur et du
convertisseur. Ces deux énergies sont entièrement dissipées sous forme thermique par effet Joule :
UI + VC = -Vj avec UI < -Vj et Vc < -Vj

Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
153
IV. — FORCE ÉLECTROMOTRICE ET COURANT ÉLECTROMOTEUR
Le bilan d'énergie précédent reste formel tant que l'on ne dispose pas d'informations plus précises
sur le processus de conversion. Cependant, à partir de ce bilan, on peut caractériser le convertisseur par
une grandeur électrique interne du type tension ou courant, suivant la nature de l'utilisation.
IV. 1. — Force électromotrice d'un convertisseur
Par définition, on appelle force électromotrice, brièvement f.e.m, la quantité :
E^VçL=mL = s^
I lût ôq
où ôq — Idt désigne la charge mobile qui traverse le convertisseur pendant la durée ât et ôWc
le travail qu'elle reçoit pendant cette durée. La grandeur E, homogène à une différence de potentiel
(énergie par unité de charge), s'exprime en volt. En régime variable, on désignera par e .
En introduisant la f.e.m E dans le bilan de puissance précédent, on obtient :
UI + Vj + EI = 0
Ordre de grandeur : La f.e.m d'un générateur électrochimique est de l'ordre de 1 V. Celle d'un
générateur électromécanique est comprise entre quelques volts et plusieurs milliers de volts.
Remarque : On introduit parfois le concept de force contre-électromotrice (f.c.e.m ) E', opposée de
la f.e.m : E' = — E — —Vc/I. Cette notion est utilisée uniquement pour les récepteurs.
La définition algébrique de la f.e.m permet de l'éviter.
IV. 2. — Courant électromoteur d'un convertisseur
Par définition, on appelle courant électromoteur, brièvement c.e.m, la quantité suivante, homogène
à une intensité :
_ Vc _ ÔWC
em~ U " Udt
En introduisant lem dans le bilan de puissance, on obtient :
UI + Vj + UIem = 0
Ordre de grandeur : La gamme des c.e.m est également très étendue ; le c.e.m varie entre quelques
microampères pour une photodiode et quelques milliers d'ampères dans un électrolyseur à aluminium.
IV. 3. — Source de tension et source de courant
Dans les applications industrielles, on s'efforce de réaliser des appareils dans lesquels la dissipation
thermique est minimale. En supposant que ôWj = 0 , on a :
U = -E et / = -Iem
La f.e.m est alors l'opposée de la d.d.p aux bornes du dipôle, et le c.e.m est l'opposé du courant qui
parcourt ce dipôle.

154
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
a) Source de tension
On appelle source de tension un dispositif capable de maintenir une d.d.p Uc entre ses bornes,
quel que soit le courant qui le traverse. Un convertisseur-source de tension est donc caractérisé par une
f.e.m indépendante du courant / débité.
La source de tension est représentée par un cercle traversé par un trait symbolisant le fil conducteur
de résistance négligeable (Fig. 9.4a). À côté du cercle est indiquée la valeur Uc de la tension à vide. De
cette définition, on déduit les résultats pratiques suivants :
/) Une source de tension ne peut être court-circuitée, car sa d.d.p Uc ne peut être nulle.
zï) On ne peut pas brancher en parallèle deux sources de tensions inégales, car la somme des d.d.p
sur un circuit fermé ne pourrait être nulle.
Exemple : Compte tenu de sa résistance interne qui est généralement négligeable devant celle du
circuit extérieur, un accumulateur au plomb est assimilable à une source de tension Uc = 12 V.
o 1
A '
+
B
Uc le
a) b) c)
Fig. 9.4.
b) Source de courant
On appelle source de courant un dispositif capable de maintenir un courant donné Ic , quelle que
soit la d.d.p finie qui lui est appliquée. Un convertisseur-source de courant est donc caractérisé par un
ce.m indépendant de la d.d.p appliquée.
La source de courant est représentée par un cercle traversé par un trait orthogonal à la direction du
fil conducteur (Fig. 9.4b). À côté de ce cercle est indiquée la valeur de l'intensité Ic de court-circuit.
De cette définition, on peut déduire les résultats pratiques suivants.
i) Une source de courant ne peut être en circuit ouvert, car son intensité Ic ne peut être nulle.
//) On ne peut pas brancher en série deux sources de courant ne débitant pas le même courant, car
l'intensité ne pourrait être la même dans toute section du circuit.
Exemple : On assimile souvent une photopile à une source de courant : Ic « 30 mA .
Remarque : On représente schématiquement un générateur réel en régime stationnaire par deux traits
parallèles de longueurs différentes, perpendiculaires au fil du circuit extérieur (Fig. 9.4c).
y. — LOI D'OHM GÉNÉRALISÉE
V. 1. — Expression intégrale
a) Cas d'un dipôle de type source de tension
D'après le bilan énergétique d'un dipôle AB, du type source de tension, on a, en introduisant la
résistance R du conducteur :
UI - RI2 + El = 0
Il en résulte, en divisant par l'intensité, l'équation suivante : U—RI-\-E = 0, que l'on écrit généralement
sous la forme (Fig. 9.5a) :
U^RI-E

Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
155
Cette relation est connue sous le nom de loi d'Ohm généralisée appliquée au dipôle AB . Notons
que pour R = 0 on a U = Uc = —E . Il en est de même lorsque le dipôle n'est pas connecté (/ = 0) :
on vérifie que la f.e.m du convertisseur est bien l'opposée de la d.d.p à vide. La loi d'Ohm généralisée
appliquée au dipôle s'écrit donc aussi :
U = RI+ Uc avec Uc = -E
Dans les schémas électriques on indique généralement la valeur de la d.d.p Uc aux bornes du
convertisseur ; elle est comptée positivement dans le même sens que U (Fig. 9.5a). Evidemment, en l'absence
de convertisseur, on retrouve la loi d'Ohm dans un dipôle ohmique : si E = 0, alors U = RI.
Fig. 9.5.
b) Cas d'un dipôle de type source de courant
Dans le cas d'un dipôle de type source de courant, le bilan de puissance s'écrit, en introduisant la
conductance G du dipôle :
UI - GU2 + UIem = 0
ce qui donne, en divisant par U et en explicitant les notations, la loi d'Ohm généralisée :
I = GU- lern
Notons que pour G = 0 on a / = Ic = —Iem . Il en est de même lorsque U = 0 ; le c.e.m est bien
l'opposé du courant de court-circuit. La loi d'Ohm généralisée se met aussi sous la forme :
I = GU + IC
Dans les schémas électriques, on indique généralement la valeur lc de l'intensité délivrée comptée
positivement dans le même sens que / (Fig. 9.5b). En l'absence de convertisseur, on retrouve évidemment
I = GU.
c) Relation entre les deux modèles
Il résulte de ce qui précède qu'un générateur électrique peut être représenté soit par une source de
tension soit par une source de courant. La relation entre ces modèles s'obtient en comparant les deux
expressions :
U = RI-E soit / :
U
+
R R
Par conséquent, on passe du premier modèle au second en faisant :
ou I = GU- Iei
G = - et Iem = --

156
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
Remarque : Soulignons que le choix adopté de la convention récepteur ne préjuge en rien du
fonctionnement réel du convertisseur; la plupart des convertisseurs sont d'ailleurs réversibles et
fonctionnent alternativement en générateur et en récepteur.
V. 2. — Expression locale
Écrivons le bilan énergétique pour un élément de volume d V du convertisseur. Cet élément reçoit,
de la part du champ électrique E , la puissance : 8V = E J d T) . Les forces de frottement à l'origine de
l'effet Joule fournissent la puissance négative suivante : 8Vj — —{J2/y) d TJ . Enfin, l'élément reçoit
du convertisseur une puissance 8VC • Comme l'énergie cinétique de l'élément de volume ne varie pas
en régime stationnaire, il vient :
d£k = (ÔV + ÔVj + ÔVC) dt = 0
ce qui donne :
ÔVC = ( — - E • J J d V = ( - - E j • J d V = Em • J d V en posant Em = - - E
Ce vecteur Em , homogène à un champ électrique, est appelé champ électromoteur. Ce concept
permet par exemple de représenter localement la conversion ; son intérêt est limité car les processus de
conversion sont le plus souvent localement plus complexes (comme on le verra dans le pile Daniell par
exemple). La relation :
ÔVC = Em -JdV où : J = y(E + Em)
est la forme locale de la loi d'Ohm généralisée. Lorsque le convertisseur fonctionne à vide, le courant
volumique macroscopique est nul ( J = 0 ). On a donc : Em = —E . Dans ce cas, le champ
électrostatique, à l'origine de la différence de potentiel, est compensé par celle du champ électromoteur.
Remarque : En régime variable, on sait créer des champs électriques, à circulation non conservative,
capables de fournir de l'énergie à des charges circulant dans un circuit fermé et donc
pouvant servir de générateur (cf. chapitre 14).
V. 3. — Relation entre la force électromotrice et le champ électromoteur
Dans un circuit électrique fermé, dans lequel circule un courant volumique J, la puissance de
conversion s'écrit :
Vc = I Em -JdT) soit VC = I f Em • dl
pour un circuit filiforme, Em désignant le champ électromoteur. On en déduit la f.e.m :
E=y= fVnfdl
Ainsi, la circulation du champ électromoteur Em n'est pas conservative : elle s'identifie à la force
électromotrice du circuit. Cette dernière relation entre E et Em est souvent adoptée comme définition
de la f.e.m.

Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
157
V. 4. — Caractéristique externe et fonctionnement d'un convertisseur
a) Caractéristique externe d'un convertisseur
Pour un dipôle électrique dont on maintient constants les paramètres extérieurs (température, flux
lumineux incident, etc.), le point de fonctionnement évolue dans le plan cartésien (£/,/) . Il décrit une
courbe appelée caractéristique externe du convertisseur.
Généralement, cette caractéristique est rectiligne dans un domaine de valeurs de U ou de /. On
peut donc écrire :
U = UC + R1 ou 1 = IC + GU avec Ic
Uc \
• —- et G = —
R R
Ainsi, tout dipôle, à caractéristique rectiligne, peut être indifféremment considéré comme une source de
tension imparfaite ( UCi R ) ou comme une source de courant imparfaite ( /c, G ).
b) Diagramme quatre quadrants d'un convertisseur
Dans le plan cartésien (£/,/), on distingue plusieurs régions correspondant aux fonctionnements
en générateur ou en récepteur d'un convertisseur de résistance interne r (Fig. 9.6), suivant le signe de
la puissance Vc = El = (ri — U)l que ce dernier fournit aux charges.
(1) Fonctionnement en récepteur : Vc — El < 0 .
Si / > 0, E = ri - U < 0 soit / < U/r (région 1)
S\I<0,E = rI-U>0 soit / > U/r (région 3)
;
©
Générateur
Récepteur /
CD
I
O
I r
'CD
Récepteur
U
©
Générateur
/♦
o
Uc U
Électrolyseur
Fig. 9.6.
Fig. 9.7.
(2) Fonctionnement en générateur : Vc = El > 0 .
Si / > 0, E = ri - U > 0 soit / > U/r (région 2)
S\K0,E = rI-U<0 soit / < U/r (région 4)
Les points de fonctionnement situés entre les droites U — 0 et / = U/r représentent le
fonctionnement du dipôle en récepteur d'énergie électrique (UI > 0), alors que le convertisseur est un
générateur (El > 0). Toute la puissance électrique fournie à la fois par le circuit extérieur et par le
générateur du dipôle est dissipée sous forme thermique dans la résistance.

158
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
Remarques : ( 1 ) La plupart des convertisseurs sont en principe réversibles. On peut donc tracer leurs
caractéristiques dans toutes les régions du plan cartésien (UJ). Cependant, certains d'entre
eux ne peuvent fonctionner que dans un sens : c'est le cas des piles non rechargeables.
Il existe également des récepteurs non polarisés qui fonctionnent en récepteur quel que
soit le sens du courant qui les traverse. C'est le cas d'un électrolyseur dont la
caractéristique a l'allure donnée sur la figure 9.7. Ces éléments sont non linéaires et doivent être
traités comme tels dans la résolution des équations des circuits (cf. Exercices).
(2) En réalité, la caractéristique d'un convertisseur n'est une droite que dans un domaine
limité d'utilisation. Dans le cas d'un accumulateur au plomb, ce domaine est très vaste
puisque l'intensité débitée peut atteindre plusieurs dizaines d'ampères, alors qu'en
revanche il est très réduit dans une photopile (cf. VI . 3).
V. 5. — Lois de Kirchhoff en régime stationnaire
Les lois de Kirchhoff sont d'une part la loi des nœuds, donnée au chapitre 6, et d'autre part la loi
des mailles qu'il reste à établir.
a) Loi des nœuds
Rappelons que la conservation de la charge, appliquée à un conducteur multiplement connexe se
ramifiant en plusieurs boucles, a permis d'obtenir le résultat essentiel suivant : en tout nœud d'un réseau,
la somme algébrique des intensités 4 qui parcourent les n conducteurs Q connectés est nulle :
n
k=\
où ek = 1 si le conducteur Ik est orienté vers le nœud et ek = —] dans le cas contraire.
b) Loi des mailles
Considérons une maille constituée de n branches, chacune d'elles pouvant appartenir à d'autres
mailles (Fig. 9.8a). Choisissons un sens de parcours de cette maille et désignons par Ai,A2, ...,Ak, ...,An
les n nœuds successivement rencontrés. Si Uk est la différence de potentiel Uk = Vk — Vk+\ aux bornes
de la branche AkAk+\ , on a, puisque la différence de potentiel le long d'un circuit fermé est nulle :
h.
$>**/* = o
Vfc=l
où ek = 1 si l'orientation arbitraire de la tension Uk coïncide avec le sens de parcours choisi sur la
maille, et —1 dans le cas contraire.
Exemple : Dans la maille A{AoA^ du montage représenté sur la figure 9.8b, les lois de Kirchhoff
donnent, en tenant compte des caractéristiques indiquées :
-10x7,+6 + 20 x/2-8-30 x/3 = 0 avec /3 + 2 - 7, = 0 et 3 - 73 - h = 0
On trouve, en substituant : 73 = 0,63 A , Ix = 2,63 A et 72 = 2,37 A .

Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
159
Fig. 9.8.
c) Loi des mailles et minimisation de Vénergie dissipée
Soit deux conducteurs ohmiques, de résistances R\ et R2 , en parallèle entre deux points A et
B ; la maille ainsi formée est alimentée par une source de courant d'intensité / (Fig. 9.9). Calculons la
puissance dissipée par effet Joule dans les deux conducteurs :
V = R\l\ + R2l\ = /?,/? + R2(I - hf
en désignant par I\ et I2 les intensités respectives. Cherchons le minimum de cette puissance lorsqu'on
fait varier I\ et donc h • Il vient :
^=2/?,/I-2^2(/-/i) = 2(/?,/I-/?2/2)=0 si RI,-R2I2 = 0
c'est-à-dire si la loi des mailles est vérifiée. En dérivant une seconde fois, on constate que cet extremum
est un minimum puisque :
d2V
dTT
= 2tf i + 2R2 > 0
Ainsi, la loi des mailles réalise le minimum de la puissance dissipée par effet Joule. Ce résultat, qui
se généralise au cas d'une maille ohmique quelconque, a été publié pour la première fois par Maxwell
en 1876. Il n'a été interprété que bien plus tard, grâce au théorème de Prigogine, établi en 1945,
selon lequel, le fonctionnement d'un système linéaire, en régime stationnaire, est caractérisé par une
production d'entropie minimale ; dans l'exemple considéré, V représente l'entropie produite par unité de
temps (cf. Thermodynamique).
Ri
A B
Ri
Fig. 9.9.

160
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
VI. — EXEMPLES DE GENERATEURS ET DE RECEPTEURS
VI. 1. — Convertisseur électrochimique : la pile Daniell
La pile Daniell, du nom de son inventeur le physicien anglais J. Daniell, est un générateur
électrochimique constitué de deux électrodes métalliques, l'une en cuivre l'autre en zinc, plongées
respectivement dans des solutions saturées de sulfate de cuivre ( Cu2+, SO4- ) et de sulfate de zinc ( Zn2+, SO4- ).
Les deux solutions sont séparées par une paroi poreuse ou un pont électrolytique, que l'on réalise par
exemple à l'aide d'un papier filtre imbibé d'une solution de chlorure ou de nitrate de potassium.
On assure ainsi la continuité électrique entre les deux couples d'oxydo-réduction (Cu2+/Cu) et
(Zn 2+ /Zn) sans mélanger les deux solutions (Fig. 9.10). En circuit ouvert, on constate l'existence d'une
d.d.p Vcu — Vzn = 1,08 V entre l'électrode de cuivre et l'électrode de zinc.
CuF^
S02-
iCu2+-
n
eç
Znpl
H
S02-
Zn2+
Fig. 9.10.
a) Réaction sur l'électrode en cuivre
Les ions Cu2+ de la solution captent les électrons libres du cuivre de l'électrode pour former de
nouveaux atomes de cuivre suivant la réaction de réduction :
Cu2+ + 2 e"
Cu
Ce processus rend positive l'électrode de cuivre initialement neutre. L'électrode ainsi chargée tend à
repousser les ions Cu2+ excédentaires dans la solution. Un équilibre s'établit alors entre phénomènes
électriques et phénomènes de diffusion. Le champ électrostatique qui apparaît localement est orienté du
cuivre vers la solution.
b) Réaction sur l'électrode en zinc
À l'autre électrode, le zinc passe en solution suivant la réaction d'oxydation :
Zn -> Zn2+ + 2 e~
Cette électrode se charge négativement et attire les ions Zn2+ défavorisant ainsi une dissociation
ultérieure. L'équilibre qui s'établit fait ici apparaître localement un champ électrostatique orienté de la
solution vers le zinc.
c) Fonctionnement en générateur
En réunissant les deux électrodes de la pile par un circuit extérieur, un courant peut ainsi circuler,
dans la pile, de l'électrode en cuivre (pôle + ) vers l'électrode en zinc (pôle — ), tant que du zinc passe
en solution et que du cuivre se dépose. La réaction globale correspondant au passage de deux électrons
du zinc au cuivre est donc :
Cu2+ + Zn -* Zn2+ + Cu

Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
161
C'est une réaction d'oxy do-réduction que l'on peut réaliser directement en plongeant une tige de zinc
dans du sulfate de cuivre : la tige se recouvre de cuivre.
On montre que la f.e.m E d'une telle pile est reliée à la variation d'enthalpie libre A G de la
réaction par (cf. Thermodynamique) :
-AG
E =
nE
où F — eNA « 96500 C est le faraday et n le nombre d'électrons échangés dans l'équation de
réaction.
Dans cette réaction, n = 2 et — AG ^212 kJ-mol-1. Comme le dépôt d'une mole de cuivre
correspond au passage de nE « 2 x 96 500 C dans le circuit, on en déduit :
E~ 21200° =1,1V
2x96500
VI. 2. — Récepteur non ohmique : la diode à jonction
a) Jonction p-n
On réalise une jonction p-n en dopant différemment deux parties d'un matériau semi-conducteur
(cf. chapitre 7) : l'une de type p contient un excès de trous, l'autre de type n contient un
excès d'électrons. La forte inhomogénéité de la concentration des porteurs qui en résulte donne
naissance à un double courant de diffusion : les trous, majoritaires dans p, diffusent vers n et
réciproquement les électrons, majoritaires dans n, diffusent vers p. Par conséquent p se charge
négativement et n positivement, ce qui crée au niveau de la jonction, un champ électrique interne E;W)o
orienté de n vers p (Fig. 9.11a). Par son action sur les porteurs, ce champ limite la diffusion.
Un équilibre s'établit alors entre courant de diffusion et courant de conduction. En électronique, le
composant constitué d'une jonction p-n enfermé dans un boîtier protecteur est une diode à
jonction.
P ® (2$
■©0 ©
©©©0
©©© ©
0e ®0
© ©0 ©
e *et
0
©
01
©
©Q_©^
.X® ®
©.© © e*
©©©
!©© -®e
e©0
-o
N
#^0 —-L
Fig. 9.11.
b)
b) Caractéristique de la diode à jonction
Considérons une diode p-n avec deux bornes, l'une P reliée à la région p et l'autre TV reliée à
la région n . Si l'on applique une tension U = Up^ = Vp — V/y , ce qui revient à appliquer un champ
électrique Ea , le champ électrique interne qui agit sur les porteurs devient : Ein = Eifh0 + Ea .

162
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
On constate que le comportement de la diode dépend de façon spectaculaire du signe de la
tension U (Fig. 9.11b):
/) Si la diode est polarisée en direct (U > 0), le champ électrique interne E„7 est plus faible
que E/W)o . Le déplacement des porteurs majoritaires est facilité et le courant passe entre A et B . Son
intensité / croît très rapidement avec la tension U jusqu'à atteindre quelques ampères pour une tension
de quelques volts.
//) Si la diode est polarisée en inverse U < 0, E/„ est plus intense que E//2)0 • Le courant n'est
dû qu'à la circulation de porteurs minoritaires. L'intensité correspondante de ce courant inverse est très
faible : / = —/q avec /q > 0 de l'ordre de quelques /x A.
La caractéristique 7(7/) de la diode à jonction a pour expression :
/ U \ kBT
I = 70 exp I —- 1 - 70 avec U0 =
kB étant la constante de Boltzman et e la charge élémentaire. La tension 7/0 vaut 25 mV à la
température ambiante T = 300 K. L'allure fortement dissymétrique de la caractéristique rend la diode
pratiquement équivalente à un court-circuit dans le sens direct et à un circuit ouvert dans le sens
inverse.
Ces propriétés de non-linéarité, qui distinguent la diode des conducteurs ohmiques, sont très
utilisées dans les circuits, notamment pour redresser des courants alternatifs. La caractéristique se trouve
dans le premier et le troisième quadrants : la diode est donc toujours un récepteur (Fig. 9.1 lb).
VI. 3. — Convertisseur photoélectrique !
En éclairant un semi-conducteur avec des photons dont l'énergie est supérieure au gap (cf.
chapitre 7), on crée des paires électrons-trous, ce qui augmente la densité des porteurs.
i
a) Effet photovoltciïque
Dans le cas d'une jonction p-n, les électrons et les trous créés dans la zone intermédiaire sont
soumis au champ électrique interne E/^o , lequel déplace les premiers vers la région p et les seconds vers la
région n . Ces déplacements augmentent le courant inverse qui devient 7o ^Jph . Le courant
photoélectrique Iph est proportionnel au nombre TV de paires électrons-trous créées par seconde ( Iph = — Ne )
et donc sensiblement au flux lumineux <î> qui éclaire la jonction. L'infliience de <î> sur le courant
inverse d'une jonction p-n est connue sous le nom d'effet photovoltciïque.
L'équation de la caractéristique 7(7/) de la jonction est modifiée selon :
7 = 70 exp l — ) - (7o + Ipn)
Sur la figure 9.1 lb, on peut voir l'influence du flux lumineux sur la caractéristique de la jonction p-n .
Une telle jonction éclairée se comporte alors soit comme un récepteur (quadrants 1 et surtout 3) soit
comme un générateur (quadrant 4).
b) Photodiode
Une photodiode est une diode à jonction qui travaille en polarisation inverse (U < 0) car c'est
dans le quadrant 3 de la caractéristique que l'influence du flux lumineux est la plus grande (Fig. 9.1 lb).

Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
163
Pour une tension U <C C/o Je courant / vaut :
/ œ /0 — (/o + V) = —/p/i
Par conséquent, / est proportionnel au flux lumineux <ï>. Aussi, lorsqu'on veut comparer des flux
lumineux, utilise-t-on la photodiode dans cette zone de la caractéristique. Notons que Ton a ainsi réalisé
une source de courant commandée par un flux lumineux.
c) Cellule photovoltaïque ou photopile
Une jonction p — n éclairée se comporte comme un générateur lorsqu'elle travaille dans le
quatrième quadrant ( U > 0 et / < 0). Ce générateur convertit de l'énergie lumineuse en énergie
électrique. On l'appelle cellule photovoltaïque ou photopile.
En circuit ouvert (/ = 0), on peut voir sur la caractéristique qu'une tension Uph apparaît aux
bornes de la jonction :
/oexp(^-(/0 + /PA)=0 si uph = U0ln(\ + 1-^
Cette tension à vide de la photopile est de l'ordre de 0,6 V pour une jonction au silicium. Les pho-
topiles sont de plus en plus utilisées pour produire de l'énergie électrique à partir de l'énergie solaire.
L'efficacité de la conversion rjg = —UI/<& atteint 0,22 et 0,28 respectivement pour des photopiles
au silicium et à l'arsénure de gallium (GaAs). Les photopiles réalisées actuellement avec du silicium po-
lycristallin ou amorphe ont des efficacités comprises entre 0,10 et 0,15 .
Remarque : La conversion inverse d'énergie électrique en énergie lumineuse est réalisée dans les
diodes électroluminescentes (D.E.L) ou dans les lasers à semi-conducteurs (cf.
Optique).
CONCLUSION
À l'issue de l'étude des convertisseurs, il importe de retenir les points suivants qui sont les plus
importants.
(1) La puissance électrique reçue par un dipôle AB quelconque est :
V = UI où U = VA - Vb et / = IAB
(2) Dans un résistor, cette puissance qui vaut V = RI2 est dissipée sous forme thermique : c'est
l'effet Joule. Localement, la puissance dissipée par unité de volume est :
y
(3) Un convertisseur est un dipôle capable de transformer en énergie électrique toute autre forme
d'énergie et réciproquement. L'efficacité de la conversion est :
Vt = ^L dans le cas d'un générateur
' C
rjr = dans le cas d'un récepteur
UI étant la puissance électrique reçue du circuit extérieur et Vc la puissance de conversion.

164
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
(4) On caractérise un convertisseur soit par sa force électromotrice E (f.e.m) soit par son courant
électromoteur Iem (ce.m), suivant le mode d'utilisation :
E = — ou lem = —
(5) Pour un dipôle AB , la loi d'ohm généralisée s'écrit, en convention récepteur :
U = RI-E
(6) Enfin, rappelons les exemples concrets de récepteurs et de générateurs électriques : la pile
Daniell, la diode à jonction, la photodiode et la photopile.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P9- 1. Intensité maximale dans un conducteur
Un fil de cuivre doit supporter, sans échauffement dommageable, un courant de 10 A. Quels
doivent être sa section et son rayon pour que le courant volumique n'excède pas 5 A. mm-2 ?
P9- 2. Fusible
Un alliage plomb-étain fond à 493 K. Sa résistivité est p = 0,2 x 10-6 £1. m . On admet qu'il
cède, par convection, au milieu ambiant à la température Ta = 293 K, une puissance thermique en
watts, d'expression Vth — ncS (T — Ta), S étant sa surface en contact avec ce milieu en m2 , T sa
température absolue et hc une constante qui vaut 8 en unités SI. Quel doit-être le rayon de la section
d'un fil de cet alliage pour qu'il supporte, sans fondre, un courant d'intensité 10 A ?
P9- 3. Effet Joule dans deux conducteurs
On considère deux fils conducteurs, de mêmes dimensions, de même capacité thermique, l'un en
fer l'autre en cuivre.
1. Quel est celui qui sera porté à la température la plus élevée, lorsque les fils sont branchés en
dérivation sous une d.d.p U ?
2. Même question si les fils sont branchés en série.
P9- 4. Batterie et démarreur
Une batterie, de résistance interne 0,03 £1, fournit une puissance de 1 200 W pour une intensité
/ = 150 A . Quelle est sa f.e.m ?
Un démarreur, de résistance interne 0,04 £1, consomme une puissance de 1 200 W pour une
intensité / = 150 A . Quelle est sa f.c.e.m E' ?

Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
165
P9- 5. Electrolyseur
Dans un electrolyseur contenant de l'eau acidulée, le passage du courant entre des électrodes de
platine provoque la dissociation de l'eau en hydrogène et en oxygène gazeux.
1. Sachant que la réaction de synthèse de l'eau, 2 Eb + O2 —» 2 H2 O , libère 580 kJ . mol-1 ,
déterminer la f.c.e.m de l'electrolyseur.
2. Cet electrolyseur, dont on néglige la résistance interne, est placé dans le montage de la figure 9.12
dans laquelle Ug désigne la tension aux bornes du générateur. Calculer l'intensité Iv du courant qui le
traverse en fonction de Ug , r et R . Montrer que, pour une valeur donnée de Ug , l'électrolyse ne peut
avoir lieu que si R est supérieur à une valeur que l'on déterminera.
3. A.N: ^=l,6V,r = 0,lfi.
Fig. 9.12.
P9- 6. Transfert de puissance d'un générateur à un récepteur
Un générateur, de f.e.m E et de résistance interne r, débite dans un récepteur, de f.c.e.m E' et de
résistance interne r'.
1. On se place dans le cas où E' = 0 .
Exprimer, en fonction de E, r et r', la puissance dissipée par effet Joule dans le récepteur. Montrer
que cette puissance est maximale pour une valeur de r' que l'on déterminera en fonction de r.
2. Quelle est l'efficacité ? À quelle condition sur r et r', est-elle maximale ?
3. Dans la suite, on suppose que E', différent de 0, peut varier jusqu'à la valeur E. Calculer,
en fonction de E,E',r et r', la puissance V = El fournie par le générateur ainsi que la puissance
V' = E'I reçue par le récepteur.
4. En déduire l'efficacité du transfert de puissance du générateur vers le récepteur 77 = V/V .
5. Montrer que la puissance V passe par un maximum pour une valeur de E' que l'on
déterminera. Quelle est alors l'efficacité du transfert de puissance ? Conclure.
6. Quelle est l'intensité du courant débité par une batterie de f.e.m. 12 V, de résistance interne
0,03 XI lorsqu'elle fournit son maximum de puissance ?
P9- 7. Intérêt du transport à haute tension
Une ligne de transport d'énergie électrique est constituée de deux câbles conducteurs cylindriques.
Pour des raisons d'échauffement maximal admissible, on limite le courant volumique à une valeur Jq .
1. On désigne par U la tension du générateur (supposé idéal) qui alimente la ligne et par V' la
puissance reçue par l'utilisateur. Exprimer, en fonction de la résistivité p du conducteur, de la longueur
/ de la ligne, de U et de Jq les pertes par effet Joule dans la ligne pour une valeur déterminée de V .

166
9. Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
2. En déduire l'efficacité du transport. Conclure.
3. Application numérique : p = 1,8 x 10~8 a. m, J0 = 106 A.m~2, U = 540 kV,
V = 500 MW et / - 70 km .
P9- 8. Source de tension et source de courant
On considère le montage potentiométrique de la figure 9.13, dans lequel le générateur, de f.e.m
E = 12 V et de résistance interne r = 10 XI, débite dans un pont diviseur, de résistances R\ = 100X1
et R2 = 50 XI.
1. Quelles sont les caractéristiques de la source de tension qui apparaît aux bornes A et B de Ro ?
2. En déduire les caractéristiques de la source de courant correspondante.
R\
±
Ri
B
FlG. 9.13.
Ru
, x
U
a)
KA)
2
0
0,5
-U(V)
-0,6 C
b)
FlG. 9.14.
P9- 9. Photodiode
Une photodiode, de surface utile 10 cm2 , est soumise à un éclairement de 1 kW . m-2 . Sa
caractéristique externe est schématisée sur la figure 9.14, / et U désignant respectivement l'intensité qui
parcourt la diode et U la tension à ses bornes en convention récepteur.
1. Quels sont les différents modes de fonctionnement de la photodiode suivant les valeurs de / et
U ?
2. Calculer l'efficacité maximale de la conversion énergie lumineuse-énergie électrique de la
photodiode.
P9- 10. Bilan énergétique d'un moteur électrique
Un moteur électrique, de résistance interne r' = 8 XI, est alimenté par un générateur de f.e.m
E = 120 V et de résistance interne r = 5 XI. La connexion se fait à travers une résistance R = 17 XI.
Le moteur doit fournir une puissance mécanique V = 100 W . On néglige les autres pertes.
1. Effectuer un bilan énergétique de l'installation en fonction de V, E, Rt — R + r + r' et
l'intensité / de ce circuit série.
2. Pour quelle valeur de / la puissance mécanique serait-elle maximale ? Montrer que, pour la
puissance exigée, il existe deux régimes de fonctionnement.
3. Calculer l'efficacité du moteur dans les deux régimes et la comparer à l'efficacité en régime de
puissance maximale.

Effet Joule. Générateurs et récepteurs électriques
167
P9- 11. Minimum de puissance dissipée dans une maille
On considère, dans un circuit, une maille /V iv42/V3 constituée de trois branches comportant trois
résistances, respectivement R\ , R2 et R3 (Fig. 9.15).
1. Exprimer la puissance dissipée V par effet Joule dans la maille en fonction de l'intensité x du
courant dans R\ , les intensités l\ , h et 73 en dehors de la maille étant maintenues constantes.
2. Montrer que les intensités des courants qui circulent dans la maille réalisent le minimum de V .
3. En déduire l'expression de x. A.N : /?i = 5 Cl, R2 = 3 Cl, R3 = 2 Cl, 7i = 0, 1 A,
h = 0,4 A et 73 = 0,5 A .
Fig. 9.15.

10
Condensateurs en électrostatique
Aspect énergétique
Le condensateur est l'un des composants importants d'un circuit électrique. Il est constitué de deux
armatures conductrices séparées par un isolant. Comme son nom l'indique, il est capable de stocker des
charges électriques et ainsi d'emmagasiner de l'énergie. Bien qu'il soit principalement utilisé en régime
variable, nous proposons ici d'établir les propriétés du condensateur en électrostatique, ces dernières
étant utiles même en régime variable.
I. _ CONDENSATEUR. CHARGE ET CAPACITÉ
1.1. — Définition d'un condensateur
Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs 1 et 2 en influence totale, c'est-à-dire
tels que toute ligne de champ issue de 1 aboutisse en 2 . Une telle situation est réalisée si 2 entoure
complètement 1 (Fig. 10.1a). Les surfaces de 1 et de 2 en regard sont appelées respectivement les
armatures interne et externe du condensateur.
a) b)
Fig. 10.1.
On montre que les charges ( Q\ , Q2 ) et les potentiels ( Vi , V2 ) des deux conducteurs sont reliés
par les équations linéaires (cf. chapitre 8) :
G, = c,iV, + c12v2
e2 = c2,v,+ c22i/2
dans lesquelles les coefficients C/,- ne dépendent que de la géométrie du système et satisfont à la
propriété Ci? = Co\ .

Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
169
Établissons la relation qui existe entre C\\ et C\2 , du fait de l'influence totale, en analysant la
situation particulière où l'on relie le conducteur 2 à la Terre (Fig. 10.1b). Le potentiel V2 est alors nul
et la surface extérieure du conducteur 2 ne porte pas de charge.
Appliquons le théorème de Gauss sur une surface fermée S située à l'intérieur de 2 . Comme le
champ électrique en tout point de S est nul, on a :
Ôl + 02 = 0
Les charges portées par les deux conducteurs sont donc opposées. Or, dans ce cas, Q\ = C\\V\ et
Q2 = Ci\ V\ . Il en résulte que C\\ = —C2\ — — C\2 . Les relations générales entre les charges et les
potentiels deviennent donc :
Ôi =C„(V, -V2)
Qi = -C,,(V, - V2) + (C22 - C,,)V2 = -Qx + (C22 - Cn)V2
Notons que le conducteur 2 porte la charge extérieure : Q2^x — Qi — Qijn = Qi + Q\ — (C22 — C\\)V2 .
1.2. — Charge et capacité d'un condensateur
Dans un condensateur, la charge extérieure Q2^x — Q\ + Qi du conducteur 2 ne joue aucun rôle
puisqu'elle subsiste lorsqu'on relie les deux armatures. Aussi définit-on la charge d'un condensateur par
la charge Q — Q\ de son armature interne, ici le conducteur 1 , la surface intérieure de l'autre armature
portant la charge opposée —Q.
D'après ce qui précède, la relation entre Q et la différence de potentiel U = V\ — V2 entre les
armatures est la suivante :
Q = Q\ =CM(V, -V2) = CUU
Le rapport C = Q/U, appelé capacité du condensateur, suffit à caractériser le condensateur du point
de vue électrique :
Q = CU avec C = Cu = -C,2 - -C2\ > 0
Dans le système international, l'unité de capacité est le farad ( F ). En général, les capacités des
conducteurs s'expriment en sous-multiples : jxF ( 10-6 F), nF ( 10~9 F), pF ( 10-12 F).
II. — CAPACITÉ DE CONDENSATEURS DE FORME SIMPLE
II. 1. — Méthode de calcul
Le calcul de la capacité d'un condensateur s'appuie sur la relation Q = CU, dans laquelle la
charge Q de l'armature de 1 , de surface S, et la différence de potentiel U sont explicitées en fonction
du champ électrostatique :
Q= fa dS= f eoE-ndS et U = V\ - V2 = f E • dr
en vertu du théorème de Coulomb reliant la charge surfacique a de l'armature, sa normale extérieure
n et le champ dans le voisinage.

170
10. Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
II. 2. — Condensateur plan
Le condensateur plan est de loin le plus important car, dans tous les condensateurs usuels, les
armatures sont à une distance e suffisamment faible devant les rayons de courbure pour que l'on puisse
les assimiler localement à des plans (Fig. 10.2). Du fait de la symétrie de la distribution (cf. chapitre
4), le champ entre les armatures est uniforme et vaut : E = ((t/eq) n , cr — Q/S étant la charge
surfacique et S la surface de l'armature. Il en résulte, en choisissant l'axe Ox selon la normale aux
plans (Fig. 10.2):
f2 f2 f<r\ Q f2 Qe
V\ — Vo = E • dr = / — n • dr = —- / dx = —- puisque
J\ J\ \£oJ £oSJ\ e0S
Par conséquent :
n = e^
C
£0S
Comme £q pu 8, 84 x 10 12 SI, ce n'est que pour un rapport S/e égal à 106 m ( !) que la capacité C
d'un condensateur plan vide atteint quelques fxF.
Ordre de grandeur : Pour S = 1 m2 et e = 0,5 mm , on trouve :
C0 = e0S/e= 17,8 x 10~9 = 17,8nF.
Q E -Q
O
-h —
+ —^
1U+^
ë
2
FiG. 10.2.
Générateur
U
FiG. 10.3.
1A Q
+ + + + ^
-Q
B
Remarques : (1) La formule simple précédente permet de justifier le nom de condensateur donné à un
système de deux conducteurs en influence totale. Considérons, en effet, le montage de
la Fig. 10.3, où les armatures d'un condensateur sont reliées aux bornes d'un générateur
qui maintient une différence de potentiel U constante. On voit qu'en rapprochant les
armatures, la capacité C et donc la charge Q augmentent : on a « condensé » ainsi
davantage de charges sur les armatures.
(2) Appliquée au cas d'un condensateur réel constitué de deux armatures planes en
regard, la formule C = £ç)S/e ne donne des résultats satisfaisants que si l'on néglige les
contributions des bords, ce qui est justifié lorsque e est faible devant les dimensions des
armatures.
(3) Quelle que soit la géométrie réelle d'un condensateur, on le représente schématique-
ment par deux traits parallèles, perpendiculaires aux fils d'amenée du courant.
II. 3. — Condensateur cylindrique
Un condensateur cylindrique est constitué de deux cylindres conducteurs coaxiaux 1 et 2, de
rayons a et b , portant sur leurs surfaces en regard les charges Q et —Q (Fig. 10.4). Supposons que

Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
171
la longueur des cylindres soit très supérieure aux rayons de telle sorte que l'on puisse négliger les effets
de bord. Le théorème de Gauss appliqué à une surface cylindrique S de longueur / et de rayon r,
comprise entre a et b , donne, E étant radial,
Q Q 1
Er x lirrl = — d'où E = ^=—-
£q 27T£ç) l r
er
e, désignant le vecteur unitaire radial. Il en résulte, puisque er • (dr/r) = dr/r
U=VX-V2
On en déduit que :
Ji 2tt£0 l J] r 27T£ç) l Ja r 2tt£ç) l \a J
C =
2tt£q l
\n(b/a)
Cette expression de la capacité est celle de la longueur / d'un câble coaxial dont le conducteur central
(l'âme) sert à amener le courant et dont le conducteur extérieur assure son retour. On définit alors une
capacité par unité de longueur C/ = C/l = 2tt£q/ ln(b/a) .
Si b est voisin de a , on a :
b = a-{-e = a(\-{-->\ d'où In f - J = In (\ + -) « - et C
27T£()la
e
puisque e <^ a . On retrouve ainsi l'expression £oS/e de la capacité du condensateur plan car
S = 2iral.
Armature
interne
FlG. 10.4.
FlG. 10.5.
II. 4. — Condensateur sphérique
Le condensateur sphérique est constitué de deux sphères concentriques de rayons respectifs R\ et
Ro > R\ (Fig. 10.5). Si on applique le théorème de Gauss sur une surface sphérique concentrique S ,
de rayon r compris entre R\ et Ro , on obtient, puisque le champ E est radial :
9 Q
Er x 47rr = — d'où E
G
e,-
£o 4tt£0 r2
e, étant le vecteur unitaire porté par le rayon vecteur. On en déduit que :
u = vl-v2
Q
, 47T£0 r2
er ■ d r -
Q
4lT£ç\
Q
4tt£<) \R
1
Y2

172
10. Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
d'où le rapport Q/U :
R\R2
C = 47T£ç)
Ro — R]
Un exemple de condensateur sphérique est fourni par la Terre entourée de la couche supérieure de
l'atmosphère située à une altitude h = 50 km . La capacité de ce condensateur gigantesque vaut, puisque
le rayon de la Terre est d'environ RT = 6400 km : C « 4tt£ç) Rf/h = 0,092 F = 92 mF .
Si Ro est voisin de R\ , on peut écrire R\ = R — e/2 et Ri = R + e/2 avec e <C /?. D'où :
C ~ 4tt£ç)R2 je — £oS/e . On retrouve évidemment la capacité d'un condensateur plan.
III. _ CONDENSATEURS REELS
La recherche d'une capacité élevée conduit à diminuer le plus possible la distance e qui sépare
les armatures et à augmenter leur surface S . On y parvient par exemple en enroulant deux films minces
en aluminium, séparés par une pellicule isolante en nylon. Cette couche de nylon sert à maintenir à très
faible distance les armatures, tout en évitant le contact des deux conducteurs.
Dans la pratique, on est cependant limité par la valeur du champ entre les armatures. En effet, si la
différence de potentiel U est trop grande, le champ E très intense ionise les molécules de l'isolant, ce
qui le rend conducteur. On dit que l'on a atteint les valeurs de claquage pour le champ ou la tension.
III. 1. — Influence d'un diélectrique
Lorsqu'on remplit l'espace entre les armatures d'un diélectrique, c'est-à-dire d'un matériau
isolant, on observe que, pour une même différence de potentiel U imposée par une source de tension, la
charge du condensateur est plus grande en présence du diélectrique (cf. chapitre 21). Le rapport entre
les capacités avec et sans diélectrique peut atteindre plusieurs milliers.
Une analyse détaillée, à la fois macroscopique et microscopique, que nous ferons plus loin (cf.
chapitres 21 et 24), permettra d'interpréter ce résultat. Nous verrons alors que l'introduction d'un
diélectrique entre les armatures d'un condensateur multiplie sa capacité par un facteur (sans dimension) er
très supérieur à 1 (Fig. 10.6). Ce facteur est appelé lapermittivité relative (au vide) de l'isolant.
1
R
Fig. 10.6.
Le tableau 10.1 donne quelques valeurs caractéristiques de la permittivité relative de certains
isolants. On voit que le farad est une unité forte, même pour des condensateurs à céramique. Le constituant
de base de ces condensateurs est le plus souvent le titanate de baryum (BaTiO 3 ) ou le niobate de
magnésium ( MgNb04 ).

Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
173
1 Er
air
1,0006
nylon
3
mica
6
verre
-6
céramique
10 < er < 3 x 104
Tab. 10.1. — Valeurs de quelques permittivités relatives
Remarques : (1) Les condensateurs electrolytiques, que l'on doit correctement polariser, sont réalisés
avec un diélectrique dont la constante er est relativement faible (entre 8 et 27) ; ce
diélectrique est constitué généralement de particules de tantale entourées d'une couche d'oxyde.
Pour un volume déterminé, la capacité de ces condensateurs est plus grande que celle des
condensateurs à céramique en raison de la grande valeur de la surface S des armatures et
de la plus faible valeur de la distance e qui les sépare.
(2) Les condensateurs electrolytiques au tantale et les condensateurs à céramique au tita-
nate de baryum (BaTiO 3 ) sont très utilisés dans les cartes mémoires d'ordinateur.
III. 2. — Résistance de fuite
Les diélectriques ne sont pas des isolants parfaits : ils possèdent une très faible conductivité. Aussi
représente-t-on les condensateurs par une capacité C et une résistance R en parallèle, généralement de
l'ordre de plusieurs M Cl (Fig. 10.6).
On note une analogie entre le calcul de la capacité d'un condensateur et celui de la résistance
d'un conducteur de même géométrie, concrètement entre la capacité C et la résistance R qui traduit
localement une fuite de courant à travers l'isolant imparfait. Etablissons la relation générale entre C
et R . On a :
R= ' ~ 2 avec V, -V9=/E-dr et / = / J • ndS = y / E • n dS = y—
1 J\ JS JS ZO^r
si l'on suppose le matériau homogène et si l'on admet que le théorème de Gauss s'écrit de la même
façon que dans le vide en remplaçant £q par s = Eç)Er (cf. chapitre 21). Il vient :
V\-V2 s V, - V2 £ ,, . _ e e0er
R = — — = —- d ou RC = - =
/ y Q yC y y
Exemple : Dans le cas d'un condensateur, de capacité C = 1 jxF, dont l'isolant, de permittivité
relative er = 5 , a une conductivité y = 10~12 S • m-1 , on trouve :
RC= - -44,2 s d'où R -44,2 MO
y
IV. — GROUPEMENTS DE CONDENSATEURS
On distingue deux types principaux de groupements de condensateurs : le groupement en parallèle
et le groupement en série.
IV. 1. — Groupement en parallèle
Sur le schéma de la figure 10.7a, regroupant n condensateurs en parallèle, on voit qu'en désignant
par Ci et Q\ la capacité et la charge du /eme condensateur, on a :
;=l (=1 i=l

174
10. Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
puisque la différence de potentiel entre les points A et B est la même pour tous les condensateurs. Par
conséquent, le groupement est équivalent à un condensateur unique, de capacité :
C
u
£c,
Remarque : Si les n capacités C, sont égales, on a : C = nC,.
Q
Q\
A
Qi
^cn
Ci Cn |
Q
Q\
(-/T?.
A
Q
B
U
Q -Q
*7i
Ui
Un
U
b)
FIG. 10.7.
B
a)
IV. 2. — Groupement en série
Considérons le groupement de n condensateurs en série représenté sur la figure 10.7b. Lorsqu'on
applique une différence de potentiel U aux bornes A et B de l'ensemble initialement neutre, l'armature
de gauche du condensateur 1 a une charge Q alors que celle de droite a une charge —Q . Comme cette
dernière armature forme, avec l'armature du condensateur suivant, un conducteur neutre, on retrouve la
charge Q sur l'armature de gauche du condensateur 2. Ainsi, de proche en proche, on voit que tous les
condensateurs ont la même charge Q .
Écrivons que U est égal à la somme des différences de potentiel Ui aux bornes des armatures des
condensateurs :
U
£"'
Par conséquent, l'ensemble est équivalent à un condensateur de capacité C, telle que
C
Q
u
£,
Q
d'où
r ^ r.
C
i=\
Q
Remarques : (1) Si les n capacités du groupement sont égales, alors C — Cj/n et U,- = U/n. La
différence de potentiel supportée par chaque condensateur est divisée par n , ce qui permet
de diminuer les risques de claquage de chaque élément.
(2) On utilise souvent des groupements série-parallèle afin d'avoir simultanément des
fortes capacités et des d.d.p faibles aux bornes de chacun des condensateurs.

Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
175
V. — ÉNERGIE D'UN CONDENSATEUR
Comme un condensateur est formé de deux conducteurs, établissons d'abord l'expression de
l'énergie de deux conducteurs 1 et 2 de surfaces respectives S\ et £2 . Un tel ensemble est une distribution
surfacique de charge. L'énergie électrostatique s'écrit donc :
£e=l- fvadS=l- I VadS+l f VadS
z Js z Js{ z Js2
Or, les surfaces Si et 5? sont équipotentielles. Par conséquent, en introduisant les charges Q\ et Q2 :
£* = \v\ I o-dS+X-V2 f o-dS=]-(VlQ]+V2Q2)
V. 1. — Expression de l'énergie électrostatique d'un condensateur
Par définition, l'énergie électrostatique d'un condensateur est l'énergie qu'il est capable de fournir
au milieu extérieur lorsqu'on connecte ses armatures par un circuit extérieur. Il en résulte, en désignant
par £(ew et £"p respectivement les énergies avant et après réunion des armatures, que l'énergie du
condensateur, notée £e pour simplifier, est égale à :
£e = £T - £7
Pour calculer £"v , ajoutons les énergies de chacun des conducteurs. Comme les charges des
conducteurs 1 et 2 sont respectivement Q\ = Q et Q2 = — Q + Qo,e.x■., on a :
fr = ^ÔV, +i(-Ô + Ô2ï«)V2 = ^+^Ô2^V/2 avec U = Vx - V2
On obtient £CJP de la même façon, en remarquant que la charge Q2^ex est inchangée : en effet, lorsqu'on
réunit les armatures, la charge Q\ + Qi = Q2,ex se répartit sur la surface du conducteur unique ainsi
formé et le potentiel V2 de ce conducteur unique est, lui aussi, inchangé, d'où :
L'énergie d'un condensateur a donc pour expression :
£c, = \QU = ]-CU2 =-^
2^ 2 2 C
Ordres de grandeur : L'énergie d'un condensateur, de capacité C = 1 /xF, sous une d.d.p
U = 100 V, vaut £e = 5 x 10-3 J, ce qui est très faible comparé par exemple à l'énergie que peut
fournir une pile électrique de 1,5 V débitant 0,5 A en une seconde : 1, 5 x 0, 5 = 0,75 J .
L'énergie électrique du condensateur sphérique Terre-électrosphère vaut :
O2
£e = j-^3x\0n] puisque C - 0, 1 F et g-0,8x!06C
Cette énergie est faible devant les énergies mises en jeu lors de transferts thermiques entre les masses
d'air à des températures différentes.

176
10. Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
Remarque : Les expressions de £c en fonction de la seule charge Q ou de la seule différence de
potentiel U font apparaître le paramètre géométrique C . Aussi peut-on faire varier
l'énergie électrostatique en modifiant la géométrie du condensateur. On réalise, par ce couplage
électromécanique, une transduction, le condensateur étant le transducteur.
V . 2. — Énergie électrostatique volumique dans un condensateur
Ecrivons l'expression de l'énergie électrostatique d'un condensateur plan en faisant apparaître le
champ électrostatique :
Se
eu1
1 £qS
2 e
Ul
y° (t •se
e0E2V
Cette dernière écriture met en évidence le volume V = Se défini par les armatures, et le champ
uniforme E = U/e . On obtient ainsi l'énergie électrostatique volumique we associée au champ
électrostatique entre les armatures :
We = -SÇ)E~
V. 3. — Équilibre électrostatique de deux condensateurs différemment chargés
Considérons deux condensateurs, de capacités C\ et C2, de charges initiales Q\ et Q2
(Fig. 10.8). A un instant pris comme origine, réunissons leurs armatures, borne à borne, à l'aide de
fils conducteurs de résistance totale r.
Q\
>
Qi
Ci,
c2
Fig. 10.8.
L'équilibre électrostatique de ce système se traduit par l'absence de courant et donc par l'égalité
des différences de potentiel aux bornes des deux condensateurs. Notant Q\ et Q'2 les charges des
condensateurs à Y équilibre et U' la différence de potentiel commune, on a :
U'
c,
c2
Q\ + Qo
C\+C2
D'autre part, la conservation de la charge donne : Q\ + Q2 = Q\ + Q2 • H en résulte que :
Q\
-(Ô1+G2) et Q'2
■(G1+Ô2)
C, +C2V" ' ~" " ^ C, +C2'
Calculons la variation d'énergie électrostatique A£e . Les énergies électrostatiques initiale et finale du
système sont respectivement :
£'e = -(C, U\ + C2UZ2) avec £/, = ^- et
C,
11 -Ql
£{ = ^(Q+C2)u'2
OU
c, c, + c2
CUI + C2U2
c, +c2

Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
177
Par conséquent, en effectuant, il vient :
L'énergie perdue par le système des deux condensateurs a été dissipée par effet Joule dans le résistor
de connexion ; pour le montrer, il faudrait établir l'expression de l'intensité du courant i(t) dans r et
évaluer l'énergie que le résistor r dissipe thermiquement (cf. Exercices du chapitre 17).
VI. — ACTIONS SUR LES ARMATURES D'UN CONDENSATEUR
Il existe trois méthodes pour calculer les actions qui s'exercent sur les armatures d'un
condensateur :
/) La méthode directe par application de la loi de Coulomb
Cette méthode revient à calculer une double intégrale de surface sur les armatures du condensateur,
ce qui est souvent laborieux. C'est ainsi que, dans le cas simple d'un condensateur (Fig. 10.9), la force
qu'exerce une armature sur l'autre a pour expression :
M2M,
JSi \JS2
4^0 75, \JS2 M2M\ )
ii) La méthode s'appuyant sur le concept de pression électrostatique
Elle consiste à calculer l'intégrale de surface suivante :
2->l = / Pe^ex
?2->l = / Pe^ex d S avec pe = —
/s, 2^o
o~\ étant la charge surfacique d'une armature et n^A le vecteur unitaire normal à la surface du
conducteur et orienté vers son extérieur.
///) La méthode utilisant l'énergie électrostatique
Elle s'appuie sur un bilan énergétique préalable. C'est le plus souvent la méthode la plus efficace.
Armature 1 i
M,
| v—■
+<H-
1
dq2/
Armature 2 i »^h-
M2\
Fig. 10.9.
VI. 1. — Calcul à partir de la pression électrostatique
La force qui s'exerce sur l'armature 1 du condensateur, représenté sur la figure 10.9, s'écrit, puisque
nex et o-\ sont uniformes :
17 Ç ^^ H— 17 G2 £°SLJ2
F2->i = peS\nex = —— nex d ou F2_i = —— nex = nex
2eo 2£qS 2ez
puisque or = Q/S et Q = CU = e0SU/e .

178
10. Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
VI. 2. — Calcul à partir de l'énergie
a) Bilan énergétique
Effectuons le bilan énergétique en appliquant le théorème de l'énergie au condensateur, entre deux
états d'équilibre mécanique voisins. Si un opérateur écarte les armatures, au cours d'un processus
élémentaire, sans frottement, on a (cf. Mécanique) :
d(£k + £p,g + £p,e) = 8Wop + 8We,ex
Dans ce bilan, £k désigne l'énergie cinétique du système, £p^ l'énergie potentielle de pesanteur et
£Pie l'énergie potentielle électrostatique du condensateur. En outre, ôWop et 8We,ex sont les travaux
des forces qui, a priori, ne dérivent pas d'une énergie potentielle : le premier est le travail mécanique
fourni par l'opérateur au système, le second est le travail électrique que le système reçoit lorsque sa
charge augmente de d Q ; ce dernier vaut :
8We,ex = UIdt= UdQ
L'équation du bilan s'écrit donc :
d(£k + £Pig + £e) = 8Wop + UdQ
On pourrait éventuellement prendre en compte d'autres énergies potentielles extérieures. Plaçons-nous
dans le cas fréquent où la somme £k + £p^ est constante. Il vient :
d£e = 8Wop + UdQ
Deux cas particuliers importants doivent être envisagés suivant que l'évolution se fait à charge constante
ou à d.d.p constante :
/') Evolution à charge constante
Dans ce cas, le système est électriquement isolé, Q = Cte . Le bilan précédent se réduit à :
d£e = 8Wop d'où Wop = A£e
en intégrant. Le travail fourni par l'opérateur se retrouve dans l'énergie électrostatique du système.
ii) Evolution à d.d.p constante
Dans ce second cas, un générateur maintient une d.d.p constante : U — Cte . Le bilan s'écrit :
d£e = 8Wop + UdQ soit Wop = &£e - UAQ
en intégrant. Le travail fourni par l'opérateur ne se retrouve pas uniquement dans l'énergie
électrostatique : une partie sert à faire circuler les charges à travers le générateur qui maintient la d.d.p U
constante.
b) Expression de la force dans le cas du condensateur plan
Le travail élémentaire 8Wop fourni par l'opérateur a pour expression, dans cet exemple (Fig. 10.9) :
8Wop = Fop - dr = FoPiX dx
si Pécartement élémentaire des armatures est dr = dxex. Comme il y a équilibre, la force F qui
s'exerce sur l'armature 1 est opposée à Fop . On en déduit, en appelant Fx la composante de F suivant
Paxe des x :
Fx = —FoPïX d'où d£e = —Fx dx + U d Q

Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
179
/) Évolution à charge constante
À charge constante, on a, puisque £e s'écrit £c^q = Q2/(2C) :
/^dA^-dé^^-d — =-d —— =-d£c>ô(*) d ou F* ~
2Cy \2e0SJ e^K ; dx
Dans le cas du condensateur plan où C = eqS/x , x désignant la distance entre les armatures, on en
déduit :
d fQ2x\ q2
dx \2£qSJ 2eç)S
ii) Evolution à d.d.p constante
À d.d.p constante, on a, puisque £e s'écrit £CjU = CU2/2 et Q = CU :
Fxdx=-d£e + UdQ = -d£e + d(UQ) = -dl — J + d(0/2) = d( — \ =d£eiU(x)
d'où :
d£ejU(x)
tx = —^
dx
On trouve alors, si le condensateur est plan :
d f£0SU2\ £0SU2
Fx =
m
dx V 2x J 2x2
Remarques : (1) Les deux expressions de Fx sont équivalentes : on passe de l'une à l'autre en
écrivant la relation entre Q et U : Q — e^SU'/x. On vérifie bien alors que la force est
attractive puisque Fx est négatif. Les fonctions £e,()(x) et £e,u(x) sont> elles,
évidemment différentes.
(2) On obtient des relations analogues lorsque la déformation du système est caractérisée
par un paramètre quelconque À :
d£,e(A) d£t,uW
Si À est une longueur, f\ a les dimensions d'une force, alors que, si c'est un angle, f\ a
les dimensions d'un couple (cf. Exercices).
CONCLUSION
Enumérons les résultats essentiels.
(1) La relation entre la charge Q d'un condensateur et la différence de potentiel U à ses bornes
est linéaire :
Q = CU avec U = V] - V2 et Q = Qx = -Q2
C étant la capacité du condensateur. Cette dernière, toujours positive, vaut eqS/c lorsque le
condensateur peut être assimilé à un condensateur plan dans le vide.

180
10. Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
(2) Un matériau diélectrique permet d'augmenter notablement la capacité d'un condensateur, grâce
à sa permittivité relative er qui peut atteindre plusieurs milliers.
(3) L'énergie électrostatique d'un condensateur est reliée à la charge Q et à la différence de
potentiel U par :
Se
1
:QU
1
-CU1
2 C
(4) Quant aux actions qui s'exercent sur les armatures du condensateur, on les détermine
généralement à partir de l'énergie en dérivant l'expression de l'énergie par rapport au paramètre de
déformation x. L'analyse énergétique montre alors que l'on a :
d£g,g(*)
dx
ou Fx
d£e,u(X)
dx
x étant le paramètre géométrique dont dépend la capacité, £€iQ l'énergie électrostatique exprimée à
l'aide de x, Q étant maintenu constant, £ejj l'énergie électrostatique exprimée en fonction de x, U
étant maintenu constant.
EXERCICES ET PROBLEMES
P10- 1. Interposition d'une lame métallique dans un condensateur plan
Un condensateur plan, d'épaisseur e, est relié à un générateur qui maintient à ses bornes une
différence de potentiel U. On introduit une lame conductrice d'épaisseur e\ < e entre les armatures
(Fig. 10.10). Exprimer la relation entre la charge Qq du condensateur avant l'introduction de la lame et
sa charge Q après.
Application numérique : e = 1 mm , e\ = 0, 1 mm , S = 100 cm2 et U — 30 kV . Commenter le
résultat obtenu.
Générateur (|) JJ
CD \i
Fig. 10.10.
Lame
P10- 2. Condensateur cylindrique
On considère un condensateur cylindrique formé de deux conducteurs coaxiaux 1 et 2 , de rayons
respectifs R\ et R2 (Fig. 10.11). L'armature 2 externe est fixe alors que l'armature 1 interne peut
avoir un mouvement de translation suivant l'axe vertical ascendant Ox.
1. En négligeant les effets de bord, donner l'expression de la capacité C(x) en fonction du
paramètre x de pénétration de 1 dans 2 .
2. On maintient entre les armatures une différence de potentiel U . Quelle doit être la valeur Uq
de U pour que l'armature interne, de masse m , soit en équilibre ? Cet équilibre est-il stable ?

Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
181
3. En imposant x = x$ , le condensateur est chargé sous une d.d.p Uq , puis isolé. Quelle doit être
la force supplémentaire ¥op que l'on doit exercer sur l'armature 1 pour la maintenir en équilibre?
Application numérique : m = 10 g, xq = 8 cm , U$ = 10 kV , Ro/R\ = 1,01 .
P10- 3. Capacité d'un câble coaxial
Un câble coaxial est constitué de deux conducteurs 1 et 2 en forme de cylindres de même axe
Oz . Le conducteur intérieur 1 , plein, a un rayon a ; le conducteur extérieur 2, creux, a un rayon
intérieur b. Sur une longueur /, 1 porte la charge Q et 2 la charge — Q {Q > 0). Calculer la
capacité C de la longueur / de câble. Application numérique : a: = 1 mm , b = 3 mm , / = 1 m .
P10- 4. Microphone électrostatique
Un microphone-condensateur est constitué de deux armatures conductrices planes, de surface S,
l'une V\ fixe, l'autre Vo pouvant se déplacer légèrement dans la direction Ox perpendiculaire à son
plan. À d.d.p constante Uq entre V\ et Vo , 1 a charge est <2o lorsque la distance entre V\ et Vi est e.
On donne les valeurs suivantes : Uq = 400 V , e = 30 fxm et S = 15 cm2 .
1. Calculer la capacité Co , la charge Qo et la force qui s'exerce entre les armatures.
2. Le condensateur étant seul, on déplace Vo de x <§C e et on augmente la charge Qo de q.
Comment sont modifiées la capacité, la d.d.p et la force entre les armatures ?
P10- 5. Condensateur diédrique
1. On incline d'un angle 0 faible l'une des armatures d'un condensateur plan de capacité Co .
Comment est modifiée la capacité du condensateur ?
2. En déduire la capacité d'un ensemble de condensateurs diédriques régulièrement disposés
comme sur la figure (Fig. 10.12) : les /V cloisons paires sont reliées au conducteur central de rayon R\ ,
les TV cloisons impaires le sont au conducteur extérieur de rayon R2 . Géométriquement, les
armatures sont des rectangles de profondeur h et de largeur légèrement inférieure à {Ro — R\) .
Application numérique : R\ — 0,5 cm , R2 = 5 cm , h = 3 cm , TV — 10 .
Fig. 10.12.
P10- 6. Énergie stockée par deux condensateurs en série
Deux condensateurs en série, de capacités respectives C\ = 40 muF et Ci = 80 muF, sont
connectés aux bornes d'un générateur qui impose une d.d.p U = 120 V . Calculer les différences de
potentiel aux bornes de chacun d'eux et les énergies stockées.

182
10. Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
P10- 7. Écartement des armatures d'un condensateur plan
Un condensateur plan, de capacité Co = 2 fxF, est chargé sous une d.d.p Uq = 1 kV .
1. On l'isole électriquement. Calculer le travail minimal qu'un opérateur doit fournir à ce
condensateur pour écarter ses armatures de eo — 1 mm à 2 mm . Commenter physiquement le résultat.
2. On maintient la d.d.p constante. Calculer la variation d'énergie du condensateur et le travail
minimal qu'un opérateur doit fournir au condensateur pour écarter ses armatures de eo = 1 mm à
2 mm . Commenter physiquement le résultat.
P10- 8. Action exercée sur un condensateur à quadrants ^i^
On considère le condensateur plan, représenté sur la figure 10.13, aux bornes duquel s'exerce une
d.d.p U. L'armature 1, mobile autour d'un axe Oz qui lui est perpendiculaire, est formée de deux
quadrants circulaires, de rayon R\ , symétriques par rapport à Oz ; l'armature 2 fixe est, elle, constituée
de quatre quadrants, deux à deux superposés, réalisant ainsi un logement cylindrique, d'épaisseur e,
dans lequel pénètre la première armature.
1. Montrer que la capacité C du condensateur s'écrit C = KO , 0 étant l'angle de pénétration de
1 dans 2. En déduire l'expression de l'énergie.
2. Quel est le couple Te auquel est soumise l'armature mobile ?
3. L'armature 1 est soumise au couple précédent exercé par une tension inconnue U et à un couple
de torsion —Ct0, Ct étant la constante de torsion. Un étalonnage préalable de ce condensateur à
quadrants a donné le résultat suivant : U — 22, 6 V pour 0 = 15° . Calculer la tension appliquée lorsque
0 = 60° .
Fie. 10.13. Fie. 10.14.
P10- 9. Bilan énergétique d'un condensateur plan à armature mobile ^web>
Un condensateur plan est constitué de deux armatures rectangulaires (de dimensions b et / ) dont
l'une 1 de charge Q > 0, est fixe et l'autre 2 se déplace sans frottement sous l'action d'une masse M
(Fig. 10.14). La poulie a une masse négligeable et le fil reliant 2 à la masse est inextensible.
1. Calculer la capacité du condensateur plan en fonction de X = I — x, x caractérisant le
déplacement de 2.
2. Le condensateur est isolé avec une charge Q (l'interrupteur K est ouvert). Donner l'expression
de l'énergie potentielle totale du système en fonction de X. En déduire la relation entre Q et X à
l'équilibre.
3. Montrer que la d.d.p U aux bornes du condensateur est indépendante de Q .

Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
183
4. La charge Q étant égale à celle go pour laquelle X à l'équilibre vaut /, on ferme alors K
qui relie le condensateur à un résistor de résistance R . Trouver X(t) , C(t) , Q(t) et dQ/dt lorsque
l'armature 2 se déplace avec un mouvement de translation rectiligne uniforme, de vitesse v0 par rapport
au reste du système. Quel est le courant / dans le résistor ?
5. Effectuer le bilan énergétique entre les instants initial où x = 0 et final où x = l. Application
numérique : M — 100 g et / = 5 cm .
P10- 10. Condensateur atmosphérique
On assimile l'atmosphère terrestre à un vaste condensateur sphérique dont la sphère intérieure est
constituée par la Terre (rayon R = 6400 km) et la sphère extérieure par une couche conductrice,
appelée F électrosphère, située à une altitude de 50 km . On admet que la constante diélectrique de l'air
est Eq .
Calculer la conductivité de l'atmosphère, sachant que le potentiel de la couche conductrice est de
300 kV par rapport à la Terre et qu'il existe en moyenne, en raison des orages, un courant de fuite de
1 500 A entre F électrosphère et le sol.
P10- 11. Fréquence de la foudre sur Terre ^web)
Le condensateur atmosphérique est modélisé par deux armatures sphériques concentriques, de
rayons R = 6 400 km et R + z.o — 6 450 km , portées respectivement aux potentiels 0 et 400 kV .
1. Donner l'expression du champ électrostatique et du potentiel en fonction de l'altitude z et de la
charge Q de la Terre.
2. En déduire la capacité du condensateur, la charge de la Terre en fonction de R et z0 • Quelle est
la valeur du champ au voisinage du sol ?
3. La mesure du champ au voisinage du sol donne en fait la valeur £"(0) = 130 V • m-1 . Justifier
la différence avec la valeur calculée précédemment.
4. Le courant stationnaire de décharge a, au niveau du sol, une densité surfacique de courant
J = 3, 5 x 10-12 A • m-2 . Sachant qu'un seul coup de foudre arrache à la Terre la charge électrique
Q/ = 20 C , calculer le nombre moyen d'impacts de la foudre sur la Terre en 1 s .
P10- 12. Électromètre à condensateur plan ^web>
Un électromètre est constitué d'un condensateur plan dont l'armature inférieure est fixe et Far-
mature supérieure A, portée au potentiel Uq à mesurer, est mobile. Cette dernière, de masse m, est
suspendue à l'extrémité d'un ressort de raideur K (Fig. 10.15).
1. Montrer que l'énergie potentielle de l'armature mobile du condensateur, portée au potentiel Uq ,
a pour expression :
c ( \ 2 ^i)SU0
£"{x) = ax ~ 2(7^7)
x étant le déplacement de l'armature, à partir de sa position d'équilibre, en l'absence d'actions
électrostatiques, et a un coefficient que l'on exprimera en fonction de K .

184
10. Condensateurs en électrostatique. Aspect énergétique
2. À l'aide du graphe £p(x), étudier l'équilibre de A ainsi que sa stabilité,
3. Sachant que les armatures sont des disques de rayon 10 cm, et de masse m — 200 g,
K = 20 N • m-1 , e = 4 cm , et que la position d'équilibre stable est x\ — 1 cm , trouver la
valeur de Uq . Quelle est la période des petites oscillations ?
4. On remplace la tension du ressort par une force constante verticale ascendante Fo . Etudier
l'équilibre de A .
Fie. 10.15.

11
Champ électromagnétique. Propriétés
Les propriétés magnétiques de certains matériaux sont connues depuis environ 2 500 ans : le mot
magnétisme vient du nom de l'ancienne ville Magnésie, près du port de Volos en Grèce ; on y avait
découvert que certaines pierres d'aimant, les magnétites, attiraient le fer. Cette propriété des pierres
d'aimant que l'on attribue à la présence d'oxyde de fer Fe 3 O 4 , est appelée ferromagnétisme (cf. chapitre
26). Jusqu'au début du XIX e siècle ce phénomène n'a essentiellement été utilisé que pour fabriquer des
boussoles. C'est avec l'apparition des piles électriques, découvertes en particulier par Volta (1800) et
capables de maintenir des courants stationnaires dans des circuits électriques, que l'on a pu commencer
à explorer les propriétés des champs magnétiques. Dans ce contexte, la première expérience décisive
fut réalisée par le physicien danois H. C. Oersted en 1819; il mit en évidence, à l'aide d'une
boussole, le champ magnétique produit par un fil parcouru par un courant électrique. Les physiciens français
J.B. Biot et F. Savart établirent alors, sur une suggestion de Laplace, l'expression du champ
magnétique créé par un courant filiforme. Enfin, en 1825, Ampère relia cette nouvelle interaction à la force
magnétique qui s'exerce entre des aimants permanents.
Les applications industrielles des champs magnétiques sont nombreuses. Aussi le calcul des
champs magnétiques créés par des courants constitue-t-il une partie importante de l'électrotechnique,
notamment depuis le développement de méthodes numériques performantes.
Dans ce chapitre, nous définissons le champ magnétique à partir de la force magnétique et nous
développons ses propriétés en nous appuyant sur la relation liant ce champ aux courants qui le produisent.
I. _ CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE
1.1. — Définition du champ électromagnétique
L'interaction entre charges électriques fixes nous a permis de définir le champ électrostatique à
partir de la force F qui s'exerce sur une charge témoin de valeur q : E = F/q .
L'expérience montre cependant que l'interaction entre charges en mouvement ne peut se réduire à
une force électrostatique. Il convient donc de généraliser ce champ en analysant les forces qui s'exercent
sur les charges en mouvement.
Dans un référentiel galiléen, la force qui s'exerce sur une charge en mouvement peut être séparée
en deux parties. L'une, indépendante de la vitesse, est une généralisation de.la force électrostatique que
l'on appelle la force électrique. L'autre dépend de la vitesse de la particule et lui est orthogonale; on
l'appelle la force magnétique. Ces constatations conduisent à la définition suivante : la force, dite force

186
11. Champ électromagnétique. Propriétés
de Lorentz, qui s'exerce sur une charge q, de vitesse v au point M du référentiel galiléen d'étude, peut
se mettre sous la forme :
F = c/(E + vx B)
où E et B sont respectivement les champs électrique et magnétique. L'ensemble (E,B) forme le
champ électromagnétique.
1.2. — Champ électromagnétique et relativité galiléenne
Le champ électromagnétique (E, B) est une entité dont les termes électrique et magnétique
dépendent du référentiel d'analyse. En effet, considérons un référentiel galiléen 1Z dans lequel existent
un champ électrique E et un champ magnétique B uniformes. Soit TV un second référentiel
galiléen en translation de vitesse V = Cte par rapport à 1Z . D'après l'invariance de la force de Lorentz par
changement de référentiels galiléens (cf. Mécanique), le champ électromagnétique est défini dans VJ
par l'équation :
F^^E' + v'xB')
dans laquelle E7 et B' sont les champs électrique et magnétique observés dans lZf. Les deux
référentiels étant en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, on a : v = v' + V. En outre,
la charge est invariante : q = q1 et, en relativité galiléenne, la force l'est aussi : F = F'. Par
conséquent :
ç[E + (v'+V)xB] = ? (E7 + v' x B7)
égalité qui doit être vérifiée quelle que soit la valeur de v'. Il en résulte l'égalité des termes dépendants
de la vitesse v' et de ceux indépendants de v', on obtient donc :
B = B et E ' = E + V x B
Ainsi, deux observateurs, qui se déplacent l'un par rapport à l'autre, n'attribuent pas la même valeur à
la partie électrique de l'interaction. Il convient donc en électromagnétisme, comme en mécanique, de
préciser le référentiel dans lequel on évalue les grandeurs physiques. En réalité, les vitesses obéissent
à la loi de composition relativiste (cf. Relativité). Retenons cependant que, même dans l'approximation
newtonienne, les champs électrique et magnétique sont liés et ne se transforment pas indépendamment
l'un de l'autre lorsqu'on change de référentiel, ce qui justifie l'importance accordée au concept global
de champ électromagnétique.
1.3. — Caractéristiques de la force magnétique
La force magnétique F,„ = q\ x B présente deux propriétés caractéristiques :
/) Le travail de cette force est toujours nul, puisque :
Fm-v d/ = ^(vxB)-vd/ = 0
Il en résulte, d'après le théorème de l'énergie cinétique, que la force magnétique ne modifie pas l'énergie
cinétique d'une charge : ||v|| = Cte (cf. Mécanique). En particulier, cette force ne peut pas mettre en
mouvement des charges initialement au repos.
//) Son expression qui permet de définir le champ magnétique B , fait intervenir un produit
vectoriel : B dépend d'une convention d'orientation de l'espace. On dit parfois que c'est un pseudo-vecteur
car, contrairement aux vecteurs qui eux ne dépendent pas de cette orientation, il se transforme en
l'opposé de son symétrique dans une opération de symétrie par rapport à un plan (cf. chapitre 12).
Les courbes, qui en chaque point sont tangentes à B , sont les lignes de champ magnétique.

Champ électromagnétique. Propriétés
187
1.4.
Vérifications expérimentales
La formule F = q(E + v x B) est très bien vérifiée dans de nombreux dispositifs
expérimentaux. Elle est utilisée pour le calcul des trajectoires des particules dans un champ électromagnétique
(accélérateurs, microscope électronique, etc.).
Son extension à 1' ensemble des charges d'un conducteur conduit à la loi de Laplace, ce qui permet
de calculer les forces ou les couples s'exerçant dans toutes les machines électriques industrielles (cf.
chapitre 13).
Étudions, à titre d'exemple, la trajectoire d'un faisceau de particules traversant une zone cylindrique
où existe un champ magnétique uniforme et constant, perpendiculaire à la vitesse initiale (Fig. 11.1).
Soit, dans le référentiel 1Z rapporté à un système d'axes cartésiens, un tel champ magnétique dans une
zone cylindrique de rayon a :
B ez pour (x — a)2 + y2 — a2 < 0
B(x,y,z) =
0
sinon
Appelons vq = vq eA la vitesse initiale des particules. L'équation du mouvement s'écrit
dv . _.
m— = q(\ x B) ce qui donne
dt
d v
m—- = q(\ x B) • e7 = 0
dt v J
en projetant sur la direction Oz de B .
Fig. 11.
q>0
Le mouvement a donc lieu dans le plan Oxy perpendiculaire à B . Comme v = d r/ d t, il vient,
en introduisant la pulsation cyclotron coc :
d2r
q (dr
xB =
qB f dr
m V dt
dt2 m \dt
Cette équation s'intègre en introduisant le vecteur constant R :
dr
cûc e, x — avec coc
~ dt
qB
m
— = o)c e. x (r - R) d'où d(r R) - coc e. x (r - R) et (r - R) • d(r R) = 0
dt - v ; dt "■ v ; v ; dt
0, r
0 et
On détermine le vecteur OC = R à partir des conditions initiales : si à t
d r/ d t = vo eK, alors ^o eA- = — coc ez x R et R = (vo/coc) ev .
La trajectoire est donc une portion de cercle, de centre C de coordonnées ( 0, vo/<oc, 0 ) et de rayon
R = \vo/û)c\, tant que la particule est dans la région d'action du champ magnétique; la figure 11 1
correspond au cas d'une particule de charge positive.
On en déduit aisément la déviation totale 6 de la trajectoire des particules :
0 — 2arctan
(i)
= 2arctan (
\mv0

188
11. Champ électromagnétique. Propriétés
Ce résultat est mis à profit dans les spectrographes de masse et dans les spectromètres à électrons. Dans
le premier cas, des atomes ionisés sont injectés avec une même vitesse initiale vq ; la mesure des rayons
permet de déterminer le rapport qjm et donc la masse si la charge est connue (spectrométrie de masse).
Dans le second, les particules, de même charge et de même masse, sont déviées différemment selon la
valeur de leur vitesse initiale.
1.5. — Unité et ordre de grandeur du champ magnétique
Le champ électrique E se mesure en volt par mètre (V . m~l ) et le champ magnétique B en
tesla (T), du nom du physicien croate N. Tesla. Comme E a la même dimension que vB, on voit que
le tesla est le volt-seconde par mètre carré ou weber par mètre carré.
Ordre de grandeur : Alors que le champ magnétique terrestre a une intensité de 50 fxT au niveau
du sol à Paris, on sait produire, de façon courante en électrotechnique, des champs magnétiques de
quelques teslas. On atteint aujourd'hui des valeurs stationnaires de 40 T ; des champs beaucoup plus
intenses, jusqu'à 700 T, ne sont produits actuellement que pendant de brèves durées.
II. — LOI DE BIOT ET SAVART
II. 1. — Postulat de la force magnétique entre deux charges en mouvement
Le point de départ du magnétisme est le postulat de la force magnétique qui s'exerce entre deux
charges électriques en mouvement. Son énoncé est le suivant :
Entre deux charges en mouvement, par rapport à un référentiel galiléen 1Z, la partie magnétique
de la force exercée par la charge 1, sur la charge 2, a pour expression (Fig. 11.2) :
t? ( V* F>2
Fi_2 = qivi x I ^ <7i vi x —
dans laquelle r)2 = MiM2 = r2 — r\ est le vecteur joignant la charge 1 à la charge 2 à l'instant t, \\ et
v? sont leurs vitesses par rapport à 1Z. Le coefficient julq a une valeur exacte julq = 4tt x 10-7 SI ; il est
relié à £o et à la vitesse c de la lumière dans le vide par l'équation (cf. chapitre 19) : eo/jl^c2 = 1. Cette
formule constitue un postulat, car elle ne peut pas être justifiée par des expériences faciles à réaliser.
C'est à partir des formes intégrales de cette expression qu'Ampère a établi les résultats fondamentaux
de la magnétostatique.
q\V\
F2^i
Mi r12
N -' o
Fig. 11.2. Ftg. 11.3.
Notons que la force qui s'exerce sur la charge 2 est bien orthogonale à sa vitesse, ce qui est
conforme à l'expression de la force magnétique. En outre, constatons que F?_>i et Fi_^2 ne sont pas
en général opposées.

Champ électromagnétique. Propriétés
189
II. 2. — Champ magnétique créé par une charge en mouvement
L'expression précédente de la force magnétique qu'exerce la charge 1 sur la charge 2 montre que
la quantité :
.,(*)-£„„, „**
ne dépend que de la charge 1 et du point Mo où on la calcule. On l'appelle le champ magnétique créé
par la charge 1 en Mo ; ce champ dépend du temps par l'intermédiaire de la position et de la vitesse de
la charge 1 en mouvement qui le crée.
Cette expression du champ magnétique n'est pas rigoureuse; lorsque la vitesse vo est proche de c,
elle doit être généralisée (cf. Relativité). Cependant, sa précision est largement suffisante, car les champs
magnétiques créés par les conducteurs sont dus à des charges dont la vitesse est très faible devant c avec
un rapport : v/c ~ 10-10 .
II. 3. — Champ magnétique créé par un courant stationnaire
Considérons un matériau conducteur formant un circuit fermé parcouru par des charges mobiles
de densité pm et de vitesse moyenne v au point P (Fig. 11.3). La charge totale d'un élément de
volume d V de ce matériau est nulle puisque la charge volumique pm est compensée par celle des
ions fixes du cristal. En un point M suffisamment éloigné de P, la charge pm d V apparaît comme
une charge ponctuelle mobile avec la vitesse v ; cette charge en mouvement crée le champ magnétique
élémentaire :
dB^^M^Pvx^ soit dBW = ^JxHd,
en introduisant le courant volumique J = pm\ . Notons que si J est indépendant du temps, le champ
magnétique élémentaire l'est aussi.
En ajoutant vectoriellement les effets magnétiques, il vient :
en désignant par r' le vecteur déterminant la position de P. Lorsque la distribution de courant
est surfacique (cf chapitre 6), c'est-à-dire lorsque les effets sont calculés en un point M(r) tel
que ||r — r'|| est grand devant l'une quelconque des dimensions de la distribution, la transposition
J(r') d V = J,(r') dS conduit à :
Le plus souvent, les distributions de courant sont réalisées à l'aide de circuits électriques de section s
faible devant leur longueur. Le calcul du champ magnétique à l'extérieur de tels circuits, à une distance
||r — r'|| grande devant s1/2 , peut être alors mené en faisant l'approximation d'une distribution linéique
de courant (cf. chapitre 6). On pose alors :
J(r')(Tfl=/dI = /dr' d'où B(r) = ^-1 l dr' x /"^
W 4tt Jc ||r-r'||3
Cette dernière expression porte le nom de loi intégrale de Biot et Savart. Elle est couramment utilisée
pour le calcul des champs créés par des circuits en régime stationnaire.

190
11. Champ électromagnétique. Propriétés
Remarque ; Il convient de ne pas attribuer à la contribution d B une autre signification que celle d'une
étape dans le calcul du champ B produit par une distribution stationnaire de courant. Par
exemple, on ne confondra pas cette contribution avec le champ magnétique produit par
une charge se déplaçant, dans le vide, à la vitesse v .
II. 4. — Champs magnétiques créés par des circuits filiformes de forme simple
Considérons un circuit filiforme, constitué d'éléments rectilignes, parcouru par un courant
stationnaire d'intensité /. Le champ magnétique créé par une telle distribution s'obtient en sommant vecto-
riellement les champs produits par les différents éléments.
a) Champ magnétique créé par un fil rectiligne infini
Le champ magnétique créé par un fil rectiligne infini, en un point M (Fig. 11.4a), est donné par
l'intégrale :
Hl PM
dl x
"<">=£/■
PM3
Notons O la projection de M sur l'axe du fil, Oz cet axe et p la distance OM . En outre, appelons e^
le vecteur unitaire porté par OM . Il vient :
B(M) = e^fèsinfePM)
Pour effectuer cette intégration, introduisons le paramètre angulaire 6 = (MO, MP) (Fig. 1 1.4a). On a
alors :
PM =
cost
OP = z = ptenO dz =
pd6
cos2 6
et sin(ez,PM) = cos 6
On en déduit :
B(M)=e<p^- [2cos6d6 = e(p^I-\sm6]l2 soit B(M) = ^- (sin 6, - sin 6X) e9
En faisant 6\ = —tt/2 et 6o = tt/2, on obtient le champ magnétique produit par un fil rectiligne
infini :
B=^-e, = 2xl0-7-e,
ZTTp p
Pr
P-
O
Pi 4
z k
02^
: b
0\\ --"M! ^ eP
a)
\P2
11
P.
Fig. 11.4.
b)

Champ électromagnétique. Propriétés
191
L'approximation du fil infiniment long est souvent utilisée pour calculer le champ magnétique créé au
voisinage d'une portion rectiligne d'un circuit dont les autres parties, qui sont nécessaires en régime
stationnaire puisque le circuit doit être fermé, sont éloignées de la zone d'étude (Fig. 11.4b).
Les lignes de champ sont donc des cercles, perpendiculaires au fil, dont les centres se trouvent sur
le fil. Elles sont orientées selon la règle du bonhomme d'Ampère : les trois vecteurs /dl, r, B forment
un trièdre direct et la norme du champ décroît comme l'inverse de la distance.
Ordre de grandeur : À une distance de 1 m, le champ magnétique produit par un fil rectiligne,
infini, parcouru par un courant de 1 A, vaut 2 x 10-7 T .
b) Champ magnétique créé par une spire circulaire
Considérons une spire plane, circulaire, de rayon R, parcourue par un courant / (Fig. 11.5a). Le
champ magnétique B(M) qu'elle produit en un point M de son axe Oz est donné par l'expression
intégrale suivante :
B(M) = ^- i dl X |^. soit B(M) = -^^ i dl X PM
PM3
4ttPM3 Jc
puisque PM — (R2 + z2)l//2 est constant. En introduisant l'angle constant a tel que sin a = R/PM ,
il vient :
B(M) — T sin3 « 0dlx PM avec sina
R
1
(#+Z2)l/2 [l+(z/tf)2]
1/2
Fig. 11.5.
Deux éléments de la spire, en P et P', symétriques par rapport à son centre O , ont des contributions
en M symétriques par rapport à Oz (Fig. 11.5a) ; B(M) est donc porté par Oz :
B(M) = Bzez avec Bz = -^_ sin3 a ( (f) dl x PM ) • e.
Comme :
il vient :
(dix PM) -ez = -(ez x PM) -dl^PMsina d/
Bz = y—^ sur
4ttR2
a /d/= -^r sin3ax27r/? et B(M) = — sin3 ae7
Jc 4ttR2 k j 2R

192
11. Champ électromagnétique. Propriétés
En faisant a = tt/2 , on obtient le champ magnétique au centre O de la spire : B(O) = poI/(2R) ez.
Retenons donc :
B(M) = B(O) sin3 a = £(<9) - ^ avec BfO) = — ez = 2tt x 10-7 - e.
■ [l + (^)2]3/2 2* * ^
Le graphe de Bz(z) est représenté sur la figure 11.5b.
Ordre de grandeur : le champ magnétique au centre d'une spire circulaire de rayon 2 cm ,
parcourue par un courant de 1 A , vaut 31 fxT .
Remarque : Le calcul de l'intégrale aurait pu être mené autrement en reconnaissant, dans le terme
d lxPM , un vecteur dont la norme est égale au double de la surface du triangle élémentaire
formé par d 1 et PM , et en notant que la projection de ce vecteur selon l'axe Oz est égale
à la surface projetée dans le plan de la spire. Par conséquent :
B, = P^ sm3a(id\ x PM V e. = -^ sin3 a x 2itR2 = ^- sin3 a
4ttR3 \Jc J z 4tt7?3 ^ 2R
III. — PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE
III. 1. — Relation entre le champ et ses sources. Théorème d'Ampère
Le théorème d'Ampère relie la circulation du champ magnétique B , le long d'un contour fermé,
aux sources de courant. Il convient donc d'évaluer cette circulation.
a) Circulation du champ magnétique
Calculons la circulation, sur un contour orienté C , du champ magnétique B créé par un circuit C
filiforme parcouru par un courant stationnaire / (Fig. 11.6a). En un point M de C , ce champ a pour
expression
B(M) = ^//d.x-^
y J Ait Jc PM3
d'où la circulation élémentaire entre les points voisins M et M' tels que dr = MM7 :
B.dr=^
477
«*£)«.
ic
La quantité entre crochets est un terme purement géométrique qui s'écrit aussi :
f MP f MP
/C riyr J8S(
Elle représente le flux du vecteur MP/PM3 à travers la surface 8SC que balayerait le circuit C au
cours d'un déplacement égal à — d r (Fig. 11.6a) ; c'est par conséquent un angle solide élémentaire ôco
(cf. annexe 2). On peut relier ce dernier à l'angle solide Cl sous lequel on voit le circuit C depuis le
point M (Fig. 11.6b). En effet, considérons la surface fermée constituée de la surface précédente ôSc ,
d'une surface S qui s'appuie sur C et d'une surface S' qui s'appuie C après déplacement de — dr .

Champ électromagnétique. Propriétés
193
^% n ^"f dr N
dSc
a)
a+da
M
Comme l'angle solide à travers cette surface fermée est nul lorsque le point M est à l'extérieur
(cf. chapitre 2), il vient, compte tenu des orientations explicitées sur la figure 1 1.6a :
0 = n + dw - Cl'
Or l'angle solide Df sous lequel on voit, du point M, le circuit C, après déplacement de — d r , est
aussi l'angle solide ft + dft sous lequel est vu le circuit C avant déplacement depuis le point M'
(Fig. 11.6c). Ainsi :
dn
ôco = d il et B • d r = /ulqI
477
On en déduit que la circulation élémentaire de B est proportionnelle à la variation de l'angle solide
Cl sous lequel on voit le circuit C depuis M . Le long d'une courbe finie C , la circulation du champ
magnétique créé par le circuit C est donc donnée par l'équation :
B d r = julqI
c/c""
b) Forme intégrale
Le calcul de l'intégrale précédente donnant la variation de l'angle solide sous lequel on voit le
circuit C lorsqu'on parcourt le contour C n'est pas simple, mais le résultat l'est : cette intégrale est
égale au nombre entier algébrique N qui caractérise Ventrelacement du contour et du circuit. D'où
l'énoncé du théorème d'Ampère :
La circulation du champ magnétique sur un contour fermé est proportionnelle à l'intensité totale
du courant traversant toute surface qui s'appuie sur ce contour :
B • d r = /xo // avec It = NI
Exemple : Champ magnétique créé par un fil rectiligne infini
Vérifions le théorème d'Ampère dans le cas du champ magnétique produit par un fil rectiligne
infini (Fig. 1 1.7). La circulation de B sur un cercle C , d'axe Oz, de rayon p , orienté de façon que e7
soit sa normale positive, est, puisque dr = p dcpe^ et B — /x0/e(p/(27Tp)
lirpB^p)
lirp x = p0I
ZTTp

194
11. Champ électromagnétique. Propriétés
zk
C "~-
B(M)
M
/-t-ip
FlG. 11.7.
(C
a)7V=l b)N=-i c)N=0
FlG. 11.8.
Le théorème d'Ampère, comme le théorème de Gauss en électrostatique, permet de déterminer le champ
magnétique lorsque des symétries facilitent le calcul de la circulation (cf. chapitre 12).
Considérons un circuit plan quelconque. Deux cas sont à envisager :
i) Le contour C ne traverse pas la portion de plan limitée par le circuit C (Fig. 11.6a). L'angle
solide XI sous lequel cette portion est vue d'un point du contour C reprend, après un tour, sa valeur
initiale. On a donc :
B-dr = /Lt0/( -r- / dn ) =0
477 _
ii) Le contour C traverse la portion de plan limité par le circuit C. L'angle solide subit une
discontinuité de 477 à la traversée. En effet, il tend vers 277 lorsque le point se rapproche du plan dans le
sens de sa normale n positive ; de l'autre côté, sa valeur est en revanche —277 puisque n et MP sont
alors opposés. On obtient donc dans ce cas :
i B •dr = ** (i ic àÇl) = ^' (i477)= "»'
Dans le cas où le circuit C n'est pas aussi simple, les résultats sont inchangés. En outre, si le contour
C enlace plusieurs fois C, on doit sommer algébriquement les variations d'angle solide, lesquelles se
mettent sous la forme du produit par ±477 du nombre N d'enlacements, le signe étant + si
l'enlacement a lieu suivant la normale positive de C et le signe étant — dans le cas contraire. La figure 11.8
donne quelques exemples d'évaluation de N : en a) N = 1 , en b) TV = — 1 et en c) N = 0 .
Lorsqu'il y a plusieurs circuits, on écrit le théorème d'Ampère sous la forme :
^B-dr^oX^7'-
où // désigne l'intensité du courant dans le circuit C, qui enlace Ni fois le contour C .
Pour une répartition volumique de courant, l'intensité totale ït a pour expression :
'-Ly'
dS
où S est une surface quelconque qui s'appuie sur le contour choisi C et qui est orientée d'après le
sens de parcours de ce contour, conformément à la règle de Maxwell. Ainsi, seules les lignes de courant
traversant S interviennent dans le calcul.

Champ électromagnétique. Propriétés
195
c) Forme locale du théorème d'Ampère
Traçons sur une surface S s'appuyant sur un contour C , un arc de courbe C\o entre deux points
M\ et M2 de C (Fig. 11.9). On détermine ainsi deux contours C\ et Ci fermés sur lesquels s'appuient
deux surfaces S\ et <S2 • Notons qu'en raison de l'orientation de S , C\o est parcouru de M\ vers M2
lorsqu'il contribue à Ci , et de M2 vers M\ lorsqu'il contribue à Co . On a donc :
(bB-dr=(p B-dr+i B • dr = /x0 / J • ii\ dS-\-julq J-n2d<S
Je ./c, ic2 -As, Js2
Fig. 11.9.
Fig. 11.10.
En continuant cette subdivision, on construit sur S un réseau de TV contours fermés C* entourant
des éléments de surface Su de plus en plus petits (Fig. 11.10) et tels que :
B dr-)] ifi-d
ck
è Bdr = yLt0/ Jn
dS
À la limite, les éléments d'intégration des contours et des surfaces devenant élémentaires, on obtient,
lorsque A<S et AC tendent vers 0 :
V,",As{lcB"1')="y'i""à
(LJnd5)
= Mo J • n
Il est alors commode d'introduire le rotationnel du champ de vecteurs B, noté rotB, défini comme
suit (cf. annexe 2) :
rotB.n = lim— ^B-dr
lorsque A<S et AC tendent vers 0. On a donc : rotB • n = /xo J • n . Comme cette égalité doit être
vérifiée quel que soit n , il en résulte l'équation suivante appelée la forme locale du théorème d'Ampère :
rotB = /x0 J
Cette relation de définition du rotationnel est connue sous le nom de formule de Stokes
l
rotB nd<S= è B dr
s Je
Elle permet d'exprimer le vecteur rotB dans un système quelconque de coordonnées (cf. annexe 2).
Etablissons l'expression de rotB en coordonnées cartésiennes, précisément de sa composante
suivant Oz . Pour cela, considérons un contour élémentaire rectangulaire AC = MNPQ , d'aire AxA_y
contenu dans un plan parallèle à Oxy (Fig. 11.11).

196
11. Champ électromagnétique. Propriétés
Il vient, en appliquant l'équation précédente :
(rotB)zAxA.y = Bx(x,y, z)Ax + By(x + Ax,y, z)&y - Bx(x + A*,y + Ay, z)àx - By(x,y + Ay, z)ky
soit, en divisant par AxAy :
(rot
*)*={l\B,
{x + bx,y,z) - By(x,y + &y,z)} - ^-[Bx(x + &x,y + Ay,z) - Bx(x
,y,z)]}
En passant à la limite pour laquelle Ax et Ay tendent vers 0 , on obtient :
dBy dBx
(rotB)z =
dx dy
On trouve les deux autres composantes par permutation circulaire sur les trois variables. Par conséquent,
les composantes cartésiennes de rot B sont :
/ ^ dB^ dBy / ^ 9BX dB, t _ dBy dBx
(rotB)' = ^--& (rotB)-^-âf et (rotB)= = â7-^r
On retient souvent ce résultat sous la forme mnémotechnique du produit vectoriel de l'opérateur de
dérivation nabla, noté V , de composantes cartésiennes d/dx, d/dy, d/dz , par le vecteur considéré
(cf. annexe 2) : rot B = V x B .
|n = e2
O
hrfr\-~7
N i P
*AC
y
FlG. 11.11.
III. 2. — Conservation du flux du champ magnétique
a) Forme locale
Calculons, à partir de l'expression du champ magnétique B , l'expression de sa divergence :
divB(r) = div
Mo
477
L™*W^r'v.
Les opérations de dérivation portant sur la variable r peuvent ici être effectuées sous le signe somme.
Il vient :
divB(r) = ^ / div
477
L:
J(r') x
r - r
./||3
dV
Or, on démontre les deux relations suivantes (cf. annexe 2) :
rot grad/ = 0 et div(a x b) = b • rot a — a • rot b

Champ électromagnétique. Propriétés
197
Tl en résulte
div
J(r') x
r-r
•'113
r- r
7113
rotj(r')-J rot
grad
Comme J n'est pas fonction de r, rot J = 0 . On trouve donc finalement :
divB = 0
Notons que cette propriété est indépendante de la présence de courants ; c'est donc une propriété
intrinsèque du champ magnétique. Nous verrons qu'elle est aussi valable en régime variable (cf. chapitre
14).
b) Expression intégrale
Evaluons le flux de B à travers une surface fermée S limitant un volume V . D'après la formule
d'Ostrogradsky, on a :
6 B-ndS= / divB d
Js Jp
V
Comme div B = 0 , on en déduit la propriété fondamentale suivante : le flux du champ magnétique B
à travers toute surface fermée est nul :
B-nd<S = 0
Explicitons cette propriété en considérant deux surfaces S\ et *S2 qui s'appuient sur un même
contour C, ni et n2 étant leurs normales orientées conformément à l'orientation du contour
(Fig. 1 1.12). Notant <î>i et <î>2 les flux de B à travers S\ et 62 respectivement, il vient :
$! = / B ■ n, d«S et <ï>2 = / B • n2 d<S
JS\ JS2
La réunion de S\ et So étant une surface fermée, de normale extérieure ni sur S\ et —n2
sur <S2 , on a :
6 B-ndS= / B-n, d«S- / B-n2 d«S
cp, - c|>9 = 0 et $1 = $9
Ainsi, le flux <î> ne dépend pas de la surface s'appuyant sur un contour C mais du contour seulement.
On l'appelle le flux à travers C, sans autre précision, et on dit que le champ magnétique est h flux
conservatif.

198
11. Champ électromagnétique. Propriétés
IV. — POTENTIEL VECTEUR
IV. 1. — Définition
Contrairement à la circulation du champ électrostatique qui est nulle le long d'un contour fermé, la
circulation du champ magnétique ne l'est pas.
Le champ magnétique ne dérive donc pas d'un potentiel scalaire. En revanche, puisque divB = 0 ,
il existe un champ de vecteur A tel que (cf. annexe 1) :
B = rotA
Ce champ A s'appelle le potentiel vecteur du champ magnétique. Il joue pour la magnétostatique un
rôle analogue à celui du potentiel électrostatique.
Exprimons, en fonction de A, le flux de B à travers un contour fermé C, c'est-à-dire à travers
n'importe quelle surface s'appuyant sur C :
0= / Bn âS= / rotAn d<S soit <ï>=0A-dr
Js Js Je
en appliquant la formule de Stokes.
Notons que le flux <t> du champ magnétique B ne dépend pas de la surface qui s'appuie sur le
contour C , de la même façon que la différence de potentiel Va — Vb en électrostatique entre deux points
A et B ne dépend pas du chemin suivi entre ces points.
Remarque : Dans la technique du calcul des champs magnétiques, il s'avère parfois utile d'introduire
un potentiel scalaire magnétique V* que l'on peut définir sans ambiguïté lorsqu'on est
assuré qu'aucun courant n'enlace tout contour tracé dans la région considérée ; dans cette
zone, on a alors :
ifidr^O d'où B = -gradV*
IV. 2. — Invariance de jauge
Comme le potentiel scalaire de l'électrostatique , le potentiel vecteur n'est pas complètement
déterminé par la relation B = rot A . En effet le rotationnel d'un champ de gradient étant nul, la formule
B = rot A ne détermine A qu'au gradient d'une fonction / différentiable près. Le changement :
A -> A' = A + grad/
s'appelle un changement de jauge et le choix de la fonction / un choix de jauge. Evidemment B ne
dépend pas de ce choix :
B' = rot A' = rot A + rot grad / = B
Il en résulte que A est indéterminé. Pratiquement on s'appuie sur cette indétermination pour lui imposer
une condition supplémentaire, ce qui permet de simplifier certains calculs. En magnétostatique, cette
condition, appelé jauge de Coulomb , s'écrit :
divA = 0

Champ électromagnétique. Propriétés
199
Remarque : Notons que A est indéterminé alors que le flux qu'il permet de calculer par sa circulation
le long d'un contour fermé, lui, est défini sous ambiguïté.
IV. 3. — Équation de Poisson en magnétostatique
Les équations rotB = po J et B = rot A permettent de relier directement A et J. En effet,
on a :
rot B = rot rot A = julq J
Cette relation peut être simplifiée car on démontre que (cf. annexe 2) : rot rot A = graddivA — AA,
où AA désigne le laplacien vectoriel de A, c'est-à-dire le champ de vecteurs dont les composantes
sont les laplaciens des composantes de A .
En coordonnées cartésiennes, ces composantes s'écrivent :
_ d2Ax d2Ax d2Ax _c?% c^4v cf% _c^4£ cP-^ cfA^
x " "â?" + dy2 + ~W y~~dx2~ + ~df+^^ z ~ djfi + df + dz2
Par conséquent, grâce au choix de jauge div A = 0, on obtient l'équation de Poisson :
AA = -yttoJ
Cette dernière équation est analogue à l'équation de Poisson à laquelle satisfait le potentiel V en
électrostatique : AV = —p/so ; on passe de l'une à l'autre en remplaçant V par A, I/êq par /xo et p
par J.
IV. 4. — Potentiel vecteur créé par des courants stationnaires
a) Distributions volumiques de courant
En jauge de Coulomb, l'équation de Poisson pour l'une quelconque des composantes du potentiel
vecteur, par exemple Ax , s'écrit :
A4, = -julqJx
En nous appuyant sur l'analogie entre Ax et V on obtient, avec des notations similaires, P désignant
le point de la distribution et M le point où l'on calcule le potentiel :
AJM) = ^- / -^ d V qui est la transposition de V(M) = / ^^ d V)
xy J 4tt Jp PM h f k j 4tt£0 Jp PM
Comme les autres composantes du potentiel vecteur s'obtiennent par permutation, A (M) s'écrit :
««-si™
d TK
,v PM
b) Distributions surfaciques et linéiques de courant
Lorsque l'on peut modéliser les distributions volumiques de courant par des distributions
surfaciques ou linéiques, on a :
J(P) d V = J,(P) d S ou J(P)dV =Idl
Les expressions de A sont alors les suivantes :
A(M)
4tt Js PM K ) 4tt jc PM

200
I. Champ électromagnétique. Propriétés
Exemples :
(1) Potentiel vecteur sur l'axe d'une spire
On peut montrer, à partir de l'écriture précédente, que le potentiel vecteur sur Taxe Oz d'une spire
(Fig. 11.5a), est nul. En effet, puisque dans ce cas PM = Cte , on a :
= ^/
dl
Mo/
dl = 0
4tt Jc PM 4ttPM Jc
(2) Potentiel vecteur d'un champ uniforme
Vérifions que l'on peut adopter comme potentiel vecteur associé à un champ magnétique uniforme
B l'expression A(r) = B x r/2 . En choisissant Oz suivant B pour la commodité, il vient en effet :
d'où :
B x r
2 =
rot A
B By Bx
- ez x (xe, + yey + zez) = ——*x + — ev
d (Bx
dx \Y
d_ (-By
dy
e7 = Be7
V. — EQUATIONS DE PASSAGE DU CHAMP MAGNETIQUE
V. 1. — Continuité de la composante normale de B
Calculons le flux du champ magnétique B à travers une petite surface cylindrique, d'axe parallèle
à la normale en M , fermé par deux disques parallèles au plan tangent à la surface S en M (Fig. 11.13).
En désignant par 1 et 2 les indices relatifs aux deux régions séparées par S, par ni2 le vecteur normal
orienté de 1 vers 2 et en notant 5/ la surface latérale du cylindre, il vient :
/ B2-n,2 dS- f B, -n,2 âS+ KndS = 0
J S2 J S\ J S/
Si Ton fait tendre la hauteur du cylindre vers zéro, le troisième terme s'annule, d'où :
I:
(B2-Bi) -ni2 dS = 0 et (B2 - Bj) ■ n,2 = 0
Ainsi, à la traversée d'une surface quelconque, même parcourue par des courants surfaciques, la
composante normale du champ magnétique est continue :
-nI2:-(B2-B,)=0
M',
mi2
41112
Mx
Fie. 11.13.
Fig. 11.14.

Champ électromagnétique. Propriétés
201
V. 2. — Discontinuité de la composante tangentielle de B
Considérons le contour MiN2N\M\ dans un plan orthogonal à la surface S, au centre de l'élément
MN (Fig. 11.14) et introduisons la base orthonormée directe (ew,ni2,e,), e, étant le vecteur unitaire
défini par dl = d/e, et eu — n)2 x e,. Le théorème d'Ampère donne :
pN2 rN\ rM\ pM2 f'N
/ B2-dl+/ B dl + / B,-dl+/ B-dl = A«o/ J,-(n,2xdl)
JM2 Jn2 Jnx JM\ JM
où Jv est le courant surfacique en M . Faisons ici aussi tendre les dimensions transversales de l'élément
de surface vers zéro. Comme les deuxième et quatrième termes sont alors nuls, on trouve, en remarquant
que les points M\ et M2 viennent se confondre en M et les points N\ et N2 en TV :
pN pN
/ (B2-B,).dl = Mo / J.v(n12xdl)
J M JM
ce qui s'explicite selon :
pN pN pN
/ (B2-B,).(e„ xn,2)d/= / [nI2 x (B2 - B,)] • e„ d/ = jul{) / Iv-e„d/
JM J M JM
Cette égalité étant vérifiée pour tout couple de points (M,N) , on en déduit que :
n)2 x (B2 -B,) = julqJs
Ainsi, à la traversée d'une distribution surfacique de courants, la composante tangentielle du champ
magnétique est discontinue.
Remarque : Au voisinage d'un courant linéique, le champ magnétique n'est pas défini. Ce problème
résulte évidemment de l'insuffisance de la modélisation, laquelle doit être alors
abandonnée au profit d'une autre, plus proche de la réalité (cf. chapitre 12).
VI. — SOLENOIDE
Un solénoïde est un fil conducteur enroulé régulièrement sur une surface cylindrique. Comme le
fil décrit une hélice de pas très faible devant le diamètre du cylindre, on peut le considérer comme une
superposition de /V spires coaxiales perpendiculaires à l'axe du solénoïde. Nous supposons dans la suite
que les spires sont circulaires et le cylindre droit (Fig. 11.15a).
VI. 1. — Solénoïde limité
En raison de la linéarité de son expression, le champ magnétique B créé en un point M de l'axe,
est la somme vectorielle des champs produits par chacune des spires parcourues par le même courant / .
Comme le champ magnétique créé par une telle spire, centrée au point de cote z! , en un point M de
l'axe d'abscisse z, est (/x0//2R) sin3 a ez, l'angle a = (Oz, PM) étant lié à z' par z = z' + R cot a ,
le champ magnétique élémentaire d B , créé par une tranche d'épaisseur dz! , s'écrit en M :
Mo/d/V . 3
d B = sin~ a e~
2R

202
1 1. Champ électromagnétique. Propriétés
d/V désignant le nombre de spires contenues dans cette tranche. Ce nombre s'exprime, en fonction du
nombre n = N/L de spires par unité de longueur, selon :
d a /cosc¥\ R
dN = ndz soit dN = nR—^— puisque dz' = —Rd(cota) = Rd l — 1
sur a V sin a )
sin2 a
da
En intégrant entre les valeurs extrêmes a\ et a^ de l'angle a , on obtient le champ B créé par
l'ensemble de l'enroulement :
B
fiionl
I sin a daez d'où
B
Mo ni
(cos ai — cos #2) e~
L'allure de Bz(z) est donnée sur la figure 11.15b. Ainsi le champ magnétique créé par un
enroulement est pratiquement uniforme à l'intérieur; il ne subit une variation notable qu'au voisinage
des extrémités. On trouve les valeurs du champ B(0), au centre d'un solénoïde limité, en faisant
cos a\ = — cos #2 = cos cxq :
B(O) = po ni cos ao ez
(ïpm
A
\R
COOÛ
O
— —o— —
(=}
u
m
z
■o-
P
uu
^
fWF
2\î'.---V-Y'"
/M\
o
oax
Vâ'i^
A
B2
/
A...
B(0)
\
K
L_
2
a)
FiG. 11.15.
0
b)
2
VI. 2. — Solénoïde infini
a) Valeur du champ magnétique sur l'axe
L'approximation du solénoïde infiniment long (L ^> R) consiste à négliger les effets de bord et à
ne considérer le champ magnétique que dans les zones où z <C L. La valeur du champ magnétique, en
tout point de l'axe, est alors celle calculée précédemment en O en faisant cyq = 0 :
B(0) = AK>/2/e-
Ordre de grandeur : Dans un solénoïde, de longueur 10 cm , comportant 5 couches de 200 spires,
parcourues par un courant d'intensité de 1 A, le champ magnétique sur l'axe vaut :
7 5 x 200
B = /ui0n/ = 4tt x 10"7 x —^~r- « 13 mT
0,1
b) Champ magnétique en dehors de Vaxe
Le système étant invariant par translation suivant Oz, aucune composante du champ ne dépend
de z . Explicitons les relations qui résultent des propriétés de B . De div B — 0 , on déduit :
dB ÔBV . 9BZ
—- + -r— = 0 puisque —- = 0
dx dy oz
En outre, comme rotB = p0 J , on a, en projetant suivant Oz :
OBy dBx
dx dy
/ulqJz = 0

Champ électromagnétique. Propriétés
203
car on suppose qu'il n'y a pas de courant suivant cette direction. En réalité, il s'agit là d'une
approximation puisque pour un solénoïde réel un courant traverse tout plan perpendiculaire à Oz . En dérivant
la première de ces équations par rapport à x et la seconde par rapport à y , on obtient :
^ = _d%=_d^ d,ou 1£ = 02BX | d2Bx | d2Bx = Q
dx2 dxdy dy2 'x dx2 dy2 dz2
De même AZ?V = 0. Ainsi les composantes Bx et By sont des solutions de l'équation de Laplace :
comme elles sont nulles sur l'axe et à l'infini, elles sont donc nulles partout.
Il reste à calculer Bz à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde. Comme rotB = /xo J , on a, de
chaque côté de la surface :
dBz dBY ^ . dB- „ dBx dB, „ . dB, „
V1 - ^r = ° solt V1 = ° et ~t- - -^r = ° solt ~^-= °
dy oz oy oz ox ox
puisque B ne dépend pas de z . La composante de B suivant l'axe ne dépend donc pas de x et de y, à
l'intérieur du solénoïde, comme à l'extérieur. Il en résulte qu'à l'intérieur, le champ a même valeur que
sur l'axe :
Pour calculer Bex , utilisons les relations de passage qui s'écrivent ici :
ni2 • (B** - B/fl) = 0 et n,2 x (Bex - Bin) - ju,0 J.
où Jv est la densité surfacique :
tclN _
Js — J~7~ ^<p — M' ^(p
En utilisant les notations de la figure 11.16, où les indices 1 et 2 désignent respectivement l'intérieur
et l'extérieur et 1112 — ep , on a :
ni2 • B,,A- = 0 et nj2 x Bex = n12 x B/w + Mo Xv = Mo"/ep x e. - jmonïe^ = 0
On en déduit que la composante normale de B^ est nulle, ainsi que sa composante tangentielle. Comme
le même raisonnement peut être fait en un autre point de la distribution, le champ magnétique est nul à
l'extérieur du solénoïde. En résumé :
Bin = juL0nIez et Bex == 0
Ainsi, le champ magnétique vaut julquI à l'intérieur du solénoïde infini et 0 à Y extérieur Ce résultat
met en évidence l'intérêt d'un tel enroulement qui joue, en magnétostatique, un rôle analogue à celui du
condensateur plan en électrostatique.
Fie. 11.16.
Remarque : Soulignons que B subit une discontinuité à la traversée de la surface du solénoïde.

204
11. Champ électromagnétique. Propriétés
c) Potentiel vecteur d'un solénoïde infini en dehors de Vaxe
Comme le champ à l'intérieur du solénoïde est uniforme, le potentiel vecteur A/,, peut être choisi
selon
B,,z x r Binp
d'où A,-,, =
jjiç) nIR / p
®*
^-III r\ r\ ~<+> ~~ --lit r\
Des considérations de symétrie (cf. chapitre 12) montrent que Aex = A^e^. L'explicitation de la
relation B = rot A , en coordonnées cylindriques, donne :
Cte
e^p
B~
— (pAy) = 0 d'où Ay = et Ae
à(f p
La prise en compte des conditions aux limites permet de déterminer la constante :
(A,
Ainsi :
Les graphes Bz(p) et Aç(p) sont représentés sur la figure 11.17.
x , fionIR Cte p0nl
Aex „ donne = d ou Cte =
ex)P=R 2 R 2
PqiiIR (R\
B
fionl
O R
a)
P
1
FlG. 11.17
A-
IR
>
/
/
O R
b)
P
Remarque : En tout point extérieur au solénoïde, la valeur de A est non nulle bien que celle de B le
soit : Aex / 0 alors que rot Aex = 0 et div A^ = 0 .
VII. — ÉQUATIONS DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE
STATIONNAIRE
VII. 1. — Relation de structure du champ électrique
En régime stationnaire, les propriétés du champ électrique sont exprimées par les deux équations
locales suivantes :
div E = — et E = - grad V
La première traduit le théorème de Gauss. Quant à la seconde, qui exprime que la circulation du champ
ne dépend pas du chemin suivi, elle implique :
rpt'E = 0
car le rotationnel d'un champ de gradient est toujours nul (cf. annexe 2). On dit qu'un champ électrique
stationnaire est irrotationnel. On retrouve alors, en utilisant la formule de Stokes :
iE-dr= /
Je Js
E-dr = / rotE-nd«S = 0
Je Js
Contrairement à la première propriété de E , la seconde est structurelle car indépendante des charges.

Champ électromagnétique. Propriétés
205
VII. 2. — Équations locales et intégrales du champ électromagnétique stationnaire
Les équations auxquelles satisfont les champs électrique et magnétique en régime stationnaire sont
de deux types :
/) Les unes concernent la structure du champ électromagnétique (E,B). Elles impliquent
l'existence du potentiel scalaire et du potentiel vecteur; elles prennent des formes intégrale et locale qui
conduisent à deux relations de continuité (Er, B„) à la traversée d'une surface.
//) Les autres relient les champs aux sources sous la forme des théorèmes de Gauss et d'Ampère.
Ces théorèmes prennent aussi des formes globale et locale et conduisent à deux autres relations de
passage pour E/z et Br. En tenant compte de la définition des potentiels, on établit les équations reliant
directement ces potentiels aux sources. Le tableau 11.1 résume l'ensemble de ces résultats.
Remarques : (1) On classe parfois les équations du champ électromagnétique suivant les critères de
circulation et de flux. Cette classification s'appuie sur une ancienne conception qui
attribuait le magnétisme à des « charges magnétiques » ponctuelles ; l'équation divB = 0
exprimait alors l'impossibilité de séparer des charges magnétiques opposées. On sait
aujourd'hui qu'il est préférable de considérer que les équations rotE = 0 et divB = 0
reflètent la nature différente des champs électrique et magnétique. Le phénomène
d'induction (cf. chapitre 14) confirme cette conception.
(2) La synthèse quadridimensionnelle de F électromagnétisme que permet la relativité
montre que ces équations sont les deux parties d'une même équation
quadridimensionnelle (cf. Relativité).
Électrostatique
l E • dr = 0
rotE = 0
n,2 x (E2-E,) =0
é E-nd<S = —
Js £o
divE= —
£0
n12.(E2-E,) = -
£0
E - - grad V
£0
V J 47TE{) Jp PM
Magnétostatique
é B-nd5 = 0
divB = 0
n12- (B2 -Bi) =0
<x> B • d r = /ulç) /
rot B = /x0 J
n12 x (B2-Bi) = imJs
B = rotA
AA= -/ulqJ
a{m) = «l f mdP
v ; 4ttJi, PM
Tab. 11.1.

206
11. Champ électromagnétique. Propriétés
CONCLUSION
Rappelons les résultats essentiels.
( 1 ) Le champ électromagnétique (E, B) a été défini à partir de la force de Lorentz qui s'exerce sur
une particule de charge q et de vitesse v :
F = ^(E + vxB)
(2) Le champ magnétique créé par des distributions de courant linéique est relié aux sources par la
loi de Biot et Savart :
B(M) = ^/d.x-^
K J Ait Jc PM3
(3) Les formes intégrale et locale des deux équations fondamentales de la magnétostatique, ainsi
que les relations de passage, sont d'une importance théorique et pratique considérable :
6 B dr = /x0/ rotB = /x0J n!2 x (B2 -B,) = jul0Js
B-nd<S = 0 divB = 0 n12 ■ (B2 - Bj) = 0
L'analyse que nous ferons prochainement (cf. chapitre 12) du rôle des symétries permettra de faciliter
la technique du calcul des champs B et A produits par diverses distributions de courants linéiques,
surfaciques ou volumiques.
EXERCICES ET PROBLEMES
Pli- 1. Propriété locale du champ magnétique créé par un fil rectiligne infini
Montrer que le champ magnétique créé, à la distance p, par un fil rectiligne infini, parcouru par
un courant stationnaire d'intensité / , satisfait bien à l'équation locale du théorème d'Ampère.
Pli- 2. Champ magnétique créé par une spire carrée sur son axe
Une spire carrée plane P\P2P?,P/[ , de côté a, est parcourue par un courant stationnaire
d'intensité /.
1. Quel est le champ magnétique produit par un segment, de longueur a , en un point de son plan
diamétral ?
2. En déduire le champ créé par une spire carrée, sur son axe Oz, à la distance z de son centre O .
3. Calculer le champ créé, sur son axe, à 10 cm de son centre, par une spire carrée, de 10 cm de
côté, parcourue par un courant d'intensité 10 A .

Champ électromagnétique. Propriétés
207
Pli- 3. Champ magnétique créé en son centre par une spire polygonale régulière ^web)
Une spire polygonale, à /V côtés, plane, régulière, inscrite dans un cercle de centre O et de rayon
R , est parcourue par un courant stationnaire d'intensité / .
1. Quel est le champ magnétique produit par la spire ?
2. En déduire le champ qu'elle crée sur son axe Oz, à la distance z de O. Retrouver le champ
créé par une spire circulaire.
3. A.N : R = 10 cm, N — 100, / = 10 A . Calculer le champ au centre de la bobine.
Pli- 4. Bobine circulaire plate
1. Rappeler l'expression du champ magnétique, créé par une spire de rayon R, parcourue par un
courant stationnaire d'intensité / , en son centre.
2. Une bobine plate est constituée de N spires circulaires de même centre O, réalisées avec un
fil conducteur parcouru par un courant d'intensité /. Les rayons des spires varient entre R\ et R2 .
Calculer le champ magnétique produit au centre de la bobine.
3. Application numérique : N = 10, / = 1 A, R\ — 19 cm et R2 = 21 cm . Exprimer l'erreur
relative que l'on commet en assimilant la bobine à une seule spire de 20 cm de rayon.
Pli- 5. Bobine carrée plate
Une bobine carrée plate est constituée de TV spires jointives, concentriques, parcourues par le
même courant d'intensité /.
1. Calculer le champ magnétique au centre de cette bobine, sachant que la plus petite spire a pour
côté a\ et la plus grande pour côté ai .
2. A.N: N = 100, flI = 19cm, a2 = 21 cm , / = 10 A .
Pli- 6. Théorème d'Ampère sur Paxe d'une spire carrée Cweb)
Calculer la circulation du champ magnétique créé par une spire carrée, parcourue par un courant
d'intensité / , le long de son axe. Conclure en refermant le contour par un demi-cercle de rayon infini.
Pli- 7. Champ magnétique produit par un solénoïde limité
1. Trouver l'expression du champ magnétique, au centre d'un solénoïde limité, de longueur /, de
diamètre 2R, parcouru par un courant / et comportant n spires par unité de longueur.
2. Quel doit être le rapport R/l pour que le champ magnétique au centre soit celui d'un solénoïde
infini avec une précision meilleure que 0,001 ?
Pli- 8. Champ magnétique produit par un solénoïde à spires carrées Cyveb)
Un solénoïde rectiligne, infini, parcouru par un courant stationnaire / , est constitué de spires
jointives carrées, de côté a , au nombre de n par mètre.

208
11. Champ électromagnétique. Propriétés
1. Montrer que le champ magnétique qu'il crée sûr son axe, à l'abscisse z, se met sous la forme
intégrale suivante :
BM = ^e /+°° —
277 lJ-oo [(z-z')2+û2/4][(z-z')2 + «2/2]l/2
2. Calculer l'intégrale précédente en posant : u — [(z — z')2 + a2/2\ (z — z!) . En déduire le
champ produit par le solénoïde infini. Ce résultat était-il prévisible ?
Pli- 9. Rotation uniforme d'une sphère chargée uniformément en surface
Une sphère, de rayon R = 10 cm, portant une charge surfacique uniforme a = 0, 1 fxC • m-2 ,
tourne uniformément autour de l'un de ses diamètres à la vitesse 11 = 314 rad • s-1 . Calculer le champ
magnétique qu'elle crée en son centre O .
Pli- 10. Rotation uniforme d'une sphère chargée uniformément en volume ^web)
Une sphère, de rayon R = 10 cm , portant une charge volumique uniforme p = 3 fxC ■ m-3 ,
tourne uniformément autour de l'un de ses diamètres à la vitesse ft = 314 rd • s-1 . Calculer le champ
magnétique qu'elle crée en son centre O .

12
Symétries des distributions de courants
et symétries des champs
Nous savons que le champ magnétique B et le potentiel vecteur A sont reliés à la distribution de
courant qui les a créés au point M par les équations suivantes :
4tt Jp PM3 4tt Jp PM
Rappelons que ce choix de A satisfait à la jauge de Coulomb (divA = 0) et que, sauf indication
contraire, la condition A(oo) = 0 sera respectée, évidemment en l'absence de courants à l'infini.
Comme pour le champ électrique E et le potentiel associé V (cf. chapitre 4), le calcul de B et A
peut être facilité par la prise en compte des symétries particulières des distributions de courant (planaire,
cylindrique, sphérique, etc.). Il est alors possible de prévoir que B et A ne dépendent pas explicitement
de certaines coordonnées de M et qu'une ou deux composantes de B et A , dans une base appropriée,
sont nulles.
Notons que la connaissance préalable du potentiel vecteur A offre moins d'intérêt technique que
celle du potentiel V en électrostatique pour deux raisons :
i) A est un vecteur alors que V est un scalaire,
ii) A permet d'accéder au flux magnétique, lequel peut être déterminé directement à partir de B .
I. — PREMIÈRES CONSIDÉRATIONS SUR LES SYMÉTRIES
Il existe une différence de nature entre B et A : alors que A, comme tout vecteur habituel, ne
dépend pas de l'orientation préalable de l'espace, B en dépend puisqu'il est défini à partir d'un produit
vectoriel ; on dit qu'il est axial.
Lorsque nous examinons les effets d'une distribution de courant en un point donné M de l'espace,
il s'avère nécessaire de préciser la signification physique de B et de A . Rappelons que si le champ
magnétique est déterminé de manière unique à partir des sources par l'effet produit sur une charge test
en mouvement, la signification locale du potentiel vecteur est ambiguë puisqu'il est défini au gradient
d'une fonction scalaire près; seule sa circulation le long d'un contour fermé, qui n'est autre que le
flux magnétique <£> à travers n'importe quelle surface s'appuyant sur ce contour, revêt une signification
physique.

210
12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
Le choix de A , en tant qu'intermédiaire, sera guidé par trois considérations :
i) sa nullité à une distance infinie des sources,
ii) la condition de jauge de Coulomb : div A = 0,
iii) le respect de symétries conformes à son caractère vectoriel.
Notons que le modèle de la distribution peut comporter des sources à l'infini. Dans ce cas, comme
en électrostatique, le choix d'un potentiel nul à l'infini doit être exclu. On adopte alors une valeur
de référence en un point donné, cette convention n'ayant aucune conséquence sur la détermination du
champ magnétique et du flux.
Dans cette étude intioductive, nous nous proposons d'analyser directement, à partir des expressions
précédentes donnant B et A en fonction des distributions de courant, les propriétés de symétrie du
champ magnétique et du potentiel vecteur.
1.1. — Distribution de courant ayant un plan de symétrie
Une distribution de courant possède un plan V de symétrie magnétostatique, si les courants volu-
miques, en des points symétriques P et P' par rapport à V , sont eux-mêmes symétriques (Fig. 12.1) :
J(P') = sym J(P)
Une telle relation s'explicite selon (cf. chapitre 4) :
UP') = -UP) et J,(/")=J,(/>)
où les indices n et t désignent respectivement les composantes normale et tangentielle de J .
Fig. 12.1.
Exprimons les contributions au potentiel vecteur A , en deux points symétriques M et M' par
rapport à V , de deux éléments de courant placés respectivement en P et P', eux-mêmes symétriques
par rapport à V . Il vient :
dA(M)^fl + ^
dV et dA(AO = ^(—+ ^)d
v ; 4tt \PM' P'M' J
V
4tt \PM P'M
Comme P'M' = PM , PM' = P'M et J(P') = J(P), cette dernière expression s'écrit aussi :
d A(M') = £(-?-+ S-^-) d V = ^sym (^ + -*-) d V = sym d A(Af)
v ' Ait \P'M PM J 4tt y \ P'M PM J y y '

Symétries des distributions de courants et symétries des champs
211
Les potentiels d A(M) et dA(M') sont symétriques. Il en résulte en intégrant que les potentiels
vecteurs en deux points symétriques, sont égaux (Fig. 12.3a) :
A (M') = sym A (M) soit AfI(M') = -An(M) et A, (M') = A, (M)
En ce qui concerne B , on a :
dB(M) =
julq (i x PM sym J x P'M
477
PM3
+
P'M3
!) «, <.«*, = £(
/ulq fjx PM7 sym J x P'M'
PM'
P'M'
Remarquons que P'M est symétrique de PM7 par rapport à V et que P'M' l'est de PM En outre,
on voit, à l'aide de la figure 12.2 que l'on a, pour deux vecteurs quelconques a et b :
sym a x sym b = —sym (a x b)
sym b
sym a
sym a x sym b
H
axb
Fig. 12.2.
Il vient donc :
= mo /sym jx sym P'M symJxsymPM\ =
K J 4tt \ P'M3 PM3 J y y J
Finalement, on en déduit que les champs magnétiques, produits en deux points symétriques, sont
antisymétriques (Fig. 12.3b) :
B(M') = - sym B(M) soit Bfl(M') = B„(M) et B,(M') = -B,(Af)
Ainsi, alors que les champs J(P) et A (M) sont symétriques, le champ B(M) est antisymétrique. Cette
propriété de B est liée à son caractère axial.
En un point S du plan de symétrie V {M' = M) (Fig. 12.3c), on a :
An(S) = -An(S) = 0 et B,(S) - -8,(5) - 0 d'où A(5) = A,(S) et B(5) = B^^)
Ainsi, en tout point appartenant à un plan de symétrie d'une distribution de courant, le potentiel vecteur
est contenu dans ce plan et le champ magnétique est normal à ce plan :
AeV et B-l-T?"

212
12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
A(M)
V
A, (M)
A„ (M) M H
MM')
A (M')
ZL
Bt(M)[
B(A/) ^
M' A„(il/') il/ B?i(M)
vsymB(M)
B,(M')
*,Bn(A/') sf\
B(M/)
a)
b)
c)
FlG. 12.3.
Exemple : Fil rectiligne parcouru par un courant uniforme
Un fil rectiligne cylindrique, de rayon R , d'axe Oz, parcouru par un courant volumique J = Jq ez,
admet comme plan de symétrie V le plan contenant l'axe et passant par le point M d'observation
(Fig. 12.4). Dans la base cylindrique (ep,e^,e, ) associée à M, ce plan est confondu avec le plan
( ep, ez ). Il en résulte que :
B = Bg, e^ et Aç = 0
o
*x
M
V^p
FlG. 12.4.
1.2. — Distribution de courant ayant un plan d'antisymétrie
Une distribution de courant possède un plan d'antisymétrie Q si en deux points symétriques P et
P' par rapport à ce plan, on a (Fig. 12.1) :
J(P/) = - sym J(P)
En adoptant une démarche analogue à celle adoptée en 1. 1, on obtient les relations suivantes, entre les
champs en deux points M et M' symétriques par rapport à Q (Fig. 12.5a) et (Fig. 12.5b) :
A(A/;) = -sym A (M) et B(Mr) = sym B(Af )■
Lorsque le point est situé dans le plan d'antisymétrie Q (M = M' = T), alors (Fig. 12.5c) :
A,(r) = -A/(7)=0 et Bn(T) = -Bn(T)=0
Par conséquent :
AÏS et B G Q
Notons que ces résultats sont inversés par rapport au cas du plan de symétrie (Fig. 12.3).

Symétries des distributions de courants et symétries des champs
213
B,(M)
Q
B(M)
M B?,(M)
B(M')
B*(A/')
A, (M) Q
H B„(M')
A(M)
a)
An (M) M #
b)
Q
il
An(M')
jAt(M')
A (M')
c)
FiG. 12.5.
Exemple : Fil rectiligne infini
Supposons le fil rectiligne de la figure 12.4 infiniment long. Tout point M d'observation appartient
à un plan d'antisymétrie Q , perpendiculaire à l'axe Oz . Par conséquent :
A = Az ez et Bz = 0
On voit, sur cet exemple, que les considérations de symétrie permettent de déterminer, sans calcul
et rapidement, les directions de A et B .
II. _ INVARIANCES DES SOURCES
La magnétostatique relève comme l'électrostatique des régimes stationnaires ; la variable temps
n'apparaît explicitement ni dans l'expression des sources ( J ) ni dans leurs effets ( B, A ).
II. 1. — Modélisations spatiales des sources
Les distributions de courant sont souvent idéalisées pour faciliter l'analyse qualitative ou
quantitative. Ainsi, lorsque la distance entre le point M d'observation et la distribution de courant est très faible
devant l'étendue des sources, on admet que la distribution est infinie, c'est-à-dire qu'il existe des
courants à l'infini. Il est alors impossible d'adopter la convention habituelle pour le potentiel vecteur, à
savoir A nul à l'infini ; on choisit une autre référence, ce qui est toujours possible.
II. 2. — Invariance des sources par translation le long d'un axe
Lorsqu'une distribution de courant est invariante par une translation d'un vecteur quelconque, on a :
J(r + a) = J(r)
Si la translation se fait le long de l'axe des z, a = aez, avec a quelconque, alors J ne dépend pas
de z :
J(r)=J(*,30
Le potentiel vecteur A , produit en un point M de coordonnées (x, y, z), a pour expression :
A(r) = B- [ „J(r^|| d V avec d V = dx'dy'dz'

214 12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
Le calcul est donc analogue à celui déjà fait en électrostatique pour le potentiel V . La transposition
V — A -^Mo et p(p)—J(p)
permet d'affirmer le résultat suivant : lorsque les sources sont invariantes par translation, le potentiel A
et par conséquent le champ B = rot A le sont aussi :
J(r + a)=J(r) entraîne A(r + a) = A(r) et B(r + a) = B(r)
Il en résulte, en explicitant les coordonnées, si a = a ez, avec a quelconque :
A(M) = A(jc,y) et B(M) = B(x,y) puisque B = rotA(x,y)
Exemple : Fil rectiligne infini
Une telle distribution est invariante par translation, le long de l'axe Oz du fil (Fig. 12.4). Par
conséquent, les expressions de A et de B s'écrivent, en coordonnées cylindriques :
A (M) - A(r, <p) et B(M) = B(r, <p)
II. 3. — Invariance des sources par rotation autour d'un axe
Lorsqu'une distribution de courant est invariante par rotation autour d'un axe Oz, on a, en
coordonnées cylindriques, quel que soit ç' compris entre 0 et 2tt :
3(p,<p + <p',z) =J{p,(f,z)
Alors J ne dépend pas de la variable <p et J(P) = J(p,z). Comme au chapitre 4, on montre que
le potentiel vecteur et le champ magnétique créés en tout point M(p.(p1z) sont aussi invariants par
rotation autour de l'axe Oz : la variable cp n'apparaît donc pas explicitement dans l'expression de leurs
composantes en coordonnées cylindriques :
A (M) = Ap(p, z) ep + A^p, z) e^ + Az(p, z) ez
et:
B(M) = Bp{p, z) ep + Byip, z) eç + Bz(p, z) ez
Exemple : Fil rectiligne infini
On a vu qu'une telle distribution présentait à la fois des plans de symétrie et d'antisymétrie et
qu'elle était invariante par translation le long de l'axe Oz du fil (Fig. 12.4). Comme, en outre, elle est
invariante par rotation autour de Oz , on en déduit, en coordonnées cylindriques : i
A(M)=Az(p)ez et B(M)=^(p)e„

Symétries des distributions de courants et symétries des champs
215
III. — EXEMPLES D'UTILISATION DES SYMÉTRIES
Nous nous proposons d'illustrer les résultats généraux précédents à l'aide d'exemples simples de
distributions de courant.
III. 1. — Symétrie plane : distribution surfacique
a) Champ magnétique et potentiel vecteur créés par une lame
Une feuille conductrice plane, d'épaisseur e , est parcourue par un courant de densité volumique J
uniforme selon Oy (Fig. 12.6).
Fig. 12.6.
À une distance faible devant les dimensions latérales de la distribution, nous pouvons supposer cette
dernière d'extension infinie. La distribution ainsi définie étant invariante par translation selon Ox ou
Oy , J ne dépend que de la coordonnée z :
f y0evsi |z| <e/2
\ 0 si |z| > e/2
Par conséquent, le champ magnétique et le potentiel vecteur ne dépendent que de z : B(M) = B(z) et
A(M) = A(z) .
Le plan V passant par M et parallèle à Oyz est plan de symétrie. Le champ magnétique lui est
donc perpendiculaire alors que le potentiel vecteur est contenu dans ce plan :
B(M) = Bx(z)e, et Ax(z) = 0
En revanche, le plan Q passant par M et parallèle à Ozx est plan d'antisymétrie pour les sources :
B est bien contenu dans ce plan, alors que A lui est orthogonal : A (M) = Ay(z) ev. Le plan Oxy est
aussi plan de symétrie. En tout point de ce plan, le champ magnétique, de la forme Bx(z) ev, doit lui
être orthogonal : il est donc nul.
Pour deux points M\ (x, y, z) et M2(x, y, — z) symétriques par rapport au plan Oxy, les valeurs de
B et A vérifient les relations :
B,(M2) = -B,(Af,) soit Bx(-z) = -Bx(z)
A,(M2) = A; (M,) soit Ay(-z)=Ay(z)
Il suffit donc d'effectuer les calculs dans le demi-espace z > 0, les résultats dans l'autre demi-espace
se déduisant du caractère impair de Bx(z) et pair de Av(z).
L'expression locale du théorème d'Ampère rotB = julqJ, donne, en coordonnées cartésiennes :
dBx/âz = juboJy.

216
12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
(1) Pour 0 ^ z ^ e/2 : Bx - /xo^o i + Cte. La constante d'intégration est nulle car, du fait de
la symétrie, le champ magnétique est nul dans le plan z = 0 : Bx = /uloJç, z .
(2) Pour z ^ e/2 : Bx = Cte . La constante est déterminée à l'aide de la condition de continuité
de B dans le plan z = e/2 : Bx = jjlq Jq e/2 .
On en déduit le potentiel vecteur A en utilisant, en coordonnées cartésiennes, la relation de définition
B = rot A . On obtient : Bx = -6Ay/ d z.
(1) Pour 0^z^e/2 : Ay = -/ul0J0z2/2 + Cte, .
(2) Pour z ^ e/2 : Ay = -/uL0J0ez/2 + Cte2 .
Dans une telle modélisation, pour laquelle il y a des charges à l'infini, le potentiel vecteur ne s'annule
pas à l'infini ; aussi adoptons-nous la valeur de référence du potentiel dans le plan z = 0 . La constante
Ctej est alors nulle et la constante Cte2 déterminée par continuité du potentiel vecteur dans le plan
z = e/2 . En résumé :
Mo Jo£
B,
Mo Joz ex
MoJo
sgn(z) ev
A,v
2
Mo Jqcl
■ev
Les graphes de Jy(z),Bx(z) et Ay(z) sont représentés sur la figure 12.7.
Ju!
Jo
Jï\Oe/2
a)
Jyk
o
a)
Bx>
fi,0 J0e/2
-e/2\ /
,
O e/2
- /i0Joe/'2
b)
FiG. 12.7.
Bx,
HoJs/2
l
\o
-tioJs/2
b)
1
-IG. 12.8.
^
^
yly |
c)
c)
b) Approximation de la distribution surfacique
Dans le cas où l'épaisseur e de la nappe de courant est très faible devant la distance \z\ , il est
commode de définir un courant surfacique Jv = Js ev, tel que le courant d I qui traverse la surface

Symétries des distributions de courants et symétries des champs 217
dS = e dx selon la normale ev s'écrive (cf. chapitre 6) :
d/ = J • ev dS = Jeev • (ez x ev dx) — J9 • (ez x d 1) avec J9 = Jeev et d 1 = dxex
Cette modélisation conduit à une discontinuité de B à la traversée d'une surface parcourue par des
courants (Fig. 12.8) :
AB = b(z>^-b(z<^= juioJe = Moi,
Cette discontinuité du champ magnétique s'écrit, sous forme vectorielle :
n12 x (B2 -B,) = julqJs.
Les valeurs de BK et Ay sont obtenues en faisant tendre e vers 0 de telle sorte que J^e = Js — Cte .
On obtient :
Bx = — sgn(z) et Ay = —z sgn(z)
Les graphes Jy(z),Bx(z) et Av(z) sont représentés sur la figure 12.8.
Remarque : Le calcul de A peut être déduit de celui du potentiel scalaire V créé par une surface
uniformément chargée, avec une charge surfacique a (cf. chapitre 4), car l'équation de
Poisson de la magnétostatique donne, dans ce cas où J garde une direction fixe Oy :
A/\v = —jULoJy. La transposition des résultats obtenus pour V est alors immédiate :
1
-> /ma p —■> Jy et a = pe —* Js — Jye
III. 2. — Symétrie cylindrique : distribution linéique
a) Calcul du champ magnétique et du potentiel vecteur créés par un fil rectiligne infini
Les sources de champ magnétique sont souvent des courants circulant dans des fils conducteurs.
Considérons la distribution constituée par un fil rectiligne, de section circulaire (rayon R ), parcouru par
un courant volumique uniforme J (Fig. 12.9a) :
f Je- p^R
J0 = \0 p>R
L'analyse des symétries et des invariances nous a permis de mettre le champ magnétique et le potentiel
vecteur sous la forme :
B(M)=B(p(p)e(p et A=Az(p)ez
Appliquons le théorème d'Ampère, sous sa forme intégrale, à un contour circulaire C, de rayon p,
centré sur l'axe ; le calcul est simple car un tel contour constitue une ligne de champ de norme constante :
rf> B • dr = ê B(p(p)p dcp = lirpB^
le contour C étant orienté arbitrairement suivant e^ . La normale n à la surface plane S, qui s'appuie
sur C et qui est orientée selon le sens positif défini par la rotation de <p autour de Oz , coïncide avec
ez. Ainsi :
po / J • n dS = po / Jz dS
Js Js

218
12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
Il en résulte :
si p^R, JzdS = Jo<ttR2
si p ^ R,
Jz dS = Joirp2 = I
R2
t R _ ] MJ0R2
et S5ex Gm
2 P
et B,,7 = -Mo^ope^
Notons que le champ magnétique est bien continu en p = R .
_1 **
iP«
/S ]
20 + /i
20
Oh
Mi!L
**-G«
n<g> ;
-H--
P
a)
b)
FIG. 12.9.
Le calcul du potentiel vecteur A peut être effectué en utilisant, par exemple, la relation intégrale
reliant le flux de B à la circulation de A :
BndcS
A-dr
Compte tenu des symétries de A et de B, le choix du contour d'intégration C est un rectangle PQRT,
décotes p et /z, contenu dans le plan Opz (Fig. 12.9b). La circulation de A est nulle le long des côtés
QR et TP. Le long de PQ et RT. le déplacement dr = dzez est colinéaire à A, ce qui conduit,
compte tenu de l'orientation de C , à :
r t'ZQ-\-ti rzvi
è Adr= / Az(0)dz+ / Az(p)dz = h[Az(0)-Az(p)]
Je Jzo Jzo+h
La normale n à la surface S qui s'appuie sur C coïncide avec e^ . Donc :
rP rzo+h rp
r rp pzo-t-n rp
/B-ndS=/ / B^p) dp'dz = h / B9{p') dp'
JS JQ Jzo Jo
Si p < /? / Bç dp = / —-— dp
Jo Jo
rP fioJop' , Mo hp1
2
siP>/? £Brds = £«0-ds
4
+ ln
(S)
d'où
A/„(p) =
^(0)
VoJoP1
ez et A„(p) = <^ [4Z(0) -
I^qJqR
+ 1
"©
e~

Symétries des distributions de courants et symétries des champs
219
Le potentiel vecteur ne s'annule pas pour p infini; ce résultat est dû à la modélisation faite pour le
calcul. Le potentiel de référence est pris à une distance finie du fil, par exemple A~(0) = 0 . Les graphes
Jz(p)1B(p(p) et Az(p) sont représentés sur la figure 12.10.
Jo
O R
a)
v
fioJoR
2
t
t
%
/ l^^^.^^
O R
b)
FiG. 12.10.
c)
Remarque : L'expression de A est bien compatible avec la jauge de Coulomb div A = dAz(p)/ d z = 0
puisque p — (x2 + v2)l//2 .
b) Approximation de la distribution linéique
En pratique, le diamètre du fil est souvent très faible et seule la valeur du champ ou du potentiel
à l'extérieur du fil présente de l'intérêt (R <C p) . Dans ce cas B et A ne sont plus définis sur le fil
( p = 0 ) et le potentiel vecteur de référence est choisi à une distance arbitraire po du fil : Az(po) — 0 .
Choisissons un sens positif arbitraire suivant Oz permettant de définir algébriquement l'intensité
/ du courant dans le fil. Il vient :
/je, d,S = 7o^^2
/
En un point M extérieur, nous avons alors :
B(M) = ^e, = ^e, et A(M)
"«►'o*-. ,n ( P_ e_
Les graphes correspondants sont représentés sur la figure 12.11.
Po
-^inf-e-.e,
O
a)
B«
O
b)
FiG. 12.11.
c)
Remarque : Le calcul de A peut être facilement déduit de celui du potentiel scalaire V créé par un
fil uniformément chargé (cf. chapitre 4), car J garde une direction fixe. Il suffit donc
d'effectuer une simple transposition des résultats obtenus pour V en remplaçant p/e0
par pqJ et, dans le cas d'une distribution linéique, à/êq par p^l.

220
12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
IV. — DIPÔLE MAGNÉTIQUE
Un milieu magnétique peut être considéré comme une assemblée de boucles de courants de
dimensions atomiques dont les effets sont étudiés à des distances macroscopiques (cf. chapitre 22). De
telles boucles élémentaires sont aussi appelées dipôles magnétiques. Un autre exemple important de di-
pôle magnétique est la distribution qui produit le champ magnétique terrestre.
IV. 1. — Potentiel vecteur produit par un dipôle magnétique
Le potentiel vecteur produit par une boucle de courant a pour expression (Fig. 12.12) :
||OM - OP|| = (r + R2 - 20M • OP),/2
A=— lé) avec dl = d(OP) et PM
Ait
PM
Fig. 12.12.
Comme /? <c r , nous pouvons effectuer un développement limité au premier ordre en R/r :
1
~PM
en posant er = OM/r .D'où :
1 +
47T
R2 20M OP
1/2
\_ er OP
- I dl+4 <f(er-OP) dl
La première intégrale est nulle car le circuit C est fermé. Pour évaluer le deuxième terme, appelé
terme dipolaire, il est commode de repérer le point P de la spire par l'angle a que fait OP avec le plan
( OM, Oz ). Projetons les différents vecteurs dans la base (ep, e^, ez ) des coordonnées cylindriques :
er
Comme A est suivant e^ par symétrie, il vient, puisque dl • e^ = Rcos a da :
p/r
0
z/r
OP
Rcos a
Rsina
0
dl
—Rsina âa
R cos a âa
0
Mo ÏR2P
Au r3
2 po IuR2p
cos a da = —
477- r3

Symétries des distributions de courants et symétries des champs 221
Il en résulte que :
julç) IttR2 sin 6
Si l'on introduit le moment magnétique de la spire, m = lira1 ez, le potentiel vecteur produit par le
dipôle magnétique s'écrit plus simplement. En effet, en remarquant que e. x er = sin 6e<p , on a :
Vo fmx e,\ 2
A = — — avec m = lira e.
4-77- \ r2 )
Ainsi, à grande distance de la boucle, le potentiel vecteur A décroît en 1/r2 . La distribution est alors
entièrement caractérisée par son moment dipolaire m .
IV. 2. — Champ magnétique produit par un dipôle magnétique
Le champ magnétique produit par un dipôle magnétique est déduit de A par B = rot A :
477 " ^ r3
Utilisons la relation d'analyse vectorielle (cf. annexe 2) :
rot (/Y) =/rot V + grad/ x V avec V = m x r et / = -r
On établit aisément que rot(m x r) = 2m puisque m est uniforme. Comme en outre :
grad(l/r3) = -3r/r\
il vient :
477
2m 3 (m x er) x er
+
.3 ' r3
ce qui s'écrit, en explicitant le double produit vectoriel : er x (m x e,-) = m — (m • e,-)er :
B _ Mo 3(m-er)er-m
477 r3
Le champ magnétique décroît donc comme 1 /r3 .
Notons que cette expression du champ magnétique est analogue à celle du champ électrique
créé par un dipôle électrostatique de moment p (cf. chapitre 5), moyennant la transposition :
1 /eo —» /UL0 et p —» m
La similitude entre les champs E et B créés par des dipôles permet d'écrire, sauf au voisinage de
l'origine :
B = - grad V* en posant V* = ^ ^
477 rJ
On dit que le champ créé par un dipôle magnétique dérive du potentiel scalaire magnétique V*
Dans le contexte de l'analogie avec le champ créé par un dipôle électrostatique, remarquons que
B et m ont un caractère axial. Les topographies des champs B et E sont identiques loin des sources,
car le plan perpendiculaire au moment dipolaire en O est plan de symétrie pour le moment magnétique
mais plan d'antisymétrie pour le moment électrique.

222
12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
En coordonnées polaires (r. 6), le champ B s'explicite comme suit :
B = Br e, + Be e0 avec Br = ^- et Be
Au
Au
On en déduit la norme de B :
B=(< + ^)i/2=Afo^O+3cos2g)
1/2
Au
ainsi que les lignes de champ définies par l'équation :
dr rd6 . dr 2cos0d0
7T" = -TT~ solt = :—7,
Br Be r sin 6
En intégrant, on trouve, si r0 désigne la valeur de r pour 6 = u/2 (Fig. 12.13a)
In
>o
2 In | sin 0\ soit r = r0sin2#
G%
FIG. 12.13.
G,
G
b)
\G,
On désigne généralement par positions de Gauss les points Gi(r,0), G2(r, 7r/2), G3(r, 77-), G4(r,3u/2)
en lesquels les valeurs du champ sont remarquables (Fig. 12.12b) :
B, = 2B0e
oe-
Bo
#0 e- B3 = 2Bç> ez B4 = -Z?0 e. avec Z?0 =
Mo m
477 r3
On vérifie que le champ magnétique est bien perpendiculaire au plan de symétrie perpendiculaire à m ,
et qu'il est dans le plan d'antisymétrie qui contient m .
IV. 3. — Approximation dipolaire d'une distribution de courant
Considérons une distribution quelconque de courant stationnaire occupant un volume V fini de
l'espace (Fig. 12.14). Le potentiel vecteur créé par cette distribution, en un point M, s'écrit :
A(r)
Mo
4-77"
J(r') d T>
f J(r')d'
Jp lk-r'
Supposons que le point M d'observation soit éloigné de tout point de la distribution, et choisissons
l'origine en un point O de celle-ci. Comme r ^> r', nous avons :
râ-i<'-^""-i(i
2r-r' r^V'/2 1
1 +
1 er • r'
r rA

Symétries des distributions de courants et symétries des champs
223
yx
Fig. 12.14.
Le premier terme de l'intégrale est nul ; en effet l'égalité vectorielle : div(xj) = xdiv J + J • gradx
(cf. annexe 2) permet d'écrire, compte tenu de div J = 0 (régime stationnaire) et de gradx = ev :
- / J • ev d V = - / div(jc J) d V = - è> x J • n dS = 0
puisque J est tangent à S . Le deuxième terme, appelé terme dipolaire, s'écrit :
V
Aw = £?/,(e'r'),dî'
En régime stationnaire, les lignes de courants étant fermées, calculons cette intégrale le long d'un tube
élémentaire C, de section ôS et parcouru par l'intensité 81. On a :
idV = J<5Sd/ = <5/dr' d'où ÔA =
Mo 81 l , ,
wic(e-r)dr
Or, er étant constant, on peut écrire, en utilisant la relation er x(r'xd r') = (er • d r') r' — (er • r') d r' :
(er ■ r') dr' = d[(er • r') r'] - r'(e,- • dr') = d[(er • r') r'] - (er • r') dr'-erx (r' x dr')
Il en résulte que :
(er • r') dr' = X- d[r'(e, • r')] - Ur x (r' x dr')
d'où
Le premier terme est nul puisque l'intégration porte sur un contour fermé. Par conséquent :
Mo
SI
8A — ( — i r'xdr' xer ce qui s'écrit 8A =
Mo 8 Ai x r
477 r3
en introduisant le moment magnétique 8Ad du tube élémentaire C défini par :
ÔA4= — irf xdr'
On en déduit l'expression du potentiel vecteur créé par la distribution de courant considérée :
julq A4 x e,.
A = '—z— où A4
477 r2
2 Jv
OPx'JdTT
est le moment magnétique total de la distribution.

224
12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
Dans le cas particulier d'un circuit filiforme plan (Fig. 12.15), on retrouve :
M=-I ^OPxdOP= -/ (f)(2dS)n = ISn
en désignant par S la surface qui s'appuie sur C et n la normale orientée conformément au sens de
parcours de C. Notons que le moment magnétique est indépendant du choix de l'origine :
M=-l /(00' + 0'P)xdO'P= -//o'Pxd(0/P) + -/00'x <j> d(
car l'intégrale de d OP sur le circuit fermé est nulle.
OP = -/ i O'P x d O'P
Je
IV. 4. — Champ magnétique terrestre
En première approximation, on peut considérer que le champ magnétique créé par la Terre est celui
d'un dipôle magnétique placé en son centre et orienté comme le montre la figure 12.16, suivant un axe
appelé Vaxe géomagnétique SmNm . Notons que la face nord du dipôle pointe vers le sud géographique,
alors que la face sud pointe, elle, vers le nord géographique. Cet axe fait avec l'axe de rotation de la
Terre SN un angle qui varie au cours du temps. Cette hypothèse fut proposée d'abord par W. Gilbert en
Angleterre dès 1600, puis précisée en 1839 par Gauss en Allemagne. On peut dire qu'elle décrit bien le
magnétisme terrestre avec une précision de 10% .
De nos jours, l'axe magnétique Sud-Nord fait un angle de 11,5° avec l'axe de rotation de la
Terre ; il perce la Terre en un point situé dans l'archipel Arctique canadien, au pôle nord magnétique, à
1 900 km du pôle nord géographique. Ce point est défini expérimentalement comme le point par lequel
les lignes de champ magnétique terrestre pénètrent verticalement dans la Terre.
À l'opposé, le pôle géomagnétique sud est situé en mer australe, à 2 600 km du pôle sud
géographique, au large de la base Antarctique Dumont d'Urville.
Axe géomagnétique q -
f Axe de rotation
TV (Pôle Nord géographique)
Désignons par @„ la colatitude magnétique nord des coordonnées sphériques, c'est-à-dire l'angle
que fait le rayon vecteur r = OM, reliant le centre de la Terre au lieu M considéré, avec l'axe
géomagnétique SmN„,. Entre l'angle de colatitude magnétique © , que fait r avec l'axe NmSm du
dipôle magnétique, et ©„ , la relation algébrique est © = 77 + ©/7. Comme les lignes de champ sont de
la forme : r = ro sin2 © = rç> sin2 ©„ , la norme du champ magnétique a pour expression, le long d'une
ligne de champ :
/ul0 m(l +3cos2©„)'/2
B(r0,®„) =
47T ri
sinb Sn

Symétries des distributions de courants et symétries des champs 225
À l'équateur géomagnétique (Sn = tt/2) et à la surface de la Terre (r = Rj = 6 371 km ), le
champ vaut approximativement :
B (rt, Z) = t^^t soit B (rt, Z) « 30 [xT puisque m = 8, 3 x 1022 A.m2
V 2 / 477 Rj V 2 /
En réalité, la valeur de B varie entre 24 \xT sur l'équateur géomagnétique et 70 \xT au pôle sud
géomagnétique.
On peut en déduire, la composante horizontale Z?/? du champ magnétique terrestre, en France.
Comme cette composante s'identifie pratiquement à B® , on a, puisque ©„ œ 77/4 :
fi0 'w_>/2 _0 w in_5l
Bh = —-,- — ^2x ÎO^T soit £,,^20pT
Air Ri 2 ^
On attribue le magnétisme terrestre au déplacement de fluides conducteurs dans le noyau liquide
de la Terre (effet magnétohydrodynamique).
Remarques : (1) Contrairement à la Terre, les planètes Mars et Vénus n'ont pas de moment magnétique
significatif. Des mesures récentes, faites lors de la mission Mars Global Surveyor, n'ont
pu mettre en évidence, sur Mars, un champ magnétique supérieur à 5 x 10-3 fxT .
(2) Les spécialistes de planétologie utilisent souvent une autre définition du moment
magnétique d'un dipôle ou d'une boucle de courant. Ils introduisent :
m = — m = 10 m
477
La quantité m* apparaît alors comme le produit d'un champ magnétique par un volume.
Aussi expriment-ils m* en Tm3 ou plus fréquemment en G cm3 ( 1G = 1 gauss
= 10~4T):
lA-m2= 10~7T-m3 = 10~7 x 104 x 106G-cm3 = 103G-cm3
V. — SYMÉTRIES D'UN SYSTÈME MAGNÉTOSTATIQUE
V. 1. — Caractères vectoriel de A et axial de B
Le potentiel vecteur A est un champ vectoriel car il s'exprime, à un coefficient près, sous la forme
d'une somme de vecteurs J . En revanche, le champ magnétique B , se présente dans la loi de Biot et
Savart comme une somme de produits vectoriels de vecteurs ; c'est un champ antisymétrique d'ordre
deux ou un champ vectoriel axial.
Il résulte du caractère vectoriel de A que, dans une symétrie par rapport à un plan V , il se
transforme en son symétrique (cf. chapitre 4 ) :
r = r, + r„ —>• r' = sym r = rt — r„ d'où A'(M') = sym A (M)
En revanche, dans la même opération, le champ magnétique B(M) , se transforme en son
antisymétrique, c'est-à-dire en l'opposé de son symétrique :
ri x r2 = (ri x r2), + (ri x r2)„ -> -(r, x r2), + (r, x r2)71 d'où B'(M') = -symB(M)

226 12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
V. 2. — Distribution de courant ayant un plan de symétrie
Considérons une distribution S de courant telle qu'une symétrie par rapport à un plan V la laisse
invariante :
j(p) -> j'(p) = j(/>)
En raison du caractère vectoriel de J, le plan V est un plan de symétrie pour S . Selon le principe de
Curie, cette opération doit laisser inchangés les champs créés par cette distribution. On a donc, en un
point M quelconque :
B'(Af) = B(M) et A'(M) = A (M)
Au point M', symétrique de M par rapport à V , on a aussi :
B'(M') = B(M') et A'{M') = A(M')
Comme, d'autre part, les valeurs du champ et du potentiel se transforment selon :
B'(M') = - sym B(M) et A'(M') = sym A (M)
il en résulte les relations suivantes entre les valeurs du potentiel vecteur et du champ magnétique créés
par 2 aux deux points symétriques M et M' :
A (M') - . sym A (M) et B(M/) = - sym B(M)
V. 3. — Distribution de courant ayant un plan d'antisymétrie
Considérons une distribution S de courants telle qu'une symétrie par rapport à un plan Q la
transforme selon :
J(P) -> J'(P) = -J(/>)
Le plan Q est alors un plan d'antisymétrie pour S . En vertu du principe de Curie, cette opération doit
changer les champs B et A en leurs opposés. Ainsi, en tout point M , on a :
B'(M) = -B(M) et A'(M) - -A(M)
Au point M' symétrique de M par rapport à Q , on a aussi :
B'(M') = -B(M;) et A'(M') = -A(M/)
Comme d'autre part, les valeurs de ces champs se transforment, par l'opération de symétrie par rapport
au plan, selon :
B'(M') = - sym B(M) et A'(M') = sym A(M)
on obtient finalement :
A(M') - - sym A (A/) et" B(M') = sym B(M)

Symétries des distributions de courants et symétries des champs
227
CONCLUSION
Retenons les points essentiels.
(1) Les considérations de symétrie et d'invariance permettent de simplifier considérablement le
calcul des champs B et A en limitant respectivement le nombre des composantes à déterminer et le
nombre des variables significatives.
Le champ magnétique B , qui est axial, est normal aux plans de symétrie de la distribution de
courants, alors que le potentiel vecteur A est normal aux plans d'antisymétrie.
(2) Un dipôle magnétique ou boucle élémentaire de courant crée, en tout point de l'espace, un
potentiel vecteur et un champ magnétique d'expressions respectives :
juLo m x er /io3(m-er)er-m
Au r2 47T r3
où m est le moment magnétique du dipôle.
(3) Le champ magnétique terrestre est approximativement celui produit par un dipôle magnétique
de moment m = 8,3 x 1022 A • m2 . En France, la composante horizontale de ce champ est Bh = 20 \jJÏ .
EXERCICES ET PROBLÈMES
P12- 1. Bobines d'Helmholtz formant un champ uniforme
Deux spires identiques, de rayon /?, coaxiales, dont les centres 0\ et O2 sont distants de c/,sont
parcourues par un même courant stationnaire.
1. Quels sont les éléments de symétrie du système ? En déduire les propriétés de la fonction B[z)
qui donne le champ magnétique en un point de l'axe.
2. Montrer que, pour une valeur particulière du rapport R/d, le champ magnétique est quasi
uniforme au voisinage du milieu O du segment 0\ O2 . Évaluer, dans ce cas, la variation relative du champ
entre 0\ et O2 .
3. On se place dans le cas de la valeur particulière du rapport R/d. Les bobines sont constituées
chacune de N = 100 spires circulaires, de rayon R = 15 cm, parcourues par un courant d'intensité
/ = 5 A . Calculer le champ magnétique en O .
P12- 2. Bobines d'Helmholtz formant un champ non uniforme ^^
Deux bobines, de même axe Oz et de même rayon R = 10 cm , sont centrées de part et d'autre de
l'origine aux points z = —R/2 et 7 = R/2 . Elles sont parcourues par des courants de même intensité
/ = 10 A et de sens contraires.
1. Donner l'expression, en fonction de R, / et z, de la composante axiale du champ pour toute
valeur de z.
2. Quel est le champ pour z = 0 , z = R/2 et z = —R/2 ? Calculer sa dérivée au point z = 0 .

228
12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
PI2- 3. Champ magnétique créé par un conducteur cylindrique creux CwebT)
On considère un cylindre conducteur de rayon R, d'axe Oz et supposé infini, dans lequel on a
creusé une cavité cylindrique d'axe O'z' parallèle à Oz, de rayon R' < R et entièrement contenue dans
le cylindre précédent. Calculer le champ magnétique dans la cavité lorsque le conducteur est parcouru
par un courant volumique uniforme : J = J ez. Application numérique au cas où J — 2 x 104 A • m-2
et où la distance entre les axes est # = 2,5 cm .
P12- 4. Enroulement en forme de tore
Un enroulement de N spires jointives, formant un tore de révolution, de rayon moyen R, est
parcouru par un courant stationnaire d'intensité / .
1. Examiner la symétrie du champ magnétique B créé par cette distribution. Calculer B dans le
cas où la section est un carré de côté a .
2. Vérifier les relations de passage de B à la surface de l'enroulement.
3. Examiner le cas limite où a <c R. Calculer le champ magnétique dans le tore, sachant que
TV = 1 000 spires, / = 10 A et R = 5 cm .
P12- 5. Sphère bobinée (5^)
Un enroulement est constitué de N spires plates jointives disposées à la surface d'une sphère, de
rayon R, de telle manière que leur nombre n par unité de longueur de l'axe soit constant. Ces spires
sont parcourues par un courant stationnaire d'intensité / .
1. Quelles sont les symétries de ce système ? Calculer le champ B au centre O de la sphère, dans
le cas où le nombre de spire est 2 500 , le courant 3 A et le rayon 10 cm .
2. En admettant que le champ magnétique à l'intérieur est uniforme, B/„ = B(0), calculer le
potentiel vecteur A//7.
P12- 6. Expérience de Rowland
Un disque isolant, d'épaisseur négligeable, de rayon R = 10 cm , chargé uniformément avec une
charge surfacique a , tourne autour de son axe avec une vitesse angulaire constante co .
1. Donner l'expression du courant surfacique.
2. Trouver le champ magnétique B et le potentiel vecteur A en un point de l'axe. Calculer le
champ B au centre du disque, sachant que le disque porte une charge de 20 [xC et que sa vitesse de
rotation est de 12 000 tr • min- ' .
3. Examiner la condition de passage de B au centre du disque.
P12- 7. Câble coaxial
Une ligne coaxiale est réalisée à l'aide d'un fil conducteur cylindrique, de section circulaire
(rayon r\ ), entouré d'un deuxième conducteur coaxial (rayon intérieur r2 et rayon extérieur rf2 ). Les
deux conducteurs sont séparés par le vide. Le conducteur central est parcouru par un courant
stationnaire, d'intensité / = 2 A, dont le retour est assuré par le conducteur périphérique. Les courants volu-
miques correspondants sont uniformes.

Symétries des distributions de courants et symétries des champs
229
1. Établir les expressions du champ magnétique et du potentiel vecteur créés par une telle
distribution dans le conducteur intérieur, dans l'espace entre les conducteurs et à l'extérieur du câble.
2. À quel endroit du câble le champ magnétique est-il maximal ? Sachant que ri = 1 mm,
r2 — 2,5 mm , calculer cette valeur maximale, ainsi que rf2 .
P12- 8. Champ magnétique produit par N demi-spires Cweb)
1. Quel est le champ magnétique produit par une demi-spire, de rayon R, parcouru par un courant
d'intensité /, en un point de l'axe du cercle générateur situé à la distance d de son centre O ? On
introduira l'angle a tel que tan a = R/d (Fig. 12.17).
2. Retrouver le champ produit par une spire au même point.
3. Calculer le champ magnétique produit à une distance d = R = 5 cm , par N = 50 demi-spires
identiques et superposées, dans le cas où / = 0,5 A .
Fig. 12.17.
P12- 9. Bobines de déflexion magnétique
Fig. 12.18.
Une bobine de déflexion magnétique MNRS est constituée de N spires identiques ayant la forme
représentée sur la figure 12.18.
1. Exprimer le champ magnétique B au centre O, en fonction du rayon R des demi-spires, de
leur distance d et de l'angle a que fait ON avec l'axe Oz parallèle aux brins rectilignes. On pourra
utiliser les résultats de l'exercice précédent.
2. Quelle est la valeur du champ magnétique produit, en O , par 200 spires identiques, superposées
et parcourues par le courant d'intensité / = 3 A , dans le cas où R — d = 8 cm ?
P12- 10. Solénoïde à enroulement hélicoïdal ^^
On considère un enroulement solénoïdal sur un cylindre d'axe Oz , de longueur très grande devant
son rayon R, parcouru un courant d'intensité / . Soit n le nombre de spires, supposées jointives, par
unité de longueur.
1. Trouver les composantes cylindriques JSi<p et Jsz du vecteur courant surfacique associé à la
nappe de courant correspondante :
2. Établir les expressions des champs magnétiques créés par chacune des distributions (orthoradiale
et longitudinale) de courants. En déduire le champ produit par un enroulement solénoïdal réel, lequel
présente nécessairement une certaine hélicité.
3. Calculer les valeurs des composantes du champ magnétique, de part et d'autre de la nappe de
courant, pour / = 1 A , R = 4 cm et n = 2000 m-1 .

230 12. Symétries des distributions de courants et symétries des champs
P12- 11. Champ magnétique produit par un dipôle magnétique
1. En quels points de l'espace le champ magnétique produit par un dipôle magnétique a-t-il ses
composantes radiale et orthoradiale égales ?
2. La mesure de cette valeur commune, à une distance de 10 cm du dipôle, a donné :
Br = B0 = 0,01 T.
En déduire le moment magnétique du dipôle.
P12- 12. Moment magnétique d'une sphère chargée en rotation Cweb)
Une sphère, de rayon R, porte une charge Q uniformément répartie sur sa surface. Elle tourne
autour de l'un de ses axes de révolution avec une vitesse angulaire H .
1. Rappeler l'expression du moment magnétique produit par une distribution de courant. En déduire
l'expression intégrale du moment magnétique .A4 produit par la sphère chargée en rotation uniforme.
2. Trouver A4 en fonction de R, Q et H et calculer sa valeur, sachant que R = 6 cm,
Q = 10 [xC et H = 10000 tours par minute.

13
Electrodynamique des régimes stationnaires
On sait que l'action d'un champ électromagnétique (E,B) sur une charge électrique q, animée
d'une vitesse v par rapport à un référentiel galiléen, est entièrement décrite par la force de Lorentz :
F = q(E + v x B)
Nous nous proposons dans ce chapitre d'analyser les effets d'un champ électromagnétique stationnai re
sur les charges d'un conducteur. Un tel milieu, supposé neutre, est considéré comme la superposition
de deux sous-ensembles de charges, les unes fixes , les autres mobiles, en constante interaction.
Dans cette étude, nous supposons, d'une part que les sources du champ ne sont pas influencées par
le mouvement des charges, d'autre part que la vitesse de déplacement du conducteur, ainsi que la vitesse
de dérive des charges mobiles, sont suffisamment faibles pour justifier l'approximation newtonienne de
la mécanique.
I. _ CONDUCTEUR AU REPOS DANS UN CHAMP (E, B) STATIONNAIRE
1.1. — Milieu conducteur
On a vu qu'un conducteur était caractérisé par l'existence de charges mobiles sur l'ensemble du
volume V qu'il occupe. La surface S qui le délimite est supposée infranchissable aux charges, à
l'exception des surfaces en contact éventuel avec d'autres milieux conducteurs.
Dans un conducteur, on distingue deux types de charges (cf. chapitre 6) : des ions fixes de charge
volumique pf et des porteurs mobiles de charge volumique pm . La neutralité en volume du milieu se
traduit alors par l'équation :
Pin = Pm + Pf = 0
Par conséquent, d'après le théorème de Gauss, on a, en tout point intérieur au conducteur :
divE/7I =0
Notons que Ein est la valeur du champ créé, à Y intérieur du conducteur, par l'ensemble des charges
intérieures et par d'éventuelles charges extérieures. Le courant volumique dans un tel milieu s'explicite
suivant :
Ji/i = pmv = nvq\
nv étant la densité volumique de charges mobiles et q la charge d'un porteur.

232
13. Électrodynamique des régimes stationnaires
Considérons un conducteur placé dans le vide (Jn = 0) et plaçons-nous dans le cas où le courant
surfacique est nul : Jv = 0. Le bilan local de charge en régime stationnaire, div J = 0, conduit à la
continuité de la composante normale de J soit :
n(X ■ (3 ex - Jin) = d'où n,,v • J,,, = 0
Les lignes de courant sont donc tangentes à la surface du conducteur.
1.2. — Expression de la loi d'Ohm locale
Le système constitué par l'ensemble des charges mobiles contenues dans un élément de
volume d V est soumis, d'une part à la force de Lorentz :
dFin =p,„(E + vxB) dV
d'autre part à l'interaction avec les charges fixes; cette dernière est représentée, selon le modèle de
Drude (cf. chapitre 7), par une force de frottement de la forme :
d¥f^m = -a\dP
Le coefficient a est relié à la densité volumique nv des charges mobiles, à leur masse m et à la durée
de relaxation r de leurs vitesses par a = nvm/r . Nous savons qu'au bout de cette durée r , très brève
( ~ 10~l4 s pour les électrons du cuivre), un régime stationnaire est atteint (cf. chapitre 7). La résultante
des forces appliquées est alors nulle :
d F/w + d F/-_>//7 = 0 ce qui donne p/w(E + v x B) — a\ = 0
On en déduit l'équation à laquelle satisfait la vitesse de dérive v :
v^(ElvxB) où M=^ = ^
a m
désigne la mobilité des porteurs de charge (cf. chapitre 7). L'équation à laquelle satisfait le courant
volumique J = pm\ — nvq\ est donc :
J = rfE+^-xB) où y=n-^L
\ nvq J m
est la conductivité du milieu.
Ainsi, en présence d'un champ magnétique B, le courant volumique n'a pas la même direction
que le champ électrique E, même dans un milieu isotrope ; cette relation peut se mettre sous la forme
linéaire suivante :
J = [y(B)]E
La grandeur physique [y(B)] , qui s'explicite suivant une matrice 3 x 3 , est appelée le tenseur
conductivité. Comme E peut s'écrire :
E=-- — xB
J nvq
il se présente sous la forme d'une somme de deux contibutions, l'une parallèle à J et la seconde
perpendiculaire à J :
E = Eu + E± . avec En = - et Ej_ = x B
.■.."~. " ■ y • - ._ nvq ■

Électrodynamique des régimes stationnaires
233
Le rapport entre ces deux termes est maximal si J est perpendiculaire à B :
E\ yB \q\r . .
£|j n\q\ m
On voit qu'il est directement lié à la mobilité jul des porteurs.
Ordre de grandeur : Dans le cuivre, plongé dans un champ magnétique de 1 T, ce rapport vaut
4, 3 x 10~3 . L'anisotropie de la conductivité reste donc très faible et peut être négligée. En revanche,
dans un semi-conducteur, cette anisotropie n'est plus négligeable. On en déduit que, même en présence
d'un champ magnétique, la loi d'Ohm pour un conducteur métallique immobile s'écrit, avec une bonne
approximation :
J~yE
Lorsque le conducteur n'est pas massif, les effets de sa géométrie sont déterminants. Deux cas extrêmes
sont rencontrés en pratique : les conducteurs filiformes examinés dans la suite et les conducteurs en lame
minces (cf. Exercices). On dit que les premiers ont une géométrie de Hall et les seconds une géométrie
de Corbino.
1.3. — Géométrie de Hall (ou géométrie allongée)
Dans un conducteur métallique, les forces exercées par les ions maintiennent les électrons en son
intérieur. Dans le cas d'un fil, le mouvement des charges ne peut s'effectuer que suivant sa longueur : la
direction du courant volumique J est donc imposée par la géométrie du conducteur.
a) Champ de Hall
En régime stationnaire et en présence d'un champ magnétique appliqué B„ , le champ E à
l'intérieur du conducteur, d'axe Ox, est donné par (Fig. 13.1) :
E=--— xBfl = - + — (B„ x J)
J nvq y nvq
Ainsi, un champ électrique, perpendiculaire au fil, d'expression :
E± = E/y = AHBa x J avec AH =
nvq
polarise le conducteur perpendiculairement à sa direction. Ce champ électrique est appelé champ de
Hall (du nom du physicien américain E. Hall qui découvrit cet effet en 1880) et la constante AH le
coefficient de Hall.
Fig. 13.1.
Notons que AH est directement lié à la densité n des porteurs de charge, que son signe est celui
de la charge q des porteurs et que l'effet du champ magnétique appliqué B„ est maximal lorsqu'il est
normal au fil.

234 * 13. Électrodynamique des régimes station noires
Examinons l'établissement d'un courant stationnaire dans une lame métallique de section
rectangulaire, de largeur a et d'épaisseur b, placée dans un champ B„ transverse (Fig. 13.1). Le champ
magnétique Ba provoque une déviation des électrons sous l'effet de la force —es x Ba orientée
suivant —ev. Comme ces charges ne peuvent pas sortir du conducteur, elles s'accumulent sur le plan
y = 0. Le plan y = a alors dépeuplé d'électrons se charge positivement. Cette polarisation du
matériau conduit à l'apparition d'un champ électrique transverse E/y qui exerce à son tour une force — eEH
orientée en sens inverse de la force magnétique. Le régime stationnaire est atteint lorsque les deux forces
se compensent :
—e\ x B„ — eEH = 0 soit Ew = Bfl x v = AHBa x J car v = AHi
Une fois le régime atteint, c'est-à-dire après une durée très brève, directement reliée à la durée de
relaxation r des porteurs, on retrouve la loi d'Ohm J = yE.
Ordre de grandeur : Le coefficient de Hall est très faible dans les métaux ; l'expérience donne
en effet la valeur Ah = —5,3 x 10~" m3 C-1 pour le cuivre. On peut alors comparer le nombre
d'électrons de conduction au nombre d'atomes na , par unité de volume :
1 ~Q - NAp* 6,02 x 1023 x 8 960 nA o« ,
nv = = 1.2 x 029 m"3 et na = -^— = - = 8,4 x 1028 m"3
AHe ' M 0,064
p* étant la masse volumique du cuivre. Cette comparaison montre qu'en moyenne environ 1,4 électron
par atome participe à la conduction.
Pour un semi-conducteur, ce coefficient est beaucoup plus fort, en raison de la valeur plus faible de
nv ; par exemple, pour le germanium AH — —3, 6 x 10-2 m3 • C-1 .
Remarques : (1) Dans certains métaux, comme le fer et le béryllium, l'effet Hall est observé avec un
signe inverse de celui prévu par la théorie classique ; la théorie quantique permet
d'interpréter ces résultats expérimentaux.
(2) Dans le cas où les porteurs sont confinés dans une zone d'épaisseur faible du matériau,
une série de discontinuités de la conductivité sont observées : c'est l'effet Hall quantique
découvert par le physicien allemand K. von Klitzing, ce qui lui valut le prix Nobel en
1986. Une application est la réalisation d'un nouvel étalon de résistance le klitzing (cf.
chapitre 7) :
RK = — = 25 812, 8056 fl
ez
(3) Comme la force d'inertie de Coriolis a même expression que la force magnétique,
on pourait, en principe au moins, observer un effet Hall sans champ magnétique, en
faisant tourner, autour d'un axe vertical, un conducteur horizontal, de géométrie allongée et
parcouru par un courant. Le résultat obtenu est analogue au précédent : il suffit de
remplacer le champ magnétique B par 2mQ/q .
b) Applications
Les applications de l'effet Hall sont multiples :
i) Pour un matériau de section rectangulaire, la mesure de la différence de potentiel V# entre les
deux faces polarisées du conducteur, distantes de a , permet de déterminer le champ de Hall :
EH = — avec VH = -AHI—
a b
ii) Lorsque les caractéristiques électriques (conductivité, mobilité) du matériau sont connues, la
tension de Hall Vf/ sert à mesurer le champ magnétique. On réalise ainsi une sonde de Hall.

Électrodynamique des régimes stationnaires
235
Ordre de grandeur : Une plaquette d'arsénure dyiridium (InAs), de coefficient de Hall, égal à
AH = —10-4 m3 -C_l et d'épaisseur b = 8 |xm, est utilisée pour mesurer un champ magnétique
transversal ; elle présente une tension de Hall de 21,5 mV lorsqu'elle est parcourue par un courant
d'intensité I = 35 mA . Par conséquent :
Yjl
a
\AH
1 B
a b
d'où B
VHb 21,5 x 10"3 x 8 x 10"6
l^/l'
10"4 x 0,035
49, 1 mT
iii) Si le champ Ba est connu, les mesures de VH et de l'intensité / fournissent la densité nv
de porteurs de charges ainsi que leur signe. Ce type de mesure est surtout effectué avec des matériaux
semi-conducteurs pour lesquels AH est élevée, car nv est beaucoup plus faible que pour un métal.
Rappelons que, dans les semi-conducteurs, la conduction est assurée par deux types de porteurs : les
électrons et les trous (cf. chapitre 7).
II. — LOI D'OHM DANS UN CONDUCTEUR EN MOUVEMENT
II. 1. — Courant volumique dans un conducteur
Considérons un élément de volume d V d'un conducteur métallique, animé d'une vitesse V par
rapport au référentiel du laboratoire 1Z (Fig. 13.2). Le vecteur courant volumique est :
J = PmVm + P/V/
où \m et \f sont respectivement les vitesses moyennes des électrons et des ions par rapport à 7Z ;
d'après la composition newtonienne des vitesses celle des ions est la vitesse V de déplacement de
l'élément du conducteur et celle des électrons la somme de leur vitesse de dérive u par rapport au
conducteur et de V . Ainsi :
J = p/w(u + V) + pf\ = pmu + pV avec p = pm + pf
Ce vecteur courant volumique apparaît donc comme la somme d'un vecteur courant volumique de
conduction p/Mu, associé au déplacement des charges mobiles, et d'un vecteur courant de convec-
tion p\ dû au mouvement d'ensemble des charges du conducteur.
Ce dernier terme disparaît évidemment dans le référentiel où le conducteur est immobile. En outre,
il est nul dans le cas fréquent où le conducteur est neutre (p = pm + p/ = 0) ; le courant global se
réduit au courant de conduction : J = pmu .
n
'o
v= u + V
FIG. 13.2.

236
13. Électrodynamique des régimes stationnaires
II. 2. — Équation générale du courant volumique
Dans le référentiel du laboratoire 7Z, la loi fondamentale de la mécanique appliquée à une charge
q , soumise à la force de Lorentz et à la force de frottement visqueux —au , donne :
d v ,„ N d\ q , u
m— = qCE + v x B) - au soit — = — (E + vxB)
dr ât m t
où t — m/a est une durée caractéristique. En remplaçant v par u + V, on obtient :
et t m ât
ce qui donne, en introduisant le courant volumique dans le conducteur, J = nqu = pmu, l'équation
différentielle à laquelle ce dernier satisfait :
dt \ nq CI ut J
Un exemple d'application de cette équation est l'expérience faite en J916 par R. Tolman et T. Stewart
pour prouver que le courant dans un conducteur était dû au mouvement des électrons (cf. Exercices).
II. 3. — Expression générale de la loi d'Ohm locale
En régime stationnaire (dj/df = 0 et dV/dr = 0), le vecteur courant volumique vérifie
l'équation :
J-y(E + VxB + — xBJ^y(E + VxB)
car, dans un métal, J'/(nq) <C V .
Écrite à l'aide des grandeurs définies dans 1Z, la loi d'Ohm met en évidence le rôle du champ
électrique E et celui du champ E/n = V x B, appelé champ électromoteur par analogie avec celui
introduit dans un générateur électrique (cf. chapitre 9).
Lorsque le conducteur est filiforme, la direction de J est imposée par la géométrie ; seule la
composante parallèle au fil du vecteur (E + V x B) , contribue au déplacement des charges et donc à J :
J = y(E + VxB)//
La composante perpendiculaire au fil est alors nulle : ( E +V x B)_i_ = 0 , ce qui traduit la compensation
du terme (V x B)_i_ par un champ électrique Ej_ créé par le milieu.
Remarque : Dans le référentiel TV où le conducteur, globalement neutre, est immobile ( V = 0 ), nous
retrouvons, en utilisant les formules de transformation d'un champ uniforme en relativité
galiléenne (cf. chapitre 11), la loi d'Ohm établie dans un conducteur immobile. En effet :
E' = E + VxB B' = B J; = J = p,„u d'où J; = yE'

Électrodynamique des régimes siationnaires
237
II. 4. — Barreau conducteur en translation dans un champ magnétique
Un conducteur rectiligne MN filiforme de longueur /, en mouvement de translation rectiligne
uniforme (V = Cte) dans le référentiel du laboratoire IZ (Fig. 13.3a), est placé dans un champ
magnétique appliqué B„ uniforme et stationnaire.
y\
4 Vx B,
-r+^r^N
Ozé>
n
M
W
,&-
a)
b)
x Oz'v
Fig. 13.3.
Le circuit étant ouvert, le courant volumique est nul en régime stationnaire :
J = y(E + V x B,) - 0
À l'intérieur du matériau, le champ électrique E„K/// est donc créé par le conducteur pour compenser
exactement l'action du champ magnétique appliqué :
E„
-V x B„
Il en résulte la différence de potentiel suivante aux bornes du barreau :
Vm
Vn= /
J M
E„, ;,, • dl
VBJ
Ordre de grandeur : Entre les extrémités des ailes d'un avion, distantes de 60 m, qui vole dans une
régionb ou le champ magnétique, vaut 50 |jlT à la vitesse de 200 m • s-1, la différence de potentiel
dans le référentiel terrestre est 0,6 V.
Le champ E„M/7 traduit une polarisation du matériau due à l'accumulation de porteurs libres à sa
surface. À l'extérieur, ces charges créent un champ électrique E#II^A-.
Dans le référentiel TV lié au conducteur (Fig. 13.3b), le courant volumique est nul en régime
stationnaire :
j' = te;„ = o
Nous retrouvons la condition d'équilibre électrostatique d'un conducteur.
Dans l'exemple précédent, la d.d.p mesurée dans R' liée à l'avion est donc nulle.
À l'extérieur du conducteur, le champ électromagnétique dans TV s'exprime en fonction de celui
observé dans IZ selon (cf. chapitre 11):
E'
■ + V x B„
Ce champ résulte donc de la superposition du champ Eni:CX , créé par la distribution des charges qui
apparaissent sur la surface du conducteur en équilibre électrostatique, et d'un champ électrique E'a = VxB„ ,
indépendant de la présence du conducteur.

238
13. Électrodynamique des régimes stationnai res
III. — ACTIONS SUR UN CONDUCTEUR. FORCE DE LAPLACE
III. 1. — Force de Laplace
La force de Laplace est la force exercée par le champ électromagnétique (E, B) sur l'ensemble des
charges d'un conducteur. Exprimons la force élémentaire qui s'exerce sur les charges contenues dans un
élément de volume d V :
dFL = dF/;/ + dF/-
d FWI étant la force s'exerçant sur les porteurs mobiles et d F/ celle s'exerçant sur les porteurs fixes. En
explicitant, il vient :
dFL = pm [E + (u + V) x B] d V + pf (E + V x B) d V
soit, puisque le conducteur est localement neutre (p = pm + pf = 0) :
d FL = Pmu x B d V = J x B d V
Remarquons que la vitesse d'ensemble V du conducteur n'apparaît pas dans cette expression. Dans un
conducteur f\xe (V = 0), seuls les électrons sont sensibles à B, mais c'est leur interaction
permanente avec les ions qui, en les maintenant à l'intérieur du conducteur, transmet la force de Lorentz à
l'ensemble. L'exemple suivant permet de préciser ce point.
Nous savons qu'en régime stationnaire la force magnétique qui agit sur les électrons est compensée
par la force électrique due au champ de Hall EH = —u x B (Fig. 13.1). Les ions ne sont pas sensibles
à B , mais sont soumis à l'effet de EH ; la force électrique correspondante s'écrit, pour un élément de
volume d V :
dF,„^ = pfEH d V = -p/u x B d V = pmu x B d V = d¥L
Cette égalité montre bien que la force de Laplace agissant sur le conducteur est égale à la force
magnétique qui s'exerce sur les électrons, laquelle est transmise au réseau par l'intermédiaire du champ de
Hall.
Dans l'expression de la force de Laplace, B est la somme du champ magnétique appliqué B„ et
du champ magnétique propre Bm . C'est ainsi que, même en l'absence de source extérieure, chaque
élément d'un conducteur est soumis à l'action du champ B,„ créé par le courant qui le parcourt. Si ce
conducteur n'est pas rigide, les forces de Laplace qui en résultent peuvent le déformer.
En intégrant, on obtient la somme des forces de Laplace qui s'exercent sur un conducteur de
volume V :
¥L= / J x B d V avec B = B/7; + B„
J r>
Comme la somme des forces intérieures au système constitué par le conducteur est nulle, d'après
l'opposition des actions réciproques, seule demeure la contribution de B„ . On en déduit l'expression de la
somme et du moment des forces de Laplace :
FL = / J x Bfl d V et rL;0 = / OP x dFL = / .OP x (J x Bfl) d V

Électrodynamique des régimes stationnaires
239
III. 2. — Cas d'un conducteur filiforme
Généralement les conducteurs sont de section suffisamment faible pour que l'on puisse supposer
que le courant volumique et le champ magnétique appliqué Ba soient uniformes sur toute la section.
Le vecteur J étant colinéaire à la direction du fil, nous pouvons effectuer la transposition habituelle
(cf. chapitre 6) :
3 âP = Jsdl = I d\
s désignant la section du conducteur. La force de Laplace agissant sur un élément d 1 du conducteur C
s'écrit alors d¥L = /dl x B (Fig. 13.4). Il en résulte l'expression de la somme et du moment :
¥L = I (f) dix Ba et rL,0 = / i OP x (dl x Ba)
puisque, le régime étant stationnaire, / est le même en tout point du circuit.
dFL
Source de courant
>.T
FiG. 13.4.
Dans le cas important où le champ magnétique appliqué B„ est uniforme, la somme des forces de
Laplace, obtenue en intégrant le long du circuit fermé, est nulle :
FL = f[ è dl) xBtf = 0
Remarque : La force de Laplace F^ est dans ce cas, nulle même pour un conducteur de forme
quelconque. En effet, les lignes du vecteur courant volumique étant fermées, on a :
L
J d P = 0
Ainsi, dans un champ uniforme les actions de Laplace se réduisent à un couple de moment :
Tl,o = / f OP x (dl x B„) soit TLi0 = I f (OP • Bfl) dl - / /(OP • dl)Bfl
en développant le double produit vectoriel. Comme dl = dOP , la deuxième intégrale est nulle :
d(OP)2^
OP dOP B„ = /
B, = 0

240
13. Électrodynamique des régimes stationnaires
La composante Fx du moment FL 0 s'obtient en multipliant scalairement la première intégrale par le
vecteur unitaire fixe ev. Il vient, en posant / = OP • Ba :
Fx = ev • / é f d 1 = / ê (/ev) • d 1 soit F, = I / rot(/ev) ndS
d'après la formule de Stokes, S étant une surface quelconque s'appuyant sur C et orientée d'après le
sens de parcours de C. En utilisant la relation d'analyse vectorielle rot(/'ev) = /rotev + grad/ x ev
(cf. annexe 2), il s'ensuit, puisque rotev = 0 :
Lv = / /rot(/ev) • n dS = I /(grad/ x ev) • n dS = -ev • (i /grad/ x n dS j
En outre, le champ B„ étant uniforme, on a grad/ = grad(OP • B„) = B„ . Par conséquent :
r, = -e, • /
' lBaxndSJ =ex- fi /n
/ / ndS ) xB,
Finalement, on obtient, après un raisonnement analogue sur les deux autres composantes :
rL;0= fi I ndS) xBa
Cette expression suggère de faire apparaître le moment magnétique Ad du circuit C déjà défini
(cf. chapitre 12) ; on retient alors l'expression suivante du moment des forces de Laplace :
dS= X-I é OPxdOP
TL = MxBa avec Ad = I / n dS = -I é (
dans laquelle on a omis Torigine O car , FL étant nul, FL est indépendant du point où on le calcule.
Remarque : Cette dernière expression est encore valable pour un conducteur de forme quelconque,
pour lequel le moment magnétique est défini par :
Ad = - f OP x J d V
III. 3. — Loi des actions électrodynamiques d'Ampère
Considérons deux circuits C\ et Ci parcourus par les courants stationnaires I\ et In
respectivement (Fig. 13.5a).
J.dl
/idl,
Cx
/2dl2
dF,_
.^ n 2
P\
C2
Fig. 13.5.
b)

Électrodynamique des régimes stationnaires 241
La force de Laplace qu'exerce C\ sur C^ s'écrit :
ir , I ai n n W . 1 dli xri2
Fi_^2 — h i> dl2 x Bi avec Bi = —1\ *
C2 4^ JCX >\2
donné par la loi de Biot et Savait, en posant dlj = d(OPi), dl2 = d(OP2) et i*i2 = P1P2 = 1*2 - *\
Cette force a donc pour expression :
a
t? W, , I I dl2 x (dll x rl2)
Ce résultat, qui porte le nom de loi des actions électrodynamiques d'Ampère, permet une confrontation
avec l'expérience. Il constitue souvent le point de départ d'un exposé historique des lois de la magnéto-
statique.
On peut symétriser l'expression de Fj^o en développant le double produit vectoriel :
dl2 x fdl, x ^ j =dl, (dl2- ^ j - ^(dl, -dl2)
L'intégrale double du premier terme s'écrit aussi :
dl, (dl2- ^ ) = i dli i dl2- ^
C2JCX \ rl2/ JC\ JC2 r12
Or, cette dernière intégrale sur C2 nulle, puisque P\ étant fixé :
dl2 = d(OP2) = d(P,P2) = dr12 et ^pl = dr,2 . YJ1 = ^1 = _d f-
l\2 r\2 f\2 \r
11 en résulte : ^ Mo . , I f ,,. 1. \ri2
47T Jet Jc2 r\i
En permutant les indices 1 et 2 , on obtient :
-hl\ é f (dli -dl2) — = —Fi^2 puisque r2i
Jc2Jcx r2\
?2->i = — —/2/1 f f (dli • dl2J — = —Jb'i_2 puisque r2i = —r)2
L'interaction magnétique entre deux circuits fermés vérifie donc V opposition des actions réciproques.
Lorsque les deux circuits comportent deux parties rectilignes disposées parallèlement, à une
distance d (Fig. 13.5b) et que ces portions rectilignes sont suffisamment longues pour admettre
l'approximation de fils rectilignes infinis, la force exercée sur une longueur / de C2 vaut :
' l->2
/21 x Bi avec 1 = /e~
si Ton choisit Oz pour la direction commune des fils rectlignes. Désignant par Oxz leur plan commun,
Bi s'écrit (cf. chapitre 11) :
B, = —— ev d ou F,^2 = l2lez x —- ev = -—l\h ~, ex = -2x10 7,/2- ex
ZTrd 2rrd 2rr d d
Si les fils sont parcourus par des courants de même sens (/i/2 > 0) , ils s'attirent.
Dans le cas contraire {I\h < 0), ils se repoussent. Ce résultat a conduit à la définition légale de
l'ampère (A) :
L'ampère est l'intensité d'un courant électrique qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles,
rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 m l'un
de l'autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à 2 x 10~7 N par mètre de
longueur.

242
13. Électrodynamique des régimes stationna ires
IV. — TRAVAIL ELECTROMOTEUR ET TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE
IV. 1. — Puissance reçue par un conducteur de la part du champ électromagnétique
Dans un déplacement d'une portion de circuit, les charges mobiles se déplacent de
dr = (u + V) dt = dl + d\, et les charges fixes de dX = \dt. Le travail élémentaire de la
force de Lorentz pour un élément de volume d V du conducteur, s'écrit :
ô2 W = d F,„ • (u + V) d t + d ¥f • V d t
avec :
d F,„ = p,„[E + (u + V) x B] d V et d F,- = Pf[E + V x B] d V
On obient, en notant que les forces magnétiques ne travaillent pas.
ô2W = p#II(u + V) EdT) dt + pt\ EdV dt = Pmu-EdP dr + pV-Ed P dt
Le deuxième terme, qui correspond au courant de convection, est nul lorsque le conducteur est neutre
en tout point.
La puissance élémentaire reçue par les charges d'un élément de volume d V par les sources du
champ électromagnétique est donc :
Ô2W
ÔV = —— = p„,E • u d V soit ÔV = E • J d V
Si l'on tient compte de l'expression du courant volumique. En appliquant le théorème d'Ampère
rotB = p0J , et en tenant compte de la relation vectorielle div(E x B) = B • rotE — E • rotB (cf.
annexe 2), la puissance ÔV s'écrit alors :
ÔV = E ■ rot ( — ] d P soit ÔV = - div ( E x — ] d V
VMo/ V Mo/
et puisque rotE = 0 en régime stationnaire.
Finalement, la puissance reçue par le volume V d'un conducteur a pour expression :
V = j -div Ex — ) d^ = -/Ex ( — ) ndS
Jp \ Mo/ Js \/W
d'après la formule d'Ostrogradsky. Ainsi, cette puissance est l'opposée du flux, à travers la surface du
conducteur, du vecteur R = E x (B/julq) . L'énergie électromagnétique reçue 8E^m = V dt, pendant
la durée dt, s'écrit :
ô£rem = -dr <p RndS avec R = Ex( —
Js VMo
Le vecteur R est appelé le vecteur de Poynting, du nom du physicien américain J. Poynting. Notons que
l'énergie reçue est comptée positivement si le conducteur reçoit effectivement de l'énergie,
conformément à la convention généralement adoptée en physique (cf. Thermodynamique) ; le signe moins prend
en compte l'orientation de la normale vers l'extérieur.

Électrodynamique des régimes stationna ires
243
IV. 2. — Travail électromoteur et travail des forces de Laplace
Dans l'expression du travail élémentaire 82W reçu par des charges, il est naturel de dissocier la
part, S2Wm , liée au déplacement dl des charges mobiles le long du conducteur, de celle, ô2Wi, liée
au déplacement global d X du conducteur :
82W = pm(E + V x B) ■ u d t d V + p,„(u x B) • V d t d V = ô2Wm + ô2WL
avec, le conducteur étant neutre :
ô2W,„ = J • (E + V x B) ât d V et Ô2WL = (J x B) • V ât d V
Le premier terme, 8Wm , est le travail électromoteur ; quant au second, ôWi, c'est le travail élémentaire
de la force de Laplace d F^ = (J x B) d V , ou travail de déplacement.
En tenant compte de la loi d'Ohm locale dans le conducteur en mouvement, J = y(E + V x B),
le travail électromoteur s'écrit :
ô2Wm = — ât d V = ô2W, = -ÔPj ât
7
en introduisant la puissance SVj dissipée par effet Joule dans l'élément de volume d P du conducteur
(cf. chapitre 9).
Ainsi l'énergie électromagnétique nécessaire pour assurer le déplacement des charges mobiles dans
le conducteur est entièrement cédée au réseau par l'intermédiaire des forces de frottement, et ainsi
dissipée sous forme thermique (effet Joule). Pour l'ensemble du conducteur, le travail des forces dissipatives
ôWj a pour expression :
f J2
ÔW, = Vjdt = -ÔW,„ = -ât / — d V
Jp y
Quant au travail des forces de Laplace pour l'ensemble du conducteur, d'expression :
ÔWL = ât f (J xB)-Vdfi>
il représente la partie de l'énergie électromagnétique reçue par le conducteur qui est transformée en
travail mécanique. Le conducteur en mouvement apparaît donc comme le pivot de la transformation de
l'énergie électromagnétique en énergie mécanique : c'est un transducteur électromécanique. La trans-
duction correspondante est à la base du fonctionnement des moteurs et des générateurs électriques.
Remarque : Le travail des forces électromagnétiques SW se réduit à :
ât / J-(E + V xB) drv+dr / (J x B) • V d V = ât I J-EdV
J p J p J p
La compensation des deux termes magnétiques était prévisible puisque les forces
magnétiques ne travaillent pas : elle exprime que l'action du champ magnétique sur les charges
mobiles est entièrement transmise à l'ensemble des charges du conducteur sans travail
perdu.

244
13. Électrodynamique des régimes stationnaires
L'analyse énergétique précédente, pour un conducteur en régime stationnaire, peut se résumer
ainsi :
ô£rem + 8£cem = 0 avec 8Ecem = SWj - 8WL
L'énergie électromagnétique reçue par le conducteur et l'énergie électromagnétique créée ôEem
produite en son sein se compensent en régime stationnaire. On peut préciser, en explicitant :
8%m = ~àt I — d V - dt [ (J x B) • V d P
Jv y Jp
La première intégrale, toujours négative, traduit une destruction d'énergie électromagnétique par effet
Joule, alors que la deuxième est soit positive soit négative suivant qu'il s'agit d'un générateur électrique
ou d'un moteur électrique.
IV. 3. — Loi d'Ohm intégrale pour un conducteur en mouvement
Lorsque le conducteur est un circuit filiforme fermé, la transposition Jd^ = / d 1 conduit à :
ô£rem = -et é R.ndS = dr / J • E d V = lât J> E • dl =0
puisque la circulation du champ électrique est nulle en régime stationnaire. D'autre part, en désignant
par R la résistance totale du circuit, on a :
f J2
8W, = -dt — d V = -RI2 dt
Jp y
Quant au travail des forces de Laplace, qui est égal à l'opposé du travail de conversion électromécanique
8WL = — 8WC pour la charge 8q = /d t, il conduit à la définition d'une force électromotrice E selon
(cf. chapitre 9) :
E= — = --!- dr / (J xB) • \ ôV = - (/(dl-B)-V soit E= 6 (\ x B) -dl
<5<7 ôq Jp Jc Jc
La force électromotrice s'identifie ainsi à la circulation du champ électromoteur V x B le long du
circuit. La loi d'Ohm intégrale s'écrit alors :
-RI + E = 0 soit E = RI
Ainsi, un courant peut circuler dans un conducteur filiforme fermé, en mouvement dans un champ
magnétique stationnaire, sans l'adjonction d'un générateur supplémentaire. Nous verrons que ce
phénomène s'interprète comme un cas particulier de l'induction électromagnétique (cf. chapitre 14).
IV. 4. — Expression du travail des forces de Laplace en fonction du flux
a) Flux coupé
Le travail de la force de Laplace agissant sur un élément / dl d'un circuit filiforme, se déplaçant
de dX = Vdr, s'écrit :
<52iyL = /(dlxB) -Vdr = /(dl xB) -d\ = /B- (d\xdl)
En notant que la norme du vecteur âX x dl est l'aire 82SC balayée par l'élément dl au cours du
déplacement d\ (Fig. 13.6), il vient :
82WL = IB-ncS2Sc
nc étant le vecteur unitaire normal à 82SC et de même orientation que dX x dl.

Électrodynamique des régimes stationnaires
245
On appelle flux coupé élémentaire le flux de B à travers la surface balayée 82SC :
82<PC = B • nc 82SC
Comme / est le même en tout point du circuit, on en déduit le travail élémentaire des forces
électromagnétiques en multipliant par / le flux coupé 8<î>c du champ magnétique à travers la surface 8SC
balayée par l'ensemble du circuit, au cours du déplacement élémentaire d K :
8WL = 18$>c avec M>c = é B • nc Ô2SC
S2SC
dX
l> t + dt
Fig. 13.6.
Générateur
de courant
Oc
VU
N
P,
M
d\//
'àSJ/
»^~~^dFL
t t + dt
Fig. 13.7.
x
Remarques : (1) Cette expression de 8WL est valable même si / n'est pas constant. Nous verrons
(cf. chapitre 14) que c'est généralement le cas.
(2) Contrairement aux expressions donnant les actions subies par le circuit, l'expression
du travail des forces de Laplace comporte une contribution non nulle du champ
magnétique propre B„7 créé par le circuit lui-même. En effet, on sait que les forces intérieures,
de somme et de moment nuls, ont un travail non nul lorsque le système considéré est dé-
formable (cf. Mécanique et chapitre 18).
Exemple : Barreau sur rails
Établissons, à partir du flux coupé, l'expression de la force de Laplace qui s'exerce sur un barreau
conducteur, parcouru par un courant d'intensité /, dans un champ magnétique (Fig. 13.7). En négligeant
le champ propre devant le champ appliqué uniforme Ba , il vient :
ÔWL = / / 82<$c = IBa- â\ x dl = IBa • / (dxeA x âyey) = IBa ■ ezadx - hiBa âx
Jmn Jmn Jmn
En identifiant 8WL à FL • d \ = FLx d x, on trouve :
FLrX = IaBa et donc ¥L = IaBa eA = /lx Ba
b) Cas d'un circuit de composition matérielle constante
Considérons la surface fermée constituée par l'adjonction, à 8SC, des deux surfaces S et Sf
s'appuyant respectivement sur les deux contours C et C qui coïncident avec les positions du circuit C
aux instants voisins t et t' = t + ât (Fig. 13.8).

246
13. Électrodynamique des régimes stationnaires
Fie. 13.8.
Le flux de B à travers cette surface est nul :
/ B • n,A dS + / B' n'ex âS + ô®c = 0
Js Js'
Or nex coïncide avec n et n'ex avec —n' ; en outre B est stationnaire : B' = B . En supposant que le
circuit est de composition matérielle constante, il vient :
<P - 0)' + a<î>c. = 0 d'où ô®c = 0(r + d t) - <ï> = d cp
Ainsi, en régime stationnaire , le flux coupé par le circuit C, de constitution constante, est égal à la
variation du flux de B à travers toute surface s'appuyant sur C.
Le travail élémentaire des forces de Laplace s'écrit donc :
Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Maxwell. Il est particulièrement utile lorsque le flux
se réduit à celui du champ appliqué Ba , c'est-à-dire lorsque les phénomènes d'auto-induction sont
négligeables (cf. chapitres 14 et 3). Dans ce cas, on a :
Dans le cas où l'intensité / du courant dans le circuit et le champ magnétique appliqué sont
stationnantes, le travail des forces de Laplace apparaît comme la diminution d'une fonction énergie ElKm :
8WLia = d(/0>„) = - d £/VII avec £/VII = -M\, + Cte
L'interprétation physique de cette énergie potentielle magnétique sera examinée lorsque nous serons
en mesure d'effectuer un bilan d'énergie électromagnétique (cf. chapitre 18), ce qui nécessite l'étude
préalable des phénomènes d'induction.
c) Règle du flux maximal
Appliquons le théorème de l'énergie cinétique à un circuit C, fermé et de composition matérielle
constante, parcouru par un courant stationnaire, qui évolue sous l'action des seules forces de Laplace,
en présence d'un champ magnétique appliqué B„ . Il vient :
d £k = ÔWL ce qui donne A£k = WL = A(/<J>a) > 0
en intégrant et en négligeant le flux propre. Ainsi, à partir du repos, le circuit se déplace de façon telle
que I<Pa augmente. Si / est positif, c'est-à-dire si l'orientation arbitraire de C choisie pour calculer
<£>„ coïncide avec le sens du courant, alors <E>„ croît, d'où la règle dite du flux maximal.

Électrodynamique des régimes stationnaires
247
La mise en évidence expérimentale de cette règle est facilement réalisée : une spire, parcourue par
un courant stationnaire et pouvant tourner autour de l'un de ses diamètres, s'oriente de telle sorte que le
flux d'un champ magnétique appliqué soit maximal. Cette évolution satisfait bien à la conservation de
la somme des énergies Eu + £/Vi,, puisque :
d Ek + d £/v„ = 0 avec Ep
-/<£„ + Cte
IV. 5. — Calcul des actions de Laplace à partir du flux
a) Cas d'une translation
Lorsqu'un circuit C indéformable subit une translation d'ensemble dX, le travail des forces de
Laplace dû au champ appliqué B„ s'écrit :
ÔWL= ((£ Iâ\ xBa) -â\ = FL-6\ = FLÀ dÀ
en désignant par FL^ la composante de la force de Laplace suivant la direction de d X. Comme
8W[= I â <î>a , on obtient la composante FL^ de la force en identifiant :
*M
dA
Si le champ Ba est uniforme, la somme des forces de Laplace est nulle ; on le vérifie aisément puisque le
flux <I\, n'est pas modifié par une translation du circuit dans un tel champ. L'action du champ appliqué
se réduit alors à un couple.
Exemple : Un circuit C\ rectangulaire indéformable MNPQ ( MN = PQ = a , NP = QM = b ),
parcouru par un courant I\ stationnaire, peut se déplacer dans son plan. Ce circuit évolue librement
sous l'action du champ magnétique B2 créé par un fil rectiligne infini C2 parcouru par un courant h
constant (Fig. 13.9).
z>
1
c2
t
Q P
Iy
J
n,
B2®
//M^^
I S
f
C,
N
ot
Po
Fig. 13.9.
Désignons par Oz la direction du fil et par Opz le plan contenant le cadre. En coordonnées
cylindriques (p,(p,z), B2 a pour expression (cf. chapitre 11) : B2 = ^0^2^/(2777?) . Le flux de B2 à
travers C\ vaut donc :
rb rT, fn ,c f(,+"/2M0/2 . , mhb. (po + Cl/r
2up
2tt
po - a/2,

248
13. Electrodynamique des régimes stationnai res
On en déduit :
"Lp
h
A®a _ m>hh ( h
b
277 VPo + a/2 Po - ci/2
Le cadre se rapproche du fil (FLp < 0) si I\h > 0 , ce qui a pour effet d'augmenter le flux,
conformément à la règle du flux maximal.
b) Cas d'une rotation autour d'un axe
On évalue le moment des actions magnétiques qui s'exercent sur un circuit en rotation en exprimant
le travail des forces de Laplace, lors d'une rotation élémentaire d a autour d'un axe À :
ÔWL,l = rL/àâa = Id<Da
Par conséquent :
I
L/A
I-
da
Exemple : Un cadre rectangulaire MNPQ indéformable, parcouru par un courant stationnaire /,
est mobile autour d'un axe À, parallèle à ses deux côtés MN et PQ de longueur b, et passant par
le centre des deux autres MQ et NP, de longueur a (Fig. 13.10a). L'ensemble du circuit est plongé
dans un champ magnétique Bfl radial (Fig. 13.10b) ; ce dernier est créé par un aimant dont les pièces
polaires sont semi cylindriques et par un noyau de fer doux (cf. chapitre 26).
Pôle nord
de l'aimant
Noyau de
fer doux
Pôle sud
de l'aimant
Pôle nord
de l'aimant
Noyau de
fer doux
Pôle sud
de l'aimant
a) b)
Fig. 13.10.
Le travail élémentaire des forces de Laplace s'écrit, dans ce cas :
ôWL = TLAâa = 18®c
où 8<î>c est le flux coupé par le circuit, du champ magnétique à travers les deux éléments de surface
b d À balayés par les côtés MN et PQ . Il s'écrit :
M\. = 2Bab °-^ = BaSâa
en introduisant la surface du cadre S = ab . Par conséquent :

Électrodynamique des régimes stationnaires
249
En équilibrant ce moment à l'aide d'un fil de torsion qui exerce un couple de rappel — Ca , on obtient
l'équation :
ISBa -Ca = 0
Ce résultat est à la base du fonctionnement des ampèremètres magnétoélectriques.
Ordres de grandeur : S = 10 cm2 , C = KT10 N • m , Ba = 0, 3 T et / = KT12 pA .
Dans les moteurs à courant continu, le cadre est constitué d'un enroulement plus complexe, ce qui
permet d'augmenter le moment des forces et de réaliser une rotation continue grâce à des connections
appropriées.
V. — ACTIONS SUR UN DIPÔLE MAGNÉTIQUE RIGIDE
V. 1. — Interaction d'un dipôle magnétique rigide avec un champ magnétique appliqué
Considérons un circuit C rigide, c'est-à-dire indéformable, de surface S et parcouru par un
courant stationnaire / . Ce circuit est caractérisé par le moment magnétique (Fig. 13.1 la) :
M = I[ nâS
i-
de norme constante. Le travail élémentaire des forces de Laplace, s'exerçant sur ce circuit, placé dans
un champ magnétique stationnaire B„ , a pour expression :
ÔWL = I d0>fl = d (/<!>„) = d (I / B„ • n âS j
Si les dimensions du circuit C sont suffisamment faibles pour considérer que Ba est pratiquement
uniforme sur sa surface, nous retrouvons l'approximation du dipôle magnétique que nous avons déjà
introduite (cf. chapitre 12). Il vient alors :
ÔWL = d
/■■
/( / ndSl -Bfl
d {M ■ Ba)
ce qui permet de définir l'énergie potentielle £/v„ d'interaction magnétique du dipôle rigide avec le
champ magnétique Ba :
1 U----- v J*
c JEU
a) b)
Fig. 13.11.
Exemple : Énergie d'interaction de deux dipôles magnétiques rigides

250
13. Électrodynamique des régimes stationnaires
L'énergie d'interaction entre deux dipôles magnétiques rigides A\ et Aj, de moments magnétiques
mi et ni2 , est l'énergie du dipôle j42 dans le champ magnétique produit par le dipôle Ai (Fig. 13.1 lb) :
£/v„ = -m2 -B,(A2) avec :
^Mi) = ^z— -^ ei2 = — et r,2 = A,A2-r2-r,
fi0 3(111] •e12)e12 -mi r)2
= eï2 = —
4-77- rJ,2 n2
Par conséquent :
/xo m, m2 - 3(mi • e12)(m2 • eï2)
£,
'p,m
Au
L'expression de SPjm est évidemment invariante par permutation des indices 1 et 2. Elle varie en r-3 et
n'est pas centrale, puisque fonction de l'orientation relative des dipôles. Notons qu'elle est analogue à
celle relative à l'interaction de deux dipôles électriques (cf. chapitre 5) ; les positions d'équilibre stable
sont celles étudiées en électrostatique (cf. chapitre 5 et Exercices).
À titre d'exemple, calculons en eV l'énergie potentielle minimale de deux dipôles magnétiques, de
moment égal à /ulb — 9,27 x 10~24 A • m2 (magnéton de Bohr) et distants de a = 0,2 nm :
ç M 2/4 in-7 2/4 nn ,r
£>P,m = —A T~ = -10 —r = -0, 13 pxv
4tt a* a5
a) Force et moment agissant sur un dipôle magnétique rigide
On déduit de ce qui précède la force de Laplace :
FL = - grad£/v„ - grad(A4 • Ba)
la dérivation s'effectuant par rapport aux coordonnées du point où se trouve le dipôle. Ainsi la
composante Fx s'écrit :
* = |(.M.Bfl)
Lorsque le champ Ba est uniforme, ¥L = 0 et l'action des forces de Laplace se réduit à un couple
de moment TL . Notant a l'angle (B„, A4), on obtient :
d(MBacosa)
Tla = — = -MBa sin a
da
Le moment s'écrit donc vectoriellement :
TL - M x Ba
Application : Pour visualiser les lignes de champ magnétique, on utilise des grains de limaille de
fer qui matérialisent de tels dipôles magnétiques rigides. Ces derniers s'orientent spontanément selon
les lignes du champ Ba et se concentrent vers les régions de champ intense. On obtient ainsi un spectre
magnétique qui permet de connaître la topographie d'un champ magnétique. Un barreau aimanté, mobile
autour d'un axe, s'oriente selon les lignes d'un champ appliqué : c'est le cas d'une boussole dans le
champ magnétique terrestre.
Remarque : En réalité, sous la seule action des forces de Laplace, le dipôle oscille sans s'immobiliser
dans la position d'équilibre. Cette position ne peut être atteinte que sous l'effet de forces
supplémentaires de frottement visqueux ou solide (au niveau du pivot dans le cas de la
boussole).

Électrodynamique des régimes stationnaires
251
CONCLUSION
Retenons les points essentiels.
(1) Dans un conducteur, la loi d'Ohm locale J = yE reste valable, avec une très bonne
approximation, en présence d'un champ magnétique B stationnaire, pourvu que E soit exprimé dans le
référentiel où le conducteur est immobile. Dans un référentiel où le conducteur est mobile avec une vitesse
V , il faut tenir compte du champ supplémentaire V x B .
(2) La force élémentaire de Laplace, qui s'exerce sur chaque élément d 1 d'un conducteur filiforme
parcouru par un courant d'intensité / , s'écrit :
dFL =/dl xB
Alors que le travail de la force magnétique de Lorentz est nul, celui de la force de Laplace en général ne
Test pas.
(3) On en déduit la somme et le moment des forces sur un circuit :
FL = I i dl x Ba et TLi0 = 1 f OP x (dl x Ba)
(4) Cette somme et ce moment peuvent être calculés à partir de l'expression du travail élémentaire
des forces de Laplace 8WL = I d <&(l :
Flj = / -7T- et I La = I ——
ox aa
(5) Lorsque le circuit est rigide, on peut définir une énergie potentielle d'interaction du circuit avec
un champ magnétique appliqué Ba :
Ad étant son moment magnétique.
On en déduit alors les expressions des actions correspondantes :
¥L = grad(A4 • B„) et TL = Ad x Bfl
(6) Dans le cas de deux dipôles magnétiques rigides, de moments magnétiques mi et m2 , distants
de r, l'énergie potentielle d'interaction a pour expression :
/*o m, • m2 - 3(m, • ei2)(m2 ■ e,2)
£,
W"
47T
EXERCICES ET PROBLEMES
PI 3- 1. Moment des forces de Laplace sur une tige conductrice
Une tige conductrice homogène OB, de masse m et de longueur /, peut tourner parfaitement
dans un plan vertical, autour d'un axe horizontal Oz (Fig. 13.12). Son extrémité mobile B affleure
dans une cuve à mercure, ce qui permet le passage d'un courant stationnaire / . On applique un champ
magnétique B uniforme perpendiculaire au plan vertical.
Déterminer la position de repos de la tige. Application numérique : / = 10A, / = 10 cm,
m = 50 g , B - 0, 1 T .

252 13. Électrodynamique des régimes stationnaires
'■ : \ Cuve à mercure
U U
FlG. 13.12.
P13- 2. Différence de potentiel de Hall dans une plaquette semi-conductrice de InAs
(yJëb)
L'étude expérimentale d'une sonde de Hall, à arséniure d'indium (InAs), a permis de tracer la
courbe donnant la tension de Hall V^ en fonction du courant / qui traverse la plaquette. Lorsque le
champ magnétique transversal est de 37 mT, on trouve une droite qui passe par l'origine et par le point
de coordonnées ( 150 mA , 4,7 mV ).
Sachant que l'épaisseur de la plaquette est b — 0, 12 mm , trouver la constante de Hall du matériau.
En déduire le nombre de porteurs de charge par unité de volume.
P13- 3. Effet Hall dans un ruban en cuivre
Un ruban de cuivre, de dimensions transversales a — 0,5 mm et b — 1,5 cm , est parcouru, lon-
gitudinalement selon Oz, par un courant de 60 A ; il est soumis à l'action d'un champ magnétique
B = Bey avec B = 2,5 T, orienté perpendiculairement au plan du conducteur, parallèlement à la
dimension de largeur b . On donne le coefficient de Hall : AH = — 5, 3 x 10~ ' ' m3 • C~ ' et la conductivité
y = 5,8 x 107s-m-'.
1. Calculer la tension et le champ de Hall.
2. Quel est l'angle 6 que fait le champ électrique total E, avec la direction Oz du ruban
conducteur?
P13- 4. Force de Laplace sur une spire conductrice
On place une spire, de rayon R = 12,5 cm, parcourue par un courant stationnaire d'intensité
/ = 8 A , dans un champ magnétique uniforme parallèle à son axe, de valeur 0,2 T .
1. Calculer la force qui s'exerce sur un élément de la spire de 1 cm de longueur.
2. Comment doit-être orienté le champ pour que le rayon de la spire augmente ?
3. Quelle est la valeur de la force qui tend à séparer la spire en deux demi-spires ?
P13- 5. Effet de magnétorésistance
1. Expliciter les composantes du tenseur de conductivité [y(/?)] dans le cas d'un métal placé dans
un champ magnétique stationnaire B = Bez. On introduit la pulsation cyclotron coc = eB/me et
la durée de relaxation r des électrons. On rappelle que la conductivité y0 en l'absence de champ
magnétique est lié à r par la relation yo = nve2T/me , nv étant le nombre d'électrons par unité de
volume.

Électrodynamique des régimes stationnaires
253
2. On considère une plaque métallique, d'épaisseur a , de surface S et placée perpendiculairement
à un axe Ox. Déterminer le vecteur courant volumique qui apparaît lorsqu'on applique entre ses faces
une différence de potentiel U .
3. En déduire la modification relative de la résistance due à la présence du champ magnétique.
Quelle est sa valeur dans un métal de mobilité jul = 4x 10~3 SI et pour un champ magnétique de 1 T ?
P13- 6. Balance de Cotton (5^)
La balance de Cotton (Fig. 13.13), réservé aujourd'hui au seul usage pédagogique, permet de
mesurer un champ magnétique dans une zone où ce dernier est pratiquement uniforme, par exemple dans
l'entrefer d'un électro-aimant. Le circuit mobile est un circuit plan constitué d'une portion rectiligne MN
de longueur /, comprise entre deux arcs conducteurs MQ et NP ; les centres de courbure de MQ et
NP coïncident avec l'intersection O du plan du circuit et de l'axe de rotation. L'équilibre de la
balance est réalisé à l'aide de masses marquées que l'on place sur le plateau accroché à l'extrémité A du
fléau.
1. Trouver les actions de Laplace s'exerçant sur les brins du circuit mobile, lorsque celui-ci est
plongé dans un champ magnétique B uniforme qui lui est perpendiculaire.
2. Écrire la condition d'équilibre. Calculer B pour R = R' = 30 cm, / = 2 cm, / = 5 A et
m = 2 g . Quelle est la sensibilité de la mesure lorsque les dimensions sont connues à 10-2 mm près,
l'intensité avec une précision de 1CT4 , sachant que la balance est sensible au centigramme ?
Fig. 13.13.
P13- 7. Solénoïde plongeur
Deux solénoïdes coaxiaux indéformables S\ et 62 , de sections circulaires, comportant
respectivement ri\ et ni spires jointives par unité de longueur, sont parcourus dans le même sens par des courants
stationnaires I\ et I2 (Fig. 13.14). Le solénoïde S\ pénètre en partie à l'intérieur de <S2 (R\ < R2) -
1. En tenant compte des effets de bord pour 62 , déterminer la somme des forces de Laplace qui
s'exercent sur une tranche élémentaire du solénoïde S\ et l'exprimer en fonction du flux du champ créé
par & à travers la surface latérale de cet élément.
2. Calculer la force de Laplace dans le cas suivant : n\ = 200 m-1 , /?2 = 500 m-1 , 1\ = 1 A ,
h = L A, /?, =5 cm.
PI 3- 8. Disque de Faraday ou roue de Barlow Cweb)
Le disque de Faraday ou roue de Barlow est un disque conducteur (rayon R, épaisseur a )
mobile autour de son axe Oz et placé dans un champ magnétique uniforme parallèle à cet axe. Un contact
glissant sur l'axe et un autre sur la périphérie, obtenu à l'aide d'une cuve à mercure (Fig. 13.15),
permettent de faire circuler un courant d'intensité / dans le conducteur.

254
13. Électrodynamique des régimes stationnaires
1. Donner l'expression de l'intensité / en fonction du courant volumique J .
2. Trouver le moment des forces de Laplace en O et calculer sa valeur pour / = 5 A , 5 = 0,2T
et R = 10 cm.
3. On constate que la roue acquiert rapidement une vitesse de rotation constante égale à 240 tours
par minute. Justifier qualitativement l'existence de cette vitesse angulaire constante. Quelle est la
puissance mécanique fournie par la roue ?
S2
■■'mm
FIG. 13.14.
P13- 9. Mouvement de rotation d'un cadre conducteur dans un champ magnétique ^^
Un cadre conducteur carré ABCD , constituée de TV spires identiques parcourues par un courant /
dans le sens ABCD , peut pivoter sans frottement autour de son côté horizontal AB (Fig. 13.16). Il est
soumis à son poids et à l'action d'un champ magnétique B vertical. On désigne par m la masse de
chaque côté du cadre et par / leur longueur.
1. Établir l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur du cadre en fonction de l'angle 6 de
sa déviation par rapport à sa position d'équilibre en l'absence de courant.
2. Quelle est son énergie potentielle magnétique en fonction de 9 ? En déduire l'expression du
moment des actions électromagnétiques.
3. Étudier la position d'équilibre stable du cadre. Quelle doit être la valeur du champ magnétique
pour que la position d'équilibre stable soit rr/6 ? On donne / = 10 cm, / = 0, 1 A , m = 20 g,
N = 200.
4. Trouver la période des petites oscillations autour de la position d'équilibre précédente.
•i .
j D
Fie. 13.16.
\Ri
-H--l-t
Fie. 13.15.

Électrodynamique des régimes stationnaires
255
P13- 10. Configurations stables de deux dipôles magnétiques
Étudier les positions d'équilibre stable de deux dipôles magnétiques rigides, de moments
magnétiques ni| et m2 , lorsqu'ils ont maintenus à une distance constante r l'un de l'autre, le dipole 1 en O
et le dipole 2 sur le cercle de centre O et de rayon r.
P13- 11. Oscillations de boussoles (^^)
Sur un cercle perpendiculaire à un fil rectiligne vertical, de rayon r — 1 cm et parcouru par
un courant / = 2 A, on place en quatre points équidistants Mi,M2,M3,M4 quatre petites boussoles
identiques. Ces boussoles, de moment d'inertie J par rapport à leur axe vertical de rotation, peuvent
être assimilées à des dipôles magnétiques de moment dipolaire m . La direction M^M\ coïncide avec
celle de la composante horizontale B\x du champ magnétique terrestre qui vaut 20 |jlT . On constate
qu'elles oscillent autour de leur position d'équilibre avec différentes périodes.
Comparer les périodes des quatre boussoles à leur période commune Tq lorsque 1 = 0.

14
Induction électromagnétique
À la suite de l'expérience d'Oersted sur les propriétés magnétiques d'un fil parcouru par un courant,
les phénomènes d'induction électromagnétique ont été activement recherchés pendant plus de dix ans ;
ils ont été finalement découverts en 1831 par le physicien anglais M. Faraday.
Après un bref exposé des observations expérimentales décisives, nous donnons l'expression de la
loi d'induction sous sa forme globale. Nous analysons ensuite ses conséquences pour les circuits fixes
et pour les circuits mobiles. Enfin, compte tenu de l'importance et de la multiplicité des applications
industrielles de l'induction électromagnétique (moteurs, alternateurs, etc.), nous illustrons l'étude en
donnant un modèle simplifié de machine tournante.
I. _ APPROCHE EXPÉRIMENTALE
Considérons deux circuits électriques C\ et C2 placés de telle sorte que le flux du champ
magnétique créé par l'un à travers l'autre soit suffisamment important ; Faraday utilisait des circuits bobinés sur
un même manchon et étroitement imbriqués. Le circuit C\ est alimenté par un générateur
électrochimique de f.e.m E, à travers un interrupteur K , et le circuit C2 comporte seulement un galvanomètre G
dont on a repéré les bornes de façon à déterminer le sens du courant éventuel qui le traverse. Les
notations et les sens positifs choisis sont précisés sur la figure 14.1).
Fie. 14.1.
1.1. — Circuits fixes
Dans le cas où les circuits sont fixes, on constate les faits suivants :
Expérience 1
(1) Lorsque l'interrupteur K est ouvert (i\ =0 ), le courant dans C2 est nul ( i2 = 0 ).

Induction électromagnétique
257
(2) Lorsqu'on ferme K , un courant i\ > 0 s'installe dans C\ et, tant que i\ n'a pas atteint une
valeur stationnaire, un courant i2 < 0 circule dans C2 .
Expérience 2
(1) Lorsque l'interrupteur K est fermé avec i\ = Cte , le courant i2 est nul.
(2) Lorsqu'on ouvre K , un courant i2 > 0 circule dans C2 tant que i\ n'est pas nul.
Expérience 3
Si l'on change les polarités du générateur, tous les effets changent de sens.
1.2. — Circuits mobiles
Dans le cas où C\ et C2 sont mobiles l'un par rapport à l'autre, par exemple le long d'un axe Ox,
on constate les faits suivants :
Expérience 1
L'interrupteur K étant fermé et /| > 0, si on éloigne C\ de C2 avec une vitesse Vi = Viev
(V\ < 0 ), un courant i2 > 0 circule dans C2 pendant toute la durée du mouvement.
Expérience 2
L'interrupteur K étant fermé et /[ > 0, si on éloigne C2 de C\ avec une vitesse V2 = V2ex
(V2 > 0 ), un courant i2 > 0 circule dans C2 pendant toute la durée du mouvement.
Dans tous les cas, le courant induit in est d'autant plus intense que le déplacement est rapide.
1.3. — Rôle du matériau
Faraday a établi expérimentalement que, dans chacune des expériences précédentes, si l'on
remplaçait le circuit C2 , qui ne comporte pas de générateur, par un autre circuit Cf0 , géométriquement
identique, mais constitué d'un conducteur différent, le courant induit serait inversement proportionnel à la
résistance R2 du circuit.
Ainsi, lorsque les expériences ne diffèrent que par la nature du matériau conducteur, la quantité
R2i2 ne dépend que de la géométrie de C2 et des variations du champ magnétique.
1.4. — Force électromotrice induite dans un circuit fixe
Dans les expériences précédentes sur les circuits fixes, le processus qui produit le courant induit
dans le circuit C2 fournit, pendant la durée d/\ un travail SWg . Désignons par ôq la charge
électrique qui traverse une section quelconque du circuit pendant cette durée. Conformément à la définition
adoptée de la force électromotrice d'un générateur en régime stationnaire (cf. chapitre 9), la f.e.m e(t)
d'induction électromagnétique est :
Appliquons le théorème de l'énergie cinétique aux charges mobiles. En négligeant toute variation
d'énergie cinétique et en désignant par ôWf le travail des forces autres que celles qui sont à l'origine du
courant induit, il vient :
d£k = ÔWg + 8Wf = 0
Dans ces expériences, ces forces se réduisent aux forces de frottement dissipatives responsables de
l'effet Joule : ôWf = —Ri2 d t. Il en résulte, puisque ôq = / ât, que :
eôq -Ri2 ât = 0 soit e(t) = Ri(t)

258
14. Induction électromagnétique
D'autre part, on sait que, dans le volume V du conducteur, le travail fourni aux charges par le champ
électromagnétique s'exprime par (cf. chapitre 13) :
ÔWg = dt I E-Jdf>
J v
puisque seule la partie électrique de la force de Lorentz travaille. Dans le cas d'un circuit filiforme où
J d V — i dl, ce travail s'écrit :
ÔWg = iât i E-dl = ôq i E dl
On en déduit que, dans un circuit fixe :
e(t) = 0 E-dl
Comme e(t) est ici égal Ri(t), on voit qu'en général, le champ électrique n'est pas à circulation nulle
sur un contour fermé ; la force électromotrice induite est précisément égale à sa circulation le long du
circuit.
Notons que, dans l'expression de e(t), aucune caractéristique matérielle du circuit n'apparaît, ce
qui est conforme au résultat de Faraday : la f.e.m induite est indépendante de la nature du matériau ; elle
ne dépend que de sa géométrie et des variations du champ électromagnétique.
La formule donnant e(t) s'écrit également en introduisant la force F susceptible de mettre en
mouvement une charge q dans le circuit :
e{t) = i - dl
Je Q
Remarque : La charge ôq qui traverse une section du circuit dépend de cette section lorsque le régime
est rapidement variable (cf. chapitre 16). Le concept de f.e.m n'est donc utilisé qu'en
régime lentement variable.
II. — LOIS DE L'INDUCTION
Les expériences de Faraday s'interprètent complètement à partir de deux relations générales : la
conservation du flux de B et la loi d'induction de Faraday.
II. 1. — Conservation du flux de B
En régime variable, le champ magnétique est à chaque instant à flux conservatif, ce que l'on traduit,
pour toute surface fermée S , par :
é B-nd<S = 0
II. 2. — Loi de Faraday
La force électromotrice induite dans un circuit filiforme C, immobile dans le référentiel 1Z où le
champ magnétique est B , a pour expression :
e(,) = _^W où <D(r)= / B nd<S
est le flux de B à travers une surface ouverte S quelconque s'appuyant sur C ; <3>(f) ne dépend donc
que du temps et de la géométrie du circuit C.

Induction électromagnétique
259
Une augmentation du flux à travers le circuit (d <E>/ d t > 0) entraîne l'apparition d'une f.e.m qui
tend à faire circuler un courant négatif. D'où la loi de Lenz : le courant induit crée un champ magnétique
dont le flux s'oppose à l'augmentation de flux que Ton impose.
Ce résultat est évidemment indépendant du système de convention adopté. Il convient de noter aussi
que la loi de Faraday, e(t) = — d<î>/d/\ est indépendante des lois précédemment établies (Coulomb,
Biot et Savart, Ohm ...). C'est une loi expérimentale nouvelle, à la base de nombreuses applications, en
particulier de la production industrielle d'électricité.
Remarques : 1) La relation traduisant la conservation du flux de B est valable à chaque instant. Ceci
est essentiel pour que 4>(f) soit déterminé par la seule donnée de C et de B . Elle fait
donc partie de la loi de l'induction au même titre que l'équation de Faraday.
2) Contrairement à l'usage, nous n'avons pas évoqué d'emblée le cas des circuits en
mouvement. Dans notre exposé, ce cas se déduit naturellement de lois de l'induction et de
l'expression de la force de Lorentz (cf. IV).
III. — RELATION DE MAXWELL-FARADAY
III. 1. — Forme intégrale
En explicitant la f.e.m e(t) et le flux <ï> dans la loi de l'induction, on obtient :
e{t)=J)E-â\ et — = —[ B-nâS= [ "^ridS
Je df dtjs Js Ôt
puisque le circuit est fixe. Comme e(t) = — d <ï>/ d t, il en résulte que :
£E-dl=-/.£-dS
Bien qu'établie dans le cas d'un matériau conducteur en régime lentement variable, cette équation est
générale car aucune caractéristique matérielle ou dynamique du circuit C n'y apparaît. Tout comme
la conservation du flux, cette loi traduit une relation de structure du champ électromagnétique (E, B)
indépendante de tout support matériel. Elle est donc encore valable pour un contour fermé quelconque,
fixe dans le référentiel dans lequel on a exprimé (E, B), et pour une surface quelconque s'appuyant sur
ce contour :
Cette relation fondamentale porte le nom d'équation de Maxwell-Faraday. En régime variable
( ÔB/Ôt ^ 0 ), le champ électrique n'est donc pas à circulation conservative.
III. 2. — Exemples
a) Spire dans un champ magnétique alternatif
Une spire circulaire, de rayon /?,, est placée dans un champ magnétique uniforme, perpendiculaire
au plan de la spire et variant sinusoïdalement au cours du temps (Fig. 14.2a) : B(7) = Bm cos(W)ez.

260
14. Induction électromagnétique
a)
FlG. 14.2.
On en déduit aisément le flux de B et la f.e.m d'induction :
d*(r)
b)
<f>(f) = Bm7rRz cos(o)t) et e{t)
dt
= B„,7rR2 ws'm (cot)
d'où l'intensité i(t) du courant dans la spire, connaissant sa résistance R :
B„,itR2w .
i(0 = sin(ûtf)
Sur la figure 14.2 b), on a représenté les graphes 4>(f) et /(r) ; on voit que /(/) est toujours opposé au
taux de variation, d O(r)/ d r du flux, conformément à loi de Lenz.
b) Bétatron
Le bétatron est un accélérateur de particules dans lequel un électro-aimant, crée, un champ
magnétique dépendant du temps dans un tube torique dans lequel on a fait le vide (Fig. 14.3). Le
fonctionnement du bétatron s'explique en appliquant la relation de Maxwell-Faraday : grâce au champ
magnétique variable qui produit un champ électrique d'induction, les particules augmentent de vitesse tout en
se maintenant sur une trajectoire circulaire fixée. On applique la loi de Faraday à cette trajectoire C ,
laquelle ne coïncide avec aucun circuit matériel (cf. Exercices) :
Je dr Js dt
Électro
aimant
Fig. 14.3.

Induction électromagnétique
261
III. 3. — Forme locale
D'après le théorème de Stokes (cf. annexe 2), on a :
é E-dr = / rot En dS
Je Js
Je Js
La relation de Maxwell-Faraday s'écrit donc aussi :
L
d'où, puisque S est quelconque
rotE nd(S = - / -— • n d «S
s Js &
ôb
rotE+ —- =0
at
Cette équation fondamentale, appelée équation de Maxwell-Faraday, traduit localement une propriété du
champ électromagnétique (E,B) qui montre qu'à toute variation temporelle du champ B est associée
un champ électrique. Elle forme, avec l'équation :
divB = 0
qui est l'expression locale de la conservation du flux magnétique, le groupe des équations de Maxwell
structurelles, c'est-à-dire indépendantes des sources du champ.
Contrairement au champ électrostatique, le champ E , appelé souvent « champ électromoteur
induit », peut fournir du travail aux charges électriques du circuit, puisque sa circulation le long d'un
contour fermé n'est pas nulle.
III. 4. — Potentiel vecteur et potentiel scalaire en régime variable
Le champ magnétique B étant un vecteur à flux conservatif ( div B = 0 ), même en régime variable,
on peut introduire un vecteur A , appelé potentiel vecteur tel que (cf. annexe 2) :
B = rot A
Comme on a, pour une surface S quelconque s'appuyant sur un contour C :
Ir
<&= B-ndS= 6 A-d\
la relation de Maxwell-Faraday se met sous la forme :
iE-dr=-i— • d r soit é ( E + —- ) • d r = 0
Je Je Ot Jc V dt J
Ainsi, le champ (E + ÔA/Ôt) est à circulation conservative. Il existe donc, en régime variable, une
fonction V , appelé potentiel scalaire, telle que :
^ dA , ^ ÔA
E + ^— = - grad V soit E = - grad V —
at at
Cette relation montre qu'en régime variable les potentiels V et A sont indissociables. Aussi le couple
(V, A) est-il appelé potentiel électromagnétique.
En régime stationnaire, ce couple se dissocie en un potentiel scalaire électrique et un potentiel
vecteur magnétique, puisqu'on a, alors : E = — grad V et B = rot A . En régime statique, le potentiel
électrique V s'identifie au potentiel électrostatique et A = 0 .

262
14. Induction électromagnétique
III. 5. — Tension aux bornes d'un dipôle électrocinétique
Dans l'étude des circuits électriques, on utilise couramment le concept de tension aux bornes d'un
dipôle, grandeur que l'on mesure à l'aide d'un voltmètre. Quel que soit son mode de fonctionnement,
un voltmètre V est un appareil dont l'indication qu'il fournit est reliée directement à la quantité :
uab
E dl
AVB
cette dernière est la circulation du champ électrique, entre les bornes A et B, le long de la branche
de mesure AVB (Fig. 14.4), dans laquelle est inséré le voltmètre. Cette grandeur, appelée tension, aux
bornes du dipôle est la seule qui soit reliée aux forces ou aux processus mis enjeu dans le voltmètre, et
donc la seule mesurable.
i A
Dipôle D
B
B«0 :
Voltmètre J[
UAD
Fig. 14.4.
Montrons, sur un exemple, comment la tension mesurée aux bornes d'un dipôle peut être reliée
à ses propriétés. Pour cela, considérons un dipôle électrique D fixe, placé dans une région où existe
un champ magnétique variable B(7), et branchons un voltmètre entre les points A et B. Appliquons
la loi de l'induction au contour fermé C (ADBVA ) comprenant le voltmètre. La circulation du champ
électrique E dans le circuit s'écrit :
<bE'dr= Edr+ / E-dr=/ E-dr - uAB = - —-n
Je Jadb Jbva Jadb Js &
dS
Par conséquent :
i*ab
-I '
Jadb
E-dr+-—
ât
d <£>/ d t désignant le taux de variation du flux de B à travers une surface s'appuyant sur tout le contour
C . Si l'on déplace le voltmètre, l'indication qu'il donne n'est pas modifiée pourvu que le flux de ÔB/Ôt
soit négligeable dans la région considérée. Ce n'est que dans ces conditions que l'on peut sans ambiguïté
définir la tension uAB aux bornes d'un dipôle. Dans la pratique, ces conditions sont peu contraignantes,
car les champs intenses sont localisés à l'intérieur des machines électriques.
Dans le cas où le dipôle est un résistor, de résistance r, on a :
d0>
E • d r = ri d'où uAb = ri +
adb d t
i étant l'intensité du courant qui circule de A vers B . Nous expliciterons ultérieurement la tension aux
bornes des autres dipôles usuels (cf. chapitre 17).

Induction électromagnétique
263
IV. — CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE
IV. 1. — Force électromotrice induite dans un circuit mobile
a) Définition de la f.e.m induite dans un circuit mobile
Considérons un circuit C, mobile dans un référentiel 1Z où le champ électromagnétique est
(E, B) . Une charge, au repos dans le circuit, se déplace dans le référentiel 1Z avec une vitesse V
égale à celle du point du circuit où elle se trouve (Fig. 14.5). La force susceptible de la mettre en
mouvement par rapport au circuit est celle qu'exerce sur elle le champ électromagnétique :
F = q(E + V x B)
La f.e.m induite dans le circuit mobile C, à l'instant t, est donc :
e{t) = i - -dl= /(E + VxB)-dl
Fig. 14.5.
b) Expression générale de la f.e.m
Appliquons la relation de Maxwell-Faraday au contour C qui coïncide avec le circuit C, à
l'instant / (Fig. 14.5). On obtient ainsi la circulation du champ E le long du circuit à l'instant t. Il vient, si
S désigne une surface s'appuyant sur C :
iE-d'-/,£-,,ds
Rappelons que cette relation est valable quelles que soient les sources du champ (fixes ou mobiles) et le
mouvement des corps présents dans le champ. Il en résulte l'expression générale de la f.e.m :
e(t) = -/y.ndS+ /(VxB)-dr
Soulignons que cette expression générale de la f.e.m induite ne fait appel qu'à des grandeurs, des
contours ou des surfaces bien définis, à chaque instant, dans le référentiel d'analyse 1Z. Quant à V,
c'est la vitesse par rapport à 7Z du point du circuit réel C qui coïncide, à l'instant t, avec le point
courant du contour d'intégration C . Notons que cette formule s'appuie sur la relation de Maxwell-Faraday,
dans laquelle aucune vitesse n'intervient, ainsi que sur l'expression de la force de Lorentz valable pour
les particules chargées quelle que soit leur vitesse. Elle est donc valable quel que soit le mouvement du
conducteur.

264
14. Induction électromagnétique
IV. 2. — Cas particuliers
Dans l'expression générale précédente de la f.e.m, la distinction entre les deux termes dépend du
référentiel choisi ; dans certains cas, un choix judicieux du référentiel permet de n'en calculer qu'un
seul.
a) Induction statique
Lorsque, dans le référentiel IZ, le contour coïncide avec un circuit fixe ( V = 0 ), comme c'est le
cas dans les alternateurs à induits fixes, la f.e.m se réduit à :
e = - f -— • n d <S
Js àt
On retrouve évidemment le cas étudié en III. On peut écrire également, à l'aide du potentiel vecteur :
e=-£t-dr
b) Induction motionnelle
Lorsque, dans le référentiel IZ, le champ est stationnaire ( dB/dt — 0 ), la f.e.m se réduit à :
i(VxB)-dr
C'est le cas des génératrices à courant continu, du type disque de Faraday ou roue de Barlow, du nom
du physicien anglais P. Barlow (cf. Exercices).
IV . 3. — Exemple : spire rectangulaire dans un champ uniforme
a) Spire fixe dans un champ magnétique tournant
Considérons une spire rectangulaire PQRS, de côtés a et b, immobile dans un plan vertical du
référentiel du laboratoire IZ (Fig. 14.6). Cette spire est soumise à l'action d'un champ magnétique
uniforme tournant B„ , dont les composantes dans IZ s'écrivent :
Ba,\ = Ba cos(o)t) BaY = Ba sin(ûtf) Baz = 0
Un tel champ, qui dépend du temps, a une direction qui tourne dans IZ à la vitesse angulaire co e- À
l'instant t = 0 , la direction du champ est parallèle à Ox. Le vecteur unitaire de la normale positive de
la spire et dB/dt s'explicitent respectivement suivant :
n = cos œq ev + sin a0 ev et ^r" = —coBcl ev sin(a>/L) + coBa ev cos(cot)
ot
ao étant l'angle que fait n avec Ox. Il vient donc :
e{i) — — l —— • n dS = — / Baw[cos aç> s\n(cot) — sin aq cos(cot)] âS
Js vl Js
En intégrant, on trouve la f.e.m d'induction :
e{t) — Baabco s\n(cot — ao)

Induction électromagnétique
265
Remarque : Dans les applications courantes, on ne néglige pas, comme on l'a fait ici, le champ
magnétique créé par le circuit lui-même.
b) Spire en rotation dans un champ magnétique constant
La spire rectangulaire précédente tourne cette fois avec la vitesse angulaire fi autour de l'axe Oz
et subit l'action d'un champ magnétique stationnaire et uniforme Ba = Baex (Fig. 14.7). Nous
négligeons ici aussi le champ créé par la spire elle-même. Le vecteur unitaire de sa normale positive a pour
expression :
n = cos(Hr + ao) ex + sin(Hf + a0) ev
si n, orthogonal à Oz, fait, à l'instant initial, l'angle a0 avec Ox. Calculons la f.e.m due au
mouvement de la spire dans le champ :
e(t)
(VxBj-dr
Comme sur les brins horizontaux (V x Bfl) • dr = 0, seuls les termes associés aux brins verticaux,
identiques en raison de la symétrie, interviennent dans le calcul. Ecrivons les coordonnées d'un point TV
du brin vertical PQ de la spire :
ON
On en déduit sa vitesse
dON
dr
(a/2) cos(Ctt + a0 - tt/2)
(a/2) sin(ftf + a0 - tt/2)
-b/2 <z<b/2
-0/2)flsin(fl/ + a0 - tt/2)
(a/2)ftcos(ftr + a() - tt/2)
0
d'où, en effectuant le produit vectoriel et en intégrant :
-b/2
e(t)
2 / -(«/2)ftcos(ftr + a() - tt/2)B0 dz = B^abilsin(ilt + a())
Jh/2

266
14. Induction électromagnétique
IV. 4. — Loi de Faraday dans les circuits matériels de constitution constante
Nous avons établi expérimentalement la loi de Faraday e(t) = —d 4>/ d t dans le cas où le circuit
était fixe. Nous nous proposons de montrer maintenant que cette loi est encore valable lorsque le circuit
est mobile, pourvu qu'il soit de constitution matérielle constante. Notons que, dans ce cas, on peut
attribuer la vitesse V à l'élément du contour d'intégration C puisqu'il coïncide, à chaque instant, avec
le même élément du circuit C. Le flux <î> varie alors en fonction du temps à la fois par B et par la
surface S sur laquelle on intègre (Fig. 14.8).
n(t+dt)
Fig. 14.8.
Calculons la dérivée du flux <î> par rapport au temps :
d<ï> _ d
~d7 ~ d
-/ B(r,f)-ndS= lim - \ / B(r,f + r) • n âS - / B(r,r)-nd<S
* Js(t) r->0T [.Âs(m-t) Js(t) J
ce qui s'écrit aussi, en ajoutant deux intégrales opposées :
d0>
~d
On a donc :
- = lim-i / [B(r,r+r)-B(r,r)]-nd5+ / B(r,/)-nd<S- / B(r,f)-nd«sl
t r—0 T lys^+T) JS(t+r) JS{t) J
^T-= I ?(r,Ond,S+liml| / B(r,f)-iidsl
Ce deuxième terme peut se mettre sous une autre forme, en tenant compte, à l'instant t, de la
conservation du flux de B ; en considérant la surface fermée constituée par les surfaces S(t), S(t + r) et la
surface AS balayée par le circuit au cours de son déplacement, il vient (Fig. 14.8). :
/ B(r,f)-n(f) dS,+ / B(r,f) ■ n(f + r) dS + / B(r,r)-nrd5 =
0
Comme en outre ncd«S = dlxd\ avec d K = V d t, le deuxième terme dans l'expression de d 4>/ d t
s'écrit :
Par conséquent :
limj-/ B-(dlxd\)l=^ (VxB)-dl
**=[ ?.nd5-/ (VxB).dl
àt Js(l) dt fa,) '

Induction électromagnétique
267
Comme le second membre s'identifie à —e(t), la loi de Faraday s'écrit, ici aussi :
«W = ~d7
Soulignons que la validité de cette expression de e{t) est limitée au cas des circuits de constitution
constante.
Exemple : Spire en rotation dans un champ magnétique tournant
Dans le cas général d'une spire rectangulaire en rotation à la vitesse angulaire II, dans un champ
magnétique B , tournant à la vitesse angulaire œ , la f.e.m e{t) s'obtient aisément à partir de la loi de
Faraday :
d<ï> f
e(t) = avec <J>(f) = / B n âS = Babcos(a - (3)
où a désigne l'angle que fait n avec l'axe fixe Ox et (3 celui que fait B avec ce même axe (Fig. 14.6).
On en déduit :
e(t) = Bab(à - p) sin(a - p)
En faisant a — œq et /3 = cot, on retrouve le cas de la spire fixe dans un champ tournant. Avec (5 = 0
et a = Çlt -f «o? on restitue celui de la spire en rotation dans un champ stationnaire.
V. — CIRCUIT DE CONSTITUTION VARIABLE
Lorsqu'il y a des contacts glissants, la constitution des circuits varie au cours du temps. Il est donc
nécessaire de revenir à la formule générale de la f.e.m e(t), dans laquelle la circulation de V x B doit
être effectuée le long d'un contour C , qui coïncide avec le circuit C, à l'instant t :
e(t) = - f ^ n dS+ /(VxB)-dr
Js vt Je
is Ul Je
V. 1. — Barreau conducteur mobile sur des rails
Considérons le système constitué d'un barreau conducteur MN , de longueur /, de résistance r,
glissant, à la vitesse V = vxeX: le long de deux rails parallèles, perpendiculairement à leur direction
(Fig 14.9). Le système est placé dans un champ uniforme, Ba = Baez, perpendiculaire au plan du
barreau et des rails. Le circuit est refermé en connectant les deux extrémités O et P des rails sur un
voltmètre V.
Le circuit étant déformable, il n'existe pas de référentiel où il est globalement immobile. Le calcul
de la f.e.m e{t) ne peut donc pas être ramené à un cas d'induction statique dans un circuit de
composition matérielle constante. Calculons e(t) à partir de son expression générale en considérant, dans le
référentiel 1Z où les rails sont immobiles, le contour OMNPVO (Fig. 14.9).
Le champ Btf étant stationnaire, il vient, puisque seul le barreau MN est mobile :
e(t) - i (V x Bfl) ■ dr = / (V x Bfl) • dl = (V x Bfl) • MN = -BaVl
Je Jmn
Ordre de grandeur : pour B = 1 T, V = 1 m • s-1 et / = 10 cm , on trouve e = —0, 1 V .
En introduisant d X = Vd t, la f.e.m s'écrirait aussi, à l'aide du flux coupé (cf. chapitre 13) :
e(t)= f (VxBfl).dl = —J- / (dXxdl).Bfl = -^- [Ba-ncô2Sc
Jmn a ' Jmn &* J

268
14. Induction électromagnétique
V. 2. — Circuit à contact glissant
Un solénoïde, de section S, parcouru par un courant stationnaire d'intensité /, produit un champ
magnétique uniforme B„ = Ba ez. Un contact mobile M permet de refermer un circuit comportant un
galvanomètre G , sur TV spires du solénoïde (Fig. 14.10).
Ce circuit étant de constitution matérielle variable, le calcul de la f.e.m e(t) doit être conduit à
partir de son expression générale. Le champ B„ étant stationnaire, il vient, sur le contour C = M PGM :
e(t) = i (V x Bfl) • d r soit e(t) = 0
puisque tous les éléments mobiles de C sont animés d'une vitesse colinéaire à B„ . C'est bien ce que
confirme l'expérience.
Remarque : L'application de la loi de Faraday, sous la forme e = — d<î>/df, serait incorrecte. En
effet, elle conduirait, dans ce cas, au résultat erroné suivant
d<ï> âN
e(t) ^ 0 puisque — = —BaS—— ^ 0
df df
V. 3. — Générateur unipolaire
Le générateur unipolaire, appelé aussi disque de Faraday ou roue de Barlow, est constitué par un
disque de cuivre, tournant uniformément autour de son axe, dans un champ magnétique stationnaire et
uniforme (Fig. 14.11). Deux contacts glissants, l'un sur l'axe en M et l'autre sur la périphérie en TV
permettent de refermer le circuit sur un dipôle électrocinétique extérieur D . Le circuit n'est pas défini
de façon unique puisque le conducteur n'est pas filiforme mais massif entre le centre O du disque
et N. En outre, les points matériels qui assurent la conduction entre O et N changent au cours du
temps.
Il convient de définir un contour C = MONDM et de calculer la f.e.m à partir de son expression
générale. Désignons par B„ = Baez le champ magnétique appliqué stationnaire, R le rayon du disque
et H sa vitesse angulaire. La vitesse des seuls points mobiles du contour, tel que P situé entre O et
N , s'écrit alors : V = flp e^ , p étant la coordonnée cylindrique radiale de P. Il en résulte que :
e(t)
p pN nR
i(Vx Ba) • d r = / (V x Ba) • d r ce qui donne e = / Ba£lp d p
Je Jo Jo
Ba£ïR2
en explicitant et en intégrant.
Ordre de grandeur : pour Ba
: 0,2 T, R = 0, 1 m et fî = 50 tr • s"1 , on trouve e = 0, 31 V

Induction électromagnétique
269
Fie. 14.11.
Remarque : Ici aussi, l'application incorrecte de la loi de Faraday à ce circuit de constitution variable
conduirait à un résultat paradoxal : le flux à travers la surface S s'appuyant sur le contour
C est stationnaire, voire nul si ON est un rayon du disque, alors que l'expérience confirme
l'existence d'une f.e.m induite.
CONCLUSION
De cette étude de l'induction électromagnétique, retenons les résultats essentiels.
(1) La force électromotrice induite est définie de façon énergétique selon :
ÔW„
ôq
Wg étant le travail élémentaire fourni à la charge ôq qui traverse une section quelconque du circuit
pendant la durée d t.
(2) Les lois de l'induction électromagnétique, sous leurs formes intégrale et locale, s'écrivent :
/' <9B
jf*-«"+j£f-'*=o £
B-nd<S = 0
rotE+ — =0
dt
s
divB = 0
(3) La tension uAB aux bornes A et B d'undipôle D est reliée à la circulation du champ électrique
par l'équation :
f ^ . dO
uAB = / E • d r + —-
Cette quantité ne coïncide avec la différence de potentiel qu'en régime stationnaire.
(4) L'expression générale de la f.e.m induite dans un circuit quelconque est :
e{t) =
ndS+ (£(Vx B) -dr
s & Je
e{t)
ce qui, dans les circuits filiformes de constitution constante, prend la forme de la loi de Faraday :
dcÊ
<t> étant le flux du champ magnétique à travers le circuit. Lorsque cette condition n'est pas respectée
(circuit de constitution variable), l'utilisation de l'expression générale précédente est indispensable.
Les quelques exemples étudiés donnent un aperçu du nombre considérable d'applications du
phénomène d'induction électromagnétique.

270
14. Induction électromagnétique
EXERCICES ET PROBLÈMES
P14- 1. Enroulement plongé dans un champ magnétique variable
Un enroulement constitué de TV spires circulaires, de rayon R, de centre O, d'axe Oz, est plongé
dans un champ magnétique variable d'expression, en coordonnées cylindriques (p, <p, z) :
B = Z?o cos f —- j cos(cot) ez
Calculer la f.e.m induite, sachant que B{) = 0, 1 T, N = 50 , R = 10 cm et v = co/{2u) = 50 Hz .
P14- 2. Électron dans un bétatron (5^)
On se propose d'établir la relation à laquelle doit satisfaire le champ magnétique B(p, t) = Z?(p, t) e~,
dépendant de la coordonnée radiale p et du temps, afin qu'un électron dans un bétatron ait une
trajectoire circulaire fixée de rayon p (cf. chapitre 14).
1. En appliquant la loi fondamentale de la dynamique, trouver la norme de la quantité de
mouvement p de F électron et sa dérivée par rapport au temps, en fonction du champ magnétique et du champ
électrique induit supposé orthoradial.
2. En déduire la relation à laquelle doit satisfaire B pour que la trajectoire circulaire soit fixée.
Quelle est alors l'expression de p en fonction du flux <£>(/) de B à travers cette trajectoire ?
P14- 3. Sphère dans un four à induction Cweb)
On place, dans un champ magnétique uniforme et dépendant du temps Ba = Ba s'm(cot) ez, une
sphère de rayon R et de conductivité y .
1. Calculer le courant volumique J qui apparaît dans la sphère, en supposant que le champ créé
par ce courant est négligeable devant B„ .
2. Quelle est la puissance moyenne dissipée dans la sphère par effet Joule ?
3. Expliciter le champ B, créé au centre de la sphère par le courant induit. À quelle condition ce
champ est-il négligeable devant B„ ?
P14- 4. Cylindre dans un four à induction
Mêmes questions que dans l'exercice précédent, la sphère étant remplacée par un cylindre
d'axe Oz , de rayon R et de longueur /. Etudier les deux limites R <^C / et I <^ R .
P14- 5. Indication donnée un voltmètre
Un solénoïde, dont la section droite est un cercle de rayon R, comporte n spires jointives par
unité de longueur parcourues par le courant d'intensité i(t) = /,„ cos (cor) . On peut le considérer comme
infiniment long.
1. On l'entoure d'une demi-boucle conductrice dont les extrémités A et B sont reliées aux deux
bornes d'un voltmètre, de telle sorte que l'ensemble forme une boucle entourant le solénoïde. Quelle est
l'indication fournie par l'appareil ?
2. Même question si la boucle n'entoure pas le solénoïde.

Induction électromagnétique
271
P14- 6. Cadre carré en chute libre ^^
Un cadre métallique carré MNPQ, de côté / et de résistance R , est abandonné sans vitesse initiale,
par rapport au référentiel du laboratoire 7Z = Oxyz, dans une région de l'espace (z < 0 ) où règne un
champ magnétique uniforme et stationnaire B„ = Baey (Fig. 14.12). Au cours de la chute, son plan
coïncide avec le plan vertical Ozx ; à l'instant pris comme origine, le côté inférieur MN du cadre est à
la cote Z = 0.
1. Trouver l'expression de la f.e.m induite dans le cadre à partir de la loi de Faraday. Retrouver
cette expression à l'aide de l'expression générale de la f.e.m.
2. Montrer que le sens du courant induit est conforme à loi de Lenz.
3. Établir l'équation différentielle du mouvement de translation du cadre au cours de la chute. En
déduire l'expression de la vitesse du cadre en fonction du temps.
Q
M
! Oy n
TV
Fig. 14.12.
P14- 7. Déplacement d'un conducteur sur des rails parallèles
Une barre conductrice roule sans glisser sur un double rail formé de deux tiges conductrices,
distantes de / = 10 cm . Sa vitesse de translation horizontale est uo = 5m-s_1 . Elle est soumise à l'action
d'un champ magnétique vertical, uniforme et constant Ba = Baez avec Ba =0,2T.
1. Quelle est la f.e.m qui apparaît entre les extrémités libres A et B des deux tiges ?
2. Entre A et B, on insère un conducteur ohmique, de résistance R = 10 fl. Quelle est la
puissance dissipée par ce résistor ?
P14- 8. Déplacement d'un conducteur sur des rails concourants
Sur deux rails métalliques, concourants en O , faisant entre eux un angle 2a , se déplace, à vitesse
constante v horizontale, un conducteur métallique, perpendiculairement à l'axe de symétrie des rails
(Fig. 14.13). L'ensemble est plongé dans un champ magnétique Ba , vertical, stationnaire.
1. Quelle est l'expression de la f.e.m en fonction de Ba , v et la distance MN des points du contact
du conducteur mobile avec le rail ?
2. Trouver l'intensité du courant induit sachant que la résistance du circuit est proportionnelle à sa
longueur : R = Kl.

272
14. Induction électromagnétique
P14- 9. F.e.m dans un disque de Faraday
Un convertisseur, de type disque de Faraday, est constitué par un disque de cuivre, de centre 0 , de
rayon r, qui tourne à la vitesse angulaire fie, autour de son axe, dans un champ magnétique appliqué
uniforme Ba = Baez (Fig. 14.11 voir p. 269). Des contacts glissants M et /V permettent de refermer
le circuit par un dipôle extérieur D . On désigne par / l'intensité du courant dans le circuit.
1. Calculer la f.e.m e sachant que Ba — 1 T, r — 10 cm et H = 3 000 tr • mn_l .
2. Calculer le moment des forces électromagnétiques qui s'exercent sur les charges qui parcourent
un tube élémentaire de courant dans le disque. En déduire le moment TL , au centre O , des forces
électromagnétiques qui s'exercent sur toute la roue. A.N : / = 1 000 A .
3. Quelle équation relie TL , H, / et e ?
P14- 10. Bilan des actions dans un disque de Faraday en régime stationnaire
1. Dans le convertisseur précédent (Fig. 14.11), on a mesuré une résistance ohmique R = 0,001 H
entre les contacts M et N . Quelle est l'équation reliant la tension U au courant / ?
2. Le disque est entraîné par une machine qui exerce sur l'axe un couple moteur de moment r„,.
Les forces de frottement de type visqueux exercent, elles, un couple F/- = —ail , a > 0 . Quelle est,
en régime stationnaire, l'équation reliant F,,,, F/ et Vf ? En déduire le bilan énergétique.
3. Le disque fonctionne en générateur. Quelle est la tension à ses bornes ? Quelle est l'efficacité du
convertisseur?
P14- 11. Étude locale du champ créé par une spire circulaire ^Ë^
Dans le champ créé par une spire Sq , de rayon 7?0 , d'axe Oz et de centre 0, on place une
seconde spire S, plus petite, de rayon R et de même axe, au point de cote <;o . On communique à S
un mouvement de translation sinusoïdale parallèle à Oz : z(t) = Zo + os'm(a)t), zq et a étant des
constantes.
1. Rappeler, sans la calculer, l'expression du champ magnétique créé par une spire parcourue par
un courant stationnaire / .
2. En exprimant de deux façons différentes la f.e.m induite dans S, montrer que la composante
radiale du champ magnétique s'écrit :
Bp(R,z) = --(-^L) avec ( —^ > =—^ —^ dS
Pl } 2\dz/R \dz/R ttRI Js dz
3. Calculer Bp(p,z) au voisinage de l'axe Oz .
P14- 12. Train à moteur linéaire
On assimile le moteur d'un train à moteur linéaire, en mouvement de translation, rectiligne,
uniforme, de vitesse Vev dans le plan horizontal Oxy du référentiel du laboratoire 1Z = Oxyz , à un cadre
conducteur, carré, constitué de N spires de côté b (Fig. 14.14). Ce cadre est soumis à l'action d'un
champ magnétique vertical de la forme : B(jt, t) = Bmcos[co(t — x/Vq)] ez. À l'instant r, l'abscisse
de son centre est Vt. On désigne par R sa résistance, par g = 1 — V/Vq un facteur dit de
glissement et on néglige son inductance propre.

Induction électromagnétique
273
1. Montrer que le flux de B à travers le cadre a pour expression :
O(r) = 2—— sin ^ — J cosfcotf)
2. En déduire l'expression de la f.e.m induite dans le cadre et l'intensité du courant qui y circule.
3. Calculer la puissance des forces de Laplace qui s'exercent sur le cadre. Quelle est sa valeur
moyenne ? Montrer que, suivant la valeur de g , le cadre est freiné ou propulsé par les forces de Laplace.
4. Calculer la puissance moyenne reçue par le cadre dans le cas concret suivant :
/V=100 /? = 0,3m £,„=0,6T co = 6000tr• mn"1 /? = 0,25fl V0 = 60m-s-1 et g = 0,02
zk 4
! |B(,;,t)
i A
! / ?/~
Fie. 14.14.
PI4- 13. F.e.m dans un cylindre conducteur creux en rotation ^OH^
On fait tourner, à la vitesse angulaire H , un conducteur métallique cylindrique creux, de rayon R ,
autour de son axe, dans une région où règne un champ magnétique B. parallèle à l'axe de rotation Oz .
L'épaisseur a de ce cylindre est faible devant R .
Quelle est la f.e.m qui apparaît entre les faces intérieure et extérieure du cylindre? A.N :
B = 0, 1 T, R — 5 cm , a = 1 mm et le cylindre effectue 240 tours par minute.
P14- 14. Moment linéaire ou impulsion d'une particule chargée Cw^
Une particule, de charge q, est en mouvement dans un solenoïde très long, de diamètre 2R et
comportant n spires par unité de longueur. À un instant t, la particule se trouve à une distance p de
l'axe du solenoïde avec une quantité de mouvement po ; on fait alors brusquement passer un courant /
dans le solenoïde.
1. Rappeler l'expression du champ magnétique et du potentiel vecteur créé par le solenoïde.
2. Que devient la quantité de mouvement de la particule ? En déduire que l'impulsion p + qA , se
conserve.

15
Inductances propres et mutuelles
des circuits électriques
Nous avons vu qu'en raison du phénomène d'induction, apparaissaient dans les circuits des f.e.m
induites liées à l'interaction électromagnétique. Nous examinons ici dans le détail le couplage
magnétique qui en résulte entre circuits. Ce couplage s'exprime en fonction de coefficients géométriques
appelés inductances mutuelles et inductances propres des circuits.
Nous ne considérerons que le cas fréquemment rencontré dans les machines électriques
(transformateurs, etc.), de deux circuits.
I. _ INDUCTANCE MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS
1.1. — Circuits filiformes
Considérons deux circuits filiformes C\ et C2, parcourus par les courants stationnaires I\ et /2
(Fig. 15.1).
C,
Fig. 15.1.
On caractérise l'interaction magnétique à l'aide du flux du champ magnétique créé par l'un des
circuits à travers l'autre. Le flux 0)2 , à travers C\ , du champ B2 créé par C2 , est proportionnel au
courant /2 . On peut donc introduire le coefficient suivant qui ne dépend pas de l'intensité /2 :
*12
L\2 = -y-
'2
L'expression de L\i s'obtient en explicitant <E>)2 :
*i2 = / B2(ri) n, dSi = 6 A2(r,) -dn
A2 étant le potentiel vecteur associé à B2 et S\ une surface s'appuyant sur C\ .

Inductances propres et mutuelles des circuits électriques 275
Comme :
A ( \ W T 1 d r2
A2(r,) = —-h f r
4^ Je-, n -r2
il vient :
as W¥ I I dr2-dri v Mo / / dr2-dr,
4^ Jcjc2 lin r2II ~ 4tt/Cl/C2 ||r, - r2
De même, le flux <J>2i , à travers le circuit C2 , du champ magnétique Bj , créé par le courant 1\ , est
proportionnel à /] . On pose donc :
«&21 =La\l\
Explicitons ce flux :
(£2I = / Bi(r2) • n2 d<S2 = è Ai(r2)-dr2
Js2 Jc2
A] étant le potentiel vecteur associé à B| . Comme :
K f \ MO, / drl
Ai(r2) = —/i ^
4^ /c, llr2-ri|
on obtient, en remplaçant Ai par son expression :
^ Mo. / / dr, dr2 /x0 / jf dri • dr2
cp2| = —/, (f) (h _ d ou L2) —
4^ ./c2 Je, llr2 - ri II " 4tt JC: jrCi ||r2
Par conséquent :
uo /* /* dri • dr2
L,o = L>\=M avec M ■■ ^ x x
4tt Jc2JC{ ||n -r2||
Cette expression, donnant l'expression du coefficient d'inductance mutuelle des deux circuits Ci et C2 ,
est appelée la formule de Neumann, du nom du physicien allemand F. Neumann. Le coefficient M ne
dépend que de la géométrie et de la disposition relative des deux circuits ; c'est une quantité algébrique dont
le signe dépend de l'orientation relative choisie pour les circuits. Sa valeur SI se mesure en henry (H).
Exemple : Inductance mutuelle d'un solénoïde et d'une spire
Considérons une spire plane C2 , de rayon r2, placée à l'intérieur d'un solénoïde C\ de n spires
par mètre. Soit 6 = (er,n) l'angle que fait la normale n à la spire avec l'axe Oz du solénoïde
(Fig. 15.2)
En supposant le solénoïde infini, on a : Bi = iM)iil\ ez, I\ étant l'intensité du courant dans le
solénoïde. Il en résulte :
(t>2i = Bi • n2 S2 = julq nl\ ur\ cos 6 d'où M = julq mrr\ cos 0
On vérifie bien la nature géométrique de l'inductance mutuelle et son caractère algébrique : M est
positif pour 0 < 0 < tt/2 et négatif pour tt/2 < 6 < tt .
Notons sur cet exemple que la difficulté de calcul est différente suivant que l'on considère L2i ou
Li2 ; en effet, on ne sait pas expliciter le champ B2 créé par la spire en un point quelconque de l'espace
et donc son flux <f>)2 = M/2 , /2 étant le courant dans la spire.
Ordre de grandeur : Si // = 1000 spires par mètre et r2 = 5 cm , |M| ^ 10 jxH, ce qui montre
que le henry est une unité grande.

276
15. Inductances propres et mutuelles des circuits électriques
i I\
Cx
FiG. 15.2.
FlG. 15.3.
1.2. — Circuits réels
L'approximation des circuits filiformes est généralement suffisante pour le calcul des inductances
mutuelles entre circuits réels. En revanche, elle est insuffisante pour le calcul des inductances propres.
C'est pourquoi il est utile d'établir l'expression de l'inductance mutuelle dans le cas de circuits pour
lesquels on ne peut pas négliger les dimensions transversales (Fig. 15.3).
Soient deux circuits C\ et C2, parcourus par des courants volumiques Ji et J2 . Comme le
flux du champ créé par C2 à travers C\ n'est pas clairement défini puisque C\ ne constitue pas un
contour unique, plaçons-nous d'abord dans le cas où C\ est filiforme, et montrons que le flux du champ
magnétique créé par C2 , à travers C\ , ne dépend pas du caractère filiforme de ce dernier. On a :
3>l2=/A2(rl)-drl=/ \^j -i^dpj.dr^/ J2(r2)-[^ /
Je, Je, L4^ Jv2 lin - r2|| J Jp2 L4tt Jc
dr,
d Th
/c, lin -r2|i
V2 étant le volume occupé par C2 . En introduisant le potentiel vecteur Ai créé par C\ , Q>\2 s'écrit
aussi
<t>i2 = - / J2(r2)-A,(r2) dV2
expression dans laquelle le caractère filiforme de C\ a disparu. Si l'on explicite alors Ai en fonction
de Ji , on obtient l'expression suivante du flux du champ magnétique créé par C2 , à travers C\ , en
fonction des densités de courants :
*.
47r
/. Jv, Jv
J2(r2)-J.(r,)
ni
d P2 dVi
V1 étant le volume occupé réellement par C\ . Comme cf>12 dépend linéairement de J2 , il est
proportionnel à I2 . On a donc :
^2 =J_ f
h hhJv2
J2-A, d?^2
Mo 1
47T /] h
Jl h
In -r2|
dP\ dV2
soit
1
Ji -A2 d??,
Pi
Ainsi, pour des circuits réels, on a encore :
^21
M
L'expression précédente de l'inductance mutuelle M en fonction des densités de courants n'est pas
souvent utilisée en pratique. Cependant, elle montre qu'en général M dépend de la géométrie du système
des deux circuits ainsi que de la répartition des courants. Cette dernière dépendance, peu importante
dans le calcul des inductances mutuelles, devient décisive dans celui des inductances propres.

Inductances propres et mutuelles des circuits électriques 277
II. — INDUCTANCE PROPRE D'UN CIRCUIT
II. 1. — Définition
Tout circuit parcouru par un courant / crée un champ magnétique B dans lequel il est plongé. Le
flux de ce champ à travers le circuit, quand il peut être défini, est donc proportionnel à /. On appelle
inductance propre d'un circuit, notée L, le rapport :
<ï>
L= —
I
Comme l'inductance mutuelle, l'unité SI d'inductance propre est le henry.
II. 2. — Expression de l'inductance propre d'un circuit filiforme
Le calcul de l'inductance propre d'un circuit filiforme est impossible. En effet, au voisinage d'un
fil sans dimension transversale, le champ magnétique B ainsi que le potentiel vecteur A deviennent
infinis et le calcul du flux perd toute signification. Ceci est évidemment dû à l'insuffisance du modèle ;
on doit alors le remplacer par une distribution surfacique ou volumique de courants pour lesquelles B
et A sont finis en tout point.
En appliquant la même méthode que pour le calcul de l'inductance mutuelle de deux circuits réels,
on trouve, puisque les circuits C\ et C2 sont confondus en un même circuit C de volume V :
* = 7 / J(r) • A(r) d V d'où L = j = i / J(r) • A(r) d V
Dans le cas d'une distribution superficielle de courant, cette formule s'écrit, puisque J d V = Js dS :
J,-AdS
I2Js
Exemple : Inductance propre d'un solénoïde rectiligne
Un solénoïde infini, d'axe Oz, de rayon R , de n spires par mètre, parcourues par un courant
d'intensité / , peut être assimilé à une nappe cylindrique de courant surfacique Jv = nle<p (cf. chapitre 11).
On sait que le potentiel vecteur créé par cette distribution cylindrique est, pour p ^ R (cf. chapitre 12) :
_ ppnlp
A/w — e^
L'inductance propre du solénoïde, pour une longueur / est donc :
L=- / / nIe9>-^—eq>RdiPdz=-pJ I ^ d<p dz = p0n27rR2l
Ordre de grandeur : pour n = 1 000 spires par mètre, R = 3 cm et / = 10 cm , L = 0,36 mH.
II. 3. — Autre expression de l'inductance propre
Le courant volumique J étant nul en dehors du conducteur C , l'intégration volumique précédente
peut être étendue à un volume quelconque P qui contient C. Comme B = rot A et qu'en régime
stationnaire J = rot (B/julo) , il vient, en utilisant la relation div(A x B) = B rot A — A rotB (cf.
annexe 2) :
L = — / rot ( — J • A d V = -^ / — • rot A d V - / div f A x — ) d V
I- Jp Vmo/ I1 Up Mo Jp V Mo/

278
15. Inductances propres et mutuelles des circuits électriques
En utilisant la formule d'Ostrogradsky, L s'écrit aussi :
1
l2
Jp Mo I1 Js
A x — ) •ndS
s V Mo/
S étant la surface fermée qui délimite P . Si l'on donne à S une extension infinie, la distribution
stationnaire des courants est équivalente, à grande distance, à un dipôle magnétique (cf. chapitre 12).
Sur S , le potentiel vecteur A décroît alors en \/r2 et le champ magnétique B en 1/r3 . Il en résulte,
puisque S croît comme r2 , que l'intégrale de surface tend vers zéro. Finalement, l'inductance L se
réduit à :
1 Jespace
5!
Mo
âP
l'intégration étant étendue à tout l'espace. On vérifie alors que L est positif'.
À titre d'exemple, retrouvons l'expression précédente de l'inductance d'un solénoïde infini pour
une longueur /. Comme B = pu^nlez à l'intérieur et B = 0 à l'extérieur, il vient :
julo n1!1 d V = julo rf V = juLQ nz ttR1 l
On en déduit l'inductance par unité de longueur : L/l = /ulq n2rrR2 .
Remarque : En remplaçant, dans l'expression de l'inductance mutuelle M en fonction de Ai et J2 ,
le vecteur courant J2 par rot(B2/^o) > un calcul analogue permet d'obtenir une formule
où l'intégration est étendue à tout l'espace :
M
'\h Jc<> 7172 ./espace M()
P
II. 4. — Inductance propre d'un câble coaxial
Considérons un câble coaxial constitué de deux conducteurs cylindriques coaxiaux (Fig. 15.4) ; le
conducteur intérieur, plein, de rayon a est parcouru par le courant d'intensité /, alors que le second,
creux, de rayon intérieur b > a et de rayon extérieur c ~ b , est parcouru par le courant d'intensité —/ .
Fie. 15.4.
Le courant volumique J = I/(ttci2) ez étant uniforme, le champ magnétique B créé par cette
distribution est (cf. chapitre 12) :
B;,
TTO2 2
e^ si p ^ a Be = e^ si a ^ p ^ b et B<n = 0
2up

Inductances propres et mutuelles des circuits électriques 279
L'inductance d'une longueur / de câble s'obtient à l'aide de l'expression précédente de L :
•■-*
W'''(r^H+M'd'(f£&d'!
On distingue deux contributions :
/) La première Lin , qui représente la partie intérieure de l'inductance propre, ne dépend pas du
rayon du câble :
, , Mo "4 0 Mo/
L- = l——— — x 2tt —
4tt2cia 4 8tt
//) La seconde contribution vaut :
/ Mo , (b\ Mo/ . (b
Par conséquent, l'inductance du câble coaxial par unité de longueur, a pour expression :
£ Mo , Mo . fb
— = 1 In -
/ 87T 2tt \a
Ordre de grandeur : Pour un câble coaxial, de ] m de longueur, tel que b/a = 3 , on a :
Lin = 0,05 x 10~6 = 0,05 yuH et Le = 0,2 x 10~6 x In 3 = 0,22 p.H
Remarque : En faisant b infini dans l'expression générale de L//, ce qui correspond au cas d'un fil
rectiligne, on obtient une valeur infinie ; le fil rectiligne n'est donc pas un modèle réaliste
représentant convenablement une portion de circuit du point de vue des inductances. En
outre, ce résultat montre qu'on ne peut calculer l'inductance d'un circuit en ajoutant les
inductances élémentaires de portions de circuit, comme on le fait pour une résistance. Du
fait de la longue portée des interactions magnétiques, le calcul pratique des inductances
propres et mutuelles nécessite la connaissance de la distribution complète des courants.
III. — AUTO-INDUCTION
Comme tout circuit est plongé dans son propre champ, une variation du courant qui le parcourt
entraîne une variation de son flux propre et donc, d'après la loi de Faraday, l'apparition d'une f.e.m.
induite. Si, par exemple, le courant i(t) augmente ( d // d / > 0 ), le flux propre <E>7, = Li augmente
également et la f.e.m correspondante, e = — d<&p/d t = —Lai/dt si le circuit est rigide, est négative.
Cette f.e.m tend donc à faire circuler un courant dans le sens négatif et ainsi s'oppose à l'augmentation
du courant i(t) : c'est la loi de Lenz.
Dans un circuit inductif, le courant ne peut donc pas varier brutalement. Ainsi, lorsqu'on ouvre un
circuit parcouru par un courant intense, le phénomène d'auto-induction s'oppose à l'extinction brutale
du courant (Fig. 15.5) et le prolonge parfois par une étincelle de rupture.
Dans les dispositifs où il est nécessaire d'interrompre un fort courant en un temps très bref,
l'inductance prend alors une grande importance. Par exemple, en électronique de puissance où l'on est conduit
à interrompre brutalement la circulation du courant dans une branche d'un circuit, on fait passer ce
courant dans une autre branche où l'énergie correspondante peut être récupérée.

280
15. Inductances propres et mutuelles des circuits électriques
a)
o
. 15.5.
t— L/r
b)
Dans un alternateur, l'auto-induction est aussi un phénomène en général défavorable. Si 4>„(f)
désigne le flux créé par le champ inducteur, la f.e.m induite est, puisque le flux total est la somme
* = <Dfl(0+L/(0 :
_ d4> _ d4>„ d/
~ dt ~ dt dt
On voit donc que la f.e.m dépend non seulement du flux inducteur que l'on peut contrôler, mais aussi
de l'état de charge du circuit par l'intermédiaire du courant. Ce phénomène, appelé réaction d'induit,
entraîne en général une chute de tension en charge lorsque le courant débité augmente. Aussi compense-
t-on en permanence cette chute de tension par des variations du flux <t>a(t) • Ce réglage est réalisé dans
les centrales de production d'électricité par pilotage informatique. C'est de cette manière qu'une société
de distribution d'électricité, telle que E.D.F, assure une tension efficace constante de 220 V aux usagers.
IV. — INDUCTANCE D'UN ENSEMBLE DE DEUX CIRCUITS COUPLES
IV. 1.
Matrice inductance
Dans le cas de deux circuits C\ et C2 , le flux <I>i du champ magnétique à travers C\ est la somme
de deux contributions ; la première <3>n est le flux à travers C\ produit par lui-même, la seconde, Ojo ,
est le flux du champ produit par C2 :
<J>i = <[),, +<Ë>i2
De même, le flux <î>2 à travers C2 est la somme du flux <J>2i du champ produit par C\ et du flux <$>2\
produit par C2 :
<E>2 = O21 + <ï>22
Comme <E>n = L\I\ , <ï>i2 = MI2 , O21 = Ml\ et <ï>22 = L2/2 , il en résulte :
c^j =L\I\ + MI2 <&2 = MI\ + L2h
Ces relations linéaires peuvent être condensées sous une forme matricielle ; en effet, en introduisant les
matrices colonnes suivantes des flux et des courants :
[*]
Cî>2
et [/] =
on a :
[*] = [L][/] où [L]
L, M\
[M L2\
est la matrice inductance du système des deux circuits, avec Lu = L\, L)2 = L2) = M et L22 = L2 .

Inductances propres et mutuelles des circuits électriques 281
Remarque : Notons l'analogie entre cette matrice carrée des inductances et la matrice des coefficients
de capacité et d'influence de deux conducteurs en équilibre électrostatique (cf. chapitre 8).
IV. 2. — Propriétés des coefficients d'inductance
Alors que L\ et L2 sont positifs, le signe du coefficient M dépend de l'orientation relative des
circuits. Montrons que le déterminant de la matrice [L] est positif. Pour cela, considérons la quantité
positive ou nulle suivante, dans laquelle x est un nombre réel quelconque :
1 f /B, Bo\2 . 1 r Bf . 2x /B, -B9 ^ x1 f B22 ,.
— /—+■*—) d T) = — / — d v + / — " d v + T / — d T)
Moi \/i h J l\ J Mo hh J Mo 1$ J Mo
ce qui donne :
L2x2 + 2Mx + L1 ^ 0
Il en résulte que l'équation du deuxième degré en x, avec L2 > 0 :
L2x2 + 2Mx + L, =0
n'a pas de racines réelles distinctes. Son discriminant réduit, À' = M2 — L\L2, est donc négatif ou nul,
d'où :
det[L] = LiL2 - M2 ^ 0 et M < (L,L2),/2
Il est alors naturel d'introduire le facteur de couplage magnétique entre C\ et C2 :
M
k = 7 tttt avec 0 ^ k ^ 1
{UL2y/2
Le couplage est serré si k « 1 et lâche si /: ~ 0 . Pratiquement, k = 1 signifie que toutes les lignes du
champ créé par C\ traversent également C2 et réciproquement. C'est cette condition que l'on s'efforce
de réaliser dans la construction d'un transformateur.
IV. 3. — Inductance équivalente à deux inductances en série
Considérons deux circuits inductifs couplés magnétiquement. Soit L\. L2 et M les coefficients
d'inductance pour une disposition donnée des deux enroulements A\B\ et A2B2 . On a :
O, = L,/i + M/2 et $2 = MI{ + L2I2
Si l'on place en série les deux enroulements enjoignant les points B\ et A2 (Fig. 15.6a), les intensités
sont les mêmes (f\ = I2 = 1 ) et le flux à travers le circuit résultant est la somme <E> = <E>i + <E>2 • Il
vient donc :
4> = (L, + L2 + 2M)I = LI avec L = Lx + L2 + 2M
I
a) b)
Fig. 15.6.

282
15. Inductances propres et mutuelles des circuits électriques
Si la mise en série est réalisée en reliant 6)
$ = (£, - (£2 et I\ = -I2 = /. Il en résulte que :
<& = (L\ + L2 - 2M)/ = L/ avec
à B2 (Fig. 15.6b), les flux se retranchent
L, +L2
2M
On voit que l'inductance propre équivalente à deux bobinages en série peut varier dans un large
domaine suivant la valeur de M . Par exemple, pour deux circuits identiques (L\ — L2 ) en couplage serré
{k= 1), on a : M = L\ = L2 . Il en résulte que l'inductance L de l'ensemble peut valoir 0 ou AL\
suivant les cas. On utilise cette propriété des couplages magnétiques pour réaliser des résistances sans
inductance : on bobine deux couches superposées identiques sur une même base cylindrique et on les
dispose en série suivant A\B\B2A2 . Les inductances mises en série ne sont donc pas additives, sauf
évidemment si l'inductance mutuelle est négligeable (k ~ 0) .
V. — TRANSFORMATEURS
Dans un transformateur, deux circuits, en général électriquement isolés, sont bobinés sur un même
matériau ferromagnétique (cf. chapitre 26) de façon à réaliser un couplage magnétique maximal par
canalisation des lignes de champ dans le milieu (k ~ 1 ). L'un des enroulements, le primaire, est
alimenté par une source de tension : u\ (t) (Fig. 15.7a). Si on désigne par i\ le courant qui le parcourt,
r\ sa résistance et <î>i le flux total qui le traverse, on a :
ux(t) = r,/,(0 +
d4>i
~d7
Pour le deuxième enroulement, le secondaire :
u2(t) = r2i2(t) +
d<ï>2
~d7
a)
Fig. 15.7.
'1 . . *2
b)
En général les enroulements ont une résistance très faible, de sorte que r\i\(t) et r2i2(t) sont
négligeables devant les f.e.m d'induction. Les équations précédentes se réduisent alors à :
U\
On en tire :
et par conséquent :
d$,
"d7
d/'i d/? d<ï>2 d/i d/o
L,—^4-M-^ et un « —— =M—- + L2-^
dt dt dt dt dt
d^
dt
u\ -M
di2
~dl
1 / d/2
m(112-L2J7
M L\L2 -M2\ d/2
u2 = —u\ + ——
L, V U ) dt

Inductances propres et mutuelles des circuits électriques
283
Comme k œ 1 , c'est-à-dire \M\ ~ (L\L2)^2 , la tension secondaire est reliée à la tension primaire par
la relation approchée :
u2{t) _ M
u\(t) ~ L,
Le rapport de transformation M/L\ s'exprime alors simplement en fonction du rapport des nombres de
spires N\ /N2 dans le primaire et dans le secondaire. En effet, considérons deux solénoïdes S\ et S2 ,
ayant respectivement N\ et N2 spires bobinées sur un même support (Fig. 15.7a). Plaçons-nous dans le
cas d'un fonctionnement à vide du transformateur ( i2 = 0 ) : le flux <ï> du champ magnétique à travers
une section des solénoïdes est le même puisque k = 1 . Ce flux est, comme le champ, proportionnel au
courant i\ (t) qui parcourt S\ et à N\ . Le flux total qui traverse S\ est N\<î>, et celui qui traverse £2
est N2$>. Il en résulte que :
'1 M
d'où la loi approchée :
"2(0 _ A^
u\{t) ~ N\
Ainsi, dans un transformateur idéal, le rapport des tensions aux bornes des deux circuits primaire et
secondaire est égal au rapport des nombres de spires de ces enroulements.
Les transformateurs sont des appareils très utilisés dans la pratique car on souhaite souvent modifier
l'amplitude de la tension variable délivrée par un générateur. Un exemple significatif est fourni par la
distribution du courant électrique : comme le transport du courant est moins coûteux lorsque la tension
utilisée est plus grande, des transformateurs élèvent, par exemple jusqu'à 400 kV , la tension alternative
de 25 kV que délivre un alternateur à la sortie d'une centrale nucléaire. En revanche, à proximité d'une
utilisation domestique, plusieurs échelons de transformations ramènent cette tension à 220 V , ce qui
est compatible avec les règles courantes de sécurité.
Le transformateur apparaît donc comme un appareil essentiel dans la distribution de l'énergie
électrique, puisqu'il permet d'adapter à une utilisation diversifiée l'énergie produite et transportée sous une
forme standardisée.
Remarques : (1) Dans la formule u2/u\ ~ M/L\ , relative à deux circuits, M est un nombre algébrique
dont le signe dépend du choix de l'orientation des circuits. Sur la figure 15.7a, M est
positif puisqu'un courant i\ > 0 crée un flux qui traverse le secondaire dans le sens
de sa normale positive. Pour des raisons techniques, il arrive qu'on ne puisse représenter
la configuration réelle du circuit. On précise alors le signe de M par une convention de
dessin, dite « convention des points », selon laquelle M est positif lorsque les courants
choisis pénètrent dans les enroulements par les bornes pointées (Fig. 15.7b).
(2) Bien que les coefficients d'inductance soient déterminés indifféremment en régime
stationnaire ou en régime quasi stationnaire, il est indispensable, comme la théorie l'a
montré, que les transformateurs soient utilisés en régime variable, sous peine de détériorer
le matériel : les faibles résistances des enroulements ne supporteraient pas le passage de
forts courants stationnaires.

284 15. Inductances propres et mutuelles des circuits électriques
CONCLUSION
Rappelons les résultats essentiels suivants.
(1) L'inductance mutuelle M de deux circuits et l'inductance propre L d'un circuit ont pour
expressions respectives :
M = —i± = -^- et L= —
h l\ I
(2) Alors que L est toujours positif, M peut être positif ou négatif suivant le choix d'orientation
des circuits en interaction.
(3) Le couplage magnétique entre deux circuits joue un rôle capital dans les applications
industrielles. L'exemple des transformateurs est le plus important : retenons la formule donnant le rapport
des tensions aux bornes des deux circuits primaire et secondaire en fonction du rapport des nombres de
spires :
u2{t) _ N2
EXERCICES ET PROBLEMES
P15- 1. Inductance mutuelle d'un fil infini et d'un cadre carré
Déterminer l'inductance mutuelle d'un fil rectiligne infini et d'une bobine plate, constituée de TV
spires carrées identiques, dont les côtés, de longueur a, sont parallèles ou perpendiculaires au fil ; le
centre de la bobine est placé à la distance D du fil.
A.N : N = 200 , a = 5 cm , D = 10 cm .
P15- 2. Inductance mutuelle d'un dipôle et d'un solénoïde ^^
On considère un dipôle magnétique de moment m placé sur l'axe Oz d'un solénoïde infini de
n spires par mètre. Calculer le flux du champ créé par ce dipôle à travers le solénoïde lorsque m fait
avec l'axe Oz l'angle 9 = (Oz,m). Retrouver l'inductance mutuelle d'une spire de rayon r et d'un
solénoïde. A.N : r = 1 cm, n = 1000 et 6 = 0.
P15- 3. Inductance d'un solénoïde torique à section circulaire ^web)
Un solénoïde torique, de N spires et de rayon moyen R, a une section circulaire de rayon a
(Fig. 15.8).
1. Calculer son inductance propre dans le cas où a <^ R .
2. Établir l'expression rigoureuse de cette inductance. A.N : a = 2 cm , R = 5 cm , N = 1 500 .
Quelle erreur commet-on en admettant l'expression approchée précédente ?

Inductances propres et mutuelles des circuits électriques
285
Or
FiG. 15.8.
Fig. 15.9.
P15- 4. Inductance propre d'un solénoïde torique à section carrée
On considère un solénoïde torique à section carrée, constitué de N spires, parcourues par un
courant / et enroulées régulièrement sur un tore, de rayon moyen R et dont la section a un côté a
(Fig. 15.9).
Établir l'expression de son inductance propre. A.N : TV = 1000,7? = 10 cm, et a — 5 cm .
P15- 5. Pince ampèremétrique
Calculer l'inductance mutuelle entre le solénoïde torique à section carrée de l'exercice précédent
et un fil rectiligne placé suivant l'axe du tore. A.N : TV = 1000, R = 10 cm, et a: = 5 cm .
P15- 6. Inductance propre extérieure d'une ligne bifilaire Cw^
Une ligne bifilaire est constituée de deux fils rectilignes, cylindriques, parallèles, parcourus par des
courants, de même intensité /, mais circulant en sens inverses. On désigne par a leur rayon et par D
la distance qui les sépare.
1. Quel est le champ magnétique en tout point M du plan médian Ozx, parallèle aux deux fils et
contenant leurs axes, Oz étant défini par la direction des fils ?
2. Calculer le flux de ce champ à travers la surface rectangulaire du plan Ovc définie par deux
tronçons de fils de longueur /.
3. En déduire F inductance propre extérieure de la ligne bifilaire par unité de longueur. Application
numérique : D/o = 100 .
PI5- 7. Bobinage triphasé
On place trois solénoïdes identiques, de résistance négligeable et d'inductance L, de telle sorte
que leurs axes soient coplanaires et fassent entre eux un angle de 120° (Fig. 15.10a). On désigne par
M leur inductance mutuelle dans cette position.
1. Calculer, en fonction de L et M, l'inductance des dipôles électrocinétiques représentés sur les
figures 15.10b etc.

286
15. Inductances propres et mutuelles des circuits électriques
2. Pour une tension sinusoïdale, de pulsation w et de valeur efficace 24 V, on a relevé les
valeurs suivantes de l'intensité efficace : 72 A dans le premier cas et 1 A dans le second. Calculer les
impédances Lco et Mco.
a) b) c)
FiG. 15.10.
P15- 8. Inductance propre d'une nappe sphérique Cweb)
Le vecteur densité surfacique de courant d'une nappe sphérique, de rayon R, a pour expression
Jv = NI(ez x er)/(2R) , er étant le vecteur unitaire défini au point considéré de la distribution et ez
un vecteur unitaire donné. Calculer l'inductance propre de la nappe, sachant que le potentiel vecteur de
cette distribution, sur la sphère, a pour expression :
A = ^°^(e<- xr)
P15- 9. Transformateurs
Calculer le rapport du nombre de spires dans un transformateur abaissant la tension sinusoïdale de
400 kV à 25 kV . En déduire le rapport M/L\ \ . Même question pour le transformateur qui abaisse la
tension de 25 kV à 220 V.

16
Equations de Maxwell. Approximation
des régimes quasi stationnaires
Les équations de Maxwell sont l'expression la plus générale des lois de l'électromagnétisme
classique et peuvent, à ce titre, être considérées comme les postulats de base de cette théorie.
Elles ont été établies par J.C. Maxwell au siècle dernier (1876). Leur non-invariance dans une
transformation entre deux référentiels galiléens est à l'origine de la transformation de Lorentz-Poincaré,
établie en 1903 par le physicien néerlandais H. Lorentz et le mathématicien et le physicien français
H. Poincaré. Cette nouvelle transformation, qui laisse invariante la vitesse de la lumière dans le vide,
conformément aux observations expérimentales, est à l'origine de la théorie de la relativité restreinte
proposée par A. Einstein en 1905 (cf. Relativité).
Le couplage entre les phénomènes électriques et magnétiques, qui apparaît dans les équations de
Maxwell, permet d'expliquer la propagation des ondes électromagnétiques. Cependant, dans le cas des
régimes lentement variables, la propagation peut être négligée. Dans ce contexte, nous nous proposons
de préciser la validité de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), laquelle est capitale
dans l'étude des circuits électriques en régime lentement variable.
I. — ÉQUATION DE MAXWELL-AMPÈRE
1.1. — Induction et conservation de la charge
Rappelons les deux équations structurelles du champ électromagnétique, l'équation de Maxwell-
Faraday et l'équation locale de conservation du flux du champ magnétique :
rotE + — = 0 et divB = 0
ot
Elles relient d'une part les contributions électrique E et magnétique B du champ électromagnétique et
d'autre part elles expriment la loi d'induction électromagnétique avec la conservation du flux de B .
Nous avons vu qu'en régime stationnaire, le courant volumique J était à flux conservatif :
div J = —dp/dt = 0 . En outre, les équations reliant le champ électromagnétique aux sources, qui tra-

288 16. Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
duisent les théorèmes de Gauss et d'Ampère, s'écrivent localement :
div(t0 E) = p et rot ( — ) = J
En régime variable, l'équation traduisant le caractère conservatif de la charge est incompatible
avec cette dernière équation, puisque :
—- = — div J ^ 0 alors que divrot ( — J = 0
Il faut donc réexaminer les deux équations reliant le champ aux sources lorsque la charge volumique p
varie au cours du temps.
1.2. — Équation de Maxwell-Gauss
L'équation qui traduit le théorème de Gauss se généralise au cas des régimes variables car le flux
du champ électrique à travers une surface fermée quelconque ne dépend pas de l'état du mouvement des
charges. On admet sa validité générale :
div(E0E) = p
C'est l'équation de Maxwell-Gauss.
1.3. — Équation de Maxwell-Ampère
En remplaçant p par div(to E) dans l'équation de conservation de la charge, on obtient
immédiatement :
dp ( ÔE\
^+divJ = div(J + eo-J=0
Le vecteur J + eoÔE/dt est donc à flux conservatif. Aussi remplace-t-on, en régime variable, le
théorème d'Ampère, rot(B/yL60) = J , par l'équation suivante de Maxwell-Ampère :
V/W àt
Cette équation montre que le terme d(£oE)/dt, homogène à un courant volumique constitue, au même
titre que J, une source de champ magnétique ; Maxwell l'a appelé le « courant de déplacement » car
eoE était autrefois appelé le vecteur déplacement (cf. chapitre 21). Nous verrons au chapitre 17 que le
courant de déplacement permet de rendre compte du comportement du condensateur en régime variable.
Exemple : Considérons une sphère de matière radioactive, homogène, de rayon R, qui émet par
désintégration des particules chargées ( a , j3~ ou (3+ ) (Fig. 16.1).
S/
Fig. 16.1.

Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires 289
Cette émission se traduit par l'existence d'un courant de charge. Si le flux de particule est
suffisamment intense pour justifier une description continue, le courant volumique, qui est isotrope, en raison de
la symétrie sphérique, s'écrit :
J = i(r, t) er pour r ^ R
La matière, initialement neutre, acquiert progressivement une charge électrique de signe opposé à celui
des particules émises. Écrivons le bilan de la charge dans une sphère de rayon r (r ^ R), délimitée par
une surface S . Si Q(t) désigne la charge intérieure à cette sphère, on a :
-—= - <Z> J-n d«S dou J = --;—ô~r~er
ât Js 4rrr2 ât
puisque n coïncide avec le vecteur unitaire e,-. Comme tous les plans passant par le point M et par le
centre de la sphère sont des plans de symétrie pour cette distribution de courant, le champ magnétique
B , qui doit être perpendiculaire à tous ces plans, est nul (cf. chapitre 12). On a donc rotB = 0 .
Cependant, les charges créent un champ électrique dont la valeur est obtenue en appliquant le
théorème de Gauss. Par intégration sur la sphère, de rayon r, on obtient :
E-nd(S = - d ou E = Y~ er
s £o 4t7£0 r2
le champ électrique étant radial du fait de la symétrie sphérique (cf. chapitre 4). On vérifie alors que :
d(£0E) i dg
dt Airr2 ât
er
II. — EQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE
II. 1. — Formes locales des équations de Maxwell
En présence de charges, le champ électromagnétique (E, B) satisfait aux quatre équations de
Maxwell suivantes :
<9B
0 l'équation de Maxwell-Faraday rotE -f — = 0
//) l'équation de conservation du flux magnétique divB = 0
//'/) l'équation de Maxwell-Gauss div(toE) = p
( B \ <90oE)
iv) l'équation de Maxwell-Ampère rot — = J
V/V dt
Les deux premières sont les équations structurelles du champ électromagnétique. Les deux autres
relient ce champ aux charges fixes ou mobiles.
On voit que le couplage entre les champs électrique et magnétique, qui est à l'origine des
phénomènes d'induction, est renforcé par le terme de déplacement. L'existence d'un champ électrique E en
un point où existe un champ magnétique B non stationnaire trouve ainsi sa réciproque : un champ
magnétique B existe en un point où règne un champ électrique E non stationnaire. Les équations de
Maxwell forment ainsi un système d'équations couplées dans lequel E et B se présentent comme
deux aspects d'une même entité : le champ électromagnétique (E, B).

290
16. Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
II. 2. — Formes intégrales des équations de Maxwell
Aux équations de Maxwell précédentes correspondent des formes intégrales qui sont, d'une part :
<9B
Edr= / —— -ndS et <iB-nd<S = 0
c Js ot Js
d'autre part :
ie0E-ndS = Q et <*(— J-dr-/
Js Jc\VoJ Js
" fl(goE)
Ôt
nd<S = /
Dans la première équation, Q est la charge contenue, à l'instant f, dans le volume délimité par la
surface fermée S ; dans la seconde, C est un contour orienté quelconque et / la valeur algébrique du
courant traversant, à l'instant t, la surface ouverte S qui s'appuie sur C .
Rappelons qu'en régime variable, le flux du courant volumique J n'est pas conservatif; / dépend
donc du choix de S . En revanche, le flux de ( J + e^dE/dt ), lui, est conservatif.
II. 3. — Relations de passage à l'interface entre deux régions
Supposons que l'espace soit divisé en deux demi-espaces, notés (1) et (2). Orientons un élément
de la surface de séparation (Fig. 16.2), tel que le vecteur unitaire correspondant n)2 soit dirigé de (1)
vers (2).
Fig. 16.2.
Fig. 16.3.
a) Continuité de la composante normale de B
Le flux de B étant conservatif, même en régime variable, la composante normale de B est continue
à la traversée de la surface du conducteur, comme en régime stationnaire (cf. chapitre 11) :
ni2- (B2-Bi) =0
b) Continuité de la composante tangentielle de E
Intégrons la relation de Maxwell-Faraday le long d'un contour rectangulaire orienté C, de
longueur À/, parallèle à la surface et de largeur e {e <c À/) (Fig. 16.3) :
/Edr = - /
Je Jas
dB
~dt
nd<S
Il vient, puisque la surface AS = eàl :
dB
(E2t-Eu)M^-^-neM

Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
291
Comme AS tend vers zéro avec e, la variation de flux magnétique est négligeable. La composante
tangentielle Et du champ électrique est donc, comme en régime stationnaire, continue, ce qui s'écrit :
n12x(E2-E1)=0
c) Discontinuité de la composante normale de E
Nous avons vu que le théorème de Gauss, établi en régime stationnaire, restait valable en régime
variable. Par conséquent, nous avons encore, en désignant par a la charge surfacique éventuellement
présente sur la surface (Fig. 16.2) :
n12-(E2-E,) = -
d) Discontinuité de la composante tangentielle de B
En appliquant la relation de Maxwell-Ampère au contour C (Fig. 16.3), il vient :
(iB-dr -— n âS = julq J n d <S
Je cr hs àt JAS
Lorsque e tend vers zéro, le flux de dE/dt s'annule, d'où la formule déjà établie en régime
stationnaire :
n]2 x (B2 -Bi) = fiiç)Js
3S désignant le vecteur courant surfacique.
III. — POTENTIEL ELECTROMAGNETIQUE
III. 1. — Définition du potentiel. Choix de jauge
Les relations structurelles du champ (E, B) permettent toujours de définir un potentiel
électromagnétique (V, A) dont dérive le champ :
dA
B = rotA et E=-gradV-—-
Ces équations ne définissent pas (V, A) de manière univoque. En effet, le champ (E,B) et donc la
force de Lorentz ne changent pas si l'on remplace le potentiel ( V, A) par un nouveau potentiel ( V', A')
tel que :
<9A dA'
B = rot A = rot A' et E = - grad V — = - grad Vf —
B dt dt
La première relation est vérifiée si :
A' = A + grad/

292 16. Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
où / est un champ scalaire quelconque ; la seconde relation est simultanément vérifiée si :
grad V = grad V - — grad/ = grad ( V - -j- J soit V' = V
La liberté de choix sur le potentiel électromagnétique permet de lui imposer une contrainte qu'on appelle
condition de jauge. Le passage de (V, A) à {V', A') s'appelle un changement de jauge.
III. 2. — Équation du potentiel en jauge de Lorentz
Les équations de JVlaxwell-Gauss et Maxwell-Ampère, jointes à la définition du potentiel, donnent :
div f -gradV- —- ) = — soit AV + — (div A) = - —
V dt J e0 dty } e0
et:
d f , ÔA
rot rot A = julq
J + £o~^gradV Qt
soit, en utilisant la relation d'analyse vectorielle rot(rot A) = grad (div A) — AA (cf. annexe 2) :
AA - eofio-—^- = -^oJ + grad I div A + e0fio —
Comme le produit eq/ulq , caractéristique du vide, est homogène à l'inverse du carré d'une vitesse, on
pose :
c —
£(){10
Les équations précédentes des potentiels se simplifient si on adopte la condition suivante dite jauge de
Lorentz '
divA + l^=0
c2 dt
Les potentiels scalaire et vecteur obéissent alors aux équations analogues suivantes :
a,/ ] d2y P a a l d2A
C1 Ot1 £ç> C1 Ot1
Comme nous le verrons ultérieurement (cf. chapitre 19), ces équations sont caractéristiques de la
propagation d'un signal électromagnétique à la vitesse c~3x 108 m • s-1 .
Remarque : Dans le cas des régimes stationnaires, on retrouve bien les équations de Poisson de
l'électrostatique et de la magnétostatique :
AV = -p/e() et A A = -/ul{)3
la condition de jauge de Lorentz se réduisant alors à celle de Coulomb : div A = 0 .

Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
293
IV. — REGIMES QUASI STATIONNAIRES
IV. 1.
Propagation
La résolution des équations de Maxwell en présence de sources variables (p, J) est délicate. Nous
reviendrons sur cette résolution ultérieurement (cf. chapitre 20), mais mentionnons dès à présent qu'un
choix possible de solution pour le potentiel, dite solution du potentiel retardé, est le suivant :
V(M,r)
4tt£o
J soi
p(P, t - PM/c)
~PM
d?1'
et
^" <J sourc
3(P,t-PM/c)
PM
âV
On voit, à l'aide de ces expressions, que la valeur du potentiel au point M, à l'instant t dépend de la
valeur des sources situées à la distance PM , à l'instant t — PM/c (Fig. 16.4). L'évolution du potentiel
est en retard par rapport à celle des sources ; ce retard est la durée de propagation du signal tp = PM/c
depuis les sources en P jusqu'au point M .
Ce phénomène de propagation, qui est l'une des conséquences prévisibles les plus importantes des
équations de Maxwell, sera analysé en détail au chapitre 19. L'expression du champ (E, B) est déduite
de celle du potentiel (V, A) en dérivant par rapport aux coordonnées spatiales de M et au temps t.
M
Fig. 16.4.
IV. 2. — Approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS)
Si l'évolution des sources au cours du temps est suffisamment lente, c'est-à-dire si la durée T
caractéristique de cette évolution est très grande devant la durée de propagation tp , on peut admettre
que le potentiel et donc le champ suivent instantanément l'évolution des sources. Cette approximation :
est appelée l'approximation des régimes quasi stationnaires, en abrégé F ARQS. On peut alors obtenir
les potentiels à l'aide des mêmes expressions qu'en régime stationnaire, valables à chaque instant :
V(M,t)
— f
4t7E0 Jp
P^-dV et A(M,t)=™
PM V ' ^ 477
l
JCV)
âV
4t7E0 Jp PM v ' ' 4tt Jv PM
L'expression du champ (E, B) est ensuite déduite de celle du potentiel (V, A) grâce aux relations :
dA
B = rotA
et
grad V
dt

294
16. Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
Notons que la relation entre B et A est la même qu'en régime stationnaire puisqu'elle ne fait pas
intervenir de dérivation par rapport au temps ; la dérivation porte sur les coordonnées du point M , où
l'on calcule les effets, alors que l'intégration concerne les coordonnées du point P où se trouvent les
sources. Ainsi :
'j 477./,,
B(A/,0 = -P rot,
'IM
PM
dV
Comme :
avec :
{jM)=jMr0tMi + graàM{TM
rot^ ( 7^7 ) = 7777 r°W J + gradM ( 7777 ) x J
PM
rotM J(P, t) = 0 et gradA
M\PM) PM3
on retrouve la loi de Biot et Savart :
J xPM
B = ^ [
PM3
dV
dV
En revanche, même dans l'ARQS, en raison du terme d'induction —dA/dt, on ne peut plus obtenir E
en calculant l'intégrale :
1 f pPM
4^ Jc) ~PÂP
Explicitons la condition de l'ARQS en terme de distance :
PM
t„ = < T soit PM <^cT = l
c
où / représente la distance parcourue par le signal pendant la durée caractéristique de variation des
sources. Pour un signal périodique, cette durée est la période temporelle T .
Si le signal est sinusoïdal , de pulsation co = 2tt/T , on a :
/W< À0
Ào = cT étant la longueur d'onde dans le vide (cf. chapitre 19). L'ARQS est donc valable pour un tel
signal, si les distances sont faibles devant la longueur d'onde Ào .
Exemples :
(1) Un circuit électrique de dimensions inférieures à 1 m , ce qui est le cas de la plupart des
circuits électroniques usuels, et alimenté par un générateur délivrant un signal de fréquence v , pourra
être étudié dans l'ARQS, si :
A0 > 1 m soit v «C 300 MHz
Cette condition est réalisée dans la grande majorité des applications électroniques usuelles, même de
haute fréquence.
(2) Dans le cas du courant industriel, de fréquence v — 50 Hz, l'ARQS est valable pour des
circuits de dimensions importantes :
r < A0 avec A0 = - = 6 x 106 m = 6000 km
v
Cette distance est bien supérieure à la plupart des longueurs des circuits de distribution.

Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnai res
295
V. — MILIEU CONDUCTEUR DANS L'ARQS
V. 1. — Relations de milieu
Pour résoudre les équations de Maxwell, il est nécessaire d'ajouter à ces équations des relations
phénoménologiques, dites de milieu, car elles dépendent de la nature du matériau considéré, de sa forme
ainsi que des conditions thermodynamiques. Nous envisageons ici l'étude d'un milieu conducteur,
immobile, non magnétique, homogène, linéaire et isotrope pour la conductivité. Ce cas est généralement
celui rencontré en pratique dans les circuits électriques.
a) Loi d'Ohm
Nous avons vu que la loi d'Ohm restait valable, même en régime variable, tant que la durée T
caractéristique des variations était grande devant la durée de collision r des porteurs (cf. chapitre 7).
Dans le cuivre, conducteur typique, r est de l'ordre de 10~14 s. La condition de validité de la loi
d'Ohm est donc largement satisfaite pour un bon conducteur dans l'ARQS : r C71.
Par conséquent, on a :
J-yE
E et J désignant respectivement le champ électrique et le courant volumique à l'intérieur du
conducteur.
b) Neutralité électrique
Examinons la variation au cours du temps de la charge volumique p , en un point M intérieur au
conducteur. Le théorème de Gauss donne localement : div(E()E) = p . D'autre part, la loi d'Ohm dans
le conducteur fournit l'équation :
divE = div f - ) = -divj
\yj y
puisque le milieu est homogène. En tenant compte de la conservation de la charge dp/Ôt = — div J , on
trouve l'équation différentielle suivante :
dP 7 r, ,, v • , / t— f()\ £()
—- H p = 0 d ou en intégrant p = poexp avec t(I = —
ot £o \ rd J y
po étant la charge volumique à l'instant pris comme origine. Ainsi, la charge volumique décroît expo-
nentiellement au cours du temps, avec une rapidité caractérisée par la durée de relaxation diélectrique
tc\ : au bout de quelques rd , le conducteur est neutre en volume.
Exemple : Pour le cuivre, on trouve expérimentalement rd — 4 x 10-14 s, ce qui est négligeable
devant la durée d'évolution T dans l'ARQS.
Ainsi, dans le cadre de l'ARQS, la charge volumique est nulle en tout point intérieur d'un
conducteur : pin = 0 ; comme en régime stationnaire, les charges en excès s'accumulent au voisinage immédiat
de la surface d'un conducteur, d'où l'intérêt du concept de charge surfacique a .
Pour un conducteur dans l'ARQS, on a donc, à la fois :
Tf)<^T r<^T et rd<^T
T étant la durée caractéristique de l'évolution, r la durée de collision, tp la durée de propagation et
rd la durée de relaxation diélectrique.

296
16. Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
V. 2. — Équations de Maxwell dans un conducteur
Dans un conducteur, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit aussi :
/B\ T <9(e0E) / dE\
rotuj=j+V=nE+T"^J
Comme la valeur maximale de dE/dt est de l'ordre de ||E||/T et que T^cr, le courant de
déplacement est négligeable devant celui de conduction. Finalement, dans V ARQS, le champ électromagnétique
à l'intérieur d'un conducteur satisfait aux équations suivantes :
rot ( -^ J « J = yE et div E//; = 0
Dans un conducteur, l'ARQS ne diffère donc des régimes stationnaires que par la prise en compte les
phénomènes d'induction que traduisent les équations structurelles :
ni)
rotE+ — =0 et divB = 0
dt
VI. — EFFETS DE CAPACITÉ
VI. 1. — Courant volumique dans un conducteur en régime variable
Considérons un élément de surface AS d'un conducteur dans le vide, portant une charge A g,
susceptible de varier au cours du temps (Fig. 16.5). Le vide étant exempt de charges, le courant volumique
J n'est différent de zéro qu'à l'intérieur du conducteur :
J/,i = J et Jex = 0
Fie. 16.5.
Appliquons l'équation locale du bilan de charge au volume V d'un cylindre, dont l'épaisseur e
est faible devant ses dimensions latérales définies par AS. Comme ce volume délimité par une surface
S englobe une portion du conducteur et une portion de vide, il vient :
«¥> + { J.»dS = 0
En explicitant les contributions de la surface latérale ASi, de la surface extérieure ASex et de la surface
intérieure ASin (ASex = AS;,, = AS), cette équation donne :
■^- f adS+ I J-ndS-h/ J,/7nd<S+ / J„-ndS = 0

Équations de Maxwell Approximation des régimes quasi stationnaires
297
Comme la contribution de la surface latérale est négligeable (en l'absence de courant surfacique), que
Jex = 0 et que la normale extérieure à À<S/„ est l'opposée de la normale extérieure au conducteur nev,
on trouve :
da da
— - Sin ■ nex = 0 soit Jinn = —-
dt et
Ainsi, en régime variable, le vecteur courant volumique n'est pas tangent à la surface du conducteur ; sa
composante normale est importante au voisinage de cette surface lorsque l'accumulation de charges est
grande et rapidement variable au cours du temps. C'est ce qui se passe sur les armatures d'un
condensateur, d'où le nom $ effet de capacité.
a) Champ électrique au voisinage d'un conducteur
D'après ce qui précède, on a, dans un conducteur, en régime variable :
da
Ji/i • n« = — avec J,„ = yEin
at
Par conséquent, l'équation de passage pour la composante normale de E conduit à :
a , 1 da \ ( £q da
— = nex • (Eex - E;„) = n^. • Eex — soit Eex ■ nex = — [a H —
e0 y dt £0\ y ât
Dans l'ARQS, le deuxième terme dans le second membre de l'équation est négligeable devant le
premier ; en effet, on a :
rd = — < T et
y
âa
dt
^ —- d ou —
T y
da
dt
< \a\ et Eex • n„ w —
Quant à la composante tangentielle de Eex , elle vérifie l'équation :
n^. x (Eex - E/„) = nex x ( Eex - — j = 0
Lorsque l'accumulation des charges est importante, comme c'est le cas sur les armatures d'un
condensateur, la composante normale de Eex est prépondérante. Elle atteint une valeur de quelques kV • m-1
dans un condensateur à air, alors que la composante tangentielle reste faible : elle vaut, dans le cuivre,
pour J « 1 A-mirT2 : Ein = y/y = 0,017 V-irT1 .
Ainsi, au voisinage de la surface d'un condensateur, le théorème de Coulomb est encore applicable
sous sa forme statique :
En revanche, lorsque l'accumulation de charge est faible, le champ électrique est pratiquement tangent
à la surface, ce qui rend négligeable l'effet de capacité.
Remarque : Cette dernière expression n'est plus valable si la fréquence du signal est très grande. Dans
ce cas, on évite l'effet de capacité en éloignant les conducteurs les uns des autres ou en
réalisant un blindage.

298 16. Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
CONCLUSION
Enumérons les points importants.
(1) Parmi les quatre équations de Maxwell, on distingue deux équations structurelles du champ
électromagnétique ( E, B ), car indépendantes des charges et des courants :
rotE+— =0 et divB = 0
ot
Les deux autres qui dépendent des sources s'écrivent :
*,<«*,-, « ~(i)-ags-j
(2) La structure du champ électromagnétique permet de définir le potentiel électromagnétique
(V, A) selon :
B = rot A et E = - grad V - —
On adjoint à ces équations une condition de jauge pour lever en partie l'indétermination du potentiel. La
plus utilisée est la jauge de Lorentz :
1 d\
divA+ —— =0
cl ot
(3) La propagation est négligeable lorsque la durée de propagation tp entre deux points
quelconques du système est faible devant la durée caractéristique T des variations temporelles des
phénomènes. Cette approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) se traduit, en régime sinusoïdal de
pulsation co = 2tt/T = 2ttc/Xo , par la condition :
tp «T ou bien À0 <C /
/ = ctp étant une longueur caractéristique du système.
(4) Dans l'ARQS, qui est capitale pour l'étude des circuits électriques en régime lentement variable,
il est nécessaire de prendre en compte la conductivité, l'induction et l'effet de capacité.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P16- 1. Équation de Maxwell-Ampère dans le vide
Un corps radioactif, en forme de feuille plane d'épaisseur e , se désintègre en émettant des
particules chargées. Au voisinage de la surface, l'émission des particules est homogène et perpendiculaire à
la surface du matériau. Soit Q(t) la charge contenue, à l'instant t, dans le volume d'un tronçon
cylindrique de section S de la feuille.
1. Calculer, en fonction de Q et S, le courant volumique au voisinage de la feuille.
2. Trouver la valeur du champ électromagnétique dans ce voisinage.
3. En déduire le terme de déplacement et vérifier l'équation de Maxwell-Ampère.

Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
299
P16- 2. Jauge de Lorentz dans l'ARQS
Dans l'ARQS, le potentiel électromagnétique (V, A) créé, en un point M , par des charges et des
courants volumiques limités à un volume fini V , peut être choisi selon :
v ' ; 4tt Jv PM v ' ; 4t7£0 Jp PM
1. Calculer dïvM A en utilisant les relations de dérivation suivantes :
div(/Y) = V • grad/ +/div V et gradM ( — ) = - grad^
V étant un vecteur et / un bilan scalaire.
\PM )
\PM )
2. Montrer à l'aide de F équation-bilan de la charge électrique que le choix de ce potentiel est
conforme à la condition de jauge de Lorentz.
PI 6- 3. Choix de jauge pour le potentiel associé à un champ uniforme et constant
1. Montrer que le potentiel (V, A) associé à un champ électromagnétique uniforme et constant
( E = Eo ey , B = Bq ez ) peut être choisi comme suit, respectivement dans deux jauges J\ et J2 :
V\ =-Eoy
1
Bxr
et
V2 = 0 A2 = (B0x-Eot)ey
2. Déterminer le champ de scalaire / qui permet d'effectuer le changement de jauge J\ —» J2 .
3. Un barreau conducteur MN, de longueur /, disposé selon un axe Oy , est animé d'une vitesse
constante \e = veex dans le référentiel du laboratoire 1Z où règne le champ magnétique appliqué
B„ = B0ez (Fig. 16.6). Quelle relation existe-t-il, en régime stationnaire, entre la valeur £0 du champ
électrique qui apparaît à l'intérieur du barreau et Z?o ? Calculer, pour les deux jauges, la circulation des
champs — gradV, — dA/dt et E , entre les extrémités M et N du barreau. Commenter.
PI 6- 4. Transformation de Lorentz pour un champ uniforme et constant ^w^
Dans le formalisme quadrivectoriel de la relativité restreinte, on définit un quadrivecteur potentiel
(A, V/c) (cf. Relativité). Dans un changement de référentiel galiléen, avec la vitesse de translation
\e — veex de TV par rapport à TZ, les nouvelles composantes d'un quadrivecteur se transforment
comme (r,cf) :
x = ye(x - (3ect) y'=y z=z et'= ye(ct - f3ex) avec f3e
c
et
0-ti)
-1/2

300 16. Équations de Maxwell. Approximation des régimes quasi stationnaires
1. Déterminer, dans VJ', le potentiel associé au champ électromagnétique uniforme et constant :
E = £b ev, B — /?o e~. On choisira la jauge J\ de l'exercice précédent PI 6-3.
2. Quel est le champ électromagnétique dans VJ ?
3. Application : le référentiel VJ coïncide avec le barreau dans PI6-3. Évaluer la circulation, entre
M et N, des champs — grad V , —dA'/dt et E' dans VJ . Commenter.
P16- 5. Durée de relaxation diélectrique du cuivre
Calculer la durée de relaxation diélectrique tcj du cuivre, sachant que sa conductivité est
5,8 x 107 S • m-1 . Comparer la valeur trouvée à la valeur expérimentale t(j = 4 x 10~15 s.
Commenter.
PI6- 6. Durée de relaxation diélectrique dans l'eau de mer
Lorsque le milieu est faiblement conducteur et caractérisé par une constante diélectrique e (cf.
chapitres 21 et 28), la durée t(j , s'écrit r^ = ejy . Evaluer cette durée pour l'eau de mer, qui est un
mauvais conducteur ( y — 4, 35 S • m-1 ) de constante diélectrique relative très élevée (er = 81). Dans
quelle gamme de fréquence l'ARQS est-elle vérifiée ?

17
Electrodynamique des régimes quasi stationnaires
Le plus souvent, les circuits électriques sont parcourus par des courants variables au cours du
temps. Il convient donc d'étendre les résultats des régimes stationnaires, afin de prendre en compte les
phénomènes d'induction et de capacité que produisent les champs électromagnétiques variables.
Cette étude est limitée à l'approximation des régimes quasi stationnaires, ou lentement variables,
pour lesquels la durée de propagation du signal électromagnétique entre les divers points d'un circuit
est négligeable devant la durée caractéristique des variations de ce signal (cf. chapitre 16).
Nous supposons que les milieux matériels qui composent les divers éléments des circuits sont soit
des conducteurs (conductivité y ), soit des isolants (permittivité diélectrique e — £0 er ), non
magnétiques, linéaires, homogènes et isotropes.
I. _ EFFETS D'INDUCTION DANS UN CONDUCTEUR
1.1. — Équation à laquelle satisfait le vecteur courant volumique
On exprime la loi de l'induction par les équations de structure du champ électromagnétique (E, B)
(cf. chapitre 14) :
rotE+ —=0 et divB = 0
Ut
Dans l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), les caractéristiques d'un milieu
conducteur linéaire, homogène, isotrope, non magnétique et immobile, sont traduites par les relations suivantes :
i) neutralité électrique volumique : p = 0
ii) loi d'Ohm : J = yE
\d{eoE)\
iii) terme de déplacement négligeable :
« IUII
dt
Les valeurs du champ électromagnétique, à Y intérieur d'un tel milieu, vérifient donc les équations :
div E = 0 et rot f — ) = yE
Pour obtenir l'équation à laquelle satisfait le champ E dans un conducteur, utilisons la relation
d'analyse vectorielle (cf. annexe 2) : rot rot E = graddivE — AE . Il vient :
f 0B\ 0 , ^ DE
AE = "rot —âr =â?(rotB) = Myflr

302
17. Électrodynamique des régimes quasi stationnaites
Comme le conducteur est homogène et isotrope, nous trouvons, en multipliant par y :
83
AJ = Mo7
dt
De même, l'équation à laquelle satisfait B est :
rot rot B = rot(^oyE) = [i^y
dt)
-AB soit AB = /uioy
~dt
Ainsi, dans un conducteur, les champs E , B et J satisfont à la même équation aux dérivées partielles :
A-Moy^)(J,EouB) = 0
On voit qu'en régime variable, où <9(J,E ou B)/dt ^ 0, ces champs ne peuvent pas être uniformes
dans le conducteur puisque A(J, E ou B)^0.
Nous nous proposons de résoudre l'équation précédente, plus précisément de déterminer la
topographie de J, dans deux cas particuliers importants répertoriés habituellement sous les noms de
courants de Foucault et d'effet Kelvin (ou effet de peau).
Remarque : Notons que ces équations diffèrent d'une équation de propagation par la présence d'une
dérivée d'ordre 1 et non 2 par rapport au temps. Ce sont des équations analogues aux
équations de diffusion étudiées en thermodynamique : diffusion de particules et diffusion
thermique de l'énergie. Elles sont fondamentalement irréversibles (cf. Thermodynamique).
1.2. — Courants de Foucault dans un conducteur massif
On place un conducteur, de volume V , dans un champ magnétique appliqué uniforme B„, créé
par des sources extérieures. En régime variable, il apparaît, en raison des phénomènes d'induction, un
champ électrique induit Ej tel que :
rotE, + ^=0
dt
d'où l'existence dans le conducteur, de courants induits, ou courants de Foucault (du nom du physicien
français P. Foucault), de vecteur densité volumique Ji = yE\ .
Pour analyser en détail les courants de Foucault, nous considérons, dans la suite, le cas simple mais
important d'un conducteur cylindrique (rayon a, hauteur h) plongé dans un champ magnétique B«,
orienté selon son axe de révolution Oz (Fig. 17.1).
B„(i) I
Fig. 17.1.

Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
303
a) Courants induits dans Vapproximation d'un champ magnétique uniforme
Supposons, dans une première approximation, que le champ magnétique reste identique au champ
appliqué :
B = Ba = Ba(t)ez
Le système étant invariant par rotation autour de Oz et par translation le long de cet axe (si on le suppose
infiniment long), on peut mettre Ji sous la forme : Ji = yE\(p,t), p étant la distance radiale des
coordonnées cylindriques (p, <p. z) .
Tout plan passant par M et contenant Oz est un plan d'antisymétrie pour l'ensemble conducteur-
sources de Ba . Le champ électrique et le courant volumique sont donc dirigés suivant la normale à ces
plans, c'est-à-dire suivant e^ :
Ji = y£,](p,r)e^
Il en résulte que les lignes de courant sont des cercles concentriques centrés sur l'axe dans des plans
z = Cte . Adoptons comme contour d'intégration de la relation de Maxwell-Faraday une telle ligne C ,
de rayon p et orientée selon e^ . La f.e.m d'induction a por expression :
e= i Ei -dr= -— / B„ • n dS
Je dtJs
En choisissant pour S la surface plane s'appuyant sur C, n coïncide avec ez. Le champ Ba étant
uniforme et Ej de norme constante, il vient :
r n dB« ? v * i? l dB« ♦ ï y dB"
E]x2ttp = VT^P" d OLl E]=~2P~T~ 2P~d^e<p
Les courants de Foucault sont donc plus intenses à la périphérie du conducteur. Remarquons que leur
sens, suivant e^ si d Ba/ d t < 0, obéit à la loi de Lenz : en effet, le champ magnétique additionnel Bj
créé par Ji , selon ez, tend à compenser la diminution du champ extérieur Ba .
En outre, ces courants sont d'autant plus intenses que Ba(t) varie rapidement dans le temps. Pour
préciser ce point, examinons le cas d'une variation sinusoïdale Ba = Ba^n cos(^tf) . Alors :
yco
Ji = —p£fllllIsin(û>/)e<p
d'où l'on conclut que l'amplitude des courants induits augmente linéairement avec la fréquence
v = co/2tt .
b) Puissance dissipée par effet Joule
Calculons la puissance volumique dissipée par effet Joule dans le conducteur (cf. chapitre 13) :
8V -F I -7'
En intégrant dans le volume V du conducteur, on obtient :
V = - / J\ d V = ^-/£(IIAsinV) / p227rp dp
soit, puisque V — ira2h :

304 17. Éle et m dynamique des régimes quasi stationnai res
La puissance volumique fournie aux charges est donc, en moyenne dans le temps :
V \ 1 f1 o 1 l fT o 1
— = -yco2Blma2 — j s\n2(cot) dt = — yù)2B2ama2 puisque — J sin2(arf) dt = -
Tci étant une durée très grande devant la période T — 2tt/co .
Cette puissance dissipée est donc d'autant plus grande que y et co sont grands et que le conducteur
est massif.
c) Applications
On diminue les courants de Foucault dans les conducteurs en divisant ces derniers en feuilles ou
fibres. Celles-ci sont séparées par un isolant et orientées parallèlement au champ. Ainsi, en remplaçant
le conducteur cylindrique, de rayon <:/, par des fils conducteurs de rayon b = a/n , tels que le volume
total soit inchangé, les pertes moyennes par unité de volume sont divisées par n2 :
^ ' >R2 ,2 ' ?
V \6Y ajn n2 P
C'est ce qui est réalisé dans les noyaux de bobines et dans les transformateurs (cf. chapitres 22 et 26).
En revanche, lorsqu'on veut obtenir un échauffement important dans un conducteur ( y et V
fixés), on augmente généralement la fréquence v du champ. C'est ce que l'on réalise dans un four
à induction : le matériau conducteur est chauffé, alors que son support isolant reste froid ; un tel
échauffement est efficace puisque les fours à induction permettent d'atteindre la fusion du conducteur.
d) A nalyse plus précise
Dans le calcul précédent, nous avons supposé que le champ magnétique restait uniforme dans le
conducteur. En fait, les courants induits Ji créent un champ B], lequel se superpose à celui des sources
extérieures, modifiant ainsi la topographie du champ magnétique total. Cette modification peut être
évaluée à partir du théorème d'Ampère (cf. Exercices). Cependant si le régime devient rapidement variable,
cette nouvelle approximation doit à nouveau être remise en cause. En effet, le champ magnétique B] (t)
modifie par auto-induction la topographie de J qui devient J = Ji + J2 •
En répétant ce raisonnement, on voit que la solution pour B et pour J se met sous la forme de
développements en série :
B = B() + B, + • • • + B„_, + • • • et J = J, + J2 + • • • + J„ + • ■ •
avec :
B0 = B„ rot — = JfI et rot + -— = 0
\tM)J \ 7 J dt
Les différents termes du développement sont d'un ordre de plus en plus élevé en fréquence. En fait,
lorsque la fréquence est très élevée, il est souvent plus judicieux de résoudre globalement les équations
différentielles auxquelles satisfont le champ résultant B et le courant volumique total J . C'est ce que
nous allons faire dans le cas d'une géométrie plane.
1.3. — Effet Kelvin ou effet de peau
Considérons un conducteur dans lequel on veut faire circuler un courant variable d'intensité
donnée. Aucun champ magnétique extérieur n'étant appliqué, seul le champ propre est responsable des
phénomènes d'induction, précisément d'auto-induction. La solution pour le courant volumique J et le
champ magnétique B dépend de la forme du conducteur. Supposons que celui-ci soit allongé de telle
façon que les lignes de J soient orientées suivant une direction fixée donnée : J = /vev.

Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
305
a) Épaisseur de peau
Localement la surface du conducteur peut être assimilée à un plan. Choisissons l'axe Oz
perpendiculaire à ce plan, au vecteur J et orienté vers le centre du conducteur ; z. représente la profondeur
dans le matériau (Fig. 17.2).
Fie. 17.2.
Le système étant localement invariant par translation parallèle au plan Oxy, les champs ne dépendent
que de z et de / : J = Jx(z, t) ev = E/y et B = B(z, t) . L'équation à laquelle satisfait J donne donc :
d2Jx
d:
Y = Moy-
a/.v
dt
Plaçons-nous dans le cas important d'un régime sinusoïdal :
Jx(z,t) =Jm{z)cos[û)t-<f>(z)]
et utilisons la notation complexe. Il vient :
Jx{z, t) = Re {lx{z, t)} avec 7v(z, /) = ylfI(z) exp{-/>r - <f>(z)]} = Ijz) exp(-iW)
ou J-m(z) = J>n{z) exp[icf)(z)} est l'amplitude complexe du courant volumique. Sa détermination permet
de connaître la variation de l'amplitude réelle J,n(z) et de la phase </>(z) du courant volumique avec la
profondeur z dans le conducteur. En notant que :
d2Jx d2Jm . . . dJx
-icoJ_mQxp(—icot)
on obtient l'équation différentielle suivante, à une seule variable :
+ icoyfio lm = 0
dz2
Cherchons une solution de la forme J/;/ = Aexp(rz) , r étant complexe. L'équation caractéristique :
r2 + itoy/uiç) = 0 donne r = ^—icoy/uLu)1'2
En remarquant que :
il vient :
: N/exp(-/7r/2) = exp(-/7r/4) = cos(tt/4) - /sin(7r/4) = (1 - i)/VÎ,
±(1_0(^)1/2 = ±(,_0I avec 8={^~U2
V 2 / o \û)/uLoy

306
17. Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
Il en résulte que J_m a pour expression générale :
yB=d,exp(|-,j)+4aexp(-|+/|)
Comme le courant volumique reste fini lorsque z tend vers l'infini, la constante Ax est nulle. Si Jq est
l'amplitude réelle du courant volumique à la surface (z = 0), on a J_m{fy = A2 = Jq , d'où :
Jm{z) = Jo^xp {-^J et 0(z)
z
Finalement :
j = j0 exp (-| J cos (g* - | j ev
Sur la figure 17.3, on a représenté les graphes de Jm(z) et de <£(z).
0 Jp Jrn(z) 0
FiG. 17.3.
Ainsi l'amplitude réelle du courant J,„(z) — Jotxp(—z/ô) décroît exponentiellement lorsque l'on
s'éloigne de la surface et sa phase <f>(z) — z/ô varie linéairement avec la profondeur. Pour z valant
quelques ô , le courant volumique est pratiquement nul, d'où le nom d'effet de peau, et celui d'épaisseur
de peau donné à ô . Ce phénomène a été étudié et mis en évidence pour la première fois par le
physicien britannique W. Thomson (Lord Kelvin), d'où son nom.
b) Ordres de grandeur
Dans le cuivre (y = 5, 8 x 107 S • m-1), à une fréquence industrielle (y = 50 Hz), l'épaisseur
de peau (ô = 9,3 mm) est grande devant le diamètre usuel des fils (« 1 mm) : le courant volumique
reste donc uniforme, avec une bonne approximation.
En revanche, lorsque les courants sont rapidement variables, l'effet de peau devient important;
ainsi pour v — 1 MHz , ô = 66 fxm : le courant ne circule plus qu'à la périphérie du fil. Notons que
la section utile du conducteur diminuant, la résistance du conducteur augmente, ainsi que la puissance
dissipée par effet Joule à intensité donnée (cf. Exercices).
II. _ EFFET DE CAPACITE
II. 1. — Champ magnétique dans un condensateur en régime quasi stationnaire
Considérons un condensateur plan formé de deux armatures circulaires A et B (rayon a ) espacées
d'une distance e. On sait qu'en régime stationnaire la capacité C d'un condensateur a pour expression
(cf. chapitre 10) : C — e^S/e, S désignant la surface d'une armature. À l'intérieur du condensateur
plan, le champ électrique E0 est uniforme, si on néglige les effets de bord. Quant au champ magnétique,
il est nul : B0 = 0 .

Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
307
Supposons que la charge q{t) de l'une des armatures (notée A ) varie au cours du temps, mais
suffisamment lentement pour que le champ électrique Eq(0 reste uniforme. Si i(t) est l'intensité du
courant se dirigeant vers l'armature A , le bilan de la charge, dans un volume V n'englobant que cette
armature (Fig. 17.4a), donne :
,"' '
s
E(*)"
{ i
\z
A
' j 0 '
\
\-""
3
a)
Fig. 17.4.
La variation du champ électrique Eq crée le courant de déplacement dans le vide entre les
armatures d(£oEo)/ dt. On en déduit le champ magnétique Bi (t) existant dans cette zone, grâce à
l'équation de Maxwell-Ampère. Par conséquent, puisque J = 0 :
1 dEo(f)
rotB, -
= 0
c*- dt
En raison de la symétrie cylindrique, Bi est dirigé selon e^ et sa norme ne dépend pas de la coordonnée
cylindrique <p : Bj =
l'axe, dans un plan z
B\(p,z,t)e<p Sur un contour d'intégration C , circulaire de rayon p et centré sur
= Cte (Fig. 17.4b), on a:
B, -dr:
où S = TTp2 et n
B,
c
■ ez. Le champ B i
o d£bz
^//°'
ndS
vaut donc
2 e^ pourp < a et Bi =
Comme E0 est donné par le théorème de Coulomb, E0 =
l'extérieur du condensateur (p > a) , s'écrit :
a2 d<x julq âq
d£0:
2c2p ât
- (^o)(-
pour p ^ a
le champ magnétique à
B,
m{t)
2irp dt 2irp
en tenant compte de la relation Eq/uloc2 =1 et en introduisant la charge du condensateur q = ira2a . Le
champ B) est donc équivalent à celui que créerait un fil rectiligne parcouru par le courant i(t) . Ainsi,
le terme de déplacement d(eoE^)/dt joue, dans le vide, un rôle analogue au courant de conduction
J dans le fil d'amenée de courant (de sections) ou dans l'armature (de section S), d'où son nom de
courant de déplacement. Vérifions-le à l'aide de la figure 17.5 :
I.
g(gpEo)
dt
■ndS
d Eoz 2
■eo——ira
at
et :
JsA
J n dS = J-
l
J • n dS = Jzs = — /
dq
"dt
~d7
dcr 9
77 <:r =
dr
dE0z 2
e0 —— va
dt
£()-
dE{)z
dt

308
17. Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
.mk-
^-EEBËÈi^^ri
s
-\A
I dE0/d£
h
,s>
n = e(
r
Fig. 17.5.
Fig. 17.6.
II. 2. — Champ électrique induit dans le condensateur
Entre les armatures, le champ magnétique B| (/) est à l'origine d'un phénomène d'induction. La
relation de Maxwell-Faraday permet de calculer le champ électrique E2(/\ t), induit par la variation de
Bi, selon :
rotE9 +
dt
0
puisque rot E0 = 0. Calculons E2 en intégrant sur un contour C rectangulaire, de côtés àz et p,
situé dans un plan diamétral (Fig. 17.6). La symétrie cylindrique impose à E2 d'être selon Oz et de ne
pas dépendre de <p . Il vient :
E2-dr = [£2(0)-£2(p)]Az
En outre, pour p ^ a , on a :
dB,
Il en résulte que :
-/ -T--nd5 = -Az/ —.7-1™5- dp =
^0=^(0,0 + ^
P2 d2E0
"4c2 dr2
Az
Ainsi, au champ initial Eo se superpose le champ électrique induit E2 qui dépend de p . Le champ
résultant E = E0 + E2 et la répartition superficielle des charges, donnée par le théorème de Coulomb,
ne sont donc plus uniformes.
II. 3. — Condensateur dans l'ARQS
La correction E? apportée par les phénomènes d'induction est proportionnelle à d2 E0/dr ; elle
est donc faible si la variation de Eo dans le temps est lente. Or l'ARQS consiste précisément à négliger
cette correction. Analysons cette approximation en considérant une variation sinusoïdale de la tension
uab = £/«/ cos(ûtf) . Il vient :
E0
■ cos(a)t) ez et E2
9 2
p~CO^
■ ■ - 4c2 "
Le champ électrique présente ainsi une variation parabolique à partir du centre du condensateur. Sur le
bord, l'écart relatif E2/E0 est maximal et vaut cror/4c2 . Il est négligeable si :
2c
ù) <C SOlt T., «7 OU Cl <C À()
Cl
Tp désignant la durée de propagation d'un signal électromagnétique, de longueur d'onde Ào = cT dans
le vide, sur une distance égale au rayon a de l'armature du condensateur.

Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
309
Ordre de grandeur : Pour une fréquence v = 1 MHz et a = 10 cm , on trouve aco/(2c) ~ 10 3 ;
ainsi, dans un condensateur usuel, l'ARQS est justifiée même à haute fréquence.
Retenons que, dans l'ARQS, les caractéristiques électriques sont les mêmes qu'en régime station-
naire (champ uniforme, répartition superficielle uniforme des charges, capacité constante). Concernant
le champ magnétique créé par un circuit contenant un condensateur, nous pouvons ignorer la coupure
qu'il occasionne dans les lignes de courant, la contribution du terme de déplacement étant équivalente à
celle que créerait le courant à travers cette coupure.
II. 4. — Condensateur à très haute fréquence
À très haute fréquence, E2 n'est plus négligeable et donc modifie la valeur de Bj ; le terme
supplémentaire B3 est relié à E2 par l'équation de Maxwell-Ampère :
1 <9E2
rotB3--—^ =0
c1 Ut
Ce champ B3 induit à son tour un champ électrique E4 qui vérifie l'équation :
rotE4 + ~=0
ot
En itérant ce raisonnement, nous voyons que la solution pour le champ électromagnétique (E, B) dans
le condensateur se met sous la forme d'un développement :
00 00
E = E0 + E2 + E4 + • • • + E2„ + • • • = ]P E2„ et B = B, + B3 + • • • + B2„+1 + • • • = ]P B2w+i
W = 0 /f=0
Les différents termes de ces développements sont d'un ordre de plus en plus élevé en fréquence.
L'approximation des régimes stationnaires revient à limiter ces développements à l'ordre 0 : E = E0 ,
B = 0 ; celle des régimes quasi stationnaires à les limiter à l'ordre 1 : E = E0 , B = Bj .
III. — ÉLECTRODYNAMIQUE DES CIRCUITS DANS L'ARQS
III. 1. — Intensité et tension
a) Intensité dans un circuit
Dans l'ARQS, l'indication donnée par un ampèremètre placé en série dans le circuit est
indépendante de la position de l'appareil de mesure. Si Ja est le courant volumique dans l'ampèremètre et Sa
l'aire de la section traversée par les charges, cette indication est :
'a = I Ja n dSa
Lorsque le circuit est constitué d'une chaîne de conducteurs sons coupure, le flux de Ja est conservatif
et ia(t) est le flux du courant volumique à travers n'importe quelle section du circuit.
Si le circuit comporte une coupure occasionnée par un condensateur, l'intensité mesurée est aussi
égale au flux du terme de déplacement d(eoE)/dt dans l'espace vide entre les armatures (cf. II. 2) :
l'indication ia est alors :
d(e0E)
Js
ndS
s M
Finalement, tout se passe dans l'ARQS comme si le circuit, physiquement interrompu par un
condensateur, était fermé ; le courant de déplacement dans le condensateur remplace alors le courant de
conduction.

310
17. Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
b) Tension aux bornes d'un dipôle
En régime variable, la circulation de E n'étant plus conservative, la différence de potentiel perd la
signification physique qu'elle avait en régime stationnaire. Aussi introduit-on le concept de tension u
aux bornes d'un dipôle AB , défini par la circulation de E le long de la branche contenant le voltmètre
orientée dans le sens de A vers B (Fig. 17.7a) :
u[t) = /' 1
JAVB
E-dr
Pour que la tension soit indépendante de la position de l'appareil de mesure, il faut placer le voltmètre
de telle manière que la f.e.m d'induction ne soit pas modifiée ; c'est souvent le cas dans la pratique où
les variations de champ magnétique sont localisées à l'intérieur du dipôle.
dipôle D
m r— 1 m r
R
Af
v(t)
FlG. 17.7.
b)
B
III. 2. — Équations caractéristiques des principaux dipôles
Appliquons la relation intégrale de Maxwell-Faraday au contour C défini par un dipôle D et le
circuit de l'appareil de mesure V (Fig. 17.7a) :
/E-dr= / E-dr+ / E • dr = f ( ^ ) • n dS = -^
Je Jadb Jbva Js \ dt J d/
On en déduit l'expression générale de la tension aux bornes d'un dipôle AB :
«M = /
JA.
E-dr-j--—
ADB d/L
a) Dipôle résistif
Si la variation du flux O du champ magnétique est négligeable devant la circulation de E , comme
c'est le cas pour un dipôle purement résistif (Fig. 17.7b), nous avons :
J A
- ■ dr
Jarb y
en tenant compte de la loi d'Ohm J = yE . Lorsque l'effet de peau est négligeable, la résistance R a
pour expression (cf. chapitre 6) :
J
J Al
' Jar
■ d r avec / = / J • n d S
Jarb 7 Js
S étant une section quelconque du dipôle. On en déduit l'expression intégrale de la loi d'Ohm dans
l'ARQS :
u{t) =Ri{t)

Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
311
Remarque : On retrouve le cas du régime stationnaire en faisant / = / et :
Edr
u= I Edr= / (-g?sLdV)-dr=VA-VB = U
Javb Jarb
b) Dipôle capacitif
Pour un condensateur (Fig. 17.8a), nous avons vu que, dans l'ARQS, nous pouvions négliger les
phénomènes d'induction liés à d2E/df2 . Dans cette approximation, la capacité C du condensateur
s'écrit (cf. chapitre 10) :
I EnâS
C = e0*î
JACB
E-dr
S étant la surface de l'une des armatures. Le théorème de Coulomb donne :
/E-ndS= f^dS=C^
Js Js £o £o
Ha _ q(t)
£o
d'où
/ E.dr=^/E.n
JACB C JS
âS
c
Comme d'autre part le bilan de charge conduit à / = dqA/dt = ûq/ût, retenons, en négligeant la
variation du flux :
"(0
q(t) = l
C C
du{t)
/ i(t) dt soit aussi i(t) = C—-p
i(0
'a
Q(t)
T
s
c
1 f
| s ^
]B
\c
"u(f)~
a)
Fig. 17.8.
c) Dipôle purement inductif
Lorsque le dipôle est purement inductif (Fig. 17.8b), on a, en négligeant tout effet de peau ou de
capacité :
,, dO
11(0 = "d7
Généralement dans un circuit, les effets d'induction sont localisés à l'intérieur de l'enroulement du
dipôle inductif. Lorsque le circuit est de composition matérielle constante, la f.e.m d'induction e se
déduit de la loi de Faraday (cf. chapitre 14). Par conséquent :
d<ï>

312
17. Électrodymimique des régimes quasi stationnaires
Deux cas doivent être considérés :
/) B est le champ propre. On a <t> = Li et // = d(L/)/d/\ soit, si le circuit est indéformable
(L = Cte) :
t \ r d '
w(/) = Ld7
//) B est un champ appliqué dû à des sources extérieures, autre circuit ou matière aimantée mobile.
On a O = 4>„ , d'où :
III. 3. — Lois de Kirchhoff
Considérons un circuit constitué par un ensemble de dipôles caractérisés par des résistances, des
capacités, des inductances et des f.e.m localisées (Fig. 17.9a).
a) b)
Fig. 17.9.
a) Loi des intensités ou loi des nœuds
Comme toute accumulation de charge, en dehors des armatures des condensateurs, est négligeable
dans l'ARQS et que la charge est une grandeur qui ne peut être créée, le courant total entrant dans une
surface fermée quelconque S entourant un nœud A d'un réseau est nul (Fig. 17.9b) :
J ■ n,,, d S = 0
Supposons qu'en A convergent n conducteurs {Ck} , chacun étant parcouru par un courant d'intensité
ik dont l'orientation arbitraire est liée au choix de la normale n^ à sa section Sk . Il vient :
é J • n,„ d S = ^2 / J* ' n"a d ^ = 0 soit ]P ekik = 0
•'s k=\ ''Sk k=\
où ek = (n,-/I}* • nk) est égal à +1 si l'orientation du conducteur Ck est vers le nœud A et égal à —1
dans le cas contraire.

Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
313
b) Loi des tensions ou loi des mailles
Appliquons la loi de Maxwell-Faraday au contour/<?n/76; C constitué par l'ensemble de n branches
comportant les divers appareils de mesure (Fig. 17.9a). On a :
S étant une surface s'appuyant sur C et An+\ le point coïncidant avec A\ ; ek vaut 1 si le sens de
flèche de la tension u^ est opposé au sens arbitraire de parcours du contour C et à — 1 dans le cas
contraire. Lorsque les phénomènes d'induction sont localisés à l'intérieur de chaque dipole, ce qui est
généralement le cas, il est possible de choisir une surface S s'appuyant sur C située entièrement à
l'extérieur du circuit. La variation du flux est alors négligeable, d'où :
;;
]P €kUk = 0
k=\
Ainsi, en régime quasi stationnaire, les lois de Kirchhoff se présentent sous la même forme qu'en régime
stationnaire, à condition d'écrire les valeurs instantanées des intensités et des tensions.
Exemple : Sur la figure 17.10, on a appliqué ces lois dans un cas simple. Au nœud A\ , on a :
—i\ — /*3 + /*4 + /5 = 0, et pour la maille A\A2A$ , on obtient : —u\ + m + u^ — 0 .
Fig. 17.10.
Les applications de ces lois sont nombreuses puisqu'elles concernent pratiquement toute
l'électronique.
III. 4. — Régime sinusoïdal. Impédance complexe
a) Régime sinusoïdal et notation complexe
Considérons un dipole parcouru par un courant sinusoïdal d'intensité maximale /„,, de pulsation
a) et de phase à l'origine (/>, :
i(t) = /„, cos(cot + </>,) ce qui s'écrit aussi i(t) = /V/2cos(277^/L + </>,•) = /\/2cos (Itt—\- <f>n
en introduisant Vintensité efficace I = Im/\/2, la fréquence v — co/(2tt) et la période T = 2tt/co .
Les effets de résistance, d'induction ou de capacité étant linéaires, la tension, en régime établi, dépend
elle aussi sinusoïdalement du temps :
u(t) = Um cos(cot + (f>N) = U\/2cos(cot + </>,• + <p)

314
17. Électrodynamique des régimes quasi stationnaircs
en intioduisant la tension efficace U = Um/\/l et le déphasage ç de la tension par rapport au courant ;
<p = <f>u - fa
Comme les dépendances temporelles sont de même nature, l'analyse est techniquement facilitée par
l'introduction de la notation complexe :
i(t) = Re {[{t)} et u(t) = Re {u{t)} avec [(t) = /\/2exp(/W) et u(t) = U_\/2exp(jù)t)
j étant le nombre imaginaire tel que j2 = — 1 . Les quantités /a/2 et U_y/2 sont les amplitudes
complexes de l'intensité et de la tension, respectivement :
/ = / exp /</>/ et U_= U expy*</>„
Remarque : En régime quasi stationnaire des circuits électriques, on désigne par y, et non /", le
symbole des imaginaires, afin d'éviter toute confusion avec l'intensité du courant.
b) Impédance et admittance complexes
Pour un dipole linéaire, en régime sinusoïdal, le rapport des nombres complexes représentant la
tension et le courant ne dépend pas du temps : on l'appelle Y impédance complexe Z ; le rapport inverse
Y est Y admittance complexe Y . Ainsi :
z=* = ^ et r = i = A=z-<
IL u u_
Ce sont des caractéristiques intrinsèques du dipole, qui dépendent de la fréquence. L'impédance Z
s'écrit aussi :
Z = \Z\ expyV = R+jX avec \Z\ = (R2 + X2)1/2 et <p = arg{Z} = arctan
Les quantités réelles R et X, qui s'expriment en ohm, sont respectivement la résistance et la réactance
du dipole. De même, l'admittance s'écrit :
Y=\Y\ exp(-yV) = G + jB avec |K| = (G2 + £2)1/2 et - <p = arg{K} - arctan
Les quantités réelles G et B, qui s'expriment en siemens, sont respectivement la conductance et la
susceptance du dipole.
Remarque : La représentation géométrique de U_, / Z et Y dans un plan complexe est connue sous
le nom de construction de Fresnel.
Examinons le cas des dipôles usuels.
(1) Résistor de résistance R
u = Ri d'où Z = R et Y = -
R
La tension est toujours en phase avec le courant.
(2) Bobine purement inductive, d'inductance L
u = L— =jLco i d'où Z =jLco = Lco exp (j— ) et Y =
d t \ 2 / jLco
Lco
exp
©
La tension est en avance de tt/2 par rapport au courant.

Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
315
(3) Condensateur purement capacitif, de capacité C
1 f . . !...._ 1 1
u=c
iiût=]kl d'où z=;àrclexpHD et y=j^ = cco^(j^)
La tension est en retard de tt/2 par rapport au courant.
c) Composition des impédances et des admittances
L'application des lois de Kirchhoff sur les courants et les tensions donnent les deux résultats
simples suivants, qui sont une généralisation de la composition des résistances (cf. chapitre 6) : les
impédances complexes s'ajoutent en série et les admittances complexes s'ajoutent en parallèle ; on a donc
respectivement :
n n
z = Y,Zk et Y = J2Yk
k=\ k=\
Exemples :
(1) Bobine réelle à basse fréquence
À basse fréquence, on caractérise une bobine par une inductance L en série avec une résistance r
(Fig. 17.1 la). Par conséquent, l'impédance de la bobine est : Z = r -\-jLco .
A r J^ B
A
C
1 1 B
b)
a)
FiG. 17.11.
(2) Condensateur réel
Un condensateur réel présente toujours quelques fuites : le diélectrique isolant est en réalité
traversé par un faible courant de fuite (cf. chapitre 10). On peut donc représenter ce composant par un
condensateur idéal, de capacité C en parallèle avec une grande résistance R (Fig. 17.1 lb). On en
déduit l'admittance du condensateur réel :
Y=-+JC. d'où 2=- = TT7J~ ^^J et ton^-RC»
On introduit généralement l'angle de perte 8 tel que tan 8 — \/(RCco) ; cet angle est nul pour un
condensateur idéal, puisque dans ce cas R est infini.
CONCLUSION
Retenons les points importants.
( 1 ) L'approximation des régimes quasi stationnaires consiste à négliger la durée de propagation des
signaux électromagnétiques devant toute durée caractéristique de la variation de ces signaux.
(2) En tout point du circuit, l'intensité i(t) est la même et tout se passe comme si ce courant n'était
pas interrompu par la coupure introduite par un condensateur, la continuité étant assurée par le courant
de déplacement.

316
17. Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
(3) Dans l'étude des Circuits Utilisés notamment en électronique, les effets d'induction sont
localisés dans les enroulements et les effets de capacité dans les condensateurs. On utilise alors des lois de
Kirchhoff, analogues à tout instant à celles relatives aux régimes stationnaires :
2_] £kk = 0 (loi des nœuds)
k
avec €k — +1 si le conducteur Q est orienté vers le nœud et ek. = — 1 dans le cas contraire,
y ekuk = 0 (loi des mailles)
k
avec e*: = +1 si le sens de la flèche de la tension u^ est opposé au sens de parcours dans la maille, et
ek. = — 1 dans le cas contraire.
(4) Les relations entre courant et tension, en convention récepteur, s'écrivent comme suit dans les
trois dipôles fondamentaux :
- pour un dipôle purement résistif : u(t) = Ri(t)
- pour un dipôle purement capacitif : u(t) = — / i(t) ât soit l(t) = C
- pour un dipôle purement inductif : u{t) = —e(t) = —— soit u(t) = L
EXERCICES ET PROBLEMES
P17- 1. Champ magnétique dans un conducteur
Un cylindre conducteur est plongé dans un champ magnétique uniforme dirigé selon son axe Oz :
B,/ = Bajn cos(cot) ez.
1. Calculer la modification Bj de ce champ, à l'intérieur du cylindre, due à l'apparition de courants
induits dont le vecteur courant volumique est Ji .
2. Evaluer numériquement l'écart à l'uniformité du champ, pour v = 50 Hz , dans un cylindre de
cuivre de rayon 1 cm . On donne y = 5, 8 x 107 S • m-1 .
P17- 2. Puissance dissipée par effet de peau
Dans un tronçon de conducteur, défini par 0 ^ j*; ^ a et 0 ^ y ^ b (Fig. 17.12a), circule un
courant volumique d'expression :
: Jm exp (-^ J cos yut - ^ j ev
où 8 est l'épaisseur de peau de ce conducteur à la pulsation co .
1. Calculer la puissance électromagnétique dissipée par effet Joule par unité de volume, puis sa
valeur moyenne pour l'ensemble du tronçon.
2. Quelle serait l'épaisseur de conducteur équivalente e (Fig. 17.12b), si la même puissance
était dissipée uniformément? Evaluer e pour le cuivre (y = 5,8 x 107 S-m-1 ) à une fréquence
v= 10 kHz.

Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
317
S = be
a) b)
Fig. 17.12.
PI7- 3. Effet de magnétorésistance par autoinduction ^^
1. Calculer le champ magnétique Bi créé à l'intérieur d'un fil conducteur cylindrique, parcouru par
un courant volumique, uniforme et variant sinusoïdalement au cours du temps : Jo = Jo^/^cosfW),
ez étant le vecteur unitaire défini par l'axe du fil.
2. En déduire la valeur du courant volumique induit J2 .
3. Calculer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans un tronçon de fil de longueur /.
4. Quelle est la modification relative de la résistance par rapport à sa valeur en régime stationnaire ?
Évaluer celle-ci pour un fil de cuivre, de 1 mm de rayon, à 50 Hz .
PI7- 4. Effet de capacité dans un solénoïde ^w^
Un solénoïde très long, de rayon a = 1 cm , est alimenté par un générateur de courant sinusoïdal
d'intensité i(t) ='Imcos((ot) .
1. Donner l'expression du champ magnétique B0 à l'intérieur du solénoïde. En déduire la valeur
du champ électrique induit Ej .
2. Calculer la modification B2 du champ magnétique due aux effets de capacité.
3. Montrer que cette correction est négligeable dans l'ARQS. À quelle fréquence la non-uniformité
du champ dans le solénoïde atteint-elle 1 % ?
P17- 5. Régime transitoire avant l'équilibre de deux condensateurs dmQs
Deux condensateurs, de capacités C\ = 2yuF et Ci = 4yuF, de charges initiales respectives Q\
et Qn (Fig. 17.13) sont connectés borne à borne, à l'aide de fils conducteurs de résistance totale r. On
se propose d'étudier le régime transitoire qui précède l'équilibre.
1. Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait l'intensité i{t) du courant avant l'équilibre.
2. En déduire l'expression donnant i{t) .
3. Quelle est l'énergie dissipée par effet Joule dans les fils conducteurs ? Etudier le cas où la
résistance r devient très faible.

318
17. Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
FiG. 17.13. FlG. 17.14.
PI7- 6. Alimentation d'une bobine
On alimente une bobine (inductance L, résistance r), à l'aide d'une source de tension continue
de f.e.m E = 6 V, en suivant le montage représenté sur la figure 17.14, dans lequel R\ = 10 fl et
/?2 = 20 II. On ferme l'interrupteur A' à un instant pris comme origine. Une fois le régime stationnaire
établi, on constate que l'intensité du courant dans la bobine est IL — 0, 3 A .
1. Quelle est la valeur de la résistance r de la bobine ?
2. Etablir la loi de variation, au cours du temps, de l'intensité iL(t) du courant dans la bobine.
Sachant que la pente de la courbe iL(t) , à l'instant initial, est 20 A-s-1 , déterminer la valeur de
l'inductance L.
P17- 7. Courant et tension en phase dans un dipôle
Un dipôle AB est constitué de deux branches en parallèle, l'une comportant un condensateur réel
(capacité C, résistance de fuite R ), l'autre une bobine (inductance L, résistance ohmique en série r ).
On maintient entre ses bornes AB, une tension sinusoïdale u(t) = Umcos(ù)t) grâce à un générateur
basse fréquence.
1. Quelle est l'admittance du dipôle ?
2. Pour quelle valeur de la pulsation l'intensité du courant i(t) qui circule dans le dipôle est-elle
en phase avec la tension u(t) ? Comparer cette pulsation à la pulsation propre coq = 1/(LC)I//2 .
P17- 8. Alternateur
Un alternateur est constitué par un bobinage, d'inductance propre L, placé dans un champ
magnétique appliqué B^, qui varie sinusoïdalement au cours du temps avec la pulsation co . Il alimente un
circuit de résistance R . On note Ofl(r) = cî>/;/ cos(cot) le flux du champ appliqué.
1. Ecrire l'équation différentielle à laquelle obéit le courant /.
2. En déduire i(t). Quelle est dans ces conditions la f.e.m de l'alternateur?
P17- 9. Circuit série dans l'ARQS
Un générateur a une force électromotrice, variable au cours du temps, d'expression, en volt,
e(t) =4+ lOcos(ûtf), de fréquence v — 2 kHz, et une impédance interne r — 50 II
indépendante de la fréquence. Il débite dans une charge constituée d'un résistor et d'un condensateur en série :
la résistance vaut R — 250 fl et la capacité C = 0, 2 fxF .
1. Calculer, pour la composante stationnaire, le courant / , la tension VR aux bornes de R et celle
Vc aux bornes de C.

Électrodynamique des régimes quasi stationnaires
319
2. Mêmes questions pour les valeurs efficaces du courant i(t), de la tension vR{t) et de celle
vc(t) qui correspondent à la composante sinusoïdale. En déduire les expressions de ces grandeurs
sinusoïdales.
3. Calculer la puissance fournie à la charge.
P17- 10. Expérience de Tolman et Stewart
Dans l'expérience de Tolman et Stewart (cf. chapitre 13), les extrémités d'un fil métallique
(longueur /, résistance /?), non magnétique, bobiné autour d'un mandrin cylindrique (rayon a), animé
d'un mouvement de rotation autour de son axe (vitesse angulaire co\ ), étaient connectées à un
galvanomètre (Fig. 17.15). Le système était placé dans une zone où un ensemble de bobines fixes
compensaient le champ magnétique terrestre. En arrêtant brusquement la rotation du mandrin, ces deux
physiciens ont mesuré la quantité d'électricité qui traversait le galvanomètre. On néglige la force magnétique
due au seul champ propre devant la force électrique et on désigne par R et L respectivement la
résistance et l'inductance du fil de la bobine.
1. Rappeler l'équation différentielle à laquelle satisfait le courant volumique J associé aux charges
mobiles dans le conducteur. En déduire l'équation différentielle à laquelle satisfait l'intensité / du
courant.
2. Pour la circonstance, le galvanomètre fonctionnait en mode balistique, ce que l'on obtient en
allongeant sa période propre d'oscillation. Trouver, en intégrant l'équation différentielle entre des instants
voisins, l'expression de la charge Q qui traverse le circuit.
R
3. Les conditions précises de l'expérience étaient les suivantes : / = 466,5 m, a = 12,3 cm ,
= 40 O et o)\ = 5 000 tr-min-1 . Calculer Q. La sensibilité du galvanomètre étant de
4,75 x 10 C quelle était la précision dans la détermination du rapport q/m de l'électron ?
R.L
■^■"""'"'"'"T"" ""■■—""
m !
_ _ _
JL
/-^
(g
V^
C j
cr>
K -2
Fie. 17.15.
P17- 11. Simulation d'une résistance par des capacités commutées v^^
Un dipôle AB, formé d'une résistance r en série avec un condensateur de capacité C , est
connecté alternativement aux instants 0, T , TT, 37, ... et T/2 , 37/2 , 57/2 ... à deux sources de
tension continues, de f.e.m E\ et £? respectivement (Fig. 17.16).
1. On suppose que T <C r avec r rC. Écrire l'équation différentielle à laquelle obéit la tension
uc{t) aux bornes du condensateur. En déduire sa valeur pendant l'intervalle 0 < t < T/2 , sachant que
uc(0) = £2 • Déterminer la solution pendant l'intervalle T/2 < t < T.
2. Calculer les expressions des courants i\ (t) et i2(t) à chaque alternance, ainsi que leurs valeurs
moyennes dans le temps 77 et li.
3. Montrer que le dipôle MN se comporte comme une résistance Rc dont on donnera la valeur.
Calculer Rc pour C = 0, 1 nFet v = 100 kHz.

18
Energie électromagnétique.
Energie magnétique d'un système de courants
Nous avons vu qu'en régime stationnaire l'énergie électromagnétique reçue par un conducteur
immobile était entièrement dissipée par effet Joule et qu'un conducteur, mobile dans un champ
magnétique, permettait une transformation électromécanique, réalisant ainsi un générateur ou un moteur.
Nous nous proposons dans ce chapitre d'établir, en régime quelconque, le bilan d'énergie
électromagnétique pour un système de conducteurs dans le vide. Nous généraliserons ainsi l'expression
de l'énergie électrostatique associée au champ électrique, en introduisant la notion d'énergie
magnétique associée au champ magnétique.
Cependant le problème est plus complexe qu'en régime stationnaire en raison des phénomènes
d'induction et de capacité. Aussi analyserons-nous le point de vue énergétique de l'interaction
électromagnétique, en partant des équations de Maxwell.
Nous établirons ensuite les résultats relatifs aux circuits filiformes dans l'approximation des
régimes quasi stationnaires, laissant pour une étude ultérieure le cas des ondes électromagnétiques (cf.
chapitre 19).
I
ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE DANS LE VIDE
Considérons une distribution de charge, dans le vide, caractérisée en tout point par une charge
volumique p et un courant volumique J ; désignons par (E, B) le champ électromagnétique correspondant
(Fig. 18.1).
Fie. 18.1.

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants 321
1.1. — Puissance fournie aux charges
Les charges d'un élément de volume d P de la distribution sont soumises à la force de Lorentz
p(E + v x B) d P . La force magnétique ne travaillant pas, la puissance électromagnétique fournie à
ces charges a pour expression :
ÔV = p\ • E d P = E • J d P
En intégrant sur le volume V , on obtient la puissance fournie à l'ensemble des charges par les sources
du champ électromagnétique :
V= / E • J d ? v
J p
1.2. — Théorème de Poynting
L'équation de Maxwell-Ampère permet d'exprimer J en fonction de E et B :
/B\ d , ^. „ x ^ ^ /B\ ^ d(e0E) ^ ( B \ d f e^É1
J = rot — -—(e0E) d'où E-J = E-rot — -E- V ; = E rot — -— l
VMo/ dt \juioJ dt Vmo/ dt
En outre, comme (cf. annexe 2) :
/ B \ B /B
div E x — = rotE -E-rot —
V Mo/ Mo VMo
il vient, en tenant compte de rotE + OB/dt = 0 :
r (^ B\ d (**& B2
E-J = -div Ex- ---— + —
V Mo/ dt \ 2 2^o
En intégrant dans un volume P quelconque, on obtient Y égalité de Poynting :
Si la surface S délimitant le volume P est fixe, on peut permuter les opérateurs d'intégration sur
l'espace et de dérivation par rapport au temps. Il vient alors :
d / / e_oEr_ B_ \ ^ ^ = _ f d[vRd ?l, / (-E • J) d P où R = Ex-
dtjv \ 2 2Mo/ Jp J{, Mo
est le vecteur de Poynting.
1.3. — Energie électromagnétique. Bilan
a) Énergie électromagnétique
À l'aide de la formule d'Ostrogradsky appliquée à la surface S qui délimite le volume V ,
l'équation précédente se met sous la forme suivante :
d / (^?- +A-j dW=df/R..(-n) dS + df /(-E-J) d?v
n étant la normale extérieure à S .

322 18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
Cette seconde forme du théorème de Poynting se prête bien à une interprétation énergétique en
termes de bilan de la grandeur suivante appelée énergie électromagnétique du champ (E.B) dans le
volume V :
V
^--iM^y
Notons que l'énergie électromagnétique se réduit à une forme purement électrique lorsque B = 0 :
-L
On retrouve alors , en régime stationnaire, l'énergie électrostatique. Par analogie, on appelle énergie
magnétique S,„ la quantité :
£m = / ^— d V
r b2
Jp 2^o
à laquelle se réduit Eem lorsque le champ électrique est nul.
En régime variable, les champs E et B étant couplés, l'énergie électromagnétique est la somme de
deux termes inséparables, l'un électrique, de densité volumique e^É1 /2 , l'autre magnétique de densité
volumique B2/(2/ulu) .
b) Bilan global
Le bilan d'énergie électromagnétique peut se mettre sous la forme du bilan de la grandeur Sem :
d Eem = 8£Jm + 8£^n
avec :
8£L = ~ dr ê R • n dS et ô£pcm = dt I (-E • J) d V
fiR-ndS et ô£ecm = dt f (-E • J) d X)
Js Jp
Le premier 8SJin représente l'énergie reçue (algébriquement) du milieu extérieur; le second traduit le
caractère non conservât if de l'énergie électromagnétique et donc l'existence d'une source de création
(algébrique) de cette énergie.
En l'absence de courant (J = 0), le bilan d'énergie électromagnétique se réduit à :
d£em = ÔS;m = -dt é R • n dS
puisque le terme de production ô£fm est nul. Dans ce cas particulier, si en outre il n'y a pas d'échange
( à£em = 0 )' l'énergie électromagnétique se conserve.
Le bilan d'énergie électromagnétique montre qu'en général l'énergie reçue par le volume V n'est
pas entièrement cédée aux charges :
à£em = ~^£em + <* £em
la partie, d £em , étant stockée dans le vide. Ce résultat est donc fondamentalement différent de celui des
régimes stationnaires (cf. chapitre 13), où l'on peut confondre l'énergie fournie aux charges, —8£fm ,
et l'énergie fournie au volume V , ô£ertn.

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de.courants
323
Remarque : Le vecteur de Poynting n'étant défini que par son flux à travers une surface fermée, cette
définition n'est pas univoque. Nous verrons que, dans certains cas particuliers, on peut
l'assimiler localement à un courant volumique d'énergie électromagnétique R = Jem (cf.
chapitre 19).
c) Bilan local
Si l'on suppose que le bilan précédent puisse être établi quel que soit le volume T) , on obtient :
?2
dw. ,. x e0E2 Bz
— = - div K + o-em ou w = —— + -— et aem
Ot 2 2yLto
-JBi-J
désignent respectivement la densité volumique et le taux de création volumique d'énergie
électromagnétique.
En l'absence de charges, le bilan d'énergie électromagnétique se réduit à dw/dt = — divR,
exprimant ainsi localement la conservation de cette énergie lorsqu'il n'y a pas d'échange.
II. — STOCKAGE D'ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DANS L'ARQS
Nous nous proposons de montrer que, dans le cadre de l'ARQS, l'espace vide entre les armatures
d'un condensateur et l'espace vide intérieur à un solénoïde sont des zones de stockage de l'énergie
électromagnétique, dans le premier cas sous forme électrique, dans le second sous forme magnétique.
Dans ces espaces, sans courant (J = 0), le terme de création est nul : ôE£m = 0. L'énergie est donc
seulement échangée avec le milieu extérieur.
II. 1. — Énergie électrique dans l'espace vide d'un condensateur
a) Énergie d'un condensateur en régime quasi stationnaire
Afin d'analyser le stockage d'énergie par un condensateur, considérons un condensateur, à
armatures circulaires pour simplifier, alimenté par un générateur de tension sinusoïdale, de pulsation co
(Fig. 18.2).
Fie. 18.2.
Dans l'ARQS, le champ électrique entre les armatures reste uniforme : Eq = Eq ez = Em cos(atf) e..
À l'instant t, la contribution électrique Ee à l'énergie du condensateur est donc :
72 ,„/72 e £2
£°=i:-f
dV = ^V
£0^0 o e^ni 2 2/ \
v-7ra e = ira ecos (cot)
2 2
a étant le rayon des armatures et e la distance qui les sépare.
On peut montrer que la contribution magnétique est négligeable, Em <C Ee, ce qui est prévisible
(cf. Exercices).

324
18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
En introduisant la tension u — E^e = eEm cos(^r) et la capacité C = e^ira2 je , on retrouve :
1 i [q2
21 2 2 C
b) Bilan énergétique
Effectuons le bilan d'énergie électromagnétique dans le volume V défini par l'espace entre les
armatures du condensateur. Pour cela, calculons le flux du vecteur de Poynting à travers la surface
cylindrique fermée, ayant pour bases les armatures du condensateur. Comme le flux de R à travers ces
bases est nul, l'énergie n'est reçue que par la surface latérale Si :
F>fr
uoem
dt
£Ex(^)-nd5=i(£o^^e')-erd5=eo^(ï)2^
soit :
ss;m d / e2 2
dt dt V 2
~d7 ~ dt
On retrouve bien, en l'absence d'énergie électromagnétique créée : d£em = ô£erm . L'énergie reçue
s'exprime alors en fonction des variables électriques selon :
ô£;"' = d iic) = cdq soit 8£:,n = uidt
puisque q = u/C et dq = / dt.
Ainsi, la puissance reçue par le dipôle-condensateur, de la part du milieu extérieur, par
l'intermédiaire du vecteur de Poynting, vaut :
v°em
<dt
R • n dS = ui
II. 2. — Énergie magnétique dans l'espace vide d'un solénoïde
a) Solénoïde en régime quasi stationnaire
Considérons un solénoïde, de longueur /, de section circulaire (rayon a ), parcouru par un courant
d'intensité / = I,„ cos(cot) (Fig. 18.3). Dans l'ARQS, le champ magnétique qu'il crée :
B = B0 ez = B,„ cos(cot) ez
reste pratiquement uniforme à l'intérieur du solénoïde (cf. chapitre 17).
S
ï
i(t)
Fig. 18.3.

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants 325
11 vient, d'après ce qui précède, en introduisant S — ua2 :
£m= [ ^-dw = $-si
Jp 2fi0 2/xo
Comme Bq = jjlqNî/1 , N étant le nombre total de spires, Em s'écrit :
ç fjL0N2i2S 1 2 mo/V2^
= 2/— = 2 °U = —/—
est l'inductance du solénoïde. On montre que l'énergie électrique est négligeable devant l'énergie
magnétique (cf. Exercices).
b) Bilan énergétique
Effectuons le bilan d'énergie électromagnétique dans le volume délimité par le solénoïde. Pour
cela, calculons le flux du vecteur de Poynting à travers la surface du solénoïde. Seule la surface latérale
S/ intervient puisque le flux à travers les bases est nul. Ainsi, il vient, puisque p — a :
On a donc, en introduisant le volume intérieur au solénoïde T> = ira2l :
S£;ni =dt^R- (-n) dS = d (~A = à£a « d£m,
qui est précisément l'équation du bilan d'énergie en l'absence du terme de création. Là aussi, on peut
exprimer 8SJm en fonction des variables électriques du dipôle selon :
8£erm = d I — ) = Liai = uidt puisque u = L—
Ainsi, la puissance reçue par le dipôle inductif, c'est-à-dire celle provenant du milieu extérieur par
l'intermédiaire du vecteur de Poynting, est égale au produit u i :
8f f
—2± = - é R-nâS = ui
dt Js
II. 3. — Energie magnétique des circuits dans l'ARQS en fonction de J et A
Dans l'ARQS et en l'absence d'effet de capacité, l'équation de Maxwell-Ampère, appliquée au
cas d'un conducteur, se réduit à rotB = julq J, puisque le courant de déplacement est négligeable. En
utilisant la relation B = rot A , l'énergie magnétique s'écrit :
f #2 , , f BrotA ,
J espace ^M() J espace ^MO
ce qui donne, en appliquant la relation B • rot A = div(A x B) + A rot B (cf. annexe 2) et la formule
d'Ostrogradsky :
/AxB „ /' J A
£,„ = f —^ n dS + / —- d V
JS ZV0 J espace l
COÏÏttWC VMé^atlOW e\\ VOlume peut être étendue à tout V espace, la surface S est infiniment grande.
Cette surface variant comme r2 alors que B varie comme r"3 et A comme r"2 , en raison du com-

326 18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
portement dipolaire, l'intégrale de surface est nulle. Il en résulte l'expression suivante de l'énergie
magnétique :
sm= j JLAV=f*±&v
J espace ZM0 J p z
Notons que, dans cette dernière intégrale, le domaine d'intégration se réduit au volume V) des
conducteurs dans lesquels le courant volumique J est localisé.
Remarque : Soulignons que cette expression de Em en fonction de J et A n'est vraie qu'en régime
quasi stationnaire et sous sa forme intégrale. Aussi, le terme J • A/2 ne doit-il pas être
interprété comme une énergie volumique.
II. 4. — Énergie magnétique de circuits
a) Énergie magnétique d'un circuit
Dans l'expression de l'énergie magnétique, appliquée à un seul circuit, introduisons l'inductance
propre (cf. chapitre 15) :
O 1 f
L=- = - / J • A d V
i 2 JV)
Il vient :
2 2 IL
en tenant compte de la définition du coefficient d'auto-induction L = O//.
Ordre de grandeur : Dans une bobine, d'inductance propre 0, 1 mH , parcourue par un courant
continu d'intensité 0, 1 A , l'énergie magnétique vaut Em = 10-3 J . Pour une bobine supraconductrice,
de même inductance mais parcourue par un courant de 103 A , cette énergie est Em — 105 J .
Remarque : Dans un solénoïde (Fig. 18.3), le courant dans l'enroulement peut être décrit comme une
nappe de courant surfacique JiV = nle^ , n étant le nombre de spires par unité de longueur.
Sur cette nappe, on a : A = Boa e^/2 . D'où :
<r l f I Aie B°n,Cl [ aç> B°nI° c / 2 Bon/
Comme B0 = /mon/ , on retrouve bien :
bin - -—ira l = -— 0 = -Li
2/Lio 2/llo 2
b) Énergie magnétique d'un ensemble de deux circuits
Dans le cas fréquent de deux circuits C\ et C2 parcourus respectivement par les courants i\ et i2
(Fig. 18.4), l'énergie magnétique s'écrit :
où <£>i et 4>2 désignent les flux des champs magnétiques créés par C\ et C2 , à travers respectivement
une surface s'appuyant sur C\ et une surface s'appuyant sur C2 .

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
327
On sait que Oi et <î>2 ont pour expressions respectives :
4>i =L\\i\ + L\2i2 et <£2 = L2\i\ + L22i2
Par conséquent, en notant, pour simplifier l'écriture, L\ = L\\ l'inductance propre de C\ , L2 = L22
l'inductance propre de C2 et M = Ln = L2\ l'inductance mutuelle, on a :
1 9 1 9
Em = -Li/f + -L2^+M/,/2
Le terme Mi\i2 , qui est positif ou négatif, est l'énergie magnétique mutuelle d'interaction entre les deux
circuits. Rappelons (cf. chapitre 15) la définition du facteur de couplage k = \M\/(L\L2)]/2 , compris
entre 0 et 1.
L'expression précédente se généralise à un nombre quelconque de circuits :
1
sm = -J21^
FiG. 18.4.
III. — CREATION D'ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE DANS L'ARQS
III. 1. — Bilan d'énergie électromagnétique dans un conducteur immobile
Considérons une portion d'un conducteur cylindrique, immobile, de longueur /, dont la section
est un cercle de rayon a (Fig. 18.5). Ce conducteur est parcouru par un courant volumique J qui reste
pratiquement uniforme sur sa section s , en régime quasi stationnaire (cf. chapitre 17).
a) Énergie magnétique stockée
Comparons d'abord les énergies électrique et magnétique dans le volume du conducteur
cylindrique. Pour cela, exprimons les champs E et B en fonction de J. On a : E = J/y, d'après la loi
d'Ohm, et B = B^ , tel que, d'après le théorème d'Ampère : 2irpBç = /ulqJttp2 . On obtient donc :
Se
Eç)E-
d P
2y2
P

328 18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
puisque J et y sont uniformes. En outre, comme B = fi^J p/2 :
£,„ = I f- d v = f J^i^i dp = ^yV/ :
^W
16
V = ircrl étant le volume du conducteur. On en déduit le rapport :
Oe o£q / £qC
£,n y2jLLQCl2 V 7a ,
Ordre de grandeur : Si y ^ 107 S • m-1 et a ^ 1 mm , le rapport £e/£m vaut : £<>/£,„ ~ 5, 6 x 10-13 .
Ainsi, le terme électrique dans l'énergie électromagnétique est négligeable devant le terme
magnétique.
b) Energie dissipée par effet Joule
Comparons maintenant l'énergie magnétique stockée à celle dissipée par effet Joule pendant la
durée dt. 11 vient, d'après ce qui précède :
d £m = — Va2 J dJ soit d £„, = J2, cos(cot) sin(cot) d t
8 8
si le courant volumique varie sinusoïdalement selon J = Jm cos(cot) . Quant à l'énergie
électromagnétique produite dans le dipôle résistif, elle s'écrit :
r / J-Ed?v = -dt f —
Jp Jv y
ô£cem = -dt j J • E d V = -dt j — d fv = $Wj
Nous retrouvons ici le phénomène de dissipation d'énergie par effet Joule : ôWj < 0 . Dans le cas du
conducteur cylindrique, on a :
ÔEcem = -dt— V = —'± V cos2{(»t) dt
y y
On en déduit le rapport de l'amplitude de l'énergie stockée sur celle de l'énergie dissipée :
(d£m)max fM)0)ya2 ( a \2
\2ÔJ \fioû)yJ
1/2
(SWj)max 8
désigne l'épaisseur de peau du conducteur (cf. chapitre 17).
Ordre de grandeur : Dans le cuivre, à la fréquence usuelle v — 50 Hz , 8 — 9, 3 mm . Par
conséquent dans un fil de rayon a ~ 1 mm , on a : d£m/8£j ~ 3 x 10-3 . Il en résulte que, dans un tel
fil, l'énergie dissipée sous forme thermique est très grande devant l'énergie électromagnétique stockée.
c) Expression du bilan d'énergie électromagnétique
Effectuons le bilan d'énergie électromagnétique sur le conducteur :
d£em = ô£;m^ô£^^o d'où ôs;m^-ô£;ni
L'énergie reçue du milieu extérieur est entièrement dissipée dans le conducteur. On peut vérifier ce bilan
en calculant le flux entrant du vecteur de Poynting à travers la surface du conducteur. On trouve :
B \ / / J2 \ J2 J2
Ex — • n d S = — é aep) -nex dS = —a27ral = — V
t*)J Js\ 2r / 2r y

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants 329
En introduisant la résistance R = l/(y7ra2) , l'intensité du courant / = J7ra2 qui parcourt le conducteur
et la tension u = Ri à ses bornes, on obtient :
SS;m = Ri2 dt = uidt
Ainsi, dans un dipôle résistif, la puissance reçue de la part du milieu extérieur a pour expression :
8f
—^ = - <j> RndS = ui
dt
III. 2. — Bilan d'énergie électromagnétique dans un convertisseur
Dans un convertisseur, de l'énergie électromagnétique est produite à partir d'une autre forme
d'énergie. En notant 8Wc le travail élémentaire de conversion, pendant la durée d t, pour un
convertisseur idéal, c'est-à-dire sans dissipation thermique, on a :
S£L = swc
Si 8WC > 0, le convertisseur produit effectivement de l'énergie électromagnétique : c'est un
générateur; en revanche, si 8WC < 0 , il y a destruction d'énergie électromagnétique et le convertisseur est un
récepteur.
En excluant, pour l'instant, le cas des convertisseurs dont le fonctionnement met enjeu les
phénomènes d'induction électromagnétique, on définit la f.e.m du convertisseur selon (cf. chapitre 9) :
e = —— d ou 8Secm = e 8q
bq
Dans un tel convertisseur, supposé idéal et n'accumulant pas d'énergie sous forme électromagnétique,
le bilan d'énergie électromagnétique, entre deux instants t et t -\- dt, s'écrit :
d £em = 0 = ô£erm + ô£fm soit ô£erm = -e 8q = u i d t
puisque 8q = i dt et que u = — e. On retrouve une fois de plus que, dans l'ARQS, pour un dipôle
électrocinétique, ici un dipôle convertisseur, on a :
8£Jm = -dt <b R-n dS = «i/d/
Dans un convertisseur réel, il convient de prendre en compte la dissipation thermique d'énergie par effet
Joule :
8£;m = 8Wj + 8WC
On retrouve néanmoins la formule ci-dessus puisque u — ri — e et 8Wj = —ri2 dt :
8fr
8£[m = -8£cem = r i2 d t - e8q - (r i - e)i d t d'où —^ = u i
III. 3. — Travail de déplacement dans un conducteur mobile
Examinons le cas d'un conducteur mobile dans un champ électromagnétique. Si ce conducteur est
chargé, il convient de tenir compte, en plus du courant volumique de conduction, noté J, du courant

330 18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
volumique de convection p\ , où p est la charge volumique totale et V la vitesse de déplacement du
conducteur en translation :
Jz = J + pV
L'énergie électromagnétique créée dans le conducteur, pendant la durée d t, s'écrit alors :
ô£ecm = -ât I E • J, d V = -dt j E • J d V - dt f p\ • E d V
J c> Jp Jp
soit, en tenant compte de la loi d'Ohm (cf. chapitre 13), J = y (E + V x B) :
8£fm = -dt f ( — j d V + dt j (V x B) • J d V - dt f pE • V d P
Le premier terme 8Wj représente l'énergie dissipée sous forme thermique par effet Joule. Le deuxième
8WL est l'opposé de l'expression du travail des forces de Laplace ; en effet, en posant d X = Vd t, on
obtient :
dt f (VxB)- Jd?v = -dt f (JxB) -dXd^ = -ÔWL
Quant au troisième, c'est l'opposé du travail des forces électriques :
-dt / pE-Vd V = -dt f pE-dXdrv = -ôWe
Jp Jp
Ainsi, le terme de création d'énergie électromagnétique s'écrit :
8£fm = ÔWj - ÔWL - 8We
Le conducteur en mouvement réalise ainsi une conversion électromécanique, l'énergie
électromagnétique produite par un tel convertisseur contenant la contribution des forces de Laplace 8WL (cf.
chapitre 13) et celle des forces électriques 8We (cf. chapitre 10).
IV. — BILAN DANS DES CIRCUITS FIXES
IV. 1. — Bilan dans un circuit RC
Considérons un condensateur indéformable, de capacité C, connecté à un générateur de f.e.m eg ,
à travers une résistance R (Fig. 18.6).
Dans le circuit ainsi réalisé, supposé non inductif, le bilan énergétique s'écrit, en désignant par q la
charge de l'armature A du condensateur et par iic = q/C la tension à ses bornes : d Sem = 8Slem-\-8S^m
avec :
d£em^dSe = d(^j 8£erm=0 et 8£ecm = 8Wj + ÔWC =-Ri2 dt + egi dt
puisque, dans l'ARQS, l'énergie rayonnée vers l'extérieur est nulle, les échanges d'énergie n'existant
qu'entre les divers dipôles. On a donc :
ucdq — —R r d r -f eg i d t ce qui donne — eg + R i + uq = 0
en divisant par d q = / d t. On retrouve ainsi la loi des tensions relative à une maille.

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
331
i i
R A
<i A
"al 1 ) c :
V
FlG. 18.6.
IV. 2. — Bilan dans des circuits inductifs fixes
a) Auto-induction dans un circuit RL
Considérons un circuit analogue au précédent dans lequel on a remplacé le condensateur par une
bobine indéformable, d'inductance L (Fig. 18.7). Les effets de capacité étant négligeables, le bilan
d'énergie électromagnétique s'écrit : d£em = 8£'em + 8£%m avec :
d£em^d£m=df^\ ÔS^ = 0 et 88ecm = -Ri2dt + egidt
On a donc, en effectuant :
Li d i = —R i2 d t + eg idt ce qui donne — eg + R i + uL = 0
en divisant par idt et en notant que la tension aux bornes de l'inductance est uL = Ld//df. On
retrouve ici aussi la loi des tensions relative à une maille.
eQ,\{
r M ♦
FlG. 18.7.
FlG. 18.8.
b) Bilan dans deux circuits couplés
Pour un système formé de deux circuits inductifs C\ et C2 (Fig. 18.8), fixes et couplés par
induction mutuelle, le bilan d'énergie s'établit comme suit : d£em = 88rem + ô£^m avec :
d£em « d£m = d ( ^/, O, + -12 0>2
SEL = 0
et
ô£ecm = ôWj + ÔWC = -R\ i] d t - R2ij d t + egj 1 /, d t + eg,2i2 d r
Comme les flux s'écrivent Oj = Lj/i + M/2 et 02 = L2/2 +Mi\ , en fonction des coefficients
d'inductance (cf. chapitre 15), la variation d'énergie magnétique a pour expression :
d£m
L\'v\ , L2i\
H—-^ + M/] /2 = L\ i\ d i\ + L2i2 d i2 + M/2.d i\ + M/j d /2 = h d <£>] + /2 d <£>2

332 18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
soit :
d<3>| d<ï>o
dSm = ——i\ dt H —^i2 dt = -eiAi\ dt - eL2i2dt
dt dt
en introduisant les forces électromotrices d'induction : e-^\ = —dOj/dr et eij2 = — d<&2/dt. Il en
résulte :
—eh\i\ dt — e^2i2 dt = —R\i] dt — R2i2 dt + egj\i'\ dt + eg^2i2 dt
soit :
(<?/,i + egi\ - R\ i\)i\ dt + (ei]2 + egt2 - Ri h)h dt = 0
Ce bilan étant vérifié quelles que soient les charges qui circulent dans les deux circuits non connectés,
on obtient, en simplifiant, les équations de mailles relatives à chaque circuit :
<?/,i + ét;,! - R\ h =0 et e-h2 + eR2 - ^2 h = 0
IV. 3. — Bilan d'énergie en régime sinusoïdal
En régime quasi stationnaire, la puissance reçue par un dipôle électrocinétique s'écrit :
fifr
P(0 = -[f = «(0'(0
Lorsque le dipôle est parcouru par un courant sinusoïdal d'intensité i(t) = /„, cos(cot + </>,■), on sait que
la tension à ses bornes s'écrit : u(t) = Umcos((ot + <plt) . 11 en résulte, en faisant la moyenne sur la
période T :
V = \\ u(t)i(t)dt=^- I cos(^ + </>„)cos(*,/ + </>,)df
soit, en utilisant la relation trigonométrique 2 cos a cos/? = cos(a + b) + cos (a — b) :
V = ^ / [œs(2o)t + 0M + </>,•) + cos(^ - 0,-)] d'
/o
Comme la valeur moyenne de la fonction sinusoïdale est nulle, on obtient :
7F: Uni'ni I , _ Uni'm ^ Umlm
V = ~yjt I cos <p d t = —— cos <p T = —— cos ç> avec <p = <f)u - fr
En fonction de la tension efficace U — Um/y/2 et de l'intensité efficace / = Im/y/2, la puissance
moyenne s'écrit donc :
V = —— COS <p = UI COS <£
On peut exprimer cette puissance moyenne reçue en notation complexe. Pour cela, remarquons que :
/y _(_ /y* / _|_ /*
u — Re{_w} = =—— et / = Re{/} = =—— avec u = Uy2expj((ot) et i = hjltxpfjcùt)
U_\/2 et I_\/2 étant les amplitudes complexes. Il vient, en remplaçant u et / par leurs expressions :
p= -(« + «*)(/ + /*) = - {ai* + «*/) = -Re{wf}

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants 333
puisque :
m = 2UIexp(2j(ot) = 0 w*7* = 2t//exp(-2/W) = 0 et «/*+«*/ = 2Re{w/*}
Finalement, la puissance reçue en moyenne par un dipôle a pour expression :
V = Re{U_r}
On peut obtenir d'autres expressions équivalentes en introduisant l'impédance Z = U_/[ ou l'admit-
tance Y = I_/JJ_.
V. — CONVERSION ÉLECTROMÉCANIQUE
V. 1. — Bilan d'énergie électromagnétique dans les systèmes déformables
a) Condensateur à armatures mobiles
Supposons que les armatures du condensateur considéré dans le circuit de la figure 18.6 soient
mobiles sous l'action d'une force exercée par un opérateur. 11 faut alors tenir compte, dans le terme de
création d'énergie électromagnétique, du travail 8We de conversion électromécanique :
d£em = d\2c) S£«» = 0 et 8£fm = 8Wj + 8Wc = -Ri2dt + egidt-8We
On en déduit Véquation-bilan :
d ' ^r ) + ÔWe = ~R*2 d T + 6g l d *
Le premier membre s'identifie à l'énergie reçue par le condensateur uc idt = ucdq ; en effet, le bilan
d'énergie électromagnétique appliqué au seul condensateur donne :
d(£em)c = 8{£;m)c + 8{£^,)c soit 8{£^)c = ucidt = d(£em)c - 8{£^,)c = d (j^\ + 8We
Finalement, on obtient :
iici d t = —Ri2 dt + e^idi d'où — eK + R i + uc = 0
ce qui traduit la loi des tensions sur la maille.
Le travail ôWe peut donc s'écrire :
8We = ucdq-df^\=^dq-
§-,+f..c
2 VC
Si le condensateur évolue à charge constante, le travail 8We est égal à l'opposé de la différentielle de
l'énergie potentielle électrique Epe :
8We = - d ( ^ j =-d£pe avec £Pj€ = ^= £e,q
On retrouve ainsi un résultat déjà établi lors de l'étude énergétique des condensateurs (cf. chapitre 10).

334 18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
b) Bobine déformable
Supposons la bobine inductive du circuit de la figure 18.7 déformable. Il faut alors tenir compte du
travail de conversion électromécanique dû aux forces de Laplace. On sait que :
d£em = 0 ô£rem = 0 et ô£fm = ÔWj + ÔWC = -Ri2 dt + egidt- ÔWL
d'où l'équation du bilan :
d ( ^r ) + 8WL = -Ri2 dt + e.idt
2
Le premier membre représente l'énergie électromagnétique uj, dt reçue par le système formé
uniquement par l'enroulement; en effet, le bilan d'énergie électromagnétique appliquée à la seule bobine
donne :
d(£em)L = S(£;m)L + Ô(£;„,)L soit 8(£;m)L = uLidt = d(£em)L - 8(£f„,)L = d (^Çj + SWL
car S(£^m)L = — 8WL . On en déduit :
uLi d t = —Ri2 d t + eg i d t d'où — eg + Ri + uL = 0
en simplifiant, ce qui traduit la loi des tensions sur la maille.
Ainsi, le bilan d'énergie électromagnétique conduit à :
//XE>\ o d<;t> d(Li)
uL i d t = —e-x i d t — d — + o WL avec et = = —
\ 2 ) dt dt
Il en résulte l'expression suivante du travail des forces de Laplace qui s'exerce sur l'enroulement :
ÔWL = id<£>-d [ — ) =id0>-
■<D O2 i / 1
O2 /1\ O2 i2
Td Uh^dL=2dL
Exemple : Pression magnétique sur une bobine
Sous l'effet du champ magnétique qu'il produit, un circuit électrique tel qu'une bobine peut se
déformer latéralement. Généralement, on souhaite éviter cette déformation qui peut conduire à une
rupture brutale du circuit. Aussi est-il utile d'évaluer les contraintes mécaniques auxquelles est soumise
la bobine.
Calculons, dans le cas pratique d'un solénoïde très long, de longueur / et de rayon de
section r, la force magnétique radiale qui s'exerce sur sa surface. D'après ce qui précède, le travail
des forces de Laplace pour un circuit est 8WL = /2dL/2, soit pour un solénoïde d'inductance
L = julq n2Sl = julq n27Tr2l :
;2
ÔWL=-d(fi0n27rr2l)
Lorsque r augmente de dr, le travail de la force magnétique radiale s'écrit : 8WL — Frdr. Il vient
donc, en différentiant l'expression précédente et en identifiant :
•2 2 -2
—277yLto n2lr dr — Frdr soit F, — —-—2tt ri
Cette force radiale F , dirigée vers Vextérieur du solénoïde, tend à dilater sa section. En introduisant la
surface latérale Si = 2irrl, F se met sous la forme :
,7 c MO"2''2 Jl
F = pm nex Si avec p,„ = = /n{) —

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants 335
où J.v est le courant surfacique, de norme Js = ni. La quantité pm , homogène à une pression, est
appelée la pression magnétique. Comme elle s'écrit aussi :
B2
Pm = ~
elle s'identifie à l'énergie magnétique volumique.
Soulignons l'analogie avec la pression électrostatique pe = o2/ (2e0) = £{)E2/2 , qui s'exerce sur
un conducteur, et dont la valeur s'identifie avec l'énergie électrostatique volumique.
Ordre de grandeur : Pour un champ magnétique de 0.1 T, pm — 0,04 bar. En revanche, pour
un champ de 10 T, ce que l'on peut obtenir avec des enroulements supraconducteurs, pm = 400 bar,
soit une pression égale à 400 fois la pression atmosphérique. Cette grande pression magnétique ne peut
être compensée que par une bonne rigidité mécanique. Lorsque cette rigidité est défaillante, la bobine
explose !
c) Circuits indéformables mobiles
Lorsque les deux circuits de la figure 18.8 sont mobiles, le terme de création d'énergie prend en
compte le travail de conversion dû aux forces de Laplace :
ÔScem = ÔWj + 8WC = {-Ri i] - R2i\) d t + egtl i, d t + e,ai2 d t - 8WL
Le bilan d'énergie électromagnétique s'écrit évidemment :
d £em = 8£'em + 8£Lem avec ÔS'em = 0
puisque l'énergie électromagnétique reçue est supposée négligeable. Quant à l'énergie magnétique, sa
variation élémentaire a pour expression :
/ L i2 L i2 \
d£em « d£m = d f -y- + -^r2- +Mi\i2 1 = L\i\ d/j -\-Lai2di2 +Mi2di\ H- Mix di2 + i\i2dM
soit aussi :
d£m = i\ d<E>| + i2 d02 - i\i2dM
puisque Oi = L\i\ + Mi2 et 02 = L2i2 + Mi\ . Le bilan donne donc, en explicitant :
/1 dOi +/2dcl)2 - i\i2dM = (-R\i\ +^,i)i"i dr+ (-R2i2 + ef,i2)kdt- 8WL
Or la loi des mailles appliquée dans les deux circuits donne respectivement :
dO,
<?/ 1+^1— R\i\ = 0 avec e{ \ = —
dt
et :
d02
e\ 2 + e„o — R2i2 — 0 avec ei2 =
dt
Il en résulte, en identifiant :
i\ dO] + /2d4>2 - i\i2dM = —ejji\ dt H—^/,2/2dr - 8WL
d'où :
8WL = iihdM

336
18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
Le théorème de l'énergie mécanique, appliqué à l'ensemble des deux circuits, donne :
d£k = ÔWL
puisque la variation d'énergie potentielle est négligée ainsi que l'influence des forces de frottement.
Si l'on abandonne, à partir du repos, un tel système de deux circuits en interaction, toute évolution se
traduira par une augmentation de l'énergie cinétique :
d£*>0 d'où ÔWL = iii2dM>0
Exemple : Considérons le cas concret d'une bobine plate, mobile autour d'un axe et en interaction
avec un solénoïde fixe (Fig. 18.9). On sait que M = /m0nNS cos 6, n étant le nombre de spires du
solénoïde par unité de longueur, N le nombre de spires de la bobine plate, S sa section et 6 l'angle
que font entre eux les deux axes (cf. chapitre 15). Si i\ et i2 sont positifs, la bobine abandonnée
s'oriente de telle sorte que dM>0. Par conséquent, à l'équilibre, cos 6 est maximal et 6 = 0 .
Calculons le couple qui s'exerce sur la bobine. 11 vient, dans ce cas de rotation autour d'un axe :
Te d6 = i\Î2 dM d'où Tq = i\i2
dM
~dë
-i\Î2juLoNS sind
Fig. 18.9.
V. 2. — Expression des forces et des moments de Laplace
La méthode énergétique permet d'obtenir, de façon efficace, les forces de Laplace sur un circuit
rigide.
Pour cela, on identifie l'expression générale du travail des forces de Laplace, en fonction de ces
forces, à une expression de ce travail en fonction de l'énergie magnétique. On désigne par ¥L et VL
la somme et le moment des forces de Laplace, par V la vitesse de translation du circuit et par il le
vecteur vitesse de rotation.
a) Évolution à flux constant
Dans ce cas, on a, le circuit étant rigide :
swL = (fl • v + rL • n) dt = l-dL = - d f^\ = -d£m#
(1) Si l'évolution fait apparaître un seul paramètre linéique de translation x, alors :
d £,„,<!>
SWL = FLdx = — d £„h4> d'où F^x
dx
(2) Si l'évolution fait apparaître un seul paramètre angulaire de rotation 6 , alors :
d £md>
ÔWL = TLd6 = -d £m& d'où FLj0
d6

Énergie électromagnétique. Energie magnétique d'un système de courants 337
b) Evolution à intensité constante
Lorsque l'intensité est maintenue constante, l'identification des deux expressions du travail des
forces de Laplace donne :
SWL = (FL.V + rL-n)dt=l-dL = d f^\ =d£mii
(1) Si l'évolution fait apparaître un seul paramètre linéique de translation x, alors :
8Wi = ELdx = d£m j d'où Ft v = ——
dx
(2) Si l'évolution fait apparaître un seul paramètre angulaire de rotation 6 , alors :
d £mj
ÔWL = TLd6 = d£mJ d'où Fu
dd
Remarque : Ces expressions sont similaires à celles obtenues dans le cas des condensateurs en
électrostatique, les rôles de V et Q étant ici joués par / et <X> respectivement.
V. 3. — Bilan d'énergie électromécanique
Un convertisseur électromécanique est un système délimité par une surface fermée S, à travers
laquelle peuvent être échangées, avec le milieu extérieur, de l'énergie électromagnétique et de l'énergie
mécanique.
La conversion électromécanique est à la base d'un nombre considérable de réalisations industrielles
dont les exemples typiques sont les moteurs électriques et les alternateurs. Dans de tels dispositifs,
qui fonctionnent généralement dans l'ARQS, le terme magnétique de l'énergie électromagnétique est
prépondérant comparé au terme électrique (rapport de l'ordre 100).
Le point de départ de l'étude de cette conversion est l'écriture des bilans d'énergie
électromagnétique et d'énergie mécanique dans ces systèmes. Nous étendons ainsi l'étude des convertisseurs, déjà
réalisée en régime stationnaire (cf. chapitre 9), aux régimes quasi stationnaires périodiques.
a) Bilan d'énergie électromagnétique
Ecrivons le bilan d'énergie électromagnétique :
d£em = S£grm + S£fm = ô£;m + ÔWj + SWC
En intégrant l'équation du bilan d'énergie électromagnétique sur une période T, on obtient :
A£em = 0 = £erm + £*„ avec £ecm = Wj + Wc
Rappelons que Wj ^ 0 représente la dissipation par effet Joule et Wc le travail de conversion :
Wj
/ Ri2 dt et Wc= / edq= / eidt
e = ôWc/ dq étant la f.e.m du convertisseur. L'énergie électromagnétique reçue par le convertisseur
s'écrit donc :
£,; = -Wj - wc
Le système est un générateur d'énergie électromagnétique si £erm < 0 , soit Wc > 0 puisque Wj < 0 ;
c'est un récepteur d'énergie électromagnétique si £erm > 0 .

338 18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
b) Bilan d'énergie mécanique
Écrivons le théorème de l'énergie mécanique sous forme d'un bilan d'énergie :
d(£k + £„)=d£„in: = d£;,cc + d£<ec
en désignant par £p l'énergie potentielle du système, d'origine non électromagnétique.
Le terme de création d'énergie mécanique comprend toujours un terme de dissipation 8Wf ^ 0,
dû aux frottements, et un terme lié au travail des forces de Laplace 8WL . Il vient donc, en intégrant sur
une période T :
A£,m,i: = 0 = £,'ncc + £<ec avec £^c = Wf + WL
d'où l'énergie mécanique reçue par le convertisseur :
£;,ec = -wf-wL
Le système est un générateur d'énergie mécanique, c'est-à-dire un moteur si E*nec < 0, soit WL > 0
puisque Wf■ < 0 . C'est un récepteur d'énergie mécanique si E,l'iec > 0 .
c) Bilan d'énergie électromécanique
On sommant les bilans précédents, on déduit le bilan d'énergie électromécanique EM = Eem+Emec ,
sur une période :
A£M = £;m + Wj + Wc + £,ïec + Wf + WL avec A£M = 0
en régime stationnaire ou quasi stationnaire périodique. Or la conversion électromécanique traduit la
compensation de Wc et W^ :
wc + wL = o
Il en résulte l'expression suivante du bilan de l'énergie électromécanique EM •*
A£M = 0 = S;m + £rmec + Wj + Wf
Remarque : La conversion électromécanique est au cœur du fonctionnement des machines tournantes
(cf. Exercices).
V. 4. — Efficacités de la conversion
a) Efficacité du fonctionnement en générateur électrique
Le générateur fournit de l'énergie électromagnétique à l'extérieur, c'est-à-dire au circuit
d'utilisation qui lui est connecté : £J'tn < 0 . Comme l'apport d'énergie mécanique nécessaire est £nrjec > 0 , on
définit l'efficacité du générateur par le rapport :
= -s;,,, _ s;,ec + wj + wf wj + wf
*^mec '-'mec '-'mec
Cette efficacité est maximale et vaut 1 en l'absence de tout phénomène dissipatif : Wj = 0 et Wf = 0 .
Aussi F appel le-t-on souvent rendement du générateur.

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants 339
b) Efficacité du fonctionnement en moteur
Le système fournit de l'énergie mécanique à l'extérieur, par exemple par l'intermédiaire d'un
rotor pour une machine tournante : Efnec < 0. L'apport d'énergie électromagnétique nécessaire étant
EJftl > 0, l'efficacité du moteur est :
Vm ~ c r ~ cr - l cr et Vin *s I
Comme précédemment, r)m ^ 1 ; on l'appelle aussi rendement du moteur.
V. 5. — Exemple de convertisseur électromécanique
On peut préciser l'analyse générale précédente sur l'exemple d'un convertisseur électromécanique
en translation. Schématiquement, un tel convertisseur, fonctionnant en générateur électrique, est
constitué par un conducteur cylindrique MN , de longueur /, de résistance R, qu'un opérateur déplace, avec
une vitesse variable de forme sinusoïdale V = Vm cos(cot) ev, perpendiculaire à son axe, le long de deux
rails conducteurs, parallèles, de résistance négligeable. Le barreau MN peut être parcouru par un
courant /, car il ferme un circuit et il est soumis à l'action d'un champ magnétique appliqué B„ , uniforme
et perpendiculaire à MN et V (Fig. 18.10).
2/A
iB»„...
FlG.
18.10
1^
BTLS.....
-Y
_W_
Choisissons, pour la commodité, un système d'axes (ev,ev,ez) tel que V = Vxex et B„ = Baez, et
orientons le conducteur mobile suivant ey . Comme le déplacement est horizontal, le poids ne travaille
pas (d Ep = 0).
Calculons, dans ce cas, pendant une durée égale à la période T = 2tt/ù) , les travaux Wc , W^ et
Wj . 11 vient :
Par conséquent :
e
l~ R ~~
D'autre part :
WL =
En effectuant, on
wc =
B«V0l
R
Jo
obtient
rT
- / e,
cos(cot)
V dt
dt
et
avec
avec
Wc-
FL
e
=
/(V x B)dl = -BaV0lcos{(ot)
f" e2 /'T B2V2/2
/ d 1 x B„ = UBa ev = " cos(cot) ev
B2aVll2T
2R
r _b^i_ 2{ )d Wsh
L Jo R K J 2/?
On retrouve sur cet l'exemple la conversion électromécanique traduite par WL = —Wc

340 18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
CONCLUSION
Enumérons les principaux résultats.
(1) Dans un système comportant des charges dans le vide, le bilan global d'énergie
électromagnétique s'écrit :
V
ou :
d £em = ÔSc!m + ÔSecm avec £em = / ( -y- + — j d
ôSerm = -dt i R n ûS et ô£fm = -dt f J • E d V
représentent respectivement l'énergie reçue (algébriquement) par échange, et l'énergie
électromagnétique créée par le système. L'échange d'énergie s'exprime par le flux du vecteur de Poynting
R = E x (B/fto) •
(2) L'énergie électromagnétique se conserve dans le vide sans charge (J = 0) . C'est le cas, dans
l'ARQS, pour un condensateur à vide où elle revêt une forme électrique Se, et à l'intérieur d'un
enroulement inductif où elle revêt une forme magnétique Em :
ç f eoE2 _ qu f B2
£e = / —r- d O = — et £m = / —-
Jc> 2 2 Jp 2/xo
e0E2 A^ qu _ c f B2 /*
2
(3) Dans un système comportant des conducteurs, on doit tenir compte, dans l'énergie
électromagnétique créée, du terme dissipatif dû à l'effet Joule et de la conversion éventuelle en d'autres formes
d'énergie :
ôSecm = ÔWj + ÔWC avec ÔWj = -Ri2 d / et ÔWC = eg id t
Pour tout dipôle électrocinétique, la puissance reçue s'identifie au produit u i. Le bilan d'énergie
électromagnétique permet alors d'établir la loi des tensions dans une maille, pourvu que l'énergie rayonnée
par le circuit soit négligeable.
(4) Dans l'ARQS, l'énergie magnétique d'un système comportant plusieurs circuits, se met sous la
forme :
Q2
ç f B ,™ f J A i™ xrik®k
£m= ^—dr?== —r~ d () = 2^ ~^~
Jespace ZM() Jp Z k
(5) La conversion électromécanique a un intérêt pratique considérable, puisqu'elle est présente
dans la plupart des machines électriques. Il est alors instructif d'établir les deux bilans d'énergie
électromagnétique et mécanique et d'en déduire le bilan global d'énergie électromécanique : le travail de
conversion est l'opposé du travail des forces de Laplace. Rappelons l'expression du travail
élémentaire des forces de Laplace dans les cas d'un circuit déformable d'inductance L et de deux circuits
rigides mais mobiles, d'inductance mutuelle M :
P-
8WL = -dL et ÔWL = i\i2dM
(6) Enfin, on peut déduire des expressions précédentes de ôWi les forces de Laplace entre circuits
en explicitant le travail en fonction de ces forces. On peut aussi introduire l'énergie magnétique, mais il
faut alors préciser si l'on travaille à flux constant ou, comme c'est souvent le cas, à intensité constante.

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants 341
EXERCICES ET PROBLÈMES
P18- 1. Bilan d'énergie dans une diode à vide ^web)
Les deux plaques K et A d'une diode à vide sont deux disques conducteurs, de rayon a et distants
de d. La cathode K émet, sans vitesse, des électrons que reçoit l'anode A , portée au potentiel U par
rapport à K . Le faisceau d'électrons est défini géométriquement par un cylindre dont les bases sont les
disques conducteurs de rayon a .
1. Ecrire, en régime stationnaire, le bilan d'énergie électromagnétique. Exprimer, en fonction de U
et de l'intensité / du faisceau, le flux sortant du vecteur de Poynting à travers la surface S du cylindre.
2. On désigne par Je^ = e^v = (nvmv2/2)v le vecteur courant volumique d'énergie cinétique
du système d'électrons, nv étant le nombre d'électrons par unité de volume et v leur vitesse. Calculer
le flux de Je^ à travers S. Comparer ce flux à celui du vecteur de Poynting.
P18- 2. Energie magnétique d'un solénoïde droit
Un solénoïde long, de longueur / = 20 cm et de diamètre D = 2 cm, comporte n = 20 spires
par cm.
1. Calculer son énergie magnétique lorsqu'il est parcouru par un courant d'intensité 2 A .
2. Un solénoïde analogue, constitué à l'aide d'un matériau supraconducteur, est parcouru par une
intensité de 2 kA . Quelle est son énergie magnétique ?
P18- 3. Énergie électrique dans un solénoïde dans l'ARQS
On se propose d'évaluer, dans le cadre de l'ARQS, l'énergie électrique dans un solénoïde. Ce
solénoïde, de longueur /, dont la section circulaire a un rayon a , crée le champ magnétique uniforme
et sinusoïdal suivant :
Bq = Bq ez = Bm cos(atf) ez
1. Écrire, en coordonnées cylindriques (p,cp,z) les composantes du champ électrique E\ dans le
solénoïde.
2. En déduire l'énergie électrique £e localisée dans le volume délimité par le volume cylindrique
du solénoïde.
3. Calculer le rapport des valeurs moyennes, dans le temps, de l'énergie électrique et de l'énergie
magnétique. Application numérique pour a = 1 cm et une fréquence égale à v = l kHz .
P18- 4. Énergie magnétique d'un solénoïde torique ^webT)
La section droite d'un solénoïde torique, de rayon moyen R, est un cercle de rayon a . Le nombre
total de spires jointives qui sont bobinées sur le tore est /V .
1. Trouver l'expression du champ magnétique créé dans le tore. On adoptera comme variables,
dans un plan de section, les coordonnées polaires ( r, 6 ).

342 18. Energie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
2. Calculer l'énergie magnétique £m du tore. On posera :
f0\ fR~r\]/2
u = tan — et v = \ u
3. Exprimer £,„ en fonction de S = ira2 , / = 2ttR et n = N/l, lorsque a est très faible
devant R. Commenter.
P18- 5. Energie magnétique dans un condensateur dans l'ARQS
On considère le condensateur à armatures circulaires de la figure 18.2, aux bornes desquelles un
générateur maintient une tension u sinusoïdale, de pulsation co . Le champ électrique uniforme a pour
expression :
Eq = Eq ez = E,„ cos(cot) ez
1. Écrire, en coordonnées cylindriques (p, <p,z) les composantes du champ magnétique Bj entre
les armatures du condensateur.
2. En déduire l'énergie magnétique £m localisée dans le volume délimité par les armatures de
rayon a .
3. Calculer le rapport des valeurs moyennes, dans le temps, de l'énergie magnétique et de l'énergie
électrique. Application numérique pour a — 1 cm et une fréquence égale à v = 1 kHz .
PI8- 6. Bilans d'énergies dans un circuit déformable
Un circuit est constitué d'un double rail conducteur, de largeur /, fermé par deux barreaux
cylindriques en aluminium, identiques, AB et CD, parallèles, qui peuvent se déplacer le long du rail,
perpendiculairement à leur axe. Ce circuit, contenu dans un plan horizontal est soumis à l'action d'un
champ magnétique extérieur Ba = Baez uniforme et vertical (Fig. 18.11). Sa résistance est due
uniquement aux conducteurs AB et CD. Un opérateur déplace le conducteur AB à la vitesse constante
V, = V,e,.
1. Montrer, qualitativement, que le conducteur CD se met en mouvement. Etablir l'équation
différentielle à laquelle satisfait la vitesse V de CD . En déduire V(/) . Au bout de quelle durée la vitesse de
CD atteint-elle 99 % de V\ ? Application numérique dans le cas où Ba = 0, l T . On donne la masse
volumique de l'aluminium ainsi que sa conductivité :
p* =2700 kg mr3 et y = 3, 65 x 107 S • m"1
2. Effectuer les bilans d'énergie électromagnétique, d'énergie mécanique et d'énergie
électromécanique. Commenter.
3. Etudier le mouvement du conducteur CD lorsque le déplacement du barreau AB est sinusoïdal
autour d'une position O prise comme origine :
OA = x\ex = A\ cos(cot) ev
On utilisera la méthode complexe, en associant à cos(cot) la fonction exp(/W), pour déterminer le
mouvement de CD . Discuter l'influence du mouvement de AB sur celui de CD suivant la valeur de la
pulsation co comparée à une pulsation critique que l'on exprimera.

Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants 343
C B
B„
FlG. 18.11.
P18- 7. Définition opérationnelle de l'énergie magnétique mutuelle de deux circuits
On se propose d'établir l'expression de l'énergie mutuelle M/1/2 de deux circuits C\ et C2 à
partir d'une définition opérationnelle : on admet que cette énergie est le travail qu'un opérateur doit
fournir pour amener, sans énergie cinétique et sans frottement, ces deux circuits, parcourus par les
intensités i\ et i2 , de l'infini à la position considérée, les intensités étant maintenues constantes à
l'aide de générateurs auxiliaires. On désigne par R\ et R2 les résistances de C\ et C2 . En outre, on
appelle 8Wgi\ et SWS^2 les travaux électriques élémentaires fournis par les générateurs auxiliaires.
1. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique au système des deux circuits, entre deux instants
infiniment voisins. En déduire la valeur minimale du travail fourni par l'opérateur.
2. Ecrire les bilans énergétiques sur chaque circuit. En tenant compte de la loi d'Ohm généralisée
pour chaque circuit et de l'expression du travail des forces de Laplace 8WL = /"i^dM, retrouver
l'énergie magnétique mutuelle des deux circuits.
PI8- 8. Énergie magnétique mutuelle d'un solénoïde torique et d'une bobine
Sur un tore, de rayon moyen R = 10 cm, dont la section circulaire a un diamètre 2a — 6 cm , on a
bobiné N\ = I 800 spires. Une bobine circulaire plate, de diamètre très voisin (sensiblement égal à 2a )
et comportant N2 = 25 spires, entoure une section du tore. Quelle est l'énergie magnétique mutuelle
du système, lorsque les courants dans les bobinages sont respectivement I\ = 5 A et I2 — 2 A ?
PI8- 9. Force exercée par un fil rectiligne sur un cadre rectangulaire
Un conducteur rectiligne infini C\ exerce une action magnétique sur un cadre rectangulaire
indéformable C2 = ABCD , formé de 100 spires, de côtés AD = a — 6 cm et AB = b — 20 cm , placé de
telle sorte que les brins AB et CD soient parallèles au fil et contenus dans un même plan. Les
intensités respectives sont I\ = 45 A et I2 — 5 A .
1. Quelle est, en fonction de la distance x\ qui sépare C] de AB, l'expression de l'énergie
magnétique mutuelle du système ? Trouver la valeur de cette énergie pour x\ = 2 cm .
2. En déduire la force qu'exerce C\ sur C2 • Application numérique.
P18- 10. Électrodynamomètre de Pellat
L'électrodynamomètre de Pellat est constitué d'une petite bobine b soumise à l'action du champ
magnétique produit par un long solénoïde S\ (Fig. 18.12). Grâce au fléau d'une balance, cette action est
comparée à celle d'une masse marquée m . La distance du plateau au centre de rotation vaut d — 20 cm .
Le nombre de spires par unité de longueur de S\ est n\ = 100 spires par cm et le nombre de spires de
b, de surface s = 1 cm2 est N2 = 50 ; en outre, / est l'intensité constante du courant qui parcourt à
la fois S\ et b .

344 18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
1. Quelle est l'énergie mutuelle magnétique du système en fonction de l'angle 6 que fait la normale
au plan de b avec le champ magnétique Bi créé par S\ ? En déduire le couple qui s'exerce sur la
bobine.
2. Établir, en négligeant le champ magnétique terrestre, la relation donnant l'intensité / en fonction
de la masse m , lorsque 6 — 0 .
3. Afin d'éviter l'influence du champ magnétique terrestre, on mesure aussi la masse m' qui réalise
l'équilibre de la balance lorsqu'on change le sens du courant dans S\ et on fait la moyenne (m + m')/2 .
Calculer l'intensité / lorsque (m + m')/2 — 1 g.
Fie. 18.12. FiG. 18.13.
P18- 11. Aspect énergétique du solénoïde plongeur
On considère deux solénoïdes S\ et 5*2 circulaires, coaxiaux et disposés comme l'indique la
figure 18.13. Le premier, de rayon R\ , est fixe ; le second, de rayon inférieur /?2 = 2 cm, peut se
déplacer suivant son axe. Les enroulements, comportant respectivement n\ et n-i spires par unité de
longueur, sont parcourus par des courants de même sens, d'intensités constantes I\ et I2 . Les nombres de
spires par mètre sont respectivement n\ = 2 000 et n\ = 1 000. On admet l'approximation des
solénoïdes infinis dans le calcul de l'énergie. Le solénoïde S2 , de longueur /, plonge d'une longueur z à
l'intérieur de Si .
1. Trouver l'énergie magnétique du système S des deux solénoïdes, ainsi que l'énergie magnétique
mutuelle.
2. En déduire l'expression de la force magnétique ¥(z) = F(z) e2 qui s'exerce sur S2 .
3. On utilise ce dispositif pour mesurer l'intensité /2 dans S2 à partir de la force magnétique qui
vaut 10 mN , lorsque l\ = 2 A . Calculer 72 .
P18- 12. Bilan d'énergie électromagnétique dans un câble coaxial
Un câble coaxial est constitué de deux cylindres conducteurs droits, de même axe Oz. Le premier,
plein, de rayon a , est parcouru par un courant d'intensité / — lm cos(cot — kz) . Le second, par lequel
s'effectue le retour du courant, est creux et son rayon intérieur est b .
1. L'expression complexe du champ magnétique B , dans l'espace entre les conducteurs défini par
a < r < b, est :
B = B eç = -5-îîi Qxp[-i((ot - kz)} eç avec — = c
Y lirr k
Quel est le champ électrique E ?

Énergie électromagnétique. Énergie, magnétique cVun système de.courant s 345
2. Comparer les expressions des énergies volumiques associées à tout instant aux champs E et B.
Trouver la valeur moyenne dans le temps de la densité d'énergie électromagnétique w ainsi que celle
de dw/dt.
3. Calculer le vecteur de Poynting R ainsi que sa valeur moyenne.
4. Quelle est l'énergie électromagnétique moyenne contenue dans le volume d'un cylindre de
hauteur Az telle que Az <C lir/k ? Montrer que cette énergie moyenne peut se mettre sous Fa forme :
L/Az/^/2, L/ étant une quantité que l'on déterminera et dont on donnera la signification en
précisant son unité SI.
P18- 13. Bilan d'énergie dans un conducteur avec effet de peau Cw^
Un conducteur, de conductivité y, occupant le demi-espace z > 0, est le siège d'un courant
volumique d'expression complexe :
J = VeA avec J = Jm exp f — - J exp — i: ( cot — — J où 8 = I
est l'épaisseur de peau.
1. Trouver les expressions des champs E et B.
2. En déduire l'énergie électromagnétique volumique w ainsi que sa valeur moyenne. Comparer
les contributions électrique et magnétique.
3. Quelle est la puissance moyenne dissipée par effet Joule, dans le volume parallélépipédique, de
longueur a , de largeur b et de profondeur infinie ? Comparer cette puissance à la puissance moyenne
rayonnée. Conclure sur le bilan d'énergie électromagnétique.
P18- 14. Mouvement de rotation d'une bobine plate dans un solénoïde
On considère une bobine plate, mobile autour d'un axe et en interaction avec un solénoïde fixe
(Fig. 18.9) ; n est le nombre de spires du solénoïde par unité de longueur, N le nombre total de spires
de la bobine plate, S sa section, i\ l'intensité du courant dans le solénoïde, in celle dans la bobine.
1. Rappeler l'expression de l'inductance mutuelle en fonction de l'angle 6 que font entre elles les
normales aux bobines. Trouver le couple qui s'exerce sur la bobine plate. Calculer sa valeur maximale
pour n = 10000 m"1 , /V = 50, S = 8 cm2 , z, = 2 A et i2 = 0,5 A .
2. Quelle est l'énergie potentielle magnétique de la bobine sachant que les courants sont constants ?
En déduire la nature du mouvement de la bobine autour de sa position d'équilibre.
P18- 15. Spirale de Roget (^)
Une bobine à /V spires non jointives, appelée spirale de Roget, est suspendue par l'une de ses
extrémités alors que l'autre plonge dans du mercure (Fig. 18.14). Elle est alimentée par une source qui
débite un courant stationnaire, grâce à une grande résistance R .
1. Effectuer un bilan d'énergie mécanique entre deux dates successives infiniment voisines, sachant
que l'influence de la pesanteur et des forces de frottement mécanique est négligeable. Déduire, à l'aide
d'un raisonnement qualitatif, le comportement mécanique de la spirale, sachant que sa section S est
sensiblement constante.
vz

346
18. Énergie électromagnétique. Énergie magnétique d'un système de courants
2. Calculer la force qui s'exerce sur une spirale de longueur / = 10 cm , dans le cas où N = 10,
S= 12 cm2 et /= 10 A.
Y X
3 Mercure
FiG. 18.14.
P18- 16. Moteur en rotation ^^
Un moteur électromécanique fonctionne en régime quasi stationnaire et échange avec le milieu
extérieur de l'énergie mécanique par l'intermédiaire d'un couple appliqué à une machine tournante. Il
comporte une partie mobile, le rotor, et une partie fixe, le stator. Le rotor et le stator sont constitués de
deux armatures cylindriques dans lesquelles on a aménagé des encoches afin d'y loger des fils
conducteurs parallèles à l'axe de rotation. La figure 18.15 représente schématiquement les principaux éléments
de ce convertisseur : le rotor, le stator et la charge, de résistance R .
Charge R
Convertisseur
FiG. 18.15.
Effectuer le bilan d'énergie électromécanique sur une durée égale à la période T du mouvement.

19
Ondes électromagnétiques dans le vide
Prévue théoriquement dès l'établissement des équations de Maxwell en 1876, la propagation des
ondes électromagnétiques n'a été étudiée expérimentalement qu'en 1888 par H. Hertz. Des expériences
décisives, telles que celle de A. Michelson, avaient mis en évidence l'aspect essentiel des ondes
lumineuses, lesquelles ne sont qu'un cas particulier d'ondes électromagnétiques : elles sont caractérisées par
l'invariance de leur vitesse de propagation (ou célérité) c par changement de référentiel galiléen, et par
l'absence de support matériel pour cette propagation, ce qui les distingue fondamentalement des ondes
mécaniques.
Nous nous proposons d'étudier ce phénomène de propagation dans le cas du vide illimité, en
l'absence de charges (propagation libre), sans nous préoccuper pour l'instant de l'émission ou de la
réception (cf. chapitre 20). Le domaine d'application est très vaste : il s'étend, dans l'échelle des longueurs
d'ondes, de 10~,5 m (ordre de grandeur de la dimension d'un noyau) à plusieurs km (ondes radio), ou
ce qui est équivalent, dans l'échelle des périodes, de 10-23 s à 10-5 s . Dans cet éventail, les
phénomènes lumineux ne concernent qu'un domaine restreint de longueur d'onde : 400 nm ^ À ^ 750 nm .
I. _ ÉQUATIONS DE PROPAGATION DU CHAMP ET DU POTENTIEL
1.1. — Équation de Maxwell dans le vide
Rappelons les équations de Maxwell, celles qui définissent la structure du champ
électromagnétique (E,B) :
rotE+^=0 divB = 0
ot
et celles qui relient ce champ aux sources (p, J) :
julqJ dt
Dans ces expressions p0 = 477 x 10-7 SI et e0 = V(mo^2) ~ 1/(3677 ) x 10-9 SI. En l'absence de
sources (p = 0, J = 0), les deux dernières équations sont également homogènes :
divE = 0 rotB-^^=0
c1 ot
On voit que les rôles joués par E et B sont alors analogues : la présence d'un champ magnétique B
variable induit celle d'un champ électrique E (loi de l'induction) qui, à son tour, engendre un champ

348
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
magnétique (terme de déplacement de Maxwell). On conçoit alors que le phénomène électromagnétique
puisse se propager de proche en proche.
1.2. — Équation de propagation du champ
Cherchons les équations auxquelles satisfont séparément les deux champs E ou B . Pour cela,
utilisons la relation d'analyse vectorielle (cf. annexe 2) :
rot rot E = grad div E - AE avec AE = AEX ev + AEy ey + AEZ ez
en coordonnées cartésiennes. Il vient :
rotrotE = rot ( -— 1 = - — (rotB) et graddivE = 0
L'équation de Maxwell-Ampère conduit alors à :
AE=1^
c2 di1
La quantité c , homogène à une vitesse, est la vitesse de propagation (ou célérité) du champ
électromagnétique dans le vide. La valeur SI de c a été choisie exacte en 1983 :
c = 2,997 924-580 x H^m-s"1
De même, la relation rot rotB = grad div B — AB donne :
ab- h*B
Ces équations sont caractéristiques de la propagation d'onde ; aussi les appelle-t-on équations d'onde
des champs.
1.3. — Equation de propagation du potentiel
Cherchons à établir les équations auxquelles satisfait le potentiel électromagnétique ( V, A ). On a :
rot B = rot rot A = grad div A — AA
Compte tenu de l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient, en faisant J = 0 :
i ôe i d ( ôa\ (\ dv\ i d2A
Par conséquent :
En outre, comme div E = 0, on a :
dA\ d
div ( - grad V - -i- ) = 0 soit A V + — div A = 0
v ' dt J * at

Ondes électromagnétiques dans le vide
349
a) Jauge de Lorentz
Nous avons vu que seul le champ électromagnétique (E, B) était défini sans ambiguïté (cf. chapitre
16). On peut donc choisir pour le potentiel (V, A) des jauges différentes. Si l'on impose au potentiel la
jauge de Lorentz :
d,vA+if =0
cl. ot
on ontient les deux équations suivantes :
192A A A 1 d2V „
AA-?^=0 et AV-?^=0
Ainsi, dans la jauge de Lorentz, V et A sont découplés et obéissent à la même équation de propagation
que les champs.
L'écriture de l'équation d'onde peut être condensée en introduisant l'opérateur d'Alembertien □ .
On a alors formellement :
1 d2
D(E,B,Aou V) = (OouO) avec D = A- — —
Au-delà d'une simple élégance de forme, cette écriture souligne les rôles analogues joués par les
variables d'espace et de temps, précisément la variable et. Elle n'est cependant utile que dans le cadre
naturel de la théorie de la relativité qui privilégie le concept d'espace-temps à quatre dimensions (cf.
Relativité).
Remarque : La condition de jauge ne définit pas de manière univoque le potentiel. En effet la
transformation (V, A) —» (V, A'), qui laisse invariant le champ, s'explicite selon (cf.
chapitre 16) :
A'=A + gradf et V = V - -J-
ot
Les deux potentiels ( V', A') et (V, A) appartiennent tous deux à la jauge de Lorentz si :
divA7+ ^-—- =divA + — — =0
Cz Ot C1 Ot
ce qui entraîne :
Civgrad/+l|(-|)^0 soi. 4^-^=0
On peut donc trouver une famille de potentiels satisfaisant à la jauge de Lorentz et différant
entre eux de grad/ pour A et de —df/dt pour V , pourvu que la fonction arbitraire /
soit solution d'une équation d'onde.
b) Jauge de radiation
Revenons à l'équation générale à laquelle satisfait le potentiel scalaire :
d
AV+ T-(divA) =0

350
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
On peut être tenté de choisir V tel qu'il satisfasse, comme en régime stationnaire , à l'équation de
Laplace dans le vide : AV = 0 . La condition de jauge correspondante est alors la même que celle que
nous avons adoptée pour un tel régime Gauêe de Coulomb) :
divA = 0
Cette condition est particulièrement commode lorsqu'il n'y a pas de charges, c'est-à-dire lorsque
l'on ne s'intéresse qu'aux phénomènes loin des sources. Pour cette raison, on l'appelle jauge de
radiation. Alors un choix possible du potentiel scalaire est V = 0 . Dans ce cas, il suffit d'étudier le potentiel
vecteur A, le champ pouvant s'en déduire par simple dérivation selon :
dA
E = —— et B^rotA avec V = 0
dt
II. — ONDES PLANES ET ONDES SPHÉRIQUES
Nous allons examiner deux cas particuliers importants de propagation, celle par onde plane pour
laquelle une direction fixe de l'espace est privilégiée, l'autre par onde sphérique lorsque l'espace est
isotrope pour la propagation.
II. 1. — Ondes planes
a) Définition et équation d'otide
Désignons par Ou une direction spatiale définie par le vecteur unitaire eu , de cosinus directeurs
(a, (3, y) dans la base cartésienne (ev, ey, e~) .
eM = a e v + (3 ey + y ez avec a2 + /32 + y2 = 1
La position d'un point M quelconque est repérée par r = x eA+y ey-\-z ez. Soit u — e„r = ax+/3y-\-yz,
l'abscisse de la projection H du point M sur l'axe Ou (Fig. 19.1).
Fig. 19.1.
Lorsque le champ (E,B) ne dépend que de u, l'onde est dite plane car, à un instant donné, le
champ à la même valeur en tout point de ce plan :
E(M, t) = E(w, t) et B(M, t) = B(w, t)
Un tel plan 2 , perpendiculaire à Ou , est appelé plan d'onde.

Ondes électromagnétiques dans le vide
351
Les dérivations par rapport aux variables d'espace font apparaître l'opérateur d/du . En
introduisant l'opérateur vectoriel ncibla, V — eM d/du (cf. annexe 2), l'action des différents opérateurs peut se
résumer ainsi :
grad-+V = e„—- div-^ V-= efl—• rot -> Vx = eH— x et A -> Vz = -r
au ou au azu
L'équation d'onde :
1 d2V
A^F
c2 dt2
à laquelle satisfait l'une quelconque, XV , des composantes du champ électromagnétique Ex, Ey, Ez, Bx, By
ou Bz, fonction de m et /, s'écrit :
0 soit — — + - — ty = 0
du2 c2 dt2 V du c dt J \ du c dt
b) Solution générale de Véquation d'onde
Effectuons le changement de variable : v = t — u/c et w = t H- u/c, ce qui donne :
C / X ' / X
u = - (w — i;) et f = - (w + î;)
Il vient :
d__ d_ fdu\ d_ fdt\ _c(d__ \_d_
dv du \dv J dt \dvJ 2 \du c dt
et
d__ d_ fdu\ d_ f dt\ _c_( d_ \_(T
dw du \ dw J dt \ dw J 2 \ du c dt
L'équation devient, en fonction des nouvelles variables v et w :
4 d2W _ . d2^ _
c2 dvdw dvdw
L'intégration par rapport à w donne :
dW f
— = g(v) d'où W = / g(v) dv + ^_(w) = xV+(v) + ^_(w)
en intégrant par rapport à v . Ainsi, la solution générale de l'équation d'onde plane a pour expression :
\p = xy+ ft _ "_\ + \jr_ ft + H\
^+ et XV_ étant deux fonctions quelconques des variables ( t — u/c ) et ( t + w/c ) respectivement
Remarque : Bien qu'un champ stationnaire et uniforme soit toujours solution de l'équation d'onde,
nous l'exclurons car il est sans intérêt dans l'étude de la propagation.

352
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
c) Onde plane progressive
Examinons d'abord l'évolution dans le temps et dans l'espace de ^+ . Un signal
électromagnétique qui a pour valeur W+(t\ — u\/c) dans le plan d'onde Si , d'abscisse ii\ à l'instant t\ (Fig. 19.2),
a la même valeur, à un instant ultérieur t2 = t\ + àt, dans le plan £2 tel que :
h
«2
"1
d'où la distance u2 — ii\ = c(t2 — t\)
c c
qui sépare £2 de Si : on dit que le signal s'est propagé, le long de l'axe Ou , de Si à 22 , à la vitesse
c : l'onde est progressive dans le sens des u croissants.
De même, ^- {t + u/c) représente une onde plane progressive se propageant, à la vitesse c, dans
le sens des u décroissants.
\àt2
U\ U2
C(t2-tl) "
FiG. 19.2.
Z E
B
Plan d'onde
Direction de propagation
Fig. 19.3.
0
d) Transversalité d'une onde électromagnétique plane
Appliquons l'équation de Maxwell-Gauss dans le vide :
divE= —-
ou
Par conséquent, E„ — 0, la solution uniforme étant exclue. De même, l'équation divB = 0 conduit à
B„ = 0.
Ainsi, le champ électromagnétique d'une onde plane dans le vide est transverse, c'est-à-dire que
E et B sont orthogonaux à la direction de propagation, et donc contenus dans le plan d'onde. L'onde
est dite transverse électrique et magnétique (TEM).
e) Relation entre E et B pour une onde plane progressive
L'équation de Maxwell Faraday, rotE = —dB/dt , s'explicite selon :
dE _ dB
e"xâ7""â7
Pour une onde progressive suivant les u croissants, nous avons, puisque d/du = (—l/c)d/dt :
1 dE
d'où
1 d
(e„ x E)
dE
du c Dt c dt
En l'absence de champ stationnaire, on a donc :
~di
et
d_
dt
B
e„ x E
0
B
: e„ x
Ainsi, les vecteurs eH , E et B forment un trièdre direct et la norme de B vaut E/c à tout instant et
en tout point. La structure de l'onde plane est schématisée sur la figure Fig. 19.3.

Ondes électromagnétiques dans le vide
353
f) Potentiel électromagnétique
Dans la jauge de radiation pour laquelle divA = 0 et V — 0, nous avons E = —dA/dt. Le
champ électrique étant transverse, le potentiel vecteur A est donc également transverse :
' dt
Eu = 0 soit Au = Cte = 0
en régime variable.
II. 2. — Ondes sphériques
L'onde plane est un concept simple qui n'est physiquement acceptable que dans une zone limitée de
l'espace, éloignée de la source. Celui d'onde sphérique est plus réaliste car il correspond physiquement
à une émission isotrope d'un signal électromagnétique à partir d'une source ponctuelle (Fig. 19.4). Une
onde est sphérique si les composantes du champ et du potentiel ne dépendent que de la distance r du
point considéré à la source ponctuelle O : en tout point d'une sphère de centre O, le champ a même
norme à un instant donné.
Source OV_
Y Q.
OM
/V
~V'r'
/'
£
y
Fig. 19.4.
Désignant par ^ l'une des composantes du champ électromagnétique, on a toujours :
IÔ2f
A^ =
c1 dt1
En explicitant le laplacien en coordonnées sphériques (cf. annexe 2), on obtient :
i d2 , T, \ d2v . d2 . T, iô2, n
7^) = ^ S01t 8ïW = *8fiW
Il en résulte la solution générale :
rW = 5+ (t - -) + S- (t + -) et donc V = -S+ (>-") + ~S- (f + -)
Cette solution s'interprète comme la somme de deux ondes sphériques, l'une divergente fonction de
(t — r/c) , l'autre convergente fonction de (t + r/c) se propageant de manière isotrope à la vitesse de
la lumière. Contrairement à une onde plane, ces ondes se déforment puisqu'elles s'atténuent avec la
distance r (Fig. 19.5). L'onde divergente S+(t — r/c)/r est aussi une onde TEM ; en tout point et à
tout instant la relation B = e, x E/c est vérifiée (cf. Exercices).

354
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
III. — ONDES PLANES MONOCHROMATIQUES
Une solution particulière de l'équation de propagation est l'onde plane dépendant sinusoïdalement
du temps. Ce type de solution joue un rôle capital, car tout signal peut être représenté par une
superposition linéaire de fonctions sinusoïdales dites monochromatiques. La linéarité des équations de Maxwell
permet de déterminer la structure et les propriétés de toute onde électromagnétique à partir de ses
composantes monochromatiques.
III. 1. — Définitions
Considérons une onde plane monochromatique se propageant dans une direction Ou , dans le sens
des u croissants. Les champs E et B sont transverses. Une composante quelconque de ces champs a
pour expression :
"*" = xVm cos \co(t j - <p\ = "9m cos((ot - kou - <p)
où x¥m est l'amplitude, co la pulsation ou fréquence angulaire, k^ — co/c le nombre d'onde et ç est
la phase à ïorigine des temps et de Vespace. La quantité <î> = k^u — cot + <p est sa phase alors que
(f) = kou + <p est la phase à l'origine des temps.
Comme l'abscisse u s'écrit aussi u = e„ • r, on définit le vecteur d'onde ko , de norme ko et
dirigé suivant la direction de propagation : k0 = /c()e„ . La composante XV s'écrit alors :
M/1 = xlrffl cos(cot — k0 • r — <p) = M/1,,, cos(cot — <fi) avec </> = k0 • r + <p
Notons que la norme ko du vecteur d'onde a la signification d'une pulsation spatiale. L'onde plane
progressive monochromatique est ainsi caractérisée par une double périodicité, dans le temps et dans
l'espace. On introduit généralement la période (temporelle) T = 2tt/co et la période spatiale ou longueur
d'onde dans le vide Ào = 2tt/k$ .
L'inverse de la période est la fréquence v — \/T de l'onde et l'inverse de la longueur d'onde est
le nombre d'onde spectroscopique : cr0 = 1/Ào . Ces différentes grandeurs sont rassemblées dans le
tableau 19.1.
Période
Fréquence
Pulsation
Phase
277
1/277
1
Temps
Période temporelle T
(s)
Fréquence temporelle v = \/T
(s"1 ou Hz)
Pulsation temporelle co = 2tt/T
(rad -s-1)
Espace
Longueur d'onde À0
(s)
Nombre d'onde spectroscopique ctq =
(m"1)
Nombre d'onde k0 = 27r/À0
(rad- m-1)
1/Ao
Tab. 19.1.
III. 2. — Vitesse de phase
À un instant déterminé, la phase <t> = k0 ■ r — cot + <p de l'onde est uniforme si sa phase à l'origine
des temps, </> = ko ■ r -j- <p , est elle-même uniforme. Comme <p a une valeur déterminée, cp a même
valeur en tout point du plan d'équation :
c

Ondes électromagnétiques dans le vide
355
La phase <î> a la même valeur en des lieux et à des instants différents tels que :
dO = ko-dr-^df = /:odw-^d/ = 0
Ainsi, les plans équiphases se déplacent à la vitesse vç , appelée vitesse de phase, définie par :
d u co
Vip dt h
■o
Comme co = ckG dans le vide, la vitesse de phase est indépendante de la fréquence de l'onde et égale à
la vitesse de la lumière :
co
v*= H = c
Dans le vide, la relation entre la pulsation temporelle co et la pulsation spatiale k est linéaire ; on dit
que le vide est non dispersif. En revanche, dans un milieu quelconque, la relation co — co(k) , n'est pas
linéaire : le milieu est dispersif (cf. chapitre 28).
III. 3 . — Notation complexe
a) Expression complexe d'une onde monochromatique
Toute composante monochromatique du champ ou du potentiel électromagnétique s'écrit aussi :
■ty = Re {2;} avec 2 = ^(r) exp(-icot)
Le coefficient multiplicatif complexe i//(r) de exp(—icot) est Y amplitude complexe. L'intérêt de la
notation complexe est évident : d'une part les variables spatiales et temporelles sont séparées, d'autre
part toute dérivation par rapport au temps se traduit par une simple multiplication :
<92 . T . d
—— = —icoW^ soit — > —icox
dt ot
Dans ce cas, l'équation d'onde donne l'équation suivante à laquelle satisfait l'amplitude complexe :
co1
— cl —
b) Onde plane progressive monochromatique
On appelle onde plane, progressive, monochromatique, en abrégé OPPM, une onde
monochromatique dont l'amplitude complexe a pour expression :
^(r) = i//m exp /(k0 • r + <p) avec i//m = Cte et <p = Cte
La variation spatiale de toute composante du champ peut alors être étudiée à l'aide de l'opérateur
V = /k0 , puisque les différents opérateurs différentiels s'écrivent symboliquement :
grad —» /k0 div —> /k0 • rot —» /k0 x A —> — k%

356
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
Remarque : Dans certains ouvrages, on écrit l'expression complexe d'une onde monochromatique
en précédant l'argument de l'exponentielle d'un signe + et non d'un signe — :
3^ = tym exp[+/(ûtf — </>)] . Rien ne change fondamentalement, mais dans la pratique du
calcul, les dérivées premières changent de signe. La convention que nous avons
choisie est celle adoptée dans l'étude de la propagation, notamment en optique (cf. Optique) et
en physique quantique. Elle consiste à compter positivement le retard de phase k0 • r
caractéristique de la propagation.
En revanche, dans l'étude des phénomènes où la propagation est absente ou négligeable,
c'est généralement le cas des circuits dans l'ARQS, la dépendance sinusoïdale dans le
temps est écrite en notation complexe sous la forme exp(icot), précisément exp(jcot) afin
d'éviter toute confusion avec l'intensité / du courant.
III. 4. — Écriture des équations de Maxwell en notation complexe
Il résulte de ce qui précède que, pour une onde électromagnétique plane, progressive, se propageant
dans le vide, les quatre équations de Maxwell donnent :
k0 x E = ^B k0 • B = 0
k0xB = -^E k0-E = 0
En prenant la partie réelle de ces équations, on retrouve les propriétés déjà établies :
k0 • B - 0 k0 • E = 0 et B = k° X E = eH x -
ù) C
On vérifie ainsi que E et B sont en phase, orthogonaux et que le trièdre ( E, B, ko ) est direct. En
fonction du potentiel électromagnétique complexe (V, A), le champ (E, B) s'écrit :
E = -/ko V + icoA et B = /k0 x A
En jauge de radiation, div A = /ko -A = 0, V_ — 0, E et A sont colinéaires et en quadrature puisque :
E = icoA = coA exp(/7r/2) .
IV. — POLARISATION D'UNE ONDE PLANE MONOCHROMATIQUE
IV. 1. — Définition de la polarisation
En choisissant Oz comme direction de propagation, le vecteur d'onde s'écrit : ko = /c0ez avec
ko = 2tt/Xq . Le champ électromagnétique (E, B) est alors contenu dans les plans d'onde z — Cte et
E s'explicite dans la base (eA, ey, ez) selon :
E
Emx cos(cot - koz — (px)
Emycos(û)t-k0z- <Pv)
0
d'où le champ magnétique B = ko x E/co — ez x E/c, de composantes
B
-(Emy/c) cos((ot - koz - <py)
(Emx/c) cos(cot - k0z - <px)
0

Ondes électromagnétiques dans le vide
357
Par définition, la direction de polarisation, en un point7 de l'onde est celle du champ électrique. En
notation complexe, celui-ci s'écrit :
E = Em cxp[-i((ot - k0 • r)] avec Em = Emx ex + Emy e^
les quantités complexes Emx et E_my ayant pour expressions respectives :
Emx = Emx exp i<px et Emy = Emy exp icpy
On en déduit le rapport r :
f
f
^my
expi(cpy — <px) — rexpicp où r
et cp = argr = <py- <px
sont respectivement le rapport des amplitudes réelles et le déphasage de Ey par rapport à Ex .
Remarque : Lorsque cp est positif, Ey est en retard par rapport à Ex, dans un plan d'onde donné
(z = Cte), d'une durée r = cp/co , puisque Ey — Emy cos(&>f—kçz—<px—<p) — rEx(t—ç/a>)
Il est souvent commode de choisir l'origine des phases de telle sorte que cpx = 0 : dans
ce cas cp = <py .
IV. 2. — Différents états de polarisation d'une onde électromagnétique
Un état de polarisation est caractérisé par l'évolution au cours du temps du champ électrique dans
un plan d'onde. Plus précisément, on étudie le mouvement de l'extrémité E du vecteur E au point
arbitraire M, de coordonnée zo sur l'axe de propagation telle que : /c0Zo + <px = 0 ; si <px = 0 alors
Zo = 0. Il vient :
E(z0,0 = Emx cos(cot) ex + Emy cos(W - cp) ey
a) Polarisation elliptique
Lorsque le nombre complexe r est quelconque, c'est-à-dire lorsque Emx/Emy et <p n'ont pas de
valeurs singulières, la polarisation est elliptique, car l'extrémité M du vecteur E décrit, dans le plan
d'onde Oxy, une ellipse inscrite dans un rectangle de côtés 2Emx et 2Emy (Fig. I9.6a).
/ Oz
> y
Mo
X
■t^mx
■^my
A
LZ
> y
***-~
s
)
/
■ x
Emx
a)
b) Hélicité positive
Fig. 19.6.
c) Hélicité négative
On le montre aisément en éliminant le temps entre les deux composantes :
Ex — Emx cos(o)t) et Ey = Emy cos((ot — cp)
Il vient, puisque cos(&>f — cp) — cos(cot) cos cp + sin(atf) sin cp :
3l
^my
cos<p + ( l
E2
1/2
smcp

358
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
Il en résulte, en isolant le radical, en élevant au carré et en ordonnant :
—- H —
E2 E2
mx my
lbxby . 2
cos <p = sin <p
t^mx^my
Ainsi, la composition rectangulaire de deux vibrations sinusoïdales, de même pulsation, donne une
vibration elliptique ; ce résultat est aisément visualisé sur un oscilloscope : il suffit d'appliquer sur les
voies x et y des tensions sinusoïdales de même fréquence mais déphasées (courbes de Lissajous).
Le sens de parcours de l'ellipse peut être obtenu en calculant la dérivée de E à l'instant initial :
—— 1 = a)Emy sin <p ey
dr / zd,o
Si <p G ]0, 77[ , le sens de parcours coïncide avec le sens trigonométrique (de ex vers ey ). En optique,
on qualifie l'onde de polarisée à gauche, car le vecteur E tourne vers la gauche (de eA vers e}, ) pour
un observateur qui reçoit l'onde.
Ce sens est aussi lié à l'orientation du vecteur (E x dE/ dt) comparée à celle du vecteur d'onde
k0 , c'est-à-dire ici à celle de ez :
Ex
dE
"d7
ù)Emy smcp
zo,0
Si <p G ]0, tt[ , Vhélicité est dite positive (Fig. 19.6b). Si <p G }tt, 2tt[ , l'onde est polarisée à droite et
Vhélicité est négative (Fig. 19.6c).
b) Polarisation rectiligne
Lorsque <p = 0 ou 77 , le rapport des amplitudes complexes est réel :
= ±-
= ±r
Les deux composantes sont soit en phase (ç = 0) soit en opposition de phase (<p = ir) et le champ
électrique garde une direction fixe dans l'espace (Fig. 19.7). On dit que la polarisation est rectiligne ou
que l'onde est polarisée rectïlignement.
b) (f = TV
FIG. 19.7.
La structure d'une onde plane progressive sinusoïdale polarisée rectilignement est alors très simple,
car les champs E et B gardent une direction fixe dans l'espace au cours de la propagation. Le plan
formé par E et k0 est le plan de polarisation (Fig. 19.8).

Ondes électromagnétiques dans le vide
359
En choisissant Ox comme direction du champ électrique [Em = EmiEmy = 0) 7 il vient :
e x E E
E = E,„ ex cos(cot — /c0z) et B = — = —-ey cos(cot — k0z)
Plan d'onde
O
Plan de polarisation
//
FiG. 19.8.
c) Polarisation circulaire
Lorsque <p = ± tt/2 , le rapport des amplitudes complexes des composantes du champ est un
nombre imaginaire :
E E
—my , .^my . .
r = —- = ±i—- = ±ir
F F
Ces deux composantes sont en quadrature retard si <p = tt/2 et en quadrature avance si <p = — tt/2 .
Les axes de l'ellipse coïncident alors avec Ox et Oy (Fig. 19.9).
E„
F
± irEmx
0
£'llu-cos(<wr — koz)
± rEmx sin((^/ — kGz)
0.
Si de plus les amplitudes réelles des composantes sont égales : Emx = Emy = Em ou bien r = ± /, il
vient :
E(z0, 0 = Em cos(cot) ex + £m cos (cot±—j ey soit E(z0, t) = Em cos(cot) ex ± Em s'm(cot) ey
Ainsi, le point M décrit un cercle de rayon Em dans le plan d'onde (Fig. 19.9). La polarisation est dite
circulaire : elle est circulaire gauche si <p = tt/2 (hélicité positive) et circulaire droite si ç = —tt/2
(hélicité négative).
a) Onde polarisée
circulaire gauche
b) Onde polarisée
circulaire droite
FiG. 19.9.
Remarques : (1) Les qualificatifs gauche et droite viennent du sens de rotation du vecteur E vers la
gauche ou la droite d'un observateur qui reçoit l'onde incidente.
(2) Les sources naturelles émettent généralement des ondes sans état de polarisation défini.
Plus précisément, cet état n'est défini que pendant une durée qui est le plus souvent faible
devant la durée de détection ; c'est le cas des ondes lumineuses (cf. Optique).

360
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
IV. 3. — Représentation de Jones
a) Vecteur de Jones d'un état de polarisation d'une OPPM
Un état de polarisation d'une onde plane, progressive, monochromatique (OPPM) est entièrement
caractérisé par la donnée des deux composantes du champ électrique dans un plan d'onde, par exemple
z = Zo • Cet état peut être représenté, selon une notation due à R.C. Jones (1941), par une matrice
colonne dont les deux lignes sont proportionnelles aux amplitudes complexes du champ électrique :
Emx exp i<px
Emy exp ixpy
= EmxQxpi(px
1
r exp i<p
Définissons le produit scalaire, à valeur complexe, de deux vecteurs E et F par :
¥,-¥ — F F* -\- E F* = F F* + E F*
Ces deux vecteurs représentent deux états de polarisation orthogonaux si E • F* = 0. La norme du
vecteur complexe E vaut :
Eo = ||E|| = (E.E*)'/2 = (ÉL + ÉL)1'* = E>nx{\ + r2)1'2
Il convient de ne pas confondre cette quantité avec la norme du vecteur réel, laquelle vaut :
||E|| = (^ + 4)'/2
Par exemple, pour une onde polarisée circulaire, on a :
Ena = Emy = Em d'où E0=\\E\\ = (E2mx + Ely)]/2 = (2Emy/2
alors que la norme de E vaut :
||E|| = (£* + £*)'/2 = Em
Dans le cas particulier d'une polarisation rectiligne :
E = Em cos(cot — ç) ex d'où Emx = Em et Emy = 0
Par conséquent :
Eo = \\E\\ = (ÉL + ÉL)l'2=Em et E = {E2X +E2)I/2 = Em\cos{wt - <p)\
On normalise généralement la matrice colonne formée par les composantes du champ complexe ; on
obtient alors un vecteur complexe e , de norme unité, appelé vecteur de Jones et qui s'explicite sous la
forme de la matrice colonne suivante à deux lignes :
1
F
—mx
F
—my
soit, en choisissant çx = 0 :
F
Eo
S
1
rexp
1
r+72
iç _
re
_ exp i<px
V
1
xpiç
'X+r1
1
r exp icp
Ainsi, un état de polarisation rectiligne (<p — 0 ou 77) est représenté dans le plan d'onde par :
1
yrr^
1
±r
cosa
sina
avec a = arctan(±r)

Ondes électromagnétiques dans le vide
361
b) Différentes bases de représentation
Les deux états de polarisation rectiligne particuliers, eh suivant 6>x,et e^ suivant Oy, sont décrits
respectivement par les matrices colonnes suivantes :
et
Ils forment une base orthonormée car : e/, • e^ = e^ • ej = 1 et e/; • e* — 0 . Dans cette base, un état de
polarisation quelconque est une combinaison linéaire de ces deux états. En effet :
F
1
r exp ixp
exp i<px
+
exp i<py
Lorsque la polarisation est circulaire, les deux états de polarisation, gauche eg ( <p = +7r/2, r = l ) et
r — 1 ), sont représentés par les vecteurs de Jones suivants :
droite e^ ( <p = — tt/2
1
71
1
et
J_
71
On peut les considérer comme des combinaisons linéaires des deux états de polarisation rectilignes e/7
et ev, puisque :
d'où:
1
V2
1
[ ±i \
1
y/2
1
0
± -L
V2
0
1
V2
(e/7 + iev) et e.
5rf
V2
(eh - iev)
La représentation d'un état de polarisation quelconque par la superposition linéaire de deux états
de polarisation rectiligne est largement utilisée pour étudier la réflexion d'une onde sur une interface
(cf. chapitre 29). Les vecteurs de base e et e^ forment aussi une base orthonormée ( e^-e* = e^-ej = 1
et e^ • e* = 0 ) permettant de représenter un état de polarisation quelconque. En particulier :
1
e/7 = 7!^ + -^
et
^(&"!
Cette base permet d'interpréter le phénomène de polarisation rotatoire, c'est-à-dire la rotation du plan
de polarisation d'une onde rectiligne à la traversée de certaines substances (cf. Optique). En physique
quantique, les deux états de polarisation circulaire, g et d, correspondent aux deux états de moment
cinétique de spin ( +h et —h) des photons associés à l'OPPM (cf. Physique quantique).
La notation de Jones s'avère très commode pour étudier l'influence des lames cristallines sur le
trajet d'un faisceau lumineux pour produire et analyser de la lumière polarisée (cf. Optique). Le
comportement de la lame est alors décrit par une matrice carrée 2x2.
V. — ENERGIE ASSOCIEE A UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE
V. 1. — Théorème de Poynting dans le vide sans charges
0 , J = 0 ), on sait que le théorème de Poynting s'écrit localement
En l'absence de charges ( p
(cf. chapitre 18) :
diu
- = -d,vR

362
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
où w = EqE2/2 + B2/(2julq) est l'énergie électromagnétique volumique et R = E x B//ulg le vecteur
de Poynting. Dans ce cas, où le terme de production (—E • J) est nul, l'énergie électromagnétique se
conserve. En intégrant l'équation locale précédente dans le volume V fixe, on obtient :
-^+divR) dV = 0
dt J
Cette relation traduit un bilan d'énergie entre l'énergie électromagnétique contenue dans le volume V :
72 D2
t--L'""-fM+£)iV
et la puissance rayonnée (ou flux énergétique) vers l'extérieur, à travers la surface S qui délimite ce
volume :
-Vrad avec Vrad = <P R * ^ex d S
-^em
dt
Ainsi, dans le vide, une variation d'énergie électromagnétique implique un rayonnement.
V. 2. — Flux d'énergie électromagnétique associée à une onde progressive
Comme les champs électrique et magnétique sont liés en tout point et à tout instant par la relation :
B = e x E/c, où e est le vecteur unitaire dans la direction de propagation, l'énergie électromagnétique
volumique s'écrit :
2 2fi0cz fio
Elle est donc équirépartie entre les deux termes électrique et magnétique. D'autre part, le vecteur de
Poynting a pour expression :
Ce x E)
R = E x ^ '- = s0c\eE2 -E(e-E)} soit R = e0E2ce = zuce
JULqC
puisque le champ électrique est transverse ( e • E = 0 ). Le vecteur de Poynting se présente donc comme
un courant volumique d'énergie électromagnétique qui s'écoule dans la direction e avec la vitesse c :
R = Jem = WCe
On est ainsi conduit à définir le flux d'énergie qui traverse un élément de surface dS, orienté selon n
(Fig. 19.10a):
ÔVrad = R-nd5 = /?e-n dS = R dScosO = iuc dS cos6 avec 6= (n,e)
a) Cas d'une onde plane progressive
Pour une onde plane, on sait que la direction Ou normale au plan d'onde 2 est fixe (Fig. 19.10b).
L'énergie électromagnétique, qui traverse la surface dS perpendiculaire à la direction de
propagation, est, par unité de temps et par unité de surface :
SVrad
dS
R = wc = csq E2(u, t) = ceqE2 (t j

Ondes électromagnétiques dans le vide
363
*~*u
d£
.9 <V
sdS
c)
b) Cas d'une onde sphérique progressive
Pour une onde électromagnétique sphérique, la direction Ou coïncide avec le rayon vecteur
( eM = er ) si la source est située à l'origine O (Fig. 19.10c). On a :
1
.2 ( r\ er • n dS
£(r,f) = ^S+(f-^) et 8Pmd = e0cSz+(t-'-y)
On reconnaît dans cette expression l'angle solide élémentaire sous lequel on voit, depuis O, la
surface dS ou l'élément dS de la surface d'onde :
er • n dS dScos 6 d2
y yL yZ.
On introduit alors le flux d'énergie par unité d'angle solide :
d
S—+K)
qui s'exprime en watt par stéradian.
V. 3. — Détection quadratique d'une onde monochromatique
a) Éclairement d'une surface par une onde électromagnétique
L'une quelconque des composantes du champ électromagnétique monochromatique qui se propage
a pour expression générale :
■*(r,r) = ^(r)cos[ûrf-0(r)]
La norme du vecteur de Poynting varie donc au cours du temps. Cette variation est souvent trop rapide
pour que les détecteurs usuels, dits quadratiques car sensibles au carré du module de ^(r, t), puissent la
suivre : c'est le cas en optique ; la durée de réponse Ta du détecteur étant très grande devant la période
du phénomène, les détecteurs ne fournissent qu'une grandeur quadratique moyenne.
On appelle éclairement É, la valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting :
1
T~d Jt
■t+Td
R dt = eocE2(u,t)
Cette moyenne, calculée sur une durée de détection 7j grande devant la période T = 2tt/ù) , vaut pour
une onde rectiligne E2 = ^2 (Fig. 19.11) :
É = £-f f" <£(r) cosV " «MO] àt = ^ f" rô(r) {1 + cos[2a* - 20(r)]} At = ^<£(r)
ld Jo Z1d Jo l

364
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
soit :
2fi0c
On introduit généralement l'intensité I en un point d'une onde monochromatique progressive, qui se
propage dans le vide, par la quantité suivante proportionnelle à l'éclairement (cf. Optique) :
I = 2fi0cÉ= i//2m.
E\t)\
FiG. 19.11.
b) Vecteur de Poynting complexe
En notation complexe, la valeur moyenne de R s'écrit :
R= —ExB = (E + E*) x (B + B*)
Mo 4/xo
En développant, il vient, puisque les termes E x B et E* x B* , respectivement proportionnels à
exp(—i2o)t) et à exp(i2cot), sont en moyenne nuls :
R
1
4^o
(E x B* + E* x g)
Comme ces deux termes E x B* et E* x B sont conjugués l'un de l'autre et qu'ils sont indépendants
du temps, on a :
R=iRe{ExS!}
2 l MoJ
Ainsi, pour une onde monochromatique, le vecteur de Poynting a pour expression moyenne dans le
temps :
1 R*
R = -Re {R} où R = E x —
2 fH)
est le vecteur de Poynting complexe. Ce vecteur permet d'exprimer en notation complexe les grandeurs
énergétiques.
Remarque : Soulignons que ces résultats ne concernent que des champs monochromatiques.
c) Bilan d'énergie moyenne pour une onde monochromatique
Écrivons le bilan local d'énergie électromagnétique moyenne dans le temps. Comme il n'y a pas
de terme de production, on a :
dw dvj —
—-+divR-0 d'où — + divR = 0
ôt ot
en moyenne dans le temps.

Ondes électromagnétiques dans le vide
365
L'énergie volumique étant proportionnelle au carré des champs réels, sa dérivée partielle par
rapport au temps fait apparaître le terme :
—<A,2„(r) (x)Cos[(i)t — </>(r)] s'm[cot — </>(r)] = -2ip2m(v) ù)û\\2[cût - <fi(r)]
dont la valeur moyenne dans le temps est nulle. Il en résulte que :
divR = 0 et (bR-ndS^O
Lorsque l'onde est monochromatique, la puissance reçue en moyenne au cours du temps par une surface
fermée est donc nulle.
(1) Cas d'une onde progressive plane monochromatique
Établissons le bilan d'énergie électromagnétique moyenne pour un tronçon de faisceau cylindrique,
dont l'axe coïncide avec la direction de propagation, limité par deux surfaces élémentaires dS\ et d 5*2
(Fig. 19.12a). C'est par exemple le bilan d'énergie moyenne fait sur le faisceau lumineux cylindrique
issu d'un laser. Il vient, le flux à travers la surface latérale Si étant nul :
(f)R'ndS= / Ri -n^i dS+ / R2 • iwj2 dS = 0
Js Jsi ' Js2
On en déduit :
-/?, dSi +/?2 d£2 = 0 d'où R]=R2 car d2i=dS2
Il en résulte que l'intensité / d'une onde plane monochromatique se conserve au cours de la
propagation :
/i
K
dS,
ni,
d£
\dSi
1*2, ex
d£2 °2,ex
a)
FiG. 19.12.
b)
(2) Cas d'une onde progressive sphérique monochromatique
Considérons le tronçon d'un faisceau conique défini par un angle solide dfl (Fig. 19.12b). Ce
tronçon est limité par deux éléments de surfaces d'onde dSi et d^2 , situés aux distances respectives
r\ et r2 de l'origine O.
Le bilan d'énergie moyenne donne, puisque le flux de R à travers la surface latérale est nul :
-/?(n)d2i + /?(r2)d22 = 0 soit
Si d2, S2m d22
2/llqc r\ l^c r\
Sm étant le coefficient caractéristique de l'onde sphérique monochromatique d'expression :
-S^cos \(o(t J I

366
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
Comme l'angle solide dfl = dS/r2 apparaît naturellement, on définit Y intensité photométrique X
d'une onde sphérique monochromatique par la quantité suivante qui se conserve au cours de la
propagation :
T = ÔVrad = SJ
d II 2/ulqc
L'intensité photométrique s'exprime en watt par stéradian (W-sr-1). Si la source est isotrope,
X = Vrad/i^Tr) où Vrad est la puissance moyenne totale de la source.
V. 4. — Energie associée à une OPPM
Pour une OPPM, les expressions des valeurs énergétiques moyennes se simplifient :
w = e0E2 = -e0El et R = -eqE\ c eu
Lorsque l'onde se propage suivant l'axe Oz (ko — ^oez X il vient, puisque le champ est transverse :
I = E2 = \Emx\2 + \Emy\2
Si, en outre, l'onde est polarisée rectilignement, par exemple selon Ox :
F — F F — 0 pt F2 — F2 — I
^mx ^m ^my w ^L ^0 m
alors que si elle est polarisée circulairement :
VI. — SUPERPOSITION D'ONDES
L'équation d'onde étant linéaire, toute combinaison linéaire de solutions de cette équation est
aussi une solution. Le champ électromagnétique (E, B) résultant de la superposition de deux champs
(EhBi) et (E2,B2) s'écrit donc:
E = E,+E2 et B = Bj+B2
En revanche, le vecteur de Poynting et la densité d'énergie électromagnétique associés à l'onde
résultante diffèrent en général des sommes des quantités correspondantes pour les deux ondes :
e0E2 B2 e0(Ei+E2)2 (B!+B2)2
w = —- + —- = + / w\ + w2
2 2/LLQ 2 2/LLQ
et
R = E x J- = (E, + E2) x (Bl + B2) + R, + R2
Mo Mo
Dans le cas simple de la superposition de deux ondes planes, monochromatiques, de même polarisation
rectiligne e* et de même amplitude Em , qui se propagent dans la même direction Oz, on a :
Ei = Emcos(co]t- k\iZz- <p\)ex et E2 = Emcos(co2t - k2,zz - <p2)ex
Remarquons que par un choix judicieux de l'origine des temps et de l'espace, on peut, sans restreindre
la généralité de l'analyse imposer à la quantité constante <p\ une valeur nulle.

Ondes électromagnétiques dans le vide
367
VI. 1. — Superposition de deux ondes de même pulsation : interférence
Lorsque les pulsations cû\ et a)2 des deux ondes sont égales, les phénomènes qui se produisent
sont répertoriés sous le nom d'interférence ; à eux seuls, ils justifient une longue étude (cf. Optique).
Aussi nous contenterons-nous d'examiner uniquement le cas particulier où les deux ondes, de même
pulsation, se propagent en sens inverse (k\^z — — k2,z — k) . En notation complexe, le champ résultant
s'écrit :
E = E, + E2 = (Em;] + Em2) cxp(-iû)t)
Par conséquent :
E = Em ex [exp(zfe) + exp(—ikz)] exp(-io)t) = 2Em ex cos(fe) exp(-iù)t)
soit, en notation réelle :
E = 2£,WIeJccos(fe) cos(cot)
Ainsi, le champ résultant E est polarisé rectilignement suivant Ox, mais il ne représente pas une
onde progressive. Ce champ, caractérisé par des dépendances spatiales et temporelles séparées, est dit
stationnaire. Son amplitude 2Em cos(fe) dépend de la position :
i) Les points où le champ est constamment nul, définis par cos(fe) = 0, sont appelés les nœuds de
vibration. Ils appartiennent à des plans fixes, d'équation :
kz=(2m+\)~
m étant un entier relatif. Les nœuds sont donc distants de d = ir/k = À/2 (Fig. 19.13a).
Ex.
F
>
\ V2
f A;-
a)
b)
Fig. 19.13.
il) Les points pour lesquels l'amplitude est maximale sont appelés les ventres de vibration. Ils
appartiennent aux plans définis par :
kz = miT
Quant au champ magnétique résultant, il s'écrit, de façon analogue :
k] x Ej k2xE2 1
B = B, + B2
+
e.x(ErE2)
En remplaçant E, et E2 par leurs expressions, nous obtenons :
2iEm
B
e^ sin(fe) exp(—icot) = —- e^ sin(fe) exp — i ( cot — — 1

368
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
On en déduit le champ B en notation réelle :
ey sin(fe) sin(W)
Ainsi, les nœuds du champ magnétique coïncident avec les ventres de champ électrique et vice versa.
Les deux champs sont, de plus, en quadrature (Fig. 19.13b). Déterminons le vecteur de Poynting :
R = Ex ( — ) = AeqcEIj ez cos(fe) sin(fe) cos(cot) s'm(cot) = eocE2n e7 sin(2fe) s'm(2cot)
d'où :
R = eocEm ez sm(2kz)s'm(2ù)t) = 0
La puissance moyenne rayonnée à travers toute surface par l'onde stationnaire est donc nulle.
Calculons l'énergie électromagnétique volumique w = eo E2/2 + B2/(2julq
9/72
iu = 2e0 El cos2 (kz) cos2 (cot) + —^ sin2(fe) sin2(
fl0CZ
Sa valeur moyenne est uniforme puisque (Fig. 19.13c) :
w = e0El[cos2(kz) + sin2(fe)] = e0E2m
Remarque : La valeur nulle de R , dans ce cas de superposition, peut être retrouvée rapidement :
1 T\*
R = -Re {R} = 0 puisque R = Ex— est imaginaire
2 fi0
VI. 2. — Superposition de deux ondes de pulsations voisines : battements
Considérons le cas où les deux ondes se propagent dans le même sens et présentent des pulsations
voisines ( co\ — 0)2 = Aco <C coo avec coq = (co\ + 002)/2 ). En posant Ak = k\^z — k^z — Aco je et en
remarquant que k\^z + k2jZ — 2coGc = 2/cq , il vient, puisque E — Ej + E2 :
E =
d'où :
r r/ a*\ / Aw
Em er <^ exp 1: I ko + — 1 z - I co0 + —
+ exp /
Ak\ / A^
)•]}
E = 2Em ex cos ( —z —
t j cxp[i(k0z - co0t)} et E = 2Em ex cos f —z — t) cos(co0t - k0z)
L'onde résultante est donc plane, polarisée rectilignement mais n'est pas monochromatique ; c'est
un battement entre les deux ondes monochromatiques (Fig. 19.14). On peut la considérer comme une
onde progressive, de vecteur d'onde k0 = koez et de pulsation coo , dont l'amplitude varie lentement
dans l'espace et dans le temps car :
Ak < ko et Aco < coo
Notons que la modulation de cette amplitude se propage avec une certaine vitesse vg telle que :
Ak , A^ , n j, v dz A^
— dz--— d/ = 0 d ou vR = -r — -—=c
2 2 k et Ak
Le signal se propage donc dans son ensemble, à la vitesse c, sans se déformer, puisqu'on a :
coq = cko et Aco = cAk . Le vide est dit non dispersif.

Ondes électromagnétiques dans le vide
369
À un instant donné, la distance Az entre deux minimas d'amplitude est telle que :
—- x Az = 77 ce qui s écrit aussi Acr x Az — 1 ou a ■= ——
2 277
est le nombre d'onde spectroscopique. De même, en un point donné, (Fig. 19.14), la durée At entre
deux minimas d'amplitude est telle que :
— x At = tt ce qui s écrit aussi A^x Af = 1 ou v = —-
2 277
est la fréquence.
^Ex = cB,
Fig. 19.14.
VI. 3. — Paquet d'ondes. Vitesse de groupe
En physique, toute onde est nécessairement limitée à la fois dans le temps et dans l'espace, ce qui
fait apparaître l'onde monochromatique plane comme un modèle mathématiquement simple mais trop
éloigné de la réalité. Le caractère linéaire des équations de Maxwell est alors capital car il permet de
représenter toute onde réelle sous la forme d'une superposition d'ondes monochromatiques planes. Ce
résultat est à la base de toute l'analyse de Fourier des signaux (cf. Optique).
Le paquet d'ondes résulte de la superposition d'un ensemble d'ondes groupées autour d'une
pulsation moyenne et d'un vecteur d'onde moyen (cf. Exercices). On définit la vitesse de groupe par
l'expression :
Va =
dco
dl
La relation entre co et k , appelée relation de dispersion, permet de calculer la vitesse de groupe. Cette
vitesse est égale à la vitesse de phase lorsque co et k sont proportionnels, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a
pas de dispersion ; c'est le cas du vide pour lequel co = kc : vg = c — vç .
CONCLUSION
Retenons les points importants de la propagation d'ondes dans le vide.
(1) Le champ électromagnétique et le potentiel (dans la jauge de Lorentz) satisfont à une équation
d'onde de la forme :
( E \
B
A
\ ou V )
= 0 ou 0 avec c ■
(eoMo)'/2
3xl08m-s-

370
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
(2) Une solution particulière importante de cette équation est l'onde progressive pour laquelle
B = e x E/c, e étant le vecteur unitaire dans la direction de propagation. Le champ et l'énergie de
cette onde se propagent à la vitesse c .
(3) Les contributions des termes électrique et magnétique à l'énergie électromagnétique volumique
sont égales :
2 B2
W = Eq E =
Mo
Quant à la puissance rayonnée à travers une surface S, elle est donnée par le flux, à travers cette surface,
du vecteur de Poynting R :
R = Ex — = tvce
Mo
La norme de la valeur moyenne dans le temps de R est l'éclairement É de la surface. L'intensité / de
l'onde monochromatique qui tombe normalement sur la surface est reliée à É par :
/ — 2julqcE = 2julqcR
(4) L'onde plane monochromatique est caractérisée par sa structure transverse, sa double
périodicité temporelle (T = Itt/co = l/v) et spatiale (Ào = 27r/k0 = l/<xo) , sa vitesse de phase
(vç, — ù)/ko = c) et son état de polarisation. Retenons les deux états de polarisation remarquables : l'un
rectiligne pour lequel E garde une direction fixe dans l'espace, l'autre circulaire pour lequel E ,
d'amplitude constante, tourne dans le plan d'onde à la vitesse angulaire co. Ces deux états permettent de
décrire commodément tout autre état de polarisation.
(5) L'utilisation de la notation complexe pour une onde monochromatique permet aussi d'exprimer
les grandeurs énergétiques moyennes :
R=-Re{R} avec R = Ex-
2 fi0
(6) La linéarité des équations de Maxwell conduit à additionner les champs pour déterminer le
champ qui résulte de leur superposition. Contrairement aux champs, les grandeurs énergétiques ne
s'additionnent pas, ce qui est à l'origine du phénomène d'interférence bien connu en optique.
(7) Enfin, lorsque les pulsations des vibrations qui se superposent sont différentes, mais
groupées autour d'une valeur moyenne, on a un groupe d'ondes. On définit alors la vitesse de groupe par :
vg = d (o/ d k.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P19- 1. Onde plane monochromatique associée à un faisceau laser
Un faisceau laser émet une onde plane monochromatique polarisée rectilignement qui se propage
dans le plan Oxy suivant une direction Ox1', inclinée de 60 ° par rapport à l'axe Ox. Le faisceau est
polarisé rectilignement selon Oz .
1. Écrire les composantes du vecteur d'onde, du champ électrique, du champ magnétique et du
vecteur de Poynting.
2. Calculer leurs normes dans le cas d'un laser à argon ionisé (À0 = 488 mm ) qui émet en continu
un faisceau cylindrique de section 1 mm2 et de puissance moyenne 1 W .

Ondes électromagnétiques dans le vide
371
P19- 2. Propagation d'une onde radio
Une onde monochromatique plane, polarisée rectilignement suivant l'ase Ox, se propage dans le
vide dans la direction des z croissants. L'amplitude du champ électrique est Em = 0, 3 V • m-1 et sa
fréquence ^=150 MHz.
1. Calculer la longueur d'onde et l'amplitude du champ magnétique.
2. Trouver les expressions des champs électrique et magnétique sachant que la valeur maximale du
champ électrique E est atteinte au point z = 25 cm à l'instant pris comme origine
3. Quel est Féclairement d'un écran, de surface 4 cm2 , placé perpendiculairement au vecteur de
Poynting ?
P19- 3. Structure de Ponde électromagnétique sphérique
Montrer qu'une onde électromagnétique sphérique divergente est transverse et que le champ
électromagnétique vérifie, à tout instant, la relation B = e, x E/c . En déduire qu'à grande distance de
l'origine l'onde peut être considérée localement comme une onde plane. On utilisera les expressions de la
divergence et du rotationnel en coordonnées sphériques (cf. annexe 2).
P19- 4. Onde monochromatique cylindrique v^^
Le champ électrique d'une onde monochromatique cylindrique, qui se propage dans le vide, a pour
expression complexe, en un point M de l'espace :
E = Em(p) Qxp[-i((ot - kp)] e,
p étant la coordonnée radiale du point M, comptée à partir de l'axe Oz où se trouvent les sources du
champ, et Em l'amplitude réelle.
1. Trouver l'expression du champ magnétique B associé en fonction de co, le, Em(p) et de sa
dérivée âEm/dp .
2. Quel est le flux énergétique Vmd qui sort de la surface latérale d'un cylindre d'axe Oz, de rayon
p et de hauteur h ? En déduire le type de variation de Em avec p .
P19- 5. Superposition d'ondes planes. Interférence v^^
On étudie la structure de l'onde résultant de la superposition dans le vide de deux ondes
électromagnétiques planes, de même pulsation et de même amplitude Em . Elles se propagent selon deux
directions contenues dans le plan Ozx qui font avec l'axe Oz les angles 6 et —6. Ces deux ondes sont
polarisées rectilignement suivant l'axe Oy .
1. Etablir l'expression du champ électrique résultant. Quelle est sa vitesse de phase? L'onde est-
elle plane ?
2. Déduire l'expression du champ magnétique.
3. Calculer la valeur moyenne R du vecteur de Poynting et étudier Féclairement d'une surface
perpendiculaire à R.

372
19. Ondes électromagnétiques dans le vide
P19- 6. Puissance rayonnée par le Soleil sur la Terre
L'éclairement moyen de la Terre par le rayonnement solaire est d'environ 1, 35 kW • m-2, si l'on
tient compte de l'absorption atmosphérique. Calculer la puissance rayonnée par le Soleil, assimilé à
une source ponctuelle qui émet un rayonnement isotrope. On rappelle que la distance Terre-Soleil est
D= 1,49 x 10" m.
P19- 7. Ondes stationnaires
On considère deux ondes électromagnétiques, de même amplitude et de même fréquence, qui se
propagent en sens inverse dans le vide. On observe un champ électrique résultant dont l'amplitude passe
par des minima nuls, distants de 25 cm , et des maxima d'amplitude de valeur 12 mV • m-1 . Quelle est
l'amplitude et la fréquence en MHz de ces ondes ?
P19- 8. Paquet d'ondes rectangulaire
Une des composantes M/1 (je, t) du champ électromagnétique, se propageant dans la direction Ox,
est représentée, en notation complexe, par le paquet d'ondes suivant :
5;(jc, t) = / A(k) expi(kx - coi) dk
La distribution des amplitudes A(k) des ondes monochromatiques planes qui composent le paquet est
schématisée par une fonction rectangle, réelle, centrée en /c0 , de largeur Ak (Fig. 19.15). On se place
dans le vide où la relation de dispersion s'écrit simplement co = kc .
1. Calculer l'amplitude de l'onde résultante.
2. En déduire l'intensité de l'onde / = |^2| . Montrer que cette onde est localisée dans le temps et
dans l'espace ; pour cela, on représentera les graphes /(x, tG) et /(x0, t).
3. Donner un ordre de grandeur de l'étalement spatial Ax de l(x,to) et de l'étalement temporel
At de /(jt0,f) •
4. Déterminer l'énergie contenue dans un cylindre, de section unité et de longueur infinie suivant
la direction de propagation, pour une telle onde, et comparer au cas d'une onde plane. On donne
l'intégrale :
'sinXN
£■(")'
dX

20
Champ électromagnétique rayonné
par un dipôle oscillant
Jusqu'à maintenant nous avons étudié la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide ou
dans les milieux matériels sans nous préoccuper de leur production à partir de charges en mouvement.
L'étude du rayonnement électromagnétique créé par des charges en mouvement est difficile,
notamment en raison des conditions aux limites imposées aux équations de Maxwell. Nous nous proposons
ici d'analyser un cas à la fois simple et important : le dipôle de Hertz, du nom du physicien allemand
P. Hertz qui en fit l'étude dans les années 1880 . Ce système est simple car le potentiel et le champ
électromagnétique qu'il crée sont obtenus aisément. Il est important pour plusieurs raisons :
/) Il permet de donner une interprétation du rayonnement électromagnétique à partir du
mouvement d'oscillation des charges électriques autour de leur position moyenne ; la matière étant globalement
neutre, on conçoit alors que le moment dipolaire de ces charges ait un rôle déterminant dans
l'interaction entre la matière et le rayonnement.
//) Le champ rayonné par les antennes peut se ramener à la superposition des champs produits
par un ensemble de dipôles oscillants.
iiï) La dépendance temporelle sinusoïdale du dipôle de Hertz ne limite en rien l'intérêt de l'étude,
puisque l'on sait que toute évolution temporelle peut se ramener, par une analyse de Fourier, à une
somme de fonctions sinusoïdales (cf. Optique).
I. _ POTENTIEL PRODUIT PAR UN DIPÔLE OSCILLANT
Considérons un doublet constitué de deux charges électriques opposées, q au point P et — q au
point N , distantes de a (Fig. 20.1). L'axe Oz est choisi de telle sorte que NP = aez. Supposons que q
varie au cours du temps par l'établissement d'un courant d'intensité i(t) circulant le long de l'axe Oz
entre les charges. La loi de conservation de la charge électrique s'explicite alors selon : / = dq/dt.
En raison de la symétrie de révolution du système autour de Oz, il est naturel de repérer le
point M, où l'on calcule les effets produits, par les coordonnées polaires (r, 6) dans le plan
méridien {Oz, OM), défini par l'angle azimuthal <p .
Dans toute la suite, on suppose que r ^> a, ce qui permet d'assimiler le doublet à un dipôle
électrique entièrement caractérisé par son moment dipolaire p = qaez. Le potentiel électromagnétique
(V, A) produit par un tel dipôle, appelé dipôle de Hertz, s'obtient en calculant d'abord le potentiel

374
20. Champ électromagnétique rayonné par un dlpôle oscillant
Fig. 20.1.
vecteur A créé par la distribution de courant, et en déduisant ensuite le potentiel scalaire V à l'aide de
la condition de jauge de Lorentz :
ta l dV n
divA + — — =0
c1 dt
1.1. — Calcul du potentiel vecteur
Calculons A, dans la jauge de Lorentz, à partir de l'expression du potentiel retardé (cf.
chapitre 16). On sait que :
Mo
A(r,0 = ^e,
/
i{t-\\v-Y'\\/C)_ùzt
r- r'
avec les notations suivantes : r = OM, y' = OM', M' étant un point de la distribution de courant le
long de l'axe des z .
L'approximation dipolaire consiste à négliger la dimension a du dipole devant la distance r
d'observation : ûCr.Le dénominateur dans l'expression précédente est donc constant : ||r — r'|| œ r .
En régime variable, l'intensité varie d'un point à un autre du circuit. Cependant si les dimensions de
celui-ci sont faibles devant la distance À, caractéristique de cette variation, qui est la longueur d'onde en
régime sinusoïdal, on retrouve Vapproximation des régimes quasi stationnaires pour le circuit émetteur :
/^«A soit r
r' A
- < - = T
c c
Cette deuxième approximation revient donc à négliger les effets de retard r' dans l'émetteur devant la
durée 7, caractéristique de la variation du signal, qui est la période en régime sinusoïdal.
Ainsi, A se réduit à :
A<r,,)-£.«^U
Or i(t) s'exprime aussi en fonction du moment dipolaire p{t) — q(t)a :
i(t) = -^- = - -j- d ou A(r, t) = ^— - \ ez en posant r = t
dq 1 dp
dt a dt
477 r d;
Finalement, A se met sous une forme simple suivante, indépendante du système de coordonnées :
A/ a Mo P . ..
A(r'r) = a avec P :
.477 r
dp(Q
dt'
et t

Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
375
1.2. — Calcul du potentiel scalaire
En explicitant la condition de jauge de Lorentz, on obtient, puisque A = Az(r, t) ez :
En remarquant que :
. _ dp(r') _ dp_ _ \_dp_
P~ df ~ ~dt ~~c~d?
on déduit le potentiel scalaire par intégration :
v=Zços0 fdAlàt=-co^f(j,_p\àt
EopiQ J Or 477£o J V ' rcJ
On trouve donc :
V(r, i) = cos 6
p(t - r/c) p(t-r/c)
la constante d'intégration étant choisie nulle par choix de l'origine du potentiel à l'infini. Finalement
l'expression générale du potentiel scalaire s'écrit plus simplement :
■V(r, *)■=■- (4 + -)'- avec P = p('--) et er
477£0 \r rCJ r "^ C*
En régime stationnaire ( p = 0 ) on retrouve bien que le dipôle électrique crée un potentiel purement
électrique (cf chapitre 6) :
1 p -er
A = 0 et V ■
477£0 f2
II. _ CHAMP PRODUIT PAR UN DIPOLE OSCILLANT
II. 1. — Expression du champ magnétique
En raison de la symétrie cylindrique, le champ magnétique B est dirigé selon e^ . Son expression
se déduit de A par la relation B = rot A, soit en utilisant les coordonnées cylindriques (p,<p,z)
(cf annexe 2) :
ç dp r \ dr J dr
La dérivation a été réalisée pour le calcul de V . Il vient :
B(r,r) = ^ sintf (4 + t) ^ soit B(r,r) = £° (4 + £ ) .x e,

376
20. Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
II. 2. — Expression du champ électrique
On obtient le champ électrique E à partir de V et A en utilisant la relation E = — grad V — dA/dt.
Il vient :
F__dy__dAL \dV dAe
la composante de E suivant e^ étant nulle en raison de la symétrie. En effectuant ces dérivations, on
obtient la composante E, :
£r = __LC0S,pp_2p_ m nep soit Er= i 2co&erL y
4tt6o \ r5 r^c rcz ) Ait r Atteq \r* rLc
De même, on trouve pour E$ :
ft = -J-sintff4 + 4->)+^sin^ soit £e = -Lsin^4 + A + iL
477£0 \r r c) ^77 r Att£q \r5 rlc rcL
Dans ces expressions, il faut garder en mémoire que les valeurs de p , p et p sont toujours considérées
à l'instant t' = t — r/c .
II. 3. — Champ électromagnétique en régime sinusoïdal
Lorsque la charge est animée d'un mouvement sinusoïdal, de pulsation co , on a, en notation
complexe :
p (t ) — poexp —io) (t ) p = —icop et p = —co2p
La composante du champ magnétique s'écrit alors :
Quant à celles du champ électrique, elles ont pour expressions :
Kr=i2cos(? (^ " S)po exp h" (f- Dl
1 . ( \ ico (o2\ r / r\~\
^ = 4^0sine{^-^-c-^)poexn-i(°{t--c)\
Notons que ces champs électrique et magnétique créés par un dipôle oscillant sont orthogonaux.
II. 4. — Régime quasi stationnaire
On retrouve le cas de l'approximation quasi stationnaire pour le système émetteur-récepteur en
négligeant, dans le terme de phase, la durée de propagation r = r/c devant la période T = 2tt/co
Cette approximation est toujours vérifiée au voisinage du dipôle, puisque l'on a :
ct <C cT soit r«À
En faisant rco/c <C 2tt dans les expressions complexes précédentes, ces dernières se réduisent alors à :
1 2p0cos6 1 p0sine .
Er = exp(—icot) En = — exp(— icot)
~r 47T60 r3 ^v J ~° 47TS0 r3 FV ;

Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
yji
et :
Mo -/0A)Sin0 .
^ = ^ ^ exp(-i^r)
Notons que le champ magnétique est en quadrature par rapport au champ électrique, ce qui conduit
à un vecteur de Poynting nul, en moyenne :
R= — Re{ExB*} = 0
Ces termes ne contribuent donc pas au rayonnement du dipôle : l'énergie électromagnétique
correspondante reste localisée à son voisinage immédiat. Ce phénomène est exploité actuellement dans les
microscopes optiques dits à champ proche dans lesquels une sonde vient collecter, à proximité d'une surface,
cette énergie et l'information optique associée . Cette sonde et la distance d'approche doivent être de
dimensions très inférieures à la longueur d'onde (r«À), c'est-à-dire dans la gamme nanométrique.
Remarque : En régime stationnaire, que l'on considère en faisant p et p nuls ou bien co = 0, on
retrouve évidemment le champ créé par un dipôle électrostatique (cf. chapitre 5) :
E=-L^(2cosger + singe,) = -^3(P°-ef'"Po et B = 0
4tteo r5 4tteo r5
III. — RAYONNEMENT A GRANDE DISTANCE
III. 1. — Champ électromagnétique à grande distance
À grande distance, les termes propagation sont essentiels : r » 71 ou r ^> À. On obtient alors
une expression approchée du champ électromagnétique rayonné par le dipôle de Hertz en faisant, dans
les expressions générales du champ, rco/c ^> 2tt . En ne gardant que les termes d'ordre le plus élevé en
1 jr, et en notant que \Er\ <C |£#|, dès que 6 diffère légèrement de 0 , on trouve :
1 p(t — r/c) . n 1 / —ù)2posin6\ r / r\i
0 4t7£0 rc1 4tteo \ rc1 ) L V cJl
po f-ù)2p0sm6\ r . / r\i
soit, vectoriellement :
t- { f-co2posin6\ r . / r\i E
Le champ électromagnétique, à grande distance, a donc les propriétés suivantes :
i) Contrairement au champ électrique produit par un dipôle électrostatique, qui varie comme
r-3, le champ électromagnétique (E,B), produit à grande distance par le dipôle de Hertz, varie
comme r-1 .
ii) Les champs E et B sont orthogonaux entre eux et avec le vecteur r : E — Eee , B = Be^
et B = E/c .
iii) Ils sont en outre en phase et forment avec le vecteur radial er, un trièdre orthogonal direct.

378
20. Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
La figure 20.2a donne une représentation de la variation dans l'espace de l'amplitude du champ
électrique. On voit que le champ est nul sur l'axe du dipôle et qu'il est maximal dans le plan équato-
rial Oxy.
a)
b)
FiG. 20.2.
Si l'on trace le diagramme polaire du champ, c'est-à-dire le graphe r{6) défini par une valeur
déterminée de la norme de E , on obtient la courbe r — Cte x sin 6 représentée sur la figure 20.2b.
L'amplitude de ce champ électromagnétique s'exprime, en fonction de l'intensité maximale
lm = copo/a et de la longueur d'onde À = 2ttc/co, selon :
1/2
lma sin 6
2Ar
et Bir
C
III. 2. — Approximation de l'onde plane
Dans le voisinage d'un point situé à grande distance du point O où se trouve le dipôle, le champ
(E,B) est pratiquement uniforme. Comme, d'autre part, les vecteurs E,B et er forment un trièdre
orthogonal et que le rapport E/B vaut c , la structure locale de l'onde émise par le dipôle est celle d'une
onde plane transversale, le plan d'onde étant tangent à la sphère, de rayon r, centrée en O (Fig. 20.3).
Cette approximation permet d'utiliser des détecteurs à surface plane, placés normalement à la
direction de propagation ; on mesure ainsi localement le champ électromagnétique émis par une source
lointaine.
FiG. 20.3.
FiG. 20.4.

Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
379
III. 3. — Puissance rayonnée en régime sinusoïdal
a) Vecteur de Poynting
Revenant aux notations réelles, le vecteur de Poynting a pour expression, à grande distance :
B 9
R = Eee x —e^ = e0E cer
Mo
soit :
1 (o4pl sin2 6
16tt2eqc3 r2
cos2Kf-D]e'-
Sa valeur moyenne dans le temps est donc, puisque cos2 (o(t — r/c) = 1 /2 :
' co2po sin 6N
R — R er avec R —
32tt2eoc3
En fonction de Im et À , la valeur moyenne de R s'écrit aussi, puisque Ima — copo et co = 2ttc/X :
- 1 fjULo\ [Imasm6x
K
8 \ £q J V ^r
Ainsi, R varie comme r~2 et sin2 # . Le rayonnement est par conséquent nul suivant Vaxe du dipôle
oscillant et maximal suivant toute direction contenue dans le plan Oxy (Fig. 20.4).
b) Puissance totale rayonnée par le dipôle
La puissance moyenne totale V, rayonnée par le dipôle, s'obtient en calculant le flux de R à
travers la surface de la sphère de centre O et de rayon r. Comme d S — r2 sin 6 dd d ç , il vient pour
la puissance moyenne rayonnée V :
P= ft R-nd«S = „„_7_° 3 / sin3<9d<9/ dç
J ?>2ir2£QC~ Jo Jo
Or:
rTT rTT
/ sin3 6 d 6=1 (l-cos20)d(-cos#)
Jo Jo
Par conséquent :
cos3 6
- cos 6 H —
4
3
- = _J_ C^ri = _J_ 2^ = 277 Y^ ,/2 ^y /2
4t7£0 3c3 4tt£0 3c3 3 V£o/ U/ 2
:) c
puisque : p2 = (—co2p)2 = co4pl/2 et que Ima = (w/?0 . Notons que cette puissance totale V ne dépend
pas de r, ce qui était prévisible en raison de la conservation de l'énergie électromagnétique dans le
vide : cette puissance est une caractéristique du dipôle émetteur.
La quantité (julo/eo) est homogène à une résistance de valeur :
\ 1/2
^ ) ^12077^377 0

380
20. Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
On exprime souvent la puissance rayonnée par le dipôle à l'aide de la résistance au rayonnement du
dipôle définie comme la résistance R, du conducteur ohmique qui, parcouru par un même courant de
valeur maximale Im , dissiperait la même puissance par effet Joule :
-=/^_277^0y/2/«\2/m
2 3 \e0
D'où la résistance au rayonnement :
(î)
*,= ,
O / \ î/2
On voit que la puissance rayonnée est proportionnelle à (a/X)2 . Pour a/X = 1/1 000, ce qui est
conforme à l'approximation quasi stationnaire : Rr = 0,790 x 10-3 fL Le rayonnement
électromagnétique d'un tel dipôle est donc très faible.
c) Gain directionnel de rayonnement
Comme la puissance rayonnée ne dépend pas de la distance mais de la direction 0 d'émission, on
définit le gain directionnel de rayonnement par la quantité :
r2R
G(0)«4tt.=-
ce qui donne, dans le cas du dipôle de Hertz :
ft^sin2 3/(32^0^) 3 2
^ = 4"77 . n ,,^n rr = — sin u
coY0/{\27Te0ci) 2
Le diagramme polaire G(0) présente deux lobes symétriques par rapport à 6 = tt) (Fig. 20.4). On
caractérise souvent le rayonnement par la largeur angulaire à mi-puissance : A# = 62 — 0\ avec 6\ et
62 définis par G(0) = Gmax/2 . Dans le cas du dipôle de Hertz, on a :
\f2
sin2 0 = 0,5 sin# = ±^— d'où 0X = 45° 02 = 135° et A0 = 90°
IV. — RAYONNEMENT DIPOLAIRE D'UN ÉLECTRON ATOMIQUE
IV. 1. — Théorie classique de l'émission dipolaire atomique
Cette théorie s'appuie sur le modèle classique de l'électron atomique « élastiquement lié » au
noyau. Comme, dans ce modèle, l'électron oscille autour de sa position d'équilibre avec une
pulsation coq , on peut l'assimiler à un dipôle oscillant de moment p(r) = —er(t) . La puissance moyenne
rayonnée est donc égale à :
7p_ ] u40pl _ 1 co*e2r2m _ q2eco40r2m
4tteo 3c3 4tteo 3c3 3c3
rm étant Pélongation maximale de cet oscillateur et q\ le rapport e2/(477£0) • Cette formule met en
évidence le rôle de l'accélération a de la charge. En effet :
p = — er entraîne p = — ea — eco^r = — col p

Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
381
d'où, en introduisant la moyenne du carré de l'accélération a = aj2 et en remplaçant <%pl par
Tp _ fal _ 2cà«2
3c3 3c3
Ainsi, la puissance moyenne rayonnée est proportionnelle à la moyenne du carré de l'accélération. Ce
résultat a été établi par J. Larmor en 1897. Il permet d'expliquer le rayonnement émis par les particules
dans les accélérateurs (rayonnement synchrotron) et dans la matière (rayonnement de freinage connu
sous le nom allemand de Bremsstrahlung).
La puissance électromagnétique rayonnée par le dipôle est puisée dans son énergie mécanique
£mec = mù)l rli/2 Qul diminue au cours du temps. On a, en traduisant l'égalité de ces transferts
d'énergie entre les instants t et t H- d r, avec d t ^> T :
-d£mec = Pdt
Or cette puissance rayonnée peut s'exprimer en fonction de Emec :
— 2^<y2 ç^ 3meC3
V = ——^-Smec soit V = en posant r « ——;
3mecJ> t ^qfcoQ
Comme df <C t , il vient :
Cl Csfyi(>£ Cl l
f
— ce qui donne en intégrant Smec(t) = Smec(0) exp f 1
Ainsi, l'énergie mécanique Emec du dipôle décroît exponentiellement, avec une constante de temps r ,
appelée « durée de vie » de l'oscillateur. On dit, par analogie avec un oscillateur soumis à une force
supplémentaire de frottement visqueux, que le mouvement du dipôle subit un amortissement de
rayonnement de type visqueux. Cette durée r peut s'exprimer à l'aide du rayon classique de l'électron re
3mec3 3c q] e2 15
r = = r- avec re ■= —c— = = 2, 8 x 10 m
2qjcL>Q 2recc>Q mecz 47TEomecz
Ordre de grandeur : Pour À ~ 0, 5 fxm, soit coq -~ 3 x 1015 rad • s-1, on trouve r -~ 10-8 s .
On vérifie ainsi que r est très grand devant la période d'oscillation T — 2tt/coq , qui est de l'ordre
de 2 x 10-15 s pour un rayonnement du domaine visible, ce qui donne un sens à l'analyse précédente :
l'oscillateur ne perd qu'une très faible fraction de son énergie au cours d'une période. Cette inégalité
t <7 s'écrit autrement en fonction de la longueur d'onde dans le vide À = Ittc/côq ; en effet :
3c 277 . . 2ttc
^ <C — implique A0 = » re
2reù)Q coq ù)q
Remarques : (1) Le mouvement de l'oscillateur représentant le dipôle oscillant étant amorti, le
rayonnement qui en résulte n'est pas monochromatique. Il présente un élargissement spectral
A^i/2 qui est relié à la durée r par la relation (cf. Exercices) : A^i/2 x r ~ 1 . Cette
largeur spectrale est qualifiée d'intrinsèque ou de naturelle par opposition aux autres causes
d'élargissement spectral : effet de collisions, effet Doppler (cf. Optique).
(2) Cette théorie classique de l'émission de lumière par un atome conduit de manière
insidieuse à son propre échec. En effet, la faiblesse du modèle planétaire de l'atome de Bohr
est précisément due au rayonnement énergétique de l'électron accéléré dans son mou-

382
20. Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
vement circulaire (cf. Physique quantique) : dans le cadre classique, l'énergie s'exprime
en fonction du rayon r de l'orbite suivant : Smec = —q2/(2r) ; sa diminution conduit
à celle de r , c'est-à-dire à l'effondrement de l'édifice, au terme d'une durée
extrêmement faible (cf. Exercices). Une nouvelle théorie de l'émission de lumière, dans le cadre
quantique, s'avère alors indispensable : elle permet de rendre compte de l'émission d'un
rayonnement à certaines fréquences seulement ; la théorie classique est cependant utile
lorsqu'on veut interpréter le rayonnement spectral continu sur une orbite circulaire de
dimension macroscopique comme dans un synchrotron.
IV. 2. — Diffusion d'un rayonnement par un électron atomique
La diffusion d'un rayonnement incident par un électron atomique constitue un exemple important
de rayonnement dipolaire.
a) Modèle
Une telle diffusion est interprétée, comme précédemment, à l'aide du modèle élastique dans lequel
un électron atomique (masse me , charge —e ) est soumis à une force élastique, de la forme —Kr, à une
force de frottement visqueux, —a dr/dt et à la force —eEm exp(-icot) ez due à un champ électrique
sinusoïdal extérieur. L'équation différentielle du mouvement suivant l'axe z du champ s'écrit donc :
1 E
me'z = —Kz — aï — eEm exp(-icot) soit 'z H— z + co^ z = —e— exp(-icot)
r me
en posant 1 /r œ a/m et co^ = K/me . La solution établie on forcée est donnée par (cf. Mécanique) :
—eEmexp(—icot)
me [(coq — ù)2) — iù)/r\
Remarque : Lorsqu'une telle équation différentielle caractérise le mouvement forcé d'une masselotte
en mécanique ou celui de la charge électrique dans un circuit RLC, elle est résolue, en
notation complexe, en associant conventionnellement le terme exp(/W) et non exp(—icot),
i et j désignant la même grandeur yf^ï ; on passe de l'une à l'autre des deux
écritures par la transposition / —» —j .
On en déduit le moment dipolaire :
e2EmQxp(-icot) . e2Em
p = -ezez = f—j r—-j = p0{co) exp{-i(ot) ez avec p0{co) = =—^ —-r
_ me [(û)q — ù)z) — ko/t\ — — me [{ù)q — coz) — ico/r\
D'après l'étude précédente, un tel dipôle rayonne une puissance électromagnétique moyenne égale à :
__p§H^_ SEW
soit, en introduisant re = q2/(mec2) :
o<
nTTEoC^m^iù)2 - CD2)2 + C02/t2}
— . x ceqE2 , . 87rr'
p = a(û))-^-2- avec a(œ)
3 1(co2-co2)2 + co2/t2\
Cette puissance diffusée par l'électron se met ainsi sous la forme d'un produit de deux termes :
i) l'un a((o), homogène à une surface, appelé section efficace de diffusion de rayonnement,
ii) l'autre ceoE2n/2, représentant la puissance empruntée par unité de surface au champ électrique
incident.

Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
383
b) Différents types de diffusion
Représentons le graphe de cr(co) (Fig. 20.5a).
diffusion résonnante
Lentille de projection
diffusion Thomson
Condenseur
4
Soufre colloïdal
o**^"' '"^^^
Source Diaphragme-
de lumière objet
blanche Rayonnement j
bleuté
Image
du diaphragme
rougie
a)
b)
Fig. 20.5.
Trois domaines sont généralement considérés :
i) Diffusion Rayleigh ( co <C coq )
Lorsque co <C coq :
877r?
3
^0
Cte
T4"
Ainsi, dans ce cas, la puissance diffusée varie comme 1/À4 . C'est cette diffusion, étudiée par le
physicien anglais J. Rayleigh, qui permet d'interpréter la couleur bleue du ciel : en effet, dans l'atmosphère,
les électrons atomiques vibrent avec une fréquence vq de l'ordre de 1017 Hz (UV), alors que la
fréquence v des vibrations d'une onde lumineuse est de l'ordre de 1014 Hz. C'est aussi ce mécanisme
qui rend visible les faisceaux de lumière se propageant dans une atmosphère purifiée.
ii) Diffusion Rayleigh résonnante ( co œ coq )
Comme dans ce cas co\ — co2 ~ 2coq(co — coq) , a(co) s'écrit :
cr(co)
87rr;
2 r
4(co- co0)2 + \/t2
e—^— L(co) avec L(co)
1
1 +4t2(co - coq)2
Ainsi, la section efficace résonnante présente le profil L(co), dit lorentzien, caractéristique d'une
résonance.
On peut mettre en évidence la diffusion Rayleigh à l'aide du montage représenté sur la figure
Fig. 20.5b. On interpose sur le trajet de lumière blanche, entre un diaphragme circulaire et son image
dans un plan d'observation, une cuve contenant une solution de thiosulfate de sodium (2Na + , S203~ ).
En ajoutant de l'acide chlorhydrique (HC1) à la solution, on provoque la formation de soufre colloïdal,
ce qui augmente l'intensité de la diffusion et donc le rayonnement bleuté observé dans une direction
perpendiculaire à la direction moyenne du faisceau lumineux. En même temps, le faisceau transmis
devient rouge sur l'écran.
iii) Diffusion Thomson ( co ^> coq )
Lorsque co ^> co0 , la section efficace se réduit à la quantité aT, indépendante de la pulsation co :
cr(co) œ ljj
Kirrl
: 0,665 x 10
-28 m2
soit ctt « 0, 67 barn (1 barn = 10"28 m2)

384
20. Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
Ainsi, dans le cas des rayons X durs, v ^> v§ avec vq ~ 1017 Hz , la puissance diffusée est
indépendante de la fréquence ; la quantité crj est appelée section efficace de Thomson, du nom du physicien
britannique J. Thomson.
V. — RAYONNEMENT D'UNE ANTENNE RECTILIGNE
Une antenne peut être considérée comme une assemblée de dipôles oscillants tels que ceux
étudiés précédemment. Cependant, l'approximation quasi stationnaire au niveau de l'émetteur n'est plus
valable.
V. 1. — Champ électromagnétique produit à grande distance par une antenne rectiligne
Dans les cas usuels d'une antenne rectiligne, on obtient le champ qu'elle crée en superposant
linéairement, conformément aux équations de Maxwell, les champs produits par les différents éléments
de conducteurs, de longueur dz . Le champ élémentaire dE, produit à grande distance, en un point M,
dans la direction 0 , par l'un de ces éléments situé en P et parcouru par une intensité d'amplitude im(z)
(Fig. 20.6), s'écrit :
dE:
1/2 . „
/ulo \ sin #
£o
2k PM
i(z) dz exp
PM\
-ico ( t I
e#
zk
vv*
er
FiG. 20.6.
Calculons PM en fonction de r = OM et du vecteur unitaire er = OM/OM défini par la
direction de propagation. Comme PM = OM — OP, il vient :
/ Qp2 OP\ 1//2
PM = (r2 + R2 - 2r • OP)1/2 = r I 1 + -^- - 2er 1 « r - er OP
Il vient, en remplaçant au dénominateur PM par r et en posant k « co er/c :
1 /O
E « [ — ) ^ exp [-iœ (t - -)] ee f im(z) exp(-/k • OP) d<
£o
2Ar
Dans le cas considéré, er • OP = zcos 0 . On a donc, en faisant apparaître À = Ittc/w dans
l'exponentielle et en introduisant la variable u œ cos 0/\ , homogène à l'inverse d'une longueur :
MoV/2 sin0
(t )\ ee / im(z)exp(-i27ruz) d<

Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
385
On reconnaît là un calcul analogue à celui donnant la figure de diffraction de Fraunhofer associée à une
ouverture, en optique ondulatoire (cf. Optique). La superposition des champs élémentaires fait apparaître
une intégrale caractéristique dont la valeur est une fonction 7m(u), appelée transformée de Fourier
spatiale de im (z), définie par :
7m(u)
/ im(z)exp(-i27Tuz) dz
V.2.
Antenne demi-onde
Considérons le cas important d'une antenne demi-onde, c'est-à-dire une antenne de longueur
/ = À/2 , dans laquelle i(z) = Im cos(277z/À) . On réalise un tel système en maintenant, aux
extrémités voisines 0\ et O2 de deux conducteurs rectilignes identiques, une force électromotrice
sinusoïdale (Fig. 20.6). On obtient le même résultat en plantant dans le sol un conducteur rectiligne de
longueur moitié. On montre en effet que tout se passe alors comme si le sol se comportait, pour ce type
d'onde, comme un réflecteur parfait.
a) Champ électromagnétique
Calculons le spectre ?m(u), en exprimant i(z) sous la forme la somme de deux exponentielles
imaginaires :
.exp
—ÏIttz [ u
H-exp
lm[u) = ^!-A
soit, puisque / = À/2 :
-.n /„, fsin[7r(M- 1/A)/] sin[ir(u + l/A)/]\ /^À
'mW"2\ 7T(u-\/A)l + 7T(l!+l/A)Z J " 77
Finalement, l'expression de E est la suivante :
—ïlirz
"+£>]}
cos(7twà/2)
u2A2 - 1
77
dz
COS(77COS#/2)
cos2 e -1
1/2
Afo\ (Jol\ cos(t7 cos 6^/2)
Eq J \27rrJ
sinO
exp
-ico t
PM
ee
Remarque : Un tel champ ressemble à celui produit par un dipôle de Hertz. Cependant, son diagramme
de rayonnement est légèrement allongé dans la direction 0 = rr/2. On augmente sa
directivité suivant une direction perpendiculaire en associant plusieurs antennes rectilignes
parallèles (cf. Exercices).
b) Puissance rayonnée par Vantenne
Évaluons la puissance totale rayonnée par l'antenne. Pour cela, exprimons R :
'fl\ cos2[77cos(6>)/2]
R=-^£2er
Cfl0
Î7T2€oC V f2
sin26>
Il vient, en calculant le flux de R sur une surface sphérique de centre O et de rayon r :
1 r77 ^c2(
V = (bR-ndS = A .
/ 47Tze0c
il* Tcos{7TCOse/2) de
p71
7o
sin#

386
20. Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
puisque l'élément de surface est ÛS = 27rr2sm0 dO. Le calcul numérique de cette dernière
intégrale donne la valeur 1,21885 ~ 1,22 . Par conséquent, en unités SI, on a :
1
Atteqc
1,2211 = 36,511 = Rr
H
avec
Rr = 73,1 II
VI. — DIPOLE MAGNETIQUE OSCILLANT
Un dipôle magnétique oscillant est un circuit émetteur circulaire, parcouru par un courant
sinusoïdal [(t) = /mexp(—iwt), tel que son rayon a soit très inférieur à la distance d'observation r = OM
(approximation dipolaire). 11 est possible de produire, à l'aide d'un tel dipôle, un champ
électromagnétique à grande distance analogue au champ produit par le dipôle de Hertz. C'est ce que nous nous
proposons de montrer.
VI. 1. — Potentiel vecteur créé par un dipôle magnétique oscillant
Choisissons un axe Oz de telle sorte qu'il coïncide avec la normale n au circuit (Fig. 20.7).
M
Fig. 20.7.
Notons d'abord que, tout élément du circuit étant neutre, le potentiel scalaire retardé V est nul en
jauge de Lorentz. Quant au potentiel vecteur retardé A , produit par le circuit en un point M , il a pour
expression :
^o j;i(t-\\r-r>\\/c)
Ait
A(r,f)
dr'
avec r = OM et r' = OP (Fig. 20.7).
Le calcul s'effectue en tenant compte des arguments de symétrie relatifs au dipôle magnétique
(cf chapitre 12) : le vecteur A, comme le courant, est dirigé selon e^ . Les approximations, dipolaire
(û«r) d'une part, et quasistationnaire pour l'émetteur (««A) d'autre part, conduisent à un résultat
analogue à celui du potentiel électrique créé par le dipôle électrique :
fi0 m m
A = — -ô + — I sintfe,
477 V r1 rc
jUL0 (m m ,
477 V r rc t
Dans cette expression du potentiel retardé, les valeurs de m et de m sont évidemment prises à l'instant
t* = t - r/c .

Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
387
YL 2. — Champ électromagnétique rayonné
On peut obtenir E, en jauge de Coulomb, à l'aide de la relation E = —dA/dt, le potentiel V
étant nul. En se plaçant en régime sinusoïdal et en notation complexe, on trouve :
E:
W) . „ ( ÏÏL ÏÏL
sin 0 ( — H 1 eœ
Ait ~ " " \r2 ' rc ) ç Ait
julq . / ico co
mo sin 0 ( — H ) exp I — ico
rc
('-DK
Quant à B , on le détermine à partir de l'expression de rot A en coordonnées sphériques (cf. annexe 2).
Comme A = Aç e^ , il vient :
i r s d
B ■--= . i er7-(rsin^) - eer--(r sin 0A<p)
rzsmO l cB or
On en déduit la composante radiale Br :
B. ' 8
rsin# dO
li0 2cos# /m m
(sin &4^) = -. + —
S2wo cos e( ?+-£)exp h'w (' - 9]
et la composante orthoradiale Be :
1 d ( fi0
B,
.1 ico\
m0 sin 0 [ exp
r or l 477 V /" c /
< -— mo sin #
[477 V
[-ico (t
1 Mo
mo sin (
r 477
/xq ^o sin #
1
ico ( 1 /&> \
exp — *&>
K)]
V
477 r3
Comme E • B = 0 , les champs E et B sont orthogonaux
exp [-to (/-£)]
VI. 3. — Champ électromagnétique à grande distance
Pour connaître les expressions du champ à grande distance, il suffit de faire r ^> À soit
cor je ^> 277 :
yu0 arsiné/ r . / r\n
^ ytio —^ sin #
et B « ^
477 rcz
mo exp —/&> ( t J e#
On en déduit que :
i) L'amplitude du champ varie comme r-1 et le rapport E/B vaut c .
ii) E , B et r forment un trièdre orthogonal direct et les champs E et B sont en phase.
iii) Comparés à ceux du dipôle électrique, les champs E et B ont des expressions analogues
mais permutées, conformément aux symétries.
iv) Localement, le champ est celui d'une onde plane transversale.

388
20. Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
VI. 4. — Puissance rayonnée à grande distance
D'après ce qui précède, le vecteur de Poynting moyen a pour expression :
2 [ jn0 ) 3277
jLiQ wAm\ sin 6
er
V r2
On en déduit la puissance rayonnée à travers une sphère de centre O et de rayon r :
Js 32tt2c3 J0 J0 Utteoc3
Cette dernière expression de V permet de comparer les puissances rayonnées par le dipôle électrique
et par le dipôle magnétique : on voit que les expressions sont identiques si l'on remplace le moment
dipolaire électrique p0 par (m0/c) .
Comme pour le dipôle électrique, on peut définir une résistance au rayonnement Rr à l'aide de la
relation V = RrI^n/2 . Puisque rao = ImS = Im7ra2 , on obtient, en identifiant :
*'=^ = ^(!)4=^©4k«
Notons que Rr varie comme À-4, alors que dans le cas du dipôle électrique, Rr variait comme À-2 .
CONCLUSION
Retenons les points essentiels.
(1) À grande distance, le dipôle de Hertz rayonne une onde transversale dont les champs E et B
orthogonaux s'écrivent, en régime sinusoïdal et en notation complexe :
1 f-co2sm6\ r . / r\] E
E=4^(-^— jA,exp[-««(f--)je, et B = er x -
Localement, cette onde électromagnétique est plane. La moyenne dans le temps du vecteur de Poynting
a pour expression :
— 1 ù)4pl sin2 0
167T2EoC3 r2
(2) Classiquement, on attribue le rayonnement dipolaire émis par les corps au mouvement des
électrons atomiques auxquels on associe un moment dipolaire dépendant du temps.
(3) Une antenne peut être considérée comme un ensemble de dipôles de Hertz, ce qui permet
de déterminer le champ qu'elle crée en sommant vectoriellement les champs produits par ces dipôles
élémentaires.
(4) Enfin le dipôle magnétique, constitué par une petite spire de courant, parcourue par un courant
variable, rayonne une onde électromagnétique qui ressemble beaucoup à celle produite par un dipôle
électrique : les formes des champs E et B sont simplement permutées, ce qui explique l'utilisation de
l'un ou l'autre de ces dipôles pour l'émission et la réception des ondes électromagnétiques.

Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
389
EXERCICES ET PROBLÈMES
P20- 1. Potentiel scalaire d'un dipôle de Hertz (5^)
On se propose d'établir l'expression, au point M, du potentiel scalaire associé à un dipôle de
Hertz, en procédant comme pour le dipôle électrostatique NP de centre O .
1. Exprimer, en fonction de r\ = PM, r2 = NM et du temps, le potentiel scalaire en régime
sinusoïdal de pulsation co.
2. Sachant que les dimensions du dipôle sont faibles devant r = OM, en déduire l'expression du
potentiel en fonction des coordonnées polaires ( r, 0 ) du point M, dans le plan méridien NPM .
P20- 2. Rayonnement d'un dipôle de Hertz
Un dipôle de Hertz vertical, de fréquence v = 500 MHz, rayonne une puissance moyenne dans
tout l'espace de 100 W .
1. Calculer son moment dipolaire maximal po .
2. En déduire l'amplitude du champ électrique à une distance de 1 km et dans un plan horizontal
contenant le centre du dipôle.
P20- 3. Efficacité d'un dipôle de Hertz
Un dipôle de Hertz, constitué par un fil de cuivre (conductivité y ), de longueur a et de diamètre
D, est parcouru par un courant sinusoïdal d'amplitude ïm et de pulsation w. On désigne par Rr la
résistance de rayonnement et par R la résistance ohmique.
1. Exprimer, en fonction de Im et des résistances, la puissance Vr rayonnée par le dipôle, la
puissance Vd dissipée par effet Joule et la puissance Vf fournie au dipôle. En déduire l'efficacité de
rayonnement r\r du dipôle en fonction de Rr et R .
2. Rappeler l'expression de Rr et trouver R en tenant compte de l'effet Kelvin. En déduire le
rapport R/Rr en faisant apparaître A/a , \/D et les résistances :
/ x 1/2 / x 1/2
3. Calculer ro , rK , Rr, R et r\r. On donne les valeurs suivantes :
y = 5,8 x 107 S-m"1 a = 1 cm D = 2 mm et v = 100 MHz
P20- 4. Diffusion Rayleigh
Calculer le rapport des puissances rayonnées par diffusion Rayleigh pour les longueurs d'onde
extrêmes du spectre visible, 400 nm et 750 nm .

390
20. Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
P20- 5. Champ électromagnétique produit par deux dipôles de Hertz
On considère deux dipôles de Hertz D{ et D2 , identiques, de moment dipolaire maximal p0 selon
Oz et distants de / sur l'axe Ox. On analyse le champ électromagnétique, à grande distance, dans le
plan Oxy défini par 0 = tt/2 qui passe par le centre de chaque dipôle et par le milieu O de D\D2 .
Calculer la différence L = D2M—D\M au point M(r, tt/2, <p). En déduire le champ électromagnétique
résultant.
P20- 6. Gain directionnel d'une antenne demi-onde
Montrer que le gain directionnel d'une antenne demi-onde a pour expression :
1 cos2[ttcos(6>)/2]
G
0,61
sin26>
Calculer G pour 6 = tt/2 et 6 = tt/4 . Tracer le graphe G(0).
P20- 7. Réseau de N antennes rectilignes Cweb}
On considère un réseau de TV = 11 antennes rectilignes demi-ondes disposées comme le montre la
figure 20.8. On se propose de calculer le champ E créé par ce réseau. Pour cela, on rappelle l'expression
du champ produit par un dipôle élémentaire situé au point P (cf. chapitre 20 pour les notations) :
dE
(P) exp \-ico (t- -)] exp(-ik • OP) dlee
d/ étant l'élément de longueur du dipôle et k = wer/c = 27rer/A le vecteur d'onde orienté dans
la direction OM. En outre, on note a la période du réseau, <p l'angle azimuthal des coordonnées
sphériques et on pose :
sin 6 cos ç>
v =
A
Exprimer le champ E, en fonction du champ Eo produit par l'antenne centrale placée à l'origine,
de TV , v et a . Comparer ce résultat à celui obtenu avec les réseaux optiques.
.»';
[I
Fig. 20.8.
Gx
w^X
D2
Fig. 20.9.
P20- 8. Réciprocité entre une antenne émettrice et une antenne réceptrice
On considère deux antennes, l'une A\ émettant, en régime sinusoïdal, de l'énergie
électromagnétique produite par un générateur G] , l'autre A2 recevant une partie de cette énergie détectée par un
instrument de mesure D2 (Fig. 20.9). On désigne par Ej le champ électrique créé par .Ai etpar Ji la
densité de courant dans A\ ; E2 et J2 sont les grandeurs analogues relatives à A2 .

Champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant
391
1. À l'aide des équations de Maxwell, montrer que, à grande distance et en régime sinusoïdal, on a :
E2 Ji - Ei J2 = — div(E2 x BL - Ei x B2)
Mo
2. En déduire l'égalité suivante :
/ E2 • Jj d V = f Ei • J2 d V
V\ et £?2 étant les volumes délimitant respectivement A\ et ^.Conclure.
P20- 9. Dipôle magnétique oscillant et jauge de Lorentz Cweb)
Rappeler l'expression du potentiel vecteur créé par un dipôle magnétique oscillant. Vérifier qu'il
satisfait à la condition de jauge de Lorentz.
P20- 10. Dipôles électriques et magnétiques des atomes
1. Dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, l'électron est animé d'une vitesse constante
vq sur une orbite circulaire de rayon a$ . Evaluer les moments dipolaires électrique po et
magnétique rao que l'on peut associer à un tel système. On prendra pour l'atome dans son état fondamental :
«o = 53 pm (rayon de Bohr) et vo/c = a, où a — q^/{hc) ~ 1/137 est la constante de
structure fine.
2. Comparer les rayonnements électromagnétiques à grande distance des dipôles électrique et
magnétique correspondants.

21
Polarisation des milieux matériels :
aspect macroscopique en régime stationnaire
Jusqu'à présent, l'électromagnétisme étudié a concerné principalement le vide en présence de
charges et de courants. Le cas des milieux matériels conducteurs en équilibre a été présenté par la
loi constitutive du milieu : E/„ = 0 .
Nous nous proposons ici d'étudier, en régime stationnaire et du seul point de vue macroscopique,
les propriétés électrostatiques des milieux matériels quelconques, notamment celles des diélectriques.
Ces derniers sont appelés ainsi car, interposés entre deux conducteurs chargés, ils maintiennent séparées
leurs charges respectives. On caractérise ces matériaux par un champ macroscopique de polarisation
volumique que l'on relie au champ électrique par une relation constitutive de milieu.
Le cas non stationnaire et l'aspect microscopique seront examinés ultérieurement (cf. chapitres 23,
24 et 28).
I. — POLARISATION DES MILIEUX MATERIELS
1.1. — Mise en évidence
Expérimentalement, on étudie la polarisation d'un matériau en plaçant un échantillon de ce
matériau dans un champ électrique extérieur appliqué Ea et en analysant la perturbation apportée à ce champ
par le milieu (Fig. 21.1).
"fCD M<®s
FlG. 21.1.
Nous savons que les propriétés du champ électrique E s'expriment, en régime stationnaire, par les
deux équations suivantes :
rotE = 0 div(£0E)=p
p désignant la charge volumique dans l'espace.

Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire 393
Dans un milieu matériel, les charges en présence appartiennent à des structures complexes : atomes,
molécules d'un gaz, d'un liquide ou d'un solide. Sous l'influence d'une excitation électrique
extérieure, elles réagissent collectivement : on dit que le milieu se polarise ; ce dernier crée alors lui-même
un champ électrique Em qui vient s'ajouter au champ appliqué Ert pour produire le champ résultant
E = Efl -j- Em.
1.2. — Charges intérieures et charges extérieures
Considérons un échantillon matériel au repos. Notons V le volume qu'il occupe, S la surface
fermée qui limite V et nex la normale extérieure à S.
On distingue, dans la distribution spatiale de charge, deux contributions : l'une est constituée des
charges situées à l'extérieur de l'échantillon, de charge volumique pex nulle dans V , l'autre est
constituée de l'ensemble des charges de l'échantillon, de charge volumique pm nulle hors de V . On a donc :
P = Pin + Pex
avec Pi„(M) = 0 si M n'appartient pas à V et pex(M) = 0 si M appartient à V .
Remarque : Dans certains cas, la modélisation de la distribution de charge la mieux adaptée pourra
être surfacique (cf. IV).
II. — VECTEUR POLARISATION VOLUMIQUE
II. 1. — Définition
Plaçons-nous d'abord dans le cas simple et fréquent où l'échantillon considéré est globalement
neutre. Cette condition s'écrit :
/ pm d V = 0
Jv
On sait qu'à grande distance une telle distribution de charge est caractérisée par son moment dipolaire
V (cf. chapitre 5) :
V = [ vPin d V
Jv
Cette équivalence globale doit être précisée lorsque l'on s'intéresse aux effets électriques au voisinage
ou à l'intérieur même de la distribution. On montre que, pour toute distribution vérifiant la condition
de neutralité globale, il existe un champ de vecteur, noté P, appelée polarisation volumique, ayant les
propriétés suivantes :
divP = — pin à l'intérieur et P = 0 àl'extérieui
Remarque : A une dimension x, les propriétés de P s'écrivent, puisque P = P(x) ex :
dP
————pin{x) à l'intérieur et P(x) = 0 à l'extérieur
Ainsi, P(x) est la primitive de Pin(x) qui satisfait à P(x) = 0 à l'extérieur. Sur la figure
(Fig. 21.2), on a représenté un exemple de distribution pin(x) à laquelle est associé le
champ de polarisation P(x).

394
21. Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
Précisément, si la fonction pin(x) est nulle en dehors d'un intervalle [a, b] , continue sur
[<z, b] et d'intégrale nulle, le champ suivant :
P(X) = - f pin(xf) dx'
J — oo
est bien tel que :
/Cl rb rX
Pin{x') dx' - / Pin(x') dx' - / Pi„(x') dx' = 0
-oo J a Jb
si x n'est pas dans [a,b] et dP/dx = —pm(x) si x est dans [a,b] .
A PinKpC)
H*)
b x
a)
b)
FiG. 21.2.
II. 2. — Moment dipolaire électrique
Afin de donner une signification physique à la polarisation volumique P, établissons une relation
entre ce vecteur et le moment dipolaire total V de la distribution de charge (cf. chapitre 5). Évaluons
pour cela la composante de V suivant l'axe Ox :
V = / vpln d V
Jv
L
rdivPdT^ d'où Vx
l xpin d V = - l
Jv Jv
jtdivPdtV
r v j v
Or, div(xP) — x div P -j- P • gradx (cf. annexe 2) et gradx = ex , ce qui donne, en posant Px — P • ex :
Vx = / Px d V - [ div(jcP) d V
Jv Jv
Remarquons que, P étant nul en dehors de V , cette formule est valable pour tout volume V contenant
V . Si Sf est la surface fermée englobant T)', il vient, en utilisant la formule d'Ostrogradsky :
/ PxdTJ- l
Jv Jsr
PxdTJ - è iP-nd5 soit Vx
L
PxdV
car P est nul en tout point extérieur à TJ . On obtiendrait évidemment des résultats analogues pour les
deux autres composantes. Par conséquent, le moment dipolaire V se met sous la forme :
Jv
= / VdV
Aussi, le vecteur polarisation volumique P apparaît comme le moment dipolaire volumique de la
distribution.

Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
395
Le champ de vecteur P est d'une nature différente de celle du champ E. En effet des conditions
différentes sont imposées à P et à E : P est nul en dehors de V , alors que E ne l'est pas en général.
Ainsi, en l'absence de charges extérieures, on a bien :
divP = —pin = — div(£0E) mais P ^ —soE
L'unité SI de P est le Cm ~2 , puisque c'est le quotient d'un moment dipolaire par un volume.
Notons que les instruments de mesure ne permettent de définir la charge volumique que par une
valeur moyenne locale. Cette valeur est relative à des éléments de volume &V , petits devant un volume
caractéristique du problème étudié et grands devant celui de la structure élémentaire du milieu.
On est alors conduit à introduire des grandeurs nivelées, à l'échelle de AV , telles que :
<"-*?/„""'
Toutes les grandeurs physiques reliées à cette charge volumique (champ, potentiel, etc.) sont alors
moyennées à la même échelle. On les qualifie de macroscopiques par opposition aux grandeurs
microscopiques qui sont celles que l'on pourrait mesurer à des échelles inférieures, atomiques par exemple.
Les équations de Maxwell s'appliquent sans changement aux valeurs moyennées. Il en résulte que le
vecteur P est moyenne à la même échelle que la charge volumique qu'il représente.
II. 3. — Distinction entre les charges
a) Charges étrangères et charges structurelles
Nous avons vu précédemment que l'existence de P était directement liée à la neutralité globale du
milieu. L'expérience montre qu'un corps ne peut être chargé que par l'apport de charges étrangères à
sa structure. Dans ce cas, nous distinguons, dans la charge intérieure au milieu, la partie étrangère petr,
responsable de la charge globale, et la partie structurelle que nous noterons toujours pm . On a donc :
/ pin d V = 0 avec pin = — div P et / petr d V = Q
Jî1' JT)
L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit alors :
div(£0E) = Pin + pex + petr
b) Charges libres et charges liées
Dans certaines présentations, on distingue localement deux types de charge : les charges de
polarisation et les charges libres. Le vecteur polarisation volumique est alors défini comme la somme des
moments dipolaires microscopiques contenus dans l'élément de volume considéré.
Nous n'avons pas adopté cette distinction pour plusieurs raisons :
i) L'adjectif libres a déjà été utilisé dans un sens précis à propos des conducteurs : rappelons qu'il
s'agit dans ce dernier cas de charges structurelles qui sont libres de se déplacer dans le matériau.
ii) L'égalité :
/ rpin dV= f P d V
J'V JT)
qui est réalisée pour tout volume contenant le matériau, et non pour n'importe quel volume fini,
n'implique pas l'égalité locale entre rpin et P .

396 21. Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
iii) Si la charge totale de l'élément de volume considéré n'est pas nulle, c'est-à-dire si pin ^ 0,
la valeur du moment dipolaire de l'élément n'est pas indépendante de l'origine choisie pour le calculer
(cf. chapitre 5).
iv) Cette distinction est impropre à exprimer un phénomène qui en réalité concerne tous les milieux
matériels, les isolants, les conducteurs plus ou moins bons et les semi-conducteurs.
Dans les conducteurs, le moment dipolaire volumique n'a pas, en régime stationnaire,
d'interprétation locale. Dans un métal, la distinction entre charges libres et charges de polarisation peut même être
trompeuse, puisque, si les électrons de conduction sont les charges libres et les autres les charges liées,
on a :
f PlieesdV^O
JV
et il n'existe pas de vecteur P non nul dans V tel que —pnees soit égal à divP .
Dans un matériau cristallin hétérogène tel qu'une jonction p-n (cf. chapitre 9), les porteurs libres
majoritaires de la zone dopée négativement (électrons) diffusent vers la zone dopée positivement ; ils
laissent ainsi derrière eux un excès de charges positives qui tendent à les attirer s'opposant ainsi à la
diffusion. Ces porteurs libres contribuent donc à l'acquisition par la jonction d'un moment dipolaire.
v) Enfin, si l'on découpe la matière en éléments de même volume qui regroupent des composantes
différentes de la structure atomique ou moléculaire, on est conduit à associer un vecteur P qui varie
avec la nature du regroupement, ce qui traduit bien les limites d'une analyse locale.
Finalement, retenons que l'analyse de la polarisation ne peut pas toujours être conduite d'un point
de vue purement local.
III. — ÉQUATION DE MAXWELL-GAUSS DANS UN MILIEU
III. 1. — Définition du champ D
Si l'on explicite, dans les sources du champ électrique, les contributions intérieures et extérieures
au milieu, l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit, en l'absence de charges étrangères :
div(£0E) = pîn + pex
En introduisant le champ P, il vient :
div (£oE) = — div P + pex soit div (£0E + P) = pex
Un nouveau champ D s'introduit alors naturellement :
D = £oE -j- P avec divD = p€X
L'équation de Maxwell-Gauss vérifiée par D a donc la même forme que l'équation vérifiée par £oE
dans le vide, en présence des seules sources pex , d'où le nom d'excitation électrique qu'on lui donne
parfois. Selon une recommandation de la commission électrotechnique internationale (C.E.I), ce champ
D devrait être appelé vecteur densité de flux électrique ; en France, on l'appelle souvent vecteur
déplacement ou induction électrique. L'unité SI de D est, comme celle de P, le Cm ~2.
L'intérêt du vecteur D est de n'être relié qu'aux charges extérieures au matériau contrôlées par
l'expérimentateur. Notons qu'en réalité ce dernier contrôle le plus souvent le potentiel appliqué Va ,
lequel donne simplement le champ appliqué par Ea = — grad Va .

Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
397
III. 2. — Théorème de Gauss en présence d'un milieu matériel
a) Forme locale
En présence d'un milieu matériel, l'équation de Maxwell qui caractérise la structure du champ
électrostatique reste inchangée
rotE = 0
quant à celle qui traduit la liaison entre le champ et ses sources, elle s'écrit différemment afin de prendre
en compte explicitement les seules sources contrôlées par l'expérimentateur :
div D = pe^
b) Forme globale
À la forme locale précédente correspond une forme globale qui s'exprime en l'intégrant dans un
volume T) quelconque, limité par la surface S , et en appliquant la formule d'Ostrogradsky :
/ divD d V = / PexàV d'où é D • n dS = Qex
Jv Jv J's
Qex étant la charge extérieure au matériau mais située à V intérieur de la surface fermée S (Fig. 21.3).
Cette équation généralise le théorème de Gauss aux milieux matériels.
Matériau
Fig. 21.3.
Dr
D,
ni2
eoEA
Fig. 21.4.
Do
III. 3. — Milieu globalement chargé
Lorsque le milieu est globalement chargé, l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit, en introduisant le
vecteur D :
divD = Pex+Petr
ce qui donne, en intégrant sur un volume quelconque délimité par une surface S :
D.ndS = G« + G„r
Qex + Qetr étant la somme des charges extérieures au matériau et des charges étrangères présentes dans
l'échantillon.

398
21. Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
III. 4. — Relation de passage pour D
Rappelons la relation de structure déjà établie pour E , à la surface de séparation de deux milieux
notés 1 et 2, ni2 étant la normale à cette surface orientée de 1 vers 2 (cf. chapitre 3) :
n12x (E2-E1) =0
La composante tangentielle du champ électrique est continue
En calculant, comme on l'a fait au chapitre 2 pour le champ E , le flux de D à travers une surface
cylindrique, dont les surfaces de base sont situées de chaque côté de la surface de séparation, on trouve
pour D , en l'absence de charges étrangères :
n12-(D2-D1) =0
puisque les charges extérieures au matériau n'interviennent pas. La composante normale de D est donc
continue (Fig. 21.4).
Remarque : En présence de charges superficielles étrangères, o~etr ^ 0, comme c'est le cas d'un
conducteur chargé dans un milieu diélectrique, la relation de passage pour le vecteur D
se généralise selon :
n12- (D2-D!) =aetr
IV. — POTENTIEL ET CHAMP CRÉÉS PAR UN MILIEU POLARISÉ
IV. 1. — Potentiel électrostatique scalaire créé par un milieu polarisé
Considérons un milieu matériel, globalement neutre, dans lequel existe une polarisation volumique
P. La distribution intérieure de charge est donc pm = — div P. En régime stationnaire, le potentiel
électrostatique Vm créé par cette distribution, en un point M, est :
V M 1 f P'"(r') H T> l f -divP(r') h r>
Comme div(/P) =/divP + P • grad/ (cf. annexe 2), le potentiel Vm s'écrit aussi :
/ P \ P-(r-r')l ^
- div + —^ ^ d V
\\\v-y'\\) ||r-r'||3j
Notons que le second terme est affecté du signe plus car le gradient est calculé au point générique défini
par le vecteur r'. En appliquant la formule d'Ostrogradsky, on constate que le premier terme est nul *
Z-div(F^)dî,=£FV5=0
puisque P est nul sur la surface S , choisie extérieure au matériau. Il reste donc :
Le potentiel est donc celui d'une distribution volumique de dipôles électriques, de moment dipolaire
élémentaire Y ûV (cf. chapitre 5). On en déduit une équivalence de la distribution des charges intérieures
à une distribution volumique de dipôles. Cette équivalence est particulièrement adaptée aux milieux di-
■-{r)=^kl

Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
399
électriques constitués de dipôles élémentaires localisés. En revanche, elle est purement formelle pour un
conducteur usuel.
Ce qui précède montre que l'état de polarisation d'un milieu matériel peut être décrit de façon
équivalente :
i) soit par une distribution volumique de charges de polarisation pm .
il) soit par un champ de polarisation volumique P.
On choisit F une ou l'autre en fonction du problème posé.
Si le point où l'on calcule le potentiel est éloigné de tout point intérieur au matériau, on a r ^> r'
à condition de choisir l'origine des coordonnées en un point intérieur. Il vient alors :
V4r) = ^/p(0-^d»«^^ = -^^ avec V = f P dV
4ire0Jv Hr-rll 47T£o r3 Atteq r2 Jv
On retrouve naturellement l'approximation dipolaire du potentiel créé par une distribution de charge
totale nulle.
IV. 2. — Cas des milieux uniformément polarisés
Nous nous proposons dans cette partie de calculer les champs créés par des milieux uniformément
polarisés, de géométrie simple, sans nous préoccuper de la manière de réaliser une telle polarisation.
a) Première description d'un milieu uniformément polarisé
Considérons un milieu matériel, de volume V , simplement connexe, par exemple une sphère
(cf. chapitre 6), et présentant une polarisation volumique P uniforme. On en déduit aisément le
moment dipolaire d'une telle distribution :
V = f P d V = P / d V = P V
Jv Jv
Le potentiel électrostatique créé par ce matériau a pour expression :
1 f P • (r - r') / 1 f r - r'
Vm{r) = - / „ V J d^=P- / -r^ûTJ
4tt€0 Jv llr - r II3 V4^o Jv llr - r II3
soit aussi :
1 1 f r-r'
Vm = — P • Eaux OÙ Eaux = / POT] 77TT d V
Po 47Te0Jv llr-r'll3
est le champ électrostatique auxiliaire que créerait une distribution uniforme de charge répartie dans le
même volume V avec une charge volumique p0 • On en déduit alors le champ électrostatique Em créé
par le milieu polarisé selon :
Em - - grad Vm = grad(P • Eaux) = (P • grad)EÛHA-
Po Po
puisque P est uniforme (cf. annexe 2). Ainsi, le potentiel et le champ électrostatiques créés par un
matériau uniformément polarisé s'obtiennent aisément à l'aide du champ électrostatique auxiliaire Eaux .
Nous appliquons dans la suite ce résultat à un matériau de forme simple pour lequel Eaux est connu (cf.
chapitre 4).

400
21. Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
Exemple : Sphère uniformément polarisée
On sait que le champ électrostatique Eaux, créé par une sphère, de rayon R, de charge <20
répartie uniformément avec une charge volumique p0 , a pour expression, puisque <20 = Po4ttR3/3 (cf.
chapitre 3) :
Efl
Po_r
3eo
pour r < R
et
E,
Par conséquent :
Quant au champ E,7:
et Vm
_ P r
3^0
il vaut, à l'intérieur :
1 6o
Att£{) r2
1 R3
PoR3
3e0 r1
P er
er pour r > R
47rer)
Po
-(P-grad)E«
-^-(P-grad)r = -|-
puisque, en choisissant Oz suivant P, on a : (P • grad) r = Pdr/âz = Pez = P. A l'extérieur, il
vaut :
1 3(V-er)er-V
-- - grad Vmjex ~
E^
Atteçs
On en déduit aisément le vecteur D = eo E -|- P :
Ujn.ex — ^-0 *^m,ex et Uw \n
P 2P
= "3+P=T
La topographie des champs P, E et D est représentée sur la figure 21.5. Ainsi, à l'intérieur, tous ces
champs sont uniformes, Ein étant de sens opposé à celui de P. A l'extérieur le potentiel Vex et le
champ Eex sont ceux que créerait un dipôle de moment dipolaire V placé au centre de cette sphère.
On peut montrer que les flux des champs Em et Dm à travers le plan contenant le centre de la
sphère et orthogonal à P sont différents (cf. Exercices).
b) Seconde description d'un milieu de polarisation uniforme
L'hypothèse d'une polarisation uniforme d'un milieu matériel implique une discontinuité du
vecteur polarisation volumique à la traversée de la surface le limitant. En effet, la définition de P par :
divP,v
—pin et P = 0 à l'extérieur
conduit à pin = 0. Les charges sont donc localisées sur la surface avec une densité surfacique crm .
L'équation div Pin = — pin fournit naturellement la relation de passage entre le milieu diélectrique 1 et
l'extérieur 2 (Fig. 21.6) :
n12 • (P2 - Pi) = -ain SOit CTb
puisque ni2 = nex , Pi = P et P2 = 0.
P IL,

Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
401
Fie. 21.6.
Ainsi, un milieu uniformément polarisé peut être décrit de deux façons équivalentes :
i) soit par un champ de vecteur polarisation volumique uniforme,
ii) soit par une distribution de charge surfacique de polarisation.
Notons que, le milieu étant globalement neutre, la composante normale de D est continue. Quant
au champ E , sa composante tangentielle est continue, alors que sa composante normale ne l'est pas :
nex • (Eejc — E/„) = — = nex —
Sur la figure 21 7, l'extérieur du matériau (2) est le vide ( Dex = e^E^ ).
c) Exemple : feuille plane polarisée
La charge surfacique de polarisation d'une feuille plane, uniformément polarisée selon Oz
(Fig. 21.8a), s'écrit:
0~in — J G7 " IL,v
**
p
++++++++++++
FlG. 21.8.
Cette distribution de charge est analogue à celle d'un condensateur plan (Fig. 21.8b). Le champ
électrique Em a donc pour valeurs respectives à l'intérieur et à l'extérieur de la feuille (cf. chapitre 10) :
a P
Remarques : (1) Les résultats relatifs à une sphère peuvent être généralisés à un ellipsoïde
uniformément polarisé. On montre que le champ électrique Em , créé par une telle distribution de
matière polarisée, est uniforme à l'intérieur de l'ellipsoïde et a pour expression :
E„v-„ - -[N]
£o
[N] étant une matrice 3x3. Dans la base orthonormée ( e*, e^, ez ) qui coïncide avec
celle des axes principaux de l'ellipsoïde, cette matrice est diagonale et telle que :
Nja+Nyy+Nn

402
21. Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
La sphère correspond au cas où 7VX
AC
Nzz = 1/3 en raison de sa symétrie.
Si P = Pez, on retrouve Em/Aî = — P/(3£o) • Une feuille plane peut être considérée
comme un ellipsoïde infiniment aplati (Fig. 21.9a) : A^ = Nyy = 0 et Nzz = 1, d'où
Em,m = — P/^0 et D/w>;
(Fig. 21.9b): 7V^=A^
Oz et Dm/„=P.
= 0. Enfin, un cylindre est un ellipsoïde infiniment allongé
1/2 et Nzz = 0 , d'où Emjl-n = 0 pour une polarisation selon
a)
1
P
l
A^
L ;
t >
•1
A^
e! 1 | 1 |
Dm =
= 0
> z
*m*m%*
™r
zzrzzr
z
ït n
*-m — u
b)
Fig. 21.9.
hD,
(2) La modélisation de la polarisation d'un milieu par un champ volumique uniforme,
ou, ce qui est équivalent, par une distribution surfacique de charge de polarisation, n'est
valable que si les dimensions de l'échantillon ou les distances d'observation sont grandes
devant l'épaisseur de la couche considérée. Cette épaisseur n'excède pas quelques nm
pour un conducteur (cf. Exercices du chapitre 7).
V. — MILIEUX DIELECTRIQUES LINEAIRES
Lorsqu'un milieu matériel est soumis à un champ électrique appliqué E^ , il réagit par une
polarisation que l'on traduit par un vecteur polarisation fonction du champ électrique E dans le milieu :
P = P(E).
V. 1. — Définition des milieux diélectriques linéaires
Pour un grand nombre de corps, la réaction du milieu à un champ électrique appliqué est
caractérisée macroscopiquement par une relation linéaire locale entre la polarisation volumique P et le champ
électrique E dans le matériau. On a donc :
où la quantité sans dimension Xe , appelée susceptibilité diélectrique, ne dépend pas de E . Notons que
E est la somme du champ appliqué Ea et du champ Em^n produit par le matériau polarisé.
La linéarité est bien vérifiée expérimentalement pour de nombreux isolants, dans un large domaine
de valeurs du champ E, en tout point du matériau et selon toutes les directions. Ces milieux sont dits
linéaires, homogènes et isotropes (l.h.i).
Dans d'autres matériaux, la polarisation reste proportionnelle au champ E pourvu que ce dernier
soit faible, mais la susceptibilité \e dépend du point considéré (milieux hétérogènes) ou de la direction

Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire 403
de E (milieux anisotropes). Dans ce dernier cas, la relation linéaire entre la polarisation volumique et
le champ électrique est localement de nature tensorielle :
P = [*JeoE
où \xe] désigne le tenseur de susceptibilité diélectrique. Explicité dans une base orthonormée, \xe] est
une matrice 3 x 3 . Il existe une base principale, dans laquelle ce tenseur s'explicite selon une matrice
diagonale :
r x\ o o ]
0 X2 0
[ 0 0 X3 J
Les éléments diagonaux sont appelés les susceptibilités diélectriques principales ; de tels milieux
linéaires sont anisotropes car leurs propriétés dépendent de la direction considérée (cf. Optique).
Remarque : Les milieux non linéaires ont une susceptibilité \e qui dépend du champ électrique E .
Leurs propriétés remarquables sont de plus en plus utilisées (cf. Optique).
V. 2. — Relation entre D et E
a) Permittivité diélectrique d'un matériau
Lorsque la relation P = Xe£§& est linéaire, les vecteurs D et E sont également reliés par une
équation linéaire. En effet :
D = £0E + P = £o(l + Xe)E = £o£>-E = eE en posant er = 1 -j- Xe et e = e§er
La quantité sans dimension er est la permittivité relative du matériau et e la permittivité absolue. Le
tableau 21.1 donne les valeurs de \e Pour quelques matériaux.
Matériau
air
hydrogène
oxygène
BaTi03
Xe
5,7 x 1(T3
0,228
0,507
1 760
Tab. 21.1.
Remarque : La permittivité relative d'un milieu anisotrope est un tenseur égal à la somme du tenseur
susceptibilité diélectrique et du tenseur unité.
b) Conditions aux limites à l'interface de deux diélectriques
Considérons deux milieux diélectriques de permittivités e\ et £2 en contact. À l'interface, on a :
Ei,/= E2,/ et D\n=D2,n c'est-à-dire £\E\:fl = EiE>i,n
en l'absence de charges étrangères.

404
21. Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
V. 3. — Illustration expérimentale : condensateur à lame diélectrique
a) Influence d'une lame diélectrique sur la capacité d'un condensateur
Considérons un condensateur plan à air, de capacité Co = £ç>S/e , relié à un générateur qui
maintient à ses bornes une tension constante U (Fig. 21.10a). Si l'on introduit une lame diélectrique entre les
armatures (expérience réalisée pour la première fois par Faraday), on constate que la charge du
condensateur augmente. Comme la tension est toujours égale à U, la capacité du condensateur C = Q/U
a, elle aussi, augmenté. Les charges supplémentaires ont été fournies par le générateur afin de
maintenir la tension constante.
Pour un grand nombre de matériaux, l'augmentation de la capacité dépend de la nature du matériau
diélectrique et non de la tension appliquée ou de la charge initiale du condensateur ; ils sont linéaires. Si
le matériau remplit tout l'espace interarmatures, la nouvelle capacité C est reliée à l'ancienne par :
C = €rC()
On constate expérimentalement que la capacité d'un condensateur augmente toujours lorsqu'on introduit
un diélectrique : \e ^ 0 et donc er ^ 1 . On comprend dès lors l'utilisation intensive des matériaux
diélectriques à fort er pour obtenir de fortes capacités (cf. chapitre 10).
E1 1 1 1 1
XI
u
L
t z
a)
if z
b)
Fig. 21.10.
b) Champs dans le diélectrique d'un condensateur
Afin de simplifier l'analyse, négligeons les effets de bord dans le condensateur plan précédent.
Compte tenu de la symétrie, le champ E entre les armatures est alors uniforme, ainsi que le champ de
polarisation P du matériau diélectrique, supposé homogène.
Pour une valeur U de la tension appliquée, on sait que le champ électrique E s'écrit, en
appelant Oz l'axe perpendiculaire aux armatures orienté dans le sens des potentiels décroissants
(Fig. 21.10a):
E=-ez
e
En Vabsence de diélectrique, E s'écrit aussi en fonction de la charge Qo,ex du condensateur ou de la
charge surfacique de l'armature positive :
E=-ez
e
e.
0,ex
Go,.
°"o,.
C0e
e0S
£o
En présence du diélectrique, la somme du champ appliqué Ett , créé par les charges Qex et — Qex
des armatures, et du champ Em = —P/^o créé par le matériau, ici la lame diélectrique uniformément
polarisée (cf. IV), est égale au champ électrique E (Fig. 21.10b) :
Ea + E„
€0S
P
Q-ex + Q-J
E:
U

Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
405
puisque P = Pez et a in = P • nex = P • (—ez) = — P. On en déduit :
O~0,ex = (T ^ + OT in d'où CT ex = O"0j ex + ^ > O"0j ex et (2 g* = Qo, ec +-S^ > ôo, ec
en multipliant par la surface S des armatures. La charge extérieure de l'armature positive a donc
augmenté : le générateur a dû fournir des charges pour imposer la tension U entre les bornes du
condensateur.
Remarque : Notons que, si l'on opère à charge extérieure constante, et non plus à tension constante,
l'introduction du diélectrique provoque une diminution du champ E et donc de la tension.
En effet :
E = Efl- —=Efl-^E d'où E=—l—
£0 \+Xe
et U ■
Uo
l+Xe
V. 4. — Exemple : sphère diélectrique dans un champ appliqué
Une sphère, de susceptibilité diélectrique \e, est placée dans un champ appliqué Ea = Ea ez
uniforme et stationnaire (Fig. 21.11). Les champs E et D, dans la sphère, sont déterminés par le
système d'équations :
rotE = 0 et divD = 0
car il n'y a dans le milieu ni charges extérieures ni charges étrangères ; en outre, on a T>in = eEin et, en
raison des conditions aux limites, EeJC = T>ex/eQ tend vers Ea à grande distance de la sphère.
-Q,
Fig. 21.11.
Ainsi posé, le problème possède une solution unique qui correspond à une polarisation volumique
P de la sphère uniforme. Le champ E, en tout point, est la superposition du champ Efl et du champ
Em créé par la matière polarisée. Le calcul de Em a déjà été effectué. En désignant par R le rayon de
la sphère et en adoptant son centre O comme origine des coordonnées, on trouve :
E'm.in
3e0
si r < R
R3 3(P-er)er-P
Em,„=- ^ '-Y- si r>R
3en r3
À l'intérieur ( r < R ), le champ a pour valeur :
E*
Ea + Emjn — Ea
3eo

406
21. Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
soit, puisque P = e^Xe^in •
E, = -^ V=^-e0E. et D, = ^^£oE0
3 + Xe ?>+Xe 3+Xe
Notons que E/„, P et D/„ sont orientés dans le même sens que Efl, contrairement à Emjl-,
À Y extérieur (r > /?), on a :
1 /?3
Eex = Ea + Em,„ = Efl + 3- [3(P • er) er - P]
3e0 rô
^(^^e0Ea-e)er-^-e0Ea
\3+Xe J 3+Xe
d'où :
3 r3
On peut vérifier, sur cette formule, la continuité de la composante normale de D à la traversée de la
surface de la sphère (r = R et nex = er ) :
iW • (D^ - D;w) = 0
Remarque : Si Xe — 0, on trouve bien que le matériau se comporte comme le vide. En revanche,
en faisant tendre Xe vers l'infini, on obtient à la limite : E-m — 0, P = 3£oE« et
D,„ = ?>£{)Ea . Ce cas est celui d'un conducteur, que l'on sait caractérisé par E/,z = 0,
sous l'influence d'un champ appliqué. C'est ainsi que l'on peut, en électrostatique,
considérer le conducteur comme un diélectrique de permittivité infinie.
V. 5. — Champ électrostatique dépolarisant
L'exemple précédent montre que le champ E//vn , créé en son intérieur par le matériau polarisé, est
de sens opposé au champ appliqué. Ce phénomène est général. Comme ce champ est opposé au vecteur
polarisation, on l'appelle parfois champ électrostatique dépolarisant, même s'il ne participe à aucune
dépolarisation du milieu.
Comme la valeur de Em dépend de lagéométrie du matériau, il est nécessaire de choisir un
échantillon de forme connue pour calculer l'influence de ce champ et ainsi mesurer la constante diélectrique
du matériau. Notons que le champ dépolarisant est nul dans le cas d'un cylindre infiniment allongé
(cf. IV 2).
CONCLUSION
Retenons les points importants suivants concernant la polarisation des milieux matériels du seul
point de vue macroscopique.
(1) La séparation de la distribution de charge en ses parties intérieure et extérieure permet de
définir un nouveau champ P, localisé dans la matière, lequel traduit macroscopiquement les propriétés
des charges intérieures et obéit aux équations :
div P = -pin et P nex = <rin
(2) Le champ P s'identifie au moment dipolaire électrique volumique, d'où la polarisation
globale
Pdt?

Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire 407
(3) Le champ macroscopique D , excitation électrique, s'introduit naturellement :
D = e0E + P
Il tire son importance de sa relation directe avec les charges extérieures contrôlées par l'expérimentateur,
ce qu'exprime l'équation de Maxwell-Gauss en présence d'un milieu matériel :
div D = pex
Si le corps n'est pas globalement neutre, il faut ajouter au second membre la charge volumique
étrangère petr.
(4) Retenons, pour la technique du calcul des champs produits par des matériaux, uniformément
polarisés, de formes géométriques simples, l'intérêt du champ auxiliaire Eaux que produirait une
distribution uniforme de charge volumique po • Le potentiel a pour expression :
y " * Eaux
PO
On obtient les mêmes résultats à partir de la charge surfacique crin = P nex .
(5) L'approche macroscopique des milieux matériels développée ici ne s'appuie pas a priori sur
la notion de moment dipolaire volumique électrique. Elle permet l'analyse de la distribution de charge
en termes de polarisation ce qui permet, a posteriori, de caractériser les différents milieux par une loi
constitutive entre la polarisation et le champ électrique.
(6) Dans les matériaux linéaires, le champ de polarisation P est proportionnel au champ électrique
E qui règne dans le milieu. La susceptibilité diélectrique \e , définie par :
P = Xe€(&
est une grandeur positive sans dimension physique, indépendante de E . L'électrostatique des milieux
linéaires est alors analogue à celle du vide à condition de remplacer eo par la quantité :
e = e0(l+ Xe) = £o£r avec er = 1 + \e
EXERCICES ET PROBLÈMES
P21- 1. Cylindre uniformément polarisé perpendiculairement à son axe 0^^
Un cylindre très long, de rayon R, présente une polarisation volumique uniforme et stationnaire,
perpendiculaire à son axe.
1. Calculer le champ électrique créé par cette distribution. On utilisera l'expression du champ
électrique créé par un cylindre chargé uniformément en volume et infiniment long.
2. Quelle serait la distribution de charge surfacique de polarisation équivalente ?
3. Vérifier les relations de passage du champ électrique à la traversée de la surface du milieu.

408 21. Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
P21- 2. Champ créé par un cylindre allongé uniformément polarisé parallèlement à son axe
Calculer les champs créés par un cylindre allongé, de rayon R , de longueur l^> R , uniformément
polarisé parallèlement à son axe. Représenter la topographie des lignes de champ.
P21- 3. Champ créé par une feuille plane uniformément polarisée
Calculer les champs E et D créés par une feuille plane uniformément polarisée, d'épaisseur e .
Représenter la topographie des lignes de champ.
P21- 4. Charges de polarisation pour une sphère uniformément polarisée ^web}
Une sphère, de rayon R, présente une polarisation volumique P uniforme et stationnaire.
1. Evaluer la charge surfacique de polarisation qui permet de décrire l'état électrique du milieu.
2. Calculer le champ électrique créé par cette distribution de charge, au centre de la sphère.
3. En admettant que ce champ est uniforme dans le milieu, et en adoptant comme valeur à
l'extérieur, celle créée par un dipôle de moment égal à celui de la distribution placé au centre, vérifier les
relations de passage pour les champs E et D à la traversée de la surface.
P21- 5. Champs d'une sphère uniformément polarisée
On considère une sphère, de rayon R , uniformément polarisée avec une polarisation volumique P.
1. Trouver les expressions des champs E et D dans tout l'espace.
2. Comparer les flux de E et D à travers le plan médian orthogonal à P.
P21- 6. Relations de passage entre une feuille diélectrique et l'air
Une feuille diélectrique, de permittivité relative sr,\ = 5 , est placée dans l'air. Le vecteur exitation
électrique Dj dans la feuille a pour expression, en unité SI :
Di = e0(2ex + 5ey - 0,5ez)
Oxy étant le plan de la feuille et Oz la normale orientée de 1 vers 2, c'est-à-dire dans le sens feuille-air.
Sachant que la feuille n'a aucune charge étrangère, trouver les expressions de D2 , Ei et E2 .
P21- 7. Réfraction des lignes de champ électrique Cweb)
Montrer que la direction du champ électrique E est discontinue à la traversée d'une surface neutre
séparant deux diélectriques 1 et 2 , de permittivi tés respectives e\ et £2 • On désigne par #1 et ai les
angles que font, avec la normale orientée de 1 vers 2 , les champs Ei et E2 . Étudier le cas particulier
où s\ est très grand devant €2 .

Polarisation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
409
P21- 8. Lames métallique et diélectrique dans un condensateur plan
La tension U entre les armatures d'un condensateur plan est maintenue constante, grâce à un
générateur. On introduit dans l'espace entre les armatures, de largeur e , deux lames, l'une conductrice
d'épaisseur e\ , l'autre diélectrique de permitti vite relative er et d'épaisseur e2 (Fig. 21.12). Etablir la
relation entre la charge <2o du condensateur avant l'introduction des lames et la charge Q en présence
des lames. Calculer la capacité du condensateur ainsi réalisé.
U\
(
//
A
ei|
) G2 .:*?*;t..... :';:..: ;
/7 V7
Frc 21.12.
B
//
FIG. 21.13.
P21- 9. Sphère conductrice chargée dans une coquille diélectrique ^web}
Une sphère conductrice, de rayon R\ et de charge Q, est placée dans une coquille diélectrique
globalement neutre, de rayon extérieur R2 (Fig. 21.13).
1. Calculer les champs D , E et P dans tout l'espace. Tracer les graphes correspondants.
2. En déduire le potentiel électrique. Tracer le graphe V(r) .
3. Examiner les trois cas particuliers suivants : R\ = R2 = R , R2 infini, er infini. Commenter.
P21- 10. Susceptibilité diélectrique d'un milieu hétérogène
Un milieu diélectrique est constitué de petites sphères de rayon r, conductrices, dont les distances
respectives sont très supérieures à r. Calculer la susceptibilité diélectrique d'un tel milieu en fonction
de r et du nombre TV de petites sphères par unité de volume. On supposera le milieu suffisamment
dilué ( Nr3 <^i 1 ) pour que chaque sphère réagisse au champ électrique appliqué indépendamment des
autres sphères.
P21- 11. Circulation des champs E et D dans une sphère polarisée
On considère une sphère, de centre O et de rayon R , uniformément polarisée avec la polarisation
volumique P. Calculer les circulations de E et D le long de l'axe Oz de polarisation.
P21- 12. Polarisation d'une sphère diélectrique dans un champ radial ^web}
On place une charge ponctuelle étrangère Q au centre d'une sphère de susceptibilité diélectrique
Xe et de rayon R .
1. Calculer les champs dans tout l'espace.
2. Quelle est la charge totale dans une sphère de rayon r < R ? En déduire la charge surfacique de
la sphère.
3. Commenter le cas où \e tend vers l'infini.

22
Aimantation des milieux matériels :
aspect macroscopique en régime stationnaire
Les propriétés magnétiques de certains matériaux sont connues depuis environ 2 500 ans : le mot
magnétisme vient du nom de l'ancienne ville Magnésie, près du port de Volos en Grèce; on y avait
découvert que certaines pierres d'aimant, les magnétites, attiraient le fer. Cette propriété des pierres
d'aimant que l'on attribue à la présence d'oxyde de fer Fe3C>4 , est appelée ferromagnétisme (cf.
chapitre 26).
Nous nous proposons ici de décrire, du seul point de vue macroscopique et en régime stationnaire,
les phénomènes magnétiques dans des milieux matériels quelconques, en laissant de côté le régime non
stationnaire, l'aspect microscopique, le ferromagnétisme et les propriétés magnétiques des
supraconducteurs (cf. chapitres 23, 25, 26 et 27).
On montre que l'on peut, à partir de considérations physiques et géométriques simples, caractériser
les phénomènes qui apparaissent par le champ volumique d'aimantation M .
On introduit alors un nouveau champ, H, en relation étroite avec les sources contrôlées par
l'expérimentateur. Des exemples simples permettent de souligner la nature des relations entre le champ H
et le champ magnétique B .
I. _ AIMANTATION DES MILIEUX MATÉRIELS
1.1. — Mise en évidence
Expérimentalement, on étudie l'aimantation d'un milieu matériel en plaçant un échantillon de ce
matériau dans un champ magnétique extérieur appliqué Ba et en analysant la perturbation de ce champ
qui résulte de la présence du milieu (Fig. 22.1). L'expérimentateur possède les moyens de faire varier
les conditions de l'expérience en modifiant l'intensité des courants qui créent Bfl .
Fig. 22.1.

Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire 411
Nous savons que les propriétés du champ magnétique B dans le vide sont traduites, en régime
stationnaire, par les deux équations suivantes :
divB = 0 et rot( —)=J
Mo
J désignant le courant volumique dans l'espace.
Dans un milieu matériel, les charges en présence appartiennent à des structures complexes : atomes,
molécules d'un gaz, d'un liquide ou d'un solide, etc. Sous l'influence d'une excitation magnétique
extérieure, elles réagissent collectivement : on dit que le milieu s'aimante. 11 crée alors lui-même un
champ magnétique, qui vient se superposer au champ magnétique appliqué Ba, et agit sur le matériau.
1.2. — Courants intérieurs et courants extérieurs
Considérons un échantillon matériel au repos. Notons V le volume qu'il occupe, S la surface qui
limite V et nex la normale extérieure à S.
On distingue, dans la distribution spatiale de courant, deux contributions : l'une est constituée par
les courants situés à l'extérieur de l'échantillon, de courant volumique Jejc, nul dans 79 , l'autre par
l'ensemble des courants de l'échantillon, de courant volumique J//2, nul hors de V . On a donc :
J = J//7 i Jex
avec Ji„(M) = 0 si M n'appartient pas à V et Jejc(M) = 0 si M appartient à V . La forme locale
du bilan de charge s'explicite, en régime stationnaire, selon :
div J|„ = 0 et div iex = 0
Remarque : Dans certains cas, la modélisation de la distribution de courant la mieux adaptée pourra
être surfacique (cf. IV).
II. — VECTEUR AIMANTATION VOLUMIQUE
II. 1. — Définition
Etudions, comme au chapitre 21, un échantillon neutre, limité par une surface infranchissable aux
charges. En régime stationnaire, l'équation-bilan des charges intérieures se réduit à :
divj,-,, =0
puisque dpin/dt = 0. Comme la surface est infranchissable et les courants répartis en volume, cette
relation conduit à :
IW ■ Jin = 0
L'intensité totale / du courant, à travers une section quelconque S du matériau s'appuyant sur un
contour orienté C , a pour expression :
/= /jfc-ndS
Puisque div J/„ = 0 , on en déduit, en appliquant la formule d'Ostrogradsky à un volume quelconque,
que le flux du vecteur J//7 est nul à travers toute surface fermée. Considérons alors la surface fermée S

412
22. Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
constituée par la section S et une surface Si s'appuyant sur C mais extérieure au milieu (Fig. 22.2).
Comme Jin est nul à l'extérieur du milieu, on a :
6 Jin • nex dS = / Jin • nex dS + Jin ■ n^ex dS = / Jin • (-n) dS
Js Js Js] Js]
d'où l'intensité nulle à travers toute section S sur sa surface :
dS-0
= / Jin ' »
On montre que l'annulation de l'intensité, à travers n'importe laquelle des sections d'un échantillon
simplement connexe, entraîne l'existence d'un champ M ayant les propriétés suivantes :
rotM = J/n dans V et M = 0 en dehors de V
Cette définition est bien compatible avec l'équation locale div Jin = 0 du bilan des charges intérieures
puisque div (rot M) = 0.
Notons que le champ M est un champ vectoriel de nature différente de celle du champ B . En
effet, des conditions différentes sont imposées à M et à B : M est nul en dehors de V , alors que B
ne l'est pas en général. Ainsi, en l'absence de courants extérieurs, on a bien : rot M = rot (B/jllo) mais
M ^ B/fio.
,vVu '- - S j n/
11 Uz
Fig. 22.2.
Remarque : Un exemple pour lequel la modélisation la mieux adaptée est une distribution de courant
surfacique sera traitée au paragraphe IV-2.
II. 2. — Moment dipolaire magnétique
Afin de donner une signification physique à M , calculons le moment magnétique Ai de la
distribution de courant d'expression (cf. chapitre 12) :
M = ^J(rxJin)dTJ
D'après la définition de M, il vient :
On en déduit la composante Mx de Al :
/ r x (rot M)
Jv
M = )r I r x (rotM) dV
Mx = Ai • ex = - / ex • (r x rotM) d V = - / (e* x r) • rotM d V
2 JV 2 JTJ

Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
413
Comme (çf, annexe 2) ;
div[(eJC x r) x M] = — (ex x r) • rot M + M • rot(eJC x r) et rot(eJC x r) = 2ex
on a, en introduisant Mx = M • ex :
Mx = / M* d V - - / div [(e* x r) x M] d
Jv 2 Jv
V
Le champ M étant nul à l'extérieur, cette formule s'applique aussi à un volume quelconque V ,
délimité par un surface Sf, contenant le matériau. En utilisant la formule d'Ostrogradsky, on obtient :
Mx= Mxd V --zè [(e* x r) x M] • n dS soit Mx = / Mx d V
Jv ^ Js, Jv,
car M est nul en dehors de V . En procédant de la même façon pour les deux autres composantes, on
trouve finalement :
-/
Jv
M= / MdT?
Aussi le vecteur M s'interprète-t-il, en régime stationnaire, comme le moment magnétique volumique
de la distribution. L'unité de moment magnétique étant l'ampère mètre carré (A.m 2 ), M s'exprime en
ampère par mètre (A.m _1 ).
Notons que, comme dans le cas de la polarisation (cf. chapitre 21), la distribution Jin est la
distribution de courants moyennée à l'échelle du problème considéré. L'aimantation définie ci-dessus est
donc automatiquement nivelée à la même échelle que la distribution de courant.
II. 3. — Distinction entre les courants
a) Courants étrangers et courants structurels
On distingue, dans les matériaux, les courants de charges structurelles et les courants de charges
étrangères, lesquels obéissent à l'équation-bilan de charge, en régime stationnaire :
div Jetr = 0
b) Courants libres et courants d'aimantation
Dans certaines présentations de l'aimantation, on distingue deux types de courants : les courants
d'aimantation ou liés et les courants libres. Le vecteur courant d'aimantation volumique est alors
défini comme la somme des moments magnétiques microscopiques contenus dans l'élément de volume
considéré. Ici aussi, nous avons évité cette distinction pour plusieurs raisons :
i) L'adjectif libres a déjà été utilisé dans un sens précis, à propos des conducteurs (cf. chapitre 21).
ii) L'égalité
]- f r x Jin d V = / M d V
2 Jt) Jv
réalisée pour tout le volume contenant le matériau, et non pour n'importe quel volume fini, n'implique
pas d'égalité locale entre r x J/w/2 et M .

414
22. Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
iii) Le moment dipolaire magnétique d'un tel élément n'a de valeur indépendante de l'origine
choisie que si l'intégrale de la densité du courant est nulle. Ce n'est pas le cas lorsque iin ^ 0 . Cette
indétermination disparaît lorsqu'on intègre sur tout le volume du matériau si :
J«h d V = 0
v
iv) La distinction entre courants d'aimantation et courants libres est impropre à exprimer un
phénomène qui concerne tous les milieux matériels. Ainsi, l'équation Jin — rot M ne préjuge nullement
de la nature conductrice ou non du matériau : im prend en compte tous les courants intérieurs, qu'ils
soient attribués ou non au déplacement des charges mobiles dans tout le volume du matériau.
v) Enfin, si l'on découpe la matière en éléments de même volume qui regroupent des composantes
différentes de la structure atomique ou moléculaire, on est conduit à associer un vecteur M qui varie
avec la nature du regroupement, ce qui traduit bien les limites d'une analyse locale. En revanche, la
description globale de l'aimantation que nous avons choisie permet d'inclure, dans une même analyse,
tous les matériaux, y compris les supraconducteurs pour lesquels le moment magnétique volumique n'a
pas, en régime stationnaire, d'interprétation locale (cf. chapitre 27).
Finalement, il faut retenir que l'analyse de l'aimantation ne peut pas toujours être faite d'un point
de vue purement local.
III. — ÉQUATION DE MAXWELL-AMPÈRE DANS UN MILIEU
III. 1. —Définition de H
Si l'on sépare, dans les sources du champ magnétique, les contributions intérieures et extérieures
au milieu, le théorème d'Ampère s'écrit (en régime stationnaire) :
rot ( — ) = Jin + Je
En introduisant le champ M, il vient :
rot ( — ) = rotM + iex soit rot ( M ) = ie
Apparaît ainsi naturellement, dans la forme locale du théorème d'Ampère, le champ
B
H= M
Mo
appelé excitation magnétique car directement relié aux courants d'excitation imposés. Ce champ a la
même dimension physique que M ; son unité SI est donc l'ampère par mètre.
Remarque : Dans le système international actuel, la commission électrotechnique internationale
(C.E.I) préconise pour B le nom de densité de flux magnétique et pour H celui de champ
magnétique. Nous avons volontairement écarté cette dernière recommandation pour H
afin de réserver, conformément à une analyse physique fondamentale, et pas uniquement
technique, l'appellation de champ magnétique à la grandeur qui agit effectivement sur les
charges et les courants, c'est-à-dire B .

Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
415
III. 2. — Théorème d'Ampère en présence d'un milieu matériel
a) Forme locale
Dans un milieu matériel, le théorème d'Ampère est l'équation de Maxwell-Ampère, à laquelle
satisfait l'excitation magnétique, en régime stationnaire :
rot H = }ex
Notons que les courants iex sont aisément contrôlables par l'expérimentateur, ce qui confère à H un
intérêt pratique plus grand que son homologue électrique D .
b) Forme globale
L'équation précédente donne, par intégration sur une surface S qui s'appuie sur un contour C :
/ rotH nd5= 4H-dr= [ JexndS d'où <bK-dr = Iex
Js Je Js Je
où iex estle vecteur courant extérieur, d'intensité totale Iex , qui traverse la surface S (Fig. 22.3). C'est
sous cette dernière forme qu'elle est utilisée en électrotechnique (cf. chapitre 26).
Matériau
c) Relations de passage pour H
En calculant la circulation de H sur un contour se refermant de chaque côté de la surface de
séparation de deux milieux 1 et 2 , la normale étant orientée de 1 vers 2 (Fig. 22.4), on trouve :
nl2x(H2-H1)=0
Dans ces conditions, la composante tangentielle de H est continue. On constate, une fois encore, la
différence de nature entre B et H. Notons cependant qu'en Y absence d'aimantation (M = 0) cette
différence disparaît car : H = B//^0
En présence de courants d'origine étrangère, les relations locales et de passage pour H contiennent
un terme supplémentaire :
rot H = iex + ietr et n12 x (H2 - Hi) = Js,e
Remarque : Dans les corps supraconducteurs, il est commode et efficace de modéliser les distributions
réelles de courant par des distributions surfaciques (cf. chapitre 27).

416
22. Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
IV. — POTENTIEL ET CHAMP CREES PAR UN MILIEU AIMANTE
IV. 1. — Potentiel vecteur créé par un milieu aimanté
Dans un milieu matériel d'aimantation volumique M, la distribution volumique des courants
intérieurs est, en régime stationnaire :
Jin = rotM
Le potentiel vecteur créé par cette distribution de courants, en un point repéré par r , est donc :
Air Jv ||r-r'|| Air Jv ||r-r'||
V
Comme rot (/"M) =/rotM — M x grad/ (cf. annexe 2), il vient :
M \ _ / 1
•<"-£/„-
r-r'
M x grad
r-r'
dV
Si on utilise la relation d'analyse vectorielle (cf. annexe 2) :
/ rotU d V = - (f(V x n) dS
Jv Js
avec U = M/||r — r'|| , l'expression du potentiel vecteur devient, en notant que le gradient est relatif
a r
AM(r)
Mo
477
Jv llr-r'H
dV
puisque M est nul sur toute surface extérieure entourant V . Ainsi, en régime stationnaire, le potentiel
vecteur créé par un milieu simplement connexe ( Jm = 0 ) est équivalent au potentiel vecteur produit
par une distribution de moments magnétiques, d'aimantation volumique M . Une fois Am obtenu, on
en déduit le champ magnétique par Bm = rot Am .
Cette description macroscopique est bien adaptée à l'étude des milieux magnétiques usuels où
les entités élémentaires peuvent acquérir un moment magnétique individuel dont M est la moyenne
(cf. chapitre 25).
IV. 2. — Milieux uniformément aimantés
a) Première description d'un milieu uniformément aimanté
Nous nous proposons ici de calculer les champs créés par des milieux uniformément aimantés,
de géométrie simple, sans nous préoccuper de la manière d'obtenir cette aimantation. Le moment
magnétique d'un milieu, de volume V , simplement connexe, d'aimantation volumique M uniforme et
stationnaire, s'écrit :
Ai = / M d V = M / d V = MV
!v JTJ
f M d V = M /
Jv Jv
Quant au potentiel vecteur créé par une telle distribution, il a pour expression :
A _mo f Mx(r-r') „„, _„ w f/*o f (r-r')
Jv \\r-f
4*77
d TJ = M x (m f ^—^ d V
V4"" Jv
r — r

Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
417
En introduisant le champ vectoriel auxiliaire lL(mx , déjà défini (cf. chapitre 21), le potentiel se met sous
la forme :
Mo^o
M x Eaux avec Efl.
1 f Po(r-r')
— f
Po 47tê:o jv
On en déduit le champ magnétique Bm , créé par le milieu selon :
r'113
dV
Btn = rotA„
£o^° rot(M x EolLX) d'où Bm = ^^ [M divEflia - (M • grad)Ema.]
Po
Po
en développant l'expression du rotationnel (cf. annexe 2) et en tenant compte de l'uniformité de M .
Il en résulte :
BWi/lI = Mo M - ^-^ (M • grad)E^, et Bm,ex = - ^^ (M • grad)EflMJC
Po Po
Ainsi, le champ magnétique, créé par un milieu uniformément aimanté, peut se déduire du champ
électrique auxiliaire JLaux que créerait ce même milieu de charge volumique unité.
Les résultats obtenus précédemment pour un milieu polarisé (cf. chapitre 21) se transposent
aisément en tenant compte, d'une part de la correspondance \/eo —> Mo , P —> M , V —> Al, et d'autre
part, du terme supplémentaire Mo M dans l'expression de BOTjl>,.
Exemple : Sphère uniformément aimantée
À l'extérieur d'une sphère uniformément aimantée, le champ magnétique est identique à celui créé
par le moment dipolaire Al = 47r/?3M/3 placé au centre, soit :
B„
Mo 3 (Al • er)er — Al
477 r3
À l'intérieur, on a :
On en déduit H
B„
H,~
B
MoM-^M=-moM
- et - ™-M = -¥
Mo
La topographie des champs M, B et H est donnée sur la figure 22.5. Il est intéressant de vérifier sur
cet exemple que la circulation de H sur l'axe de l'aimantation est nulle alors que celle de B ne l'est
pas (cf. Exercices).
M 1
Ftg. 22.5.

418 22. Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
b) Seconde description d'un milieu uniformément aimanté
L'aimantation volumique subit une discontinuité à la traversée de la surface d'un milieu
uniformément aimanté puisque M = 0 à l'extérieur. La définition de ce champ, dans un milieu simplement
connexe, en régime stationnaire, par l'équation :
J in = rotM
conduit dans ce cas à admettre que les courants intérieurs se répartissent sur la surface. Ils sont alors
caractérisés par le vecteur courant d'aimantation surfacique Jv„ .
Par une démonstration analogue à celle faite pour le théorème d'Ampère rotB = julqJ (cf.
chapitre 11), la relation de passage entre le milieu 1 et le vide 2, s'écrit :
n12 x (M2-Mi) =JSiin soit
puisque M2 = 0 et Mi = M. Retenons donc :
Js;n = M x ne
■ ni2 x M = JSih
Ainsi, un milieu uniformément aimanté peut être décrit de deux façons équivalentes :
i) soit par un champ de vecteur aimantation volumique uniforme,
ii) soit par une distribution dans le vide de courant surfacique d'aimantation.
L'intensité du courant traversant une section d'un milieu simplement connexe s'écrit alors :
1= <p(Js,in x n*x) -dl = 0
C étant le contour délimitant la section considérée. Quant au moment dipolaire de la distribution, on
l'obtient selon :
M
1
rxL„ dS
À la traversée de la surface du milieu, la composante normale de B et la composante tangentielle
de H sont continues, puisque les propriétés divB = 0 et rot H = Jex = 0 sont indépendantes de
l'état d'aimantation. En revanche, la composante tangentielle de B est discontinue. En effet, on a, si
l'extérieur est le vide Hex = Bex/jno :
iW x (B^ - B/n) = nex x (/^oH^ - B/n) = nex x (jLi0Uin - Bin) = nex x (-jnoM) = jli0M x nex
d'OU : /r» r» \ t
nex x [pex - i}in) = fioJsiin
Sur la figure 22.6, on a représenté les vecteurs B et H à la surface de séparation entre le milieu 1 et le
vide 2.
Fig. 22.6.

Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
419
Exemple : Cylindre allongé uniformément aimanté
Dans un cylindre allongé d'axe Oz et d'aimantation M = Mez, le courant surfacique
d'aimantation a pour expression en coordonnées cylindriques, (Fig. 22.7a) :
Js,in = M^z x er = Meç
Cette distribution de courant est analogue à celle d'un solénoïde infini avec M = ni. On trouve donc
(cf. chapitre 12) :
B»
Mo M Hmin
B„
Mo
M = 0
0 et H„
■M-
Hr„ = 0
a)
§
M i
i
i
t i
\z
■> >
il.
Bm =
i
= 0
,z
H1 1
kZ
' I î ■'
b)
FlG. 22.7.
Remarques : (1) La modélisation de l'aimantation d'un milieu par un champ volumique uniforme ou, ce
qui est équivalent, par une distribution surfacique de courants d'aimantation, n'est valable
que si les dimensions de l'échantillon ou les distances d'observation sont grandes devant
l'épaisseur de la couche dans laquelle ces courants se répartissent. Nous verrons que cette
épaisseur n'excède pas quelques dizaines de nm pour un supraconducteur (cf. chapitre 27).
(2) Les résultats relatifs à la sphère peuvent être généralisés à un ellipsoïde
uniformément aimanté. Placé dans un champ magnétique uniforme, il s'aimante uniformément et
le champ magnétique créé par la milieu a pour expression :
B„v-„ - /*oM - [N]moM
[N] étant une matrice 3x3. Dans la base orthonormée (ejr,e3„ez ), qui coïncide avec
celle des axes principaux de l'ellipsoïde, cette matrice est diagonale et telle que :
Nr:
+ Nyy + Nzz=\
La sphère correspond au cas où A^ = A^, = N^ = 1/3 en raison de sa symétrie,
d'où B„
Nr.
Nyy
-- 2/^()M/3 . Une feuille plane est un ellipsoïde infiniment aplati (Fig. 22.7b) :
0 et Nzz = 1 , d'où BWj/„ = 0 et Hmjl-W = —M. Enfin un cylindre est un
ellipsoïde allongé (Fig. 22.7a) : Nxx = Nyy = 1/2 et Nzz = 0, d'où B,
jiioM et
H„
0.

420 22. Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
V. — MILIEUX MAGNÉTIQUES LINÉAIRES
V. 1. — Définition des milieux magnétiques linéaires
Lorsqu'un milieu matériel est soumis à un champ magnétique appliqué Ba , il réagit en
s'aimantant, ce que l'on traduit par un vecteur aimantation qui est fonction du champ magnétique B dans le
matériau : M = M(B) .
Pour un grand nombre de matériau x, la relation locale entre M et B est linéaire, pourvu que le
champ B ne soit pas très intense :
B
M=Xm— ,
MO
où Xm est une quantité sans dimension, indépendante de B, appelée susceptibilité magnétique. La
linéarité est bien vérifiée expérimentalement dans de nombreux cas, en tout point du matériau et selon
toutes les directions ; ces milieux sont dits linéaires, homogènes et isotropes (l.h.i).
Dans d'autres matériaux, l'aimantation reste proportionnelle au champ B pourvu que ce dernier
soit faible, mais la susceptibilité magnétique Xm dépend du point considéré (milieux hétérogènes) ou
de la direction de B (milieux anisotropes). Dans ce dernier cas, la relation linéaire entre la polarisation
volumique et le champ électrique est alors une relation tensorielle :
où \xm\ désigne le tenseur susceptibilité magnétique. De tels milieux linéaires sont anisotropes car leurs
propriétés diffèrent selon la direction considérée.
Contrairement à Xe , Ie facteur Xm Peut être positif ou négatif : si Xm > 0 le matériau est para-
magnétique, alors que si Xm < 0 il est diamagnétique. Le tableau 22.1 donne les valeurs de Xm Pour
quelques matériaux diamagnétiques et paramagnétiques.
Xm = VoM/B
Xm=M/H
Matériaux diamagnétiques
bismuth
cuivre
eau
alcool
hydrogène atomique
-16,7 x 10-6
-9,4 x 1(T6
-9,1 x 1(T6
-7,0 x 1(T6
-2,5 x 10"11
Matériaux paramagnétiqu
FeCl3
oxygène (liquide)
air
3,26 x 1(T3
3,06x 1(T3
3,70 x 10-7
-16,7 x 10~6
-9,4 x 10~6
-9,1 x 10"6
-7,0 x 10-6
-2,5 x ÎO"11
es
3,27 x 10-3
3,07 x 10-3
3,70 x 10-7
Tab. 22.1.
Il existe des matériaux magnétiques non linéaires dont les propriétés sont remarquables : ce sont les
ferromagnétiques. Compte tenu de leur importance, nous leur consacrerons une étude détaillée (cf.
chapitre 26).

Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
421
Remarque : Dans la plupart des exposés techniques, la susceptibilité magnétique est définie à partir de
l'excitation magnétique H et non du champ magnétique B :
M = £H d'Où fl = /*o( 1 + Xm) et Vr = 1 + Xm
Les susceptibilités Xm et xm sont a*ors reliées par l'équation : xm = Xm/0 ~ Xm)
(cf. Exercices). La définition de la susceptibilité par la relation entre M et B/julq est
préférable, car ce n'est pas H mais B qui est à l'origine de l'aimantation en agissant sur
les moments magnétiques microscopiques (cf. chapitre 25). Dans la pratique, Xm étant
faible devant 1 , on a : Xm ~ xm > comme on peut le constater sur le tableau 22.1.
V. 2. — Relation de milieu entre H et B
a) Perméabilité d'un matériau magnétique
La relation M = Xnfi/fM) étant linéaire, il en résulte que dans le matériau, H est relié à B par
une équation également linéaire. On a :
B
B
1
H = M = (1 — Xm) — — — ~ en posant jnr
MO MO M0Mr M 1 - Xn
et fi = fi0fir
La quantité sans dimension jnr est appelée la perméabilité relative du matériau et /n sa perméabilité
absolue.
b) Conditions aux limites à Vinterface de deux milieux aimantés
Considérons deux milieux aimantés en contact, de perméabilités relatives fi\^r et /^2,r • A
l'interface, on peut écrire, en l'absence de courants extérieur et étrangers :
B
i,«
B2,n d'où fi\H]jn = ^2H2:n et Hi5, = H2,,
V. 3. — Illustration expérimentale : solénoïde à noyau magnétique
a) Influence d'un noyau magnétique sur l'inductance d'un solénoïde long
Un solénoïde long, de longueur /, de rayon R <ti l, ayant n spires par unité de longueur, est
alimenté par un générateur qui délivre un courant stationnaire d'intensité Iex (Fig. 22.8a). Son inductance
dans le vide est L0 = /non2Sl.
fiftftfififtfifift
a)
b)
FiG. 22.8.
Lorsqu'on introduit un matériau magnétique dans tout le volume du solénoïde (Fig. 22.8b), on
constate qu'une force électromotrice induite apparaît, ce qui traduit une variation de flux magnétique à
travers le circuit (cf. chapitre 14). L'inductance propre a donc, elle aussi, changé. L'expérience montre
que, si les propriétés de linéarité sont satisfaites, cette modification de l'inductance ne dépend que de la

422
22. Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
nature du matériau et non du courant / ou du flux initial dans le solénoïde ; la nouvelle inductance est
alors reliée à l'ancienne par l'équation :
L — prLo
b) Champs à l'intérieur du solénoïde
Afin de simplifier l'analyse, supposons que le solénoïde, d'axe Oz, soit assez long pour que l'on
puisse négliger les effets de bord . Le champ magnétique B créé est donc uniforme ainsi que
l'aimantation acquise par le matériau.
En Vabsence de noyau magnétique, le champ magnétique s'écrit, en fonction du courant Iex qui
alimente le solénoïde :
Ba = p0nlex ez = p,oJs,ex ez
où is^ex = nlexe<p est le courant surfacique orienté suivant le vecteur de base e^ des coordonnées
cylindriques (p,<p,z )•
En présence d'un noyau magnétique, le champ magnétique est la somme du champ Ba créé par le
courant extérieur Iex et du champ Bm = po M créé par le matériau, ici le noyau uniformément aimanté
(cf. IV.2). Par conséquent :
B = Ba + B„
Po(Js,ex + Js,in)ez ayeC Js,in = M X ïïe
Mez x ep
Meœ
Si Xm > 0 » Ie champ magnétique B est plus intense que le champ magnétique appliqué (Fig. 22.8b).
Il en résulte que le flux O de B augmente et par conséquent que l'inductance augmente aussi puisque
le courant / n'a pas changé.
On obtient rapidement la relation L = prL0 à partir de l'excitation magnétique H. En effet,
comme les sources extérieures sont inchangées et l'influence des courants surfaciques négligeable, on a :
B0 „ B
H0 = H = nlex ez avec H0 =
et H
PO V0Pr
Il en résulte que B = prBo, d'où <£> = pr^o et donc L = prLo en divisant par /^
V. 4. — Exemple : sphère magnétique dans un champ magnétique appliqué
Une sphère (centre O et rayon R ), de susceptibilité magnétique Xm , est placée dans un champ
appliqué uniforme et stationnaire Ba (Fig. 22.9).
a) Kn, > 0
b) %n < 0
Fig. 22.9.
Supposons que la sphère acquiert une aimantation volumique uniforme M. On sait alors que le
calcul du champ magnétique B/;/ créé par la matière uniformément aimantée donne (cf. IV2) :
BM
-p0M et
**m,ex ~~
p0R
►3 r
3(M.er)er-M
puisque Al
4ttR3
M

Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
423
A l'intérieur de la sphère, le champ B vaut donc :
B/„ = Ba + B/Wjl-W = Ba 4
soit, puisque M = Xnfiin/vo •
B/n = -—-— B„ M = ——^—- —
3 - 2xm (3 - 2xm) Mo
Si le milieu est paramagnétique (xm > 0 X ^//i > #« (Fig- 22.9a) ; en revanche si le milieu est diama-
gnétique (Xm < 0 )» ^m < ^« (Fig. 22.9b) : les corps paramagnétiques canalisent le champ magnétique
alors que, au contraire, les corps diamagnétiques l'expulsent.
À Y extérieur de la sphère, on a évidemment M = 0 . Donc :
2
3M0M
et H,„ =
_ 3(1 -Xm) Ba
(3 - 2*m) no
_ B,v _ B ( Xm \ R3 r
*iex — — h
3(— ^ _ —
^0 Mo ' \3-2xmJ r3 |_ \p,0 'J r /no
On peut en déduire l'expression du courant surfacique ( r = R et nex = er ) :
j -mm ^Xm **a
(3 - 2xm) Mo
On retrouve le cas du vide en faisant Xm = 0 (Xm = ® )• ^a limite A'm — 1 ( A^ = °° ) correspond
à un corps paramagnétique parfait :
H/„ = 0 et M = — =
Mo Mo
Pour un diamagnétique parfait, on considère la limite Xm = — 00 (^*f = — 1 ) :
3 B„ 3 B/7
B/n = 0 M = ---^ et Hin = ~
2 Mo 2/^0
Les corps supraconducteurs réalisent le diamagnétisme parfait puisque B/„ = 0 (cf. chapitre 27).
V.5.— Champ H démagnétisant
Dans l'exemple précédent de la sphère, l'excitation magnétique H/„ , à intérieur du matériau
aimanté, est parfois mise sous la forme de la somme de l'excitation magnétique appliquée et d'une
excitation Hm:in due au matériau :
„ 3(l-Xm)Ka B„ Xm B„ Xm B„
*l/« = -i-—-—r — = — = ï±a -\- ȱmin avec t±min = —-—
(3 - 2xm) Mo Mo 3 - 2xm Mo 3 - 2xm Mo
Comme ce dernier champ, qui vaut dans le cas de la sphère
H --™
est opposé à Ha , on l'appelle champ H démagnétisant. Il dépend à la fois du matériau et de la
géométrie de l'échantillon.
Lorsqu'on mesure la susceptibilité magnétique xm-> définie à partir de M et H, alors que l'on
contrôle Ha , il est indispensable de tenir compte de ce champ démagnétisant ; aussi utilise-t-on des
formes simples pour lesquelles HOTjl-w est calculable ou mieux un échantillon dans lequel H,,^,-,, est nul.
Il faut cependant garder en mémoire que c'est B et non H qui agit sur les dipôles magnétiques.

424
22. Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
CONCLUSION
Retenons les points essentiels.
( 1 ) La séparation de la distribution de courant J en ses parties intérieure J/w et extérieure Jex ,
permet de définir, dans la matière, un nouveau champ M qui obéit à l'équation :
rot M = iin
(2) En régime stationnaire, ce champ s'identifie au moment dipolaire magnétique de la distribution,
d'où l'aimantation globale :
X
(3) Un champ macroscopique H s'introduit naturellement par :
B
H= M
Mo
Il tire son importance de sa relation aux grandeurs contrôlées par l'expérimentateur, ce que traduit le
théorème d'Ampère en présence d'un milieu matériel :
rotH = Jex
En présence de courants étrangers d'aimantation, on doit ajouter à Jex , le vecteur ietr.
(4) Retenons, pour la technique du calcul des champs produits par des matériaux uniformément
aimantés, de formes géométriques simples, l'intérêt du champ électrostatique auxiliaire Eaux que
produirait une distribution uniforme de charge de densité po • Le potentiel vecteur a pour expression :
A^o ^ _ ^ ^ . f _ . .
1 f r - r'
■ M x Eaux avec Eaux = / p0- — d "C
Po 47re0 Jtj
On obtient les mêmes résultats à partir des courants surfaciques :
JSjin = M x nex
(5) Dans un grand nombre de corps magnétiques linéaires, le champ d'aimantation M est
proportionnel au champ magnétique B qui règne dans le milieu. La susceptibilité magnétique \m ■> définie par
l'équation :
B
MO
est positive, et de l'ordre de 10~3 , pour les matériaux paramagnétiques, et négative, et de l'ordre de
—10~5 , pour les matériaux diamagnétiques. La magnétostatique des milieux linéaires est analogue à
celle du vide, à condition de remplacer julq par :
fi — MoMr — "j avec Mr ^ 1
Nous étudierons ultérieurement les matériaux ferromagnétiques qui sont non linéaires mais pour
lesquels jiir ^> 1 (cf. chapitre 26) et les matériaux supraconducteurs qui peuvent être considérés comme
des diamagnétiques parfaits (cf. chapitre 27).

Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire 425
EXERCICES ET PROBLEMES
P22- 1. Inductance d'un solénoïde à noyau
Le volume intérieur d'un solénoïde rectiligne, très long, qui comporte n = 800 spires par mètre,
est rempli d'un milieu de perméabilité magnétique relative juLr = 50 . Calculer l'inductance d'une
portion de longueur 10 cm sachant que sa section est de 4 cm2 .
P22- 2. Feuille plane uniformément aimantée, perpendiculairement à son plan
Quels sont les champs B et H produits par une feuille plane, uniformément aimantée,
perpendiculairement à son plan ? Donner la topographie de ces champs.
P22- 3. Cylindre uniformément aimanté selon son axe ^^
Un cylindre, de rayon R et de longueur /, possède une aimantation uniforme suivant son axe.
1. Déterminer la distribution de courants d'aimantation équivalente.
2. En utilisant les résultats relatifs au champ d'un solénoïde (cf. chapitre 12), trouver l'expression
du champ Bm créé par le milieu en un point de l'axe.
3. Donner l'allure des lignes des champs Bm et Hm .
4. Quelle est la valeur du champ Bm au centre du solénoïde ? Examiner les cas limites d'un cylindre
très allongé (/ ^> R) et d'un disque plat (/ <C R).
P22- 4. Champs dans une sphère uniformément aimantée Cweb)
On considère une sphère, de rayon R, dont le vecteur aimantation volumique M = Mez est
uniforme.
1. Quelles sont les expressions des champs Bm et Hm en tout point de l'espace ?
2. Calculer la circulation de ces champs le long de l'axe Oz.
3. A.N: R= lcm,Af = 106 A-m"1
P22- 5. Relation de passage entre deux milieux aimantés ^web)
Deux milieux homogènes, de perméabilités relatives respectives /nr^i =3 et /nn2 = 5 , sont
séparés par une surface plane que l'on prend comme plan Oxy ; on désigne par Oz la normale à l'interface
orientée de 1 vers 2 . Sachant que le champ magnétique Bj , exprimé en tesla, s'écrit :
B, =0,9ex + 0,6ev+ 1,2e,
trouver les expressions analogues de /ulq11\ , /^ofb et B2 .

426 22. Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire
P22- 6. Réfraction des lignes de champ magnétique
1. Montrer que la direction du champ magnétique B est discontinue à la traversée d'une surface
séparant deux milieux 1 et 2, de perméabilités respectives /ni et jul2 . On désigne par a\ et a2 les
angles que font, avec la normale orientée de 1 vers 2, les champs Bi et B2 . Étudier le cas particulier
où l'une des perméabilités est très grande devant l'autre.
2. A.N : tu = jn0, jn2 = 10/*o, ol\ = tt/10 •
P22- 7. Lame magnétique dans un champ
Une lame magnétique, à faces parallèles, constituée d'un matériau linéaire, de perméabilité relative
jnr, est placée dans un champ magnétique appliqué Ba uniforme (Fig. 22.10). Dans un système d'axes
associés à la lame, l'expression de ce champ à l'extérieur est : Ba = Box e* -f- Z?o>> % .
Calculer les champs B, H et M, supposés uniformes, à l'intérieur du matériau. En déduire le
vecteur courant d'aimantation.
■ 2/A
z
Fig. 22.10.
P22- 8. Relation entre Xm et X*
1. Sachant que les susceptibilités magnétiques xm et Xm sont respectivement définies selon :
M = a£H et M = xm —
Mo
établir la relation donnant xm en fonction de Xm • Représenter le graphe correspondant et situer les
divers domaines : diamagnétisme, paramagnétisme, supraconductivité, ferromagnétisme.
2. Pour FeCl3, Xm = 3,27 x 1(T3 . Calculer Xm •
P22- 9. Susceptibilité magnétique d'un milieu hétérogène de sphère supraconductrice ^web)
Un milieu magnétique est constitué de petites sphères supraconductrices, de rayon r, dont les
distances respectives sont très supérieures à r. Calculer la susceptibilité magnétique de ce milieu en
fonction de r et du nombre n de sphères par unité de volume tel que nr3 < 1. On supposera le milieu
suffisamment dilué pour que chaque sphère réagisse au champ magnétique appliqué indépendamment
des autre sphères. On décrira le matériau supraconducteur comme un milieu diamagnétique parfait.
>
>►
x

Aimantation des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire 427
P22-10. Relation de passage à travers un courant surfacique (^)
Deux milieux homogènes, de perméabilités relatives fir^\ = \ et /nr^ = 5 , sont séparés par une
surface plane parcourue par un courant surfacique étranger de 5 MA- m-1 selon l'axe Ox. Dans le
milieu 1, l'excitation magnétique H[ est dirigée suivant l'axe Oy ; en outre la normale orientée de 1
vers 2 définit l'axe Oz . Calculer A et B dans le milieu 2, sachant que H\ = 1 MA • m-1.
P22- 11. Champ, excitation et aimantation dans un conducteur magnétique
Un fil rectiligne, conducteur, de rayon a et de susceptibilité magnétique Xm , est parcouru par un
courant volumique uniforme d'intensité totale /.
1. Donner l'expression du courant volumique J et établir les expressions des champs H et B à
l'extérieur du fil.
2. Trouver H, B et M à l'intérieur du fil.
3. Quelles sont les distributions de courant volumique et superficiel équivalentes à M ?

23
Équations de Maxwell et énergie
dans les milieux matériels : cas général
Dans ce chapitre, nous abordons l'étude générale des milieux matériels, dans le cas où les
phénomènes dépendent du temps et celui-où la géométrie des matériaux est non simplement connexe, comme
celle des circuits électriques. Rappelons que les résultats établis précédemment (cf. chapitres 21 et 22)
sont relatifs aux régimes stationnaires et à des matériaux de géométrie simplement connexe (sphère,
cylindre, etc.).
Nous analysons, en outre, les aspects dynamique et énergétique des milieux polarisés et aimantés,
en insistant sur la signification physique des termes de production dans le bilan d'énergie
électromagnétique.
I. — POLARISATION ET AIMANTATION DANS LE CAS GÉNÉRAL
1.1. — Classification
Répertorions les différents cas que l'on peut rencontrer.
i) Le milieu matériel est globalement neutre ou non.
Si le milieu est globalement neutre, la charge totale Q est nulle ; la charge volumique intérieure
Pin vérifie donc l'équation :
Q= f Pin d V= 0
Jv
Il en est ainsi dans la presque totalité des cas, car, à l'état naturel, les structures sont neutres. Si le milieu
est globalement chargé : 2^0.
ii) La surface limitant le milieu est infranchissable par des charges électriques ou non.
Si la surface S limitant le milieu est infranchissable, aucun courant ne la traverse :
Kex * 3in = 0 et llex • iex = 0
Si S est franchissage et s'il n'y a pas accumulation de charge sur la surface, le flux du vecteur courant
volumique J se conserve ; la relation de passage associée traduit alors la continuité de la composante
normale de J , soit, nev étant la normale à la surface S orientée vers l'extérieur :
IW • (Jex - 3in) = 0

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
429
iii) Le volume V occupé par le matériau est simplement connexe ou non.
Rappelons qu'un volume est simplement connexe si tout chemin fermé entièrement intérieur à V
peut être continûment réduit à un point (cf. chapitre 6). Par exemple, une sphère est simplement connexe
contrairement à un tore.
Exemples : Sur la figure 23.1, on a regroupé quatre situations dont la première est la plus
fréquemment rencontrée. En a), l'échantillon est globalement neutre ( Q = 0), de surface infranchissable, de
volume simplement connexe et placé dans un champ appliqué Ea . En b), le matériau est globalement
neutre, sa surface infranchissable et le volume doublement connexe ; c'est le cas du circuit magnétique
d'un transformateur. En c), le circuit électrique connecté est globalement neutre, la surface
franchissable et le volume doublement connexe. Enfin, en d) on a représenté un fil conducteur chargé, traversé
par un courant, dont la surface est franchissable et le volume simplement connexe.
Q=0
+ + + + + \
+ + + + +/
a)
b)
c)
d)
FlG. 23.1.
1.2. — Polarisation en régime variable
Considérons un échantillon globalement neutre comme les relations entre la charge volumique
intérieure pin , la polarisation volumique P et le moment dipolaire V , ne font intervenir que des
considérations spatiales, les relations établies en régime stationnaire (cf. chapitre 21) sont encore valables en
régime variable :
div P et
[ pinrdV= f PdV
JT) JV
V étant le volume de l'échantillon. Ainsi, P s'identifie au moment électrique dipolaire volumique,
même en régime variable.
1.3. — Aimantation en régime variable dans un milieu simplement connexe
a) Aimantation volumique
En régime variable, l'équation locale traduisant la conservation des charges intérieures, dans un
milieu simplement connexe de volume V , s'écrit :
—r = - div iin soit div ( J,„ -—1=0
Le vecteur (J/„ — dP/dt) est donc à flux conservatif, ce que l'on exprime, en appliquant la formule
d'Ostrogradsky, pour toute surface S fermée, selon :
^-§VndS = 0

430
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
Considérons alors la surface fermée S constituée par une section S du matériau et une surface Se^
extérieure au milieu (Fig. 23.2). Comme Jin et P sont nuls à l'extérieur du milieu, on a :
i(-f)
•ndS = 0
Cette condition, réalisée pour toute section S d 'un corps simplement connexe, entraîne l'existence d'un
champ M, appelé aimantation volumique, ayant les propriétés suivantes :
dP
M = 0 en dehors de V et rot M == J/n - — dans V
ot
Le courant volumique intérieur :
J;n = rotM+ —
ot
comporte donc deux contributions ; la première est le courant volumique d'aimantation, alors que la
seconde, qui n'existe qu'en régime variable, est le courant volumique de polarisation.
Fig. 23.2.
b) Moment dipolaire électrique
Le moment dipolaire magnétique, défini selon (cf. chapitre 22) :
M=]- [ (rxJin)dV
1 Jv
a pour expression :
M=XMdTy+U(rxf)d?;
Ainsi, en régime variable, lorsque le courant de polarisation dP/dt n'est pas négligeable devant le
courant d'aimantation rot M, comme c'est le cas si la fréquence temporelle des champs appliqués est
grande, l'aimantation volumique M ne s'identifie pas au moment magnétique volumique du matériau.
c) Courant volumique de polarisation et intensité
Évaluons l'intensité totale / du courant à travers une section quelconque S du matériau s'appuyant
sur un contour orienté C (Fig. 23.2) :
d'où:
fdP f ( dP\
= Js^'ndS PU1SqUe JsVin~^)'ndS = °
Ainsi, l'intensité totale qui traverse toute section 5 d'un milieu simplement connexe, qui est nulle en
régime stationnaire (cf. chapitres 6 et 21), est non nulle si le moment dipolaire volumique P varie au
cours du temps.

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
431
1.4. — Aimantation en régime variable dans un milieu non simplement connexe
a) Vecteur courant volumique de maille
Dans un échantillon, globalement neutre, de surface infranchissable aux charges et doublement
connexe, comme c'est le cas pour un circuit électrique à une seule maille (Fig. 23. lb), on a :
dptn
~ôj- = - div iin et J,„ • nex = 0
Comme pln = — div P, le vecteur (J/w — dP/dt) est donc encore à flux conservatif. Si l'on considère
la surface fermée S délimitant deux sections S\ et £2 du milieu (Fig. 23.3), il vient, puisque J;/i et P
sont nuls en tout point de la surface S située à l'extérieur :
i (j'-"f ) ■"»•' ds+.L (j-'-f ) •n-2d5=°
Fig. 23.3.
En orientant les surfaces ouvertes S\ et £2 selon un sens arbitraire de parcours du circuit que
forme le milieu, tel que ni — — n^ex et n2 = n2j<?A , on obtient :
Z (*■-£) -i«-/s(j*-")•*«-'-
où Im est une quantité indépendante de la section considérée. Cette quantité, non nulle en général, est
1 ' intensité de maille :
j£0
dP\
S étant une section quelconque du circuit et n un vecteur unitaire orienté selon le sens de parcours
choisi sur la maille. Il est alors naturel de définir, en tout point du milieu, un champ de vecteurs Jm ,
appelé courant volumique de maille, tel que :
Jm = 0 en dehors de T) et ïm = / Jm • n d S
/ Jm • n
On peut donc écrire :
i(
dP
iin--^-im ) -ndS = 0

432
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
Cette propriété, valable quelle que soit la section, implique l'existence d'un champ de vecteur M tel
que :
dP
rot M = iin - — im dans V et M = 0 en dehors de V
ot
L'équation locale du bilan de la charge intérieure se traduit, dans ce cas, par :
diviin + —^ = div ( iin - —- J = div(rotM + Jm) = div Jm = 0 d'où Jm • nex = 0
sur la surface du milieu matériel.
b) Moment magnétique total
Évaluons à nouveau le moment magnétique total de la distribution de courants J/„ . Il vient :
M = \ LrxiindV = i Lrx (rotM+^+Jm)dV
On voit donc qu'en présence d'un courant de maille (Jm ^ 0 ), le moment magnétique total comporte,
même en régime stationnaire (dP/dt = 0), le terme supplémentaire :
i
\ I r x Jm d V
dans lequel on reconnaît le moment magnétique d'un circuit parcouru par un courant volumique Jm
(cf. chapitre 12). Dans ce cas, le vecteur M est encore appelé aimantation volumique.
c) Intensité
L'intensité du courant que mesure un ampèremètre, placé dans le circuit de section S, est :
/ = / iin • n ÛS = / Um + rotM + — V n d<S
Le courant volumique intérieur d'un milieu doublement connexe est donc la somme de trois termes :
dP
J/n = rotM+ —+JW
ot
qui représentent respectivement le courant d'aimantation, le courant de polarisation et le courant de
maille. Cette distinction ne préjuge nullement de la nature conductrice ou non du matériau : Jf-„ prend
en compte tous les courants intérieurs, qu'ils soient attribués ou non au déplacement des charges mobiles
dans tout le volume du matériau. C'est ainsi que les courants de conduction participent à la variation de
la polarisation et à l'aimantation.
En appliquant la formule de Stokes à un contour C , extérieur au matériau, sur lequel s'appuie une
surface S' incluant la section S , on trouve :
M dr= / rotM n d<S = / rot M n d <S = 0
C JS' JS
puisque M = 0 à l'extérieur du matériau.

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
433
Il en résulte que l'intensité est différente du flux du seul vecteur courant volumique de maille Jm :
f dP f
/ . n ^5 avec im _ / jffl.nd«S
Js 9t Js
■/=■/„ +
Js
Nous retrouvons naturellement que, dans un corps simplement connexe (J,„ = 0), le courant n'est
dû qu'à la variation temporelle de P, et qu'en régime stationnaire I = Im puisque dP/dt = 0 ;
l'intensité mesurée dans un circuit électrique s'identifie bien dans ce dernier cas à l'intensité de maille
qui intervient dans les lois de Kirchhoff.
Si la géométrie est multiplement connexe comme celle d'un réseau électrique à N mailles
indépendantes, l'équation-bilan de la charge électrique conduit encore à l'existence de TV courants volumiques
de maille indépendants ayant les mêmes propriétés que Jm . Ce type de géométrie multiplement connexe
se retrouve également dans les systèmes d'anneaux dits mésoscopiques (de taille intermédiaire) dans
lesquels on observe des courants permanents n'obéissant pas à la loi d'Ohm ; ces anneaux ont un diamètre
de quelques milliers de rayons atomiques et une section dont le rayon est d'environ 10 nm .
Remarque : Les considérations faites au chapitre 21 sur les grandeurs physiques moyennées sont
naturellement valables dans le cas des régimes variables. On doit y ajouter une moyennisa-
tion sur des durées longues à l'échelle des phénomènes élémentaires mais courtes devant
les durées caractéristiques des phénomènes macroscopiques étudiés.
II. _ ÉQUATIONS DE MAXWELL DANS UN MILIEU MATÉRIEL
II. 1. — Equations de Maxwell structurelles
En présence d'un milieu matériel, les deux équations de Maxwell qui caractérisent la structure du
champ électromagnétique sont évidemment inchangées. Leurs formes locales sont :
dB
rotE+ —-0 et divB = 0
ot
Les formes globales correspondantes s'écrivent :
^E-dr+ <jb -5 .nd<S-0 et ^Bnd<S = 0
Rappelons enfin que ces équations structurelles conduisent aux relations de passage suivantes :
n,2 x (E2-E1) =0 et n12-(B2-B,)=0
Ainsi, à l'interface entre deux milieux quelconques, les composantes tangentielle du champ électrique
et normale du champ magnétique sont continues.
II. 2. — Équations de Maxwell reliant le champ électromagnétique aux sources
a) Formes locales
Les équations reliant le champ aux sources s'écrivent :
div (e0E) = p = p^ + Pcx et rot ( — ) ^-^ = J = iin + iex

434
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
Dans un milieu globalement neutre et doublement connexe, les expressions de la charge volumique
intérieure, pm = — divP, et du courant volumique intérieur, Jin = dP/ dt -j- rot M -j- Jm , conduisent
alors à :
div D = pex et rot H - — = Jex + Jm
en introduisant les champs d'excitation D et H :
D = e0E + P et H = — - M
Mo
Ces deux équations généralisent, en présence d'un milieu matériel, celles de Maxwell-Gauss et de
Maxwel 1 -Ampère.
b) Formes globales
L'équation de Maxwell-Gauss a pour forme globale :
D-ndS = 6
s
où Q est la charge extérieure au matériau, mais intérieure à la surface S d'intégration.
Quant à l'équation de Maxwell-Ampère, elle s'intègre selon :
iH-dr- /-^■ndS= MJ„ + im) ■ n ÛS
Lorsque le milieu est simplement connexe, le deuxième membre s'identifie à l'intensité / du courant
extérieur au matériau, mais intérieur au contour C d'intégration.
La forme globale est très utilisée en régimes stationnaires ou quasi stationnaires ; on sait que, dans
ces cas, le courant de déplacement dD/dt est nul ou négligeable devant les autres termes. Lorsque, de
plus, le flux du courant volumique de maille est nul à travers S , on obtient simplement :
lu-dr^ /jw.nd5 = /c
Je Js
C'est cette forme qui est couramment appelée le théorème d'Ampère en électrotechnique.
c) Relations de passage
Les relations de passage associées aux équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère s'écrivent
selon :
n12-(D2-Di) =0 et n12 x (H2 - H,) = 0
Ainsi, à la traversée de l'interface entre deux milieux matériels, globalement neutres, les composantes
normale de D et tangentielle de H sont continues.
II. 3. — Cas d'un milieu globalement chargé
Lorsque le milieu est globalement chargé ou qu'il existe des courants étrangers, on a :
/ pin d V = 0 et / petr dV = Q avec pin = — div P
Jtj Jtj

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
435
Il vient donc, en tenant compte de l'équation locale de conservation des charges étrangères :
dpetr
dt
div Je
ietr étant le vecteur courant volumique d'origine étrangère. En tenant compte de la présence des charges
étrangères dans les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère, on obtient :
div D = pex + petr et rot H - — = iex + ietr + Jm
Les relations de passage comprennent alors des termes supplémentaires dus à la présence de ces charges
étrangères, si elles se localisent en surface :
n,2 • (D2 - D, ) = aetr et n,2 x (H2 - H, ) = JSjetr
Les discontinuités éventuelles des champs D et H ne sont liées qu'aux charges étrangères puisque les
charges et les courants intérieurs aux deux milieux, charges et courants superficiels compris, sont pris
en compte dans la définition de ces champs.
III. — FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES SUR UN MILIEU MATÉRIEL
III. 1. — Somme des forces électromagnétiques
Plaçons un échantillon simplement connexe et globalement neutre d'un matériau dans un champ
électromagnétique appliqué (Ea, Bfl) créé par des sources contrôlées, c'est-à-dire des sources que l'on
maintient constantes malgré la réaction du milieu. Un élément de volume d V est soumis à l'action du
champ électromagnétique résultant ( E, B ), somme du champ appliqué et du champ ( EWM Bw ) créé par
le matériau. La contribution des actions intérieures à la somme F des forces électromagnétiques étant
nulle (opposition des actions mutuelles), F s'écrit :
F = / PinEa dV+ [ (Jin x Bfl) d V
Jvj Jv
Pin et J/w étant respectivement la charge et le courant volumique. Comme pin = — div P et
Jin = rotM + dP/dt, on obtient :
F = /(- divP) Ea dV+ ! \-ïr) x B« d v + / (rotM x B«) d v
Analysons les différentes contributions à la somme des forces F .
a) Force due à la polarisation
Le premier terme est la force résultant de la polarisation du matériau :
Fp= /(-divP)Efldî?
Calculons sa composante suivant un axe Ox. Comme div(/a) =/diva + a • grad/ (cf. annexe 2), il
vient :
FPrX = - i Ea,x div P d V = - f div(£Û5,P) d V + / (P • grad) EayK d V
Jv Jv Jv

436 23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
En appliquant la relation d'Ostrogradsky, on constate que le premier terme est nul, puisque P est nul
sur toute surface S entourant le milieu. Par conséquent :
FPtX= /(P-grad)^d^
Jv
En procédant de même pour les deux autres composantes, on obtient finalement :
¥p= /(P.grad)Efldî?
J.v
Cette expression de ¥p est générale, puisqu'aucune hypothèse particulière n'a été faite sur le matériau :
ce dernier peut être isolant ou conducteur et posséder une polarisation permanente ou induite. Lorsque
le système se comporte comme un dipôle rigide, de moment dipolaire V et de dimension faible devant
les distances caractéristiques de la variation de Ea , on retrouve le résultat établi au chapitre 5 :
Fp = (7>-grad)Efl
Exemple : C'est ce type de force qui explique le déplacement d'un matériau neutre dans un champ
électrique non uniforme : attraction de poussières ou d'un filet d'eau par une baguette électrisée.
b) Force due à l'aimantation
Le deuxième terme dans l'expression de la force résulte de l'aimantation du matériau :
Fm = / rotMxBfl dV
Jv
Un calcul analogue au précédent permet d'écrire Fm sous la forme :
F,„= /(M-grad)BfldW
Jv
Ce type de force rend compte de l'attraction des corps aimantés par une source de champ magnétique si
Xm > 0 , ou de la répulsion si Xm < 0 •
Exemple : Un petit barreau de bismuth, suspendu par son centre de masse au bout d'un fil sans
torsion et placé dans l'entrefer d'un électro-aimant, s'oriente perpendiculairement au champ magnétique
appliqué Ba de telle façon à s'éloigner des zones de fort champ magnétique (Fig. 23.4). On retrouve
la force qui s'exerce sur un dipôle magnétique rigide, de moment Ad et de dimension suffisamment
faible (cf. chapitre 13) :
Fm = (M-grad)Bfl
Remarques : (1) Pour les termes Fp et Fm , tout se passe comme si chaque élément de volume, placé
dans le champ (Ea, Ba) , possédait un moment dipolaire électrique P d V et un moment
magnétique M d T) . Cependant (P • grad)E„ et (M • grad)B„ ne sont pas les densités
volumiques des forces réelles qui s'exercent au point considéré du matériau.
(2) Les expressions établies sont indépendantes de la nature du matériau. En particulier,
elles permettent de calculer la somme des forces électromagnétiques sur un échantillon
conducteur ou supraconducteur.

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
437
Générateur
de courant
Électro-aimant
FlG. 23.4.
III. 2. — Échantillons chargés ou non simplement connexes
a) Corps globalement chargé
Lorsque le corps est globalement chargé, la charge volumique comporte une contribution due aux
charges étrangères. La somme des forces F a donc deux termes supplémentaires :
?etr = / PetrK &"&+ / Petr V X Ba d V
JVJ JV
Ces termes sont identiques à la somme des forces qu'exercerait le champ appliqué sur une répartition
de charge et de courant ( petr, petrV ).
Exemples : Dans l'expérience de Millikan, les gouttelettes d'huile qui permettent de mettre en
évidence la charge élémentaire (cf. chapitre 2), sont des exemples de corps globalement chargés. Dans une
imprimante à jet d'encre, un gicleur vibrant produit un faisceau monocinétique de gouttelettes d'encre.
Ces fines particules, dont le rayon est de quelques dizaines de microns, se chargent électriquement en
passant à travers une électrode ; ensuite, grâce à des plaques de déviation analogues à celles d'un
oscilloscope, on les dirige vers un point précis de la feuille à imprimer.
b) Cas d'un échantillon doublement connexe. Force de Laplace
Lorsque l'échantillon examiné n'est pas simplement connexe, il faut tenir compte en plus de la
présence éventuelle d'un courant de maille :
dP
J/w=rotM+—-+Jm
ot
La contribution de J,w et dP/dt à la force qui s'exerce sur l'échantillon est la force de Laplace (cf.
chapitre 13):
<9PN
/>(J- + f)
x Ba dV
Pour un circuit filiforme, cette force prend la forme bien connue :
dp
~ët
!
/dlxBfl en posant Jm +
dV =/dl
Notons que, dans cette expression, l'intensité / est associée au courant volumique de maille et au
courant de polarisation : en l'absence de courant de polarisation ( dP/dt = 0 ), on retrouve l'expression
connue de la force de Laplace ; en revanche, en circuit ouvert ( Jm = 0 ), cette force n'est pas nulle si le
circuit est le siège d'un courant de polarisation.

438
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
III. 3. — Application à la mesure d'une susceptibilité
a) Susceptibilité magnétique
Plaçons un liquide magnétique, de susceptibilité \m ■> dans un tube en U et soumettons l'une des
branches à l'action du champ Ba produit entre les pièces polaires d'un électro-aimant (Fig. 23.5). La
composante verticale de la force résultante Fm a pour expression :
Fm,z = ( (M - grad)flfliZ d V = (
Jv Jv
soit, puisque rotBa = 0 :
FmtZ = J (mx
M,
dBa, , „ dBa,
dx y dy
+ M;
dBa
* dz
dV
dB°*+MJ^+Mj*3*\AV
dz
y dz
dz
Pièces
polaires
Fig. 23.5.
En pratique, la susceptibilité magnétique étant très faible (xm < 10-3 ), le champ magnétique
résultant B ne diffère que très légèrement du champ appliqué Ba . Il en résulte que M ~ Xm^a/po et :
F [X<»{r dB">*MR 9B«'y+R 9B°Aa7<> f*m(dB''\* H H
En tenant compte des relations (cf. annexe 2) :
dBf
dz
on obtient, pour n = ez :
»2 f f
^ = (gvadBÎ)z et J gvadfdTJ= éfndS
m,z
B2
s 2Vo
où S estlasurfacelimitantle volume du liquide. Dans l'expérience analysée, Ba n'est différent de zéro
que dans l'entrefer de l'électro-aimant. En supposant qu'il y est uniforme, on trouve :
F -y ^-s
2p0
.v étant la section du tube en U. Pour connaître la dénivellation h , il suffit d'écrire l'équation d'équilibre
hydrostatique au niveau de la surface libre en contact avec l'atmosphère seule. En désignant par p* la
masse volumique du liquide et par g l'intensité du champ de pesanteur, on obtient :
Fz - P*8hs = ° d'où Xn
2poP*hg
Bl
Exemple : Dans le cas du chlorure ferrique FeCl 3 qui est paramagnétique, l'expérience, réalisée
avec un champ magnétique de 0, 1 T, a permis d'observer une dénivellation de 1, 3 cm . On en déduit
la valeur Xm = 3,3x 10-3 .

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
439
b) Susceptibilité électrique
On peut mesurer de façon analogue la susceptibilité diélectrique \e d'un liquide. La figure 23.6
représente le montage adopté ; en exerçant une différence de potentiel entre deux lames métalliques
parallèles, on voit le liquide contenu dans la cuve monter entre les armatures. Dans l'expérience, le champ
électrique appliqué Ea est différent de zéro et uniforme entre les armatures ; ailleurs il est négligeable.
La force électrique a donc pour expression :
E2
si s est le produit de la largeur horizontale des plaques par la distance qui les sépare.
zk
j Lames
conductrices
FlG. 23.6.
La dénivellation h s'obtient en écrivant l'équation d'équilibre hydrostatique au niveau de la surface
libre en contact avec l'atmosphère seule :
Fz - P*ghs = 0 d'où Xe
2p*hg
£0%
Exemple : Dans le cas du benzène C^He , l'expérience, réalisée avec un champ électrique de
3 MV • m-1 , a donné une dénivellation de 6 mm. Comme la masse volumique est 879 kg • m-3 , on en
déduit la valeur : Xe ~ 1,3.
III. 4. — Moment des forces électromagnétiques
Le moment des forces électromagnétiques, en un point O quelconque, est :
X
r xdF
où d F est la force élémentaire s'exerçant en un point de la distribution de charge et de courant ( pin, Jf-W ).
L'écriture de ce moment résultant, en fonction des champs Jm , M et P, nécessite un calcul long que
nous ne détaillerons pas. On obtient une expression comportant trois termes, comme pour la force :
^0:L
o,P
Ojii
où le premier terme représente le moment des forces de Laplace produites par le champ appliqué :
<9PN
r x
dt
xBfl
dV

440
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
Le deuxième est le moment résultant des forces de polarisation :
T0,P = / (P x Efl) d V + / r x (P • grad)Efl d V
Jv Jv
Quant au troisième terme, attribué à l'aimantation, il a pour expression :
To,m = f (M x Bfl) d V + / r x (M • grad)B„ d V
Jv Jv
Dans un champ électromagnétique appliqué uniforme, les moments JT^ et Y0,m se réduisent à des
expressions, indépendantes du point O, qui valent respectivement :
Tp = V x Ea et Tm = MxBfl
Exemples : Une molécule dipolaire s'oriente selon le champ électrique appliqué (cf. chapitre 5).
De même, un barreau aimanté plongé dans un champ magnétique appliqué s'oriente localement suivant
ce champ, ce que l'on met en évidence en approchant une boussole d'un fil parcouru par un courant ; du
fait des frottements, la boussole se stabilise le long d'une ligne de champ.
IV. — ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DANS UN MILIEU MATÉRIEL
IV. 1. — Égalité de Poynting
Des équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère :
dB <9D
rotE+—-=0 et rotH - —- = Jm + Jex
ot ot
on déduit, grâce à la relation vectorielle div(E x H) = H rotE — E rotH (cf. annexe 2), l'égalité
suivante :
div(E xH) = -E~-H~-E. (J,„ + J„)
Ce résultat est la généralisation de l'égalité de Poynting établie dans le vide (cf. chapitre 18). Si on
l'intègre dans un volume V quelconque, limité par une surface S , on obtient, en utilisant la formule
d'Ostrogradsky :
y,fE~+H~^dW = -^(ExH).nd5-^E.(Jm+Jec)dt?
IV. 2. — Travail fourni par les générateurs
Toute variation de l'état électromagnétique d'un matériau s'accompagne, dans ce milieu et à
l'extérieur, de variations des champs E , B , D , H, J/77 et iex . Considérons un volume V englobant à
la fois le matériau de volume V et les sources du courant extérieur iex (Fig. 23.7).
Comme E est le seul champ à l'origine des forces qui peuvent travailler, le travail 8Wg fourni par
les générateurs, pendant la durée élémentaire ût, est l'opposé du travail effectué par E sur iex :
ÔWn = -dt E-Jexdt?
/,
l'intégration portant sur le volume W , puisqu'à l'extérieur de la surface S' qui le délimite, J^ est
nul.

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
441
S'/ t
\ TPf"
En tenant compte de l'égalité de Poynting, on obtient :
8Wg = dt f (E x H) • n' dS + dt f (E • ^ + H • ^ + E • Jw J d V
D'autre part, en appliquant l'égalité de Poynting au seul volume T) du matériau, on trouve, puisque
dans ce volume iex — 0 :
X(E-f+H'f)^+i(ExH)-nd5=X-E-x"d
T)
Si on élimine le terme contenant Jm entre les deux égalités précédentes, on obtient l'expression suivante
du travail élémentaire 8Wg :
ÔWg = dt <f> (ExH)-n' dS + dt j f E • -^+H--^ Jd V + dt J>(E x H) • (-n) dS
On voit que seule une partie de 8Wg , le dernier terme, est fournie au milieu matériel à travers sa
surface S. Lorsque le matériau est placé dans le vide, le vecteur E x H, dont le flux entrant, en raison
du signe moins devant n , représente la puissance reçue par le milieu à travers S, s'identifie au vecteur
de Poynting E x B/julq (cf. chapitre 18).
IV. 3. — Travail des forces électromagnétiques sur les charges intérieures
Évaluons le travail élémentaire des forces électromagnétiques qui s'exercent sur les charges du
milieu :
8Wifl=dt / E-J/n d^
X
où 3in caractérise la distribution des courants intérieurs. Comme iin = rot M + dP/dt + Jm , il vient :
ÔWm = dt I E - ( rotM + -£ + Jmj d V
En outre, E rotM = - div(E x M) + M • rot E (cf. annexe 2) et rotE + dB/dt = 0 . On a donc, en
appliquant la formule d'Ostrogradsky, sur une surface entourant le matériau et sur laquelle M = 0 :
'£(■
SWin = dt I [ E • ^ - M • ~ + E • J„, ) d V

442
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
IV. 4. — Bilan d'énergie électromagnétique
Faisons apparaître, dans le second membre de l'égalité de Poynting appliquée au volume du
matériau, le terme de production d'énergie électromagnétique, c'est-à-dire l'opposé du travail des forces
électromagnétiques fourni aux charges intérieures, 8£cem = —8Wj„ . Il vient, en ajoutant aux deux membres
de cette égalité la même quantité et en notant que J^ = 0 dans V :
dt f [e- (^-?) +(H + M)'^rl àV = -dti(ExH)'ndS-8Win
soit, puisque D - P = e0E et H + M = B/jul0 -
àt [ I- (^- + —y\ dV = -dt (f(ExU)-ndS-8Win
Jv dt V 2 2/*o/ Js
On reconnaît les termes d'un bilan d'énergie électromagnétique £em dans le matériau. On a, en effet :
d £em = 8£rem + 8£cem
avec
72 R2
£em = j hf~ + ^-\ d V 8£[m = -d/^(ExH)-nd5 et 8£cem = -8Win
Le premier terme est la variation de l'énergie £em dans son volume ; le deuxième est l'énergie
électromagnétique reçue à travers la surface : il est directement relié au flux du vecteur de Poynting R = E x H
à travers la surface du matériau. Quant au troisième, il représente l'énergie électromagnétique produite
dans le matériau. Cette équation est à la base des bilans d'énergie électromagnétique effectués dans les
divers convertisseurs d'énergie électrique.
V. — BILAN D'ENERGIE DANS UN MILIEU LINEAIRE NON DISSIPATIF
V. 1. — Linéarité, stationnante, homogénéité
a) Linéarité
La définition de la linéarité, déjà donnée dans le cas stationnaire (cf. chapitre 21), se généralise
comme suit aux régimes variables dans le temps. Un milieu est dit linéaire lorsque toute combinaison
linéaire d'excitations dépendant du temps admet comme réponse la même combinaison linéaire des
réponses obtenues pour chacune des excitations. D'une façon générale, la valeur de la réponse, au point
r et à l'instant t, dépend des valeurs de l'excitation en d'autres points et à d'autres instants.
Dans le cas de la polarisation volumique par exemple, on représente cette dépendance par la
relation :
P(r,f) = f H G(ry,t,t')e0E(r',tf)d79' dt'
J espace J — oo
où G est reliée à la susceptibilité du milieu.
b) Stationnante
Un milieu est dit stationnaire si ses propriétés sont indépendantes de l'instant considéré. Cela
signifie que, si deux excitations de même dépendance temporelle sont appliquées à des instants ?i et
t2 distincts, les réponses correspondantes ont la même dépendance temporelle mais sont également
décalées de la durée t2 — t[ . Ainsi, dans le cas stationnaire, la fonction G ne dépend de t et t' que

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
443
par la différence t — t'. Tl en résulte, si on admet en outre la stabilité du système, c'est-à-dire qu'une
excitation finie donne une réponse également finie :
P(r, t)= I f G(r, r', t - t') £0E(r/', t7) d V àt'
J espace J — oo
/ espace J — oo
Notons que, le système étant causal puisque la réponse est toujours postérieure à l'excitation,
l'intégration sur le temps ne porte finalement que sur les instants antérieurs à l'instant considéré :
P(r, t)= f I G(r, r', t - t') eoE(r', t') d V d t'
J espace J — oo
c) Homogénéité
Un milieu est dit homogène si ses propriétés ne varient pas avec le point considéré. La
transposition de l'argument de stationnante dans le domaine spatial permet d'en déduire, dans l'exemple de la
polarisation volumique, que la fonction G ne dépend de r et r' que par la différence r - r'. On a
donc :
P(r, t) = f f G(r - r', t, t') £0E(r', t') d V d t'
J espace J — oo
Notons enfin que, si le milieu est isotrope, ses propriétés ne dépendent pas de la direction et G est une
fonction scalaire.
d) Dispersion
Si la réponse ne dépend pas des valeurs de l'excitation en d'autres points que le point considéré,
on a :
P(
/•OO
*{r,t)= / G(r,i-(')£oE(r,f')d/
./ — OO
Ce cas est par exemple celui de l'approximation des régimes quasi stationnaires, car, la longueur d'onde
étant très grande devant les dimensions de l'échantillon, à l'échelle de ce dernier, le champ excitateur
est pratiquement uniforme. En revanche, la susceptibilité varie généralement avec la fréquence v de
l'excitation. On dit que le milieu est dispersif (cf. chapitre 28). Lorsque, dans un certain domaine de
fréquence, la variation de la susceptibilité peut être négligée, le milieu est qualifié de parfait dans ce
domaine.
Remarque : Un milieu physique ne peut être parfait sur toute la gamme des fréquences, car cela
impliquerait que la réponse soit instantanée, ce qui est exclu.
V. 2. — Énergie électromagnétique dans un milieu parfait
a) Définition
On peut caractériser les propriétés macroscopiques d'un milieu matériel parfait par une permittivité
diélectrique e et une perméabilité magnétique p, indépendantes de la fréquence, telles que :
R 1 1
D = eE avec e = eoer = eo(\ + Xe) et H = — avec — = —(1 — Xm)
ix H p0
Il en est ainsi dans les condensateurs à diélectrique ou dans les circuits magnétiques non saturés et
sans hystérésis, en régime quasistationnaire. Les susceptibilités électrique ou magnétique sont alors des
constantes réelles.

444
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
Dans un milieu parfait, supposé ici simplement connexe, l'égalité de Poynting appliquée au volume
du matériau considéré, conduit à :
dfX(E-?+H"?)d^="dfi(ExH)-nd5
Comme e et /ul sont des constantes, il vient :
<9D dE . ^ dD d feE2\ d (D2\
^ = e~di d'ou E'^ = dt{-Y) = dt{Ye)
et :
<9B dU v TT dB d {julH2\ d [B1
â—Mft- ^ou H.- = ^—j=^-
La première intégrale de l'égalité de Poynting se met alors sous la forme de la différentielle exacte d'une
fonction, qu'on peut appeler Y énergie électromagnétique du milieu :
#) ZfcTan global
L'égalité de Poynting peut être interprétée comme un bilan global de l'énergie électromagnétique
du milieu matériel. En effet, on a :
â£Z = 8S^ + 8£Z avec 5££f =-d* jf R-n dS et 5££f = 0
Le vecteur de Poynting R = ExH caractérise le flux d'énergie électromagnétique à travers la surface
S qui délimite le volume V du matériau. Notons que la composante normale R„ = E, x Ht, qui seule
intervient dans le calcul du flux, est bien continue à la traversée de la surface, puisque cette composante
s'exprime uniquement en fonction des composantes tangentielles des champs E et H , lesquelles sont
continues.
Cette énergie électromagnétique £™m généralise ainsi, au cas des milieux matériels parfaits, les
expressions obtenues dans le cas du vide. Il convient cependant de ne pas oublier qu'une partie de cette
énergie prend en compte l'énergie mécanique des édifices microscopiques qui constituent le matériau.
Ce point sera précisé lorsqu'on analysera les phénomènes microscopiques de polarisation ou
d'aimantation (cf. chapitres 24 et 25).
c) Bilan local
En supposant que les grandeurs énergétiques puissent être définies localement, le bilan énergétique
précédent s'écrit, à l'aide du théorème d'Ostrogradsky :
dwm A. D v m E D H B
—— = - div R ou wm = — 1 —
dt 2 2
est l'énergie électromagnétique volumique du milieu matériel. Dans ce cas, le vecteur de Poynting est
le courant volumique d'énergie électromagnétique $nJ du milieu.

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général 445
V. 3. — Stockage d'énergie électrique
Lorsqu'on introduit entre les armatures d'un condensateur, de capacité à vide Q , un milieu
matériel, non aimanté, de permittivité relative er constante, l'énergie électrique de ce condensateur,
connecté à un générateur qui maintient une tension constante U entre ses armatures, a pour
expression (Fig. 23.8a) :
C, = /v^dT. = ^^dî.= Ict/2 avec C = srC0
Ainsi, la capacité de stockage d'énergie du condensateur est multipliée par la permittivité diélectrique
relative er du milieu, laquelle peut atteindre plusieurs milliers, par exemple si le milieu est du titanate
de baryum (cf. chapitre 10). Le gain d'énergie par rapport au vide est l'énergie de polarisation :
£„„, = £?m - Sem = J^ {^- - £oÇ) d» = |^d V
le champ E étant le même. Cette énergie, emmagasinée par le matériau parfait, peut être restituée sans
pertes au milieu extérieur.
a) b)
FlG. 23.8.
V. 4. — Stockage d'énergie magnétique
De la même façon, introduisons, dans le volume intérieur d'un enroulement, d'inductance à vide
Lo , un milieu matériel, non polarisé, de perméabilité magnétique relative jnr constante (Fig. 23.8b).
L'énergie magnétique de cet enroulement, parcouru par un courant / constant, a pour expression :
Ainsi, la capacité de stockage d'énergie est multipliée par la perméabilité magnétique relative jnr
du milieu, laquelle peut atteindre plusieurs milliers avec du fer doux. En l'absence de champ
démagnétisant, le gain d'énergie par rapport au vide est l'énergie d'aimantation £aim :
le champ H étant le même.
VI. — BILAN D'ÉNERGIE DANS UN MATÉRIAU DISSIPATIF
VI. 1. — Dissipation d'énergie électromagnétique
Considérons un échantillon immobile, simplement connexe ( Jm = 0 ), placé dans un champ
électromagnétique qui varie au cours du temps de façon périodique. En régime établi, tous les paramètres
qui définissent son état sont périodiques.

446
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
Calculons le travail Win des forces électromagnétiques sur les charges intérieures durant une
période T . Il vient :
W»
= f 8Win= f dt f
dP dB\
f âv\j
Jv Uo
en permutant les intégrations. Portons, dans un plan cartésien (E,P), l'ensemble des points de
coordonnées [E(t),P(t)] lorsque 0 ^ t ^ T. Comme ces grandeurs évoluent périodiquement, cet ensemble
forme une courbe fermée C appelée cycle d'hystérésis (Fig. 23.9a).
a)
b)
Fig. 23.9.
L'élément différentiel EdP représente l'aire délimitée par le contour formé par la courbe, le
segment de longueur d P sur l'axe des P, et des parallèles à l'axe des E. Par conséquent, l'intégrale :
/
T dP f
E — dt= i E-dP
àt Je
est égale à l'aire du cycle d'hystérésis dans le plan (E, P). De même, l'intégrale :
M dB
l
T dB
M. — dt--
o dt Je
représente l'aire d'un cycle C analogue décrit dans le plan (B,M) (Fig. 23.9b). Les intégrales :
£0E-dE et 6 — dB
Je Je Mo
sont nulles car on intègre sur un cycle. L'aire totale A des cycles d'hystérésis diélectrique et magnétique
s'écrit alors :
A= 6E-dP+ é -M-dB+ieoE-dE+i — • dB = 6 E • dD + 6 HdB
Je Je Je Je Mo Je Je
Ainsi, lorsque le matériau est homogène, le travail fourni par le champ électromagnétique aux charges
intérieures est proportionnel à l'aire A des cycles d'hystérésis :
Wh
-L
A d V = AT)
Ce travail est compensé par un autre travail Wcj exercé par des forces dissipatives :
Wd + Win = 0 soit Wd =-Win =-ATJ

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
447
VI. 2.— Exemples
a) Pertes diélectriques
Dans le cas d'un milieu diélectrique, homogène, non magnétique (M = 0), l'énergie
électromagnétique créée sur un cycle de période T a pour expression :
£L = ~win = -AV avec A = tf> E • dP = i E • dP + i e0E • dE
J C J C J G
E dD
C'est le cas d'un condensateur rempli d'un milieu dissipatif : ces pertes sont alors représentées par une
résistance en parallèle avec le condensateur.
b) Pertes magnétiques
Pour un milieu aimanté, homogène, non polarisable (P = 0), l'énergie électromagnétique créée
sur un cycle de période T est :
-Win = -AV avec A
M dB
M dB+ <£ — dB
c Je Mo
H dB
L'énergie dissipée Wcj est due à l'hystérésis magnétique dans le matériau. On représente ces pertes par
une résistance en série avec la bobine. Notons qu'à cette résistance, on ajoute généralement celle qui
traduit les pertes par effet Joule dans l'enroulement.
c) Pertes par effet Joule
On sait que les propriétés d'un milieu conducteur en régime quasi stationnaire sont bien décrites
par la loi d'Ohm : iin = yEin où le vecteur courant volumique représente la somme du courant
d'aimantation rot M, du courant de polarisation dP/dt et du courant de maille Jm, si le milieu est non
simplement connexe. Le terme de création d'énergie électromagnétique s'explicite selon :
Sc
ce qui traduit la loi de Joule.
-Win
ût
Jv
Jm) d V
L
ût I — dV
'v y
Soulignons pour terminer la distinction entre la non-linéarité et la dissipation d'un milieu. Le milieu
est non linéaire si P ou M ne sont pas proportionnels à E ou B respectivement : dans la zone centrale
de la figure 23.10a, le milieu est linéaire et non dissipatif; dans les zones extrêmes, le milieu à la fois
est non linéaire et non dissipatif.
Pou M !
Zone
de linéarité
EouB
Pou M |
EouB
Pou M f
EouB
a)
b)
c)
FiG. 23.10.

448
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
En revanche, le milieu est dissipatif lorsque l'aire du cycle est non nulle : la figure 23.1 Ob représente
un milieu linéaire et dissipatif; c'est le cas des matériaux dont le comportement linéaire est caractérisé,
en régime sinusoïdal, par une susceptibilité complexe. Quant à la figure 23.10c, elle caractérise les corps
ferromagnétiques (cf. chapitre 26) qui sont, eux, à la fois non linéaires et dissipatifs (Fig. 23.10c).
VII. — BILANS D'ENERGIES DANS UNE MACHINE
L'analyse des bilans d'énergie est analogue à celle déjà faite (cf. chapitre 18) sur les convertisseurs
électromécaniques. Deux bilans sont effectués : l'un pour l'énergie électromagnétique et l'autre pour
l'énergie mécanique ; on en déduit le bilan d'énergie électromécanique en les ajoutants.
VII. 1. — Bilan d'énergie électromagnétique
Avec les notations habituelles, le bilan d'énergie électromagnétique s'écrit :
\C _ cr , oc
où A£em désigne la variation d'énergie du champ électromagnétique, £erm l'énergie électromagnétique
reçue par la machine, par l'intermédiaire du vecteur de Poynting R = E x H, et £fm la création
d'énergie électromagnétique. Si Wcj désigne le travail des forces dissipatives (Wj < 0), qui traduit les pertes
diélectriques, magnétiques ou par effet Joule, et Wc le travail de conversion en énergie
électromagnétique, d'une autre forme d'énergie, par exemple mécanique, le terme de création s'écrit :
££n = Wd + Wc
Effectuons le bilan sur une période T du régime périodique établi de la machine. Il vient :
A£;m = 0 d'où £erm = -£ecm
VII. 2. — Bilan d'énergie mécanique
Le bilan d'énergie mécanique donne :
\C — cr s ce
•-^^mec — ^mec ' ^mec
où ££ec désigne l'énergie mécanique reçue par la machine et ££ec l'énergie mécanique créée Cette
dernière est la somme du travail Wem des forces électromagnétiques, forces de Laplace, forces dues à
la polarisation et à l'aimantation, et du travail Wf des forces de frottement mécanique :
Comme précédemment, entre deux instants séparés par une période T, l'énergie ne varie pas. Par
conséquent :
£r =-fc

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
449
VII. 3. — Bilan d'énergie électromécanique
Ajoutons membre à membre les deux bilans précédents. Il vient, en introduisant l'énergie
électromécanique Sm = £em + £mec :
Acm — oem -j- cem -f- cmec + cmec — 0
Comme la transduction électromécanique est traduite par l'équation (cf. chapitre 18) Wc = —Wem , le
bilan d'énergie électromécanique s'écrit :
£erm + wd + £;lec + wf = o
VII. 4. — Exemple : bilan de puissance sur le rotor d'une machine asynchrone
Dans une machine asynchrone, un rotor cylindrique, en métal ferromagnétique, est entouré par un
enroulement en cuivre ou en aluminium. Ce rotor a un mouvement de rotation dans le champ magnétique
créé par lui-même et par l'enroulement du stator (partie fixe de la machine). En fonctionnement normal,
l'enroulement du rotor est court-circuité et il n'y a pas de contact électrique avec l'extérieur.
Plus précisément, écrivons l'équation précédente du bilan d'énergie. Pour cela, désignons par F
le moment résultant, suivant l'axe de rotation, des forces qu'exerce la machine entraînée sur le rotor et
par fi sa vitesse angulaire dans le référentiel où sont explicités les champs. Supposons en outre que les
forces de frottement mécanique soient de nature visqueuse ; le travail élémentaire correspondant a alors
pour expression : 8Wf = —aÙ2 dt ( a > 0 ). En divisant l'équation précédente du bilan d'énergie par
la période T, on obtient l'équation du bilan en puissance moyenne :
rrem + vd + p^ec + rf = o
dans laquelle le premier terme :
VL = -^ I dté R ndS
/ dt 6 Rni
Jo Js
représente la puissance électromagnétique reçue à travers la surface S qui englobe le rotor de la
machine. Dans le deuxième :
V
"'--ïj£d'x/.7d»-ïX[MdB)]d'
on reconnaît, d'une part, la puissance dissipée par effet Joule dans les conducteurs en cuivre ou en
aluminium, ainsi que dans le fer du rotor en raison des courants de Foucault, et d'autre part, la puissance
dissipée en raison de l'hystérésis magnétique. Enfin les troisième et quatrième termes explicitent
respectivement la puissance mécanique reçue sur l'axe de rotation et la puissance dissipée par les forces de
frottement mécanique :
v^ = ^£r-adt et rf = -^j\^dt
VII. 5. — Efficacités de la conversion électromécanique
Le bilan précédent montre que :
PL + 'PLc = -'Pd-'Pf>0 puisque Pd < 0 et Vf < 0

450
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
Il existe trois régimes de fonctionnement possibles :
i) Fonctionnement en moteur : V^ec < 0 et donc Verm > 0
La puissance mécanique reçue par le rotor est négative. Le convertisseur est donc un moteur
d'efficacité :
„ - -v:«ec_, \*Pf+*Pd\ <1
Vm — vr — A Vr ^ 1
' em ' em
Remarque : Comme l'efficacité rjm vaut 1 en l'absence de dissipation, on l'appelle aussi rendement
(cf. Thermodynamique).
ii) Fonctionnement en générateur : Verm < 0 et donc V^ec > 0
La puissance électromagnétique reçue par le rotor est négative. C'est un générateur d'énergie
électrique dont l'efficacité, ou le rendement, vaut :
1 mec ' mec
iii) Fonctionnement en frein : Verm > 0 et V^ec > 0
Dans ce cas, le rotor dissipe thermiquement à la fois de l'énergie électromagnétique et de l'énergie
mécanique. Ce fonctionnement est utilisé dans le freinage électromagnétique (cf. chapitre 14).
CONCLUSION
Retenons les points importants.
(1) L'existence de matériaux, de géométrie non simplement connexe, comme les circuits, nécessite
l'introduction, en plus des vecteurs P et M, du vecteur courant volumique de maille Jm . Les équations
de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère se généralisent alors selon :
div D = pex et rot H - — = Jm + J^
Si le milieu est globalement chargé, il faut ajouter les contributions des charges étrangères,
respectivement petr et ietr.
(2) En régime variable, on a toujours pm = — div P, mais la relation analogue sur l'aimantation se
généralise selon :
J/#l =rotM+ — +Jw
ot
(3) Les forces subies par un matériau, placé dans un champ électromagnétique appliqué, sont de
trois types :
force due à la polarisation : ¥p = / (P • grad) Ea d
Jv
force due à l'aimantation : FOT = / (M • grad) Ba d
Jv
force de Laplace (pour un circuit) : FL = / ( —- + Jm ) xBfld V
V
V

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général 451
(4) Le bilan énergétique fait apparaître l'énergie 8em du champ électromagnétique en présence de
matière, le vecteur de Poynting R = ExH et un terme de création d'énergie électromagnétique égal à
l'opposé du travail des forces électromagnétiques qui s'exercent sur les charges du milieu :
dt [ — (^- + ^—]dV = -dt J>(E xH) • n dS - 8Win
Jvdt V 2 2/n0J Js
Ce terme de création est l'énergie électromagnétique dissipée dans le matériau.
(5) On peut associer aux milieux matériels parfaits une énergie électromagnétique globale de la
forme :
Les sources de dissipation d'énergie électromagnétique sont les pertes diélectriques, les pertes
magnétiques et les pertes par etïc 1 Joule.
(6) Les bilans d'énergie jouent un rôle décisif dans l'étude de l'efficacité (ou rendement) des
machines électromécaniques.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P23- 1. Mesure de la susceptibilité diélectrique de l'éthanol
On mesure la susceptibilité diélectrique de l'éthanol liquide (CH 3 CH 2 OH) par la méthode
représentée sur la figure 23.6. Lorsqu'on soumet ce liquide à un champ électrique stationnaire de 1 MV • m~1,
on constate sur un écran de projection une dénivellation de 8 cm ; la lentille de projection, de focale
20 cm, est située à une distance de 25 cm du tube contenant le liquide. Sachant que la masse volu-
mique de l'éthanol, à la température ambiante ( 293 K ), est 785 kg • m-3 , en déduire sa susceptibilité
diélectrique.
P23- 2. Mesure de la susceptibilité magnétique d'une solution d'un sel paramagnétique ^web)
On mesure la susceptibilité magnétique d'une solution d'un sel paramagnétique par la méthode
représentée sur la figure 23 5. Lorsqu'on soumet la solution à un champ magnétique stationnaire
Ba = 3 T, on constate, sur un écran de projection, une dénivellation de 1,5 cm ; la lentille de
projection, de distance focale 20 cm , est située à une distance de 1,20 m de l'écran.
Sachant que la masse volumique de la solution est pratiquement celle de l'eau, trouver sa
susceptibilité magnétique.
P23- 3. Expérience de Stern et Gerlach
Dans l'expérience de Stern et Gerlach (1926), on fait passer un faisceau d'atomes de lithium,
de moment magnétique jn = 0,93 x 10-23 A • m2 , entre les pôles d'un électro-aimant; ce dernier
produit un champ hétérogène de direction ez, perpendiculaire à celle e^ du faisceau, et de gradient
3000 T- m-1 . Sur un écran perpendiculaire à la direction du faisceau incident, on observe la trace du
faisceau, d'abord en l'absence de champ (point O ), puis lorsque l'électro-aimant est alimenté. Dans ce
dernier cas, on voit nettement deux taches symétriques par rapport au centre de l'écran (cf. Physique
q uant ique).
On désigne par m la masse des atomes, D = 2m la distance de l'aimant à écran, / = 10 cm la
longueur effective sur laquelle agit le champ, vo = ^0 e* la vitesse des atomes à l'entrée dans le champ
et 8k — 0,5 eV leur énergie cinétique. Calculer la distance qui sépare les taches du centre O .

452
23. Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général
P23- 4. Condensateur à diélectrique dissipatif
Un condensateur plan est rempli d'un diélectrique faiblement conducteur. Dans un tel milieu, la
polarisation a deux contributions : la première est attribuée à l'existence de di pôles induits localisés et
la seconde due au déplacement macroscopique de charges libres de se déplacer, à l'origine de la loi
d'Ohm. Le condensateur est donc caractérisé par une capacité C et une résistance R en parallèle.
Exprimer le courant total à travers le condensateur en fonction de C, R et de la tension variable
u(t) que l'on maintient entre ses armatures.
P23- 5. Intégrale du produit scalaire E D et énergie
On considère les champs E et D créés par un électret (corps spontanément polarisé). Montrer et
commenter la relation :
/
2
espace ^
P23- 6. Intégrale du produit scalaire B H et énergie
On considère les champs B et H créés par un aimant permanent (corps spontanément aimanté).
Montrer et commenter la relation :
L
2
espace ^
P23- 7. Réponse dans un milieu matériel linéaire dissipatif Cweb)
Une sphère, de conductivité y , est placée dans un champ électrique appliqué Ea, nul pour t < t0
et uniforme et constant pour t > t0 . Ce champ induit un vecteur polarisation P uniforme qui produit
un champ Em = — P/(3£o) •
1. Montrer que P satisfait à l'équation différentielle suivante :
En déduire l'évolution de P au cours du temps.
2. Quel est le déphasage de P par rapport à Ea , lorsque ce dernier varie sinusoïdalement avec la
pulsation co ? Examiner le cas où le conducteur est parfait.
P23- 8. Énergie électrostatique stockée dans un condensateur sphérique
L'espace entre les armatures d'un condensateur sphérique est rempli d'un diélectrique de permit-
tivité e. On désigne par Q la charge de l'armature intérieure, par R\ et R2 (R2 > R\ ) les rayons
respectifs de chacune des armatures.
1. Calculer les champs D , E et P en tout point de l'espace.
2. Quelle est l'énergie stockée par un condensateur, de capacité C = \0 /u F, lorsque la tension
entre ses armatures est U = 100 V ?
P23- 9. Énergie magnétique stockée dans un solénoïde torique à section carrée
L'espace délimité par un solénoïde torique, à section carrée, est rempli d'un milieu magnétique de
perméabilité magnétique relative /nr = 10 . Le rayon moyen du solénoïde est R et le côté de la section
carrée a.

Équations de Maxwell et énergie dans les milieux matériels : cas général 453
1. Trouver les expressions des champs H , B et M en fonction de la distance p à l'axe du tore
lorsque les N spires du solénoïde sont parcourues par un courant d'intensité /.
2. Calculer l'énergie magnétique stockée par un tel solénoïde dans le cas suivant :
a = 5 cm R = 5 cm TV = 1 000 / - 1 A
P23- 10. Bilan énergétique d'un alternateur
Le rotor d'un alternateur, constitué par un aimant permanent, est entraîné par un moteur ; ce dernier
lui impose une vitesse angulaire H constante en exerçant un couple de moment r = 10 N.m par
rapport à son axe. L'alternateur fournit une puissance électrique de 3,5 kW. Les pertes par frottements,
hystérésis, courants de Foucault, effet Joule, représentent 10 % de la puissance.
À l'aide d'un bilan électromécanique effectué sur le contenu d'une surface fermée entourant
l'alternateur trouver la vitesse de rotation.
P23- 11. Cylindre en rotation dans un champ magnétique stationnaire Cweb)
On fait tourner un cylindre en cuivre autour de son axe Oz, avec une vitesse angulaire constante
II = 3 000 tr-min-1, dans un champ magnétique stationnaire et uniforme Ba = Baex avec
Ba = 0,5 T . Les caractéristiques du cylindre sont sa longueur L = 4 cm , le rayon de sa base R — 2 mm
et sa conductivité y = 5,8x 107 S • m-1 .
1. Etablir les expressions du courant volumique J .
2. Calculer le moment des actions électromagnétiques de Laplace en un point de l'axe de rotation
et en déduire la puissance Vl des forces de Laplace.
3. Quelle est la puissance dissipée par effet Joule ?
4. Effectuer les bilans d'énergie mécanique et d'énergie électromagnétique.
P23- 12. Équilibre électrique dans un cylindre tournant dans le référentiel du laboratoire ^^
Un cylindre conducteur, de rayon R = 5 cm, tourne autour de son axe Oz, avec une vitesse
angulaire II = 100 tr-s_l , dans un champ magnétique stationnaire et uniforme Ba = Baez avec
Ba = 1 T. On néglige les effets de bord aux extrémités du cylindre
1. Comparer II à la pulsation cyclotron des électrons libres du conducteur.
2. Trouver, en fonction de H et Ba , la charge volumique p , la charge surfacique a , la
polarisation volumique P et le moment dipolaire électrique par unité de longueur du cylindre.
3. Calculer le courant volumique J, le courant surfacique Js , l'aimantation volumique M et le
moment dipolaire magnétique par unité de longueur du cylindre.
4. Déterminer les champs D, E et P dans tout l'espace. Calculer p et a .
P23- 13. Équilibre électrique dans un cylindre tournant dans le référentiel tournant Cweb}
Calculer les mêmes grandeurs que dans l'exercice précédent, mais dans le référentiel Vj ,
invariablement lié au cylindre, qui tourne avec une vitesse angulaire H , telle que R£l/c <^ 1 .

24
Etude microscopique de la polarisation
en régime stationnaire
L'analyse macroscopique des propriétés des diélectriques (cf. chapitre 21), nous a conduits à
introduire un vecteur polarisation P que l'on a interprété comme le moment dipolaire volumique du
diélectrique. Ce moment dipolaire résulte le plus souvent de l'action d'un champ électrique appliqué Efl
sur le diélectrique. On a ensuite exprimé le lien entre P et le champ macroscopique E au même point,
dans des milieux linéaires homogènes et isotropes, à l'aide de la relation constitutive :
P = ^eoE = (er-l)e0E
Xe étant la susceptibilité électrique du milieu et er la permittivité relative.
Nous proposons, dans ce chapitre, l'interprétation microscopique de la polarisation à partir des
moments dipolaires associés aux éléments microscopiques du diélectrique : atomes, molécules, ions.
L'étude complète ne peut être envisagée que dans le cadre naturel à l'échelle atomique qu'est la physique
quantique. Cependant, la physique classique a permis d'élaborer des modèles qui donnent des ordres de
grandeur satisfaisants. Aussi analyserons-nous ici ces différents modèles et en comparant les valeurs
théoriques qu'ils prédisent aux valeurs expérimentales.
Nous limitons notre étude aux régimes stationnaires dans des matériaux isolants, gaz, liquides,
solides, dans lesquels la polarisation peut être considérée comme le résultat d'effets microscopiques
locaux. Les métaux, pour lesquels la réponse est globale, sont de ce point de vue des matériaux infiniment
polarisables. Le cas des régimes variables sera examiné ultérieurement (cf. chapitre 28).
Il convient d'abord de répertorier les différents mécanismes microscopiques de polarisation des
milieux.
I. — MÉCANISMES MICROSCOPIQUES DE POLARISATION
La polarisation d'un milieu matériel par un champ électrique stationnaire est liée à une rupture de
l'équilibre électrique qui existait avant l'action de ce champ. En effet, en l'absence de champ, les corps
solides liquides ou gazeux sont généralement neutres et la répartition des charges, électrons et protons
des noyaux, est telle que le moment dipolaire d'un élément de volume macroscopique, qui contient un
grand nombre de tels édifices, est nul.

Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
455
1.1. — Les différents mécanismes de polarisation
On cite généralement quatre mécanismes de polarisation pour rendre compte des phénomènes
macroscopiques observés (cf. chapitres 10 et 21) : trois sont microscopiques, le quatrième est
macroscopique car le déplacement de charge peut concerner tout le volume du matériau.
i) La polarisation électronique : elle est liée à la modification de la répartition des charges internes
à chaque atome ou ion ; elle est toujours présente, quel que soit l'état du matériau considéré.
ii) La polarisation atomique ou ionique : elle concerne les déplacements des atomes ou des ions par
rapport à leurs positions d'équilibre dans l'édifice auquel ils appartiennent.
iii) La polarisation d'orientation : le moment dipolaire d'un édifice rigide, atomique ou
moléculaire, s'oriente sous l'action d'un champ électrique.
iv) La polarisation par déplacement macroscopique : l'application du champ électrique stationnaire
induit des déplacements macroscopiques à l'échelle du matériau. C'est le cas de la polarisation des
conducteurs (cf. chapitres 6 et 8) et de la polarisation d'une jonction p-n par exemple (cf. chapitre 7).
Dans la suite, nous n'envisagerons que les mécanismes microscopiques de polarisation.
1.2. — Définition de la polarisabilité
Lorsque le champ électrique stationnaire E/, qui agit localement sur un édifice, est suffisamment
faible, la relation entre le moment dipolaire induit p et E/ est linéaire. On pose alors :
p = ae0Ei
Le coefficient de proportionnalité a , indépendant de E/, est appelé la polarisabilité de l'édifice. Ainsi
définie, la polarisabilité a les dimensions d'un volume. En effet :
Notons que la polarisabilité est une quantité positive, car le moment dipolaire induit est toujours orienté
suivant le champ électrique inducteur.
Remarque : La définition de la polarisabilité donnée ici, qui est celle adoptée par la plupart des
physiciens, est commode car directement reliée au volume des édifices atomiques et
moléculaires. Curieusement, F AFNOR recommande la définition moins intéressante suivante :
p = aEi ; a ne s'exprime plus en m3 mais en Cm2- V-1 . Les chimistes utilisent
eux, le système ancien d'unités électrostatiques, CGS, dans lequel Atteq = 1 ; dans ce
système, a a aussi les dimensions d'un volume, exprimé en cm 3 , mais la
polarisabilité a* qu'ils définissent n'est pas numériquement identique à a . On a la relation
suivante : a* = a/{Air) . Pour avoir les valeurs de a , il faut donc multiplier par Ait celles
de a* fournies par les chimistes.
1.3. — Polarisabilité électronique
a) Définition
Pour un atome ou un ion, en l'absence de champ extérieur, les barycentres K+ et K- des charges
positives et négatives coïncident au centre du noyau : l'édifice ne possède donc pas de moment dipolaire.

456
24. Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
L'action d'un champ électrique local E/ déforme la distribution de charge et les barycentres K+
et K_ ne coïncident plus. Il en résulte un moment dipolaire induit p qui est parallèle à E/. On définit
alors, dans l'approximation linéaire, la polarisabilité électronique par le coefficient ae tel que :
p = a^oE/
L'approximation linéaire entre p et E peut être précisée : E doit être faible devant le champ Eat
existant dans l'atome, ce qui est généralement réalisé avec les champs usuels. En effet :
1
011 V-m-
4tt€o a2
a étant de l'ordre des dimensions de l'atome ( a œ 0, 1 nm ).
Remarque : Les effets non linéaires obtenus avec des champs intenses tels que ceux associés au
rayonnement fourni par les lasers de puissance, sont mis à profit pour de multiples applications :
doubleurs de fréquence, conjugaison de phase, etc. (cf. Optique, chapitre 29).
b) Polarisabilité électronique des atomes : modèle classique de Mossotti
Un modèle simple, dû au physicien italien O. Mossotti, permet de relier la polarisabilité ae d'un
atome à son volume. On assimile l'atome considéré à un noyau ponctuel de charge Ze plongée dans
une distribution uniforme de charge électronique sphérique, de rayon a (Fig. 24.1a).
Af ' Charge' ' - ^
négative ./'
Ze .~.v
iNoyàV ;' /r\
a) b)
FlG. 24.1.
Lorsque cet édifice est soumis au champ local E/, le noyau se déplace de r. Sa nouvelle
position d'équilibre est obtenue en écrivant que la somme des forces qui agissent sur lui est nulle. Or,
ces forces sont, d'une part la force ZeE\ qu'exerce le champ local, et d'autre part celle qu'exerce la
charge électronique. Cette dernière, supposée uniforme, crée en son sein un champ que l'on peut
exprimer en appliquant le théorème de Gauss à une sphère de rayon r (Fig. 24. lb) :
2 4irr3 p v r — Ze r . Airr*
4irr x E = — d ou E = p-— = ^ puisque p = — Ze
3 eo 3ê:o A-ireo a5 3
La force correspondante vaut donc — (Ze)2r / (47teo #3), ce qui est caractéristique d'une force élastique
que l'on peut mettre sous la forme :
(Ze)2
-Ky avec K~ y J
47teo a3
L'équilibre se traduit donc par l'équation :
Zev \ x 47T€0a3Ei
Ze [Ei — ] =0 d ou r =
4tt€o a5 ) Ze

Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
457
Il apparaît ainsi un moment dipolaire induit p = Zex = 47T€oa3Ei, d'où les expressions suivantes de la
polarisabilité électronique :
, 3 o, zV zV
aê — 4ira -=:3 t? = ——- = ~—
SqK 6omea)^e
où T) est le volume de la distribution et &>oj<? = (K/rae)1//2 la pulsation caractéristique du mouvement
de l'électron élastiquement lié au noyau.
Cette expression classique donne l'ordre de grandeur de ae . En physique quantique, on obtient une
expression de la polarisabilité (ae)q = \Stto3 , qui est en bon accord avec les valeurs expérimentales.
Exemple : Pour l'hydrogène, dans l'état fondamental, où a = aG = 52,9 pm , on a, respectivement
pour la valeur expérimentale, la valeur classique et la valeur quantique :
((*e)exp = 8,42 x 1(T30 m3 (ae)c = 1,86 x 10"30 m3 (ae)q = 8,371 x 10"30 m3
Le tableau 24.1 donne les valeurs de la polarisabilité électronique ae de quelques atomes. On peut
constater que la polarisabilité augmente lorsqu'on descend une colonne du tableau périodique et qu'elle
diminue lorsqu'on se déplace, sur une ligne, vers les gaz rares.
Atomes
aex 1030(m3)
Li Na K
151 339 427
O Cl Ar
9 24,5 20,4
Al Si P
110,6 69,1 44
Tab. 24.1.
c) Polarisabilité électronique des ions
Comme pour les atomes, le modèle de Mossotti ne fournit qu'un ordre de grandeur ; par exemple,
le rayon ionique de l'ion Li + vaut 0,068 nm , d'où :
(ae)c = 47ra3 = 3,95 x 10~30 m3 au lieu de (ae)exp = 0, 36 x 10"30 m3
Le tableau 24.2 donne les valeurs de la polarisabilité électronique ae de quelques ions. On constate
que la polarisabilité des anions est plus grande que celle des cations, ce que l'on explique par la plus
faible liaison des électrons au noyau dans les anions. D'autre part, la polarisabilité augmente avec la
taille de l'ion car les électrons périphériques sont moins liés au noyau dans les ions volumineux.
Ions
ae x 1030(m3)
Li+ Na+ ,K+
0,36 2,2 10,4
02~ Cl" Te2~
48,8 46 176
Si4* Ti4+ Ba2+
0,82 2,32 19,5
Tab. 24.2.
1.4. — Polarisabilité atomique ou ionique
a) Définition
Sous l'action d'un champ électrique stationnaire E/, un atome ou un ion peuvent aussi se déplacer
par rapport à l'édifice moléculaire ou cristallin auquel ils appartiennent. Il apparaît alors un dipôle
induit qui est d'autant plus important que la liaison présente un caractère ionique marqué ; aussi cette
polarisation atomique ou ionique est-elle absente dans les molécules à liaisons covalentes.

458
24. Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
Comme le moment dipolaire induit, d'origine atomique ou ionique, se superpose au moment dipo-
laire électronique, on a, dans l'approximation linéaire :
p = aeoEi = (ae + aa)e0 E/
où aa désigne la polarisabilité atomique ou ionique de la molécule.
b) Polarisabilité atomique des molécules
On distingue deux types de molécules : les molécules non polaires, c'est-à-dire celles qui, en
l'absence de champ électrique, ne possèdent pas de moment dipolaire permanent, et les molécules polaires
qui, au contraire, possèdent un moment dipolaire permanent p0 .
Les molécules qui présentent un centre de symétrie ne sont pas polaires. C'est le cas des molécules
diatomiques homonucléaires, telles que H 2 , O 2 , Cl 2 , des molécules triatomiques telles que CO 2 et
des molécules à symétrie tétraédrique telles que CH4 et CCI 4 .
Les molécules polaires ne possèdent pas de centre de symétrie électrique, par exemple la molécule
diatomique hétéronucléaire HC1, la molécule triatomique H 2 O et la molécule NH 3 ; en général, le
moment dipolaire induit par un champ est faible devant po , de sorte qu'on peut le négliger.
Remarque : Dans le cas d'une molécule de faible symétrie, la relation entre p et E/, bien que linéaire,
n'est pas aussi simple : p et E/ ne sont plus colinéaires. La polarisabilité est un tenseur
d'ordre 2 que l'on explicite, dans une base à trois dimensions, suivant une matrice 3x3.
On écrit alors :
p = [a]e0E/
Ainsi, on définit pour une liaison chimique présentant une symétrie cylindrique deux po-
larisabilités, l'une a± associée à tout axe perpendiculaire à l'axe de la liaison, l'autre a//
parallèle à cet axe.
Proposons-nous de relier la polarisabilité atomique aa aux paramètres caractéristiques d'une
molécule. Pour cela, considérons une molécule AB hétéroatomique, tel que HC1. Sous l'action du champ
électrique local E/ le long de l'axe de la molécule, les deux atomes de masses respectives mA et
mB , porteurs des charges q et — q, se déplacent de r^ et rB par rapport à leurs positions
d'équilibre (Fig. 24.2). Le moment dipolaire a pour expression :
p = q(rA - rB)
En désignant par K la constante de rappel de la force élastique reliant les atomes, les équations
différentielles du mouvement s'écrivent :
mArA = -K(rA - rB) + qEi et mBrB = -K(rB - rA) - qEi
En présence de champ, l'équilibre de l'édifice se traduit par l'équation :
—K(rA — rB) + £/E/ = 0 puisque r^ = 0 et rB = 0
La constante K peut être exprimée en fonction de caractéristiques de la molécule ; en effet, en l'absence
de champ E/, on a :
K K
h = (rA - rB) et rB = — (r^ - rB)
mA mB

Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
459
d'où: :■ •• , 2 , x n 2 K mAmB
rA - rB + <y„ i (rA - rB) = 0 avec (ooi = — et /* = -
1 jul mA + mfl
La quantité />6 est la masse réduite de ce problème à deux corps (cf. Mécanique). On en déduit les
expressions du moment dipolaire et de la polarisabilité atomique :
2 2 2
" - q(rA - rB) = ^E, = -^E, d'où aa = —L
K" /i«2,. eo/*ft>„,,-
i4(ç) _E_ B(-ç)
i
f :--]T; U
*£?
FiG. 24.2.
c) Polarisabilité ionique des solides
Considérons le cas simple d'un cristal dont le motif élémentaire ne comporte que deux atomes A
et B, par exemple le chlorure de césium Cs + Cl ~ à maille élémentaire cubique centré (Fig. 24.3).
Sous l'action du champ électrique local E, et des forces d'interaction entre les ions du cristal, les
déplacements le long d'une arête du cube, autour des positions d'équilibre, satisfont aux équations
différentielles suivantes :
mnrn = -K(rn - r„_ {) - K(rn - rn+, ) + eE, pour Cs+
m//+ir/7+i = -K(rn+] - r„) - K(r„+X - r,?+2) - eE, pour Cl"
où m„ et mn+\ , avec n impair, désignent les masses de Cs + et Cl ~ respectivement. La grandeur K
est la constante de rappel, caractéristique du mouvement d'oscillation des ions autour de leurs positions
d'équilibre ; comme précédemment, il est préférable de l'écrire en fonction de la masse réduite jn du
système des deux corps Cs + et Cl ~ et de la pulsation caractéristique de ce mouvement :
2a = /hcûq ■ avec p, =
mn + mn+x
L'équilibre, en présence de E/, satisfait donc aux équations :
0 = -2Krn + K(rn+i + r„_,) + eE, et 0 = -2Kr„+x + K{vn+2 + rw) - eE,
Comme, du fait de l'invariance par translation dans le modèle du cristal, on a quel que soit n : r„ = r/7+2
et mn = mn+2 , ces équations donnent :
_ / N _ ^
*e — [fn — *n+\)e — 1TJ7
On en déduit la contribution au moment dipolaire et la polarisabilité par déplacement des ions du cristal :
Pi = e*n,e ~ er,i+\,e = ere = e2 — = a^E, avec a-, = y~
2K eoM^o,/
Le moment dipolaire total par maille s'écrit donc :
p = (ae+ + ae- + ûfjJeoE,
ae+ et ae_ étant les polarisabilités électroniques respectives du cation et de l'anion, et a, la
polarisabilité par déplacement d'ions. On en déduit la polarisabilité totale par maille : a = ae^ + ae^_ + a,.

460
24. Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
Ordre de grandeur : La constante de rappel K est de l'ordre de 16 N • m x ) d'où :
«/« 10~38m3
Pour avoir la polarisabilité a de la maille, il suffit d'ajouter les différentes contributions
électroniques : ae(Cs+) = 4,2xl(T29m3 et ae(C\~) = 3,732x 1(T29 m3 . On trouve a « l,8xl(T38m3.
1.5. — Polarisabilité d'orientation
Donnons d'abord un ordre de grandeur du moment dipolaire permanent po d'une molécule polaire.
Comme la charge du dipôle moléculaire et la distance interatomique sont respectivement de l'ordre de
q = e = 1,6 x 10~19 C et a = 0, 1 nm, p0 = qa est de l'ordre de 10~29 C • m . Aussi utilise-t-on
souvent une ancienne unité le debye D (cf. chapitre 5) :
1D = - x 10~30C-m
3
L'action d'un champ électrique stationnaire E/ sur un dipôle moléculaire, de moment p0 , se traduit
par le moment de force : p0 x E/. Sous l'action de E/, les dipôles moléculaires s'orientent suivant ce
champ, puisqu'ils sont soumis à un moment de force qui n'est nul que lorsque po et E/ sont parallèles.
Cependant cette orientation est contrariée par l'agitation thermique qui tend, au contraire, à répartir les
directions des dipôles de façon isotrope. Il faut donc déterminer l'orientation moyenne de ces dipôles et
plus précisément la valeur moyenne (po,z) de la composante de po suivant la direction e~ du champ
E/ = Eez. Dans l'hypothèse linéaire où (po,z) est proportionnel au champ, on définit la polarisabilité
d'orientation par aor selon :
Le calcul de la valeur moyenne de la projection de po suivant la direction du champ électrique a été
effectué pour la première fois par Debye, à partir des travaux du physicien français P. Langevin sur
le paramagnétisme, dans le cadre de la statistique de Maxwell-Boltzmann (cf. Thermodynamique). On
montre que la probabilité, pour qu'un dipôle, de moment dipolaire po , s'oriente dans la direction définie
par les angles 0 et <p des coordonnées sphériques (Fig. 24.4), a pour expression :
Sp = —po • E/ désignant l'énergie potentielle électrostatique du dipôle, ks la constante de Boltzmann,
T la température thermodynamique du système contenant les dipôles, dfl l'angle solide élémentaire
et C une constante de normalisation. La valeur de cette constante est obtenue en écrivant que la somme
des probabilités sur toutes les directions est égale à l'unité :
Calculons (po,z) :
(polZ) = C p0jZexp l -j-jr ) dll = C / p0cos 6 exp ( Po l — j sin 6 d 6 d<p

Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
461
Eit
iz
L 0 jù
$s
L/po
V3 ^^„
$dQ
2/
£{X)
FlG. 24.4.
<A),Z) = Po:
En introduisant la variable sans dimension X — pqE/IcbT , on obtient :
pOLTî rTT
/ d <p I cos 0 sin 0 exp(X cos 0) d 0
Jo Jo
/ d <p / sin 0 exp(X cos 6) d 0
Jo Jo
exp(Xcos 0)
soit, si on considère la fonction suivante :
F(X) = sin 6 exp(X cos 0) dO
Jo
sinhX
X
on trouve :
Ainsi :
ldf X
{po^=P°FdX=P0^hX
XcoshX — sinhX
x2
/ \ rrv\ rrv\ +u v [ expX + exp-X 1
(P0,Z)=P0C(X) avec £(X) = cothX- - = ^ _ ^_x - -
La fonction £(X), est appelée fonction de Langevin. La figure 24.5 donne l'allure de son graphe.
Lorsque X <C 1 :
2 + X2 1 1 (\ +X2/2\ 1 X
^ ^'~2X + X3/3 X xVl+X2/6y X~3
En revanche, pour X > 1 , £(X) « 1 - 1/X « 1 .
Ordre <fe grandeur : Si /?0 « 1 D, 7 « 300 K et E « 106 V • irr1 , alors :
p0E 10-30 x 106
X
£«7 3 x 1,38 x 10-23 x300
8 x 10"
Par conséquent, à moins que la température ne soit très basse ou le champ électrique très intense, X
est très faible. On en déduit, dans ces conditions, le moment dipolaire moyen suivant l'axe Oz et la
polarisabilité d'orientation aor :
(P0,z) =P0
X
3kBT'
E et a-or =
pI
3eoksT
Ainsi, contrairement aux polarisabilités électronique et atomique, la polarisabilité d'orientation aor
dépend de la température, ce qui permet de distinguer expérimentalement aor de ae et de aa . La
dépendance de aor avec la température est en \/T : on dit que aor suit une loi de Curie (cf. chapitre 25).

462
24. Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
Ordre de grandeur : À 300 K et pour po = 1 D , on trouve :
pi (3,33 x 10-30)2 x 36tt x 109 „ 98 ,
or 3e0kBT 3x 1,38 x 10"23 x 300
Remarque : On peut retrouver, par le calcul, la valeur moyenne nulle de la composante de po suivant
tout axe Ox perpendiculaire à E/ :
(Po.x) — C / cos ç d cp / po sin2 0 exp(X cos 6) d 0 = 0
en raison de l'intégration sur <p .
II. _ CHAMP LOCAL ET CHAMP MACROSCOPIQUE
Dans un milieu matériel, le champ local E/ qui agit sur un élément polarisable (atome, ion ou
molécule) diffère généralement du champ macroscopique E. Rappelons que ce dernier est un champ
moyen sur une longueur grande devant la distance qui sépare en moyenne deux éléments polarisables ; il
se met sous la forme de la somme du champ appliqué Ert , contrôlé par l'expérimentateur, et du champ
produit par la matière polarisée (cf. chapitre 21).
On adopte généralement deux expressions pour le champ local : la première, donnée en 1920
par H.A. Lorentz, est la plus utilisée, notamment dans l'étude des molécules non polaires ; la seconde,
proposée plus tard par L. Onsager en 1936, a permis d'interpréter les propriétés diélectriques des milieux
constitués de molécules polaires.
II. 1. — Modèle de Lorentz
Dans le modèle de Lorentz, on admet que la présence ou non de l'élément polarisable, au point où
on veut calculer E/, ne modifie pas sa valeur. Négligeant cette réaction du milieu, le calcul de E/ est
mené en considérant deux contributions :
i) l'une E/ ' produite par les sources extérieures et la matière relativement éloignée,
(2)
ii) l'autre E) } produite par les éléments de matière proches.
Le champ E} peut donc être considéré comme celui produit, en son centre M , par une cavité
sphérique, de rayon R (Fig. 24.6) ; R est choisi grand devant la distance moyenne d qui sépare deux
éléments polarisables, mais faible à l'échelle des variations du champ macroscopique E .
Fig. 24.6.

Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
463
Ce champ est tel que E = E, + E^, le champ Es étant celui créé par la boule remplissant la
cavité. Comme cette sphère est macroscopiquement petite, on peut la supposer uniformément polarisée,
d'où (cf. chapitre 21) :
E;(1) = E - E, avec E, = --—
Ainsi, E}0 =E + P/(3ê:o).
Le calcul de E/ ' est plus délicat, mais sa valeur est faible devant E/ ' et donc négligeable. Notons
qu'il est rigoureusement nul pour des matériaux isotropes tels que les cristaux cubiques et les matériaux
amorphes (cf. Exercices).
Finalement, le champ local de Lorentz ILL pour expression :
P
EL = E + —
3e0
II. 2. — Relation entre les vecteurs polarisation et champ électrique
Le vecteur polarisation volumique P est relié au moment dipolaire p par l'équation P = nvp
dans laquelle nv désigne le nombre d'éléments polarisables par unité de volume. On a donc :
P = nvp = nvaeoEi
Plusieurs cas se présentent suivant la relation entre le champ local E/ et le champ macroscopique E :
i) Dans les gaz très dilués :
E/ = E d'où P = nvaEoE
ii) Dans les gaz denses et les liquides :
E/ = E+-?- d'où P = nvae0(E+^-) et P = . w"a£° E
3e0 \ 3e0J 1 - nva/3
iii) Dans les milieux denses avec moment dipolaire permanent, le modèle de Lorentz ne convient
plus car on ne peut pas négliger la réaction qu'induit l'élément polarisable. Le modèle d'Onsager permet
de prendre en compte cette réaction ; le champ au centre M de la cavité est mis sous la forme :
E0„=gE+fp avec g = -^- et / = -L- ^ ' l)
Dans cette expression, le rayon R de la cavité est relié à nv par l'équation 47rnvR3/3 = 1 ; la
justification du choix des quantités g et f est assez laborieuse (cf. Exercices).
III. — POLARISATION DES FLUIDES
III. 1. — Gaz dilués. Formule de Langevin-Debye
a) Champ local
Dans le cas de gaz diélectriques sous faible pression, le milieu est suffisamment dilué pour que le
champ électrique local E/ qui s'exerce sur une molécule soit égal au champ macroscopique E dans le
diélectrique ; cela revient à négliger le champ créé par les molécules voisines devant E .

464
24. Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
Pour justifier cette hypothèse, considérons le champ produit par des molécules de moment dipolaire
p , à une distance d égale à la distance entre deux molécules ; il vaut approximativement :
1 p asç)E aE
Atteq d3 Aire^d3 Aird3
Le milieu est suffisament dilué si ce champ est très faible devant E :
-—-r- <C E soit d^> a puisque a ~ ae ~ Aira3
Aird3
Retenons donc : lorsque la distance d entre les molécules est très grande devant leur taille a , le champ
local est approximativement égal au champ macroscopique : E/ = E .
b) Formule de Langevin-Debye
Le moment dipolaire moyen d'une molécule est relié au champ E par l'équation :
p = (ae + aa + aor)e0E
avec aor = pl/(3eokBT) . En multipliant cette équation par le nombre nv de molécules par unité de
volume, on obtient la polarisation P volumique :
P = nvp — nvaeoE
Or P = xe£()E = (£ — £o)E = (er — 1 )eoE, dans le milieu supposé linéaire. Par conséquent :
Xe — er — 1 = nva avec a = ae + aa -j- aor
soit, puisque nv — NAp*/M , Na étant le nombre d'Avogadro, p* la masse volumique et M la masse
molaire :
(er- \)—. = NAa
P
Cette relation, entre la constante diélectrique relative er et la polarisabilité a des gaz sous faible
pression, est connue sous le nom de foi-mule de Langevin-Debye.
c) Résultats expérimentaux
On teste la validité de la formule précédente et donc du modèle correspondant en étudiant la
variation de {er — l)M/p* en fonction de la température.
Le tracé expérimental du graphe (er — 1 ) 103/p* en fonction de 103/T donne bien une droite pour
la plupart des gaz sous faible pression (Fig. 24.7).
L'ordonnée à l'origine permet de trouver (ae + aa) et la pente tan/3 de déterminer p0 . Par
exemple, pour le di-méthyloxyde CH 3 -O-CH 3 , on obtient :
a +a -766xl(n30m3 et tan E - A[(gr ~ ')/p*] - Nap1 ~14784p2(Pl
ae + aa-76,6x10 m et tan/ï- ^/T) ~ 3eokllM ~ M{g) PoV)
On a pu ainsi confirmer le caractère non polaire de molécules ayant un centre de symétrie (CO 2 , N 2 ,
etc.) et évaluer le moment dipolaire permanent de certaines molécules : /?hci ~ 1D et Ph2o ~ 1, 86 D .

Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
465
l
3-
2-
1-
(er -
l)103/p*
y*'
4—^—~f— 1
* 1 ■-*-
0 1
FlG. 24.7.
103/T
III. 2. — Gaz denses et liquides. Formule de Clausius-Mossotti
a) Cas des molécules non polaires
Pour les milieux denses de molécules non polaires, le champ local est le champ de Lorentz :
E +
3eo
On a donc la relation suivante entre P et E :
nvaEolL
d'où er — 1 =
nva
1 — nva/3 1 — nva/3
en identifiant à P = (er — 1 )£oE . On en déduit la relation entre nva et er :
er— 1 a?
£/-
nvr— avec cr = afe
Cette expression a été attribuée, par Lorentz, à Clausius et Mossotti, d'où le nom de cette formule. Très
souvent, on explicite nv qui vaut NAp*/M et introduit la polarisation molaire V . Il vient alors :
er— \ M a
er + 2p* 3
b) Comparaison avec l'expérience
On teste la validité du modèle de Lorentz et donc la formule de Clausius-Mossotti en
déterminant V à différentes températures, pour plusieurs valeurs de la pression et différentes phases. Pour
cela, on détermine la constante diélectrique relative er, par exemple en mesurant l'influence du
matériau étudié sur la capacité d'un condensateur, à l'aide d'un circuit résonnant à basse fréquence (cf.
Exercices).
Ordre de grandeur : Calculons la polarisabilité molaire du benzène (C 6 H 6 ) liquide, de constante
diélectrique relative er = 2,31 et de masse volumique p* = 900 kg.m-3 :
V
Er- 1 M
,31 0,078
£r + 2p* 4,31 900
On en déduit la polarisabilité du benzène selon :
3V 3 x26,34x 10~6
d'où V = 2, 63 x 10~5 m3 • mol"
NA
6,02 x 1023
= 1,31 x 10~28 m3

466 24. Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
Le tableau 24.3 est relatif à la molécule de dioxyde de carbone. On voit que V ne varie
pratiquement pas.
co2
T = 373 T
T = 273 T
état
gaz
liquide
pression (bar)
50
100
50
100
v=eL\M_ ( 3mol-i)
7,57 x 10~6
7,69 x 10~6
7,81 x 10-6
7,83 x 10"6
Tab. 24.3.
c) Cas des molécules polaires
Appliquons la formule de Clausius-Mossotti aux molécules polaires. Il vient, en tenant compte de
la polarisabilité d'orientation :
er-\ a 3 + 2nva
—=nv- avec a = ae + aa + aor d ou e,■ = —
er + 2 3 3 — nva
On devrait donc observer, pour une température T — Tc , telle que :
1 1
1 - nv(ae + aa)/3j
une valeur très importante de er, ce qui n'a jamais été le cas, notamment dans des milieux
diélectriques fluides, tels que l'eau, pour lesquels la température Tc est de l'ordre de la température ambiante.
C'est dans le but de palier cette déficience du modèle de Lorentz, qu'Onsager proposa d'interpréter le
comportement diélectrique des molécules polaires à l'aide d'un autre modèle plus élaboré.
IV. — POLARISATION DES SOLIDES
Les propriétés diélectriques dans les solides dépendent de la nature moléculaire ou ionique des
édifices qui occupent les sites du réseau.
IV. 1. — Cristaux moléculaires
Dans le cas des cristaux à molécules non polaires, le comportement diélectrique est globalement
celui des fluides correspondants : er est pratiquement indépendant de la température et la formule
de Clausius-Mossotti est généralement satisfaite. Notons cependant que, dans les cristaux, la position
moyenne des molécules qui vibrent reste fixe.
Ordre de grandeur : Pour le benzène, on trouve :
er ^2,60 et V = 2,670 x 10~5 m3.mol~] à l'état solide
er «2,31 et 7> = 2,654x lO^m^mol"1 à l'état liquide
nv(ae + aa H- aor) = 3 soit Tc
3£0kB
Les cristaux à molécules polaires ont, eux, un comportement différent des fluides correspondants, en
raison des interactions entre les molécules dans le réseau cristallin. C'est ainsi que dans le nitrométhane,

Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
467
de formule chimique CH 3 NO 2 , on observe un comportement très différent de er avec la température
(Fig. 24.8) : pour une température supérieure à la température de fusion 7)-, er varie comme \/T
conformément à la polarisabilité par orientation, alors que pour T < Tj , er est pratiquement constant ;
ce « gel » de l'orientation des molécules polaires est attribué à l'interactions entre les molécules placées
sur les sites du réseau.
501
[/
1/T
210 240 270
Fig. 24.8.
T(K)
IV. 2. — Cristaux ioniques
Sous l'action d'un champ électrique, les ions d'un cristal acquièrent un moment dipolaire, d'une
part en raison de la déformation de leurs nuages électroniques, d'autre part du fait de leur
déplacement relatif par rapport à leur position d'équilibre. Par conséquent, la polarisabilité d'un cristal ionique
présente deux contributions : la première d'origine électronique ae , la seconde liée au déplacement
relatifdes ions et donc appelée polarisabilité ionique a,.
Si on adopte pour E/ le champ de Lorentz, on obtient, comme précédemment :
er — 1 nva
avec
•*e+
+ ae_ + af
Remarque : Comme les ions ne sont pas neutres, le moment dipolaire dépend du point où on l'évalue.
La valeur adoptée pour p est généralement celle au point où se trouve le noyau.
IV. 3. — Cristaux seignetto-électriques ou ferroélectriques
Ces cristaux sont caractérisés par une très forte permittivité relative er, de l'ordre de 1 000 . On les
appelle communément ferroélectriques, par analogie avec les ferromagnétiques caractérisés eux par une
très grande perméabilité relative /nr, bien qu'ils ne contiennent pas de fer. (cf. chapitre 26). Le premier
ferroelectrique, le tartrate double de sodiun>et de potassium, fut découvert en 1672 à La Rochelle par
de Seignette, d'où le nom de sel de Seignette ou sel de Rochelle donné à ce composé, de formule
chimique : CO 2 K-CHOH-CHOH-CO 2 Na, 4H 2 O.
Les cristaux ferroélectriques possèdent une polarisation, même en l'absence de champ électrique
macroscopique, ce que l'on interprète à l'aide du champ local de Lorentz. En effet, s'il existe plusieurs
types d'ions de polarisabilité aj , on a :
J2w
j
nsafiQ E +
3eo
nj étant le nombre d'ions de type j par unité de volume. Il en résulte que :
:£o
1 -E/w/3

468
24. Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
On en déduit alors, puisque P — (er — l)e:oE :
J2jnJaJ
er- » =
i-E/'W3
et er
1 -E;'W3
Lorsqu'on fait varier la température, le terme J2jnjai/3 Peut> dans ces matériaux, prendre une valeur
égale à 1, ce qui rend er infini. La température est alors appelée température critique. Afin de rendre
compte des variations de er avec la température, développons la quantité (1 — J2jnjaj/3) autour de
sa valeur pour T = Tc . Il vient :
J2nJaj/3
On peut donc écrire :
$>,V3l -(T-TC)J^
j / jc J
d(njaj)
EAdinjajï/dT],
dT
1
E
d(njaj)
dT
(T-Tc)
T-Tc
^/L~ V7-7// "- \TC
Cette dépendance de er avec la température a été expérimentalement mise en évidence sur le titanate
de baryum (BaTiO 3 ) :
i) pour T < Tc , l'état du diélectrique est ferroélectrique,
ii) pour T > Tc , l'état n'est plus ferroélectrique.
Le tableau 24.4 donne les températures de transition de quelques cristaux ferroélectriques : le
tellure de germanium (GeTe) qui a la structure du chlorure de sodium, le phosphate de potassium dihydro-
géné (KH 2 PO 4 ) appelé brièvement KDP, le phosphate de potassium deutéré (KD 2 PO 4 ) ou KD * P
et le titanate de barium (BaTiO 3 ).
Matériau
TC(K)
GëTe
670
KH2PO4
123
KD2PO4
213
BaTi03
393
Tab. 24.4.
Remarque : Observons que, dans KDP, le remplacement des atomes d'hydrogène par des atomes de
deutérium se traduit par une augmentation sensible de la température critique Tc , ce qui
rend le composé deutéré KD * P plus intéressant dans l'utilisation optique des
ferroélectriques.
L'interprétation microscopique de la ferroélectricité s'appuie largement sur la symétrie cristalline
des matériaux. On associe généralement la ferroélectricité à une dissymétrie de la maille cristalline
qu'une température supérieure à la température de transition fait disparaître.
Par exemple, dans le cas de BaTi03, on admet que l'ion Ti4+ a une énergie potentielle dont le
graphe en fonction de la coordonnée position présente un maximum entre deux minima symétriques
(Fig. 24.9).
Pour une température supérieure à Tc , l'agitation thermique est forte et l'ion oscille autour de la
position moyenne O ; la structure cristalline est alors symétrique.
Lorsque la température est inférieure à la température critique, l'agitation thermique est faible et
l'ion n'oscille plus qu'autour de l'une des positions 0\ et <92 décalées par rapport à O ; la structure
cristalline présente alors une dissymétrie qui confère au site considéré un moment dipolaire permanent.

Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
469
Comme ces moments dipolaires sont orientés de la même façon sur un grand nombre de sites, dans un
domaine de quelques mm 3 , il en résulte une polarisation « spontanée ». Notons que, dans ce cas, er
n'a plus de sens.
Dans le KDP, le groupe ionique (H2 PO 4 ) ~ forme lui-même un dipôle en raison des positions
dissymétriques des atomes d'hydrogène.
A Énergie potentielle
FiG. 24.9.
ô
Coordonnée
de position
KK
O
&TS
oK
K>
FIG. 24.10.
IV. 4. — Cristaux piézoélectriques
La piézoélectricité est la propriété qu'ont certains cristaux de modifier leur polarisation sous l'effet
d'une contrainte et, réciproquement, de se déformer lorsqu'on change leur polarisation par un champ
électrique appliqué. Elle a été découverte et interprétée par les frères Curie (Pierre et Paul) en 1880. On
constate d'une part que la relation entre la polarisation et la contrainte est linéaire, et d'autre part que
cet effet n'apparaît pas sur des cristaux ayant un centre de symétrie.
Les schémas de la figure 24.10 permettent d'en comprendre la raison. Dans le premier cas où il y a
un centre de symétrie électrique K, les barycentres ÂT+ et K_ des charges -j- et — du domaine
cristallin coïncident encore en K lorsqu'on exerce une contrainte. Dans le second, l'effet piézoélectrique
existe car le centre du domaine cristallin n'est pas centre de symétrie électrique. Sous l'effet d'une
contrainte, K+ et K_ ne coïncident plus. Il apparaît alors une polarisation du cristal.
Les substances piézoélectriques les plus connues et les plus utilisées sont le quartz (SiO 2 ) et le
titanate de baryum qui est aussi ferroélectrique. Elles ont de très nombreuses applications, notamment
en régime variable : par exemple, dans la mesure des forces, des pressions et des épaisseurs, dans la
réalisation de capteurs électromécaniques, dans la production et la réception d'ultrasons, enfin dans la
stabilisation des horloges et des montres.
CONCLUSION
Rappelons les points essentiels.
(1 ) La polarisabilité a est la quantité telle que :
p = ae0Ei
p étant le moment dipolaire d'un édifice atomique, moléculaire ou ionique et E/ le champ local qui
s'exerce sur cet édifice.
(2) La formule de Langevin-Debye, relative aux gaz dilués de molécules polaires ou non polaires,
relie er à la polarisabilité :
er — 1 = nva avec a = ae -j- aa + ol0

470
24. Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
ae étant la polarisabilité électronique, a(l la polarisabilité atomique et aor = p^/(T>e$kBT) la polari-
sabilité d'orientation des molécules polaires.
(3) La formule de Clausius-Mossotti est, elle, relative aux gaz denses et aux liquides constitués de
molécules non polaires ( p0 = 0 ) :
er — 1 nva
= avec a = ae + aa
er + 2 3
le terme (er + 2) et le facteur 3 aux dénominateurs étant attribués au champ local de Lorentz
d'expression : EL = E + P/(3eo) •
(4) Dans le cas de cristaux ioniques, la relation entre £ç> et la polarisation s'écrit, comme dans le
cas précédent :
er — 1 nva
= avec a — ae+ + ae- + a,-
£r + 2 3 +
ae+ , ae- et a,- désignant respectivement les polarisabilités électroniques du cation, de l'anion et la
polarisabilité par déplacement des ions. Là aussi, le champ local à considérer est le champ de Lorentz.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P24- 1. Polarisabilité électronique de divers atomes
Comparer les polarisabilités électroniques expérimentales des atomes Li, Be et K à celles prévues
par la théorie classique de Mossotti. On donne les valeurs suivantes de ae et du rayon atomique ra :
(ae)LÏ = 1,51 x l(T28m3 (ae)Be = 0,70 x 10"28 m3 (ae)K = 4,27 x 1(T28 m3
(^)lî = 157 pm (ra)Be = 112 pm (ra)K = 235 pm
P24- 2. Polarisabilité d'orientation de l'ammoniac
Quelle est la polarisabilité d'orientation, à 900 K, de la molécule d'ammoniac, dont le moment
dipolaire est 2 D ? En déduire la valeur moyenne du moment dipolaire induit par molécule dans la
direction d'un champ électrique appliqué de 30 kV • m-1 .
P24- 3. Polarisabilité électronique de l'atome d'hydrogène
Dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, on suppose que l'électron a une trajectoire
circulaire, de rayon aç>, autour du proton. On admet que, sous l'action d'un champ électrique appliqué E„
perpendiculaire au plan de la trajectoire, ce dernier se trouve à une distance d du proton (Fig. 24.11).
1. En exprimant que, sous l'action de la force exercée par le proton et celle due au champ appliqué,
la trajectoire de l'électron est plane et circulaire, établir la relation entre d, Ea et a$ . Quelle doit-être
la valeur de Ea pour que le déplacement d soit égal à ao/100 ? On rappelle la valeur #0 = 52,9 pm.
2. Calculer le moment dipolaire de l'atome. Trouver l'expression de la polarisabilité de l'atome en
fonction de ciq . Comparer ce résultat à celui du modèle de Mossotti.

Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
471
*** Proton T"^..
/ Électron
FIG. 24.11.
P24- 4. Mesure de la constante er d'un diélectrique à basse fréquence
Un générateur de tension sinusoïdale alimente un circuit série RLC. La capacité C est celle d'un
condensateur variable, de capacité Cv , en parallèle avec un condensateur, de capacité Cq . Lorsque
l'on remplit l'espace, entre les armatures de ce dernier, d'un diélectrique de permittivité relative er, la
fréquence de résonance du circuit passe de la valeur vr à v'r. Exprimer er en fonction de Q , Cv et
du rapport vr/v'r.
P24- 5. Polarisabilité molaire du diazote
Calculer la polarisabilité molaire du diazote gazeux, à T = 273 K, sous 200 bai , sachant que
sa permittivité relative est er = 1, 125 et sa masse volumique p* = 248 kg • m-3 . En déduire la
polarisabilité a.
P24- 6. Calcul du champ électrique au centre d'une cavité sphérique
Calculer le champ électrique produit, au centre O d'une cavité, par la distribution surfacique
sphérique de charge suivante : an = P • n = —PcosO, 6 étant l'angle que fait un rayon OM avec le
vecteur constant P et n la normale extérieure à la surface de la cavité au point M (Fig.24.12).
Vk
nA
M
O
FIG. 24.12.
P24- 7. Contribution au champ local ^^^
On se propose de déterminer la contribution au champ électrique local E/(0), due à un ensemble
de molécules identiques, polarisées selon une même direction et situées à l'intérieur d'une sphère de
centre O , dans les cas d'un cristal cubique simple et d'un matériau amorphe.
1. Calculer, au centre O d'un réseau cubique simple, le champ électrique créé par les six dipôles
proches voisins situés à la distance a de O .
2. Quel est, en un point O d'un milieu amorphe, le champ électrique créé par un grand nombre TV
de dipôles placés de façon aléatoire autour de O ?

472
24. Étude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
P24- 8. Polarisabilité du cristal ionique NaCl
Déterminer la polarisabilité ionique du cristal NaCl ainsi que sa polarisabilité totale. On prendra
comme valeur de la constante de rappel K = 42 N • m-1 et on utilisera les données du tableau 24.2.
P24- 9. Calcul du facteur g du champ d'Onsager
Une cavité sphérique, de rayon R et de centre O, creusée dans un milieu linéaire, homogène, de
permittivité relative er, est soumise à l'action d'un champ électrique appliqué, uniforme, Ea = E(l ez
(Fig. 24.13).
1. Exprimer, en coordonnées polaires ( r, 6 ), le potentiel Va associé à Ea . On prendra l'origine
de Va en O.
2. En présence de la cavité, la fonction potentiel peut se mettre sous la forme :
Vex=(l-A^\va et Vin = (l-A)Va
Vex et y in étant les potentiels à l'extérieur et à l'intérieur de la cavité. À l'aide des conditions aux
limites, déterminer la constante A en fonction de er. En déduire le facteur g tel que E,-„ = gJLa . Que
peut-on dire du champ Ein ?
y<o
o
^o ,.
Fig. 24.13.
■ '&&&?
£'■
r S
P
" K €°
Fig. 24.14.
eQer:
4
j
P24- 10. Calcul du facteur / du champ d'Onsager
On considère un dipôle de moment p au centre O d'une sphère, de rayon R, creusée dans un
milieu matériel, de permittivité relative er (Fig. 24.14). En coordonnées polaires (r, 0), la fonction
potentiel peut se mettre sous la forme :
A'R3 cos6 xr xr A'r v pcosd
yex=yd--A 5" et Vi« = Vd-Z COS0 OU Vd=J «
est le potentiel créé par le dipôle dans le vide, Vex et Vi„ les potentiels à l'extérieur et à l'intérieur de
la sphère. À l'aide des conditions aux limites, déterminer la constante A' en fonction de er, p et R .
En déduire le facteur / tel que E/n — E^ =/p , Ej étant le champ créé par le dipôle dans le vide.

25
Etude microscopique du paramagnétisme
et du diamagnétisme
Nous avons vu que les propriétés magnétiques d'un milieu matériel, en régime stationnaire,
pouvaient être décrites par le champ d'aimantation volumique M (cf. chapitre 22). Lorsque le milieu est
linéaire, homogène et isotrope, M est relié au champ magnétique macroscopique B par l'équation :
M = Xm —
Mo
Xm étant la susceptibilité magnétique du milieu ; cette quantité est positive et vaut typiquement 10-3
pour les corps paramagnétiques et alors qu'elle est négative et de l'ordre de —10~~5 pour les corps
diamagnétiques.
Nous nous proposons, dans ce chapitre, de donner une interprétation microscopique de ces effets
magnétiques faibles, en écartant provisoirement les effets magnétiques forts, lesquels apparaissent dans
le ferromagnétisme et la supraconductivité (cf. chapitres 26 et 27).
L'origine des propriétés magnétiques de la matière ne peut pas être expliquée dans le cadre de
la physique classique, ainsi que l'a montré, en 1920, la physicienne hollandaise J.H. Van Leuwen :
classiquement, un système de particules chargées, placées dans un champ magnétique stationnaire, et
en équilibre thermodynamique avec un thermostat, ne peut pas posséder de moment magnétique. Aussi
les résultats de la physique quantique sont-ils indispensables à l'analyse.
I. — ORIGINES MICROSCOPIQUES DU MAGNÉTISME
1.1. — Moment magnétique atomique
Dans une description classique d'un atome, l'attraction électrique exercée par le noyau sur un
électron (masse me , charge — e ), orbitant autour de lui, est la force centrale de Coulomb ; le moment
cinétique L de l'électron, au point pratiquement fixe où se trouve le noyau, est alors constant et le
mouvement est plan (cf. Mécanique). En supposant ce mouvement circulaire, nous avons, en Vabsence
de champ magnétique appliqué :
L = rx me\ — mer coq n
où n est la normale au plan de la trajectoire, r le rayon du cercle décrit, v la vitesse de l'électron et
coq le rapport v/r (Fig. 25.1 ).

474
25. Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
O
(me,-e)
\ p
FIG. 25.1.
Cette orbite de l'électron peut être assimilée à une boucle de courant d'intensité 11 = dq/ dt = — e/T
où T = lirrjv est la période du mouvement. Un tel dipôle magnétique est caractérisé par le moment
magnétique :
? e o
jx = iSn = 'nrr n = — -co^r n
Ainsi, en l'absence de champ magnétique, |x et L sont proportionnels :
IL = yeL ou ye = -——
2me
est le rapport gyromagnétique de Vélectron. Pour un atome comportant Z électrons, on ajoute vecto-
riellement les différentes contributions :
1
L = ]P r/ x me\i et jx = - ^ rf- x (-é?vf-)
Par conséquent, la relation entre le moment cinétique orbital L et le moment magnétique associé jx
reste identique : jx = yeL .
1.2. — Moment magnétique macroscopique
Considérons un volume, macroscopiquement petit AV , contenant un grand nombre À/V de sites,
tel qu'entre V , AV et la distance intersites d, on ait la double inégalité : J3 « Aî^ « V .
L'aimantation de l'élément AV s'obtient en sommant les moments magnétiques jx, des À7V sites.
En fonction du nombre de sites par unité de volume, nv — AN/AV , l'aimantation volumique s'écrit :
A A A t A/V
_ AA4 _ ! v^ _ 1
1=1
(|x)A7V = nv (jx)
où (|x) représente le moment magnétique moyen par site.
1.3. — Champ magnétique microscopique et champ magnétique macroscopique
Comme dans le cas des diélectriques (cf. chapitre 24), le champ magnétique local qui agit
effectivement sur un moment atomique est la somme du champ appliqué Bw créé par les sources extérieures,
et du champ créé par le reste de la matière. Cependant, la situation est ici plus simple car,
l'aimantation des matériaux étant supposée faible ( \x,n\ ^ 1 ), on peut confondre le champ local et le champ
appliqué. Aussi ce dernier sera-t-il noté simplement B .

Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
475
1.4. — Quantification du moment magnétique orbital
En physique quantique, le moment cinétique orbital L est quantifié et le quantum de moment
cinétique vaut h — 1,05 x 10-34 J.s (cf. Physique quantique). La projection de L sur une direction
quelconque, par exemple Oz, est un multiple entier de ce quantum :
Lz = mgh
m g étant un entier positif, négatif ou nul. La valeur absolue de cette composante est inférieure à la
norme ||L|| du moment cinétique, elle-même quantifiée selon :
||L||2 = ^+l)fi2
£ étant un entier positif ou nul, ce qui autorise un ensemble discret de 2£ + 1 valeurs :
m£ = -£,-£ + 1,... ,0,1,2,... ,£- \,£
Comme la relation linéaire entre moment cinétique orbital et moment magnétique est encore valable, ce
dernier prend les valeurs discrètes suivantes :
fi£7 = yLz = mgyh avec y = -— et \mg\ ^ £
2m
Pour un électron, le quantum de moment magnétique, ou magnéton de Bohi% vaut :
Vb = \je\h=^- =9,27 x 10~24 J-T"1 d'où fi£tZ = -miiiB
lme
Pour un proton, le quantum de moment magnétique, ou magnéton nucléaire, est :
eh v
l±n = -— d ou n^z = mziLn
lmp
Notons que les moments magnétiques nucléaires, dus au moment cinétique orbital des protons à
l'intérieur des noyaux, sont très faibles devant les moments électroniques :
^ = — « ] < \
Hb fnp 1838
Les propriétés magnétiques de la matière sont donc essentiellement attribuées aux électrons.
1.5. — Quantification du moment magnétique de spin et du moment magnétique total
a) Spin
L'expérience de Stern et Gerlach a montré, en 1922, que des atomes dépourvus de moment
cinétique orbital L(£ = 0) étaient déviés par un champ magnétique non uniforme (cf. Physique quantique).
Le moment magnétique correspondant est attribué au moment cinétique intrinsèque de l'électron ou
spin S , dont la projection suivant une direction, par exemple Oz , est quantifiée et prend les deux
valeurs suivantes :
Sz = msTi = ± — h
Le rapport gyromagnétique correspondant est sensiblement le double de celui relatif à L : y « 2ye.
Ainsi la projection du moment magnétique de spin suivant Oz, s'écrit :
Avz ~ 2yeSz = —2msjubB = =FAi£
Les neutrons et les protons ont également un spin, ce qui apporte une contribution supplémentaire au
moment magnétique des noyaux.

476
25. Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
b) Moment magnétique total
Le moment magnétique atomique total est la somme des moments magnétiques orbitaux et de spin
de l'ensemble des Z électrons de l'atome, si l'on néglige la contribution bien plus faible du noyau. Il
est alors proportionnel au moment cinétique total J = L + S , dont la quantification s'exprime par des
relations analogues à celles de L et S :
IUII2 =y(/+ Oft2 ^ jz = mjh K| ^;
Les différentes valeurs possibles de la projection julz s'écrivent :
Mz = -tnjg/iB
où g , facteur de Lande, est un nombre sans dimension qui prend en compte à la fois les effets orbitaux
et les effets de spin.
II. — INTERACTION D'UN MOMENT MAGNÉTIQUE AVEC UN CHAMP
II. 1. — Précession d'un moment magnétique rigide. Pulsation de Larmor
Nous savons que l'interaction d'un dipôle magnétique rigide, de moment |x, avec un champ
magnétique B , est caractérisée par l'énergie potentielle 8pm = — |x • B . On peut en déduire la force et le
moment du couple qui agissent sur ce dipôle :
F,„ = grad(|x B) et r = |x x B
Pour un tel dipôle, il vient, en choisissant Oz selon B : Fm = grad(yu,z#) = yiizgrad#, d'où Fm = 0
si le champ est uniforme.
Étudions l'influence du moment T, en appliquant le théorème du moment cinétique au centre de
masse du dipôle. Il vient :
dL ^ dix ^
= ix x B soit = ye\x x B
dt dt
dans le cas du moment orbital d'un atome (jx = yeL).
Multiplions scalairement l'équation précédente par B//? = ez :
ez • -jy = ye([x x B) • ez d'où -^ = 0 et julz = Cte
De même, multiplions scalairement l'équation vectorielle par jx . Il vient :
M-^7 = r. (M-x B) ■ H d'où 1(y)=°
Ainsi, la composante julz de jx suivant la direction de B et sa norme sont constantes ; l'angle 6 que
fait |x avec B est constant (Fig. 25.2 ). Il en résulte que la valeur de l'aimantation dans la direction du
champ, Mz = J2i=l Wz, n'est pas modifiée.
En outre, l'équation à laquelle satisfait jx s'écrit :
dix .du,-. _. eB
—— = — yelï x |x soit —— = llL x |x avec llL = —yeB = -— ez
dt dt 2me
L'extrémité du dipôle magnétique décrit donc un cercle d'axe Oz avec une vitesse angulaire
fit = —yeB appelée pulsation de Larmor (cf. Mécanique).

Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
411
*~y
FlG. 25.2.
II. 2. — Influence d'un champ magnétique sur un moment magnétique atomique
En présence d'un champ magnétique B , l'état mécanique d'une particule chargée est décrit par le
vecteur position et son moment linéaire P, appelé aussi quantité de mouvement généralisée ou
impulsion (cf. Mécanique) :
P = p + qA
où A est le potentiel vecteur associé à B et p la quantité de mouvement classique qui vaut mv en
physique non relativiste.
Le moment cinétique généralisé, ou moment angulaire, est alors défini au point fixe O selon :
L = OA x P = r x mv + r x qA
Quant au moment magnétique, il vaut toujours jx = r x q\/ 2 = isn .
Pour un électron orbitant autour d'un noyau fixe, on a donc :
1 e
|x = —r x e\ = r x me\
2 2mP
2mP
2me
-r x A
En supposant le champ B uniforme, ce qui est une hypothèse raisonnable puisque la région de l'espace
considérée est très réduite, un choix possible de potentiel vecteur est A = B x r/2 (cf. chapitre 11 ). Si
l'on choisit l'axe Oz selon B , les composantes de A et de r x A s'explicitent respectivement selon :
0
0 x
B
x
y =
z
-yB/2
xB/2
0
et
x
y x
z
-yB/2
xBy/2
0
-Bxz/2
-Byz/2
B(x2+y2)/2
Par conséquent, le moment magnétique \x a pour composantes :
e
2mP
e2B
4mP
—xz
-yz
x2 + y2
La composante julz du moment magnétique selon le champ s'écrit :
e2B
Vz = -^—Lz
Zme
4m,
(x2+y2)=^ + ^
avec :
e
K
-Lz = yeLz et /xz
e2B
(*2+.v2)
2me " ' * L z 4me
On distingue ainsi deux contributions : la première, indépendante du champ magnétique, est à l'origine
du paramagnétisme ; la seconde, induite par le champ, est à l'origine du diamagnétisme.

478 25. Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
Ordre de grandeur ; Pour un électron atomique décrivant une orbite circulaire, de rayon r, dans le
plan Oxy, on a :
2 2 2 j> v M? eBr
L~ = merv et xr + y = r d ou —f ~
plz 2mev
Comme, dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène, le modèle de Bohr conduit à : r = a® = 53 pm,
v — c/137 , il vient, pour un champ magnétique de 1 T :
^~2x 10-6<1
Le diamagnétisme atomique est donc beaucoup plus faible que le paramagnétisme.
II. 3. — Théorème de Larmor
Examinons le mouvement d'un électron atomique dans le référentiel TV , dit de Larmor, qui tourne
avec une vitesse angulaire £lL autour de Oz (Fig. 25.3 ).
z't
1 n>
\°
>z
\ /**
tC^
r yoi^n'
'yc^^ /
*x fit
Fi
G. 25.3.
Dans TV non galiléen, l'électron est soumis, en plus de la force électrique due au noyau
Fe et de la force magnétique Fm = — ex x B, aux forces d'inertie d'entraînement de rotation
Fie = —me€ÏL x (ilL x r) et de Coriolis F/c = —2meflL x v', où v' est la vitesse de l'électron dans
TV . Entre v et v', on a la relation suivante issue de composition newtonienne des vitesses (cf.
Mécanique) :
v^v' + ^xr
La loi fondamentale de la dynamique dans TV s'écrit donc :
dv' / 2/77
me—— = Fe — ex xB — mcftL x (QL x r) - 2meQL x (v — ftL x r) « Fe — ex x ( B -QL
en négligeant les termes en £i\. Il vient, en tenant compte de l'expression de la pulsation de Larmor
ftL = eB/(2me) :
dv' ^
me— ^Fe
dr
Cette approximation est légitime puisque, selon le modèle de Bohr, on a :
F Ci2 a2 v c
— = —L-~- avec HL = 88 x 109 xB rad-s"1 et — = -——= 41 x 1015 s"1
Fe v1 ao 137ao
Ainsi, pour un champ magnétique de 1 T, le rapport de ces forces est inférieur à : 4,5 x 10-12 . On en
déduit qu'en présence d'un champ magnétique extérieur, le mouvement de l'électron, dans le référentiel

Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
479
de Larmor, est le même que dans le référentiel du laboratoire en l'absence de ce champ. Ce résultat
constitue le théorème de Larmor :
Sous l'action d'un champ magnétique B , un atome effectue un mouvement global de précession
autour de ce champ, à la vitesse angulaire ilL proportionnelle à B , sans modification de sa structure
interne.
II. 4. — Mise en évidence de la quantification des moments magnétiques
La quantification des moments magnétiques et donc aussi celle des moments cinétiques des atomes
peuvent être mises en évidence expérimentalement à l'aide d'un champ magnétique. En négligeant la
contribution diamagnétique, l'énergie potentielle d'interaction s'écrit :
£pm = -M* B = -pJlB = m}giiBB
Le niveau d'énergie de l'atome (ou du noyau), caractérisé par une valeur de j, se divise alors en un
ensemble de 2/ + 1 niveaux séparés de g/AsB, correspondant aux différentes valeurs possibles de
rrij, d'où le nom de nombre quantique magnétique donné à rrij . Si un tel niveau est impliqué dans
une transition électronique qui provoque une émission de lumière, la radiation émise est remplacée, en
présence du champ magnétique, par une série de raies séparées en énergie de g^B . Ce phénomène est
connu sous le nom d'effet Zeeman (du nom du physicien allemand P. Zeeman).
Ordres de grandeur : Pour des champs usuels ( B ~ 1 T ), on a :
fiBB ~ 1(T24 J - 6 x 1(T5 eV = 60 jxeV et jj,nB - 5 x 1(T27 J - 3 x 1(T8 eV = 30 neV
D'autre part, l'absorption d'un rayonnement électromagnétique, lors d'une transition électronique
(respectivement nucléaire) entre deux niveaux successifs, est réalisée si hve — gusB (respectivement
hvn = gnjunB ). C'est la résonance magnétique électronique (respectivement nucléaire).
Pour g = 1 et B = 1 T, ve = 1,4 x 1010 Hz = 14 GHz et Ae = c/ve ~ 2 cm .
Pour gn = 2,79 (cas du proton) et B = 1 T, vn = 21 MHz et A„ = c/vn « 14 m .
III. — PARAMAGNÉTISME
III. 1. — Origine du paramagnétisme
Le paramagnétisme résulte d'un effet d'orientation des moments magnétiques microscopiques
préexistants dans le matériau, sous l'action d'un champ magnétique extérieur. Le paramagnétisme
s'apparente donc au phénomène de polarisation d'orientation dans les diélectriques constitués de molécules
polaires (cf. chapitre 24).
Dans les matériaux solides isolants, les moments magnétiques sont localisés sur des atomes ou des
ions. Ces derniers doivent donc posséder un moment cinétique total non nul.
Comme les différents états électroniques ne sont occupés que par un seul électron (principe
d'exclusion de Pauli), dans une sous-couche électronique complète donnée (i fixé), la moitié des
électrons ont des moments magnétiques dont les valeurs, en projection sur un axe, sont négatives
(ing — —£,... , —2, —1 et ms — —1/2), et l'autre moitié ont des moments magnétiques dont les
valeurs en projection sur un même axe sont positives (me = 1,2,... , £, ms = 1 /2).

480
25. Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
11 en résulte qu'un matériau paramagnétique est nécessairement constitué d'atomes ou d'ions qui
possèdent une sous-couche électronique incomplète. C'est notamment le cas pour les ions des éléments
de transition à couche d (£ — 2) incomplète et pour les ions de terres rares à couche / (£ = 3)
incomplète. Par exemple, Fe 3+ , qui possède 5 électrons célibataires, et Gd 3+ , qui possède 7 électrons
célibataires, sont paramagnétiques.
III. 2. — Théorie de Brillouin et Van Vleck
Considérons un matériau isolant contenant des ions dotés d'un même moment magnétique
permanent, caractérisé par le nombre quantique j. Les différents sites sont supposés suffisamment éloignés
les uns des autres pour que l'on puisse négliger les interactions magnétiques entre eux. Placés dans un
champ magnétique extérieur B = Bez, chaque moment a tendance à s'orienter suivant ce champ.
Cependant ce mécanisme est contrebalancé par l'agitation thermique qui tend à lui donner une
orientation totalement aléatoire. C'est ce dernier processus qui conduit, en l'absence de champ appliqué, à une
orientation statistiquement isotrope des moments magnétiques et donc à (\x) = 0 .
La probabilité pour qu'un moment magnétique possède une composante i±z de valeur —mjgpLB ,
c'est-à-dire une énergie d'interaction £m. = mjgjmBB, est proportionnelle au facteur de Boltzmann
(cf. Thermodynamique) :
Pm = Cte x exp
kBT,
où kB est la constante de Boltzmann et T la température absolue. On détermine la constante en écrivant
que la somme des probabilités est égale à 1 :
f
Cte-1
£ exp("
kBT
Si nv désigne la densité volumique totale des moments magnétiques et nm la densité volumique de
moments dont la projection suivant une direction Oz a la valeur julj = —mjg/uLB , on a aussi :
Finalement, l'aimantation volumique a pour expression M = Mez = nv(jmz)ez, avec :
mjgpjBB\
J £„,-^exPL kT j
(^) = E -Pn.jmjgVB = 8»b -— ( *
kBT J
Le calcul conduit à :
M = nvgfiBjBj{X) avec X = J-^-
et JBj(X) la fonction de Brillouin (du nom du physicien français L. Brillouin) :
^^-(^)>(l)
Sur la figure 25.4 , on a représenté son graphe, pour quelques valeurs de j. Remarquons que, pour
j = 1/2 , Bi/2(X) = tanhX et, pour j = oc, #oo(X) s'identifie à la fonction de Langevin C(X) (cf.
chapitre 24).
Deux cas limites méritent d'être analysés :I<1 et X ^> 1.

Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
481
a) Approximation classique. Loi de Curie
L'approximation classique X <C 1 correspond au cas des faibles champs magnétiques et des
températures élevées : /uBB <C kBT. Le développement limité :
cothe = [expe + exp(—s)]/[expe — exp(—e)],
autour de e = 0, conduit à :
COth^M + - d'°Ù B>W"ic+m J 3 X (2^3
L'aimantation volumique est donc, dans ce cas, proportionnelle au champ B :
M=nvg2tâj(j+l)B
3kBT
ce qui permet d'en déduire la susceptibilitéparamagnétique par :
1 X j + 1 X
Xm = 3k T avec M = £wO + ! W
Nous retrouvons ainsi la loi de Curie en l/T :
C fi0nvfi2ef
Xm = - avec C - —-—L > 0
T 3kB
Cette valeur de la constante de Curie peut être directement déduite de la formule de Langevin (cf.
chapitre 24) en effectuant la transposition :
1
yu0 et p -► i±ef
juief représentant alors le moment magnétique effectif de la théorie classique. Cette limite X <C 1
correspond donc à l'approximation classique qui ignore la quantification. Ce résultat était prévisible
puisque l'écart des niveaux d'énergie est alors négligeable devant l'énergie d'agitation thermique, qui
est de l'ordre de kBT (cf. Thermodynamique). Cette approximation est valable pour les champs usuels :
pour B ~ 1 T et à température ambiante ( T œ 300 K), on a :
kBT « 2,5 x 10"2 eV = 25 meV et julbB « 6 x 10"5 eV = 60 jxeV

482
25. Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
La loi de Curie, qui révèle une forte dépendance de la susceptibilité magnétique avec la température
(en \/T) est bien vérifiée expérimentalement, pour la plupart des substances paramagnétiques. On
constate cependant certains désaccords, notamment lorsque la concentration des atomes (ou des ions)
devient trop importante. C'est ainsi que l'extrapolation de la courbe Xm en fonction de \/T ne passe
pas par 0. Ces désaccords doivent être attribués à l'hypothèse simplificatrice de l'absence d'interaction
entre les divers moments magnétiques.
b) Aimantation à saturation
Cette limite correspond au cas de champs intenses et de basses températures (julbB ^> kBT).
Comme coth s ~ 1 pour e ^> 1 , la fonction de Brillouin donne :
Bj(X) « —— — = 1 d'où M « nvgJiiB = Ms = nvfis avec fis = gjp,B
L'aimantation volumique tend donc vers une constante Ms qui représente Y aimantation à saturation,
c'est-à-dire celle obtenue lorsque tous les moments magnétiques sont orientés suivant le champ B ;
chaque composante [iz est alors maximale (m, = —j) et seul le niveau de plus basse énergie est
peuplé.
La saturation ne peut être observée qu'à très basse température et à l'aide de champs magnétiques
intenses. Ces conditions sont obtenues expérimentalement en maintenant un échantillon dans un cryostat
à hélium liquide, le champ magnétique étant souvent créé par des bobines supraconductrices.
III. 3. — Ordres de grandeur
L'accord entre la théorie précédente et l'expérience est excellent pour les ions de terres rares ; pour
les ions de métaux de transition, l'accord est bon à condition de ne tenir compte que du spin (J — S) :
tout se passe comme si le moment magnétique orbital était « bloqué ». Rappelons quelques valeurs de
susceptibilité paramagnétique à 300 K (cf. Tab. 25.1) :
FeCl3 liquide :
oxygène gaz :
Xm
3,27 x 10~3
2 x 10"6
Tab. 25.1.
Remarque : L'aimantation isotherme (à température constante) d'un échantillon paramagnétique
oriente ses moments magnétiques, ce qui diminue l'entropie du système (cf.
Thermodynamique). Une désaimantation adiabatique permet alors d'obtenir un refroidissement,
très efficace à très basse température de l'échantillon.
III. 4. — Paramagnétisme des électrons de conduction ou paramagnétisme de Pauli
Dans les métaux, il existe un paramagnétisme lié au spin des électrons de conduction (s = 1/2,
g = 2) . Les porteurs étant indiscernables, le calcul de la probabilité n'est plus donné par le facteur
de Boltzmann (cf. Thermodynamique) : la loi statistique classique de Maxwell-Boltzmann doit être
remplacée par la loi statistique quantique de Fermi-Dirac (cf. chapitre 7). On obtient alors une expression
de la susceptibilité magnétique, pratiquement indépendante de la température (cf. Exercices) :
_ 3fi0 nv p}B
Xm " 2£F
où Ep est l'énergie de Fermi. Pour le sodium, par exemple, Xm ~ 10-6 .

Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
483
IV. — DIAMAGNETISME
IV. 1. — Origine du diamagnétisme
Dans un matériau ne contenant pas d'ions ayant moment magnétique permanent, on observe
systématiquement une faible aimantation en sens inverse du champ magnétique appliqué B ; c'est le
diamagnétisme. On l'interprète comme un phénomène d'induction, au niveau microscopique, sous
l'action du champ magnétique appliqué (cf. chapitre 14) ; le sens de l'aimantation est ainsi bien conforme
à la loi de Lenz. La théorie du diamagnétisme s'appuie donc sur le calcul du moment magnétique
induit par un champ magnétique.
IV. 2. — Théorie semi-classique
En l'absence de moment magnétique permanent ( [xp = 0), le moment magnétique se réduit au
moment induit par le champ magnétique B . En choisissant l'axe Oz selon B , il vient, pour un atome
à un électron :
Pour un ion ou un atome contenant Z électrons, on somme les différentes contributions :
Son moment magnétique moyen dans la direction du champ s'écrit donc :
(^) = ~B(X2+y2) avec tf + f) = ij^tâ + fk)
Si l'atome a la symétrie sphérique :
(xy) = (zx)=0 et (x2) = (.y2) = (z2) = ~(r2) d'où (x2 + y2) = 2-(r2) = \r2q
rq désignant le rayon quadratique moyen de l'atome.
Pour un milieu possédant nv atomes par unité de volume, on obtient donc, puisque (/zjf) = (p^) = 0,
la relation suivante entre l'aimantation induite M et le champ B :
, nZe2r2
M = nv(iLd) = ——*-B
6me
d'où l'expression de la susceptibilité diamagnétique :
_ p0nv Ze2r2
Xm 7
Retenons que, contrairement à la susceptibilité paramagnétique, la susceptibilité diamagnétique est
négative et indépendante de la température.

484
25. Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
IV. 3. — Ordres de grandeur
Le diamagnétisme existe dans tous les matériaux, mais c'est un phénomène très faible, comme le
montre un calcul d'ordre de grandeur.
Si A est la masse molaire d'un matériau, constitué d'un seul élément chimique pour simplifier, et
p* sa masse volumique, il vient, puisque nv = NAp*/A :
ppNAp* Ze2r2q
A 6me
avec p* - 103 kg/m 3 , Z/A ~ 103/2 et rq~0,l nm. On trouve : Xm ~ -20 x 10~6 . Cet ordre de
grandeur est vérifié expérimentalement pour de nombreux corps :
(*m)H2o = -9, 1 x 1(T6 0u)Ag = -2, 64 x 10-6 0u)Cu = ~% 7 x 10~6
Le bismuth et Y antimoine possèdent une susceptibilité diamagnétique anormalement élevée que l'on
attribue au réseau cristallin et non à l'atome :
(*n.)Bi = -167 x ÎO"6 (;u)sb = -67,6 x 1(T6
d'où l'intérêt pédagogique du bismuth pour une mise en évidence expérimentale du diamagnétisme
(cf. chapitre 23). Lorsque ces corps sont fondus, on retrouve l'ordre de grandeur précédent.
Les gaz, qui ont des masses volumiques beaucoup plus petites, ont naturellement une susceptibilité
bien plus faible : par exemple, pour le dihydrogène et le diazote, à 300 K , on a :
(*m)H2 = -0,0022 x 10-6 (^7)n2 = -0,0067 x 10~6
Cependant, le rapport Xm/p* , de la susceptibilité magnétique sur la masse volumique, est du même
ordre de grandeur que pour le cuivre :
Les tables fournissent généralement la susceptibilité magnétique d'un volume molaire de matériau,
Xm,A , définie selon : Xm,A = XmMa/p* . Elle vaut, respectivement pour le cuivre et le diazote à 300 K :
9,7 x 10~6 x 63,54 x 10~3 „ ^_ , «
(*im)cu ~ l ^^ = -°>°69 x 10-9 m3 -mol"1
et:
(*/m)n2 ~ -0,0067 x 10~6 x 22,4 x 10~3 - -0, 15 x 10~9 m3 -mor1

Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
485
Remarques : (1) Les tables anciennes donnent les valeurs de Xm,A dans un ancien système d'unités, le
CGS non rationalisé, dans lequel les longueurs sont exprimées en cm et le facteur 477 est
absent de la loi de la loi de Coulomb. On passe de ces valeurs tabulées aux valeurs SI en
les multipliant par 4w x 10-6 .
(2) Il existe également un diamagnétisme lié aux électrons de conduction dans un matériau
conducteur qui se soustrait partiellement au paramagnétisme de Pauli.
(3) Dans les matériaux contenant des molécules cycliques, le diamagnétisme est plus élevé
car les électrons 77 sont délocalisés sur de grandes orbites ( rq grand) ; ainsi, pour le
benzène : (Xm,A)c(,H(-, = 0,69 x 10-9 m3 • mol-1 . Le graphite, dans lequel les électrons 77
évoluent entre des plans fixes de carbone, présente un diamagnétisme fortement aniso-
trope.
(4) En physique quantique, l'expression de la susceptibilité diamagnétique, est analogue,
mais la valeur de r1 est déterminée à partir de la forme des orbitales électroniques.
CONCLUSION
Retenons les points essentiels.
(1) Les sources microscopiques de l'aimantation sont les moments magnétiques des particules
constituant la matière. Ces moments sont proportionnels aux moments cinétiques orbital et de spin.
(2) Le paramagnétisme est un effet d'orientation des moments magnétiques permanents, existants
dans le matériau, par un champ magnétique appliqué : la susceptibilité magnétique est positive. Elle
dépend de la température selon une loi de Curie : \m = C/T ; une valeur typique est Xm ~ 10-3 •
(3) Le diamagnétisme trouve son origine dans les moments magnétiques induits ; il est
caractérisé par une susceptibilité magnétique négative très faible : Xm ~ —10~~5 . Ainsi, bien que toujours
présent, il est le plus souvent masqué par les effets paramagnétiques plus intenses. Il se distingue du
paramagnétisme également par son insensibilité à la température.
(4) Enfin, même si la physique quantique permet d'établir les expressions correctes de la
susceptibilité magnétique en fonction des caractéristiques microscopiques, les modèles classiques font
apparaître les paramètres pertinents et fournissent des ordres de grandeur satisfaisants pour la plupart des
matériaux.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P25- 1. Pulsation cyclotron et pulsation de Larmor
1. Quelle est l'influence d'un champ magnétique stationnaire sur la valeur de la vitesse d'un
électron ? Montrer que la loi fondamentale de la dynamique, appliquée à un électron plongé dans un champ
magnétique stationnaire B = Bez, fait apparaître une fréquence vc , appelée fréquence cyclotron, que
l'on calculera lorsque le champ vaut 1 T .
2. On admet qu'un électron décrivant une trajectoire circulaire autour d'un noyau est assimilé à un
dipôle rigide. Calculer la période du mouvement de précession du moment cinétique sous l'action d'un
champ magnétique stationnaire B = Bez avec B = 1 T.

486
25. Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
P25- 2. Théorème de van Leuwen (^)
On modélise un matériau magnétique par un système de charges, ayant des orbites circulaires
planes. On considère l'action d'un champ magnétique perpendiculaire au plan des orbites.
1. Rappeler l'expression de la susceptibilité paramagnétique x™ et l'exprimer en fonction de
l'énergie cinétique d'une particule.
2. On établit, en thermodynamique classique, que la valeur moyenne de chaque terme quadratique
dans l'expression de l'énergie vaut, à l'équilibre à la température T, kBT/2 , kB étant la constante de
Boltzmann. En déduire la valeur moyenne de Xm •
3. Rappeler l'expression de la susceptibilité diamagnétique xln • Calculer la susceptibilité
magnétique totale du matériau. En déduire le théorème de van Leuven relatif à l'inexistence du magnétisme
pour un tel système.
P25- 3. Résonance magnétique nucléaire (RMN) Cweb)
Dans l'eau, la susceptibilité magnétique nucléaire est due au spin des protons des atomes
d'hydrogène ; les noyaux des atomes d'oxygène n'apportent aucune contribution car le nombre de protons et le
nombre de neutrons sont pairs.
1. Rappeler l'expression de la loi de Curie pour la susceptibilité paramagnétique d'origine
électronique Xm • Sachant que le facteur gyromagnétique de spin du proton est 2,79 fois celui de l'électron,
trouver l'expression de la susceptibilité magnétique nucléaire x"}1 •
2. Calculer x'in dans l'eau> a température ambiante. En déduire le rapport Xm/Xm sachant que la
susceptibilité magnétique totale est Xm = 9 x 10~6 .
3. Quelles sont les valeurs possibles de l'énergie d'interaction magnétique d'un proton avec un
champ magnétique? Trouver la fréquence d'absorption d'un rayonnement électromagnétique par les
protons de l'eau, lors d'une expérience de résonance magnétique nucléaire dans un champ magnétique
de 1 T
P25- 4. Paramagnétisme de spins localisés
Un solide contenant des ions, de moment magnétique permanent jx — —2julbS , est plongé dans un
champ magnétique B , à une température T. Les ions sont suffisamment dilués pour que l'on puisse
négliger leurs interactions mutuelles.
1. Déterminer le rapport des populations des types d'atomes suivant l'orientation de leurs moments.
On suppose qu'ils obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann, c'est-à-dire que ces populations sont
proportionnelles au facteur de Boltzmann. A.N : B = 1 T, pour T = 300 K puis pour T = 2 K .
2. Quelle est l'aimantation de cet ensemble d'atomes ? En déduire qu'à haute température, la
susceptibilité magnétique Xm obéit à une loi de Curie en C/T, C étant une constante que l'on calculera.
3. Trouver l'ordre de grandeur de Xm , à température ambiante, pour un solide possédant 6 x 1025
ions magnétiques par m3 .

Étude microscopique du paramagnétisme et du diamagnétisme
487
P25- 5. Paramagnétisme des électrons libres (de Pauli) Cweb)
Dans un métal, les électrons libres d'un métal occupent les différents niveaux d'énergie £
inférieure à l'énergie de Fermi £F , en suivant la statistique quantique de Fermi-Dirac (cf. chapitre 7).
Chacun de ces niveaux n'est occupé que par deux électrons, un pour chaque état du spin S (principe
d'exclusion de Pauli).
1. Le nombre de niveaux compris entre £ et £ + d£ a pour expression : nv{£) d£ = A£]/2 d£,
A étant une constante. Calculer la constante A en fonction de £F et de la densité volumique
d'électrons n.
2. Le métal est placé dans un champ magnétique appliqué Ba = Ba ez. Sachant que chaque électron
possède le moment magnétique jx = —2julbS , trouver les nouvelles valeurs possibles £± de l'énergie
d'un électron d'énergie cinétique £k . En déduire l'aimantation en fonction des populations n+ et ri-
d'électrons d'énergies £+ et £_ .
3. Dans le cas où Ba — 1 T, T — 300 K et £p- = 5,6 eV , montrer que plbBci est très faible devant
kBT et £F . En déduire des valeurs approchées de l'aimantation et de la susceptibilité paramagnétique.
Comparer cette dernière à la susceptibilité due à des spins localisés, à température ambiante.
P25- 6. Diamagnétisme et loi de Lenz
On se propose de vérifier classiquement que le diamagnétisme résulte bien de la loi de l'induction
de Lenz. Pour cela, on considère une orbite électronique, de rayon constant r, placée dans un champ
magnétique B perpendiculaire au plan de l'orbite.
1. Montrer que le champ magnétique induit un champ électrique E qui provoque une modification
de la vitesse de rotation de l'électron. Etablir la relation suivante entre E et B :
rûB
2. En déduire le travail de la force électrique pendant la durée r d'établissement du champ
magnétique, de sa valeur initiale nulle à sa valeur finale B , sachant que la vitesse est peu modifiée.
3. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, montrer que, pour un électron, la composante
du moment magnétique orbital suivant le champ B diminue.
P25- 7. Rayon quadratique du bismuth
Calculer le rayon quadratique rq d'un atome de bismuth à partir de sa susceptibilité magnétique
qui vaut Xm = — 1,67 x 10-4 . La masse volumique du bismuth est p* = 9 800 kg.m ~3 , le nombre
de nucléons A = 209 et le nombre de protons Z = 83 .
P25- 8. Application du théorème de Larmor au diamagnétisme Cweb)
On se propose d'établir la formule donnant la susceptibilité diamagnétique à l'aide du théorème
de Larmor. Pour cela, on étudie l'action d'un champ magnétique appliqué B sur le mouvement orbital
d'un électron atomique, en admettant que cette action ne modifie pas la structure interne de l'atome.
1. Montrer que la variation du moment cinétique de l'électron, selon la direction du champ B , a
pour expression : ALZ = IzS\l » hz étant une quantité que Ton déterminera.
2. Retrouver l'expression de la susceptibilité diamagnétique dans le cas d'un atome à Z électrons.

26
Ferromagnétisme
Certains coips solides présentent une aimantation en l'absence de champ magnétique appliqué.
Cette aimantation spontanée, connue depuis l'Antiquité, est appelée le ferromagnétisme et les corps qui
la possèdent les ferromagnétiques.
Nous analysons d'abord le ferromagnétisme du point de vue macroscopique puis nous en donnons
une interprétation microscopique. Enfin, en raison de l'importance des applications du ferromagnétisme
dans le domaine de l'électricité industrielle, notamment dans la réalisation d'aimants artificiels et de
machines électriques, nous étudions quelques exemples de circuits magnétiques en soulignant au passage
les méthodes d'analyse de ce type de circuit.
I. _ ASPECT MACROSCOPIQUE
1.1. — Approche expérimentale
Plaçons un morceau de fer ou d'acier non aimanté, appelé noyau, dans le champ magnétique B
créé par un solénoïde parcouru par un courant stationnaire / (Fig. 26.1 ).
Noyau de fer
rd>-
Isolant
thermique
FIG. 26.1.
FlG. 26.2.
Nous observons les faits suivants :
i) S'il n'est soumis à aucune autre contrainte, le noyau est attiré par le solénoïde et s'immobilise
dans la région où le champ magnétique est le plus intense.

Ferromagnétisme
489
ii) Le champ magnétique au voisinage de l'ensemble solénoïde-noyau est plus intense après
l'introduction du noyau qu'avant.
iii) Si l'on coupe le courant dans le solénoïde alors que le noyau y est plongé, un champ magnétique
subsiste. Le noyau a été aimanté.
Les deux premiers résultats, attraction du noyau et augmentation de B, sont analogues à ceux
obtenus avec un matériau paramagnétique ; ils en diffèrent cependant de plusieurs ordres de grandeur :
avec un matériau paramagnétique, l'augmentation relative ne dépasse pas 10~3 , alors qu'avec un noyau
de fer elle peut atteindre 104 .
D'autres expériences permettent de préciser les propriétés essentielles des ferromagnétiques.
i) Le ferromagnétisme n'existe que dans les corps a l'état condensé; il n'est donc pas une
propriété atomique ou moléculaire, comme le diamagnétisme ou le paramagnétisme, mais résulte d'une
interaction entre les atomes d'une même structure cristalline.
ii) Le ferromagnétisme disparaît au-dessus d'une température critique Te , caractéristique du
matériau, appelée température de Curie. C'est ce que montre l'expérience suivante (Fig. 26.2 ) : un clou en
fer formant un pendule simple est attiré, à travers un isolant thermique, par un aimant permanent
(position 1) ; si l'on chauffe le clou jusqu'à une température supérieure à 1043 K (770 °C , on constate une
brusque disparition de l'attraction ; suspendu à l'extrémité d'un pendule simple, le clou s'écarte de
l'aimant mais, une fois refroidi (position 2), il est à nouveau attiré par l'aimant.
iii) Les corps ferromagnétiques se comportent comme des corps paramagnétiques, lorsque leur
température (absolue) T est supérieure à leur température de Curie, et leur susceptibilité magnétique x™
dépend de la température suivant la loi de Curie-Weiss :
C
Xm\' ) = rj, _ rj,
où C est la constante de Curie.
Parmi les corps simples, seuls quelques-uns sont ferromagnétiques. Les principaux font partie du
groupe des métaux de transition : fer, cobalt, nickel. Quelques autres sont de la famille des lanthanides.
En revanche, il existe toute une série de corps composés qui sont ferromagnétiques : par exemple,
les ferrites, de formule générale MO, Fe 2 O 3, M étant un métal divalent, et certains autres oxydes
métalliques comme CrO 2 , très utilisés dans la fabrication de bandes magnétiques.
Enfin, on sait réaliser de nombreux alliages ferromagnétiques ; ceux-ci font l'objet de recherches en
vue afin d'améliorer les performances des circuits magnétiques (cf. V). Citons les alliages a/uminium-
n/ckel-cobalt (alnico), frtane-cobalt-mckel-tf/uminium (ticonal), dont les propriétés varient avec les
proportions du mélange, et l'alliage de Heussler (Cu, Mn, Al) qui est fortement ferromagnétique alors que
ses constituants pris séparément ne le sont pas. Le ferromagnétisme résulte bien d'une interaction entre
atomes et non d'une propriété atomique.
Le tableau 26.1 donne les températures de Curie en kelvin pour quelques matériaux.
Matériaux
Tc(K)
Co
1388
Fe
1043
■Ni
627
MnO Fe203
573
Cr02
386
MnAs
318
Tab.26.1.

490
26. Ferromagnétisme
1.2.
Étude de l'aimantation
a) Courbe de première aimantation
Pour étudier l'aimantation d'un matériau, on utilise généralement un échantillon de forme torique
que l'on place dans un solénoïde de même forme, alimenté par une source de courant réglable. Cette
géométrie présente l'avantage de confiner le champ magnétique B , somme du champ appliqué Ba et
du champ B„7 , produit par la matière, à l'intérieur du tore. À l'aide d'un fluxmètre, on mesure le flux
<ï> de B à travers une section quelconque du tore en fonction de l'intensité / du courant de commande
(Fig. 26.3). On relève alors la courbe $(M), N étant le nombre de spires du solénoïde. Pour un
matériau initialement non aimanté, l'allure de la courbe est celle représentée sur la figure 26.4.
Fig. 26.3.
\$ouB
\2_
(3);
(2)
(1)
NI ou H
Fig. 26.4.
Cette courbe dépend naturellement des dimensions de l'échantillon et des caractéristiques du
solénoïde. On trace le plus souvent la courbe qui en découle en procédant aux changements de variables
suivants :
— = -/B-nd5 et H=-— = -—
S S L IttR IttR
B
H dr
S = 7rr2 étant la surface d'une section droite du tore (rayon r) et C le contour circulaire moyen
(rayon R ) dans l'échantillon. Généralement r est très faible devant R , ce que nous supposerons ; les
grandeurs B et H ne sont pas les normes des champs B et H définis précédemment : B est la
valeur moyenne, à l'échelle de l'échantillon, de la composante orthoradiale du champ magnétique B
à l'intérieur du matériau et H est celle du champ d'excitation H créé par la source de courant. Les
champs considérés sont donc les champs orthoradiaux B et H .
L'aimantation moyenne M est alors :
M:
B
Mo
H
Bien que la fonction B(H) ne soit pas linéaire, il est possible de définir une perméabilité
magnétique et une perméabilité relative :
B
M
et
M
H Mo
Ces quantités dépendent fortement de H. Sur la figure 26.5a, on a représenté la courbe donnant
fit — jul/julq en fonction de H ; on voit que jmr varie considérablement avec H .
La courbe M (H), donnant l'aimantation en fonction de H , a l'allure donnée sur la figure 26.5b,
dans le cas du permalloy et du fer.

Ferromagnétisme
491
M
,. ^*<J**8,w,°*jRotatiohs réversibles (3) •,.
! Déplacements irréversibles ,~.
I des parois ^ '
^y Déplacements réversibles des parois (1)
n
b)
b) Analyse de la courbe d'aimantation
- Sur les courbes d'aimantation (Fig. 26.4 et Fig. 26.5b), on distingue trois zones.
(1) Pour des valeurs faibles de l'excitation H , le flux croît linéairement en fonction du courant.
Le rapport x*n — M/H correspondant peut être assez grand (~ 104).
(2) Pour des valeurs un peu plus élevées de H , le flux croît beaucoup plus vite que le courant. Il
n'y a pas proportionnalité.
(3) Dans la zone des fortes excitations, le flux augmente lentement lorsque NI augmente. Le
graphe 26.4, donnant <E> en fonction de NI, permet d'en déduire que la pente de la courbe B(juloH)
vaut 1 . La quantité M = B/julq — H tend donc vers une limite, notée Ms et appelée aimantation à
saturation. Le tableau 26.2 donne, en tesla, les valeurs de jjlqMs pour quelques matériaux.
On passe aisément de julqM ou /iqH , en tesla, à M ou H en ampère par mètre, à l'aide de la
correspondance suivante : 1 A-m-"1 —> Att x 10-7 T ou 1 T—> 795,77 kA-m-1.
Matériaux
IK)MS(T)
Fer
2,19
Cobalt
1,8
Nickel
0,64
MnAs
1,09
Tab. 26.2.
Cette aimantation à saturation, telle que 0,5 T < jjlqMs < 2 T, est obtenue pour des valeurs
de fjLoH qui varient beaucoup avec le matériau : de 10 jxT dans les matériaux doux jusqu'à 10 T dans
certains matériaux qualifiés de durs.
Dans la zone d'excitation intermédiaire, B n'est pas proportionnel à hqH : la perméabilité
magnétique relative i±r = B/(/jlqH) dépend fortement de la valeur de H, comme le montre la figure
26.5a : sa valeur initiale vaut 320 pour le fer pur commercial et 8 000 pour le permalloy, qui est un
alliage de nickel (78%), de fer (17%) et de manganèse ( 5% ). Dans le mumétal par exemple, qui est un
alliage de nickel (76%), de fer (17%), de cuivre (5%) et de chrome (2%), la perméabilité relative
varie de 104 à 1 en passant par un maximum d'environ 8 x 104 pour [jlqH ~ 1 jxT.
Le tableau 26.3 donne les valeurs de la perméabilité magnétique relative maximale pour quelques
matériaux dont le mumétal.
Matériaux
yf^rjmax
fer pur
5 x 105
mumétal
3x 104
permalloy
5 x 105
acier trempé
98
Tab. 26.3.
Ms
a)
FlG. 26.5.

492
26. Ferromagnétisme
1.3. — Cycle d'hystérésis
a) Cycle statique
On fait décrire à un matériau la courbe d'aimantation OMS, dans le diagramme (//,#), en
augmentant l'intensité / du courant d'alimentation (Fig. 26.6). Si, à partir du point S, on diminue /,
on constate que la courbe n'est pas décrite en sens inverse et que, pour une même valeur de
l'intensité, le flux <ï> est plus élevé sur le trajet du retour. Ce retard de la variation de flux par rapport à celle
de l'intensité / porte le nom d'hystérésis magnétique. Il est à la base de l'existence et de la
fabrication des aimants permanents.
Fig. 26.6.
Fig. 26.7.
Le flux n'est pas nul lorsqu'on annule le courant par valeurs décroissantes. Sa valeur Or s'appelle
le flux rémanent ; les champ Br et M, correspondants sont respectivement le champ magnétique
rémanent et l'aimantation volumique rémanente. En inversant le sens du courant, on peut annuler le flux dans
le tore pour une valeur —Ic de l'intensité. Le champ Hc correspondant est le champ d'excitation coer-
citif. Si l'on diminue encore /, on obtient une nouvelle aimantation à saturation opposée à la précédente
pour une valeur opposée —Ic de l'intensité.
On revient au point S en faisant croître l'intensité / de — Js à Is ; le trajet suivi S'R'S est le
symétrique de SRS' par rapport à l'origine. Le cycle ainsi obtenu est le cycle d'hystérésis.
On trace parfois le cycle en coordonnées (//, M ) (Fig. 26.7). Notons qu'aux points extrêmes S
et S' les pentes sont dans ce cas nulles ; en outre, puisque M = B/fiQ — H , le champ Hc qui annule
B est plus intense que le champ Hc qui annule M . L'aimantation rémanente Mr est une fonction
décroissante de la température T qui s'annule à la température de Curie Tc . Pour T > Tc , le matériau
est paramagnétique et a donc une susceptibilité qui dépend de T selon la loi de Curie-Weiss.
Le tableau 26.4 donne les valeurs, à 300 K, du champ magnétique rémanent Br et du champ
/uloHc directement relié au champ d'excitation Hc coercitif, pour quelques matériaux dont l'alliage
cwivre-n/ckel-jfer (cunifé).
Matériau
Acier trempé
Acier au platine
Cunife
Alnico
Br(T)
0,8
0,6
0,5
0,7
juloHc (V
5,15 x 10~6
0,18
0,059
0,054
Tab. 26.4.

Fe rromagnétisme
493
b) Cycle dynamique
On peut observer un cycle d'hystérésis directement sur un oscilloscope en réalisant un montage
dans lequel une source de courant sinusoïdal débite un courant, de fréquence v = 50 Hz, dans les N
spires du solénoïde (Fig. 26.8 a). La tension aux bornes de la voie X est ux = ri où r est une résistance
de quelques ohms. Comme, d'après la loi de l'induction, u2 = —e2 = N2d<$>/ dt, aux bornes de la
voie Y de l'oscilloscope, on obtient grâce à un étage intégrateur, une tension :
lly = K
u2 d t = KN2<1>
K étant une constante. Le graphe uy{ux) , et donc celui <E>(/) qui est identique à un changement
d'échelle près, est aisément visualisé en mode Lissajous.
L'observation de ce cycle dynamique, relevé en régime quasi stationnaire, montre qu'il diffère
légèrement du précédent relevé en régime statique. En effet, le flux mesuré sur la voie Y n'est pas dû
uniquement à l'aimantation statique du matériau. Si ce dernier est conducteur, des courants induits se
développent et participent à la création du flux résultant. Cet effet conduit à un élargissement du cycle
par rapport au cycle statique.
Notons enfin que l'alimentation par un courant sinusoïdal d'amplitude décroissante fait décrire au
matériau des cycles de plus en plus petits ; on obtient alors une aimantation rémanente nulle. C'est ainsi
que l'on réalise la désaimantation d'un matériau.
Intégrateur
Voie Y
a)
b)
FiG. 26.8.
c) Pertes par hystérésis et courants de Foucault dans les matériaux magnétiques
Effectuons le bilan énergétique de l'expérience précédente (Fig. 26.8 a). Comme i2 ~ 0 , en raison
de la grande impédance d'entrée de l'intégrateur, on peut négliger la puissance consommée dans le
bobinage de mesure du flux. En revanche, le générateur fournit la puissance instantanée V\ —u\i\. En
appliquant la loi d'Ohm généralisée au bobinage d'entrée, de résistance r\ , on obtient :
Ml = r\l\ +Ny
d0>,
~d7
On en déduit, en multipliant par la durée élémentaire d t :
u\i\ dr = rxi\ dt + N\i\ dO]

494
26. Ferromagnétisme
D'autre part, l'application du théorème d'Ampère à un contour C, de rayon R et intérieur au tore,
conduit à : N\i\ = IwRH . Comme d<£>i = S âB, il vient finalement :
mil dt = r\i2l df + IttRSH âB
On en déduit la puissance moyenne, sur une période T :
On reconnaît, dans le premier terme du second membre, la puissance r\I2 dissipée par effet Joule
dans la résistance r\ du bobinage. Le deuxième représente une puissance consommée dans le matériau
ferromagnétique ; l'intégrande H ÛB, produit de la valeur de H , à l'instant t, par la variation de B,
entre t et t + d t, est l'aire représentée en gris foncé sur la figure 26.8b. Par conséquent :
Jo
A= H ÙB
Jo
représente simplement l'aire (positive) du plan (//,/?) intérieure au cycle. On voit que la puissance
consommée s'écrit :
— 2ttRS a T) A
VKF = -^r- A=—A
V = IttRS étant le volume du tore et A l'aire du cycle d'hystérésis en coordonnées (H,B) relevé
à l'oscilloscope. On retrouve ainsi le résultat établi au chapitre 23. La puissance V/j,f représente les
pertes par hystérésis et courants de Foucault.
En général, ces pertes sont données par unité de masse du matériau. La formule précédente montre
qu'il est nécessaire de préciser la période et donc la fréquence v = 1 /T . Si le matériau est conducteur,
il faut en outre connaître l'épaisseur des tôles utilisées.
Ordre de grandeur : V\hf ~ 1 W-kg-1 à 50 Hz pour des tôles de 0,35 mm d'épaisseur.
II. — INTERPRETATION MICROSCOPIQUE
II. 1. — Insuffisance de l'énergie potentielle d'interaction dipolaire
Nous avons vu que le paramagnétisme était lié à l'existence de moments magnétiques
microscopiques qui, sous l'action d'un champ magnétique appliqué, s'orientaient dans la direction de ce champ
(cf. chapitre 25). Rappelons que l'interaction d'un moment magnétique permanent jx avec un champ
magnétique appliqué B„ est caractérisée par l'énergie potentielle magnétique :
Lorsque le milieu est dense, comme c'est le cas pour les ferromagnétiques, il paraît naturel, a priori, de
prendre en compte les interactions entre moments magnétiques. Evaluons donc l'ordre de grandeur de
l'énergie potentielle d'interaction dipolaire S-j entre deux moments magnétiques jx, et jxy. En fonction
du vecteur joignant les deux dipôles, r,y = r, — r,, cette énergie a pour expression (cf. chapitre 12) :
£d = Mo \x; ■ jXj - 3(ixj - e^bxj - ejj)
v 4tt -3
avec eu
H';
v

Ferromagnétisme
495
En prenant /jlj = /x7 = /ulb = eh/(2me) (magnéton de Bohr) et en considérant, par exemple, l'action de
p = 8 moments magnétiques voisins, distants de d = 0,2 nm, il vient :
^S § = 8 * l0" X (9(fx lO^y = *'** '°"24J = 54 ^
Cette énergie est donc très faible comparée à l'énergie d'agitation thermique qui est, à température
ambiante ( 300 K ), de l'ordre de kBT œ 25 meV . Comme le ferromagnétisme existe à des températures
plus élevées ( 1043 K pour le fer), on en conclut que l'origine du ferromagnétisme ne réside pas dans
les interactions dipolaires entre moments magnétiques .
II. 2. — Théorie du champ moléculaire de Weiss
a) Hypothèses de Weiss
Afin d'interpréter quantitativement le ferromagnétisme, le physicien français P. Weiss proposa,
en 1907, un modèle phénoménologique dans lequel le champ magnétique appliqué Ba se trouvait
augmenté d'un champ magnétique supplémentaire proportionnel à l'aimantation volumique. Entre ce
champ Bw , appelé champ moléculaire de Weiss, et l'aimantation volumique, on a donc une relation de
la forme :
BW = AyL60M
À étant un facteur constant. L'énergie potentielle d'un moment magnétique élémentaire jx, avec
Hi =jgpiB (cf. chapitre 25) est alors :
£p,i = — M-/ ' (B« + ftw) = —M-/ " B„ — |X; • Bvy
Les moments magnétiques tendent ainsi à s'orienter suivant le champ total (Bfl+Bw). Le calcul de
l'aimantation est identique à celui effectué dans le cas du paramagnétisme en remplaçant Ba par Btt + Bvy .
L'aimantation dépend donc de la température et son évolution suit une loi du type fonction de Brillouin
Bj{X). Si nv désigne le nombre de moments élémentaires par unité de volume, l'aimantation à
saturation vaut Ms = nvgjpLB , où julb est le magnéton de Bohr, j le nombre quantique de moment cinétique
total et g le facteur de Lande (cf. chapitre 25). Par conséquent :
M = MsBj(X)=nvgjfiBBj(X) avec x = JsM^+Bw)
kBT
Ainsi, on a, à la fois :
kBTX
Bw = AyL60M et Bw = Ba
gJ^B
d'où :
M = kBTX-gjiLBBa ^ M_ = kBT f g/>/A
A/^)g/>fi Ms hw>nv(gjiLB)2 \ kBT
Comme le rapport M/Ms dépend linéairement de X, on peut le déterminer graphiquement (Fig. 26.9a),
en cherchant le point d'intersection / de la courbe M/Ms = Bj{X), représentant la fonction de
Brillouin, et de la droite d'équation :
^=tan0(X-Xo) avec tanfl= *f. et X0 = «^
M s Afi0nv{gjfiBy kBT

496
26. Ferromagnétisme
Fig. 26.9.
b) Aimantation spontanée et température de Curie
En l'absence de champ appliqué (B£l = 0), la droite précédente passe par l'origine et coupe la
courbe de Brillouin en un point S correspondant à une aimantation spontanée Msp . Il apparaît donc une
aimantation spontanée qui dépend fortement de la température T : lorsque cette dernière augmente, la
pente de la droite augmente jusqu'à devenir tangente à la courbe de Brillouin à l'origine. L'aimantation
spontanée s'annule ; la température correspondante est la température de Curie Tc .
On obtient l'expression de Tc en égalant la pente, en X = 0, du graphe de la fonction de Brillouin
et celle de la droite. Comme X <C 1 , il vient (cf. chapitre 25) :
Bj(X)
j+i-X d'où j+]
knT,
B'C
3/
3/ A^0nvg2j2fx2B
et kBTc = — À^otiyg /llb
c) Variation de l'aimantation spontanée en fonction de la température
La courbe donnant la variation de l'aimantation spontanée Msp , en fonction de la température T,
est représentée sur la figure 26.9b. Analysons les deux cas extrêmes :
/; t < tc
L'aimantation spontanée est voisine de l'aimantation à saturation ; les points S\ et I\ de la figure
26.9a sont voisins : M.v/, ~ M.v. C'est ce que l'on constate avec de nombreux ferromagnétiques tels que
le fer ( Tc = 1 043 K ) à température ordinaire ( T = 300 K ). Aussi, confond-on souvent, dans ce cas,
Msp et M,..
//; t « tc
L'aimantation spontanée décroît très vite lorsque la température s'approche de Tc (point S2 de la
figure 26.9a). On peut montrer (cf. Exercices) que l'on a alors :
M,
tanh
7c Msp_
T Ms
M,
ce qui donne —^- = Cte x (T — Tc)
1/2
M
Ms
pour T voisin de Tc •
d) LoideCurie-Weiss
On a vu que, lorsque la température T était supérieure à la température critique Tc , l'aimantation
spontanée disparaissait : le corps passe de l'état ferromagnétique à l'état paramagnétique, ce qui permet
d'interpréter l'expérience du clou attiré par l'aimant (Fig. 26.2).

Ferromagnétisme
497
En présence d'un champ magnétique appliqué, l'aimantation se déduit graphiquement du point
d'intersection I2 des deux courbes, comme précédemment (Fig. 26.9a). Pour des champs magnétiques
usuels et des températures supérieures à Te , on a :
l±BBa < kBT soit X«l et
M
kBT
Ms hfii0(gjfiB)2
Il en résulte, en introduisant l'expression de Tc et celle de Ms
X
gjjlBBq
kBT
Bj{x) « o±llx
3/
X{T-Tc)JmË!L et M = MJ^X = i{i+l)?wABa
À/x0 ' " *"° 3/ "" 3kBTc fi0(T-Tc)
On peut donc écrire cette dernière équation en introduisant la susceptibilité magnétique Xm définie par
M = Xmfta/jUQ (cf. chapitre 22).
On trouve alors la loi de Curie-Weiss :
C
avec C
VonjU+ l)8" f4 _ W>nV>ef
et fief = \ZKj~+\)gfiB
T -Tc 3kB 3kB
La constante de Curie a naturellement la même expression que pour les corps paramagnétiques. Ainsi le
modèle de Weiss permet-il de rendre compte des propriétés des ferromagnétiques. Cependant, les écarts
entre prévisions théoriques et valeurs expérimentales sont souvent importants.
III. — DOMAINES DE WEISS ET AIMANTATION MACROSCOPIQUE
III. 1. — Domaines de Weiss
La théorie du champ moléculaire de Weiss ne permet pas, à elle seule, d'interpréter tous les
phénomènes magnétiques constatés sur les corps ferromagnétiques : en particulier, elle n'explique pas l'allure
de la courbe d'aimantation et l'existence de l'hystérésis. Aussi, Weiss a-t-il supposé qu'un échantillon
de corps ferromagnétique était composé d'une multitude de domaines magnétiques, de taille variant
entre 0, 1 mm et 1 mm, et tels qu'en leur sein l'aimantation est uniforme et égale à l'aimantation
spontanée du matériau (Fig. 26.10a). Lorsque le matériau n'est pas macroscopiquement aimanté, les vecteurs
aimantation dans les différents domaines s'opposent deux à deux en moyenne.
_i
Amplificateur'
Tige de Ni
Haut-parleur
a) Domaine de Weiss
b)
Fig. 26.10.
L'existence des domaines de Weiss fut établie vers 1919 à la suite des travaux de Barkhausen,
notamment de l'expérience montrant la variation, par sauts brusques, de l'aimantation d'un matériau
soumis à un champ magnétique appliqué croissant. En déplaçant un aimant, dans le voisinage d'un
matériau autour duquel on a enroulé un fil conducteur (Fig. 26.10b), il apparaît, aux extrémités du fil,
une f.e.m induite due aux variations d'aimantation ; un amplificateur associé à un haut-parleur permet
d'entendre les crépitements liés aux déplacements des parois séparant les domaines de Weiss, lesquelles
sont appelées parois de Bloch.

498
26. Ferromagnétisme
Dans ces parois, de quelques 0, 1 |mm d'épaisseur, la direction du moment magnétique varie d'un
site à son voisin (Fig. 26.11). On met en évidence ces parois en déposant des grains magnétiques à la
surface d'un matériau aimanté; ces grains se répartissent sur les parois extérieures de l'échantillon en
suivant les traces des parois de Bloch.
# f
Msp
t
^
i
MSP
Fig. 26.1
b)
FiG. 26.12.
c)
Les domaines de Weiss s'orientent suivant des axes d'orientation privilégiés, en nombre fini,
appelés axes de facile aimantation. Ces axes sont étroitement liés aux directions de la maille cristalline
du matériau ferromagnétique. Pour confirmer la validité d'une telle hypothèse, comparons les trois états
d'un même échantillon de corps ferromagnétique possédant deux axes orthogonaux de facile
aimantation (Fig. 26.12).
Dans les trois cas a), b), c), l'aimantation volumique M.sp a même norme en chaque point, mais sa
direction dépend du point considéré dans le matériau :
En a), le vecteur aimantation spontanée Ms/7, uniforme, n'est pas partout parallèle à la surface du
matériau. Donc, sa composante normale n'est pas continue et divM.v/; ^ 0 . Comme :
rot H = rot
B
Mo
M,
3 ex = 0 et
I B
div H = div ( —
,Mo
M„
= -divMsy,^0
il existe, en tout point, un champ H non nul. Le champ magnétique B est alors différent de zéro à
l'extérieur comme à l'intérieur du matériau.
En b), on a toujours divMv/; ^ 0, mais les champs produits par les deux parties du matériau se
compensent partiellement à l'extérieur.
En c), Msp est parallèle aux surfaces extérieures et sa composante normale est continue à la tra-
'-si)
versée des séparations intérieures. On a donc div M^
B
,Mo
rot H = rot
M
0 . Il en résulte que :
B
= Jex = 0 et div H = div
M.,
Mo
= 0
Le vecteur H est donc partout nul ; il en résulte que B est nul à l'extérieur. Bien que spontanément
aimanté, le matériau ne crée pas de champ magnétique à l'extérieur.
Notons que l'énergie magnétique, stockée par le champ B , diminue du premier au troisième cas :
£-//;,£/ ^ &m,b -^ &r
puisque £m
f B2
J 2/zo
df;
Cette diminution de l'énergie montre que la création d'une paroi exige une certaine énergie fournie par
le champ.

Ferromagnétisme
499
Remarque : Une image pédagogique des domaines de Weiss est parfois donnée à l'aide d'un ensemble
de petites boussoles, identiques, réparties régulièrement dans un plan. Bien que le
résultat obtenu soit spectaculaire, il convient d'avoir à l'esprit la faiblesse de ce modèle, les
interactions à l'origine de l'ordre ferromagnétique n'étant pas de type dipolaire
magnétique.
III. 2. — Aimantation macroscopique
Considérons un échantillon macroscopiquement non aimanté (Fig. 26.13a). En présence d'un
champ appliqué B„, les parois des domaines où Msp est parallèle à Brt se déplacent et le volume
des domaines correspondants augmente (Fig. 26.13b).
Tant que ce déplacement reste faible, il est réversible, c'est-à-dire que les parois reviennent à leur
position initiale si l'on supprime le champ B„ . Pour des valeurs plus élevées de Ba , le déplacement est
irréversible : l'aimantation macroscopique croît très vite jusqu'à ce que l'échantillon ne constitue plus
qu'un seul domaine.
a) b) c)
Fie. 26.13.
Pour atteindre la saturation, c'est-à-dire Ms, il faut encore augmenter le champ appliqué de façon
à rendre négligeable l'énergie d'agitation thermique par rapport à l'énergie d'interaction avec le champ
(Fig. 26.13c). Si l'on supprime alors ce champ, on ne retrouve pas un état d'aimantation macroscopique
nulle car les domaines restent en majorité figés. Cette hystérésis doit être attribuée à l'existence, à
une température donnée, de plusieurs solutions distinctes au problème de la répartition de l'énergie
totale entre les différentes énergies partielles (parois, champs, etc.). C'est pourquoi l'état magnétique
d'un échantillon ferromagnétique dépend de son histoire. Sur la figure 26.5b représentant la courbe
de première aimantation M (H), on a indiqué les différentes étapes dans le déplacement des parois.
L'aimantation rémanente d'un échantillon, à une température inférieure à Tc, est donc une moyenne
de l'aimantation spontanée de chacun des domaines à l'échelle de cet échantillon. Elle dépend de la
température suivant une loi analogue, ce que confirme l'expérience.
IV. — INTERPRÉTATION QUANTIQUE
Nous avons vu que l'hypothèse des domaines de Weiss, associée à la théorie du champ
moléculaire, permettait une interprétation des phénomènes macroscopiques mis en évidence précédemment.
Il reste cependant à justifier microscopiquement l'existence du champ moléculaire et sa
proportionnalité à l'aimantation. Cette justification n'a pu être établie que dans le cadre de la physique quantique.

500
26. Ferromagnétisme
IV. 1. — Interaction d'échange
Le ferromagnétisme doit être attribué à une énergie de couplage entre les différents sites ioniques,
moléculaires ou atomiques, du fait des spins des électrons des couches périphériques incomplètes qui
participent à des structures voisines (cf. chapitre 25). Cette énergie de couplage, qui est fondée sur
Y indiscemahilité des électrons (cf. Thermodynamique), a pour expression :
Se-
2 Jjj Sj - Sj
où S, et S, sont les spins de deux sites et Jy une quantité, appelée Y intégrale d'échange, qui ne dépend
que de la densité électronique au voisinage de chacun des sites. C'est une fonction du rapport entre la
distance interatomique et le rayon moyen de la couche incomplète de l'ion.
L'intégrale d'échange est négative pour les corps qui précèdent le fer dans la classification
périodique ; en revanche, elle est positive pour le fer, le cobalt et le nickel qui sont les principaux matériaux
ferromagnétiques (Fig. 26.14 ).
Dans ces corps, l'énergie d'échange est minimale lorsque les spins des sites voisins sont
parallèles. Comme de tels systèmes évoluent vers une énergie potentielle minimale (cf. Mécanique), on
devrait s'attendre à un alignement de tous les spins d'un échantillon macroscopique et donc à un moment
magnétique résultant égal à A4 = N[x, TV désignant le nombre total de sites dans l'échantillon.
L'aimantation volumique correspondante serait alors l'aimantation à saturation M.v, soit si nv est le nombre
de sites par unité de volume : M.v = nv\x .
Notons que, dans une paroi de Bloch, l'énergie d'échange Sjj = —27/, S/ • S,- varie lorsqu'on
franchit la paroi, puisque c'est la direction du spin qui varie d'un site à son voisin (Fig. 26.11).
Gd Matériaux
Fig. 26.14.
IV. 2. — Interprétation quantique du modèle de Weiss
a) Relation de proportionnalité entre Bw et M
Pour interpréter le modèle phénoménologique de Weiss, il nous faut établir la relation entre B^ et
Jij . Cela peut être effectué dans le cas de modèles simples, tels que le modèle d'Ising, à une dimension.
Dans ce dernier, l'interaction entre les sites est limitée aux p plus proches voisins et les différentes
contributions sont supposées équivalentes (J;j = J) . L'énergie associée à l'échange s'écrit alors, en
notant z la coordonnée spatiale du modèle :

Ferromagnétisme
501
On en déduit la contribution totale sur le site / :
Comme pijZ = gyeSjjZ avec ye = —e/(2me) = jjlb/Tî et g ^ 2 (cf. chapitre 25), on obtient :
L'aimantation volumique suivant l'axe des z est alors donnée par :
p
pM
j=\ v
où nv est le nombre de dipôles magnétiques élémentaires par unité de volume. Ainsi, on trouve pour
l'énergie d'échange :
~P 2/?/ r. tyJ
£f = -pi,z T^M d où £pi = -jUbilZBa - pijZ ^M
On en déduit, par identification, le champ Bw :
Bw = -r—r M = A/xo M avec A = -z—r = —,T en posant J = Jïï2
nvgzyi Vonvgzyi p0nvgzpzB
La quantité J , homogène à une énergie, est Vénergie d'échange.
b) Expression de la température de Curie
En remplaçant, dans l'expression de la température de Curie, A par sa valeur et j par s , on trouve :
, t J+ l > ,222 2s(s+ \)p
kBTc = -y- ùp0nJ g pB = J
Un corps cesse donc d'être ferromagnétique lorsque l'énergie d'agitation thermique ksT est du même
ordre de grandeur que l'énergie d'échange J.
Ordre de grandeur : Dans le cas du fer, où s = 1 et p = 8 , on trouve pour Tç = 1 043 K,
une énergie d'échange de 8 meV, valeur bien plus grande que l'énergie d'interaction entre dipôles
magnétiques calculée précédemment. La théorie donne aussi l'intensité du champ moléculaire de Weiss
qui pour le fer est d'environ 1 000 T ; cela confirme bien que ce champ n'est pas créé par les dipôles
magnétiques voisins.
IV. 3. — Autres formes du ferromagnétisme
a) Antiferromagnétisme
Dans les corps pour lesquels 7fy < 0, les spins voisins tendent à être spontanément
antiparallèles, c'est-à-dire opposés. Il n'y a donc pas d'aimantation spontanée. Cependant, il existe un ordre
magnétique, appelé antiferromagnétisme, constitué de deux sous-réseaux de spins orientés de façon
opposée (Fig. 26.15a). Ces corps, comme le dioxyde de manganèse Mn0 2 ou l'oxyde de nickel NiO,
ont donc, malgré cet ordre magnétique, un comportement paramagnétique en présence d'un champ
appliqué. Cependant, leur susceptibilité dépend de la température de façon plus complexe. L'ordre
antiferromagnétique apparaît en dessous d'une température TN appelée température de Néel, du nom du
physicien français L. Néel.

502
26. Ferromagnétisme
_L_LJ__L J ,.-11.
• f f | fil
a) AjQtiferromagnétisme b) Ferrimagnétisme
FlG. 26.15.
b) Ferrimagnétisme
Dans les corps comportant des ions magnétiques de natures différentes, par exemple l'oxyde
mangano-ferreux MnFe04 , l'interaction d'échange peut conduire à des situations d'équilibre plus
complexes. Néel a pu interpréter leurs propriétés en décomposant le réseau en sous-réseaux présentant des
aimantations spontanées différentes et d'orientations opposées (Fig. 26.15b). Ces corps, appelés ferri-
magnétiques ou ferrites, présentent en général une aimantation spontanée non nulle. Ils sont très
utilisés dans les applications notamment parce qu'ils sont isolants, ce qui les rend avantageux en régime
variable puisque les courants de Foucault ne peuvent s'y développer. Au-dessus de leur température
critique, les ferrites comme les autres ferromagnétiques ont un comportement paramagnétique.
V. — CIRCUITS MAGNÉTIQUES
Les applications industrielles du ferromagnétisme sont très nombreuses. Une des plus importantes
est la réalisation de circuits magnétiques, c'est-à-dire d'ensembles de matériaux canalisant des tubes
de champ magnétique. On trouve de tels circuits magnétiques dans les machines électriques qui sont
généralement des électro-aimants ; ces machines comportent, en plus de leur circuit magnétique, un
circuit électrique, ce qui permet de produire des champs magnétiques intenses (Fig. 26.16).
Excepté le cas des transformateurs, un circuit magnétique est constitué le plus souvent d'une partie
non ferromagnétique, Y entrefer, qui est l'endroit où l'on souhaite créer un champ magnétique intense.
Les aimants permanents, eux, n'ont pas de circuit électrique : ce sont des circuits magnétiques dans
lesquelles un matériau ferromagnétique est souvent associé à du fer doux pour canaliser les lignes de
champ. Ils jouent aussi un rôle important, notamment dans la vie quotidienne.
Fig. 26.16. Fig. 26.17.
V.l.— Électro-aimants
a) Réluctance
Appliquons, sur un circuit magnétique tel que le précédent (Fig. 26.16), le théorème d'Ampère le
long d'une ligne C du champ H . On obtient, en désignant par / l'intensité du courant dans le circuit

Ferromagnétisme
503
électrique et par /V le nombre de spires :
Je
La quantité Fm = NI est généralement appelée la force magnétomotrice.
On appelle réluctance du circuit magnétique le rapport de la force magnétomotrice Fm sur le flux
O de B à travers une section quelconque 5 d'un tube de champ :
Rm = ^ avec $= / B-ndS
*= /fin
La réluctance a la dimension physique de l'inverse d'une inductance ; elle s'exprime donc en H ' . Son
inverse A/n , qui s'exprime en henry, est \a perméance.
L'écriture Fm = /?,„<!> rappelle celle de la loi d'Ohm E — RI, Fm jouant le rôle de la f.e.m E,
4> celui de l'intensité / et Rm celui d'une résistance.
Dans un matériau magnétique doux, on assimile la courbe B(H) à une droite de pente jul . Il vient,
en supposant le tube de flux suffisamment fin :
M = /H.a, = /°.a, = /^ = «/^
On en déduit, comme pour la résistance, l'expression de la réluctance, en fonction de jul et de la
géométrie du circuit (cf. chapitre 6) :
Km -(&-$-£ ^s
la perméabilité jul jouant le rôle de la conductivité y dans un conducteur.
Ordre de grandeur : La réluctance d'un cylindre de fer (jul, = 1 000 ), de longueur / = 5 cm et de
section S = 1 cm 2 , est (Fig. 26.17) :
Rm = — « 0,4 x 106 H"1 d'où AWI « 2,5 jxH
b) Circuit magnétique torique sans entrefer
Considérons un matériau magnétique doux ayant la forme d'un tore, de section uniforme S, sur
lequel sont régulièrement bobinées /V spires parcourues par un courant / ( Fig. 26.18a). Le tore étant
un tube de flux pour le champ B, le flux qui le traverse est indépendant de l'angle azimuthal cp qui
repère l'une de ses sections. Pour obtenir une valeur B du champ, il faut faire circuler un courant / .
On a:
/ B
NI = Hl d'où /=
N JUL
l étant le rayon moyen du tore. On en déduit le flux total à travers le solénoïde :
<t> = NSE = Wf* 1 = Ll où L = ^fS
est l'inductance du solénoïde en présence du noyau ferromagnétique. Comme /ir ^> 1 , on voit que
l'inductance d'un solénoïde à noyau de fer est beaucoup plus élevée que celle du même solénoïde sans
noyau. On obtient ainsi des inductances importantes de l'ordre de 1 H.

504
26. Ferromagnétisme
La reluctance de ce circuit torique a pour expression :
R -Hl -
l
BS MoM/^
FiG. 26.18.
Exemple : Un tore, de longueur moyenne / = 30 cm et de section S = 5 cm2 , constitué d'un
super permalloy (alliage de fer, de nickel et de molybdène), de perméabilité relative /ur = 105 , pour un
champ H = 1,6 A • m- ' , a une reluctance qui vaut :
Rn
l
0,3
4 800 H"
julS 105 x 4tt x 10-7 x 5 x 10~4
Le champ magnétique B et la force magnétomotrice valent respectivement :
B = /UQjuLrH ^0,2 T et Fm = NI = Hl = 1,6 x 0, 3 - 0,48 A
c) Electro-aimant torique avec entrefer
Aménageons, dans le circuit magnétique précédent, un entrefer d'épaisseur faible e ( Fig. 26.18b).
Puisque e est petit devant la longueur moyenne / du tore, on peut admettre que ce dernier reste un tube
de flux pour B : B est donc indépendant de l'angle <p , alors que H en dépend :
— B — ~ ~
H = — dans l'entrefer et H
Mo
L'application du théorème d'Ampère donne :
75
NI = {l-e) +e
MoMr
On en déduit la reluctance :
R ---
'" ~ * ~ »s
B
Mo
~B
Mo
/ + <
-M =
--i
Mo
KM/- -
B
MoMr
(l-e
_0
dans le matériau
+.)
En l'absence d'entrefer, on aurait obtenu : 7?/Mj0 = l/(jJ<S). On en conclut qu'à champ magnétique
identique, la présence d'un entrefer exige un courant [1 + (/xr — \)e/l] fois plus important. Comme /xr
est en général très grand, on voit que e doit rester très faible si l'on veut éviter que le courant nécessaire
devienne trop grand. Par exemple, pour /xr = 1 000 et e/l = 1/100, la reluctance est multipliée par
11 ainsi que le nombre d'ampères-tours NI nécessaires pour obtenir le champ B souhaité

Ferromagnétisme
505
V. 2. — Transformateurs à noyau
Un transformateur à noyau est constitué d'un circuit magnétique associé à deux circuits électriques,
le primaire constitué d'un générateur débitant un courant variable i(t) dans N spires et le secondaire
comportant N2 spires parcourues par le courant variable i2(t) lorsque le circuit est fermé. La figure
26.19a représente un transformateur dans le cas idéal où toutes les lignes de champ magnétique sont
canalisées par le matériau. La perméabilité magnétique jmr étant très grande, la réluctance est très faible
et son produit par le flux négligeable :
Ni{t) - N2i2(t) = Rm® ~ 0 d'où -±±- = —
'2(0
N2
Ainsi, dans un transformateur, le rapport des courants dans le primaire et le secondaire est égal, en
première approximation, au rapport inverse des nombres de spires ; rappelons qu'en revanche le rapport
des tensions est égal au rapport direct des nombres de spires (cf. chapitre 15).
On utilise cette possibilité de multiplier les intensités dans le four à induction ; le secondaire du
transformateur est constitué d'une pièce métallique massive dont on veut provoquer la fusion. Dans un
exemple pédagogique, ce secondaire a la forme d'une rigole contenant de l'étain solide ; l'intensité qui
parcourt la spire est sufisamment importante pour provoquer la fusion de ce métal. (Fig. 26.19b)
Mt)
Bobinage |
primaire *"
tjïTi*
*Ki§Œtain
Spire
secondaire
a)
b)
FlG. 26.19.
V. 3. — Aimants permanents
a) Point de fonctionnement d'un aimant permanent
Considérons un circuit magnétique, à entrefer e, comportant un aimant permanent,- associé à du
fer doux, de perméabilité relative jmr (Fig. 26.20).
Pièces polaires
Fer 1 ï
dpux / {
L
Fig. 26.20.
La conservation du flux du champ magnétique B donne, en désignant par s,„, s a et se les sections
de l'aimant, du fer doux et de l'entrefer :
Bmsm — BdSd — BeSe

506
26. Ferromagnétisme
Quant au théorème d'Ampère, il fournit l'équation suivante, en désignant par /,„,/,/ et e les longueurs
des diverses portions du circuit magnétique :
lmHm + ldHd + eHe = 0
lmHm + ld—+e—=0
IMiPr MO
soit
, ldse t e\ Be
nm — —
Il en résulte que :
»- = -( . ,
ImPrSd lm ) MO
soit
— ( e\~Be . ldse
H m ~-\-r) — S1 < e
\hnj MO flrSd
ce qui est généralement réalisé car se < sd et i±r ^> 1. On en déduit la relation suivante entre B,„ et
— ( sme\ Bm - fselm\ -n
Hm « - —y- SOlt Bm W - HQHm
\selmJ fio \sme J
Ainsi, dans l'aimant, le champ magnétique Bm et le champ d'excitation Hm sont de sens opposés. Dans
le plan cartésien (H,B), cette équation est appelée la droite d'entrefer. Son intersection avec le cycle
d'hystérésis détermine le point de fonctionnement de l'aimant (Fig. 26.21).
Exprimons le produit BmHm en fonction de la géométrie de l'aimant et du champ magnétique Be
dans l'entrefer. On obtient, en introduisant les volumes Vm et Ve de l'aimant et de l'entrefer :
R 77 ~ fsJA T72 f^A El ( e V B] Ve
BmHm « -^o Hm = -M — — = t—
\sme J \sme J ^ \lmJ m V,„
Dans la réalisation d'un aimant permanent, il faut donc se placer au point de fonctionnement pour
lequel le produit Bm\Hm\ est maximal, puisqu'alors le champ extérieur Be est maximal et le volume
du matériau Vm minimal. On comprend dès lors l'intérêt des matériaux à cycle d'hystérésis carré. Le
choix du point de fonctionnement détermine la droite d'entrefer et donc la géométrie de l'aimant.
En outre, on s'arrange pour que, ni le champ magnétique rémanent Br, ni le champ d'excitation
coercitif Hc , ne soient trop faibles, afin d'éviter qu'une perturbation magnétique extérieure ne change
de façon significative la valeur des champs Bm et Hm .
b) Aimant permanent torique avec entrefer
La figure 26.22 représente un aimant permanent torique en alnico, de longueur moyenne /,„ = 8 cm
et de section s,„ = 4 cm2 . Ses pièces polaires, de section se = 2 cm2 , définissent un entrefer
e = 2 mm. Le champ magnétique souhaité dans l'entrefer est : Be = 2 T. Calculons les champs
Bm et Hm dans l'aimant. 11 vient, en utilisant les relations précédentes :
Bm =Be— = \T et \Hm | = ^Ç- — = 39,7 kA • m"l d'où Bm \Hm | - 39,7 kJ • m~3
S m $el m MO

Fe rromagn étisme
507
zk
w
Fig. 26.22. Fig. 26.23.
c) Aimant permanent plat
Soit un aimant permanent en forme de cylindre uniformément aimanté, de rayon R et de hauteur /
(Fig. 26.23). Nous savons qu'un solénoïde, de longueur finie, crée, en un point P de son axe, un champ
magnétique de la forme (cf. chapitre 12) :
B = ——— (cos a2 — cos a\ )
a\ et #2 étant les demi-angles sous lesquels on voit, du point P, les faces 1 et 2 du solénoïde.
En remplaçant le courant Js = ni par Js = M (cf. chapitre 22), on obtient, au centre de l'aimant
(cosai = — cosa2 ) :
B = fioMcos a2 = im>M (4/?2+/2)l/2
Pour un rayon R = 5 mm, une hauteur / = 3 mm et une aimantation M = 106 A m-1 , soit
HqM = 1,26 T, on trouve, au centre de l'aimant :
B,„ = 0,36 T et ^~Hm = -0, 88 T soit \Hm\ = 7,2 x 105 A • m"1
Le champ d'excitation est donc très intense. On sait réaliser des matériaux dont le champ coercitif est
supérieur à cette valeur ; avec ce type de matériau, il est alors possible d'obtenir un point de
fonctionnement correspondant à un champ magnétique de 0,36 T .
V. 4. — Champ démagnétisant
a) Définition
Considérons un matériau ferromagnétique qui acquiert une aimantation volumique moyenne M,
sous l'action d'un champ magnétique appliqué Ba . Dans ce matériau, le champ magnétique moyen B
et le champ d'excitation moyen H sont reliés par l'équation :
B = fio (H + M) avec B = Bfl + B/?/
Bm étant la contribution de la matière aimantée.
On appelle champ démagnétisant H(i le champ d'excitation suivant, dans le matériau :
Mo

508
26. Ferromagnétisme
b) Champ démagnétisant d'un aimant permanent torique avec entrefer
Dans le cas d'un aimant permanent B„ = 0 , le champ démagnétisant se réduit au champ H dans
le matériau :
Écrivons les équations traduisant la conservation du flux de B et la circulation nulle de H, lorsque
l'aimant permanent est un tore avec entrefer (Fig. 26.22). Il vient, en désignant par / la longueur totale
du cercle moyen, e l'entrefer et s la section uniforme :
Bms = Bes soit Be = Bm
et: _ _
Hm{!-è)+Hee = G soit Hm = -HeT^ = -^-^- = -^T^-
L — e julq l — e julq l — e
Par conséquent :
H/;/ = et Mm = HWI = — 1 +
fio L-e fi0 julq \ l-ej jul0 \l
ce qui donne, en fonction de l'aimantation volumique M :
Bm=r^)Ak)M=(l-y)/xoM et ïï,, = ^-M = - (y) M
En faisant e — 0 dans ces expressions, on obtient les résultats suivants, en l'absence d'entrefer :
B/Wjo = A6oM et Hm5() = 0
Le champ démagnétisant est donc :
Hd = -VM où V=-
est le facteur démagnétisant. On voit qu'en l'absence d'entrefer le champ démagnétisant est nul.
Remarque : On pourrait être tenté d'interpréter le vieillissement des aimants, c'est-à-dire leur
désaimantation au cours du temps, par le champ démagnétisant précédent. Ce serait incorrect,
car ce champ n'agit pas sur les moments magnétiques : seul le champ magnétique B
exerce une action sur eux.
V. 5. — Force portante exercée par un électro-aimant
Les électro-aimants sont souvent utilisés pour soulever des masses de fer importantes, d'où l'intérêt
d'établir l'expression de la force portante en fonction du champ magnétique dans l'entrefer. Afin de
simplifier le calcul, plaçons-nous dans le cas simple et important représenté sur la figure 26.24. La
force opposée à la force portante magnétique F,n a tendance à faire varier l'entrefer de la quantité d e ,
conformément au bilan énergétique :
d(7t~oSe) =~F'"de
S désignant la surface portante. Il en résulte, en introduisant le flux O = BeS :
B2 O2
2jUL0 2jUL0S

Ferromagnétisme
509
H?
I
v 4
FIG. 26.24.
Ordre de grandeur : Calculons le champ magnétique nécessaire pour soulever une masse de
100 kg , à l'aide d'un électro-aimant dont l'entrefer a une surface de 200 cm2 :
B,
2a6o/v,
1/2
f2^mg\
1/2
0, 35 T
VI. — EFFETS GYROMAGNETIQUES
On appelle effets gyromagnétiques les effets macroscopiques qui résultent du couplage entre le
moment magnétique d'une substance aimantée et son moment cinétique. Ces effets, généralement faibles,
peuvent être facilement mis en évidence avec des matériaux ferromagnétiques.
VI. 1. — Moment cinétique total d'un échantillon magnétique
Un échantillon magnétique, contenant TV dipôles magnétiques rigides, identiques, de moment jx ,
est aimanté s'il possède un moment magnétique total Ai non nul. En tenant compte de la
proportionnalité entre |x, et J,, il vient :
// n n n
i=i
i=i
/=i
i=i
est la contribution électronique au moment cinétique total J de l'échantillon. Ce dernier s'obtient en
ajoutant la contribution du réseau J, :
J = Je + Jr
VI. 2. — Mouvement de rotation d'un échantillon suspendu à un fil
Considérons un échantillon magnétique suspendu à un fil vertical et pouvant tourner librement
autour de l'axe vertical Oz du fil (Fig. 26.25). Appliquons le théorème du moment cinétique dans le
référentiel du laboratoire 7Z, au point fixe de suspension du fil. On a :
dj _ dX- 1 dM
dt ~ dt gye dt
0

510
26. Ferromagnétisme
si le moment des forces extérieures Mex est nul, ce que nous supposons. Désignons par / le moment
d'inertie par rapport à Oz et par co = coez la vitesse angulaire de rotation autour du fil. En projetant
suivant Oz et en intégrant, entre l'instant pris comme origine et l'instant f, on obtient, puisque la
composante verticale du moment du poids est nul :
I(û) - co0) + {Mz - M0:)
En raison des interactions entre les moments magnétiques et le réseau, la modification du moment
magnétique affecte le moment cinétique et réciproquement. Ainsi deux effets sont prévisibles, l'effet
magnétomécanique et l'effet gyromagnétique :
i) l'effet magnétomécanique, mis en évidence pour la première fois, en 1915, par A. Einstein et
W.J. de Haas (physicien néerlandais) : lorsqu'on modifie la rotation d'un corps, on fait varier son
aimantation.
ii) l'effet gyromagnétique, observé en 1914 par L. Barnett : on modifie l'aimantation d'un coips en
le faisant tourner.
Ces effets permettent de mesurer la quantité gye .
Em cos(
FlG. 26.26.
VI. 3. — Effet Einstein-de Haas
Cet effet étant très faible, Einstein et de Haas eurent l'idée d'amplifier l'effet
magnétomécanique par un phénomène de résonance. Un cylindre de fer (rayon r), suspendu à un fil de torsion
(de constante C ) est placé à l'intérieur d'un solénoïde parcouru par un courant alternatif (Fig. 26.26).
La rotation du cylindre est repérée à l'aide d'un miroir M , solidaire de l'équipage mobile (méthode
de Poggendorff). En appliquant le théorème du moment cinétique en projection suivant l'axe de rotation
Oz, on obtient :
dJz ■■ 1 ÛMZ
—- = 10 -\
dr
gJe
d/
-C6 - ad
où — ad est un terme d'amortissement dû essentiellement au frottement visqueux de l'air. L'aimantation
du milieu change de sens à chaque alternance, sous l'action du champ magnétique appliqué. En régime
forcé, nous avons Mz = M,„ cos(cot) ; par conséquent, en introduisant col = C/I et r = I/a,
l'équation précédente s'écrit :
T 87 el

Ferromagnétisme
511
À la résonance, le système oscille avec la pulsation co0 :
e = em cos(co0t) où em = -—-
g\jeV
L'amplitude maximale 6m est aisément mesurable si l'amortissement est faible (résonance aiguë), ce
que l'on réalise en plaçant le cylindre sous vide.
CONCLUSION
Retenons les points essentiels.
(1) Le ferromagnétisme est une propriété magnétique forte due à l'interaction entre atomes. Il
n'existe que dans certains corps à l'état condensé et en dessous de la température de Curie Tc . Au-
dessus de Tc, ces corps sont paramagnétiques. La perméabilité relative d'un ferromagnétique est en
général très grande, de l'ordre de 105 . On caractérise un matériau ferromagnétique à l'aide de son
cycle d'hystérésis B(H) où B et H sont des champs moyens.
(2) On interprète le ferromagnétisme à l'aide du champ moléculaire de Weiss qui a pour origine
l'interaction d'échange entre les spins des électrons, sur des sites voisins, dans un solide cristallin.
Le matériau se présente alors comme une assemblée de domaines de Weiss dotés d'une aimantation
spontanée qui change d'orientation d'un domaine à l'autre. L'interprétation n'est satisfaisante que dans
le cadre quantique.
(3) Les ferromagnétiques jouent un rôle primordial en électricité industrielle où les deux propriétés
fondamentales des circuits magnétiques sont : la conservation du flux du champ magnétique B et le
théorème d'Ampère pour l'excitation magnétique H . Pour une surface fermée S et un parcours fermé
C , on a :
/B-ndS = 0 et fud\ = NI
La force magnétomotrice Fm = NI étant nulle dans les aimants permanents.
(4) Enfin, les ferromagnétiques permettent de mettre facilement en évidence le couplage magné-
tomécanique, c'est-à-dire la relation étroite entre moment magnétique et moment cinétique d'un
matériau.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P26- 1. Noyau ferromagnétique dans un transformateur
Dans un transformateur industriel, les solénoïdes primaire et secondaire sont bobinés sur un noyau
ferromagnétique de grande perméabilité jjir. Quel est l'intérêt du transformateur à noyau par rapport à
des bobinages réalisés dans l'air?
P26- 2. Électro-aimant de forme rectangulaire avec entrefer
Un électro-aimant produit dans son entrefer de largeur e = 5 mm, un champ magnétique de
1,2 T . Sa section uniforme est un carré de côté a = 3 cm et la longueur totale de la ligne moyenne de
champ est / = 60 cm . La perméabilité relative du matériau est 796 .
1. Calculer les réluctances du matériau et de l'entrefer.
2. Le circuit électrique est parcouru par un courant de 1, 5 A . Quel est le nombre de spires ?

512
26. Ferromagnétisme
P26- 3. Électro-aimant torique avec entrefer angulaire v(^b)
Dans un électro-aimant torique, de longueur moyenne / et de section s , on a aménagé un entrefer
d'ouverture angulaire a = 2ttx avec x <C 1 (Fig. 26.27). Quelle est la réluctance Rm du tore? A.N :
/ = 50 cm , .s; = 4 cm2 , x = 0,02 et /ir = 1 000 .
Fig. 26.27. Fig. 26.28.
P26- 4. Champs dans l'entrefer angulaire d'un aimant permanent torique Cweb)
Un aimant permanent torique produit un champ magnétique de 1 Tdans un entrefer angulaire
d'angle a = lire avec e = 0,01 (Fig. 26.28). Trouver le champ magnétique, l'excitation magnétique
et l'aimantation dans le matériau sur le cercle moyen du tore.
P26- 5. Point de fonctionnement d'un aimant permanent torique à entrefer angulaire Cweb)
Un aimant torique a un entrefer angulaire d'ouverture a = lire avec e = 0,02 (Fig. 26.28). Le
cycle M (H) est rectangulaire avec Ms — 106 A • m-1 .
1. Quelle doit être la valeur minimale de Hc pour que le point de fonctionnement soit tel que
2. Le champ magnétique mesuré dans l'entrefer est B = 0,616 T . Quelle est la valeur de Hc ?
P26- 6. Aimant sphérique
Peut-on réaliser une sphère spontanément aimantée à saturation avec un matériau magnétique dont
le cycle M (H) est un carré ?
P26- 7. Champs dans un aimant cylindrique
1. Un cylindre d'axe Oz, de rayon R et de longueur /, est uniformément aimanté à saturation.
Montrer que le champ B en tout point est le même que celui produit par un solénoïde de longueur finie.
En déduire qu'à l'intérieur du cylindre, B et H ne sont ni uniformes ni parallèles.
2. Sachant que l'aimantation est de 106 A • m-1, calculer le courant équivalent dans un solénoïde
de 1000 spires par mètre.
P26- 8. Aimant permanent droit cylindrique Cy^)
Un aimant permanent a la forme d'un cylindre droit, de longueur / et dont la section est un cercle
de rayon R . Son aimantation volumique M = Mez est uniforme selon son axe Oz, l'origine O étant
prise au centre de l'aimant.
1. Calculer, en tout point de Oz, le champ magnétique Bm et l'excitation magnétique H,„ dans le
matériau en fonction de M .

Ferromagnétisme
513
2,5 mm,/i = 3 cm et
2. Comparer les champs au centre et aux extrémités lorsque / = 2R .
3. Étudier les deux cas particuliers suivants : R <C / et R ^> /.
4. A.N : M = 106 A m-1 ; on examinera deux cas : R =
R — 2,5 mm, U = 1 mm .
P26- 9. Point de fonctionnement d'un aimant permanent torique avec entrefer Cweb}
Dans un aimant permanent torique avec entrefer, on désigne par u le rapport des volumes de
l'aimant et de l'entrefer ; le volume de l'aimant est le produit de sa section uniforme sm par la longueur de
parcours / et le volume de l'entrefer est celui d'un cylindre de section se par sa largeur e (Fig. 26.29a).
On néglige l'influence des parties tronconiques.
1. Etablir l'équation de la droite d'entrefer.
2. Quelle est l'expression du carré Z?2, du champ magnétique dans l'entrefer, en fonction des
champs B,„ et Hm dans l'aimant? En déduire la condition pour que Be soit maximal.
3. La fonction B = B(H) dans le deuxième quadrant peut se mettre sous la forme (Fig. 26.29b) :
y H + Hc
où Br est le champ magnétique rémanent, Hc l'excitation coercitive et y un facteur constant positif.
Montrer que Be est maximal, lorsque la droite de fonctionnement passe par le point de coordonnées
i-Hc,Br).
4. On donne : u = 20, Br = 0,6 T et [iqH = 0,038 T. À l'aide d'une méthode graphique,
déterminer les coordonnées du point de fonctionnement. En déduire Be , sm/se et L/e .
a)
Fig. 26.29.
P26- 10. Champ démagnétisant d'une sphère uniformément aimantée
Quel est le champ démagnétisant d'un aimant sphérique, uniformément aimanté avec une
aimantation volumique M ? On se servira des résultats établis au chapitre 22.
P26- 11. Force exercée par une fermeture magnétique
La force nécessaire pour assurer la fermeture d'une porte est de 50 N. Quel doit-être le champ
magnétique produit dans l'entrefer de l'aimant de fermeture, sachant que la section de l'entrefer vaut
40 mm2 ?

514
26. Ferromagnétisme
P26- 12. Modèle de Weiss pour un spin s = 1/2
Lorsque les moments magnétiques sont dus à des spins localisés caractérisés par s = 1/2, la
fonction de Brillouin se réduit à B\j2 = tanhX et la valeur du facteur gyroscopique est g œ 2. On
considère un matériau dont la maille cristalline est cubique centrée, les sites distants de d = 0,2 nm et
l'énergie d'échange J égale à 20 meV .
1. À l'aide du modèle de Weiss, évaluer la température de Curie Tc de ce matériau ainsi, que le
champ d'échange Be, pour une aimantation M telle que fioM = 0,2 T. Comparer {jlqM à la valeur
du champ magnétique créé sur un site par un moment magnétique voisin, dans le cas où les spins sont
parallèles entre eux et orientés suivant l'un des axes cristallographiques.
2. Etablir la relation entre Msp/Ms et T/Tc, Msp étant l'aimantation spontanée du matériau et
Ms l'aimantation à saturation. Étudier les deux cas limites suivants : T tend vers 0 et T tend vers Te .
P26- 13. Amplification par résonance de l'effet Einstein-de Haas Cweb)
L'équation différentielle, à laquelle satisfait l'angle de rotation 0 d'un pendule de torsion mettant
en évidence l'effet Einstein-de Haas, est la suivante :
0 H h colO = —^ où M, = Mm cos(cot)
r gyeI dt
1. Étudier la variation de l'amplitude du mouvement en 0 en fonction du rapport u = co/coq .
2. Quelle est la fonction 0{t) à la résonance ?
P26- 14. Effet Einstein-de Haas sur un cylindre de fer (S)
Un cylindre de fer, de masse m et de rayon de section r = 1 mm , est suspendu à un fil de torsion,
de constante Ct. Il est aimanté à saturation grâce à un enroulement parcouru par un courant (Fig. 26.6).
À l'instant pris comme origine, on inverse le courant, ce qui aimante le matériau à saturation en sens
inverse.
1. En supposant l'inversion suffisamment rapide pour que le système n'ait pas eu le temps de se
déplacer, déduire, par application du théorème du moment cinétique, la vitesse angulaire acquise après
l'inversion du courant. On prendra g = 2 et A — 56 (nombre de masse).
2. L'amortissement étant faible, le mouvement ultérieur est de la forme 0 — 0m sin((w0/L). Calculer
l'amplitude maximale 0m , sachant que la période propre d'oscillation est Tq = 1 s .
3. Que est l'intérêt de se placer à la résonance ?
P26- 15. Effet Barnett
Un corps magnétique, initialement non aimanté, est mis en rotation avec une vitesse angulaire co
autour d'un axe vertical. Calculer l'aimantation qu'il acquiert du fait de cette rotation. Quel champ
magnétique provoquerait la même aimantation? Dans le cas où le rapport gyromagnétique n'est dû
qu'au mouvement orbital des électrons, calculer ce champ pour co = 2tt x 100 rad • s-1 .

27
Supraconductivité
Certains matériaux à l'état condensé présentent, au-dessous d'une certaine température critique,
une conductivité infinie. Dans un tel état, un courant peut persister sans amortissement notable après
suppression de la cause qui lui a donné naissance. Ce phénomène, découvert en 1911, sur le mercure,
par le physicien hollandais H. Kammerlingh Onnes, est appelé la supraconductivité.
En réalité, comme nous le verrons, la caractéristique essentielle de l'état supraconducteur concerne
ses propriétés magnétiques.
Nous nous proposons de décrire l'état supraconducteur d'un point de vue macroscopique et
phénoménologique, laissant ainsi de côté toute interprétation microscopique approfondie, laquelle nécessite
l'utilisation de la théorie quantique (cf. Physique quantique). L'interprétation de la supraconductivité
date de 1957, ce qui valut à ses trois auteurs, J. Bardeen, L.N. Cooper et J.R. Schrieffer, le prix
Nobel en 1972. La faible valeur des températures critiques pour les métaux et alliages ( Tcq ^ 23,2 K)
a longtemps limité les applications de la supraconductivité. Cependant la découverte récente de
nouvelles familles de matériaux supraconducteurs notamment, par J.G. Bednorz et K.A. Muller
récompensés par le prix Nobel en 1987, a relancé les travaux dans ce domaine : des températures de transition
supérieures à la température d'ébullition de l'azote liquide, 77 K sous 1 bar permettent d'élargir
considérablement le champ d'application.
I. — CONDUCTIVITÉ PARFAITE ET SUPRACONDUCTIVITÉ
1.1. — Température critique et champ magnétique critique
La supraconductivité n'apparaît que dans des milieux condensés et au-dessous d'une certaine
température critique Td), caractéristique du matériau.
La transition de l'état normal (T > Tcq) à l'état supraconducteur {T < Tcq) est très abrupte :
la résistivité \/y du matériau passe brutalement à une valeur négligeable (^ 10-25 H-m) dans un
intervalle de température AT^o souvent inférieur au millikelvin ! Sur la figure 27.1 on a représenté la
chute de la résistance d'un échantillon de mercure, telle que l'a observée Onnes.
Pour étudier l'influence du champ magnétique sur cette transition, nous nous plaçons dans le cas
d'un échantillon cylindrique, dont la section S a un rayon négligeable devant la longueur L, sur lequel
est bobiné un enroulement à spires jointives. Nous assurons ainsi l'absence de champ démagnétisant
(cf. chapitre 22). L'excitation magnétique H dans le matériau est alors uniquement dû au courant
circulant dans la bobine et sa valeur est H = ni où n — N/L est le nombre de spires par unité de longueur,

516
27. Supraconductivité
indépendamment de la présence ou de l'état du matériau. En faisant varier ce champ tout en
maintenant le matériau à une température T inférieure à Tcq , on observe que le milieu retourne à son état
normal pour un champ supérieur à une valeur critique HC(T) . Ce champ critique suit, avec une
excellente approximation, une loi quadratique :
HC(T) = HCi0 (] - |r
dans laquelle Hc^ est aussi une grandeur caractéristique du matériau. Sur la figure (Fig. 27.2), on peut
voir que cette loi est très bien vérifiée dans le cas du plomb et de l'étain. Dans la suite, on désignera par
BC(T) la quantité /jlqHc(T).
1
0,15
0,125
0,10
0,075
0,05
0,025
0,00
^ Résistance (Q)
J^_
V/Xr
jio-5,
~ 4,2 4,3
Fig.
27.1.
4,4*
T(K)
V0HC(T)
0,08 c
(VoHc,ohb
Plomb
T(K)
Fie. 27.2.
À la suite des travaux de Onnes, des expériences plus récentes de résonance magnétique nucléaire
ont montré que l'effondrement de la résistance est tel qu'un courant établi dans un anneau
supraconducteur peut persister sans atténuation détectable. La conductivité en régime stationnaire à l'état
supraconducteur est donc infinie. Cette propriété, qui conduit à l'absence de dissipation, implique la stationarité
du champ magnétique B,,, dans le matériau. En effet, la loi d'Ohm J = yE avec J fini, entraîne
l'annulation de E dans le matériau.
11 en résulte, d'après l'équation de Maxwell-Faraday, rotE + <9B/ dt — 0 que, dans un conducteur
parfait :
dBin
Ôt
0 soit B„
Cte
Les autres propriétés physiques usuelles d'un matériau qui devient supraconducteur ne sont pas
modifiées lors de la transition de phase : la structure cristalline est inchangée et, en l'absence de champ
magnétique, il n'y a pas de chaleur latente de changement de phase, ni de discontinuité dans la
conductivité thermique. On pourrait donc légitimement penser que la transition consiste simplement en une
augmentation brutale de la conductivité, c'est à dire en un passage à l'état de conducteur parfait.
1.2. — Effet Meissner
Cependant, en 1933, les physiciens allemands W. Meissner et R. Oschenfeld mirent en évidence
une autre caractéristique de ces matériaux, plus fondamentale encore : en présence d'un champ
magnétique appliqué B„ , un matériau supraconducteur réagit en créant une distribution de courants d'aiman-

Supraconductivité
517
tation dont le champ magnétique B,„ est tel que le champ magnétique total à l'intérieur est nul :
(B„,/„ + B„/;///) = 0 d'où B„M// = —Baiin
Cette propriété est à rapprocher de l'annulation du champ électrostatique dans un conducteur parfait
(cf. chapitre 8). On appelle effet Meissner l'expulsion des lignes de champ magnétique par tout matériau
supraconducteur. En réalité, l'expérience montre que le champ magnétique n'est nul qu'à une certaine
distance XL de la surface ; comme AL est très faible devant les dimensions du matériau (10 nm à 100
nm), nous la négligerons dans une première analyse.
La continuité de la composante normale du champ magnétique, à la traversée de la surface du
milieu, conduit à :
n<?A- • (Bftv — B//f) = 0 soit nex ■ Bex = 0 puisque B,-,, = 0
Les lignes de champ magnétique à l'extérieur du matériau sont par conséquent tangentes à sa surface.
Cette propriété fondamentale des corps supraconducteurs permet de les distinguer sans ambiguité des
conducteurs parfaits.
1.3. — Distinction entre supraconducteur et conducteur parfait
On peut distinguer la conductivité parfaite de la supraconductivité en considérant un cycle B(H)
réalisé pour une température T inférieure à la température critique TCj(). Pour un champ d'excitation
supérieur à HC(T), on a un métal dans lequel B « /x0H . Pour la valeur HC(T), le champ magnétique
B s'annule dans un supraconducteur mais garde la valeur /ulqHc dans un conducteur parfait. Ceci reste
vrai, tant que le champ H n'a pas pris la valeur —HC(T), pour laquelle on retrouve le métal soumis à un
champ de sens opposé. Les cycles correspondants au supraconducteur et au conducteur sont représentés
respectivement sur les figures 27.3a et b.
i
1
!
1-3T
i
i
* B
i
.... ,i
a) b)
FiG. 27.3.
De même le refroidissement à champ d'excitation H constant, d'une température 7/ > 7"co, à
Tf < Tci) se traduit, pour un conducteur parfait, par un état final de champ Bf = julqH, alors que pour
un supraconducteur Bj■ — 0 .
Remarques : (1) Le cycle B{H) pour un conducteur parfait a une aire non nulle (Fig. 27.3b). Ceci
implique une dissipation d'énergie qui n'a pas lieu dans le cas d'un supraconducteur
(Fig. 27.3a).
*B_
*<
/*
i
'F
'O Hr
H

518
27. Supraconductivité
(2) Dans le modèle de Drude (cf. chapitre 6), une conductivité infinie impliquait une durée
de collision r infinie des porteurs de charge (charge q , masse m ) sur les défauts, alors
que la supraconductivité est observée dans des matériaux contenant un grand nombre de
défauts chimiques ou structuraux. Ce modèle ne peut donc représenter un état
supraconducteur.
II. — PROPRIETES MAGNETIQUES DES SUPRACONDUCTEURS
II. 1. — Courants supraconducteurs
Considérons un matériau limité par une surface S simplement connexe, infranchissable aux
charges. En appelant J,„ le courant volumique intérieur et Jex le courant volumique extérieur,
l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :
rot — y—^- = J,„ + J„v
VMo/ àt
En régime stationnaire, le terme de déplacement est nul. Nous pouvons donc écrire, en tout point
intérieur :
B \
rot — = J/#I d'où J/;I = 0 puisque B,„ = 0
Ainsi, dans un matériau supraconducteur, le courant volumique total est nul. Pour un échantillon
simplement connexe le courant ne peut donc circuler qu'en surface ; sa densité surfacique Jv est obtenue à
partir de la discontinuité de B à la traversée de cette surface ; si n^v est la normale orientée vers
l'extérieur, il vient :
n,,v x (B6,v - B,,,) = fiai, d'où J, = n^ x —
Mo
Notons que Jv ne fait intervenir aucune caractéristique particulière du milieu (permittivité, conductivité,
etc.). Sa valeur n'est donc limitée que par celle de B„ qui doit rester suffisamment faible pour que Bex
soit, au voisinage de la surface, inférieur au champ magnétique critique Bc = /uloHc , afin que le matériau
demeure dans l'état supraconducteur.
Remarques : (1) En un point M quelconque, le champ magnétique B est la somme du champ appliqué
et du champ créé par les courants surfaciques du supraconducteur :
Si M est situé au voisinage extérieur de la surface S, on a, d'après les relations
précédentes :
W)h(M) = n x
Mo /J,(P)xPMd5
4tt L PM3
ce qui montre que les courants ne dépendent que de B„ et de la forme de la surface ; ils
seront donc identiques quel que soit le matériau supraconducteur.
(2) En régime stationnaire, les courants qui annulent le champ intérieur sont du même
type que les courants moléculaires, bien qu'ils se développent à l'échelle de l'échantillon
et non au niveau des molécules.

Supraconductivité
519
II. 2. — Aimantation d'un échantillon simplement connexe
Du fait de l'existence de courants superficiels, un matériau supraconducteur, limité par une surface
S, a un moment magnétique Ai d'expression (cf. chapitre 12) :
M = - irxj, <\S
Si le matériau est simplement connexe et le régime stationnaire, le courant de maille est nul (J,,, = 0)
et l'aimantation volumique M, définie par J,,7 = rotM liée au courant surfacique d'aimantation par
l'équation (cf. chapitre 22) :
J, = M x nex
Dans ces conditions, le moment magnétique s'écrit aussi :
M = M dP
J p
Ainsi, un échantillon supraconducteur, placé dans un champ magnétique B„ stationnaire, possède un
moment magnétique global Ad . L'aimantation volumique M permet alors de rendre compte des
propriétés de Vensemble du milieu.
II. 3. — Supraconductivité et diamagnétisme parfait
En introduisant l'excitation magnétique H = B/yLto — M, il vient, puisque B,-„ = 0 :
Ainsi, dans un supraconducteur, M et H sont opposés, ce qui rend la susceptibilité magnétique Xm »
définie par M = Xm(^m/j^o), infinie et la perméabilité magnétique /ul = julq/(\ + Xm) nulle. Tout se
passe comme si le matériau dans l'état supraconducteur était un diamagnétique parfait.
Notons que, dans les matériaux diamagnétiques habituels, les ordres de grandeurs sont
quantitativement très différents : \x,n\ ~ 10~5 (cf. chapitre 25). On comprend alors pourquoi la théorie habituelle
du diamagnétisme ne permet pas d'interpréter la supraconductivité.
Remarque : D'après la relation précédente entre M et H, la susceptibilité magnétique xm » définie
par M = ^*,H et reliée à Xm par xm ~ aWO — Xm) * vaut e"e ~ ^ ^ans un
supraconducteur.
II. 4. — Lévitation magnétique
Une manifestation spectaculaire de la supraconductivité est la lévitation d'un aimant au-dessus de
la surface d'un matériau supraconducteur dont la température est inférieure à la température critique Tc .
Cette expérience est facilement réalisable avec les nouveaux supraconducteurs pour lesquels Tc > 11 K
(température d'ébullition de l'azote sous 1 bar) : un petit aimant placé au-dessus du supraconducteur
immergé dans de l'azote liquide lévite (Fig. 27.4).
On interprète cette expérience par l'expulsion, hors du supraconducteur, du champ magnétique créé
par l'aimant : les courants supraconducteurs, qui apparaissent pour annuler B;//, créent à l'extérieur
un champ magnétique B#/I^.v. Supposons que le moment magnétique de l'aimant soit dirigé selon la
verticale ascendante Oz : |x = fiez (Fig. 27.5a) ; le champ magnétique BM qu'il crée a la topographie

520
27. Supraconductivité
i Aimant
Azote liquide
I Aimant
a) T > Tc
b) T < Tc
FiG. 27.4.
du champ produit par un dipôle (cf. chapitre 12). Quant au champ B,„,,„, créé dans le matériau par les
courants supraconducteurs Jv, il s'oppose à BM (Fig. 27.5b) :
BM = B„
Comme la surface plane Oxyâu supraconducteur, est plan de symétrie pour les sources Jv de B,„,
le champ magnétique Bm,ex(z) est de sens opposé à jx (Fig. 27.5c). En outre, la norme de ce champ
décroît avec z, d'où l'orientation suivant les z croissants de la force F qui s'exerce sur l'aimant
(cf. chapitre 23) :
^ 9Bmex
F = M —-— e,
oz
L'équilibre mécanique de l'aimant est réalisé lorsque son poids rag est compensé par F :
dBnuex
. 9B,n,ex n „ v / , OB
m,ex
mg + ix —;—— e- = 0 d ou —mg + jul
zk
Ox
dz
dz
0 et ii-
dz
mg
• ' ' \ H I "m.ex
\$
3
Ç % Bea: — B/t + Bm>e;i.
B7Ï? — 0
"m,in **n
a) b) c)
FiG. 27.5.
Ordre de grandeur : Un aimant, de masse 50 g et de moment magnétique /x = 20 A • m2 , reste
en équilibre au-dessus de la surface de l'azote liquide si :
dBn^ex mg 0,05x9,81
dz
M
20
0,0245 = 24.5 mT-nT
Remarque : La force qu'exerce un champ magnétique appliqué B„ sur un matériau supraconducteur,
F = — (Al • grad)B„ , tend toujours à déplacer le supraconducteur vers les zones où Ba
est le moins intense, ce qui traduit bien des propriétés diamagnétiques (cf. chapitre 23).
II. 5. — Exemple : sphère supraconductrice dans un champ magnétique uniforme
Considérons une sphère supraconductrice, de rayon R , placée dans le champ uniforme Ba = Ba ez
créé par des sources extérieures stationnaires (Fig. 27.6).

Supraconductivité
521
n = er
FiG. 27.6.
La distribution des courants surfaciques Js, qui créent à l'intérieur le champ uniforme B„M/Z = — B„,
est analogue à celle des courants d'aimantation d'une sphère uniformément aimantée (cf. chapitre 22).
La direction imposée par le champ appliqué, ainsi que les caractères axial de M et vectoriel de JA.,
suggèrent d'écrire, dans la base des coordonnées cylindriques (p, <p, z) :
M = M- e-
et
Explicitons la relation Jv = M x nex (cf. chapitre 22). 11 vient :
Js = Mz ez x (cos 0 ez + sin 0 ep) — Mz sin 0 e^
Le champ B„z créé par cette distribution est uniforme à l'intérieur ; sa valeur en O peut être évaluée en
intégrant sur la surface de la sphère :
Comme BWI(0)
B„
Bln(0) =
-Ba e-, il vient :
Mo
Jv X PO
4tt Js PO3
âS
Ba =-Bm(0) ■ ez
Mo
477/?3 Js
Or (e^ x nex) • e? = — sin 0 . Par conséquent :
B(l = -^MzLin30â0d<p=^
[Mz sin 0 e<p x (-Rnex)] ■ ez R2 sin 0 d 0 d <p
477
Mz / (1 -cos2
0) d(cos0)
;tM)Mz
ce qui donne :
M
3B„
2 Mo
H
3B,
2 Mo
et
J* = --—sintfe^
2 Mo
Le moment magnétique de la sphère supraconductrice a donc pour expression :
M = MP
-IttR
3^
Mo

522
27. Supraconductivite
Quant au champ magnétique B à l'extérieur de la sphère, il vaut : Bex = BHI.£,V + B„ , B,„,t,v étant le
champ produit par un dipôle magnétique de moment Ai = M ez placé en O :
**m,ex
477
3{M-er)er-M
un t à 3 cos 0 er — e~
4tt r3
Dans la base des coordonnées sphériques (e,-, e^, e^) , le champ magnétique extérieur s'explicite
finalement suivant Bex = B, er + Bq e# , avec :
£,. = Ba cos 0 + — = Ba cos 6 ( 1
477 H
et
## = —Ba sin 0 H —r- sin i
477 r*
-B„s\ne[\+^
Les topographies des champs B , J , M et H sont représentées sur la figure 27.7.
Bil4 = 0
Je. Je
^J.s
a) B
b) J
\M
c) M
d)H
FiG. 27.7.
H„... =
Be.x
/'o
Remarque : Lorsque r ^> /? , nous retrouvons évidemment B„ comme limite asymptotique de B^ .
Lorsque r = /?, la composante /?, s'annule, car les lignes de champ sont tangentes à la
surface, et la composante tangentielle subit une discontinuité :
e,- x (Be,r - B,„) = er x
ce qui est bien égal à julq Jv .
-3Ba sin 6 ee
3Ba sin 0 e^
IMsM sin 6 e^
II. 6. — Électrostatique des conducteurs. Magnétostatique des supraconducteurs
Il existe une forte analogie entre les propriétés électrostatiques d'un conducteur et les propriétés
magnétostatiques d'un supraconducteur (cf. tableau 27.1). Par exemple, dans les deux cas, les relations
de milieu ne font intervenir aucune caractéristique matérielle ; les supraconducteurs sont des
distributions surfaciques de courant qui imposent un champ magnétique nul à l'intérieur, comme les
conducteurs sont des distributions surfaciques de charge qui imposent un champ électrique nul à l'intérieur.
Aussi pourrait-on traiter la magnétostatique des supraconducteurs comme l'électrostatique des
conducteurs, sans se préoccuper de l'aspect matériel de ces milieux.

Supraconductivité
523
Relation de milieu
Influence d'un champ extérieur
(E,ouBfl)
Sources du champ
Em ou Bw
Moment dipolaire
Moment volumique
Induction diélectrique D
ou
Excitation magnétique H
Conducteur
E,„ = 0
*^ m,in = ~*^a
Pin = 0
or = n • (eoEcx)
V = ira dS
PtelqueP= / P 6V
et a — P n
D,„ = P
Xe = +00, E = +00
diélectrique parfait
Supraconducteur
B,„ = 0
B6A = Ba + B//IjftV
J, = n x (B,A-//x0)
M = -(f>rxlsdS
M tel que Al = / M d V
et Jv = M x n
H,„ = -M
Mo
Xm = -00, M"' = +00
diamagnétique parfait
Tab. 27.1.
III. — COURANT SUPRACONDUCTEUR D'INTENSITÉ NON NULLE
Nous avons vu qu'en régime stationnaire, le flux de J,„ était conservatif : div J,„ — 0 . Par
conséquent, pour un corps simplement connexe dont la surface est infranchissable aux charges, aucun courant
global ne peut exister : l'intensité d'un courant supraconducteur à travers une section quelconque du
matériau est nulle (Fig. 27.8a).
En revanche, cette intensité peut être non nulle si la surface est partiellement franchissable grâce
à des connexions avec des conducteurs normaux dans lesquels un courant est imposé par une force
électromotrice extérieure (Fig. 27.8b). L'intensité peut également être différente de zéro si le volume du
matériau est multiplement connexe (cf. chapitre 23) : c'est le cas d'un corps doublement connexe, par
exemple un anneau supraconducteur (Fig. 27.8c).
\ v
a)
c)

524
27. Supraconductivité
Cependant, dans les deux cas, la distribution des courants volumiques intérieurs, définis en régime
stationnaire par J,>, = rot M + J„,, est toujours surfacique. On peut donc écrire :
J,„ =0 d*où
rotM et Js = Mxn
III. 1. — Courant dans un échantillon supraconducteur connecté
Considérons un tronçon de fil supraconducteur connecté par ses extrémités à un circuit parcouru
par un courant stationnaire. L'intensité / de ce courant s'exprime en fonction du courant volumique de
maille J,„ qui parcourt le circuit :
/ J,„ • n
Js
•nd<S
où S est une section quelconque du circuit (Fig. 27.9a). Le courant volumique intérieur au
supraconducteur étant nul, le champ d'aimantation M est lié à J,„ par l'équation :
rotM + J,„ = 0 d'où / = / J„, ■ nd«S = - /
Js Js
rotM nd<S = - ê M dl
s Je
en appliquant le théorème de Stokes à un contour fermé C à la surface du fil (Fig. 27.9a). Si on utilise
l'identité n x (M x n) = M — (n • M) n et l'expression du courant surfacique intérieur Jv = M x n ,
on retrouve / en fonction de Js (cf. chapitres 6 et 22) :
/ = -/(nxJ,)-dl- rt (n-M)n-dl = i (J, xn)-dl
puisque n•dl = 0.
a)
O
J„,
R
(rot M)z
| ''Î7I.,Z
O
B P
b)
Fig. 27.9.
2ttB
O
,
j5/i x
M\J,
h
2 Tri?
O
Po
B
c)
Exemple : Fil cylindrique supraconducteur
Pour un fil cylindrique, de section circulaire de rayon R, parcouru par un courant de maille
uniforme /, l'application du théorème d'Ampère le long d'un cercle, perpendiculaire à l'axe Oz du
conducteur, de rayon p < R , donne :
7Tp^~
lirp x H y = I—jâ d'ou H"
2tt/?2 C*

Supraconductivité
525
On en déduit, puisque B,„ = 0 :
M = -H;„ =
Sur la surface, on a :
2ttR2
d'où rot M
tR^z
Js = _n x M =
IttR c
À l'extérieur ( p > R ), le théorème d'Ampère donne :
/ Bex
H„ = -— e<p = —
2irp Mo
puisque M = 0 .
La topographie des divers courants, dirigés suivant ez, et des divers champs, orientés selon e^ ,
est représentée sur les figures 27.9b et c. Pour mieux visualiser celle-ci au voisinage de la surface du
supraconducteur, l'effet Meissner (cf. TV . 2) a été supposé imparfait.
Notons que le matériau ne reste dans l'état supraconducteur que si Bex(R) < Bc ; cette condition
est donc équivalente à JG < Jc , Jr étant une densité de courant critique de valeur Jc — 2ttRBc/plq .
III. 2. — Courant dans un anneau supraconducteur
En présence d'un champ magnétique appliqué stationnaire B„ , amenons un matériau en forme
d'anneau, de l'état normal (T > Tc) (Fig. 27.10a) à l'état supraconducteur (T < Tc) (Fig. 27.10b).
B„ + B m
r '
(
(
h
r
n
i >
^
k k
a) T > Tc , Bfl + 0
b) T < Tc , Ba ^ 0
FiG. 27.10.
c) T < Tc , Ba = 0
Si nous supprimons le champ appliqué (Fig. 27.10c), les lignes de champ magnétique sont
expulsées du matériau (Bin = 0) . Le flux <ï> du champ magnétique, à travers une surface s'appuyant sur
un contour C situé à l'intérieur du tore, est indépendant du contour C choisi, car aucune ligne ne
traverse le matériau (Fig. 27.10b). Il ne varie pas, car, en régime quasi stationnaire, le champ électrique à
l'intérieur du supraconducteur étant nul, on a, d'après la loi de l'induction :
dcl)
Edr= =0 d'où O ■
c dr
/(Bfl+B,„)-ndS = $0
Les lignes de champ restent donc prisonnières de l'anneau (Fig. 27.10c). Celui-ci crée par conséquent
un champ magnétique nul à l'intérieur du matériau et, à l'extérieur, tel que :
/.
B„,„-ndlS = <J>o

526
27. Supraconductivité
Les distributions des courants volumiques d'aimantation et de maille satisfont donc à l'équation :
rot M + J,„ = J,„ = 0 avec / = / J,„ • n d S
La distribution du courant intérieur est donc purement surfacique :
Jv = M x n et / = é (J, x n) • d 1
Je
où C est un contour qui délimite une section quelconque du fil (Fig. 27.10c).
L'intensité / ne dépend que de la forme de l'anneau et des sources de champ extérieures puisque
/ = <&o/L, L étant son inductance. Notons qu'ici aussi aucune caractéristique physique du matériau
n'apparaît : le courant est le même quel que soit le supraconducteur.
La possibilité de maintenir un courant stationnaire dans un circuit supraconducteur, en l'absence
de toute force électromotrice, est un résultat capital car elle implique l'absence de dissipation d'énergie
et donc le stockage sans perte de l'énergie électromagnétique sous une forme magnétique (cf. chapitres
18 et 23).
La première expérience mettant en évidence l'existence de courants persistants fut réalisée par
Onnes en 1914 avec un anneau en plomb plongé dans un vase Dewar rempli d'hélium liquide.
Ordre de grandeur : Courant dans un anneau supraconducteur
Un anneau supraconducteur en forme de tore, de rayon moyen R = 2 cm et de section circulaire
de rayon a = 1 mm , a une inductance qui vaut L = 78 nH. Placé initialement dans un plan
perpendiculaire aux lignes d'un champ magnétique appliqué uniforme Bu = 1 T, il est le siège d'un courant
d'intensité :
, 0>0 B(IttR2 1,26 x 10~3
L L 0,078 x 10"
16 kA
IV. — THEORIE ELEMENTAIRE DE LA SUPRACONDUCTIVITE
IV. 1. — Equations de London
Après la découverte de l'effet Meissner, les physiciens allemands et frères F. et H. London,
proposèrent, à Oxford, en 1935, une théorie phénoménologique de la supraconductivité en adjoignant aux
équations de Maxwell des relations de milieu. Pour cela, ils supposent que, dans l'état
supraconducteur, une partie des porteurs, de charge q et de densité volumique ns, forme un fluide non visqueux.
Contrairement au cas d'un conducteur dans le modèle de Drude (cf. chapitre 7), ce fluide chargé ne
subit aucune force de frottement. Dans ces conditions, la loi fondamentale de la mécanique, appliquée à
l'un des porteurs, soumis à l'action d'un champ électromagnétique (E, B), donne :
dv
m— = q(E + v x B)
d/
Adoptons, comme on le fait en mécanique des fluides (cf. Mécanique), le mode de description d'Euler
où v = v(r, t) est la vitesse de l'électron lorsqu'il se trouve, à l'instant t, au point fixe r du référentiel
du laboratoire. L'accélération, qui est alors la dérivée totale d v(r, t)/ d t, s'écrit :
dv d\ . lX
- = - + (v • grad)v

Supraconductivité
527
En utilisant la relation vectorielle v x rotv = gradir/2 — (v ■ grad)v (cf. Mécanique), il vient :
dt m
-E + grad ( ^- ) = v x (rot v + -B^j
i \ 2 J \ m J
Prenons le rotationnel des deux membres de cette équation. On trouve, en tenant compte de l'équation
de Maxwell-Faraday rotE + dB/dt = 0 et de l'identité rotgrad( ) = 0 :
d ( qB ,
— rot v H ) = rot
at V m
qB
v x ( rot v H
m
Il en résulte que si, à un instant, la quantité ( rotv + qB/m ) que l'on retrouve dans les deux membres est
nulle, alors elle est constante. L'hypothèse de London, qui permet d'expliquer l'effet Meissner et donc
de distinguer supraconducteur et conducteur parfait, consiste précisément à admettre que cette constante
est nulle :
</B , x nsq2B
rotv H =0 ce qui donne rot(/zvcyv) =
m m
En introduisant le vecteur supracourani volumique J,„ = nsq\, on trouve la première équation de
London :
nsq2B
rotJ„
m
Remarque : L'hypothèse de London rotv + qB/m = 0 peut être écrite autrement, en introduisant le
potentiel vecteur A :
rot J//z = —-— rot A d'où J,„ = —-—A
m m
moyennant une nouvelle jauge, dite de London.
On obtient la seconde équation de London en reportant la première dans l'équation du mouvement ;
on trouve en effet, lorsque la vitesse est quasi uniforme (grad v2 « 0) :
d\ qE 83 in risq2
— =0 soit -—- = E
at m ot m
On retient souvent les deux équations de London sous la forme :
1 B 93s 1 ^ . ,
rotJ//7 = 7y— et —^ = TE ou AL =
Al^o dt /ul0à2l " \/uonsq
1/2
est un paramètre, homogène à une longueur, appelé épaisseur de London.
En régime stationnaire ou quasi stationnaire, le terme de déplacement d(sQ E)/dt dans l'équation
de Maxwell-Ampère est nul ou négligeable. Donc rot(B//zo) = J/,i, ce qui donne :
rot(/zoJ/„) = rot rot B = graddivB — AB = — AB
puisque divB = 0. Ainsi, en régime quasi stationnaire, le champ magnétique à l'intérieur d'un
supraconducteur satisfait à l'équation différentielle suivante :
AB 'B

528
27. Supraconductivité
IV. 2. — Profondeur de pénétration de B
Analysons la topographie du champ magnétique B à l'intérieur d'un supraconducteur, dans le
voisinage de sa surface. Si son rayon de courbure R et son épaisseur e sont suffisamment grands, nous
pouvons simplifier l'analyse en considérant que le matériau occupe le demi-espace, z > 0, limité par
un plan Oxy (Fig. 27.1 la).
L'invariance du système, au cours d'une translation effectuée parallèlement à Oxy , permet d'écrire
l'équation différentielle à laquelle satisfait B sous la forme :
d2B
d?~
1
B = 0
On résout aisément cette équation ; la solution physiquement acceptable, car finie quel que soit z, est :
B(z) =B(0)exp
Le champ s'atténue donc exponentiellement (Fig. 27.1 lb) : à une profondeur de quelques ÀL , il est
pratiquement nul et l'effet Meissner total.
\Bex
ï
Vide
O
4Bin
Supraconducteur
O
a)
b)
FiG. 27.11.
Ordre de grandeur : Dans les métaux supraconducteurs, comme le plomb, Pétain, le mercure ou
le niobium :
1/2
ns ~ lin m " d'où XL = ( — n ) ~ ( _ ""' \ J„» " ~ . ^ , „ 00 ) = 53 nm
Mo«5e^
4tt x 10-7 x 1028 x 1,62 x 10-
38
L'épaisseur de London est donc très faible devant les dimensions des matériaux supraconducteurs
massifs utilisés en pratique. Les courants peuvent alors être considérés comme surfaciques avec une
excellente approximation.
IV. 3. — Analyse quantique
L'interprétation de la supraconductivité, proposée par Bardeen, Cooper et Schrieffer, est connue
sous le nom de modèle BCS.
a) Paires d'électrons de Cooper
Pour rendre compte du comportement collectif de certains électrons d'un supraconducteur, Cooper
a émis l'hypothèse d'une interaction attractive entre eux, conduisant à la formation de paires d'électrons.
Ces paires se comportent comme des particules de spin entier, appelées bosons car elles obéissent à la loi

Supraconductivité
529
statistique quantique de Bose-Einstein et non à celle de Fermi-Dirac comme les électrons (cf. chapitre 7).
Le principe d'exclusion de Pauli ne s'appliquant plus au-dessous de la température critique Tc , ces
paires peuvent occuper un même état, dans lequel leur comportement est collectif.
b) Température critique
L'existence des paires d'électrons de Cooper provoque l'apparition, dans la structure de bande
d'un conducteur, d'une bande interdite au voisinage du niveau de Fermi 8y . Sur la figure 27.12a, on
a schématisé la structure de bande des électrons pour un conducteur normal (cf. chapitre 7) : tous les
états au-dessous de £F sont occupés par un seul électron. Dans l'état supraconducteur (Fig. 27.12b),
les électrons appariés se regroupant dans un même état, l'énergie de chacun d'eux est abaissée d'une
quantité A .
i*±
Sa
a) État normal
V. P.' '-°°/ '-°_Q' '-ô.Q' 'Pp,'
Paires de Cooper
b) État supraconducteur
FiG. 27.12.
L'énergie nécessaire pour rompre une paire et amener les deux électrons dans leur état normal
vaut donc 2A . Cette énergie, caractéristique du matériau, est le gap du supraconducteur. Elle peut être
fournie par le réseau d'ions sous forme d'agitation thermique. Comme cette dernière est de l'ordre de
kBT, la condition pour que le matériau reste à l'état supraconducteur est :
2A
kBT < 2A soit T < Tc avec Tc « —
On explique ainsi l'existence de la température critique Tc , caractéristique du supraconducteur.
c) Interaction attractive entre électrons
L'hypothèse d'une interaction attractive entre électrons dans le modèle BCS s'interprète par
l'influence du réseau d'ions positifs. En se déformant au passage d'un premier électron, le réseau compense
la répulsion coulombienne et permet l'attraction entre électrons. On caractérise cette attraction par une
longueur, appelée taille d'une paire, ou longueur de cohérence i; . Cette longueur peut être grande
devant la distance qui sépare deux paires : elle atteint 1 jam pour les matériaux de faible température
critique.
d) Quantification du flux magnétique dans un anneau supraconducteur
Un autre résultat quantique concerne le flux magnétique O à travers un anneau. En 1961, S. Deaver
et W. Fairbank en Californie, et indépendamment R. Doll et M. Nâbauer en Allemagne, ont montré
expérimentalement que O était quantifié : O est égal à un nombre entier de fois d'un quantum de flux
<î>o appelé fluxon :
(£>„ = ,7cl)() avec <î>o
2e
= 2,0679 ÎCT13 Wb
puisque la constante de Planek vaut h = 6,626 x 1(T34 J«s et c - 1,602 x 10~19 C. On vérifie
aisément, avec les unités, que le rapport h/e est homogène au rapport d'une énergie sur une intensité
et donc à un flux : h/e{=) J • s • C-1 (=) J • A-1 . Ce résultat confirme indirectement l'hypothèse des
paires d'électrons avancée par Cooper.

530
27. Supraconductivité
V. — MATERIAUX SUPRACONDUCTEURS ET APPLICATIONS
V. 1. — Les deux types de supraconducteurs
a) Supraconducteurs de type I
Les supraconducteurs de type I sont caractérisés par une température critique Tc et un seul champ
d'excitation critique Hc$ , en dessous duquel ils ont un comportement diamagnétique parfait.
La figure 27.13a montre la variation du champ magnétique B, dans un échantillon cylindrique
allongé, en fonction du champ d'excitation H . Le comportement diamagnétique parfait, qui correspond
à une valeur nulle de B, cesse brusquement lorsque H atteint la valeur critique Hcq ; le matériau
retourne alors à son état normal pour lequel la courbe de variation B(H)//jlq est une droite de pente
égale à 1 . Ce comportement, observé pour les métaux purs est caractéristique des matériaux de type I.
Dans le tableau 27.2, on a rassemblé les valeurs de Tc et julqHCiq pour quelques corps purs.
O
Supra
H(,0
a) Type I
H
FiG. 27.13.
HcA Hca
b) Type 11
H
Tc (K)
fM)HCio (T)
Hg
4,15
0,04
Pb
7,2
0,08
Sn
3,7
0,03
•Nb
9,2
0,125
Tab. 27.2. — Supraconducteurs de type 1
b) Supraconducteurs de type II
Les supraconducteurs de type II, ou supraconducteurs durs, sont eux caractérisés par une
température critique Tc et deux champs d'excitation critiques Hc\ et Hc^ ; ce dernier, nettement plus grand
que Hc\ , peut atteindre des valeurs élevées, ce qui rend ces matériaux plus intéressants pour les
applications.
La figure 27.13b représente la variation de B/jjlq , en fonction de H, pour des supraconducteurs
de type II. On voit que l'effet Meissner est imparfait lorsque H est compris entre Hc\ et Hc2 .
Apparaît ainsi un état mixte où coexistent la phase normale et la phase supraconductrice : dans la matrice su-
praconductrice se forme un réseau régulier de filaments conducteurs ou vortex dans lesquels le champ
magnétique est présent. Sur le tableau 27.3, figurent les températures critiques de quelques
supraconducteurs de type II.
Certains alliages, comme le niobure d'étain ( Nb3 Sn), ont une valeur de Tc suffisamment élevée
(18 K), pour être utilisés en immersion dans l'hélium liquide ( T = 4,2 K à 1 bar ). Le supraconduc-

Supraconductivité
531
teur La 1^5 Sro,i5 CUO4 est celui sur lequel ont travaillé Bednorz et Muller. La découverte récente de
matériaux à haute température critique (supérieure à 77 K ) fait espérer un fort développement des
applications de la supraconductivité. Notons les valeurs relativement élevées de T( pour des matériaux
nouveaux tels que Yybacuo ( YBa2Cu O7 ).
TC(K)
Nb3Sn
18
Nb3Ge
23
Lai585Sr0?i5CuO4
38
YBa2Cu307
^92
Tab. 27.3. — Supraconducteurs de type TI
V. 2. — Quelques applications des matériaux supraconducteurs
a) Courants supraconducteurs
Une des applications majeures de l'absence de dissipation d'énergie dans un supraconducteur est
la production de champs magnétiques intenses : avec des bobinages en fils de niobure d'étain immergés
dans un bain d'hélium liquide, on obtient aisément des champs magnétiques de 10 T.
En outre, on met à profit l'expulsion du champ magnétique d'un supraconducteur, par effet Meiss-
ner, pour limiter les pertes par absorption dans un guide d'onde, en recouvrant ses parois d'un film
supraconducteur (cf. chapitre 30).
Enfin, la lévitation magnétique est envisagée pour réaliser des moyens de transport sans frottements
mécaniques (train à rails supraconducteurs).
b) Effets quantiques
L'interposition d'une couche mince isolante entre deux supraconducteurs forme une barrière que
les paires de Cooper peuvent franchir par effet tunnel (cf. Physique quantique). Cet effet, découvert
par l'anglais B. Josephson en 1962, a conduit à de nombreuses applications dans des circuits logiques
{logique Josephson), en raison de leur très courte durée de réponse, de l'ordre de la picoseconde, et de
leur très faible dissipation ( 10~6 W ).
Enfin, la quantification du flux magnétique dans un anneau supraconducteur de très petites
dimensions, combinée à l'effet Josephson, permet de réaliser des détecteurs de champ magnétique ou de
tension très sensibles ( 10-13 T et 10-14 V respectivement) appelés SQUID (Superconductor QUantum
Interférence Device).
CONCLUSION
Retenons les points essentiels.
(1) La supraconductivité est liée à l'existence, au-dessous d'une température critique, d'un état
particulier de certains matériaux condensés. Dans cet état, un courant électrique peut circuler sans dissiper
d'énergie : la conductivité est infinie.
(2) Dans l'état supraconducteur, le matériau se comporte globalement comme un diamagnétique
parfait; les lignes de champ sont expulsées à l'extérieur. La relation de milieu qui caractérise cet état
s'écrit simplement :

532
27. Supraconductivité
(3) Au voisinage de la surface apparaissent des courants qui peuvent être considérés comme
superficiels dans un matériau supraconducteur massif. Le courant surfacique a pour expression :
J, = nx —
Mo
Le matériau présente un moment magnétique global Ai donné par :
Ai= l M âP avec M tel que J, = Mxn
Jp
(4) Dans un circuit supraconducteur d'inductance L, on peut maintenir, sans force électromotrice,
un courant d'intensité :
* /
/() = T = f J* • (n x d J)
(p étant le flux du champ magnétique appliqué à travers le circuit.
(5) L'état supraconducteur est interprété en physique quantique comme une manifestation
macroscopique du comportement collectif d'électrons appariés (paires de Cooper). Apparaît alors un quantum
de flux, le fluxon h/(2e) « 2 x 1(T15 Wb .
(6) Enfin, la supraconductivité est un domaine en plein essor depuis la découverte de nouveaux
matériaux à haute température critique.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P27- 1. Variation du champ magnétique critique avec la température
1. Représenter graphiquement h = Hc/Hc$ en fonction de 6 — T/Tc. Calculer la pente de la
courbe au point 6 = 0 et 6 = 1 .
2. Dans le cas du niobure d'étain, pour lequel Tc = 18 K et //fj0 = 2 x 107 A • m-1 , trouver la
valeur de la température à laquelle le matériau subit une transition conducteur-supraconducteur lorsque
l'excitation magnétique H vaut 107 A m-1 .
P27- 2. Champ magnétique critique pour un fil supraconducteur
Un fil supraconducteur cylindrique, d'axe Oz , de rayon R , très long ( / ^> R ), est placé dans un
champ magnétique uniforme Ba = Ba ey.
1. Vérifier qu'un courant surfacique d'expression Jv = Js 0 cos <p ez, <p étant l'angle des
coordonnées cylindriques, respecte les symétries du système.
2. Calculer le champ magnétique créé par une telle distribution en un point de son axe.
3. En admettant que l'effet Meissner soit parfait ( AL <C R ), déterminer Js{) en fonction de Ba .
4. Donner la valeur du champ magnétique au voisinage de la surface du fil, à l'extérieur.
5. En déduire qu'un champ magnétique transverse peut détruire la supraconductivité dans un fil
pour une valeur deux fois plus faible que le champ critique.

Supraconductivité
533
P27- 3. Cycles d'un conducteur parfait et d'un supraconducteur Cweb)
1. Calculer à l'aide de la figure 27.3b, l'énergie fournie par le générateur de courant dans le cas
d'un cycle [—//, H[ avec H ^ Hc pour un matériau subissant une transition vers l'état de conducteur
parfait pour H = Hc .
2. Faire le même bilan dans le cas de la transition vers un état supraconducteur (Fig. 27.3a).
P27- 4. Effet Meissner dans une plaque
Une plaque supraconductrice plane, d'épaisseur faible devant ses dimensions latérales, est plongée
dans un champ magnétique uniforme B„, parallèle à son plan.
1. À l'aide des équations de London, calculer le champ B/„ .
2. En déduire le courant volumique J,„ .
3. A.N : Ba = 1 T, Xi — 40 nm, a = 1 mm . Calculer le champ au centre de la plaque.
P27- 5. Sphère supraconductrice
Un matériau supraconducteur, en forme de sphère, est soumis à un champ magnétique appliqué
uniforme B„ , à une température inférieure à sa température critique Tc .
1. Quelle est la distribution des courants supraconducteurs, sachant que l'effet Meissner est parfait
dans ce matériau ? À l'aide de la méthode du champ auxiliaire, établir l'expression de ces courants en
fonction de l'aimantation volumique M et du champ Ba .
2. Trouver les composantes du courant et du champ magnétique B dans le voisinage extérieur de
la surface du matériau.
3. A.N : Ba= 10 T . Calculer le courant surfacique dans le plan diamétral orthogonal à B„ .
P27- 6. Lévitation d'un aimant (^)
Un petit aimant, de moment magnétique rigide jul — 1 A.m2 et de masse m = 10 g, lévite
au-dessus de la surface horizontale plane d'un matériau supraconducteur.
1. Par des arguments de symétrie, préciser la direction du moment jx à l'équilibre et montrer
que l'effet des courants supraconducteurs à l'extérieur du matériau est équivalent à celui d'un dipôle
[x! dont on précisera la position et l'orientation. Justifier l'expression image magnétique utilisée pour
désigner yy! .
2. L'énergie d'interaction entre l'aimant et le matériau supraconducteur, qui est l'énergie
d'interaction entre le dipôle rigide jx et le dipôle induit |x', a pour expression :
477 r
r étant la distance qui sépare le dipôle magnétique et son image. En déduire la force exercée par le
matériau sur l'aimant et la hauteur h à laquelle il reste en équilibre.

534
27. Supraconductivité
P27- 7. Train à moteur supraconducteur CwebT)
Un cadre supraconducteur de forme rectangulaire, de dimensions a = 3 m et b = 1,5 m, se
déplace parallèlement à une plaque horizontale, parfaitement conductrice ; il comporte N = 1 000
spires. On admet que l'action de cette plaque est identique à celle exercée par un cadre, symétrique du
précédent par rapport au plan conducteur ; on l'obtient à partir des actions électrodynamiques d'Ampère
entre fils de longueur infinie. Quelle doit être l'intensité du courant dans le cadre pour que ce dernier se
maintienne à une distance h = 20 cm de la plaque, en supportant une masse de 5 tonnes ?
P27- 8. Champs dans un supraconducteur en forme de cylindre allongé
Un matériau supraconducteur est un cylindre allongé selon son axe Oz, de longueur / = 4 cm
et dont la section circulaire a un rayon R = 2 mm . On applique un champ magnétique B„ dirigé
selon Oz : B„ = Ba e- avec Ba = 0, 5 T. En admettant que la répartition des courants surfaciques
est analogue à celle d'un solénoïde de même forme, trouver les champs jjlqJs , /jlqM , /zqH et B . En
déduire le moment magnétique du matériau.
P27- 9. Épaisseur de London dans le plomb
Calculer l'épaisseur de London dans le plomb supraconducteur. Dans quel domaine spectral
l'épaisseur de peau du plomb normal est-elle égale à l'épaisseur de London? On donne la
densité volumique d'électrons libres et la conductivité du plomb normal : ns = 6,72 x 1028 m-3 et
7 = 5 x 106S-m-' .
P27- 10. Gap d'un supraconducteur <®>
Selon la théorie BCS, l'énergie de gap £s d'un supraconducteur est reliée à la température critique
par l'équation £# = 3,5 kBTc ; c'est ce que l'on constate pour l'aluminium dont la température critique
est 1, 17 K.
1. Comparer, dans le cas de l'aluminium, l'énergie £K à l'énergie de Fermi £F = 11. 7 eV .
2. On peut provoquer la transition de l'état supraconducteur vers l'état normal par absorption d'un
rayonnement électromagnétique, ce qui permet de briser les paires d'électrons. Quelle est la longueur
d'onde du rayonnement qui réaliserait cette transition dans l'aluminium ?
P27- 11. Interprétation de la supraconductivité par le modèle à deux fluides Cweb)
Dans l'état supraconducteur, seuls certains électrons libres sont appariés et contribuent au courant
supraconducteur de densité volumique Ji ; les autres restent dans l'état normal et sont responsables
d'un courant volumique normal J2 . On considère l'interaction d'une onde plane polarisée
monochromatique avec un matériau supraconducteur. On désigne par À0 la longueur d'onde dans le vide de cette
onde.
1. À l'aide des équations de Maxwell, établir l'équation différentielle à laquelle satisfait B,-,,.
2. En déduire la relation de dispersion co{k) pour une onde plane polarisée monochromatique.
Comparer les contributions des courants supraconducteur, normal et de déplacement. Pour cela, on
introduira l'épaisseur de London XL et l'épaisseur de peau 8.
3. Sachant que l'état supraconducteur ne persiste que si l'énergie des photons associés à l'onde
n'excède pas le gap d'énergie £g = 3,5 kBTc , comparer la longueur d'onde Àt., associée à la transition
état supraconducteur-état normal, à l'épaisseur de London À^ . Conclure.

28
Dispersion. Absorption
Pour étudier la propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu matériel, on doit prendre
en compte les interactions entre le champ électromagnétique et le milieu. L'approche classique que
nous considérons ici, s'appuie sur les équations de Maxwell en présence du milieu matériel constitué
par un ensemble de charges (électrons et ions) et sur l'expression de la force de Lorentz. On adjoint
alors aux équations des champs des relations de milieu qui rendent compte des différents mécanismes
microscopiques d'interaction.
Nous nous intéressons dans ce chapitre aux modifications qu'induit un milieu diélectrique sur la
propagation d'une onde électromagnétique, sans nous préoccuper de l'émission ou de la réception de
ce signal ni des conditions aux limites. L'influence de ces dernières sera analysée en détail dans la
propagation guidée (cf. chapitre 30).
Les modifications dues au milieu sont de deux sortes :
i) Les composantes monochromatiques de l'onde se propagent avec des vitesses de phase
différentes : c'est la dispersion. Une illustration bien connue de la dispersion est fournie par la
décomposition d'un faisceau de lumière blanche par un prisme de verre : les composantes monochromatiques
sont différemment déviées par le prisme car la vitesse de phase et donc l'indice varient avec la
fréquence (Fig. 28.1).
Condenseur
Lentille
Écran
KMn04 t Prisme
Fig. 28.
ii) L'amplitude des composantes monochromatiques diminue au cours de la propagation : c'est
Y absorption. On met facilement en évidence l'absorption en interposant sur le faisceau incident du
montage précédent une cuve contenant une substance, par exemple du permanganate de potassium
( KMn04 ) ; le spectre présente alors de larges bandes opaques qui sont caractéristiques des
composantes absorbées par la substance.

536
28. Dispersion. Absorption
I. — EQUATIONS DE MAXWELL DANS UN MILIEU MATERIEL
1.1. — Champ électromagnétique et charges du milieu
Rappelons tout d'abord les deux équations de Maxwell liées à la structure du champ
électromagnétique (E,B) :
<9B
rotE+ —=0 et divB = 0
at
Nous avons vu que les charges et les courants présents dans un milieu matériel, de densités volumiques
respectives pin et J,„ , pouvaient être prises en compte en introduisant deux nouveaux champs, P et
M , définis par (cf. chapitres 21 et 22) :
dP
phl = - div P et J,„ = rot M + —
at
Dans cette analyse, nous supposons que le milieu est naturellement neutre et qu'il est simplement
connexe; donc, aucune charge étrangère n'a été introduite (pelr = 0, JeJr = 0) et en outre le
milieu n'est le siège d'aucun courant de maille (J,„ = 0).
1.2. — Description macroscopique
En tenant compte des deux autres équations de Maxwell :
div(eoE) = pin et rot ( — ) - — (e0E)
\poJ dt
et en introduisant les champs d'excitation D = eqE + P et H = B//xq — M, les deux équations de
Maxwell précédentes deviennent :
<9D
divD = 0 et rot H - — = 0
at
La réponse du milieu est alors analysée directement à l'aide de relations macroscopiques de milieu liant
le champ d'exitation (D, H) au champ électromagnétique (E, B).
Cette description macroscopique n'a de sens que s'il est possible de définir des valeurs moyennes
de ces champs. En effet, un champ variable dans le temps est également variable dans l'espace ; cette
variation dans l'espace, caractérisée par une distance qui s'identifie à la longueur d'onde À en régime
sinusoïdal, doit être grande devant la distance interatomique a ( ~ 0, 1 nm) : À ^> a .
1.3. — Milieu dispersif. Milieu parfait
Dans un milieu matériel, l'établissement d'un état de polarisation ou d'aimantation n'est réalisé
qu'au bout d'une durée caractéristique des processus microscopiques impliqués (cf. chapitres 24 et 25).
En régime variable, les champs D et H sont donc en retard par rapport aux champs E et B .
Lorsque la variation, dans le temps, du champ (E, B) est suffisamment lente pour que l'on puisse
négliger le retard des champs D et H, la réponse d'un milieu, linéaire, homogène et isotrope, peut
être considérée comme instantanée. Les deux relations précédentes s'écrivent alors, comme en régime
stationnaire :
D(r,r)=ereoE(r,0 et H(r,f) = -1— B(r,/)

Dispersion. Absorption
537
où la permittivité relative er et la perméabilité relative jmr sont des constantes réelles et sans dimension.
Le milieu est qualifié de parfait. Lors de l'étude du condensateur à diélectrique ou de la bobine à
noyau de fer doux (cf. chapitre 23), en régime quasi stationnaire, nous étions dans le cadre de cette
approximation. En revanche, en régime rapidement variable, cette approximation n'est plus valable : le
milieu est alors dispersif et absorbant.
1.4. — Analyse harmonique. Vecteur d'onde complexe
En régime variable, l'étude de la réponse d'un système linéaire est aisée si le signal est sinusoïdal.
Une telle étude n'est pas restrictive, puisqu'un signal quelconque peut toujours être considéré comme
une combinaison linéaire de signaux sinusoïdaux. C'est ainsi qu'on a analysé, en notation complexe,
la réponse d'un circuit électrique parcouru par un courant sinusoïdal de pulsation co (cf. chapitre 17) :
cette réponse a été entièrement caractérisée par l'impédance complexe Z(co) .
Nous montrerons que l'étude de la réponse diélectrique d'un milieu, non magnétique, linéaire,
homogène et isotrope, est entièrement caractérisée par une permittivité relative complexe £r(co) ; la
propagation d'une onde électromagnétique plane progressive et sinusoïdale dans un milieu matériel est
alors décrite par un vecteur d'onde k lui-même complexe :
k = k' + /k"
Lorsque ce vecteur d'onde est dirigé suivant Oz, une composante complexe quelconque du champ
électromagnétique se met sous la forme :
^(r, t) = A,„ exp[-i(cot - kz)] = Am exp(-fc"z) exp[-i(cot - k'z)) puisque k = kez = {k1 + ik")ez
La partie réelle k' de k permet de définir une vitesse de phase v^ alors que la partie imaginaire k"
traduit l'atténuation de l'onde et s'identifie ainsi au coefficient a d'atténuation linéique :
vv = ~ et „ = *"(«,)
Comme généralement k' ne dépend pas linéairement de co , la vitesse de phase dépend de la pulsation
et il y a dispersion. Quant au coefficient a , il est généralement non nul : il y a absorption.
Notons que l'absorption est liée à la valeur complexe du vecteur d'onde et donc de e_r, c'est-à-dire
au retard de la réponse que donne le milieu matériel à l'onde qui se propage.
Remarques : (1) Comme la dispersion et l'absorption ont une origine commune, ces phénomènes sont
intimement liés : il en résulte qu'un milieu dispersif est nécessairement absorbant. Ce lien
est précisé par des relations dites de Kramers-Krônig.
(2) Un milieu matériel linéaire, homogène et isotrope, peut être considéré comme parfait,
c'est-à-dire ni dispersif ni absorbant, uniquement dans une zone limitée de fréquence ;
seul le vide est parfait pour l'ensemble du spectre électromagnétique.
II. — MODÈLE DE DRUDE-LORENTZ
L'interaction d'un porteur de charge avec le reste du milieu matériel est traduite classiquement par
une force d'amortissement visqueux et par une force de rappel élastique que nous écrivons
respectivement sous la forme : —a v et — Kx\ , u étant le vecteur position par rapport à la position d'équilibre.

538
28. Dispersion. Absorption
II. 1. — Équation du mouvement
La loi fondamentale de la mécanique appliquée à l'un des porteurs de charge q, de masse m,
soumis à un champ électromagnétique (E, B), s'écrit :
,2 j2
m—T = <y(E + v xB)-av-^u soit —- = — (E + v x B) colu
dî2 dr2 m t
en posant :
\ a 7 K
- = — et (Oq = —
r m m
La constante r = m/a est la durée de relaxation des vitesses, appelée aussi durée de collision (cf.
chapitre 7) : après une excitation électrique, le système de charges retrouve, au bout de quelques valeurs
de r , une distribution isotrope des vitesses. La constante coq = (K/m)1/2 est la pulsation de
l'oscillateur classique que forme la charge en mouvement autour de sa position d'équilibre.
Dans un milieu, on distingue souvent deux types de charge : les charges libres pour lesquelles
la force de rappel est nulle (coq = 0) et les charges liées pour lesquelles cette force n'est pas nulle
(wq / 0). Ainsi, dans un conducteur, les charges libres sont les électrons de conduction et les charges
liées sont les ions. Cette distinction perd toute signification à haute fréquence (co ^> co()) où les
déplacements des charges libres sont comparables à ceux des charges liées. En outre, on ne peut pas toujours
attribuer aux différents électrons des rôles spécifiques en raison de l'indiscernabilité de particules
identiques (cf. Thermodynamique). C'est donc T ensemble des charges qui contribue à la polarisation ou à
l'aimantation du milieu.
Exception faite des corps ferromagnétiques, les effets magnétiques sont très faibles devant les
effets électriques en l'absence de champ magnétique appliqué. En effet, dans l'expression de la force de
Lorentz, le rapport des contributions magnétique et électrique est négligeable :
F m _ vB _ v
Fe E c
puisque, pour une onde plane dans le vide, E — Bc . Dans un milieu matériel, ce rapport est aussi très
faible, la vitesse de déplacement d'un porteur étant toujours très faible devant la vitesse de propagation
d'une onde électromagnétique. Nous avons donc :
d^u 1 du 9 ût
-y + --+WU=-E
ât2 r dr u m
Dans cette expression, E est le champ local qui agit effectivement sur le porteur considéré. Il convient
donc, pour un diélectrique, de tenir compte de la correction de Lorentz par exemple (cf. chapitre 24).
Nous négligeons pour l'instant cette correction, ce qui revient à considérer le conducteur ou le
diélectrique peu dense.
II. 2. — Susceptibilité et permittivité complexes
Considérons, dans l'équation différentielle précédente, l'action d'un champ électrique sinusoïdal,
de pulsation co :
E = Re {E} = Re {E0(r) exp(-iœt)}
Le régime établi correspond à une solution du type u = u0exp(—icot), ce qui conduit à l'équation
suivante :
9 co 9 q . q
-co-u0 - i- u0 + û>5 u0 - - E0 soit u0 = -—2 ^ r-y-r E0
r m /77Kwo — (*>z) — ico/t\

Dispersion. Absorption
539
On en déduit la polarisation volumique :
P - nvq u = P0 zxp(-icot) avec P0 = Uv\ —-- E0
m[(ù)Q — co1) — iù)/t\
nv désignant la densité volumique des porteurs et P0 l'amplitude complexe de polarisation volumique.
Cette relation linéaire, entre l'amplitude complexe de la polarisation volumique et celle du champ
électrique macroscopique, à une pulsation co, permet de définir une susceptibilité électrique complexe x
du milieu par :
2 2
Eo = *0)£oE0 avec xi<°) = xi^)~r^ ^ —y où *(0) = vi
— — [ù)q — co1) — ico/r mcû^Eo
représente la susceptibilité diélectrique statique (co = 0 ) ; le caractère complexe de x exprime le
déphasage de la réponse (la polarisation P ) par rapport à l'excitation (le champ E ).
(1) À basse fréquence (co <C co()) : xi*0) ~ *(0) » P est en phase avec E ; nous retrouvons le
cas des régimes stationnaires (cf. chapitre 24), où la susceptibilité est une constante réelle positive.
(2) Pour co = coq, : xi0*) = icooTxi®) = coqt xiO) exp(nr/2) ; P et E sont en quadrature.
(3) À haute fréquence (co ^> coq) : xi*0) ~ — xWi^o/0^) ; P et E sont en opposition de
phase. Notons qu'à très haute fréquence (co ^> coq) , la susceptibilité tend vers zéro.
Séparons les parties réelle et imaginaire de la susceptibilité complexe : x — x' + lx" '•
,» = ReM=,(Q), ^~Jy\,, et ,»=lm{,}=,(0) 2 ^
— (CÛQ — CO1)1 + COZ/T~ — (COq — CO1)1 + CO1 /T~
Il résulte de ce qui précède qu'en régime sinusoïdal, la relation entre les champs complexes D et E est
linéaire :
D = e0E + P = e0( 1 + *)E = e0erE = e E
où sr est la permittivité relative complexe fonction de la pulsation co :
er = e'r + ie" avec e'r(co) = 1 + X'i*°) et e"(co) = x"(<°)
Remarque : Dans le cas de solides isotropes, la correction du champ local de Lorentz, qui revient
à remplacer E par E + P/(3eo) = E + nvq uq/(3eo) dans l'équation du mouvement
(cf. chapitre 24), se justifie. Il vient alors :
2 • <° , ( 2 nv T \ CI j?
-^-,-«0+^-—ju() = -E0
On obtient donc les mêmes expressions que précédemment, à condition de remplacer co^
par :
a 2 nuQ~

540
28. Dispersion. Absorption
II.3.— Allures des graphes x'^) et x"^)
Etudions l'allure des graphes x'^) = er(w) — 1 et x"^) — £,,{°)) au voisinage de coq , dans
le cas d'un amortissement faible : 1/r <C co0 soit w0 t ^> 1 (Fig. 28.2 ).
x(o)
a)
b)
FlG. 28.2.
La partie réelle x'fa) s'annule pour co = co{) : ^'(^o) = 0 (Fig. 28.2a). Sa dérivée :
-2^0^(0) co
-(^-^)2 + ^/r2
[H"
2)2 + w2/r2
est nulle pour deux valeurs co\ et co2 , telles que :
Û)Q
>\
uo
2 ?
et <w9 = <w,
w0
'o
T T
Dans le cas considéré où wo r > 1 , co\ et ^2 valent respectivement :
1
ù)\ « û)0
et (^2 ~ <^o H d'où Aco = co2 — co\
2t 2t
La partie imaginaire x"^) est en revanche maximale pour co = coq : ^"(^0) = w0r^(0) . Elle
décroît rapidement dès que co s'écarte de coq (Fig. 28.2b). Au voisinage de coq (co ~ co{)), on a :
= (co + co{))(cO() - co) « -2coo(co - coq)
Il en découle :
X K«>)
■X(0)
co^co/t
4co2(co - co0)2 + co2/t2
'X"(co0)
1 +4t2(co - coq)2
Cette courbe est une lorentzienne : elle est symétrique par rapport à l'axe passant par son maximum
situé à co = coq . On voit que la largeur totale à mi-hauteur de la courbe est àco\/2 = co2 — co\ « 1/r ,
puisque sa hauteur est divisée par 2 pour (co — coq)2 = 1 /4r2 , soit pour co = co\ ou co = co2 .
II. 4. — Conductivité complexe. Comportement conducteur ou isolant
Exprimons le courant volumique intérieur Jin — dP/dt en fonction du champ macroscopique E .
Compte tenu de la définition de la susceptibilité complexe, on est conduit à définir, par analogie avec
l'expression de la loi d'Ohm locale en régime stationnaire (cf. chapitre 7), une conductivité complexe
y selon :
-icoPn
-icoxsoKo = 7E0 d'où y = -ico£0x

Dispersion. Absorption
541
En posant y = y' + iy" et en identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient :
y'(co) = ù)Sqx" et y"{<») = -usox'
Remarquons les rôles inversés des parties réelles et imaginaires dans y et dans x ■
Ainsi, il est formellement équivalent de décrire les propriétés électriques d'un milieu par sa
susceptibilité complexe ou par sa conductivité complexe. Cependant en régime quasi stationnaire, on préfère
caractériser les métaux par leur conductivité, qui est réelle et constante (cf. chapitre 17) : y(co) ~ y(0) ;
en revanche, il est plus judicieux de les caractériser les matériaux parfaitement isolants par leur permit-
tivité relative, qui est réelle et pratiquement constante : £r(co) œ efr(fi) = 1 + ^(0).
Entre ces deux cas limites, se situe le comportement électrique de nombreux milieux
(semiconducteurs, électrolytes, mauvais isolants). En régime sinusoïdal, il est alors commode d'écrire :
J0 = y'EQ-iù>eox'E0 soit J,„ = y'E + X'd (^E)
en revenant à la notation réelle. L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :
VaW dt
soit
où :
J(£0E) ,dE
Jc = y'E et ïd = (\+x')-^^=e' —
représentent respectivement les courants volumiques de conduction et de déplacement dans le milieu.
C'est le rapport de leur norme qui permet, pour une pulsation co ou une fréquence v donnée, de
qualifier le milieu de conducteur ou d'isolant :
± = J^= * = 1,8x10'°-^
Jci coe' 27Tveç)E'r ' ve'r
Les comportements conducteur ou isolant sont alors définis par les deux cas limites suivants :
i) Comportement conducteur
Je ^ Jd soit y'/(co£f) ^> 1 et rot(B/yu,0) « y'E ; le milieu se comporte comme un conducteur
caractérisé par sa conductivité réelle y'.
ii) Comportement isolant
Je «C Jd s0^ y'/(mz') ^ 1 et rot(B//x0) ~ e'dE/dt ; le milieu se comporte comme un isolant
caractérisé par sa constante diélectrique réelle e'.
Entre ces deux limites existent tous les cas intermédiaires pour lesquels les deux termes doivent
être simultanément conservés ; c'est le cas de certains semi-conducteurs ou liquides peu ionisés. En
outre, le rapport Jc/Jd varie considérablement avec la fréquence v : sur la figure 28.3, on a représenté
\g(Jc/Jd) en fonction de In v, dans le cas du cuivre : on voit que ce matériau bon conducteur à faible
fréquence, devient un bon diélectrique dans le visible.

542
28. Dispersion. Absorption
Matériaux conducteurs
*" 1g ^
Matériaux isolants
FiG. 28.3.
II. 5. — Modèle de Drude-Lorentz pour la conductivité complexe
Dans un conducteur, les charges considérées comme libres, ne sont soumises à aucune force de
rappel : (co0 = 0) . On déduit alors du modèle de Drude-Lorentz, Vexpression de la conductivité
complexe :
y
-ICôEqX = —IOJ-
nv(f
1
nvq-r
1
y(0)-
m —co2 — ico/r m 1 — icor J 1 — icor
représente la conductivité en régime stationnaire (cf. chapitre 7). Par conséquent
1
où y(0) =
nvq2r
7(0)-
et y" = y(0)-
\+C02T2 ~ ' '^'l+^T2
Sur la figure 28.4 on a représenté les graphes yf/y(0) et y"/y(0) en fonction de co .
A 7'(o;)
iYH
0,5
FiG. 28.4.
III. — POLARISATION DES MILIEUX EN REGIME SINUSOÏDAL
L'interprétation des propriétés diélectriques des divers milieux s'appuie sur le modèle de Drude-
Lorentz en considérant les différents mécanismes de polarisation déjà étudiés en régime stationnaire (cf.
chapitre 24). Les propriétés diélectriques des différents matériaux linéaires, homogènes, isotropes, non
magnétiques, sont alors entièrement traduites par la permittivité complexe e_{(o) ou par la susceptibilité
diélectrique complexe xi^) •

Dispersion. Absorption
543
Les charges intérieures d'un milieu matériel assurent sa cohésion par des liaisons ioniques, cova-
lentes ou métalliques. À ces divers types de liaison correspondent des réponses électriques différentes.
Alors que le mécanisme de polarisabilité électronique concerne tous les milieux, seuls ceux
comportant des liaisons ioniques, au moins partiellement, présentent une polarisabilité ionique. Rappelons que
lorsque des édifices à moment dipolaire permanent et mobiles sont présents, le mécanisme de
polarisation d'orientation s'ajoute aux mécanismes précédents. Enfin, pour les milieux conducteurs, au moins
partiellement, il convient d'ajouter des mécanismes de polarisation globale liée aux électrons de
conduction.
III. 1. — Polarisation électronique
Les électrons jouent un rôle essentiel dans les mécanismes de polarisation qui apparaissent en
optique. En raison de leur faible masse, ils sont seuls à suivre les variations d'un champ électromagnétique
de très haute fréquence (w~3x 1014 rad • s-1 dans le visible).
La physique quantique permet de relier les pulsations propres électroniques wo,e aux énergies
hojQ^ des différentes transitions associées qui caractérisent le matériau. L'énergie de la transition la
moins énergétique coïncide avec celle du gap du matériau (cf. chapitre 7). Ainsi, pour le diamant
(Sg = 5,4 eV) ou le verre (Sg « 10 eV), les pulsations propres a)^e = £g/ h correspondantes
sont situées dans l'ultraviolet :
û>0,<
8,2 x 1015 rad-s-1 (diamant) et co0je « 1,5 x 1016 rad-s-1 (verre)
Les processus de relaxation électronique sont également très rapides : la condition coq^t? ^> 1 ,
dans laquelle re est la durée caractéristique de la polarisation électronique, est donc largement satisfaite.
Il en résulte que la partie imaginaire de la susceptibilité électrique complexe, liée au terme co/re , est
négligeable, dès que co s'écarte de coq d'une valeur \co — û)q\ ^> \/rc :
i) Dans le visible (co <C coq^ et coQere ^> 1 ), la susceptibilité électronique x est réelle et s'écrit :
Xe ~ AV(0)-ô ? puisque — < = < au0,e
(O^e - <» Te Te ù)oi€Te
C'est une fonction qui croît avec co , ce qui est bien vérifié expérimentalement.
il) Dans le domaine des rayons X (co ^> coq^ ), la susceptibilité est également réelle mais négative :
t \ ' (c\\ ^V
XeH = -xe(0)—r
CO
Elle est très faible car co2 ^> col e et Xe{fy ~ 1 : les électrons ne peuvent plus suivre les variations
trop rapides du champ électrique. Notons qu'alors e_ = e' « eq : le milieu ne présente plus de propriété
diélectrique, il se comporte comme le vide.
III. 2. — Polarisation ionique
Les ions d'un cristal forment des oscillateurs qui interagissent avec un champ électrique. Leurs
pulsations propres w0,/ sont cependant beaucoup plus faibles que les pulsations électroniques, car les
masses qui interviennent sont 103 à 105 fois plus grandes (5 x 1012 ^ coqj ^ 30 x 1012 rad-s-1 ).
Ces vibrations se situent donc dans l'infrarouge lointain.

544
28. Dispersion. Absorption
Les processus de relaxation associés, c'est-à-dire d'amortissement des vibrations, dépendent de la
température et des défauts dans un matériau solide. Cependant, même à température ambiante, on a,
pour la plupart des cristaux : w0;/t; ~ 10-2 à 10~3 , r, étant la durée de relaxation correspondante.
La condition coqjTj <C 1 est donc largement satisfaite. Ici aussi, deux domaines sont particulièrement
intéressants :
i) co ^> coq^i (visible et au-delà) : La contribution X- de la polarisation ionique à la susceptibilité
électrique est réelle et très faible :
*/«-*,(o)-^«o
CO~
Seuls les effets électroniques sont importants dans le domaine optique.
ii) co <C oj{)i (domaine des micro-ondes et en delà). C'est le domaine des régimes quasi
stationnantes des circuits et des télécommunications hertziennes. La susceptibilité d'origine ionique est réelle
et pratiquement constante :
OÂ ;
III. 3. — Polarisation d'orientation
La polarisation par orientation de dipôles rigides, sous l'action d'un champ électrique, joue un rôle
important dans le cas des liquides polaires, tels que l'eau, lorsque le domaine de fréquence est celui des
micro-ondes et des ondes de fréquence encore plus faible.
L'interprétation est fondée sur l'étude microscopique précédente, à condition de négliger le terme
lié à l'accélération devant celui dû au « frottement », les mécanismes d'amortissement étant
prépondérants. Dans un liquide, cet amortissement est attribué à la viscosité ; la durée de relaxation
correspondante to , appelée durée de Debye, dépend fortement de la température selon une loi en 1 /T (loi de
Curie).
Dans l'expression générale de la susceptibilité électrique xi0*)) ce'a revient à écrire co2 <C co/r,
ce qui conduit à l'expression suivante de la susceptibilité d'orientation :
t }2 i i
/LrO) = AV(°)~2—^T~ = *«r(0) . en posant rD = —T-
—°' COq — ICO JT 1 — ICOTo COqT
La susceptibilité statique Xor(fy Peut être exprimée sous la forme donnée en régime stationnaire
(cf. chapitre 24), soit :
3£qKbT
Les parties réelles et imaginaires de x sont appelées les équations de Debye :
*;,» = e'r -l=*„r(0), , ', , et Xo,-H = e'; = x,AO)- WT°
. 99 ^ Aor\wJ •-/- Aory^j . 99
+ 0)~T"D 1 + O) Tq
Sur la figure 28.5, on a représenté les courbes donnant x'or el x'ôr en fonction de co. Ici aussi,
deux domaines peuvent être distingués :
i) corD <C 1
xM~Xor(0) et /»«^(0)
La susceptibilité dipolaire est réelle et égale à sa valeur à basse fréquence.

Dispersion. Absorption
545
ii) cotd >
**rM<AV(0) et ^»«^r(0)
La susceptibilité dipolaire est négligeable : les moments dipolaires ne peuvent plus suivre les oscillations
du champ électrique.
X'or(u)
0,5
Xor(0)
a)
b)
FlG. 28.5.
Exemple : Dans le cas de F eau, à basse fréquence où co <C r^1 ~ 1011 rad • s-1 , la constante
diélectrique relative a une valeur très élevée, e'r(0) = 1 + Xori®) ~ 81 , en raison des forts moments
dipolaires permanents des molécules. À haute fréquence, dans le domaine optique notamment, seule la
polarisation électronique intervient et e\. œ 1,8. Sur la figure 28.6, on a représenté, pour l'eau à 300 K,
e'r en fonction du logarithme décimal de la fréquence v .
e'ri
80~
20-
,
Eau à 300 K
. ^
■ 1 1 1 *-
12
lg v
FlG. 28.6.
Remarque : On retrouve le même type de comportement diélectrique pour des électrolytes solides dans
lesquels des déplacements d'ions se produisent par sauts, de site à site.
III. 4. — Polarisation totale d'un isolant
Dans un milieu, les trois mécanismes de polarisation, électronique, ionique et d'orientation,
peuvent être simultanément présents. La variation de x'^) = er(w) — ' en fonction de la
pulsation co est représentée sur la figure 28.7.
En régime stationnaire, tous les mécanismes de polarisation contribuent à la valeur de la constante
diélectrique, laquelle est réelle et notée es :
es = e'r(0) = l + xe(0) + Xi(0) + X<,r(0)

546
28. Dispersion. Absorption
En revanche, dans le domaine de l'optique visible (coq ,; <C co <C coq f,), la constante diélectrique, notée
£oo , ne résulte que de la contribution électronique :
£00= 1 +Xe(0)
Enfin à très haute fréquence (co ^> coq) , la polarisation des milieux est nulle et donc er = 1 . Notons que
dans ce domaine, la description macroscopique, et donc la notion même de constante diélectrique, n'est
plus valable dès lors que la longueur d'onde devient de l'ordre de grandeur des distances interatomiques ;
c'est ce qui se passe avec les rayons X.
XlorW
X'eW
Polarisation ,
électronique \
Circuits
TR visible UV X!
1 fjm
Domaines
c
Xt
'0:
v
FlG. 28.7.
III. 5. — Polarisation totale d'un conducteur
Les charges globalement mobiles d'un milieu apportent une contribution supplémentaire à la
polarisation, laquelle se déduit de l'expression générale de x en faisant coq = 0 :
*„ =
nvcr
.7(0)
1
ni£0(-
ico/r) co£() 1 — icoT co2 1 + i{cor)
1/2
On montrera que cop est la pulsation propre de l'oscillation collective des charges libres, appelée
pulsation plasma du milieu (cf. VI). Rappelons que la durée r de relaxation des vitesses est de l'ordre de
10-14 s (cf. chapitre 7).
Ici aussi, deux domaines peuvent être distingués :
i) lot < 1
xi*»)
.7(0)
CO£{)
La susceptibilité du conducteur est imaginaire à basse fréquence.
ii) wt> 1 0
—°- co1
La susceptibilité du conducteur est réelle et négative à haute fréquence.

Dispersion. Absorption
547
IV. — PROPAGATION D'UNE ONDE DANS UN MILIEU LHI
IV. 1. — Équation d'onde et relation de dispersion
Dans un milieu matériel, où règne un champ électromagnétique sinusoïdal dont le champ électrique
a pour expression complexe E(r, t) — E0(r) exp(—icoî) , les équations de Maxwell vérifiées par les
amplitudes complexes s'écrivent :
rotE0 - iùjB0 = 0 divg0 = 0
rotH{) + iwD0 = 0 divD0 = 0
Dans le cas d'un milieu non magnétique (H0 = B()//xo), linéaire, homogène et isotrope du point de
vue diélectrique (D0 = £,.£oEo), les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Gauss s'écrivent
respectivement :
rot B0 + /— er E() = 0 et sr div E0 = 0
en utilisant la relation £oMo c1 = 1 • La dernière équation admet deux solutions, soit div E0 = 0 , ce qui
définit la solution générale que nous allons examiner, soit e_r = 0 qui est un cas particulier que nous
verrons ultérieurement.
L'équation d'onde s'établit, comme dans le cas du vide, en utilisant la relation d'analyse
vectorielle : rotrot( ) = graddiv( ) — A (cf. annexe 2). Il vient :
co2
rotrotE0 = rot(/<wg()) = — ê^Eq
Il en résulte, puisque divE0 = 0 :
2 2
' AE0 + — er E() =-0 et de même AB0 + ^- er B0 = 0
Cherchons la condition d'existence d'une solution de type onde plane progressive monochromatique
(OPPM) : E0(r) = E,„ exp(/k • r). Il vient, puisque AE0 = — ^2E0 , en divisant par exp(/k • r) :
Les solutions Em / 0 doivent satisfaire la relation de dispersion :
CL
Elles sont donc entièrement déterminées par la connaissance de la fonction diélectrique sr((o) .
IV. 2. — Vecteur d'onde et indice complexes
Le vecteur k est le vecteur d'onde complexe /çe: = (kr + ik") e: si la propagation et l'atténuation
ont lieu selon Oz . La solution pour E s'écrit alors :
E = Em exp(-/:"z) exp[-/(iwr - k'z)]

548
28. Dispersion. Absorption
pour une propagation suivant les z croissants (kf > 0 et k" > 0). L'onde plane n'a donc pas une
amplitude constante : elle diminue exponentiellement et cet amortissement est directement relié à la
partie imaginaire k" du vecteur d'onde ; cette dernière s'identifie au coefficient d'atténuation linéique :
k" = a .
Les valeurs possibles de k sont données par la relation de dispersion :
,2 ^2 ,2 v , <o
k = —er = k0er ou ko = -
CL C
désigne le nombre d'onde qu'aurait une OPPM, de même pulsation co , qui se propagerait dans le vide.
D'après ce qui précède, on a : k = ko£/ . Le rapport k/ko est Y indice complexe du matériau :
k .1/?
— = n = n + ik = e_r '
ko
La partie réelle n est /Jindice de réfraction habituel en optique et sa partie imaginaire k Vindice
d'extinction. Comme n2 = er = e'r + ie" , on en déduit les relations suivantes :
n2 — k2 = e'r et 2nK = e"
Ainsi, dans un milieu d'indice complexe n , le champ électrique d'une OPPM s'écrit :
E = Ew e\p[-i((ot - konz)} = Ew exp(-koKz) e\p[-i(œt - k0nz)]
On en déduit la vitesse de phase v^ et le coefficient d'atténuation en amplitude a :
co c .. co , x
k' n{co) c
Si n((o) n'est pas constant le signal électromagnétique se propage dans un tel milieu avec un vecteur
d'onde ou une vitesse de phase qui dépend de la fréquence; c'est la dispersion. La décroissance de
l'amplitude au fur et à mesure de la propagation traduit Vabsorption.
Remarques : (1) La propagation implique k' = kon / 0. Le cas k' = 0 correspond à une onde
évanescente : le champ s'atténue exponentiellement sans propagation dans le milieu.
(2) La condition d'atténuation s'écrit plus généralement k' • k" = k^nK > 0. L'onde
serait amplifiée si k' • k" < 0, ce que l'on réalise dans les cavités laser où le milieu est
rendu actif (cf. Optique).
(3) Lorsque le milieu est non absorbant (k = 0), une solution possible de l'équation
k'-k" = 0 est une onde hétérogène, pour laquelle la propagation (k' / 0) et l'atténuation
{k" / 0) ont lieu selon des directions orthogonales. Ce type d'onde est observé à la
surface du milieu (cf. chapitre 29). Nous ne considérons dans ce chapitre que des ondes
planes homogènes pour lesquelles propagation et atténuation se produisent selon la même
direction.
IV. 3. — Structure de l'OPPM
En notation complexe, on sait que l'on peut remplacer les opérations grad, div, rot et A,
respectivement, par les opérations équivalentes suivantes : /k , ik , ikx et — k2 (cf. chapitre 19). Les

Dispersion. Absorption
549
équations de Maxwell, se mettent alors sous la forme :
k x E,„ = coB,„ k - Bw - 0
kxBm =-^srEm k-E,„ -0
Le vecteur k ne pouvant être nul lorsqu'il y a propagation, Em , Bw et donc le champ
électromagnétique réel correspondant sont transverses (TEM). Remarquons que l'isotropie du milieu ( et scalaire) et
la condition sr ^ 0 , sont nécessaires pour que E/;/ soit orthogonal à k .
Quant à l'équation Bm = kx E.m/co, elle montre que E et B ne sont en phase que si k est
réel, c'est-à-dire uniquement dans les zones de pulsation telles que k"{co) — 0 . Ces zones sont dites de
transparence, car le champ électromagnétique se propage dans le milieu sans atténuation. Les résultats
que nous avons établis pour une OPPM dans le vide (structure, polarisation) sont alors directement
transposables au cas d'une OPPM dans le milieu, à condition de remplacer, dans les expressions établies,
la vitesse de la lumière dans le vide c par la vitesse de phase v^ = c/ n .
IV. 4. — Cas particulier de l'onde longitudinale
L'équation de Maxwell-Gauss, £rdivE0 = 0, admet comme solution particulière e_r — 0 avec
divE0 ^ 0 . Compte tenu de l'équation divB0 = 0 et de celle de Maxwell-Ampère, il vient :
co
rotB0 + /—e,E0 = rotB0 = 0 d'où B0 = 0
en l'absence de champ stationnaire. L'onde est donc purement électrique.
Cherchons une solution en onde progressive sinusoïdale : E0 = Em exp(/k • r). L'équation de
Maxwell-Faraday s'écrit :
k x E//; = coBm = 0
L'onde électrique est donc longitudinale (LE). Les pulsations particulières co\ qui vérifient la relation
de dispersion sr(a)i) = 0 sont les pulsations longitudinales. Remarquons que le champ D étant nul,
puisque sr((Oi) = 0 , la solution représente une onde de polarisation du milieu :
E = -£o E = Pw exp[-i(û),t - k • r)] avec P,„ = -eQ Em
V. — DISPERSION DANS UN MILIEU TRANSPARENT
V. 1. — Etude générale
Considérons la propagation d'une onde TEM, de pulsation co très différente de la pulsation coq
qui caractérise une zone d'absorption : \co — coq\ ^> 1 /r . La permittivité relative et la susceptibilité sont
alors des quantités réelles :
l,. = £;W = l+/H = 1+/r(0)1^=l + ^1 avec col=x(0)col = ^-
coq — co^ co^ — coL tn£Q
Le graphe de e'r en fonction de co est représenté sur la figure 28.8 ; la divergence des courbes au
voisinage de ^o vient de l'hypothèse d'une absorption négligeable.
Nous savons que la pulsation to\, pour laquelle e\. s'annule, correspond au cas particulier d'une
onde électrique longitudinale (LE). On a donc :
co1
er{coj) = 0 soit l H 9 p 9 = 0 d'où coj = col + cof

550
28. Dispersion. Absorption
4(0)
wt Tm/
Lui
LJ0
n
U+y/ /
/
= ck
/ cj = vk
LE
/ /
/ | / ^*#***
/' /y^UJ-
/ i^o/c
«**—^—
FiG. 28.8.
FiG. 28.9.
Les valeurs possibles du vecteur d'onde k, associé aux ondes transverses électromagnétiques, se
déduisent de la relation de dispersion :
*2 = ^î. = ^(i
En explicitant, il vient :
k2c2 (col - ^2) = ^ (^o - ^2) + <^co2p soit co4 - co2 (k2c2 + co2 + co2) + k2c2où\ = 0
Les solutions réelles de cette équation ont pour expression :
k2c2 + col + v2
k2c2 + ^5 + û>2
n »/2
^c2^2,
Les courbes de dispersion co(k) correspondantes sont représentées sur la figure 28.9. Les deux
pulsations co+ et co- appartiennent respectivement à une bande supérieure (co+ > co/) et à une bande
inférieure (co_ < coq) . Ces deux bandes sont séparées par une bande interdite, pour laquelle la
propagation n'est pas possible. En effet, la permittivité relative est alors négative et le vecteur d'onde purement
imaginaire comme le montre la figure 28.8. L'onde est donc atténuée sans propagation et sans
absorption : c'est une onde évanescente. Nous verrons au chapitre 29, que le milieu se comporte alors comme
un réflecteur parfait.
Deux domaines de longueur d'onde (À = lir/k) sont particulièrement intéressants.
i) À grand ou k faible : k <C coo/c
Les solutions approchées sont :
c c
co+ « coi et co- « v^fik avec v^q = #/vvm/9 = -
l£r(°)J /2 n
Le milieu est donc non dispersif pour les modes de pulsation co_ puisque l'indice n a alors une valeur
constante n = [e(0)] '" .
ii) À faible ou k grand : k ^> coq/c
Les solutions approchées sont :
co+ œ kc et
^o
Le milieu est donc non dispersif pour les modes de pulsation co+ et se comporte comme le vide :
n=\.

Dispersion. Absorption
551
Pour les longueurs d'onde intermédiaires, le milieu est fortement dispersif : la vitesse de phase
dépend de la pulsation. Celle-ci est inférieure à c pour les modes de pulsation co_ , mais supérieure
à c pour les modes de pulsation co+ . En revanche, la vitesse de groupe vg = d co/ d k, associée à la
propagation d'un signal réel, qui est représentée par la tangente à la courbe de dispersion reste inférieure
à c, quel que soit le mode considéré (Fig. 28.9).
V. 2. — Réflectivité infrarouge
Appliquons les résultats précédents au cas d'un milieu qui est le siège de processus de polarisation
ionique : coq = coqj . Désignons par £rÀ) la valeur de er pour les pulsations faibles (co <C <^o,/) et Par
£/,oo sa valeur pour les pulsations élevées (co ^> wo,/)5 mais bien inférieures aux pulsations propres
électroniques (co <C coqjC) •
Examinons différentes solutions remarquables par ordre croissant des pulsations (Fig. 28.9) :
i) co <C û>o,/ : le milieu est non dispersif : v^ = vg = c/n avec n = (e,,o)1//2 •
ii) co ~ coqj : l'onde transverse correspond à une valeur très élevée de la constante diélectrique.
Sa vitesse de groupe devient très faible et l'onde est très absorbée.
iii) co = co/ : l'onde est longitudinale et correspond à une seule polarisation du diélectrique : la
vitesse de groupe est nulle.
iv) co ^> coqj : le milieu est à nouveau non dispersif : v^ = vH = c/n avec n = (£,;0o)l//2 •
Dans les cas particuliers i) et iv), le milieu matériel se comporte comme un milieu parfait. Tous
les résultats établis pour une OPPM dans le vide (cf. chapitre 19) se transposent alors simplement en
remplaçant c par c/n.
Dans le domaine coqj < co < cot, la propagation n'est pas possible (bande interdite). Ce
résultat permet de déterminer coqj et coi ; on détermine le facteur de réflexion totale des ondes
électromagnétiques à la surface du milieu, en fonction de leur pulsation. Comme les pulsations propres ioniques
correspondent au domaine infrarouge lointain, la technique porte le nom de réflectivité infrarouge.
Ordre de grandeur : Dans l'arséniure de gallium (GaAs), matériau semi-conducteur, on a :
erjS = 12,9 , erj00 =9,6 , w0,/= 50, 8 x 1012 rad-s-'et co{ = 54,6 x 1012 rad-s"1.
Remarque : Dans une description quantique de la dispersion, l'interaction entre le champ
électromagnétique et les charges de polarisation du milieu fait apparaître des photons ou modes
propres de vibration du champ, d'énergie Tico , et des phonons ou modes propres de
vibration du milieu ; ces derniers sont transverses avec l'énergie JIcoqj ou longitudinaux avec
l'énergie hco/. L'interaction entre ces excitations élémentaires conduit alors à de
nouveaux modes propres, à caractère mixte photon-phonon, appelés polaritons.
V. 3. — Relation entre l'indice optique et la longueur d'onde
La pulsation dans le domaine visible, de l'ordre de 3 x 1015 rad-s-1 , est bien inférieure aux
pulsations propres électroniques co0^ des isolants, situées en général dans l'ultraviolet, et très supérieure
à leurs pulsations propres ioniques coq^ , situées elles dans l'infrarouge lointain. L'indice n est alors
réel ; on l'appelle indice optique :
1/2 . c
n — tr' et v^ = -
n
Comme co ^> co{)i, la contribution ionique est négligeable : les propriétés optiques sont donc d'origine
purement électronique. En outre, puisque co < coq.(, , la courbe de dispersion se limite à la branche

552
28. Dispersion. Absorption
inférieure cû-(k) : la permittivité relative e'r(w) est une fonction positive croissante de co (Fig. 28.8).
Par conséquent :
n(co) > 1 et —- > 0
dco
La vitesse de phase est donc plus faible que dans le vide : v^ < c ; de même pour la longueur d'onde :
277 277 Àq
k k^n n
Lorsque co <C coq^ , nous avons :
• »2 , / o
e'r = w2 « 1 +^(Q) 7 ^ „ - 1 + *,(0)- lYT2- « ] + *<(°) ( ! +
'^ 1 — COa/COq *
w;
0,<
Donc :
2 , ,„x **(0) f^TTcV A B ( A &
'^,+^(0)+^Ur) =A + ^ et nRT + ÂI
1/2
A ci B étant deux constantes. Lorsque la dispersion est faible, B/(\^A) < l,on retrouve la formule
bien connue de Cauchy (cf. Optique) :
C
n ~ w0 + -2
Ao
Cette relation est bien vérifiée pour les diélectriques utilisés en optique. Cependant les constantes n0
et C sont déterminées expérimentalement car le modèle simple adopté ici ne rend pas compte de la
complexité des propriétés électroniques des matériaux.
Remarques : (1) La dispersion peut être mise à profit pour analyser un rayonnement optique inconnu ;
c'est ce qui était réalisé dans les anciens spectromètres à prismes (cf. Optique). Elle est
en revanche un inconvénient majeur dans la propagation des signaux électromagnétiques
réels qui sont polychromatiques, car la vitesse de phase dépend de la fréquence. Dans les
communications par fibres optiques, on cherche à accorder la fréquence centrale du signal
à transmettre à celle pour laquelle la dispersion est minimale ; dans les fibres en silice, la
longueur d'onde choisie est Ào = 1,55 jxm (infrarouge).
(2) Lorsque la fréquence angulaire coq^ est située dans le visible, la constante
diélectrique e'r = 1 + x'e est une fonction décroissante de la pulsation pour co > œ^e et donc
dn/ d co < 0 (Fig. 28.7). La dispersion est alors qualifiée d'anormale : notons qu'il s'agit
en fait d'une zone de forte absorption.
(3) Dans le domaine optique, la dispersion résulte du couplage entre les modes transverses
du champ et du milieu. Dans le cadre quantique, ces modes sont respectivement les pho-
tons et les excitons. Là aussi, le couplage entre ces excitations élémentaires conduit à des
polaritons.
V. 4. — Formule de Rayleigh
Établissons la relation, dans un milieu dispersif, entre la vitesse de groupe et la vitesse de phase,
en fonction de la longueur d'onde. Il vient, puisque v^ = co/k :
dco d(kv(n) dvy

Dispersion. Absorption
553
En introduisant la longueur d'onde dans le vide A = 2w/k, on trouve Informulé de Rayleigh :
d^
puisque d A/A + ék/k = 0. En optique, on exprime souvent cette relation en fonction de l'indice
n = c/vy :
d( 1 In) kc dn kc an co un
vH = v,p + kc—-— =v<p --— =v(p ïVh— = vip '^'i—
s * dk * n2 dk * n2 h dco * n ' d w
d'où :
1) rzr — SOit 1) = —
8 \ + (œ/n)dn/dœ ' * \-(A/n)dn/dA
puisque co = 2ttc/à donne d oo/co + d À/À = 0 (cf. Exercices).
V. 5. — Dispersion dans un conducteur. Onde plasma
Dans les conducteurs, la contribution des charges libres est obtenue en négligeant leur force de
rappel, ce qui implique coq^, = 0. Il en résulte que co/ = cop ; en outre, seule la branche (o+(k) de la
courbe de dispersion intervient (Fig. 28.9). La discussion est alors immédiate :
(1) co < ù)p : la propagation n'est pas possible et l'onde est évanescente. Nous verrons
ultérieurement que l'onde est totalement réfléchie à la surface du milieu (cf. chapitre 29).
(2) co > cop : la propagation est possible et le milieu est dispersif. La vitesse de phase est supérieure
à c :
,2\~]/2
>C
dispersion k2c2 = co2(\ — cojjco2)
Quant à la vitesse de groupe, elle est bien inférieure à c ; on l'obtient en différentiant la relation de
4/
co2V/2
d(k2ca) = 2c2kdk = d(co2 - coj}) = 2codco d'où vgv<p = c2 et v8 =c[\ 1 < c
(3) co = cop : l'onde longitudinale électrique, appelée onde plasma, décrit l'oscillation collective
des porteurs de charge.
Ordres de grandeur : L'application au cas d'un gaz d'électrons (m = me,q = —e) conduit
à cop = 56,4/^; rad • s . En physique quantique, les excitations élémentaires associées,
d'énergie Ticop , sont appelées plasmons. Quelques valeurs typiques de cop et Ticop sont rassemblées dans
le tableau 28.1. Dans un métal, nv est le nombre d'électrons libres par unité de volume, c'est-à-
dire le produit du nombre d'atomes par unité de volume et le nombre d'électrons libres par atome;
par exemple, dans l'aluminium, on a, puisque la masse molaire est M = 27 g, la masse volumique
p* = 2 700 kg • m-3 et le nombre d'électrons libres par atome Z = 3 :
^6,02x10^x2700
M 0,027

554
28. Dispersion. Absorption
métal
semi-conducteur (type n)
décharge gazeuse
ionosphère
nv ( m-3)
8x 1028
1 x 1023
1 x 1018
1 x 1011
: (Qp ( rad • s [ )
1,6 x 1016
1,8 x 1013
5 x 1010
1,8 x 107
fiwp(eV)
10,5
1,18 x icr2
3,28 x 10--'
1,18 x 1(T8
Tab. 28.1.
VI. — BILAN D'ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE. ABSORPTION
VI. 1. — Propagation de l'énergie dans un milieu parfait
Considérons une OPPM, de pulsation co se propageant dans un milieu parfait, c'est-à-dire
transparent et non dispersif : er et n = (e,)1//2 sont réels et positifs. Écrivons le bilan local de l'énergie
électromagnétique de ce milieu matériel, en introduisant sa densité volumique wm et le vecteur
courant volumique associé, le vecteur de Poynting R (cf. chapitre 23) :
dw'
dt
- div R avec w"
2
/ulH2
et R = E x H
Le terme de création de cette énergie est nul. Le milieu étant non magnétique (B = julq H) et parfait, la
structure de l'OPPM est identique à celle qu'elle aurait dans le vide : seule la vitesse c est remplacée
par c/n . Choisissons Oz selon la direction de propagation : k = kez = n(co/c)ez :
E = E,„ e\p[-i(œt - kz)\ et B = -e;xE
Evaluons la valeur moyenne dans le temps de l'énergie électromagnétique du milieu :
"2 X „ ll2 Wi2||EJ|2
Re \eE • E* + — B • B* 1 = - (e0n2 + —
l Mo J 4 V Mo<
Quant à la valeur moyenne du vecteur de Poynting, elle vaut :
R
-Re
Ex-
Mo J
zocn\\Eth
— c
wm~ev
n
Tout se passe donc comme si l'énergie électromagnétique du milieu se propageait avec une vitesse
ve = c/n , le vecteur de Poynting jouant le rôle de courant d'énergie électromagnétique du milieu :
c
R = wm \e avec \e = \^ = \s = - ez
Remarque : Le résultat précédent peut être étendu au cas d'un milieu dispersif, non absorbant, pour
une OPPM de pulsation co , située dans une zone de transparence. On montre que l'énergie
se propage alors avec la vitesse ve = vM = d co/ d k < c . En revanche la vitesse de phase
est différente et peut même être supérieure à c .

Dispersion. Absorption
555
VI. 2. — Bilan d'énergie électromagnétique dans un milieu absorbant
Lorsque la pulsation co du champ électromagnétique est située dans une bande d'absorption,
l'énergie électromagnétique du milieu ne peut plus être définie en raison des processus dissipatifs.
Cependant, nous pouvons établir un bilan pour l'énergie électromagnétique £em . Dans cette approche, le
milieu est décrit comme un ensemble de charges dans le vide. Rappelons l'expression du bilan
d'énergie pour un volume V (cf. chapitre 23) :
d£e„, = S£!„, + S£f„, avec £em = I I ^ + ^-] d V
xe
2^0/
Effectuons ce bilan en moyenne au cours du temps. En régime sinusoïdal, le premier membre est nul. Il
en résulte :
dt
S£fm
dt
= f E.J,/7d?v
J v
Le milieu étant non magnétique, on a J/„ = dV/dt. Avec la notation complexe, dans laquelle :
E = E()(r) exp(—icot) , il vient :
E
J/„ = ^Re {E() - (-toPo)*} = ^0Re {(-'*)*} l|E0||2 = -^o^HIHoH
La puissance électromagnétique moyenne absorbée par le volume V du milieu est donc dissipée par
les processus de polarisation ; les pertes diélectriques sont proportionnelles à la partie imaginaire x" de
la susceptibilité complexe.
VI. 3. — Exemples de milieux absorbants
a) Absorption dans un liquide. Four à micro-ondes
Dans un milieu matériel contenant des molécules polaires, le mécanisme de polarisation
d'orientation est prépondérant à basse fréquence. La puissance absorbée étant proportionnelle à x" > celle-ci
est maximale pour co — \/rD (Fig. 28.5). Rappelons que la durée de relaxation de Debye to
dépend de la viscosité du milieu et qu'elle est de l'ordre de 10-11 s dans l'eau.
Ce résultat est mis à profit dans les fours à micro-ondes utilisés pour chauffer rapidement les
aliments. Un générateur (magnétron) fournit un signal sinusoïdal de fréquence v — 2,45 GHz
(Àq ~ 12,2 cm) L'énergie électromagnétique absorbée par les molécules d'eau contenues dans les
aliments augmente leur température ; ce sont précisément les pertes d'énergie liées aux frottements
moléculaires qui permettent la cuisson.
b) Spectrométries d'absorption
L'énergie moyenne absorbée étant proportionnelle à x" > e^e devient maximale pour les pulsations
propres <^o caractéristiques du milieu diélectrique (Fig. 28.2). Nous avons là un phénomène
d'absorption d'énergie par résonance. Son étude expérimentale permet de déterminer les pulsations propres de
vibration du milieu.
(1) Spectrométrie infrarouge : les pulsations propres associées aux vibrations des édifices
cristallins ou moléculaires sont dans le domaine de l'infrarouge lointain.
(2) Spectrométries visible et ultraviolette : les pulsations propres associées aux vibrations des
cortèges électroniques sont dans le domaine du visible ou de l'ultraviolet.

556
28. Dispersion. Absorption
c) Absorption dans un conducteur. Effet Joule
La zone d'absorption liée aux charges mobiles d'un conducteur est située à basse fréquence. Il
est plus judicieux, dans ce cas, d'exprimer la puissance volumique moyenne absorbée à l'aide de la
conductivité complexe y :
Ë7Jftl = ]-coe0x"\Mr)\\2 = ^r'HI|E0(r)||2 puisque y' = œeoX"
Cette expression généralise le résultat déjà établi dans l'ARQS, où la conductivité était réelle et
constante (cf. chapitre 18) : y'(coi) œ y(0) . Ainsi, la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans
un conducteur est proportionnelle à la partie réelle de la conductivité complexe.
Comme le montre la figure 28.4a), l'absorption dans un conducteur est maximale en régime
station naire et reste le phénomène dominant jusqu'à la pulsation w = 1/r. Rappelons qu'elle devient
négligeable devant la propagation avec dispersion, au-delà de la pulsation plasma (wp > 1/r) .
VI. 4. — Absorption d'une OPPM. Coefficient d'absorption et absorbance
Considérons une OPPM se propageant selon l'axe Oz dans un milieu absorbant et dispersif. Le
champ électrique s'écrit, puisque k = kez = (k' -f ik") ez :
E = Em(z) exp[-i(cot - k'z)] avec Em(z) = E,„(0) exp(-*"z)
La puissance moyenne du champ électromagnétique macroscopique rayonné, par unité de surface du
plan d'onde, s'atténue au cours de la propagation, du fait de l'absorption. Évaluons cette puissance en
calculant la valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting. Sachant que B = k x E/co et que
k • E = 0, il vient :
On a donc, puisque w = ckç, et eqplqc2 = 1 :
K=^mM)\\2e; = £-fn\\E,n(z)\\2e;
Dans le cas d'une polarisation quelconque de l'onde, on a :
l|E,„(z)l|2 = ||E,„(0)||2exp(-2£"z) = 40 exp(-2k0Kz)
avec :
£,„(> = ||E,„(0)|| = [£,,„(0)2 + £,„v(0)2] '/2 = Qe
Finalement, R s'écrit :
_ 1 _
R = -eç)CnEm0exp(-2k0Kz) ez = R(0) exp(-yuz)
Le coefficient p,, homogène à l'inverse d'une longueur, est le coefficient d'atténuation linéique en
intensité de l'onde, ou plus simplement coefficient d'absorption. L'inverse de pi est la profondeur de
pénétration de l'onde. Comme 2/7/c = Im {er} , le coefficient p s'écrit aussi :
/ 2ojk(oj) ù)
p = 2koK{co) = = —Im {£r(oj)ï
c en

Dispersion. Absorption 557
En définissant l'intensité / de l'onde comme dans le vide (cf. chapitre 19), il vient :
/ = 2juLocRez soit I(z) = nE2n0exp(—/ulz) = 1(0) exp(—/uiz.) avec 1(0) = nE?n0
On caractérise aussi l'absorption par une quantité sans dimension, appelée absorbance, définie comme
suit :
= ^ln[exp(Aiz)]= 0,434^
z étant l'épaisseur de milieu traversé.
CONCLUSION
Rappelons les différents points importants.
(1) La dispersion est la dépendance non linéaire du nombre d'onde k dans un milieu matériel avec
la pulsation co : l'indice n n'est pas constant. L'absorption est l'affaiblissement de l'intensité / d'une
onde à la traversée du milieu.
(2) La propagation d'une onde plane monochromatique dans un milieu linéaire, homogène, isotrope
et non magnétique, est régie par une équation de dispersion de la forme :
9 or
\ç = —er(co)
cL
où er est la permittivité relative complexe du milieu et k = ko/7 le vecteur d'onde complexe.
(3) L'indice n — h+'ik est aussi un nombre complexe : sa partie réelle, qui est l'indice de réfraction,
détermine la vitesse de phase de l'onde v^ — c/n ; si cette dernière dépend de la fréquence du signal,
ce qui est généralement le cas, le milieu est dispersif. La partie imaginaire k , ou indice d'extinction,
est responsable de l'absorption caractérisée par le coefficient jul = 2ojk/c, homogène à l'inverse d'une
longueur.
(4) Un milieu isolant, que l'on caractérise par une permittivité statique réelle, présente
généralement une zone de transparence pour les radiations infrarouges et visibles. Les différents mécanismes de
polarisation (électronique, ionique et d'orientation) permettent de rendre compte de leur forte
absorption respectivement dans les domaines de l'ultraviolet, de l'infrarouge lointain et des hyperfréquences.
(5) Un milieu conducteur, que l'on caractérise par une conductivité complexe, est très absorbant à
basse fréquence. En revanche, il devient transparent, mais dispersif, pour les pulsations supérieures à la
pulsation plasma : wp = (nvq2/meo)^2 .
(6) Dans certaines gammes de pulsation, le milieu peut être considéré comme parfait, c'est-à-dire ni
absorbant, ni dispersif : la structure d'une onde plane progressive monochromatique est alors identique à
celle dans le vide. Les résultats obtenus dans ce dernier cas sont transposables, à condition de remplacer
la vitesse de propagation c par c/n .
(7) Enfin, dans une zone où l'absorption n'est pas négligeable, la puissance moyenne absorbée est
proportionnelle à la partie imaginaire de la constante diélectrique.
A=U
1(0)

558
28. Dispersion. Absorption
EXERCICES ET PROBLÈMES
P28- 1. Comportement diélectrique ou isolant de divers matériaux
1. On donne les caractéristiques suivantes de l'eau de mer : er — 81 et y = 4,5 S • m-1 . Pour
quelle valeur de la longueur d'onde, les propriétés diélectriques l'emportent-elles sur les propriétés
conductrices ?
2. Même question pour la terre arable : er = 20 et y = 10 mS • m-1 .
3. Même question pour le sable sec : er = 4 et y — 10 fxS - m-1 .
P28- 2. Propagation d'une onde dans un milieu conducteur
Calculer le vecteur d'onde complexe et la vitesse de phase d'une onde, de fréquence v = 0, 5 GHz,
se propageant dans un milieu conducteur tel que le cuivre pour lequel y — 5, 8 x 107 s • m-1 et juLr = 1 .
P28- 3. Propagation d'une onde dans un milieu diélectrique
Calculer le vecteur d'onde complexe et la vitesse de phase d'une onde, de fréquence v — 0, 5 GHz,
se propageant dans un milieu diélectrique tel que, à cette fréquence, y1 = 0,2 x 10-12 S-m-1 et
e'r = 9.
P28- 4. Equations de Maxwell dans les milieux matériels
Une onde électromagnétique se propage dans un milieu non conducteur, de permittivité relative
er = 9 et de perméabilité relative /mr = 1 . Le champ électrique, de fréquence 1 GHz, d'amplitude
0, 3 V • m-1 et orienté suivant l'axe Ox, se propage suivant la direction Oz .
1. Calculer la vitesse de phase. Donner les expressions du champ électrique E et du champ D .
2. Trouver les expressions du champ magnétique B et du champ H .
P28- 5. Four à micro-ondes
Un four à micro-ondes fonctionne avec un générateur qui émet une onde monochromatique, de
fréquence ^ = 2,5 GHz et dont le champ électrique a une amplitude du champ électrique égale à
300 V • m-1 . Sachant que la conductivité de l'aliment (viande) est y — 1, 6 S • m-1 , calculer la
puissance moyenne dissipée par unité de volume de l'aliment.
P28- 6. Propagation d'une onde électromagnétique dans l'eau de mer Cweb}
Une onde électromagnétique plane, progressive, monochromatique de fréquence v — 1 MHz,
se propage dans l'eau de mer suivant la direction verticale Oz. L'amplitude du champ au point de
l'émission en z — 0 est de 150 V-m-1. la permittivité relative et la conductivité de l'eau de mer
valent respectivement : er = 81 , /jl,. = 1 et y — 4, 5 S • m-1 .
1. Montrer que l'eau est un bon conducteur à cette fréquence.
2. Calculer la vitesse de phase et le coefficient d'atténuation de l'amplitude de l'onde.
3. Quelle est l'expression du champ magnétique ?

Dispersion. Absorption
559
P28- 7. Polarisation de Debye
Le vecteur polarisation P d'un milieu diélectrique homogène satisfait à l'équation
phénoménologique :
dans laquelle E désigne le champ électrique.
1. À un instant pris comme origine, ce milieu est brusquement plongé dans un champ appliqué E„
uniforme. Établir l'équation d'évolution de sa polarisation. Quelle est la signification physique de td ?
2. Dans le cas où le champ électrique varie dans le temps sinusoïdalement avec la pulsation w,
trouver l'expression de sa susceptibilité complexe x (w) •
P28- 8. Condensateur à diélectrique en régime variable Cweb}
L'espace entre les armatures d'un condensateur plan, d'épaisseur e , est rempli d'un isolant
faiblement conducteur : permittivité diélectrique e et conductivité y .
1. Définir l'intensité / du courant en fonction des caractéristiques géométriques du condensateur
et des paramètres e et y . En régime sinusoïdal de pulsation w , quelle équation, en notation complexe,
relie l'intensité et la constante diélectrique e ?
2. En négligeant les effets d'induction, calculer la tension complexe u entre les armatures et
l'impédance Z définie par Z = u/i, i étant l'intensité complexe. En déduire qu'un condensateur réel est
équivalent à un condensateur parfait en parallèle avec une résistance.
3. Trouver le déphasage entre le courant et la tension en fonction de l'angle de perte 8 défini par
tan 8 — Im {e}/Re {e} = e" je'. Exprimer la puissance moyenne dissipée dans le condensateur en
fonction de la partie imaginaire de e_r.
P28- 9. Vitesse de groupe associée à un paquet d'ondes
Une onde électromagnétique plane, polarisée rectilignement est quasi monochromatique, c'est-à-
dire telle que l'intervalle des pulsations Aco est faible devant la pulsation moyenne coo • Elle se propage
suivant une direction Ox, dans un milieu linéaire, homogène, isotrope, dispersif, mais non absorbant.
Cette onde peut être considérée comme la superposition d'OPPM, de mêmes amplitudes et de vecteurs
d'ondes de normes comprises entre (ko — Ak/2) et (ko + Ak/2) avec Ak <C ko • On suppose que ces
ondes sont en phase à l'instant pris comme origine.
1. Etablir, en notation complexe, l'expression de l'amplitude de l'onde résultante. À l'aide d'un
développement limité de la relation de dispersion autour de (wo.ko), exprimer w en fonction de ko ,
de k' = k — ko et des vitesses de phase et de groupe.
2. Quelle est l'intensité de cette onde? Montrer qu'à un instant donné l'onde est localisée dans
l'espace. Evaluer son étendue spatiale Ax et montrer que l'énergie se propage dans un tel milieu avec
la vitesse de groupe.
P28- 10. Vitesse de phase et vitesse de groupe dans un verre
L'indice d'un verre vaut n — 1,628 7 pour la longueur d'onde À = 589, 3 nm . Sachant que, dans
le voisinage de la valeur de À , du/ d À = 8,2 x 10~5 nm-1 , trouver la vitesse de phase et la vitesse
de groupe dans ce verre.

560
28. Dispersion. Absorption
P28- 11. Onde longitudinale dans l'aluminium (web)
Une onde plane, progressive, monochromatique et longitudinale se propage dans un plasma neutre
formé d'ions positifs et d'électrons.
1. Ecrire l'équation de Maxwell-Faraday pour une telle onde dont le champ électrique E est dirigé
suivant la direction de propagation. Que peut-on dire du champ magnétique B ?
2. Le plasma est constitué par les électrons de conduction de l'aluminium dont le champ des
vitesses est pratiquement uniforme. Établir l'expression du courant volumique J . En déduire la fréquence
v de l'onde en Hz et la valeur hv en eV .
P28- 12. Interprétation microscopique de l'effet Faraday Cwe£)
Un milieu isolant, linéaire, homogène et isotrope, est placé dans un champ magnétique uniforme
et stationnaire B„ = Ba ez. On étudie la propagation d'une onde plane monochromatique, de pulsation
co , dans la direction Oz, à l'aide du modèle des électrons élastiquement liés avec amortissement
négligeable : pulsation propre coq et r <C l/a>o . On pose wc = eBa/m et or = nve2/(meo), nv étant le
nombre d'électrons par unité de volume.
1. Écrire l'équation du mouvement d'un électron. En déduire le vecteur polarisation lorsque l'on
néglige les effets de champ local.
2. Expliciter la susceptibilité diélectrique complexe selon une matrice antisymétrique 3x3 dont
on déterminera les éléments.
3. Un champ électromagnétique d'ondes planes transverses se propage dans le milieu selon Oz.
Établir l'équation d'onde et montrer que la recherche des solutions revient à annuler le déterminant de
la matrice {[er] — n2[\)} , où [er] est une matrice 2x2 formée des composantes de la permittivité
diélectrique et [1] la matrice identité. Quelles sont les deux valeurs possibles n+ et n_ ainsi que les
solutions associées ?
4. Un tel milieu fait tourner le plan de polarisation d'une onde polarisée rectilignement d'un angle
a que l'on exprimera en fonction de la pulsation co , de la longueur / parcourue dans le milieu par la
lumière et de la différence ri- — n+ .
5. Dans le cas considéré, w > wo et w > w,, trouver une expression approchée de a . Que se
passe-t-il si B„ change de sens? En déduire l'effet produit sur une onde polarisée rectilignement qui
traverse le milieu une première fois, puis une seconde fois en sens inverse grâce à un miroir.

29
Réflexion et réfraction
des ondes électromagnétiques
Lorsque les ondes électromagnétiques se propagent dans un milieu matériel limité dans l'espace,
elles subissent aux limites une réflexion et une réfraction. C'est ce que montre l'expérience courante,
dans le domaine optique par exemple. La réflexion et la réfraction sont à l'origine de nombreuses
applications, dans différents domaines de fréquence.
11 convient d'abord d'analyser l'influence, sur la propagation d'une onde électromagnétique, de la
modification des propriétés diélectriques, à l'interface de deux milieux. Le sujet étant très vaste, nous
limitons l'étude au cas important des milieux matériels linéaires, homogènes, isotropes, non magnétiques,
isolants ou conducteurs, caractérisés par une constante diélectrique complexe (cf. chapitre 28). La prise
en compte des relations de passage des champs macroscopiques permet de restituer les lois de la
réflexion et de la réfraction des ondes électromagnétiques. En optique géométrique, ces lois sont établies
à partir du principe de Fermât (cf. Optique), lequel n'est finalement qu'une conséquence des
équations de Maxwell, dans l'approximation des très faibles longueurs d'onde.
L'étude plus générale menée ici dans le cadre de l'électromagnétisme permet non seulement de
prendre en compte le caractère ondulatoire des phénomèmes, mais aussi leur caractère vectoriel grâce
aux effets de polarisation. En outre, l'analyse énergétique permet d'aborder le problème très important
des conditions de transmission d'un signal électromagnétique.
I. _ PROPAGATION DANS UN MILIEU MATÉRIEL LIMITÉ
1.1. — Equations de Maxwell et conditions aux limites
Considérons deux milieux 1 et 2, non magnétiques, remplissant tout l'espace, et séparés par une
interface, dont la normale en un point est donnée par le vecteur unitaire ni2, dirigé du milieu 1 vers le
milieu 2. Rappelons le premier couple des équations de Maxwell structurelles :
<9B
rotE+ — =0 et divB = 0
ot
Ces lois entraînent la continuité des composantes tangentielles de E et normale de B :
ni2 x (E2-Ei) = 0 et n,2 • (B2 - B,) = 0
où (Ei,Bi) et (E2,B2) désignent les valeurs du champ électromagnétique dans les milieux 1 et 2 au
voisinage immédiat de l'interface.

562
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
La présence des milieux matériels est prise en compte dans le deuxième couple des équations de
Maxwell, grâce aux champs D et H (cf. chapitre 23) :
rotH—-=0 et divD = 0
ot
si aucune charge et aucun courant d'origine étrangère ne sont présents dans les milieux. Ces deux
équations conduisent aux relations de passage suivantes :
iî,2 x (H2-H,) =0 et iî,2-(D2-D,) =0
Ainsi, dans ce cas, les composantes tangentielles de H et normale de D sont continues.
1.2. — Invariances et symétries
Le système étudié est formé par les deux milieux matériels et la source d'onde électromagnétique,
située dans le milieu 1. Cette dernière est rejetée à l'infini de l'interface, ce qui ne restreint en rien
l'analyse puisque seul le phénomène de propagation nous préoccupe ici.
Les milieux sont supposés stationnaires et linéaires, et l'interface fixe : la dépendance dans le temps
est donc uniquement imposée par la source. Si l'onde émise est monochromatique, de pulsation w , le
champ électromagnétique aura, en tout point, la même dépendance sinusoïdale. Il en résulte que :
ù)\ = ù)i = ù)
Du point de vue microscopique, les dipôles qui constituent les deux milieux oscillent, en régime forcé,
avec la pulsation imposée w et émettent à leur tour un rayonnement de même pulsation.
L'interface entre les deux milieux est supposée plane et les milieux homogènes et isotropes. On
choisit l'axe Oz de telle sorte que la normale nJ2 coïncide avec ez (Fig. 29.1). L'ensemble, milieux
et interface, est invariant par translation parallèlement aux axes Ox et Oy situés dans le plan de
l'interface : la dépendance du champ électromagnétique par rapport aux variables x et y est donc
imposée par la source. Dans le cas important où l'onde émise est plane, progressive et monochromatique
(OPPM), les composantes kx et kv du vecteur d'onde sont des constantes du problème :
kx et k
•, v
K2,y
kY
k?: \
n,2 ~ez.
/O . x
zv z
Fig. 29.1.
Du point de vue microscopique, la réponse des milieux 1 et 2 à l'onde incidente est la superposition
des ondes émises par les différents oscillateurs qui les constituent. Cette superposition conduit, dans
une direction quelconque, à une interférence d'ondes généralement destructive, car toutes les valeurs de

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 563
déphasage sont possibles. C'est uniquement dans certaines directions privilégiées que l'interférence est
constructive (cf. Optique). On peut ainsi rendre compte de la propagation en ligne droite du signal dans
un milieu homogène. La perturbation apportée ici par l'interface ne modifie la condition de propagation
que selon Oz : le champ électromagnétique en tout point s'écrit donc, en notation complexe :
E = E,7/(z) exp[-/(W - kxx - kyy)} et B = B,„(z) exp[-i(wt - kxx - kyy)}
Si le milieu 1, non magnétique (/uLrA = 1), linéaire, homogène et isotrope, est en outre non absorbant,
la permittivité relative réelle er, = erj , d'où les relations :
Bi = /i0H| et Di = er:\ eoEi avec £r,\=n\
Le vecteur d'onde k, associé à l'OPPM incidente est réel et de norme k\ — ko n\ avec ko = co/c . Le
plan Ozx, défini par les vecteurs ti\2 et k/, est le plan d'incidence et l'angle #, — (iîi2, k/) , que fait
la direction de propagation avec la normale à l'interface, Vangle d'incidence (Fig. 29.1). Comme on a
kjjX = kx et /c/v = ky = 0 , le champ électromagnétique associé a pour expression :
k- x E
E,- = E,- m exp[-i((ot - k/ • r)] = E,- m exp[-i(cot - kxx - kiiZz)] et B,- = -—=^
' ' ù)
Ainsi, soumis à une telle excitation, les milieux matériels fournissent une réponse exprimée par les
champs :
E, = EIjllf(z) exp[-/(ûrf - kxx)] et E2 = E2/;;(z) exp[-/(wr - kxx)}
le champ électrique incident E, étant inclus dans E, .
1.3. — Lois de Snell-Descartes relatives à la réflexion
La propagation dans le milieu 1 est régie par l'équation d'onde :
w1 o
AE, + -2-«?E, =0
Compte tenu de la forme de E, , il vient :
'd2E
ce qui conduit à :
M, = ( ^f - lq Eli(n ) exp[-i(«wf - Ml
d2E
soit
^^ + (v^,?i-/:.v)E,,w
2;—h k\ .E, m = 0 en posant k\z = k\ — k~x = —n\ — /ç
Cette dernière quantité est positive car l'onde incidente n'est pas amortie (vecteur d'onde réel). En
choisissant k\iZ positif, la solution générale pour E, m est du type :
E,,m = E,- m Gxp(ikljZz) + E/v„ Gxp(-ikliZz)
où Eim et Erm sont des vecteurs complexes constants. Le champ E, est donc la somme de deux
champs :
Ei = E, + Er avec E,- = Eim exp[-i(wt - kxx - k\iZz)] et Er = Erm exp[-i(wt - kxx + k\iZz)]

564
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
a) Première loi de la réflexion
Le premier terme décrit l'onde incidente (/:,- = k\jZ > 0), le second correspond à l'onde
réfléchie. Notons que la présence de cette deuxième onde apparaît ici comme une conséquence naturelle de
la résolution des équations de Maxwell, compte tenu de la discontinuité de la réponse diélectrique à
l'interface. C'est une OPPM dont le vecteur d'onde kr a pour composantes :
Kf jf K,[ y- Kf y K[ y U Cl K,p t K ] v '\ U
D'où la première loi de la réflexion :
L'onde réfléchie se propage dans le plan d'incidence Ozx ;
Les vecteurs d'onde k, et kr ont même norme :
/ / / w i ù) 2tt
kj — kr = k\ = —rt\ = ko n\ avec ko = — — —
c c Ào
b) Deuxième loi de la réflexion
Notant 6r l'angle (—iîi2, K), l'égalité kt-rK = kirK conduit à (Fig. 29.1) :
k\ sin 6j = —k\ sin 6r d'où #,• = — 6r
et la deuxième loi de la réflexion :
L'angle réfléchi a même valeur absolue que l'angle d'incidence.
Remarques : (1) Les lois de la réflexion sont indépendantes des propriétés du milieu 2 : elles ne sont
liées qu'au caractère plan de l'interface qui assure l'invariance des composantes kx et
ky. Bien entendu, cette planéité n'est définie qu'à l'échelle de la longueur d'onde À .
Aussi, ces lois sont-elles bien vérifiées lorsque la taille des défauts de planéité est faible
devant la longueur d'onde : techniquement, on parle de surface polie à A/4 pour un usage
courant ou à À/20 pour un usage très spécifique. En revanche, la présence d'irrégularités
de taille supérieure à À provoque une réflexion diffuse, comme le montre un verre dépoli
par exemple.
(2) Les lois de la réflexion sont indépendantes de la pulsation co : elles sont donc vérifiées
lorsque le rayonnement incident est polychromatique, par exemple en lumière blanche
dans le domaine optique. En revanche, l'invariance dans le temps est rompue si l'interface
est mobile : l'onde réfléchie n'a pas la même pulsation que l'onde incidente, c'est Veffet
Doppler-Fizeau (cf. Relativité).
1.4. — Lois de Snell-Descartes relatives à la réfraction
Plaçons-nous dans le cas où le milieu 2 est linéaire, homogène et isotrope, mais éventuellement
dispersifet absorbant (er2 complexe). On a alors :
AE0 H—-e 2E2=0 avec ern = \h
Substituons, dans cette équation, l'expression générale E2 = E2 m(z) exp[—i(ojt — kxx)] . Il vient :
+ (^2-^)E2,w = 0 soit ^|^+^e2w=0
âz2
en posant :
2
kflz = —n^ - Iq = ko(n£ - n\ sinz 6\) et 6\

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
565
La solution générale s'écrit alors :
E2,,,, = E,,„7 Gxp(ik2jZz) + E;w exp(-ik2zz)
avec k2z généralement complexe : k2 , = kt z = k't + ik't'z.
En l'absence de source dans le milieu 2, l'onde éventuellement transmise s'éloigne de l'interface
(k't z > 0) . En outre, le milieu n'étant pas actif, elle ne peut que s'atténuer au fur et à mesure de sa
propagation suivant Oz (kf/z > 0) . Le champ électrique de l'onde transmise dans le milieu 2 a donc
pour expression :
Et = E2 = Etm exp[-z(W - kxx - ktzz)] = Etm exp(-/c",z) exp[-i(wt - kxx - k'tzz)}
La partie réelle k' et la partie imaginaire k" du vecteur d'onde k, de l'onde transmise ont pour
composantes respectives :
K* = K* = k* <v = kU = 0 k'uz = /c0Re {(nj - n\ sin2 0,)1/2}
K[x = 0 K[v = ° K[z = ko Tm {(â - n] sin2 6, )111}
d'où :
K = kj,x ev + ko Re | (n? - n] sin2 6>, ) '/21 ez et k," = *0 Im j (^2 - «? sin2 ^i),/2| ez
a) Première loi de la réfraction
Le vecteur kr n'a pas de composante selon Oy, d'où la première loi de la réfraction :
L'onde transmise se propage donc dans le plan d'incidence Ozx.
b) Deuxième loi de la réfraction
Si l'onde transmise se propage effectivement dans le milieu 2 {k't z / 0), l'égalité k't x = k^x
donne (Fig. 29.1) :
k't sin 62 = k\ sin 6\
en introduisant l'angle 62 = (n]2, k') .
Un cas particulier important est celui où le milieu 2 est non absorbant : er2 = £r,2 — n\ '• la
quantité (n\ — n\ sin2 6\) est alors réelle, et la composante kt 7 soit réelle (kf/7 — 0) soit imaginaire
(*;.z = o).
Examinons la première éventualité qui correspond à une transmission effective dans le milieu 2
avec propagation : n2 — ii\ sin^ 6\ > 0. Cette condition est toujours réalisée si le milieu 1 est moins
réfringent que le milieu 2 (n\ < nj) . En revanche, dans le cas contraire (ni > «2), l'angle d'incidence
doit être inférieur à un angle limite 0/ défini par :
n2
sin 0i = —
n\
La norme de kr s'écrit alors :
co
kt — k2 — —n2— ko n2
c
Il en résulte la loi bien connue des sinus en optique ou deuxième loi de la réfraction :
n[ sin 0\ = n2 sin 62
Lorsque l'angle d'incidence est supérieur à l'angle limite, 6\ > 61, la quantité n\ — n\ sin 6\ est
négative et la composante ktz imaginaire : ktz = ikf/z. L'onde transmise est hétérogène, car elle se
propage parallèlement à l'interface (ktx — kx) et s'atténue selon Oz .

566
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
Nous proposons dans la suite d'évaluer Er,;/ et E, m en fonction de E- m dont la valeur est fixée
par la source. Deux cas importants seront étudiés : l'interface vide-conducteur et l'interface entre deux
diélectriques non absorbants.
1.5. — Facteurs de réflexion et de transmission en amplitude et en énergie
a) Facteurs de réflexion et de transmission
Par un choix convenable de l'origine, l'amplitude E^m de l'onde incidente X, est choisie réelle.
Si l'on désigne par £,. m et E^ m les amplitudes complexes des ondes réfléchies S, et transmise 2r
(Fig. 29.2), on appelle facteurs de réflexion et de transmission en amplitude, r et r, les quantités
complexes suivantes, sans dimension :
et
*^Ln
Leurs valeurs complexes permettent de rendre compte d'éventuels déphasages à la réflexion ou à la
transmission de l'onde incidente.
Fig. 29.2.
La valeur moyenne, dans le temps, du vecteur de Poynting associé à une OPPM a pour expression
(cf chapitre 28) :
R=-^Re{ExB*} = -1-k/||E||2
Appliquons ce résultat aux ondes incidente, réfléchie et transmise à l'interface ( z = 0 ) :
5/(0) ^
Rr(0)
R,(0) =
1
1
gQC 2 ^j_
£qc o k,
î
2/jLqCO
k' F F*
- — \r\2F2 —
— \t\2F2 ^
2 |Z| '> k0
£0C
i.m /
K]
nAr\zE:
Les puissances moyennes rayonnées par ces ondes, à travers une surface S du plan de l'interface, du
milieu 1 vers le milieu 2, s'écrivent (Fig. 29.2) :
Vi = Ri(0)'nl2S--
EqC
ni E?,,, S cos 6i
Vr = R,(0) • nI2 5 = -~nx |r|2E?>in 5cos 0{
Vt=%{0).ni2S=^\r\2E2J-jfS

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
567
Les facteurs de réflexion et de transmission en énergie, R et T, sont les quantités positives suivantes,
sans dimension : _ _
tf=^ et T=*
Pi Pi
Des expressions précédentes, on déduit aisément les relations entre R et r d'une part, et entre T et t
d'autre part :
R = rr* = \L\2 et T = \r\2 —^
kon\ cos6\
Notons que T diffère de |r|2 = zi* car, contrairement au cas de la réflexion, le débit d'énergie, à
travers des sections de plans d'onde dans des milieux différents, se produit avec des vitesses différentes.
b) Bilan énergétique
Établissons le bilan d'énergie électromagnétique moyenne dans un cylindre élémentaire de surface
de base S, de hauteur négligeable h et situé de part et d'autre de l'interface (Fig. 29.2). La puissance
électromagnétique totale, rayonnée vers l'extérieur du cylindre, est nulle en moyenne. Compte tenu de
F orientation des normales extérieures (112^- = — n\^ex = 1112) , ce bilan conduit à :
Vi -Vr + Vt = 0 soit ^=-^ + = = 1 et R + T=]
Vi Vi
en divisant par V\ et en introduisant R et T.
II. — REFLEXION SUR UN CONDUCTEUR EN INCIDENCE NORMALE
Considérons une onde monochromatique plane tombant normalement (6\ = 0 ) sur un conducteur.
Ce dernier supposé non magnétique, est caractérisé par les relations :
I>2 = £0 Êr,2 E2 et 22 = MO H2
où la permittivité relative du conducteur, e_r 2 , est complexe.
II. 1. — Expressions des champs associés aux diverses ondes
La source impose à l'onde incidente la pulsation où , la direction de propagation (k, = k\ez),
l'amplitude caractérisée par la norme de E/jlM , et l'état de polarisation (Fig. 29.3). En choisissant l'origine
des phases telle que E, m soit réel, on a :
E,- = E/>w exp[—i(ojt — k\z)] avec k\ — k^n]
n12 \x
-Xi*
Bijm S
n\
m
FIG. 29.3.

568
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
Le système est invariant par translation parallèlement au plan Oxy . En incidence normale, les lois
de la réflexion et de la réfraction conduisent à des angles réfléchi et réfracté nuls. En définissant les
vecteurs d'onde associés aux ondes réfléchie et transmise selon :
k, = — k, — —ko n\ ez et k, = ko n2 ez
avec n2 tel que er 2 = Bi, il vient :
E, = E,- + Er avec Er = Erm exp[-/(W + ko n\ z)) et E, = Etm exp[-/(W - k0n2 z)}
II. 2. — Relations de passage à l'interface
En incidence normale, les plans d'onde sont tous parallèles à l'interface. Les composantes tangen-
tielles des champs E et H étant continues, il vient :
E,> + Erm = EJm et H/j#II + H/v„ = H,jHI
En Vabsence de courant surfacique, la dernière relation s'écrit aussi :
k —k k
B|> + Br,m = 2/,m avec B/>IM = - x Ef> B = —- x E , et B = =*- x E
CO 0) ù)
Comme le champ incident E, est donné, le nombre d'inconnues se réduit à £r m et K, m .
II. 3. — Formules de Fresnel
Les milieux étant isotropes et l'incidence normale, les directions des champs électrique et
magnétique sont conservées. En introduisant r et r , il vient :
Erm = rE,-m et Etm = rE/>7
Les relations de passage E/j/w+EOII = E, m et B/W+Br m = B, m conduisent alors aux deux équations :
l+£ = Z et (1 — Ùn\ ~ Tlki
On en déduit aisément les facteurs de réflexion et de transmission en amplitude, sous incidence normale :
n\-n2 2nx
r = et
n\ + n2 n\ + n2
Ces facteurs étant généralement complexes, la réflexion et la transmission s'accompagnent d'un
déphasage des ondes réfléchie et transmise par rapport à l'onde incidente. En explicitant n_2 — m + //o , on
trouve les expressions suivantes des facteurs de réflexion et de transmission en énergie :
R=\r\ï=^-'l2l + K\ et r=^|T|*=, """Il ,=!-*
Oi + n2)2 + k\ nx '-' (n\ + n2)2 + k\
Dans le cas d'une interface vide-milieu conducteur, on a évidemment er,\ = n\ = 1 et, compte tenu de
l'expression de la susceptibilité complexe x d'un conducteur (cf. chapitre 28 ) :
^r2=r-h=H = 1 +X, avec X, — i~ ou y(w)
ù)Eo ~ 1 — î(OT
y(0) étant la conductivité en régime stationnaire.

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
569
II. 4. — Cas des basses fréquences
Lorsque la période T du signal est grande devant la durée de relaxation r des porteurs de
charge (wt <C 1), la conductivité y est réelle et égale à la conductivité en régime stationnaire :
y = y(0) — y • Dans un bon conducteur comme un métal (r ~ 10-14 s), ces résultats sont valables
même pour des signaux rapidement variables, précisément tant que le terme de déplacement reste
négligeable devant celui de conduction :
<C 1 d ou v <C
Je y 2t7£0
Pour le cuivre, cette condition donne : ^<2,6x 1016 Hz, on a alors, n étant son indice complexe
/ \ '/2 / \ '/2
n2 œ i = exp ( /— ) d'où n = n + iK~ ( ) exp ( /— ) = ( ) (1+0
(oeq coeq V 2 / \ ojeç) J V 4 / \ zcoeo )
car exp(/V/4) = \/2(l + î)/2 . On en déduit le vecteur d'onde kt :
kt ez = ko n ez = - ( 1 + /) ez avec 8
1/2
8 *■ \(o/i0y
Le champ électrique de l'onde transmise a donc pour expression :
Er = E,<lwexp (-|) exp [-/ (wt - |)]
Nous retrouvons ainsi l'épaisseur 8 caractéristique de l'effet Kelvin (cf. chapitre 17). Notons que l'onde
transmise dans le milieu 2 est absorbée : au-delà d'une distance de quelques 8 , le signal est
pratiquement nul. L'inégalité coeo/y <C 1 entraîne :
x 1/2
y \ c
» 1 soit Va, = - = ù)8 <C c et 8 <C Àq
^ 2ct>eo / n
On en déduit le facteur de réflexion en amplitude en faisant n\ — \ et n2 = n{\ + /) :
\ — n — in
1 + n + in
1 puisque n ^> 1
Ainsi, l'onde subit un déphasage de 77 à la réflexion sur le conducteur, et le facteur de réflexion R est
voisin de 1. L'expression correspondante de T est connue sous le nom de formule de Hagen-Rubens :
4n\ti2 4n 2 Au 8
T = 7 ^ ? = V, ^ ô ~ - = —;— puisque n > 1
(n ]+n2)2 + KJ ( 1 + n)2 + n2 n A0
Ce facteur de transmission T est souvent appelé pouvoir absorbant du métal, car la puissance reçue
par le conducteur est d'abord fournie aux porteurs qui la transmettent au réseau, lequel la dissipe sous
forme thermique (effet Joule).
Ordre de grandeur : Dans le cuivre à v = 1 GHz, n = k = 732 et vç = c/732 = 0,41 x 106 m • s-
on en déduit : T « 2,7 x 10"3 < 1 et R = 1 - T « 0,9973 « 1 .
Remarque : Comme n ^> 1 , même si l'incidence n'est pas normale, l'angle de réfraction est toujours
faible : l'onde transmise se propage pratiquement selon la normale à l'interface.

570
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
II. 5. — Cas des hautes fréquences
Lorsque wt> 1 , la conductivité du milieu est un nombre imaginaire et par conséquent la permit-
tivité diélectrique un nombre réel :
yM«/« d'où er=\+X=\-A = \-*2 avec ^(^
— cor —<-' ùj-t6o co \meo J
La pulsation cop est la pulsation plasma (cf. chapitre 28). Il est alors naturel de considérer deux
domaines extrêmes : le premier tel que 1/r <C co < cop et le second caractérisé par co > cop .
a) Pulsation inférieure à la pulsation plasma
Si co < Wp , la permittivité diélectrique relative er est réelle et négative et donc l'indice n
imaginaire :
1/2
n = e.x'2 = iK = i[^-\
On en déduit les facteurs de réflexion et de transmission en amplitude :
\-'ik 2
et r
1 + îk ~ \ +ïk
et les facteurs en énergie :
R=\ et donc 7 = 0
La réflexion est donc totale.
Dans le cas des métaux, cop œ l,6x 1016 rad • s-1 : les radiations visibles (co « 3x 1015 rad • s-1 )
sont donc totalement réfléchies par l'interface, ce qui explique Véclat métallique de leur surface et leur
emploi sous forme de couches minces dans la réalisation de miroirs.
Dans le domaine des télécommunications hertziennes, les couches de l'atmosphère, rendues
conductrices par les processus d'ionisation (ionosphère), réfléchissent totalement les ondes dont la
longueur d'onde A0 est telle que :
A0 > À„ = 277— - 100 m
0>p
b) Pulsation supérieure à la pulsation plasma
Pour co > ûjp , la permittivité diélectrique est réelle et positive. L'indice n est alors réel, mais
inférieur à 1 :
( 1 ^
n = n= 1 h-
\ co1
Les facteurs de réflexion et de transmission en amplitude, donnés par :
1 - n 2
r — et r
1 + n \ +n
sont donc réels et positifs (pas de déphasage des ondes réfléchie et transmise). On en déduit les facteurs
de réflexion et de transmission en intensité :

Réflexion et réfraction des oncles électromagnétiques
571
Lorsque la pulsation co augmente et devient très grande devant cop {w ^> (op), R tend vers 0 et T
vers 1 ; la transmission est alors parfaite. Ce résultat permet d'expliquer la transparence des métaux
aux rayons ultraviolets et aux rayons X, ainsi que la possibilité de communiquer par satellite, à travers
l'ionosphère, en utilisant des fréquences supérieures à quelques MHz.
Dans le tableau 29.1 on a résumé les comportements principaux d'un milieu conducteur en fonction
de la pulsation de l'onde incidente.
0<ù)^ \/r
réflexion et absorption
1
- <C CO < ù)p
T
réflexion totale
CO ^> Wp
transmission totale
<r = nl2 ■ (e0 E2 - e0 Ej ) = e0 nex • E et J, = n12 x
Tab. 29.1.
II. 6. — Cas limite du conducteur parfait
Pour des fréquences intermédiaires (1/r <C co <C cop), on a :
#c » 1 r«-l et r^O
La réflexion sur une surface conductrice est pratiquement totale mais elle s'accompagne d'un déphasage
de 77 . Cette approximation, souvent utilisée, revient à considérer que le milieu est parfaitement
conducteur (y ~ oo) : le champ électromagnétique (E2.B2) est nul dans le milieu. La discontinuité qui en
résulte introduit une charge surfacique a et un vecteur courant surfacique Jv dont les valeurs se
déduisent des relations de passage :
B2 B,\ /B\
) =nexx [ — )
où nex = — IÎ12 est la normale au conducteur, dirigée vers l'extérieur, et où (E, B) est le champ
électromagnétique dans le vide au voisinage de la surface (z = 0).
En incidence normale, l'expression du champ électrique dans le milieu 1, que nous assimilons au
vide, s'écrit :
E = E,- + Er = E/jHI {exp[-/(W - &oz)] - exp[-/(W + k0z)]} = 2/E/)IM s'm(koz) exp(-icot)
En considérant une polarisation rectiligne selon Ox et en prenant l'origine des phases en O à l'instant
initial, il vient :
E = Re {E} = 2Ejj„ex sin(/c0z) Re < exp(—icot + —-) > = 2ELmeA sin(/c0z) s\n(cot)
Ainsi, les dépendances spatiale et temporelle ne sont plus imbriquées mais séparées et la vitesse de
phase est nulle : le champ est celui d'une onde stationnaire. La structure d'une telle onde, ainsi que
la répartition spatiale de l'énergie électromagnétique, ont déjà été étudiées (cf. chapitre 19). Notons
qu'aucune charge superficielle n'apparaît en incidence normale car l'existence de ces charges est liée à
la composante normale du champ électrique qui est ici nulle.
Quant au champ magnétique, il a pour expression :
On en déduit sa valeur réelle :
1 k- x E-
— (k/ X E/ + kr x E,.) = — — [exp(/%) + exp(-/%)] exp(-iwt)
ù) CO
B
2E;,
cos(koz) cos(cot) ey

572
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
Ce champ est tangentiel et d'amplitude maximale à la surface, d'où l'existence d'un courant surfacique :
x ~v J soit J9
2Eit„
cos(cot) ex
/M) MO C
Le courant surfacique est colinéaire au champ électrique incident, ce qui était prévisible puisqu'il résulte
de la polarisation du conducteur sous l'effet de ce champ.
Ce phénomène est utilisé en pratique pour détecter des ondes électromagnétiques à l'aide d'une
antenne rectiligne conductrice ; le courant induit est proportionnel à la composante du champ électrique
de l'onde incidente le long de cette antenne. Dans le cas d'une polarisation rectiligne, le signal détecté
est maximal lorsque la direction de l'antenne coïncide avec la direction de polarisation.
Une autre application est la réalisation de polariseurs : un ensemble de tiges conductrices recti-
lignes, dont l'espacement est inférieur à la longueur d'onde (a < À), est transparent pour la
composante du champ électrique perpendiculaire à leur direction, aucun courant macroscopique ne pouvant
circuler dans cette direction (Fig. 29.4) ; en revanche, l'ensemble est réfléchissant pour la composante
du champ parallèle aux tiges.
Fig. 29.4.
Remarque : En réalité la conductivité étant finie, le courant circule dans une pellicule d'épaisseur
égale à quelques 8 . Une feuille métallique d'épaisseur très faible ( e < 8 ) permet donc
une transmission partielle, alors qu'elle forme un obstacle parfait si e ^ 8 .Ce résultat est
à la base de la réalisation de blindages électromagnétiques, lesquels sont le plus souvent
des grillages métalliques dont le pas est inférieur à la longueur d'onde.
II. 7. — Pression de radiation
Les porteurs de charge, mis en mouvement au voisinage de la surface d'un conducteur, sont soumis
à l'action du champ présent dans cette zone. L'interaction avec le réseau se traduit par une force de
Laplace qui s'exerce sur l'ensemble du conducteur dont l'expression volumique est :
dFL
—— =JxB/ = yEfxB/ = y/i0 Rt
d ( /
Elle est donc normale à la surface du conducteur, dirigée vers l'intérieur de celui-ci et proportionnelle
au vecteur de Poynting. Évaluons la force moyenne exercée à l'interface sur le tronçon du conducteur
délimité par une surface S (Fig. 29.3). Il vient :
Fl = J^S
rOO
/ %
(z) d z = y^oS
R/(o) f
exp
-f)dz=^R,(0)
En introduisant le facteur de transmission en énergie T = Vt/V,- = Rt/R,, il vient :
y/i0S8
TR;
avec
1/2
et

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
573
d'après la formule de Hagen-Rubens. Il en résulte que :
— 2S— 2S—
^L = R/ = Ri,znex ~ —PradSnex
C C
prati étant une quantité scalaire, homogène à une pression, appelée pression de radiation :
Prad = ~Ri,z
C
Remarquons que cette pression ne dépend ni de la pulsation de l'onde, ni de l'épaisseur de peau 8 : elle
est donc encore valable pour un signal polychromatique.
II. 8. — Quantité de mouvement et moment cinétique associés à une OPPM
La pression de radiation peut être interprétée comme un transfert de quantité de mouvement entre
le rayonnement électromagnétique et le milieu matériel par l'intermédiaire des électrons. Cette
interprétation est particulièrement simple si l'on décrit l'interaction d'une onde électromagnétique avec la
matière comme un échange de photons, respectivement d'énergie et de quantité de mouvement (cf.
Physique quantiqué) :
£ = hco = hv et p = hk
Lorsque la densité volumique des photons nv est grande devant 1, l'énergie et la quantité de mouvement
électromagnétiques volumiques s'écrivent respectivement :
w — nv£ — nvh(o et p?; = nvp = nvhk
Comme, dans ce cas, oo — kc et donc £ = pc, on associe, à une OPPM, la quantité de mouvement
volumique suivante :
_ k nvhoj k wk
Pv =nvhk- = ——-
c k
soit, puisque R = cw k/k :
R
La pression exercée par une OPPM sur une surface parfaitement réfléchissante est alors interprétée en
terme de « collisions » des photons sur cette surface.
Une onde électromagnétique peut aussi modifier le moment cinétique d'un milieu matériel et
réciproquement. D'un point de vue corpusculaire, le moment cinétique associé à un photon est son spin S
dont la composante dans la direction de propagation peut prendre deux valeurs h et —h. Le moment
cinétique moyen L d'une OPPM est lié à son état de polarisation. Ainsi, à une onde polarisée circulai-
rement à gauche, d'hélicité positive, sont associés des photons de spin +/î ( —h si l'onde est circulaire
droite). Il en résulte, pour un système de photons, de densité volumique moyenne nv , le moment
cinétique volumique suivant :
T t W
\v — nh ez — — ez
co
La modification de l'état de polarisation d'une OPPM, à la traversée d'un milieu matériel, est ainsi
interprétée comme un transfert de moment cinétique entre cette onde et le milieu, par échange de photons.

574
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
III. — REFLEXION ET TRANSMISSION ENTRE DEUX DIELECTRIQUES
La réflexion et la transmission d'une onde, à l'interface entre deux milieux diélectriques, non
magnétiques et non absorbants, est à la base de l'optique des isolants. Les milieux sont donc caractérisés
par des relations de la forme :
B = /jlq H et D = eo er E
où er est réel et positif; on introduit alors l'indice réel n tel que er = n2 .
III. 1. — Champ électromagnétique des ondes incidente, réfléchie et transmise
La source impose la pulsation w , la direction incidente définie par l'angle 0\ et l'amplitude du
champ électrique de l'onde incidente E//;,. Le champ électromagnétique associé à l'OPPM incidente
s'écrit :
k
E,- = E/j/;,exp[-/(W — k/-r)] et B,- = — xE(- avec k/ = &i(sin 01^ +cos 6\ez) et k\ = k0n\
ù)
Désignons par Oxy l'interface plane des deux milieux ; les vecteurs d'onde des ondes réfléchie et
transmise sont tels que :
kr,x = h,* = ktiX = ko n\ sin 6\ = kx et kr,y = ktiy = hhy = 0
Compte tenu de la loi de la réflexion (0r — — 0-, — —0\), on a : kl%z = —k^z — —k\ cos 0\ ; le champ
électromagnétique de l'onde réfléchie a donc pour expression :
Er = Er m exp[—i(cot — kxx + k\ cos 0\z)\ et B,- = — x Er
En raison des lois de la réfraction, le champ électromagnétique de l'onde transmise s'écrit :
Er = Er m exp[-/(W - kxx — kt 7z)} et B, = - x E, avec kt 7 = kG(r^ - n2 sin2 02) xl2
' '" ù) '*"
Si ii2 < n\ avec 6\ < 0/, 0/ étant l'angle d'incidence limite défini par sin 0/ — «2/^1 , (Fig. 29.5a)
ou si m > n\ (Fig. 29.5b), ktz est réel :
kt z = k'tz = k2 cos 02 = ko 112 cos 02
Si n2 < n\ , avec 0\ > 0\ (Fig. 29.5c), ktz est imaginaire : kt 7 = ik'{'7.
.. 01....
n2 < n\
Z'
a)
' n2 >" n'\
~0y/
'"02 \
X
b)
Fig.
29.5.
\ Oi..-
W
122 < n\
Z
c)

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
575
III. 2. — Relations de passage
Les composantes tangentielles de E et de H sont continues à la traversée de l'interface. Les
milieux étant isolants et non magnétiques, aucun courant surfacique n'apparaît; les composantes
tangentielles de B sont donc également continues, d'où, puisque n(2 = — ec et z = 0 :
e, x [E,,,,, - (E,-,,„ + E,. ,„)] =0 et ez x [B,,,, - (B,,,„ + Br,„)] = 0
En outre, les composantes normales de B et de D sont continues :
e: • [B,,,,, - (B,,,„ + B,,,,,)] =0 et e, • [n\ E,,,,, - n](E,-,„ + E,,,,,)] = 0
puisque D = eqe^E = £o/z2E .
III. 3. — Formules de Fresnel en incidence normale
Explicitons tout d'abord le cas simple, mais important en optique, de l'incidence normale :
6\ =#2 = 0 (Fig- 29.6). Les résultats ont été établis précédemment (cf. II). Comme ici n2 est réel, on
a les expressions suivantes de r et r :
n\ — n2
ri[ + ni
et r
2n
n\ + ni
Notons que r est un nombre réel toujours positif, alors que r est réel et positif si n2 < n\ et négatif
si tin > n\ : un déphasage de 77 s'introduit donc si le milieu 2 est plus réfringent que le milieu 1.
Sur la figure 29.6, ont été représentés les champs incident, réfléchi et transmis : en a) n2 > ti\ et en b)
ni < ti\ .
i,m. ijn.
-®
*1 Br,m
-<ô)
n2 > n,
Oy
n2<n,
0* Brj
a)
Oy
E
B/,r/
-®
b)
FIG. 29.6.
On écrit parfois les expressions précédentes à l'aide de Y impédance électromagnétique intrinsèque
du milieu :
Mt)
1/2
soit Z
1/2
1
377
les milieux étant non magnétiques (jmr = 1 ). On a donc :
_ 377 377 Z2-Zx 2Z2
Z\ — Z2 = d ou r= et r = —
n\ n2 Z\ +Z2 Z\ + Z2

576
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
On en déduit les facteurs de réflexion et de transmission en intensité, R et T)
2 / o \ 2
R = rr* = rz
rt\ — m
n\ +n2
et t=—\t\2- "
2^71
4n i /?2
On vérifie bien que R + T = \ .
Dans le cas de la réflexion normale sur une interface air-verre ( n\
numérique donne R ~ 0, 04 .
n\ ' n\ \n\ +ii2j («i + n2)2
et n2 ~ 1,5), l'application
III. 4. — Formules de Fresnel en incidence oblique
a) Onde incidente polarisée perpendiculairement au plan d'incidence
Si la polarisation de l'onde incidente est perpendiculaire au plan d'incidence (E/-in — Eijnev) , ce
plan est plan d'antisymétrie pour le système formé par la source et les deux milieux ; il en résulte que
le champ magnétique est contenu dans le plan d'incidence. Les milieux étant isotropes, les champs des
ondes réfléchie et transmise respectent cette symétrie.
Exprimons la continuité des composantes tangentielles des champs E et B , en comptant
positivement les champs électriques orientés suivant l'axe Oy perpendiculaire au plan de la figure, ce qui
détermine les orientations positives des champs magnétiques (Fig. 29.7a).
(1) Continuité de la composante tangentielle de E
Il vient, pour les composantes algébriques de E selon Oy :
F'■ 4- F = F
En introduisant les facteurs de réflexion et de transmission en amplitude, r± et r± , relatifs à une onde
polarisée perpendiculairement au plan d'incidence :
Eu
on obtient :
1+r, =t,
a) b)
Fig. 29.7.

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
577
(2) Continuité de la composante tangentielle de B
On a, pour les composantes algébriques de B selon Ox :
(B/,„,).r + (fir,,„).v = (B/,,„)a-
Comme B = (k x E)/cu, il vient :
Ev(k x ev) • ex-
B =
= k,~-
ù) ù)
Si l'on introduit les facteurs de réflexion et de transmission r± et r±, on obtient :
En combinant les deux relations de continuité, on en déduit finalement :
hi
■Kz
ki,Z + kt ;
et
2fc
hz + kt,z
Si l'onde transmise se propage effectivement dans le milieu 2, on a : kt: = kîz = k{)n2cos62 . En
introduisant les indices n\ et no et les angles 6\ et 02 , on obtient les formules de Fresnel pour une
onde polarisée perpendiculairement au plan d'incidence :
n\ cos#i — m cos 62
£j_ = ~—: — et r i
2n i cos 01
n\ cos 0i + «2 cos 62 """ «1 cos 6\ -\-ri2 cos 02
Ces formules peuvent s'écrire autrement, puisque «1 sin 6\ — n-i sin 62 :
sin #2 cos 6\ — sin #1 cos 62 2 sin 02 cos 6\
soit :
sin #2 cos 6\ + sin #1 cos 62
_ sin(02 -0,)
et
et
sin 62 cos 6\ + sin 0i cos 60
2 sin 60 cos 0i
-^ sin(02 + 0i) —L sin(02 + 0i)
Ainsi, Tj_ étant réel et positif, l'onde transmise ne subit pas de déphasage. En revanche, r± étant réel
et négatif lorsque 02 < 0\ , c'est-à-dire no > n\ l'onde réfléchie subit, dans le cas d'une réflexion sur
un milieu plus réfringent, un déphasage de 77 (Fig. 29.7b). Pour no < n\. l'onde réfléchie ne subit
aucun déphasage.
Sur la figure 29.8, on a représenté la variation du facteur r± en fonction de l'angle d'incidence
0i , dans les deux cas : no < n\ et no > ri\ .
a)
Fig. 29.8.

578
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
Examinons deux valeurs particulières non nulles de l'angle d'incidence ;
/) Incidence limite (6\ = #/) avec m < n\
On a : 62 — 7t/2 , d'où r± — 1 et r± = 2 .
//) Incidence rasante (#1 = rr/2) avec H2 > n\
On a : 62 = #/, d'où r± = — 1 et r± = 0 .
b) Onde incidente polarisée parallèlement au plan d'incidence
Si la polarisation de l'onde incidente est dans le plan d'incidence Ozx, le champ magnétique est
perpendiculaire à ce plan : (B/jWI = B-h,n ev) . Les milieux étant isotropes, ce plan est plan de symétrie
pour le système ; par conséquent les vecteurs Br m et B, m sont aussi dirigés suivant ev et les vecteurs
E/> > Er,m
et Et sont contenus dans le plan Ozx (Fig. 29.9).
a)
Fig. 29.9.
Comme précédemment, exprimons la continuité des composantes tangentielles des champs E et
B . Pour cela, convenons de compter positivement les champs électriques incident, transmis et réfléchi,
lorsqu'ils sont orientés comme sur la figure 29.9a, ce qui détermine les orientations positives des champs
magnétiques. Cette convention a l'avantage de rendre compatible ce cas de polarisation avec le précédent
lorsque l'incidence est normale. Envisageons le cas où l'onde transmise se propage dans le milieu 2.
(1) Continuité de la composante tangentielle de E
Il vient, selon Ox :
Eijn cos 6\ + Erm cos 0\ = Etm cos 62
En introduisant les facteurs de réflexion et de transmission en amplitude, r# et r,,, on obtient :
cos 0i (1 -\- Lij) — cos #2 L//
(2) Continuité de la composante tangentielle de B
Selon Oy , en notant Bm — (kç)/(o)nE_m , on a :
#/> - B.r,m = Bt,m Soit n\ (Ei,m ~ Er,m) = n2 Kt,l}1
Il vient, en introduisant r^ et Z// '•
n\(\ -L//) =«21//

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
579
En combinant les deux relations de continuité, on obtient les formules de Fresnel relatives à
l'interface de deux diélectriques transparents, pour une polarisation polarisée parallèle au plan d'incidence :
n\ cos#2 — ^cosfli
'-Il
et
2«i cos0
n\ cos#2 + /?2Cos#i -// n\ cos02 + n2cos6\
On peut exprimer les facteurs de réflexion et de transmission uniquement en fonction des angles :
sin 60 cos 60 — sin 6\ cos 6\ 2 sin 62 cos 6\
r-ll
soit :
sin 02 cos 02 + sin 0i cos 0i ^
tan(09 -0i)
r„ = —^ ^ et t/
sin 02 cos 02 + sin 0i cos 6\
2 sin 02 cos 0i
tan(02 + 0i )
sin(02 + 0i)cos(02 - 0i)
Le déphasage de l'onde transmise est toujours nul, puisque z// est réel et positif. Quant au déphasage
de l'onde réfléchie, il est donné par le signe de r^ . On peut voir, sur la figure 29.8, la variation du
facteurs r» en fonction de l'angle d'incidence 6\ . La figure 29.9b correspond au cas où 6\ < 6B et
donc r/f < 0.
La valeur de 6\ pour laquelle tan(02 + 0i) change de signe est remarquable : elle correspond à
O2 + 0\ = 77/2 donne n/ = 0. L'onde est alors entièrement transmise ; l'incidence correspondante est
qualifiée de brewstérienne, du nom du physicien écossais D. Brewster. L'angle d'incidence de Brewster
6D est tel que (Fig. 29.10):
Notons que 6B < 0/, puisque :
— d'où n\ sin 6b = «2 sin 02 = /t? cos 0# et tan 0# = —
2 ~ n\
112 sin 6 b
sin 0/ = — = tan 6b = > sin 6B
n 1 cos 6b
Par exemple, dans le cas d'une interface air-verre (n\ = 1 et n2 ~ 1,5), les valeurs de 0/ et 6b sont
respectivement :
î// « arcsin ( -— j w 42° et 6B ~ arctan(l,5) w 57°

580
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
III. 5. — Réflexion totale
Lorsque m < n\ et 6\ > 0/, l'onde transmise n'est plus homogène : elle est atténuée dans la
direction Oz et se propage suivant Ox.
Examinons, par exemple, le cas où la polarisation est perpendiculaire au plan d'incidence. Comme
ik"z, on en déduit :
k\ cos#i — ik'\
k\ cos#i + ik".
et
2k\ cos6\
k\œs6\ +ik'/z
Notons que, dans l'expression de r± , le numérateur est le complexe conjugué du dénominateur : par
conséquent |r±| = l . Ainsi, au-delà de l'angle limite (6\ > 6\), l'amplitude réelle de l'onde réfléchie
est égale à celle de l'onde incidente. Cependant, l'onde réfléchie est déphasée de l'angle arg(r±) .
III. 6. — Facteurs de réflexion et de transmission en énergie
Rappelons les expressions de R et T :
R
\r\2 et T=\t\2
k'
kon i cos 61
avec R + T = 1
a) Cas où Ponde transmise est homogène
Lorsque l'onde transmise est homogène, son nombre d'onde est réel et vaut : k'lz = k§m cos 6i .
On en déduit le le facteur de transmission en énergie :
9 n2 cos 62
T = \Tf —
ll\ COS#i
Les figures 29.1 la et b représentent les variations de R± et R// en fonction de l'angle
d'incidence 6\ , pour les deux types de polarisation envisagés et dans les deux cas n-i < ri\ et m > n\ .
Lorsque n-i > n\ , la réflexion est toujours partielle et relativement faible sauf lorsque l'incidence
devient rasante. Ce résultat est aisément vérifié en pratique : une surface de verre ou d'eau tranquille
( «2 ~ L 33 ) est très transparente sauf en incidence rasante où un effet miroir est observé.
1
\
■
n\ = 1, 5 J
1^2 = 1
Rj\
R,
n,2 <
1—»-
7T
2
a) b)
Fie. 29.11.
En incidence brewstérienne, seule l'onde polarisée perpendiculairement au plan d'incidence est
partiellement réfléchie. Pour l'autre type de polarisation, la transmission est totale (T// = 1) .

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
581
Dans le cas d'une source de lumière naturelle, où Tonde incidente présente tous les états de
polarisation, l'onde réfléchie est alors polarisée dans un plan perpendiculaire au plan d'incidence. Ce résultat
est à la base de la célèbre expérience de E. Malus mettant en évidence, grâce à deux miroirs, la
polarisation de la lumière naturelle après réflexion (cf. Optique). En incidence brewstérienne ( 6b ~ 57° ),
l'onde réfléchie par le premier miroir est une onde rectiligne polarisée perpendiculairement au plan
d'incidence. Si le second miroir travaille aussi en incidence brewstérienne, et s'il est perpendiculaire au
premier, aucune onde réfléchie n'émerge du système : c'est l'extinction totale du faisceau incident.
Les expressions de R et T en incidence normale sont souvent utilisées en optique. On les obtient
en faisant 6\ = 62 = 0 dans les formules précédentes :
2 / 2
n\ — n2\ ( 2«i \ ni 4n\n2
et ^
n]+n2J \n\+n2j n\ {n\ + n2)2
b) Cas de la réflexion totale
Lorsqu'il y a réflexion totale, k't z = 0 , puisque kt z = ik" , d'où :
R = \L\2 = \ et T = 0
Ainsi, bien qu'il existe une onde transmise (r / 0), le facteur de transmission en énergie est nul. Ce
résultat, apparemment paradoxal, s'interprète aisément si l'on note que la propagation dans le milieu 2
a lieu le long de l'interface (kj — k'tex). L'onde est évanescente : la composante du vecteur d'onde
selon Oz est alors purement imaginaire :
ktz = ik't'z = ik0(n2 sin2 0, - n\)x/2
Le champ électrique associé, lorsque la polarisation est perpendiculaire au plan d'incidence, s'écrit :
Er = T±Ei:inexexp(-k"zz) exp[-/(W - k'ty)}.
On en déduit l'intensité associée, proportionnelle à 11E/112 :
It(z) = It(0) exp (--!)= //(0) exp (-yuz) avec Ô = — = . 9 ^-77^ et p,
La distance 8 est la profondeur d'atténuation du champ dans le milieu diélectrique 2 et pu le coefficient
d'atténuation en énergie. On exprime souvent 8 en fonction de la longueur d'onde Àq (dans le vide) :
A0
277(,z2sin20, -tt2)»/2
L'application numérique pour la réflexion verre-air, en incidence quasi rasante, 6\ ~ rr/2, donne :
8 « 0,1 A0 .
L'existence d'un champ électrique dans le milieu 2, au voisinage de l'interface, peut être mise en
évidence expérimentalement en limitant l'extension de ce milieu à une très faible épaisseur, de l'ordre
de 8 ; on utilise pour cela une deuxième interface avec un milieu plus réfringent, d'indice n\ par
exemple, comme cela est schématisé sur la figure 29.12a. L'onde est alors partiellement transmise à
travers cette seconde interface ; la réflexion n'est plus totale : c'est la réflexion totale frustrée.
Lorsque le milieu 2 est de l'air (n2 ~ 1) et le milieu 1 du verre («1 « 1,5) , l'angle limite
61 = arcsin(«2/«i) vaut 41,8 . La réflexion totale est donc réalisée avec un prisme à 45° , appelé

582
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
pour cette raison prisme à réflexion totale. Si l'on approche un deuxième prisme de l'hypoténuse du
premier, la réflexion totale est frustrée (Fig. 29.12b). L'expérience est plus facile à réaliser avec des
ondes centimétriques et des prismes en paraffine, car la condition sur l'épaisseur est beaucoup moins
contraignante.
Remarque : La réflexion et la transmission d'une onde, à l'interface de deux milieux, ne sont pas
spécifiques à l'électromagnétisme. Tous les résultats obtenus peuvent être aisément
transposés aux ondes associées à des particules matérielles. La réflexion totale frustrée peut alors
être considérée comme un cas particulier d'effet tunnel optique (cf. Physique quantiqué).
\0, >ee] -6>,
n\ > n2 ^vL/^
n2 ■
ni
ifZ
X
Onde incidente
n]\ ri\
V^
45°/Hv
Onde réfléchie I ni
Onde transmise
y
a)
b)
Fig. 29.12.
CONCLUSION
L'étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans des milieux matériels limités
nécessite la prise en compte des équations de Maxwell, des relations de milieu et des conditions aux limites
aux interfaces. Rappelons les résultats essentiels.
(1) Un conducteur est très absorbant à basse fréquence : l'onde électromagnétique transmise est
absorbée, près de sa surface, sur une épaisseur caractérisée par S — (wyuoy/2)-1/2 (épaisseur de peau).
Il devient très réfléchissant à plus haute fréquence ; c'est le cas pour un métal dans le domaine optique.
Si le conducteur est parfait, le champ électromagnétique est nul à l'intérieur ; des charges et des courants
surfaciques apparaissent. En revanche, au-delà de la pulsation plasma cop , la transmission est totale.
(2) À l'interface entre deux diélectriques transparents, non absorbants, non magnétiques, la
théorie de Maxwell permet de retrouver les lois de la réflexion et de la réfraction de Snell-Descartes. De plus,
elle permet de déterminer les facteurs de réflexion et de transmission en amplitude (formules de Fres-
nel), ainsi que les déphasages. On rend compte ainsi des phénomènes de polarisation par réflexion, à
l'incidence brewstérienne, et de réflexion totale :
tan<
^2
et
^ Si avec sin 0/
n2
pour n2 < n\
3) Enfin, rappelons les expressions des facteurs de réflexion et de transmission en énergie, en
incidence normale :
Yi\ — «2 \ 4/11H?
R
avec
Kn\ +n2J («i +n2)2
Ces résultats sont très utilisés en optique (cf. Optique). Nous verrons ultérieurement l'importance
pratique de la réflexion des ondes dans la propagation guidée (cf. chapitre 30).

Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
583
EXERCICES ET PROBLEMES
P29- 1. Bilan d'énergie dans un conducteur
Le champ électrique d'une onde électromagnétique, de basse fréquence, transmise à l'interface
vide-conducteur, sous incidence normale, a pour expression complexe :
Er = E, meK exp[-/(W - ktz)] avec kt = -( 1 + /)
o
où ko = oj/c est le vecteur d'onde dans le vide et 8 = (yuoyeo/2)-1/2 l'épaisseur de peau.
1. Donner l'expression du champ magnétique B associé. En déduire la valeur moyenne dans le
temps du vecteur de Poynting.
2. Évaluer la puissance moyenne rayonnée à travers la surface qui délimite le volume rectangulaire
du conducteur V : x G [0,a],y e [0,/?],z£ [0,oo[ (Fig. 29.13).
3. Quelle est la puissance moyenne cédée aux charges du volume V ? Conclure en effectuant un
bilan d'énergie.
Vide
b
%
O
^
^^^
z\
1
a
>^^ -
Conducteur
X
Fig. 29.13.
P29- 2. Pression de radiation solaire
L'éclairement solaire de la Terre est de l'ordre de 1,4 kW • m-2 . Comparer la pression de
radiation, qui s'exerce sur un miroir placé sur la surface de la Terre, à la pression atmosphérique.
P29- 3. Lévitation d'une sphère dans un faisceau laser
Une bille conductrice (rayon r, masse m ) est placée dans un faisceau laser homogène se
propageant suivant la verticale ascendante. On désigne par É l'éclairement du faisceau, c'est-à-dire la
puissance lumineuse traversant l'unité de surface, et par nv le nombre de photons par unité de volume.
1. Calculer la quantité de mouvement cédée par un photon à la bille. En déduire la pression exercée
par le faisceau sur un élément de surface de la bille.
2. Quelle est la force qu'exerce par le faisceau sur la bille ?
3. Calculer le rayon d'une bille d'aluminium (masse volumique p* = 2,7 x 103 kg • m-3 ) lévitant
dans un faisceau laser, de puissance 1 W et de section 1 mm2 ?

584
29. Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
P29- 4. Facteur de transmission dans un plasma
Un satellite artificiel évolue dans le plasma ionosphérique, caractérisé par un nombre d'électrons
par unité de volume égal à 3 x 1014 m-3 . Quelle doit-être la condition à laquelle doit satisfaire la
fréquence des ondes électromagnétiques de communication ?
P29- 5. Facteurs de réflexion et de transmission en incidence normale 0^^
Une onde électromagnétique, plane, monochromatique, tombe normalement sur l'interface qui
sépare deux milieux, non magnétiques, transparents.
1. Exprimer, en fonction de l'impédance des milieux, définie par Z = (jm/e)^2 les facteurs de
réflexion et de transmission en amplitude de l'interface.
2. Calculer ces facteurs, sachant que le milieu incident est l'air et que le second milieu est
caractérisé par £,.)2 = 2, 56 . En déduire les facteurs de réflexion et de transmission en intensité.
P29- 6. Angle de Brewster dans l'interface air-eau
Une onde électromagnétique, de basse fréquence, tombe sur l'interface air-eau qui sépare ces deux
milieux diélectriques, de permittivités relatives respectives 1 et 81 .
1. Quelle est la valeur de l'angle de Brewster et celle de l'angle de réfraction correspondant ?
2. Calculer les facteurs de réflexion et de transmission en amplitude, pour #, = 0B , dans les cas
où la polarisation est perpendiculaire au plan d'incidence. Comparer au cas où la polarisation est dans
le plan d'incidence.
P29- 7. Réfraction d'une onde polarisée QHË&
Une onde monochromatique plane polarisée perpendiculairement au plan d'incidence se propage
dans un milieu diélectrique parfait, d'indice 2, 8 . Elle atteint l'interface avec l'air sous un angle de 20° .
1. Sachant que le champ électrique incident vaut El■ — 2 x 10~6 V • m-1 , trouver les amplitudes
des champs électriques réfléchi et transmis.
2. Quels sont les champs magnétiques incident, réfléchi et transmis ?

30
Propagation guidée
La propagation guidée consiste à canaliser un signal électromagnétique dans un espace délimité par
des interfaces conductrices ou diélectriques, depuis la source jusqu'au détecteur. Son principal avantage
est de transmettre l'énergie électromagnétique avec un faible taux d'atténuation et de véhiculer
l'information correspondante à l'abri des phénomènes parasites.
Le guidage est réalisé dans des guides d'ondes dont la constitution varie suivant le domaine de
fréquence des ondes : pour A ~ 1 cm, ce sont des tubes métalliques creux, alors que dans le domaine
optique ce sont des fibres de matériaux diélectriques transparents.
Dans la plupart des cas, la structure de l'onde électromagnétique guidée n'est pas la même que dans
le vide ; en particulier, l'onde n'est jamais plane et pas toujours transversale pour les champs électrique
ou magnétique.
Nous étudions donc d'abord le guidage d'ondes transverses électro-magnétiques, en abrégé TEM,
le long d'un câble coaxial. Ensuite, nous analysons le guidage d'ondes transverses électriques (TE) ou
transverses magnétiques (TM) entre deux puis quatre plans conducteurs.
I. — ONDES TEM DANS UN CÂBLE COAXIAL
Un exemple important de propagation d'onde TEM guidée, c'est-à-dire telles que le champ
électrique et le champ magnétique soient tous deux orthogonaux à la direction de propagation, est la
transmission des signaux électriques dans un câble coaxial (Fig. 30.1a). Un tel câble est constitué d'un
conducteur cylindrique l'âme, de rayon a , situé à l'intérieur d'un deuxième conducteur cylindrique
coaxial, de rayon intérieur b (Fig. 30.1b). Ces deux conducteurs sont séparés par un isolant, par exemple
le vide ; le cas d'un diélectrique non magnétique s'obtient simplement en remplaçant eo par e = SQSr
(cf. chapitres 10,21 et 28).
Dans une première analyse, on néglige les effets dissipatifs : la conductivité du conducteur est donc
infinie et le diélectrique sans pertes ( er réel).
Cherchons une solution représentant une onde, de pulsation co, qui se propage sans atténuation
dans le vide entre les conducteurs, dans le sens des z > 0 : k = kez. En raison de la symétrie
cylindrique, la variable angulaire cp n'intervient pas et le champ magnétique est orthoradial :
M = Bm(p) exp[-i(wt - fe)]e^
Examinons la possibilité d'une propagation par ondes TEM dans le câble. Comme £7 = 0 et £ = 0
du fait de la symétrie cylindrique, nous avons :
E = Em(p) Gxp[-i(wt - fe)]ep

586
30. Propagation guidée
zk
2a — H
O
dS-
Az
-2b-
b)
FlG. 30.1.
L'équation de Maxwell-Gauss divD = 0 conduit à :
div(eE) = e div E = 0 d'où div E = 0
lorsque le milieu diélectrique est homogène, isotrope et e((o) / 0. En explicitant cette équation en
coordonnées cylindriques, il vient :
Ô_
dp
{PKP
0 soit En
Cte
exp[-/(W - fa)]
si l'on choisit l'origine des phases de telle sorte que la constante soit réelle. Quant à l'équation de
Maxwell-Faraday rotE + dlù/dt = 0 , elle donne, en coordonnées cylindriques :
-âT = —â~ soit kKp = w^<p
Enfin, l'équation de Maxwell-Ampère rot(B/yu0) — d(£o£rE)/dt = 0 conduit à :
dBin Er ozn _ _ _ co£r
dz c
ô1e
2 dt
£r U~p soit kB„
r2 -P
En combinant les deux dernières relations, on trouve l'équation de dispersion du milieu diélectrique (cf.
chapitre 28) :
c c
(o = ——^k d'où v<p = ——
£r £r
Si le milieu est parfait (er = Cte), la vitesse de groupe s'écrit : vg = d(o/dk = co/k = vç .
Le système est alors non dispersif, ce qui est décisif pour les applications, car un signal quelconque,
comportant nécessairement plusieurs fréquences, ne subira pas de distorsion.
Notons que les champs électrique et magnétique restent en phase et que le rapport de leur norme
est égal à vç , comme dans le cas d'une onde dans un milieu illimité :
B = e7 x
E

Propagation guidée
587
H. — ANALYSE DANS LE CADRE DE UARQS
Il est possible et commode de décrire le guidage d'un signal électromagnétique dans un câble
coaxial en ne s'intéressant localement qu'aux charges et courants qui circulent dans les conducteurs.
En effet, la longueur d'onde est très grande devant les dimensions caractéristiques des éléments qui
constituent ces circuits. Par exemple, dans un câble de diamètre D = 3 mm, qui véhicule un signal
de fréquence 10 MHz (Ào = 30 m), la durée de propagation rp entre l'âme du câble et sa gaine
extérieure est négligeable devant la période T du signal :
tp <C T car
T
D
3 x 10-
3Ô~~
= 10-
On peut alors considérer une tranche élémentaire du câble comme un circuit électrique dans l'ARQS.
L'étude peut être transposée au cas d'une ligne bifilaire (Fig. 30.2). Ainsi entre les deux conducteurs
parallèles, d'axe Oz, qui assurent le transport du courant depuis un générateur, à l'origine des abscisses,
jusqu'à une charge à l'abscisse L, existe une tension w.(z, t) qui dépend du point considéré le long de
la ligne et du temps ; le courant qui circule dans les conducteurs dépend lui aussi de z et t.
Générateur
O
u(z,t)
u(z+dz,t)
L\
Charge
FIG. 30.2.
II. 1. — Câble coaxial ou ligne bifilaire sans pertes
Adoptons l'un des conducteurs comme référence de tension et désignons par / = i{z,t) et
u — u(z,t) respectivement le courant circulant dans l'autre conducteur et la tension entre les deux
conducteurs, au point d'abscisse z à l'instant t. Dans le câble coaxial, la référence est le conducteur
périphérique.
Un élément de câble ou de ligne, de longueur d z, possède une capacité C/ d z et une
inductance L/ dz (Fig. 30.3). Les quantités L\ et C/ sont donc des grandeurs relatives à l'unité de longueur :
elles s'expriment respectivement en H • m-1 et F • m-1 . Sur la figure 30.3, on a représenté le schéma
électrique équivalent à l'élément dz du câble.
En régime quasi stationnaire, un courant de déplacement élémentaire ôi apparaît à l'abscisse z ,
entre les deux conducteurs. Il satisfait évidemment à la loi des nœuds en A :
-i{z + dz, t) + /(z, t) + 8i = 0 d'où Ôi = i{z + dz,t)
Le courant ôi est relié à u par la loi d'Ohm, appliquée aux bornes du dipôle de capacité Ci dz
^ , 9u . di
ôi = -Ci dz-— soit — dz
ot dz
-C/dz
du
dt
et
Ôi
-Q
du
~Ôt

588
30. Propagation guidée
D'autre part, en raison des phénomènes d'induction, une tension élémentaire du apparaît entre les
extrémités de l'élément. Cette tension satisfait à la loi des mailles :
—u(z, t) — ou + u(z + dz, t) = 0 d'où ou = u(z + dz, t) — u{z, t) = — dz
oz
Pour le dipôle inductif L/ dz , la loi d'Ohm donne :
. di . fl« , r , 9/ <9w 9/
(5w = -L/dz — soit —-dz = -L/dz— et — = -L/ —
ot dz ot dz ot
En combinant les relations entre u et /, on obtient :
d fdi\ ^d2u d fdi\ 1 Ô2u d2u ^ Ô2u n
di\dl)=-CiW et &UJ=~W et d^-QLlW = 0
De même, les équations :
d fdu\ , d2i d fdu\ 1 d2i _, d2i „ r d2i n
dt{d-z)=-L'W2 et ¥z\Jt)=-c,lh2 donnent 5?-C/L'^ = 0
Ainsi, les équations différentielles, auxquelles satisfont u et /, sont des équations analogues et
caractéristiques d'un phénomène de propagation. Désignant par ^(z, t) la grandeur considérée, u ou /, il
vient :
d2W 1 d2W 1
avec va
dz2 ~ v% dfl U(f ~ (c,L,yn
Cette équation admet pour solution générale unecombinaison linéaire d'ondes de vitesse de phase vç
(cf. chapitre 19) :
V{Uz) = V+(t-—\ +*_ (t+ —
Pour déterminer v9 , il faut exprimer les caractéristiques C\ et L/ en fonction de la géométrie de la
ligne.
Dans le câble coaxial, C/ est la capacité par unité de longueur du condensateur formé par
l'ensemble des deux conducteurs et du diélectrique (cf. chapitre 10) :
_ 277gQgr
1 ~ \n(b/a)
Quant à l'inductance par unité de longueur L\, on l'obtient en évaluant le flux d<ï> du champ
magnétique à travers la surface dS plane, de hauteur dz, dans l'espace entre les conducteurs (Fig. 30. lb) ; il
vient, en coordonnées cylindriques :
>b
d<Ê = f B -ndS = dz / B^ dp
JS Ja
Le champ magnétique, localisé dans cet espace entre conducteurs, a pour expression
2rrp **

Propagation guidée
589
L'intégration conduit donc à :
I/V.d,-*/*!!£
' Ja 27T Ja P
l ÔZ L Ja 277 Ja D 277 V«
On en déduit :
2tt w j \n(b/a)
c - /—
—- = - ou n = ^
1/2 ^ •
On voit que la vitesse de phase ne dépend que de l'indice et non de la géométrie du système. Si le
diélectrique est parfait, le câble ou la ligne sont alors des systèmes non dispersifs et sans pertes.
La solution particulière traduisant la propagation du signal dans le sens des z croissants s'écrit :
u = u+ [ t ) et /
Il vient :
du 1 di 1 di du di di
'dt^~QFz = :^C,dt Ct ~dz=~Llrdt=LlV(pWz
En intégrant et en excluant le terme constant, on obtient la relation :
1 (U
Zc i où Zc = —— =Llv(p=[ —
v<p Ci V ci
1/2
En un point de l'âme du câble ou de la ligne, la tension u(z,t) et l'intensité i(z,t) du courant sont
proportionnelles : le rapport Zc , indépendant de la longueur du câble, est l'impédance caractéristique.
Ordre de grandeur : Pour un câble tel que a = 1 mm , b = 2,5 mm et er ^ 1 , on a :
Les câbles coaxiaux usuels ont le plus souvent une impédance caractéristique dont la valeur est
normalisée à 50 fl ; le conducteur extérieur est une tresse métallique et l'espace entre conducteurs est rempli
d'un isolant plastique.
II. 2. — Câble coaxial ou ligne bifilaire avec pertes
Les pertes dans un câble coaxial ou dans une ligne bifilaire résultent d'une part du diélectrique qui
n'est pas parfaitement isolant et d'autre part de l'effet Joule dans les conducteurs. Elles sont aisément
prises en compte en ajoutant deux éléments ohmiques, le premier, de résistance élémentaire R[dz, en
série avec la bobine, et le second de conductance élémentaire C/ d z , en parallèle avec le condensateur
(Fig. 30.4); /?/ et G/ sont des grandeurs relatives à l'unité de longueur : elles s'expriment en H m-1
et en fl_,-m_l respectivement.
Proposons-nous d'établir l'équation différentielle caractéristique d'une ligne ou d'un câble coaxial
avec pertes.

590
30. Propagation guidée
., ,. Ri dz Li dz v , , ,.
G/dz
.Qd*
u(z,t)
dz
FlG. 30.4.
?y.(z + dz,£)
z + dz
Introduisons l'inductance L/ dz et la résistance /?/ dz de l'élément de ligne dz ainsi que sa
capacité C/dz et sa conductance G/dz. L'application des lois des nœuds et des mailles à cet élément, en
l'absence de sources localisées, donne respectivement :
/(z + dz,0 = /(z,0 - G/ dzu(z,t) - C/dz y et u(z + dz,t) = u(z,t) - R, dzi(z,t) - U dz —
d'où, en développant i(z + dz, t) et u(z + dz, t) :
--=C,„(z,0 + O¥ et __=Mz,,)+L,-
En dérivant la première équation par rapport à t et la seconde par rapport à z, on trouve, par élimination
de l'intensité / :
d2u / ^ du\ r d2i . d2u r _ d2u , _ ^ ^ du _
-^ = -/^C,M+C,-j+L,— so.t __^c,^-(*,C, + Z<G,)^-*,G,,, = 0
Si on éliminait u , on trouverait une équation analogue pour / :
ë - L'c> % - (Ric>+L/G') % - R'G< ''=°
Cette équation est connue sous le nom d'équation des télégraphistes . Notons qu'en présence de sources
localisées de tension ou de courant, cette équation comporterait un second membre non nul.
II. 3. — Câbles et lignes en régime sinusoïdal
a) Recherche de solutions sinusoïdales
Nous avons vu que, dans l'approximation des régimes quasi stationnaires appliquée aux circuits
électriques, la convention d'écriture, en notation complexe, de la dépendance temporelle sinusoïdale
était celle des électriciens (cf. chapitre 17), soit :
2(z, t) = <A(z) exp(/W) avec / = — 1
Il vient, en substituant et en simplifiant par exptjojt) :
d2 <A(z)
—=^ + [L,C, o? -jco (R,C, + Ltd) - RjG^z) = 0
dz'- —
On résout cette équation différentielle, à coefficients constants, en cherchant des solutions en exp(rz) ,
ce qui conduit à l'équation caractéristique :
+ [LiCi co2 -jco (RiCi + Lid) - tf/G,] = 0 soit r2 = (R, +jLt(o) (G, +jQ(o)

Propagation guidée
591
On peut donc poser :
r=±jk avec jk = [(R,+jL,w)(Gi+jCt(o)]l/2
Il en résulte que la solution générale pour 3*(z, i) se met sous la forme :
2fo 0 = [^o" exp(-;fe) + if/Q exp(/fe)] cxpijwt) = if/£ exp{j((ot - fe)] + ^ exp[/(W + kz)}
soit, en posant A: = k' — jk" :
2(z, 0 - ^+ exp(-/:"z) exp[j(ùjt - k'z)] + ^ exp(k"z) Gxp\j(wt + /c'z)]
Le premier terme représente une onde progressive se propageant avec amortissement depuis les sources
dans le sens des z croissants, alors que le second représente le même type d'onde se propageant dans
le sens des z décroissants.
Remarque : Pour décrire une situation analogue, nous avons déjà introduit , non pas k = k' — jk" ,
mais le nombre d'onde complexe k = k' + ik" (cf. chapitre 28). On passe d'une écriture
à l'autre en faisant j = — i.
La tension et le courant ont donc pour expressions respectives :
H(z, t) = U£ exp(-k"z) exp[)(ojt - k'z)) + U_q exp(+/c"z) exp[j(ù)t + k'z)}
et:
L(z, t) = Lq exp(-k"z) exp\j(o)t - k'z)} + Lô exp(+fc"z) exp[/(W + k'z)]
b) Impédance caractéristique d'une ligne
On appelle impédance caractéristique d'une ligne le rapport de la tension sur le courant au cours
de la propagation progressive :
Zc
u+ _ £/+ exp(-k"z) exp[i(wt - k'z)} _ U£
L+ I_+exp(-k"z)exp[j((ot-kfz)] ï_o
Or:
du+ di+
=— = Ri '& + Li —=— donne jk u+ = (Ri + jLiw) i+
dz dt — v ;~
avec jk = [(/?/ + jL/co) (G/ -\-jCiù))}^2 II en résulte que :
_ R,+jL,(o fRi+jLKo^'/2
jk \Gi-\-jCt(o/
On retrouve l'impédance d'une ligne coaxiale sans pertes (L//C/)1/2 en faisant /?/ = 0 et G/ = 0 .
c) Coefficient d'atténuation
Comme l'onde progressive s'amortit :
w+(z, t) = Uq exp(-az) exp{j(wt - k'z)}
a = k" est le coefficient d'amortissement linéique de l'onde : il s'exprime en m _l . On en déduit
l'amortissement de la puissance électrique moyenne V(z) véhiculée le long de la ligne reliant le
générateur à la charge :
+ Ï2 frr+\2
uMim_{ut)2 , 0 , __,^f K)
V(z) = UI = -^ = ^- exp{-2az) ce qui s'écrit ^- exp{-pz)
en introduisant le coefficient d'atténuation linéique de la puissance transférée depuis le générateur
jusqu'à la charge, jul = la .

592
30. Propagation guidée
d) Variation de l'impédance le long du câble ou de la ligne
Une ligne est alimentée par un générateur électrique, d'impédance interne Zg , qui impose en z = 0
une tension sinusoïdale, de pulsation co (Fig. 30.2). À l'autre extrémité de la ligne, de longueur L, une
impédance de charge Zl impose la valeur de l'impédance :
ZL= ( = ) avec H=Uq exp(-yfe) + Uq exp(yfe)
et
'- = -J^jrr, f = dk K exp(^z) " u> exp(/fe)]
Ces deux conditions permettent de déterminer les valeurs de U^ et Uq . Proposons-nous d'exprimer
l'impédance de la ligne en un point situé entre le générateur et la charge. Il vient :
2=^=Z,^eXp(-^) + ^eXp(/,fe) soit Z = Zri±^
/ U£ Gxp(-jkz) - U0 exptjkz) 1 - r
en introduisant le facteur de réflexion en amplitude de la ligne :
*>-£^-£«*«*>
Ce dernier s'écrit aussi :
r(z) = r(L) exp[2jk(z - L)] avec r(L) = —^ exp(2jkL)
On exprime souvent la relation entre ce facteur de réflexion en bout de ligne et l'impédance de charge :
7 l+r(L) ZL-ZC
ZL = Zc -— ou r, =
1 - r(L) ~L ZL + Zc
Finalement, retenons que :
Z{z)=Zc\+M avec r{z) = rL exp [2jk(z - L)} et r(L) = §^
On en déduit l'impédance à Xentrée de la ligne ( z = 0 ) :
Zc=Z(0)=Zc|iM avec £(0) = |-^| exp(-2/*L)
L'impédance Ze est souvent écrite en fonction de Zc , Z^ et k :
z =z ZL + Zc + (ZL - Zc) exp(-2jkL) = (ZL + Zc) exp(/£L) + (ZL - Zc) exp(-jkL)
e c ZL + Zc - (ZL - Zc) exp(-2/7çL) c (ZL + Zc) exp(jkL) - (ZL - Zc) exp(-jkL)
soit :
ZL cos(kL) +jZc sin(kL) ZL+jZctan(kL)
c Zc cos(kL) +jZL s'm(kL) c Zc +jZL tan(^L)

Propagation guidée
593
Pour une ligne sans perte, k est réel ; par conséquent :
ZL+jZctan(kL)
Zc
:urs particulière
pédance d'entrée se réduit à
Zc+jZLt<m(kL)
Donnons quelques valeurs particulières suivantes de Ze. Si la ligne est ouverte (ZL — oo ), l'im-
Ze
jton(kL)
Si elle est en court-circuit ( ZL = 0 ), elle vaut :
Ze =jZctan(kL)
Enfin, si kL = (2m + \)tt/2 , Ze = Z^/ZL .
e) Adaptation d'impédance. Rapport d'ondes stationnaires
La ligne transmet une puissance maximale lorsqu'il n'y pas d'onde réfléchie, c'est-à-dire lorsque
r(z) = 0. On dit qu'il y a adaptation d'impédance; l'impédance Z(z) ne dépend pas alors de z et
vaut Zc .
On mesure généralement le défaut d'adaptation d'impédance à l'aide du rapport d'ondes
stationnaires (ROS), appelé aussi taux d'ondes stationnaires (TOS) :
RQS = Unu* = /7+exp(-^L) + ^/-exp(ylL) = 1 + \r(L)\
Umin U+ exp(-jkl) - U~ expijkl) 1 - |r(L) |
Si les pertes de la ligne sont négligeables (Ri et G/ suffisamment faibles), k est réel ; on retrouve
alors :
k=(L,Ciy/2a) = ey2(e0/M>y/2co = sy2^
Le facteur de réflexion en amplitude garde donc la valeur de son module et le ROS est inchangé le long
de la ligne.
Exemple : Un générateur, dont la f.e.m sinusoïdale a une amplitude de 12 V et une fréquence de
0, 6 GHz, et dont l'impédance interne est de 30H, alimente une ligne de longueur 4 m. Cette ligne,
dont les pertes sont négligeables, a une impédance caractéristique de 30 H ; elle est fermée par une
impédance de charge qui vaut ZL — 15(2 +7) XI. Calculons le facteur de réflexion de la ligne à son
extrémité :
r(L) = Zl ~ Zc = ~l5j = -^- d'où \r(L)\ = -^- = 0,24 et ROS = 1,63
~y J ZL + ZC 60+157 4+y UWI 171/2
Pour connaître r(0) , il faut déterminer k qui vaut sensiblement co/c, puisque les pertes sont
négligeables et que le milieu entre les conducteurs est l'air.
On observe donc, dans ce cas, des variations périodiques de l'amplitude du champ
électromagnétique dont la période est :
A c 3x 108
— = — = 0 = 0, 25 m
2 2v 2 x 6x 108
Les valeurs maximale et minimale de la tension électrique sont telles que :
Umax \ V min TT ^ Umax n/o.n
= Un et = ROS
2 U ■
^ ^ min
d'où:
2 2 ROS
£/-h = £/0TTRÔs=9'lv et tw = VoTT>^r,4'9V
On éviterait la réflexion en bout de ligne en ajoutant à la charge une capacité d'impédance —15/ H .

594
30. Propagation guidée
III. — GUIDE D'ONDES
Pour des signaux de très grande fréquence ( v > 1 GHz ), la transmission par câble coaxial ou par
lignes bifilaires devient impossible en raison de la forte atténuation du signal. On utilise alors des
supports particuliers, métalliques ou diélectriques, qui s'appuient sur la réflexion des ondes
électromagnétiques. On a vu que cette réflexion pouvait être totale dans les deux cas suivants :
/) interface vide-conducteur parfait,
//) interface entre deux diélectriques avec n\ > n2 et 0/ > 0/.
La superposition des ondes incidente et réfléchie est une onde qui ne peut se propager en moyenne
que parallèlement à l'interface. L'onde résultante est alors guidée. En adjoignant une seconde
interface disposée parallèlement à la première (Fig. 30.5a), on peut alors canaliser un écoulement d'énergie
électromagnétique dans l'espace délimité par ces interfaces. On réalise ainsi un guide d'ondes.
En pratique, on obtient une direction de propagation unique en complétant le dispositif par deux
nouvelles interfaces planes perpendiculaires aux précédentes (Fig. 30.5b). De tels guides, avec des plans
réfléchissants constitués de très bons conducteurs, dans lesquels le signal se propage dans le vide, sont
d'usage courant dans le domaine des ondes centimétriques. On utilise aussi des guides à section
circulaire ou autre : câble coaxial à diélectrique, fibres optiques constituées d'un diélectrique (cœur) entouré
d'un diélectrique moins réfringent (cf. Optique).
Enfin, en fermant les extrémités d'un guide, on réalise une cavité à l'intérieur de laquelle un
signal électromagnétique peut être entretenu. Les applications de ces cavités résonnantes sont également
nombreuses (oscillateurs haute fréquence, cavités-lasers, etc.).
Dans la suite, nous commençons l'étude par la propagation guidée entre deux plans conducteurs.
Pour simplifier l'analyse, nous supposons en outre que les milieux sont parfaits et donc sans pertes, ce
qui suppose que la conductivité y des conducteurs soit infinie ou que la constante diélectrique e des
isolants soit réelle. La relation de dispersion dans un tel milieu s'écrit alors :
(o = —k soit k = kç,n avec kç, = — et n — e
n c
1/2
indice n étant, en outre, supposé constant (milieu non dispersif).
b)
Fig. 30.5.
III. 1. — Propagation guidée entre deux conducteurs
Considérons deux plans conducteurs, distants de a et séparés par un milieu isolant (Fig. 30.5a).
Une source non représentée produit une onde électomagnétique monochromatique, de pulsation co , qui
se propage sans atténuation dans la direction Oz parallèle aux plans. Compte tenu de l'invariance du

Propagation guidée
595
système suivant l'axe Oy, le champ électrique associé à une telle onde a pour expression générale :
E = Em(x) exp[-/(W - kzz)]
L étant la composante du vecteur d'onde k dans la direction de propagation. Cette onde n'est pas
plane, car E n'est pas uniforme dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation. Ce champ
doit satisfaire à l'équation de propagation dans le milieu :
4%+(£r^-*?W = 0 soit ^% + (*2-£)E,„ = 0 avec k = s\l2-
dxl \ c1 "y dxl v -/ ' c
11 doit satisfaire en outre aux équations de continuité de ses composantes tangentielles aux interfaces.
On obtient ainsi :
E,„J0) = £,„i2(0) = 0 et £„» = Em>z{a) = 0
puisque E = 0 dans les conducteurs parfaits. Le champ magnétique B que l'on peut déduire de E à
l'aide de la relation de Maxwell-Faraday :
<9B
rot E + — =0 soit rot E - icoB = 0
dt — —
satisfait à la même équation d'onde et, en outre, sa composante normale est continue aux interfaces :
a) Onde TEM
Examinons la possibilité pour une onde de se propager avec la vitesse c/n. On a alors
kz = k = er w/c . L'équation d'onde précédente conduit à :
d2E
—=f = 0 et donc E,„ ■= Çxx + Ç2
C, et Ç2 étant deux vecteurs constants. Les conditions de continuité sont satisfaites si :
Ç,,, = Ç,,z = 0 et Ç2)V=Ç2i7 = 0
Le champ électrique d'une telle onde est donc polarisé suivant Ox :
E/n = £,„,,-(*) ev = (ÇXyXx+ C2x) ex
Quant à l'équation de Maxwell-Gauss dans le milieu, elle implique :
divE = 0 soit -=^=Ç,^ = 0 d'où Em x = Em = Cte
en choisissant l'origine des phases en z = 0 et à t — 0 . Le champ électrique a alors pour expression :
E = Em exp[-i(cot — kzz)] ev
d'où le champ magnétique :
B = - x E = e\'2^ exp[-i(a>t - kzz)\ ey
Cette solution particulière représente une onde TEM.

596
30. Propagation guidée
À la surface des conducteurs, existent des charges et des courants superficiels dont les valeurs
peuvent être déduites des équations de passage :
n12 • (E2-Ei) = — et n12 x (B2-Bi) = /ioJ5
£0
Attribuons l'indice 1 au vide et l'indice 2 au conducteur (E, = E, B, = B, E2 = 0 et B2 = 0). Il
vient :
/) En x = 0 où IÎ12 — —eA :
er,2Em
çr(0) = eoEm exp[-/(W - kzz)] et Js.(0) = — exp[-/(W - kzz)] ez
ii) En x = a où ni2 = ex :
a(a) = -a(0) et J» = -Jy(0)
b) Dispersion des ondes TE
Etudions maintenant les conditions de propagation d'une onde polarisée dans le plan de guidage
Oyz parallèle aux deux plans conducteurs :
E = Eyey + Ezez
Comme div E = 0 , il vient :
dE
-=^ - ik,E- = 0 d'où E7 = 0 pour k7 ^ 0
dz ^~" ~z
Ainsi, le champ électrique est polarisé selon Oy, perpendiculairement à la direction de propagation.
L'onde est Transverse Electrique (TE) :
E = Emj(x) exp[-i(wt - kzz)] ev
L'équation d'onde s'écrit donc :
d2E
-^l + (k2-kj)^y = 0 avec £miy(0)=£lfl»=0
Les solutions de cette équation diffèrent selon le signe de k2 — k2 :
/) Si k2 — k2 = — a2 < 0 avec a réel :
Emj = Ç, exp(ax) + Ç2 exp(-ax)
Les conditions ^w^(0) = 0 et Emy(a) = 0 conduisent respectivement à :
C2 = —C, et Ç, exp(aa) + Ç2 exp(—a a) — 0
soit :
2Ç, sinh(aa) — 0 et Ç{ = 0 puisque sinh(a^) / 0
Dans ce cas, la propagation est impossible.

Propagation guidée
597
*niy Q\ exp(//:.x-x) + Ç2 exp(-ikxx)
ii) Si k2 — k2 = k2x > 0 avec kx réel :
E„.
Les conditions £m;v(0) = 0 et £w>,(«) = 0 conduisent respectivement à :
Ç2 = —Ç, et Çj exp(/&va) + Ç2 exp(—ikxa) = 0
soit :
77
2/Ç. sin(/cva) =0 et kK = mx —
a
mx étant un entier non nul. Ainsi, la composante kx du vecteur d'onde ne peut prendre qu'une série de
valeurs discrètes : les modes du champ électromagnétique sont quantifiés.
Pour chaque valeur de mx , la propagation est possible pourvu que l'on ait la relation de dispersion
suivante :
£r~
;2 , 2
K + rnx
Cette relation reliant co à kz n'étant pas linéaire, le guide est dispersif. Notons que cette dispersion
n'est pas liée au milieu mais au confinement du champ imposé par la géométrie.
Les différentes valeurs de kz correspondant à une pulsation donnée définissent les modes propres
de vibration spatiale du guide.
Sur la figure 30.6, on a représenté le graphe de la relation de dispersion (o(kz) pour mx — 1 ; c'est
une hyperbole dont le minimum donne précisément la pulsation critique wc . Notons qu'aux valeurs de
l'entier mx corespondent des courbes de dispersion différentes.
Fig. 30.6.
AZA
Ac Xn
Fig. 30.7.
c) Fréquence et longueur d'onde de coupure
Seuls peuvent être transmis par le guide les signaux tels que :
^-2 „
kz > 0 soit le > nr-
d'où k > mK— ou À
a
277 2a
k mx
La plus petite valeur du nombre d'onde, que l'on obtient pour le mode mx = 1 , est appelée nombre
d'onde de coupure. Elle permet de définir la longueur d'onde de coupure maximale, À6. = 2ir/kc :
kc = — ou Àc
2a
La relation k2 — k2 — k2 peut s'écrire autrement, en introduisant la longueur d'onde associée
Àz = 2tt jkz, associée à la propagation dans le guide le long de l'axe Oz, la longueur d'onde dans le

598
30. Propagation guidée
milieu illimité À et la longueur d'onde de coupure Àr , respectivement :
277 277 277
kz k kc
En effet :
k=k~k ou Az=d-^A?)'/2 avec Am<Ac
Sur la figure 30.7, on a représenté la courbe donnant la longueur d'onde Àz dans le guide, en
fonction de la longueur d'onde km associée au signal fourni par le générateur et se propageant dans le
milieu illimité.
Un générateur ne pourra alimenter un tel guide que si la fréquence du signal est supérieure à une
fréquence de coupure :
COc C
v > vc avec vc = —- =
277 eJ2Kc
Ordre de grandeur : Pour a = 3 cm, on trouve Xc = 6 cm . Si le milieu inter conducteur est le
vide ( er = 1 ), la fréquence correspondante est :
vc = —- = — =5 GHz
277 Xc
Le guide se comporte donc comme un filtre passe-haut.
d) Vitesse de phase et vitesse de groupe
Examinons la propagation des ondes TE i ( mx — 1 ).
La vitesse de phase a pour expression :
W ù) ù) CjEr kcC
V(p = L = (k2- kiyn = k(\ - ki/k^yn = (i _ coi/w^yn avec Wc = 77
Quant à la vitesse de groupe, on l'obtient en différentiant l'équation k2z = k2 — k2. :
2o)d(o dco kzc2 c2/er
2k7 d k7 = —^-— d ou vR = —— = —— =
cz/er akz erco vç
111
On voit que la vitesse de phase vv n'existe que pour co > coc ; elle diminue jusqu'à la valeur c/e/
lorsque co augmente infiniment.
Quant à la vitesse de groupe vg , elle est nulle pour co = coc , augmente lorsque co > coc et tend
vers cjexl2 lorsque co devient infiniment grand devant coc .
Sur la figure 30.8, on a représenté la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fonction de co .
Remarque : Lorsque la pulsation du signal devient très grande devant la pulsation de coupure :
co ^> coc, la relation de dispersion s'apparente à celle du vide co « v<pkz — ckz/e/~ ;
la vitesse de phase et la vitesse de groupe sont alors voisines de celle de la lumière dans
le milieu. Le guide n'est plus dispersif et nous retrouvons la structure d'onde plane en
milieu illimité.

Propagation guidée
599
Vitesse de groupe v
Fie. 30.8.
e) Champ électromagnétique et propagation de l'énergie pour l'onde TE \
Pour mx = 1 (TE i ), le champ électromagnétique a pour expression, en choisissant l'origine des
phases en z — 0 et à t = 0 :
et, puisque B = (—//&>) rotE
B = Em f K
E = Em sin f —- j exp[-i(a>t — kzz)] ev
,7r/a
/7TX\ 7T/a {'iïX\
in — ev — / cos — e-
V a J a) V a J
exp[-i(cot - kzz)}
Le champ magnétique n'est donc pas transverse et sa composante longitudinale (selon l'axe du guide
Oz ) est en quadrature avec le champ électrique.
On peut montrer que l'énergie se propage selon l'axe du guide. En effet, le vecteur de Poynting
complexe s'écrit :
B* EVB* EVB*.
R = Ex
Mo
EyBl
Mo
Mo
soit :
R
kE;
' aw/jiQ \ a / v a J ojjulq
Comme la valeur moyenne dans le temps du vecteur de Poynting s'obtient selon
. o 77 . /7TX\ /7TX\ kt7„ . ? f TTX\
iELm sin — cos — ex H sin — ez
aw/uo \ a J \ a J w/jLq \ a J
z Poynting s'obtii
- sin ( — ) ez
1 F2 k
R = -Re{R} -
2 l_J
III. 2. — Guides à section rectangulaire
Considérons maintenant un guide métallique sans pertes, à section rectangulaire, rempli d'un
milieu diélectrique, non magnétique, linéaire, homogène, isotrope, de permittivité relative er .
L'exploitation des équations de Maxwell dans ce milieu, avec prise en compte des conditions aux limites, est
longue et fastidieuse (cf. Exercices). Contentons-nous de rappeler les différentes étapes de l'analyse et
de donner les résultats essentiels. Notons que les champs B et H ne se distinguent, dans ce guide, que
par le facteur de conversion universel yuo = 477 x 10-7 .
a) Nature des solutions
Après avoir explicité les équations de Maxwell dans la base cartésienne de Oxyz, qui admet Oz
comme direction de propagation, on cherche des solutions de la forme (Fig. 30.9) :
E(x,y,z,t) = Em(x,y) exp(ikzz) exp(-iwt) et B(x,y,z,t) =Bm(x,y)exp(ikzz)exp(-i(ot)

600
30. Propagation guidée
Fie. 30.9.
Notons que ces ondes ne sont pas planes puisque Em(x,_y) et llm(x,y) dépendent a priori des
variables d'espace x et y.
En raison des conditions aux limites sur le conducteur parfait à section rectangulaire, qui imposent
aux composantes tangentielles de E et normale de B d'être nulles, une onde TEM ne peut pas se
propager dans un guide métallique à section rectangulaire.
En revanche, les ondes transverses électriques (TE) ou transverses magnétiques (TM), pour
lesquelles le champ électrique et le champ magnétique, respectivement, sont normaux à la direction de
propagation Oz définie par l'axe du guide, peuvent elles se propager.
b) Dispersion des ondes TE et TM
L'équation d'onde vérifiée par l'une des composantes ^_{x,y,z,t) = i//(x, y) exp(ikzz) exp(-icot)
du champ électromagnétique s'écrit :
(ê + ê)*(^) + (A2-^
)±(x,y)=0
Par un raisonnement analogue çlui exposé dans le cas du guide plan, on montre aisément (cf.
Exercices) que la propagation n'est possible dans le guide rectangulaire que si k2 — k2 > 0 . Dans ce cas, les
conditions aux limites sont doubles : la composante tangentielle de E s'annule sur deux faces, la
composante normale de B sur les deux autres faces. Ainsi, en recherchant des solutions pour if/(x,y) sous
la forme :
¥yX,y) = [Êi exp(//c.vjc) + C2 exp(—ikxx)] [D{ exp(ikyy) + D2 exp(-/Âyy)]
on trouve :
r kx = mx
et kv = m.y—
b
mx et my étant des entiers non nuls. On en déduit la relation de dispersion :
kl = ~re' = ^ + ky + kî = kl + »i ^ + '"v ^r
soit :
= ^+^)1/2
J/2
Cette relation est analogue à celle trouvée pour le guide plan. Les expressions obtenues, d'une part, pour
les fréquences et les longueurs d'onde de coupure, d'autre part, pour la vitesse de phase et la vitesse de

Propagation guidée
601
groupe, sont identiques. Dans ces expressions, on doit remplacer, pour chaque mode ( mx , my , kz ), le
nombre d'onde de coupure kc par son expression :
9 U 9 U
1/2
Sur la figure 30.9, on a représenté l'allure des lignes de champ électromagnétique dans le mode
TEI0.
Remarque : Les « micro-ondistes » écrivent généralement les solutions recherchées sous une autre
forme, indépendamment du contexte général de l'électromagnétisme et de l'optique :
E(x,y, z, t) = Em(x,y) exp(-yz) exp(/W)
et:
B(x,y,z, t) = Bm(x,y) exp(-yz) exp(jwt)
avec y — a +j/3 . On passe de la notation « micro-ondiste » à la notation standard en
faisant :
j = —i y = —ikz d'où a = k'J et /3 = k'z
puisque a +y/5 = -i(k'z + ik'z') = k'J - ik'z = k'J +jk'z.
III. 3. — Guides à section non rectangulaire
Il existe de nombreux guides creux à sections non rectangulaires. Les plus répandus ont une section
circulaire ou elliptique. Leur étude est analogue à celle du guide à section rectangulaire et les résultats
voisins, même si mathématiquement elle est plus laborieuse. On montre que tous ces guides ont une
fréquence de coupure, dès lors que leur section transversale est simplement connexe. On obtient une
estimation de cette fréquence, à partir de la relation de dispersion, en remplaçant la longueur d'onde de
coupure Ac par le diamètre D de la section :
(O
2
c2 n2 , ,9x , 2tt 2tt v (omi„ ckc
(kz + kc) avec kc = — ~ — d ou fmin = —— = — et /„
^ Ac D 2tt 2rre)/2 er/2D
Dans un guide d'onde, de diamètre D = 10 cm , fonctionnant dans l'air ( er ~ 1 ), fmm = 3 GHz .
III. 4. — Pertes dans un guide d'onde
Les pertes dans un guide d'onde ont deux origines : la première est dans les parois qui ne sont pas
parfaitement conductrices, la seconde dans le diélectrique utilisé qui n'est que partiellement isolant. Il
en résulte une atténuation exponentielle des ondes qui se propagent. La puissance transmise varie en
fonction de z selon :
V(z)=V(0)exp(-2az)
V(0) étant la puissance transmise par la source à l'entrée du guide et a le coefficient d'amortissement
linéique en amplitude. Le plus souvent, on évalue l'atténuation par :
10
z(m)
P(0)

602
30. Propagation guidée
que l'on exprime en décibel par mètre (dB -m l). La relation entre A et a est simple à établir :
AdB'm ~ 2,3z(m) ln
Dans le cas typique où a = 5 x 10~3 , à 100 MHz , l'atténuation vaut 0,043 dB • m-1 .
III. 5. — Aspect expérimental de la propagation d'ondes dans un guide
Lorsqu'un guide transmet le signal sinusoïdal issu d'un générateur, placé à l'une de ses extrémités,
on constate généralement qu'une partie de ce signal est réfléchie et donc ne parvient pas au détecteur.
En outre, la superposition des ondes incidente et réfléchie produit des ondes stationnaires.
a) Impédance d'onde dans un guide
Le concept d'impédance d'onde a été introduit lors de l'étude du rayonnement dans le vide émis
par le dipôle oscillant (cf. chapitre 20), ainsi que dans la réflexion et la transmission d'une onde plane
tombant normalement sur une surface séparant deux milieux diélectriques linéaires (cf. chapitre 29).
Rappelons la définition de l'impédance d'onde :
T7 1/2 / \ '/^ / 1 \ '/^ • i \ 1/2 / i \ 1/2
Le coefficient julq a été introduit afin d'avoir une grandeur homogène à une impédance. Par analogie
avec l'impédance caractéristique d'une ligne, on définit l'impédance caractéristique d'un guide par le
rapport entre les champs électrique et magnétique transversaux :
B±/vo
Dans le cas du mode dominant TE i o :
Bx/jM) h \e0erJ kz£y2 \e0J kz \£y2 J
Notons que Zc est un nombre complexe si er l'est aussi, ce qui traduit une atténuation de l'onde.
b) Facteur de réflexion d'un guide
Le facteur de réflexion d'un guide d'onde peut se mettre sous une forme analogue à celle du facteur
de réflexion d'une ligne coaxiale ou bifilaire :
r=zL~ zc
L zL + zc
où ZL est l'impédance de charge placée à l'autre extrémité du guide et Zc l'impédance d'onde du
guide.
no)
.Hz).
10
2,30z
laz = 8,696 a

Propagation guidée
603
c) Relation entre l'impédance de charge et le facteur de réflexion
On exprime souvent l'impédance réduite de charge zl — ZL/ZC , en fonction du facteur de
réflexion r :
Zl-1 . 1+r
r = donne zl =
Zl + 1 1 - £
En remplaçant zl et r, conformément à l'usage dans l'étude des guides, par rL + jxL et a + jb
respectivement, on obtient :
\+a+jb (\+a+jb)(\-a+jb) AJ , (1 - a)2
1 +J*L = ~ 77 = ^ Vo , ;9 d OU rL =
b2
1 -a-jb
(\-a)2 + b2
(1 -a)2 + b2
et xL
2b
(1 -a)2 + b2
Ces deux dernières équations sont à l'origine du diagramme de Smith, du nom de l'électronicien
américain RH. Smith qui l'a proposé en 1939, pour relier graphiquement l'impédance réduite de charge zl
au facteur complexe de réflexion r d'une ligne.
d) Rapport d'ondes stationnaires dans un guide
Comme pour une ligne coaxiale ou bifilaire, on introduit le rapport d'ondes stationnaires ROS dans
un guide ; dans ce cas, c'est le rapport des champs électriques maximal et minimal de l'onde stationnaire
dans le guide :
R0S= /w
e) Dispositif expérimental
La figure 30.10 représente le banc Philips qui permet l'étude de la propagation des ondes
électromagnétiques dans un guide rectangulaire métallique de dimensions transversales a = 22, 86 mm
( 0,90 inch ) et b = 10, 16 mm ( 0,40 inch ). La longueur d'onde de coupure du guide, dans le mode
dominant TE jo , est donc Àc = 45,72 mm .
Générateur
(klystron, diode Gunn)
DD
(5)
Alimentation
Fréquencemètre
Atténuateur
~e-
W
m_J
ROSmètre
ô
p4MN§HrCtar8e
O.
Adaptateur
Ligne de mesure
I Support
Support
FlG. 30.10.
On distingue successivement : un générateur d'ondes, un isolateur à ferrite qui permet d'éviter
l'influence de la réflexion des ondes sur la source, un fréquencemètre qui est une cavité dont le signal
fourni est maximal lorsqu'il y a résonance, un atténuateur avec lequel on fait varier l'amplitude du signal
grâce à un matériau absorbant, un détecteur ou ligne de mesure et enfin une charge adaptée ou non.
f) Générateur d'un guide
Le générateur est un oscillateur électromagnétique qui produit généralement un signal dans la
bande de fréquence 8,2 — 12,5 GHz, appelée bande X des micro-ondes radar (radio détection #nd

604
30. Propagation guidée
ranging) : typiquement, il fournit à l'entrée du guide un signal de fréquence 10 GHz ( À0 = 3 cm ).
C'est souvent une source hyperfréquence à klystron ou une diode à effet Gunn.
Remarque : Dans les fours domestiques à micro-ondes, la source est un magnétron qui émet un
signal de puissance 750 W et de fréquence 2,45 GHz, ce qui correspond à une
longueur d'onde dans le vide Ào = 12,2 cm. Les ondes émises sont véhiculées par un
guide d'onde métallique vers un « brasseur d'ondes » dont la fonction est
d'homogénéiser l'émission électromagnétique dans tout le four (Fig. 30.11). Notons que, dans de tels
fours, qui sont des enceintes parallélépipédiques à parois métalliques, il n'y a pas de gui-
dage d'ondes mais confinement d'ondes. Ils sont le siège d'ondes stationnaires selon les
trois dimensions. L'introduction d'objets métalliques dans ces enceintes est proscrite, car
le champ électrique dépasse alors la valeur du champ disruptif de l'air.
I N /
Fig. 30.11.
g) Détecteur
La ligne de mesure comporte un détecteur constitué d'une diode dont la réponse est quadratique,
c'est-à-dire dont la tension u à ses bornes est proportionnelle au carré E2 du champ électrique.
h) Charge en bout de guide
L'onde guidée est réfléchie à l'extrémité du guide lorsque la charge est quelconque. On peut alors
déterminer le rapport d'ondes stationnaires.
Lorsque la charge est nulle, ROS = 1 , ce que l'on réalise en court-circuitant le guide à l'aide d'un
plan conducteur qui impose un champ électrique nul. En déplaçant longitudinalement ce plan, de telle
sorte que la longueur du guide soit compatible avec les conditions aux limites imposées par le générateur
et le conducteur, on obtient la résonance.
Lorsqu'il n'y a pas de réflexion, ROS = 0 ; la charge absorbe toute la puissance transportée par
l'onde progressive guidée. On réalise une telle charge adaptée en remplissant un tronçon de guide d'un
matériau absorbant.
CONCLUSION
Rappelons les principaux résultats.
(1) Le guidage des ondes électromagnétiques est précieux dans la transmission des signaux
électriques.
(2) Selon le domaine des fréquences considéré, différents systèmes de transmission sont utilisés :
- à basse fréquence ( < 1 MHz), des fils conducteurs massifs,
- à haute fréquence ( < 1 GHz), des câbles coaxiaux,

Propagation guidée
605
- en ondes millimétriques et centimétriques ( < 1 THz), des guides d'ondes creux à section
rectangulaire,
- en infrarouge et dans le visible ( < 1015 Hz), des fibres optiques.
(3) À basse fréquence, l'étude des lignes bifilaires ou coaxiales peut être conduite en se plaçant
localement dans l'approximation des régimes stationnaires. Dans ce cadre, où la dépendance temporelle
s'écrit en notation complexe exp(/W), on introduit l'impédance caractéristique de la ligne :
Zc
G/ + Cico )
l'indice / rappelant que ces quantités sont relatives à l'unité de longueur. Lorsque la ligne est sans perte,
cette impédance se réduit à : Zr = (L//C/)1/2 . Le long de la ligne, de longueur L, l'impédance varie
selon :
Z(z)=Zc}-±^\ avec r_{z) = r{L) exp[2/*(z - L)] et r(L) = §^
1 - r(z) ZL + Zc
r(z) étant le facteur de réflexion en amplitude de la ligne, r(L) sa valeur en bout de ligne et ZL
l'impédance de la charge. Les ondes qui sont véhiculées par ces lignes sont de type TEM. On les étudie
expérimentalement en introduisant le rapport d'ondes stationnaires :
1 - \r\
Lorsque r = 0, sa valeur vaut 1 : il y a adaptation d'impédance.
(4) Dans les guides métalliques creux, à section rectangulaire, les ondes qui se propagent sont
de types TE ou TM. Pour les étudier, on commence par établir les équations auxquelles satisfont la
composante longitudinale de B en propagation TE et la composante longitudinale de E en propagation
TM. On trouve que le guide se comporte comme un filtre passe haut avec une fréquence de coupure.
Le mode TE i o , qui est le mode TE dominant du guide, admet comme longueur d'onde de coupure le
double de sa dimension la plus grande.
EXERCICES ET PROBLÈMES
P30- 1. Signal électromagnétique dans un condensateur
On étudie la propagation du signal électromagnétique associé, dans l'espace vide inter armatures, à
la charge d'un condensateur plan (Fig. 30.12). Les armatures parfaitement conductrices, distantes de e ,
ont une largeur /, supposée grande devant e mais faible devant leur longueur L ( L ^> l ^> e ).
1. On suppose qu'une source de tension, placée en z = 0, impose un champ électrique de la forme :
E = Em{x)f{t — z/c)ex. Déduire des symétries du système la topographie du champ magnétique B
associé.
2. À l'aide des équations de Maxwell, montrer que E,„ est constant et déterminer B .
3. En exprimant les conditions aux limites, calculer la charge et le courant surfaciques qui
apparaissent sur les armatures. Etablir l'équation qui les relie. Sachant qu'à l'instant initial une tension Um
est appliquée entre les armatures, dans le plan z = 0, calculer la durée du régime transitoire de la
charge. Montrer que, pendant la charge, le condensateur se comporte comme une résistance que l'on
calculera. On évaluera pour cela le rapport entre la tension u(z, t) et le courant i(z, t) . Application
numérique : e — //10 = L/100 = 1 mm .

606
30. Propagation guidée
Fie. 30.12.
P30- 2. Impédance caractéristique d'un câble coaxial avec diélectrique sans pertes
Les caractéristiques d'un câble coaxial cylindrique sont 2a = 3 mm pour le diamètre de l'âme et
2b = 6 mm pour le diamètre du second conducteur. L'espace entre les conducteurs est constitué d'un
diélectrique, non magnétique, de permittivité relative er = 9 . Calculer la capacité et l'inductance du
câble par unité de longueur. En déduire l'impédance caractéristique.
P30- 3. Rapport d'ondes stationnaires sur une ligne bifilaire sans pertes
On a mesuré un rapport d'ondes stationnaires ROS =2,5, sur une ligne bifilaire sans pertes,
d'impédance caractéristique Zc = 35 H, fermée sur une charge inconnue. La distance qui sépare quatre
minima successifs de l'amplitude de la tension est 45 cm , le minimum le plus proche de la charge étant
situé à 6 cm de l'extrémité.
1. Calculer le facteur de réflexion r (module et argument).
2. Quelle est l'impédance de charge ZL de la ligne ?
P30- 4. Ondes électromagnétiques dans un guide d'onde rectangulaire
On se propose d'établir l'expression des ondes électromagnétiques monochromatiques, de
pulsation co, qui peuvent se propagent dans un guide d'onde à section rectangulaire (dimensions a et
b ), rempli d'un diélectrique, non magnétique, linéaire, homogène, isotrope, de permittivité relative er
(Fig. 30.9).
1. Etablir, à l'aide des équations de Maxwell, les équations de propagation auxquelles satisfont les
champs E et B.
2. Chercher des solutions de la forme :
E(x, y, z, t) = E/77(x, y) exp(ikzz) exp(-iojt) et B(x, y, z, t) = Bm(x, y) exp(ikzz) exp(-iwt)
3. Établir les équations permettant d'exprimer toutes les composantes du champ électromagnétique
en fonction des seules composantes longitudinales Em z et B_m z ; on introduira le nombre d'onde dans
i ii
le milieu illimité : k = (<o/c)er .

Propagation guidée
607
4. À quelles équations différentielles satisfont les composantes longitudinales du champ
électromagnétique ?
5. On s'intéresse à la propagation d'une onde TE, caractérisée par une valeur nulle de Em z.
Montrer que Z?/;;, se met sous la forme :
2™,z = tn (*> y) eMikzz) avec ijj_m (*, y) = i{>_] C*#2 (y)
6. En tenant compte des conditions aux limites sur les parois parfaitement conductrices, établir les
expressions des composantes du champ électromagnétique.
7. Quelle est la fréquence de coupure vc d'une telle onde TE, dans le mode 1,1?
P30- 5. Onde TM dans un guide sans pertes, constitué de deux plans conducteurs
1. Montrer que l'expression suivante du champ magnétique, en notation complexe :
B = Bl„(*)exp[-/(ûrf-*zz)]
est compatible avec les symétries d'un guide d'onde formé de deux plans conducteurs, distants de a et
perpendiculaires à Ox. Quelle est la direction de B pour une onde transverse magnétique ?
2. Déterminer l'équation d'onde à laquelle satisfait B .
3. Calculer le champ électrique associé.
4. À quelles conditions aux limites doit satisfaire le champ électrique? Montrer qu'une solution
possible est une onde TEM.
P30- 6. Propagation du mode dominant TE i0
On donne l'expression des composantes non nulles du champ électromagnétique qui se propage
dans un guide d'onde métallique, à section rectangulaire (dimensions a et b ), en mode dominant
TE 10 :
Bz = Bq cos ( — J exp[-i(ojt - kzz)]
Bx = i-± (J^j B0 sin (?Pl exp[-/(ûrf - kgz)] = i (f) B0 sin (^) exp[-i(cot - kzz)]
et:
E-y = l~j7i (~~) B° sin (~~) exP[-K^ - kzz)] = iy ( -jj^ J ^o sin (—J exp[-i(œt - kzz)]
1. Montrer que le champ électrique peut se mettre sous la forme de la somme de deux champs se
propageant avec des vecteurs d'ondes symétriques par rapport à l'axe du guide.
2. Trouver le vecteur de Poynting et en déduire la puissance moyenne transportée par l'onde TE i0 .
Application numérique dans le cas suivant :
a = 2,29 cm b = 1,02 cm /jlk = 1 er ~ 1
La fréquence est v = 10 GHz et l'amplitude maximale du champ électrique, au centre du guide, vaut
£0 = 3MV-m-1.

608
30. Propagation guidée
3. Calculer, en V • m-1 , l'amplitude du champ électrique au centre d'un guide rectangulaire, de
côtés a = 109,8 mm et b = 54,61 mm, rempli d'un diélectrique, de constante relative er = 4,
lorsque le mode est TE io , sachant que la fréquence est 2,45 GHz et la puissance transportée 2 kW ?
P30- 7. Propagation de différents modes TE dans un guide à section rectangulaire
Un guide à section rectangulaire, de côtés a = 3,4 cm et b = 7, 2 cm , est rempli de polyéthylène
de permittivité diélectrique relative er = 2, 3 . Il est alimenté par un générateur qui envoie dans le guide
une onde électromagnétique de fréquence 3 GHz. Parmi les modes suivants, TE i o, TE 0 i , TE i i ,
TE 20 , TE 02 , quels sont ceux qui pourront se propager dans le guide ?
P30- 8. Onde TE dans un guide rectangulaire avec pertes
Un guide d'onde à diélectrique, de longueur L = 75 cm , dont la section rectangulaire a pour
dimensions 5 cm et 2,5 cm, fournit une puissance électromagnétique de 1 kW à sa charge adaptée,
lorsqu'il est alimenté à l'autre extrémité par un générateur qui délivre un signal sinusoïdal de fréquence
3 GHz . Le milieu diélectrique qui remplit son espace creux présente des pertes ; on a mesuré un
coefficient d'atténuation linéique a de l'onde de 5, 2 x 10-3 m-1 .
1. Quels sont les modes TE qui peuvent se propager dans le guide, sachant que le diélectrique a
une permittivité relative de 2, 25 et une perméabilité relative égale à 1 ?
2. Calculer l'atténuation en dB du guide. Quelle est la puissance électromagnétique fournie par la
source ? En déduire la puissance Vd dissipée par le diélectrique et les parois.
P30- 9. Cavité résonnante
Une cavité parallélépipédique ( 0 ^ x ^ a:, 0 ^ y ^ b , 0 ^ z < / ), vide, est délimitée par des
plans parfaitement conducteurs. Un générateur, de haute fréquence, entretient dans cette cavité une onde
électromagnétique sinusoïdale de pulsation co .
1. Etablir que l'expression complexe suivante du champ électrique :
E = Em sin ( —^ J sin f —=- J exp(—icot) ez
est solution de l'équation d'onde, pourvu que la pulsation ait une valeur que l'on déterminera.
2. Quel est le champ magnétique associé ?
3. Montrer que l'énergie électromagnétique volumique est constante en moyenne et qu'elle oscille
périodiquement entre sa forme électrique et sa forme magnétique.
4. Trouver la charge surfacique sur les parois et en déduire que la cavité se comporte comme
un condensateur plan dont on déterminera la charge. Quelle est sa capacité ? Calculer sa valeur pour
a = b = l= 1 cm .
5. En s'appuyant sur une analogie avec un circuit résonnant LC, trouver l'inductance de cette
cavité. Trouver sa valeur lorsque la fréquence est 10 GHz .

Annexe 1
Dérivées et différentielles
I. —DERIVEES
1.1. — Dérivée d'une fonction
a) Définition
On dit que /, fonction réelle, définie dans un intervalle des réels R , est dérivable, en un point xq
de cet intervalle et admet pour dérivée f{xo), si :
H r/w-/(*o)i=/,
x->xo [ X-X0 J
Oo) notée -j~(*o)
b) Interprétation géométrique
Traçons le graphe de / (Fig. Al.l). Le rapport àf/àx, au point d'abscisse xq , représente la
tangente de l'angle 6 que fait la sécante MqM avec l'axe Ox du graphe :
A/ HM
f(xM
k
A/
O
Ax M0H
,
a//a
"/l\
/j/À''\''\Q
Xq X
Fig. Al.l.
Lorsque M se rapproche de M§ , la position limite de la sécante devient la tangente à la courbe en
Mo . L'angle 6 prend alors la valeur a :
ax

610
Annexe 1.
La fonction f est appelée la fonction dérivée de /. Elle peut, elle aussi, admettre une fonction dérivée
et ainsi de suite. On note ces dérivées successives :
/' f .../« ... oublen *1*{...«1 -.
J J J dx dx2 dx11
1.2. — Dérivées partielles
Soit /(a,y, z) une fonction réelle, définie dans une partie de M3 contenant le point (ao,.vo5£o)-
Pour (ao^o) donnés, la fonction f(x,yo,zo) est une fonction g de la seule variable x ; si elle est
dérivable en aq , sa dérivée s'appelle la dérivée partielle de / par rapport à x, au point (ao, yo, zo) • On
la note :
/i0o,};o,£o) ou t^Oo)
De même, on définit f et f7 . Les fonctions telles que /'(a, y, z) sont les fonctions dérivées partielles.
Elles peuvent admettre à leur tour des fonctions dérivées et ainsi de suite. Ces dérivées successives, qui
peuvent être croisées, sont notées comme suit :
r, r: a ...*> ... «-„ | g £ .,.« ...
1.3. — Dérivée d'une fonction composée
a) Fonction d'une seule variable
Soient u une fonction dérivable dans un intervalle / de M et / une fonction réelle définie dans
l'intervalle u(I) . Si // est dérivable en xq et / dérivable en u(xo), alors F — f o u est dérivable en
A0 et :
F'(x0)=f'[u(x0)}u'(x0)
La fonction F'(x) ~f [u(x)] u'{x) est appelée Va fonction dérivée composée de F.
Exemple : La fonction dérivée par rapport à / de a cos [0{t)\ est : —a sin [6{t)\ (d 6/ dt) .
b) Fonction de plusieurs variables
Soit / une fonction réelle, dérivable dans une partie U de M? . Soient u,v,w des fonctions
réelles dérivables dans un intervalle / de M, telles que [u(x), v(x), w(x)] G U . Dans ces conditions,
la fonction composée F(x) =f[u(x),v(x),w(x)] admet comme dérivée :
1.4. — Dérivée d'un vecteur par rapport à un paramètre /
a) Définition
On appelle dérivée du vecteur A , par rapport au paramètre t, en r0 , le vecteur :
,. fA(0-A(ro)l . dA, ,
hm < —— — > notée (t0)
/—/o { t - t0 )
dt

Dérivées et différentielles
611
Ses composantes, dans une base B , sont les dérivées, par rapport à t, des composantes de A dans
cette base :
si
Ax
Ay
A7
Ay alors
dA
~d7
dAx/dt
dAy/dt
dAz/dt
b) Dérivée d'un produit scalaire de deux vecteurs
Comme A B = AXBX + AyBy + AZBZ, il vient :
l(A.B) = ^Br+^+- d'où
dt dt dt
dr ' dt dt
Exemple : Dérivons le carré de la norme du vecteur position r :
m n? -> j dr ^ dr . dr dr
r r = r = r • r donne 2r— = 2r • — soit r— = r • —
dt dt dt dt
Si r2 = Cte , c'est le cas des vecteurs unitaires, r • d r/ d t = 0 : le vecteur dérivé est alors normal à r .
c) Dérivée d'un produit vectoriel
Dérivons le vecteur C = A x B, relativement à la base B. Avec des notations évidentes, on a,
dans une base B :
d-(AyBz-AzBy)
de:
"37
dt
d_
d7
d
~dt
(AZBX-AXBZ)
(AxBy - AyBx)
Or:
d , x fdAy\ fdA,\ fdB7\ /dR,
En procédant de la même façon pour les deux autres composantes et en ordonnant, on obtient
d
dt
(AxB)
/dAY n A /dB
= — xB + A x
J£
dt J
B
dt
Remarque : Les définitions précédentes peuvent être étendues aux fonctions à valeurs complexes en
considérant les fonctions réelles Re {/} et Im {/} .
II. — DIFFÉRENTIELLES
II. 1. — Définition
On appelle différentielle associée à une fonction /, qui admet des dérivées partielles dans une
partie U de M? , l'application linéaire, notée df, définie sur l'espace vectoriel £3 par:
d/(u)=/>, +/>2+/;«3

612
Annexe 1.
où U est le vecteur de composantes u\ , U2, u?>. Les quantités u\ , w2 > ^3 sont respectivement les
valeurs que prennent les différentielles dx, d_y et dz sur le vecteur U, de composantes ( u\ , u2 , U3 ).
En effet, si f(x, y,z) =i,ona:
/; = 1 fy=0 et £ = 0
Il en résulte que d;c(U) = ii\ .De même pour w2 et W3 . Nous retiendrons donc l'écriture :
-df=fxdx+fydy+£ dz
En physique, on utilise le plus souvent la propriété suivante : la valeur de df donne une valeur,
approchée à l'ordre 2 près, de la variation Af de / pour un déplacement de composantes dx, d_y, dz
d'autant plus précise que dx, dy et dz sont petits. C'est ce qu'illustre à une dimension le graphe f(x) de
la figure A 1.2.
A
Mn
M
J
-dx—*-
/
\df
xo x
FiG. A1.2.
II. 2. — Exemples
Sur le tableau A1.1, on a rassemblé les différentielles de quelques fonctions courantes.
Fonctions
f(x) = 3x2 + 5x + 4
/M = 1A
/M=1n*
/(*) = exp(ox)
/(x) = a cosx
/(x) = a sin x
/(*) = tan*
f(x,y) =x + y
f(x,y) = xy
f{x,y)=x/y
Différentielles
d/= (6*+ 5) dx
d/= -dx/x2
df = dx/x
df = aexp(ax;) dx
df = —asïnx dx
df = a cos x d x
df = dx/ cos2 jc
df = d x + d >'
d/ = _ydx + xd_y
d/=(>>dx-*d30/y2
Tab. Al.l.
II. 3. — Gradient d'une fonction
a) Définition
Soit / une fonction réelle, définie et continûment dérivable dans une partie de R3 . Sa différentielle
df s'écrit :
df=fudu+fvàv+fwdw

Dérivées et différentielles 613
Notons d r le vecteur déplacement élémentaire : d r =~d lu eu + dlvev + d lwew où e„ , ev , ew est la
base orthonormée d'un système de coordonnées locales (Fig. Al.3).
On appelle gradient de la fonction /, noté grad/, le vecteur défini par :
df = grad/ • d r = (grad/% d lu + (grad/% d lv + (grad/)™ d /,„
Par conséquent :
(grad/),
x
#) Propriété fondamentale du gradient
Un déplacement élémentaire dr sur la surface définie par f(u,v,w) = Cte n'entraîne aucune
variation de /. Comme d'autre part cette variation s'identifie à la différentielle df, on a :
df = grad/ • d r = 0
Il en résulte que le vecteur gradient est normal à la surface /(//, v,w) = Cte .
Lorsque le déplacement élémentaire se fait dans la direction et le sens de grad/, df est positif.
Ainsi grad/ est orienté suivant les valeurs croissantes de /.
III. _ SYSTÈMES DE COORDONNÉES
Pour préciser l'écriture des lois de l'électromagnétisme, et plus généralement celles de la physique,
il est utile de connaître les expressions des éléments différentiels, de longueur d r, de surface d S et
de volume d V , dans les principaux systèmes de coordonnées utilisés. En effet, on sait que l'on peut
repérer la position d'un point dans l'espace en utilisant différents systèmes de coordonnées. Ce sont les
conditions particulières du problème à traiter qui permettent de choisir celui qui sera occasionnellement
le plus adapté : symétrie, expressions des champs, etc.
Nous explicitons ici les éléments différentiels, d r, d <S et d V , dans les trois systèmes de
coordonnées les plus utilisés : cartésiennes, cylindriques et sphériques.
III. 1. — Coordonnées cartésiennes
a) Expression des éléments de longueur, de surface et de volume
Un déplacement élémentaire MM7 = dr a pour composantes dx, dy et dz dans la base
(ev, e>7, e~) des coordonnées cartésiennes (Fig. Al.4). On écrit donc :
d r = d x ex + d y ey + d z ez
f <*«** - K (gradA
H [
Ai*
0 /
àL
dl,
\ P
Fig. A1.3.
i C
\
c
/
M}
A
\
\
dy
A
/
M'
/d.
B'
d-
B
r
y
o
Fig. A 1.4.

614
Annexe 1.
Les trois éléments de surface valent dx dy, dy dz et dz dx respectivement pour MAA'B, MBB'C,
MCC'A .
Quant au volume du parallélépipède, construit sur les trois déplacements élémentaires de base, il
vaut d t) = dx dy dz.
b) Expression du gradient
En coordonnées cartésiennes (x,y,z), d lu = dx, dlv = dy et d lw = d z - Par conséquent :
(grad/% :
dx
(grad/), = |
(gradA = |
III. 2. — Coordonnées cylindriques
a) Expression des éléments de longueur, de surface et de volume
On peut repérer la position d'un point M dans l'espace à l'aide des coordonnées cylindriques
(p, <p, z) représentées sur la figure A 1.5 : p est la distance OP, P étant la projection de M dans le
plan Oxy , cp est l'angle que fait OP avec l'axe Ox. On a les relations suivantes :
x — p cos cp et y — p sin cp
Les trois vecteurs ( ep , e^ , ez ) forment, au point M , une base orthonormée locale de l'espace euclidien
adaptée à l'étude des problèmes à symétrie cylindrique.
Dans cette base, le déplacement élémentaire s'écrit naturellement :
dr-MM' = dpep + p d^e^ + dzez
Les trois éléments de surface valent p dp dcp, p dcp dz et dp dz respectivement pour MAA'B,
MBB'C et MAC'C.
Quant à l'élément de volume quasi parallélépipédique que l'on construit sur les trois déplacements
élémentaires de base, il vaut dV =dpxpd(pxdz = pdpd(pdz.
b) Expression du gradient
En coordonnées cylindriques, l'expression ci-dessus de dr montre que : dlu = dp , dlv = p d(p
et dlw = dz. Donc :
(grad/)p = | (grad/), = I g
(grad/).
Fie. A1.5.
r sin 0 d(p
Fie. A 1.6.

Dérivées et différentielles
615
III. 3. — Coordonnées sphériques
a) Expression des éléments de longueur, de surface et de volume
On repère aussi la position d'un point M dans l'espace à l'aide des coordonnées sphériques
(r, 6, <p), r étant la norme de OM et 6 l'angle que fait OM avec l'axe Oz (Fig. Al.6). On a
les relations suivantes :
x — r sin 0 cos ç y — r sin 6 cos (p et z — r cos 6
Les trois vecteurs er, e# , e^ forment, au point M, une base orthonormée locale de l'espace euclidien
adaptée à l'étude des problèmes à symétrie sphérique.
Dans cette base, le déplacement élémentaire s'écrit naturellement :
dr = MM' = dre, + r d6e0 + rsin# dçe^
Les trois éléments de surface valent r d r d 6 , r sin 6 d r d (p et r2 sin 6 d 6 d (p respectivement pour
MAA'B, MAC'C et MBB'C.
Quant à l'élément de volume quasi parallélépipédique, que l'on construit sur les trois déplacements
élémentaires de base, il vaut : d V — d r x r 6 6 xrs'mO dcp = r2 sin # dr d6 dcp . Notons que, dans le
cas d'un système à symétrie sphérique, on peut adopter comme élément différentiel le volume compris
entre deux sphères concentriques, de rayons voisins r et r + d r. Les intégrales suivant ç , entre 0 et
277 , et suivant 6 , entre 0 et tt , valant respectivement 2tt et 2, cet élément différentiel s'écrit 477r2 d r .
b) Expression du gradient
L'expression ci-dessus de d r montre que : d lu = d r, d lv = r d 6 et d lw = r sin 6 d cp . Donc :
\
(grad/), = f (grad/), = - %. (grad/% = S— f^
or r ad r sin 6 ocp
Remarque : Il convient de ne pas confondre || d r|| , norme de d r , et d r variation élémentaire de la
norme r.
c) Exemples de calcul
(1) Soit la fonction f(x,y, z) = x2 + 2xy + yz . Le vecteur gradient s'obtient aisément :
grad/ = 2{x + y) er + (2x + z) ev + y ez
Au point de coordonnées ( 1, 3, 2 ), ses composantes valent respectivement : 8,4, 3 .
(2) Si / est une fonction radiale, c'est à dire une fonction uniquement de r, on a :
grad/ - — e,
dr
On obtient ainsi les expressions de grad r, grad(l/r) et grad(ln r) :
grad r = er grad ( - ) = —^ er = —^
\r ) rL r1
8rad(^J =^e' = -^ grad(lnr) = -er
r-1
yA r5 r r2

Annexe 2
Flux et circulation d'un vecteur
Les notions de flux d'un vecteur à travers une surface et de circulation d'un vecteur le long d'une
courbe jouent des rôles essentiels dans l'expression des lois de l'électromagnétisme.
I. — FLUX D'UN CHAMP DE VECTEUR
1.1. — Orientation d'une surface
Orienter une surface ouverte, telle qu'un plan, consiste à distinguer conventionnel!ement ses deux
faces en choisissant un sens positif sur sa normale. Pour cela, on trace sur cette surface une courbe
fermée sans point double, en entourant le pied de la normale, et on l'oriente. Le sens positif de la
normale est donné par la règle du tire-bouchon ou la règle du bonhomme d'Ampère (Fig. A2. la). Tout
élément de surface, d'aire dS, est alors caractérisé par le vecteur : n dS, n étant le vecteur unitaire
normal à l'élément de surface et orienté conformément à la règle du tire-bouchon de Maxwell.
Dans le cas d'une surface fermée (Fig. A2. lb), séparant sans ambiguïté son intérieur de son
extérieur, on convient généralement d'orienter positivement vers l'extérieur la normale en chaque point.
n
a) Surface ouverte b) Surface fermée
Fig. A2.1.
1.2. — Flux d'un champ de vecteur
Considérons une surface quelconque S orientée et un champ de vecteur A . Par définition, on
appelle flux de A à travers S l'intégrale suivante :
<ï> = jAndS
Js
Remarquons que 8<P — An dS peut se mettre sous la forme : 8<î> — P dy dz + Q dz dx+R dx dy ;
c'est donc une forme différentielle de degré 2 dans M3 .

Flux et circulation d'un vecteur
617
1.3. — Angle solide
La notion d'angle solide est une généralisation de celle d'angle plan. Rappelons que, sur un
ensemble de cercles concentriques d'origine O et de rayons R, R', etc., le rapport de la longueur d'un
arc de cercle, embrassé par deux demi-droites passant par O, sur son rayon est indépendant du rayon
(Fig. A2.2a) ; ce rapport sans dimension est égal à l'angle 6 entre les deux demi-droites, exprimé en
radian :
_AB _ aJb'
6 ~ !r ~ ~¥~
^ R_
a) Angle plan
__i?_'_ .
b) Angle solide
FlG. A2.2.
a) Définition
Considérons plusieurs sphères concentriques de centre O et un cône de sommet O (Fig. A2.2b).
On appelle angle solide le rapport invariant de l'aire de la calotte sphérique S découpée sur une sphère
par la surface du cône sur le carré R2 de son rayon :
2_
R2
R'2
Ce nombre, sans dimension, est mesuré en stéradians. Pour une sphère entière fl = 477 et pour une
demi-sphère H = 277 .
b) Angle solide élémentaire
Le plus souvent, la surface définissant l'angle solide n'est pas sphérique, aussi est-il nécessaire
d'exprimer l'angle solide élémentaire en fonction de la surface élémentaire interceptée d S. Considérons
le cône élémentaire de la figure A2.3.
d£
O
■■**«w*^
*^dS
FlG. A2.3.
Fig. A2.4.
D'après ce qui précède, l'angle solide élémentaire s'écrit :
dS _ d£cos# _ r-n
y£ yl. I/O
dft:
dS
dS étant la surface élémentaire découpée par le cône sur la sphère de centre O et de rayon r. Ainsi,
l'angle solide est le flux du vecteur r/r3 à travers la surface interceptée :
n= / -^ -ndS= %-ndS
Js ^ Js r2

618
Annexe 2.
où er désigne le vecteur unitaire porté par r .
L'angle solide s'exprime simplement en coordonnées sphériques par dfl = sin # 6 6 dcp, car
l'élément de surface sur une sphère de rayon r est r2 sin# d6 dcp (cf. annexe 1). On retrouve bien,
pour une sphère centrée en O :
n
rllT rTT
/ d<P
Jo Jq
sin 6 d 0 = 477
c) Applications
(1) Angles solides définis par tout l'espace, un demi-espace, un quadrant et un disque
Calculons l'angle solide sous lequel est vue, d'un point O, la portion de l'espace délimitée, en
coordonnées sphériques, par 6\ ^ 6 < 62 et cp\ ^ cp < cp2 :
r>62 rç>2
H = / / sin6 66 dcp = (cos6\ — cos62)(<P2 — <P\)
Si 6\ = 0 et (p\ = 0, on obtient :
/) pour tout l'espace ( 62 = 77 et (pi = 2jr) : fi — Au ,
//) pour un demi-espace ( 62 = tt/2 et (p2 — 2ir)\ fl = 277 ,
///) pour un quadrant (62 = tt/2 et <p2 = 77/2 ) : H = 77/2 ,
/vj pour un disque (Fig. A2.4) ( 62 = 6 et Ç2 — 2ir ) : H = 277(1 — cos 0) .
(2) Angle solide défini par une surface fermée ne contenant pas l'origine
Considérons le cône élémentaire issu de l'origine O qui découpe, sur une surface fermée, deux
surfaces élémentaires orientées njd5i et n2d5,2, conformément à l'orientation d'une surface
fermée. D'après ce qui précède, les angles solides définis par les surfaces n\ dSi = —ni dSi et n2 d^2
d^
dfli et
sont égaux puisque relatifs au même cône (Fig. A2.5). Par conséquent dfl2
dfii +dfl2 = 0.
Comme il en est de même pour tous les cônes élémentaires, l'angle solide défini par une surface
fermée, ne contenant pas l'origine O , est nul.
Fig. A2.5.
Fig. A2.6.
1.4. — Formule d'Ostrogradsky
La formule d'Ostrogradsky peut être considérée comme une relation de définition de la divergence
d'un champ de vecteur.
Elle relie le flux d'un champ de vecteur A à travers une surface fermée S à l'intégrale de sa
divergence dans le volume T) délimité par S (Fig. A2.6) :
fAndS= f
Js Jv
divA dTJ

Flux et circulation d'un vecteur
619
a) Expression de la divergence d'un champ de vecteur en coordonnées cartésiennes
Soit un champ de vecteur A, de composantes Ax, Ay , Az dans une base cartésienne. Le flux
de ce champ à travers une surface entourant un volume élémentaire d V = dx dy dz, construit au
point M(jc,v, z), se met sous la forme (Fig. A 1.4) :
Ô®=Ax(x + dx,y,z) dydz-Ax(x,y,z) dy dz
+Ay(x,y + dy,z) dz dx-Ay(x:y,z) dz dx
+Az(x,y,z + dz) dx dy - Az(x,y,z) dx dy
ce qui s'écrit aussi :
dAx , , J dAy , _, J , dAz , , , (dAx , dAy t dAz
8® = ^- dx dy dz+ -^ dx dy dz+ -^ dx dy dz= (^7 + ^ + ^) ÔTJ
Il en résulte que la divergence d'un champ de vecteur a pour expression en coordonnées cartésiennes :
dx dy dz
b) Expression de la divergence d'un champ de vecteur en coordonnées cylindriques
En coordonnées cylindriques, la divergence de A(p, <p, z) a pour expression :
divA = I^)+I^+-^
p dp p dcp dz
Pour le montrer, exprimons le flux du vecteur A à travers la surface fermée d S entourant le volume
élémentaire d V , en coordonnées cylindriques, (Fig. A 1.5). On a :
8<£> =Ap(p + dp,<p,z)p dcp dz-Ap(p,cp,z)p dcp dz
+Aip(p,cp + dcp,z) dp dz-A^p.cp.z) dp dz
-\-Az(p,<p,z + dz)pdcp dp ~ Az(p:cp,z) pdcp dp
ce qui s'écrit aussi :
Sep = t^ dpd<pdz+^ dpdcpdz+^pdpdcpdz
dp dcp az
1 d{pAp) 1 dAy dAz
p dp p dcp dz
d V
Il en résulte, en identifiant le coefficient de d V à div A , l'expression de la divergence en coordonnées
cylindriques.
c) Expression de la divergence d'un champ de vecteur en coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques, la divergence de A(r, #, cp) s'écrit :
,. * 1 d f o A x 1 d f . nA x 1 d t A N
div A = - — (r-Ar) + —— — (sin 0Ae) + —— 7- (Av)
rl drK ' r sin 0 d6K J rsm6dcpx '

620
Annexe 2.
Montrons-le en exprimant le flux du vecteur A à travers la surface fermée dS entourant le volume
élémentaire d T) , en coordonnées sphériques, (Fig. A 1.6). On a :
£<£> = Ar(r + d r, 0, ç)r2 sin 6 d 6 d <p - Ar{r, 6, <p) r2 sin 6 d 6 d <p
+A6(r,6 + d6,ç)r sin # dr dcp — Ae{r,6,(p) r sin # dr dcp
+A(p{r, 6, <p + d <p)r d r d 6 - A^r, 0, <p)r d r d 6
On obtient :
or 06 ocp
soit, puisque d V = r2 sin 0 d r d 6 d cp
S4>:
1 d(r2Ar) 1 d(ûn6AB) 1 a%
dr
rsïn6 d6
rsin 0 d(p
dV
Il en résulte, en identifiant le coefficient de d V à div A , l'expression de la divergence en coordonnées
sphériques.
d) Exemples
(1) Calcul de divr
,. / x dx dy dz
d\\Y = d\\{xzx + yzy + zxz) = tt + ^" + ^- = 3
ox dy dz
On peut retrouver ainsi le volume d'une sphère, de rayon R. En effet, on a, d'après la formule
d'Ostrogradsky :
V = 1 / 3 d V = - / divr dV = l ér-ndS
3 Jv 3 Jv 3 Js
ce qui donne, pour une sphère, puisque n = er et r = Re, sur la sphère :
i /* r r r
V = - ê RererdS= - é dS= -AttR2
3 Js 3 Js 3
-77/?-
(2) Calcul de div(r/r) - div(e/-)
div
(;)^>
(3) Calcul de div(K/r), K étant un vecteur constant
On a:
div
K
^ (Kxex + Kyey + Kzez\ =^fK^
or \ax ) r-
En regroupant les trois termes analogues, on trouve :
, K\ K r
div
40 •+

Flux et circulation d'un vecteur
621
II. — CIRCULATION D'UN CHAMP DE VECTEUR
II. 1. — Définition
La circulation d'un champ de vecteur A le long d'un contour fermé C est l'intégrale suivante :
A-dr
II. 2. — Formule de Stokes
La formule de Stokes peut être considérée comme une relation de définition du rotationnel d'un
champ de vecteur. Elle relie la circulation d'un champ de vecteurs A le long d'une courbe fermée C au
flux de son rotationnel à travers une surface ouverte S qui s'appuie sur C (Fig. A2.7a) :
iA dr=i
rot An dS
Notons que si A peut se mettre sous la forme A = grad/, alors rot A = 0 . La réciproque n'est vraie
( rot A = 0 entraîne A = grad/) que si certaines conditions sur le domaine U de l'espace affine sont
satisfaites ; on montre que U doit être simplement connexe ; le tore est un exemple de domaine non
simplement connexe.
rot A
a)
b)
Fig. A2.7.
a) Expression du rotationnel d'un champ de vecteur en coordonnées cartésiennes
Soit un champ de vecteur A, de composantes Ax, Ay , Az dans une base cartésienne, et un
contour élémentaire rectangulaire MNPQ contenu dans un plan parallèle au plan Oxy et construit
au point M(x,y,z) (Fig. A2.7b). En appliquant la relation de définition, on obtient, pour la
composante suivant Oz :
(rotA), dx dy = Ax(x.y.z) dx + Ay(x + dx,y,z) dy-Ax(x + dx,y + dy,z) dx-Ay(x,y + dy,z) dy
d'où :
dA dA
(rotA)v dx dy = —-^ dx dy + —— dx dy et (rotA)
ay ax
On déduit les autres composantes par permutation circulaire :
dAy
Ôx
dAx
dy
(dAz dAv\ (ÔAX ÔAZ\ (ÔAy ÔAX

622
Annexe 2.
Exemple : Considérons le champ de vecteur A défini par :
A = (8xy - 3z2) ex + (4x2 + 3z2) ey - 6z(x - y) ez
Le calcul donne rot A = 0 , puisque :
oy oz oz ox
g(4»2 + 3a_g(^-3a=gy_8x = 0
ox <9y
Calculons donc la fonction / associée, telle que A = grad/\ D'après la définition, on a les trois
équations suivantes :
Sxy-3z =^ 4x + 3z =- - &(, - ,) = -
En intégrant la première équation par rapport ài,on trouve :f(x, y, z) = 4x2y — 3z2x + g(y, z) . À l'aide
de la seconde équation, on obtient :
4v2 + 3r = 4a-2 + ^ d'où ^=3z2 et g = 3z2y + h(z)
oy oy
En tenant compte de la troisième équation, il vient — 6z(x — y) = — 6zx+6zy + dh/ dz d'où h{z) = Cte
et finalement :
/(*, y, z) = 4x2y - 3z2(x - y) + Cte
b) Expression du rotationnel d'un champ de vecteur en coordonnées cylindriques
Calculons par exemple (rot A),. Pour cela considérons un élément de surface MNPQ orthogonal
à ez (Fig. A2.8). La circulation de A sur le contour MNPQ comporte quatre termes :
rN rP
/ A-dr =Ap(p,<p,z) dp / A • dr = A^p + dp, <p,z)(p + dp) dcp
JM JN
rQ çM
I A-dr = -Ap(p,cp + dcp,z) dp I A • dr = -A^p, cp,z)p dcp
JP JQ
Puisque A-dr s'écrit :
[^(p + dp,<p,z)(p + dp) dcp-A(p(p,cp,z)p dcp) - [Ap(p, cp + dcp,z) dp - Ap(p,<p,z)p dp]
on trouve, d'après la définition
i d \ôap
MNPQM ) PVP P OÇ
(rotA)7= lim l—r^—T-é A-drl = l^-(py\ ) ' ^p
- dp^o{pdpd<p JMNFQM J -*-
On calculerait de la même façon :
, AÂ. dAp ÔAZ , . \dAz dAç
^tA)^^--ôp et (r0M)^p^"^f
Ainsi

Flux et circulation d'un vecteur
623
Fig. A2.8.
Fig. A2.9.
c) Expression du rotationnel d'un champ de vecteur en coordonnées sphériques
Pour calculer la première composante (rot A),- = (rot A) • e, , considérons un élément de surface
MNPQ orthogonal à e,- (Fig. A2.9). La circulation de A le long du contour MNPQ comporte quatre
termes :
nN pP
/ A-dr = Ao(r:0,cp)r d0 I A • dr = A^r, 0 + d0, cp)rsin(0 + d0) dcp
Jm Jn
pQ pM
\ A -dr = -A6(r, 0,cp + dcp)r d0 / A • dr = -A^r, 0, cp) rs\r\6 d
Jp Jq
<P
Puisque A • dr s'écrit :
[A^r, 6 +d6, <p)rsm(0 + d 0) d cp - A^r, 0, cp)rs'm 0 d <p]-[A0(r, 0,cp-\-d <p)r d 0 - Ae(r, 0, <p)r d 0}
On a, d'après la définition :
dAe
MNPQM
(rot A),
= nm \ -t~.—^ , ^ , é A • d r }
d*-o i r2 sin 0 d 0 d <p Jmnpqm J
On démontre, de façon analogue, que :
• „ ,„ , <P A-dri = —— — (/L, sin 0) -
sin 0 d 0 d cp JMNpnM J r sin 0 30
1 9Ar \d(rA9)
(rotA)0 = ^——^ K—^- et (rot A )ç
rsm0 ocp r or
rsin0 dcp
1 d(rAe) 1 dAr
dr
80
jnsi :
rot A =
1
r sin 0
— (A^m0)-
dAe'
dcp
er +
1 dAr
rsin0 dcp
XdirA^Y
r dr
4
~d(rA0)
dr
dAr~
' d0
III. — OPERATEURS DIFFERENTIELS DU SECOND ORDRE
III. 1. — Rotationnel d'un gradient
Établissons que le rotationnel du gradient d'une fonction est toujours nul. Calculons par exemple
la composante suivant Ox :
(rotgrad/).,. = |(grad/)z - ^grad/), = g - || = 0
Par conséquent :
rot grad/ = 0

624
Annexe 2.
III. 2. — Divergence du rotationnel
Montrons que la divergence d'un rotationnel est toujours nulle :
_a_/a4£_a4z\ d_fdA1_dA1\ d fdAy ôax\ _
dx \ dy dz J dy \ dz dx ) dz \ dx dy )
Ainsi :
div rot A = 0
III. 3. — Laplacien
Par définition, le laplacien d'une fonction scalaire / des coordonnées de l'espace est la divergence
du vecteur grad/ :
A/ = div grad/
Par extension, on définit le laplacien d'un vecteur A par le vecteur dont les composantes sont les
laplaciens des composantes Ax,Ay,Az.
a) Laplacien en coordonnées cartésiennes
À partir des expressions du gradient et de la divergence en coordonnées cartésiennes, on obtient :
_ d (df\ d fdf\ d fdf\ . A, d2f d2f d2f
àf=â,{^x)+^y[i)+Fz{i) ^ A/ = â? + ^ + â?
b) Laplacien en coordonnées cylindriques
De même, à partir de la définition, explicitée en coordonnées cylindriques p,cp,z, on obtient :
Ar i a ( df\ i d (\ df\ d (df\ . Ar î d ( "df\ î d2f d2f
Af=-pdP{pdP) + -pdï{-pâP) + d-z{d-z) SOIt Af=-pdp[pdP) + Pïdçï + dê
c) Laplacien en coordonnées sphériques
Comme À/ = div(grad/), il vient, en utilisant les expressions de la divergence et du gradient en
coordonnées sphériques r,0,<p :
^=M(^)+-t^-AU-^- l d2f
r2dr\ dr) r2 sin 6 d6\ dO J r2 sin2 6 dcp2
III. 4. — Rotationnel du rotationnel d'un vecteur
Calculons rot rot A , précisément sa composante suivant Ox. Il vient :
d , AN d , AN d fdAy ÔAX\ Ô [ÔAX ÔA,\
(rotrotA)x = ^(rotA), - -(rotA), = - [^ - -^) - ^ [^ - --)
d (3Ay + dA, + MA _ /0M, | d2Ax | d2A.
dx \ dy dz dx J \ dx2 dy2 dz2
|(divA)-AA,

Flux et circulation d'un vecteur 625
En généralisant ce résultat aux deux autres composantes, on trouve :
rot rot A =. grad div A — ÀA
IV. — RELATIONS D'ANALYSE VECTORIELLE
IV. 1. — Opérateur nabla
On appelle opérateur nabla, noté V , l'opérateur différentiel que l'on définit, en coordonnées
cartésiennes, par :
_ d d d
Cet opérateur permet d'exprimer formellement les opérateurs différentiels, gradient, divergence et
rotationnel, selon :
grad/ = V/ div A = V • A rot A = V x A
™ 8f df df
ox ' oy oz
d\ , A A N 3AX 8Ay dA7
\ . (o. A _i_ « A \ ^ A \ — A J > _l "
car :
et
(VxA)= = yA.-vA = f-f
On peut alors retrouver symboliquement les opérateurs du second ordre :
rotgrad/ = V x Vf = 0 divrotA = V • (V x A) - 0 divgrad/ = V • Vf = V2/ = A/
et
rot rot A = V x (V x A) = V(V • A) - V2A = grad div A - AA
IV. 2. — Formules d'analyse vectorielle
a) grad (f\f2) = /grad/2 +/2grad/
En effet :
grad(/i/2) = V(/i/2) =/i V/2 +/2V/1 =/, grad/2 +/2 grad/,
Cette formule permet de calculer grad(p • r), p étant un vecteur uniforme ; en effet, développons le
produit scalaire :
grad(p • r) = grad(pA-x + pyy + pzz) = pxex + xgradpx + = p
On en déduit aisément, si À est une constante réelle, grad (À/) = À grad/.

626
Annexe 2.
b) div(/ A) =/div A + grad/ • A
En effet :
div(f A) = — (fAx) + -^(fAy) + g-z(fA:)
soit :
dWA). |Al +|,, +1. +/ (£ + £ + f ). A. grad/ +/div A
Cas particulier : Si / — A (constante réelle), alors div(AA) = Adiv A .
c) rot (/"A) =/rot A + grad/ x A
Calculons par exemple la composante suivant Ox de rot (/"A) :
[rottfA)], = §-yW?) ~ §-z(fAy) =f (j± ~ fr) + ^,| - Avf = /(«**)* + (grad/ x A),
En généralisant aux deux autres composantes, on trouve la formule annoncée.
Cas particulier : Si / = A (constante réelle), alors rot (À A) = A rot A .
d) div(A x B) = B rot A - A rotB
Etablissons cette relation :
div(A x B) = ^{AyBz - AzBy) + ^M ~ AXBZ) + ~{AxBy - AyBx)
n fdAz dAy\ (dAx dAz\ ('dAy dAx
_A (dB1_9By\_A f^L_dEl\_A fdBL_dB£
A V dy dz ) y \ &<> &x ) *' \ ®x dy
Par conséquent :
div(A x B) = £v(rot A).r + By(rotA)y + Bz(rotA)z - Ax(rotB)x - Av(rotB)v - /U(rotB),
soit :
div(A xB) = B rot A - A rotB
e) grad(P E) = (P grad)E si rotE - 0
Pour établir cette relation, évaluons par exemple la composante suivant Ox :
d , x dEx dEy dE7
- (P,EX + PyEy + PZE:) = Px— + Py-£ + Pt-g
Comme rotE = 0, soit dEy/dx = dEx/dy et dEz/dz = dEx/dz, il vient :
[grad(P • E)]( = (>,- + Py- + Pz-j Ex = (P ■ grad) Ex
En effectuant un calcul analogue pour les deux autres composantes, on trouve le résultat recherché.

Flux et circulation d'un vecteur
627
f) rot(M x E) = M div E - E div M + (E • grad)M - (M • grad)E
Pour l'établir, calculons par exemple la composante suivant Ox. 11 vient :
d , , d , N dEv dEK dEx dE7
-(M x E), - -(M x E), = M.^ - My^ - Mz^ + Mx-g
dMx dMv dMz dM,
Introduisons divE = dEx/dx + dEy/dy + dEz/dz et div M = dMx/dx + dMy/dy + dMz/dz. Il vient :
[rot(M x E)]r = MvdivE - MK—- - My—- - M,—^
x ' dx ■ dy *' dz
dMx | E dMx E dMx
dx y dy z dz
-Ex div M + Ex-^- + Ey^- - Ez
d'où : [rot(M x E)] K = Mx div E - Ex div M + (E • grad)Mr - (M • grad)£A-
Comme on a des relations analogues pour les deux autres composantes, on retrouve le résultat cherché.
Remarque : L'opérateur nabla doit être employé avec précautions. Certaines formules vectorielles ne
sont pas obtenues simplement ; par exemple, grad(A-B) n'est pas égal à BdivA+AdivB,
grad(A ■ B) = (A ■ grad)B + (B grad)A + A x rotB + B x rot A
où (A • grad) - (A • V) - Axd/dx + Ayd/dy + Azd/dz •
IV. 3. — Intégrales vectorielles
Proposons-nous d'établir les deux intégrales vectorielles suivantes :
/ rot A d V = f (n x A) dS et / grad/ d V = 6 /n dS
J V Js Jr Js
Pour cela, introduisons le champ de vecteur uniforme quelconque K ( rot K = 0 ).
Dans le premier cas, il vient, puisque div(A x K) = K • rot A — A • rotK = K • rot A :
/ K • rot A d V = I div(A x K) d V = (f (A x K) • n dS
Jv Jv Js
en appliquant la formule d'Ostrogradsky. Il en résulte :
K • / rot A d V = K • i (n x A) dS
Comme cette équation est vraie, quel que soit K, la première formule annoncée en découle.
Dans le second cas,*on a, puisque div(/*K) =/divK + K • grad/ = K • grad/ :
K • / grad/ d V = / K • grad/ d V = I div(/TC) d V
Jv Jv Jd
En appliquant la formule d'Ostrogradsky, on obtient :
/
K • grad/ dV = 6 /K • n dS = K • è /n dS
v Js Js
d'où la seconde formule, puisque K est un vecteur uniforme quelconque.

Annexe 3
Simulation en électromagnétisme
De nos jours, la simulation est une technique largement utilisée en physique, dans les laboratoires
universitaires ou dans les centres de recherche appliquée. En raison, d'une part de la puissance de calcul
toujours croissante des ordinateurs, et d'autre part de la nécessité de maîtriser les coûts, elle est devenue
un outil d'analyse extraordinaire par son efficacité et par conséquent indispensable.
Aussi s'est-elle introduite naturellement dans l'enseignement, notamment en physique, car elle
offre un moyen commode d'initier les étudiants à l'analyse de systèmes complexes. En effet, il n'existe
pas de méthodes analytiques exactes pour décrire de tels systèmes. Autrefois, avant le développement
des techniques de simulation, le physicien réduisait la complexité d'un système en invoquant des
hypothèses simplificatrices partiellement justifiées. Bien que nécessaire, cette analyse simplifiée s'avère
insuffisante lorsqu'une description minutieuse et rigoureuse est exigée. Le recours à la simulation
s'impose alors.
La précision n'est pas le seul intérêt de la simulation. La possibilité de changer les conditions du
problème, de modifier l'ensemble des paramètres et d'observer le résultat obtenu, apporte un éclairage
complémentaire qui contribue à approfondir notre connaissance du système.
Les méthodes et algorithmes développés suggèrent l'élaboration de logiciels de simulations. Le
choix final d'un langage ou d'un environnement de programmation est assujetti aux affinités
personnelles, à la culture de chacun, mais aussi aux technologies disponibles. Devant un si vaste éventail de
possibilités, nous avons pris le parti de ne pas traiter l'étape technique de l'implémentation des
algorithmes et méthodes, choix conforté par l'abondance des ouvrages spécialisés en programmation.
Trois thèmes électromagnétiques sont étudiés par simulation :
/) l'électrostatique d'une distribution de charges ;
//) le champ électrique par temps d'orage ;
iii) le champ magnétique terrestre.
Le lecteur trouvera sur le site suivant :
http://webast.ast.obs-mip.fr/people/perez/index.html
les logiciels utilisés dans cette annexe pour des systèmes d'exploitation « Windows ».
I. — ÉLECTROSTATIQUE D'UNE DISTRIBUTION DE CHARGES
1.1. — Objectif de la simulation
Tracer les lignes de champ électrique et les lignes équipotentielles de plusieurs distributions
constituées d'un ensemble de charges sphériques.

Simulation en électromagnétisme
629
1.2. — Description du système simulé
L'éventail des distributions de charge électrique est vaste. Suivant le problème, on peut être conduit
à étudier des distributions de charges ponctuelles, linéiques, superficielles ou volumiques se déclinant
selon des configurations géométriques variées : segment ou fil infini uniformément chargé, plaques
circulaires ou rectangulaires d'un condensateur, cylindre dont la densité volumique de charge varie de
l'axe aux bords, sphère ou même ellipsoïde homogène, etc.
Sur le plan de la simulation numérique, chaque distribution est un cas particulier qui nécessite un
traitement spécifique. Ainsi, la définition des frontières physiques des distributions, l'évaluation
analytique du champ électrique et du potentiel, lorsqu'elle est possible, dépendent explicitement de la
distribution considérée. L'étude exhaustive des distributions les plus courantes faisant l'objet d'ouvrages
spécialisés, nous nous limiterons à une distribution de charges sphériques élémentaires, socle de
nombreux modèles fondamentaux en physique et en chimie.
Considérons un ensemble de N charges électriques sphériques, de rayons Rj, de densités
volumiques de charges uniformes p, réparties dans l'espace à trois dimensions et repérées par les vecteurs
positions r,. Le champ électrique et le potentiel électrostatique produits par la charge / s'écrivent
respectivement en un point r de l'espace :
E,(r) = ^ r~r'\ et V,(r) = Pf „ ' ,„ si ||r - rj|| > R,
y ' 3e0 ||r-r;||3 V ' 3e0 ||r-rf|| " '" "
E'(r) = S(r"r;) Ct V/(r) = S(3^"l|r"r'"2) Sî l|r~r;il</?;
La contribution de toutes les charges s'obtient en appliquant le théorème de superposition. Le champ
électrique total et son potentiel électrique associé s'écrivent alors :
N N
E(r) = £>(r) et V(r) = ]T V,{r)
i= 1 /= 1
Les données N , p,, R[, r-, déterminent les caractéristiques spatiales et électriques de la distribution.
Une fois ces quantités connues, le champ électrique total et le potentiel se calculent numériquement en
tout point de l'espace à partir des expressions analytiques précédentes, en additionnant les contributions
de toutes les charges.
Remarque : le choix des charges sphériques élémentaires présente l'avantage de permettre une
évaluation analytique des champs. Le calcul des champs produits par des distributions
quelconques impose de calculer numériquement des intégrales triples pour les distributions
volumiques, doubles ou simples dans les autres cas (cf. chapitre 2 et 3), ce qui
alourdit les durées de calcul.
1.3. — Lignes de champ
L'algorithme du tracé des lignes de champ électrique que nous allons développer s'appuie sur un
tracé ligne par ligne. Pour une ligne particulière, la méthode consiste à partir d'un point origine Mo ,
à progresser de proche en proche le long de la ligne, d'abord dans un sens, puis dans l'autre s'il n'y a
pas de retour au point de départ. Par itérations successives, on construit ainsi les points M\ , M2 , ...
M„ , jusqu'à la détection soit d'un retour au point de départ (Fig. A3.la), soit de l'atteinte d'un bord
(Fig.A3.lb).
L'équation d'une ligne de champ traduit localement la colinéarité du vecteur d r tangent à la ligne,
et du champ électrique (Fig. A3.2) :
dr x E(r) =0

630
Annexe 3.
9
M\ M2
Mn_u * M,
V.
AL
a)
Fie. A3.
rt:cf
M2 **
■ p
Mo.'"'
A/,/
M2V. Mn
*OT*™"*"""^"™<>™""
b)
E>
dr
/'
Fie. A3.2.
Si, par commodité, on choisit de tracer les lignes de champ dans le plan Oxy, l'équation vectorielle
précédente devient :
dx dy
— = — soit dx x EY = dy x EK
Ex Ey
Il est généralement préférable de maîtriser la précision avec laquelle les lignes sont tracées. Ainsi, on
impose au point M/(x/,y/) une proximité contrôlée par une résolution spatiale e souhaitée, de telle
sorte que, pour tout / de 0 à n — 1 , on ait :
M/M/+i = e
Dans ces conditions, les équations reliant les coordonnées de deux points consécutifs M, et M/+J
s'écrivent, en posant àx = x/+i — x-t et ày = y^\ — y; :
— = — et Ajt + Ay2 = e2
FF
Sous la forme paramétrique suivante, les équations se prêtent mieux à l'analyse numérique :
àx = e— et Ay = e^ avec E = JE1. + El
E E V '
Les quantités Ex , Ev et E sont évaluées au point M, à partir des expressions analytiques des
composantes du champ électrique.
Remarques : (1) Cet algorithme n'est pas spécifique à l'électrostatique. Il se généralise à tout champ de
vecteur U en remplaçant E par U dans les équations précédentes. On pourra notamment
réutiliser cette méthode en magnétostatique pour tracer les lignes de champ magnétique.
(2) Lorsque le résultat du tracé est une image de dimension NA x Nv pixels carrés, la
résolution spatiale e est fonction de l'échelle de l'image, c'est-à-dire de la longueur Lx
représentée par les Afx pixels : e = Lx/Nx .
1.4. — Equipotentielles
L'algorithme du tracé des lignes equipotentielles est assez proche de celui des lignes de champ.
Une difficulté supplémentaire apparaît néanmoins, dans la détermination du point initial Mo sur la
ligne. En effet, le potentiel en ce point doit avoir une valeur Vc\ bien déterminée. De surcroît, il peut
exister plusieurs lignes disjointes possédant un potentiel identique.

Simulation en électromagnétisme
631
a) Quadrillage
On commence par quadriller la zone du tracé, en la découpant en plusieurs petites zones
rectangulaires ou mailles (Fig. A3.3) :
Considérons les points Akj sommets des rectangles élémentaires. Le domaine D de variation du
potentiel dans la zone du tracé contient l'intervalle / = [V/m/n Vmax] défini par :
Vm
mm[V(AkJ)} et Vnmx = mBx[V(Akj)] pour tout point Akd
Le quadrillage idéal est un compromis entre un maillage fin, augmentant les durées de calcul, et un
maillage lâche, qui tient peu compte des variations locales du potentiel (montagnes ou vallées). En
l'absence de singularité, charge ponctuelle par exemple, le potentiel est borné. Si le maillage est convenable,
l'intervalle I est une bonne représentation du domaine D de variation du potentiel.
A
2,1$-
A>,2
Ak,l
FIG. A3.3.
6 - —_ <
i—«~——— <!
b***^**^^***».^^
y (
y _c
| \Ak+\,l+\
>«--«^,»_--_»A-__ _^™„4„_____™J
2/0-
xkJ xk+{J
iAkj\MQ [Ak+U
xoNj
l^kJ.+\ '^fc+l,Z+l
i i
FlG. A3.4.
b) Choix du point initial Mq
On peut choisir les potentiels des lignes équipotentielles de telle sorte qu'ils découpent l'intervalle
considéré / en une succession de valeurs équidistantes. Dans ce cas, des lignes équipotentielles serrées
traduisent un fort gradient de potentiel, tandis que des lignes distantes caractérisent des régions de faible
variation du potentiel.
Pour une valeur donnée Vd du potentiel, les points de départ possibles M0 doivent être
recherchés dans toutes les mailles. Considérons la maille (/:,/) constituée des points Akd, /4*+i,/, >U,/+i ,
y4fc+is/+i . Si les potentiels des sommets encadrent Vd, alors l'équipotentielle Vd passe nécessairement
à l'intérieur de la maille (Fig. A3.4). C'est ce que traduisent les inégalités suivantes :
miii[l/(AM), V{Ak+w)) < Vd < max[V04,,/), V(A,+ ,,/)]
ou inin[K(^+Ij,), V(/U+i,/+i)] < Vd < max[l/(4+i,/), V(A*+,,,+ ,)]
min[V(y4*+,,,+ ,), V(AkiW)] < Vd < max[V(4t+,j/+,), V(AkiW)]
ou min[V(i4iti/+,), V(AkJ)] < Vd < max[V(i4M+1), V(AkJ)}
Lorsqu'un segment qui intercepte l'équipotentielle est identifié (AkjAk+\j sur la figure), le point
Mq doit être placé précisément. L'abscisse x du point Mq est alors donnée par :
f(x) = V(x,y0)-Vd = 0
La solution peut s'obtenir par dichotomies successives du segment Akii,Ak+\j (Fig. A3.5). Cette
méthode consiste à évaluer f(M) au point milieu M du segment initial, et à former comme nouveau
segment, celui dont les extrémités sont M et l'un des deux points Akj ou Ah-i,/, que l'on appel-

632
Annexe 3.
lera pour simplifier A . Le point A est choisi de telle sorte que f(A) et f(M) encadrent 0 , c'est-à-dire
que/(i*)x/(M)<0.
Par itérations successives, on forme de nouveaux segments, et l'on démontre que les extrémités des
segments construits convergent vers le point Mo(xo,yo) tel que f(xo) = 0 , soit encore V(xo,yo) = Vd •
f(x)<0 f(x) = 0
Situation initiale
Itération 1
Itération 2
Itération 3
Fie. A3.5.
c) Tracé d'une ligne équipotentielle
À partir d'un point initial Mo , le tracé d'une ligne équipotentielle est comparable à celui d'une
ligne de champ. L'équation d'une ligne équipotentielle s'obtient en exprimant localement l'orthogona-
lité du vecteur dr tangent à la ligne, au champ électrique (Fig. A3.6) :
dr • E(r) = 0 soit dxEx + dyEy
0
dans le plan Oxy .
Si l'on impose aux points M/(x/,_y/) de la ligne équipotentielle, une proximité définie par la
résolution spatiale e , (M/M/+i = e ), les équations reliant les coordonnées de deux points consécutifs M,
et M/_|_i s'écrivent, en introduisant Ax = xt+\ — je,- et À_y = _y/+i — _y, :
AxEx = -AyEy. et Ax2 + Ay2 = e2
ce qui s'écrit sous la forme paramétrique suivante :
Ax
Ey
et Ay = e-
avec
v/£? + £?
Les quantités Ex, Ey et E sont évaluées au point M, à partir des expressions analytiques des
composantes du champ électrique. Ainsi, c'est le champ de vecteur E, l'opposé du gradient du potentiel
électrique, qui est utilisé pour le tracé des lignes équipotentielles.
Fig. A3.6.
Numériquement, cette méthode souffre d'un défaut important. Les erreurs cumulées sur les
évaluations successives des points M/, peuvent empêcher une ligne fermée de boucler sur elle-même. La
ligne décrit une spirale au fur et à mesure que son potentiel dérive. On évite cette dérive en corrigeant
l'erreur ÔV — V{M-l+\) — Vci commise sur le potentiel entre deux points consécutifs, en se dépla-

Simulation en électromagnétisme
633
çant dans le sens de la plus forte pente de la surface de potentiel, c'est-à-dire, dans le sens du champ
électrique (Fig. A3.7) :
OM/+i = OM, + Ar + An
avec :
Ev Ex A 8V E o E
Ar = -£^ + £Ëe>' et An = lwj[]iË| = fiViiip
Finalement, la progression corrigée en dérive le long d'une ligne équipotentielle s'écrit :
^=-4+fiv§ et Ay=4+ôv%
1.5. — Simulation
Traçons dans le plan Oxy les lignes de champ électrique et les lignes équipotentielles d'une
distribution de charges sphériques uniformes. On peut ajouter le calcul des régions où la norme du champ
électrique est inférieure à une valeur de seuil Eq , afin de comparer la portée des champs électriques
des distributions que nous allons étudier. On pourra, par exemple, griser les pixels correspondants de
l'image. La figure A3.8 représente les résultats obtenus pour différentes distributions :
a) une charge positive 5+
b) deux charges opposées 5+ et 8~
c) une charge centrale 28+ et deux charges périphériques 8~ (modèle simplifié du dioxyde de
carbone)
d) une charge centrale 28+ et deux charges périphériques 8~ (modèle simplifié de la molécule
d'eau)
e) deux charges 8~ et deux charges 8+ diagonalement opposées deux à deux
f) deux charges 28~ et deux charges 5+ diagonalement opposées deux à deux, et une charge
centrale 28+
ô+
W 7/
/ /
ô+ ô-
-4É^
w
<^W^i\S^
/ \ W \
/ \
«T 2S+ S+
'■*)\ \
s+
28-
l£L
///M)\
8+ 8~l
si-jï
J N
20
ô+
~ ô+
2Ô+
23-
FIG. A3.8.

634
Annexe 3.
L'échelle spatiale étant la même dans tous les cas, on constate aisément la diminution progressive
de la portée du champ électrique, au fur et à mesure qu'augmente le nombre de charges. De la figure
A3.8a) à A3.8f), la répartition spatiale des charges positives et négatives est de plus en plus homogène,
ce qui tend à réduire l'influence électrostatique de la distribution. C'est l'effet d'écran.
La distance entre deux lignes équipotentielles augmente rapidement au fur et à mesure que l'on
s'éloigne de la distribution, ce qui traduit l'aplatissement de la surface de potentiel. Dans le cas d'une
charge sphérique, la décroissance du potentiel en r-1 implique que l'écart entre deux lignes voisines
augmente comme r2 puisque :
/ x K K a AV ?
V(r) = — et dV=—-dr soit Ar = r
r r1 K
L'aplatissement de la surface de potentiel à grande distance est au moins aussi rapide, sinon plus, dès
lors que les premiers termes du développement multipolaire s'annulent.
1.6. — Décroissance multipolaire des champs
À grande distance, le champ électrique et le potentiel électrostatique peuvent être développés en
puissances successives de \/r (cf. chapitre 3) :
. . Ko K\ Ko ^ / x / ^o K\ Kj \
V(r) = y + ^ + ^ + --- et E(r) = (^ +-^ +-^ + ■ • • J er
Les premiers termes (contribution unipolaire) s'annulent si la charge totale de la distribution est nulle.
Si le moment dipolaire de la distribution est nul, les seconds termes (contribution dipolaire) s'annulent
également. À grande distance, le premier terme non nul domine, et nous pourrons écrire, pour r assez
grand :
\j( \ Kn-\ Kn-\
V(r) & et E(r) « ——
Traçons la décroissance radiale de la norme du champ électrique, pour les distributions de la figure A3.8.
Les valeurs du champ E(r) seront relevées sur l'axe Ox positif (Fig.A3.9).
'E(r)
FlG. A3.9.
Les caractéristiques relatives aux premiers termes du développement multipolaire sont rassemblées
dans le tableau A3.1.
Sur la figure A3.10, on a représenté l'évolution radiale du champ électrique en coordonnées
logarithmiques, précisément lg(£) en fonction de lg(r) . Les pentes que l'on peut déterminer à l'aide des
quadrillages sur les graphes sont conformes aux prévisions données par le terme dominant du
développement multipolaire (Tab. A3.1). En outre, les simulations montrent que la décroissance prévue est très
vite atteinte lorsqu'on s'éloigne de la distribution. Typiquement, elle survient dès que l'éloignement
dépasse quelques valeurs du rayon caractéristique de la distribution.

Simulation en électromagnétisme
635
Distribution
a)
b)
c)
d)
e)
f>
Charge totale
non nulle
nulle
nulle
nulle
nulle
nulle
Moment dipolaire
nul
non nul
nul
non nul
nul
nul
Pente prévue
-2
-3
-4
-3
-4
-4
Tab. A3.
23
22
21
20
§19
b/J
~ 18
17
16
—
j -
!
' \\
\
-1 0
1g (r)
FlG.A3.10.
23
22
21
20
g 19
«> 18
17
16
'^"'■tly.r-^y-.
0
lg (r)
II. — CHAMP ELECTRIQUE PAR TEMPS D'ORAGE
II. 1. — Objectif de la simulation
L'objectif de la simulation est d'étudier la structure spatiale du champ électrique autour d'un
homme par temps d'orage, afin d'interpréter les consignes de sécurité destinées à prévenir le
foudroiement par impact direct.
II. 2. — La foudre
Les phénomènes orageux naissent au sein des cumulo-nimbus, nuages d'eau et de glace en forme
d'enclume, pouvant s'étendre en altitude sur plusieurs kilomètres. Les phénomènes physiques qui s'y
déroulent sont encore mal connus en raison de leur complexité : transitions de phase, électrisation,
couplage avec l'électrosphère, dynamique complexe et un domaine de variation des paramètres étendu
sur près de quinze ordres de grandeurs !
L'observation montre que les différentes parties du nuage se chargent électriquement (cf.
chapitre 8). Les différences de potentiel mises en jeu entre différents points du nuage sont de l'ordre de
100 MV . Lorsque les charges accumulées deviennent trop importantes, ce qui est notamment le cas lors
d'une opposition directe des charges, une décharge électrique se produit, c'est le coup de foudre. On
estime qu'un gros orage peut déclencher 100 coups de foudre par minute; environ un éclair sur quatre
atteint le sol.
L'étude de la foudre est facilitée par l'observation de l'éclair. Il semble que, dans une première
phase, les charges négatives situées dans la partie basse du nuage se déplacent vers le sol, selon un
parcours aléatoire en 1/100 s. C'est le traceur par bonds. Un autre traceur, ascendant, se développe
depuis un point du sol soumis à un champ électrique assez élevé pour ioniser l'air qui l'environne.
Lorsque la liaison s'établit, il se forme un canal ionisé par lequel s'écoule la décharge principale, suivie

636
Annexe 3.
de plusieurs post-décharges qui donnent à l'éclair son aspect vacillant. On estime que lorsque le champ
électrique au niveau du sol dépasse 10 kV • m-1 , le coup de foudre est imminent.
II. 3. — Résolution numérique de l'équation de Laplace
Le calcul du champ électrique autour d'un obstacle conducteur de forme complexe, porté à un
potentiel déterminé, sous l'influence d'un ou plusieurs autres conducteurs, n'est généralement possible
que par simulation numérique.
La méthode que nous allons développer s'appuie sur le calcul du potentiel électrostatique en tout
point d'une image formée de pixels, sur laquelle les conducteurs électriques seront dessinés à l'aide
d'un logiciel de dessin.
En un point M de l'image, la valeur du pixel (sa couleur) détermine s'il s'agit d'un point en lequel
le potentiel devra être calculé, ou d'un point d'un conducteur dont le potentiel est imposé.
a) Conditions aux limites
Considérons une image de NxNy pixels carrés, sur laquelle sont dessinés plusieurs conducteurs
avec des couleurs différentes. Un code est nécessaire pour attribuer une couleur à un conducteur afin
de pouvoir le distinguer (Tab. A3.2). Une image, en quatre couleurs, permet donc de représenter trois
conducteurs, C\ , C2 et C3 . Le noir, le gris foncé et le gris clair, représentent des points appartenant
respectivement à C\ , Ci, C3 , portés aux potentiels V\ , V2 , V3. Le blanc est la couleur attribuée à
un point de l'espace entre les conducteurs, en lequel nous devrons calculer le potentiel V(x,y) .
Couleur
Blanc
Noir
Gris foncé
Gris clair
Type de pixel
Point de l'espace
Point du conducteur C\
Point du conducteur Ci
Point du conducteur C3
Potentiel
v(*,y)
V\
v2
v3
Tab. A3.2.
L'image ainsi construite est une trame dont on se sert pour définir les conditions aux limites
imposées au potentiel électrostatique.
b) Système d'équations
Le potentiel électrostatique obéit à l'équation de Laplace (cf. chapitre 3) :
AV
d2V d2V
dx2 dy2
0
Pour la résoudre, nous allons discrétiser le potentiel sur une grille de dimension Nx x Ny, de pas ôx en
x et ôy en y (Fig. A3.11), calquée sur l'image contenant les conducteurs. Nous adoptons les notations
suivantes :
Xi = 18x yj = j Ôy et Vid = V(xhyj)
Commençons par évaluer les dérivées de l'équation. La méthode des différences finies consiste à
exprimer la dérivée d'une fonction f(x) en fonction de ses points adjacents. Avec fi = f(xj), il vient,
si ôx est suffisament petit :
*-%™
lim
/(x. + Sx) -f(Xi) _ /(*,-+,) -/(*,) _ /,+, -/•
ÔX
Ôx
ôx

Simulation en électromagnétisme
637
Vn,
t
, o o-
VNy-\ O
sxa^> $ ^
2/JT
:ô«
2/1*-
o o -
X0 X] ^ Xjva-l a;jVa;
FlG.A3.ll.
En changeant le signe de ôx, on obtient une autre expression :
fi dx^l) &?™o -ôx ~ -ôx ôx
Ces deux expressions sont utiles sur le plan numérique, car elles permettent de calculer la dérivée,
à l'aide de la valeur de la fonction en un point et du point suivant (dérivée à droite) ou précédent (dérivée
à gauche). Ainsi, à l'extrémité gauche de l'intervalle [jco,x/va] de définition de /, on calcule la dérivée
à droite /q = (f\ — fo)/ôx, et à l'extrémité droite, la dérivée à gauche f^x = (f^x —fNx-\)/ôx.
Utilisons la même méthode pour obtenir les expressions de la dérivée seconde, respectivement à
droite, à gauche et au centre :
UM=^
df/dx(xi + &c) - df/dx(Xi) _ d//d*(*/+I) -df/dxjxi)
&c-+0 ÔX
fi+2 ~fi+\ fi+\ —fi
ÔX
ÔX
dx
.2^)
dx-
d>(^)
Ôx
df, x d/
dx dx
Ôx
df( , df
dx dx
ôx
^fi+2 +fi — lfi+\
ÔX2
fi —fi-\ fi-\ —fi-2
ÔX
Ôx
Ôx
fi-2 +ft - 2fi-
Ôx
fi+\ —fi f ~ fi-\
ÔX2
Ji+\+fi-
2f
Ôx2
Ces expressions permettent de calculer la dérivée seconde d'une fonction aux extrémités de son
intervalle de définition et en des points intermédiaires.
Si l'on applique la méthode des différences finies à l'équation de Laplace, en un point intermédiaire
non situé aux frontières de la grille :
d2v = V/+U + V/
dx2 Ôx2
U-Wij
et
Ô2V V/i/+1 + V;J_l-2V/J
dy2
ôy2

638
Annexe 3.
Si par commodité, on impose Sx = 8y = ôl :
Vf+lj- + V/-ij-2VfV
d2v d2v
dx2 + df
sp
+
v/J+, + v,
J-l
■ 2K-
5/2
-0
soit encore :
WJ-
+ V/_,, + V/;+i+V;
J ~~ 4
Aux frontières droites et gauches de la grille, les dérivées secondes à gauche et à droite s'écrivent
respectivement :
-2V2j. + 4VIi/+VoJ-+i + Vol/-_,
VI
<¥
et VNXJ =
-2VNx_2J + 4V,
V/vvj+i + Vnx11
On pourrait chercher à obtenir les relations analogues sur les bords haut et bas ainsi qu'aux quatre coins
de la maille, mais comme ces régions vont être occupées par des conducteurs, elles ne seront pas utiles.
Nous venons d'obtenir un système d'équations linéaires dont les inconnues sont les Vjj . La
présence des conducteurs sur la grille réduit le nombre total d'inconnues, puisqu'en xk , yi, point de C\
par exemple, le potentiel est donné par Vkj — V\ . Le potentiel d'un point adjacent Vk+\,i par exemple
(Fig. A3.12), se calcule en remplaçant V^j par V\ dans l'équation discrétisée de Laplace :
Vk-
+ i,/
Vfr+2,/ + Vk+\,l+\ + Vfc+l,/-
+
V\
ef
~—-ô-
Vk+U
v.
l+\
6-V}
v.
l-\
Xk Xfoi Xk+2
Fig. A3.12.
c) Résolution itérative
Le système linéaire à résoudre comporte un grand nombre N d'inconnues, de l'ordre de Nx x Ny ,
à la surface occupée par les conducteurs près. Si l'on range ces inconnues à la suite les unes des autres
dans un vecteur colonne X , le système à résoudre s'écrit sous forme matricielle :
[A]X = B
où B est un vecteur colonne dont les lignes sont des combinaisons linéaires des potentiels V\ , V2 ,
V3 , et [A] une matrice carrée de dimension TV x TV , dont les éléments sont les coefficients numériques
de pondération des inconnus qui apparaissent dans les équations du système.
La matrice [A] est de grande taille, mais sa particularité vient du fait qu'elle contient peu
d'éléments non nuls. En effet, puisque chaque équation compte au plus cinq inconnues par ligne de la ma-

Simulation en électromagnétisme
639
trice [A] , il y aura au plus cinq éléments non nuls. Deux grand types d'approche sont possibles pour
résoudre ce système :
/) Les méthodes directes consistent à inverser la matrice [A] , en exploitant éventuellement sa
particularité. La solution du système est donnée par :
X= [A]-lB
ii) Les méthodes itératives consistent à calculer une suite de vecteurs colonnes X'/+l = U(X") qui
converge vers la solution :
X = lim X"
/i-»0
Les méthodes directes nécessitent une grande quantité de mémoire, puisqu'elles manipulent des
matrices carrées de dimension N. Comparativement, les méthodes itératives sont moins gourmandes en
mémoire mais nécessitent de très grandes durées de calcul, notamment déterminées par la vitesse de
convergence. Nous avons opté pour une méthode itérative afin de s'adapter aux machines disposant de
peu de mémoire : la méthode de Jacobi (du nom du mathématicien allemand du XIXe siècle).
Formellement, la méthode de Jacobi consiste à écrire le système sous la forme :
X = B + ([f\-[A])X
puis à construire les vecteurs colonnes suivants :
X"+1 =B + ([/]- [A])Xn
À la convergence, on obtient la solution :
X = B + ([/] - [A])X soit encore [/]X -([/]- [A])X = B et donc [A]X = B
Le vecteur initial X° peut être choisi identiquement nul.
En pratique, la forme adoptée pour l'écriture locale de l'équation de Laplace est directement
exploitable. Le processus itératif s'écrit simplement, par exemple pour un point intermédiaire non situé
aux frontières de la grille :
yk+l = v^ + y^ + vt^ + ^-i
Lors d'une itération, tous les points de la grille sont passés en revue. À l'aide de la trame, on détermine
s'il s'agit d'un point dont le potentiel Vjj est inconnu, ou d'un point appartenant à un conducteur.
S'il s'agit d'un point dont le potentiel est inconnu, on le calcule en tenant compte du contexte (point
frontière ou point adjacent à un conducteur) à l'aide de l'équation convenable, en fonctions des valeurs
des potentiels de ses proches voisins. On contrôle la progression du calcul en déterminant, à chaque
étape k , la plus grande erreur relative e commise :
2 max
Vk+] - y*.
ykf\ i yk.
ij ~ ij
Lorsque l'erreur commise devient inférieure à une valeur de seuil eo souhaitable (de l'ordre de quelques
pour cent), on peut considérer l'ensemble des potentiels Vfy comme solution de l'équation de Laplace.
Finalement, on obtient le champ électrique en différentiant par la méthode des éléments finis :
Ex —
dV
E = Exex + E?ey =
-V/+lrV/J et E*n
Sx lJ
-W
dv
dy
avec
ôy

640
Annexe 3.
II. 4. — Simulations
Pour étudier la structure du champ électrique autour d'un homme par temps d'orage, nous allons
adopter un modèle constitué de deux conducteurs. Le sol ainsi que l'homme sont au potentiel 0 V . On
place un conducteur horizontal à 12 m d'altitude au potentiel 120 kV . Cette configuration assure un
champ électrique moyen de 10 kV • m-1 .
La résolution numérique de l'équation de Laplace permet de construire la carte du potentiel dans un
plan vertical. Il est intéressant de représenter les lignes équipotentielles et les lignes de champ électrique,
ainsi que le domaine spatial E > 20 kV dans lequel les risques du coup de foudre direct sont augmentés.
La figure A3.13 donne les résultats obtenus pour deux positions d'un homme : la station debout, et une
position accroupie. La simulation montre que le domaine de champ électrique intense et dangereux est
très étendu au-dessus de l'homme debout, bien plus réduit autour de l'homme accroupi. Ce résultat
exprime le pouvoir des pointes (cf. chapitre 8). Ainsi, pour diminuer les risques d'un coup de foudre
direct, il conviendra, en terrain dégagé, d'adopter une position d'enroulement sur soi-même ; on limite
ainsi l'augmentation du champ électrique environnant.
a)
1 j i i 1 1 i 1 ! i 1 1 I ! 1 1 M
1 ■ > i ! ; i 1 ; - 1 : M i
I 1 . M 1 M ! , 1 1 I : | '
h M M i M i ; i 1 : j h
! ! ' ' I ! ! ï 1 : ' i h
[4ii_L|_.ji|zip
: i . M ' 1 = l ■ M ! ! . 1 I 1 '
i Il i ! h r;r ; rfr r
P T • f 1 i ! ! : ; | ■ 1 ! :
••"ÎTT-f'-p i 1 I-ttlj.
"TTltillXijJX^
T"rnTiTlt-lmiI^
f.
TTU ? Oilli ' LU-t4-L
r+tTi. m iE3» ISÎ+f
__^_j_|_iT-ri~rj iTTXuX,
IXlipiLi-i-i-"- ' t-^^ié-^
^J^jJmî^lÀLà^mLjJmu,
: 1 1 i ; ! 1
' 1 1 i i 1 !
! j M : |
i~j-~j ■■ 1 1
i i i r j i
1 ! ; j ' j i
; ! 11 ; i
i i 1 i 1 1
1-j i : j HL,
1 | 1 i j i ;
îj i i i !~T •
i i ; [_' .
jjXlu.-
-^-U4 U .
•rTTTh^
b)
FlG.A3.13.
II. 5. — Risques liés à la foudre, protection
La montée de la valeur du champ électrique environnant peut produire des manifestations
spectaculaires, annonciatrices du danger : cheveux qui se dressent sur le tête, bourdonnement ou « bruit
d'abeille » mèches lumineuses qui parcourent les arêtes des rochers et se forment autour des mains et
de la tête.
Les modes de foudroiement sont multiples :
i) Le risque de coup de foudre direct souvent fatal, dépend de la position adoptée, et augmente si
l'on porte des objets métalliques au-dessus des épaules, tels que des skis par exemple (Fig. A3.14a).
ii) La tension de pas est une tension électrique importante produite par l'écoulement d'un courant
de sol, lors de la montée du potentiel de terre, après qu'un éclair se soit abattu. Entre les deux pieds d'un
promeneur, elle peut être assez importante pour produire l'électrocution. En montagne, des troupeaux
entiers d'animaux peuvent être victimes de l'électrocution par tension de pas. En outre, des lésions par
contact peuvent survenir si l'on s'appuie sur une paroi conductrice du courant de sol (Fig. A3.14b).
ni) Enfin, un éclair latéral peut se produire et atteindre des personnes à proximité d'arbres ou
abritées dans des cavités naturelles (Fig. A3.14c).

Simulation en électromagnétisme
641
*
V
1
s,' «vi>
f
t
b)
c)
Fie. A3.14.
Pour se protéger de la foudre quand l'orage menace, il convient d'abord de ne pas rester exposé
sur un sommet. En montagne, une pente enneigée ou un éboulis limite les risques d'un coup de foudre
direct. La meilleure position semble être accroupie, la tête rentrée dans les épaules, pieds et jambes joints
(Fig. A3.15a). Une pierre plate, un sac à dos ou des vêtements maintenus secs peuvent être utilisés pour
s'isoler des courants de sol. En groupe, il est nécessaire de s'isoler les uns des autres en maintenant
un écart minimum de deux mètres. Un point haut d'au moins quatre mètres protège d'un impact direct,
dans une zone égale à sa hauteur, dans un rayon inférieur à 30 m, et en maintenant un écart de deux
mètres avec la base. La protection de la zone diminue au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la base
(Fig. A3.15b). Les cavités naturelles assurent aussi une protection, à condition d'être vastes afin de
permettre de s'asseoir à plus d'un mètre des parois et d'avoir au moins 3 m découverts au-dessus de la
tête ; on limite ainsi les risques d'un éclair latéral.
a sssmst ■ s j*«H- '
{ 1
\H
•:|i
6.
V'JT*
*J.
a)
H
b)
FiG.A3.15.
III. — CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE
III. 1. — Objectif de la simulation
On se propose d'établir la carte du champ magnétique terrestre à partir de données issues d'un
modèle théorique simple, fondé sur l'approximation du dipôle magnétique (cf. chapitre 12).

642
Annexe 3.
III. 2. — Origines du champ magnétique terrestre
La propriété d'orientation d'une aiguille aimantée dans une direction voisine de celle du méridien
(ligne joignant les pôles géographiques et passant par le lieu d'observation), est mentionnée en Chine
dès le IIe siècle av. J.-C. L'avènement de l'electromagnetisme permettra bien plus tard de donner une
interprétation à ce phénomène. L'aiguille aimantée d'une boussole, astreinte à se déplacer dans le plan
horizontal, s'oriente suivant la projection des lignes de champ magnétique terrestre dans ce même plan.
De nos jours, la connaissance du champ magnétique dans l'environnement de notre planète revêt une
grande importance à bien d'autres égards, notamment dans la compréhension de l'interaction entre le
vent solaire et la magnétosphère.
Le champ magnétique terrestre est considéré comme résultant de la superposition de trois champs :
i) Le champ magnétique interne
La rotation rapide de la Terre sur elle-même, associée à un important gradient de température,
engendre des cellules de convection dans le noyau externe, entre 1 300 et 3 500 km du centre. Composées
de matériaux à très forte conductivité électrique, fer et nickel à l'état liquide, ces cellules sont
parcourues par des courants intenses qui produisent le champ magnétique interne. Ce mécanisme porte le nom
d'effet dynamo. Le champ interne entretient par induction les courants électriques qui circulent dans le
noyau.
ii) Le champ magnétique crustal
Ce champ crustal est produit par les roches magnétiques de la croûte terrestre. De moindre intensité
que le champ interne, il décroît rapidement avec l'altitude.
iii) le champ magnétosphérique
Le champ magnétosphérique résulte de l'interaction entre la cavité magnétique terrestre, appelée
magnétosphère, et le vent solaire. Les manifestations les plus spectaculaires de cette interaction sont les
aurores boréales et australes.
Remarque : Le champ magnétique terrestre subit des fluctuations journalières, varie lentement au cours
des siècles et s'inverse totalement à l'échelle du million d'années.
III. 3. — Modèle théorique simplifié
Le champ magnétique terrestre est dominé par le champ interne jusqu'à environ 20 km d'altitude.
En première approximation, on peut considérer que le champ interne est créé par un dipôle magnétique,
appelé dipôle de Gauss (cf. chapitre 12), placé au centre de la Terre, dont l'axe fait l'angle / = 10,7°
avec l'axe des pôles géographiques (Fig. A3.16) et dont le moment vaut m — 8, 3 x 1022 A • m2.
a) Champ magnétique de surface
Le champ magnétique B produit par un dipôle magnétique, de moment m, a pour expression,
dans l'approximation dipolaire (cf. chapitre 12) :
_ /xp 3(er • m)er - m
477 r3
En désignant par © la colatitude magnétique, à la surface de la Terre (r = Rr), le champ magnétique
s'écrit, puisque m = m cos © er — m sin © ee :
B = j (2 cos © er + sin © e©)

Simulation en électromagnétisme
643
Pôle nord
géographique
À
Equateur géomagnétique
Equateur géographique
Axe géomagnétique
Pôle sud
géographique
FlG.A3.16.
La composante horizontale Bh du champ magnétique terrestre, dans le modèle simplifié que nous avons
adopté, s'annule aux pôles géomagnétiques (0 = 0 et 0 = 77 ), tandis que la valeur de B passe par
un maximum :
J/2
= J^OL sin @ et £
4irR3T
AttR\
^(l+3cos2©)1
Ainsi, plus on s'approche des pôles géomagnétiques, plus la boussole rencontre des difficultés à
s'orienter. On dit parfois qu'elle devient folle !
Recherchons la valeur du champ B en fonction de la latitude À et de la longitude géographique
<p d'un point M à la surface du globe terrestre. Les coordonnées actuelles (IGRF 1995) du pôle nord
géomagnétique du dipôle de Gauss sont :
Àc = 79,3° et ?>c = 71,5°
Introduisons les latitudes et longitudes géomagnétiques de M, A = 0 — tt/2 et <I>. Pour
établir la correspondance avec les coordonnées géographiques, il est pratique de visualiser sur la sphère
(Fig. A3.17a), les grands cercles qui définissent tous ces angles. Un grand cercle est formé par
l'intersection de la sphère avec un plan passant par son centre. Conformément à l'usage, les longitudes seront
orientées positivement vers l'ouest.
En trigonométrie sphérique, on démontre qu'il existe, entre les six angles formés par le triangle
sphérique ABC (Fig. A3.17b), les relations suivantes :
cos a — cos b cos c+sin b sin c cos A
sin a cos B — cos b sin c—sin b cos c cos A et
sin A sin B
sin/?
où A , B et C sont les angles dièdres formés par les plans OAB - OAC, OAB - OBC, OAC - OCB ;
a, b et c sont les angles BOC, AOC et AOB.

644
Annexe 3.
N (Pôle nord géographique)
Equateur
terrestre
Fig.A3.17.
b)
Le triangle sphérique PNM est explicité sur la figure A3.18a. Appliquons les relations générales
du triangle sphérique ABC (Fig. A3.18b) à NPM, avec A = <pG - <p, B = tt + O , a = tt/2 - A ,
b = tt/2 — A et c = i. Il vient :
cos ( — — A J = cos ( — — À J cos / + sin ( — — A j sin / cos (<pG — <p)
sin ( — — A ) cos (77 + 4>) = cos ( — — À J sin / — sin ( — — À J cos / cos (<pG — <p)
et :
sin(7r + <£>) sin(^G — <p)
sin (tt/2 - A) ~ sin (tt/2 - A)
Finalement, les relations de passage s'écrivent :
sin A = sin A cos / + cos A sin /cos(<pc — <p)
cos^
cos A cos / cos(<£g — <p) — sin A sin /
et :
sin<î> = -
cos A
cos Asin(<pG — <p)
sin A
Ces relations permettent de calculer le champ magnétique en fonction de A et <p, puisque la
colatitude ©, introduite dans l'étude du dipôle de Gauss, est reliée à la latitude géomagnétique par
0 = A + tt/2 .
b) Déclinaison magnétique
On appelle déclinaison magnétique, ou variation du compas, l'angle entre la direction de la
boussole et la direction du pôle nord géographique. Sa connaissance est indispensable pour retrouver
précisément le nord géographique, à partir de la lecture d'une boussole. En raison des variations séculaires
du champ magnétique, la déclinaison magnétique varie au cours du temps, de façon imprévisible, au
point de rendre obsolète sa valeur indiquée par une carte qui date de quelques années. Une autre
difficulté est la dépendance avec la déclinaison magnétique du lieu géographique. Lorsque la connaissance
précise de la déclinaison magnétique est nécessaire, on peut obtenir des valeurs actualisées par le biais
du modèle du Champ de Référence Géomagnétique International (IGRF en anglais), d'accès public.

Simulation en électromagnétisme
645
TV
^ifQ — (f%
- -A X
2 X
a)
\2
\
\:î
1
M
A
b)
FlG.A3.18.
C
Sur la figure Fig. A3.17a du globe terrestre, la déclinaison magnétique est l'angle dièdre entre
les plans OMP - OMN , c'est-à-dire l'angle —8 (Fig. A3.18a) ; le signe moins est conventionnel, car la
déclinaison magnétique est comptée positivement lorsque, localement la direction du nord géographique
est vue à l'ouest de la direction indiquée par la boussole. Par permutation circulaire des lettres A , B ,
C (Fig. A3.18b), on obtient la relation :
sin A sinC
Appliquée au triangle NPM , cette relation devient :
sin(<pG - <p) sin(-ô)
;in(7r/2 — A sin/
soit sin 8
sin /sin(<pG — <p)
cos A
III. 4. — Cartographie
Pour représenter le champ magnétique sur une carte du globe terrestre, il faut adopter un modèle
de projection cartographique. Puisqu'en première approximation, la Terre a une forme spherique, toute
tentative de la représenter sur un plan s'accompagne inévitablement d'une déformation. Au cours des
siècles, de nombreuses méthodes ont été élaborées ; ces méthodes sont, de nos jours, couramment
utilisées. Chacune possède sa propre spécificité : conservation des angles sphériques, des aires, projection
sur un disque, sur un secteur, etc.
La projection de Mercator, du nom du cartographe du XVIe siècle, présente l'avantage de conserver
les angles sur la sphère, mais l'inconvénient de rejeter les pôles à l'infini, interdisant de représenter les
régions polaires. Nous allons utiliser la projection de Miller qui date de 1942 ; elle est semblable à la
projection de Mercator, mais autorise la représentation des régions polaires, au détriment néanmoins
d'une perte de fidélité dans la représentation des angles. La projection de Miller projette la sphère dans
une région rectangulaire du plan selon le procédé suivant :
x = <p et y = - In
4
tanl^ + ^A
La transformation inverse s'écrit :
et
\ \ f4 \
< arctan exp I -y 1

646
Annexe 3.
III. 5, — Simulations
a) Modèle de Gauss
À partir du modèle de Gauss, nous avons établi l'expression du champ magnétique à la surface de
la Terre dans le repère du dipôle. Les relations de changement de coordonnées obtenues à l'aide de la
trigonométrie sphérique, permettent de calculer le champ en un point du globe. Finalement, la projection
de Miller permet la représentation des résultats dans le plan.
On peut par exemple remplir une grille, d'axes Ox et Oy, et pour chaque point en déduire les
coordonnées géographiques À et <p à l'aide de la transformation inverse de la projection de Miller ; on
obtient alors par changement de repère les coordonnées géomagnétiques A et 4> puis l'angle @ . La
déclinaison magnétique et la valeur du champ magnétique peuvent alors être calculées en chaque point
de la grille.
Les figures A3.19a et b représentent respectivement les lignes d'égale valeur du champ magnétique,
à la surface de la Terre, et d'égale déclinaison magnétique. Pour plus de lisibilité, les continents ont été
représentés.
Fie. A3.19.
b) Modèle IGRF
Les géophysiciens utilisent un modèle beaucoup plus élaboré que le modèle de Gauss : le Champ de
Référence Géomagnétique International (IGRF). Ce modèle est construit à partir des mesures du champ
magnétique sur tout le globe. Le champ B est construit à partir d'une fonction /(r, À, <p), appelée
« potentiel géomagnétique » , que l'on développe sur la base des harmoniques sphériques :
N i , y+l
/(r, à, ?>) = rt J2 E ( -y ) te/ cos(^) +/7' sin(^)l pî(sin A)
,-=i /=o ^ r '
Le développement est mené jusqu'à l'ordre N — 10, ce qui représente un total de 120 coefficients.
Les coefficients sont rassemblés dans des tables, en fonction de l'époque, et constituent le fondement
du modèle. Tous les cinq ans, après compilation des campagnes de mesure, le modèle est remis à jour.
Ainsi, IGRF 1995 a été établi à l'aide des données antérieures à 1995 ; le modèle actuellement en vigueur
est IGRF2000.

Simulation en électromagnétisme
647
Les figures A3.20a et b représentent respectivement les lignes d'égale valeur du champ magnétique
à la surface de la Terre et de la déclinaison magnétique fin 2001. Il est intéressant de comparer les
résultats fournis par le modèle IRGF2000 avec ceux prévus par le modèle de Gauss. Même si des
différences notables apparaissent dans la forme des lignes d'égale valeur de B , la structure globale du
champ magnétique terrestre reste proche de celle engendrée par un dipôle magnétique placé au centre
de la Terre.
a) b)
FiG. A3.20.

Réponses aux vingt questions
1. La formule £e = qV est l'énergie potentielle de la charge q dans le potentiel V produit par
une distribution qui lui est extérieure. Le facteur 1/2 s'introduit lorsque l'énergie concerne le système
constitué par l'ensemble des charges du conducteur (cf. chapitres 3 et 8).
2. Le développement dipolaire est plus utile en électrostatique, car les distributions de charges
électriques sont généralement neutres, alors que la somme des masses d'un système est toujours positive
(cf. chapitre 5).
3. La proportionnalité entre la vitesse de dérive u des électrons et le champ électrique E est
attribuée, selon le modèle de Drude, à l'existence d'une force phénoménologique de frottement visqueux
(cf. chapitres 6 et 7). Dans un modèle plus élaboré, cette force est un effet moyen de collisions des
électrons avec les impuretés du conducteur.
4. La durée d'établissement d'un courant dans un circuit n'est pas déterminée par la vitesse de dérive
des électrons mais par la durée de propagation des ondes électromagnétiques qui est, dans l'air, de
l'ordre de c = 3 x 108 m • s-1 . On a donc le retard r = l/c ~ 3/c = 10-8 s, ce qui est imperceptible
(cf. chapitre 16).
5. La conductivité est le produit de la charge volumique par la mobilité des porteurs. Dans un
métal, le nombre d'électrons reste constant, alors que la mobilité est limitée par l'agitation thermique.
En revanche, dans un semi-conducteur, l'agitation thermique provoque une très forte augmentation du
nombre de porteurs de charge, ce qui compense la diminution de la mobilité (cf. chapitre 7).
6. Le libre parcours moyen d'un porteur de charge, qui assure la conduction électrique, est bien plus
grand que la période spatiale du réseau cristallin. Ce sont les collisions de ces porteurs, avec les
imperfections du conducteur, qui limitent sa conductivité (cf. chapitre 7).
7. La surface de la Terre est globalement chargée sous l'influence de l'électrosphère, laquelle est
électriquement chargée du fait de l'interaction des rayons cosmiques avec les molécules et les atomes de la
haute atmosphère (cf. chapitre 8).
8. En raison de l'effet électrostatique de pointe, il faut s'éloigner des arbres qui se comportent comme
des pointes conductrices lorsqu'ils sont recouverts d'une pellicule d'eau (cf. chapitre 8). En s'accrou-
pissant, on évite de réaliser une telle pointe avec son propre corps.
9. Le champ électrostatique au voisinage de la Terre, d'environ 130 V • m- ' , est sans influence sur les
êtres vivant sur la Terre, car les équipotentielles sont modifiées par la présence de ces corps conducteurs
(cf. chapitre 8).
10. Les variations très rapides des champs et des courants dans un éclair font que l'effet de peau
empêche leur pénétration dans les carcasses métalliques. Seule la surface extérieure est concernée (cf.
chapitre 17).

Réponses aux vingt questions
649
11. La décomposition de l'eau par une décharge électrique, telle que la foudre, produit un taux assez
élevé d'ozone (O3) (cf. chapitre 8).
12. Le flux ne pouvant varier instantanément (loi de Lenz), si on diminue brutalement la surface,
l'intensité du champ augmente d'autant (cf. chapitre 14).
13. Dans le cas de la force magnétique de Lorentz q\ x B , le déplacement considéré est celui de la
charge, à la vitesse v , alors que, dans le cas de la force de Laplace, le déplacement est la combinaison
du déplacement de la charge, à la vitesse v, et du déplacement du conducteur à la vitesse V.
14. En régime stationnaire ou quasi stationnaire, un courant ne peut circuler dans un circuit que si
ce dernier est fermé. Notons qu'en régime quasi stationnaire les condensateurs sont des zones où les
circuits sont ouverts, mais l'intensité est la même en tout autre endroit du circuit. En régime rapidement
variable, il n'en est pas de même ; l'intensité varie d'un point à un autre du circuit (cf. chapitre 20).
15. On introduit un diélectrique entre les armatures d'un condensateur afin d'augmenter sa capacité et
donc l'énergie électrique qu'il emmagasine. On peut obtenir ainsi des capacités de l'ordre du farad dans
des volumes raisonnables (cf. chapitres 10 et 21).
16. Le noyau confine le champ dans son volume. Comme sa réluctance est très grande, une force
magnétomotrice faible suffit à créer un flux important (cf. chapitre 26). On feuillette le noyau afin de
réduire les pertes d'énergie électromagnétique par effet Joule dans le matériau (cf. chapitre 23).
17. Le ferromagnétisme ne peut pas être interprété par l'interaction entre les différents moments
magnétiques contenus dans un matériau, car l'énergie d'interaction de ces moments est beaucoup trop
faible (cf. chapitre 26).
18. La supraconductivité ne se réduit pas à une supraconductivité, car elle est fondamentalement
caractérisée par un champ magnétique nul dans le matériau ; c'est l'effet Meissner (cf. chapitre 27).
19. On interprète la couleur bleue du ciel par la diffusion des ondes électromagnétiques visibles par
les électrons atomiques qui vibrent (cf. chapitre 28). De ce fait, les ondes de forte amplitude, réémises
par les électrons, perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde incidente, sont celles de
faible longueur d'onde, d'où la couleur bleue. Corrélativement, celles qui sont émises dans la direction
de propagation sont celles de forte longueur d'onde, et donc rouges.
20. Dans un guide d'onde, la vitesse de phase est supérieure à la vitesse c de propagation de la
lumière dans le vide. Mais la vitesse de groupe, qui, elle, a une signification physique en relation avec la
propagation de l'information et de l'énergie, est inférieure à c (cf. chapitres 28 et 30). Ce résultat n'est
pas en contradiction avec la théorie de la relativité restreinte, selon laquelle une information ne peut se
propager à une vitesse supérieure à celle de la lumière dans le vide.

Solutions des exercices et problèmes
* La solution des exercices et problèmes dont les énoncés sont affectés du signe (wëb) figure sur le site
internet http://webast.ast.obs-mip.fr/people/perez/index.html
Chapitre 1
SI- 1. Distribution isotrope de charge
1. Comme l'élément de volume d P peut être pris égal à Airr1 d r, du fait de la symétrie sphérique, on a :
A n , 4ttR3 4ttR3 SttR3
477-r d r = po — Po—z— = —r^-po
2. po = 5, 5 x 1025 C • m-3, pm = 2.2 x 1025 C • m-3 .
SI- 2. Charge volumique électronique dans l'atome d'hydrogène
Comme la charge négative vaut — e , il vient, puisque d P = 477-r2 d /
f Cexpf -— | 477-r2 dr
ctoj
-e = 477-C
tfo
" 2
2 / 2r
r exp
1 tfo
+ go / exp ( ) r dr > = 47rCciq / exp ( ) r dr
ciqJ
En intégrant une seconde fois, par parties, on obtient :
2r
f.
Par conséquent :
exp I | r d r =
«0
./O
+ ?./ -Pf-f'ld-
«0
" 4
Go
«pi~)
L
exp I ) rdr= -? d'où — e = 7tCûo et C -
0 V «o/ 4
-3,44 x 10" C-irT3.

Solutions des exercices et problèmes
651
SI- 3. Charge surfacique d'une couche sphérique
1. La charge totale a pour expression :
[(*+§)'-(*-§)1-
Ait
Q = -y Po
477 fa5 o
■ AirpoaR2 ( 1 +
2R2
2. La distribution de charge peut être considérée comme surfacique si a <C R . On a alors :
g « 47rR2opo soit g « 4irR2cr avec cr = «p0
SI- 6. Sphère de distribution surfacique en cos 6
1. La charge de la calotte sphérique s'obtient en intégrant sur la surface :
r roc ra
Q= / cro cos 0 dS= / cr()cos6> x 27T/?sin 0R d 0 = 2tt a0R2 / sin 0 d(sin 0)
Js Jo J{)
d'où :
Q = 2tt cro R2
sin^ 0
= 77 cro R sin^ a
2. La charge surfacique moyenne d'une demi-sphère est donc :
— Q _ ^^o^2 _ ^o
CTm ~ 2ttR2 ~ 2ttR2 ~~ 2
3. A.N: Q = 20,4x 10"6C,o-WI = 0, 13 C-m-2
SI- 7. Charge volumique d'un noyau
Comme les nucléons sont régulièrement répartis, on a : 47rR3/3 = Av„ , si v„ désigne le volume d'un
nucléon. Il en résulte que :
3'u,.
1/3
l'/3
*=(^) x^=M
■/3
La charge volumique s'obtient alors aisément :
p— r-—- — =— d ou p= 1,33x10 C • m
4t77?3/3 4tt/?JA
puisque Z = 6 , A = 12 et Rq = 1, 2 fm pour le carbone.
SI— 11. Modèle de charge ponctuelle
1. Pour calculer C , effectuons l'intégration
f°° e ( 2r\ A 2 A Aire fc
2rN
exp ( ) r d r
d'où :
47re
ra ( 2r
exp --
b)],;^/>bw
4irea 2
et C = ira
AC

652
Solutions des exercices
2. Calculons la charge Q(R) contenue dans la sphère de centre O et de rayon R = 3« ;
«*-?/>(-?) "-s
ar ( 2r
"T exp
2 V a
K a f
+ 2
0 Z •/()
2r \ A
exp [ 1 d r
soit, en effectuant cette dernière intégrale :
Q{R) = e
. 2R\ 2R ( 2R
1 — exp exp
1 a I a \ ci
On trouve : Q = 0, 98 e pour R — 3a . On peut donc considérer, avec une bonne approximation, que pratiquement
toute la charge e est localisée dans cette sphère.
Chapitre 2
S2- 1. Expérience de Coulomb
À l'équilibre le moment de la force électrique est compensé par le couple de torsion, soit :
Ca = F cos ( —
4tt£0AB2
A.N: /LB = 6, 69 cm, ? = 3, 05 x 1(T1()C
(!)-sàF'~(i) « «=«*(!)
S2- 2. Balance de torsion de Coulomb
1. L'application du théorème du moment cinétique par rapport à l'axe de rotation donne l'équation du
mouvement :
ÛLoz ^n ,, v -A . 2n A 2 C 277
—-— = — C0 d ou 0 + (Oq6 = 0 avec co0 = et 7o = —
d r / + 2/??/?- W()
2. Pour obtenir la nouvelle équation différentielle, il faut exprimer le moment de la force de Coulomb que A
exerce sur B , par rapport à l'axe (Fig. S2.1) :
OB x
CjAqii AB _ ciacjb Rs\na _ cjacjb RDsint
47T£q AB3 47T£0 AB2 Attsq AB3
car sin a/D = sin 6/AB . Comme, en outre 6 est petit, AB ^ D — R . Il en résulte :
(/ + mR2)0 + w'ie = 0 avec co'l = ( 1 +
cjaCJbRD \ C
4tt£0CD3 ) I + 2mR2
et r0-.
2tt
Par conséquent :
To\ _ . qAqBRD
T;J ~ AtteqCD3

et problèmes
653
D
A
Fie. S2.
S2- 3. Champ électrostatique produit par deux charges ponctuelles
Le champ électrique a pour expression :
q ( v-aez r-\-aez \ _ q
E(r) = ~a T\ ÎÏT + "H—; iïT d ou ^W
- a z + a
"Ï3" +
47tsq \\z-a\* \z + a\3
sur Taxe ( r = zec ). On a donc respectivement, pour z > ci, \z\ < a et z < — a :
Ez(z) =
4ttso (r - </2)2
Ez(z)
q Aaz et £i(z) = _^ 2(z2+«2)
477£o (Z2 - û2)2
47T£o (Z2 - fl2)2
S2- 4. Champ électrostatique créé par un cercle chargé
Explicitons, en coordonnées cylindriques (r, <p, z) , sachant que OM = ze~ et OP = Re, . Il vient :
nM) = —ï—^OP dou E(z) = ï^yo (z2+/?2)3/2^
47760 /c ™
<P
Comme l'intégrale de e,- suivant l'angle q> est nulle, on trouve :
E(
Ao IttRz Ao/? z
4t7£0 (z2 + R2)3/2 z 2eo (z2 + /?2)3/2
S2- 6. Champ électrostatique créé par une ligne infinie
1. Appelons, comme sur la figure S2.2, H la projection sur la ligne du point M où l'on calcule le champ E
et explicitons la composante radiale de E en coordonnées cylindriques (r±, <p, z) . Il vient, en introduisant l'angle
a = (HM, PM) :
E±(M) =
L
4tt£o Jc PM3
PM-ei ,, A
d/ =
rn cos3 a R _ A r/2 cos a
J_7T/2 R2 cos2 a 4tt£{) ./_w/2 R
dtt
puisque : OP = R tan a , ce qui donne en différentiant : d/ = R ( 1 + tan2 a) ûa = Rda/cos2 a . Il en résulte
que :
E±(M)-
27T£qR
f^
H'
P~
^
,—5—.
/V
' r±
M
FiG. S2.2.

654
Solutions des exercices
2. On retrouve rapidement le résultat précédent en appliquant le théorème de Gauss sur un cylindre d'axe Oz .
de hauteur / et de rayon R . Comme le champ est radial, du fait de la symétrie (cf. chapitre 4), il vient :
2irRlE± = — d'où E± = A
£() 17T£()R
S2- 7. Champ électrostatique créé par une distribution sphérique uniforme de charge
1. Compte tenu de la symétrie radiale de la distribution (cf. chapitre 4), le calcul de E = Er(r) er s'effectue
aisément à partir du théorème de Gauss appliqué sur la sphère de rayon r . Il vient, puisque la normale extérieure
coïncide avec le vecteur unitaire e, :
E-ndS = Erx47rr2 = ^ d'où E = — % er
£o 4tt£0 r2
(1) Si r ^ R , Qin = 4irR?pQ/3 : E,v = ^- \ er.
3£o r2
(2) Si r ^ R , Qin = 47rr3p/3 = (r//?)3 Q : E,„ = ^re, = ^-r .
2. On a E = Q/(4tt£0R2) avec Q = 6e d'où : E = 6x 1021 V ■ m-1
S2- 9. Expérience de Millikan
l.Une gouttelette est soumise à quatre forces : son poids — 47rr3p*gez/3 , la poussée d'Archimède
4/irr3p*gez/3 , la force de frottement visqueux —67rrjr\ et la force électrique qE. La loi fondamentale de la
dynamique donne, en projection suivant la verticale ascendante Oz :
4 3 * du- 4 3 „
377/'P "^d7 = _37rr^P -Pa)g-v7rTjvz + qE
Les vitesses limites sont donc :
4 7rr3 , * *x 4 77-r3 , * *N <y£
^c,o = --t (p -pfl)g et vz,E = --? (p -p„)g+7
3 67777/- 3 677-77r 677-T7r
2. On en déduit 4 = (vZje — vz$)6in)r/E . Notons que ?;-,£ = 0 pour Ez = 477T3(p* — p*,)g/q .
3. A.N: 4= 14,4 x 10_,9C«9e.
S2- 12. Champ électrostatique créé par une distribution volumique écrantée
1 En appliquant le théorème de Gauss, sur une surface sphérique, de centre O et de rayon R , on trouve :
4ttR2 x E, = — avec Q— / p0 exp ( J d P = 47rp0 / f2 exp f - - J d r
L'intégration par parties donne :
/V«p(-;)"=M''(-;)]>jf'(-;)"
avec :

et problèmes
655
soit
On trouve finalement :
jf'H)"—(~M-2)"<-«B
Er-P^
2-exp 2 + 2- + —
1 a I V <:/ a1
soR2
Pour 7? très grand devant a , le champ se réduit à :
_ 2poc/3
La dépendance en 1 /R2 était prévisible puisque la distribution est alors assimilable à une charge ponctuelle.
2. En identifiant avec le champ e/(47T£oR^) créé par une charge élémentaire, on a po = e/(&7ra~ ) , d'où :
po = 3,7 x 1024C-mT3.
Chapitre 3
S3- 1. Potentiel et champ crées par une répartition symétrique de quatre charges
1. On a :
V ; 4tt£{) \AM BM CM DMJ
avec, par exemple : AM = [(x — a)2 + v2]1^2 . On en déduit, en développant jusqu'à l'ordre 2 inclus :
AM-- = -ll-* + £+iY,/2!V!-(i + ï + 2*-yi
a \ a a2 J a \ a 2a2
De même, en changeant a en —a , ou x en y :
a \ a 2a- J a \ a 2al
Pour calculer DM~X , il suffit de changer en a en — a et x en y :
a 2a2
Il en résulte :
..2 %2 o ,2 JZ
q (2xr — y 2y — x \ _ 3q , 2 2n
Les équipotentielles sont définies par x2 — y2 = Cte . Ce sont des hyperboles dont les asymptotes sont les droites
y = ± x .
2. À partir du potentiel, on trouve :
_ dV _ 6qx _ OV _ 6qy
dx 47T£oa3 y dy 47T£oa3
On en déduit l'équation des lignes de champ :
d -v d y ,, v d x d v n ^
— - — d ou h — — 0 et xy = Cte
Ex Ey x y
Ce sont des hyperboles équilatères perpendiculaires aux équipotentielles.

656
Solutions des exercices
S3- 3. Énergie électrostatique d'un système de charges élémentaires
1. On a, pour cet ensemble de charges :
£<- = \ E «'"M = \ [-^V(A) + eV{0)]
V(A) étant le potentiel créé, en l'un quelconque des quatre points où se trouve une charge négative, par l'ensemble
des autres charges, et V(O) le potentiel produit au centre par les quatre électrons. Il vient, en explicitant :
1/04) =
Finalement :
-2e
4tt£q ry/2 4tt£q 2r Atteq r 4tt£q
^(—a/2 — 0, 5 -h 1) et V(0)
1
-4e
47T£q r
Se
1
4tt£q rlr
[-4(-\/2 + 0,5)-4] soit 8e-.
2e2
4ttS{) r
{y/2- 1,5) <0
2. Si l'on abandonne le système, à partir du repos, il évoluera de telle sorte que son énergie cinétique augmente.
Donc, comme l'énergie totale est constante, £c doit diminuer et, puisque d£e/dr > 0, r aussi. Ainsi, les
électrons convergeront vers le centre.
S3- 4. Énergie électrostatique d'une molécule NaCl
1. À la position d'équilibre stable, £e est minimale
d£e e2 9b
d r 47T£o r2
m 0 donc b= —— ^ =2,21 x ÎO-106 SI
10 4tt£{) 9
2. L'énergie de dissociation de la molécule vaut :
b
£e(r{)) = -- + -ô = -~A W~ = -4,6eV
4tt£o r0 rQ 4tt£o 9r0
d'où NA£e(r0) = -(NAe) x4,6= -447, 5 kJ • moL
Fig. S3.1.
S3- 7. Champ et potentiel à symétrie cylindrique
1. L'équation de Laplace s'écrit, en coordonnées cylindriques :
1 Ô ( ÔV\ Ô2V „ . d ,
-pdp(p^)+W = ° solt tTP^
d2v
ne introduisant le champ radial Ep = — dV/dp .

et problèmes
657
2. On en déduit :
/■
p£„ = / p -^-y d p + Cte = —^ ^- + Cte d'où E,,
"~7 "V^T^ "V^;„ 2 ™ """ ^"2lfe
72
puisque d2V/dz2 est indépendant de p et Cte = 0 , ce que l'on établit en faisant p = 0 . Ainsi, la composante
radiale du champ électrique est proportionnelle à la coordonnée radiale.
S3- 9. Potentiel écranté
1. Les quantités q et a ont pour dimensions respectives : une charge et une longueur. Le champ s'obtient
aisément à partir du potentiel :
E = _g™dV(r) = -^«,= ^- fl + l)exp(-n
dr 47T£o \r2 ar J V a)
2. Le théorème de Gauss appliqué sur la sphère donne :
[E.ndS = m d'où Wx-if-f-UlWf-n
7,5 £o 47T£o \r2 arj V a)
On en déduit :
eW=,(, + 0expH)
Pour r = 0 , <2,„ = g , alors que, pour r infini, Qm = 0 . Au centre, il y a donc une charge ponctuelle, de valeur
q , entourée d'une distribution volumique de charge dont la somme vaut —q , de telle sorte que la charge totale soit
nulle lorsque r tend vers l'infini.
3. La densité radiale de la charge a pour expression :
p,■= — =q exp(--) ( - + — ) = -q-^r exp (--)
dr V a) [a \a a2 )\ a2 V a)
Elle est nulle pour r = 0 et pour r infini ; elle est négative dans le cas de l'hydrogène ( q = e ) et passe par un
minimum si :
dPr
Sa valeur minimale est donc : —e/(2,71 Sa) = 1,1 nC • m
v i n -, i — i- « =v soit r = a
dr
S3- 11. Calcul de l'énergie d'une boule chargée à l'aide du champ
1. Le champ électrostatique en tout point de l'espace a pour expression (cf. chapitre 3) :
r pr 1 Qr ^ \ Q
Ein = f- = ^ er et E,, - ^ er
3£q 4tT£q 7?3 47T£o r1
Comme, du fait de la symétrie, l'élément de volume peut être pris égal 47rr" d r, l'intégration donne :

658
Solutions des exercices
2. Par analogie entre le champ électrostatique et le champ de gravitation (cf. Mécanique), on obtient, en
remplaçant les charges par les masses et \/(47T£q) par l'opposé de la constante de gravitation —G :
_ _3 GW_
tpt8~ 5 R
Ces deux énergies sont égales en valeur absolue si :
^= (—!—") = l,16x 10,uCkg-
M \4tt£oGJ
S3- 12. Potentiel et champ créés par une distribution surfacique de charge a — aç, cos 0
1. On sait que le champ produit par une sphère, de rayon R et de charge Q uniformément répartie en volume,
est radial et qu'il vaut à l'intérieur et à l'extérieur respectivement (cf. chapitre 3) :
E,„(M) = -J- % e,- = /-r et E,V(M) = -J- % er
47tso R3 3eo 4ttso r2
e,- étant le vecteur unitaire radial des coordonnées spheriques. Quant au potentiel, on l'obtient en appliquant la
relation E = — grad V — — (d V/ d r) er et en tenant compte des conditions aux limites. On trouve (cf. chapitre 3) :
Viii{M) = _fi_ ( 3 _ s\ et M„) = _e_I
v ; 47reo V27? 2fl3/ v ; 4tt£{) r
2. Le champ produit par la distribution considérée est la somme des champs produits par chacune des sphères.
On a donc à l'intérieur :
E„, = E,,,,, + E/w,2 = /-(-0,M + 02M) = -^-020, = -^- e,
3£0 3e0 3eo
Ainsi, le champ est uniforme à l'intérieur. On en déduit le potentiel en intégrant l'équation Ez = —dV/dz '■
I
3eo 3eo
Dans le cas considéré :
cro pa . 2x 106x5x 10-'2 X3677X 109 Q__, A/ _,
E/w = --— e, = --— ec d ou E„, = « 377 kV • m
3£0 3eo 3
Remarque : En tout point extérieur, le champ résultant est la somme des champs produits par deux charges
ponctuelles — q et q distantes de a . Le système se comporte comme un dipôle (cf. chapitre 5).
S3- 13. Potentiel électrostatique créé par un segment chargé
1. Le potentiel V a pour expression :
4tt£0 J PM
avec : PM = x/ cos 6 et d / = d OP = d(z + jrtan 0) = x(l + tan2 0) d 0 = xd 6/ cos2 0. On a donc :
|tan(02/2 + tt/4)\\
r *l = (-
47T£o Jn COS 6 \47T£q
tan(0,/2 + 7r/4)

et problèmes
659
2. Dans le triangle A\A2M (Fig. 2.14), introduisons les angles a\ et a2 que font respectivement A\M et
AoM avec A\Ai . On a les relations suivantes, en posant r\ = A\M et r2 = v42M :
r2 = r]" + 4c" — 4cr\ cos ai = (ri — 2c)*" + 4cn (1 — cos a\)
d'où :
r\ - (r, - 2c)2 (r, + r2 - 2c) (r2 - r, + 2c)
1 — cos ai = — — = — -
4cri 4cn
et:
0.2/a'i\ . , (a\\ (n + r2-2c)(r2 - n +2c)
2 sin — = sin a\ x tan — = -^
V 2 / V 2 / 4cr,
De façon analogue, on trouve, pour an :
~.2(OLi\ . ^ fa2\ (ri +r2+2c)(r2 - n - 2c)
2 sin — = sin a2 x tan — = — -
V 2 / V 2 / 4cr2
3. Comme :
tan(a2/2) _ sin ai ri (ri + r2 + 2c)(r2 — ri + 2c) sin a\ sin a2
tan(û?i/2) sina2 r2(ri + r2 — 2c)(r2 — ri + 2c) r2 n
il vient finalement :
\477-£o/ \ n + r2 - 2c/ \477£o/ \a — c
en posant c/ = (ri + r2)/2 . Les équipotentielles sont donc les surfaces telles que ri + r2 = Cte ; ce sont des
ellipsoïdes de révolution de foyers A\ et An ; 2a représente le demi-grand axe de ellipsoïde considéré.
Au point considéré, l'ellipsoïde correspond à la valeur suivante de a :
« = (c2+è2)l/2 = (7,52+52)l/2«9cm
d'où
1 >t e.n^U9xlO*0'2!X'°~V^^40V
4tt£oJ 2c \o-cJ 0,15 \9-7,5
Chapitre 4
S4- 1. Sphère uniformément chargée en volume
1. Le champ et le potentiel prennent, en coordonnées sphériques (r, 0, <p) , les formes simples suivantes :
E(M) = Er(r) er et V(M) = V(r)
Pour calculer E,(r) , appliquons le théorème de Gauss sur une sphère S de rayon r. Sur la surface, la normale
extérieuie coïncide avec le vecteur unitaire e,- et le champ est de norme constante. Donc :
{EndS = Er x47rr2 = ^ d'où E=—%er
Js £o 4tt€o r-
À une distance r , il est identique à celui produit par une charge ponctuelle Qin placée à l'origine.

660
Solutions des exercices
Si r ^ R , Qin — Q — 4ttR3p/3 , où p est la charge volumique et Q la charge totale
1 G
47T£q r
la constante d'intégration étant nulle car V(oo) = 0 .
Si r^R, Qin = 4irr3p/3 = (r/R)3 Q , et :
1 Qr
^- e,- et V =
' Ô,e, et V:
477£o r
Q>2
47T£o R
4tt£0 2R7, StteqR
3-
R2
puisque la constante d'intégration, déterminée à partir de la continuité de V aux points r
Cte = 3Q/(Stt£oR) .
2. Les normes des champs, pour r = R/2 et r = 2R , valent respectivement :
1 Ze
R , vaut
— ^=81xl02,V.m-' et E»
47T£o R2
4tt£o 4R2
5 x 10Z1 V-m"
S4- 4. Champ électrostatique créé par deux plans infinis chargés ( a , — a )
1. Le système est invariant par translation parallèle au plan Oxy parallèle aux plans chargés; il en résulte
que E(M) = E(z) et V(M) = V(z) . Tout plan parallèle à Oz est un plan de symétrie; par conséquent :
E(M) = Ez(z) ez ■ Comme Oxy est un plan d'antisymétrie, Ez(z) est une fonction paire et V(z), avec V(0) = 0 ,
est une fonction impaire.
2. On calcule E et V en utilisant la propriété de superposition, soit : E = Ei + E2 et V = V\ + V2 , où
E,- et V,- sont respectivement les champs et les potentiels créés par les plans chargés V\ ou Vi . Ainsi, on obtient
(Fig.S4.1):
f -cr/£0 si |z| < e/2 ( az/eo si |z| < e/2
[ 0 si \z\ > e/2 [ ae/{2£{)) sgn(z) si \z\ > e/2
Pour cr = 5 nC ■ m-2 et e = 2 |xm , la norme du champ uniforme à l'intérieur et la valeur absolue du potentiel sur
les plans valent respectivement :
E= — =565,5 V-m-1
£0
V = — = 0, 566 mV
2£()
-e/2\
a/£o
a)
e/2
Si
E2
Z
-e/2
ae
2e0
/
<V
A
e/2
ae
2e0
z
b)
FIG.S4.1

et problèmes
661
S4- 5. Ligne bifilaire
1. Le système considéré est invariant par translation selon l'axe Oz parallèle aux lignes; tout plan tel que
Oxy perpendiculaire aux lignes est un plan de symétrie . En revanche le plan Oyz est un plan d'antisymétrie. La
variable z n'intervenant pas, le calcul peut être mené dans le plan Oxy et le champ est contenu dans ce plan. En
utilisant la superposition et les résultats relatifs à un fil, on trouve :
E = Ei + E2
et V = Vi + V2
2tt£o \ ri
27T£{) \fj r%
si l'on choisit l'origine des potentiels dans le plan d'antisymétrie V(0,3>, z) = 0 .
2. L'équation d'une ligne équipotentielle dans le plan Oxy est donc de la forme r\ = Kr2 , ce qui conduit à :
(-+?)'
+ /
K1
(-!)'
+ /
Cette équation peut être mise sous la forme : y2 + (x — xq)2 — R2 , pour K ^ 1 , avec :
M) ■
ciK2 +1
2 K2 - 1
et Rl
a
~4
K2 + 1
K2- 1
Elle est caractéristique d'un cercle ; les surfaces équipotentielles sont donc des cylindres (Fig. S4.2).
2. Comme V = 120 V et A = 5 nC • m-1 , on a :
120 = 90 In K d'où tf = 3,8
/? = 0, 15
et:
3,82+ 1
3, 82 — 1
1/2
Il = 8,5 cm
A'o-OJ5^tl = 17,2cm
J. O" — 1
kv
(M
? i \£--1
rr2
KV = Cte
x0
Oz
a
V ï—a ï i
\ : R J\
FIG. S4.2.
X
S4- 7. Modèle quantique de l'atome d'hydrogène
1. La distribution de charge possède la symétrie spherique. On détermine la constante A en écrivant que la
charge totale du nuage électronique vaut — e :
f , 7, a * H 2 f 2r\ A vka\ [^ 2 , x ,
—e = \ pe d v = AttA / r exp dr = —-— / u exp(—u) du
J Jo \ aoJ 2 J0
Comme la primitive de u2 exp(—w) est — (u2 + 2u + 2) exp(—w) , on trouve : A = —e/(7rcio)3 .

662
Solutions des exercices
2. Le théorème de Gauss appliqué sur la sphère de rayon r conduit à : Attt2 E,\r) = Qh,{r)/£o , où la charge
intérieure est due au proton et au nuage électronique :
ç2r/ao
Qi,
Ainsi :
-H
JQ
pe(r')47Tr dr = e
i ! f /a° " < ^ , /, 2r 2r\ /
1 — - / u expf— u) Qui — e\ 1 H 1 T exp
2 Jo V ai) af) ) \
2r
E
47TSo r
Le potentiel s'obtient en intégrant — Er — dV/dr
e
1 e f 2r 2r\ ( 2r
2 H + — + — exP I e'
V(r)
r(*+^w-->«
Attsq Jr \r'<- aor' a0
Calculons la première intégrale en procédant par parties :
exp dr = - exp
f°° 2
exp I ) d /
ce qui fait apparaître l'opposé de la deuxième intégrale. La troisième intégrale est très simple à calculer. Par
conséquent :
V(r) = -L- (i - 1) exp (-*-
On voit que V(ciq) — 0 .
3. Dans les cas extrêmes r <C «o et r ^> «o , on trouve respectivement
V(r)
1 e
\ e ( 2r
et exp
4tt£q ao \ ao
47T£o r
Dans le premier cas, le potentiel est celui du proton seul. Dans le second, le potentiel est celui du proton écranté par
le nuage électronique.
Chapitre 5
S5- 1. Champ électrostatique et potentiel créés par un dipôle
1. On sait que (cf. chapitre 5) :
V(r)
1 p • r
4ttso r3
2. Comme (cf. annexe 2) :
gFad \r^~) = r1 grad(p " r) + (P " r) ërad ( ^
grad(p r) = p et grad I — I = -3 —
r
on trouve, en effectuant :
E =
47TS0
3(p-r)r p
47T£o
3(p • er)er - p
d'où les composantes suivantes de E dans la base des coordonnées sphériques :
n t? ] 2/?cos6> 1 psinO
E, = E • er = — Ee = E • e0 = — et E# = E • e^ = 0
4tt£o r3
4ttso r3

et problèmes
663
3. On trouve : V = 4, 5 V , Er = 4, 5 V • m-1 , Ee = 3, 9 V • m-1 et E = (E; + El)[/2 = 5, 95 V •
4. Les points en lesquels E est perpendiculaire à p sont tels que :
x2 2
\/3 . n , a/3
p • E = 0 soit 3(p • e,-) — p~ = 0 d'où e7, • e,- = ±—- et cos 0 = ±
Dans un plan méridien, les points recherchés sont situés sur les droites faisant l'angle ±55° avec la direction du
dipole.
S5- 2. Moment dipolaire de la molécule d'eau
Comme les moments dipolaires O-H s'ajoutent vectoriellement, il vient : p = 2/;>o cos (0/2) avec
po = cja = aea . Il en résulte que :
Po= P = 1,85 x 3,33 x 1Q-30 =
ea 2eacos(0/2) 2 x 1, 6 x 1Q-'9 x 97 x 1Q-'2 x 0, 614
S5- 4. Dipole dans un champ uniforme
Le potentiel associé à un champ uniforme et celui créé par un dipole sont, respectivement :
V, (r) - -E„ • r + V0 et V2(r) = j^—^ + Vq
Il vient, en les superposant :
V(r) = V, + V2 = Vo + Vo + e, • r [-E<> + A P .
\ 47TSQ f
On en déduit que V(r) = V0 + V'{) = Cte sur la sphère de rayon r = (p/Atte^Eq
S5- 6. Énergie électrostatique propre d'un doublet
1. L'énergie propre de la distribution de charges s'écrit (cf. chapitre 3) :
,'/3
^i>v«=H<
e e
e e-
47T£o Cl 47T£q Cl ) 47T£q Ci
C'est donc l'énergie de l'une des deux charges dans le potentiel créé par l'autre. A.N : Ee = —14,4 eV .
2. Quant à l'énergie d'interaction de ce doublet avec un champ extérieur, elle s'écrit :
Epe = -p • E„ = -(£Pe)m cos( p, E) avec (£pe)m = eaEu =10" eV

664
Solutions des exercices
S5- 8. Hydratation carrée de l'ion Cu2+
1. L'énergie potentielle électrostatique est la somme des énergies associées à chaque couple. Comme il y a
4 couples Cu 2+ -H 2 O distants de a\/2/2 , 4 couples H 2 O-H 2 O, distants de a , et 2 couples H 2 O-H 2 O
distants de <r/>/2 , £/M. se met sous la forme : £p,e = 4£i + 4£2 + 2£j ■
2. On a, d'après la relation £i = —p • Ec„ :
c- , M 2e f \ \ pe
£x = -p x ' » - ' »
47î-£0y (aVÏ)2 \4iteqJ a2
3. La formule relative à l'énergie potentielle d'interaction entre deux dipoles pi et p2 , donne
respectivement :
cz=r 1 -3(py/2/2){-py/2/2) = 1 /3//\ ct £ = 1 (-p2) - 3p{-p) = 1 / >/2^
A.N : Le calcul de £\ , £2 et £3 en eV montre que la contribution prépondérante est £\ :
3 x 10~60
*=-0,3eV fe=9xl0'x9x2xl0_30x1>6x|0_,9 =0,0063 eV et fc « &
S5- 10. L'interaction de Van der Waals entre atomes d'hélium
À l'équilibre, d £P,e/ d r = 0 . Par conséquent :
exp +— - =0 dou - = v ; =0,378
On en déduit £., c
exp [—«—) — d '
-0, 86 meV
Chapitre 6
S6- 1. Résistance de divers conducteurs ohmiques
1. Comme R = l/(yS) , on trouve :
RCu = 7 ô 7 = 6, 8 x 10~3 Vl = 6, 8 m a
58 x 106 x 77 x0,92 x 10-6
2. Comme (yS)Ai = (yS)cu , on trouve :
DM=Dcu(—y) =1>5x(|n «2,35 mm
3. On a, dans ce cas :
(-) d'où /Ag = /Cute>)=|>=1|05m
Vr/Ao Vrcuy 58

et problèmes
665
S6- 2. Résistance de fuite d'un câble coaxial
Le courant volumique dans ce système à symétrie cylindrique s'écrit, en négligeant les effets de bord
J = Jr(r) e, = Ie,/(27rrh) . Exprimons / en fonction de la d.d.p entre les conducteurs :
VX - Vn
fbEr(r)dr=- fbJrdr=-^-\n(-
Ja J Ja 27T7h \<*
Le courant volumique au voisinage du conducteur central peut donc s'écrire :
Ji = _!_er = ]iYLz^)er
lirah a\n(b/a)
Lorsque ( Vi — Vi ) et b sont fixés, J\ est minimal si la dérivée du dénominateur, toujours positif, par rapport à a
est nulle :
d \ , (hW i (b\ , n ■ h
-— \a In - = In - — 1 = 0 si - = e « 2, 72
a a y \aJ\ \aJ a
A.N : a = b/2, 72 = 1, 84 mm . La résistance de fuite du câble est alors R = 1/(2777/7) « 16 MO .
S6- 5. Résistance équivalente
1. La résistance équivalente recherchée vaut :
*'=72+0+StSH80
2. La résistance équivalente recherchée vaut :
Re = 72+ 120 + 48 = 240 fl
3. La résistance équivalente recherchée vaut :
*" = 72+,20+24TÏ8=2°8n
4. La résistance équivalente recherchée vaut :
24 + 48 + 120
S6- 6. Composition de quatre résistances
Toutes les résistances admettent comme extrémités les mêmes points A , confondu avec D , et B confondu
avec C ; elles sont donc en parallèle. Par conséquent :
1 , 1 1, . R
-— = 4 x - d ou RAB = -
/?*!* fl 4
S6- 9. Intensité du courant dans une branche
Les lois des courants et des tensions appliquées sur les mailles MCDM et AMCDBA donnent, en désignant
par I\ l'intensité dans la branche AM , deux équations linéaires suivantes :
10(7, - /) - 20/ = 0 et 30(/o - /, ) - 20/ - 20/, = 0
d'où, en simplifiant :
/1 - 3/ = 0 et 5/i + 2/ = 3/o
On trouve en résolvant ce système simple : / = 3/q/17 = 15/17 A « 0, 88 A .

666
Solutions des exercices
Chapitre 7
S7- 1. Diode à vide : loi de Child-Langmuir
1. Le théorème de l'énergie cinétique conduit à : v = (2eV /m)x'2 . En admettant que le système est
invariant par translation parallèlement aux plaques, l'équation de Poisson se réduit à d2 V/ dx2 = —p/so • Comme
7Y = pv = —I/S = Cte , il vient :
£V-KV-*'2=0 avec K = -L-M
dx2 eoS]/ 2e
2. En multipliant les deux membres de l'équation par 2 d V/ dx, on obtient :
dx \ dx ) dx \ dx ) dx
la constante d'intégration étant nulle, puisque, pour x — 0, V = 0 et d V/ dx = —Ex = 0. Une deuxième
intégration, entre les valeurs 0 et d de x, conduit à :
4 ^3/4 n HP 1 VA 4£{)S /2^,/3/2
-U ' =2VKd soit /=-—r-W—C/ 7
3 9 d2 V /h
La caractéristique /(U) n'est donc pas linéaire.
S7- 2. Cuve électrolytique
1. Avec les notations du chapitre 7, on a : y — Cpz+F(jUL+ — jul-) . Dans l'eau pure {pH = 1 ), les
concentrations des ions H 3 O + et OH ~ valent : c = 10~7 mol • L"1 . Comme p = 1 , z+ = 1 et F — 96 500 C , on
trouve :
y
-4,9 x 10~6 S-m-1 et donc R = -!- = 20 MO
2. La conductivité est essentiellement due au sulfate d'aluminium. Comme C = 10 ' mol • L ' , // — 2 ,
z+ = 3 . on trouve :
r'= 8, 1 S-mT1 et donc /?'«12,5ft
S7- 6. Durée de relaxation des vitesses
1. L'équation fondamentale de la dynamique s'écrit selon :
m— = c/E — ax d'où v = —E
dt a
en régime permanent ( v = Cte ). On en déduit la conductivité y selon :
t r? a* - ncl2
J = nqx = yh d ou y =
a
2. En faisant E = 0 , il vient :
dv a . „ v , . , . / t \ m
— H v = 0 d ou \[t) — v(0) exp en posant r = —
dt m V r / a
La durée r caractérise bien la rapidité avec laquelle la distribution des vitesses redevient isotrope (vitesse moyenne
de dérive nulle). L'application numérique donne r — mey/(nee2) ^3x 10"14 s .

et problèmes
667
S7- 7. Distance de dérive et libre parcours moyen
1. La constante C se déduit de la normalisation de la probabilité, soit :
Cl exp (--) dt = Ct= 1 d'où C=-
Le calcul de 1 et t2 s'effectue par intégration par parties. En posant u = t/r , il vient :
/■OO
1 — t I u exp(—w)d u— —t [exp(—w)](^° = r
Jo
et
/• OO A" OO
t2 = t" I u exp(—u)du = r^ I 2//exp(—u)du = 2r~
Jo ./o
Sous l'action d'un champ E = Eex, la distance parcourue en moyenne est donc :
-r— 1 eE,_ 2\ , Â.v er ^
l\x = — - — (2r ) et donc v — — = E
2 me r me
d'où la mobilité fi = —er/me et la conductivité : y = nee2r/me -
2. L'application numérique donne : r = mey/(nee2) = 7, 1 x 10~15 s . La vitesse de Fermi se déduit de
EF = mevF/2, soit vf = 2,2 x 106 m-s-1 . La vitesse de dérive vx — /ulE = —yE/(nee) a pour norme
v = 1, 26 cm s-1 , ce qui ne représente qu'une très faible perturbation de la distribution des vitesses électroniques
( vf > 108 v ). Le libre parcours moyen £ = vft vaut 1, 56 x 10-8 m et donc beaucoup plus grand que la distance
interatomique : £ œ 55 ci.
Chapitre 8
S8- 2. Éclateur sphérique
1. Les définitions de la charge surfacique et de la capacité donnent :
Q CV 4tt£0RV £oV ., . oc in_8r, -2
v = z—7^ = -,—7^ = —;—^r- = —z- d ou a = 8, 8 x 10 C ■ m
4ttR2 AttR2 AttR2 R
2. Le champ à la surface vaut alors : E = cr/eo = V/R d'où V = ER = 104 V .
S8- 3. Répartition des charges entre deux sphères conductrices reliées par un fil métallique
Comme les sphères sont suffisamment éloignées, les répartitions de charge sur chacune d'elles sont uniformes.
En appelant Q\ et G2 les charges à l'équilibre, le bilan de charge et l'égalité des potentiels donnent :
Go = G.+G2 et -&— = -&— soit ^ = ^
On en déduit :
Gi = G2 = G1±G2 = _Go_ d,ou Gi = _?i_G()W909xl0-nc et g^o^ixio-'-c
Dans leur voisinage immédiat, les champs sont, respectivement :
/r1 = T±-2.=-J Go w82V.m-i et ^ = ^22^818xl02V.m-'
47T£() /?J 47760 /?|(/?| +/?2) 4t7-£0 R\
2. G, = 1, 111 x 10~8C,G2 - 8,88 x 10"8C , E\ = 106 V-m-1,^ = 1,25 x 105 Vm_1 .

668
Solutions des exercices
S8- 4. Répulsion de deux hémisphères chargés
Comme Q = AttctR2 , la charge surfacique a pour expression :
Q AttcoRV £0V
7T£0V2
AttR2 4ttR2 R
On sait que la force sur un élément de surface est d F = cr~n d S/(2eo) . Par conséquent, la force résultante sur un
hémisphère d'axe Oz , qui est dirigée suivant cet axe, vaut :
/ i/2 r^/2 r2ir
dF-ez=-^-T/ / R2cos6sin6 d6 de
Comme ^ = 0,9N, V = 255 kV et £e = CV2 /2 = 0, 125 J .
S8- 6. Calotte sphérique conductrice entourant une sphère conductrice
1. Les conducteurs étant en équilibre, à l'intérieur des conducteurs, les champs sont nuls et les potentiels
constants, respectivement V\ = 1 MV et V2 = 0 . En appliquant le théorème de Gauss sur une surface sphérique
concentrique de rayon r tel que R\ ^ r ^ Ri , on obtient :
Airr2Er = — d'où Er(M) = A Qx _ V(M) = —^— + Cte
£0 47T£0r2 47T£0r
Comme V(/?,) = V, et V(R2) = 0 , il vient :
V{M) = Vl + -^-(---) ou V(M)= Gl (X ]
4tt£o \r R\ J 4tt£o \r R
Pour r ^ (/?2 + e) le potentiel est nul ; en effet, il doit l'être pour r = Ri + e, pour r infini, et il n'y a pas de
charge entre ces deux positions.
2. La dernière expression de V{M) permet d'en déduire aisément la valeur de Q\ :
G. = 477£o ( ^^ ) V, - 47T£{)R\VX (- ]—--\ = go
KR2-R\J \\-Rl/R2J \\-R\/R2
soit
G. = ^Go = 27,7x 1(T6 C car Q0 = \ 0, 2 x 106 = 22, 2 x 10~6 C
4 9 x l(r
Sur la face interne de 62 , la charge est opposée : Q2;m = —Q\ , ce que l'on établit simplement en appliquant le
théorème de Gauss sur une surface sphérique concentrique, de rayon compris entre R2 et R2 + e, et en notant
que le champ y est nul. Sur la face externe, la charge est nulle ; pour le montrer, il suffit d'appliquer le théorème de
Gauss sur une surface sphérique de rayon r > R2 + e .
S8- 8. Capacité mutuelle de deux conducteurs
Par définition : C = (d Vi + Ci2V2)/(V\ - V2) • Or, Q\ + Q2 = 0 donne :
c,,v, + c,2v2 + c2,v,+c22v2 = 0 soit y2 = -*:" |^21 v,
C12 + C22
Il vient donc : r (r \ r \ r (r \ r \ r r r±
_ Cn(Ci2 + C22J — Ci2(Cn + C21J _ CnC22 — C12
Ci? + C22 + C\ 1 + C21 Ci 1 + C22 + 2Ci2
Dans le cas où C\2 = —Ci 1 , la relation précédente se réduit h C = Cu .

et problèmes
669
S8- 9. Influence d'une charge ponctuelle sur un plan
1. La charge q en P et une charge — q placée symétriquement par rapport au plan conducteur, -en P',
produisent le potentiel : / , i
v=-^(J 1
4tt£{) \PM P'M,
qui est nul dans le plan médian. Compte tenu de l'unicité de la solution, le potentiel créé par cette distribution est
le même que celui demandé.
2. La distribution surfacique de charge est, d'après le théorème de Coulomb, si M(x, y) est un point du plan :
__ q /PM P'M\ 1 / q \ ,
ce qui donne, en explicitant, l'axe Oz étant orienté selon PP' :
- JL [2^L\ - J 2qd
°' ~ 4tt \PM^J ~ 477 (x2 + v2 + cl2)3/2
3. Numériquement la charge superficielle est a œ 1, 59 x 10~6 C • m~2 et le champ E œ 1, 8 x 105 V • m-1 .
S8- 10. Influence d'une charge ponctuelle sur une sphère conductrice
1. D'après la superposition d'états d'équilibre, le potentiel au centre de la sphère conductrice équipotentielle
s'écrit :
^ d S + = puisque Q = é a dS = 0
Atteq fs R 4tt£ocI 4tt£ocI
2. Dans ce cas, V a pour expression :
47T£qR 47T£q d
S8- 11. Images électriques
1 V(r) = -?- (- l—\ = S- ( l - ] ] ^ = 0
V; 47T£i)\PlM 2P2MJ 4tt£0 Vl|r-2/?e,|| 2 ||r -/?ez/2|| y
pour P\M/P2M = 2 . L'ensemble des points M pour lesquels V = 0 est une sphère qui coupe l'axe Oz aux
points tels que : \z — 2R\ = 2\z — R/2\ , soit aux points définis par z = —R et z = R ■ Le centre du cercle est donc
O et le rayon est R . Ainsi, Féquipotentielle est une sphère de rayon R et de centre O .
2. Dans les deux cas, le potentiel extérieur Vex est solution de l'équation de Poisson AV^ + p/£o = 0 avec
comme source la charge ponctuelle q en (0,0,2R) . Il prend la valeur zéro sur la sphère, de centre O et de
rayon R . Il en résulte, en vertu du théorème d'unicité, que les potentiels extérieurs sont les mêmes.
3. La charge totale de la sphère restant nulle, le potentiel qu'elle crée au centre O est nul et le potentiel sur
sa surface est égal à celui produit par q en O : V, = q/(87T£oR) . Ce potentiel est celui que créerait une charge
ponctuelle q/2 placée au centre de la sphère. La fonction potentiel à l'extérieur Vex , qui satisfait à la condition aux
limites V^ = V, sur la surface de la sphère, est donc obtenue en ajoutant au potentiel du cas précédent le potentiel
créé par une charge q/2 située à la distance R/2 de l'origine O . L'image électrique de q est donc, dans ce cas ,
le dipôle constitué par la charge — q/2 en (0,0, R/2) et la charge q/2 en (0, 0, 0) .

670
Solutions des exercices
S8-12. Modèle volumique de distribution de charge dans un conducteur
1. En raison des symétries, le champ est selon Ox , et le théorème de Gauss s'écrit donc : dE/ dx = p/eo .
On a donc, pour x < — a , Ex = Cte = C\ , et pour x > a , Ex = Cte = C2 . Dans la zone intermédiaire
—a < x < a , le champ a pour expression :
-p8
£0
La continuité de E en x = a et x = —a donne : C\ = —p8/eo — — C2 . Comme 8 <^ a ,\e champ dans le
conducteur n'est différent de 0 que dans deux couches d'épaisseur 8 au voisinage des surfaces libres.
2. La force qui s'exerce sur le volume du conducteur situé à gauche du plan x = 0 est :
& = ^r[exp(-A-^)-exp(V)]
/0 2o2
p(x)Ex(x)dx= -exdS^-— = -evdS
2eo
puisque 8 <C « . On en déduit la pression : pe — cr2/(2eo) .
3. A.N: cr= 1(T8 C - rrT2, pe = 5,65 x 10~6Pa.
Chapitre 9
S9- 1. Intensité maximale dans un conducteur
Comme I„UIX = JmaxS avec Jmax = 5 A-mm-2 et Imax = 10 A, il vient : S = I,„ax/Jmax = 2 mm2 et
r = 0, 8 mm .
S9- 2. Fusible
À l'équilibre, la puissance reçue par une longueur / de fil est entièrement restituée au milieu extérieur sous
forme thermique ; par conséquent :
RI2 = SS(T - Ta) soit ^-l2 = 8 x 2irrl(T - Ta)
77/
On en déduit : ,2
r3 = \r kt ^T d'où r = °' 85 mm
J077-Z(y — Ta)
S9- 3. Effet Joule dans deux conducteurs
1. La puissance dissipée par effet Joule dans les fils de résistance respectives /?fc et Rqu < Rpe, vaut :
U2 U2
VPe = — et :PCu = —- d'où VPc < Vqu
Comme les capacités thermiques C sont égales, c'est la température du cuivre qui sera la plus grande :
AT = VAt/C.
2. Dans le montage série, les expressions des puissances sont respectivement :
Vf* = RfcI2 et ^Cu = RcJ2 d'où He > Peu
Dans ce cas, c'est la température du fer qui sera la plus grande.

et problèmes
671
S9- 4. Batterie et démarreur
1. Comme U = RI — E , le bilan de puissance s'écrit : UI = RI2 — El. On a donc, numériquement :
-1200 = 0,03 x (150)2 — 150£ d'où £=12,5 V
2. Ici, le bilan de puissance est : UI — RI2 + E'I, d'où :
1200 = 0,04 x (150)2 + 150 £' et Ef = 2 V
S9- 5. Electrolyseur
1. La dissociation d'une mole d'eau correspond au passage d'une charge de 2 x 96 500 C , et exige 290 kJ.
Par conséquent, la f.c.e.m est égale à :
290000
2x96500 '
2. Supposons que : Iv > 0 (Fig. 9.12). On a alors Uv — E' et :
Uo = rig + Ug Uv =RI = Ef I + Ig + /,, = 0 d'où Iv = ^ - g (-+ -
Cette solution n'a de sens que si /(; est effectivement positif.
Supposons maintenant Iv < 0 . On a alors Uv = — E'. Les mêmes équations conduisent à :
r \r R
Les deux solutions précédentes sont impossibles si la double inégalité suivante est satisfaite :
Pour que l'électrolyse ait lieu, il faut donc que :
r \U I E'
1 + - < L^1 soit R > i -
R E' WA-E'
3. A.N: R^ 1,5 fl
S9- 6. Transfert de puissance d'un générateur à un récepteur
1. Comme / = E/{r + /) , il vient :
V = r I —
(r + r*)2
La valeur maximale est obtenue en annulant la dérivée de V' par rapport à / :
^=^s±ii^±n=Q si ,.'=,
dr' (r + r')4
Dans ces conditions, V' = E2/(4r) , et V = El = E2/(2r) .

672
Solutions des exercices
2. On en déduit l'efficacité :
V r' 1
v= = —^ = pour r = r
V r + r 2
L'efficacité est proche de 1 lorsque r <^ rf .
3. Comme / = (E - £')/('' + r') , il vient :
_ E(E-E') . . E'(E-E')
V = El = —K- '- et V = El = —^ '-
r + r7 r + r'
4. On en déduit le rendement en puissance : 77 = V')V — E'/E . Ce dernier est proche de l'unité lorsque
E' ^E.
5. Dérivons l'expression de V' par rapport à Er . Il vient :
dV E-2É , E
d^ = TT^ = 0 sl E=ï
Comme la puissance V' est positive, elle passe par un maximum pour E' = E/2 . On obtient alors un rendement
médiocre rj = 1/2 . En pratique, la puissance nominale fournie par un générateur, c'est-à-dire celle pour laquelle
il a été étudié, est très inférieure à cette puissance maximale.
6. A.N : / = 200 A pour P = 1200 W .
S9- 7. Intérêt du transport à haute tension
1. Si nous désignons par s la section des câbles, il vient :
RI2 = —jls2 = 2plsJo
s
2. Comme la puissance fournie en bout de ligne est V' — {U — RI)I alors que la puissance délivrée par le
générateur en début de ligne est V — UI, l'efficacité du transport est :
= V = (U-RI)I RI2 = 2plsJ2 = 2p/70
Ainsi, l'efficacité énergétique est d'autant plus grand que la tension est élevée. C'est ce qui est réalisé en pratique
dans la distribution du courant sinusoïdal en régime quasi stationnaire (cf. chapitre 17).
3. A.N : Le calcul donne :
, 2 x 1,8 x 10~8 x 7 x 104 x 106
V — 1 = 0. 995
1 540 xlO3
S9- 8. Source de tension et source de courant
1. Connectons une résistance d'utilisation Ru aux bornes de R2 et résolvons le circuit. Il vient, en appelant
I\ le courant dans R\ et / le courant dans Ru :
£ = /,(r + /?,)+/?2(/i -/) = 0 et Uab = R2{I\~I)
En éliminant I\ , on trouve :
Ri + R2 + r /?, + R2 + r
d'où
EM=R+R+rE = 3'75W 6t ^=fiV+f)f,a34'4n
Ai + /<2 + A fi) + A2 + /
Finalement : L^^ = 3, 75 - 34,4/ .

et problèmes
673
2. Les caractéristiques de la source de courant découlent de ce qui précède. La relation précédente s'écrit
aussi : / = 0, 1 + 0,03 UAb , d'où un courant électromoteur de : / = 0, 1 A .
S9- 9. Photodiode
1. Les différents modes de fonctionnement de la photodiode sont les suivants :
(1) dans les quadrants 1 et 3, la photodiode est un récepteur : pour U < 0, c'est un récepteur de courant
( / = —0,6 A ), alors que, pour U > 0 , c'est un récepteur de tension ( U = 0, 5 V ).
(2) dans le quadrant 4, la photodiode est un générateur : pour U = 0, 5 V, c'est un générateur idéal de
tension, alors que, pour / = —0, 6 A , c'est un générateur idéal de courant.
2. L'efficacité de la conversion est maximale au point d'intersection C des deux parties rectilignes de la
caractéristique :
UI 0,5x0,6 nQ
V=T = 10-3x103 =°'3
S9- 10. Bilan énergétique d'un moteur électrique
1. Effectuons le bilan énergétique de l'installation :
El = V + (R + r + r)l2 = V + Rt/2 soit R,l2 - El + V = 0 avec R, = R + r + r = 30 fl
2. L'équation précédente est du deuxième degré ; elle admet des solutions si :
E2
A = E2-4RtV>0 d'où V < Vm avec Vm = = 120 W
4R,
L'intensité correspondante vaut donc : /„, = E/(2Rt) — 2 A . Les deux régimes à puissance constante s'obtiennent
en résolvant l'équation précédente. Comme A = 1202 — 4 x 30 x 100 = 2 400 , on trouve :
_ 120-10^24 120+10^24 QO
/■ = = 1,18A et I2 = =2,82A
3. L'efficacité du moteur dans les deux régimes vaut :
Vi = tt =0,71 et 772 = — = 0, 29 alors que rjm = -f- = 0, 5
El] EI2 EIm
S9- 11. Minimum de puissance dissipée dans une maille
1. En utilisant les notations de la figure 9.15, la puissance dissipée par effet Joule s'écrit :
V = Rix2 + R2(h + xf + /?3(/i - x)2
2. En annulant la dérivée de V(x) , on obtient :
^ =2Rxx + 2R2(h+x)+2Rz(Ix - x){-\) = 2[Rxx + R2(h + x) - /?3(/i - x)] =0
soit
Rix + R2(h +x) -/?3(/i ~x)=0
ce qui restitue la loi des tensions dans la maille. Comme la dérivée seconde est positive, la puissance est bien
minimale :
d2V
—— = 2/?, + 2R2 + 2/?3 > 0
d^:2

674
Solutions des exercices
3. On en déduit :
/?3/i ~ R2I2 = 0,2- 1,2 = _Q i
7?,+/?2+/?3 10
Un courant, d'intensité 0, 1 A circule donc dans la branche A\A2, de Ai vers Ai .
Chapitre 10
S10- 1. Interposition d'une lame métallique dans un condensateur plan
D'après la relation intégrale entre la d.d.p U et le champ électrostatique E , on a : E(e — e\) = U , puisque
le champ dans la lame est nul. En outre, le théorème de Coulomb donne Q/S = cr = eq E . Il en résulte :
eoSU = Go
— e\ 1 — e\/e
Ainsi, en imposant une d.d.p constante aux bornes du condensateur, le générateur lui fournit des charges ( Q > Go) •
Application numérique :
Go = CoUo = ^^ = 2, 65 jxC d'où Q = ^ = 2, 95 jxC > Go
e 0,9
En introduisant la lame métallique, on augmente la charge du condensateur; les charges supplémentaires
proviennent du générateur qui maintient la tension constante.
S10- 3. Capacité d'un câble coaxial
Le champ dans l'espace interconducteur s'obtient en appliquant le théorème de Gauss sur une surface
cylindrique d'axe Oz fermée par des sections droites perpendiculaires à l'axe. Le champ étant radial, il vient :
2irrlE(r) = Q/eo . D'où :
E(r) = -Ç— - et V(r) = - —^- In r + Cte
On en déduit :
n i/i/ Q \ (b\ * r Q iTTE^l
U=V\-V2 = In - et C = — = = 20 nF
27T£qI \oJ U \n(b/a)
S10- 4. Microphone électrostatique
1. On obtient aisément : Cq = eq S/e = 0.44 nF et Qq = CqUq = l 16 nC. On calcule la force selon :
Ul dC(x) Ul E0S Ul e0S
r.x = — : = - — = ~^r^T = — 1, Z IN
2 dx 2 x- 2 e~
2. C = E0S/(e + x) = C0/(l +x/e) « C0(l - x/e) . On a (Fig. S10.1) :
«-§-ffl£si(' + ;)-<*(' + â)(, + :)~,*(, + â + :
et:

et problèmes
675
± 2U
FiG. S10.1.
S10- 6. Énergie stockée par deux condensateurs en série
Les condensateurs étant en série, on a les relations suivantes :
On en déduit :
fl, e, v-,, + .4-a + g-0(± + JL
C|C2 -V = 3,3mC v, = ^-=80V et V2 = -^ = 40 V
Ci C2
Q+C2
Les énergies stockées sont donc E\ = gVi/2 = 0, 132 J et £2 = GV2/2 = 0,066 J .
S10- 7. Écartement des armatures d'un condensateur plan
1. La contribution du générateur est ici nulle : le travail que doit fournir l'opérateur est supérieur ou égal à la
variation d'énergie électrostatique du condensateur, laquelle vaut :
A£c =
G5
1
2Co V C
CoUè ( e
CoU%
2 \C Co J 2Q) \ C J 2 V £o J 2
Quant au travail W„p , fourni par l'opérateur, il satisfait à l'inégalité Wop ^ W"'pl" avec :
1 j
op " v 2c
Go , x Cof/o fe-eo
2sqS 2 V 6^0
1 J
À charge constante, le travail minimal que doit fournir l'opérateur pour écarter les armatures est positif; il sert à
augmenter l'énergie du condensateur.
2. Lorsque la d.d.p entre les armatures est maintenue constante par le générateur, le travail W% fourni par le
générateur n'est pas nul et la variation d'énergie du condensateur est négative :
A£e
uéàc _ c0ué ( c_
Co
-0,5J
Lorsque la charge de l'armature 1 du condensateur augmente de d Q , le travail 8Wg fourni par le générateur est
Uo d Q . Par conséquent :
We
On a alors : Wop ^ W"',"' avec :
W"1
yy ni
f Uo dô = UoAQ = i/oAC = U20{C - C0) = -1 J
ulAC= -f (C-Co) = -^ f £ _ i ) = 0,5 J
Ainsi, à différence de potentiel constante, le travail minimal que doit fournir l'opérateur pour écarter les armatures
est encore positif; il est totalement reçu par le générateur, lequel reçoit en outre, de la part du condensateur qui perd
de l'énergie, la même quantité d'énergie.

676
Solutions des exercices
S10- 10. Condensateur atmosphérique
On sait que (cf. chapitre 10) :
o^ £" n 47T€QR(R + ti) nno
RC = — avec C = = 0,092 F
y h
Puisque R=V/1 = 300000/1 500 = 200 fl, il vient :
7=|^ -0,48 x 10-12S-m-
Chapitre 11
SU- 2. Champ magnétique créé par une spire carrée sur son axe
1. Le champ magnétique produit par un segment P1P2 , en un point M , a pour expression :
^ /p.
« (KA\ ^ F* Al PM
Bi(M) = "-— l dix -
y ' A~ * PM3
Notons 0\ la projection de M sur l'axe défini par P\P2 et d la distance 0\M (Fig. SI Lia). Comme Bi est
perpendiculaire au plan (dl, PM) , il vient :
B'M=^r^sin(*'pM),y
Pour effectuer cette intégration, introduisons le paramètre angulaire 0 = (MOi, MP) . On a alors :
PM=-^~ 0\P = z =dtàr\0 dz/ = -^4^ et sin(e,/,PM) == cos 6
cos 6 cos2 6 "
On en déduit que :
Bi (M) = ^- f'cosed 0ev/ = ^- (sin 62 - sin 0, ) ev,
Aird Je Aird
2. Le champ magnétique sur l'axe Oz. d'une spire carrée PxPiP^Pù, , de côté a , placée dans le plan Oxy , se
déduit de ce qui précède par addition vectorielle des champs B, créés par chaque segment (Fig. S11. lb) :
b = £b,
Les composantes perpendiculaires à l'axe se compensent deux à deux entre segments opposés. Par conséquent :
B = 4Biz ez = 4BX cos0 ez avec /3 = (ez, Bi)
Comme B\ se déduit de ce qui précède en faisant 6\ = — 62 = a , il vient :
u a M°^ n • /do Mo/ • n
B = 4-—-2sinû?cospez = 2—- sinacosySe^
477(7 TTd
a
cos sin a = — et d ■
2[d2 + (a/2)2y/2 2d
z2 +
©!
1/2

et problèmes
677
Finalement, le champ magnétique a pour expression :
/UL{)I
B =
2tt {z2+a°-/4){z2+cï/2yn
Cette fonction paire confirme bien que le champ est le même en deux points de l'axe symétriques par rapport au
plan de la spire. Au centre O , sa valeur est :
B(0)=2^/2^e-
ira
3.A.N: B = 13,1 x 10~6 T.
FiG. SI 1.1.
zk
d
b)
Pi
SU- 4. Bobine circulaire plate
1. On sait que le champ magnétique créé par une bobine circulaire, de centre O , de rayon R et d'axe Oz a
pour expression (cf. chapitre 11) : B(O) = /no/ez/(2R) .
2. La contribution, au centre O , du champ produit suivant l'axe par la couronne de spires, de largeur d r, qui
comporte Ndr/(R2 — R\) spires, est :
le Mo/ N dr ,)V . , t _ Mo/ N (R2
ÛB=^W^)-7 d ou en intégrant B=—-^—^\n^
3. A.N :
B = 2ttx 10~7 x -^-ln ' 21
0,02 V19.
En posant a = Rj — R\ <C (R\ + /?2)/2 = /?, le champ 5 s'écrit aussi :
Mo//V
31,4 x 10~ô T
-TSK' + èH-O-à)]
2 a
2R ~ SR2 + 247?3
2/? 8/?2 24tf3
Par conséquent :
fioNI
2R
1 + ^ et ^«^«Q.SxlO-3
\2R2 J
B 12R2

678
Solutions des exercices
SU- 5. Bobine carrée plate
1. Une spire de côté a crée en son centre le champ :
B(0)= W2ej
Les TV spires étant régulièrement réparties entre les valeurs ci\ et ai , le nombre de spires, entre a et a + da ,
ayant la même contribution est N da/(ci2 — ci\) . Par conséquent :
B{0)
2fjiolV2 ( N
77 \ Cl2
_\ H dû = 2fjL0lV2 N ^ /
ci\ ) J(l] a 77 a2 - ci\ \
ci2 — a i V t/1
2. A.N: B = 5,65 x 10~3 T
SU- 7. Champ magnétique produit par un solénoïde limité
1. Le champ B en un point de l'axe a pour expression (cf. chapitre 11) : B = (fioiil/2)(cos ct2 — cosa\
d'où en son centre :
B = fioul cos ûfo avec cos ao = cos a2 = — cos a \ —
1
(/2+4/?2)'/2 (l2 + 4/?2//2)'/2
2. Si 2/?// <C 1 , le champ a pour valeur approchée :
B = /ULQtîI
2R1
9/?2 R
: fiotil si -^ < 0, 001 soit - < 0, 022
SU- 9. Rotation uniforme d'une sphère chargée uniformément en surface
Le champ magnétique au centre O est la somme vectorielle des champs produits par les spires équivalentes
constituées de couronnes chargées en rotation (Fig. SI 1.2). On a donc, d'après l'expression du champ produit par
une spire, de rayon R sin 6 , en un point de son axe :
B(O)=B0ez avec
f flodl .3
Bo = I —y r sin 6
J 2(Rsm6)
FiG. SI 1.2.
L'intensité d / est la charge 8q qui traverse l'élément d'arc de cercle R d 6 , centré sur la valeur 6 de la colatitude,
pendant l'unité de temps. Au cours d'une rotation complète, qui dure T = 2tt/ÇI , la charge 8q vaut :
ôq = crx 2tti- x RdO = a2jrR2 sin 6 d 6 d'où d/= — = cr ClR2 sin 6 d 6
T

et problèmes
679
On en déduit, puisque les contributions sont toutes suivant l'axe de rotation :
Bo
f -^^ sin3 6a(lR2 sin6 Ù6 = _^^ T(i _ cos2 0)d(cos0)
J 2Rsm6 2 J0 V ) \ )
/ulqctQR
cos 0
En effectuant le calcul, on trouve : Bo = 2juloo-ÇïR/3 = 2, 66 x 10 12 T .
Chapitre 12
S12- 1. Bobines d'Helmholtz formant un champ uniforme
1. Le système est invariant par rotation autour de l'axe. Tout plan passant par l'axe est un plan d'antisymétrie
et le plan perpendiculaire à l'axe en O est un plan de symétrie. Il en résulte qu'en un point M de cet axe :
B(M) = Bz(z) ez et que B(z) est une fonction paire.
2. Au voisinage de O , un développement de la fonction paire Bz(z) conduit à :
La variation de Bz(z) est minimale si le terme d'ordre 2 est nul. Comme B est la somme des champs Bi et B2
créés par les deux spires, il vient, en utilisant l'expression du champ créé par une spire :
Bz{z)
2R
i/<H+/f
avec f(z) =11 +
.2 \ -3/2
R2
et donc :
dz2
= 0 si 2
d2/(z)
dz2
d/2
R2 [ +4/?2
1 -
0 soit d = R
On en déduit :
^(0) = -?^- =0,715^ et WfUfi+l o
V ^ 5y/5R R ~\2J \ 2V2J 2R
^ -0,677^
R
Comme ABz/Bz(0) = 5,3 %, le champ magnétique est quasi uniforme au voisinage de l'axe entre les deux bobines,
d'où l'intérêt du dispositif.
3. En tenant compte du nombre de spires, le champ magnétique est :
Bl(0)=0,7l5^=0,715^«30mT
R R

680
Solutions des exercices
S12- 4. Enroulement en forme de tore
1. Le tore est invariant par rotation autour de l'axe Oz.. Tout plan passant par l'axe est un plan de symétrie.
Par conséquent : B = #^(p, z) e^ . En choisissant comme contour un cercle de rayon p , centré sur l'axe, dans un
plan z — Cte , le théorème d'Ampère donne : Bç — /ul{) Iin/(2irp) . Si ce contour est à l'intérieur du tore, /,-„ = NI,
sinon /,„ = 0 . Donc :
Bin = t^Le et BCT = 0
Z7Tp
Le graphe de B(p(p: z) est schématisé sur la figure S12.1.
2. La composante normale est nulle à l'extérieur et à l'intérieur, et donc bien continue. La discontinuité de la
composante tangentielle permet de retrouver l'expression du courant surfacique :
NI
n,v x (Be.x - B,-,,) = /uloJs d'où J,. = -—(e^ x nex)
LTTp
3. Comme p œ R, on trouve : B,-,, ~ fionl eç où n = N/(2ttR) est le nombre de spires par unité de
longueur. L'intensité de ce champ est donc identique à celle du champ créé par un solénoïde comportant // spires
par unité de longueur. Le champ magnétique à l'intérieur du tore vaut :
D jjloNI 2 x l(r7 x 1 000 x 10 An _
B = '— = ^ _ = 40 mT
IttR
0,05
B^k
R-a/2 R + a/2 P
Fie S12.1.
Byk
l'oNI
! 2ttR
- a/2 a/2
S12- 6. Expérience de Rowland
1. Le courant surfacique est :
J.v = crv avec v = vç eç — wpev d'où J.v = crcope^
2. Tout plan contenant l'axe est un plan d'antisymétrie. En un point de cet axe : B = Bz(z) e- et A = 0 .
Utilisons l'expression du champ créé par une spire élémentaire de rayon p et parcourue par un courant d / = i, dp
(Fig.S12.2):
i n ( \ HoVCDp dp . ^ pi{)CTÙ)Z Sin" Œ
dBAz) = sin a — -— — da
w 2p 2 cos2a
Effectuons l'intégration :
r° ( i \ r \ y
\ 1 — d(cos a) — < cos a + >
J0 \ cos- a ) \ cosafJ()
COS Û?o +
1
-2
1/2
COS ' Ûfo
COS Ûfo
1 V _ (cosûfo — l)2
cos1/2 a{)
COS Ûf()

et problèmes
681
Comme cos aQ = z/(R2 + z2)l/2, il vient :
JJL{)(TCÛZ.
B, =
2 cos ûfo
(/?2+z2)'/2- 1
fiocro)
(R" + z)
^v/2
L(/?2 + z2)'/2- i
soit :
B^
pocrco [z-(/?2 + r),/2]2
2 (/?2 + z2)'/2
Au centre du disque, Bz(0) = poaco/2 = juloQùj/(27tR~) = 0, 5 jjlT .
3. B(0) = /xq crajRez/2 . Il n'y a pas de discontinuité de B en O car J.y est nul en ce point.
S12- 7. Câble coaxial
1. Tout plan contenant l'axe du fil est plan de symétrie et tout plan perpendiculaire à cet axe est un plan
d'antisymétrie. Compte tenu de l'invariance par translation et par rotation, on a :
B = Bç(p) e^ et A = Az(p) ez
Le théorème d'Ampère appliqué à un contour circulaire, de rayon p , centré sur l'axe et situé dans un plan z = Cte ,
conduit à (Fig. S 12.3a) : B^ = po /,„/(277p) .
1 pol
Si p < r, , //„ = /-
Si n < p < r2 , Ii„ — I
et Bv = ^'-^îP
L 77/7
et B0
2irp
Si ri < p < r'2
Si p> r'2
lin = / M
fU)/
27r(r'l - r\) \ p
r2
lin = / - / = 0
Le potentiel vecteur peut se déduire de B = rot A, ce qui donne en coordonnées cylindriques :
B^ — —dAzJdp . En choisissant l'origine du potentiel sur l'axe, et en déterminant les constantes à l'aide de
la propriété de continuité de la fonction potentiel vecteur, on obtient (Fig. S 12.3b) :
A - ^ 2
477r2A
Si p < n , Az
Si r\ < p < r2 . Az
Si r2 < p < r'2 , Az
Si p > r'2 , Az
2. Le champ magnétique est maximal pour p = r\ . Sa valeur est :
B=^-=0.4mA
2777*1
w 1
277
277
277
[>0fH]
1 '2, fp\
-75 ^2 In -
Jl-r2 \r2j
tt(^
-^"■fêH
/2 2 \ il
2 y r, 2
Comme l'intensité dans le conducteur extérieur a même valeur absolue que l'intensité dans le conducteur intérieur,
et que les courants volumiques ont même norme, on a :
J x Trf\ — J x 7r(r22 — r?) d'où r2 — (r2 + r\
>V2
2, 69 mm

682
Solutions des exercices
Axk
a)
S12- 9. Bobines de déflexion magnétique
b)
FlG. S12.3.
1. Les plans Oxy et Ozx étant deux plans d'antisymétrie : B doit être contenu dans ces plans. Tl en résulte
que le champ est porté par l'axe Ox : B = Bxex . Pour calculer Bx , ajoutons les projections sur cet axe des
contributions des quatre brins, lesquelles sont égales deux à deux :
Bx = 2BXjMN + 2BXiMs avec BxMn = —- - x 2 cos a = -^- - cos a
4tt R 2ir R
Or le champ magnétique produit par une demi-spire, en arc de cercle, vaut, en O , si on introduit l'angle a tel que
tan a = R/d :
Bx MS
477 r
On trouve finalement
, / d 1 x r • ev = x 2Sov = t sin a 2Rd = sin a cos a
4irr* \J J 4ttt3 4tt7?3 2ttR
B = ^—- cos a ( 1 + sin9 a) ev
77"/?
2. En O , le champ magnétique a pour valeur :
juloNI
ttR
cos a ( 1 + sin a) = 3, 18 mT
S12- 11. Champ magnétique produit par un dipôle magnétique
1. L'égalité des deux composantes radiale et orthoradiale donne l'équation :
M° m2cos0= ~ ^sin6> d'où tan 0 = 2 et 6> = 63,4o
477- r3
4tt- r3
L'ensemble des points du cône de sommet O et d'angle arctan2 est donc l'ensemble des points de l'espace
qui ont cette propriété.
2. On a :
^-—2cos0 = Br soit 10 7
4tt- r3 10"32n/5
0,01 car cos# =
1
1 + tan2 6
1/2
1 +4
1/2
On en déduit m — 111, 8 A • m

et problèmes
683
Chapitre 13
S13- 1. Moment des forces de Laplace sur une tige conductrice
La tige est au repos lorsque la somme des moments des forces qui s'exercent sur elle est nulle. Suivant l'axe
de rotation, les seuls moments sont le moment du poids et le moment des forces de Laplace, puisque la liaison est
parfaite (cf. Mécanique). Calculons le moment des forces de Laplace. En posant OA = jœ.v, il vient :
T0 = / /OA x (dl x B) = IB f ex x (e* x ez)XdX = IBez I XdX = ^-ez
H en résulte que, C étant le centre de masse :
/^ n lB? r, ^ * mglsinO IBl2 . n IBl
(OC x mg)7 + —- = 0 d'où - = —- et sin 6 = —
2 2 2 mg
A.N: sin6> = 0,2 et 6 ^ 12°.
S13- 3. Effet Hall dans un ruban de cuivre
1. La tension et le champ de Hall valent respectivement :
VW = -,*///? =0,53 m-V d'où £l/ = ^ = °'53x 10 ' « 1 tnV.m-1
b a 0,5 x 10_J
2. Le champ électrique total E, est la somme du champ E = J/y , associé au transport du courant suivant
l'axe Oz , et du champ de Hall E// transversal ; E, fait donc avec Oz. l'angle 0 tel que :
L'influence du champ de Hall sur l'inclinaison des lignes de courant est dans ce cas très faible.
S13- 4. Force de Laplace sur une spire conductrice
l . La force magnétique qui s'exerce sur l'élément de conducteur vaut :
dF = /dlxB soit dF = dFrer avec | dFr\ = B/dl = 0, 2 x 8 x 0,01 = 16 mN
2. Pour que la spire tende à augmenter son rayon, il faut que le trièdre formé par / d 1, B, d F soit direct.
3. Les forces élémentaires sont toutes radiales et orientées vers l'extérieur. La somme des projections des
forces élémentaires qui s'exercent sur une demi-spire, selon une direction passant par un diamètre, s'écrit :
Vj-s,, • eA = ( /dl x B J • ev = Bl / d/cos6> = BI x 2R = 0,2 x 8 x 0,25 = 0,40 N
\J cl—sp J J cl—sp

684
Solutions des exercices
SI 3- 5. Effet de magnétorésistance
1. Si on explicite la relation :
J = yo(E+— xB
il vient, en introduisant wct = yoB/(nve) :
Jx = yQEx + ùJcrJy Jy — yoEy - ù)ctJx Jz = yoEz
On déduit des deux premières équations :
i.v = yoEx - (ù)ct)2Jx + y0ùJcTEy soit Jx[\ + (uct)2] = y0£v + y{)w(-TEy
Jx = yo^v — (ù)ct)2Jy — yoù)cTEx soit 7V[1 + (&>rr)2] = yo^V — yococrEx
Par conséquent, le tenseur conductivité [y] s'explicite suivant une matrice :
J=[y(/?)]E avec [y] = 7o
1 + (ùjct)2
1 W,-T 0
-Û>CT 1 0
0 0 1+ (ùjct)2
2. E = Eex avec £ = U/a , d'où J = yxxEex + yA-v£ev
3. On a :
/ / c y**us a^ e? u a
I = JXS = d ou R = — —
a I yxxS
Comme Ro = a/(yoS) , on obtient :
2
Ro Ro y,, V ; \nvej V^ ;
A.N : AR/Rq = l,6x 10~5 . La modification de résistance est donc négligeable.
S13- 7. Solénoïde plongeur
1. Soit Oz Taxe commun des deux solénoïdes. En écrivant B2 = B2p ep + B2z ez, il vient :
dFt = /i/?i dçe^ x B2 et dFLz = -/,/?,£2p d<p
d'où la force s'exerçant sur une spire de S\ , à la cote z : Fj. = —I\R\2ttB2p e~. On en déduit la force s'exerçant
sur l'élément de «Si comportant n\ dz spires:
dELz = —n\l\B2plTTR\ dz = —n\I\B2P dS\j
où dS\,i est la surface latérale de la tranche d'épaisseur dz (Fig.S 13.1). Il vient, en intégrant :
Fu = -n\h j B2p dS= -#i,/,0,,,
-n\I\ / i
Jsltl
2. Exprimons le flux latéral <ï>i,/ à l'aide de la conservation du flux total du champ créé par <S2 à travers la
surface fermée délimitant S\ :
B2 • n,,« dS = d),,/ + 01>ftr + <&iiin = 0
En tenant compte de nijÉ.v = —ni,,-,, = — ez et de B2 « 0 sur S\,cx et de B2 ~ /^o/72/2e, sur «Si,;,, selon
l'approximation du solénoïde infini, il vient :
®i,i + ^\,h, = 0 et FLz = /zi/iOi.,-,, = fjuon\n2I\l2TrR2 ~ 1 mN

et problèmes
685
ni,
\«^1 ,iu Z
dz
FiG. S13.1.
S13- 10. Configurations stables de deux dipôles magnétiques
Comme pour des dipôles en électrostatique (cf. chapitre 5), l'expression de l'énergie potentielle 8p,m de deux
dipôles magnétiques permet de connaître leurs positions d'équilibre stable lorsqu'ils sont maintenus à une distance
r constante l'un de l'autre. On obtient les mêmes résultats : lorsque les moments magnétiques sont contenus dans
le même plan, l'équilibre est réalisé si les angles 6\ = (r, nii) et 62 = (r, nii) sont reliés par l'équation :
tant
tan<
La ligure S 13.2 représente les quatre configurations stables : le dipôle 1 est fixé à l'origine O et le dipôle 2 occupe
successivement les positions A2, B2, C2 et D2 sur le cercle de centre O et de rayon r .
B2
c2 ;
m0 \
O
\ A2
! ni9
D2
FIG.S13.2.
Chapitre 14
S14- 1. Enroulement plongé dans un champ magnétique variable
On a : e = — d <ï>/ d t avec :
<I> = / B • n dS = NB0cos(û)t) / cos (y^) 2tt p dp
soit :
fR /mn\ RR^Î\IR C77/^- R/?" /ht \
<£ = NBo cos(wt) / cos ( —- ) 2tt p d p = cos(^r) / u cos u d u = NBq cos(^r) ( — — 1 )
J0 V 2R / 77 J0 77- V 2 /
puisque, en intégration par parties, on a
rir/2
,.tt/2 ^ nir/2
/ wcosu du = [usinu]q " — / sinudu = ir/2 — 1
Jo Jo

686
Solutions des exercices
Il en résulte :
e = NB0 o) s'm(ù)t) ( — — 1 j = 22, 8 cos (cor — — j
La tension induite est donc en retard de 77-/2 par rapport au flux.
S14- 4. Cylindre dans un four à induction
1. La relation de Maxwell-Faraday donne, en coordonnées cylindriques :
^ / x PCoBa . x ,, v _ ypC0Bo , .
Eç{p,{p,z) = -—e(pœs(cot) d ou J = —e^cos^f)
et donc :
*=*raH"-w^
yo?BaR2 _,
2. Chaque couche cylindrique d'épaisseur dp peut être considérée comme un solénoïde de longueur finie
/ parcouru par un courant de densité surfacique Jdp . On a donc, au centre d'un tel solénoïde, la contribution
élémentaire au champ magnétique suivante : dB, = /ulq J d p cos a e,. Le champ au centre du cylindre s'écrit par
conséquent :
/ fR J a W»l„ ( a fR PdP
Bi = uolez / : dp = ——j-—Bae-cos(a)t) / . :
ce qui donne, en effectuant l'intégration :
B,- = -t^!i [(4R2 + l2)*'2 - l] Btlez cos(tot)
La condition 5, < B„ s'écrit donc : /myal \(4R2 + l2)l/2 - /] /8 < 1 .
Si/?«/: ^$«1 soit fi«_^ = x/2S
Si/</?: ^^«1 soit /tf«^=2<52.
S14- 5. Indication donnée d'un voltmètre
1. L'indication du voltmètre V est reliée directement à la quantité :
/ E • d 1 = uAb
J AVB
qui est la circulation du champ électrique, entre les bornes A et B , le long de la branche de mesure AVB, dans
laquelle est inséré le voltmètre.
Appliquons la loi de l'induction au contour formé par la demi1boucle D fermée par le voltmètre V
(Fig. S 14.1a). La circulation du champ électrique E dans le circuit s'écrit :
[E-dr=f E-dr+f Edr=f E • dr - uAB = - f ^? • n dS
Je Jadb Jbva Jadb Js ut
Par conséquent :
/
Jadb
d^P/df désignant le taux de variation, au cours du temps, du flux de B à travers une surface s'appuyant sur le
contour C . L'impédance du voltmètre étant infinie, J et donc E = J/y , y étant la conductivité électrique, sont
nuls. Il en résulte que :
d<J> 9
uab = —r- avec <P = B • Sn = —i±on'nrR~
dr
uAB = I E • d r + -—-

et problèmes
687
car le champ B est compté positivement vers nous et n est déterminé par l'orientation du contour C . Il en résulte :
U/\li
d<î> 2d/ 2
-/uLornra — = punira /,„ sm(ùJt)
ât
ât
b)
FlG. S14.1.
2. Si la boucle n'entoure pas le solénoïde (Fig. S14.1b), le flux est nul et uab = 0 .
S14- 7. Déplacement d'un conducteur sur des rails parallèles
1. Le champ étant stationnaire et le système de constitution variable, on a :
e = f(\ xB) -dr= / (V x B) dr = -v0Bl, \e\ = 0, 1 V
JC J MF
2. La puissance dissipée par effet Joule dans le résistor est : RI2 — e2 /R = 1 mW .
S14- 8. Déplacement d'un conducteur sur des rails concourants
1. Comme le système est de constitution variable et que B est stationnaire, la f.e.m a pour expression :
/• pN rN rN
e= é(Vx B„) • d r = / (V x Bfl) • d r = / vBadl= -Bav / d / = -BavMN
Je Jm J m J m
2. Évaluons la résistance R = £/ys avec £ = 20M — MN/ sin a . On en déduit le courant induit :
e BavMN Bavs'ma
R
K
S14- 9. F.e.m dans un disque de Faraday
1. La fem a pour valeur (cf. chapitre 4) : e = B«Qr2/2 = 1, 57 V .
2. Soit SI le courant transporté par un tube de courant du disque. On a, pour un élément d 1 de ce tube :
82YL = pep x <5/(dl x ha) = -SIBap dpez
d'où, pour le tube <51\ = —8IBar2 ez/2 et pour tout le disque :
i^ V^^r IB-}1 * ivt
11 — 2_^ SI L = —e- — 5ez N . m
3. D'après ce qui précède, l'équation recherchée est :
eI + rL-£l = 0
ce qui traduit la conversion électromécanique de puissance (cf. chapitre 18).

688
Solutions des exercices
S14- 10. Bilan des actions dans un disque de Faraday en régime stationnaire
1. La loi d'Ohm généralisée fournit l'équation : U = RI — e = 1 — 1, 57 = —0. 57 V.
2. Le théorème du moment cinétique, appliqué à cette machine tournante autour de son axe, donne :
o = r„, + rf + r,
le régime étant stationnaire. Comme el -\-Fl • il — 0 , il vient :
(RI - U)I + (-T,,, - 17) • il = 0 soit UI + F,,, • 11 - (RI2 + ail2) = O avec RI2 + ail2 > 0
3. U = 1 - 1, 57 = -0, 57 V . Par conséquent :
UI
V
m
Q-57X1°3=0,36
5 X 10077
S14- 12. Train à moteur linéaire
1. Le flux de B s'écrit, en posant k = w/v et en remarquant que xcd = Vt + b/2 :
rVt+h/2
(])(/) = N Bm cos(wt - kx) b dx
Jvt-b/2
fVt-b/2
= - ^y^ {s\n[wt - k(Vt + h/2)] - s\n[o)t - k(Vt - b/2)}}
soit :
ma nNB>»h • (kb\ ( m/a ^BmbV» . f cob\ . ,
O(r) = 2—y- sin (yj cos(wr - kVt) = 2—-— Sin I — J cos(gwt)
2. On sait que la f.e.m est donnée par l'expression : e = — d <t>/ d /, d'où :
^,r, , w ■ ( ub\ . , , ., . g(r) 2NBmbV0g . ( ù)b\ . ,
e = 2NBmbV0gsm l — \ sm(g<ot) et /(r) = -^ = ^-Jà sin ( —J sinfew/)
3. La puissance de la force de Laplace a pour expression :
VL = f /(O [d 1 x B(x, r)] • V - i(t) I [B(jc, r)xV]-dl = /(r)fcV[£(jro>, 0 - £(^, 01
car seuls les cotés parallèles à l'axe y ont une contribution non nulle, soit :
VL = i(r)bVNBm{cos[wt - k(Vt + b/2)} - cos[wf - k(Vt - b/2)}}
ce qui s'écrit aussi :
Vl = 2i(t)bVNBm sm(kb/2) sm(wt - kVt) = 2i(t)bV{)(\ - g)NBm sïn(kb/2) sm(gwt)
Il en résulte que :
Vl = 4Aft*fe(.-g)l& sin2 ^ àn2{gaf)
On en déduit la puissance moyenne des forces de Laplace :
- 2N2b2BlV2g(\-g) . 2(<ob\ . . 2f A 1
V = sin ( — 1 puisque smz(gwt) = -
On voit que V a le signe de g(\ — g) , c'est-à-dire positif pour 0 < g < 1 et négatif ailleurs. Dans le premier
cas, le cadre est propulsé (moteur linéaire), alors que dans le second il est freiné.
4. La puissance moyenne reçue par le train est positive et vaut :
- 2x 104 x 0,09x0, 36x3600x0,02x0, 98 ian
V= 0^5 = 183kW

et problèmes
689
Chapitre 15
S15- 1. Inductance mutuelle d'un fil infini et d'un cadre carré
Calculons le flux du champ magnétique produit par le fil (2) à travers la bobine de /V spires (1) :
277 \D-a/2
4>i2 =N Bn-mdSi = N^-^- / -£- = N^^- In '
J 27T Jd-u/2 P 2tt \
On en déduit : .. _ /n_i_^/9\
S15- 4. Inductance propre d'un solénoïde torique à section carrée
Par symétrie, le champ magnétique B dans le solénoïde est orthoradial, B = Bç e^ , et Bç ne dépend que
des coordonnées cylindriques p et z . Appliquons le théorème d'Ampère sur un cercle C d'axe Oz et de rayon
p . Si ce cercle est contenu dans le tore, on a, puisque les /V spires coupent toute surface s'appuyant sur C :
(b B d r = lirpBJp, z) = fia NI d'où B,„ = —- — e^
Je 27T P
Le flux à travers une section droite du tore est donc :
r*+«/2 ,,n an ,,n /R + a/2
JS JR-a/2 27T P 27T \R~a/
a/2 £■'*> ^ £■'" \/v — Cl/2
Comme il y a /V spires, le flux total est TV fois plus grand
ri, ^m^i i (R + a/2\ ,, . ,,. , . , Mo 2 (R + a/2
cï> = ^-~N la In '— d ou F inductance L = ^—N a\x\l
2ir \R-a/2J 2tt \R-a/2
A.N : L = 11 mH
SI5- 5. Pince ampèremétrique
Le champ magnétique créé par le fil est B(p, ç,z) = fiol e(p/(27Tp) . Son flux à travers le bobinage du tore
est :
m f jy ac WIN fR+<,/2 dP ^IN i (R + a/2\ „ . „ AK>A, , (R + a/2
N B n dS= '--— / a— = +-—«In '-— d ou M = £—Afaln '—
Js 27T Jr-u/2 P 27T \R-a/2J 2tt \R-a/2
A.N : M = 11 |xH .
SI5- 7. Bobinage triphasé
1. Les différents flux et les tensions qui apparaissent s'écrivent :
d<£,
<E>i = Li\ + M/2 + Mh et u\ =
âr
d<lh
c£>2 =Mi\ + Lh + M h et u2 =
ât
dOi
<L>3 = Mil + Mil + Li3 et m = -
dr

690
Solutions des exercices
Dans le cas (b): L + 2M ûih
i\ = ii = h — //,/3 et u\ = ui — m — iib d ou ///, =
3 ât
Dans le cas (c) :
ic — i\ = 2/2 = 2/i et uc — ii\ — m = wi — u-i d'où wr = -(L — M) ——
2 d/
Par conséquent :
L + 2M , 3(L-M)
L„ = et Lh —
3 2
2. Les valeurs mesurées donnent, compte tenu de ce qui précède :
(L + 2M)w72/3 = 24fl et 1,5(L - M)w = 24X1
On en déduit que : (L -f 2M)&> =1 et (L — M)<w = 16 fl, ce qui permet de trouver les valeurs des impédances :
Lw = 11 fl et Mw = -5(i(M négatif)
SI5- 9. Transformateurs
On a, respectivement :
N2 _ 25 _ \ _ M N2 _ 220 _ 1 _ M
/vT _ ïôô ~ T6 ~ ZiT et wï" ~ 25000 _ TÎ4 ~ ZT7
Chapitre 16
S16- 1. Équation de Maxwell-Ampère dans le vide
1. Le flux du courant volumique J à travers la surface S délimitant le volume V s'écrit (Fig. S 16.1) :
/= ê J-ndS = Jz(z,t)S
en raison de l'invariance par translation, parallèlement à la surface. Comme Oxy est plan de symétrie :
Jz(z, t) = -Jz(-z, 0 et / = 2Jz(e/2, t)S
Le bilan de la charge conduit alors à :
/=-— dou j = -__sgn(z)eE
2. Comme les plans V et T5' passant par le point M considéré et respectivement parallèles à Ozx et Oyz
sont plans de symétrie, il en résulte : B = 0 , et E = Ez(z, t) ez.
Le théorème de Gauss appliqué au volume V conduit à : E = Q sgn(z) ez/(2eo S) .
3. Le terme de déplacement s'écrit :
dE Nj3 M ¥ J5 v , ÔE A
£0ô7 = 2577sgnWe^-J dou J + £0Ô7=0
L'équation de Maxwell-Ampère est bien érifiée puisque rotB = 0 .

et problèmes
691
z,
v ;
_. ■■/......
■ y [ \ x | ï—n \
| n !
FIG.S16.1.
S16- 3. Choix de jauge pour le potentiel associé à un champ uniforme et constant
1. La définition du potentiel dans J\ conduit à :
E = — grad Vi — = Eq ev et à B = rot Ai = —- rot(—yev + xey) = Bq ez
De même, dans J2 '■ E = Eq ev et B = Bq rot(jfev) = Bo ez.
2. Le changement de jauge :
A2 = A, + grad/ et V2 = V\ - df/dt
conduit à :
#ovev Box df „
grad/ = j- + (— - Ed t) ev et -^ = -Eq y
Après intégration, on obtient : / = Boxy/2 — Eq yt + Cte .
3. En régime stationnaire, le courant volumique est nul, d'où : E,-,, + \e x B,-,, — 0 , soit Em = vc,Bq et donc :
rN
J M
- grad V\ ■ d r = (VM -VN)\ = Eina = veB0 a ^ (VN - Vm)i = 0
rN rN rN
I -(dA\/dt) -dr = 0^ / -(d\2/dt) • d r = veB0 « et / E • d r = veB0 ci
J M J M J M
La d.d.p dépend du choix de jauge, contrairement à la circulation de E .
S16- 5. Durée de relaxation diélectrique du cuivre
En combinant localement l'équation de conservation de la charge et le théorème de Gauss, on trouve que la
charge volumique p dans le milieu satisfait à l'équation différentielle suivante (cf. chapitre 16) :
^ + ^=0 avec t(I=£^=0,\5xW-{« s
Ut rd y
dans le cas du cuivre. Cette valeur est beaucoup plus faible que la valeur expérimentale, en raison des limitations
de validité de la loi d'Ohm en régime rapidement variable.
S16- 6. Durée de relaxation diélectrique dans l'eau de mer
On trouve : r,/ ~ 0, 17 x 10~ s . Dans ce cas, la condition t(i C71 = 1 /v est respectée pour des fréquences
v inférieures à 100 MHz .

692
Solutions des exercices
Chapitre 17
S17- 1. Champ magnétique dans un conducteur
J. Le courant volumique induit a pour expression (cf. chapitre 17) : Ji = (ycopBo/2) sin(cot) e^ . D'après le
théorème d'Ampère, on a : rot(B() + Bi) = rotBi = fivJ\ • Intégrons sur un contour rectangulaire, de côtés Az
et p :
[B2z(0,t)-B2z(p,t)]àz=*)y 2 ^ 'àzj p' dp'
d'où :
/ 2 \ / ry \ 1/2
B, = ( fl,z(0, 0 - £—B0 sin <yf J e, avec 8 = (
V 28- J \pLoyuj
Comme Bi est nul à l'extérieur du cylindre et B est continu, on obtient :
B, =fl0ez
2 2
œs(a)t) H ^— sin(ûtf)
2. L'écart relatif maximal à l'uniformité vaut : AB/Bq = a2/(282) .
A.N : 8 = 9 A mm et AB/B0 « 50%
S17- 2. Puissance dissipée par effet de peau
1. La puissance électromagnétique fournie aux charges, par unité de volume, est égale à :
E ■' = 7 ^«p(-Ï)«»2 (<"-§)
On en déduit les puissances moyennes :
8V J;n ( 2z\ = Jl , r° f 2z\ A J2mcibô
Jp=2-y^{-8) et P=2^/0 eXP(-7jd^-^-
2. Cette puissance est équivalente à celle qui serait dissipée pour épaisseur e du conducteur parcourue par un
courant uniforme d'intensité J,„be :
V=~(J,„be)2 d'où e=|
2 ybe 2
A.N : e = 0, 33 mm.
S17- 6. Alimentation d'une bobine
1. En régime stationnaire, le courant qui circule dans la bobine est tel que les lois de Kirchhoff soient vérifiées.
Avec les notations habituelles, on a :
E = RiIi+R2(Ii-IL) et rIL = R2(Ii-lL)
On en déduit :
/1 = |±*fc=0,4A et ,= ^A)=6,7n

et problèmes
693
2. En régime transitoire, les deux premières équations précédentes s'écrivent :
E = /?,/, + R2(i\ - iL) et riL + L-^ = fl2(/i - «l)
v ùt J
Par conséquent :
fàiL v E + R2iL, . diL iL £o
L-— + (r + /?2)il = /?2 _ , _ ) soit -— + - = —
d/ v y /?i +/?2 dr r L
avec :
L / /?? \ r/?, +r/?2+/?i/?2 , r r /?2
- = r + 7?2 — -; r = et Eq = E
r V (Ri+Ri); R\+Ri /?i+/?2
La solution s'écrit :
'■<•=cte x exp K)+¥ = ¥x i1 -exp (-7)]
puisque II = 0 à f = 0 . Comme (diL/ dt)o = Il/t , il vient :
fdû\ = IL{rRx +rR2+R^R2) = /L(r/?, + rR2 + /?i/?2)/(/?i + /?2)
V d/ y0 L(/?,+fl2) °U d/L/d/)0
A.N : L = 200 mH .
SI7- 7. Courant et tension en phase dans un dipôle
1. Comme les deux branches sont en parallèle, l'admittance du dipôle a pour expression :
Y = r, + Y2 avec Yx = - +jCto et Y2
R " r+jLœ
En effectuant, il vient :
r + rR + Z/V +jR[-Lù) + Cco(r2 + L2co2)}
R(r2 + L2ùj2)
2. La tension et le courant seront en phase si l'admittance Y est un nombre réel. Par conséquent :
L = C(r2 + L2ù) )] d'où co2 = l —— ) et co = coq ( 1 —
S17-8. Alternateur
1. Le flux total est <P(t) = <!>„(/) + L/(f) . On a donc :
R'(t) + ^ = ° soit L^-+Ri = ea = - ^p-
ùt et ùt
2. En notation complexe, où O^ = <&,„ exp(jcot) , on a :
L-f+Ri = —=± = -jtoQ, d'où (jLw + R)I_ = -j(o®m et / = p "^ 0/t<
d t d / K + yL&>
On obtient alors l'amplitude et la phase de l'intensité : i(t) — /„, cos(cot + (pi) avec :
L=(^UV)'^ Cl W = -2-" = -2-arctan(-R-
On en déduit la f.e.m :
*(f) = /?l(f) = ^2 + L2^2)./2 Sin^' - «0
Notons que la f.e.m dépend de la résistance du circuit de charge : ainsi E.D.F doit agir sur les caractéristiques de
ses alternateurs pour assurer une tension constante aux différents utilisateurs.

694
Solutions des exercices
S17- 9. Circuit série dans l'ARQS
1. La f.e.m comporte une composante continue pour laquelle le courant stationnaire / est nul, puisque le
générateur débite dans un circuit ouvert : on en déduit que VR = RI = 0 et Vc = 4 V .
2. L'impédance de la charge est
jCû) ~ + y 0,2 x 10-6 x 2tt x 2000
On en déduit
Z = * + — = 250 + 17^-T7^-^-^7^ = 50(5 - 8y)
/ = —^— = — = -^— (3 + 4y) = 0,014 expM
- r + Z ^100(3 -4y) ^2 x 25 V " R/
d'où :
7 = 0,014 A et p = arctan (- j =53°
Il en résulte : VK = RI_ et VR = 3,5 V. Quant à Vc , il vaut :
Vc = -400/ x 0,014expyV/ = 5,6exp[/(<p; - tt/2)] d'où Vc = 5,6 V et çc = -37°
Par conséquent :
i(t) = 0,02cos(W + 53o) vR(t) = 5cos(wf + 53°) <uc(f) = 4 + 8cos(W - 37°)
3. La puissance fournie au circuit est celle dissipée par effet Joule : V = RI2 = 0,05 W .
Chapitre 18
S18- 2. Énergie magnétique d'un solénoïde droit
1. On sait que le champ magnétique dans un tel solénoïde est pratiquement nul à l'extérieur et vaut à l'intérieur
B — jjbonl. Donc :
B2 fJLoI2n2 c/ 7 2 0002 77x0,022 no _ r„
£„, = O = -—-—SI = 477 x 10 x 4 x x x 0,2 = 0, 63 mJ
2/ulo 2 2 4 ' '
2. Si l'intensité est multipliée par 103 , l'énergie magnétique est multipliée par I06 . Par conséquent
Sm = 630 J .
S18- 3. Énergie électrique dans un solénoïde dans l'ARQS
1. Le champ électrique induit Ei satisfait à l'équation :
rotEl + ^=0
at
En intégrant cette équation sur un contour circulaire C qui s'appuie sur une section droite et orienté de telle sorte
que n coïncide avec ez, on trouve :
<p Ei ■ dr = / B0 • n d<S d'où 2irpE\ = — ttd2 et
Je dt Js r ût
El ~~2^r^

et problèmes
695
2. Le terme électrique de l'énergie électromagnétique s'écrit :
£' = 7, — d " = 2£0l T {tt) 27rp àp = ^(™ /}8? ("57
3. Calculons le rapport des moyennes temporelles des termes électrique et magnétique ; on obtient :
~C~ 2 2 2 / \ 2
Ce Cl ù) 7T ( Cl \ . C
z;- &? 2 va,,; puisque u = 2w-^
Comme a <C Ao dans l'ARQS, on a bien Se <C Sm . L'application numérique pour v — 1 kHz , soit Ao = 300 km ,
donne : Se/S,n ~ 5,5 x 10-15 . Ainsi, l'énergie électromagnétique est pratiquement stockée sous une forme
purement magnétique :
Se,n ~ £„, = [■£- d V
et celle-ci est répartie uniformément avec une densité wem ~ w,,, = B2/(2/xo) .
S18- 5. Énergie magnétique dans un condensateur dans l'ARQS
1. Dans l'espace entre les armatures, le champ magnétique s'écrit, en coordonnées cylindriques (p,ç,z)
(cf. chapitre 17) :
p dE0 p r • / a
2. On en déduit l'énergie magnétique localisée dans le volume 7ra2e , entre les armatures :
[X.
d< =2^,1 Â?\~di) ^d^=—™^s>„M
en tenant compte de la relation eofioc2 = 1 (cf. chapitre 17).
3. En moyenne dans le temps, le rapport des contributions magnétique et électrique à l'énergie
électromagnétique, a pour expression :
2, 2 ^2
c 11 1 /
o,u a co 77 / a
T 8c2 2 V À- 7 PLlisclue cos2(^0 = sin2(w/) = -
Or dans l'ARQS, a <C Ao . Il en résulte que £,„ <C Se ; l'énergie électromagnétique £cm se réduit donc en pratique
à Y énergie électrique Sc :
c2
I,
Sem « Se= I ^f~ d ?>
celle-ci étant répartie avec une densité volumique we = £qE2/2 uniforme. L'application numérique conduit,
puisque A0 = 300 km , à : c\}/Te « 5, 5 x 10~15 .

696
Solutions des exercices
S18- 6. Bilans d'énergie dans un circuit déformable
1. Lorsque AB se déplace, le flux de B„ à travers le circuit ABCD varie. 11 apparaît donc une f.e.m induite
et donc un courant induit qui parcourt CD . Cet élément conducteur se met alors en mouvement sous l'effet de
la force de Laplace. Si on applique le théorème du centre de masse à CD, de masse m , on obtient, puisque le
mouvement a lieu dans un plan horizontal :
dV B2J2(V-V\)
m—— = FL — Buil ~
et • - R
puisque :
/ = _idO Bald(AD) = BJ
R dt R dt R ^ ^
R désignant la résistance du circuit. La résolution de cette équation différentielle est classique. La solution est,
puisqu'à l'instant initial V = 0 :
V = Cte x exp (--) + V\ = Vi U - exp (--)] avec r = ^-
La vitesse de CD tend exponentiellement vers Vi ; V atteint 99% de V\ au bout de la durée t\ telle que :
0,01 = exp (--) soit r, - r In 100 = 4, 6r
Calculons la valeur de r :
_ 2p*lsx l _ 2p* 2,7 x 103
14, 8 ms d'où t\ = 68 m s
ysBlP- yBa 3, 65 x 107 x 10"2
2. Le bilan d'énergie électromagnétique sur une surface fermée entourant l'ensemble s'écrit :
d£„„ = Ô8f-m = àt I -f--Vx B„ j • Jd P = ÔWj - ÔWL
puisque l'échange 8£rem est nul. Le bilan d'énergie mécanique donne :
à£mec = 8Wop + 8WL + 8Wf
où 8Wf < 0 désigne le travail des forces de frottement mécanique. Notons que dans ce cas £mec se réduit à
l'énergie cinétique £* = mV2/2 . On déduit de tout ce qui précède le bilan d'énergie électromécanique :
d£M = d(£mer + £cm) - 8Wop + 8Wf + ÔWj
Lorsque la vitesse V atteint sa valeur limite Vj , on a : ô£m = 0 . Le travail fourni par l'opérateur compense le
travail des forces dissipatives (effet Joule et frottement mécanique).
3. L'équation différentielle du mouvement du conducteur CD est la même que précédemment :
dV B0l(V-Vi) . d2x \dx 1 d*i mR
^7 = ^— so,t d7^ + 7d7^7^7 avec T=W
Sachant que x\ = A\ exp(jcot) en notation complexe, cherchons une solution de la forme x = Aexp(jwt) . On
obtient :
(—a)2 +y— ) Aexpijajt) =j—A\ exp(/W)
On en déduit, en simplifiant :
A exp = A i
1 -\-jùjt
On voit qu'un tel système peut être caractérisé comme un filtre de fonction de transfert :
H(co) — — avec cûq = - =
1 +jù)/ù)q r mR
Si a) <C coq , H((o) ~ 1 , alors que, si co <C coo , H(co) « —jcoq/co . C'est donc un filtre passe-bas.

et problèmes
697
S18- 9. Force exercée par un fil rectiligne sur un cadre rectangulaire
1. L'énergie magnétique mutuelle du système a pour expression :
£,„ 12 = M/1/2 avec M = = ^-——- / -bdx = —- In
I\ 277/1 JX] x 2ir \ x\
On en déduit :
c fJLoN2I\hb fxi+a\
6,1,12 = t:L-z In = 1,25 mJ
277 V Ai )
2. Comme £,„,\2 , exprimée en fonction des courants, ne dépend que de la variable spatiale *i qui détermine
la position relative des deux conducteurs, la force qu'exerce C\ sur C2 s'obtient selon :
FV=^ = ^^P lU-0,34mN
ox\ 2tt \x\ + a x\ I
S18- 11. Aspect énergétique du solénoïde plongeur
1. On a :
Sm= X-U12X + ]-L2ll + Mhh
avec :
9 2 t t ^21 2
L\ = im)H\ttR\1\ L2 — /uLotuirR^h et M = = /xo/?i 77"/?2/?2Z
I\
La quantité Ml\h est l'énergie magnétique mutuelle. Elle présente seule de l'intérêt ici car elle dépend de z .
2. On sait que Fz = I\hdM/ dz . Donc F = /xo/? 1 /72/1 /2tt/?2 e2 . Cette force tend à faire pénétrer 62 dans
S\ , d'où le nom de solénoïde plongeur. On en déduit aisément l'intensité h :
0,01
jUL0n\n2I\7TRl 4tt- x 10~7 x2x 106x2xttx4x 10~4
h = —V^2 = .■..,.-7..„.,:„o ,„,ft-a = 1.585 A
S18- 12. Bilan d'énergie électromagnétique dans un câble coaxial
1. Dans l'espace inter conducteurs où J = 0, on a : rotB — (1 /c2)dE/dt = 0 . Comme E est radial et
sinusoïdal, il vient suivant e, :
-77^- + -rEr = 0 et E = -Ç e,- exp — i(cot — kz)
dz c2 2irr
2. On sait que w = we + w„, avec :
we = —— = cos (tôt - kz) et wm = -— = cos (w? - ta)
Z 077"-/ ZyLt() 077"zrz
Donc ?/;(, = iy;„ et :
lM)hn 2/ . f \ , ! — fl{)fm
"- — cos (w/ — kz) de valeur moyenne u> = -——
477-2r2
Il en résulte que :
df 477-2r2 v ' dt

698
Solutions des exercices
3, Le vecteur de Poynting s'écrit ;
R = Ex — = fjL0c-^ez cos2 (wt-kz) d'où R=^^ez = wce^
julq 477-r2 ' 877~rz
4. Calculons l'énergie électromagnétique considérée :
f ai* ^ fh [Z0+Az.2, A27rrdrdz moA7/2(zo,0 , (b
d'où :
£em = -AzL/ll avec L/ = -^- In ( -
2 277 \ «
homogène à une inductance par unité de longueur (en H-m"1 ).
S18- 14. Mouvement de rotation d'une bobine plate dans un solénoïde
1. L'inductance mutuelle est :
<E>i_>2 tiQtiiiSN cosO „KT n
M = = — = fioiiSN cos 0
On obtient alors le couple selon :
8WL dM
Ve = ——— = [JL{)i\i2—r— = —fJL{)i\i2nNS s'm 6 avec jmoi\i2nNS = 0, 5 mN ■ m
d 6 Q 9
pour valeur maximale. Comme les intensités sont constantes, l'énergie potentielle magnétique £Pjin est telle que :
8WL = i\i2dM = d(i\i2M) = — d£/v„ avec £,,,,„ = —i\i2M = —i\i2fionSN cos 6
2. La position d'équilibre stable de la bobine est celle qui réalise le minimum de £/v„ :
—— = i\ hfiotiSN sin 6 — 0 et ——^ = i\ h/uoiiSN cos 6 > 0
d 6 a6z
L'équilibre est réalisé pour 0 = 0 et 0 = 77 . La seule position d'équilibre stable est donc 6 — 0 . Il en résulte
que le mouvement autour de 0 = 0 est oscillatoire. On peut préciser l'analyse à l'aide du théorème de l'énergie
mécanique (cf. Mécanique). On a, effet, en présence d'un couple de frottement de la forme —h0 :
d(£k 4- £pm) • J0" . .
— JL-L — —hO avec £k — et £„m = — i\i2julqNS cos 6
dt 2
Chapitre 19
S19- 1. Onde plane monochromatique associée à un faisceau laser
1. Le vecteur d'onde a pour expression : k = kex/ = k(ex -\- \/3ev)/2 avec k = 2tt/\q . Le champ
électromagnétique de cette onde plane, progressive, monochromatique (OPPM), polarisée rectilignement, s'écrit :
E = E„, ez cos(o)t — kx') B = — et donc B = —-(\/3 ev — ev) cos(cot — kx')
c 2c
Quant au vecteur de Poynting, il est selon eA/ : R = £q cE~ex/ = Rmexr .
2. La puissance rayonnée à travers la section S du faisceau vaut : Vrad — £o cÈfnS/2 . On en déduit :
Em « 27 x 103 V • m-1 , B,„ = Em/c = 9 x 10~5 T , k0 = 1,3 x 107 m-1 et Rm = 2 x JO6 W • m-2 .

et problèmes
699
S19- 2. Propagation d'une onde radio
1. On a (cf. chapitre 19) : A0 = c/p = 2 m et B = E/c = 10~9 T .
2. L'expression réelle du champ électrique est, a priori : E = E,„ ev cos(cot — kz — <£>) avec :
ÙJ _ 277^
c c
2tt_
Ao
77- = 3, 14 m-1 et cos(kz - q>) = 1 soit <p = £z = 3, 14 x 0, 25 :
Par conséquent : E = Em ev cos(27rvt — ttz — tt/4) et B = Bm ev cos{27TPt — ttz — tt/4) , puisque les deux
champs sont en phase.
3. La puissance moyenne reçue par l'unité de surface placée normalement à R est donnée sa norme :
R = EmBm/(2fio) = El/(2fioc) = 0, 12 x l(T3 W-m"2 d'où: RAS = 0,4Sx 10-9 W.
S19- 3. Structure de l'onde électromagnétique sphérique
Toute composante du champ d'une onde sphérique divergente est de la forme : E„ = r~lS„ (t — r/c) .
L'équation de Maxwell-Gauss conduit alors à :
divE(rl/)=i|:(^£r) =
j_d_
r2 dr
(rSr) = 0
Comme d'autre part, on a :
Wt(rEu) = -cWr{rE.) d ou ^
:0
il en résulte que Sr = 0 , soit E, = 0 , la constante d'intégration étant nulle pour une onde.
Ainsi, le champ électrique et par analogie le champ magnétique sont transverses. L'équation de Maxwell-
Faraday, rotE + dB/dt = 0 s'explicite selon :
1
et, d'autre part, selon :
|(^)-|(^)
|(^)-|(^)
^ 0 d'où Ea,
-cBo
— 0 d'où Eq — cBç
Ainsi, les champs électrique et magnétique sont en phase et liés entre eux par la relation :
Bc = —Eç ev + Eq e^ = er x E
À grande distance de l'origine, si la variation du signal est suffisamment rapide, on peut négliger la dépendance en
Xjr dans le voisinage du point considéré. L'onde peut être assimilée localement à une onde plane. Pour un signal
monochromatique, cette condition est vérifiée si Ào C r.
S19- 6. Puissance rayonnée par le Soleil sur la Terre
On a : Vr = 4t7 D2 x É = 0, 377 x 1027 W .
S19- 7. Ondes stationnaires
L'amplitude maximale d'une onde stationnaire est le double de celle des ondes composantes (cf. chapitre 19)
et la distance qui sépare deux minimas nuls consécutifs est égale à une demi-longueur d'onde. Par conséquent :
Eltl = 6 mV • m ' et —
2v
:0,25 m d'où
0,5
600 MHz

700
Solutions des exercices
S19- 8. Paquet d'ondes rectangulaire
1. L'intégration conduit à :
rk«+Ak/2 ( sin Ak( v - et) Il \
Vf*, 0 = A, / exp[i*(* - et)] dk = AoAk Af/1 *]' exp[/X0(A- - cr)]
Jk0-Ak/2 \ i±K{X — Ct)/Z J
2. L'intensité associée se calcule selon : / = |^|2 = /0(sinX/X)2 avec /0 = (A{)Ak)2 et X = M (x - et)/2 .
3. La largeur totale à mi-hauteur (L.T.M.H) du lobe principal permet d'estimer l'étalement spatial
électromagnétique : Aa ~ 2tt / Ak et la durée d'observation en un point donné : At œ 2tt/Aco .
4. L'intensité totale du paquet d'ondes a pour expression :
/+00 /- + oo /„:„ v\ 2
I(x,t) dA=(A()A/c)2 /
00 J -
m
+7^V2d(i) = 2'-
V x
KAkJ
Ak
Cette quantité est finie, contrairement au cas de l'onde plane.
FIG.S19.1.
Chapitre 20
A |*(x0,t)|2
S20- 2. Rayonnement d'un dipôle de Hertz
1. D'après l'expression donnant la puissance moyenne rayonnée dans tout l'espace, il vient, puisque
À — c/v = 0,6 m :
\2tt£0c3V
A) :
À4 V
= 2. (47T£0),. ,4 = 9,24x 10~21 C2-m2 d'où p0 - 96 x 10"12 Cm
(277)4C
On en déduit l'amplitude de E , à 1 km et pour 6 = tt/2 :
1 ùj2 p0 _ 4772 1 p{)
4tt£q c2 r 4tt£o à2 r
94,7 mV-m"

et problèmes
701
S20- 3. Efficacité d'un dipôle de Hertz
1. On sait que Vr = Rrlf„/2 et V = Rl}n/2 . Par conséquent :
Vf = Vr + Vd = _ et 7}r= — =
Vf 1 + rt//?r
2. En raison de l'effet Kelvin, le courant ne circule que sur la périphérie du conducteur, sur une faible épaisseur
S (cf. chapitre 17). Il en résulte que :
a a ( 2 \,/2 . R 3 rK ('X\ (X
R — = avec o = d ou —
y x 7tDS y x ttDS \coypo) Rr 4tt2 r0 \a J \D
3. Numériquement, on trouve :
r(, = 60tt= 188,5 fî rK = 1,86 x 10"3 H Rr = 790 (^V = 8,8 x 10"3 fl
/? = 0,34/?r = 3 x 10"3 il et 77,-^0,75
S20- 4. Diffusion Rayleigh
Comme la puissance rayonnée est proportionnelle à À-4 , le rapport des puissances pour les deux longueurs
d'ondes extrêmes vaut :
V!i = (kL\= /750\4
S20- 5. Champ électromagnétique produit par deux dipôles de Hertz
En traçant le triangle D1D2M dans le plan Oxy, on voit qu'à grande distance la différence L vaut
/ sin((9y, OM) soit 7 cos q>. Le champ résultant s'écrit donc :
1 or sin(77/2)
47T£{)
E = E, + E2 = j^- ^-J—L pi) exp(-iûtf)
1 (iù)D\M\ 1 fiù)D2M\
__exp/__j+__expf ]
Comme ri = D\M — r — (/cos<p)/2 et r-i = D2M = r + (lcosç>)/2 avec / <C r, il vient, en posant
0 = (Wcos </?)/c :
E-7^^/^o
exp [-/w (r-^j] expf-yj+exp
soit :
47760
E=4ïb y^P0 cos (f )exp h" (' " Dle:
S20- 6. Gain directionnel d'une antenne demi-onde
D'après la définition de G , il vient :
4irr2R _ 2cos2[77-cos(6>)/2] 4tt-£0c _ 4 cos2(tt-cos 0)/2]
~ Pr ~ ^ "' 4772eocsin20 1,22/â - J^ —f~e
Pour 6 — 77/2 , G = 3,28 alors que pour 6 = tt/4 , G = 1,3. Sur la figure Fig. S20.1, on a représenté le graphe
G(0).

702
Solutions des exercices
2,
X^^v1
I ' ' oj
,
(/G
\ ]
1 x
Fie S20.1.
S20- 10. Dipôles électriques et magnétiques des atomes
1. On a :
0_ m-30^ . eiral evoao aeaQc _„ 1A_24 A 2
p0 — eci{) = 8,5x 10 Cm et //7() = = —-— = —-— = 9, 28 x 10 A.m
2. Calculons les rapports des champs créés par le dipôle magnétique et par le dipôle électrique :
po poc 2 274
Ainsi, le rayonnement dipolaire électrique est prépondérant dans les atomes
< 1
Chapitre 21
S21- 2. Champ créé par un cylindre allongé uniformément polarisé parallèlement à son axe
Le champ auxiliaire E; que produirait le cylindre allongé vaut, si on néglige les effets de bord :
E/„ — — - et &ex — — ——
£o 2 £o 2rl
r étant la coordonnée radiale cylindrique et po = 1 la charge volumique égale à l'unité.
Le cylindre crée donc un champ électrique nul puisque P est orienté suivant Oz et que E' ne dépend pas de
z . Le champ D s'écrit alors :
D/7J
P et D/IIftr = 0
La topographie des divers champs est représentée sur la figure S21.1.
« » » i * * *
******
W V W W W W
P ETII=0 D„
FiG. S21.1.
P Ew
FiG. S21.2.
D =0

et problèmes
703
S21- 3. Champ créé par une feuille plane uniformément polarisée
Le champ électrique E' créé par une feuille d'épaisseur e, faible devant ses dimensions latérales, et de
charge volumique uniforme égale à l'unité, a pour valeur (cf. chapitre 4) :
E'in = — e- et E'ex — -— sgn(z) e-
l'axe Oz étant perpendiculaire à la feuille. On en déduit la valeur du champ E„, créé par une même feuille
uniformément polarisée suivant Oz :
1 P
E,,,,/,, = (P • grad) zez = et E,,,,** = 0
et la valeur de D„, :
D,,,,,-,, = 0 et Dm,« = 0
La topographie des champs P, E,„, et D,„ est donnée sur la figure S21.2 . Notons qu'elle n'est valable qu'au
voisinage du centre de la feuille où l'approximation qui consiste à négliger les effets de bord est justifiée.
S21- 5. Champs d'une sphère uniformément polarisée
1. On a (cf. chapitre 21):
£,„,„, =--^- et Em,a=-l—^[3(T-er)er-T]
3eq 4tt£q r3
P 2P
D,,,,,-,, = -- + P = — et D„,,e.x = £o Em,ex
2. Calculons les flux des champs E,,, et D,„ , à travers le plan contenant le centre de la sphère, orthogonal à
P . Il vient, si la normale est orientée selon P :
Ve = / E„, • n d<S = —-ttR2 - /
Jz=0 3£o Jr>
V 2irrdr 2 P 2 P 2P
= —77"/? 27TR = —7TR —
Ô£q Ô£{) £()
En revanche, le flux de D„, vaut :
^=/ D,,„d5=frf-/ r2^L=0
Jz=Q 3£° Jr>R 47T l
Comme les champs D&v et Eex décroissent en r-3 , leur flux à travers une demi-sphère de centre O tend vers
zéro lorsque le rayon R tend vers l'infini. On constate donc que les flux de D et de E à travers une même surface
fermée, constituée par le plan et la demi-sphère, sont différents. Le flux de E et donc la charge du milieu matériel
contenue dans chacun des demi-espaces ainsi délimités ne sont pas nuls, alors que le flux de D , qui lui ne dépend
que des sources extérieures, est nul en vertu du théorème de Gauss.
S21- 6. Relations de passage entre une feuille diélectrique et l'air
On sait que la composante tangentielle de E est continue ainsi que la composante normale de D s'il n'y a
pas de charge étrangère. Comme Di = 5£oEi , on a :
£i,a = E2tX = 0,4 £,,v = E2,v = 1 et £>,,, = D2,z = -0,5e()
On en déduit, puisque D2 = £oE2 :
E, = 0,4ev + 1 ev - 0, 1 e, E2 = 0,4er + 1 ev - 0, 5 e, et D2 = e0(0,4e.v + 1 ev - 0, 5 e,)

704
Solutions des exercices
S21- 8. Lames métallique et diélectrique dans un condensateur plan
On a, d'une part :
U=UA
I"
Ja
Edr soit U = E(e — e\ — e,i) + E\e\ + #2<?2 avec E\ = 0
et d'autre part :
On obtient ainsi
div D = 0 soit £o E — EnE2 — £o £,- E2
U
d'où Q = crS = eqES -
eoUS
e — e\ — C2+ e2/sr ^ ~ ~ "" (e — e\ — e2 + e2/er)
Comme, en l'absence des lames, la charge est go = So SU je , il vient :
e = ô» —,—t
e — e.\ — e2 + en/e,-
Notons que cette variation de charge est fournie par le générateur de tension dont la fonction est de maintenir
constante la d.d.p U . La capacité C du condensateur a donc la valeur :
c=2 =
£()S
U e — e\ — e2 + ej/e,-
On pourrait retrouver ce résultat en notant que le système est équivalent à deux condensateurs en série, l'un à vide
d'épaisseur e — e\ — e2 , l'autre à diélectrique d'épaisseur e2 . En effet, l'addition des inverses de ces capacités
donne :
_!_ _ £o
C ~ S
e\ — e2 +
er
S21- 11. Circulation des champs E et D dans une sphère polarisée
On obtient pour la circulation de E une valeur nulle puisque le régime est stationnaire et le champ nul à
l'infini ; la circulation totale sur l'axe et sur un demi-cercle se refermant à l'infini est donc nulle. Quant à celle de
D, elle se réduit à la circulation de P uniforme le long d'un diamètre de longueur 2/? :
/•OO t'OO rOO
Ez(z)dz = 0 et / Dz(z)dz= Pdi
- oo J — oo J — oo
2PR
Chapitre 22
S22- 1. Inductance d'un solénoïde à noyau
L'inductance est donnée par l'expression :
d'où :
0 BNS firBoNS firfionlNS 2f1,
L = y = —j- = = = flrf^n SI
L = 50 x 477 x 10"7 x 0, 64 x 106 x 4 x 10-4 xO,l = l,6mH

et problèmes
705
S22- 2. Feuille plane uniformément aimantée perpendiculairement à son plan
La transposition des résultats relatifs à la feuille plane uniformément polarisée, donnent, pour un échantillon
de même forme et uniformément aimanté (Fig. S22.1) :
d'où le champ H
B„v„ = /aoM-/4)M = 0 et B,,,.,.!- = 0
H/7l
Mo
i i t i i «
f W W 1' W f
M
FiG. S22.1.
H„
S22- 6. Réfraction des lignes de champ magnétique
1. Les équations de Maxwell donnent : n!2 x (H2 — Hi) = 0 et ni2 (B2 — Bi) = 0 . On en déduit que Hi ,
H2 et n)2 sont coplanaires. Comme H2 = B2/m2 et Hi = Bi/mi , il vient, en projetant :
B\ . Bn . . tan^i tan a2
— sinai = —sin a2 et B\cosa\ = B2Cosot2 soit = .
fJL\ fJL2 Ml fl2
Notons là-aussi que si jul\ —> 00, tan #2 = 0 quel que soit a\ . En revanche, si jul\ —> 0, tan a2 —> 00
et ai —>■ 77/2 quel que soit a\ ; B2 est alors tangent à la surface. C'est le cas du champ à la surface d'un
supraconducteur (cf. chapitre 27).
2. A.N: a2 = 0,4tt-
S22- 7. Lame magnétique dans un champ
La composante normale du champ magnétique et les composantes tangentielles de H sont continues. Comme
Hcx = Bcx/jULo et que H,-,, = B/„/(mo fir) , on obtient d'une part :
Bin,.\ — Bex,x — #(iv H i„,y — HeXzy
Boy_
MO
////.,, = Hex,z = 0
et d'autre part :
Bin,y — MO M/" Hi„,y — M'" #0v Bj„,z — fM) f^r Hi„]Z — 0 Hj„^
L'aimantation volumique M = (B,„/mo — H,-„) a pour composantes :
B0y
Bhl, B{),
Mo M'- Mo M'
Mo V M/-
Mv=—(m,--1) et M- = 0
Mo
L'aimantation étant uniforme, les courants d'aimantation sont surfaciques et satisfont à la relation :
D
J.sv„ = M x nex = -A/v ez = l (juLr - 1 ) er
Mo

706
Solutions des exercices
S22 8* Relation entre a* et Xm
En tenant compte de la relation B = Mo (H + M) , on obtient :
Mo
Par conséquent :
H + M = H(1+^
B Ir RT TT B ]5 v B H
et — =H + M = H + ^/„— d'où — = -
Mo Mo mo 1 — Xm
i+*: =
i
d'où x*t
X»
Xm 1 Xm
Le graphe sur la figure S22.2 est une branche d'hyperbole passant par l'origine et ayant pour asymptotes les droites
X,„ =1 et x*v — ~ 1 • L'origine représente le vide ; les points voisins sur la bissectrice du premier quadrant
correspondent au paramagnétisme et au diamagnétisme suivant que les valeurs sont positives ou négatives.
L'asymptote Xm = I , soit Xm — °° correspond à un matériau ferromagnétique doux parfait. L'asymptote xîn = — 1 s°1^
Xm = — oo correspond, elle, au diamagnétisme parfait ou à un supraconducteur (cf. chapitre 27).
2. On obtient : Xm = 3, 28 x 10"3 :
; Xm,
Supraconducteur^
0
Ferromagnétisme
Paramagnétisme
'N 1 Xrr
Diamagnétisme
FiG. S22.2.
S22- 11. Champ, excitation et aimantation dans un conducteur magnétique
1. Le courant volumique s'obtient aisément : J = (I/S)ez avec S = ira2 . Les champs Hcx et Bex s'écrivent
respectivement, en coordonnées cylindriques :
HfY = -—e^ et B^-
Mo/
2irp y l" lirp ç
d'après le théorème d'Ampère et la relation Bex = MoH,,v •
2. En appliquant le théorème d'Ampère, sur un contour circulaire de rayon p < a , on trouve :
H,-,,
IP t> lP MO Ip .. Xm Ip
-—- e^ B,„ = jjQfir-—- e^ = —- e^ et M = —- e^
lira2 lira2 1 — Xm Itto1 1 — Xm lira2
3. Les distributions de courant équivalentes sont :
rot M - J,„ = -^— -^- ez et M x n,v = J.y,,„ = - -^— -1— ez
l - Xm 27TClZ 1 - Xm 27TU

et problèmes
707
Chapitre 23
S23- 1. Mesure de la susceptibilité diélectrique de Péthanol
La susceptibilité Xe s'obtient en appliquant la formule établie au chapitre 23 :
_ 2p*hg _ 2 x 785 x 2 x 10~2 x9,81 x 36tt x 109 _
Xe~~^f~ 10-2 -M'5
puisque la valeur absolue du grandissement transversal du système optique est \Gt\ = |25/(25 — 20)| = 4.
S23- 3. Expérience de Stern et Gerlach
D'après la loi fondamentale de la dynamique, il vient :
mdvz ^ ÔB At ^ . ,A /nX1 [T (dB\A ,A (dB\
—^=Fz = fiz— d'où m[vz(l) - vz(0)] = j julz f— jdt et mvz(l) ^ fiz l — \ t
avec r = //yv. On en déduit la déviation angulaire et la distance entre les taches et le centre O :
vz(l) l ÔB . £>/ <9Z?
—*— =—2^"â" d OL1 z = D0~ —2^z"ô"
S23- 4. Condensateur à diélectrique dissipatif
Le courant total a deux contributions, l'une liée au courant de conduction, l'autre liée au courant de
déplacement :
Js Js Ot dt e e dt
Introduisant la résistance R et la capacité C R = e/(yS) et C = (1 + Xe)soS/e , il vient :
«0 = £ + c-dt/<'>
R dt
On obtient ainsi l'équation d'un dipôle électrique constitué d'un résistor et d'un condensateur en parallèle. Ainsi, le
condensateur dont l'espace entre les armatures est rempli d'un milieu linéaire dissipatif peut être considéré comme
l'association en parallèle d'un condensateur à diélectrique parfaitement isolant et d'une résistance.
S23- 6. Intégrale du demi-produit scalaire B H et énergie
On a, puisque B = rot A :
/ ?*_!! d ?? = i /* rotA-Hdf; soit f 5__5 d p = i f A rotH d f;
J espace J espace J espace J espace
puisque div(A x H) - H rot A - A rotH et que les champs et les potentiels sont nuls à l'infini. Or
rotH = Je.r = 0 . Par conséquent l'intégrale est nulle. Notons que, dans le cas d'un matériau à aimantation
induite, cette intégrale qui s'identifie à l'énergie électromagnétique n'est pas nulle, car Sex ^ 0 .

708
Solutions des exercices
S23- 8. Énergie électrostatique stockée dans un condensateur sphérique
1. En appliquant le théorème de Gauss sur une surface sphérique concentrique de rayon r , on trouve, puisque
la charge de Y armature extérieure est — Q :
pour 0</</?, D = 0 E = 0 P = 0
pour Ri < r < R2 D = - E = P = — 1 1 —
477 r2 Atts r2 477 V e J r1
pour R2 <r D = 0 E = 0 P = 0
2. L'énergie électromagnétique £'"m du matériau est donc :
çm f sE2 Q2 ( 1 1 \ Q2 ErCoU2 r . /?i/?2 -
Ee — \ —— d^= -— = -—— = —-— avec C = Aire = erCo
Jp 2 8tt£ \R2 R\J 2£rC0 2 R2 - R\
Co étant la capacité du condensateur vide. Cette énergie stockée reste faible, puisque pour C = 10 jul F et
U= 100 V, £;' = 0,05 J.
S23- 9. Énergie magnétique stockée dans un solénoïde torique à section carrée
1. On sait que H, B et M sont nuls à l'extérieur, alors que, dans le tore, on a :
NI „ NI B fi NI
H=t—eç B = fi-—e^ et M = Xm— = A>— -z—ev
LTTp LTTp flQ JULq 277p
2. L'énergie magnétique a pour expression :
«-/^'"-^/.w"*'*'"
L'intégration sur q> donne 277 et celle sur z donne a . Par conséquent :
/Z,2„ rR+a/2An llhj2,2
lLN-l2alnR + a/2 _ 1 , j2 ^ , _ fJLoN2a ^ R + a/2
çm fjLNzIza fK+a"dp piNzllc! R + a/2 1 , _2 . ,
£,« = ^ / = —A !" '— = -flrU)I OU L0 =
47T Jr-o/2 P 47T R-a/2 2
a/2 y '-ru *v — uj z. z. 277 R — Cl 12
est l'inductance du solénoïde en l'absence de milieu matériel et jul, la perméabilité relative du matériau.
À courant constant, l'énergie stockée est multipliée par fi, . On trouve : £/" = 0, 55 J. Là encore les
énergies stockables dans des volumes limités sont très faibles. Notons cependant que le stockage magnétique peut
devenir intéressant grâce au développement des matériaux supraconducteurs. Il est déjà utilisé pour des applications
spécifiques telles que la réalisation d'aimants supraconducteurs destinés à créer des champs intenses dans les
détecteurs de particules élémentaires.
S23- 10. Bilan énergétique d'un alternateur
Effectuons le bilan d'énergie électromécanique sur une surface fermée entourant le rotor. On a la relation
suivante entre les puissances moyennes, après une période (cf. chapitre 23) :
V[m + Va + Vrmec + Vf = 0
puisque, au bout d'une période, le rotor retrouve son état initial. Les différents termes s'écrivent respectivement :
Vrem = - [r • n âS = -ni = -3,5 kW Vrmec = Y Vl et Vd + Vf = -0, 1 \V'em\ = -0, 35 kW
Il en résulte :
3 85 x 103
m= -V[m - Vd - Vf = 3, 85 kW d'où a = -? = 385 rad • s"1 « 3 676 tr • min"1

et problèmes
709
Chapitre 24
S24- 1. Polarisabilité électronique de divers atomes
La théorie de Mossotti donne (cf. chapitre 24) : ae = 477-r3 . Par conséquent :
(ae)u = 48,6 x 10~30 m3 (ae)Be = 17,6 x 1(T30 m3 (ae)K = 163 x 10"3() m3
Ces valeurs donnent les ordres de grandeur de la polarisabilité mais sont systématiquement inférieures aux valeurs
expérimentales, car leur charge électronique n'est pas uniforme, contrairement au modèle de Mossotti. Elles
augmentent lorsqu'on descend une colonne de la classification périodique et diminuent lorsqu'on se déplace sur une
ligne de gauche à droite.
S24- 2. Polarisabilité d'orientation de l'ammoniac
La polarisabilité d'orientation d'une molécule polaire de moment dipolaire 2 D, a pour expression, à 300 K
(cf. chapitre 24) :
pI
3sokiiT
On en déduit :
, v ^ 0, 13 x 10~27 x 3 x 104 nc ,„-% ^
(poz) = OLorEvE = - — -- = 35 x 10 36 Cm
3677 x 109
S24- 3. Polarisabilité électronique de l'atome d'hydrogène
1. Écrivons que l'électron a un mouvement circulaire uniforme, sous l'action de la force attractive qu'exerce
le proton et de celle due au champ appliqué E„ :
dp -e2
d t Aireov3
En projection selon une direction perpendiculaire à la trajectoire plane, on obtient :
^d r ** v ed
0 = — eEa d ou Ea
4ireor* a 47T£0(a20 + d2)V2
Le champ nécessaire pour que cl = ao/100 vaut :
^= o, 0> 0lgnnn ^ « -^ = 5, H XltfV-m"1
477£()«5(1 +0,000l)3/2 47TE0al
2. Sous l'action de E„ , l'atome acquiert le moment dipolaire p = ed = 4tt£q r3Ea , qui vaut :
p= 1,6 x 10",9 x 0,529 x 10"12 = 0, 85 x 10~31 C-m soit /^ = 0,025D
Par conséquent ae = 4ttr3 . Comme d <C r , le rayon r de la nouvelle trajectoire reste voisin dans l'ancien. On
en déduit ae ?» Anal. On obtient le même résultat que celui donné par le modèle de Mossotti.

710
Solutions des exercices
S24- 5. Polarisabilité molaire du diazote
La molécule étant non polaire et le milieu gazeux et dense, appliquons la formule de Clausius-Mossotti
_ er-\ M 0,125 0,028 „ v ^ A ^ in_6 , ,_,
V = = — d'où V « 4, 52 x 10 m3 • mol '
£,- + 2p* 3,125 248
On en déduit la polarisabilité du diazote selon :
3V 3x4,52x 1Q-6 ,„ ,
a^ = 6,02x10* =22'5'° m
S24- 8. Polarisabilité du cristal ionique NaCl
On a:
a = ae+ + ae- + at
avec :
2
a-t = -^— = 34, 5 10"30 m3 a,+ = 1,8 10~30 m3 et ae- = 37, 3 10~3() m3
2Keq
Il vient donc : a = 73, 6 10~30 m3 .
Chapitre 25
S25- 1. Pulsation cyclotron et pulsation de Larmor
1. Comme la force magnétique ne travaille pas, l'énergie cinétique est constante ; la norme de la vitesse reste
inchangée ; seule sa direction change. La loi fondamentale s'écrit :
dpdv n „ v dv eB
—— = me-— = —ev xB d ou — = wf x v en posant cor = —
dt ôt dt me
Pour B = 1 T, la fréquence cyclotron \ù)c\/(2tt) vaut : vc = 28 x 109 Hz soit 28 GHz .
2. Comme jjl = yeh , il vient, en appliquant le théorème du moment cinétique :
dL eB ¥ n i ^ eB
—— = |ul x B = yeL x B = -—e, x L = flL x L avec fii = e.
d / 2mc 2m c
La norme de la vitesse angulaire de précession est donc égale à celle de la pulsation Larmor et à la moitié de celle
de la pulsation cyclotron. On en déduit la période de précession :
7=^ = — «71,4x 10~12 = 71,4 ps

et problèmes
711
S25- 4. Paramagnétisme de spins localisés
La démarche est analogue à celle de la théorie de Brillouin avec J = S = 1/2 et g = 2.
1. Comme :
Sz = ±— jjl- = TM# et — |ul B = —jjl;B = ±pBB
les populations d'atomes s'écrivent :
n± = "0 \ j 'n J, d ou — = exp 2-—
2 cosh{pB B/kBT) /z_ \ kB7 J
Pour 5=1 T, le rapport ( n+/n- ) vaut 1,004 à T = 300 K et 3, 8 à T = 1 K .
2. L'aimantation volumique a pour expression, en introduisant les populations volumiques :
M = fin(n+ - n-) = hjulh tanh —~
kBJ
À haute température, on retrouve la loi de Curie :
pBB x /^()M np{)p?B C fifiQ/nl
X = ^— < 1 dou tanhX^X et ^wl = ^—— sa 7 ^ = - avec C= , ^
3. A.N : xm ~4;7x 10~4 .
S25- 6. Diamagnétisme et loi de Lenz
1. Le champ magnétique induit un champ électrique E tel que : rot E + dB/dt = 0 . Il vient, en intégrant
cette relation le long de l'orbite :
27TfE ■
2. Le travail de la force électrique pendant la durée r d'établissement du champ, de sa valeur initiale nulle à
sa valeur finale B , a pour expression :
■ - • -••"■- ™B>-
d<J>
m
et
2dB
—rrr ——
et
soit
E =
réB
2 <\t
> I E-vdf = % [ vdB',
Jo 2 JQ
la vitesse étant peu modifiée car ÇlL <C <w0 •
3. L'application du théorème de l'énergie cinétique donne :
. . eu/?r Av e/?
A6a = We soit mevAv « _ et — = -— — 11l
2 r 2/w*.
Cette augmentation de la vitesse correspond bien à une diminution de la composante du moment magnétique orbital
suivant le champ B , puisque pour un électron ye < 0 . Ainsi, le signe négatif de la susceptibilité traduit bien la loi
de Lenz.
S25- 7. Rayon quadratique du bismuth
On a (cf. chapitre 25) :
NaP* Ze2 2 „ . ( bhmc\Xm\ Y^ mo in-12 ino
Xm = -Mo—f-7—rq d'où rq = — '* ' = 108 x 10 = 108 pm
A bme \P()NaP Zez J

712
Solutions des exercices
Chapitre 26
S26- 1. Noyau ferromagnétique dans un transformateur
Pour une même intensité des courants, le flux ainsi que le champ magnétique B sont jULr fois plus grands
que dans l'air. Il en est donc de même de la fem induite. Il en résulte que la puissance transférée du primaire au
secondaire est également jul, fois plus grande qu'en l'absence de noyau.
S26- 2. Électro-aimant de forme rectangulaire avec entrefer
J. Les reluctances du matériau et de l'entrefer valent respectivement :
L-e 0,595
flS
et :
Km,t> —
796 x 477 x 10~7 x9 x I0"4
5 x 1(T3
0,66x 106 H"1
julS 4tt x 10-7 x 9 x 10-4
2. L'application de la formule d'Hopkinson NI = /?„,</> donne :
(/?,„,,„ + R,„,e)BS _ 5,08 x 106 x 1,2 x 9 x 10
4,42 x 10° H"
7V:
/
1,5
: 3 658 spires
S26- 6. Aimant sphérique
Pour une sphère uniformément aimantée, on a vu que (cf. chapitre 22) H,„ = —M/3 . Le point de
fonctionnement se trouve donc à l'intersection du cycle et de la droite d'entrefer M = —3H. Comme le cycle est un
carré, cette intersection a lieu sur le côté supérieur du cycle pour M = Ms et la sphère est aimantée à
saturation (Fig. S26.1).
Fie. S26.1.
Fig. S26.2.
S26- 7. Champs dans un aimant cylindrique
l.La distribution des courants intérieurs est : J = rot M = 0, puisque l'aimantation est uniforme et
Jv = M x n égal à Me^ sur la périphérie et à 0 sur les bases du cylindre. Cette distribution est donc
équivalente à celle d'un solenoïde de longueur / parcouru par un courant de densité surtacique Afe^ . Le champ B
qu'il crée n'est pas uniforme si / n'est pas infini. Il en résulte, puisque M est uniforme, que H ne l'est pas. La fi-

et problèmes
713
gure S26.2 donne l'allure des lignes des champs de B et H . Notons qu'à l'extérieur les lignes de champ de B et
H sont identiques ( B = yLt0H ), alors qu'elles diffèrent notablement à l'intérieur du matériau.
2. M = Js = ni d'où / = 100 A .
S26- 10. Champ démagnétisant d'une sphère uniformément aimantée
On a établi au chapitre 22 que les champs B,„ et H,„ étaient liés à l'aimantation volumique M par les
relations :
- 2 — — 1—
B„, = -julqM et H/M = --M
Le champ démagnétisant est : H,/ = H„, = —M/3 .
S26- 11. Force exercée par une fermeture magnétique
En admettant l'expression de la force portante donnée au chapitre 26, il vient :
S26- 12. Modèle de Weiss pour un spin s = 1/2
1. Le modèle de Weiss donne pour .y = 1/2 , g = 2 et p = 8 :
gs(s+ \)rj_rj
Tc =
3kB
= — = 928 K
2kB
Le champ d'échange s'écrit :
Be = \juu)M avec À
2rJ
rj
p{)Ng2pl 2p0Npl
Comme il y a deux sites par maille cubique dont le paramètre vaut a = 2d/y/3 (Fig. S26.3), on a :
2
/V:
- = 1, 6 x 1029 m"3 A = 730 et Be = 146 T
Fig. S26.3.
Le champ magnétique créé par un dipôle, à la distance cl, vaut :
„ Mo Pb ,. . n 2 ^x i/2 n
Bl} = -— —r ( 1 H- 3 cos 0) ' avec cos 6 =
Ait cP
a
~2d
1
"75
D'où : Bd = 0, 24 T <C Be

714
Solutions des exercices
2. La théorie de Brillouin donne, puisque Ms = nvjiB '
tM = tanhX = tanh —-— = tanh —-—-+- = tanh ^, ^ = tanh [ — „
Ms kBT 2NjULBkBT 2kBTMs \TC Ms
Si T^O tanh[TcMsp/TMs] —► 1 et Msp^Ms (aimantation à saturation).
Si T « 7c {Msp/Ms) « tanh(Ms/,/M,) et donc Mv/, « 0. Au voisinage de 7 = rc , on peut donc
remplacer tanhX par X — X3/3 . On obtient :
On en déduit la pente de la courbe Msp(T) à T — Tc (Fig. 26.9b) :
Cte(l-^)-^-c
dr v tc
S26- 15. Effet Barnett
D'après le théorème du moment cinétique appliqué à un solide en rotation parfaite autour d'un axe vertical, la
projection du moment cinétique total sur cet axe est constante.
Par conséquent, il vient, si / désigne le moment d'inertie et M l'aimantation acquise par rotation :
M
I(o+ = Cte = 0
gye
puisqu'initialement l'ensemble est au repos et non aimanté. On en déduit : A4. — —gyjco. Dans un champ
magnétique, la vitesse de précession de Larmor est fl^ = —£yeB ; l'aimantation qui en résulte est la même que
celle due à une rotation du réseau avec la vitesse co = — £Il . On en déduit, puisque g = 1 :
O) = \ye\B d'Où B= t^-t
Chapitre 27
S27- 1. Variation du champ magnétique critique avec la température
1. On sait que la courbe donnant H en fonction de 0 est parabolique :
o2 „ . dh
Pour 6 = 0 et 6 = 1 , on a :
h = 1 - r d'où — = -20
Ù6
dh\ „ fdh
-0 et
dej{) \de
2. Lorsque H= 107 A-m"1 , h= 11/22 = 0,5, 6» = 0, 71 , d'où T = 0, 71 x 18 = 12, 7 K .

et problèmes
715
S27- 2. Champ magnétique critique pour un fil supraconducteur
1. L'invariance par translation permet de se placer dans le plan Oxy (Fig. S27.1 ). Dans l'approximation du fil
infini, ce plan est un plan d'antisymétrie et JA lui est donc orthogonal : J.s = Js(a, (p) e^ . En outre, Oyz est plan
d'antisymétrie : Js(<p) — —Js{tt — ç) et Ozx plan de symétrie : J,((p) = Js(—<p) • H en résulte qu'un courant
surfacique d'expression JSjq cos <p respecte les symétries.
2. Le courant rectiligne d/ = Jsa âç> crée, en un point O de l'axe, un champ magnétique égal à (cf.
chapitre 12) : dfî.Ç)/„ = fia dl/(lira) . Le champ B,,,/7 est dirigé suivant Oy . Donc :
d Bs in • ev = Js o cos ça d ç (— cos <p) = — -z—Js o cos <p d <p
lira ' 277 '
et
Bs,in = -tAJs.O / ~M0 COS2 <p 6<p:
277- JQ
MO i.v,0
_e.v
3. La condition B/„ = 0 permet d'écrire B.sv/, + B„ = 0 et donc J.s = (2Ba cos (p/fio) ez ■
4. Comme nex = ep , les relations de passage :
nftv • B^ = 0 et n„ x B^v = fio J.v conduisent à Bw-(«, <p) — 2Z?„ cos ^e^
5. La norme du champ extérieur est maximale (valeur 2B(l ) sur les lignes de la surface d'équation <p = 0 ou
77 , c'est-à-dire dans le plan Ozx . Dans ce plan, la transition vers l'état normal se produit pour (Bex)max = Bc, soit
Ba = Bc/2 .
Oy
**m
FiG. S27.2.
S27- 4. Effet Meissner dans une plaque
1. Choisissons l'axe Ox tel que Bfl = Ba ev et Oz l'axe normal au plan de la plaque. Du fait de l'invariance
selon Ox et Oy, tout plan perpendiculaire à Ox étant plan de symétrie, B = Bx(z) e.v. Comme Oxy est plan
d'antisymétrie, B_x(z) est pair (Fig. S27.2). L'équation de London vérifiée par B/„ s'écrit donc :
^-^ - \b, = 0 d'où Bx(z) = Bicosh(^-
d zl Af \ AL,
La continuité de la composante tangentielle en z = a/2 conduit à B\ cos\\(ci/2Al) = B(l . Finalement :
œsh(z/AL)
cosh(fl/2À/j

716
Solutions des exercices
2. Tout plan perpendiculaire à Oy est plan d'anlisymétrie. Par conséquent ; J = /v(z)ev avec «Wz) impair.
Le théorème d'Ampère donne :
1 dBx ,, . T B0 sinh(z/AL)
Mo dz moAl cosh(fl/2A/J
3.A.N: Bin(0)= 1 x C°fff.\ = l,38x 10-" T
cosh(25)
S27- 5. Sphère supraconductrice
1. Comme l'effet Meissner est parfait, le champ magnétique à l'intérieur du matériau est nul et la distribution
des courants supraconducteurs purement surfacique :
B,„ = B,„,,-„ + B„ = 0 et J, = M x n
n étant la normale extérieure. En utilisant la méthode du champ auxiliaire (cf. chapitre 22), on trouve :
9 3 R
B„, = -fioM d'où Jy = --— x n
3 2 ^0
2. En explicitant cette dernière relation et tenant compte de la relation de passage n • Bex = 0, il vient,
puisque : Ba = Baez et n = e, :
3 B 3
J,■ = --— s'mOe^ Bex-r = 0 et Beye = —-Basm0
2 Mo ' '2
car n x B,,v = moJ.v •
3. A.N: i, = 1, 19 x 107 A-m"1 .
S27- 8. Champs dans un supraconducteur en forme de cylindre allongé
Nous avons : n x (Bex — B,-„) = Mo J* • Or, dans l'approximation d'un solénoïde infiniment long, le champ
B„hCX est nul à l'extérieur ; il en résulte que B(X = Ba . En outre, B,„ en raison de l'effet Messner. On en déduit :
s: = n x — d ou J.v = ep x — ez = e^ et Js — 397 kA • m
Mo Mo Mo
Par symétrie, A4 qui est axial comme B est orienté selon Oz :
1 / B
A4 = Mze, avec M- — - (p(r x Jv) • e- dS = -ttc?\ d'où M = 2 A-m"1
2 Js Mo
L'aimantation volumique étant uniforme à l'intérieur du matériau, on a :
M = —^ e, = -— d'où moM = -B„ moH,„ = B„, - moM = -/*oM = B„
O mo
Or, le champ H est continu à la traversée de la surface ; il est donc uniforme. mo^U- = Bex = Ba . Sur la
figure S27.3, on a représenté les divers champs introduits.

et problèmes
717
,
0
1
B
i
uuiuu i ..„„„„
AB = fi0Js
A/i0#
B0
O
A /io-A/
O
Bn
FiG. S27.3.
S27- 9. Épaisseur de London dans le plomb
On a (cf. chapitre 27) :
(.
\ jUionse2 y
L'épaisseur de London AL et celle de Kelvin S sont égales si
; 20 nm
-J!L_V/2 = C^-V/2 soit ,= ^ = ^^0,12xl015Hz et A = £ = 2, 5 >xm
Le domaine est l'infrarouge.
Chapitre 28
S28- 1. Comportement diélectrique ou isolant de divers matériaux
1. La longueur d'onde recherchée est définie par le rapport des courants de déplacement et de conduction
(cf. chapitre 28) :
— = — > 1 d ou A < = 0, 3 m
Je y y
2. A = 33 m .
3. A = 6, 7 km.
S28- 2. Propagation d'une onde dans un milieu conducteur
Dans un conducteur, on sait que (cf. chapitre 28) :
d'où £ = 0,34 x 106(1 +/)
On en déduit la vitesse de phase : vç = co/kf = 9, 2 km • s

718
Solutions des exercices
S28- 3. Propagation d'une onde dans un milieu diélectrique
Pour un diélectrique, on a (cf. chapitre 28) :
-{e'r + le") où e" = — = 64 x 10~24 < ér
Ainsi : k = k = aj(sfr) ' /c avec k œ 3<w/c, ^ = &>//< = c/3 =10 m-s
S28- 4. Equations de Maxwell dans les milieux matériels
1. La vitesse de phase vaut : vç = c/e/ — 108 m ■ s-1 , d'où les expressions des champs E et D
E = 0,3evexp[-/(6,28 x 109(f - 10~8z)] V-m-1 et D = 9e0EC-m"2
2. Les expressions des champs B et H sont respectivement :
B = ^^ -0,3xl0-8 ev exp[-/(6, 28 x 109(/ - 10~8z)] T et H = -8-
V(p flQ
S28- 5. Four à micro-ondes
La puissance moyenne dissipée par unité de volume est :
V = yE2
jEl
72 kW • m-3
S28- 7. Polarisation de Debye
1. L'intégration de l'équation différentielle linéaire à laquelle satisfait P s'intègre aisément :
P(0 = P(oo)[l - exp(-f/rD)] avec P(oo) - £oX<>r{0)E
où td est une durée de relaxation qui caractérise le retard à la polarisation du milieu (Fig. S28.1).
2. Lorsque le champ électrique est sinusoïdal (E = E()exp — icot), cherchons des solutions de la forme
P = £qx E = P()exp-/W. L'équation différentielle donne : £oO
(0)Eo , d'où la
susceptibilité complexe :
AV(0)
£.»
ltOTD

et problèmes
719
S28- 9. Vitesse de groupe associée à un paquet d'ondes
1. Les équations de Maxwell étant linéaires, le champ électrique est la superposition de champs d'ondes
planes :
pk0+Ak/2
E= Ek exp i(kx — cot) d k
Jk0-\k/2
Développons la pulsation co autour du point (coq, ko) de la courbe de dispersion (Fig. S28.2a). Il vient :
co « coq +
( — ) (k — ko) soit co « v<pko + vg(k — ko)
puisque vç — eu/ko . En posant k' = k — ko , il vient, en désignant par E^ l'amplitude commune à toutes les
ondes :
r-, , m fAk/2 ^ r.,r, m , ,/ ^ a , sinfAA-(jr- Vut)/2]
E = exp[/fa>C* - v9t)\ / Ek exp[/*'(* - v)] d*' = £a-0A£ ^ ^ // J
exp[iko(x — v<pt)\
2. L'intensité de l'onde et proportionnelle à :
\Ffl-(F MA2 fsin[AA-(*-y)/2n2
La variation spatiale à l'instant r = 0 est représentée sur la figure S28.2b. Le paquet d'ondes a une étendue
Ax œ 277-/AÀ-. À l'instant r 3 il est centré en j = i^f : la vitesse de propagation de l'énergie est donc la vitesse de
groupe.
:\\ /;>0
0 2tt/A/c
a)
b)
Fig. S28.2.
S28- 10. Vitesse de phase et vitesse de groupe dans un verre
La vitesse de phase vaut : vç = c/n « 1, 842 x 108 m • s-1 . Quant à la vitesse de groupe, on l'obtient à
l'aide de la formule de Rayleigh exprimée en fonction de l'indice et la longueur d'onde :
1,842 x 10*
1 -(A/w)(d/î/dA) 1 -(589,3/1,6287) x 8,2 x 10
- = 1,898 x 10° m-s"

720
Solutions des exercices
Chapitre 29
S29- 1. Bilan d'énergie dans un conducteur
1. L'équation de Maxwell-Faraday, pour une OPPM, permet d'écrire : B, = k, x Ejw = £,£,ev/<w . On en
déduit la valeur moyenne de R :
iRe{Er x Ê-} = J-Re^^E;} e, d'où R - -J—fi^exp (-^
2. Comme le flux à travers les surfaces latérales est nul ( R _L n ) et R vaut 0 à l'infini
V,m, = <f> R • n dS = R(0) • (-e,) ab = --^-£,2„,
Js 2fioù)à
3. Calculons la puissance moyenne cédée aux charges :
Vj = I yW d V = X-yJ Re{E, • E,*} d P = ^yÉ}Mab J°° exp (-j\ d;
En tenant compte de l'expession de S , on obtient
— ab 2 Tr;
Vj = ZEt,m = —Vmd
2/ulq coo
En régime sinusoïdal, dw/dt = 0 et donc Vj + Vnui = 0 : la puissance électromagnétique moyenne qui pénètre
dans le conducteur y est entièrement dissipée par effet Joule.
S29- 2. Pression de radiation solaire
Le miroir est soumis à la pression de radiation :
Cette pression est donc très faible devant la pression atmosphérique (patll, œ 105 Pa ), ce qui exige pour sa mise en
évidence, une enceinte maintenue sous un vide très poussé ou l'espace en dehors de l'atmosphère.
S29- 4. Facteur de transmission dans un plasma
La fréquence v doit être très supérieure à la fréquence plasma qui vaut :
,,,=^ = A(^ql/2=284MHz
277 2tt \ me£{) )

et problèmes
721
S29- 6. Angle de Brewster dans l'interface air-eau
1. On sait que l'angle de Brewster est l'angle pour lequel le facteur de réflexion est nul pour une onde polarisée
dans le plan d'incidence. Il est tel que :
tan eB = — =9 d'où tan 0B « 83, 7° et 62 = 90-6B = 6, 3°
tu
2. Lorsque la polarisation est perpendiculaire au plan d'incidence, on a (cf. chapitre 29) :
r =—7 f = — sm77,4 =—0,976 et r= ——, r^=2sin(6, 3 )cos(83,7 ) = 0, 024
sin(02 + 0fl) ' ' sin(02 + 0/O v ' ; v J
On vérifie bien que 1 + r — r . Lorsque la polarisation est dans le plan d'incidence, on a :
_ 2 sin fl2 cos Bb) _ 2sin(6, 3°) cos(83, 7°) _
T~ sin(02 + 0fl)cos(02-0fl) ~ (cos77,4°) ~ '
On a bien r = nx/m — 1/9 = 0, 11 .
Chapitre 30
S30- 1. Signal électromagnétique dans un condensateur
1. C'est le champ électrique d'une onde progressive selon Oz. Comme / ^> e (pas d'effet de bord), on peut
admettre qu'il y a invariance par translation selon Oy et que tout plan parallèle à Ozx est plan de symétrie. Par
conséquent, B s'écrit B(x,z1t)ey.
2. D'après l'équation de Maxwell-Gauss, divE = 0 , on a 0Em(x)/dx = 0 , d'où E,„ = Cte .
D'autre part, l'équation de Maxwell-Faraday :
rotE+—-=0 donne —- = -—- = —-^- d ou Bv =—/('--)
ot ot dz c ot c \ c)
3. À la surface d'une armature, on a E = cmex/£o , ce qui conduit à :
-(§■0—-(-i's)—=o^('-f)
J, (§,z) = -J, (|,z) = n„ x -?- = -eocEJ (/ - *) e;
On a donc J, = ccrez, ce qui traduit la conservation de la charge surfacique :
div J,- + —- = 0 avec div J, = —— = —
ot dz c at
Remarquons que c représente la vitesse du signal et non celle des charges, ce qui est compatible avec la relativité
(cf. Relativité).
4. Le signal, ici le front d'onde ( Ex = E,„ pour t > z/c et Ex = 0 pour t < z/c ), se propage à la vitesse c
et donc r = L/c . Comme le courant /(z, t) = Js l = —£qcIEx est proportionnel à la tension w(z, t) — —Eze , le
condensateur se comporte comme une résistance dite de rayonnement :
R=- = — = ( ^ \ €
i soc! V £o.
A.N : t = 0, 33 ns et R = 37,7 H.
et :

722
Solutions des exercices
S30- 2. Impédance caractéristique d'un câble coaxial avec diélectrique sans pertes
On a:
C = P^r = 0,72 1(T9 F-m-1 = 0,72 nF-m"1
\n(b/a)
et :
L, = ^ In ( - ) = 0, 14 x 10"6 H ■ m"1 = 0, 14 jxH • m"1
277 \ Cl J
d'où :
S30- 3. Rapport d'ondes stationnaires sur une ligne bifilaire sans pertes
1. On sait que :
ROS = i±M d>où |,|= ^|z_A = 0,43
1 - \r\ Ul ROS + 1
L'argument 0r de r est tel que :
277
6r + 2k(z - L) = ±77- avec z. - L = -0, 06 m et k = —
À
Comme la distance qui sépare deux minima vaut À/2 , il vient :
À 277" 77"
3-=45 cm d'où A = 30 cm et 0r = -2k(z - L) ± tt = 2— x 0, 06 ± ir = --
2. On en déduit l'impédance de charge :
7 _ 7 1 + L{L) _ 1 +0,43exp(-/77-/5) _ _
Z' - Z'T^7(Z) " 35l-0,43expH77-/5) - 35^'43 ~A ^ - (15 ~j9^ ^
S30- 4. Ondes électromagnétiques dans un guide d'onde rectangulaire
1. À partir des équations de Maxwell, en utilisant l'identité vectorielle rot rot = grad div —A (cf. annexe 2),
il vient (cf. chapitre 28) :
2 2
AE + °^£rE = 0 et AB + ^erB = 0
cz cz
2. L'équation de Maxwell-Faraday rotE = iœB donne :
BF BF r)F r)F
-g* - '^,, = '«S., (D <MW - ^ = ^,„, (2) ^ " ^ = -&., (3)
L'équation de Maxwell-Ampère, rotB = —io)erE/c2 , s'explicite selon :
0y
dBm
.(x)£r
m„,-^f = -'>£.„ (5)
05 95,,,, .«e,
—///, y —n/ j
ch" cfy c
i^f^z (6)

et problèmes
723
3. En combinant ces équations, d'une part la première multipliée par k2 — coer/c2 et la cinquième, multipliée
par k7, et d'autre part la deuxième multipliée par k2 = co£r/c2 et la quatrième, multipliée par —kz, on obtient les
composantes transversales de Bm :
Un,, = -, tt Lr—z-t- - u£-7^- et B, = — -, L—tr- + ùj£-
k2 - k2 \~z dx dy J -'"'v k2 - le \-z dy dx
De même, en combinant autrement ces équations, on obtient les composantes transversales de Em :
i
. dEnuz dB\ j f dE,„,z dB„,.:
k.- —^—i-(x)E o et e.v — ——j k, —7{ <^>£
Notons que s'introduit ainsi naturellement le nombre d'onde k = co£r /c dans le milieu illimité.
On voit que la propagation des ondes TEM (composantes longitudinales nulles) correspondrait au cas singulier
où k: = k , ce qui annulerait le dénominateur des expressions des champs et donc les numérateurs. Cependant, les
conditions aux limites sur le conducteur parfait à section rectangulaire imposent que les composantes tangentielle
de E et normales de B soient nulles. Il en résulte qu'une onde TEM ne peut pas se propager dans un guide
métallique à section rectangulaire.
4. La projection sur Oz des équations d'onde s'écrit :
d2Em^ d%„„ 7 7 <92£ &K- i i
5. Dans une onde TE, la composante longitudinale Ez du champ électrique E est nulle et l'amplitude
complexe de la composante longitudinale Bm,z du champ magnétique satisfait à l'équation :
d2Bm^ d2Bm^ 0 9
-^ + —^ + KB_m , = 0 en posant k; = le - le
d-x d2 y
Les solutions se mettent sous la forme :
Hn,z = tm (*> y) eXP('M aVeC tn (* > >0 = ±x MÉ2 tv)
compte tenu de la symétrie du problème. Il en résulte, en injectant cette solution dans l'équation :
En divisant par ip (x)ipo(y) , on obtient :
I d2fW i à^Ày)
±(x) dS- ^(y) df-
+ k.
Les deux membres de cette équation sont des fonctions de variables indépendantes x et y ; ils doivent donc être
égaux à une même constante, notée k2 . On a donc :
K soit -' + k~ù{x)=0 et ~2 +*;jr (y) = 0
^(jc) dx2 v ' dx2 v^'vy dy2 ' '"-2
en posant kj = A;2 — k2x. Par intégration, on trouve :
ip {x) = A\ Qxp(ikxx) + B\ exp(—ikxx) et ip (y) = A2 exp(//:vy) + Z?2 exp(—/Xyy)

724
Solutions des exercices
6. Les constantes sont déterminées par les conditions aux limites sur les parois conductrices. Comme la
composante tangentielle de E est nulle sur les parois, on voit, à l'aide des équations de Maxwell, que les dérivées du
champ magnétique par rapport aux variables x ou y doivent être nulles en ces points. On a donc :
dip(x,y)
dx
'dé
= 0 soit <A9(y) (-=L
= ikx{Ax -fli)^2Cv)
et
dx
'dip
0 soit <A?(y) (^
= ikx[A\ exp([ikxa) — B\ exp(—ikxa)] ip7(y)
On en déduit A\ = B\ et :
2Ai s\x\(kxa) = 0 d'où kxa = mir
m étant un nombre entier positif ou négatif. De même, on trouverait, en dérivant par rapport à y :
2A2 s'm(kyb) = 0 d'où kya — mr
n étant un nombre entier positif ou négatif. Ainsi :
ip (x) = 2A\ cos(kxx) <A9(}7) = 2A2COs(kyy) et ip (x)i// (y) = Cte x cos(kxx) cos(/cvy)
On en déduit l'expression suivante de la composante longitudinale B^ du champ B :
fnixirx\ /mv77"y\ r , , ...
Bz = Bo cos ( — 1 cos f ' 1 exp[—i{œt — kzz)\
Bo étant l'amplitude du champ magnétique sur les parois du guide. En tenant compte de E, = 0 et des équations
de Maxwell, on obtient les autres composantes de B :
.kz fmx7T\ . (m.xTTX\ fmy7ry\
& = lj2 { ) B{) sin y ) cos l ~~1—) exv[-i(o>t - kzz)\
,kz /mv7r\ fmxx7T\ . fmviry\ , .. .,
ây = i-g [-^-) Boœs{—^-J sm{~Y~) exP[-'(^-^)l
et les composantes du champ électrique transverse :
Ex = -t—g ( —) ^cos( — j sin(^-j exp[-,(^-M]
E„ = i-
(mx7T\ . (mx7TX\ fmv7Ty\
2 ( ) #o sin ( 1 cos ( ' 1 exp[—i{o)t - kzz)\
fJLok
7. La relation de dispersion w(kz) s'obtient aisément :
,2 ,-> ,2 ,-> ,2 ,2 , 2 ,2 nnx7T\2 (my7T\2
k^} = krc - /<, = kr - £: - kx donne w s/io = fcf + f —— J + ( -j— )
Comme elle n'est pas linéaire, le système est dispersif. Les différentes valeurs de kz, associées à une pulsation
donnée, sont appelées les modes propres de vibration spatiale du guide. À chaque valeur du couple (mv, mv),
correspond une courbe de dispersion.
La pulsation de coupure coc est celle pour laquelle A;. = 0 . Par conséquent :
9 n r n ni W2
2 (mxTr\- nnv7T\~ ,, v c \/mx7T\2 /my7T\2\
»W = ( —) + ( — ) d'où Ur = -^ [( — ) + ( —) j
On en déduit la longueur d'onde Ac d'une monochromatique plane de même pulsation :
277 _ 2
r" b ~~ [(mx/a)2 + {my/b)2]x/2
L'onde TE qui se propage dans le guide est caractérisée par le couple (mx, my) de deux entiers.

et problèmes
725
S30- 5. Onde TM dans un guide sans pertes constitué de deux plans conducteurs
1. Le système étant invariant par translation suivant Oy , on doit avoir dB/dy — 0 , ce qui est bien vérifié
par l'expression donnée du champ. L'onde est transverse magnétique si B_z = 0 . Dans ces conditions, divB = 0
implique dB_m Jdx = 0 et donc B_m x — Cte = 0 .
2. L'équation :
*B-?^=° S6Cnt -dr-+{^-k')^ = 0
3. D'après l'équation de Maxwell-Ampère :
rot B + — E - 0 et donc E = — [ kB v ev + i-^± e, exp[-i(ûtf - M]
C1 CO \ '■ QX J
4. La continuité de la composante tangentielle Ez de E en x = 0 et x = a donne :
dB„,v\ /dfi/
dx J0 \ dx
Cette condition est satisfaite dans le cas particulier où Z?w/ Y(x) = Cte . On a alors £„ = 0 et l'onde est TEM.
S30- 6. Propagation du mode dominant TE i0
1. Dans le mode TE 10 , le champ électrique se met sous la forme de la somme des deux termes :
E = — Bo exp ( /— j + exp ( —/— j x exp îtt exp[—i(wt — kzz)] ev
Introduisons les vecteurs d'onde :
/ 2 \ 1/2
ki = — ev + kz ev et k? = ev + L ez de même norme k — — + L
a a \ a1
Ces vecteurs d'onde font, avec la direction Oz du guide, les angles opposés 6 et —6 tels que :
On voit que le champ électrique peut être considéré comme la somme de deux champs électriques qui se propagent
dans des directions symétriques par rapport à la direction moyenne Oz :
E = — Bo {exp[-i(o)t - k, • r)] - exp[-/(W - k2 r - tt)}} ev
Ces deux champs correspondent à des ondes incidente et réfléchie par les parois (Fig. S30.1). On voit que, pour
6 « 0 , soit kz ^> kc, ces deux ondes se propagent pratiquement suivant l'axe Oz . Lorsque 6 — tt/2 , les deux
ondes se propagent transversalement ; dans ce cas limite, il n'y a plus de propagation selon l'axe Oz du guide.
2. Explicitons la valeur moyenne dans le temps du vecteur de Poynting R = Re{R}/2 avec R = ExB*/yuo.
Seule la composante selon Oz est réelle, avec :
£v£* cok, Bl . n firx\
— = -ff — s,rr — )
On en déduit la puissance électromagnétique moyenne véhiculée par l'onde le long du guide :
V = R- n dS = —pr — / / sin — dxdv= —y — ab
Js 2kc Mo Jo 7o v a J ' 4kc Mo
En introduisant l'amplitude maximale Eq du champ électrique au centre du guide, soit Eq = coBo/kc, il en résulte :
— kz £oE0 — Ào £oE0
V = cab soit V — cab
k0 4 A, 4
en introduisant les longueurs d'onde Àz du guide et Ào du vide.
R7 =
Mo kt Mo

726
Solutions des exercices
x*
^Ki
0\
"C
k2
FiG. S30.1.
On trouve, puisque Ào = c/v = 3 cm et Àc = 2a = 4, 58 cm :
1 _ 1 _ 2. _ 1 1
Â2-Â|~Â!~32~ 4~58'
d'où À. « 4 cm
et
q Q x I O12
P = - x x 2, 29 x 1,02 x 10~4 = 1,045 x 106 W « 1 MW
4 4 x 12077
I /2
3. On a, puisque Ao = As/ :
- A e„£^ ,/2 1 1 I 1 I 1
V=Tl—œJab aV6C Âf = Â?-Â? = 6Tp-22? = MJCm
On en déduit :
£o = 2
^ EQce/ ab
1/2
25,6 kV-irT
S30- 7. Propagation de différents modes TE dans un guide à section rectangulaire
La fréquence de coupure d'une onde TE a pour expression :
ù)c
fmx\2 //WvV
{-) +(t)
1/2
= 0,1
(t) +(t)
1/2
277 2(£r),/2 |_
On trouve respectivement, en GHz : 2, 94 1, 39 3, 54 5, 88 2, 78
Ainsi, seuls les modes TE i o , TE o î , et TE 02 peuvent guider l'onde de fréquence 3 GHz
GHz
S30- 8. Onde TE dans un guide rectangulaire avec pertes
1. On sait que la fréquence de coupure a pour expression :
ÙJC
277 2(£r/Lv)'/2
(?)'+(?)r-4(?)
mv
275
1/2
GHz
On a donc : (z>c)io = 2 GHz et (Vf)oi = 4 GHz. Le seul mode qui se propage est par conséquent le mode
dominant TE 1 0 •
2. L'atténuation A du guide est reliée à a par :
20 ,
AdB/m = -z-i: a = 0,045 dB • m-1 d'où AdWm x 0, 75 = 0,034 dB
z, j
La puissance 7^(0) fournie par le générateur est telle que : V(L) = V(0) exp(—2aL) d'où :
V(0) = V(L) exp(2aL) = 1007, 8 W et Vd = V(0) - V(L) = 7, 8 W

et problèmes
727
S30- 9. Cavité résonnante
1. Pour une onde sinusoïdale et polarisée selon Oz , l'équation d'onde s'explicite comme suit :
1 O2 „ „ . , f d2 Ô2 to2\ „ „ / 1 1 x 1/2
c2df- M V^2 ^2 c2)-7 \o2 b2
2. L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit : rot E — itoB = 0 . On en déduit :
7TEm (\ . 77A 77y 1 77A . 77V \ . / 77 \
B = - sin — cos — ev cos — sin —- ev exp —i [tôt -\- — ) .
ù) \b a b a a b J V 2 /
3. Les termes électrique et magnétique de l'énergie électromagnétique ont pour expressions respectives :
^ ^ 7TX • 2 77V , , ,
sin —- dA dy dz
b
et:
Se = / —-— d C} = —-— cos tôt I / / sin —
Jp 2 2 JQ J0 JQ a
7T2E2, . n (a fb [' (\ . TTX 77)'V (\ 7TX . TTyV J , J
c,,, = sin" tôt / / / - sin — cos —^ + - cos — sin —- dA d y dz
2/*oût 70 70 Jo \b a b J \a a b J
En effectuant, on trouve :
1 ^ - 2 . . 7T2Ei abj\ . 1 >\ .2 _ _ 1 ^2 _ .2 m
puisque :
Se = -£q E;„ V cos~ tôt et Sm = - ^ — / — + — sin tttf = -£o Em P sin~ tôt,
8 2yUoû;2 A \a- b1 J 8
/" -7 77A" <7 2 2 2/1 1 \ f" ■ 2 77^' , «
/ cos~ — dA = - ùj = 77 c — + — et /sin — dA = -
Jo « 2 Vfl b J Jo a 2
On en déduit l'énergie électromagnétique : Scm = Se + £„, = £q E;nV/% = Cte .
4. Sur les parois a = £0 E • n,,A (où nex est la normale extérieure au conducteur). Seules les parois z — 0 et
z = / se chargent cro = £0 Ez = —tri. La charge du conducteur équivalent est :
Q = Qo = -Qi = £o f ( Ezdxdy soit Q= 4g° Efb cos tôt
Comme Sc = Q2/(2C) = (e0 E~nP cos2 wr)/8 , il vient :
C=^£o^=0)18pF
77 /
5. Sur les parois ( a = 0 , a = a , y = 0 , y = b ) apparaissent des courants surfaciques Js = iw x (B/julo) .
Les effets d'induction associés peuvent être caractérisés par un coefficient d'auto induction L tel que S,„ = Lf2/2 .
La cavité est ainsi équivalente à un circuit résonnant LC de pulsation propre to , d'où :
1
L = VT7i = M0/7
Cto2 ^ 64{a/b + b/a)
A.N: L= \/{A7T2v2C) = 1,4 nH.

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Absorption, 535, 537, 548, 554
d'une OPPM, 556
dans un conducteur, 556
Adaptation d'impédance, 593
Admittance complexe, 314
Aimant
cylindrique, 512
permanent, 502
droit, 512
plat, 507
torique, 506, 512
sphérique, 512
Aimantation, 428
à saturation, 482
des milieux matériels, 410
macroscopique, 499
spontanée, 496
volumique, 432
Alnico, 489
Alternateur, 318
Ampère, xii, 241
Analyse vectorielle, 625
Angle
de Brewster dans l'interface air-eau, 584
limite, 565
solide, 20
Antenne, 373
demi-onde, 385, 390
rectiligne, 384
Antiferromagnétisme, 501
Approximation
de l'onde plane, 378
des régimes quasi stationnaires, 287, 293
dipolaire, 76
d'une distribution de courant, 222
Arago, xii
Aspect énergétique du solénoïde plongeur, 344
Assaini sseurs, 141
Index
Atome d'hydrogène, 11, 15, 69
Atténuation linéique, 556
Auto-induction, 279
Axe géomagnétique, 224
Bétatron, 260, 270
Balance
de Cotton, 253
de Coulomb, 14
de torsion de Coulomb, 25
Bande
de conduction, 117
de valence, 117
inférieure, 550
interdite, 550
supérieure, 550
Bardeen, xii, 515
Barlow, xii
Barreau
conducteur
en translation dans un champ magnétique,
237
mobile sur des rails, 267
sur rails, 245
Battements, 368
Batterie, 164
Bednorz, 515
Bilan
dans des circuits inductifs fixes, 331
dans un circuit RC, 330
d'énergie
électromagnétique, 554
d'un convertisseur, 150
dans un conducteur, 583
dans un matériau dissipatif, 445
dans une machine, 448
électromagnétique, 442
électromagnétique dans un câble coaxial,
344

Index
731
électromagnétique dans un convertisseur,
329
électromécanique, 337
en régime sinusoïdal, 332
pour un dipôle, 151
énergétique d'un alternateur, 453
Biot, xii
Bismuth, 436, 484
Bobinage triphasé, 285
Bobine
d'Helmholtz, 227
plate
carrée, 207
circulaire, 207
Boule uniformément chargée en volume, 41
Brewster, 579
Brillouin (fonction de), 480
Brillouin L., 480
Câble coaxial, 228, 279, 585
sans pertes, 587
Cage de Faraday, 140
Capacité
d'un câble coaxial, 181
d'un conducteur, 132
d'une sphère conductrice, 133
Caractère conservatif de la charge, 91
Cauchy, 552
Cavité
laser, 548
résonnante, 608
Cavité dans un conducteur, 128
Cellule photo vol taïque, 163
Cercle chargé, 26
Champ
au voisinage d'un conducteur, 127
démagnétisant, 423, 507
électrique au voisinage d'un conducteur, 297
électromagnétique
produit par un dipôle oscillant, 375
rayonné, 387
électromagnétique, 185
et relativité galiléenne, 186
électromagnétique à grande distance, 387
électromoteur, 156
électrostatique, 15
créé par un cercle matériel chargé, 51
dépolarisant, 406
électrostatique créé par un dipôle, 71
local, 462
magnétique, 188
créé par un courant stationnaire, 189
créé par un fil rectiligne infini, 190
créé par une charge en mouvement, 189
créé par une spire circulaire, 191
dans un conducteur, 316
et potentiel vecteur créés par une lame, 215
produit par un dipôle magnétique, 221
terrestre, 188, 224
magnétique critique, 515
moléculaire de Weiss, 495
vectoriel auxiliaire, 417
Charge
électrique élémentaire, 2, 4, 15
en bout de guide, 604
étrangère, 395
libre, 395
liée, 395
linéique, 8
ponctuelle, 9
structurelle, 395
surfacique, 7
volumique, 5
Choix de jauge, 291
Circuit
à contact glissant, 268
de constitution variable, 267
magnétique, 502
mobile dans un champ magnétique, 263
Circulation
conservative, 30
du champ magnétique, 192
d'un champ de vecteur, 621
Clausius-Mossotti (formule de), 465
Coefficient
a d'atténuation linéique, 537
d'absorption, 556
d'atténuation, 591
en énergie, 581
linéique, 591
Coefficients
d'influence, 137
de capacité, 137
Colatitude magnétique, 224
Composition
des impédances et des admittances, 315
des résistances, 102
Concentration équivalente, 114

732
Index
Condensateur, 168
à lame diélectrique, 404
actions sur les armatures d'un, 177
atmosphérique, 183
capacité de, 169
cylindrique, 170, 180
diédrique, 181
écartement des armatures d'un, 182
en régime quasi stationnaire, 306
(énergie d'un), 175
(groupements de), 173
plan, 170
réels, 172
sphérique, 171
Conductance, 314
Conducteur, 1, 89
cylindrique creux, 228
doublement connexe, 94
en équilibre, 125
en régime stationnaire, 93
multiplement connexe, 95
parfait, 571
simplement connexe, 94
tronconique, 104
Conductivité, 96
complexe, 540
des solides, 116
équivalente, 114
Conservation
de la charge, 2
du flux
de B , 258
du champ magnétique, 196
Considérations sur les symétries, 49, 209
Continuité de la fonction potentiel, 35
Convention récepteur, 148
Conversion électromécanique, 333, 449
Convertisseur, 150
caractéristique externe, 157
électrochimique, 160
électromécanique, 339
photoélectrique, 162
Cooper, 515
(paires d'électrons de), 528
Coordonnées
cartésiennes, 34, 613
cylindriques, 34, 614
sphériques, 34, 615
Coulomb, xii, 2
Courant
critique, 525
d'aimantation, 413
de conduction, 108
de convection, 107
de déplacement, 307
de diffusion, 108
de Foucault, 493
dans un conducteur massif, 302
électromoteur, 153
étranger, 413
libre, 413
structurel, 413
supraconducteur, 518, 531
surfacique, 216
volumique, 87
dans un conducteur, 235
de conduction, 541
de déplacement, 541
Courbe
d'aimantation, 491
de dispersion, 550
de première aimantation, 490
Création d'énergie électromagnétique, 327
Cristaux
ferroélectriques, 467
ioniques, 467
piézoélectriques, 469
seignetto-électriques, 467
Cunife, 492
Curie (Loi de), 461, 481
Curie-Weiss (Loi de), 489, 496
Cuve électrolytique, 123
Cycle
d'hystérésis, 446, 492
dynamique, 493
statique, 492
Cylindre
allongé uniformément aimanté, 419
en rotation dans un champ magnétique
stationnaire, 453
uniformément aimanté, 425
uniformément polarisé, 407
Daniell, xiii, 156, 160
Debye, xiii, 82
Déflexion magnétique, 229
Démarreur, 164
Demi-sphère chargée, 26
Demi-spire, 229
Densité de flux magnétique, 414
Dérivée
d'un produit scalaire de deux vecteurs, 611
d'un produit vectoriel, 611
d'un vecteur par rapport à un paramètre £,610
partielle, 610

Index
733
Descartes, xiii
Détection quadratique, 363
Diamagnétique, 420
Diamagnétisme, 483
parfait, 519
Diélectrique, 172, 392
Différentielle, 611
Diffusion, 123
de Rayleigh résonnante, 383
d'un rayonnement par un électron atomique,
382
Thomson, 383
Diode
à jonction, 161
avide, 36, 122,341
électroluminescente, 163
Dioxyde de carbone, 40
Dipôle
électrocinétique, 148
capacitif, 311
de Hertz, 389
électrostatique, 70
générateur, 149
magnétique, 220, 230, 249, 255
magnétique oscillant, 386
oscillant, 373
purement inductif, 311
récepteur, 149
résistif, 310 ..
Dispersion, 535, 548, 600
dans un conducteur, 553
dans un milieu transparent, 549
Disque
de Faraday, 253, 272
uniformément chargé, 69
Distance de Debye, 123
Distribution
de charges, 5
dipolaire, 78
linéique de charge, 8
sphérique
uniforme de charge, 26
surfacique, 7
unipolaire, 77
volumique, 5
Divergence, 22
d'un champ de vecteur, 619
Domaine de Weiss, 497
Doublet électrostatique, 52
Droite d'entrefer, 506
Drude, xiii, 109
Durée
de Debye, 544
de relaxation diélectrique, 295
dans l'eau de mer, 300
du cuivre, 300
Ébonite, 2
Échantillon doublement connexe, 437
Éclairement, 363
Ecrans électriques, 140
Effet
Barnett, 514
de capacité, 296
de couronne, 128
de peau, 302, 304
d'induction dans un conducteur, 301
Einstein-de Haas, 510, 514
Faraday, 560
gyromagnétique, 509, 510
Hall dans un ruban en cuivre, 252
Joule
local, 149
Kelvin, 302, 304
magnétomécanique, 510
Meissner, 516
Meissner dans une plaque, 533
photovoltaïque, 162
tunnel, 582
Zeeman, 479
Effet Joule, 147
Efficacités de la conversion, 338
Électro-aimants, 502
Électrocinétique, 86
Électrodynamique des régimes quasi stationnaires,
301
Électrodynamique des régimes stationnaires, 231
Électrodynamomètre de Pellat, 343
Électrolyseur, 165
Électrolytes, 114
Électromètre à condensateur plan, 183
Électron, 4
dans un métal, 38
dans un microscope électronique, 37
Électrostatique terrestre, 141
Ellipsoïde
uniformément
aimanté, 419
polarisé, 401

734
Index
Énergie
associée à une onde électromagnétique, 361
d'interaction de deux dipôles magnétiques
rigides, 249
d'ionisation, 115
d'un système de deux conducteurs, 139
d'une distribution continue de charge, 41
électrique dans l'espace vide
d'un condensateur, 323
électromagnétique
dans un milieu matériel, 440
dans un milieu parfait, 443
du milieu, 444
électromagnétique dans le vide, 320
électromagnétique. Bilan, 321
électrostatique
en fonction du champ, 43
électrostatique d'un conducteur, 133
magnétique
d'un solénoïde torique, 341
dans l'espace vide d'un solénoïde, 324
de circuits, 326
d'un solénoïde droit, 341
Énergie potentielle, 30
d'interaction
d'un dipôle rigide et d'un champ appliqué,
74
de deux dipôles, 75
Enroulement en forme de tore, 228
Entrefer, 502
angulaire, 512
Epaisseur
de London, 527
de peau, 305
Équation
de Laplace, 37
de London, 526
de Maxwell dans le vide, 289
de Maxwell dans un milieu matériel, 433
de Maxwell-Ampère, 287
de passage du champ magnétique, 200
de Poisson, 35, 199
de propagation
du champ et du potentiel, 347
des télégraphistes, 590
d'onde, 350
locale
du bilan de charge, 91
et intégrales du champ électromagnétique
stationnaire, 205
Équilibre électrostatique de deux condensateurs, 176
États de polarisation, 357
Excitation
électrique, 396
magnétique, 414
Excitons, 552
Expérience de Millikan, 27
Facteur
de couplage magnétique, 281
de réflexion
d'un guide, 602
en énergie, 580
de transmission, 566
de transmission en énergie, 580
Faisceau laser, 370
Faraday, xiii, 161, 256
Ferrimagnétisme, 502
Ferrites, 502
Ferromagnétisme, 488
Feuille
plane
polarisée, 401
uniformément aimantée, 425
uniformément polarisée, 408
Fil
cylindrique supraconducteur, 524
recti ligne
infini, 206, 213, 217
parcouru par un courant uniforme, 212
supraconducteur, 532
Flux
conservatif, 197
coupé, 244
d'énergie électromagnétique associée à une
onde progressive, 362
rémanent, 492
Fluxon, 529
Fonction
de Langevin, 461
diélectrique, 547
potentiel, 36
Force
électromagnétique sur un milieu matériel, 435
électromotrice, 153, 156
et moment agissant sur un dipôle magnétique
rigide, 250
magnétomotrice, 503
portante, 508
sur les conducteurs, 129
Forme différentielle, 616

Index
735
Formule
de Fresnel, 568, 576
en incidence normale, 575
de Hagen-Rubens, 569
de Rayleigh, 552
Foucault, xiii
Foudre, 141
Four à micro-ondes, 555, 558, 604
Fréquence de la foudre sur Terre, 183
Fresnel, xiii
(Construction de), 314
(Formules de), 568, 576
Fusible, 164
Gain directionnel de rayonnement, 380
Gap d'un supraconducteur, 534
Gauss, xiv
Gaz chargé, 45
Générateur
d'un guide, 603
unipolaire, 268
Gradient, 34
d'une fonction, 612
Guide
d'ondes, 594
Hall, xiv
(champ de), 233
(coefficient de), 233
(géométrie de), 233
(sonde de), 234
Henry, xiv
Hertz, xiv
Heussler (Ailliage de), 489
Hydratation carrée de l'ion Cu 2+ , 84
Images électriques, 145
Impédance
caractéristique, 589
d'une ligne, 591
complexe, 313
d'onde dans un guide, 602
Incidence
brewstérienne, 579
Indice
d'extinction, 548
de réfraction, 548
optique, 55 1
lndiscernabilité des électrons, 500
Inductance
mutuelle, 274
propre, 277
d'un solénoïde rectiligne, 277
Induction
(Four à), 270
électromagnétique, 256
motionnelle, 264
statique, 264
Intégrale
d'échange, 500
vectorielle, 627
Intensité, 88
dans un circuit, 309
efficace, 313
Interaction
d'un dipôle magnétique rigide avec un champ
magnétique appliqué, 249
de van der Waals, 82
d'échange, 500
dipôle-dipôle, 81
Interférence, 367, 371
Invariance, 562
de jauge, 198
des sources, 53
par rotation autour d'un axe, 54, 64, 214
par translation le long d'un axe, 53, 63, 213
Isolants, 1, 112, 117
Jauge
de Coulomb, 198
de Lorentz, 292, 349
dans l'ARQS, 299
de radiation, 349
Joule, xiv
KDP, 468
Keesom, xiv, 82
Kirchhoff, xiv
Lame
métallique dans un condensateur plan, 180
magnétique dans un champ magnétique, 426
Langevin, xiv
(Fonction de), 480
Langevin-Debye (Formule de), 464
Laplace, xv
(Actions de), 247
(Expression des forces de), 336
(Force de), 238
Laplacien, 35, 624

736
Index
Lévitation
d'un aimant, 533
d'une sphère à l'aide d'un faisceau laser, 583
magnétique, 519
Liaison hydrogène, 82
Libre parcours moyen, 119
Ligne
bifilaire, 69, 285
avec pertes, 589
sans pertes, 587
de champ, 17
infinie, 26
Loi
de Biot et Savart, 189
de Child-Langmuir, 122
de Coulomb, 4, 13
de Faraday, 258
deKirchhoff, 312
en régime stationnaire, 158
de l'induction, 258
de Snell-Descartes relatives à la réflexion, 563
des actions électrodynamiques d'Ampère, 241
des intensités, 312
des mailles, 158,313
des nœuds, 158,312
des tensions, 313
d'Ohm, 232, 295
(Expression générale de la), 236
généralisée, 154
intégrale, 99
locale, 96
Longueur de cohérence, 529
Lorentz, xv
(Modèle de), 462
Mécanismes de polarisation, 455
Madelung, 41
Magnésie, 185,410
Magnéton
de Bohr, 475
nucléaire, 475
Magnétorésistance, 252, 317
Matériaux doux, 491
Matrice
capacité, 137
inductance, 280
Maxwell, xv
Mécanismes microscopiques de polarisation, 454
Meissner, 516
(Effet), 516
Mesure d'une susceptibilité, 438
Microphone électrostatique, 181
Microscope électronique, 90
Milieux
absorbants, 555
conducteurs, 93
diélectriques linéaires, 402
globalement chargés, 397
l.h.i, 402, 420
lhi, 547
linéaires anisotropes, 403
magnétiques linéaires, 420
uniformément aimantés, 416
uniformément polarisés, 399
Millikan, 437
Minimum de puissance, 167
Modèle de Dru de-Lorentz, 537
Molécule
d'eau, 83
de gaz carbonique, 84
NaCl, 46
Moment
angulaire, 477
cinétique associés à une OPPM, 573
dipolaire, 6, 78
électrique, 394
induit, 80
permanent, 80
linéaire ou impulsion d'une particule chargée,
273
magnétique
atomique, 473
volumique, 413
Moment dipolaire
des atomes et des molécules, 80
Monochromatique, 354
Mossotti (modèle classique de), 456
Moteur
électrique, 166
en rotation, 346
Muller, 515
Néel, xv
Niobate de magnésium, 172
Niveau de Fermi, 1 17
Nombre
d'onde
complexe, 591
spectroscopique, 354
quantique magnétique, 479
Notation complexe, 355
Noyau d'uranium, 6, 42

Index
737
Ochsenfeld, 516
Oersted, xv, 256
Ohm, xv
Onde
électromagnétique
dans le vide, 347
sphérique, 371
évanescente, 550, 581
longitudinale, 549
dans l'aluminium, 560
monochromatique cylindrique, 371
plane, 350
monochromatique, 354
plane progressive, 352, 362
plasma, 553
radio, 371
sphérique, 353
sphérique progressive, 363
stationnaire, 372, 571
TE dans un guide avec pertes, 608
TM dans un guide sans pertes, 607
Onnes, 515
Opérateur nabi a, 625
Opérateurs différentiels du second ordre, 623
OPPM, 360, 548, 549, 551, 554
Opposition des actions réciproques, 13, 241
Orientation
de l'espace, 186
d'une surface, 19
Ostrogradsky (formule d'), 618
Paire électron-trou, 119
Paquet d'ondes rectangulaire, 372
Paramagnétique, 420
Paramagnétisme, 479
de Pauli, 482, 487
de spins localisés, 486
des électrons de conduction, 482
Particules dans un champ électromagnétique, 187
Période, 354
Perméabilité
absolue, 421
relative, 421
Perméance, 503
Permittivité
complexe, 538
électrique du vide, 15
relative, 172,403
Pertes
dans un guide d'onde, 601
diélectriques, 447
magnétiques, 447
par effet Joule, 447
par hystérésis, 493
Phase, 354
Phonons, 551
Photoconductivité, 1 19
Photodiode, 162, 166
Photons, 551
Photopile, 163
Pince ampèremétrique, 285
Plan
d'antisymétrie, 51, 212, 226
de symétrie, 50, 67, 210, 226
uniformément chargé, 18
Plaquette semi-conductrice de In As, 252
Plasmas, 115
Plasmons, 553
Poisson, 35
Polarisabilité, 455
atomique, 457
des molécules, 458
d'orientation, 460, 461
électronique, 455
des atomes, 456
des ions, 457
ionique, 459
Polarisation, 356, 392, 428
circulaire, 359
des fluides, 463
des milieux en régime sinusoïdal, 542
d'orientation, 544
électronique, 543
elliptique, 357
ionique, 543
molaire, 465
rectiligne, 358
totale
d'un conducteur, 546
d'un isolant, 545
Polariseurs, 572
Polaritons, 551
Potentiel
écranté, 47
électrostatique, 261
créé par un dipôle, 71
scalaire magnétique, 221
vecteur, 198,261
créé par des courants stationnaires, 199
d'un solénoïde infini, 204

738
Index
Pouvoir
absorbant, 569 "
des pointes, 127
Poynting, xvi
Pression
de radiation, 572
solaire, 583
électrostatique, 129
magnétique sur une bobine, 334
Principe de Curie, 62, 63
Prisme à réflexion totale, 582
Profondeur
d'atténuation, 581
de pénétration, 528, 556
Propagation
d'onde TEM, 585
d'une onde
dans un milieu conducteur, 558
dans un milieu diélectrique, 558
électromagnétique dans l'eau de mer, 558
guidée, 585
Proton, 4
Puissance
électrique, 147
rayonnée, 379
à grande distancé, 388 • ■ .. "
par l'antenne, 385
Pulsation, 354
cyclotron, 485
de Larmor, 476, 485
plasma, 546
Quantification
du flux magnétique, 529
du moment magnétique
de spin, 475
orbital, 475
Quantité de mouvement, 573
Rapport
d'ondes stationnaires, 593
gyromagnétique de l'électron, 474 .. " v
Rayleigh, xvi
Rayon
classique de l'électron, 42, 381
quadratique moyen, 483
Rayonnement
à grande distance, 377
dipolaire d'un électron atomique, 380
Réactance, 314
Réciprocité entre une antenne émettrice et une
antenne réceptrice, 390
Réflectivité
infrarouge, 551
Réflexion, 561
entre deux diélectriques, 574
totale, 581
frustrée, 581
Réfraction, 561
des lignes de champ
électrique, 408
magnétique, 426
Régime
quasi stationnaire, 293
stationnaire, 92
transitoire avant l'équilibre de deux
condensateurs, 317
Règle du flux maximal, 246
Relation
de dispersion, 547
de Maxwell-Faraday, 259
de passage, 35
de structure du champ électrique, 204
Réluctance, 502
Représentation de Jones, 360
Réseau de N antennes rectilignes, 390
Résistance
de fuite, 173
de fuite d'un câble coaxial, 104
d'un conducteur homogène, 99
en régime stationnaire, 98
équivalente, 105
Résistors
en parallèle, 103
en série, 102
Résonance magnétique nucléaire, 486
Rotationnel d'un champ de vecteur, 621
Rotor'd'une machine asynchrone, 449
Roue de Barlow, 253
Rowland, 228
Riitherford, 3 1
Savart, xvi
Schrieffer, 515
Segment chargé, 27, 48
•Semi-conducteurs, 89, 112, 113, 118
Séparateurs électrostatiques, 141

Index
739
Solénoïde, 201
à enroulement hélicoïdal, 229
à noyau, 425
magnétique, 421
à spires carrées, 207
infini, 202
limité, 201,207
plongeur, 253
torique à section
carrée, 285
circulaire, 284
Solvatation
d'un ion, 81
tétraédrique de l'ion Zn 2+ par l'ammoniac, 85
Source
de courant, 153, 155, 166
de tension, 153, 154, 166
Spectrométrie
d'absorption, 555
de masse, 188
Sphère
bobinée, 228
chargée uniformément
en surface, 55, 208
en volume, 208
diélectrique, 409
dans un champ appliqué, 405
polarisée, 409
supraconductrice, 533
dans un champ magnétique uniforme, 520
uniformément
aimantée, 425, 513
polarisée, 400, 408
uniformément chargée
en surface, 23
en volume, 68
Spin, 475
Spire
carrée, 207
sur son axe, 206
dans un champ magnétique alternatif, 259
en rotation dans un champ magnétique
constant, 265
fixe dans un champ magnétique tournant, 264
polygonale régulière, 207
rectangulaire dans un champ uniforme, 264
Stern et Gerlach, 451
Stockage
d'énergie
électrique, 445
électromagnétique, 323
magnétique, 445
Stokes (formule de), 621
Structure
de bandes, 117
de l'OPPM, 548
Supraconducteurs
de type I, 530
de type II, 530
Supraconductivité, 515
Surfaces équipotentielles, 34
Susceptance, 314
Susceptibilité
complexe, 538
diélectrique, 402
del'éthanol,451
magnétique
d'une solution d'un sel paramagnétique,
451
Symétrie, 562
cylindrique, 58, 217
des champs, 49
plane, 56, 215
sphérique, 60
Système
de coordonnées, 613
de deux conducteurs, 134
magnétostatique, 225
Taux d'ondes stationnaires, 593
Température
critique, 515, 529
de Curie, 496
deNéel, 501
Tenseur
de susceptibilité diélectrique, 403
susceptibilité magnétique, 420
Tension
aux bornes d'un dipôle, 310
électrocinétique, 262
efficace, 314
Tesla, xvi, 188
Théorème
d'Ampère, 192, 195,415
de Coulomb, 127
deGauss, 19,21,397
de Larmor, 478
de Maxwell, 246
de Poynting, 321
de van Leuwen, 486
Théorie de la supraconductivité, 526
Thomson, xvi
Ticonal, 489
Titanate de baryum, 172

740
Index
Tolman et Stewart (Expérience de), 319
Train à moteur
linéaire, 272
supraconducteur, 534
Transducteur, 176
électromécanique, 243
Transfert de puissance, 165
Transformateurs, 282, 286
Transmission entre deux diélectriques, 574
Transport à haute tension, 165
Triboélectricité, 1
Trous, 118
Utilisation des symétries, 56, 215
Van Leuwen, 473
(Théorème de), 486
Van Vleck J.H, 480
Variation de l'impédance le long d'un câble, 592
Variation de l'impédance le long d'une ligne, 592
Vecteur
aimantation volumique, 411
D, 396
de Poynting, 242, 444
complexe, 364
d'onde
complexe, 537
et indice complexes, 547
H, 414
polarisation volumique, 393
Vitesse
de groupe dans un verre, 559
de phase, 354
dans un verre, 559
Volta,xvi, 185
Xérographie, 142
Zeeman effet, 479
045574 - (I) - (4) - OSB 80° - PUB - API
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Dépôt légal : décembre 2001

MASSON SCIENCES
José-Philippe Pérez
Robert Caries
Robert Fleckinger
ÉLECTROMAGNÉTISME
Fondements et applications
avec 300 exercices
et problèmes résolus
Cet ouvrage rassemble, dans un seul volume, les fondements de
l'électromagnétisme (vide et milieux matériels), ainsi que ses diverses
applications. Ce livre est divisé en trois parties. Dans la première, on présente
l'électrostatique, les courants stationnaires et la magnétostatique. La deuxième
partie propose les régimes variables, depuis l'induction électromagnétique
jusqu'au dipôle oscillant. La dernière contient de nombreux
approfondissements sur les milieux naturels (études macroscopique et
microscopique de la polarisation et de l'aimantation, ferromagnétisme,
supraconductivité, dispersion et absorption, réflexion et réfraction, enfin la
propagation guidée). L'ensemble se termine par des annexes, dont l'une
d'entre elles traite de la simulation et de sa. mise en œuvre en
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la moitié, celle qui'offre une ouverture supplémentaire, est corrigée sur le
site web des auteurs. Par sa présentation historique et didactique, l'ouvrage
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JOSÉ-PHILIPPE PÉREZ.
ROBERT CARLES
et ROBERT FLECKINGER
rs de Physique de losé-Philippe Pér^z
Mécanique
Électromagnétisme
Optique
Thermodynamique
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ISBN 2 10 005574 7
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