VINCENZO
BARONE
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RELATIVITA
PRINCÌPI E APPLICAZIONI
PROGRAMMA
DI
MATEMATICA
FISICA
ELETTRONICA

Vincenzo Barone (Cursi 1964) insegna Meccanica
quantistica e Fisica delle interazionifondamentali
all'Università del Piemonte Orientale «A. Avogadro».
La sua ricerca verte principalmente sulla teoria
delle interazioniforti e sulla struttura del protone.

PROGRAMMA DI MATEMATICA, FISICA, ELETTRONICA
Mario Ageno, Elementi di fisica
T. M . Apostol, Calcolo
Voi. 1 Analisi i
Voi. 2 Geometria
Voi. 3 Analisi 2
Michael Artin, Algebra
Luca Baracco e Giuseppe Zampieri, Analisi i
Vincenzo Barone, Relatività: princìpi e applicazioni
Franco Bassani e Umberto M. Grassano, Fisica dello stato solido
Michiel Bertsch, istituzioni di matematica
Scipione Bobbio e Emilio Gatti, Elettromagnetismo Ottica
Max Born, Fisica atomica
Francesco Bottacin e Giuseppe Zampieri, Analisi 2
Stefano Campi, Massimo Picardello e Giorgio Talenti, Analisi matematica e calcolatori
Vito Cappellini, Elaborazione numerica delle immagini
Francesco Carassa, Comunicazioni elettriche
Sergio Carrà, Te rmodinamica: aspetti recenti e applicazioni alla chimica e all 'ingegneria
Ciro Ciliberto, Algebra lineare
Claudio Citrini, Analisi matematica i
Claudio Citrini, Analisi matematica 2
Chiara de Fabritiis e Carlo Petronio, Esercizi svolti e complementi di Top ologia e Geometria
P. A. M. Dirac, i princìpi della meccanica quantistica
Albert Einstein, Il significato della relatività
Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica analitica con elementi di meccanica
statistica e dei continui
Enrico Fermi, Te rmodinamica
Giorgio Franceschetti, Campi elettromagnetici
Giovanni Gallavotti, Meccanica elementare
Graziano Gentili, Fabio Podestà e Edoardo Vesentini, Lezioni di geometria dif
f
erenziale
Enrico Giusti, Analisi matematica i
Enrico Giusti, Analisi matematica 2
Enrico Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica: voi.
Enrico Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica: voi. 2
Angelo Guerraggio, Matematica generale
Hermann Haken e Hans C. Wolf, Fisica atomica e quantistica
Werner Heisenberg, i princìpifisici della teoria dei quanti
David A. Hodges e Horace G. Jackson, Analisi e progetto di circuiti integrati digitali
Charles Kittel, introduzione alla fisica dello stato solido
Charles Kittel e Herbert Kroemer, Te rmodinamica statistica
Serge Lang, Algebra lineare
P. F. Manfredi, Piero Maranesi e Tiziana Tacchi, L'amplificatore operazionale
Jacob Millman, Circuiti e sistemi microelettronici
Jacob Millman e C. C. Halkias, Microelettronica
R. S . Muller e T. l. Kamins, Dispositivi elettronici nei circuiti integrati
Luciano Pandolfi, Analisi matematica i
Athanasios Papoulis, Probabilità, variabili aleatorie e processi stocastici
Wolfgang Pauli, Te oria della relatività
B. Povh, K. Rith, C . Scholz e F. Zetsche, Particelle e nuclei: un 'introduzione ai concettifisici
Ilya Prigogine e Dilip Kondepudi, Te rmodinamica: dalle macchine termiche alle strutture dissipative
Giovanni Prodi, Analisi matematica
Antonio Ruberti e Alberto Isidori, Te oria dei sistemi
Walter Rudin, Analisi reale e complessa
H. H . Schaefer, introduzione alla teoria spettrale
Edoardo Sernesi, Geometria i
Edoardo Sernesi, Geometria 2
I. M. Singer e J. A. Thorpe, Lezioni di topologia elementa re e di geometria
Giovanni Soncini, Te cnologie microelettroniche
Guido Tartara, Te oria dei sistemi di comunicazione
Alberto Tesei, Istituzioni di analisi superiore

VINCENZO BARONE
..
..
.
RELATIVITA
PRINCÌPI E APPLICAZIONI
BOLLATI BORINGHIERI

Prima edizione novembre 2004
© 2004 Bollati Boringhieri editore s.r .l ., Torino, corso Vittorio Emanuele Il, 86
I diritti di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parzia­
le con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati
L'editore potrà concedere a pagamento l'autori zzazione a riprodurre una porzione
non superiore a un decimo del presente volume. Le richieste di riproduzione vanno
inoltrate ali' Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle Opere a Stampa
(AIDRO), via delle Erbe, 2, 20 121 Milano, te!. 02/8646309 1,fax 02/890 10863
Stampato in Italia dalla Litografia «Il Mettifoglio» di Torino
ISBN 88-339-5757-8

Indice
Prefazione, IX
Relatività
1. Introduzione, 3
�-- - --- ----
1.1 . Le radici della relati vità, 4
1.2. La meccanica newtoniana, 6
1.3. li principio di relati vità, 8
1.4. Le trasformazioni di Galilei, I 1
1.5 . Elettromagnetismo, 15
1.6. Complementi, 18
1.6 .1 . La relatività pre-einsteiniana, 18 1.6.2. Trasformazioni fra sistemi inerziali, 19
1.6.3 . La fo rma più generale delle trasformazioni di Galilei, 20 1.6 .4. Sistemi acce­
lerati, 20 1.6.5 . Sistemi approssimativamente inerziali, 21 1 .6 .6. Trasformazioni
dei campi nel limite di basse velocità, 22
Probl emi, 23
2. Le basi della relatività speciale, 27
2.1. Il principio di inerzia, 27
2.2 . Sincronizzazione degli orologi, 28
2.3 . I postulati della relati vità speciale, 30
2.4. La velocità della luce, 32
2.5 . Eventi , 34
2.6 . Le trasformazioni di Lorentz, 37
2.7 . La relati vità della simultaneità, 44
2.8 . Successione temporale degli eventi, 44
2.9 . Classificazione degli intervalli, 45
2.10. I diagrammi di Minkowski, 47

VI
Indice
2.11. Complementi, 52
2. 1 1 .1 . L' esperimento di Michelson e Morley, 52 2.11 .2 . Sulla deri vazione delle
trasform azioni di Lorentz, 56 2. 1 1 .3. Leggi di similitudine, 59 2. 1 1.4. Le trasfor­
mazioni di Carroll, 61 2. 1 1 .5 . Fisica e fi losofia: la realtà del fu turo, 62
Problemi, 64
3. Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz, 67
3.1 . La contrazione delle lunghezze, 67
3.2. La dilatazione degli intervalli temporali, 70
3.3 . Il tempo propri o, 73
3.4. La legge di trasform azione della velocità, 74
3.5. Proprietà gruppali dei boost, 78
3.6. L' aberrazione della luce stellare, 79
3.7. Effetto Doppler, 82
3.8 . Complementi, 86
3.8 . 1. Propagazione della luce in un mezzo in movimento, 86 3.8 .2 . Dilatazione
della vita media dei muoni cosmici, 87 3.8 .3 . Il paradosso degli orologi (o dei ge­
melli), 89 3.8.4 . Osserv are e misurare : la contrazione delle lunghezze è visibile?, 94
3.8 .5 . La precessione di Thomas, 96 3.8 .6 . Ve rifiche della rel ati vità speciale (I), 100
3.8 .7. Alternative alla teoria einstei niana?, 103
Problemi, 105
4. La dinamica relativistica, 112
4.1 . La legge fo ndamentale della dinamica, I J 2
4.2 . Il momento, 114
4.3 . Il momento angolare , I 18
4.4. L' energia cinetica, 118
4.5. Energia totale ed energia di mass;t, 120
4.6. L'equivalenza di massa ed energia, 121
4.7 . Massa di un si stema composto, 125
4.8. La relazione tra momento ed energia, 127
4.9 . Particelle di massa nulla, 128
4.10. Trasformazi oni di Lorentz del momento e dell'energia, J 30
· 4 .11 . Trasformazione di Lorentz della fo rza, J 33
4.12. La legge di azione e reazione, I 35
4.13. Moto di una parti cella carica in un campo elettromagnetico, 136
4. 13.1 . Campo elettri co costante e uniforme, 137 4. 1 3.2 . Campo magnetico costante
e uniforme, 140
4.14. Complementi , 144
4. 14.1 . Il problema di Keplero in rel ati vità speciale, 144 4 . 1 4.2 . La stri nga rotante, 146
4. 14.3 . Verifiche della relatività speciale (II), 149 4. 1 4.4 . Rel atività, meccanica
quanti stica e antiparticelle, 150 4 . 1 4 .5. I tachi oni, 151 4. 1 4 .6 . Acceleratori di par­
ticelle, 153
Problemi, I 57

Indice
5. Lo spazio-tempo, 161
5.1. Rotazi oni nello spazio euclideo tridimensionale, 162
5.2. Vettori e tensori in R3 , 164
5.3. Covarianza delle leggi fi siche, 165
5.4. Lo spazio di Minkowski, 167
5.5 . Le trasformazioni di Lorentz, 170
5.6. Classificazione delle trasformazioni di Lorentz omogenee, 173
5.7 . Calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski, 179
VII
5.7. 1. Quadrivettori e quadritensori, 181 5.7 .2 . Proprietà dei quadritensori, 184
5.7 .3 . Combinazioni scalari , 185 5.7.4. Quadritensori simmetrici e antisimmetrici, 186
5.7 .5 . Pseudotensori e simbolo di Levi-Civita, 186
5.8 . Derivazione e integrazione nello spazio di Minkowski, 188
5.9 . Il gruppo di Lorentz, 193
5.10. L' algebra del gruppo di Lorentz ristretto, 196
5.11 . Il gruppo di Poincaré, 202
5.12. Complementi, 205
5. 12.1 . Basi in M, 205 5.12.2. Omomorfismo tra SL (2, C) e il gruppo di Lorentz ri­
stretto, 206 5.12.3. Rappresentazioni spinoriali del gruppo di Lorentz ristretto , 208
5.12.4. L' equazione di Dirac, 210 5.12.5. Il gruppo di Galilei, 212
Problemi, 2I3
6. Formulazione covariante della dinamica, 215
6.1 . La linea di universo, 215
6.2 . La quadri velocità e la quadriaccelerazione, 216
6.3 . Il quadri momento, 218
6.4. Il tensore del momento angolare, 2 i 9
6.5. Moto del centro di massa, 220
6.6 . Le equazioni del moto in fo rma covariante, 221
6.6 . 1. Particella libera, 22/ 6.6 .2. La quadriforza, 222
6.7 . L' azione relativistica di una particella, 224
6.8 . Meccanica analitica non covariante, 227
6.8 .1 . Particella libera, 228 6.8.2 . Particella interagente, 229 6.8.3 . Simmetrie e
leggi di conservazione, 229
6.9. Meccanica analitica covariante, 233
6.9 . 1 . Formali smo lagrangiano, 233 6.9 .2 . Formalismo canonico e invarianza per ri­
parametri zzazioni, 235 6 .9.3 . Particella libera, 238 6 .9 .4 . Particella interagente, 240
6.9 .5 . Leggi di con servazione, 241
6.10. Complementi, 242
6. 10.1 . Lo spin, 242 6. 1 0.2 . Lagrangiane alternative di particella libera, 245
6. 10.3 . Sistemi di più particelle, 246
Problemi, 249
7. Applicazioni della meccanica relativistica, 251
7.1. I processi d' urto, 251

VII
I
7.2. Descrizione generale degli urti , 253
7.3. Sistemi di riferimento, 255
7.4. Invarianti cinematici, 257
Indice
7.4. l . Prodotti scai
"
ari dei quadrimomenti e massa invariante, 258 7 .4.2. Velocità
relativa, 259 7.4 .3 . Variabili di Mandelstam, 260
7.5 . Descrizione degli urti a due corpi mediante le variabili di Mandelstam, 261
7 .5 . 1. Descrizione nel sistema del centro di massa, 261 7 .5.2 . Descrizione nel sistema
del laboratorio, 264
7.6. Urti elastici, 265
7 .6 .1 . Descrizione nel sistema del centro di massa, 265 7 .6.2 . Descrizione nel si stema
del laboratorio, 266 7.6.3. Relazione tra 'J{cM e 'J{1ab• 267 7.6.4. Distribuzione di
momento delle particelle, 268
7.7 . La diffusione Compton, 270
7.8. Urti anelastici, 274
7.8 . l. Processi di form azione, 274 7 .8 .2 . Proc essi di produzione, 276 7 .8 .3. Urti
parzialmente inclusivi, 277
7.9. Annichilazione elettrone-positrone, 279
7.10. Decadimenti , 281
7. 10.1. Decadimenti in 2 corpi, 282 7 . 10.2 . Decadimenti in 3 corpi, 284
7.11 . Reazioni nucleari, 285
7.12. Radioattività, 288
7.13. Complementi , 289
7 .13.1 . Sezioni d' urto e spazio delle fa si, 289 7 .13.2. Urti el ettrone-nucleone, 292
7 .13.3 . Emissione e assorbimento di fotoni, 296 7. 1 3.4. Decadimento f3 e massa del
neutrino, 300 7 .1 3.5. La radiazione C erenkov, 302
Problemi, 304
8. La teoria elettromagnetica, 308
8.1. Le equazioni di Maxwell, 308
8.2 . Conservazione della carica elettrica, 309
8.3. Campi longitudinali e campi tras versi, 312
8.4 . La fo rza di Lorentz, 313
8.5 . I potenziali elettromagnetici, 314
8.6. Le trasformazioni di gauge, 315
8.6 . 1. Gauge di Lorentz, 316 8.6 .2. Gauge di Coulomb, 317 8.6 .3. Gauge tempo­
rale, 319 8 .6 .4 . Gauge di radiazione, 319
8.7 . Leggi di conservazione, 320
8.7 .1 . Conservazione dell' energia, 320 8.7.2 . Conservazione del momento, 322
8.7.3. Conservazione del momento angolare , 325
8.8 . Campo elettromagnetico libero, 32 7
8.9 . Interazione di una particella carica con il campo elettromagnetico, 332
8.10. Complementi, 335
8. 10.1 . Il problema di Cauchy per le equazioni di Maxwel l, 335 8 . 10.2. Le equa­
zioni di Maxwell in un mezzo dispersivo e le relazioni di Kramers-Kronig, 338
8. 10.3 . Causalità e velocità limite dei segnali, 342
Problemi, 345

Indice
9. Formulazione covariante dell'elettrodinamica, 349
9.1. L' azione dell 'elettrodinamica e il quadripotenziale, 349
9.2 . Il quadritensore del campo elettromagnetico, 351
9.3. La quadridensità di corrente, 352
9.4. Le equazioni di Maxwell in fo rma covariante, 354
9.5 . Onde piane, 356
9.6 . L'equazione di Minkowski-Lorentz in fo rma covariante, 361
9.7 . Trasformazioni di Lorentz dei potenziali e dei campi, 362
9.8. Campi generati da una carica in moto uniforme, 364
9.9. Risoluzione delle equazioni di Maxwell, 367
IX
9.9. 1 . Funzioni di Green del d' Alembertiano, 370 9.9.2 . � �··•zioni dell'equazione
di d'Alembert omogenea, 375 9.9 .3. Soluzioni dell'
. Lione di D' Alembert
non omogenea, 377
9.10. I potenziali di Liénard-Wiechert, 379
9.11 . Irraggiamento di cariche in moto , 383
9.12. Reazione di radi azione, 386
9.13. Complementi, 390
9. 13.1 . L ' equazione di Bargmann-Michel -Telegdi , 390 9. 1 3.2 . L 'elettrodinamica
come teori a di azione a distanza, 392 9. 13.3 . La Lagrangiana di Darwin, 394
Problemi, 396
10. Teoria relativistica dei campi, 400
10.1. La corda vibrante, 401
10.2 . La Lagrangiana e l'azione di un campo, 404
10.3. Formalismo canonico, 408
10.4. Simmetrie in teoria dei campi, 41 1
10.5. Invarianza per traslazioni spazio-temporali e tensore canonico, 416
10.6 . Invarianza di Lorentz e correnti di Noether associate, 420
10.7. Simmetri zzazione del tensore canonico, 425
10.8. Campi scalari , 42 7
l0.8.1 . li campo di Klein-Gordon, 429
10.9 . Invarianza di gauge globale, 432
10.10. La Lagrangiana del campo elettromagnetico, 433
10.11 . Il tensore di energia-momento del campo elettromagnetico, 43 7
10.12. Il momento angolare del campo elettromagnetico, 439
10.13. Interazione di una particella col campo elettromagnetico, 441
10.14. Invarianza di gauge locale, 444
10.15. Invarianza di gauge non abeliana e teorie di Yang-Mills, 446
10.16 . Complementi , 451
10.16.1 . Dilatazioni, 451 10.16 .2. Invarianza conforme, 453 I 0. 16.3 . Lagran­
giana elettromagneti ca di Fermi e gauge di Lorentz, 453 10.16 .4. Limiti su una
possibile violazione dell'invarianza di Lorentz, 454 I 0. 16.5. I fluidi perfetti re­
lati vistici, 457
Problemi, 458

X
11. Introduzione alla relatività generale, 463
11.1 . Il principio di equivalenza, 464
11.2. Applicazioni del principio di equivalenza, 466
11.3 . Relatività speciale e gravitazione, 470
11.4. Spazi curvi , 471
11.5. Lo spazio-tempo in relatività generale, 476
11.6. Trasporto parallelo e derivazione covariante, 478
11.7. L' equazione delle geodetiche, 48 1
11.8. Il tensore di curvatura, 484
11.9 . Il campo gravitazionale, 486
11.10. Lo spostamento gravitazionale verso il rosso, 488
11.11 . Le equazioni di Einstein, 490
11.12. La metrica di Schwarzschild, 491
11.13. La precessione del perielio, 494
11.14 . La deflessione della luce, 496
11.15 . Conclusioni, 498
11.16. Complementi, 499
Indice
11.16. 1 . Il principio di Mach e l' origine delle fo rze inerziali, 499 11.16.2 . Le
onde gravitazionali, 501 11. 16.3. L' azione di Hilbert-Einstein, 50 I 1 1.16.4 . Il
«parado sso degli orologi» in relati vità generale, 505 11.16.5 . I buchi neri , 507
Problemi, 510
Appendici
A. Calcolo vettori ale, 5 I 5
B. Nozioni di teori a dei gruppi, 525
C. Unità di misura naturali, 532
D. La delta di Dirac , 534
E. Elementi di meccanica analiti ca, 537
Bibliografia, 543
Indice analitico, 54 7

Prefazione
Quasi un secolo ci separa dal J 905, lanno in cui un impiegato ventiseienne del-
1'Ufficio Brevetti di Berna, Albert Einstein, pubblicava sugli Annalen de r Physik una
serie di fo ndamentali articoli destinati a rivoluzionare la fi sica. Uno di questi articoli,
intitol ato «Sull ' elettrodinamica dei corpi in movimento», poneva le basi della teoria
della relati vità, sconvolgendo le concezioni tradizionali dello spazio e del tempo. Alla
re latività sp eciale (o ristretta), che era oggetto della memoria del 1905, fe ce seguito
un decennio dopo - sempre ad opera di Einstein - la rela tività generale, una nuova teo­
ria della gravitazione che rifondava integralmente il rapporto tra fi sica e geometria.
A cento anni dalla sua nascita, la relati vità speciale è uno dei linguaggi e degli stru­
menti di lavoro abituali della fi sica. È alla base della fi sica nucleare e subnucleare, della
fi sica dei plasmi, dell'astrofisica, dell'ingegneria degli acceleratori , e in tutti questi am­
biti le sue predizioni sono verificate quotidianamente . Quanto alla relatività generale,
essa costituisce il fo ndamento della moderna cosmologia, ha importanti applicazioni in
campo tecnologico (sistemi di posizionamento, ora esatta ecc .) ed è ampiamente corro­
borata da tutte le osservazioni fi nora effettuate, a cominciare dalle famose misure della
deflessione della luce da parte del Sole compiute nel 1919 a Sobral e ali'isola del Prin­
cipe. Dal punto di vista culturale, poi, la relatività ha avuto sin dal suo apparire, e ha tut­
tora, una vastissima risonanza. L'intero sapere umano, dalla conoscenza comune alla
riflessione fi losofica, ne è stato inevitabilmente e profondamente influenzato .
Vista la posizione di rilievo che occupa nell' educazione e nella pratica corrente dei
fi sici, non stupisce che la relatività sia stata oggetto di decine di trattazioni di vario
tipo. Questo libro, indiri z zato agli studenti universitari di discipline fi siche e mate­
matiche, si sforza di offrire una presentazione moderna e ragionevolmente completa
della teoria einsteiniana. La relati vità speciale vi è esposta a partire dai suoi fo nda­
menti, fino allo sviluppo teorico più importante - la teoria classica dei campi. Alla re­
latività generale è dedi cato l' ultimo capitolo. Le preferenze (e le lacune) dell ' autore
sono, ovviamente, ineludibili. Esse si manifestano in qualche omissione (ad esempio,
la termodi namica rel ati vi stica) e nell' enfasi posta su altri argomenti (ad esempio, la
meccanica analitica relati vistica e le applicazioni alla fi sica delle particelle).

Xli
Prefazione
Il libro è strutturato in tre parti.
La prima parte è costituita dai capitoli 1-4 (cui si possono aggiungere alcuni para­
grafi del capitolo 7), nei quali vengono esposte, senza appesantimenti matematici, le
basi della relatività ristretta (le trasformazioni di Lorentz, la cinematica e la dinamica
relativistiche). Questa parte può essere affrontata sin dal primo anno di università e,
per il suo taglio pedagogico e l'attenzione rivolta agli aspetti concettuali, è indirizza­
ta anche agli studenti delle scuole di specializzazione per l'in segnamento secondario.
La seconda parte comprende i capitoli 5-9, nei quali il lettore trova la teoria geo­
metrica dello spazio-tempo e la formulazione covariante della meccanica relativistica
e dell'elettromagnetismo. Questa parte può rientrare nei programmi di un corso del
secondo anno. Il capitolo 7, che discute in dettaglio la cinematica degli urti e dei de­
cadimenti, può anche rappresentare un utile riferimento per i corsi di fi sica nucleare e
subnucleare.
La terza parte è costituita dal capitolo 10, dedicato alla teori a dei campi, e dal capi­
tolo 11, che introduce la relatività generale. Questa parte può essere oggetto di studio
nel terzo anno universitario o in anni successivi.
Il testo comprende una serie di complementi che, non essendo necessari alla com­
prensione del resto del libro, possono essere omessi in prima lettura, o in un corso ab ­
breviato. Il lettore è comunque invitato a non ignorarli, giacché contengono applica­
zioni, approfondimenti e sviluppi di un certo interesse. I vari capitoli si concludono
con una scelta di problemi, i più difficili dei quali sono accompagnati da soluzioni e/o
suggerimenti .
I prerequisiti per lo studio del testo si limitano alle nozioni elementari della mecca­
nica newtoniana e dell'elettromagnetismo, e al calcolo differe nziale e integrale. Altri
strumenti matematici, quali il calcolo tensoriale e la teoria dei gruppi, sono introdotti
e discussi là dove vengono utilizzati , o nelle appendici.
Questo libro trae origine dai corsi di relati vità e teoria classica dei campi che ho te­
nuto nello scorso decennio presso l'Università del Piemonte Orientale «A. Avogadro»
(Alessandria). Uno speciale ringraziamento va ai miei studenti, che con le loro osser­
vazioni hanno contribuito a chiarire e migliorare molti punti dell'esposizione.
Nel dare alla stampa queste lezioni, desidero espri mere la mia riconoscenza nei
confronti di coloro che mi hanno insegnato , anni addietro, la materi a che qui affronto:
mi riferisco a Vittorio de Alfaro, Enrico Predazzi e Tullio Regge. Vorrei poi ringra­
ziare Maurizio Gasperini, Alberto Lerda, Roberto Mu ssa e, in particolar modo, Maria
Barbaro per aver letto criticamente varie parti del testo, e Carlo Bernardini per il suo
incoraggiamento e i suoi preziosi suggerimenti . È inutile dire che eventuali sviste ed
errori vanno attribuiti esclusivamente a me.
Il libro è dedicato ai miei genitori .
Torino, settembre 2004
VINCENZO BARONE

Relatività
Ai miei genitori

Capitolo 1
Introduzione
A grandi linee possiamo dire che la teoria della re latività si occupa del rapporto
esistente fra le descrizioni dei fe nomeni fi sici compiute da osservatori diversi. Occor­
re precisare che esistono due teorie della relatività: la relatività sp eciale (o ristre tta) e
la re latività generale . La prima prende in considerazione una classe particolare di os­
servatori, gli osservatori inerziali; la seconda fa cadere questa limitazione ed estende
lo studio a osservatori accelerati o soggetti a campi gravitazionali. La differenza fo n­
damentale tra le due teorie riguarda la geometria dello spazio-tempo: lo spazio-tempo
della relatività speciale è piatto, mentre quello della relatività generale è curvo.
In questo libro tratteremo prevalentemente la teoria speciale della relatività, riser­
vando alla teoria generale l'ultimo capitolo. La relatività speciale introduce una nuova
cinematica e una nuova dinamica, rispetto alle quali la cinematica e la dinamica new­
ton iane si pongono come casi limite. Il limite in questione è quello in cui le velocità
dei corpi sono molto inferiori alla velocità della luce nel vuoto. Quando ciò si verifi­
ca, la meccanica newtoniana rappresenta un' ottima approssimazione della meccanica
relativistica. Per questo motivo, nella stragrande maggioranza delle situazioni a noi
fami liari, che coinvolgono velocità basse rispetto a quella della luce, non si osserva
alcuna deviazione dalle leggi di Newton. Queste leggi, però, risultano inadeguate a
descrivere i fe nomeni di alta energia: ad esempio, il moto delle particelle all'inter­
no di un acceleratore . L' elevata velocità di queste particelle (elettroni, protoni ecc .), solo
di poco inferiore a quella della luce, fa sì che gli effetti relativistici siano importanti e
che le equazioni che governano il loro moto non siano quelle di Newton, ma quelle
prescritte dalla teoria della relati vità (le cosiddette equazioni di Minkowski-Einstein).
Già da queste considerazioni prelimi nari si intuisce come la velocità della luce nel
vuoto, indicata tradizionalmente con e, svolga in relatività un ruolo cruciale. Essa in­
fatti è presente in tutte le leggi rel ativistiche. La comparsa di unp arametro elettroma­
gnetico, quale è c, nelle equazioni della meccanica può risultare sorprendente. Questa,
in effetti , è una delle grandi novità della teoria relativistica. Mentre la meccanica
newtoniana, di per sé, non contiene alcuna costante fo ndamentale, se non quelle,

4
Introduzione I Cap. I
come la costante di Newton G o la carica elementare e, che appaiono in qualche tipo
specifico di interazione (gravitazionale, elettromagnetica ecc .), la meccanica relativi­
stica incorpora una costante fo ndamentale, e, che compare sempre, indipendentemen­
te da ogni particolare interazi one. Questa costante ha il ruolo di velocità limite : nes­
sun segnale e nessuna particella possono viaggiare a velocità superiori a c. Il fatto che
esista una velocità limite e che essa coincida con la velocità della luce nel vuoto è uno
degli aspetti più significativi della relati vità.
1.1. Le radici della relatività
È opinione diffu sa che la teoria della rel ati vità sia nata per superare le difficoltà
che l'ipotesi dell' etere incontrava nello spiegare i risultati di alcuni esperimenti di ot­
tica condotti alla fi ne dell'Ottocento (in particolare gli esperimenti di Michelson e
Morley del 1887 e degli anni seguenti).1 In realtà, le radici della relatività fu rono
altre , e gli esperimenti volti a misurare il vento d' etere svolsero un ruolo secondario
nella sua nascita. Come ebbe a ricordare lo stesso Ei nstein un anno prima di morire :
L'esito dell'esperimento di Michelson non ebbe una gr ande influenza sull'evoluzione delle mie
idee [ ...] La spiegazione di ciò sta nel fatto che ero, per ragioni di carattere ge nerale, fe rmamen­
te convinto che non esista il moto assoluto, e il mio unico problema era come ciò potesse conci­
liarsi con quello che sapevamo dell'elettrodi namica.2
Non abb iamo motivo di dubitare della veridicità di questa ricostruzione, tanto più
che la memoria originale del 1905 è, a questo proposito, alquanto esplicita. Einstein
enuncia sin dall'inizio quello che considera il p roblema da risolvere, la difficoltà che
la teoria relati vistica è chiamata a superare . L' articolo Zu r Elektrodynamik bewegter
Ko rp er («Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento») 3 comincia infatti così :
È noto che l'elettrodinamica di Maxwell - così come essa è oggi comunemente intesa -condu­
ce, nella sua applicazione a corpi in movimento, ad asimmetrie che non sembrano conformi ai
fe nomeni. Si pensi ad esempio alle interazioni elettrodinamiche tra un magnete e un condutto­
re . Laddove la concezione usuale contempla due casi nettamente distinti, a seconda di quale dei
due corpi sia in movimento, il fe nomeno osservabile dipende, in questo caso, solo dal moto re­
lativo di magnete e conduttore . Infatti, se si muove il magnete e rimane stazionario il condutto­
re , si produce, nell 'in torno del magnete, un campo elettri co con una ben determinata energia, il
quale ge nera una corrente nei luoghi dove si trovano parti del conduttore . Se viceversa il ma­
gnete resta stazionario e si muove il conduttore, non nasce , nell 'intorno del magnete, alcun
campo elettrico; tuttavia si osserva, nel conduttore, una fo rza elettromotrice, alla quale non cor-
1 Rindler, ad esempio, scrive nel suo peraltro ottimo trattato : «Einstein reagì radicalmente al fal limento
di tutti i tentativi di determinare il sistema di riferi mento relativo al l'etere ed enunciò il [ ...] principio di re­
latività (ristretta)» (W. Rindler, La relatività ris tretta , Cremonese, Roma 197 I, p . 8).
2 Lettera a F. C. Davenport, 9 febbraio 1954, citato da A. Pai s, «Solli/e è il Signore. . . », Boringhieri, To­
rino 1986, p. 188.
3 A. Einstein, in «Annalen der Physik», 17, 1905, p. 89 1;trad . it. in A. Einstein, Opere scelte, a cura di
E. Bellone, Bollati Boringhieri, Torino 1988, pp. 148-77.

I. I I Le radici della relatività
5
risponde, di per sé, un ' energia, ma che - supponendo che il moto relativo sia lo stesso nei due
casi - genera correnti elettri che della stessa intensità di quelle prodotte dalle fo rze elettriche nel
caso precedente, e che hanno lo stesso percorso.
Ciò che Einstein si propone di fare è ristabilire una simmetria tra due descrizioni
fi sicamente equivalenti ma formalmente diverse dello stesso fenomeno (nella fatti­
specie, l'in terazione tra un magnete e un fi lo conduttore). È quella che Abraham Pais
ha chiamato la «radice estetica» della relatività. Chiariamo ora l'esempio.
Si supponga di avere un magnete e un fi lo conduttore in moto l'uno rispetto all'al­
tro (fig. I.I). Possiamo descrivere il sistema in un riferimento 'J{ solidale con il ma­
gnete, in cui il fi lo conduttore si muove con velocità v, oppure in un riferimento 'J{ '
solidale col conduttore, in cui è il magnete a muoversi con velocità - v. In entrambi i
casi misuriamo nel circuito la stessa corrente. Dunque, la fi sica del fe nomeno non di­
pende dal riferimento scelto (ma solo dal moto relati vo) . Tuttavia, la descrizione che
due osservatori in 'J{ e 'J{ ' danno del fe nomeno è diversa. Per un osservatore in 'J{ vi è
un campo magnetico B costante e nessun campo elettrico. Ogni carica e all'interno
del conduttore è soggetta a una fo rza di Lorentzf= (elc) v X B che non compie lavo ­
ro. L'integrale lungo il circuito della fo rza per unità di carica/le è la fo rza elettromo­
trice. Dal canto suo, un osservatore in 'J{ ' vede il filo conduttore fermo e misura un
campo elettrico E' generato dal magnete in movimento, cioè indotto dalla variazione
del fl usso magnetico attraverso la superficie del circuito. Le cariche nel circuito sono,
in questo caso, soggette a una fo rza elettrica/ ' = e E', la quale compie lavoro .
Come vedremo più dettagliatamente in seguito, l'origine del problema sta nell 'in­
conciliabilità delle equazioni di Maxwell dell 'elettromagnetismo con le trasforma­
zioni galileiane della meccanica. In una conferenza tenuta a Kyoto nel 1922, Einstein,
rievocando la nascita della teoria della relatività ristretta, ricordò di aver intuito la so­
luzione di questo problema dopo una lunga discussione col suo amico Michele Besso.
«La soluzione - spiega - coinvolgeva in effetti la stessa idea di tempo; l'idea era che
il tempo non è definito in assoluto, ma vi è una connessione inscindibile fra tempo e
':J[
Figura 1.1
V
-
o
-v
-
o
'J['
Interazione tra un magnete e un fi lo conduttore. A sinistra: il magnete è fermo in X e il circuito si
muove ri spetto a esso con velocitàv. A destra: il circuito è fermo in 'J[' e il magnete si muove rispetto
a esso con velocità - v .

6
Introduzione I Cap. I
velocità dei segnali».4 La riflessione sul concetto di tempo e sulla sua misura rappre­
senta la seconda radi ce della relatività. Il merito di Einstein consiste nell'aver com­
preso che per eliminare l'asimmetria tra le descrizioni che osservatori diversi fanno
dello stesso fe nomeno elettromagnetico occorreva fo rmulare una nuova dinamica, e
che per far ciò bisognava partire da un ripensamento dei procedimenti di misura del
tempo . Il salto dall'elettromagnetismo alla definizione operativa di tempo è un vero
colpo di genio di Einstein e non può non lasciare sconcertati e ammirati , oggi come
ieri, i lettori del suo articolo del 1905 .
La nostra brevissima ricostruzione della genesi del la teoria della relatività si
ferma qui.5
1.2 . La meccanica newtoniana
Nella sua formulazione originaria, dovuta a Newton, la «prima legge della dinami­
ca» afferma che un corpo non soggetto a fo rze permane nel propri o stato di quiete o di
moto rettilino uniforme . In presenza di fo rze, vale la «seconda legge della dinamica»
d2x
m
dt2
=F,
[ 1.1]
dove m è la massa del corpo, F è la fo rza (o la risultante delle fo rze) cui esso è sog­
getto, ex è il suo vettore posizione. La [ 1.1] è l ' equazione del m oto nella meccanica
newtoniana.
È alquanto evidente (e lo era anche a Newton) che il moto di un oggetto dipende
dal particolare sistema di riferimento in cui esso viene osservato. Consideriamo, ad
esempio, due sistemi di riferimento 'J{ e 'J{' in moto l'uno rispetto all'altro, e suppo­
niamo che la relazione tra le coordinate x in 'J{ ex' in 'J{ ' sia
x' =x+wt2,
[ l.2]
dovew è un vettore costante . Se in 'J{ vale la prima legge della dinamica, il moto di un
corpo non soggetto a fo rze è, ri spetto a 'J{ , un moto rettilineo uniforme, descritto da
una legge oraria del tipo
x(t)=x0+ut.
[ 1.3]
Ma, in virtù della [1.2], l'osservatore in 'J{ ' trova invece (assumendo, come è sottinte­
so nella fi sica non relativistica, che il tempo misurato da 'J{ ' sia lo stesso di 'J{)
x'(t)=x0 + ut+wt2,
[1.4]
4 Pais, «Sottile è il Signore... » cit., p. 153.
5 Per maggiori dettagli, il lettore è invitato a consultare l'opera di Pais già citata e i due libri di G. Holton,
La lezione di Einstein, Feltr inelli, Milano 1997 , e Einstein e la cultura scientifica del xx secolo, il Mulino,
Bologna 1991.

1.2 I La meccanica newtoniana
7
che corri sponde a un moto accelerato. La prima legge della dinamica, che abbiamo
supposto valga in 'Jf, non vale più in 'J{ ', cioè in un sistema di riferimento accelerato
rispetto a 'J{ . È fac ile verificare (vedi § 1.6 .4) che anche la legge di Newton non è più
valida in 'J{ '.
Rispetto a quale si stema di riferimento sono dunque valide leleggi della dinamica?
La risposta di Newton è che queste leggi valgono nello spazio assoluto, il quale, «per
sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, rimane sempre uguale e immobile».6
In realtà, per garantire un fo ndamento alla dinamica non è necessario introdurre lo
spazio assoluto. Basta ammettere che esista una classe di sistemi di riferimento, detti
sistemi di riferimento inerziali, in cui ogni corpo libero è in quiete o in moto rettilineo
uniforme.7 La prima legge della dinamica diventa così un postulato (il p rincip io di
inerzia) che afferma l'esistenza dei sistemi inerziali. È in questi sistemi di riferimen­
to che vale la legge di Newton nella fo rma (1.1).
Si osservi che, se un certo sistema di riferimento 'J{ è inerziale, un qualunque altro
sistema di riferimento 'J{ ' in moto rettilineo uniforme rispetto a 'J{ sarà anch'esso iner­
ziale. Si constata immediatamente infatti che, se effettuiamo la trasformazione
x'=x-vt, t'=I,
(1.5)
che, nella fi sica newtoniana, lega le coordinate spaziali e i tempi di due sistemi di ri­
fe rimento in moto relativo uniforme con velocità v, un moto rettilineo uniforme in 'J{ ,
x(t)=x0+ut,
[1.6)
si trasforma in 'J{ ' in
x'(t) =x0 + (u - v)t,
[l.7]
che è ancora un moto retti lineo uniforme . La [1 .5) è detta trasformazione di Galilei e
verrà deri vata nel § 1.4 .
Una volta individuato un sistema inerziale ve ne sono dunque infiniti altri : tutti i
sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto al primo. Possiamo perciò
rimpiazzare lo spazio assoluto di Newton con un insieme (infinito) di sistemi inerziali.
Cari Neumann diede a questo insieme di sistemi inerziali, la cui esistenza è necessa­
rio postulare per dare fo ndamento alla meccanica newtoniana, il nome di corp o A lfa . 8
Rimane ovviamente il problema di come individuare un sistema inerziale. Non esi­
ste una via regia per fare ciò. Bisogna necessariamente procedere per tentativi e ap­
prossimazioni successive. Alla fi ne dell'Ottocento, dopo la scoperta della natura elet­
tromagnetica della luce, si pensò che potesse essere proprio l'elettromagnetismo a
6 I. Newton, Principi matematici del la fi losofia naturale, Lrad. it. di A. Pala, UTET, Torino 1989, p. I 06 .
7 Que sla osservazione è originariamente dovuta a Ludwig Lange ( 1885). Cfr. M. Jammer, Storia del
conce tto di spazio, Feltrinelli, Milano l 963, pp. 134-35.
8 Per una ricostruzione storica di questo problema si veda E. Whittaker, A History of the Th eories of
Aether and EleC!ricity, Dover, New York 1989, voi. II, pp. 27 sgg. È doveroso però avvertire che il libro di
Whittaker si caratterizza per una ingiustificata sottovalutazione dell'opera di Einstein (la teoria della rela­
tività viene chiamata «teoria di Lorentz-Poincaré») . Cfr . anche E. Mach, La meccanica nel suo sviluppo
storico-critico, Boringhieri, Torino 1977, pp. 254 sgg.

8
Introduzione I Cap. I
fornire una specificazione del corpo Alfa, attraverso la fe nomenologia dell'etere . 9
Questa idea, però, incontra delle serie difficoltà, come vedremo nel § 1.5 .
Ricordiamo infine che l'idea di tempo assoluto, l' altro caposaldo della meccanica
newtoniana, rimaneva un cardine indiscusso della fi sica ottocentesca. Fino all' avvento
della relatività non si dubitò mai che osservatori diversi misurassero lo stesso tempo .
1.3 . Il principio di relatività
Abbiamo postulato l'esistenza di una particolare classe di sistemi di riferimento, i
sistemi inerziali, in cui i corpi liberi si muovono di moto rettilineo uniforme . Viene
naturale chiedersi allora se le leggi della fi sica abbiano la stessa fo rma in tutti i siste­
mi inerziali, o se invece cambino passando da un sistema inerziale a un altro.
Precisiamo meglio i termini della questione. Supponiamo per esempio di scrivere,
in un certo sistema inerziale 'J{ , la legge di Newton [1.1] con un' esplicita fu nzione
F delle coordinate, della velocità e, eventualmente, del tempo. La domanda è: in un
altro sistema inerziale 'J{ ' lequazione del moto, espressa nelle variabili di 'J{ ', ha la
stessa fo rma?
La risposta, positiva, è il contenuto del
• Principio di rela tività : le leggi fi siche hanno la stessa fo rma in tutti i sistemi di ri­
fe rimento inerziali.
L' eventualità opposta porterebbe a un numero infinito di descrizioni diverse del
mondo. Il fatto che tal e eventualità - non escludibile a priori - non si verifichi, e che il
postulato di relatività sia in accordo con i dati sperimentali, è un dato per certi versi
sorprendente (un esempio di quella misteriosa comprensibilità del mondo di cui par­
lava Einstein).
Enunciato in modo diverso, il pri ncipio di relatività stabilisce che tutti i sistemi
inerziali sono fi sicamente equivalenti, cioè che i ri sultati di un esperi mento di fi sica
non dipendono dal sistema inerziale in cui esso viene compiuto.
Questa, a voler essere rigorosi, è la formulazione più precisa del pri ncipio di relati vità. Come
hanno sottolineato alcuni autori (in particolare, V . Foc k, Th e Th eory of Sp ace, Time and Gra­
vitation, Pergamon, Oxford 1964) l ' invarianza in forma , o covarianza, delle leggi fi siche può
es sere conseguita introducendo nelle leggi un certo numero di parametri addi zionali . Questi
parametri , però, dipendono dalla velocità relativa dei si stemi inerziali, e pertanto discrimina­
no tra di essi . Il pri ncipio di relatività richiede che le leggi fi siche siano invarianti in forma e,
inoltre, che non dipendano da grandezze cinematiche caratteristiche dei singoli sistemi iner­
ziali (in altri termini , esso stabilisce che non è possibile determinare la velocità di un si stema
inerziale ri spetto ad un altro).
Il pri mo a osservare che nessun esperi mento permette di distinguere un sistema di
riferimento in moto rettilineo uniforme da uno in quiete fu Galilei, nella seconda gior-
9 Altri autori suggerivano di identificare il corpo Alfa con il sistema delle stelle fi sse, o col centro di
gravità di tutta la materia dell'universo.

1 .3 I 1/ principio di relatività
9
nata del Dialogo sop ra i massimi sistemi (il passo in questione è riportato nel § 1.6. 1 ).
Va detto , onde evitare anacronismi e apprezzare meglio lo sviluppo successivo del
concetto, che, nel contesto dell ' opera galileiana, la relatività era un'osservazione em­
pirica (peraltro geniale, giacché richiedeva di fare astrazione da molteplici cause di
disturb o), e non un principio nel senso moderno del termine, cioè un criterio regola­
tore delle leggi fi siche. È con Einstein (e Poincaré) che la relatività viene innalzata
a principio di simmetria (o di inva rianza ), valido per tutte le leggi della fi sica. Scrive, a
questo proposito, Einstein:
Per tutti i sistemi di coordinate per i quali valgono le equazioni della meccanica varranno anche
le stesse leggi elettrod inamiche e ottiche. Eleveremo questa congettura (il contenuto della
quale verrà detto , in quanto segue, «pri ncipio di relatività») al rango di postulato. 1 0
Per individuare le trasformazioni delle coordinate spazio-temporali che fanno pas­
sare da un sistema inerziale a un altro bisogna introdurre , come vedremo, un ulteriore
postulato riguardante (in maniera più o meno diretta) il tempo. In particolare, se si
suppone - nello spirito della fi sica newtoniana - che il tempo sia assoluto, le trasfor­
mazioni di coordinate che legano i sistemi inerziali sono le trasformazioni di Galilei
[1.5]. Si ottiene così il principio di rel atività galileiano:
• Principio di relatività galileiano: le leggi fi siche sono invarianti in forma ri spetto
alle trasformazioni di Galilei.
Questo principio è soddisfatto dal le leggi della meccanica newtoniana, ma è viola­
to da quelle dell 'elettromagnetismo: le prime sono invarianti rispetto alle trasforma­
zioni di Galilei, le seconde no. Se richiediamo che tutte le leggi fi siche siano consi­
stenti col principio di rel ati vità, dobbiamo abb andonare le trasformazioni di Galilei (e
la soggiacente assunzione sul tempo) e introdurre delle nuove trasformazioni tra si­
stemi inerzial i, le trasformazioni di Lorentz (vedi § 2.6).
Conviene ora chiarire il rapporto logico esistente tra le leggi della dinamica e il
principio di relatività. Diciamo subito che questo non deriva da quelle (diversamente
da qu anto talora si dice, o si crede). Non è infatti possibile inferire dall'equazione di
Newton [ 1.1] il principio di relatività. Al contrario, è proprio questo principio, cioè la
richiesta che le leggi della fi sica siano le stesse in ogni sistema inerziale, che permet­
te di limitare la fo rma delle equazioni del moto (non di fi ssarl a del tutto, ma di elimi­
nare alcune possibilità inammissibili). Nella gerarchia della conoscenza del mondo
fi sico, il principio di relati vità si situa dunque al di sopra delle leggi dinamiche, po­
nendosi come una «Superlegge», o una «meta-legge», che regola tali leggi (fig. 1 .2). 11
10 Einstei n. Opere scelte cit., p p . 148-49 .
11 Interessanti osservazioni sulla gerarchia della conoscenza fi sica e sul rapporto tra princìpi di si mme­
tria e leggi sono contenute in E. P. Wigner, Sym metries and Reflections, Indiana University Press, 1967;
C. Bernardini, Le leggi fi siche, Editori Riuniti, Roma 1983; M. Bunge, in «Am. J . Phys.», 29, 1961, p. 519.
Un articolo più tecnico sull'argomento è qu ello di R. M. F . Houtappel, H. Van Dam e E. P. Wigner, in
«Rev. Mod. Ph ys.», 37, 1965, p. 595 .

IO
Introduzione I Cap. I
Per capire in che modo il postulato di relatività assolve al proprio ruolo di principio
di simmetria, immaginiamo che per una certa interazione tra due particelle a e b si
ipotizzi la legge
F=k
Xa+Xb
ba
IX+X13
a
b
[1.8)
e che quindi l'equazione di Newton per la particella a sia, in un dato sistema inerziale 'X,
[1.9)
È fac ile vedere che in un altro sistema inerziale 'X ' , legato a 'J{ dalla trasformazione di
Galilei x' = x - vt, la legge del moto della particella a non ha più la stessa forma. Si
trova infatti
d2
x�_
x;, +xl,+2vt
ma
dt2
-k
1x�+x/,+2vt13 '
[1.10)
dove v è la velocità di 'J{ ' rispetto a 'J{ . La [l.10) è chiaramente diversa dalla [ 1 .9) e di­
pende dalla velocità relati va v. Dunque, in base al principio di relatività galileiano, la
[1.9) non è una legge del moto ammissibile.
Se la fo rza che agisce sulle particelle è la fo rza di gravità newtoniana, si ha
[1.1 1)
Questa, come è facile verificare, è una legge del moto che rimane invariata per una
trasformazi one di Galilei. In generale, leggi di fo rza dipendenti dalla distanza tra due
punti, come la [ 1.1 1 ), sono invarianti rispetto a trasformazioni di Galilei, e sono quindi
in accordo col principio di relati vità galileiano.
Pri ncì pi
di simmetria
regolano
Leggi
fi siche
ordinano
Dati, eventi
Figura 1.2
La gerarchia della conoscenza del mondo fi sico: le leggi organ izzano i dati;
i princìpi di simmetria regolano le leggi.

1.4 I Le trasfo rma zioni di Galilei
Il
1.4 . Le trasformazioni di Galilei
È arrivato ora il momento di studiare in maniera più sistematica le trasformazioni
delle coordinate che permettono di passare da un sistema di riferimento inerziale a
un altro . La fo rma di queste trasformazioni - che sono le trasformazioni di Galilei già
anticipate -, verrà determinata imponendo che esse rispettino il principio di relatività
e lascino invariato il tempo .
Come viene mostrato nel § 1.6.2, la più generale trasformazione tra due sistemi di
riferimento 'J{ e 'J{ ' , tale che un moto retti lineo uniforme in 'J{ appaia rettilineo unifor­
me anche in 'J{ ', cioè tale che, se 'J{ è inerziale, lo sia anche 'J( ', è una trasformazione
lineare, del tipo
lX:=a11x+a12y+a13z+aI4t+ei.
y=a21x+a22y+a23z+a24t+c2,
z' = a31x+a32y+a33z+a34t+c3,
t'= a41x+a42Y+a43z+a44t+c4.
[ 1.12]
Possiamo porre le costanti e; a zero senza perdere molto in generalità. Ciò equivale
infatti ad assumere che ali'istante t = t' = O lorigine O di'J{, cioè ilpunto x = y = z = O,
coincida con l'origine O' di 'J( ' (il punto x' = y ' = z' = 0). Per semplicità, supporremo
inoltre che gli assi di 'J{ e 'J{ ' siano paralleli e che 'J( ' si muova rispetto a 'J{ con velo­
cità costante v diretta lungo l'asse delle x, coincidente con quello delle x ' (fig. 1 .3).
Sotto queste ipotesi, le tre coordinate spaziali non vengono mescolate (dal momento
che gli assi di 'J( ' non sono ruotati rispetto a quelli di 'J{) e le coordinate trasverse y ' e
z' non dipendono da t (dal momento che il moto re lativo di 'J{ e 'J{ ' avviene lungo l'as-
V
y' :J{'
V
o
O'
x,x
'
z
z'
Figura 1.3
Due sistemi di riferimento in moto re lativo uniforme.

12
Introduzione I Cap. 1
se x). Riassumendo, x ' può dipendere solo da x e da t, mentre y ' e z' dipendono solo,
rispettivamente, da y e da z. Le [ 1.12) si riducono quindi a
[x' = a11x+a14t,
y' = a12y,
z'=a
33Z ,
t'= G41X+a42Y+a43Z+a44t,
[1.13)
dove i coefficienti saranno in generale fu nzioni di v. Per lisotropia dello spazio dovrà
pure essere
{a22=a
33•
a42 = a43•
e le [1.13) diventano così
[x' =a11x+a1 4 t,
y' = azzy,
z' = a22z,
t' = a41x+a42y+a42z+a44t.
[1.14)
[1.15]
Se il coefficiente a 42 fo sse diverso da zero, il tempo t ' sarebbe fu nzione anche delle
coordinate trasverse y e z, e nella cinematica di 'J{' si introdurrebbe una dipendenza da
una direzione spuria (l' unica direzione fi sicamente rilevante è quella del moto relati­
vo di '?il e '?il ', cioè l'asse x). Bisogna dunque porre a42 =O,
[x::a1ix+a14t,
y - a12y,
z' = a12z,
t' = a41x+a44t.
[ 1.16)
La fo rma di queste relazioni discende solo dalla configurazione di '?il e 'Jl' che abbia­
mo scelto e dalle proprietà generali dello spazio. Per ottenere le trasformazioni di Ga­
lilei imponiamo ora due condizioni fi siche :
1. le trasformazioni [l.16] de vono essere consistenti col principio di relatività;
2. il tempo è assoluto.
La seconda condizione, t' = t, è tipica della meccanica prerelativistica e semplifica
ulteriormente l'ultima delle [1.16). Con le ridenominazioni a 11 = A, a 1 4 = B, a 22 = C,
le [ 1.16) diventano
[x' = A(v)x + B(v)t,
y' = C(v)y,
z' = C(v)z,
t'=1,
[ 1.17)

1.4 I Le trasformazioni di Galilei
13
dove abbiamo evidenziato la dipendenza da v. Poiché l'origine O' di 'J{ ' si muove in
'Jl con legge oraria
x=vt,
nelle [ 1.17] a x' =Odovrà corrispondere la [ 1.18], il che implica
B-v cioè B= -vA,
-
A-
,
e di conseguenza
\x' =A(v)(x - vt),
y' = C(v)y,
z' = C(v)z,
t'=t.
[ 1.18]
[ 1.19]
[1.20]
Per v =Ole [ 1.20] devono banalmente ridursi alle trasformazioni identiche (x ' = x,
y' =y,z' = z,t' = t)edovràquindiaversi
A(O)=1, C(O)=1.
[ 1.21]
(Si noti che con le [ 1.21] viene esclusa lapossibilità che le trasformazioni cercate in­
corpori no un'inversione spaziale, nel qual caso si avrebbe A(O) = C(O) = - 1). La
simmetria cilindrica attorno all 'asse x della coppia di sistemi 'J{ e 'J{ ' implica poi che
le relazioni tra y ', z ' e y, z non dipendano dal segno di v. La C(v) è quindi una fu nzio­
ne pari di v,
C(v) = C(- v).
[1.22]
Veniamo fi nalmente alla condizione 1 di cui sopra: per essere consistenti col prin­
cipio di relatività, le [ 1.20] devono essere tali che i due sistemi di riferimento 'J{ e
'J{ ' ris ultino del tutto equivalenti . Ciò comporta che le trasformazioni che fanno pas­
sare da 'J{ ' a 'J{ , e che si ottengono invertendo le [ 1.20] , abbiano la stessa fo rma di que­
ste, con il solo cambiamento v H - v. Invertiamo dunque le [1.20] :
(x=A- 1 (v)x' +vt,
y=C-1(v)y',
z =C- 1 (v)z',
t=t'.
Per quanto detto , queste devono coincidere con le
(x=A(- v)(x ' +vt'),
y=C(- v)y',
z = C(- v)z',
t=t',
[1.23]
[1.24]

14
e dovremo quindi avere
A-
1
( v) =A(- v),
v=A (- v)v,
c-
1
(v) = C(- v).
Introduzione I Cap . I
[ 1.25]
[ 1.26]
[ 1.27]
Le prime due relazioni danno A = 1. La [ 1.27], assieme alla condizione [ 1.22], dà
C2(v) = 1.La soluzione C = - l va scartata in virtù della [1.21], e si ha quindi C = 1. In
conclusione, le trasformazioni fra sistemi inerziali compatibili con le condizioni 1 e 2
su enunciate, sono
lx' =x-vt,
y'=y,
z'=z,
t=t.
[1.28]
Le [1.28] sono le trasformazioni di Galilei
1 2 per la particolare configurazione dei si­
stemi di riferimento 'J{ e 'J{' scelta al l'inizio. Le trasformazioni inverse (quelle da
'J{' a 'J{) si ottengono dalle[1.28]scambiandox, y, z, t con x', y' , z ' , t'e invertendoil
segno di v,
!x=x'+v t' ,
y=y' ,
z=z',
t=t'.
[1.29]
Se 'J{ ' è in moto rettilineo uniforme rispetto a 'J{ con velocità v lungo una direzione
arb itraria, le trasform azioni di Galilei sono quelle anticipate in [ 1.5], cioè
{x'=x-vt
t'=t.
[l.30]
Dette x(t) ex'(t) le leggi orarie di una particella in 'J{ e 'J{ ' rispettivamente, derivando
la prima delle [ 1.30] rispetto al tempo si ottiene la trasformazione di Galilei della ve­
locità (indichiamo con u = dxld t la velocità della particella in 'J{ , e con u' = dx ' /d t la
sua velocità in 'J{ '), che è la semplice legge di addizione
u' =u-v
.
[l.31]
Effettuando un 'ulteriore derivazione temporale si trova che l'accelerazione non vari a,
a' =a.
12
li nome fu introdotto nel 1909 da Philipp Frank.
[1.32]

1.5 I Elettromagnetismo
15
La [ 1.32] viene spesso invocata per argomentare che dalla legge di Newton consegue il princi­
pio di relatività galileiano. li ragionamento è pressappoco questo. Se l' accelerazione è la stessa
in ogni sistema inerziale, come indicato dalla [1.32], e la forza è definita (seguendo Mach)13
come il prodotto massa per accelerazione, al lora F =ma implica F' = ma ' , e la legge di New­
ton risulta essere invariante rispetto a trasformazioni di Galilei. Si tratta di un argomento erro­
neo (ancorché diffuso). Il punto è che F =ma non è una legge fi sica ben definita fintantoché
non si specifichi la F come funzione del le coordinate e della velocità della particella. Ora, non
è detto a priori che questa funzione mantenga la stessa forma passando da un sistema inerziale a
un altro. Il pri ncipio di relatività impone proprio che ciò si verifichi, e limita quindi le possibili
forme funzionali di F (vedi la discussione al termine del paragrafo precedente).
1.5. Elettromagnetismo
Come è noto, la di namica del campo elettromagnetico è governata dalle equazioni
di Maxwel l, che qui scriviamo nel vuoto usando le unità del sistema di Gauss 14
V·E=4 np
(legge di Gauss),
V·B =O
(assenza di monopoli magnetici),
lòB
VXE+�al=O
(legge di Faraday-Neumann-Lenz),
VxB-_!_()E
=
4 '"j (legge di Ampère-Maxwell).
eòt
e
[l.33]
[1.34]
[l.35]
[ l.36]
La notazione è quella usuale: E è il campo elettrico, B il campo magnetico, p la de n­
sità di carica,j la densità di corrente. In assenza di sorgenti (p = O,j =O) le [ 1.33- 1 .36]
si riducono a
V·E=O,
V·B=O,
Applicando l'operatore rotore V X alla [ 1.39] otteniamo
VXVXE=V(V·E)-V2E= - _!_l_
_
VXB
eòt
'
13 Cfr. E . Mach, La meccanica nel suo sviluppo storico -critico cit., p. 263.
[1.37]
[ 1.38]
[1.39]
[1.40]
[l.41]
14 In questo libro disubbidiremo alla raccomandazione de ll'lnternational Union of Pure and Applied
Physics di usare come sistema di unità di misura il Sistema Internazionale (SI). Nella fisica fondamentale il
sistema più conveniente è quello di Gauss, che non fa apparire nelle equazioni di Maxwell la costante die­
lettrica del vuoto Eo e la permeabilità magnetica del vuoto μ0. Vi è anche un altro sistema, che non adotteremo,
detto sistema di Gauss razionalizzato, in cui ci si sbarazza &nche dei fattori 4ir.

16
e utilizzando la [I.37] e la [ 1.40] troviamo
v2E-_.
.!_
a2E =O
c2 Òt2
'
Introduzione I Cap. I
[1.42]
che è l ' equazione delle onde . In maniera analoga, si può mostrare che B soddisfa la
stessa equazione. In base alla [1.42], un' onda elettromagnetica si propaga nel vuoto
con una velocità data dalla costante c. Weber e Kohlrausch, nel 1856, determinarono
sperimentalmente il valore di e e scoprirono che era uguale a quello della velocità
della luce nel vuoto (misurato in altri esperimenti). Ciò permi se di concludere che i
fe nomeni ottici sono fe nomeni di natura elettromagnetica.
Ma rispetto a quale sistema di riferimento la velocità della luce vale e? La risposta
che si dava alla fine dell'Ottocento era che il si stema di riferi mento in cui la luce viag­
gia con velocità e è un sistema solidale con un mezzo pervasivo, estremamente sotti­
le, chiamato etere.
1 5 Questo mezzo non era mai stato osservato direttamente, dunque
la sua esistenza era semplicemente postulata, e le sue caratteri stiche dedotte in manie­
ra indiretta dalla fe nomenologia dell 'elettromagneti smo.
Sembrava naturale assumere che l'etere individuasse il corpo Alfa, fo sse cioè rap­
presentativo di quella classe infinita di sistemi inerziali su cui si basa la meccanica
newtoniana. Questa idea, tuttavia, incontra subito una difficoltà. In accordo con la
[1.31], infatti , se in un dato sistema di riferimento inerziale (diciamo I ' «etere»), un' on­
da elettromagnetica si propaga con velocità e , in un altro sistema di riferimento iner­
ziale in moto rispetto all ' etere essa si propaga con velocità diversa. Detto altrimenti, se
effettuiamo una trasformazione di Galilei x ' =
x - vt, scopriamo che le equazioni di
Maxwell, e quindi anche l'equazione d'onda, cambiano. Per convincercene, prendiamo
ad esempio la componente x dell'equazione di Faraday -Neumann-Lenz [ 1.35],
ÒEz ÒEv _
1 ÒBx
ay----
-az-
-
-
�Tt·
[1.43]
che supponiamo valga in un dato sistema di riferimento inerziale 'J{ . Per passare a un
sistema 'J{ ' , legato a 'J{ dalle [1 .28], usiamo le relazioni
aòx'a
a
[1 .44]
----
òx òx òx'
òx'
a(Jy'_i_a
[1.45]
(Jy (Jy (Jy' (Jy'
a(Jz'a
a
[1.46]
òz azoz' òz'
aòx'aòt'a
aa
[1.47]
-=-- +
-- =-v
--
+-
Òt òt òx'
òt òt'
òx'
òt' ·
1 5 Le idee dei fi sici riguardo alla natura dell'etere sono variate nel corso dei secoli, a partire dalla sua
introduzione nella fi sica, dovuta - pare - a Robert Hooke (1667). Per tutto l'Ottocento l'etere fu ritenuto,
secondo la concezione dominante - abbracciata, tra gli altri, anche da Maxwell -, un mezzo materiale:
molto poco denso, ma sostanzialmente non diverso dal la materia ordinaria. Alla fi ne del secolo, ad opera
soprattutto di Larmor (autore di un influente trattato intitol ato Aether and Matter) e di Lorentz, si fece stra­
da l'idea che l'etere fo sse un mezzo non materiale. Sulla storia dell'etere si veda Whittaker, A History of
the Theories cit.

1.5 I Elettromagnetismo
La [1.43] diventa quindi
dEz
-
dEy
=
_
_!_(dBx
-v
(JBx )
(Jy' (Jz'
e dt'
dx' ·
17
[1.48]
Ora, è possibile che i campi si trasformino in modo tale che la [ l.48] possa riscriversi
nella stessa fo rma della [ 1.43], cioè
(JE' (JE'
I (JB'
__
z_.:
::.
.:
::.L
=
_
___
x
(Jy' (Jz'
edt''
[1.49]
dove E ' e B' sono i campi in 'J{'? La risposta è no. Infatti, qualunque sia la trasforma­
zione di Bx , non c'è modo di eliminare il termine v dBxf(Jx' nella [1.48], dal momen­
to che le equazioni di Maxwell non contengono nessun' altra relazione tra (JB)dt' e
(JB/(Jx '.
Le equazioni di Maxwell, dunque, non rimangono invariate passando da un siste­
ma di riferi mento inerziale a un altro legato al primo da una trasformazione di Galilei:
il principio di relati vità galileiano è violato dall'elettromagnetismo.
Gli atteggiamenti possibili davanti a questa situazione sono due:
1. Ritenere che essa rappresenti una seria difficoltà per la teoria fi sica, e che il princi­
pio di relatività debba valere anche per l'elettromagnetismo. Questo implica che le
trasformazioni di Galilei (con la loro assunzione fo ndamentale, l'indipendenza del
tempo dal sistema di riferimento) non siano le trasformazioni corrette tra sistemi
inerziali, e che la meccanica vada quindi rivista.
2. Ri tenere che la dipendenza della velocità della luce dal sistema di riferimento sia
un effetto reale, da investigare sperimentalmente . In questo caso, il principio di re­
latività sarebbe li mitato alla sola meccanica, mentre l'el ettromagnetismo introdur­
rebbe un sistema di riferi mento privilegiato, solidale con l'etere.
La maggioranza della comunità fi sica a cavallo tra Otto e Novecento condivideva
quest'ultima posizione. Quando gli esperimenti cominciarono a evidenziare, con vari
gradi di accuratezza, l'indipendenza della velocità della luce dal moto della sorgente,
alcuni fi sici tentarono di correre ai ripari modificando empiricamente, mediante for­
mule ad hoc, le trasform azioni di Galilei, allo scopo di dar conto dei risultati speri­
mentali.
L'importanza del principio di relati vità e la necessità di preservarlo anche nell'am­
bito dell' elettromagnetismo (la posizione 1) vennero invece sostenute da Einstein.
Egli si re se conto che, se si prendono per valide le equazioni di Maxwell (che sono
corroborate da una ricchissima fe nomenologia) , è l'intera meccanica (dalle trasfor­
mazioni fra sistemi inerziali alle leggi della dinamica) che va modificata. Questo è il
programma vincente, come vedremo nel prossimo capitolo.

18
introduzione I Cap. 1
1.6. Complementi
1.6 . 1. La relatività pre-einsteiniana
L' enunciazione del principio di rel ati vità nella giornata seconda del Dialogo di
Galilei (per bocca di Salviati) è un vero capolavoro di nitore scientifico e di stile. La
riportiamo di seguito:
Salviati:
Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio,
e quivi fate d' aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti ; siavi anco un gran vaso d' acqua, e
dentr ovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia
versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la
nave, osserv ate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso
tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indiffere ntemente per tutti i versi;
le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non
più gagli ardamente la do vrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze
sieno eguali; e saltando voi , come si dice, a piè giunti, egual i spazi passerete verso tutte le parti .
Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il
vassello sta fe rmo non debbano succeder così ; fate muover la nave con quanta si voglia velo­
cità: ché (pur che il moto sia uniforme e non fl uttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una
minima mutazione in tutti li nominati effetti , né da alcuno di quelli potrete comprender se la
nave cammina o pure sta ferm a: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima,
né, perché la nave si muova veloci ssimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la
prua, benché, nel tempo che voi state in ari a, il tavolato sottopostovi sc orra verso la parte con­
trari a al vostro salto ; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più fo rza bisognerà tirarl a,
per arri vario, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l 'opposito:
le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, ben­
ché, mentre la gocciola è per ari a, la nave scorra molti palmi ; i pesci nella lor acqua non con più
fatica noteranno verso la precedente che verso la seguente parte del vaso, ma con pari agevolez­
za verranno al cibo posto su qual sivoglia luogo dell ' orlo del vaso; e fi nalmente le farfalle e le
mosche continueranno i lor voli indiffe rentemente verso tutte le parti , né mai accaderà che s
·
i ri­
duchino verso la parte che riguarda la poppa, quasi che fu ssero stracche a tener dietro al veloce
corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per ari a, saranno state separate; e,
se abbruciando alcuna lagrima d' incenso si farà un poco di fu mo, vedrassi ascender in alto ed a
guisa di nugoletta trattenervisi, e indiffere ntemente muoversi non più verso questa che quella
parte . E di tutta questa corri spondenza d'effetti ne è cagione l'esser il moto della nave comune
a tutte le cose contenute in essa ed al l' aria ancora, che perciò dissi io che si stesse sotto coverta;
ché quando si stesse di sopra e nell' ari a aperta e non seguace del corso della nave, differe nze
più e ben notabili si vedrebbero in alcuni degli effetti nominati : e non è dubbio che il fumo re­
sterebbe in dietro, quanto l'aria stessa; le mosche parimenti e le farfalle, impedite dall' ari a, non
potrebber seguir il moto della nave, quando da essa per spazio assai notabile si separassero ; ma
trattenendovisi vicine, perché la nave stessa, come di fabbri ca anfrattuosa, porta seco parte del -
1'aria sua prossima, senza intoppo o fatica seguirebbon la nave; e per simil cagione veggiamo
tal volta, nel correr la posta, le mosche importune e i tafani seguir i cavalli, volandogli ora in
questa ed ora in quella parte del corpo; ma nelle gocciole cadenti pochissima sarebbe la diffe­
renza, e nei salti e nei proietti gravi, del tutto impercettibile. 1 6
16 G. Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, in Op ere, a cura di F. Brunetti , UTET, To­
rino 1980, voi. II , pp . 236-38.

1.6 I Complementi
19
Tra gli autori che fe cero uso, in un contesto fi sico, del principio di relatività gali­
leiano, 1 7 va ricordato innanzi tutto Christiaan Huygens ( 1629- 1695). In una comuni­
cazione alla Royal Society nel 1669 e successivamente, con maggiore sistematicità,
in un'opera apparsa postuma, il De motu corporum ex p ercussione (1700), Huygens
studiò le leggi degli urti tra corpi applicando in maniera esplicita il principio di relati­
vità. Egli scrisse:
Moto dei corpi, velocità uguali e disuguali, queste espressioni devono essere intese relativamente
ad altri corpi che sono considerati a riposo, sebbene possa capitare che i secondi e i pri mi siano
trascinati in un movi mento comune. E quando due corpi vengono a urtarsi, anche se tutti e due
sono soggetti a un altro movimento comune uniforme, essi si respingeranno, per un osservatore
trascinato in questo movimento comune, esattamente come se questo moto parassita non ci fo sse.
Così, sia uno sperimentatore trasportato da una nave in moto uniforme, e fac cia egli urtare due
sfere uguali, ani mate da velocità uguali ed opposte rispetto a lui e alla nave. Diciamo che i due
corpi rimbal zeran no con velocità uguali rispetto alla nave, esattamente come se si producesse
l'urto sulla nave a riposo o sulla terraferma. 1 8
Un'interessante affermazione del principio di relatività nell' ambito dell' ottica è
contenuta in un' opera del fi sico e gesuita ragusino Ruggero Boscovich ( 171 1-1787),
la Disserta tionis de Lumine pars prima (1748), dove si legge:
La pura ragione naturale non può dirci se l a Terra, e con essa la camera oscura, siano in quiete o
si muovano, e in quale direzi one; né quale relazione abbia la stessa velocità dell'osserv atore
con la velocità della luce, se la luce si propaghi in modo continuo. Ma questo è ben noto: il
moto, rettilineo rispetto a una porzione di spazio mobile, può essere comunque curvilineo in as­
soluto, rispetto allo spazio infinito immobile, se codesto spazio mobile si muove a sua volta con
determinati moti . 1 9
1.6.2. Trasformazionifra sistemi in erziali
(a più generale trasformazione fra due sistemi di riferimento 'J{ e 'J{ ' , tale che una
retta in 'J{ sia ancora una retta in 'JC ' , è una trasformazione conforme del tipo
,
ax +by+cz + dt +e
X=
ax+f3y+yz+8t+E'
[ 1.50]
e relazioni simili per y ' , z' e t', con coefficienti diversi al numeratore ma con lo stesso
denominatore .
La [ 1.50] trasforma punti e istanti all'in fi nito in punti e istanti al fi nito, e vicever­
sa, e non può quindi collegare due sistemi di riferi mento in moto relativo. In altri ter­
mini, pur trasformando linee rette in linee rette, la [ 1.50] non trasforma un moto retti­
lineo uniforme in 'J{ in un moto retti lineo uniforme in 'J{ '. Perché questo succeda, è
1 7 Per una storia del principio e del concetto di relatività segnalo R. Dugas, Histoire de la mécanique,
Éditions du Griffon, Neuchàtel 1950, e M. A. Tonnelat, Histoire du principe de rela tivité, Flammarion,
Paris 1971.
18 Dugas, Histoire de la mécanique cit., p. 169 (traduzione mia).
19 Citato in P. Casini, Ne wton e la coscienza europea, il Mulino, Bologna 1983, p. 163.

20
Introduzione I Cap. I
necessario che tutti i coefficienti al denominatore, tranne E, siano nulli: il denominato­
re deve cioè ridursi a una costante (diversa da zero). La [1.50] assume allora la forma
x' = Ax +By+Cz+ Dt+E,
[ 1.51]
con relazioni analoghe per y', z' e t'. Le più generali trasformazioni fra sistemi di ri­
fe rimento inerziali sono dunque trasformazioni lineari.
1.6.3. La fo rma più generale delle trasformazioni di Galilei
Le trasformazioni di Galilei del § 1.4 sono state ricavate sulla base di due ipotesi
semplificatrici : 1) origini spaziali e istanti iniziali di 'Jl e 'J[ ' coincidenti ; 11) assi di 'Jl e
di 'J[' paralleli gli uni agli altri . Se facciamo cadere queste ipotesi restrittive, le tra­
sformazioni di Galilei che otteniamo non sono più omogenee e incorporano un' even­
tuale rotazione degli assi. Esplicitamente esse diventano
{x' = R(9)x-vt+x0
t' =t+t0 ,
[1.52]
dovex0 e t0 sono costanti e R( 9) è una matrice 3 X 3 ortogonale (cioè tale che R
r
R=1)
che rappresenta una rotazione tridimensionale (vedi § 5.1 ). Le [ 1.52] sono le più ge­
nerali trasformazioni di Galilei non omogenee fra due sistemi inerziali. Esse dipen­
dono complessivamente da 10 parametri: le 3 componenti di e (che individuano asse
e angolo di rotazione), le 3 componenti di v, le 3 componenti di x 0 , e infine t0 • Rispet­
to alle [1. 30], le [ 1.52] includono anche una ro tazione degli assi, una traslazione sp a­
ziale e una traslazione temporale.
1.6.4. Sistemi accelerati
Supponiamo che 'Jl sia un sistema di riferimento inerziale e 'J[ ' un sistema di riferi­
mento in moto uniformemente accelerato rispetto a 'J[ (con accelerazione relativa a,).
Se all'istante t =O(in accordo con la teori a newtoniana, il tempo misurato nei due si­
stemi è lo stesso) le origini di 'J[ e 'J[ ' coincidono, la trasformazione tra il vettore posi­
zionex in'J[e il vettore posizionex' e 'J[ ' è
,
12
x =x-2a,t .
L'origine di 'J[' (ilpunto x' =O) si muove in 'J[ con legge orariax = +a,t2•
Essendo 'J[ un sistema inerziale, in esso vale la legge di Newton
d2x
m
dt2 =F,
[1.53]
[1.54]
dove F è la fo rza reale agente sulla particella. In 'J[ ' avremo invece, secondo la [1.53],
d 2x'
m�+ma,= F',
[1.55]

1.6 I Complementi
21
dove F' è la fo rza agente sulla particella valutata in :ll '. Come si vede, la legge di
Newton non è più valida in 'X ' , a causa della presenza del termine ma ,.
Se vogliamo usare ancora l'equazione del moto di Newton nel sistema di riferi­
mento ac celerato :ll ', dobbiamo scriverla nella fo rma
d 2x'
m(Ji2=F'+F;n,
[1.56]
dove adesso al secondo membro compare non solo la fo rza reale F', ma anche la forza
inerziale (ofi ttizia)
[1.57]
La descrizione del moto in un si stema di riferimento accelerato è dunque più com­
plicata che in un sistema inerziale, a causa della presenza di fo rze fi ttizie.
Una classe particolarmente importante di si stemi accelerati è quella dei sistemi di
riferimento rotanti. Se un si stema di riferimento :ll ' ruota con velocità angolare m ri­
spetto a un sistema inerziale :ll, in esso compare una forza fittizia dettafo rza centrifuga,
data da
Fcentr= - mmX(mXx').
[1.58]
Se un corpo si muove in :ll ' con velocità u
'
, è soggetto a un' ulteriore fo rza fi tti zia, la
fo rza di Coriolis,
Fcoriolis = - 2m(mXu').
[ 1.59]
La fo rza di Coriolis associata alla rotazione della Terra influenza il moto delle masse
d' aria attorno alle zone di alta e bassa pressione dell'atmosfera ed è responsabile del-
1 ' apparente rotazione del piano di oscillazione del pendolo di Foucault.
Torneremo a occuparci dei sistemi accelerati nel capitolo 11, trattando la relatività
generale.
1.6.5. Sistemi app ro ssimativamente inerziali
Le verifiche di laboratorio delle leggi di Newton mostrano che un sistema di riferi­
mento solidale con la Terra può, con ottima approssimazione, essere considerato iner­
ziale. A causa del moto di rotazione e del moto di rivoluzione, però, la Terra non è un
si stema di riferi mento esattamente inerziale. La sua velocità angolare di rotazione è
Q=--
-2!
!_
=
2n
-
1-73X10-s
-
1
E9 giorno 24·3600
s
-
·
s
'
e, poiché il raggio terrestre è
Rffi=6.4XI06m,
l'accelerazione centrifuga vale
GEI)=Q�REI)=3.4X10-2ms-2,
[ 1.60]
[l.6 l]
[J.62]

22
Introduzione I Cap. 1
e, come si vede, è circa trecento volte più piccola dell' ac celerazione di gravità. Ecco
perché, nella maggior parte dei casi, la non inerzialità della Terra può essere ignorata
nello studio in laboratorio dei fe nomeni dinamici (per ciò che concerne il moto di ri­
voluzione, l'accelerazione centrifuga corri spondente è circa un qui nto di quella asso­
ciata alla rotazione).
Nel caso Ìn cui gli effetti di non inerzialità della Terra non siano, ai fi ni di una par­
ticolare misura, trascurabili, si può considerare come sistema inerziale il Sole. Esso
però è partecipe del moto rotatorio della galassia ed è quindi solo approssimativa­
mente inerziale. La velocità angolare di questo moto è
Q0=
2n
.
=2. 2Xl0-
15 s-
1
=3Xl0-
11
Q,
l08 ann1
$
[1.63]
dove 108 anni è il periodo della rotazi one galattica. Poiché la distanza del Sole dal
centro della galassia è
d0=104anniluce=9.5X1022m,
l'accelerazione centrifuga corri spondente è
a0=O.bdo=4.6X1o-ioms-2,
[1.64]
[1.65]
otto ordini di grandezza più piccola dell' accelerazione centrifuga dovuta alla rotazione
della Terra. In definitiva, abbiamo
[1.66]
il che significa che il Sole è un sistema «più inerziale» della Terra.
Un sistema di riferimento solidale con la nostra galassia è, a sua volta, più inerziale
del Sole, ma non esattamente inerziale, a causa del moto su larga scala delle galassie.
Sembra esserci quindi una scala di crescente inerzialità dei sistemi di riferimento,
che converge verso un sistema di riferimento solidale col moto medio della materia
nell' universo. Questa gerarchia dei sistemi approssimativamente inerziali e il legame
che emerge tra inerzia e materia sono fatti inspiegabili nell'ambito della fi sica newto­
niana. All' interrogativo che essi pongono tenta di dare una risposta il principio di
Mach, cui sarà dedicato il § 11.16. 1.
1.6.6. Tra sformazioni dei campi nel limite di basse velocità
Come vedremo in seguito (§ 9.7), nel limite di basse velocità, che è il regime in cui
le trasformazioni di Galilei sono approssimativamente valide, i campi elettrico e ma­
gnetico si trasformano, nel passaggio da un sistema inerziale a un altro in moto rispetto
al primo con velocità v, secondo le
1
E' =E+-v xB
c
,
B'=B -l_vXE.
c
[1.67]
[1.68]

Problemi
23
Queste rel azioni non sono esatte : valgono infatti a meno di termini di ordine v 2/c 2 e
rappresentano un caso limite delle trasform azioni rel ativistiche (di Lorentz) dei campi .
È il mescolamento di E e B che esse prevedono a ristabilire la simmetria tra le due si­
tuazioni di fi gura I.l discusse da Einstein nel suo articolo del 1905.
Nei Problemi il lettore è invitato a verificare che, mentre la fo rza di Lorentz FL =
= eE +(e/e) u X B agente su una particella di carica e e velocità u è invariante rispet­
to alle trasformazioni [ l.67- l .68] se si trasc urano contributi del secondo ordine in
vie e u/c, le equazioni di Maxwell ri sultano invece modificate da termini del primo
ordine nelle velocità.
Problemi
1. «Buoni» e «cattivi» orologi
Supponiamo di avere due orologi, uno dei quali misura il tempo vero t (cioè il tempo rispet­
to al quale, in un si stema inerzi ale, il moto di una particella libera appare uniforme ), mentre
l'altro misura un tempo rdiverso da t. Si mostri che a un osservatore che usa rcome tempo il
moto di una particella libera in un si stema inerziale appare soggetto a una fo rza fi ttizia
d2r
dfTdx
F1
=-m(��)2<lr·
L' uso di un «catti vo» tempo, quindi, complica enormemente la descri zione del moto (a meno
che rnon sia legato a t da una relazione lineare, cioè da una dilatazione e da una traslazione, nel
qual caso la F1
si annulla) . È stato detto, a questo proposito, che «il tempo è definito in modo
tale che il moto appai a semplice».2 0
2. La legge di con servazione del momento
Mostrare che, se il momento totale p,0 1 = °2, ;m;u; di un insieme di particelle è conserv ato
in un certo sistema inerziale ?./{, lo è anche in un altro sistema inerziale ?./{ ' legato a?./{ da trasfor­
mazioni di Galilei.
3. Urti elastici nella meccanica newtoniana
Nella meccanica newtoniana un urto è elastico quando l'energia ci netica totale si conserva.
Mostrare che, se un urto è elastico in un sistema di riferimento inerziale ?./{, è tale anche in un
altro si stema inerziale ?./{ ' legato a?./{ dalle trasformazi oni di Galilei .
4. Principio di re latività galileiano
Una parti cella a, posta in Xa, è soggetta a una forza Fba esercitata dalla particella b, posta in x".
Dire quali delle seguenti ipotetiche equazioni del moto per a sono consi stenti col principio di
re latività galileiano ( v a e v b sono le velocità delle particelle):
ld2x
"l-kl
12
l.m0(j(2-x0+xb,
20
C. W . Misner, K. S. Thorne e J. A . Wheeler, Gravitation, Freeman, San Francisco 1973, p. 26 .

24
Introduzione I Cap. I
Id2x
I
2. ma
d
/=k(Xa-Xb)·(Va -Vb),
3. ma ld:�"l=k(lxal-lx" l)2.
( 1.69]
5. Sistemi di riferimento in moto relativo
Una bicicletta si muove di moto retti lineo uniforme ri spetto alla strada. Scri vere la legge
orari a di un punto sul bordo di una ruota della bicicletta nel sistema di riferimento solidale col
centro della ruota e nel sistema di riferimento della strada. Mostrare che la traiettoria di questo
punto, rispetto alla strada, è una cicloide.
Risposta . Nel sistema di riferi mento della strada le leggi orarie di un punto sul bordo della
ruota (che supponiamo giaccia nel piano xy) sono
x=Rsinwt+wRt,
y=RcosWt+R,
[1 .70]
[1.7 1]
dove R è il raggio della ruota e w è la sua velocità angol are . Le [1.70-1.71] sono le equazi oni
parametriche di una cicloide.
6. Trasformazione di Galilei della velocità
Una goccia di pioggia cade verti calmente con velocità costante u . A quale angolo dalla ver­
ticale e con quale velocità vede cadere la goccia un osservatore che si muove orizzontalmente
con velocità costante v?
7. Pa rado sso di De Sitter
Consideriamo un sistema binario costituito da una stella S 1 in orbita circol are attorno a una
stella compagna S2 di grande massa (fig. 1 .4). Sia v la velocità orbitale di Si. T il periodo reale
del suo moto di rivoluzione, edla distanza del sistema dalla Terra. Calcol are, usando la legge
galileiana di addizione delle velocità, il tempo apparente i!i.t che la stella impiega a muoversi dal
punto A al punto diametralmente opposto B (cioè l'interv allo di tempo che intercorre tra le ri­
cezioni a Terra dei segnali luminosi emessi dalla stella nelle posizioni A e B). Mostrare che il
semiperiodo apparente i!i.t può es sere nullo (nel qual caso la stella sembra trovarsi contempora­
neamente in A e in B) o addirittura negativo. È questo il cosiddetto pa radosso di De Sitte r. Se
-
come prevede la teoria relativistica - la velocità della luce è indipendente dal moto della sor­
gente, si ha sempre i!i.t = T/2 e il paradosso svanisce.
A
s,
52
Te rra
0 ----
-------------d
---
-----------0
B
Figura 1.4
Paradosso di De Sitter.

Problemi
Risposta :
T 2vd
M=2 -7
-7
·
8. Costante del moto associata ali ' invarianza galileiana
25
Si consideri un si stema di parti celle isolato. Come è noto (vedi, ad esempio, L. D. Landau e
E. M. Lifsh itz, Meccanica, Edi tori Riuniti, Roma 1979, cap. 2), l'invarianza rispetto a traslazioni
temporal i, traslazioni spaziali e rotazioni implica la conservazi one, ri spettivamente, dell' energia,
del momento e del momento angolare. Si mostri che la costante del moto associata all'invarianza
ri spetto alla trasform azione di Galilei x' = x - vt è
G=x (t)-�t
CM
M'
[1.72]
dove M =2:;m; è la massa totale del sistema, p10, = 2:;m;u; è il momento totale e XcM =
= 2: ;m;x/M è il vettore posizione del centro di massa.
9. Il gruppo di Galilei
Si dimostri che le trasfo rmazioni di Galilei [1.30] form ano un gruppo (detto gruppo di Galilei,
vedi § 5.12.5).
Suggerimento . Per alcune nozioni elementari sui gruppi si veda l'Appendice B. Bisogna di­
mostrare che: 1 ) combinando due trasformazioni di Gal ilei si ottiene un' altra trasformazione di
Galilei ; 11) la combinazione delle trasform azioni di Galilei è associativa; Ili) esiste la trasforma­
zione di Galilei identica; 1v) per ogni trasform azione di Galilei, esi ste la sua inversa.
10. Eq uazione delle onde e trasformazioni di Galilei
Mostrare , attrav erso un calcolo espl icito, che l'equazione delle onde
v2
_
_la2"' -o
l/fc2dt2
-
non è invariante rispetto alle trasformazioni di Galilei (si supponga che la l/f non cambi, cioè
l/f' (x', t') = l/f(X, l)).
Suggerimento. Si usi :
V' =V
11. Forza cen trifu ga e fo rza di Coriolis
Deri vare le espressioni [ 1 .58] e [ 1.59] della fo rza centrifuga e della fo rza di Coriolis.
Suggerimento. Sia 'X un sistema inerziale e ':J{' un sistema che ruota con velocità angolare
costante w rispetto a 'J[ . Le deri vate temporali in 'J{ e in 'J{ ' di un generico vettore A sono legate
dal la relazione (vedi H. Goldstei n, Meccan ica Classica, Zanichelli, Bologna 1971, p. 134 )
(��t=(��t+ wXA'
[1.73]
dove il secondo termine a destra è dovuto alla rotazione del sistema 'J{ '. Si usi la [ 1.73] nella
legge di Newton .

26
12. Forza di Lorentz e trasformazioni di Galilei
Si mostri che la fo rza di Lorentz
FL=e(E++uXB)
Introduzione I Cap. 1
è invariante ri spetto alla trasformazione di Galilei della velocità [ 1.31] e alle trasformazioni
[ 1.67- 1 .68] dei campi, a meno di termini del secondo ordine in u/c e vie (dove v è la velocità re­
lati va dei sistemi inerziali).
13. Eq uazioni di Maxwell e trasformazioni di Galilei
Si verifichi, mediante un calcolo espl icito, che le equazioni di Maxwell non sono invarianti
ri spetto alle trasform azioni di Galilei delle coordinate [ 1.30] e alle trasformazioni [ 1.67- 1 .68]
dei campi. (Per semplicità, si considerino le equazioni in assenza di sorgenti ).
Risposta . Le equazioni di Maxwell trasformate sono:
V'·E'= __!_v·V'XB'
e
,
V'·B'=_!_v·V'XE'
,
e
I aE'
I
aB'
V'XB'-
---
=--vx--
c at'
c2
ai'
,
1 aB'
I
aE'
V'XE'+ --
a'
= -2vX-
a'.
et
e
t

Capitolo 2
Le basi della relatività speciale
In questo capitolo presenteremo i rudimenti della relatività speciale: i due postulati
che sono alla base della teori a e le trasformazioni relativistiche fra sistemi di riferi­
mento inerziali (le cosiddette trasformazioni di Lorentz, che prendono il posto delle
trasformazioni di Galilei della meccanica newtoniana).
Il linguaggio matematico che utilizzeremo sarà, per il momento, quello del calcolo
nello spazio euclideo tridimensionale, in linea con l'articolo originale di Einstein. Il let­
tore deve però sapere che la teoria relativistica può essere pienamente apprezzata solo
adottando un formalismo matematico più sofisticato, il calcolo tensoriale nello spa­
zio-tempo a 3 + 1 dimensioni. Questo approccio verrà adottato a· partire dal capitolo 5.
2.1. Il principio di inerzia
Nella teoria speciale della relatività, così come nella meccanica newtoniana, i si­
stemi inerziali occupano un posto particolare . Il principio di relati vità ri stretta, infat­
ti, riguarda esclusivamente sistemi di riferimento di questo tipo.
Cominciamo col ricordare alcune nozioni generali. Per sistema di riferimento in­
te ndi amo una terna di assi cartesiani dotata di orologi identici e sincronizzati posti in
ogni punto dello spazio (fig. 2. 1). Un sistema di riferimento in cui tutti i corpi liberi,
cioè non soggetti a interazioni, sono a riposo oppure in moto rettilineo uniforme è
detto inerziale.
Il principio di inerzia, che è a fo ndamento sia della meccanica newtoniana che della
relatività speciale, postula l ' esistenza dei sistemi di riferimento inerziali.
1
Esso affer­
ma che è sempre possibile, almeno in linea teorica, trov are un sistema di riferimento
(attrezzato con orologi che mantengono un'unità di tempo costante) tale che un osser­
vatore solidale con esso veda i corpi liberi muoversi a velocità costante (nel concreto,
1 Parleremo spesso di «sistema inerziale», sottintendendo «sistema di riferimento inerziale» .

28
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
y
':/{
X
z
Figura 2.1
Un sistema di riferimento.
tuttavia, occorre accontentarsi di sistemi di riferi mento approssimativamente inerziali,
quali la Terra, il Sole ecc.) . Si tratta, per così dire, di un principio di semplicità : di un
principio, cioè, che garanti sce che le leggi della fi sica possano scriversi in maniera
«semplice». Il moto di un corpo, osservato in un sistema non inerziale, appare infatti
estremamente più complicato, a causa della presenza di forze fi ttizie (vedi § 1.6 .4).
2.2 . Sincronizzazione degli orologi
Abbiamo detto che un si stema di riferimento deve essere dotato di orologi in ogni
p unto dello spazio. A prima vista, questa sembra una richiesta eccessiva (si può pensa­
re che un solo orologio sia sufficiente). In realtà non è così . Lo studio del moto, infatti,
comporta misure temporali effettuate in punti diversi dello spazio. Se, ad esempio, un
osservatore vuole misurare la velocità media di un corpo, ha bisogno di compiere due
osservazioni in due punti e in due istanti differenti :
• passaggio del corpo nel punto 1 ali ' istante t 1;
• passaggio del corpo nel punto 2 ali'istante t 2 •
Sono dunque necessari, in questo caso, due orologi (identici), che devono essere
sincronizzati (fig. 2.2a). Il problema che si pone allora è come sincronizzare orologi
collocati in posizioni diverse dello spazio. Passiamo in rassegna alcune possibili so­
luzioni.
Un metodo per sincronizzare due orologi posti nei punti 1 e 2 potrebbe essere quel­
lo di trasportare un terzo orologio, si ncronizzato inizialmente con l'orologio in 1,dal
punto 1 al punto 2 (fig. 2 .2b). Nulla però garanti sce a priori che il trasporto non in­
fluenzi I ' andaJl
l
ento del terzo orologio.

2.2 I Sincronizzazione degli orologi
29
(a)
©
©2
©
©-©
(b)
2
(e)
2
Figura 2.2
Sincronizzazione di due orol ogi posti in punti diversi dello spazio.
Un metodo migliore consiste nell'invio di segnali (fig. 2 .2c). Se conoscessimo dei
segnali che si propagano istantaneamente (ad esempio, se la luce viaggiasse a velocità
infinita), questo metodo sarebbe di facile applicazione. Potremmo inviare all'istante
t 1 un raggio luminoso dal punto I verso uno specchio posto nel punto 2 e leggere il
tempo dell'orologio in 2: se fo sse t 1 = t 2 , i due orologi sarebbero sincronizzati , altri­
menti potremmo sincronizzarli apportando una correzione all'orologio in l (cioè re­
golandolo in modo da avere t 1 = t 2 ). Purtroppo però, la velocità della luce è fi nita e
non esistono segnali istantanei .
Veniamo così alla procedura di sincronizzazione proposta da Einstein. Essa fa uso
di segnali luminosi ma, dal momento che la velocità a cui questi viaggiano è fi nita, ri­
chiede una convenzione: stabiliamo che il tempo che la luce impiega per andare da l a
2 sia lo stesso che impiega per andare da 2 a 1. Non c'è nulla che garanti sca a priori,
per «intuizione diretta», che le cose stiano così. Non possiamo neanche verific are la
nostra asserzione, dal momento che, indipendentemente da essa, non conosciamo
alcun modo per misurare i tempi . Ciò che abbiamo fatto, affermando che la velocità
della luce è la stessa nelle due direzioni, è stato definire implicitamente il tempo ( in
maniera operativa, si intende). La validità di questa definizione risiederà nella consi­
stenza logica della teoria che ne ri sulta e nel controllo sperimentale del contenuto em­
pirico di tale teoria (cioè nella verifica delle sue predi zioni).
Avendo postulato che la luce viaggi con la stessa velocità tra l e 2 e tra 2 a I , pos­
siamo dire che due orologi in l e 2 sono sincronizzati se, inviando al tempo t = O di
l un segnale luminoso da 1 verso uno specchio posto in 2, leggiamo, nell'is tante t di 1,
un tempo t/2 sull'orologio in 2.
La procedura di sincronizzazione è dunque la seguente . Siano dati due osservatori,
l'uno in 1, l'altro in 2, separati da una distanza L. L'osservatore in 1 invia un segnale

30
Le basi della relatività speciale I Cap . 2
2
Figura 2.3
Una sorgente di luce, equidistante da due orol ogi posti in I e 2, emette un segnale luminoso che arri­
va simultaneamente in I e 2.
luminoso quando il suo orologio segna il tempo t = O . L'osservatore in 2, nell 'istante
in cui riceve il segnale, aggiusta il proprio orologio sul tempo t = L/c . L'uguaglianza
della velocità della luce nelle due direzioni garantisce che questa operazione sia con­
sistente : una volta sincronizzati gli orologi, se l'os servatore in 2 invia, al tempo t, un
segnale luminoso verso I, l'os servatore in 1 riceverà il segnale al tempo t + L/c .
Una procedura di sincronizzazione equivalente consiste nell ' accendere una luce
nel punto di mezzo tra 1 e 2 (fig. 2.3): quando gli osservatori in 1 e 2 vedono il segna­
le, mettono il loro orologio su un tempo prefissato t. L' arrivo del segnale in I e l'arri­
vo del segnale in 2 sonò , p er definizione, eventi simultanei.
La riflessione sul concetto di simultaneità è uno degli elementi fo ndanti della teo­
ria einsteiniana. Misurare il tempo - sottolinea Einstein - vuol dire stabilire la simul­
taneità di due eventi . «Noi dobbiamo considerare che tutti i nostri giudizi nei quali il
tempo ha un ruolo sono sempre giudizi su eventi simultanei . Se io per esempio dico:
"Quel treno arri va qui alle ore 7", voglio dire questo: "Il passaggio della lancetta del
mio orologio sul 7 e l'arrivo del treno sono eventi simultanei"».2 La più immediata e
sorprendente conseguenza della nuova meccanica sarà proprio, come vedremo, la re­
latività della simultaneità.
Avendo postulato l'esistenza di sistemi inerziali, e stabilito come sincronizzare gli
orologi, siamo ora pronti a porre le basi della relatività speciale.
2.3 . I postulati della relatività speciale
La teoria speciale della relati vità può essere costruita a partire dai seguenti postulati :
1. Le leggi fi siche hanno la stessa fo rma in tutti i sistemi di riferimento inerziali
(p rincipio di relatività).
2. La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento
inerziali (p ostulato della costanza della velocità della luce) .
I «postulati» hanno in fi sica un fo ndamento sp erimentale . li posto che essi occupano nella co­
struzione logica delle teorie fi siche non deve trarre in inganno, fac endo dimenticare la vera
base su cui poggiano, che è l'esperimento. La validità dei postul ati fi sici, insomma, non dipende
solo, come nel caso dei postulati matematici, dalla coerenza del si stema form ale che ne deriva,
ma dall' accordo delle loro conseguenze empiriche con i dati . La struttura form ale della teoria
2 A. Einstein, Zu r Elektrodynamik bewegter Korper; trad . it. in A. Einstein, Opere scelte, a cura di
E. Bellone, Bollati Boringhieri, Torino 1988, p. 150 .

2.3 I I postulati della relatività speciale
31
einstei niana, bas ata su «postul ati », alimentò, negli anni immediatamente successivi alla sua
formulazione, le diffidenze di molti fi sici di indole empiristica e contribuì a ingenerare l'idea
che la relatività fo sse essenzi almente una branca della meccanica razionale, piuttosto che della
fi sica. Conviene allora ricordare le parole pronunciate dallo stesso Einstein in una conferenza
del 1921: «Nel considerare la natura spec ifica della teoria della relatività, tengo a mettere in
evidenza che questa teoria non è di origine speculativa, ma che la sua scoperta è dovuta com­
pletamente e unicamente al desiderio di adattare, quanto meglio è possibile, la teori a fi sica ai
fatti osservati » (A. Einstein, Come io vedo il mondo , Giac hini, Milano 1966, p . 121).
Il primo postulato della relatività è un principio di simmetria (o di invarianza) e,
come tale, verte sulle leggifis iche, stabilendo come esse devono o non devono essere
fatte . Questo è il ruolo che le simmetrie svolgono nella fisica moderna, e la teori a
della relatività rappresenta storicamente il primo caso di applicazione di un principio
di simmetria: una strategia teorica che ha poi ricevuto ulteriore impulso dalla mecca­
nica quantistica e dalla teoria quanti stica dei campi, e che nel corso del Novecento si è
rivelata estremamente fruttuosa.
È nel momento in cui il principio di relatività viene esteso a tutti i fe nomeni fi sici
(incluso quindi l'elettromagnetismo) che si manifesta l'inadeguatezza delle trasforma­
zioni di Galilei . Queste prevedono infatti che la velocità della luce dipenda dal sistema
di riferimento e, di conseguenza, che le equazioni di Maxwell non rimangano invariate
nel passaggio da un sistema inerziale a un altro, come abbiamo visto nel § 1.5 .
Il secondo postulato della relati vità speciale stabilisce l'indipendenza della velo­
cità della luce dallo stato di moto del la sorgente.3 Tra le conseguenze immediate di
questo postulato, una ha particolare importanza: la simultaneità tra due eventi non è
assoluta. In altri termini, se due eventi sono simultanei in un dato sistema di riferi ­
mento, non lo sono più, in generale, in un altro sistema di riferimento. Si consideri la
situazione rappresentata in fi gura 2.4 . Due sistemi inerziali, 'Jl di coordinate x, y, z,e
'J{' di coordinate x
'
,y
'
, z', sono in moto retti lineo uniforme l'uno rispetto ali ' altro . In
A e B si accendono due luci nell 'is tante in cui questi due punti coincidono, rispettiva­
mente, con A ' e B' (fig. 2 .4a). Un osservatore solidale con 'J{ e posto in C (punto di
mezzo tra A e B) riceve nello stesso istante di tempo i segnali provenienti da A e B
(fig. 2.4c) . In 'Jl, quindi , l'emissione del segnale in A e l'emissione del segnale in B
sono eventi simultanei. D' altra parte , un osservatore solidale con ':J[ ' e posto in C'
(punto di mezzo tra A ' e B') va incontro alla sorgente in Be si allontana da quella in A;
poiché la velocità della luce in':J{ ' è la stessa che in':J{ , questo osserv atore riceve il se­
gnale proveniente da B' prima di quello proveniente da A ' (fig. 2.4b ). Egli dunque
conclude che l'emissione del segnale in A ' e l'emissione del segnale in B' non sono
eventi simultanei. Vediamo così che eventi che appaiono simultanei a un osserv atore,
non appaiono tali a un al tro osservatore in moto ri spetto al primo.
È abb astanza evidente che, se richiediamo che le trasformazioni fra sistemi iner­
ziali, compatibilmente con i postulati della relatività, mantengano invariata la velo-
3 Enunciato in questa fo rma, il secondo postulalo rimane valido anche in relatività generale.

32
Le basi della relatività speciale I Cap . 2
'J('
'J(
yy
(a)
O'
A'
C'
B'
x'
o
A
e
B
X
'J('
'J(
y
y'
(b)
O'
A'
8'
x'
o
A
e
B
X
'J('
'J(
y'
,_
-�
y
I
(e)
O'
A'
C'
8'
x'
o
A
e
B
X
Figura 2.4
a) Due sorgenti, l'una posta in A =A', l'al tra posta in B=B', emettono un segnale luminoso. b) Un
osservatore solidale col sistema di riferimento inerziale 'J( ' di coordinate x
'
,y
'
,z
'
e posto in C'
(punto di mezzo tra A' e B') riceve prima il segnale proveniente da B'. e) Un osservatore solidale col
sistema di riferi mento inerziale 'J( di coordinate x, y, z e posto in C (punto di mezzo tra A e 8) riceve
i segnali provenienti da A e B nello stesso istante di tempo .
cità della luce, queste trasformazioni dovranno prevedere : 1) tempi diversi in sistemi
di riferimento diversi e 11) un mescolamento delle coordi nate spaziali e del tempo . Sa­
ranno quindi alquanto diffe renti dalle trasformazioni di Galilei, per le quali t ' = t.
2.4 . La velocità della luce
Esistono numerose evidenze sperimentali che confermano l'indipendenza della ve­
locità della luce dal moto della sorgente . Accenneremo a una di esse, molto prec isa.
I pioni neutri (n°) sono particelle con una vita medi a di circa l o- 1 6 s che decadono
in una coppia di fo toni (i quanti di luce),
no � y+y.
Nel sistema di riposo dei pioni , i fo toni vengono emessi in direzioni opposte (per la
conservazione del momento) e hanno velocità
e=2.9979X 108 m s- 1,
[2. 1]

2.4 I La velocità della luce
33
che è la velocità della luce nel vuoto. In un sistema di riferimento in cui i pioni viag­
giano con velocità v, la velocità dei fo toni prodotti nel decadimento dovrebbe essere ,
secondo la meccanica newtoniana, e±v (nell ' ipotesi che i fo toni siano emessi colli­
nearmente alla direzione di moto dei pioni), e, secondo la teoria relativistica, ancora c.
Una misura effettuata da Alvager e altri4 su fo toni emessi da pioni in moto con ve­
locità v = 0.99975c (prodotti da un acceleratore del CERN di Ginevra) ha dato , per la
velocità dei fotoni, un valore (2.9977 ± 0.0004) X 108 m s - 1
, in accordo, nei limiti
dell'errore sperimentale, con la [2. 1].
Attualmente, la definizione dell 'un ità di misura della lunghezza (il metro) è legata
alla velocità della luce: la Conférence Générale des Poids et Mesures del 1983 ha sta­
bilito infatti che il metro è la lunghezza del cammino percorso dalla luce nel vuoto in
un intervallo di tempo di l/299 792 458 secondo.5 Con questa scelta di unità di misu­
ra, la velocità de lla luce ri sulta essere, p er definizione,
e· = 299792458ms- 1
•
Nel secondo postulato della relatività si afferma l'indipendenza della velocità della
luce nel vuoto dal si stema di riferi mento inerziale. Ma che cosa si può dire della co­
stanza nel tempo di e?
Studiando gli spettri di assorb imento delle quasar (oggetti extragalattici quasi stel­
lari), è possibile evidenziare eventuali differe nze tra i valori delle costanti fi siche al
momento di parte nza del segnale (che, nel caso di quasar distanti , risale ad alcuni mi­
hardi di an ni fa ) e i valori attuali, misurati in esperimenti di laboratorio. Di recente,
un gruppo di astrofisici6 ha presentato una serie di risultati che sembrano indicare una
vari azione della costante di struttura fi ne a=e 2/1ic di poco meno di una parte su cen­
tomila, per la precisione
apa ssato - a oggi
= (-0.72±0.18)X10-s
,
aoggi
[2.2]
su un arc o di tempo di 6- 1 O miliardi di anni . La costante a, che combina la carica elet­
trica e, la costante di Planck 1i e la velocità della luce e , entra in gioco nei fe nomeni
quanti stici di natura elettromagnetica (quali l'emissione e l'assorbimento di radiazio­
ne da parte degli atomi). Se confermata, una variazione di a indicherebbe, per così
dire, che la «fisica cambia col tempo» (nel senso che le «costanti» fo ndamentali della
fi sica, o perlomeno alcune di esse, variano, sebbene in maniera lievissima). Poiché
a mescola tre diverse costanti (e, ti, e) , risulta difficile stabilire a quale (o a quali) di
queste vada attribuita la variazione [2.2] . La possibilità che sia proprio e a cambiare
col tempo è stata presa in considerazione in alcuni modelli cosmologici.7 Per il mo­
mento, tuttav ia, si tratta di pure speculazioni teoriche sulla cui validità è difficile
esprimere un giudizio.
4 T. Alvager, F. J . M. Farl ey, J. Kj ellman e I. Wallin, in «Phys. Lett .», 12, 1964, p. 260.
5 Si veda ad esempio B. W. Petley, in «Nature», 303, 1983, p . 373.
6 J. K . Webb e altri, in «Phys. Rev. Lett.», 87, 2001, p. 09 1301.
7 J. W. Moffat, in «lnt. J . Mod. Phys.», D2, 1993 p. 35 1; A. Albrecht e J. Magueijo, in «Phys. Rev.»,
D59, 1999, p. 04 35 16; J. Magueijo, J. D . Barrow e H. B . Sandvik, in «Phys. Lett.», 8549, 2002, p. 284.

34
2.5 . Eventi
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
Il concetto di evento occupa un posto fo ndamentale nella teori a della relati vità. Un
evento è qualcosa che accade in un certo punto dello spazio in un certo istante di
tempo. Sono eventi, ad esempio: l'emissione di un segnale all'istante t da una sor­
gente puntiforme posta in (x, y, z), il passaggio all'istante t di una particella nel punto
(x, y, z) ecc. Un evento combina sempre un dato spaziale con uno temporale. Notava
Hermann Minkowski in una celebre conferenza del 1908 che «gli oggetti della nostra
percezione invariabilmente includono luoghi e tempi fra loro combinati . Nessuno ha
mai avvertito un luogo se non in un certo tempo, o un tempo se non in un certo luogo» . 8
La fi sica è sostanzialmente ricostruzione di eventi : persino fe nomeni estremamente
complessi sono, in linea di principio, riconducibili a particolari di stribu zioni di eventi
puntuali come quelli menzionati sopra.
Formalmente, un evento è una quaterna di numeri
(x, y, z, t),
(2.3]
tre dei quali, (x , y, z), rappresentano le coordinate spaziali dell'evento (do ve è succes­
so ciò che è successo), mentre il quarto , t, indica l'istante di tempo in cui l'evento si è
verificato ( quando è successo ciò che è successo). Parametrizzeremo la posizione
spaziale mediante coordinate cartesiane (nulla impedisce ovviamente di usare altri si­
stemi di coordinate). Come vedremo nel capitolo 5, un evento è un punto di uno spa­
zio quadridimensionale (o meglio, 3 + 1 dimensionale) detto sp azio di Minkowski.
Introduciamo ora una nozione di «prossimità» tra gli eventi (in termini matematici,
ciò equivale a introdurre una metrica nello spazio-tempo, vedi § 5.4 ), definendo I ' in ­
tervallo (o separazione) tra due eventi . Questo concetto è reminiscente di quello più
fa miliare di distanza euclidea tra due punti dello spazio, ma, come vedremo, presenta
rispetto a esso un'importante differenza.
L'intervallo (alquadrato) fis2 tradue eventi (xA, YA, ZA, tA) e (x8, y8, ZB, tB) è
[2.4]
Lo scriveremo in modo abbreviato come
[2.5]
dove fit= t8 - tA, fix= x8 - xA ecc. Interminidelladistanza euclideaIfixI tra i punti
XA = (xA,YA, ZA)eXB = (xB,YB, ZB),
(2.6]
8 H. Minkowski, Raum undZe it, conferenza del 21 settembre 1908 al C onvegno dei naturalisti e medici
tedeschi a C olonia; trad . ingl. in H. A . Lorentz, A . Einstein, H. Minkowski e H. Weyl, The Principle of Re­
lativity, a cura di A. Sommerfeld, Dover, New York 1952. pp. 75-91.

2.5 I Eventi
35
la [2.5] diventa
òs2 = c2òt2 - òx2.
[2.7]
È importante notare la cruciale differenza di segno tra il termine temporale e i ter­
mini spaziali. Di conseguenza, òs2 non è necessariamente positivo (a differenza della
distanza euclidea) , ma può assumere valori sia positivi che negativi. È possibile inol­
tre che due eventi distinti siano separati da un intervallo nullo. La stessa cosa non vale
ovviamente per la distanza: se due punti dello spazio tridimensionale hanno distanza
nulla, essi necessariamente coincidono.
In seguito considereremo spesso eventi del tipo (x, y, z, t) e (x + dx, y + dy, z + dz,
t + dt), separati da un intervallo infinitesimo
[2.8]
Un chiarimento sulle notazioni : quando scri viamo �x 2 , o espressioni analoghe, intendiamo
(i:h)2 cioè (x8 - xA ) 2 , e non �(x 2 ) che è invece (xJ - x)). Analogamente, dx2 va inteso come
(dx)2 , e non come d(x2).
Partendo dai postulati della relatività dimostreremo ora un risultato importanti ssi­
mo : l'intervallo tra due eventi ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento iner­
ziali (è, come si dice, un invariante). È proprio questo fatto che giustifica a posteriori
l'introduzione del concetto di intervallo e la sua definizione [2.4] .
Poniamoci in un si stema di riferimento inerziale 'J{ e consideriamo questi due
eventi :
• Evento A : un segnale luminoso viene emesso al l'istante tA da una sorgente posta in
(xA, YA· ZA)·
• Evento B: il segnale arriva all'istante t8 nel punto di coordinate (x8, y8 , z8).
L'intervallo tra questi eventi è
òs2=c2(ts-tA)2-(xs-xA)2-(Ys-YA)2-(Zs-ZA)2.
Po iché l'equazione del fronte d' onda del segnale è
(xs-xA)2+(Ys-YA)2+(zs-zA)2=c2(ts-tA)2,
l'intervallo [2.9] vale zero
òs2=O.
[2.9]
[2. 10]
[2. 11]
Osserviamo ora i due eventi in un altro sistema di riferimento inerziale 'J{ '. L' osser­
vatore in 'J{ ' registrerà gli eventi (x�, y�, z�, t�) e (x�, y�, z�, t�), separati dall'in tervallo
[2. 12]
Per il secondo postulato della relatività, la velocità della luce in 'J{ ' è la stessa che in
'J{, e quindi l'equazione del fr onte d' onda del segnale luminoso in 'J{ ' è
[2. 13]

36
Le basi della relatività speciale I Cap . 2
Dunque l'in tervallo tra i due eventi I e 2 è nullo anche in ':J{ ':
tu' 2
=O.
Siamo giunti alla conclusione che
L'i.s2 =O� L'i.s'2
=O,
[2. 14]
[2. 15]
cioè, se l'in tervallo tra due eventi in un certo sistema inerziale è nullo, esso sarà nullo
in qualunque altro sistema inerziale.
Vogliamo ora dimostrare che non solo vale la [2. 15], ma, più in generale, qualun­
que sia il valore dell 'in tervallo tra due eventi, esso rimane invari ato passando da un
sistema inerziale a un altro . Per questa seconda parte della dimostrazione faremo uso
esplicito del principio di relatività.
Ammettendo che la trasformazione di coordinate tra ':J{ e ':J{ ' sia lineare (come deve
essere se vogliamo che un moto rettilineo uniforme in ':J{ appaia tale anche in ':J{ ', vedi
§ 1.6 .2), la [2. 15] implica
[2. 16]
dove À, per l'uniformità dello spazio e del tempo, non può dipendere dalle coordinate
dei due eventi, ma solo dalla velocità relativa di 'J{ e ':J{', che chiamiamo v. Per l'iso­
tropia dello spazio, inoltre, À dipende soltanto da v = I v f , e deve essere una fu nzione
pari di v. La [2. 16] è dunque, esplicitamente,
[2. 17]
con
À(v) = À(- v).
[2. 18]
Invertendo algebricamente la [2. 17] abbiamo
[2. 19]
D'altra parte, per il principio di relatività, che usiamo qui per la prima volta, i due si­
stemi di riferimento inerziali ':J{ e ':J{ ' sono del tutto equivalenti, e quindi la trasforma­
zione da ':!{ a ':J{ ' deve essere la stessa che da ':J{ ' a':!{, col segno di v invertito, cioè
L'i.s' 2
= À(- v)L'i.s2.
[2.20]
Confrontando la [2.20] con la [2. 19] si ricava
[2.21]
da cui, vista la [2. 18],
[2.22]

2.6 I Le trasformazioni di Lorentz
37
La soluzione À = - I va scartata perché per v = O bisogna ovviamente avere !J.s'2 = !J.s2 .
Giungiamo quindi alla conclusione che À(v) deve essere uguale a 1, e in definitiva
[2.23]
L' intervallo tra due eventi è dunque lo stesso in tutti i sistemi di riferimento inerziali,
che è quanto volevamo dimostrare .
Ci baseremo ora su questo risultato per derivare le trasformazioni fra sistemi iner­
ziali compatibili con i postulati della relatività speciale, le trasformazioni di Lorentz.
2.6 . Le trasformazioni di Lorentz
Nel paragrafo precedente abbiamo visto che una trasformazione tra due sistemi di
riferimento 'J{ e 'J{ ' che sia consistente con i due postulati della relatività ristretta deve
essere tale da mantenere invari ato l'intervallo tra due eventi . Dedurremo ora da que­
sta proprietà di invarianza la fo rm a esplicita del le trasformazioni fra sistemi inerziali
(le trasformazioni di Lorentz). Poiché queste devono conservare l'intervallo, che è
una quantità che mescola le coordinate spaziali e il tempo, e poiché nel passaggio da
'J{ a 'J{ ' le coordinate spaziali dell'evento sicuramente cambiano, anche il tempo del­
l'evento dovrà cambiare (diversamente da quanto accade nella meccanica newtoniana,
dovesihat' = t).
Consideriamo per semplicità due sistemi di riferimento 'J{ e 'J{ ' in moto rettilineo
uniforme l'uno rispetto all' altro lungo l'asse delle x, con gli assi y e z paralleli, e sce­
gliamo lorigine dei tempi in modo che ali' istante iniziale, t = t' = O , le origini O e O'
dei due sistemi coincidano (fig. 2 .5). Sia v la velocità di 'J{ ' rispetto a 'J{ (costante e di-
'J[
V
y'
'J['
V
o
O'
X,X
'
z
z'
Figura 2.5
Sistem i di riferimento 'J[ e 'J[ ' in moto relativo uniforme lungo l'asse x.

38
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
retta lungo l'asse delle x) . In base alle considerazioni già svolte nel § 1.4, le trasfor­
mazioni che cerchiamo saranno del tipo [ 1.16], cioè
[x' = A(v)x + B(v)t,
y' = E(v)y,
z' = E(v)z,
t' = C(v)t + D(v)x.
[2.24]
L'origine di 'J{' (x' = 0) si muove in 'J{ con legge oraria x = vt. Secondo la prima
delle [2.24] si ha, per x' =O,
x=-BA -1t,
e deve quindi essere
B= -Av.
Le [2.24] diventano così
[x' = A(v)(x - vt),
y' = E(v)y,
z' = E(v)z,
t' = C(v)t + D(v)x.
[2. 25]
[2.26]
[2.27]
La condizione che le [2.27] si riducano, per v = O, alle trasformazioni identiche
x'=x,y'=y,z'=z,t' =timplica
A(O)=1, E(O)=1, C(O)=1, D(O)=O.
[2.28]
Si noti che abbiamo escluso le inversioni spaziali, che richiederebbero A(O) = - I e
E(O) = - 1, e l'inversione temporale, per la quale si avrebbe C(O) = - 1 .
Imponiamo ora l'invarianza dell 'in tervallo tra due eventi :
[2.29]
Usando le [2.27] e la [2.29] si trova
c2t'2_x'2_y'2_z'2
= (c2c2 _ v2A2)t2 _ (A2 _ c2Di)x2 _ Eiy2 _Ezz2+
+2(vA2+c2CD)xt=c2t2-x2-y2-z2.
[2.30]
Uguagliando i coefficienti di c2 t2 , x2, y 2, z 2, xt al primo e secondo membro della [2.30],
si trova
c2c2 - v2A2 = c2,
A2 - c2D2 =I,
E2 =1,
vA2+c2CD=O.
[2.3 1]
[2.32]
[2.33]
[2.34]

·
2.6 I Le trasformazioni di Lorentz
39
La [2.33] dà subito E(v) = l, in virtù della condizione E(O) = 1. Il si stema costituito
dalle tre equazioni algebriche [2.3 1, 2.32 e 2.34] può risolversi come segue. Dalla
[2.3 1] ricaviamo
2
A
2
=�(C2-I),
V
che, inserita nelle [2.32, 2.34], dà
v2
c2-I
-
v2D2=-
2
,
e
C2 -l+v CD =O.
Estraendo dalla [2.37] D,
1-c2
D=--
--;e
,
[2.35]
[2.36]
[2.37]
[2.38]
e sostituendo questa espressione nel la [2.36], si trova, con qualche banale passaggio
algebrico,
l
c2---
-
-
v2,
l-
­
c2
e, dalla l 2.35],
[2.39]
[2.40]
Le soluzioni ammissibili per A e C sono solo quelle positive, a causa delle condizioni
[2.28] . In definitiva, tenendo anche conto della [2.38], si avrà
A(v)=C(v)=p;2 ,
]-­
c2
V
D(v)= - -
0
-
�-,
c-�1-?
E(v) = I.
Le trasformazioni cerc ate sono dunque
x-vt
x'= p;
2'
l-
­
c2
y'
=y,
[2.41]
[2.42]
[2.43]
[2.44]
[2.45]

40
z'=Z,
t'=
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
[2.46]
[2.47]
Le [2.44 -2.47] sono le trasformazioni di Lorentz. Esse fu rono ricav ate da Einstein a
partire dai due postulati discussi nel § 2.3, come abbiamo fatto noi .
9
Poincaré diede loro
il nome di «trasformazioni di Lorentz» perché il fi sico olandese Hendrik Lorentz le ave­
va introdotte in un suo lavoro del 1904, in cui mostrava che le [2.44 -2 .47], combinate
con opportune trasformazioni dei campi, lasciano invariate le equazioni di Maxwell. 10
Scritte nella fo rma
x'=
x - (�)et
[2.48]
g;·1-
y'=y,
[2.49]
z'=Z,
(2.50]
et' =
et - (�)x
[2.5 1]
H'
V
2
le trasformazioni di Lorentz esibiscono una simmetria in x e et, che avremo modo di
apprezzare meglio nel § 5.6.
Le trasformazioni inverse, da ;J{ ' a :J{ , si ottengono dalle [2.44-2 .47] scambiando
(x, y, z, t) con (x' , y ', z', t') e invertendo il segno della velocità. Si ha così
x'+vt'
[2.52]
x=
H'
V
2
y=y',
[2.53]
z=z',
[2.54]
vx'
t'+-,-
e
[2.55]
t=
g;·1-
9 C i sono molte derivazioni alternative delle trasformazioni di Lorentz. Alcune di esse sono discusse
nel § 2. 11.2 e nei problemi . Altre sono presentate nel libro di G. Stephenson e C . W. Kilmister, Special Re­
larivity .for Physicis ts, Dover, New York 1987. Per ulteriori riferi menti bibliografici si veda l'articolo di
J. - M . Lévy-Leblond, in «Am. J. Phys.», 44, 1976, p. 271.
10
L'articolo di Lorentz è ri stampato in Lorentz, Einstei n, Minkowski e Weyl, The Principle o.f Relari­
viry cit., pp. 11- 34. Sul ruolo di Lorentz e Poincaré nella genesi della re latività si veda G. Holton, in «Am.
J. Phys.», 28, 196� p. 627 .

2.6 I Le trasformazioni di Lorentz
41
Le [2.44 -2.47) sono trasformazioni di Lorentz particolari, tra due sistemi di riferi­
mento con gli assi paralleli e in moto relativo lungo uno di questi assi (nel caso in
questione, l'asse x). Una trasform azione di Lorentz tra sistemi di riferimento con gli
assi paralleli è detta trasformazione di velocità , o, con un termine inglese che adotte­
remo sistematicamente, boost. Le trasformazioni di Lorentz più generali saranno di­
scusse alla fi ne del paragrafo.
Un boost lungo y (cioè tra due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme con
velocità v diretta lungo l'asse y) è rappresentato da relazioni simili alle [2.44 -2 .47),
macon il ruolodi x, x' e y,y ' scambiato:
x' =x,
,_
y-vt
y-p;2·
l-­
c2
z'=z,
vy
t-7
t'=
V
2
p;.
Le leggi di trasformazione per un boost lungo z si indovinano fac ilmente .
[2.56)
[2.57)
[2.58]
[2.59)
Analizziamo ora alcune proprietà delle trasformazioni di Lorentz. Innanzi tutto, le
due principali diffe renze delle [2.44-2.47) rispetto alle trasformazioni di Galilei [ 1.28)
sono :
• la dipendenza del tempo dal sistema di riferimento (t' =I= t) ;
• la presenza del fattore lorentziano
v-
y(v)= g;
·
',
i---
-o
e
[2.60)
che contiene la velocità del la luce nel vuoto e, una costante universale dimensionale
(nessuna costante fo ndamentale compare invece nelle trasformazioni di Galilei).
Il fattore y è rappresentato in fi gura 2.6 in fu nzione del parametro {3, definito come
V
{3= -.
e
[2.61)
Si osservi che la curva è abbastanza piatta fino a {3-0.6 (y = 1.25 per {3 = 0.6) e cresce
rapidamente per {3 > 0.9. Il parametro {3 misura gli effetti relativistici: quanto più {3 è vi­
cino a I, tanto più questi effetti sono importanti . Un effetto del p rimo ordine è propor­
zionale a {3, cioè a vie ; un effetto del secondo ordine è proporzionale a {32 , cioè a (v/c)2 .
Affinché le trasformazioni di Lorentz abbiano senso, è necessario che v sia sempre
più piccola di c. In caso contrario, infatti, y diventerebbe immaginario . Inoltre, le
[2.44-2 .47) sono singolari per v --7 c. La velocità della luce nel vuoto è dunque una
velocità limite : la velocità re lativa tra due sistemi inerziali non può superare c .

42
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
y
5
o
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 2.6
f3
Il fattore lorentziano yin fu nzione di f3.
Se la velocità della luce fo sse infi nita le trasformazioni di Lorentz si ridurrebbero
alle trasformazioni di Galilei. Infatti , per e � oo (il cosiddetto limite newton ian o, o
galileiano) si ha y � 1 e le [2.44-2 .47] diventano rispettivamente x' = x - vt et'=t.
Va sottolineato che il vero limite newtoniano è, in generale, e�oo, e non semplice­
mente v << c. Se ci limitiamo infatti a richiedere v << e, la trasformazione relativistica
del tempo [2.47] non si riduce necessariamente a t' = t , dal momento che x può essere
arbitrariamente grande e non è quindi detto che si abbia vxlc 2 << t (un limite di basse
velocità, ma non galileiano, delle trasformazioni di Lorentz è discusso nel § 2. 11. 4) .
Faremo ora cadere le ipotesi semplificatrici alla base della derivazione delle [2.44 -
2.47], cioè 1) l'ipotesi che il moto relativo dei due sistemi di riferimento avvenga
lungo uno degli assi cartesiani, 11) il parallelismo degli assi di 'J{ e 'J{ '.
Supponi amo che 'J{ ' e 'J{ abbiano ancora gli assi paralleli, ma siano in moto l'uno
rispetto all' altro lungo una direzione qualunque. Sia v la loro velocità relativa. Scom­
poniamo x = (x, y, z) in un vettore x11 parallelo aveun vettore X_1_ perpendicolare a v,
x=x11 +x_1_.
[2.62]
Si ha, per definizione,
[2.63]
È evidente che la trasformazione di Lorentz per x11, che è la componente del vettore
posizione lungo la direzione del moto relativo di 'J{ e 'J{ ', sarà analoga alla [2.44] , cioè
alla trasformazione della x per un boost lungo l'asse x,
xli= y(x11-vt).
[2.64]
La trasformazione di Lorentz per x_1_ è analoga alle [2.45-2 .46] :
X�=X_1_.
[2.65]
Infine, per t vale la [2.47], con v · x al posto di vx,
(v·x)
t' =y t-7
.
[2.66]

2.6 I Le trasformazioni di Lorentz
43
È immediato verificare che le [2.64-2.66] si riducono alle [2.44-2 .47] nel caso in cui v
sia diretta lungo l'asse x.
Sommando membro a membro la [2.64] e la [2.65], e usando la [2.63], si ottiene
XI =XI11+X�=yx11-yvt+XJ_=(r-1)X11+X-yvt=
da cui
x·v v
= (y- 1)---+x- yvt,
VV
[ V·x
]
X1 =X+ (y-1)V-yt V,
[2.67]
[2.68]
che è la trasformazione di Lorentz del vettore posizione x per un boost lungo una dire­
zione arbitraria. Questo è il boost più generale, cioè la più generale trasformazione di
Lore ntz tra sistemi di riferimento inerziali con gli assi paralleli (nel seguito, indiche­
remo con B(v) un boost di velocità v).
Facendo cadere l'ipotesi di parallelismo degli assi si ottengono le p iù generali tra ­
sformazioni di Lo rentz omogenee, che combinano un boost del tipo [2.68] e una rota­
zione, rappresentata da una matrice ortogonale R(0) (il modulo di O è l'angolo di ro­
tazione, mentre il versore associato a O individua l'asse di rotazione, vedi § 5.1). La
loro forma è
[ v·R(O)x
J
x' = R(O)x+ (y-1) v
2
-
yt v,
,_
(v·R(O)x)
t-rt-
c
2
.
[2.69]
[2.70]
Qui abbiamo effettuato prima la rotazione R(O), poi il boost B(v). Avremmo potuto
ottenere la stessa trasformazione di Lorentz invertendo l'ordine delle operazioni, cioè
effettuando prima un boost B(v') e poi una rotazione R(O'). Si noti che, in generale,
v' *veO' * O.
Infine, se non imponiamo che i due sistemi di riferimento 'J{ e 'X ' abbiano le origini
coincidenti nel!'istante t = t' = O, otteniamo le più generali trasformazioni di Lorentz
non omogenee, 11 che incorporano una traslazione spaziale e una traslazione temporale,
e sono
[ v·R(O)x ]
x' = R(O)x+ (y-1) v
2
-
yt v+x0 ,
[2.7 1]
( v·R(O)x )
t'=rt--
-
c
-
2- +to,
[2.72]
con x 0 e t0 costanti . Torneremo sulla classificazione delle trasformazioni di Lorentz
nel § 5.6.
11
Le trasformazioni di Lorentz non omogenee sono dette anche trasformazioni di Poincaré.

44
Le basi della relatività speciale \ Cap. 2
2. 7 . La relatività della simultaneità
La relatività della simultaneità (cioè il fatto che se due eventi sono simultanei in un
certo sistema di riferimento inerziale, in generale non sono più tal i in un al tro sistema
inerziale in moto rispetto al primo) è una conseguenza immediata delle trasformazioni
di Lorentz .
Supponiamo che due eventi A e B siano simultanei nel sistema 'X. Avremo perciò
eventoA: (xA, YA• ZA, t),
evento B: (x8, y8, Zn, t),
[2.73]
[2.74]
con tA = t8 = t. In un altro sistema inerziale �{ ' in moto rispetto a�[ con velocità v di­
retta lungo x le coordinate temporali dei due eventi saranno, secondo la [2.47],
t� = r(r-;2 xA),
[2.75]
fÉJ=r(t-;2Xs).
[2.76]
In �[ ' gli eventi A e B sono quindi separati da un interval lo temporale
[2.77]
che in generale non è nullo. I due eventi, simultanei in �[ , non sono simultanei in �{'.
La relatività della simultaneità, come abbiamo già detto , fu uno degli aspetti più
sorprendenti e più difficili da accettare della teoria di Einstein nei primi anni di diffu ­
sione di questa teoria.
Si noti che, nonostante sia proporzionale a vie, l'intervallo temporale l:
:i.t
' misurato
in �{ ' può essere quantitati vamente apprezzabile anche per basse velocità, purché la
distanza xA - x8 tra gli eventi sia grande.
Osserviamo infine che, se due eventi coincidono in un dato sistema di riferimento
inerziale (se cioè si ha xA = x8, YA = y8, ZA = z8, tA = t8), essi coincidono in qualunque
altro sistema di riferimento inerziale. Infatti, ponendo xA = x8 nella [2. 77], si trova
t�= t8,e dalle[2.44-2.47]siricavax� = x8,y�=yÉJez�= z8.
2.8 . Successione temporale degli eventi
Consideriamo ora, in un certo sistema di riferi mento inerziale �[, due eventi A e B
connessi causa/mente (cioè tali che l'uno possa essere «causa» dell'altro). Sia, ad
esempio, A l'emissione di un segnale dal punto (xA , YA · ZA ) al tempo tA e B l' arrivo del
segnale in (x8 , y 8 , z 8 ) al tempo t8 (un altro esempio di eventi connessi causalmente è
rappresentato dal passaggio di una particella in (xA , YA · zA ) al tempo tA e in (x8 , y8 , z8 )

2 . 9 I Classificazione degli intervalli
45
al tempo t8). Per semplicità supporremo che il segnale viaggi lungo l'asse delle x: sarà
quindi YA = y 8 =Oe ZA = z 8 =O. Se la velocità u del segnale è costante, avremo
Xs-XA=u(ts-tA).
Ovviamente, levento B si verifica dopo l'evento A, cioè
tlt'=t8-tA>O.
[2.78]
[2.79]
Vediamo come appare la situazione in un altro sistema di riferimento inerziale :J{ ', in
moto rispetto a :il con velocità costante v diretta lungo x. Applicando la [2.47] si trova
M' =t�-t�=r[Cts-tA)-;2(Xs-xA)J
[2.80]
e, sostituendo in questa relazione la [2.78],
M'= r(1-��)M.
[2.81]
Se la velocità del segnale e quella relativa di :il e :il ' sono minori della velocità della
luce, la quantità tra parentesi tonde è positiva e tlt' ha lo stesso segno di M, cioè la
successione temporale degli eventi A e B è preservata: A precede B anche in :J{ '.
Se invece u fo sse maggiore di c , potremmo trovare un sistema di riferimento iner­
ziale in cui l'ordinamento temporale degli eventi A e B è invertito. In questò sistema
di riferimento l'effetto precederebbe la causa. Concludiamo quindi che, affinché la
causalità non sia violata, la velocità di un segnale o di una particella deve essere sem­
pre minore o uguale a c. Ancora una volta, si vede che c è la velocità limite dei segnali
e dei corpi materiali. 1 2
2.9. Classificazione degli intervalli
Dati due eventi (xA , YA · ZA, tA) e (x8, y8, z8, t8), separati dall'intervallo tls2 =
= c 2 tlt2 - tlx 2 , si ha la seguente classificazione:
•
se tls2 >O, lin tervallo è detto di tipo tempo;
• se !ls2 <O, l'intervallo è detto di tipo spazio;
• se tls2 = O, l'intervallo è detto di tipo luce.
Dal momento che gli intervalli sono invarianti , anche la loro classificazione è in­
variante : se l'intervallo tra due eventi in un dato sistema inerziale è di un certo tipo
(tempo , spazio, o luce) , esso sarà ancora dello stesso tipo in un altro sistema inerziale.
Studiamo ora alcuni casi particolari .
12
In linea di principio, la relatività non proibisce l'esistenza di particelle con velocità superluminali (i co­
siddetti tachioni, vedi § 4. 14.5). Queste particelle, se esistessero, non potrebbero essere decelerate fi no a una
velocità uguale o inferiore a c. In questo caso e è una vel ocità limite che non può essere oltrepassata dall'alto.

46
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
Se due eventi distinti sono simultanei, il loro interval lo è di tipo spazio: M = O im­
plica infatti lls2 <O. Viceversa, se due eventi sono separati da un intervallo di tipo
spazio, esiste sicuramente un sistema di riferimento inerziale in cui essi sono simulta­
nei . Per dimostrare questa asserzione consideriamo, in un sistema di riferimento iner­
ziale 'Jl, due eventi, situati per semplicità sull'asse x: (xA , O, O, tA) e (x8, O, O, t8). Il loro
intervallo, che supporremo essere di tipo spazio, è !l s 2 = c 2 llt2 - !lx 2 <O. Si ha quindi
lllxl> clMI.
Effettuando una trasformazione di Lorentz lungo l'asse x, troveremo
e imponendo che in :f{ ' l'intervallo temporale sia nullo, M' = O, dovrà aversi
V
M-2llx=O
c
'
da cuisi ricavail valorediIf3I=IvieI,
1(31=�
I!lxi
.
[2.82)
[2.83)
[2.84)
[2.85)
In virtù della [2.82) si ha I f3 I < I, e il boost considerato è dunque possibile. Mediante
questo boost si passa a un nuovo sistema di riferimento nel quale i due eventi , separati
da un interv allo di tipo spazio, sono simultanei .
Se due eventi avvengono nello stesso punto dello spazio il loro intervallo è di tipo
tempo : si ha infatti !lx = O e quindi lls2 >O. Viceversa, se due eventi sono separati da
un intervallo di tipo tempo, è sempre possibile trov are un sistema di riferimento iner­
ziale in cui essi si verificano nello stesso punto (vedi Problemi).
Due eventi che consistono nell' emissione di un segnale luminoso in un certo punto
dello spazio e nell' arrivo di questo segnale in un altro punto sono separati da un inter­
vallo di tipo luce: I !ix I = cllt implica lls2 = O.
Notiamo infi ne che due eventi connessi causalmente sono separati da un intervallo
di tipo tempo o di tipo luce : poiché I !'lx I = utlt, dove u, la velocità del segnale che
connette i due eventi, è minore o uguale a e, si ha lls2 = (c2 - v2)(llt)2 �O(vale il
segno di uguaglianza, cioè l'in tervallo è di tipo luce, se i due eventi sono connessi da
un segnale luminoso) .
La meccanica quantistica prevede che ci sia una probabilità non nulla che due eventi connessi
causalmente - ad esempio, l'emissione di una particella a nel punto xA all 'is tante /A e l' assorbi­
mento della stessa particella nel punto x8 all 'istante 18 > IA in un certo sistema di riferimento
':/{ - siano separati da un intervallo di tipo sp azio, con
[2.86]

2. 10 I I diagrammi di Minkowski
47
dove m è la massa della particella eh è la costante ridotta di Planck. In base a quanto detto nel § 2.8 ,
è possibile, per un osservatore posto in un altro sistema di riferimento ':J{', che la particella a sia
assorbita in un istante t 8 che precede l'istante t� in cui essa è prodotta. L' unico modo per evita­
re questo paradosso è supporre che l'os serv atore in 'J{ ' veda in realtà una particella a emessa in
x 8 ali ' istante t8 e assorbita in x � al i'istante t� > t8. Questa particella, che sarà diversa da a,
dovrà avere la stessa massa della a (perché la massa è invariante), ma carica elettrica opposta
(per la con servazione della carica nei processi di emissione e di assorbimento). In generale,
quindi , a ogni particella occorre associ are un' altra particella di massa uguale e carica opposta,
la cosiddetta antiparticella . L ' esi stenza delle antiparticelle emerge come una necessità nel quadro
di una teoria che combini la meccanica quantistica con la relatività speciale (vedi § 4.8 e§4. 1 4 .4).
Questa teoria è la meccanica quantistica re lativistica , elaborata da Dirac negli anni trenta.
2.10. I diagrammi di Minkowski
Abbiamo vi sto che in relati vità il tempo non è un parametro indipendente dal siste­
ma di riferimento, bensì una coordinata che ha lo stesso status delle tre coordinate
spaziali. Gli eventi combinano istanti di tempo con punti dello spazio, e dunque le di­
mensioni spaziali non possono essere separate da quella temporale.
Possiamo rappresentare graficamente l'universo degli eventi associando agli assi
cartesiani x, y, z un quarto asse su cui misurare il tempo. Per facilitare la visualizza­
zione, considereremo un solo asse spaziale (quello delle x) . Questo spazio-tempo 1 + 1
dimensionale è rappresentato in fi gura 2.7. li piano (x, et) è chiamato diagramma di
Minkowski (o, talvolta, cronotop o). Le coordinate x, et sono ovviamente relative a un
determinato sistema di riferi mento inerziale 'Jl. Un evento è un punto del piano (x, et),
mentre unfe nomeno fi sico , ad esempio il moto di una particella, è raffigurato in gene­
rale da una linea . Un' avvertenza: non c'è nulla di speciale nel fatto che gli assi x e et
in figura 2.7 (e abitualmente) siano ortogonali. Si tratta di una scelta di pura como­
dità: l'angolo tra gli assi è infatti arbitrario.
et
t=cost. ----
-----
-
o
Figura 2.7
'(}'
�·
A
- ---"1
x= et
--------1----------..
..
_-------
'
'
'
'
'
'
'
'
'
x= cost.
X
Un diagram ma di Minkowski.

48
Le basi della relatività speciale I Cap . 2
L'origine O del cronotopo rappresenta qualcosa che avviene al tempo t =O nel
punto di coordinata x =O. Il punto A in fi gura 2.7 è l'evento (xA , tA ). La successione
degli eventi che riguardano una particella in moto è rappresentata da una curva, detta
linea di universo della particella. In ogni punto di questa linea la tangente forma con
l'asse e t un angolo minore di 45°. Si ha infatti
dx
V
tan 8=
d(ct)
=
-;:
:-
<I.
[2.87]
La linea di universo di un raggio di luce emesso dall'origine ha equazione x = e t, ed è
dunque la bisettrice degli assi .
Una retta parallela all ' asse x (descritta da un'equazione del tipo t=cost.) è una
linea di simultaneità: essa collega eventi che avvengono nello ste sso istante di tempo .
Una retta parallela all ' asse e t (descritta da un'equazione del tipo x = cost.) è la linea
di universo di una particella fe rma in un dato punto. In parti colare, l'asse x è l'insieme
di tutti gli eventi che avvengono a t =O. L' asse e t, invece, è la linea di universo di una
particella fi ssa in x =O.
Si osservi ora la figura 2.8 . Gli eventi che giacciono nel quadrante superiore com­
preso tra le due bisettrici (c2 t 2 - x 2 >O con t > 0) possono essere raggiunti da un se­
gnale inviato dall' origine. Essi rappresentano il fu turo assoluto di O. Al di fu ori di
questo quadrante - che nel caso in cui si consideri più di una dimensione spaziale è un
cono o un ipercono, e per questo è detto cono delfu turo - non vi è alcun evento fu turo
(collocato cioè nel semipiano t >O) che sia accessibile a O. Per quanto visto nei §§ 2.8
e 2.9, gli eventi appartenenti al cono del fu turo di O sono successivi a O in tutti i siste­
mi di riferimento (ecco perché si parla di fu turo «assoluto»). Gli eventi che giacciono
nel quadrante infe riore compreso tra le due bi settrici (c2 t 2 - x 2 >O con t <O) sono
eventi del passato connessi causalmente con l'origine (possono cioè avere influenzato
l'evento O mediante l'invio di un segnale o attraverso un 'interazione). Essi rappre-
et
FUTURO
ASSOLUTO
w
-o
I-
:o
z
m
--
--<
�>-
--
-�-
--
--
-<
� >---
x
�
w
z
a:
-i
c.
.
m
PASSATO
ASSOLUTO
Figura 2.8
Passato assoluto, futuro assoluto e pre­
sente (o altrove assoluto) di O. La curva
rappresenta la linea di universo di una par­
ticella che al tempo t =Osi trova in x =O.

2. 10 I I diagrammi di Minkowski
49
sentano il passato assoluto di O, e il quadrante corri spondente è detto cono del passato .
Dunque, la linea di universo di una particella che al tempo t =O si trovi in x =Odeve
giacere interamente nei due coni accessibili a O. Gli eventi posti sulle due bisettrici
(cioè sui cosiddetti coni-luce) sono eventi fu turi (per t > 0) o passati (per t < 0) con­
nessi all'origine da segnali luminosi (o da interazioni che si propagano con la velocità
della luce). Infine, gli eventi posti al di fu ori dei due coni del fu turo e del passato (cioè
gli eventi per cui si ha c 2t 2 - x 2 < 0) sono separati dall'origine da intervalli di tipo
spazio: come spiegato nel § 2.9, è sempre possibile trovare dei sistemi di riferimento
inerziali in cui essi sono simultanei all'evento origine. La regione tra i due coni-luce
rappresenta quindi il p resente di O (e anche I ' altrove assoluto di O, perché in nessun
sistema di riferimento un evento app artenente a questa regione e l'evento O possono
verificarsi nello stesso punto).
L'esistenza di una velocità limite fa sì che, in relatività, il passato e il futuro di O
siano ri stretti ri spetto al caso non relativistico, in cui non vi è alcun limite alla velo­
cità dei segnali e dunque il passato e il fu turo sono, rispettivamente, i semipiani t <O
et> O. In sintesi, la situazione è la seguente
!Futuro: lctl>lxl,t>O
Relatività Presente: I cl I <IxI
Passato: J ctl >lxl,t<O
[2.88]
da confrontare con
!Futuro:
Fisica newton iana Presente :
Passato :
t>O
t=o
t<O.
[2.89]
Conviene precisare che il discorso fi n qui svolto per l'origine O vale in realtà per tutti
gli eventi . A ognuno di essi sono associati un cono del fu turo e un cono del passato,
come si vede in fi gura 2.9.
et
X
Figura 2.9
La linea di universo di una particella con i coni-luce
associati a tre suoi eventi .

50
et
o
Figura 2.10
A
-------�
-
-_
-
_
-
..
.
---
-
7
'
'
'
'
'
'
'
'
'
X
Le basi della relatività speciale I Cap . 2
Diagramma di Minkowski per due sistemi di riferimento inerziali in moto relativo uniforme .
Supponiamo ora di considerare un altro sistema di riferimento inerziale 'J{' , in moto
rettilineo uniforme rispetto a 'J{ con velocità v diretta lungo l'asse x. In base alle tra­
sformazioni di Lorentz da 'J{ a 'J{', che riscriviamo nella fo rma (come al solito /3 = vie)
,
X-f3et
X=
V1-/32 '
,
et-f3x
et=�,
[2.90]
l'asse x' (che corrisponde a t' =O) ha equazione et = f3x nel piano (x, et), ed è quindi
una retta che fo rma con l'asse x un angolo cp = tan - 1 /3. Analogamente, l'asse et' (che
corrisponde a x' =O) ha equazione x = f3et nel piano (x, et) ed è una retta che fo rma
con l'asse et lo stesso angolo c/J. La situazione è rappresentata in fi gura 2. 10. Il fatto
che gli assi x e et siano ortogonali, e conseguentemente non lo si ano gli assi x' e et' ,
corrisponde a una scelta arbitraria: i due sistemi di riferi mento sono del tutto equiva­
lenti e nessuno di essi è in qualche modo privilegiato . Un evento A che nel piano (x, et)
-
cioè in 'J{ - ha coordinate (xA , etA), nel piano (x', et' ) - cioè in 'J{' - avrà coordinate
(x�, et�), che determiniamo geometricamente tracciando le parallele agli assi x' e et ',
come mostrato in figura 2. 10. È importante osservare che le scale sui due sistemi di
assi sono diverse. Ricordiamo infatti che deve essere
x2-(et)2=x'2
-
( et')2 .
[2. 91]
Dunque l'iperbole di equazione x 2 - ( et) 2 = 1, che intersec�asse x nel punto x =I,
intersecherà l'asse x' nel punto x
'
= 1 (fig. 2.1 1). I segmenti OM e OM' ,pur apparendo
di lunghezza diversa se confrontati usando la stessa unità di misura ( OM = 1, OM ' =
=
Y(I + /3 2)/( 1 - /32)), sono inrealtà di lunghezza uguale e unitaria se rapportati cor­
rettamente alle rispettive unità di misura. Un di scorso analogo riguarda gli assi et
e et'.

2. 10 I I diagrammi di Minkowski
51
Come esempio di applicazione dei diagrammi di Minkowski, verifichiamo la relati ­
vità della simultaneità di due eventi . Facendo riferimento alla figura 2. 12, si vede subi­
to che due eventiA e B, simultanei in'J{(tali cioè che tA = t8), non lo sonopiùin'J{'.
Essi hanno infatti coordinate temporali diverse rispetto ali'asse et'. Analogamente,
due eventi CeD, simultanei in 'J{ ', dove té = th, non sono tali in 'J{ , dove te i= t 0.
et
( ct) 2-x2 =1
o
M
X
x2-(ct)2=1
Figura 2. 11
Le iperboli che' individuano segmenti unitari sugli assi dei due sistemi di riferimento.
et
o
ct0
-------------:.�•
etc
e-------
B
x'
o
X
Figura 2.12
Due eventi A e B simultanei in ':/( non sono tali in X'. .Reciproc amente, due eventi CeD simultanei
in':/(' non sonotaliinX.

52
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
L'uso dei diagrammi di Minkowski verrà ulteriormente illustrato nel prossimo ca­
pitolo, dove vedremo che essi permettono di derivare in modo geometrico alcune im­
portanti conseguenze delle trasformazioni di Lorentz.
2.11 . Complementi
2. I I .I . L'esp erimento di Miche/son e Morley
Nella prospettiva dell 'elettromagnetismo prerelativistico, e è la velocità della luce
risp etto all 'etere. Un osserv atore in movimento attraverso l'etere dovrebbe dunque
misurare una velocità diversa e '
. Se v è la velocità dell 'os servatore rispetto ali'etere,
secondo la legge galileiana di addizione delle velocità dovremmo avere
e'
=e::!=v.
[2.92]
Gli esperimenti di Michelson (1881) e Michelson e Morley (1887) furono progettati
allo scopo di verificare la [2.92], cioè di mettere in evidenza un eventuale moto del si­
stema del laboratorio (ossia della Terra) rispetto ali'etere . È probabile che questi espe­
rimenti non abbiano svolto alcun ruolo nella nascita della teoria einsteiniana. Cionon­
dimeno, essi ebbero una notevole risonanza nella comunità scientifica e, benché il loro
valore sia ormai soltanto storico, vale la pena proporne qui una breve descrizione. 13
Cominciamo col valutare l' accuratezza richiesta a un esperimento che voglia evi­
denziare il «vento d' etere». Se prendiamo come stima dell' ordine di grandezza di v la
velocità orbitale della Terra rispetto al Sole, allora vie - 10- 4
. In realtà, ci possono
essere altri effetti dell' ordine di vie (attribuibili a un ipotetico parziale trascinamento
della luce da parte di un mezzo in movimento, vedi § 3.8. l) che fan no sì che e ' diffe­
risca da c. Dunque, per verificare in maniera non ambigua l'ipotesi e ' = e, o e ' * e,
occorre essere in grado di rivelare correzioni del secondo ordine in vie, cioè correzioni
- (vlc)2 - 10-8
. Effe tti di tale entità possono essere evidenziati solamente ricorrendo
a fe nomeni di interferenza , che permettono di convertire differenze di velocità anche
molto piccole in sfasamenti apprezzabili. Fu questa la strategia sperimentale adottata
da Michelson e Morley.
Lo schema del loro esperimento è mostrato in fi gura 2. 13. L' apparato (linterfe ro ­
metro di Michelson -Morley) è solidale con la Terra, che supponiamo si muova rispet­
to all' etere con velocità v.
Un fascio di luce emesso dalla sorgente S viene decomposto in due fa sci perpendi­
colari da uno specchio semitrasparente M inclinato di 45° rispetto alla direzione della
luce. Il fascio l trasmesso da M si dirige verso lo specchio R 1 , viene riflesso da questo
13 L'esperimento di Michelson-Morley è stato ripetuto più volte, con precisione crescente. Si veda, ad
esempio, R. S . Shankland e altri, in «Rev. Mod. Phys.», 27, 1955, p. 167; R. S . Shankland, in «Am. J . Phys .»,
32, 1964, p. 16. Tra le misure più recenti, A. Brillet e J. L. Hall, in «Phys. Rev. Lett.», 42, 1979, p. 549.

2. 11 I Complementi
53
--- R2
V
--
-
2
2
*
l/M
I
s
/
IR,
2
=
';:
:
e
Figura 2.13
Schema de ll'esperimento di Michelson e Morley.
all'indietro verso lo specchio M, che lo riflette ancora verso il cannocchiale C. Il fa­
scio 2 riflesso da M si dirige verso lo specchio R 2 , viene riflesso da questo all'in dietro
verso M, che lo trasmette al cannocchiale C.
Calcoliamo ora la differenza di fa se tra i due fa sci, supponendo che la direzione del
moto del laboratorio rispetto al i'etere sia quella indicata in fi gura e usando la mecca­
nica newtoniana.
Rispetto al laboratorio il fa scio I ha velocità e+v tra MeR 1, e velocità e - v tra
R1
eM.SeL
1
è il suo cammino, il tempo di percorrenza è
T=_!:
:_i_
+_!:
:_i_
=
2LI (_1_2)
.
1
c+v c-v
e
1_..'.:'._
c
2
[2.93]
Il cammino del fa scio 2 visto nel sistema di riferimento dell'etere è rappresentato
in fi gura 2. 14. Il tempo di percorrenza t2 è legato a L2, la lunghezza del braccio del­
!'interferometro , dalla relazione
[2.94]

54
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
Figura 2.14
Il percorso del fascio 2 visto nel sistema di riferi mento dell'etere.
da cui
T_2L
2
2-
e
-
J-==v
=
2
=.
La differenza tra T
2
eT1è
[2.95]
[2.96]
I diversi tempi impiegati dai due fa sci nel percorrere i loro rispettivi cammini provo­
cano una figura di interferenza che viene osservata dal cannocchiale C.
Se ora l'interferometro viene ruotato di 90°, si trova, mutatis mutandis, che la dif­
fe renza tra i tempi di percorrenza dei due fa sci è
[2.97]
Poiché !:iT' è diverso da !:iT, la rotazione dell' apparato dovrebbe dar luogo a uno spo­
stamento delle frange di interferenza. In particolare si ha
[2.98]

2. 11 I Complementi
55
ossia, sviluppando in potenze di vie e trascurando termini di ordine superiore al secondo,
D.T' -D.T=(L1 +L2)!t_.
[2.99]
e
c2
Lo spostamento delle frange dovrebbe dunque essere ( v = clÀ è la frequenza della luce)
D.n= v(D.T' _ D.T)=
L1;L2 ��.
[2. 100]
ConÀ=5.5X10-7 m,vie=10-4eL1 =L2= 11m(lalunghezzadeibraccidell'in­
terferometro originale), si trova D.n = 0.4 .
Il ri sultato dell' esperimento di Michelson e Morley è noto : non fu osservato alcuno
spostamento di frange. Il «vento d' etere» non dava segni d'esistenza. Alla luce della
teori a einsteiniana la scoperta di Michelson e Morley si spiega facilmente : la velocità
della luce è la stessa in ogni direzione e in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Non
c'è d' attendersi dunque alcuno sfasamento tra i due fasci.
In senso stretto, ciò che si può inferire dall'esito degli esperimenti di tipo Michelson­
Morley (MM) è che:
[MM] La velocità della luce lungo percorsi di andata e ritorno è la stessa in tutte le di­
rezioni.
In un' altra importante classe di esperimenti - il primo dei quali fu effettuato da
Kennedy e Thorndike
1 4 (KT) - vengono utilizzati interferometri con bracci disuguali.
Questi esperimenti permettono di concludere che:
[ KT] La velocità della luce lungo percorsi di andata e ritorno in un dato sistema iner­
ziale non dipende dalla velocità di questo sistema rispetto ad altri sistemi inerziali (e,
in particolare, rispetto a un ipotetico sistema di riferimento privilegiato, quale sarebbe
l'etere).
Come ha mostrato Robertson,
1 5 è possibile deri vare le trasformazioni di Lorentz
per via empirica, usando, invece che i due postulati del § 2.3, i risultati dell'esperi­
mento di Michelson e Morley, di quello di Kennedy e Thorndike, l'effetto Doppler
trasverso (§ 3.7), e la procedura di sincronizzazione di Einstein.
Concludiamo il paragrafo fac endo notare che le misure interferometriche, sia di
tipo MM che di tipo KT, danno informazioni sulla velocità della luce lungo percorsi
di andata e ritorno. La velocità della luce lungo percorsi di sola andata non è in linea di
principio misurabile. Il motivo è che per misurarla avremmo bisogno di due orologi
sincronizzati posti in punti diversi: ma la procedura di sincronizzazione, come abbia­
mo visto nel § 2.2, comporta delle assunzioni sulla velocità della luce, e si cade quindi
in un circolo vizioso. 1 6 È possibile però controllare empiricamente se la velocità della
luce di sola andata è isotropa, cioè non dipende dalla direzione di propagazione del
14
R.J. Kennedy e E. M. Thorndike, in «Phys. Rev.», 42, 1932, p. 400.
15 H. P. Robertson, in «Rev. Mod. Phys.», 21, 1949, p. 378.
16
Per una discussione su questo punto, si veda S. Bergia e M. Yalleriani, in «Giornale di Fisica», 39,
1998, p. 199 .

56
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
segnale luminoso. Un test effettuato qualche anno fa 1 7 ha verificato questa isotropia
con la precisione di una parte su 107 .
2. 11.2 . Sulla de rivazione delle tra�formazioni di Lorentz
Come abbiamo accennato nel § 2.6, ci sono vari modi di derivare le trasformazioni
di Lorentz: essi differi scono per ciò che si postula in aggiunta al principio di relati­
vità. Si può, ad esempio, assumere che esista una velocità limite, o che le connessioni
causali tra eventi vengano preserv ate . In questi casi, l'indipendenza della velocità della
luce dal sistema di riferi mento (il tradizionale «Secondo postulato della relatività»)
diventa una conseguenza delle trasformazioni di Lorentz.
Illustreremo ora una di queste derivazioni alternative delle trasform azioni di Lo­
rentz. 18 Per comodità ricordiamo innanzi tutto il procedimento seguito nel § 2.6,
puntualizzando le assunzioni soggiacenti. L'isotropia dello spazio e le simmetrie del
problema conducono alle relazioni [2.24], che riscriviamo :
y' = E(v)y,
[2. 101]
lx' = A(v)(x - vt),
z' = E(v)z,
t' = C(v)t + D(v)x.
Le trasformazioni di Lorentz seguono poi dall'invarianza dell'in tervallo tra due eventi ,
che è conseguenza del principio di relatività e del postulato di costanza della velocità
della luce.
È possibile mostrare 19 che, sfruttando fi no in fo ndo l'isotropia dello spazio e il
principio di relatività (cioè l'equivalenza di tutti i sistemi inerziali), si ottiene un in­
sieme di relazioni più specifiche delle [2. 1 O I]:
lx' = A(v)(x - vt),
y' =y,
[2. 102]
z'=Z,
t' = A(v)t-v -1(A(v)-A-1(v))x,
dove A(v) è una fu nzione pari di v. Se, a questo punto, si impone che esista una velo­
cità invariante e , la fu nzione A(v) è univocamente determinata e risulta essere proprio
il fattore lorentziano (il lettore è invitato a derivare questo risultato nei Problemi).
Noi seguiremo una strada diversa e, per certi aspetti , più istruttiva.
Riscriviamo le [2. 102] nella fo rma più comoda
lx' = A(v)(x - vt),
y'=y,
z'=z,
t' = A(v)(t - B(v)x),
17 T. P. Krisher e altri , in «Phys. Rev.», 042 , 1990, p. 73 1.
18 J. - M . Lévy-Leblond, in«Am. J .Phys.», 44, 1976,p.27 1.
[2. 103]
19 Si veda, ad esempio, J. Aharoni, The Special Theory of Relativity, Clarendon Press, Oxford 1965, pp. 6 sgg.

2. 11 I Complementi
57
con
[2. 104]
Imporremo che la composizione di due trasformazioni del tipo [2. 103] sia ancora una
trasformazione dello stesso tipo. Poiché le [2. 103] sono state derivate sulla base del
principio di relati vità, il quale implica che le trasformazioni inverse abbiano la stessa
forma delle [2. 103], imporre che l'insieme di queste trasformazioni sia chiuso rispetto
alla legge di composizione equivale a richiedere complessivamente che le trasforma­
zioni fra sistemi inerziali in moto l'uno rispetto all'altro lungo un dato asse costitui­
scano un g ruppo.
20
Le trasformazioni che fanno passare dalle coordinate (x ', y', z
'
, t') del sistema
inerziale ':J{' alle coordinate (x" , y " , z
"
, t " ) del sistema inerziale ':/{ " in moto con velocità
u rispetto a':/{' sono
x" = A(u)(x' - ut'),
y"=y',
[2. 105]
z"
==z
'
,
t" = A(u)(t' - B(u)x' ).
Combinando le [2. l 03] con le [2. 105] si trova, dopo qualche semplice pasaggio alge­
brico,
,,
(v+u)
x =A(v)A(u)(I+uB(v)) x-
1 + uB(v)
t,
(B(v)+B(u))
t" = A(v)A(u)(l + vB(u)) t -
1 + vB(u)
t.
Per la richiesta fa tta sopra, queste trasformazioni devono avere la fo rma
x" = A(w)(x- wt),
t" = A(w)(t - B(w)x),
[2. 106]
[2. 107]
[2. 108]
[2. 109]
dove w è un nuovo parametro dipendente da veu. Se confrontiamo le [2. 106, 2.107]
con le [2. 108, 2. 109], ri sulta che deve aversi
uB(v) = vB(u),
e quindi
B(v) = av,
con a costante . Inoltre, il parametro w è legato aveuda
v+u
w=
I+avu ·
[2. 110]
[2.111]
[2. 112]
20
Per la definizione di gruppo e alcune nozioni elementari di teoria dei gruppi, si veda l'Appendice B.

58
Usando la [2.111] nella [2. 104] si ottiene
1
A(v) =
.
Yl-av2
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
[2.1 13]
Larichiesta della struttura di gruppo per le trasformazioni fra sistemi inerziali con­
duce dunque a
x-vt
x' = --;===
Yl-av2'
y'
=y,
z'=Z,
,
t- avx
t = --;:===
YI- av2'
con a per ora arbitrario. Consideriamo tre casi, a seconda del segno di a.
1. a<O.
[2. 114]
[2.115]
[2. 116]
[2. 117]
Ponendo a= - 1 /K2 , dove il parametro K ha le dimensioni di una velocità, le
[2. 114, 2.1 17] assumono la fo rma
x'=
x-vt
M'i<2
[2. 118 ]
V
t'=
t+
K2x
p;·
i<2
[2. 119]
In questo caso non c'è alcuna velocità limite: le [2.118, 2. 1 19] sono regolari per
qualunque valore di v.
2.a=O.
Il tempo è assoluto e si ottengono le trasformazioni di Galilei
x' =x-vt,
t'=t.
3. a>O.
[2. 1 20]
[2. 121]
Ponendo a= l !vj, dove il parametro ve hale dimensioni di una velocità, le [2. 114,
2.1 17] diventano
x-vt
x'= --
--
Ri'
V
t-- x
vl
t' =-
=�=
g;·
[2. 1 22]
[2. 123]

2. 11 I Complementi
59
Queste trasformazioni sono singolari nel limite v � v e, e v e va interpretata quindi
come una velocità limite.
Se ipotizziamo che esista una velocità limite e che essa coincida con la velocità
della luce nel vuoto e, dobbiamo porre a = l lvl e ve=c. Le [2. 122, 2.123] diventano
così le trasformazioni di Lorentz.
La scelta a > O può discendere anche da un' altra considerazione. Se si richiede che
esista una classe di eventi la cui successione temporale sia preservata dalle trasforma­
zioni in oggetto (come è necessario, per non violare la causalità), allora si deve scar­
tare il caso a < O. Dalle [2. 118, 2. 1 19], infatti , si deduce la seguente relazione tra gli
intervalli temporali tlt e tlt'
V
M+7 tlx
tlt'=-
J
--,(2--,
[2. 124]
e, poiché la velocità non è limitata, è sempre possibile trovare un valore di v (e quindi
un sistema inerziale) tale che M' abbia segno diverso da M (cioè tale che la successione
temporale di due eventi si inverta) .
Il principio di causalità comporta quindi che le trasformazioni corrette siano le
[2. 122, 2.123], o le [2. 120, 2. 121] che corrispondono al caso limite v e�oo. Da un
punto di vista matematico, mentre le trasformazioni [2.118, 2. 1 19] formano un gruppo
compatto , isomorfo al gruppo delle rotazioni in due dimensioni (è facile verificare,
infatti, che le [2. 1 18, 2. 1 19] corri spondono a una rotazione nel piano (x, Kt) di un an­
golo 8 tale che tan 8 = v/ K), le [2. 122, 2.123] formano un gruppo non compatto .
La deri vazione delle trasformaz ioni di Lorentz che abbiamo appena presentato
enfatizza il fa tto che alla base di queste trasformazioni ci sono due ipotesi distinte:
1) esiste una velocità limite ve; 11) questa velocità coincide con la velocità della luce
nel vuoto e (cioè con il parametro che compare nelle equazioni di Maxwell). È possi­
bile, sulla base di misure ottiche o di dati astrofisici, porre limiti piuttosto stringenti
sulla differenza I 8 1 =Iv ele - 1 1-Una recente analisi2 1 dà
1s1�ux10-
1
5,
e mostra che l'uguaglianza tra ve e e è verificata con grande precisione.
2. 11.3. leggi di similitudine
Supponiamo di effettuare un cambiamento di scala (o trasformazione di similitudine)
delle coordinate spaziali e del tempo di un dato sistema di riferimento inerziale:22
x�Àx, t� T) t,
2 1 F. W. Stecker e S. L. Glashow, in «Astropart. Phys .», 16, 2001, p. 97.
[2. 125]
22 Per le considerazioni svolte in questo paragrafo, vedi C. Bernardini, Fisica e strumenti matematici,
Editori Riuniti, Roma 1979, pp. 107- 1 1.

60
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
con A. e TJ coefficienti arbitrari . Le coordinate spazio-temporali x' et' di un altro siste­
ma inerziale legato al primo da trasformazioni di Galilei
x' =x- vt, t' =t,
sono soggette a un identico cambiamento di scala,
x'�b',
t' � ryt',
se si suppone, come è ovvio, che la velocità v cambi nel seguente modo:
A.
v�- v.
T/
[2. 1 26]
[2. 127]
[2. 128]
Questa proprietà di similitudine delle trasformazioni di Galilei deriva essenzialmente
dal fatto che esse non contengono alcuna costante dimensionale.
La situazione è alquanto diversa nel caso delle trasform azioni di Lorentz,
v·x
x' =x+ [(y- 1)-2- - yt],
V
(v·x)
t'=yt-7
,
[2. 129]
a causa della presenza della costante dimensionale c. È fac ile verificare (e intuire) che
l'unica legge di similitudine ammessa dalle [2. 129] è la seguente : se
X�Ax, t�At,
allora
x'�b',
t' � A.t',
[2. 1 30]
[2. 131]
con lo stesso coefficiente di scala per le coordinate spaziali e per iltempo. Si noti che
le velocità rimangono invariate, il che garantisce che non superino c.
Quindi, mentre in meccanica newtoniana è possibile un' invarianza di scala rispetto
alle [2. 125], con A, e TJ diversi, in meccanica relativistica l'unica invarianza di scala
consentita è quella rispetto alle [2. 1 30], cioè a trasformazioni di similitudine con A.= TJ .
Consideriamo ad esempio il problema di Keplero. È noto (e fac ilmente verificabile)
che le equazioni di Newton di un corpo gravitante attorno a un centro di forza sono in­
varianti rispetto alle trasformazioni di scala [2. 125], purchè i coefficienti A. e T/ siano
legati dalla relazione A.
3
= T/ 2 . Da ciò deriva la terza legge di Keplero: i cubi degli assi
delle orbite planetarie sono proporzionali ai quadrati dei periodi . Per quanto detto so­
pra, questa legge non può valere (esattamente) nel caso rel ati vistico. Vedremo infatti
nei § § 4. 14 . l e 11.13 che le orbite dei sistemi di Keplero relativistici sono caratteriz­
zate da una precessione del pericentro , la cui velocità cambia per trasformazioni di
similitudine.

2.11 I Complementi
61
2. 11.4. Le trasformazioni di Ca rroll
Le trasformazioni di Lorentz di un intervallo spaziale Llx e di un intervallo tempo­
rale M sono, come sappiamo,
A1_
Llx-Vllt
tlX- r-v2,
�1-cz
M-.!
!_
Llx
c2
LltI =
_j__
_
V
_
2
_
•
Nel limite galileiano (o newtoniano) c --t oo esse si riducono a
Llx' =Llx-vllt,
L1t'=M.
[2. 1 32)
[2. 133]
[2. 1 34)
[2. 135)
Questo limite corrisponde a v << ceLlx<< cllt, cioè a basse velocità e grandi inter­
valli di tipo tempo.
Consideriamo ora un altro limite, quello di basse velocità e grandi intervalli di tipo
spazio. Se v << ceLlx >> c M, le [2. 132, 2. 133] diventano
Llx' = Llx,
V
M ' =M-2L1x.
c
Le corrispondenti trasformazioni delle coordinate spazio-temporali sono
{x' =x
t' = t-çx,
[2. 1 36)
[2. 1 37)
[2. 138]
dove abbiamo introdotto un parametro ç che ha le dimensioni dell'inverso di una ve­
locità. Le [2. 138) sono dette trasformazioni di Carroll23
e rappresentano un limite di
basse velocità, ma non galileiano, delle trasformazioni di Lorentz. Si noti la loro so­
miglianza formale con le trasformazioni di Galilei, rispetto alle quali i ruoli della
coordinata spaziale e del tempo sono scambiati . Il significato del parametro ç si chia­
risce come segue. Consideriamo, in un sistema di riferimento ':JC, una serie di eventi
che accadono nello stesso istante di tempo ma in punti diversi dello spazio. La ç risul­
ta essere allora la variazione spaziale del tempo associato a questi eventi in un altro
si stema di riferimento 'J{ ' legato a 'J{ dalle [2. 138).
23 J. -M . Lévy-Leblond, in «Ann. lnst. Henri Poincaré», 3, 1965, p. 1 . N. D. Sen Gupta, in «Nuovo Ci­
mento», 44A, 1966, p. 512. li nome di queste trasformazioni, coniato da Lévy-Leblond, rende omaggio a
Lewis Carroll, l'autore di Alice ne l Paese delle Mera viglie. Un universo che avesse il gruppo di trasforma­
zioni di Carroll come gruppo di invarianza sarebbe dominato -come il mondo di Alice -dalla relatività del
tempo e dall'assenza di causalità.

62
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
et
et
X
X
(a)
(b)
(e)
Figura 2.15
Coni-luce nel caso relativistico (a), nel limite galileiano (b) e nel limite carrolliano (e).
I due diversi limiti - galileiano e carrolliano - delle trasformazioni relativistiche
sono illustrati nei diagrammi di Minkowski di fi gura 2.15: nel limite galileiano i coni­
luce tendono a ridursi ali'asse x (di conseguenza, il fu turo e il passato dell'evento origi­
ne si estendono, rispettivamente, all'intero semipiano superiore e all'in tero semipiano
inferiore), mentre nel limite carrolliano i coni-luce si restringono ali' asse et (e l' altrove
dell'evento origine occupa l'intero piano).
Poiché le trasformazioni di Carroll si applicano a grandi intervalli di genere spa­
zio, e gli eventi separati da questi intervalli sono disconnessi causalmente, nel limite
carrolliano la causalità è violata. È infatti possibile, attraverso una trasformazione del
tipo [2. 138], modificare arbitrariamente l'intervallo temporale tra due eventi e, in
particolare, invertire il suo segno (tranne nel caso in cui � x = O).
Le trasformazioni di Carroll costituiscono un gruppo, il gruppo di Ca rroll, che si
ottiene - come il gruppo di Galilei (§ 5.12.5) - per contrazione del gruppo di Poincaré
(§ 5.1 1).
2. 1 1.5. Fisica e fi losofia: la realtà del fu turo
La teoria della relatività, come è facile immaginare vista la portata dei suoi risulta­
ti, ha dato luogo a un intenso dibattito non solo in campo scientifico (almeno per i
primi due decenni dalla sua formulazione, cioè fino a quando le verifiche sperimenta­
li progressivamente accumulatesi non hanno fugato ogni dubbio sulla sua validità),
ma anche in campo filosofico. Persino chi è più restio ad attribuire valenze fi losofiche
ai conseguimenti della scienza ha dovuto riconoscere che la discussione di alcuni im­
portanti problemi di tradizionale pertinenza della fi losofi a - probl emi legati ai con­
cetti di spazio, tempo, universo - non può prescindere dalla visione del mondo che la
teoria della relatività ci offre. Spetta ad autori come Reichenbach, Griinbaum, Putnam,
il merito di aver attribuito alla relatività il ruolo di riferimento imprescindibile nelle
riflessioni filosofiche sullo spazio e sul tempo.

2. 11 I Complementi
63
Per dare un esempio di come la teoria della relatività possa essere usata per chiarire
(o addirittura, secondo alcuni, risolvere) certi problemi di natura fi losofica, riassume­
remo in questo paragrafo un argomento di Hilary Putnam riguardante la realtà delfu­
turo.24 La questione è la seguente : gli eventifu turi possono essere considerati eventi
rea li? Putnam ritiene che la teoria della relatività dia una risposta precisa, e positiva,
a questa domanda. Vediamo come.
Innanzi tutto, quando dico che un evento è reale, intendo dire che esso è reale ri­
spetto a me-ora, cioè rispetto a un altro evento . La realtà di un evento è dunque un
concetto relazionale. Introduciamo allora una relazione binaria 8 tra coppie ordinate
di eventi, che chiameremo relazione di rea ltà . Dati due eventi A e B, se
A88
diremo che l'evento A è reale (ode terminato)25 ri spetto ali'evento B.
Per dimostrare che la relatività implica la realtà del fu turo sono necessarie due ipo­
tesi (alquanto ragionevoli):
I. Eventi simultanei (in un dato sistema di riferimento inerziale) sono reali l'uno ri­
spetto ali'altro,
AeBsimultanei �A8B.
2. 8 è transitiva: se A è reale rispetto a B, e B è reale rispetto a C, allora A è reale ri­
spetto a C,
A8B ,B8C �A8 C.
Sia O l'evento origine di un generico sistema di riferimento inerziale, e A un even­
to nel fu turo assoluto di O. Consideriamo un altro sistema di riferimento inerziale tale
che il suo evento origine O' giaccia nel piano di simultaneità di O, e A venga a trovar­
si nel piano di simultaneità di O' (fig. 2.16). La relatività speciale garantisce che è
sempre possibile costruire un sistema di riferimento siffa tto .
Per l'ipotesi 1 si ha
A 80'
e anche
0' 80.
In virtù della tran sitività di 8, ipotesi 2, risulta
A 80,
24 H. Putnam, Time and physical geome1ry, in «Journal of Philosophy», 44, 1967, p. 8; ora in id., Ma the­
matics, Matter and Method, Cambridge University Press, Cambridge (UK) 1979, pp. 198 sgg. Cfr. anche
M. Dorato, in «Rivista di Fi losofia», 85, 1994, p. 383.
25 Stiamo parlando qui di determinazione ontologica , non di determinazione fis ica : 8 insomma non è
una relazione di causalità.

64
Figura 2.16
Le basi della relatività speciale I Cap . 2
x'
X
Illustrazione dell'argomento di Putnam sulla realtà del fu turo: O' giace nel piano di simultaneità di O;
A giace nel cono del futuro di O e nel piano di simultaneità di O'.
cioè l'evento A è reale ri spetto a O. Dal momento cheA è un evento qualsiasi nel fu tu­
ro di O, si può concludere che tutti gli eventi nel futuro di O sono reali rispetto a O. E
poiché l'evento O è del tutto arbitrario, possiamo dire in assoluta generalità che tutti
gli eventi fu turi sono reali, cioè sono determinati tanto quanto gli eventi che apparten­
gono al presente e al passato . Si noti che nel caso non relati vistico la costruzione che
abb iamo appena discusso non è possibile: secondo la visione classica del mondo, il
fu turo è completamente indeterminato .
La conclusione che Putnam trae dalle sue argomentazioni è drastica. «Il problema
della realtà e della determinatezza degli eventi fu turi - scrive - è ora risolto . Inoltre, è
risolto dalla fi sica e non dalla filosofia [ ...] In effetti, non credo che ci sia più alcun
problemafilosofi co riguardo al Tempo ; rimane solo il problema fi sico di determinare
la geometria fi sica esatta del continuo quadridi mensionale in cui viviamo.»
Indipendentemente dall' ottimismo più o meno motivato di Putnam,26 quello che ci
preme sottolineare è che la relatività, oltre a prevedere tutta una serie di fe nomeni fi ­
sici suscettibili di verifica sperimentale (e ampiamente verificati), è in grado di dire la
sua anche in ambito fi losofic o: è, in altri termini, una prospettiva sul real e che non
può essere ignorata da chi, sul reale, voglia dire qualcosa di significativo.
Problemi
1. In versione delle trasformazioni di Lorentz
Si verifichi matematicamente, in modo esplicito, che le re lazioni inverse delle [2.44-2.47] si
otte ngono scambiando (x, y , z, t) con (x ', y
'
,z',t')evcon-v.
2. Forma di un oggetto
Un oggetto sferico di raggio R è a riposo nell' origine di un si stema di rife rimento inerziale 'J{'.
Rispetto a un altro sistema di riferimento inerziale 'J{ , i cui assi sono paralleli a quelli di 'J{ ' e la
26
Il dibattito sull'argomento, in realtà, è ancora vivo; vedi, ad esempio, M. Dorato, Futuro aperto e li­
bertà. Un 'introduzione allafi losofia del tempo, Laterza, Roma-Bari 1997, e M. Pauri, La descrizionefi sica
del mondo e la questione del divenire temporale, in Filosofia della fi sica , a cura di G. Boniolo, Bruno
Mondadori , Milano 1997, pp . 245 -333.

Problemi
65
cui origine coincide con quella di ']{' all' istante t = t' =O, l'oggetto è in moto con velocità co­
stante v diretta lungo x . Qual è la sua fo rma apparente (cioè la sua equazione geometrica) in 'X,
in un dato istante t?
3. Trasformazion i di Loren tz e di Galilei
Per quale velocità v la trasformazione di Lorentz [2.44] per x differi sce da quella di Galilei
dell' l%?
4. Rap idità di un boost
Riscri vere le trasformazioni di Lorentz in fu nzione del parametro
I I+f3
T/=tanh-1 [3=- ln--
2 I-[3'
detto rap idità .
5. Trasform azioni di Lorentz delle coordinate di un evento
Le coordinate di un evento A sono, in un sistema di riferimento inerziale 'J{,
xA=Im, tA=2ns,
e, in un altro sistema inerzi ale 'J{', in moto ri spetto a 'J{ lungo l'asse x = x',
x�=2m, t�=3ns.
Qual è la velocità re lativa dei due sistemi di riferimento?
6. Eq uazione delle onde e trasformazioni di Lorentz
Mostrare che l'equazione delle onde
v2-
__!_a1l/f
-
o
ljlc2a12-
è invariante rispetto alle trasform azioni di Lorentz (si supponga ljl ' (x ' , t') = ljl(X, t)).
7. Relatività della simultaneità (I)
Due eventi A e B, simultanei in un sistema di riferimento inerziale 'J{ , hanno coordinate
{A:
B:
xA =Im,
XB=3m,
tA =Ins
t8 =Ins.
Qual è l'intervallo temporale tra i due eventi in un sistema di riferimento inerziale 'J{ ' in moto
rispetto a 'J{ lungo l'asse x = x' con f3 =O. I?Ripetere il calcolo per f3 = 0.5 e f3 = 0.9.
8. Relatività della simultaneità (Il)
Si considerino due si stemi di riferi mento inerziali 'J{ e 'J{ ', in moto relativo con velocità v =
= 30 mç1 • Due eventi A e B, l'uno sulla Terra, l ' altro su una galassia posta a distanza d, sono
simultanei per un osserv atore in 'J{ . Quanto deve valere d affi nché l'interv allo temporale tra i
due eventi misurato da un osserv atore in 'J{ ' sia di I anno?

66
Le basi della relatività speciale I Cap. 2
9. Relatività della simultaneità (/Il)
In un sistema di rife rimento inerziale 'J{ un' asta AB di lunghezza L, paral lela all'asse x, cade
verticalmente, toccando terra (cioè l'asse x) in un certo istante t. In un altro sistema inerziale
'J{ ', in moto rispetto a 'J{ con velocità v diretta lungo l'asse x, le estremità A e B dell'asta tocca­
no terra in istanti di tempo diversi. Determinare l'interv allo tra questi istanti e la di stanza tra i
punti dell'asse x ' in cui le estremità dell' asta toccano terra .
1 O. In te rvallo tra eventi
Si considerino, in un certo si stema di riferimento inerziale 'J{, i tre eventi
rXA=2m, tA=5ns
B: XB=3m, t8=lOns
C: xc=4m, te=6ns.
Calcolare gli intervalli tra le coppie di eventi. Quali di queste coppie sono separate da intervalli
di tipo tempo e quali da intervalli di tipo spazio? Illustrare graficamente i risultati in un dia­
gramma di Minkowski.
11. In tervalli di tipo tempo
Dimostrare che se due eventi sono separati da un intervallo di tipo tempo è sempre possibile
trovare un sistema di riferimento inerziale in cui essi si verificano nello stesso punto dello spazio.
12. In tervalli di tipo sp azio
Con riferimento al probl ema IO, esi ste un sistema inerziale 'J{ ' in cui gli eventi A e C sono si­
multanei? Se sì , quanto deve valere la velocità relativa di 'J{ e 'J{ '?
13. Derivazione alternativa delle trasformazioni di Lorentz
Partendo dalle trasformazi oni [2. 102] si mostri che l'esi stenza di una velocità invariante e
fissa la funzione A (v), per la quale si ottiene A(v) = ( 1 - v2/c2)- 112 • Le [2.102] diventano così le
trasfo rmazioni di Lorentz.
Suggerimento . Si derivino dalle [2. 1 02] le trasform azioni delle velocità e si imponga c;2 +
+c;2+c;2=e;+e;+e;.

Capitolo 3
Fenomenologia delle tra sformazioni di Lorentz
Le trasformazioni di Lorentz hanno importanti conseguenze sulle misure spazio­
temporali. Gli effetti cui esse danno luogo (contrazione delle lunghezze e dilatazione
dei tempi) sono di grande interesse concettuale e, in certi ambiti della fi sica (ad esem­
pio, nella fi sica delle particelle) , anche quantitativamente rilevanti .
Le applicazioni dirette delle trasformazioni di Lorentz includono la legge relativi­
stica di addizione delle velocità, che prende il posto della familiare formula galileiana,
e due importanti fe nomeni ottici, l'aberrazione della luce e l'effetto Doppler.
3.1. La contrazione delle lunghezze
Siano ':J{ e ':J{ ' due sistemi di riferimento inerziali in moto l'uno ri spetto all'altro
con velocità v diretta lungo l'asse x. Consideriamo un' asta rigida a riposo in ':J{ ' e gia­
cente sull' asse x', con le estremità nei punti di coordinate x; e x2 (fig. 3.1). La lun­
ghezza dell' asta in ':J{' è quindi
[3.1]
La lunghezza L 0 , misurata nel sistema di riposo dell' asta, è detta lunghezza p rop ria .
Per misurare la lunghezza nel sistema di riferimento ':J{ , rispetto al quale l'asta si
muove con velocità v, occorre determinare le posizioni delle sue estremità nello stes­
so istante di tempo t (questa è la definizione op erativa di lunghezza di un oggetto in
movimento). Usando la trasformazione di Lorentz [2.44] si ha
x;=y(x1-vt), x2=y(x
2
-
vt) ,
[3.2]
dove abbiamo imposto che l'istante di tempo in cui viene effettuata la misura di x 1 e
x
2
(le posizioni in ':J{ delle estremità dell'asta) sia lo stesso (t). Dalle [3.2] ricaviamo la
lunghezza L = x
2
-
x 1 dell'asta in':J{, che vale
[3.3]

68
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
'?J[
y' X'
y
V
o
x,x
'
z
z'
Figura 3.1
Misura della lunghezza di un' asta in due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme.
cioè
/,7
L=yi---;!L0<La.
[3.4]
Dunque, un osservatore in moto rispetto all' asta misura una lunghezza che è minore
della lunghezza propria dell' asta. È questo il fe nomeno della contrazione relativistica
delle lunghezze . ' Esso trae origine dal fatto che le misure delle posizioni delle estre­
mità dell' asta, che sono simultanee in uno dei sistemi di riferi mento, non lo sono nel­
l'altro . Non bisogna pensare che la struttura molecolare dei corpi sia modificata: la
contrazione della lunghezza di un oggetto non è una proprietà intri nseca dell ' oggetto,
bensì una relazione tra misure effettu ate da osserv atori in moto relati vo. 2
Si noti che, in virtù delle [2.45-2.46], le dimensioni trasversali di un corpo, cioè
quelle perpendicolari alla direzione del moto, non variano.
Conviene precisare che la contrazione delle lunghezze è un effetto recip roco. Ciò si­
gnifica che se invece che in 'J{' (come si è supposto sopra) l'asta fosse a riposo in 'J{, tro­
veremmo ugualmente che la sua lunghezza in 'J{ ' è contratta e vale L' = Y1 - v 2/c2 L0,
dove la lunghezza propria L0 sarebbe , in questo caso, quella misurata in 'JC.
La contrazione delle lunghezze può essere illustrata mediante un diagramma di
Minkowski (fig. 3.2). Un' asta, a riposo in 'Jl', ha le estremità nei punti di coordinate
x ' = l ex' = 2 (in un' arbitraria unità di misura) . La sua lunghezza propria è dunque
L0 = 1. Siano A e B gli eventi che rappresentano le posizioni delle estremità dell' asta
in un certo istante di tempo t' . Un osservatore in 'J{ , per misurare la lunghezza L del-
1 ' asta, deve determinare le posizioni delle estremità in uno stesso istante di tempo t
misurato dal proprio orol ogio. Se C è l'evento posizione di una delle estremità dell'a-
1 L'idea di una contrazione delle lunghezze del tipo [3.4) fu avanzata per la prima volta da Fitzgerald e
Lorentz alla fi ne dell'Ottocento come ipotesi ad hoc per spiegare il risultato negativo dell ' esperimento di
Michelson e Morley (§ 2. 11.1) che avrebbe dovuto evidenziare il moto della Terra rispetto all'etere .
2 C fr. W. Pauli, Te oria della relatività, Boringhieri, Torino 1958, p. 20 .

3. 1 I La contrazione delle lunghezze
et
o
Figura 3.2
B
'
'
'
'
'
'
'
:+-
--
0.87 --:
2
69
X
Contrazione delle lunghezze: un'asta di lunghezza propria L0 = 1 (in 'Jl') ha lunghezza L <I per un
osservatore in 'Jl. Nel caso rappresentato in figura, f3 = 0.5 e L = 0.87.
sta nello stesso istante t in cui l'altra estremità è in B, la lunghezza L dell'asta, misu­
rata dall'osserv atore in 'J{, è uguale alla lunghezza (nelle unità di misura di 'J{) del
segmento CB che, come si vede in fi gura, è minore di l. Si noti che gli eventi A e B,
che sono simultanei in 'J{ ', non lo sono in 'Jl ; viceversa, gli eventi CeB, che sono si­
multanei in 'J{, non lo sono in 'J{ '. È proprio il disaccordo sulla simultaneità degli
eventi che dà luogo a due diverse misure di lunghezza in 'J{ e in 'JC '.
Nell'esperienza quotidiana la contrazione delle lunghezze è assolutamente tra­
scurabile: un' automobile in moto con una velocità v = 100 Km/ora, corrispondente a
v = 1 o- 7 e, ha, per un osservatore a terra, una 1 unghezza L che differisce dalla lun­
ghezza propri a L0 per
Questa è una quantità piccolissima, dell' ordine di 10- 1 2 cm, ali' incirca le dimensioni
di un nucleo atomico.
Nell
,
a fi sica delle alte energie, invece, la contrazione delle lunghezze è rilevante. Ad
esempio, nell'acceleratore RHIC del Brookhaven National Laboratory (USA) fa sci di ioni
di oro vengono fatti collidere a velocità v = 0.99995 c. Il fattore lorentziano corrispon­
dente è y = 100 e il raggio R degli ioni nella direzione del moto risulta notevolmente
contratto nel sistema del laboratorio (fig. 3.3). La relazione tra Reil raggio proprio R 0 è
[3.5]

70
e percentualmente si ha
f':.
.
R=R0-R
=
99%.
Ro
Ro
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
Figura 3.3
Due ioni collidenti ad altissima energia. Nel sistema del la­
boratorio, a causa della contrazione delle lunghezze, essi
appaiono come due ellissoidi estremamente schiacciati.
[3.6)
Concludiamo questo paragrafo notando che, poiché le dimensioni trasversali riman­
gono invariate , il volume di un corpo si contrae secondo la
"lf
=
H"lfo
.
[3.7)
dove "1!0 è il volume prop rio (quello misurato nel sistema di riposo del corpo). La [3.7)
implica che anche la densità (di particelle, di massa, o di qualunque grandezza invac
riante) debba cambiare per trasformazioni di Lorentz. Se N particelle a riposo in un si­
stema inerziale 'J{' sono contenute in un volume "V0 , la loro densità propria è, per defi­
nizione, P o = NIV0 . In un altro sistema inerziale 'J{ in moto rispetto al primo, il volu­
me apparirà, secondo la [3.7], contratto di un fattore l/y e, poiché il numero di
parti celle dovrà essere ovviamente lo stesso, la densità p in 'J{ ri sulterà dilatata di un
fa ttore y,
p=�
=
P=o=
p;·
[3.8)
3.2 . La dilatazione degli intervalli temporali
Una delle conseguenze più sorprendenti della relatività ristretta è il fe nomeno
della dilatazione degli intervalli temporali.
3
Supponiamo che un orologio, a riposo in un certo sistema di riferi mento, misuri un
intervallo temporale tra due eventi che accadono in uno stesso punto dello spazio (si
può trattare , ad esempio, della durata di un fe nomeno fi sico). La teoria della relati vità
prevede che, in un altro si stema di riferimento in moto ri spetto al primo, l'intervallo
di tempo risulti dilatato . Questo effetto è una conseguenza diretta delle trasformazioni .
di Lorentz, come ora mostreremo.
3 Si parla spesso (e forse capiterà anche a noi di farlo) di «dilatazione dei tempi», ma si tratta di un'e­
spressione impropria.

3. 2 I La dilatazione degli intervalli temporali
71
Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali 'J{ e 'J{ ' in moto rettilineo uni­
forme l'uno ri s petto ali ' altro lungo l'asse delle x. Sia v la velocità di 'J{ ' rispetto a 'J{ .
Un orologio a riposo in 'J{ ' e collocato nel punto x0 misura un intervallo temporale
D.r = t8 - t� tra due eventi che si verificano in x0,
A: (x0, t�), B: (x0, t8).
[3.9]
L'intervallo di tempo �r misurato da un orologio nel suo sistema di riposo è detto in ­
tervallo di tempo prop rio . Nel sistema 'J{ gli eventi A e B hanno coordinate spazio­
te mporali
A:
XA = y(Xo + Vt�),
[3. 10]
B:
[3. 11]
L'intervallo di tempo misurato in 'J{ è
[3.12]
cioè
�r
�t = -J---
2
>�r,
[3.13]
e ri sulta quindi dilatato rispetto a �r. Si usa esprimere questo fatto dicendo che «un
orologio in moto ritarda» . Ciò significa che la fr equenza di un orologio che si muove
con velocità costante vin un certo sistema di riferimento 'J{ rallenta, secondo la [3. 13],
di unfattore Y1 - v
2
/c
2
ri spetto a quella degli orologi solidali con 'J{ .
. Anche la dilatazione degli intervalli temporali, così come la contrazione delle lun­
ghezze, è un effetto recip roco : se l'orologio fo sse a riposo in 'J{ e misurasse un interval­
lo di tempo �r = t 8 - tA tra due eventi che avvengono nello stesso punto dello spazio,
un osservatore in 'J{ ', mediante i propri orologi, otterrebbe per l'intervallo temporale il
valore M ' = t8 - t� = y�r> � r(lo si verifica facilmente ripetendo il procedimento che
abb iamo seguito sopra) .
La dilatazione degli interv alli temporali non ha alcunché di parado ssale. La sua
spiegazione sta nel fatto che, mentre in uno dei sistemi di riferimento i due eventi ac­
cadono nello stesso punto dello spazio e il loro intervallo temporale � r è misurato da
un solo orologio posto in quel punto (è quindi un intervallo di tempo proprio), nell' al­
tro si stema di riferimento i due eventi accadono in punti diversi dello spazio e per mi­
surare il loro interval lo di tempo (non proprio) �t occorrono due orologi.
In figura 3.4 la dilatazione degli intervalli temporali è rappresentata graficamente
me diante un diagramma di Minkowski. Nel sistema di riferimento inerziale 'J{ ' un
orologio, a riposo nel punto di coordinata x� = x8, misura un intervallo temporale

72
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
et
et'
et8 -r - --- ---�- -�
2 1.15
J______
x'
o
X
Figura 3.4
Dilatazione degli intervalli temporal i: l'intervallo di tempo tra gli eventi A e B vale I in X', dove
gli eventi si verificano nello stesso punto, ed è maggiore di I in ':Jl. Nel caso rap presentato in fi gura,
fJ=0.5e!:J.t=1.15.
unitario � r = l tra due eventi A e B che avvengono in quel punto. In 'X questi eventi si
verificano in punti diversi, di coordinate xA e x8, e negli istanti tA e t8 (misurati da due
orologi posti rispettivamente in xA e x8). Per un osservatore in 'J{ l'in tervallo temporale
MtraA eB risultamaggioredi�r.
Il fe nomeno della dilatazione degli intervalli temporali può essere illustrato in maniera elemen­
tare con un semplice esempio. In un dato si stema di riferimento inerziale 'J{ ' una sorgente lumi­
nosa posta nell ' origine O' emette, al tempo t ' =O, un raggio di luce di retto lungo l' asse y',
verso uno specchio Sposto nel punto di coordinata y
'
= L . Lo specchio riflette il raggio, che ri­
torna in O' dopo un intervallo T ' = 2Llc (fig. 3.5). In un sistema di riferi mento ':/{, rispetto al
quale 'J{ ' si muove con velocità costante v lungo l ' asse x e tale che l'origine O coincida con l'o­
rigine O' di 'J{ ' al tempo t = t' =O, il raggio luminoso percorre il cammino obliquo mostrato in
fi gura 3.5 . Sia T l'intervallo temporale in ':/{ tra l'emissione del segnale e la sua ri cezione da
parte di un os servatore collocato nel punto R di coordinata x = vT. Poiché in ':/{, così come in
':/{ ', la velocità della luce è e, la lunghezza del segmento OS è cT/2 . Applicando il teorema di Pi­
tagora al tri angolo OSH, si trova
da cui
T2
=�
c2-v2
'
e quindi
2L
T=y-= yT',
e
[3. 14]
[3. 15]
[3.16]

3.3 I Il tempo proprio
y
s
�
o
Figura 3.5
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
H
R
'j[
y'
s
X
O'
V
-
73
'j['
x'
La traiettoria di un raggio luminoso riflesso da uno specchio in due sistemi di riferi mento inerziali
in moto relati vo.
in accordo con la [3. 12]. Si noti che, mentre in 'J{' l'in tervallo di tempo tra l'emissione e la rice­
zione del raggio lumi noso è misurato da un solo orologio posto in O', in 'J{ sono necessari due
orologi, l'uno posto in O, l ' altro in R.
Da un punto di vi sta sperimentale, il decadimento di alcune particelle elementari
presenti nei raggi cosmici fo rnisce un' evidenza diretta della dilatazione· degli inter­
valli temporali, come vedremo nel § 3.8.2 .
3.3 . Il tempo proprio
Nel paragrafo precedente abbiamo definito il tempo proprio rcome il tempo misu­
rato da un orologio fi sso in un punto dello spazio (ovvero, il tempo che un orologio
misura nel proprio sistema di riposo) . Più in general e, si parla di tempo proprio di un
corpo per indicare il tempo misurato da un orologio solidale col corpo stesso.
Consideriamo un orologio in moto con velocità costante v in un sistema di riferi­
mento inerziale 'Jl . L' interval lo infi nitesimo tra due eventi che si verificano nel punto
in cui si trova l'orologio si scrive in 'J{ come
[3. 17]
cioè, fatto rizzando c 2 dt2 ,
[3. 18]
Nel sistema di riposo dell' orologio (che chiami amo 'Jl ') l'intervallo avrà la fo rma
[3.l9]

74
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
giacché dx' = dy' = dz' =O (in 'J{ ' gli eventi si verificano ne llo stesso punto dello
spazio). Il tempo t' misurato in 'J{ ' è il tempo proprio r, e scriveremo quindi
[3.20]
Confrontando la [3.20] con la [3. 17], si trova
r:-7
dr=
v1-?dr.
[3.21]
Nel caso di intervalli fi niti siha
r:-7
�r=
V1-?M,
[3.22]
che coincide con la [3.13].
Supponiamo ora che un orologio si muova di moto accelerato, con velocità arbitra­
ria v(t) . Faremo l'ipotesi che l' accelerazione non ab bia alcun effetto sulla frequenza
dell'orologio e che questo misuri il tempo proprio dr dato dalla [3.21]. Un orologio
che goda di questa proprietà è, per definizione, un «orologio ideale». Integrando la
[3.21] si ottiene
�r= fJ1-�� dr,
[3.23]
che è la relazione tra l'in tervallo di tempo proprio misurato da un orologio ideale e il
corrispondente intervallo di tempo (non proprio) misurato nel sistema di riferimento
inerziale rispetto al quale l'orologio si muove con velocità v(t).
Quanto all 'esistenza e alla realizzabilità effettiva degli orologi ideali, è possibile
dimostrare che certi orologi meccanici, basati su moti oscillatori , sono orologi ideali,
e sono ideali anche gli orologi atomici, purché l'accelerazione cui sono sottoposti non
sia eccessivamente grande . 4
3.4. La legge di trasformazione della velocità
Dalle trasformazioni di Lorentz delle coordinate spazio-temporali si ricava una legge
di trasformazione della velocità che è diversa e più complicata di quella non relativisti­
ca (la legge di addizione delle velocità [ 1.31] basata sulle trasformazioni di Galilei).
Consideri amo due sistemi di riferimento inerziali 'J{ e 'J{ ' nella solita configurazione
(fig. 2 .5). Sia v la loro velocità relativa. Se x(t) = (x (t), y(t), z(t)) è la legge oraria di
una particella in 'J{ e x'(t') = (x ' (t'), y'(t '), z'( t')) la corrispondente legge oraria in
4 C. W. Misner, K. S. Thorne e J. A . Wheeler, Gravitation , Freeman, San Francisco 1973, § 16.4.

3.4 I La legge di trasformazione della velocità
75
'J{ ', la velocità della particella sarà u = �� in 'J{ e u
'
= ��: in 'J{ '. Differenziando le
[2.44 -2.47] si trova
dx' � l-�, dt,
l--
c2
dy' = Uydt,
dz' = u,dt,
)-
VUx
c2
dt'= --
�
--dt.
vi-?
Se si dividono membro a membro le prime tre relazioni per la quarta si ottiene
u'=
ux-v
X
UxV '
1--
c2
M
Uy
u'=
y
I-
UxV
c2
z
M
u
u�=
I-UxV
c2
[3.24]
[3.25]
[3.26]
[3.27]
[3.28]
[3.29]
[3.30]
Queste sono le leggi relativistiche di trasformazione delle componenti della velocità
(per un boost lungo x). Nel caso particolare in cui la particella si muove in 'J{ con ve­
locità u diretta I ungo l' asse x e nello stesso verso del moto di 'J{ ', nel sistema 'J{ ' essa
si muoverà lungo x' con velocità
u'==
u-v
uv
,
1-7
che prende il posto della relazione galileiana (vedi [1.31])
u'=u-v.
[3.3 1]
[3.32]
Le [3.28-3 .30] , e la [3.31], sono ovviamente consistenti con il postulato della CO"
stanza della velocità della luce. Infatti , se in 'J{ un raggio luminoso ha velocità e, in
virtù della [3.3 1] esso avrà in 'J{ ' la stessa velocità:
e'=
=c.
[3.33]

76
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
In vista di alcune applicazioni successive è utile derivare la fo rmula di trasforma­
zione del fattore lorentziano y, cioè la relazione tra y(u) in 'J{ e y(u ') in 'J{ '. Usando le
[3.28-3 .30) si ha
da cui
2(
v2) 2(
v2) 2
(u-v)+1--u+1--u
x
c2y
c2z
2
2
2(
v2)
(u-v)+(u-u)I--
X
X
C2
(1-u;�)2
(1-u;�)2
I-
(Ux_'!
!_
)2
+
(�-
u;)(i - �)
u'2
e
e
c2 c2
c2
1--
2=--
--
--
--
--
--
--
e
(1_u;�)2
In termini dei fattori y questo risultato si riscrive come
y(u') = y(u)y(v)( 1-u;�).
La relazione inversa è
( u'v)
y(u) = y(u ')y(v) 1 +
c
x
2.
[3.34)
[3.35)
[3.36)
[3.37)
La trasformazione della velocità per un boost lungo una direzione arbitraria si ot­
tiene differenziando la [2.68) e la [2.66),
[ V·U
J
dx' =udt+ (y-1)7- yvdt,
[3.38)
(V·U)
dt'=yI---
-;:r-
dt,
[3.39)
e dividendo membro a membro ,
u'=
[ v·u
l
u+ (y- 1)--
-:;
;-
-
rjv
( v·u)
y 1-7
[3.40)
Un concetto utile è quello di velocità relativa di due particelle. Date due particelle
1 e 2 in moto con velocità (costanti) u 1 e u
2
in un sistema di riferimento 'J{ , la loro ve­
locità relativa è definita come la velocità di una di esse (ad esempio, la I) nel sistema

3.4 I La legge di trasformazione della velocità
77
di riposo dell' altra (la 2). Poiché il sistema di riposo della particella 2 (che chiamiamo
'JC') ha velocità u 2 rispetto a X, la velocità della particella 1 in 'JC' sarà, in accordo con
la [3.40] ,
U'-
1-
(1 -�)
Y2
c2
[3.4 1]
dove y2 = Y1 - u � /c2 • La velocità relativa u rei delle particelle 1 e 2 è, per definizione,
il modulo della [3.4 1],
Urei =
(1-�)
Y2
c2
Con qualche passaggio algebrico si ottiene
Usando l'identità vettoriale (vedi [A.20])
po ssiamo scrivere infi ne
Urei=--
--
--
--
--
1-U1·u2
c2
[3.42]
[3.43]
[3.44]
[3.45]
che è lespressione generale della velocità relativa tra due particelle (si noti la simme­
tria 1 H 2). Se le particelle si muovono collinearmente, allora u 1 X u 2 =Oe la [3.45]
si riduce a
Urei =
lu1-u2I
l-
U1·U2
c2
[3.46]

78
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
3.5 . Proprietà gruppali dei boost
I boost lungo uno stesso asse godono di una proprietà matematica importantissima:
essi fo rmano un grupp o5 rispetto alla naturale legge di composizione di due trasfor­
mazioni di Lorentz (che consiste nell'effettuarle l'una di seguito all'altra).
Supponiamo di avere tre sistemi di riferimento inerziali, 'X, 'J{ ' e 'Jl", in moto relati­
vo uniforme lungo l'asse x. 'Jl" si muove con velocità v 2 ri spetto a 'Jl ', che a sua volta
si muove con velocità v 1 rispetto a 'Jl . Le trasformazioni di Lorentz da 'Jl ' a 'Jl" sono
•
x" = y(v2)(x' - v2t'), t" = y(v2)(t' - ��x'),
[3 .47]
mentre quelle da 'Jl a 'Jl ' sono
x' = y(v1)(x-v1t), t' = y(v1)(r-�;x).
[3 .48]
Combinando le [3.47] con le [3.48] si trova
[3.49]
[3.50]
dove v è la velocità che si ottiene componendo secondo la legge relativistica [3.3 1] la
v1elav2,cioè
Usando le relazioni [3.36, 3.37], che nel nostro caso danno
le [3.49, 3.50] possono essere riscritte come
x"= y(v)(x-vt), t" = y(v)(t-;2x),
[3.5 1]
[3.52]
[3.53]
e rappre sentano un boost di velocità v. Dunque, componendo due boost di velocità
v 1 e v 2 lungo il medesimo asse, si ottiene un boost dello stesso tipo con velocità v data
dalla [3.5 1 ]. In linguaggio matematico diremo che l'insieme dei boost lungo lo stesso
asse è chiuso rispetto alla legge di composizione. Se indichiamo fo rmalmente con
5 Per alcuni elementi di teoria dei gruppi si veda l'Appendice B.

3.6 I L'aberrazione della luce stellare
79
B(v) un boost di velocità v, e con il segno di prodotto · la legge di composizione, il ri­
sultato ottenuto può esprimersi nel seguente modo :
[3.54]
Non è difficile mostrare che la legge di composizione dei boost gode della p rop rietà
associativa
Inoltre, esiste la trasformazione identica (corri spondente a v =O)
B(O) =Il,
e, per ogni B (v), esiste la trasformazione inversa B - 1 (v), data da
B-
1
(v) =B(- v ).
[3.55]
[3.56]
[3.57]
Riassumendo : l) l'insieme dei boost lungo uno stesso asse è chiuso rispetto alla
loro legge di composizione ; li) questa legge è associativa; 111) esiste la trasformazione
identica; IV) per ogni trasformazione esiste la sua inversa. Queste proprietà fanno sì
che l'insieme dei boost lungo uno stesso asse costituisca un gruppo.
Fu Henri Poincaré a mostrare in un suo lavoro6 del I 905 che le trasformazioni in­
trodotte precedentemente da Lorentz fo rmano un gruppo. Si tratta, storicamente,
della prima comparsa di argomenti gruppali nella fi sica teorica fondamentale. È im­
portante notare come la struttura di gruppo delle trasformazioni fra sistemi inerziali
traduca in termini matematici il principio di relatività, cioè l'equivalenza fi sica fra
tutti i sistemi inerziali .
Mentre i boost lungo uno stesso asse costituiscono un gruppo, l'insieme complessivo
·
dei boost [2.66, 2.68] lungo direzioni arbitrarie non costituisce un gruppo (esso, infatti ,
non è chiuso rispetto alla legge di composizione, vedi § 3.8.5). Invece, le trasformazioni
generali di Lorentz omogenee [2.69, 2.70], che inglobano boost e rotazioni, formano un
gruppo (il gruppo di Lorentz, vedi § 5.9). Così pure, formano un gruppo (il gruppo di
Poincaré, vedi § 5. L 1) le trasform azioni generali di Lorentz non omogenee [2.71, 2.72].
3.6 . L'aberrazione della luce stellare
La legge di trasformazione della velocità permette di illustrare un importante fe no­
meno ottico-astronomico: l' aberrazione della luce stellare, cioè la variazione della
po sizione apparente di una stella nel corso dell ' anno, studiata nel Settecento dall' a ­
stronomo inglese James Bradley .
6 J. H . Poincaré, Sur la dy namique de l'électron, in «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences»,
140, 1905, p. 1504; una versione estesa di questo lavoro, pubblicata nel 1906 nei «Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo», è tradotta in J. H. Poincaré, Scritti difi sica -matematica, a cura di U. Sanzo, UTET,
Torino 1993, p. 543 . La comunicazione ali ' Académie fu presentata otto giorni prima della pubblicazione
della memoria di Einstein sugli «Annalen der Physik». Nei lavori del 1905-06, ma già in un saggio del
1904, Poincaré form alizzò il «Postulato di Relatività» come principio fo ndamentale della fi sica.

80
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
Supponiamo che una sorgente S (ad esempio, una stella) emetta un segnale lumino­
so che viene ricevuto al tempo t = O da un osservatore posto nell ' origine O di un siste­
ma di riferimento inerziale 'J{ (fig. 3.6). Se il raggio di luce giace nel piano xy e tJ è il
suo angolo di inclinazione ri spetto ali' asse x, le componenti della sua velocità sono
[3.58)
Si abbia ora un secondo sistema inerziale, 'J{ ', in moto rispetto a 'J{ con velocità v
diretta lungo le x positive. Supponiamo che il segnale luminoso proveniente da S rag­
giunga un osservatore posto nell ' origine O' di 'J{ ' nell 'istante t' = t =Oin cui O' coin­
cide con O. Come faremo ora vedere, per questo osservatore il raggio di luce ha un' in­
clinazione tJ' diversa da tJ.
Applicando le [3.28-3.30), si trova per le componenti della velocità del raggio lu­
minoso in 'J{ ',
e'=
X
-ccostJ-v
V
,
1 +-cos tJ
e
-
esintJ
H2
e, poiché
1+!.'.
..
cos tJ
e
e�= -ccostJ',
e;,= -csintJ',
dalla [3.59) si ottiene
costJ+!.'.
._
cos tJ' =
e
1+!.'.
..
cos tJ
e
y':}{
y'
*s
I,,, iJ
'
,
,
o
X
O'
Figura 3.6
':J{'
V
*s
I,
iJ'
[3.59)
[3.60)
[3.61]
[3.62)
x'
Una sorgente di luce S emette un raggio luminoso che viene captato da osservatori posti nell'origine
di due sistemi di riferimento inerziali in moto relativo uniforme.

3.6 I L'aberrazione della Luce stellare
81
che è la fo rmula dell'aberrazione. Equivalentemente, dividendo membro a membro la
[3.60] e la [3.59], ricaviamo
sinil �
e'
�1--;
;z
tanil'=__.
.]'_
=--
--
--
e�
cos il+_E_
e
[3.63]
Come anticipato, il ' =I= il (in particolare, il ' risulta minore di il dal momento che
tanil' <tan il).
Venendo a una situazione astronomica concreta, possiamo interpretare il ' come
l' angolo sotto il quale una stella viene osservata da un telescopio posto sulla Terra,
solidale con ';-/{ ' . A causa del moto di ri voluzione, la velocità della Terra rispetto al si­
stema di riferi mento ';-/{ (che identifichiamo col Sole) cambia nel corso dell'anno, e
così pure l'angolo il ' che dà l'inclinazione apparente della stella. Questo è il fe nome­
no dell ' aberrazione stella re . Se, in un certo momento dell'anno, l'inclinazione della
stella, misurata da un osservatore terrestre, è il' , data dalla [3.63], sei mesi dopo, la
Terra si muoverà in direzione opposta e l'inclinazione apparente il" sarà (invertendo
il segno di v nella [3.63)),
siniJH
tanil"= --
--
--
cosi}-_E_
e
dove il è linclinazione nel si stema di riferimento solidale col Sole.
[3.64]
Supponiamo ora che la stella si trovi allo zenit (il= n/ 2). In questo caso si ha
C
H2
tanil' =-
1--
V
c2
e sei mesi dopo
,,
C
H2
,
tanil= -
-
1-__
__,
,.-
= -tanil.
V
C-
In un anno la stella sembra descrivere un cerchio la cui ampiezza angolare a è
2
.E_
a=2(�-il') =2tan(�-il') = -
ta
-
�-1'}-,
=
_J__
c
_
�.
Nel limite newtoniano si trova
a=2
.E_
e'
[3.65]
[3.66]
[3.67]
[3.68]
che è un' ottima approssimazione al ri sultato relativistico [3.67], dal momento che la
velocità orbitale della Terra è di circa 30 Km s- 1
, e quindi v << c. Numericamente,
l'aberrazione annua di una stella allo zenit vale a= 40" .

82
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
3. 7 . Effetto Doppler
Applicheremo ora le trasformazioni di Lorentz allo studio di un fe nomeno ottico di
grande importanza teorica ed applicativa: l'effetto Doppler.
Come risultato preliminare, mostriamo innanzi tutto che la fase di un'onda piana è
invariante. Si abbia, in un sistema di riferimento inerziale ':J{ , un' onda piana mono­
cromatica
lfl=Aexp[i(wt-k ·x)],
[3.69]
dove A è l'ampiezza, k il vettore d'onda e w la pulsazione. Il modulo di k è il nume­
ro d'onda k , legato alla lunghezza d' onda À da À = 2nlk. La frequenza v dell'onda è
v=w/2n.Nelvuoto,larelazionetrawekèw=ck.
Per semplicità, supporremo che l'onda si propaghi nel piano xy . Si ha quindi k =
= (kx
, ky, 0)=(kcos?J,ksin?J,O)ela[3.69]diventa
.
.
[.(
xcos ?J+ysin ?J )]
lfl =Aexp [1(wt - kxcos ?J-kysm ?J)] =Aexp 2mv t-
e
.
[3.70]
Il significato fi sico dellafa se
A>-(
xcos?J+ysin?J)-( l)
�- Vt-
=V t--
c
e
[3.71]
puo essere compreso nel seguente modo. Immaginiamo che una cresta dell'onda passi
per lorigine O di 'J{ ali'istante t =O. Quando la stessa cresta arriva nel punto P di
coordinate x, y (il che avviene al tempo t = l/c), un osservatore in P comincia a conta­
re le creste d' onda che passano. Ali ' istante t egli avrà contato un numero di creste pari
alla fase </>= v(t - l/c) : v è infatti il numero di creste d' onda che passano nell' unità di
tempo et- l/c è il tempo complessivo di conteggio.
Vediamo ora cosa succede in un sistema di riferimento ':J{ ' in moto uniforme rispet­
to a 'J{ con velocità v lungo l'asse delle x. Supponiamo che l'origine O' di 'J{ ' coincida
con quelladi'J{al tempo t' = t =O. SeP' è un punto in':J{' di coordinate x', y' che
coincide con P al tempo t di 'J{ , il numero di creste d' onda che un osservatore in P'
conta tra l'is tante l' le e l'istante t' è uguale a quello che conta l'osservatore in P. Que­
sto numero è, per l'os servatore in P', la fa se </>' ,
[3.72]
che sarà perciò uguale a </>,
(l)f(fl')
V t---z
=vt--;:
,
[3.73]

3. 7 I Effe tto Doppler
83
dove v' è la frequenza dell'onda in 'J{ '
.
La fase di un'onda è quindi una quantità inva­
riante, ha cioè lo stesso valore in ogni sistema di riferimento inerziale.
Esplicitamente la [3.73] si scrive
( xcost>+ysinr>) '( , x'cost>'+y'sint>')
Vt-
=Vt-
.
e
e
[3.74]
Usiamo le trasformazioni di Lorentz [2.44-2.47] per riesprimere il secondo membro
della [3.74] in fu nzione di x, y, t :
e
x-v
t
y.
[t-v;
]
l/J'=v'-j-,=
=-
-
eJI-
��cost>' -
�sint>' ,
da cui, raggruppando i coefficienti di x, y et,
I+!:
:_
cos t>'
cost>'+!:
:_
e
e
l/J'=V1t--
--
-
-
X--
--
-
p;cp;
_
.2'.
.
sin t>'
e
[3.75]
[3.76]
Questa espressione deve essere uguale al primo membro della [3.74], ossia alla l/J, e
ciò comporta che valgano le seguenti relazioni :
l+!:
:_
cos t>'
e
v=v' --
--
-
p;
cost>'+!:
:_
e
vcosr>=v'-
j-- -
v
-
2
-
,
vsinr>=v' sint>'.
[3.77]
[3.78]
[3.79]
La [3.77] è la legge di trasformazione della frequenza di un' onda. Combinando le
[3.78-3 .79] si riottiene la formula dell' aberrazione,
sint>'Jl- v2
c2
tanr>= --
--
--
cost>'+!:
:_
e
[3.80]
Studiamo ora una situazione fi sica concreta. Una sorgente S, a riposo nell'origine
O di un sistema di riferimento inerziale 'J{, emette un raggio luminoso di frequenza v0
che si propaga nel piano xy fo rmando un angolo r> con l'asse x (fig. 3.7). Un osserva-

84
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
yX
y' X'
V
R•
s
O'
x,x
'
Figura 3.7
Un raggio luminoso è emesso da una sorgente Sposta nell'origine di ':IL Il ricevitore R è solidale con
X ' e si allontana dalla sorgente con velocità v.
tore R, solidale con un sistema di riferimento 'J{ ' in moto rispetto a 'J{ con velocità v
(diretta lungo l'asse x), riceve il segnale emesso da S e misura una frequenza v ' . Il
fatto che v' differi sca da Va e dipenda dalla velocità relativa del ricevitore e della sor­
gente è il fe nomeno ottico noto come effe tto Dopp ler. Invertendo la [3.77] si ottiene
ia relazione tra v' , Va e lì' (l' angolo che individua la direzione di propagazione del
raggio luminoso nel si stema di riferimento dell 'osserv atore R)
g
v'=Va--
--
--
1+�coslì'
e
Il corri spondente risultato non relativistico è (vedi Problemi)
v= ---
��
a
__
1+�coslì'
e
e differisce dalla [3.81] per l'assenza del fattore
Y1 - v2/c2.
[3.81]
[3.82]
Consideriamo ora il caso particolare in cui il segnale si propaga lungo la direzione
del moto relativo della sorgente e del ricevitore ( effe tto Doppler longitudinale). Si ha
allora lì' =O, e dalla [3.8 1] si ottiene
R.
v'=Va
.
-
e
[3.83]
Se il ricevitore si allontana dalla sorgente (v > 0), la frequenza che egli misura è mino­
re di Va . Se, invece, si avvicina alla sorgente ( v <O), la frequenza v' risulta maggiore
di Va.

3. 7 I Effe tto Doppler
85
Quando il segnale si propaga perpendicolarmente alla direzione del moto relativo
della sorgente e dell'os servatore si ha l ' effe tto Doppler trasversale. Dalla [3.81] si
ottiene, con iJ' = n/2 ,
�
v' = Voyi-?·
[3.84]
La frequenza che il ricevitore misura è quindi sempre minore di v0. Secondo l'ottica non
relativistica, nessun cambiamento di frequenza dovrebbe essere osservato in questo
caso, vedi [3.82] .
Si noti che l ' effetto Doppler longitudinale è un effe tto del p rimo ordine in vie. Svi­
luppando la [3.83] si otti ene infatti
v'� v.Jt-.Z �v0(1-.E.).
[3.85]
1+..'.'.
..
e
e
Nel caso non relativistico si ha
1
Vo
(V)
V=--
-
=Vol-
-
.
l+·..'.'.
..
e
e
[3.86]
Trascurando contributi fJ(v21c 2), quindi, il cambiamento di frequenza previsto dalla
teoria re lativistica è uguale a quello della teoria non relativistica.
L ' effe tto Dopp ler trasversale, invece, è un effe tto del secondo ordine (che, come
ab biamo gà ricordato , non ha alcun riscontro nella teoria non relativistica). Svilup­
pando la [3.84] si trova infatti .
(Iv2
)
v'=v01-2?
.
[3.87]
L' effetto trasversale è quindi molto più difficile da osservare (non solo perché è un
effetto piccolo, ma anche perché una minima deviazione dalla perpendicolarità tra la
direzione di osservazione e la direzione del moto della sorgente introduce un contri­
buto spurio di ordine vie che tende a mascherare quello genuinamente trasversale che
è di ordine v 21c 2). È chiaro, comunque, che se si vogliono verificare le predizioni della
teoria della relati vità occorre essere in grado di rivelare effetti del secondo ordine.
La prima misura dell'effetto Doppler all ' ordine v 21c 2 fu compiuta da Ives e Stil­
well7 nel 1938. Essi misurarono le lunghezze d'onda della radiazione di fluorescenza
emessa da un fascio di ioni di idrogeno molecolare nella direzione del moto e in quel­
la opposta. La media tra le due lunghezze d'onda è spostata verso il rosso rispetto alla
lunghezza d' onda della radiazione emessa dagli ioni a riposo. Questo spostamento è
7 H. E. Ives e G. R. Stilwell,in <d. Opt. Soc. Am.», 28, 1938,p. 215.

86
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
di ordine v 2/c2 (vedi Problemi). I risultati dell'esperimento di Ives e Stilwell risulta­
rono in accordo con le predizioni relativistiche, con un' accuratezza del 3%. Una mi­
sura più recente dello spostamento Doppler del secondo ordine8 ha verificato la teoria
con un' accuratezza. di 4 parti su 105 .
3.8 . Complementi
3.8 . 1. Propagazione della luce in un mezza in movimento
Supponiamo che un raggio luminoso si propaghi in un mezzo che si muove con ve­
locità v (diretta lungo x) rispetto al laboratorio (fig. 3.8). Nel sistema di riferimento
solidale col mezzo ('Jl ') la velocità della luce è
e'=!:_
n
dove n è l'indice di rifrazione del mezzo.
Figura 3.8
X'
Raggio
di luce
Propagazione di un fascio di luce in un mezzo in movimento rispetto al sistema del laboratorio.
[3.88)
Nel sistema del laboratorio ('Jl), usando la trasformazione relativistica della velo­
cità [3.31 ], la velocità della luce e è data da
e
e' +v
-+v
n
[3.89)
e=
ve'
l+-
1+_E_
c2
cn
8 M. Kaivola, O. Poulsen, E. Riis e S. A. Lee, in «Phys. Rev. Lett.», 54, 1985, p. 255.

3. 8 I Complementi
87
Sviluppando in potenze di vie, si trova
[3.90)
Si noti che la correzione a c/n è del p rimo ordine in vie .
La legge [3.90), verificata sperimentalmente da Fizeau nel 1851, veniva interpreta­
ta in epoca prerelativistica come un effetto di trascinamento parziale della luce (ovve­
ro dell'etere) da parte del mezzo in movimento, con un coefficiente di trascinamento
dato da
La discussione svolta sopra (dovuta a Max von Laue (1907)) mostra come la [3.90)
trovi una semplice e naturale spiegazione nell'ambito della teoria della relatività.
3. 8 .2. Dilatazione della vita media dei muoni cosmici
La Terra è continuamente bombardata da sciami di particelle estremamente ener­
getiche. Una delle componenti di questa radiazione cosmica è costituita dai muoni
(μ-), una sorta di elettroni pesanti, che decadono in brevissimo tempo in elettroni
(e-), neutrini muonici ( Vμ) e antineutrini elettronici Cv.),
μ-�e-+Vμ+V,.
La legge del decadimento è di tipo esponenziale. Se in un certo istante t =Ovi sono n 0
muoni, in un istante di tempo successivo t il numero n di muoni sarà
I
n=n0e '.
[3.91 )
In questa fo rmu la r è la vita media dei muoni: dopo un intervallo di tempo pari a r il
numero di muoni si riduce di un fattore e=2.718, cioè sopravvive poco più di un
terzo dei muoni iniziali.
La vita media dei muoni, misurata nel loro sistema di riposo, è di 2.2 μs. Se non ci
fosse un fe nomeno di dilatazione temporale, la vita media a riposo dei muoni (che in­
dicheremo con r0) sarebbe uguale a quella misurata in un sistema di riferimento rispet­
to al quale essi sono in moto (la cosiddetta vita media in volo, che indicheremo con r) .
Consideriamo i muoni della radiazione cosmica. La loro velocità v è molto vicina a
quella della luce: all'incirca, v = 0.995c. In un intervallo di tempo pari alla loro vita
media (a riposo) essi percorrono una distanza d = vr0 , cioè 660 m. Dopo 3r0 la distan­
za percorsa è tripla, circa 2000 m. Ci aspetteremmo dunque di osservare, al livello del
mare, una fr azione e - 3
, pari a circa il 5%, dei muoni che si osservano a un' altitudine
di 2000 m (fig. 3 .9).
L'esperimento è stato effettivamente compiuto.9 Mediante un rivelatore a scintil­
I ]azione sono stati contati i muoni della radiazione cosmica sulla sommità di Mount
9 D. H . Fri sch e 1. H. Smith, in «Am. J . Phys.», 31, 1963, p. 342. Il primo esperimento sulla dilatazione
de lla vita media delle particelle costituenti i raggi cosmici è quello di B. Rossi e D. B . Hall, in «Phys. Rev.»,
59, 1941, p. 223 .

88
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
\llj Muoni
Figura 3.9
Conteggio dei muoni della radiazione cosmica a diverse altitudini.
Washington, nel New Hampshire, a un' altitudine di 1900 m. Il numero di muoni os­
servati è in media di circa 560 all'ora. Nell'ipotesi che il fl usso dei muoni sia costan­
te, ripetendo il conteggio a O mdi altezza, si sarebbero dovute rivelare solo una trenti­
na di particelle. Invece se ne sono trovate più di 400. Alla luce della dilatazione degli
intervalli temporali prevista dalla teoria della relatività, la spiegazione di questo ri­
sultato è semplice. Nel sistema di riferimento solidale con la terra, in cui i muoni
hanno una velocità v = 0.995c, la loro vita media non è r0 = 2.2 μs, ma
[3.92]
e, poiché y = 10, vale 22 μs. In un tempo pari ari muoni percorrono più di 6000 me
dunque è normale che una gran parte di essi sopravviva dopo 1900 m di dislivello.
Cerchiamo di essere più quantitativi. Per coprire una distanza d = 1900 m alla velo­
cità v = 0.995c i muoni impiegano un tempo t =dlv = 6.4 μs . Abbiamo visto che la
loro vita media, tenendo conto degli effetti relativistici, è r= 22 μs. Dopo t = 6.4 μs,
secondo la legge del decadimento [3.91], il numero di muoni sopravvissuti è
I
6.4
n=n0e r=n0e 22=0.75n0•
Se sulla vetta di Mount Washington si contano 560 muoni, dopo 6.4 μs e 1900 mdi
dislivello, cioè a terra, dovremo osservare 0.75 X 560 = 420 muoni, un valore in otti­
mo accordo con quello determinato sperimentalmente .
Una verifica alquanto precisa della legge di dilatazione temporale è stata compiuta
da un gruppo sperimentale del CERN di Ginevra che ha misurato la vita media in volo
dei muoni in un anello di accumulazione. 1 0 Il risultato sperimentale è in accordo con
la predizione relativistica [3.92] con un' accurate zza di circa una parte su mille.
10
J. Bailey e altri, in «Nature», 268, 1977, p. 301.

3. 8 I Complementi
89
3.8.3. Il paradosso degli orologi (o dei gemelli)
Nella sua memoria originale del 1905 Einstein sottolinea una «conseguenza singola­
re» delle trasformazioni relati vistiche delle coordinate spaziali e del tempo. Egli scrive:
Supponiamo di avere, nei punti A e B di 'X, orologi stazionari sincronizzati ri spetto al sistema
stazionari o. Immaginiamo poi di spostare l'orologio residente in A verso il punto B, lungo la
congiungente AB, con velocità v: al suo arri vo in B questo orologio non è più sincronizzato con
quello residente in B, ma rispetto ad esso ri tarda di tv2!2c2 (a meno di infi nitesimi del quart' or­
dine o di ordine superiore), se tèil tempo impiegato per passare da A a B. Si vede subito che
tale conclusione si applica anche al caso in cui l'orologio si muove da A a B lungo una linea po­
ligonale qual siasi, e anche quando i punti A e B coincidono. Supponendo che quel che si è detto
per una spezzata valga anche per una curva regolare, si può affermare quanto segue: dati, in A,
due orologi sincronizzati, se uno di essi viene spostato a velocità costante lungo unacurva chiu­
sa, fi no a ritornare dopo t secondi al punto di partenza, allora questo orologio, arrivando in A,
sarà in ri tardo di tv2/2 c 2 secondi rispetto a quello rimasto in quiete . 1 1
Il fatto che un orologio in moto, dopo aver percorso una curva chiusa ed essere tor­
nato al punto di partenza, risulti in ritardo rispetto a uno in quiete con cui era inizial­
mente sincronizzato, è noto come paradosso degli orologi (vedremo fra poco in che
cosa consiste l'apparente paradosso).
Riferendoci alla fi gura 3.10, supponiamo che due orologi sincronizzati 1 e 2 si tro­
vino inizialmente nel punto A. Mentre l'orologio I rimane fe rmo in A, l'orologio 2 si
sposta dal punto A al punto B, dove inverte il suo moto e ritorna verso A. La situazio­
ne è illustrata nel diagramma di Minkowski di figura 3.1 la. La spezzata PIR è la linea
di universo dell'orologio 2: P è l'evento partenza dal punto A, / l'evento inversione
del moto nel punto B, R l'evento ritorno in A. Il segmento OR è la linea di universo
dell'orologio 1. Gli assi riportano le coordinate spazio-temporali nel sistema di riferi­
mento inerziale connesso con l'orologio 1, che chiameremo 'JC . Come si è detto, la du­
rata del viaggio di andata e ritorno misurata dall'orologio 2 risulta minore di quella
misurata dall' orologio 1.Deriveremo ora questo risultato.
Consideriamo innanzi tutto il viaggio di andata. La durata propria di questo viaggio
per l'orologio 2, Lir2, è legata al corrispondente intervallo temporale (non proprio)
misurato dagli orologi di 'J{ (ne servono due, uno in A, l'altro in B) dalla 'relazione
[3.22], cioè
[3.93]
dove v è la velocità dell'orologio 2. Come ci si aspetta sulla base del fe nomeno relati­
vistico della dilatazione delle durate, tir� è minore di Lit
a
. Per il viaggio di ritorno la
situazione è analoga. Si ha
��
Lir2 =
Vl-7Mr =
V1-7(tR- t,),
[3.94]
11 A. Einstein, Zu r Elektrodynamik bewegter Korper, trad. it. in A. Einstein, Opere scelte, a cura di
E. Bellone, Bollati Boringhieri, Torino 1988, p. 161.

90
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
e quindi 11r2 è minore di 11t'. Se ora consideriamo il viaggio complessivo di andata e
ritorno, la sua durata propria per l'orologio 2 è 11 r2 = 11 rq + 11 r:Z, mentre in X. la sua
durata è M = 11ta + M' = tR - tp. Dal momento che l'orologio 2 torna nello stesso
punto da cui era partito e in cui si trova l'orologio 1 , 11t è un intervallo di tempo pro­
p rio per l'orologio l (lo chiameremo quindi 11r1 ). Complessivamente si ha
[3.95)
cioè, come anticipato,
[3.96)
Sottolineiamo che, poiché l'orologio 2 compie un viaggio di andata e ritorno, la
[3.95) mette a confronto un tempo proprio, 11 r2 , con un altro tempo proprio, 11 r 1 , cioè
un intervallo di tempo misurato da un singolo orologio in moto con l'in tervallo di
tempo corrispondente misurato da un singolo orologio a riposo.
1
(!)•
•
A
B
2
Figura 3.10
L'orologio 2, inizialmente sincronizzato con l'orologio 1, che rimane fermo in A, si muove da A a B
e ritorna in A.
et
R
etp
Figura 3.ll
XB
(a)
X
et
R
2
etp ---- p
o
X
(b)
(a) Il diagramma di Minkowski per il cosiddetto «paradosso» degli orologi: la spezzata PIR è la
linea di universo dell'orologio 2; il segmento PR è la linea di universo dell'orol ogio 1. (b) In questo
caso l'orologio 2 si muove lungo un' orbita chiusa con velocità variabile (la sua linea di universo è la
curva tra P e R).

3.8 I Complementi
91
Può sorgere il dubbio - e questo è l'aspetto «paradossale» della questione - che il
risultato appena ottenuto (ossia, L\ r2 < L\ r 1 ) contraddica il principio di relatività. Po­
tremmo infatti ragionare nel modo seguente. In un sistema di riferimento inerziale
solidale con l'orologio 2, è l'orologio 1 che compie un viaggio di andata e ritorno.
Procedendo allora come sopra, troveremmo
[3.97]
che è l'esatto opposto della [3.95]. La soluzione dell'apparente paradosso è che la
[3.95] è vera, mentre la [3.97] è fal sa. L' asimmetria tra 1e2 , sancita dalla [3.95], e che
sembra violare il principio di relatività, è reale: gli orologi 1 e 2 non sono equivalenti,
perché l'orologio 1 è inerziale, mentre l'orologio 2 è accelerato (come si può verifica­
re sperimentalmente: ricordiamo che è possibile compiere esperimenti che rivelino
l'accelerazione di un sistema di riferimento). Per poter tornare indietro, l'orologio 2
deve invertire il moto, cioè deve subire un'accelerazione. Non esiste quindi un sistema
inerziale solidale con 2 e questo inficia il ragionamento che conduce alla [3.97] .
È importante notare che l'uniformità del moto dell'orologio 2 tra A e Betra Be
A è inessenziale ai fi ni della conclusione cui siamo giunti (i:\ r2 < L\ r 1 ). Supponiamo
che l'orologio 2 parta da A e si muova lungo un'orbita chiusa con velocità variabile,
fac endo ritorno al punto di partenza (fig. 3.11b). La durata propria del viaggio per I ' o­
rologio 2 è
[3.98]
dove dt è l'elemento infinitesimo di tempo in 'X (il sistema di riposo dell'orologio 1).
L'intervallo di tempo proprio L\ r 1 tra gli eventi P e R, misurato dall'orologio 1, è
'•
L\T1 = f d t=tR-tp.
[3.99]
Cp
Poiché nell'integrando della [3.98] la radice quadrata è sempre minore dell'unità, si
ha ancora
[3.100]
Nel 191 1 Paul Langevin antropomorfizzò la situazione che abbiamo fi n qui discus­
so, sostituendo agli orologi due gemelli (che, come tutti gli esseri viventi, sono dotati
di orologi biologici interni). Da allora il paradosso degli orologi è noto anche come
paradosso dei gemelli. L' astronauta 2, tornando sulla Terra (A) dopo un viaggio che
lo ha condotto alla destinazione B, scopre di essere più giovane del gemello 1 che è ri­
masto a Terra. Il suo orologio interno ha infatti rallentato rispetto a quello di 1. Messo
in questa fo rma, il fe nomeno appare difficile da accettare per il senso comune: si tratta

92
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
però di un fe nomeno reale, come dimostrano gli esperimenti con gli orologi atomici
che descriveremo fra poco.
Il paradosso degli orologi (o dei gemelli) ha dato luogo, anche in un passato relati­
vamente recente, a lunghe e accese discussioni . Se ne può trovare un resoconto (con
ampia bibliografia) in L. Marder, Time and the Spa ce-Tra veller, George Allen and
Unwin, London 1971. Le controversie si sono definitivamente sopite dopo una serie
di esperimenti che hanno accertato in maniera incontrovertibile la realtà del fe nome­
no. Nel 1972 Hafele e Keating 12 imbarcarono su aerei di linea due orologi atomici
al cesio precedentemente sincronizzati. Gli orologi compirono un volo attorno alla
Terra in direzioni opposte, l'uno verso est, laltro verso ovest. Dopo il volo, le loro in­
dicazioni vennero confrontate con quelle di un orologio simile rimasto a terra: rispet­
to a questo, l'orologio che aveva viaggiato verso est era in anticipo di (59 ::±: 10) ns,
mentre quello che aveva viaggiato verso ovest era in ritardo di (273 ::±: 7) ns. Questi ri­
sultati sono in eccellente accordo con le predizioni relativistiche se si tiene conto sia
dell 'effetto di dilatazione dei tempi previsto dalla relatività speciale, sia di quello del
campo gravitazionale terrestre previsto dalla relatività generale (la differenza fra i
tempi dei due orologi aerotrasportati si spiega col fatto che nel volo verso est la velo­
cità dell' aereo si somma a quella di rotazione della Terra, mentre nel volo verso ovest
le due velocità si sottraggono).
È un utile esercizio calcolare esplicitamente , nell' ambito della relatività speciale
-
cioè fac endo uso della [3.95] -, la diffe renza percentuale fra il tempo proprio � r 1
dell'orologio l fermo al suolo e il tempo proprio � r2 dell'orologio 2 a bordo dell'aereo.
Per semplicità, supporremo che l sia collocato ali ' equatore e 2 viaggi su un'orbita
equatoriale (queste non erano in realtà le condizioni dell'esperimento di Hafele e
Keating). La relazione tra � r2
e�r1è
[3. 101 ]
dove la velocità relativa V è
[3.102]
Qui v è la velocità dell' aereo, Oai è la velocità angolare di rotazione della Terra e Rai è
il raggio terre stre . Il segno in alto corrisponde al volo verso est (la velocità dell'aereo
e quella della Terra si sommano), mentre il segno in basso corri sponde al volo verso
ovest (la velocità dell'aereo e quella della Terra si sottraggono). Poiché V<< e, si ha
approssimativamente
[3. 103]
1 2 J . C . Hafele e R.E. Keating, in «Science», 177, 1972, p. 166.

3. 8 I Complementi
93
e la differenza percentuale dei tempi propri è
S= �r2
-
�r1 __ (v±n!J
J
R!J
J
)2 _ _ L::;:vO.!J!R!J!
-
�'l"1
-
2c2
-
2c2
c2
[3.104)
Numericamente, conv = 300m s- 1 , O.!J
J
= 7.3X10-5rads-1eR!J!=6.37X106m,si
tro va
s-{
-
2.1X 10- 12
-
+1.1X10-12
(volo verso est)
(volo verso ovest).
[3.105 )
Per poter verificare queste predizioni è necessaria un' accuratezza nelle misure
temporali di meno di una parte su 1012. Ciò è stato reso possibile, a partire dagli anni
settanta, dagli orologi atomici, che hanno consentito di trasformare l'esperimento
concettuale di Einstein in esperimenti reali. Come vedremo nel § 1 1.16.4, la relati vità
generale prevede un ulteriore termine nella [3.104), proporzionale al campo gravita­
zionale terrestre e dello stesso ordine di grandezza degli altri due contributi.
Oggigiorno gli effetti relativistici sulle frequenze di orologi in moto relativo sono
verificati in continuazione dal sistema di posizionai;nento satellitare GPS ( Global Po­
sitioning System). Questo sistema usa orologi atomici collocati su satelliti per deter­
minare le posizioni sulla Terra con una precisione di una decina di metri . A tale scopo
è necessario tener conto di tutte le correzioni relativistiche: il corretto fu nzionamento
del GPS costituisce quindi un test quotidiano della relatività speciale e generale.
C'è un'interessante illustrazione del paradosso dei gemelli, dovuta a C. G. Darwin («Nature»,
180, 1957, p. 976) e ripresa da R. Resnick nel suo libro (Introduzione alla relatività ristretta ,
Casa Editrice Ambrosiana, Milano 1969, App. B .3), che ne sottolinea la consistenza con l'ef­
fetto Doppler relativistico. Supponiamo che all 'istante t =Oil gemello G 2 parta dal punto x =O,
dove si trova il gemello G 1, muovendosi con velocità costante v = 0.6 e lungo una direzione che
identifichiamo con l'asse x. Dopo un intervallo di tempo pari a 4 anni, misurati dal suo orolo­
gio, G 2 inverte il moto e, con la stessa velocità, fa ritorno in x =O, dove giunge dopo altri 4
anni. Complessivamente, per il gemello G 2 il viaggio dura Ll r2 = 8 anni, mentre per il gemello
G1 la durata è, secondo la [3.95], il r1 =ilr2/V1 - v2/c2 =ilr2/0.8 = 1 O anni. La situazione è
raffigurata nel diagramma di Minkowski di fi gura 3.12.
Immaginiamo ora che i gemelli si scambino dei segnali radio a intervalli regolari di un anno
(misurato dai rispetti vi orologi). In fi gura 3.12 questi segnali sono rappre sentati dalle linee trat­
teggi ate parallele alle bisettrici dei quadranti. G 2 riceve 2 segnali in 4 anni durante il viaggio
d'andata, e 8 segnali in 4 anni durante il viaggio di ritorno. Dal canto suo, G 1 riceve 4 segnali
nei primi 8 anni (corri spondenti al viaggio d' andata di G 2 ), e 4 segnali nei restanti 2 anni (viag­
gio di ritorno di G2). La diversa fr equenza dei segnali ricevuti dai gemelli durante il viaggio
d' andata e il viaggio di ritorno si spiega con l'effetto Doppler relativistico. Quando, all' andata,
G 2 si allontana da G 1> la frequenza dei segnali che uno dei gemelli riceve dall'altro è ridotta, ri­
spetto alla frequenza propri a, di un fattore
_
1-0,6 __!_
-
!8%f- 2·
[3. 106]

94
et (anni luce)
10R
o
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
X
Figura 3.12
L' orologio 2 compie un viaggio di andata e
ritorno a velocità f3 = 0.6 (la sua linea di uni­
verso è la spezzata OIR). L 'orologio 1 rimane
fermo nel!'origine. I due orologi si scambia­
no segnali luminosi a intervalli regolari di un
anno.
Quando invece, al ritorno, G 2 si riavvicina a G 1 , la frequenza dei segnali che uno dei gemelli ri­
ceve dall'altro aumenta, rispetto alla fr equenza propria, di un fattore
R=J
I+0,6
=
2_
I -0,6
e
[3. 107]
Le (3. 106-3 .107] spiegano come mai, durante il viaggio di andata, G 2 riceve
2
segnali in 4 anni
e G1 riceve 4 segnali in 8 anni (quindi con una fr equenza dimezzata rispetto a quella propria,
che è di I segnale all' anno), mentre durante il viaggio di ritorno G 2 riceve 8 segnali in 4 anni e
G 1 riceve 4 segnali in 2 anni (con una fr equenza doppia rispetto a quella propria) . L' asimmetria
tra G 2 e G1 sta nel fatto che, mentre G 2 riceve segnali a frequenza dimezzata per 4 anni e segna­
li a frequenza doppia per altri 4 anni, G1 riceve segnali a frequenza dimezzata per 8 anni e se­
gnali a frequenza doppia per
2
anni.
3.8 .4 . Osservare e misurare: la contrazione delle lunghezze è visibile ?
Nel linguaggio della relatività si fa spesso uso di termini quali «osservatore» e «os­
servazione». È bene allora chiarire che il verbo «osservare» va inteso nel senso di
«misurare». Un osservatore è dotato di regoli e orologi con cui misura lunghezze,
tempi e, indirettamente, velocità, accelerazioni ecc .

3. 8 I Complementi
E'E
F
o
'
'
'
'
:H' :H
1--
:::..1---
8
e
/Ve rso
' oss e rvatore
-�V
G
95
Figura 3.13
Cubo in movimento visto da un osserv atore lontano.
La distinzione tra «osservare », nell' accezione comune di «vedere», e «osservare»,
nell' ac cezione scientifica di «misurare», è da tenere a mente in special modo quando
si considera il fe nomeno della contrazione delle lunghezze. Un osservatore a riposo
vede , o misura, la contrazione della lunghezza di un' asta in movimento? Per molto
tempo si è ritenuto, più o meno tac itamente, che la contrazione fo sse visibile : in linea
di principio (cioè prescindendo da difficoltà di ordine pratico), un osservatore sareb­
be in grado di vedere o di fo tog rafa re le dimensioni contratte di un oggetto in moto.
Questa convinzione è in realtà fal sa: l'os servatore misura la contrazione delle lun­
ghezze (applicando la procedura operativa discussa nel § 3.1), ma non la vede, in
senso stretto . In altri termini, un' asta in movimento non appare contratta. 1 3 La ragione
è semplice. Quando vediamo o fo tografiamo un oggetto, ciò che in effetti facciamo è
registrare l'arrivo simultaneo di fo toni sulla retina del nostro occhio o sulla pellicola.
Questi fotoni, però , non sono riflessi simultaneamente da tutti i punti dell'oggetto : i
fo toni che giungono dai punti più lontani dell' oggetto sono stati emessi prima di quelli
che giungono dai punti più vicini . Dunque, se l'oggetto èin moto, la sua osservazione
(in senso stretto) non equivale a una misura (visiva) delle sue dimensioni (si ricordi
che per misurare la lunghezza di un' asta in movimento occorre conoscere la posizione
delle sue estremità nello stesso istante di tempo).
Se l'angolo sotteso dall'oggetto rispetto al punto di osservazione è molto piccolo,
all'occhio dell 'os servatore, o alla macchina fo tografica, l'oggetto non appare contrat­
to, bensì ruotato. Vediamo come si giunge a questa sorprendente conclusione. Si con­
sideri un cubo di spigolo e in moto con velocità v rispetto a un osservatore lontano
(fig. 3.13). I fo toni provenienti dalla faccia ABCD raggiungono simultaneamente
l'occhio dell 'os servatore . A causa del movimento del cubo, l'occhio riceve, nello
stesso istante di tempo, anche i fo toni riflessi dai vertici E e H quando questi vertici
13 A far notare ciò fu James Terrell nel 1959 (vedi J. Terrell, in «Phys. Rev.», 116, 1959, p. 1041, e
·
anche V. F. Weisskopf, in «Phys. Today», 24, settembre 1960). In precedenza, a una conclusione più o
meno simile erano pervenuti McCrea e Penrose.
1:

96
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
occupavano le posizioni E ' e H ' . La faccia laterale AEHD del cubo è quindi visibile e
-
--
l'os servatore vede uno spigolo EA pari a E ' E. Poiché i fo toni provenienti da E ' eA ar­
rivano contemporaneamente all' occhio dell 'osservatore, il tempo in cui il vertice si
sposta da E ' a E, cioè E ' Elv , deve essere uguale al tempo che la luce proveniente da
E ' impiega per percorrere la distanza in più rispetto ad A: se, come abbiamo supposto,
il cubo è molto lontano, questa distanza addizionale è circa e e il tempo corri sponden­
te è e/e. Si ha quindi E'Elv = f/c, da cui E'E=(vlc)f. L'osservatore, dunque, vede la
fac cia laterale AEHD di larghezza ( vlc)f (fig. 3.14). Ora, se adottiamo la meccanica
newtoniana, la fa ccia frontale del cubo è un quadrato di lato e e la vista che si offre all 'os­
servatore è quella di figura 3.14a. Se, invece, il cubo si muove a velocità relativistiche
la larghezza della sua fac cia frontale risulta contratta e vale e \1 1 -v2 /c 2 . All ' osser­
vatore il cubo appare come in fi gura 3.14b, cioè ruotato di un angolo a= sin- 1 ( vie)
-
�
(fig. 3 .14c). Si ha infatti , per la proiezione di EA sul piano frontale, MA = e sin a=
=f(vlc) e per la proiezione di AB sullo stesso piano, AN = ecos a=fYl - v2/c2.
Secondo la relatività speciale, quindi , un osservatore non vede la contrazione di Lo­
rentz di un oggetto in moto, ma una sua rotazione.
Se l'angolo sotteso dall'oggetto rispetto al punto di osservazione è fi nito, parti di­
verse dell'oggetto appaiono ruotate di angoli diversi, e si ha quindi, complessivamente,
una distorsione della fo rma.
EA
B
1:::0H D e
(a)
Figura 3.14
EA
B
r::::oH D
(b)
e
E
MA
(e)
F
B
N
(a) Vista fr ontale del cubo. Caso non relativistico: AB = C, EA = (vlc)C. (b) Vista fro ntale del cubo.
Caso relativistico: AB = CVI - v2/c2, EA = (v/c)C. (e) Faccia superiore del cubo ruotata di un angolo
a=sin- 1(v/c): MA = Ccos a= CVI - v2/c2, AN=Csin a=(vlc)C.
3.8. 5 . La p recessione di Thomas
Abbiamo visto nel § 3.5 che i boost lungo uno stesso asse fo rmano un gruppo. Ciò
non è più vero se i boost sono effettuati lungo direzioni diverse. Componendo due
boost di questo tipo, infatti, non si ottiene un altro boost, ma un boost più una rotazio­
ne: in altri termini, I' insième dei boost lungo direzioni arbitrarie non è chiuso rispetto
alla loro combinazione. Questo fatto è alla base di un fe nomeno di grande importanza,
la p recessione di Thomas. 1 4
Cominciamo col verificare che il prodotto di due boost lungo assi diversi non è un
altro boost. Siano 'J{, 'J{ ' e 'J{" tre sistemi di riferimento inerziali in moto relativo
1 4 L. H. Thomas, in «Nature», 117, 1926, p. 514; in «Phil. Mag.», 3, 1927, p. I .

3. 8 I Complementi
97
uniforme (fig. 3.15): 'J{ ' si muove rispetto a 'J{ con velocità v diretta lungo l'asse x;
'J{ " si muove rispetto a 'J{ ' con velocità u diretta lungo l'asse y '. Le trasformazioni di
Lorentz che fanno passare da 'J{ a 'J{ ' sono
x'= y'(x-vt)
y'=y
z'=z
t' = r{-�n
dovey' = (1- v2/c2)-
1 12 . Le trasformazioni di Lorentz da 'J{ ' a 'J{ " sono
x"==x'
y" = y"(y' - ut')
z"=z'
t"=r"(r'-
u
/i')
con y" = (I- u2/c2)-
1 12 . Combinando le [3. 109) con le [3. 108) si ricava
x" =y'(x - vt)
y" = y"y-y"y'u(t-�;)
z"=z'
t" = y"y'(r-�;)-r'�{
y"
u
x"
y
z"
y'
V
X
x'
z
z'
Figura 3.15
Boost lungo direzioni diverse.
[3. 108)
[3. 109)
[3. 110)

98
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
Dobbiamo ora vedere se queste leggi di trasformazione corrispondono a un boost,
cioè se possono essere ricondotte alle [2.66, 2.68], con le sostituzioni t' � t", x
'
�x"e
con y=(l - w2/c2)- 112, dovew è la velocitàdi';/{" rispetto a';/{.Innanzitutto, w si ot­
tiene combinando veu secondo le [3.28-3.30] ,
Il modulo quadro di w vale
u2
w2=w2+w2+w2=v2+-
X
y
Z
y'2 "
Con le componenti [3.111] di w la [2.68] dà
(y-l)v(
uy)
x" =x+
vx +-
-yvt
w2
y'
,
[3.111]
[3. 112]
[3. 113]
che, come si vede, non ha la fo rma della prima delle [3.11 O] . Le [3.11 O] , dunque, non
rappresentano un boost.
L'interpretazione di quanto abbiamo scoperto è la seguente . Mentre il sistema di
riferimento ';/{ " è paraìlelo a';/{ ' e quest'ultimo è parallelo a';/{, i sistemi di riferimento
';/{ " e ';/{ non sono paralleli. Gli assi di ';/{ " sono ruotati rispetto a quelli di ';/{ . Ciò ha
un' importantissima conseguenza. Supponiamo che una particella, cui è associata una
grandezza fi sica vettoriale A, si muova lungo un'orbita chiusa in un sistema inerziale
';/{ . Il sistema di riferimento ';/{ ' solidale con la particella sarà, istante per istante, ruo­
tato rispetto a 'Jl . Al completamento dell'orbita, il vettore A avrà subito una preces­
sione (la precessione di Thomas) , la cui velocità angolare risulta essere
_
y-1
dv
IDT- ---2-vX-
d
,
V
t
dove v è la velocità della particella. Deriveremo ora la [3 .114].
[3. 114]
Siano ';/{, ';/{ ' e';/{ " tre sistemi di riferimento inerziali paralleli a coppie (';/{ ' è paralle­
lo a';/{, ';/{ " è parallelo a 'Jl '). Supporremo che il boost che lega ';/{ " a';/{' sia infinitesimo.
Le velocità relative sono:
•
la velocità di ';/{ ' rispetto a';/{ è v (diretta lungo x) ;
•
la velocitàdi';/{" rispetto a';/{ è w = v + dv;
• la velocità di ';/{ " rispetto a';/{ ' è dv' (la trasformata di Lorentz di dv).
È cruciale notare che, poiché ';/{ " e';/{ non sono paralleli, la velocità w " di ';/{ rispetto a
'JC" non è uguale a - w . Sarà proprio l'angolo tra w e w " a quantificare la rotazione
degli assi.

3. 8 I Complementi
99
Cominciamo col calcolare w componendo, secondo Lorentz, la velocità dv' di 'J{"
rispetto a :J[ ' con la velocità relativa di :J[ ' e :J[ , che è v. Usando le trasformazioni
inverse delle 28-3 . 30) si trova, al primo ordine negli infinitesimi,
w=
X
dv�+v
1
vdv�
+-­
c2
=dv�+v,
dv'
dv'
w=--
-�-
=..:
:.:.J'.
y
r(1 +
v
:�;)y'
[3. 115)
[3. 116]
dovey=(1-v2/c2)-112
• La tangente dell' angolo che w forma con lasse delle x è
w
dv'
dv'
tan e{>=� = y(dv; +v) -�,
e poiché questa è una quantità infinitesima potremo scrivere
dv'
cf>=tan cp=..:
:.:.
..l'.
.
yv
[3.117)
[3. 118)
La velocità w " di :J{ rispetto a ':J{ " si ottiene combinando la velocità di :J[ rispetto a :J[ ' ,
che è - v, con la velocitàrelativadi :J[' e :J[", che vale - dv' . Abbiamo così
w := -v -dv;,
w;= -dv;,
e per l'inclinazione di w " rispetto ali' asse x
"
si trova
w"
dv'
<f'=tancf>"=..'.
.'.
..
.!'.
.
=..:
:.
.:
:.l'.
.
.
w:
V
L' angolo (infinitesimo) tra w e w " è dunque
da cui, usando dv; = ydvy,
y-1
dc{>= ---dvy.
V
[3. 119]
[3.120)
[3.121)
[3. 122)
[3. 123)
Tornando all'esempio della particella in moto lungo un'orbita chiusa, :J[ " e :J{ ' rappre­
sentano sistemi di riferimento solidali con la particella in due istanti di tempo diversi
separati da un intervallo infinitesimo dt. La variazione di cf> per unità di tempo, cioè la
velocità angolare della precessione, sarà quindi
w
=
dc{>
=
_
y-1dvy
T
dt
V
dt
.
[3.124)

100
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
È possibile mostrare che, in generale (cioè non restringendosi al caso che abbiamo
considerato per semplicità, in cui v è diretto lungo l'asse x), si ha, come anticipato
y-1
dv
COT = ---2-v X-
d.
V
t
Se v << c, la [3.125] è in prima approssimazione
1
dv
coT
=-
2c2 v xdt.
[3. 125]
[3.126]
Si noti che la rotazione avviene attorno a un asse perpendicolare al piano contenente
la velocità e l'accelerazione della particella. La variazione nel tempo di una grandez­
za vettoriale A in un sistema inerziale 'J{ è legata alla corrispondente variazione nel si­
stema di riposo 'J[ ' della particella (che è un sistema di riferimento non inerziale) da
(��)X
= (�)X'
+COTXA.
[3.127]
La precessione di Thomas ha effetti importanti nella dinamica dello spin degli elettro­
ni e nei fe nomeni a essa collegati (struttura fi ne degli atomi ecc.), come vedremo nel
§ 9.13.1.
3.8 .6. Ve rifiche della relatività speciale (I)
Le verifiche dirette della relatività speciale si fo ndano essenzialmente sull' indivi­
duazione di alcuni parametri «critici» e sul confronto tra i valori sperimentali di tali
parametri e quelli predetti dalla teoria relativistica.
Supponiamo che esista un sistema di riferimento inerziale 'd', di coordinate spazio­
temporali x, y, z, t, dotato delle seguenti proprietà: a) la velocità della luce nel vuoto c
è la stessa in tutte le direzioni (ciò vuol dire che in 'd' valgono le equazioni di Maxwell);
b) lo spazio appare omogeno e isotropo , e il tempo uniforme .
Sia 'J{ un altro sistema di riferimento inerziale, di coordinate spazio-temporali x
'
,
y'
, z ' , t', in cui vengono effettuati gli esperimenti. Supporremo per semplicità che 'J{
si muova rispetto a 'd' con velocità v diretta lungo l'asse x, che gli assi di 'J{ siano pa­
ralleli a quelli di 'd' e che le origini dei due sistemi di riferimento coincidano all 'istante
t' = t = O . Nessuna ipotesi sarà fatta riguardo alla velocità della luce in 'Jl.
Sfruttando l'isotropia dello spazio in 'd', la simmetria della configurazione e la
legge oraria x = vt dell'origine di 'J{ in 'd', si trova
15
che le relazioni tra x' , y
'
,z',t'ex,
y, z, t sono le [2.27], cioè
(x
'
= A(v)(x - vt),
y'
= E(v)y,
[3.128]
z' = E(v)z,
t' = C(v)t + D(v)x.
15 Per non appesantire la discussione, in questo paragrafo ometteremo la maggior parte dei passaggi
algebrici (peraltro piuttosto semplici).

3. 8 I Complementi
101
Si noti che per ottenere le [3.128) non abbiamo fatto appello al principio di relatività.
Poiché la velocità della luce in gi è e, se gli eventi (x
1
, Yi.Zi.t1)e(x
2
, Yz, z2, t2) rap­
presentano rispettivamente l'emissione e l'arrivo di un segnale luminoso, si avrà
[3.129)
dovet:i.t==t
2
-
t1
, Lix == x 2 - x 1 ecc . Attraverso le [3.128) possiamo calcolare gli inter­
valli t:i.t', Lix', Liy ' e Liz'. Siano O e <p gli angoli che identificano la direzione di propa­
gazione del segnale luminoso in 'J{ , cioè
con
Lix' = Lir'cosO, Liy' = Lir' sinOcos<p, Liz' = Lir'sinOsin<p,
La velocità della luce e' in 'J{ è
,
Lir'
e=
Lit' '
e per essa si trova, senza eccessiva difficoltà, l'espressione
[3.130)
[3.131)
[3. 1 32)
--
-
=-+
cos u+--
-
1
[D (C+ vD)v l
.o C+vD[ cos20
c'(v, O) A
c2A(1-��) e
A1(1-��)2
.
2o ]1/2
+
E'i;"
_
�:)
[3. 1 33]
In generale, come si vede, la velocità della luce in 'J{ dipende da vedall'angolo O.
Se adottiamo in 'J{ la procedura di sincronizzazione degli orologi di Einstein, la ve­
locità della luce in una certa direzione dovrà essere uguale a quella in direzione oppo­
sta. Ciò vuol dire, in particolare, che deve annullarsi il termine in cos O nella [3.133).
Ponendo uguale a zero il relativo coefficiente, si trova
e le [3.128] diventano
x' = A(v)(x - vt),
y' = E(v)y,
z' = E(v)z,
t' � C(v)(r- ��).
[3.134)
[3.135)
Usando la [3.133) e la [3.134), ricaviamo il rapporto tra la velocità della luce in 'J{ e
quella in gi:
c'(�O)
=
Af{E2 (1- sin2 0)+A2 (1-��)sin2 0r 112
•
[3.136)

102
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz \ Cap. 3
Nel limite v �Oi coefficienti A, C, E devono assumere i valori (corrispondenti alla
trasformazione identica)
A(O)=1, C(O)=1, E(O)=1.
[3.137)
Supponendo , come è ragionevole, che A , C, E non dipendano dal segno di v, cioè dal
verso del moto di 'J{ rispetto a�, possiamo sviluppare i tre coefficienti in serie di po­
tenze di v 2/c2 . Limitandoci ai termini quadratici avremo
v2
A=l+a-y
e
,
v2
C=l+X2
e'
v2
E =l+t:-y
e'
[3.138)
con a, x, t: costanti. Se ora sostituiamo le [3.138) nella [3.1 36), con un calcolo ele­
mentare otteniamo all'ordine v 2/c 2
c'(v 79-)
v2(
l)v2
--'
-
=l+(a-x) -+ t:- a+- -sin2 7J.
e
c2
2c2
I due parametri rilevanti sono
1
a=a-x, b=t:-a+2·
La teoria della relatività prevede per i coefficienti A, C, E
A(v)=C(v)=y(v)=
n2
,
l-­
c2
da cui
ovvero
a=b =O.
E(v) = 1,
[3. 1 39]
[3. 1 40)
[3.14 1)
[3.1 42)
[3.143)
Secondo la relatività speciale, infatti, la velocità della luce in 'Jl non dipende né dalla
direzione, né dalla velocità di 'J{ rispetto a un ipotetico sistema di riferimento privile­
giato �- Valori non nulli di a e b segnal erebbero un'eventuale violazione dei princìpi
relativistici.
Gli esperimenti di interferometria ottica permettono di ottenere dei limiti superiori
per I a I e I b I. In particolare, esperimenti del tipo di Michelson-Morley forniscono
info rmazioni su b , cioè su una possibile dipendenza della velocità della luce dalla di­
rezione del segnale luminoso. La determinazione più accurata finora è quella di Brillet
e Hall,16
16 A. Brille! e J. L. Hall, in «Phys. Rev. Lett. », 42, 1979, p. 549.
[3.144)

3. 8 I Complementi
103
Esperimenti del tipo di Kennedy-Thorndike (con bracci interferometrici disuguali)
forniscono invece informazioni su I a I, cioè sulla possibilità che la velocità della luce
dipenda dal moto dell' apparato rispetto a un ipotetico sistema «fisso». Una misura
recente 1 7 dà
[3.14 5]
3.8. 7. A lte rna tive alla teoria einsteiniana ?
Le trasformazioni [3. 128] legano le coordinate spazio-temporali x' , y
'
,z
'
, t'diun
sistema inerziale 'J{ alle coordinate spazio-temporali x, y, z, t di un ipotetico sistema di
riferimento privilegiato 'd' in cui la velocità della luce è isotropa (si usa pensare a 'd'
come al sistema solidale con il fo ndo della radiazione cosmica di corpo nero, la cui iso­
tropia è accertata con estrema precisione). Come abbiamo visto nel paragrafo pre­
cedente, le [3. 128] non discendono dal principio di relatività, né da una particolare
procedura di sincronizzazione degli orologi. In 'J{ la velocità della luce dipende dalla
direzione di propagazione del segnale e dalla velocità v di 'J{ rispetto a 'd', cfr. [3.133].
La scelta della procedura di si ncronizzazione fi ssa il coefficiente D. Ad esempio,
adottando la sincronizzazione einsteiniana, dalle [3. 128] si ottengono le [3.135].
Se richiediamo che le [3.128] spieghino, nel sistema del laboratorio 'J[, il risultato
dell'esperimento di Michelson e Morley e l'effetto Doppler trasverso, riusciamo a de­
terminare univocamente i coefficienti A ed E e a trovare una relazione tra CeD; le
trasformazioni tra 'J{ e 'd' diventano così 18
x-vt
x'=
p;2
,
l-­
c2
y'
=y,
z'
=z,
t'=Jl-
V
2
t+D(x-!!.!._).
c2
c2
[3. 146]
[3. 147]
[3. 148]
[3. 149]
È fac ile convincersi che, optando per la procedura di sincronizzazione di Einstein in
'J{, le [3.146-3. 149] si riducono alle trasformazioni di Lorentz .
Un punto di vista radicalmente antirelati vi stico consiste invece nell'imporre che la
simultaneità sia assoluta (anche questo è un modo di scegliere la procedura di sincro­
nizzazione). Nella [3.149] si ha allora D = Oe le [3. 146-3.149] assumono la forma
x-vt
x'=
p;2
,
l--
c2
[3.1 50]
y'
=y,
[3. 151]
17C. Braxmaier e altri , in «Phys. Rev. Lett.», 88, 2002, p. 010401 .
1 8 Per una dimostrazione si veda, ad esempio, F. Bampi e C. Zordan, in «Ann. Phys. (NY)», 190, 1989,
p. 428; F. Selleri, Lafi sica del No vecento, Progedit, Bari 1999, cap. 4 .

104
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
z'=Z,
[3. 152]
t' = J1-��t.
[3. 153]
Queste leggi di trasformazione sono state derivate in vari lavori. 19 Riassumiamo le as­
sunzioni che soggiacciono a esse e le conseguenze che se ne traggono:
• Esiste un sistema di riferimento privilegiato � in cui la velocità della luce c è iso-
tropa.
• La simultaneità degli eventi è assoluta.
• L'esito dell'esperimento di Michelson e Morley e il fe nomeno della dilatazione
delle durate (con tutte le sue conseguenze, ad esempio l'effetto Doppler trasverso)
sono predetti correttamente.
• La velocità della luce c' in un sistema di riferimento inerziale 'J{ in moto con velo­
cità v rispetto a �è
C1(tJ) [ (V) ]-I
--
=
1+ - cost>
c
c
[3. 154]
La velocità di sola andata della luce dipende dalla direzione, quella di andata e ri­
torno no.
Alcuni autori hanno sostenuto che le [3. 1 50-3 .153] rappresentano una valida alter­
nativa alle trasformazioni relativistiche dal momento che: 1) esse permettono di spie­
gare ugualmente bene i risultati degli esperimenti ottici, 11) la scelta della sincronizza­
zione è convenzionale (e quindi non vi è motivo di preferire la procedura di Einstein a
quella basata sull' assolutezza della simultaneità). Inoltre , la previsione [3. 154] non
sarebbe verificabile (o confutabile), poiché la velocità di sola andata della luce non
può essere misurata (si veda la discussione alla fi ne del § 2. 11.1). Secondo questi au­
tori, insomma, il principio di relatività non avrebbe un reale sostegno sperimentale.
Si tratta di una posizione non condivisibile per varie ragioni :
•
Non tutte le procedure di sincronizzazione sono realizzabili sperimentalmente e
sono quindi sensate da un punto di vista fi sico. Una procedura che faccia riferimen­
to al sistema privilegiato � non è op erativa, dal momento che � è inaccessibile.20
• Abbiamo visto nel § 2. 11.1 che, anche se la velocità della luce di sola andata non è
in linea di principio misurabi le, una sua anisotropia può essere evidenziata me­
diante alcuni esperimenti : i dati attuali, piuttosto pr.ecisi, la escludono.
• Le verifiche sperimentali della relatività non sono soltanto di tipo cinematico (e
quindi legate essenzialmente a fe nomeni ottici). Le ipotesi fi siche alla base delle
trasformazioni di Lorentz hanno conseguenze dinamiche ri levanti e fac ilmente ve-
19 F. R. Tangherlini, in «Suppi. Nuovo Cim.», 20, 1961, p. I; S. Marinov, in «lnt. J . Theor. Phys.», 13,
1975, p. 189; Id., in «Found. Phys.», 8, 1978, p. 80 1.
2 0 Per una critica di alcune procedure di sincronizzazione alternative a quella di Einstein, vedi H. P . Ro­
bertson, in « Rev, Mod. Phys.», 2 I, 1949, p. 378.

Problemi
105
rificabili. Tutta la fi sica delle particelle elementari si fonda sulle leggi relativisti­
che e mostra, con estrema accuratezza, che tal i leggi sono corrette .
In conclusione, si può affermare , col sostegno di una ricchissima fe nomenologia,
che la teoria einsteiniana della relatività rappresenta, allo stato attuale delle cono­
scenze, una descrizione valida del mondo fi sico.
Problemi
I. Co ntrazione delle lunghezze ( I)
Un aeroplano ha una lunghezza propria di 30 meviaggia a una velocità di 800 Km/ora. Qual
è la lunghezza dell'aeroplano misurata da un os servatore a terra?
2. Co ntrazione delle lunghezze (Il)
Quale deve essere la velocità di un osservatore affinché la lunghezza di un' asta che egli mi­
sura sia pari a metà della lunghezza propria dell'asta?
3. A sta inclinata
Un' asta di lunghezza L è inclinata di un angolo a rispetto all ' asse x di un sistema di riferi ­
mento inerziale 'Jl. Determinare la lunghezza e l'inclinazione dell'asta in un sistema inerziale
"J{ ' in moto rispetto a "J{ con velocità v diretta lungo x.
4. Corpi rigidi in relatività
Spiegare perché il concetto di corpo rigido non può trovare posto in re latività. (Ciò non
comporta alcun problema per la costruzione operativa della fi sica, dal momento che non abbia­
mo realmente bisogno di un' asta rigida per definire un campione di lunghezza. Oggi si utilizza
infatti una misura di fr equenza convertita in una misura di lunghezza d' onda attraverso la rela­
zione À = clv).
Suggerimento . Si ric ordi la definizione di corpo rigido e si mostri che essa implica la possi­
bilità di trasmissione istantanea dei segnali.
5. Co ntrazione delle lunghezze e diag ra mmi di Minkowski
Illustrare la contrazione delle lunghezze mediante un diagramma di Minkowski come in
fi gura 3.2, ma supponendo che sia"J{ il sistema di riferimento in cui l'asta è a riposo.
6. «Paradosso » dell 'asta e dell 'apertu ra (I)
In un sistema di ri feri mento inerziale "J{ un' asta AB, muovendosi a una velocità costante v
quasi parallela ali' asse x, attrav ersa un' apertura fi ssa CD di lunghezza L disposta lungo lasse x
(fig. 3. 16). Supporremo che le estremità dell'asta A e B coincidano con quelle dell'apertura, ri­
spettivamente CeD, al l'is tante t =O. Nel sistema di riferimento "J{ ' solidale con l'asta la lun­
ghezza dell' apertura è contratta e si potrebbe pensare che l'asta non riesca ad attraversarla. Non
è così, perché in "J{ ' l'asta e l'apertura non sono parallele e gli eventi coincidenza di A e Ce
coincidenza di BeD non sono simultanei . Calcolare le posizioni delle estremità dell' asta e del-

106
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
A
B
e
o
Figura 3.16
«Paradosso» dell'asta e dell'apertura (!).
l'apertura in 'J{ ' all'istante t' =Oe illustrare la geometri a del sistema in 'J{ ' (si scelga come ori­
gine dei tempi di 'J[ e 'J[ ' , t' = t =O, l'istante in cui A coincide con C, e come origine spaziale,
O=O',ilpuntoincuisitrovanoAeCall'istantet' = t =0).
Risposta . Posizioni delle estremità in 'J[ ' all 'istante t' =O:
A: x' =O,y' =O;
C:x'=O,y'=O.
B: x' =Lsin2 8+yLcos2 8, y' =(y- 1)Lcos8sin8.
D: x' = Lsin28+�cos28, y' = (+-1)Lcos&sin8.
7. «Paradosso» dell 'asta e dell 'apertura (Il)
Un' asta lunga 1 m, muovendosi orizzontalmente con velocità costante v su un tavolo piano,
incontra un buco di I mdi larghezza. Supponiamo che il fattore lorentziano dell'asta sia y = 5.
Nel sistema di riferimento 'J[ del tavolo l'asta appare lunga solo 20 cm e cade quindi nel buco
sotto l'azione della gravità (fig. 3 .17). D' altra parte, nel sistema di riferimento 'J[ ' solidale con
l'asta, è il buco ad apparire largo 20 cm e ci si potrebbe aspettare che l'asta scivoli su di esso
senza cadere . Mostrare che quest'ultima conclusione è scorretta: in 'J[ ' l' asta appare incurvata e
perciò cade ugualmente nel buco (vedi W. Rindler, in «Am. J. Phys.» , 29, 1961, p. 365).
Sugge rimento. Scrivere in 'J[ e in 'J{ ' le leggi orarie dell'estremità A dell' asta.
--
A
-
Figura 3.17
«Paradosso» dell'asta e dell'apertura (Il). L'asta (rettangolino scuro) è mostrata in quattro istanti
successivi nel sistema di riferimento del tavolo (rettangoli chiari), dove essa è contratta.
8. Dilatazione deg li intervalli temporali (I)
Unfasciodipioni (lacui vita media a riposoè r0 = 2.6 X 1o-s s)havelocità v = 0.9995 e nel si­
stema del laboratorio. A qual e di stanza d dalla sorgente si os�erva una fra zione!= 10% dei pioni?
Risposta:

Problemi
107
9. Dilatazione degli intervalli temporali (Il)
Una particella, la cui vita media, misurata nel suo si stema di riposo, è r0 , si muove con velo­
cità v diretta lungo x ri spetto a un sistema di riferimento inerziale 'X. Un osservatore è in moto
ri spetto a 'J{ con velocità u diretta lungo x. Qual è la vita media della particella misurata da que­
sto osservatore?
Risposta :
10. Dilatazione degli inte rvalli temporali e diagrammi di Minkowski
Illustrare la dilatazione degli intervalli temporali mediante un diagramma di Minkowski
come in fi gura 3.4, ma supponendo che sia 'J{ il sistema di riferimento in cui i due eventi si veri­
fi cano nello stesso punto dello spazi o.
11. Tempo prop rio
A quale velocità deve viaggiare un razzo per percorrere una distanza di 1000 anni luce in un
tempo proprio di IO anni?
12. In varianza del tempo prop rio
Dimostrare, attraverso un çalcolo esplicito, che il tempo proprio di un orologio è invariante
ri spetto alle trasformazioni di Lorentz.
Suggerimento. Si dimostri che
dtM=dt'J'-�·
dove v e v ' sono le velocità dell'orologio in due diversi sistemi di riferimento inerziali, 'J{ (il cui
tempoè t)e'J{' (ilcuitempoè t').
13. Misura di velocità mediante segnali rada r
Un razzo di lunghezza propria L si allontana dalla Terra a velocità costante v. Un segnale
radar emesso da una stazione terrestre viene riflesso da due specchi collocati sul razzo a distanza
d l'uno dall' altro (fig. 3.18). La stazione riceve i due segnali di ritorno separati da un intervallo
temporale M. Determinare la velocità v del razzo in fu nzione di de/1t.
V
Figura 3.18
Misura della velocità di un razzo medi ante segnali radar riflessi da due specchi.

108
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
Risposta :
(cM)2 - (2d) 2
v=e
(c�t)2 + (2d)2
14. Trasformazione di Lorentz della velocità
Un neutrone in moto con velocità (diretta lungo l'asse x) v = 10- 2 e rispetto al sistema del
laboratorio 'J{ decade emettendo un elettrone con velocità O.Se ri spetto al sistema di riferimento
'J{ ' solidale col neutrone, e diretta lungo l'asse y
'
. Calcolare il modulo e la velocità dell'elettrone
nel sistema del laboratorio.
15. Ve locità relativa di due pa rticelle
Due particelle si muovono l'una verso l'altra con velocità uguali e opposte e pari a O.Se.
Qual è la velocità relativa di avvicinamento?
16. Trasformazione di Lorentz dell 'accelerazione
Derivando rispetto al tempo le leggi di trasformazione [3.28-3 .30] delle componenti della
velocità u, ricavare la legge di trasformazione dell'accelerazione a""��.
Risposta :
a�= ax
a'=
y
a'=
z
(v2)3n
l-­
c2
[3. 1 55]
[3.156]
[3. 1 57].
(Si noti che, a diffe renza di quanto accade nella meccanica newtoniana, l'accelerazione dipende
dal si stema di riferimento).
17. Determinazione della distanza di un oggetto da lle sue dimensioni angolari
Un disco di raggio R è fe rmo in un sistema di riferimento inerziale 'J{ ' e giace nel piano y
'
z',
con il centro sull'asse x' . Supporremo che la distanza del disco dall'origine O' sia molto più
grande di R (fig. 3 .19). Un osservatore posto in O' misura l' angolo i}' sotteso dal disco e deter­
mina la sua distanza d' usando la relazione d' = Rl iJ' , che vale dal momento che i}' è piccolo
(per la condizione d' >> R). 'J{ ' si muove ri spetto a un altro sistema di riferimento inerziale 'J{
con velocità v diretta lungo J' asse x e in modo che le origini O e O' coincidano all'istante t' = t =O.

Problemi
109
yy'
V
iJ, iJ'
x,x
'
Figura 3.19
Determ inazione della distanza di un disco mediante una misura dell' angolo da esso sotteso.
Un osservatore in O vede quindi il disco recedere a una velocità v. Qual è la distanza del disco
che questo osservatore determina misurando l'angolo sotteso tJ e usando la stessa form ula di
sopra?
18. Distribuzione angolare
Dei pioni decadono nel loro sistema di riposo ('Jl') emettendo fo toni con distribuzione iso­
tropa
dN dil'
N 4n'
dove N è il numero totale dei fo toni e dil' è un elemento infinitesimo di angolo solido in 'J{ '.
Nel sistema del laboratorio ('J{) i pioni hanno velocità v (diretta, ad esempio, lungo l'asse x) .
Calcolare la distribuzione angolare dei fo toni in 'J{ e il numero di fo toni emessi in avanti e al­
i'indi etro.
Risposta .
Distribuzione angolare in 'J{ ( tJ è l'angolo tra la direzione di emissione del fo tone e l'asse x) :
dN
I-/32 dQ
N=(1-f3costJ)241f·
Numero di fo toni in avanti (0 < cos tJ < 1):
N
Navanti = 2(1+ /3).
Numero di fotoni all'indietro ( - 1 < cos tJ < 0):
N
Nindietro = 2(]-/3) ·
1 9. Riflessione su uno sp ecchio mobile
Uno specchio, fi sso in un sistema di riferimento inerziale 'J{ ' e posto nel piano y
'
z', si muove
rispetto a un altro sistema inerziale 'J{ con velocità costante v diretta lungo lasse x (fig. 3 .20).
Espri mere l'angolo di incidenza 8; e l'angolo di riflessione 8, in 'J{ in fu nzione dell' angolo di

110
Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz I Cap. 3
y'J{
y' 'J{'
,'
Figura 3.20
Riflessione su uno specchio mobile.
incidenza e; in 'J{' (che, per la legge della riflessione, è uguale all' angolo di riflessione e;) e di
f3= vie. Mostrare che si ha
sin e;
-
cose;-/3
sin e,
-
cose,+/3
.
20. Effe tto Doppler
Una sorgente emette radiazione di lunghezza d' onda À0 . A quale velocità e in quale direzio­
ne ri spetto alla sorgente si muove un osservatore per il quale la lunghezza d' onda della radia­
zione vale 2À0? Che succede se los servatore si muove nella direzione opposta?
21. Effe tto Dopp ler non relativistico
Ricavare l'equazione [3.82] dell'effetto Doppler non relativistico. .
Suggerimento. Si ripeta la deri vazione del § 3.7, usando però le trasformazioni di Galilei.
22. Effe tto Doppler ed esperimento di lv es-Stilwell
Un atomo in moto con velocità v nel sistema di riferimento del laboratorio emette radiazione
di lunghezza d' onda À1 nella direzione del moto e À 2 nella direzione opposta. Mostrare che la
differenza tra la lunghezza d' onda media ?: = (À1 + À2 )12 e la lunghezza d' onda À 0 della radia­
zione emessa dall' atomo a riposo vale
,
-
1v2
M=À-Ào=2Àocz·
23. Esperienza di Fizeau con mezzi dispersivi
Un raggio luminoso si propaga in un mezzo in moto con velocità v ri spetto al sistema del la­
boratorio 'J{ . Il mezzo è dispersivo e ha indice di rifrazione n(À'), dove }.,' è la lunghezza d' onda
della luce misurata in un sistema di riferimento solidale col mezzo ('J{'). Calcolare la velocità
del raggio luminoso in 'J{ al primo ordine in vie.

Problemi
Il/
Risposta :
V=.E_+V(]-__!_
__
- -3:_�)
n
n2
nd;\,'
dove À è la lunghezza d' onda della luce in 'Jl.
Suggerimento. Si usi la form ula dell'effetto Doppler longitudinale per mettere in relazione
À e ;\,' , limitandosi al primo ordine in vie .

Capitolo 4
La dinamica relativistica
Nei capitoli precedenti abbiamo introdotto e studiato le trasformazioni relati visti­
che fra sistemi di riferimento inerziali. La domanda che si pone a questo puntb è quale
sia la leggefo ndamentale della dinamica nella teoria ·einsteiniana. Ci aspettiamo che
essa sia diversa dalla legge classica di J':l"ewton, ma non possiamo dedurla in via pura­
mente teorica. L' aspetto fo rmale della relatività, con i suoi due postulati e le conse­
guenze che da essi vengono dedotte , non déve infatti fa rci dimenticare che le leggi del
moto si fo ndano sull; esperimento. ti piincipio di relati vità vincola la forma delle
· leggi dinamiche, ma non le determina. Il motivo per cui esse sono quelle che sono è,
semplicemente, che così stanno le cose.
Le leggi che studieremo in questo capitolo sono sostenute da una mole impressio-
. nante di evidenze sperimentali, da quelle più inno.c ue - come la dinamica delle parti­
celle negli accekratori - a quelle più tragiche - come gli ordigni nucleari . Avremo
modo di incontrare per la prima volta una delle fo rmule più fa mose di tutta la fi sica,
assurta quasi a bandiera dell 'in tera disciplina: E0 = mc2 .
4.1. La legge fondamentale della dinamica
Gli studi sperimentali, dalle misure di Bucherer del 1908-09 (§ 4. 1 3 .2) alla moderna
fi sica degli acceleratori , mostrano che la legge di Ne wton
d
dt(mv) =F
[4. 1]
·
non è valida ad alte velocità (dell'ordine di quella della luce). Le deviazioni dal com­
portamento predetto dalla [4. 1] risultano tanto più grandi quanto più v si avvicina a c.
Da un punto di vista teorico, la [4. 1] confligge con l'assunzione relativistica dell'esi­
stenza di una velocità limite: una fo rza costante produrrebbe infatti , secondo la [4. 1 ],
un incremento indefinitamente grande della velocità della particella.

4. I I La legge fo nda mentale della dinamica
I13
Gli esperimenti indicano che la legge del moto corretta - cioè valida in qualunque
regime di velocità - è
d
dt(myv) =F.
(4.2]
Questa è la cosiddetta legge (o equazione) di Minkowski.
1
Si vede subito che nel limi­
tev << e essa si riduce alla[4.l],dato chey� l.
Rimandando ai prossimi paragrafi la discussione di alcune evidenze empiriche a
sostegno della legge di Minkowski, assumeremo d' ora in poi la sua validità come
fatto sperimentale (per una derivazione della [4.2) da un principio d'azione si veda il
cap. 6).
Ci sono alcune importanti differenze tra la legge di Minkowski [4.2) e la legge di
Newton (4. 1). La prima di queste differenze è la presenza nella [4.2) del fattore lo­
rentziano y, che smorza l'incremento di velocità quando v si approssima a c. Un' altra
differenza, meno evidente, riguarda il modo in cui si trasforma la fo rza nel passaggio
da un sistema di riferimento inerziale a un al tro . Affinché la [ 4.2) sia consistente col
principio di rel ati vità, cioè sia valida in tutti i sistemi inerziali, è necessario che, ri­
spetto a una trasformazione di Lorentz, F cambi nello stesso modo in cui cambia il
primo membro, d(myv)ld t. Le proprietà di trasformazione dei due membri della [4.2)
verranno studiate nel § 4. 11. Vedremo èhe il principio di relatività einsteiniano impli­
ca che le componenti della fo rza nell'equazione di Minkowski si trasformino in modo
alquanto diverso dalle componenti della fo rza che compare nella legge di Newton
(che, secondo la relati vità galileiana, non cambiano affatto).
Sviluppando la derivata al primo membro della (4.2], si trova
dv
dy
dy
F=my - +m-
·
v=mya+m-v.
dt
dt
dt
(4.3)
Scopriamo così un' altra caratteri stica peculiare della dinamica relativistica: la fo rza,
oltre a una componente parallela all' accelerazione a=d v/d t, ha una componente pa­
rallela alla velocità v. Poiché la deri vata temporale del fattore lorentziano è
dv
dy
=
v·
dt
=
r;
v·a
dt
c2(1 _ ��)312
e
'
dalla (4.3) si ricava
V
mya=F -my32(v·a),
e
(4.4)
(4.5)
1 In realtà, a Minkowski ( 1908) va attribuita la generalizzazione quadri vettoriale della (4 .2], vedi § 6.6.2 .
La [4.2], per il caso del moto di una carica in un campo eletiromagnetico, fu scritta per la prima volta da
Planck (1906), che ne evidenziò la covarianza rispetto alle trasforf(l azioni relativistiche.

114
che, moltiplicata scalarmente per v, dà
vz
my(v·a)=F ·v -my32(v·a).
e
Da qui estraiamo
my3(v ·a)=F·v,
e, inserendo questa relazione nella [4.5], si trova
dv
V
mydt =F-(F·v) ?,
ovvero
ma = l[p-(F · v).!:'._].
y
c2
la dinamica relativistica I Cap. 4
[4.6]
[4.7]
[4.8]
[4.9]
Questa è un' altra fo rma della legge di Minkowski . Si noti che se la forza, l'accelera­
zione e la velocità sono parallele, la [4.9] si riduce a
my3a = F,
[4. 10]
e la differenza rispetto al caso newtoniano è il fattore y3 che moltiplica l'accelerazione.
Esemp i
Una particella carica in un campo elettromagnetico è soggetta allafo rza di Lorentz
e la sua equazione del moto è
d
e
-
d
(myv) = eE+-vXB.
t
e
[4.I I]
Come si vedrà nel § 9.6, la [4.11] mantiene lastessa forma nel passaggio da un sistema
di riferimento inerziale a un altro: è quindi un'equazione del moto consistente con la
relati vità (einsteiniana). La [4. Il] verrà risolta in alcuni casi particolari nel § 4. 13.
Laforza di gravità newtoniana, invece, è incompatibile col principio di relatività
di Einstein: l'equazione
d
Xa -xb
-
d
[may(va)Va] =Gmamb
I
13
,
t
Xa-xb
[4. 12]
infatti , non è invariante in fo rma rispetto a trasformazioni di Lorentz (vedi Problemi).
È quindi impossibile inquadrare la gravitazione nello schema della relati vità speciale.
Una sua teori a consistente è fo rnita dalla rel atività generale.
4.2. Il momento
Alla luce della [4.2] è naturale introdurre il momento (o impulso) relativistico p dì
una particella, definito come
mv
p=
H2
=my(v)v,
l--
c2
[4.I3]

4.2 I Il momento
in fu nzione del quale la legge di Minkowski assume la fo rma
dp
=F
dt
.
115
[4.14]
La somiglianza della [4. 14) con la legge di Newton non deve ingannare: il momento
relativistico p differi sce da quello classico per la presenza del fattore lorentziano y e
quindi non è legato linearmente alla velocità.
L'identificazione di m y(v)v con il momento p verrà giustificata con argomenti di
meccanica analitica nel capitolo 6, dove vedremo che la [4. 13] è la quantità che si
conserva in conseguenza dell ' invarianza traslazionale di una particella libera.
Mostreremo ora che è possibile ricavare l'espressione [4. 13) del momento in ma­
niera euristica, usando argomenti generali di simmetria e la legge di conservazione
del momento . 2 Cominciamo con l'osservare che, nel caso newtoniano, se il momento
totale di un insieme di particelle L i P i = L i miv i è conservato in un certo sistema di
riferimento inerziale, esso sarà conservato in tutti i si stemi inerziali, in virtù della tra­
sformazione galileiana della velocità, v; = vi - V. Si ha infatti
Lmiv; =Lm;(vi- V)=Lm;v; - (Lmi)V,
I
I
I
I
e quindi
Lm;V; =costante ::
::}
Lm ;v; =costante.
[4.15)
[4. 16)
Al contrario, nel caso relati vistico, in cui la legge di trasformazione della velocità è
quella einsteiniana [3.40), è facile verificare che la conservazione di L i m� vi in un
dato sistema di riferimento inerziale non garantisce la conservazione della stessa
quantità in un altro sistema inerziale (vedi Problemi). Affinché la legge di conserva­
zione del momento possa valere in tutti i sistemi di riferimento inerziali occorre mo­
dificare la relazione tra il momento p di una particella e la sua velocità v . Per questa
relazione ipotizzeremo la fo rma
[4. 17)
dove, per moti vi dimensionali e di simmetria, la funzionef dipende dalla velocità at­
traverso la combinazione v 2/c 2 • D'ora in poi, per semplicità, scriveremof(v), invece
che f (v 2/c 2 ). Nel limite e -7 oo, la [4. 17) deve ridursi all'espressione newtoniana p =
= mv, il che implica la condizione f(O) = 1. Per determinare f(v) considereremo un
urto elastico tra due particelle identiche e imporremo che la conservazione del mo­
mento totale valga in tutti i sistemi di riferi mento inerziali. La cinematica dell'urto
verrà analizzata in tre sistemi di riferimento diversi: il sistema del centro di massa 'Jl *
e i sistemi di riposo delle particelle l e 2 (rispettivamente, 'J{
1
e'Jl
2
).
2 G.N. Lewis e R.C. Tolman, in «Phil. Mag.», 18, 1909, p.51O.

116
La dinamica relativistica I Cap. 4
In X * , per definizione, i momenti delle due particelle collidenti sono uguali e op­
posti,
*
*'
Pi = -pz,
cioè(essendoperipotesi m1 = m2 = m)
Questa uguaglianza comporta vi = vi e
*
*
v,=-v
z
.
[4. 18)
[4. 19)
[4.20)
Per la conservazione del momento, anche le velocità delle particelle dopo l'urto sono
uguali e opposte (fig. 4 . 1).
Il sistema di riposo X
2
della particella 2 si ottiene effettuando su'J{ * un boost di ve­
locità - vi. In'J{
2
chiameremo v la velocità della particella 1 prima dell'urto e w e
u le velocità, rispettivamente, di 1e2 dopo l'urto (fig. 4 .2). Poiché il boost che fa pas­
sare da 'J{ * al sistema di riposo 'J{ 1 della particella I ha velocità v i = - v i , per ragioni
di simmetria la velocità della particella 2 in 'J{ 1 prima dell'urto sarà - v, mentre le ve­
locità delle particelle I e 2 dopo l'urto saranno, rispettivamente, - u e
-
w (fig. 4 .2).
Applichiamo ora in 'J{ 1 la legge di conservazione del momento totale. Per la com­
ponente y si ha
O= - mf(u)uy-mf(w)wr
[4.21]
Osservando che 'J{ 1 è legato a 'J{
2
da un boost di velocità - v, lalegge relativistica di
trasformazione della velocità [3.29) permette di scrivere
u
u·v
-
Wy=
(
)'
y(v) 1+-;
;z
che, combinata con la [4.21), dà
/,
'J{*
[4.22)
[4.23)
Figura 4.1
Urto elastico tra due particelle identiche
nel sistema del centro di massa X*.

4.2 I Il momento
117
Pri ma dell'urto
Dopo l'urto
1
2
�
•
V
�21
-v
2
"'u
�
'X,
·--
--
--
--
--
-
2
Figura 4.2
L' urto di fi gura 4. 1 visto in due altri sistemi di riferimento: il sistema di riposo della particella 2
('Jl2) e il sistema di riposo della particella I (X 1 ).
Nel limite di urto radente, u �O, w � v, si ha
da cui
I =f(O)= f(v)
y(v) '
f(v)=y(v)=-
J�=v=
2
.
[4.24]
[4.25]
Inserendo questo ri sultato nella [4. 17] si ottiene la formula [4. 13] del momento relati­
vistico.
Si usa talvolta riscrivere la [4 .13] nella fo rma
p = m(v)v,
[4.26]
che è un'espressione simile a quella newtoniana, salvo il fatto che la «massa» m dipende dalla
velocità della particella secondo
-
m
m(v)= [-
-v
,
..;1---;:z
[4.27]
dove la massa (tout court) m viene chiamata «massa a riposo» . La reinterpretazione delle leggi
della dinamica re lativi stica in termini di una massa dipendente dalla velocità ha ormai solo un
valore storico e può inoltre essere fu orviante. D'ora in poi, per massa intenderemo sempre e
solo m. Sul concetto di massa in relatività due utili letture sono C. G. Adler, in «Am. 1 . Phys.»,
55, 1987, p. 739, e L. B. Okun, in «Phys. Today», giugno 1989, p. 31.

118
4.3 . Il momento angolare
La dinamica relativistica I Cap. 4
Il momento angolare L di una particella è definito come
L=xXp ,
[4.28)
dove x è il vettore posizione della particella e p è il suo momento, dato dalla [4. 13).
Derivando la [4.28) rispetto al tempo e usando la legge di Minkowski [4. 14) e il fatto
che vep sono paralleli (e quindi v X p = O), si ottiene l'equazione del moto per L,
dL
dt =xXF.
[4.29)
Se la particella è isolata (F = 0) o soggetta a fo rze centrali, il suo momento angolare
si conserva:
L = costante .
[4.30]
Come vedremo nel § 6.8 .3, la conservazione del momento angolare è una conseguenza
dell ' invarianza rotazionale del sistema.
La meccanica quantistica relativistica prevede che alcune particelle possiedano un
momento angolare intrinseco, lo sp in S ( § 6. 1 O . I). Se una particella ha spin non nullo,
la quantità che si conserva in virtù dell'invarianza rotazionale non è L (che prende il
nome di momento angolare orbitale), bensì il momento angolare totale J = L + S.
4.4 . L'energia cinetica
Introduciamo ora l ' energia cinetica relativistica T. Se una particella soggetta a una
forza F subisce uno spostamento dx, il lavoro compiuto da lla fo rza è, per definizione,
dW = F·dx.
[4.3 1]
Assumendo che questo lavoro vada ad aumentare l'energia cinetica T della particella,
si ha
dT =dW=F·dx,
da cui
dT
dx
-=F·-=F·v.
dt
dt
[4.32]
[4.33]
Si noti che stiamo definendo T nel solito modo, e cioè come il lavoro che la forza F
compie per accelerare fino a una data velocità v una particella inizialmente a riposo.
La relazione tra Tev , però, differi sce da quella non relativistica. Mentre, infatti, le
[4.3 1-4.33] sono identiche alle corrispondenti fo rmule della meccanica newtoniana,

4.4 I L'energia cinetica
119
la relazione tra fo rza e accelerazione (cioè l'equazione del moto) è diversa. Usando la
legge di Minkowski e la [4. 13], la [4.33] diventa
dT
dv
dy2
-
=my -· v+m-v .
dt
dt
dt
Inserendo la [4.4] si tro va per il differenziale dT
d _ mv·dv
v2 mv·dv _
mdv 2
T
-
j1-��
+
c2
(l - ��)3'2
-
2(1-��)312
.
L' energia cinetica T si ottiene integrando la [4.35]:
msv
'
du2
T=
2o(
u2
)312
.
l-7
[4.34]
[4.35]
[4.36]
L' integrale può essere calcolato effettuando la sostituzione u!c = sin 8. Si ha così, con
x= sin- 1 (v/c),
cioè
T=mc2J
x
sin 8d8
=
_
mc2 J
x
dcos8
=
mc2
_
mc2
0 cos
2
e
0 cos2e
cos x
'
mc2
T=--
--
-
mc2 = mc2(y- 1).
H
[4.37]
[4.38]
Come si vede, per v =O l'energia cinetica si an nulla, com'è da aspettarsi, ma la di­
pendenza di T da v non è più quella classica � v 2 • Nel limite di basse velocità, svilup­
pando il fattore lorentziano in serie di potenze di vie, si ottiene
[ }(V)
2 3(V)4]
1
(3v2
)
T=mc2 I+2 -;
;
+8-;
;
+ ...
-
mc2=2mv2 1+47+... ,
e l'energia cinetica si riduce quindi alla consueta espressione non relativistica
[4.39]
[4.40]
salvo correzioni di ordine v 2/c 2 • Ricordiamo, per comodità futura, che la derivazione
della [4.40] è:
m
dTNR=F ·dx=mv·dv=
2dv2,
mv'
I
I
T =-Jdu2= -mv2-0=-mv2
NR
2
2
2
.
o
[4.4 1]
[4.42]

120
(vlc)2
1.5
1.0
0.5
o
Figura 4.3
2
La dinamica relativistica I Cap. 4
3
4
5
6 T( MeV)
Relazione tra energia cinetica (D e velocità (v) di elettroni rel ati vistici . In ascissa, T; in ordinata,
(vlc)2 • I punti sono i dati sperimentali di Bertozzi. La curva continua rappresenta la predi zione relati­
vistica. La curva tratteggiata è la relazione non relativistica. Si noti come i dati evidenzino l'esisten­
za di una velocità limite pari a c.
Fonte Figura adattata da W. Bertozzi, in «Am. J . Phys.», 32, 1964, p . 55 1.
Un'importante differenza tra l'energia cinetica non relativistica TNR e quella relativi­
stica Tè che la prima diverge solo per v � oo, mentre la seconda è singolare per v �e
(il che evidenzia ancora una volta il ruolo di velocità limite svolto da e).
In un esperimento condotto da William Bertozzi al Massachusetts Institute of Tech­
nology negli anni sessanta, la relazione [4.38] tra l'energia cinetica e la velocità
venne sottoposta a verifica diretta.3 Bertozzi misurò il tempo che elettroni di diversa
energia (da T= 0.5 MeV a T= 15 MeV) impiegavano a percorrere la distanza tra due
rilevatori (circa 8.4 m), determinando in tal modo la loro velocità. I dati sperimentali
(fig. 4.3) sono in perfetto accordo con la predi zione relativistica [4.38]. Occorre ri­
cordare, a questo proposito, che tutta la moderna ingegneria degli acceleratori è ba­
sata sulla dinamica relativistica (vedi § 4. 14.6). Il corretto funzionamento di queste
macchine rappresenta dunque una quotidiana verifica delle leggi einsteiniane .
4.5 . Energia totale ed energia di massa
La [4.38] fornisce l'energia cinetica come la differenza di due termini. Il primo ter­
mine è l ' energia totale E di una particella libera di velocità v:
mc2
E=
2 =myc2•
H
3 W. Bertozzi, in «Am. J . Phys.», 32, 1964, p. 551.
[4.43]

4.6 I L'equivalenza di massa ed energia
Il secondo termine,
E0 = me2,
121
[4.44]
è l'energia che la parti cella possiede quando v =O. Essa è chiamata energia di rip oso,
o energia di massa , e rappresenta un'importante novità rispetto al caso non relativisti­
co, in cui una particella ferma ha energia nulla (cfr. [4.40) ). Possiamo dunque scrivere
E=T+E0 = T+me2,
[4.45]
che giustifica il nome «totale» che abbiamo dato all' energia E (e che spesso omettere­
mo). Si noti che l'energia cinetica T non coincide con l'energia di una particella libe­
ra, diffe rendo da questa per il termine di massa. Nel limite non relativistico vie << 1,
sviluppando la [4.43) in serie di potenze di vie, si ottiene
(Iv2)
1
E=me2 l+-- =me2 + -mv2,
2e2
2
[4.46)
che è l'espressione newtoniana mv212, a meno di una costante, me2 , che è l'energia di
massa. È la T, e non la E, a ridursi a mv2!2 nel limite di basse velocità.
La variazione nel tempo dell ' energia è regolata dalla [4.33] che, scritta per E= T +
+ me2 , diventa
[4.47)
Combinando la [4. 13) e la [4.43) si ricava la velocità v della particella in funzione
dell'energia E e del momentop :
e2p
v=
e·
[4.48)
Dalla figura 4.3 si vede che, quando v è dell'ordine di e, la variabile velocità è poco
adatta a esprimere l'energia di una particella: una piccola variazione di v, infatti ,
corrisponde a una notevole variazione di T. Ad esempio, aumentando la velocità da
v = 0.99900e a v = 0.99999e (una variazione di un millesimo) l'energia cresce di un
fattore - 1 O.
4.6. L'equivalenza di massa ed energia
La relazione tra massa ed energia E0 = me2 , la formula emblematica di tutta la rela­
tività,4 è un risultato sorprendente e di enorme importanza. Essa ci dice che, per il
semplice fatto di avere una massa inerziale m, un corpo possiede anche una quantità
4 Sul significato di questa form ula e sui vari modi in cui viene presentata si veda L. B . Okun, in «Phys.
Today », giugno 1989, p. 31. La storia di E0 = mc2 è ricostruita da W. L. Fadner, in «Am. J. Phys.» , 56, 1988,
p.114.

122
La dinamica relativistica I Cap. 4
di energia pari a mc2 . Massa ed energia sono «equivalenti»: la massa può convertirsi
in energia, e, viceversa, l'energia può convertirsi in massa (un fatto che non ha alcun
riscontro nella fi sica newtoniana) . L'effetto è troppo piccolo per essere rilevabile nel-
1 'esperienza quotidiana ma è importante a livello nucleare e subnucleare .
Si noti che in relati vità la legge di conservazione della massa non è valida: la massa
totale delle particelle che prendono parte a un processo fi sico in genere non si conserva;
ciò che si conserva è la loro energia totale. In un urto, ad esempio, la legge di conser­
vazione del/ ' energia è
[4.49]
dove gli indici i e f etichettano, rispettivamente, le quantità iniziali e fi nali. Scompo­
nendo l'energia E nell ' energia cinetica Te nell ' energia di massa mc2 , la [4.49] diventa
LT;+Lm;c2 = LT1+Lm1c2.
f
f
[4.50]
I due termini, cinetico e di massa, non sono separatamente conservati , salvo che in
qualche caso particolare ( come un urto elastico, in cui le particelle rimangono inalte-
ratee sihaquindiL;m;c2 = Lim1c2 e L;T; = LtT!). Ingenerale, massa edenergia
cinetica si convertono l'una nell' altra, e solo l'energia totale rimane costante.
Poiché l'energia è definita a meno di una costante additiva arbitraria, si potrebbe
pensare che la formula E 0 = mc2 non abbia akuna implicazione fi sica. Ciò non è vero,
proprio in virtù del fatto che l'energia di massa non si conserva. Non c'è modo per­
tanto di eliminarla riaggiustando opportunamente il livello zero dell' energia. La rela­
zione E 0 = mc2 ha dunque conseguenze osservabili.
Scheda 4.1 Unità di misura dell'energia
L' unità di misura dell'energia nel Sistema Internazionale (SI) è iljoule (J): 1 J = 1 Kg m 2 s- 2
.
Nel Sistema di Gauss (SG) l'energia si misura in erg: 1erg =1g cm2 s- 2
• La re lazione tra joule
ed erg è: 1 J = 107 erg . L' unità di misura della massa è il chilogrammo nel SI e il grammo nel SG.
Ilmomentosi misurainKgm s-1 nel SIeing cm s-1 nel SG.Inchimicasifaancorauso, come
unità di misura dell'energia, della caloria (cal) e del suo multiplo, la chilocaloria (Kcal), che
equivale a 4. 184 X 103 J.
Le unità di misura del SI e del SG sono poco adatte a esprimere i valori di energia, di momento
e di massa in gioco nella fi sica nucleare e subnucleare (la fi sica dominata dalla dinamica relati ­
vistica). Il motivo è che il chilogrammo e iljoule sono una massa e un' energia enormi rispetto a
quelle tipiche delle particelle elementari . La massa di un elettrone, ad esempio, è me = 9. 1 1 X
X 10- 31 Kg. L'energia degli elettroni in un acceleratore come HERA, presso il laboratorio DESY
di Amburgo, è di circa 5 X 10- 9 J. È conveniente allora adottare come unità di misura del!' ener­
gia lelettron volt (eV). 1 eY è l'energia di un elettrone (che ha carica e= 1.6 X I 0 - 1 9 C) sotto­
posto a una diffe renza di potenziale di 1 V. La relazione tra elettronvolt, joule ed erg è
1eV=1.6X10-19J=1.6X10-12erg.

4.6 I L'e quivalenza di massa ed energia
123
Inversamente,
IJ=107erg=0.625X1019eY.
I multipli dell'eV sono:
IKeY=103eY,IMeV=106eY,IGeV=109eV,ITeV=1012eV.
Poiché mc2 e pc hanno dimensioni di energia, la massa e il momento vengono rispettivamente
misurati in eY/c2 e in eV/e .
Nella fi sica nucleare si usa spesso come unità di massa l'u.m .a. (unità di massa atomica), defi­
nita come la dodicesima parte della massa del 12C. In MeV/c 2 essa vale
I u.m.a. = 1.661 X10- 27 Kg = 931.5 MeY/c2.
Alcuni numeri utili:
•
La massa dell'elettrone è di circa mezzo MeV/c 2 , per la precisione
m, = 9.1 1X10- 31 Kg = 0.511MeY/c2•
La sua energia di riposo è
E0 = m,c2 =0.5 11 MeY.
•
La massa del protone è di circa I GeV/c 2 , per la precisione
mP
= 1.672X 10- 27 Kg =938.3MeV/c2•
La sua energia di riposo è
E�= m
P
c2 = 938.3MeV.
•
La massa del neutrone è
m11 � 939.6 MeY/c2
e quindi la differe nza tra la massa del neutrone e la massa del protone è
m11-m
P
= 1.3 MeV/c2•
Esempi
REAZIONE CHIMICA Nella formazione dell' acqua a partire dall'idrogeno e dall' os­
sigeno, secondo la reazione chimica
si libera una quantità di energia pari a Il.E = 68 Kcal = 2.8 X 105 J per ogni mole di
acqua prodotta. Corri spondentemente vi è una variazione di massa
Il.E
!l.M= -
2 =3.1X10-
1°Kg.
e
La massa di una mole di acqua è dunque più piccola di tre decimiliardesimi di chilo­
grammo ri spetto alla massa totale di una mole di idrogeno e di mezza mole di ossigeno..

124
La dinamica relativistica I Cap. 4
Poiché la massa M dei reagenti per mole di acqua prodotta è di circa 0.018 g, la dimi­
nuzione relativa di massa è
!:!.::=1.7X10-8•
Le variazioni di massa nelle reazioni chimiche sono talmente piccole da non poter es­
sere apprezzate neanche dalle migliori bilance di precisione. Ecco perché in chimica
si può assumere con ottima approssimazione che la massa si conservi.
ENERGIA SOLARE L' energia irradiata dal sole ogni secondo è
!:i.E=4X1026J.
La conseguente diminuzione di massa del sole al secondo è
!:i.E
9
!:i.Mo=-
2
= 4.4X10Kg.
e
[4.5 1]
[4.52]
Si tratta di una variazione di massa enorme su scale umane, ma molto piccola in con­
fronto alla massa totale del sole che è circa 2 X 103° Kg,
!:i.
M
Mo
=2.2X10-21
.
[4.53]
o
FISSIONE DELL' URANIO Nella fi ssione di un nucleo di uranio 238 indotta da un
neutrone ( n)
n+
23su � 143Ba+ 93Kr+3n
vi è una perdita complessiva di massa
!:i.M=3.02X10-28 Kg.
Viene quindi prodotta un' energia pari a
!:i.E=!:J.(Mc2) =2.72X10-11
J=170MeV.
[4.54]
[4.55]
Poiché la massa complessiva dell'2 3 8 U e del neutrone è M = 3.97 X 10-25 Kg, la va­
riazione relativa di massa è
superiore di molti ordini di grandezza alle variazioni di massa tipiche delle reazioni
chimiche. Nel capitolo 7 vedremo che in alcuni processi che coinvolgono le particelle
fo ndamentali si verificano casi limite in cui tutta la massa si trasforma in energia o,
viceversa, tutta l'energia si trasforma in massa.
DECADIMENTO DEL MUONE Un muone negativo μ - decade in un elettrone e
-
,un
neutrino muonico Vμ e un antineutrino elettronico v. ,
[4.56]

4. 7 I Massa di un sistema composto
125
Ciò che rende cinematicamente possibile il decadimento del muone, che è una parti­
cella puntiforme, è l'esistenza dell'energia di massa. È questa infatti che si trasforma
in energia cinetica dei prodotti fi nali. Il fatto clre una particella elementare, priva
quindi di energia interna, possa disintegrarsi producendo altre particelle è inspiegabi­
le nell' ambito della fi sica classica. Si consideri, ad esempio, il caso di un oggetto A,
inizialmente a riposo, che si spezza in tre fr ammenti B, CeD,
A �B+C+D.
[4.57]
Il bilancio energetico di questa reazione, secondo la fi sica non relativistica, è quello
macroscopico del primo principio della termodinamica: l'energia interna UA di A si
trasforma in energia cinetica ed energia interna dei frammenti B, CeD,
[4.58]
La [4.57], dunque, non potrebbe aver luogo se A fo sse puntiforme (UA = 0). Questo,
invece, è proprio ciò che succede nel decadimento del muone. Una particella pun­
tiforme - il muone, di massa 106 MeV/c 2 - decade producendo altre tre particelle (an­
ch'esse puntiformi): una piccola frazione dell'energia di massa del muone si trasfor­
ma nell' energia di massa delle particelle uscenti (l'el ettrone ha massa 0.5 MeV/c2 , il
neutrino e l'antineutrino hanno massa nulla), mentre la maggior parte della sua ener­
gia di massa si trasforma in energia cinetica delle particelle prodotte . La legge di con­
servazione dell'energia che regola questo processo è quella microscopica,
[4.59]
e non vi è alcuna energia interna in gioco (ma solo l'energia di massa delle particelle).
Si noti , tra l'altro, che non è corretto pensare che lelettrone, il neutrino e I'anti­
neutrino siano inizialmente contenuti nel muone: il μ - si trasforma in e-, Vμ , v, .
La dinamica di questo processo è descritta dalla teoria quanti stica delle interazioni
deboli.
4.7 . Massa di un sistema composto
Consideriamo un sistema fo rmato da un certo numero di costituenti che interagi­
scono fra di loro. Nel riferimento del centro di massa (in cui il momento totale è
nullo) l'energia del sistema è la sua energia di riposo Mc 2 • A essa contribuiscono:
1) le energie di riposo dei costituenti, n) le energie cinetiche dei loro moti relativi e
III) le loro energie di interazione. Abbiamo dunque
Mc2=:L(mac2+Ta+LVab),
a
b>a
[4.60]
dove m a è la massa del costituente a, Va b è l'energia potenziale di interazione tra a e b,
e L b >a indica che ogni coppia di costituenti va contata una sola volta.

126
La dinamica relativistica I Cap. 4
Si vede immediatamente che la massa M del si stema composto non è uguale alla
somma delle masse dei suoi costituenti,
[4.6 1)
a
La differenza tra Mc 2 e L a m a c 2 è l'energia cinetica + potenziale dei costituenti,
a
a
a b>a
L ' energia di legame E1 del sistema è definita come
E,= - (LTa+LLVab),
a
a b>a
cosicché la [4.60) può essere riscritta come
a
[4.62)
[4.63)
[4.64)
Se E1 è positiva, il sistema è legato , e la sua massa M è minore della massa totale dei
costituenti,
M < L m a (sistema legato).
a
[4.65)
Se invece E1 è negati va, il sistema �s_tab ile e tende natura.lmente a disgregarsi, libe­
rando energia sotto varie fo rme (innanzi tutto, come energia cinetica dei framme nti).
Come esempio particolarmente importante di sistema composto, consideriamo un
nucleo atomico fo rmato da Z protoni di massa m P e (A - Z) neutroni di massa m
"
(Zè
il numero atomico, A il numero di massa). La massa M del nucleo è data da
[4.66)
dove E1 è l'energia di legame del nucleo. Nuclei stabili hanno energie di legame positi­
ve cosicché la loro massa è minore della somma delle masse dei protoni e dei neutroni,
[4.67)
In questo caso, per disgregare il nucleo occorre fornire una quantità di energia pari al­
meno a E1•
Calcoliamo, ad esempio, l'energia di legame dell'4 He. Con m P = 938.3 MeV/c 2 ,
m n = 939.6 MeV/c2 e MHe = 3756 MeV/c2 , si trova
[4.68)
Se due protoni e due neutroni vengono legati a fo rmare un nucleo di elio, viene ri­
lasciata un' energia di circa 28 MeV. Su questo tipo di processo (chiamato fu sione
nucleare) torneremo nel § 7 .11 .

4.8 I La relazione tra momento ed energia
127
4.8 . La relazione tra momento ed energia
Tra il momento p e l'energia E di una particella libera esiste un'importantissima
relazione (detta relazione di mass shell). Elevando al quadrato la [4.43] e la [4. 13] e
sottraendo membro a membro si trova (p = I P j)
[4.69]
ossia
[4.70]
da cui
E=Yp2c2 + m2c
4
.
[4.7 1]
Questa è, nella teoria della relatività, la relazione tra E e p (che prende il posto di
quella non relati vistica E = p 212 m). Come dimostreremo nel § 4. 1 O, essa ha la stessa
rorma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. In altre parole, la quantità E 2 - c 2p 2 è
un invariante di Lorentz : dati due sistemi inerziali 'J{ e 'J{ ', nei quali una particella di
massa m ha momento ed energia, rispettivamente, p, E e p ', E ', si ha
Inverte ndo la [4.7 1] si ricava p in fu nzione dell'energia E,
p=
.lyE2 - m2c4,
e.
o dell' energia cinetica T = E - mc2 ,
[4.72]
[4.73]
[4.74]
Per grandi E, o grandi T (cioè per E, T>> mc2), i_l momento cresce linearmente con
l'energia.
Torni amo alla rel azione di mass shell [4.70] . Essa ha, in realtà, due soluzioni,
E = ± Yp2c2 +m2c4
.
[4.75]
Nel passare dalla [4.70] alla [4.71] abbiamo considerato la soluzione positiva, scar­
tando quella negati va. Nell' ambito della fi sica classica, non vi è alcuna ragione per
ammettere l'esistenza di stati di energia negativa . Infatti, nessun processo continuo
(tali sono tutti i processi classici) può permettere transizioni dai livelli di energia 'po­
sitiva E � mc2 a quelli di energia negativa E� - mc2 , essendo le due bande di livelli
energetici separate da una discontinuità (pari a 2mc2 ). Vedremo inoltre nel § 4. 10 che
non è possibile passare da un valore positivo di energia a uno negativo mediante un

128
E
O>-
--
--
--
--
--
--
-
mc2 1-
-
--,_
__
____
_.
____ __
(a)
Figura 4.4
E
+mc 2
o
-m
c2
La dinamica relativistica I Cap. 4
'
(
s
-
-
-
'
-
-
-
-
-
-
(b)
(a) Il mare di Dirac degli stati di energia negativa. (b) La prod uzione di una coppia particella-anti-
particella (quest' ultima è rappresentata da una lacuna nel mare di Dirac).
'
cambiamento di sistema inerziale. Possiamo quindi assumere che i soli stati fi sici
siano quelli di energia p ositiva .
Nella fi sica quantistica la situazione è alquanto diversa. Non è più possibile ignora­
re gli stati di energia negativa dal momento che salti discontinui di energia sono possi­
bili. Si pone allora il problema di spiegare la stabilità della materia: che cosa impedisce
a una particella di energia positiva di tran sire in uno stato di energia negativa? La ri­
sposta fu suggerita da P. A. M. Dirac nel 1930: gli stati di energia negativa (il cosiddet­
to «mare di Dirac») sono tutti occupati (fig. 4 .4a). Se si sottrae al mare di Dirac una
particella di energia negativa (creando così una «lacuna»), lo stato che si ottiene corri ­
sponde a una particella di energia positiva e di carica opposta (cioè a un' antipa rticel­
la ). Le antiparticelle sarebbero quindi associate al i'assenza di particelle di energia ne­
gativa (fig. 4 .4b) . Ad esempio, il positrone - che è lantiparticella associata al i'elettro­
ne, e ha, rispetto a questo, la stessa massa e carica uguale e opposta - corrisponde,
secondo Dirac , a una lacuna nel mare di stati elettronici di energia negati va (ricordia­
mo che il positrone venne scoperto nei raggi cosmici da Cari Anderson nel 1932).
L'idea del mare di Dirac è stata superata dalla moderna teoria quantistica dei cam­
pi. In questa teoria non c'è bisogno di considerare stati di energia negativa, ma si as­
socia a ogni particella (di energia positiva) un' antiparticella (an ch'essa di energia po­
sitiva) . Particelle e antiparticelle vengono descritte da uno stesso ente fi sico, il camp o
quantistico.
4.9 . Particelle di massa nulla
Un' importante peculiarità della teori a relativistica è il fatto che essa permette l'e­
sistenza di particelle di massa nulla . Se infatti poniamo m = O nella [4.71] otteniamo
l'espressione
E=pc,
[4.76)

4. 9 I Particelle di massa nulla
129
che è del tutto legittima. Se tentassimo di fare lo stesso nella relazione non relativisti­
ca tra E e p, E = p 2/2 m , otterremmo invece una singolarità. La [4.76] è la relazione
energia-momento per una particella di massa nulla. Dalla [4.48] segue allora v = c:
una particella di massa nulla si muove, in qualunque sistema di riferimento inerziale,
al la velocità della luce (non ammette quindi un sistema di riposo).
Si noti che per particelle di massa nulla le relazioni
mv
v-
p=
H'i--
c2
mc2
E=--
--
H
[4.77]
perdono significato. Il momento e l'energia di queste particelle sono tuttavia fi niti in
virtù del doppio limite m �Oe v �c.
È importante ricordare che in natura esistono effettivamente delle particelle di
mas sa nulla. Un esempio è rappresentato dai fo toni, i quanti della radiazione elettro­
magnetica. Se la frequenza della radiazione è v, l'energia dei fo toni è, secondo la for­
mula di Planck-Einstein,
E=hv,
[4.78]
dove
h=6.626X10-34Js
[4.79]
è la costante di Planck. In term ini della pulsazione m = 2 nv, la [4.79] si riscrive come
E=hm,
con h = h/2 7r. In base alla [4.76], il momento di un fotone di frequenza v vale
Ehvhm
p=-;
;
=--
-;:
=-e·
[4.80]
[4.81]
Si osservi che E = p c è la re lazione tra la densità di energia e la densità di impulso del
campo elettromagnetico (vedi § 8.7). Ricordando che la pulsazione di un' onda elet­
tromagnetica che si propaga nel vuoto è legata al numero d'onda k da
m=ck,
[4.82]
dalla [4.8 1] si ottiene una relazione tra p e k,
p=hk.
[4.83]
Vale la pena sottolineare le diverse origini teoriche delle form ule che abbiamo appena
scritto . La [4.76] è un'espressione re lativistica ; la [4.80] è un'espressione quantisti­
ca ; la [4.82] è un' espressione elettromagnetica.
Il concetto di fo tone fu introdotto da Einstein nel 1905 (lo stesso anno della teoria
speciale della relatività) allo scopo di spiegare l'effetto fotoelettrico, cioè il fatto che
l'energia degli elettroni emessi da una superficie metallica irradiata da raggi X dipen­
de dalla fr equenza e non dall'intensità della radiazione incidente. Qualche anno dopo,
Compton fece ricorso all' ipotesi dei fo toni per interpretare i dati della diffusione di
...

130
La dinamica relativistica I Cap. 4
raggi X da parte di elettroni liberi (vedi § 7.7). Il fatto che i fo toni abbiano massa nulla
non è fortuito : esso è legato a un'importante simmetria dell 'elettrodinamica, I'inva­
rianza di gauge (tratteremo questo argomento nei capitoli 8 e 9).
Anche i neutrini, «inventati» da Wolfgang Pauli nel 1931 per ri solvere un' appa­
rente anomalia nel decadimento beta dei nuclei e scoperti sperimentalmente nel 1956
da Cowan e Reines, erano fino a poco tempo fa considerati particelle di massa nulla.
Vi sono oggi alcune evidenze sperimentali a fa vore di una loro massa diversa da zero
(la prima indicazione inequivocabile in questo senso è venuta dall'esperimento Super­
Kamiokande, Y. Fukuda e altri , in «Phys. Rev. Lett.», 8 l, 1998, p. 1562).
4.10. Trasformazioni di Lorentz del momento e dell'energia
Vediamo ora come si trasformano il momento e l'energia nel passaggio da un siste­
ma di riferimento inerziale a un altro .
In un dato sistema inerziale 'J{ , le componenti del momento di una particella di
massa mevelocità v sono
Px=
g2
,
l-­
c2
Py=
e l'energia della particella è
E��
l-­
c2
mvv
H
,-
?-
p,=
mv,
V
2
h
,
[4 .84]
[4.85]
Sia 'J{ ' un altro sistema inerziale, in moto uniforme ri spetto a 'J{ con velocità V diretta
lungo l'asse x. Le componenti del momento della particella in 'J{ ' sono
,
mv�
Px=
h'2
'
l-­
c2
e la sua energia è
mc2
E'=
h,
2
·
1-­
c2
,
mv�
,
mv�
py=
pv
·
2
,
p,=
h'2
,
1--
1--
c2
c2
[4.86]
[4.87]
Sostituendo nell'espressione di p: le leggi di trasfo rmazione della velocità [3 .28] e
del fa ttore lorentziano [3.36] si trova
1-v
x
v
c2
,
m(vx-V)
p
x
=
-
1-_v;-Y
-J--;:
:
(=
1
=
_
=
�=;:<=
=
)=(
=
1=
_
=
�
::;<:�=)
f
rv2
y1-7
[4.88]

4. 1 O I Trasformazioni di Lorentz del momento e de ll 'energia
cioè, usando la formula [4.84] di Px e quella dell'energia [4.85],
p�=y(V)(Px - �E).
131
[4.89]
Procediamo in maniera analoga perp �. Sostituendo la [3.29] e la [3.36] nella formula
per p � si ottiene
cioè
p�=PY'
La legge di trasformazione di p, è simile:
P�=Pz·
V
2
H
,
Infine, inserendo la [3.36] nella [4.87], si trova per E'
ovvero, in virtù delle [4.84-4.85],
E' = y(V)(E-Vpx)·
[4.90]
[4.9 1]
[4.92]
[4.93]
[4.94]
Riassumendo, abbiamo le seguenti trasformazioni di Lorentz del momento e dell 'e­
nergia
p'., = r(Px- �E),
p;,=PY'
p�=p,,
e le trasformazioni inverse
Px= r(P�+�E'),
Py=p�,
Pz=p�,
E=y(E' + Vp�),
[4.95]
[4.96]
[4.97]
[4.98]
[4.99]
[4. 100]
[4. 101]
[4. 102]
dove y = y(V). Sinoti cheE/e, Px, pY' Pz si trasformano rispettivamente come et, x, y, z,
vedi [2.48-2.51]. L'analogia tra (E/e, Px, p>" p,) e (et, x, y, z) non è accidentale, bensì

132
La dinamica relativistica I Cap. 4
dovuta al fatto che, come vedremo nel capitolo 6, il momento e l'energia costituiscono
un «quadrivettore».
Perinciso, osserviamo che, poiché V<e e Px �p, sihaVpx < cp �E e la[4.98]im­
plica E' >O, se E>O: una trasformazione di Lorentz non può quindi far transire da
uno stato fi sico di energia positiva a uno stato di energia negativa.
Nel caso di un boost lungo una direzione generica, se V è la velocità relati va di ':/{ e
':/{ ' , le trasformazioni di Lorentz del momento e dell' energia sono
{ V·p
E2
}
p' =p+ (y-l)v-2-y? V,
E' = y(E-V·p).
[4. 103]
[4. 104]
La trasformazione di Lorentz per l'energia di una particella di massa nulla si ricava
dalla [4.104] usandop = IPI = E/e. Si ottiene così
V
1- -costf
e
E' =E-
J---
2
-
[4. 105]
dove tf è langolo tra p e la direzione del boost. Alla luce della [4.78], si vede che la
[4. 105] è equivalente alla legge [3 .76] di trasformazione della frequenza di un'onda
per effetto Doppler.
Verifichiamo ora quanto anticipato nel § 4.8, e cioè che la quantità E2/c 2 - p 2 è in­
variante . Applicando le [4.95-4 .98], si trova infatti
E'2
E'2
7-p '2
=
7-p�2-p�2-p�2=
= ��(E-Vpx)2-Y2(Px- �Er-p/-p�2=
=
L(1-�)E2_r2(I-�)p2-p�_p2=
c2
c2
c2
x
>
z
-
Ez
2
2
2-
Ez
2
-
?-Px -p
y
-p
,-?
-
p
Come si è visto nel § 4.8, questo invariante è legato alla massa della particella
Ez
-
2 -p2=m2c2,
e
[4. 106]
[4. 107]
la quale, dunque, non dipende dal sistema di riferimento. Ritorneremo sulla relazione
[4.107] nel § 6.3.

4. 11 I Trasformazione di Lorentz della fo rza
4. 11. Trasformazione di Lorentz della forza
133
Se, in accordo col principio di relatività, richiediamo che la legge di Minkowski
[4. 14] abbia la stessa forma in tutti i sistemi inerziali, la forza F dovrà trasformarsi
come dp/d t. Questa richiesta permette di derivare la trasformazione di Lorentz di F. Sia
F=
dp
dt
,
la legge fo ndamentale della dinamica in un dato sistema inerziale 'J{ , e
F'=
dp'
dt'
,
[4. 108]
[4. 109]
la stessa legge in un altro sistema inerziale 'J{ ' in moto rispetto a 'J{ con velocità V di­
retta lungo l'asse x. Consideri amo la componente F;. Essa è data da
dove abbiamo usato la [4.95]. La trasformazione della derivata temporale è
d�'
= (�;t':, = (:,[r(VJ(•<;JJ)':, =
(
1
vv
):,
.
y(V)1-J
e la [4. 11O] diventa così
F'
_
l
(dpx _J'.'_dE)
X
-
(1
-
��X)dt C2dt'
ovvero, usando la [4. 108] e la [4.47],
F-(J'.'_)F·v
X
C2
F;=--
--
-
1-
Vvx
c2
[4. 110]
[4.111]
[4. 112]
[4. 113]
dove v è la velocità in 'J{ della parti cella soggetta alla forza F. Per la componente F� si
trova, in virtù della [4.96],
F'=
dp�
=
dpy
y
dt' dt''
e, sostituendo la [4.1 1 1],
[4. 114]
[4. 115]

134
In maniera analoga si ricava
La dinamica relativistica \ Cap. 4
[4. 116)
Raccogliendo i risultati ottenuti, le leggi di trasformazione delle componenti della
fo rza per un boost lungo x sono
V
F--F·v
X
C
2
F�=--
--
-
1-
Vvx
c2
F; = ___F�v�--
y(V)(l - ��X)'
I
F,
F,= -
--�--
y(V)(1-��X)'
[4. 117)
[4. 118)
[4. 119)
È da notare che, se in un certo sistema di riferimento la fo rza dipende solo dalle
coordinate, in un altro sistema essa dipenderà anche dalla velocità della particella.
Nel caso in cui la particella sia (istantaneamente) a riposo nel sistema di riferimento
':J{, le [4.1 17-4.1 19) diventano (con v = 0)
[4. 1 20)
[4. 121)
[4. 122)
Consideriamo ora un boost di velocità V lungo una direzione arbitraria. Scompo­
nendo F in un termi ne parallelo CF11) e in uno perpendicolare (FJ.) a V,
F=F11+FJ_,
le [4. 117 -4 . 1 19) si generalizzano nelle
V
F11-(F·v)2
e
F(1 = ___
v
_
·
_
V
__
1--
c
-2-
FJ.
F�= -
--�--
(v·V
).
y(V) 1-�
[4.123)
[4. 124)
[4. 125)

4. I 2 I Principio di azione e reazione
Sommando membro a membro e usando F11 = (F · V) VIV2
, si trova
F'=
{ F·V
F·v}
F+ (y(V)-l)--
--v2
-
y(V)7 V
( v·V)
y(V) l-7
che è la legge di trasformazione della fo rza per un boost generico.
135
[4. 1 26]
Nel limite non relati vistico e�oo la [4. 1 26] si riduce alla trasformazione galileiana
della fo rza:
F'=F.
[4. 127]
Nella fi sica newtoniana, a diffe renza che in relatività, la fo rza è invariante, cioè non
dipende dal sistema di riferi mento.
4.12. La legge di azione e reazione
La terza legge della dinamica newtoniana, la legge di azione e reazione, afferma
che, se una particella I esercita una fo rza F 1 2 su una particella 2, questa esercita su 1
una forza F2 1 che, istante per istante, è uguale e contraria a F1 2,
[4. 128]
Questa legge non è gen eralmente valida in relatività. Ci sono vari modi per rendersene
conto. Innanzi tutto notiamo che, se anche la [4. 128] fosse vera in un certo sistema di
riferimento, non lo sarebbe in generale in un al tro sistema di riferimento, giacché,
come si vede dalla [4. 126] , la trasformazione di Lorentz della forza dipende dalla velo­
cità della particella (quindi la trasformazione di F 1 2 dipende da v 2 , mentre quella di F2 1
dipende da v 1 ) . Un altro indizio dell'incompatibilità della legge newtoniana di azione
e re azione con la teoria relativistica sta nel fatto che la [4. 128] implica che l'in terazio­
ne tra le due particelle sia istantanea, mentre la re latività prevede che le interazioni si
propaghino a velocità fi nita e ci sia quindi un ritardo tra la causa e l'effetto.
C'è, tuttav ia, una situazione particolare in cui il principio di azione e reazione
[4. 128] vale anche in ambito relativistico. Se le due particelle hanno un sistema di ri­
poso comune (in cui v 1 = v 2 = O), in questo sistema di riferimento possiamo applicare
la meccanica newtoniana; avremo perciò F 1 2 = - F2 1 e, di conseguenza,
d
-
d(p1+P2)=O::
::}
p1 +p2 = costante,
l
[4. 1 29]
che è la legge di conservazione del momento. In accordo con le [4. 1 20-4. 122], una
trasformaz ione di Lorentz pre serva l'uguaglianza F 1 2 = - F2 1 , e la [4. 129] vale per­
ciò in tutti i sistemi inerziali. Una situazione di questo genere si verifica quando due
particelle puntiformi collidono in un punto o in una regione limitata dello spazio. In

136
La dinamica relativistica I Cap. 4
un urto, quindi, il momento totale si conserva: la somma dei momenti delle particelle
prima dell'urto è uguale alla somma dei momenti delle particelle dopo l'urto,
:2:P; = :2:Pt·
f
[4. 130]
Il fatto che, in linea generale, la [4. 128] non sia applicabile in relatività non invali­
da la legge di conservazione del momento, che è conseguenza di una simmetria fo n­
damentale dei sistemi fi sici, quella per traslazioni spaziali (e quindi, in ultima analisi,
dell'omogeneità dello spazio).
Una versione relativistica della legge di azione e reazione verrà presentata nel
§ 6.10.3.
4.13. Moto di una particella carica in un campo elettromagnetico
In questo paragrafo useremo l'equazione di Minkowski per studiare il moto relati­
vistico di particelle cariche in campi elettromagnetici costanti . Il prob lema è di parti­
colare interesse applicativo perché moti di questo tipo si verificano continuamente
nelle macchine acceleratrici, ed è proprio dall'elettrodinamica di particelle ad alta ve­
locità che vengono alcune delle indicazioni sperimentali più probanti a sostegno della
meccanica relativistica.
L'equazione del moto di una particella di carica e in un campo elettromagnetico è,
come abb iamo già visto,
dp
e
-
=eE+-vXB.
dt
e
Lafo rza di Lorentz,
.
e
FL =eE+-vXB,
e
compie un lavoro pari a
dW=FL·vdt=eE·vdt.
Introducendo il potenziale elettrico <p, legato a E da
E= -V<p,
si trova
dW= - eV<p·dx=- ed<p.
Poiché d W = - d U, dove U è l'energia potenziale, otteniamo infi ne
U=e<p.
[4.131]
[4.132]
[4. 133]
[4. 1 34]
[4. 135]
[4. 136]

4. 13 I Moto di una particella carica in un campo elettromagnetico
137
L'energia totale della particella (energia cinetica + energia di massa + energia poten­
ziale) è5
[4. 137)
4. 13 . 1 . Camp o elettrico costante e uniforme
Consideriamo il moto di una particella carica di massa m in un campo elettrico co­
stante e uniforme E . L' equazione di Minkowski è
dp
=eE
dt
,
[4. 138)
conp = m yv . Sc.egliamo gli assi in maniera tale che E sia diretto lungo } ' asse x (cioè
E = Ei, con E costante). Le equazioni del moto sono quindi
dpx
-
E
dt
-
e'
dpv=O
dt
,
dpz
=O
dt
,
e hanno come soluzioni
Px= eEt+cost.
Py = cost.
Pz = cost.
[4. 139)
[4. 140]
[4. 141)
[4. 142)
[4. 143)
[4. 144)
Supporremo, d' ora in poi , che la particella abbia p, =O al tempo t =O. Secondo la
[4. 141), p, rimane sempre nullo e il moto ha luogo nel piano xy.
MOTO RETTILINEO Se la particella ha inizialmente Pv =O, il suo moto avviene
lungo l'asse x. Con l'ulteriore condizione iniziale Px =Oa t =O, la costante che com­
pare nella [4. 142) è nulla e si ottiene (v2 = v�)
g. = eEt.
X
2
Risolvendo per vx , si trova
dx
Ec2t
V=-=--
--:
====
x
dt Yl+(Ect)2'
[4. 145)
[4. 146)
5 In questo paragrafo useremo il carattere � per indicare l'energia, allo scopo di non creare confusione
con il modulo E del campo elettrico.

138
con
eE
e=
mc2·
L'integrazione della [4. 1 46] dà
x=
ly1 + (ecr)2 +e,
e
dove e è una costante . Se X=o al tempo t = O, allora
C=
_
_!_
_
e'
e la [4. 148] diventa
x=
�[v1+(ec t)2 -I
J.
La dinamica relativistica I Cap. 4
[4. 147]
[4. 148]
[4. 149]
[4. 1 50]
Questa è la legge orari a di una particella carica in un campo elettrico costante e
uniforme, con le condizioni iniziali vx = vy = v, =Oex=O. Mettendola nella fo rma
( 1)2
1
x+E -(ct)2=EZ'
[4.151]
si vede che la fu nzione x(t) è rappresentata graficamente da un' ip erbole, avente come
asintoto la retta x = e t - Ile = et - m c2/eE. Per questo motivo, il moto unidimensio­
nale di una particella soggetta a una fo rza costante è detto moto ipe rbolico.
Nel limite in cui
eEt
eCt=--«1,
mc
la [4. 146] si riduce approssimativamente a
eE
V=eC2t=-t
X
m'
mentre la [4. 150] diventa
I[1J
1
1eE
t=- l+-(ect)2-l
=-ec2t2=- -
t2
·e2
2
2m'
che è il ben noto risultato non relativistico (x (t) è una parabola).
[4. 152]
[4. 153]
[4. 154]
La legge oraria e la velocità della.particella nel caso relativistico e non relati vi stico
sono rappresentate in fi gura 4.5.
MOTO CURVILINEO Supponiamo ora che le condizioni iniziali siano Px =Oe Py = p
0
.
La particella, quindi, ha velocità non nulla in direzione perpendicolare a quella di E e
il suo moto sarà curvilineo (fig. 4 .6). In questo caso, le [4. 142, 4. 143] sono
Px = eEt,
Px =Po,
[4. 155]
[4. 156]

4. 13 I Moto di una particella carica in un campo elettromagnetico
139
e l'energia 't; della particella vale
't;=Vp2c2 + m2c4 = V(eEct)2+p'fic2 + m2c4 = V<t;'fi+(eEct)2
,
[4. 157]
dove
[4. 158]
è l'energia iniziale. Usando la [4. 157] e la relazione v = c 2p/E
,
possiamo ricavare dalle
[4. 1 55, 4 . 156] le componenti della velocità,
con
X
dx
ac2t
V=-=--;:====-
x
dt VI+ (act)2
,
dy p0c2
1
v
y
=
<lt
=
To Vl +(act) 2
,
eE
a=
)go.
Non relativistico :
:
(a)
Relativistico
Figura 4.5
[4. 159]
[4. 160]
[4. 161]
:' Non relativistico
:
Relativistico
et
et
(b)
Legge oraria (a) e velocità (b) di una carica in un campo elettrico uniforme, nel caso rel ativistico
(linee continue) e nel caso non relativistico (linee tratteggiate).
1 ++++++++++++ +++1
--
-:-
--�-
--
-o.
.:-;.:;-
.:.-.:;-
-:_:-�-:
-
-------------> y
------ ---------1
Figura 4.6
Moto di una particel la nel campo elettri­
co uniforme di un condensatore piano . .

140
La dinamica relativistica I Cap. 4
Integrando le [4. 159, 4. 160) con le condizioni iniziali x = y
=Oat=O,sitrova
x=_!_(Yl+(act)2-I),
a
y=�isinh-
1
(act).
[4. 162)
[4. 163)
Queste sono le leggi orarie del moto della particella. Per ottenere la traiettoria estraiamo
dalla [4. 163) la quantità
.
h
eEy
act=sm --
PoC '
che, inserita nella [4. 162], fornisce
%0{(. 2eEy)1'2} %0(
eEy )
x=
-
1+smh--
-
l = - cosh---l
.
eE
p0c
eE
p0c
[4. 164]
[4. 165)
La [4.165) è l'equazione di una catenaria . Nel limite non relativistico ( c � = ) , pos­
siamo scrivere appro ssimativamente
eEy
1 (eEy)2
cosh--=1+-
--
,
p0c
2 p0c
e la [4. 165) si riduce ali'equazione di una parabola,
eE't;o 2
x=-
222Y·
PoC
[4. 166)
[4. 167)
Il moto relativistico di elettroni soggetti a un campo elettrico costante in macchine
acceleratrici sarà brevemente discusso nel § 4. 1 4 .4 .
4. 13 .2 . Campo magnetico costante e uniforme
In presenza di un campo magnetico B , l'equazione di Minkowski per una particella
dimassamè
d
e
-
d
(myv) = -(v X B).
t
c
Supponiamo che B sia un campo costante e uniforme diretto lungo z
B = Bk, B costante.
[4. 168]
[4. 169)
Poiché la fo rza è perpendicolare alla velocità, l'equazione del moto diventa, ricor­
dando la [4.8],
dv
e
mydt=�(vXB),
[4. 1 70)

4. 13 I Moto di una particella carica in un campo elettromagnetico
ossia, in componenti,
dvx
e
my-
d
= �vyB,
te
dv
e
my
..:
::.
.:.L
=--vB
df
CX'
dv
my--
'
=O
dt
.
L'ultima di queste equazioni può essere integrata immediatamente e dà
z=v,t+z0, v,= costante.
Il moto lungo l' asse z è dunque un moto rettilineo uniforme .
141
[4. 171)
[4. 172)
[4. 173)
[4. 1 74)
Per risolvere le altre due equazioni del moto, che sono accoppiate, moltiplichiamo
la [4. 172) per l'unità immaginaria i e sommiamola membro a membro alla [4. 171], ot­
tenendo così
d(vx +iv) _ _
.!!_(.)B
my
d
-
I
Vx+IVy .
t
e
[4. 175)
La soluzione di questa equazione differenziale a variabili separabili è una fu nzione
esponenziale,
dove (vx 0 , Vyo) sono le componenti lungo x e y della velocità al tempo t =O, e
eB
(J)=-­
e
myc
[4. 176)
[4. 177 )
è la cosiddetta fre quenza di ciclotrone. Si noti che la velocità della particella nel piano
perpendicolare al campo magnetico è costante in modulo. La [4. 176) implica infatti
Parametrizzando vx o e Vyo come
Vxo =v.Lcosa, Vyo=v.Lsina,
la [4. 176) diventa
cioè
Vx = v.Lcos(mct- a),
vy = -v.Lsin(mct- a).
[4. 178)
[4. 179)
[4. 1 80)
[4. 181)
[4. 182)

142
La dinamica relativistica I Cap. 4
L'integrazione di queste due equazioni fornisce le leggi orarie della particella lungo
gliassixey,
[4. 183]
[4. 1 84)
con xc e Yc costanti di integrazione. Dalle [4. 183, 4. 184) si ricava immediatamente
l'equazione della traiettoria nel piano xy ,
2
2_vl
(x-xc) + (y-yc) - -2
·
[4. 185)
(ùc
La [4. 185) è l'equazione di una circonferenza di raggio
R=�
=
myv.lc
wc
eB
.
[4. 186)
Il moto circolare nel piano xy , combinato con quello rettilineo uniforme lungo z
[4. 174), genera complessivamente un moto elicoidale (fig. 4 .7).
Se ripetessimo il calcolo nell' ambito della meccanica newtoniana, troveremmo le
stesse leggi orarie [4. 183 , 4. 184] ma con una frequenza di ciclotrone
eB
w=-
(caso non relativistico),
e
mc
[4. 187)
e il raggio della traiettoria in un piano perpendicolare alla direzione del campo ma­
gnetico sarebbe
R--
mv.le
(caso non relativistico).
eB
I
I,,
/
l
..
..
..
-
--
-
X
z
o
y
[4. 188)
Figura 4.7
Traiettoria elicoidale di una particella ca­
rica in un campo magnetico costante e uni­
forme di retto lungo l'asse z (condizioni ini­
ziali:x=y =z =Oev,0=Oaltempot=0).

4. I 3 I Moto di una particella carica in un campo elettromagnetico
143
La differenza tra la [4. 1 86] e la [4.188] è un fattore y. In base al risultato non relativi­
stico la quantità v1-c/RB sarebbe uguale al rapporto tra la carica elettrica e la massa
della particella, e/m ,
Vj_C
RB
e
m
(caso non relativistico).
La predizione re lativistica è invece
vee
ep;2
...
R
1-
B
=
-
=
-
1--
,
(caso relat1v1st1co).
mym
e
[4.1 89]
[4. 1 90]
Il confronto tra la [4. 189] e la [4. 190] è illustrato in fi gura 4.8 . I punti sono i risultati
della prima misura del rapporto v 1-c/RB eseguita da Bucherer nel 1909 con el ettroni
relati vistici di diversa velocità. Come si vede, l'accordo con la predizione relativistica
è eccellente.
Come si è detto al i'inizio di questo paragrafo, la dinamica rel ativistica di particelle
cariche in campi elettri ci e magnetici è alla base del fu nzionamento di tutte le macchi­
ne ac celeratrici moderne . È interessante osservare che il passaggio dal primo accele­
ratore , il ciclotrone (che accelera elettroni fi no a qualche decina di KeV e protoni fino
a qualche decina di MeV) ali ' acceleratore che ha dominato la fisica delle particelle
fi no ai primi anni ottanta, il sincrotrone (che accelera elettroni fi no a qualche centi­
naio di MeV e protoni fi no a qualche centinaio di GeV), segna anche la transizione da
un regime non relativistico, in cui vale appro ssimativamente la [4. 187], a un regime
relativistico, in cui bisogna utilizzare la [4. 177] e prendere in considerazione la di­
pendenza di Wc dalla velocità.
-r-
--.
._
_.
.o.:;-_;
.:.
.-:_:
::.
.-
:.
.
---------------------------------------------
0.75
..
..
..
..
..
..
0.50
O.O
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f3
Figura 4.8
La quantità vj_c/RB in fu nzione di vie . I punti sono i risultati dell'esperimento di Bucherer (1909).
La curva continua è la predizione relativistica. La curva tratteggiata è la predizione della teoria di
Abraham (vedi Probl emi).

144
4.14. Complementi
la dinamica relativistica I Cap. 4
4. 14. 1 . Il problema di Keplero in rela tività sp eciale
Studiamo il moto relativistico di una particella di massa m soggetta a un potenziale
centrale V(r) .
La simmetria rotazionale del sistema implica la conservazione del momento ango­
lare L = x X p. Il moto avviene quindi in un piano, che supporremo sia xy. Usando
coordinate polari ( r, <p) , con r = Vx 2 + y 2 , la velocità della particella si scrive come
V=rf+ripip,eLhalaforma
L=rfXmy(i'f+ripef>)=
mr2<'p ,
H z.2
L' altra quantità conservata è l'energia totale
E=
mc2
·
2
2·2
+V(r).
1_(r+r<p)
c2
[4. 191]
[4. 1 92]
Vogliamo derivare l'equazione della traiettoria. A questo scopo ri scriviamo la [4. 192]
come
mc2
--
-.=
===='? + V(r) = E,
Jl-(r'2+r2)ip2c2
[4. 193]
dove r' = dr/d<p. Ricavando ip dalla [4. 191] e sostituendolo nella [4. 193] si ottiene
conunpo' dialgebra(L=ILi)
mc2
da cui
L2(r2 + r'2)
1+
224
+V(r)=E,
mcr
(j_
_c_
)2
+r2=�[(E-V)2-m2c4].
d<p
L2c 2
Introducendo u = l/r, la [4. 195] diventa
(du)2
1
-
+u2= --[(E-V)2-m2c
4
].
d<p
L2c2
[4. 194]
[4. 195 ]
[4. 1 96]
Nel caso specifico di un campo gravitazionale generato da una massa M, il poten­
ziale V( r) è
V=
_
!!._ a= GMm,
r
,
[4. 197]

4. 14 I Complementi
e quindi
(1�)2
+u2=
Llc2
[(E+ au)2- m2c4].
Derivando ri spetto a <p e dividendo per 2 d u/d <p, si trova
d2u
a
d<p2
+u=
L1c2
(E + au).
Si noti che nel limite newton iano, in cui
E+au=E-V=mc2,
la [4.199] si riduce a
che è l'equazione non relativistica del la traiettoria.
Per risolvere la [4. l 99], la riscriviamo come
dzu 2
-
q2
d<p2
+qu-p-,
dove
q=J1-s:z,
L1c2 - a2
p
=
aE
Con l'ulteriore sostituzione w = u - l/p si ottiene
d2w
d<p2
+ q1w =O,
la cui soluzione è
w=Acos [q(<p - <{Jo )].
In termini della vari abile r si ha
r=
p
1+ECOS[q(<p-<fJo)J
,
dove E=Ap è l ' eccentricità.
145
[4. 198]
[4. 1 99]
[4.200]
[4.20 1 ]
[4.202]
[4.203]
[4.204]
[4.205]
[4.206]
Nel limite newtoniano il parametro q tende a 1 e, per E< I, la traiettoria è un'ellisse.
Nel caso relativistico, invece, q è diverso da 1, il che significa che l'asse dell'orbita
ruota (fig. 4.9). La distanza minima del corpo di prova dal centro di gravità si ha quando
cos [q(<p- <p0)] =I, cioè per <p = <p0 e, dopo un giro, per<p = <p0 + 2nlq. Dunque l'asse
ruota di un angolo
8= -q-2n =2n
d2
-1.
2n
(I)
J1-Lz
c2
[4.207]

146
0':,'",,
; /�::,
,
La dinamica relativistica I Cap. 4
Figura 4.9
Prec essione del perielio.
Poiché nelle situazioni di interesse astronomico a= GMm è molto più piccola di Le,
possiamo scrivere approssimativamente
na2 _ (GMm)2
o=
L2c2-n--
--
-y;
;-
.
[4.208]
Se consideriamo il moto dei pianeti attorn o al Sole, la rotazione dell'asse dell'orbita
dà luogo a uno sp ostamento (o p recessione) del perielio, cioè del punto di massimo av­
vicinamento al Sole. Le predizioni della relatività ristretta, tuttavia, non riproducono
correttamente i dati osservati vi. Lo studio dei fe nomeni gravitazionali richiede infatti
l'uso della relatività generale, che prevede un valore di o sei volte più grande (§ 11.1 3).
4. 14.2 . La stringa rotante
Consideriamo una corda (è d' uso parlare , con un anglicismo, di «stringa») di semi­
lunghezza l, che ruoti rigidamente - cioè senza allungarsi o contrarsi - attorno a un
asse perpendicolare passante per il suo centro (fig. 4. 10), e supponiamo che le sue
estremità abbiano una velocità pari a c. Un segmento infinitesimo dx della stringa,
posto a distanza x dal centro , ha velocità vie = xll. Se la stringa fo sse fe rma, l'energia
di questo segmento sarebbe dE = K"dx, dove K" è la tensione della stringa. A causa
della rotazione (a velocità rel ativistiche), l'energia del segmento è
dE = y(v) K"dx,
[4.209]
Figura 4.10
Una stringa rotante .

4. 14 I Complementi
147
dove y(v) =(1- v2/c2)-
1 12 è il solito fattore lorentziano. L'energia totale della stringa
si ottiene integrando la [4.209] su tutta la lunghezza, e vale
I
I
d
E=2J y(v) K"dx =2K"J
H
x
2
=nK"l .
o
o
l-�
12
[4.210]
Calcoliamo ora il momento angolare J della stringa. Il contributo del segmento dx
(che ha momento dp) è
dJ = xdp.
Usando (vedi [4.48])
la [4.2 12] diventa
xv
xv
dJ= -
2 dE=-
o y(v) K"dx.
e
e
[4.211]
[4.212]
[4.213]
Integrando sulla lunghezza otteniamo il momento angolare totale della stringa,
x2
I
I
-
_
J ynv
_
2K"
JI
_
n
2
J-2
-
-
2-dx--
2
H
dx-22K"I.
oe
eo
1-�
e
12
Se si combina questo ri sultato con la [4.21 O] si trova
-
I
2
1--2
-2- E.
neK"
[4.2 14]
[4.215]
Il momento angolare di una stringa rotante è quindi proporzionale al quadrato dell'e­
nergia, con un coefficiente che dipende solo dalla tensione K" e non dalla lunghezza I.
La proporzionalità tra momento angolare e quadrato dell'energia rende le stringhe
relativistiche particolarmente suggestive agli occhi del fi sico delle particelle. È noto
infatti che gli adroni (le particelle soggette alle interazioni forti : si distinguono in ba­
rioni, costituiti da tre quark, e mesoni, costituiti da un quark e un antiquark)6 presen­
tano una re lazione analoga - e tuttora non completamente compresa - tra il loro mo­
mento angolare intrinseco (lo spin) J e il quadrato della loro massa M 2 . Se riportiamo
in grafico J e M 2 , gli adroni con gli stessi numeri quantici interni giacciono su linee
rette, dette tra iettorie di Regge,1 le cui equazioni hanno la fo rma (ponendo la costante
di Planck n = h/2 n uguale a uno)
[4.2 16]
6 Tra i bari oni ricordiamo il protone (p), il neutrone (n), la t., la A, la ::;:, la Q ecc. Tra i mesoni, i pioni
(;r\ n°), lap, la w, lafamigliadelle K, la1/l/fecc.
7 T. Regge, in «Nuovo Cimento», 14, 1959, p. 951. G .F .P . Chew e S.C . Frautschi, in «Phys. Rev.
Lett.», 7, 1961, p. 394.

148
LA dinamica relativistica J Cap. 4
con a0 , a' costanti . Alcune traiettorie di Regge mesoniche sono mostrate in figura 4 . 11.
La «pendenza» a' è la stessa per tutte le traiettorie raffigurate e vale
a'=1Gev-2.
[4. 217]
Immaginando un mesone come una stringa rotante alle cui estremità si trovano il
quark e lantiquark, e confrontando la [4.2 15] con la traiettoria di Regge [4 . 216], si ri­
cava una relazione tra il coefficiente angolare a' e la tensione di stringa:
1
-
l(
=
-
2
-2-,=lGeVfm 1
•
nea
[4.2 18]
È degno di nota il fatto che un modello semplice e apparentemente irrealistico, come
quello della stringa rotante, rie sca a spiegare una regolarità come la [4. 216 ].
Negli ultimi tre decenni gli sviluppi della teo ria delle stringhe (che risale ai primi
anni settanta) sono stati notevoli. Da un lato essi hanno portato a una teoria molto di­
versa da quella originaria: con la quantizzazione delle stringhe e l'es tensione delle
loro proprietà di simmetria si è giunti alla cosiddetta teo ria delle sup erstringhe, che
ha l' ambizione estrema di incorporare tutte le interazioni fo ndamentali. Dall' altro
lato, la vecchia teoria di stringa è sopravvissuta come modello fe nomenologico per
descrivere la generazione di particelle negli urti ad alti ssima energia, cioè la produ­
zione di cascate di adroni per rottura e frammentazione successiva delle stringhe.
<:
:s
Il
..
..,
6
4
2
p,OJ
o��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
o
2
4
6
8
M 2 = t(GeV)2
Figura 4. 11
Letraiettorie di Regge principali dei mesoni: lap, lafz, laa,, la ro(tutte sovrapposte).

4. 14 I Complementi
149
4. 14.3. Verifiche della relatività sp eciale (Il)
La costruzione di una teoria quantistica della gravità, che combini la relatività ge­
nerale e la meccanica quantistica, è il più importante obiettivo della fi sica teorica
contemporanea. Alcuni tentativi in questa direzione prevedono che l'invarianza ri­
spetto a trasformazioni di Lorentz sia violata a energie molto elevate, dell'ordine della
cosiddetta energia di Planck,
(h 5)1/2
Ep= �
-10
19GeV,
[4.2 19]
o equivalentemente, a distanze molto piccole, dell'ordine della lunghezza di Planck,
Lp=
(:�r2
- 10-35 m.
[4.220]
Poiché E p è circa 15 ordini di grandezza più alta delle energie raggiunte dagli attuali
acceleratori , l'effetto in questione non è direttamente verificabile, né oggi né in un
prevedibile fu turo . È possibile tuttavia porre dei limiti di natura astrofisica su un'ipo­
tetica violazione della simmetria di Lorentz. Una delle conseguenze di tale violazione
sarebbe una modifica delle relazioni di mass shell.
8
Se supponiamo che sia rotta la
simmetria ri spetto ai boost ma non quella rotazionale, una possibile relazione tra l' e­
nergia E e il momento p di una particella di massa m è
[4.22 1]
dove 1) è una costante adimensionale e M è una massa dell'ordine della massa di
Planck Mp,
E (hc)1
12
M-MP=
c
f=G
- 10-
8 Kg.
[4.222]
Alle energie ordinarie, molto più basse di Ep, la [4.22 1] si riduce al consueto mass
shell [4.7 1]. Per un fo tone si può ipotizzare un' analoga relazione modificata tra la
pulsazione me il numero d' onda k:
[4.223]
dove ç è un' altra costante adimensionale. Nelle [4.22 1, 4.223] ci siamo limitati , per
semplicità, a considerare correzioni lineari in p e in k. Le costanti 1) e ç sono i para-
8 S. Coleman e S. L . Glashow, in «Phys. Rev.», 059, 1999, p. 1 16008; R. Aloisio, P. Blasi, P. L. Ghia e
A. F. Grillo, in «Phys. Rev.», 062, 2000, p. 0530 10.

150
La dinamica relativistica I Cap. 4
metri che quantificano la violazione dell'in varianza di Lorentz. Un recente studio
della radiazione di sincrotrone emessa dalla nebulosa del Granchio9 ha permesso di
ricavare limiti piuttosto stringenti su T] e ç. Il risultato è
[4.224]
Se I T] I e I 11 I fo ssero dell'ordine dell' unità, la rottura della simmetria di Lorentz si
manifesterebbe alla scala di Planck. I valori [4.224] mostrano che così non è: l'inva­
rianza relativistica sembra essere preservata fi no a energie di gran lunga superiori a
quella di Planck.
4. 14.4. R elatività, meccanica quantistica e antiparticelle
In un paio di occasioni (§ 2.9 e§4.8) abbiamo avuto modo di ricordare che, combi­
nando la relatività speciale con la meccanica quanti stica (una sintesi dovuta a Dirac),
emerge la necessità di associare a ogni particella un' antiparticella di carica opposta.
C'è un interessante e semplice arg omento dovuto a Feynman
io
che illustra bene que­
sto fatto.
Supponiamo che una particella sia soggetta a una perturbazione in un punto x 1 al­
l'is tante ti (evento 1) e che, successivamente, subisca una seconda perturbazione in
un punto x 2 ali'istante t 2 (evento 2, con t 2 > ti). La meccanica quantistica prevede che
lampiezza di transizione A(x i.ti;x2, t2) da 1 a 2 abbia la forma (useremo d'ora in poi
unità naturali, h = c = 1)
[4. 225]
dove l'in tegrale è esteso a tutti i possibili momenti p , con E 2 = p 2 + m 2 . Mostreremo
che, a causa della sua struttura matematica, l'ampiezza [4.225] riceve contributi non
nulli da eventi (x 2 , t2) collocati al di fuori del cono-luce di (x i. t 1 ). La chiave di tutto
sta in un importante teorema sulle trasformate di Fourier, i
i
il quale afferma che, data
una fu nzione F(m) limitata, a quadrato integrabile e nulla per m< O, la sua trasformata
f(t) = J e-iwrF(m)dm
[4.226]
non può annullarsi in un interv allo finito di t, a meno di non essere identicamente
zero . L'ipotesi cruciale qui è che F(m) = O per m< O, cosicché la [4.226] si riduce a
un integrale sulle sole frequenze positive.
9 T. Jacobson, S. Liberati e D. Mattingly, in «Nature», 424, 2003, p. I O 19.
1 0 R. P . Feynman, The reason for antiparticles, in Elementary Particles and the laws of Physics, 1986
Dirac Memoria! Lectures, Cambridge Uni versity Pre ss, Cambridge (UK) 1987.
11 Vedi E. C . Titchmarsh, lntroduction to the Th eory of Fo urier lnteg ra ls, Clarendon Press, Oxford
1948, teor. 95, pp. 128-29 . Useremo lo stesso teorema nei §§ 8. 10.2 e 8. 10.3, dove verranno discusse le im­
plicazioni della causalità sulla propagazione dei segnali in mezzi dispersivi.

4. 14 I Complementi
t
L.
/
/
Cono-l uce
Figura 4.12
/
/
/
(a)
/,
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
2
p,E
/
/
t'
L.
151
2
(b)
Rappresentazione diagrammatica di un pro cesso in cui una particella è soggetta a due perturbazioni
successive (eventi I e 2). (a) Sistema di riferimento in cui 12 > 1 1 • (b) Sistema di riferimento in cui
ti <t;.
Cambi ando nella [4.225] la vari abile di integrazione da I P I a E, e considerando
solo energie positive E=Yp 2 + m 2, possiamo applicare il teorema testé enunciato e
concludere che l'ampiezza A(x 1 , t 1 ; x2, t2) è non nulla al di fuori del cono-luce di I,
cioè per interval li tu
2
=c
2
(t2 - t1)
2
-
(x2-x1)
2
di tipo spazio (fig. 4.l 2a). Dalla di­
scussione svolta nei §§ 2.8 e 2.9 sappiamo che, se due eventi sono separati da un in­
terv allo di tipo spazio, la loro successione temporale dipende dal sistema di riferi­
mento e può essere invertita mediante una trasformazione di Lorentz. Consideriamo
allora un sistema di riferi mento in cui l'evento 2 accade prima del!' evento I (t; < t;).
La linea di universo del processo è mostrata in fi g. 4. 12b. Si osservi che all'istante t;
la perturbazione che agisce nel punto x 2 crea una coppia di particelle, una delle quali
si muove all 'indietro nel tempo da x 1 ax2 • All'istante successivo t;, questa particella
«retrograda» e quella originaria si annichilano. La particella che viaggia indietro nel
tempo può essere interpretata come un'antiparticella (cioè una particella di carica
opposta)chesispostadax2 ax1•
In definitiva, usando il formalismo della meccanica quantistica in combinazione
con un argomento relativistico, e richiedendo che gli stati fi sici siano solo quelli a
energia positiva, si giunge alla conclusione che sono possibili processi di creazione e
di annichilazione di coppie, e che devono esistere le antiparticelle.
4. 14.5. I ta chioni
La teoria della relati vità non vieta (ma, beninteso, neppure predice) l'esistenza di
particelle che viaggino a velocità superluminali. Per queste ipotetiche particelle,

152
La dinamica relativistica I Cap. 4
chiamate ta chioni,
1 2 la velocità della luce nel vuoto e è un limite inferiore, che non
può essere oltrepassato dall' alto. Non è quindi possibile decelerare un tachione fino a
una velocità uguale o inferiore a e: il mondo superluminale e il mondo subluminale
sono separati .
Come sappiamo, l'energia e il momento di una particella ordinari a (cioè sublumi­
nale) sono
mc2
E=g;2·
l-­
c2
p=
mv
V
2
h
.
[4.227]
Affinché queste formule possano essere estese alla regione v > e, nella quale il deno­
minatore diventa immaginario, occorre effettu are al numeratore la sostituzione m �
� iμ, con μ reale (la massa del tachione). Otteniamo così le espressioni dell'energia e
del momento di un tachione:
μc2
μv
E=Fi
z
'
p=�
z
.
-
-1
-
-
1
c2
c2
[4.228]
Si noti che esse sono singolari per v che tende a e, e diventano immaginarie nella re­
gione v <c. La relazione tra E e p = I P I risulta essere
[4.229]
Dalle [ 4.228, 4.229] emergono alcune interessanti peculiarità dei tachioni . Innanzi
tutto, un tachione non può avere momento nullo (E2 diventerebbe negativa). Può però
avere energia nulla, il che si verifica per v � oo . In questo caso, il momento assume il
valore minimo p = μc. Per i tachioni, quindi, la velocità infinita gioca lo stesso ruolo
della velocità nulla per le particelle subluminali. È importante osservare che gli stati
di energia possibili per un tachione si estendono in maniera continua da - oo a + oo .
A differenza che per le particelle ordinarie, non c'è alcuna discontinuità tra i livelli di
energia positiva e quelli di energia negativa (che, come sappiamo, sono associati alle
antiparticelle). È dunque possibile, mediante una trasformazione di Lorentz, passare
da uno stato tachionico di energia positiva a uno di energia negativa. In altri termini,
nel mondo tachionico la distinzione tra materia e antimateria dipende dall' osservatore .
Non vi è fi nora alcuna indicazione sperimentale a favore dell 'esistenza di particel­
le tachioniche. L'ipotesi dei tachioni, inoltre, non sembra rispondere a particolari ne­
cessità di ordine teorico (fatta eccezione, fo rse, per alcuni scenari cosmologici).
1
3
12 Per un introduzione elementare all'argomento, vedi V. de Sabbata, Einstein e la relatività, Corso,
Ferrara 1982, pp. 149-65. Per una trattazione dettagliata il lettore è invitato a consultare l'articolo di E. Re­
cami, in «Riv. Nuovo Cim.» 9, 1986, p. I.
1 3 Cfr. G .W. Gibbons, in«Class. Quantum Grav.», 20, 2003, p.S321.

4. 14 I Complementi
153
4. 14.6. A cceleratori di particelle
Il Large Hadron Collider (LHC) del CERN (che entrerà in fu nzione nel 2007) acce­
lererà protoni fi no a un'energia di 7 TeV. Poiché i protoni hanno una massa di circa
l GeV/c2 , la loro rel azione energia-impulso all'LHC è E=cp e il parametro f3 =vie =
= cp/E è prossimo a l: in una situazione del genere il moto non può che essere de­
scritto dalla meccanica relati vistica. Già al ProtoSincrotrone (Ps) del 1959 il f3 dei
protoni valeva 0.99945 . Dunque, per progettare e costruire un acceleratore, la mecca­
nica che gli ingegneri devono applicare è quella einsteiniana. Il fatto che queste mac­
chine fu nzionino correttamente rappresenta perciò un grosso successo della teoria
della relatività (così come la balistica fornisce un sostegno empirico alla meccanica
newtoniana) .
Il lungo percorso che ha condotto ad acceleratori di grande potenza (e di enormi di­
men sioni) come l'LHC è cominciato con la realizzazione di macchine decisamente più
piccole e meno potenti : gli acceleratori elettrostatici. Quando una particella di carica
e viene sottoposta a una differe nza di potenziale V, essa acquista un'energia cinetica
T data da
T= eV,
e, poiché
mc2
T= --
�
--
-m
c2,
.,;1-?
la relazione tra la velocità v della particella e V è
dove
[l]"2
v=c 1-
(l+�)2
,
mc2
Vo=--
.
e
L' energia totale della particella è
E=T+mc2 =mc2 (1+�).
[4.230]
[4.23 1]
[4.232]
[4.233]
[4.234]
Il parametro a= V/ V0 = Tlm c 2 misura gli effetti relativistici. Il limite non relativisti­
co corrisponde a a<< 1; al contrario, per a ;:
::
2 si è nel regime ultrarelativistico. In
particolare, se si considerano degli elettroni, si ha
V0 = 5.11 X105 volt,
[4.235]
e le correzioni relativistiche cominciano a essere non trascurabili per tensioni accele­
ratrici dell'ordine delle decine di Kilovolt. Gli acceleratori di Van de Graaf e di Cock-

154
La dinamica relativistica I Cap. 4
roft-Walton, che sono usati per esperimenti di basse energie o come iniettori di macchi­
ne più grandi, fu nzionano con differenze di potenziale non superiori a qualche decina
di Megavolt.
Un'altra importante classe di macchine acceleratrici a campo elettrico è quella
degli acceleratori lineari, che utilizzano cavità a radiofrequenza per accelerare gli
elettroni .
1 4 Il più potente acceleratore lineare attualmente in fu nzione è lo Stanford
Linear Collider (SLC) che accelera elettroni e positroni fi no a un'energia di 50 GeV,
dopo un percorso di 3 Km.
Negli acceleratori lineari l'energia cinetica delle particelle è proporzionale alla di­
stanza percorsa. Ciò pone un limite ali' energia massima raggiungibile con queste
macchine (che è vincolata dalle loro dimensioni). Per ottenere energie più alte biso­
gna ricorrere ad acceleratori fu nzionanti oltre che con campi elettrici anche con
campi magnetici. Il primo acceleratore di questo tipo fu il ciclotrone, inventato da
E. O. Lawrence nel 1931. Esso è costituito da due cavità semicircolari tra le quali agi­
sce un campo elettrico oscillante (fig. 4. 13). Le particelle cariche compiono un per­
corso circolare sotto l'azione di un campo magnetico uniforme e costante, perpendi­
colare al piano del moto . A ogni semigiro le particelle sono accelerate dal campo elet­
trico e il raggio della loro orbita aumenta secondo la [4. 188], che è valida poiché il
moto è non relativistico. Per far sì che le particelle trovino la differenza di potenziale
tra le due cavità sempre del segno giusto per essere accelerate (e non decelerate), la
frequenza del campo elettrico deve essere uguale alla fr equenza di ciclotrone, che è
data dalla [4. 187] ed è costante . Ali' aumentare dell'energia (al di sopra di 10-20 MeV
circa per i protoni) , gli effetti relativistici diventano più importanti e la frequenza di
ciclotrone acquista una dipendenza non trascurabile dalla velocità (vedi [4. 177]), di­
minuendo al crescere dell'impulso delle particelle. Bisogna allora diminuire corri­
spondentemente la frequenza del campo elettrico. Il ciclotrone diventa così un sincro­
ciclotrone. I sincrociclotroni degli anni cinquanta (a Dubna in Russia, al CERN di Gi­
nevra, a Berkeley negli USA) raggiungevano energie di 600-700 MeV ed erano
equipaggiati con magneti pesanti parecchie migliaia di tonnellate.
Sia nel ciclotrone che nel sincrociclotrone il momento massimo che le particelle
possono teoricamente acquistare è dato, secondo la [4. 186], da
e
Pmax =-RB,
c
[4.236]
dove R è il raggio della macchina e B è il campo magnetico. Poiché né R né B possono
aumentare a dismisura, le energie raggiungibili con queste macchine sono limitate .
Inoltre, è difficile garantire la perfetta uniformità del campo magnetico sull'intera su­
perficie del ciclotrone (o del sincrociclotrone) . Per ovviare a questi problemi fu ideato
14 Gli acceleratori lineari fu rono inventati attorno agli anni venti-trenta dallo svedese Gustav lsing, dal
norvegese Rolf Wideroe e dagli americani Ernest Lawrence e David Sloan . Per la storia dei primi accelera­
tori si veda P. Waloschek (a cura di), The Infancy of Particle Accelerators. Life and Work of Rolf Wideroe,
DE.5Y, Hamburg 1994 (report 94-039).

4. 14 I Complementi
+-
+-
Figura 4.13
Figura 4.14
Schema di fu nzionamento di un ciclotrone (è mo- Sezione orizzontale di un sincrotrone.
strata la sezione orizzontale).
155
(nel 1945, dall' americano Edwin McMillan e dal russo Vladimir Veksler) il sincro­
trone. In questa macchina (fig. 4. 14) il raggio dell'orbita delle particelle è mantenuto
costante da un campo magnetico che aumenta proporzionalmente all'impulso (e che
non copre l'in tero acceleratore ma solo la camera a vuoto in cui viaggia il fa scio).
L' ac celeraz ione è impressa da una o più cavità a radiofrequenza. Il SuperProto Sin­
crotrone (SPS) del CERN, entrato in fu nzione nel 1976, accelerava protoni fino a un'e­
nergia di 500 GeV.
Gli acceleratori che abbiamo considerato fi n qui permettono di studiare processi
d'urto su bersagli fi ssi. In questi processi solo una piccola parte dell'energia totale
delle particelle incidenti si trasforma in energia di massa dei prodotti finali. La mag­
gior parte dell'energia iniziale si converte in energia cinetica, e la possibilità di pro­
durre particelle è quindi limitata. Come vedremo nel § 7.4 . 1, se si vuole massimizzare
lenergia disponibile per essere trasformata in massa delle particelle prodotte, occor­
re mettersi nella condizione in cui le due particelle interagenti si muovono l'una verso
l'altra con momenti uguali e opposti (occorre cioè realizzare in laboratorio il sistema
di riferimento del centro di massa) . Questa è l'idea alla base di un'importanti ssima
categoria di acceleratori detti collisori, in cui due fa sci di particelle di massa general­
mente uguale
1 5 (elettroni + positroni, protoni + protoni, protoni + antiprotoni, ioni +
ioni) vengono fatti circolare in senso opposto all 'in terno di un anello (nel quale sono
confinati da magneti) e collidono in alcune zone di interazione.
Il primo collisore fu l'Anello di Accumulazione (AdA), ideato dal fi sico austro­
italiano Bruno Touschek e costru ito nel laboratorio dell 'Istituto Nazionale di Fisica
15 Fa eccezione il col lisore HERA del laboratorio DESY di Amburgo, in cui le particelle collidenti sono
elettroni e protoni (di massa molto diversa).

156
La dinamica relativistica I Cap. 4
Nucleare (INFN) di Frascati nel 1960. Si trattava di un prototipo di 1.6 mdi diametro
che accelerava elettroni e positroni fino a 250 MeV. Fu seguito da ADONE (1969) che
raggiungeva energie di 1.5 GeV per fa scio. Venendo all'attu alità, il Large Hadron
Collider del CERN è stato progettato per accelerare protoni fi no a 7 TeV per fa scio.
Accanto ai vantaggi di cui si è detto, i collisori presentano però un problema: poi­
ché i fasci hanno una densità di gran lunga infe riore a quella della materia ordinari a, che
costituisce i bersagli fissi, gli eventi d'urto sono meno probabili (in termini tecnici, si
dice che la luminosità è minore). Dunque, se un esperimento richiede altissime ener­
gie, la migliore scelta è un collisore : se, invece, richiede un gran numero di collisioni,
cioè un' alta luminosità, conviene ricorrere a un acceleratore a bersaglio fi sso (la sfida
per i progettisti di macchine acceleratrici consiste appunto nel combinare al meglio le
due prestazioni).
Nella tabella 4. 1 sono raccolte alcune informazioni sui principali ac celeratori nel
mondo.
Tabella 4. 1
I principali acceleratori. La data si riferisce ali'inizio del fu nzionamento.
Laboratorio
Macchina
Particelle
En ergia
CERN (Svizzera)
PS (l9S9)
p
28 GeV
ISR (197 1)
p+p
(28 + 28) GeV
SPS ( 1976)
p
SOO GeV
SPPS (1981)
p+p
(31S +31S) GeV
LEP (1989)
e++e-
(SO + SO) GeV
LEP II ( 1996)
e++e-
(100+ IOO) GeV
LHC (2007)
p+p
(7 +7)TeV
INFN-LNF (Italia)
AdA (1960)
e++e-
(2SO + 2SO) MeV
ADONE ( 1969)
e++e-
(l.S + 1.S) GeV
DESY (Germania)
DORIS (1974)
e++e-
(S.6 + S.6) GeV
PETRA ( 1978)
e++e-
(23 + 23) GeV
HERA (1991)
e"'+p
(30 + 820) GeV
Fermilab ( USA)
Main Ring ( 1972)
p
SOO GeV
Tevatron ( 1983)
p
I TeV
Collider ( 1987)
p+p
(I + l)TeV
KEK (Giappone)
Tristan ( 1986)
e++e-
(30 + 30) GeV
KEKB ( 1999)
e++e-
(8 + 3.S) GeV
IHEP (Cina)
BEPC
e++e-
(2 +2)GeV
SLAC ( USA)
LINAC (1966)
e
20 GeV
SPEAR ( 1972)
e++e-
(4.2 + 4.2) GeV
PEP (J980)
e++e-
(18 + 18) GeV
SLC ( 1989)
e++e-
(SO + SO) GeV
PEP II (1999)
e++e-
(9 +3.l) GeV
Brookhaven ( USA)
RHIC (2001)
A+A
(lOOA + lOOA) GeV
Fo nte Tabella adattata da R. Zitoun, lntroduction à la physique des particu/es, Dunod, Pari s 2000.

Problemi
157
Problemi
I. Accelerazione di una carica in un campo elettromagnetico
Una particella di massa mecarica e è soggetta a un campo elettri co E e a un campo magnetico
B. Scrivere l'accelerazione a della particella in fu nzione di E, Bedella velocità v.
2. Forze longitudinali e trasversali
Si mostri che separando la fo rza F in una componente F11 parallela alla velocità e in una
componente Fl. perpendicol are alla velocità, F = F11 + Fl., e fac endo la stessa cosa con l'accele­
razione, a=a Il + a l. , dalla legge di Minkowski si ottiene
Come si vede, il coefficiente di proporzionalità tra fo rza e accelerazione (cioè I' «inerzia» della
particella) è diverso a seconda che la fo rza sia parallela o perpendicolare alla velocità. L' osser­
vazione di questo fe nomeno fe ce sorgere, agli albori della teoria relativistica, i concetti di
«massa trasversale» mye «massa longitudinale» m y3 (che sono ormai obsoleti).
3. Trasform azioni di Lorentz e conse rvazione del momento
Mostrare che, se il momento di una particella fo sse p = m v , la conservazione del momento
totale di un insieme di particelle in un certo si stema inerzi ale '?Il non implicherebbe la conserva­
zione del momento in un altro sistema inerziale '?Il ' legato a'?/[ da una trasformazione di Lorentz.
4. Teoria di Abraham
All'inizio del Novecento, alcuni esperimenti con elettroni di alta velocità portarono alla sco­
perta di devi azi oni non trascurabili dalla legge di Newton, che vennero spiegate ipotizzando
che la massa degli elettroni dipendesse dalla velocità. Max Abraham propose per questa massa
la formula
_
3m[
1
+/J2I+f3]
m=
4132 2'i]ln 1_13
-1
,
(4 .237]
con f3 =vie . Verificare che, al secondo ordine in vie, la correzione alla massa oii
il
m =(ii
i
­
-
m)lm, è v 212c 2 per la form ula relativistica [4.27] e 2v215c 2 per la form ula di Abraham [4.237].
(Già nel 1909 Bucherer mostrò che i ri sultati sperimentali si accordavano meglio con la [4.27]
che con la (4 .237], come si vede in fi g. 4 .8).
5. La voro per accelerare un elettrone
Si calcoli il lavoro neces sario per accelerare un elettrone inizialmente fe rmo fi no alla velo­
cità v = (314)c.
6. Relazione tra massa, momento ed energia cinetica
Esprimere la massa di una particella in fu nzione del suo momento e della sua energia cinetica.

158
7. En ergia e momento di un protone
La dinamica relativistica I Cap. 4
Calcolare il momento di un protone la cui energia cinetica è T = 5 GeV. Ripetere il calcolo
per T= 500 GeV.
8. Ve locità dei protoni di LHC
Di quanto differisce da c la velocità dei protoni del Large Hadron Collider (LHC), che hanno
energia E=7 TeV?
9. Correzione relativistica all 'energia dell 'atomo di idrogeno
L' energia dell'elettrone nell'atomo di H è data da E=T + U, dove Tè l'energia cinetica e
U è lenergia potenziale coulombiana. Nel caso non rel ativistico Tè
p2
TNR=-
2-,
me
mentre nel caso relativistico è
Determinare approssimativamente la correzione !:iE = ER - E N R tenendo conto che p << m e c.
10. Additività della massa
Si consideri un sistema di due particelle di massa m 1 e m 2 • Se E e p sono rispettivamente I' e ­
nergia totale e il momento totale delle parti celle, E=E 1 + E2 , p = p 1 + p 2 , la massa invariante
M del sistema è definita come (p =IPI)
E2
M2c2 =
--
-y
_
p2
c
Mostrare che M = m 1 + m 2 solo se le particelle sono a riposo.
11. Moto di un razzo
Un razzo di massa M;, inizialmente fe rmo, si mette in moto in direzi one orizzontale emet­
tendo gas a una velocità costante V. Se, dopo un certo interv allo di tempo, la velocità del razzo
è v1, a quanto si è ridotta la sua massa?
Risp osta :
c/2 V
dove M1 è la massa fi nale del razzo.
Suggerimento . Ci si ponga in un sistema di riferimento ':J{ ' in cui il razzo è istantaneamente a
riposo (':J{ si muove rispetto a ':J{ ' con velocità v). Sia M la massa del razzo in un generico istante
di tempo. In seguito all'emissione dei gas (di massa 8M8), la velocità del razzo (in ':J{ ') diventa
8v ' e la sua massa varia di 8M (che non coincide con 8M8 a causa di effetti relativistici). Si ap-

Problemi
159
plichi la legge di conservazione dell'energia e del momento. Si passi poi al sistema 'J{ medi ante
una trasformazione di Lorentz, ottenendo una relazione tra 8M e 8v che, integrata, fornisce la
risposta.
Conservazione dell'energia:
2
(M+ 8M)c2
Mc=
+
J (5v')2
I-�
Conservazione del momento :
8M8 V
(M+8M)8v'
O=-g2+
J (5v')
2
1--
l---
c2
c2
Trasformazione di Lorentz della velocità:
v+8v =
8v' +v
1
v5v'
+
7
12. Oscillatore re lativistico
L' energia di un oscillatore relativistico unidimensionale è
mc2
1
E= � +lkx2
,
vl
-cr
[4.238]
dove k è la costante elastica. Chiamiamo a la massima elongazione dell'oscillatore (x = ± a
sono i punti di inversione, in corri spondenza dei quali la velocità si annulla) e supponiamo che
l'energia potenziale massima ka2 /2 sia piccola rispetto all' energia di riposo mc2
•
Si calcoli il
periodo del l'osci l latore al primo ordi ne in ka 2 /2 mc2 .
Risposta :
/m( 3ka2 )
T=2"vT 1 +
16mc2 ·
Si osservi che gli effetti relati vistici introducono una dipendenza di T da a (non vi è più isocro­
nismo) .
13. Rapidità di una pa rticella
Una particella ha energia E e terza componente del momento p,. La sua rapidità y è definita
come
1+
v
,
I E+cp. I
c
y=- ln--
-
"=-In--
-
.
2 E-cp, 2
I
_
v,
[4 . 239]
c
Mostrare che:
•
nel limite non relati vistico y si riduce a v/c;

160
La dinamica relativistica \ Cap. 4
•
per un boost lungo z la rapidità si trasforma additivamente, cioè
1 1+f3
Y�y+-ln-­
boos 1
2 1-{3'
dove 7] = +In :��èla rapiditàdelboost (vedi § 5.6);
nel caso di una particella di massa nulla si ha
I I+cosiJ
iJ
y=21n
1-cosiJ
= - Intan2'
dove JJè l' angolo che la direzione del moto fo rma con l'asse z.
14. Gravità newtoniana e relatività sp eciale
Verificare che l'equazione del moto [ 4 .12] di un corpo soggetto alla forza di gravità newto­
niana non è invariante rispetto a trasformazioni di Lorentz.
15. Moto di una ca rica in un campo elettrico unifo rme (I)
Determinare la legge oraria di una particella di carica e soggetta a un campo el ettrico unifor­
me E=El, supponendo che al tempo t =Ola particella si trovi in x =Oe il suo momento siap =
= (p0, O, O).
16. Moto di una ca rica in un campo elettrico unifo rme (Il)
Calcolare il tempo necessario affinché una particella di carica e soggetta a un campo elettri­
co uniforme E=El e inizialmente a riposo percorra una distanza d.
17. Acceleratore lineare
In un acceleratore lineare l'energia cinetica T degli elettroni è all 'incirca proporzionale alla
distanza che essi percorrono: T = ax. Calcolare la velocità v degli elettroni in fu nzione di x.
Supponendo che, dopo un percorso di 3 Km, l'energia cinetica fi nale sia di 50 GeV (sono i pa­
rametri dell' acceleratore lineare di SLAC), di quanto differisce percentualmente da c la velocità
raggiunta dagli elettroni?

Capitolo 5
Lo spazio-tempo
«Lo spazio in sé e il tempo in sé sono destinati a svanire come pure ombre, poiché
solo un genere di unione tra i due conserverà una realtà indipendente». 1 Quando Her­
mann Minkowski presentò al Convegno dei naturalisti tedeschi questo punto di vista
«radicale» - come egli stesso lo definì - erano passati appena tre anni dalla pubblica­
zione della memoria di Einstein sulla rel atività ristretta. Molti di più ne sarebbero tra­
scorsi prima che i fi sici di tutto il mondo si convincessero definitivamente della vali­
dità della teoria einsteiniana. Minkowski aveva già compreso le profonde implicazioni
della rel ati vità; in particolare, la rivoluzione che essa segnava nella concezione fi si­
ca dello spazio e del tempo. Non più di spazio e di tempo come entità separate si sareb­
bé dovuto parl are , bensì di qualcosa che unisce in maniera inscindibile lo spazio e il
tempo. Il trattino che separa spazio e tempo nel titolo di questo capitolo indica dunque
non un binomio ma un' unità; a rigore, esso dovrebbe essere elimi nato e i due termini
andrebbero fu si in un' unica parola, «spaziotempo».
La formulazione geometrica della relatività, che Minkowski abbozzò ma non ebbe
il tempo di sviluppare pienamente a causa della morte prematura avvenuta nel 1909,
permette di riottenere in maniera naturale ed elegante - a costo di qualche piccolo ap­
pesantimento matematico che si digerisce fac ilmente - i risultati che abbiamo già de­
rivato, di generalizzarli e di tradurre il principio di relatività in una condizione di in­
varianza fac ile da applicare anche a teorie più complicate della meccanica delle parti­
celle, ad esempio alla teori a dei campi. Studiando questa formulazione, ci renderemo
conto che il calcolo vettori ale (o, più generalmente, tensoriale) nello spazio euclideo
R3 , su cui è basata la fi sica newtoniana, non è il più adatto a descrivere i fe nomeni re­
lativistici. Sarà necessario costruire un nuovo calcolo, il calcolo tensoriale nello spa­
zio-tempo (3 + I)-dimensionale.
1 H. Minkowski, Raum und Ze it, trad . ingl. in H. A . Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski e H. Weyl, The
Principle ofRelativity, a cura di A. Sommerfeld, Dover, New York 1952, pp. 75-91.

162
Lo spazio-tempo I Cap. 5
5.1 . Rotazioni nello spazio euclideo tridimensionale
In meccanica classica i fe nomeni fi sici si svolgono nello spazio euclideo tridimen­
sionale R 3 e sono parametrizzati da un tempo assoluto. Ogni punto di R 3 è individua­
to da una terna di coordinate (x 1 , x
2
,x
3 ). Useremo d'ora in poi coordi nate cartesiane:
[5. 1]
Sia dx il vettore che unisce due punti infinitesimamente vicini (x, y, z) e (x + dx, y + dy,
z+dz),
dx = (dx, dy, dz).
La distanza tra questi due punti è, per definizione, il modulo di dx,
distanza = I dx I = (�1dxf
)112
= \!dx2+dy2+dz2•
Introducendo la delta di Kronecker O;j (vedi Appendice A),
o ={1
lj
o
se i=j,
se i'=/:),
la distanza euclidea (che scriviamo al quadrato) assume la fo rma
33
dx2 = L L oijdx;dxj.
i=I j=I
[5.2]
[5.3]
[5.4]
[5.5]
(In termini matematici, questa espressione indica che R 3 è uno spazio di Riemann con
òij come tensore metrico. Torneremo più avanti su questi concetti).
Consideriamo ora una trasformazione lineare delle coordinate
3
x;=LR
;
;Xj,
j=I
[5 .6]
dove le R
ij sono costanti reali, e imponiamo che essa preservi la distanza, sia cioè tale
che
dx'2 = dx2.
[ 5.7]
Le trasformazioni lineari delle coordinate di uno spazio euclideo che lasciano inva­
riata la distanza spno dette rotazioni. Le componenti di dx si trasformano come
3
dx;=L Rijd.xj,
[5.8]
e, inserendo questa espressione nel primo membro della [5.7], si trova
[5.9]

5. 1 I Rotazioni nello spazio euclideo tridimensionale
che riscriviamo come
dx'2 = #1�1(�1RijRik)dx1dxk.
Affinché questa quantità sia uguale a dx 2 , deve essere
3
LRijRik = oik·
i=I
163
[5.10]
[5. ll]
Se R è la matrice 3 X 3 i cui elementi sono le R ij , gli elementi della matrice trasposta
sono (RT ) ij = R1 ; . e la condizione [5. 11] diventa, in forma matriciale,
[5.12]
La matrice delle rotazioni è, dunque, una matrice ortogonale. Le [5.1l] sono sei con­
dizioni sugli elementi di R, che ha perciò solo 9 - 6 = 3 elementi indipendenti : ogni
rotazione in R 3 è dunque identificata da tre parametri .
Una rotazione di un angolo e attorno ali' asse z è rappresentata dalla matrice
R,(8) = ( �:�n8e �:: �).
O
·o1
[5 .13]
Una generica rotazione R(9 ) è specificata da un vettore 9 = en. Il modulo e è l' angolo di rota­
zione. Il vers ore n individua l'asse di rotazione e può essere parametrizzato nel seguente modo:
n = (sinljlcoslj>, sinljlsinlj>, cos l/f),
così che R(9) risulta dipendere da tre parametri , e , ljle lj>, con
o�e�n. Oio;
;
l/f� n. O�lj>� 2rr.
[ 5.14]
[5 .15]
Un'importante proprietà delle matrici delle rotazioni riguarda il loro determinante .
Dalla [5 .12] si ricava
det(RTR)=detRTdetR=(detR)2 = detIl,
[5.16]
da cui
detR=±I.
[5.17]
Le rotazioni p roprie, cioè senza inversioni degli assi, sono rappresentate da matrici
ortogonali con determinante uguale a + 1. Il caso det R = - 1 corrisponde invece a
rotazioni che incorporano un 'in versione spaziale (e sono dette rotazioni imp roprie).
Le rotazioni fo rmano un gruppo di Lie deno,minato 0(3), il gruppo delle matrici or­
togonali in 3 dimensioni (per alcune nozioni sui gruppi di Lie si veda l'Appendice B).
Le rotaz ioni proprie fo rmano un sottogruppo di 0(3), chiamato S0(3), il gruppo spe­
ciale delle matrici ortogonali in 3 dimensioni («speciale», o «unimodulare», vuol dire
che i suoi elementi sono matrici con determinante uguale a 1).

164
Lo spazio-tempo I Cap. 5
5.2. Vettori e tensori in R 3
Nello spazio euclideo R 3 i vettori e i tensori vengono definiti in riferimento alle
loro proprietà di trasformazione rispetto alle rotazioni.
Un vettore A è una terna
[5 .18]
che, in seguito a una rotazione degli assi rappresentata dalla matrice R = { R iJ ), si tra­
sforma come dx, cioè (vedi [5.8])
3
A;=LRijAj.
j=I
[5 .19]
Se le A i sono fu nzioni delle coordinate, A(x) è detto campo vettoriale, e le leggi di tra­
sformazione delle sue componenti sono
3
.
A;(x') = L RiJA/x),
j=I
dove x' = Rx.
[5.20]
Un tensore di rango n è un insieme di 3" quantità Ti,i, .. i,, (con i1, i2, •••,i,, = 1,2, 3)
che, rispetto a una rotazione, si trasformano come
33
3
T'··=
�� �R··R
·
·
R··T
·
·
l1l2 ···l n
L.J.L.J•••."'-'
f1J1 f2}2 ••• l,J,, Jih···Jn"
• j,=I}2=I },,=I
Ad esempio, un tensore di rango 2 ha nove componenti
TiJ = (��: ��� ��:),
T31 T32 T33
che si trasformano secondo la relazione
33
Tij = L LRikRj/Tk/·
k=I/=I
[5.2 1]
[5.22]
[5.23]
I vettori rappresentano un caso speciale di tensori : un vettore, infatti , è un tensore di
rango I. La legge di trasformazione, rispetto alle rotazioni, di un campo tensoriale
Ti,i, .i,,(x) è
33
3
T;,i, i,,(x') =L L ...LRi,J,RiJ, .
.
.
R iJJJ,J, 1,,(x).
j,=I}1=I },,=I
Se introduciamo il p rodotto scalare di due vettori ,
3
A·B =LAiBi>
i=I
[5.24]
[5.25]

5.3 I Covarianza delle leggi.fisiche
165
e definiamo il modulo quadro (o quadra to) di A come
[5.26]
i=\
dall'ortogonalità di R segue che A · B e A 2 sono invarianti risp etto alle rotazioni
A' ·B' =A ·B, A'2
=A2 ,
dove gli apici indicano quantità ruotate. Si ha infatti
A' ·B' = �1A;B; =�1(#1RiJAJ�1 R;kBk) =#1�1(�1RiJRik)AJBk =
33
3
= L L8jkA)Bk=LA1B1=A·B.
j=lk =l
j=l
[5.27]
[5.28]
Quantità invarianti rispetto alle rotazioni sono dette scalari. In generale, se moltic
plichiamo due o più tensori in modo da contrarre tutti i loro indici, otteniamo uno sca­
lare. Ad esempio
33
LLTiJSij
i=1j=1
33.3
e L L LA;T;1ksJk
i=lj=lk =l
sono combinazioni scalari , come si verifica con qualche semplice passaggio.
5.3 . Covarianza delle leggi fisiche
[5.29]
Quale effetto ha sulla fo rma delle leggi fi siche una rotazione degli assi del sistema
di riferimento? Consideriamo, ad esempio, la legge fondamentale della dinamica
newtoniana
mi = F(x),
[5.30]
dove x(t) è la legge oraria di una particella di massa m e F(x) è la forza che agisce sulla
particella (per semplicità, abbiamo supposto che F dipenda solo dalle coordinate x). In
seguito a una rotazione degli assi, rappresentata dalla matrice ortogonale R, i due
membri della [5.30], essendo entrambi vettori , si trasformano nello stesso .modo,
3
..
..,
"R
..
X;-7X;=L.i ijXj,
i=l
3
F;(x) -7 Fj(x') =L RiJF1(x),
i=l
cosicché la [5.30] mantiene la stessa fo rma nel sistema di riferimento ruotato :
mi' = F'(x').
[5.3 1]
[5.32]
Esprimeremo questo fatto dicendo che la legge della dinamica newtoniana è covarian­
te (o invariante informa) rispetto alle rotazioni. In generale, si parla di covarianza di

166
Lo spazio-tempo I Cap. 5
una relazione rispetto a una data trasformazione quando i due membri della relazione
variano nello stesso modo rispetto a quella trasformazione, così che la relazione con­
tinua a valere . Si noti che è il carattere di equazione vettoriale della [5.30] a renderla
manifestamente covariante. Una legge del tipo
A =B,
[5.33]
dove A e B sono due grandezze scalari , o una legge vettori ale del tipo
A=B ,
[5 .34]
doveA e B sono due grandezze vettoriali , o ancora una legge tensoriale del tipo
AiJk. .
= BiJk....
[5.35]
sono leggi manifestamente covarianti rispetto alle rotazioni . In generale, le leggi del­
la fi sica newtoniana sono leggi vettori ali (o, più in generale, tensoriali) e conservano
quindi la stessa fo rma quando si effettua una rotazione degli assi.
È bene sottolineare che la covarianza della [5.30] non dipende dalla forma esplicita
di F, ma solo, come si è detto, dalla natura vettori ale della fo rza e dell' accelerazione.
La covarianza della legge di Newton ri spetto alle rotazioni non va confusa con un' e­
ventuale invarianza rotazionale del si stema, che è una proprietà legata alla specifica
forma di F , e quindi sussiste solo in casi particolari (un sistema è invariante per rota­
zioni se è soggetto a un campo di fo rze centrali). La covarianza per ro� azioni della
[5.30] è un fatto matematico, che non attiene alla dinamica specifica del sistema.
Il principio di relatività di Einstein comporta che le leggi della fi sica siano cova­
rianti ri spetto alle trasformazioni di Lorentz. Questo enunciato suggerisce una strate­
gia per stabilire a vista se una certa legge è in accordo col principio di relatività. La
procedura è la seguente :
1. Interpretare le trasformazioni di Lorentz come trasformazioni geometriche, simili
alle rotazioni, in uno spazio opportuno (che, come vedremo, è lo sp azio-tempo, o
spazio di Minkowski, M).
2. Introdurre in M degli enti matematici, simili ai vettori e ai tensori euclidei, dotati
di proprietà di trasformazione definite rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Que­
sti enti sono i quadrivetto ri e i quadritensori.
3. Scrivere le leggi della fi sica in fo rma quadritenso riale, cioè in forma manife sta ­
mente covariante . Ciò fa sì che esse siano consisten.ti col principio di relatività.
La corrispondenza tra la covarianza rispetto alle rotazioni e la covarianza rispetto
alle trasformazioni di Lorentz può essere così schematizzata :
{ spazio euclideo R 3 <=>
spazio-tempo M
}
rotazioni
<=> trasformazioni di Lorentz
vettori , tensori euclidei <=> quadriv ettori , quadritensori
[5.36]
Scopriremo in seguito che le rotazioni sono casi particolari delle trasformazioni di
Lorentz (intese nella loro accezione più ampia), e quindi la covari anza relativistica

5.4 I Lo spazio di Minkowski
167
incorpora quella rotazionale. I termini a destra nella [5. 36] sono dunque estensioni
dei termini di sinistra.
Nei prossimi paragrafi metteremo in pratica la procedura summenzionata. Il primo
passo consisterà nel caratteri zzare dal punto di vista geometrico l'universo fi sico.
Non sarà un 'impresa difficile giacché abbiamo già individuato negli eventi ( § 2 . 5 ) i
«punti» di questo spazio.
5.4 . Lo spazio di Minkowski
L' universo ambiente in cui hanno luogo tutti i fe nomeni fi sici è un continuo qua­
drimensionale (o meglio (3 + i )-dimensionale: 3 dimensioni spaziali più 1 dimensio­
ne temporale), detto sp azio-tempo, o sp azio di Minkowski. Lo indicheremo con M. Un
evento è un elemento (cioè un «punto») dello spazio-tempo. Un fe nomeno fisico (il
moto di un corpo, l'invio di un segnale ecc.) è rappresentato da una successione di
eventi, cioè da una linea in M.
Il motivo per cui conviene distinguere la dimensione temporale da quelle spaziali
(e parlare quindi di 3 + I dimensioni) è che lo spazio di Minkowski M è diverso dallo
spazio euclideo quadridimensionale R 4 . Per apprezzare la diffe renza tra M e R 4 oc­
corre introdurre le nozioni di spazio di Riemann e di metrica, cioè definire una «di­
stanza» in M.
Cominciamo ool ribattezzare le coordinate x,y, z, t di un evento nel seguente modo:
x
0
=ct, x
1
=x, x2=y, x3=z.
[5.37]
(Qui O , I, 2, 3 sono indici, non potenze !) Queste coordinate verranno indicate colletti­
vamente medi ante un indice greco
xμ (conμ=O,l,2,3).
[5.38]
D'ora in poi, lavorando nello spazio di Minkowski, gli indici greci (a, [3, ... , μ, v, . ..,
p, a, . ..) assumeranno valori O, I, 2, 3, me ntre gli indici latini ( i, j, k, ...) assumeranno
valori 1, 2, 3.
La posizione degli indici (in basso o in alto) non è arbitraria. Come vedremo, spo­
stare un indice dall' alto in basso, o viceversa, può produrre cambiamenti di segno. Le
coordinate in [5.37], con gli indici in alto, sono chiamate coordinate controvarianti.
Introduciamo ora una struttu ra riemanniana nello spazio-tempo M. Per definizione,
la metrica di M è la fo rma quadratica differenziale
33
ds2=2: 2:gμ
., dxμdx",
μ=O
v
=O
[5.39]
dovedxμ = (dx0, dx1, dx2, dx3) =(cdl,dx,dy,dz), e gμv
è il cosiddetto tensore metrico,
le cui componenti sono
goo=+l, g11=-l, gzz=-1, g33
=-l, gμ
v
=O per μ1=-v. [5.40]

168
Lo spazio- tempo \ Cap. 5
Come si vede, g
μv
è diagonale e, a fo rtiori, simmetrico rispetto allo scambio degli in­
dici μ H v (in uno spazio di Riemann generico, il tensore metrico gode solo di que­
st' ultima proprietà: è simmetrico, g
μv
=g
vμ
• ma non necessariamente diagonale) . La
(5.39] non ha segno definito (può essere positiva, negativa o nulla): si parla perciò di
metrica indefinita.
Scheda 5.1 Spazi di Riemann
Lo spazio euclideo tridimensionale R3 considerato nel § 5.1 e lo spazio di Mi nkowski discusso
in questo paragrafo sono due esempi di spazi di Riemann. In uno sp azio di Riemann N- dimen­
sionale la «di stanza» ds tra due punti infinitesimamente vicini, di coordinate x i e x i + dx i (i = I,
. . . , N), è data dalla fo rma quadratica differe nziale (la cosiddetta metrica)
NN
ds2 = L L giJ(x) dx i dxi,[5.4 l]
i=1 j=I
dove giJ è il tensore metrico . La ds2 è invariante, cioè non dipende dal sistema di coordinate. In
generale, le giJ sono fu nzioni delle coordinate x i soggette solo alla restri zione det { g iJ } =F O. Poi­
ché nella [5.41] il tensore metrico moltiplica una quantità simmetri ca negli indici i e j, possia­
mo assumere, senza perdita di generalità, che anch'esso sia simmetrico: g iJ = gJ i·
In coordinate carte siane i tensori metrici dei due spazi di Riemann fi nora incontrati sono
R3: giJ=diag(+I,+I,+I), i,j =I,2,3
M:g
μv
=diag(+I, - I,- 1,-I),μ,v=O,I,2,3
Lo spazio euclideo qu adridimensionale R4 ha tensore metrico
R4: giJ=diag(+1,+1,+1,+I), i,j =1,2,3,4
[5 .42]
La differe nza tra R4 e M sta quindi nel segno relativo della componente temporale e delle com­
ponenti spaziali del tensore metrico. Uno spazio di Riemann il cui tensore metrico sia diagona­
le e abbia alcune componenti uguali a + I e altre uguali a - I è detto pseudoeuclideo.
In termini matriciali, g
μv
è rappresentato da
D'
oo
q-I o
(5.43]
g=
o-1
oo-1
Sinteticamentescriveremog =diag(+1, - 1 , - 1, - 1).Siusadirecheg
μv
ha segnatu­
ra ( + 1, - 1 , - 1, - l). Esplicitamente, inserendo nella (5.39] il tensore metrico [5.40] ,
si ottiene
ds2=(dx0)2-(dx1)2-(dx2)2-(dx3)2=c2dt2-dx2-dy2-dz2=c2dt2-dx2. [5.44]
L'elemento lineare d s è dunque l'intervallo infi nitesimo tra due eventi che abbiamo
introdotto nel § 2.5 .
Alcuni autori usano un tensore metrico di M con seg natura opposta a quella adottata qui, cioè
gμv
=diag(-1,+ 1,+ 1,+ I).

5.4 I Lo spazio di Minkowski
In questo caso l'espressione di ds2 è
ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2.
Ne derivano differe nze di segno in molte formule.
169
Si noti che i valori [5.40] d.
elle componenti di gμ v dipendono dalla particolare scel­
ta [5.37] delle coordinate spazio-temporali. Se, ad esempio, parametrizzassimo la po­
sizione spaziale mediante coordinate polari sferiche, xμ = (et, r , e, </>) , l'invariante
ds2 avrebbe la forma
ds2=c2dt2-dr2-r2d62-r2sin2ed</>2,
e iltensoremetricosarebbegμv = diag(+1, - 1, - r2, - r2sin2e).
Per semplicità, dal momento che nelle nostre fo rmule ricorreranno spesso molte
sommatorie sugli indici, ometteremo, d' ora in poi, tutti i segni di sommatoria. Due in­
dici ripetuti (o, come si dice, «muti») nello stesso membro di un'espressione si inten­
deranno sommati (è la cosiddetta convenzione di somma di Einstein). La [5.39], ad
esempio, sarà ri scritta nel seguente modo
[5.45]
A un indice muto è sempre possibile cambiare nome, purché la nuova lettera che si
sceglie non compaia già nella formula.
Introduciamo ora le coordinate cova rianti xμ (si noti l'indice in basso), definite
come
[5.46]
cioè esplicitamente
[5.47]
Dunque, spostando l'indice dall' alto in basso, o viceversa, il segno della coordinata
temporale non cambia, mentre il segno delle coordinate spaziali cambia. Vedremo
che questa regola vale per le componenti di un qualsiasi quadrivettore . Alla luce della
[5 .46] l'invariante d s 2 può essere riscritto come
[5.48]
Definiamo infine il tensore metrico controvariante (cioè con gli indici in alto) gμ v
, che
corrisponde all a matrice inversa g- 1
, cioè
gllVgvp = 0μ
P'
dove oμ
V = o/ è la delta di Kronecker quadridimensionale,
oμ =oμ={1
V
V
o
se μ=v,
se μ*v.
[5.49]
[5.50]
Dalla forma esplicita [5.43] del tensore g μ v segue che le sue componenti sono uguali a
quelle del tensore inverso g μ v
(ciò è vero nello spazio di Minkowski che è piatto , non

170
Lo spazio-tempo I Cap. 5
nello spazio-tempo curvo della relatività generale). Moltiplicando gμv per le coordi­
nate covarianti si ottengono le coordinate controvarianti,
Xμ= gμvX
v·
Infatti
go vx
v
=gooxo=xo=xo, g1vx
v
=g11X
1
=-xi=x1, ecc.
In termini di gμv lintervallo d s 2 è dato da
ds2 = gμvdx
μ
dx
v
.
[5.51]
[5.52]
[5.53]
Poiché i tensori g
μv
e gμv alzano e abb assano gli indici, la [5.49] può essere scritta
come
gμvg
vp
= gμP'
e si ha quindi l'identificazione
gμp = 8μp·
Scheda 5.2 Tempo immaginario
Si introduce talvolta una coordi nata temporale immaginaria x4, definita come
x4==ix
0
= ict:
La metri ca ds2 assume allora la fo rma
[5.54]
[5.55]
[5.56]
ds2 = (dx0)2 - (dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2 = - (dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2 - (dx4)2.
[5.57]
Questa è, a parte un irrilevante segno complessivo, la metrica dello spazio euclideo quadridi­
mensionale R4. L'introduzione di un tempo immaginario ha una certa utilità nella teoria quanti­
stica dei campi, dove prende il nome di «rotazione di Wick» . 2
5.5. Le trasformazioni di Lorentz
Avendo introdotto una struttura metrica nello spazio-tempo M, possiamo ora defi­
nire nel modo più generale le trasformazioni di Lorentz.
Una trasformazione di Lorentz omogenea (o, semplicemente, trasformazione di
Lorentz) è, per definizione, una trasformazione lineare e omogenea delle coordinate ,
[5.58]
che lascia invariato l'in tervallo d s 2 = g
μ
vdxμ dxv, cioè la metrica in M. LeAμ
v
sono 16
quantità reali costanti , ossia non dipendenti dalle coordinate. S�condo questa defini­
zione, sono trasformazioni di Lorentz non solo le trasformazioni di velocità , o boost,
che mettono in relazione osservatori inerziali in moto retti lineo uniforme l'uno rispet­
to all' altro , ma anche le ro tazioni, che conservano la distanza euclidea e non toccano
il tempo. La combinazione di una rotazione e di un boost è anch'essa una trasforma­
zione di Lorentz .
2 Si veda, ad esempio, S. Weinberg, The Quantum Theory ofFields, Cambridge University Press, Cam-
bridge (UK) 1995, voi. I, pp . 475-76.
·

5. 5 I Le trasformazioni di Lorentz
Una trasformazione non omogenea del tipo
x'μ =Aμ
v
x v +aμ (aμ costanti),
171
[5.59]
che lascia invari ato ds2 , è detta trasformazione di Lorentz non omogenea, o trasfor­
mazione di Poincaré. Essa combina una trasformazione di Lorentz omogenea e una
traslazione spazio-temporale.
Per una trasformazione di Lorentz (omogenea o non omogenea) le dxμ si trasfor­
mano come
[5.60]
e, poiché
[5.61]'
si ha
[5.62] .
Vediamo quali condizioni devono soddisfare le Aμ
v
per rappresentare una trasfor­
mazione di Lorentz. La richiesta di invarianza di ds2 significa
[5.63]
Sostituendo due volte la [5.58] nella [5.63], si ottiene
[5.64]
Uguagliando i coefficienti dei termini in dxP dx " al primo e secondo membro , si ha
[5.65]
Questa è la condizione generale cui deve obbedire una trasformazione di coordinate
del tipo [5.58], o [5.59], per essere una trasformazione di Lorentz. Poiché la [5.65]
rappresenta 10 vincoli indipendenti (i due membri dell'uguaglianza sono simmetrici
negli indici p, O') , una trasformazione di Lorentz òmogenea dipende da 16 - 10 = 6
parametri reali, mentre una trasformazione di Lorentz non omogenea dipende da 6 +
+ 4 = 1 O parametri reali.
Usando il tensore metrico controvariante g μ v , si ottiene una condizione equivalen­
te alla [5.65]:
[5 .66]
È utile riesprimere in fo rma matri ciale i risultati ottenuti. Chiamiamo A la matrice
quadrata 4 X 4 di elementi Aμ
v'
[A0
0
A01
A={Aμ}
=
A1
oA
1
1
v
Azo A2
1
A3
o A31
[5.67]

172
Lo spazio- tempo I Cap. 5
La nostra convenzione sugli indici di Aμ
v
è che l'indice in alto etichetta la riga, quello
inbassola colonna. Nel caso di gμv e gμv
• intesi come elementidigeg- 1
, l'indice a
sinistra è l'indice di riga, quello a destra l'indice di colonna.
La moltiplicazione di due matrici di Lorentz A e A ' è data da
(AA')μ
p=Aμ
v
A'v
P'
e la matrice trasposta A T ha componenti
(AT) μ
v
=Av
μ-
11 primo membro della [5.65] può allora essere scritto come
Aμp gμv
Av
a
= (AT)P
μgμv
Av
a
= (ATgA)pcn
e l'equivalente matriciale della [5.65] è
[5.68]
[5.69]
[5.70]
[5.71]
Seg fo sse lamatrice identità (cioè se tutti i suoi quattro elementi diagonali valessero 1,
il che accade nel caso dello spazio euclideo quadridimensionale R4), la [5.7 1] sarebbe
·
la condizione di ortogonalità per le matrici A . Le matrici di Lorentz, invece, soddi sfa­
no la [5.71]con g = diag( l , - 1, - 1, - 1 ), e sono perciò dette pseudortogonali.
La trasformazione di Lorentz delle coordinate covarianti xμ si ottiene combinando
la [5.46] con la [5.58], o con la [5.59] . Troviamo così
[5.72]
Definendo le quantità Aμ
a come
[5.73]
la [5.72] assume la fo rma
[5.74]
Per stabilire il legame tra le A
μ
aeleAa
μ , moltiplichiamo il primo e il secondo mem­
bro della [5.65] per gar:
Ricordando che grP
=5r
P e usando la [5.73], si trova
Aμ
p
AμT=8T
P'
da cui risulta
[5.75]
[5 .76]
[5.77]
Le A/ sono quindi gli elementi della matrice inversa A - 1
• Anche in questo caso l'in­
dice in alto etichetta la riga, quello in basso la colonna.

5. 6 \ Classificazione delle trasformazioni di Lorentz omogenee
Alla luce della [5.77], la [5.74] diventa
173
[5.78]
Come si vede, le coordinate covarianti si trasformano secondo la matrice inversa A - i
.
Per i differenziali dx� si ha
[5.79]
cioè
[5.80]
cui, peraltro, si può giungere direttamente partendo dalla condizione dx ' μ dx� = dx" dxcr.
5.6 . Classificazione delle trasformazioni di Lorentz omogenee
In questo paragrafo ci concentreremo sulle trasformazioni di Lorentz omogenee
(TL). Una prima classificazione delle TL può essere condotta sulla base del determi­
nante delle matrici corrispondenti . Dal primo membro della [5.71] si ricava
det(ATgA)= detATdetgdetA = (detA)2detg
e, poiché questa quantità deve essere uguale a det g, si ha (det A)2 =lequindi
detA=±:1.
[5.81]
[5.82]
Le TL con determinante + 1 sono dette p rop rie . Le TL con determinante - 1 sono
dette improprie.
Un' altra importante caratteri stica delle TL è il segno dell'elemento A0
0, che com­
pare nella relazione tra x' 0 e x0
,
x'o =Ao
oxo+...
[5.83]
Se A0
0 è positivo, il tempo non cambia segno; se invece A0
0 è negativo, il tempo cam­
bia segno (cioè si verifica un' inversione temporale). Ponendo p =a= O nella [5.65]
si ha
8μvN10Av
o=800.
cioè, esplicitando il primo membro,
(A0
o)2-(No)2=1.
Da qui si ricava
e quindi
Ao
o;?;+1 o Ao
o,,
,;
-:-1.
[5.84]
[5.85]
[5. 86]
[5.87]

174
Lo spazio-tempo \ Cap . 5
LeTLconA0
0 � + l sono dette ortocrone; le TL con A0
0 � - l sono dette anticrone.
Le TL prop rie e ortocrone sono chiamate TL ristrette, o speciali.
Vediamo ora alcuni esempi di TL.
Trasformazioni di velocità (o boost)
Si dicono trasformazioni di velocità, o boost, le TL che abbiamo incontrato nel
§ 2.6, cioè le trasformazioni che collegano due sistemi di riferimento inerziali in moto
rettilineo uniforme l'uno rispetto ali' altro . Ad esempio, un boost lungo l'asse delle x è
dato dalle [2.44-2 .47], che riscriviamo, alla luce dell� [5.37], come
xo-f3x1
x'o = -�-
Vl-7Ji'
xl-f3xo
x'1
=
-�-
Vl-7Ji'
x'·2
= X2,
x'3 =x3,
[5.88]
[5.89]
[5.90]
[5.9 1]
dove /3 = vie e v è la velocità relativa dei due sistemi di riferimento. La matrice corri -
spondente è
·
boost lungo x :
ly -f3yoo)
-
f3yyoo
Bx(/3) =
O
O1O
.
o
oo1
Analogamente , un boost lungo y è rappresentato dalla matrice
boostlungoy: Bm=[�
.
-
y
o
e un boost lungo z è rappresentato da
B,(m=l�
boost lungo z:
-f3y
o -f3y
Hloo y
oo
oo-fir]
loo
o1o
.
ooy
[5.92]
[5.93]
[5.94]
La matrice di Lorentz corrispondente a un boost lungo una direzione generica è
-
131y
l +A(/31)2
A/32/31
A /33/3
1
-
132y
A/31/32
1 +A(/32)2
A /33132
[5.95]

5. 6 \ Classificazione delle trasformazioni di Lorentz omogenee
175
dovef3 =(/31,/32, /33)==vieeA==(y-1)//32• Siverificasubitocheperf3 =f3i,f3 =/3}
e f3 = /3k si ritrovano, rispettivamente, la [5.92], la [5.93] e la [5.94]. Scrivendo fo r­
malmente f3 come una matrice colonna
[5.96]
e introducendo la matri ce trasposta p
r
, possiamo dare alla [5.95] la fo rma più com­
patta
[5.97]
Nel seguito di questo capitolo ci capiterà di avere a che fare con trasformazioni di Lo­
rentz infinitesime. La matrice di un boost infinitesimo (y� 1, /3 2 �O) è
(1 -[3
1'
-
[32 -[33]
-
-
/311
o
o
B(/3)- -/32 O
1
O'
-
{33o
o
1
e le trasformazioni delle coordinate spazio-temporali sono
{x'0=x0-f3
·x
.
x'·=x-f3x0
·
Tutte le matrici dei boost hanno determinante
detB=y2-f32y2=1,
e primo elemento diagonale
Boo=r�l.
I boost sono dunque TL proprie ortocrone (ossia TL ristrette).
Introducendo il parametro T] (la cosiddetta rap idità)
si ha
11=tanh-1
f3=_!._In
1+/3
.,
2 1�/3'
y=coshTJ, f3y= sinhTJ,
e un boost (lungo x, ad esempio) è dato da
(x'0 = (coshT])x0 - (sinhry)x1,
x'1
= - (sinh T])x0 + (cosh ry)x1,
x'2=x2
,
x13=x3.
[5.98]
[5.99]
[5. 100]
[5.101]
[5.102]
[5.103]
[5.104]

176
La matrice di Lorentz corrispondente è
boost lungo x:
Lo spazio-tempo I Cap. 5
-
sinh1J O O1
cosh1J O O
O
IO
.
o
o1
[5.105)
Ponendo cosh 1J =cos i 1J e sinh 1J = - i sin i 77, e usando la coordinata temporale im­
maginaria x4 = ix0 , la trasformazione [5.103) diventa
{x'4
= cos (i1J)x4 - sin(i1J)x1
x'1
= sin(i1J)x4 + cos(i17)x1 •
[5 .106)
Da qui si vede che un boost lungo x è una «rotazione» di un angolo immaginario i77
nel piano (x 1 , x 4 ). In generale, un boost lungo x i è una «rotazione» di un angolo i77 nel
piano (xi, x4). Dunque, la simmetria tra la coordinata temporale x0 (o x4) e le coordi­
nate spaziali (x 1 , x 2 , x 3 ), che avevamo già notato nel § 2.6, non è casuale, ma corri­
sponde a un preciso significato geometrico (in M) delle trasformazioni di velocità.
Notiamo in conclusione che per un boost infinitesimo si ha 1J = f3 e le [5.99) possono
essere riscritte come
{x'0
=x
0-17·x
x' =x-1Jx0 ·
[5 .107)
Queste sono le leggi di trasformazione per un boost infinitesimo di rapidità 1J = [ 17 [
lungo l'asse individuato dal versore 1j.
Rotazioni
Una ro tazione è rappresentata da una matrice di Lorentz del tipo
rotazione:
[1oA,(8) = �
o
[5. 108)
R(8)
dove R(8 ) è una matrice ortogonale 3 X 3. Ad esempio, la matrice corrispondente a
una rotazione di un angolo
e
attorno al i'asse z è
[lO
O01
AR
(e) =
0 CO�
e
sin
e
0
.
'
o -sm
e
cos
e
o
OO
O1
[5.109)
Se il determinante di R vale + 1 (cioè se R rappresenta una rotazione propria, senza
inversione degli assi), allora det A R = + 1 e la A R è una TL propria. Se invece R rap­
presenta una rotazione impropria (rotazione con inversione: det R = - I), la A R è una
TL impropria. Poiché (AR ) 0
0 = 1, le rotazioni sono TL ortocrone.

5. 6 I Classificazione delle trasformazioni di Lorentz omogenee
In versione temporale
L ' inversione temporale
{x
'o
=-x
o
,
x
''
=x
1
,
è una TL rappresentata dalla matrice
;nvern;ooe tompornk I, � r-� I � : H
177
[5.110]
[5.111]
Poiché det l, = - le(I,)0
0 = - 1, l'inversione temporale è una TL impropria e anticrona.
In versione sp aziale
L ' inversione sp aziale (o trasformazione di parità) è la trasformazione di Lorentz
{x
'o
=x
o
,
.
x
'1
=-x
'
,
rappresentata dalla matrice
inversione spaziale:
o
-
1
o
o
o
o
-
I
o
[5. 112]
�]·
-
1
[5. 113]
Sihadetls = - 1 e(15)0
0 = l, e dunque l'in versione spaziale è una TL impropria e or­
tocrona.
In versione spazio-temporale
Il prodotto dell'inversione spaziale e dell'inversione temporale è l ' in versione spazio­
temporale
{x
'o
=-x
.
o
,
x
''
=-x
'
,
rappresentata dalla matrice
inversione spazio-temporale:
r-1 o
I,,�1,1,�
�
-
1
o
o
[5.114]
o
qo
-
1
o-1
[5. 115]
Si ha det 15, = 1 e (15, ) °0 = I , e dunque l'in versione spazio-temporale è una TL propria
e anticrona.

178
Lo spazio-tempo I Cap. 5
Scomposizione delle trasformazioni di Lorentz ristrette
Una qualunque trasformazione di Lorentz ristretta A può essere scomposta nel pro­
dotto di un boost e di una rotazione,
[5.1 16]
dove le velocità fJ, fJ e i vettori di rotazione 8, ii sono unici. In generale si avrà fJ i= fJ
e 8 i= ii. Dimostriamo la prima delle [5. 116] . Data la matrice
i parametri f3j, definiti come
.
Ajo
/31==
-
Ao
o
'
[5. 117]
[5. 118]
hanno, in virtù della [5.86], valore assoluto I f3j I<1 e sono quindi ammi ssibili come
parametri di un boost:
l i fattore lorentziano y di questo boost è
1
y=
=Ao
o
V1-p2
.
Invertendo la matrice B ({J) e moltiplicandola per A, si ha (B- 1 (/J) = B(- {J))
[5. 119]
[5. 1 20]
[5 . 121]
Dal momento che letrasformazioni di Lorentz fo rmano un gruppo (si veda più avanti ,
§ 5.9), la M, che è il prodotto di due matrici di Lorentz, è anch 'essa una matrice di
Lorentz . Il suo elemento M 0
0 vale l:
'[5.1 22]
e M rappresenta dunque una rotazione (l a chiameremo d' ora in poi AR(8)). Dalla
[5. 121] si ottiene così
[5. 123]
Per dimostrare l'unicità di questa scomposizione, supponiamo che si abbia
[5. 124]

5. 7 I Calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski
Moltiplicando a sinistra per B - 1 ( /j ) e a destra per AR: 1 (6' ) otteniamo
179
[5.12 5)
da cui si vede che N = B - 1 ( /j)B(/j ' )èuna rotazione. L'elemento N °0 deve quindi va­
lere 1. Poiché si ha
[5.126]
dovrà essere p = fj' e, di conseguenza, B - 1 (/j)B(/j') = Il . Dalla [5. 125] segue allora
6 = 6 ' . Abbiamo così dimostrato l' unicità della fattorizzazione [5 .123]. In maniera
analoga si può far vedere che vale, ed è unica, la seconda fattorizzazione nella [5. 116].
Le trasformazioni di Lorentz ristrette possono anche essere scomposte in un pro­
dotto di due rotazioni e un boost I ungo uno degli assi cartesiani (ad esempio, l'asse x),
[5.127]
In questo caso il boost B x è unico, mentre le due rotazioni non lo sono. La fattorizza­
zione [5. 127] si giustifica intuitivamente nel seguente modo. 3 Supponiamo che A fac ­
cia passare da un sistema inerziale 'Jl a un altro sistema inerziale 'Jl' in moto rettilineo
uniforme rispetto a 'Jl. Attraverso una rotazione R 1 di 'Jl, possiamo far sì che il moto
avvenga lungo l'asse x. Applicando poi un boost B x lungo quest' asse otteniamo un
nuovo sistema di riferimento inerziale che differisce da 'Jl per un'ulteriore rotazione R
2
.
La matrice A è quindi uguale al prodotto A R ,
BxAR,
-
S. 7. Calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski
Il calcolo tensoriale (che i suoi creatori Ricci e Levi-Civita chiamarono «calcolo
differenziale assoluto») ha a che fare con la ricerca di relazioni e quantità invarianti
rispetto alle trasformazioni dei sistemi di coordinate . È evidente, dunque, come esso
rappresenti lo strumento matematico fo ndamentale della teoria della relatività. In que­
sto capitolo studieremo il calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski (per alcuni
concetti generali, vedi scheda 5.3).
Scheda 5.3 Vettori e tensori in uno spazio generico
Consideriamo un generico spazio 'V a N dimensioni, i cui punti siano etichettati da N- ple di
coordinate ( x
1
,x
2, ..., x
N
) . Indicheremo queste coordinate con x
'
, dove l'indice i (così come tutti
gli indici latini nell' ambito di questo paragrafo) assume valori compresi tra I e N.
segue
3 Per una di mostrazione rigorosa il lettore può consultare, ad esempio, W.- K. Tung, Group Th eory in
Physics, World Scientific, Singapore 1985, p. 179.

180
Lo spazio- tempo I Cap. 5
Un insieme di N fu nzioni A' delle x' è un vetto re controvariante se, per una trasformazione non
singolare e differenziabile delle coordinate x' � x", le A' si trasformano come (indici ripetuti si
intendono sommati )
.
ax" .
A"(x ') = axi A1(x) .
[5. 1 28]
Si dice invece vettore cova riante un insieme di N quantità A,(x) (notare l'indice in basso) che si
trasformano come
[5. 129]
Generalizzando le definizioni appena viste, un insieme di n' fu nzioni T'1 · · k delle coordinate è
detto tensore controvariante di rango r se, per una trasformazione non singolare e differe nzia­
bile di coordinate, le T'i · k(x) si trasformano come
.
.
ax" ax'' ax 'k
T"1···k(x') = ---- ··· -- T'"'···"(x).
ax' ax"'
ax"
[5.130]
Chiameremo tensore cova riante di rango r un insieme di n' fu nzioni TiJ ..k
(x) che si trasformano
come
[5. 131]
Infine, untensore mi�to p volte controvari ante e q volte covariante è un oggetto del tipo T;:: :;;(x)
la cui legge di trasformazione è
[5. 1 32]
È evidente che i vettori sono casi particolari di tensori : un vettore (controvariante o covariante)
è un tensore (controvariante o covariante) di rango I.
Un tensore A di rango O (cioè senza indici) è detto scalare . Ri spetto a una trasform azione di
coordinate, esso rimane invariato:
A'(x') = A(x) .
[5 .133]
In virtù delle [5. 1 30-5 . 131], se due tensori sono uguali in un certo sistema di coordinate, lo
sono in tutti i sistemi di coordinate :
[5. 134]
Per una trasformazione di coordi nate, infatti , i due membri di un' uguaglianza tensoriale cam­
biano entrambi nello stesso modo, cosicché l'uguaglianza continua a valere. Un' equazione del
tipo (5 .134] è dunque manifestamente covariante rispetto a trasformazioni invertibili e diffe­
renziabili delle coordinate.
Quando diciamo che un certo ente matematico è un «vettore» o un «tensore», senza
ulteriori precisazioni (esplicite o sottintese), intendiamo dire che esso si comporta
come un vettore o come un tensore rispetto a una generica trasformazione non singo­
lare e differenziabile delle coordinate . In relatività speciale, però, siamo interessati a
una particolare classe di trasformazioni di coordinate, le trasformazioni di Lorentz
nello spazio di Minkowski . È rispetto a queste trasformazioni che si definiscono
quadrivettori (o vettori di Lorentz) e i quadritensori (o tensori di Lorentz).

5. 7 I Calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski
5. 7. 1 . Quadrivettori e quadritensori
181
Un quadrivettore controvariante A μ è un insieme di quattro quantità A 0 , A 1 , A 2 ,
A 3 che, per una trasformazione di Lorentz ristretta x ' μ =Aμ
vx
v
, si trasformano come
[5.135)
cioè nello stesso modo delle componenti di dxμ (vedi [5.60)). Se le A μ sono fu nzioni
delle xμ , la [5.135) va intesa nel seguente modo4
[5.136)
(Questa relazione rappresenta un caso particolare della [5.128): per una trasformazione
di Lorentz, le derivate òx' μ!òxv sono infatti le quantità costanti Aμ
v).
Scriveremo i quadrivettori controvarianti nella fo rma
[5.137)
oppure
Aμ =(A0,A), con A=(A1 ,A2,A3).
[5 .138]
Si noti che le componenti del vettore euclideo A hanno gli indici in alto.
Come esempio delle trasformazioni di Lorentz di un quadrivettore A μ , per un boost
lungo x si ha
A'o =
Ao-f3A'
�·
AII =
AI-f3Ao
�·
A'2 =A2,
A'3 =A3.
[5.139)
[5.140)
[5.141)
[5.142)
Se il boost è lungo una direzione non coincidente con uno degli assi cartesiani, le
leggi di trasformazione sono (/3 = vie)
A'o =
Ao-f3
·A
�·
'
A11-f3Ao
A11=
�,
[5 .14 3)
[5.144)
[5.14 5)
4 Quando le coordinate compaiono come argomento di una fu nzione i loro indici verranno generalmente
omessi.

182
Lo spazio-tempo I Cap. 5
dove A 1 1 eAj_ sono, rispettivamente, le componenti di A parallela e perpendicolare a /3.
Combinando A11 eAj_, si ottiene dalle [5.144, 5.145]
A' =A+(
y
:l/3·A -yA0)f3.
[5.146]
Un quadrivettore covariante A
μ
è un insieme di quattro quantità (A0, A 1 , A
2
,
A 3) che, per una trasformazione di Lorentz ristretta, si trasformano come le dx
μ
, cioè
[5 .147]
A μ si ottiene moltiplicando il corrispondente quadrivettore controvariante A μ per il
tensore metrico gμ v:
Aμ
= gμvA
v
.
Inversamente, si ha
Aμ=gμvAv.
Dalla [5.14 8] si ricava
A0 =A0, A
1
=-A1, A
2
=-A2, A
3 =-A3,
e quindi
Aμ
= (A0, -A).
[5.14 8]
[5. 1 49]
[5.150]
[5. 151]
Come si vede, quando si sposta un indice dall' alto inbasso o viceversa, lacomponen- ·
te temporale (cioè la componente O) di un quadrivettore rimane immutata, mentre le
componenti spaziali cambiano segno.
Notazioni Spesso, quando non sarà necessario specificare i I carattere covariante o controva­
riante delle componenti, indicheremo i quadrivettori con simboli senza indici: ad esempio, con A,
invece che con A μ o A μ . Ciò è consi stente con la definizione puramente geometrica dei quadri­
vettori , come elementi di uno spazio vettori ale (§ 5.12.1).
Generalizzando le definizioni viste sopra, introduciamo ora i quadritensori. Un
quadritensore di rango n è un insieme di 4" grandezze T�1': :�: (con p + q = n) che per
una trasformazione di Lorentz ristretta si trasformano come
[5.152]
Il quadritensore T�,'·" "· �; è un tensore misto, p volte controvariante (ha p indici in alto) e q
volte covariante (ha q indici in basso). Diremo che T�,' �; è un quadritensore di tipo (p , q).
Un quadritensore di rango n completamente controvariante ha la fo rma T μ , μ, .
.
.
μ,e
si trasforma secondo la
[5.153]
mentre un quadritensore completamente covariante è del tipo T
μ
,
μ
,.
.
μ
, e si trasforma
come
[5.154]

5. 7 I Calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski
183
Se T�,' �: è una fu nzione tensoriale delle coordinate la sua legge di trasformazione è
[5.155]
Un quadritensore di ra ngo l è un quadrivettore : la legge di trasformazione [5.152]
si riduce in questo caso alla [5. 135]. Un quadritensore di rango O (cioè senza indici) è
detto scala re (di Lorentz): per effetto di una trasformazi one di Lorentz, gli scalari non
cambiano (sono cioè invarianti di Lorentz).
Tra i quadritensori, avremo a che fare soprattutto con quelli di rango 2, che hanno
16 componenti. Le loro leggi di trasformazione sono
T'μv =Aμ
pAv
a
Tpa
,
T�v
=A/Av
a Tpa
•
T'μ
v
=Aμ
pAv
aTp
a·
[5.156]
[5.157]
[5.158]
Moltiplicando il primo e il secondo membro della [5.65] per A/A,_a si ottiene
[5.159]
che, applicando due volte la [5.76], si riscrive come
[5.160]
Da qui vediamo che g ,,_ si trasforma in accordo con la [5.157], ed è perciò un quadri­
tensort:.
.
covariante (indipendente dal sistema di riferimento). Si giustifica così il
nome di «tensore metrico» . Analogamente, si può verificare che g ''° è un quadritenso­
re controvari ante.
Avvertenza A scanso di eq uivoci, precisiamo che Aμ v e A/ sono elementi di matri ce, non
quadritensori .
Come abbiamo visto, i tensori gμ v e gμ v innalzano e abbassano, rispettivamente, gli
indici. Si ha, ad esempio:
[5. 161]
L'innalzamento o l'abbassamento dell'indice O di una delle componenti diun quadri­
tensore non cambia il segno di quella componente:
[5.162]
L'innalzamento o l'abbassamento di uno degli indici spaziali i, invece, produce un
cambiamento di segno:
[5.163]
Secondo il principio di relatività ogni legge fi sica deve essere covariante rispetto
alle trasformazioni di Lorentz . Ciò significa che deve avere una forma del tipo
[5.164]

184
oppure, equivalentemente, del tipo
sμ
, ...
μ, =o
V1...Vq
'
Lo spazio-tempo I Cap. 5
.
[5. 165]
Per definizione, le quantità tensoriali che compaiono al primo e al secondo membro della
[5.164] si trasformano nello stesso modo rispetto a una trasformazione di Lorentz :
quindi, se l'uguaglianza [5.164] è vera in un certo sistema di riferimento inerziale,
essa sarà vera in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Analogamente, se il quadriten­
sore al primo membro della [5.165] è nullo in un certo sistema di riferimento inerziale,
esso sarà nullo in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Quando si scrive un' espressione tensoriale occorre rispettare alcune regole sintat­
tiche, che qui riassumiamo :
•
Un indice non può apparire più di due volte nello stesso membro di un'equazione.
•
Se un indice appare due volte nello stesso membro di un'equazione, deve essere
una volta controvariante (in alto) e una volta covariante (in basso). L'indice viene
detto indice muto o contra tto e si sottintende una somma su di esso. A un indice
muto si può sempre cambiare nome.
•
Un indice che appare una sola volta nello stesso membro di un' equazione non è
sommato e viene detto indice libero. Gli indici liberi nei due membri di un'equa­
zione devono essere in numero uguale e avere lo stesso nome.
5. 7 . 2 . Prop rietà de i quadritensori
Elenchiamo di seguito alcune proprietà dei quadritensori (tutte di facile dimostra­
zione).
l. Una combinazione lineare di quadritensori di ugual tipo, aR �,' �: + f3T�,' �;, con a e
f3 �calari, è un quadriten.sore dello stesso tipo.
2. Se un indice controvariante e un indice covariante di un quadritensore di tipo (p, q)
vengono contratti, si ottiene un quadritensore di tipo (p - l , q - l ) . Ad esempio,
dato il quadritensore T�,' �,' ·�;, contraendo il primo indice, si ottiene Ti,'�:. �; , che è
un quadritensore p - 1 volte controvariante e q - l covariante .
3. Dati due quadritensori R�,' �; e T�1'. �;, il prodotto R�1
1
:: �7�1'.·: �; è un quadritensore di
tipo (p + r, q + s). Se n indici controvarianti sono contratti con n indici controva­
rianti, si ottiene un quadritensore di tipo (p + r - n, q + s - n).
Esempi:
•
Se A μ e B v sono quadrivettori , il prodotto A μB v è un quadritensore controvariante
di rango 2.
•
Se T μ vp e R ar sono quadritensori (l' uno controvariante di rango 3, l'altro cova­
riante di rango 2), il prodotto T μ vp R v
,è un quadritensore di tipo (2, 1).
•
Se Tμ vp e Saf3rli sono quadritenso
.
ri (l'uno controvariante di rango 3, l'altro cova­
riante di rango 4), il prodotto Tμ vp Sa
vpμ è un quadrivettore covariante.

5. 7 I Calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski
185
4. Derivando un quadritensore rispetto alle coordinate xμ (o x
μ
) si ottiene un altro
quadritensore. Per la precisione,
e
sono, rispettivamente, un quadritensore del tipo Q�,': �;Jx) e un quadritensore del
tipo Q�,' �;"Cx). In particolare,
as
e Aμ=--
òxμ
'
con S scalare,
sono, ri spettivamente, un quadrivettore covari ante e un quadrivettore controvarian­
te. Si noti che l'operatore òlòxμ si comporta come un quadrivettore covariante,
mentre òlòxμ si comporta come un quadrivettore controvariante . Infatti, il differen­
ziale dS = (ÒS/òxμ) dxμ = (ÒS/Òxμ) dxμ è uno scalare e deve quindi ottenersi per
contrazione di un quadrivettore covariante con uno controvariante.
Questa proprietà vale in una varietà riemanniana piatta, come lo spazio-tempo di
Minkowski M, non in unà varietà curva, come lo spazio-tempo della relati vità ge­
nerale.
5. 7 . 3 . Combinazioni scala ri
Il prodotto scalare di due quadrivettori A e B è definito come
A·B = AμB
μ
= gμvAμBv
= A0B
o
+A1 B
1
+A2B
2
+A3B3=
=A0B0-A1B1-A2B2-A3B3=A0B0-A ·B.
[5.166]
Due quadrivettori A e B si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo: A·B =O.
Il modulo quadro (o semplicemente quadra to) del quadrivettore A è il prodotto scalare
di A μ con se stesso, cioè
[5.167]
In segui�o, soprattutto nelle applicazioni, ci capiterà di indicare il modulo quadro di un
quadrivettore A con A 2 (quando ciò non crei confusione con la co�ponente 2 di A μ).
In base al segno del loro modulo quadro , i quadrivettori vengono classificati in
quadrivettori di tipo tempo, di tipo spazio e di tipo luce: un quadrivettore A è di tip o
tempo se A μA
μ
>O, è di tipo spazio se AμA
μ
<O, è di tipo luce se AμA
μ
=O. Questa
classificazione è invariante rispetto a trasformazioni di Lorentz : se un quadrivettore è
di un certo tipo in un dato sistema di riferimento inerziale, è dello stesso tipo in qua­
lunque altro sistema inerziale, dal momento che il suo modulo quadro non cambia.
Un importante scalare associato a un quadritensore di rango 2 è la traccia, definita
come
Tμ=Tμ=T0+T1+T2+T3
μ
μ
O
I
2
3·
[5.168]

186
Lo spazio-tempo I Cap. 5
In generale, se tutti gli indici di un' espressione tensoriale sono contratti , questa
espressione è uno scalare. Ad esempio,
TμvRμV
,
TμvpAμSvp• AμRpTμ
P'
[5.169)
sono quantità scalari .
5. 7. 4. Quadritensori simmetrici e antisimmetrici
Un quadritensore di rango due Tμ v si dice simmetrico se Tμ v = T vμ
, antisimmetrico
se Tμ v = - T vμ . Un generico tensore Tμ v può essere scomposto in una parte simmetrica
T(μ v) e una anti simmetrica Tlμ vl:
Tμv
= T(μv) + T[μvJ,
[5.170)
con
T(μv) = �(Tμv + Tvμ),
[5. 171]
T1μv\
= �(Tμv
-
rvμ).
[5.172]
Si osservi che, in generale, si ha Tμ
v
=F Tj', l'uguaglianza valendo solo se Tμ v è sim­
metrico. Occorre quindi fare sempre attenzione ali ' esatta posizione degli indici (in
alto o in basso, a destra o a sinistra) .
Un quadritensore di rango superiore può avere proprietà definite di simmetria ri­
spetto allo scambio di una o più coppie dei suoi indici. Ad esempio, dire che Tμ vp .. è
simmetrico rispetto al secondo e al terzo indice significa
Tμvp... = Tμpv...,
[5 .173)
mentre dire che R μ vp
··
è antisimmetrico rispetto ai primi due indici significa
Rμvp... =
-
R vμp..
[5.174]
Contraendo due indici di un tensore simmetrico e di uno antisimmetrico rispetto a
essi, si ottiene zero . Se, ad esempio, i tensori S μ vp e A afJro sono l'uno simmetrico e l'al­
tro antisimmetrico ri spetto ai primi due indici, si ha
[5. l 75]
5. 7. 5. Pseudotensori e simbolo di Levi-Civita
Nel § 5.7 .1 i quadritensori T�,' �: sono stati definiti in riferimento alle trasfor­
mazioni di Lorentz ri strette (cioè proprie e ortocrone). Considereremo ora delle tra­
sformazioni di Lorentz ortocrone, ma non necessariamente proprie. Questa classe di
trasformazioni include l'inversione spaziale (o trasformazione di parità) ls e combi­
nazioni di ls con boost e rotazi oni. Un oggetto del tipo f �1
1
: �: che, per una trasforma­
zione di Lorentz ortocrona A, si trasforma come
[5. 176]

5. 7 I Calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski
187
è detto pseudotensore (di Lorentz). Un quadritensore T�,' �;,la cui legge di trasforma­
zione sia quella (senza il fattore det A) che abbiamo visto nel § 5.7 .1, cioè
[5.177]
è detto quadritensore prop rio . La differenza fra tensori propri e pseudotensori emer­
ge quando si considerano trasformazioni di Lorentz che incorporano un'inversione
spaziale, per le quali det A = - I. Consideriamo, ad esempio, uno pseudovettore A μ .
Esso si trasforma come
[5.17 8]
Per un' inversione degli assi, si ha
A'0(x0 , -x)=
-
A0(x0,x), A '(x0, -x)=A(x0, x),
[5.179]
da confrontarsi con la trasformazione di un quadrivettore proprio
A '0(x0, -x)=A 0(x0,x), A '(x0 , -x)= -A(x0,x).
[5.180]
Come si vede, una trasformazione di parità cambia il segno delle componenti spaziali
di un quadrivettore proprio, mentre lascia immutato il segno delle componenti spazia­
li di uno pseudovettore .
Uno p seudoscala re A si trasforma come
À'(x' ) = (detA)A(x),
[5. 181]
e quindi cambia segno per un' inversione spaziale,
A'(x0, - x) = -A(x0 ,x),
[5.182]
a differenza di uno scalare, che rimane invece invariato.
Dalla definizione [5.176] e dal fatto che (det A)2 = 1 consegue che moltiplicando
due tensori propri o due pseudotensori si ottiene un tensore proprio, mentre moltipli­
cando un tensore proprio per uno pseudotensore si ottiene uno pseudotensore.
Introduciamo ora il simbolo di Levi-Civita eμ vp a , che è uno pseudotensore comple­
tamente anti simmetrico. Le sue componenti con due o più indici uguali sono nulle; le
altre valgono + 1 o - 1. In particolare :
eo123
= -eo123=+1.
[5.183]
Le componenti che si ottengono da t:0 1 23
con un numero pari di trasposizioni valgono
+ 1;quelle che si ottengono da t:0 1 23
con un numero dispari di trasposizioni valgono - 1.
Ad esempio:
"
eo321= - l, e1032=+l, Eo213=+l, e2
130= - l.
[5.184]
Il numero di componenti non nulle di eμ vp a è 24. Si ha perciò
[5.185]

188
lo spazio-tempo \ Cap. 5
Altre identità utili sono:
Eμvp aEÀrp a
= - 2(8μ,_8\- 8μr8\),
EμvpaE).vpa
= - 68μ,_.
Il determinante di una generica matrice quadridimensionale M μ
v
è dato da
detM = EμvpaM
0
μ
M1
v
M2
p
M3
a·
Se si considera una matrice di Lorentz Aμ
v
, siha
[5.186)
[5. 187)
[5.1 88)
detA = EμvpaAo A1 A2 A3
[5.189)
μVp
<I'
da cui, moltiplicando a destra e a sinistra per t:0 1 23 det A e ricordando che (det A)2 = 1 e
t:01 23 = 1, otteniamo
Eo123 = (detA)AoμA1
v
A2
pA3
a
Eμvpa,
[5. 190]
che si può estendere a tutte le componenti del simbolo di Levi-Civita:
Ea[Jyli = (detA)Aa Af3 AY A8 Eμvpa
μVp
(J
•
[5. 191)
Questa relazione mostra che Eμ vp a è effettivamente uno pseudotensore.
5.8. Derivazione e integrazione nello spazio di Minkowski
Presenteremo in questo paragrafo alcune nozioni di calcolo differenziale e integra­
le nello spazio di Minkowski M.
Operatori differenziali
L'operatore quadrig radiente è definito come
[5.192)
Il quadrigradiente di un campo scalare <p(x) è quindi
[5.193)
Come anticipato nel § 5.7.2, le componenti d <pl dxμ sono covarianti, dal momento che
il differenziale d <p
d<p=
d<p dxμ
dxμ
[5.194)
è uno scalare. Questo è il motivo della notazione d
μ = d/dx μ . Il gradiente tridimensio­
naledi<pè
-
d<p- i
d;<p =
dx;-V<p.
[5. 195)

5. 8 I Derivazione e integrazione nello spazio di Minkowski
189
Il quadrigradiente controva riante di <p è
òμ<p=ò<p
= (_!_ò<p
,-V<p).
Òxμ eÒt
[5. 196]
Applicando l'operatore Ò
μ
a. un campo vettoriale Vμ(x) si ottiene la quadridiver­
genza di Vμ(x) ,
òμVμ =ò0V°+ò;V;=_!_ò;°+V·V,
[5.197]
eut
che è una quantità scalare .
L'operatore d'A lembertiano è dato dalla contrazione di Òμ con se stesso, cioè
O
.
1a2
V'
O=òòμ=òò +òò' =--
-
-.
μ
o
,
c2 òt2
[5.198]
Si tratta ovviamente di un operatore differenziale scalare .
Superfici e volumi in M
L'elemento di volume nello spazio di Minkowski è
d4x = dx0dx1 dx2dx3 = cdtd3x.
[5. 199]
Questa quantità è invariante, come faremo ora vedere . In seguito a una trasformazione
diLorentz x'μ = Aμv x" si ha
[5.200]
dove J(x) è lo Jacobiano della trasformazione:
J(x) = det {�:�}= detA.
[5.201]
Poiché [I[ =[detA[ = 1,avremo
[5.202]
L'elemento di volume tridimensionale d 3x, ovviamente, non è invariante.
Consideriamo ora delle superfici tridimensionali (ipersuperfici) nello spazio-tempo
(3 + I )-dimensionale. Per vedere come si parametrizza un elemento infi nitesimo di
ipersuperficie, studiamo innanzi tutto il caso di una superficie bidimensionale immer­
sa in R 3 . Se la superficie è rappresentata da una fu nzione vettoriale x(u , v) di due pa­
rametri u e v, il suo elemento infi nitesimo è
(òx òx)
dCJ= auXavdudv.
[5.203]
Il vettore dCJ ha per modulo l'area dell ' elemento di superficie e per direzione la nor­
male alla superficie. Le componenti di dCJ sono
:-.j:-.k
:-.jk
d;- iJk!:!.!_�dd-_!_ iJku(x,x)
dd
O"-e
òu òv
uv-
2
e
ò(u, v)
uv,
[5.204]

190
Lo spazio- tempo I Cap. 5
dove
[5.205]
Consideriamo la componente d<Jx
, che è la proiezione dell'elemento di superficie dCJ
nel piano yz :
[5.206]
Se si scelgono come parametri le stesse coordinate y, z , la d<Jx diventa l'area di un ret­
tangolo infinitesimo di lati dy e d z :
d<Jx = dydz.
[5.207]
Procedendo in maniera simile, si trova d<Jy = d z dx e d<J, = dx dy, e complessivamente
du = (dydz, dzdx, dxdy).
L' estensione della [5.204] al caso di una ipersuperficie in M è
1
d(x v
, xP, x")
d<Jμ
=-
31E
μvpa
�(
) d udvdw
.
oU,V,W
[5.208]
[5.209]
e, analogamente alla [5.208], si ottiene per le componenti del quadrivettore elemento
di ipersuperficie:
[5.210]
Questo quadriv ettore ha per modulo larea d<Jdell ' elemento di ipersuperficie e per di­
rezione la normale a esso. Scriveremo quindi
[5.21 1]
dove n μ è un quadriv ettore unitario ortogonale all' elemento di ipersuperficie.
Una particolare importanza rivestono in meccanica rel ativistica le ipersuperfici di
tipo spazio (fig. 5.1). Un' ipersupe1ficie di tipo sp azio <Jè un' ipersuperficie tale che
l'in tervallo tra ogni coppia di suoi punti è di tipo spazio,
[5.212]
Poiché un quadrivettore ortogonale a una varietà di tipo spazio è necessariamente di
tipo tempo, un' ipersuperficie è di tipo spazio se la sua normale n μ è dappertutto un
quadrivettore di tipo tempo . Se n ° >O, si dice che n μ è diretto verso ilfu turo; se n ° <O,
si dice che è diretto verso il passato .
Dato un quadri v ettore unitario di tipo tempo n, l'equazione
n·x=A.,
[5.2 13]

5. 8 I Derivazione e integrazione nello spazio di Minkowski
191
(J
X
Figura 5.1
Un' ipers uperficie di tipo spazio (Jpassante perxμ
(raffigurata qui in un diagramma di Minkowski
(I + I)-dimensionale).
con /\.parametro invariante reale, individua un ip erp iano di tipo spazio. Infatti, se due
quadrivettori x 1 e x
2
soddisfanola[5.213),cioè se n · x1 = n · x
2
=/\.,si han·(x1 - x
2
) =O,
e il quadrivettore x1 - x
2
, ortogonale a n, è di tipo spazio. Scegliendo il sistema di ri­
ferimento in modo tale che sia nμ = (I,O, O, O), la [5.213) dà
/\.
t= -,
e
[5.214)
e l'iperpiano in questione è lo sp azio tridimensionale ali' istante t = ìJc. In questo
caso (non covariante) l'elemento di ipersuperficie dcrμ è
dcrμ
= (dx1dx2dx3, O,O,0)=(d3x,O,O,O).
[5.2 15)
Te orema di Gauss
li teorema di Gauss in M permette di trasformare l'in tegrale di volume della qua­
dridivergenza di un campo vettoriale in un integrale di superficie,
JaμVμ(x) d4x=J Vμ(x) dcrμ
,
n
an
dove CJQ è l'ipersuperficie di contorno del volume quadridimensionale Q .
[5.216)
Illustriamo ora un'importante conseguenza di questo teorema. Sia Vμ (x) un campo
quadrivettoriale a divergenza nulla,
[5.217)
Se il volume Q nella [5.216) è delimitato da due ipersuperfici di tipo spazio, cr 1 e cr
2
,e
da un'ipersuperficie di tipo tempo <J� collocata all 'infinito spaziale si ha
O=JaμVμ(x) d4x=J vμ dcrμ
-
Jvμdcrμ+Jvμdcrw
n
�
�
�
[5.218)
dove il segno meno davanti all 'in tegrale su cr1 è dovuto al fatto che abbiamo scelto le
normaliacr1ecr
2
in modo che puntino entrambe verso il futuro . Se Vμ va a zero in

192
Lo spazio-tempo I Cap. 5
maniera suffi cientemente rapida all'infinito spaziale, il terzo termine nella [5.218) si
annulla e otteniamo
JVμdaμ
= JVμdaw
CY2
0"1
Data l'arbitrarietà di a1 e a
2
, concludiamo che, se d
μ
Vμ =O, l'integrale
[5.219)
[5.220)
assume lo stesso valore su ogni ipersuperficie di tipo spazio, cioè non dipende da a.
Possiamo esprimere matematicamente questa proprietà introducendo la deri vata fu n­
zionale di un integrale del tipo [5.220) rispetto a un' ipersuperficie di tipo spazio.
Siano a e a+ oa due ipersuperfi ci di tipo spazio che coincidono dappertutto eccetto
che nell'intorno di un punto x, e racchiudono quindi un elem.e nto di volume infinitesi­
mo oQ (fig. 5 .2). La derivata fu nzionale di /( a) rispetto a a nel punto X è definita come
ol( a)
= lim
!(a+ oa) - !(a)
oa(x) on->o
oQ
[5.221)
Il risultato ottenuto sopra è dunque sintetizzabile come segue :
dμVμ=O�o�c;)=O.
[5.222)
Se si verifica questa condizione, I è uno scala re : effettuando una trasformazione di Lo­
rentz, infatti, mentre la superficie di integrazione cambia, il valore di I rimane invari ato .
Se scegliamo come sistema di riferimento quello .in cui daμ
= (d3x,O,O,O),la
[5. 222) diventa
dμVμ = O � JV°(x)d3x = costante in t,
[5.223)
dove l'in tegrazione è estesa a tutto lo spazio tridimensionale.
La generalizzazione del teorema di Gauss per un campo tensoriale di rango r
Tμ,μ,. μ
·(x) è
Jéìμ;Tμ,μ, μ·(x)d4x = JTμ,μ,. μ
·(x) daμ ,
,
[5.224)
n
an
Seil campo tensoriale p,μ ,.
.
μ ·(x) soddisfa
dμ,
Tμ,μ ,. .. μ ·(x) =O,
X
[5 .225)
Figura S.2
Due superfici di tipo spazio a e a+ 8a,
che racchiudono un volume infinitesi­
mo 8Q.

5. 9 I Il gruppo di Lorentz
193
l'integrale su un' ipersuperficie di tipo spazio
[5.226]
non dipende da cred è un tensore di rango r - 1.
Te orema di Green
Il teorema di Green può essere ricavato dal teorema di Gauss considerando i due
campiquadrivettoriali Vμ = </>Òμlfle V'μ = lflÒμ</>, dove </> e lf'SOno campi scalari. Si ha
òμVμ=Ò
μ
</>Òμlfl+</>Dlf/,
òμV'μ = ò
μ lflÒμ</> + lf/O</>,
e, applicando due volte la [5.216],
Jcaμ</>Òμlfl+ </>Dlf/)d4x = J</>Òμlfld<Yμ
,
n
an
Jcaμ lf/Òμ</>+lf/D</>) d4x=J lflÒμ<f>dcrw
n
an
Sottraendo membro a membro la [5.229] e la [5.230] si ottiene
Jc<t>Dlf/- lf/D</>)d4x=J (</>Òμ lfl
_
lflòμ</>)dcrμ
,
n
an
che è l'espressione del teorema di Green quadridimensionale.
Teorema di Stokes
[5.227]
[5.228]
[5.229]
[5.230]
[5.23 1]
L'integrale di un.campo vettoriale Vμ(x) su una curva chiusa y in M può essere tra­
sformato in un integrale sulla superficie crdelimitata dalla curva, mediante la relazione
�Vμ dxμ = JaμVvdrv
= ±Jcaμ vv -òvV
μ
)dr v
,
r
a
a
dove l'elemento tensoriale di superficie dr v è definito come
dfμv =
Ò(xμ ,x
v
)dd
d(u, v)
uv.
La [5.232] è l'espressione del teorema di Stokes in M.
5.9 . Il gruppo di Lorentz
[5.232]
[5.233]
Un'importante proprietà delle trasformazioni di Lorentz omogenee (TL) è che
esse fo rmano un gruppo, il gruppo di Lorentz L (detto anche grupp o di Lorentz ge­
nerale o esteso),5 isomorfo a 0(3, 1), il gruppo delle matrici 4 X 4 pseudortogo-
5 Anche le trasformazioni di Lorentz non omogenee, o trasformazioni di Poincaré, fo rmano un gruppo:
il gruppo di Poincaré P, che incorpora L come ' sottogruppo. Studieremo il gruppo di Poincaré nel § 5.11.

194
Lo spazio-tempo I Cap. 5
nali.6 L'insieme delle TL soddisfa infatti le seguenti condizioni:
1. ( Chiusura) Componendo due TL, cioè effettuandole di seguito, si ottiene ancora
una TL. In termini delle matrici di Lorentz la legge di composizione corrisponde al
consueto prodotto matriciale.
Verifichiamo che, se A, A' ELe A" = AA' , alloraA" EL. Per ipotesi si ha
ATgA=g, A'TgA' = g,
e dunque
A"TgA" = (AA')Tg(AA') = A'TATgAA' = A'TgA' = g,
il che significa che A" EL, come volevasi dimostrare .
2. (A ssociatività) La composizione delle TL è associati va. Questa proprietà segue
dall' associatività della moltiplicazione matriciale:
(AA' )A" = A(A'A ").
3. (Identità) Esiste la TL identica, rappresentata dalla matrice identità quadrimensio­
nale li (che è, evidentemente; una TL) . Gli elementi di li sono le g μ v·
4. ( In versa) Per ogni TL (rappresentata da una matrice A), esiste la TL inversa (rap­
presentata da A- 1 ).
Mostriamo che A - i ELse A EL. Per ipote si
ATgA= g,
da cui, moltiplicando a sinistra per (AT) - 1 e a destra per A - i,
g=(AT)-1gA-1 =(A-1lgA-1,
equindiA-1 EL.
L ' insieme delle TL p rop rie (che indicheremo con L + ) è un sottogruppo di L, chia­
mato grupp o di Lorentz prop rio . Esso è infatti chiuso rispetto alla composizione di due
TL,dalmomento che, sedetA= + 1 edetA' = + 1,alloradet(AA')=detAdetA' =
= + 1.Inoltre contiene l'identità (det Il = + l), e poiché det A- 1 = det A, se il deter­
minante di A è + 1, anche quello di A - 1 sarà + 1. Le TL improprie, invece, non costi­
tuiscono un gruppo, giacché il loro insieme (L_) non è chiuso rispetto alla composi­
zione di due trasformazioni (componendo due TL improprie se ne ottiene una pro­
pria) . Jl gruppo di Lorentz proprio L + è isomorfo a S0(3, 1 ), il gruppo delle matrici
4 X 4 pseudortogonali con determinante uguale a I.
Anche l ' insieme delle TL orto cron e (che indicheremo con Li ) è un sottogruppo di L.
Si può dimostrare infatti che il prodotto di due TL ortocrone è una TL ortocrona e
l'inversa di una TL ortocrona è anch'essa ortocrona. L'insieme L,1, delle TL anticrone
non è invece un gruppo .
6 Sulla nozione di isomorfismo, e per altri elementi di teoria dei gruppi, si veda l'Appendice B.

5. 9 I Il gruppo di Lorentz
195
L'intersezione di L + e Li , cioè linsieme L : delle TL ristrette, è un sottogruppo in­
vari ante di Led è chiamato gruppo di Lorentz ristretto (o sp eciale). L'importanza di
L : sta nel fatto che esso è l'unico sottogruppo connesso di L: le TL proprie e ortocro­
ne, infatti, sono connesse in modo continuo al i'identità, cioè possono essere ottenute
da Il mediante un cambiamento continuo dei parametri , diversamente dalle TL impro­
prie e/o anticrone, che incorporano un' inversione.
La struttura del gruppo di Lorentz L è sintetizzata in figura 5.3. È fac ile convincer­
si che L è omomorfo al gruppo costituito dalle quattro trasformazioni discrete D = { Il,
I,, I , , 151 }. Il kernel di questo omomorfismo è il gruppo di Lorentz ristretto Ll, e il
gruppo fattore LI L : è quindi isomorfo a D.
Come abbiamo accennato nel § 3.5, e come si può verificare moltiplicando due ma­
trici del tipo [5.95], l'in sieme dei boost, che è un sottoinsieme di L l, non costituisce
un gruppo (in generale, il prodotto di due boost non è un boost). L'insieme delle rota­
zioni proprie tridimensionali, invece, è un sottogruppo di L : isomorfo al gruppo
S0(3), il gruppo delle matri ci 3 X 3 ortogonali con determinante uguale a 1.
Elenchiamo ora alcune proprietà del gruppo di Lorentz ri stretto Ll, che è quello
cui saremo maggiormente interessati (per la dimostrazione di queste proprietà riman­
diamo ai testi citati nellAppendice B). L : è un gruppo di Lie semisemplice a sei pa­
ra metri (tre legati ai boost, tre alle rotazioni). Poiché la rapidità dei boost (introdotta
nel § 5.6) può assumere valori arbitrari amente grandi, la varietà associata a L : non è
limitata e L : è, quindi, un gruppo non compatto . In accordo con la teoria generale dei
gruppi di Lie, le rappresentazioni irriducibili unitarie di L : sono di dimensione infi ­
nita mentre le rappresentazioni irriducibili di dimensione fi nita non sono unitari e. In­
fi ne, L : è duplicemente connesso e ha come ricoprimento universale SL(2, C), il
gruppo delle matrici complesse 2 X 2 con determinante "u guale a 1.
Gruppo di Lore ntz L
Lt+
L•+
TL proprie
TL proprie
ortocrone
anticrone
4
.
L!
LJ.
TL improprie
TL improprie
ortocrone
anticrone
Figura 5.3
Struttura del gruppo di Lore ntz.

196
Lo spazio- tempo I Cap. 5
5.10. L'algebra del gruppo di Lorentz ristretto
Consideriamo una trasformazione di Lorentz ristretta infinitesima, cioè una TL
che differisca infinitesimamente dalla trasformazione identica (ricordiamo che solo
le TL appartenenti a L � sono connesse in maniera continua all 'identità). In forma ma­
triciale, una TL di questo tipo è
A=Il+w,
dove w è una ma trice infinitesima. In componenti si ha
AμV=gμV+(1)μV
con I wμ v I « I. In virtù della [5.65) avremo
gμJgμp + (ùμp)(gv
a
+(ù
v
a
)=gpa·
Al primo ordine in w, la [5.236) diventa
gμv(gμpgv
a
+ Wμpgv
a
+Wv
agμp) = gpa,
da cui
gpa+gμa(1)μp+gpv(l)
v
a
= gpa,
e infine
[5 .234)
[5.235)
[5 .236)
[5.237)
[5.238)
[5.239)
I parametri Wap di una trasformazione di Lorentz devono quindi soddisfare la condi­
zione di anti simmetria
[5.240)
e il numero di parametri indipendenti è dunque 6 (come già sapevamo).
La [5.235) può essere ri scritta come
1
Aμ =gμ+(1) gμpga =gμ+_(1) (gμpga _gμagp)
V
V
pa
V
V
2pa
V
V,
[5.241) '
dove nel secondo passaggio abbiamo usato la proprietà [5.240) . Introducendo le ma­
trici _M,Pa di elementi
(_M,P�μ v
=-
i(gPμg a
v
_
gaμgp
v
),
la [5.241) diventa
Aμ - μ +__i_(1) ("pa-,μ
v-gV 2 paJVLJV>
ovvero, in fo rma matriciale,
[5.242)
[5.243)
[5.244]

5. 10 I L'algebra del gruppo di Lorentz ristretto
197
Esponenziando questa espressione si ottiene una trasformazione di Lorentz ristretta
fi nita:
-
(2- Alpa)
A-exp
2
WpaJVl
.
[5.245)
Le matrici .M,Pa sono i generatori delle trasformazioni di Lorentz. Per l'antisimme­
tria delle Wpa si ha .M,Pa =
-
M ap (lo si vede direttamente dalla [5.242)), e le matrici
.M,Pa sono quindi 6. Si può verificare (vedi Problemi) che per esse vale il commutatore
[5.246)
che definisce l ' algebra di Lie (vedi Appendice B) del gruppo di Lorentz ristretto L l
o, equivalentemente, del gruppo pseudortogonale speciale S0(3, l) (gruppi isomorfi
hanno la stessa algebra).
Le .M,Pa definite in [5.242) forniscono una particolare rapp resentazione lineare del
gruppo di Lorentz ri stretto, la rappresentazione quadridimensionale che agisce nello
spazio di Minkowski. Una rappresentazione generica di L l in uno spazio vettoriale
Vè un operatore lineare e invertibile della fo rma
0J(A)= exp(±Wpa,g,pa) .
[5.247)
I generatori ,g,pa dipendono dalla rappresentazione considerata, ma il loro commutatore,
come vedremo, è sempre del tipo [5.246). La 0J (A) rappresenta un elemento di L l, cioè
una TL ristretta, nello spazio vettoriale V. In particolare, nello spazio di Minkowski
gli operatori ,g, pa sono dati dalle matrici .M,P a introdotte sopra, e la [5.247) si riduce
alla [5.245). Nel caso di una trasformazione di Lorentz infi nitesima A=Il + w, dalla
[5 .247) si ottiene, al primo ordine,
0J(Il+w)=Il++%a
,g,pa.
Per le proprietà generali delle rappresentazioni lineari di un gruppo, si ha
0J(A)0J(A') = 0J(AA'),
0J (A-
1) =<zJ
J
-
1 (A).
Consideri amo la combinazione
0)-
1(A)0J(Il + w)0J(A)=0J(A- 1
(Il + w)A).
Per il primo membro si ha, usando la [5.248),
0)-
1(A)(Il +±Wpa,g,pa)0J(A)= Il +±Wpa0J-1(A)JiPa0J(A),
mentre il secondo membro è
[5.248)
[5.249)
[5.250)
[5.25 1)
[5.252)
0J(A-I(u+w)A)=0J(Il+A-1wA)=Il+±(A-lwA)μ.,Jìμv= Il+�AP
μ
Aa
v Wpa
,g,μv.
[5.253]

198
Lo spazio-tempo \ Cap. 5
Uguagliando la [5.252] e la [5.253], si ottiene
qfj- l (A)JiP"qfj(A)= AP,,A"
v
jìμv .
Questa legge di trasformazione mostra che jì P " è un quadritensore di rango 2.
[5.254]
Poniamo ora nella [5.254] A=Il + m, cioè consideriamo una trasformazione di
Lorentz infinitesima dei generatori ji P":
La quantità a sinistra è, al primo ordine,
qfj-1(Il+W)JìP"qfi(fi+W)=(Il-�Wμv
jìμv)jìP"(0++W;.1Jì.l.r) =
= jìP"
_
J_(ù jìμvjìpcr +J_(ù jìP"jìÀ1
= jìPU _J_(ù [Jìμv .'JiP"]
2μv
2Àr
2μv
,
,
mentre a destra si ha
(gP
μ
+mP
μ
)(g "v + m"v)jìμv
= jìP"+mP
μ
jìμcr + W"v
jìPV =
= jìP"
_
Wμv(gvpjìμcr _
gμcrjìPV) =
= jìP"
_
+Wμv(gvpjìμcr _
gμpji vcr _
gμcrjìPV + gvcrjìPI'),
[5.255]
[5.256]
[5.257]
dove nell 'ul timo passaggio abbiamo anti simmetriz zato la quantità tra parentesi, che
moltiplica m
μ v · Uguagliando la [5.256] e la [5.257], si trova che i generatori di L l ob­
bediscono alla regola di commutazione
[5.258]
che ha la stessa struttura della [5 .246] .
Per comprendere meglio la struttura dell' algebra di L l, è utile introdurre , in luogo
dei ji P", i sei operatori
cioè, esplicitamente,
j=(.9i23,ji31,ji12), '9 =(.9io1,g,02,ji03).
I commutatori di ji ;
e C§; derivano dalla [5.258] e sono
[Jii, jìi] =it:iikJìk
,
[C§i, C§i] =
-
iéikjìk
,
[Jii, C§i] =iéikC§k
.
Ponendo
·
I·11
·
o·
e'=2e
'
"'m
m
,
11'=
(ù'
,
[5 .259]
[5.260]
[5.261]
[5.262]
[5.263]
[5.264]

5. 10 I L'algebra del gruppo di Lorentz ristretto
199
si trova
e
[5.266]
L'esponente della [5.247] diventa così
_!._Qf'aji =_!._(wo;ji +w;oji. +wUJi)=-wo;ji +!wUJiU= - T1·<§+8·j [5267]
2
pa
2
01
10
I}
01
2
,.
e un elemento del gruppo di Lorentz ri stretto è dunque rappresentato da
2ìl(8,Tl)=exp{i(8·9 -TI ·<§)}.
[5.268]
In particolare,
2ìl(8,0)= exp(i8·9)
[5.269]
rappresenta una rotazione di angolo e= I 8 I attorno all' asse n = 818, mentre
2ìl(O,TI)= exp(-iTI ·<§)
[5.270]
rappresenta un boostdi rapidità T] = ITII lungo l'asse 1j =TIIT]. I ji;
sono dunque i ge­
neratori delle rotazioni, mentre i C§ i sono i generatori dei boost. Da un punto di vista
fi sico, j e<§ rappresentano ri spettivamente (in unità naturali) il momento angola re e
il moto del centro di massa (vedi §§ 6.4 e 6.5). Il commutatore [5.261] caratterizza
l'algebra del gruppo S0(3) delle rotazioni tridimensionali, che è un sottogruppo di
L l. S0(3) è localmente equivalente al gruppo speciale unitario SU(2) (il gruppo delle
matrici unitarie 2 X 2 con determinante uguale a 1) e quindi ha la stessa algebra di
SU(2) (per la precisione, esiste un omomorfismo uno a due tra S0(3) e SU(2), e
SU(2) è il gruppo di ricoprimento universale di S0(3); nel § 5.12.2 vedremo che c'è
una relazione simile tra L l, ovvero S0(3, 1), e SL(2, C)). Non è difficile verificare
che gli operatori
j2-<§2=
J_ji jiμv
2μv
,
[5.27 1]
[5.272]
commutano con tutti i ji ;
e i<.§;
, e sono i due operatori di Casimir7 dell' algebra di L l .
Introducendo
N;=
�(Si;
+ i<.&\
M.i
=
�(Sii - iC§i),
-
[5.273]
[5.274]
7 Gli operatori di Casimir di un' al gebra di Lie sono gli operatori che commutano con tutti i generatori
dell'algebra (vedi Appendice B).

200
Lo spazio- tempo I Cap . 5
l'algebra [5.261 -5 .263] diventa
con
[,N\ Xj] = i éjkXk,
[.A,i_i,
.
M/] = iéjk
,
M,k,
[5.275]
[5.276]
[5.277]
Le [5.275, 5.276] sono due algebre indipendenti di SU(2). In termini matematici ciò
vuol dire che l'algebra di Lie del gruppo di Lorentz ri stretto (cioè di S0(3,l)) è la
stessa di SU(2) ® SU(2). Pur condividendo la medesima algebra, SU(2) ® SU(2) e
S0(3, l) non sono però gruppi isomorfi : il primo è un gruppo compatto, il secondo no.
Gli operatori di Casimir di SU(2) ® SU(2) sono i due Casimir delle singole algebre
SU(2), cioè .N" 2 e .M. 2 . Essi sono combinazioni lineari dei Casi mir [5.27 1, 5.272].
Le grandezze fi siche (posizione, momento, momento angolare ecc.) e i campifi sici
(campo elettromagnetico, campo gravitazionale ecc .) si trasformano secondo le rap­
presentazioni irriducibili di dimensione fi nita del gruppo di Lorentz ristretto (che non
sono unitarie, dal momento che L � non è compatto). Queste rappresentazioni sono
etichettate dagli autovalori di X2 e .M. 2, chehanno laforma n(n + 1)e m(m + I), con
n e m interi o seminteri . 8 Indicheremo con ( n , m) la rappresentazione, di dimensione
(2n + l) (2m + 1 ), associata agli autovalori n e m.
Le più importanti rappresentazioni di dimensione fi nita di L � sono:
• R app resentazione scalare . È la rappresentazione banale (O, 0). I generatori sono
identicamente nulli e tutte le trasformazioni di Lorentz si riducono all 'identità. I
campi scalari appartengono a questa rappresentazione, nel senso che restano inva­
riati per trasformazioni di Lorentz:
</J'(x') =</J(x).
• R app resentazioni sp inoriali. Sono le due rappresentazioni bidimensionali inequi­
valenti (O, 1/2) e (1/2, O). I generatori j e es (o, equivalentemente, j{ e .M.) sono
proporzionali alle matrici di Pauli Cl; :
(o1) (o -i)
a,
=
1o'
cr2=
iO'
[5.278]
In particolare, si ha (vedi § 5.12.3):
(O, �):
u
j=2
,
.u
es=1
2,
[5.279]
(�,o}
u
.u
j=2
,
es=
-
1-
2·
[5.280]
8 Si veda, ad esempio, Tung, Group Th eory in Phys ics cit., pp. 187-91.

5. 10 I L'algebra del gruppo di Lorentz ristretto
ovvero
(O,
�):
(+. o):
201
[5.28 1]
[5.282]
Queste espressioni di .N' e .M, giustificano le notazioni (0, 1/2) e (112, 0), dal mo­
mento che ( C1 /2)2 = (3/4) Il = 1/2 ( l/2 + 1) Il. Le trasformazioni di Lorentz sono rap­
presentate da matri ci di SL(2, C) :
(O, +):
(�,
o}
[5.283]
[ 5 .284]
I campi (a due componenti) che si trasformano secondo queste rappresentazioni
sono i campi sp inoriali di Wey l. Essi hanno la struttura:
(O, +):
u. o):
(s1(x))
s(x) =
s2(x) , ç'(x') =A(A) s(x) ,
[5.285]
ç'(x') = A(A) ç(x).
[5.286]
Per trasfomazione di parità, poiché � è un vettore assiale (cioè non cambia segno)
mentre <§ è un vettore polare (cioè cambia segno), le due rappresentazioni spino­
riali vanno l' una nell' altra: (0, 1/2) H (1/2, O).
• Rapp resentazione vettoriale. È la rappresentazione quadridimensionale (1/2, 1/2).
I generatori sono le matrici .AA,P a [5.242], e le trasformazioni di Lorentz sono rap­
presentate dalle A:
-
(_I_ ''pa)
A-exp
2
OJpa JVl
.
I campi (quadri)vettoriali si trasformano secondo questa rappresentazione:
[5.287]
• Rapp resentazione (I /2, 0) EB (0, I /2). È la rappresentazione riducibile che si ottiene
dal la somma diretta delle due rappresentazioni spinoriali descritte sopra. I genera­
tori g,μv
sono dati da
μv
g,μv
=
_!!_
_
2
,
con
[5.288]

202
Lo spazio-tempo I Cap. 5
dove le y11 sono le cosiddette matrici di Dirac:9 quattro matrici 4 X 4 a traccia nulla
che soddisfano la condizione
Y"Yv+ yvy11 = 2811vn.
Le trasformazioni di Lorentz sono rappresentate da
'd'(A)= exp(-! W11v
aw) ,
che può essere messa nella fo rma [5.268],
'd'(8,7})=exp{i(8.j -7} ·'9)),
con
ol
=
[-�O"o]
l
,
'§
.
.
.
I
-u
o-u
2
2
[5.289]
[5.290]
[5 .291]
[5.292]
I campi (a quattro componenti) che si trasformano secondo questa rappresentazione
sono i campi spinoriali di Dirac. La loro struttura è
(ç(x))
ql(x) = s(x)
,
[5.293]
dove ç (x) e s(x) sono spinori a due componenti che si trasformano, rispettivamente,
secondo la ( 112, O) e secondo la (0, 112).
Poiché, come si è detto , per inversioni spaziali si ha (1/2, O) H (0, 112), la rappre­
sentazione ( 1/2, 0) EB (O, 112) è invariante per parità.
5.11 . Il gruppo di Poincaré
Come ab biamo visto nel § 5.5, le più generali trasformazioni lineari che lasciano
invariato l'in terval lo tra due eventi sono le trasformazioni di Poincaré (TP), o trasfor­
mazioni di Lorentz non omogenee,
[5 .294]
Le TP sono caratterizzate, oltre che dalla matrice di Lorentz A11
v• dalle costanti a11, e
quindi dipendono complessivamente da 6 + 4 = 1 O parametri reali. Indicheremo for­
malmente una TP con {A, a}. Come casi particolari, per A = Il si ha { Il,a},che è una
pura traslazione (spazio-temporale) ; per a11 =Osi ha { A, O}, che è una trasformazione
di Lorentz (TL) omogenea. Ogni TP può essere scomposta in modo unico nel prodotto
di una TL omogenea e di una tras lazione:
{A,a}={Il,a}{A,O}.
[5.295]
9 Vedi § 5.12.4 e, per maggiori dettagli, J. D . Bjorken e S. D . Drell, Relativistic Quantum Mechanics,
McGraw-Hill, New York 1964.

5. I I I Il gruppo di Poincaré
203
Le TP costituiscono un gruppo di Lie a 10parametri , detto grupp o di Poincaré, che
chiameremo P. Da
[5.296)
si ricava
(5.297)
e quindi la legge di composizione di due TP è
(A',a') {A,a) ={A'A,A'a+a' ) .
(5.298)
L' identità di P è { ll, O}. L' inversa della trasformazione {A, a} è, come si verifica im­
mediatamente, {A- 1
,-A-
1
a).
Il gruppo delle traslazioni T e il gruppo di Lorentz L sono sottogruppi del gruppo
di Poincaré . T, inoltre, è un sottogruppo abeliano invariante di P . Consideriamo una
tras lazione infinitesima
Essa può essere ri scritta come
X1μ=Xμ+cvÒ
vXμ = (1 +icv9J'v)Xμ,
dove gli operatori
9l'v =-iÒv,
[5.299)
(5. 300)
(5.301)
sono i generatori del gruppo delle traslazioni . Essi evidentemente commutano:
[5.302)
Dal punto di vista fi sico, f!I> (che genera traslazioni spaziali) è-in unità naturali - l'o­
peratore momento, mentre 0' 0 ='/le (che genera traslazioni temporali) è l'operatore
Hamiltoniana.
Una generica rappresentazione di una traslazione infinitesima ha la fo rma
(5 .303]
Combinando questa espressione con la [5.248], si trova che una trasformazione di
Poincaré ristretta infinitesima è rappre sentata da
O(ll+(J),e)=n+;W
pa
!Ppa + icμ0'μ.
(5. 304)
A partire da
rr
1
(A,O)TI(ll+(J), c)TI(A,0)=fl(A-I(n+w)A,A-Ie),
[5.305]
e procedendo come nel paragrafo precedente, si ricavano le leggi di trasformazione
dei generatori !JiPa e 0'μ:
n-
1
(A, O)!JiP<Jfl(A, O) = AP
μ
Aa
v
!Pμv
,
n-I (A, 0)0'μO(A,O) = Aμ
v0'
v
.
[5. 306)
[5. 307)

204
Lo spazio-tempo I Cap. 5
La prima di queste relazioni coincide con la [5.254] ; la seconda mostra che r;p μ è un
quadrivettore. Ponendo nella [5.307) A=Il+w, con un semplice calcolo si ottiene
[5.308)
che, assieme alla [5.258) e alla [5.302), caratterizza lalgebra di Lie del grupp o di
Poincaré ristretto (cioè non comprendente le inversioni). Conviene separare le com­
ponenti spaziali e temporali dei vari generatori e scrivere esplicitamente tutti i
commutatori di quest' algebra:
[<!Pi, <;
;
i]=o,
[<!Pi,'Jf]=O,
[JJ, Jìi] = iéik!Ji\
[.9ii, C§i] = it:iikC§k,
[Jii, <;
;
i]=iéik<;
;
k,
[C§i, C§i] = - iéJk!Jik,
[C§i, <;
;
i]= - i8ii<Je,
[Jii, 'Jf] =O,
[C§i,'Jf]= - i<!Pi.
Introduciamo ora il cosiddetto op eratore di Pauli-Lubanski Wμ , definito da
"W'μ =_!_Eμvpa!j r;p
2
vpa
•
e ortogonale a <IPμ,
[5.309]
[5.3 10)
[5.311)
[5.312)
[5.3 13)
[5.3 14)
[5.3 15)
[5.3 16)
[5.3 17)
[5.3 18)
[5.3 19)
Le regole di commutazione di "W' μ seguono dalle [5.258, 5.302, 5.308) e, come è facile
verificare, sono
[<IPμ, "W'
v
] =O,
[.9iμv
,
°HfP] = i(gvp"W'μ _
gμp"W' v),
["W'μ, "W'v] =iEμvpa"W'
P
<!;a
·
I quadrati di r;pμe"W'μ,
[5.320)
[5.321]
[5.322)
[5.323)
in virtù delle [5. 320-5 .322) commutano con tutti i generatori del gruppo di Poincaré e
sono perciò gli operatori di Casimir di P. Le rappresentazioni unitarie irridu cibili di
P (che sono di dimensione infinita, dal momento che P è un gruppo non compatto)
sono etichettate dagli autovalori di <!P 2 e "W' 2 . La loro importanza sta nel fatto che gli
stati fi sici delle particelle si trasformano secondo queste rappresentazioni . 1 0 Le due
10
Sulle rappresentazioni unitarie irriduc ibili del gruppo di Poincaré. vedi, ad esempio, L . Fonda e
G. C. Ghirardi, Sy mmetry Principles in Quantum Physics, Dekker, New York 1970, cap. 5.

5. 12 I Complementi
205
classi di rappresentazioni realizzate in natura sono:
• r;J> 2 >O(particelle massive)
Sia M2 (numero reale positivo) l'autovalore di W' 2 . L' autovalore di "W 2 è - M2 s ( s +
+ 1), con s =O, 112, 1, 3/2, ... Da un punto di vista fi sico, Mes sono, rispettivamente,
la massa e lo spin della particella.
• r;J>2 = "W2 = o(particelledimassanulla)
A causa della [5.3 19), "W μ è proporzionale a W' μ . La costante di proporzionalità À. è
detta elicità e vale ::!:
::
s, dove s =O, 1/2, 1,3/2, ... è lo spin della particella.
5.12. Complementi
5.12.1. Basi in M
Nel § 5.7 .1 i quadri vettori sono stati definiti in riferimento alle proprietà di trasfor­
mazione delle loro componenti covarianti e controvarianti . Definiremo ora i quadri­
vettori in modo puramente geometrico, come elementi di uno spazio vettoriale.
Introduciamo in M un insieme ortono rmale completo (cioè una base) di quadrivettori
[5.324)
che indicheremo collettivamente con { ea ) . La condizione di ortonormalità è
[5.325)
dovegab =g"
b
=diag(l, -1, - I, -1). Si noti che e 0 è un quadrivettore di tipo
tempo , mentre e 1 , e2, e 3 sono quadrivettori di tipo spazio. Un generico quadri vettore
A può essere scritto come (è sottintesa una somma su a)
[5.326)
dove le A
a
sono le componenti controvarianti di A. Se moltiplichiamo scal armente la
[5.326) per e b, e usiamo la [5. 325), otteniamo le componenti covarianti A b :
Ab=A·eb.
[5.327)
Introducendo la base duale {e"), con
[5.328)
si ha
[5.329)
Effettu iamo ora un cambiamento di base
[5.330]
dove le A"c sono quantità costanti . Affinché la [5.330) preservi la relazione di orto­
normal ità,
[5.33 1)

206
Lo spazio-tempo I Cap. 5
deve aversi
[5.332]
Le A°b sono quindi le componenti di una matrice di Lorentz (vedi [5.66] ). La trasfor­
mazione delle componenti di A indotta dalla [5.330] è
[5.333]
che corrisponde alla [5.135].
Notiamo infi ne che, nel caso in cui si scelgano come vettori di base
e0 =(1,0,0,0), e1 =(O,1,0,0), e2
=(0, 0, I ,0), e 3 =(0, 0, 0, I), [5.334]
le A� coincidono con le A μ introdotte nel § 5.7 .1.
5. 12.2 . Omomorfi smo tra SL(2, C) e il gruppo di Lorentz ristretto
SL(2, C) è il gruppo speciale delle matrici complesse 2 X 2. I suoi elementi sono
matrici del tipo
A=(��)con a,{3,y,8EC e detA=I.
[5.335]
Ogni matrice di SL(2, C) è etichettata da sei parametri real i. Il conteggio è il seguente .
Una matrice complessa 2 X 2 contiene 4 X 2 = 8 parametri reali: di questi , due sono
fi ssati dalla condizione det A = I (due equazioni, una per la parte reale e una per la
parte immaginaria) ; rimangono quindi 8 - 2 = 6 parametri reali indipendenti .
Mostreremo ora che esiste un omomorfismo tra SL(2, C) e il gruppo di Lorentz ri­
stretto L l, cioè una corrispondenza
AESL(2,C)�A(A)ELl,
[5.336]
tale che
AB � A(A)A(B) = A(AB).
[5.337]
Si tratta, come vedremo, di un' applicazione due a uno (A e -A corrispondono alla
stessa matrice di Lorentz).
Sia X una generica matrice hermitiana
11
2 X 2. Essa può essere parametrizzata
come
X=(
xo+x
3
x
1
-
ix2
)
x
1
+ix2 x0-x3 '
dovex0, x
1
,x2,x
3 sono numeri reali. Per mezzo delle matrici di Pa uli
(oi) (o -i
)
CJi
=
1O'
CJ2=
iO'
[5.338]
[5.339]
11 Ricordiamo che una matrice X si dice hermitiana se è uguale alla sua aggiunta xt , dove x t = (X1)*
(l'asterisco indica coniugazione complessa).

5. 12 I Complementi
la [5.338] può essere scritta come
dove abbiamo posto a0 "" Il. Il determinante di X è
detX=(xo)2 -(xi)2 -(x2)2 - (x3)2.
Se A E SL(2, C), la matrice
X' = AXAt,
è anch'essa hermitiana e potremo scrivere quindi
Il determinante di X' è uguale a quello di X, poiché det A = detA t = 1:
detX' = detAdetXdetAt = detX,
e, in virtù della [5.341], si ha
(x'o)2_(x'1)2_(x'2)2_(x'3
)2=(xo)2_ (x1)2_(x2)2_(x3)2.
207
[5.340]
[5.341]
[5.342]
[5.343]
[5.344]
[5.345]
La trasformazione matriciale [5.342] induce quindi una trasformazione di Lorentz
sulle xμ,
[5 .346]
Sostituendo le [5.340, 5.343] e la [5.346] nella [5.342], si ha:
[5.347]
da cui si ricava la relazione
[5.348]
che si rivelerà utile più avanti . Per determinare la fo rma della matrice di Lorentz A(A)
in fu nzione di A, estraiamo x'μ da X' = x'μ av moltiplicando il primo e il secondo
membro per a
μ
e usandoTr(O"μO"v) = 2gμv:
[5.349]
Inserendo X' = AXA teX=x
v
av
, si ottiene
[5.350]
che, confrontata con la [5.346] , dà
μ
_
_!_'
t
Av(A)-2
Tr(A avA aμ)·
[5.35 1]
Si può verificare che la matrice A così definita ha determinante uguale a I e A0
0�1.

208
Lo spazio-tempo I Cap. 5
La [5.35 1] stabilisce pertanto una corri spondenza tra SL(2, C) e L t Date due matrici
Ai. A 2 E SL(2, C), si trova, usando la [5.348],
(A1A2)XvO"
v
(A1A2)t=A1A2xva
v
A1A1 =A1Aμ
v
(A 2)xva
μ
A1 =AP
μ
(A1)Aμ
v
(A2)XvO"p,
[5.352]
e poiché
(A1A2)XvO"
v
(A1A2)t = AP
v
(A1A2)XvO"p,
[5.353]
si ha
[5.354]
La corri spondenza tra SL(2, C) e L : preserva la legge di moltiplicazione ed è perciò
un omomorfi smo. Si noti che A(A) = A(-A), e quindi l'om omorfismo è due a uno
(come vedremo, A= - Il corrisponde a una rotazione di angolo 2n attorno all' asse z).
L: è isomorfo al gruppo quoziente SL(2, C)/Z2 , che è il gruppo delle matrici com­
plesse 2 X 2 a determinante uguale a 1, con A e - A identificate (Z 2 è il gruppo costi­
tuito da ne- Il ).
È utile scrivere le fo rme esplicite delle matrici di SL(2,C) corrispondenti alle rota­
zioni e aiboost. Per una rotazionedi un angolo e attorno ali' asse n = (n1 , n2, n3) siha
(6=fJn)
[5.355]
Si noti che questa matrice è unitaria, cioè appartiene al sottogruppo SU(2) di SL(2,
C). In particolare, per una rotazione di angolo 2 n attorno al l'asse n
3
sihaAR=::+:
::
Il.
Le matrici di SL(2, C) corri spondenti a un boost di rapidità TJ nella direzione n sono
(71=TJn)
(hT/ 3.
hT/(I ·2)·hT/]
cos --n sm
-
-
n-1nsm
-
2
2
2
As(71)= ::+:
::
.
-
(n
1
+ in2) sinh21.
.
cosh 21.
.
+ n3sinh21.
.
2
2
2
5. 12.3. R app resentazioni sp inoriali del gruppo di Lorentz ristretto
[5.356]
Un elemento di SL(2, C) è rappresentato in uno spazio bidimensionale da una ma­
trice della fo rma [5.335],
A=(��)con ao-f3y=1.
[5.357]
Un' altra rappresentazione bidimensionale di SL(2, C) è data dalla complessa coniu­
gata di A,
(a* [3*)
A*=
y* o*
[5 .358]

5. 12 I Complementi
209
o da una matrice legata a questa da una relazione di similitudine. La [5.357] e la
[5.358] sono rappresentazioni inequivalenti di SL(2, C). Le corrispondenti rappre­
sentazioni bidimensionali del gruppo di Lorentz ri stretto L l, che - come abbiamo
visto nel paragrafo precedente - è isomorfo a SL(2, C)/Z 2 , sono dette rapp resentazioni
spinoriali.
Gli sp inori sono oggetti a due componenti,
[5.359]
che, per una trasformazione di Lorentz A, si trasformano secondo la rappresentazione
[5.357],
ç' =A(A) (,
[5.360]
o secondo la rappresentazione coniugata
ç· = A(A)ç.
[5.361]
A(A) è legata ad A * da una trasformazione di similitudine:
A=t:A*t:-1
,
[5.362]
dove e è la matrice 2 X 2 anti simmetrica a elementi unitari :
e=
(O I)
-
1O.
[5.363]
Si noti che
[5.364]
Consideriamo una rotazione infinitesima. Dalla [5.355] si ottiene (prendendo il
segno +, dal momento che ci interessano le trasformazioni connesse ali' identità)
[5.365]
dove ei = en i. In termini delle matrici diPauli [5.339], A R((J) si scrive come
(J
iI
2
3
'
(JU
AR( )=n -2cecr1+8cr2+8cr3)=Il+1 ·2
·
[5.366]
Una rotazione fi nita è data da
[5.367]
Per un boost infinitesimo si ha
[5.368]

210
Lo spazio-tempo I Cap. 5
cioè
Esponenziando, si ottiene la matrice di un boost fi nito:
A6(71)= exp(71 · �).
Una generica trasform azione di Lorentz è quindi rappresentata da
A(8,71)=exp(i8· � +11· �),
che possiamo scrivere nella fo rma [5.268] ,
A(8,71)=exp{i(8.j -71 ·<°9)},
introducendo
<1
j=
2,
[5.369]
[5.370]
[5.371]
[5.372]
[5.373]
Questi sono i generatori del gruppo di Lorentz ristretto in una delle sue due rappre­
sentazioni spinoriali. Usando la regola di commutazione delle matrici di Pauli,
[a;, aj] = 2it:;jkab
[5.374]
si verifica che i .'J>; e i<&;
soddisfano l'algebra [5.261 -5 .263] di L l.
Larappresentazione spinoriale coniugata A(8 , 11) si ottiene applicando la [5.362] .
Il risultato è
e i generatori corri spondenti ,
<1
j=2
,
<1
<°9=-i -2
,
differiscono dai [5.373] per il segno di <9.
[5.375]
[5.376]
Per i motivi spiegati nel § 5.10, la rappresentazione [5.371] è indicata con (0, 1/2),
mentre la rappresentazione [5.375] è indicata con ( 1/2, 0).
5. I 2.4. L'equazione di Dirac
In meccanica quantistica una particella è descritta da una fu nzione d' onda com­
plessa ljl(x , t) , il cui modulo quadro rappresenta la probabilità di trov are la particella
nel punto x ali ' istante t. La dinamica della l/fè governata da un'equazione d'onda che,
nel caso non relativistico, è l ' equazione di Schrodinger (la scriviamo per una particella
libera di massa m):
·
-
!!Z_v2"' = it/31/1.
2m
Cit
[5 .377]

5. 12 I Complementi
211
Nel caso relati vistico, l'equazione d' onda per particelle scalari (cioè di spin nullo) è
l ' equazione di Klein-Gordon (d' ora in poi useremo unità naturali, 1i =e= 1)
[5.378)
che ritroveremo nel § 10.8 . 1 come equazione di campo. Se, invece, la particella ha spin
112, la sua fu nzione d' onda (che sarà indicata con 'I' ) è uno spinore a quattro compo­
nenti che si trasforma secondo la rappresentazione (1/2, O) EB (O, 112) del gruppo di
Lorentz (vedi § 5. l 0), e l'equazione del moto corrispondente è l ' equazione di Dirac
[5.379)
dove le yμ sono matrici 4 X 4 a traccia nulla, dette matrici di Dirac (la massa m molti­
plica l'identità quadridimensionale Il, che abbiamo sottinteso). Le matri ci di Dirac
soddisfano le relazioni di anticommutazione
[5.380)
da cui si ricava
[5.381)
La y0 è hermitiana, mentre le y
;
sono antihermitiane:
[5.382)
Introducendo le matrici
[5.383)
la [5.379) diventa
(-ia·V+f3m)'I'=ia
a
�.
[5.384)
La fo rma esplicita delle yμ , nella rappresentazione di Dirac, è
.
(o
r'=
-
O';
O';)
o
,
[5.385)
dove le O'; sono le matrici di Pauli.
La trasformazione di Lorentz della fu nzione d' onda 'l'(x) è
'I''(x') =':
:f
(A) 'l'(x) ,
[5.386)
dove la ':
:f
(A) è data dalla [5.290), con aμv = (i/2)[yμ, y
v
]. Usando la fo rma infinite­
sima della [5.290] e le proprietà di anticommutazione delle matrici di Dirac , si trova
(vedi Problemi) che le yμ si trasformano come
[5.387)
Assieme alla [5 .386) , questa relazione garantisce la covarianza del!'equazione di Dirac .

212
Lo spazio-tempo I Cap. 5
5. 12 .5. Il grupp o di Galilei
La più generale trasformazione di Galilei (TG) non omogenea è una trasformazione
del tipo (vedi [l.52])
x'
=Rx-v t+a, t ' =t+b,
[5.388]
che verrà indicata formalmente con
{R, v ,a,b},
[5.389]
dove R(9 ) è una matrice di rotazione tridimensionale, vea sono vettori costanti e b è
un parametro reale. Le TG sono quindi etichettate - come le trasformazioni di Poin­
caré - da 10 parametri reali. Esse costituiscono un gruppo, detto gruppo di Galilei,
che chiameremo G. La legge di moltiplicazione in G è (vedi Problemi)
{R',v',a',b'}{R,v,a,b)={R'R,R'v+v', R'a+a' - bv', b+b'). [5.390]
L'identità è {Il, O, O, O} e l'inversa di {R, v ,a, b) è {R- 1
,-R
-
1v, - R-1(a+bv), - b).
Siamo interessati al gruppo di Galilei ristretto, che non contiene le inversioni.
L' algebra di Lie di questo gruppo si ottiene fo rmalmente per «Contrazione» 1 2 dell'al­
gebra di Lie del gruppo di Poincaré ristretto . Noi calcoleremo il limite di bassa velocità
dei commutatori [5.309-5 .3 17] facendo appello a semplici considerazioni fi siche. In
unità naturali, l'operatore Hamiltoniana 'fJC = '!1> 0 diventa, nell'approssimazione non re­
lativistica,
[5.391]
dove M è lamassa e ;JCN R è l'Hamiltoniana non relativistica. Intermini della velocità v,
gli operatori momento '!1',momento angolare !J, moto del centro di massa es e Hamil­
toniana non relativistica 'f
fC
NR hanno il seguente andamento: '!J' - V, !} - l,es - lfv,
;JCNR - v 2 . Effettuando il limite v �Odelle [5.309-5.3 17], si trovano allora le parente­
si di commutazione
['!Pi,'!J>i]=o
,
['!Pi
'
;;cNR] = O,
[Jii, jìi] = ie,iJk_g; k,
[Jii, <§i]=je,iik<§ k,
[Jii, '!J>i] = iéik'!J>k,
[<§i, <§i]=o
,
[<§i, '!J>i] = - ioiiM,
[Jii, ;;cNR] =O,
(<§i, 'f
fC
NR]=-i'!J>i,
che definiscono l ' algebra di Lie del grupp o di Galilei.
12
E. lnéinu e E. P . Wigner, in «Nuovo Cimento», 9, 1952, p. 705 .
[5.392]
[5.393]
[5.394]
[5.395]
[5.396]
[5.397]
[5.398]
[5.399]
[5.400]

Problemi
213
Problemi
I. Coordinate del cono-luce
Parametri zziamo le coordinate spazio-temporali nel seguente modo
con
x"' = �(x0±x3)=(ct::':
:
z), x.L =(x1, x2)=(x,y).
Con questa scelta di coordinate (dette coordinate del cono-luce), come si scrive la metrica ds2 e
quali sono le componenti del tensore metrico 8
μv?
2. Boost lungo assi diversi
Usando le espressioni matriciali del § 5.6 , si verifichi che due boost lungo assi diversi non
commutano.
3. Composizione di boost e precessione di Th omas
Mostrare che, componendo due boost B(/j + d/j) e B(- /j), dove d/j è un parametro infi ni­
tesimo, si ottiene il prodotto di un boost B(d/j') per una rotazione AR(d6 ):
B(/j + d/J)B(- /J) = AR(d6)B(d/j'),
con
dove d/J Il e d/J .L sono, rispettivamente, le componenti di d/J parallela e perpendicolare a fJ. (Si
noti che AR(d6 ) è la precessione di Thomas, vedi § 3.8 .5).
4. Quadrivettori di tipo luce
Dimostrare che due quadrivettori di tipo luce ortogonali sono necessariamente multipli
l' uno dell'altro .
5. Quadrivettori di tipo tempo e di tipo sp azio
Dato un quadri v ettore di tipo tempo A μ , si dimostri che qualunque quadri vettore B μ ortogo­
nale ad Aμ è di tipo spazio.
6. Pa rametrizzazione di Sudakov
I quadrivettori di Sudakov sono due quadri vettori di tipo luce q μ e n μ tali che
Mostrare che un generico quadrivettore A μ può essere parametrizzato come
Aμ=aqμ+f3nμ+Alf.,
doveae/3sonoquantitàscalari eAf=(O,A1,A2, 0).

214
Lo spazio- tempo I Cap. 5
7. Quadritensori
SiaTμv=A
p
R pμ v un quadritensore di rango 2. Dimostrare che, se A
p
è un quadrivettore,
R pμ v è un quadritensore di rango 3.
8. Espressioni tensoriali
Dire quali delle seguenti espressioni tensoriali sono sintatticamente corrette e quali no:
Tμvp = RμvaA
a
AP,
AμA vT
pv
= BμB
a
,
sμ vA
μ
Tμp=R
V
P,
RμpA
p
= TμvaS
va·
9. Generatori del gruppo di Lorentz
Scrivere esplicitamente le sei matrici MPa (i generatori del gruppo di Lorentz nella rappre­
sentazione quadridimensionale).
Risposta :
"IO =
iQQQ
[oioo]
"""
OOOO' ecc.
oooo
IO. Algebra del gruppo di Lorentz
Verificare che i generatori del gruppo di Lorentz
(MPa) μ v
= - i(gμpga
v _ gμagpv)
soddisfano le regole di commutazione
[MM, MPa] = _ i(g.laMrp + grpM.la
_
g.lpMra _ g raMÀP).
I 1. Ma trici di Dirac
Verificare la relazione
�r1(A)yμ':i(A)=AμvYv,
dove ':f(A) = Il - (i/4)W
μvd've d'
v
= (i/2)[yμ, yv].
Suggerimento. Si usi l'anticommutatore { yμ , y v ) = 2gμ v n e l'identità matriciale [A, BC] =
={A, B)C- B{A, C).
12. Gruppo di Galilei
Si dimostri che la legge di composizione di due trasformazioni di Galilei è
{R',v',a', b'}{R,v,a,b)={R'R,R'v+v', R'a+a' -bv',b+b').
echelinversadella{R, v, a, b}è{R-
1
,-R-
1
v, - R _,(a+bv), - b}.

Capitolo 6
Formulazione covariante della dinamica
Useremo ora il calcolo tensoriale sviluppato nel capitolo precedente per costruire
la meccanica relativistica in fo rma manifestamente covariante. Verranno innanzi
tutto definite le grandezze fo ndamentali. Vedremo che il moto di una particella è de­
scritto da una linea di universo xμ (s) nello spazio di Minkowski, e la sua velocità costi­
tuisce un quadrivettore, la quadrivelocità u μ . Momento ed energia sono componenti
di un altro quadrivettore, il quadrimomento p μ . Studieremo infine le equazioni cova­
rianti del moto (le equazioni di Minkowski) e la meccanica analitica relativistica.
6.1 . La linea di universo
In meccanica newtoniana il moto di una particella è descritto da una legge oraria
del tipo
X = X(t).
La derivata di x rispetto al tempo ,
dx
v=dt
,
è la velocità della particella.
[6. 1]
[6.2]
Nella teoria della relati vità, come sappiamo, dt non è uno scalare, bensì la compo­
nente zero del quadrivettore dxμ , e dipende dal sistema di riferimento. Di conseguen­
za, parametrizzando la posizione della particella mediante t si perde la covarianza
manifesta delle espressioni e diventa difficile giudicare a vista se una data legge fi sica
sia consi stente o meno col principio di relatività. Si pensi, ad esempio, all'equazione
del moto di una carica in un campo elettromagnetico [4.11]. Per semplice ispezione,
non possiamo accertare la sua invarianza in forma: bisogna studiare esplicitamente le
complicate leggi di trasformaziÒne del primo e del secondo membro .

216
Formulazione covarianie della dinamica I Cap. 6
Per rappresentare il moto relativistico di una: particella occorre scrivere le xμ in
funzione di un parametro scalare. La scelta naturale per questo parametro è l'inva­
riante s, definitodads2 = gμvdxμdxv
, che chiameremo cammino p rop rio (o anche, con
una leggera licenza termi nologica, tempo p roprio, dal momento che ds =ed r) . Si
avrà quindi, al posto della legge oraria [6. 1], la cosiddetta linea di universo
[6.3]
che, da un punto di vista geometrico, è l'equazione di una curva nello spazio di Min­
kowski. Se la particella ha massa diversa da zero, la sua linea di universo è una curva
ditipo tempo, cioè sihads2 = gμvdxμdxv > O (si ricordi cheds2 = (1- v2/c2)c2 dt2 e
v
< e). La lunghezza di questa curva tra due eventi A e B è
B
B
SAB = Jds = JVgμvdxμdxv
.
A
A
[6.4]
Non sempre è conveniente, o possibile, parametrizzare la linea d'universo median­
te s. Ad esempio, per una particella di massa zero, o per un raggio luminoso, ds è
nullo, e occorre quindi introdurre un parametro scalare diverso dal cammino proprio.
Chiamando ç tale parametro, la linea d'universo sarà del tipo
[6.5]
con la condizione addizionale, nel caso di particelle di massa nulla o raggi luminosi,
ds2 = gμvdxμdxv
= O (la curva [6.5] è allora di tip o luce). Vedremo in seguito che
anche nel formalismo lagrangiano covariante si rende necessaria l'introduzione di un
parametro arbitrario ç. Per ottenere x ( t) da xμ(ç), si ri solve l'equazione x0 (ç) = e t, che
individua il tempo t in un certo sistema di riferimento, e si sostituisce il parametro
ç(t) così ottenuto in x
;
(ç).
6.2 . La quadrivelocità e la quadriaccelerazione
Data una particella il cui moto sia descritto dalla linea di universo xμ(s), la sua qua­
drivelocità u μ è definita come la derivata di xμ ri spetto a s, cioè
[6.6]
Poiché dxμ è un quadrivettore e ds uno scalare, la u μ è, per costruzione, un quadrivettore .
Per capire in quale rapporto si trovi u μ con la velocità v della particella definita in
[6.2], calcoliamo esplicitamente le componenti di u μ . Ricordando che
r:-7 cdt
ds=cdt
Vi-7= y(v)'
[6.7]

6. 2 I La quadrivelocità e la quadriaccelerazione
217
si ottiene
dx0
uo=
.
ds
= y(v),
[6.8]
.
dxi
y(v) dx i
u' =ds
=
-c-dt'
[6.9]
La quadrivelocità u è dunque data (in componenti controvarianti) da
[6.1O]
ovvero, estraendo il fa ttore lorentziano,
[6.1 1]
Sinoti che le componenti spaziali di u μ differi scono dalla «trivelocità» v per ilfattore
y(v)/c . Il modulo quadro di u è
μ _dxμdxμ_1
uU
μ-
ds ds
-
il che significa che la quadrivelocità è un quadrivettore unitario di tipo tempo.
[6. 12]
Nota : u μ è una grandezza adi mensionale. Si usa talvolta definire la quadri velocità come uY =
= dxY/d r, dove r è il tempo propri o, legato al cammino proprio s da dr= ds/c. Questa defini­
zione differisce dalla [6.6] per un fattore e, e fa sì che u μ abbia le dimensioni fi siche di una ve­
locità e il suo quadrato sia uYu
μ
=c
2 • In questo libro ci atterremo alla definizione (6.6] .
Se deriviamo la quadri velocità ri spetto al parametro invariante s otteniamo un altro
importante quadri vettore, la quadriaccelerazione
duμ d2Xμ
Wμ_
-
-ds
-
--
-cG2
'
Facendo uso della [4.4], si trova per le componenti di wμ = ( w 0, w)
du0 ydy y4
w
0
=--=-
-
=-v ·a
dsedtc
3
'
wi=
--
=
_r___y_=L ai+Lcv·a)vi
dui
d( vi)
2[
·
2
]
dsc2dt
c2
c2
'
[6. 13]
[6. 14]
[6. 15]
dove a i = d v ildt è l' accelerazione ordinaria (la «triaccelerazione»). Si osservi che w
non è parallela ad a, ma ha una componente diretta lungo a e una diretta lungo la velo­
citàv. Da uμu
μ
= 1,derivando rispetto a s, si ottiene
duμ
w·u=w1'u=--u =O
μ
ds I'
,
e quindi we u sono quadrivettori ortogonali.
[6. 16]

218
6.3 . Il quadrimomento
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
È rimarchevole il fatto che, in relatività, il momento p e l'energia E di una particel­
la siano le componenti di uno stesso quadri vettore . Per mostrare ciò, a partire dalla
quadrivelocità u μ definiamo
[6. 17]
che è ovviamente, per costru zione, un quadrivettore, detto quadrimomento . Le sue
componenti sono
p0
= mcu
0
= m0y(v)c,
pi = mcui = m y(v)vi.
[6. 18]
[6. 19]
Ricordando la [4. 13] e la [4.43] si vede che p
0
=E/e, e le p i sono proprio le compo­
nenti del momentop = dvldt. Si ha dunque
Alla luce della [4.69] si trova che il modulo quadro di p vale
Ez
P μPμ
=-
2 -p2=mzc2.
e
[6.20] I
[6.2 1]
Questa è la condizione di mass shell [4.70], che è quindi un vincolo invari ante (come
abbiamo già avuto modo di verificare nel § 4. 1 O).
Avendo stabilito che E e p costituiscono un quadrivettore, le loro trasformazioni di
Lorentz seguono direttamente dalle [5.139-5 .142] . Per un boost lungo x, ad esempio,
si ha(vedi § 4.10)
E'
e
p�=
E
� -f3px
�,
E
Px-f3�
'!.-
--
-;
;:)
,
Vl--
{3-
p�=PY'
P�=Pz·
[6.22]
[6.23]
[6.24]
[6.25]
Per le particelle di massa nulla la relazione [6. J 7] tra quadri momento e quadr.ive­
locità perde di significato . Nel § 4.9 abbiamo visto che una particella di massa nulla
viaggia alla velocità della luce; per una particella di questo tipo, dunque, non è possi­
bile definire un quadrivettore velocità [6. 1 O], dal momento che il fattore lorentziano y

6. 4 I Il tensore del momento angolare
219
diverge. Possiamo però introdurre ugualmente il quadrimomento p μ , dato da (si ricordi
che per una particella di massa nulla si ha E=e IP I)
Pμ = <IPl,p).
[6.26]
Questo è un quadrivettore di tipo luce, giacché la relazione di mass shell è in questo
caso P μP
μ
=O.
6.4. Il tensore del momento angolare
La generalizzazione relativistica del momento angolare orbitale L = r X p è il ten­
sore anti simmetrico
[6.27]
che chiameremo tensore del momento angola re . Delle sei componenti di Lμ v, tre - quelle
con indici spaziali - coincidono con le componenti di L. Si ha infatti
[6.28]
o, in sintesi,
[6.29]
Le altre tre componenti ,
[6.30]
non sono identificabili con una variabile dinamica ordinaria. Si usa introdurre la
grandezza vettori ale
.
LiO
G'=-,
c
che, in virtù della [6.30], è data da
E
G=2x -pt=myx - p t.
e
[6.3 1]
[6.32]
Il significato fi sico della grandezza G, che viene talvolta chiamata moto del centro di
massa (o del centro di energia), sarà chiarito nel prossimo paragrafo.
L'in terpretazione di Lμv come momento angolare, che per ora si regge solo sulle re­
lazioni [6.28], sarà pienamente giustificata in seguito (§ 6.9 .5), quando vedremo che il
tensore lμv è la grandezza che si conserva in seguito ali' invarianza per trasformazioni
di Lorentz (in particolare , le l; sono le costanti del moto legate all'invarianza rotazio­
nale, mentre le G
;
sono le costanti del moto legate all'invarianza rispetto ai boost) .

220
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
6.5 . Moto del centro di massa
Dato un sistema di particelle di massa m a ,
coordinate x0, velocità V a ed energia Em
si può definire, in analogia col caso newtoniano, il vettore posizione del centro di massa
(o del centro di energia)
[6.33]
che si riduce alla corrispondente quantità non relativistica nel limite e�oo, cioè per
y � 1. La velocità del centro di massa è
VcM =
Lamay(va)V0
La ma y(va)
Introduciamo ora (vedi [6.32])
1
Gtot =LGa = zLEaXa- tLPa·
e
a
a
a
Poiché, per la [6.33), L a E ax a = E101x cM • la [6.35] può scriversi come
G
E10 1
tot = -2-X cM - tPtot•
e
da cui, dividendo per E10/c2 ,
cioè
[6.34)
[6.35]
[6.36)
[6.37)
[6.38)
Si vede così che la grandezza G101 è legata al moto del centro di massa. In particolare,
la conservazione delle tre quantitàp 101, E101 e G101 comporta che tale moto sia uniforme.
Torneremo sulla conservazione del centro di massa come conseguenza dell'inva­
rianza per boost nel § 6.8.3 .

6. 6 I Le equazioni del moto in forma covariante
221
6.6 . Le equazioni del moto in forma covariante
6. 6 . 1. Particella libera
Consideriamo una particella libera di massa diversa da zero . Le equazioni cova­
rianti del moto possono essere fac ilmente indovinate a partire dalla loro fo rma non
covariante [4. 14] e dall 'es pressione [6.20] del quadrimomento. Esse sono
dpμ
ds=O, con PμP
μ
= m2c2.
[6.39]
Si verifica immediatamente che le [6.39] sono equivalenti a (si ricordi che ds = e dtl y)
dp
=O
dt
e
dE
=O
dt
.
[6.40]
L'equazione per E non è indipendente da quella per p, a causa della relazione P μP
μ
=
= m2c2chelegaEap.
Scritta in termini della quadrivelocità u μ , la [6.39] è
duμ
mc
ds=O, con uμu
μ
=l,
ossia, ip virtù della [6. 1 O] ,
d
dt(myv) =O e
dy
=O
dt
.
[6.4l]
[6.42]
Sostituendo u μ = dxμ/ds nella [6.41], si ottiene un'u lteriore fo rma dell'equazione
del moto di una particella libera,
d2xμ
ds2
=O, con ds2 =dxμ dx
μ
,
[6.43]
che corri sponde ali'espressione non covariante
d2x
dt2
=O.
[6.44]
La [6.43] mostra che la linea d' universo di una particella libera è una retta nello spazio
di Minkowski.
I vincoli sul quadrimomento, P μP
μ
= m 2c2, sulla quadrivelocità, uμu
μ
= 1,o sulla
linea d' universo, ds2 = dxμ/dx
μ
, fanno sì che solo tre delle quattro componenti delle
equazioni covarianti del moto siano indipendenti (queste componenti si riducono alle
equazioni non covarianti del moto). L' esistenza di vincoli rappresenta un aspetto de­
licato della meccanica analitica relativistica, sul quale avremo modo di tornare nel
§ 6.7 . Notiamo fin d'ora che le condizioni su u μ e p μ hanno una diversa origine: mentre
u 2 = 1 è conseguenza della scelta del cammino proprio s come parametro per la linea
di uni verso della particella (ed è dunque una condizione che può essere aggirata), la

222
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
relazione p 2 = m 2c 2 (il mass shell) è un vincolo ineliminabile che istituisce un legame
fi sicamente significativo tra energia, momento e massa.
Nel caso di una particella di massa nulla, l'equazione covariante del moto è simile
alla [6.43) o alla [6.39), salvo il fatto che la linea d'universo è fu nzione di un parame­
tro scalareçdiversoda s, e ds2 = dxμdx
μ
= O. Si ha quindi
d2xμ
dç2
=O, con
[6.45)
o, in termini del quadrimomento,
[6.46]
Le [6.45, 6.46 ) verranno derivate dal principio di azione stazionaria nel § 6. 10.2.
6. 6. 2. La quadriforza
Se una particella è soggetta a interazioni, la derivata rispetto a s del suo quadrimo­
mento p μ non è più nulla. Avremo in generale
dpμ
=cg;μ
ds
'
[6.47)
dove cg;μ è un quadrivettore detto quadrifo rza . La [6.47) prende il nome di equazione
(covariante) di Minkowski. In termini della quadri velocità, essa ha la fo rma
duμ
mc
ds='!J'μ.
[6.48]
Per capire la struttura di '!i'μ , vediamo esplicitamente quali sono le componenti di
dpμ/ds. Usandopμ = (E/c,p) eds = cdtly, si trova
dpμ
=
(_r_dE J:
::
dp)
[6.49)
ds
c2dt'edt'
dove y(v) è fu nzione della velocità v della particella. L'equazione di Minkowski in
fo rma non covariante [4. 14),
dp
=F
dt
,
e la legge [4.47) della potenza,
dE
- =F·v
dt
,
permettono di scrivere la quadriforza come
'!J'μ=(ZiF·v,�F).
[6.50)
[6.5 1)
[6.52)
/

6. 6 I Le equazioni del moto in forma covariante
223
La peculiare dipendenza di ?i' μ dalla velocità della particella è una delle novità della
meccanica relati vistica. È facile mostrare in via del tutto generale che, valendo la
[6.47], almeno una delle componenti di ?i'μ deve dipendere dalla velocità. Dalla [6. 16]
si ricava
[6.53]
La quadriforza è quindi sempre ortogonale alla quadrivelocità. Scrivendo ?i' μ come
(?1'0, ?i
i
), la [6.53] implica
?foo
=
?}i.V
.
e
[6.54]
Da qui si vede che la componente temporale della quadrifo rza e/o le componenti spa­
ziali devono necessariamente dipendere da v. Ad esempio, se la fo rza F che agisce su
una particella è indipendente dalla velocità, allora ?i
i
= yF/c dipende da v attraverso
il fattore lorentziano y(v) (e ovviamente anche ?F 0 = yF · v!c 2 dipende dalla velocità).
La più semplice dipendenza di ?i' μ da u μ è di tipo lineare ,
[6.55]
dover v è una fu nzione tensoriale delle coordinate. Poiché, in virtù della [6.53], si ha
rv(x) u
v
U
μ
=O,
[6.56]
fμ v deve essere un tensore antisimmetrico:
[6.57]
Una reali zzazione fi sica della [6.55] è la quadriforza cui è soggetta una particella ca­
rica in un campo elettromagnetico (la quadriforza di Lorentz). ?i' μ è, in questo caso,
?i'μ=
!!_Fμv(x)u
v
,
e
[6.58]
dove e è la carica della particella e Fμ v(x) è un tensore antisi mmetrico le cui compo­
nenti sono il campo elettrico E e il campo magnetico B (vedi § 9.2).
Non esiste invece una quadrifo rza di gravità. I vari tentativi di incorporare la gravi­
tazione nella relati vità speciale, come interazione nello spazio-tempo piatto di Min­
kowski, hanno prodotto teorie che non sono in accordo con i dati osservativi e speri­
mentali. Come vedremo nel capitolo 11, la gravità è infatti una manifestazione della
curvatura dello spazio-tempo.
A partire da ?i' μ possiamo definire il momento relativistico della fo rza come
[6.59]
Ricordando l'espressione del momento angolare u v = xμp v - x vp μ e usando la [6.47],
si ottengono le equazioni del moto per U' v,
dLμv
= Nμv
ds
·
[6.60]

224
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
Per l'antisimmetria di Nμ v , le [6.60] sono in tutto sei equazioni, tre per Letre per G.
Se il momento della fo rza è nullo, il momento angolare si conserva,
Nμv = O � Lμv = costante.
[6.61]
6.7 . L'azione relativistica di una particella
In questo paragrafo e in quelli che seguono ci proponiamo di costruire la meccani­
ca analitica dei sistemi dinamici relativistici (per alcuni richiami di meccanica anali­
tica classica si veda lAppendice E). Studieremo in dettaglio il caso di una particella
singola. La trattazione dei sistemi di più particelle interagenti presenta alcune difficoltà
teoriche e verrà svolta brevemente nel § 6. 10.3.
La dinamica di una particella è descritta da un'az ione S , che, per il principio di re­
latività, deve essere uno scalare di Lorentz. Ciò garantisce che le equazioni del moto,
che si ottengono attraverso il principio variazionale
8S =O,
[6.62]
abb iano la stessa fo rma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. In generale, S consta
di due termini,
[6.63]
Il primo, S 0, è l'azione di particella libera; il secondo, S i "'' contiene le interazioni della
particella con campi esterni. 1
Per derivare (euristicamente) l'azione di parti cella libera S0, cominceremo con
l'imporre che essa sia invariante. Lo scalare più semplice a nostra disposizione è I' ele­
mento lineare ds. Ipotizziamo quindi per S 0 la fo rma
S0= aJds,
[6.64]
dove a è una costante da determinare . Usando ds =edt\/i - v 2 /c 2
,
dove v è la velo­
cità della particella, la [6.64] si può riscrivere come
S0=acJJ1-��dt.
[6.65]
Richiederemo ora che nel limite v << e la [6.65] si riduca all'azione non relativistica
di una particella libera (a meno di un'eventuale costante additiva)
sNR
= Jlmv2dt
o
2
,
[6.66]
1 Nel caso dell'interazione di una particella con un campo gravilazionale - che, come abbiamo già ri­
cordato, non può essere descritta dalla relati vità speciale -, l'azione non ha la struttura [6.63], ma si ottiene
modificando opportunamente S0 (vedi § 1 1.7).

6. 7 I L'azione relativistica di una particella
225
in modo che le equazioni del moto newtoniane emergano come caso limite (per e � oo )
delle equazioni relati vistiche che si ricavano dalla [6.65). Sviluppando la [6.65) in
serie di potenze di vie e trascurando termini di ordine v 4/c4 , si ottiene
[6.67)
Confrontando questo ri sultato con la [6.66), si vede che lazione relativistica si riduce
nel limite e�oo a quella non relativistica, a meno di un termine costante che non ha
alcun effetto sulle equazioni del moto, se
a=-mc.
Con questa scelta la [6.64) diventa
S0= -mcJds.
[6.68)
[6.69)
Questa è l'azione relati vistica di una particella libera (di massa diversa da zero).2
Riassumendo, per ricavare S 0 abbiamo usato : 1) il principio di relatività, che implica
che l'azione debba essere uno scalare di Lorentz ; 11) un criterio di semplicità, che ci
ha indotti a ignorare invarianti più complicati di ds. In ultima analisi, però , la validità
dell' espressione [6.69) si fo nda sull' evidenza empirica a sostegno delle equazioni del
moto conseguenti .
Le equazioni del moto covarianti di una particella libera si ottengono applicando il
principio di azione stazionaria alla [6.69). Imponiamo quindi che la variazione di S 0
sia nulla,
B
8J ds =O,
[6.70)
A
dove A e B sono due eventi, e abb iamo omesso il fa ttore mc. Le variazioni delle coor­
dinate vanno intese a s fi ssato e sono tali da annullarsi agli estremi,
8x� = 8x� =O.
Nella [6.70) bisogna vari are il differenziale ds = (dxμ dx
μ
)112• Sihadunque
B
B
dμ
O=8J (dxμ dx
μ
)112 =J:s
d8xμ
,
A
A
dove abbiamo fatto uso di 8dxμ = d 8x μ . Integrando per parti si trova
B
[uμ 8x
μ
]�-Jduμ8x
μ
=O,
A
2 Per il caso di particelle di massa nulla si veda il § 6. 10.2.
[6.7 1)
[6.72)
[6.73)

226
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
Il primo termine è nullo in virtù delle [6.7 1]. Rimane dunque
[6.74]
Data l'arbitrarietà e l'indipendenza delle ox μ , affi nché l'in tegrale sia zero deve aversi
duμ
ds =O,
o, equivalentemente,
d2xμ
ds2
=O.
[6.75]
[6.76]
Ritroviamo così le equazioni di Minkowski covarianti di una particella libera che
avevamo introdotto nel § 6.6 .
L'azione [6.69] ha un importante significato geometrico. Essa è proporzionale alla
lunghezza della linea d'universo della particella tra A e B , e il principio d'azione
[6.70] può quindi essere riletto come una condizione di estremo su tale lunghezza. In
particolare, nel caso di separazioni ds di tipo tempo come quelle che stiamo conside­
rando, la [6.70] fornisce la curva di lunghezza massima congiungente A e B. Una
curva di questo tipo viene detta geodetica . Le particelle libere, dunque, si muovono
lungo geodetiche, e l'equazione [6.76] mostra che nello spazio di Minkowski le geo­
detiche sono linee rette .
Mentre nello spazio euclideo tridimensionale una retta corri sponde al cammino di lunghezza
minima tra due punti, nello spazio di Minkowski una retta corri sponde alla sepa razione massi­
ma tra due eventi (cioè è la linea d'universo di lunghezza massima che congi unge i due eventi).
Per convincersene, si consideri il di agramma di Minkowski di fi gura 6. 1 . Con un' opportu na
scelta del si stema di riferimento, possiamo sempre fare in modo che due eventi A e B, separati
da un intervallo di tipo tempo, coincidano l'uno con l'origine degli assi, l'altro con un punto
sull' asse et. Le linee d'universo I e 2 tra gli eventi A e B sono, rispettivamente, il segmento
et
B
2
A
e
X
Figura 6.1
Due linee d' universo congi ungenti A e B. La linea l è il segmento
AB (la geodetica). La linea 2 è la spezzata ACB.

6. 8 I Meccanica analitica non covariante
227
AB e la spez zata ACB (costituita dai segmenti AC e CB ). La 1 è la geodetica tra A e B. La sua
lunghezza è (IA =O, xA = 0)
La lunghezza della linea d' universo 2 è invece
si2J = s�
2
t+sh2J=Vc2t�- X�+Vc2(t8 - td-xr
Scrivendo si� come
si�= etc+ c(tB- te),
si vede che è
[6.77]
[6.78]
[6.79]
[6.80]
In generale, la lunghezza di una qualunque linea d' universo tra A e B è minore della lunghezza
si� del segmento di retta che congiunge A e B. Espresso in termini del tempo proprio dr= ds/c,
questo ri sultato non è nient' altro che il contenuto del «paradosso» degli orologi (§ 3.8.3).
6.8. Meccanica analitica non covariante
In analogia con la meccanica analitica classica, possiamo introdurre, a partire dal­
)' azione S di una particella, una Lagrangiana L(x, v) , attraverso
S=JL(x,v)dt.
[6.81]
Va subito notato che mentre S è invariante, la sua scomposizione in Ldt non lo è.In se­
guito a una trasformazione di Lorentz, l'intervallo infinitesimo di tempo dt cambia, e
deve cambiare pure, in maniera corri spondente, L, in modo tale che il prodotto Ldt
rimanga immutato . La Lagrangiana nella [6.8 1], quindi, non è uno scalare di Lorentz, e
la meccanica analitica che ne deri va non è manifestamente covariante . Ciò non signifi­
ca che essa violi il principio di relatività: l'azione di partenza è stata costruita in modo
tale da soddisfare tale principio, e dunque le equazioni di Eulero-Lagrange che si ot­
tengono dalla [6.8 1],
òL__i_
òL
=O
òx dtav
'
[6.82]
hanno la stessa fo rma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Il punto, però, è che
non avremo a che fare con scalari, quadrivettori e quadritensori , ossia con quantità di
cui sono note a priori le leggi di trasformazione.
Il momento canonico P è definito come la derivata della Lagrangiana rispetto alla
velocità (vedi Appendice E, [E. 14]),
[6.83]

228
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
L' Ha miltoniana della particella è
H=P·v-L,
[6.84]
ed è fu nzione delle variabili canoniche x e P.
6. 8. 1. Particella libera
Dall' azione di particella libera S 0 scritta come
[6.85]
si estrae
L0= -mc2
R,
[6.86]
che è la Lagrangiana relativistica di una particella libera in fo rma non covariante . Da
essa possiamo derivare le quantità canoniche e lequazione del moto per una particella
libera, che abbiamo già incontrato nel capitolo 4.
Il momento canonico P di una particella libera coincide con quello cinetico p
(vedi [4. 13]),
p=
ÒL0
= __m
_
v__=p.
òv
p;
Sostituendo la [6.87] nella [6.84] si trova l'energia della particella
mv2
r:-7 mc2
E=p ·v-L0 = p;
2
+mc\;1-7
=
H2
•
1--
l--
c2
c2
[6.87]
[6.88]
Per ottenere l'Hamiltoniana in fo rma canonica, cioè come fu nzione di p, combiniamo
i quadrati della [6.88] e della [6.87]:
H2
-
2-p2=
c
edaqui
L'equazione di Eulero-Lagrange [6.82], nel caso di particella libera, si riduce a
� òL0
=O
dt òv
,
[6.89]
[6.90]
[6.9 1]

6. 8 I Meccanica analitica non covariante
229
ovvero, in fo rma esplicita,
d
dt (myv) =O.
(6.92]
Ritroviamo così l'equazione di Minkowski (6.42].
6. 8. 2 . Particella interagente
Una particella interagente è descritta da una Lagrangiana del tipo
L =Lo + L;n1·
(6.93]
Se L è ottenuta da un' azione scalare S attraverso S = J L d t, le equazioni del moto che
ne derivano hanno la stessa fo rma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Un esem­
pio è la Lagrangiana di una particella carica in un campo elettromagnetico (§ 8.9),
Re
L=L +L0
m
=-m c2
-
-e
<p+- v·A,
o
in1
c
(6.94]
dove <p e A sono i potenziali elettromagnetici. Come vedremo nel § 9 .1, l'azione da
cui si ricava la (6.94] è invariante, e ciò garantisce che le corrispondenti equazioni di
Eulero-Lagrange obbedi scano al principio di relatività.
Può capitare talvolta di descrivere la dinamica di una particella mediante una La­
grangiana che non deriva da un' azione invariante. Le equazioni del moto che si rica­
vano da una Lagrangiana di questo tipo si intendono valide solo in un particolare si­
stema di riferimento. Citiamo, a titolo d'esempio,
Ra
L=L0 -V(r) = -mc2
-
-
-,
r
che governa il moto kepleriano in relatività speciale (§ 4. 14. 1).
6. 8 . 3 . Simmetrie e leggi di conservazione
(6.95]
Consideriamo una generica trasformazione infinitesima delle coordinate e del tempo :
{t' =t+8t
x'(t') =x(t)+8'x(t).
(6.96]
Abbiamo indicato con 8 ' x(t) la variazione totale di x(t), che ingloba la trasformazio­
ne del tempo . È conveniente introdurre anche la variazione informa 8x ( t), definita da
x'(t)=x(t)+8x(t).
(6.97]
Al primo ordine in 8t si ha
x'(t') =x'(t+8t)=x'(t)+v'8t=x'(t)+v8t,
(6.98]

230
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
dove nell'ultimo passaggio si è tenuto conto del fatto che v' 8t e v8t differi scono per
un infinitesimo del secondo ordine. Inserendo la [6.97] nella [6.98], si trova
x'(t' ) =x(t) + 8x (t) + v8t,
(6.99]
da cui
8'x(t) = 8x(t) + v8t.
[6. 100]
Formalmente, la relazione tra la variazione totale 8' e la variazione in forma 8 è
d
8' =8+ s:t_
ud(
[6. 101]
Supponiamo ora che, rispetto alla trasformazione [6.96], l'azione S di una particella
rimanga invariata,
8'S=O.
Si dice allora che la [6.96] è una simmetria (o invarianza) del sistema.3
Al primo ordine, la variazione dell' azione è
[6. 102]
[6. 103]
Usando la [6. 101], !'integrando del primo termine si riscrive come (il punto sopra­
scritto indica derivazione rispetto al tempo)
ÒLIÒLIòL
ÒL
ÒL
.
òL
-
· 8x+- · 8v+-8t=- · (8x+v8t)+- · (8v+v8t)+-8t=
òx
òv
òt
òx
òv
òt
òL
òL
(ÒL
òL.òL)
òL
òL
dL
=-·8x+-·8v+-·v+-·v+-8t=-·8x+-·8v+-8t,
òx
òv
òx
òv
Òt
òx
òv
dt
[6. 104]
e la 8'S assume quindi la forma
Poiché (si ricordi che 8 rappresenta una vari azione a t fi ssato)
si ha
8v=8
dx
=
d8x
dt dt
,
[6. 105]
[6. 106]
òL.8x+
òL.8v
=
òL.8x+
òL.d8x
=
(ÒL_�ÒL).8x+
�(ÒL.8x)
.
[6. 107]
òx
òv
òx
òv dt
òx dtòv
dt òv
3 In realtà, si ha una simmetria anche se l'azione cambia per un termine di bordo. Non considereremo
però questo caso.

6. 8 I Meccanica analitica non covariante
Usando
d8t
8dt=dt'- dt=d8t=dtdt,
gli altri termi ni nella [6. 105] danno
IdlII
dl
I dot
Id.
dt8tdt+ L8dt= dt8tdt+ Ldtdt= dr(l&)dt.
Mettendo assieme la [6. 107] e la [6. 109] si trova
I
I[(dl d dl)
d (dl
)]
8S=
-
--
-
· 8x+- -· 8x+l 8t dt.
dx dtdv
dt dv
La condizione di invarianza 8'S =Oimplica
(dl d dl)
d (dl
)
---
-
· 8x+-
-
· 8x+l8t =O.
dx dtdv
dt dv
231
[6. 108]
[6. 109]
[6. 110]
[6.111]
Se usiamo le equazioni del moto, il primo termine si annulla, e dalla [6.111] segue
d (dl
)
-
- · 8x+l8t =O.
dt dv
[6. 112]
Nell'ipotesi che 8t e 8x dipendano linearmente da n parametri infinitesimi of ( a = 1,
2, ..., n), come avviene per molte simmetrie continue dei sistemi fi sici, avremo
[6.113]
(/
(/
dove Da te Dax sono coefficienti fi niti. Inserendo le [6.113] nella [6. 112], questa di­
venta
d(dl-
-
)
2:drav·Dax+L8at w"=O,
a
da cui, data l'indipendenza delle w" ,
d(dL-
-
)
drav·Dax+L8at =O.
Le quantità
dL-
-
la=
dv
·8a x+L8a t
[6. 114]
[6. 115]
[6. 116]
sono quindi costanti del moto. Il ri sultato che abbiamo appena dimostrato è noto
come teorema di No ether.4 Questo teorema mette in corri spondenza simmetrie e leggi
di conservazione. Come si è visto, esso stabilisce che un sistema invariante ri spetto a
un gruppo continuo di trasformazioni a n parametri possiede n costanti del moto della
forma [6. 116].
4 Siveda, ad esempio, E.L . Hill, in «Rev. Mod. Phys.», 23, 1951,p. 253.

232
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
Si constata immediatamente che l'azione di particella libera S 0 è invariante rispet­
to a traslazioni spaziali, a traslazioni temporali, a rotazioni e a boost. Vediamo ora,
applicando la [6. 1 16), quali sono gli integrali del moto derivanti da queste simmetrie.
In va rianza p er traslazioni spaziali
Una traslazione sp aziale infinitesima è
x'(t)=x(t)+e, ox(t)=e,
dove e è un vettore costante infinitesimo. Dalla [6. 1 12) si ottiene
�(ÒLo
· e)=O
dt òv
,
[6.1 17]
[6. 118]
e quindi la costante del moto associata all'invarianza traslazionale è il momento
ÒL0
mv
p=av
=
Hz·
l--
c2
In va rianza p er traslazioni temporali
Consideriamo ora una traslazione temporale infinitesima
t' =t+e, 8t=e,
[6. 119]
[6. 120)
con e costante . La legge oraria espressa nelle variabili trasformate è uguale a quella
scritta nelle vecchie vari abili,
x'( t')=x(t) .
Usando la [6. 100), si trova la variazione in fo rma
OX(t)=01X(t)-eV= - eV.
La [6. 112) dà, in questo caso,
d( òL0
)d
dt-av
·v+Lo =
dt (-p ·v+L0)=0.
[6. 121)
[6. 122)
[6. 123)
La costante del moto associata ali ' invarianza per tras lazioni temporali è dunque l'e­
nergia della particella
mc2
E=p ·v-Lo =
Hz
.
1-­
c2
In va rianza per ro tazioni
L'invarianza ri spetto a una rotazione infinitesima
x'(t)=x(t)+COXx(t), 8x(t)=COXx(t),
[6. 124]
[6. 125 )

6.9 I Meccanica analitica covariante
implica
d [èJL0
]d[(èJL0)]d
-
- ·(e»Xx)=-
xX-
·C»
= -[(xXp)·e»]=0
dt dV
dt
dV
dt
'
cioè la conservazione del momento angolare
L=x Xp.
In va rianza p er boost
233
[6. 1 26]
[6. 127]
Usando la [2.68] e la [2.66] si trova che le trasformazioni delle coordinate e del
tempo corri spondenti a un boost infi nitesimo di velocità V (con Vie << 1) sono
x'( t') =x(t) - Vt,
V·x
t'=t--2-,
e
V·x
8t = --2-
c
Per mezzo della [6. 100] si ottiene la variazione in forma della legge oraria,
V·x
8x(t)=8'x(t)-v8t= - V+-2-v.
e
La [6. 112 ] dà in questo caso
[6. 1 28]
[6. 129]
[6. 1 30]
d[dLo(
V·x )
V·x] d{[ 1 ]}
-
-
·
-Vt+--v
-L
--
=-
-
pt+-(p ·v-L)x ·V =O
dt èJv
c2
0
c2
dt
c2
0
'
[6.131]
e l'invarianza per boost implica quindi la conservazione della grandezza
I
E
G=- pt+--z(p ·v-L0)x= - pt+--zx,
e
e
[6. 132]
che è il moto de l centro di massa che abbiamo incontrato nel § 6.4.
6.9. Meccanica analitica covariante
6. 9. 1 . Fo rmalismo lagrangiano
Nell'elaborare una meccanica lagrangiana e hamiltoniana covariante ci si imbatte
(a partire già dal caso più semplice, quello di particella libera) in alcune delicate que­
stioni teoriche che non hanno controparte nel caso non relativistico. Queste sotti ­
gliezze traggono origine dall 'esistenza dei vincoli di cui si è parlato nel § 6.6.
Ingenuamente, saremmo portati a scrivere l'azione relativistica di una particella
nella forma
S=JL(x(s), u(s), s)ds,
[6. 133]

234
Formulazione covariante della dinamica I Cap . 6
dove la «Lagrangiana» L(x(s), u(s), s) è una fu nzione scalare delle coordinate xμ (s),
della quadri velocità u1'(s) e, eventualmente, di s. Il principio di azione stazionaria af­
ferma che S ha un valore estremo in corrispondenza della linea d'universo reale della
particella, cioè
[6. 134)
Da questa condizione, però , non possiamo derivare le equazioni di Eulero-Lagrange
per L, secondo il consueto procedimento della meccanica analitica. Il motivo è che il dif­
ferenziale ds non è indipendente dalle coordinate xμ , ma è legato a queste dalla relazio­
ne ds2 = 8μvdxμdxv
, che si traduce in un vincolo sulla quadri velocità, u μ (s) u
μ
(s)=l.
Nella [6. 134], perciò, occorre vari are , oltre che L, anche ds (come d'altra parte abbia­
mo fatto nel § 6.7), e di conseguenza non è possibile otten ere un'equazione per la La­
grangiana.
Il modo più semplice di aggirare questa difficoltà consiste nello scrivere la linea di
universo della particella in fu nzione di un parametro arbitrario ç. Indichiamo con v μ
la derivata di xμ rispetto a ç
[6. 135)
Si noti che v1' (la «velocità» definita rispetto al parametro ç) è in generale diversa da u μ
(la consueta quadrivelocità, definita rispetto al cammino proprio s). Il quadrato di v μ è
[6. 136]
e, come si vede, non è in generale soggetto a restrizioni.
Scriveremo dunque l'azione nella fo rma
S = J L(x(ç), v(ç), ç) dç,
[6. 1 37)
dove la Lagrangiana L(x(ç), v(ç), ç) è fu nzione delle coordinate xμ (parametrizzate
da ç) , della velocità v μ e di ç. Richiederemo che l' azione sia invariante per rip arame­
trizzazioni
[6. 138)
che valga cioè la condizione
JL(x(ç), v(ç), ç) dç = J L(x(ç'), v(ç'),ç') dç'.
[6. 1 39)
Vedremo più avanti (§ 6.9 .2) le implicazioni di questa invarianza.
Dal principio di azione stazionaria applicato al la [6. 137),
B
8S = 8J L(x(ç), v(ç), ç) dç=O,
[6. 140)
A

6. 9 I Meccanica analitica covariante
235
possiamo ora derivare le equazioni di Eulero-Lagrange per L . Le variazioni infinitesi­
me 8xμ delle coordinate sono a ç fi ssato e nulle agli estremi A e B. La variazione di S
è, al primo ordine,
s:s-f
B
(àL s:μ
àL s:μ) dJ:
u-
àxμ
ux+
àvμ
uv
.,.
A
Usando
si trova
s:s-f
B
(àLs:μ
àL�s: μ)dJ:
u-
àxμ
ux+
àvμ dç ux
.,,
A
e integrando per parti il secondo termine
[6. 141]
[6. 142]
[6. 143]
[6. 144]
La quantità in parentesi quadre è nulla per la condizione posta sulle 8x μ, e il principio
di azione stazionaria implica quindi
8
(àL dàL)�-
f àxμ -�àvμ
�dç =o.
A
Poiché le variazioni delle coordinate sono arbitrarie e indipendenti , si ha
[6. 145]
[6. 146]
Queste sono le equazioni covarianti di Eulero-Lagrange: risolvendole, si ricava la
linea di universo xμ (ç) della parti cella. Il parametro ç può essere scelto a piacimento.
In particolare, se si pone ç = s si ottengono le equazioni del moto nella fo rma [6.47],
come vedremo nelle prossime pagine.
6. 9 . 2 . Fo rma lismo canonico e invarianza p er rip arametrizzazioni
Definiamo il momento canonico covariante Pμ come la derivata della Lagrangiana
rispetto alla velocità v μ,
[6. 147]
L'Ha miltoniana canonica è
[6. 148]

236
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
Mostreremo che, come conseguenza dell'invarianza per riparametrizzazioni, la La­
grangiana è una fu nzione omogenea del primo ordine nella velocità vμ, e l'Hamilto­
niana [6.148] è nulla.
Consideriamo, per cominciare, una generica trasformazione infinitesima di .; e
delle coordinate xμ( .;)
[6. 149]
La variazione in forma delle coordinate, ox μ(.;) =XI μ (.;) - Xμ (.;), è legata alla varia­
zione totale o 'xμ( .;) da (vedi [6. 100])
[6. 1 50]
Procedendo come si è fatto nel § 6.8 .3 per la Lagrangiana non covariante, si trova che
la variazione dell' azione S è, al primo ordine negli infinitesimi,
5:•s_f(1!:_5:
μ
aL5:
μ
dL5:):)J:f 5:J:_
u-
axμ
ux+
avμ
uv+
d.; u.,
,
d.,
,
+ Lud.,
,
-
-
J[(l.!:_-�l.!:_) μ �(l!:_ μ )]
-
axμ d.; avμ
ox+
d
ç avμ
ox +Lo.; d.;.
[6. 151]
Seil sistema è invariante rispetto alle [6. 149], si ha o'S =Oe, data l'arbitrarietà delle
oxμ e di o.;, dalla [6.151] segue
(l.!:_-�l!:_)μ�(l.!:_μ )-
axμ d.; avμ
ox+
d
.; avμ
ox +Lo.; -O.
[6. 1 52]
Imponendo che valgano le equazioni del moto, il primo termine si annulla e si ha quindi
�(aL-;:
μ
5:J:
)-O
d
ç avμ
ux +Lu.,
,
-
.
[6. 153]
Se o.; e oxμ dipendono da n parametri infinitesimi, dalla [6. 153] si ricavano, analoga­
mente a quanto visto nel § 6.8.3, n costanti del moto (il teorema di Noether nella versio­
ne covariante). Nel caso di una riparametrizzazione infi nitesima la situazione è diversa,
perché si ha
[6. 1 54]
dove la E ( .;) è unafunzione arbitraria (e infinitesima). La [6. 153] dà allora (con Oxμ =
= O'xμ-VμO.;= - VμE)
�[(l.!:_μ_ )
J:
J-o
d.; avμ
V
L E(.,
,
)-
,
[6. 155]

6. 9 I Meccanica analitica covariante
237
e l'arbitrarietà della fu nzione t:(ç) implica che la quantità derivata, che è l'Hamilto­
niana canonica, sia identicamente nulla,
[6. 1 56)
Dall ' invarianza per riparametrizzazioni non consegue quindi una legge di conserva­
zione. Ciò è tipico di tutte le simmetrie continue che dipendono da funzioni arbitrarie
(un altro esempio, molto simile a quello che stiamo trattando qui, è l'in varianza di
gauge dell'elettromagnetismo, vedi § l 0. 1 O).
L' annullarsi di Hc è legato all 'esistenza di vincoli. Per far vedere ciò, notiamo che
la [6. 156), riscritta come
_
(JLμ
L-dV
μV,
[6. 157)
mostra che la Lagrangiana è una fu nzione omogenea del primo ordine nella velocità
vμ, cioè
L(av) = aL(v).
[6. 158)
Il momento Pμ, che è la derivata di L rispetto a vμ, è di conseguenza una funzione
omogenea di grado zero nella velocità. Pertanto non è possibile invertire la [6. 147) e
ottenere v μ in fu nzione di xμ e Pμ . Da un punto di vista matematico, ciò significa che
l'Hessiano della [6. 147) è nullo (vedi Appendice E)
det{ a::�vJ= o .
[6. 1 59)
In casi come questo si dice che la Lagrangiana è singola re .
Le Lagrangiane singolari segnalano la presenza di vincoli, cioè di condizioni re­
strittive sulle variabili canoniche, che discendono dalla forma stessa della Lagrangiana.
La particella relativistica è dunque un sistema vincolato. A differenza di quanto suc­
cede nella meccanica newtoniana, ciò è vero già nel caso libero. In generale, quindi,
esiste una condizione della fo rma
</J(x,P)=O,
[6. 160)
dove il simbolo di «uguaglianza debole» = significa che la funzione </J può avere pa­
rentesi di Poi sson non nulle con le variabili canoniche (la definizione delle parentesi
di Poisson covarianti è fornita nella scheda 6. l ). Per una particella libera, la [6. 160] è,
come vedremo, la condizione di mass shell (e coinvolge solo il momento).
La trattazione dettagliata dei sistemi hamiltoniani vincolati presenta notevoli com­
plicazioni fo rmali e richiede l'uso di una tecnica inventata negli anni cinquanta da
Dirac . 5 Alla base della teoria di Dirac c'è l'idea di introdurre un'Hamiltoniana effi ­
cace, diversa da quella canonica, in modo da preservare la struttura canonica delle
5 P.A.M.Dirac, in «Canad.J.Math.», 2, 1950,p. 129;ivi,3, 1951,p. I.

238
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
equazioni del moto e delle parentesi di Poisson. Nel caso specifico di una particella
rel ativistica, soggetta al vincolo [6. 160], I'Hamiltoniana efficace ha la fo rma
H = f(/;,) l/>(x, P),
[6. 161]
dovef(/;,) è una fu nzione arbitraria. La H così definita genera le equazioni canoniche
del moto, cioè
dxμ òH dPμ
di;, òPμ
'
df
[6. 162]
Usando queste equazioni, la fu nzione f(/;,) può essere scritta in termini delle variabili
dinamiche. Illustreremo questa procedura nel prossimo paragrafo, studiando la parti­
cella libera.
Per approfondimenti sui sistemi vincolati rinviamo alle lezioni di A. Hanson,
T. Regge e C. Teitelboim, Constrained Hamiltonian Systems, Accademia Nazionale
dei Lincei, Roma 1976.
Scheda 6.1 Pare ntesi di Poisson covarianti
Le parentesi di Poisson covarianti di due fu nzioni F e G delle coordi nate x μ e dei momenti ca­
nonici P μ a ç uguale sono definite come
Le parentesi di Poisson canoniche sono
{xμ(ç), P v@) =gμ v,
{xμ(ç),x v(ç)} = O,
{Pμ(ç),Pv(ç))=O.
Le equazioni del moto [6. 1 62] possono essere riscri tte come
6. 9 .3 . Particella libera
dxμ
dPμ
{j'f=(xμ,H), df
= (Pμ,H).
[6. 163]
[6. 164]
[6. 165]
[6. 166]
[6. 167]
Applichiamo le considerazioni fi n qui svolte al caso del sistema dinamico più sem­
plice: la particella libera.
Scrivendo l'elemento di cammino proprio ds nella fo rma
l'azione di particella libera [6.69] diventa
S0= - mcJ(vμvμ)112dl;,.
[6. 168]
[6. 169]

6. 9 I Meccanica analitica covariante
239
Da qui estraiamo la Lagrangiana covariante
[6. 170)
il cui segno (che non influisce sulle equazioni del moto) è stato scelto in modo da ri­
produrre la consueta relazi one tra quadrimomento e quadrivelocità. L'azione [ 6. 169),
come è facile verificare, è invariante per riparametri zzazioni ç � ç 1 (ç).
Il momento della particella è
μ
_
CJL0 _ mcvμ
p
-
dV
μ
-
(v2)
112'
e usando
troviamo
[6.171)
[6. 172)
[6. 173)
che è il quadri momento introdotto nel § 6.3. Le equazioni di Eulero-Lagrange,
sono, esplicitamente,
d[mcvμ]
�(v2)112 =O,
cioè, usando come parametro il cammino proprio,
duμ
mc
ds=O, con u
μ
uμ=1.
[6. 174)
[6. 175)
[6. 1 76)
Il formalismo canonico fa emergere le peculiarità della particella libera relativistica,
dovute al fatto che la Lagrangiana [6. 1 70) è singolare. Non è infatti possibile invertire
la [6.171) e ottenere la velocità v μ in fu nzione del momento p μ (vedi Problemi). Esiste
dunque un vincolo primario su p μ , che si ricava immediatamente dalla [6. 171],
[6. 177)
e non è nient' altro che la relazione di mass shell,
[6. 178)

240
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
Come spiegato nel paragrafo precedente, l'Hamiltoniana canonica è nulla:
[6. l 79]
Introduciamo quindi I'Hamiltoniana efficace
[6. 1 80]
dove il fattore 1/2 è puramente convenzionale. La fu nzionef( ç) viene scelta in modo
che valgano le equazioni canoniche del moto
La prima di queste equazioni dà la [6. 175],
dpμ
df =O.
La seconda fo rnisce una relazione per f( ç),
da cui
[6.181]
[6. 1 82]
[6. 183]
[6. 1 84]
Sostituendo questo risultato nella [6. 1 80] si ottiene l'espressione esplicita dell'Ha­
miltoniana efficace di particella libera:
(v
2
) 112
H=--(p
2
-
m
2
c
2
).
2mc
6. 9.4 . Particella interagente
[6. l 85]
La Lagrangiana L di una particella interagente è composta di due termini: un termine
libe ro L0 e un termine di interazione L i ni•
L=Lo+Lini·
[6. 1 86]
Se non dipende esplicitamente da .;, L i n i è, come L 0, una fu nzione omogenea del primo
ordine nella velocità.
Le equazioni di Eulero-Lagrange per la [6. 1 86] sono
[6. l 87]

6. 9 I Meccanica analitica covariante
Riscrivendole nella fo rma
_i_dLo
=
�(dLin• _ _j_dLin• )
ds dv
μ
ds dx
μ
dç dv
μ
'
241
[6. 188]
le possiamo confrontare con le equazioni di Minkowski [6.47]. Il primo membro è la
derivata del quadri momento cinetico p μ = mcuμ rispetto al cammino proprio s. Il se­
condo membro è la quadrifo rza ?fμ cui è soggetta la particella,
?}μ=
�(dLinl _
_j_dLinl )
ds dx
μ
dç dv
μ
·
[6. 1 89]
Il lettore è invitato a verificare che la [6. 1 89] è ortogonale alla quadrivelocità u μ .
6. 9. 5. Leggi di conservazione
Nel § 6.9 .2 abbiamo studiato l'in varianza per riparametrizzazioni dell' azione re­
lativistica. Le trasformazioni fi sicamente più significative, però , non comportano
variazioni di ç, ma solo delle coordinate xμ . Supponiamo allora che la Lagrangiana
L (xμ( ç), v μ ( ç), ç) di una particella sia invariante ri spetto alla trasformazione infini­
tesima
Ciò significa che
..,_dL..,
μ
dL..,
μ_O
uL-dxμux+dvμuv -
.
[6. 190]
[6. 191]
Usando le equazioni del moto [6. 146] e 8v μ = d8xμld ç, lavariazione della Lagrangiana
può scriversi come
La condizione di invarianza 8L =Oimplica dunque la legge di conservazione
_i_(�'"'μ)
-
o
dç dvμ
ux-
·
[6. 1 92]
[6. 1 93]
(Avremmo potuto ottenere questo ri sultato direttamente dalla [6. 153] ponendo oç = 0.)
La [6. 193] fornisce gli integrali del moto associati alla simmetria del sistema rispetto
alla trasformazione [6. 1 90] .
La Lagrangiana di particella libera L 0 è invariante rispetto a traslazioni spazio­
temporali e a trasformazioni di Lorentz delle coordinate . Le costanti del moto cor­
rispondenti sono, rispettivamente, il momento p μ e il momento angolare L μ v
.
Una
traslazione spazio-temporale infinitesima è infatti
[6. 194]

242
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
e la quantità conservata, secondo la [6. 193], ri sulta essere appunto
μ_òL0
p-
òvW
Una trasformazione di Lorentz infinitesima della linea d' universo è
x'μ(ç)= xμ(ç)+ w"vxv(ç) con w"v = - w
vμ.
La [6. 193] dà in questo caso
[6. 195]
[6. 196]
[6. 197]
Le w" v non sono tutte indipendenti , a causa della proprietà di anti simmetria w" v
=-w
vμ.
Sfruttando questa proprietà, possiamo riscrivere la [6. 1 97] come
[6. 198]
dove la somma è ora sulle w" v indipendenti. La [6. 198] implica quindi la conservazione
del momento angolare
[6. 1 99]
6.10. Complementi
6. 10.1. Lo sp in
Lo spin è una delle proprietà fo ndamentali delle particelle (assieme alla massa, alla
carica elettrica ecc.) . Esso fu introdotto nel 1926 da Uhlenbeck e Goudsmit per spie­
gare lo sdoppiamento di alcune linee spettrali di atomi soggetti a forti campi magneti­
ci (l' effetto Zeeman anomalo). Secondo l'ipotesi di Uhlenbeck e Goudsmit, l'elettro­
ne possiede un momento angolare intrinseco (cioè non legato al suo moto orbitale) a
(lo sp in) e, corrispondentemente, un momento magnetico μ , legato a G da
e
μ =g-2-(j'
mc
dove g è una quantità adimensiona!e detta rapporto giromagnetica.
[6.200]
Lo spin è quantizzato : ciò significa che la componente di a lungo una qualunque
direzione assume valori discreti . Nel caso specifico dell'elettrone, i valori possibili
sono ±: 1i/2. Quanto a g, la [6.200] permette di riprodurre l'effetto Zeeman anomalo se
siponeg=2.
Una teoria completa dello spin richiede l'uso combinato della relatività e della mec­
canica quanti stica: la prima ne giustifica l'esistenza e descrive certi dettagli della sua
dinamica; la seconda prevede che i suoi valori siano multipli interi o seminteri di h.
L' ambito teorico in cui lo spin si inquadra compiutamente è dunque la meccanica

6. 10 I Complementi
243
quanti stica relati vistica di Dirac . In questo libro ci limiteremo a una trattazione clas­
sica (cioè non quantistica) dello spin.6 In particolare, introdurremo qui il quadrivetto­
re di spin (o di pola rizzazione), e in un paragrafo successivo (§ 9. 11.1) studieremo la
dinamica dello spin in un campo elettromagnetico.
Sia n la direzione lungo la quale il valor medio ( u · n) di u è massimo. Introducia­
mo allora il vettore di spin (o di polarizzazione) s, definito come
s=(U ·n)n.
[6.201]
Un teorema dovuto a Ehrenfest stabilisce che i valori medi delle osservabili quantisti­
che obbediscono a equazioni classiche del moto. È lecito quindi trattare s come una
grandezza classica.
Il vettore s rappresenta lo spin nel si stema di riposo 'J{ R della particella. Definiamo
allora il quadrivettore di spin Sμ in modo tale che esso si riduca a sw =(O, s) in 'J{ R·
Perché ciò avvenga è suffi ciente imporre che Sμ sia ortogonale alla quadrivelocità
u μ = (y, yv/c) della particella,
[6.202]
In 'J{R si ha v * =Oe quindi S * 0 =O, come richiesto . In un sistema di riferimento gene­
rico ':/{ , la [6.202] implica che tra la componente temporale e le componenti spaziali di
sμ vi sia la relazione
[6.203]
Per esprimere il quadri vettore di spin S μ in fu nzione di s, scriviamo la trasformazione
di Lorentz che lega S * μ = (0, s) aSμ = (S0 , S). Le relazioni sono le [5.143, 5.146], cioè
s0=y{J.s,
y2
S=s+
y+l
(fJ ·s)fJ.
L'espressione generale di S μ è quindi
Sμ = (rfJ ·s,s+
y
:l (fJ ·s)fJ),
e il suo quadrato è
SμSμ = sts*μ = -s2.
[6.204]
[6.205]
[6.206]
[6.207]
In meccanica quantistica, per uno stato puro si ha s 2 = l (in unità di h2 ) e quindi S
μ
Sμ=
= -1.
Nel limite ultrarelativistico y � oo la [6.206] è approssimativamente
Sμ =(yfJ ·s, y(fJ ·s)fJ)= fJ·s
(mcy, mcy fJ).
mc
[6.208]
6 Per una trattazione quantistica dello spin, si veda J. D . Bj orken e S. D. Drcll, Relativistic Quantum
Mechanics, McGraw-Hill, New York 1964.

244
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
Riconoscendo in parentesi le componenti del quadrimomento p μ, e introducendo l'e­
licità Il= f3 · s, che è la proiezione dello spin della particella lungo la direzione del
moto, la (6.208] assume la fo rma particolarmente semplice
Il
Sμ= -pμ
mc
(6.209]
Nel limite di alte velocità, quindi, il quadrivettore di spin è proporzionale al quadri­
momento.
Nel § 6.4 abbiamo visto che il momento angolare orbitale di una particella è dato
dal quadritensore Lμv = xμp v - x vp μ. Se la particella ha spin non nullo, essa possiede
un momento angolare intri nseco, rappresentato da un quadritensore antisimmetrico
Sμv, che si somma a Lμv, cosicché il momento angolare totale è
La relazione tra Sμ e Sμv è
e inversamente,
S__.!_
p
sa
μv-
2E
μvpaU
·
La (6.211] può scriversi anche come
1
sμ = -t:μvpaJ u
2
vp a,
[6.2 10]
(6.211]
(6.2 12]
(6.213]
dato che, a causa della struttura di U V
, sihat:μvpaL
vpUa = O(siricordi chepμ = mcuμ).
Dalla (6.21 1] si verifica immediatamente che uμS
μ
=O.
Nel caso di particelle di massa nulla non si può definire un sistema di riposo: di
conseguenza, il vettore di polarizzazione s è p
.
rivo di significato, così come il quadri­
vettore Sμ (lo si constata direttamente dalla [6.206]). Tuttavia, particelle di massa
nulla possono avere spin diverso da zero. Per descrivere la polarizzazione di particel­
le di massa qualunque (anche nulla) si usa ·il quadrivettore di Pa uli-Lubanski Wμ ,
1
wμ=-t:μvpajp
2
vp a>
che,perm-=!=O,èlegatoaSμda
Wμ = mcSμ.
(6.2 14]
[6.2 15]
Per costruzione, Wμ è ortogonale al quadrimomento : P
μ
Wμ =O.Poichéillimitem�O
comporta y � oo, combinando la (6.215] con la (6.209] si trova
(6.216]
che è il quadri vettore di Pauli-Lubanski per una particella di massa nulla. In questo
caso, I ' elicità Il è un invariante indipendente, senza più alcuna relazione con f3 es.

6. 10 I Complementi
245
6. 10.2 . Lag rangiane alternative di particella Libera
Nel § 6.9 .3 abbiamo scritto la Lagrangiana covariante di una particella libera come
L=mc(vvμ)
112
o
μ
'
[6.217)
dove v μ è la derivata di xμ rispet�o a un arbitrario parametro scal are ç. La [6.217) non è
la sola forma possibile per una Lagrangiana di particella libera; tra l'altro, essa non è ap­
plicabile a particelle di massa nulla. Una Lagrangiana alternativa di particella libera è
[6.218)
dove lo scalare e (ç), detto Einbein, è una vari abile non dinamica (un moltiplicatore
di Lagrange). Non c'è infatti alcun termine cinetico per e (ç), e l'equazione di Eulero­
Lagrange
òL.
=O
òe
'
genera un vincolo sulla velocità,
VμVμ = e2(ç)m2c2.
L' equazione di Eulero-Lagrange per xμ ,
dà invece
[6.2 19)
[6.220)
[6.22 1)
[6.222)
La scelta dell'Einbein e (ç) corri sponde a una scelta del parametro ç (e, formalmente,
è simile alla scelta del gauge nell 'elettromagnetismo). Prendendo e ( ç) = (mc)-
1
,il
cheequivaleafissareç=sevμ=uμ
, la [6.220) realizza il vincolo uμuμ = 1 e la
[6.222) diventa l'equazione del moto di particella libera espressa in termini del cam­
mino proprio:
[6.223)
Nel caso mo/=O, possiamo procedere in maniera diversa. Ricavando e (ç) dalla [6.220)
e sostituendolo nella [6.222), si trova
[6.224)
che è l'equazione del moto nel parametro arbitrario ç.

246
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
Consideriamo ora il caso m =O. La [6.218] si riduce a
L__.!_-!('") μ
e-
2
e
':>VμV ,
[6.225]
che è una Lagrangiana che descrive una particella libera di massa nulla. Le equazioni
di Eulero-Lagrange danno adesso
con
Con la scelta e( ç) = costante, si ottiene
d2xμ
dç2
=ocon
che è appunto l'equazione del moto di una particella libera di massa zero .
Un'altra possibile Lagrangiana di particella libera (di massa non nulla) è
L'equazione del moto che se ne ricava è infatti
cioè
[6.226]
[6.227]
[6.228]
[6.229]
La [6.228] non è invariante rispetto a riparametri zzaziÒni generali, ma solo rispetto a
riparametrizzazioni del tipo
ç'= ç+e,
[6.230]
dove e è un parametro costante. La legge di conservazione associata a questa inva­
rianza in base al teorema di Noether è (vedi Problemi)
dL0 =O
dç
,
e quindi v μ vμ = costante. Scegliendo ç = s e la costante uguale a 1, si ha
uμu
μ
=l.
6. 10 .3 . Sistemi di più particelle
[6.23 1]
[6.232]
Nella meccanica non relativistica la descrizione dei si stemi di più particelle non
presenta, in linea di principio, particolari difficoltà. Ciò è dovuto al fatto che nella
teoria newtoniana le interazioni sono istantanee ed esistono piani di simultaneità as­
soluta. È possibile quindi parametrizzare le leggi orarie delle particelle mediante un
tempo comune (e ricorrere inoltre alla legge di azione e reazione per semplificare il
problema) . In relatività, invece, ogni particella possiede un tempo proprio e le intera­
zioni si propagano a velocità fi nita, cioè sono rita rdate. Questo rende i sistemi relati­
vistici di più particelle alquanto difficili da trattare.

6. IO I Complementi
247
L' azione relativistica di un sistema di N particelle ha la fo rma generale
s= - Lm{/cI(v;)112dça +L LIIvab(x{/' Va; Xb, vb)dçadçb,
[6.233]
a b=!=-a
dove le x� sono le linee di universo delle particelle (con a=1,2, ..., N) e v� = dx�ldça ·
Si noti che abbiamo dovuto introdurre N parametri scalari ç" '
legati ai cammini propri
delle particelle da
[6.234]
Il primo termi ne della [6.233] è la somma delle azioni libere delle particelle. Le Va b
sono i «potenziali di interazione» tra coppie e dipendono sia da ça che da çb · Più avan­
ti e nel § 9. 11. 2 vedremo le loro proprietà in alcuni casi specifici. Gli integrali nella
[6.233] si estendono a porzioni delle linee d'universo comprese tra due ipersuperfici
di tipo spazio.
Dall' azione S si estrae la Lagrangiana parziale per la particella a ,
La = mac(v�)112 - LIvahdçb,
[6.235]
h*a
che, come si vede, non è locale, in quanto contiene degli integrali sui parametri çb ·
L' equazione di Eulero-Lagrange associata alla [6.235] è (espressa in termini dei cam­
mini propri sa e sb)
[6.236]
Equazioni integro-differenziali di questo tipo pongono, in generale, un problema di
valori iniziali piuttosto difficile. Una via d' uscita consiste nel considerare uno sta to
iniziale asintotico, cioè nell'assegnare le posizioni e le velocità delle particelle al
tempo t = - oo, quando le parti celle non interagiscono.
Le leggi di conservazione legate all'invarianza della [6.233] rispetto a traslazioni
spazio-temporali e a trasformazioni di Lorentz hanno la fo rma
L P� + termini non locali = costante,
[6.237]
a
L L�v + termini non locali = costante,
[6.238]
a
dove L�v = x�p� - x�p�, e «costante» vuol dire che le quantità al primo membro assu­
mono lo stesso valore su ipersuperfici parallele di tipo spazio. I termini non locali sono
dovuti alle interazioni tra le particelle e dipendono dalla specifica teoria considerata.
Nel caso, estremamente ri levante, di un processo d' urto , la regione spazio-temporale
in cui ha luogo l'in terazione è, in genere, limitata. Si possono allora prendere due
ipersuperfici di tipo spazio, l'una ( O"i n) nel passato rispetto alla regione d'interazione,

248
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
Figura 6.2
Regione d'interazione e superfici asintotiche in un
processo d' urto.
l'altra ( O"r; n) nel fu turo, tali che su di esse le particelle non interagiscano e i termini
non locali delle [6.237, 6.238] siano quindi assenti (fig. 6.2). Le leggi di conservazione
diventano allora
a
a
�Lμv _�μv
L.Ja,in-.L,;Pa,fin·
a
a
[6.239]
[6.240]
Se il raggio d'interazione è infinito, le superfi ci O";n e O"r;n vanno prese, rispetti vamente,
at= -00et=+oo.
Approfondiamo, come caso particolare di teoria relati vistica di più particelle, quello
in cui le Va h dipendono solo dalle posizioni delle particelle. Si ha allora
dove le quadriforze :!F�b sono
:!F�b(xm xb) = Jf�b(xaCsa),xb(sh))dsb,
con
fμ__ÒVab
ab-
Òx
a·
μ
L'espressione più generale dellef�b è7
f�b = (x� - x!;)gab[(Xa - xb)2].
[6.241]
[6.242]
[6.243]
[6.244]
Poiché le interazioni si propagano a velocità uguali o inferiori a quella della luce,
dobbiamo imporre che le fu nzioni ga b [(xa - xb) 2] siano nulle per (xa - xb) 2 <O. Faremo
ora vedere che la conservazione del quadrimomento totale segue dalla condizione
[6.245]
7 R. M. F . Houtappel, H. Van Dam e E. P . Wigner, in «Rev. Mod. Phys.», 37, 1965, p. 595 (§ 3.2).

Problemi
249
che può essere considerata la versione rel ativistica della legge di azione e reazione
(ed è soddisfatta dalle [6.244]). La [6.245] significa che la quadriforza per unità di
tempo proprio esercitata dalla particella a sulla particella b è uguale e opposta a quel­
la esercitata da b su a. Integrando la [6.24 1] sul cammino proprio e sommando su tutte
le particelle si ha
LJd� (macu�)dsa = L LfJf�h(x0(s0), xb(sb))ds0dsb·
a
a
a b=Fa
Il secondo membro, per la [6.245), è nullo, e quindi, come anticipato,
Lp� =L m"cu� = costante.
a
[6.246]
[6.24 7]
In maniera analoga, si può dimostrare la conservazione del momento angolare totale
LaLfv.
Nel § 9. 1 3.2 studieremo un' i mportante applicazione della teoria generale abboz­
zata qui.
Problemi
I. Quadrifo rz e quadratiche nella velocità
Si consideri no le quadri forze quadratiche nella velocità
�(' =Aμ(x)+Bv(x)uvuμ,
�i=cμvp(X)UVUP.
[6.24 8]
[6.249]
Quali condizioni devono essere soddi sfatte dai quadrivettori A μ e B μ , e dal quadritensore Gμ vp ,
affinché �(' e �i siano ortogonali alla velocità u μ ?
2. Parentesi di Poisson
Calcolare la parentesi di Poisson
dove x μ (s) è la linea d' universo di una particella libera.
3. la particella libera relativistica come sistema vincolato
Verificare direttamente che la Lagrangiana L 0 di una particella libera [6. 1 70] è singolare , cioè
{a2L0 } -
det
avμavv
-
o.
Suggerimento. La deri vata seconda di L 0 rispetto alle velocità è
a2L
mc(
vμvv)
avμa�v
=
(v2)112 gμv
-
--
--;
;z
.
Il determinante di una matrice A μ
v
è
detA = eμvpaAOμA I
v
A2
p
A3
a
·

250
Formulazione covariante della dinamica I Cap. 6
4. In terazione di una particella con un campo scalare
Sia data la Lagrangiana
L= [mc+ <f>(x)](v2)112,
dove <f>(x) è un campo scalare.
•
Scri vere il momento canonico e l'equazione del moto (in fu nzione del cammino proprio s).
Qual è l'espressione della quadriforza che agisce sulla particella?
•
Mostrare che l' energia della parti cella è
E=Yp2c2 +(mc- <f>)2c2.
Risposta . L' equazione del moto è
5. In terazione di una particella con un campo tensoriale
Supponiamo che la dinamica di una particella interagente con un campo ten sori aleJ;, v (x) sia
descritta dalla Lagrangiana
_
[ vμv
v
]2112
L-mc-f
μv(x) (v2)112
(v) ·
Derivare le equazioni del moto.
6. Lagrangiana di Einbein
Si consideri la Lagrangiana di Einbein
che, come abbiamo visto nel § 6. 1 0.2 , descri ve una particella libera di massa m. Si mostri che
l' azione S, = J Ldç è invariante per riparametri zzazioni
se I' Einbein e(ç) si trasforma in maniera inversa ri spetto a dç, cioè come
(dç') - 1
e'(ç') = dI
e(ç), (dç' = ��dç).
7. Un 'altra Lagrangiana di particella libera
Dimostrare che la Lagrangiana di parti cella libera
L'o= mcvμv
μ
è invariante solo rispetto a riparametri zzazioni della fo rma ç' = ç +E, con E costante, e deri va­
re la legge di conservazione corri spondente.

Capitolo 7
Appl icazioni della meccanica relativistica
È nel campo della fi sica nucleare e subnucleare che si incontrano le più importanti
applicazioni della meccanica relativistica. Nei fe nomeni che coinvolgono le particel­
le elementari , infatti, le velocità tipiche sono dell' ordine della velocità della luce e, di
conseguenza, gli effetti relati vistici sono rilevanti .
Nelle pagine che seguono studieremo due classi di processi, gli urti e i decadimen­
ti, grazie ai quali è stata costruita nell' arco di un secolo la nostra conoscenza delle
strutture fo ndamentali del mondo fi sico. Analizzeremo poi alcune reazioni nucleari
(fissione, fu sione, radioattività) che illustrano in modo paradigmatico il fe nomeno
della conversione di massa in energia.
La trattazione sarà di tipo esclusivamente cinematico: dei vari processi ci interes­
serà solo ciò che si può apprendere sulla base della legge di conservazione dell'energia
e del momento , prescindendo dalla natura specifica delle interazioni.
Avvertenza Per semplificare la scrittura delle formule, in questo capitolo porremo
e = 1 (eccetto che nei paragrafi in cui compaiono fo toni e/o relazioni quantistiche:
§§ 7.7, 7.9, 7. 1 3.3, 7. 1 3.5). Così facendo, energia, momento e massa avranno la stessa
unità di misura (nella fi sica delle particelle si usano abitualmente i multipli dell'elet­
tronvolt, il MeV=106 eV, il GeV = 109 eV ecc.). Per ottenere le espressioni nelle unità
di misura ordinarie (quelle del Sistema di Gauss o del Sistema Internazionale) sarà suf­
ficiente inserire delle opportune potenze di c .
7.1 . I processi d'urto
In un processo d'urto due particelle interagiscono in una regione spazio-temporale
limitata, modificando il proprio stato di moto e, eventualmente, anche la propria natu­
ra. Non bisogna necessariamente pensare a un urto tra particelle come a un fe nomeno
di contatto , quale è ad esempio l'urto tra due palle di biliardo . Se lanciamo l'una contro

252
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
l'altra due cariche elettriche dello stesso segno, prima di toccarsi esse deviano dall 'i­
niziale linea di moto andando in direzioni opposte . Pur non essendoci contatto, si trat­
ta ugualmente di un «urto» nell' accezione fi sica del termine (nel linguaggio scientifi­
co italiano si parla anche di «diffusione»; in inglese il termine corrispondente è scat­
tering). L'ipotesi di fo ndo della teoria degli urti è che l'interazione tra le particelle
collidenti avvenga in un intervallo di tempo molto breve e in una regione di spazio
molto piccola (cioè quando le particelle sono prossime l'una al l'altra). Gli stati inizia­
le e finale del processo sono stati asintotici, cioè stati, l'uno a t = - oo, l'altro a t = +
oo, in cui le particelle sono così lontane da non interagire tra di loro (o da interagire in
maniera del tutto trascurabile).
Gli urti tra particelle elementari sono governati da tre delle quattro interazioni fo n­
damentali: l'in terazione elettromagnetica, l'in terazione debole, linterazione fo rte .
La quarta interazione, quella gravitazionale, gioca un ruolo del tutto trascurabile nella
fe nomenologia delle particelle elementari (per due protoni all'interno di un nucleo,
ad esempio, il rapporto tra la fo rza gravitazionale e quella elettrostati ca è dell' ordine
di 10- 3 6 ). Sperimentalmente, lo studio di un processo d'urto avviene nel seguente
modo . Un fa scio di particelle (elettroni, muoni, protoni, antiprotoni ecc.), provenien­
tedaun
·
acceleratore, viene inviato su un bersaglio (negli esperimenti a «bersaglio
fisso»), oppure fatto collidere con un altro fa scio circolante in senso contrario (nei co­
siddetti «anelli di collisione»). Un sistema di rivelatori posto dietro e/o attorno alla
zona d'urto misura alcune caratteri stiche delle particelle diffuse: energia, direzione,
numero ecc . Il primo esperimento di questo genere, basato sulla triade fascio-ber­
saglio-rivelatore, fu compiuto nel 1909 da Geiger e Marsden nel laboratorio di
Rutherford a Manchester, e consistette nello studio della diffusione di particelle alfa
da una lamina d'oro. Il rivelatore era un microscopio che individuava su uno schermo
fluorescente le tracce lasciate dalle particelle alfa deflesse. Come è noto, furono i
risultati di quell' esperimento a condurre alla nascita del modello «planetario» dell 'a­
tomo di Rutherford e Bohr. Da allora, la complessità degli apparati sperimentali (co­
stituiti oggigiorno da macchine acceleratrici e rivelatori di dimensioni enormi) è note­
volmente cresciuta, ma il tipo di ricerca che si conduce sugli urti è, in sostanza, lo stesso.
Da un punto di vista teorico, il problema che si pone nello studio di un processo
d'urto è: dato lo stato iniziale delle due particelle (che in genere è noto, in quanto pre­
parato dallo sperimentatore), è possibile calcolare il loro stato fi nale? Oppure, inver­
samente: dalle osservazioni condotte sullo stato fi nale è possibile ricostruire la di­
namica del processo, cioè la struttura delle particelle coinvolte e i dettagli della loro
interazione? Attorno a queste due domande ruota gran parte del lavoro della fi sica nu­
cleare e subnucleare contemporanea. Questo lavoro prende sempre l'avvio da uno
studio preliminare della cinematica dei processi, basato sulla meccanica relativistica
e in particolare sulla legge di conservazione del quadrimomento.

7. 2 I Descrizione generale degli urti
253
7.2 . Descrizione generale degli urti
In un generico processo d' urto due particelle (che chiameremo sempre, d' ora in
poi , I e 2) collidono dando luogo a uno stato fi nale che può differire per vari aspetti
da quello iniziale. A seconda di ciò che succede alle particelle incidenti, si distinguo­
no due tipi di urti : gli urti elastici e quelli anelastici.
• Un urto è elastico se le particelle uscenti sono dello stesso tipo di quelle entranti,
cioè se si ha
1+2-7 1 '+2 '.
[7. l]
Inquesta scrittura, leparticelle nello stato fi nale (adestra della freccia) sono iden­
tiche alle particelle nello stato iniziale (a sinistra della freccia), ma hanno velocità
e direzioni del moto differenti (gli apici segnalano appunto stati cinematici diversi).
Ad esempio,
,.++p-7,.++p
[7.2]
è un urto elastico tra un pione positivo (n+ ) e un protone (p).
In meccanica newtoniana un urto elastico tra due corpi è defi nito come un urto in cui si conser­
va l ' energia cinetica complessiva (il che equivale a dire, se i due corpi sono composti, che non
varia la loro energia interna). Anche nell' ambito della meccanica relativistica, in un urto elasti­
co l'energia ci netica complessiva delle particelle è costante. Per la conservazi one dell ' energia
totale (che è sempre valida), si ha infatti , in riferimento al processo [7. 1] e con ovvie notazioni,
EI+E1=E;+E2.
cioè
T1+m1+T1+m2=T;+m1+T2+m2,
da cui
T1+T1=T;+T!1.
[7.3]
[7.4]
[7.5]
• Un urto è anelastico se il numero e/o la natura delle particelle cambiano. Indicando
con 3, 4, . .. delle particelle diverse dalla l e dalla 2, la varietà degli urti inelastici
comprende re azioni del tipo
I+2-73,
I+2-73+4,
1+2-7l'+3,
1+2�l'+2'+3+...
e così via. Un esempio di urto anelastico, del tipo [7 .7], è
p+p-7,.++,.-,
[7.6]
[7.7]
[7.8]
[7.9]
[7.10]
in cui un protone e un antiprotone, collidendo, producono una coppia di pioni. Un
altro esempio è
[7 .11]

254
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
dove il nucleo di Ca è, inizialmente, nello stato fo ndamentale e, dopo lurto, in uno
stato eccitato (contrassegnato dall' asterisco).
Sullabase del tipo di osservazioni sperimentali che si compiono su un processo d' ur­
to, si è soliti classificare gli urti in due categorie : gli urti esclusivi e quelli inclusivi.
• Un urto esclusivo è un urto in cui lo stato fi nale è completamente ricostruito, cioè
tutte le particelle uscenti sono ri velate.
•
Un urto inclusivo è un urto in cui lo stato fi nale è, in parte o totalmente, inosservato,
cioè vengono rivelate 'solo alcune delle particelle uscenti, o nessuna. In particolare,
un urto totalmente inclusivo è un processo del tipo
1+2�x.
[7.12]
dove X è un sistema non risolto dal rivelatore, mentre un urto seminclusivo è del
tipo
1+2�3+X,
[7 .13]
dove 3 è una particella rivelata e X è un sistema irri solto.
In figura 7.1 sono rappresentati simbolicamente due processi d'urto : a sinistra, un
urto esclusivo a due corpi (cioè con due particelle nello stato iniziale e due nello stato
finale); a destra, un urto parzialmente inclusivo, in cui solo la particella 3 viene rive­
lata nello stato fi nale, mentre il sistema di particelle indicato con X non viene risolto.
L' area grigia rappresenta l'in terazione (non specificata) tra le particelle.
Consideriamo ora un generico processo d' urto con produzione di N - 2 particelle,
1+2�3+4+...+N.
[7. 14]
SianoP; = (E;,p;) i quadrimomenti ed m; le masse delle particelle (i=1,2, . . . , N). La
conservazione del quadrimomento totale
Pi+P2=p3+p4+...+PN·
[7. 15]
incorpora la conservazione del! ' energia totale
[7.16]
3
,,_
_
__
_,
___ 3
2 ---1--..
..
4
2
X
(a)
(b)
Figura 7.1
(a) urto esclusivo I+2 --
-;
3 + 4; (b) urto parzialmente inclusivo I + 2 --
-;
3 +X.

7. 3 I Sistemi di riferimento
255
e fa conservazione del momento totale
Pi +P2
=p3+p4
+...+PN·
[7. 17]
Poiché le particelle, prima e dopo l'urto, sono asintoticamente libere, i loro quadri­
momenti devono soddisfare le condizioni di mass shell (vedi § 6.3),
pf=mf, i=l,2, ..., N.
[7 .18]
L'uguaglianza quadrivettori ale [7. 15] e le N relazioni scalari [7. 18] sono, com­
plessivamente, 4 + N condizioni sulle 4N componenti dei quadrimomenti delle parti­
celle. Il numero di variabili indipendenti si riduce dunque a 4N - (4 + N) = 3N - 4.
Inoltre, abbiamo ancora la libertà di scegliere, mediante una rotazione, l'asse lungo il
quale avviene l'urto i e, mediante un boost, il sistema di riferimento (possiamo, ad
esempio, analizzare l'urto nel sistema del laboratorio, dove p
2
=O, o nel sistema del
centro di massa, dovep i +p2
= O). Questa arbitrarietà introduce altri 6 vincoli (il nume­
ro complessivo di parametri di una rotazione e di un boost) e porta il numero di varia­
bili indipendenti che descrivono l'urto [7. 14] a (3N - 4) - 6 = 3N- 10. Riassumen­
do, delle 4N componenti dei quadrimomentiP; (i = 1, 2, ..., N), solo 3N - 1 O risultano
indipendenti. Una di queste variabili (ad esempio, l'energia della particella incidente
nel sistema del laboratorio, o l'energia totale delle particelle nel sistema del centro di
massa) è fi ssata dalla preparazione dello stato iniziale.
7.3 . Sistemi di riferimento
Gli urti vengono analizzati, nella maggior parte dei casi, in due sistemi di riferi­
mento : 2 il sistema del laboratorio CXi ab ) e il sistema del centro di massa ('Jlc M).
Il sistema del laboratorio è il sistema di riferimento in cui una delle due particelle
interagenti (ad esempio, la particella 2) è a riposo,3
P2
=O.
Di conseguenza, la sua energia è
E2=m2.
[7 .19]
[7.20]
Supponendo che la particella 1 si muova lungo l'asse z (che d'ora in poi, seguendo la
consuetudine, sceglieremo come asse di collisione), i quadrimomenti delle due parti­
celle sono
Pi =(Ei,O,O,p),
P2=(m
2
, O,O,0),
[7.21]
[7.22]
1 Stiamo supponendo -elo fa remo per tutto il capitolo - che le particelle coinvolte nell' urto non pos­
siedano spin, e che quindi il sistema sia invariante per rotazioni. Se le particelle avessero spin, questo in­
trodurrebbe una direzione privilegiata, limitando così l'invarianza rotazionale. Di conseguenza, il numero
di variabili indipendenti che descrivono l'urto sarebbe maggiore .
2 Un altro sistema di riferi mento occasionalmente usato è il sistema di Breit (vedi Problemi).
3 Sarebbe più corretto parlare di «sistema di riposo del bersaglio», invece che di «sistema del laboratorio»,
dal momento che negli esperimenti con collisori di particelle il bersaglio non è fermo nel laboratorio.

256
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
dovep=IPiI e
[7.23]
Ci si riferisce alla 1 come allaparticella p roiettile e alla 2 come alla particella bersaglio.
Il sistema del centro di massa è il sistema di riferimento in cui il momento totale
delle particelle è nullo, cioè (useremo sempre un asterisco per indicare le variab ili ci­
nematiche in 'Jlc M )
p'f +Pi=O.
La [7.24] implica
IPiI=IP�'!.
I quadrimomenti delle particelle sono
p'f=(E'f,O,O,p*),
Pi=(Ei,O,O, - p*),
conp*=lp'fl=lpile
Ef=Yp*2+ m�, E!=Yp*2+ m�.
Nel caso particolare in cui le particelle 1 e 2 hanno masse uguali, si ha
[7.24]
[7.25]
[7.26]
[7.27]
[7.28]
[7.29]
Per passare da 'J{1ab a 'Jl c M (e viceversa) occorre effettuare un boost lungo l'asse di
collisione (fig. 7 .2). Introduciamo i quadrimomenti totali in 'J{1 ab e 'Jlc M •
P=Pi+P2=(E1+m2,O,O,p),
P* =pf+p!=(Ef+E!,O,O,0).
La trasformazione di Lorentz della componente z del quadrimomento totale è
Pt=YcM(Pz - f3cMP
0),
V
p�
Pi
--
--
--
-
·
Figura 7.2
li sistema del laboratorio e il sistema del centro di massa.
[7.30]
[7.31]
[7.32]
z

7. 4 I Invarianti cinematici
257
dovef3cM=V,YcM=(1-V
2
)-
112
e V è la velocità di 'JlcM rispetto a 'Jliab· Usando le
[7.30, 7.3 1] si trova
O=YcM[P-f3cM(E1+m2)],
da cui
Poiché
la velocità relativa dei due sistemi di riferi mento risulta essere
/3 _v- m1y(v1)v1
CM- -
m1y(v1) + m2
.
[7 .33]
[7.34]
[7.35]
[7.36]
Questa è evidentemente la velocità del centro di mas sa delle due particelle misurata in
'Jl1 ab, ossia (in fo rma vettoriale)
V=P1+P2
E1+E2
.
[7.37]
Vediamo ora come si può espri mere f3c M in fu nzione delle variabili del sistema del
centro di massa. La trasformazione di Lorentz della componente z del momento della
particella 2 è
e da qui si ricava
-
p*
-
*
f3cM -
Ei-Vz,
[7 .38]
[7.39]
com' era da aspettars i, dal momento che per annullare la velocità della particella 2,
che in 'JlcM è vi, è necessario appunto un boost con f3cM = v i .
In conclusione, ribadiamo che, in accordo col postulato di relatività, le descrizioni
di un fe nomeno d' urto in sistemi di riferimento diversi sono del tutto equivalenti. La
preferenza per uno di questi sistemi è solo una questione di comodità.
7.4 . Invarianti cinematici
La descrizione di un processo d' urto (o di decadimento) è spesso facilitata dall' uso
di invarianti cinematici, cioè di quantità scalari costruite con i quadrimomenti delle
parti celle in gioco. La procedura tipica, che esemplificheremo nei prossimi paragrafi ,
consiste nello stabilire la relazione tra le grandezze da determinare e uno o più inva­
rianti, e nel val utare poi questi invarianti nel sistema di riferimento più comodo (il
loro valore essendo ovviamente lo stesso in tutti i sistemi di riferimento).

258
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
7. 4. 1 . Prodotti scalari dei quadrimomenti e massa invarian te
Consideriamo un sistema di n particelle di massa m 1 , m 2 , ..., m11 e quadrimomento 1
p 1 , p 2 , ••• , p11• I prodotti scalari p ; · p1 sono, per definizione, invari anti . Essi soddi sfano
la disuguaglianza
per verificare la quale scriviamo
P;·PJ=E;E1-P;·pJ�E;E1-IP;IIP1I=E;E1-VE1-m7VE]-mJ.
Da
(E;E1-m;m)2�(ET-mT)(E]-m]),
che.è equivalente a (m;E1 - m1E;)2 � O, si ricava
,/z z,/z 2
E;E1-vE;-m;vE1-m1�m;m1,
che, combinata con la [7. 41], dà la [7.40] .
La massa in variante W di un sistema di n particelle è definita come
e, per la [7.40}, sarà
cioè
W2�2:mf+22:m;mj,
i<j
i<j
i<j
[7.40]
[7.41]
[7.42]
[7.43]
[7.44]
[7.45]
[7 .46]
La massa invariante del sistema è quindi maggiore o uguale alla somma delle masse
delle singole particelle.
Nel caso di un generico processo d'urto l + 2 � 3 + 4 + ... + N, la massa invariante
delle particelle prima dell'urto è, per la conservazione del quadrimomento, uguale
alla massa invariante delle particelle dopo l'urto
[7.47]
W rappresenta quindi lenergia disponibile per essere trasformata in massa delle par­
ticelle finali. In 'JlcM si ha
W=V(Ej+Ei)2-(pf+pi)2=Ei+Ei,
[7.48]
e, come si vede, la massa invariante è uguale ali'energia totale delle particelle. In
'Jl1ab si ha invece
[7.49]

--
--
--
--
--
--
--
--
-�
�-
--
--
-�-
--
--
--
--
--
--
-:'"'
7. 4 I Invarianti cinematici
259
e la massa invariante è inferiore all'energia totale delle particelle. Usando le [7.19,
7 .20] e la relazione di mass shell per la particella 1, si ottiene
[7.50]
Si noti che W cresce li nearmente con l'energia del centro di massa, mentre varia solo
come la radice quadrata dell'energia della particella incidente nel sistema del labora­
torio. Considerando ad esempio un urto tra particelle uguali di alta energia (E 1 >> m 1 ),
la massa invariante è, in 'Jlc M •
W= 2Ef,
[7.51]
[7.52]
A parità di energia delle particelle iniziali, quindi, la massa invariante che si raggiun­
ge in ':ll c M è molto più grande : ecco perché gli anelli di collisione, che realizzano il si­
stema del centro di massa, sono cinematicamente più vantaggiosi degli acceleratori a
bersaglio fi sso, come abb iamo anticipato nel § 4. 14.4 . Ad esempio, nel collisore LHC
del CERN i due fasci di protoni hanno un' energia EP = 7 TeV. La massa invariante
delle particelle collidenti è dunque W= 2EP = 14 TeV. Per raggiungere lo stesso va­
lore di W in un acceleratore a bersaglio fi sso, i protoni dovrebbero avere un'energia
E,, = W212m,, = 9.8 X 104TeV.
In conclusione, osserviamo che nel caso di un decadimento l � 2 + 3 + ... + N
la massa invariante W del si stema coincide con la massa della particella che decade,
W=m1•
7. 4.2. Ve locità relativa
La velocità re lativa di due particelle è, per definizione, la velocità di una di esse
(ad esempio la I)nel sistema di ri poso del!' altra (la 2). In questo sistema di riferimen­
to i quadrimomenti sono
[7. 53]
La velocità relativa è
[7.54]
Moltiplicando scalarmente i due quadrimomenti [7.53] si trova
[7 .55]
da cui
[7. 56]

260
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
La relazione energia-momento dà
[7 .57]
e, inserendo la [7.56] e la [7.57] nella [7.54], si ottiene
[7.58]
Abbiamo così espresso la velocità relativa delle due particelle in fu nzione dell'in va­
riante Pi · p2 (e delle masse). Avremmo ottenuto la stessa fo rmula se ci fo ssimo posti
nel sistema di riposo della particella I. Si noti che Vr ei �e, e in particolare V rei = e se
una delle due masse è nulla. La [7.58] può essere riscritta come (vedi Problemi)
[7.59]
dove V i e v2 sono le velocità delle due particelle in un generico sistema di riferimento
(abbiamo ottenuto la stessa formula nel § 3.4, usando la trasformazione di Lorentz
della velocità).
7. 4.3 . Va riabili di Ma ndelstam
Per studiare cinematicamente gli urti a due corpi, I + 2 � 3 + 4, si usano spesso tre
grandezze invarianti , dette variabili di Mandelstam, definite come segue :
s=(Pi+P2)2=(p3+p4)2,
t=(Pi-p3)2=(p2-p4)2,
u=(Pi-p4)2=(P2-p3)2.
[7.60]
[7.61]
[7.62]
La prima variabile, s, è la massa invariante W 2 delle particelle iniziali o fi nali, e rap­
presenta il quadrato dell'energia totale nel sistema del centro di massa. La t, invece, è
il quadrato del quadrimomento trasferito.
La somma delle variabili di Mandel stam è
s+t+u=(Pi+P2)2+(Pi-p3)2+(Pi-p4)2=
= Pl+2pi·P2+P�+pl-2pi·p3+pj+p?-2pi·p4+Pl=
= 3p?+p�+pj+pl-2pi ·(p3+p4-P2),
[7.63]
da cui, usando la conservazione del quadrimomento Pi + p 2 = p 3 + p4 e le relazioni di
mass shell, si ricava
4
s+t+u=� m f .
[7.64]
i=I

7. 5 I Descrizione degli urti a due corpi mediante le variabili di Mandelstam
261
Questo vincolo fa sì che solo due degli invarianti di Mandelstam siano indipendenti .
Ciò è in accordo col conteggio effettuato nel § 7.2, in base al quale un urto a due corpi
è descritto da 3 X 4 - 1 O=2 variabili indipendenti .
Nel caso di urti elastici tra particelle di massa uguale (m1 = m2 = m3 = m
4
=m)si
tro va (vedi Problemi) che gli intervalli fi sici delle variabili di Mandelstam sono
[7.65]
Se le particelle hanno masse diverse, le condizioni che specificano il dominio fi sico
di s, t, u sono più complicate . 4
7.5. Descrizione degli urti a due corpi mediante le variabili di Mandelstam
Un urto a due corp i,
l+2-13+4,
[7.66]
è un urto che coinvolge due particelle nello stato iniziale e due nello stato fi nale. Stu­
dieremo questi urti fac endo uso degli invarianti di Mandelstam. In particolare , trove­
remo le relazioni tra le variabili che descrivono un urto a due corpi nei due sistemi di ri­
ferimento più comuni ('JlcM e 'J{ 1ab) e gli scalari s, t, u.
7. 5 . 1. Descrizione nel sistema del centro di massa
Nel sistema del centro di massa 'Jl cM si ha pf + pj_ =Oe, per la conservazione del
momento, p j + p! = O . I quadri momenti delle particelle possono quindi essere scritti
nella fo rma
Pi=(E(,O,O,p*),
pj_=(Ej_,O,O, - p*),
pj=(Ej,p*'sin6*, O,p*'cos6*),
p;'f=(E;'f, - p*'sin6*,O, - p*'cos6*),
[7.67]
[7.68]
[7.69]
[7.70]
dovep* =[piI =IPiIep* ' = [pjI = [p;'f[. Abbiamo supposto chel'asse di collisione
sia l'asse z e che l' urto avvenga nel piano xz (per la conservazione del momento, un
urto a due corpi avviene sempre in un piano, identificato dalle direzioni di moto delle
particelle uscenti). La geometria dell' urto è illustrata in figura 7.3b. Le condizioni di
mass shell sono
Ei=Yp*2+mf, Ei=Yp*2+m�,
4 Cfr. T. W. B. Kibble, in «Phys. Rev.», 1 17, 1960, p. 1159.
[7.71]

262
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
V
(a)
(b)
Figura 7.3
Urto a due corpi nel sistema del laboratorio (a) e nel sistema del centro di massa (b).
per le particelle iniziali, e
[7.72]
per le particelle finali.
Per stabilire le relazioni tra le variabili che compaiono nelle [7.67-7 .70] e gli inva­
rianti di Mandelstam scriviamo
s=(p(+p'f)2=mf+mi+2p(·p'f=m?+m�+2E(Ei+2p*2=
�m�-m?+2E((E'f+E:"),
[7.73]
dove nell' ultimo passaggio abbiamo usato il mass shell della particella 1. Poiché, d'al­
traparte,Pi+p'f=(E(+Ei,0), sihaVs =E'I'+Ei, e dalla[7.73]sipuòestrarreEi:
+2
2
E*_
s m1-m2
I-
2Vs
[7.74]
In maniera analoga, usando la relazione energi a-momento della particella 2 per elimi­
nare p * 2 nella [7.73], si trova
+2
2
E*-
s m2-m1
2-
2Vs
Partendo dall'in variante s scritto come s = (pj + p!)2 si ottiene
+2
2
E*_s m3-m4
3-
2Vs
2
2
E*
_
s+m4-m3
4-
2Vs
[7.75]
[7.76]
[7.77]
Le relazioni di mass shell permettono a questo punto di ricavare i momenti . Per p * si
trova
*-
dE*2- 2
_
Y(s +m? - m�)2 - 4m?s
p-V1
m1-
2Vs
=
YÀ(s, m?, m�
2Vs
[7.78]

7. 5 I Descrizione degli urti a due corpi mediante le variabili di Mandelstam
263
dove abbiamo introdotto la «funzione triangolare» À (a, b, e), definita come
À(a,b,e)=a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac,
[7.79]
che è invariante rispetto alle permutazioni dei suoi argomenti . Il momento delle parti­
celle uscenti è dato da
[7.80]
Consideriamo ora t,
t=(p("-pj)2=m�+mj-2E'('Ej+2p*p*'cos6*.
[7 .81]
Sostituendo inquesta espressione le fo rmule [7.74, 7.76] e [7.78, 7.80] , siestrae, con
qualche semplice passaggio algebrico, l'angolo di diffusione:
s2+s(2t-L;mT)+(mf-m�)(m3-m�)
cos6*=
VÀ(s, m f, m�)À(s, m�, m�)
[7.82]
Abbiamo così scri tto le variabi li cinematiche del sistema del centro di massa in
funzione degli invarianti di Mandelstam . Si ricordi che solo due di queste variabili
sono indipendenti . Per descrivere un urto a due corpi in 'JlcM si è soliti scegliere il mo­
mento iniziale p * (o l'energia E * ) e l'angolo di diffusione 6* .
CASI SPECIALI
Nelcasodi unurto elasticoI +2� I'+2',ponendom3= m1 em4 = m2 nelleformulericavate
sopra, si ottiene
2
2
E*'_E* _
s+m1-m2
I-I
-
2Vs'
p*'
=p*=
YÀ.(s, mf, m�) ,
2Vs
s2+2s(t-m2
-
m�)+(m2-m2)2
COSti* =
I
2-2
I
2
À(s,m1 , m2)
Se, inoltre , le masse delle particelle sono uguali (m1 = m 2 = m), si ha
E*'-E*-E*'-E*-
Vs
1-1
-
2-2
-
2·
p*' =p*=+vs-4m2,
ti*-I
2t
cos
-
+
s-4m2.
[7.83]
[7.84]
[7.85]
[7 .86]
[7.87]
[7 .88]

264
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
7. 5 .2 . Descrizione nel sistema de l laboratorio
Nel sistema del laboratorio una delle particelle iniziali - la 2, diciamo - è a riposo:
p 2 =O. Si ha quindi (scegliendo l'asse z come asse di collisione)
p1 =(E1,O,O,p),
Pz=(mz,O,O,0),
[7.89]
[7.90]
con p = J p , J . I quadrimomenti delle particelle fi nali sono (per la geometria e le nota­
zioni si veda la fi g. 7.3a)
p3=(E3, Jp3JsiniJ,O,Jp3JcosiJ),
p4=(E4, - Jp4Jsin<p,O,IP4Icos<p),
[7.9 1]
[7.92]
In fu nzione delle variabili di %ab, gli invarianti di Mandel stam s, teu sono dati da
s=(p1+p2)2=mf+mi+2m2E1,
t=(pz-p4)2=mi+m�-2m2E4,
u=(pz-p3)2=mi+m�-2m2E3,
e da qui si ricava
s-mf-mi
E1=--
--
-
2m2
e
2
2
E
_
m2+m3 -u
3-
2m2
,
mi+m�-t
E4=
2
,
mz
I I-,�
E2_ 2
_
YÀ(t, mi, m�)
p4-Vl'.
.
4-m4-
,
2m2
dove À è la fu nzione triangolare definita in [7.79] .
Per ricav are l'angolo di diffusione i} scriviamo l'invariante t come
t=(p1-p3)2=mf+m�-2EiE3+2pIP3IcosiJ.
Inserendo in questa espressione le [7.96, 7.97] e [7.99, 7.100] , si ottiene
2mi(t-mf-m�)-(s-mf-mi}<u-m�-m�)
cos iJ = ------:=::
::
::
:
==========::
::
::
::
===---
-'
---'-
-
YÀ(s, m f, m�)À(u, m�, m�)
[7.93]
[7.94]
[7.95]
[7.96]
[7.97]
[7.98]
[7 .99]
[7. 100]
[7. 101]
[7. 102]
[7. 103]

7. 6 I Urti elastici
265
Le due variabili indipendenti del sistema del laboratorio comunemente usate per
descrivere un urto a due corpi sono il momento p (o l'energia E 1 ) e l'angolo di diffu ­
sione tf.
CASI SPECIALI .
In un urto elastico 1 +2 � l'+ 2', le formule riportate sopradiventano (conm3 = m1 e m4 = m2)
I 'I-
Y?.
.
(s +t,mf. m D
Pi-
2
,
I'1-Yt2-4m�t
P2-
2
,
m2
2m2(t-2m2)+(s-m2-m�)(s+t-m2-m2)
COSiJ=
2
i
i
-
i
2
VÀ(s, m�, m�)À(s+ t, m�, m�)
m2
Nel caso di un urto elastico tra particelle di massa uguale (m i = m 2 = m), si ottiene
s-2m 2
Ei=
2m
E
'- s+t-2m 2
i-
2m
E
'_2m2 - t
2-
2m'
I 'I-Y(s +t)2 -4m2(s +t)
Pi-
2m
,
s(s + t-4m2)
cosiJ=-;:
:
====- ;:
::=
======
Vs2-4m2sV(s+t)2-4m2(s+t)
7.6 . Urti elastici
Discuteremo ora in dettaglio la cinematica degli urti elastici
1 +2� I'+ 2',
[7. 104]
[7. 105]
[7. 106]
[7. 107]
[7. 108]
[7. 109]
[7.1 10)
che sono evidentemente un caso particolare di urti a due corpi in cui le particelle
uscenti sono uguali alle particelle entranti. Il nostro scopo è ricavare le relazioni tra le
variabili di stato fi nale e quelle di stato iniziale. I calcoli saranno svolti per il caso di
particelle di massa uguale ( m 1 = m 2 = m). Per particelle di massa diversa daremo al­
cuni ri sultati senza derivazione.
7.6.1 . Descrizione nel sistema del cen tro di massa
Supponiamo, come al solito, che la collisione avvenga lungo l'asse z e che la parti­
cella l si muova nel verso delle z positive. I quadrimomenti iniziali sono i [7.67, 7.68) ,
cioè, dato che sti amo ipotizzando che le particelle abbiano masse uguali e quindi E i =
=Ei=E*,
pf=(E*, O,O,p*),
pi_=(E*, O,O, - p*),
[7.111)
[7. 112)

266
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
conp* = IPiI=IPiIeE* = Yp*2 +m2. Perla conservazionedel momento,avremo,
dopolurto,pi' = -p:'f'=p*' ediconseguenza(essendom1 =m
2
)Et' =Ei'=E'*.
Per la conservazione dell' energia si ha, d'altra parte, E*' = E * , e ciò implicap *' = p * .
Sfruttando tutte queste relazioni e supponendo che lurto avvenga nel piano xz, i qua­
drimomenti fi nali sono
pi' = (E*,p*sin13*, O,p*cos13*),
p:'f' =(E*, -p*sin13*,O, - p*cos13*).
7. 6. 2. Descrizione nel sistema del laboratorio
[7. 113]
[7.1 14]
Illustriamo ora la cinematica dell' urto [7 .1 10] nel sistema di riferimento del labo­
ratorio. Come vedremo, essa è un po' più complicata di quella in 'XcM· I quadrimo­
menti delle particelle iniziali sono
Pi =(Ei.O,0,p),
p2
= (m,O,O,O),
conp=IP1Ie
E1 = Yp2+m2.
I quadrimomenti fi nali sono (per le notazioni si veda la ri g. 7 .3a)
p;=(E;,IP;Isin13,O,IP;Icos13),
P2=(E2, - IP2Isin<p,O, IP21cos<p).
Per la conservazione del quadrimomento si ha
(P1+P2
-
p;)2 =P22,
cioè, sviluppando il quadrato e usando le relazioni di mass shell,
m2+m2+m2+2p1·p
2
-
2p'1
·p
2
-
2p1 ·p;=m2.
I prodotti scalari sono (ricordiamo che p = I P 1 I)
P1"P2
=mE1, p;·pz =mEI, P1 ·p;=E1El-PIP11cos13,
e la [7. l 21] diventa, con un riordinamento dei termini,
(E1+m)(EI-m) =p\/E;2 - m2cos13.
Elevando al quadrato e semplificando, si ottiene
(E1 + m)2(E; - m)=p2(EI+m)cos2 13,
da cui
E; =m
{(E1 +m)2+p2cos2 13}
.
(E1+m)2-p2cos213
[7. 115]
[7. 116]
[7.1 17]
[7. 118]
[7. 119]
[7.120]
[7.121]
[7.122]
[7. 123]
[7. 124]
[7. 125]

7. 6 I Urti elastici
267
Con una procedura analoga, partendo da (p1 + p 2
-
p2) 2 = p;2 , si ricava l'energia di
rinculo della particella 2 ,
E' =m
{(E1 +m)2 +p2 cos2 cp }
2
(E1 +m)2 -p2 cos2 cp
.
[7 .126]
Essendo di massa uguale, le particelle 1 e 2 sono indistinguibili e quindi la [7.126]
coincide con la [7.125], a parte la sostituzione 6H cp.
PARTICELLE DI M ASSA DIVERSA
Se le parti
.
celle hanno massa diversa, le loro energie fi nali sono
2
2
.a,/2 2·2.o
E'=
(E1+m2)(m1 +m2E1)+p cosvvm2-m1 sm u
i
(E1 + m2)
2
-p
2
cos
2
iJ
,
E' =m {(E1+m2)
2+p2cos2<p}
2
2
(E1 + m2)
2
-
p2cos2 <p
.
[7 .127]
[7.128]
La [7 .127] mostra che, se m 2 <m1 , deve essere sin iJ < m 2/m 1 , altri menti la radice quadrata di­
venterebbe immaginari a. Quindi, se la massa del bersaglio è più piccola della massa del proiet­
tile, l'angolo di diffusione in ':J{ 1ab ha un valore massimo dato da
siniJrnax =!!
!:.1.
.
m1
Se, invece, m 2 �m1 , non vi è alcuna limitazione su iJ.
7.6.3. Relazione tra 'JlcM e 'Jl1ab
[7. 1 29]
Vogliamo ora deriv are la relazione tra gli angoli di diffusione delle particelle in 'Jl 1 ab
e quelli in 'Jl c M · I due sistemi di riferimento sono legati da un boost, con f3c M dato da
/3-v*-
p*
CM-
-
E*
e
E*
YCM=-;
;;-
'
[7 .130]
dove v * è il modulo della velocità delle particelle nel sistema del centro di massa.
Le trasformazioni di Lorentz delle componenti del momento fi nale della particella
1 sono
p;sin6=p*sin6*,
p;cos6 = YcM(P* cos 6* + f3cME*).
Il rapporto tra il primo e il secondo membro di queste uguaglianze dà
p* sin 6*
�n 6=
,
YcM(P* cos 6* + f3cM E*)
e, usando la [7 .130],
.a
sin 6*
tanu=--
--
--
-
YcM (cos6* + l)·
[7 .131]
[7. 1 32]
[7. 133]
[7. 1 34]

268
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
Analogamente, scrivendo le trasformazioni di Lorentz delle componenti di p �, si
trova la relazione tra <p (I' angolo di diffusione della particella 2 in 'J{1 ab ) e 6 * ,
sin 6*
tancp= (l- ·"
*)"
YcM
cos u
Il prodotto tan 6tan <p vale
v*2
tan6tan<p=1
-
-2-.
e
[7. 135]
[7.136]
Per comprendere le implicazioni di questo risultato , cominciamo col considerare il li­
mite newtoniano (e -? oo ) , nel quale
tan6tan<p=I .
Usando la relazione trigonometrica
.o
tan6+tan<p
tan(u+m)=
,
'I'
1
-
tan 6tan <p
si vede che, in virtù della[7.137], tan (6+ <p) -? oo, cioè
[7. 1 37]
[7. 138]
[7.139]
Nel caso newtoniano, dunque, le direzioni di moto delle due particelle uscenti (che
abbiamo supposto siano di massa uguale) form ano, nel sistema del laboratorio, un an­
golo retto (indipendentemente dalla loro velocità). Nel caso relativistico, invece, vale
la disuguaglianza
tan6tan<p<1,
[7. 140]
e latan(6+<p)èfinita, ilcheimplica
[7. 141]
L' angolo fo rmato dalle due particelle uscenti è sempre minore di 90° . Questa predizio­
ne della meccanica relativistica fu verific ata per la prima volta da Champion nel 1932.5
7. 6. 4 . Distribuzione di momento delle particelle
Nel sistema del centro di massa le due particelle prodotte hanno, in modulo, lo
stesso momento p * . Il loro spettro di momento in un di agramma p:P1 è quindi rap­
presentato da un cerchio di raggio p * (fig. 7.4a ) ,
p:2 P12
-
--
--;
;;z
+-
*2
-
1.
p·p
L'angolo polare nel piano P .f P 1 è l'angolo di diffusione 6* .
5 F. C . Champion, in «Proc. Roy. Soc.», A 136, l 932, p. 630.
[7. 142]

7. 6 I Urti elastici
269
Vediamo qual è la distribuzione di momento delle particelle in un generico sistema
di riferimento ';J{ legato a ';/{ C M da un boost di parametro {3. Le leggi di trasformazione
delle componenti del momento sono
p, = r<P1 +/3E*),
[7. 143]
[7. 144]
dove Px e p, sono le componenti del momento delle particelle in ';/{ . Poiché p� = p *
cos t?* , la Pz avrà un valore massimo e uno minimo, dati da
p';ax
= y(p* + /JE*),
p';;" = y(-p* +/3E*).
Usando le [7.143, 7 .144], dalla [7.142] si ottiene
p}
+
(p, -f3yE*)2
-"-"-.,f-
-'
'-,
,-
-
__c_=1,
p*2
y2p*2
che è l'equazione di un' ellisse nel piano PxPz centrata in Pz = f3yE * (fig. 7.4b).
[7. 1 45]
[7. 146]
[7 .147]
La relazione tra l'angolo di diffusione delle particelle in ';/{ e quello in ';/{ CM è
p
p'f
tant?=� = --�--
Pz r<Pt +/3E*)
sin t?*
[7. 148]
r(cost?* + /cJ'
dove /JcM = p *IE* = v*. Consideriamo ora i tre casi/3>f3cM, /3=f3cM e /3<f3cM·
Se /3>f3cM • nel sistema di riferimento ';/{ c'è un angolo massimo di diffusione ??m ax
(fig. 7.4b), che si ottiene derivando la [7. 148] rispetto a??* ,
dtant?
=0
dt?*
.
Il risultato è
(cos ??*)
=-
f3cM
[)"'"
/3,
(a)
Figura 7.4
[7.149]
[7.150]
Px
Pz
(b)
Lo spettro di momento delle particelle prodotte in un urto elastico: (a) sistema del centro di massa;
(b) sistema di riferimento generico (con {3 > f3cM)·

270
e, sostituendo nella [7 .148),
tan ?'}max =
f3cM
y\I/32 - f3�M
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
[7 .151)
Inquesto caso, a un determinato angolo minore di ?'}max corri spondono due valori pos­
sibili di energia per la particella.
Se f3 = f3cM , ':J{ coincide col sistema del laboratorio 'J{ 1 ab e si riottengono i risultati
del paragrafo precedente : l'angolo massimo di diffusione in 'J{ 1 ab è ?'}max = rc/ 2. In que­
sto caso p�i n
= O , e l'ellisse di fi gura 7.4b tocca l'origine del piano PxP z ·
Infine, se f3 < f3cM, non c'è in 'J{ un angolo di diffusione massimo : lo spettro di mo­
mento è rappresentato da un' ellisse che circonda l'origine. Ciò si verifica se le parti­
celle hanno massa nulla, giacché in questo caso f3cM = v* = 1 e ovviamente f3 < 1.
7.7 . La diffusione Compton
Un esempio notevole di diffusione elastica è rappresentato dalla diffusione Compton
di fo toni su elettroni. Nel 1923, Arthur H. Compton osservò che irradiando un bersa­
glio di grafite con i raggi X prodotti da una sorgente di molibdeno, la radiazione diffu­
sa risultava avere una lunghezza d' onda diversa da quella della radiazione incidente . 6
L'interpretazione che egli propose di questo fe nomeno, e che si rivelò corretta, com­
bina la meccanica quantistica con la relatività speciale. L'effetto Compton .è dovuto
all'urto elastico tra un fo tone della radiazione incidente e un elettrone della grafite,
inizialmente fe rmo (almeno con buona approssimazione). Dopo l'urto , l'elettrone
rincula e il fo tone viene diffu so con un' energia diversa da quella iniziale. Poiché l'e­
nergia E y dei fo toni è legata alla freq uenza v dalla relazione (dovuta ad Einstein) E y =
hv, e v è a sua volta legata alla lunghezza d'onda IL da IL=clv, ci si aspetta che la ra­
diazione diffusa abbia una lunghezza d'onda diffe rente dalla lunghezza d'onda della
radiazione incidente. Un calcolo cinematico esplicito, che ora effettueremo, mostra
che questa spiegazione è, anche quantitativamente, corretta.
Il processo in questione è (fig. 7 .5)
[7.152]
I quadrimomenti delle particelle prima dell' urto sono (per maggiore chiarezza, in
questo paragrafo ripristineremo le potenze di e)
Pe = (mec, 0),
[7. 153 )
avendo supposto che l'elettrone (di massa m e ) sia inizialmente a riposo, e dopo l'urto
[7. 154 )
6 A. H. Compton, in «Phys. Rev.», 21, 1923, p. 483.

7.7I Ladif
f
usione Compton
Le relazioni tra le energie dei fo toni e le fr equenze della radiazione sono
Er= hv, E;=hv'.
Dal momento, poi, che il fo tone ha massa nulla, avremo
Ehv
IPrI=..'.:2
=-,
e
e
II1
-
!!:r-
hv'
Pr-
-
--
,
e
e
mentre per l'elettrone fi nale la condizione di mass shell è
E�=Ylp;l2c2 + m;c4.
271
[7. 155]
[7. 1 56)
[7. 1 57)
Precisiamo ora la geometria dell' urto. Chiamiamo 1'J l'angolo di diffusione del fo tone
e <p 1' angolo di rinculo dell ' elettrone, e identifichiamo, come al solito, la direzione del
fo tone incidente con l'asse z e il piano dell' urto con il piano xz. Esplicitamente, i qua­
drimomenti saranno
Pr=(�v
, O,O,
h
c
v
),
Pe= (m,c,O,O,0),
(hv' hv'
hv'
)
p�= --,
-sinfJ,O, -cos1'J ,
e
e
e
p�=(YIP�12+ m;c2, - lp�Isin<p,O, IP�Icosq)).
[7. 158)
[7. 1 59)
[7. 160)
[7. 161)
Usando le [7. 1 58-7. 161], la legge di conservazione dell'energia-momento P r+p, =
= p�+ p � fornisce le seguenti equazioni
hv+mec2 =hv' +YIP�l2c2+m;c4,
hv hv'
- = -costJ+IP�Icos<p,
e
e
O
hv'
.
.oI'I
.
=--smu-pesm<p.
e
Riscriviamo le ultime due equazioni nella fo rma
[7. 162)
[7.163)
[7.164)
hv hv'
,
--;
;-
--
c
-cosfJ=IPelcos<p,
[7. 165)
hv' .
1'JI'I
.
[7 166)
-
c
- sm =pesm<p.
.
�,/(
�
-
-
�------�
'
-
Py
�
Figura 7.5
P�
Diffusione Compton.

272
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
Elevando al quadrato e sommando membro a membro, eliminiamo <p:
(hv hv'
)2(
hv'
)2
-;
;
--e-cos i) + -
c
-
siniJ = lp:l2,
edaqui
h2
-
2
(v2 + v'2 - 2vv' cosiJ)=IP:12.
e
Dalla [7 .16 2] si ottiene invece
[�(v- v')+m,cT =IP�l2+m;c2,
ovvero
h2
h
-
(v2+v'2 -2vv')+2-(v-v')m e=Ip'I2.
c2
e
e
e
Confrontando la [7 .168] e la [7 .170] si trova
h2
h2
h
-
(v2+v'2 -2vv'cosiJ)=
-
(v2+v'2 -2vv')+2-(v-v')me,
c2
c2
e
e
da cui, semplificando,
h
v-v' = -- vv'(1-cosiJ),
m,c2
e ancora
V
'
=
V
l+E(1-COSiJ)'
dove abbiamo introdotto il parametro
[7. 167]
[7. 168]
[7. 1 69]
[7. 1 70]
[7.171]
[7. 172]
[7. 173]
[7. 174]
La [7.17 3] è la relazione tra la frequenza della radiazione incidente, la fr equenza della
radiazione diffusa e l'angolo di diffusione. Passando alle lunghezze d'onda À = clv e
}.,' = clv' , la [7.172] diventa
}.,'-À,=_
h
_(l-cosi))
m,c
[7. 175]
e mostra come la variazione di lunghezza d'onda �À = À,' - À sia sempre positiva e
indipendente dalla lunghezza d' onda della radiazione incidente (l'os servazione di
Compton). La quantità
h
Àc= --
m,c
[7. 1 76]
ha le dimensioni di una lunghezza ed è detta lunghezza d'onda Compton dell'elettrone.

7.7I Ladif
fu
sione Compton
y
e-
Figura 7.6
Elett rone
virtu ale
Diagram ma di Feynman della diffu sione Compton.
273
y
Usandoivalorih=6.6X10-34Js, m, = 0.91X10-3oKgee=2.998X108ms-1
,si
ottiene per Àc
Àc= 2.42X10-12m=0.0242A.
L' energia cinetica di rinculo degli elettroni Compton è (vedi [7.172])
T=-!IP'l2c2+m2c4-mc2=hv-hv'
e
Ve
e
e
·
Usando la [7.173], si trova
_
2 E2(l-COSt'})
T,-m,c
l+E(l -cos t'>)
.
[7. 1 77]
[7.178]
[7. 179]
Lo studio del!' effetto Compton ha permesso di verificare con grande precisione le
predizioni della rel ati vità speciale. Come abbiamo detto , il fenomeno è di natura quan­
tistica (dal momento che coinvolge i quanti della radiazione elettromagnetica - i fo to­
ni), e una trattazione accurata richiede l' uso della teoria quanti stica dei campi (che è
una teoria relativistica), fe rma restando la validità della cinematica sviluppata sopra,
che porta alla [7.175]. Introduciamo la sezione d'urto differenziale dcr, definita come
d _ energia diffusa per unità di tempo nell' angolo solido dQ
O' - energia incidente per unità di tempo e unità di superficie
·
La teoria classica (non quantistica e non relativistica) prevede7 per dcr/dQ:
dcr_12
2
dQ-2
r0(1+cos 19),
dove r0 è il cosiddetto ra ggio classico dell 'elettrone,
e2
r0= --
2=2.82X10-15m.
m,c
[7. 1 80]
[7 .181]
[7. 1 82]
La [7.181] è la sezione d'urto di Thomson. Nell'elettrodinamica quantistica la diffu ­
sione Compton è rappresentata dal diagramma di Feynman mostrato in figura 7.6,
dove si vede che il processo è mediato da un elettrone virtuale, cioè da un elettrone
7 Cfr. J . D. Jackson, Elettrodinamica classica, Zanichelli, Bologna 1984, p . 618.

274
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
0.75
i
.gl� 0.50
�l"E
0.25
O'-
-�
�-
-'�
��-
-'�
��-'-�
��-'-�
��-'-�
��
�
o
30
60
90
120
150
180
Angolo di diffusione [0] --
Figura 7.7
Sezioni d' urto di Thomson (linea sottile) e di Klein-Nishina (linee spesse) confrontate con i risultati
sperimental i.
Fonte Enciclopedia delle Scienze Fisiche, Istituto della Enciclopedia Ital iana, Roma 1992, voce
«Compton, effetto» di M. Mattioli.
che non soddisfa la condizione di mass shell. La predizione per doidQ dell 'elettrodina­
mica quanti stica (la cosiddetta sezione d'urto di Klein -Nishina) è8
dO"
=
_!_r2
1+cos2il {1
+
E2(1- cos 1'1)2
}
dQ 2 ° [l+E(l- cos l1)]2
(l+cos2 l1)[1 +E(l - cos l1)] · [7.183]
Si noti che questa espressione si riduce a quella di Thomson [7.181] nel limite E�O
(che corrisponde a e � =) . In figura 7.7 le due sezioni d'urto [7 .181] e [7 .183] sono
confrontate con i dati sperimentali. Questi, come si vede, ri sultano essere in ottimo
accordo con la formula di Klein-Nishina.
7.8 . Urti anelastici
Studieremo ora alcune reazioni anelastiche di particolare ri lievo fi sico: i processi
di formazione, i processi di produzione multipla e gli urti seminelusivi.
7. 8. 1. Processi diformazione
Consideriamo una reazione completamente anelastica in cui due particelle I e 2 in­
teragiscono generando una particella 3:
I +2�3.
[7. 1 84]
8 Si veda, ad esempio, C. ltzykson e J.- B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, New York
1985, p. 229.

7. 8 I Urti anelastici
275
Questo p rocesso di fo rmazione illustra bene la mutua convertibilità di massa ed
energia.
Nel sistema del laboratorio ('.J{1ab) la particella 2 è ferma, quindi p2 =Oe E2 = m 2.
La legge di conservazione dell 'en ergia-momento dà
E1 +m2 =E3,
P1=p3.
[7. 185]
[7. 1 86]
Come si vede, il momento della parti cella I si trasmette interamente alla particella 3.
Quello che vogliamo mostrare è che la massa della particella 3 è sempre maggiore
della somma delle masse di 1 e 2. A questo scopo, usando la relazione tra energia e
momento, riscriviamo la [7.185]come (p = IP1 I =IP3 I)
Vp2 +m?+m2 = Vp2 +m�.
Elevando al quadrato , otteniamo
m?+m�+2m2Vp2+mV=m3,
che si può anche scrivere come
(m1 +m2)2+2m2(Vp2+mV-m1) =m�.
[7. 1 87]
[7. 188]
[7. 1 89]
La quantità in parentesi è evidentemente sempre positiva e quindi m� > (m 1 + m 2 ) 2 ,
ossia
[7. 190]
come anticipato . Cerchiamo di capire il significato fi sico di questa relazione . Intro­
ducendo le energie cinetiche delle particelle, la legge di conservazione dell'energia
[7.185] assume la fo rma
T1+m1+m2=T3+m3,
da cui
T1=T3+!1m,
dove abbiamo definito la differenza di massa !1m come
[7.19 l]
[7.19 2]
[7.19 3]
Dalla [7.190] si desume che !1m è positiva. La [7. l 92] ci dice che l'energia cinetica
della parti cella I (che è l'energia cinetica totale del sistema prima dell'urto) si tra­
sforma in parte nell' energia cinetica della particella 3, e in parte in energia di massa.
Nel processo inverso, il decadimento 1-72+3, che analizzeremo nel § 7. 10.1, l'e­
nergia di massa della parti cella l si trasforma in energia cinetica dei prodotti 2 e 3.
Nei sistema del centro di massa C'.Jl c M) la particella 3 viene prodotta a riposo, dal
momento che, per definizione, p f + p i =Oe, per la conservazione del momento,
p'j = p f + Pi=O. Il bilancio dell'energia è
[7 .194]

276
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
cioè
Tf+Ti=t:.m.
[7. 195]
In 'J{ CM • quindi, tutta l'energia cinetica dello stato iniziale si trasforma in energia di
massa, producendo l'eccesso di massa t:.m.
7. 8.2. Processi dip roduzione
I processi di produzione,
I+2�3+4+...+N,
[7. 196]
sono estremamente comuni nella fi sica subnucleare . Negli urti tra protoni ad alta
energia, ad esempio, lo stato fi nale contiene abitualmente molte particelle (protoni,
neutroni, pioni ecc .). Alle energie del Tevatron, un acceleratore in fu nzione al Fermi­
lab (USA) che raggiunge Vs = 1800 GeV, solo un quarto degli urti protone-protone è
elastico; gli altri sono eventi anelastici e, in particolare, di produzione multipla (il nu­
mero medio di particelle prodotte è di qualche decina).
Una reazione come la [7.196] può aver luogo solo se l'energia del sistema iniziale
1 + 2 supera un certo valore, detto energia di soglia , che dipende dalla massa delle par­
ticelle coinvolte. In generale, la condizione che deve essere soddisfatta è (vedi [7.46] )
[7. 197]
doveW2= (p,+P2
)2 = (p 3 + p4 + ... + PN)2 è la massa invariante delle particelle (ini­
ziali o fi nali).
Nel sistema del centro di massa si ha W=Ef + Ei = E*, e la [7. 197] diventa (j=
= particelle fi nali)
E* � 'Lm1.
f
[7. 198]
La quantità al secondo membro è l'energia di soglia in 'J{CM• cioè il valore minimo che
l'energia totale E* deve avere affinché il processo [7.19 6] possa verificarsi.
Nel sistema del laboratorio (in cui p2
= 0), la [7.197] implica
(E,+m
2
)2 - lp1 l 2�('Lm1)
2
,
[7. 199]
f
dacui,ponendoIPi 12 = E?- m?e risolvendoperE1, si trova
[7.200]
La quantità al secondo membro è lenergia di soglia in 'J{ 1 ab · Per l'energia cinetica
T1=E1-m1sitrova
[7.201]

7. 8 I Urti anelastici
277
Esempio
Consideriamo la reazione
p+p�p+p+p+p
[7.202]
in cui una coppia proto ne-antiprotone viene prodotta in una collisione ad alta energia tra due
protoni. Usando m P = m-p = 938 MeV si trova che l'energia di soglia per la reazione [7 .202] nel
si stema del centro di massa è
Eioglia = 4mp = 3.75GeV.
In un anello di collisione, quindi, la [7.202] può aver luogo se l'energia dei fa sci è di almeno
3.75/2 = 1.88 GeV. Nel si stema del laboratorio (in cui uno dei due protoni iniziali è a riposo),
l'energia (totale) di soglia è data dalla [7 .200] e vale
E�
oglia
=
(4me;2 - 2mff
= 7mp = 6.57GeV.
mP
L' energia cinetica di soglia del protone è
pogl ia
=
(4me) 2 - (2mp) 2
= 6m =563GeV
P
2mP
P
•
•
Questa è l'energia minima che un fa scio di protoni deve avere in un acceleratore a bersaglio
fi sso affi nché si verifichi il processo [7.202] . Storicamente, fu attraverso questo processo che
l'antiprotone venne prodotto per la prima volta nel 1955 da Segrè e collaboratori al Bevatrone
di Berkeley (che era in grado di accelerare protoni fi no a un'energia cinetica di 6 GeV).
7. 8. 3. Urti parzialmente inclusivi
Un processo seminclusivo (fig. 7 . lb)
1 +2�3+X,
[7.203)
è descritto da tre variabili cinematiche. Delle 16 componenti dei quadrimomenti delle
particelle 1, 2 e 3 e del sistema X, infatti, solo 3 sono indipendenti - una in più rispet­
to al conteggio effettuato nel § 7 .2, perché non vale la condizione di mass shell per X,
che non è una particella reale. Per descrivere le reazioni seminclusive si usano ab i­
tualmente le variabili s, tela massa invariante del sistema X, M 2 =(p 1 + p2 - p 3)2 ,
detta anche massa mancante . Gli invarianti di Mandelstam sono definiti come in
[7.60-7 .62), ma al posto di p4 compare il quadrimomento Px del sistema X (cioè la
somma dei quadri momenti di tutte le particelle che formano X) .
Nel sistema del centro di massa i quadrimomenti delle particelle 1,2 e 3 sono (sup­
ponendo, come al solito, che l'asse di collisione sia l'asse z e che il momento della
particella uscente giaccia nel piano xz)
pf=(Ef,O,O,p*),
Pi=cm,O, O, - p*),
pj=(Ej,p'*sin�*, O,p'*cos�*).
[7.204)
[7.205)
[7.206)

278
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
Il quadrimomento totale delle particelle che compongono il sistema X sarà scritto come
[7.207]
con E: Z - p} 2 = M 2 (si ricordi che M 2 è una variabile, non una costante).
Le relazioni tra le variabili del centro di massa che compaiono nelle [7.204-7 .207]
e gli invarianti di Mandelstam si possono ottenere dalle corri spondenti fo rmule del
§ 7.5.1 con la sostituzione m4 � M. Negli esperimenti attuali seM 2 sono in genere
molto più grandi delle masse delleparticelle: s, M2 >> mf, m�, m�, m�
.
In questo caso,
applicando le [7.74-7 .76], si ha
E
*_s-M2
3
-
2Vs
.
e, dalle [7.78, 7.80] ,
Vs
p*=
2,
'*
-
s-M2
p
-
2Vs
.
Per l'angolo di diffusione si trova, a partire dalla [7 .82],
.<l*-1
2t
cos u
-
+
M2
.
s-
Nello stesso limite, il momento trasverso della particella uscente è
pf.2=p'*2sin2O*= -r(I-�
2
).
[7.208]
[7.209]
[7.210]
[7.21 l]
Una variabile cinematica comunemente usata per descrivere i processi inclusivi è
la cosiddetta Xp di Feynman, definita come
Xp=
IP�:1,
[7.212]
Pz
dove Pi e p� * sono, rispettivamente, le componenti lungo z del momento della particel­
la 1 (quella che convenzionalmente si muove nella direzione delle z crescenti) e del
momento della particella uscente rivelata (la 3). Con le notazioni delle [7.204-7.206]
abbiamo Ip/*I=p'* cos i>* e Pi =p*. Poichép;* può assumere valori che vanno da
p[ (quando la particella 3 è prodotta come frammento della I) a - P i (quando la parti­
cella 3 è prodotta come fr ammento della 2), la Xp assume valori compresi tra O e 1.
Nella diffusione delle particelle ad alte energie, il momento trasverso della particel­
la rivelata è in genere piuttosto piccolo, si ha cioè i>* = O. Quindi I p; * I=p '* e, dalla
[7.209] ,
IP;*l =
s
;�2
La variabile di Feynman diventa allora (per s, M 2 >> m T , pi2 )
Mz
xp =I-- ,
s
[7.213]
[7.2 14]

7. 8 I Urti anelastici
279
ela [7.2l l]dà
[7.215]
La terna di vari abili (s, xF, pf) è spesso usata in alternativa a (s, t, M 2) per descrivere i
processi semincl usivi.
7.9 . Annichilazione elettrone-positrone
Un processo caratterizzato da una conversione totale di massa in energia è l ' anni­
chilazione elettrone-positrone. Il positrone è l'antiparticella dell'elettrone, e quindi
ha la stessa massa me dell 'elettrone ma carica opposta (cioè positiva). La sua esisten­
za fu teorizzata da Dirac ed esso fu poi scoperto da Anderson nel 1932. Annichilando­
si, un elettrone (e- ) e un positrone ( e + ) producono fo toni ( y) . Mostreremo ora che,
per motivi puramente cinematici, non è possibile che venga prodotto un solo fotone.
Si consideri lipoteti ca reazi one
La legge di con servazione del quadrimomento è
Pe• +Pe = Pr·
Elevando al quadrato, si ha
(p,• +p,-)2 =Pi=O,
cioè
(Ee· +E.-)2-c2(pe• +p,-)2=O.
(7.216]
(7 .217]
(7.218]
[7.219]
Per di mostrare che la reazione (7 .2 16] non può aver luogo faremo vedere che la quan­
tità(pe• +Pe-)2 nonè mainulla.Nel sistemadelcentrodi massasihap:.+p:- = O
e la (7 .2 19] implicherebbe E :· + E :- = O . Ma la somma delle energie dell' elettrone e
del positrone deve essere maggiore della somma delle energie di massa, e non può
quindi annullarsi. Ne consegue che la (7.218] non è vera nel sistema del centro di
massa. Poiché (p,· + p, - ) 2 è un invariante, la (7.218] non può essere vera in alcun si­
stema di riferimento . In definitiva, il processo (7.216] viola la legge di conservazione
del quadrimomento ed è perciò proibito .
L' annichilazione di un elettrone e di un positrone in due foto ni,
(7.220]
è invece possibile. Nel si stema del centro di massa si ha
IPe• I=IPe· I ,
(7.221]

280
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
da cui
Ee+ = Ee- =E..
[7.222]
Anche i fo toni prodotti hanno energie uguali, Er = hv. Si ha quindi, per la legge di
conservazione dell' energia,
hv= Ee =Te + mec2•
[7.223]
Un elettrone e un positrone possono fo rmare un sistema legato, che prende il nome
di positronio. Nel suo livello più basso di energia, il positronio può avere due diversi
valori del momento angolare totale: in unità di n, J =O (stato di singoletto) e J = 1
(stato di tripletto). In un tempo medio di 1.2 X 10- 1 0 s, l'elettrone e il positrone nella
configurazione di singoletto si annichilano producendo due fotoni, secondo la [7.220] .
Poiché l'energia cinetica e l'energia di legame dell' elettrone e del positrone sono
molto più piccole della loro energia di massa, la [7.223] dà per l'energia di ognuno
dei fo toni prodotti
hv=mec2=0.5MeV.
[7.224]
Se il positronio si trova nello stato di tripletto , in virtù della legge di conservazione del
momento angolare, l' e + e l' e- non si annichilano in due fotoni, bensì almeno in t�e,
e++e-�y+y+y.
[7.225]
Questo processo avviene in un tempo medio di 1.4 X 10- 7 s.
La reazione inversa della [7.220] è lap roduzione di copp ie e + e-,
y+y�e+ +e- .
[7.226]
Perché la [7.226] abbia luogo è necessario che i fotoni abbiano, nel sistema del centro
di massa, un'energia complessiva superiore a 2mec 2 = 1 MeV.
Per il motivo già discusso nel caso dell'annichilazione, un singolo fo tone non può
produrre una coppia rea le e + e-; a meno che non interagisca con una particella carica
spettatrice (ad esempio, un elettrone, un protone, o anche un nucleo). Reazioni possi­
bili sono:
y+e-�(e+ +e-)+ e-,
y+p�(e+ + e-)+p.
[7.227]
[7.228]
Un fo tone singolo può invece materi alizzarsi in una coppia virtuale e + e-, che vive
per un tempo limitato e successivamente si annichila producendo un altro fotone.
Questo processo, di natura quantistica, è alla base di un importante fenomeno noto
come p olarizzazione del vuoto.9 La violazione della legge di conservazione dell'ener­
gia nei processi che coinvolgono particelle virtuali è consentita dalla relazione di in­
determinazione di Heisenberg per energia e tempo: le particelle virtuali, infatti , esisto­
no per un tempo finito lit, durante il quale vi è un'incertezza sull'energia del sistema
pari ab.E - h/b.t.
9 La polarizzazione del vuoto nella teoria quantistica dei campi è discussa, ad esempio, da S. Weinberg,
The Quantum Th eory of Fields , Cambridge University Press, Cambridge (UK) 1995, voi . I, § 11. 2 .

7. I O I Decadimenti
281
7.10. Decadimenti
Quasi tutte le particelle conosciute «vivono» per un periodo di tempo limitato (dai
4 X 1 o- 24 secondi del mesone p ai 13 minuti del neutrone), dopo il quale esse decadono
in altre particelle, secondo lo schema generale
1�2+3+... +N.
[7.229)
Qui I è la particella che decade, 2, 3, ... , N sono i prodotti del decadimento. È impos­
sibile prevedere l'is tante esatto in cui la 1 decade. L' analisi temporale del processo è
quindi di tipo statistico. Detto N( t) il numero di particelle di tipo 1 all'istante t, la
legge de i decadimenti è
dN
=
-A,N
dt
'
[7.230)
dove A è una costante (detta costante di decadimento) che rappresenta la probabilità
per unità di tempo che la particella 1 decada. La soluzione della [7.230] è
N(t) =N(O)e- ;.,
.
[7.23 1)
Si è soliti introdurre due altre costanti legate a A, la vita media r e il tempo di dimez­
zamento t,12:
1
r=-
A,'
In2
t112 =rln2 =
T·
[7 .232)
Non saremo interessati ai meccanismi dinamici dei decadimenti, ma solo alla loro
cinematica. Considereremo decadimenti in due corpi (cioè con due particelle nello
stato fi nale),
1 �2+3,
[7.233]
e de cadimenti in tre corp i (cioè con tre particelle nello stato fi nale),
1�2+3+4.
[7.234)
Il sistema di riferimento più comodo in cui analizzare un decadimento è il sistema
di riposo ':J{ R della particella iniziale (che coincide ovviamente con il sistema del cen­
tro di massa delle particelle prodotte). La legge di conservazione dell'energia, appli­
cata al processo generico [7.229), è in ':/{ R (le variabili in ':/{ R saranno contrassegnate
da un asteri sco)
m1 =Ei+E\'+...+E�.
Si ha, d' altra parte,
Ei+Ej+...E��m2+m3+...+mN,
e deve essere quindi
[7.235)
[7.236)
[7.237)

282
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
Dunque, affinché una particella 1 possa decadere nelle particelle 2, 3, ..., N, la sua
massa deve essere superiore alla somma delle masse delle' particelle prodotte . Il co­
siddetto Q del decadimento è la differenza (f = particelle fi nali)
[7.238]
e rappresenta l'energia disponibi le sotto fo rma di energia cinetica dei prodotti di de­
cadimento .
7. I O. I. Decadimenti in 2 corpi
Consideriamo un decadimento in due corpi-
1�2+3.
[7.239]
Faremo vedere che, nel sistema di riposo 'J{ R della particella 1, le energie delle parti­
celle prodotte sono completamente determinate. Per la conservazione del momento, si
hain'J{R
Pi +pj =O.
[7.240]
Le due particelle uscenti sono emesse in direzioni opposte , con momenti uguali in
modulo (fig. 7.8b)
IPiI=IP!1.
La loro distribuzione, per ragioni di simmetria, è isotropa.
La [7.24 1] implica
che riscriviamo come
Per la legge di conservazione dell' energia si ha poi
Ei+Ej=m1•
Dividendo la [7.243] e la [7.244] membro a membro, si ottiene
che, combinata con la [7.244] , dà infine
[7.241]
[7.242]
[7.243]
[7.244]
[7.245]
[7.246]
[7.247]

7. 1 O I Decadimenti
283
Le energie delle particelle prodotte sono dunque, in 'JlR, completamente fi ssate in fu n­
zione delle masse.
Nel sistema del laboratorio 'JC 1 ab, la particella 1 è in moto con una certa velocità v 1 e
decade «in volo» (fig. 7 .8a). Per passare da 'J{R a 'JC 1 ab occorre effettuare un boost con
fJ = v 1 • Consideriamo ad esempio la particella 2. Le trasformazioni di Lorentz delle
componenti del momento di questa particella sono (per le notazioni si fac cia riferi ­
mento alla fi g. 7 .8)
IP2IsiniJ=!PiIsiniJ*,
IP2I cosi}=y(IPiIcosi}* +/3Ei),
[7.248]
[7.249]
dovey=(l-v�)-112•
Dividendo membro a membro le [7.248, 7.249] si ricava la re­
lazione tra gli angoli di emissione in 'J{R e in 'JC 1 ab
'
.a
sin i}*
tanu=
.
y(cos i}* + ��)
La trasformazione di Lorentz dell' energia della particella 2 è
Ez = y(E'{ +/31PiIcosiJ*),
cioè, usando !Pi I = YE'{
2
-
m�,
Ez = r(E'{+/3YE'{
2
-
m� cos iJ*).
[7 .250]
[7.25 1]
[7.252]
Come si vede, lo spettro di E2 è limitato . Il valore massimo E 2 • m ax si ha quando i}* =O.
In questo caso è anche i} = O in virtù della [7 .250], e la particella 2 viene emessa in
'JC 1 ab nella stessa direzione di moto della particella 1 (emissione in avanti). L'energia
massima E2, max è (si ricordi che E'{ è fissata)
Ez. max = r(E'{ +/3YE'{
2
-
m�).
3
(a)
Figura 7.8
1�*
7·,/j"'
3
(b)
[7 .253]
2
Decadimento in due corpi, nel si stema del laboratorio (a) e nel sistema di riposo della particella I (b).

284
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
Il valore minimo di energia E2• m i n corrisponde a O* = O= n, cioè, in X1.b, all'emissione
della particella 2 in direzione opposta a quella del moto di 1 (emissione all'indietro), I
E2, min = r(Ei- (3YEi
2
-
mO.
[7.254]
Si osservi infine che le energie delle particelle prodotte sono correlate agli angoli
di emissione. La trasformazione inversa della [7.252] dà infatti
[7.255]
da cui si ricava
[7.256]
7. 10.2. Decadimenti in 3 corpi
I decadimenti in tre corpi,
l�2+3+4,
[7.257]
sono estremamente comuni nella fisica subnucleare. Il decadimento f3 del neutrone,
ad esempio, è un decadimento in tre corpi (un protone, un elettrone e un antineutrino
elettronico),
[7.258]
Un altro esempio è il decadimento dei mesoni K in tre pioni,
[7.259]
A differenza che in un decadimento a due corpi, le particelle prodotte in un decadi­
mento a tre corpi presentano, nel sistema di riposo della particella che decade ('XR),
uno spettro di energia (non hanno quindi un'energia fi ssata). Per mostrare ciò, comin­
ciamo con lo scrivere la legge di conservazione del quadrimomento in 'J{ R :
[7.260]
Portando p:f al primo membro ed elevando al quadrato, si ottiene
[7.261]
ovvero
pf2 +p"i_2
-
2pf·Pi=pj2+pf+2pj·pt.
[7.262]
Poichéin'J{R ilquadrimomento dellaparticella I èpf =(m1, O,O, 0), si hapi·p:f=
= m 1 Ei, e la [7.262] diventa, usando le condizioni di mass shell,
[7.263]

7. 11 I Reazioni nucleari
Risolviamo ora per E
2
, ponendoIP!I=YE!2- m� eIPtI=Vet
2
-
m
�:
285
Ei= -
2
1
[(mf+mi-m5
-
m
l)-2E!Et + 2YE!2 - m�YE!2
-
m
� cos t>J . [7.264]
m,
Questa relazione lega le energie delle particelle prodotte e l'angolo tra le direzioni di
due di esse. Poiché cos i} è compreso tra - 1 e + 1, Ei ha un valore massimo dato da
E*
_
(mf + mi - m5 -ml)-2E!Et + 2YEf-m�YEf- m�
2.max -
2m,
,
e un valore minimo dato da
*
-
(mf+mi-m5-m
l)-2E!Et - 2VE!2 - m�Ym2
-m�
E2�n-
2
.
.
m,
[7.265]
[7.266]
Nei primi studi sperimentali sul decadimento f3 venivano rivelati solo il protone e l'e­
lettrone fi nali. Il fatto che l'elettrone esibisse uno spettro di energia poteva essere
spiegato in due modi : o ammettendo, come suggeriva Bohr, che la conservazione del­
l'energia fo sse violata a livello nucleare, o ipotizzando, come fe ce Pauli, l'esistenza,
nello stato fi nale, di una terza particella molto elusiva - il neutrino (in realtà, un anti­
neutrino). Come sappiamo, quest' ultima è la spiegazione corretta.
Nell' analisi cinematica dei decadimenti a tre corpi si è soliti introdurre degli inva­
rianti simili alle variabili di Mandelstam e definiti come
[7.267]
Il primo di questi invarianti , s 1 , è la massa al quadrato della particella iniziale; gli
altri , s23 , s 3 4 , s42 , sono le masse invarianti al quadrato delle particelle finali prese a
coppie. Vale la relazione (di fac ile verifica)
[7.268]
La regione fi sica del processo [7 .257] nel piano s23 s34 è chiamata diagramma di Dalitz­
Fa bri.
10
La distribuzione degli eventi di decadimento in questo diagramma permette
di studiare le interazioni tra le particelle fi nali e l'eventuale produzione di risonan­
ze. 11
7.11. Reazioni nucleari
Consideri amo una generica reazione nucleare del tipo
[7.269]
10 R. H. Dalitz, in «Phil. Mag.», 44, 1953, p. 1068; E. Fabri, in «Nuovo Cimento», 11, 1954, p. 479.
11
Si veda, ad esempio, D. H . Perkins, lntroduction to High Energy Physics, Addison-Wesley, Reading
(MA) 1982, § 4.6.

286
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
dove Xi. X
2
,X
3
, ... sono nuclei (o, in parte, nucleoni, cioè protoni e neutroni). La legge
di conservazione dell'energia è
e verrà scritta sinteticamente come (i = nuclei iniziali,f = nuclei fi nali)
LE; =LEr
f
Separando l'energia cinetica e l'energia di riposo, la [7 .271] diventa
LT;+LM;=LT1+LMr
f
f
Introduciamo il cosiddetto Q della reazione, definito come
Q=LM; - LM1=LT1-LT;,
f
f
[7.270]
[7.27 1]
[7.272]
[7.273]
che rappresenta l'energia ri lasciata nella reazione. Se Q >O, la reazione è esoen erge­
tica , cioè fornisce energia. Se Q <O, la reazione è endoenergetica , cioè necessita di
energia dall'esterno per aver luogo.
Una grandezza particolarmente significativa in fi sica nucleare è l'energia di legame
per nucleone b = E/A (vedi § 4.7), riportata nel grafico di fi gura 7 .9 . Come si può no­
tare, b cresce a piccoli valori di A e decresce a partire da A - 50 - 60 . Il valore massi­
mo di b è quello del 5 6Fe (b = 8.8 MeV). Nei Problemi il lettore è invitato a verificare
che il Q di una reazione nucleare è dato da
Q=LA;b; - LA1b1,
f
[7.274]
dove A ; (A1) e b ; ( b1) sono, rispettivamente, i numeri di massa e le energie di legame
per nucleone dei nuclei iniziali (finali).
Fusione nucleare
Se due deutoni (nuclei di deuterio, D) vengono combinati vincendo la fo rza elet­
trostatica repulsiva, si fo rma un nucleo di elio,
D+D--74He.
[7.275]
Questa reazi one è un esempio difu sione nucleare. Essa libera un'energia
Q=2Mo -MHe = 23.85MeV.
[7.276]
La fu sione nucleare è alla base della produzione di energia all ' interno delle stelle,
dove si verificano cicli di processi il cui effetto fi nale è di combinare quattro protoni
per fo rmare 4He, raggi y, neutri ni e positroni, liberando complessivamente circa 26
MeV di energia termica. Uno dei processi intermedi di fu sione è
D+p-73He+y,
[7.277]

7. 11 I Reazioni nucleari
287
con
Q=Mv+mp-M'He = 5.5MeV.
[7.278]
I tentativi di realizzare in laboratorio la fu sione controllata come fo nte di energia uti­
lizzabile, nonostante alcuni progressi, non hanno ancora avuto esito.
Fissione nucleare
Poiché l'energia di legame per nucleone dei nuclei decresce a partire da A - 50 - 60
(fig. 7.9), se un nucleo pesante X 1 (con A ;:2' 60) si spezza in due nuclei più leggeri X2
eX
3
,
9,0
8,5
8,0
7,5
Figura 7.9
N=20 28
Il Il
Z=2028
9
8
7
::;6
�5
.a4
3
2
1
o
lii lii
o
50
10
50
lii
20
A
100
50
lii
30
82
Il
150
A
200
126
I
82
lii
250
Energie di legame per nucleone dei nuclei. I punti sperimentali sono confrontati con la legge semi­
empirica di massa di Bethe-Weizsacker
Fonte B. Povh, K. Rith, C. Scholz e F. Zetsche, Particelle e nuclei, Bollati Boringhieri, Torino 1998.

288
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
questi due frammenti sono legati più fortemente del nucleo originario, e la somma delle
loro masse è minore della massa di X1 • Nel processo (detto di fi ssione nucleare) viene
quindi prodotta energia.
Di particolare interesse applicativo è la fi ssione dell 'isotopo 235 dell'uranio,
23su+n--
-7
9sy+13s1+3n,
[7.279)
chehaunQ =240MeV.
7.12. Radioattività
La radioattività è il decadimento spontaneo di nuclei accompagnato dall 'emissio­
ne di una o più particelle. Ci limiteremo a considerare due tipi di processi radioattivi:
quelli in cui il nucleo emette una particella a, e quelli in cui emette un elettrone (o un
positrone). La legge temporale della radioattività è la stessa di tutti i decadimenti :
N(t) =N(O)e- rtr,
[7.280)
dove N(t) è il numero di nuclei radioattivi ali'istante t e r è la vita media di questi nuclei.
Radioattività a
Il decadimento a di un nucleo �X è il processo
�X -71=iY+ a,
[7.28 1)
in cui viene prodotta una «particella» a, cioè un nucleo di 4He. In accordo con la
[7 .262) l'energia della particella a è legata alle masse da
M2 -M2 +M2
E=
X
Y
a
a
2Mx
[7.282]
Da questa si ottiene facilmente l'espressione dell'energia cinetica Ta = Ea - Mw
T=Q
Mx -My +Ma
a
2Mx
.
Come esempio, ricordiamo il decadimento a dell' 23 8 U:
23su --
-7
234Th + a,
perilqualeQ=4.3MeVeTa= QX234/238=4.2MeV.
Radioattività 13
[7.283]
[7.284]
La radioattività 13 - consiste nell'emissione, da parte di un nucleo, di un elettrone e
di un antineutrino, in seguito alla trasformazione di un neutrone in un protone. Il de­
cadimento 13 - di un nucleo �X è il processo
[7.285)

7. I 3 I Complementi
Un esempio è il decadi mento del carbonio 14:
i
:c�
i
�N +e-+v, .
289
[7.286)
Il caso più elementare di decadimento 13- è quello del neutrone libero (vedi § 7.10.2),
[7.287)
che è reso possibile dal fatto che mli > mP + m.-
Alcuni nuclei instabili possono emettere, invece che un elettrone, un positrone:
�X�z-�Y+e+ + Ve.
Il fe nomeno è noto come radioattività 13+
. Il processo elementare alla base è
p�n+e++Ve.
[7.288)
[7.289)
Poiché mP <mli+me , questa reazione può aver luogo solo all'interno di un nucleo,
che deve modificare la propria energia di legame per fo rnire l'energia pari al difetto
dimassamli+me- mP= 1.81MeV.
7.13. Complementi
7. 13 . 1. Sezioni d'urto e sp azio dellefa si
In un esperi mento d' urto un fa scio di particelle di densità Pi e velocità Vi viene in­
viato su un bersaglio. Una frazione di queste particelle subisce dei processi di diffu ­
sione. Il numero di eventi di diffusione per unità di volume e unità di tempo è propor­
zionale alla densità di fl usso} i =Pi Vi dei proiettili e alla densità pg dei centri diffusori
del bersaglio (che supponiamo sia a riposo) :
[7.290)
La costante di proporzionalità <J1 0 1 è detta sezione d'urto totale ed è, per definizione, il
numero di eventi di diffusione per unità di tempo, per centro diffu sore e per unità di
fl usso incidente . Le dimensioni di <J1 0 1 sono quelle di un' area. L' unità di misura co­
munemente usata è il barn (b),
Ib=10-28m2.
[7.29 1)
Per avere un' idea, la sezione d' urto totale protone-antiprotone all'energia del Teva­
tron (Vs = 1800 GeV) è
<Y{'!i=80 mb.
[7.292)
In generale, <J1 0 1 è la somma di due termini, la sezione d'urto elastica <Yei e quella ane­
lastica <Yane b
[7 .293)

290
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
Il prodotto :i = p 1v1N2 , dove N2 è il numero dei centri diffusori attraversati dal fas cio,
è detto luminosità e ha dimensioni [area X tempoi - 1
• Dalla [7.290] si ricava
[7.294]
e, integrando sul tempo,
[7.295]
dove :i i nt = J :i dt è la luminosità integrata. Al crescere della luminosità aumenta il
numero degli urti, e ciò riduce gli errori statistici sulle misure . La luminosità è dunque
un parametro fo ndamentale delle macchine acceleratrici.
Analizziamo ora le proprietà di invarianza della [7.290] . Poiché il numero di even­
ti di diffusione è ovviamente lo stesso in tutti i sistemi di riferimento e il volume qua­
dridimensionale d V d t è uno scalare di Lorentz, il primo membro della [7.290] è un
invariante relativistico. I\fa ttore diflussof al secondo membro della [7.290]
[7.296]
è stato scritto nel sistema del laboratorio 'Jl 1 ab (cioè nel sistema di riposo del bersa­
glio). Ricordando la legge di trasformazione delle densità, il fattore [7.296] può essere
riespresso come
[7.297]
dove p ? è la densità delle particelle incidenti nel loro sistema di riposo. In 'J{ 1 ab si ha
(vedi [7.57])
lEJ=
Y(p1 ·P2)2-m�m�
[7 .298]
La quantità al secondo membro è uno scalare di Lorentz, la cui espressione in un ge­
nerico sistema di riferimento è
Y(p1 · p2)2 -mfm�
m1m2
= y(v1)y(v2)Y(l-v1 ·v2)2- (l-v
f)(l-v
�)=
= y(v1)y(v2)Y(v1 - v2)2 - (v1 X v2)2.
[7.299]
Combinando le [7.297-7 .299] si ottiene la fo rma invariante del fa ttore di fl usso:
f-
oo
Y(p1 ·p2)2 -mfm�
_
o
Od
2
2_
-
P1P2
-
y(v1)P1Y(v2)P2 v(v1 - v2) -(v1 Xv2) -
m1m2

7. I 3 \ Complementi
291
dove Pi e p2 sono, rispettivamente, le densità del fa scio e del bersaglio in un riferi­
mento generico. La [7 .290] diventa quindi
[7 .301]
con
[7. 302]
che si riduce a
[7.303]
se le particelle l·e 2 sono collineari . Per quanto visto sopra, la sezione d'urto totale
[7. 304]
è una grandezza relativisticamente invariante.
Consideriamo ora il numero di eventi di diffusione per unità di volume e unità di
tempo che producono .uno stato finale con n particelle di quadrimomento p 3 , p4, ... , p,, + 2 :
dNctirAfJ3, p4, ..., p,,
+2) _
-
(p
)d<l><"l
dVdt
-
PiP2VCJ 3,p4, ...,p,, + 2
.
[7 .305]
Qui CJ(p3, p4, ... , p,,
+ 2) è la sezione d'urto differenziale del processo 1 + 2 � 3 + 4 +
+ ... + (n + 2), e d<l><11l è il cosiddetto spazio dellefa si a n corpi:
d<l><11J _(2)4s:4(P _p )
d4p3 d
4
p4d
4
Pn+2
8(o)8(o)(
o)
-
nuin
fin
(2n)
3
(2n)
3 ··· (2n)
3
P3 P4···P11+2X
X8(p�-m�)8(p�- m�)...8(p�+2 - m�
+ 2).
[7.306]
Il significato dei vari termini nella [7.306] è il seguente. La 84(Pi n - Pfi n ) garanti sce la
conservazione del quadrimomento totale: Pi n = P i + p 2 è la somma dei quadrimomenti
iniziali, Pfin = p3 + p4 + ...p,,
+
2 è la somma dei quadrimomenti finali. Le 8(p; - m;)
realizzano i mass shell delle particelle fi nali (che sono asintoticamente libere). Le
8(p2) sono fu nzioni gradino (vedi Appendice D, [D. 12]) che selezionano la soluzione
positivadi (p2)2 = p; + m;:
8(p2)={O perp�<O
1 perPa>O.
[7.307]
Infine, i coefficienti numerici sono arbitrari (la scelta che abbiamo adottato è quella
ab ituale). Poiché (vedi Appendice D, [D.16])
8(p2)8(p� - m;) = 8(p2)8[(p2)2 - p� - m;] =
_
l
Os:O
s:O
_
ls:o
-
2E 8(pa)[u(pa + Ea) + u(pa - Ea)] - 2E u(p0 - Ea), [7.308]
a
a

292
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
con Ea = Vp;, + mI,possiamo integrare sup�,p2, ... 'p�+ 2
sfruttando le o(p� - Ea) e
riscrivere lo spazio delle fa si come
dm.<nJ
_
(2 )4i;,
4
(P _p )�El_ d3P4
"'-1Cuin
fin
(2rc)32E3 (2rc)3 2E4
e la [7.305] come
[7.309)
[7.3 10)
Come si vede dalla [7.306), lo spazio delle fa si è un invariante di Lorentz, e tale è
anche la sezione d'urto differe nziale
(p
)__!_ dNdirr(p3,p4, ..., p
n+2
)
cr 3,p4,...,p,,+z -
f
dVdt
.
[7.3 11)
Le sezioni d' urto sono le osservabili fo ndamentali dei processi d' urto. La loro mi­
sura sperimentale e il loro calcolo teorico costituiscono una parte rilevante dell'atti­
vità di ricerca in fi sica nucleare e subnucleare .
7. 13.2 . Urti elettrone-nucleone
I processi d' urto elettrone-nucleone 12 illustrano in maniera esemplare l'importan­
za che l'analisi cinematica riveste nella fi sica delle alte energie. Una scelta opportuna
delle variabili cinematiche permette talvolta di comprendere dettagli della dinamica
dei processi che altrimenti sfuggirebbero . È quanto accadde tra la fi ne degli anni ses­
santa e l'inizio degli anni settanta, quando un'i nterpretazione teorica (dovuta a Bjorken
e Feynman) dei risultati degli esperimenti di urto anelastico elettrone-protone condot­
ti a SLAC (Stanford Linear Accelerator Center) permi se, grazie all'individuazione di
una conveniente variabile cinematica, di ottenere la prima prova dell 'esistenza dei
quark all 'in terno dei nucleoni. 1 3
Nella teoria quantistica dei campi l'urto elettrone-nucleone è descritto da diagram­
mi di Feynman come quelli di fi gura 7 .1O. L'elettrone interagisce con il nucleone
scambiando un fo tone virtuale (cioè di massa non nulla), rappresentato in figura dalla
linea ondulata.
Detti Pe = (Ee , Pe) e p� = (E�, p �) i quadrimomenti dell ' elettrone iniziale e finale, e q
il quadrimomento del fo tone scambiato, si ha
q=Pe-P�·
[7.3 12)
Ci riferiremo a q come al quadrimomento trasferito. Il quadrato di q è
q2 = (p�-Pe)2=p;2+p;-2p�·Pe = 2m;-2E�Ee+2IP�llPelcostJ, [7.313)
1 2 I nucleoni sono i costituenti del nucleo, cioè i protoni e i neutroni.
1 3 Sulla diffusione elettrone-nucleo ed elettrone-nucleone si veda G. B. West, in «Phys. Rep .», 18,
1975, p. 263. La storia degli esperimenti di SLAC e della loro interpretazione è ricostruita daA. Pickering,
Constructing Quarks, Chicago University Press, Chicago 1984.

7. 13 I Complementi
293
p�
p�
Pe
Pe
X
(a)
(b)
Figura 7.10
Urto elettrone-nucleone con scambio di un fotone virtuale: (a) caso elastico; (b) caso anelastico.
dove m, è la massa dell'elettrone e il è l'angolo di diffusione, cioè l'angolo che l'elettro ­
ne uscente fo rma con la direzione di moto dell'elettrone incidente. Poiché I cos ili ,;
;;
;
1
e E�E,> IP�IIP,I + m;, q2è negativo. Siè solitiintrodurre allora
[7.314]
che è una quantità definita positiva. Nelle situazioni concrete le energie degli elettro­
ni sono molto più grandi della massa elettronica m e : possiamo allora porre E ,=
IPe I
.
E; = I P ; I e trascurare m ; . In questa approssimazione la [7 .313] diventa
Q2 = 2E,E�(I- cosil).
[7 .3 15]
Diffusione elastica
Studiamo innanzi tutto la diffusione elastica. In questo caso il nucleone (N) rimane
intatto dopo l'urto (fig. 7 .1Oa):
e+N4e+N.
[7.3 16]
Siano PN e p � i quadrimomenti del nucleone prima e dopo l'urto. Nel sistema del labo­
ratorio, che è quello che considereremo, si ha PN = (mN, O), dove mN è la massa del nu­
cleone. Come variabili cinematiche indipendenti possiamo scegliere l'energia del fa­
scio E, e l'angolo di diffusione il. Per calcolare l'energia E� dell'elettrone diffu so in
fu nzione di Ee e il, scriviamo la conservazione del quadrimomento nella fo rma
[7.3 17]
da cui, usando le condizioni di mass shell delle particelle e trascurando m ; , si ottiene
m
�=m
�+2pN·Pe - 2p,·p;-2pN·p�=mi+2mNEe - 2EeE�(l-cosil)-2mNE�.
[7.318]

294
Risolvendo per E�, troviamo
E'=
Ee
e
E
1+_
e
(I- COS t'J)
mN
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
[7.3 19]
Come si vede, e come già sappiamo dallo studio generale degli urti elastici, E� è de­
terminata univocamente da tJ, una volta che sia fi ssata l'energia E, della particella in­
cidente. La sezione d'urto del processo, oltre che dalla variabile di stato iniziale E e ,
dipende quindi solo dall'angolo di diffusione tJ, o alternativamente dal quadrimo­
mento trasferito Q 2 , legato a tJ, attraverso le [7.3 15, 7 .319], da
2E;(1- cos tJ)
Q2=
E
[7.320]
1+_
e
(1- COStJ)
mN
Diffusione anelastica
Passiamo ora a considerare il caso anelastico. Al crescere dell'energia, diventa
sempre più probabile che il nucleone non rimanga intatto ma produca una risonanza
(cioè uno stato eccitato metastabile, che indichiamo con N* ),
e+N�e+N*,
[7.321 ]
o si fr ammenti in un insieme di particelle che non vengono identificate (le indicheremo
con X, vedi fig. 7 . lOb),
e+N�e+X.
[7.322]
Il modulo quadro del quadrimomento totale del sistema X (la massa invariante di X) è
[7 .323]
Per descrivere l'urto anelastico elettrone-nucleone abbiamo bisogno di tre variabili
indipendenti . Possiamo usare a questo scopo, oltre a Ee e Q 2 , l'invariante W 2 appena
introdotto . In realtà, risulta più conveniente introdurre una variabile adimensionale,
la x8 di Bj orken, definita come
-
Q2
Xn=
2pN·q
·
[7.324]
Combinando la [7.323] e la [7.324] si ottiene la seguente relazione tra x8 e W 2 :
Q2
xn=
wz
-mi+Q2·
[7.325 ]
Poiché W 2 �mi, la vari abile di Bj orken assume valori compresi tra O e 1. Un altro
utile invariante è
[7 .326]

7. 13 I Complementi
in fu nzione del quale le [7.323, 7 .324] diventano
Q2
xs=
2mNv '
W2=m�-Q2+2mNV.
295
[7.327]
Le coppie di invarianti che vengono abitualmente usate, in aggiunta a Ee, per de­
scrivere l' urto anelastico elettrone-nucleone sono (x, Q 2) o ( v, Q 2). Per determinare
gli intervalli fi sici di queste variabili, osserviamo che il valore minimo di W 2 (e, cor­
ri spondentemente , quello massimo di x8) si ha quando il nucleone emerge intatto dal-
1' urto (diffusione elastica):
[7.328]
In questo caso, x8 è fi ssato e v è proporzionale a Q 2 : ritroviamo così la cinematica
dell'urto elastico descritta in precedenza.
Se viene prodotta una risonanza N* di massa m * , si ha
Q2
W2-m*2 __
_.
..
.
x-
Q2 = 2mNv+mN2 -m*2.
-
_,
,
e-m*2-mi+Q2'
[7 .329]
L' urto è adesso anelastico, ma ancora a due corpi, dal momento che la N* è una parti­
cella reale. Anche in questo caso, quindi, c'è una sola variabile di stato fi nale indipen­
dente. Se si misura la sezione d'urto del processo in funzione di x8 e Q 2 (o v e Q 2),
senza osservare direttamente la risonanza, la produzione della N* è segnalata da un
picco in corrispondenza di W2 =m* 2 , ovvero dei valori di x8 e Q 2 (o ve Q 2) correlati
dalle [7.329] .
Al di sopra delle masse delle risonanze, W 2 assume un continuo di valori corrispon­
denti alla fram mentazione del nucleone bersaglio in un numero imprecisato di parti­
celle di vario tipo . Quando W 2 e Q 2 sono entrambi molto più grandi di m 1
, si dice che
la diffusione è profondamente anelastica (in inglese, deep inelastic scattering, DIS).
Si ha allora
Q2
W2,Q2 >> mi ::
::
:}
xs=
W2+Q2'
Q2 = 2mNv- W2,
[7.330]
dove la W2 è adesso una vari abile indipendente. In un piano di coordinate Q
2
e 2mNv, le re­
lazioni [7.328-7 .330] sono rappresentate dalle rette e dalla regione mostrate in figura 7. L 1 .
Nel sistema del laboratorio, ilprodotto scalare pN· q è dato da
PN·q=mN(Ee-E;),
e quindi
[7.33 1]
[7.332]
In questo sistema di riferimento, la v è, come si vede, lenergia trasferita dall'elettrone.
Combinando la [7.332] con la [7.3 15], si trova
Q2=2E,(E,- v)(1-cos�).
[7.333]

296
Q2
Figura 7.11
ER
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
Rison.
DIS
iJ fissato
e
Il piano cinematico (Q2
, 2mNv). La retta continua etichettata «Elast.» ha equazione Q
2
= 2mNvedèla
bisettrice del quadrante (diffusione elastica). Le rette tratteggiate hanno equazione Q
2
=2mNv+
+m�-m*
2
, con tre valori diversi di m* (produzione di risonanze). L'area indicata con «DIS» corri­
sponde alla regione di diffusione profondamente anelastica. Fissando l'angolo di diffusione iJ nel si­
stema del laboratorio, si ottiene un vincolo dato dalla retta che interseca l'asse delle ascisse in 2mNE,.
A tJ fi ssato, la [7.333) è, nel piano (Q2 , 2 m Nv), 1'equazione di una retta che ha origine
sull' asse Q 2 =Oin v = E e (questo è evidentemente il massimo valore possibile dell'e­
nergia trasferita) . Le intersezioni di questa retta con le rette rappresentate dalle equa­
zioni [7.328, 7 .329) danno i valori di v corrispondenti al picco elastico e ai picchi delle
risonanze (rispettivamente, E e R in fi g. 7 .11; C rappresenta il continuo anelastico).
La sezione d'urto di diffusione elettrone-protone è mostrata in figura 7 .12. Sono
visibili il picco elastico, i picchi delle risonanze e il continuo anelastico. Se la sezione
d'urto viene espressa in fu nzione di x8 e Q 2 , si scopre un fe nomeno importantissimo.
Nel limite profondamente anelastico, essa dipende (approssimativamente) solo da x8,
e non da Q 2 . È possibile interpretare questo comportam ento di scala ipotizzando che
il fotone virtuale colpisca i costituenti puntiformi del nucleone (i quark), e che quindi
l'urto profondamente anelastico elettrone-nucleone sia una «somma» incoerente di
urti elastici elettrone-quark. Come si è detto , fu questa analisi teorica dei dati speri­
mentali a fo rnire la prima evidenza della sottostruttura dei nucleoni.
7. 13.3. Emissione e assorbimento difo toni
I livelli energetici di un sistema legato , quale un atomo o un nucleo, sono discreti,
cioè assumono solo determinati valori . Il livello più basso di energia corrisponde allo
' stato fo ndamentale del sistema. Gli altri livelli vengono detti eccitati.
Rivolgiamo per il momento la nostra attenzione agli atom i. Sia E l'energia dello
stato fo ndamentale di un atomo A. La massa M dell' atomo è legata a E dalla relazione
(in questo paragrafo scriveremo esplicitamente le potenze di c)
E=Mc2.
[7.334)

7. 13 I Complementi
1500
f1
E= 4.879 GeV
�I
�
"'
� 1000
('.J
:(3e:
�1� 500
8= 10°
�\
,-"'��i \ !
!
I
\1J
Diffusione elastica -
(Ridotto di un fattore 15)
O'-
-�-'-
-�
�-'-
-�-'-
-�
�-L-.
.�-
--
-'-�
�-L-�-
-'�
�-'-
--�
�
2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6
E' (GeV)
Figura 7.12
297
La sezione d'urto di diffusione elettrone-protone in funzione di E; a!}= 10°. L'energia del fascio è
E, = 4.879 GeV.
Fonte W. Bartel e altri, in «Phys. Lett.», B28, 1968, p. 148.
Consideriamo ora un atomo eccitato A*. La sua energia è E * > E e la sua massa M * > M.
Si ha
E*=M*c2.
[7.335]
L'atomo eccitato A* può tran sire nello stato fo ndamentale A emettendo un fo tone
(fig. 7.13a)
A* �A+ y.
[7.336]
In seguito all ' emissione, l'atomo, che supponiamo inizialmente a riposo, rincula con
momentop e ha quindi energia (p = IP I)
[7 .337]
Se v è la fr equenza del foto ne, la sua energia e il suo momento sono, rispettivamente,
La conservazione del momento implica
hv
O=p-- ,
e
cioè
e quella dell'energia
hv
p=­
c'
E*=E' + hv=
Yp2c2 + M2c
4
+ hv=
Yp2c2+E2+hv.
[7 .338]
[7.339]
[7.340]

298
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
Sostituendo la [7.339] nella [7.340] , si trova
(E*-hv)2=h2v2+E2,
da cui
E*2-E
z
hv=
2E*
che riscriviamo nella fo rma
[7.341]
[7.342]
[7.343]
dove tiE =E* - E . Poiché tiE è in genere molto piccola rispetto a E * e E, possiamo
porre, nel denominatore della frazione, E * = E = Mc2 , cosicché la [7.343] diventa
hv=tiE(l-��)
[7.344]
2Mc2 '
L'energia del fotone non coincide con tiE a causa del rinculo dell ' atomo, che è co­
munque un effetto molto piccolo. La massa dell' atomo, infatti, è così grande che la
velocità con cui esso rincula dopo l'emissione è molto minore di c. Possiamo quindi
approssimare la [7.337] con
E'=Mc2+T,
,
[7.345]
dove
p2 (hv)2 (tiE)2
T,
=
2M
=
2Mc2
=
2Mc 2
[7.346]
è l'energia cinetica non relativistica di rinculo dell'atomo. Per dare un' idea dell' or­
dine di grandezza delle energie in gioco nei processi fi sici reali, ricordiamo che
tiE è dell'ordine di qualche eV, mentre le masse atomiche vanno da 1 GeV (per l'idro­
geno) a qualche centinaio di GeV. Di conseguenza, l'energia di rinculo è dell'ordine
di 10- 9-10 - 11ev.
Occorre a questo punto aggiungere un'informazione importante . Secondo la mec­
canica quantistica, l'energia dello stato eccitato non è definita esattamente . Poiché
tale stato ha una vita media r fi nita (cioè tende a diseccitarsi dopo un tempo medio
E--
--
--
--
-�
E--
--
--
--
--
(a)
(b)
Figura 7.13
Emissione (a) e assorbimento (b) di un fotone da parte di un atomo (o di un nucleo).

7. 13 I Complementi
299
pari a r) , esso ha uno spettro di energia centrato attorno a E * , con una larghezza r le­
gata a r da una relazione di indeterminazione,
rr=1i.
[7.347]
r, detta larghezza sp ettrale naturale, quantifica l'incertezza sull ' energia del livello ec­
citato . Anche il fotone emesso avrà ovviamente uno spettro di energia di larghezza r.
Studiamo ora il processo fi sico inverso, l'assorbimento. L' atomo può, assorbendo
un fotone, transire dal IivelloE al livello E* (fig. 7.l3b),
y +A�A* .
[7.348]
Il bilancio di momento ed energia dà, in questo caso, per la frequenza v' del fo tone as­
sorbito
hv'=�E(I+
2��2)
.
[7 . 349]
La differe nza tra l'energia del fo tone assorbito e quella del fo tone emesso è quindi
(�E)2
h�v=hv' -hv=-- = 2T
Mc2
n
[7 . 350]
ossia il doppio dell ' energia di rinculo dell' atomo . Per gli atomi questa quantità ri sulta
essere sempre molto più piccola della larghezza spettrale naturale r, cioè dell'incer­
tezza sul! ' energia dei foto ni,
2T, « r (atomi).
[7.35 1]
È possibile quindi che gli atomi riassorbano i fo toni che essi stessi emettono, un fe no­
meno noto come assorbimento risonante.
Passiamo ora a considerare l'emissione e l'as sorbimento di un fotone da parte di
un nucleo. Le relazioni sono le stesse di prima, ma i valori numerici sono alquanto
diversi. Nel caso dei nuclei, infa tti, �E è dell'ordine di IO - 100 KeV e l'energia di
rinculo vale 10- 3
-
10- 1
e V. Le larghezze spettrali naturali, d'altro canto, sono del-
1'ordine di 10- 5
-
10- s eV. Si ha quindi
r « 2T, (nuclei),
[7.352]
e l'as sorbimento risonante non è in generale possibile.
Nel 1958, tuttavia, Rudolf Mèissbauer scoprì che l'assorbimento risonante di fo to­
ni da parte di nuclei può aver luogo se questi nuclei sono coll ocati all'interno di un re­
ticolo cristallino. Il rinculo, infatti, si distribuisce sull ' intero cristallo e, conseguente­
mente, T, decresce di vari ordini di grandezza rispetto al caso di un nucleo libero : si
ha così una situazione in cui T, << r/2 . L'as sorbimento risonante nucleare senza rin­
culo nei cristalli è conosciuto come effe tto Mossbauer.
14
L'importanza pratica di que­
sto fenomeno sta nel fatto che esso permette di compiere misure molto accurate di fre-
1 4 Per un'introduzione all ' effetto Mossbauer, si veda H . .I . Lipkin, Quantum Mechanics, North Holland,
Amsterdam 1986, pp. 30- I I O.

300
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
quenza. Basta infatti una piccolissima variazione della frequenza dei fo toni (dovuta,
ad esempio, a un eventuale moto della sorgente, e al conseguente effetto Doppler)
perché l'assorbimento risonante Mossbauer non abbia luogo. La precisione con cui si
possono misurare variazioni di frequenza è dell'ordine di rtt-.E. Per fare un esempio,
nel caso della linea spettrale di 14.4 KeV del 57Fe, essendo r = 4.6 X 10- 9 eV, la pre­
cisione è dell' ordine di 1 parte su 101 2 •
7. 13.4 . Decadim ento f3 e massa del neutrino
Studiando lo spettro degli elettroni emessi nel decadimento f3 dei nuclei è possibi­
le, almeno in linea di principio, stabilire se l'(anti)neutrino ha massa diversa da zero .
Consideriamo dunque il processo
il cui bilancio energetico è ( i etichetta il nucleo iniziale, f quello fi nale)
M;=M1+T1+E,+Ev.
[7.353]
[7.354]
L'energia cinetica di rinculo del nucleo fi nale T1 può generalmente essere trascurata (per
nuclei con A - 100 essa vale ali ' incirca 10eV), e la [7.354] può essere riscritta come
Q=M;-M1=E,+Ev,
[7.355]
dove Q è l'energia rilasciata nel decadimento.
La teoria quantistica mostra che la di stribuzione degli elettroni in fu nzione dei mo­
menti delle particelle prodotte ha la forma (p, =IPe I. Pv = IPv j)
dn
228
d d -PePv (Q-E,-Ev),
Pe Pv
[7.356]
dove la funzione delta di Dirac esprime la legge di con servazione dell'energia. Consi­
deriamooraduecasi:r)mv=O;11)mv*O.
CASOmv= o
Se l'antineutrino ha massa nulla, la sua relazione energia-momento è Ev = P v· e la
[7.356] diventa
dn
228
dp,dp v
- PePv (Q-E, -Pv).
Integriamo su Pv usando la deltae poniamop� = E; - m;,
dn
2
2
2
d-(E, - m,)(Q-E,) .
Pe
[7.357]
[7.358)
Per riscrivere questo spettro in fu nzione dell'energia E., differe nziamo il mass shell
E;=p; +m;,
[7.359]

7. 13 I Complementi
301
e ricaviamo dpe :
d-
Ee
dE
Pe-,�2
e·
VE;-me
[7.360)
Sostituendo questa relazione nella [7.358) si trova
[7.361)
che è la distribuzione di energia degli elettroni emessi, nell'ipotesi che la massa del­
!'antineutrino sia nulla. Si noti in particolare che
dn
=O
EQ
dEe
per
e=
.
È d' uso riportare in un diagramma (detto grafico di Kurie) la quantità
(dn
)112
dE
K(Ee) =
e
Ee\/E;- m;
Nelcasom;;
;
= O si ha, dalla [7.36 1),
K(Ee) -Q -Ee.
[7 .362)
[7.363]
[7.364)
Il grafico di K(Ee) è quindi una retta che interseca lasse delle ascisse nel punto Ee = Q
(fig. 7. 14).
K
Figura 7.14
Grafico di Kurie.
/�\
'
'
'
'
'
'
I
:
'
'
'
'
'
'
\
O'Q /
....
.
..
'

302
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
CASOmv*o
Rifacciamo ora i calcoli supponendo che la massa dell' antineutrino sia diversa da
zero. In questo caso si haEv =
Yp� + m �,ela [7 .356] diventa
dn
2 2s:(
- �2)
dd_
- p,pvuQ-E,-VPv+mv .
PePv
[7.365]
Considerando l'argomento della delta come una fu nzione di P v e usando la proprietà
[D. 15] (Appendice D) delle delta di Dirac , si ottiene
Inseriamo questo risultato nella [7.380] e integriamo su P v,
J2
dn
2
Ee-Q
2
2
2
2
mv
<l-p,
V 2 2[(E,-Q)-mvJ-p,(Q-E,) I-CQ-E)2·
Pe
(E,-Q)-mv
e
[7.366]
[7.367]
Utilizzando la [7. 360] , si ricava lo spettro d'energia degli elettroni nel caso mv * O ,
[7.368]
La radice quadrata distingue questa distribuzione da quella ottenuta in precedenza per
mv= O. Come si vede, la [7.368] si annullaquando (Q - E,)2 = m�, cioè
�=O
EQ
Q
dEe
per
,=
-mv< .
La K(E,) è
[m�]"4
K(E,) -(Q-Ee) l-
(Q _�
,)2
.
[7.369]
[7.370]
La curva corrispondente nel grafico di Kurie (fig. 7 .14) coincide con la retta del caso
mv = O per E, << Q, se ne discosta approssimandosi a E, - Q e interseca l'asse delle
ascisse in E, = Q' ""'Q- mv.
Come si è detto , lo studio sperimentale dello spettro di energia degli elettroni, e in
particolare del grafico di Kurie, permette di determinare mv, o perlomeno di porre un
limite inferiore su questa massa. Le difficoltà nascono dal fatto che mv è presumibil­
mente molto piccola (dell'ordine di qualche eV) e la precisione con cui bisogna misu­
rare K(Ee) deve essere quindi elevatissima, al limite delle prestazioni degli apparati
attuali. Ciò ha impedito finora di ottenere da questo tipo di esperimenti delle evidenze
conclusive a fa vore di una massa non nulla dei neutrini e degli antineutrini.
7. 13.5. La radiazione C
erenko v
Una particella carica che si muove in un mezzo dispersivo con una velocità superio­
re a quella della luce nello stesso mezzo emette delle onde luminose: è la cosiddetta ra ­
diazione C
erenkov, dal nome del fi sico sovietico che la scoprì nel 1935. Se l'indice di

7. 13 I Complementi
303
rifrazione del mezzo è ne la velocità della particella è v, la condizione affinché abbia
luogo leffetto è'.:erenkov è
e
v>-.
n
[7.371]
Indicando con E e I P I l'energia e il momento della particella (di massa m), e usando
la [7.386] si traduce nella condizione
n
2
E>,�mc .
vn-- 1
[7 .372]
[7 .373]
Come si vede in fi gura 7. !Sa, la superficie inviluppante delle onde emesse è un
cono il cui verti ce è la posizione della particella (si noti che il mezzo è perturbato al­
l'indietro). Supponiamo che all'istante t =Ola particella si trovi in O ed emetta un fo ­
tone (fig. 7 .1Sb). Al tempo t, essa si sarà spostata in P, con OP = vt, e il fronte d'onda
avrà un raggio ( c/n)t. Dalla geometria del triangolo rettangolo OHP si ricava il valore
del semiangolo a al vertice del cono di radiazione,
.
OHe
sma=--=
-.
OP nv
[7 .374]
La misura di a permette di determinare la velocità e, nota la massa, l'energia della
particella carica che attrav ersa il mezzo. Viceversa, misurando a (cioè v) e il momen­
to - medi ante un magnete -, si può risalire alla massa della particella.
'
,'
,'
,"""\.�\- '
,'
,
'
/\\\
-----r ------t ------t ---� --r -, ----
'
\
\
I
I
I
I
\
\
I
II
\
'
,,
'..
..
..
.,
�_,/ ,
'
Figura 7.15
L'effetto C erenkov.
(a)
'
'
'
'
,'
o
I
- - -- -\�--------\)��---,: -- --;
',
',
,'
'
'
,
H
(b)

304
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
Problemi
I. Ve locità relativa
Utilizzando la [7.58] si mostri che in un sistema di riferimento in cui due particelle si muo­
vono con velocità v1 e v 2 , la loro velocità rel ativa è
Vrel =
Y(I-V1 ·v2)2-(I-vf)(I-v�)
I -v1 ·v2
2. Collisore HERA
Y(v1-v2)2-(v1Xv2)2
I-v1·v2
[7.375]
Nell'acceleratore HERA di Amburgo, elettroni di 30 GeV collidono con protoni di 820 GeV.
Calcolare l'energia nel centro di massa di questo processo. Se i protoni fo ssero a riposo, quale
energia do vrebbero avere gli elettroni per raggiungere la stessa energia nel centro di massa di
HERA?
3. Urto elastico nel sistema del laboratorio
Una particella di massa m ed energia cinetica T1 urta elasticamente una particella identica
inizialmente a riposo. Dopo l'urto le due particelle vengono diffu se simmetricamente rispetto
all'asse di collisione (fig. 7 .16). Chiamando a l'angolo tra le direzioni di moto delle particelle
uscenti , si calcoli l'energia totale, il momento totale e cos a in fu nzione di T1 e m.
Risposta :
Figura 7.16
2
cos a=
Ti+4m·
Urto elastico nel sistema del laboratori o. Dopo l'urto le particelle sono diffu se simmetricamente
rispetto all ' asse di collisione.
4. Il sistema di riferimento di Breit
Si descriva la ci nematica di un urto elastico del tipo I + 2 � I' + 2' nel sistema di riferimen­
to di Breit, in cui
Pi+P'1 =O.
[7.376]
(Nel sistema di Breit la particella I viene «riflessa» dopo la collisione).

Problemi
305
5. Va ri abili di Mandelstam
Dimostrare che, in un urto elastico tra particelle di massa uguale (m), gli intervalli fi sici
delle variabili di Mandel stam s, t , u sono
6 . Effe tto Compton su elettroni in moto
Un fo tone viene diffu so elasticamente da un elettrone in moto (fig. 7. 17). Determinare la re­
lazione tra la freq uenza del fo tone prima e dopo l'urto .
Rispo sta :
E,+YE;-m;c4
V
'
= V---;:=:
:
===�--�-- - -
E,+YE;-m ;c4cos iJ+hv(1- cosiJ)
dove E, è l'energia dell'elettrone incidente e abbiamo riportato le corrette potenze di c.
p�
e
Pe
(a)
(b)
Figura 7.17
Diffusione Compton da un elettrone in movimento: (a) prima dell'urto; (b) dopo l'urto.
7. Reazione difotop roduzione
Si consideri la reazione di fo toproduzione
Qual è l'energia minima del fo tone ( y) nel sistema del laboratorio affinché la reazione abbia
luogo?
8. Produzione di coppie
Si consideri la reazione
dove yè un fo tone, e- un elettrone, e+ un positrone ( elettroni e positroni hanno la stessa massa,
m,). Determinare l'energia di soglia del fo tone nel sistema del laboratorio.

306
9. Em issione di un fo tone singolo
Mostrare che il processo
Applicazioni della meccanica relativistica I Cap. 7
non può aver luogo per motivi cinematici.
I O. Decadimento del 1r° in due fo toni
Un pione neutro 1r° (di massa m,,) decade in volo in due fo toni ( fi g. 7 .18),
n°�r+r
Calcolare le energie E 1 e E � dei due fo toni in fu nzione della velocità del pione e degli angoli di
emissione e e 8' .
--�L�
p,,
p�
Figura 7.18
Decadimento in volo di un pione neutro in due fot oni .
11. Decadimento del muone
Un muone (μ-) decade in un elettrone (e-) , un neutrino muonico (vμ) e un antineutrino elet­
tronico C v,),
Sapendo che la massa del muone è mμ = 106 MeV, quella dell' elettrone è m, = 0.5 MeV e quel­
le del neutrino e dell'antineutrino sono nulle ( o quasi), calcol are l ' energia cinetica massima
dell 'elettrone nel si stema di riposo del muone.
12. Q di una reazione nuclea re
Esprimere il Q di una reazione nucleare in fu nzione dei numeri di massa dei nuclei e delle
energie di legame per nucleone (cioè verificare la (7 .274]).
13. Reazione nucleare
Si consideri la reazione nucleare tra un deutone (O) e un nucleo di trizio (T) con produzione
di una particella a (cioè un nucleo di 4He) e di un neutrone,
D+T�4He+n.
Sapendo che le energie di legame per nucleone dei nuclei coi nvolti sono
b0 = 1.11 MeV, bT = 2.82 MeV, bHc = 7.06 MeV,
si calcoli il Q della reazione e si dica se essa è endoenergetica o esoenergetica.

Problemi
307
14. Radioattività a
Si mostri che, trasc urando le energie di legame dei nuclei e la piccola differe nza tra la massa
del protone e quella del neutrone, l'energia ci netica della particella a emessa da un nucleo ra­
dioattivo �X è
15. Decadimento dell ' 238U
Sapendo che il tempo di dimezzamento dell'uranio 23 8 U è t 1 12 = 4.5 X 109 anni, si calcoli quan­
to 238 U è decaduto dal momento in cui si è formata la crosta terrestre (2.5 miliardi di anni fa) .
16. Spazio delle fa si a due corpi
Lo spazio delle fa si a due corpi è
[7.377]
Supponendo che le particelle prodotte abbi ano massa uguale (m), mostrare che la [7.377] può
essere riscritta come
d<l>c2J =
_
1_J1- 4m2
dn*
32n2
s
3'
[7 .378]
dove n� è l' angolo solido che identifica la direzione di p 3 nel sistema del centro di massa.
17. Diffusione elettrone-protone
In riferimento alla sezione d' urto elettrone-protone di fi gura 7 .12, verificare che il picco ela­
stico corri sponde a x8 = 1 e determi n are approssimati vamente la massa della risonanza princi­
pale (il cui picco è collocato a E� = 4 .2 GeV).
18. Radiazione Cerenkov
Un elettrone attraversa una lastra di vetro (indice di rifrazione n = 1 .5) emettendo un fo tone
è'.:erenkov. Il semiangolo al vertice del cono di radiazione (vedi fi g. 7 . 15b) è a=4 2°. Quanto
vale l'energia ci netica dell'elettrone?

Capi tolo 8
La teoria elettromagnetica
Nel capitolo introduttivo abbiamo visto che una delle motivazioni originarie della
teoria einsteiniana fu il desiderio di eliminare certe «asimmetrie» nella descrizione
dei fe nomeni elettromagnetici. Queste asimmetrie nascono dall 'in compatibilità tra la
meccanica newtoniana e l'elettrodinamica, che godono di proprietà d'invarianza dif­
ferenti . A dover essere rivista alla luce del principio di relatività è - come si è detto -
la meccanica. La teoria elettromagnetica resta invece immutata: nessuna revisione è
necessaria per le equazioni di Maxwell. In questo capitolo (propedeutico al prossimo,
dedicato alla fo rmulazione covariante del!'elettrodinamica), passeremo in rassegna le
nozioni e i risultati fo ndamentali dell'elettromagnetismo di Maxwell e Lorentz.
8.1 . Le equazioni di Maxwell
L'elettromagneti smo classico è interamente contenuto nelle equazioni di Maxwell,
che governano la dinamica del campo elettrico E e del campo magnetico B . Nel si­
stema di Gauss (il più comodo per la fi sica fo ndamentale) le equazioni di Maxwell
hanno la fo rma
V·E(x, t) =4np(x, t) (Gauss),
V·B(x,t)=O,
V E( ) _!_òB(x,t)
=O
X X,t+
:.
.
·
c
ot
(Faraday-Neumann-Lenz),
V B( ) 1òE(x,t) 4n·e
)
XXt--
=-1Xt
'
c
òt
c
'
(Ampère- Maxwell).
[8. 1]
[8.2]
[8.3]
[8.4]
La [8.2] e la [8.3] sono equazioni omogenee. La [8. 1] e la [8.4] sono equazioni non
omogenee e contengono le sorgenti dei campi: la de nsità di carica p (x, t) e la de nsità
di correntej(x , t) .

8. 2 I Conservazione della carica elettrica
309
Un'altra importante distinzione da notare è quella tra le [8.3, 8.4], che sono vere
equazioni del moto in quanto contengono le derivate temporali dei campi, e le [8. 1, 8.2],
che sono invece dei vincoli. La presenza di questi vincoli riduce il numero di gradi di
libertà effettivi del sistema, cioè delle variabili genuinamente dinamiche (vedi § 8.3).
Come vedremo, la procedura che permette di eliminare le variabili non dinamiche
sfruttando i vincoli non è una procedura covariante. Vi sono dunque due opzioni: o si
conserva la piena covarianza della teoria a costo di considerare tutte le variabili del
campo, comprese quelle che non hanno dinamica, oppure ci si sbarazza di queste ultime
perdendo però la covarianza relativistica e privilegiando quindi un particolare sistema
di riferi mento . A seconda dell'obiettivo che si persegue (risoluzione delle equazioni
del moto in una particolare configurazione, calcolo di osservabili, quantizzazione del
campo ecc .) può essere conveniente procedere in un modo piuttosto che nell'altro .
8.2 . Conservazione della carica elettrica
La den sità di carica pela den sità di corrente j sono definite (implicitamente) nel
seguente modo. La carica elettrica d q contenuta in u.n volume infinitesimo d 3x è
dq = p(x, t)d3x.
[8.5]
La corrente elettrica di attraverso una superficie infi nitesima d<Tè
di =j(x, t) · d<T,
[8.6]
dove d <T = n d O', con n versore normale alla superficie.
L' integrale di dq su un volume Vèla carica Q contenuta all'in terno di quel volume
in un certo istante t
Q(t) = Jp(x, t)d3x.
[8.7]
V
L' integrale di . di su una superficie S (cioè il flusso dij) è la corrente I che fl uisce at­
traverso quella superficie al tempo t
l(t) = Jj(x, t) · d<T.
[8.8]
s
Tra p ej esiste un'importante relazione che esprime in fo rma matematica la legge di
conservazione della carica elettrica (che - conviene ricordarlo - è una legge di natura
sperimentale di cui non è mai stata osservata alcuna violazione) : se la carica Q all'in­
terno di un volume V aumenta, deve esserci un fl usso di corrente entrante (cioè, orien­
tando d<T verso l'esterno, negativo) attraverso la superficie chiusa S che delimita V.
Viceversa, se la cari ca diminuisce, ci deve essere un flusso di corrente uscente (cioè
positivo). La relazione tra p ej è l'equazione di continuità
V-j+a;:=O.
[8.9]

310
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
Il significato di questa equazione diventa chiaro se la riscriviamo in forma integrale.
Integrando il primo e il secondo membro della [8.9] su un volume V si ha
I
[8. 10] 1
dove, tenendo conto del fatto che l'unica quantità dipendente da tè la densità di cari­
ca p (il volume Vèfi ssato), abbiamo portato fuori dal segno di integrale la derivata ri­
spetto al tempo e l'abbiamo scritta come derivata totale. Facciamo ora uso del teore­
ma di Gauss (Appendice A, [A.81]) per trasformare l'integrale di volume al primo
membro della [8. 10] in un integrale sulla superficie chiusa S che delimita V. Ottenia­
mo così
ossia
I=-
dQ
dt
,
[8.11]
[8. 12]
dove Q è la carica in V e I è la corrente che fl uisce attraverso S . Dall' espressione
[8. 12] dell ' equazione di continuità risulta evidente quanto detto prima: se Q aumenta
(dQ/d t > 0), c'è un flusso di corrente negativo, cioè una certa quantità di carica entra
in V; viceversa, se Q diminuisce (dQ/dt <O), c'è un fl usso di corrente positivo, cioè
una certa quantità di carica esce da V.
Se nella [8.11] si fa tendere V a infi nito, cioè si considera la carica Q 1 0 1 contenuta
nell'in tero spazio, l'integrale di superficie al primo membro si annulla, dal momento
che non vi può essere fl usso di carica ali'infinito, e si trova così che la carica totale
dell 'universo è costante
dQlOl
o
Q
dt= �
1 0 1 = costante.
[8. 13]
L'equazione di continuità consegue dalle equazioni di Maxwell, se assumiamo che
la legge di Gauss stabilisca una rel azione tra il campo elettri co e la densità di carica
valida istante p er istante. Derivando infatti i due membri della [8. 1] rispetto al tempo,
si ottiene
a
ap
- V·E=4n-.
dt
dt
[8. 14]
D'altra parte , se si applica l'operatore divergenza alla [8.4] e si usa il fatto che la di­
vergenza di un rotore è nulla, si trova
1a
.
4n
.
-
--
V·E=-V ·1.
edt
e
[8. 15]
Combinando questi due risultati si ottiene la [8.9]. Le equazioni di Maxwell, quindi,
implicano la conservazione della carica elettrica.

8. 2 I Conservazione della carica elettrica
311
Possiamo ragionare diversamente . Se la legge di Gauss è intesa come una condi­
zione valida in un istante fi ssato di tempo t0 , 1 'equazione di continuità non può essere
derivata dalle equazioni di Maxwell, ma è una legge distinta. Si può allora mostrare
(§ 8.1 O. I) che essa implica che il vincolo [8.1] si conservi nel tempo, cioè che valga
per ogni t.
Nel caso in cui le sorgenti siano puntiformi, la loro densità di carica può esprimer­
si mediante fu nzioni delta di Dirac (vedi Appendice D). Una particella di carica e
posta in z ha una densità di carica
p(x, t) = eo3cx - z(t)).
[8. 16]
Se le particelle sono n, hanno cariche e0 e occupano al tempo t le posizioni Z a (t), con
a= L, 2, ... , n, la loro densità di carica totale è la somma delle densità di carica Pa delle
singole particelle
{/
a
Integrando la [8. 17] su un volume V contenente le n cariche troviamo
Jp(x,t)d3x=LeaJo3(x-Za(t))d3x=Lea>
V
a
\I
a
che è la carica totale contenuta ir1 V.
[8. 17]
[8. 18]
La densità di corrente ja associata a ogni singola particella è data dalla densità di
carica Pa di quella particella moltiplicata per la sua velocità Va
[8.19]
La den sità di corrente complessiva del sistema di particelle è dunque
[8.20]
a
È facile verificare che la [8. 17] e la [8.20] soddisfano l'equazione di continuità [8.9] .
Infatti, dalla [8. 17] otteniamo
e, usando (si ricordi che le Pa sono funzioni di x - Z a)
troviamo infine
(Jp= -
"'v·Vp=-V·("'Pv)=-V·1·
Òt
L,
,,;
a
a
,L.Jaa
'
a
a
che è quanto volevasi dimostrare .
[8.21]
[8.22]
[8.23]

312
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
8.3 . Campi longitudinali e campi trasversi
Il campo elettrico E e il campo magnetico B, come tutti i campi vettoriali (vedi Ap­
pendice A), possono essere separati in una componente longitudinale (a rotore nullo)
e in una componente trasversa (a divergenza nulla). Questa scomposizione permette
di evidenziare le vere variabili dinamiche dell' elettromagneti smo. Scriveremo quindi
dove
VxEL=O, V ·Er=O,
VxBL=O, V·B r =O.
Usando V·E r =Onella legge di Gauss [8. 1 ], si trova
V·EL=4np,
Dalla [8.2] segue che B è puramente trasverso, cioè
[8.24]
[8.25]
[8.26]
[8.27]
[8.28] I
La legge di Faraday-Neumann-Lenz [8.3], diventa, in virtù della [8.28] e di V X EL=O,
V
1 òBr
XEr+--
::i- =O.
eut
[8.29]
Se scomponiamo la densità di correntej nella sua parte longitudinalejLein quella
trasversaù, l'equazione di continuità [8.9] si scrive come
[8.30]
Combinando questa relazione con la derivata temporale della legge di Gauss [8.27] si
trova
[8.31]
Poiché un campo vettoriale a rotore e divergenza nulli (e quindi a laplaciano nullo)
che vada a zero all'infinito in maniera sufficientemente rapida è dappertutto nullo
(vedi Appendice A), la [8.3 1] implica
ÒEL
4
.
ai=-
lr] L.
[8.32]
Questo vincolo permette di elimi nare dalla legge di Ampère-Maxwell [8.4] le compo­
nenti longitudinali e di scrivere quindi
[8.33]

8.4 I Lafo rza di Lorentz
313
Abbiamo così separato le equazioni di Maxwell in due gruppi: le equazioni per i
campi trasversi [8.29, 8.33], che sono vere equazioni del moto, dal momento che con­
tengono delle derivate temporali, e le equazioni per i campi longitudinali [8.27, 8.28],
che sono semplici vincoli (si noti che la [8.32] non è un' equazione indipendente, es­
sendo conseguenza della [8.27] e dell'equazione di continuità). Le componenti longi­
tudinali dei campi EL e B L non sono quindi vere variabili dinamiche, essendo fi ssate
istante per istante dalle condizioni [8.27, 8.28]. I gradi di libertà dinamici sono i campi
trasversiEr e Br.
8.4 . La forza di Lorentz
Le equazioni del moto di una particella di massa m, carica e e legge oraria z(t), sog­
getta a un campo elettromagnetico, sono
d
e
-
d
(myv(t)) = eE(z(t), t) + - v(t) X B(z(t), t),
t
c
[8.34]
dove v(t) = dzldt è la velocità della particella, e al secondo membro compare lafo rza
di Lorentz
e
FL =eE+- vXB.
c
[8.35]
I campi E e B sono valutati nel punto z(t) in cui si trova la particella. Chiameremo la [8.34]
equazione di Minkowski-Lorentz. Il momento che appare al primo membro della [8.34],
p=myv,
[8.36]
è il cosiddetto m omento cinetico. Questo momento, come si vedrà, non coincide con il
momento canonico, cioè con il momento canonicamente coniugato alle coordinate
(che chiameremo P) .
In generale, in un problema di elettrodinamica le equazioni di Maxwell [8. 1 -8 .4] e
l'equazione di Minkowski-Lorentz [8.34] sono equazioni accoppiate . Le sorgenti che
compaiono nelle equazioni di Maxwell sono le [8. 16, 8.20] , e queste contengono le
coordinate e le velocità delle particelle, che soddisfano l'equazione di Minkowski­
Lorentz . D'altra parte, la dinamica delle cariche dipende, secondo le [8.34], dai campi,
i quali soddi sfano le equazioni di Maxwell. Vi è dunque un'in terdipendenza tra le sor­
genti e i campi, come si può vedere scrivendo esplicitamente tutte le equazioni :
V·B(x,t)=O,
V E( ) IdB(x,t)
=O
X X,t+
d
,
c
t
[8.37]
[8.38]
[8.39]

314
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
1òE(x,t)_4n�
3
VXB(x,t)--
Ò --L.,;eava(t)O(x - Za(t)),
c
t
ca
d
E
ea
B
-
d
(maYVa(t)) = ea (za(t), t) + -va(t) X (Za(t), t).
t
c
[8.40]
[8.41]
Risolvere leequazioni accoppiate [8.37-8 .4 1] è impresa ardua, addirittura proibitiva.
Per fortuna, nella maggior parte delle situazioni di rilevanza pratica ciò non è neces­
sario, perché o le sorgenti o i campi sono fi ssati, e basta quindi risolvere , nel primo
caso, le equazioni di Maxwell, nel secondo, l'equazione di Minkowski-Lorentz. C'è,
tuttavia, un importante effetto da prendere in considerazi one. Una particella carica, ac­
celerando, emette della radiazione elettromagnetica che retroagisce su di essa, in­
fl uenzandone il moto. È la cosiddetta reazione di ra diazione, di cui si può tener conto
modificando le equazioni del moto della carica, come vedremo nel § 9. 12.
8.5. I potenziali elettromagnetici
Le equazioni di Maxwell possono essere riscritte in una forma più maneggevole in­
troducendo i cosiddetti potenziali elettromagnetici. La strategia consiste nel definire
questi potenziali in modo tale che essi soddisfino le equazioni di Maxwell omogenee,
e nel sostituirli poi nelle equazioni non omogenee.
La [8.2] mostra che il campo magnetico ha divergenza nulla. Esiste perciò una fu nzio­
ne A (x , t) , dettapotenziale vettore (o potenziale magnetico), tale che (vedi Appendice A)
B=VXA.
Sesostituiamo la [8.42] nella [8.3], questa diventa
VXE+_!_�VXA=O,
cut
cioè
VX(E+�:t
A)=O.
[8.42]
[8.43]
[8.44J
P
.
h,1
.
'
E
lòA' .
.
1
.
f
.
()d
01c e a quant1ta +---
--:
:;-
e lfrotaz10na e, esiste una unzione <p x, t , etta poten-
cut
zia/e scalare (o p otenziale elettrico), tale che
1òA
E+--=
-
Vcp.
còt
Il campo elettrico è quindi dato da
1òA
E=- V cp---;Tt·
Nel caso statico questa relazione si riduce a
E = - V<p (caso statico).
[8.45]
[8.46]
[8.47]

8. 6 I Le trasformazioni di gauge
315
Abbiamo introdotto <p e A sfruttando le equazioni di Maxwell omogenee. I poten­
ziali soddi sfano per costruzione queste equazioni: una volta determinati, essi risolvo­
no automaticamente la [8.2] e la [8.3]. Per calcolare <p e A occorre risolvere le loro
equazioni del moto, che si ottengono sostituendo la [8.42] e la [8.46] nelle equazioni
di Maxwell non omogenee.
Usando l'espressione [8.46] nella legge di Gauss [8.1], troviamo
V2
l
VòA
<p+-
·-=
-
4 np.
e
òt
[8.48]
Sostituendo la [8.42] e la [8.46] nella legge di Ampère-Maxwell [8.4], si ottiene
1a
1 a2A 4n.
Vx( VXA )+�at V<p+? òt2 = -;
;-
1,
e, usando l'identità (Appendice A, [A.29])
vxcvxA)=vcv·A)-v2A,
si arriva infi ne a
[8.49]
[8.50]
[8.5 1]
Risolvere le equazioni di Maxwell [8. 1 -8 .4] equivale a risolvere le equazioni dei
potenziali [8.48, 8.5 1 ]. I campi E e B sono poi ottenuti a partire dai potenziali <p e A
usando le relazioni [8.42, 8.46].
8.6 . Le trasformazioni di gauge
Le relazioni [8.42] e [8.46] non determinano univocamente i potenziali <p e A. Dati
i campi E e B, infatti , a essi corrispondono infiniti potenziali elettromagnetici.
Prendiamo ad esempio la [8.42]. Il campo magnetico B non varia se il potenziale
vettore subisce una trasformazione del tipo
A(x, t) �A'(x, t) =A(x, t) + VX(x, t),
[8.52]
dove X(X, t) è una generica fu nzione scalare . Il rotore di un gradiente è infatti nullo,
VXVX=O,e sihaquindi
B�B' = VXA'=VXA+VxVx=VXA=B.
[8.53]
Ricordando la [8.46], si vede che, in seguito alla trasformazione [8.52], il campo
elettrico E cambia come
E�E' = - V<p-l_òA'
=
-
V<p-l_ ÒA _ L�Vx =E- L�Vx. [8.54]
eòt
eòt eòt
eòt

316
La teoria elettromagnetica \ Cap. 8
Se allora, simultaneamente alla [8.52], effettuiamo sul potenziale scalare la trasfor­
mazione
,
_
1 òx(x, t)
cp(x,t)�cp(x,t)-cp(x,t)--
�
,
E non varia. Infatti :
e
ot
E�E'=-Vcp'
_
J_ÒAI
= - V<p+l.VÒX_J_òA_J_l_
_
VX=
eòt
e
òt eòt eòt
1òA
= - Vcp--;ar=E.
[8.55]
[8.56]
Le trasformazioni [8.52] e [8.55] dei potenziali, dette trasformazioni di gauge, la­
sciano dunque invariati i campi e, di conseguenza, le equazioni di Maxwell. Rappre­
sentano perciò una simmetria dell' elettromagnetismo.
L'invarianza di gauge ci dà la libertà di scegliere i potenziali nella maniera più
conveniente . Possiamo cioè imporre su cp e su A delle condizioni (le condizioni di
gauge) che ci permettono di semplificare la descrizione del sistema. Tra le scelte di gau­
ge più comuni vi sono il gauge di Lorentz, il gauge di Co ulomb, il gauge temporale, il
gauge di radiazione .
Prima di descrivere questi gauge, separiamo il potenziale vettore A nelle sue com­
ponenti longitudinale e trasversa:
[8.57]
La trasformazione di gauge [8.52] equivale a (si ricordi che VX è puramente longitu­
dinale)
A�= AT,
A� =AL+Vx.
[8.58]
[8.59]
Si vede così che il potenziale vettore trasverso ATè invariante di gauge, diversamente
da AL e cp che sono invece gauge-dipendenti. Mentre è possibile eliminare AL e/o cp
mediante trasformazioni di gauge, le componenti di AT sono gradi di libertà dinamici
e perciò ineliminabili.
8.6.1. GaugediLorentz
La condizione di gauge di Lorentz è
V·A+l.òcp
=O.
eòt
[8.60]
Questa relazione semplifica notevolmente lequazione [8.5 1] per A, che diventa I' e­
quazione di d'Alembert non omogenea,
v2A -__
_!_
_
a2A
=-
4n.
[8.61]
c2 òt2
eJ.
Inoltre, sostituendo la [8.60] nella [8.48], si trova
1 a2cp
V2rn --- = -4np
't' c2òt2
'
[8.62]

8. 6 I Le trasformazioni di gauge
317
che ha la stessa fo rma della [8.61 ]. In assenza di sorgenti, le [8.61, 8.62] sono le equa­
zioni delle onde (equazioni di d'Alembert omogenee)
v2A-� a2A
=O
c2 dt2
'
2
lè
J
2<p
-
V<p-2
-
a2-O.
c
t
[8.63]
[8.64]
Il principale vantaggio del gauge di Lorentz è la sua covarianza relativistica . Il
primo membro della [8.60] è infatti un invariante di Lorentz (come vedremo nel
§ 9. 1 ). Dunque, se la condizione [8.60] è imposta in un certo sistema inerziale, essa
vale in qualunque altro sistema inerziale. Il gauge di Lorentz, però, ha l'inconvenien­
te di non rimuovere le variabili non dinamiche <peAL.
È importante notare che la [8.60] non fi ssa univocamente i potenziali. Rimane una
certa libertà di gauge, benché più ristretta. Data una coppia di potenziali <p e A che
soddisfano la [8.60] , è possibile, mediante una trasformazione di gauge, ottenere dei
nuovi potenziali <p' e A ' per i quali valga ancora la condizione di Lorentz,
[8.65]
Affinché ciò si verifichi, è necessario che la fu nzione X che genera questa trasforma­
zione di gauge soddisfi l'equazione delle onde
z
1 a2x
-
vx-2-
a2
-
o.
c
t
Sostituendo le [8.52, 8.55] nella [8.65], si trova infatti
2
1acp 1a2x
V ·A+Vx+�Tt-? dt2 =O,
da cui, in virtù della [8.60], segue la [8.66].
[8.66]
[8.67]
L'equazione [8.60] consente di scrivere una delle quattro grandezze <p,An A y , A, in
fu nzione delle altre. Mediante una trasformazione di gauge generata da una x(x, t)
che soddi sfi la [8.66] è possibile poi eliminare un'ulteriore variabile. Complessiva­
mente, quindi, le variabili dinamiche indipendenti sono (come già sappiamo) due.
8.6.2. Gauge di Coulomb
Il gauge di Co ulomb consiste nel porre
V·A=O,
[8.68]
cioè nell'eliminare la componente longitudinale del potenziale vettore
[8.69]
Questo gauge, a differenza del gauge di Lorentz, non è covariante : la [8.68] può valere
solo in un particolare sistema di riferimento inerziale.

318
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
Usando, dopo aver invertito l'ordine del gradiente e della derivata temporale, la
condizione [8.68] nella [8.48], si trova che <p soddisfa l ' equazione di Poisson
V2<p= - 4np.
Nel gauge di Coulomb, dunque, <p è il potenziale di Coulomb istantaneo 1
-
Ip(x',t) 3 ,
<p(x,t)- [x-x'l
dx.
[8.70]
[8.71]
(Questa, a essere precisi, è la soluzione della [8.70] in assenza di superfici di contorno
al finito) .
L'equazione del moto [8.5 1] per A diventa, nel gauge di Coulomb,
V2A__!_d2A
=
_
4n·
+
_!_Vd<p
c2 dt2
e1edt·
[8.72]
Derivando rispetto al tempo la [8.70] e combinandola con l'equazione di continuità
della carica nella fo rma [8.30] , si ottiene
V·(V��-4nù)=O.
[8.73]
Poiché la quantità tra parentesi ha divergenza e rotore nulli (e quindi anche laplaciano
nullo), nell'ipotesi che <p eù vadano a zero all'infinito in maniera sufficientemente
rapida, la [8.73] implica (vedi Appendice A)
V��-4njL=O.
[8.74]
Usando questa relazione nella [8.72], si trova infine
V2A__!_d2A
=
_
4n.
c2 dt2
e
lT·
[8.75]
Nel gauge di Coulomb, la relazione [8.46] tra il campo elettrico e i potenziali si se­
para in due relazioni, una per la componente longitudinale, l'altra per la componente
trasversa,
EL= - V<p,
E-
=
_
_!_()A
T
Cdt.
[8.76]
[8.77]
Si verifica immediatamente che, dato un potenziale A che soddisfa la [8.68], una
trasformazione di gauge generata da una fu nzione X(X, t) a laplaciano nullo,
[8.78]
produce un potenziale A' che è ancora nel gauge di Coulomb. Se si richiede che la tra­
sformazi one A -t A' sia dappertutto regolare, l'unica classe di soluzioni della [8.78] è
X = costante, e si ha dunque A' =A: in questo caso, il gauge di Coulomb è unico.
1 «Istantaneo» vuol dire che <p, in un certo istante di tempo, dipende da p nello stesso istante di tempo.

8. 6 I Le trasformazioni di gauge
8. 6 . 3. Gauge temporale
Nel gauge temporale si pone il potenziale scalare uguale a zero,
<p=O .
In questo gauge, che non è covariante, le equazioni dei potenziali diventano
a
-
V·A= -4ncp
àt
,
V2
I à2A
VV
4n.
A-,---(
·A)=--1.
e àt2
e
8. 6. 4. Gauge di radiazione
319
[8.79]
[8.80]
[8.81]
In assenza di sorgenti è possibile richiedere che valgano sia la [8.68] che la [8.79],
cioè
V·A=O, <p =O.
[8.82]
Questo è il cosiddetto gauge di radiazione, nel quale l'equazione di MaxweH perA è
l'equazione delle onde
v2A__!_à2A
=O
c2 àt2
·
Mostreremo ora che le due condizioni [8.82] sono compatibili se p = O .
[8.83]
Dati dei generici potenziali <p e A, effettuiamo una trasformazione di gatige generata
dalla fu nzione
I
X(x, t)=eJ<p(x, t')dt' .
lo
In questo modo si ottiene
aI
<p' = <p-alJ<p(x,t')dt' = O,
lo
[8.84]
[8.85]
che è la condizione del gauge temporale. Mediante un' u lteriore trasformazione di gauge
"
I
1 à;(
<p=<p
-�
al'
A" =A' + Vx',
facciamo ora in modo che sia
V·A"= V ·A'+V2x'=o.
Una soluzione dell'equazione di Poisson [8.88] per x' è ( V ' = à!àx ' )
'(
,
)--I-
JV' ·A'(x' ,t)
d
3,
xx,t-
4Jr lx'-xl
X.
[8.86]
[8.87]
[8.88]
[8.89]

320
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
Occorre adesso accertarsi che usando questa x ' nella [8.86] il potenziale scal are tra­
sformato <p
"
risulti ancora nullo. Se p =O, l'equazione [8.80], valida per A ' nel gauge
temporale, diventa
1-_V·A ' =O
Òt
,
e, di conseguenza, dalla [8.89],
òx'
ar =O.
La [8.86] dà quindi
<p"
=<p'=O.
[8.90]
[8.9 1]
[8.92]
Abbiamo così dimostrato che, se p =O, è possibile scegliere i potenziali in modo che
soddisfino le condizioni [8.82] del gauge di radiazione.
8.7. Leggi di conservazione
Deriveremo ora, in maniera euristica, le equazioni di continuità che esprimono ma­
tematicamente le leggi di conservazione dell' energia, del momento lineare e del mo­
mento angolare del campo elettromagnetico. Nel fare ciò individueremo le espressio­
ni delle densità di energia, di momento lineare e di momento angolare, in fu nzione di
E e B. Una derivazione rigorosa delle leggi di conservazione è rimandata al capitolo 10
che tratta la teoria classica dei campi, e in particolare ai § § 10.1 1 -10. 13.
8. 7. 1. Conservazione dell 'energia
Si consideri un sistema di campi e di particelle in un volume V. Supporremo che le
particelle non possano uscire da V né entrarvi. La legge di conservazione dell'energia
si può esprimere nel seguente modo : se la somma dell'energia associata ai campi elet­
tromagnetici e dell'energia meccanica delle particelle in V aumenta, allora c'è un
flusso di energia elettromagnetica dall 'esterno verso l'interno. Viceversa, se l'ener­
gia totale (elettromagnetica più meccanica) in V diminuisce, c'è un fl usso uscente di
energia elettromagnetica. In termini matematici, questa legge si traduce in un'equa­
zione della fo rma
d Uem
=
_
<I>
dW
dt
em
dt'
[8.93]
dove Uem è l'energia del campo elettromagnetico, <l> e m è il fl usso di energia elettroma­
gnetica attraverso la superficie S che racchiude il volume V e W è il lavoro compiuto
dal campo sulle particelle. Introducendo la de nsità di energia del campo elettroma-

8. 7 I Leggi di conservazione
321
gnetico Wem e la de nsità di corrente (o di flusso) di energia elettromagnetica <!J> (il
flusso di energia per unità di superficie), avremo
La [8.93) assume la forma
j_Jw d3x=- J'l
l'
·dCJ-
dW
_
dt
em
dt
V
S
[8.94)
[8.95)
[8.96]
Cominciamo col determinare esplicitamente W. Sulle particelle (che occupano le
posizioni Z a e hanno velocità Va) agisce la forza di Lorentz [8.35), la quale compie un
lavoro per unità di tempo
[8.97)
Ricordando che la densità di corrente delle particelle èj =La e av0 83 (x - Z a), e sfrut­
tando la delta di Dirac, la [8.97) può essere riscritta come
dW
-
J. Ed3
dt- ]"
X,
V
e la [8.96) diventa
:tJWemd3x=- J'l
l'
·d<J - Jj·Ed3x.
V
S
V
[8.98)
[8.99)
Il teorema di Gauss (Appendice A, [A.81 ) ) ci permette di riesprimere l'integrale di
superficie come un integrale di volume della divergenza, e ottenere così
:tIWemd3X= -
IV·<!J>d3X-Ij·Ed3X.
V
V
V
Portando la derivata temporale all'interno dell'integrale si ha
JC�;;m + V·'l
l'
+j·E)d3x =O,
da cui, data l'arb itrarietà del volume V, segue
dwem
Vfl
ll
•
--
--af
+·v-=-J
"E.
In assenza di cariche (campo elettromagnetico libero) la [8. 102 ) si riduce a
dwem
+V.'lJ' =O
dt
,
[8. 100]
[8. 101)
[8. 102)
[8. 103)
che è l'equazione di continuità dell 'energia elettromagnetica (in forma differenziale).

322
la teoria elettromagnetica I Cap. 8
Ricaviamo ora le espressioni di w e m e 'li> in fu nzione dei campi. Il punto di partenza
sono le equazioni di Maxwell [8.2, 8.3), che riscriviamo qui per comodità
[8. 104]
[8. 105]
Moltiplicando scalarmente la prima di queste equazioni per E e la seconda per B , e
sottraendo membro a membro si ottiene
I( òE
(JB)
4n.
-
E·- +B·
-
= -(B·V XE-E·V X B) -
-
J'E.
e
òt
òt
e
Usando l'identità vettoriale (Appendice A, [A.33])
B·VxE-E ·VXB=V ·(EXB),
la [8. 106] diventa
la22
V
4n.
TZat(E+B)= -
.
(EXB)--;
;F
E.
[8. 106]
[8. 107]
[8.10 8]
Il confronto con la [8. 102] porta a concludere che la densità di energia elettromagne­
tica Wem e la densità di flusso di energia 'li> sono date da
-
122
Wem -
87r
(E+B),
e
'li>=
4n(EXB).
Il vettore 'li> è detto vettore di Poynting.
8. 7 . 2 . Conservazione del momento
[8. 109]
[8.11 O]
Passiamo ora a studiare la legge di conservazione del momento. Questa legge sta­
bilisce che, se il momento totale del sistema in V (cioè la somma del momento mecca­
nico delle particelle e del momento associato ai campi) varia nel tempo, allora deve
esserci un flusso di momento elettromagnetico attraverso la superficie S che circonda V.
Vediamo ora come ciò si traduce in termini matematici.
Partiamo dalle equazioni di Maxwell non omogenee :
V·E=4np,
VxB-_!_ òE
=
4n
j.
eòt
e
Dalla [8.111] si ricava
E(V ·E)=4npE.
[8.111]
[8. 112]
[8. 113]

8. 7 I Leggi di conservazione
Moltiplicando vettorialmente a sinistra la [8.112] per B si ha
I
()E
4n.
BX(V XB)--B X - =
-
-1 XB.
e
dt
e
Sottraendo membro a membro la [8. 1 13] e la [8. 1 14] otteniamo
I[
1
()E
]1.
-
E(V·E) + -B X- - BX(VXB) =pE+-1 XB.
4n
e
dt
e
Il secondo termine in parentesi quadra può essere riscritto come
323
[8.1 14]
[8. 115]
BX��=-;
t
(EXB)+EX
()
()�=-;
t
(EXB)-cEX(VXE), [8.116]
dove, nel secondo passaggio, abbiamo utilizzato la legge di Faraday -Neumann-Lenz
[8. 105]. Sostituiamo ora la [8. 116 ] nella [8.115] e aggiungiamo al primo membro la
quantità nulla B(V · B):
-
4
1
�(EXB)+pE+J_jXB=
ne ot
e
=
4
1
n
[E(V·E)-EX(VXE)+B(V·B)-BX(VXB)].
L' identità vettoriale (Appendice A, [A.32])
ci permette di scrivere
E;(V·E)-[Ex(VxE)]; = E;(V·E)+(E·V)E; -±d;E2 =
= a1(E;E1-±8iJE2).
Analogamente abbiamo
[8. 117]
[8. 118]
[8. 119]
[8. 120]
e la quantità in parentesi quadre nella [8.117] ri sulta essere dunque la divergenza di
un tensore
dove
4
1
n
[E(V·E)-EX(VXE)+B(V·B)-BX(VXB)];= - d/r;1,
_
1 [Ii:
2
2
]
rii -
4n 2u;j(E +B)-E;E1 -B;B1
[8. 121]
[8. 122]

324
La teoria elettromagnetica 1· Cap. 8
è il cosiddetto tensore degli sfo rz i di Maxwell (un tensore simmetrico di rango 2 nello
spazio euclideo tridimensionale). Dalla [8.117] si ricava quindi
-
4
1
�(EXB);+pE;+J_(jXB);= - Ò/rij.
7rat
e
[8. 123]
Indichiamo con P
mecc
l'impulso meccanico totale delle particelle contenute in V,
ossia la somma dei momenti cinetici delle singole particelle. La variazione di
Pmecc
col tempo, nel!' ipotesi che le particelle non possano uscire da V né entrarvi, è
dovuta alla fo rza di Lorentz esercitata dai campi. Si ha (la somma è sulle particelle)
[8. 124]
dove il passaggio dalla sommatoria ali'integrale è stato effettuato usando I' espressio­
ne [8.20] della densità di correntej.
Se integriamo la [8.123] sul volume V e identifichiamo la quantità
-
iI
3
Pem - 4nc
(EXB)dx
V
col momento totale del campo elettromagnetico in V, avremo
e applicando il teorema di Gauss al secondo membro
[8. 125]
[8. 126]
[8. 127]
La [8. 127] è la legge di conservazione del momento totale (meccanico +elettroma­
gnetico). L' integrando nella [8.125] è la densità di momento elettromagnetico
I
n
em
=-
4
-(EXB),
ne
[8.128]
mentre il tensore di Maxwell r;1 rappresenta la densità difl usso di momento (in parti­
colare, rij è la densità di fl usso della componente i del momento nella direzione j). Si
noti che n
em
è proporzionale al vettore di Poynting, che - lo ricordiamo - rappresenta
la densità di flusso di energia del campo elettromagnetico:
I
1rem
= 2�·
e
La [8. 123] può essere scritta come
Ò7r
em
i
-.,
J
--
--a-;=
+OjTij= - ;,
[8. 129]
[8.1 30]

8. 7 I leggi di conservazione
325
dove/è la densità della fo rza di Lorentz,
f= pE+.ljxB.
c
[8. 131]
Nel caso libero la [8.1 30] si riduce a
[8. 1 32]
che è l'equazione di continuità del momento elettromagnetico.
Il momento trasportato da un campo elettromagnetico dà origine al ben noto fe nome­
no della pressione di radiazione, scoperta un secolo fa da Nichols e Hull negli Stati
Uniti e da Lebedev in Russia: se un fa scio di luce incide su una superficie perfetta­
mente assorbente, esso esercita una pressione (cioè una fo rza per unità di superficie)
pari al momento del fa scio per unità di volume moltiplicato per c,
.
forza momento X c 1 ""
pressione = -- =
=-lf.
area
volume
c
8. 7 . 3. Conservazione del momento angolare
[8.133]
Alla luce della [8. 1 28] possiamo introdurre la densità di momento angolare del
campo elettromagnetico
1
fem=XX1Cem=2XX'lJ,
c
[8. 1 34]
che, integrata su un volume V, dà il momento angolare del campo lem in V (un' identi­
fi cazione che verrà giustificata in seguito, vedi § 10.12)
Derivando la [8. 134] ri spetto al tempo, si trova
aeem
d1C em
1
()Il}
-ar=xXar=?"xXTt,
e, combinando questa re lazione con la [8.1 30],
Il termine contenente il tensore degli sforzi può essere ri scritto come
E;1kx1d(rk1 = E;1kd,(x/rkl) - E;1k(d,xj)rkl = E;1kd,(x1rk1) - E;1kd,1rkl =
= E;1kd1(x1rk1) - E;Jkrki = E;1kd1(x1rkf),
[8. 1 35]
[8. 1 36]
[8. 1 37]
[8.1 38]

326
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
dove l'ultimo passaggio segue dalla simmetria di 'r;1 . La [8. 1 37] diventa quindi
aeem i
:I
�+ u1(e;1kxJ'<kl) = - eiJkxJfk·
[8. 1 39]
Questa è l'equazione che esprime matematicamente la legge di conservazione del
momento angolare . Il tensore
[8. 140]
rappresenta la densità di flusso del momento angolare , e nel secondo membro della
[8. 1 39] si riconosce la densità di momento della fo rza di Lorentz,
m =xXf.
Integrando su un volume V e applicando il teorema di Gauss, si ottiene
dl�
�n
i
=
-
IÀudO", - M;,
[8. 141]
[8. 142]
dove lem è il momento angolare del campo elettromagnetico ali ' interno di V e M è il
momento della fo rza di Lorentz. La [8. 142] mostra che la variazione del momento an­
golare del campo in V è legata al flusso di momento angolare attraverso la superficie
di contorno Seal momento della forza che il campo esercita sulle particelle. In assenza
di cariche (caso libero), la [8. 1 39] si riduce a
aeem, i
:I1-o
-()-(-+ U//lil-
'
che è l'equazione di continuità per il momento angola re .
Un' utile riscrittura della [8. 1 39] è
__;_�(x/51\-x/!P1)+a,(xj'rkl-xk'<11) = - (xjfk-xdj),
eut
che si ottiene usando la [8. 1 36] e l'anti simmetri a del simbolo E;J k ·
[8. 143]
[8. 144]
Torniamo ora all'espressione del momento angolare del campo elettromagnetico
[8. 135]. Ponendo B =VX A , il prodotto vettori ale E X B diventa
(EXB); = [EX(VXA)]; = E;1kEj(VXAh= E;JkEkimEJà1A,,, =
[8. 1 45]
ovvero
EXB=(VA;)E;-E;à;A.
[8. 146]
L'integrando della [8. 1 35] è quindi
xX(EXB)=xX(VA;)E;+E;(à;A)Xx.
[8. 147]
Riscriviamo l'ultimo termi ne come
E;(à;A) Xx=Ò;(E;A Xx)+(x XA)Ò;E; + E;(Ò;x) XA.
[8, 148]

8. 8 I Campo elettromagnetico libero
Un' u lteriore manipolazione dà
[E;(d;x) X A]j = E;Ejk1(d;xk)A, = E;Ejk1D;kA 1 = Ej;1E;A 1 =(E X A)j,
cosicché la [8. 1 47] diventa, nel caso libero (in cui d;E; = 0),
x X (E XB) =xX (VA;)E; + d;(E;A Xx)+E XA.
Sostituendo questo risultato nella [8. 135] sitrova
327
[8. 149]
[8. 1 50]
-
1
IV
3
l
I3
1
f:.3
le m-
4nc
[xX( A;)E;] d x+
4nc
(E XA)d x+
4nc
u;(E;A Xx)d x .
V
V
V
(8.151)
Supponiamo ora che le integrazioni siano estese a tutto lo spazio. Mediante ilteorema
di Gauss possiamo trasformare l'ul timo integrale di volume della [8.151] in un inte­
grale di superficie, che è nullo se i campi vanno a zero all' infinito in maniera suffi ­
cientemente rapida. Il momento angolare del campo risulta quindi composto da due
termini,
dove
-
1
IV
3
Lem -
4nc
[xX( A;)E;]dx
è il momento angolare orbitale, mentre
-
1
I3
Se01 -
4nc
(E XA)d x
[8. 1 52]
[8. 153]
[8. 1 54]
è il cosiddetto momento angolare di sp in . Si noti che l
e m dipende solo dai campi,
mentre L001 e Sem dipendono anche dai potenziali. Il momento angolare orbitale e il
momento angolare di spin non sono dunque separatamente invarianti di gauge.
8.8 . Campo elettromagnetico libero
Nello spazio libero da sorgenti, adottando il gauge di radiazione ( <p =O, V
·A=0),
le equazioni di Maxwell per i potenziali si riducono alla sola equazione de lle onde
(vedi [8.83])
v2A
-
_!_a2A
=O
c
2
dt2
•
Rappresentiamo il potenziale vettore A(x, t) mediante un integrale di Fourier:
A(x, t) = (2�)3
12 Jd3klA(k, t)eik ..
.
.
[8. 155]
[8. 1 56]

328
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
La trasformata inversa è
�(k, t) = (2�)312
Jd3xA(x, t)e- ik · x
.
Sostituendo la [8.1 56] nella [8. 155] si trova
-
-'-Jd3k[k2�(k t) +J_
_
()2�(k,t)J ik·x
=O
(2n)312
,
c2
òt2
e
,
da cui segue
a2�(k,t) i.
.
"'(k )=O
ar2 +m- ,t
,
con (k=l k l)
m =ck.
La soluzione generale della [8.1 59] ha la fo rma
�(k, t)=a(k)e-iwr +a'(k)eiwr,
e, inserita nella [8. 1 56], dà
A(x, t) =J (2d;�12 [a(k)ei(k· x
-
wr)+a'(k)ei(k·x+wt)].
Se nel secondo termine sostituiamo k con - k , la [8. 162] diventa
A(x,t)=J(
2d;�12 [a(k)ei<k x - w1) + ii(k)e- i(k x - w1l
].
[8. 157]
[8. 1 58]
[8. 159]
[8. 160]
[8. 161]
[8. 162]
[8. 163]
dove ii(k) = a ' (-k). Imponendo cheA sia reale, si ha (l'asteri sco indica il complesso
coniugato)
ii(k) = a*(k),
[8. 164]
e l'espressione fi nale di A(x, t) è
A(x, t)=J(2d;�12[a(k)ei<k x - wt)+a*(k)e-i(k x - w1)].
[8. 165]
Per motivi che diverranno chiari in seguito (si veda la discussione dopo le [8. 195,
8. 196]), conviene rinormalizzare la [8.165] nel seguente modo :
A(x, t) =J (2d;�/2J
2
:2
[a(k)ei(k · x
-
wt) +a*(k)e-i(k x - w1)].
[8. 166]

8. 8 I Campo elettromagnetico libero
La [8. 166] è una sovrapposizione di onde piane del tipo
a(k)e=" i(k·x-wt)
,
329
con la pulsazione m legata al numero d'onda k dalla relazione [8. 160]. La condizione
di gauge V ·A =Oimplica
k·a(k)=O.
[8.167]
Le ampiezze delle onde sono quindi perpendicolari al vettore di propagazione k: onde
di questo tipo sono dette trasversali. Si è soliti introdurre due versori di pola rizzazione
e 1 (k) e e2(k) che fo rmano con k una terna ortogonale,
e1•e
2
= e1•k =e2•k =O,
k
E1XE
2
=
k,
in termini dei quali le a(k) possono essere scritte come
cosicché la [8. 166] assume la fo rma
che rende manifesta la tras versalità delle onde.
[8. 168]
[8. 169]
[8. 170]
Consideriamo ora i campi E e B . In assenza di sorgenti le equazioni di Maxwell
[8. 1 -8 .4] diventano
V·E=O,
V·B=O,
1òB
VxE+-- =0
eòt
'
1òE
VXB--- =0.
eòt
[8. 171]
[8.172]
[8. 173]
[8. l 74]
Applicando alla [8. l 73] loperatore rotore e usando l'identità vettoriale (vedi Appendice
A, [A.29])
Vx(VxE)=V(V·E)-V2E,
si tro va
V(V·E)-V2E+_!_l_VxB=O.
eÒt
[8. 175]
[8. 176]
Inserendo in questa equazione la divergenza di E e il rotore di B ricavati dalle [8. 171,
8. 172], si ha
v2E-_}_
_
a2E
=o
c2 Òt2
·
[8. l 77]

330
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
Analogamente, applicando l'operatore rotore alla [8. 174], otteniamo l'equazione per
il campo magnetico
[8. 1 78]
Nel caso libero, quindi, sia E che B soddisfano un' equazione delle onde simile alla
[8. 155]. Le soluzioni generali della [8. 177] e della [8. 178] sono
E(x, t) =J (2d;�/2J
2
:2
[�(k)ei(k·x- wr) + �*(k)e- i(k - x
-
wr) ],
B(x t)=J�J2n
c
2
[OO(k)ei(k·x - wr)+OO*(k)e-i(k·x - wr)].
,
(2n)3
12
w
[8. 179]
[8. 180]
Le equazioni di Maxwell [8.171, 8.172] implicano che le ampiezze � (k) e 00 (k) siano
ortogonali a k ,
k·�(k)=O, k ·OO(k)=O.
[8. 18l]
Sostituendo le [8. 179, 8. 1 80] nella legge di Faraday [8. 1 73] e ricordando la relazione
[8. 160] tra pulsazione e numero d' onda, si trova
OO(k)=�X�(k).
[8. 1 82]
Dalle [8. 181, 8. 182] risulta che k , � e 00 fo rmano una terna di vettori perpendicolari .
Inoltre, il campo elettrico e il campo magnetico sono uguali in modulo
[8. 183]
Studiamo ora la relazione tra le scomposizioni in modi dei campi E e Bequella del
potenziale vettore A . Nel gauge di radiazione si ha
E=
_
_!_dA
e dt'
cioè, usando la [8. 166] e la [8. 1 79],
�(k)=i
w
a(k).
e
Analogamente, da B = V X A e dalle [8.166, 8. 180] , si ricava
OO(k) = ik X a(k).
[8. 184]
[8. 1 85]
[8. 1 86]

8. 8 I Campo elettromagnetico libero
331
Combinando le [8. 185, 8.186) con la [8. 169) , gli integrali di Fourier [8. 179) e [8. 180)
assumono la fo rma
E( )=�J�JJ.nc 2 im
(k)[ (k)i(k·x -wr)_ *(k)-i(k·x
-
wr)]
x,t L.J
(2 )3
12
E.i.
a.i.e
a,.
e
,
.l.=i
n
me
B(x, t) =
,.
�I (�;�12 J2:
2
i[k X e,.(k)] [a.i.(k)ei(k x - wr) - af(k)e- i(h - wr)].
[8. 187)
[8. 1 88)
Rivolgiamo ora la nostra attenzione alle fasi dei campi. Scrivendo le a.i.(k) come
dove e.i. e /3.i. sono quantità reali, le [8.1 87, 8.1 88) diventano
2
J d3k
J2nc2 m
.
E(x,t)=L (2)3
12 --- e ,.(k)c.i.(k) sm (mt - k·x-[3,.),
.l.=i
n
me
2
J d3k
J2nc 2
.
B(x,t)=L (2)3
12 --[kXe.i.(k)]c.i.(k)sm(mt-k ·x -/3.i.).
?.=i
n
m
[8. 189]
[8. 190)
[8. 191)
Gli stati di pola rizzazione delle onde sono definiti in base alla relazione tra le fa si /3 1 e
[32 : le onde sono polarizzate linearmente se /3 1 = {3
2
, mentre sono polarizzate circo­
larmentesec1 =c
2
e/31=/3
2
± n/2.
L'energia Wem e il momento Pem trasportati da un campo elettromagnetico libero
possono essere espressi in fu nzione dei modi a.i. (k) inserendo le rappresentazioni di
Fourier [8. 1 87, 8.1 88) nelle densità [8. 109, 8. 128) e integrando sullo spazio. Per far
questo si può sfruttare un' i mportante proprietà delle trasformate di Fourier: date due
funzioni a quadrato integrabile
F(x) = (2�)3
12
Jd3k?Ji(k)eik x,
G(x) = (2�)3
12
Jd3k<§(k)eik x,
vale l'identità di Parseval generalizzata
Jd3xF*(x) G(x) = J d3k?Ji*(k)<§(k).
Questa re lazione permette di ottenere con qualche calcolo (vedi Problemi)
Uem =
8
1
n
Jd3x(E2 +B2) =.±Jd3kml a.i.(k)I2,
.l.=I
1
2
Pem=-
4
- Jd3x(EXB) =LJd3kkla.i.(k)12.
ne
.l.=I
[8. 192)
[8. 193]
[8. 194)
[8. 195)
[8. 196)

332
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
Ricordando che w e k sono, rispettivamente, l'energia e il momento dei quanti della
radi azione elettromagnetica in unità di ri <vedi § 4.9), poss.iamo interpretare I a" 1 2
come la densità dei modi del campo nello spazio dei vettori d'onda k . Si chiarisce così
la normalizzazione che abbiamo adottato nella [8. 166) .
8.9 . Interazione di una particella carica con il campo elettromagnetico
Faremo ora vedere che l'equazione del moto di una particella carica in un campo
elettromagnetico [8.34) può essere derivata dalla Lagrangiana (z (t) è la legge oraria
della particella e v = dz/d t la sua velocità)
L=L0-U(z,v),
[8. 197 )
dove
r.-7
L0= -mc2�1-
?
-
[8. 198)
è la Lagrangiana relativistica di una particella libera, che abbiamo introdotto nel
§ 6.8.1, e U è il potenziale generalizzato (vedi Appendice E)
e
U(z,v)=e<p(z,t)-
-v · A(z, t).
e
L' equazione di Eulero-Lagrange è
�dL_dL
=O
drdv dz
'
ovvero
d dL0
dU ddU
---
=--+-
-
dt dv
dz dtdv
·
[8. 199)
[8.200)
[8.201)
Con L 0 e U dati rispettivamente dalla [8. 198) e dalla [8. 199], il primo e il secondo
membro della [8.201] sono
ddL0 d
dtdv
=
dt (m yv),
dU ddU
e
edA
-
-
+-- =
-
eV<p+-V(v·A)---.
dz dtdv
e
edt
Usando ora
dA dA
-=-+(v·V)A
dt dt
'
[8.202)
[8.203)
[8.204)

8. 9 I Interazione di una particella carica con il campo elettromagnetico
e l'identità (Appendice A, [A.32])
vX(VXA)=V(v·A)-(v· V)A,
la (8.203] diventa
èJV dèJV
e
eèJA
-
-az+dièJv
=-eV<p+� [v x ( VXA)]-� Tt·
333
(8.205]
(8.206)
Uguagliando la (8.202) e la (8.206) , e sostituendo in quest' ultima le relazioni [8.42) e
[8.46) tra campi e potenziali, si trova infine
d
e
-
d (myv) =eE+-vXB,
t
c
che è l'equazione di Minkowski-Lorentz (8.34) .
[8.207)
Dalla Lagrangiana relativistica (8. 197), che riscriviamo esplicitamente per como­
dità,
Re
L=-mc2
--e<p+-v·A,
c
si ottiene immediatamente il momento canonico
P
-
èJL_
mv
e
A
=--
+-
èJv p;2
c
.
l--
c2
[8.208)
[8.209]
Il primo term ine nella (8.209) è il momento cinetico , cioè il momento di una particella
libera
p =myv.
La relazione traP ep è dunque
e
P=p+-A .
c
[8.210)
(8.21 1)
I due momenti differi scono per un termine proporzionale al potenziale vettore A.
L'Hamiltoniana associata alla Lagrangiana [8.208] è
Scritta in termini di v (cioè come «funzione energia»),
mv2
e
�e·
mc2
H=E =
�+�v·A +mc2
y1--;
;r
+e<p-�
v·A =-J�=
==
+e<p,
yl--;
;r
'
2
[8.212)
[8.213)
essa è la somma dell' energia di particella libera myc2 e del termine di potenziale elet­
trico e<p.

334
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
Per esprimere H in fu nzione di P, os serviamo che
mc2
H-erp= �,
v1-?
p_!.
..
A=-=
m
=v==
e
g·
Quadrando e sottraendo membro a membro si trova
da cui
[(e)2 ]112
H= P -�A c2+m2c4
+erp.
[8.214]
[8.2 15]
[8.2 16]
[8.2 17]
La [8.217] si ottiene formalmente dall 'Hamiltoniana di una particella libera [6.91]
con la sostituzione
e
p �P--A ,
e
e con l'aggiunta del contributo elettrico erp.
[8.218]
Per finire, verifichiamo l'in varianza di gauge del sistema. La presenza dei poten­
ziali elettromagnetici nella Lagrangiana [8.208] potrebbe far pensare che tale inva­
rianza non sussista, dal momento che, evidentemente, L cambia in seguito a una tra­
sformazione di gauge. D'altra parte , le equazioni del moto [8.207] contengono solo i
campi e mostrano chiaramente che il sistema è invariante di gauge. Il punto è che, ef­
fettuando le trasformazioni di gauge [8.52, 8.55], la Lagrangiana diventa
LLI
2r:-v2
1V2
I
e
A'
eaxe
V
� =-mc
V1-7
-erp +�v·
=L+�ai+�v· x=
=L+!.
..
dX
_
edt
[8.219]
L', come si vede, differi sce da L per una derivata totale. Dunque, pur essendo diverse,
L ' e L generano le stesse equazioni del moto : il sistema parti cella-campo è perciò inva­
riante rispetto a trasformazioni di gauge.

8. 10 I Complementi
8.10. Complementi
8. 10.1. 1l problema di Ca uchy per le equazioni di Maxwell
Equazioni di Maxwell in assenza di sorgenti
Consideriamo le equazioni di Maxwell nello spazio libero :
V·E(x, t) =O,
V·B(x, t) =O,
VE()_!_
_
ò B(x, t)
=O
XX,t+
:1
,
e
ot
VB()__!_
_
òE(x , t)
=O
X x,t
-=>
•
e
ot
335
[8.220]
[8.221]
[8.222]
[8.223]
Il problema di Cauchy associato a queste equazioni consiste nel determinare i campi
E(x, t) e B (x, t) che soddisfano le [8.220 -8.223], date certe condizioni iniziali del tipo2
E(x, t0) = E0(x), B(x, t0) = B0(x),
[8.224]
dove E0 e B0 sono fu nzioni assegnate di x. Apparentemente, il problema è sovradeter­
minato giacché le [8.220-8 .223] sono otto equazioni differenziali per le sei compo­
nenti di E e B. In realtà, come abbiamo già sottolineato, le leggi di Gauss elettrica
[8.220] e magneti ca [8.22 1] non sono equazioni del moto, bensì vincoli. È immediato
verificare che, se questi vincoli sono soddisfatti dai campi iniziali E0 e B 0,
V·E0(x) = O,
V·E0(x) =O,
[8.225]
[8.226]
essi sono soddisfatti da E e B in ogni istante di tempo. In altri termini, le [8.225, 8.226]
implicano le [8.220, 8.221]. Prendendo la divergenza della [8.222] si trova infatti
aal V ·B(x, t) =O,
[8.227]
il che vuol dire che V · B(x, t) è indipendente dal tempo. Di conseguenza, se V · B0(x) =
= V·B(x, t0) =O, sarà anche V·B(x, t) =Oper ogni t. Analogamente, a partire dalla
[8.223], si trova che V·E0(x) = V·E(x, t0) =Oimplica V·E(x, t) =Oper ogni t.
Il prob lema di Cauchy può dunque es sere riformulato nel seguente modo: le equa­
zioni da ri solvere sono le [8.222, 8.223], con le condizioni iniziali
E(x, t0) = E0(x), V·E0(x) =O,
B(x, t0) = B0(x), V·B0(x) =O.
[8.228]
[8.229]
2 Sul problema di Cauchy per le equazioni di Maxwell si veda, ad esempio, P. Caldirola, R. Cirelli e
G. M . Prosperi, Introduzione alla Fisica Te orica, UTET, Torino 1982, cap. 2 . Per ciò che riguarda le equa­
zioni alle deri vate parziali della fi sica matematica e i problemi a esse associati, il riferimento classico è
Ph. M . Morse e H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, New York 1953, voi. I, cap. 6 .

336
Equazioni di Maxwell in p resenza di sorgenti
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
Passiamo ora a considerare le equazioni di Maxwell in presenza di sorgenti ,
V·E(x, t) = 4rcp(x, t) ,
V·B(x, t) =O,
V E( ) _!_òB(x,t)
=O
X X,t+
::.
.
,
e
ot
V B( )_1òE(x,t)_4rc.
()
X X,t
::.
.
-
JX,t ,
e
ot
e
con le condizioni iniziali [8.224] .
[8.230]
[8.23 1]
[8.232]
[8.233]
Per ciò che riguarda il campo magnetico, possiamo imporre V·B0(x ) =O, e questa
condizione implica, come prima, V·B(x, t) =Oper ogni t. Per il campo elettrico il di­
scorso è leggermente diverso. Prendendo la divergenza della [8.233] si ottiene
-
;, V·E(x, t) = 4rcV ·j(x, t) .
[8.234]
Usando l'equazione di continuità
V.·e )+
ò p(x, t)
=0
JX,t
Òt
,
[8.235]
dalla [8.234] segue
a
ai{V·E(x,t) -4rcp(x, t)} =O,
[8.236]
e quindi V·E(x, t) - 4rcp(x, t) è indipendente dal tempo. Pertanto, se la legge di
Gauss vale al tempo t
0
per il campo iniziale E0 e per la densità di carica p(x, t0), essa
varrà per E(x, t) e p(x, t) in qualunque istante di tempo. li problema di Cauchy consi­
ste perciò nel risolvere le [8.232, 8.233] con le condizioni iniziali sui campi
E(x, t0) = E0(x), V·E0(x) = 4rcp(x, t0),
B(x, t0) = B0(x), V·B0(x) =O.
[8.237]
[8.238]
L'equazione di continuità [8.235], in questo caso, non deri va dalle equazioni di Maxwell,
ma è una condizione supplementare che deve essere soddisfatta dalle sorgenti.
Equazioni di Maxwell per i potenziali
Consideriamo le equazioni di Maxwell per i potenziali nel gauge di Lorentz (nel
quale, come sappiamo, le equazioni per <p e per A sono disaccoppiate):
V2
1 Ò2<p(x, t) _
<p(x, t)-? òt2
-
-
4rcp(x, t) ,
V2A( )__!_ò2A(x,t)__4rc.
()
x,t
c2
Òt2
-
e
Jx,t .
[8.239]
[8.240]

8. 10 I Complementi
337
Trattandosi di equazioni del secondo ordine nella derivata temporale, le condizioni
iniziali sono del tipo
<p(x , t0) = <p0(x), A(x, t0) =A0(x),
d<p
1�'
t)
Ilo
= <p1(X),
dA
1�'
t)
Ilo
=A1 (X),
[8.241]
[8.242]
con cp0, A 0, <p 1 e A 1 fu nzioni assegnate di x. Il problema di Cauchy consiste nel deter­
minare le soluzioni delle equazioni di Maxwell [8.239, 8.240] che soddisfino le con­
dizioni [8.241, 8.242] e il gauge di Lorentz
V·A( )
l éJ<p(x, t)
=O
X,t+
:i
.
e
ut
[8.243]
Faremo ora vedere che la condizione di Lorentz è equivalente a una coppia di condi­
zioni sui potenziali e sulle sorgenti iniziali. Prendendo la derivata temporale della
[8.239] e la divergenza della [8.240] , e usando l'equazione di continuità [8.235], si
trova
dove
V2A( )_ 1 éJ2A(x,t)
=O
X,t
C2
dt2
,
A(x, t) ""' V·A(x, t) +
1 d<p1x,t)
e
t
[8.244]
[8.245]
Una soluzione dell'equazione delle onde [8.244] che si annulli in t0 assieme alla sua
derivata prima nel tempo,
A(x , t0) =O,
dA(x, t)
I=o
dt
,
lo
[8.246]
[8.247]
è nulla per ogni t. Dunque, le condizioni [8.246, 8.247] implicano A(x, t) =O, cioè il
gauge di Lorentz [8.243]. Le [8.246, 8.247 ], scritte esplicitamente, sono
1
V ·A0(x) +-<p1 (x) =O,
e
V·A1(x)+I a2�(�,t)I =o
.
e
t
fu
[8.248]
[8.249]
Usando l'equazione di Maxwell [8.239] per <p, la [8.249] può essere messa nella forma
V·A 1(x) + cV2cp0(x) + 4ncp(x, t0) =O,
[8.250]
che, come la [8.248], contiene solo le fu nzioni iniziali [8.241, 8.242] . In conclusione,
i vincoli [8.248, 8.250] sono equivalenti al gauge di Lorentz [8.243] e rappresentano
due condizioni iniziali supplementari .

338
La teoria elertromagnetica I Cap. 8
8. 10.2 . Le equazioni di Maxwell in un mezza dispersivo e le relazioni
di Kramers-Kro nig
Le equazioni di Maxwell che abbiamo considerato finora sono quelle «microscopi­
che», valide nel vuoto . In un mezzo materiale, la dinamica dei campi è governata
dalle equazioni di Maxwell «macroscopiche»
V·D =4np1;b,
V·B=O ,
[8.25 1)
[ 8.252]
[8.253)
[8.254)
Qui E e B sono le medie spaziali dei campi che compaiono nelle equazioni microsco­
piche [8. 1 -8.4) . Le altre grandezze nelle [8.25 1 -8 .254] sono: lo spostamento elettrico
D, l'intensità di campo magnetico H, la densità di carica libera p 1;b e la densità di cor­
rente di conduzionejc.
Nel seguito, la nostra attenzione sarà rivolta alle proprietà elettriche del mezzo .
Nell' approssimazione di dipolo, che è applicabile alla maggior parte dei material i, si
può scrivere
D=E+4nP,
[8.255]
dove P è la polarizzazione elettrica (cioè il momento di dipolo per unità di volume).
Se il mezzo è isotropo e omogeneo, e il campo elettrico non è molto intenso e non
varia troppo rapidamente, P risulta essere proporzionale a E,
P=xE.
[8.256)
La costante di proporzionalità X è detta suscettibilità elettrica . La relazione costitutiva
traDedEè
D=cE,
[8.257)
dove E= I + 4nx è la costante dielettrica del mezzo .
Supponiamo ora che il mezzo sia dispersivo, cioè che la sua costante dielettrica di­
penda dalla frequenza del campo E che si propaga in esso. In questo caso, la [ 8.257) è
una relazione valida tra i singoli modi di D ed E. Introducendo le trasformate di Fou­
rier di D ed E rispetto al tempo,
�(x, W)= , �TdteiwiE(x,t),
v2n _00
I+
00
�(x, W) =
,r,c f dtei"''D(x, t),
v2n_oo
[8.258)
[8.259)

8. 10 I Complementi
339
si ha
�(x, w)= t:(w)�(x, w).
[8.260]
Per semplicità di scrittura, ometteremo d'ora in poi la dipendenza spaziale dei campi.
Poiché quando il campo oscilla molto rapidamente il mezzo non si polarizza, t:( w)
tende, per w � oo, alla costante dielettrica del vuoto, che nel sistema di Gauss vale 1.
Passando dalle fr equenze ai tempi, la [8.260] diventa una re lazione non locale in t:
1+-
.
I+-
.
D(t)=--
Jdwe-1w
'�(w)= --
J dwe-1w' t:(w)�(w) =
V2ir--
V2ir-
-
Estraendo da t:( w) la suscettibilità elettrica X( w) ,
t:(w) = 1+4 nx(w),
si ottiene
+�
+�
=
JdtIE(tI)O(t-II)+ J dIIR(t-II)E(tI) =
+-
= E(t) + f dt'R (t - t')E(t'),
[8.26 1]
[8.262]
[8.263]
dove abbiamo introdotto lafunzione di risposta R (t), che è, a parte un fattore, la tra­
sformata di Fourier di X(W),
1+
-
.
R(t) =
2;r; J dwe- 1w147r:X(W).
[8.264]
In conseguenza del principio di causalità nella sua formulazione più semplice (come
principio di an tecedenza : «la causa precede l'effetto»), D(t) può solo dipendere da
E(t') a un tempo t' < t . Ciò significa che deve essere
R(t-t') =O per t<t'.
[8.265]
Questa condizione ha conseguenze importantissime, che emergono facendo uso della
teoria delle fu nzioni analitiche, come ora vedremo. Cominciamo con l'invertire la
[8.264] :
[8.266]

340
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
Poiché, in virtù della [8.265], si ha R ( r) =Oper r < O , possiamo ri scrivere la [8.266)
come
[8.267)
Un teorema di analisi complessa3 afferma che, se una fu nzionef(x) è la trasformata di
Fourier di una fu nzione g(t),
+�
tcx) = I g(t)é"dt,
[8.268)
e g(t) è limitata, a quadrato integrabile e nulla per t <O, allora la continuazione al
campo complesso della [8.268), cioè
+�
�
f(z) = J g(t)ei"dt= J g(t)eiztdt,
o
[8.269)
è analitica nel semipiano Im z >Oe tende a zero uniformemente per z � 00 • La X(w)
soddisfa le condizioni di questo teorema e dunque, come fu nzione della variabile
complessa w, è analitica nel semipiano Im w >O e tende a zero uniformemente per
w � = . Si può allora mostrare che la sua parte reale X , ( w) e la sua parte immaginaria
X;(w) soddisfano delle relazioni di dispersione
1+�
(')
X(w)= -pJ
X;w
dw'
,
n
w'-w
,
1+�
(')
X·(W)=-pJx,w
dw'
'
n
w- w'
'
dove P indica il valore principale dell'integrale.
[8.270)
[8.27 1]
Possiamo riscrivere le [8.27 0, 8.27 l] per l'indice di rifrazione n(w) , ricordando
che per un mezzo non magnetico si ha n 2(w) = e(w) = 1+4 nx(w). Se X non è molto
grande, con buona approssimazione avremo n(w) = Ve(W5 = 1+2nx(w). In termini
della parte reale dell'indice di rifraz ione, n, = 1 + 2 nx , , e della sua parte immaginaria
n; = 2 7rX ;, le [8.27 0, 8.27 1) diventano
1+�
(')
n(w) =l+-P f
n;w
dw'
,
n
w'-w
,
()___!_ +J
� n,(w')-1d
,
n;w-p
,
w.
7r
w-w
[8.27 2)
[8.273)
3 Cfr. E .C. Titchmarsh, lntroduction to the Th eory of Fo urier lntegrals, Clarendon Press, Oxford 1948,
teor. 95, pp . 128-29.

8. 1 O I Complementi
Dalla realtà di D ed E (e quindi di R) e dalla [8.267] segue
x*(m*) =xc- m),
da cui
n*(m*) =n(-m),
Dunque
1
nr(m) =2[n(m) +n*(m*)]
è una fu nzione pari di m, mentre
1
n;(m) =2i[n(m) - n*(m*)]
341
[8.274]
[8.275]
[8.276]
[8.277]
è una fu nzione dispari di m. Usando queste proprietà possiamo riesprimere le [8.272,
8.273] come integrali sulle frequenze positive:
2
J� m1 n;(m1)
1
n/m)=1+-(fJ
12
2dm,
Jr
(I)-(I)
o
()-2m
I� nr(m1)-1
dI
n;m-
ffJ
2
12 m·
Jro(1)-(1)
[8.278]
[8.279]
Le [8.278, 8.279] sono le relazioni di Kramers-Kronig, che esprimono matematica­
mente la condizione di causalità sull ' indice di rifrazione di un mezzo dispersivo.
Per comprendere meglio il significato della parte reale e della parte immaginaria di
n(m), consideriamo un pacchetto d'onde
u(x, t) = TA(m)e
iro(�x - i)
[8.280]
Separando n; e n" un' onda del pacchetto ha la forma
[8.28 1]
e, se n; >O, la sua ampiezza decresce esponenzialmente (cioè l'onda viene progressi­
vamente assorbita dal mezzo). L'assorbimento è dunque legato alla parte immaginaria
n; dell'indice di rifrazione. La dipendenza della parte reale n r da m determina invece la
dispersione del pacchetto, dovuta alla diversa velocità delle onde che lo compongono.
Le [8.278, 8.279] stabiliscono quindi un legame quantitativo tra l'as sorbimento e la
dispersione dei campi elettromagnetici in un mezzo materiale (un legame che deriva
dalla semplice richiesta che la causa preceda l'effetto). Faremo uso delle relazioni di
Kramers- Kronig nel prossimo paragrafo .

342
8. 10.3. Ca usalità e velocità limite de i segnali
La 1eoria e/e11romagne1ica I Cap. 8
La velocità della luce nel vuoto è, come sappiamo, la velocità limite delle particel­
le materiali e dei segnali. Per v � c, infatti, le formule relativistiche dell'energia e del
momento di una particella perdono significato, poiché il fattore lorentziano diverge.
Per ciò che riguarda la trasmissione dei segnali, abbiamo anche visto nel § 2.8 che, se
si ammettessero velocità superluminali, l'ordine temporale di due eventi connessi
causalmente potrebbe essere invertito con un boost, ed esisterebbero quindi sistemi di
riferimento in cui l'effetto precede la causa.
Il problema che ora ci poniamo è che cosa debba intendersi esattamente per ve­
locità di un segnale. Cominciamo col considerare un generico pacchetto d'onde elet­
tromagnetico che si propaga in un mezzo dispersivo caratterizzato da un indice di
rifrazione n(w),
+�
u(x, t) = J A(w)ei[k(w)x
-
wtldw.
Il numero d'onda k(w) è legato a n(w) dalla relazione
k(w) =
wn(w)
.
c
[8.282)
[8.283)
Un qualunque punto di fa se costante delle onde che costituiscono il pacchetto si
muove con una velocità, detta velocità difa se, data da
[8.284)
È evidente che per n < 1 la velocità di fase supera la velocità della luce. Ciò non rappre­
senta un problema, dal momento che v1 non è la velocità con cui si muove il treno d'onde.
Una grandezza più significativa è la cosiddetta velocità di gruppo. Essa è definita
come
[8.285)
dove kr(w) e n,(w) sono le parti reali, rispettivamente, di k(w) e n(w). Nel caso di disper­
sione normale si ha n , > 1 e dn)dw> O, e quindi la velocità di gruppo è minore di c.
Negli intervalli di frequenza in cui c'è dispersione anomala, invece, dn)dw< O ed è
possibile che si abbia v8 > c, v8 = oo, o v8 <O. Velocità di gruppo anomale (cioè su­
perluminali, infinite o negative) danno luogo ad alcuni apparenti paradossi, pur non
essendo vietate da alcun principio fi sico (come vedremo, an zi, esse sono una conse­
guenza della causalità). Un treno d'onde impiega un tempo T=Llv8 ad attraversare
una cella di lunghezza L occupata da un mezzo dispersivo di indice di rifrazione n. La

8. 10 I Complementi
343
stessa distanza nel vuoto è percorsa in un tempo T' = Llc. La differenza tra i due
tempi di propagazione (il cosiddetto rita rdo di gruppo) è
I
LLLd
!iT(m)=T-T =-
-
-
= --[mn(m)-m].
Vg
C
Cdm
r
[8.286]
Se la velocità di gruppo è anomala, il ritardo di gruppo [8.286] è negativo e può esse­
re in modulo maggiore di L/c : il treno d'onde sembra emergere dalla cella più rapida­
mente che se attraversasse uno spazio vuoto, o addirittura prima di entrarvi. Questo
fe nomeno controi ntuitivo non confligge con alcuna legge fi sica nota. Velocità di grup­
po superluminali sono state recentemente osservate in vari esperimenti . 4
Mostreremo ora che, come conseguenza della causalità, in un mezzo dispersivo vi
è sempre un intervallo di frequenze per il quale la velocità di gruppo è superluminale
o negativa.5 La relazione che traduce in termini matematici il principio di causalità è,
come abbiamo visto nel § 8.10.2, la relazione di Kramers-Kronig tra la parte reale n,
e la parte immaginaria n; dell 'indice di rifrazione,
2
J� m'n;( m')
,
n,(m)=I+-ffJ
,2
2dm.
7r
m-m
o
Introduciamo la differe nza di fa se Mp( m)
L
!i<p(m)=-m[n,(m)-I],
e
[8.287]
[8.288]
la cui derivata rispetto a mè il ritardo di gruppo !iT( m) . Velocità di gruppo anomale,
cioè ritardi negativi, implicano che !i<p sia decrescente. Studieremo ora il comporta­
mento di !i<p.
Per m � CX> ci aspettiamo che n , ( m) tenda a 1 (lindice di rifrazione del vuoto), dal
momento che ad alti ssime frequenze il mezzo non riesce a pol arizzarsi. In particolare,
dalla [8.287] si ricava un comportamento asintotico del tipo
m2
n(m)-l-__:
::
:J2_
r
w__,
�
2m2'
[8.289]
dove mP è una costante, dettafre quenza diplasma . Per !i<p si ha corrispondentemente
Lm
1
/),tfl( m) -
-
__:
::
:.J!_
"'
w-->�
e 2m'
[8.290]
e quindi la differenza di fa se tende a zero per valori negati vi. Nel limite m � O la
[8.287] dà (eliminando gli apici)
n,(0)=l+2:._ffJJ
n;( w)
dm,
7ro
m
[8.29 1]
4 M.W.Mitchell e R. Y.Chiao, in «Am. J.Phys.», 66, 1998, p. 14. D .Mugnai, A.Ranfagni e R. Ruggeri, in
«Phy s. Rev. Lett.», 84, 2000, p. 4830. L. J . Wang, A. Kuzmich e A. Dogariu, in «Nature», 406, 2000, p. 277 .
5 E. L. Balda, R.Y . Chiao e J. C. Garri son, in «Phys. Rev.», A48, 1993, p. 3890.

344
�q>(ro)
Figura 8.1
La differenza di fase �q> in fu nzione della frequenza ro.
e la derivata di !:i.<pè
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
(1)
[dJ
L
[ dn,(m)
JL
2L
J� n;(m)
-
!:i.<p(m)
=- n,(m)+m-- -1
= -[n , (0)-1] =-P
-- dm.
dm
w
=o
e
dm
w
=o
e
Tre
0
m
(8.292]
Nel caso di un assorbitore puro - la situazione che considereremo - si ha n; >O e di
conseguenza la [8.292] è positiva,
[dd
m
!:i.<p(m)L= o
>O.
(8.293]
Mettendo assieme la (8.290] e la (8.293] otteniamo per !:i.<p(m) il comportamento qua­
litativo mostrato in figura 8. 1, che fa vedere come vi sia un intervallo di fr equenze in
cui !:i.<p decresce (ossia il ritardo di gruppo è negativo). Per queste frequenze la velo­
cità di gruppo è anomala: un risultato che non contraddice il principio di causalità, di
cui è anzi, come abbiamo mostrato , una conseguenza. È importante notare che nelle
regioni di dispersione anomala la velocità di gruppo non ha significato fi sico e non
può essere identificata con la velocità del segnale. Velocità di gruppo superluminali,
quindi, non mettono a repentaglio la teoria della rel atività.
Il punto delicato del discorso è la definizione di segnale. Con questo termine va inte­
so un treno d' onde perfettamente localizzato nel tempo e nello spazio, e quindi con un
fronte d'onda netto . Un esempio è dato da un' onda piana monocromatica di lunghezza e
durata finite (fig. 8.2). Come faremo ora vedere, la velocità con cui viaggia il fronte di
un segnale non è mai superiore a c . Supponiamo di avere un pacchetto d'onde tale che
u(O,t)=O per t<O,
(8.294]
cioè con un fronte che raggiunge il punto x =Oali'istante t =O. Lo spettro di frequenze
è dato da
1+�
A(m) =
27rJ
u (O, t)eiwr dt.
(8.295]

8. 10 I Complementi
345
u(O,t)
Figura 8.2
Un'onda piana di durata fi nita (è rappresentata l'onda u(O, t) nel punto x = O).
Data l'ipotesi [8.294] , segue dal teorema sulle trasformate di Fourier menzionato nel
§ 8. 1 0.2 che A(m) è analitica nel semipiano Im m > O. Nel punto x il segnale sarà
+�
.
["(lù) ]
u(x, t) = I A(m)e
1"'-
e
-
·
x-r
dm.
[8.296]
i-"'(x-et)
Per m � oo si ha n(m) � l e l'esponenziale nella [8.296] diventa e
e
. Se x>et,
possiamo calcolare l'integrale [8.296] chiudendo il cammino d'integrazione nel semi­
piano superiore di m. Poiché A (m) non ha singolarità in questo semipiano, il risultato è
u(x,t)=O per x>et.
[8.297]
In altri termini , il segnale non arriva nel punto x prima di un tempo t = x/c : la velocità
de lfr onte d'onda , quindi , non supera c.
Da un punto di vista pratico, per rivelare un segnale perfettamente definito nel
tempo occorre avere un analizzatore di spettro che fu nzioni bene su un intervallo infi­
nito di frequenze - una situazione impossibile da realizzare. Si introduce allora la co­
siddetta velocità di segnale, che viene determinata rivelando il passaggio di una data
frazione dell'ampiezza del pacchetto d'onde. La definizione rigorosa della velocità di
segnale è piuttosto complessa, essendo legata alle proprietà analitiche dell'in tegrale di
Fourier [8.282] . Sommerfeld e Brillouin hanno mostrato , attraverso un calcolo espli­
cito, che questa velocità è minore di e in un caso molto generale, quello di un segnale
rappresentato da un' onda piana tronc ata che si propaga in un mezzo dielettrico con
indice di rifrazione dato dalla fo rmula di Lorentz-Lorenz.
6
Problemi
I. Eq uazioni di Maxwell
Mostrare che il campo magnetico soddi sfa l'equazione di D' Alembert non omogenea
v2B-_!_a2B= - 4nVXj' .
c2 a12
e
6 L. Brillouin, Wave Propagation and Group Ve locity, Academic Press, New York 1960 (questo libro
contiene anche un articolo di A. Sommerfeld).

346
2. Trasformazione di dualità
La teoria elettromagnetica I Cap. 8
Verificare che le equazioni di Maxwell in assenza di sorgenti sono invarianti ri spetto alla
trasformazione di dualità
{E' =Ecos 6+ Bsin 6,
B' =-E sin 6+Bcos 6,
dove 6 è una costante arbitraria.
3. Potenziali e sorgenti
Si considerino i potenziali elettromagnetici
<.p=ei
.
pc1, A =(0,O,eipx),
[8.298]
con p costante . Usando le equazioni di Maxwell per i potenziali determinare la densità di carica
pel a densità di correntej che generano questi poten ziali.
Risposta :
P=O, j =(O,O,4cn1/eipx).
4. Gauge di Lorentz, di Coulomb e temporale
Stabilire le condizioni che devono essere soddisfatte dalla fu nzione di gauge X(X , t) affi n­
ché, partendo da generici potenziali <.p e A, si ottenga, mediante una trasformazione di gauge ge­
nerata da x. una coppia di nuovi potenziali <.p ' e A' per i qual i valga: 1 ) il gauge di Lorentz ; 11) il
gauge di Coulomb; 111) il gauge temporal e.
5. Trasformazioni di gauge (I)
Dati i potenziali
<.p=tyy2+z2, A=(O,+(y-z),+(y-z)),
verificare se essi soddi sfano i gauge di Coulomb e di Lorentz. Determinare la trasformazione di
gauge che lascia invariato <.p e trasforma A in
A' = (0,O,y).
Risp osta . La fu nzione di gauge della trasformazione cercata è
1
1
x=-
4(/-z2)+2zy+cost.
6. Trasformazioni di gauge (Il)
Dati i potenziali (r = IxI)
e
<.p =-,
A =O,
r
si determini la fu nzione di gauge X(X, t) tale che il potenziale scalare trasformato sia <.p ' =O.
Qual è il corri spondente potenziale vettore A'?

Problemi
347
7. Relazione tra campi e potenziali
Dati i potenziali
<p= - E0z, A =(O,O,BoJ),
con E0 , 8 0 costanti , dire se essi soddisfano il gauge di Lorentz e calcolare i campi E e B .
8. Teoria di London
Mostrare che se la correntej è legata al potenziale vettore A dalla relazione (di London)
j= -}.,2A,
[8.299]
dove À. è una costante reale, il campo magnetico è attenuato spazialmente in maniera esponenziale.
9. Monopoli magnetici
Se esi stessero dei monopoli magnetici, con una densità di carica magnetica p,,
,,
la [8.2] diven­
terebbe
V · B=4rcp,,
,,
[8.300]
In particolare, il campo prodotto da un ipotetico monopolo magnetico puntiforme di carica g è
(r=lxl)
gx
B=3.
r
•
Verificare che i potenziali (in coordinate sferiche)
A<2l =
_
g(I+cos8)�
rsin 8
'
[8.301]
[8.302]
generano entrambi il campo [8.30 I]. Si noti che A ( I ) è singolare per 8 = re, cioè sull' asse delle
z negative, mentre A (2) è singolare per 8 =O, cioè sull' asse delle z positive (il potenziale non
può essere dappertutto regolare, altrimenti si avrebbe V ·B = V · (V XA) = O .
•
Mostrare che i potenziali A( I ) eA(2)
sono legati da una trasform azione di gauge.
IO. Energia di un campo elettrostatico
Mostrare che l'energia del campo elettrostatico generato da una distribuzione di carica p(x) è
U =1-JJ
p(x)p(x')d3 d3 '
em
2 lx-x
'
I
XX.
Suggerimento. Risolvere l'equazione di Poisson V 2<p = - 4rcp e usare la [8. 109] effettuando
un' integrazione per parti .
11. Energia e momento di un campo elettromagnetico libero
Derivare le espressioni [8. 195] e [8. 196] dell'energia e del momento di un campo elettroma­
gnetico libero .

348
12. Campo magnetico unifo rme
la teoria elettromagnetica I Cap. 8
Scrivere la Lagrangiana e l'Hamiltoniana relativistiche di una particella carica in moto in un
campo magnetico costante e uniforme diretto lungo l'asse z.
13. Particella nel campo di un monopolo magnetico
Una particella di massa mecarica elettrica e è soggetta al campo magnetico di un monopolo
X
B=g3 (r= lxl).
r
Mostrare che il momento angolare con servato è
egX
J=xXp--­
cr
e riceve quindi un contributo dal campo del monopolo.

Capitolo 9
Formulazione covariante dell' elettrodinamica
La teoria elettromagnetica è intrinsecamente consistente col principio di relatività. Il
modo più semplice ed elegante per apprezzare questo fatto è riscrivere le leggi dell'elet­
tromagnetismo usando il formalismo covariante che abbiamo introdotto nel capitolo 2i e
applicato alla meccanica nel capitolo 6. È quanto faremo nelle prossime pagine.
Avvertenza. In questo capitolo e nel prossimo indicheremo con xμ un punto generico
dello spazio-tempo, e con z μ la linea di universo di una particella.
9.1 . L'azione dell ' elettrodinamica e il quadripotenziale
Nel § 8.9 abbiamo visto che la Lagrangiana di una particella carica in un campo
elettromagnetico è
[9. 1]
L' azione corri spondente S = J L d t è fatta di due termini :
S=So + Sint·
[9.2]
Il primo è l'azione di particella libera, S
0
= - mcJ ds; il secondo è il termine di inte­
razione,
Sint = - �J(<pcdt-A ·dz).
[9.3]
Il principio di relatività stabilisce che le equazioni del moto che si ottengono da S de­
vono avere la stessa fo rma in tutti i sistemi di riferimento inerziali, e quindi Si n t• come
S0
, deve essere un invariante di Lorentz. Ciò si verifica se <p e A sono le componenti di
un quadrivettore
[9.4]

350
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
cosicché la [9.3] diventa
[9.5]
e risulta essere effettivamente uno scalare lorentziano. L' azione S è dunque
S= - mcJds-�JAμ(Z)dzμ
.
[9.6]
Il quadrivettore A μ(x) è il quadripotenziale elettromagnetico :
1
la sua componente
temporale A o è il potenziale scalare <p, mentre le sue componenti spaziali sono le com­
ponenti del potenziale vettore A .
Il fatto che <p e A costituiscano un quadrivettore, e che la Si nt sia invariante, è, come
abbiamo detto , una conseguenza del principio di rel atività, e quindi, in ultima analisi,
un fatto empirico (giacché il principio di relatività - come non ci stanchiamo di ripe-
tere - si fonda sull'esperimento).
Le trasformazioni di gauge
<p' =<p- ��;,
A' = A+Vx,
riscritte per A μ , sono
dove X è una fu nzione scalare di xμ.
[9.7]
[9.8]
[9.9 ]
È fac ile verificare che, in seguito a una trasformazione di gauge, l'azione di intera­
zione Si n 1--acquista un termine additivo costante che non ha alcun effetto sulle equazio­
ni del moto: è l'invarianza di gauge dell'elettrodinamica che abb iamo già discusso
nel § 8.9 . Sostituendo A μ con A'μ , la [9.5] diventa infatti (indichiamo esplicitamente il
volume di integrazione Q)
S
S,
-
_!!_f e)dμ !!_faxdμ_
s !!_[a"J
int� int-
Aμzz+
aμz-int+X�L,
c
n
c
n
z
c
[9.1O]
dove X[an] è la fu nzione X valutata sulla superficie di contorno a n del volume n .
Evidentemente, 8S ' = 8S, e le equazioni del moto rimangono quindi invariate .
Il gauge di Lorentz [8.60] , in termini del quadripotenziale A μ , è
[9.11]
Come si vede, e come abbiamo anticipato, questo è un gauge cova riante (l'unico a
godere di tale proprietà tra quelli discussi nel § 8.6).
1 Spesso ometteremo il prefisso «quadri-» e chiameremo Aμ «potenziale» elettromagnetico. La stessa
semplificazione terminologica verrà adottata per tutte le grandezze (quadri)vettoriali e (quadri)tensoriali.

9. 2 I Il quadritensore del campo elettromagnetico
351
9.2 . Il quadritensore del campo elettromagnetico
I campi E e B sono le componenti non di quadrivettori , bensì di un quadritensore di
rango 2, il tensore de l campo elettromagnetico Fμ v :
[9. 12]
Per definizione, Fμ v è antisimmetrico:
[9.13]
Di conseguenza, le componenti sulla diagonale sono nulle ( Fii = O), mentre quelle
fu ori diagonale sono legate dalla re lazione F ij = - Fj i . Fμ v ha perciò solo sei compo­
nenti indipendenti, che corri spondono alle tre componenti di E e alle tre componenti
di B. Determineremo le Fμ v usando le relazioni che legano i potenziali <p e A ai campi
EeB,
1élA
E= - V<p--
­
c élt'
B=V XA.
Per le componenti Fi o si ha
cioè
F;o=é)iAo-é)OAi= -é)<p-_!_é)N=Ei
I
Célt.
FIO = Ex,
F20 = Ey, F30 =E,.
Le componenti con indici spaziali, F ij = é) iAj - �N , sono
F12=a1A2-a2AI= - caA-aA)= -
s
X)'
)'X
Z'
Fz3=él2A3-él3A2= - (élA-élA)=-B
)'Z
Z)'
X'
F13=él1A3-él3A1= - (élA-é)A)=B
Xz
zX
Y'
cioè, in sintesi,
Fij =(éliAj-é)jAi)= - EijkBk.
Il tensore Fμ v ha quindi la struttura
-E
-E
-E]
X
)'
.:
:'.
O-B,Bv
B,O
-Bx
.
-ByBxO
[9.14]
[9.15]
[9. 16]
[9 .17]
[9.18]
[9. 19]
[9.20]
[9.21]
[9 .22]
Fμ v è invariante per trasformazioni di gauge, come è fac ile verificare. Effettuando
la [9.9] si ha infatti
Fμv-7F'μv=élμA'v-élvA'μ=élμ(Av-avX)-élv(Aμ-élμX)=
= é)μAV- avAμ-aμavx+avaμx=é)μAV- avAμ=Fμv_
[9 .23]

352
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
Introduciamo ora il tensore duale del campo elettromagnetico fμ v , definito come
F-μv = _!_.,μvpap
2e
pa·
Anche fμ v è un tensore antisimmetrico. Le sue componenti sono
fiO=Bi, fii=éikE
k
,
cioè
F"' � (�,
-
Bx -By
oE,
By-Ez·O
Bz Ey -Ex
-
B,
l- Ey
E
.
X
o
[9.24)
[9.25)
[9.26)
Come si può notare, la [9.26) si ottiene dalla [9.22) con le sostituzioni E�BeB � - E .
Mediante i tensori Fμ v e f μ v possiamo costruire gli invarianti
la cui espressione in termini di E e B è (vedi Problemi)
FμvF = -2(E2-B2)
μv
,
fμvF
μv
=-4E
·
B.
[9.27)
[9.28)
[9.29)
Si vede allora che, se E e B hanno lo stesso modulo e/o sono ortogonali in un certo si­
stema diriferimento inerziale (cioè se siha IEI =IBI e/oE ·B =0), essihannolo
stesso modulo e/o sono ortogonali in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
9.3. La quadridensità di corrente
Per completare la descrizione covariante dell ' elettromagnetismo abbiamo bisogno
di un ulteriore ingrediente : un quadrivettore che contenga le sorgenti , cioè la densità
di carica pela densità di correntej .
Consideriamo per semplicità una sorgente puntiforme (una particella di carica e).
La densità di carica e la densità di corrente sono, come sappiamo,
p(x, t) = e83(x - z(t)),
j(x, t) =e�� 83(x - z(t)) = p(x, t)v,
[9.30]
[9.3 1)
dove z(t) è la posizione della particella e v = dz/d t è la sua velocità. La quadridensità
di corrente (o semplicemente quadricorrente) Jμ è definita come
dzμ
dzμ
Jμ(x)=(pc,pv)=edt83(x-z(t))=pdt,
[9.32)
con xμ = (et, x) e zμ(t) = (et, z(t)). Nonostante non traspaia direttamente dalla [9.32],
la Jμ è, come ora verificheremo, un quadrivettore. Per l'invarianza della carica elettrica,

9. 3 I La quadridensità di corrente
353
la densità di carica p nel sistema di riferimento X in cui la particella ha velocità v è le­
gata alla densità di carica p
0
nel sistema di riposo 'J{ ' della particella da
e=Jp0
tl3x' = Jpd3x,
V
V
[9.33]
dove V è un volume contenente la particella. Tenendo conto della contrazione del vo­
lume si ha
JPod3x ' = JPoY(v)d3x,
V
V
e combinando questa relazione con la [9.33] si ottiene
dt
P=PoY(v)=Poe�
.
Po ssiamo dunque ri scrivere Jμ come
[9.34]
[9.35]
[9.36]
Poiché Po è, per definizione, un invariante, dalla [9.36] si vede che Jμ è effettivamente
un quadrivettore.
Per ricavare un'espressione covariante di Jμ inseriamo nella [9.32] una delta di
Dirac e un integrale sul tempo,
dμ
+�
dμ
1μ (x) =e
d
z
t
o3<x-z<tn=eIdt'
d
�'
o(t-t')o3(x-z(t')) =
+�
dμ
= ecIdt'
d
�'
o4
(x - z(t')),
[9.37]
con zμ( t') = (et', z(t ' )). Con un cambiamento della variabile di integrazione passiamo
da t' all'invariante s, cosicché la [9.37] diventa
+�
dμ
1μ(x)=ecIds
d
�o4<x - z(s)),
[9.38]
che è la forma covariante della quadridensità di corrente di una particella avente come
linea d' universo zμ (s) = (z0(s), z(s)).
In generale - quindi anche nel caso di distribuzioni continue di carica - , la densità
di carica p è, a meno di un fattore e, la componente temporale della quadricorrente Jμ,
mentre la densità di correntej rappresenta le componenti spaziali di Jμ,
Jμ =(lo, ])=(cp,j).
L'equazione di continuità ,
dp
+V·1· = o
dt
,
[9.39]
[9AO]

354
Formulazione covariante de/l 'elettrodinamica I Cap. 9
espressa in termi ni di Jμ è
[9.41]
Sitratta, come è ovvio, di una legge covariante, giacché la conservazione della carica
elettrica deve valere in tutti i sistemi di riferimento.
Si verifica per sostituzione diretta che la [9.38] soddisfa l'equazione di continuità.
Abbiamo infatti
+
�
dμa
+
�
dμa
aJμ(x)=ecfds-
z
---84(x-z(s))= - ec fds-
z---84(x - z(s)) =
μ
-
�
ds òxμ
-�
ds òzμ
+
�
d
[J
s
=+
�
=-ec
_
[dsds84
(x-z(s))= - ec 8
4
(x-z(s)) s
=-�
=
= - ec [o(x0 - z0(s))o3(x - z(s))J::::,
e, poiché per s = ± 00 le fu nzioni delta non hanno supporto, risulta Ò
μ
lμ (x) =O.
[9.42]
Per mezzo di Jμ possiamo riscrivere l'azione di interazione [9.5] tra una particella
e il campo elettromagnetico nella forma
S=
_
!!_fdsA (z)
dzμ
=
_
!!_fdsfd
4
xA (x)o4(x - z(s))
dzμ
=
mt
e
μ
ds
e
μ
ds
=-:
2
Jd
4
xA
μ
(x)Jμ(x),
che si rivelerà utile in seguito.
9.4 . Le equazioni di Maxwell in forma covariante
[9.43]
Siamo ora in grado di scrivere le equazioni di Maxwell in fo rma covariante . L'e­
spressione covariante delle equazioni di Maxwell non omogenee è
Òμ
Fμv =
4n
r.
e
[9.44]
È fac ile verificare che, per v =O, si riottiene la legge di Gauss [8.1], e, per v =i, la
legge di Ampère-Maxwell [8.4] . Ponendo v =O, il primo membro della (9.44] diventa
mentre il secondo membro è (4 n/c)J0 = 4np, cosicché si ricava effettivamente
V · E=4np.
Per v = i si trova al primo membro
api=apOi+()pji= - aEi+éjk()Bk= - _!_ae+(VXB)i
μ
o
1
°
1
eòt
(9.45]
(9.46]
[9.47]

9. 4 I Le equazioni di Maxwell in forma covariante
e quindi
-
_!_ òE;
+(VXBr=
4Tr
/,
eòt
e
cioè
Le equazioni di Maxwell omogenee in fo rma covariante sono
òμ
fμv=o.
Per v =Osi ha infatti
Ò;
F;o =O,
che, ricordando le [9.25], equivale a
Ò;B; = O,
cioè
V·B =O.
Ponendo nella [9.50] v =i, si trova
ÒoFo; + òJji = O,
ossia, in virtù delle [9.25],
éjkòjEk + ò0B; =O,
che è la legge di Faraday -Neumann-Lenz
IòB
V xE+-- =O.
eòt
355
[9.48]
[9.49]
[9.50]
[9.51]
[9.52]
[9.53]
[9.54]
[9.55]
[9.56]
In termini del tensore Fμ v le equazioni di Maxwell omogenee [9.50] assumono la forma
e sono equivalenti a (si noti la ciclicità degli indici)
ÒμFpa + ÒpFaμ
+ ò,,F
μp =O.
Si ha infatti
O=ffVP"(ÒμFpa + ÒpFaμ
+ ÒaF
μp) =(Eμvp
a
+ Eavμp
+ Epv
aμ)ÒμFpa =
= 3EμvpaòF =6òfμv
μpa
μ
,
[9.57]
[9.58]
[9.59]
dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo cambiato nome agli indici muti del simbolo .
di Levi-Civita, e, nel la terza, abbiamo sfruttato le proprieta di Eμ vp a
.

356
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
Sostituendo nelle equazioni non omogenee [9 .44] l'espressione [9 .12] del tensore
del campo, si ottiene l'equazione del moto covariante per il quadripotenziale. Al primo
membro si ha
Òμ Fμ v=Ò
μ
(ÒμAv- avAμ) =DAV - av(ÒμAμ),
e quindi l'equazione per A μ è
[9.60]
[9.61]
Se si adotta il gauge di Lorentz, Ò
μ
A μ = O, la [9.61 ] si semplifica e diventa l'equazio­
ne di d'Alembert non omogenea
DAV =
4ir
r.
e
9.5 . Onde piane
[9.62]
Nel § 8.8 abbiamo visto che in una regione dello spazio priva di cariche e correnti
le equazioni di Maxwell si riducono all'equazione di d'Alembert omogenea, che am­
mette come soluzioni le onde piane. Rideriveremo ora questo ri sultato nel quadro del
formalismo covariante .
In assenza di sorgenti le equazioni di Maxwell [9.44] diventano
ÒμFμv=O.
Derivando le equazioni omogenee [9.58], si trova
ÒμÒμFpa + ÒμÒ
p
Faμ + ÒμÒ"Fμp
=O.
Usando la [9.63], il secondo e il terzo termine si annullano e rimane
OFP"= O,
che è equivalente a
DE=O e DB=O.
[9.63]
[9.64]
[9.65]
[9.66]
L'equazione [9.62] per i potenziali nel gauge di Lorentz si riduce, nello spazio
vuoto, a
[9.67]
che è della stessa fo rma della [9.65]. Sono soluzioni della [9.67] le onde piane del tipo
Aμ(x) = aμ(k)e-
ik x,
dove il quadrivettore d'onda kμ = (k0 , k) soddisfa
k2=O,
[9.68]
[9.69]

9.5 I Onde piane
357
ed è quindi, non sorprendentemente, un quadrivettore di tipo luce. La [9.69] implica
[9.70]
Per la condizione di Lorentz
[9.7 1]
le ampiezze aμ(k) sono ortogonali a kμ,
[9.72]
Questa relazione permette di fi ssare una delle componenti di a μ in funzione delle
altre. Se, ad esempio, kμ =<IkI,O,O,Ik!),dalla[9.72]seguea0 = a3•
Nel gauge di Lorentz, come sappiamo (§ 8.6 . 1 ), è possibile effettuare delle trasforma­
zioni di gauge A μ -t A'μ = A μ - Ò μX tali che il quadripotenziale trasformato A i μ sod­
disfi ancora la [9.7 1]. Affinché ciò accada deve aversi
Dx=O.
Questa equazione ammette come soluzioni le onde piane (scalari)
X(x) = X(k)e- ik x
.
PoichéÒμX= - ikμie-ik· x
, la trasformazione di gauge delle ampiezze aμ(k) è
[9.73]
[9.74]
[9.75]
La possibilità di ridefinire le ampiezze secondo la [9.75] permette di ridurre ulterior­
mente le componenti indipendenti di a μ . Ad esempio, possiamo fare in modo che sia
a 0 =O. Complessivamente, quindi, solo due delle componenti di aμ sono indipenden­
ti e non eliminabili mediante trasformazioni di gauge, e rappresentano perciò pola riz­
zazionifi siche dell' onda.
La soluzione generale della [9.67] è una sovrapposizione di onde piane del tipo
[9.68] :
Aμ(x) = J (���28(k2)aμ
(k)e- ik
·
x
,
[9.76]
dove il coefficiente numerico è arbitrario e abbiamo inserito la 8(k2 ) per imporre la
condizione [9.69] . Affinché A μ(x) sia reale, è necessario che si abbia
[9.77]
Conviene separare nella [9.87] le onde con k 0 positivo da quelle con k 0 negativo. Lo
facciamo introducendo 1a funzione gradino (o di Heaviside) 8(z), definita come (z è
una generica variabile reale)
8(z)={�perz<O
perz>O
[9.78]

358
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
e riscrivendo la [9.76] nella fo rma
[9.79]
Effettuando nel secondo termine un cambiamento di variabi le k � - k e usando la
[9.77], si ottiene
[9.80]
dove adesso le onde hanno tutte k
0
>O. La proprietà [D. 16] (vedi Appendice D) delle
delta di Dirac permette di scrivere la 8(k2) come
o(k2) =
21�I[o(k0 - IkI)+o(k0+ Ikl)J,
e la 8(k0) seleziona la delta che ha supporto positivo, cioè
s:2
o_ls:oll
u(k)8(k)- 21kI
u(k-k).
Inserendo la [9.82] nella [9.80] e integrando su k
0
, si trova
A(x)=J
d3k
[a(k)e-i(wr-k ·x
) + a*(k)ei(wr -k
·x)
]
μ
(2n)22(w/c) μ
μ
'
dove abbiamo introdotto la pulsazione w, che è legata al numero d'onda I k I da
w=c lkl.
[9.8 1]
[9.82]
[9.83]
[9.84]
Come si è visto nel § 8.8, è conveniente cambiare il coefficiente di normalizzazione
delle ampiezze aμ (k) e riscrivere la [9.83] come
A (x) =J�J2nc2
[a (k)e-i(wr-k ·x)+a*(k)ei(wr-k
· x)]
μ
(2n)31
2
w
μ
μ
.
[9.85]
Nel gauge di radiazione la [9.85] si riduce alla [8. 166] e le I a(k) I 2 rappresentano le
densità dei modi fi sici del campo.
Per descrivere in modo covariante la polarizzazione delle onde elettromagnetiche
si introduce un insieme completo di quadrivettori ortonormali t:1À ) (k) (À = O, 1, 2, 3)
dipendenti da k. Le rel azioni soddisfatte dagli c�À )(k) sono
éÀl(k)·éÀ')(k)= g
U'
(ortonormalità),
3
3
L L 8u·c1À)(k)t:SÀ')(k) = 8
μ v (completezza),
À
=
o).'=o
[9.86]
[9.87]

9. 5 I Onde piane
359
con g,u: = g.U.' = diag (I, - 1, - 1, - 1 ). I quadrivettori di polarizzazione sono scelti
come segue. Innanzi tutto identifichiamo E�o) con un quadrivettore unitario di tipo
tempo n
μ
,
[9.88]
Gli altri elementi della base saranno quadrivettori unitari di tipo spazio. Uno di essi,
ad esempio c13 l (k), viene scelto in modo da essere ortogonale a n
μ
e giacere nel piano
individuato da kμ e n
μ
-
Si avrà quindi
t:<3l(k)= ak + /3n
μ
μ
μ•
[9.89]
dove a e /3 sono scalari da determinare. Dalla condizione é3 l · n = O si ottiene f3 =
= - ak·n,equindi
[9.90]
Il coefficiente di normalizzazione a si ottiene imponendo é3 l · é 3 l = - 1 e risulta es­
sere (con un' arbitrari a scelta di segno) a= (k · n ) - 1
•
In definitiva avremo
())
(k)= kμ-(k·n)nμ
Eμ
k·n
.
[9.91 ]
Infine, c11 l (k) e E�2 1 (k) sono quadrivettori unitari di tipo spazio, ortogonali sia a k μ che
an
μ
,
é1l ·n= é1l·k=O, é2l ·n= é2l·k=O.
Usando le [9.88, 9.91], la relazi one di completezza [9.87] si riscrive come
da cui
�(À
)
(k) (À)(k) =
_
_
� kμn
v
+kv
n
μ
L,
,
Eμ
Ev
gμv (k·n)2 +
k·n
.
?.=I
[9.92]
[9.93]
[9.94]
In particolare, se scegliamo nμ = ( 1,O, O, O) e fi ssiamo gli assi in modo che sia kμ =
= ClkI. O, O, Iki),i vettori di polarizzazioneé0l e é3l sono
é0l =(l,O,O,O), é3l = (O,O,O,I),
[9.95]
e, per completare la base, po ssiamo prendere
é1> = (0, I,O,0), é2l = (0,O, I,0).
Scomponendo le ampiezze aμ (k) nella base { E�"l (k) } ,
3
aμ(k) =� a(?._)(k)t:1"l(k),
?.=o
[9.96]
(9.97]

360
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
la [9.85] assume la fo rma
A (x) =�J�J2nc2
é'l(k)[a (k)e- i(wr- k ·x) + a* (k)ei(wr-k ·x)]
μ
À
�O (27r)
3/2
Q)μ
(À)
(À)
,
[9.98]
che è la generalizzazione covariante della [8. 170] . In virtù delle [9.88, 9.91, 9.92], la
condizione di Lorentz kμ a
μ
= O implica
O=aco)é0l·k+ac1)é1l·k+a(2)é2l·k+a(3)i;:<3
l·k=
(k·n) 2 -k2
= a(o)k·n -a<3)
k.n
= aco)k·n -a(3)k·n,
cioè a(o)(k)= ac3
l
(k).
[9.99]
Passiamo ora a studiare i campi . Il tensore del campo associato al l'onda piana [9.68] è
e, per le [9.69, 9.72], soddisfa
FμvF = - (kμav-eaμ)(ka -ka)e-2ik·x
=O
μv
μV
Vμ
·
Si trova anche, per ragioni di simmetria dei tensori,
[9. 100]
[9. 101]
-
l
2·
Fμ vF
μv
=
2,EμvpaFpaF
μv
= - Eμvpa
(kpa a - kaGp)(kμa
v
-
kv
a
μ
)e- ik·x= O. [9.102]
Un campo per il quale siano nulli entrambi gli invarianti Fμ vF
μv
e fμvF
μv
è detto
campo di radiazione. Poiché Fμ vF
μv
oc(E2-B2)efμvF
μv
ocE· B, le [9.101, 9.102]
mostrano che il campo elettrico e il campo magnetico di un' onda piana sono uguali in
modulo e ortogonali fra loro. Sostituendo la [9. 100] nell' equazione [9.63] si ricava
l'ul teriore condizione
kμFμv = O,
che,perv=O,dà
k;FiO = O,
cioè
k·E=O,
mentreperv=idà
koFo;+kFii=O
J
,
cioè, usandole [9.16, 9.21]e k0 = IkI,
k
E=BXTkT.
[9. 103]
[9. 104]
[9. 105]
[9. 106]
[9. l 07]
Sostituendo la [9. 100] nelle equazioni di Maxwell per il tensore duale, Ò
μ
Fμv=O,si
trova
[9. 108]

9. 6 I L'equazione di Minkowski-Lorentz in forma covariante
361
da cui, per v =O,
k·B=O.
[9. 109]
Questa, assieme alla [9.105], mostra che i campi di un'onda elettromagnetica piana sono
perpendicolari alla direzione di propagazione dell' onda (le onde piane sono trasversali).
Inoltre, dalla [9. 107] si desume che E, Bek formano una tema di vettori ortogonali.
9.6 . L'equazione di Minkowski-Lorentz in forma covariante
Seguendo la procedura descritta nel § 6.9, estraiamo dall ' azione [9.6] - a meno di
un segno complessivo che serve a garantire la consueta corrispondenza tra quadrimo­
mento e quadrivelocità - la Lagrangiana covariante di una particella carica soggetta a
un campo elettromagnetico,
[9. 110]
dove la linea di universo z μ ( ç) della particella è parametrizzata in fu nzione di uno sca­
lare arbitrario ç e la quadrivelocità v μ è definita come v μ = d z μtd ç.
Le equazioni di Eulero-Lagrange hanno la fo rma generale
Nel caso specifico della Lagrangiana [9. 1 10] il quadrimomento canonico è
Pμ=
ÒL
=
mcvμ
+ �Aμ
Òvμ (v2)
112
c
e, poiché
e
d ÒL d[mcv1'] eÒAμ
�Òvμ
=
� (v2)
112 +-;
;
ÒZv
Vv,
ÒL eÒAv
--
=
---
v
ÒZμ
c ÒZμ
v•
la [9.lll]dà
ossia
d[mcvμ]-e
μv
� (v2)
112 --;
;
F (z)vv .
[9.111]
[9. 112]
[9. 113]
[9. 114]
[9. 115]
[9. 116]

362
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
Scegliendo come parametro ç la lunghezza propria s, la [9. 1 16) diventa
duμ
e
mc--= -p
v
(z)u .
dse
v
[9. 117)
Questa è l ' equazione di Minkowski-Lorentz scritta in fo rma covari ante . La grandezza
al secondo membro è la quadriforza di Lorentz,
e
?:foμ= -Fμv
uv.
e
[9.1 18)
Il lettore è invitato a verificare che, in termini della velocità v = dzldt e dei campi E e B,
la [9. 117) si riduce alla [8.34] .
9.7 . Trasformazioni di Lorentz dei potenziali e dei campi
Avendo riconosci uto che <p e A sono, rispettivamente, la componente temporale e
le componenti spaziali del quadripotenziale A μ , è fac ile deri v are le formule di trasfor­
mazione di <p e A per un cambiamento di sistema inerziale. Usando i risultati del § 5. 7
e considerando ad esempio un boost lungo l'asse x, le trasformazioni di Lorentz di <p e A
sono
[9. 119)
Le trasformazioni di Lorentz dei campi E e B sono meno immediate da ricavarsi,
perché E e B sono le componenti del quadritensore Fμ v
, e i quadritensori si trasformano
in maniera più complicata. Applicando la [5. 156), si ha
[9. 120)
Considereremo ancora un boost lungo l'asse x, la cui matrice di Lorentz è
[9. 121)
Le fo rmule di trasformazione delle componenti del campo elettrico F;0 =E; sono
F';o = A;pAo
aFPa
.
[9. 1 22)
Inparticolare,perF10= E1 = Exsiha
cioè
F' IO = AlpAoaFpa
=A1
0
Ao
a
Foa+Al
1
Ao
a
Fla
=A1
0
Ao
1
FOI +Al
1
AooF10=
= f32y2Fo1 +y2F10 = y2(l-132)F10=F
io
,
[9. 123 1
[9. 124)

9. 7 I Trasformazioni di Lorentz dei potenziali e dei campi
PerF20=E2=E siha
y
cioè
F'20 = A2
P
Ao
a
Fpa
=A2
2
Ao
a
F2a
=A2
2
(Ao
o
F20+Ao
1
F21)=
= yF20 _ f3yF21 = y(F20 _ /3F21),
Procedendo in maniera analoga si trova
363
[9. 125]
(9. 126]
(9. 1 27]
Per quanto riguarda le componenti spaziali di Fμ v , cioè le componenti del campo ma­
gnetico B, le fo rmule .di trasformazione sono
[9. 128]
A titolo d' esempio, deriviamo la trasformazione di Lorentz di F 1 2 = - B , per un boost
lungo x:
cioè
F'i2=A1
/
\2
a
Fpa
= A1pA2
2
p2=A2
2
(A10Fo2 +A1iF12) =y(F12 - f3Fo2), (9.129]
(9. 1 30]
Complessivamente, le trasformazioni dei campi E e B per un boost lungo l'asse x sono
E;=E
x,
B;=Bx,
E'=
Ev -/38,
y
V1_,_/32
,
B'=
Bv+f3E,
y
�·
E'=
E,+f3Bv
(9.131]
z
�·
1-f3
B'=
B,-/3Ey
z
�-
(9. 1 32]
Come si vede, le componenti di E e B nella direzione del boost non cambiano, mentre
le trasformazioni di Lorentz delle al tre componenti mescolano il campo elettrico e il
campo magnetico. Se separiamo in E e B le componenti parallele e perpendicolari
alla direzione del boost,
E=E11+EJ., B =B11+BJ_,
le trasformazioni di E11, EJ. , e B11 • BJ. sono
Ei1=Ell• E�=y(EJ.+/3 XB),
Bi1=Bll• B�=y(BJ.-/3 XE).
[9. 133]
(9. 1 34]
(9. 135]
Le (9. 1 34, 9. 135] mostrano che, se in un sistema di riferimento inerziale 'J{ il campo
elettrico è nullo, E = O, in un altro sistema di riferimento inerziale 'Jl ' in moto rispetto
a 'J{ con velocità v il campo elettrico E ' è perpendicolare al campo magnetico B ' e a v ,
e vale
E'=
:!
!._
XB' .
e
(9. 1 36]

364
Formulazione covariante dell 'e lettrodinamica I Cap. 9
Analogamente, se in 'J{ il campo magnetico è nullo, B =O, in 'X' esso vale
B'=
_
!!_XE' .
e
[9. 137]
Viceversa, quando in un certo sistema di riferimento inerziale 'X il campo elettrico e il
campo magnetico sono ortogonali (E · B = 0), esiste un altro sistema di riferimento 'X'
incui, se IEI<IBI,il campo elettricoE' è nullo,mentre se IEI >IBI,è nulloil campo
magneticoB' (vediProblemi).Sein':Il, oltreaE·B =O, si haIEI =IBI,in unqualun­
que altro sistema di riferimento ':Il ' i campi E' e B ' saranno ortogonali, E ' · B ' =O, e
uguali in modulo, IE' I =IB' I (si ricordi che E·B eE2 - B2 sono quantitàinvarianti).
Le componenti parallele e perpendicolari dei campi si estraggono daE e B mediante
[9. 138]
e analoghe relazioni per il campo magnetico. Usando queste proiezioni è possibile ri­
costruire dalle [9. 1 34, 9. 135] le trasformazioni di Lorentz dei campi E e B per un
boost generico,
y-1
E' = y(E+f3XB)-�(E·/3)/3,
[9. 139] I
y-1
B' = y(B-f3XE)-�(B·/3)/3.
Si noti che nel limite di basse velocità y -? 1 le [9.139, 9 .140] si riducono a
E'=E+f3 XB,
B1 = B+f3XE,
come anticipato nel § 1.6 .6 .
9.8 . Campi generati da una carica in moto uniforme
[9. 140]
[9. 141]
[9. 142]
Consideriamo una particella di carica e in moto in un sistema di riferimento ':Il con
velocità costante v diretta lungo l'asse x e supponiamo che essa si trovi in x = O all 'i­
stante t =O. Nel sistema di riferimento ':Il ' solidale con la particella e centrato su di
essa i potenziali sono (r' == Ix' I)
e
<p'=--,,A'=
O.
r
In base alle (9 .119], i potenziali in ':Il sono
<p'
<p'
V
V
<p=
p;2
,
A=
H2
-c
=
<p-c
,
1--
1-_,
,
c2
e-
[9. 143]
[9. 144]
I

9.8 I Campi generati da una carica in moto uniforme
365
dove abbiamo usato A ' = O. Sostituendo nelle [9 .144] il potenziale <p' dato dalla
[9. 143] e usando
r'=
Yx'2+y'2+z'2 =
\!y2(x -vt)2 + y2 + z2,
si trova
ey
eyv
<p=
,
A=
----�----
yy2(x- vt)2+y2+z2
e
\!y2(x- vt)2+y2+z2
[9. 145]
[9.146]
Passiamo ora a studiare il campo elettrico e il campo magnetico generati dalla carica.
In 'J{ ' il campo elettri co E' è quello coulombiano, mentre il campo magnetico B' è nullo,
E'=
ex'
B' =O.
r'3 ,
[9. 147]
Le componenti del campo elettrico E nel sistema 'J{ in cui la particella è in moto si ot­
tengono usando le [9. 131], e sono
E=E'=
�=
ey(x -vt)
xx
r'3
[y2(x -vt)2 +y2 + z2]
312 '
,
ey'
eyy
Ey=yEy=y-
r
,3=
[y2(x
_
vt)2+Y2+z2]
312
,
ez'
eyz
E,= yE�=y-
r'
3=
[y2(x -vt)2 +y2 + z2]312 ·
[9. 1 48]
[9. 149]
[9.150]
La dipendenza temporale di Ex e Ey in un punto di osservazione posto sull' asse y e di
coordinata y = b è mostrata in fi gura 9. 1. La componente longitudinale del campo
vt
/3�0
Figura 9.1
o
M-_É_
yv
vt
Componenti del campo elettrico di una carica in moto rettilineo uniforme in fu nzione del tempo.
Fonte J. D . Jackson, Elettrodinamica classica, Zanichelli, Bologna 1984.

366
Formulazione covariante dell 'e lettrodinamica I Cap. 9
(Ex) cambia segno quando la carica passa per l'origine (ali'istante t =O) e ha valor
medio nullo. La componente tras versa (Ey) ha invece sempre lo stesso segno ed è sen­
sibilmente diversa da zero solo per un intervallo di tempo lit - blyv: questo campo
impulsivo è responsabile dei fe nomeni di ionizzazione degli atomi di un materiale at­
traversato da particelle cariche.
Introduciamo il vettore posizione relati va R del punto di osservazione x rispetto
alla carica, che è posta in z(t) = (vt, O, O):
R(t)=x -z(t)=(x-vt,y,z).
Il modulo quadro di R è
Rz=(x-vt)2+y2+z2,
e da qui si ricava
Detto () l'angolo tra Rev , avremo
Y2+z2=Rzsin2(),
e quindi
[9. 151]
[9. 152]
[9. 153]
[9.154] I
[9. 155]
Questa relazione e la [9. 151] permettono di riesprimere le [9.148-9. 1 50] come
eR
[9. 1 56]
In accordo con la discussione svolta in precedenza (vedi [9. 137]), poiché il campo
magnetico è nullo in 'J{ ' , in 'J{ esso è legato al campo elettrico da
B=!!_XE.
e
[9. 1 57]
Dalla [9.156] si vede che il campo elettrico E è radiale ma non isotropo. In partico­
lare,siha,per()=O,
IE11I = y2�2·
[9. 158]
e,per()= n/2,
!E.LI =;r
.
[9. 1 59]
Il campo I E 1 1 I nella direzione di moto della carica ( () = 0) è quindi contratto rispetto al
campo I E.L I nella direzione tras versa ( () = n/2). Inoltre, ali' aumentare della velocità,
I E.L I cresce, mentre I E 11 I decresce (fig. 9 .2).

9. 8 \ Campi generati da una carica in moto uniforme
{3=o
{3= 0.3
Figura 9.2
{3= 0.6
{3= 0.9
Linee di forza del campo elettrico di una carica in moto rettilineo uniforme al variare di {3.
Fonte A. Rougé, lntroduction à la relativité, École Polytechnique, Palaiseau 2000.
Nel limite non relativistico la [9. 156] diventa
eR
E=R3
,
che è l'espressione coulombiana. Il campo magnetico è dato da
B='!'._XE=
evXR.
e
cR3
367
[9. 160]
[9. 161]
Questa è la legge di Biot-Savart : nel contesto relativistico, come si vede, essa è una con­
seguenza della legge di Coulomb [9. 160] e delle trasformazioni di Lorentz dei campi.
9.9 . Risoluzione delle equazioni di Maxwell
Vogliamo ora ri solvere l'equazione di Maxwell per il quadripotenziale A μ nel
gauge di Lorentz, cioè l ' e q uazione di d'Alembert non omogenea
[9. 1 62]
che è un'equazione alle derivate parziali del secondo ordine di tipo iperbolico. Il pro­
blema di Cauchy associato consi ste nel determinare A μ(x) in funzione della corrente
Jμ(x) e dei cosiddetti dati di Cauchy, ossia di A μ e della sua derivata normale n vÒ vA μ
su una superficie di tipo spazio che si estende fi no all 'infi nito. Le condizioni al con­
torno sono in genere di tipo asintotico,2 cioè sono assegnate sulle superfici t = - oo o
t=+oo.
2 Sulla necessità di condizioni al contorno asi ntotiche nella teoria relativistica, si veda F. Rohrlich,
Classica! Ch arged Particles, Addison-Wesley, Reading (MA) 1990, pp. 77-78.

368
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
Il metodo che adotteremo per ri solvere la [9. 1 62] è quello delle fu nzioni di Green.
Introduciamo una funzione G (x, x') tale che
OG(x,x')=o4(x-x'),
[9. 163]
e soddisfacente le stesse condizioni al contorno della [9. 162]. La G(x, x') è lafu nzio­
ne di Green del d' Alembertiano O e rappresenta il potenziale generato in x da una
sorgente puntiforme posta in x'. Per l'omogeneità dello spazio la G dipende da x ex'
solo attraverso la differenza x - x'. La soluzione della [9. 1 62] è
[9. 164]
dove A � (x) è una soluzione dell ' equazione omogenea
[9. 165]
(La determinazione di A � è rimandata al § 9.9 .2). È immediato controllare che, appli­
cando alla [9. 164] l'operatore O, si ottiene, in virtù delle [9. 163, 9. 165], la [9. 162] .
Per calcolare esplicitamente la fu nzione di Green, introduciamo la sua trasformata
di Fourier quadridimensionale G(k) :
G(x-x') =-
1
-Jd4k G(k)e- ik ·(x - x')
(2n°)4
·
[9. 166]
Usando la rappresentazione integrale della delta di Dirac (Appendice D, [D.20] )
04(x-x') =_
I
_Jd4ke-ik·(x-x')
(2n) 4
'
e sostituendo la [9 .166] e la [9 .167] nella [9 .163], si trova
-
(
2�)4Jd4kG(k)k2e- ik
.
(x-x')
=
(
2�
)4Jd4ke-ik (x-x'>,
La G deve quindi soddisfare l'equazione
k2G(k) = - 1,
lacui soluzione è
-
1
G(k) = -kf·
La soluzione generale della [9. 169] è in realtà
-
1
G(k) = - kf + C(k)8(k2),
[9. 167]
[9. 1 68]
[9. 169]
[9. 170]
[9. 171]
dove C(k) è un' arbitraria fu nzione regol are di kμ . Il secondo termine nella [9.171]. G '(k) =
= C(k) 8(k2 ), soddi sfa
k 2 G'(k) =o,
[9. 172]

9. 9 I Risoluzione delle equazioni di Maxwell
-1(
(b) --�-
--.
..
.,'-!
!
(e)
Figura 9.3
+K
\.!;r-
-•
•-
--
CA
369
Possibili cammini d'integrazione che aggirano i due poli in ::!: K (il raggio dei semicerchi viene poi
fatto tendere a zero).
dal momento che k 2 8(k2 ) =O. Il motivo per cui possiamo ignorare G' è che questa quantità con­
tribuisce soltanto alla soluzione dell'equazione di d'Alembert omogenea, e può dunque essere
riassorbita in A�. Sostituendo G'(k) nella [9. 166], infatti, si trova che il d' Alembertiano della
fu nzione risultante G'(x - x') è nullo a causa della [9. 172].
La fu nzione di Green nello spazio delle coordinate si ottiene inserendo la [9.170]
nella [9. 166], ed è quindi
'
l
4e
-
ik (x-x
'
)
G(x-x)= -
(2n)4fd k
k2
[9. 173]
Per calcolare esplicitamente G(x - x') riscriviamo la [9. 173] separando l'integrazione
su k0 da quella (tridimensionale) su k
[9. 174]
Usiamo ora i metodi di integrazione nel campo complesso3 per valutare l'integrale su k0
.
L' integrando ha come uniche singolarità due poli semplici sull' asse reale, in
ko=±IkI=±ic
[9. 175]
Questi poli si trovano sul cammino di integrazione, e l'integrale dunque non è defini­
to. Deformeremo allora il cammino di integrazione sfruttando le proprietà di analiti­
cità dell'integrando . Esi stono varie possibilità di aggiramento dei due poli. Riferen­
doci alla fi gura 9.3, vediamo che i poli possono essere aggirati dall'alto (CR), dal
basso (CA), o l' uno dall' alto e l'altro dal basso (CF) · Si ottengono così fu nzioni di
Green diverse, che differi scono per una soluzione dell'equazione omogenea. La scelta
dipende dalle condizioni al contorno adottate .
3 Si veda, ad esempio, C. Rossetti, Metodi matematici per la fi sica, Levrotto e Bella, Torino 1984, op­
pure C. Bernardi ni, O. Ragnisco e P. M. Santini, Metodi matematici dellafi sica, La Nuova Italia Scientifica,
Roma 1993.

370
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
9. 9 .1. Funzioni di Green del d'Alembertiano
Se richiediamo che la fu nzione di Green sia nulla per x0 < x'0,
GR(x-x')=O per x0-x'0<O,
[9. 176 ]
cioè che il potenziale in un certo istante di tempo dipenda dalla sorgente in un istante
precedente (un potenziale del genere è detto ritardato), il cammino d'in tegrazione da
considerare è quello che aggira i due poli dall ' alto (CR), come ora vedremo.
L'integrale da calcolare è
_
I 0e- ik'(x'
-
x '')
I = dk -(�k0�)2�_-J<:2�.
c.
[9. 177 ]
Se x0 - x'0 <O, per il lemma di Jordan possiamo chiudere CR nel semipiano superiore
(fig. 9.4, semicerchio tratteggiato). Poiché nessun polo viene a trovarsi all 'interno del
cammino di integrazione, I risulta essere nullo,
l=O per x0-x'0<o.
[9. 178]
Se invece x0 - x'0 >O, chiudendo CR nel semipiano inferiore (fig. 9.4, semicerchio
continuo), entrambi i poli vengono a trovarsi all' interno del cammino di integrazione.
Per il teorema dei residui si avrà
I
.
(o
'")
.
(o
•O)
= - 2ni-[e-11•
x-x
-e11Cx -x
]
2K
lm kO
/
'
"'/
'
/
�
/
I
I
I
I
I
-
I(
+I(
Figura 9.4
\
per x0-x'0>O.
xO <xO'
\
\
\
I
I
Re kO
Cammino di integrazione nel piano complesso di k0 per la fu nzione di Green ritardata.
[9. 179]

9. 9 I Risoluzione delle equazioni di Maxwell
371
Mediante la fu nzione gradino 8(z), definita nella [9.78], i risultati [9. 178] e [9. 1 79]
possono essere riassunti nell 'espressione
I
.
(o
•O)
.
(o
•O)
o
o
I=-2ni
21\[e-'u-x
-
e"cx -
x
]8(x -x').
[9.180]
Per calcolare la fu nzione di Green GR associata al cammino CR inseriamo la [9.180]
nella [9. 1 74],
I d3k
k(
')
·
(O
•O)
·
(O
•O)
Q
Q
GR(x - x') =i
(2n)32 1\
e'·x-x[e-"cx-x
-e'K'X -x
] 8(x -x' ), [9.181]
ed effettuiamo l'in tegrazione su k . Ponendo k · (x - x
'
)=ICIx-x'Icos1'J,dove1'Jè
l'angolo compreso tra k ex- x ' , e orientando gli assi in modo tale che x - x
'
sia di­
retto lungo z e 1'J diventi così langolo azimutale del vettore k , abbiamo (d3 k = 12 di\
d<pd cos i})
.
�
d
2ir
+I
G(x-x')= __1_J__
__5_
_
12Jd<pJdcosi}e
iKRcoso
X
R
2(2n) 3
I(
O
O
-
I
X[e
-
iK(x'-x'0)
-
eiK(x0-x'0)
]8(xo - x'o),
doveR=Ix-x
'I
. L'integrazione su <p è immediata, mentre quella su cos 1'J dà
+I
Jdcos1'JeiK"RcosO
=
i
�R (eiKR _
e-iK'R)
,
-
I
cosicché la [9 .182] diventa
[9.182]
[9. 183]
[9.184]
Con un cambiamento di variabile I\� - /\negli ultimi due termini, la [9. 184] può
essere riscritta come
+�
GR(x-x')=
8�2R I dl\[e-iK(xo
-
x•O
_
R)+e-iK(xo
-
x•O + R)]ecxo - x'o). [9.185]
L' integrale su Kdà delle delta di Dirac (vedi Appendice D, [D. 10]), e si ha quindi
GR(x-x') =
4
�R[o(x0 -x'0 - R)+8(x0 - x'0 +R)]e(x0 - x10).
[9. 186]
Le due delta hanno supporto, rispettivamente, in x0 - x'0 = R e in x0 - x'0 = - R . La
fu nzione e, che è diversa da zero solo per x0 - x'0 >O, fa sì che solo la prima di esse
contribuisca. In conclusione si ha
G(_
')
_
8(x0-x'0-R)
RXX-
4nR
.
[9. 1 87]

372
Formulazione covariante de/l 'e lettrodinamica I Cap. 9
Questa è la fu nzione di Green ritardata del d' Alembertiano. «Ritardata» vuol dire che
il potenziale in x ali ' istante tèdeterminato dalla sorgente nel punto x ' ali ' istante pre­
cedente t', legato a t da
R
t'=t--.
e
[9. 188]
L'in terazione elettromagnetica si propaga dunque da x ' a x con velocità e, in un
tempo Rie .
Mostriamo ora che la GR (x - x ') è una quantità invariante . Usando la relazione
(vedi Appendice D, [D. 16])
la [9. 1 86] diventa
[9. 190]
L'invarianza della GR segue dall 'in varianza della delta (il cui argomento è uno sca­
lare di Lorentz) e della 8 (si ricordi che se due eventi x ex' sono connessi causalmen­
te e x 0 - x10 >Oin un certo sistema di riferimento inerziale, la stessa relazione vale in
qualunque altro sistema inerziale legato al primo da una trasformazione di Lorentz or­
tocrona, vedi § 2.8). La [9. 190] mostra che la fu nzione di Green è diversa da zero solo
se(x-x')2 =O, cioè solo seilvettorex-x'èditipoluce(fig.9.5),conx0>x'0
.
La rappresentazione integrale più compatta della fu nzione di Green ritardata si ot­
tiene tornando alla [9. 173] ed effettuando un' opportuna sostituzione di variabile. In
riferimento alla fi gura 9.6, si vede innanzi tutto che il cammino CR , che aggira i due
poli in k0 dall'alto, può essere deformato nella retta ( - oo + it:, + oo + it:). Poi, con la
sostituzione
[9. 191]
i poli vengono spostati in ±: K:- it:e ilcammino di integrazione diventa l'asse reale di k0 .
Tenendo conto della [9. 191], la fu nzione di Green ritardata può dunque essere scritta
come
x(t)
x'(t' = t-Rie)
[9. 192]
Figura 9.5
li punto x in cui si misura il campo al tempo te il punto sorgen­
te x' al tempo ritardato t' = t - Rie nel piano dì Mìnkowskì.

9. 9 I Risoluzione delle equazioni di Maxwel/
373
Consideriamo ora una fu nzione di Green che si annulli per x
0
>x'
0
(fu nzione di
Green avanzata)
GA(x-x')=O per x
0-x'
0
>O.
[9. 193]
GA permette di costruire un potenziale che, in un certo istante t, dipende dalla confi­
gurazione delle sorgenti in un istante di tempo successivo (un potenziale del genere è
detto avanzato). Non vi è alcun elemento fi nalistico in tutto ciò: la dipendenza dei po­
tenziali dalle sorgenti è perfettamente causale.
Il cammino di integrazione che fornisce la fu nzione di Green avanzata è quello che
aggira i due poli dal basso (il cammino CA in fig. 9 .3). Procedendo come prima, si
trova, mutatis mutandis,
GA(x-x')= - iI(2
�;�21(
eik·(x-x')[e-iK"(xo-x'o)
- eiK"(xo -x'o)]8(x'o
-xo) , [9.194]
e, integrando su k,
G
(_
')
_
8(x
0
-
x'
0
+R)
AXX-
4nR
In forma covariante, GA è data da
[9. 195]
[9. 196]
e, con la sostituzione k0 � k 0
-
i E nella [9. 173], si ottiene la rappre sentazione inte­
grale
I
d4k e-ik
" (x-x')
GA(x-x)= -J(2n)4k2_
i f.ko
[9. 197]
Tra le fu nzioni di Green ritardata e avanzata sussiste la relazione
..
-
I(
Re/(O
e
(e) �
R
����������!lo-
-
����������
Figura 9.6
•
-1( -ÌE
RekO
[9. 198]
Deformazione del cammino di integrazione CRper la funzione di Green ritardata. Il cammino in (b),
equivalente a quello in (a), è una retta parallela all'asse Re k0
, posta a distanza Eda quest'asse. Me­
diante una traslazione si ottiene il cammino in (e), che coincide con l'asse Re k 0 . I poli sono conse­
guentemente spostati in ± 1(- iE.

374
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
Introduciamo la semidifferenza di GR e GA :
G_(x-x')=�[GR(x-x')-GA(x-x')],
che è evidentemente una soluzione dell' equazione omogenea
OG_(x-x' )=O.
Dalle (9. 190, 9. 196) si ricava la seguente espressione per G _ (x) :
1
G_(x-x')=
47r
8[(x -x')2 ]E(x
0
-x10
),
dove E(z) è la fu nzione segno, definita come
{-1
E(Z) =
+
l
perz<O
per z >O.
Usando la [9. I 81) e la [9. 194] si ottiene
G(_
') -J_f d3k
ik'(x-x')[ -iK(x'-x'0) _ iK(x'-x'')]
_x
x-
2 (27r)321(
e
e
e
.
Per mezzo dell 'identità
+�
e:tiK(x0-x'0)
= I dko8(ko± 1<)e-ik0(x0-x''\
la [9.203) diventa
G_(x-x') = J_J d4k
e-ik'(x-x')[8(ko
- 1<)-8(ko +1<)]
2 (2n) 321<
,
che può essere ri scritta più elegantemente come
G(x-x
'
)=J_J�e-ik
·
(x - x ') 8(k2)E(k0)
-
2 (2n)3
'
avendo usato
(9. 199)
[9.200)
[9.201]
[9.202]
[9.203)
[9.204]
(9.205)
[9.206]
8(k2 )E(k0 ) =
2
1
1(
[8(k0 + 1<) + 8(k0
-
1<)]E(k0) =
2
1
1(
[-8(k0+ 1<)+8(k0
-
1<) ].
[9.207]
Dalla (9.203] si ricava una proprietà della G _(x) che si rivelerà utile in seguito.
Derivando rispetto a x
0
si trova
dG_(x) __!_I� ik·x
[ -in'
in'
]
ax0 -
2 2(2n)3 e
e
+e,
e quindi
dG_(x)
I__!_J�ik·x __!_i;,3()
O
-
3
e
-
uX
dx
x'=O 2 (2n)
2
·
[9.208)
[9.209]

9. 9 I Risoluzione delle equazioni di Maxwell
375
Si può dar senso all'integrale [9.173] anche prendendone il valor principale P . Si
ottiene così un' ulteriore fu nzione di Green :
Id4k e-ik
·
(x-x
')
G+(x-x')= - P (2n)4 k2
[9.210]
Usando
1
1
1(1
1)
k2= (ko)2 _ K"2
=
2K"ko_K"
-
ko+K"
,
[9.211]
e la relazione fo rmale4
l
I(
I
I
)
Pko±K"
=
2k0±K"+ic
+
k0±K"-ic '
[9.212]
il valor principale di llk2 può scriversi come
[9.2 13]
Ricordando le rappresentazioni integrali [9. 1 92] e [9. 197] delle fu nzioni di Green ri­
tardata e avanzata, si vede, alla luce della [9.213], che la fu nzione di Green [9.210] è
data da
G+(x-x')=±[GR(x-x')+GA(x-x')] =
4
1
n
8[(x - x')2].
[9.214]
Un' altra fu nzione di Green, di particolare importanza nella teoria quantistica dei campi, è la co­
siddettafunz ione di Green causale (o di Feynman). Essa si ottiene scegliendo il cammino di in­
tegrazione CF in fi gura 9.3 e ha la fo rma
GF(x - x') =iJ (2
�;�2K"[e- ik (x- x')8(xo - x'o) + eik·(x-x')8(x'o
-
xo)].
La sua rappresentazione integral e quadridimensionale è
d4k e-ik·(x-x')
GF(x-x')= -
J (2n)4 k
1
+iE .
[9.2 15]
[9.2 16]
I poli dell'integrando sono in k 0 = ::':
:
K"+ ice l'integrazione in k 0 è su tutto l'asse reale di k 0 •
9. 9. 2 . Soluzioni de ll 'equazione di d'Alembert omogenea
Determinata la fu nzione di Green del d'Alemberti ano, bisogna ora risol vere l'e­
quazione omogenea
[9.217]
con condizioni al contorno di Cauchy, che consistono nell' assegnare A � e la sua deri­
vata normale su una data superficie di tipo spazio che si estende fi no all'in fi nito.
4 Cfr. Rossetti , Metodi matematici per la fisica cit., p. 86.

376
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
Introduciamo una fu nzione D(x) tale che
DD(x) =O,
D(x) =O, per x2 <O,
dμD(x)l11x = o =nμ8a(X),
[9.218]
[9.2 19]
[9.220]
dove n μ è un vettore unitario di tipo tempo ortogonale a una superficie di tipo spazio
CJ, e la fu nzione delta su (J è definita implicitamente da
ff(x)8a(x - x')do"(x) =f(x'), x' E CJ",
[9.22 1]
a
cond<J"= nμd<J"μ
-
Se nμ = (1, O, O, O), l'iperpiano CJ"è lo spazio tridimensionale; in que­
sto caso d<J"μ
= (d3x, O, O, O) e la delta 8a(x) si riduce alla delta tridimensionale 83(x).
La G_(x) definita nel paragrafo precedente come la semidifferenza tra le fu nzioni
di Green ritardata e avanzata [9. 199, 9.206] , soddisfa le condizioni [9.218, 9.219];
per essa vale anche, a meno di unfattore 1/2 e nel caso nμ = (1,O,O,0), la[9.220]. La
generalizzazione della [9.206] che soddisfa la [9.220] per un nμ generico si ottiene
rimpiazzando la fu nzione segno E(k0) con
[9.222]
La fu nzione D(x) cercata è quindi
D(x-x')=iJ(�:�3e-ik -(x-x
' ) 8(k2)E(k),
[9.223]
ed è nota comefu nzione di Jordan-Pauli.
Applichiamo ora il teorema di Green [5.23 l] alle fu nzioni A0(x) e D(x) . Poiché il
d'Alembertiano di entrambe queste fu nzioni è nullo, si ha (d� = ()/()x ' μ )
f [A 0(x')()'μ D(x' -x)-D(x' - x)éJ'μA0(x ')] d<J"μ (x ') =O.
[9.224]
a
Come superficie di integrazione CJ" considereremo l'unione di due superfici di tipo
spazio CJ"o e CJ" 1 e di una superficie di tipo tempo CJ"� collocata all'infi nito spaziale : CJ"0 è
la superficie su cui supponiamo siano assegnate le condizioni al contorno di Cauchy
(su cui cioè sono dati A� e nμ () μA 0), mentre CJ"1 è una superficie generica. Faremo l' i­
potesi che il potenziale elettromagnetico si annulli in maniera sufficientemente rapida
su CJ"�, così che il contributo di CJ"� all'integrale sia nullo. La [9.224] dà quindi
a,
-
f [A 0(x')éJ'μ D(x' -x) - D(x' -x)éJ' μA0(x')] d<J"μ (x ') =O,
[9.225]
O"o

9.9 I Risoluzione delle equazioni di Maxwell ·
377
dove il segno meno è dovuto ali ' opposta orientazione dei versori normali alle superfici
cr
0
e cr 1 • Se il punto x è preso sulla superficie generica cr i . in virtù delle [9.219, 9.220)
il primo membro della [9.225) si riduce a A 0(x) e si trova perciò
A0(x) = J [A0(x')ò'μD(x' -x) - D(x' - x)ò'μA0(x')] dcr
μ
(x'),
[9.226]
O"o
che è la soluzione della [9.2 17) espressa in fu nzione di D(x) e dei dati di Cauchy (A � e
n
μ
ÒμAosu CTo).
Come abbiamo già detto, i dati di Cauchy sono generalmente assegnati su superfici
corrispondenti a t = - oo (passato infi nito) o t = + oo (futuro infinito). In questo caso,
le soluzioni dell'equazione di D' Alembert omogenea sono, rispettivamente, il poten­
ziale entrante Ar0 e il potenziale uscente A �ui ·
9. 9. 3. Soluzioni dell 'eq uazione di D'Alembert non omogenea
Se adottiamo condizioni al contorno asintotiche, cioè scegliamo come soluzioni
dell' equazione omogenea i potenziali entrante e uscente, le fu nzioni di Green da
usare nella [9. 164) sono, con Ar0, la fu nzione ritardata GR , e con A �ui• la fu nzione
avanzata GA . Per A μ avremo quindi le due possibili fo rme :
[9.227)
[9.228)
dove
sono, rispettivamente, il potenziale ritardato e il potenziale avanzato.
Sottraendo membro a membro le [9.227, 9.228) e ricordando la [9. 199) si trova
[9.23 1)
L' integrale al secondo membro, cioè ladifferenza A �ut -Af0, è il cosiddetto potenziale
di radiazione,
M.ix) =A�ui(x) -Mn(x) =M;1(x) -A�Jx) =
8
c
1C J d4x'G_(x - x')Jμ(x').
[9.232)

378
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
Concentriamoci ora sul quadripotenziale ritardato . Per il potenziale scalare <p,;1(x, t) ,
dalla [9.229) si ottiene
( )-Jd ,0
Jd3 , 8(x0-x'0-lx-x'I)
(,')
<p,;iX,t -
x
x
lx-x'I
px,t ,
e, integrando su x 1 0 per mezzo della fu nzione delta,
(,, lx-x'I)
pX,t -
)-fd3 I
C
<p,;i(X, t -
X
lx-x'I
.
Analogamente, si trova che il potenziale vettore ritardato A,;1(x, t) è
·( , lx-x'I)
l
JX,t-
A,;1(X, t) =
- fd3x'
I,I
.
e
x-x
[9.233)
[9.234]
[9.235)
L' equazione per A μ che abbiamo risolto (l'equazione di d'Alembert) vale nel
gauge di Lorentz ÒμA μ = O . Dimostreremo ora che, se la condizione di Lorentz è sod­
disfatta dal campo entrante o dal campo uscente, ÒμA\n(oul) = O , essa sarà soddisfatta
daAμ, cioè
[9.236)
Calcoliamo la quadridivergenza delle [9.227, 9.228). Per l'ipotesi fatta, si ha (ò� =
= òlòx'μ )
Ò Aμ_
4n
Jac
') μ ')d4
,_
4nfò'G C
') μ (')d4
,_
μ---;
;-
μR(A)(x-X J(x X--
--;
;-
μ
R(A)X-X J X
X-
=
-
4
c
n
JÒ�[GR(Al(x - x')Jμ(x')]d4x' +
4
c
n
J GR(A)(x - x')ò�P(x')d4x '
.
[9.237)
Il secondo termine è nullo per l'equazione di continuità, ò�Jμ (x ')
=
O . Il teorema di
Gauss applicato al primo termine dà (vedi § 5.8)
ÒμAμ =
-
4
c
n
JGR(A)(x - x')Jμ(x ')d4x' +
4
c
n
JGR(A)(x - x')Jμ(x ')d4x',
[9.238)
a+
G-
dove O" + e O"- sono ipersuperfici infinite di tipo spazio collocate, rispettivamente , a
t=+ooeat=
-
oo (abbiamo supposto che !'integrando vada a zero all'infinito spa­
ziale e omesso, di conseguenza, il termine di superficie corri spondente). Poiché le
fu nzioni di Green GR(A) (x - x') sono nulle per intervalli di tipo spazio, dalla [9.238)
segue Ò μA μ = O , come volevamo dimostrare.

9. 1 O I I potenziali di Liénard- Wiechert
379
9.10. I potenziali di Liénard-Wiechert
Ci proponiamo ora di calcolare i potenziali e i campi generati dalla sorgente più
semplice, una particella carica in moto . La quadricorrente è, in questo caso, la [9. 38].
AssumendoAf'n = O, dalla [9.230] siha (uμ = dzμ/ds)
+�
= 2efd4x'o[(x - x')2]e<x0 - x'0) f ds uμ(s)o4(x' - z(s)) =
+�
= 2e f ds uμ(s)o[(x - z(s))2]e<x0 - z0(s)),
[9.239]
dove abbiamo usato la [9. 190] e, nell' ultimo passaggio, abbiamo sfruttato la 84(x' -
-
z ( s)) per effettuare l'in tegrazione su x'. La 8[(x - z(s))2] impone, per ogni s, una
separazione di tipo luce tra il punto di osservazione xμ e il punto z μ ( s) in cui si trova la
particella. Come si vede dalla fi gura 9.7, l'argomento di questa delta si annulla per
due valori di s:
con
o
(x - z(s))2 =0 per s=srit e s=s•.,
z0(srii) <x0 e z0(sav) >x0.
Figura 9.7
[9.240]
[9.241]
xi
La linea d' universo zμ(s) di una particella interseca in due punti, zμ(s.,,) e zμ(s,,), i coni luce centrati
nel punto d'osservazione xμ.

380
Formulazione covariante de/l 'e lettrodinamica I Cap. 9
LaO(x0-z
0 (s)), che caratterizza il potenziale ritardato, seleziona il valore s rit · In de­
finitiva, usando la proprietà [D. 15] (vedi Appendice D) delle delta di Dirne , con
d
ds[(x-z(s))2] = - 2(x-z(s))·u(s),
[9.242]
si trova
[9.243]
(Faremo vedere più avanti che il denominatore è una quantità positiva). Inserendo la
[9.243] nella [9.239] si ricava il quadripotenziale generato da una carica in moto,
Aμ(x) =
eu
,
[μ]
(x-z).u rit
dove tutte le quantità dipendenti da s nella parentesi quadra vanno prese a s rit ·
[9.244]
Per riesprimere in componenti la [9.244] , cominciamo con lo scrivere la posizione
ritardata della particella come
[9.245]
dove il tempo rita rdato t,it si ottiene imponendo la condizione
[9.246]
da cui
[9.247]
Il tempo ritardato t ri i è quindi l'is tante in cui la carica, posta in z(t,i 1), emette il segna­
k elettromagnetico (di velocità e) che, dopo aver percorso una distanza R ( t,i 1), viene
«Osservato» in x al tempo t. Ricordando che la quadri velocità ha la struttura u μ = ( y,
yvlc) si trova
[(x-z)·u],i1 = yc(t-tri1) -.1R(t,i1) ·v(tri1) =[rR_.lR·v] .
e
e
rit
[9.248]
Inserendo questo ri sultato nella [9.244], otteniamo il potenziale scalare <p(x, t) e il po­
tenziale vettore A(x, t) generati da una carica in moto:
<p(x,t) = [ �·v
]' A(x,t)=�[ e�
·
v
]
R--
R--
c
rit
e
rll
[9.249]
Questi sono i cosiddetti potenziali di Liénard- Wiechert (dal nome dei due fi sici che li
derivarono negli anni 1898- 1900).

9. 10 I l potenziali di Liénard-Wiechert
381
Calcoliamo ora il campo Fμ v = aμA
V
-
a vAμ generato dal potenziale [9.244] . Tor­
nando alla [9.239], che scriviamo come
+�
Aμ(x) = 4 ne J ds GR(x - z(s))uμ(s),
[9.25 0]
si ha
+�
aμA v =4ne f ds u v(s)aμGR(x -z(s)).
[9.25 1]
Calcolando le derivate, avremo (per semplicità di scrittura omettiamo, per il momento,
la dipendenza da s)
h
ac
aμAv=4ne fdsuv
R
aμ[(x -z)2] =
-�
a[(x - z)2]
+oo
+oo
μ
f VdGR ds
aμ-2
-
-
f VdGR (x-z)
=4ne ds u
ds d[(x-z)2] [(x z)]- 4ne
_
�
dsu
ds (x-z)·u
·
[9.252 ]
Un' integrazione per parti dà
[(x - z)μuv
Js=+�
+
J
�
d [(x-z)μuv
]
aμAv = -4ne
( ) GR(x-z)
+4ne
dsGR(x -z) -
d().
x-z ·u
s =-�
-
�
s x-z
·
u
[9.253]
Il termine integrato è nullo perché contiene una 8[(x - z(s))2] (si ricordi la discussione
dopo la [9.42]), e la [9.253] si riduce a
[9.254]
Per mezzo della [9.243] possiamo integrare sul cammino proprio, ottenendo così
Combinando questa espressione con quella corri spondente per a vAμ, si ha
Fμv={
e
d
[(x -z)μuv - (x -z)vuμ
]}.
(x-z).uds
(x-z).u
rii
Conviene introdurre il quadrivettore posizione relativa
che,pers=s,;,, è
[9.255]
[9.256]
[9.257]
[9.258 ]

382
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
La derivata rispetto a s nella [9. 256 ] si calcola senza eccessive difficoltà. Usando
troviamo
_.<!.
.
[Xμuv-Xvuμ]
=
(Xμwv - Xvwμ)(X· u)+(Xμuv - Xvuμ) ·(1-X·w)
ds
X·u
(X· u)2
[9.259]
[9.260]
dove w è la quadriaccelerazione, w μ = duμ/ds. Sostituendo la [9.260] nella [9.25 6 ], si
ottiene l'espressione fi nale per Fμ v ,
[9.26 1]
Per estrarre E e B scriviamo in componenti la quadrivelocità u e la quadriaccelera­
zione w ,
uμ=
y(l, /3),
wμ=
duμ
=
r_(y2/3 .{3y2(/3./3)/3+/3)
dse
'
'
[9.262]
[9.263]
I
dove f3 = vie e f3 = df3/d t . Con qualche passaggio si trova, per il campo elettrico,
E()-{
(1-f32)(n- /3)} !!._{
nx[(n-/3)x/3]}
X,t -e
2
f33
+
f33
R(1-
·n)
rit e
R(1 -
·n)
rit
e per il campo magnetico
B(x,t)=[n XE(x,t)]rit·
[9.265]
A piccole distanze dalla sorgente dominano i campi di velocità, cioè il primo termine
nella [9.264] e il termine corrispondente nella [9.265], che vanno come 1/R 2 . La loro
forma è
{(1 - /32)(n - /3)}
E(x,t)=e
R2(1-/3
.
n)3 rit
,
{(1- /32)(/3 X n)}
B(x,t)=e
R2(l-/3
.
n)3 rit
.
[9.266]
[9.267]
A grandi distanze i campi dominanti sono quelli dipendenti dall'accelerazione (i co­
siddetti campi di accelerazione o di radiazione), che vanno come l!R . Essi sono
e
{nX[(n - /3 )X/3]}
E(x,t)=--;
;
R(l -/3
·
n)3
rit'
-
!'.
..
.
{[/j.(/jXn)]n - [(n -fj)xp]}
B(x, t) -
c
R(l -/3
·
n)3
rit
.
[9. 268]
[9.269]

9. 11 I Irraggiamento di cariche in moto
Scheda 9.1 Forza tra due cari che in moto
383
Consideriamo due particelle 1 e 2, di carica, rispettivamente, e 1 ed e2 , in moto con velocità v 1 e v 2
in un certo sistema di riferimento . La forza F 1 2 (t) che la particella 2 esercita sulla particella 1 è
[9.270]
dove E e B sono i campi generati dalla carica 2 nel punto in cui si trova la carica 1 all 'istante t.
Dalle [9.264, 9 .265] abbiamo
E(,,. n� (•-�);, [(1-;l)(•<+�x[(R< .,j x v,]L,.(92711
B(z1,t)=[�XE]..
[9 .272]
nt
Qui v 2 è l'accelerazione della particella 2 e R è il vettore posizione relativa, R(t , i1) =
= z1(t)-z2(t,i1).LaforzaF12èquindidatada
[9.273]
[9.274)
In maniera analoga si calcola la fo rza F2 1 che la carica 1 esercita sulla carica 2 all 'istante t. La­
sciamo al lettore la verifica della non validità della legge di azione e reazione,
[9.275]
In linea di principio, si potrebbe costruire l'elettromagnetismo a partire dall'espressione della
forza tra due cariche in moto, senza riferimento al campo elettrico e al campo magnetico. In
pratica, la complessità delle [9.273, 9 .274] rende molto più comodo introdurre i campi. Una
teoria elettromagnetica covariante basata sull 'interazione a di stanza tra cari che, invece che sul­
l'interazione tra cariche e campi , è stata sviluppata da Wheeler e Feynman (vedi § 9. 1 3.2).
9.11 . Irraggiamento di cariche in moto
Usando i ri sultati ottenuti nel paragrafo precedente, calcoliamo la potenza irrag­
giata da una carica in moto, cominciando col caso di basse velocità. Nel limite f3 �O
possiamo trascurare gli effetti del ritardo e i campi di radiazione [9.268, 9.269] hanno
la forma
E(x, t) -_!_
_
c· [n
X
(n
R
X
/3)] ,
B(x, t) =
n
X E(x, t).
(9.276]
La densità di fl usso di energia, cioè il vettore di Poynting [8.11O] , è
[9.277]

384
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
Da qui ricaviamo l'energia irradiata per unità di tempo nell' angolo solido dQ:
e
e2
·
d'W' ='li·nR2dQ =
4n
E2R2dQ =
4nc
[nX(nXJJ)fdQ,
[9.278]
dove abbiamo usato l'espressione [9.276] di E. Introducendo l'angolo () formato da
/3 = vie e n, la [9.278] diventa
e, integrando sugli angoli, si ottiene
our _ 2e2
·
2
vv-
3c
3V,
[9.279]
[9.280]
che è la potenza totale irraggiata dalla carica. La [9.280] è la ben notafo rm ula di Larmor.
Essa mostra che l'energia che la carica irraggia nell' unità di tempo è proporzionale al
quadrato della sua accelerazione.
La generalizzazione quadrivettoriale della [9.280] può essere ottenuta con un cal­
colo un po' laborioso a partire dal campo [9.261]. La riporteremo senza derivazione,
accontentandoci di constatare che essa fornisce nel limite non rel ativistico la formula
di Larmor. Il quadrimomento elettromagnetico irraggiato dalla carica nel tempo pro­
prio drè5
Da qui si ricava per la potenza totale istantanea W = e dP�m/dt lespre ssione
2e2 c
'W'=- -- wPw
3
P'
[9.28 1]
[9.282]
che, come si vede, è invariante di Lorentz. Il modulo quadro della quadriaccelerazio­
ne [9.263] è
4
6
wPw
P
=-
�[ft2+({3·ft)2]= -
�[ft2 -({3Xft)2],
[9.283]
e
e
e, usando questo risultato nella [9.282], si trova
W=�e
c
2
y6[p2 -
({3Xp)2],
[9 .284]
che è la formula relati vistica della potenza totale irraggiata da una particella carica in
moto. Nel limite f3 __
_,
O, y _, 1, essa si riduce alla [9.280] .
Scrivendo wP in termini delle derivate temporali del momento p e dell'energia E
(vedi [6.49]):
wP
__l
_
(1'._dEJ"dp)
-
mcç2dt'edt'
[9.285]
5 Cfr. F . Rohrlich cit. , par. 5 . l; A. O . Barut, Electrodynamics andClassica/ Theory of Fields and Particles,
Dover, New York l 980, par. V .4.

9. 11 I Irraggiamento di cariche in moto
la [9. 282) può riesprimersi nella fo rma
"W = 2e2y2 [(dp)2 _ J_(dE)2]
.
3m2c3 dt
c2 dt
385
[9. 286)
Per calcolare la distribuzione angolare della radiazione emessa da una carica in
moto ricordiamo innanzi tutto che � · n R 2 dt è l'energia irraggiata radialmente per
unità di angolo solido nell ' intervallo di tempo dt (misurato dall 'os servatore). Questa
quantità va riespressa in fu nzione del tempo proprio della carica, che è il tempo ritar­
dato tri i · A tale scopo scriviamo dt come
dt
dt=-
a-dt,i,=(I-f3
·
n)dtri,,
lrit
[9. 287)
dove abbiamo usato la [9. 247) . L' energia irraggiata per unità di angolo solido e unità
di tempo ritardato è quindi
d"W(t,i ,)
=�·n_j!_
_
R2=� ·n(I-f3 ·n)R2,
d.Q
dlrit
cioè, inserendo la [9. 277) e il campo di radiazione [9. 268) ,
d"W(t,i 1)
e2 {nX[(n -fj)x,8))2
d.Q
=
4ne
(1-f3
·
n)5
[9. 288)
[9.289)
Questa è la distribuzione angolare della radiazione emessa da una carica in moto .
La presenza della quantità (1 - f3
·
n)5=(1-v
·
nlc)5 al denominatore fa sì che nel re­
gime ultrarelativistico (/3 � 1) l'emissione sia rilevante solo per piccoli valori del­
!' angolo O formato da ven (la direzione osservatore-carica). Il cono (o lobo principa­
le) di irraggiamento (ossia la regione in cui si concentra la maggior parte della poten­
za irraggiata) ha ampiezza angolare 8 - Vl - v 2 /c2 = m c 2/E. Dalla [9. 289) risulta
anche che esistono due direzioni in cui l'emissione è nulla: esse corrispondono al
caso in cui n - f3 è parallelo a ,8 . Un caso particolare della [9. 289) è illustrato nella
Scheda 9.2 .
Scheda 9.2 La radiazione di sincrotrone
La radiazione (o luce) di sincrotrone è la radiazione elettromagnetica emessa da particelle cari­
che (in particolare, elettroni) in moto a velocità relativistiche in un campo magnetico. In labora­
torio essa è prodotta da acceleratori a struttura circolare (sincrotroni e anelli di accumulazione)
e tro va importanti applicazioni in fi sica atomica, fi sica dello stato solido e biofisica. Per calco­
lare la potenza totale irraggi ata dalle particelle che circolano in un campo magnetico uniforme
e costante B usiamo la [9. 286], tenendo conto che in ogni giro il momento p varia rapidamente
in direzi one, mentre la variazione di energia è trascurabile:
Dalle[4.I68,4.186] siha
'W
=
2e2y2 ( dp)2
3m2c3 dt ·
[9.290]
IdpI
=!!_vB=
m yc2132
dt
c
R'
[9.29 1]
segue

386
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
dove R è il raggio dell'orbita, e sostituendo questo risultato nella [9.290] si ottiene la potenza
totale della radiazione di sincrotrone:
°W=
2e2 c /34,;1
=
2e2 c /34 (_§_)4
3R2 r 3R2
mc2 ·
[9.292]
Come si vede, °W è inversamente proporzionale alla quarta potenza della massa della particella.
Ciò significa che, a parità di energia, l'emissione di luce di sincrotrone è rilevante per particel­
le leggere come gli elettroni, mentre non lo è - ad esempio - per i protoni, che sono molto più
pesanti.
La distribuzione angolare della radiazione di sincrotrone si ricava dal la [9.289] ed è, nel piano
orbitale,
d
°W
(t,j,)
e2v2 [
1
sin2 8
]
_d_
t
_=
4.irc3 (I-f3cos8)3 -
y2(1 - f3cos8)5 '
[9.293]
dove 8è l'angolo tra n (la direzione di osservazione) e v. Il grafico della [9.293] per un elettrone
ultrarelativistico (/3 � l) è mostrato in figura 9.8 .
9.12. Reazione di radiazione
Figura 9.8
Distribuzione angolare della radia­
zione di sincrotrone emessa da un
elettrone ultrarelativistico (/3 - 0.9)
nel piano orbitale. Si noti, oltre al lo­
bo principale di irraggiamento, il lobo
secondario (che è stato notevolmente
ingrandito). La linea tratteggiata è una
delle due direzioni di emissione nulla.
Abbiamo già avuto modo di sottolineare (§ 8.4) che, in generale, le equazioni di
Maxwell e le equazioni di Minkowski-Lorentz sono equazioni accoppiate: i campi
governano il moto delle cariche, e queste, irraggiando, modificano i campi e, di con­
seguenza, retroagiscono su se stesse. Nella maggior parte dei casi di interesse pratico,
tuttavia, l'effetto di retroazione della radiazione sul moto delle particelle (la cosiddet­
ta reazione di radiazione) è piccolo e può essere trascurato . Vediamo sotto quale con­
dizione ciò si verifica. In base alla [9.280], l'energia che una particella di carica e,
massa m e accelerazione a irraggia in un intervallo di tempo Tè
2e2a2
Erad-� T.
[9.294]
Supponendo, ad esempio, che la particella oscilli con periodo Te ampiezza d, la sua
energia tipica è
md2
Epa n-7·
[9.295]

9. 12 I Reazione di radiazione
La reazione di radiazione è trascurabile se
Erad<< Epart ·
Usando le (9.294, 9.296] e a�d/T2 , questa condizione diventa
ossia
2e2d2
md2
3c3T4
T«y,
2e2
T»-
33
,
mc
387
(9.296]
(9.297]
(9.298]
dove la quantità al secondo membro, re = 2e2/3 m c 3, è il cosiddetto tempo cara tte ristico
(per un elettrone si ha re = 6.3 X 10- 24 s). Gli effetti dell 'irraggiamento possono dun­
que essere ignorati quando la scala di tempo tipica del moto della particella è molto
più grande di 're
Come faremo vedere adesso, la reazione di radiazione introduce un termine corretti­
vo nella legge del moto della carica. Cominciamo col considerare il caso non relativi­
stico. La legge di Newton per una particella di massa m soggetta a una forza esterna
Fest è
mi = Fest•
[9.299]
dove z (t) è la posizione della particella e Z: = d2z/d t 2 la sua accelerazione.
Se la particella ha carica e, essa irradia la potenza (9.280] . L'effetto di questa per­
dita di energia sul moto della particella può essere descritto inserendo nella (9.299]
unafo rza di reazione radiativa F,•., ,
ml:=Fest +F,••,.
(9.300]
Determineremo Frea z richiedendo che il lavoro che questa forza compie in un intervallo
ditempof:i.t=t
2 - t 1 sia uguale e opposto ali'energia irradiata:
li
12
2
JF
.
d_J
2e ..
2d
reaz·Z t--
.
3C3
Zt.
,,
!1
Integrando per parti il secondo membro si ha
2
t,
2
Il
2
r
,
2e
J··
2d
2e...1
2e
J···
.
d
---
zt=---z.z+--z
.zt
3c3
3c3
3c3
'
r,
t1
t1
(9.301]
[9.302]
dove f = d3zld t3. Se il moto è di tipo oscillatorio e f:i.t è un multiplo intero del periodo
(oppureseZ:·i =Opert=t1et=t
2
), il termine integrato è nullo e, combinando la
(9.302] con la (9.301], si ottiene
I,(
2)
·
2e....
J Freaz -
3C3
Z ·Zdt=O,
r,
(9.303]

388
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
da cui
F
2e2
...
re az
=
3C3Z·
[9.304)
La [9.300) diventa così l ' equazione di Abraham-Lorentz
..
F
2e2
...
mz= est+
3c3z.
[9.305]
Questa è un' equazione del moto sui g eneris, dal momento che contiene una derivata
terza delle coordinate . Le sue soluzioni, quindi, non sono determinate in funzione sol­
tanto della posizione e della velocità iniziali . Questa difficoltà emerge chiaramente
già nel caso libero CFest = 0), in cui la [9.305) ammette, oltre alla soluzione z· = O,
anche la soluzione difu g a (o autoaccelerante) Z" (t) = f(O) e11 \ che è fi sicamente inac­
cettabile. Per eliminarla dobbiamo imporre una condizione addizionale sull' accelera­
zione, ad esempio:
Z"(t)t-t+� O.
[9.306)
La derivazione della [9.305) che abbiamo presentato è puramente euristica. Per ot­
tenere in maniera più rigorosa un' equazione del moto che tenga conto degli effetti ra­
diativi è necessario calcolare direttamente la fo rza che la carica esercita su se stessa
(I' autoforza). Il risultato di questo calcolo, per una carica di raggio R , è6
F=
_
iU,e1r ..
+
2e2
...
+ O(R)
self
3c2
Z
3c3 Z
,
[9.307)
dove O(R ) indica una serie di contributi di struttura che si annullano per R � O. Il se­
condo termine nella [9.307) è la fo rza di reazione radiativa [9.304) . Il primo termine è
proporzionale ali'autoenergia U, . 1 r, che per una densità di carica p (x )
è
U = lJJp(x)p(x '
)d3d3,
self 2
IX-X
'
IXX'
e fornisce un contributo elettromagnetico alla massa del sistema dato da
s: _±Uself
um-
3c2
.
[9.308)
[9.309]
La [9.307) presenta due problemi. Innanzi tutto, compare uno strano fattore 4/3 da­
vanti alla «massa» del campo Use ir/c 2 • Questo coefficiente è dovuto soltanto alla trat­
tazione non covariante, e diventa 1 in un calcolo pienamente relativistico (come di­
mostrò Fermi in alcuni suoi lavori giovanili).7 Il secondo problema, più grave, consiste
nel fatto che per una carica puntiforme l'autoenergia [9.308] diverg e: il campo gene­
rato da una carica è infatti infi nito nel punto stesso in cui si trova la carica. Questo
6 Si veda J. D. Jackson, Elettrodinamica Classica, Zanichelli, Bologna 1984, § 17.3 .
7 E. Fermi, in «Rend. Lincei», 31, 1922, pp. 184, 306; ora in E. Fermi, Note e memorie, Accademia Na­
zionale dei Lincei, Roma 1962.

9. 12 I Reazione di radiazione
389
problema riguarda anche la teoria covariante e, come vedremo, può essere aggirato
mediante una procedura di rinormalizzazione.
L'estensione relativistica della [9.305] è dovuta a Dirac , che la ricavò a partire
dalle equazioni covarianti dell'elettrodinamica e dalla legge di conservazione del
quadrimomento. 8 Il ri sultato è
··μ
-
g;μ +!!.
.._
Fμv .
+
2e2
e ···μ
+
. w-2)
mcz -
est
C
inZV 3C
Z
ZZ'
[9.3 10]
dove i punti indicano qui derivazione rispetto al cammino proprio s, e Ft:,v è un campo
entrante. La [9.3 10] è nota come equazione di Dirac-Lorentz. L' ultimo termine al se­
condo membro è la quadriforza di reazione radiativa :
o;
;
μ
=
2e2
e ···μ
+.
μ
-
-2)
""reaz
3C
Z
ZZ•
[9.3 11]
È opportuno ac cennare ali'origine dei vari termini nella [9 .3 10]. Il campo totale
Fμv
, soluzione delle equazioni di Maxwell non omogenee, è
Riscrivendo la componente ritardata come
dove9
μv=l_ μv+
F
μv)
F:t-
2(Frit- av '
la [9.3 12] diventa
La quadriforza di Lorentz corri spondente è
g;μ = !!_(Ft:,v + F�v + F�v)Zv
·
e
Si può dimostrare che � �e az è la quadriforza generata da F�v
,
!!.
.._
Fμv .
=
2e2
e ···μ
+
.μ
-
·
2)=g;
μ
e
-
Zv 3e
Z
ZZ
reav
[9.312]
[9.3 13]
[9.314]
[9.3 15]
[9.316]
[9.3 17]
mentre il contributo legato a F�v diverge. Questo contributo può essere messo nella
forma 8m i
μ
, con 8m infinito, e riassorbito in una ridefinizione della massa della parti­
cella (una procedura nota come rinormalizzazione della massa). In altri termini, si sup­
pone che la massa fi nita (e misurabile sperimentalmente) m che compare nella [9.3 10]
sia la combinazione di un termine «nudo» m
0
, infinito e non osservabile, e di una cor-
8 P. A. M . Dirac , in «Proc. Roy . Soc.», A 167, 1938, p. 148. Cfr. Barut, Electrodynamics cit., § V.5.
9 F��. F�:. F�v. Fl!.v sono i campi generati, rispettivamente, dalle fu nzioni di Green GR, GA , G+. G _ .

390
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
rezione elettromagnetica 8m , anch'essa infinita e non osservabile. La cancellazione
dei due infiniti produce la quantità fisica finita m. Dal punto di vista pratico, questa
procedura equivale semplicemente a ignorare F�v nella [9.3 16], che diventa così
o;
;
μ-!.
._
(Fμv Fμv) .
.'.f
fe
rinor -
in+ -Zv·
e
Aggiungendo a �� no r la quadriforza esterna :f
fe
�st• si ottiene
··
μ-o;
;
μ
!_(Fμ v Fμ v).
mcz - .Test+
in+ -Zv,
e
che, alla luce della [9.3 17], coincide con la [9.310].1 0
[9.3 18]
[9.3 19]
La generalizzazione della [9.3 19] al caso di più particelle (etichettate da indici a ,
b, ...)è
··
μ
_
o;
;
μ
!.E_(Fμv FμV )
·a
!.E_(LFμv ) ·a
maCZa - .'.f
fe
aest+
in+ a-Zv+
b rit Zv,
·
e
·
e
·
b*a
dove i campi sono valutati inZa · Il termine addizionale nella [9.320] ,
[9.320]
[9.321]
è laquadriforza di Lorentz esercitata sulla particella a da tutte le altre particelle.
9.13. Complementi
9. 13.1. L'equazione di Barg mann-Michel-Telegdi
Nel sistema di riposo 'X' di una particella di carica e , massa mespin s, la dinamica
di s è governata, in presenza di un campo magnetico B', dall'equazione
ds eg
,
-
d,
=-
2
-(sXB),
t
mc
[9.322]
dove g è il rapporto giromagnetico. Come sappiamo dal § 6. 10.1, s è incorporato nel
quadrivettore di spin
Sμ
_
(1:.
__
_i_
(v ·s)v)
-
V S,S+
+l
2
,
e
y
e
che è ortogonale alla quadrivelocità u μ = ( y, yvlc ) della particella,
U
μ
Sμ=O.
[9.323]
[9.324]
10
Per una derivazione alternativa della [9.3 19], basata non sulla rinormalizzazione della massa ma su
opportune condizioni asintotiche sulle particelle e sui campi, si veda Rohrlich, Classica/ Charged Pa rti­
cles cit., cap. 6.

9. 13 I Complementi
391
Cerchiamo ora la generalizzazione covariante della [9.322]. Sembrerebbe naturale
ipotizzare la fo rma
dSμ
=_!
!.K_
Fμvs
d-r 2mc
v•
[9.325]
dove -rè il tempo proprio. Come vedremo, le componenti spaziali della [9.325] danno
nel limite v � O la [9.322]. Sia '?/{ il sistema di riferimento del laboratorio, in cui la
particella ha velocità v. Facendo tendere v a zero, si ha d -r= dt e Sμ = (0, s), e la
[9.325] si riduce a
ds;_ eg
Fii
dr-2mc 5
1'
cioè, usando Fii= - t:iJkBk,
ds
;
-
eg iJk Jsk
dr- 2mc
Es
·
[9.326]
[9.327]
Questa coincide effetti vamente con la [9.322], tenendo conto che nel limite v �Oil
sistema del laboratorio '?/{ tende a quello di riposo '?/{ '. La componente temporale della
[9.325] fa emergere invece un' inconsistenza. Per v �Osi ha
dSo
=_!
!.K_
Fo;s· = _!
!.K_
(s.E)
dt 2mc
'
2mc
'
e, nello stesso limite, il primo membro è (si ricordi la [9.323])
dS01dv
dt=cs·d(
·
Combinando la [9.328] e la [9.329] si ottiene
�-�E
m
dt-2
'
[9.328]
[9.329]
[9.330]
che coincide con l'equazione del moto della particella nel limite v �Osolo se g = 2. In
generale, per g =f=. 2, la [9.330] non è vera: di conseguenza, la [9.325] è inaccettabile.
La corretta generalizzazione relati vistica della [9.322] ri sulta essere 11
dSμ
=_!
!.K_
(Fμ vS
S Fpa
μ)-
duPS μ
d
2
v
+p
UaU
dpU.
-r
mc
-r
[9.33 1]
Si noti che questa equazione è accoppiata, attraverso il termine ind u μ/d 'l", ali' equazio­
ne del moto della particella, che conterrà dei contributi di spin. L'energia d'interazione
di una particella di spin s col campo B è proporzionale a s · B, cioè, in forma covariante,
a SμvFμv, doveSμv
= (1/2) E
μvpaUPsa
.
Se questa correzione è molto piccola rispetto al-
1' energia di riposo mc2 , la legge di Minkowski-Lorentz
du
μ_
!_Fμv
m
dt-e
Uv
,
11 V. Bargmann, L. Miche! e V. L . Telegdi, in «Phys. Rev. Lett. », 2, 1959, p. 435.
[9.332]

392
Formulazione covariante de/l 'elettrodinamica I Cap. 9
è approssimativamente valida. Usandola nella [9.331], otteniamo
dSμ = _e_[K_pμvs + (K.-1)S FP"u uμ]
drmc2
v
2
P
a
'
che è l'equazione di Barg mann-Michel-Telegdi.
[9.333]
Con un calcolo un po' tedioso si può estrarre dalla [9.33 1) l'equazione del moto
per s in un generico sistema di riferimento inerziale 'J{ :
dove
y-1
d/j
COT
=
-
--r
r-
/jXdr'
[9.334)
[9.335)
è la velocità angolare della precessione di Thomas (vedi [3.125)). La [9.334) , detta
equazione di Thomas , incorpora dunque un moto di precessione dello spin (in effetti ,
fu proprio nel contesto della dinamica dello spin che la precessione venne scoperta da
Thomas nel 1926). Ricordando la legge di trasformazione [9. 140) del campo magneti­
co, si vede che la [9.335) è legata alla corrispondente equazione del moto [9.322) nel si­
stema di riposo della particella - che è un sistema non inerziale - da (usiamo dt'
=
dtly)
(��\(
=
(��t.+COTXS,
[9.336)
che è un esempio della [3.126).
9. 13.2. L'elettrodinamica c ome teo ria di azione a distanza
Per evitare i problemi di divergenza che affliggono l'elettrodinamica (e che nascono,
come abbiamo visto nel § 9. 12, dal fatto che il campo generato da una carica puntifor­
me è infinito nel punto in cui si trova la carica), Wheeler e Feynman (WF) proposero
negli anni quaranta di eliminare del tutto il campo elettromagnetico e costruire una
teoria di sole particelle interagenti a distanza. 1 2 L' azione di WF è
(dz� dza
)"2
1·
IIdz� dzb
2
S=
-
22maC
dça-ct
t
dça - 22222eaeb
dçact
t
Ò[(Za - Zb) ]dçadçb·
"
a b*a
[9.337)
Si tratta di un caso particolare della [6.233), con
_
_
_!_dz�dzZ8 _
2
Vab -
2 dça dçb
[(Za Zb) ].
[9.338)
12 J . A. Wheeler e R. P. Feynman, in «Rev. Mod. Phys.», 17, 1945, p. 157; ivi 21, 1949, p. 425. In pre­
cedenza, un'idea simile era stata discussa da altri autori, tra i quali K. Schwarzschild, H. Tetrade e
A. D. Fokker.

9. I 3 I Complementi
393
Le equazioni del moto che si ricavano dalla [9.337) sono (i punti indicano derivazione
rispetto al cammino proprio)
··
μ_.!
!.
.E_
·a"'
Fμv ()
maCZa -
Zv,L.,
,
b+Za,
e b*a
.
dove i tensori Ft.
v
+ sono definiti come
Ft."+Cx) = aμAb. +(x) - a vAt. +(x),
con
[9.339]
[9.340)
[9.341)
È bene precisare che, nel contesto della teoria di WF, Fiv+ e Ai. + non sono campi, ma
semplici fu nzioni delle variabili dinamiche delle particelle.
Usando la [9.2 14), A t.+ (x) può essere messo nella fo rma
At.+(x) =
4
:Jd4x' [ebeJdsbzt(sb)84(x' - Zb(sb))JG+(x - x') =
=:
n
Jd4x ' G+(x - x')Jt(x '),
[9.342)
e quindi coincidefo rmalmente con la semisomma dei potenziali ritardato e avanzato ge­
nerati dalla particella b. Si noti che la teoria è libera da divergenze, dal momento che la
somma sugli Ft."+ nella [9.339) non include I ' «autocampo» infinito F�."+ (vedi § 9. 12).
Confrontando la [9.339) con la [9.320) (per %�. e s t = 0), si vede che la teoria di WF
riproduce i ri sultati dell' el ettrodinamica (rinormalizzata) se
"'μv_μv
μv
"' Fμv
,L.,
,
Fb.+ -Fa,in+Fa,- +,L.,
,
b, rit·
b*a
h*a
Mediante le [9.314) possiamo riscrivere questa condizione come
cioè
1"' μv
μv
_
μv
1(μv
μv
"'μv
2,L.,
,
(Fb,rit+Fb,av) -Fa,in+2Fa,rit-Fa,av)+,L.,
,
Fb. rit•
b*a
b*a
Fμv -
I"'<Fμv
Fμv )
a,in-2,L,.; b,av
-
b,rit'
b
[9.343)
[9.344)
[9.345)
dove è da notare che la sommatoria è su tutte le particelle. In particolare, se F�.v
in =O,
la [9.345] implica
[9.346)
ovvero (ricordiamo che Ffa'd = F��t - Ffnv = F��- F�: = 2F�v)
[9.347)

394
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
Si scopre così che le particelle assorbono, in ogni punto dello spazio-tempo in cui si
trovano, tutta la radiazione che emettono. Se F�.vi n * O, l'as sorbimento è parziale e la
radiazione residua appare come un «campo» entrante . Questa, beninteso, è solo l'in­
terpretazione dei risultati nel linguaggio dell 'elettrodinamica. La teoria di WF, di per
sé, non fa riferimento ad alcun campo e riconduce totalmente l'in terazione elettroma­
gnetica ali' azione a distanza tra cariche, senza radiazione.
Sottolineiamo infi ne un' altra importante caratteri stica della teoria di WF: la sua
simmetri a tra passato e fu turo, che risulta evidente dalla struttura della [9.337].
9. 13.3. La Lagrangiana di Danvin
Nel limite di basse velocità è possibile descrivere approssimativamente l'in tera­
zione elettromagnetica tra particelle cariche mediante una Lagrangiana espressa in
termini delle posizioni e delle velocità istantanee, con una correzi one relativistica di
ordine v2/c2 .
Prendiamo come punto di partenza l'azione di Wheeler-Feynman [9.337]. Con la
scelta non covariante ç0 = t
0
e çb = tb, che è adeguata ai fi ni delle approssimazioni che
fare mo, si ha
Usando
[9.349]
e
[9.350]
dove
[9.35 1]
la [9.348] diventa
Si ricordi che le variabili dinamiche etichettate dall'indice a (b) dipendono dal tempo
la (tb).
Nel limite non relativistico e�oo, la S si riduce, a meno di un termine costante, a
[9.353]

9. 13 I Complementi
395
dove abbiamo usato - come è lecito fare, dal momento che per e � oo le interazioni
sono istantanee - un tempo comune t. Dalla [9.353] si estrae la Lagrangiana
[9.354]
che descrive un sistema non relativistico di particelle che interagiscono mediante
forze di Coulomb .
Sviluppiamo ora la S all'ordine v 2/c 2 • Per l'azione libera si ha
[9.355]
avendo omesso un termine costante. Lo sviluppo di Taylor delle fu nzioni o(ta b :±: raJc) è
s:( +rab)-s:()+rabS:f( )+_!_r;bs:u()
ulab-
e
-
utab -
e
u tab
2c2utab,
[9.356]
dove gli apici indicano deri vazione e il termine proporzionale a o"(tab) fornisce, come
vedremo, un contributo 0(v2/c 2 ). Usando la [9.356], l'azione di interazione S i n t diventa
Con alcune integrazioni per parti si trova
Idta Idtb rab8'(tab) = -
Idta Idtb rab
d�
b
[d�
a
O(tab)] = -
Idta I dtb d�a(�:), [9.358]
e, poiché
[9.359]
[9.360]
Se integriamo su tb sfruttando la O(tab), avremo
[9.361]
dove tutte le variabili dinamiche sono prese al tempo la e le interazioni sono quindi
istantanee . Sommando la [9. 355] e la [9.361] si ottiene l'azione completa del sistema
all'ordine v2/c2 ,
[9.362]

396
Formulazione covariante de ll 'elettrodinamica I Cap. 9
da cui possiamo estrarre la Lagrangiana
[9.363]
che incorpora la prima correzione relativistica alla [9.354] . La [9.363] fu derivata da
C. G. Darwin nel 1920.
Problemi
1. Trasformazioni di gauge
Mostrare che la trasformazione del quadripotenziale A μ
A'μ =Aμ+ 1fei<kx- 0"i,
con
eμ=(l, 1,0, 0), (J) =ck,
è una trasformazione di gauge. Supponendo che A μ soddisfi il gauge di Lorentz, A•μ soddi sfa lo
stesso gauge?
2. Prodotto del tensore del campo per il suo duale
Verificare la rel azione
3. In varianti dei campi
Mostrare che, in fu nzione dei campi E e B, gli invarianti Fμ vF
μve FμvF
μ v hanno la forma
pvF
μv= - 2(E2-B2), 'fμvF
μv
=-4E.B,
e che'fμvF
μv = FμvF
μv·
4 . Equazioni di Maxwell
Mostrare che le equazioni di Maxwell possono essere messe nella fo rma
5. Equazione di Proca
Se i fo toni avessero una massa non nulla μ, l'equazione del moto del campo elettrom agneti­
co sarebbe l ' equazione di Proca
[9.364]

Problemi
397
•
Questa equazione è invariante di gauge?
•
Mostrare che, se la corrente JY è conservata, la condizione di gauge di Lorentz a
μ
Aμ=Oè
automaticamente soddi sfatta.
•
Scrivere le soluzioni di tipo onda piana dell'equazione di Proca omogenea (l' = 0), determi­
nando la relazione tra frequenza e numero d' onda.
(Misure del campo magnetico galattico permettono di porre un limite molto stretto sulla
massa μ del fotone: μ � 1o- 36 GeV).
6. Eq uazione di Minko wski-Lorentz
Verificare che l'equazione di Minkowski-Lorentz covariante
corrisponde, in termini della velocità vedei campi E e B, a
d
e
-
d
(myv)=eE+-vXB.
t
e
7. Trasformazioni di Lorentz dei potenziali
Sia dato, in un sistema di riferimento inerzi ale 'J{, il quadripotenziale
Aμ = (e-*', e-•y, O,O).
•
A μ soddisfa i gauge di Coulomb e di Lorentz?
•
Qual è il quadripotenziale A•μ in un altro si stema di riferimento 'J{ ' in moto rispetto a 'J{ con
velocità v diretta lungo l ' asse z?
•
A•μ soddisfa i gauge di Coulomb e di Lorentz?
8. Trasformazioni di Lorentz de i campi
Derivare le leggi di trasformazione dei campi E e B per un boost lungo x usando le relazioni
IaA
E= - V<p--;
;-
ai· B=VxA,
le trasformazioni di Lorentz dei potenziali (9. 121], e le trasformazioni di Lorentz delle derivate
spazio-temporali.
9. Ca mp i ortogonali
In un sistema di riferimento inerziale X il campo elettrico e il campo magnetico sono orto­
gonali, E·B = O . Dimostrare che mediante un boost ci si può porre in un sistema di riferimento
'J{ ' in cui il campo elettrico è nullo (se I E I < I Bi), o in un sistema di riferimento 'J{" in cui il
campo magnetico è nullo (se I E I > I B I ), e determinare le velocità e i fattori lorentziani di que­
sti due boost.
Risposta:
'J{�'J{':
R._EXB
fJ
-
B2
,
�
r
=
v�· X�'JC':
R. _EXB
fJ
-
Ez'
�
r
=
v�·

398
Formulazione covariante dell 'elettrodinamica I Cap. 9
10. Campo elettromagnetico in un condensatore
Un condensatore, disposto come in fi gura 9.9, si muove, nel si stema di riferimento 'J{, con
velocità costante v diretta lungo l'asse x. La distanza tra le sue armature è d e la differenza di
potenziale tra di esse è V. Determinare il campo elettromagnetico in 'J{ .
Risposta :
V
Ex=O,Ey=yd,E,=O;
V
Bx=O,By=O,B,= -{3yd.
'J{'
y
y'
r-V
------------I
I·
+ + ++++++++++!
Figura 9.9
X,X
1
Un condensatore (solidale col sistema di riferimento 'J{ ') si muove con velocità costante v rispetto al
sistema di riferimento 'J{.
11. Campo elettromagnetico di unfi lo conduttore carico
Un fi lo metallico infi nito, disposto lungo l'asse z di un sistema di riferimento 'J{ , ha una den­
sità lineare di carica Il ed è percorso da una corrente continua I. Si consideri un altro sistema di
riferimento 'J{ ' in moto ri spetto a 'J{ con velocità costante v diretta lungo z. Mostrare che, a se­
conda che I sia maggiore o minore di un certo valore limite 10 , è possibile scegliere il riferimento
'J{ ' in modo tale che in esso il campo sia puramente magnetico o puramente elettrico. Scrivere
E' e B' in funzione di E, Bel/10.
Risposta . Il valore limite 1 0 vale
10=?cc.
SeI>10,conunboostdif3=1011sihaE' = OeB' = BV1-(/0//)2. SeI<10,conunboostdi
{3=1110sihaB'= OeE'=EVI-(1110)2 .
12. Potenziali generati da una ca rica in moto unifo rme
Usando le fo rmule di Liénard-Wiechert [9.249] , ricavare i poten ziali elettromagnetici [9. 146)
di una carica in moto uniforme (lungo lasse x) .
Suggerimento. Supponendo che all 'istante t = O la carica si trovi nel! 'ori gine, e chiamando v
la sua velocità, si ha
R(t, ;,)
t,;,=t---
c
-.

Problemi
399
13. Potenziali e campi generati da una ca rica in moto unifo rme
I potenziali generati da una carica e in moto con velocità costante v lungo l' asse x sono
e
V
A=-;
;-
<p.
Veri ficare che essi soddi sfano la condizione di gauge di Lorentz. Mostrare , usando le relazioni
(9. 14, 9. 1 5], ma senza calcolare esplicitamente i campi, che si ha
B=!:!_XE.
c
Suggerimento. Per il secondo quesito è utile l'identità vettoriale
VX[lfl(x)C]= - eXVlfl(X),
dove lfl(x) è un campo scalare e C è un vettore costante.
14. Fo rmula di Feyn man per il campo elettrico di una ca rica in moto
Dimostrare la formula di Feynman 1 3 per il campo elettri co generato da una carica in moto
arbitrari o:
E(x, t) = e [:3 + �:t(:3) +:2:t
2
2 (�)L·
dove R(t,;,) = x - z(t,;,), e z(t,;,) è la posizione della carica al tempo ritardato.
Suggerimento. Una deri vazione relativamente semplice della fo rmula di Feynman (a partire
dai potenziali di Liénard-Wiechert) è presentata da J. Heberle, in «Giornal e di Fisica», 25,
1984, p . 53.
1 3 R. P . Feynman, R. B. Leighton e M. S. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley,
Reading (MA), voi . I, eq. 28.3.

Capito lo 10
Teoria relativistica dei campi
Nella visione classica, il mondo fi sico è fatto di due tipi di entità: le partic elle e
i campi. La materia è costituita da particelle, mentre le interazioni (gravitazionale ed
elettromagnetica - le due interazioni coinvolte nei processi classici) sono descritte
da campi.
Le partic elle, che ci sono familiari dallo studio della meccanica elementare, sono
oggetti localizzati, la cui dinamica è governata dalle ben note equazioni del moto: le
equazioni di Newton nel caso non rel ativistico, le equazioni di Minkowski nel caso
relativistico. Un sistema di N particelle è rappresentato, nella meccanica non relativi­
stica, dalle leggi orarie
[ 10.1]
e, nella meccanica relativistica, dalle linee di universo
z
t(s), z
i(s) , ..., ztCs).
[10.2]
I campi, invece, sono enti fi sici delocalizzati su una regione fi nita o infi nita dello
spazio. Come le particelle, essi possiedono energia, impulso e momento angolare . Due
esempi ben noti sono il campo elettrico e il campo magnetico
E(x, t), B(x, t) .
[10.3]
Il dualismo ontologico particelle-campi è evidente nella scrittura dell' azione di
una particella carica in un campo elettromagnetico [9.6], dove il termine di interazio­
ne è un termine ibrido che accoppia due oggetti sostanzialmente differenti: la linea di
universo della particella zμ(s) e il potenziale elettromagnetico Aμ(x).
Mentre la dinamica relativistica delle particelle è stata inquadrata nel capitolo 6 in
uno schema lagrangiano e hamiltoniano, non altrettanto si è fatto sin qui coi cam pi. Nei
capitoli 8 e 9 abbiamo scritto le equazioni del moto del campo elettromagnetico (le
equazioni di Maxwell), ma non la sua azione, o la sua Lagrangiana. Questa mancanza
è grave per almeno due motivi: prima di tutto, la fisica tende a una descrizione unifi-

I O. I I La corda vibrante
401
cata del mondo ed è quindi naturale adottare un formalismo simile per le particelle e
per i campi (fermo restando il fatto che, in ambito classico, questi enti sono intrinse­
camente diversi); in secondo luogo, il modo più semplice ed elegante di applicare il
principio di relatività ai sistemi fi sici - siano essi costituiti da particelle o da campi -
consiste proprio nel richiedere l'in varianza relativistica dell' azione. Il fo rmalismo la­
grangiano e hamiltoniano per i campi è oggetto della teo ria c lassica dei camp i, di cui
ci occuperemo in questo capitolo («classica» significa qui «non quantistica»).
Il dualismo della fi sica classica viene superato dalla teo ria quantistica dei camp i,
in cui sia la materi a (le particelle) che la radiazione (il campo elettromagnetico e gli
altri campi di interazione) sono rappresentate da campi quantistic i. Una trattazione
della teoria quanti stica dei campi esula ovviamente dagli scopi di questo libro. Il let­
tore interessato può consultare uno dei tanti manuali disponibili sull' argomento: ad
esempio, J. D . Bj orken e S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill, New
York 1965 ; P. Ramond, Field Theory: A Mode m Primer, Addison-Wesley, Reading
(MA) 1989; S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, voi. I, Cambridge University
Press, Cambridge (UK) 1995 ; A. Di Giacomo, Lezioni difi sica teorica , ETS , Pisa 1992.
Avvertenza . In questo capitolo useremo unità naturali, cioè porremo 1i = c = 1.
10.1. La corda vibrante
Nell 'in trodurre la Lagrangiana e l 'Hamiltoniana di un campo ci faremo guidare dal­
le corrispondenti nozioni della meccanica analitica delle particelle. Cominceremo col
considerare un sistema di punti materiali interagenti ed effettueremo in maniera oppor­
tuna il limite continuo, facendo tendere all 'infinito il numero dei gradi di libertà.
Il sistema più semplice che si possa immaginare è un insieme di infinite particelle
identiche di massa m legate da fo rze elastiche (cioè da molle). Supporremo che le
oscillazioni siano puramente longitudinali. Una porzione di questo sistema è rappre­
sentata in fi gura 10.1 . Chiamiamo <p; (t) gli spostamenti delle particelle dalle posizioni
di equilibrio. La Lagrangiana del sistema è
[ 10.4]
(a) · · · 10000.0000Q 0000.000000000.00QQ;
a
(b)...
<fJ;- 1
<fJ;
<fJ;+ 1
Figura 10.1
Un sistema di particelle legate da molle.

402
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
dove k è la costante elastica delle molle (anch'esse tutte uguali). Le equazioni di Eu­
lero-Lagrange che si ricavano dalla (10.4], cioè
(10.5]
sono, in fo rma esplicita,
mip;-k(<p;+1
-
<{>;)+k(<{>;-<p;_1)=O.
(10.6]
Effettuiamo ora il limite continuo, che consi ste nel far tendere il sistema considerato a
una c orda vibrante . Imporremo che in questo limite, in cui la distanza a tra le masse
nello stato di equilibrio diventa infi nitesima, il rapporto mia (la densità li neare della
corda) e il prodotto ka (il modulo di Young) 1 rimangano fi niti :
a--
-7
O,
m
conT/=--;
;-
e Y=ka finiti.
L'indice i degli spostamenti <p; viene promosso a vari abile continua x,
<p;(t) --
-7
<p(x, t),
[10.7]
[ 10.8]
e <{>; diventa dunque il campo <p(x, t) , che è fu nzione dei due parametri x et. Riscriviamo
la [l0.4] nellaforma
L=""a[_!_mip2-_!_ka(<{>;+I-<{>;)
2
]
�2a'
2
a
'
I
(10.9]
che evidenzia le quantità fi nite e quelle infinitesime. Sostituendo la sommatoria sulle
particelle con un integrale sulla x,
�a ...
--
-7
Jdx .. .,
j
e usando la seguente corri spondenza tra differenze fi nite e deri vate
<{>;+1(t)-<p;(t)--
-7
lim
<p(x+a,t)-<p(x,t)
=
èJ<p
a
a-->o
a
òx'
la Lagrangiana [10.4] diventa, nel caso continuo,
Analogamente, dalle equazioni del moto (10.6], riscritte come
m..
k
l[<{>;+I-<{>; </);-<{>;-I
]-Q
--;<r>;
-
a
-;
;
a
-
a
-
'
[l0.10]
[I0. 11]
(10.12]
1 Questa interpretazione di ka è giustificata dal fatto che ogni parti cella esercita sulla propria vicina una
forzaF=k(<p;+1 -<p;)=Yç,doveç=(<p;+1 -<p;)laèl'elongazioneperunitàdilunghezzaeY=kaèap­
punto il modulo di Young.

I O. I I La corda vibrante
si ottiene, fac endo uso della relazione
_!_[<p;+i(t)-<p;(t) _<p;(t)-<p;-1(t)]�
a
a
a
l. I[<p(x+a,t)-<p(x,t)
� 1m-
-
a->Oa
a
l'equazione del moto per <p(x, t) , cioè
Ò2<p Ò2<p
1J òt2
-
y òx2
=O.
<p(x,t)-<p(x-a,t)]=
ò2<p
a
òx2 '
403
[10.13]
[10. 14]
Questa è una tipica equazione delle onde. Le sue soluzioni sono onde che si propaga­
no con velocità v = VYTij.
Se introduciamo la de nsità di Lag ra ngiana
!;e,
del campo <p(x, t) attraverso
[10. 15]
dalla [I0. 11] si ricava
[10.16]
L'azione di <p(x, t) è definita come l'integrale sul tempo di L, cioè
S=JdtL=JdtJdx;J!,(<p,��,��).
[ 10. 17]
Imponendo che S sia stazionaria rispetto a variazioni di <p che si annullano agli estre­
mi di integrazione (un procedimento variazionale che verrà illustrato in dettaglio nel
prossimo paragrafo), si ottiene l'equazione di Eulero-Lag rang e per un campo in l + 1
dimensioni,
ò
()!;e,
ò
()!;e,-
ò;J!,
=o
at-
a
-
(
�-�-
)
+-
ax-
a
-
(
�-�
-
)
a<p·
[10.18]
È facile verificare che inserendo in questa equazione la densità di Lagrangiana [I0. 16]
della corda vibrante si ottiene la [10.14].
Passiamo ora alla descrizione hamiltoniana del sistema. I momenti canonicamente
coniugati alle variabili discrete <p; (t) sono
òL
.
lr;(t) =--:;-
-:-
= m<p;(t).
o<p;
L'Hamiltoniana è definita come
[10.19 ]
[10.20]

404
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
e,usandola[10.9)ela[10.l9], sitrova
H= L[;l+tk(qJ;
+
1 - qJ;)2] =La[t:(:;)
2
+�ka(
qJ;
+�
-
qJ;
)2] . [10.2 1)
I
I
Nel limite continuo le n; (t) diventano il campo c oniugato n(x, t) ,
lr ·(t)
-
'-�n(x,t),
a
e si ha, al posto della [l0.19),
ò5E.
n(x,t)=ò<P=1JqJ(x,t),
[10.22)
[10.23)
dove cp(x, t) = Ò qJ/Ò t . L'Hamiltoniana della corda vibrante si ricava dalla [10.21) ef­
fe ttuando il limite [lO. 7):
[10.24)
Scrivendo H come
[10.25)
dalla [10.20) segue che la relazione tra la densità di Hamiltoniana "!JC e 5;f, è
=
(ÒqJ
)-
.
co
(.ÒqJ
)
<1l, n,qJ,-a; -nqJ-<L qJ,qJ,-a; .
[10.26)
10.2. La Lagrangiana e l'azione di un campo
La corda vibrante che abbiamo appena studiato è un sistema continuo, ma non un
campo fi sico fo ndamentale. Per descrivere i campi fo ndamentali - come, ad esempio,
il campo elettromagnetico - dobbiamo: 1) generalizzare il discorso allo spazio-tempo
(3 + I )-dimensionale; 11) imporre lin varianza relativistica adottando un formalismo
covariante.
Postuleremo che la dinamica di un generico campo qJ(x), definito nel continuo spazio­
temporale a 3 + 1 dimensioni, sia descritta da un' azione S della fo rma
[l0.27)
dove L = J d 3x 5E è la Lagrangiana (propriamente detta) del campo qJ, e 5;f, è la de nsità
di Lagrangiana . 2 5;f, è una fu nzione di qJ, delle sue derivate Òμ qJ e, eventualmente,
delle coordinate xμ . Inoltre, considereremo soltanto teorie di campo locali: ciò signi-
2 La densità di Lagrangiana 5E verrà spesso chiamata semplicemente «Lagrangiana».

10.2 \ La Lagrangiana e l'azione di un campo
405
fi ca che ;;/', dipende dal campo valutato in un solo punto dello spazio-tempo xμ . In
unità naturali l'azione è adimensionale: di conseguenza, ;;/',ha dimensioni [lunghez­
zar 4 o, equivalentemente, [massa]4 .
L ' equazione del moto del campo <p è l ' equazione di Eulero-Lag ra nge associata
alla :!, cioè
();;/', ò:i
òμ òò
μ
<p
-
ò<p
=O,
[10.28)
che rappresenta la generalizzazione della [10.18). Come vedremo più avanti, la [10.28)
si ottiene applicando il principio di Hamilton alla S, secondo un procedimento simile
a quello della meccanica analitica (vedi Appendice E). Richiederemo che l'azione sia
invariante di Lorentz, in maniera tale che l'equazione del moto che deriva da essa ob­
bedi sca al principio di relatività. Poiché, come sappiamo, l'elemento di volume d 4 x è
uno scalare lorentziano, anche ;;/', dovrà esserlo. Alla luce della [ 10.28], si vede poi
che, se vogliamo che l'equazione del moto sia un'equazione alle derivate parziali del
secondo ordine, la densità di Lagrangiana ;;/', non potrà contenere derivate dei campi
superiori alla prima, e dovrà essere quadratica in Ò
μ
<f>·
Il prin c ipio di Ha milton , o di azione staziona ria, stabilisce che la configurazione
«vera» del campo è quella che rende estremo l'in tegrale
S=f d4x:i(<p, Ò
μ
<p,x
μ
),
n
[10.29)
dove n è un volume quadridimensionale racchiuso tra due (iper)superfici di tipo spa­
zio 0"1 e 0"2. Il volume n può essere finito - e allora 0"1 e 0"2 si congiungono - o infini­
to, nel qual caso 0" 1 e 0"2 sono disgiunte e si estendono fino all'infinito spaziale, dove
il contorno di n è completato da una superficie di tipo tempo O"w Supporremo sempre
che i campi e le loro derivate vadano a zero in maniera sufficientemente rapida su O"�.
Consideriamo una variazione infinitesima arbitrari a di <p,
<p(x) � <p(x) + O<p(x),
[10.30)
chesi annulli sul contorno an= 0"1 u 0"2u O"�din,
o<p=o su an.
[10.3 1)
Si osservi che le coordinate xμ non vengono variate . Secondo il principio d'azione, S
deve essere stazionaria rispetto alla variazione [I0.30], ossia
oS =oI d4x:i(<p, Ò
μ
<p, Xμ
)=O.
n
Poiché il volume Q è tenuto fi sso, la variazione di S è
[10.32)

406
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
Come si è detto, le xμ non variano e si ha quindi
La [ 10.33] diventa allora
_
f4(a::e
a::e
)
os- dxa-o<p+aa-aμo<p .
n
<p
μ<{J
Integrando per parti il secondo termine otteniamo
8S=Jd4x(�:i-Òμ--,�:i)
O<p+JdO'μ ::.�:i O<p.
n
o<p
ooμ <p
an
uuμ <p
Per l'ipotesi [10.3 1], si ha
e la [I0.36] si riduce a
_
f4(a::e
a::e
)
8S- dXa--òμaa-O<p.
n
<p
μ<{J
[10.34]
[ 10.35]
[ 10.36]
[10.37]
[10.38]
In base al principio di azione stazionaria questa quantità deve essere nulla per una va­
riazione arbitraria O<p,
[ l 0.39]
i I che si verifica solo se si annulla I'integrando, cioè
[10.40]
Questa è l ' equazione di Eulero-Lag ra nge (ossia l ' equazione del moto) del campo <p,
che avevamo anticipato sopra.
Da un punto di vista matematico, l'azione S è unfu nzionale del campo <p nello spa­
zio di Minkowski (per indicare questa dipendenza si usano abitualmente le parentesi
quadre : S[<p]). Dal momento che la derivata fu nzionale di S[<p] è
la condizione di stazionarietà di S,
8S =O
8<p,
fornisce immediatamente l'equazione di Eulero-Lagrange.
[ l 0.41]
[10.42]

10.2 I La Lagrangiana e l'azione di un campo
407
Scheda 10.1 Derivate fu nzion ali
Un fu nzionale F[q>] è un oggetto del tipo
F[q>] = J dxf(q>(x), q>'(x)),
(10. 4 3]
dove, per semplicità, abb iamo assu nto che la q> siafu nzione di una sola variabile reale x, e q>'(x) =
= <Jq>l<Jx. La derivata fu nzionale di F ri spetto a q>(x) è
Usando
8F
I [<Jf 8q>(y) <Jf 8q>'(y)]
8q>(x)
=
dy
a q>(y) 8q>(x) +
-
() q>'(y) 8q>(x)
.
8q>( y)
8q>(x)
= 8(x-y),
[10.44]
(10. 4 5]
e il fatto che la deriv ata ordinaria rispetto a x e la deri vata fu nzionale sono indipendenti e quindi
commutano,
la [10.44] diventa
0q>'(y)
=_i_
Oq>( y)
=_i_0X-
8q>(x) ()y 8q>(x) <Jy ( y),
oF
J[a1
a1a
J
8q>(x)
=
dy
aq>(y)8(x-y)+
()q>'(y)<Jy8(x-y).
[10.46]
[10.47]
Integrando per parti il secondo termine e supponendo che il contributo di superficie si annulli,
si trova infi ne
8F
<Jf()<Jf
8q>(x)
=
a q>(x)
-
ax a q,-(x)
.
[10.48]
Si verifica immediatamente che, se moltiplichiamo la densità di Lagrangiana (o,
equivalentemente, l'azi one) per una costante,
[I0.49]
l'equazione del moto rimane invariata. Lo stesso accade se aggiungiamo a :i!, la qua­
dridivergenza di una fu nzione generica Aμ del campo <p e delle coordinate xμ . Per
si ha
S�S' = Jd4x(:l!,+àμAμ)=S+Jd4xà
μ
Aμ,
n
n
e, usando il teorema di Gauss [5.2 16],
S'= s+Ido-μAμ.
an
Poiché la variazione del campo si annulla sull ' ipersuperficie (J Q abbiamo
[10.50]
[10.5 1]
[10.52]
[10.53]

408
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
e dunque
oS=O�oS'=O.
(10.54]
Ciò significa che da S ' si ottiene, mediante il principio d'azione, la stessa equazione
del moto che si ottiene da S.
Notiamo infi ne che, nel caso in cui il sistema sia costituito da N campi distinti <p1
(l'indice l = I , 2, ..., N etichetta il campo e non va confuso con un indice spaziale),
l'azione ha la fo rma
[10.55]
e l'equazione di Eulero-Lagrange per ognuno degli N campi <p1 è
a_jJf_-
a
;;e,=o
μ ÒÒμ<f>t Ò<f>t
.
[10.56]
È importante sottolineare , a tal proposito, che l'azione deve essere reale. È questo re­
quisito che fa sì che il numero di equazioni di Eulero-Lagrange sia pari al numero dei
campi. Se S fo sse invece complessa, le condizioni (indipendenti) di stazionarietà per
la sua parte reale e per la sua parte immaginaria darebbero luogo a 2N equazioni per N
campi: il problema sarebbe quindi sovradeterminato.
10.3 . Formalismo canonico
Dato un sistema di campi <p1, i campi n1 canonicamente c oniugati ai <p1 sono definiti
come (<jJ1= Ò<p/Òt)
();]',
n1(x) = -:
:;-:-
-
.
u<p1
(10.57]
In termini della Lagrangiana L[<p1, <jJ1] , che è un fu nzionale di <p1 e <P i nello spazio tri ­
dimensionale, la [10.57] equivale a
[10.58]
L'Hamiltoniana H del sistema si ottiene mediante una trasformazione di Legendre :
[l0.59]
dove !'integrando
[10.60]

10.3 I Formalismo canonico
409
è la densità di Hamiltoniana. In virtù della sua definizione e della [10.57), l'Hamilto­
niana H non dipende da <{>1, cioè la sua deri vata fu nzionale rispetto a <{>1 è nulla:
8H
8<{>,
=O.
[10.61]
H è quindi un fu nzionale dei campi <p1 e n1 nello spazio tridimensionale.
Derivando fu nzionalmente H[<p1, n1] rispetto a <p1 e n1 si ottengono le equazioni
canoniche del moto . Dalla [ 10.59] si ricava
La derivata fu nzionale rispetto a <p1 è invece
ovvero, usando le equazioni di Eulero-Lagrange [10.56),
8H
aa:;e
.
--
=----=
-
n,
8cp,
at aq,,
·
Le equazioni canoniche del moto sono, in definitiva,
8H.
8n1
= <p,,
8H
.
8<p,
=-n,.
[ 10.62]
[ 10.63]
[10.64]
[10.65]
[10.66]
Si noti che il fo rmalismo canonic o non è c ovariante , come si desume dal fatto che
esso separa le derivate temporali dei campi da quelle spaziali.
Parentesi di Poisson
Consideriamo due fu nzionali generici dei campi a tempi ug uali
La parentesi di Poisson tra F e G è, per definizione,
{F G}-Jd3x
,
L[ 8F
8G
8G
8F]
'
-
/ 8<p1(x ', t) 8n1(x ', t)
-
8<p1(x ', t) 8n1(x ', t) ·
Le parentesi di Poi sson canoniche sono
{<p1(x, t),<p,,,(x', t)}=O,
{n1(x, t),nm(x', t))=O,
{<pi(x, t), l!m(x', t)}=811118\x-x').
[10.67]
[l0.68]
[ l 0.69]
[10.70]
[10.7 1]

410
Teoria relativistica dei campi \ Cap. 10
Verifichiamo, ad esempio, la [ 10. 71]:
{ (x t) n(x' t))=Jd3x"°"'[8<p,(x,t) 8nm(x', t) _8n,,,(x', t) 8<p1(x,t)]=
<p,''
m
'
L,; 8<p(x"t)8n(x"t) 8<p(x"t)8n(x"t)
n
n
'
n
'
n
'
n
'
Due parentesi di Poisson utili sono
8F
{<p,(x, t),F)=
8n1(x, t)'
8F
{n1(x,t),F)= - '" ( ).
u<p1X,t
[10.73]
[10.74]
In particolare , se il fu nzionale F è l'Hami ltoniana H, combinando le [10.73, 10.74]
con le [ 10.65 , I 0.66] si trova che le equazioni canoniche del moto possono essere
scritte nel la fo rma
ip,= {<p,, H},
ic1= {n1,H).
Trasfo rmazioni canoniche
Una trasformazione dei campi <p1 e n1,
{<p; = <p;(<p, n)
n; = n;(<p, n),
[10.75]
[10.76]
[10.77]
è una tra sfo rmazione canonica se conserva la struttura canonica delle equazioni del
moto, cioè se esiste un' Hamiltoniana H ' [<p;, n;] per la quale valgano equazioni simili
alle [10.65 , 10.66],
8H'
.
,
8n;
= <p,,
8H'
.
,
8<p;
=
-
n,.
Consideriamo una trasformazione canonica infinitesima
[10.78]
[10.79]
[10.80]
Supponendo che le 8<p1 e 8n1 dipendano da n parametri infinite simi E" (con a = 1, 2,
... , n), scriveremo
[10.8 1]
a
dove le D a <f>i e 8 a n1 sono quantità fi nite (al primo ordine, la dipendenza dai parametri
E" è ovviamente lineare). Come in meccanica analitica, esistono n fu nzionali G a di <p1

10.4 I Simmetrie in teoria dei campi
411
e rr1 , i cosiddetti generatori della trasformazione canonica infinitesima [10.80], tali
che le variazioni dei campi possono essere ·scritte come
-
oc
Oa<p1= -
ocp;={<p1,C"},
-
oc
oa1'1=� ={1'1,ca}.
u1'1
[10.82]
[10.83]
In particolare, la trasformazione canonica infinitesima corrispondente ali' evoluzione
temporale del sistema è (indichiamo solo la dipendenza temporale dei campi)
{O<p1: <p1(t +E) - <p1(t)� E�1(t)
01'1 - Tr1(t+E) - Tr1(t) - E1'1(t).
[10.84]
Alla luce delle [10 .75, 10.76] e delle [10.82, 10.83], si vede che questa trasformazione
ha come generatore l'Hamiltoniana H .
Dato un fu nzionale F = J d3xf(cp1, d 1 cp1, rr1) , la sua variazione per una trasformazione
canonica del tipo [ l 0.80] è
oF=Jd3x�[�F
ocp1+ �Forr1].
I u<p1
u1'1
Scrivendo oF come
a
e usando le [10.82, 10.83], si ottiene per 00F
[10.85]
[10.86]
[10.871
dove i Ca sono i generatori della trasformazione considerata. Se F non dipende espli­
citamente dal tempo, la sua variazione in seguito all'evoluzione temporale dei campi
è data dalla [10.87] con H come generatore,
oF={F,H).
[ l 0.88]
Ne consegue che, se
{F,H)=O,
[10.89]
il funzionale F è una costante del moto.
10.4 . Simmetrie in teoria dei campi
Dimo streremo ora un risultato di grande importanza, il teorema di Noether, che as­
socia a ogni simmetria continua di un sistema di campi una o più correnti conservate e
costanti del moto (questo teorema è valido anche nella meccanica delle particelle,
come abbiamo visto nel § 6.8 .3).

412
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
Dato un generico campo <p(x) , la cui dinamica sia governata dalla Lagrangiana
;!
!,
(<p, d
μ
<p,x
μ
), si consideri una trasformazione infinitesima di <p e delle coordinate xμ:
{x'μ=xμ+8xμ
<p'(x')=<p(x) +81<p(x).
[10.90]
La 8' <p è la va riazione tota le del campo, che tiene conto anche del cambiamento di
coordinate. La va riazione in forma 8<p è invece definita come
8<p(x) == <p'(x) - <p(x).
[10. 91]
Alprimo ordine negli infinitesimi siha
8'<p(x)=<p'(x')-<p(x)=<p'(x+8x)-<p(x)=<p'(x)+d
μ
<p'8xμ - <p(x) =
= 8<p(x)+d
μ
<p8xμ,
[10.92]
dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato l'uguaglianza d
μ
<p'=d
μ
<p, che è valida
nell'approssimazione adottata. Formalmente la relazione tra le variazioni 8 e 8' è
[10.93]
Considereremo trasformazioni dipendenti in modo continuo da un certo numero di
parametri infinitesimi w0 (con a = l, 2 , ... , n). La 8xμ e la 8<p avranno allora la forma
[10.94]
a
a
dove le 8
0
xμ e 8 a <p sono quantità fi nite. Per w0 � O la [ 10. 90] si riduce alla trasfor­
mazione identica,
[ 10.95]
Supponiamo che la trasformazione considerata rappresenti una simmetria del siste­
ma, cioè che l'azione Se, conseguentemente, le equazioni del moto del campo riman­
gano invariate3 rispetto alla [10.90] . Avremo quindi
8'S=O.
[10.96]
La variazione totale di S è
[10.97]
Consideriamo innanzi tutto la variazione della Lagrangiana (vedi [6. 105])
[10.98]
3 L'assunzione che S rimanga invariata è in realtà restrittiva, giacché si è visto che l'addizione di un ter­
mine di superficie a S (cioè di una quadridivergenza a ::E) non modifica le equazioni del moto. Vedremo in
seguito come il discorso si generalizza a questo caso.

10.4 I Simmetrie in teoria dei campi
413
dove le d
μ
::E vanno intese come derivate totali della ::E rispetto alle coordinate . Usando
8'dμ<p=d
μ
8<p (la 8 rappresenta solo una variazione in fo rma e quindi commuta con le
derivate spazio-temporali) possiamo riscrivere il secondo termine nella [10.98] come
[10.99]
Sostituendo questa espressione nella [10.98], si ha
[10.100]
Dobbiamo ora calcolare la variazione 8d4 x dell'elemento quadridimensionale di vo­
lume che compare nella [10.97]. In generale si ha
dove
{dx'μ
}
J(x) = det
axv
[10.101]
[10.102]
è lo Jacobiano della trasformazione x' = x ' (x). Nel nostro caso, x 'μ = xμ + 8xμ, con
8x μ infinitesimo, e J(x) ri sulta essere
[10.103]
Il determinante di una generica matrice A può essere calcolato mediante la formula
detA=e
T
r
l
n
A
.
Poiché al primo ordine in 8x μ si ha
Trln(gμ
v +dv8xμ) =Tr(dv8xμ) =d
μ
8xμ ,
lo Jacobiano [ 10. J 03] vale
l(X) =det(gμV+dybXμ) = e
a
μ
<5xμ = 1+dμbXμ.
Abbiamo dunque
d4x' = (1+dμ8xμ)d4x,
da cui
[10.104]
[10.105]
[10.106]
[10.107]
[10.10 8]
Usando questa relazione e il ri sultato [10. 100], la variazione dell'azione diventa
8's =Jd4x[(�!-a
μ
a�
�<p
)8<p+aμ(a�
�<p
8<p) + (aμ::e)8xμ + ::eaμ8xμJ =
= Jd4x[(�!-a
μ
a�
�<p
)8<p+aμ(a�
�<p
8<p + ::E8xμ)J [ 10.109]

414
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
e la condizione di invarianza 8'S =Osi scrive come
I4[(a::e_
..
.,
�
)"..
.,
(�" "μ
)J-
dX d<p oμdd
μ<p u<p+oμ ddμ<pu<p+;;fux -0.
Data l'arb itrarietà delle 8x μ e della 8<p, I
'
integrando deve essere zero,
(a::e
-
�
)(�
μ
)-
a aμaa
8cp +aμ aa
8cp+;;e8x -o.
<p
μ<{>
μ'P
Se usiamo le equazioni del moto, il primo termine si annulla, e troviamo
Sostituendo le [10.94) nella [10.112], questa diventa
[10.110)
[10.111)
[10.112)
[10.1 13)
Poiché i parametri of sono indipendenti, dalla [ 10.113) si ottengono le n equazioni
[10. 1 14)
Le correnti
[10.115)
soddisfano quindi le equazioni di continuità
[10.116)
e sono pertanto conservate . Si osservi che le [10.115] sono n correnti, tante quanti i
parametri of che individuano la trasformazione considerata.
Abbiamo così dimostrato che se un sistema è invariante ri spetto a una trasformazio­
ne continua del tipo [10.90] , dipendente da n parametri, esistono n quadricorrenti con­
servate, date dalla [ 10.115). Questo è il contenuto del teorema di Noether, e le [10.115]
sono le c orrenti di No ether associate alla trasform azione di simmetria [ 10.90) .
Come si è detto, le equazioni del moto sono invarianti anche quando la variazione
dell'azione è
[10. 1 17)
In questo caso, scrivendo A μ come /\.μ = L ma8a Aμ , le correnti di Noether diventano
·μ -�� CO� μ-�f\.μ
}a-
dd Ua<f>+�uaX
U0•
μ'P
a
[10.118)

10.4 I Simmetrie in teoria dei campi
Si considerino ora le quantità (dette ca riche di Noether)
QaCcr) =Jdcrμ)�,
a
415
[10.119]
dove la crè una generica ipersuperficie di tipo spazio che si estende fi no all'infinito
e ricopre l'intero universo di Minkowski M. Assumeremo, come al solito, che i campi e
le loro deri vate si annullino all' infinito spaziale in maniera sufficientemente rapida.
Poiché la quadridivergenza di j� è nulla, dal teorema di Gauss quadridimensionale
(§ 5.8) segue che le Q a sono costanti, nel senso che non dipendono dalla superficie CJ
considerata,
8Qa
=O
ocr
.
[10.120]
Se, in particolare, scegliamo come elemento di superficie dcrμ
= (d3x, O, O, O), le cari­
che Q0 diventano
[10.121]
dove l'integrazione è effettuata sullo spazio tridimensionale R 3 a tempo fi ssato, cioè
su un iperpiano di M parametrizzato da t. Alla luce della [10.121], possiamo interpre­
tare j� come la densità della grandezza Qa. Il risultato [I0. 120] si riesprime come
dQa
=O
dt
,
[10.122]
e mostra che le cariche Qa sono c ostanti del moto . La loro fo rma esplicita si ottiene
usando la [10.1 15]:
[10.123]
Per mezzo di quest' ultima espressione e delle [10.73, 10.74] si verifica immediata­
mente che la parentesi di Poi sson delle Qa col campo <p è
[10.124]
e quindi le cariche di Noether Qa sono i generatori della trasformazione Oa <f> dei campi.
Se si integra l'equazione di continuità [ 10.1 16] su un volume tridimensionale finito
V (avente come superficie di contorno ò V), si trova
O=fd3xò 1· μ
= l_fd3x1·
0+fd3xV·1
·
μa
Òt
a
a>
V
V
V
[10.125]
da cui, applicando al secondo termine il teorema di Gauss tridimensionale (Appendi­
ce A, [A.8 1]), segue
Ò
fla
= - fdO"·ja.
[10.126]
ot
av

416
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
La variazione nel tempo della carica Q0 contenuta ali' interno di V è uguale al fl usso dij0
attraverso la superficie di contorno av. Il vettore j(/ rappresenta quindi la densità di
flusso di Q0•
Le simmetrie (continue e discrete) della teoria dei campi possono essere suddivise
in due classi:
1. le simmetrie spazio-temporali, che coinvolgono un cambiamento delle coordinate
(ad esempio: invarianza per traslazioni, invarianza di Lorentz, invarianza per dila­
tazioni, invarianza di parità) ;
2. le simmetrie interne, relative a trasformazioni che cambi ano i campi, ma non le
coordinate (ad esempio: invarianza di gauge).
Nei prossimi paragrafi studieremo le correnti di Noether associate all 'in varianza
traslazionale e all 'in varianza di Lorentz (cioè, complessivamente, all 'invarianza di
Poincaré).
10.5 . Invarianza per traslazioni spazio-temporali e tensore canonico
Consideriamù una traslazione spazio-temporale infinitesima
[10.127]
dove le t:μ sono quattro costanti infi nitesime. La variazione delle coordinate si può
scrivere come
e, ponendo òxμ = t:
v
òvXμ, si ha
ÒvXμ = gμ
v·
[10.128]
[ 10. 129]
Un qualunque campo locale <p(x) non cambia per una traslazione spazio-temporale,
<p'(x') = <p(x), ò'<p(x) = O,
e la sua variazione in fo rma è quindi, secondo la [10.92],
da cui, scrivendo Ò<p = t:
v
òv<p, si ricava
8v<p =
-
Òv<p.
[10.130]
[10 .131]
[10.132]
Supponiamo che l'azione del campo <p sia invariante per traslazioni. Poiché d 4 x ' =
= d 4x, ciò implica l'in varianza della Lagrangiana:
5:f(<p'(x'),Ò�<p'(x'), x�) = 5:f(<p(x), Ò
μ
<p(x), x
μ
).
[10.133]
La corrente di Noether associata a questa simmetria si ottiene inserendo le [10.129,
10.132] nell'espressione generale [I 0. 115]. Si noti che l'indice a nella [ 10.115] è ora

10.5 I invarianza per traslazioni spazio-temporali e tensore canonico
417
un indice lorentziano e la corrente di Noether legata all'invarianza traslazionale è dun­
que una corrente tensoriale,
·μ
-��
(0�μ_
-
�--COμ
JV
-
dd Uy<p+oLuyX - dd Oy<p+o:i,g v
·
μ<!'
μ<!'
Introduciamo il tensore canonico di energ ia-momento , definito come
L'equazione di continuità
[10.134]
[10.135]
[10. 1 36]
esprime, come verificheremo, la conservazione del quadrimomento, che è il generatore
delle traslazioni spazio-temporali. Le cariche conservate sono, in accordo con la
[10.119],
[10.137]
dove CJè una superficie di tipo spazio che si estende fino all'infinito. Scegliendo il siste­
ma di riferimento in modo tale che l'elemento di integrazione sia dCJμ
= (d3x, O, O, O),
la [10.137] diventa
pv = Id3xeov.
Le componenti di pv sono
po=Jd3xeoo = Jd3x(ncp -;;f,),
pi = Id3xeoi = Id3xnai<p.
Le loro parentesi di Poi sson col campo <p,
(Po,<p}= _ <i> =-go<p,
(Pi,<p}= - di<p=8i<p,
[10.138]
[10.139]
[10. 140]
[10.141]
[10. 142]
mostrano - si ricordi la [10.82] - che P0 è il generatore delle traslazioni temporali
(cioè l ' energ ia associata al campo), mentre i p i sono i generatori delle traslazioni spa­
ziali (cioè le componenti del momento trasportato dal campo). Complessivamente, pv
è il quadrimomento del campo e n v = e0v è la densità di quadrimomento . Le compo­
nenti di eμ v hanno il seguente significato :
• n ° = e00 è la densità di energia (ovvero di Hamiltoniana),
• ni=e0iè ladensitàdimomento,
ni=e0i=ndi<p.
[10.143]
[10. 144]

418
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
• e iO è la densità diflusso di energia nella direzione x i .
•
eij è la densità diflusso della c omponente j del momento nella direzione i (le com­
ponenti spaziali eu del tensore canonico costituiscono il cosiddetto tensore degli
sforzi).
Tutte queste identificazioni risultano evidenti integrando la [ 10. 1 36] su un volume
tridimensionale finito V (con superficie di contorno ò V) e usando il teorema di Gauss:
1rfd3xeov = - fd3xò;8iv= - fdcr;8
;v_
ÒV
V
av
[10. 145]
Questa è l'equazione di continuità del quadrimomento in fo rma integrale: la derivata
temporale del quadrimomento contenuto in un volume V è uguale (a meno di un
segno) al flusso del quadrimomento attraverso la superficie a V.
Supponiamo ora che il tensore canonico venga modificato come segue:
8'μv = eμv+ÒpGvpμ,
[10.146]
dove G vpμ è un tensore antisimmetrico negli ultimi due indici,
[10. 147]
Il tensore trasformato 8 'μv soddisfa anch'esso l'equazione di continuità. Si ha infatti
[10.148]
dove nel secondo passaggio abbiamo usato l'identità Òμ Ò
p
G vpμ = O (l'operatore sim­
metrico Ò
μ
Òp è contratto con il tensore G vpμ , antisimmetrico in p e μ). Verificheremo
ora che le costanti del moto associate a 8 'μv, che chiamiamo P'v, sono uguali a quelle
associate a eμv_ Le P'v sono
prv=Id0"
μ
8rμv= pv+IdO"
μ
ÒpG vpμ _
[10. 149]
L'in tegrale è un quadrivettore, dal momento che Ò
μ
ÒpG vpμ = O (vedi § 5.8), e possia­
mo perciò calcolare il prodotto scalare d O"
μ
Òp G vpμ nel sistema di riferimento più con­
veniente . Scegliamo quello in cui dcr
μ
= (d3x, O, O , 0). Avremo quindi
IdO" ::i Gvpμ = fd3xòGvpo = fd3xò GviO
μ
Upp
1
'
[10.150]
dove l'integrazione in d 3x è estesa a tutto lo spazio tridimensionale e l'ultimo passag­
gio segue dall' antisimmetria di G vpμ _ Applicando il teorema di Gauss in R3, si trova
Idcr ÒGvpμ=fd3xò-Gv;o=fdcr-Gv;o
μp
I
I
"
[10.151]
Supponendo che G v ;o vada a zero all' infinito, l'ultimo integrale nella [I0. 151] è nullo
e si ha, come an ticipato,
p'v=p
v
_
[10.152]

10.5 I invarianza per traslazioni spazio-temporali e tensore canonico
419
La conclusione che si trae dalle considerazioni appena svolte è che il tensore canonico
eμv non è definito in modo univoco, ma solo a meno di un termine additivo del tipo
ÒpG vpμ, con G vpμ = - G vμp . Le grandezze come G vpμ sono dette tal volta superpoten­
ziali. Si può dimostrare (vedi Problemi) che, data una qualunque corrente di Noether
)μ ,èsempre possibile aggiungere a essa la divergenza di un superpotenziale antisim­
metrico,
[10.153]
senza modificare le proprietà di conservazione della corrente e la carica associata.
Vedremo un altro esempio di questa procedura nel § 10.7, studiando la corrente di
Lorentz .
La libertà nella definizione del tensore canonico può essere sfruttata per simme­
trizzare tale tensore . Come si vedrà in seguito (§ 10.7), e μ v è simmetrico per campi
scalari, ma non per campi vettoriali, come il campo elettromagnetico. Ora, è possibile
dimostrare che il tensore di energia-momento deve essere necessariamente simmetri­
co nello scambio dei suoi indici. Un modo per convincersene è il seguente . 4 Innanzi
tutto, le componenti e ;o e e0; sono uguali in virtù dell'equivalenza massa-energia:
eiO = densità di fl usso di energia =
= densità di energia X (velocità del flusso di energiaY =
= densità di massa X (velocità del flusso di massa)
;
=
= densità di momento = e0i .
[10.154]
Passando alle componenti e ;i, si consideri un cubetto di lato L . La massa-energia che
esso contiene è M = e00L 3, e il suo momento di inerzia è proporzionale a ML 2 , cioè
momento di inerzia oc e00L 5.
[10.155]
Ponendo il centro del cubo nell' origine di una terna di assi cartesiani, con le fac ce
perpendicolari agli assi, il prodotto eijL 2 è la componente ) della forza che il campo
esercita sulla faccia interna del cubo perpendicolare all' asse i. La componente z del
momento della fo rza esercitata dall'esterno sul cubo è
(momento della forza)' =
= ( - eyxL2) x(�)+ ceyxL2) x(-�)- c
-
exYL2) x(�)- cexyL2) x(-�)=
= (8xy _ eyx)l3.
(10.156]
Ricordando che il rapporto tra il momento della fo rza e il momento di inerzia è l' acce­
lerazione angolare, dalle [10.155, 10. 1 56] si ricava
accelerazione angolare oc �
2
,
[10.157]
4 Cfr. C . W . Misner, K. S . Thorne e J. A. Wheeler, Gravitation, Freeman, San Francisco 1973, § 5.7.

420
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
e un cubetto infinitesimo risulta quindi sottoposto a un'accelerazione angolare infinita.
Perché ciò non accada deve aversi
(10.158]
e, più generalmente,
(10.159]
In definitiva, abbiamo mostrato sulla base dell 'in tuizione fisica che il tensore di ener­
gia-momento deve essere simmetrico,
(10.160]
Si noti che la simmetria delle componenti spaziali di eμv, cioè del tensore degli sforzi
eu, vale anche nella teoria newtoniana: non abbiamo infatti usato alcuna considera­
zione relativistica per derivare la [10. 159]. La simmetria delle componenti miste e0; ,
invece, è una proprietà genuinamente relativistica (dovuta all'equivalenza tra massa
ed energia) .
Concludiamo ricordando che è il tensore simmetrizzato di energia-momento che
compare, come sorgente del campo gravitazionale, nelle equazioni di Einstein della
relatività generale (§ 11.11).
10.6. Invarianza di Lorentz e correnti di Noether associate
Sia
(10.161]
una trasformazione di Lorentz ristretta delle coordinate . Ingenerale, unmultipletto di
campi <p1(x) (con l = 1 , 2, ... N) si trasforma, rispetto alla [l0. 161], come (è sottintesa
una somma sugli indici ripetuti):
[10.162]
dove l'operatore
2ìl(A)= exp(�lO
μv
.9iμv)
[10.163]
appartiene a una rappresentazione N-dimensionale del gruppo ri stretto di Lorentz
L l (§ 5.10). I parametri lO
μv
sono antisimmetrici negli indici, lO
μv
=-m
vμ
• e i genera­
tori Ji μ v di L l sono sei matrici hermitiane (la cui dimensione dipende dalla rappresen­
tazione di L l considerata) che soddisfano la regola di commutazione [5.258] :
[10.164]

10.6 I Invarianza di Lorentz e correnti di Noether associate
421
Possiamo classificare i campi sulla base del loro comportamento rispetto alle trasfor­
mazioni di Lorentz. Limitandoci a considerare i casi di maggiore rilevanza, abbiamo
la seguente tipologia:
• Un campo scalare </J(x) è un campo che rimane invariato in seguito a una trasfor­
mazione di Lorentz, cioè
</J' (x') = </J(x).
[10.165]
In questo caso la <.2l
l
(A) che compare nella [ 10.162] è la matrice identità. I campi scala­
ri hanno spin O. Un esempio di campo scalare è il campo di Klein-Gordon (§ 10.8 .1).
• Un campo vettoriale cpli(x) è un campo che si trasforma come un quadrivettore, cioè
[10.166]
La<.2l
l
(A), come si vede, coincide con la matrice di Lorentz A, che agisce nello spa­
zio di Minkowski. In questa rappresentazione, i generatori g,pa sono le matrici .M, Pa
introdotte nel § 5.10 e gli indici l, m della [10.162] diventano indici lorentziani :
[10.167]
I campi vettoriali hanno spin 1. Un esempio di campo vettoriale è il campo elettro­
mag netic o Aμ(x).
Per estensione, un campo tensoriale tμ\x) è un campo che si trasforma come un
quadritensore (di rango 2), ossia
[10.168]
I campi tensoriali hanno spin 2. Un esempio di campo tensoriale è il campo gravita­
zionale hμv(x) .
•
Un campo sp inoriale di Dirac 'l'(x) è un campo a quattro componenti,
'l'(x) =
l:���� Jlf/3 (x)
lf/4 (X)
la cui trasformazione di Lorentz è
'l''(x') = exp(-� W
μv
O'μv) 'l'(x),
dove
[10.169]
[ 10.17 0]
[10.171]
e le yμ sono lematric i di Dirac (vedi § 5 .12 .4). I generatori g,μv sono dati da
μv
a,μv =
_
!!_
_
J
2
.
[10.172]

422
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
Nella teoria quantistica, i campi di Dirac descrivono le particelle elementari di spin
1/2 (ad esempio, gli elettroni). In questo libro non ce ne occuperemo ulteriormente.
Vogliamo ora determinare le correnti di Noether associate all'invarianza di Lo-
rentz di una Lagrangiana X( <p1 , Òμ <p1) che governa la dinamica di un generico multi­
pletto di campi <p1 . Consideriamo una trasformazione di Lorentz infinitesima delle
coordinate (vedi [5.235, 5.243]):
x'μ
= (gμ
V
+oY1
v
)xv = [gμ
V
+ t Wpa(MPO)μ
VJxv.
[10.173]
Lavariazione 8xμ = x 'μ
-
xμè
i
8xμ=-w (.M,PO\μxv
2pa
)V•
[ 10.174]
Usando le [10.162, 10. 163], si ricava la trasformazione di Lorentz infinitesima dei
campi:
<p/(x) =[01111 + � Wpa(.9ìP0)111
1
]<p111(X - OX) =
= [81111 + t Wpa(J>P0)111
1
}<p111(x) - Òμ<f>m(x) 8xμ] =
I
=
<r>1(x) - Òμ<p,(x) 8xμ + 2 WpJJ>P0) 1111 <f>m(x).
[10.175]
Inserendo la [10.174] nella [ l 0. 175] troviamo (al primo ordine nei parametri infi nite­
simi Wpa)
<p/(x) = <f>1(x) - � Wpa(MPO)μ
v
X vÒμ <[>1(x) + � WpJJ>P0)1m <f>m(x).
[10.176]
La variazione in fo rma dei campi 8<pi(x) = <p/(x) - <p1(x) è quindi
[10.177]
Le correnti di Noether associate all'invarianza di Lorentz sono 6 tensori (tanti
quanti i parametri Wpa) di rango tre e hanno la fo rma
uap a
=
�ipa<p + X8Paxa
ÒÒa <f'I
I
'
[10.178]
doveleoP
a
xμ e le 8 Pa<p1 (x) sono, rispettivamente, le vari azi oni fi nite delle coordinate
e dei campi :
Dalle [10.174 , 10. 177] si ottiene
i)Paxμ = i(.M,Pa
)μ
v
Xv,
8pa<p1(x) = - i(.M,PO) μ
v
XvÒμ<[>1(x) +i(J>P0)111
1
<[>111(x) ,
[10.179]
[10.180]
[10.181]

10.6 I Invarianza di Lorentz e correnti di Noether associate
e, sostituendo queste espressioni nella [ 10. 178], si ha
Ma.pa= - i�[(.A
A,
PO\μ xva<p-(giPO\ <pl+i:JY,ga.(JfltPO\μ xv=
ÒÒa. <fJI
)V
μI
)/m m
μ
)v
-
-
·(�:'.\ _CO a) HpO\μ V ·�crr.pO\
-
I::i::i
Oμ</)/o:z.,gμ(.1v� )vX+I::i::i
J' Jim<fJm·
OU
a.
<fJI
OU
a.
<fJI
423
[10.182]
Nella parentesi al secondo membro riconosciamo il tensore canonico e a.
μ (vedi
[10.135]). Usando l'espressione esplicita [ 10.167] delle matrici .A
A,
Pa, le M a.pa diventano
Ma.pa=xrea.a_xaea.r+i�(giPO\ <p
ÒÒa. <fJI
J/m m·
[10.183]
Come conseguenza dell'in varianza di Lorentz, queste correnti soddisfano le equazioni
di continuità
[10.184]
Chiameremo le M a.p a co rrenti di Lorentz. In esse si riconosce una parte orbitale, con­
tenente il tensore canonico, e una legata alle trasformazioni interne dei campi, conte­
nente le gira. Scriveremo quindi
con
La.pa = xrea.a _ xaear,
Sapa _ ·�(rt•PO\
-
I::i::i
J' Jlm<fJm·
OOa <fJI
[10.185]
[10. 186]
[10.187]
Il termi ne s ap a è assente nelle teorie con campi scalari, dal momento che questi ri­
mangono invariati per trasformazioni di Lorentz (e quindi le gi ra sono identicamente
nulle).
Le costanti del moto associate alle correnti Map a sono
e la separazione corri spondente alla [10.185] è
Mpa=Lpa+sra,
con
[10.188]
[10.189]
[10.190]
Si noti che, in virtù dell 'in varianza di Lorentz , sono conservate le MPa, e non separata­
mente le ua e le sra. Inoltre, mentre Mpa è, per effetto della [10.184] , indipendente dalla
superficie di integrazione nella [10.188] e si comporta perciò come un quadritensore,
ua e sra non godono di questa proprietà. La scomposizione di Mpa in ua e sra, quindi,
non è relativisticamente invariante. Può tuttavia essere utile, per comprendere meglio gli
aspetti fisici del formalismo, distinguere il contributo orbitale da quello intrinseco.

424
Teoria relativistica dei campi \ Cap. 10
Illustreremo ora il significato di MP", U" e SP", scrivendo queste quantità nel sistema
di riferimento in cui d<J
a
= (d3x, O, O, 0):
MP" = Jd3x (LOpa+ 50P"),
LP" = Jd3xLOpa = Jd3x(xP0°" - x"0°P),
SP"= Jd3xsopa= iJd3xn1(.'JiP")lm'Pm.
Introducendo
Li = .!_éikLJk Ci = Lio,
2
,
Si = �EiJksJk, G,i = S;o,
Mi=�EiJkMJk=Li+Si, Ki=Mio=Gi+c;,
si ricava dalle [10. 192, 10.193]
dove (vedi [5.259])
e
[10.191]
[10.192)
[10. 193)
[10.194]
[10.195]
[10.196]
[10.197]
[10.198)
[10.199]
[10.200]
Ricordando che Il è la densità di momento dei campi e 'Je è la densità di energia, si
vede che L e G sono, rispettivamente, il momento angolare orbitale trasportato dai
campi e il moto del cen tro di massa (vedi le analoghe quantità definite per una parti­
cella nei §§ 6.4 e 6.5). S, invece, è lo sp in, cioè il momento angolare intrinseco (non
legato alle proprietà spaziali). La sua espressione esplicita dipende dalla Lagrangiana
considerata (nel § I 0. 11 studieremo il caso del campo elettromagnetico). La somma
M=L+S=Jd3x[xXIl+in1�1m'Pml =
=
Jd3x[-n1(xX V)<p1+in1�tm'Pml
è il momento angolare totale dei campi.
[10.201]

10.7 I Simmetrizzazione del tensore canonico
Faremo ora vedere che M è il generatore delle rotazioni spaziali, mentre
K=G+Gs = Jd3x[x�-tII-in/S1111cp111] =
= Jd3x[x(n,<j:>1- Si)+t7r1Vcp1- in/S111
1
(/)111]
è il generatore dei boost. Per una rotazione infinitesima delle coordinate,
ox = (}Xx,
425
(10.202]
[ 10.203]
la variazione in fo rma dei campi è (si ponga wPa � wjk = t:Uk 9 i nella (10.17 7])
(10.204]
e la parentesi di Poisson di cp1 con M i, che calcoliamo applicando la (10.73], dà pro­
prio 8icp1:
{<f>t,Mi)=�
Mi
= - Eijkxj(h<f>1 + i(!J>i)1m <f>m = 8i<f>t·
(10.205]
u7r1
Mi genera quindi una rotazione attorno ali'asse xi.
Per un boost infinitesimo,
{ox0=-T/·x
ox= - T/x0,
lavariazione informadei campiè (wPa � w0i = 77i)
0</)1 ""' 1]i°8i<pl = 1/i<i>1Xi + 1/iÒ
i
<f>IXO - i77i(<§i)1m<f'111,
e il suo coefficiente fi nito è uguale alla parentesi di Poisson di <p1 e Ki:
{ Kil
_
oKi _
i
.
:1i ·eco. i)
_
l:'i
<f>t,
-
�-X<f>1-tu<f>t-I� /m<{J111-V</)/·
u7r1
Questa relazione mostra che K i è il generatore di un boost lungo l'asse x i .
10.7 . Simmetrizzazione del tensore canonico
[10.206]
(10.207]
(10.208]
Le equazioni di continuità [I 0. 1 84] delle correnti di Lorentz si riscrivono, usando
la (10.185] e la [10.186], come
(10.209]
Poiché
(10. 210]
la [ 10.209] implica
[10. 21 1]

426
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
Dunque, se s ap <J *O, cioèper campi non scalari , il tensore canonico non è simmetrico
(a meno che non sia d
a
Sap<J
= 0).
Per simmetrizzare il tensore di energia-momento si adotta una procedura dovuta a
Belinfante,5 che sfrutta la possibilità di ridefinire e μ v secondo la [l0. 146]. Introdu­
ciamo il tensore
Gap<1 = �(Sap<1+spa<1 - s<1UP),
[10.212]
che, per costruzione, è antisimmetrico negli ultimi due indici, dal momento che s ap <1
è, come .rJ P<1, antisimmetrico in p e <J. Il tensore di energia- momento simmetrizzato
(che chiameremo Tμ v) sarà allora
[10.213]
Verifichiamo che Tμv è effettivamente simmetrico. Usando la [ 10.212], si ha
Tμv-Tvμ=eμv-evμ-dpGvpμ+dpGμpv=
= eμv- evμ __!_dp(Svpμ+srvμ -Sμvp)+_!_dp(Sμpv+srμv- Svμp).
2
2
[10.214]
Per l'antisimmetria di s ap <1
' la [ 10.214] si riduce a
Tμv- Tvμ=eμv- evμ+dpSpμv
,
e quindi, in virtù della [l0.211],
[10.215]
[10.216]
In base alla discussione svolta alla fi ne del § 10.5, e μ v e Tμ v sono equivalenti, nel
senso che la conservazione del primo implica la conservazione del secondo e le co­
stanti del moto associate sono le stesse. Applicheremo la procedura di Belinfante al
tensore di energia-momento del campo elettromagnetico nel § 10.11.
Per mezzo di Tμ v si possono costruire le nuove correnti di Lorentz
[10.217]
che, in termini di e μv
, sono
Jap<1=xrea<J-x<Jeap-xPd
μ
G<Jμa+ x<1d
μ
Gpμa =
=xrea<J-x<Jeap-Ò
μ(xPG<Jμa - x<1Gpμa) +G<Jpa - Gp<1a.
[10.218]
Dalla [10.212] risulta
[10.2 19]
e la [10.218] si riscrive come
Jap<1=xP0a<1-x<Jeap+sap<1-Ò
μ
(xPG<Jμa- x<1Gpμa) =Map<1- Ò
μ(xPG<Jμa - x<1Gpμa),
[10.220]
5 F. J . Belinfante, in «Physica», 7. 1940, p. 449 ; L. Rosenfeld, m «Mém. Acad. Roy. Belg.>', 18, 1940, p. I .

10. 8 I Campi scalari
427
dove le Mapa sono le [ 10.1 83]. Le correnti Japa e Mapa differiscono, come si vede, per
la quadridivergenza del superpotenziale Xpaμ a == x P G aμ a - x aG pμ a . Applicando Ò
a
al
primo e al secondo membro della [10.220], per le proprietà di anti simmetria di G aμ a si
trova
Òa
lapa = Òa.Mapa.
Pertanto, se M ap a è conservata, lo è anche J ap a,
Òa.Mapa=O� Ò
a
lap a =O.
Le cariche di Noether associate alle J ap a sono
Usando la [10.220) si otti ene
]Pa=Mpa-IdCT
a
Òμ(xPGaμa - xaGpμa).
L'integrale è un tensore di rango 2, poiché
ÒaÒ
μ
(xPGaμa - xaGpμa) =O
[10.221)
[10.222)
[10.223)
[10.224)
[10.225)
per ragioni di simmetri a. Scegliendo come elemento infinitesimo di superficie d er
a
=
= (d3 x, O, O, O) e applicando il teorema di Gauss tridimensionale, si ha
Jdcr
a
Òμ(xPGaμa _ xaGpμa) = Jd3xÒ;(xPGaiO -xaGpiO) = Jdcr; (xPGaiO _ xaGpiO).
�
[10.226)
Nell'ipotesi che G ai o vada a zero all'infinito spaziale in maniera sufficientemente ra­
pida, l'integrale [I0.226) è nullo e dalla [ 10.224] segue
[10.227)
Le costanti del moto associate alle J ap a sono quindi uguali a quelle associate alle
Map a. In definitiva, le correnti Jap a e M ap a sono fi sicamente equivalenti per ciò che
concerne le loro proprietà di conservazi one. Si noti però che le J ap a non sono separa­
bili in un termine orbitale e in un termine di spin.
10.8 . Campi scalari
Un campo scalare reale </>(x) è descritto da una Lagrangiana del tipo
:;E=� Òμ</>Òμ</> _ V(</>),
[10.228)
in cui, acc anto al termine «cinetico» � Òμ </> Òμ </>, compare il «potenziale» V(</>). L'e­
quazione del moto per </> si ottiene da
[10.229)

428
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
ed è esplicitamente
dV
Olf>= -�.
Il campo canonicamente coniugato a lf>(x) è
a;e.
n(x) =
Ò�(x)
= tf>(x).
Il tensore canonico è
[10.230]
[10.23 1]
[10.232]
e, come si vede, è simmetrico negli indici. Da e μ v estraiamo la densità di Hamilto­
niana 'Je ,
'Je=eoo=(Òol/>)2-±Òptf>ÒPtf>+V(tf>)=t�2+t(Vl/>)2+V(tf>)=
= ±n2+;(Vl/>)2+V(tf>),
e la densità di momento Il,
L'Hamiltoniana e il momento del campo sono quindi
H=Jd3xZì'i=Jd3x[±n2+t(Vlf>)2+ V(lf>)l
P=Jd3xil = - Jd3xnVip.
Consideriamo ora un campo scalare complesso
[10.233]
[10.234]
[10.235]
[10.236]
[10.237]
descritto dalla Lagrangiana (si ricordi che le Lagrangiane devono essere reali)
[10.238]
dove V è un termine di potenziale dipendente dal modulo quadro di tf>. Le equazioni di
Eulero-Lagrange per tP e tf> * sono
a;e a;e
Òμ ÒÒ
μ
t/>-òip=O,
a;e a;e
Òμ òò
μ
t/>*
-
òip*
=O,
e, usando la [ 10.238], si trova
0A>*=_av
.,
,
aip,
[10.239]
[10.240]
[10.241]

10.8 I Campi scalari
I campi coniugati a </>(x) e </> * (x) sono
()51!,.
n(x) =
Ò �(x)
= </>*(x),
()51!,
.
n*(x) =
.
= </>(x).
Ò</>*(x)
L' Hamiltoniana H e il momento P dei campi <P e </> * hanno la fo rma
H=Jd3x(n�+n*�* -51!,)=Jd3x[I�12+ IV<1>l2+ VCI</>12)],
P= - Jd3x(nV<P+ n*V</>*).
10.8. 1. ll campo di Klein-Gordon
429
[10.242]
[10.243]
[10.244]
Come esempio di campo scalare studieremo il campo di Klein-Gordon . La sua
Lagrangiana è
[10.245]
Il potenziale V(</>) ha in questo caso la forma V(</>) = ( 1/2)μ2 </>2 , dove il parametro μ è
la cosiddetta «massa» del campo (una terminologia che verrà chiarita più avanti).
L' equazione del moto è l ' eq uazione di Klein -Gordon
(O + μ2)</>= O.
Cerchiamo una soluzione del tipo onda piana, e - i k
·
x
, conkμ=(k0,k).Siha
(O+μ2)e-ik
-
x
= [(-ik)2+μ2]e-ik
-
x
= (-k2 + μ2)e- ik
·
x
=O,
e quindi e-ik
·
x
soddi sfa la [I0.246] se
k2=(k0)2-k2=μ2,
cioè se
[10.246]
[10.247]
[10.248]
[10.249]
La soluzione generale dell'equazione di Klein-Gordon ha la forma (la normalizzazione
è arbitrari a)
con la condizione di realtà
a*(k) =a(-k).
Riscriviamo la [10.250] come
</>(X)=J�o(k2 - μ2)[e(k0)a(k)e -jk X + ec- k0) a(k)e- jk - x
]
(2n) 2
·
[ 10.250]
[10.25 1]
[10.252]
Mediante un cambiamento di variabile k � - k nel secondo termine, si ottiene
</>(x) =J�o(k2 - μ2)e(k0)[a(k)e-ik x + a*(k)eik x]
�zj2
.
[10.253]

430
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
Usando infine
con
w=Vk2+μ2,
possiamo effettu are l'integrazione su k 0 e riesprimere la [10.253] come
</J(x)=J
d3k
[a(k)e-i<wt-k ·x) +a*(k)ei(w1 -k·x)],
v2wc2n)3
[ 10.254)
[10.255)
[10.256)
dove abbiamo cambiato, per comodità fu tura, la normalizzazione. La [10.256) è la
scomposizione in modi del campo di Klein-Gordon. Si noti la somiglianza della
[10.255) con la relazione tra l'energia e il momento di una particella di massa μ. Ciò
giustifica il nome «massa» dato al parametro μ (nella teoria quantistica dei campi, μ è
proprio la massa della particella rappresentata dal campo quantistico </J) . Vedremo fra
poco che, con la normalizzazione adottata nella [ 10.256), m e k sono, rispettivamente,
l'energia e il momento associati al modo a(k) del campo .
L' energia e il momento del campo di Klein-Gordon sono (vedi [10.235, 10.236))
H=Jd3x'Je=Jd3x[tn2 + t(V</J)2 + tμ2</J2J,
[ 10.257]
[10.258]
con 7r = �. Esprimiamo ora queste grandezze in fu nzione dei modi a (k). Derivando la
[10.256] rispetto al tempo e alle coordinate spaziali, si trova
7r=�=J
d3k
(- im)[a(k)e- ik x
-
a*(k)eik x],
v2wc2n)3
Il primo termine nella [10.257] è
_!_Jd3xn2=_!_J d3k J
d3k
Jd3x(- mm')X
2
2 V2m(2n)3 V2m(2n)3
[10.259)
[10.260)
X[a(k)e-i(w1-k ·x) _
a*(k)ei(w1-k ·x)][a(k')e-i(w'1 -k'·x) _
a*(k')ei(w'1 -k' - x)]=
X [a(k)a(k')e-i(w + w')tei(k+k') ·x _
a(k)a*(k')e-i(w- w')1ei(k-k') "x
_
-
a*(k)a(k')ei(w- w')te-i(k-k') ·x+ a*(k)a*(k')ei(w+w')1e-i(k+k') ·x]. [10.261)

10.8 I Campi scalari
L'integrale sulla x dà delle fu nzioni delta, e la [ 10.261] diventa così
lI
I
I d3k
Id3k'
2 d3xn2=2 V2W V20J(-ww
'
)X
X [a(k)a(k')e- i<w + w')18(k +k') - a(k)a*(k')e-i(w - w'
)18(k-k') -
- a*(k)a(k')ei(w - w'
)to(k-k ') + a*(k)a*(k')ei(w+w'
)to(k+k')] =
431
= IJ��(- w2)[a(k)a(-k)e- 2iwt - 2 I a(k) I 2+ a*(k)a*(-k)e2;"'']. [10.262]
In maniera analoga si trova per gli altri due termini della [10.257]
lJd3x(Vqy)2 = lJ d3k
k2[a(k)a(-k)e-2iwt + 2Ia(k)I2+ a*(k)a*(-k)e2;"''] [10263]
2
22w
·
'
·
Iμ2Jd3xqy2 = Iμ2J��[a(k)a(-k)e- 2;"'' + 2 Ia(k)I2+ a*(k)a*(-k)e2;"'']. [10.264]
Sommando le [10.262-10.264] e usando w2 = k2 + μ2 si ottieneperH
[ 10.265]
Un calcolo simile a quello appena effettuato conduce all ' espressione per il momento
del campo :
[10.266]
Interpretando I a(k) I 2 come la «densità» dei modi, si vede che w e k sono i contributi
di ogni singolo modo all ' energia e al momento del campo.
Un campo di Klein-Gordon complesso è governato dalla Lagrangiana
[10.267]
Le equazioni del moto sono
(0+ μ2)qy=O, (0 + μ2)qy* =O.
[10.268]
Non valendo più la [ 10.25 1 ], la decomposizione in modi del campo qy(x) contiene due
serie di coefficienti indipendenti a(k) e b (k):
qy(x)=J
d3k
[a(k)e-i(wk-k ·x)
+ b(k)ei(wk -k x)].
V2w(2n)3
[10.269]
L'Hamiltoniana H e il momento P di un campo di Klein-Gordon complesso sono
H=Jd3xCI�12+IVqyl2+μ21qyl2),
P= - Jd3x(�*Vqy+ �Vqy*),
[10.270]
[10.271]

432
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
e, ripetendo il calcolo riportato sopra per il campo reale, si ottiene in termini di a(k) e b(k),
H=�Jd3km{la(k)l2 + lb(k)l2L
p=�Id3kk{la<k)12+lb<k)12}.
Nel prossimo paragrafo vedremo qual è il significato dei modi a(k ) e b(k).
10.9 . Invarianza di gauge globale
[10.272)
[10.273)
Un campo scalare complesso <f>(x) descritto dalla Lagrangiana [10 .238) possiede
un' interessante simmetria, che andremo ora a studiare. Si consideri la trasformazione
[10.274)
dove 8 è un parametro costante . La [10.274) è detta trasformazione di gauge (o di
fa se) globale . Poiché </>* '</>' =</>* </>e
dμ </>'(x) = e;9d
μ
</>(x), d
μ
</>*'(x)=e-i!Jd
μ
</>*(x),
[10.275)
da cui
[ 1 0.276)
la Lagrangiana [10.238] è invariante rispetto alla trasformazione [10.274). Determi­
niamo la corrente di Noether associata a tale simmetria. Supponendo che e sia infini­
tesimo, avremo (al primo ordine in 8)
</>'(x) = <f>(x) + i8<f>(x),
e quindi
8<f>=i<f>, o<f>* =-i<f>*.
La corrente di Noether è data da (vedi [ 1 O .115))
·
μ=
�8"' +
�8"'* = "("'dμ"'* - "'*dμ"')
Jddμ</>'I'ddμ</>*'I'
I'I''I'
'I'
'I''
e la carica associata è
[10.277)
[10.278)
[ 10.279)
[10.280)
Nel caso di un campo di Klein-Gordon complesso [10.269), la carica Q, espressa in
funzione dei coefficienti a(k ) e b(k ), risulta essere (vedi Problemi)
[10.28 1)
Le I b(k ) I 2 e I a(k) I 2 sono dunque, rispettivamente, le densità di carica positiva e ne­
gativa del campo di Klein-Gordon.

IO. IO I La Lagrangiana del campo elettromagnetico
433
Si noti che la Lagrangiana [10.238) non è invariante rispetto a una trasformazione
di gauge (o difa se) locale
</>(x) �</>'(x) = eir
J
(x) </>(x),
[10.282)
che differisce dalla [10.274) per il fatto che la fase �(x) dipende dalle coordinate . Le
derivate dei campi si trasformano come
Òμ</>' = e;6(Òμ</>) + i(Òμ�)</>e;6
Òμ</>*' = e -irJ(Òμ</>*)-i(Òμ�)</>*e-;6,
e quindi
[10.283)
[10.284)
[10.285]
È la presenza dei termini proporzionali a à μ � a far sì che la Lagrangiana [10.238] non
rimanga invariata per trasformazioni di gauge locali. Affi nché ci sia una simmetria ri­
spetto a queste trasformazioni occorre accoppiare il campo scalare </> con il campo
elettromagnetico (§ 10. 14).
10.10. La Lagrangiana del campo elettromagnetico
Per determinare la fo rma della Lagrangiana X em del campo elettromagnetico sfrut­
teremo il fatto che conosciamo già le equazioni del moto che si ricavano da x.m , le
equazioni di Maxwell. Poiché queste sono equazioni alle derivate parziali del primo
ordine per il tensore del campo Fμ v, la Lagrangiana X em dovrà essere quadratica in Fμ v
.
Equivalentemente , dal momento che le equazioni di Maxwell per A μ sono equazioni
alle derivate parziali del secondo ordine, x.m deve essere quadratica nelle derivate
prime à μA v_ Esprimere X em in fu nzione di Fμ V, piuttosto che di àμA V, ha il vantaggio di
garantire automaticamente l'invarianza di gauge. Un' altra fo ndamentale proprietà
di cui X em deve ovviamente godere è linvarianza relativistica. In definitiva, quindi,
la Lagrangiana X em dovrà contenere degli scalari di Lorentz quadratici in Fμ v
.
Gli
unici due oggetti di questo tipo sono
F FμvocE2-B2
μv
,
eμvpaF
μv
Fpa
ocE·B.
È fac ile verificare che eμ vp aF
μv
Fpa
può in realtà riscriversi come
[10.286)
[10.287)
[10.288]
ed è dunque una quadridivergenza. In quanto tale, questo invariante non contribuisce
alle equazioni del moto e può essere ignorato . Rimane come unico candidato F
μv
Fμv_
Ipotizziamo allora per X em la fo rma
co-
-
_
1_F Fμv_ _
l_(E2 - B2)
oLem -
I6n μv
-
8n
·
[ 10.289)

434
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
Verificheremo che le equazioni di Eulero-Lagrange associate alla [10.289] sono pro­
prio le equazioni di Maxwell. Il fattore numerico nella [10.289] dipende dal sistema
di unità di misura (noi lavori amo nel sistema di Gauss) ed è stato scelto in modo da ri­
produrre la normalizzazione della densità di energia del campo elettromagnetico
[8. 109] (si veda sotto, § 1 O. I I). Considereremo come variabile di campo Aμ (per que­
sto ci riferiremo ad Aμ come al campo elettromagnetico). Si tratta, evidentemente, di
un campo vettori ale. Il tensore del campo Fμ v sarà inteso come una variabile dipen­
dente,6 legata ad Aμ dalla relazione Fμ v = ò μA V - a vAμ. La [10.289] è dunque un'ab­
breviazione per
Le equazioni di Eulero-Lagrange per Aμ sono
a
a;;eem - a;;eem
=o
μÒÒ
μ
Av ÒAv
.
Il primo termine è la quadridivergenza di
mentre il secondo termine è nullo,
a;;eem
=o
ÒAv
.
Usando questi risultati nella [ 10.29 1], si trova ·
Òμ
Fμv=O,
[10.290]
[10.291]
[10.292]
[10.293]
[10.294]
che è la fo rma covariante delle equazioni di Maxwell non omogenee in assenza di sor­
genti . In termini del campo Aμ le equazioni [ I 0.294] hanno la fo rma
DAV-èJV(ÒμAμ)=O.
In particolare, nel gauge di Lorentz Ò
μ
Aμ=O,siha
DAV=O.
[10.295]
[10.296]
Nello schema lagrangiano che abbiamo adottato le scelte di gauge sono condizioni sus­
sidiarie da imporre a posteriori sulle equazioni del moto. Alternativamente, è possibile
definire una Lagrangiana elettromagnetica che incorpori essa stessa un gauge cova­
riante . Ne vedremo un esempio nel § 10.16.3.
I campi canonicamente coniugati adAμ sono, per definizione,
μ-a;;eem
n ---
.
-
òA
μ
'
[10.297]
6 Per un form alismo diverso, vedi Problemi .

10.10 I La Lagrangiana del campo elettromagnetico
e, usando la [ 10.289], si trova
,.o=
a::r.
em
=o
<ìAo
'
435
[10.298]
Come si vede, il campo coniugato ad A 0 è nullo (::fem non contiene infatti A 0). Ciò si­
gnifica che A 0 non è una vera variabile canonica. Conviene allora adottare il gauge
temporale e porre
A0=0.
In questo gauge il campo elettrico è
Ei= -Ai.
[10.299]
[10.300]
Le variabili dinamiche coniugate sono A i e n' = E
;
/4 n, e la loro parentesi di Poisson è
[10.301]
ovvero
[10.302]
Per la densità di Hamiltoniana si trova
'iJC=,.;;\.-:;e = _l
_
EiA.-_l
_
(E2-B2)= _
l_E2 -
_
l_(E2-B2)= _
l_(E2 +B2)
'
4n
'
8n
4n
8n
8n
'
[10.303]
che è l'espressione della densità di energia elettromagnetica ricavata nel § 8.7. l (vedi
[8. 109]).
Soffermiamoci ora sull' invarianza di gauge della Lagrangiana [ 10.289]. Questa in­
varianza segue evidentemente dal fatto che ::f em contiene solo il tensore del campo
Fμv
, il quale, come sappiamo, non cambia rispetto a trasformazioni di gauge
[10.304]
Supponendo che X sia una fu nzione infinitesima, l'equazione di continuità associata
all'in varianza di gauge è, secondo la [ 1O. l 12],
[10.305]
conoAv
=-d
v
X (la simmetria di gauge è una simmetria interna e non c'è quindi alcuna
vari azione delle coordinate). Usando la [10.292], dalla [10.305] si ottiene
[10.306]
Questa equazione, in realta, è soddisfatta identicamente se si applicano le equazioni
del moto d
μ
Fμv = O. Si ha infatti
[10.307]

436
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
dove il primo termine è zero in virtù delle equazioni del moto, mentre il secondo si
annulla per simmetria. L'invarianza di gauge, quindi, non dà luogo a una legge di
conservazione significativa (ciò è tipico delle invarianze rispetto a trasformazioni che
coinvolgono fu nzioni arbitrarie, come la x, e non parametri arbitrari). Si verifica su-
bito che 1e costanti d�1 moto Q = J d 3xj° associate alla corrente (infinitesima) r =
= Fμvd
v
X sono numericamente nulle per la legge di Gauss.
Se il campo elettromagnetico è accoppiato a una corrente l
μ
, la Lagrangiana ;J>, che
descrive il sistema ha, oltre al contributo libero ;J>,em ' un termine di interazione ;J>,i n t •
che deve essere uno scalare di Lorentz contenente sia A μ che Jμ . Il più semplice ac­
coppiamento tra A μ e Jμ è della forma l
μ
A μ . Scriveremo quindi
1
;J>,=!;f,em+!;f,int= -
16Jr
FμvFμv
-
fμAμ.
Poiché si ha
e vale ancora la [10.292), le equazioni di Eulero-Lagrange per ;J>, sono
dμFμv = 4nr,
[10.308)
[10.309)
[10 .3 10)
e si tratta proprio delle equazioni di Maxwell in presenza di sorgenti . Prendendo la.
quadridivergenza de l primo e del secondo membro, si trova, in virtù dell'antisimme­
triadiFμv,
[10.311)
che è l'equazione di continuità che esprime laconservazione di r.
Studiamo infine l'invarianza di gauge del sistema descritto dalla [10.308). In se­
guito a una trasformazione di gauge A
μ
�A�=A
μ
-
dμX• se imponiamo la [10.3 11),
laLagrangiana ;J>, cambia per l'addizione di una quadridivergenza. Si hainfatti
[10.312)
da cui
[10.3 13)
dove, a causa del!'equazione di continuità [10. 31 1), sopravvive solo la quadridiver­
genza totale. Questa, come sappiamo, non ha alcun effetto sulle equazioni del moto, e
il sistema campo-sorgente è quindi invariante di gauge. Possiamo perciò concludere
che l'invarianza di gauge è equivalente alla conservazione della carica.

I O. / I I Il tensore di energia-momento del campo elettromagnetico
10.11. Il tensore di energia-momento del campo elettromagnetico
Il tensore canonico del campo elettromagnetico libero è (vedi [10.135])
eμv -
a�em-.vA -CO
μv
em-òòAoPcLem8 .
μp
Con la Lagrangiana [ 10.289] si trova
9μv=-_
l_FμpòvA + -l-FpaF gμv
em
4n
P
16n
pa
·
437
[10.314]
[10.3 15]
Questo tensore, evidentemente, non è simmetrico e, per di più, non è invariante di gau­
ge. Per simmetrizzarlo si applicherà la procedura di Belinfante (§ 10.7), la quale, come
vedremo, fornisce un tensore di energia-momento che è anche invariante di gauge.
Costruiamo innanzi tutto le correnti di Lorentz M �� a del campo elettromagnetico.
Si ha
[10.3 16]
dove il termine di spin è
sapa=i
d�em
(.M,Pa) Av =
__
l_Faμ(gP ga _
8agP)Av=__l
_
(FapAa - FaaAp)
em
aaA
μv
4n
μV
μV
4n
.
aμ
[10.3 17]
Il tensore cap a definito nella [ l 0.212] è, in questo caso,
capa =
_!_
_
(Sapa+spaa - saap) =
_
l_ FpaA a
em
2em
em
em
4Jr
[10.318]
e il tensore di energia-momento simmetrizzato (che indichiamo con T��) è dunque
Tμv=eμv-acvpμ=eμv--
1- a (FpμA V)
em
em
pem
em
4Jrp
·
[10.3 19]
Sostituendo nella [ l 0.3 19] l'espressione [ 10.3 14] di 8 �� e usando l'equazione del
moto d
p
Fpμ =O, si ottiene
Tμv=-_
l_FμpFv +-
1-FpaF gμv
em
4Jr
p 16Jr
pa
'
[10.320]
che è chiaramente simmetrico ri spetto allo scambio degli indici e invariante di gauge.
L' equazione di continuità
[10.321]
esprime la conservazione dell'energia e del momento di un campo elettromagnetico
libero. Si noti che T�� ha traccia nulla:
Tμ --_
l_FμPF _l_FpaF μ - -_
l_ μp
_
I_ pa
-
O
em, μ
-
4n
μp
+
l6n
pa8 μ
-
4nF F
μp+
4nF Fpa
-
.
[10.322]

438
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
Verifichiamo ora che T�� contiene le densità di energia e di momento che abbiamo
ricavato nel § 8.7. La densità di energia è (ricordando che F io = Ei e F 'j = - éjkBk)
Too=__
l
_
FopFo + -1
-
FpaF goo=
__
l_FOiFO + _l
_
FpaF goo=
em
4Jr
p 16Jr
p<J
4Jr
I
16Jr
p<J
=-
1-E2--
1-(E2-B2)= -
1
-
(E2+B2)=w
[10.323]
4n
8n
8n
em,
e coincide con la [8. 109 ]. La densità di momento è uguale (a meno di una potenza di e
che, in unità naturali, non appare) alla densità di flusso di energia ed è data da
Toi=To=-_
l_FopFi = _
l_FojFij = _
l_EijkEjBk = _
l_(EXB)i=<!Pi=ni .
em
em
4n
p4n
4n
4n
em
[10.324]
Ritroviamo così la [8. 1 l O] e la [8. l 28]. Infine, le componenti spaziali del tensore di
energia-momento sono
..
..
I.
.
l
..
T'l =Tl' = _-F'PF1+--FPaF g'l=
em
em
4n
P l6n
pa
=-
_
1
_
FioFj -
_
1
_
Fi'F1 - _
1
_FP<JF oij =
4n
°4n
1
16n
pa
=--
1
-EiEj+-
1-Ei1"'B"'é1"B"+ -
1-(E2 - B2)8ij =
4n
4n
8n
=-_
1_EiEj+-
1
-
(oijom" - oi"&"')BmB" + -
l-(E2- B2)8ij =
4n
4n
8n
=
4
1
n
[�oij(E2 + B2) - EiEj - BiBj] = rij,
e coincidono con le componenti del tensore degli sforzi di Maxwell [8. 122].
[10.325]
In presenza di una sorgente lμ la quadridivergenza del tensore T�� non è più nulla,
perché il campo elettromagnetico compie lavoro sulle cariche. Si ha
::iTμv-
-
_
l
_
(::i FμP)Fv - _
l_ μp::i
v
_l_ ::iv P<l\
-
Uμ em-
4n Oμ
p4n
F oμF
p+
8n
(o F ,Fpa
-
=-JPFV-
_
l_FμP() Fv +-
1- cavFP�F
P4n
μP8n
pa
,
[10.326]
dove nel secondo passaggio abbiamo usato le equazioni di Maxwell non omogenee
dμ Fμp = 4nJP. Dalle equazioni di Maxwell omogenee
[ 1 0.327]
si ottiene
[ l 0.328]
che, sostituita nell'ultimo termine della [I0.326], dà
dTμv=-JPFv-
_
l_FμP() Fv -
-
1-(daF vP)F - _I
_
. (dpF av) F [10.329 ]
μem
P4n
μP8n
pa 8n
pa
·

10. 12 I Il momento angolare del campo elettromagnetico
Riscrivendo Fμpd
μ
Fv
p come
FμpdμF v
p=F
apdaFvp =
-
Fpa
daF vp
,
la (10.329] diventa
a Tμv
=-JPFV+-
1-F aaFvp _ _
l
_(d(JFVP)F _ _I_
.((JPF<JV)F =
μem
P 4npa
8n
pa 8n
pa
439
(10.330]
= - JFvp+-1-caapp+(JPFva)F
(10.33 1]
P
8n
pa
·
Il secondo termi ne a destra è nullo per si mmetria, e quindi
:iTμv--JFvp
Oμem-
p
·
Per v=O si ha
[10.332]
[10.333]
che, con le identificazioni T�� = w e 11
1
, T��=<!P;,f =/eF0;=
-
E
;
, equivale alla
[8.l02], cioè
a;;"'+V.çJ> = -j
.E
.
Perv=isiottiene
:iTo;+:iTii__JF;o_JFii
OQ em
Oiem-
O
j'
dacui,ponendoT0;= n�m = çpieTi=rii,
(10.334]
(10.335]
(10.336]
che coincide con la (8. 1 30] . Si noti che, generalizzando la (8. 131], possiamo interpre­
tarer = fppP come la densità della quadriforza di Lorentz.
10.12. Il momento angolare del campo elettromagnetico
Le correnti di Lorentz elettromagnetiche sono (vedi [ 10.3 16, l 0.3 17])
con
[ 10.337]
[I 0.338]
[ 10.339]
Si è già detto nel § 10.6 che il termine orbitale e il termine di spin non sono separata­
mente conservati . Scopriamo ora che L �� a e S�� a non sono neanche invarianti di

440
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
gauge . Ciò nonostante, vale la pena determinare la loro fo rma esplicita in fu nzione
dei campi, per stabilire una corri spondenza con i ri sultati del § 8.7 .3 .
Il momento angolare orbitale del campo elettromagnetico è
Usando
eok=-
_
l_FDl(JkA = _l
_ EtdAt
em
47r
I
47r
k,
la [ 10.340] diventa
cioè
Questa è la stessa espressione ricavata nel § 8.7 .3, vedi [8. 153].
Lo sp in del campo elettromagnetico è
si = .léjksjk = .léjkfd3xsojk
em
2
em
2
em,
e, ricavando dalla [10.339] s ��\
sojk= - _
1_(FojAk - FokAj) = _
1_. (EjAk - EkAi)
em
47r
47r
'
si ottiene
S�m =
4
17rfd3x éjkEjAk.
In fo rma vettori ale, si ha
_
1
I3
Sem -
47r d x(EXA),
che coincide con la [8. 1 54] .
[10.340]
[10.341]
[10.342]
[10.343]
[10.344]
[10.345]
[10.346]
[10 .347]
Per ottenere il momento angolare totale lem del campo, che è la grandezza conser­
vata per la simmetria rotazionale ed è invariante di gauge, è preferibile, invece che
sommare L em e S em , introdurre le correnti di Lorentz (vedi [I0.2 17])
[10.348]
che sono gauge-invarianti , perché tale è il tensore di energia-momento T�� · Il momento
angolare totale è
[10.349]

1O. 13 I interazione di una particella col campo elettromagnetico
Con
la [10.349] fo rnisce
lem = fd3x[xX(E X B)],
che è la [8. 135].
10.13. Interazione di una particella col campo elettromagnetico
441
[ 10.350]
[10.35 1]
L' azione del campo elettromagnetico in presenza di sorgenti è, come abbiamo
visto nel§ IO.IO,
[ 10.352]
Se la sorgente è una particella carica, la corrente Jμ è data dalla [9.38], e il termine di
interazione S i nt ha la fo rma
Sint = - Jd4xl
μ
(x)Aμ(x) = - e Jd4xJdç��84(x - z(ç))Aμ(x) =
= - e Jdç��Aμ(z(ç)).
[I0.353]
Questa è ovviamente 1f stessa S i nt che compare nell' azione [9.6] di una particella in
un campo elettromagnetico,
[10.354]
Le equazioni del moto associate a S em + i nt e S P + i nt sono, rispettivamente, le equazioni
di Maxwell e l'equazione di Minkowski-Lorentz (che scriviamo in fu nzione del cam­
mino proprio s; i punti indicano deri vazione rispetto a s)
aμPv(x) =4neIdsiv84(x - z(s)),
miμ = eFμv(z)iv·
[I0.355]
[10.356]
Studiamo ora la legge di conservazione dell ' energia-momento per i sistemi descrit­
ti dalla [I0.352] e dalla [ 10.354]. Nel caso della [ 10.352] sappiamo già dal § I 0. 11 che
la divergenza del tensore di energia-momento del campo elettromagnetico è
[10.357]
e questa equazione corri sponde alle [8.102, 8.130] .

442
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
Possiamo seri vere un' equazione simile per SP + int, introducendo il tensore di ener­
gia-momento di una particella di massa m,
[10.358]
dove, per chiarezza, abbiamo temporaneamente ripristinato le potenze di c. T�v è sim­
metrico e ha traccia
T�, μ
= mc2•
[10.359]
La componente rg0(x) è
rg0(x) = mc2 Jdsi0i0o(x0 - z0cs))o3(x - z(s)) = mc2 Jdz0 i0ocx0 - z0cs))o3(x - z(s)).
[10.360]
Poiché la o(x0 - z 0(s)) implica z0 = x0 e i0 =i0 = y, integrando su z0 si ottiene
[10.361]
Come si vede, rg0(x) è la densità di energia della particella. Analogamente si trova
rg; = mcyv;o3(x - z(t)),
[10.362]
e rg;le è quindi la densità della componente i del momento del la particella. Le altre
componenti di T�v hanno il seguente significato : cT�o è la densità di fl usso di energia
nella direzione i; T� è la densità di flusso della componente j del momento lungo la
direzione i.
La quadridivergenza di T�v è (d'ora in poi porremo nuovamente e = 1)
ÒμT�v = mIdsiμivÒμ04(x - z(s))= - mIdsiμiviμ d
d
s
o4(x - z(s)) =
= -mJdsi v�[Ò4(x -z(s))] =
ds
4
= - mJds:
s
[ivo4(x - z(s))]+ mJdsz:vo4(x - z(s)) =
= - mivo4(x - z(s)) I::::+ m Jdsivò4(x - z(s)).
[10.363]
Il primo termine è nullo perché la delta non ha supporto per s = ± =, e si ha perciò
[10.364]
In particolare, se la particella è libera ( d 2 z v/d s 2 = O), il suo tensore di energia-momento
è conservato :
[10.365]
Se, invece, la particella interagisce col campo elettromagnetico, l'equazione del
moto è la [10.356], e avremo dunque
[10.366]

I 0. 13 I Interazione di una particella col campo elettromagnetico
443
Il termine al secondo membro rappresenta il lavoro che il campo elettromagnetico
compie sulle cariche, ed è la stessa quantità che compare nella [10.357] ma col segno
opposto. Combinando la [I0.366] e la [ l 0.357], si ottiene
[I0.367]
che è la legge di conservazione dell'energia- momento per il sistema particella + campo.
L' azione completa del sistema particella + campo è
S=Sp+S;ni+Sem=
-
-
Ji!(dzμ
�)112 -
JJ!J4 μ 5;'.4 - i! dzμ__l_J4
μv
-
md.,
,
dç dç
ed.,
,
dxA (x)u(x z(.,
,
)) dç 16n
dxF
μv
(x)F (x).
[10.368]
In questa fo rma l'azione contiene termini divergenti di autoenergia della particella (si
ricordi la discussione del § 9.12). Scrivendo A μ e p v come (vedi [9.3 15])
[10.369]
con
[10.370]
il secondo e il terzo termine nella [ 10.368] assumono la forma
JdçJd4xAμ(x)84(x - z(ç))�� =
= JdçJd4xAμ(x)84(x - z(ç))�� +JdçJd4xA�(x)84(x - z(ç))��·
[10.37 1]
Jd4xFμv(x)Fμv(x) = Jd4xFμv(x)Fμv
(x) + 2Jd4xFμv(x)Ftv(x) +Jd4x F�v(x)Ftv(x) .
[10.372]
Le divergenze sono associate alle componenti A�e F�v del potenziale e del campo (la
somma delle componenti ritardata e avanzata) . In particolare, poiché A �(x) e F �v (x)
vanno, rispettivamente, come l!R e come l/R 2 per x � z, i termini infiniti sono quello
contenente A�nella [ 10.37 1] e quello contenente F �vF�v
nella [10.372]. Se cancellia­
mo questi termini, l'azione S diventa
[10 .373]
Le equazioni di Eulero-Lagrange che si ricavano da questa azione (considerando A μ e
A�come vari ab ile dinamiche indipendenti) sono
mif = eFμv(z)iv
,
Òμ Fμ v(x) =O,
ÒμF�v(x) = 4neJdsiv84(x - z(s)).
[10.374]
[10.375]
[10.376]

444
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
La [10.374] coincide con la [9.319]. La [10.375] e la [10.376] mostrano che Fμ v è un
campo di radiazione, mentre F�v è il campo che ha come sorgente la particella.
10.14 . Invarianza di gauge locale
Studieremo ora una teoria di campo che possiede una simmetria di gauge locale .
Come abbiamo già accennato, questa teoria incorpora un'interazione tra un campo
scalare complesso </J e il campo elettromagnetico A μ .
Possiamo interpretare </J come un campo di materia e l'accoppiamento tra A μ e </J come un' inte­
ra zione tra radiazione e materia . Occorre ricordare, tuttavia, che, a livello fo ndamentale, la
materia è concepita dalla fi sica classica come un insieme di particelle, e non avrebbe quindi
senso descriverla mediante un campo. Nella teoria quantistica dei campi, però, materia e radia­
zione sono trattate in maniera simile e rappresentate entrambe da campi quantistici. È dunque
in quest' ottica che si può pensare a </J come a un campo di materi a interagente col campo di ra­
diazione Aμ.
Consideriamo una Lagrangiana della fo rma
[10.377]
dove 5f ;n1 è un termine d'interazione da specificare . Vedremo che 5f;n1 risulta determi­
nata univocamente se richiediamo che 5E sia invariante rispetto alle trasformazioni
accoppiate
</J(x) � </J'(x) = ei iJ(x) </J(x),
Aμ(x) � A�(x) =A
μ
+
_!_()μ19(x),
e
[10.378]
[10.379]
dove la [10.378] è la trasformazione di gauge (o difa se) locale del campo scalare in­
trodotta nel § 10.8 . 1 e la [10.379] è la trasformazione di gauge del campo elettroma­
gnetico (e è la carica elettrica elementare e rappresenta la costante di accoppiamento
tra materia e campo elettromagnetico). Per costruire una Lagrangiana invariante ri­
spetto alle [10.378, 10.379] osserviamo che la combinazione
[ 10.380]
detta de rivata covariante di </J, si trasforma, per effetto delle [I0.378, 10.379], come
(Òμ
-
ieA
μ
)</J� (Òμ
-
ieA�)</J' =
= (Òμ</J)ei iJ(x) + i(Òμt9)</Jei iJ(x) - ieA
μ
</Jei iJ(x) - i(Òμt9)</Jei iJ(x)
= ei iJ(x) (Òμ
-
ieA
μ
)</>,
[10.381]
cioè
D�</J' = ei iJ(x) D
μ
</J·
Il prodotto
(Dμ</>)*(Dμ</J)= [(Òμ + ieA
μ
)</J*][(òμ - ieAμ)</>]
[10.382]
[10.383]

10.14 I invarianza di gauge locale
445
rimane immutato rispetto alle trasformazioni di gauge e contiene la Lagrangiana di
interazione che cercavamo . Riscriviamo quindi X come
X=(Dμ</>)*(Dμ</>) - V(</>*</>)- l!nF
μvFμv
=
=d
μ
</>*èJμ<f>
_
V(</>*</>)- l!n F
μvFμv
-
ie(<f>èJμ<f>* - <f>*èJμ</>)Aμ + e2A
μ
Aμ</>*</> =
= Xq,+Xem+Xint>
[10.384]
dove
[10.385]
e
[10.386]
è (a meno di un fattore e) la corrente di Noether associata all 'invarianza per trasfor­
mazioni di gauge globali (vedi [10.279]).
In definitiva abbiamo mostrato che, affinché il campo scalare </>possieda un'inva­
rianza di gauge locale , è necessario innanzi tutto introdurre il campo elettromagnetico
Aμ e poi accoppiare </>ad Aμ
mediante la derivata covariante [
l
0.380]. È interessante , e
utile per fu ture applicazioni, osservare che il tensore del campo F
μ v è proporzionale al
commutatore delle derivate covarianti , [Dμ
, D v]. Si ha infatti,
[Dμ
, D v]=(dμ
-
ieA
μ
)(dv - ieAv) -(dv - ieAv)(dμ
-
ieA
μ
)=
=d
μ
dv- ieAvd
μ
-
ied
μ
Av-ieA
μ
dv-e2A
μ
Av-dvd
μ
+ ieA
μ
dv+
+ ieèJvA
μ
+ieAvd
μ
+e2AvA
μ
= - ie(èJμAv-dvA
μ
)=-ieF
μv·
[10.387]
Per fi nire, deri viamo dalla [10.384] le equazioni del moto. Variando l'azione ri­
spetto al campo </> * si ottiene l'equazione di Eulero-Lagrange
ax ax
dμ (JèJ
μ
</>*
-
èJ</>*
=O.
I due termini che compaiono nella [10.388] sono
dμ ()��*
=d
μ
(dμ </>
_
ieAμ</>)=(J
μ
Dμ<f>,
ax_ .
c::-.μ,r.)A
2AAμ,r._av_ .
Aμ,i.
.
_
av
èJ<f>*
-
1eu'I'
μ
+eμ'I'
èJ<f>*
-
1e
μ
D'I' èJ<f>*
,
e, sostituiti nella [I0.388], danno
μ
_
_
av
DDμ</>- ò<f>*'
[10.388]
[10.389]
[10.390]
[10.391]
che è l'equazione del moto per il campo scalare . Essa differisce dalla [10.241] della
teoria non interagente per la sostituzione
[10.392]

446
Teoria relativistica dei campi \ Cap. 10
Quanto al campo elettromagnetico, si ha
e le equazioni di Eulero-Lagrange
a::e a::e
Òμ::.::.A
-
àA
=
O
VUμ V
V
hanno la fo rma esplicita
[ 10.393)
[10.394)
[10.395)
[10.396)
Queste sono le equazioni del moto del campo elettromagnetico: si noti che esse con­
tengono, oltre alla corrente r, un termine del tipo - A vlcf>l2• In funzione di Av le
[10.396) diventano , nel gauge di Lorentz,
(D+8ne2Icf>l2)Av = 4nr,
[10.397)
e si vede che, rispetto al caso libero, è comparso un termine di «massa» per il campo
elettromagnetico, proporzionale a I cf> 12. Infine, usando la [ 10.386) e raccogliendo i
termini che compongono le deri vate covarianti , possiamo ri scrivere ulteriormente la
[ l 0.396) come
[ 10.398]
Da questa fo rma risulta evidente l'in varianza di gauge delle equazioni del moto .
10.15. Invarianza di gauge non abeliana e teorie di Yang-Mills
Le trasformazioni di gauge locali [10.378),
cf>(x) � cf>'(x) = Q(x)cf>(x),
[10.399)
con
[l0.400)
sono elementi di un gruppe abeliano di trasformazioni, il gruppo unitario U( I ) . Nel
1954, Yang e Mills generali zzarono le teorie di gauge considerando gruppi di trasfor­
mazioni non abeliani.7 Da allora, le teorie di gauge non abeliane, o teorie di Ya ng­
Mills, sono diventate uno dei pilastri della descrizione fi sica delle interazioni fo nda­
mentali.
7 C. N . Yang e R. L. Mills, in «Phys. Rev.», 96, 1954, p. 191.

IO. I 5 I Invarianza di gauge non abeliana e teorie di Ya ng-Mills
Consideri amo un multipletto di N campi scalari complessi
<I>=[�].
</J,y
governato dalla Lagrangiana
�i=d
μ
<l>tdμ<I> - V(<l>t<I>).
Qui <l> t è l'aggiunto di <I>, cioè la matrice trasposta e complessa coniugata
<l>t= (</Ji<Pi...</J�).
Supponiamo di effettu are la trasformazione unitaria locale
<l>(x) -t <I>'(x) = Q(x) <l>(x),
dove
Q(x) = exp [it" ?J" (x)]
447
[10.401]
[10.402]
[10.403]
[ L0.404]
[ 10.405]
è un elemento di un gruppo di Lie non abeliano G a n parametri (è sottintesa una som­
matoria sull'indice a=1, 2, ... , n).8 La [10.404] è detta trasformazione di gauge locale
non abeliana. I t0 sono i generatori del gruppo G in una rappresentazione unitaria di
dimensione Ne soddisfano l'algebra di Lie
[10.406]
dove lef°
b
c, antisimmetriche nei loro indici, sono le cosiddette costanti di struttura di G .
Le t0 sono matrici hermitiane N X N normalizzate nel seguente modo:
[10.407]
dove TR è una costante che dipende dalla rappre sentazione considerata.
La Lagrangiana �i non è invariante rispetto alla trasformazione di gauge locale
[ 10.404] . Il motivo è che, a causa della dipendenza da xμ dei parametri ?J", le derivate
della <I> non si trasformano come la <I> stessa:
[10.408]
Seguendo lo stesso procedimento adottato nel caso abeliano (§ 10.14 ), introduciamo
allora n campi di gauge A�(x) (tanti quanti i parametri del gruppo G) e la de rivata co­
variante (agente sui campi scalari </J; , con i=1, 2, ..., N)
[10.409]
dove abbiamo estratto arb itrariamente una costante g. Scriveremo, in modo più sintetico,
[10.4 10]
8 Per alcune nozioni elementari sui gruppi di Lie, vedi Appendice B.

448
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
Le proprietà di trasformazione dei campi di gauge devono essere tali che si abbia
Dμ<l>(x) � D�<l>'(x) = Q(x)Dμ<l>(x).
[10.41 1]
Esplicitiamo D�<l> ' :
D�<l>I = (dμ - igt.A�)Q<l>=(dμQ)<l>+Qdμ<l> -igt.A�Q<l>.
[10.412]
Si verifica subito che, se i campi di gauge si trasformano come
t·A' = Qt·A o-i
_
_I_(() Q)Q- 1
μ
μ
gμ
,
[10.4 13]
la [10.4 12] si riduce proprio alla [10. 411]. La [10.413] è dunque la trasformazione di
gauge dei campiAμ-
È istrutti vo studiare le trasformazioni di gauge infinitesime,
Q=Il+it·�-
La trasformazione di gauge infi nitesima del multipletto scalare è
o<l>;;<l>I(X)-<l>(x)=it0�<l>.
Nella [10.4 13] avremo, usando la [10.406],
t·A ' = (ll+it· �)t·A (Il -it·�)-J.
..
(it· d �)(Il-it·�)=
μ
μ
g
μ
=t ·Aμ+i(t·�)(t·Aμ)-i(t·Aμ)(t·�)+�t·dμ�=
[10.4 14]
[10.4 15]
=t·A + i[t0 tb] 1J0Ab + _!_t·d �=t·A
-J
abctclJaAb+ _!_t· d � [10.416]
μ
,
μ
gμ
μ
μ
gμ•
da cui
t.oA =t.(AI -A)=_!_t.a�-tabet
e
1J0A b
μ
μ
μ
gμ
μ-
La trasformazione infinitesima dei campi di gauge è dunque
oAZ =_!_dμlJa - f°bc lJbAZ.
g
[10.4 17]
[10.418]
Se la trasformazione di gauge fo sse abeliana, le costanti di struttura sarebbero nulle,
f"be = O, e la [ 10.418] si ridurrebbe a
oAZ = _!_<Jμ 1J0,
[10.4 19]
g
che corri sponde alla [ 10.379]. Introducendo la cosiddetta rappresentazione aggiunta
del gruppo di gauge G , i cui generatori , che indicheremo con T0 , sono matrici n X n
che hanno come elementi le costanti di struttura,
(T0he
=
-
ifabe >
[10.420]
la [10.4 18] può essere scritta come
oAa =_!_(D 1J)0
μ
gμ
,
[10.421]

10.15 I Invarianza di gauge non abeliana e teorie di Ya ng-Mills
dove
(Dμ)bc = Obcdμ - ig(T°hcA� = Obcdμ - gfabcA�,
che scriveremo sinteticamente nella fo rma
449
[10.422)
[10.423)
La [ 10.421] mostra che i campi di gauge si trasformano secondo la rappresentazione
aggiunta di G . Si noti che la deri vata covariante, pur essendo indicata sempre con lo
stesso simbolo D
μ
, ha espressioni diverse - [10.409) o [10.422) - a seconda che agi­
sca sui campi scalari oppure sui campi di gauge (e, più in generale, sulle funzioni che
trasportano un indice di tipo a).
Riassumendo quanto visto fi nora, una Lagrangiana scalare, con la derivata ordina­
ria dμ sostituita dalla deri vata covariante D μ ,
[10.424)
è invariante rispetto a trasformazioni di gauge non abeliane. La [10.424) incorpora
nella derivata covariante un 'in terazione tra i campi scalari e i campi di gauge :
�<t> = (Dμ<l>)t(Dμ<l>) - V(<l>t<l>) =
= dμ<l>ta
μ
<l> + ig[<l>ta
μ
<l>-(dμ<l>t)<l>]t.Aμ+g2(t.Aμ)(t.A
μ
)<l>t<l>. [ 10.425)
L'equazione di Eulero-Lagrange per il multipletto scalare è
[10.426)
e dalla [I0.425) si ottiene, con qualche semplice passaggio analogo a quelli del § 10. 14,
μ__av
DμD<l>- (J<I>f·
[ 1 0.427)
Per completare la descrizione del sistema, occorre introdurre la dinamica dei campi
di gauge, cioè un termine gauge-invariante nella Lagrangiana che contenga le derivate
al quadrato di A�, in modo che le equazioni del moto di A� siano equazioni alle deriva­
te parziali del secondo ordine. Cominciamo col calcolare il commutatore delle derivate
covarianti (che nel caso abeliano, come abbiamo visto, fornisce il tensore del campo
elettromagnetico),
[Dμ,Dv1 =[dμ-igt.Aμ,dv
-
igt.Av] = - igt.(dμAv- dvAμ)-ig2f"
bc
tcAi At.
[10.428)
Introducendo il tensore de i campi di gauge
Fa =()Aa-()A"+gfabcAbAe
μv
μV
Vμ
μV'
la [10.428) può riscriversi come
[Dμ, D
vl = - igt.Fμv'
[10.429)
[10.430]

450
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
che è l'analogo della [10.387]. La trasformazione di gauge di Fμ v si ricava dalla
[10.430] e dalla [10.4 1 J], ed è
[I0.43 1]
Possiamo notare due importanti diffe renze tra le teorie di gauge abeliane (in cui il ten­
soredelcampoèFμv = ÒμAv
-
ÒvA
μ) e le teorie di gauge non ab eliane. La prima diffe­
renza è che F
μ v è invariante di gauge, mentre Fiv non lo è. La seconda differe nza è che
nel tensore dei campi di gauge non ab eliani [ l 0.429] compare un termine non lineare
di interazione dei campi di gauge con se stessi.
Per trasformazioni di gauge infinitesime si ha
t·F
.
' = (Il + it·t'J)t·F (TI -it·t'J)=t·F +i[ta tb]t'.>aFb = t·F
-fabctc t'.>aFb
μv
μv
μv
'
μv
μv
μv,
e la variazione infinitesima del tensore di gauge è
8Fiv = - rbc r>bFZv·
[ 10.432]
[10.433]
Da qui si vede che una combinazione del tipo FivFμ v
,
a
è invariante di gauge. Si ha in­
fatti
F:vFμ v
,
a
� (F:v
- rbc r>bFZJ(Fμv. a
- rder>dFμv, e
)=
=FaFμv.a
-
Jabc tJbFc Fμv. a
-
Jade tJdFa Fμ v, e
=
Fa Fμv. a
μv
μv
μv
μv
'
[10.434]
dove nell'ul timo passaggio abbiamo usato l'antisimmetria delle costanti di struttura.
(Per una dimostraz ione dell 'invari anza di gauge rispetto a trasformazioni fi nite, vedi
sotto). Poiché la quantità FivFμ v
,
a
ha le corrette dimensioni fi siche di una Lagrangia­
na, contiene derivate al quadrato di A � ed è invariante di gauge, possiamo ipotizzare
che rappresenti (a meno di una costante) la Lagrangiana dei campi di gauge,
::fA
=
_
_
l_Fa Fμv, a
l6n μv
Usando la [10.407], questa Lagrangiana può anche essere scritta come
::fA_
]
2
-
-
l6nTR
Tr[(t.Fμv) ].
Effettuando la trasformazione fi nita [10.43 1], la traccia ri mane immutata,
Tr[(t·Fμv)2] �Tr[Q(t·Fμv)2Q-
1
]=Tr[Q-1Q(t·Fμv)2] =Tr[(t·Fμv)2],
e si ha la conferma che la [ l 0.436] è effettivamente invariante di gauge.
[10.435]
[I 0.436]
[10.437]
Possiamo a questo punto mettere assieme la [ l 0.424] e la [ 10.435] e serivere la La­
grangiana completa di una teoria di gauge non abeliana (o teoria di Ya ng-Mills) ,
5f=(D <I>)t(Dμ<I>)-V(<I>t<l>)-_I_Fa Fμv. a
μ
l6n μv
·
Le equazioni del moto dei campi di gauge si ricavano da
[10.438]
[I0.439]

10.16 I Complementi
Usando
�=_ _l
_
Fμv, a
ÒÒμA�
4n
'
�;�=-
4
l
n
grbcra, bA�+ igta[<l>tDv<l> - (Dv<l>/<l>],
otteniamo
451
[10.440]
[10.441]
[10.442]
che, per mezzo della deri vata covariante [10.422], può essere ri s critta in modo più
compatto come
[10.443]
Si osservi che, diversamente da quanto succede in elettrodinamica, le equazioni del
moto dei campi di gauge non abeliani sono equazioni non lineari.
10.16 . Complementi
10.16.1 . Dilatazioni
Una dilatazione, o trasform azione di scala, è una trasformazione del tipo
[10.444]
dove Il è un parametro reale. Assieme alle trasformazioni di Poincaré, le dilatazioni
formano un gruppo, detto gruppo di Weyl. Si noti che la [10.444] lascia invari ati gli
intervalli di tipo luce: dxμ dx
μ
= O �dx'μdx�=O.
Se un campo <p ha dimensioni fi siche [lunghezza] ", esso si trasforma ri spetto alla
dilatazione [ 10.444] come
<p'(x') = ll"<p(x) .
[ l 0.445]
Supponi amo ora che la Lagrangiana ;J>, del campo <p sia invariante per dilatazioni (o,
come si dice, invariante di scala) e calcoliamo la corrente di Noether risultante. Nel
caso di una trasformazione di scala infinitesima abbiamo Il= 1 - E, con E infinitesimo, e
x'μ=(I-E)xμ,
da cui
Riscrivendo la [I0.445] come
<p'(x) = ll"<p(À- 1 x),
eusandoIl"= I -nt:eIl-1 =1+Esiottiene,alprimoordineinE,
<p'(x)=(1-nt:)<p(x+EX)=<p(x)-nt:<p+t:xWò
μ<p,
[ 1 0.446]
[10.447]
[ 1 0.448]
[10. 449]

452
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
da cui
[10.450]
Abbiamo a questo punto tutti gli ingredienti per calcolare la corrente di Noether asso­
ciata all'invarianza di scala, che è
[10.45 1]
Illustriamo con alcuni esempi i risultati ottenuti . Un campo scalare descritto dalla
Lagrangiana
[10.452]
ha dimensione fi sica [lunghezza] - 1 e la sua corrente di dilatazione [ l 0.45 1] è quindi
(conn= -1)
}b=9
μv
Xv + tf>èJμtf>.
[10.453]
La divergenza di }b vale
[10.454]
dove abbiamo usato a
μ
eμv=oea
μ x V = g μ v · Poiché la traccia del tensore canonico as­
sociato alla [10.452] è
8μ
μ
= - èJ μ tf>èJμ<f>+4V(<f>),
la [10.454] diventa
èJμ)b = tf>Dt/> + 4V(<f>).
[10.455]
[10.456]
In particolare, se t/> è un campo di Klein-Gordon, si ha V(t/>) = ( 112) μ2 tf> 2 e, usando l'e­
quazione del moto (D + μ 2)1/> =O, dalla [10.456] si ricava
èJμ)'i
i
= μ2tf>2.
[10.457]
Come si vede, la corrente di dilatazione}b non è conservata: il campo di Klein-Gordon
non è invariante per dilatazioni . Consideriamo ora la cosiddetta teoria tf>4 ,
[ 1 0.458]
L'equazione del moto del campo tf>è
[10.459]
Si verifica immediatamente che in questo caso }b è conservata:
èJμ)'i
i
=O.
[10.460]

10. 16 I Complementi
453
Il motivo per cui la teoria </>4 è invariante per dilatazioni è che la costante g che com­
pare nel suo potenziale è adimensionale (mentre la μ del campo di Klein-Gordon ha
dimensioni [lunghezzar 1 = [massa] 1 ).
10.16 .2 . in va rianza conforme
Una trasformazione conforme è una trasformazione non lineare delle coordinate
del tipo
I
x'μ =""§f(xμ-x2aμ),
dove le a μ sono costanti e
�=1 -2avx
v
+ a2x2
.
È facile verificare che si ha
[10.461]
[ 1 0.462]
[10.463]
e quindi la [10.461], come le dilatazioni [10.444] , lascia invariati gli intervalli di tipo
luce. Se le a μ sono infinitesime (le chiameremo allora Eμ ) , la [ 10.46 1] può essere
scritta come
x'μ=(xμ-x2Eμ)(l+2Evx") =xμ+2Evx
v
xμ - x2Eμ = xμ + (2xvxμ - x2gμ")Ev· [10.464]
Una trasformazione conforme infinitesima è dunque
Oxμ = (2xvxμ - x2gμ")Ev·
[10.465]
Assieme alle trasformazioni di Poincaré e alle dilatazioni (§ · 10. 16. 1), le trasforma­
zioni conformi costituiscono un gruppo di Lie a 15 parametri, detto gruppo conforme.
L'importanza di questo gruppo sta nel fatto che esso è un gruppo di simmetria dell'e­
lettromagnetismo (come osservarono Bateman e Cunningham nel 1909- 10): le equa­
zioni di Maxwell sono invarianti ri spetto alle trasformazioni del gruppo conforme, e
non solo rispetto alle trasformazioni di Poincaré . Questa proprietà è legata ali'assen­
za, nella Lagrangiana dell'elettromagnetismo, di qualunque scala dimensionale carat­
teri stica (i fo toni hanno massa nulla). L'invarianza conforme è tipica dei campi che si
propagano lungo linee di universo di tipo luce e delle particelle di massa nulla, mentre
non v,ale per parti celle di massa diversa da zero . È proprio questo che impedisce di
considerare l'invarianza conforme come la simmetria fo ndamentale dello spazio­
tempo, al posto dell 'invarianza di Poincaré .
10.16 .3. Lag rangiana elettromagnetica di Fe rm i e gauge di Lorentz
Nel § 10.10 abbiamo accennato al fatto che è possibile definire delle Lagrangiane
del campo elettromagnetico che realizzino direttamente un dato gauge covariante. Si
consideri , ad esempio, la cosiddetta Lagrangiana di Fermi
cof___
l_F μv__
l_1(::1 μ)2
cLem- 16n μvF
8nA
oμA ,
[10.466]

454
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
dove À è un parametro reale arbitrario. Si ha
à:i:m=__l
_
Fμv__l
_ À(ÒAP) μv
ààμA v
4n
4n
P,.g'
e l'equazione di Eulero-Lagrange
a
a::e:m =
o
μààμAv
fornisce
cioè, esprimendo Fμ v in termini di A μ ,
Applicando l'operatore di vergenza à v si trova, se
À-=f.O;
Con opportune condizioni al contorno su à
μ
A μ , la [10.471] implica
àμAμ=
O dappertutto ,
[10.467]
[10.468]
[10.469]
[10.470]
[10.471]
[10.472]
che è la condizione di gauge di Lorentz. La [10.470] si riduce quindi all'equazione di
Maxwell per A v nel gauge di Lorentz :
[10.473]
(cui si può giungere anche ponendo À = l nella [10.470]). La Lagrangiana [10.466]
non è invariante di gauge in senso generale (non può d' altronde esserlo, dal momento
che realizza uno specifico gauge). Essa tuttavia possiede un 'invarianza di gauge ri­
stretta a una particolare classe di trasformazioni. Si verifica subito, infatti, che se
effettuiamo una trasformazione di gauge del tipo
[10.474]
la [10.466] non cambia. Le [10.474] trasformano un potenziale soddisfacente il gauge
di Lorentz in un altro potenziale nello stesso gauge.
10.16 .4. Limiti su.una possibile violazione del! 'inva rianza di Loren tz
Per stabilire dei limiti sperimentali su una possibile violazione dell'invarianza di
Lorentz occorre innanzi tutto immaginare un modello specifico per tale violazione
(è ciò che abbiamo fatto nei §§ 3.8.6 e 4. 14.3). Un formalismo che permette di descri­
vere in maniera definita e consistente un'eventuale rottura della simmetria di Lorentz
è stato sviluppato da Haugan e Will.9 Essi ipotizzano che la velocità limite delle parti-
9 Si veda, ad esempio, M. P . Haugan e C.M. Will, in «Phys. Today », maggio 1987, p. 69.

10. 16 I Complementi
455
celle di massa non nulla, che chiameremo c 11
1
, sia diversa dalla velocità della luce c.m ,
e che l'azione di una particella carica in campo elettromagnetico abbia la fo rma
S=Jdt[-mc�JI-�:
-
e<p+
�
A·v]+-
1
Jdtfd3x[E2 - (
C
•
m
)2 B2] , [10.475]
Cm
Cm
8n
Cm
con
1òA
E=-Vcp--- B =VXA.
Cem Òt
'
[10.476]
Se C m = Cem > la [10.475] è invariante di Lorentz e si riduce all'azione consueta. Se, in­
vece, c m * c em , la [I0.475] viola l'invarianza relativistica e vale solo in un sistema di
riferimento pri vilegiato .
Poiché, secondo la [10.475], una particella di massa m ha un' energia a riposo E0 =
= mc� e un fotone di frequenza V ha un'energia Ey = hv= hc.m !À, una misura della
lunghezza d' onda À di fo toni emessi in una tran sizione in cui una massa !im si converte
in radiazione elettromagnetica fornisce una relazione sperimentale del tipo
[10.477]
e permette quindi di verificare l'uguaglianza c m = Cem · Facendo l'ipotesi che il sistema
di riferimento in cui si applica la [10.475] sia quello in cui il fo ndo cosmico di micro­
onde appare isotropo, Haugan e Will hanno ricavato da una serie di dati sperimentali
il limite
11-
Cm
I,;
;;
10-22.
Cem
[10.478]
Se non si fa alcuna assunzione sul si stema di riferimento privilegiato, il limite risulta
meno stringente 1 0
11-
�1,;
;:;
10-
s
.
Cem
[10.479]
Un altro possibile scenario di violazione dell'invarianza di Lorentz è stato studiato da
Carroll, Field e Jackiw. 11 Questi autori considerano una Lagrangiana elettromagnetica
modificata:
f;f,em=-
1
�n
FμJμv -
8
l
n
qμA Jiμv
,
[10.480]
dove q μ è un quadrivettore da specificare e Fμv è il tensore duale del campo, frμv =
= (1/2) cμvpaF
pa· Per una trasformazione di gauge A �=A μ
-
ÒμX, la [10.480] cambia
come
co
coi_co
_
I_ F-μv:-.
.;z,em�.;z,em-.;z,em+81r
qμ OvX·
[10.48 1]
10
G. L. Greene, M. S . Dewey, E. G . Kesslerjr. e E. Fischbach, in «Phys. Rev.», 044, 1991, p. R2216.
11
S.M . Carroll, G. B. Field e R. Jackiw, in «Phys. Rev.», 04 1, 1990, p. 1231.

456
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
Usando ò J;μ v =O il termine addizionale Ci.:;f,em può essere riscritto, a meno di una
quadridivergenza totale, come
[I0.482)
Affinché la [10.480] sia invariante di gauge, deve aversi quindi
[10.483]
cioè q
μ
deve essere un quadrivettore fi ssata . Dal momento che q
μ
individua una dire­
zione privilegiata dello spazio-tempo, la Lagrangiana [10.480) viola l'in varianza di
Lorentz. Ipotizzando che qμ = (q0 , q) sia di tipo tempo e chiamando μ il suo modulo,
[10.484)
si trova che, nel sistema di riferimento in cui qμ = (μ, 0), il termine della Lagrangiana
contenente q
μ
è
[10.485]
Le equazioni del moto che si ricavano dalla [10.480], con l'aggiunta del solito accop­
piamento con una corrente Jμ, sono
aFμv=4nr+qfμv
μ
μ
,
ovvero, in termini di E e B,
V · E+q·B =4np,
VXB+q0B-
ò
ò�-qXE=4nj.
[ 10.486)
[I0.487)
[10.488]
Esplorando ulteriormente le conseguenze fe nomenologiche dei termini contenenti qμ ,
si scopre che la relazione di dispersione tra la pulsazione w e il numero d'onda k risul­
ta essere, nell'ipotesi qμ = (μ, 0),
w2=k(k±μ),
[10.489)
dove i segni + e - corri spondono, rispettivamente, alla polarizzazione circolare de­
strorsa e sinistrorsa delle onde. Da dati sulla radiazione emessa da galassie lontane è
possibile ricavare un limite superiore molto stringente su μ,
μ""
"
10-42 GeV,
[10.490)
cioè su un'eventuale violazione dell'in varianza di Lorentz descritta dalla Lagrangiana
[10.480) .

10. 16 I Complementi
457
10.16 .5. 1fluidi perfetti re lativistici
In questo paragrafo usciremo dall'ambito vero e proprio della teoria dei campi per
entrare in quello - strettamente imparentato - della meccanica dei continui . Il nostro
scopo sarà di descrivere le proprietà e le leggi di conservazione di unfluido perfe tto
(relativistico). Con questo termine si indica un fl uido privo di viscosità e in cui non ci
sia conduzione di calore . Consideriamo un sistema di riferimento comobile 'Jf c, soli­
dale istantaneamente con un generico punto P del fluido, e scriviamo il tensore cano­
nico 9 μ v in 'Jlc · Dal momento che non c'è conduzione di calore, il fl usso di energia è
necessariamente associato a un fl usso di particelle, che nel sistema di riposo istanta­
neo 'Jlc è evidentemente nullo. Si ha quindi 0;o = 0°; =O(vedi § 10.5). L' assenza di
viscosità (ossia di fo rze parallele alle interfac ce tra le varie porzioni del fluido) impli­
ca che il tensore degli sforzi 9ii sia diagonale. Poiché ciò deve verificarsi in tutti i ri­
fe rimenti comobili, 9ii dovrà essere un multiplo dell'identità: 9ii = poii, dove p è la
pressione del fl uido (si ricordi che 9ii è la componente j della fo rza per unità di area
su una superficie perpendicolare ali ' asse j). Infine, 0 °0 è la densità di energia totale
del fl uido: 0 °0 = p . Riassumendo, il tensore di energia-momento di un fl uido perfetto
in un sistema di riferimento comobile è
0μv=[6���]
oopo,
ooop
[10.491]
In un sistema di riferimento generico, il tensore 9 μ v ha la fo rma ( uμ è laquadrive­
locità locale)
[10.492]
che si riduce alla [10.49 l] in 'Jl c, cioè quando u μ =:o ( 1, 0). Nel caso di unfluido incoe­
re nte, la pressione è nulla e la [10.492] diventa 9 μ v=puμ uv. Questa espressione è
analoga alla [ 10.358] (un fl uido incoerente, infatti, non è nient' altro che polvere, cioè
un semplice insieme di particelle).
Veniamo ora alle leggi di conservazione dei fl uidi perfetti . Detta n la densità di
particelle in un sistema di riferimento comobile, l'equazione di continuità che espri­
me la conservazione del numero di particelle è
[10.493]
dove j μ = nuμ è la densità di corrente delle particelle. La legge di conservazione del­
l'energia-momento è
[ 1 0.494]
Sostituendo in questa equazione la [10.492] ed evidenziando la densità di particelle,
si trova
[10.495]

458
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
da cui, usando la [10. 493],
nu
μ
uvaμ(p:p)+uμ
(p+p)ÒμUv
-
avp =O,
ovvero, dal momento che u
μ
Òμ = d/ds,
d (p+p
) duv
nuv- -- +(p+p)-
-Òvp=O,
ds
n
ds
[10.496]
[ 10. 497]
che è la forma covariante esplicita della legge di conservazione dell'energia-momento.
Se moltiplichiamo la [10.497] per u v, ricordando che u vu
v
= I, otteniamo dopo
qualche passaggio elementare
dp-
p+p
dn =O.
n
[ 10. 498]
In base alla prima legge della termodi namica, la quantità al primo membro è uguale al
calore assorbito da un elemento infinitesimo di fl uido. La [10. 498] ci dice quindi che
all'interno del fluido non vi è trasporto di calore (come ipotizzato sin dall'inizio).
Prendendo le componenti spaziali della [ 10. 497] nel sistema di riferimento como­
bile 'X
c
(in cui u
μ
= y(l, v) � (1,0) e ds = dt, c6n e=1), si ottiene un'altra interes­
sante relazione :
[10. 499]
Questa è l'equazione del moto di un elemento del fluido ( - Vp è la forza). Il fatto di
aver ricavato la [10. 499] dalla legge di conservazione dell'energia non deve sorpren­
dere, giacché, come si è detto , il trasporto di energia all 'in terno di un fl uido perfetto è
legato al trasporto di materia. La [10. 499) mostra che nel caso relativistico la combi­
nazione p + p svolge il ruolo di «densità di massa inerziale» del fl uido.
Problemi
l. Lag rang iana c ontenente le derivate seconde del c ampo
Derivare l' equ azione di Eulero-Lagrange per una Lagrangiana della fo rma 5i(<p, d μ <p,
dμ d v <f>) , contenente anche le deri vate seconde del campo <p.
Risp osta :
2. Correnti di No ether e superpotenziali
Sia/' una corrente di Noether conservata. Si effettui la ridefinizione

Problemi
459
dove il superpotenziale Xpμ è un tensore antisimmetri co, Xpμ = - Xμp. Dimostrare che)'μ è con­
serv ata e che le cariche associate ajμ ej'μ sono le stesse.
3. Trasformazione di Lorentz di un c ampo di Dirac
Usando
si mostri che i generatori [I0. 1 72] soddi sfano le relazioni di commutazione [I0. 164 ].
4. Sp in di un c ampo vettoriale
Mostrare che lo spin S di un campo vettori ale <pi' è
S=Jd3x(1t'X'f'),
dove i � sono i campi canonicamente coniugati ai q/.
5. Lag rang iana dipendente da x μ
Si consideri la Lagrangiana
I
::E=2dμl/>dμI/> +gx21f>,
[10.500]
dove lf>(x) è un campo scal are e g è una costante. Costruire il tensore canonico e μ v e la corrente
di Lorentz M"P", e verificare che e μ v non è conservato, mentre M"P" è conservata. Come si
spiegano questi risultati ?
6. Ca ri ca di un campo di Kle in-Gordon
Verificare che la carica di gauge
Q =iJ d3x(lf>�* - I/>*�)
di un campo di Klein-Gordon complesso è data
Q=Jd3klIb(k)I2 - IaCk>i2L
dove a(k) e b(k) sono i modi del campo.
7. Funzione di Green de ll 'operatore di Klein-Gordon
Ricavare la fu nzione di Green ritardata GR(x - x') dell' operatore di Klein-Gordon D + μ 2 •
Suggerimento. Si ricavi innanzi tutto :
GR(x-x') = -
B(
x;n�;' 0)
d
�Idk ! cos kRsin m(x0 - x'0),
conR==lx-x
'
I.L'integrale è
12
jdk�coskR sin m(x0 - x'0) = �J0(μY(x - x')2)8(x0 - x'0
-
R),
o
m
12
I. S. Gradshteyn e I. M . Ryzhik, Table of lntegrals, Series and Products, Academic Press, San Diego
(CA) 1980, p . 472, integrale 3.876( I).

460
Teoria relativistica dei campi I Cap. IO
dove J
0
(z) è una fu nzione di Besse) del primo tipo. Altre fo rmule utili sono:
d
dzlo(z) = - J,(z), 8(x0 - x'0)8[(x- x')2] =8(x0 - x'0)8(x0 -x'0 - R).
Risposta :
GR(x-x' ) = O(x0
2
-x'0) { o[(x -x' )2] -
μ
8 [(x-x')2]J1(μ \l(x -x' )2)} ,
n
2Y(x-x' )2
8. Te nsore di energia-momento di un campo scalar e
Sia E>μ v il tensore canonico di un campo scalare lji(x). Si consideri il tensore modificato 1 3
E>�V = E>μv+a(dμdV- gμv0)1/12,
con a costante.
•
Mostrare che, se E>μ v è conservato, anche E>�v lo è, e le cariche associate a E>μ v e E>�v sono le
stesse.
•
Determinare a in modo tale che la traccia di E>�v sia nulla per la teoria l/J4 , descri tta dalla
Lagrangiana
9. Fo rmalismo delprimo ordine per la Lagrangiana elettromagnetica
Si consideri la Lagrangiana
(1) --_I_
μv_I_-,
,
μV-avμ
'"'-em -
1611:
FμvF + Sn
Fμv(a A
A),
[10.50 1)
dove A μ e Fμ v sono intesi come campi indipendenti . Verificare che le equazioni di Eulero-La­
grange per questi campi sono, rispettivamente,
dμFμv=O e Fμv=élμAv-avAμ.
10. Equazioni canoniche del campo elettromagnetico
Ricavare dalla densità di Hamiltoniana [10.303] le equazioni canoniche del moto per il
campo elettromagnetico.
I 1. In varianza di dualità dell 'elettromagnetismo
Si consideri la seguente trasformazione dei potenziali elettromagnetici
8<p(x,t)=O, 8A(x,t)=
-
[VXZ(x, t)]iJ,
dove iJ è un parametro infi nitesimo e Z(x , t) soddisfa le condizioni
_!_az
=A
cdt
'
1 a2z
VX(VxZ)+2--:;-y= - V<p.
eat
13 C. G. Callan jr., S. Coleman e R. Jackiw, in «Ann. Phys. (NY)», 59, 1970, p. 42.
[10.502]

Problemi
461
Mostrare che le trasformazioni corri spondenti dei campi E e B sono le tra sform azioni di dualità
[8.298], con iJ infinitesimo, cioè
{E' =E+B iJ
B' =B-E iJ.
[10.503]
Verificare che la Lagrangiana del campo elettromagnetico è invariante ri spetto alle [10.503], a
meno di una qu adridiverg enza. Qual è la costante del moto associata a questa simmetria?
Risposta. La costante del moto associata ali ' invarianza di dualità è
Questa quantità è legata alla differenza tra il numero dei modi del campo con polarizzazione
circolare destrorsa e il numero dei modi con polarizzazione circolare sinistrorsa. 1 4
12. Lagrangiana di Proca
La Lagrangiana di Proca
CPP ___J_FμvF _I_ 2 μ
""em -
16n
μv
+
8nμAA
μ
descrive il campo elettromagnetico nell'ipotesi che i fo toni abbiano massa μ diversa da zero .
L' equazione del moto corri spondente è l'equazione di Proca [9.364] . Costruire il tensore cano­
nico eμv e il tensore simmetri z zato di energia-momento Tμ v. La trac cia di Tμ v è nulla come nel
caso dell'elettromagnetismo ordi nari o?
13. Lagrangiana di Ch ern-Simons
Nello spazio di Minkowski (2 + I )-dimensionale, il duale del campo elettromagnetico Fμv è
un quadri vettore,
-
I
Fμ=-eμvpF
2
VP'
dove eμ vp è il tensore completamente antisimmetrico di Le vi-Civita in 2 + I dimensioni. Me­
diante Fμ si costruisce l'invariante lorentziano A
μ
Fμ = EμvpA
μ
dvA
p
· La Lagrangiana di Chern­
Simons 15 è proporzionale a questo invariante
co_�μvp'.'.\
""CS- 2
EA
μ
uv
Ap
,
[10.504]
con Kcostante . Mostrare che il sistema descritto dalla [I0.504 ] è invariante di gauge (5fcs cam­
bia per una quadridivergenza) . Se introduciamo un' i nterazione con una corrente l
μ
, la Lagran­
giana diventa
[10.505 ]
Scri vere le «equazioni del moto» corri spondenti, fac endo vedere che esse legano direttamente i
campi alle sorgenti . Calcolare la densità della quadrifo rza di Lorentzf' = J
p
Fvp _
14 Cfr. M. G. Calkin, in «Am. J. Phys.», 33, 1965, p. 958.
15 R. Jackiw e S. Templeton, in «Phys . Rev.», 023, 1981, p. 2291.

462
Teoria relativistica dei campi I Cap. 10
14. In varianza c onforme dell 'elettromag netismo
Si mostri che l'azione del campo el ettromag netico è invariante rispetto alle trasformazi oni
conformi
15. Un 'altra Lag rang iana elettromag netica
Mostrare che la Lagrangiana
w•--_I
_
:.A:.μAv
""em - 8nOμ vO
[10.506]
è equivalente alla [10.466] con À = 1 , se vale la condizione di gauge di Lorentz d
μ
Aμ=O.
Suggerimento . Se d
μ
A μ = O , le due Lagrangiane differi scono per una qu adridi vergenza.

Capitolo 11
Introduzione alla relatività generale
La teoria speciale della relati vità ha due limitazioni: innanzi tutto, privilegia una
classe parti colare di sistemi di riferimento, quelli inerziali (ai quali soltanto si applica
il principio di relatività ristretta) ; in secondo luogo, non descrive i fe nomeni gravi­
tazionali. Viene naturale pensare a un' estensione della teoria che, da un lato, non
discrimini tra osserv atori inerziali e osservatori accelerati , dall'altro, incorpori la gra­
vitazione. Ci vollero circa dieci anni, dal 1905 al I 916, perché Einstein portasse a
compimento questo programma, elaborando la teoria generale della relatività .
'
Le due limitazioni della relatività speciale di cui si è detto sono in realtà collegate :
non è possibile, infatti , descrivere gli effetti della gravità senza prendere in considera­
zione dei sistemi di riferimento non inerziali. Uno dei punti di partenza della teoria
generale è proprio la relazione tra inerzia e gravitazione, in particolare l'uguaglianza
tra massa inerziale e massa gravitazionale, che fa sì che tutti i corpi cadano con la
stessa ac celerazione. Come fa notare Einstein, questa uguaglianza - confermata da
esperimenti di grande precisione - è, nella fi sica newtoniana, un da to difa tto , privo di
giustificazione teorica. La relatività generale si propone invece di sp iega re l'equiva­
lenza di inerzia e gravitazione, unificando i due concetti .
L' altro elemento fo ndamentale alla base della teoria del 1916 è una nuova conce­
zione del rapporto tra geometria e fi sica, che supera lidea tradizionale dello spazio­
tempo come qualcosa di separato da ogni contenuto fi sico. Secondo Einstein, è impen­
sabile che lo spazio agisca sugli oggetti (come fa lo sp atium absolutum di Newton)
senza che gli oggetti , a loro volta, agiscano sullo spazio. Ne consegue che lo spazio­
tempo deve avere una dinamica, descritta da un campo - il tensore metrico g
μv(x) -
che interagisce con le distribuzioni di materia e di energia. La gravità si manifesta al­
lora geometricamente come curvatura dello spazio-tempo.
Uguaglianza di mas sa inerziale e massa gravitazionale, equivalenza tra osservatori
accelerati e osservatori soggetti a campi gravitazionali, metrica come campo fi sico,
1 A. Einstein, Die Grundlagen der allgemeinen Relativitdtstheorie, in «Annalen der Physik», 49, 1916,
p. 769 ; trad. it. in A. Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Bollati Boringhieri, Torino 1988, pp. 282-343 .

464
Introduzione alla relatività generale I Cap . 11
gravità come curvatura dello spazio-tempo: questi , a grandi linee, gli ingredienti della
teoria generale della relatività. Ancora una volta emerge il genio unificante di Einstein:
la teoria generale dello spazio-tempo e la teo ria della gravitazione sono la stessa teoria .
In questo capitolo ci limiteremo a presentare i ri sultati basilari della relatività ge­
nerale, omettendo dettagli e derivazioni rigorose. Per una trattazione esauriente del­
l'argomento rimandiamo ai testi citati in Bibliografia.
11.1 . Il principio di equivalenza
Nella sua fo rma «debole», il principio di eq uivalenza affe rma che - a meno di
un'eventuale costante di proporzionalità, vedi sotto - la massa gravitazionale m g di un
corpo e la sua massa inerziale m; sono uguali. Questo principio trae origine dall'osser­
vazione (dovuta a Galilei) che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione. La
legge di Newton per un corpo di massa inerziale m; è, in modulo,
F=m; a.
[1 1.1)
La fo rza gravitazionale cui è soggetto il corpo sulla superficie della Terra è
F=G
MffJm g
R�,
[1 1.2)
dove MffJ è la massa della Terra, R ffJ il suo raggio e G è la costante di gravitazione di
Ne wton. Uguagliando la [ 11. l] e la [ 11.2) si trova
-
G
MffJ mg
a-
Rz
.
ffJm;
[11.3)
Il fatto che l'accelerazione di caduta libera a sia la stessa per tutti i corpi significa che
mg
=costante universale.
m;
Con una ridefinizione di G si può fare in modo che sia
che è il contenuto del principio di eq uivalenza debole.
[1 1.4)
[11.5]
L' uguaglianza di massa gravitazionale e massa inerziale fu verificata accurata­
mente alla fi ne dell'Ottocento da Roland von Eèitvèis a Budapest (con una precisione,
forse sovrastimata, di cinque parti su un miliardo) e, in anni più vicini a noi, dal grup­
po di Dicke2 a Pri nceton (1964) e da Braginsky e Panov3 a Mosca ( 1972), con una pre­
cisione di meno di una parte su 101 2 (misure più recenti4 hanno raggiunto un livello di
precisione di quattro parti su 101 3 ).
2 P.G. Roll, R. Krotkov e R. H. Dicke, in «Ann. Phys. (NY)», 26, 1964, p. 442 .
3 V. B. Braginsky e V. I. Panov, in «Sov. Phys. JETP», 34, I 972, p. 463.
4 S. Baessler e altri (Eèit-Wash Collaboration), in «Phys. Rev. Lett.», 83, 1999, p. 3585. Per una rasse­
gna dei test sperimentali della relatività generale, si veda C. M . Will, The confro ntation between generai
re/ativity and experiment, preprint gr-qc/O I 03036, disponibile su http ://arxiv.org/archive/gr-qc.

11. 1 I li principio di equivalenza
465
I risultati degli esperimenti alla Eotvos (cioè con bilance di torsione) mostrano che
le interazioni elettromagnetiche e nucleari (quelle che tengono assieme i corpi su cui
si effettuano gli esperimenti di laboratorio) contribuiscono in modo uguale alla massa
inerziale e alla massa gravitazionale. Per vedere se ciò è vero anche per l'in terazione
gravitazionale, bisogna realizzare una sorta di esperimento di Eotvos planetario, usan­
do corpi celesti (che sono sistemi legati essenzialmente dalla fo rza gravitazionale). Se
l'in terazione gravitazionale contribuisse in maniera diversa a m g e m; (il cosiddetto
effe tto Nordtvedt), la Terra e la Luna, ad esempio, dovrebbero avere accelerazioni or­
bitali differenti attorno al Sole, il che produrrebbe un'elongazione dell'orbita lunare
nella direzione Terra- Sole. Per verificare questa possibilità si misurano i tempi di per­
correnza di segnali laser inviati da laboratori terrestri verso la Luna e rimandati indie­
tro da riflettori collocati sulla superficie lunare dalle missioni Apollo.5 Le analisi dei
dati fi nora raccolti non hanno fo rnito alcuna evidenza a fa vore dell'effetto Nordvedt e
permettono di escludere con elevata precisione (cinque parti su 101 3 ) eventuali diffe­
renze tra mas sa inerziale e massa gravitazionale della Terra e della Luna.
Dal principio di equivalenza debole consegue che la forza gravitazionale, a differen­
za di tutte le altre forze fondamentali, è proporzionale alla massa inerziale dei corpi. In
ciò essa è simile alle forze inerziali che agiscono nei si stemi di riferimento accelerati.
Questa somiglianza, che nell' ambito della fi sica newtoniana appare accidentale, ha, in
realtà, un profondo significato fi sico. Per illustrarlo, consideriamo, seguendo Einstein,
un ascensore ideale, cioè una cabina chiusa che occupa una regione finita dello spazio­
tempo, nella quale un osservatore compie degli esperimenti. È facile convincersi che, in
virtù del principio di equivalenza debole, non è possibile evidenziare la presenza di
un campo gravitazionale esterno, statico e omogeneo, trovandosi dentro un ascensore in
caduta libera sotto l' azione di questo campo (fig. 11. la). Dal momento, infatti, che tutti
i corpi ali'interno dell'ascensore - compreso l'os servatore - sono soggetti alla stessa
accelerazione, l'os servatore non rileva coi suoi esperimenti alcuna forza gravitazionale.
· La situazione è quindi indistinguibile da quella in cui l'ascensore è lontano da ogni in­
fl uenza gravitazionale e non è soggetto ad accelerazioni (fig. 11. l b) .
Nell'esempio appena illustrato una fo rza inerziale annulla, in una regione fi nita di
spazio, la forza di gravità. Un semplice calcolo può aiutare a comprendere meglio
questo effetto . Se un corpo di massa m è soggetto a un campo gravitazionale omoge­
neo e statico g, la sua equazione del moto, in un dato sistema di riferimento inerziale,
è(conmg=m;=m)
d2x
m
dt2 =mg.
[11.6]
Mediante una trasformazione di coordi nate (non-galileiana)
1
x'
=x--at2 t'=t,
2'
[11.7]
5 Si tratta del cosiddetto lunar laser ranging experiment: vedi J. O. Dickey e altri, in «Science», 265,
1994, p. 482.

466
IIIIIII
a=g l
Te rra
(a)
Figura 11.1
Introduzione alla relatività generale I Cap. I I
Spazio vuoto
(b)
(a) Ascensore in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre (supposto omogeneo). (b) Ascen­
sore libero nello spazio vuoto.
con a=g , possiamo passare a un sistema di riferimento accelerato, nel quale la [ 11. 6)
diventa
[11.8)
La forza di gravità Fg =mg è stata cancellata da una forza inerziale F; = - mg. Ciò è
possibile in virtù dell'uguaglianza di massa inerziale e massa gravitazi onale. Se avessi­
mo m; al primo membro della [1 1.6) e mg al secondo membro, e m; fo sse diversa da mg,
non potremmo ottenere la [11.8).
C'è un importante punto da notare . Se il campo gravitazionale non fo sse omogeneo
e statico, cioè se nella [ 11. 6) g dipendesse da x et, non riusciremmo a eliminarlo con
una trasformazione di coordinate . In generale, quindi, la cancellazione della forza
gravitazionale a opera di una forza inerziale fu nziona solo localmente , cioè in regioni
spazio-temporali così piccole che ogni variazione del campo possa essere trascurata.
Se il campo gravitazionale non è omogeneo, un' accelerazione globale non può annul­
larlo completamente e rimangono delle forze residue di marea.
Consideriamo ora le due situazioni rappresentate in fi gura 11.2a, b. Se un razzo è
in movimento nello spazio vuoto con un' accelerazione a= - g, i corpi al suo interno
hanno un' accelerazione, ri spetto alle pareti , uguale a g (fig. l I .2a). Un osservatore
posto dentro il razzo non riuscirebbe quindi a distinguere questa situazione da quella
in cui il razzo è fe rmo a terra e soggetto al campo gravitazionale terrestre (fig. 1 l .2b).
In questo caso, una fo rza inerziale (nel razzo accelerato) simula la forza di gravità
(nel razzo a terra) .
'
Gli esperimenti concettuali che abbiamo illustrato mostrano come, in una regione
limitata dello spazio-tempo, la fo rza gravitazionale sia indistinguibile da una forza
inerziale e possa quindi essere cancellata (o simulata) da questa. Mediante un'oppor-

I 1.2 I Applicazioni del principio di equivalenza
467
a=-
gi
IIIIIII
Spazio vuoto
Te rra
(a)
(b)
Figura 11.2
(a) Razzo in moto accelerato nello spazio vuoto. (b) Razzo fermo e soggetto al campo gravitazionale
terrestre.
tuna scelta delle coordinate si può fare in modo che gli effetti del campo gravitaziona­
le siano annullati localmente e il sistema di riferimento appaia quindi inerziale (si
pensi ali'ascensore in caduta libera) . Einstein elevò queste osservazioni a postulato
della fi sica e diede loro un contenuto matematico rigoroso, enunciando il principio di
equivalenza forte . 6 Questo principio stabilisce che, per ogni evento dello spazio-tempo,
è sempre possibile scegliere un sistema di coordinate localmente inerziali, cioè tali
che, in un intorno sufficientemente piccolo del!' evento, le leggi della fi sica abbiano
la stessa forma che hanno in un sistema di riferimento inerziale, cioè obbediscano alla
relatività speciale. In altri termini, l'esito di qualunque esperimento locale non dipen­
de dalla velocità del sistema di riferi mento in caduta libera in cui esso viene compiuto
(si parla, in questo senso, di in varianza di Lorentz locale).
11.2. Applicazioni del principio di equivalenza
L'importanza pratica del principio di equivalenza sta nel fatto che esso permette di
predire gli effetti di un campo gravitazionale omogeneo anche se non si possiede una
teoria della gravitazione.7 Basta sostituire il sistema di riferimento in cui agisce il
campo gravitazionale con un sistema accelerato equivalente, e calcolare, in questo si­
stema, gli effetti delle fo rze inerziali. Mostreremo ora come si possano prevedere
qualitativamente, facendo uso del principio di equivalenza, due importanti fe nome­
ni gravitazionali: la deflessione della luce e lo spostamento verso il rosso.
6 Nella letteratura spec ialistica si usa distinguere tra un «principio di equivalenza di Einstein» e un
«principio di equivalenza forte». Per i nostri scopi tale distinzione può essere ignorata. L'argomento è
discusso ampiamente in T. Regge e G. Peruzzi, Spazio, tempo e universo, UTET Libreria, Torino 2003 .
7 Si veda, ad esempio, D. W . Sciama, La relatività generale, Zanichelli, Bologna 1979.

468
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
La deflessione della luce
In un sistema di riferimento accelerato i raggi luminosi sono deflessi per effetto
delle fo rze inerziali. Consideriamo ad esempio una piattaforma rotante . Se dal centro
si invia un raggio luminoso verso il bordo, la traiettoria della luce ri sulta incurvata ri­
spetto alla piattaforma, a causa della forza di Coriolis. La deflessione della luce può
dunque rivelare la rotazione del sistema di riferimento. Questo fe nomeno fu eviden­
ziato per la prima volta nel 1913 da Sagnac, mediante un interferometro del tipo di
Michelson-Morley montato su una piattaforma rotante . Il fu nzionamento del disposi­
tivo è semplice: un raggio luminoso segue il verso di rotazione della piattaforma, l'al­
tro si muove in senso opposto ; alla fi ne, i due raggi vengono fatti interferire . Si osserva­
no così delle frange di interferenza (la cui posizione dipende dalla velocità angolare
della piattaforma) che segnalano il fatto che la velocità della luce rispetto ali'appa­
rato rotante è diversa per i due raggi. In una variante di questo esperimento, dovuta a
Michelson e Gaie ( 1925), si usa come sistema di riferimento rotante la Terra. L' appa­
rato interferometrico di Michelson e Gaie rivela la rotazione terrestre con mezzi ottici
e può dunque considerarsi l'analogo ottico del pendolo di Foucault.
Poiché le fo rze inerziali incurvano le traiettorie dei raggi luminosi e, per il princi­
pio di equivalenza, gli effetti della gravità sono localmente indistinguibili da quelli
delle fo rze inerziali, dobbiamo aspettarci che anche i campi gravitazionali deflettano
la luce. Si consideri una cabina-laboratorio in caduta libera nel campo gravitazionale
terrestre, che supporremo omogeneo (fig. 11. 3). Il principio di equivalenza stabilisce
che, ali'interno della cabina, un osservatore vede un raggio di 1 uce propagarsi secon­
do le leggi della relatività speciale, cioè in linea retta (fig. l l .3a). Rispetto al sistema
di riferimento della Terra, la cabina ha un' accelerazione g diretta verso il basso. Per
un osservatore esterno, la luce ha la stessa accelerazione e la sua traiettoria risulta
i1-
--
--
-1o-
--
-1
i
d
d
t
t
(a)
Figura 11.3
id
t
ig
(b)
Il principio di equivalenza predice la deflessione della luce. (a) Percorso rettilineo di un raggio
luminoso per un osservatore all' interno di una cabina in caduta libera. (b) Percorso curvilineo del
raggio luminoso per un osservatore esterno.

I 1.2 I Applicazioni del principio di equivalenza
469
perciò curva (fig. l l . 3b). L'effe tto in prossimità della Terra è molto piccolo (dopo
aver percorso 1 Km in orizzontale la luce è deflessa di appena 10- t o m) e occorre per­
ciò ricorrere a misure astronomiche per evidenziarlo. Nel § 11.14 calcoleremo detta­
gliatamente l'entità della deflessione gravitazionale dei raggi luminosi.
Lo sp ostamento verso il rosso
La relati vità generale prevede che la luce, risalendo un campo gravitazionale, perda
energia e conseguentemente diminuisca di fr equenza (spostamento verso il rosso). Al
contrario, scendendo lungo un campo gravitazionale, la luce acquista energia e au­
menta di frequenza (spostamento verso il blu). La situazione è analoga a quella di un
corpo che, muovendosi verso l'alto o verso il basso nel campo gravitazionale terre­
stre , rispetti vamente perde o acquista velocità ed energia cinetica. L'effetto (noto ge­
nericamente come sp ostamento gravitazionale verso il rosso, in inglese gravitational
redshift ), può essere illustrato in maniera elementare facendo ricorso all'ascensore di
Einstein e al principio di equivalenza.
Supponiamo che in una cabina-laboratorio soggetta al campo gravitazionale terre­
stre una sorgente luminosa posta a un' altezza hA emetta un raggio di luce di frequenza
VA diretto verso il basso (fig. 11. 4 ). Vogliamo calcolare la frequenza Vs misurata da
un rivelatore posto ad altezza h s, dopo un dislivello d = hA - h s . In virtù del principio
di equivalenza, l'effetto della gravità può essere eliminato immaginando che, nell'i­
stante in cui la luce viene emessa, la cabina sia lanciata verso l'alto con un'accelera­
zione a= - g . In questo caso, il rivelatore va incontro al raggio luminoso con una ve­
locità v = gt, che nel momento in cui arri va il raggio vale v = gd/c. A causa dell'effetto
Doppler la fr equenza della luce misurata dal rivelatore è (considerando solo la corre­
zione al primo ordine, vedi [3. 84])
Vs=VA(1+�)= v,(1+�n.
[11.9]
Figura 11.4
Il principio di equivalenza predice il redshift gravita­
zionale.

470
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
Nel percorrere il dislivello d laluce haquindi subito una variazione di frequenza
Z=:Va-VA=g�.
VA
C
[11.10)
In termini di lunghezza d' onda, ciò equivale a uno spostamento verso il blu, ossia
verso lunghezze d'onda più corte (se, invece, la luce viaggiasse dal basso verso l'alto,
la sua lunghezza d'onda sarebbe spostata verso il rosso). Torneremo sul redshift gra­
vitazionale nel § 11.10.
11.3 . Relatività speciale e gravitazione
Abbiamo più volte sottolineato l'impossibilità di descrivere la gravitazione me­
diante la relati vità speciale. Nell' ambito della meccanica newtoniana, la gravità è
retta dalle leggi
d2x
dt2
= - V<l>(x),
[11.11 )
V2<1>(x) = 4nGp(x),
[11.12)
dove <I> è il potenziale gravitazionale e p è la densità di massa . Il campo gravitazio­
nalegèlegato a<I> da
g=-V<I>,
[1 1.13)
e lafo rza di gravità F8 su un corpo di massa (gravitazionale) m è
F8=mg= -mV<I>.
[11.14)
Le equazioni [ 11.11, 11.12) non sono evidentemente Lorentz-invarianti . La seconda di
esse (I'equazione di Poi sson) implica tra l'altro che il potenziale <I> dipenda istantanea­
mente dalla densità di massa p, cioè che l'interazione gravitazionale si propaghi a velo­
cità infinita. Le [ 11.1 1, 11. 12) sono dunque incompatibili con la relatività speciale.
Sin dal 1912, con Nordstr0m e Abraham, ci sono stati vari tentativi di generalizza­
re le leggi newtoniane della gravità in modo da poterle incorporare in uno schema re­
lativistico. L'idea più semplice consiste nell'introdurre un potenziale scalare di Lo­
rentz <l>(x) , governato dall' equazione
D <l>(x) = - 4nGp(x).
[11.15)
Altre teorie, più complicate, introducono potenziali vettoriali e tensoriali. Tutte le
teorie della gravitazione basate sulla relatività speciale, cioè sullo spazio-tempo piatto
di Minkowski, risultano però affette da difficoltà formali e/o sono in disaccordo con
le osservazioni. Come dimostra il successo della relatività generale, per costruire una
I

11.4 I Spazi curvi
471
teoria della gravitazione pienamente consistente e in accordo con i dati , bisogna usci­
re dall'ambito della relatività ristretta e ipotizzare che lo spazio-tempo sia curvo.
Vale la pena sottolineare, a questo proposito, che il vero discrimine tra relatività spe­
ciale e relatività generale sta proprio nella curvatura dello spazio-tempo. È possibile
applicare la teoria speciale ogniqualvolta gli effetti della curvatura siano trascurabili.
Non bisogna pensare che la descri zione degli osservatori accelerati siauna prerog ativa soltanto
della teoria generale. Se è vero, infatti , che il principio di relatività ristretto vale esclusivamen­
te per i si stemi di riferimento inerziali, è anche vero che, qualora gli effetti di curvatura dello
spazio-tempo siano trascurabili, i sistemi accelerati possono essere trattati in relatività speciale
nello stesso modo in cui sono trattati in meccanica newtoniana, cioè introducendo delle forze
fi ttizie. Un osserv atore accelerato può predire, usando la relatività speciale e tenendo conto
delle forze inerziali, i ri sultati di esperimenti che egli compie in un suo intorno spazio-tempora­
le di dimensione d, purché questo intorno sia sufficientemente piccolo. In particolare, deve
aversi
c2
d«-
a'
[11.16]
dove a è l'accelerazione . La [ 11.16] garantisce che le correzioni dovute alla curvatura dello
spazio-tempo - cioè le correzioni di re latività generale - siano piccole (il loro ordine di gran ­
dezza è ad/c 2 ). Se a è l'accelerazione di gravità terrestre, la [1 1.16] dà
d<< 1016 m,
[1 1 .17]
che, come si vede, non è una condizione molto restrittiva.
11.4 . Spazi curvi
Come si è detto , la relati vità generale introduce un importante elemento di novità
nella concezione fi sica del mondo : l'idea di uno spazio-tempo curvo. Secondo la teoria
einstei niana, una distribuzione di materia ed energia incurva lo spazio-tempo, generan­
do così un campo gravitazionale, secondo una legge che verrà presentata nel § 11.1 1.
Per introdurre il concetto di curvatura di uno spazio8 consideriamo il caso di una su­
perficie bidimensionale, ad esempio una sfera. La curvatura K di una sfera di raggio R è
1
K=
Rf·
[11 .18]
Questa form ula corri sponde all'idea intuitiva che una superficie sferica è tanto più
curva quanto più piccolo è il suo raggio. Nella [1 1.18], K è messa in relazione con un
parametro, R , che ha significato solo immergendo la sfera nello spazio euclideo tridi­
mensionale. Per ottenere una definizione intrinseca della curvatura, che fac cia riferi­
mento solo a quantità definite sulla superficie in questione, senza immersioni in uno
spazio di dimensione superiore, cominciamo col notare che l'area A di un triangolo
8 A voler essere precisi, dovremmo parl are di «Varietà» (in inglese, manifold), piuttosto che - alquanto ge­
nericamente - di «spazio». Non avendo però pretese di rigore formale, useremo i due termini come sinonimi.

472
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
sferico (un tri angolo costituito da archi di cerchio massimo) di angoli a l > a2 , a3 è
data da
A=(a1+az+a3-n)R2.
Riscritta come
[1 1.19]
questa espressione riproduce, nel limite di superficie piana (R -1 =), il familiare teore­
ma della geometria euclidea secondo cui la somma degli angoli interni di un triangolo
vale n. Alla luce della [ 11. 19], possiamo ridefinire la curvatura K di una sfera come
K=
a1+az+a
3
-
n
A
,
[11.20]
senza più alcuna dipendenza dal raggio R. Mediante la [1 1.20] si può ricavare il valo­
re diKapartiredaunamisuradegliangoli a1, a2, a
3
e del!'area A di un triangolo sfe­
rico, che sono tutti parametri intrinseci.
Nel caso della sfera la curvatura K è costante (cioè non dipende dal punto in cui la si
calcola) e positiva. Le altre superfici a curvatura costante, cui si applica la [ 1 1.20], sono
il piano, che ha curvatura nulla, e la pseudosfera, che ha curvatura negativa (su que­
st'ul tima superficie la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di n).
La [11 .20] può essere facilmente estesa al caso di una superficie generica I: di cur­
vatura non costante . Dato un punto P di coordinate x su I:, si prendano tre punti vicini,
P1,P
2
e P3, e si costruiscano gli archi di curva più brevi (le cosiddette geodetiche) che
congiungono a coppie questi punti, in modo da fo rmare un triangolo che contenga P.
Se a l > a2 e a3 sono gli angoli di questo triangolo e A è la sua area, la curvatura di I:
nel punto P è definita come
[11.21]
Un'importante formula dovuta a Gauss permette di esprimere la curvatura K di un
generico spazio bidimensionale I: in fu nzione degli elementi del suo tensore metrico
g ij(x) . Ricordiamo che la distanza ds tra due punti infinitesimamente vicini di uno
spazio di Riemann N- dimensionale è data, in un generico sistema di coordinate x; (i = 1,
2, ..., N), da
[11.22]
dove g ;/x) è il tensore metrico dello spazio. Nel caso specifico di una superficie bidi­
mensionale I: (le cui coordinate verranno indicate con x 1 e x 2 ) , il tensore metrico è una
matrice 2 X 2,
g;/x) =( g11(x) gdx)).
gz1 (x) gzz(x)
[11.23]

11.4 I Spazi curvi
473
Supponendo per semplicità che g u(x) sia diagonale (cioè g 1 2 = g 2 1 = 0), laformula di
Gauss per la curvatura K(x) di :E è9
Kx_
1 {-�-Ò
2
g22+-
l
-[Òg11 Òg22 +
(Òg11)2]
+
()- 2g11g22
Ò(x2)2 ò(x1)2 2g11 Òx1
Òx1
òx2
+_
I [�Òg22 + (Òg22)2]}
2g22 Òx2 òx2
Òx1
•
[1 1 .24]
Si può dimostrare che la curvatura così definita è invariante (ed è anche l'unico inva­
riante che si possa costruire con le deri vate di g;j fi no al secondo ordine): essa è una
proprietà intri nseca della superficie :E e non dipende dal sistema di coordinate usato
per parametrizzare i punti di :E.
Vediamo alcuni esempi . La metrica di un piano, espressa in coordinate cartesiane
x1
=x, x
1
=y, è
[11.25]
e il tensore g ij è quindi diagonale e costante :
[11.26]
Dalla [1 1.24] segue allora, com'è da attendersi, K =O. Nel caso di una sfe ra di raggio R ,
la metricain CoordinatepolariX1 := 8,X1 := t/Jè
[11.27]
e si ha quindi
gu=R2
(�sin�x1 )
.
[11.28]
È facile verificare che, sostituendo la [1 1 .28] nella formula di Gauss, si riottiene la
[1 1.18].
Ciò che caratteri zza (e definisce) uno sp azio curvo è il fatto che non si può, per
mezzo di un cambiamento di coordinate x ' = x ' (x) , trasformare dappertutto (cioè in
ogni punto) il suo tensore metrico g ;j (x) nel tensore diagonale e costante [11 .26], o
nelle corri spondenti generalizzazioni N-dimensionali. Ad esempio, non esiste alcuna
trasformazione di coordi nate, valida su tutta la sfera, mediante la quale la [11.28] si
riduca alla [ 11.26]. È però possibile, in uno spazio curvo, porre g u(x) nella forma
[1 1 .26] localmente, ossia nell'intorno di un punto (si tratta di diagonalizzare una
forma quadratica a coefficienti costanti , la ds2 con g ij valutato nel punto in questione).
9 Sulla curvatura gaussiana delle superfici, si può consultare, ad esempio, B. A . Dubrovin, S. P . No­
vikov e A. T . Fomenko, Geometria contemporanea, voi. 2, Editori Riuniti, Roma 1988, cap. 2 . Si veda
anche M. V . Berry, Principles of Cosmology and Gravitation, !OP Publishing, Bristol 1989, Appendice B;
S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, Wiley, New York 1972, p .9 .

474
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
Figura 11.5
Trasporto parallelo di un vettore lungo una curva nel piano.
In uno sp azio piatto , invece, si può ridurre globalmente il tensore metrico g iJ alla
fo rma diagonale e costante. Condizione necessaria e suffi ciente affinché ciò accada è
che la [11 .24] si annulli. Consideriamo, ad esempio, uno spazio di metrica
con
Mediante la trasformazione di coordinate
{x'I =x1cosx2
x'2 =x1 sinx2
la [11.29] diventa (con qualche semplice passaggio)
ds2 = (dx'1)2+(dx'2)2,
[11 .29]
[11 .30]
[11.31]
[1 1 .32]
che coincide con la [ 11.25]. Lo spazio in questione è quindi piatto . Nessuna sorpresa,
dal momento che la [1 1 .29] non è nient' altro che la metrica del piano espressa in
coordinate polari (x 1 = r, x 2 = I/>) . Si verifica subito che, sostituendo il tensore metrico
[11 .30] nella [11 .24], si trova K =O.
Introduciamo ora, in maniera intuitiva, il concetto di trasporto parallelo di un vet­
tore. Si dice che un vettore è trasportato parallelamente lungo un certo cammino se,
durante lo spostamento, rimane sempre parallelo a se stesso e di uguale lunghezza
(fig. 11. 5). In uno spazio piatto un vettore trasportato parallelamente lungo un cam­
mino chiuso torna a coincidere col vettore di partenza. In uno spazio curvo, invece, il
trasporto parallelo lungo un cammino chiuso fa ruotare il vettore. Si consideri ad
esempio un triangolo sferico di vertici P1 , P
2
,P
3
e angoli ai, a2
, a3 (fig. 11.6). Par­
tendo da uno di questi vertici, diciamo Pi , un vettore 1 0 V è trasportato parallelamente
finoaP
2
lungo l'arco P1 P
2
• Quando arriva in P
2
, il vettore fo rma un angolo
10 È bene precisare che in una varietà generi ca i vettori sono, per definizione, tangenti alle varietà stesse.
V giace quindi in un piano tangente alla sfera.

11.4 I Spazi curvi
O--
/a3
..
....
.
,
/
',
,,
I
'
:
'
,
I
'
I
'
'
'
'
'
'
'
:V'
'i
'
a2:
_
_
_
(/
------
P2
P,
V
475
Figura 11.6
Trasporto parallelo del vettore V lungo un triangolo
sferico.
•
con la tangente in P2 all' arco P2P3 • Trasportato lungo P2P3, il vettore arriva in P3,
dove forma un angolo
(n-a1)+(n-a2)=2n-a1-a2
con la tangente in P3 all'arco P3P 1 • Infine, tornando in P i . il vettore fo rma con la tan­
gente in P 1 all'arco P 1 P2 (cioè con il vettore di partenza) un angolo
(n-a3)+(2n-a1-a2)=3n-a1-a2-a3=n-a1-a2-a3(mod2n).
In definitiva, dopo il trasporto parallelo lungo un triangolo sferico, il vettore V' risul­
ta ruotato rispetto a V di un angolo ljfpari a
[11.33]
dove abbiamo usato la [ l 1.20] . La rotazione di Uil vettore, in seguito al trasporto paral­
lelo lungo una curva chiusa, è dunque proporzionale al prodotto della curvatura per l'a­
rea racchiusa dalla curva (o, più in generale, alla curvatura integrata sull' area). Vedre­
mo in seguito la generalizzazione di questo risultato al caso dello spazio-tempo fi sico.
Gli archi di cerchio massimo sono le g eodetiche della sfera, cioè le curve di lunghezza estre­
male (minima, nella fatti specie). Le geodetiche del piano sono le linee rette. Una peculiarità
del trasporto parallelo di un vettore lungo una geodetica è che l'angolo tra il vettore e la tangente
alla geodetica rimane costante.
Per specificare la curvatura di uno spazio bidimensionale è sufficiente, come abbia­
mo visto, una sola quantità scalare , K. In spazi di dimensione superiore la curvatura è
un oggetto matematico più complicato, di tipo tensoriale. In particolare, in uno spazio
quadri dimensionale, come lo spazio-tempo fi sico, la curvatura è rappresentata da un
tensore di rango 4 con 20 componenti indipendenti . Prima di introdurre questo tensore
(cosa che faremo nel § 1 1.8), occorre approfondire le proprietà matematiche dello spa­
zio-tempo della relatività generale e introdurre alcuni concetti di calcolo tensoriale su
varietà generiche.

476
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
11.5. Lo spazio-tempo in relatività generale
Nella teori a generale della relatività lo spazio-tempo (che indicheremo con U) è
concepito come una varietà differenziabile quadridimensionale, cioè come uno spa­
zio topologico ricoperto da sistemi locali di coordinate (le carte ) che associano a ogni
suo punto (o evento) una quaterna xμ = (x0, x 1 , x2, x3), in modo tale che nella regione
di sovrapposizione tra due di queste carte l'applicazione che fa passare dall'una al­
l'altra sia differenziabile. U è dotato inoltre di una struttura riemanniana : la distanza
d s tra eventi infinitesimamente vicini è data, in una generica carta Cf& di coordinate xμ ,
dalla fo rma differenziale (detta metrica)
(1 1 .34]
dove g μ v (x) è il tensore metrico covariante. Si noti che le g μ v dipendono in generale
dalle coordinate . Per la struttura della [ 11.34], possiamo supporre, senza perdere in
generalità, che il tensore g μ
v sia simmetrico: le sue componenti indipendenti sono
quindi 10. Il tensore metrico controvariante g μ v (x) è definito come l'inverso di gμ v (x) ,
[11.35]
dove 81
1
P
è la delta di Kronecker quadridimensionale.
Siano Cf& e Cf&' due carte di coordinate, rispettivamente, xμ ex' μ . La metrica si scrive
in Cf& come
(11.36]
einCf&' come
(11.37]
Se esiste una regione di sovrappo sizione di Cf& e Cf& ', in essa si possono usare entrambi i
sistemi di coordinate e la [ 1 1.36] può essere riespressa in fu nzione delle x ' μ ,
d2-
()dXμdXv
d'Pd'"
s-gμvX
dx'P dx'"
XX.
Confrontando con la [ 11.37], si trova
dxμ dxv
g�a(x ') = dx'P dx' "
gμv(x)
(11.38]
[ 11.39]
che è la legge di trasformazione del tensore metrico covariante nel passaggio da una
carta a un' altra. Introducendo la matrice jacobiana
dxμ
Jμ
v
=
dx'
v
'
la (11.39] può essere riscritta nell'utile fo rma matriciale
g' =JT gJ.
[11.40]
(11.41]

11.5 I Lo spazio-tempo della relatività generale
La legge di trasformazione del tensore metrico controvariante è
dx'P dx'"
g'P"(x') = dxμ dxv gμv(x).
477
[11.42)
In termini matematici, il principio di equivalenza di Einstein afferma che, nell'in tor­
no di un qualunque evento, esiste una carta inerziale, cioè una carta in cui ds2 assume
la fo rma minkowskiana
ds2 =71
μvdxμdxv
,
[11.43)
dove 71
μ v è il tensore metrico della relatività speciale 1 1 ( 71μ v
=diag(+1,-I,-I,-1)
con le consuete coordinate cartesiane x0 =et, x 1 = x, x2 = y, x3
= z).Comegiàsiè
detto nel paragrafo precedente, in uno spazio curvo - quale è U - non è possibile, me­
diante una trasformazione di coordinate, ridurre le g μ v alle 71
μ v su tutto lo spazio, ma
solo localmente . Poiché g μ v (x) è il campo gravitazionale (vedi più avanti), ritroviamo
in forma matematica quanto anticipato nel § 11. l:la cancellazione del campo gravita­
zionale a opera delle forze inerziali può avvenire soltanto in una regione sufficiente­
mente piccola dello spazio-tempo .
Lo spazio pia tto di Minkowski M (lo spazio-tempo della relatività ristretta) è una
particolare varietà riemanniana quadridimensionale con un numero infinito di carte
inerziali, ognuna delle quali ricopre l ' intera varietà. Queste carte sono legate l'una al­
l'altra da trasformazioni di Lorentz (o, più in generale, di Poincaré).
Una delle assunzioni fo ndamentali della relatività generale è che tutte le grandezze
fi siche sono tensori, cioè enti del tipo
che, per un cambiamento di carta, si trasformano come
a ,μ,
a•μa[3, af3
T'μ,μ,...μ'
(x')=
_
x_
...
__
_:
:_:_
_x_...�Ta/x,..
a,
(x)
v, v,... v,
ax a,
dxa,, dx '
v,
dx'
v, [3,[3,...[3,
•
[11.44)
[11.45)
Nella [ 11.44] abbiamo scritto un tensore di rango p + q , p volte controvariante e q
volte covariante - o, come si dice, di tipo (p, q). Un tensore di rango 1 è, per defini­
zione, un vettore. Il passaggio dalle componenti covarianti a quelle controvarianti, e
viceversa (cioè l'innalzamento e labbassamento degli indici), avviene mediante I ' ap­
plicazione del tensore metrico:
[ll.46)
Il fatto che le leggi della fi sica si scrivano come equazioni tensoriali garantisce che
esse abbiano la stessa fo rma in tutti i sistemi di coordinate . Questo è il contenuto del
principio di covarianza generale, che estende la covarianza rispetto alle trasformazio­
ni di Lorentz in M, su cui si basa la relati vità ristretta, al caso di trasformazioni generali
di coordinate nello spazio-tempo curvo U.
11
In questo capitolo chiameremo T/ μ v il tensore metrico dello spazio di Minkowski M, che nei precedenti
capitoli abbiamo indicato con 8 μ v· Riserveremo la notazione 8 μ v per il tensore metrico dello spazio-tempo
curvo U della relatività general e.

478
Introduzione alla relatività generale \ Cap. 11
Notiamo infine che, poiché in U la scelta del sistema di coordinate non è soggetta a
limitazioni, la x0 (il cosiddetto tempo coordinata) non ha generalmente il significato
di tempo fi sico. L'intervallo di tempo fi sico tra due eventi che avvengono in un certo
punto dello spazio è l'intervallo di tempo proprio
ds1.�0
dr=- =-vg00(x)dx .
c
c
[11.47]
Dal momento che g 00 dipende da x, i tempi propri di osservatori posti in punti diversi
dello spazio-tempo sono diversi.
Scheda 11.1 Determinante di g ed elemento di volume invariante
Effettuando una trasfo rmazione da una carta inerziale ad una carta generica, si ha, in base alla
[11.41),
[11.48]
dove J è, in questo caso, la matrice jacobiana delle coordinate inerzi ali rispetto a quelle non
inerziali . Il determinante di g, che indichiamo con g, è
g = detJrdet 77detJ = (detJ)2det77,
e,poichédet17= - 1 , avremo
g= - (detJ)2•
Da qui si vede che il determinante del tensore metrico è sempre negativo,
g <O.
Usando la [ 11.4 1], si trova la legge di trasformazione di g, che è
Fg'=detJ v=-i.
[1 1.49]
[1 1 .50]
[11.51]
[11.52]
Consideriamo ora un elemento di volume infi nitesimo d4x. In seguito a un cambiamento di
coordinate si ha
Combinando questa relazione con la [11.52), troviamo
Fg'd4x' = v=8d4x.
L'elemento di volume invariante è quindi v=g d4x.
11.6. Trasporto parallelo e derivazione covariante
[11.53]
[1 1 .54]
Il calcolo tensoriale su una varietà riemanniana generica presenta un'importante
differenza rispetto al calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski . Dato un tensore
Tμ, μ,...μ,( ) 1
d
.
v,v,�..v, x,esue envate
[11.55]

11.6 I Trasporto parallelo e derivazione covariante
479
non costituiscono, in generale, un tensore (diversamente da quanto accade in M).
Così, ad esempio, il differe nziale dAμ di un vettore A μ non è a sua volta un vettore, e
le derivate parziali éJA μléJx v non sono le componenti di un tensore. Differenziando
'.\,μ
A'μ =
_
a_x_A
v
axv
'
si ottiene infatti
dx'μ
é12x'μ
dAiμ =
dxv dAv +
dX
v
dXo-
Avdxo-,
[11.56]
[ 11. 57]
che non è la legge di trasformazione di un vettore, a meno che le x'μ non siano fu nzio­
ni lineari delle xμ . Questa difficoltà fu superata da Levi-Civita con l'introduzione dei
concetti di trasporto parallelo e di derivata covariante, che sono le nozioni centrali del
calcolo tensoriale.
12
Ilmotivo per cui dAμ non è unvettore è che esso è ladifferenza didue vettori, Aμ(x
+ dx) e A μ(x) , valutati in punti diversi dello spazio, e le leggi di trasformazione dei
vettori in una varietà curva dipendono dalla posizione. Per costruire un differenziale
vettoriale bisogna trasportare parallelamente A μ da xo- a xo- + dx o-, e poi prendere la
diffe renza tra il vettore valutato in xo- + dx o- e il vettore trasportato parallelamente
nello stesso punto. Si introduce così il differenziale covariante DA μ :
[11.58]
dove oA μ è la variazione di Aμ dovuta al suo trasporto parallelo tra XO" e XO" + dxO".
Questa quantità è definita in modo tale che DA μ sia un vettore controva riante . Se lo
spazio è piatto , si ha oA μ =O, e dA μ e DA μ coincidono. La oA μ deve essere lineare
nelle componenti di A μ , dal momento che la somma di due vettori deve trasformarsi
come i singoli vettori . Avremo quindi
[1 1.59]
e
[11.60]
Le r�
o-
(x) , dette simboli di Christoffe l di seconda sp ecie, sono fu nzioni delle x v che si
annullano su una carta inerziale. Pertanto, esse non costituiscono un tensore: un ten­
sore nullo in un certo sistema di coordinate sarebbe infatti nullo in qualunque sistema
di coordinate. Da o(AμBμ) =Osi ricava
e la variazione del vettore covariante A
μ
per trasporto parallelo è quindi
oAμ
=ri
o-
Ardxo-.
[11.61]
[ 11.62]
12
Una presentazione dettag liata e rigorosa del calcolo tensoriale su una varietà riemanniana va al di là
dagli scopi di questo libro. Rimandi amo il lettore ai testi specialistici sull' argomento. ad esempio, B . Finzi
e M. Pastori, Ca lcolo tensoriale e applicazioni, Zanichelli, Bologna 1949; B. Spain, Ca lcolo tensoriale,
Cremonese, Roma 1971.

480
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
Mediante 8A μ si può costruire il differenziale covariante DAμ
,
DAμ=dA
μ-8Aμ=dAμ-rZaApdxa
,
[1 1.63]
che è un vettore covariante . Le estensioni delle [ l 1.59, 11.62] al caso del trasporto
parallelo di un tensore controvariante yμ v e di un tensore covariante Tμ v
sono
8Tμv = - (f'taT
pv + l�aTμp
)dx
a
,
8Tμ v
= (f'ZaTpv
+ f'�aTμp) dxa
.
Introduciamo ora le derivate covarianti A μ. a e A
μ
. a• definite da
DAμ =Aμ, adX
a
,
DAμ=A
μ
,
adx
a
.
La loro espressione esplicita è (vedi [ 11.60, 1 1.63])
μ _òAμ
μP
A.a-ax
a +f'paA ,
_
òAμ
P
Aμ, a-
òx
a - f'μaAp.
Nel casodi un tensore Tμv e di un tensore Tμv
•siha
yμv =
ayμv
+rμypv+rvyμp
'a
axa
pa
pa
,
[1 1 .64]
[11.65]
[11 .66]
[1 1.67]
[11.68]
[11.69]
[11.70]
Consideriamo ora una carta inerziale di coordinate x 1 μ e imponiamo che DA i μ si
comporti come un vettore, cioè si trasformi secondo la
..
.
1μ
DAiμ
=�:
v
DAv.
[1 1.71]
Usando al secondo membro la [11.60], si ha
[1 1 .72]
Poiché su una carta inerziale DA 1 μ
= dA1μ , confrontando la [II .72] con la [11.57], si
trova
[1 1.73]
da cui
[11.74]
I simboli di Christoffel sono quindi simmetrici negli indici inferiori,
[11.75]

I I. 7 J L'equazione delle geodetiche
481
e hanno 40 componenti indipendenti (per ognuno dei 4 valori di v, ci sono infatti 10
coppie di valori per p e a) .
Per esprimere le r�a in fu nzione del tensore metrico, cominciamo col dimostrare
che la derivata covariante di g μ v è nulla. Dato un generico vettore A μ ' si ha
[1 1.76]
e, poiché DA
μ
= gμvDA
v
, deve essere A vDgμv
= O , da cui, data l'arbitrarietà di A v
,
Dgμv
=O, e quindi
gμv, a
=O.
Mediante la [ 11. 70], questa equazione si riscrive come
Ògμv _ rp
rP
axa - μagpv +
vagμp·
Permutando gli indici,
Ògaμ
-
rP
rP
axv - av8pμ
+ μv8ap'
Ògva _ rP
+rP
Òxμ -
vμgpa
aμ8vp'
e combinando le [ 11. 78- 1 l .80], si ottiene
Ògμv
=
Ògμa _
Ògva
= 2rP
axa
axv
òxμ
va8μp·
[Il .77]
[1 1.78]
[1 1.79]
[ 11.80]
[11.81]
Possiamo estrarre i simboli di Christoffel moltiplicando per g 'μ . Al secondo membro
della [ 11. 81] si ha
rpg grμ_rPg' _rr
va μp
-
va p- va·
L' espressione fi nale di na è dunque
11.7. L'equazione delle geodetiche
La lunghezza di una curva congiungente due punti A e B di U è 1 3
B
B
SAs = Jds = fYgμv(x)dxμdxv
.
A
A
[ 11.82]
[ 11.83]
[1 1 .84]
1 3 A rigore, bisognerebbe introdurre nella radice quadrata una costante e, detta indicatore, che assume
valori +Io - I, a seconda che g μvdxμ dx v sia positivo o negativo.

482
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
Per definizione, le g eodetiche sono le curve per le quali l'in tegrale [11 .84] assume un
valore estremale. L' equazione delle geodetiche si ottiene imponendo che fds sia sta­
zionario rispetto a variazioni infi nitesime delle xμ (si ricordi la discussione nel § 6.7),
con
B
B
8Jds = 8JYg
μv
(x) dxμ dxV,
A
A
8x� = 8x� =O.
[1 1.85]
[11.86]
Per parametrizzare le curve useremo il cammino proprio s, cioè scriveremo xμ =
= xμ(s) . Calcolando la variazione [1 1.85] si ottiene
8J
8
ds=
JB8
Ygμ
v
dxμdxv
=
J8(_!_ dxμ dx v dgμ
v Dxa+
dxμ d8x v)
ds=
A
A
2ds
A
2dsdsdxa
gμv ds ds
=
J8[_!_ dxμ dx v dgμ
v Dxa-
�( dxμ)bxa
Jds
2dsdsdxa
ds
g
μa ds
'
A
[1 1 .87]
dove, nell' ultimo passaggio, abbiamo integrato per parti il secondo termine e tenuto
conto del fatto che la variazione delle coordinate si annulla agli estremi di integrazione.
Data l'arbitrarietà delle 8x a, la condizione 8 fds =Oimplica
1dx1'dxvdg
d( dxμ)
ldsds dx
μ;-ds g
μa
ds =O,
cioè
Il terzo termine può essere riscritto come
e la [11 .89] diventa
d2xμ
+
_!_(dgμ
a+
dgva
_
dgμ
v
)dxμ dxv
=O
g
μads2 2dxv
dxμ dxa ds ds
·
Moltiplicando il primo e secondo membro per g Pa si ricava infine
d2xP
dxμ dxv
ds2
+
f�
v
dsds =O,
[11.88]
[1 1.89]
[ll.90]
[11.91]
[11 .92]
dove
f�
v
è il simbolo di Chris toffel definito nella [1 1.83]. La [1 1.92] è l'equazione
delle geodetiche in U. Trattandosi di un'equazione differenziale del secondo ordine,
una sua soluzione è univocamente determinata quando siano assegnati i valori iniziali
delle xμ e delle dxμ/d s, cioè un punto dello spazio-tempo e una direzione.

11.7 I L'equazione delle geodetiche
483
In termini del vettore tangente alla geodetica uP = cJxP/ds, la [11.92] ha la forma
duP+l�vUμdxv
=O.
cioè, per la [11.59] ,
duP = ouP,
o ancora, usando il differenziale covariante D = d - o,
DuP =O.
[11.93]
[11 . 94]
[11.95]
Da qui si vede che il vettore tangente trasportato parallelamente, uP + ouP, coincide col
vettore tangente nel punto x a + dx a, che è uP + d uP : in altri termini, nel trasporto paral­
lelo lungo una geodetica la tangente non varia. In generale, se si trasporta parallelamen­
te un vettore lungo una geodetica, l'angolo che questo vettore forma con la tangente
alla curva rimane costante .
È fac ile verificare che, se si parametrizzano le curve mediante uno scalare .;, diverso
dal cammino proprio s, si ottiene un'equazione simile alla (11.92],
d2 xP
dxμ dxv
dç2 + rivdf dç
=O,
[11.96]
purché si imponga la condizione supplementare
dxμ dxv
gμvdf dç
=1.
[11.97]
Nello spazio di Minkowski M, o in un sistema di coordinate localmente inerzi ale, i
simboli di Christoffel sono nulli, e la [ 11.92] si riduce a
d2xP
ds2
=O,
[11.98]
che è l'equazione di una retta in 3 + I dimensioni (vedi § 6.7).
Come già sappiamo, l'equazione delle geodetiche è anche l'equazione del moto dei
corpi liberi. In relati vità speciale, l'azione di una particella libera è
[11.99]
e da questa, applicando il principio variazionale oS =O, si ricava la corrispondente
equazione del moto , che coincide con l'equazione delle geodetiche [11.98]. In base al
principio di equivalenza einsteiniano, la stessa equazione del moto deve valere in un
sistema localmente inerziale. Nel caso di una generica carta di coordinate in U, do­
vremo sostituire la metrica minkowskiana T/μ v con gμ v (x), e l'azione di un grave libero
sarà quindi
[11.100]
Abbiamo visto sopra che il principio variazionale applicato alla S fornisce la [11.92],
che possiamo quindi interpretare come l'equazione del moto di un grave in U. Il vet-

484
Introduzione alla relatività generale I Cap. I I
tore tangente uP = ctxP/ds assume ora il significato di quadrivelocità della particella, e
l'equazione del moto in presenza di un campo gravitazionale [1 1.93) può ottenersi di­
rettamente dalla corrispondente equazione minkowskiana d uP/ds =O sostituendo il
differenziale ordinario con il differenziale covariante : d � D.
11.8. Il tensore di curvatura
La curvatura dello spazio-tempo U è specificata da un tensore di rango 4, il tensore di
Riemann R μ
vp cr• la cui forma andremo ora a deriv are (in maniera alquanto semplificata) . 1 4
Si supponga di trasportare parallelamente un vettore A v lungo una curva chiusa
infinitesima y. La variazione �A v sarà, per la [1 1.62),
�Av
= �f�pAμdxP.
r
[1 1 .101)
Applichiamo alla [11.101) il teorema di Stokes (vedi § 5.8). Tenendo conto che la su­
perficie �f po-
racchiusa da y è infinitesima, e trascurando contributi del secondo ordì-
ne, si ha
�A =_1_[à(f�o-Aμ) _ à(f�pAμ)]�fpo- =
v
2 àxP
àx"
=
_I_[ar�"A
_
ar�eA +rμ àAμ_
rμ àAμ J �!po-
2àxPμ
àx(J' μ
V
(J
àxP
vp àx"
,
[1 1.102)
dove le quantità sono valutate in un punto della curva y. Poiché la variazione di A μ è
dovuta al trasporto parallelo, le derivate di A μ sono
àAμ_ r
àxP
-
fμpA r
,
[11.103)
e, sostituendo questa espressione nella [ 1 1.102), �A
v
può scriversi come
�Av
=
�Rμ
vp uA
μ
�JP",
dove
[1 1.104)
[11.105)
è il tensore di Riemann, o di curvatura. Si noti l'analogia tra la [ 11.104] e la [ 11. 33]:
la variazione di un vettore per trasporto parallelo lungo una curva chiusa y è propor­
zionale alla curvatura dello spazio e ali'area della superficie racchiusa da y.
Introducendo il tensore di Riemann completamente covariante
[11.106)
14 Seguiremo l'approccio di L. D . Landau e E. M . Lifshits, Teoria dei campi, Editori Riuniti, Roma 1981,
pp. 340-4 1. Per una trattazione diversa, si veda Weinberg, Gravitation and Cosmology cit., pp . 135-36.

11.8 I li tensore di curvatura
485
e usando la [1 1 .83), si ottiene l'espressione di R μ vp <J in termini del tensore metrico
gμv
• che generalizza la formula di Gauss [1 1.24) :
_
_!_( ()2g vp
()2gμ<J -
()2gv<J -
()2gμp
)a{3-
a{3
Rμvp<J
-
2 òxμòx(J + òxvòxP òxμòxP òxvòx(J + gaf3rμ<Jrvp gaf3rμprv(J·
[11.107)
Se R μ vp <J = O dappertutto, si dice che lo spazio è piatto : in questo caso, esiste una tra­
sformazione che fa passare, su tutto lo spazio, da g μ v
(x) alla metrica minkowskiana T/ μ v·
Le proprietà di simmetria di R μ vp <J si ricavano dalla [ 1 1.107), e sono
Rμvp<J= - R
vμp<J = - Rμv<Jp
•
Rμvp<J =
-
Rp<Jμ v·
Vale inoltre l'identità
[11.108]
[11.109)
[ 11.110]
Queste relazioni fa nno sì che R μ vp <J abbia solo 20 componenti indipendenti. In genera­
le, in una varietà N-dimensionale il tensore di Riemann ha n 2 ( n 2 - 1)/12 componenti
indipendenti .
Contraendo R μ vp <J con il tensore metrico si ottiene il tensore di Ricci
15
[11.111)
che è simmetrico nei suoi due indici. In termini dei simboli di Christoffel R v<J è dato da
_
ar�(J _ ar�μ
μp_pμ
Rv(J -
òxμ òx(J + rv<Jrμp rvμr<Jp·
[11.112)
Un 'ulteriore contrazione produce la curvatura scalare
R=gv<JR
v<J=R
<J
<J·
[1 1.113)
Come si vedrà nel § 11.1 1, il tensore di Ricci e la curvatura scalare compaiono nelle
equazioni di Einstein del campo gravitazionale.
È interessante stabilire la corri spondenza col caso bidimensionale trattato nel § 11. 4 . Se la di­
mensionalità dello spazio è 2, il tensore di Riemann ha una sola componente indipendente (sce­
glierem o R 1212) . Le componenti del tensore di Ricci sono
[1 1.1 14]
e per la curvatura scalare si trova
R-
11R+12R+21R+22R
_
2(1122
12 21)R _2d
-
1R
_
2
R
-
g11g
12g21g
22-gg
-g
g 1212- etg 1212-- 1212·
g
[ 11.1 15]
Con un calcolo semplice ma un po' tedioso si ottiene, nel caso di una metrica diagonale, la se­
guente relazione tra R
1 2 12, definitadalla[1 1.107], e la formuladi Gauss [1 1.24]:
K=R
1212.
g
[IUl6]
1 5 In alcuni testi il tensore di Ricci è definito contraendo il secondo e il terzo indice di R μ vpa• invece che
il primo e il terzo, come abbiamo fatto noi. Ne risulta una diffe renza di segno rispetto alla nostra definizione.

486
Introduzione alla relatività generale \ Cap. 11
R è quindi legata alla curvatura gaussiana K da
[1 1.1 17]
11.9 . Il campo gravitazionale
Dopo aver studiato la geometria dello spazio-tempo curvo, dobbiamo ora compiere
un ulteriore, importante, passo: identificare il campo gravitazionale. Il nostro punto
di partenza sarà l'equazione delle geodetiche
d2xμ
dxv dxP
dS2
+ r�Pctscts
=
o,
[11.118)
che, come si è detto, descrive il moto dei gravi in rel atività generale. Il campo gravita­
zionale non può che essere contenuto nelle r�P'
che sono essenzialmente le derivate
della metrica g
μ v (x) . Emerge così un aspetto cruciale della teori a einsteiniana: il
campo gravitazionale è rappresentato dalla metrica dello spazio-tempo (a essere pre­
cisi, la metrica corri sponde al potenziale gravitazionale, anzi ai dieci potenziali gravi­
tazionali della relatività generale) . Nella [ 11.118), il primo termine è quello inerziale,
il secondo, quello gravitazionale . Il fatto che i due termini non abbiano separatamen­
te carattere tensoriale e quindi, cambiando sistema di coordinate, si trasformino l'uno
nell'altro , è un' ulteriore manifestazione del principio di equivalenza: inerzia e gravi­
tazione sono localmente indistinguibili.
Per rendere il discorso più quantitati vo, cominciamo col notare che normalmente
8μ v di fferi sce di poco dalla metrica minkowskiana T/μ v (gli effetti della curvatura dello
spazio-tempo sono infatti estremamente piccoli, salvo in condizioni particolari, come
ad esempio nelle vicinanze di un oggetto astrofisico di grande densità). Possiamo al­
lora porre
[1 1.119)
Il campo gravitazionale, inoltre, è in genere un campo quasi statico; si avrà quindi
()
a)v =
O.
[11.120)
Nel caso di un moto non rel ati vistico, infine, le componenti dx
;
/ds sono trascurabili
rispetto a dx0/ds
=
1. Sotto queste condizioni la [11.118) diventa
dzx
;
.
-
r·
ds2 -
-
oo.
e, per il simbolo di Christoffel rb0 , si ottiene dalla [1 1.83)
[1 1 .121)
ri =_!_ ia(d8ao+d8oa-d8oo)= _
_!_iad8oo=__!_ iadhoo=
_
_!_ dhoo
oo
2
g
CJx0 CJx0 dxa
2
g
dxa
2T/ dxa
2dX
·
I
[1 1.122)

Jl.9 I Il campo gravitazionale
487
Combinando la (1 1.121] e la [1 1.122], si trova
dzx
;
_
_!_Òhoo
ds2
=
2 ÒX;
.
[1 1.123]
Sappiamo, d'altra parte, che le equazioni di Newton in presenza di un campo gravita­
zionale sono
d2x
;
ò<l>
dfT= Òx;'
[11.124]
dove <I> è il potenziale gravitazionale, legato alla densità di massa p dall'equazione
di Poisson V 2 <t> = 47rGp. Confrontando la [1 1.123] con la [1 1.124] , e ricordando che
ds =edt nel limite non relativistico, si ricava
2<1>
hoo=7,
e quindi
2<1>
goo = 1+hoo =1+ -2
·
e
(11.125]
(11.126]
La componente g 00 della metrica è quindi legata al potenziale gravitazionale newto­
niano. Alla luce della [ l 1.121], rbo va invece intesa come l'accelerazione di gravità.
Si noti poi che la quantità <l>/c 2 è il rapporto tra l'energia gravitazionale Eg = m <l> di
un corpo di massa mela sua energia di massa E0 = mc2
•
Il potenziale <I> generato da un corpo sferico di massa M in un punto esterno posto a
distanza r dal centro è
<I>=
_
GM
r
,
e la [11.126] dà
2GM
goo=I ---2-·
re
(11.127]
[1 1.128]
Nonostante sia stata derivata sulla base di alcune approssimazioni, questa espressione
risulta, in realtà, esatta. Come vedremo nel § 11.12, la componente g 00 del tensore
metrico nell'intorno di un corpo sferico è data proprio dalla [ 11. 128].
Accertiamoci ora che, nella maggior parte delle situazioni ordinarie, sia I h 00 I << 1,
come affermato in precedenza. Nel caso del Sole, ad esempio, si ha M 0 = 2 X 103° Kg
e R 0 = 7 X 108 m, e si trova quindi (sulla superficie solare)
che rappresenta effettivamente una correzione molto piccola alla metrica piatta.

488
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
11.10. Lo spostamento gravitazionale verso il rosso
Torniamo alle fo rmule [ 11. 9, 11.1O] del redshift gravitazionale,
[1 1.129]
doved=ha - hbèildislivellotrailpuntoA incui sitrovalasorgente e ilpuntoBin
cui si trova il rivelatore . Poiché la differenza di potenziale gravitazionale tra A e B è
(Mr.J
J
eRr.J
J
sono la massa e il raggio della Terra)
GMr.J
J
GMr.J
J
GMr.J
J
(hA - h8)
=
GM$ d
=gd
<l>A-<l>e= -
R$+hA
+
R$+h8
=
(Rr.J
J
+ hA)(R$ + he)
R2
'
le [ 11. 129] possono essere scritte come
(<l>A-<l>B)
Ve
=
VA 1+
c2
,
$
(1 1.130]
[l l.131]
Lo spostamento gravitazionale verso il rosso può es sere giustificato anche sulla base della
legge di con servazione dell'energia. La variazione di energia dei fotoni nel percorso da A a B
(h è la costante di Planck),
deve essere uguale al lavoro compiuto dal campo gravitazionale,
hVA
(<I>A -<I>8)X«massa»delfotone=(<I>A - <I>8)--
,
e
e si ha quindi
(1 1.132]
(1 1.133]
[ 11.134]
da cui segue la [ 11.131]. Si noti l'analogia con la caduta libera dei gravi: i fo toni acqu istano ener­
gia (e, conseguentemente, aumentano di frequenza) a spese del campo gravitazionale terre stre,
così come un corpo, cadendo, aumenta la propri a energia cinetica.
Ricaveremo ora la [11 .131] in maniera più rigorosa, a partire dalla [ 1 1.126] . Suppo­
niamo che una sorgente posta nel punto A e soggetta al potenziale gravitazionale (stati­
co) <l>A emetta dei segnali luminosi con periodo /',
,.
t (espresso nel tempo coordinata t) .
Gli eventi che riguardano la sorgente sono separati dall'in tervallo ds2 = g μ v dxμ dx v
che, essendo dx
;
= O, si riduce a ds2 = g00(dx0)2, dove g00 è valutato in A. Dalla
[11.126] si ha g 00 = 1 + 2 <1>A/c2 • Dunque, l'intervallo di tempo proprio /',
,.
rA tral'emis­
sione dei due segnali vale (si ricordi che il tempo proprio è dr= ds/c = Vg; dt)
[11.135]

11.10 I Lo spostamento gravitazionale verso il rosso
489
I due segnali, viaggiando lungo una geodetica, raggiungono un osservatore posto nel
punto Besoggetto al potenziale gravitazionale <l>s . Per questo osservatore l'intervallo
di tempo proprio !lrs tra i segnali sarà (l'intervallo del tempo coordinata è lo stesso)
I�
<l>s
!lrs=-=
l+-2-M
.
[1l .136]
Vs
e
La relazione tra le freq uenze misurate in A e in B è quindi
l
2<1>A
l
2<1>A
+--
+--
c2
Z==
Vs-VA
c2
-
l.
Vs=VA
I
2<1>s
,
VA
1
2<1>s
+--
+--
c2
c2
[11.137]
Se <I>A , s lc 2 << I, dalla [ 11.137] si riottiene approssimativamente la [ 1 L 131]:
[11.138]
Nel caso del potenziale gravitazionale generato da una sfera di massa M, dette rA e rs
le distanze dei punti A e B dal centro della sfera, la [1 1.137] dà
Z=
1_2GM
c2rA
2GM
-1.
l---
c2rs
[11.139]
Questa è la fo rmula esatta dello spostamento gravitazionale verso il rosso prodotto da
un corpo sferico.
Per un dislivello d � 10 m nel campo gravitazionale terrestre, la variazione relativa
di frequenza Z vale ali ' incirca I o- 1 5 ed è quindi estremamente piccola. Ciò nonostan­
te, nel 1960 Rebka e Pound fu rono in grado di misurare questo effetto . 1 6 Essi fe cero
precipitare dei raggi y di frequenza molto ben definita, prodotti per effetto Mos­
sbauer, per un tratto di circa 22.6 m ali'interno del Jefferson Physical Laboratory
della Harvard University . Lo spostamento di frequenza previsto era Z = 2.46 X 10- 1 5 ;
quello misurato fu Z = (2.57 :±: 0.26) X 10- 1 5 , in ottimo accordo con la predizione
della relatività generale.
Abbiamo vi sto che l'effetto di un (debole) campo gravitazionale è di introdurre nella compo­
nente temporale della metri ca un fattore g 00 = 1
+
2<1>/c2,
c2dt2�g00c2dt2=c2[1+
2��x)]dt2.
[11.140]
Se misuriamo le durate medi ante il tempo coordinata t , possiamo - in maniera intuitiva (e ap­
prossimata) - interpretare la [ 11. 140] dicendo che il campo gravitazionale genera un indice di ri­
frazione vari abile della luce:
e
e�c(x)=
n(x)
,
n(x) =
l + 2<1>(x)
c2
16
G.A. Rebka e R. V. Pound, in «Phys. Rev. Lett.», 4, 1960, p. 337.
[11.141]

490
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
11.11. Le equazioni di Einstein
Derivare le equazioni che governano la dinamica del campo gravitazionale gμ v
esula dagli scopi di questo libro . Ci limiteremo quindi ad alcune semplici considera­
zioni euristiche. La relazione che lega il potenziale gravitazionale newtoniano <I> alla
densità di massa p è, come abb iamo già ricordato, l'equazione di Poisson
V2<1>=4nGp.
[11.142]
Poiché le equazioni esatte del campo gravitazionale devono ridursi nel limite newto­
niano (quello in cui g 00 = 1 + 2 <1>/c 2 ) alla [11.142], richiederemo che esse siano equa­
zioni alle derivate parziali del secondo ordine nel potenziale, cioè in g μ v
, e che, come
la [1 1.142], siano lineari nelle deri vate seconde. Siamo così indotti a ipotizzare una
forma del tipo
[1 1.143]
dove G
μ v è un tensore fo rmato con le derivate prime e seconde di gμ v e lineare nelle
derivate seconde, K" è una costante e Tμ v è il tensore di energia-momento, che prende il
posto della p (ricordiamo che Tμ v
contiene le densità di energia e di momento e le ri­
spettive densità di fl usso). Si può dimostrare che gli unici tensori di rango 2 che contri­
buiscono a G
μv sono il tensore di Ricci Rμv e gμvR, dove R è la curvatura scalare.
Gμ v deve essere quindi del tipo
Gμv = Rμv+ÀgμvR,
[ 11.144]
con À costante . Combinando la [ 11. 144] con la [ 1 1.143], si trova
[11.145]
La À può essere determinata usando l'equazione di continuità per Tμ v · La K", invece, si
ricava dal limite statico delle [11.145]. Il risultato fi nale, per la cui derivazione ri­
mandiamo ai testi di relatività generale citati in Bibliografia, è
[I l.146]
Queste sono le equazioni del campo gravitazionale, le cosiddette equazioni di Einstein.
Data la sorgente Tμ v• le [ 11. 146] permettono di calcolare la metrica dello spazio­
tempo . Un punto importante da tenere a mente è che il campo gravitazionale è genera­
to non solo dalla materia, ma da una qualunque di stribuzione di energia e momento
(la massa è solo una delle possibili fo rme di energia). Ad esempio, il campo elettro­
magnetico, che trasporta energia e momento ma non massa, incurva lo spazio-tempo
ed è quindi sorgente di gravità. Anche il campo gravitazionale possiede energia e mo­
mento, ed è perciò sorgente di se stesso. Ciò si riflette nel fatto che le [I1.146] sono
equazioni non lineari in gμ v·

I I .12 I La metrica di Schwarz.schild
491
Qualitativamente, le [1 1.146] mostrano che la curvatura è proporzionale alla den­
sitàdi massap- T00/c2,
curvatura -
G
�.
e
Il coeffi ciente G/c 2 vale
�=7.4Xlo-3°Kgm-1
•
e
[1 1.147]
La piccolezza di questa quantità fa sì che solo densità molto elevate di energia e di
massa producano un' apprezzabile curvatura dello spazio-tempo. Quando Gp/c2 << l
possiamo considerare lo spazio-tempo appro ssimativamente piatto e usare le leggi
della relatività speciale.
11.12. La metrica di Schwarzschild
Nel 1916 Schwar zschild ottenne la soluzione esatta delle equazioni di campo di
Einstein nel caso di simmetria sferica. La metrica di Schwarzschild, che descrive lo
spazio-tempo nell ' intorno di un corpo sferico di massa M, è (in coordinate polari)
(2GM) (2GM)-1
ds2 = 1---
c2dt2- 1-
--
dr2 - r2(d'!J2 + sin2 '!Jd<p2).
c2r
c2r
Si noti che la g 00 è data, come anticipato, dalla [ 1 1.128].
La metrica [1 1.148] è singolare per
2GM
r=
� =R5,
[11.148]
[11.149]
dove R5 è il cosiddetto ra ggio di Schwarzschild. Nella maggior parte dei casi ciò non
pone alcun problema, dal momento che la [ 11.148] vale nello spazio-tempo al di fuori
del corpo, il cui raggio R è in genere molto maggiore di R5 (ad esempio, per il Sole
si ha R0 = 7 X 105 Km e R� = 3 Km; il raggio di Schwarzschild della Terra è circa
0.88 cm) . In realtà, la singolarità della [ 11. 148] in r = R5 non è una singolarità fi sica
dello spazio-tempo: essa può essere eliminata attraverso un'opportuna scelta di coor­
dinate (come mostrato da Kruskal nel 1960, vedi Problemi). La metrica di Schwarz­
schild è quindi continuabile analiticamente nella regione r < R5. Un corpo di raggio
uguale a R5 è detto buco nero (§ 11.16.5).
Riscriviamo per comodità la [1 1.148] nella fo rma
[11.150]

492
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
con
Dalla [ 11.150] si leggono le componenti non nulle del tensore metrico,
_
2B( )
_
A()
_
2
_
2·Lo
g11-e
r, grr--
r, goo--r , g"'"'--rSll
l
u.
(11.151]
(11.152]
[l l.153]
Applicando la [l l.83], non è difficile calcolare i simboli di Chri stoffel corrispondenti
(gli apici indicano derivazione rispetto a r),
A'
rr
-
rr
-
r
rr-
2A'
00-
-
A'
.
2.Q
rr
=-
rsm u
"'"'
A
,
iJ
-
iJ-
l
iJ
rriJ-rOr-
-,
r'P'P= - siniJCOSiJ,
r
"'
-
"'_J_
rr<p-r<pr-
,
r:o=r�"'=coti!,
r
B'
rr-r'-
tr- rt-
2B
·
[11.154]
(11.155]
[1 1.156]
(11.157]
Dalla [1 1.118] si ottengono così le equazioni del moto dei gravi nella metrica (11.150]:
d2r
+
_i_'._(�)2 _ _!_(di})2 _ rsin2 i!(d<p)2
+
c2B' (�)2
=O
ds2
2A ds
Ads
A
ds
2A ds
'
d2i} 2 di} dr
.
(d<p)2
--
+----smi!cosi} -
=O,
ds2
rdsds
ds
d2<p 2d<pdr
d<pdi}_
-
d2+--
d-d
+2cot i!-
d-
d -0,
s
rss
ss
d2t B'dtdr
ds2
+
Bdsds =O.
(1 1.158]
(11.159]
[1 1.160]
(11.161]
Se scegliamo gli assi in maniera tale che il moto avvenga nel piano i} = rt/2, avremo
d i}/ds =Oe la [11.15 9] sarà automaticamente soddisfatta. La [1 1.160] diventa
d1<p
+
�d<p�=O
ds2
rdsds
'
e può essere ri scritta come
-.!.(2d'P)=o
ds
r
ds
·
Analogamente, dalla [ 11.161] si ottiene
-.!.(s�)=O.
ds ds
(11.162]
[11.163]
[11.164]

11.12 I la metrica di Schwarzschild
493
La [ 11. 163) e la [ 11.164] implicano l'esistenza di due costanti del moto, Led E,
2
d<p_ L
r ---
ds
mc'
[11.165]
[11.166]
Nel limite non relativi stico, in cui ds =cd t e B=1, dalle [1 1.165, 11.166] si ricava
L=mr2 �
dt
,
[11.167]
[1 1.168]
e si vede allora che Led E vanno identificate, rispettivamente, con il momento ango­
lare e con l' energia del corpo di prova.
Dividendo il primo e il secondo membro della [1 1.150] per ds2 , troviamo
[11.169)
che corri sponde ali'integrale della [ 11. 158]. Inserendo le [ 11.165, 11. 166] nella
[ 1 1.169] , questa diventa
(dr)2
L2
1E2
A-
d
+222-
-
8---r4+1=O,
s
mcr
mc
e ancora, con le [ 11.151, 1 1.152],
-
+
+1 1--
s
-
--
=O
(dr)2 ( L2
)(R) E2
ds
m2c2r2
r
m2c4
·
[11.170]
[1 1.171]
Per ottenere l'equazione dell ' orbita di un grave nella metrica di Schwarzschild
(cioè nell 'intorno di un corpo sferico) ricaviamo ds dalla [ 1 1.165],
mcr2
ds =-
L
-d<p,
[1 1.172]
e sostituiamolo nella [ 11.171]. Il ri sultato , scritto in una fo rma comoda per i calcoli
successivi, è
[11.173]
Come vedremo nei prossimi paragrafi, la [1 1.173] permette di predire due importanti fe­
nomeni, la precessione del perielio delle orbite planetarie e la deflessione gravitaziona­
le della luce, che hanno fornito conferme osservative cruciali della relatività generale.

494
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
11.13. La precessione del perielio
Studieremo, per mezzo della [1 1.173], il moto dei pianeti attorno al Sole. Il signifi­
cato dei simboli sarà quindi :
m massa del pianeta, M massa del Sole.
Con il cambiamento di variabile u = llr, la [11.173) diventa
Derivando rispetto a <p e dividendo per 2duld <p, si ottiene
d2u
_
GMm2 3GM 2
d<p2+u---
--
-V-
+--
-;
;z
u.
Nel limite newtoniano (e � oo ) , la [11.175) si riduce a
d2u0
_
1
d<p2+Uo-p,
dove abbiamo introdotto
La soluzione della [ 11.176) è
1 1+t:cos(<p-<p0)
u0 =Acos(<p-<p0) +- = ---�-�-
p
p
[1 1.174)
[1 1.175)
[1 1.176)
[ 11. 177)
[11.178)
dove t: =-Ap è l'eccentricità dell'orbita. Per t: <I (il caso che ci interessa), l'orbita è,
come è noto, un' ellisse.
L'equazione relativistica [ 11.175) differi sce da quella newtoniana [ 11. 176) per il
termine quadratico (3 GM/c 2 )u2 , che è molto più piccolo del termine lineare u (nel
caso di Mercurio, ad esempio, il rapporto tra questi due termini è del! ' ordine di 10- 7).
Possiamo allora risolvere approssimativamente la [ 11.175) ponendo u = u 0 nel termine
quadratico,
d2u
_
1 3GM
2
-
d2
+U--+-2-
2
-
(l+t:COS(<p-<f'o)) .
<p
pep
[1 1.179)
Trascurando 3 GM/c 2p 2 (che è molto più piccolo di l/p) e il termine proporzionale a
t:2 (le orbite sono poco eccentriche), la [11.17 9) diventa
d2u
1 6GM
-
d2+U=-+_
2
_2_t:COS(<p-<f'o).
<p
pep
[11.180)

11.13 I La precessione del perielio
Con la sostituzione
w=u--,
p
si trova
d2w
6GMe
-
d 2+w=_2_2_cos(<p-'Po),
<p
cp
e, poiché
6GMt:.
=
6GM (
u
_
_!_)= 6GM
w
c2p2
c2p
o
p
c2p
,
si ha infi ne
con
La soluzione della [ 11.184] è
w =Acos [q(<p - 'Po)],
da cui
1
p
p
r=-=
--
-
= ---�----
u
1+pw 1+E.COS[q(<p-<po)].
495
[11.181]
[11.182]
[1 1.183]
[ 11.184]
[11.185]
[11.186]
[1 1.187]
Questa è l' equazione delle orbite in relatività generale. Se E < 1, le orbite sono ellissi
il cui asse maggiore ruota, a ogni giro, di un angolo (vedi fi g. 4.9)
[1 1.188]
Questo è lo spostamento angolare del perielio del pianeta (la cosiddetta precessione
de l perielio). Si noti che il valore [ 11. 188] è sei volte più grande di quello previsto
dalla relatività speciale, [4.208] .
Nel sistema solare, la precessione del perielio è massima per Mercurio, per il quale
si ha (in secondi d' arco)
8(Mercurio) = 0. 1 036".
[11.189]
La quantità che ab itualmente si considera è la precessione secolare, che nel caso di
Mercurio (il cui periodo di rivoluzione è di 87.8 giorni) vale
8X 100 X 365.25
81 00 (Mercurio) =
= 43".
87.8
[11.190]

496
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
Il valore misurato di 81 00 (Mercurio) è in eccellente accordo con la predizione della re­
latività generale (l'avanzamento secolare del perielio di Mercurio è, in realtà, di 574";
di questi, 532" possono essere attribuiti, usando la teoria newtoniana, alle perturba­
zioni degli altri pianeti : la relatività generale spiega la differenza 574" - 532" = 43").
Un' altra verifica molto precisa delle predizioni della relatività generale viene dalla
precessione del periastro della pulsar binaria PSR 1913 + 16 (§ l 1.16.2).
11.14 . La deflessione della luce
Nel § 11. 2 abbiamo visto che il principio di equivalenza prevede che il campo gra­
vitazionale defletta i raggi luminosi. La metrica di Schwarzschild [ 11.148) permette di
valutare quantitativamente questo effetto nell 'intorno di un corpo sferico di massa M.
Il nostro punto di partenza sarà l'equazione [ 11.175], in cui, volendo studiare la
traiettoria di un fotone, porremo m = O:
d2u
_
3GM 2
d<p2+u---cr-u.
L'equazione omogenea associata,
d2uo
-
d<p2+uo-O,
ha come soluzione
cos <p
uo = -b- cioè
1
b
r=---­
o
-
Uo
-
COS<p'
[11.191)
[11.192)
[11.193)
che rappresenta una retta posta a distanza b dal centro di gravità (la linea tratteggiata in
fi g. 11. 7). Poiché la [ 11.191] differisce dalla [ 11. 192) per il termine (3 GM/c 2) u2 , che è
tipicamente molto piccolo, possiamo sostituire, nel secondo membro della [1 1 .191),
u con u0. Avremo così
d2u
?
d<p2+u=acos-<p,
b
Figura 11.7
3GM
a=
b2c2 ,
[11.194]
y
rpr
-a---------------------------
X
Deflessione di un raggio luminoso nel campo gravitazionale di un oggetto sferico.

11.14 I La defl essione della luce
la cui soluzione, come si verifica per sostituzione diretta, è
1cos<pa
cos<p GM
.
u =-;:=-
b
-+3(2-cos2<p)=-b-+
b2c2 (cos2<p+2sm2<p).
497
[11.195]
Questa è, in coordi nate polari , l'equazione della traiettoria di un raggio di luce sog­
getto al campo gravitazionale di un corpo sferico di massa M. In coordinate cartesiane
x = r cos <p, y = r sin <p, la [11.195] diventa, moltiplicando primo e secondo membro
per r,
x
GMx2+2y2
1 =-+--
-y-r
,
b beYx2+y2
e da qui si ricava
GMx2+2y2
x=b- 2--
--
bc Yx2+y2·
[11.196]
[11.197]
Gli asintoti della traiettoria si ottengono ponendo y >> x, e sono quindi le rette di
equazione
1 2GM
-
b+-,;
;;z
y
X-
2GM
b--,;
;;z
y
( y<O)
[11.198]
(y>O).
L' angolo a di deflessione del raggio luminoso (fig. 11. 7) è il doppio di quello che gli
asintoti fo rmano con la retta x = b, che vale 2GM/b c 2 • Si ha perciò
4GM
a=--.
[11.199]
bc2
Nel caso di un raggio di luce deflesso in prossimità della superficie solare , i parametri
sono
M=Mo=1.99X1030kg, b=R0=0.7X109m,
e l'angolo di deflessione vale quindi
a=
4GM�=8.47X10-6rad=1.75".
R0c
[11 .200]
[11.20 1]
Le prime verifiche della deviazione dei raggi luminosi a opera del campo gravita­
zionale solare fu rono effettuate all'isola del Principe (Golfo di Guinea) e a Sobral
(nord-est del Brasile) da Dyson, Eddington e Davidson, durante l'eclisse totale di
Sole del 1919. L' accordo, entro l'errore sperimentale, tra i risultati delle osservazioni
e la predizione relativistica [11.20 1] decretò il successo scientifico della relatività ge­
nerale (che detronizzava, dopo quasi due secoli e mezzo, la teoria newtoniana della
gravitazione) 1 7 e segnò l'inizio della popolarità mondiale di Einstein.
17 La deflessione prevista dalla re latività generale è il doppio di quella che ci si attende sulla base della
teoria newtoniana, trattando la luce come un fa scio di particelle aventi un'energia per unità di massa
c2/2 (vedi Problemi).

498
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
Le osservazioni di Eddington e collaboratori avevano incertezze del 10-30%. Per
molti decenni le misure ottiche non sono riuscite a fare molto meglio. Verifiche più
precise - con un' accuratezza di una parte su 103 - sono state compiute di recente stu­
diando la deflessione, da parte del Sole, delle onde radio emesse da quasar. 18
11.15 . Conclusioni
Siamo arri vati alla fine del nostro lungo percorso attraverso la teoria einsteiniana
della rel ati vità, una delle conquiste intellettuali più elevate del Novecento. Abbiamo
cercato di illustrarne la struttura logica, le predizioni, le implicazioni concettuali, le ve­
rifiche sperimentali, l'uso come linguaggio corrente della fi sica moderna. Abbiamo vi­
sto che essa nasce e prende forma nella mente di un solo uomo, Albert Einstein, con l'o­
biettivo di risolvere incongruenze teoriche, unificare concetti apparentemente distinti,
stabilire simmetrie , offrire un quadro matematicamente elegante del mondo fi sico.
L' altra grande invenzione teorica del secolo scorso, la meccanica quantistica, svi­
luppatasi compiutamente negli anni 1925-26, ha trov ato un punto d'incontro con la re­
latività speciale dapprima nella meccanica q uantistica re lativistica di Dirne (l928-3 1 ),
poi nella teoria q uantistica dei campi, fr utto del lavoro collettivo (tra gli anni trenta
e gli anni cinquanta) di una serie di fi sici, tra i quali Heisenberg, Pauli, Weisskopf,
Fermi e Bethe nella fase iniziale, Feynman, Schwinger, Tomonaga e Dyson nella fa se
di elaborazione definitiva (1946-50).
Ciò che ancora manca è una sintesi tra la meccanica quantistica e la relatività gene­
rale, cioè una teo ria q uantistica della gravitazione. Alcuni dei tentativi più promet­
tenti in questa direzione (supergravità, teorie di stringhe e di membrane, M-theory)
sviluppano, in modi diversi, una vecchia idea proposta da Theodor Kaluza e Oskar
Klein tra il 1921 e il 1926 allo scopo di unificare la gravitazione e l'elettromagneti­
smo. Nella teoria di Kaluza-Klein lo spazio-tempo ha cinq ue dimensioni : le compo­
nenti addi zionali del campo gravitazionale rappresentano il campo el ettromagnetico.
Poiché le dimensioni spazio-temporali effettivamente osservate sono quattro, bisogna
ipotizzare che la quinta dimensione sia «arrotolata» su un cerchio molto piccolo, del­
!' ordine della lunghezza di Planck Lp =VhG/c 3 � 1o- 3 5 m. Questa idea è stata ripresa,
negli ultimi decenni, in molte teorie di unificazione, che hanno immaginato universi
di varia dimensionalità. Sebbene sia troppo presto per dire quale sarà la corretta teoria
unitaria delle interazioni fo ndamentali (la «teoria del tutto»), è ragionevole pensare,
alla luce delle attuali ricerche, che lo spazio-tempo si rivelerà più ampio di quello che
abitualmente sperimenti amo .
18 D. E. Lebach e altri, in «Phys. Rev. Lett. », 75, 1995, p. 1439.

11.16 I Complementi
499
11.16 . Complementi
11.16.1 . Il principio di Mach e l'origine dellefo rze inerziali
Il principio di Ma ch si articola in due assunzioni:
• I sistemi di riferimento inerziali sono i sistemi non accelerati rispetto alle stelle
fisse, ovvero rispetto a una media di tutta la materia dell' universo.
• L' origine delle fo rze inerziali risiede nell' attrazione gravitazionale esercitata dalle
masse (stelle, galassie ecc .) presenti nel l'universo.
Supponi amo, ad esempio, che nell ' universo esistano solo due corpi. È possibile
stabilire se essi ruotano attorno al proprio baricentro? Secondo Newton, per rispondere
a questa domanda, basta rivelare un' eventuale forza centrifuga: due corpi in rotazione
assoluta sono infatti soggetti a una fo rza di questo tipo. Secondo Mach (e, prima di
lui, secondo Leibniz e Berkeley), non vi può essere, nel caso in questione, una fo rza
centrifuga: il motivo è che le fo rze inerziali sono legate all' accelerazione relativa dei
corpi ri spetto al resto della materia presente nell' universo, il quale, nell' esempio con­
siderato, è vuoto .
La relazione che il principio di Mach istituisce tra inerzia e gravitazione e l'accen­
to che esso pone sulla relatività del moto influenzarono il pensiero di Einstein (come
egli stesso riconobbe). Le osservazioni di Mach, tuttavia, rimangono essenzialmente
qualitative. Un tentativo di porle in una fo rma semiquantitativa è stato compiuto, in
tempi più recenti , da Dennis Sciama. 1 9 Presenteremo ora questo approccio.
Si consideri , in un sistema di riferimento inerziale, un corpo di massa m soggetto
alla forza F . L' equazione del moto di Newton è
F=ma.
[11.202)
In un sistema di riferi mento accelerato solidale col corpo si ha a '
=O, e quindi esiste
una forza inerziale Fi n che cancella F ,
Fi n +F=O.
[11 .203)
Confrontando la [ 11.202) e la [ 11.203) si trova
Fin = -ma.
[11 .204)
Nello spirito del principio di Mach, Fi n deve essere dovuta ali'attrazione gravitazio­
nale di tutte le masse esistenti nell' universo. La fo rza di gravità statica
F_GMm
g- rz
[1 1 .205)
19 Cfr. D . W. Sciama, La relatività generale, Zanichelli, Bologna 1972.

500
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
non dipende dall'accelerazione dei corpi e non può quindi generare la [11 .204] . Inol­
tre essa varia come l'inverso di r 2 , il che fa sì che gli effetti delle masse vicine, come
la Terra e il Sole, siano dominanti, e quelli del resto dell ' universo trascurabili. Postu­
liamo allora che esista una fo rza gravitazionale analoga alla fo rza elettromagnetica
prodotta da cariche accelerate, la quale, come è noto, va come llr, e non come l /r2 • La
fo rza esercitata da una massa M su un corpo di massa m e accelerazione relativa a,
posto a distanza r, avrà quindi la fo rma
Facc _ GMm
g-
c
z
r
a.
[11.206]
Questa è chiamata da Sciama legge di induzione inerziale . È cruciale il fatto che in
essa compaia, in virtù del principio di equivalenza, la massa inerziale m del corpo di
prova. Secondo Sciama, è la F�cc
che va identificata con la fo rza inerziale F;n cui è
soggetto il corpo. Sostituendo nella [11.206] M con dM = pM d 3x, dove PM è la densità
di materia dell' universo (che supporremo costante), e integrando sul volume di tutto
l'universo osservabile, si ottiene (U = universo)
Facc -
JGm
d3-
4 nGmapM
Jl 2d
8 - -,-apM x-
2
-r
r.
ucr
e
ur
[11 .207]
L'integrale è dominato dalle grandi distanze, e anzi diverge se lo estendiamo fi no a
r = 00• Si pone dunque il problema di stabilire quale sia l'estremo superiore di integra­
zione. È noto che le galassie recedono da noi con una velocità v data da
v=Hd,
[1 1 .208]
dove d è la loro distanza e H è la costante di Hubble. Poiché v non può eccedere e, l'o­
rizzonte al di là del quale le galassie non sono osservabili è collocato a una distanza
c!H. Usando questa quantità come estremo superiore di integrazione nella [1 1.207], si
trova
Facc
-
(2 nGpM )
g-
Hz
ma.
[11.209]
Questa fo rza deve coincidere con la fo rza inerziale [ 1 1.204] . Se il modello di Sciama
è, almeno a grandi linee, corretto , dovremo perciò avere
Con le stime attuali di H e PM•
H=0.7X10-ioanni-1
,
PM=0.4X10-26kgm-3
,
[1 1.210]
[11.21 1]
il rapporto [1 1.210] vale circa 0.3, e quindi non differisce molto dall'unità. Si tratta
di un risultato incoraggiante, che avvalora la formulazione di Sciama del principio di
Mach.

11. 16 I Complementi
501
11.16.2 . Le onde gravitazionali
Nel limite di campo debole (gμ v =TJ
μv + hμv, con Ihμvl << l), le equazioni di Ein­
stein [ l l.146] si lineari zzano e, per T
μ v =O, diventano approssimativamente
Dhμv = O.
[l1 .212]
Questa equazione di d' Alembert, simile all'equazione per il potenziale elettromagne­
tico A
μ
nel gauge di Lorentz, ammette come soluzioni le onde gravitazionali
hμv(x) = e
μv(k)e- ik
·
x
,
[1 1.213]
con
k2 =O.
[1 1.214]
Come nel caso elettromagnetico (vedi § 9.5), ci sono alcune condizioni sulle ampiezze
e
μ v (k) che fa nno sì che solo due di esse siano indipendenti, cioè che esistano solo due
stati fi sici di polarizzazione.
I quanti del campo gravitazionale sono detti gravitoni e hanno massa nulla, come i
fotoni. Ma, a differenza di questi , che sono descritti dal campo vettoriale A
μ
(x) e hanno
spin 1, i gravitoni sono descritti dal campo tensoriale h
μ v (x), e hanno quindi spin 2 (si
ricordi la classificazione dei campi del § 1 0 . 6).
La potenza delle onde gravitazionali generate da masse in moto accelerato è, salvo
casi speciali, estremamente piccola (per fare un esempio, la potenza gravitazionale ir­
radi ata dalla Terra a causa del suo moto di rivoluzione è di 200 W) . Ciò rende queste
onde molto elusive e ha fi nora impedito la loro osservazione diretta. La speranza at­
tuale è di poterle rivelare grazie alle antenne interferometriche degli esperimenti uoo
(USA) , VIRGO (Italia-Francia) e TAMA300 (Giappone).
Una conferma indiretta dell 'esi stenza di onde gravitazionali è venuta dallo studio
della pulsar binaria PSR 1913 + 16, scoperta nel 1974 da Hulse e Taylor. Si tratta di un
sistema costituito da due stel le di neutroni in orbita l'una attorno all ' altra con un pe­
riodo di circa 8 ore. Una delle due stelle emette impulsi elettromagnetici a intervalli
regolari di 59 ms, che permettono di determinare in maniera molto accurata i dati or­
bitali della pulsar. Come si vede dalla fi gura 11. 8, le misure della precessione del peria­
stro effettuate su un arco di tempo di qualche decina d'anni sono in ottimo accordo con
le predizioni della relatività generale, una volta che si tenga conto anche della radia­
zione gravitazionale emessa dalla pulsar (la cui potenza è dell'ordine di 102 4
W).20
11. 16 .3. L 'azione di Hilbert-Einstein
Le equazioni del moto di Einstein [ 11. 146] possono essere derivate da un principio
variazionale. L' azione del campo gravitazionale, detta azione di Hilbert-Einstein, è
[11.215]
20 J . H. Taylor, in «Rev. Mod. Phys.», 66, 1994, p. 711.

502
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
<i
i'
g-5
"'
"'
·;:
:
Q)
c.
Ci
i
� -10
c.
E
�
Ci
i
� -15
>
·
�
:J
-E
:J
� -20
e:Q)
E
�"'
g_ -25
cn
Predizione della rel atività generale
1975 1980 1985 1990 1995
Anno
Figura 11.8
2000
Misure della prec essione del periastro della pulsar binaria PSR 1913+ 16 confrontate con la predi ­
zione della relatività generale, che tiene conto del le onde grav itazionali emesse dal la pulsar.
Fonte C. M . Will , preprint gr-qc/O 103036 cit.
dove g è il determinante di g μ v
e R è la curvatura scalare,
_
μv
_
μv(dfiv_ dfip f"fP _fPf")
R-g Rμv
-
g
dxP dxv
+μvap
avμp·
La variazione a volume fi ssato dell'integrale [1 1.215] è
[1 1.216]
8fd4xv=gR=fd4xv=gRμvbgμv +fd4xR8v=g+fd4xv=ggμv8Rμv·
[1 1.217]
Cominciamo col calcolare 8v=g:
s:,�__ l
s:__
I �s:μv
uV-g
-
,
�ug-
,
�:iμvug .
2 v-g
2y-gug
[1 1.218]
La derivata dgldgμ v è il complemento algebrico2 1 di g μv
, cioè il determinante della
matri ce che si ottiene cancel lando la μ-esima riga e la V-esima colonna di g μ v . Poiché
21
Per le nozioni sui determinanti di cui fac ciamo uso in questo paragrafo, si veda, ad esempio, A. C .
Aitken, Determinanti e matrici, C remonese, Roma 1967, pp. 43, 59.

11.16 I Complementi
503
gli elementi della matri ce inversa di gμ v
, che è g μ v ' sono i complementi algebrici di
gμv
divisi per g , cioè
[1 1.219]
si ha
[1 1 .220]
e la [11.218] diventa così
[1 1.22 1]
Sostituendo questa espressione nella [1 1.217], si ottiene
8Jd4xv=gR=Jd4xv=g(Rμv
-
�gμvR)ogμv +Jd4xv=ggμv
8Rμv·
[11 .222]
Se il tensore di Ricci viene espresso in fu nzione delle g μ v attraverso i simboli di Chri­
stoffel, si tro va22 che il secondo termine nella [1 l.222] è un termine di superficie che
non contribuisce alla variazione dell 'azione. Si ha quindi
[11 .223]
Il principio di azione stazionaria
[1 1 .224]
implica, alla luce della [1 1.223],
[11 .225]
Questa è l'equazione di Einstein del campo gravitazionale in assenza di sorgenti .
Consideriamo ora una sorgente di energia rappresentata da un generico campo <p.
L' azione di <p ha la fo rma (si noti l'elemento di volume invariante)
[11.226]
dove 51!, è la densità di Lagrangiana. Per calcolare 8S'P dobbiamo variare sia <p che il
tensore metrico g μ v
. Ponendo uguale a zero la variazione di Scp rispetto a <psi ottengo-
22
La dimostrazione è data da Landau e Lifshits, Teoria dei campi cit., pp. 360-6 l, o da V. de Sabbata e
M. Gasperi ni, Introduction to gravitation, World Scientific, Singapore 1985, pp. 44-5 1.

504
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
no le equazioni del moto per il campo <p. A noi interessa solo la variazione di S"' ri­
spettoa gμv
, cheè
8S =__!_fd4x[
èJ(\l=g5f)
8μv+
èJ(\l=g5f)
8()μv]=
"'e
agμ v
g
()()
pgμv
pg
=
lfd4x [
èJ(\l=g5E) - èJ
èJ(\l=g5f)J8μv
e
èJgμv
p ddpgμv
g,
[1 1.227]
dove abbiamo integrato per parti e usato il fatto che 8g μ v =Osul contorno del volume
di integrazione. Introducendo il tensore T
μ v definito da
__!_
_
.�T =
èJ(\l=g5f)
-
èJ
èJ(\l=g5f)
2V-g μv
dgμv
p ddpgμv
la [ 1 1.227] si riscrive come
i;, __1
_
J4 .�
i;,μv
uS'P -
2c
dxv-gTμvug .
[11.228]
[1 1 .229]
L' azione completa del sistema costituito dal campo <p e dal campo gravitazionale g μ v è
s=Sg+s'P= -
l:;GId4x\l=gR ++Id4x\l=g5E.
[ 11.230]
L'in terazione tra i due campi è incorporata nel secondo termine. Usando la [11 .223] e
la [ 1 1.229], si trova che la condizione di stazionarietà per S è
8S=Jd4x\l=g[-
1;;G(Rμv
-
+gμvR) +
2
1
c
Tμv]8gμv =O,
[1 1.23 1]
e da questa si ricavano le equazioni di Einstein in presenza di sorgenti,
[ 11.232] '
Il tensore T
μ v è quindi il tensore di energia-momento del campo descritto dalla La­
grangiana 5f . Si noti che esso è, per costruzione, simmetrico .
Per illustrare i risultati appena ottenuti, studiamo l'interazione tra il campo elettro­
magnetico e il campo gravitazionale. L'azione è in questo caso
S=Sg+Sem= -
l:;GJd4x\l=gR -
16
1
nc
Jd4x\l=gFμv
Fpag μpg va, [ 11.233]
dove abbiamo scritto la Lagrangiana del campo elettromagnetico esplicitando i tensori
metrici. Poiché
[11 .234]

11.16 \ Complementi
505
per T�/3 si trova, usando la [1 1 . 228],
Tem
=
_2_ d(yCg�em)
= _l_F Fμv
__l_F
afJy:
::g
dgafl
16n μv
ga/3 4n ap
Fl,
[11.235]
e questo è effetti vamente il tensore simmetrizzato di energia-momento del campo
elettromagnetico [ 10.320].
1 i .16.4. il «paradosso degli orologi» in relatività generale
Nel § 3.8.3 abbiamo discusso, nell' ambito della relatività speciale, il cosiddetto
«paradosso degli orologi» e le sue verifiche sperimentali. Si è detto allora che, nell'a­
nalizzare i ri sultati degli esperimenti in cui si misura la differenza tra il tempo proprio
di un orologio fermo al suolo e quello di un orologio aerotrasportato , occorre tener
conto degli effetti gravitazionali. Il nostro proposito ora è di studiare quantitativa­
mente questi effetti facendo uso della metrica di Schwarzschild.
Consideriamo due orologi (1 e2) identici e sincronizzati : l'orologio 1 è fe rmo sulla
superficie terrestre, mentre l'orologio 2 è a bordo di un aereo che percorre un' orbita
circolare attorno alla Terra a un' altezza h e con velocità v rispetto al suolo . Supporre­
mo per semplicità che I sia collocato all'equatore e che l'orbita di 2 sia anch 'essa
equatori ale (fig. 11. 9).
Il tempo proprio dei due orologi è dr= d s/e, dove ds è la metrica di Schwarzschild
[11.148]. In particolare, l'in terv allo di tempo proprio misurato dall'orologio 1 dopo
una rotazione attorno al l'asse terrestre è (con r = Rff! (raggio terrestre), d r = O, e gli
assi scelti in modo che il piano equatoriale corrisponda a 1'f = n/ 2)
[ 11.236]
dove Qff! = d <pld t è la velocità angolare di rotazione della Terra.
/.•
Centro della Te rra
Equato re
Figura 11.9
L'orologio 1 è fermo al suolo, in un punto
all' equatore ; l'orologio 2 viaggia a bordo di
un aereo lungo un'orbita equatoriale.

506
Introduzione alla relatività generale I Cap. 11
L' intervallo di tempo proprio misurato dall'orologio 2 è invece
[11.237]
Usando la form ula classica di addizione delle velocità (che è appropriata al caso in
questione, dal momento che il moto dell' aereo è non relativistico), si ha
[1 1.238)
dove il segno superiore corrisponde al moto dell ' aereo verso est, mentre quello infe­
riore corrisponde al moto verso ovest. Se l'aereo si muove verso est, infatti, alla sua
velocità rispetto al suolo occorre sommare quella di rotazione della Terra (che, in
questo caso, ha la stessa direzione); se l'aereo invece si muove verso ovest, la velocità
di rotazione della Terra va sottratta. Sostituendo la [ 11. 238] nella [ 1 1.237) si trova
1-
2GMffi _ [(Rffi+h)Qffi::':
::
v]2
A
c2(Rffi+ h)
c2
ut.
[1 1 .239)
La quantità che ci interessa calcolare è la differenza percentuale dei tempi propri
misurati dai due orologi, cioè
I dati relativi alla Terra sono
Per ciò che concerne l'aereo, assumeremo come parametri tipici
Valgono dunque le seguenti disuguaglianze forti :
hQffi l
--<<
V
,
sfruttando le quali, si ottiene appro ssimativamente dalle [ 11. 236, 11. 239)
o=GMffih+vQffiRffi__i!_
c2Rffi
c2
2c2 '
[11.240]
[11 .242]
[11 .243]
[11 . 244]
dove il segno - ( +) si riferisce al moto dell'aereo verso est (ovest). Si noti che, ri­
spetto al risultato [3. 104] della relatività speciale, compare il termine aggiuntivo

11.16 I Complementi
507
GMff!h/c2Rff!, dovuto al campo gravitazionale terrestre . I tre termini nella [11 .244)
valgono separatamente
v2
-
-
12
2c2
-
0.5X 10 , [11.245)
e sono, come si vede, dello stesso ordine di grandezza. Per 8 si ottiene
{-l.0·10- 1 2
8=
+2. 2·10
-
12
(volo verso est)
(volo verso ovest) .
[11.246)
Nonostante si tratti di un effetto molto piccolo, esso è stato ripetutamente verificato
per mezzo di orologi atomici, la cui accuratezza è attualmente di una parte su I 0 1 4
(oltre all 'esperimento di Hafele e Keating già menzionato nel § 3.8 .3, ci limitiamo a
ricordare le misure dell'Istituto Elettrotecnico Nazionale «G. Ferraris» di Torino).2 3
11.16. 5. I buchi neri
Nella fase fi nale della loro evoluzione, le stelle più pesanti cessano di produrre
energia e collassano per effetto dell' autoattrazione gravitazionale. Il raggio di una stel­
la che collassa diminuisce progressivamente fi no a raggiungere il valore di Schwarz­
schild Rs = 2GM/c2 : la stella si trasforma così in un buco nero, un oggetto da cui non
emerge alcuna informazione, che può essere rivelato solo indirettamente, attraverso le
sue interazioni con la materia circostante . Per definizione, un buco nero è un corpo il
cui raggio è uguale al raggio di Schwarzschild.24 In mancanza di una teoria quantistica
della gravità, non sappiamo esattamente cosa succede alla stella dopo I ' attraversamen­
to della superficie di Schwarzschild. Po ssiamo però usare la relati vità generale per stu­
diare la cinematica del collasso gravitazionale e alcune proprietà dei buchi neri .
Faremo vedere innanzi tutto che, mentre il tempo proprio che una stella collassante
impiega per restringersi fi no al raggio di Schwarzschild Rs (e poi fi no a r = O) è fi nito,
per un os servatore esterno il corrispondente intervallo di tempo è infinito (e quindi la
stella rimane sempre al di fu ori della superficie r = R5) . Per derivare questo risultato ,
torni amo all a metrica di Schwarzschild,
ds2=(1-
2GM
)c2dt2 - (1-
2GM
)-1
dr2 - r2dn2,
c2r
c2r
[1 1 .247)
e studiamo il moto di una particella di massa m in caduta radiale sulla superficie r =
= Rs = 2GM/c2, e poi verso r = O. Il momento angolareL dellaparticellaè nullo e, se
- come supporremo per semplicità - la particella è a riposo a distanza infinita dal cen­
tro di gravità, la sua energia è E = mc2 • Dalla [ 11.171] si ottiene allora (con ds = cdr)
(�)2
=
2GM
dr
r'
2 3 L. Briatore e S. Leschi utta, in «Lett. Nuovo Cim.», 6, 1976, p. 203.
[11 .248)
24 Poiché la velocità di fuga da un corpo di massa Me raggio R è v1 = V2GMIR , la condizione R < R5
equivale a v1 > e: la velocità di fuga dall'interno di un buco nero è quindi superiore alla velocità della luce.

508
Introduzione alla relatività generale I Cap. I I
da cui
dr= -
J2;
M
dr,
[11 .249]
dove il segno meno è dovuto al fatto che il moto è diretto verso il centro (e quindi, all'au­
mentare di r, r decresce). Integrando la [ 1 1.249] si calcola il tempo proprio che la parti­
cella impiega a cadere, da una distanza R, sulla superficie di Schwarzschild (r = R5) :
�r=
r312 =
(R312 _ R312).
2
\R
2
3\12 GM
R
,
3\12 GM
s
Dopo un ulteriore intervallo di tempo proprio
�r' =
2
r312
\R,
=
2
R312 =
2Rs
3\12 GM
0
3\12 GM
5
3c'
[ll.250]
[11.251]
laparticella raggiunge il centro di gravità (r= 0). Se immaginiamo che la particella
si trovi sulla superficie di una stella che sta collassando, i ri sultati [I 1.250, 11. 25 1]
mostrano che, per un osservatore solidale con la stella, il collasso avviene in un
tempo fi nito.
Per calcolare i corri spondenti intervalli di tempo coordinata t (quello misurato da
un osservatore esterno) usiamo la [ 11. 166], che con E=mc2 dà
dr
dt= --R
-
,
s
1--
r
e, combinata con la [ 1 1.249],
H:
cdt= -- dr
l-
Rs'
r
[11.252]
[11 .253]
Evidentemente, l'in tegrale del secondo membro diverge quando r tende a R5 (fig.
11. 10). Se ne conclude che per un osservatore esterno il collasso della stella avviene
in un tempo infinito, e la stella appare «congelata» sulla superficie di Schwarzschild.
Nel caso - su cui ci stiamo fo calizzando - di moto radiale, l'equazione dei coni­
luce (ds2 = 0) è, in base alla [11.247],
dr
l
e
dr
=
2:
l-
Rs
.
r
[1 1 .254]
Da qui si vede che, avvicinandosi a r = R5 per valori superiori a R5, i coni-luce della par­
ticella si restringono sempre di più (fig. 11.1O). Di conseguenza, gli eventuali segnali in­
viati dalla particella hanno linee d'universo sempre più verticali in un diagramma ( e t, r)
e, nel limite r � R5, tendono a rimanere intrappolati sulla superficie di Schwarzschild.

11.16 I Complementi
et
r
509
Figura 11.10
Diagramma spazio-temporale del collasso gravi­
tazionale di una stella (in coordinate di Schwarz­
schild). Le curve sono le linee di universo della
superficie della stella.
Fonte C.W.Misner, K.S.Thorne e J.A.Whee­
ler, Gravitation, Freeman, San Francisco 1973.
Esploriamo ora, in maniera qualitativa, il moto all'interno della superficie di
Schwarzschild (cioè dentro il buco nero). Se la [1 1 .247] viene estesa analiticamente
alla regione r < R5, la g00 diventa negativa e la g 11 positiva. Ciò significa che t assume
il carattere di coordinata spaziale, mentre r assume il carattere di coordinata tempora­
le. La condizione ds2 >O, che caratterizza il moto di una particella materiale, è soddi­
sfatta solo se d r =I= O: ali'interno del buco nero, dunque, la materia non può essere sta­
tica. Inoltre , l'inversione dei ruoli di r e t fa sì che i coni del fu turo siano «ruotati»
verso l' asse r = O (vedi fi g. 11. 10). Di conseguenza, particelle e segnali sono obbli­
gati a muoversi verso il centro (che è una vera singolarità dello spazio-tempo): niente
-
nè materia nè radiazione - può sfuggire al buco nero, e la superficie di Schwarz­
schild r = Rs rappresenta quindi un orizzonte degli eventi, nel senso che tutto ciò che
da fuori la attraversa scompare alla «vista» di un osservatore esterno. Questa è la più
importante proprietà dei buchi neri nell' ambito di una teoria classica della gravitazio­
ne, quale è la relatività generale. È possibile che una teoria quantistica della gravita­
zione modifichi questo scenario: in effetti, è stato mostrato da Hawking2 5 che un buco
nero può emettere radiazione per effetto tunnel quantistico.
25 S. W . Hawking, in «Commun. Math . Phys.», 43, 1975, p. 199.

510
Introduzione alla relatività generale I Cap. ! I
Problemi
1. Accelera�ion i residue
Una stazione spaziale è in orbita circolare attorno alla Terra, a di stanza R dal centro terre­
stre . Calcolare le accelerazioni residue sulla parete superiore e sulla parete inferi ore della sta­
zione (di altezza L).
Suggerimento. Al centro della stazione l'accelerazione centrifuga bilancia quella di gravità:
v2
CMff!
R
=
Rl.
Le accelerazioni residue sulle pareti superiore ( + ) e inferiore ( - ) sono
v2
CM
a+= -
L-(
ff!).
-
R±2
R±t
2
2. Curvatura di una sfe ra
Si consideri, sulla superficie di una sfera di raggio R, un cerchio di raggio a e circonferenza
C. Mostrare che C vale
2
.
a
C= nRsm
R
e la curvatura K = l/R 2 è quindi data da
K=l._ lim
(2na ;- e).
lra--> 0
a
(Per un piano, ovviamente, C = 2 na e K =O, mentre per una pseudosfera si ha C = 2 nR X
X sinh(a/R) e K<O, vedifig. 11.11).
Piano
/
"
•
'
C=2n:a
oFigura 11.11
Sfe ra
C <2n:a
Circonferenze su superfici di diversa curvatura: piano, sfera, pseudosfera.
Pseudosfera
C> 2n:a

Problemi
3. Cu rva tura di una pseudosfe ra
La metrica di una pseudosfera di raggio R è
ds2 = R2(dX2 + sinh2Xd<p2),
con
O<x<oo,
O�<p�2n.
Mostrare, applicando la form ula di Gauss [ 11. 24 ], che la curvatura è K = - 11R 2 •
4. Curvatura di una superfi cie bidimensionale
Sia data una superficie bidimensionale di metrica (in coordinate polari r e l/J)
ds2 =f(r)dr2 + r2dljJ2.
511
Usando la form ula di Gauss [ 1 1.24], si determinif(r) in modo tale che la curvatura della super­
fi cie sia costante e valga K.
Risposta :
ds2=(1-Kr2)-1
dr2 + r2d</J2.
5. Raggio di Sch warzschild
Calcolare il raggio di Schwarzschild di una galassia (M = 1011 masse solari) e di un protone.
6. Co ordinate di Kruskal
Si mostri che, introducendo le coordin ate di Kru skal u e v, legate are t da (R5 è il raggio di
Schwarzschild)
u= �e2�'sinh(-
1
)]
V1-R;
2Rs
R
per r<R5
v=1-_!_
e 2�' cosh (-t-)
R5
2R5
la metrica di Schwarzschild [ 11.148] assume una fo rma che non presenta alcuna singolarità per
r=R5.
Risposta. La metrica di Schwarzschild in coordi nate di Kruskal è
4R3 __r_
ds2=--
5
e R, (dv2 - du2) - r2(diJ2+ sin2 !Jd<p2),
r
dove r va intesa non come una coordinata ma come una fu nzione di u e v definita implicita­
mente da

512
Introduzione alla relatività generale \ Cap. I I
7. Deflessione della luce nella teoria newtoniana
Calcolare , nell'ambito della teoria newtoniana, langolo a di deflessione di un raggio lumi­
noso nel campo gravitazionale di un corpo sferi co.
Suggerimento. Si usi la [ 11. 176] ponendo Llm =be (il momento angolare per unità di
«massa» del raggio luminoso - o, se si preferisce, del fotone - è il prodotto del parametro d' ur­
to b per la velocità della luce) .
Risposta :
8. Raggio luminoso orbitante
Determinare le dimensioni dell' orbita circolare stazionaria di un raggio luminoso attorno a
un corpo sferico di massa M.
Risp osta. Il raggio R dell' orbita è legato al raggio di Schwarzschild R5 del corpo di massa
Mda:

Appendici

Appendice A
Calcolo vettoriale
Vettori e scalari
Un vettore A nello spazio euclideo tridimensionale (un «trivettore») è una terna
[A. 1]
i cui elementi si trasformano, rispetto a una rotazione degli assi rappresentata dalla
matrice R = {RiJ } , nel seguente modo:
3
A;=�R;1A1 (i=1,2, 3).
j=I
Uno scalare IJ!è una quantità che rimane invariata rispetto alle rotazioni,
l/f'=l/f.
[A.2]
[A.3]
Nel libro adottiamo sistematicamente la cosiddetta convenzione di Einstein, secondo
cui gli indici ripetuti si intendono sommati. La [A.2] si riscrive perciò come
[A.4]
Usando componenti cartesiane, come faremo sempre salvo indicazione contraria,
[A.5]
avremo l'identificazione
A1 =Ax,
A2=Ar A3=A,.
[A.6]
Il modulo del vettore A è
[A.7]
Il prodotto scalare di due vettori A e B è
A·B =A;B;=A1B1+AzB2+A3B3=AxBx+AyBy+A,B,.
[A.8]

516
Calcolo vettoriale I Appendice A
La delta di Kronecker oij è definita come
se i=j
se i*j
cosicché il prodotto scalare [A.8] può anche essere scritto come
[A.9]
[A. 10)
Il simbolo di Levi-Civita E;J k è un tensore completamente anti simmetrico negli in­
dici . Le sue componenti con due o più indici uguali sono nulle; le altre valgono + 1 o
-
1. In particolare :
E123 = E231= E312 =+1,
E132=E321=E213= - 1.
Alcune utili identità riguardanti E;J k sono:
Eijk Eitm = 0110km - �mOkt•
Eijk EiJl = 20ki.
E;jk EiJk = 6.
Il prodotto vettoriale di due vettori A e B è un vettore C,
C=AXB,
le cui componenti sono
Identità notevoli
Prodotti scalari e/o vettori ali in serie:
A·(BXC) = B·(CXA) = C·(AXB),
AX(BXC)=(A·C)B-(A·B)C.
Applicando queste identità si ottiene
(AXB)·(CXD)=(A·C)(B·D)-(A·D)(B·C)
e, come caso particolare,
[A.11]
[A. 12)
[A. 13)
[A. 14)
[A. 15]
[A. 16]
[A. 17]
[A. 18]
[A.19]
[A.20]

Appendice A I Calcolo vettoriale
517
Campi vettoriali e campi scalari
Consideriamo ora dei campi vettoriali e scalari nello spazio euclideo tridimensio­
nale R3, del tipo 1
A(x) campo vettoriale
ljl(x) campo scalare
dovex = (x, y, z)è ungenericopunto di R3.
Il gradiente di un campo scalare ljl(x ) è un campo vettoriale V ljl dato da
La divergenza di un campo vettoriale A(x ) è il campo scalare
V.A =
<Mx
+
aAy
+
aA,
.
axayaz
Introduciamo l'operatore di ffere nziale gradiente, definito come
dove
Con queste notazioni, la divergenza può essere scritta nella forma
V·A =a;A;.
[A.21]
[A.22]
[A.23]
[A.24]
[A.25]
La divergenza del gradiente di un campo scalare ljl(X) è il cosiddetto laplaciano di ljl.
Lo si indica con V 2 l/f e la sua espressione è
Infine, il rotore di un campo vettoriale A (x ) è il campo vettoriale
VXA=
(aA,_aAyaAx_aA,aAy_aAx)
ay az
,
az ax
,
axay,
ovvero, fac endo uso del simbolo E;jb
(V XA); = e;jkajAk.
[A.26]
[A.27]
[A.28]
1 Per maggiori dettagli rimandiamo, ad esempio, a Ph . M . Morse e H. Feshbach, Methods of Th eoretical
Physics, McGraw-Hill, New York 1953, voi. I, cap. I. È sufficiente per i nostri scopi anche l'Appendice A
di S. Bobbio e E. Gatti, Elementi di elettromagnetismo, Bollati Boringhieri , Torino 1984.

518
Calcolo vettoriale I Appendice A
Identità notevoli
Indichiamo con A e B dei generici campi vettoriali e con li' un generico campo sca­
lare. Valgono le seguenti identità:
Vx(VXA)=V(V·A)-V2A
V·(l/fA)=A·Vl/f+l/fV·A
VX(l/fA)=Vl/fXA+l/fVXA
V(A·B)=(A.V)B+(B·V)A+AX(VXB)+BX(VXA)
V·(AXB)=B ·(VXA)-A ·(VXB)
VX(AXB)=A(V·B)-B(V·A)+(B·V)A-(A.V)B.
A titolo d'esempio deriviamo la [A.29):
[VX(VXA)]; = E;jkòj(VXAh= E;jkòj(Ek1mÒ1A,,,) = E;jkEk1mÒjò,A,,, =
[A.29)
[A.30)
[A.3 1]
[A.32)
[A.33)
[A.34)
= (o;10jm - O;,,
,
oji)òjò1A,,, = òjò;Aj - òjòjA; = Ò;(V·A)- V2A;.
[A.35)
Campi irrotazionali e campi solenoidali
Se l/f(X) è un generico campo scalare e A (x ) è un generico campo vettoriale, si ha
V X(Vl/f)=O,
V·(V X A) =O.
[A.36)
[A.37)
Il rotore di un gradiente e la divergenza di un rotore sono nulli (purché i campi siano
regolari in una regione spaziale semplicemente connessa).
Inversamente, si dimostra che in regioni spaziali semplicemente connesse:
I) se F(x) è un campo vettoriale irrotazionale, cioè tale che
V XF=O,
[A.38)
esiste un campo scal are l/f(X) di cui F(x ) è il gradiente,
F(x) =Vl/f(X) .
[A.39)
II) Se G(x) è un campo vettori ale solenoida le, cioè tale che
V·G=O,
[A.40)
esiste un campo vettoriale A(x ) di cui G(x) è il rotore,
G(x) =VX A(x).
[A.4 1]

Appendice A I Calcolo vettoriale
519
Operatori differenziali in coordinate sferiche
Parametrizziamo un punto X di R3 mediante coordinate sferiche r, e, </>. Siano r, fJ,
� i versori ortogonali corrispondenti, e A,, A6, A qi le componenti di un generico
campo vettoriale A.
Le espressioni del gradiente, della divergenza, del rotore e del laplaciano in coor­
dinate sferiche sono:
_
ÒIJI, IÒIJI,
I ÒIJI,
V1J1-a;:r+-;:--ae8+
rsine�fP,
V_1a2
1a.
1 òAqi
·A-2..,
,,
(rA,.)+-
.
-8_,8(sm8Ao)+-
.
-8-,,i,,
ror
rsm o
rsm o'I'
Derivate di alcune fu nzioni di x
V·x=3,
VXx=O,
X
2
V·
�=�
,
Vx�
=O
lxi
'
V-1-=
_
-2_
lxi lxl
3'
1
V2f;T =
-
4n83(x).
Campi vettoriali longitudinali e trasversi
[A.42]
[A.43]
[A.44]
[A.45]
[A.46]
[A.47]
[A.48]
[A.49]
[A.50]
[A.5 1]
Un generico campo vettoriale V(x) può essere scomposto inuna parte longitudinale
(cioè a rotore nullo) VL (x ) e in una parte trasversa (cioè a divergenza nulla) VT (x ):
[A.52]
I.

520
dove
V XVi(x) =O
V·VT(x) =O
Vi irrotazionale
VT solenoidale
La [A.52] è detta sc omposizione di Helmholtz.2
Introduciamo la trasformata di Fourier di V(x),
e I'antitrasformata
Calcolo vettoriale I Appendice A
[A.53]
[A.54]
[A.55]
[A.56]
Nello spazio delle k (detto sp azio re c iproco) si ha, corrispondentemente alla [A. 52],
[A.57]
dove la 'Vi (k) e la "VT (k) sono, rispettivamente, le trasformate di Fourier della Vi (x ) e
della VT (x ). Usando
le [A.53, A.54] diventano
kX "Vi(k)=O,
k'°VT(k)=0.
[A.58]
[A.59]
[A.60]
Si chiarisce così la terminologia usata: il campo Longitudinale 'Vi è pa ra llelo a k per
ogni k, mentre il campo trasverso "VT è perpendicolare a k per ogni k.
Possiamo scrivere 'Vi e "VTin funzione di 'V come (k = I k I)
[A.61] .
[A.62]
In componenti, queste relazioni diventano
[A.63]
[A.64]
2 Si veda Morse e Feshbach, Methods o/ Th eoretical Physics cit., p . 53.

Appendice A \ Calcolo vettoriale
521
Nello spazio ordinario le relazioni tra V(x) e le sue parti longitudinale e trasversa
sono non locali (compaiono, come vedremo, degli integrali). Antitrasformando la
[A.63] si trova
L
- _l_fd3k ik·x
k;kjo,r k)- _l_(--., -.,)Jd3k
ik·xo,r (k) -
V;(x) - (2n)312
e
kz vj( - (2n)312
o;oj kz e
vj-
=
(2�)3(-d
;
dj)Jd:
:
é·x Jd3x'e-ik
·x'
Vj (x '),
dove nella seconda uguaglianza si è fatto uso della [A.58]. L'integrale su k dà
_l _Jd3k
eik'(x-x
')-_
l_l
(27r)3 k2
-
4
7r lx-x'I
'
e la [A.65] diventa così
L
-
l..,..,J3,Vj(x')
V;(x)-
-
4,.o;oj dx
lx-xf
Usando la [A.50] nella forma
aI
1 lx-x'I
Xj-Xj
lx -x'l3'
e tornando alla notazione vettori ale, la [A.67] si riscrive come
[A.65]
[A.66]
[A.67]
[A.68]
[A.69]
Procedendo in maniera analoga a partire dalla [A.64], si trova per la parte trasversa
T-_
I_
-
s:v2 ..
.
..
.
I3 I V/x')
V;(x)-4,.( uij +o;o) dx
lx-x'I
'
ovvero
IJ3
,(x - x') · V(x')
Vr(x)=V(x)-4,.V dx
lx-x'l3
,
che, in effetti , è la semplice combinazione della [A. 52] e della [A.69].
[A.70]
[A.7 1]
Le form ule [A.69 , A.7 1] della scomposizione di Helmholtz possono essere deri vate inun altro
modo, che non fa direttamente riferimento allo spazio reciproco. Partiamo dall'identità [A.29] ,
V2V =V(V.V)-V X(VXV),
[A.72]
dove il primo termine, V (V · V), è longitudinale, essendo un gradiente, mentre il secondo ter­
mine, V X (V X V), è tras verso, essendo un rotore . Se introduciamo l'inverso dell'operatore
laplaci ano
I
v2·
[A.73]

522
Calcolo vertoriale I Appendice A
possiamo ricavare form almente V dalla [A.72] come
V=�i[V(V ·V)-V X(V X V)].
Laparte longitudinale di V è
cioè in componenti ,
Per esplicitare l'azione delloperatore I /V
2
, o s s erviamo che linverso della [A.5 1] è
13
_
I
--
--v-2
8(x)--
4nlx1
·
Usando questa rel azione si ottiene
-
1
V(x)=-
1 fd3x'V(x ')83(x -x') = - -1
-
Jd3x' V/ x')
v21
v2
1
4n
lx-x'I
'
che, sostituita nella [A.76], dà la [A.67].
La parte trasversa di V è
ossia, inserendo la [A.78],
VT(x) = -
4
1
VXVXJd3x'
V(x')
.
n
lx-x'I
Per l'identità [A.29] , questa espressione è equivalente alla [A.70] .
Teorema di Gauss (o della divergenza)
[A.74]
[A.75]
[A.76]
[A.77]
[A.78]
[A.79]
[A. 80]
Si consideri una regione spaziale di volume V racchiusa da una superficie S (la su­
perficie di contorno di un volume V viene indicata spesso con ò V) . Dato un campo
vettoriale A(x), il teorema di Gauss (o de lla divergenza) stabi lisce che
IV.Ad3X=IA.dO',
V
S
[A.8 1]
dove d<Tè un vettore normale a S ilcui modulo è l'elemento infinitesimo di superficie
da (scriveremo pertanto dCT= dan, con n versore normale alla superficie).

Appendice A I Calcolo vettoriale
Teorema di Green
Supponi amo che il campo A(x) nella [A.81) abbia la forma
A=<pVl/f,
con <p(x) e lfl(x ) generici campi scalari . Si ha allora
V·A =V ·(<pVl/f)=<pV21f1+V<p·Vlfl,
A·n=<p(Vlfl)·n=<p�:,
523
[A.82)
[A.83]
[A.84)
dove Ò l/f/Òn è la derivata normale di lfl. Con le [A.83, A.84], il teorema di Gauss appli­
cato al campo [A.82) dà
J(<pV21f1+ V<p·V1f!)d3x=J<p�:da.
[A.85)
V
S
Questa relazione è nota come prima identità di Green.
Riscrivendo il teorema di Gauss per A' = I/I V <p (cioè scambiando ljl e <p nella [A.85))
si trova
J(l/fV2<p+Vlfl·V<p)d3x =J1f1��da.
V
S
[A.86)
Infine, sottraendo membro a membro la [A.85) e la [A.86) si ottiene
fC<pV21f1- lflV2<p)d3x=J(<p�:- 1/f��)da,
V
S
[A.87)
che è la seconda identità di Green , o semplicemente teorema di Green .
Dalla prima identità di Green si ricava un'importante proprietà delle fu nzioni a la­
placiano nullo. Riscriviamo la [A.85) ponendo <p = 1f1 e integrando su tutto lo spazio
J(lf/V21f1 + 1Vlfll2)d3x=flfl�:da.
Se lfl soddi sfa l'equazione di Laplace
V21f1=O,
[A.88)
[A.89)
e va a zero in maniera sufficientemente rapida per I x I � oo (in modo che l'integrale di
superficie sia nullo), dalla [A.88] segue
[A.90)
Questa implica V 1f1 = O e quindi l/f = costante . Poiché l/f, per ipotesi, si annulla al­
i ' infinito, deve essere 1f1 = O dappertutto . Abbiamo così dimostrato che una fu nzio­
ne a laplaciano nullo che vada a zero ali'infinito in maniera sufficientemente rapi­
da è dappertutto nulla.

524
Teorema di Stokes
Calcolo vettoriale I Appendice A
Sia A(x) un campo vettoriale e runa linea chiusa. Il teorema di Stokes afferma che
la circuitazione di A lungo y è uguale al fl usso del rotore di A attraverso una qualunque
superficie S che abbia r come contorno, cioè
�A·dx = JcVxA)·du.
r
s
[A.91]
In particolare, se un campo vettoriale A(x) è irrotazionale, la sua circuitazione lungo
una qualsiasi curva chiusa y è nulla, e potremo dunque scrivere A come il gradiente di
un potenziale scalare .

Appendice B
Nozioni di teoria dei gruppi
Raccogliamo qui alcune nozioni elementari di teoria dei gruppi. Si tratta essenzial­
mente di una lista di definizioni e di teoremi (che enunceremo senza dimostrare). Per
maggiori dettagli il lettore è invitato a consultare i manuali specialistici, ad esempio:
• M. Hamermesh, Group Th eory and its Applications to Physical Problems, Addison­
Wesley, Reading (MA) 1962.
• W. - K. Tung, Group Th eory in Physics, World Scientific, Singapore 1985.
Un utile compendio sui gruppi di Lie, fi nalizzato alle applicazioni in meccanica
quanti stica e teoria dei campi, è contenuto in:
• L. Fonda e G. C. Ghirardi , Sy mmetry Principles in Quantum Physics, Dekker, New
York 1970, cap. 3.
Struttura di Gruppo
Un gruppo G è un insieme dotato di una legge di composizione interna (detta con­
venzionalmente «moltiplicazione», o «prodotto»), che soddisfa le seguenti quattro
condizioni (gli assiomi del gruppo):
1. Ch iusura. G è chiuso rispetto alla moltiplicazione, cioè 1
[B. l]
2. Associatività :
[B.2]
1 Ilprodottodidueelementig1 e g2diGèindicatocong,g2.

526
Nozioni di teoria dei gruppi I Appendice B
3. Esistenza dell 'elemento neutro . Esiste un elemento, che indichiamo con Il, tale che
VgEG, gil= Ilg=g.
[B.3]
Il è detto elemento neutro , o identità .
4. Esistenza dell 'elemento inverso. Per ogni gEG, esiste un elemento di G, che indi­
chiamocong-1
, tale che
[B.4]
L'elemento g-1 è l'inverso di g.
È facile dimostrare che l'identità è unica, che l'inverso è unico e che l'inverso di
g-1 èg.
Un gruppo G che goda dell 'ulteri ore proprietà:
5. Commutatività :
[B.5]
prende il nome di gruppo commutativo o abeliano.
Un sottoinsieme H di un gruppo G, che sia esso stesso un gruppo rispetto alla legge di
composizione interna di G, è detto sottogruppo di G. Quindi H è un sottogruppo di G se
'r/h1 '
h2EH, h1h2EH.
Ile EH,
'r/hEH, h
-
1 EH.
Un sottogruppo H di G è detto so ttog ruppo invariante se
VgEGe 'r/hEH, ghg
-
1 EH.
[B.6]
[B.7]
[B.8]
[B.9]
I sottogruppi invarianti banali di G sono G stesso e l'insieme costituito dalla sola
identità.
Un gruppo è semplice se non possiede sottogruppi invarianti non banali, è semi­
semplice se non possiede sottogruppi invarianti abeliani non banali.
Sia H un sottogruppo di G e g un dato elemento di G non appartenente ad H. L'in­
sieme di tutti gli elementi del tipo gh, con h EH, è detto laterale sinistro di H e indi­
cato con gH. L'insieme di tutti gli elementi del tipo hg, con h EH, è detto laterale
destro di H e indicato con Hg .
Se H è un sottogruppo invariante, i laterali destri e sinistri di G coincidono. In que­
sto caso si può definire il gruppo fa ttore G/H, i cui elementi sono i laterali gH con la
legge di moltiplicazione
[B. 10)
e l'identità IlH.

Appendice B I Nozioni di teoria dei gruppi
527
Un gruppo G è il prodotto diretto di due suoi sottogruppi invarianti G 1
eG
2
,esi
scriveG=G1®G2
,se
1)G1eG
2
hanno in comune solo l'identità;
11) ogni elemento di G 1 commuta con ogni elemento di G
2
;
111) ogni el emento g di G può essere scomposto in modo unico come prodotto di un
elementog1diG1 ediunelementog2diG
2
•
Omomorfismo tra gruppi
Un omomorfismo tra due gruppi G e G' è un' applicazione <p: G -7 G' che preserva
la legge del gruppo, cioè
[B.11]
Se l' applicazione <pèbiunivoca, è detta isomorfi smo. Due gruppi isomorfi non sono ma­
tematicamente distinti . In parti colare, è possibile mostrare che l'isomorfismo tra gruppi
è una relazione di equivalenza, cioè una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva.
Il nucleo (o kernel) di un omomorfismo <p: G -7 G' è l'insieme K degli elementi di
G la cui immagine secondo <p è l'identità di G'. K è un sottogruppo invariante di G e il
gruppo fattore G/K è isomorfo a G'.
Rappresentazioni di un gruppo
Una rappresentazione lineare di un gruppo G in uno spazio vettoriale V è un omo­
morfi smo D:G -7 GL (V), dove GL( V) è il gruppo delle trasformazioni lineari inver­
tibili in V. Quindi D(g) è un operatore lineare invertibile in V che gode della proprietà
[B. 12]
da cui si ricava
[B.13]
La dimensione di V è la dimensione della rappresentazione. Se D è un omomorfismo
iniettivo, la rappresentazione è dettafedele .
Se in V è definito un prodotto interno, una rappresentazione unitaria è un omomor­
fi smo D:G -7 V (V), dove U( V) è il gruppo degli operatori unitari su V.
SianoD1(g)eD
2
(g) due rappresentazioni di G in V1 e V
2
, ris pettivamente. Se esiste
un' applicazione biunivoca A di V2 in VI > tale che
[B.14]
le due rappresentazioni sono dette eq uivalenti. L'insieme di tutte le rappresentazioni
di G può essere diviso in classi di rappresentazioni equivalenti .

528
Nozioni di teoria dei gruppi I Appendice B
Data una rappresentazione D:C-+CL (V), un sottospazio W di Vèdetto invariante
rispetto a D se
\fxE W, D(g)xEW \fgEC.
[B.15]
Una rappresentazione D : C .-+ CL (V) è irriducibile se V non ha sottospazi inva­
rianti non banali; in caso contrario, la rappresentazione è detta riducibile.
Sia D(g) una rappresentazione riducibile del gruppo C in V e V1 un sottospazio in­
variante di V. Le matrici corrispondenti agli operatori D(g) possono allora essere
messe nella forma
D(g)-(D1(g) E(g) ).
O Dz(g)
[B.16]
Se la rappresentazione è unitari a, il sottospazio ortogonale a V 1 è anch 'esso invarian­
te e D(g) assume la fo rma diagonale a blocchi
D(g)-(D1(g) O ).
O Dz(g)
[B .17]
In questo caso si dice che D(g) è la somma diretta di D 1 (g) e D2(g) e si scrive
D(g) = D 1 (g)EBDz(g).
[B .18]
Una rappresentazione è completamente riducibile quando può essere scritta come
somma diretta di rappresentazioni irriducibili.
Gruppi di Lie
Consideriamo un gruppo Cicui elementi siano parametri zzati da n-uple di numeri
reali, a=(a1 , ••• , a"), cioè da punti dello spazio euclideo n-dimensionale R" . Il sotto­
insieme 'V di R" cui corri spondono gli elementi di C prende il nome di varietà del
gruppo. Il numero n è detto dimensione (o ordine) del gruppo. C eredita da 'V i con­
cetti di limite e di continuità. Supponiamo che g 1 (a) e g2(b) siano due elementi generici
di Ceche
g1(a) gz(b) = g3(c),
g!'(a) = g4(a).
Se le fu nzioni
c =</>(a, b), a= l/f(a),
[B.19]
[B.20]
[B. 21]
sono continue, C è ungruppo topologico o continuo; se - più restrittivamente - sono
analitiche, C è detto gruppo di Lie.
Un gruppo topologico è compatto quando la sua varietà è chiusa e limitata. Una
corri spondenza continua g(x) tra gli elementi g di un gruppo topologico Ceuna varia-

Appendice B I Nozioni di teoria dei gruppi
529
bile reale x, con O .;
;;
x.;
;;
1, è un cammino continuo in G . Un cammino per il quale
g(O) = g( l ) è un cammino chiuso. Se, dati due qualunque elementi g 1 e g 2 di G , esiste
un cammino continuo g(x) che ha g 1 e g2 come estremità (cioè, g(O) = g 1 e g(l)= g2),
il gruppo G è connesso. In particolare, se ogni cammino chiuso in G è deformabile
con continuità in un punto, G è detto semplicemente connesso. Se ciò non accade, G è
moltep licemente connesso . Le rappresentazioni continue di un gruppo semplicemente
connesso sono sempre a un solo valore, mentre quelle di un gruppo molteplicemente
connesso possono essere a più valori .
Per ogni gruppo topologico molteplicemente connesso G , esi ste, ed è unico, un
gruppo topologico semplicemente connesso G, omomorfo a G e tale che nessuno dei
suoi sottogruppi semplicemente connessi sia anch 'esso omomorfo a G . Il gruppo G
prende il nome di gruppo di ricoprimento universale di G . La sua proprietà più im­
portante è che ogni rappresentazione continua di G è una rappresentazione a un solo
valore di G .
Per i gruppi di Lie compatti si può provare che:
• Ogni classe di rappresentazioni equivalenti contiene una rappresentazione unitaria.
• Ogni rappresentazione unitaria è completamente riducibile.
• Ogni rappresentazione irriducibile è di dimensione fi nita.
Ciò significa che, nello studio di un gruppo di Lie compatto , è sufficiente concen­
trarsi sulle rappresentazioni unitarie irriducibili di dimensione fi nita.
Se, invece, il gruppo è non compatto, tutte le sue rappresentazioni unitarie (non ba­
nali) sono di dimensione infinita.
Infine, tutte le rappresentazioni continue di un gruppo semisemplice (e quindi
anche di un gruppo semplice) sono completamente riducibili.
Generatori e algebre di Lie
Sia G un gruppo di Lie di ordine n e T( g) una sua rappresentazione continua. Detti
a; i parametri che etichettano gli elementi di G , indicheremo con T(a) l'operatore li­
neare corri spondente ali ' elemento g (a) e supporremo che l'identità sia data da a ; =
O. Gli operatori
X;=
dT(a)
Ida; a=O
[B.22]
sono i cosiddetti generatori del gruppo di Lie G . Valgono le regole di commutazione
Il
[X;, X) =L C;�Xk>
[B.23]
k=I

530
Nozioni di teoria dei gruppi I Appendice B
dove le costanti di struttu ra c;J sono numeri reali che non dipendono dalla rappresen­
tazione considerata. Esse soddisfano le relazioni:
c;J = -cf,
"'
Un elemento di G nell ' intorno dell 'identità è rappresentato da
dove gli e; sono n parametri infinitesimi.
[B .24)
[B.25)
[B.26)
Si definisce algebra di Lie uno spazio vettoriale attrezzato con una legge di com­
posizione (indicata con [ , ]) che gode della proprietà di anti simmetria
[A,B]= - [B,A],
[B.27)
e soddisfa l'identità di Jacobi
[[A,B], C] +[[B,C],A]+[[C,A],B]=O.
[B .28]
Il rango di un' algebra di Lie è il numero massimo di elementi indipendenti dell'algebra
che commutano tra loro.
I generatori X; costituiscono una base dell' algebra di Lie associata al gruppo G .
Dati due elementi A=L a;X; e B = L /3;X; di quest' algebra, si ha
[B.29)
ij
ij
e, in virtù delle [B.24, B.25), questa legge di composizione soddisfa effettivamente le
[B.27, B.28).
È possibile che più gruppi di Lie condividano la stessa algebra, cioè abbiano gli
stessi generatori. In questo caso essi sono loca lmente isomorfi, cioè isomorfi in un in­
torno dell'identità. Il fatto che a un' algebra di Lie corrisponda in genere un' intera
classe di gruppi di Lie rende, per certi aspetti , più conveniente studiare le algebre che
i gruppi. Tuttavia, l'algebra di Lie di un gruppo non forn isce informazioni sulle pro­
prietà globali del gruppo.
Data un' algebra di Lie <§ , sia 'lf
f,
una sua sottoalgebra, cioè un insieme di elementi
taliche[A,B]E'lJf,seA,BE'lf
f,
.'lf
f,
è detta sottoalgebra invariante di <§ se
[A,B]E'lf
f,
,
VBE'lf
f,
e VAE<§.
[B.30)
Se, inoltre,
[A, B]=O VA, BE'lf
f,
,
[B.3 1)
la sottoalgebra invariante è abeliana. Un' algebra di Lie <§ è semplice se non possiede
alcuna sottoalgebra invariante non banale (cioè diversa da <§ stessa e da zero); è semi-

Appendice B I Nozioni di teoria dei gruppi
531
semplice se non possiede sottoalgebre invarianti abeliane. Se un'algebra di Lie è sem­
plice o semisemplice, tali sono anche i gruppi di Lie a essa associati.
Un teorema di Cartan stabilisce che condizione necessaria e suffi ciente affinché
un' algebra di Lie sia semisemplice è che la matrice n X n
[B.32)
sia non singolare, cioè si abbia
[B .33)
Operatori di Casimir
Si chiama op eratore di Casimir un operatore C, costruito coi generatori X; di un'al­
gebra di Lie, che commuta con tutti gli X; ,
[C, X;]=O.
[B.34)
In generale, C non è lineare negli X; e perciò non appartiene all'algebra di Lie in que­
stione. Poiché in una qualunque rappresentazione del gruppo un Casimir C commuta
con i generatori, esso commuta anche con tutti gli operatori che rappresentano gli ele­
menti del gruppo. Quindi, se la rappresentazione è irriducibile, C è un multiplo co­
stante dell'identità. Le rappresentazioni irriducibili sono pertanto etichettate dagli
autovalori degli operatori di Casimir. Il numero minimo di operatori di Casimir ne­
cessari a specificare completamente le rappresentazioni irriducibili è uguale al rango
dell'algebra.
Per un' algebra di Lie semisemplice è immediato trovare un operatore di Casimir.
Esso è
e=:2i:2iri1X;x1,
ij
dove T)
iJ è la matrice inversa della T);J introdotta in precedenza: T);1
TJu=8j.
[B.35)

Appendice C
Unità di misura naturali
Nella fi sica fo ndamentale è conveniente adottare un sistema di unità di misura in
cui la velocità della luce nel vuoto viene posta uguale a 1. Porre c = L significa rende­
re le velocità adimensionali e quindi usare la stessa unità di misura per le lunghezze e
i tempi (che non sono più grandezze indipendenti). Le velocità vengono misurate in
unità di c . Ad esempio, v = 0.7 vuol dire che v vale 0.7 volte c , ovvero, nelle unità del
Sistema Internazionale, v = 0.7 X 2.997 930 X 108 m s - 1
• Usando il tempo come gran­
dezza fo ndamentale, le lunghezze sono misurate in «tempo-luce» (secondi-luce,
anni-luce ecc.): una lunghezza di 103 m equivale a 3.3 X 10- 6 s, giacché questo è il
tempo che la luce impiega a percorrere una distanza di 103 m.
In meccanica quantistica compare un' altra costante fo ndamentale, la costante di
Planck h, che vale
h= 6.62517X 10- 34 Js,
e ha le dimensioni di un' energia per un tempo, o equivalentemente di un momento an­
golare, cioè
Si è soliti introdurre la costante di Planck ridotta ti:
h
1i=
-
2n'
Il si stema di unità di misura naturali è quello in cui 1i =e= 1. In questo sistema, solo
una delle tre grandezze fondamentali (lunghezza, tempo, massa) ri sulta indipendente : le
altre due sono misurate nell' unità di questa. Se, ad esempio, scegliamo come grandezza
fo ndamentale la massa (M), le lunghezze e i tempi sono misurati in unità di [Mr 1 •
Nella fi sica atomica, nucleare e subnucleare è. consuetudine misurare le energie in
elettronVolt (eV) e multipli. In unità naturali, anche le masse vengono misurate in eV
(si ricordi la relazione E
0
= mc2). Le lunghezze e i tempi saranno allora espressi in ev - 1
•

Appendice e I Unità di misura naturali
La tabella di conversione tra unità naturali e unità del Sistema Internazionale è
1 Kg =5.612 X 1029 MeV
1m=5.068 x10 1 2 Mev- 1
l s = l.519x1021Mev-1
e, inversamente,
l1.782 X 10- 3° Kg
1MeV= 5.068X1012m-1
J.519XJ021 s-1
•
533
[C.l]
[C.2]
Adottando unità natural i, molte formule si semplificano. Ad esempio, la relazione
momento-energia per una particella di massa m è
E1=p2+m2.
Per ripristinare le unità di misura ordinarie bisogna inserire, nelle formule espresse in
unità naturali, delle opportune potenze di e e di h.

Appendice D
La delta di Dirac
La delta di Dirac unidimensionale 8(x) è definita implicitamente dalla relazione
+�
I c1x1cx) ocx - x') =1cx'),
[D.l]
valida per fu nzionif(x) che non abbiano un comportamento troppo patologico.
Per quanto ci si riferisca spesso alla 8(x) come a unafu nzione (anche noi ci atterre­
mo a quest' uso), essa è, in termini più corretti , una distribuzione.1 Occorre tener
conto di ciò nel deri vare le sue principali proprietà. Noi adotteremo un atteggiamento
pragmatico, limitandoci a elencare alcune di queste proprietà.
Se come fu nzionef(x) prendiamo una costante, la [D. l] diventa
+�
J dx o(x-x') =l,
[D.2]
Il punto x' nella o(x - x') è il cosiddetto supporto della delta.
Non è necessario che l'intervallo di integrazione nelle [D. I, D.2] sia infinito. Si ha
infatti , in generale,
b
Jdxf(x)8(x - x') =f(x'),
[D.3]
a
b
J dx 8(x-x') = l,
[D.4]
a
purché l'in tervallo di integrazione includa il punto x', cioè sia a<x' <b. Se, al con­
trari o, l'in tervallo di integrazione non include il supporto della 8, gli integrali [D.3,
D.4] sono nulli.
1 Per una trattazione completa della teoria delle distribuzioni si può consultare il classico trattato di
L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann, Paris 1966. Per un'introduzione al l'argomento, si veda
P. Dennery e A. Krzywicki, Ma thematicsfor Physicists, Harper & Row, New York 1967, pp. 225 sgg., op­
pure C . Rossetti, Metodi matematici per la fi sica, Levrotto & Bella, Torino 1984, cap. 6 .

Appendice D I La delta di Dirac
535
Per avere un' idea di come sia fatta la 8(x), si tenga presente che essa può essere
vista come un opportuno limite di alcune serie di fu nzioni,
8(x) = lim dh).
[D.5]
n-->
�
Il limite va inteso nel senso della teoria delle distribuzioni, e la [D.5] è un'abbrevia­
zione per
b
b
Jdx 8(x)f(x) = }�m
�
Jdx d,, (x)f(x).
a
{/
[D.6]
La classe a cui appartengono le fu nzioni di prova f(x) dipende dalla fo rma esplicita
delle d,,(x) . Ad esempio per
[D.7]
oppure per
d(x)=_!_sin2nx
"
n
nx2 '
[D.8]
le fu nzioni f(x) dovranno essere sommabili in ogni intervallo fi nito. Dalle [D.7, D.8]
si vede che, al crescere di n, le d,,(x) tendono a essere sempre più «alte» e «Strette» at­
torno a x =O. Nel limite n � 00, si ottiene una fu nzione infinitamente alta e stretta, ma
tale da avere un integrale fi nito su ogni intervallo contenente l'origine. Questo è un
modo di visualizzare (in maniera puramente intuitiva) la 8(x) .
Proprietà della fu nzione delta
l. La fu nzione delta è una fu nzione pari :
8(x-x')=D(x' -x).
2. Un'importante rappresentazione integrale della delta è
1+�
.
'
.
8(x - x')=2n J dke- •k(x - xJ
.
3. La derivata prima della fu nzione delta soddisfa la relazione
X
d
�)= - D(x).
Dimostraz ione:
+�
d8(x)
+
�
d
h
Jdxxf(x)�= - J dx dx [xf(x)]D(x) = - J dxf(x)8(x),
dove nel primo passaggio si è integrato per parti .
[D.9]
[D. 10]
[D.11]

536
La delta di Dirac I Appendice D
La O(x) è legata allafunz ione g radino (o di Heaviside) 8(x), definita come
8(x) = {�
dalla relazione
X
per x<O
per x>O
J dx' O(x') = 8(x),
da cui
d �x)
= O(x).
La delta di una fu nzione g (x) è
O[g (x)] =L
O(�- x;)
,
i IgCx;)I
[D. 12]
[D. 13]
[D. 14]
[D. 15]
dove l'apice indica derivazione e gli X; sono gli zeri della g (x) : g (x;) =O. Un caso par­
ticolare che ricorre di frequente è
l
8(x2 -a2) =�[o(x-a)+o(x+a)].
Funzioni delta multidimensionali
La delta di Dirac n-dimensionale O"(x - x') è definita attraverso
fd"xf(x) o"(x - x') =f(x'),
fd" x o"(x-x') = 1,
dove x ex' sono vettori in uno spazio n-dimensionale.
[D. 16]
[D. 17]
[D. 18]
Siamo interessati in particolar modo alla delta tridimensionale 8 3(x - x '), con x,
x'E R 3 , e alla delta quadrimensionale 8 4(x - x'), con x, x' E M (lo spazio di Minkowski).
Le loro rappresentazioni integrali sono
03(x - x') =-l-Jd3k e-ik·(x-x'J
(2n) 3
'
o4(x - x') =-l-fd4ke-ik·(x -x')
(2n) 4
'
dove le integrazioni sono estese a tutto lo spazio.
[D. 19]
[D.20]

Appendice E
Elementi di meccanica analitica
Per comodità del lettore , presentiamo di seguito gli elementi basilari della mecca­
nica analitica. Non vi è ovviamente alcuna pretesa di completezza. Per una trattazione
dettagliata dell' argomento rimandiamo ai testi classici:
• L. D. Landau e E. M . Lifshitz, Meccanica, Editori Riuniti , Roma 1979.
• H. Goldstein, Me ccanica Classica, Zanichelli, Bologna 1971.
La dinamica di un sistema di particelle è descritta da una fu nzione - detta Lagran­
giana - delle coordinate q ;, delle velocità q; e, eventualmente, del tempo t,
L(q;(t), q;(t), t).
[E. l]
Le coordinate q; sono dette coordinate generalizzate : esse non coincidono neces­
sariamente con le coordinate cartesiane delle particelle, giacché tengono conto della
presenza di vincoli . Se N particelle nello spazio tridimensionale sono soggette a
m vincoli olonomi,1 il numero delle coordi nate generalizzate (cioè il numero dei gradi
di libertà del sistema) è
n=3N - m.
[E.2]
L ' azione del sistema è il fu nzionale
1,
S[q;(t)] = I L(q;, q;, t)dt.
[E.3]
I,,
Le equazioni del moto si ottengono a partire dalla [E.3] imponendo il principio di
azione stazionaria (o di Hamilton ):2 l'azione assume un valore estrema/e - cioè è sta­
zionaria - in co rrispondenza della tra iettoria vera del sistema. Per applicare questo
1 Dato un sistema di particelle di coordinate cartesiane X;, un vincolo si dice olonomo se è del tipo
q>(x,, t) =O.
2 Per una discussione storico-critica dei princìpi variazionali, si veda W. Yourgrau e S. Mandelstam,
Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory, Dover, New York 1979.

538
Elementi di meccanica analitica I Appendice E
principio si procede nel seguente modo. Consideriamo un' arbitrari a variazione infini­
tesima delle q ; a t fi ssato e tale da annullarsi agli estremi di integrazione della [E.3],
[E.4]
Il principio d'azione stabilisce che la conseguente variazione della S è nulla in corri­
spondenza della traiettoria vera del sistema,
8S =O.
Calcolando 8S dalla [E.3] si trova
Usiamo ora (si ricordi che le variazioni sono a tempo fi ssato)
8.
=
8
dq; - d8q;
q;
-
dt-dt
,
e integriamo per parti il secondo termine nella [E.6],
'•n(dL ddL)
11dL
I''
8S=fLT-diY bq;dt+Ly8q; .
t., i=!
q,
q,
i=I q,
t.,
[E.5]
[E.6]
[E.7]
[E.8]
L' ultimo termine nella [E.8] è nullo per la [E.4] , e il principio di azione stazionaria
8S = O implica quindi
r,n
(dL d dL)
I L T-diY 8q; dt=O.
t., 1=! q,
q,
[E.9]
Dal momento che le vari azioni delle coordinate sono arbitrarie, affi nché l'integrale
[E.9] sia zero, deve annullarsi !'integrando. Usando inoltre l'indipendenza lineare delle
8q; , concludiamo che deve essere
[E.!O]
Queste sono le equazioni del moto del sistema e prendono il nome di eq uazioni di Eu­
lero-Lagrange . Si tratta di n equazioni differenziali del secondo ordine per le q ; (n è il
numero dei gradi di libertà del sistema).
È importante osservare che le equazioni del moto rimangono invariate se si aggiun­
ge alla Lagrangiana la derivata totale rispetto al tempo di una fu nzione delle q; e di t,
L4L+
df(q;, t)
dt
(E.l l]
In questo caso, l'azione cambia per un termine di bordo, cioè per una quantità valuta­
ta agli estremi di integrazione q;(ta) e q;(tb):
'•
SSI
df(q;, t)
4+
dt dt = S +J(q;(tb), tb) -J(q;(ta) , fa) .
I.,
[E. 12]

Appendice E I Elementi di meccanica analitica
539
La variazione del termine aggiuntivo è evidentemente nulla ed esso quindi non contri­
buisce alle equazioni del moto.
La Lagrangiana L di un sistema conservativo è data da
L=T-V,
[E. 13]
dove Tè l ' energia cinetica e V è l ' energia potenziale. Anche alcuni sistemi non con­
servativi (ad esempio, una particella carica in un campo elettromagnetico) sono
descritti da una Lagrangiana del tipo [E. 13], con V sostituita da unpotenziale genera­
lizzato U dipendente dalla velocità,
l=T- U.
[E. 14]
Per una particella di carica e e velocità v soggetta a un campo elettromagnetico, il po­
tenziale generalizzato è
e
U=e<p--v·A
c
,
dove <p e A sono, rispetti vamente, il potenziale scal are e il potenziale vettore .
I momenti canonici p; sono definiti come
òL
p;=Òq;
"
Se una certa coordinata q k non compare nella Lagrangiana, cioè
�=O
Òqk
,
[E. 15]
[E. 16]
[E. 17]
essa è detta ciclica e, in virtù delle equazioni di Eulero-Lagrange [E. 10], il corrispon-
dente momento canonico Pk è costante
Pk = costante .
[E. 18]
Condizione necessaria e suffi ciente affinché le [E. 16] siano invertibili, e sia quindi
possibile ottenere le velocità q; in fu nzione dei momenti p; , è che la matrice hessiana
della Làgrangiana rispetto alle q
; abbia determinante non nullo,
{ ò2L
}
det Òq; Òqi *O.
[E. 19]
Per comprendere il significato di questa condizione, riscriviamo le equazioni di Eule­
ro-Lagrange [E. 10] effettuando la derivata temporale del secondo termine:
[E.20]
Se vale la [E. 19], è possibile esprimere tutte le ij1 in funzione delle q;, delle q
; e del tempo
t. Se, invece, l'Hessiano è nullo (nel qual caso si dice che la Lagrangiana l è singolare),
{ò2L }
det Òq; Òqi =O,
[E.2 1]

540
Elementi di meccanica analitica I Appendice E
non tutte le [E.20] sono vere equazioni del moto, cioè equazioni del secondo ordine
nella derivata temporale. Detto r il rango della matrice hessiana, ci sono r equazioni
del moto genuine e n - r relazioni del tipo
</>,(qi, qi
, t)=o
(s=1,2,...,n-r),
[E.22]
che non dipendono dalle accelerazioni e sono perciò dei vincoli (lagrangiani). Il fatto
che n - r accelerazioni siano indeterminate, e che quindi compaiano nel problema n - r
funzioni arbitrarie del tempo, è reminiscente della libertà di gauge dell'elettromagne­
tismo (il campo elettromagnetico è infatti un sistema vincolato, vedi cap. 8).
Introduciamo ora una fu nzione H delle P i
e delle qi , detta Hamilton iana , legata alla
Lagrangiana da una trasformazione di Legendre ,
n
H(pi,qi, t)=Lp;i/i-L .
[E.23]
i=I
È immediato verificare che la H così definita è, effettivamente, funzione soltanto
delle P i
e delle q ;, e non delle velocità qi
. Differenziando H si ha
" (àH
àH)àH
dH=L -
a
.
dqi+�dpi +:1dt,
i=I q,
up,
ut
e, dalla [E.23],
dH= d(�Pi4i
-
L) =i�<4idPi
-
Pi dqi) -
aa� dr,
[E.24]
[E.25]
dove abbiamo usato le equazioni di Eulero-Lagrange Pi = àL!àqi
.
Confro ntando la
[E.25] con la [E.24] si ottengono le e q uazioni del moto canoniche, o e q uazioni di
Hamilton :
.
àH.
òH
qi
=
àpi '
Pi
=-
àqi
·
[E.26]
Queste sono 2n equazioni diffe renziali del primo ordine per le q i e le p;. Lo spazio
2n-dimensionale delle q ; e delle P i è detto sp azio dellefa si.
L'Hamiltoniana di un sistema isolato è una costante del moto, in conseguenza del­
l'in varianza per tras lazioni temporali (cioè dell 'uniformità del tempo). Inoltre, per si­
stemi conservativi H coincide con l'energia totale del sistema, H = T + V.
Date due funzioni f(q; , P i • t) e g(q;, p;, t) nello spazio delle fa si, la loro parentesi di
Poisson , indicata con { f, g } , è definita come
{f,g}=i:(àf�- àf�).
i=I
Òq; Òp; Òpi Òq;
[E.27]
In particolare, le parentesi di Poisson delle coordinate e dei momenti (le parentesi di
Poisson canoniche) sono
[E.28]

Appendice E I Elementi di meccanica analitica
Le parentesi di Poi sson godono delle seguenti proprietà:
• Antisimmetria :
{f, g) =-{g,f}.
• Linearità:
{f+h,g}={f,g}+{h,g),
{af,gl= a{f,g}.
541
[E.29]
[E.30]
[E.3 1]
(Qui h è una terza fu nzione definita nello spazio delle fasi, e a è una costante).
• Identità di Ja cobi:
{f,{g,h}}+{h,{f,g}}+(g,{h,f}}=o.
Usando le parentesi di Poi sson, le equazioni canoniche [E.26] diventano
q;= {q;,H), p;= {p;,H).
La derivata totale di una funzionef(q; , p;, t) ris petto al tempo è
df=Òf+�(Òf .+ Òf·)
dtòti�Òq;
q
,
Òp;
p
,.
Inserendo nella [E.34] le [E.26] , si trova
[E.32]
[E.33]
[E.34]
[E.35]
Dunque, f è una costante del moto se non dipende esplicitamente dal tempo e la sua
parentesi di Poi sson con l'Hamiltoniana è nulla, {f, H ) =O.
Una trasformazione delle coordinate e dei momenti del tipo
[E.36]
è una trasformazione canonica se esiste un'Hamiltoniana H ' (P; , Q;, t) tale che per le
nuove variabili Q; e P; valgano equazioni simili alle [E.26],
·
òH'
Q;
=
òP'
I
·
òH'
P;= - òQ;
.
[E.37]
Se la [E.36] è connessa con continuità alla trasformazione identica Q; = q ; , P; = p;,
esiste una funzione del tipo F(q; , P; , t), detta funzione generatrice, per la quale si ha
òF
p;=
-
a
,
q;
Q;=�;, H'=H+��·
I
In particolare , la trasformazione identica è generata da
n
F=LqjlJ·
j=I
[E.38]
[E.39]

542
Elementi di meccanica analitica I Appendice E
Consideriamo ora una trasformazione canonica infinitesima
{Q;=q;+oq;
P; =p; +Op;.
[E.40]
Supponendo che le Oq; e le Op; dipendano da un parametro infi nitesimo t:, possiamo
scrivere
oq; = t:Oq;, Op; = t:Op;,
dove Oq; e Op ; sono coefficienti fi niti. La fu nzione generatrice avrà la forma
n
F=2,q1P1 + t:G(q;, P;).
j=I
[E.4 1]
[E.42]
Al primo ordine in t:, si può porre P; = p ; nell' argomento del generatore G. Applicando
le [E.38] alla [E.42], e confrontando con le [E.40], si trova
-
ac
oq; =
dp; '
-
ac
Op;=--:
:;-
.oq;
Mediante le parentesi di Poisson, queste relazioni si riscrivono come
oq;= {q;, G), Op;= {p;, G).
[E.43]
[E.44]
La variazione di una fu nzionef(q; , p ; , t) per effetto di una trasformazione canonica in­
fi nitesima generata da G(q; , p ;) è, al primo ordine,
of={f,G}.
[E.45]
L'evoluzione temporale del sistema può essere considerata come una successione
di trasformazioni canoniche infinitesime del tipo
{q;(t+ ot) =q;(t) +�;ot
p;(t+ ot) =p;(t)+p;ot
con Ot infinitesimo. Le variazioni finite delle coordinate e dei momenti sono
oq; = q;,
8p; =Pi·
[E.46]
[E.47]
Alla luce delle [E.33] e delle [E.44] si vede che il generatore dell'evoluzione tempo­
rale è l'Hamiltoniana H.

Bibliografi a
È raccolta qui la bibliografia generale sugli argomenti trattati nel libro (i testi verranno citati
nella traduzione italiana, quando essa sia disponibile) . Le referenze specifiche sono state inse­
rite nelle note a piè di pagina del testo.
La letteratura sulla re latività speciale è vasti ssima. Le indicazioni che seguono sono dunque
frutto di una selezione che risente delle prefere nze e dei pregiudizi dell' autore .
Per cominciare, i classici. Gli articoli originali di Einstein sono tradotti in:
Einstein A. , Op ere scelte, a cura di E. Bellone, Bollati Boringhieri , Torino 1988,
che contiene anche Relatività: esposizione divulgativa . Si veda poi :
Einstein A. , Il signifi cato della re latività, Boringhieri , Torino 1976.
Costituiscono una lettura istruttiva gli scritti raccolti in:
Lorentz H : A. , Einstein A., Minkowski H. e Weyl H. , The Principle of Relativity, a cura di
Sommerfeld A., Dover, New York 1952,
e quelli di Poinc aré :
Poincaré J. H. , Scritti di fis ica- matematica , a cura di U. Sanzo, UTET, Tori no 1993.
La migliore biografi a scientifica di Einstein è:
Pais A., «Sotlile è il Signore ... », Boringhieri , Torino 1986.
La storia della re lati vità, la fi losofia scientifica di Einstein e l'in fl uenza della sua opera sulla
fi sica del Novecento sono discusse in:
Bergia S., Einstein e la relatività, Laterza, Roma-B ari 1980.
Holton G., La lezione di Einstein, Feltrinelli, Milano 1997.
-
Einste in e la cultura scientifi ca delxx secolo, il Mulino, Bologna 1991.
Veniamo ora ai testi specialistici . Tra le presentazioni elementari della relatività ri stretta, di
parti colare pregio didattico sono:
Resnick R., Introduzione alla re latività ristre tta , Casa Editrice Ambrosiana, Milano 1969.
Rosser W. G . V. , lntroductory Relativity, Butterworths, London 1967.
Corti ni G. , La re la tività ristre tta , Loescher, Torino 1978.
Regge T. , Sp azio, tempo, relatività, Loescher, Torino 1981.

544
Tra i testi di relati vità speciale di livello intermedio, segnalo:
Rindler W. , La re latività ristretta , Cremonese, Roma 1971.
Regge T. , «Relatività», inEn ciclopedia Einaudi, Tori no 1980.
Bibliog rafia
Stephenson G.e Kilmister C. W., Sp ecial Relativity fa r Physicists, Dover, New York 1986.
Pérez J.-P ., Relativité, Dunod, Pari s 1999.
Rougé A., Introduction à la relativité, École Polytechnique, Palaiseau 2000.
Si distingue per l' approccio originale e un 'interessante scelta di argomenti :
Bernardini C., Relatività sp eciale, La Nuova Italia Scientifica, Roma 1991.
I
.
trattati canonici di relatività sono (i primi tre coprono anche la teoria generale):
Pauli W., Te oria della relatività, Boringhieri , Tori no 1958.
M�ller C. , T he Th eory of Relativity, Clarendon Press, Oxford 1952.
Anderson J. L. , Principles of Relativity Physics, Academic Press, New York 1967 .
Synge J. L. , Relativity: The Sp ecial Th eory, North Holland, Amsterdam 1956.
Aharoni J. , The Sp ecial Th eory of Relativity, Clarendon Press, Oxford 1965 .
Schwartz H. M ., Introdu ction to Sp ecial Relativity, McGraw-Hill , New York 1968.
La cinematica relativi stica dei processi subnucleari è presentata esaurientemente in:
Hagedorn R., Relativistic Kinematics, Benjamin-Cummings, Readi ng (MA) 1963.
Byckling E. e Kajantie K. , Relativistic Kin ematics, Wiley, New York 1973.
Il più autorevole e completo manuale di elettromagnetismo è:
Jackson J. D., Elettrodinamica Classica, Zanichelli, Bologna 1984.
L'elettrodinamica relativistica è discussa in dettaglio in:
Rohrlich F. , C lassica/ Charged Particles, Addi son-Wesley, Reading (MA) 1990.
La teori a classica dei campi è in genere affrontata nei capitoli preliminari dei manuali di teoria
quantistica dei campi , ad esempio in:
Ramond P. , Field Th eory: A Mode m Primer, Addison-Wesley, Reading ( MA) 1989.
La mia presentazione dell' argomento è fortemente influenzata da quella di :
de AlfaroY ., Te oria de i campi, CLU, Torino 1985.
Due splendidi testi specificamente dedic ati alla teori a classica dei campi sono:
Barut A. O . , Electrodynamics and Classica/ Th eory of Fields and Particles, Dover, New
York 1980.
Landau L. D. e Lifshits E. M., Te oria dei campi, Editori Riuniti, Roma 1981 (che contiene
anche un' eccell ente introduzione alla relatività generale).
L'intero spettro delle teorie dinamiche classiche, dalla meccanica delle particelle alla teoria
dei campi, è trattato in:
Doughty N. A., Lagrangian ln teraction , Addi son-Wesley, Readi ng (MA) 1990.
Per ciò che riguarda la relatività generale e la gravitazione, le opere di ri fe rimento sono:
Misner C. W ., Thorne K. S . e Wheeler J. A. , Gravitation, Freeman, San Francisco 1973.
Weinberg S. , Gravitation and Cosmology, Wiley, New York 1972.
Altri ottimi manuali sono :
Berry M. V ., Principles of Cosmology and Gravitation , IOP Publishing, Bri stol 1989.
de Sabbata V. e Gasperi ni M. , /n troduction to gravitation , World Scientific, Sing apore 1985.
Schutz B.F. , A fi rst course in generai re lativity, Cambridge University Press, Cambridge
(UK) 1990.

Bibliog rafia
Tra i testi introdutti vi, rimangono validi :
Eddington A. S. , Sp azio, tempo e gravitazione, Boringhieri , Torino 1971.
Sciama D. W., la relatività generale, Zanichelli, Bologna 1972.
Per le più recenti verifiche della re latività generale, si veda:
Regge T. e Peru zzi G., Sp azio, tempo e universo, UTET Libreria, Torino 2003.
545

Indice analitico
Aberrazione della luce stellare, 79-8 1
Abraham, teoria di, 157 (probi .)
Acceleratori di particelle, 153-56
elettrostatici, 153
lineari, 154
Accelerazione, 14, 20-22, 108 (probi .), 113 -14 , 217,
382, 384, 465-66 , 47 1, 499 -500
Algebra di Lie, 529-3 1
Annichilazione elettrone-positrone, 279-80
Antiparticelle, 47 , 128, 150 -5 1
Ascensore di Einstein, 465-67
Assorbimento di fotoni, 299-300
Autoenergia di una carica, 388
Azione, 224, 233-34, 538
di una particella in un campo elettromagnetico,
349-50 , 44 1
di una particella libera, 224-25, 238
nello spazio-tempo curvo, 483
di un campo, 403-08
di un sistema di particelle, 247
stazionaria, principio di, 225-26, 234-35, 405 ,
537-38
Azione a distanza, 392
Azione e reazione, legge di, 135-36 , 248-49, 383
Basi nello spazio di Minkowski, 205-06
Bertozzi, esperimento di, 120
Boost (o trasformazioni di velocità), 41, 43, 174-76,
178-79 , 208- 10
Bucherer, esperimento di, 143
Buchi neri , 49 1, 507 -09
Calcolo vettoriale e tensoriale
nello spazio di Minkowski, 179-88
nello spazio euclideo tridimensionale, 515-24
Cammino proprio, 216
Campo(i), 400-04
di Dirac, 202, 42 1 -22
di gauge non abeliani, 447 -5 1
di Klein-Gordon, 429-32
elettromagnetico, 15, 308
di radiazione, 360-6 1, 382
generato da una carica in moto uniforme, 364-67
interazione con il campo gravitazionale, 504-05
interazione di una particella con il, 332 -34,
441-44
Lagrangiana del, vedi Lagrangiana del campo
elettromagnetico
libero, 327-32, 360-6 1
longitudinale e tras verso, 312- 13
quadritensore del, 35 1-52
gravitazionale, 465-68 , 470 , 477, 486-87
scalare, 200, 42 1, 427-29
spinoriale di Weyl, 20 1
vettoriale, 20 1, 42 1
Carica, densità di, 308-09 , 311
Carte, 476
inerziali, 476-77
Causalità, 44-45 , 150-5 1 , 339-44
Centro di massa, moto del, 219-20
Cerenkov, radiazione, 302-03
Ciclotrone, I 54-55
Collisori, 155 -56, 259
Compton, diffusione, 270-74
Cono-luce, 48-49
coordinate del, 213 (probi .)
Conservazione
della carica elettrica, 309- 11
dell'energia, 122, 125, 232, 254, 28 1 -82 , 286
del campo elettromagnetico, 320-22
della massa, 122
del momento, 23 (probi.), 115 -16, 232, 255
del campo elettromagnetico, 322 -25
del momento angolare, 233, 24 1 -42, 247-49
del campo elettromagnetico, 325-27
del moto del centro di massa, 233
del quadrimomento, 24 1 -42, 247-49, 254, 417
Contrazione
dei volumi, 70
delle lunghezze, 67-70 , 94 -96

548
Convenzione di somma di Einstein, 169
Conversione di massa in energia, 122-25 , 279-80
Corda vibrante, 40 1 -04
Corpi rigidi, 105 (probi .)
Corpo Alfa, 7 -8, 16
Corrente, densità di, 308-09, 311
Costante
di Hubble, 500
di Planck, 33 , 46-47 , 129, 532
gravitazionale di Newton, 464
Covarianza
delle leggi fi siche, 8, 165-66
generale, principio di, 477
Curvatura
di uno spazio, 47 1 -75
form ula di Gauss della, 473
scalare, 485
tensore di, 484-85
D'Alembertiano, 189, 368
Dalitz-Fabri, diagramma di, 285
Darwin, Lagrangiana di, 394-96
Decadimento(i), 28 1 -88
a, 288
/3, 288-89 , 300-02
del muone, 87-88, 124-25
in due corpi, 28 1 -84
in tre corpi, 28 1, 283-84
legge dei, 87, 28 l
Deflessione della luce, 468-69, 496-98, 512 (probi .)
Delta
di Dirac, 534-36
di Kronecker, 516
Derivata covariante
in elettrodinamica, 444
in uno spazio-tempo curvo, 480
Derivate fu nzionali, 407
De Sitter, paradosso di, 24-25 (probi.)
Differenziale covariante, 479-80
Dilatazione degli intervalli temporal i, 70-7 3, 87-88
Dilatazioni, vedi Trasformazioni di scala
Dispersione
di un pacchetto d' onde, 34 1 -45
re lazioni di, 340-4 1
Effetto
Compton, vedi Compton, diffusione
Doppler, 82 -86
Fizeau, 86-87, l LO-lI (probi .)
fotoelettrico, 129
Mi:issbauer, 299 -300
Nordtvedt, 465
Einbein, 245-46
Eticità, 205, 244
Emissione di fotoni, 296 -99
Energia
cinetica di una particella, l 18-22
del campo elettromagnetico, 320-22, 33 1, 437-38
di legame, l 26, 286-87
di massa (o di riposo), 121-25
di soglia, 276-77
di un campo, 417-18
totale di una particella, 120-2 1
unità di misura della, 122-23
Ei:itvi:is, esperimento di, 464
Equazione(i)
Indice analitico
canoniche del moto (o di Hamilton)
di una particella, 238, 540
di un campo, 409- 1 O
delle onde, 16, 25 (probi .), 317, 327
di Abraham-Lorentz, 388
di Bargmann-Michel-Telegdi, 390-92
di continuità
della carica elettrica, 309- 12, 353-54 , 436
dell ' energia elettromagnetica, 32 1, 439
del momento elettromagnetico, 325, 439
del momento angolare elettromagnetico, 326
di d'Al embert, 316-17, 367-68 , 375
di Dirac, 21 1
di Dirac-Lorentz, 389
di Einstein, 490-9 1, 503-04
di Eulero-Lagrange
di una particella, 227, 235, 538
di un campo, 403 , 405-06, 408
di Klein-Gordon, 21 1, 429, 43 1
di Maxwell, 15-17, 308-09, 312- 15, 354-56
macroscopiche, 338
per i potenziali, 315-3 19
problema di Cauchy per le, 335-37, 375-77
risoluzione delle, 367-79
di Minkowski , 113-15, 221 -22, 226, 229
di Minkowski-Lorentz, 313-14, '3 6 l-62
di Newton, 6-7 , 20-2 1, 112- 13
di Proca, 396 -97 (probi .)
di Thomas, 392
Equivalenza
di massa ed energia, l 21-25
principio di, 467-70
Etere, 8, 16, 52
Eventi, 34-37, 47
connessi causalmente, 44-45
successione temporale degli, 44-45
Fattore lorentziano, 4 l
Fissione nucleare, 124, 287-88
Fluidi perfetti, 457 -58
Formazione, processi di, 274-76
Forza(e), 6, 20-2 1, 112-14, 133-35, 222-23, 464-66,
499-500
centrifuga, 21
di Coriolis, 21
di Lorentz, 23, 1 14, 313- l 4, 362
inerziali (o fittizie), 21, 466, 499-500
tra due cariche in moto, 383
Fotoni, 129-30
Frequenza di ciclotrone, 141
Funzione(i) di Green
del d'Alembertiano, 368-75
dell' operatore di Klein-Gordon, 459-60 (probi .)
Fusione nucleare, 126, 286-87

Indice analitico
Futuro
assoluto, 48-49
realtà del, 62-64
Gauge
di Coulomb, 317- 18
diLorentz, 316- 17, 350
di radiazione, 319-20
invarianza di
dell'elettromagnetismo, 130, 316, 350, 435
globale, 432-33
locale, 444-46
non abeliana, 446-5 1
temporale, 319
Gemelli, paradosso dei, vedi Paradosso degli orologi
Geodetiche, 226 -27, 472, 475 , 48 1 -84
GPS (Global Positioning System), 93
Gravitazione
e relatività speciale, 470-7 1
newtoniana, 114, 464
Gruppo(i)
conforme, 453
di Carroll, 62
di Galilei, 25 (probi .), 212
algebra di Lie del, 212
di Lie, 528-3 1
di Lorentz, 193 -202
algebra di Lie del, 196-202
e SL(2, C), 206- 10
rappresentazioni del, 200-02, 208- 10
di Poincarè, 202-05
algebra di Lie del, 203-05
rappresentazioni del, 204-05
di Weyl, 45 1
nozioni generali sui, 525-3 1
Hafele-Keating, esperimento di, 92 -93, 507
Hamiltoniana
del campo elettromagnetico, 435
densità di, 404, 408-09
di Klein-Gordon, 430-32
di una particella, 228, 235-37
in un campo elettromagnetico, 333 -34
libera, 228 , 240
di un campo, 404, 408
scalare, 428-29
Helmholtz, scomposizione di, 520-2 1
Hilbert-Einstein, azione di, 501 -05
Impulso, vedi Momento
Induzione inerziale, legge di, 500
Inerzia, principio di, 27-28
Intervallo tra eventi, 34-37, 45-47
Inversione
spaziale, 177
temporale, 177
Irraggiamento di cariche in moto, 383-85
Jordan-Pauli, funzione di, 376
Kaluza- Klein, teoria di, 498
549
Kennedy-Thomdike, esperimenti di, 55-56, 103
Kepleriano, moto, vedi Moto kepleriano
Kramers-Kronig, relazioni di, 34 1
Kruskal, coordinate di, 49 1, 51I (probi .)
Kurie, grafico di, 30 1 -02
Lagrangiana
del campo elettromagnetico, 433-36
densità di, 403-04
di Chem-Simons, 46 1 (probi .)
di Fermi del campo elettromagnetico, 453-54
di Klein-Gordon, 429, 43 1
di Proca, 46 1 (probi .)
di una particella, 227, 233-34, 537-39
interagente, 229
in un campo elettromagnetico, 332
libera, 228 , 239, 245-46
di un campo, 403-04
scalare, 427-28
di un sistema di particelle, 247
di Yang-Mills, 450
singolare, 237, 539-40
Larmor, potenza di, 384
Levi-Civita, simbolo di, 187-88, 516
Liénard-Wiechert, potenziali di, 379-80
Linee di universo, 48, 2lq, 234
Lorentz,
correnti di, 423-24
forza di, vedi Forza di Lorentz
trasformazioni di, vedi Trasformazioni di Lorentz
Luce, velocità della
in un mezzo in movimento, 86-87
nel vuoto, 3 , 16, 30-33, 41-42, 45, 101 -02
Mach, principio di, 22 , 499-500
Mandelstam, variabili di, 260-6 1
Mare di Dirac, 128
Massa
dipendente dalla velocità, 117
di un sistema composto, 125-26
ed energia, equivalenza di, vedi Equivalenza di
massa ed energia
gravitazionale, 464-66
invariante, 258-59
longitudinale e trasversale, 157 (probi.)
nulla, particelle di, 128-30, 205, 218-19, 246
Mass shell, re lazione di, vedi Momento-energia,
relazione
Matrici
di Dirac, 201-02, 211
di Pauli, 200, 206- 10
Maxwell, equazioni di, vedi Equazioni di Maxwell
Meccanica analitica, 537-42
relativistica
covariante, 233 -42
non covariante, 227-33
Meccanica quantistica, 47, 128, 150-5 1 , 210-11
Metrica
di Schwarzschild, 49 1 -93
di uno spazio curvo, 47 3, 476

550
di uno spazio riemanniano, 168, 472, 476
dello spazio di Minkowski, 167-70
Michelson-Morley, esperimento di, S2 -S6, 102
Minkowski
diagrammi di, 47-S2 , 68 -69, 71 -72
spazio di, vedi Spazio di Minkowski
equazione di, vedi Equazione di Minkowski
Momento
del campo elettromagnetico, 324-2S , 33 1, 437-38
di una particella, 114 - 17
canonico, 227, 333
cinetico, 228, 333
di un campo, 417-18
Momento angolare
del campo elettromagnetico, 32S-27, 439-4 1
di una particella, 118
di un campo, 424
quadritensore, 219
Momento-energia, relazione, 127-28, 132, 218-19, 239
Monopoli magnetici, 347-48 (probi.)
Moto
di una carica in un campo elettromagnetico, 136-43
iperbolico, 137-38
kepleriano, 144-46
Neutri ni, 130
massa dei, 300-02
Noether,
cariche di, 41S
correnti di, 414
teorema di, 23 1, 411-16
Onde
elettromagnetiche piane, 329-32 , 3S6 -6 l
gravitazionali, SO l
Orologi ideali, 74
Oscillatore relativistico, 1S9 (probi.)
Pacchetti d' onde, 34 1 -4S
Paradosso degli orologi
in relatività speciale, 89-94
in relatività generale, SOS-07
Parentesi di Poisson, 238, 409- 10, S40-4 l
Passato assoluto, 49
Pauli-Lubanski,
operatore di, 204-0S
quadrivettore di, 244
Polarizzazione, quadrivettore di, vedi Spin, quadrivet-
tore di
Positrone, 128, 279-80
Potenziale generalizzato, 332 , S39
Potenziali elettromagnetici, 314- 1 S
ritardati, 378
Poynting, vettore di, 322, 324
Prec essione
del perielio
in relatività speciale, 146
in re latività generale, 494-96
di Thomas, 96- 100 , 392
Pressione di rad iazione, 32S
Produzione
di coppie, 280
processi di, 276-77
Indice analitico
Propagazione dei campi in un mezzo dispersivo,
338-4S
Pseudotensori, 186-87
Pulsar binaria PSR 1913 + 16, SO 1-02
Q
di una reazione nucleare, 286
di un decadimento, 282
Quadriaccelerazione, 217
Quadricorrente, 3S2-S4
Quadridivergenza, 189
Quadriforza, 222-23 , 24 1
Quadrigradiente, 188-89
Quadri momento, 218-19, 23S, 239
Quadripotenziale elettromagnetico, 349-SO
avanzato, 377-78
ritardato, 377-78
Quadritensori, 182-88
Quadri velocità, 216- 17
Quadrivettore d' onda, 3S6-S7
Quadrivettori, 181-88
Radioattività, 288 -89
Raggio di Schwarzschild, 49 1, 507 -09
Rapidità
di una particella, 159-60 (probi .)
di un boost, 6S (probi .), l 7S
Reazione di radiazione, 314, 386-90
Relatività
galileiana, 9, 18
generale, verifiche della, 489, 495-98, 501 -02, 507
principio di, 8 - 1 O, 30-3 1
radici storiche della, 4 -6 , 18-19
speciale,
postulati della, 30-32
verifiche della, 100-0S , 149-SO, 454 -S6
Ricci, tensore di, 48S
Riemann,
tensore di, vedi Curvatura, tensore di
spazi di, vedi Spazi di Riemann
Rinorrnalizzazione della massa, 389-90
Riparametri zzazioni, invarianza per, 234, 236-37
Rotazioni, 162-63 , 176, 178-79, 208- 10
gruppo delle, 163, 195
Schwarzschild
metrica di, vedi Metrica di Schwarzschild
raggio di, vedi Raggio di Schwarzschild
Separazione tra eventi, vedi Intervallo tra eventi
Sezione d' urto
differenziale, 29 1 -92
di Klein-Nishina, 274
di Thomson, 273-74
totale, 289 -9 1
Sforzi , tensore degli, 418
di Maxwell, 323-24
Simboli di Christoffel, 479-8 1

Indice analitico
Simmetria(e), 5 , 230
e leggi di conservazione, 229-33, 24 1 -42
in teoria dei campi, 41 1 -16
Simultaneità, relatività della, 30 , 44
Sincronizzazione degli orologi, 28 -30, I 03 -04
Sincrotrone, 154
radiazione di, 385-86
Sistema(i) di riferimento, 27
accelerati, 7, 20-22, 465-66, 471
del centro di massa, 256-57
del laboratorio, 255-57
di Breit, 304 (probi .)
inerziali, 7-8, 27-28
Sistemi local i di coordinate, vedi Carte
Spazio(i)
delle fasi, 29 1 -92, 307 (probi .)
di Minkowski, 167-70
di Riemann, 168, 476
Spazio-tempo
in relatività speciale, 161, 167-70
in relatività generale, 476-78
Spin
del campo elettromagnetico, 327, 440
di una particella, 1 18, 242-44, 390 -92
di un campo, 42 1 -22, 424, 459 (probi .)
quadrivettore di, 243-44
Spinori, 20 1 -02, 209- 1 O
Spostamento gravitazionale verso il rosso, 469-70,
488-89
Stringa relativistica, 146-48
Sudakov, parametrizzazione di, 213 (probi .)
Superfici nello spazio di Minkowski, 189-93
Superpoten ziale, 419, 427
Tachioni, 45 n, 151 -52
Tempo
assoluto, 8, 12
coordinata, 478
immaginario, 170
proprio, 71, 73-74
ritardato, 380
Tensore di energia-momento, 417-20
del campo elettromagnetico, 437 -39, 505
di una particella, 442
di un fluido perfetto, 457
simmetrizzazione del, 425-27
Tensore metrico, vedi Metrica
Tensori
in uno spazio curvo, 477-80
in uno spazio di Riemann, 179-80
nello spazio di Minkowski, vedi Quadritensori
nello spazio eucl ideo tridimensionale, 164-65
Teorema
di Gauss, 191-93, 522
di Green, 193, 523
di Stokes, 193, 524
Traiettorie di Regge, 147 -48
Trascinamento, coefficiente di, 87
Trasform azione(i)
canoniche, 54 1 -42
dei campi, 410-1 1
conformi, 453
di Carroll, 61-62
di dualità, 346 (probi.), 460-61 (probi .)
di Galilei, 1 1-15, 20
della velocità, 14
di gauge
elettromagn etiche, 315 -20, 350, 444
globali, 432
locali abeliane, 433 , 444-45
locali non abeliane, 447-49
di Lorentz, 37 -43, 56-59, 170 -79
classificazione delle, 173 -77
dei potenziali elettromagnetici, 362
del campo elettromagnetico, 363-64
dell' accelerazione, 108 (probi.)
della forza, 133-35
della velocità, 74-77
del momento e dell ' energia, 130-32
deri vazione delle, 37-43, 56-59
551
proprietà gruppali delle, 59 , 78-79 , 193-95
di parità, vedi Inversione spaziale
di Poincarè (o di Lorentz non omogenee), 171,
202-03
di scala (o dilatazioni), 59-60, 45 1-53
di velocità, vedi Boost
Trasporto parallelo, 474-75, 479, 483
Unità di misura naturali, 532-33
Urti, 115-17, 122, 135 -36, 25 1 -55
a due corpi, 26 1 -65
anelastici, 254-55 , 274-79
elastici, 23 (probi.), 253, 263, 265-70
elettrone- nucleone, 292-96
esclusi vi, 254
inclusivi, 254, 277-79
Velocità
addizione delle, 14, 75
del fronte d' onda, 344 -45
di gruppo, 342-44
di segnale, 345
limite, 3, 41-42, 45, 59
relativa, 76-77, 259-60
Vettori
in uno spazio curvo, 47 7-80
in uno spazio di Riemann, 179-80
nello spazio di Minkowski, vedi Quadrivettori
nello spazio euclideo tridimensionale, 164-65 ,
515-24
Vincoli, 22 1 -22 , 237-38, 309, 540
Vita media, 87-88, 28 1
Volume invariante, 189, 478
Wheeler-Feynman, teoria di, 392-94
Yang-Mìlls, teoria di, 446-5 1

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A cento anni dalla sua nascita, la teona einsteiniana della relat1v1ta
e uno dei hnguagg1 correnti della fisica contemporanea e un caposaldo
della v1s1one sc1enllf1ca del mondo. Il volume illustra in dettaglio e con
un'1mpostaz1one moderna la relatività speciale, dai suoi fondamenti fino
alle applicazioni teoriche p1u 1mportant1, e fornisce un'introduzione
alla relat1v1tà generale. La presentazione s1 articola in tre parti.
Nella prima parte vengono esposte, senza appesantimenti matemat1c1,
le basi della relat1v1tà speciale (le trasformazioni d1 Lorentz,
la cinematica e la dinamica relativistiche). La seconda parte è dedicata
allo spazio-tempo d1 M1nkowsk1, alla formulazione covariante
della meccanica relat1vist1ca, alle applicazioni in fisica nucleare
e subnucleare, e all'elettrodinamica. La terza parte affronta la teona
classica dei campi e la relat1v1tà generale. Il libro, corredato d1 numerosi
complementi e problemi, e valido sia come testo introduttivo per
1 pnm1 anni universitari sia come manuale d1 approfondimento
per gh anni success1v1 e le lauree spec1ahst1che. Inoltre, per 11 suo
tagho pedagogico e l'attenzione agh aspetti concettuali della relatività,
può essere proficuamente usato nei corsi d1 fisica moderna delle
scuole d1 spec1alizzaz1one per l'insegnamento secondario.
ISBN 978-88-339 -5757-9
€ 39,00
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9 788833 957579