Основы качественнаго физико-математическаго анализа и новые физическіе факторы обнаруживаемые имъ въ различныхъ явленіяхъ природы - Морозовъ Н.

Author: Морозовъ Н.
Tags: математический анализ математическая физика законы природы физические процессы физические явления
Year: 1908
Similar
Домашній столъ. Новая поваренная книга о приготовленіи различныхъ кушаній
Сборникъ работъ и ремеслъ, полезныхъ для дѣтей различныхъ возрастовъ
Аграрный вопросъ въ Россіи и его решеніе въ программахъ различныхъ партиій
Народная медицина и народные средства различныхъ племенъ Русскаго царства противъ разныхъ болѣзней
Text
                    Николай Морозовъ.
ОСНОВЫ
КАЧЕСТВЕННАГО ФИЗИКО-МПТЕМПТИИЕСКПГО
АНАЛИЗА
И НОВЫЕ ФИЗИЧЕСКІЕ ФАКТОРЫ
обнаруживаемые имъ
въ различные явление природы.
Типографа Т-ва И. Д. Снтявв, Пятвищая уя., «об- я>
МОСКВА- —1908.

пРЕдисловт.
Качественный физико-математический анализъ
<естъ новый жтодъ научнаю иэслѣдованія.
Предметъ ею — открытіе общихъ, безусловныхъ
законовъ природы путемъ изсліъдовапія уже tjcma-
новленныхъ нйблюденіемъ частныхъ соотношенІй
между піѣмгі или другими факторами. Такимъ
образомъ, объектомъ, надъ которымъ памъ придется
оперировать здѣсь, будутъ рйзличныя формулы
прикладной математики.
Киша эта представляешь какъ бы введеніе кь
ряду друшхь работъ по спеціальнымь отдѣламъ
физики, химіи, астрономіи и механики, которые
наполовину уже закончены. Поводомъ къ ея соста-
■вленію (еще въ уо-хъ іодахъ, во время заключения въ
Шлисселъбургской кргыюсти) были ■размыщмнія о
физицескомь значеніи коэффициента
пропорциональности въ Ньютоновой формі]лѣ тяютѣнія, разбору
которой и посвящена здѣсь почти цѣ.іая глава,
■оставшаяся совершенно въ томъ видѣ, какъ она была
•написана въ то время. Отіубликовать ее, какъ и
■большинство моихъ осталъныхъ научныхъ работъ,

— IV —
долю не было никакой возможности, сначала вслгъд-
ствіе запрещенія мнѣ какихъ-либо сногиенгй съ
внѣшнимъ міромъ во время заключенія, а затѣмъ
еще два года вслѣдствіе трудности найти въ Россін
издателя для спеціальныхъ кншъ математическим
характера.
Николай Морозовъ.
8 февраля, 1908 г.

ОГЛАВЛЕНІЕ.
Отдѣлъ I.
Сущность метода.
ГЛАВА I,
Законъ изотезичности, какъ основа начественнаго физико-мате-
■атическаго анализа.
Стр.
1. Что такое иаотезвчвость? 3
II. Гснсзиеъ чисел!.. Числовая эквнвалевтвостъ фнзическвхъ
факторовъ 4
Ш. Первое средство качественвнго анализа формул.. Нахоаце- .
, ліе непред.усиотрѣвныгь факторовъ нзъ эмпирически уста-
новлеввыхъ пролорніональностеК. О фунввдовальномъ
состав* физичеСЕигь факторовъ 6
IV. Равенства явно-нІотезнчныя. Равевства эквивалентная ... 12
V. Второе средство качественнаго авадвза. Ввеіевіе въ вевзо-
тезнчесвія эхвпрячпыя формула комплекса [к] непрежусяо-
трѣнныдъ факторовъ и его нахомсиіе взъ самой формулы . 16
ГЛАВА II.
Три основные квалитативные фактора въ иачествен-
аовъ фнзнкс-иатеиатичесноиъ авализѣ.
X Что -такое основные и пронзвадиые фнзнческіе факторы?
Абсолютная ЗГ-Л-Г-енстема. Ея условные символы и
обозначения . . . . . ^ . - . 21
П. Характеристика трехъ освоввыхъ факторовъ въ M-L-V-ea-
стенѣ '25

— VI —
ГЛАВА III.
Обратныя значенія основныхъ физнческигь фанторовъ
въ M-L-V-снстемѣ.
Стр.
I—II. Раздельность иверніи М~*. Теплоемкость 29
III. Гонотектнчесвіе (уг.ю образовательные) факторы фнзнческаго
міра 35
IV. Первый гоиотектичеі*кій факторъ. Бѣгучее загнбавіе и
надламывание путей у физическнхъ тѣлъ. Иекрнвденін первого рода. ЗУ
V. Второй говотектнчесеіы факторъ. Ііѣгучее закручпваніе или
искрнвденіе второго рода 13
VI. Мстаморфозъ гонотектическняъ факторовъ. Переходъ заги-
банія въ закручнваніе н обратно, Законъ ихъ
эквивалентности. Пути двоякой кривизны 45
VII. Надломы и угловые сдвиги. Приборъ для демонстрировали
линій двоякой кривизны 49
VIII. Причины почти полной неупотребляемое™ въ аналвзѣ
фнзнческаго фактора съ фувкніональнымъ составомъ V"~і
(медленность двнжвнін) 5!
ГЛАВА IV.
Пространственные факторы фнаичеснаго иіра и игь
различный фазы. Подули лннейныхъ лротяжѳкМ, поверх- ■
ноетей и объемовъ и коэффиціенты ихъ фигурности -
I—П. Путевые эквиваленты линеиныхъ протлиеній, поверхностен
Н объемовъ 53
III. Путевой модуль L- поверхности и коэффвціѳнть f игь фн-
гурностн. Фазы поверхности 57
IV. Путевой модуль L3 объема и коэффнпіентъ -; фигурности
треінѣрнаго пространства. Объемный фазы 60
V. Путевой модуль £ линеіныхъ протяженій 62
VI. О необходимости введенія коэффнціентовъ фигурности въ
стереометрнчеекія формулы 64
VII. Заклпченіе. Ьѣгучее искрнвленіе поверхностей.
Заколдованный круп, трехъ пространствен ныть взмѣреній и
невозможность въ нриродѣ нскривлевШ, который выражались бы
функционально степенями L ниже Г.-1. Линейная и плоская
фалы объема. Линейная и поверхностная плотности.
Возможность нсключенія постояниыхъ множителей изъ изотеэи-
ческигь форнухь 68

- - VII —
ГЛАВА V. .
Важвѣйнне язь производишь факторовъ яіровой
механики.
С ту.
1—11. Плотность I) я разреженность D~' 72
III. Продолжительность физнческаго явлепія. Промежуток!
времени Г 76
IV. Частота повтореніЙ (Frequency) Іг. Угловая скорость. Высота
тона въ нузыкѣ. Цвѣтъ простыхъ свѣтовыхъ лучей .... 73
V. Количество двнжевія J, или элементарный силовой им-
иульст. 86
VI- Сила F н Бажвѣишія изъ ѳя проявлен)В вь природѣ .... 87
ѴП. Теорія двуетиронняго усилія и всесторонняя (гндростатиче-
ческая), объемо-пзнѣняющая упругость жидкостей и газовъ,
опредѣляем&я на основании кинетнчеекпхъ явлепгё въ этихъ
средннахъ. Сжимаемость, какъ факторъ, обратный
всесторонней упругости 9У
VIII. Давленіе, какъ нѣра объемо-нзнъняющеп упругости. ..Высота"
баромѳтрическаго или манометрнческаго столба. Вѣсъ н силы
прнтяженія и отталкнвавія. Картины упругой деформацін
иадашшвхъ и упаввшіъ гѣлъ 106
IX. Юнгова (продольная) упругость твердыхъ тѣлъ. Модуль Юнга- 115
XI. Распрямляющая упругость скошенвьнъ тѣлъ или упругая
устойчивость. Соиротивленіе скапиванію (Resisting to
sheering). Эластичность, какъ факторъ, обратный упругой устоВ-
чнвости 125
XII. Энергія К. Живая сила 133
ХІТГ. Работа Ег, млн проііессъ нетаморфнпрованія энергіи . . . 137
XIV. Моментъ пары (силъ) 143
XV. Абсолютная температура W, или кинетическая энергія кало-
рнческихъ атомов* 14-1
XVI. Мощность (Power). Активность. Интенсивность работы . . 147
XVII. Ускорительное воздѣЙствіе G моторныхъ силъ. Ускорение . . 148
ХѴЫ1. Константа Q иовдеро-иоторнаго воля въ пространствѣ трехъ
независимых?. направленШ 156
ХГХ. Потенціальныё факторъ пондеро-моторнаго поля. (Потенціалъ.
Потенщ'вльная функшя) 161
XX. Угловое ускореніе (угловое ускорительное вомѣйствіе S пон-
деро^юторяыхъ силъ) 163
XXI. АктмнометрическіЙ факторъ р н воле язлученія. Возможна ля
потеря калорическом энергіи ввѣтяаа путеиъ ея яишученіи
„въ евѣтовосвув среду"? 1W

ѵш -
ГЛА.ВА VI.
Отвлеченные физнчеыгіе факторы.
I. Опрсдѣленія 174.
II. Массовая отвлеченность °-У, или число атомовъ ннертностн
въ данноиъ физическиѵь тѣлѣ. Удѣльвая теплота 1 < і
III. Скоростная отвлеченность °Г (отношевіб между двумя
скоростями) IT-*
IV. Линейная отвлеченность °/. пли относительная величина,
путей 170
V. Прямолинейный функцін перемѣниаго угла. Песвдо-неизоте-
зичныя формулы. Тригонометрически отвлеченности .... 1&1
VI. ВажнЬйшія изъ пронзнодныхъ отвлеченвоетен. ІІоверхвоетвая
отвлеченность °.Ѵ. Тѣлеенын уголъ в его фазы (фигурвоеть
стереометрический угловъ) 191
1'П. Другіе производные отвлеченные факторы. Число эдеяентар-
ныхъ овъсктовъ въ общемъ объенѣ тѣжа. Коэффищенті. луче-
преломленін. Возможность неваріаціонныхъ замѣщеніи одннхъ
отвлеченныхъ факторовъ другими 1S4
VIII. Общая характеристика отвлеченныхъ факторовъ 1%
ГЛАВА VII.
Всеобъемлющее выражение для фнаическмъ факторовъ
въ *4.-У-систем*. и нъноторыя изъ его прнложеній.
I. О предельной сложности фувкціенадьнаго состава вознож-
ныхъ въ природЬ физическихъ факторовъ І99
II. Вспомогательные методъ для нахожденія въ функціональнонъ
составѣ физическихъ факторовъ одного специфическая рода
отвлеченныхъ коэффиціентовъ, значеніе которыхъ зависать
отъ вмевоваввов части фувкціи. Отвлеченный коэффнціентъ
такого рода при опредѣленіа плотности 211
III. Опредѣленіе епедифвческаго отвлеченного коэффиціеята при
функциональном!, составѣ разности потеипдаловъ въ вондеро-
моторвомъ полѣ съ тремя независимыми направіевіями . . 213
П'. Онредѣлепіо спепифнческаго отвлеченнаго коэффициента для
ускорнтельнаго воздѣнствія повдеро-моторныхъ нолей въ
аространствѣ трехъ незанисимыхъ направлений 21S
V. Овредѣленіе спеднфвЧескиіъ отвлеченныхъ коэффвщентовъ
для силы. Первый указанія на гидростатическШ характеръ
пондерО'Моторныхъ поіей 2'21

— IX —
Стр.
VI. Спеиафнчвсків отвлеченные коэффициенты при фувкціональ-
выхъ составахъ оствльвыдъ провйводвыіъ факторовъ иіро-
вов мехавнкв. Отсутствие вгь у времевн в вѣкоторыхъ дру-
гихъ простъяшихъ факторовъ 277
VIL Закдтченіе 231
Огдѣдъ П.
При иѣненія метода.
ГЛАВА I.
Могущество к&Чественняго фнэнио-Иатеиатичесиаго анализа.
I. Общій методъ нахоххенія непредгсмотрѣвныіъ факторовъ
въ аипврвческвхъ фориул&хъ 243
П. Качествеввыв авазваъ, какъ средства исправлевЫ невѣрно
составдевныхъ ураввевій 245
III. Способъ вахохдевія фувкпдй, воввышенвыхъ въ степень влв
характеризующихся знакомь радикала 247
IV. Первые нримѣръ могущества метода. Факторы, сбусловллваю-
щіе высоту тона кодебдАщнксл струвъ н стерхвен .... 24Ѳ
V. Второй прниЁръ. Факторы, нііяющіе ва колебавія простого
маятнвка 250
VI. ТретіІ пряиЬръ. Дальность надета бромвннаго тѣла ва бевгь-
атиосфервыхъ свѣтнлаіъ. Качественный подборъ отвлечев-
еыхъ факторовъ въ фвлическихъ фориулахъ 253
VII. Четвертый прнмѣръ, Сопротнвденіе инертной среды дввку-
Щямся въ веі тііамъ 259
VIII. Пятые првмъръ. Факторы, вдіяющіе ва скорость звукевыхъ
волвъ въ атмосфер* и другніъ упругнхъ среіахъ 263
IX. Шестов прнмѣръ. Нагожіевіе факторовъ, обусдовлнвающвхъ
угдовое ускореніе диска, првводимаго во вращеяіе ... - 265
X. Резюме предыдущего 287
XI. Нензиѣнна дв сила тяготѣвія въ повдеро-иоторвыіъ подяхъ
небесныхъ світндъ? 269
XII. Иоде водиоовраавыхъ кодебаніи и его нрнтнгатедъныя воз-
дѣістнія 27G
XIII. Ковпдексъ вепредусиотрѣввыхъ факторовъ всемірваго тяго-
тінія, оиредѣлнемый взъ фориуды Ньвгтова 288
XIV. Замѣтка ооъ вяектрвческвхъ к магинтяыгь поляхъ 292

— X —
Стр.
"XV. Захѣтка о прнродѣ тяготѣнія и о іарактерѣ ускорительныхъ
воздѣнсгвіи повдеро-моторныхъ полей. Критически обзоръ
опытовъ по этому предмету 298
"XVI. Комплексъ непрвіусмотрѣвныгь факторовъ тяготѣнія, опре-
дѣляеыын изъ другнхъ астровомнчесвнхъ формулъ 311
ГЛАВА II.
Функциональные составы тѣхъ же самыхъ фиэнческихъ
фанторовъ, выраженные въ различныхъ абсолютные.
системахъ. Особый преимущества И-L-V-системы.
I. Введете 321
II. Сяособъ пвреведѳвія фувкпіовалъныхъ составов* у
физический, фанторовъ нзъ одной абсолютной системы въ другую. —
III. Характерный особенности различныхъ снсгемъ. Доля
субъективности въ каждой изъ виіъ 322
ГЛАВА III.
НедоразуиѣиІя, происходящія отъ пренебреженія аако-
нонтъ изотезнчности. Немыслииость снстемъ лишь съ
двумя основными факторами-
I. Ввтупіеніе 327
II. Псевдо-теллурнческая система физнческнхъ факторовъ . . 328
III. Псевдо-астрономическая система 333
IV. Система псевдо-алвктрнческнхъ Е псевдо-магнвтныжъ единицъ. 337
V. Заключительная эамѣтка о псевдо-системахъ 348
ПРИЛОЖІНІЯ.
ІІриложеніе I (къ главѣ VI). О чнеловыхъ коэффняіентаіъ въ
напихъ формулам 353
Приложекіе II (къ главѣ VIII, §§ XII—XV). О необходимости до-
паіиитеіьнніъ опнтовъ нвдъ тяготѣніенъ на спеціально
приспособлен яыхъ крутильныіъ вѣсахъ Кудона-Кавеяднпщ . . 3G1
Лрнложеніе III (къ главѣ VIII, § XII). О вѣроятпыхъ фиэнческихъ
саойствахъ меідузквэднои среды 379

символы,
ноторые нужно постоянно нмѣть въ виду при чтенііг
этой книги.
1) угловатая скобки [ ]. Онѣ означаютъ, что поста-
влевное въ вигь выраженіе I напримѣръ, I &'■ I)
признается сохраняющимъ постоянное значеніе въ данной
форнулѣ. (Си. форм. 15-ю и др.)- Буквы, поставленный
въ ннхъ, являются всегда лишь общими символами
дан наго фактора, реальное значеніе котораго для изслѣ-
дуемой формулы сл-вдуетъ еще установить по ея общему
смыслу. Кривыя же скобки ( ) иміюгь обычное, какъ
всегда, значеніе, т.-е. выдѣляютъ группу символовъ въ
обособленную функцію.
2) Нулевой показатель, поставленный съ левой
стороны буквы, напршгвръ °Z означаетъ, что это
отвлеченный факторъ, т.-е. частное отъ дЬленія двухь
одноименных!, величинъ (см. форм. 9-ю и др.):
°^| °Mt) ^ т=Щ=ъ" ■ *->=
= {Z«)-=1".
3) Въ рѣдкихъ случаяхъ отвлеченныя величины
(съ постоя внынъ числовымъ значеніемъ) обозначаются
прямо буквой п {въ показателяхъ степени) или буквой
N, въ коэффиціеытахъ, (см. форм. 6-ю и др.). Таковы:
Z", NZ, NZ", N', Z".
4) Принятіе скорости V (Velocity) за основной
факторъ, нараввѣ съ массой М и длиной пути £, вызвало-
необходимость, во избѣжаніе сбивчивости, писать объеиъ

— XII —
череаъ W, а потенніалъ череэъ Р, виѣсто общеприня-
таго символа V, которымъ безразлично обозначаютъ всѣ
эти три фактора.
Впрочемъ этотъ перечень условныхъ символовъ сдѣ-
ланъ нами лишь на случай забывчивости со стороны
читателя, такъ кань въ соотвѣтствующихъ мѣстахъ
текста даны всѣ нужныл объяснеаія. То же самое можно
сказать и о приложенной здѣсь справочной таблицѣ
функціональныхъ составовт, (табл. въ началѣ книги).

Таблица і.
Именованный части фувкціональныхъ составовъ у важнѣйшихъ фвзвческвхъ факторовъ.
(Постоянная справочная таблица при чтекін этой книги).
Сикюжиче
скшобщія
Обозначены
Названіе физвчѳсваго фактора в его ваинѣйпгія проявленія.
Фушціональные составы факторовъ.
Въ M-L-V-евѵгежЬ. \ Въ М-17-Ѵ-системѣ.
Мъсто ооъясненія
данныхъ формул* въ
текстѣ.
М . .
т . .
с . .
W . .
S. . .
*L . .
?• ■ •
С . . .
У . .
и.
т
Е
Ж
*ь
И
^.
■ •
«Г.
а ■
J.
■ ft
G.
• «
* -
Ек.
п.
■ *
Я ■ ■
р.
? - -
Массивность. Инертность. Масса
Массовая отвлеченность. Число иассъ въ даннонъ скошевіи физической
энергии дѣнствующнхъ какъ его недѣлямые домпоненты
Раздробленность вещества. Истинная теплоемкость
Скорость (быстрота) движенія
Скоростная отвлеченность
Медленность движенія
Протяженность по тремъ независииымъ направлешаиъ. Объемный факторъ . .
Протяженность по двумъ неэавксииыхъ ванравденіямъ. Поверхностный факторъ
Протяженность по одном; направленно. Лннеинын факторъ/Путь. Разстояніе
Стереометрическая отвлеченность. Линейные и плоски! углы. Тѣлесные углы .
Сжатость но одному пннравленію. Бвгучее загнбаю'е ж закручиваніе путей,
лнній и поверхностей
Сжатость по двумъ независимымъ ваправленіямъ. Нер&эвертываемыя
искривления поверхностен ,.
г+і
= Ж . . .
»М
лг-' =
«V
М ' ' •
ѵ+1 = ѵ
У-^-у
Х«» = Х* . . .
. . £+* = £2
Z+i^Z . . .
J2
л-=т
Сжатость не тремъ независнмыѵь направлепіяѵь. Факторъ, отсутствужтцн въ
физической природѣ
Угловое ускореміе.
Частота (снѣшяость) повторенШ
Частотная отвлеченность .....
Продолжительность. Промежуток» времени. Рѣдкоеті ■овтореніЗ
Количество движенія. Элементарный силовоЯ вмаульсь .
Энергія. Живая сила. Абсолютная температура. Рабощ ....
Ускорительное воздѣиствіе. Ускореніе
Сел». Шюь. Дімлижі» . «.ѵ,. ....».:-.*■.-.-
Двустороннее усиліе. Пара сплъ . .
Моментъ пары сшлъ. Работа пары силъ ........
Мощность. Работоспособность. Активность .......
Z-a —
Ь-з =
Z» ■ "
2
2L
ш
(f)"(£)"
2L
V
іМГ*
1 МѴ*
lb,.
мѵ
1 V*
2 L
мѵ*
L
МѴ*, , . .
1 ЛГУ»
4~Е~
Упругость. Плотность энергін. Варометрическое давлеМе или .высота, жяао- I jrps
мегричесжаго «олб»" ,.,. ~~
Сжшиаекоеть ...
Константа поидеро-коториаго поля., ,
ПотенвіаіьннІ факторъ. Потесшадъ. Погвндяиьжая функціи поля
АктяшмкетрическШ факторъ *..,»,.„
Шолоеть
І ѴЧ,...
I MY*
4 L*
іГ*
м
L*
M+t = M . . .
• • •*=($■
. . . т+1=ѵ
*4%)\ - -
■ - ■ ■ (ІГ
\2UJ ' * *
(V 2L\y
■ ' \Ж'~ѵ;)
■■■■(W
(?)-'•■•
. . . р-+2^Г/2
17+1=*= Г . . .
U-i
мѵ
і МѴ* ....
ѵѵ
2MVU
МѴ*
імѵ*ѵ
9М1Т*
-у
' ' • * 6SIU*
І У»
2МѴ*
ЪУ*
&и*
V*
м
Гл. П. § I и II.
Гл. П. § II.
Гл. Ш. § П.
Гл. II. § I и II.
Гл. П. § III.
Гл. III. § ПІІ.
Гл. IV § IV.
Гл. IV. § Ш.
Гл.ІІ.§ІнІІ, гл.ГѴ
§п.
Гд.ѴІ.§ІГ,ѴнП.
Гд.Ш.§Ш,ГѴ\Ѵ.
Гл. IV. § ѴП.
Гл. IV. § ѴП.
Гл. V. § IX.
Гл. V. § Г**.
Гл. V. § VII.
Гл. V. § Ш.
Гл. V. § V.
Гл. V. § ХШ.
Гл. V. § XVII.
Г* У. § П.
гл. г. § та.
Гл. Т. | XIV.
г*, т. s хѵг
ГльГ.§УП—ХП.
г*, у. | та.
Гл. У. § ХУНІ.
Гл. V. § XXX.
Г*. У. 5 XXL
Гл. У.*И.

ОТД-БЛЪ I.
СУЩНОСТЬ МЕТОДА.
Укажите лишь, какое-либо одно ил>
многообразны^, соотношений вежду нѣ-
сиолькикн іложныпи физическими
факторами, и качественный фиэико-матема-
тичегкій аналии. обнаружить передъ
вами и веѣ остальные факторы,
присутствующее въ даннонь явлеміи природы.
Оеяовы пчесть однлиа.

ГЛАВА I.
Занонъ изотезмчиости, канъ основа качественного
физинонатеиатичеснаго анализа.
I.
Что такое изотезичноеть?
Едва ли найдется образованный человѣкъ, который
не согласился бы, что всякое математическое равенство
ааключаетъ въ еебѣ полный и законченный логически
смыслъ только въ томъ случаѣ, когда обѣ его части
иаотезичны, т.-е. представляютъ гв же самые тезисы,
состоять изъ о&ноименныхъ величинъ. Такъ можно, на-
примѣръ, сказать: одна лияія Іг равняется некоторому
числу N другигь мтій ^ и написать:
*і--Ч - - - ■ (1)
Можно сказать: одна скорость Г, равняется иѣкото-
рому чныу другнхъ скоростей Г0 и написать:
Г,-Л% (2)
Вообіце говоря, всякая именованная величина въ фи-
зическомъ уравненіи непремѣнно должна быть равна
некоторому числу одноименныхъ съ нею величинъ. Только
при этомъ условіи математическое равенство будетъ н
справедливо, и логично, и, кромѣ того (что чрезвычайно
важно), совершенно независимо огь величины избран-
ныхъ нами «дияимъ мѣры, т.-е., эталоновъ, которыми мы
изжѣряемъ линіи, скорости и другія именованные вели-
1*

__ 4 —
чипы, такъ какъ всякое измѣненіе единицы мѣры будетъ
одинаково уменьшать или увеличивать численное значе-
віе какъ той, такъ и другой части равенства.
II.
Генезиеъ чиеелъ. Числовая эквивалентность физиче-
скихъ фанторовъ.
Но если такого рода уравненія абсолютно вѣрньі, то
ихъ справедливость не нарушится и въ томъ случаѣ, когда
мы будемъ совершать надъ ними всесозможныя алге-
браичесісія дѣйствія. Такъ, перенеся въ предыдущихъ
равенствахъ (1-мъ и 2-мъ) /0 и Ѵ0 изъ второй части
въ первую, найдемъ:
-£-=:# (число) (3)
'о
у
—'- = ІѴ (число) (4)
•о
и вообще: Z," ,. , , ,_..
=L —IV (число) (5)
Отсюда мы видимъ, что чис.ю -—- N- -, а съ ішмъ и
вообще всяьій численный коэффиціентъ въ как ихъ бы
то ни было общихъ формулахъ выражаетъ отношеніе
другъ къ другу всевозможныхъ одноименныхъ величинъ.
Оно показываетъ намъ, сколько ршъ именованная
величина, находящаяся въ знаменателѣ, содержится въ
одноименной съ нею величинѣ, находящейся въ числителѣ
того же саиаго члена уравненія. Чис^ювая или
отвлеченная величина, это какъ бы всеобщая
математическая монета, посредствомъ которой оцъниваютъ и при-
равниваютъ другъ къ другу взаимныя соотношенія
всевозможныхъ однойменныхъ количествъ. Такъ, на-
примѣръ, замѣтивъ изъ предыдущихъ равенствъ, что
L V, Z,"
и -~, и W-, и =^-і приравнялись къ тому же самому
'о уо zo
числу Л', мы можемъ написать:
/ V 7"
і — ѵ — 7 " ' '

_ 5 —
Несмотря на кажущуюся разнойменность каждаго
члена, подобное равенство все-таки будетъ вполнѣ изо-
тезично, потому что все эти члены его представляютъ
простыл числовыя величины, хотя и различнаго про-
исхошденія. Действительно, путемъ обычнаго алгебраи-
ческаго преобразованія мы можемъ всегда привести
такое равенство къ явно изотезическому виду:
h * о^о" ~ - 'о' Л" ~ 'о* о^і" " Л70 VgZo".
Откуда, при равенствѣ всѣхъ одноиненныхъ
(множителей и при числѣ Л'—1, получаемъ тожество:
ПТ =-- ЦТ -= IVZ" --■* \1\Т.
Однако этотъ способъ замѣны всякихъ отаіеченныхъ
факторовъ общечисловымъ коэффиціентомъ Л" удобенъ
въ физическихъ формулахъ только въ томъ случаѣ, если
козффищентъ этотъ оказывается имѣющимъ постоянное
значеніе. Такъ, наприм-ѣръ, отноніеніе окружности 7,
къ діаметру І0 I у---=" = 3,14159265... ) мы можемъ за-
мѣнить символомъ ~ какъ отвлеченной величиной. Но
очень часто бываетъ, что отвлеченное выраженіе вида
Z
■^является функціей, зависящей оть какого-либо посто-
4)
ронняго фактора, а, следовательно, перемѣнной
величиной. Въ этихъ случаяхъ полезно употреблять символы,
носяине, такъ сказать, слѣды именованнаго происхожде-
нія обозначаемыхъ ими отвлеченныхъ факторовъ. Очень
удобно пользоваться для этого той самой буквой,
которая уже находится въ числителѣ и знаменатель1
одноименного отношенія, но ставить при ней слѣва показа-
телемъ нуль.
Тогда, напримѣръ, отношеше двухъ скоростей \\ и VQ
будетъ выражаться черезъ Т:
£=°F (7)

_о _
Отношение квадрата двухъ линій ls и Іп:
•54-ч* т
и вообще одноименное отношеніе:
%\ = aZ' (9>
Смыслъ значка нц.іь будегь понятенъ изъ слѣдую-
щихъ соображение.
Спеніальнымъ аттрибутомъ числа и всякаго
числового коэффициента въ физическихъ формулахъ является
та характерная особенность, что если мы, вигѣето
обычной въ настоящее время транскрипціи, помѣщающей
дѣлителя подъ дѣлимымъ, примемъ ту, болѣе рѣдкую,
но зато и болѣе логичную транекрипцію, посредствомъ
которой частное одноименныхъ количествъ выражается
въ видѣ разности ихъ показателей,
-п1 = г13Л~3. -=?-=^ Г'. К0-1, и вообще
О
z"' z* W»
то увидимъ. что, при равенствѣ обоихъ показателей и
обѣихъ одноименныхъ величинъ, показатели обращаются
въ нуль, а все частное — въ числовую единицу:
^^Z".Z-A = Z*^1 (И)
Если же равенства одноименныхъ величинъ нѣтъ
въ данномъ отношенні, то, все равно, числитель этого
выражения мы всегда можемъ признать равнымъ какому-
нибудь числу N повтореній его знаменателя, и тогда
получимъ
^\ = ^-=-№ И*)

__ 7 —
гдѣ Z° есть символъ отвлеченной единицы,
произошедшей отъ дъленія другъ на друга двухъ равныхъ одно-
именныхъ факторовъ 2п" на Z„", такт, что, выведя изъ
транекрщщш равенства Z9=X, получить просто:
[*]W....\ .... -(.Г,
Воть почему, внѣсто того, чтобъ уничтожать въ произ-
веденіи N"Z° послѣдшй нножвтель, какъ равный единипѣ,
и этимъ освободить число N" отъ всякаго воспоминашя
о его иыеыованномъ происхождении, мы и предпочвтаемъ
символически писать всякое I t) ] въ вндѣ (Я£)" или "Z",
Здѣсь нуль въ вндѣ показателя съ л-ѣвой стороны обо-
значаетъ только, что это выраженіе—отвлеченная
величина (факторъ нулевого порядка):
Такая сокращенная транскршшія очень удобна для
упрощенія формулъ, безъ уничтоженія или затемнънія
ихъ рацІональнаго смысла. Символъ °L мы будемъ
называть nttcto еі}ипщъ длины ияи рйзстоанія, символъ
°М —число еджицъ массы в т. д.
На основанін всѣхъ предыдущвхъ соображений мы
можешь убѣдвться, что подъ всякимъ переігвннымъ чис-
ловымъ коэффноіентонъ, входящимъ въ иаотеанчную
физическую формулу, мы имъетъ право, и даже должны,
предполагать отношеігіе другъ ьъ другу какихъ-нибудь
двухъ однойменныхъ физнческихъ факторовъ, упущен-
ныхъ изъ виду при еоставленін данной формулы.
Изыскаыіе средствъ для нахожденія реальнаго смысла
так ихъ коэффівііентовъ составляеть одну взъ цѣлей из-
лагаенаго здъеь качественнаго физико-матекатвческаго
анализа.

ш.
Первое средство качественная физико-математиче-
екаго анализа. Нахожденіе непредуемотрѣныхъ факто-
ровъ изъ эмпирически установленныхъ изотезичныхъ
проповціональностев. О функціональномъ еоставѣ фи-
зическизгь факторовъ.
Однако, кромѣ этой цѣли, качественный физико-мате-
матичеекій анализъ задается и другой, еще болѣе
важной: отыеканіемъ присутствія въ данномъ физическонъ
явленш совершенно новыхъ, посторонних^ физическихъ
факторовъ, на которые съ перваго взгляда какъ будто
и не нанекаетъ занѣченное и формулированное кѣмъ-
либо эмпирическое соотношеніе. Пояснимъ это на слѣ-
дующемъ простоит, примѣрѣ.
Ежедневный опыть и наблюдете показываютъ намъ,
что пути L проходимые движущимися предметами при
прочихъ равныхъ условіяхъ1), пропорціональны ихъ ско-
ростямъ V. Эту закономѣрность мы можемъ выразить
математически такимъ способомъ: путь ij одного
предмета относится къ пути /- другого, какъ скорость і\
перваго предмета относится къ скорости V второго:
£-4 ■ <14>
Сдѣлавъ функцію явной по отношенію къ і, полу-
чаемъ:
^=[т]гі - <15>
т.-е. путь і, проходимый тѣломъ, будетъ прямо пропор-
шоналенъ скорости Ѵ3 этого тѣла, если отношеніе \-у\
остается безъ перемѣны. Здѣсь угловатая скобки (какъ
и во всеиъ дальнѣйшемъ изложенш) показываютъ, что
1) Мы всегда будет, писать: линіи ', путь L.

— 9 —
заключенная въ нихъ величина принимается
сохраняющей постоянное числовое эначеніе.
Что же это 'за отношеігіе ^? Очень часто въ та-
кикъ случаяхъ говорятъ, что это—простой коэффиціентъ
пропорциональности.
Однако не трудно видѣть, что есть и другая
несравненно болѣе плодотворная точка зрѣнія. Мы знаемъ,
что пройденный различными тѣлами пути пропорциональны
ихъ скоростямъ лишь въ томъ случаѣ, если время Т, ихъ
движенія было взято одно и то же. Отсюда не трудно
заподозрить, что и ноэффиціентъ [-,.;, появившійся въ
равенствѣ lo-мъ, оказывается лишь символомъ вліянія на
данное соотношеніе новаго физическаго фактора—
времени.—которое при составлены первоначальной про-
порціональности (14-й), было упущено нами изъ виду.
Дѣйствительно, припомнимъ только, какъ мьі изяѣряемь
время? Взглянувъ на циферблатъ часовъ, мы сразу
видимъ, что мы считаемъ его прямо пропорціональнымъ
пути L, вычерченному концомъ стрѣлки по окружности
циферблата, и обратно пропорціональнымъ скорости V
этого конца (потому что' при большей скорости онъ опи-
сапъ бы этотъ путь въ меньшее время, какъ это и дѣ-
лаетъ минутная стрѣлка, если сравнить ея движеніе съ
часовой). Значить, функциональный составь времени 1\
отнесенный къ пройденному пути L и скорости V, при-
нятыхъ за основныя величины {или независимыя пере-
мънныя), б у деть таковъ:
Г,-^ (16')
А если, какъ это случается въ физическихъ
формулах!, для колебаній, нужно взять двойной путь, взадъ и
Епередъ, до возвращения въ исходную точку, то
Г=^' (П)

— 10 —
Это и есть тотъ самый коэффиціентъ— I -~ I—,

который обнаружился въ нашей формулѣ, 15-й. Значит-!.,
если бъ мы знали заранѣе, что функциональный составь
времени, какъ своеобразна™ физическаго фактора, есть
-г, или 2 '> то сразу сказали бы: формула 1Г»-я, т.-е.
L-A-,
л [уУ, (18)
указываетъ, что мы можемъ считать пройденный путь 7^
пропорціоналышмъ скорости тѣла Г, лишь въ томъ слу-
чаъ, если время -^ движенія применъ за величину
постоянную, какъ это и показываютъ угловатыя скобки.
Если же мы не захотимъ дѣлать этого ограниченія, то
должны, раскрывъ скобки, замѣнить функціональный
состава времени -'■ его обычнымъ символомъ Т и тогда
получимъ вполне охватывающее нашъ предметъ
равенство:
і^-т,ѵ, м»)
т.-е. пройденный путь пряно пропорціоналенъ времени
движенія предмета и его скорости.
Отсюда мы нриходимъ къ слѣдующему интересному
выводу:
Посредствомъ приведенія изотезичныхъ (т.-е. съ
одноименными тезисами въ числителѣ и знаменателѣ каждаго
отдѣльнаго отношенія) пропорціональностей
$—J (20)
къ явному виду
-V-[-f|r, или Гі = [х]-^ ■ ' • ■ (21}
мы можемъ обнаружить влІяніе на ату пропорціональ-
ность еще новаго физическаго фактора, принятаго за

_ и _
постоянную величину или совсѣмъ упущеннаго изъ вида
при установлении данной пропорціональности.
Для этого намъ нужно только признать и твердо
помнить такой принципъ: буквенные симвгмы,
перенесенные въ угловатых скобки, терязотъ свою
первоначальную индивидуальность. Они теперь перестаютъ быть
путями /-j пройденными данной стрѣлкой, скоростями [',
данного ядра, изъ которыхъ мы исходили при устано-
новлеиін данной пропорціональности, а становятся
обіцнми символами соотвѣтетвующихъ
факторовъ—путей L, или скоростей Г и т. д. Благодаря этому мы мо-
жемъіне нарушая справедливости равенства) вкладывать
въ нихъ и дрѵгія индивидуальный значенія, замѣнить,
напримъръ, какъ мы только что сдѣла.іи. путь и
скорость летя ща го тъла путемъ и скоростью часовой
стрѣлки по циферблату и отсюда притти къ
представление о времени и его функціональномъ составѣ.
Но для того, чтобъ умѣть пользоваться этимъ нето-
домъ, намъ нужно знать заранѣе функциональные
составы всъхъ важнъйшихъ физичеекихъ факторовъ,
потому что простое преобразованіе формулъ можеть дать
намъ только одни эти функціональные составы въ видѣ
новыхъ алгебраическихъ комбинащй, гвхъ же самыхъ
буквенныхъ символовъ, которые уже существовали въ
первоначальной формулъ. Вотъ почему мы и посвящаемъ
этому предмету нѣсколько ствдующихъ главъ нашего
изслъдованія.
Таковъ первый методъ качественна™ фи.чико-матема-
тическаго анализа при разысканіи непредусмотрънныхъ
при формулированіп даннаго явленія физическихъ фак-
тороьъ. По одному соотношению между двумя
разноименными факторами, выраженному въ изотезичнонъ
уравненш, онъ указываетъ присутствіе еще третьяго
фактора, если такой действительно суніествуетъ. Какъ
велики и плодотворны могуть быть приложеиія этого
простого метода, читатель увидитъ изъ дальнъйшаго из-
ложенія.

— 12 —
IT.
Равенства, явно иаотезичеекія и екрыто-изотезичеенія.
Равенства эквивалентный.
Въ результат* нашихъ размышлений мы уже
пришли къ возможности двухъ типовъ изотезическихъ
равенства
Первый типъ:
■ Х---XX' (22)
гдѣ и въ первой и во второй части находится тотъ же
самый факторъ (напримѣръ, масса тъла Мравна.числу N
своихъ атомовъ №). Формулы этого типа можно назвать
явно изотезичными.
Второй типъ:
А", ■ =2 Г, (23)
гдѣ, по функціональному составу, Z=-y- Формулы
этого типа можно назвать скрыто-изотезичными, потому что
какъ только мы заиѣнимъ въ нихъ Z его функціональ-
X
нымъ составоиъ -^, такъ сейча съ же и приходимъ
къ той первоначальной и иполнъ изотезичной пропор-
ціональности, которая дала начало этому равенству:
., X ѵ X, Т.
или въ еще болѣе изотезичномъ видѣ:
X.Y^XY,
Отсюда мы видимъ, что всякую пропорциональность
между двумя разноименными величинами мы ножемъ
перевести въ скрыто - изотезическое уравненіе,
представляющее алгебраическую комбинацію трехъ различныхъ
величинъ XjYfZ, изъ которыхъ одна есть фувкціи, адвъ
другія — опредъляющія ее независимый перемѣнныя, какъ
это мы только что видѣли въ выраженіи (23-мъ). Это

— 13 —
вѣрно не только въ фвзвкѣ, но и вообще. Возьмемъ, на-
примѣръ, хоть такой парадоксы количество докторовъ d
возрастаетъ пропорционально количеству паціентовъ р.
Напишемъ его хоть въ такомъ видѣ:
[р] Ш
т.-е. количество паціентовъ рг относится къ одному па-
ціенту Ір], какъ количество докторовъ d} къ одному
доктору [d]. Отсюда получаемъ нутемъ перестановки
й=[!>,.
Что такое представляеть отношеніе і. въ скобкахь? По
первоначальному просхожденію равенства это
отношеніе одного паціента къ одному доктору, — величина
представляющая, по видим ому, мало смысла. Однако,
припомнивъ условіе, что всякні буквенный символъ.
перенесенный въ наши угловатыя скобки, признается
пот еря вши мъ свою первоначальную индивидуальность и
сохраняетъ лишь общіе видовые признаки обозначаемой
имъ величины (чтб ясно уже изъ того, что pud здѣсь
могутъ одновременно возрастать и уменьшаться, не из-
мѣняя отношенія і-з- Ь попробуемъ поискать какихъ-ни-
будь раціональныхъ толкованйі іугого коэффиціента. Уже
само выраженіе г отношеніе паціентовъ къ
докторат* (^ I % нодскааываетъ намъ, что это должна быть
„средняя практика" каждаго доктора. Дѣйствительно,
о
обозначивъ ее черезъ ^ = ~т, получимъ изъ предыду-
щаго равенства скрытно-изотезичное выраженіе:
p = ^d
т.-е. количество паціентовъ р прямо пропорціонально
количеству докторовъ й, помноженному на средне» прак-

— 14- —
тику л" каждаго изъ нихъ. Не трудно видѣть, что это *
уравнение будетъ абсолютно вѣрно при всъхъ возмож-
ныхъ условіяхъ, пока мы будемъ опредѣлять среднюю
докторскую практику именно въ томъ видѣ, въ какомъ
мы получили ея функціонадыіый составь изъ
первоначальной пропорціональности ~'~—.! т.-е. пока не забы-
ваемъ, что средняя практика тг1 прямо пропорціональна
числу паціентовъ и обратно пропорціональна числу
докторовъ, которые ихъ лѣчатъ, или, все равно, числу
паціентовъ, приходящихсл на одного доктора.
Понятно, что такого рода уравненія не. менѣе изоте-
зичны, чѣмъ и принадлежащія къ первому типу (форм. 22),
только ихъ изотезичность скрыта, и мы не будемъ въ со-
стоянні ее обнаружить, пока не знаемъ функціональнаго
состава'входящйхъ въ равенство именованныхъ величинъ.
Въ физичеекихъ наукахъ мы почти исключительно имѣ-
емъ дѣло со скрыто-изотезичными равенствами, или съ
такими, который совсѣмъ не изотезичны, но должны
быть сдѣланы такими путенъ отысканія и внесенія въ
нихъ тѣхъ или другихъ физичеекихъ факторовъ, упу-
щенныхъ изъ виду при ихъ составлены.
Въ заключение этой маленькой классификаціп
физичеекихъ формулъ мы должны еще упомянуть объ экви-
валентныхъ выраженіяхъ, которыя мы могли бы назвать
условно - изотезичными. Дѣло въ томъ, что нѣкоторые
физическіе факторы въ природѣ ногуть считаться при
всѣхъ наблюдаемыхъ условіяхъ пзо,черны.чи между
собой. Возьмемъ, напримѣръ, .шісеу и величину инерт-'
ногти физичеекихъ тѣлъ. Одна изъ нихъ определяется
нами по другой, такъ что мѣрой (или, скорѣе, эквива-
лентомъ) массы тѣла -служить его инертность и наобо-
ротъ, и мы не знаемъ въ физическомъ мірв ни одного
явленія, при которомъ одинъ изъ этихъ факторовъ из-
мѣнился бы безъ пропорціональнаго измѣненія другого.
Поэтому одинъ и тотъ же символъ И обыкновенно
служить для выраженія ихъ обоихъ, и мы по произволу

— 15 —
подставляем-ъ въ него (въ каждой части равенства)
какъ ти. такъ » другое значеніе, считая эти замѣ-
щенін не изменяющими фактической вѣрности
равенства. Но абсолютная върность такихъ выраженій
становится уже условной. Точно такъ же путь, рал-
гто.чніе и линія эквиваленты, но не тожественны
между собою. Путь L есть аттрибутъ движенія и беэъ
него невозможенъ, а разстоянія — г— могутъ
существовать и при абсолютномъ покоѣ точно такъ же, какъ
могуть существовать и физичесхія линіи —I,— напри-
мѣръ, ребра кристаллографические фигуръ, матеріаль-
ность которыхъ дѣлаетъ ихъ, въ свою очередь, не
сходными ни съ путемъ, ни съ разстояніемъ. Однако всъ
они въ извѣстнонъ смыслѣ эквивалентны между собой,
могутъ служить мѣрой другъ друга, а потому и
равенство вродѣ
7^2г=2/.
(т.-е.' линія I равна удвоенному разстоянію г между ея
срединой и конпомъ и удвоенному пути между тѣми же
двумя пунктами) не противорѣчитъ здравому смыслу,
хотя оно, очевидно, лишь условно иэотезично, такъ какъ
каждая изъ трехъ частей этого равенства представляетъ
разноименныя величины. Уже сама возможность введе-
нія коэффициента 2 въ послѣдніе члены беэъ введеыіл
его въ первый и возможность обратнаго исключенін
этого множителя изъ равенства, какъ только мы
условимся измерять линію не разстояніемъ и путемъ между
ея срединой и однимъ изъ концовъ, а полыымъ раастол-
ніемъ между обоими ея концами и полнынъ путемъ по
всей ея длинѣ, достаточно указываетъ на условность
этого равенства. Однако до тѣхъ поръ, пока мы при-
знаемъ за собой право замѣщать (по этому же самому
равенству) одинъ его членъ другинъ, мы можемъ всегда
привести его къ тройному виду полнаго тожества:
1 = 1 = 1
2г = 2г = Іг
и 2L^2L^--2L.

— 16 —
IV.
Второе средство качественна™ анализа. Введеніе въ
неизотезичныя эмпирическія формулы комплекса [к]
непредуенотрѣнныхъ факторовъ и его функциональное
опред&леніе изъ саиой формулы.
Теперь возьмемъ другой случай.
До сиіъ поръ мы исходили изъ завъдоно изотезич-
ныхъ равенствъ, какъ единственно обладаюшихъ за-
конченныиъ логическимъ смысломъ, и находили по нивгь
непредуемотръные факторы. Однако при чисто эмпири-
ческомъ изученіи соотношений между различными явле-
ніями природы очень часто бываютъ случаи, когда мы
не можеыъ сразу сказать, изотезично ли полученное
на основанш простыхъ опытныхъ данныхъ уравненіе.
Когда Stefan нашелъ,
напримѣръ, путемъ ка-
лорииетрическихъ оп-
редѣленііі, что въ без-
воздушномъ
пространств
лучеиспускательная способность X по-
крытаго сажей шара
пропорциональна
четвертой степени его
абсолютной температуры
Ѳ„ если вычесть изъ
-- -т- нея четвертую же сте-
Фнг. 1. пень температуры %
воспринимающей лучи
болѣе холодной и достаточно удаленной сферической
оболочки (фиг. 1),
то, какъ сказать a priori, изотезично ли такое
уравненіе?

Припомнимъ хоть недавно полученное нами
равенство 19-е:
(пройденный тѣломъ путь і, пряно пропорціоналенъ
времени Г, движенія, и его скорости F,). &ь лѣвой его
части стоить путь, т.-е. разстояніе между двумя
пунктами, а въ правой—произведете времени на скорость.
Съ перваго взгляда кажется, какъ будто въ такомъ
равенствѣ совсѣмъ нѣтъ логическаго смысла. Какъ мошно
приравнять число метровъ разстоянія къ числу секундъ,
помноженныхъ на числовое значеніе скорости?—А между
тѣмъ такое равенство абсолютно логично. Какъ только
мы вспомнимъ, что функциональный составъ времени
есть -£ и внесем, это выражение вмѣсто символа вре-
мени Т въ предыдущее равенство, такъ и паіучимъ
Il=-Prf'l ИЛИ jL=-|^.
т.-е. совершенно шотезичное и осмысленное выраженіе.
Благодаря этой невозможности отличить съ перваго
же взгляда полученное изъ опыта изотезичное уравне-
ніе отъ односторонней не изотезичной
пропорциональности двухъ разлнчныхъ фиаическихъ факторовъ (вродѣ
только что приведеннаго закона излученія Stefan'а),
естествоиспытателю очень часто приходится употреблять
такъ называемый эмпнрическія формулы, выражающія
лишь одну какую-либо зависимость между данными
физическими факторами, предполагая, что всѣ прочія уело-
вія остаются въ это время неизмѣпными.
Какимъ способомъ могли бы мы узнавать, изотезично
ли полученное опытнымъ путемъ уравненіе, и, если оно
не изотезично, то какіе именно физическіе факторы
предполагаются въ немъ постоянными численно равными еди-
ницѣ, и каково будетъ ихъ вліявіе, когда они
изменятся?— Въ дальнѣйшемъ изложеніи мы увидимъ, что въ
большинстве случаевъ это вполнѣ возможно Сдѣлать.
Основы вачкта. адолвн. —

— 18 —
А теперь укажемъ лишь на простомъ првмѣрѣ
сущность этого второго (и очень важнаго) метода каче-
ственнаго физико-математическаго анализа.
Известно, что плотностью тѣла D называется частное
отъ дѣленія его массы М на занимаеный ею объеыъ W,
такъ что функциональный соетавъ плотности будетъ
fl-f. (23')
Уапомнивъ это выраженіе, предположимъ, что мы,
при и;іученіи какого-либо физическаго явленін, обратили
вниманіе на тотъ иостоянно встрѣчающійся фактъ, что
масса Mj участвующаго въ этомъ явленіп однороднаго
физическаго тѣла возрастаетъ пронорціонально его
объему \ѴЛ и формулировали это въ такомъ видѣ
M^lfcW, (24)
т.-е. масса М1 пропорціональна объему \ѴЛ тѣла, если
■комлглексъ [к] непредусмотрѣныхъ нами физичеекихъ
факторовъ остается безъ измѣненія. Въ такомъ видѣ
равенство будетъ абсолютно допустимо, такъ какъ ком-
плексъ [ftj всегда можетъ быть подобранъ такимъ, что
приведетъ обѣ части этого равенства къ изотезичности.
Даже и подбирать не нужно, потому что значеніе [ft]
опредѣляется изъ самого равенства:
и = [{&Нтг] ^
Читатель видитъ, что въ послѣднемъ членѣ равенства
мы уничтожили значки при М- и W, такъ какъ въ ком-
плекеа -непредусмотрпмыхъ факторовъ всякая буква
должна принимать значеніе общаго символа
обозначаемая ею физическаго фактора, а не какой-либо частный
случай.
Узнавъ значеніе [к], мы сейчасъ же находимъ на
основанш предыдущаго (23'-го) равенства:.
І« = [^] = И ...... (26).

— HI —
Теперь мы видимъ, что подъ комплексомъ [к]
непреду емотрѣнныхъ факторовъ скрывалось ни что иное, какъ
плотность I) даннаго физическаго тѣла, функциональный
составь которой мы только что опредѣлили передо, этимъ
(въ выраж. 23')- И, дѣйствительно, масса всякаго тѣла
возрастаетъ пропорціонально его объему лишь при томъ
условні, если его плотность не измѣняется. Если же
плотность тѣла подвергается изм'ѣненіямъ, то мы най-
демъ няіяніе этого ыоваго фактора, внеся только что
полученное аначеніе комплекса [к] въ первоначальное
равенство (2Ф-е):
*Ѵі=[тг] ">=л •fr'- ■ ■'-7)
т.-е- .масса тѣла определяется произведеиіемъ его
плотности на объенъ. Это выраженіе имѣетъ уже
абсолютным характеръ, потому что равенство 27-е плотежчпн,
т.-е. закончено въ самомъ се&ѣ и не допусклетъ никл-
кихт. постороннихъ вліяній.
ВведенІе комплекса [к] нспре^/смошраныьи'ь фн.щ-
чеекихъ факторовъ и опредѣленіе функціональнаго
состава этого комплекса, а по нему и участвующихъ въ
данномъ явленні упущенныхъ изъ виду физическихъ
факторовъ, есть второй и чрезвычайно важный методъ
качественнаго физико-математическаго анализа. Въ
сущности :ітотъ методъ сводится къ тому же принципу,
какъ и предыдушій, и даетъ тѣ же результаты, но во
многихъ случаяхъ введете комплекса [к] уирощаетъ
рѣшеніе вопроса.
Въ этомъ введенні мы нарочно брали лишь самые
простые примѣры, но далѣе мы покажемъ, какъ можно
примѣнять оба указанные метода и къ очень сложнымъ
и запутаннымъ ампирическимъ уравненіямъ.
Однако прежде, чѣмъ мы перейдемъ къ нимъ, намъ
необходимо познакомиться съ функциональными
составами важнѣйшихъ физическихъ факторовъ зля того,
чтобы при разборѣ формулъ постоянно нмъ-тъ ихъ въ
2*

— 20 —
виду и сразу узнавать ихъ по алгебраическимъ комби-
націянъ, появляющимся въ комплексѣ [&] при его опре-
дѣленйі изъ даннаі'о уравненія.
Прибавимъ въ заключеніе, что для общаго ознакомле-
нія съ содержаніемъ этой книги нѣтъ, никакой нужды
заучивать функціональные составы всъхъ физическихъ
факторовъ, внведенныхъ въ слѣдующихъ трехъ главахъ.
Всѣ они резюмированы въ особой табличкѣ, помѣщен-
ной въ началѣ нашего изелѣдованія, и къ ней во всякііі
моментъ можетъ обратиться читатель для провѣрки
преобразовавши, которыя мы будемъ дѣлать въ фор-
мулахъ.

ГЛАВА II.
Три основные квалитативные фантора въ начествен-
номъ физино-матеиатичёснонъ анализѣ.
1.
Что такое основные и производные физичесніе
факторы? Абсолютная M-L-V-система. Ея условные символы
и обозначенія.
Квалитативное изслѣдованіе различныхъ явленій
природы показываетъ налъ, что всѣ физическіе факторы,
вліяюіціе на жизнь вселенной, можно фупкціошльно
свести къ тремъ независимьшъ другъ отъ друга факто-
ранъ, которые являются въ качественномъ физвко-нате-
матическомъ анализѣ какъ бы элементарными или, какъ
ихъ принято называть, основными величинами. Изъ
алгебраическихъ комбинаций этихъ трехъ величинъ
выводятся функционально и всъ остальные физическіе
факторы, называемые по этой причинѣ производными.
Само собой понятно, что благодаря обратимости всѣхъ
алгебраическихъ дѣйствій (вслѣдствіе которой то, что
сейчасъ считалось за функцію другой величины въ слѣ-
дующій моментъ можетъ само быть признано за
независимое перемѣнное) выборъ трехъ основныхъ факто-
ровь для построения на нихъ общей абсолютной системы
всѣхъ остальныхъ во нногонъ предоставленъ человѣче-
скому произволу. Признавъ, напр., массу М и объемъ
W за основные факторы, мы можемъ сказать, что
плотность О будетъ факторъ производный, такъ какъ она

— 22 —
функціонально сводится къ отношенію между двумя
первыми:
*=-£•' (28}
такъ какъ плотность, при неизмѣннонъ объемѣ, воз-
растаетъ прямо пропорціонально ограниченной этимъ
объемомъ массѣ, а при неизмѣнной массѣ— обратно
пропорціонально этому объему.
Но въ слѣдующні же моментъ мы можемъ, сдѣлавъ
въ этомъ равенствѣ простую алгебраическую
перестановку, получить, напримѣръ, что функциональный со-
ставъ массы М есть произведение плотности D тѣла на
его объем ъ W
M=J)W (29).
&ь этомъ послѣднемъ случаѣ основными факторами
равенства считаются уже плотность и объемъ, а масса
опредѣляется по нинъ, какъ факторъ производный.
Однако эта произвольность въ выборѣ трехъ основ-
ныхъ факторовъ міровой механики далеко не такъ
велика, какъ она представляется съ точки зрѣнія про-
стыхъ алгебраическихъ преобразованій.
Детальный разборъ этого предмета (который
читатель найдетъ впоелѣдетвні) приводить къ заключенію,
что при одной тріадѣ физическихъ факторовъ,
положенной въ основаніе общей абсолютной системы,
функциональные составы всѣхъ остальныхъ (производи ыхъ
факторовъ) дѣлаютсн очень простыми и удобопонятными,
тогда какъ при другихъ тріадахъ эти функціональные
составы становятся все болѣе и болѣе сложными и
невразумительными. Иэъ заколдованнагр же круга трехъ
основныхъ факторовъ мы никогда не будемъ въ состоя-
нія выбраться.
Вотъ почему вся кажущаяся свобода выбора
приводить въ концѣ-концовъ къ одной и той же системѣ, въ
которой основными факторами служатъ.: Масса М,
скорость V и пройденный [путь L, и которая поэтому мо-

— 23 —
жетъ быть названа естественной абсолютной системой
физическихъ факторовъ. Мы будемъ называть ее M-L-V-
системой (Эмъ-Эль-Ве-система) въ знакъ того, что она
построена на массѣ, пути и скорости, какъ оеновныяъ,
элементарныхъ факторахъ міровой жизни.
Преимущества этой системы до настоящаго
времени еще не вполне сознаны. На парижскомъ между-
народномъ съѣздъ электриковъ въ 1881 году было
постановлено считать за основныя величины массу, путь
и время (вмѣсто скорости), и эта система (которая по
нашей терминологіи должна называться Af-L-T-cacie-
мой—Эмъ-Эль-Те-система,— но называется обыкновенно
сантиметръ-граммъ-еекундной, O-G'-S-системой), принята
была затѣнъ, какъ оффиціальная, во всѣхъ учебникахъ
физики. Нѣтъ сомнъшя, что, за исключепіеиъ массы,
эталоны которой мы не имѣемъ возмозкности опредѣ-
лять практически иначе какъ по въсу, измѣняющемѵся
слегка на различныхъ пунктахъ земной поверхности,
такой подборъ имѣетъ свои преимущества до тѣхъ поръ,
пока мы будемъ смотрѣть на дѣло исключительно съ
практической точки эрѣнія. т.-е. легкости построить
эталоны, или образцовый единицы нѣры. Но если мы
взглянемъ на предметъ съ чисто теоретической точки
зрѣнія, съ точки зр-внія наибольшей нростоты и
понятности формулъ и удобствъ для разчлененія сложныхъ
алгебраическихъ номбинацій аа отдѣльные фнзическіе
факторы, то мы увидимъ и докажемъ это всъмъ даль-
нѣйшимъ изложеніемъ, что въ этомъ отношеніи ни
парижская Ж-Х-Т-систем а и никакая другая, не могутъ
выдержать даже и отдаленнаго сравненіи съ принятой
наин jtf-i-F-системой.
И дѣйствительно, время есть нейтральный факторъ
и притомъ болѣе всего носящін психологическую
окраску, а мѣрой его всегда служить какое-нибудь двйженіе
или аттрибутъ движенія—скорость. Активными
факторами міровой жизни являются прежде всего: 1) массы,
или, говоря иначе, величины инертности у аггрегатовъ

— 24 —
міровой энергіи, называемыхъ физическими тѣлами;
2) скорости или величины активности у этихъ ско-
пленіи энергіи и, наконецъ, 3) проходимые ими пути,
какъ единственные доступные для насъ указатели
протяженности физическаго .чіра. Отсюда понятно, что и
система, въ основаніе которой положена эта тріада, бу-
детъ для насъ наиболѣе естественной среди всѣхъ
остальныхъ.
Итакъ, вт. основаніе принимаемой нами системы
лягутъ;
Три основные или элементарные
J/-
V-
і.
вселенной.
— Масса или величина инертности (стреидепіи
относнтельнояъ покоѣ) у екоплепіЙ эперпи,
ірияическими тѣлнші.
фактора
оставаться въ
называемы хт.
-Скорость или" величина подвижности у этихъ гьдѳсвыяъ сков-
ленШ міровои энергія.
— Пройденный путь или указатель протяженности безковечнаго
пространства вселен но іі.
Всякій разъ, когда анализъ покажетъ намъ, что масса,
скорость или пройденный путь, приняли въ данномъ
явленіи постоянное значеніе, мы будемъ заключать ихъ
символы въ скобки:
[М], Щ, [-£] и т. д.
Если же, кромѣ того, подобное постоянное значеніе
окажется равнымъ единнцѣ принятыхъ эталоновъ, то къ
этимъ скобкамъ мы будемъ прибавлять еще особый зна-
чекъ, смыслъ котораго понятенъ безъ объясненій т.-е.:
[M]_j —единица массы, равная массѣ одного
грамма, т.-е. кубическаго сантиметра воды
при ея наибольшей плотности.

— 25 —
[^3^1 —единица пути, или длина ребра у куби-
. ческаго сантиметра.
[ ^] = і — единица скорости движенія, близкая къ
одной сотой долѣ быстроты взрослаго человѣ-
ка, идущаго не спѣша, т.-е. нѣсколько иенѣе
і километровъ въ часъ. Вполнѣ точно эта
единица опредѣляетсл, какъ скорость, при
которой тѣло проходить одннъ сантиметръ
въ секунду времени !).
Не трудно видѣть, что каждый физически! факторъ,
получившіи постоянное числовое значеніе, всегда можно
представлять въ видѣ нѣкотораго числа Л" этяхъ
абсолютные сдиницъ. т.-с. дѣлать въ формулахъ преобра-
иованія такого рода
[Щ-^Х [М]^; [Ѵ}~-\\ [\%_,;[L]-X2 [/,]., - . .(30)
II.
Характеристика трехъ основныхъ факторовъ
M-L-V-систены.
Массу — „Ѵ—скопленій физической энергіи, или
величину ихъ инертности (иначе говоря стремленія
сохранять безъ изнѣненія разъ полученныя скорости и на-
правленія движеній), мы можемъ фактически дѣпить,
или представлять себѣ раздѣленной на части всевоамож-
ныхъ размѣровъ, отъ неизмѣримо малыхъ до неизмѣримо
большихъ, и распредѣлять эти части въ различныхъ
') Нельзя не поаіалѣть, что старые авторы, иза скорѣе
переводчики, едогь когорыгь вообще нельзя похвалить, ввели для обозначевія
ош-вцюшы (velocity) (Іяы-жгмія слово екнрпетъ. Скорость въ русский
я-зыкѣ пиѣеть волѣе общій емысдъ. Когда вы говорите: .я приду
скоро", это еще незаачнтъ, что вы будете ндтн быстро. Точно также
говорить, дапрниѣръ, спорость лмличатдай февхціа, вмѣсто того,
чтобы сказать: продуктявиоеть или интенсивность реакц'Ч- В"ь
M-L-V-снетеяѣ подъ скоростью V всегда предполагается дниь litttmpotita

— 26 —
ноложеніяхъ относительно другъ друга. Но какъ бы
далеко мы нв дробили массу физическаго тѣла, нашъ
умъ всегда останавливается на какой-нибудь хотя бы
и невообразимо малой ея части, которая при разсмотрѣ-
нін въ „мысленный микроскопъ" опять представляется
намъ осколкомъ первоначальной массы, имѣющимъ
конечную величину, а слѣдовательно, нераздвленнымъ
оетаткомъ или атомомъ того же самого квалитатавнаго
физическаго фактора. И у насъ нѣтъ въ настоящее
время никакихъ данныхъ для допущенія, чтобъ этотъ
остатокъ отъ дробленія физическаго тѣла могъ, помимо
своего соединения съ другими такими же остатками,
увеличить величину своей инертности, точно такъ же не
можемъ мы себѣ представить (хотя экстраполирование
фнзнческихъ формулъ за опредѣленные предѣлы и
приводить иногда къ этому результату), чтобъ масса тѣла
приняла отрицательное значеніе, т.-е. чтобъ этотъ фиэи-
ческій факторъ, побуждающей всякое цѣльное тѣло
сохранять разъ полученныя скорости и направленія,
могъ обратиться въ факторъ, стремящійея вызывать у
этого тѣла все новыя и новыя движенія и не допускаю-
щш его оставаться въ относительномъ покоѣ ]).
і) Собственно говоря, у наеъ вѣтъ викакихъ даввыхъ для утвср-
жденія, что инертность есть неотъемлемы б аттрибугъ самихъ
фнзнческихъ тѣлъ. Пузырь газа, поднимающийся со дна моря, тоже показался
бы для наблюдателя воднаго міра, не подозревающего о существованін
окружающей среды, имѣющимъ свою собствеввую инертность, т.-е.
способность продолжать разъ начатое движеніе, тяготеть вверхъ и, при
веапачитсльныхъ сшростяхъ, двигаться по этому направлевію ускорн-
тельнымъ свособомъ.
Однако эта ивертность ва дѣлѣ очевь мало завнеѣла бы отъ
вещества самого иуэыря, а главнымъ образомъ, отъ плотпостн и
подвижности жидкости, въ которое онъ заключѳнъ. Точво такъ же к нсточнвкъ
ннертностн обычныхъ Физическнхг тѣлъ мажетъ заключаться въ евой-
ствахъ космической среды, поддерживающихъ у ннхъ механически, по
струйчатой теорін Эйлера, всякое разъ начавшееся въ ней передвиженіе.
Ііъ такомъ случаѣ масса всякаго тѣма оказалась бы пропорціональноЙ
его ннертностн только при ненэмѣнности окружающаго его атомы
междуавѣзнаго океана.

— 21 —
Скорость—V— деиокенія (разъ мы признаемъ, что
она можетъ возникать только на счетъ другихъ скоростей)
мы можемъ представлять себѣ или плавно обмѣниваю-
щейся на другія скорости, или передающейся отъ одной
массы къ другой рядомъ опредѣленныхъ и болѣе недв-
линыхъ мгновенныхъ скачковъ, въ моментъ соприкосно-
венія. Въ этомъ послѣднемъ случаѣ мы неизбѣжно при-
ходимъ къ допущенію атомовъ скорости, т.-е. ея эле-
ментарныхъ остатковъ. Однако намъ трудно
представить себѣ, что такое мгновенная (въ смыслѣ
безвременной^) передача скорости и что такое соприкосновен іѵ
тѣлъ, такъ какъ это слово предполагаетъ, что въ
некоторый „моментъ" между поверхностями двоихъ тѣлъ не
было никакого разстоянія. Но еще труднѣе представима
для насъ возможность передачи скоростей отъ одной
массы къ другой безъ абсолютнаго соприкосновения ихъ
поверхностей хотя бы въ одной физической точкѣ, т.-е.
безъ мгновеннаго ихъ сліянія въ одно нераздѣленное
цѣлое. Таким ъ обра ао мъ приходится допустить, что
скорость есть факторъ, приводящій къ мгновеннымъ
соединенІямъ между собою пространственно раздѣленные
атомы тѣлъ. Какъ и масса, она немыслима для насъ внѣ
связи съ тѣми аггрегатами физической энергіи, которые
мы называемъ физическими тѣлами, но въ приложенні
къ нимъ она является мѣрой ихъ подвижности. Судя
по направленно проходи наго пути, мы можемъ
приписывать скорости и положительный и отрипательныя
значенія, хотя знаки -\- или —, или поперечные къ
ннмъ -J- У—І и — У—І ')> здѣсь, собственно говоря,
Подъ массой нервнчвыхъ тѣдесныіь атановъ мы невольно
представляем ь нѣмторын объемъ пан стерео четрвческую фигуру,
непроницаемую для другихъ такияъ же фигуръ. Если сущность всѣхъ первичвыяъ
атомовъ едина, то ннертвость нхъ, кавъ в пузыреі гааа бъ жидкости,
должна быть иропордіональна вытѣсияемыкъ имя объемамъ среды.
') О значенія V—I, какъ символа воверечностя яе рааъ
говорилось ранѣе насъ въ спедіальиыхъ мвмуарахь по математике. Ми еще
возвратимся къ этому предмету во втвров части.

- 28 —
принадлежать не самой скорости, а пути тала.
Сумма двухъ равныхъ и противоположныхъ скоростей
можегъ принимать только условно нулевое значеніе.
такъ какъ, при ударѣ пластичныхъ тѣлъ, она лишь
переходить еъ молекулярный скорости, а при ударѣ «е-
іыастичныхъ тѣлъ лишь измѣняетъ направленіе пути
обоихъ.
Путь—L—какъ бы вычерчивается въ міровомъ про-
странствѣ каждымъ перемѣщающимся тѣломъ, занимаю-
щимъ поочередно всѣ отдѣльныя области соотвѣтствую-
пдаго ему одномѣрно-перемЬннаго объема, т.-е. такого
ограниченнаго съ боковъ пространства, у котораго
принимается въ расчетъ, лишь одно изъ трехъ его иезависи-
мыхъ измѣреніи Пройденный путь представляется намъ
обязательно сплошнымъ, характеризующимся только
однимъ, а не двумя противоположными, какъ у линіи,
налравленіями на каждомъ маломъ участкѣ и способнымъ
безъ перерывовъ возрастать отъ неиамѣримо малыхъ до
неизмѣрино болыпихъ величинъ, искривляться всевоз-
можнымъ образомъ и снова возвращаться къ исходному
пункту. Мы можемъ разграничивать его на отдѣльные
участки и единицы, но ихъ предѣлы всегда будутъ слитны
между собою. Внѣ массъ и скоростей исчезаетъ для насъ
и представление о пройденномъ или предстоящемъ пути,
а вмѣстѣ съ нимъ теряется и всякая точка опоры для.
опредѣленія разетояній въ безконечномъ пространствѣ
вселенной. Но въ связи съ двумя остальными первичными
физическими факторами путь тѣлъ является мѣрой
протяженности окружающаго насъ физическаго міра.

ГЛАВА III.
Обратный значенія основныхь фнзичесннхъ факторовъ
въ M-L-V-систенѣ.
I.
Ознакомившись съ основной тріадой физическихъ
факторовъ, къ функціямъ которыхъ аналитически
сводится вся ыіровая механика, разсмотринъ прежде всего
ихъ обратный значенія, т.-е. величины, который функ-
1 1 1 „ „
цдонально выражаются какъ ,,, ;, у. Сеичасъ мы уви-
димъ, что первый два выраженія окажутся очень
важными пр-оизводными. физическими факторами.
П.
М-1 или — РазДѣльнОсть ннерціи. Теплоеикость.
Какъ мы уже говорили выше, масса вещества, или
факторъ инертности, можетъ дробиться вмѣстѣ съ гѣ-
ломъ на произвольное число независимыхъ частей, или
разграничиваться въ томъ же самомъ тѣлѣ на отдѣль-
ные, хотя и прочно связанные между собою участки,
проявляющіе свою деятельность самостоятельно, какъ,
напримѣръ, междуузловые промежутки звучащихъ или,
вообще говоря, вибрирующихъ тѣлъ. Уже отсюда видно,
что величина раздробленности массъ сама является
совершенно своеобразнымъ физическинъ факторомъ.
Функциональный составь ея легко выводится сдѣдуюздимъ
способомъ. Возьмемъ пропорціональность, справедливость
которой очевидна съ перваго взгляда:

30 —
(31)
Число N всѣхъ атомовъ инертности въ данномъ тѣлѣ
относится къ единицѣ числа [W]=], какъ вся масса М
созданнаго этими атомами тѣла къ массѣ р, одного
атома инертности:
№t *
Откуда:
tf^E^k.-#=[\1]дг. (32)
т.-е. число N всѣхъ отдѣльныхъ атомовъ въ данномъ
твлѣ будетъ прямо пропорционально всей его массѣ М,
пока отношеніе —, которое можно называть коэффи-
ціентомъ, показывающииъ „раздѣльность С инертности
тъла" остается безъ перемѣны.Еели же С мѣняетея, то
Х=СЫ (33).
Справедливость этого равенства очевидна сама по
себѣ, такъ какъ число N атомовъ въ данномъ скопленіи
физической энергіи обязательно должно возрастать, какъ
по мѣрѣ увеличенія всей его массы М, такъ и по мѣрѣ
увеличения ея раздробленности С. А отъ другихъ какихъ-
либо условій число атомовъ зависѣть не можетъ.
Итакъ, фунгагдональьый составъ раидѣльноспт инср-
иіи есть
с==ізпЧг ■ ■ т
гдѣ |і — [М] есть атом/ь инертности даннаго аггре-
гата физической энергіи или, что то же, величина тѣхъ
частей его массы, который дѣйствуютъ въ данномъ явле-
ниі, какъ одно цѣлое. Въ кинетической энергіи летя-
щаго тѣла такимъ атомомъ будетъ вся его масса, въ
химической энергіи—радикалъ, определяемый по пае-
вымъ соотношеійямъ реагирующихъ тѣлъ, въ энергіи
упругости—молекула, являющаяся въ большинствѣ слу-
чаевъ суммой двухъ или нѣсколькихъ атомовъ, въ
звуковой энергш — междуузловые промежутки звучащаго

31 -
тѣла, а въ лучистой энергіи свѣіящихся газовъ, пови-
димому, такіе же междуузловые участки ихъ вибрирую-
щихъ молекулъ.
Ртдньльностъ инертности играетъ очень важную
роль въ учеши о теплотѣ. По закону Дюлонта и Пти,
твплоганость С\ гвла, нагреваем аго при постоянномъ
объемѣ И* за вычетомъ всѣхъ рабогь, тратящихся на
его молекулярную реконструкцию, обратно пропорціо-
нальна только величинѣ его калорическаго атома
°*=-хг\ (ж>
гдѣ .Yj есть производный численный коэффиціентъ опре-
дѣляющінея принятыми для массы единицами мѣры ') и
обращающейся в*ь единицу при раціональномъ подборѣ
эталоновъ. Значить, въ абсолютной системе
(--i-lr W
^равнивъ это выраженіе съ 34-мъ, мы видимъ. что т"-
плогм кость физическихъ тѣлъ и ■раз&а.іьноѵть ихъ
инертности только два различный проявлеіия того же
самаго физическаго фактора. Это обстоятельство скоро
окажетъ намъ существенную услугу при опредѣленіи
функціональнаго состава температуры, и въ свою
очередь, сопоставленіе формулъ температуры н калориче-
') Предполагая, какт. это обыквовевво, но ошибочно, дѣдаюп., ва-
лоричеі'кіН атомъ пенямѣпішмъ н равны ль химическому к принимая
теплоемкость воды пря 0* Целыія ,іа единицу теплоемкости, иаіідемі.
для твердыѵъ тііъ, приблизительно Л'=-=6,3..., а для газовъ, rxb р^
бота моленул.ірвоН реконструкаіп (или раздвнженія междуатомныхъ
промежутков!, въ молекулахъ) сраввительво меньше, Л~=2,45. Однако
ѳтн числа будутъ приблизительно годны лишь для обычныхъ
температурь, потояу что еъ повияеніеяъ температуры цѣлые комплексы сонре-
мопныхъ хпяическкіъ атомовъ, начянаютт. дѣйствовать, пакт, одннъ
калорпчеекШ атомъ и потому чясловыя значенія X падают., а Съ по-
вышевіеяъ температурь, ваобороть, вти чнсловыл аначёнія возрастают!.,
такъ какъ пря очень высокпгь температура** современные атомы
начинает, постепенно обращаться вт. молекулы болѣе первопачалъніиъ
.элекеятовь". (См. нате изслѣдованіе .Періѳдическія системы"}.

— 32 —
ской энергш (см. объясиеніе къ формулѣ 132-й) а также
и всѣ другіе калорическіе законы покажутъ намъ, что
коэффиціентъ У въ формулѣ 35-й есть, действительно,
отвлеченная числовая величина, происходящая отчасти
огъ нссоотвѣтствія эталоновъ теплоемкости съ другими,
отчясти отъ неполнаго равенства между калорическими
и химическими атомами: калорическій атомъ, особенно,
въ жидкомъ и твердомъ состояніяхъ при тѣхъ же окру-
жающихъ условіяхъ, является, невидимому, всегда поли-
меромъ химическаго и при том ъ лишь приблизительно
постояннымъ. Допустимъ, напримѣръ, что у элементар-
ныхъ тѣлъ въ ихъ твердомъ состояніи онъ въ среднемъ
состоять изъ 10 химическихъ атомовъ съ массами М0.
Тогда, принявъ числовой коэффиндентъ, зависящій отъ
избранныхъ нами эталоновъ, равнымъ 63 и назвавъ его
константой [63], получимъ равенство, дающее
результаты вполнѣ соотвѣтствующіе закону Дюлонга и Пти:
откуда и опредѣлимъ знаменитую константу этихъ двухъ
ѵченыхъ:
ОД, = 6,3 (36")
Но, очевидно, это будетъ вѣрно только для тѣхъ
элементовъ, у которыхъ калорическііі атомъ (т.-е. масса,
калорически движущаяся, какъ одно пѣлое) будетъ
состоять, какъ мы приняли, ровно изъ 10 химическихъ
атомовъ съ массами М0. На дѣлѣ же подобнаго абсолют-
наго соотвѣтствія въ калорической полимеризаціи
никогда не бываетъ. Благодаря сотрясеніямъ отъ темпера-
турныхъ колебаній, нѣкоторый процентъ калорическихъ
атомовъ всегда состоитъ изъ меньшаго (чѣмъ слѣдуетъ)
числа химическихъ, и, наоборотъ, вѣкоторый процентъ
оказывается полимеризованнымъ болѣе, чѣмъ слѣдуеть.
Понятно отсюда, что во всѣхъ тѣхъ случаяхъ, когда
избытокъ слишконъ полимеризированыыхъ атомовъ не
уравновѣшивается вполнѣ недостаточно полимеризиро-

— 33 —
ванными, теплоемкость Сѵ не определится изъ pasta
ства (36') до тѣхъ поръ, попа мы не йэмѣннмъ вънемъ
нэдлежащииъ образомъ ыашъ коэффщпеытъ полимерн-
заціи 10, т.-е. не приненъ внѣсто этого ■уапавняго чжапл
химическихъ агоновъ въ одномъ калорическомъ другое,
большее или меньшее число. Такъ, і.апринѣръ, для
углерода, въ алмазной аллотроши, получимъ настоящее зна-
ченіе для С„ лишь при томъ условіи, если допустимъ,
что его калорическш атонъ содержитъ въ себѣ въ 4,7
разъ болве химическихъ атомовъ, чѣмъ большинство
остальныхъ элементарныхъ тѣлъ при ибычныхъ уело-
віяхъ. Тогда найдемъ (для алмаза) при обычной
температурь, какъ а слѣдуетъ быть:
С,= ^Щ, или СА-1, 35.
Значить, въ общемъ видѣ законъ теплоемкости твер-
дыхъ тѣлъ мы может, представить такъ;
г - ^ а ч 1
п0 °
гдѣ р —есть масса истиннаго калорическаго атома при
данныхъ условіяхъ, а —М0—ея выраженіе въ химиче-
снихъ атомахъ, при чемъ М0 есть масса химическаго
атома (или его пай по водороду), п0 — обычное, среднее
чисто химическихъ атомовъ въ одномъ калорическомъ
у окружающихъ насъ элемеытарныхъ тѣлъ при
современной температуре и давленіи на земной поверхности,
а п — &пйая»ителшое число химическихъ атоновъ въ
одномъ калорическомъ у данного тѣла при указанныхъ
условіяхъ. Понятно, что ато число опредѣляется изъ
самого предыдущаго увавнешя:
При пониженіи температуры число соврекеиныхъ
химическихъ атомовъ въ-одномъ калорическонгь, какъ
Gnaw wvctK asum. ■■

- 34 —
мы уже упоминали, возрастаете и согласно съ этимъ
константы Дюлонга и Пти падаютъ, а при повышенш
температуры — наоборотъ. Этого и слѣдовало ожидать
теоретически. Особенно сильная деполимеризация химиче-
скихъ атомовъ происходитъ съ повышеніеиъ
температуры у углерода и у твхъ элементарных!, тѣлъ (боръ,
берилні, кремній и т. д.), которыя при настоящихъ усло-
віяхъ оказываются слишкомъ полимеризированными
сравнительно съ остальными.
Всѣ эти частности мы приводимъ здѣсь исключительно
для того, чтобъ показать, что уклоненія от*ь закона
Дюлонга и Пти (периодичность которыхъ по мѣрѣ
возрастай ія атомныхъ массъ у элементовъ намъ удалось
установить на приложенной діаграммѣ, табл. 2-я)—только
кажушіяся уклоненія, зависания отъ несоотвѣтетвія ка-
лорическихъ атомовъ, т.-е- аггрегатовъ вещества,
движущихся калорически какъ одно цѣлое, съ химическими
атомами, т.-е. аггрегатами того же вещества
реагирующими, какъ отдѣльныя единицы въ химическихъ соеди-
неніяхъ и разложеніяхъ. Кромѣ этой основной причины,
истинныя теплоемкости кажутся по временамъ не со-
всѣмт. соотвѣтствующими закону Днілонга и Пти еще
оттого, что мы не можемъ достаточно хорошо отдѣлять
теплоту, действительно идущую на нагрѣваніе тѣла, отъ
той, которая тратится на посторонне работы, напри-
мѣръ, на молекулярный реконструкции, особенно рвзко
проявляющаяся при переходѣ тѣлъ изъ твердаго состоя-
нія въ жидкое и газообразное.
Въ настоящей главѣ мы опредѣляемъ только
функциональный составь теплоемкости, и потому все, что
мы говорили до сихъ поръ, имѣетъ цѣлью только
показать, что „истинная теплоемкость" С„ есть,
действительно, лишь специфическое проиьленіе „раадѣльности
инерціи" М-1. Слѣдовательно, и константа Цчолота
и Пти

1 А 2.
Періоднческія отетупленія константы Дюлонга и Пти оть «эй величины 6,3, по иѣрѣ возрастаніа атомнаго вѣеа элемен-
тѣлъ*
Воляообравкыя колебашя константы С^М обнаруживаются вполнѣ отчетлништя другія періоднческія зависимости) только въ томъ случаѣ, если нгь представит»
двумя кривыми, изъ которыхъ одна (у иасъ пунктирная) соедивяоть между собожовалентные элементы, а другая (у насъ сплошная) всѣ четновалектные, т.-е.
промежуточные между первыми.
о е«Р
» 5С к.
55 <
о
ф
U
Элемеитарпыя тѣла поріодическоі сіішпіі шит въ нхъ естественной послѣдоватедьвостн.
і
Значнтедьвое отыомевіе вомстаить молнбдеяж и кадмія оть соотѵЬтегм-
аифры таблицы относятся лжяь къ обычно! температурь н обычмымъ імія^^д,
кхь квквоі показываеть, что нхъ теплоемкости еще плохо овредѣдтш. Bed

- 35 —
называемая не совсѣмъ удачно „атомной теплоемкостью"
(вѣрнѣе бы сказать: удѣльная теплоемкость химическихъ
эквивалентовъ одинаковаго типа)') есть массовая
отвлеченность йМ, а не именованное выраженіе. Дѣйствительно,
принимая '-ч—д»' наяодимъ изъ предыдущего
Къ этому же заключен ію приводить и самый фактъ
періодичности въ отклоненіяхъ „атомныхъ теплоемко-
стей" С„.М оть средней величины 6,3, обнаруживаю-
щійся на нашей діаграммѣ (табл. 2-я).
Какъ увидимъ далѣе, такая періодичеекая
способность данной величины возрастать и падать (подобно
тому, какъ въ тригонометрні падають и возрастаютъ
синусы, тангенсы и секансы) по мѣрѣ возрастанія
какого-либо независима™ перемѣннаго (въ тригонометрні
дугового пути, а здѣсь атомныхъ массъ у элементовъ)
уже достаточно обнаруживаете, отвлеченный характеръ
этдй величины и ея полную независимость отъ
именован ныхь частей даннаго равенства. Новые,
непредусмотренные физическіе факторы, если бъ они
присутствовали въ подобныхъ равенствазъ, характеризовались
бы исключительно способностью независимо возрастать
отъ 0 до СО при тъхъ же самыхъ остальныхъ условіяхъ.
III.
£-' или у Гонотектичеевіе (углообразовательные)
факторы фвзическаго міра.
Всякое гвло, приведенное въ движеніе и не
подвергающееся спеціальнымъ отклоняющимъ вліяніямъ нзвнѣ,
продолжает-ь свой путь, не изнѣняя его направленія.
') Потоку что я у cjoibust, тѣл, иаяржмѣрь, окисленъ в eojeS
въ иоіек(л»ми, построении н ао іоііу же самому типу, нроизвдевіе
» тевдооніости Ся м m пай ест* величин» постояв**».
3*

— 36 —
Значить, прямолинейность есть спеціальнвя
характеристика элементарного пути въ космической средѣ
окружающей физическія тѣла. Справедливо ли это утвержде-
ніс также и для движеній въ пустокъ пространствѣ,
ны не знаемъ, такъ какъ еще не имѣемъ возможности
рѣшить, есть ли инертность неотъемлемое свойство са-
нихъ наблюдаемыхъ нами аггрегатовъ физической энер-
гш, или причина ея лежитъ въ ограничивающемъ ихъ
со всѣхъ сторонъ вселенскомъ океанѣ. Если ны не
будешь допускать дѣйетвні Другъ на друга удаленныхъ
(т.-е не соприкасающихся) т-влъ иначе, какъ черезъ
посредство среды, въ которой они заключены, то на осно-
ванІи ежедневныхъ наблюдений, убѣждающихъ насъ, что
направленія путей нѣняются при каждомъ сто.жновеніи
гвлъ, мы можемъ аналитически сводить и всѣ
криволинейные пути (начиная отъорбитъ планетъ и кончая по-
летонъ насѣкомаго, или даже путенъ кожки циркуля, опи-
сывающаго кругъ) на ломаные, у которыхъ элементарные
прямолинейные участки 4L неизмѣриио коротки, а
уклонены въ направленіи каждаго новаго участка,
сравнительно съ направленіемъ предыдущаго, неизмѣрико
малы и зависятъ исключительно отъ боковыхъ ударовъ,
наносимыхъ движущемуся тѣлу молекулами среды, или
• отъ ударовъ самаго тѣ-
/ _і,^--"'' ла объ эти молекулы.
( £*^і**~:~~**~>^ ^Ри анали8* лома-
! / * ^^\?~~- ныхъ путей, прежде
[чД ^*- ""всего привлекаютъ къ
\ себѣ вниманіе
элементарные углы Дм
надлома и элементарная раз-
стоянія 4L между ка-
2- ждыии двумя соседними
надломами (фиг. 2).
Уголъ надлома, самъ по себѣ, есть стереометрически
факторъ, отъ котораго зависитъ несоотвѣтствіе. въ на-
правленіяхъ двухъ участковъ пути. Въ механикѣ онъ

— 37 -
опредѣляется всегда, какъ отношение другъ къ другу
длины двухъ различно направленныхъ линій: бѣгучей
дуги L къ ея радіусу-вектору [L]
**'==77Т==Т/Т (величина линейно-отвлеченная).
(Преобразованіе L^=N[L] въэтой формулѣ означаетъ
просто, что дуга L равняется N своихъ радіусовъ [£].)
Значить, и уголь Дм надлома пути есть факторъ
отвлеченный.
Если отдѣльные надломы Да>' (или элементарный при-
рященія загибанія пути, фиг. 2) повторяются черезъ
правилі.ные пространственные промежутки Д/,0 и сами
углы До/') каждаго надлома равны между собою и оріен-
тированы в-ь пространствѣ по определенному закону, то
путь опишетъ правильно-ломаную линію, которая, при
неизмѣримо малыхъ величинахъ при ращен ія dw' и dL,
приметъ видъ правильной плоской кривой, гдѣ поелѣ-
довательныя измѣненія ьъ направленіи ігредставляк.тся
!} Зіѣсь ни обращаешь спеі!іа.іі,ное впнмапіе читатели на то
обстоятельство, что, подчиняясь обычнымт, опредъленіямъ и привычной орфо-
графів формулъ, мы отмѣчаемъ надломи я искрнвленія путей общепря-
нятымъ въ настоящее время способомъ т.-е. ввноежороиивлм углами
ш', а не ірловили пароли (фиг. 3), пѣ » = 2»', какъ следовало бы по
теоретическимъ соображевіямъ указанными въ пркложеиіи I {въ конвѣ
этой книги). Поэтом; и здѣсь обнаруживается то же несоотвѣтствіе
въ предѣльныхъ велпчнвахъ двугранпыіъ и тълесныхъ сгереометрвче-
скихъ угловъ; о которомъ мы упомннаемъ
въ этомъ прнложенія. Если бъ, обозначивъ
черезъ. "« = 2»' угловую пару, т.-е. два
вахреегь дежащіе угла, мы положили въ j-^^ ~~~~~*-^
основу митрологів эту удвоенную велнчн- * '
ну, то нашли бы, что каждый отдѣльный фнг. 3.
маддѳмъ влп элементарное покривлен іе
пути <XL\ равно !/2'и. Тогда въ выводимой отсюда формузѣ {33-Я}
пришлось бы яапнеагь (считая »' -- '. jio).
1 Am w w
а вслѣдствіэ этого и вездѣ, гдѣ у васъ ваходятен въ этой глав* евм-
водъ радіальваго пути L оказался бы путь діа метра к, ив И £,.

— 38 —
нанъ происходящими плавно безъ всякихъ скачковъ.
Но какова бы ни была абсолютная величина прираще-
ній ію' и ІД мы всегда найдемъ, что степень кривизны
или, какъ мы буденъ говорить, величина искршленія
пути, при неизмѣнной величинѣ промежутковъ AL, бу-
детъ прямо пропорціональна средней величинѣ каждаго
эленентарнаго угла Л">', а при неизмѣнной величинѣ
такого угла, обратно пропорциональна средней величинѣ
прямолинейнаго участка і£. Значитъ, функциональный
составъ бѣгучаго искривленія, обусловливающаго
стереометрическую фигуру путей, выражается такъ:
і—и—т {38)
гдѣ «' есть полная величина суммарнаго поворота пути
между двумя его опредѣленными пунктами, a L—разстоя-
ніе другъ отъ друга этихъ пунктовъ (фиг. 4).
Нзъ послѣдняго (38-го) равенства видно, что при углѣ
До>, имѣющемъ конечную величину,
У и при прямолинейномъ участкѣ
/*' &L безконечно маломъ, бѣгучее
,'"\,' W иекривленіе (или суммарная кри-
Пвизна) пути было бы безко-
\^ нечно велико, такъ что всякій
\^ путь свернулся бы при этихъ ус-
4 ловіяхъ въ одинъ клубокъ — точ-
Фнг. 4. Щ- И, наоборотъ, при Д«', рав-
номъ нулю, и AL, имѣющемъ
конечную величину, кривизна пути будегь безконечно мала,
такъ что нулевой коэффиціентъ кривизны -г- = 0
характера
ризуегь прямолинейный путь. Если же, наконецъ, и 1L
и Дм' равны нулю, то кривизна пути приметь значеніе
н еопредѣленн ос ти
О
7,= о" <39>

— 39 —
Значить, въ этомъ предѣльномъ случаѣ, пути физи-
ческихъ тѣлъ, повидимому, могли бы самопроизвольно
искривляться самымъ причудливымъ образомъ. Дѣйстви-
тельно, при абсолютномъ отсутствіи прянолинейыыгь
участковъ 4L, теряется самое представление объ
инертности тѣлъ, которая характеризуется именно ияъ
свойств омъ продолжать въ
томъ же самомъ на-
правленіи разъ начатое
движете.
Мѣрой бѣгучаго ис-
кривленія принято
считать уголъ ш поворота
касательной къ данному
пути при прохождении
точкой касавія единицы его длины, кнкъ это показано
на фиг. 5.
Бъгучее искривленіе фиаическихъ лиши и путей
проявляется въ двухъ формахъ: въ ихъ шгибаніи ~і, (или
кривизнѣ 1-го рода), гдѣ послѣдовательные элементар-
ные участки пути имѣютъ различныл направления, и
въ закручиваніи ^г-(или кривизнѣ 2-го рода), гдѣ
смежные участки физической лиши имѣютъ то же самое на-
правленіё, но кань бы подверглись послѣдовательному
ряду вращательныхъ сдвиговъ. Разсмотримъ оба вида
искрив л енія отдѣльно.
IV.
Первый гонотектичеоній факторъ. Бѣгучее загибаніе
и надлажываніе путей. Кривизна 1-го рода.
Взятое само по себѣ, безъ примѣси закручиванія
бѣгучее загибаніе (или. какъ его называютъ, кривизна пер-
ваго рода) можетъ характеризовать только „плоскія кри-
выя", т.-е. пути круговые, эллиптическіе, парабол ическіе,
гиперболические, пути идущіе по спирали Архимеда и т. д.
Каждая такая кривая линія обладаетъ неизмѣнной осью
Фяг. Ъ.

_ 40 —
бѣгучаго загибанія и дѣлико,иъ укладывается въ
плоскости, перпендикулярной къ этой оси. Функциональный
составь этого физическаго фактора легко опредѣляется
такимъ оядомъ сображеній.
На основаніи геометрической теоремы, что „уголъ
между двумя ливіями равенъ углу между
перпендикулярами, восстановленными къ той и другой линіи" (фиг. 6),
мы можемъ сказать, что уголъ поворота w' плоскоетно-
и скривлен наго пути на разстояніи L (фиг. 7), всегда
равенъ углу ш'0 между нормалями Lg и І/0 его начальной и
конечной точекъ. Если кривизна 1-го рода остается на
этомъ разстоянні безъ перемѣны, то пройденный путь L
будетъ дуга окружности, a J^, ея неизмѣнный радіусъ.
Фиг. 6. Фиг. 7.
Но мы передъ этимъ видѣлн (см. выраженіе 38), что
бѣгучее загибаніе у прямо пропорционально углу ш'
поворота пути на протяженіи L и обратно
пропорционально самому этому, протяжению:
Значить, на основанін только что высказанной
теоремы, бѣгучее загибаніе уі будетъ также выражаться
равен ствомъ:
*~т=£ <«)
гдѣ w0 есть уже уголъ между нормалями начальной и
конечной точекъ пути (фиг. 7) или, какъ ихъ назы-

— 41 —
ваютъ, радіусами кривизны. Но изъ простого взгляда на
напіъ чертежъ видно, что самъ дуговой путь L возра-
стаетъ пропорщонально углу ш0 между его радІусами-
векторами і0 и длинѣ этихъ радіусовъ:
£ = *>'оА, («)
Внеся это значеніе Ь въ формулу 41-ю, получимъ
т.-е. искривленіе плоской дуги, а вмѣстѣ съ ней и
всякаго дугового пути, обратно
пропорціонально радіусу, которымъ она
описана и болѣе ни отъ чего не за-
виситъ. Это и есть чистый функціо-
нальный составъ бѣгучаго загибанія
путей, какъ своеобраанаго физическаго
. Фпг. 8. Авсолютяая
фактора. едипнпа кривизны.
Единицей этой кривизны перваго
' рода считается кривизна дуги, у которой радіусъ
равняется одному сантиметру (фиг. 8). Ея нагляднымъ при-
близительнымъ образчикомъ всегда
можетъ служить мужское
обручальное кольцо. У женскаго она
несколько больше.
Когда бѣгучее загибавіе не
постоянно во вс'вхъ частяхъ пути, то
величина нормалей І^, возстановлен-
ныхъ изъ различныхъ точевъ этого
Фиг. 9. Лиши различ- ПУТИ (Фиг-І0) Д° пересѣченія другъ
ной хрітияны. 1. Кри- съ другомъ, будетъ не одинакова.
внзна=2абс. единнпамт. _, , . , .
1 При сближеши двухъ точекъ (Л,
(раг. у см.). 2. Крнвиэ- и j^ ПѴнкты пересѣченія нормалей
ва^іавседнияцѣірад. будуТ1> перемещаться по ихъ дли-
1 см). 3. Кривнава = у н^ приближаясь по мѣрѣ сближе-
авс.еіииниы(рал.2см.). HjH in, нѣкоторому опредѣленному
4. Кривизна — .^- ибо. предѣлу С (фиг. 10). Этотъ предѣлъ
езнниаы іроі. з см.). и будетъ центромъ кривизны .со»

— 42 —
отвѣтствующаго неизмѣримо малаго участка ЙЬ, при-
легающаго къ данной точкѣ Л0у неправильно искрив-
леннаго пути. Самъ же уча-
стокъ dLs всегда можно
принимать за ничтожную часть
кругового пути съ радіусомъ
кривизны, равньгаъ СА0 и, такимъ
образ омъ, аналитически
отожествлять его ст. безконечно
малой дугой кругового пути. Въ
другихъ точкахъ неравномѣр-
L L но загибающагося пути полу-
Фиг' 10, чатся, понятно, другіе радіусы
кривизны, которыми и опредѣлятся для каждаго
неизмѣримо малаго участка особыя степени загибаігія.
Резюмируя все предыдущее, мы можемъ сказать, что
бѣгучее загибапіе путей (или кривизна перваго рода),
имѣетъ функціональный составъ
Ъ=-£ («)
Оно обратно пропорціонально разстоянію L даннаго
участка пути до его центра кривизны (или гонотекти-
ческой оси) и является совершенно своеобразнымъ фи-
зическимъ факторомъ. Благодаря ему движущіяся тѣла
получаютъ возможность снова и снова возвращаться къ
начальному пункту своего пути. Этотъ физическій фак-
торъ играетъ важную роль не только въ кинематикѣ и
стереометріи, но и въ другихъ областяхъ физико-мате-
матическихъ наукъ, какъ это увидитъ читатель въ спе-
ціальныхъ отдѣлахъ настоящаго изслѣдованія.
Изъ предыдущаго (46) уравненія имѣемъ:
или
2L = A

— 43 —
А такъ какъ 2/> (два радіуса кривизны или ея діаметръ)
есть разстояніе между двумя противоположными точками
круговой орбиты, то мы можемъ сказать: поперечные
размѣры кругового пути обратно пропорціональны по
ловинѣ его бътучаго загибанія.
V.
Второй гонотектичесиій факторъ: бѣгучее закручива-
ніе или искривленіе 2-го рода.
Не менѣе важенъ и второй родъ бѣгучаго искривленія,
т.-е. аащіученность физическихъ нитей, стержней и путей.
Возьмемъ очень узкую, но не мягкую') полоску бумаги
и проведемъ по одной ея сторонѣ во всю длину
продольную линію, для того чтобъ отличать ее отъ другой
стороны. Свернувъ ее кольцомъ, напримѣръ, два раза
(фиг. 11), мы придадимъ ей этимъ тотъ родъ кривизны,
Z
Фиг. II. Искри шевіе
1-го рода. Вѣгутее
загнбааіе.
Z
Фиг. 12. ІІскривле-
ніе 2-го рода.
Бѣгучее закручнваиіе.
Z
Фиг. 13. Искрипденіе
івоякаго рода (г.оеіине-
ніе аагибанія съ закру-
чивэвіоігь.)
которымъ мы до сихъ норъ занимались—кривизну пер-
ваго рода или бѣгучее зазибаны, которое можетъ быть
характеристикой, какъ путей, проходимыхъ гѣлами, такъ
и измѣряемыхъ ими физическихъ лнній, одной изъ ко-
і) Изачѳ она будетъ свиватмя по ширииѣ.

— 44 —
торыхъ представляется и наша полоска пока мы въ ней
принимаемъ во вниманіе только длину. Защемивъ теперь
двумя пальцами левой руки внутреннні конецъ этой
полоски^ двумя пальцами правой—внѣшней конецъ, растя-
немъ ее во всю длину, какъ это показано на фиг. 12-й.
Этимъ растяженіеиъ мы какъ будто „уничтожимъ" за-
гибате пластинки (такъ какъ теперь ея длина будетъ
измеряться пряиолинейнымъ путемъ ZZ), но въ то же
нгновеніе убѣдимся, загибаніе здѣсь на самомъ дѣлѣ
вовсе не уничтожилось, а только превратилось въ эквива-
лентъ нового айда искривленія, которое называется
въ анализѣ кривизной второго рода или, какъ мы бу-
демъ выражаться, багучимъ закручиеаніемъ. При пол-
номъ метаморфозе одного вида въ другой всегда
окажется, что закручшаніе столько же разъ пройдетъ черезъ
полную окружность, сколько проходило загибаніе, какъ
въ этомъ легко убѣдиться на нашей винтообразно
свернувшейся полоскь1, посмотрись, сколько разъ ея отмѣ-
ченная чертою сторона обращена къ глазу. Кривизну
второго рода можно также назвать скрытымъ искривле-
ніемъ, такъ какъ у цилиндрическихъ стержней и у
путей, пройденныхъ цилиндрическими тѣлами по оси ихъ
вращенія, она ничѣмъ не обнаруживается для зрѣпія.
Функциональный составь
/■Т' бѣгучаго закручиванія тотъ
/ \ , же самый, какъ и загибанія.
Возьненъ упругій стержень L
(фиг. 14) и будемъ
закручивать рычагомъ АЛАЛ его верх-
ній конецъ, укрѣпивъ
неподвижно нижній на рычагвЛЛ
Величиназакрученности,
очевидно, будетъ прямо пропор-
Фиг- н. ціовальна углу в/ закручи-
ванш (т.-е. отклоненіл того
направленія AtAj въ еѣченіи О, стержня, которое
первоначально было параллельно направлению АЛ ѣъ дру-

— 45 —
гомъ сѣченіи стержня, на разстоянш L отъ предыду-
щаго) и обратно пропорционально длинѣ L стержня
между обоими этими сѣченіямн. Ни оть чего другого
величина за кручи ван ія зависъть не будетъ. Значить,
имѣемъ для функціональнаго состава искривленія
второго рода у, выраженіе:
Но въ углѣ ш', какъ постепенно расширяющейся
промежутке, мы моженъ вписывать дуги всевозможной
величины, увеличивая или уменьшая ихъ радіусъ, Впишет,
въ него дугу Zj (фиг. 14), равную длинѣ изелѣдуемаго
промежутка L. Тогда найдемъ:
L, = L = k'L0 (48)
гдѣ Іц есть радіусъ дуги £j или самого закручиваемаго
промежутка £ стержня, когда мы загнелп, его
дугообразно на уголь to, равный углу закручиванія. Внеся
теперь послѣднее выраженіе (48-е) въ предыдущее, полу-
чимъ абсолютный функціональный составь закрученностн
или искривленія второго рода:
Ь = -1 ..•■;... -(49)
т.-е. закрученность у2 физическаго ■ стержня, а въ пере-
носномъ смыслѣ и всякой линіи, или пути, обратно про-
порціональна радіусу L,, кривьзны промежутка L, если
мы загненъ его дугообразно на тотъ же уголъ, до кото-
иаго доведено закручиваше даннаго промежутка.
VI.
Метам орфозъ гонотектйческигь факторовъ. Переходъ
загибанія вь зякручиваніе и обратно. Законъ нжъ
эквивалентности. Пути двоякой кривизны.
Только это тожество функціональнаго состава обо-
ихъ родовъ - искры&денія и сдѣлаао возножнынь тотъ
переходъ искривленія въ закручиваніе и обратно во
всѣхь пропорціяхъ, который мы наблюдали ври растя-

— 46 —
женні нашей свернутой ленты (фиг. 11, и 12 13, стр. 43).
Такая взаимная превратимость обнаруживается всегда
когда два физическіе фактора имѣютъ одинъ и тоть же
функціональный составъ и благодаря этому могутъ быть
аналитически сдѣланы абсолютно эквивалентными другъ
другу, какъ это можно видѣть, напримѣръ, при превра-
щеніяхъ однихъ видовъ энергні въ другіе. Чтобъ про-
слѣдить всѣ промежуточным степени перехода гагибянія
въ закручиваніе, возьмемъ вмѣсто нашей бумажной лепты
часовую пружину, имѣющую видъ Архимедовой спирали.
Вь своемъ обычномъ видѣ она лишь загнута, но не
закручена, т.-е. обладаетъ исключительно искривленіемъ
перваго рода. Растягивая ея внутренней и внѣншій концы
по перпендикулярному направлению къ плоскости ея вра-
щевія, мы увидимъ, что она, раньше, чѣмъ достигнетъ
предѣльнаго растягиванія и приметъ видъ закручепной
прямолинейной полосы, пройдетъ цѣлый рядъ послѣдо-
вательныхъ, промежуточныхъ стадій, когда она будетъ
характеризоваться штопорообразиой формой (фиг. 13,
стр. 43). Здѣсь будутъ существовать и известная доля
загибанія и иавѣстная доля закручиванія, почему такія
линіи и пути и называются въ анализѣ кривыми
'Мелкой крившны.
Для того, чтобы опредѣлить отношение загибанія къ
закручиванію въ нашей пружинѣ, прикрѣпимъ къ ней
^^.^.^ прямолинейную пластинку
//js"~^S. LL, той же толщины и лежа-
іц \Ѵ\ щую въ той же плоскости,
1\\ * }}) какъ и спиральные повороты
W^_>^/ (фиг. 15). Это будетъ каса-^
X ^-f-""^ Jf тельная къ нѣкоторой точкѣ
фиіі ІЬ С. Пока пружина еще не
растянута нами по
вертикальному направленно, ея ітгучеа загибаніе у, равняется
полной вёличинѣ всего ея искршяенія |, а коеинусъ угла а
(равнаго въ данномъ случаѣ нулю) между касательной LL
и птоскостью оборотовъ пружины (иерпендикулярныхъ

— 47 —
къ оси этой пружины ZZ) будегь равенъ полной
величине своего тригонометрическаго радіуса.
Наоборотъ, при полномъ растяженіи пружины, когда
она превратится въ прямую закрученную, линію, ея йв-
гучее загибаиіе все превратится въ бягучее закручиеаніе,
а одновременно съ этимъ и косинцсъ угла а между
касательной Ы, и плоскостью, перпендикулярной къ оси
закручивашя, весь пер ей-
деть въ аінусъ этого угла,
который теперь едѣлается
прямыяъ угломъ.
Уже отсюда видно, что
переходъ кривизны перваго
рода въ кривизну второго
рода, при растяженіи нашей
пружины безъ ея раскручива-
нія, можетъ быть графически
символизнрованъ (фиг. 16)
посредствомъ перехода
косинуса въ синусъ у угла я
между касательной LL въ
некоторой "гочкѣ я и
плоскостью Xj ХЛ
перпендикулярной къ оси ZZ, такъ что
получается пропорціональ-
ность:
Фіг. 16. Крива» дваякяго вскрв-
віеві» (сравни о фиг. 12 стр. 43
ZZK—ось кривой; ХД"і~шоевоеть
къ вей вертикал ноя; Z.tr—кася-
те;п.ная еь данной точкѣ а кривой.
11
Su 1
(50)
т.-е отношеніе закручиватя іг къ загибанію ѵ, въ дан-
нонъ прирощеніи пути двоякой кривизны пряно пропор-
діонально отношенйо синуса къ косинусу у угла я между
касательной LL въ данной точкѣ этой кривой и
плоскостью, перпендикулярной къ ея оси ZZ.,
А такъ какъ по теоремѣ Пиоагора, относительно
равенства квадрата, построеннаго на гипотенугв съ суммой
квадратовъ, построенные на катетахъ, мы имѣемъ
8пяз-^ОзЧ=г* (постоянная величина),

— 48 -■
то, переходя оть графическихъ символовъ къ еимволи-
зированному ими предмету, мы, кронѣ того, получаемъ
еще вторую закономѣрность, обнаруживающуюся при
переходѣ загибанія въ закручиваніе:
Yja4~Y32==Toa (постоянная величина) - - -{51)
т.-е. при всѣхъ степеняхъ растяженія или сжатія
кривой двоякой кривизны сумма квадратовъ ея бѣгучаго
загибанія Yi н бѣгучаго закручиванія ¥а остается
постоянной и равной квадрату абсолютнаго искривленія іо
у этой кривой, если при процессѣ растяженія или
сжатія не было произведено никакихъ самостоятельныхъ
гонотектическихъ движеній. Значить, для опредѣленія
абсолютнаго искривленія у0 путей или физическихъ ли-
ній имѣемъ:
Т«=ѴѴ + Ѵ О-" (52)
Какъ загибаніе, такъ и закручиваніе могутъ
переходить другъ въ друга и плавно, равномѣрно по всей
длинѣ нити и съ периодически ми неравенствами и ко-
лебаніями. Тогда наша нітопорообразная лннія приметь
неправильный видь, но сумма квадратовъ ея средняго
загибанія и закручиванія останется и здѣсь безъ пере-
мѣны. Отсюда видно, что абсолютное бѣгучее искривле-
ніе мы ноясемъ не только превращать изъ одного рода
въ другой, но и переносить съ одной части физической
линіи на другую часть, никогда его не теряя, если, при
всѣхъ этихъ перемѣнахъ, концы физической линіи не
будутъ дѣлать никакихъ новыхъ угловыхъ движеній
относительно другъ друга; Вотъ почему мы и называеиъ
оба рода искривленія проявленіемъ одного и того же
гонотектическаго фактора въ природѣ, а только что
высказанный законъ можемъ назвать закономъ сохране-
нія бѣтучаго искривленія при всѣхъ его метаморфозахъ.
') Вообще говоря, вира* еніе V'z,* 4- Zf -}- ІѴ въ анализ* является
всегда свиволомъ вераиѣльио связанной суммы эквивалента о яереходя-
щигь другъ въ друга велічвнъ,

— 49 —
VII.
Надлоны и угловые сдвиги. Приборъ для
демонстрирования путей двоякой кривизны.
И загибаніе, и закручиваніе могутъ возрастать отъ О
до со, а также и мѣнять свои знаки въ зависимости отъ
перемѣнъ въ направлении, по которому они идутъ.
Благодаря этому и происходятъ всѣ формы и фигуры путей
и линій, которыя мы можемъ себѣ представить въ про-
етранствѣ трехъ измъ-реній. Всякое элементарное при-
ращенІе загнутой пластинки, характеризующееся неиз-
мѣримо болыш'шъ бѣгучимъ загибаніемъ представляется
намъ ея падломомъ. Всякое элементарное приращеніе
длины цилиндрическаго стержня, характеризующееся
неизмѣримо большимъ бѣгучимъ закручиваніемъ является
его угловымъ сдвигомъ въ данномъ поперечномъ сѣ-
ченіи.
Выше мы говорили, что и сами бѣгучія заггійанія
можно аналитически представлять состоящими изъ не-
измѣримо иалыхъ надломовъ, находящихся на,
неизмеримо налыхъ разстояніяхъ другь отъ друга. Точно такъ же
и кривизну второго рода, или закручиваніе физическихъ
линій, можно представлять себѣ состоящей изъ неизмѣ-
римо малыхъ сдвнговъ вращенія, повторяющихся на
неизмеримо малыхъ разстояніяхъ другъ отъ друга. У
обыкновенныхъ матеріальныхъ стержней, состоящихъ
изъ вещеетвенныхъ атомовъ, этотъ родъ искривленія и
нельзя даже иначе вообразить, какъ сдвигами въмежду-
молекудярныхъ промежуткахъ *).
Сводя такимъ образомъ оба вида бѣгучаго
искривленія на элементарные надломы и сдвиги враіценія, мы
>і Пэъ самаго этого онредѣлевія видно, что саоно гсдвпгь" употрѳ-
ІЬястся адѣеь въ ого общепринятое сныс-гЬ (какъ въ геологін сдвпгъ
горвыхь породъ), а не въ томъ, условном!., какъ зто нринято на рус-
скоыъ языкѣ въ теоріи упругости.
l"h-pr)BTJ kk'tfgtb. аип.ійва. ~*

— 50 —
получаемъ возможность прекрасно демонстрировать всѣ
формы лини и путей двоякой кривизны на слѣдующеиъ
простомъ приборѣ.
Около сорока (или болѣе, судя по потребностямъ)
легкихъ алюминіевыхъ стержней (фиг. 17) соединяются
между собой шарнирами «, на которыхъ каждые два
снежные стержня могутъ нагибаться другъ къ другу до
желаемой величины, для чего на краяхъ шарнировъ и
отмѣчены градусы, радіаль-
ными черточками. Такіе
надломы и будугь
элементами кривизны перваго
рода или бѣгучаго загиба-
нія у нашего произвольно
искривляемаго прута.
Посрединѣ каждаго от-
дѣльнаго стержня едѣ-
лакъ перпендикулярный
распилъ Ь съ
внутренней, туго вдѣлааной осью,
Фиг. 17. на которой можно
производить вращательные
сдвиги, какъ элементы біьгучаго ткручиваиія и
определять величину каждаго такого сдвига по градуснымъ
отмѣткамъ на краю распиловъ. Такимъ образрмъ на
этомъ приборѣ можно наглядно комбинировать между
собою бѣгучее загибаніе и закручиванье во всѣхъ воз-
можныхъ соотношеніяхъ, т.-е. изгибать прутъ во
всевозможный фигуры стереометрическихъ путей и опре-
дѣлять у нихъ непосредственно взаимный отношения
обоихъ гонотектическихъ факторовъ.
Мы нарочно останавливались такъ долго надъ
характеристикой бѣгучаго искривлены и старались сдѣ-
лать его теоріга возможно наглядной. Для того, чтобы
ясно представлять себѣ сущность кинетическихъ явле-
ній, лезкащихъ въ оеновѣ всѣхъ видовъ физической
энергіи, и такимъ образомъ получить возможность дѣ-

— 5І -
лать новыя открытія въ этой области, не достаточно
умъть лишь аналитически выводить формулы и считать
данное явленіе природы достаточно изученнымъ, какъ
только мы научились получать его законъ путемъ тѣхъ
или другихъ алгебраическихъ дѣнствні надъ нѣсколь-
кими основными уравненіями. Для, того чтобы дальше
работать въ этой области, необходимо также научиться
мысленно видтзть во всъхъ явленіяхъ окружающаго насъ
міра возможно полный картины молекулярныхъ нацѣ-
ііленні и движеній со всѣми ихъ типическими искрнвле-
ніями, приводимыми къ комбинаціямъ бѣгучаго заги-
банія и бѣгучаго закручиванія. Безъ развитого упра-
жненіемъ пространственнаго воображенія велнчайшихъ
изся'вдователей въ этой области, молекулярная физика
осталась бы для насъ, несмотря на знаніе дифферен-
ніальнаго и интегральнаго иечисленія, навсегда
закрытой областью знанія.
ѵш.
Причины почти полной неупотребляемое™ въ каче-
етвенномъ анализѣ физичеекаго фактора еъ
функциональными составить 7-1 — ѵ. (Медленностьдвижееія).
Мы только что нашли два физическіе фактора: 1) ра-з-
гііъльность инерчін С, проявляющуюся въ измѣненіяхъ
теплоемкости гѣлъ, ихъ способности къ дробленію на
независимый части, и, какъ увидимъ ьъ спеціальныхъ
замъткахъ, еще еъ ихъ лучеиспускательной способности
и 2) гоногтктическііі факторъ у, обусловливающей
стереометрическую фигурность путей и физическихъ
линій т.-е. линейныхъ нацѣпленій матеріальныхъ еди-
ницъ. И мы показали при этомъ, что функціональный
составь этихъ двухъ факторовъ выражается
характерными, простыми уравненіями. Для перваго имъемъ:
С=\. (53)
м
4»

— 52 —
л для второго:
Откуда получаемъ
С1/-—1 (или constant.) • - - (55)
и
•f.L = l (или constant.) ■ ■ (56)
По аналогні мы должны бы искать еще особеннаго
физическаго фактора £ съ функніональнымъ составомъ
Однако указать какія-либо специфическія проявлеыія
такого фактора въ жизни природы довольно трудно.
Да это и понятно въ виду особыхъ свойетвъ скорости V,
какъ физическаго фактора. Мы можемъ себѣ
представить массу безъ скорости, и пространство безъ массы,
но скорость внѣ^ связи съ массами и пространствомъ
недоступна для нашего воображенія. Она не можетъ ни
дробиться, ни искривляться, а только передаваться цѣ-
.шковгъ или по частявгь отъ одной массы другой и
переходить съ одного пути на новый, приводя этимъ въ
соприкосновение (т.-е. какъ бы въ слитное состоиніе,
хотя бы въ одной точкЬ) пространственно раздѣленныя-
массы и обратно разлагая ихъ на самостоятельный
единицы. Въ виду этой гвсной связи скоростей съ массами
и путями и трудно выдѣлить самостоятельный
физически! 'факторъ, который выражался бы лишь равен-
ствомъ 57-мъ. Это просто лишь „медленность движе-
нгя", величина обратно пропорциональная его скорости,
и больше ничего.
Зато, наоборотъ, физичеспіе факторы, въ составъ ко-
торыхъ входить произведете скоростей на массы или
отиошенія скоростей къ проходимому пути, играютъ,
какъ увидимъ дальше, первостепенную роль во всъхъ.
проявленіяхъ міровой жизни.

ГЛАВА IV.
Пространственные факторы фнзичеснаго ніра н нхъ
различный фазы. Модули (путевые эквиваленты) линен-
ныхъ протяжений, поверхностен и объемовъ и ноэфе-
фиціенты нхъ фигурности.
I.
Среди безконечнаго разнообразІя, а также объемовъ,
поверхностей и реберъ, опредѣляемыхъ границами фи-
зичеекихъ тѣлъ, наиболѣе простыми представляются
для нашего ума: кубическій объенъ, плоская квадратная
поверхность и прямое ребро или линія, хотя анализъ и
приводить чаще къ пирами дѣ и треугольнику, какъ
наиболѣе элементарнымъ фигурамт, для объема и
поверхности ').
Принявъ какой-нибудь ку&ичесхій объемъ (напри-
мѣръ, кубичеешй сантиметръ) за единицу для изыѣренія
■) Тавъ, ваіірниѣръ, считая ' за еннволъ днніп н прндавъ еН
элементарное (Л прнрашнніе ширины, найдемъ, что соотвѣтствующее >ле-
мѳнтарноѳ приращеніѳ поверхности dS опрелѣднтся такъ: tIS — Ш,
откуда поверхность « =\Ш — ^-Р, а тъ геомнтріп иы энаенъ что—Р,
есть енмводъ пющадн иреугол*мііка еь основаніемъ и высотой, равными).
Точно такъ же нет. днфференпівльнага равенства: ириращеніе объема
<f« = S(JI, гдѣ (Н есть яіемѳнтарное праращвніе толщины, приданной паи-
щади 5тимѣбнъ, считая пластинку по предыдущему
ортогонально-треугольной (Й^ = — ft), такое выралгеніе: овъемъ <с = Гвл<Д = —(7ад = --р,
тя.%—Р, очевидно, епмвшъ ортогональное пирамиды сь тремя ребрами I,
прилагающими къ прямому углу п по объему равной >g долѣ соотвът-
ствующвго куба 1Л.

— 54 —
всевозножныхъ объемовъ, мы вмѣстѣ съ тѣмъ еейчасъ же
получаемъ и неразрывно связанныя еъ нимъ единицы
для двухъ другихъ стере ометрическихъ факторовъ; грань
куба (т.-e.-jT- всей его поверхности, равная 1 кв.
сантиметру) будетъ естественной единицей для измѣренія
всякихъ поверхностей, а ребро куба Іт~-всѣхъ его ли-
нейныхъ контуровъ, или 1 сантиметръ) окажется
естественной единицей для измѣренія линейнихъ протя-
женШ.
П.
Путевые эквиваленты линейныхъ протяжений,
поверхностей и объемовъ.
Однако, несмотря на эту неразрывную связь между
тремя стереометрическими единицами, сами объемы,
грани и ребра физическихъ тѣлъ представляются для
ыасъ проявленіями совершенно своеобразныхъ и не-
превратимыхъ другъ въ друга стереометрическихъ
факторовъ. Мы не можемъ перейти аналитически отъ ли-
нш I къ поверхности, не придавъ сначала этой линіи
нѣкоторой элементарной ширины, т.-е. не сдѣлавъ логи-
ческаго скачка отъ абсолютной лиши, гдѣ принимается
во вниманІе линіь одна длина, къ неизмтримо узкой
поверхности dS, гдѣ уже существуетъ некоторая
элементарная ширина, способная возрастать соверніенно
самостоятельно и принимать всевозможная значеш'я въ
предѣлахъ между нулемъ и безконечноетыо. Точно такъ же
не можемъ мы перейти аналитически и отъ поверхности
къ объему, не придавъ предварительно этой
поверхности нѣкоторой элементарной толщины, т.-е. не сдвлавь
логическаго скачка отъ величины, въ которой
принимается во вниманіе лишь длина и ширина къ
элементарному объему гій^или неизмѣримо тонкой пластинкѣ,
гдѣ толщина, несмотря на ея неизмѣримость, является

— 55 —
настолько же не уничтожив ымъ аттриСутомъ, какъ и два
другія измъренія.
Воть почему, приступая къ выводу функціональнаго
состава этихъ трехъ стереометрическихъ факторовъ,
мы должны прежде всего сдѣлать существенную
оговорку.
Прямая линія I отожествляется въ евклидовой гео-
метрін съ кратчайшимъ путенъ L между двумя точками.
Но кратчайшні путь, насколько онъ возможет, въ фи-
зическомъ мірѣ, не всегда бываетъ прямой линіей. На
поверхности шара, напримѣръ, это окажется дуга его
большого круга. Точно такъ же и во многихъ другихъ
случаяхъ. Поэтому, не удаляяеь даже въ область
„неэвклидовой геометрін", приходится признать, что
„кратчайшей" путь въ природъ и прямая линія не абсолютно
одноименные факторы.
Точно такъ же и поверхность S не можетъ быть
безусловно выражаема равенствомъ.
S=lJt . (58)
гдѣ изъ двухъ множителей J, и /2 одинъ представляетъ
длину, а другой ширину равновеликаго плоскаго парал-
леллограмма (ф. 18), основаніе котораго равняется Іг, а
высота ls, такъ какъ во многихъ явленіяхъ природы
форма поверхностей (т.-е. фаза двумърнаго протяжения)
и ихъ кривизна оказываютъ очень
существенное вігіяніе при томъ
же самомъ числѣ N квадратныхъ
единицъ въ данной
поверхности физичеекаго тѣла, Притомъ
же равновеликость двухъ поверх- Фиг. ій.
ностей есть ни какъ не
равенство, а только ихъ пространственная эквивалентность.
Аналогично этому и функциональный соетавъ объема
И' нельзя отожествлять вполнѣ съ произведен!емъ трехъ
линейныхъ множителей,
.№"=/,-Ѵі (59)
т

- 56 —
представляю щи хъ длину, ширину и высоту равновели-
каго этому объему параллелепипеда (фиг. 19), такъ какъ
въ различныхъ физическихъ процессахъ, напримѣръ, при
остывапіи тѣлъ, форма объ&ча, т.-е. фаза занимаемаго
твломъ трехмѣрнаго пространства, играетъ несравненно
болѣе важную роль,
\^*^~\ h ^^^\ чѣмъ его абсолютная
\ | \ \ величина, да и въ чисто
- -Д--І—- -У- ■- -Ѵ-- \ стереометрическомъ
\ % у \ смыслѣ это не равен-
^^ '■ \Jfy^r етво, а лишь эквива-
ф .„ лентность, какъ и пре-
дыдущеее выраженіе.
Вотъ почему мы и называемъ путевые эквиваленты
L,LU и L3 не функг іональньшъ составомъ соотвѣтствую-
щихъ пространств' иныхъ факторовъ, — разстояній,
поверхностей и c'j<;MOBb, а ихъ модулями, т--е. спен'аль-
ными именованными коэффиціентамн.
Правда, что и всѣ остальные функцІональные составы
въ физикотматенатическомъ анализ* являются не болѣе
какъ специфическими коэффиціентамн,
символизирующими вліяніе соотвѣтствующихъ факторовъ. Но здѣсь
должна быть введена особая оговорка: благодаря
указанному выше неизбѣжному участію коэффиціентовъ фи-
гурности, опредѣляющихъ форму тѣлъ, общепринятыя
въ настоящее время функцІональные символы
(60) 1) ляаія (рсвро, рвяетояніе, джння) l~L (нуть)
(61) 2) поверхность й=Ь*
(62) ... . н 3) объещ. ■W = L>,
оказывающіе въ анализѣ болъшія услуги, не могутъ быть
выведены изъ безусловно снраведливыхъ при всѣхъ
обстоятельствахъ изотезическихъ равен етвъ, подобно
тому, какъ мы это сдѣлали, опредѣляя, напримѣръ,
функциональный составъ времени изъ пропорщональ-
ности между скоростями и путями (форм. 14 и 17,
на стр. 8 и 9).

— 57 —
ІП.
Путевой модуль TJ поверхностей и коэффиціенть
(f ихъ фигурноетн. Поверхностны* фазы.
Въ саномъ дѣлѣ, опредѣляя возрастаніе поверхности
S любого многоугольника по
мърѣ возрастанія одной изъ
его сторонъ I (или кратчайшаго
пути L между двумя ея
типическими точками, напримѣръ,
центромъ равновѣсія с и од- Фиг. 20.
нимъ изъ его угловъ) мы всегда
найдемъ ясно выраженную пропорціональность:
S--=P = L* ..■ (63)
пока, при. всѣхъ измѣненіяхъ величины поверхности S,
периметръ многоугольника не потеряетъ своего подобія
и сама поверхность S останется плоской, или будетъ
измѣнять радіусы своей кривизны пропорціонально измѣ-
неніямъ Ь и I, т.-е. сохранить неизмѣннымъ нѣкоторый
специфический коэффиціентъ о, опредѣляющій ея fiti-
гурность.
Чтобъ отыскать функціональный составъ этого коэф-
фидіента, возьмемъ отношение поверхностей и сторонъ
у двухъ одноі/іигурныя'ь плоскихъ многоугольниковъ,
напримѣръ, квадратовъ, съ площадями S, н S н боками
lj и I. Получимъ:
h-r {т)
или
«,= [>] V (65)
т.-е. площадь jSt всякого плоскаго многоугольника будеть
возрастать прямо пропорціонально квадрату любой изъ
его сторонъ /,, пока какой-то стереометрическш фак-
торъ съ функцІональнымъ составомъ -™- остается безъ

— 58 —
перемѣны. Но изъ самой постановки вопроса видно, что
неизмѣнной здѣсь должна быть только фигура
многоугольника или, что то же, фаза даннаго двумѣрнаго ггро-
S
тяжеыія. Значить, множитель -^ (въ выражсніп 65-мъ)
очевидно, и есть функціональный составь коэффиціснта
* поверхностной фигурности, о которой мы только что
говорили. Именно:
?= JF («•*>
а слѣдовательно, полный функціональный составь
площади шюскаго многоугольника (или грани физическаго
тѣла) можетъ быть выраженъ лишь нроизведеніемъ
квадрата одной изъ его сторонъ I (или любой линш между
двумя его типическими точками) на коэффиціентъ у его-
фигурности, опредѣленный по отношение къ этой сто-
ронѣ (или лиши Т)
S = %P (G7)
какъ это видно, внеся (6в-е) выраженіе въ
предыдущее (65).
Вотъ числовыя значенія нѣкоторыхъ коэффиціентовъ
і(>игурности для плоскихъ поверхностей, если примешь
за единицу коэффиціентъ фигурности у квадрата.
ТАБЛИЦА 1.
Полные функциональные составы нѣкоторыхъ поверх-
ноетныхъ фазъ, отнесенныхъ къ ихъ полной ширинѣ
и высотѣ.
Мамани- фазы.
I—Кнадратъ . ,
11 —Треугольв нкъ
III—Круп. ....
Ея коэффиц. фигурности
м ква&рат. ширины (*.
IP
¥
. -|j*=0,TS339...P.

— 59 —
Чтобы показать, что приведеніе функціональныхъ
составовъ для поверхностныхъ фазъ къ функціяігь ихъ
полной длины и ширины совершенно условно, мы даемъ
еще рядъ аналогичныхъ выраженій для правильныхъ
«ногоугольниковъ, гдѣ функціональныя составы выражены
въ функціяхъ одной изъ ихъ боковыхъ сторонъ (фиг- 21).
ТАБЛИЦА II.
Полные функциональные составы площадей у
правильныхъ многоугольниковъ, выраженные въ функціяхъ
одной изъ ихъ боковыхъ сторонъ.
Яітанк
фазы.
Ен.іффігц. фгщрхосяііі
(н квадрять оивроны
і) Олннііо .чні>юу/о.и>-
1 — лрии. Tpej голыші.і
11 — четыреугозыіикъ
[II ■— нятиугіиьникъ
IV — шестиугольникт. .
V— сениуголыщк'ь
VI — косьннугольннкъ
VII — деиятиугольянкт.
ѴІІГ—десятиугольника
IX — одиннадпатиугольникъ
X— двѣнадпатиугольинкъ
0,433...г*
1,0М>...Іа
1,720.-.|2
2,598...**
. 3,634...«і
. 4,828.. .1*
. 8,182...I*.
7,694...(*
. 9,364...^
11,106..J3
I
\
XII — трнддВтвінестлуіадьннк
Фнг. 21.
. 51,041.. .Р.
Если вмѣсто плоскихъ фазъ двумѣрнаго пространства,
приведенныхъ въ нашихъ таблипахъ, ны будемъ брать
вынуклыя или вогнутая фазы, то, кромѣ коэффиціснтовъ
фигурности, пришлось бы принять во вниманіе и
относительные коэффициенты * ихъ бѣгучаго искривленія
по обоимъ незавнсимымъ направленіямъ.
Функциональный составь этихъ коэффиціентовъ ны приводимъ далѣе
(форм. 76).
Такъ какъ всѣ фазы двун-врнаго протяжевія могутъ
быть по произволу трансформируемы нами въ плоскую
квадратную фазу, то очевидно, что всѣ указанные выше
коэффициенты фигурности иміштъ лишь относительный

— 60 —
характер-!,. Это—поправочные числовые множители, зпа-
ченіе которыхъ эависитъ, гкакъ мы сейчасъ видѣли, отъ
нашей точки зрѣнія; какую линію въ данномъ рядѣ ана-
.логичныхъ фигуръ мы беремъ, за независимое пере-
мѣнное. Вт. именованной части функпій остается только
модуль I. А потому, зная изъ равенства (60-го), что
l = L, получимъ на основанш формулы (67-й):
8і = чІ-*, (68)
гдѣ -я есть коэффиціентъ фигурности, численно равный
1 у квадратной поверхности и — (т.-е. отношешю
площади круга къ квадрату его діаметра) у круглой.
Значить, путемъ трапсформированія въ квадратную
фазу, мы можемъ получить для всякой поверхности
функциональный составъ, въ которомъ коэффиціетъ ?
предполагается исключеннымъ изъ обѣихъ частей преды-
дущаго равенства какъ величина постоянная
(принимая Sj — Sy):
S=I2 (69)
т.-е. квадратная фаза S всякой поверхности прямо про-
порціональна квадрату пути L по любой изъ ея четы-
рехъ сторонъ.
IV.
Путевой модуль Ls объбша и коэффиціентъ 4 тѣлее-
ной фигурноети. Объетшя фазы. ,
Въ любомъ многогранникѣ, если онъ возрастаетъ, не
измѣняя своего подобія (т.-е. пер-
/Т\ БоначальпоЙ фазы), объемъ изм-ѣ-
/ А \ няется пропорціонально третьей сте-
/ I* \ пени любого изъ его реберъ, или
N. [ jr какой угодно лиши, проведенной
>1^ между двумя его опредѣленньши
Фнр. 22. точками, напримѣръ, нентрокъ рав-
новѣсія О (фиг. 22) и одной изъ его

~ 61 —
іторонъ. Значитъ, въ случаѣ двухъ подобныхъ много-
гранниковъ им-вемъ пропорціональноеть:
откуда
W, I»
'' = [£] Ѵ (71)
Последнее равенство показываетъ, что отмѣченное
выше соотношеніе, между объемонъ W и вычерченными
въ немъ или на немъ линиями I, инѣетъ полную силу
^ - w
лишь до тъхъ поръ, пока отношеніе -^- остается безъ
перемѣны. Но иэъ самой постановки вопроса видно,
что нешмѣнной здѣсь должна оставаться лишь фигура
объема, а потому и получившаяся въ скобкахъ величина
есть ничто иное, какъ функціональный составь
коэффициента і объемной фигурности:
W
*=£ Р2)
Откуда находимъ, что полный и абсолютно
справедливый, при всѣхъ возможныхъ измѣненіяхъ этой
стереометрической величины, функціональный составъ тѣлеснаго
объема есть (на основанні выраженій 71 и 12):
W1 = ^tlt (73>
т.-е. объемъ тѣла измеряется третьей степенью длины
какой-либо линіи, проведенной между двумя его
типическими точками, помноженной на коэффиціентъ
фигурности і, определенный по отношенію къ этой же
линіи.
Вотъ полные функціональные составы нѣкоторыхъ
объемныхъ фазъ съ ихъ модулями и коэффипіентами
фигурности.

— 62 —
ТАБЛИЦА III.
Функціональные' составы и коэффиціенты фигурыоети
куба, цилиндра и шара, у которыхъ за иѣру длины,
ширины и высоты (равныхъ между собою) принять
діаметръ /0 вписаннаго шара.
п Ея финки іаналмып
™"*- шго wajMi.
1. Кі'въ 1f„3
2. Цилиадръ 0,73539...І03
3. Шарь 0,52359...(»*■
И здѣсь возможность трансформировать всякую
стереометрическую фигуру въ одну и ту же кубическую
фазу позволяетъ намъ по произволу приравнивать коэффи-
ціентъ ея фигурности къ 1.
Поэтому, замѣнивъ символъ линіи Іг {въ выраженіи 73)
ея путевымъ эквивалентомъ L, находимъ (считая И^— &W,
a Z=Z, и исключивъ затѣмъ ф изъ обѣихъ частей
равенства какъ приравнявшиеся къ единицѣ):
W.= $L*--^La (74)
т.-е. кубическая фаза всякаго объема прямо пропорціо-
нальна третьей степени пути L по одной изъ его шести
граней, какъ мы уже и говорили выше.
V.
Путевой модуль линейныхъ протяженій.
Обь этомъ модулѣ мы уже говорили выше, когда
объясняли условІя изомерности между
стереометрической линіей (или ребромъ фигуры) /, разстояшемъ г, и
путемъ L, пройденнымъ фиаическимъ тѣломъ1). Однако
въ виду важности этого модуля для дальнѣйшаго
изложения мы дадимъ здѣсь еще нѣсколько дополнительные
указаній.
<) Гл. I, § 4, стр. 15.

— 63 —
Линію и путь мы ноженъ отожествлять между собою
лишь вт. извѣстныхъ предѣлахъ. Мы можемъ, напримѣръ,
сказать, что дуга, вычерчиваемая ножкой циркуля на
бумагѣ равна пути, пройденному конпомъ этого циркуля.
Но разъ дуга достигла своей предѣльной величины —
полной окружности, дальнѣйцгія движенія циркуля
ничего къ ней не прибавятъ, какъ и ежегодныя вращенія
земного шара около солнца ничего не измѣняютъ въ
неличинѣ его орбиты, отожествляемой нами ст.
эллиптической линіей.
Точно такъ же остается неизмѣнной и длина прямой
линіи, когда вычерчивающая ее точка движется по ней
взадъ и впередъ, и этимъ дѣлаетъ данное одномѣрное
протяженіе какъ бы натеріально существующимъ и не-
проницаемымъ для посторонних!, тѣлъ, какъ спицы
быстро вертящагося колеса дѣлаютъ его какъ бы сплош-
ншгь кругомъ, сквозь который мы не можемъ
пробросить камня.
Уже одни эти принциніальныя различія между
геометрической линіей и путемъ физической точки, указы-
ваютъ на возможность введенія въ функціональные
составы линій и разстояній, выраженныхъ въ символахъ
M-L- Р'-системы, коэффиціентовъ пропорціональности,
которые мѣшали бы намъ невольно отожествлять эти
факторы. Очень часто естественнымъ коэффиціентомъ въ
этонъ случаѣ является множитель 2:
I-=2L (Щ
т.-е. физическая лшня, понимаемая въ смыслѣ ребра
фигуры или вообще какого-либо одномѣрнаго
протяжения равняется удвоенному пути L отъ е.ч средины до
одного изъ кондовъ.
Отсюда слѣдуетъ, налримѣръ, что полная длина
орбиты равна удвоенному пути L планеты отъ перигелія
къ афелію, до перемѣны знака ея движенія на
противоположный (отъ А до Д фиг. 23).

— G4 —
Если же эта орбита, вслѣдствіе постепеннаго съуже-
сія своей малой оси.
превратится въ пря-
^,—■ —^ мую линію I (фигура
\/г ^Na 24), по которой дви-
А Г Л жется теперь взадъ и
^•^ ^/ впередъ вычерчиваю-
^ *■? щая ее матсріальная
точка, то истинная дли-
Фнг. 23.
на этой кинетической
прямой, какъ безконеч-
но узкаго эллипса, окажется вдвое больше ея кажущейся
длины. Путевой модуль L теперь будстъ изомеренъ съ
кажущейся длиной, а путевой эквивалента 2І или
полный функциональный соетавъ линні, опредѣлитъ ея
Фііг. 24.
истинную длину. Вотъ почему этотъ пріемъ для измѣ-
ренія линні, а вмѣстѣ съ ними поверхностей и объе-
.човъ, оказывается особенно удобнымъ при рѣшеши нѣ-
которыхъ вопросовъ теоретической, механики.
VI.
О необходимости введенія коэффиціентовъ фигурности
въ стереометрическія фориуяы.
Коэффициенты фигурности играютъ чрезвычайно
важную роль въ нъкоторыхъ физическихъ явленіяхъ,
несмотря на возможность ихъ исключеігія изъ функціо-
нальныхъ составовъ стереометрическихъ факторовъ во
всѣхъ тѣхт. случаяхъ, когда мы имѣемъ право
эквивалентно трансформировать эти факторы въ одну и ту же
пхъ основную фазу и этимъ приравнять ихъ
коэффиціенты фигурности къ сдинидѣ или одному и тому же

— 65 —
постоянному значенію. Такъ, напримѣръ, анергія враще-
нія тѣла вокругъ оси, проходящей черезъ центръ его
тяжести (при той же самой массѣ и плотности, а, слѣ-
довательно, и объемѣ и при той же самой частотѣ обо-
ротовъ), будетъ измѣняться сгь каждыиъ измѣненіемъ
фигуры тѣла, хотя всѣ остальныя условія и остаются
постоянными.
Однако теорія пространственныхъ фазъ еще очень
мало разработана въ настоящее время. Измъненіл фи-
гуръ у объемовъ и поверхностей (особенно, у послѣд-
нихъ, гдѣ, кромѣ измѣненій контуровъ, могутъ
происходить измѣненія въ кривизнѣ самой поверхности,
ограниченной этими контурами) совершаются такими
разнообразными способами, что до сихъ поръ не удалось
аналитически выводить каждую новую пространственную
фазу изъ предыдущей. А потому и числовыя значенія ко-
уффиціентовъ фигурности (вродѣ, напримѣръ, числа ~ въ
функціональномъ составѣ площади круга zP, гдѣ I есть діа-
метръ,—или числа -?- въ функціональномъ составѣ пло-
щади треугольника -^-1!, гдѣ I—его основание и высота)
if.
представляются намъ въ настоящее время совершенно
разрозненными между собою числовыми величинами.
Мы особенно указываемъ на необходимость введенія
коэффиціентовъ фигурности при переходѣ отъ симво-
ловъ пути L къ символамъ линейныхъ протяжений,
поверхностей н объемовъ, или при обратномъ переходѣ.
Пока въ нашемъ анализѣ мы сливаемъ вмѣетѣ символы
пути и символы кратчайшаго разстоявія между двумя
пунктами, замѣняемъ поверхность S простымъ произве-
деніемъ длины на ширину,а объемъ W черезъ Р, мы
никогда не разберемся въ разнообвазныхъ числовыхъ
коэффиніентахъ, которые будутъ появляться въ нашихъ
формулахъ, несмотря ни на какіе подборы эталоновъ.
Но, вообще говоря, при качественномъ физико-мате-
матическомъ анализѣ всегда лучше обозначать простран-
■"■сновы «чепе, аннняа. э

— 66 —
ст'венные факторы ихъ спеціальными символами т.-е. /,
S и W, какъ показано выше, и считать ихъ за такіе же
основные факторы стереометрш, какими являются въ ме-
ханикѣ масса, скорость и путь.
Однако въ нвкоторыхъслучаяхъ замѣна этихъ симво-
ловъ ихъ модулями L, і* и I.3, съ допущеніекъ неиз-
мѣнности принадлежащихъ ииъ коэффиціентовъ фигур-
ности, оказываетъ несомнѣнную пользу. Дѣло въ томъ,
что очень часто при эмпирическомъ обнаруженіи гако-
новъ природы, мы не имѣемъ возможности различить
съ самаго начала, играетъ ли здѣсь активную роль
поверхность S, или вторая степень линейнаго разстоянія,—■
объемъ W, или произведете величины поверхности S на
ея раастояніе I и т. д. Замѣчая, напримѣръ, что „яркость
освѣщенія данной поверхности обратно пропорціональна
квадрату ея разстоянія отъ шаровиднаго источника
свѣта" мы легко кожемъ подумать, что активная
причина этого измѣненія въ яркости свѣта заключается
въ самонъ разстояніи.
А между тѣмъ, припомнивъ, что каждое новое
количество лучистой энергіи, испускаемой ея источникомъ
въ пространстве трехъ измѣренШ должно
распределяться, по мѣрѣ своего удаленія отъ центра излученія,
по концентрически мъ поверх но стямъ, величина кото-
рыхъ возрастаете пропорціонально квадратамъ ихъ ра-
дДусовъ, и что, такимъ образомъ, на каждую единицу
данной поверхности должно будетъ падать тЬмъ меньше
лучей, чѣмъ больше квадратъ ея разстоянія, — мы уви-
димъ, что активная причина указаннаго ослабленія свѣта
заключается лишь въ условіяхъ возрастания этихъ кон-
центрическихъ поверхностей распредѣленія, а никакъ
не въ томъ, чтобъ лучи источника терялись и угасали
по мѣрѣ ихъ удаленія отъ центра излученія. Если бъ
пространство, въ которомъ рас пред ѣляется свѣтъ было
сжато между двумя параллельными зеркалами,
отражающими всѣ падающіе на нихъ лучи, то яркость
освѣщенія въ такомъ плоекомъ полѣ была бы обратно пропор-

— 67 —
ціональна лишь первой степени разстояній отъ центра
излученія, потому что лучистая энергія проносилась бы
здѣсь лигаь бѣгучими кольцами, возрастающими пропорціо-
нально первой степени ихъ радіусовъ. А въ замкнутой
трубѣ съ абсолютно зеркальными внутренними станками
совсѣмъ не обнаружилось бы никакой потери въ
яркости освѣщенія, какъ бы далеко мы не отодвигались
отъ источника лучей.
Отсюда мы видииъ, что, хотя путь L, пройденный
лучами, самъ по себѣ и не играетъ здѣсь никакой
активной роли, однако, выразивъ величину поверхностей,
на которыхъ распредѣляется свѣтъ, въ функціяхъ этого
пути и сохранивъ сферическую фигурность этихъ
поверхностей, мы получаемъ возможность обобщить ааконъ
излученія и показать, что яркость освѣщенія X въ
зеркальной трубкѣ обратно пропорціональна нулевой
степени пути L луча: А'=-0=-1, т.-е. постоянна навсѣхъ
разстояніяхъ отъ источника свѣта; въ плоскомъ полѣ
она обратно пропорціональна первой степени пути L
луча: Х~—, а въ коническомъ (или его предѣлѣ—сфе-
рическомъ) полѣ обратно пропорціональна второй
степени этого пути: X^=-jr,p если источникомъ освѣщенія
служить точка, находящаяся въ вершинѣ конуса (или
въ центрѣ сферы). Это же самое можно сказать и о
напряженности энергіи тяготѣшя, когда среда,
передающая эту энергію, ограничена какими-либо
непроницаемыми для нея предѣлами.
5*

— 08 —
VIL
Заключеніе. Бѣгучее искривленіе поверхностей.
Заколдованный кругъ трехъ проетранетвенныхъ изив-
реній и невозможность иекривленій, который
выражались бы функпіонально степенями L, ниже L~a.
Линейный и плоскія фазы объема. Линейная и
поверхностная плотность. Возможность исключен!я
пост оянныхъ множителей изъ изотезичныхъ формулъ.
Припомнивъ, что модуль поверхности есть і2, можно
уже прямо заключить, что то типическое бѣгучее
искривленіе по двумъ не завис и мы мъ направленіямт,, которое
характеризуем вогнутый или выпуклыя (т.-е.
неспособный развертываться въ плоскости) поверхности бу-
детъ имѣть такой функціональный соетавъ:
Дѣйствительно, если бѣгучее загибаніе Yi путей
выражается, какъ мы видѣли (форм. 43, стр. 41), равен-
ствомъ -(]=уі то соотвѣтствующее искривленіе физи-
ческаго фактора съ функшональнымъ составомъ 1? бу-
детъ неизбѣжно выражаться черезъ -^=Ь~\ какъ это
и было доказано еще Гаусомъ.
Теперь намъ остается сдѣлатъ только нѣсколько со-
поставленій. Въ прошлой главѣ мы видѣли, что бѣгучее
искривленіе линій (модуль которыхъ есть £+')
выражается черезъ І-Ч —j—1 т.-е. характеризуется пе-
ремѣной знака у показателя степени того же самаго
модуля, а сейчаеъ видимъ то же самое характерное измѣ-
неніе знака и при переходѣ отъ модуля поверхности L2 къ
коэффициенту поверхностнаго искрнвленія L~\ По
аналогии съ этимъ невольно хочется допустить возможность

— 69 —
и „специфического 5>ъгучаго искрив.генія объемовъ* еъ
функціональнымъ составомъ L ~3, такъ какъ модуль
объема есть X3.
Однако здѣсь намъ пришлось бы удалиться уже въ
область метафизики, потому что бъгучимъ искривленіемъ
такого рода могли бы обладать лишь контуры предне-
товъ, не уметающихся цѣликомъ въ пространстве из-
учаемаго нами физическаго иіра.
Конечно, ны можемъ искривлять и объемы, напри-
мѣръ, свернуть въ трубку любую „плоскую пластинку".
Но не трудно видѣть, что аналитически это искривле-
ніе сводится на сумму бѣгучихъ загибаній безчисленнаго
ряда неизмеримо тонкихъ пластинокъ, изъ наслоенія
которыхъ слагается эта плоская фаза трехмѣрнаго
пространства* съ функціональнымъ составомъ: LjL^L^]. Да
и самое искривленіе такого рода (способное снова
развертываться въ плоскую пластинку) будетъ лишь одно-
сснымъ бегучимъ искривленіемъ съ функціональнымъ
составомъ 7і—"і" (фор. 44, стр. 42), потому что, будетъ ли
пластинка согнута цилиндромъ, или конусомъ, или ря-.
донъ волнистыхъ складокъ, мы всегда мошемъ провести
но ея поверхности две взаимно, перпендикулярный ли-
ніи, по одной изъ которыхъ не будетъ никакого искри-
вленія (или будетъ лишь безконечно малое), и, такимъ
образомъ, все бегучіе загибы въ зтомъ случае
определятся безусловно искривленіями второй линІи. Въ тѣхъ
же случаяхъ, когда плоская фаза L\L\ объема изогнута
не рас прям и мы мъ образомъ, напримеръ, въ видѣ купола,
мы всегда иожемъ разснатривать ея неизменную
толщину [L] какъ сложившуюся изъ безчисленнаго ряда
неизмеримо тонкихъ пластинокъ той же формы, каждая изъ
которыхъ обладавтъ лишь элементарньшъ двуоснымъ
искривленіемъ, выражающимся формулой -.^ а потому и
среднее искривленіе всей ихъ суммы (или полной
величины данной фазы двумернаго объема) определится той

— ТО-
же формулой. Для искривленія же съ функціональнымъ
составомъ X=1-r^-^L-i мы не находимъ мѣста въ
пространствѣ вселенной.
Точно такъ же, сопоставляя между собою путевые
эквиваленты у лииій Х+1, поверхностей £ + 2 и объе-
новъ і + 3, мы по аналогіи могли бы заключить о с-у-
іцествованін такихъ стереометрическихъ фактороіп.,
которые характеризовались бы путевыми эквивалентами
L + *, L + 6 и т. д. Но предметы, обладающіе такимъ
числомъ независииыхъ другъ отъ друга направлений для
пути, тоже не вмѣстились бы въ трехмѣрномъ
пространствѣ окружающей насъ природы. Такимъ образомъ
оставаясь въ предѣлахъ естеетвовѣдѣнія, ыы всегда бу-
демъ имѣть дѣло лишь съ шестью пространственными
факторами, функціональный составъ которыхъ
располагается въ такомъ порядкБ по восходящимъ стененяяъ
основнаго символа L, т.-е. путевого эквивалента,
который для насъ служить единственной мѣрой протяженні.
ТАБЛИЦА IV.
Путевые эквиваленты стереометрическихъ факторовъ.
Символы бігучаго двуоснаго искривленй (нераспря-
мнмыя випуыостн н впацнны пчверхностей).
Символы Сѣгучаго одпооспаго искривленія линіГі и
раеирямимыхтр поверхностен.
Символы отвлечеивыхъ стереометрическихъ
факторовъ.
Символы линвиныхъ протяжен*! (протяженід одного
взнѣревш).
Символы поверхностей (протяженія двухт. незавпсп-
снмыхъ нзмѣреніК).
Символы объеновъ (протяженія трехъ независнУы^ъ
измвревін).
£ + ■=(

— 71 —
Отсюда мы видимъ, что, помножывъ путевой
эквивалента какого-либо протяжения на соотвѣтствуннцій ему
путевой эквивалентъ бѣгучаго искрнвленія, мы
получав нъ отвлеченную величину:
1) Cb)"'"1(-£fc)~, = W[2'<>] линейная отвлеченность,
линейный и плосній уголъ
(ем. далѣе).
2) (Ь]) + 2(£) — * = Щ_ІР] плоскостная отвлеченность и
тѣлесный уголъ (сн. далѣе).
Но для пространства трехъ измѣреній мы не знаем-ь
соотвѣтствующаго коэффициента искривлевія, а потому
не моженъ превратить его функціонально въ
отвлеченность. Оно одно навсегда остается для наеъ реальной и
основной стереометрической величиной, тогда каігь и
поверхности и ребра являются лишь аттрибутами его
различных!, фазъ,—простыми границами между данной
стереометрической фигурой и окружаю щи мъ ее про-
странствомъ тѣхъ же трехъ измѣреній.
Собственно говоря, физико-математическій аналить и
не выходить никогда изъ пространства трехъ неаависи-
мыхъ направлений.
Подъ символомъ L3=LiLa, въ физикѣ обыкновенно
предполагается лишь плоская фаза объема, т.-е. объемъ
пластинки, не ограниченной съ боковъ определенными
предѣлами, но обладающей неизмѣнной толщиной,
которая при соотвѣтственномъ подборѣ эталоновъ, или пу-
темъ введенія соотвѣтствующаго числового
коэффиціента, можетъ быть приравнена къ единицѣ и
исключена изъ вычисленій, или даже соваычъ выброшена изъ
изотезической формулы, такъ какъ законъ изотезич-
ности неизбѣжно' требуетъ слѣдующвго: если въ одной
части равенства находится постоянный именованный
множитель, то такой же точно постоянный
множитель долженг находиться и въ другой части. Иначе
равенство потеряло бы логически смысль. Такимъ обра-
зомъ говорить, напримѣръ, о поверхностной плотности

— 72 -
2'.^или, вѣрнѣе, щц]>
—*- 07)
выражая ею обыкновенную плотность слоя жидкости
или газа, когда по условіямъ задачи ихъ можно
сокращать нли расширять только съ боковъ, оставляя
толщину неизмѣнной.
Точно такъ же подъ символомъ линейнаго протяженія
/, очень часто понимаютъ просто линейную фиту объема,
l==L[P]—-l[S]
гдѣ измѣняется только длина L, а поперечное сѣченіе
L2-—S остается по^условіяиъ задачи безъ перемѣны.
Вт. атомъ сныслѣ говорятъ, напримѣръ о линейноН
платности
*>=Г (7«)
упругой среды, заключенной въ трубкѣ опредѣленнаго
діаметра и сдавливаемой поршнемъ. Читатель видитъ,
что это та же самая обыкновенная плотность, но
зависящая функміонально лишь отъ одного протяженія. Раз-
дѣливъ обѣ части равенства на постоянный множитель
[-/-2J, и придемъ сейчасъ же къ обычной плотности:
в=ііа\=цщ <79)

ГЛАВА V.
Важнѣйініе нзъ лронзводныхъ фанторовъ ін'ровой
механики.
'Гота, кто не знаетт. функвіоиаль-
чідѵь соотношеяііі между различными
физическими факторами, не мохстъ
пяѣть о ніисъ опредѣ.іенныѵь прм-
стаиденій.
I.
Въ физико - математическомъ аналиаѣ очень рѣлко
приходится имѣть дѣло исключительно съ
элементарными факторами. Наиболѣе ясно и отчетливо понимаются
нами многообразный соотпошенія между различными
явленіями окружающей природы, когда мы сводимъ ихъ
къ дѣятельности болѣе сложныхъ физическихъ факто-
ровъ, которые, въ свою очередь, функционально
производятся отъ элементарныхъ, основныхь факторовъ. Позна-
кохимсл съ нѣкоторыми изъ нихъ.
II.
Плотность і>. РаарѣженнОсть Л-1.
Обыденный опытъ убѣждаетъ насъ, что, при
неизменности остальныхъ условій, объемъ W однороднаго
тѣла возрастаетъ пропорціонально его массѣ М, и на-
оборотъ. Слѣдовательно, для двухъ ра&шчныхъ твлъ
(изъ которыхъ каждое однородно) можемъ написать:

- 74 —
т.-е. при неизыѣнности всѣхъ остальныхъ условій, масса
Л/, одного тѣла относится къ массѣ М другого, какъ
объемъ Ц\ перваго къ объему Ж второго тѣла. Отсюда
находимъ путемъ простой перестановки:
М#]'
»Г. (Ш)
Это значитъ, что пасса Afj вообще можетъ быть
численно приравнена къ занимаемому ею объему ІГ„ если
какой-то физическій факторъ съ функціональныиъ сѵ-
М
ставомъ -^ принимаетъ постоягаюе значеніе (что мы и
символизировали по условно угловатыми скобками). Не
трудно убѣдиться, что такилъ факторомъ можетъ быть
лишь плотность физическихъ тѣлъ, или количество и.\ъ
массы въ единицѣ объема. Только при неизмѣнной
плотности тѣла и можно опредѣлять его массу по объему,
какъ, напримѣръ, это дѣлаютъ, измѣряя количество
жидкости литрами (кубическими дециметрами). Отсюда ясно,
что функциональный составъ плотности It, какъ мы
вывели уже ранѣе другимъ способомъ (форм. 23, стр. IS),
есть:
Но мы знаемъ изъ предыдуціаго, что функциональный
составъ объема W (см. форм. 74, стр. 62), есть W-=hL3,
гдѣ ф есть коэффиціентъ объемной фигурноети тѣла.
Если мы условимся считать этотъ коэффиціентъ (въ слу-
чаѣ кубическаго объема) равнымъ 1 и замѣнимъ ребро
куба I его путевымъ эквивалентомъ L, то полу чи мъ
просто:
*=£" '■ ■ т
т.-е. плотность всякаго кубическаго тѣла (или приве-
деннаго мысленно къ кубу) опредѣляется путемъ раз-
дѣленія его массы М на третью степень длины любого
изъ его реберъ.

— 75 —
Бъ нъкоторыхъ случаяхъ плотность можно относить
и не къ объемамъ, а къ новерхноетянгь. Такъ, говоря о
п.юмности населенія, считаютъ ее пряно пропорщо-
нальной „массѣ народа" (определяемой въ данномъ слу-
чаѣ числомъ индивидуумовъ) и обратно пропорциональной
поверхности страны, въ которой живетъ этотъ народъ.
Это будетъ поверхностная плотность 1)„ которую нельзя
смѣшивать съ предыдущейJ). Ея функциональный составь,
очевидно:
".=£=£ <*»
Аналогично можно говорить и о „тш-йной плотности I,
напринѣръ, струны, или нити, или ряда отдѣльныхъ ма-
теріальныхъ единицъ, считач у нихъ перемѣнной
величиной лишь одну длину, а толщину разъ навсегда не-
измѣнной.
г-г т
Факторъ, обратный плотности есть разргьженность,
которая, следовательно, можетъ быть тоже трехъ родовъ.
і) С'обствевио говоря такая случай слѣдовал) бы называть ве п.ют-
нотіш, а /■/.учснногтыо а выражать эту своеобразную именованную
величину отпошеніемъ числа -V огіноп.пенмылг /тзйяльнвегаек къ
пространству, въ которомъ сон заключены. Пъ гакомъ сдучаѣ получились бы
фувкн.іональпые составы:
1) ^l —объемная екученноеть, ванрнмѣръ, число X молекулъ газа
въ объеиѣ L3; оно, каы. ихвѣство, не зависигъ огъ .маесы. кавдоІІ
данной молекулы.
•>) '-л — ппві'і?А-но?іі>шія екученноешь, напримѣрі., число -V людей
на поверхности TJ, считаемое независимо оть ихъ иола я возраста,
у
3)^.- — і>ніІовая рндчсниость. напрнмѣръ, числоX дереньевь на дан-
номъ протяжевін одпон изъ двугь стороиъ аллеи.
Факторы, обратные этнмъ тремъ родамъ скученности, прннтлось бы
назвать соотвѣтствуюіаими тремя родаям раЬбраеанхоетм.

— 76 —
Функціоналышй составь объе.пноіі разреженности бу-
детъ, очевидно:
—і -S ««'
ш.
Продолжительность физическаго явленія. Промежу-
токть времени Т.
Пусть твло движется взадъ и впередъ, какъ маятникъ
часовъ]), постоянно возвращаясь въ ту же точку. Время
Т этого возвращения при равныхъ среднихъ скоростяхъ,
очевидно, будетъ прямо пропорціонально удвоенной длинѣ
размаха L, а при одинаковыхъ размахахъ обратно
пропорціонально средней скорости V движенія. Ни отъ чего
другого изслѣдуемое явленіе не будетъ зависеть.
Значить, имѣемъ прямо:
Т=~ (86)
т.-е. промежутокъ времени Т между двумя тожествен-
ними событіями (въ данномъ случаѣ возвращеніями
тѣла въ прежнее мѣсто) прямо пропорціоналенъ
удвоенному протяженію L, на которое оно успѣло бы
удалиться отъ начальной, точки, и обратно
пропорціоналенъ средней скорости V его движенія' при такомъ
удаленіи.
Совершенно къ этому же результату мы были
приведены уже иранѣе другимъ способомъ (форм. 17, стр. 9).
Числовой коэффиніентъ 2, полученный нами въ этой
формулѣ очень важенъ въ теоретическомъ отноменіи.
') Замѣтняъ, между протнмъ, что секундмымъ яаятникомъ на прак-
тиеѣ неудачно вазываюгъ такой, который соверш&еі'ъ лишь один*
отдельный размахъ въ секунду, тогда какъ теоретически елѣдовало бы
называть этвмъ именемъ маятникъ, совершаюіцін два размаха— взадъ п
впередъ, какъ ото принято прн всѣхъ волпообразиыхъ дввженіяіъ, для
совершения шинаго коіебаяія, т.-е. возвращенія молекулы въ ту же
точку.

— 77 —
Читатель увидитъ скоро, что изъ него естественно
выведется и коэффиціентъ -х- при функціональномъ соетавѣ
энергіи -х-ЖѴ3.
Если дъло идетъ о времени оборота вращающагося
тѣла, то можно еще написать:
т=^ (87)
т.-е. время обращенія каждой точки тѣла около ея
центра вращенія обратно пропорціонально ея скорости
движеігія V и бѣгучему загибанію у, ея орбиты, и болѣе
ни отъ чего не зависитъ. Коэффиціентъ 2 въ этой фор-
мулѣ показываетъ, что время Т обращенія считается
здѣсь полуоборотами, т.-с. промежутками, послѣ которыхъ
каждый діаметръ-векторъ цѣликомъ налагается на
первоначальное положеніе, или когда пара равныхъ маесъ
обращающихся вокругъ общаго центра тя-
готѣнія, пространственно замѣщаютъ
другъ друга (фиг. 25). Этоть случай
является естественной единицей въ
механикѣ, какъбудетъвидно изъ даль-
нѣйшаго изложенія. Для того, чтобы
убѣдиться въ справедливости
формулы (87-й) припомнимъ только, ^ г
что функціональный составъ бѣ- Фпг. %ь.
гучаго загибанія у (стр. 70, табл.
4-я) есть' y=-f -Внеся это значеніе въ предыдущую
(86-ю) формулу, получаемъ:
Г=^ (88)
Но это и есть тотъ самый функщональный составъ
продолжительности Т явленія, который мы уже
установили ранѣе (выраж. 86).
V

— 78 —
Отсюда видно, что знавіе функціональнаго состава
физическихъ факторовъ можетъ служить превосходнымъ
средствомъ для провѣрки формулъ, безусловная
справедливость которыхъ не очевидна для насъ съ перваго
взгляда.
Хотя время, какъ мы уже говорили ранѣе и есть
факторъ, носящій наиболѣе психологическую окраску,
и его теченіе не одинаково быстро для различныхъ
людей и даже для того же самаго человѣка въ различныхъ
условіяхъ его жизни, однако безъ представленія о немъ
мы не могли бы оріентироваться среди историческихъ
событій. Здѣсь оно прибавляегь къ тремъ простран--
ственнымъ координатамъ тѣлъ—длинѣ, ширинѣ и
высоте, еще четвертую координату—продолжительность
ихъ существования. Безъ этого, такъ сказать,
четвертого измщенія ніра, по которому мы ножемъ двигаться
лишь все впередъ и впередь, для насъ невозможно рас-
предѣлить въ своемъ воображевіи различный явленія
окружающей насъ ніровой жизни и установить всѣ со-
отношенія между ними.
IV.
Частота новтореній U. (Frequency).
Если какое-нибудь событіе или физическое явленіе
возобновляется периодически, то частота его
повторений будетъ обратно пропорщональна промежутку
времени Т между двумя его очередными вож5новленія.ии.
Ни отъ чего другого она зависѣть не можетъ. Однако
самое чередованіе возобновлен^ мы можемъ отмѣчать
различно: и по одному событію и по два сряду. Въ ки-
нетическихъ явленіяхъ (каковы, напримѣръ, колебанія
маятника или движенія вибрирующаго тѣла) удобнѣе
всего отмѣчать время Т возвращенія тѣла къ
первоначальному положенію въ пространствѣ, что соотвѣтствуетъ
двумъ совершенно тожественныиъ путямъ, характери-

— 79 —
зующимся противоположными знаками (размахъ
маятника впередъ и назадъ, прохожденіе полуорбиты въ одну
сторону и прохожденіе полуорбиты въ обратную сторону
и т. д.), какъ мы и опредъ'ляли въ предыдущемъ пара-
графѣ. йтакъ, имѣенъ формулу:
*=4
(89)
Но само время, какъ мы знаемъ изъ предыдущаго
(форм. 86-я) обладаетъ функціоналышмъ составомъ
Т= , слѣдовательно:
и 2L 2
L'
(90)
ШфШШШЖ
■м
Это и будетъ полныиъ функціональвынъ составомъ
частоты повтореііій U. Въ наипростѣйшемъ вид$ этотъ
физическій факторъ проявляется въ ыетаніяхъ взадъ и
впередъ абсолютно упругаго ншрика М между двумя
параллельными пластинками (ф. 26
Л и В) по перпендикуляру къ
каждой. Если обѣ пластинки тоже
абсолютно упруги, и движеніе шарика
происходить въ дали планеть, въ
безвоздушномъ пространствѣ, то
такой шарикъ никогда не остановится
и частота его ударовъ о пластинку Л
(или о пластинку Б) будетъ (какъ и
указываете только что выведенная
формула) прямо пропордіональна
скорости Рдвиженія шарика, и обратно
прѳпорціональна удвоенному пути
L между обѣими пластинками. Теперь намъ
понятно, почему въ нашей форнулѣ (90-й), а также и въ
формулѣ времени (86-й), которое обратно - пропорщо-
пальпо частотѣ, именно и должно быть 2Х, а не просто L.
Дал-ве мы увидинъ (какъ уже и замѣтили въ
предыдущемъ параграфѣ), что благодаря этому обстоятельству и
&чччктчздщ^
Фиг. 26.

— 80 —
долженъ будетъ появиться характерный числовой ко-
эффиціентъ -„- при установленІв кинетической теоріи
различить видоизмѣненій энергін и силы (форм. 136).
Фичическій факторъ частота повтореній играетъ
очень важную роль въ физическихъ явленіяхъ:
несравненно большую чѣмъ самъ факторъ времени. Къ
нему сводятся:
А.—Частота оборотов!, и „угловая скорость" вращающагося
тЬіа. Частота оборотовъ
'с=Й <М>
очевидно возрастаетъ прямо пропорціонально скорости Ѵ1
движенія данной точки твла по ея круговой орбитѣ и
обратно пропорціонально длинѣ 2І, двухъ
полуокружностей: прямой и возвратной. Но сама полуокружность Ьг
возрастаетъ пропорціонально ея радіусу 10, и
геометрически опредѣляетея, какъ £і=Ц). Значить, вмѣсто
предыдущего можемъ написать:
Гго=Д- (92)
Л такъ какъ па практикѣ измѣрять радіусъ !0 орбиты
несравненно легче, чѣмъ вымаривать соотвѣтствующій ему
кривой путь L,, то чистоту оборотовъ U0 и приходится
определять обыкновенно (когда нельзя прямо отмѣтить
время оборота на оспованіи форм. 89-й) по этой
последней формулѣ, а не по предыдущей 91-й.
Очевидно, что частота оборотовъ есть лишь особый
способъ обозначенІя „угловой скорости" вращающихся
тѣлъ. Но изъ самой разницы въ функціональномъ со-
у
ставѣ обычной V и угловой ~у — скоростей, читатель
■видеть, что „угловая скорость" не имѣеть ничего общаго,
кромѣ названія, съ обыкновенной скоростью. Простой
взглядъ на послѣдиее выраженіе (92-е) показываетъ, что
при той же самой поступательной скорости V движенія

ЧАСТОТА
волнообровныхъ колебаній, доступныхъ человіческинъ органамъ чувствъ или изученныхъ съ
помощью физическихъ инструментов-!,.
(За оютпу дрнвято тиебавіе, соотнѣтетнующее качавію секувдпаго наятвява).
я
§
Я
О
а
"Р
о
•о
Коівбавія
Тмлоон ■ хиЯв-
ЬшімоѵьЗАвнлл
аь atfv. іокТ-
гнни для иоикй).
ѴлИрян)но»т,
Нааваніе тововъ.
Чвеіо поіпыхь хоіебапій іъ секуяку иі частота
повгорепіи водяъ.
Трвиіовы. Вниіовы. ' Шмюші. Еіннипы
Абсолютный основной тонъ.
1 мтім
! : ::::::::::::::
* .
I;
10 актам
И -
12
18 !
и
и I
18 ,
» .
20 аятам
21 .
22 ,
23
24 „
s :
S :
30 онтаве
& :
зз .
34 :
36 ,
38 .
37 .
38 ,
38 „
40 онтаяа
41 ,
42 ,
43 „
44 .
« *
« -
47 ,
48 ,
48 ,
60 онтава
61 ,
52 .
63 ,
64 „
17
36
70
140
2Ѳ1
362
ев
8
«
63
84
«
ѳѳ
Ѳ7
■WIM
1
2
4
Ѳ
1В
зв
73
147
1.125
2.261
4.603
9.007
18.014
•мн
72.067
144.11В
28В.230
576.460
152.821
305.843
вішв
223.372
446.744
893.488
786.876
673.962
1
2
4
8
16
33
87
134
268
636
1.073'
2.147
4.294
8.5н9
17.178
34.3G9
68.718
137.43В
274.877
649.766
099.511
199.023
398.046
796.093
692.186
184.372
368.744
737.48В
474.878
949.963
899.906
799.813
699.627
199.264
398.509
тиви
594.037
188.076
376.151
752.303
604.606
009.213
018.427
036.854
073.709
147.419
294.838
689.878
1
2
4
В
18
32
64
128
258
612
1.024
2.04В
4.098
8.192
16.384
32.78В
65.636
131.072
262.144
624.286
04В.676
097.152
194.304
388.808
777.218
664.432
108.864
217.728
435.466
870.912
741.624
4В3.64В
967.288
934.592
869.184
738.368
476.738
963.472
906.944
813.ѲВВ
627.776
255.552
511.104
022.208
044.418
088.832
177.664
З.І5.328
710.658
421.312
842.624
686.248
370.496
740.992
481.984
827.938
85Б.В72
711.744
423.468
846.976
893.962
387.804
77БЯ0В
651.618
103.232
208.464
412.928
Кмвбвяія
атмосферы
земного шара.
Наввакіе тоновъ.
Трідііовы. Бвлііоны. Милями. Еіивипы
Чявао nojBum колвбаяШ въ свхувіу ял чаотота
повторена водвъ.
О
П
Р
Чвіовічвоков уіо ошущавгь коіебавіе атяюоферы яг вндй муаыкал,ныхъ тововъ въ,ирвд*иі1п> Messy 18 в 38.000 коів-
flasil иъ ввкуяіу (окодо 11 октаиі.
Чыоіѣчеокій гжвъ ошущаетъ въ вядв лучеі сита коіеОавіл кооиитеевато вввра п врвкбівхъ ыежіу 460 бкиіововъ
волебавів въ еввувіу («раВнів красный цвѣтъ) я 780 Йіиіоівмн (крайяій фіоіетовыН цвѣгь)—одва октава.
Чвіояічевяая кожа оідущавтъ кмебавів восиятоаваго вевра нему 36 бвігіонанн я 700 биідіовмв коіевввіі въ оввуиду
въ вт* дучютоВ твшотн—пять октанъ.

-81 -
точки (даже по круговой орбитѣ), ея „угловая скорость"
будеть приникать всевозможная значенія въ зависимости
отъ длины радіуса-вектора Іа ея орбиты. Значить,
истинное названіе для „угловой скорости"—это частота
повторены и больше ничего. Однако сани повторения мо-
гутъ отмѣчатьсл различно. Мы вхь до сихъ поръ
отсчитывали по прохожденіяиъ полной окружности 2rJe
(т.-ё. въ 360°). Но полная окружность при простомъ вра-
щательнонъ движенні одинокаго тѣла нграетъ такъ же
мало роли, какъ и всякая другая дуга, потону что
круговой путь ножетъ непрерывно возрастать на сколько
угодно окружностей. Поэтому при определены!
абсолютной единицы для „угловой скорости", мы ноженъ вы-
Гірать вмѣсто длины полной окружности 2я/0 лишь
некоторую ея долю, напринѣръ, равную самому радіусу, Та-
кая дуга, какъ известно соотвѣтствуетъ углу въ-^—
Отсюда невольно кажется, что .угловая скорость"
ножетъ быть a priori опредѣлена, какъ частота про-
хоаюденія точки,
несущейся по орбитѣ, черезъ по-
слъдодовательныераЙаны
т.-е. углы г въ 57°29578,
независимо отъ того,
движется ли точка по
круговой, эллиптической,
параболической,
гиперболической, спиральной (фип27Х
или каноЙ - либо иной
орбитѣ. Во веѣхъ послѣд- ф«г.,27.
нихъ случаяжъ для онре-
дѣленія угловой скорости по формулѣ 92-й, придется
брать для подстановки влѣсто символа h не саэга
истинные иути, а ихъ слагаюшія по круговой орбитѣ.
Изъ веѣхъ этихъ опредѣленій видно, что частота
Ѵг прохожденій черезъ радііти (или „угловая скорость")
Основы качеств, лнзлшй- "

— 82 —
всегда будетъ въ 2ъ разъ больше, чѣмъ частота Ег0 про-
хожденій черезъ полную окружность (т.-е. шмъ частота
оборотовъ):
(7,= 2ігІГо = в,28318...Г0 .■ (93)
А слѣдоватвльно, ея функціовальный составь (ва
основаніи формулы 92-й) будетъ
*.-*(*У-ц (!,4>
Въ виду того, что въ этомъ функціональномъ составѣ
отсутствуютъ всякіѳ ирраці овальные коэффициенты, пред-
почитаютъ измѣрять круговыя движенія радшнными
единицами, т.-е. отмѣчать частоту прохождений черезъ
последовательные радіаны или углы въ 57*29578..., а не
чѳрѳзъ полную окружность.
Однако, сравнивая послѣднюю (94-ю) формулу съ вы-
веденвынъ вами теоретически (въ выраж. 90-иъ) функ-
щ'овальнымъ составоиъ для частоты повтореній, нмѣю-
щимъ видь
мы замѣчаенъ &гѣсь важное несоотвѣтетвіе. Формула 94-я
т.-е. частота прохождевій черезъ поелѣдовательвын
радіаны, мнѣетъ удвоенный функціональный составь, т.-е.
какь бы показываеть намъ, что подъ видомъ каждаго
отдѣльяаго прохождения черезъ радіанъ, мы на самомъ
дѣлѣ, безсознательно, измѣряемъ цѣлыхъ два. Такъ
действительно и есть. Въ природѣ, а следовательно, и въ
раціональной мѳхавикѣ, не можетъ быть одинокое
массы, или точки, обращающейся вокругъ какого-либо
ничѣмъ не уравновѣшевнаго пункта въ
пространств*, какь не можетъ быть я цѣльнаго матеріальнаго
радіуса, вращающагося вокругъ своего, ни ва что не
опирающегося конца. Всегда мы находимъ въ эле-
ментарномъ случаѣ двѣ массы или двѣ точки, обра-
щающіяся вокругъ общаг о центра тяготѣнія, или мо-

— 83 —
жемъ выдѣпить цѣльный діаметръ, обращающійся
вокругъ своего центра тяжести. Значить, каждому
свободному прохожденію черезъ „радіаньг" одной какой-либо
массы или точки, соотвѣтствуетъ еще такое же прохо-
жденіе череэъ этотъ самый радіанъ второй уравновѣши-
вающей ее массы или точки. Это и показываетъ намъ
формула 94-я. Давая удвоенный функціональный составь
для частоты прохожденій черезъ последовательные ра-
діяны, она какъ бы говорить намъ: не забывайте, что
во всякомъ свободнонъ вращеніи вы имѣете дѣло
непременно съ двумя частотами прохождение, равными
другъ другу и сливающимися вмѣстѣ. Значить, на
каждую отдельную отиѣтку прохожденія данной точки
черезъ радіанъ, предполагайте такое же прохождение
черезъ него другой уравновешивающей ее точки:
одинокая матеріальная точка пошла бы по ннерціи прямо,
а потому не было бы и прохожденій черезъ радіаны.
Это очень важная поправка при анализѣ физическихъ
лвленій съ точки зрѣнія теоретической механики.
Понятно также, что на практик* удобнѣе всего отмѣ-
чать этотъ физически факторъ, какъ величину обратно
пропорціональную времени Тг прохожденія движущейся
точкой одного радіана (на основаніи выраженІя 89-го),
Т.
но при этомъ нужно брать уже -^ потому что прохо-
шденіе полной окружности обѣими уравновешивающими
другъ друга массами совершается въ половину того
времени, которое мы отмѣчаемъ по прохожденію одной
взъ нихъ:
и>-х (9б)
Кром-в того, припомнивъ (стр. 4І выраж. 45), что
функціональный составь бкгучаго загыбанія путей
у( = -=- можно (въ случаѣ круговой орбиты, гдѣ центръ
''о

— 84 —
загибанія совпадаегь съ фокусомъ обращенія) написать,
на основаніи формулы 94-й:
и-=тгк'ѵ-ъѵ т
т.-е. „угловая скорость" обращательнаго движенія
данной точки пряно пропорціональна произведенію бѣ-
гучаго загибанія ~[л ея орбиты на скорость V поступа-
тельнаго движенія точки. При вращеніи твердыхъ тѣлъ,
гдѣ частота Ѵ0 прохожденія черезъ радіанъ одна и
та же для каждой точки, произведете ?, V будетъ
постоянно.
В.— „высота я тенбръ музыкальнаго тона". Высота тона
определяется частотой раздраженія нашихъ слуховыхъ
органовъ звуковыми волнами воздуха, передающимися въ
жидкость нашей ушной улитки, и вызывающими отвѣт-
ныя колебанія въ той или другой изъ 4—5 тысячъ
струнокъ нашего кортіеваго органа внутри уха-
Частота этихъ ударовъ обыкновенно распадается" на
нѣсколько отдѣльныхъ чередованій: частота наиболѣе
крупныхъ волнъ называется основнымъ тономъ, а со-
провождающихъ его болѣе мелкихь колебаній (наломи-
нающихъ мелкую рябь на поверхности большихъ ва-
ловъ)—обертонами. Обертоны всегда бываютъ различны
у различныхъ источников^ звука, и отъ этого
происходить разница въ ихъ тембрахъ. Значить, тембръ имѣетъ
функціональный составь
2F-.Gi+F1-ftra+Ds+ (97>
гдѣ 1(7 обозначаетъ сумму всѣхъ частотъ даннаго тембра
(Ѵ0—основной тонъ, а остальные V его
последовательные обертоны). Такъ какъ сумма слагаемыхъ всегда
имѣетъ тоть же функциональный составь, какъ и каждое
изъ этихъ слагаемыхъ, то при приведете- къ основнымъ
единицамъ въ M-L-V сисгемѣ мы и здЬсь получимъ,
какъ въ формулѣ (90-й),
w=u- : <9*>

- 85 —
С. — Цвітъ простыхъ свѣтовыкъ луче*. Разложеніе бѣлаго
ѵсвѣтаа призмой показываетъ, что соответствующее ему
впечатлѣніе бѣлаго цвѣта вызывается въ нашемъ глазѣ
сумной отдѣльныхъ волпообразныхъ деформацій евъто-
носной сведы, изъ которыхъ каждая характеризуется
особой частотой атомныхъ вибрацій у источника свѣта.
Такимъ образомъ и здѣсь, какъ въ звукв, мы паходвмъ
и отдѣльные топы (простые цвѣта) и игь суммирование
по аѣскольку вмѣстѣ, которое даетъ различные свѣтовые
тембры. Къ сожалѣнію, въ нашемъ глазѣ нѣтъ такого
разнообразІя восприпнмающихъ первовъ, какъ въ ухѣ,
а потому мы и не можемъ отличить большинства тем-
бровыхъ освѣщеній, отъ освѣщенія тѣмъ или другимъ
изъ эленентарныхъ свѣтовыхъ тоновъ. Такъ, напринѣръ,
смѣсь краспыхъ тоновъ съ желтыми, кажется намъ
совершенно такою же, какъ и элементарный желтый тонъ,
и вся игра цвѣтовъ сводится для насъ лишь къ равно-
вѣсно между отдѣльныни частотами раздраженій у
трехъ родовъ свътовоспринимающихъ нервовъ сѣтчатой
оболочки нашего глаза (вѣроятно, не вполнѣ тожествен-
ныхъ по химическому составу). Но какъ бы то ни'было,
функциональный составь нашихъ свѣтовыхъ впечатлѣній
тотъ же самый, чтб н у слуховыхъ т.-е. сводится къ
частот в повторения.
Въ спеціальныхъ отдѣлахъ мы увидимъ и друіте
случаи проявленія частоты повторения, какъ своеобраз-
наго фактора въ жизни природы.
Абсолютной единицей [£'] = ! частоты повтореній
служить разъ въ секунду. Октавой (въ музыкѣ) называется
удвоенная частота колебаній, сравнительно съ какой-
либо предыдущей, принятой за основной тонъ. Въ
прилагаемой таблицѣ (табл. V) приведет, для обраачика
рядъ послѣдовательныхъ октавъ и частотъ для волно-
образныхъ движеній воздуха и свѣтоносной среды,такъ
какъ онѣ .играютъ въ природѣ чрезвычайно важную
роль.

- 86 —
V.
Количество движенія или элементарный силовой им-
пульеъ — J.
Наблюдая столкновеніе двухъ упругихъ шаровъ при
ихъ центральныхъ ударахъ, мы замѣтимъ, что каждый
изъ нихъ отскакиваетъ обратно съ сохраненіемъ своей
прежней скорости {кромѣ ея знака* который, скорѣе,
относится не къ самой скорости, а къ направленію
пути), лишь въ томъ случаѣ, если ихъ массы М1 и М3
находились въ обратиомъ отношеніи къ ихъ скоростямъ
Ѵг и Fa, т.-е. если имѣла мѣсто пропорцюнальностъ:
5=т; '■ ■ ■ ■<">
Здъсь въ виду обратноети отношеніи въ обвихъ
частяхъ равенства мы не можеиъ выделить новаго фи-
зическаго фактора по тому же способу, который
употребляли ранѣе, т.-е- численно пр праве явь массу Мг
къ ея же скорости Ѵг и выдѣливъ Mz и Ѵг въ видѣ
особаго отношенія, какъ это указано во введен! и
(форм. 15, стр. 8). Но зато мы можеиъ соединить здѣсь
каждую массу съ ея собственной скоростью въ одинъ
сложный множитель:
ЫіѴ^Ы^ (100)
Мы видимъ, что получилось равенство двухъ одно-
именныхъ величинъ, т.-е. двухъ значеній одного и того
же физическаго фактора съ функціональнымъ соста-
вомъ МѴ. Этотъ факторъ называется количествомъ
движенія, или элементарными силовымъ импульсомъ. Уже
по одному способу полученія его функціональнаго
состава мы видимъ, что это—факторъ равноеѣсія, или
абсолютной эквивалентности движущихся твдъ: два
количества движенія будутъ въ полномъ равнов-веш, и два
столкнувшіеся упругіе шара вполнѣ обмѣняются своими

- 87 —
скоростями лишь до тѣхъ поръ, пока произведете массы
одного изъ этихъ шаровъ на его собственную скорость
то же самое, что и у другого, а поверхности обоихъ
абсолютно скользки, чтобъ при боковонъ ударѣ не
произошло вращенія.
Итакъ, функциональный составъ количества двиокенія
или эленентарнаго гилового импульса / есть:
■7 = МѴ (101)
VI.
Сила — F и ея проявленія.
Если градъ послѣдовательныхъ количествъ двѣже-
ьія Jj и .І3 падаетъ по нормали на упругую пластинку S
(фиг. 28) съ той и съ другой стороны, то пластинка S
не пріобрѣтетъ поступательнаго движенія лишь въ томъ
случаѣ, если частоты повторенія Ѵ1 и Ет2 обоихъ ко-
Фиг. 2а
аичествъ движенія' (или, что все равно, частоты ударовъ
по единикЬ новерхности пластинки) будутъ въ обрат-
номъ отношеніи къ среднимъ величинамъ самихъ эле-
нентарныхъ количествъ движенія Jj и Jt.
Значитъ, нмѣемъ новую закономѣрность:
->=Ъ (102)
./2 с,

— 88 —
Откуда путемъ перестановки ириходимъ къ равенству
двухъ одноименныхъ величинъ съ функціональнымъ со-
ставомъ JU:
Jxl\=JtUt (103)
Эти величины представляютъ изъ себя ни что иное,
какъ два эквивалентный значенія того же еамаго физи-
чеекаго фактора называемаго силою, а только что
написанное равенство выражаетъ случай равновѣеія двухъ
силъ, изъ которыхъ одна F1=^'£J1Ul какъ бы давиті,
на пластинку справа, a F2 — 2J2 U2 какъ бы давить
слѣва (потому что всякое „давленіе" есть лишь физіоло-
гическое ощущеніе механической силы, гдѣ элементарные
силовые импульсы JU сливаются для нашего сознанія
между собою). Изъ формулы (103-й) мы видимъ, что
такое равновѣсіе бываетъ всякій разъ, когда произведете
средняго количества движенія на частоту его повторе-
ній у одной силы равно и противоположно такому же
произведенію у другой силы. Если же этого равенства
нѣтъ, то тѣло двинется ускорительнымъ образомъ по
направленію наибольшаго града падающихъ на него ко-
личествъ движенія.
Отсюда мы инѣемъ право заключить, что и всякая
физическая сила, т.-е. факторъ способный привести въ
движеніе физическія тѣла (напримѣръ, сила тяготѣнія,
электричеекія и нагнитныя силы и т. д.), должна имѣть
одинъ и тотъ же функциональный составь
F=JU (104)
т.-е. обусловливаться какими-нибудь явными, или еще
скрытыми отъ насъ, количествами движенія,
повторяющимися съ извѣстной частотой. Безъ тожественности
функціональнаго состава, физическія силы не могли бы
оказываться эквивалентными другъ другу, какъ время,
напримѣръ, не можетъ быть эквивалентнымъ массѣ. Вотъ
почему мы и называемъ количество движенія J—элемен-
тарнымъ силовынъ импульсомъ. Говорить о силахъ
какого-либо другого происхожденія—значить удаляться въ

- 89 -
область метафизики, и, такинъ образомъ, исключать
этотъ важный факторъ изъ того круга явленіЙ природы,
которыми занимается нашъ качественный физико-
математике екій анализъ.
Зная изъ предыдущаго (форм. 101, стр. 87), что
количество движенія определяется равенствоиъ J—2IV,
и внеся- это въ только что полученную нами
формулу 103-ю, увндимъ, что фуыкціональный составъ силы
можно выразить еще такъ:
F=- MV-U (ІОГі)
Это—самая лучшая формула для разложенія силы на
болѣе первоначальные физическіе факторы, и мы будемъ
часто пользоваться ею при ашлпзѣ сложныхъ явленій
природы. Если же мы пожелаемъ привести функщ'с-
нальный составъ силы къ тремъ основнымъ факторамъ
въ M-Ij-V системѣ, то (зная изъ формулы 90-й, что
U— -^у-у найдемъ:
Всякая сила (или проявленіе согласно дѣйетвующихъ
колйчествъ движенія) обнаруживаемся въ природѣ, или
какъ факторъ, стремящійся вызвать поступательное
движете у неподвижныхъ предметовъ и увеличивать
скорость этого движенія въ геометрической прогрессш по
нѣрѣ возрастанія пройденнаго твлокъ пути, или, наобо-
ротъ, какъ факторт* задерживающвЗ разъ начатое
движете, иди совсѣмъ не донускающій тѣло выйти изъ
«тносительно неподвижного состоя нія, несмотря на
приложенный къ нему посторонвія силы. Физіойогмчески
и субъективно сила отожествляется нами съ четырьмя
характерными ощущеніями нашего тѣла. Мы предста-
вляемъ ее:
1) Въ формѣ вніьшняго односторонняя) давленІя, про-
изводимаго на данный предметъ постороннинъ веще-

— 90 —
ствомъ, невольно приравнивая въ этомъ случаѣ величину
силы къ интенсивности даЕленія груза на кожу нашей
руки или сильнаго вѣтра на все наше тѣло.
2) Въ формѣ втягиванія и буксированія предмета
другини посторонними предметами: таково
всасывающее дѣйствіе разрѣженнаго воздуха или водоворота,
влеченіе магнитомъ уже приставшаго къ нему ряда
кусковъ желѣза, которое невольно отожествляется нами
съ тѣмъ случаемъ, когда насъ санихъ тянутъ за
веревку.
'3) Въ формѣ внутреннего стремленія самаго
предмета прійти въ движете, приравнивая этотъ случай
къ ощущенію собственной тяжести нашего тѣла. Сюда
же, вѣроятно, слъдуегь отнести и чисто психологиче-
скіе силовые импульсы, возникающіе въ нашемъ мозгу
и проявляющееся для насъ въ формахъ желанія, воли,
долга и т. д.
4) Въ формѣ сопротивленія всѣмъ предыдупцшъ фор-
мамъ силового воздѣйствія.
Иэъ всѣхъ такихъ субъективныхъ представленій, въ
которыхъ оформляются для насъ пондеромоторныя силы
природы, особенно удобнымъ для нашего ума и для фи-
зико-математическаго анализа является представленіе
о постороннемъ одностороннемъ давленіи. Это давленіе
мы невольно считаемъ за первопричину всякаго движе-
нія и всякой перенѣны въ скоростяхъ уже существую-
щаго движенія, хотя первопрнчннъ и нѣтъ въ природѣ.
Точно такъ же пара противоположно дѣйствующихъ силъ
#,—& й/"~~Г~ Фи310логически отожествляется нами
съ двустартнимъ давлтіемъ. При центральнбмъ стол-
кновенш двухъ равныхъ упругихъ шаровъ обмѣннваю*
щихся своими скоростями, мы нриписываемъ
обыкновенно угасаніе ихъ первоначальныхъ скоростей и
возникновение новыхъ въ обратномъ направлеши (или просто
изломъ путей) двустороннему давяенію другъ на друга
соприкасающихся пунктовъ ихъ поверхностей, возни-

— 91 —
кающему во время соприкосновения, какъ результать
упругой деформаціи обоихъ тѣлъ, хотя бы эта
деформация и была неизмеримо мала.
Такимъ образомъ въ самонъ количествѣ движешя,
которое аналитически (какъ это показано выше)
кладется въ основу всякой силы, какъ элементарный
силовой вмпульсъ, мы склонны видѣть скорѣе резулыттъ
дѣйствія Ьавжкія, возникающаго вслѣдствіе стремленія
деформированнаго тѣла возвратиться къ первоначальной
форн-в. А между тѣмъ обнѣнъ скоростей на основаніи
закона сохраненія энергіи долженъ бы былъ послѣдо-
вать и въ томъ случаѣ, если бъ оба столкнувшееся шара
были абсолютно тверды и діатермичны, т.-е. неспособны
ни къ упругой деформащи, ни къ возникновенію внутри
иіъ самостоятельныхъ молекулярныхъ колебаній и ви-
брацій, требующихъ предварительна™ раздѣленія массы
даннаго твла на болѣе мелкія единички.
Этихъ краткихъ замѣчаній вполнѣ достаточно для
того, чтобъ понять, почему представленіе о силѣ
явилось одно изъ первыхъ въ механикѣ, и играетъ въ ней
и въ настоящее время особенно выдающуюся роль. Это
единственный изъ механическихъ факторовъ, ощущаемый
физі алогически: ни энергія, ни количество движенія, ни
скорость, ни масса, ни пространство не обладаютъ этимъ
свойствомъ,—они представляются, но не ощущаются.
Понятно также и то, почему всѣ единицы, служащія
для измѣренія енлъ сводятся обыкновенно въ коннѣ-
концовъ къ величинѣ односторонняго давленія.
Абсолютной единицей силы— [?1 = і — принято
считать динъ -(или дину), т.^е. такое одностороннее давле-
ше, которое въ продолженіе одной секунды своего двй-
етяія на. одйнъ граммъ массы; сообщаеть ей скорость,
равную одному сантиметру въ секунду.
Отнесенный къ теллурическимъ единицамъ, т.-е. къ
обычному давленно физическихъ тѣлъ на земную
поверхность динъ почти равенъ ^.г — 0,00102... долѣ одно-

- 92 —
сторонняго давленія 1 грамма вещества на чашку вѣ-
совъ, т.-е. 0,00102 долѣ обычнаго для насъ вѣса единицы
массы. Отсюда мы видимъ, что давленіе абсолютной
единицы силы такъ незначительно, что самыя чувствитель-
ныя мѣста кожи нашихъ рукъ не въ состоянии ошущать
такой тяжести. Зато сила, равная одной мегадинв (т.?е.
милліону динъ) уже очень хорошо ощущается нами, какъ
давленіе гири, в-всящей t килограмжъ и 19'/3 граммовъ.
Если такое давленіе распределяется на незначительную
поверхность нашихъ покрововъ (не превосходящую нѣ-
сколькихъ квадратныхъ миллиметровъ), то оно
производить уже болезненное впечатлѣніе, такъ какъ
превосходить сцѣпленіе соотвѣтствующаго числа клъточекъ
эпидермиса и производитъ ихъ растяженія и разрывы.
Прибавимъ еще для отчетливости представлений, что
при средней величинѣ челоивческаго тѣла подошвы
нашихъ ногъ выдерживаютъ давленіе отъ 50 до 70 ме-
гадинъ.
Сдѣлаемъ еще одно послѣднее замѣчаніе, которсе
очень пригодится намъ при практическихъ приложе-
ніяхъ нашего метода къ изслт;доваяію сложныхъ явле-
ній природы. Въ началѣ этой главы -мы видѣли, что
наиболѣе раціональный функціональный составь силы
(форм. 105) есть произведете эленентарнаго количества
движенія ЫѴ на частоту его повтореній:
F=MV.U (107)
Здѣсь частота повтореній является какг бы есте-
ственнымъ основнымъ факторомъ. Приведеніе къ симво-
ламъ M-L-V состемы, дающее эквивалентное выраженіе
1 MY*
*=¥іг ■ ■ <to8>
не только не увеличиваетъ отчетливости нашихъ пред-
ставленій о механическихъ основахъ свловыхъ воздѣй-
ствіві но даже нѣсколько затемняеть ихъ, такъ каісь
вводить символъ пути L, хотя присутствіе силы
постоянно обнаруживается и въ моменты кажущегося по-

— 93 —
коя физическихъ тѣлъ. Путь X въ этой формулѣ, въ
большинствѣ елучаевъ не есть указатель поступатель-
наго движенія источника силы, а только его внутрен-
нихъ ыолекулярныхъ или даже интрамолекулярныхъ
движенйі, со средними путями, равными /,. Поэтому при
анализахъ сложныхъ физическихъ явленій, въ которыхъ
приходится аналитически разлагать силу на болѣе
простые физичеекіе факторы, лучіпе всего не употреблять
слишкоиъ общаго множителя L, который можетъ быть
символомъ какого угодно пути. Наоборотъ, всякій
разъ, когда онъ появляется въ формулѣ, слѣдуетъ за-
мѣнять его частотой повтореній по выраженію:
потому что, внеся это выраженіе въ предыдущее (108-е),
мы и получимъ изъ него раціональный функциональный
составь силы, какъ произведенія изъ средняго молеку-
лярнаго или интрамолекулярнаго количества движенія
АТѴ на частоту U его повторенія.
^ітГ=Т*^(мг)-*^- ■(110>
Въ механикѣ „сила" разснатривается, какъ факторъ,
вызывающій движеніе какого либо тѣла, а потому она
обозначается знакомъ -|- или —, судя по тому, двигаетъ ли
она тѣло „впередъ или назадь". Двѣ параллельный
силы могутъ при изжстпныхъ условіяхъ складываться
въ одну, когда обѣ обладаютъ тѣмъ же знакомъ, и
вычитаться другь изъ друга, когда обладаютъ разными
знаками. Однако .-это чисто-алгебраическое сочетание имѣетъ
нѣсто лишь въ нсключнтельныхъ условіяхъ, когда тѣла,
подверженныя дѣйствію силъ, не способны измѣнять
подъ ихъ вліяніенъ ни своей формы, ни рода движенія
(напримѣръ, прямолинейна™ на вращательное) и вообще
логуть двигаться лишь взадъ -в впередъ по одной
прямой линіи, параллельно которой дѣйствуютъ данныя
силы или ихъ проэкціи.

_ У4 _
Въ проетранствѣ двухъ и трехъ измѣреній, гдѣ пути
тѣлъ могугь изгибаться всевозможными способами, этотъ
пріемъ алгебраическаго сложенія совершенно теряетъ
свою примѣнимость и замѣняется такъ называемынъ
„геометрическимъ суммированіемъ", дѣйетвіемъ
совершенно своеобразна™ характера.
Механическія силы, какъ извѣстно изъ учебниковъ,
символизируются графически въ видѣ линій, направле-
ніе которыхъ (или, вѣрнѣе, одно изъ двухъ направленій,
потону что каждая линія одновременно указываетъ двѣ
противоположиыя стороны) совпадаетъ съ направлешемъ
изображаемыхъ силъ, а интенсивность или величина
силы выражается длиной соответствующей ей линіи по
условному и однородному для всего даннаго ряда силъ
масштабу. Вмѣето алгебраическихъ суммъ получаются здѣсь
равнодѣйетвующія по извѣстному правилу
параллелограмма силъ, лежащего въ основѣ и всѣхъ остальныхъ
болѣе сложныхъ суммированій, напримѣръ,
параллелепипеда трехъ силъ, или наоборотъ, разложен ія пёрво-
начальныхъ силъ на слагающія по тремъ осямъ ортого-
нальныхъ координатъ.
Не входя въ эти элементарный подробности мы за-
мѣтимъ только, что въ результатѣ такого геометриче-
скаго пріема, а также возможности измѣнять напра-
вленіе силъ блоками, рычагами, путемъ передачи
жидкостями давленія по веѣмъ направленіямъ и т. д., самые
знаки-J-и—, которыми обозначаются двигательныя силы,
приходится считать лишь въ условномъ смыслѣ и даже
двоякинъ способомъ, въ зависимости отъ точки зрѣнія
и системы употребленныхъ координатъ. Обычныя одно-
А.
стороннія силы IF——j-1 съ фиксироваиныт. въ
просгранствѣ направденіемъ получаюгь обратные знаки
всявій разъ, когда онѣ дѣйствуютъ въ нротивоположномъ
направленій, а вращающіяся силы—центростремительный

— 95 —
и центробѣжныя 1 дѣйствуюшія всегда парами и потому
обнаруяшвающія, какъ увидимъ далѣе, удвоенный функ-
. МѴ2\
ціональный составь FT = ~j~-\ — чаще всего
характеризуются знакомь -}-, когда онѣ гонять твла радіально
отъ даннаго центра къ периферіи, и знакомь —, когда
дѣйствуютъ въ обратномъ направленіи. То же самое и
по отношешю къ силамъ упругости: если растягивающія
силы (фиг. 29) обозначаются гигюеами (хотя каждая
ихъ пара дѣйствуетъ по противоноложнынъ направле-
шямъ), то сжимающія обозначаются минусами (фиг. 30),
или наоборотъ.
^— -—>
Фиг. 2Э.
Положительная,
растягивающая пара
силъ.
■ >- Ч—
Фиг. 30-
Отр ицате .гькая ,сік r-
мающаа пара сидъ,
Пр . гіричині' такой двойственности въ алгебраиче-
скоирь обОзначеніи силъ (то по ихъ направленно, то по
роду), а Также ц того обстоятельства, что посредствомъ
простои пары блоковъ, ъе говоря уже о другихъ спосо-
бахъ, мы имѣемъ право суммировать, безъ употребленія
пара.ілелограма, цѣдый рядъ силъ, -фиг. 31, ндущихъ
по различнымъ направленіямъ, въ одну общую силу
F0) — здѣсь нерѣдко выходить то же самое несоотвѣт-

— 96 —
ствіе между алгебраической суммой силъ и ея физи-
ческимъ значеніемъ, какъ и въ геоиетрні при опредѣ-
леніи длины нѣкоторыхь лнінй. Возьмемъ, напринѣръ,
раастояніе отъ центра круга до окружности по двумъ
противоположнымъ направленіямъ, т. е. -\-г и —г. Съ
алгебраической точки зрѣвія оба эти разстоянія, какъ
характеризующіяся противоположными знакаыи,.въ суммѣ
равны нулю, а съ геометрической точки зрѣнія они
равны діаметру даннаго круга, т. е. удвоенному радіусу.
Алгебраическая сумма оказалась здѣсь эквивалентна
разности +г — (— г)=-|-2г. То же самое часто бываетъ
и съ силами вт. механикѣ: двѣ взаимно противополож-
ныя силы могли бы здѣсь считаться взаимно
уничтожившимися лишь въ томъ случаѣ, если бъ мы
согласились стать на завѣдомо фиктивную точку зрѣнія и
направлять ихъ дѣйетвіе на „абсолютно несжимаемый
твердая тѣла" или „неимѣющія никакихъ размѣровъ
матеріальныя точки". Вь природѣ не бываетъ ни того
ни другого, а потону и на самую основу всего ученія о
силахъ—параллелограмъ двухъ силъ—мы должны
взглянуть съ новой, болѣе естественной точки зрѣнія.
Фиг. 32.
Предетавимъ себѣ двѣ равныя другъ другу алемен-
тарныя силы /*, и Fa (фиг. 32), симметрично дѣйствую-
щія на поверхность упругаго сферическаго тѣла В по
указаннымъ на чертежѣ направленіямъ, составляюшимъ

— 97 —
между собою уголь а. Построенный на нихъ параллело-
грамъ силъ будетъ въ этомъ елучаѣ ромбомъ. Его діа-
гональ АВ, проходящая черезъ центръ шара jB будетъ
кинетической равнодействующей данной пары силъ, или
силой, сообщающей шару опредѣленныя ускоренія.
Вторая діагональ CD того же ройба будетъ упругая (въ дан-
номъ случаѣ сжинающая, а на чертежѣ 33,
растягивающая) равно&іьйствующая
тѣхъ же самыхъ еилъ.
Изъ обоихъ чертежей
видно, что съ увеличеніемъ угла
а отъ О" до двухъ прямыхъ
кинетическая равнодѣйетвую-
щая, постепенно переходить въ
упругую равнодействующую и
два предѣльныя значенія этого
метаморфоза опредѣлятся такт,:
1) При а = 0, упругая
равнодействующая равна нулю, а
кинетическая — суммѣ обѣнхъ
еилъ, т.-е. 2Ft.
2) При я —2-мъ прямымъ
угламъ, наоборотъ,
кинетическая равнодѣйствующая равна
нулю, а замѣнившая ее упругая равнодѣйствующая равна
суммѣ обѣихъ еилъ, т.-е. 2Flf несмотря на то, что каждая
изъ составляющихъ эту равнодѣйствующую силъ
противоположна другой по своему знаку. Это и есть
истинный динамически эквивалентъ „упругаго напряженія"
нашего шара.
Законъ же постепеннаго перехода кинетической
равнодѣйствующей двухъ силъ въ упругую, какъ видно
нзъ чертежей (32 и 33), выражается формулой:
кинет, равнод.
упруг, равнод.
ОсшДЕЬ' вачетг. авинза.
2с8 -;
(4-).. -(-И

— № —
Кромѣ того, какъ видно изъ тъхъ же самыхъ
чертежей:
„Сумма квадратовъ кинетической и упругой равно-
дѣйствующей у двухъ равныхъ и постоянныхъ по вели-
чинѣ силъ, симметрично приложенныхъ къ тому же
самому свободному и упругому шаровидному тѣлу, есть
величина постоянная".
Когда обѣ равныя силы приложены неправильно,
т.-е. не въ одной плоскости или не симметрично, то на
счетъ обѣихъ равнодѣйствующихъ выявляется пара вра-
щающихъ силъ, а если, кромѣ того, дѣйствующія силы
будутъ еще не равны, то явленіе усложняется еще болѣе.
Такимъ образомъ каждый нараллелограмъ силъ
оказывается въ природе обладающимъ не одной, а двумя
равнодѣйствующими: кинетической и упругой, къ кото-
рымъ можетъ присоединяться еще и третья—вращающая.
Оставляя въ сторонѣ детали, мы здѣсь особенно
отмѣтимъ лишь указанное нами соотношеніе между
первыми двумя равнодѣйствующими, обнаруживающимися
въ ромбѣ правильно приложенныхъ и, не вызываю-
щихъ вращенія, силъ (фиг. 32 и 33), именно, что вся-
кій разъ, когда двѣ такія силы примутъ прямо
противоположное направленіе, приравнивается къ нулю только
ихъ кинетическая равнодѣйствующая, а упругая равно-
дѣйствующая Fr дѣлается равной геометрической сумма
обѣихъ силъ, или, вѣрнѣе, каждой изъ двухъ силъ,
помноженной на 2:
F,=2F,=2F2 (Ш)
Этотъ коэффиціентъ 2, какъ мы сейчасъ увидимъ, и
придется намъ обнаружить другими способами въ слѣ-
дующемъ параграфе, при опредѣленіп функціональнаго
состава упругости.
Зная же изъ форм. (106-й что функціональный со-
МѴг
ставъ простой одиночной силы есть F, = -?гг~> находимъ
изъ предыдущаго выраженія (111-го), и зная изъ формулы

— 99 —
(109), что 2X=f:
(112)
т.е. упругая равнодѣйствующая F„ которую мы будемъ
называть далѣе двустороинимъ уеішемъ (такъ какъ
въ ней участвуютъ двѣ противоположно дѣйствующія
силы) имѣетъ функціональный составъ удвоенной
простой силы Ft.
УП.
Теорія двусторонняя усилія и всесторонняя
(гидростатическая, объеноизмѣняющая) упругость
жидкостей и газовъ, опредѣляеная на основаніи кинетиче-
скихъ явленій въ этихъ срединахъ. Сжимаемость, какъ
факторъ, обратный всесторонней упругости.
При иэслѣдованш колебаній точки, движущейся взадъ
и впередъ по той же линіи, въ акустикѣ часто
употребляется виброскопъ Дютмеля (фиг. Щ, состояний иаъ
Фвг. 34-
дилиндра А, равнонѣрно вращающагося на своей оси
посредствокъ особаго часового механизма (скрытаго на

— 100 —
рисункѣ бъ ящшгв подставки). Если мы покроемъ
поверхность этого цилиндра листонъ буиаги, на которомъ
наведенъ тонкій слой сажи, то острее каимертона Вт
или любого упругаго прута, колеблющегося въ напра-
влееіи, совершенно перпендикулярномъ къ движенію
поверхности цилиндра, вычертить на ней волнообразную
линію Щ, которая обнаружить всѣ особенности даннаго
колебательнаго движенія. Если къ этому инструменту
добавленъ еще особый молотокъ С, остріе котораго отби-
ваетъ въ видЬ черточекъ на той же самой бумажкѣ
каждую секунду времени [Т], то по числу полныхъ волно-
образныхъ участковь графики lllt лежащихъ на „протя-
женні той же самой секунды", мы легко опредѣлимъ
число возвращеігій вибрирующаго острія къ его
первоначальному положенно въ каждую единицу времени, т.-е.
тотъ факторъ, который мы называемъ частотой попто-
реній U (форм. 91). Если число повторены въ данномъ
случаѣ п—разъ въ секунду, то найдемъ:
г==_та __ J____L
[Г] 1 Т
п 1 ]
Замѣна —[Т] черезъ Т въ послѣднемъ членѣ по-
іі
нятна сама собой, такъ какъ одна я-я доля секунды
[Т] и есть все время Т, протекающее между двумя
отдельными повтореніяни, а частота ихъ V обратно
пропорциональна только этому времени и болѣе ни отъ чего
не завысить.
Благодаря тому, что скорость-свободно вибрирующаго
каимертона В постепенно уменьшается, приближаясь къ
концамъ размаяовъ, графика даетъ въ данномъ случаѣ
волнообразную линпо — синусоиду. Если же мы допу-
стимъ, что графика вычерчивается на цилиндрѣ не зву-
чащимъ тѣломъ, а ничтожно малымъ упругимъ шари-
комъ, т.-е. нѣкоторымъ колнчествомъ движенія (МѴ),
мечущимся между двумя параллельными поверхностями и

- 101 -
л
поочередно отекакивающимъ отъ каждой изъ нихъ, не
уменьшая своей видимой скорости, то получится вмѣсто
синусоиды правильно ломаная лишл (фиг. 35), гдѣ
число надломовъ Ѵх съ одной
какой-либо стороны между
двумя секундными отмѣтками аг
и аг будете выражать частоту
t7j ударовъ даннаго количества
движенін по данной, напри-
мѣръ, первой, иэъ двухъ
поверхностей Sj. Произведение
же этой частоты на величину
(МѴ) самого количества дви-
жепія
дасть (на основаніи формулы
107) силу F„ съ которой этотъ
движущейся шарикъ стремится
оттолкнуть поверхность S^ отъ
воображаемаго срединнаго сѣ-
ченія ■%, параллельнаго данной у ',
поверхности.
Соотвѣтствующее и равное
но величинѣ число U%
надломовъ графики съ
противоположной стороны, помноженное
на то самое количество движе-
нІя (МѴ)
(МѴ). Vt~*It
иокажетъ точно такт, же силу
Fu, съ которой тотъ жеЗ
шарикъ будегв отталкивать въ
промежуточные мгновенія вторую поверхность Sa отъ
той же самой плоскости S0 срединнаго еѣченія.
Однако, кронѣ этихъ двухъ противоположныхъ силъ,
и въ неразрывной связи съ ними, мы находинъ здѣсь

— 102 —
указаніе еще на новый факторъ. Изъ нашей графики
видно, что полная частота U0 всѣхъ ударовъ и пово-
ротовъ упругаго шарика въ обратную сторону вдвое
болѣе частоты ТІХ его ударовъ о каждую изъ двугь
поверхностей:
І7„ = 2Е71 = 217, (ИЗ)
Она равна, кромѣ того, частотѣ- прохождений даннаго
количества двшкенія черезъ срединную раздѣляющую
плоскость 80. Следовательно, здѣсь мы имѣемъ основу
для установленія своеобразнаго физическаго фактора,
представляющаго произведеніе того же самаго
количества движенія (М V) на число U0 всѣхъ его ударовъ или
поворотовъ въ единицу времени:
F0={MV)Ut) = (MV).2U1={MV).2U2
или, зная, что MVU1=F1 и MVU2 = F!i:
F0 = 2F,=2F3 (Ш)
Этотъ факторъ F0, эквивалентный по своему
функциональному и кинетическому значенію удвоенной сгшь F,
или F2, напирающей на каждую изъ двухъ поверхностей
и стремящейся собщить каждой изъ нихъ опредѣленное
ускорительное движеыіе по направлению отъ срединнаго
сѣченія Sq, мы назовемъ элементарнымъ раздвигаюпщнъ
усиліемъ или раздвигаюцшиъ фактороиъ, такъ какъ въ
самомъ словѣ раздвиженіе предполагаются уже двѣ
поверхности или точки, на который дѣйствуетъ данное
усвліе.
Раздвигающее усиліе отличается отъ простой пондеро-
моторной силы тѣмъ,-что оно стремится проявлять свою
кинетическую дѣятельность всегда по двумъ противопо-
ложнынъ направленіямъ и притомъ обязательно
равновелико въ обѣ стороны, такъ что оно представляете въ
элементарномъ видѣ ту самую упругую діагональ ромба
силъ, о которой мы говорили въ предыдущей главѣ
(форм. 111). Если мы перемѣнимъ въ этомъ факторѣ
знакъ -f- на —, то получимъ, очевидно, вмѣсто раздви-
гающаго уеипія — сжимающее усиліе — F0, которое слѣ-

— 103 —
дуетъ представлять въ элементарномъ случаѣ, канъ
недоетатокъ количества движенія между двумя
параллельными поверхностями, сравнительно съ числомъ та-
кихъ же количеетвъ движенія, падающихъ на нихъ съ
внѣшнихъ сторонъ и побуждающихъ ихъ къ сближенію,
(какъ недоетатокъ частотъ повторенія ударовъ еъ
внутренней стороны сравнительно съ внѣпшей).
Для общаго обозначения того и другого случая удобно
употреблять терминъ двустороннее усиліе F0, считая,
что, въ элементарномъ случаѣ -\-І\ будетъ обозначать
избыто къ одного двусторонняго усилія между двумя
параллельными поверхностями, надъ двусторонними
усилиями, действующими на тѣ же поверхности съ наруж-
ныхъ сторонъ, а — F0, наоборотъ, недоетатокъ одного
такого двусторонняго усилія во внутреннемъ проме-
жуткѣ.
Если раздвигающее уеиліе Fr=^~^F0 принадлежитъ не
одному адементарному количеству движенія, какъ это
мы принимали до сихъ поръ для простоты, а ігЬлому
слою такихъ количествъ движенія, мечущихся нормально
взадъ и впередъ между двумя параллельными
поверхностями (или сѣченіями объема), то, въ случаѣ равнонѣр-
ной плотности подобнаго слоя, это. суммарное
'двустороннее усиліе будетъ возрастать пропорціонально вели-
чинѣ любой изъ данныхъ поверхностей (обязательно
предподагаемыхъ равными), или, еще проще, прямо
пропорціонально величинѣ нормальнаго поперечнаго сѣче-
нія Sq этого самаго слоя. Въ такомъ случаѣ частное В
отъ дѣленія f,Ha^,
# = £ = ^ („5)
будетъ выражать интенсивность раздвиженія (или, въ
отрицательномъ случаѣ — сжатія) двухъ'параллелъныхъ
поверхностей, или упругость даннаго слоя.
Такимъ образомъ упругость элементарнаго газоваго
слоя, заключеннаго между двумя параллельными поверх-

104 —
ностями, зависитъ исключительно огь массъ, скоростей
и частоты ударовъ этихъ молекулъ объ обтз поверхности.
А такъ какъ молекулы газовъ на основаніп кинетической
теорін движутся со всевозможными скоростями и по вее-
возможнымъ направленіямъ, то въ расчетъ должны быть
взяты только среднія величины проэкцій этихъ
скоростей по нормалямъ къ обѣимъ поверхностямъ.
Отсюда приходимъ къ выводу ращональной формулы
для всесторонней упругости газовъ. Такъ какъ въ ка-
ждомъ сѣченіи занимаемаго газомъ объема, въ какомъ
бы направлены иы ни сдѣлали его, можно допустить
элементарный слой молекулъ, раздвигающій два сосѣдніе
слоя того же газа (очередными ударами взадъ и вне-
редъ, разсчитанными по нормали къ данному еѣченно),
то понятно, что и двусторонняя усилія газовыхъ
молекулъ, и определяемая ими упругость газа, будетъ
одинакова по всѣмъ направлеігіямъ.'Теоретически же
упругость— Н— газа, (а съ нею и всякая другая) определится
на основанні предыдущихъ соображеній, какъ удвоенная
сила Fx, съ которой данный газъ напираетъ на единицу
поверхности — S, заключающихъ его стѣнон-ь, стремясь
имъ сообщить опредѣленныя ускоренія. Это же самое
опредѣленіе равно приложимо и къ жидкостямъ и
всесторонне сжатымъ аморфнымъ твердымъ тѣламъ. Значитъ,
имѣемъ для этого объемоизмѣняющаго рода упругости
МѴг
такой функциональный составе (зная, что .F=——- и
ч—s—^F (1І6)
Факторъ, обратный объемоизмѣняющей упругости
есть объемная сэіеішаемоеть:

— 105
ТАБЛИЦА VI.
Истянная упругость (объемное гидростатическое
сопротивление, resilience of volume) нѣкоторыхъ тѣлъ.
[Bet величины даны въ динахъ одностороннего давлепія на кв. см, каж>
даго сѣчѳвія; для перевода нхъ въ мегадины, атмосферы или килограммы
іавленія ва кв. см. нужно только отбросить множитель 10*, такт, какъ
всѣ эти три елиЕипы почтя ровно вт. милліонъ рззъ болѣе, чѣмт, линя).
■е-
В
_ динъ .- кил. -\
Газы подьобычн. давленіемъ 760 а«. . 1,014.10*——-( —1,014——— 1
______________ ^_^_^_ кв- см.\ кв. см./
ДнитнллРіров. вода при 0*С 20200.10*7.
\ѣ 19700.10= 7.
4»Э 20300.10*7.
184) 22000.10»J. 22200.10* динъ А.
34ОД 22400.106.7.
43"0 2->900.10*7.
53*0 23000.10* J.
Ртуть при 0« 343Ш).10«7.
15*0 542000.10* Л.
Сѣроѵглеродъ ... при 14*0 16000.10* А.
Этиловый эеиръ . при 0» 9200.10*7. !Ш0.10* Л.
14*0 7200.10*7. 7920.10* .4.
Этиловый алкоголь при 0* ■. 12100.10* А.
7*3 12200.10*7.
13*1 11200.10*7.
15*0 11100.10* А.
Мѣдь около . 20*С
Жедѣзо . ■ —
Сталь —
Чугунъ —
Свпнецъ —
Флингь-гласъ 1 образч. —
И .
Стекло —
1'684000.10*£.
Г456000.10«£.
1'84І000.10*.Е.
964000.10* Е.
347000.10* Е.
460000.10* Am.
1470000.10* Am.
І'ШЮОО.10* Т.
1'470000.10* Am.
360000.10* Ли).
300000.10* Т.
Is;
г$
is
к .
я
. а.
— ._ д
I
4
Объясненіе иъ табдидѣ.
В"ь этой таблицѣ жидкая я твердея фаза вещества приведены въ
аналог!» сь газообразной фазой. Предполагается, что жядкія н твердыя
тѣла, по своей прпродѣ, тоже стремятся къ безграничному раосѣявіго
свонгь молекулъ вт, пространствѣ н сдерживаются въ данномъ пидѣ
и объеиѣ лпшь гидростатическияъ давленіемті окружающей тъ струк-
туреыя сѣти междузвѣзднон среды; когда ихъ внутренняя упругость,

— 106 —
увеличивающаяся еь повытепісмъ температуры, преодолеть это давле-
ніе, космическая среда врывается въ интрамолекулярные промежутки
структуриыхъ сѣтей твердаго тѣла (иди жидкаго, у котораго
молекулы находятся пе въ постоянномъ, л въ ритмически перемѣнвомъ
соединеніи) и явступаетъ газообразная фаза. Отсюда слѣдуетъ, что
если бъ твердил и хидкія тѣла въ своей сжимаемости отъ давденія
следовали закону Бойля-Маріотта, то эти же цифры указывали бы величины
давленій на кв. см., необяодимыхъ для того, чтобъ сжать вдвое иіъ
нормальный объемъ. Такъ па нигь и смотритъ Tail (Строеніе ЗІвтеріи).
Цифры приведенной таблицы рѣзко отличаются отъ модулей Юнга,
данныхъ въ следующей таблицѣ. Мы называѳмъ ихъ истинной
упругостью физическигь тѣлъ въ ижъ нормальномъ состояніи (хотя бы
эта упругость и была скрыта въ жидкой и твердой фазѣ), потому что
почти такія же величины получаемъ и ивъ ваблюденій надъ распро-
страпепіемъ звука въ этнгь тѣлахъ, по формул*: Я = —«— гдѣ Н—
упругость, У—скорость распространен!а въ данномъ тѣлѣ продольныхъ
колебвніё и D—плотность тѣла, а С—отвлечеивныН козффипіентъ,
который у жидкнхъ и твердыхъ гѣлъ можно ечѳсть=1). Отсюда вайдемъ,
/ см.ч*
Пйпрямѣръ, для воды: РЧ>=1 U5000 —1 1=21010.10» (а въ вашей
таблицѣ отъ 20200.10» до 22000.10е); для этнловвго спирта: VD =
= Г 126400 —J 0,808=12800.10» (а въ нашей таблицѣ 12100.10)
и т. д.
ѵш.
Давленіе, какъ мѣра объеяоизиѣняюідей упругости.
„Высота" баронетрическаго или маноиетричеекаго
столба. Въеъ. Силы притяженія и отталкнванія.
Картины упругой дефориаціп падающихь и упавшихъ
тѣлъ.
Однако въ физикѣ и метеорологи практически опре-
дѣляютъ всестороннюю упругость жидкостей и газовъ
не путемъ нашего „двусторонняго уситя", а
посредством, „высоты" барометрическаго столба, или
манометрическаго давленія, или давленіл поршня, замыкаю-
щаго изслѣдуемое вещество въ прочной цилиндрической
трубкѣ, не удвояя этой сияй, которая на первый взгляда
кажется действующей односторонне, а полученный кон-

— 107 —
станты оказываются численно равными какъ разъ на-
шимъ удвоеннымъ силамъ (въ форм. 112). Значить,
единицы нѣръ и въ томъ и другомъ случаѣ оказываются
тѣми же самыми. Какъ согласить это кажущееся
противоречие?
Когда упругость газа определяется силой давленія
норшня В (фиг. 36) въ цилиндрической трубке, то
дѣло становится ясно, какъ только мы припомнимъ, что,
въ. этомъ случаѣ, мы всегда имѣемъ дѣло не съ про-
Фвг. 36.
стымъ одностороннимъ давленіемъ поршня на газъ въ
цилиндрѣ (потому что тогда онъ отбросилъ бы цилиндри
въ противоположную сторону), а съ двустороннимъ
активнъімъ сжатіемъ этого газа, въ которомъ учаетвуютъ
подъ видомъ одной, двѣ равыыя и противополонсныя
активныя силы (не говоря о взаимно уравновѣтиваю-
щнхъ другъ друга, а потому и не активныхъ въ про-
дольномъ направленіи, поперечныхъ силахъ). Одна изъ
этихъ силъ напираетъ на дно .цилиндра Л, а другая
на пуговку поршня В и обѣ сжимаютъ столбъ газа какъ
бы щипчиками, приводимыми въ дѣйствіе
двустороннимъ усидіемъ F0, представленнымъ въ видѣ спиральной
пружины. На основавш наніего ромба силъ (фиг. 32 и 33),
кинетическая равнодействующая здѣсь равна нулю, а
упругая равнодѣйствующая эквивалентна каждой изъ
односторонне дѣйствующихъ сшгв, помноженной на два.

— 108 —
На практикѣ, опредѣляя (по давленію, развивающемуся
между внутренней поверхностью поршня и прилегаю-
щимъ къ нему слоенъ газовыхъ молекулъ) дѣйствіе
силы В невольно включаютъ въ нее и дѣйствіе силы А,
какъ бы отбрасывающей весь цилиндри навстрѣчу
поршню, а потому, понятно, и числовыя величины
получаются здѣсь тѣ же самыя, которыя накъ нужны на
основанін кинетическихъ соображеній предыдущаго
параграфа.
Аналогичная вещь происходить и въ случаѣ опредѣ-
ленія всестороннней упругости по
давленію (или какъ его неправильно называютъ
„высоте") манометрическаго столба.
Понятно, что н этотв столб-в h мржетъ
давить на ту или другую часть
поверхности газа лишь въ томъ случаѣ, если сила
этого давленія встрѣчаетъ равную себѣ
контръ-силу съ противоположной
стороны, стремящуюся бросить газъ навстрѣчу
манометрическому или барометрическому
столбу (фиг. 37). Значить, и здѣсь подъ
внѣшней формой односторонняго
давленія инѣемъ дѣло съ двустороннимъ уси-
ліемъ, и „высота" барометрическаго или
манометрическаго столба даетъ именно
его лиьру.
Чтобъ показать, что и сама сила тяготѣнія между
каждой парой небесныхъ свѣтил"В, а съ нею вмѣстѣ и
всѣ силы взаимного отталкиванія и притяженія магнит-
ныхъ, электрическихъ или щ/ковыхъ (о которыхъ спе-
ціально придется говорить далѣе, въ главѣ о тяготѣнні)
скопленій энергіи, есть ничто иное, какъ проявления
того же самаго двусторонняго усшгія F„ постараемся
рѣшить слѣдуюпцй вопросъ: что случилось бы со значи-
тельнымъ небеснымъ свѣтилоиъ, какова, напримѣръ,
наніа земля или луна (допуская, что онѣ тверды до
самаго центра), если бъ сила тяготѣнія ихъ веЩествъ къ
*
Фяр. 37.

— І09 —
центру планеты вдругь прекратилась хоть на одну
секунду и затѣмъ снова возстановилась, не повшявъ этимъ
на силу взаимнаго спѣпленія молекулъ у твердыхъ гор-
ныхъ породъ (которая совершенно независима огъ тяго-
тѣнія). Съ перваго взгляда кажется, что при ничтож-
номъ напряженіи центробѣжныхъ силъ на экваторахъ
большинства свѣтилъ, этотъ случай не произвелъ бы
значительныхъ пертурбацій, а на еамомъ дѣлѣ вышло
бы полное разрушеніе свѣтила.
Прежде всего силы упругости въ ниишихъ елояхъ
атмосферы, начавъ безпрепятственно свою работу,
отбросили бы верхніе слои въ небесное пространство.
Затѣмъ упругія усилія нижнихъ сжатыхъ слоевъ океана,
работающія хотя на сравнительно незначительныхъ про-
тяженіяхъ, но за то со страшной интенсивностью,
сдѣлали бы то же самое съ верхними слоями водной
оболочки и, наконецъ, упруго сжатыя твердая
вещества въ планетвыхъ глубинахъ разорвали бы своимъ
неожиданнымъ расширеніемъ верхніе слои и послали бы
ихъ куски въ догонку за океаномъ и атмосферой. И все
это совершилось бы въ одну минуту.
Отсюда ясно видно, что шеъ тѣл-в на поверхности
планета, понимаемый въ сныелѣ „ихъ давленія на чашку
вѣсовъ" рационально определяется на еамомъ дѣлѣ, какъ
эквивалентв двухъ силъ взаимнаго притяженія между
даннымъ тѣломъ и землей, — а тЬ, что мы называемъ
„давленіеиъ тѣла" на чашку вѣсовъ или другую
подставку, есть на еамомъ дѣлѣ эквивалентъ взаимнаго
сдавливанія чашкой гири и гирей чашки. Значить, вѣсъ
и давленіе выражаютъ собою не одну динамическую или
моторную салу, способную сообщить даннымъ тѣламъ
такое-то число единицъ ускоренія, отмѣчаемыхт. по
отношение* къ координатамъ, проходящимъ черезъ центръ
взаимнаго тяготѣнія этихъ тѣлъ и ихъ планеты, а
удвоенную величину этой силы, потому что сюда
входить и стремленіе планеты ускорительно двинуться имъ
навстрѣчу. Конечно, эти встрѣчныя скорости неизмѣ-

— 110 —
рнмо малы, но ихъ полное дѣйствіе на лежачее тѣло
вполнѣ проявляется слѣдующвмъ очень своеобразными
способомъ.
Дѣло въ том-б, что прежде, чѣмъ тѣло,
положенное нами на чашку вѣсовъ или твердую подставку,
успокоится на ней, обѣ противоположный силы
взаимна™ тяготѣнія между нимъ и земнымъ шаромъ
совершать въ немъ и въ его опорѣ невидимую и
неощутимую для насъ работу. Какъ бы ни казалось тѣло
твердо и невзмѣнно, но въ дѣйетвительности оно бу-
деть упруго-сплюснуто по вертикалу, какъ дѣйствіемъ
его собственнаго давленія на землю, такъ в встрѣчнымъ
дѣйствіемъ земли. Точно такъ же будеть сплющена и
поддерживающая его подставка, хотя бы на неощутимую
величину. У легко деформируеныхъ кубическихъ кусковъ
студеней или желе это упругое сокращеніе по
вертикалу будеть вполнѣ измѣримо, у металловъ и камней,
или жидкостей, заключенныхъ въ сосудѣ, дефорнація
будетъ настолько ничтожна (у кубическаго сантиметра
стали на ~аЩѵГ~и£ долю сантиметра, у кубическаго
сантиметра воды въ сосудѣ на-л; ,(6 долю сантиметра и
такъ далѣе), что мы не будемь въ состоянін отмѣтить
ее никакими приборами, а только вычислять по ыодулямъ
Юнга, или коэффиціентаыъ всесторонней упругости
(табл. VI и VII). Но у веѣхъ безъ исключенія тѣлъ, эта
невидимая упругая дефорнація будетъ имѣть одно общее
свойство: если бъ дѣйствіе немного притяженія на эти
тѣла прекратилось на секунду, то они вс* были бы
подброшены возвратной работой своихъ внутреннихъ силъ и
. см
полетъли бы ввергь съ окончательной скоростью 981 —--
ск.
Значить, во всякомъ тѣлѣ, „давящемъ на неподвижную
подставку", взаимно борются двѣ равновеливія пондеро-
моторныя силы: первая побуждаете тѣло летѣть къ центру

— Ill —
CM
земли ускорительнымъ движевіемъ 981 —', а вторая,
ск.
которую можно назвать иетаморфнзированной силой
стремленія земли къ этому тѣлу (или нанорогь земли
на тѣло), старается отбросить его вверхъ. Ихъ
кинетическая равнодействующая, какъ иы определяли уже
по ромбу сил-в, равна нулю, а упругая
равнодействующая, сжимающая тѣло, эквивалентна любой изъ двухъ мо-
торныхъ силъ, помноженной на два. По этой-то упругой
равно действующей и измѣряемъ мы „вѣсв тѣлъ" или
силу взаимнаго притяженія между ними и землею.
Единица ея называется статической мѣрой сшгв, и,
очевидно, равна удвоенной кинетической единицѣ we C-G-S-
системѣ. Отсюда понятно, что когда мы изагѣряемъ
упругость газовъ „по вѣсу" ианометрическаго столба
(понимая подъ нинъ сжимающее дѣйствіе, производимое на
слой газа въ 1 кв. си. ширины, благодаря взаимному при-
тяженію зеянымъ шаромъ „ианометрическаго столба" и
манометрическимъ столбомъ „земного шара"), то счита-
енъ на самosъ дѣлѣ тѣми же единицами, которыя иы
получили бы по функциональному составу упругости:
И¥Н ■•■■•■■■ ОВД
или въ символахъ М-L-Vсистемы, зная, что F,— №l'-2U--
=М]1 (форм. 112) и S = i*,
Я=^? = І>Р (119)
I?
Такимъ образомъ сразу и получается для всесторонней
упругости Н газовъ, жидкости и твердыхъ аморфныхъ
гвлъ то самое функщоналыюе выразкеніе: произведете
плотности " D на квадрагь иолекуллрныхъ скоростей
которое мы вывели по кинетическимъ соображеніяиъ
{форм. 116, стр. 104).

— 112 —
Силы же „взаимного" притяженія и отталкиваніяі^по-
лучаютъ функциональный составъ (зная,что Fy=^MV-2U,
форм. 112)
Fr^My.2U=M7.2UjA==--jr- ■ ■ (120)
Такія „взаимодѣйствуюпця силы"—F„ способньш
произвести деформацію удругаго тѣла, помѣщеннаго между
точками ихъ приложенія, не сообщая ему ускоритель-
наго движешл, называются (по ноненклатурѣ, введенной
Еапкіпе'омъ и принятой новѣйшими англійскими
авторами Thorn эоп'омъ, ТаН'омъ, Everett'омъа) и другими),
напряжениями (Stress) или, какъ мы переводина это
слово, двусторонними усиліями. Необходимость такого
особаго термина для ясности и отчетливости научнаго
языка и представленві очевидна. Поэтому и мы, вмѣсто
„силы взаимна™ притяженія или отталкиванія" будемъ
говорить „напряжение Fr (или двустороннее усиліе) вааим-
наго тяготѣніл и отталкиванія", и если притяженіе обо-
значимъ череаъ — F„ то отталкиваніе черезъ -f* F„ потому
что одно изъ этихъ двусторонний, усиліп Chesses) кей-
трализуетБ другое.
Упругая деформація тѣла, свободно движимаго въ
пространствѣ односторонней силой, вдвое менѣе
упругой деформаціи того же тѣла, удерживаенаго въ
неподвижности двумя противоположными активными силами,
или одной активной и другой псевдо-ннактивной,
подразумеваемой подъ словомъ „точка опоры, мѣшающал
движенію тѣла, находящегося иодъ вліяніемъ первой
силы". Кромѣ того, и распредѣленіе деформаціи въ обо-
ихъ случаяхъ различно. Возыкемъ простѣйнн'й примѣръ:
сплошной цилиндрическій прутъ или прямую призму А.
Когда они сдавливаются или растягиваются за оба
основания (фиг. 38) двумя равными и противоположными силами
Fj и Fy и потому находятся въ статичёсвонъ состоявіи,
') Ererett. Units and Physical Constants. 2 ed. § 47. 1986 г. Русев,
иврѳвод-ь Ввржбнякмо в Жеребятьев» 1988 г., стр. 71.

- ИЗ —
то каждый его поперечный слой—я„ агі и т. д.
деформировать въ продольномъ наігравленіи одинаково. Если
V
J— "Г
^ —I
S
■ і :
|
\к
• • ! * і I J
1! 11! і
11
[g=j£
X
Фнг. 38.
мы выразимъ величину зтихъ продольныхъ сжатій (или
при отрицательнонъ направлении силъ раетяженій) че-
резъ yQ, yit у2 и т. д., то, отложивъ ихъ на діаграммѣ
(фиг. 38), получивсъ прямую уу, идущую параллельно оси
абсциссъ XX и оси самаго цилиндра, если иаобразимъ
его условно подъ осью XX,
V—.
к—t
\ і"^1
ТІА "
~т—1
ѵ
V
Фаг. 39.
Совевмъ не то, если одна изъ двугь силъ будетъ
устранена, а другая начнеть работать, сообщая этому
цилиндру А ускорительное движеніе {фиг. 39). Вт. такояъ
случаѣ только у ближайшаго къ действующей силѣ Fx
Освны лжчвета. шшивзя.

— 114 —
безконечно тонкаго слоя пг (фиг. 38) сохранится прежняя
продольная деформація: сжатіе, если сила Fj (фиг. 39)
напираетъ на основаніе, и растяженіе, если она влечетъ
его за собой въ обратную сторону. У всъхъ же осталь-
ныхъ слоевъ величина продольной деформаціи будетъ
падать въ ариометической прогрессіц, пока не сдѣлается
равна нулю на другомъ концъ стержня. Графически, это
паденіе представится ординатами прямой уу. Суммарная
же деформація въ этомъ случаѣ, очевидно, вдвое менѣе,
чѣмъ прежде.
Когда движущая сила F, напираетъ не на видимое
основаніе или одну изъ
А Б f' паружныхъ поверхностей
Г ~ * Г 3- Г - -» ■ такого стержня, а на со-
ІШ- пЧ- ^У."Т|| {' Т~ Г ]—Г~| отвѣтствующіе концы
|І [ |~ГІІІ I I Г III I IT") (фиг. 40) небольших^ ча-
в Е F стей А, В... F, изъ кото-
Фиг. 40. рыхъ онъ составленъ, то
неравномѣрно
деформированы будутъ, конечно, только эти отдѣльпыя части
А, В... F, и, если мы не примемъ ихъ въ расчетъ за
малостью размѣровъ, то все ускорительно несущееся
цѣлое покажется намъ равномерно деформированнымъ
по направленію своего пути. Такую сложную
деформацию возможно допустить во всѣхъ тѣлахъ, свободно
падающихъ на поверхность небееныхъ свѣтилъ подъ
вліяніемъ двигательныхъ силъ, дѣйствующихъ въ по-
ляхъ тяготѣіня послѣднихъ. Если эти силы, какъ можно
думать, не проникаютъ въ глубину атомовъ, а
гидравлически надавливаютъ на ту часть ихъ поверхностей,
которая отвращена отъ центра свѣтила, то каждый атомъ
будетъ прогрессивно сжать по этому направленно, въ родѣ
того, какъ показано на рис. 40, потому что при всѣхъ
своихъ столкновеніяхъ одноатомныя молекулы (налри-
мѣръ, у аргона и его аналоговъ, а также у ртути и кад-
мія, а, слѣдовательно, и всѣ вообще атомы)
обнаруживают свойства упругихъ тѣлъ.

— 115 —
Но зато, какъ только тѣло ляжетъ на поверхность
планеты, картина его деформацій сейчасъ же изменится.
Сжатіе нижнихъ его слоевъ сдѣлается болѣе сжатія
верхнихъ на всю величину его собственнаго вѣса, какъ
это мы уже указывала въ рѣзкой формъ въ земной
атмосферв. Деформація же каждаго отдѣльнаго атома
сдълается теперь, наоборотъ, равномерной, если атомы
принутъ видь вертикально стоящихъ призмъ, или
симметричной по обѣнмъ концамъ ихъ вертнкальнаго измѣ-
ревія, если въ этомъ направлен ін окажется одна иэъ
осей ихъ симметріи.
IX.
Юнгова упругость твердыхъ тѣлъ. Модуль
Юнга (Young).
Когда дѣло идетв не о газахъ и жид костя хъ, а о
твердыхъ тѣлахъ, у которыхъ упругость можетъ
проявляться различно по различнымъ направлешямъ, и не
только въ смыслѣ расширения, но и сжатія тѣла (или
комбияащи расширенія ао одному направлен!» со ежа-
тіемъ по другому) то величина этой упругости должна,,
конечно, определяться особо для каждаго направления.
Говоря, напримѣръ, объ упругости твердыхъ стержней,
опредѣляютъ ее по одной изъ двухъ противоположныхъ
силъ .F, или F^ (который требуется приложить къ
стержню, чтобъ удержать его въ данноиъ состояіии)
дѣленной па первоначальную толщину стержня, т.-е. на
то его поперечное сѣченіе, которымъ онъ обладалъ
въ началшамъ состояніи. Необходимость этого послѣд-
няго ограничения очевидна. Всякін замѣчалъ, что при
растягиванін твердыхъ упругихь тѣлъ, нанринѣръ,
рези новыхъ полоеъ и нитей, ихъ поперечные разм-вры
уменьвшотсл по мѣрѣ увеличенія длины, хотя, какъ по-
казываютъ точные опыты, и не въ такой степени, чтобъ
первоначальный объемъ оставался безъ увеличеяіи.

- 116 -
Однако, несмотря на это уменыненіе первоначальной
площади поперечнаго сѣченія и нѣкотораго уменыненія
плотности, которое должно бы было уменьншть напря-
женіе молекулярнаго сцѣпленія, двустороннее усшне,
необходимое для поддержания упругаго стержня въ дан-
номъ растяженш, увеличивается прямо пропорціонально
удлиненію, вплоть до тѣхъ поръ, пока не будугь
превзойдены предѣлы упругости даннаго вещества, послѣ
чего стержень не возвратится уже къ первоначальной
длинѣ, т.-е. разница между его первоначальной и
конечной величиной сдѣлается доступной измѣренію.
Уже одна эта необходимость увеличивать
растягивающая силы по мѣрѣ соотвѣтствующаго раз движет я
молекулъ твердаго тѣла, показываете принципиальную
разницу между напряженіями, сближающими эти
молекулы, и напряженіями тяготѣнія. Послѣднія убываютъ
съ разстояніями, а первыя, наоборотъ, возрастаютъ
и притомъ не пропорціонально квадратамъ разстоя-
нія, а пропорціонально простымъ разстояніямъ, какъ
это отмътилъ еще Ньютона (Ргіпсіріа, кн. I, предл. 93).
Уже одинъ этотъ фактъ показываетв, что источникъ
упругихъ напряженій нужно искать не въ молекулахъ
данныхъ тѣлъ, а въ окружающей ихъ средѣ, потому что
въ принципѣ нельзя допустить такихъ взаимодѣйствій
и силт, который увеличивались бы безпредѣльно еъ
разстояніями, а еще менѣе такихъ, который сначала
увеличиваются, какъ прямолинейная фупкція разстоянія, а
затѣмъ на нѣкоторомъ пунктѣ вдругь прерываются, такъ
что разорвавшейся стержень болѣе не спаивается, хотя
мы и приложили бы края его разрыва очень плотно другт
къ другу.
Если же мы, наоборотъ, представимъ себѣ всѣ
молекулы структурныхт. сѣтей у твердыхъ тѣлъ *) въ ки-
') Всѣ твердая тѣла, кавущіяся намъ сплошными массами, на еамомъ.
дѣлѣ ннѣптъ гувчатое, или нѣрнѣѳ сѣтчатое строеиіе, *акъ внутренняя
ткавь суіоН кости. По кристаллографической теорін Бравб в особен-
ностямъ упругости у твердыхъ крнсталлнческніъ тѣлъ, отражающейся

— 117 —
нетическомъ состояніи, т.-е. стремящимися отскочить
другь отъ друга вслъдствіе постоянныхъ температур-
ныхъ сотрясеній и разсѣяться въ пространствѣ подобно
газовымъ молекуламъ, то космическій эеиръ,
окружающей эти структурныя сѣти, иы должны будемъ
представить себѣ въ видь плотеаго, хотя и раздвижимаго упру-
гаго чехла, окружающего эти истинно-вещественныя
части твердыхъ тѣлъ и придавливающаго другь къ другу
ихъ отдѣльеыя молекулы гидростатическимъ способомъ,
подобно тому, какъ атмосфера придавливаетъ другь къ
другу сѣтчатыя и волокнистый снопленія клѣточекъ
нашего тѣла, съ силою, равною почти одному килограмму
на кв. сантиметръ поверхности съ каждой стороны.
Только иапряженія космической среды должны быть
несравненно больше атмосферныхъ. Они должны далеко
превосходить давленіе 22 тысячъ килограммовъ на
квадратный сантиметръ, которыя обнаруживаются иаъ
модуля упругости стали (табл. VII стр. 118).
Въ такомъ случав всякое двустороннее усиліе Fn
приложенное для растяженія упругаго стержня, будетъ
только дополнять собственное усиліе молекулъ его
структурныхъ еѣтей разлетѣться въ объ стороны по
этимъ направленіямъ, а такъ какъ это усиліе по
кинетической теоріи, и нашимъ соображеніянъ въ
предыдущей главѣ, убываетъ пропорціонально увеличенію раз-
стояній между молекулами, а сдавливаюнгія гидростати-
чеснія напряженія среды остаются безъ измѣненія, то
понятно, что и наше дополняющее двустороннее
усиліе Fr будетъ увеличиваться какъ разъ пропорціонально
растяженію стержня. Только съ этой точки зрѣнія и
возможно механически объяснить всѣ особенности
упругости у твердыхъ твлъ, ея различіе по различнымъ
направленіямъ и остальныя явленія, вплоть до разрыва
на ихт. свѣтонралоиденіи, мы должны представлять эти еч.та въ ввдѣ
постоянных^ молакулярвыхт. яацѣплвнін, цростралства между которыми
наполнены космнпеской средой, неспособной проникать между яолеку-
ламн еаліхкгъ с*геп, слишкомт. плотно прилегающими друга къ другу.

— 118 -
ТАБЛИЦА VL
Модули Юнга.
Показывающее величину каждой няъ пары силъ, необходимый, для
того, чтобы растянуть вдвое упругіЙ стержень, имѣющШ кв. сантиметръ
поперечнаго сѣчепія, при обычной температ\рѣ.
Даны въ динахъ. Д^я перевода нхъ въ мегадипы (или, что почти
то же самое, въ килограммы растягивающего груза) нужно лишь
отбросить множитель 10е, такъ пакт, мегадина въ милліонъ раэъ больше дины.
А.—Тѣла не крнсталлнческія.
. . . . 180ТО0.106
[ жесткая 17ООШ)Л0«
Платина;
t мягкая . 1500'ОООЛО*
(
Серебро .J
жесткое. 727ЧЮ0.10*
мягкое . 714'ОООЛО»
(ore, 7.10»
Каучукъ-J
1 до 9.106
Бериллъ/
Тополь .
Сосна .
Дубъ . .
Бёреаа .
Ель . .
Нѣжные студени и
В.—Тѣла крі
. . . . 52ООТООЛ0»
Хкъосн гзгочхшо*
Цкъосн. 2110'ОООЛО»
С— Сухія др
Къ волокнанъ , К
поддивѣ ствола.
. ятсоло*
бвТООЛО1
. 92*100.10*
99"ІОДЛ0"
. Ш'ЗСОЛО»
f жесткое
Жезѣэо <
\ иягое .
( жесткая .
Мѣдь !
\ мягкая . .
( отъ . . .
■ Стекло-J
1 до ...
Желтый воскъ . .
веле менѣе 0.001,106
істалличѳскія.
Плавиковый пшатъ
Апатитъ \\ къ оси
Квараъ |[ къ оси .
евесныя ткани.
ъ волоивамъ Къ
по радгусу. по
7ЗД0.10*
Э'800.10»
ІвТЮОЛО*
8'ІООЛО*
Э'500.10»
2200'ОООЛОб
2087'ОООЛО»
2079'ОООЛОб
І245ЧХЮ.10*
ІОай'ООО.ІИ
. 47O'OO0.1W
. 795'ООО.ІСК
. . 5'ЗООЛОб
. ЦП'ОООЛСХ
. ізауоооіо*
. юзсооолс
волокнамъ
окружности.
З'ЭООЛО»
2'900.10>
13'ОООЛО*
15'500.10е
З'ІООЛО»
Бсѣ эти величины на практнкѣ недостижимыми, такъ кавъ всякіЙ
стержень (кронѣ каучуковвго) разрывается задолго до своего растя ate-
вія вдвое. Но если отбросить еаъ цифры, стоянии: направо отъ знака ('),
то оставшаяся часть покажвтъ число мегаінвъ (или кнлограмковъ) груза,
необходимыхъ для того, чтобы растянуть данный стержень на 1 тыеяч-
„ г килогр..
иую долю его нормальной длины I нанр., у свинка 180 r—~r j
чука 0,007 Sffi н пр.}
аду-

— 119 —
этихъ тѣлъ, когда междумолекулярные промежутки въ
какой-либо части структурныхъ нацѣплевій будутъ
достаточно раздвинуты для того, чтобъ въ ннгь могла
прорваться окружающая космическая среда, и этимъ
раад влить прежнее сплошное тѣло на двъ различный
части.
Для того, чтобы вывести правильные законы упру-
гихъ взаимодѣйствій, развивающихся при растягиванш
твердыхъ стержней, мы не будемъ прикрѣплять ихъ,
какъ это обыкновенно дѣлаютъ, при выводѣ модулей
Юнга (Young-) за одинъ конецъ (фиг. 41), и отмѣчать
Фиг. 41. Фиг. 42.
приращеніе AL длины стержня въ зависимости отъ
величины даннаго груза i*j, потому что въ точкѣ прикрѣ-
пленія стержня развивается противоположная сила Flt
такой же величины и настолько же участвующая въ
сохранении этого приращепія XL, какъ и самый грузъ.
Значитъ, данное приращеніе произведено работой двухъ
силъ, каждая иэъ которыхт. равна F„ а не одной Fv
что и необходимо принять во вниманіе при теорети-

— 120 —
ческой разработкѣ этого предмета. Лучше же всего
оперировать со свободными нигдв не пригвожденными тѣ-
лами, какъ это мы и сдѣлаенъ сейчасъ.
Пусть имѣемъ упругій, напримѣръ, резиновый
стержень .4, илгвющій квадратный сантиметръ іюперечнаго
сѣченія и растянутый вдвое посредствомъ системы 4 бло-
ковъ груаомъ В, равнымъ двумъ килограммами (фиг. 42);
Спрашивается, чему равно двустороннее усвліе, или, какъ
его называетъ Rantine, напряженіе (stress), растянувшее
стержень? Всякій скажетъ, что оно эквивалентно этимъ
санымъ двумъ килограммамъ груза, что эту силу мы
разложили только нашими блоками на двѣ равныя и
Противоположныя силы І\ и Fv каждая изъ которыхъ
—~Чі!І:
"--, V"-.
ч
==Ьо
Фиг. 43.
6
равна 1 килограмму груза или 981 динѣ, такъ что мы
могли бы представить ихъ и отдѣльно, замѣстивъ
первоначальную гирю В двумя гирями половиннаго вѣса, на
каждой сторонѣ стержня (фиг. 43).
Нетрудно видѣть, кромѣ того, что если-бъ мы стали
затѣмъ равномѣрно и одновременно уменьшать оба груза,
то стержень сталь бы сокращаться и достигъ бы, нако-
вецъ, первоначальной величины L0. При этомъ всѣ по-
перечныя сѣченія стержня, кронѣ средняго А,
сдвинулись бы съ гбхъ мѣсть, на которыхъ они находились
При растяжеиіи стержня и приблизились бы къ
срединному еѣченію А, которое одно оставалось бы все время
на своемъ мѣстѣ и, слѣдовательно, оказалось бы тѣмъ
нейтральнымъ пунктомъ, гдѣ растягивающее дѣйствіе

— 121 -
двухъ противоположныхъ силъ находилось бы въ равно-
вѣсщ. Этотъ пунктъ разд'ѣлееія двухъ
противоположныхъ вліяныі очень важенъ въ теоретическомъ отноше-
нні. Пригвоздимъ его прочно къ своему мѣсту при
растянутомъ состояния стержня или фиксируемъ
посредство мъ зажима. Тогда поднявъ первую гирю, мы
прекратимъ растягивающее дѣйствіе одной изъ пары
первоначальныхъ силъ и стержень окажется растяну-
тымъ лишь дѣйствіемъ второго килограмма и удлиннен-
нымъ только на половину первоначальной длины Zq, а
не на всю эту длину какъ прежде. То обстоятельство,
что стержень теперь растянуть только во второй поло-
ьииѣ не им'Ьетъ значеыія, такъ какъ мы говоримъ лишь
о среднемъ растяжеши стержня, приходящемся на долю
каждой изъ двухъ силъ.
Значить, правый килограмыъ работалъ какъ бы
исключительно надъ растяженіемъ только правой
половины упругаго стержня, а лѣвый только надъ лъвой, и
каждому принадлежать половина общаго растяженія.
Эти работы, какъ мы увидимъ далѣе, до нѣкоторой
степени аналогичны виріалажъ въ кинетической теоріи га-
зовъ, т.-е. п олу произведен! я мъ полнаго двусторонняго на-
пряженія между двумя точками на разстояніе между ними.
Теперь мы можемъ вывести, не боясь впасть въ ошибку,
и функщональные составы модулей Юнга (YouDg's
modulus), которыми изы-Ьряется этотъ родъ упругости
стержней, гдѣ увеличеніе длины сопровождается бблыпимъ
или мёныпимъ поперечнымъ сжатіемъ. На фиг. 43, мы
уже имѣемъ упруги стержень, растягиваемый съ обо-
ихъ кондовъ. Опредѣлимъ, какими физическими
факторами обусловливается половинное приращеніе его длины
-^-ДІ0, приходящееся на долю соотвѣтствуюгцей ему силы
Fx или 1%. йзъ предыдущихъ соображеній о природѣ
упругости у твердыхъ тѣлъ (н ея зависимости отъ да-
вленія эѳира), окружающаго ихъ структурныя сѣти мы
можемъ прямо сказать, что, пока удлинеиіе не перешло

— 122 —
за предѣлы упругости тѣла, величина -s-Aio будетъ пряно
пропорщональна соотвѣтствующей ему силѣ F3 (или Fs),
и, кромѣ того, первоначальной длинѣ £„ стержня,
потому что болѣе длинный стержень удлинится при тѣхъ
же растягнвающихъ силахъ соотвѣтственно болѣе. За-
тѣмъ, какъ всякні скажетъ, величина односторонняго
удлиненія -^-іАі будетъ еще ооратно пропорціоняльна
it
^поперечному сгьченію S0 стержня (потому что болѣе
толстый стержень растянется тѣнн же силами соотвѣт*
ственно менѣе) и, наконецъ, той его своеобразной
„модулированной упругости" В-,, съ которой стержень
сопротивляется растягиванію въ длину, совершающемуся
здѣсь отчасти на счетъ расширенія его междумолекуляр-
ныхъ пролежу тковъ и отчасти на счетъ суживанія его
поперечныхъ размѣровъ, т.-е. по двумъ совершенно раз-
личнымъ причинамъ. Эти четыре пропорциональности
вполыѣ исчерпываютъ всѣ зависимости какъ наблюдае-
мыя, такъ и теоретически выводимыя въ данномъ явле-
нш, а потому мы ножемъ признать ихъ исчерпывающими
предметъ, и написать, не вводя сюда особаго комплекса
непредусмотрѣяныхъ факторовъ:
12^=КІ (121>
Отсюда, путемъ простой перестановки, получаемъ
слѣдующую формулу для опредѣленія модулированной
упругости стержней:
*Hfc-f <122>
Хотя эта формула и опредѣлена чисто-эмпирическимъ
способоиъ, однако ея абсолютная справедливость и все*
общая приложимость доказывается цѣлымъ рядомъ об-
стоятельствъ. Несмотря на то, что обычныя твердый
тѣла, каковы всѣ металлы, минералы, сухія древесины

— 123 —
и даже большинство животныхъ тканей, на практикѣ
способны лишь къ очень малымъ упругимъ растяже-
ніянъ, прежде чѣиъ они растянутся безвозвратно или
порвутся, — стержни, вырѣзанные изъ нихъ, всѣ безъ
исключения обладаютъ этой упругостью въ нзвѣстныхъ
предѣлахъ, и законъ ея возрастанія, при очень ыалыхъ
растяисетяхъ, соотвѣтствуетъ только что приведенной
формулѣ. Если же мы условимся, какъ предложилъ Юнгь,
разсчитывать по этимъ доступнымъ для наблюденія ве-
личннамъ такія уже недоступныя силы J^, которыя «ри-
шлось бы употреблять для того, чтобъ полное
суммарное приращеніе длины &Ц, стержня сдѣлалось равно
первоначальной его длинѣ Lg, то отвлеченный коэффи-
ціентъ —,-" въ предыдущей формулѣ обратился бы въ
А)
единицу, и тогда оказалось бы, что функциональный
составь модулированной упругости стержней принялъ
такое значеніе:
2F V
Hs--p-r <І23>
"о "о
гдѣ FT есть двустороннее усиліе, a Ft—величина одного
изъ двухъ грузовъ, растянувшихъ стержень вдвое.
Мы видимъ, что функціональный составъ
модулированной упругости оказался въ этомъ случаѣ совершенно
тожествеинымъ съ функціональнымъ составомъ
всесторонней упругости жидкостей, газовъ и самихъ аморф-
ныхъ твердыхъ тѣлъ (форм. 116). Этоть типическій
случай и называется модулемъ Юнга, оказавшимся
настолько же првгоднымъ для опредѣлевія скорости рас-
пространенія упругихъ (напримъръ, звуковыхъ) колебапій
по твердымъ стержнямъ и проволокамъ, какъ обычные
коэффишенты всесторонней упругости жидкостей,
газовъ и твердыхъ тѣлъ оказались приспособленными для
той же цѣли въ сплошныхъ срединахъ.
Дѣйствительно, функціональный составъ модуля Юнга,
на освовавш предыдущей (123-й) формулы (зная, что

— 124 -
по формулѣ 108, функціональный составъ F=-^MV2
a S — 1А), будетъ
Н-Щ.-21^:-*=ХГ1. ■ . (124)
/ -^ тт.
или {зная, что ~ji есть символъ плотности D)
откуда
H^DV* (125)
т.-е. скорость V распространенія продольныхъ колеба-
БІй въ данномъ стержнѣ прямо пропорциональна корню
квадратному изъ отношенія его модуля Юнга 11s къ
плотности D этого стержня, — формула, дающая вполне
удовлетворительные результаты.
Однако въ учебникахъ модуль Юнга опредѣляютъ не
по растягивающему дѣйствію двухъ противоположныхъ
грузовъ, какъ показано на фиг. 43, а только по одному
изъ этихъ грузовъ і\ (какъ на фиг. 41), и получаютъ
ту же самую формулу, какъ и наша (124-я). Какимъ
образомъ могло бы оказаться такое согласіе, когда
благодаря этой односторонности въ онредѣленіяхъ, сила,
растягивающая стержень, предполагается въ учебникахъ
вдвое меньшей, чѣмъ она есть на самомъ дѣлѣ и чѣмъ
указываемъ ее мы? Дѣло въ томъ, что п функціональный
составъ силы принимается въ современныхъ учебникахъ
мѵ TMpt
за —у-, а не за —j—, какъ мы вывели его на осно-
ваніи кинетическнхъ соображеніб (форм. 106). Такимъ
образомъ вліявіе унущеннаго множителя 2 въ функціо-
нальномъ составе упругости (форм. 124) нейтрализуется
упущеніемъ множителя -^- при функціональномъ соетавѣ

— 12Б —
силы: отсутствіе одного вознаграждается отсутетвіемъ
другого. Обнаруженіе этого обстоятельства есть первая
услуга, которую указало намъ введете числового
множителя 2 въ функциональный составь частоты повтореній:
у
U=2L №°РМ- ^- То,шо так,ь же и цифры модулей
Юнга и другихъ коэффиціентовъ упругости получаются
въ учебникахъ тв же саиыя, какъ и по нашему методу,
потому что каждой односторонней силѣ F1 вмѣстѣ съ
удвоеннымъ функціональныиъ составомъ, приписывается
также н удвоенное растягивающее дѣйствіе, т.-е. все
ыриращенІе длины AL вмѣсто его половины — -^- ДЬ. А
такъ какъ упругое удлиненіе, при прочихъ равныхъ
условіяхъ, пропорціонально каждой изъ двугь дѣйетвую-
щихъ силъ, то понятно, что его удвоеніе эквивалентно
удвоенію самой силы Ft или F2.
XI.
Распрямляющая упругость сконіенныхъ тьлъ или
упругая устойчивость. Сопротивление скашиваяію
(resistance to sheering). Эластичность, какъ факторъ,
обратный упругой устойчивости.
Нашъ очеркъ явленій упругоети служить только для
опредѣленія функщ'ональнаго состава этого фактора, и
потому мы не имѣенъ права входить въ подробности.
Однако предыдущее изложение оказалось бы оборванымъ
на половинѣ, если бъ мы не упомянули объ одной
типической формѣ, въ которой проявляется этотъ факторъ
у твердыхъ тѣлъ. ВліянІе этой формы мы уже
указывали въ предыдущем^ параграфѣ, говоря, что упругое
растяжеш'е стержней .совершается отчасти на счетъ
увеличевія ихъ объема, отчасти на счетъ съуживанія
ихъ поперечныхъ размъ-ровъ, т.-е. по двумъ совершенно
различныиъ причинамъ". Сопротивленіе каждаго куби-

— 126 —
чеекаго сантиметра твердаго изоморфнаго тѣла увели-
ченіямъ или уменыыеніямъ его объема (или, можно
сказать, плотности) опредѣляетъ его объемную
упругость. Его со против лен іе насильственному изміъненію
обычной, естественно сложившейся формы, безъ измѣ-
ненія его плотности, опредѣпяетъ его „фигурную упру-
гостьЧ, или устойчивость. По англійской номенклатурѣ,
введенной Rankine'oirb, элементарное проявление этого
фактора, къ которому сводятся всѣ его остальныя болѣе
сложныя проявления, называется „resistance bo sheering"
(сопротивленіе скашиванію), а у изотропныхъ тѣлъ
simple rigidity (простая твердость). Въ русскихъ же учеб-
никахъ этотъ родъ упругости называютъ сопротивлені-
емъ сдвиганію, хотя слово сдвигъ по обычному его
употребление (напримѣръ, въ геологні, когда говорить о
горныхъ породахъ) выражаетъ совсѣмъ не „скативаніе"
или „скошенность" обычной формы упругаго тѣла5).
, *W;
Чтобъ вывести функціональный составъ „упругой
устойчивости" представимъ себѣ кубичеекій кусокъ
упругаго вещества, къ двумъ противоположными гранямъ
котораго приклеены плоснія пластинки S, и<54 (фиг. 44).
Если мы приложимъ къ каждой изъ этихъ пластинокъ
по равной, но противоположно - направленной силѣ Ft
') Everett. Units and Pbjslcal Constants, 2 ed. Lond. 1886, g 60.
Хвольсовъ. Курсь физики, т. 1, 2 над. 1900 г., стр. 603. Швфф-ь. Теорія
jnpjrocnj. 1882 г. (литографвр.), стр. 14 в г. я..

127 —
и F2, то первая передвинетъ пластинку 5, на нѣкото-
рую величину -sj-ALq, по отношение» къ срединному еѣ-
чепію S0, параллельному обѣимъ плаетинкамъ, а вторая
сила сдѣлаетъ то же самое съ пластинкой Sa, только
въ обратномъ' яаправленш. Разстояніе же 1^ между обѣ-
ими предполагается неизмѣннымъ, такт, какъ у каждой
пластинки здЬсь допускается лишь одинъ родъ движе-
нія: въ своей собственной плоскости. Суммарное же, въ
геометрическомъ смыслѣ, передвижете одной пластинки
относительно другой будетъііо'-= (-^І-Ь0 +"г,-Д-Aj) т.-е.
соотвѣтствуетъ удвоенному сдвигу одной изъ пласти-
нокъ по отношенію къ срединному нейтральному сѣче-
нію S. Величина „сдвига" -^-І-Ьо (предполагаемая очень
малой) будетъ, очевидно, возрастать пропорпіонально
вызвавшей его силѣ Ft (или F2) и разстоянІю Ц, между
обѣими пластинками. Затѣмъ она будетъ обратно про-
порніональна площади S^ поперечнаго сѣченія (сдвлан-
наго параллельно поверішостямъ S, и S0) у нашего упругаго
куска и его упругой устойчивости Я, т.-е. напряженно,
съ которымъ онъ сопротивляется этой деформадін его
нормальной фигуры. Значить, имѣенъ
hL^ <127>
откуда получаемъ и функциональный составь упругой
устойчивости:
B=k2i-&f <I2S)
гдѣ FT есть двустороннее передвигающее усиліе,
эквивалентное 2F1 (фиг. 44).
Если по тѣмъ малымъ передвиженіямъ АІщ, которыя
возможны въ предѣлахъ упругости на практикѣ, мы най-
демъ зкетраполированіемъ величину двусторонняго уси-

- - 128 —
лія Fr, необходимаго для того, чтоб-ь передвижение AL0
стало равнымъ Lq, то предыдущая формула получаетъ
очень простой видъ:
S0 S0
tfe = "1=¥ (129)
или (зная, что функцюнальные составы силы і'1^-- — — -
и площади S0-~ZB):
Т/Г2
па=-%- (ізо)
Это и будетъ модуль упругой устойчивости, или,
какъ его называютъ обыкновенно, модуль сдвига. По
чертежу 44 видно, что если мы примемъ -^-АІ^ за
тангенсъ угла «, то соотвѣтственная скошенность фигуры
выразится угломъ въ 45°=0,786038... радіана. Это и есть
та, недостижимая на практикѣ, насильственная
скошенность каждаго кубическаго элемента у первоначальнаго
объема тѣла, которая соотвѣтствуетъ числовымъ вели-
чинамъ модулей сдвига даннымъ въ прилагаемой та-
бличкѣ1) на стр. 129.
■) Цифры для таблички 7-8 взяты отчасти ить Хвольсона (Курсъ
фязяки, 2 изд., т. 1, стр. 615), отчасти изъ Everett's (Unita and
Physical Constants, русскій перевода Вержбидкаго и Жеребятьева 1888 г.,
стр. 34, 86). Замѣтимъ при этомъ, что въ учебннкахъ дѣдаютъ
ошибку, когда говорить, будто „модуль сдвига" равенъ той ттіъ (Эяу-
сторпннеліу уенл&ю), при которой получился -бы уголъ а сдвига,
равный радіану, т.-е. углу 57°17'44,8", а не 45*, какъ только что пока-
казали мы. Это видно нзъ того, что при „тягѣ" = сл, ин получнмъ
вовсе не уголъ а = (л (онъ будетъ равенъ только 90* = 1,57079 радіана»,
a tgio = ел, такъ какъ сдтгъ иди сколъженіе двужъ поверхностей въ
параллельных* плоскостях».— вовсе не вращеніе- Однако цифры
„модулей сдвига", приводимые въ учебннкахъ совершенно верны, потоку
что расчетъ дѣлается путемъ отдаленной экстраполяции помалБигьугламъ,
у короторыіъ дуги можно признать равными ихъ тангенсамъ.
Поэтому и числа получаются тѣ же, что у васъ, и дѣло сводится къ
неправильности выраженія „уголь" внѣсто „тангенса".

— 129 —
ТАБЛИЦА VIII.
„Модули сдвига", или модули упругой устойчивости
твердых* тѣлъ.
Оии показывають велнчвну каждой н?ь двухъ снлъ, веобходимьиі
для того, чтобы скосить куйнческііі сантиметр!) даннаго вещества ва
угол въ 45' (*), допуская, что овъ не растрескается на кускв
задолго іо этой степени скошенности. Снлы эти даны въ динвіъ. Для яе-
реведенія вхъ въ мегаднвы (или, что почти то ие, въ килограммы
груза) яуяно только отбросить у прнлагаемыхъ цнфръ множитель 10*
(такъ какъ ѵегвдина равна мнлліону днвъ.)
Каучукъ .... около 15.111s
(отъ . 126'0OO.HJ* U'.
Хрусталь I
(до ■ - 160'СЮО.ІО» II'.
Побп.азо'ооо.іда е.
Флинтгласм
(Повр^ОЧЮО.Юв Е.
(огь . . ЗбЗ'ОООЛО" W.
Латунь і
(до - . ЭЭСОООЛО» W.
1 . 7354)00.10" 1Г-
Сталь івчхя ■
[ . 819'01)0.1№ К.
Олово
Серебр
Алюмл і
Цнлкъ
Мѣдь
Жѳ-тбзо
ібзчюо.іо» в.
) . . . . aecj'ooo.io* в.
Ііі ... 32ffOOO.I№ В.
.... 375'ОООЛОС В.
.... 354'000.106 В.
.... 413'000.10* У.
.... 447*000.10» Е,
.... i4ff(m.\№Th.
( . . 7бэ'ооо.іда Е,
\ . . . 6Я$ЧЮ0Л0» IV.
') При чемъ „сдввг-ь" хаждий изъ двухъ перемѣіцаемыхъ сторовъ
куба относительно его среднннвго неВтральнаго сѣченін, гдѣ дѣйствіе
обѣихъенлъуравновѣшпввется.будетъ ьыраіаться, какъ^-fj45* = ?fl-*,
считая за 1+ ребро лервоввчальнаго куба, т.-е. 1 см.
Буквы въ копиѣ етрокъ выражаюгъ имена изелѣдователеЙ;
Е.—Everett; В.—Baumeister; ГА.—Thomson; &—Sarart; 1Г.—'Wertheim. Цифры
взяты отчасти изъ Everett'a: Units aaii Physical Constants, отчасти изъ
Хвольеонв: Курсъ физики т. Г. 615 (5 им-), по въ лослъшемъ случаѣ
перечисіевы съ квлограммовъ и мнллиѵотропъ на дилы и сантиметры,
считая е —981.
Основы b-a-letTQ. ЯВЯ-fP.ia. "

— 130 —
Въ заключеніе разсмотримъ одну особенно
интересную форму упругой деформацні безъ измѣненія объема
тѣла, которая появляется при дѣйствні двухъ различ-
ныхъ по знаку и перпендикулярныхъ другъ къ другу
дву сторонни хъ напряжен т.
Пусть двѣ противоположный другъ другу грани упру-
гаго кубическаго тѣла (ВВ фиг. 45) растягиваются
равными и противоположные по направленію силами Fi
и F2, а перпендику-
лярныя къ нимъ
грани (-4-4), наоборотъ,
ежаяаются такими
же точно силами F3
и Fj. Пока мы при-
нимаемъ во вниманіе
лишь одну
растягивающую пару F, и
F.it мы должны бу-
демъ допустить, что
здѣсь (какъ въ мо-
дулѣ Юнга) оба
поперечные размѣра
первоначальнаго ку-
Фиг. -15. ба уменьшились, и,
кромѣ того, растя-
гивапіе нѣсколько увеличило его первоначальный объемъ.
Но какъ только мы введемъ вторую сжимающую пару
давлепій Fa и Ft въ перпендикулярномъ направленіи
къ первой, то сейчасъ же убѣдимся, что она, во-пер-
выхъ, еожметъ съ боковъ (АА) объемъ тѣла настолько
же, насколько онъ окажется окончательно увеличен-
нымъ въ длину (ВВ), и такимъ образомъ возстановитъ
его первоначальный объемъ, и, во-вторыхъ, возстановитъ
первоначальную высоту тѣла (въ направленіи,
перпендикулярномъ къ рисунку 45-му). Такимъ образомъ обѣ
пары противоположныхъ по знаку напряжение окажутся
равномѣрно работавшими лишь надъ увеличеніемъ длины

— 131 -
первоначальна™ куба на ечетъ его ширины, безъ измѣ-
ненія высоты, объема и плотности. Если мы захотимъ
приложить еще пару силъ (F\ и Fe, фиг. 46), по
третьей оси первоначальная куба, то получимъ два случая,
въ зависимости отъ того, будетъ ли наша новая пара
сжимающая или расширяющая.
Въ первонъ случаѣ первоначальный кубъ окажется
сжатымъ въ ширину и толщину двумя равными парами
перпендикулярныхъ другъ къ другу давленій и
растянуть въ длину только одной парой, которая зато
совершить какъ бы двойную работу въ сравненія съ
каждой изъ первыхъ, т.-е. уравновѣситъ двйствіе обѣихъ,
такъ что первоначальный кубъ превратится въ
квадратную призму (фиг. 46), главная ось которой больше по-
перечныхъ осей.
*-*5Г
Фиг, 46. Первый случай.
Во второнъ случаѣ кубъ окажется растянуть въ
ширину и толщину двумя равными парами силъ, и сжать
въ длину только одной такой же парой, но совершившей
какъ бы двойную работу, такъ что первоначальная
фигура приметь видь квадратной призмы, у которой
главная ось мен-ье боковыхъ (фиг. 47).
Конечно, вмѣсто кубовъ мы можемъ брать и всевоз-
ножныя другія фигуры, напримѣръ, призмы и цилиндры.
Вездв получимъ простое сдатисеніе безъ примѣси объем-
9*

— 132 —
ныхъ изкгѣненні, пока боковыя давленія на единицу
поверхности будутъ равны продольньшъ растягиваю-
щимъ направленіяыъ, или наоборотъ.
Если же для чи-
-3} тателя не ясно, что
обѣ эти дефорнаціи
приводятся къ ком-
бинапін перпендику-
_д- ЛЯРНЫХЪ ДруГЪ КЪ
другу скашиваній,
какъ иы ихъ
представляли на фигурѣ
44, то въ этомъ мс—
гутъ убѣдить его слѣ-
фиг. 47. второй мучаа. дующія соображения.
Бозьиеиъ квадратную пластинку, двѣ стороны
которой растягиваются силами F% и Ft (фиг. 48), а двѣ дру-
гія стороны сжинаются такими же силами F3 и Fv Раз-
~%
Фиг. 4Ѳ.
дѣліімъ ее діагоналями db и cd на четыре части. Тогда
равнодѣѣствующая силъ Ft и F1 (которую обозначимъ
черезъ dj) будетъ какъ бы сдвигать треугольным, аЫ

— 133 —
«ъ діагонали ab, а равводѣйствующая силъ Fa и F3
{обозначенная черезъ с,) будетъ д-влать то же съ треуголъ-
никомъ асЬ, но въ противоположномъ направлеш'и. Та-
кииъ образомъ о&ѣ равнод-Ьйствуюпня (са и d,) являются
именно скашивающими по отношенію къ діагонали аЪ.
Точно такъ же равнодѣиствующая аг у силъ Fa и Ft
и равнодействующая Ъг у силъ Рх и F9 являются
скашивающими силами по отношению къ діагонали cd.
Изъ самой фигуры видно, какъ оба эти перпендику-
лярныя другъ къ другу скашиваюнря усилія слагаются
такъ, что вмѣсто скашиванія фигуры должно получиться.
лишь ея увеличеніе въ длину на счетъ уменыпенія
въ ширину, безъ измѣнеиія высоты и первоначальнаго
объема.
Теперь мы видимъ разливу между объемавоястано-
вляющей упругостью твердыхъ тѣлъ и ихъ форму-
возстатвляющей упругостью. Первая сопротивляется
изнѣненіянъ ихъ нормально сложившегося объема, вто<
рая—измѣненіямъ ихъ нормально сложившейся формы,
Бъ чистомъ видѣ каждая изъ этихъ варшщв рѣдко
проявляется въ природѣ, но взаимодѣйствіе той и
другой и всѣ степени ихъ взашнаго сочетанія и перехода
другъ въ друга наблюдаются какъ въ юнговой
упругости стержней, такъ и въ упругости ихъ крученія, ис-
кривленія и т. д.
XII.
Энергія Е. Живая сила.
Уже одно, сдѣлавшееся стереотиннымъ выраженіе:
„законъ сохраненія энергні въ природе", достаточно пс-
казываетъ, что физическая энергія есть наиболее
типически! факторъ равновѣсія въ жизни вселенной, а потому
и функциональный составъ ея проще всего выводится при
разсмотръ-ніи такихъ явленій, гдѣ наблюдается равновѣ-

— 134 —
сіе двухъ противоположныхъ воздѣйствіп. Возьмемъ, на-
примѣръ, теорію рычага. Наблюденіе показываёть, что
дв-в силы F1 и і*2 (фиг. 49), приложенныя къ двумъ точ-
камъ радіуса J?, перпендикулярно къ этоиу радіусу и
къ оси его вращенія О, и дѣйствующія въ
противоположныхъ направленіяхъ, будутъ уравновѣшивать другъ
друга только въ томъ случаѣ, если разстоянія г, и л,
Д
-S „
а
Фиг. 49.
_£_
Фиг. 50.
точекъ ихъ приложенш отъ оси вращенія рычага окажутся
въ обратномъ отношеніи къ величинамъ самихъ силъ І<\
и F2. Отсюда находимъ:
Ъ-И
(131)
Для того, чтобы понять смыслъ этого выраженія,
припомнимъ, что радіусы г, и га прямо пропорциональны
дуговымъ путямъ ij и Lj {фиг. 50), проходимымъ
данными точками нашего радіуса въ случаѣ его поворота
на какой-либо произвольный уголъ се:
(132)
Значить, предыдущее (131-е) выраженіе на самомъ
дѣлѣ сводится къ следующему:

— 135 —
J?=r' (133)
или
f1L1=FiLi (134)
Это значить, что равновѣсіе двухъ силовыхъ воа-
дѣйствій на рычагъ (или радіусъ) В будетъ имѣть мѣсто
лишь въ тонъ елучаѣ, когда произведемте каждой силы
на путь X, который обязана пройти точка ея приложе-
нія при каждомъ движеніи рычага, будетъ одинаково у
того и другого силового воздѣйствія. Отсюда видно, что
произведете силы F на путь L, пройденный точкой ея
приложенія есть особый физически факторъ, опредѣ-
ляющій эквивалентность деятельности различныхъ силъ
природы, когда мы метаморфизируемъ ихъ въ
двигательный силы. Его наэываютъ физической r-гнергіей. Отсюда
ясно, что и функциональный составь ея есть
E=FL (135)
т.-е. энергія Е возрастаете пряно пропорционально
действующей силѣ F и пути L, проходимому точкой ея
приложенія. Зная же (изъ форм. 105 и 106), что
функциональный составь силы: F=MY-U=MV( -^-f )■ получаемъ
новое выраженіе:
£=ІГРІ-|.1/Р (136)
Послѣдаій членъ этого равенства ■„■■ МѴ* показываетъ,
что энергія можетъ быть иногда опредѣляема очень
просто: какъ половина произведенія массы М на ква-
дратъ ея скорости. И, дѣйствительно, это выраженіе и
служитъ безусловнымъ символомъ кинетической энергіи
или, какъ ее раньше называли, „живой силы",
движущаяся иѣльнаго тѣла. Такова, напримѣръ, кинетическая

— 136 —
энергія летящаго ядра, или планеты, обращающейся во-
кругь ея централышго свѣтила.
Это же выраженіе остается въ силѣ и для всякаго
другого рода энергіи: всѣ онѣ разнятся другъ отъ друга
только отвлеченными коэффициентами, прибавленными
къ этому основному функциональному составу в
обращающимися въ числовыя единицы при соотвѣтетвен-
номъ подборѣ эталоновъ.
Далѣе, въ спеціальныхъ отдѣлахъ, мы покажемъ и
самый алтебраическій видъ этихъ коэффиціентовъ. Вы-
ведемъ, напримѣръ, что переходъ кинетической энергіи
-^-МѴ2 въ калорическую, при остановке движущегося
тѣла, будеть сопровождаться непременно прибавленіемъ
къ ея функціональному составу двухъ отвлеченныхъ
множителей, равныхъ единицѣ: I ~- и \j- , гдѣ М* есть
атомная масса, а £ ея средній путь. Вслѣдствіе этого,
только что указанный символъ кинетической энергіи
-Z-MV* обращается въ
Откуда, зная, что Мя. Г=Л (форм. 101) и-іГГ= f
М
(форм. 91), а-^ — JVa (форм. 5), получаемы
E^NoJaUL (1)
Это и есть тиническій функциональный составъ
калорической энергіи Е„. Она, какъ видно взъ самой формулы:
прямо пропорциональна числу атомовъ (Nx) въ данномъ
тѣлѣ, среднему количеству движешя Л, которымъ обла-
даетъ каждый атомъ, средней частотѣ V повтоненій
этихъ движеній въ данномъ направлены и среднему
пути L, проходимому каждымъ количествен, движеиія J<t
до столкновенія съ другимъ такимъ же количеством
движенія.

— 137 —
Однако детальный очеркъ превращения однихъ ви-
довъ энергіи въ другіе мы можемъ дать только впо-
слѣдствіи, когда познакомимся съ различными
типическими отвлеченными факторами, а теперь замѣтинъ
лишь, что всякій переходъ одного вида энергіи въ
другой сводится въ качественному физико-натематическомъ
анализѣ исключительно къ замѣнѣ однихъ отвлеченныхъ
коэффиціентовъ при общемъ выраженні -^-МѴ* другими
коэффициентами, чѣиъ сразу объяснится и сущность
происшедпшхъ переиѣнъ въ свойствахъ энергіи. Такъ,
напримѣръ, если, говоря о энергіи упругости Ер сжа-
таго въ сосудѣ газа, мы пожелаемъ исключить всякое
представленіе о скоростяхъ или „проходимыхъ путяхъ",
то прибавимъ къ функціональному составу МV1 отвле-
т.-е. энергія упругости Ер газа прямо пропорціональна
средней массѣ М его молекулы, квадрату средней
частоты U ея ударовъ о стѣнки сосуда и удвоенной
величине S поверхности этихъ стѣнокъ.
Абсолютная единила энергіи называется эргомь и
приводится къ кинетической энергіи двухъ тѣлъ, обла-
дающихъ массой, равной двумъ граммамъ и
сближающихся другь съ другомъ со скоростью, равной 1
сантиметру въ секунду.
XIII.
Работа — ЕТ — или процессъ метаморфизированія
энергіи.
Работой мы назьгеаеиъ всякій процессъ превращенія
одного рода энергіи въ другой. Работа оканчивается,
какъ только одна энергія цѣлнкомъ метаморфивирована

— 138 —
въ другую, или между обѣими наступило равновѣоіе.
Поэтому и мѣрой этого физическаго фактора является
количество трансфоиировавшейся (или, какъ иногда
неправильно говорятъ, затраченной) энергіи. Значить, и
функціональный составъ работы Ег долженъ быть тотъ
же самый, что и энергіи;
Е, = Е=~МѴ* <139>
Абсолютной единицей работы служить тотъ же эргъ,
какъ и единицей энергіи. Это—количество работы,
выражающее переходъ одного эрга физической энергіи въ
эргъ другого рода. Понятіе о работѣ вошло въ науку
задолго до того, какъ установилось въ ней понятіе объ
энергіи, этомъ абсолютномъ факторѣ равновѣсія въ жизни
вселенной. 'Даже самое ученіе объ энергіи выводятъ
постоянно изъ не совсѣмъ раціональнаго представленія о
„затраченной" работѣ, хотя во всвхъ явленіяхъ природы
мы замѣчаемъ только метаморфозы, а не „траты". Это й
понятно. Процессъ перехода одного рода энергіи въ
другой особенно обрашаетъ на себя наше вниманІе, какъ и
вообще всякая перелита. При томъ же „работа" слиш-
комъ обычное явленіе въ нашей жизііи: нашъ
собственный организмъ обладаетъ всегда запасомъ физической
энергіи, которая путемъ еоотвѣтствующей работы мо-
жетъ быть переведена въ тотъ или другой родъ энергіи
окружающихъ наеъ предметовъ. Заводя, наприм+ръ,
руками пружину какого-либо метательнаго механизма мы
совершаемъ работу, т.-е. переводимъ нашу мускульную
энергію въ энергію упругости этой пружины, а
заведенная пружина, въ свою очередь, будетъ совершать работу,
переводя энергію своей упругости въ кинетическую
энергію брошеннаго ею тѣла. Брошенное тѣло будетъ то же
совершать „работу тренія объ окружающую среду",
переводя ѳтниъ свою кинетическую энергію въ
калорическую, сосредоточивающуюся какъ въ немъ самомъ,
такъ и въ прилегающихъ областяхъ среды, и, на-

— до —
конецъ, при паденіи и полной остановив гвла, вся
его кинетическая энергія (а вмѣстѣ съ тѣмъ и давшая
ей начало ваша мускульная) цѣликомъ перейдетъ въ
калорическую, которая начнетъ тотчасъ же переходить
въ лучистую и т. д. и т. д. Затрата нашей мускульной
энергіи выражается у насъ чувствомъ усталости и это
чувство, при прочихъ равныхъ условіяхъ (напримѣръ,
времени) служить субъективной мѣрой произведенной
нами работы и остается въ насъ до тѣхъ порь, пока
вся, переданная окружающимъ предметанъ, мускульная
энергія нашего тѣла не будетъ возстановлена на счетъ
химической энергіи питательвыхъ веществъ, находящихся
въ нашемъ органиамѣ.
Въ нѣкоторыхъ случаяхъ переходъ одного рода
энергіи въ другой представляется не совсѣмъ яснымъ съ
перваго взгляда. Всякій знаетъ, напримѣръ, что вл-взть
на высоту по крутому склону несравненно труднѣе, >гвмъ
пройти то же самое разстояніе и въ то же самое время
по нивелированной дороигкѣ. Время р а 0 о ты, взятое
само по себѣ, вліяетъ исключительно иа наше
субъективное ощущеніе усталости, такъ какъ при медленной
работѣ, организмъ легче успѣваетъ возстанавливать
затрачиваемую мускульную энергію, чѣмъ при быстрой,—
абсолютное же количество всякой, напрнкѣръ, мета-
морфизированной деятельностью нашихъ ногъ, энергіи
б удетъ то же самое, взойдемъ ли мы на высоту
недленнымъ шагомъ, или быстро взбѣжимъ на нее.
Разница будетъ только въ одышкѣ, а когда она
прекратится и иройдетъ нѣкоторое время, необходимое для
успокоеція, то ^ставшееся въ муекулахъ чувство
разбитости будетъ совертенно независимо отъ времени
восхождения, а только отъ высоты самаго поднятіа. йтакъ,
всякое восхожденіе на высоту сопровождается спеціаль-
иой работой, т.-е. превращеніемъ мускульной энергіи
нашихъ ногъ вт> какой-то новый родъ энергіи,
характеризующей все наше тѣло на высоте и увеличивающейся
въ насъ по мѣрѣ поднятія. Въ старое время, когда уче-

— 140 —
ніе о функціональноігь составѣ физическихъ факторовъ
находилось еще въ зародышѣ, здѣсь приходилось
ограничиваться констатированіемъ факта, ничего не говоря
о его сущности. Назвавъ этотъ новый родъ энергіи
потенциальной энерггей (или энергіей положенія въ полѣ
тяготѣшя даннаго свѣтила), такъ и останавливались на
одномъ названіи, даже и не пытаясь объяснить
сущности.
Въ настоящее время, когда мы знаешь, что
функциональный составь всякаго рода энергіи есть \ J - -} М-Ѵ2
(гдѣ г± является символомъ отвлеченнаго коэффициента,
способнаго содержать всѣ три основные фактора M-L-V
системы), мы уже не можемъ болѣе довольствоваться
голыми назвавший, а должны допустить, что и мускульная
энергія нашихь ногъ при поднятіи на высоту и
кинетическая энергія всякаго взбротеннаго на нее тѣла
переводится въ особый родъ колебателшыагь деиженій у
атомовъ самого поднявшагося тѣла, или даже у болѣе
элементарныхъ его единичекъ, изъ которыхъ сложены
сами атомы. Такимъ образоиъ каждая высота, или, какъ
выражаются, каждый изопотенціальный уровень въ полѣ
тяготѣнія, долженъ характеризоваться своей
собственной величиной атихъ движеній, увеличивающейся внѣстѣ
съ поднятіемь и приближающейся постепенно къ нѣко-
торому постоянному предѣлу, характеризующему всѣ
мелкія тѣльца (не обладающая собственнымъ замѣтнымъ
полемъ притяжещя) въ глубинѣ вселенскаго океана,
т.-е. на очень болыпихъ разстояніяхъ отъ
значительные свѣтилъ. Паденіе тѣла на свѣтило происходить
исключительно оттого, что эта энергія его интраатом-
ныхъ или, ножетъ-быть, просто, интрамолекулярныхъ
колебаній, склонна (подъ вліяніенъ избытка давлеыія
космической среды съ периферш ноля, принадлежащаго
свѣтилу) постепенно трансформироваться въ
кинетическую энергію всего твла, а когда оно упадетъ, и сама

— ш -
эта кинетическая эяергія должна неизбѣжно
превратиться въ какую-нибудь другую, обыкновенно,
калорическую, энергію. Такъ, напримѣръ, каждая капля дождя,
падающая съ высоты 424 метровъ, нагрѣвалась бы при
своей остановиѣ на зеиной поверхности на 1°С (а прн
билыпей высоте пропорціонально болѣе), если бъ, отъ
тренія о воздухъ во вреия своего движенія и огь удара
о почву при своей остановкѣ, она не отдавала бы и имъ
часть своего тепла. Въ этихъ случаяхъ калорическая
энергія есть не что иное, какъ простой результата,
метаморфоза той вибращонной эвергіи интраатомныхъ или
интрамолекулярныхъ долекъ, которыя характер изуютъ
всѣ тѣла вдали отъ свѣтилъ, и называется потенціадь-
ной энергіей. Скашемъ болѣе определенно: при перене-
сенія всякаго небольшого фнзическаго тѣла въ полѣ
тяготѣнія одного изъ свѣтилъ съ какого-либо верхняго
изопотенціальнаго уровня, гдѣ оно было неподвижно,
на нижнш, гдѣ оно тоже остановилось, его молекулы
обязательно выдѣляюгь изъ себя калорическій эквива-
лентъ, т.-е. нѣкоторый избытокъ специфическихъ атом-
ныхъ движеиій. Слѣдовательно, и, наоборотъ, если бы
какому-либо тѣлу удалось перенестись съ нижняго
изопотенціальнаго уровня на верхній безъ затраты
посторонней энергіи, то это сопровождалось бы неизбѣжно
паденіенъ его температуры. Ртутный столбъ термометра,
взброшеннаго на высоту нѣсколькихъ сотъ метровъ пу-
темъ превращенін его собственной калорической знер-
гш въ кинетическую, опустился бы на нѣсколько гра-
дуеныхъ двленій, а мы сами при такихъже обстоятель-
ствахъ даже и при мёньшемъ поднятш ощутили бы
симптомы лйхорадочнаго состоянія вслѣдствіе пониженія
температуры нашего тѣла.
Значить, разсматривая вопросъ съ теоретической точки
зрѣнія, можно представить себѣ, что часть физіологи-
ческой энергні нашего организма при восхожденш на
гору и часть работы внѣшнихъ силъ, если мы
поднимаемся на воздушномъ шарѣ, идетъ на поддержапіе на

— 142 —
высот-fe нормальной температуры вашего тѣла, допуская,
что часть нашей калорической энергіп превращается
съ каждымъ метромъ поднятія въ новый родъ энергіп,
характеризующейся уже не молекулярными, а
интрамолекулярными или интраатомными колебательными дви-
женіями, идущими, вѣроятно, на преодолѣніе
увеличиваю щагося вмѣстѣ съ поднятіемъ гидростатическаго
давленія, космической среды, сжимающей каждый от-
дѣлышй атомъ (какъ вода сжимаетъ поднимающееся въ
ней пузырьки газа) и эгимъ мѣшающей ему диссоціиро-
ваться на болѣе первичныя единицы.
Съ такой точки зрѣиія космическая среда въ полѣ
притяженія свѣтила представляется какъ бы океаномъ
жидкости, перевернутымъ вверхъ дномъ, а потому и вы-
брасывающимъ погруженная въ ней атомы обычныхъ
веществъ изъ своей (небесной) глубины на свою
„поверхность", прилегающую къ поверхности свѣтилъ.
Насколько вѣроятна эта гидростатическая теорія тя-
готѣнія и потенцгальной энергіп тълъ, требующая,
чтобъ междузвѣздная среда отталкивгигась лучистымъ
образомъ отъ поверхностей свѣтилъ, мы покажемъ въ
спещальной главѣ о тяготѣніи. А теперь, возвращаясь
къ предмету настоя ща го изложен ія, замѣтимъ только,
что гдѣ нѣтъ перехода одной энергіп въ другую, тамъ
нѣтъ и работы. Возьмемъ, напримѣръ, случай, когда
намъ долго приходится держать какую - нибудь
тяжесть. Если бъ эта тяжесть оставалась на напшхъ ру-
кахъ абсолютно неподвижно и не превышала упругости
нашихъ мускульныхъ волоконъ, то руки наши ве должны
бы были чувствовать никакой усталости, какъ долго мы
ни держали бы эту тяжесть. Здѣсь не было бы никакой
работы, а только полное -равновѣсіе двухъ противопо-
ложныхъ другъ другу силъ; силы земного „притяженія",
влекущей эту тяжесть къ центру земли, и равной ей,
но противоположной по знаку силы упругости нускулъ-
ныхъ волоконъ нашей руки.

— 143 —
Однако абсолютной неподвижности въ такихъ слу-
чаяхъ никогда не достигается. Благодаря пульсаціяыъ
отъ дѣятелыюсти сердца и другиыъ физіологическныъ
причинанъ всякая тяжесть на нашихъ рукахъ незаиѣтво
колеблется вверхъ и внизъ. При продолжительноиъ дер-
жанні, всѣ такія отдѣльвыя поднятія суммируются как-ь
бы въ одинъ общій подъемъ, на который и приходится
трансформировать болѣе или ненѣе значительную часть
мускульной энергіп, тогда кань всѣ отдѣльные опуека-
нія суммируются въ одно общее паденіе, а при каждомъ
переходѣ подниманія въ опусканіе выдѣляетсл соотвѣт-
ствующій (хотя и не определимый термометромъ)
калорический эквивалептъ. Только потому наши руки и
и устаютъ въ подобііыхъ случаяхъ. Чтобъ убѣдиться
въ этомъ стоить только искусственно вызвать у
находящейся въ рукахъ тяжести болѣе занѣтныя колебанія,
и мы увидимъ, что чувство усталости появится
значительно скорѣе.
XIV.
Мошентъ пары (енлъ) ^ МѴК
Нетрудно убѣдиться, что иодъ этинъ въ высшей
степени неудачньшъ названіемъ скрывается тотъ же
самый фшическій факторъ — янергія. „Парой силъ0
называется совокупность двухъ
равныхъ и параллельныхъ
силъ -F, и Ft (фиг. 51), на-
пранленныхъ въ противопо-
ложныя стороны и
стремящихся вызвать вращевіе
какого-нибудь тѣла, напри-
мѣр-ь, хоть диска С. Линія I,
перпендикулярная къ на-
правленію обѣихъ силъ,
называется п.гечомъ пары, а произведете
Фиг. 5!.

— 144 -
и получило отъ старинныхъ механиковъ
невразумительное имя' пмо..ченюъ пары", тогда какъ самый
функциональный составь этого фактора достаточно показываетъ,
что онъ не что иное, какъ общая вращательная энергія
двухь равныхъ и противоположныхъ двигательныхъ
воздт;йствйЗ, потому что мы уже опредѣлили энергію
(форм. 135, стр. 135 ), какъ произведете силы F на
путь L, пройденный точкой ея приложенія. А такъ какъ
въ данномъ случаѣ пути идутъ по окружности, радіусомъ
которой служить г и самъ зтотъ радіусъ геометрически
опредѣляется какъ окружность L дѣленная на 2т::
то, внеся это выраженіе въ предыдущую формулу, и по-
лучаемъ полный функциональный составь для „момента
пары" (который мы будемъ обозначать обычнымъ синво-
ломъ энергні Е со значкомъ h внизу)
Elt = F1-2r = MVU±-=Mv(J^~=^.МѴі. . (142)
XV.
Абсолютная температура—Н, или кинетическая энер-
гія калорическихъ атомовъ.
„Если газы находятся при одинаковой
гехяерагурѣ, то средняя кинетическая
энѳргія каждое молекулы въ каждоиъ
газѣ одна в та же". V. Maxtotll.
(Рѣчь и а съѣддѣ Брит.
Ассоц. въ БредфоріЬ).
„Средняя жіівая еила частщъ есть
то, что мы нааываеиъ абсолютной
температурой пял". А- Стп.ѵѣтпвъ.
(Очерк!, раавятія на-
шахъ евѣдѣнй о газагь).
Температура тѣла возрастаетъ, какъ извѣстно, прямо
пропорціонально затраченной на нагрѣвапіе тѣла
калорической энергні Eq и обратно пропорціонально массѣ
М нагрѣваемаго тѣла и его теплоемкости Си. Волѣе

— 145 —
она ни отъ чего не завысить. Значить, имѣемъ для
абсолютной температуры Ѳ такую эмпирическую формулу:
ѳ-ійс (ш>
Но мы знаемъ, что раціональный функциональный
составь всякой энергіи, не сопровождающейся поступа-
тельнымъ движеніеыъ всего тѣла есть MVUL (форм. 136,
стр. 135), а функциональный составь теплоемкости
Ск= -—< гдѣ ц есть масса атома даннаго тѣла. Внеся
оба значенія въ предыдущее выраженіе, получаемъ:
„ MVU ■ L М ТГТ'Т Г, , ,\
е-=-м~^-м-^ЬЬ (144)
Замътивъ, что здъсь М и М, должны быть не чѣмъ
инынъ, какъ двумя символами той же самой массы на-
грвваемаго тѣла, такь что -^ = і, и что выраженіе
jtVUL, по современному взгляду на температуру, есть
кинетическая энергія атомовъ тѣла или ихъ молекулъ,
т.-е. iiVUL= р.Ѵ \-ат) L = -b-py*, получаемъ
окончательно:
Ѳ = і-^(=-І-^0рт) (145)
т.-е. температура 8 опредѣляется кинетической энер-
гіей -g- jtV2 калорическихъ единичекъ даннаго тѣла, т.-е.
полуквадратомъ скорости V такихъ его дробныхъ до-
лекь ft который калорически движутся, какъ одно дѣлое.
А такъ какъ, по самой своей сущности, энергія
является типическимъ факторомъ равновѣсія въ при-
родѣ, то отсюда слбдуетъ, что и равновѣсіе
температурь .у двухъ соприкасающихся или взаимодѣйствую-
щихъ черезъ . окружающую среду тѣлъ, установится,
Осбоны начета, анализа.

— 14+> —
когда кинетическія энергіи калорических ь единнцъ (ато-
мовъ или молекулъ) у обоихъ тѣлъ будутъ равны:
4w=-^mv а«>
или
Н? (м"
т.-е. когда массы у.г и р2 „калорическихъ атомовъ" обо-
ихъ тѣлъ будутъ въ обратномъ отношеніи къ квадра-
тамъ ихъ скоростей F, и V,.
Какъ видитъ читатель, функциональный составъ
температуры мы опредѣлили здѣсь не по предыдущимъ
общимъ методамъ, а изъ эмпирической формулы (143-й).
Однако эта формула вполнѣ охватываетъ веѣ
особенности температуры, какъ своеобразная физическаго
фактора, а потому можеть считаться изотезичной и, слѣ-
довательно, абсолютно справедливой. Температура и
кинетическая энергІя молекулъ, или вообще дробныхъ до-
лекъ твла, движущихся калорически, какъ одно цѣлое,
есть только два вазванія для того же самаго физическаго
фактора. Абсолютиаго эталона температуры въ эргахъ
средней кинетической энергіи молекулы до сихъ поръ
не могли построить, такь какъ даже таніе трудно
сгущаемые газы, какъ водородъ и гелій расширяются не
вполнѣ пропорционально возрастанию кинетической
энергіи ихъ молекулъ. Другіе же, не термометрическіе
способы опредѣлеиія температуры еще менѣе точны.
УСѣдившись, что функциональный составъ
температуры не можеть быіь ничѣмъ инымъ, кякъ -.-г МѴ9,
потому что это кинетическая энергів молекулъ нагрѣ-
таго тѣла, мы можемъ уже и обратно заключить, что
фунщоналышй составъ истинной теплоемкости тоже
не можетъ быть ничѣмъ инымъ, какъ раздробленностью
инертности: Св — ^- потому что только при этихъ уело-

~ 147
віяхъ наше основное (143-е) равенство будетъ изоте-
„ К 1 2 М У 1 2
зично: ь„ = — --jrj- = тг~тгі как-ь мы показали
Н Л/і А. МѴ* > '
уже въ форм. 36-й. Отсюда ясно, что всѣ поправочные
коэффициенты, находимые на практике для этой
формулы, при рааличныхъ физическихъ состояніяхъ вещвт
«тва должны Рыть чисто отвлечен наго характера.
XVI.
Мощность— R (Power). Активность. Интенсивность
работы.
Энергін можетъ трансформироваться, или
передаваться отъ одного предмета или источника другому, бо-
лѣе или менѣе быстро. Сильно нагрѣтое тѣло передаетъ
холодному болѣе калорической анергіи въ единицу
времени, чѣмъ нагрѣтое слабо; человѣкъ и другія жпвот-
ныя могутъ трансформировать свою мускульную энергію
съ различной интенсивностью въ различное время;
машины могутъ работать болѣе или мевѣе быстро. Такимъ
образомъ появляется необходимость ввести въ науку
понятіе о новомъ физической, фактот/в: активности (или
мощности) В источниковъ анергіи. Очевидно, что этотъ
факторъ будетъ прямо пропорціоналенъ количеству энер-
гіи переданной, или трансформированной имъ въ данное
время,, и обратно пропорціоналенъ самому времени Т
-трансформации; -
R=^=,El (148)
Послѣдній членъ равенства показываетъ еще, что
мощность й источника энергіи, или интенсивность его
работы, прямо пропорціональна величинѣ его
элементарной работы Е и частотѣ U ея новтореіий. Если, на-
нринѣръ, каждый ударь молота у молотобоиной машины
10

— 148 —
передаетъ наковальнѣ нилліонъ эрговъ кинетической
энергіи, а частота его ударовъ: одинъ въ двѣ секунды,
то мощность машины будетъ выражаться такимъ
равенство»^
10е / 1 \
К = -.^- = 10е 1-х-) — 5.106 абс. един, мощности.
Приводя функциональный составь мощности къ сии-
воламъ M'L-V системы, находимы
*Ц-^^=4-^(£)=тпг' ■(І49)
Введя въ послѣднее выраженіе отвлеченный множи-
тель -г = 1, получимъ еще:
Lt
D MV> L ИГ*
b=-JlT—Wl (1а0>
Это во ел ѣд нее выраженіе удобно применять къ опре-
дѣленйо мощности нзлученія шарообразныхъ тѣлъ, такъ
какъ 4S геометрически опредѣляетъ величину
поверхности шара, у котораго S есть поверхность наиболыиаго
сѣченія.
Большинство процессовъ, наблюдаемыхъ въ природѣ
представляютъ различный вндоизмѣненія мощности, а
потому этотъ физическій факторъ имѣетъ не меньшее
значеніе для физики и механики, чѣмъ и сама энергія.
XVII.
Ускорительное воздвйепне G пондеро-моторныхъ силъ.
Ускореніе.
Подъ вліяшемъ механическнхъ силъ, напримѣръ, да-
вленія сжатаго воздуха въ стволѣ духового ружья,
инертаая пуля приходить въ движеніе, и скорость этого
движенія равномѣрно прибываетъ внутри ствола съ ка-
ждымъ новымъ мгновеніемъ, пока сила, гонящая это
тѣло, остается постоянной.

— 149 —
Величина ускорительваго воздѣйствія или, какъ ее
просто называютъ, ускорешя Gt всегда оказывается
пряно пропорциональной вызвавшей движеніе сил-і Fj и
обратно пропораіональной массѣ Мг двигаемаго тѣла.
Зтимъ и исчерпываются всѣ зависимости между уско-
решемъ и вызвавшей его силой. Значить, имѣеяъ
равенство;
Ъ=--Ц (І51>
А зная, что раціоналышй функциональный составь
силы F (форм. 104, стр. 88) есть произведевіе элемен-
тарнаго количества движенія J на частоту U его повто-
реніи, находинъ:
ff-T (т)
7.-е. ускорительное воздѣйствіе G3 пряно пропорціо-
нально среднему силовому импульсу J (или, что то же,
одиночному количеству движенія, какъ бы мгновенно
.передающемуся двигаемому тѣлу) и частот» V его
повторения. Затѣмъ оно обратно пропорціонально только
инертной нассѣ Jtfj двигаемаго тѣла. Въ нашемъ при-
мѣрѣ воздушнаго ружья, подъ количеетвомъ движенія J
(или элементарнымъ силовымъ нмпульеомъ) нужно
поникать величину средней молекулы воздуха, помножен*
ной на ея средне - квадратичеекую (т.-е. спотвѣтствую-
пдему среднему квадрату всѣхъ скоростей) скорость воз-
дуншыхъ нОлекулъ по направленію ружейнаго ствола, а
подъ V среднюю частоту повторены всѣхъ иолекуляр-
ныхъ ударовъ о заднюю поверхность пули. Отсюда мы
видимъ, что ускорительное воздѣйствіе силы упругости
сжатаго воздуха на пулю слагалось здѣсь изъ
передававшихся ей молекулами воздуха ихъ количествъ
движенія на всемъ пути внутри ствола. Бели резервуаръ
воздуха въ камерѣ ружья быль очень великъ
сравнительно еъ объемомъ дула, то силу F здесь можно счи-

— 150 —
тать за почти постоянную, а движеніе пули въ стволѣ
почти за равномерно ускорительное.
Если тѣло приводится въ движеніе вмѣсто сжатаг»
воздуха упругостью твердой пружины, то, въ этомъ слу-
чаѣ, присутствие въ функціоналъномъ составѣ ускори-
тельнаго воздѣйствія G элементарна™ силового
импульса J и частоты U его повторешй можетъ показаться
съ перваго взгляда мало понятнымъ, такъ какъ пружина
кажется распрямляющейся плавно безъ веякихъ поры-
вовъ и импульсовъ. Однако это лишь потому, что про-
цессъ распрямленіп сжатой пружины еще недостаточно
вылсненъ въ настоящее время. Тожество
функциональна™ состава у всевозможныхъ ускорительныхъ воздѣй-
етвій не оставляетъ ни малѣйшаго сомнѣнія въ томъ,
что и въ пружинѣ распрямленіе происходить не
абсолютно плавно, а отдельными порывами, такъ какъ и раз-
витге самихъ силъ упругости въ пружинахъ должно
быть въ конпѣ концовъ сведено (какъ мы покажешь въ
специальнонъ отдѣлѣ) къ давлепію окружающей ея
структурный сѣти (т.-е. нацѣпленія молекулъ)
космической среды, приводящей гидростатически ел сосѣдпія
другъ съ другомъ молекулы къ сближенію, а это давле-
ніе, какъ и давление воздуха на сжимаемыя имъ Магде-
бургскіи полушарія (или пулю нашего ружья), должно
происходить отдельными импульсами МѴ, т.-е. слагаться
изъ молекулярныхъ ударовъ среды.
Итакъ, мы нашли, что раціональный составъ всякаго
ускорительнаго воздѣйствія выражается формулой
(!-=ж (163)
Изъ этого слѣдуетъ, что и въ томъ случаѣ, когда
небольшое тѣльце (собственнымъ полемъ тяготѣніи, ко-
тораго можно пренеберечь) падаетъ на небесное свѣѵ
тило, то функциональный составъ получаеиыхъ имъ
ускорительныхъ воздѣйствій будетъ тотъ же самый.
Значить, первичными факторами, вызывающими паденіе

— 151 —
тѣлъ на поверхности свѣтилъ будутъ: Ііизбытокъ^—Js
(фиг. 52) среднихъ количествъ двнженія у молекулъ т,
космической среды, свободно проника-
ющихъ въ промежутки структурныхъ
сѣтей всѣхъ твердыхъ тѣлъ и уда-
ряющихъ по атомамъ .-І5Л, падающаго
тѣла съ „верхней" (т.-е. отвращенной
отъ свѣтила) стороны, надъ средними
количествами двиніенія молекулъ т2
этой среды, удяряющихъ по тѣмъ же
атомамъ съ „нижней" (т.-е.
обращенной къ свѣтилу) стороны, и 2)
частота XI повторенія такихъ ударовъ. Фиг. 52.
(См. таб., стр. 152).
Съ перваго взгляда кажется, что изъ формулы (153-й),
еще должно бы слѣдовать, что ускорение Ѳ1 дожно быть
обратно пропорціонально массамъ атомовъ даннаго гвла.
Однако это вовсе не обязательно для того случая, когда
плотность атомовъ у всвхъ изслѣдуемыхъ современной
физикой тѣлъ одинакова, и когда механичесніл воздвй-
ствія, еъ помощью которыхъ космическая среда вызы-
ваетъ паденіе тѣлъ, имѣютъ гидростатический характеру.
Тогда ускорительное воэдѣйствіе G поля тяготѣнія на
каждый заключенный въ немъ атомъ (какъ и
ускорительное воздѣйствіе окружающей жидкости при всплы-
ванні погруженныхъ въ ней легкихъ гвлецъ) будетъ
независимо отъ его массы М1 такъ какъ уже указанный
нами из&ътокъ количествъ двнженія/j, падающихъ на
этотъ атомъ съ „верхней" стороны, надъ количествами
двнженія Jt,' ударяющими съ „нижней" стороны,
будетъ возрастать какъ разъ пропорціонально о&ьему
космической среды, вытѣсненной атомомъ, а слѣдовательно,
(при неизмѣнной плотности атона) и самой его массѣ.
какъ это елѣдуетъ изъ извѣстнаго закона- Архимеда.
Формула (153-я) въ зтомъ елучаѣ будетъ математически
сботвѣтствовать наблюдаемымъ явленіямъ (т.-е.
одинаковости ускоренія всѣхъ небольших!, тѣлъ въ полѣ тя-

— 152 —
ТАБЛИЦА IX.
Ускорительныя воздѣйствія пондеро-моторныхъ полей
у различныхъ евътнлъ солнечной системы, въ
непосредственное близости оть ихъ поверхностей.
(Состав лев о авторомъ по наибодѣе вйроятнымъ даннымъ конца ХІХвѣка).
Кааввпе свътижь.
I f 1 If f |.| 1
G—-въ телду-
рическ. ед.
26,9
0,43 ??
0,97
1
0,38
2,57
1,15
0,71?
0,75?
0,18
в—въ абсолют,
единицахъ.
с».
26400 ™:
см/
сек.
см.
См.
981
сек.
с».
378
сек.
см.
2520 7SZ
см.
1129 —
сек.
? 7(10—-
сек.
? 738 —
сек.
--=
1
1
I
1
1
Знаки вопроса обозначает*, ненадежность подученныхъ цнфръ,
зависящую оть отсутствія спутника у Меркурія (по которому выло бы
удобно определить паденіе) и оть трудности точно определить діаиетры
Урана и Нептуна за отдаленноетыі.

— 153 —
готѣнія данной планеты), несмотря на присутствие
массы Jtf, падающаго тѣла въ знаменателѣ, такъ какъ J
(представляющее разность J,—Js) въ числителѣ этой
формулы будетъ обязательно изменяться пропорціо-
наиьно этой массѣ и нейтрализовать ея вліяніе въ полѣ
каждого отдѣльнаго свѣтила. Но понятно, что въ по-
ляхъ различныхъ евѣтилъ отношенія ■'° будуть раз-
личны, какъ это и есть на самомъ дѣлѣ.
Итакъ, читатель ввдитъ, что съ этой точки зрѣнія
сила, гонящая тѣло къ центру моторнаго поля планеты
или звѣзды, слагается изъ радіальныхъ разностей прит
талкивающи.хъ и отталкивающихъ количествъ движенія
у молекулъ поля и частоты повторенія тѣхъ и другихъ.
Только эта гидростатическая теорія тяготѣнія и
способна объяснить намъ, почему ускорительныя движенія
при паденіи и большихъ и малыхъ тѣлъ одинаковы на
данномъ свѣтилѣ. Она разсматриваетъ космическую среду
въ полѣ тяготѣнія (какъ мы уже замѣтили выше) въ
видѣ океана жидкости, опрокинутаго вверхъ днонъ надъ
поверхностью каждаго свѣтила и выбрасывающаго изъ
своей глубины на эту поверхность каждый погруженный
въ него посторонній атомъ.
Чтобъ привести предыдущую раціональную формулу
ускорителызыхъ воздѣйствні къ символамъ M*L-V
системы, припомнимъ, что J-—MV (форм. 101) й £"—т>£
(форм. 90). Внеся эти значенія въ формулу (153-ю),
полу чимъ изъ нея:
„ /<А ы0ѵ0іѵ\ _і м, ѵ* ,1М1
Въ поелѣднемъ члееѣ, отбрасывая числовой и отвле-
V2
ченный множители, оставляютъ обыкновенно только -^

— 154 —
и такимъ образомъ получаютъ:
<? = ^ (155)
Однако никогда не слѣдуетъ забывать, что въ этомъ
урѣзанномъ видѣ функциональный составь ускоренія
почти совершенно негоденъ для физико-математическаго
анализа, такъ какъ допускаетъ ускорительныя воздѣй-
ствія безъ участія массъ, что физически невозможно.
Въ качественномъ анэлизѣ явленні тяготѣнія, которымъ
вамъ придется заняться далѣе, всегда приходится
употреблять раціональныя формулы, лучше всего
JU 1 М V*
6^ш ^=-жж;-и- ■ ' ' (156>
Vs
или, принимая Мл -=Мг употреблять: Crt ~уг " ' ' (157)
Замѣтимъ въ скобкахъ, что въ форнулѣ (156-й) &,
и Мг отмѣчены однимъ и тѣмъ же значконъ съ цѣлью
показать, что оба эти символа принадлежать падающему
тѣлу, а буквы безъ значковъ — моторной космической
средѣ въ полѣ тяготѣнія.
Перенеся М1 въ первую часть равенства 156-го, по-
лучимъ:
Мгал=ЛТ'-=Г (158)
т.-е. сила F, гонящая тѣло къ центру поля тяготѣнія
можетъ быть опредѣлена двумя способами: 1)
произведете мъ массы АГ, падающаго тѣла на ускорение Glt
обнаруживаемое инъ при паденіи и 2) произведеніемъ
элементарныхъ силовыхъ импульсовъ J поля на частоту
U ихъ повторения. На практикѣ до сихъ поръ намъ
былъ доступенъ только первый способъ.
До сихъ поръ мы разсматривали одиночныя
односторонняя ускоренія небольшихъ тѣлецъ, падающихъ на
огромныя планеты, при чемъ встрѣчныв движенія са*
михъ планетъ (тоже падающихъ въ это время на данное
тѣльце) мы считали неизмѣримо малыми и потому не

— 155 —
принимали въ расчетъ. Оттого и выходилъ функціо-
нальный составъ ускоренія: G, = ■■ ■ ■ Но если мы
1л
воаьмемъ два равныя тѣла, ускорительно падаюпня къ
центру ихъ общаго тяготѣнія, то ихъ суммарное
ускорение Gr=Gj-|-Gj приметь удвоенную величину, и мы
получимъ функціональный составъ безъ числового
коэффициента:
__ V
9 V*
4 " L L
Это будетъ ускореніе обоюднаго с&лиженія двугь
равных-ъ твлъ. То же самое можно сказать и
относительно солиженія двухъ одинаковыхъ тѣлецъ Л, и Аг
(фиг. 54) симметрично падающигь на планету р съ
противополоншыхъ сторонъ ея пондеро-моторнаго поля
и взаимно уравновѣшивающихъ другъ друга при паденіп.
0—>( з- }'—<Э
Фнг. 54.
Изъ этого обстоятельства (какъ и изъ всѣхъ
предыдущих!, формулъ: упругости двусторонняго усилія,
момента пары силъ и т. д.) читатель можетъ убѣдиться,
что чисдовыя коэффициенты въ нашнхъ функціональ-
ныхъ составахъ исчезаютъ веякій разъ, когда два
одноименные физическіе фактора взаимно уравновѣшиваютъ
другъ друга. Въ этонъ и заключается ихъ теоретическое
значен і е.

— 156 —
XVIII.
Константа пондеро-моторнаго поля въ пространствѣ
трѳкъ независим ыхъ направленій.
Еще Ныотонъ для полей тяготѣнія, а затѣмъ Кулонъ
для электрическихъ и магнитныхъ полей, установили
елѣдующій основной за конь:
Въ каждомъ одиноком^ пондеро-моторномъ полѣ трехъ
изн-вреній силовые импульсы J (или элементарный
количества двнженій, сообщав -
мыя ими въ элементъ
времени постороннимъ тѣль-
цамъ, собственныя поля
которыхъ ничтожны ),ар ла-
біъваютъ пронорніонально
квадратамъ разстояній отъ
центра поля. Отсюдазслѣ-
дуетъ, что произведеніе
G}L3 (гдѣ (г, есть
ускорительное возд'Ействіе мо-
торнаго поля на каждый
попадающій въ него по-
сторонній атомъ на разстоянні L отъ центра этого поля,
a L3 — квадратъ этого разстоянія, ф. 54), есть величина
постоянная для каждаго даннаго поля, если оно не
искажено вліяніемъ постороннихъ полей. Такимъ обра-
зомъ для функціональнаго состава константы пондеро-
моторнаго поля Q им-ѣемъ формулу:
Q = 0,V (15У)
IMF*
или, зная изъ предыдущего, что <?, — — -^ -г (выраж. 156)
получимъ въ символахъ M-L-V системы:
9~, -~ ■ - - (160)
Фиг. 54.
e=f£.£.^*P
Mt

- 157 —
Откуда, при M=Mlf имѣемъ
Q=-Sy*L (161)
Кромѣ того, замѣтивъ, что L всегда можно
представить въ видѣ такой комбинации:
і=Т,} <162»
получимъ изъ предыдущаго:
п МѴ* VS MVTJ-S F-S ,.,„
Q==^—r=~nr=~K' ' ' ' (163)
. Послѣднее выражеше показываетъ, что константа
моторнаго поля можетъ быть еще определяема, какъ
величина: 1) прямо пропорціональная силѣ F тяготѣнія
некоторой инертной массы М въ данной точкѣ поля и
величинѣ S сферической поверхности, проходятей че-
резъ эту -точку и имѣющей своикъ цевтромъ—центрь
поля, и 2) обратно пропорціональная самой
притягиваемой массѣ М. Однако, съ теоретической точки зрѣнія,
особенно важное аначеніе имѣетъ выраженіе (160-е),
послѣдній члевъ котораго показываетъ, что моторный
зарядъ Q скоцленія энергш, образовавшего поле притя-
1 ' 1
жешя, прямо" пропордіоваленъ моторной энергш -д- МV,
заключающейся въ cpejrfc поля на разстоявні L отъ его
центра и самому этому разстоянію, а затѣмъ обратно
пропорціоналенъ массѣ М, двигаемаго полемъ
небольшого тѣла. (собственнымъ полемъ котораго можно
пренебречь)! "■
F
. і) Потому что, какъ мы знаемъ, (форм. 90, стр. 79) U —gy a
S= £* (форм. 61, стр. 56). Следовательно, внеся эти эначенія въ фор-
у ) -= = у = L. ЗіЬсь
ны въ нервыіі разъ прпнѣняеыъ тоть «гособъ замѣны слпяікомъ оСіщаго
символа. L, болѣе опредѣленноіі комбпнаціей физический, факторовъ, о
чемъ мы говорили въ главѣ IV, § в, стр. 63.

— 158 —
Со времени Ньютона и Кулона обыкновенно
принимаюсь, что константа пондеро-моторнаго поля пряно
пропорціональна только насев М вызвавшего это поле
скопленія энергіи и допускаютъ равенство:
M=Q = ~MV*-^ (164)
іі -'"1
** ■ м
или, отбрасывая отвлеченный коэффищентъ -у:
М^--.~ПЬ (165)
Однако это совершенно несправедливо. Уже одинъ
видь этого равенства показываетъ, что въ немъ нЬтъ
законченнаго логическаго смысла: масса можеть быть
равна только извѣстному числу другихъ массъ, а не по-
ловинѣ квадрата какой-то неизвестной скорости,
помноженной на разстояніе L. Конечно мы уже видѣли цѣ-
лый рядъ физическнхъ факторовъ, функционально
приводящихся къ алгебраической коибинацш другихъ. Но
тамъ неизотезтності, равенства была лишь чисто внѣш-
няя, такъ сказать, по одной транскрипціи, потому что
сейчасъ же исчезала, какъ только мы разлагали обѣ
части выражения на основные факторы въ M-L-V си-
стемѣ (см., напр., выраж. 163 или 27 и т. д.). А здѣсь
мы уже имѣемъ веѣ эти три независимые фактора, и ни
одинъ изъ нихъ не можетъ функционально выражаться
въ двухъ другихъ, какъ это показано нами уже въ перво-
начальномъ объясневіи M-L-V системы. Значитъ,
равенство (165-е) есть лишь выраженіе случайной
односторонней зависимости, имѣющей мѣсто въ природѣ только
при „прочихъ неизмѣнныхъ условінхъ". И дѣйстви-
тельно, неудовлетворительность выражепія (165-го) для
электрическихъ полей нритяжепія была
экспериментально обнаружена еще Фарадеемъ и аналитически
обработана Максвелемъ. Если мы желаемъ опредѣлить
массу М электрической энергіи по константѣ еяполяу,
то эту послѣднюю обязательно приходится раздѣлить

— 159 —
еще на квадратъ скорости F0 распространена въ дан-
нонъ полѣ лучистой энергіи, поставивъ, сверхъ того, еще
комплекса [1С] непредусмотрѣнныхъ физическихъ факто-
ровъ пред полагав иыхъ временно постоянными:
М=[ВГ\-У-г (166)
• о
А такт, какъ давно доказано, что квадратъ скорости
Ѵй распространен^ лучистой энергіи, при неизмѣнномъ
химическомъ составѣ поля излучеіия, опредѣляется ра-
венствонъ
»" = § (167)
гдѣ Яц есть упругость среды (см. форм. 119, стр. Ш),
а 7>о—ея плотность, то, внеся послѣднее выраженіе внѣ-
сто V2 въ предыдущее равенство, имѣемъ:
М^-\К']'^ (168)
т.-е. масса М скоплеіня физической энергіи (напримѣръ,
планеты), вызвавшей поле прытяженія или отталкива-
ніи, пряно пропорпіональна не одной константѣ Q ея
поля, а кромѣ того, еще упругости Но среды этого поля,
и комплексу [К] непредусмотрѣнныхъ факторовъ,
который мы аналитически опредѣлимъ далъ-е въ гланѣ о
тяготѣніи физическихъ тѣлъ. Затѣмъ масса М
окажется еще обратно пропорциональной плотности DQ поля
(конечно, лишь въ томъ случаѣ, когда мы опредѣляемъ
ее по константѣ Q этого поля).
Очевидно, что со времени Фарадея и Максвеля
должна, бы быть разъ навсегда оставлена всякая идея опре-
дѣлять. массы у скоплешй физической энергіи по однимъ
конетантамъ ихъ полей, будутъ ли это поля электри-
ческія, магнитный, или обыкновенная тяготѣнія, такъ
какъ всѣ они дѣйствуютъ по тону же самому закону.
Однако по рутинѣ этого дѣлается и до сихъ поръ и,
что всего печальнѣе, служить нерѣдко для теоретиче-

— 160 —
скихъ обобщеній; приводящихъ къ саныяъ
поразительными, несообразностякъ, въ родѣ, напрнмѣръ, того, что
масса тѣлъ можетъ быть совсѣмъ исключена изъ числа'
трехъ основныхъ факторовъ и сведена по формулѣ 165-й
на произведете двухъ остальныхъ факторовъ, т.-е. Vs и L.
Объ этихъ несообразностяхъ намъ еще придется
говорить при спеціальномъ изслѣдованіи полей тяготѣнія,
ТАБЛИЦА X.
Константы пондеро-моторныхъ полей у главныхъ
свѣтилъ солнечной системы.
(Константа земли принята = 1)
Названія. Константы Q.
Солнпе 332S00
Луна 0,11364
Меркурій 0,07 —0,03 (?)
Венера 0.8 ?
Земля 1,00000
Мареъ 0,13
ГОвитеръ 308,0 '
Сатурвт. 93,3
Уран-ь 15,0 ?
Пептунъ 16,0 ?
КВ. Эти коастанты неосторожно смѣтнваютея до сихь uop-ь съ
массами пданетъ и помѣщаются подъ этнмъ неправнльнымъ нааваніемъ
въ учебниказгь. О несправедливости такого обобщенія см. гл, Ѵ1Н, XII—
ХІУ,
Знавь вопроса обоаначаетъ, что іиклѣйтя нпфра данной вонстантн
обозначена лишь приблизительно. F МеркурІя въ виду ею близости кі
солнцу и отсутствія спутннвовъ точное опреділеніе константы поля ветрѣ-
чаегь особенная затрудненія.

— 161 —
а также электричеекихъ и иагнитыыхъ полей, и
особенно въ главѣ X этой книги, а теперь мы ограничимся
лишь заігБчашемъ, что подъ константой поля Q, мы
никогда не подразумѣваемъ массы М вызвавтаго поле
скопленія физической энергіи (и даже не допускаемъ,
чтобъ однѣ инертныя массы могли вызвать вокругъ себя
такія поля). Константа Q, для насъ, есть лишь тотъ фи-
зическій факторъ, который опредѣляется самимъ его
функціональнымъ составомъ,
установленымъ нами въ формулахъ 160-й и 162-й, а
составь этотъ показывает-!., что каждая константа можеть
принимать всевозможныя величины и при тѣхъ же са-
мыхъ массахъ.
XIX.
Потенціальный факторъ пондеро-моторнаго поля (По-
тендіалъ. Потенциальная функція поля).
Значеніе потенціальной функціи въ данной точкѣ
пондеро-моторнаго поля (или просто потенціалъ) можно
опредѣлять различнымъ образомъ.
Въ случаѣ полей притяженія (вѣрнѣе, вовлекающихъ
полей) мы можемъ проще всего сказать, что потенціалъ
Р3 въ данной точкѣ а унихъ: 1) прямо пропорціоналенъ
работѣ Ег, которую совершило бы данное моторное
поле, прогнавъ уекорительнымъ движеаіемъ какой-либо
посторонній, лишенный собственнаго поля, инертный
атомъ отъ своей периферіи (т.-е. изъ очень удалеиныхъ
областей) до данной точки я поля, и 2) обратно
пропорціоналенъ массѣ Мл даннаго атома. Ни отъ чего
другого потенціалъ не будетъ зависѣть. Значить, имѣемъ:
P* = k (П0)
Осилен ядедетв- анализа. 1«

— 162 —
Если же точка о. будетъ центръ поля, то все равно:
• Р."4, (ПІ)
Припоинивъ же, что функциональный составь работы
(форм. 139, стр. 138) есть Ег=^-МѴ2, найдемъ:
р«=тж,г? (172)
гдѣ -ц-МѴ- есть символъ кинетической энергІи, прі-
XJ
обрѣтенной въ данной точкѣ поля атомомъ, падающимъ
изъ очень удаленныхъ областей мірокога пространства,
а М1 сама его масса. Значить, здѣсь M~Mlt а слѣдо-
3d
вательно, -^-=1, такъ что предыдущее выражепіе обра-
мі
щается въ
r, = }i's ■ ■ ("»)
Однако здѣсь мы должны обратить вниманіе
читателя, что такое еокращеніе отвлеченнаго коэффициента
М
-rf-_ можно допустить лишь для моторныхъ полей того же
'"«
санаго физическаго характера и химическаго состава,
потому что у наст, пока иѣтъ никакихъ данныхъ для
утверждения, что инертность массъ, т.-е- ихъ s сопроти-
вленіе ускорительнымъ воздѣйствіямъ, остается та же
самая во всѣхъ возможныхъ въ природѣ поляхъ.
Но съ укаааннымъ ограниченіемъ предыдущая
формула абсолютно върна, и въ ней мы имѣемъ
чрезвычайно простое выраженіе для фуіікціональнаго состава
потенціала. Потенціалъ въ данной точкѣ поля притяже-
нія оказывается прямо пропорціоиальнымъ полуквадрату
той скорости V, которую пріобрѣтаетъ въ этой точкѣ
каждый посторонній атомъ, прогнанный силами поля
отъ его иериферні (т.-е. изъ глубины небесъ до данной
точки, фиг. 55). Такъ, напримѣръ, потенціалъ мотор-

— 163 —
наго поля земли въ точкѣ, находящейся на разеюяніи
6.600 килом етрош, отъ ея. центра (т.-е. около земной
поверхности) опредѣлится полуквадратомъ скорости,
которую пріобрѣтаетъ при встунленіи въ нашу атмосферу
всякій метеоритъ, падающій на землю изъ очень удален-
Фнг. 65.
•I-» 7 нппоі as*sei8+.
Квадраты скоростей, положительные по обѣ стороны отъ нуля.
Діагрюшв нотевтила- для сферическоі оболочки GO, обладающей
констонто? bm«.-£-V«X=8 абс. еднпниъ. Величины потенціаловъ на
дапномъ разстояпіи огь пептра притягивающей оболочки представлены
половинами горнзонтальныяъ линій F*, показывающими ввадраты
скоростей, пріобрѣтаѳиых'ь ннертнымъ атомйм-ь, падающпмъ съ первфѳрін
поля но силовой лннін I.L, При пути тѣлв внутри оболочки 00 потен-
піалъ остается тотъ же- самый, такт, какъ спловыя лииін адѣеь
прерываются, но лито проиаврденіе -^-Г*!, уже не даетт. здѣсь константы
поля.
11*

— 164 —
ныхъ областей неба, когда мы исключинъ скорость его
предварительна™ движепія навстрѣчу земному шару,
или по направлепію отъ иего. Если у другой какой-либо
планеты этотъ полуквадрагь скорости, на томъ же раз-
стоянні отъ ея центра, окажется, напримѣръ, вдвое ме-
нѣе, то и потенціальная функція того поля будетъ
половиной потенніальной функціи земного.
Если бъ въ данной точкѣ дѣйетвіе поля могло
прекратиться, то и гонимый имъ атомъ (или аггрегатъ та-
кихъ атомовъ) понесся бы по инерціи далѣе равномт&р-
нымъ движеніемъ, пока не встрѣтилъ бы препятетвія.
Въ этомъ послѣднемъ случаѣ, т.-е. при какой бы то ни
было останоБкѣ, вся накопившаяся въ неігь
кинетическая энергія переходить въ вибраціонное движете его
атомовъ или молекулъ, которое проявляется въ
повышены] температуры ДѲ даннаго аггрегата атомовъ.
Самая же величина этого повышеыія (если часть его не
потратится на увеличеніе объема тѣла) окажется прямо
пропорціональной потенціалу Ра въ точкѣ прекрашеніи
ускорительнаго движеыія и обратно пропорциональна
теплоемкости Са упавшаго гвла при постоянномъ объемѣ.
Значить, будемъ имѣть
Д0=^ (174)
Откуда путемъ простой перестановки:
Рв=Дв-С?« (175)
т.-е. потенщалъ въ данной точкѣ вовлекающего поля
можетъ быть опредѣленъ приращеніемъ температуры ДѲ
тѣла, „упавніаго" изъ отдаленныхъ областей небеснаго
пространства въ эту точку и остановленнаго въ ней
какимъ-либо препятствіемъ, если будетъ принять во
вниманіе поправочный коэффиціентъ Си отъ
теплоемкости даннаго тѣла. Справедливость этого утвержденія
легко провѣряется тѣмъ, что если мы занѣнимъ въ этой
формулѣ температуру ДО ея функціональнымъ соста-

— 165 —
вомъ^-М" (стр. 145, форм. 145), и сдѣлаемъ то же съ
теплоемкостью Cw = — (форм. 36, стр. 31), то и полу-
чимъ обратно функдіональный составь потенціала 4~ У,
какъ онъ указанъ въ выражении (173-мъ).
Ря=ЮСя=±-цѴ*-±=±-Ѵ> . . . (176)
Это обпцй способъ провѣрки всвхъ фиаическнхъ
формулъ, оказывающих огромныя услуги при
аналитические соображеніяхъ.
Если моторное поле не вовлекающее, а отталкнва-
тельное, то, все равно, функциональный составь его
потенціала останется тѣмъ же самымъ. Только определять
его придется обратнымъ способомъ.
Потенціалъ въ точкѣ а отталкивательнаго поля
окажется: 1) пряно пропордіоналенъ работѣ Е„ которую
совершило бы данное моторное поле, проговя ускори-
тельнымъ движетемъ какое-либо постороннее
(лишенное собственнаго замѣтнаго поля) скопленіе атоновъ наъ
данной точки а въ чрезвычайно удаленныя области не-
беснаго пространства (на „периферно поля") н 2) обратно
пропорціонально массѣ М1 этого скопленіл атомовъ:
Р^ <177>
т.-е. получилось то же самое выражение, что и для втя-
гивающаго поля (форм. 171). Отсюда понятно, что и всѣ
остальным послѣдствія, указанный въ предыдущему
случаѣ, сохраняютъ здѣсь все свое значеніе, только на-
правленіе движенія мѣняетъ свой знакъ. Значить, когда
данный аггрегатъ атомовъ, не обладающих замітнымъ
собственнымъ полемъ, будетъ выгнанъ ускорнтельнымъ
движеніемъ на такое разстояніе, гдѣ дѣйствіе отталки-
вающихъ воздѣйствШ уже неощутимо, то онъ по инер-

- 166 —
ціи пойдеть далѣе равномѣрнымъ движеніемъ, пока не
встрѣтить препятствія на своемъ пути. Тогда, при
остановке, какъ и въ нредыдущемъ случаѣ, накопившаяся
въ немъ кинетическая
А.. .' анергія перейдетъ въ ео-
ѵ" ■_.-+ -J ~-У отвѣтственное количество
- --' К >-*-■/ 'V \ калорической.
•* ж *■+■» ѵ •-. у- „г
; І ^/'-^л^:,'Н'\ \ ВЪ ОДИНОКИХЪ ЛОТор-
~"?"'**^^іЩІУ"И- )" + " ныхъ поляхъ ускоритель-
\ \ * \*t3rf/'?- *: ныя воздѣйствія направля-
'-■, X У--+■■*" X ■' " ются радіально (фиг. Ы>)
,х--.. ~*"--і—"\ ,.-\ и все поле ложно раздѣ-
/'"—Ь \ лить на рядъ кояцентри-
ческихъ оболочекъ, каж-
фиг- дая изъ которыхъ харак-
Концентрпческіе ' няоиотевЩалышо тенияѵвтрн тЬмт. hip са
уровни и рмімьньш енловш лннів териауется тбмъ же са
одннокаго волн. мымъ потешналомъ, а
потому эти оболочки
называются изопотенціальными уровнями. Нормальный же
къ нимъ, лучеобразныя лішіи, по которымъ
направляется пути какъ втягиваемыхъ, такъ и отталкивав-
мыхъ инертныхъ тѣлепъ, называются сило вы ки ли-
піями. ,
Если мы имѣемъ два, или нѣсколько, достаточно
сближенныхъ полей, то они будутъ искажать дѣйствіё
другъ друга. Силовыя линіи соотвѣтственно искривятся
(фиг: 51 и 58), а изопотенніальные уровни перестанутъ
быть сферическими, и обнаружатъ сдавливанія, растя-
женія и даже сліянія, законы которыхъ разсматриваются
въ теоріп потенціальной функціп. Въ спедіальномъ со-
чинеыій мы изложимъ вкратцѣ современное состояніе
этого вопроса и сдѣлаемъ некоторые небезынтересные
выводы.
Въ заключение слѣдуетъ замѣтить, что терминомъ
„потенщалъ" иногда злоупотребляютъ, обозначая имъ
простую „работу"-

— 167 —
Такъ въ иыраженін „потенціалъ системы (т.-е. фиэи-
ческаго аггрегата) самой на <.ебя", подъ словомъ „иотен-
ціалъ" Еонимаютъ простую работу -т-МѴ2 „самопро-
извольнаго" образованія даннаго аггрегата иаъ безконечно
разсѣяннаго состоянія, подъ вліяніемъ одного тяготвнія
другъ къ другу его атомовъ. Такихъ неправильныхъ
прилояіеній уже установившихся терминовъ слѣдуетъ
всѣми силами избѣгать, чтобы не вызывать сбивчивости
въ предетавленіяхъ. „Потенціалъ системы самой на себя"
мы всегда будемъ называть „работой системы самой на
себя".
Фиг. 57.
Изопотеи шальные уровни и енловыя дивіи у двухъ одяородныхъ (оба
при тяга вайщія ими оба оттал.пвающш) скоплевін эиергіи съ
константами ноторныхъ поіеи, относящимися другъ къ другу, какъ 1 къ 4.
АА есть гиперболическая поверхность, гдѣ дѣНствія обоихъ полей
находятся въ равновѣсіи. СО — тнвяческій потевціальныВ (въ впдѣ диірры S)
уровень, вяѣ которого соде дѣлается обіднмъ.

Фнг. 58.
Пзопотепціздыіые уровни н силоныя -ишін двухъ разнороднихъ (ото
съ полохнте.іьпинъ заряюлъ н другое съ огрндатедьншгь) сгіоилеиій
энергии, сі константами падей, относящимися труп къ другу, какъ І ьъ4.
DD есть раздѣляющан оболочка, характеризующаяси нуленмяъ пи-
тенціадочъ: внутри ся нотенціалъ мѣняетъ знакъ. ВВ — ілулопастыаи
н золоте нціальпая обадочка, /тмыі.аюсіаиія овал, в о вокруг t обопхъ сгсо-
пленііі аяері'іи, вяѣ поля чертежа. Ола преіетіідляеп. віілонзиѣпсніс
оболочки СС предыдущей фигуры (57і: внѣ ей иэоиот[>нціал,ные уріжпн
огибаюгь js.s оба скоіиекін энергіи, и ноле, такнлп. образомъ, івлается
обпиімъ.
XX.
Угловое уекоревіе Q. (Угловое ускорительное воздѣк-
ѳтвіѳ иоторныіъ силъ, или учаетйтѳльныя фактор).
Обычное ускореніе О опредѣляется, какъ мы видѣаи
(форм. 157), Еыраженіемъ
__ т/г
Г 2
\J ■= = 1
1л
иэъ котораго видно, что этотъ факторъ, съ функціональ-
ной точки зрѣнія, есть ни что иное, какъ отношеніе

— 169 —
нолуквадрата возникающей въ гвлѣ скорости къ пути /,,
на которомъ она возникаетъ. При круговомъ движеніи
путь этотъ идетъ по дугѣ орбиты, и уголь, описываемый
этой дугой, будетъ обратно пропорщоналенъ ея діи-
метру — 2г. Следовательно, угловое ускорение 2
определится формулой:
G
"2т
Q = (178)
Функціональный составь радіуса г (кань линіи) есть L,
а ускоренія, какъ мы только что видѣли, в=—=—ітя&
путь L, на кототоромь возникаетъ скорость V, мы мо-
жемъ всегда взять равнымъ радіусу г. Внеся эти значе-
нія въ только что полученную формулу, имѣемъ
функціональный составь углового ускоренія въ символахъ
M-L-V системы.
1
У'
Q^G 2
r=(£f- ■ ■ ■ <179)
2r 2V
V
А такъ какъ ^ есть ни что иное, какъ частота
повторенні JJ, то находимъ еще очень простое выраженіе
$=и* (180)
т.-е. угловое ускореніе Q прямо пропорціонально
квадрату учащенія послѣдовательныхъ прохождение черезъ
радіаны, или дуги, равныя радіусу.
Если вмѣсто радіановъ захотинъ выражать этотъ
факторъ въ полныхъ оборотахъ, т.-е. въ единицахъ
въ '1т. разъ большихъ, то величины U будутъ получаться,
конечно, во столько же разъ меньше. Тогда будемъ
имѣть
<і = -^_ (181)

— 170 —
т.-е. угловое ускореніе 2, выраженное въ круговыхъ еди-
ницахъ, будетъ пряно пропорціонально квадрату учаще-
нія Ua оборотовъ даннаго тѣла, дѣленному на отношеніе
окружности къ діаметру.
XXI.
Актинонетрическій факторъ и поле излученія.
Возможна ли потеря калорической энергіи свѣтилъ пу-
тенъ иалученія „въ свѣгоносную среду"?
По вредной привычкѣ старинныхъ фызиковъ давать
неправильный или неподходящія названия, актиноме-
трическій факторъ до сихъ поръ называется „силой
сеѣта", или (въ акустикѣ) „силой звука", хотя на са-
нонъ дѣпѣ онъ не имѣеть ничего общаго съ физиче-
скини силами.
Обыкновенно, его опредѣляютъ, какъ количество
лучистой энергіи Е, проходящей въ единицу времени [Т]
черезъ единицу площади [S], перпендикулярной къ
распространенно лучистой энергіи. Значить, функціональ-
ный составъ актинометрическаго фактора р выражается
формулой:
? = -gT (182)
или, зная, что энергія E=-^-JtfFa, время Т=І-=И, а
у
площадь 8 = is, и что, сверхъ того, ttf есть синволъ
частоты повтореній U, имѣенъ:
Изъ послЬдняго выраженія можно заключить, что
актинометрическй факторъ въ данномъ пункте лучи-
стаго поля прямо пропорціоналенъ массамъ М молекулъ

- 171 -
поля, приводимыхъ въ лучистое колебаніе, и квадрату
частоты этихъ колебаній.
Множитель U* (какъ видно изъ формулы 180) пред-
ставляетъ также функціональный составь углового уско-
ренія. Дѣйствительно, лучистая энергія способна
вызывать вращенія въ свѣтовой мельннпѣ Crookes'a, или от-
клоненія въ радіометрѣ Лебедева. Но такъ какъ частота
повтореній у лучистыхъ колебаній инѣетъ скорѣе видъ
простого движенія взадъ и впередъ, то множитель IP
въ составѣ антинометрическаго фактора было бы
неосторожно отожествлять съ какимъ-либо угловымъ уско-
реніемъ.
Актинометры ческій факторъ имѣетъ большое значеніе
въ метеорологіи, и величина его изнѣряется спещаль-
ными инструментами—актинометрами. Вотъ почему мы и
дали ему такое названіе, взамѣнъ совершенно неподдо-
дящаго термина „сила свъта".
Кромѣ того, необходимо еще замѣтить, что и само,
приведенное нами выше, опредѣленіе
актинометрическаго фактора, будто онъ выражаетъ количество
лучистой энергін, „проходящей" въ единицу времени черезъ
единицу площади перпендикулярной къ направленно
лучей, нужно понимать лишь въ условномъ смыслѣ.
Съ теоретической точки зрѣнія, въ абсолютно
упругой и свободной отъ постороннихъ неупругихъ вклю-
ченій средѣ, всякое разъ начавшееся волненіе должно
поддерживать само себя, такъ какъ здѣсь не
совершается постоянной работы въ одномъ направленіи. Энер-
гія упругости, переданная любымъ участкомъ
вибрирующей молекулы свѣтящагося тѣла окружающей ее упругой
средѣ, должна цѣликомъ возвращаться ему обратными
ударами этой среды, замыкающейся уекорительнымь
движеніемъ за каждымъ отступающимъ молекулярнымъ
участкомъ и побуждающей его продолжать отступленіе
за предѣлы равновѣсія- Въ самомъ же свободномъ полѣ
волнообразующія колебанія молекулъ среды совершаются
но тѣмъ же законамъ, какъ и качанія маятника, т.-е.

— 172 —
неуничтожииы при отсутствш тренія и нагрѣванія въ
этой средѣ. Въ результате все такое поле предста-
вляетъ ве работу, а простую игру упругихъ силъ,
находящихся въ ритмическомъ равновѣсш.
Такимъ образомъ во всякомъ уже установившемся
полѣ излученія у ыебесныхъ тѣлъ° не должно бы
происходить никакой затраты или истеченія лучеобразую-
щей (т.-fi калорической) энергні отъ центральна™ свѣ-
тила „въ окружающую космическую среду тѣвгь болѣе,
что и теплоемкость этой среды, на нагрѣваніе которой
могла бы тратиться лучистая энергія, повидимому, близка
къ нулю, потому что до сихъ поръ нельзя было
обнаружить, чтобъ фнзичеснія тѣла могли передавать ей свою
теплоту контжтомъ.
Значить, и съ этой точки зрѣнія потеря
калорической энергні свѣтидъ посредством^ ея излученія „въ
среду" подвержена большому сомыѣнію, такъ какъ тамъ
ей не во что метаморфизироваться. Поэтому можно
думать, что лучеобразующая энергія свѣтилъ поглощается
въ дѣйствительности (какъ и у нагрѣтыхъ тѣлъ въ
нашей житейской практикѣ) только такими окружающими
телами, который она способна нагрѣвать. Солнечная или
звѣздная теплота можетъ переходить, путемъ излученія
только въ окружающая планеты, кометы, метеориты и
носящуюся въ небесныхъ пространствахъ космическую
пыль, а теплота планетъ, конеть и метеоритовъ—только
отъ однѣхъ къ другимъ и кътой же космической пыли.
Однако, въ этомъ случаѣ, становится очень трудно
объяснить тѣ быстрый охлажденія земной поверхности,
которыя замѣчаются въ безоблачный ночи даже въ та-
кихъ жаркихъ странахъ, какъ Сахара. Космической пыли,
судя по необыкновенной прозрачности междузвѣздныхъ
пространствъ, слишкомъ недостаточно, чтобъ объяснить
такія явленія, и остается только думать, что теплота
земной поверхности излучается въ этихъ случаяхъ въ
верхніе {и чрезвычайно охлажденные, вслѣдствіе разрѣ*
женія при поднятіи изъ нижнихъ областей) слои атмо-

— 173 —
сферы. Переносимые вѣтромъ, эти слои опускаются въ
другихъ мѣстностяхъ, гдѣ при сжатга оть обратнаго
перехода въ еижнія области, они не только снова
возвращаются къ той температурѣ, какая была у нихъ до
поднятія, но сохраняютъ и тотъ придатокъ
калорической энергіи, который получили посредствомъ иэдучешя
снизу во время своего пребыванія въ верхнихъ обла-
стяхъ. Въ результатѣ мы получаенъ тотъ иетеорологи-
чесній парадоксъ (который по внѣшности противоречить
2-му закону термодинамики, но постоянно наблюдается
при перевалѣ вѣтра черезъ высокіе хребты и плос-
когорія), что менѣе нагрѣтыя тѣла могуть передавать
свою теплоту болѣе нагрвтыыъ черезъ посредство по-
перемѣнно сгущающихся и разрѣжающихся газовъ.
Излученіе же въ междузвѣздную среду (помимо
космической пыли) возможно лишь при допущеніи, что она
не абсолютно упруга и притомъ еще обладаетъ
конечной теплоемкостью, что въ высшей степени невѣроятно,
потону что, какъ мы уже замѣтили, никакихъ "призна-
ковъ передачи ей калорической энергіи путемъ контакта
мы не зваенъ, хотя среда эта проносится сквозь мель-
чайнпя поры н между молекулярные промежутки всѣхъ
физическихъ тѣлъ на земнонъ шарѣ, а потому, не
смотря на свою ничтожную плотность могла бы охлаждать
окружающія наст, тѣла не слабѣе холоднаго вѣтра,
дѣйствующаго лишь на однѣ поверхности и не доведен-
наго, (какъ это думаютъ о космической средѣ) до абсо-
лютнаго нуля температуры.
Итакъ, при излученін калорической энергіи
небесными свътилами, приходится объяснять не то, почему
они. такъ слабо остываютъ, а наобороть, почему ихъ
поверхности успѣваютъ такъ сильно охлаждаться въ
зимнее время1).
>) Заыѣчательно, что къ этому же іатрудвевію прншелъ еще равѣе
меня О. Д. Лукашевнть, исходя язь совершен во протнвополохвыхъ
возіірѣнін вз првроду свѣта и предполагал нехіуэнѣздвое пространство
авсолютвон пустотой, которая не мохетъ поглощать никакой эиергіи.

— 174 —
Изъ всего этого читатель видитъ, что актино-wmpu-
чвекій фнкторъ лучше всего (изъ осторожности) опре-
дѣлять какъ „количество лучистой энергін, метаморфи-
зируемой въ теплоту, въ единицу времени, абсолютно
черной пластинкой, обладающей единицей поверхности
и поглощающей всѣ падаюнне на нее (по нормальному
направлешю) лучи". Такое опредвленіе будегь вполнѣ
соотвѣтствовать устройству современных!, актинометри-
ческихъ приборовъ и совершенно исключаетъ вопроса,
объ излученіи энергіи в-ь свободную и, невидимому, не
обладающею теплоемкостью междузвѣадную среду.

ГЛАВА VI.
Отвлеченные фнзичесніе факторы.
I.
ОпрѲдѣлѲнія.
Мы уже знаемъ изъ введенія (стр. 4), что
отвлеченный величины °Х въ физикѣ представляютъ изъ себя
ни что иное, какъ отношеніе другъ къ другу двухъ
одноименныхъ факторовъ х в Х^
0Х=-£ (184)
Мы обозначимъ ихъ символический °Х, я "У и т. д.,
читая: °JT—число икеовъ, °ЗГ—число игрековъ и т. д. Знаю,
же численности (или отвлеченности), нулевой
показатель, ставимъ съ лѣвон стороны буквы, чтобъ не см-Ь-
шивать его съ показателемъ нулевой степени обращать
щииъ данное количество въ единицу, хотя это на еамомъ
дѣлѣ и есть символъ нулевой степени, но только не
самого числа °Х, а его единицы [Х0]^, почему °Х и мо-
жетъ принимать какія угодно числовыя величины. Дѣй-
ствительно, пусть имѣежъ равенство
гдѣ JV—численная величина указаннаго одноименнаго
отношения. Очевидно, что это равенство мы можемъ
написать въ такомъ видѣ:
л ѴѴ°

— 176 —
(такъ какъ, если тл" и X" —два одноименный количества,
то мы всегда можемъ принять, что первая величина ж,"
равна нѣкоторону числу N. вторыхъ величинъ: %t" = NX",
и тогда все дальнѣйшее преобразованіе становится по-
'. X"
нятно: при дѣленш двухъ равныхъ величинъ -^
показатели ихъ вычитаются, а Х°^1).
Значить, функціональный составь всякаго числа N
заключаетъ въ себѣ множитель [Xе] = 1. А потому, чтобы
оставить при численныхъ коэффиціентахъ эту основную
характеристику (нулевую степень ихъ единицъ) и, съ
другой стороны, сдѣлать явнымъ генезиеъ этихъ
множителей, мы и употребляемъ только что указанный сим-
волъ °Х, налримѣръ, °М—коэффиціенть массовой
отвлеченности или число недѣлимыхъ массъ въ данномъ
аггрегатѣ, °L — коэффнщ'ентъ линейной отвлеченности,
или численное отношеніе двухъ путей и т. д. Изъ
основного выршкеніи (184-го) для отвлеченныхъ величинъ, т.-е.
°Х^ф-
очевидно, что
•ХХа = х1 (185)
Значить, всякій разъ, когда, при аналитические нре-
образованіяхъ формулъ мы приходишь къ характерной
комбинации °ХХа, мы моженъ занѣнить ее соотвѣтствую-
щимъ именованнымъ сииволомъ аММй=М; *LLtf=*L и т. д.
Такъ какъ всѣ физичеекіе факторы функціонально
сводятся къ тремъ основным?,, то и всѣ виды
отвлеченныхъ величинъ приводятся въ конпгв-концовъ къ тѣвъ же
тремъ основнымъ отвлеченнымъ величинаиъ:
°М—массовая отвлеченность, °Х—линейная отвлеченность, аѴ—
скоростная отвлеченность.
Никакшгь другихъ источниковъ для генезиса еете-
ствецныхъ чиеловыхъ коэффиціентовъ ни въ физйкѣ, ни
въ геометрні не существуетъ. Искусственные же коэф-
фиціенты, зависятпіе отъ несоотвѣтетвія эталоновъ, ко-

— 177 —
торыии измеряются первая и вторая часть равенства,
всегда можно привести къ единиц* сдѣлавъ формулу
одномѣрной. Вотъ важнѣйигіе изъ отвлеченныхъ физи-
ческихъ факторовъ.
П.
°Л/—массовая отвлеченность. (Число атомовъ
инертности въ данномъ физическомъ тѣлѣ). Удѣльнаа теплота.
Очевидно, что число атомовъ инертности или коэффи-
ціентъ °М массовой отвлеченности даннаго тѣла имѣетъ
такой функциональный составь:
•-=£-* <186>
гдѣ М есть полная масса тѣла, а М0 = ji есть средняя
величина его атома инертности. Бъ калорической энергіи
атомъ инертности почти совпадаетъ ст. химическинъ
атомомъ, въ лучистой энергіи съ отдельно вибрирую-
цшии участками этого атома, въ кинетической энергга
тѣла-т-со всей его массой, а въавуковой съотдѣльными
областями этой массы. Изъ формулы (185-й) очевидно,
что произведете коэффициента массовой отвлеченности
°М на величину М0 атома массы будетъ равно полной
массѣ М даннаго тѣла:
чѣмъ и можно пользоваться, когда аналитическія
преобразования формулы приведутъ къ этой типической
комбинатов.
Для относительнаго избытка атомовъ инертности
имѣемъ:
д 0М = Мл=*к
* 087)
гдѣ М1—М3 функционально сводятся къ М, такъ какъ
разность двухъ одноименныхъ величинъ есть величина
того те наименованія.
Осккы шдасп алалнао. І-*

— 178 —
Массовая отвлеченность проявляется въ удѣльной
теплотѣ физический, тѣлъ, представляющей отноіиеніе
ихъ теплоемкостей С,гі и С^ (форм. 36, стр. 31)
сл-м, і мл
Отсюда мы видимъ, что уЫльную теплоту "М, не
слѣдуетъ аналитически снѣшивать съ теплоемкостью С„,
какъ это часто дѣлаютъ въ виду того, что если при-
мемъ теплоемкость воды = 1, то числовыя значенія обо-
ихъ факторовъ будутъ всегда одинаковы.
Ш.
°Ѵ—скоростная отвлеченность. (Отноніеніе между
двумя скоростями).
Для скоростей нанъ неизвѣстно никакой недѣлимой
при данныхъ условіяхъ величины, на которую мы могли
бы опереться, какъ это мы имѣемъ для массъ. Правда
мы можемъ разлагать каждую скорость на три слагаго-
щія по тремъ осяиъ иірового пространства, но это
разложение чисто условное и притомъ тоже не даетъ
никакой опредѣленной единицы. Поэтому и функциональный
составь скоростной отвлеченности
°f'=-'/ (188)
всегда является отношеніенъ двухъ такихъ скоростей,
изъ которыхъ каждая ножетъ принимать всевозможный
значенія. Однако несмотря на недоказанность
существования атоновъ скорости, отвлеченный коэффиціентъ
у
W-, а также и его видоизмѣненіе—относительный избы-
•о
токъ скорости:
wr^UzpX* (189)
очень часто встрѣчается въ физнческихъ формулахъ,
напрнмѣръ, при опредѣленіи коэффициента удѣльнаго
лучепреломленія, по скоростямъ свѣта въ оптикѣ (см. да-
лѣе, форм. 196).

— 179 —
IV.
°L — линейная отвлеченность. (Относительная
величина путей).
Этотъ стерео метрическій факторъ подсеть проявляться
для насъ въ нѣсколькихъ различныхъ формахъ.
Линейная отвлеченность
"L=l± (190)
можетъ выражать, прежде всего, число элементарныхъ
пряыыхъ Хд въ правильно ломаной линіи,
представляющей, наприігЬръ, перинетръ правильнаго
многоугольника съ числомъ сторонъ = °і (фиг. 59).
Но эта же самая линейная отвлеченность выражаетъ
Фиг. 59. Фиг. GO.
также и величину линейного, или измѣряемаго шгь,
двугранного угла », гдѣ за недѣлимую единицу
считается радіусъ Lo соответствующей этому углу дуги L,
(фиг, 60).
Действительно, простой взглядъ на чертежъ показы-
ваеть, что такой уголъ, при неизмѣнномъ радіусѣ, воз-
растаетъ прямо пропорціональыо дугѣ £,, а при неиз-
мѣнной величинѣ этой дуги, становится тъмъ менѣе,
чѣмъ болѣе ея радіусъ £„. Значить, имѣемъ функщо-
вальный составь угла »:
»=^=в£ (173)
12'

— 180 —
откуда и вндшгь, что всякій линейный или (изнѣряемый
имъ) двугранный уголь есть ни что иное, какъ одно
изъ проявление линейной отвлеченности.
Бъ геометрів уголь можетъ возрастать только отъ
нуля до четырегь прямыхъ угловъ; тогда онъ будетъ
вполнѣ окружать точку и для дальнѣйшаго увеличения
не окажется мѣста. Бъ ме-
ханикѣ же, гдѣ дуга L, раз-
сматривается, какъ путь по
круговой орбитѣ, линейный
уголь является факторонъ
обращенія тѣлъ вокругъ дан-
наго центра, способнымъ
возрастать отъ нуля до безко- „ ,
V ' Радіанъ. Абсолютам единена
нечности по нѣрѣ накопле- перемѣвлаго упа.
нія оборотовъ, а въ случаѣ
обратнаго движения, принимать и всѣ отрицательный
значенія.
Изъ этого видно, что въ теоретической неханикѣ за
единицу угла [«] = 1 всего естественнѣе принять такой
уголъ, у котораго дуга, описанная вершиной радіуеа-
вектора равна самому этому радіусу. Его называютъ
„радіаномъ* или абсолютной единицей угла (фиг. 61).
Онъ равняется 57°29578... или 0,159154... долѣ кругового
угла, вполнѣ объемлющего точку. Соотвѣтственно этому,
самъ круговой уголъ «в окажется равнывгь 2та или 6,28319"
радіананъ.
Особенно интересно въ этомъ случаѣ слѣдующее
обстоятельство, показывающее рѣзкое раааичіе абсолютной
единицы угла отъ обыкновенныхъ градусныхъ. При из-
мѣреніи посредствомъ полныхъ окружностей, или ихъ
ращональныхъ долей, каковы градусныя единицы, всегда
окажется, что одинъ итотъже стереометрически уголъ
можетъ быть равенъ безконечному ряду бѣгучихъ угловъ,
описываемыхъ радіусомъ - векторомъ. Такъ, напримѣръ,
стереометрически прямой уголъ будетъ равенъ бѣгучимъ
угламъ въ 90°, въ 360° + 90°, въ 2 • 360°-U 90°, въ 3 - 360" -f

— 181 —
Л- 90° и т. д. и т. д. Совсѣмъ не то, если мы будемъ
измерять углы радган(ши, Здесь, вслѣдствІе несоизмеримости
стереометрическаго кругового угла съ абсолютной
величиной радіана, каждому бътучему углу, выразимому въ
радіанныхъ единицахъ, или икт. раціоналъныхъ доляхъ,
будетъ соответствовать только одинъ стереометрически
уголъ. Вслѣдствіе этого и путь, отклоненіе котораго отъ
начальнаго направления выражено въ цѣлыхъ радіанагь,
некогда не окажется окончившимся въ томъ же самомъ
направленіи, въ какомъ оеъ начался, какъ бы долго
тѣло не кружилось по своей орбитѣ.
V.
Прямолинейный функціи переивннаго угла. Псевдо-
неизотезичныя формулы. Тригонометрически
отвлеченности.
Однако бѣгучіе углы могутъ измѣрятьея не однимъ
отношеніемъ дуги къ ея радіусу, а также и другими
способами. Въ тригонометрін, напринѣръ, они
представляются періодичеекими функціями прямолинеиныгь
Фиг. 62.
факторовъ, называемыхъ синусами, тангенсами и т. д.
И, наоборотъ, сами эти прямолинейные факторы являются

— 182 —
періодическими функціями бѣгучаго угла. Чтобы
показать, что и здѣсь функціональный составь угла остается
тотъ же самый, — линейная отвлеченность °L, — мы раз-
смотримъ кратко и эти случаи, тѣмъ болѣе, что въ
обыкновенной транскрипціи функціональный составь
тригононетрическихъ величинъ постоянно искажается,
такъ называемыми „упрощешями".
Опредѣливъ соотношенія между этими гонотектиче-
скими факторами обыкновеннымъ способомъ, на чертежѣ
(фиг. 62), изъ нодобія треугольниковъ мы сейчасъ же
находимъ восемь слѣдующихъ оеновныгь формулъ, изъ
которыхъ двѣ послѣднія употребляются чрезвычайно
рѣдко.
ТАБЛИЦА. XI.
Сннуеь
и
коси-
HJCT..
Тавгенсъ
и

котангенс*.
2. С* <а = у'Ш—ИИ^а
* Г* и
ИМ 10
Секанет.
и
косекавсъ
Сниуст.-
нерзусъ и
коишусь-
нерауст..
5. Sec ш = -„-- ■
6. Coscc ш = -
7.ЛЛ sw= Я—<'*м
8Х'яѴ8Ю=й— 8ніЯ
Сииволъ угла » не является въ этихъ формулахъ спе-
ціальнымъ множителемъ, потому что при всѣхъ
возможный, числовыхъ значеніяхъ ш, указанный равенства
остаются справедливыми, но его здѣсь обязательно
ставить для того, чтобъ показать, что всѣ величины въ
данномъ равенств* относятся къ тому же самому углу, а
не къ двумъ различнымъ. Здѣсь ю лишь нѣчто въ родѣ
значка (') при буквенномъ символѣ въ формулѣ, а по
тому онъ и стоить внѣ всякихъ алгебраическихъ дѣй-
ствй. Очевидно, что всѣ эти формулы, линейно изоте-
зичны, такъ какъ каждая приводится къ тожеству і=£,

— 183 —
когда мы замъжімъ всѣ тригононетрическія величины
ихъ общелинейнымъ символомъ X, чѣмъ и доказывается
абсолютная справедливость танихъ формулъ.
Нетрудно видѣть также, что путеиъ простого пре-
образованія этихъ формулъ и подстановки значеніи одного
изъ ея нараграфовъ въ другіе, каждая изъ лредыду-
щихъ величинъ можетъ быть выражена въ видѣ функціи
отъ другой и отъ радіуса принадлежащего имъ круга.
Особенно удобно сводить ихъ всвхъ нъ фуннінянъ
синуса и радіуса. Въ такоиъ случаѣ сд-влавъ соотвѣт-
ствующія преобразованы въ формулахъ предыдущей
таблицы пол у э имъ изъ нея следующую, которую приво-
димъ въ двуяъ траискрипціяхъ.
ТАБЛИЦА XII.
Тригононетрическія величины въ функціягь синуса
и радіуса.
I. — Въ полное транекриііцін.
г • [К]- Ml W
l>**«=-^ * ■
ІЬп»ш<=-%^- ■■■■■-
7. шг*ш=|А]— у/к*-—*м*іі>
8. «г» а — [H\ •—iiti . . . .
II— Въ сокративши травскриіщіи.
l.SS«=i(IB
2. с« « = i/l — га1»
3. Іда-
|/і —*лѴ
i.cotgm-
6. fOtfi' Щ ~
__ f/l — 8І1*Ц
I
(/1—««*»
1_
7.SMPI <и -.- 1 — |/1 — ЧЛ5<>.
S, .*Н св^г 1 «И ІЯ

— 184 —
Первая часть таблицы, какъ видно изъ самаго ея
заглавия, представляетъ полную, рациональную транскрип-
цію тригонометричеекихъ формулъ, вторая же часть
показываетъ обычную сокращенную ореографію, гдѣ
(благодаря исключенію радіуса S, который въ
тригонометрии принято считать равнымъ единицѣ и замѣнять
его этиыъ числовымъ значеніемъ) почти всѣ формулы
кажутся потерявшими свою изотезичность. Такъ, напри-
мѣръ, въ формулѣ 6-й, выраженіе: f-0sfw=——сводится,
Set ІО
при приведеніи къ символамъ M-L-Y системы, на нелѣ-
пое равенство:
L^X- или Ха = 1.
Очевидно, что L2 можетъ быть равно только
некоторому числу другихъ Ц,*, а никакъ не отвлеченной
числовой единицѣ. Но замѣтивъ изъ соотвѣтетвующаго
выраженія первой части таблицы, что подъ единицей
здѣсь именно и предполагался квадратъ радіуса І-0% мы
севчасъ ше убѣждаемся, что неизотезичность равенства
здѣсь только въ орѳографіи, а не по существу. Вотъ
почему такого рода выраженія мы и называешь псевдо-
неизотезичнымн. Нужно признаться, что эта привычка
„упрощать формулы" за пределы ихъ логического смысла
(какъ въ старое время валовая транекригіціи въ химіи)
часто очень затрудняетъ провѣрку полученныхъ при
анализѣ выраженій.
Пусть, напримѣръ, работая съ сокращенными
формулами мы пришли къ такому равенству:
Л/Ю=; і! П92)
Какъ провѣрить справедливость этого вывода? По
внѣшности, такая формула совершенно ни на что не

— 185 —
годится, потому что, замѣнивъ всѣ тритонометрическія
величины ихъ линейнымъ символомъ L, мы получимъ:
h-j-bz? ««куда v=A<A-V) ■ - (іэз)
т.-е. объемъ L^ равенъ лвнін 1^, помноженной на
другую линію 1^, изъ которой вычтенъ объемъ І^>. Здѣсь
нѣтъ никакого логическаго смысла. Однако, вспомнивъ,
что такое искаженіе понятін могло произойти вслѣд-
ствіе привычки выбрасывать изъ формулъ линейные
множители В", принятые равными единицѣ попробуенъ
преобразовать это выраженіе (193-е), приведя обѣ его
часта къ функціяиъ одной и той же
тригонометрической величины, напримѣръ, синуса- Очевидно, что
вторая часть таблицы XII, гдѣ находятся формулы, приво-
дящія къ такого рода выраженіямъ, даетъ намъ всѣ
средства и для обратныхъ преобразованій. Дѣйстви-
тельно, замѣнивъ tgia и свю въ форнулѣ (193-й)
соответствующими ихъ значевіяии, получимъ изъ нея:
8МЮ ѵ ДП3М
|/ 1 —s«% j/l — s»*to — (Vt— sn*af~
~(У1~ s»*u)(i — (/l^s^S/)"
C"|/l— sna«)(l — l+s»K
-|Т=ійГ <1M>
Мы видимъ, что, въ конігв-концовъ, мы привели обѣ
части къ тожеству
та да» и
У1 —ты —У"І=йЛ " " ' (195)
хотя выраженіе 1 —sn*® получаетъ полный логическій
смыслъ лишь въ томъ случаѣ, когда мы припомнииъ, что
подъ единицей здѣсь понимается квадратъ радіуса К2,

— 186 —
т.-е. имѣемъ двло съ разностью двухъ квадратовъ.
Отсюда мы видимъ, что выражение (193-е) было вполнѣ
годно для числовыхх выкладокъ (пока В остается = 1),
но только внѣшній видъ его былъ совершенно искаженъ
упростительной ореографіей, а потому оно и было
совершенно негодно для теоретическихъ соображенні. Задачи
на провѣрку тригонометрическихъ формулъ по только
что указанному способу приводятся во всѣхъ курсахъ
тригонометрні, и такинъ путемъ достигается тожество
обѣихъ частей равенства, но только совершенно
механически, и немногіе азъ людей, проходившихъ эти курсы,
были бы въ состояніи объяснить, почему изотезичность
равенства исчезла при осложнен»! формулы. Такъ мало
воспоминаний остается о первоначальномъра'(Ю««льт«ъ
видѣ формулъ, если мы уже привыкли употреблять ихъ
въ „упрощенномъ" видѣ.
Поэтому неудивительно, что и въ физическихъ во-
просахъ до послѣдняго времени постоянно пользовались,
не обращая на это никакого внимашя, такими
формулами, въ которыхъ знакъ равенства соединяетъ двѣ
логически несоединимый комбинацін физическихъ вели-
чинъ. А между тѣмъ закоиъ изотезичности физическихъ
уравненій имѣетъ несомнѣнно болѣе абсолютный ха-
рактеръ, чѣмъ, напримѣръ, законъ тяготънія Ньютона
или законы Кеплера, и, значить, всв формулы, не
удовлетвори юпц я этому закбну, суть формулы
односторонняя, не охватывающія всѣхъ обетоятельствъ изучаемаго
явленія.
Общепринятая ореографія тригонометрическихъ
формулъ нѣсколько отвлекла насъ въ сторону отъ предмета
настоящей главы — линейныхъ факторовъ перемѣннаго
угла, и теперь мы должны возвратиться къ этимъ свое-
образнымъ величинаиъ.
Какъ мы уже знаемъ (форм. 173, стр. 180),
функциональный составь угла есть линейная отвлеченность °L,
т.-е. отношеніе двухъ линій. Отсюда понятно, что всякіи
уголъ, какъ мы тоже уже замѣтили, можетъ опредѣ-

— 187 —
ляться не только посредствомъ прямого отношенія
образующей его бѣтучей дуги къ ея радіусу - вектору,
но и съ помощью евоеобразныхъ соотношеній между
этимъ радіусомъ и любой иэъ тригонометрическихъ ли-
ній. Эти-то отвлеченныя соотношенія и отмѣчаются въ
таблицахъ тригонометрическихъ величинъ подъ назва-
ніящі sn,cs,tg и т. д., такт, что здбсь мы снова
встречаемся со смѣшеніенъ двухъ понятій подъ однимъ и
тѣмъ же тернинонъ нстннныхъ тригонометрическихъ
линні (линейныхъ факторовъ и функцій бѣгучаго угла)
и ихъ числовыхъ соотношеній съ радіусомъ фиксирую-
щаго ихъ круга. Въ физическихъ формулахъ подъ коэф-
фиціентаии sn и», tg ш и т. д. обыкновенно предполагаются
именно эти отвлеченныя числовыя значенія, т.-е. sna
#» <о cs и
считается за . ™ > cs м за -г™ и т. д.
1-KJ іл]
Возьмемъ напримѣръ, за-
конъ преломленія свѣта; „си-
нусъ угла паденія (sww,). дѣ-
ленный на синусъ угла нре-
ломленія ($лщ), есть величина
постоянная для того же луча
при переходѣ изъ одной
данной среды въ другую" (фиг. 62);
—-'= constant = [°І]. . (196)
эдѣсь ничто не мѣшаетъ
считать и ту и другую величину
за чисто линейные символы
(какъ и во всѣхъ другихъ от-
ношеніяхъ двухъ
тригонометрическихъ величинъ другъ къ
другу) я дѣлать изъ этого со- рмдѣд» сопрмкаеающюся не-
отвѣтствѵющіе теоретические щвствь Р**"""0 состава-
выводы. На это вы всегда бу-
демъ имѣть полное право, потому что, хотя въ каждой изъ
Фиг. №.
Преішиевіе луча врн его яе-
реіодѣ череп поверхность

— 188 —
таиихъ величинъ, по нхъ первоначальному смыслу, и
заключался дѣлигель [Д] = ], но, все равно: попавъ сразу
и въ числитель и въ знаменатель формулы, онъ тотчасъ
же сокращается. Примѣръ такой обработки читатель
увидитъ черезъ нѣсколько страницъ, при спеціальномъ
разборѣ коэффиціента преломленія (форм. 202 и 203)
свѣта.
Пользуясь напшмъ нулевымъ символомъ °А", мы,
въ слѣдующихъ главахъ, будемъ писать Qsn со, Нд се и т. д.
всякій рагъ, когда намъ нужно будетъ отмѣтить, что
въ данномъ случаѣ они предполагаются отвлеченными
величинами.
По мѣрѣ возрастания бѣгучаго угла, соотношенія
между его тригонометрическими линіями и радіусомъ-
векторомъ изменяются разнообразными способами, такъ
какъ каждая тригонометрическая величина
представляется не только факторомъ, но, въ свою очередь, и
„періодической функціей" перемѣннаго угла.
Тангенсъ возрастаетъ отъ нуля до безконечности,
пока бѣгучій уголъ достигаеть величины прямого угла, а
затѣмъ, пройдя черезъ бесконечность, его вершина
возвращается назадъ съ противоположной стороны, совер-
шивъ, такимъ образомъ, кругосветное путеществіе по
всему ніровому пространству, какъ будто по окружности
безконечной величины. То же самое дѣлается и съ секан-
сомъ, но только онъ никогда не уменьшается до нуля,
а лишь до величины радіуса, опредѣляющаго его круга,
какъ своей минимальной величины. Такое перекидываніе
тангенса и секанса въ противоположную сторону (съ по-
ложительнаго направления на отрицательное) всякій разъ,
какъ только они прининаютъ значеніе безконечности,
легче всего понимается, когда чертежъ, на которомъ
нарисованы тригонометрическая линіи, мы представимъ
себѣ нйчтожнымъ участкомъ поверхности шара, обла-
дающаго безкопечно большимъ радіусомъ. Тогда
поверхность нашего рисунка, хотя она и является лишь долей
сферической оболочки, почти ничѣмъ не будетъ отли-

— 189 —
чаться отъ плоскости (какъ и поверхность
незначительного воднаго баесейна на земномъ шарѣ, которая
при большой величипѣ тоже окажется кривой). А между
тѣмъ, на неизмеримо далекомъ разстоянт, какъ разъ
въ положенні антиподовъ, оба противоположныя на-
направленія тангенса и секанса, достигнувшее своей
максимальной величины—полуокружности, будутъ
сливаться въ одной точке.
Синусъ и рѣдко употребляемый синусъ-вераусъ, на-
оборотъ, колеблются все время лишь между нулевымъ
аначеніемъ и величиной радіуса-вектора своего круга,
которая, при всѣхъ условіяхъ, имѣеть конечную
величину.
Эти характерный особенности каждой иаъ пряиоли-
небныхъ функвдй бѣгучаго угла, даготъ прекрасное
средство пряно узнавать, какая иаъ нихъ должна быть при-
мѣнена въ данномъ случаѣ. Возьмемъ, наприиѣръ,
дальность полета брошеннаго шара до его паденш. Каждый,
знаетъ, что если мы толкневъ его горизонтально, то онъ
совсѣнъ не приподымается надъ плоской поверхностью,
на которой онъ лежать. Здѣеь дальность его „налета"
будетъ равна нулю, такъ какъ онъ можетъ считаться
упавшимъ уже въ первый моментъ своего движенія. Но
если толчекъ, а следовательно, и первоначальное на-
правлеше пути, будутъ нѣсколько направлены вверхъ,
то разстояше L точки паденія, при той же силѣ толчка
и тонъ же напряжен ні тяжести на земной поверхности,
будетъ сначала увеличиваться одновременно съ увели-
ченіемъ угла ш (заключающегося между горизонтальной
поверхностью и началышнъ направленіемъ пути), пока
не доетигнетъ нѣкоторой и всегда конечной
максимальной величины. Послѣ этого разетояніе L точки паденія
будетъ уже уменьшаться, несмотря на увеличение угла »,
и когда этотъ уголь доетигнетъ одного прямого, и шарь
будетъ направленъ прямо вверхъ, разстояше до точки
паденія снова обратится въ нуль. При дальвѣйшихъ
возрасташ'ягь угла ю за предѣлы прямаго, явленіе

— 190 —
повторится въ противо положи омъ направленыі. Отсюда
мы видииъ, что разстояніе оть точки броеанія до точки
паденія тѣла на горизонтальной плоскости, при прочихъ
равныхъ условіяхъ, есть прямолинейная функція пере-
мѣннаго угла, и веѣ свойства этой функцні прямо ука-
зываютъ на синусъ, а не на какую-нибудь другую
тригонометрическую величину. Только онъ, да еще косинусъ-
верзусъ. принимаютъ нулевыя значенія при нулевомъ
значеніи угла, и затѣмъ достигаютъ максимальной
конечной величины, поелѣ которой снова уменьшаются до
нуля; но косинусъ-верзусъ настолько рѣдко употребляется
въ анализѣ, что его можно совсѣмъ не принимать въ
разечетъ. Й действительно, при прочихъ равныхъ усло-
віяхъ, разстояніе L точки паденія оказывается прямо
пропорціовальнымъ синусу удвоеннаго угла w, подъ кото-
рымъ наклонено къ горизонту направленіе начальнаго
пути у брошениаго тѣла:
1, = [&>-я(2и) (197)
гдѣ [&] есть символъ „прочихь равныхъ условн!", а ко-
эффиціентъ 2 при « понятенъ изъ того, что разстояніе L
паденія снова принимаетъ нулевое значеніе при углѣ о>,
равнонъ „одному прямому", тогда какъ синусъ снова
обращается въ нуль лишь при угЖБ, равномъ двумъ прямымъ.
Поэтому, чтобы приравнять L къ синусу (выраж. І97)
и, приходится, очевидно, взять синусъ удвоеннаго угла.
Такого рода случаи, гдѣ основныя свойства изучае-
маго явленія, прямо ■ показываютъ въ немъ „функцію
перенѣннаго угла" и позволяютъ съперваго же взгляда
угадать и самое названіе этой функцні, очень часто
встрѣчаются въ физикѣ.

- 191 —
VI.
Важнѣйшія иаъ проиэводныхъ отвлеченноетей.
°$—поверхностная отвлеченность. Тѣлесный уголь и его
фазы. (Фигурность стереонетричеснихъ утловъ).
По самому смыслу напгахъ опредѣленй слѣдуетъ, что
поверхностная отвлеченность "S представляетъ изъ себя
отношеніе двухъ поверхностей S, и So
°-s=5-=^4 <І98>
Это же выраженіе служить абсолютной нѣрой тѣлес-
ныхъ утловъ всякой формы: конусовидныхъ, многогран-
ныхъ и т. д. (фиг. 63—65). Въ этомъ случаѣ символъ £,
представляетъ ту. часть сферической поверхности (съ
ідентромъ кривизны въ вершинѣ даннаго тѣлеснаго угла),
которая заключена въ его полости, a Sa~-L„2 есть ква-
Яратъ радіуса данной сферической поверхности.
Фиг, 63. Фят. 64. Фит. 65.
Мы вайямъ, что тѣлесные углы могутъ принимать
раоигіныя фигуры, которыя вполнѣ определяются
фигурой заключающихся въ нихъ отрѣэковъ сферическихъ
поверхностей Sj. Но всѣ эти фалы тѣлеснаго угла бу-
дутъ равновелики, или эквивалентны другъ другу, пока
отношеніе ' будетъ у нихъ одно и то же. Если по-
верхность Slt при постепепномъ возрастаніи гвлеснаго

— 192 —
угла, увеличится до 2п7^*, что соотвѣтствуетъ гемисферѣ
небеснаго свода, то тѣлесный уголь
o,8 = ^L = 2e (199)
достигнетъ своей критической величины, такъ какъ въ
этотъ ыонентъ веѣ фазы правильно многограннаго или
коничеекаго угла исчезнуть, или еолыотся въ той же
самой, ограниченной геыисферой, фазѣ.
Абсолютной единицей твлеснаго угла {телесный ра-
діанъ) долженъ быть принять такой уголь, у котораго
поверхность Sj (си. фиг. 63—65, стр. 193) равновелика
квадрату, построенному на ея радіусѣ. Въ такомъ случаѣ
„сферически уголь", т.-е. вподнѣ объенлюшій точку, бу-
детъ равенъ 4^ = 12,56636... твлесныхъ радіановъ,
потому что полная поверхность шара, какъ извѣстно изъ
геометріи, равняется 4wB. Подобно тому, какъ у плос-
костнаго бѣгучаго угла ны допускали возможность воз-
растаніи его величины за пределы одной окружности,
при безконечнокъ вращеніи радіуса-вектора, такъ и здѣсь,
по аналогіи ны можемъ допустить возиожность стерео-
метрическихъ угловъ, превышэющихъ 12,56636 твлесныхъ
радіановъ, т.-е. заключающихъ въ себѣ болѣе одной
сферической поверхности. Но такіе болыше углы уже
не будутъ находить себѣ спепдальнаго мѣста въ трех-
нврноиъ пространетвѣ вселенной и веѣ эти „выеии'е
углы" будутъ для насъ стереометрически заключаться
тоже въ предѣлзхъ между 0 и 12,56636... т.-е. сведутся
на наложеше однѣхъ на другіи нѣсколькихъ сфериче-
скихъ поверхностей*).
На оенованіи того иатематическаго закона, что
„разность двухъ одноименныхъ величинъ есть величина того
же наиненовагая", ны можемъ сказать, что „разность
двухъ стереометрическихъ угловъ есть тоже стереоме-
тричесшй уголь". Отсюда прнходимъ къ необходимости
*) См. прю*ізііе I, въ концѣ пята.

— 193 —
доігущенія „объемлющихъ стереометрическихъ угловъ",
какъ они представлены на фиг. 66 и 67-й.
На первомъ рисункѣ „объемлюнцй стереометрически
уголъ" <flj окружаетъ два коническіе угла и предста-
вляетъ ничто иное, какъ разность между ними и пол-
нынъ сферическимъ углонъ. На второмъ рисункѣ объем-
лющйі уголъ представляетъ разность между трехгранньгаъ
угломъ и критической величиной стереометрическаго
Фиг. 66.
Фиг. 67.
угла, ограниченнаго плоскостью SS, Очевидно, что
функциональный составь такихъ угловъ тотъ же самый, какъ
и обыкновенные стереометрическихъ, т.-е. они точно
такъ же опредѣляются отношеніемъ площади S
вписанной въ ихъ полости сферической поверхности къ
квадрату ея радіуеа.
Понятно, что отношеше ~ = -^ можетъ
символизировать не одни стереометрическіе углы, а и всѣ другІе
виды поверхностныхъ отвлеченностей. Такъ, напринѣръ,
отношеше всей поверхности правильнаго многогранника
къ одной изъ его граней, или къ квадрату ея ребра,
при томъ же коэффишентѣ фигурности, тоже будетъ
"=і-
V
(200)
Основы качеств, аВалввя,
13

— 194 —
VII.
Другіе производные отвлеченные факторы. Число
элеиентарныхъ объеиовъ въ общеиъ объеяѣ тЬпа.
Коаффшцентъ лучепреловленія. Возиожноеть ва-
ріаціонныхъ замѣщевій однихъ отвлеченныхъ
факторе въ другими.
Аналогичному расчлененію подвергаются и веѣ
другіе отвлеченные факторы. Тань, напримѣръ, объемная
отвлеченность: °W
ПГ=ІЬ- (201>
Я о
показываетъ число недвлимыхъ объемовъ, т. е.
приходящихся на каждый отдельный атомъ въ общемъ
объемѣ тѣла.
Однако, въ болыпинствѣ случаевъ, удобнѣе разсма-
тривать и числитель и знаменатель отвлеченныхъ
выражений и коэффиціентовъ, какъ простое отеошеніе другъ
къ другу двухъ отдѣльныхъ одноимешіыхъ факторовъ,
а не какъ особую производную физическую величину.
Возьмемъ хоть слѣдующій случай. КоэффицІентъ удѣль-
наго лучепреломленія и, при переходѣ луча изъ одной
среды въ другую, можетъ быть выраженъ двоякинъ
споеобомъ: 1) какъ отношеніе синуса угла паденія (взя-
таго по отношенію къ нормали, опущенной на раздѣ-
ляющую двѣ жидкости поверхность, фиг. 62, стр. 187)
къ синусу угла преломленія:
»-^ (202)
и 2) какъ отношеніе скоростей распространения V, и Ѵг
свѣта въ той и другой средѣ:
«*=£ (203)

— 195 —
Отсюда видно, что коэффиціентъ удѣльнаго преломле-
нія- есть не только факторъ отвлеченный, -но, кромѣ
того, функціонально выразимый двумя способами. И
действительно, приравняв* обѣ функціи (202 и 203-ю) по п,
прнходимъ к-ь равенству двухъ отвлеченных* соотно-
шеній:
1', тш,
fr^i ІШ}
Зная же, что синусы въ этомъ случаѣ могутъ быть
рассматриваемы, как* прямолинейный величины 1^ и L
{форм. 196), можем* написать:
& = ^ (205)
Откуда найдемъ:
у
А зная (форм. 91, стр. 80), что ^у есть функшональ-
ный составь частоты повторений U, получаем*
т.-е. частота повтореній волнообразных* колебаній
остается въ обѣихъ средахъ постоянной. Значит*, только
что приведенные законы преломленія (форм. 202 и 203),
опредѣляющіе постоянство коэффициента удѣльнаго
преломленія для каждых* двухъ данных* веществ*, суть
лишь проявленіе общаго закона „сохранения частоты
колебаній" у изелѣдуемаго луча и въ той и въ другой
«редѣ. Отсюда же ясно, что коэффициенты эти, для того,
чтобы быть сравнимыми между собою, должны всегда
быть относимы къ лучу, обладающему определенной
частотой колебанш, иначе лучепрелоыленіе не приметь
строго опредѣленнаго значенія, что и подтверждается
общеизвѣстнымъ рааеортированіемъ пучка сложвыхъ
лучей бѣлаго свъта въ спектральную полосу при ах* пре-
ломленні призмой, г^гѣ переливы цвѣтовъ от* краснаго
13*

— 196 —
къ фіолетовому соотвѣтствують постепенному
увеличение) частоты колебаній соотвѣтствующихъ лучей. Точно
также и аномальное свѣторазсѣяніе, когда порядокъ
цвѣтовъ спектральной полосы оказывается нарушеннымъ
или искаженнымъ, обусловливается ни чѣмъ инымъ, какъ
измѣненіемъ частоты колебаній при прохождении тъми
или другими лучами данной среды.
Указываемая равенствами (202) и (203) возможность
выражать иногда отвлеченные факторы по произволу,
то однимъ, то другимъ одноименнымъ отношеніемъ
основныхъ факторовъ, оказываетъ большіе услуги въ
анализѣ, такъ какъ позволяет* упрощать формулы.
Подобные случаи подстановки однихъ отвлеченныхъ кояф-
фиціентовъ вмѣсто другихъ, безъ нарушенія абсолютной
справедливости и изотезичности равенства, мы будсмъ
называть „варіащ'онными подстановками".
Въ спеціальныхъ отдѣлахъ этой книги намъ
постоянно придется встрѣчаться съ отвлеченными
факторами и коэффиніентами, но ни одинъ изъ нихъ не
проявляется въ такихъ своебразныхъ формахъ, какъ уже
изученныя нами пространственньш отвлеченности.
VIII.
Общая характеристика отвлеченныхъ факторовъ.
Отвлеченные кояффипіенты, какъ мы уже имѣли
случай замѣтить, играютъ чрезвычайно важную роль въ
физическихъ формулахъ: всѣ виды энергіи,
калорическая, кинетическая, упругости, тяготѣнія и т. д.
отличаются другь отъ друга по своему функціональному
составу лишь присутствіемъ тѣхъ или другихъ
отвлеченныхъ множителей, и переходъ одного вида энергіи въ
другой функционально характеризуется варіапіоннымъ
замѣщеніемъ однихъ изъ нихъ другими.
Эти коэффициенты ни въ какомъ случаѣ нельзя смѣ-
шивать съ тѣми постоянными числовыми множителями,

- 197 -
которые зависятъ отъ несоотвѣтственнаго подбора еди-
ницъ въ обѣихъ частяхъ равенства, или вводятся по
теоретическимъ соображеніямъ, какъ коэффиціентъ -;-
при функшональномъ состав-Ь энергш -^-3/П. Совер-
шенно наоборотъ: отвлеченные коэффиціенты могутъ
возрастать и убывать какъ самостоятельно, такъ и въ
зависимости отъ иэи-вненій именованныхъ факторовъ,
при которыхъ они стоять. Покажемъ это для ясности на
одномъ изъ самыхъ простыхъ геометрическихъ примъровъ.
Пусть намъ нужно опредѣлить зависимость между
величиной квадрата £а,(фиг.68) построеннаго на разности
Й-,
Ф«г. 68. • Фиг. 69.
Квадрате, построев- Квадрате на Квадратъ ял Разность ивадра-
внн ва'разноетн ли- линіи L,. зияіп £j. тояь построенный,
нШ 1^ я ij. ва івнііть Х| и Xj.
двухъ линІй L и Ц,,и разностью квадратовъ >S,—S2I по-
строенныхъ на этихъ же самыхъ линіяхъ (фиг. 69). Здѣсь
мы имѣемъ перемѣнную плоскость въ двухъ различныхъ
<раэахъ, или фигурахъ, и намъ нужно отыскать ихъ функ-
ціональное соотношение между собою. Воспользуемся для
этого введеніемъ комплекса [ft] непреду с мотрѣнныхъ
факторовъ (форы. 24, стр. 18), и резюмируеыъ вопросъ въ
такомъ равенствѣ:
или, замѣнивъ площади S ихъ модулями:
(Ь,-і^=М(Ѵ--Ѵ> (207>
Квадрате иа Разность
«заразности дратовъ ва
двухъ інвіі. тѣте же дн-
нінхъ.

— 198 —
- Такъ какъ и та и другая часть равенства уже изо-
теэичны, то мы заранѣе знаемъ, что коэффиціентъ [к}
можетъ быть лишь отвлеченной величиной. И дѣйстви-
тельно, находимъ:
. (L, - L,Y- _ (L, - £,) (L, - L2) ___ L, - L,
L !~V- V (h -i.)(A 4 ■ A.)~ h Г '-,
Внеся это значеніе въ предыдущую формулу, полу-
чаемъ абсолютную функціональную зависимость между
величиной квадрата S3 (фиг. 68), построенной на
разности двухъ линій, и разностью квадратовъ (фиг- 69),
построенныхъ на этнхъ же самыхъ линіяхъ:
Ss-=-JL^-(L,*-M-= = feri(S1-f-S.)- • • -(209)
Очевидно, что линейно-отвлеченный факторъ -А—г f?-
(., — ц
по мѣрѣ измѣненія площадей St и ■% мѣняетъ свою
числовую величину по определенному закону и можетъ
принимать всевозможный значенія между нулемъ и без-
конечностью. Отсюда понятно, что такого рода
отвлеченности, попадая въ составъ физической формулы, мо-
гутъ искажать даваемый ею результаты, и пока не
разысканъ ихъ функциональный составъ, затрудняютъ
разысканіе именованныхъ факторов-ъ, обусловливающихъ
данное явленіе. Въ такомъ запутанномъ отвлеченностями
видѣ стоигь, напримѣръ, и до настоящаго времени во-
просъ об-ъ измѣненіяхъ интенсивности излученія по
мѣрѣ увеличенія разности между температурами излу-
чающаго тѣла и воспринимающей оболочки, хотя надъ
ннмъ почти непрерывно работали еще со временъ
Ньютона.

ГЛАВА VII.
Всеобъемлющее выраженіе для физичеснихъ факторовъ
въ JZ-Z-F-еистеиѣ и нѣноторыя изъ его приложеній.
I.
О предѣльной сложности функціональнаго состава
возможныхъ въ прирОдѣ физическихъ факторовъ.
Прежде чѣмъ перейти къ изложению практическихъ
примѣненій „качественна™ физико-математическаго
анализа", мы позволишь себѣ въ этой главъ1 остановиться
надъ однимъ вопрос о мъ чисто философскаго характера,
и притоиъ такимъ, рѣшеніе котораго въ положитель-
номъ или отрицательнонъ сныслѣ нмѣетъ очень мало
отношенія къ далыгѣйшимъ главамъ этой книги.
Читатель, не склонный къ отвлеченныиъ размышленіямъ
„о предѣлахъ нашихъ анаши", имѣетъ полное право и
даже долженъ пряно перебросить эту главу и
обратиться къ слѣдующимъ за нею. Дѣло вотъ въ чемъ.
Такт, какъ всѣ физическіе факторы въ какой угодно
снстеиѣ приводятся механикою къ тренъ основнынъ, то
послѣдовательное усложненіе именованной части ихъ
функціоналъныхъ составовъ можетъ быть сведено, въ
концѣ - концовъ, исключительно къ послѣдовательному
увеличение степеней у трехъ основнъксъ факторовъ. На-
примѣръ, въ принятой нами M-L-V-cttcText всякін фи-
зичесній факторъ умѣстится въ обшую формулу
y^J^~ (210)

— 200 —
гдѣ Л" есть какой-либо числовой или отвлеченный коэф-
фиціенть, а х, у и s — цѣлыя числа, служащія
показателями степеней при символахъ трехъ основныхъ факто-
ровъ: массы, скорости и линейнаго протяженія. Дѣйстви-
тельно, считая, напримѣръ N" = -5-, х — \, у~-2 и г —0,
получимъ отсюда выраженіе для энергіи:
Точно такъ же и для всякаго другого изъ возможныхъ
въ природѣ физическихъ факторовъ. Является вопросы
существуетъ ли какой-нибудь конечный предало для воз-
растанія числовыхъ значеній it', у и z въ нашемъ общемъ
выраженіи (210-мъ), или эти числовыя значенія могутъ
возрастать до безконечности, давая функціональные
составы для новыхъ и новыхъ физическихъ факторовъ все
болѣе и болѣе сложнаго характера, пока мы не дойдемъ,
наконецъ, до предѣльнаго, всеобъемлюгцаго фактора съ
функціоналышмъ составоиъ (Ny-M^ 70Э£~~со?. Вотъ
вопросъ, философское и практическое значеніе котораго,
конечно, очень велико.
Но рѣшить его, победим ому, вовсе не трудно. Если бъ
усложненіе функціональнаго состава физичесішхъ
факторовъ шло до безконечности, то иатематическій ана-
лизъ явленйі окружающей насъ природы быль бы
совершенно невозможенъ. Мы не иогли бы въ нихъ найти
никакихъ закономѣрностей — такъ безконечно
переплеталось бы въ каждонъ физическомъ явленні вліяніе этихъ
безчисленныхъ факторовъ. Уже отсюда видно, что
показатели степеней въ нашемъ общемъ выраженіи не воз-
растаютъ до безконечности, а заключаются между
единицей (потому что нулевой показатель есть, уже символъ
М
отношепш двухъ одноименныхъ факторовъ: М°= =4 и т. д.)
Мг
и нѣкоторымъ не особенно большимъ цѣлымъ числояъ.
Нельзя ли какъ - нибудь его опредѣлить? Для сим-

— 201 —
вола L пространственныхъ факторовъ въ нашей формѵлѣ
Л' —— предельное значеніе г есть, очевидно, 3, потому
что L*, Ьѣ и болѣе, т.-е. пространства съ четырьмя, пятью
и т. д. перпендикулярными между собою направлениями
уже ничѣмъ не проявляютъ своего присутствін въ жизни
окружающей насъ природы, тогда какъ вліяніе разстоя-
нні L1, поверхностей L2 и объемовъ L3 обнаруживается
повсюду. Точно такъ же и для показателя у у символа
скорости V мы имѣемъ въ природѣ только три значенія:
I"1 — скорость движенія, -$- Г2—потенціалъ и I"3— ско-
ростной факторъ, присутствующей въ выраженіи
мощности -j- Ml"3. Для установления символовъ V*, Ѵъ и т. д.,
мы уже не можемъ указать никакихъ факторовъ въ при-
родѣ, такъ какъ всякні разъ, когда анализъ приводить
къ этимъ высшимъ степенямъ скорости (наиримъ-ръ, въ
формулѣ излученія Stefan'а) всегда оказывается, что
формула наша заключаетъ въ себѣ еще комплексъ не-
предусмотръ-нвыхъ факторовъ, предполагаемыхъ въ дан-
ныхъ предѣлахъ и условіяхъ постоянными, но понижаю-
щихъ степень I* до нормы, какъ только мы ихъ примемъ
во вниманіе. Если, напримѣръ, въ формулу нашу вошло
Г", то мы можемъ быть уверены, что въ ея „комплексѣ"
заключается еще,по крайней мѣрѣ,-.,- или -,г 6, такъ что
наше первоначальное Г9 обращается на самомъ дѣлѣ въ
или даже въ
такъ что въ именованной части имѣется лишь І'3или Г*.
Еще менѣе числовыхъ аначеній даетъ намъ
современная наука для показателя степени х при символе

— 202 —
массы М° (т.-е. фактора инертности), въ нашемъ общемъ
выражены (210-мъ). Всѣ физическіе факторы, которые
мы разбирали выше, заключали въ себѣ этотъ еимволъ
М' лишь въ первой степени. Законъ тяготѣніл, какъ
онъ данъ Ньютономъ: F=^-3~$i обращающійся при ра-
венствѣ обѣихъ массъ въ ¥■= -^, повидимому, давалъ массу
и во второй степени, но „качественный анализъ" этой
формулы покажетъ намъ въ елѣдующей главѣ, что одна
изъ массъ имѣетъ здѣсь отвлеченный характеръ, такъ
что общая формула Ньютона сведется альтернативно
къ гі = [п]-/--79 и къ -Pi = Ікі \f-fii апотому въине-
нованной части и здѣсь окажется только первая
степень М.
Однако въ нѣкоторыхъ случаяхъ анализъ, можетъ-
быть, приводить и къ настоящему М1 или М3. Если
вместо употребляемой нами абсолютной M-L-V системы,
мы возьмемъ такую, гдѣ за одинъ изъ трехъ основныхъ
факторовъ принять силовой инпульсъ МѴ, то
естественный пред'влъ возрастанія степени у М будетъ тотъ же
самый, что и у Г, такъ какъ оба эти множителя
неразрывно связаны между собою *).
Отсюда мы можешь заключить, что сущеетвуютъ въ
природѣ и такіе, не изслѣдованные еще наукою, факторы
(каковы, напримѣръ, психологическіе) гдѣ показатель
степени у М° тоже можетъ достигать до трехъ еди-
ниігь, но едва ли когда-либо превосходить ее.
Такимъ образонъ все, что мы знаемъ о природѣ и ея
явленіяхъ, заставляеть насъ допустить, что усложненіе
і) Заиѣтнмъ, кронѣ того, что и скорость V неразрывно связана с*
2L
путекъ L въ функцюнальпоиъ составѣ врохени ■» в частота новторе-
Y
ній йт, такъ что предѣлъ возрастанія степенен' у всѣ*ъ треть
основныхъ факторовъ долкенъ быть одинъ н тотъ же.

— 203 —
именованной части у функциональна™ состава физиче-
скихъ факторовъ не идетъ до ІИ°°, Ѵ^~> и І£0, но
останавливается на Ма, V3 и L3, а естественный числовой
коэффиціентъ Лт (въ форм. 210), представляющій изъ
себя обобщеніе коэффиціента — при выраженіи энер-
/IV 1
пи, тоже не идетъ далѣе I —I = —• Такимъ обрааомъ
вт. выраженіи
1 №Г3
w=--^—*-_- (211)
мы, невидимому, имѣемъ функцІоыальный составъ пре-
дѣльнаго по своей сложности физическаго фактора, по
крайней мѣрѣ, въ томъ реальномъ для насъ мірѣ,
который вмѣщается въ пространств* трехъ измъреній. Всѣ
мѵ з/н
остальные факторы, въ родѣ . ^-, или —fir и т. д., ухо*
дятъ уже въ туманныя области метафизики и ничѣмъ
не проявляютъ своего участіи въ жизни окружающей
насъ природы.
Но санъ этотъ предѣльный по своей сложности фи-
зическій факторъ ш (предыдущаго выраженіи) повиди-
мому реально существуетъ и имѣетъ въ природѣ
объединяющее значеійе, такъ какъ функциональные составы
всѣхъ остальныхъ входятъ въ него, какъ отдѣльные
множители1). Дѣйствительно, пока мы употребляемъ нашу
естественную M-L-V■ систему, мы можемъ его выразить
въ какихъ угодно другихъ факторахъ, напримѣръ:
L? 2 2 Xs 2 4
Энергія. Плот- Седовой
аость. надульсъ-
■> Если мы прквелемъ его фуякціоналыіын состав* въ символамъ
другагь абсолютные, снстемъ, то яолучиіп. для ивго, конечво. другія
выраженЫ, во всегда менѣе стровааго характера, чѣмъ въ символам,
І(-1.-Ѵ-свстемы. Такъ, въ Парвжекоі (1881 г.) M-L-T-ceerext яавдеви

— 204 —
М*Ѵ3 1 МѴг 1 „ 1
Упругость. Иперт- Силовой
ность. вяпульсъ.
И Т. Д. И Т. Д.
Намъ кажется, что.нѣтъ ничего „ненаучного" въ
предположен!и, что факторъ такой предельной
сложности долженъ проявлять свое реальное существованіе
уже не въ простой механикѣ „неодушевленныхъ соот-
ношеній въ природѣ", а въ психической жизни живыхъ
существъ, которая вѣдь тоже составляетъ неотъемлемую
часть реальнаго міра, хотя и не поддавалась до сихъ
порт, никакому математическому анализу. Дѣйствительно,
нѣкоторые факторы психической жизни, щшримѣръ,
„интенсивность нашего сознанія" тоже несомненно
квалитативны. При прочияъ равныхъ условіяхъ
„интенсивность сознанія у животныхъ" падаетъ во время сна почти
до нуля и повышается во время бодрствованія до
различной величины, соотвѣтствующей зоологическому виду
животнаго и его индивидуальнымъ особенностямъ- По
сложности своего функціональнаго состава, этотъ фак-
I МѴ3
торъ едва ли уступаетъ актинометрическому -у—jj-
Іформ. 183, стр. 170), который мы уже разсмотрѣли выше.
Поэтому, если мы признаемъ за достовѣрное, что увели-
ченіе степеней именованной части функціональныхъ со-
ставовъ у реально дѣйствующихъ физическихъ факто-
ровъ не идетъ далѣе трехъ еднтщъ, то для разсматри-
ваемаго нами случая не окажется другого выбора, кромѣ
1 -ѴП'з 1 Дрр тт
-у—Ті'"и ~ч~~тТ" "° такъ какт> наше еознаше
способно охватывать всѣ остальные факторы природы, то
предѣльная по сложности формула казалась бы a priori
болѣе подходящей для этого случая.
<• = \рг) > ГД* основные факторы скорости н пути слились въ общигь
символе времени Т.

— 205 —
Однако въ настоящее время математическая
формулировка психологическихъ факторовъ находится еще
въ области простыхъ научныхъ мечтаній, а потому намъ
необходимо спуститься съ этой высоты на болѣе низкн)
уровень, чтобъ не дискретировать всего нашего труда
въ глааахъ людей, скептически относящихся къ
всемогуществу фиаико-математическихъ наукъ.
Все, что мы здѣсь вывели достовѣрнаго, это лишь
тотъ фактъ, что увеличение степеней у трехъ основ-
ныхъ факторовъ въ именованной части фуькціоналънаго
состава не можетъ итти до безконечности, и что
показатели этихъ степеней являются всегда отвлеченными,
чисто числовыми величинами, а не какими-либо особыми
J/LOF'JS
факторами. Взамѣнъ предвльнаго фактора . ,д—,
который дала бы намъ метафизика, природа даетъ намъ, по-
АРѴ*
видимому, только -уд-' къ котоР°мУ мы можемъ
прибавить еще числовой коэффиніентъ ІѴ", аависящій отъ при-
нятыхъ нами единицъ мѣры и отъвходящихъвъ формулу
отвлеченныхъ коэффиціентовъ стереометрической фигур-
ности (гл. IV) въ родѣ числа -, или другихъ аналогичные
указателей фазы, каково, напримѣръ, оенованіе е нату-
ральныхъ логариомовъ и т. д. Эти числовые коэффидіенты
могутъ быть, конечно, какой угодно степени, такъ какъ
это не иамѣняетъ ихъ нулевого порядка: вея кое
одноименное отношеніе N" равное I -^ 1 , какъ мы уже показывали
во И подраадѣленіи главы 1-й, остается отвлеченнымъ
при всвхъ значеніяхъ п, потому что каждому А," въ
числителѣ соотвѣтствуетъ одноименное А2 въ знамена-
телѣ, и приведя дробь (-г) къ виду ^j" ■ А.х ", при
равенств* обоихъ А, мы получаемъ всегда А0, или
числовую единицу.

— 206 —
Итакъ, на основаніи всѣхъ предыдущихъ
соображений мы имѣемъ предѣлышй физическій факторъ съ
функціональнымъ составомъ:
» = N"-
I?
или, если мы не захотимъ въ нашемъ качественномъ
анализ1!; принимать въ расчетъ всевозможныхъ фазо-
выхъ и фигурныхъ коэффиціентовъ, въ родѣ т: или е, то
какъ мы уже имѣли ранѣе (въ форм. 211).
Этотъ факторъ, какъ мы видѣли, долженъ имѣть ха-
рактеръ предѣльнаго, по своей сложности, такъ сказать,
„всеобъемлющего" или , всеобъединяющаго" фактора
природы, въ которомъ альтернативно включаются всѣ
остальные въ віідѣ отдѣльныхъ множителей. Но если
это такъ, то не можемъ ли мы извлечь изъ его функці-
ональнаго состава какую-либо пользу для нашего каче-
ственнаго анализа явленій природы? Намъ кажется, что—
да, но чтобы не быть голословными, покажемъ это на
нѣсколькихъ простыхъ примѣрахъ.
1-й прниѣрь. Возьмемъ извѣстную распредѣлитель-
ную формулу Максвеля, сыгравшую такую важную роль
при установленіи кинетической теоріи газовъ. Изъ из-
лишняго пристрастия къ „упрощешямъ" за предѣлы
раціональности, ее иногда пишутъ въ такомъ видѣ:
(4,481689)ч
гдѣ 2tf, (или ііѴ0) есть число молекулъ газа, скорости
которыхъ заключаются между предѣлами Ѵ1 или Fj-j-iF,,
если считать за единицу скоростей не обычную
абсолютную единицу (сантиметръ въ секунду), а средне-ква-
дратическую скорость молекулъ даннаго газа при изслѣ-
дуемыхъ условіяхъ, а Л"0— число всѣхъ молекулъ, распре-

— 207 —
дѣляемыхъ по скоростямъ въ данномъ газѣ (напримѣръ:
100, 1000 или 10000).
Коэффиціентъ 4,146...= -^. Іі-Ѵау, а коэффи-
я
ціентъ 4,481689 = е2, гдѣ Ѵа есть средне-квадратиче-
ская скорость молекулъ даннаго газа, принимаемая, какъ
мы только что сказали, за единицу скоростей: Fn= 1, а
е—оеноваше натуральныхъ логариомовъ.
Замѣтивъ, что символъ скорости F, попалъ здѣсь въ
показатели степени, чего совсѣмъ не полагается въ на-
шемъ „всеобъемлющемъ" выраженіп (210), мы прямо
заключаема, что подъ Ѵ1 здѣсь должна подразумѣваться
вовсе не скорость, а какая-то скоростная отвлеченность
у
ТГ! = р-(форм. 188, стр. 178), т.-е. отношеніе двухъ
'о
различныхъ скоростей, изнѣняющихся независимо другь
отъ друга.
Дѣйствительно, такъ и писалъ этотъ символъ самъ
Максвель, а потому въ -рацгонально сощащенномъ видѣ
его формула приводятся къ выраженію
(4,4816)
4,146 7s AV
гдѣ V есть уже скорость молекулъ въ абсолютныхъ
единицахъ, Ѵа — ихъ средне-квадратическая скорость, а
остальныя обозначешя тѣ же, что и въ предыдущей
изуродованной формулѣ. Нетрудно видѣть, что формуяа
эта вполнѣ изотезична и притомъ при всѣхъ измѣне-
ніяхъ скоростей V и Ѵа остается формулой нулевого
порядка, такъ какъ всѣ ея множители—отвлечённый
величины.
Точно такъ же и всѣ вообще экспонентныл функщи,
характеризующейся перемѣнной величиной показателя
степени у одного изъ множителей, оказываются функ-

— 208 —
ціями нулевого порядка, т.-е. приводимыми къ
выражению
м°Ѵ° М~"Ѵ°
Лі до — іѴ2 " до '
составляющему отдѣльный случай, подразумеваемый въ
общей формулѣ 210.
2-й врниірѵ Положимъ, что при какихъ-либо мате-
матическихъ выкладкахъ, мы получимъ въ конпѣ-кон-
цовъ выраженіе:
х-К.
Въ этомъ выраженіп символъ 1>, очевидно, выходить
изъ предѣловъ, указываемыхъ нашимъ всеобъемлющимъ
факторомъ Л"* - , гдѣ L только въ третьей степени.
Поэтому мы прямо моженъ сказать, что здѣсь было ка-
М
кое-то недоразумѣніе. Действительно, символъ -^,
получился ли онъ одинъ, какъ ото мы допустили, или
вмѣстѣ съ другими именованными факторами, не можеть
быть ничѣмъ инымъ, какъ метафизической плотностью
въ пространстве четырехъ измѣреній. Значить, одно
изъ двухъ: или мы гдѣ-нибудь ошиблись, поставивъ L*
вмѣсто £*, или пропустили какой-то именованный коэф-
фнщентъ Lu выражающій линейное протяжевіе и по-
нижающій степень знаменателя на единицу, т.-е. виѣсто
нужно было написать
гдѣ D есть обычная плотность.
Теперь мы видимъ, что напгь предѣльный факторъ
можеть не только обнаружить передъ нами ошибку въ
выкладкахъ, но и указать на способъ ея исправлееІя,

— 209 —
т.-е. обнаружить въ ней упущенный поправочный коэф-
фиціентъ. Вотъ эта-то его особенность и должна насъ
болѣе всего интересовать въ качественного физико-
математическомъ анализѣ. Нельзя ли какъ-нибудь
приспособить этотъ предѣльный факторъ къ опредѣленію
отвлеченныхъ коэффищ'ентовъ въ формулахъ, гдѣ
именованная часть функціональнаго состава уже извѣстна?
На этотъ вопроеъ мы еще не въ соетоянш дать
вполнѣ опредѣленнаго отвѣта. А потому, переходя къ
нижеелѣдующимъ замѣчаігіямъ, мы еще разъ предупре-
ждаемъ читателя, что мы емотримъ на нихъ, какъ на
простую попытку къ разработке этого предмета. Если
же читатель и до сихъ поръ не убѣдилея еще въ томъ,
что функциональные составы физическнхъ факторовъ не
усложняются до безконечности и что въ природѣ не
существуетъ пространствъ выше трехъ измѣреній и со-
отвѣтетвенно съ атимъ массовые и скоростные факторы
не усложняются далѣе третьяго порядкаг), то ему лучше
всего прямо перебросить эту главу и обратиться къ
слѣдующимъ, хотя выводы, къ которымъ мы здѣсь
придем ь, и будутъ вполнѣ нащональны, каковы бы ни
оказались внутренняя достоинства употребленнаго нами метода.
Методъ же этотъ таковъ: возьмемъ тожество
выражающее равенство двухъ значепій нашего объеди-
няющаго фактора природы. Приведя обѣ его чаети къ
') Интересно олѣдующее обстоятельство: млн мы вамътниъ, что
( I М*Ѵг \
лъ иашенъ всвобъемммпемъ фвьгорѣ I» — — ——— I чмслнтель
3£зуз г..е. (ЛГУ)1, предегввляегъ еиловоб нмяулъсъ или количество цвн-
кевія МѴ— J, взятое въ третье! степени, то его фуикщональиыВ соегавъ
получить ъххь:
__ 1 J* _X JW»
т.-е. факторъ и прямо нронорціоиалепъ тремъ колиеетвамъ лвиженія
Jt, J", и Jg, ндущниъ по тремъ ортогонвльнымъ морляиатакъ трелііѣр-
вшта пространства, н обратно вроаораіовадѳиъ вёлнчнвъ этиіъ коор-
дннатъ.
Остит них шли. '

— 210 -
2 " £,"""
символамъ нашей ..¥-£-F-системы по сокращенной фор-
мулѣ, имѣемъ:
1 М*Ѵ*_ і М3Ѵа
или, замѣнивъ степени произведениями трехъ отдѣльныхъ
множителей,
Ls AAA J—Ls " AAA J ' l '
Если мы выдѣлимъ изъ обѣихъ частей такого
равенства функциональный составъ какого-либо физическаго
фактора, то всѣ остаточные множители улягутся непре-
мѣнно въ отвлеченные коэффициенты. Выдѣлимъ, напри-
мѣръ, силу "з -£-=2 -^Г
М М^ѴЛ _ і M,Vtl\ Г і *,#£ "I
U АА Г 2 a U АА J
Оетатокъ on. пер- Остотокъ от-ьито-
Сила. вой части всеобъ- Вторая сила. роЭ части всвобъ-
вмлющаго вира- емлницаго вара-
яеиія. аепія.
Перенеси всѣ множители, оставшееся въ скобкахъ,
изъ первой части во вторую, имѣемъ:
1 ѣ!л?і-\№Ь ААѴ і маѵлг3
2 а пда.' aaJ' 2 а
Сила- - Рядъ отвіечевиыхъ Вторая сила,
козффншевтонъ.
Является вопросъ: имѣемъ ли мы право признать всѣ
эти отвлеченные коэффитдіенты, появившіеея при выдѣ-
леніи двухъ различвыхъ (но значкамъ) силъ изъ
нашего всеобъемлющего фактора, равными единицѣ и
выбросить изъ расчета? — Рядъ нижеелѣдующихъ сообра-
жешй показываетъ, что, невидимому, нѣтъ. Да такъ и
должно бы быть, если функціональные составы различ-
ныхъ физическихъ факторовъ (силы, энергіи, мощности

— 211 —
и т. д.) указываюсь намъ лишь различный соотношения
нежду проявлещями деятельности одного и того же ве-
ликаго цѣлаго — Вселенной. Тогда всѣ наши отдѣльные
законы и формулы должны Сыть только частными
случаями одного и того же общаго закона и одной и той
же всеобъемлющей формулы.
П.
Вспомогательный методъ для нахоясденія нъ фун-
кціональномъ еоставѣ фнзнческихъ факторовъ одного
специфическаго рода отвлеченныхъ коэффнпДентовъ
('±!)
„ ,, значеше которыхъ завиеитъ отъ значешя
именованной части функціи. Отвлеченный коэффи-
ціенть такого рода при опредъленіи плотности.
Какъ мы уже говорили выше, иѣкоторые
отвлеченные коэффишенты при фнзическигъ форнулагь ногутъ
измѣнять свое числовое значеше въ зависимости отъ
тѣхъ значенЙ, которыя принимаетъ именованная часть
ихъ функціональнаго состава. Для того, чтобы показать
возможность выдѣлевія одного специфического рода та-
кихъ коэффиціентовъ изъ только что .указаннаго
тожества (2-го), объяснимъ сущность двла на одномъ изъ
проствйшихъ принѣровъ, плотности I), функциональный
«оставь которой, какъ мы знаешь, есть:
»=в=ідаг 12">
Выдѣлимъ за скобки этотъ функциональный составь
изъ обѣихъ частей нашего абсолютнаго
равенства—тожества (21i.ro) по такому обяяатеяыному правилу, чтобъ
значки у вынесенныхъ буквъ были по возможности
различны. Тогда нолучиігъ:
14*

— 212 —
Читатель видитъ, что массы М1 и Ма мы вынесли
иэъ скобокъ такъ, чтобъ значки символа М второй части
равенства были продолженіемъ зыачковъ этого же
символа въ первой (это, какъ увидимъ далѣе, общее
правило). Что же касается до символа пути L, то намъ
пришлось поневолѣ вынести его во 2-й части равенства
съ повторенІями значковъ, такъ какъ всякое продолже1
ніе конечнаго ряда естественныхъ чиселъ ведетъ къ
ихъ періодическому круговому повторенІю.
Замѣнивъ теперь въ первой части функциональный
составь плотности-j-p-y ■ его обычнымъ синволомъ D и
сдвлавъ функцію явной относительно этого D, получимъ:
1
2>- *$L
LiL*ljs
TMJli;VtV2V,
.yJfA-K.F.F,.
(216)
Уничтоживъ значки внѣ скобокъ, какъ болѣе не
нужные, и сокративъ въ скобкахъ всѣ однозначныя
одноименныя отношенія, какъ равныя единицѣ,
получимъ окончательно:
• „ М Г МЛ
т.-е. абсолютная плотность I) оказывается равной массв
М, обнаруживаемой опытомъ въ данномъ объемѣ іа
пространства, принятаго за единицу только въ томъ случаѣ,
если какой-то отвлеченный коэффиціентъ I ^ і остается
равнымъ единицѣ.
Смыслъ этого коэффиціента становится понятныиъ,
какъ только мы припомнимъ, что, кромѣ массъ, доступ-
ныхъ нашему наблюдению въ данномъ объемѣ
пространства, между молекулами изслѣдуемаго тѣла, могутъ
присутствовать еще вещества, совершенно недоступныя

— 213 —
опытному опредѣленію, напримѣръ, молекулы свѣтонос-
ной среды.
Для онредѣленія истиннаго значевія этого коэффи-
ціента и его зависимости отъ опредѣляемой взвѣшива-
віемъ массы тѣла М, замѣтимъ, что если бъ
интрамолекулярной среды совсѣмъ не было, то этотъ коэффиціентъ
быль бы равенъ единицѣ (т.-е. массѣ М взвѣшеннаго
тѣла, дѣленной на самое себя, потому что всякую другую
массу мы въ этомъ случаѣ исключимъ). Всякая же при-
мѣсь посторонняго неуловимаго для насъ вещества М0
увеличила бы числовое значеніе этого коэффициента
(такъ какъ иетішшя абсолютная плотность оказалась
бы больше опредѣляемой вами). Значить, мы должны
прибавить къ числителю массу этого вещества М0. Та-
кимъ образомъ имѣемъ:
А внеся это въ предыдущую формулу, находимъ
окончательно:
Л=['+Я£ •': • " ; (2|9>
т.-е. истинная плотность D вещества обратно пропор-
ціональна. нанимаемому имъ объему и прямо пропорціо-
нальна опредѣлимой опытомъ массѣ М вещества въ дан-
номъ объемѣ, помноженной на отвлеченный коэффиціентъ
І-ЬгТ*' гд* "ST есть отношенІе неопредѣлимой опы-
томъ массы М0, присутствующей въ этомъ объемѣ, къ
иямѣренной нами массѣ. Если, напримѣръ, М0 = М, то
М
1 -}--—В = 2, я тогда истинная плотность будетъ вдвое
больше полученной нами.- Понятно также, что коэффи-
V V V
діентъ отъ скоростей T/W3 > приравнявпнися въ фор-
кулѣ (216) къ единицѣ, и дѣйствительно не можетъ

— 214 —
оказывать никакого вліянія на опредѣляемую нами
плотность.
Точно такт, же и наоборотъ: очень часто бываютъ
случаи, когда въ данномъ физическоыъ явленш дѣятель-
нымъ факторомъ бываетъ не абсолютная масса тѣла, а
ея избытокъ или недоетатокъ сравнительно съ массой
вытѣсненной ею среды. Эти избытки или недостатки
обусловливаютъ всѣ гидростатическія воэдѣйствія, про-
исходятъ ли они въ космической средѣ или въ обычныхъ
жидкостяхъ и газахъ. Безъ нихъ тѣло какъ бы сливается
съ окружающей его средою и не представляетъ болѣе
точки опоры для силъ, возникающихъ въ ней, какъ дина-
мическомъ полѣ. Въ этомъ случаѣ имѣемъ для
избыточной плотности D,:
Сравнивая это выраженіе съ предыдущимъ (219), мы за-
нѣчаемъ здѣсь лишь разницу знаковъ у отвлеченныхъ
коэффициентовъ. Смыслъ знака минусъ у послѣдняго
выраженІя настолько же понятенъ, какъ и гмюсъ у пре-
дыдущаго. Пока масса М0 вытѣененной среды меньше
массы М] вытѣснившаго ее тѣла, коэффициенты 1 — -ѵѵ-|
сохраняетъ положительное значеніе (тѣло тонетъ въ
жидкости); въ противнонъ же случаѣ коэффиціентъ
становится отрицательнымъ (и тѣло начинаетъ всплывать).
Мы нарочно выбрали этотъ простой примѣрь для
перваго объясненія метода. Теперь мы перейдемъ къ
разбору по тому же способу болѣе сложныхъ случаевъ.
lit
Опредѣленіе специфичесваго отвлеченнаго коэффи-
вДента при функціонадьнонъ составѣ разности потен-
'ЦІадовъ въ пондеро-ноторномъ полѣ треуь
независимые направлений.
Въ надлежащемъ мѣстѣ мы уже показывали, что
разность потенціаловъ въ динамическомъ полѣ опредѣляется

— 215 —
полуквздратонъ скорости, которую пріобрѣтаетъ
инертная масса, гонимая данныиъ ноленъ на разстоянш отъ
одного его изопотенціальнаго уровня до другого, т.-е.
Р^і^і^П (221)
Выдѣливъ этотъ функциональный составъ иаъ ско-
бокъ нашего абсолютна™ равенства - тожества (213-го)
по тому же правилу, какъ и въ предыдущемъ случаѣ
(т.-е. чтобъ значки при вынесенныхъ буквагь во второй
части служили круговымъ продолженіеиъ значковъ
первой части), имѣемъ:
Замѣнивъ теперь (какъ и въ нредыдущенъ иримѣрѣ)
функціональный составъ тг Fj F2 общимъ символомъ обо-
значаемой имъ разности потенціаловъ Рг и сдѣлавъ
функцію явной по отношенію къ РІГ получаемъ:
гі
Рг=і-Ѵ,7г
f^I,.r, L&L,
L.L.L, \-Va-MtM,Ma]
(223)
Сокративъ (какъ и въ предыдущемъ случаѣ) значки у
вынесенныхъ за скобки У, какъ болѣе не нужные, и
сд-влавъ въ скобкахъ сокращеніе всѣхъ однозначныхъ
символовъ, накъ равныхъ единипѣ, получаемъ:
р^ѵШ (224)
" Эта формула показываетъ, что въ функціоналыюмъ
составѣ разности потенціаловъ обязательно долженъ
присутствовать еще отвлеченный козффиціентъ отъ ка-
кихъ-то скоростей. Чтобъ понять его смыелъ
постараемся представить себѣ самый механизмъ моторнаго

— 216 —
воздѣйствія поля. Какъ мы уже говорили въ своемъ мѣстЬ,
динамическое поле можетъ двигать находящіеся въ немъ
посторовніе атомы и ихъ аггрегаты лишь въ тонъ слу-
чаѣ, если молекулы поля сами движутся и гонять ихъ
своими ударами. Но вьдь скорости такихъ подталки-
вающихъ движеніЗ имѣютъ всегда только
относительный характеръ. Это—разности между молекулярными
скоростями Ѵ0 самаго поля и скоростью Ѵх гонимаго ими
Твла. Когда движущееся ускорительно тѣло достигнетъ
такихъ же скоростей, какъ и скорости среды Ѵ0, то
поле, какъ бы интенсивно оно ни было, уже не
будетъ въ состоянш оказывать далыгвйшихъ ускори-
тельныхъ воздѣйствій. Теперь намъ понятно аначеніе
коэффиціента -^. При незамѣтно малыхъ
относительна
ныхъ скоростяхъ гонимаго твла онъ долженъ быть бли-
зокъ къ единиггЕ, а такъ какъ въ этомъ случаѣ мы уже
исключаенъ ьліяніе скоростей самаго тѣла, то и отно-
у
ніепіе ^г- здѣсь можетъ быть лишь отыошеніемъ скоро-
стей молекулъ моторнаго поля къ санинъ себѣ, т.-е. для
V Ѵ„
даннаго предѣльваго случая -^-=^~. По м-врѣ увели-
'з 'о
у
ченія собственныхъ скоростей 1\ тѣла, коэффищентъ -ф-
будетъ соотвѣтственно уменьшаться на всю разность
скоростей Ѵ0—ѴѴІ значить, окончательно им-ьемъ:
1-^ (225)
Внеся это аначеніе въ предыдущую формулу, нахо-
димъ окончательно:
P^lfi-^jn ••■-■- (226)
Отсюда мы видимъ, что разность потенціал'овъ Р,
между двумя данными уровнями поля можетъ быть
определяема полуквадратомъ приращенія скорости гонимаго

— 217 —
полешь тѣла лишь до тЬхъ поръ, пока собственная
скорость Г, этого тѣла неизмѣримо мала сравнительно со
скоростями Ѵ0 гонящихъ его молекулъ поля, или на-
оборотъ, когда скорость Ѵ0 самихъ молекулъ поля не-
изнѣримо велика сравнительно со скоростью Ѵ1 тѣла.
Только при этихъ условіяхъ множитель 1-—f-!=
= 1-ѵг1-тё=1 (ая)
Когда же скорость V, будетъ равняться Ѵ0 (и обѣ
будуть направлены согласно въ одномъ направленні), то
у
коэффиціенгъ 1—-гг±- обратится въ нуль:
'о
1 —-^=1 — 1=0 (228)
• о
и тогда формула (226-я) дастъ для разности потенща-
ловъ Р, (между двумя данными уровнями) нулевое зна-
ченіе, тогда какъ на самоиъ дѣлѣ она можетъ быть очень
велика.
Эти соображенія ддютъ намъ важныя укааанія на
скорости Ѵ0 моторныхъ воадѣйствій космической среды
в-ь поляхъ небесныхъ свѣтилъ. Онѣ должны быть ни-
какъ не менѣе скоростей распространенія свѣта, потому
что иначе собственный движенія кометъ не далеко отъ
ихъ перигелія, характеризующіяся очень большими
скоростями паденія на солнце уже оказывали бы свое влія-
ніе на пріоорѣтаемыя ими ускоренія.
Въ дополненіе сдѣлаемъ еще замѣчаніе. Формула
(226) предполагаетъ, что собственныя (уже
накопившаяся) скорости Г, движимыхъ полемъ тѣлъ инѣютъ
то же самое направленіе, какое сообщается имъ даль-
нѣйншми воздѣйствіями поля. Поэтому является вопросъ:
какія изыѣненія произойдутъ, если тѣло, наоборотъ,
будетъ брошено противъ ускорительныхъ воздѣйствій

— 218 —
поля? — Тогда F„ очевидно, придется взять съ обрат-
ньгаъ знаковъ, и мы придемъ къ выраженйо:
Pl=y(1 + F0)F' •■■•■■ -<229>
или, взявъ обѣ части со знакомъ минусъ, такъ какъ
разница потенціаловъ здѣсь будетъ отрицательная,
-Р, = —І-(і-Ь^)уз (230)
Отсюда мы видимъ, что разность потендіаловъ будетъ
въ этомъ случаѣ опредѣляться полуквадратомъ
скоростей V, потерянныхъ тѣломъ, брошеннымъ противъ мо-
у
торныхъ воздѣйствій поля, и коэффиціентомъ 1 +т^-
'о
Пока і\ ничтожно по отношение къ Ѵв, этоть коэффи-
ціентъ можно отбрасывать, какъ равный единицѣ, при
F, = F0 онъ обращается въ 2, а слѣдовательно, и зна-
ченія для разности потенціаловъ—Р окажутся
удвоенными.
IV.
Опредѣленіе епецифическаго отвлечен наго коэффи-
ціента для ускорителънаго воздѣвствія пондеро-хо-
торныхъ полей въ проетранствѣ трехъ независим ыхъ
направлений.
Именованная часть функціональнаго состава ускори-
тельнаго воздѣйствія G, какъ мы знаенъ, есть
V2 V V
Выдѣливъ ее изъ обѣихъ частей нашего абсолютнаго
тожества (213-го) по уже извѣстнымъ правиламъ, имѣеиъ:
2А L *Ь,£* \~2Lz [ ЩЦ У ^2>

— 219 —
Такъ какъ здѣсь выдѣлятьиаъ скобокъ пришлось сразу
два основные фактора V. и L, то значки каждаго изъ
нихъ распредѣляемъ по правилу въ круговомъ порядкѣ
послъдовательныхъ чиселъ 1, 2, 3.
у у
Отсюда, зная, что -£=-*- — &= ѴП имѣенъ:
2^ L
42*£, Г.-Л^Л*,
(233)
А сокративъ однозначные множители въ скобкахъ и
уничтоживъ значки у буквъ внѣ скобокъ, какъ болѣе
ненужные, иьгвемъ:
у
Смыслъ отвлеченнаго коэффициента -^ опредѣляется
здѣсь съ помощью того же ряда соображение, какъ и
у потенціала (выр. 224 и 226), потому что это тотъ же
самый коэффиціентъ, что и въ фориулѣ 224. Дѣло въ
томъ, что, какъ мы уже говорили, ускорительныя воз-
дѣйствія моторныхъ полей обусловливаются особыиъ ро-
домъ молекулярныхъ скоростей, вызываемыхъ въ
космической средѣ небесными свѣтилами и другими скошіе-
ніями физической энергіи, и частотой V повторенія
этихъ скоростей въ данной точкѣ поля. Значить, полное
дѣйствіе поля, соотвѣтствующее именованной части его
ускорительнаго воздѣйствія \VU, будетъ имѣть мѣсто
лишь до тѣхъ поръ, пока гонимое полемъ тѣло не прі-
обрѣло собственныхъ замѣтньгхъ скоростей. Въ этомъ
нослѣднемъ случаѣ, тѣло будетъ подгоняться далѣе лишь
относительной разностью моторныхъ скоростей Ѵ0 поля
и собственныхъ скоростей V, гонимаго тѣла, т.-е. (какъ
это и указано въ формулѣ 207 для потенціала):
F Ѵ„ —- V V

— 220 —
Таково значеиіе перваго отвлеченнаго коэффиціента
въ выражен ні 234.
Второй коэффиціентъ этого выраженія ^-объясняется
не менѣе просто съ нашей точки зр-внія. Самъ функціо-
ыальный составъ ускорительнаго воздѣйствія ѴѴ пока-
зываетъ, что оно производится не только одними
моторными скоростями поля, но и частотой U ихъ повторенія.
Значить, когда тѣло движется и моторнымъ скоростямъ
поля приходится догонять его, то и частота U
повторенія ихъ будетъ уменьшаться пропорціонально
разности между средними путями 7^, проходимыми
молекулами поля, и путемъ ij, проходимымъ въ то же время
тѣломъ, т.-е.
h=hzh^\ — h (236)
Отсюда видно, что, пока ускоряемое тѣло еще не
двинулось и путь его 1^ равенъ нулю, этотъ
коэффиціентъ равенъ единипѣ и можетъ быть исключенъ, а
когда путь твла L, достигнетъ величины і0, то
коэффиціентъ у^ обратится въ нуль, и тѣло не будетъ полу-
чать далыгѣйшихъ ускорительныхъ воздѣйствій со
стороны поля. Значить, присутствие и этого коэффиціента
оказывается такъ же необходимо, какъ и перваго.
Внеся оба эначенія (235 и 236) въ основную
формулу (234) имѣемъ полный функциональный составъ
ускорительнаго воздѣйстшя пондеро-моторныхъ полей съ его
двумя отвлеченными коэффициентами:
°=ги[1-тЯ1-ц} (2ЭТ>
т.-е. ускорительныя воздѣйствія в прямо пропорціо-
нальны моторнымъ скоростямъ молекулъ поля въ
данной точке, частотѣ V повторенія этихъ скоростей и
у
двумъ отвлеченнымъ коэффиціентамъ, въ которыхь -тт

— 221 —
есть отношеыіе собственной скорости тѣла (по напра-
вленію ускорительныхъ воздвйствій) къ скоростямъ Ѵ0
моторныхъ воздвйствій и^1—отнощеніе путей,
проходило
ныхъ тѣломъ (по направленно тѣхъ же ускорительныхъ
воздѣйствій) къ среднимъ путямъ іц, проходимымъ въ
то же время моторными воздѣйствіями.
Повторимъ въ заключеніе, что моторныя скорости Ѵ0
не должны быть отожествляемы съ обычными
молекулярными скоростями космической среды, так-ь какъ
вдали отъ свътилъ эти скорости уравновѣшиваютъ
другь друга, и тъло остается въ покоъ. Это совершенно
специфичеснія скорости, повидимому, очень близкія къ
скоростямъ лучистыхъ колебаній около нагрѣтыхъ тѣлъ.
V.
Опредвленіе специфичен кихъ отвлечённых* коэффи-
ціентовъ для силы. Первыя указанія на гидростати-
чесній хараитеръ шшдеро-моторныхъ полей.
Такъ какъ сила является произведеніемъ массы на
ускореніе (фор. 158), то въ ней должны присутствовать и
оба отвлеченные коэффициента, найденные въ
предыдущей главѣ дяя ускорительныхъ воздѣйствій.
Действительно, выдѣливъ именованный функциональный составь
силы ^7/ иаъ нашего абсолютнаго тожества (213) по
уже извѣстному правилу расположенія значковъ у одно-
именныхъ основныгь факторовъ, нмвемъ:
М V V
Откуда, зная, что сила F=- ^ ** и сдвлавъ функ-"
цію явной по F, им-Ьемъ:
Щ1ГМГ*. *ЬкЛ (239)
.КГ*
2L,

— 222 —
А отбросивъ значки внЬ скобокъ, какъ болѣе
ненужные, и сдѣлавъ въ скобкахъ сокращенія однозначныхъ
символовъ, получаемы
—тш -^
у*
Припомнивъ же, что -~у есть не что иное, какъ функ-
ціональныи составь ускорительнаго воздѣйствія, что
V L.
отвлеченные коэффиціенты -^ и у3 принадлежатъ именно
этому фактору и что истинный видь ихъ, какъ показано
въ формулахъ 235 и 236, сводится къ
^Х-% (241)
и къ
тН-п (242)
находимъ иэъ выше приведеннаго выраженія (240):
Мы виднгіъ; что здѣеь нанъ остается только опредѣ-
лить смыслъ массовой отвлеченности IW-1 • По анало-
гіи еъ остальными двумя коэффициентами, мы невольно
начинаемъ предполагать, что и онъ долженъ привестись
къ анологичному виду, т.-е.
^=1-$-- (244)
Но это и есть тотъ самый коэффиціентъ, который
мы получили уже (въ фор. 228) для выраженія избытка
(или недостатка) массы тѣла М1 надъ массой
вытесненной имъ Мй окружающей среды.

— 223 —
Чтобъ оцѣнить цѣлесообразность такого представле-
нія, раасмотриыъ нѣсколько типическихъ случаевъ.
Прежде всего мы видимъ, что при М1 —- Мѵ этотъ коэффи-
ціентъ обращается въ нуль, а вмѣстѣ съ нимъ и всякая
сила принимаетъ нулевое зваченіе, т.-е. переетаетъ
проявляться. Масса М,, есть (аналогично L0 и Ѵ0, прина-
длежащимъ космической средѣ) молекула космической
ереды, а масса М, не ножетъ быть ничѣнъ инымъ, какъ
той санов массой, къ которой приложена сила, и по
ускорительному воздѣнетвда на которую мы и опредѣ-
ляемъ величину первичныхъ силъ въ природе, т.-е. силъ,
принадлежащих!, пондеро-ноторнынъ полямъ.
Въ такомъ случаѣ раціовальноеть и даже необходи-
Ы
мость коэффиціевта 1 —^въфушщіональномъсоставѣ
первичныхъ силъ, а вмѣстѣ съ ними и остальныхъ ви-
доизмѣненій силы, становится понятной. Моторныя воз-
дѣйствія полей направляются на каждую отдѣльную
молекулу физическихъ тѣлъ, а потому и коэффиціентъ
этотъ показываетъ, что какъ только атомы современныхъ
злементовъ окажутся диссоциированными до такой
степени, что ихъ инертность ничѣмъ не будетъ отличаться
отъ инертности космической среды, а сліздовательно, и
сами разснатриваемыя вещества сольются съ этой
средой, для моторныхъ воздѣйствій полей не будетъ болѣе
никакихъ точекъ приложевія. Такъ это и существуеть
на самомъ дѣлѣ. Поле земного шара гонить къ своему
центру, совпадающему еъ центром, земли, всякую
появляющуюся въ немъ молекулу большей величины, чѣмъ
молекулы космической ереды, изъ которыхъ состоять
само это поле. Собственный же его молекулы и веянія
другія, равныя имъ по величинѣ маесъ, должны намъ
представляться невѣеомыми, т--е. уравновѣшенныни въ
своихъ поступательныхъ движевіяхъ соеѣдними
молекулами среды, какъ это наблюдается въ жидкостяхъ и
газахъ. Значить, дѣйствительно, силовымъ воздѣйствіямъ
моторныхъ полей подвергаются не полныя величины

— 224 —
молекулярныхъ массъ, а только ихъ взбытки надъ
массами молекулъ самого поля. Такинъ образомъ полная
формула для всякихъ первичныхъ силъ есть:
т.-е. сила F прямо пропорщональна ноторнымъ количе-
ствамъ движенія МѴ, дѣйствующимъ на данное тѣло,
частотѣ U ихъ повторенія въ полѣ, и тремъ отвлечен-
нымъ коэффищентамъ, изъ которыхъ ^гг есть отношеніе
молекулярныхъ массъ, подвергающихся дѣйствію поля
у
къ массамъ М0 самаго поля, ~—-отношеше скоростей
'о
двигаемаго тѣла (вѣрнѣе, ихъ слагающихъ по направле-
нію моторныхъ воздѣйствій) къ скоростямъ Ѵ0 молекулъ
поля и ^-—отношеніе путей, проходимыхъ тѣломъ, къ
путямъ Lg, проходимымъ въ то же время и въ томъ же
направленіи молекулами самаго поля.
А такъ какъ первичный источникъ всякихъ силъ
лежитъ всегда въ воздѣйствіяхъ космической среды, то
всѣ эти коэффициенты должны имѣть мѣсто не только
при первичныхъ, но и при производныхъ отъ нихъ фи-
зическихъ силахъ.
Изъ предыдущей формулы мы можемъ замѣтить, что
до тѣхъ поръ, пока „элементарный" массы М, тѣла,
подвергающіяея силовымъ воздѣйетвіямъ поля, больше
массъ М0 самого поля дробь -^ будетъ больше еди-
М
ницы, а слѣдователъно, весь коэффиціентъ 1 — -тг- бу -
Щ
деть характеризоваться отрицательнымъ знакомъ. Это
показываетъ, что моторныя воздѣйствія силовыхъ им-
пульсовъ оріентируется всегда въ противоположномъ
направленіи къ кажущимся дѣйствіямъ силъ, т.-е. къ
направленіямъ вызываемый, ими движеній. Съ точки

— 225 —
зрѣнія привычныхъ представивши это кажется неожи-
давнымъ. Однако, вдумавшись въ предметъ, мы увидимъ,
что это действительно такъ. Когда мы бросаемъ упру-
гій нячикъ въ стѣну, силы его упругости во время
соприкосновения съ этшгь препятствіеігь бываютъ
направлены именно на него, а результатомъ бываетъ движе-
ніе въ противоположную сторону отъ етѣны. Сила
тяжести у жидкости, направленная внизъ, заставляетъ
всплывать вверхъ погруженное въ нее тѣло. Когда па-
роходъ движется по рѣкѣ, сила давленін его винта или
колесъ на воду бываетъ въ обратномъ направленіи. Въ
нѣкоторыхъ случаяхъ это кажется не такъ ясныиъ вслѣд-
ствіе вкоренившихся въ насъ неправильныхъ апріор-
ныхъ представленій. Когда упругая пружина бросаетъ
какое-нибудь тѣло, нанъ всегда кажется, что сила и
вызванное ею количество движенія характеризуются здѣсь
тѣни же самыми знаками. Однако можно сыотрѣть на
этотъ предметъ и съ другой точки зрѣнія. Въ курсахъ
физики доказывается, что при всякомъ соприкосновен!»
двухъ тѣлъ, сопровождающемся перемѣнами въ ихь ско-
ростяжъ, непременно возникаютъ двѣ силы, направлен-
ныя въ противоположвыл стороны. Значить, и во все
время соприкосновения пружины и тѣла существовали
двѣ силы: 1) сила давленія пружины на тѣло,
замедлявшая естественное распрямленіе пружины, а
следовательно, дѣйствовавшая въ противоположвомъ
направленіи къ ея движению, и 2) сила давленін тѣла на
пружину, заставлявшая его двигаться отъ пружины. И
первая и вторая силы вызывали количества движенія въ
противоположномъ направленіи, какъ и въ случаѣ
мячика, отскакивавшего отъ стѣны.
Мы видимъ, что, съ этой точки зрѣнія, совсѣмъ не
допускается „передачи силъ" отъ одного тѣла другому,
а только констатируется, что, въ моменты
соприкосновенія тѣлъ, въ нить могутъ, при извѣстныхъ уеловіяхъ,
развиваться двѣ противоположный другъ другу силы,
который и работаютъ по законамъ сохраненія энергіи,
Оеѵаш гачесга- мим».

— 22fi —
сообщая тѣламъ скорости, обратный своему направле-
нію. Такъ, по крайней нѣрѣ, представляется съ точки
зрѣнія выведенной нами формулы (227-й), пока мы до-
пускаемъ, что молекулы извѣстныхъ намъ гвлъ больше
(а не меньше) молекулъ космической среды.
Интереснѣе всего то, что именно этотъ
отрицательный знакъ у функціональнаго состава силы и является
особенно удобнымъ для объяснения, съ механической
точки зрѣнія, моторныхъ дѣйствій въ поляхъ небесныхъ
свѣтилъ. Если направленіе движенія тѣла
противоположно направление обусловливающихъ его импульсовъ,
то силовые импульсы вовлекающихъ полей должны
исходить отъ центра къ периферіи лучистымъ образомъ, и,
слѣдовательно, не отличаются принципіально отъ зву-
ковыхъ, свѣтовыхъ и другихъ центробѣжныхъ лучи-
стыхъ импульсовъ.
Далѣе мы покажемъ, какъ уже намекали и ранѣе,
что эта точка зрѣнія неизбѣжно приводитъ къ
гидростатической теоріи тяготѣнія, которая разсматриваетъ
космическую среду около свѣтилъ, какъ неизмѣримо
глубокій океанъ, перевернутый вверхъ дномъ и потому
гонящій всѣ погруженные въ немъ тѣла изъ глубины
небеснаго пространства къ своей поверхности,
совпадающей съ поверхностью свѣтилъ. А причина того,
почему онъ оказался перевернутымъ вверхъ дномъ,
заключается ьъ отбрасывающемъ дѣйствіи лучистой энергіи
свѣтилъ на всѣ пронизываемый ею концентрическіе слои
космической среды, такъ что ближайшіе давятъ на даль-
нѣйшіе, какъ верхніе слои молекулъ воды давятъ на
болѣе нижніе въ водномъ океанѣ, и этимъ вызывають
во всѣхъ погруженныхъ въ немъ тѣлахъ стремленіе
двигаться въ направленіи, противоположною, этому давле-
нію слоя на слой.
Значить, максимальное давленіе въ космическомъ
океанѣ должно сосредоточиваться, съ этой точки
зрѣнія, въ тѣхъ неждузвѣздныхъ областяхъ, гдѣ
отбрасывающая воздѣйствія различныхъ сосѣднихъ свѣтилъ ура-

— 227 —
вновѣшиваются между собою, хотя, благодаря
ослаблению моторныхъ импульсовъ полей пропорціонально ква-
дратамъ разстоянія, они очень быстро сводятся къ нулю
и, на извъстномъ разстояніи оть свѣтила, уже не про-
исходитъ замѣтныхъ увеличеній въ давленіи.
Вт. заключеніе прибавит., что воздѣйствіе
моторныхъ полей на псшадающія въ нихъ посторонняя нассы
должно совершаться тотчасъ же, такь какъ поле всегда
готово для этого. А потому является очень страннымъ
и повторяющийся до настоящего времени вопросъ „о
скорости распространена силы притяженія" въ
моторныхъ поляхъ. Это можно говорить только о вновь воз-
никаюпшхъ поляхъ, а у тѣхъ изъ нихъ, который вполнѣ
установились, сила уже давно распространена отъ
центра до периферіи.
VI.
Специфическіе отвлеченные коэффиціенты при фун-
кціональныхъ составахъ остальныхъ производныхъ
факторовъ міровон механики. Отсутствів ихъ ;у
времени и нѣкоторыхъ другихъ простѣйигахъ факторовъ.
Намъ нъть причинъ повторять въ каждое • главѣ
особо весь ходъ полученія • отвлеченныхъ коэффищен-
товъ изъ нашего абсолютнаго тожества:
Поэтому кы прямо даенъ типическіе отвлеченные
коэффиціенты, находимые этинъ путемъ для остальныхъ
факторовъ міровой механики.
1. Энергія Е.
Е=Щ-Щмѵі {277}
А на основаніи ея соотношенія съ силой, мы можемъ
прямо видѣть, что и оба коэффициента въ скобкахъ
15*

— 228 —
здѣсь тѣ же самые, которые были показаны для силы
(фор. 245), такъ что имѣемъ окончательно:
^ІІ'-Щ'-ѵ)^ <278>
2. Упругость И.
«=шт (2,9)
- Такь какъ упругость есть не что иное, какъ
плотность энергіи, то и коэффиціенты въ скобкахъ здѣсь
неизбежно должны быть тѣ же, что и въ предыдущемъ
случаѣ. Значить, ииѣемъ окончательно:
3. Мощность R.
«=тт (28,>
Ба основании соотношеній между мощностью и силой
прямо заключаенъ, что смыслъ коэффиціентовъ въ
скобкахъ здѣсь тотъ же самый, что и у силы (рав. 245),
откуда получаемъ окончательно:
4. Актинометричеекій факторъ или модуль ра-
д'шцЫ р.
Модуль радіацш есть мощность излученія, приходя-
S і МѴ*
щался на единицу поверхности, т.-е. Р=ті==~Г ~"JT '
Исключи въ этотъ функциональный составь по общимъ
правиламъ изъ абсолютнаго тожества (213-го), имѣемъ
только одннъ отвлеченный коэффициенты

— 229 —
А такъ какъ эначеніе этого коэффициента, очевидно
то же самое, что и у мощности, то прямо пишемъ:
^ili.-Jiihr —■ ■ ■ -(284)
Такъ, очевидно, и должно быть. Оба остальные изъ
трехъ коэффиціентовъ силы (форм. 245) здесь исчезли,
потому что въ иэлученіи принимаеть участіе само поле,
а потому здесь двйствуютъ его собственный скорости
цѣлпкомъ. Но источникомъ этого излученія служат ь
массы вибрирующихъ въ центрѣ поля постороннихъ
атоновъ. Отсюда понятно, что когда величина этихъ
атомовъ уменьшится до размѣровъ окружающей среды,
М1=М0, то источникъ излученія сольется съ
окружающей средой и поле излученія само собой исчезнетъ.
Изъ этого мы видимъ, что могутъ быть и такіе фи-
зическіе факторы, у которыхъ все отвлеченные
коэффициенты всегда равны единицѣ, а потому и исключены
изъ функціональнаго состава. Дѣйствительно, если мы
начнемъ обрабатывать по этому способу такіе простые
факторы, какъ время, частота, силовой импульсь и объ-
емъ, то не получивъ длл нихъ ничего, кронѣ именован-
наго функціональнаго состава.
2£
Возьхемъ прежде всего время Т=—- Для выдъле-
нія этого функціональнаго состава изъ нашего абсолют-
наго тожества (213-го) придется у послѣдняго
алгебраически перенести числитель и знаменатель первой
части во вторую и наоборотъ. Тогда получимъ вмѣвто
(213-го):
Вьшеся, по установленнымъ правиламъ функціональ-
ный составь времени изъ скобокъ этого равенства,

— 230 —
имѣемъ, доелѣ сокращенія всѣхъ однозначншъ син-
воловъ:
t4f-at <->
До сихъ поръ мы еще не получали такихъ выраже-
2 г
ній. Если сииволъ -^ въ первой части мы замѣнимъ,
м-
какъ это было въ предыдущихъ случаяхъ, общинъ сим-
воломъ Т, то это же самое должны сдѣлать и въ скоб-
кахъ второй части, потому что топ. же самый символъ
очутился и тамъ, а въ результатѣ предыдущее
выражение сократится въ
! = Ш^ (287)
Откуда приходниъ къ абсолютному равенству двухъ
функціонэльныхъ составовъ времени безъ всякихъ ноэф-
фипдентовъ:
'а
или, раскрывъ скобки, какъ болѣе ненужныя:
2^_2іг_,
П У,
Совершенно аналогичнымъ образомъ находимъ, что
всѣ числовые коэффициенты, получаемые изъ нашего
абсолютнаго тожества (213-го) обращаются въ единицу:
у силового импульса /, у частоты U, у объема W, и у
всѣхъ основныхъ факторовъ Jif-i-F-системы, что и сви-
двтельствуетъ о целесообразности нашего способа со-
кращеній. йзъ всѣхъ трехъ факторовъ протяженности
только для поверхности S получается линейнснэтвлечен-
ный коэффиціенгъ въ функціональнояъ составѣ:
S=r^lx! (289)

— 231 —
И дѣйствительно, поверхность особенно нуждается
въ такомъ коэффиціентѣ, такъ какъ она обладаетъ не
только фазами (т.-е. фигурностью контуровъ), но и
всевозможными видоизмѣненіяии и распрямимыхъ и нерас-
прямимыхъ искривленій. Зтотъ коаффиціентъ и былъ
уже полученъ нами въ равенствѣ 65-мъ.
ѴП.
Заключеніе.
Мы видинъ, что нашъ способъ обработки абсолют-
наго уравнеиія физическихъ факторовъ даегъ указаніл
только на одинъ родъ специфическихъ отвлеченныхъ
коэффиціентовъ (приводящихся къ виду 1 — ~ или
1 -г -ѵгі. Числовое значеніе вхъ зависитъ отъ перевгвн-
ньнгь величинъ, указанный, въ именованной части фун-
кціональнаго состава: Таквхъ отвлеченныхъ
коэффиціентовъ, которые были бы независ иным и переменными,
этотъ способъ дать не можегь, и потому-то всѣ
остальные отвлеченные символы и приравниваются имъ къ
единицамъ.
Но точно ли эти послѣдвіе коэффиціенты ни при
какнхъ условіяхъ не могуть принимать другихъ зна-
ченій? Мы уже видѣли ранѣе, что метаморфозъ различ-
ныхъ вндоизмѣпеиій энергіи въ другіе сопровождается
„неваріаціонныии" эаыѣщешями однихъ отвлеченныхъ
коэффиціентовъ новыми, а потому можемъ заключить,
что въ функціональномъ составѣ физическихъ
факторовъ могуть участвовать еще и совершенно
независимые отвлеченные коэффиціенты, какимъ, напримѣръ, и
является бѣгучій уголъ « —"Т*;- Для отысканія такихъ
факторовъ есть только одно средство: всестороннее из-
слѣдованіе даннаго явленіл въ природѣ. Все, что мо-

— 232 —
жетъ сдѣлать наше общее уравненіе физическихъ
факторовъ, это намекнуть, какихъ именно отвлеченныхъ
коэффиціентовъ мы должны ожидать въ данномъ явле-
ніи, такъ какъ послѣ выдѣленія изъ скобокъ въ общей
формул* (213-й) всѣхъ именованныхъ факторовъ,
отвлеченные коэффнціенгы нешбѣжно должны остаться въ
скобкахъ.
Въ настоящей главѣ мы хотѣли только показать, что
всѣ физическіе факторы суть только частныя односто-
роннія проявленія одного общаго фактора Міровой
Жизни, характеризующегося функціоналънымъ соста-
вомъ -,дj-.g или, можетъ-быть, аЩТ- А это
обстоятельство и рядъ оредыдущихъ соображеній показываютъ,
что всѣ перемѣны во взаимныхъ соотношеніяхъ
физическихъ тѣлъ сводятся къ соотвѣтствующимъ воздѣй -
ствіямъ на нихъ одного и того же источника всякой
жизни и движенія бесконечной Вселеннной.
Въ заключеніе мы считаемъ долгот, повторить еще
разъ то предупрежден!е, которымъ ны начали эту главу.
На все, что мы здѣсь сказали, мы смотримъ лишь какъ
на рядъ простыхъ физико-матенатическихъ размышле-
ній и ни въ какомъ случаѣ не придаенъ формуламъ
этой главы значенія вполнѣ установленныхъ
математический, выводовъ, потому что нашъ методъ значковъ
можетъ считаться пока лишь одной рабочей
гипотезой или простымъ вспомогательнымъ пріемомъ, осно-
ваннымъ на допущеніи, безусловная примѣниность ко-
тораго еще не доказана и не опровергнута. Мы хотимъ
лишь показать, что именованныя части функціональ-
ныхъ составовъ для всѣхъ извѣстныхъ до сихъ поръ
физическихъ факторовъ могутъ быть выдѣлены какъ
частные множители изъ функціональнаго состава этого
ЛРГ3
всеобъемлющаго фактора: ю — 6іт"г- ^ы У^пѣяи
показать, кроиѣ того, что, по крайней мѣрѣ, для одного

— 233 —
специфического рода отвлеченныхъ коэффиціентовъ
вполнѣ зависящих ъ отъ величины поиненованныхъ уже
въ форнулѣ факторовъ получается достаточно
удовлетворительный выборъ, когда мы занѣнимъ здѣсь ш его
функціональнымъ составомъ и начненъ обрабатывать
полученное отсюда тожество по указанному выше
методу. Но если мы нашли этимъ путемъ для энергіи
выражение (см. рав. 277-е):
Е-Ш^}ш* (290)
то имѣем'ъ ли мы право сказать, что никакихъ новыгь
отвлеченныхъ коэффиціентовъ переыѣннаго характера
(и нритомъ зависящий., напримѣръ, отъ L, которое
удалено изъ этой формулы) здесь уже не можетъ быть,
и что искать изъ здесь такъ же неумѣстно, какъ изо-
брѣтать perpetumn mobile? Конечно, нѣтъ, потому что
выраженіе 277-е уже сокращено и относится только къ
спеціальному роду коэффиціентовъ непосредственно за-
висящихъ, какъ мы уже говорили, отъ именованной
части функщ'и, а первоначальное преобразованіе все-
объемляющаго тожества (213-го) даетъ несравненно
больше отвлечен ныхъ коэффиціентовъ, именно:
Если бы мы не сокращали множителей, оказавшихся
съ одинаковыми значками, то получили бы для
характеристики различныхъ родовъ энергіи очень богатый
выборъ отвлеченныхъ коэффищентовъ изъ скобокъ этого
выражеійя. Но мы не позволили бы себѣ утверждать
категорически даже и того, что въ природѣ не суще-
ствуетъ и такихъ видовъ энергия, гдв число
отвлеченныхъ коэффищентовъ выходить изъ предѣяовъ и этого
выбора. Прежде всего занѣтинъ, что указанная нами

— 234 —
полная расчленимость нашего „всеобъемлющаго
фактора"
«3£ <*>
на всѣ остальные достигается лишь при помощи
принятой нами M-Z-УЧіистемы, которую мы считаемъ (по
этой и по нногинъ другимъ, уже объясненными, причи-
наиъ) наиболѣе естественной среди всѣхъ другихъ, ка-
кія можно придумать. Если мы приведенъ нашъ все-
/М3Ѵ*\
объемлюппй функциональный составъ 1 3 ■ I къ
синволамъ другихъ системъ, то уже не будемъ въ со-
стояніи обрабатывать его по изложенному въ этой главѣ
методу, а въ н-вкоторыхъ елучаяхъ утратимъ, кромѣ
того, и всякую возможность получить изъ его расчлене-
нія даже н именованную часть функціональнаго состава
хотя бы одного изъ лроизводныхъ факторовъ. Вотъ три
типическихъ примѣра.
1) Въ М-Х-Т-системѣ (гдѣ Г есть проиежутокъ
времени) найдемъ, зная, что Г=^-:
.= *. ......... (293)
Благодаря едіявію L и V въ символѣ Г нашъ „все-
объемлюшдй факторь" не заключаетъ уже въ себѣ
одного изъ основныхъ множителей М-Ь-Г-системы, а
потому безъ введенія въ него отвлеченнаго коэффиціента
L.3
Y~3 не только перестать быть „всеобъемлющим ъ", но
даже потерялъ способность выделить изъ себя хотя бы
одинъ изъ извѣстныхъ намъ лроизводныхъ фаяторовь
(оапривгЬръ, плотность у^ и т. д.).

— 235 —
2) Въ JU-J-Zi-еистемѣ (гдѣ J есть элементарный
силовой импульсъ или количество движенія) на-
ходимъ, зная, что J=M7:
8L*
«= ~~ (294)
И здѣсь ш перестаетъ выражать собою всеобъемлю-
щій факторъ, такъ какъ въ него не входить даже
третьяго множителя Jtf-J-X - системы, и расчленять его,
не введя сюда отвлеченнаго множителя -»Л на извѣст-
ные намъ производные факторы совершенно стало
невозможно.
3) Въ ЗГ-і-ю-еистемѣ (и вообще въ любой ta-Y-Z-си-
стемъ-, гдѣ однимъ ихъ трехъ основныхъ факторовъ
является самъ „всеобъемлющи факторъ" нашей M-L-V-
системы) всякая возможность для расчленения этого
фактора на производные уже абсолютно исчезаетъ, такъ
какъ мы теперь считаемъ его за самый основной, т.-е-
элементарный и неразложимый факторъ.
Мы нарочно указываема на всѣ эти обстоятельства,
чтобы у читателя не оставалось никакого сомнѣнія, что
„всеобъемлющее выраженіе для физическихъ
факторовъ1', о которомъ мы говорили, есть действительно
непосредственный результатъ принятой нами
„естественной" Jf-i-F-системы, посредствомъ которой функдіо-
налыше составы физическихъ факторовъ приводятся въ
анализе къ наиболѣе простой и понятной для нашего
ума формѣ. Ни въ какихъ другихъ системахъ мы не по-
лучимъ ничего подобнаго, или, лучше сказать,
осмысленна™, хотя въ каждой системѣ невозможность усложнять
число и функциональные составы физическихъ
факторовъ до безконечности, несомнѣнно, приводить къ
указанию на еуществованіе естественнаго пред-вла
усложнения, не давая въ то же время никакихъ намековъ на
его функциональный составь.

— 236 —
Действительно, обвдій ходъ умозаключеній, привед-
шихъ насъ къ опредѣленію функціональнаго состава
— -|—, кзкъ естественнаго пред/вла усложненш, можеть
быть ііредставленъ нъ слѣдующемъ видѣ:
1) Масса М и скорость V заключаются какъ отдѣль-
еые множители въ функшональномъ составѣ количества
движенія МѴ.
2) Количество движенія заключается какъ отдѣль-
ный множитель въ функціональномъ составѣ силы
V МѴ
J 2L 2І
3) Сила заключается какъ отдельный нножитель въ
* - . . Рг МѴ* Т МѴ*
функціональномъ составѣ энергии: і . L — Ь=—^—
4) Энергія заключается какъ отдѣлышй нножитель
въ функціоналыіонъ составѣ мощности: E.U = -^МѴ2.
V МѴ3
2L 4L
5) Мощность заключается какъ отдѣлышй множитель
въ функвдональнонъ составѣ актинометрическагп фак-
R JHT*
тора: s=w
Спрашивается: вдеть ли это усложненіе функціо-
нальныхъ составрвъ до безконечности, такт, что въ при-
родѣ существуютъ и дѣйствуютъ факторы вида — ѵш~'~
или послѣ нвкотораго конечною числа помноженій
между М, Ѵа L мы придешь, наконецъ, къ такому
фактору, далѣе котораго уже нельзя итти по этой лѣстницѣ,
и который по этому самому будеть заключать въ себѣ
всѣ остальные, какъ частное, именованные
коэффициенты?
Мы уже говорили, что до тѣхъ поръ, пока мы
остаемся въ предѣлахъ физико - натематическаго анализа и
не удаляемся изъ нихъ въ туманныя области метафи-

— 237 —
зики и „четвертыхъ измѣреній", мы можемъ дать на
этотъ вопросъ только одинъ отвѣть: сопоставленіе между
собою всѣхъ раціоналтыхъ (а не эмпирическихъ, гдѣ
число множителей случайно) формулъ приводить къ
убѣжденію, что эта лѣствица не безконечна, но
обрывается на нѣкоторонъ факторѣ ш съ функціональнымъ
составомъ —jj~, далѣе котораго усложненіе,
невидимому, не идетъ, потому что онъ находится на самой
верпшігѣ лѣстницы.
Какъ представлять себѣ этотъ факторъ, мы и теперь
не рѣшаемся сказать вполнѣ опредѣленно. Гадательно
же мы предположили уже, что —^~ есть не что иное,
какъ функциональный составь наиболѣе общаго и со-
вершеннаго физическаго фактора, который, вѣроятно,
характериэуетъ собою сознательную жизнь въ природѣ
и ааключаетъ въ себѣ всѣ остальные факторы, доступ-
ные нашему соананію, какъ частные коэффициенты. Въ
такомъ случаѣ н онъ будетъ квалитативнынъ факторомъ,
поддающимся, какъ и всѣ остальные, математическому
анализу. Есяи мы отожествинъ его, какъ мы
предположили въ началѣ этой главы, съ „интенсивностью
нашего сазнан'ія", то должны будемъ заключить, что эта
интенсивность пряно пропорциональна третьей степени
какихъ-то дѣйствующихъ массъ (можетъ быть въ узлагь
нашего мозга) и третьей степени какихъ-то специфиче-
скихъ скоростей (вѣроятно, скоростей распространенія
раадраясеній по нервамъ) и обратно пропорционально
объемамъ Z3, занимаеньшъ действующими массами, или
третьей' степени ихъ путей и т. д. Ставь на эту точку
зрѣнія, мы могли бы заключить, что интенсивность со-
знашя можетъ быть одинакова и у болыпигь и у
сравнительно малыхъ сушествъ, что она угасала бы при
Ѵ=0 и достигала бы безконечно большой величины
при Х=0, если бы такой случай могъ быть въ природѣ.
Далѣе мы могли бы заключить изъ самаго этого дону-

— 23u —
щеніп, что, напримѣръ, работоспособность В (или
мощность) человъческаго мозга можетт, быть опредѣлена
отсюда йутемъ простого введеыія комплекса [ft] непре-
дуснотрѣнныхъ факторовъ (форм. 24, стр. 18). Дѣйстви-
тельно, имѣя равенство:
R = [ft]»
и опредѣливъ отсюда \к\ (зная, что И = —,т~ и
ш = ШГ)' имѣемъ:
lK,~o) 4Л MSF3^ М«—JP ^иэ'
А внеся это значеніе [ft] въ предыдущее равенство, ш>
лучаемъ окончательно:
й = 2^», (296)
т.-е. работоспособность В (или активность) нашего мы-
слящаго аппарата прямо пропорциональна его
поверхности S (увеличивающейся вмѣстѣ съ извилинами мозго-
выхъ полушарій), „интенсивности его сознанія о>а, и
обратно пропорщональна квадрату его инертности, из-
мѣряемой инертностью какихъ - то массъ Mt
напримѣръ, молёкулъ, изъ которыхъ состоятъ узлы нашего
головного мозга.
Въ такомъ выводѣ не было бы ничего противорѣча-
щаго основнымъ законамъ физіологіи и психологіи.
Совершенно папротивъ: вся формула кажется
осмысленной, а относительно поверхности S даже подтверждается
данными апатоміи, показавшей уже давно зависимость
между умственными способностями близкихъ другъ къ
другу животныхъ и развитіемъ извилинъ на ихъ мозго-
выхъ полушаріяхъ, увеличивающихъ ихъ поверхность.
Но какого бы ни было мнѣніе читателя о этихъ на-
шихъ разлшшленіяхъ насчетъ возможности натематиче-
скаго анализа даже чисто психическихъ явленіЗ, это не

— 239 —
потеть имѣть никакого отношенія къ нашему выводу о
томъ, что усложнен!е функціональныхъ составовъ у дѣй-
ствующихъ въ природ* факторовъ не идетъ до безконеч-
ности. Тогда сд'влался бы невозыоженъ и самый
математически анализъ явленій фиаическаго міра по причинѣ
безконечвой сложности ихъ законовъ.
Значить, предѣльный по своему усложненію физиче-
скій факторъ, въ которомъ включаются всѣ другіе какъ
отдельные коэффициенты, не менѣе' достовѣренъ, чѣмъ
утвержденіе, что въ изучаемонъ физическими науками
пространств* нѣтъ независпныхъ направлений или из-
мѣреній болѣе трехъ.
Укааанная же выше невозможность свободно
расчленять нашъ всеобъемлющій факторъ м на подчиненные,
когда мы формулируешь его функциональный составь въ
какихъ-либо другихъ системахъ,кромѣ М-L-V- системы,
обнаруживаете, еще очень важное обстоятельство: масса,
путь и скорость, лежащія въ основаніи этой системы,
являются естественными элементами физическаго міра.
Подобно тому, какъ въ химическомъ анализ* всѣ
закономерности выіаевыхъ сбставахъ формулируются вполнѣ
отчетливо лишь до тѣхъ поръ, пока аы принимаемъ за
элементарный тѣла совершенно определенный рядъ, во
главѣ котораго стоить и гелІЙ (т.-е. современную періо-
дическую снстему химическихъ элементов^), такъ точно
и здѣеь мы достигаемъ вполнѣ ясныхъ представленій
и стройныхъ формулъ лишь въ томъ случаѣ, если при-
мемъ массу, путь и скорость за основные факторы, и
будемъ аналитически разлагать на нихъ всѣ остальные.
Нарушивъ этотъ естественный порядокъ придумываніемъ
системъ съ другими элементарными факторами, мы
встречаемся съ такими же затрудненіями, какъ если бы въ
химіи мы стали принимать за элементы не кислородъ,
азотъ и т. д., а иапримѣръ, воду, спиртъ и ироч.
Конечно, полной анадогіи между естественными
элементами физическаго и химического анализа нельзя
проводить уже потому, что химические факторы слагаются въ

— 240 —
суммы, а физическіе образуютъ произведения (значить,
и тѣ и другіе совершенно своеобразны), и вся аналогія
приводится лишь къ тому, что и тамъ и здвсь порядокъ
элементарности определяется не нашимъ произволомъ,
а самой природой.

ОТД'ЬЛ'Ь II.
ПРИМъНЕНІЯ МЕТОДА.
ООмм кйЕкшиш
16

ГЛАВА I.
Могущество качественна™ физико-матенатическаго
анализа.
I.
Общій нетодъ нахожденія непредусмотрѣішыхъ фак-
торовъ въ эмпирическихъ формулахъ.
Прежде всего мнѣ очень хотелось бы наглядно
показать читателю, какъ простое приведение къ изотезич-
бости односторОЕВигь эмпирическихъ зависимостей, замѣ-
чаеыыхъ между нѣсколькими явленІями природы, можеть
послужить для естествоиспытателя орудіемъ открытія
еще новыхъ непредусмотрѣнныхъ зависимостей между
вини. Обь этомъ я уже говорнлъ во введен] и, но теперь
теоретически выводъ функціональнаго состава
большинства факторовт, міровой механики даетъ мнѣ
возможность коснуться этого предмета болѣе детально.
Замѣчу, что для пониманія этой главы и всего послѣ-
дующаго изложенія намъ нѣтъ нужды помнить всѣ
формулы, приведенЕыя въ текстѣ. йменовавныя части фун-
кціональныхъ составовъ у всѣхъ важнѣйшихъ факто-
ровъ міровой механики помѣщены въ особой таблицѣ,
въ началѣ этой книги. Раскрывъ эту таблицу и инѣя
ее всегда передъ глазами, читатель получаетъ полную
возможность провѣрять каждый разъ справедливость
вашихъ преобразованій л замѣщеній въ эвдирическихъ
формулахъ.
Id-

— 244 —
Возьмемъ сначала самый простой примѣръ.
Ежедневная житейская практика покупки и продажи
показываете, нанъ, что массу М, называемую нами количе-
ствомъ вещества, мы можемъ опредѣлять по ея вѣсу.
Значить, мы имѣемъ право сказать, что масса М обыч-
ныхъ твлъ возрастаетъ пропорціонально нхъ вѣсу Flt
или давленію на чашку вѣсовъ, пока всѣ непредусмо-
трѣнныя нами физическіе факторы, способные вліять
на эту пропордіональность остаются безъ перемѣны.
Отсюда имѣенъ равенство:
М, = И^ (297)
где [к] есть комплексъ непредусмотртшныгь факторовъ.
Опредѣлимъ функциональный составъ этого комплекса,
изъ санаго равенства зная, что вѣсъ І^ есть одно иаъ
видоизмѣненій силы, а слѣдовательно (по начальной
MV*\
таблицѣ: F1=-^j~ 1, имѣезгь:
Ю = у;-7йу^=ТЩ (298)
\2Ь ) \2LJ
Но -yj есть функциональный составъ ускорительнаго
воздѣйствія G. Значить, окончательно получаемъ:
[*3=^ (299)
А внеся это значеніе въ первоначальное равенство,
(297) находимъ:
*i=§ (300}
Отсюда мы виднмъ, что масса вещества ве только
прямо пропорціональна • вѣсу F, обладающаго ею тѣла,
какъ учитъ насъ обыденная практика, но еще обратно
пропорціональна ускорительному воздѣйствію О въ полѣ

— 245 —
земного тяготѣнія. И действительно, по нврѣ удаленья
отъ земной поверхности, вѣсъ F т-вла, или его давленіе
на чашку віісовъ, будетъ убывать по мѣрѣ уменьшения
ускорительныхъ воздействий земного поля, несмотря на
то, что масса тѣла будетъ оставаться безъ перемѣны.
Здѣсь коиплексъ непреду смотрѣнныхъ факторовъ
(приведши вмѣстѣ съ тѣмъ обѣ части равенства къ
иаотезичности) обнаружилъ наиъ присутствие особаго
физическаго фактора — ускорительнаго возд-ѣйствія въ
полѣ земного тяготѣнія, хотя при составлены первона-
чальнаго равенства (297-го) мы руководились
исключительно обычной практикой покупки и продажи, не
думая ни о какихъ „поляхъ".
II.
Качественный анализъ, какъ средство для исправле-
нія невѣрно составленныхъ фивическихъ уравнений.
Но этимъ еще не ограничиваются услуги разсматри-
ваемаго метода. Онъ можетъ обнаруживать передъ нами
и ошибки въ неправильно составленныхъ физическигь
уравненіяхъ. Скажеиъ болѣе: онъ прямо выбрасываетъ
вонъ изъ равенства всякую, неправильно внесенную въ
него физическую величину, и, если въ такой формулѣ
была хоть крупинка истины, онъ возстанавливаетъ эту
истину цѣликомъ. Возьмемъ, напримѣръ, такое допуще-
ніе, завѣдомо невѣрное наполовину. Напигоемъ, что
скорость V тѣла прямо пропорціональна проходимому ииъ
пути L (что совершенно вѣрно) и масс* И этого гвла
(что явно фантастично), и введемъ, на веякій случай,
комплексъ [к] непредусмотрѣнныхъ факторовъ:
V=[k)L (301)
Найдя комплект. [Ж"] изъ саиаго равенства, им-ѣемъ:

— 246 —
2L
гдѣ Т есть символъ времени, такъ какъ -~ есть его
функциональный составъ. Внеся это значеніе [ft] въ
первоначальную формулу, находинъ:
. Ч1"Н "-[£]■¥ <»>
Здѣсь, въ отвлеченноыъ коэффиціентѣ ^ I, и
числитель и знаменатель не могутъ представлять ничего иного,
какъ два выраженія для той же самой массы, которую
мы ввели въ первоначальное равенство, а слѣдова-
тельно, весь этотъ коэффиціентъ обращается въ
числовую единицу, и мы получаемъ просто:
Ѵ = ~ (304)
т.-е. скорость V определяется исключительно какъ
величина, пряно пропорциональная пройденному тѣломъ пути
L и обратно - пропорціональная времени Т, въ которое
этотъ путь пройденъ. А масса М движущегося тѣла
оказалась выброшенной изъ равенства, какъ попавшая
въ него по ошибкѣ и не способная служить для опре-
дѣленія скорости тѣла.
Здѣсь введеніе комплекса [ft] исправило невѣрно
составленное равенство, а потому понятно, что этотъ
методъ служить прекраснымъ средствомъ для провѣрки
физическвхъ формудъ, особенно въ тѣхъ случаяхъ,
когда, вслѣдствіе различныгь преобразованій и упрощешй,
мы яселаемъ убѣдиться, не выбросили ли мы случайно
изъ формулы какого - либо существенно необходимаго
именованнаго множителя;

— 247 —
III.
Способъ нахожденія функіЦй, возвышенныхъ въ
степень или характеризующихся знакомь радикала.
Точно такъ же налагаемый нами методъ качественнаго
изслѣдованія формулъ способенъ показать намъ, что
величина, которую мы считали просто пропорциональной
другой величинѣ, на санонъ дѣлѣ есть функція ея
квадрата или куба и наоборотъ. Въ какихъ символахъ это
выражается, мы покажемъ сначала на самонъ простомъ
случаѣ. Положишь, что мы написали по разсѣянности,
будто діаметръ Lg круга возрастаетъ нроиорціонально
его площади S. Желая удостовѣриться не забыли ли мы
чего-нибудь, вводимъ въ равенство комплект» [к] непред-
уснотрѣнныхъ факторовъ и инѣемъ:
L0 = [k]S (305)
Откуда видинъ, что комплект, [к] долженъ инѣть
такое значеніе:
[»]-§ (306)
или перейдя къ функщональыымъ составамъ:
и=гИт (ЗШ)
Внеся это выраженіе въ начальное (305-е) равенство,
инѣенъ:
2, = ■§ ■ (308)
т.-е. діаиетръ Х^ прямо пропорціоналенъ площади
своего круга и обратно пропорщоналенъ какой-то линейной
величинѣ L. Очевидно, что здесь не ножеть быть ни-
какихъ другихъ линій, кромѣ окружности, да самого
діаметра. Окружность же равна кі^, такъ что всегда мо-

- 248 -
жетъ быть сведена къ діаиетру. Принявъ, что L есть
окружность пишешь вмѣсто предыдущаго (308-тч>)
І* = -Цг (309)
Откуда
W = f • ■ ■. (ЗЮ)
или
^=|/"|- (зіі)
т.-е. діаметръ Lq круга пропорціоналенъ вовсе не его
площади S, какъ мы допустили шач&тгѣ, а корню
квадратному изъ этой площади, дѣленной на т..
Отсюда читатель вюжетъ видѣть, что всякій разъ,
когда въ знаненателѣ второй части является полный
функциональный составь числителя первой части, его
нужно перенести (какъ въ выраженіи 309) въ первую
часть и затвмъ, чтобъ сдѣлать функцію явной, извлечь
изъ обѣихъ частей соотвѣгствующій корень. Съ этимъ
важнымъ аамѣчаніемъ мы и приступимъ къ выведенію
нвсколькигь интересныхъ формулъ, на которыхъ
могущество качественнаго. физико-математическаго анализа
обнаруживается достаточно хорошо.
IV.
Первый примѣр-ь. Факторы, обуеловливающіе высоту
тона колеблющихся струнъ и етержней.
Положимъ, что какой-нибудь музыкантъ нанъ ска-
,-залъ: „Высота тона всегда увеличивается, когда я
натягиваю сильвѣе струну и уменьшается, когда я ее
удлиняю, но а не знаю въ какой пропорціи". Мы тоже
никогда не занимались этимъ предметомъ, и только зна-

— 249 —
емъ, что „высота тона" (форм. 98, стр. 84) — это про-
явленіе частоты U колебаній струны.
Однако беремъ карандашъ и пишеиъ, на основаніп
вышеприведенныхъ словъ музыканта:
и=\к}?£ (312)
т.-е. высота тона U „возрастает"!/ по мѣрѣ возраетанія
двустороннягоJ) усилія Fn употребленнаго для натяги-
ванія струны, и „понижается" при увеличили ея длины
£, а затѣмъ остаемся въ полной увѣренности, что
введенный въ эту формулу комплексъ [fcj непредусмотрѣ-
ныхъ факторовъ укажетъ намъ всѣ необходимыяя
поправки, если мы написали ее не совсѣмъ вѣрно, и
обнаружить вс в остальныя зависимости, если мы здѣсь что-
либо пропустили.
И дѣйствительно, зная, что фукціональный составъ
V
(7—к? и Fr = 2MVU, паходимъ значеніе [к] изъ самой
формулы (312-й).
L
А такъ какъ въ поелѣднемъ членѣ множитель ку=
1 2Х
=-т- • -р приводится къ едининѣ, дѣленной на
удвоенную частоту колебаній,
L 1 1
2F~/, Ѵ\ W
Ю
(314)
то внеся это значеніе въ предыдущее (313) равенство,
имѣемъ:
і) Потому что eipjm рютягиается двумя равшап н вротжвоно-

— 250 —
А вставивъ это значеніе М въ первоначальную
(312-ю) формулу, находимы
ѵ—аги-'і (316)
Занѣтивъ же, что V, оказавшееся въ знаменателѣ
второй части, находится также и въ числителѣ первой,
соединяемъ оба эти символа и въ результат* получаемъ:
р=шг (317)
или, сдѣлавъ извлечете корня:
(318)
и~Т}/~Т&
это и есть извѣстная формула Тайлора.
Теперь мы прямо отвѣчаемъ нашему музыканту:
„Высота тона (17) всякой струны будетъ прямо пропорціо-
нальна корню квадратному изъ двусторонняго усилія (F,)
ея натяженія и обратно пропорціональна корню
квадратному изъ ея длины. Но кромѣ того, здѣсь
обнаруживается еще одно обстоятельство, о которомъ вы не
упомянули: высота тона будетъ еще обратно
пропорціональна корню квадратному изъ массы (М) струны, какъ
это, впрочемъ легко зам-втить и экспериментально,
сраввивъ звуки басовыхъ и дискантныхъ струнъ при
той же ихъ длинѣ и иатяжеиіи".
Дѣйствительно, найденная нами формула и есть та
самая, которая давно употребляется въ акустикѣ.
V.
Второй привѣръ. Факторы, вліяющіе на вреня коле-
баній простого наятника.
Пусть часовой мастеръ замѣтилъ въ нашенъ присут-
ствіи: „время колебашй маятника увеличивается, когда

— 251 —
его удлиняютъ". Услышавъ это простое замѣчаніе ны
береиъ карандашъ и пишемъ:
Г=ИІ, . . . : (319)
т.-е. дѣлаемъ гадательное предположение, что время Т
каждаго колебанія возрастаете прямо пропорціонально
длинѣ Zq маятника, въ полной уверенности, что, если
это и не совсѣнъ вѣрно, то введенный пани комплексъ
[ft] сдѣлаетъ необходимая поправки.
Дѣйствительно, опредѣливъ функциональный составь
[ft] иаъ самой формулы, находивгь, зная изъ таблицы въ
-fp} и что Ьц = Ь
м=т-(т)=А <320>
А вставивъ это въ первоначальную (319-ю) формулу,
имѣемъ:
т^ Ь .=2А> (321)
Это показываетъ, что время Т не только пряно
пропорціонально укаъатюй намъ длшгЬ Lq маятника, но
еще обратно пропорціонально какой-то скорости, о
которой ничего не было сказано въ первоначальнонъ за-
мѣчаніи, послужившемъ къ составленію вашей формулы.
Изъ самаго смысла нашей задачи видно, что эта
скорость является здѣсь совершенно самостоятельнымъ
факторомъ, а не одвимъ изъ элементарныхъ
множителей, входящихъ въ функциональный составъ какого-либо
сложваго фактора Х=-^, такъ какъ Хщимѣетъ здѣсь
вполнѣ определенное значеніе: это, какъ мы знаемъ изъ
уеловій задачи, длина маятника, а потому мы не ножемъ
принять и =ъг ни за что другое, какъ за длину этого.

— 252 —
маятника, дѣлённую на какую-то скорость. Очевидно,
догадываемся мы, это—средняя скорость качаній маятника,
возникающая вслѣдствіе ускорительныхъ воздЬйствій на
него земного поля. Присутствіе ея само бросается въ
глаза въ этомъ явленіи.
Значить, чтобъ привести явленіе къ его первичнымъ
причинамъ, мы должны и саму эту скорость Гзамѣнить
нѣкорой функціей отъ ускорения <?. Чтобъ найти
истинный видь этой функдіи, будемъ руководиться гвмъ же
самымъ качественнынъ анализоиъ явленія. Такъ какъ
скорости вообще возрастаютъ при увеличен!и ускори-
тельныхъ воздѣйствій, то примемъ оба фактора пропор-
ціональными другъ другу, а на случай какого-либо
недосмотра въ этомъ предположеніи, введешь въ эту про-
порціональность снова комплексъ [#] непредвидѣнныхъ
факторовъ. Получаемъ:
Т=[Щв (322)
I
Откуда, зная нзъ таблицѣ въ началѣ этой книги, что
d = =j и ЧІ° "іг— ■». имѣемъ изъ самаго равенства:
т.-е. [&"] оказался здѣсь символомъ какого-то времени Т.
Внеся это въ предыдущую (267-ю) формулу, получаемъ:
V=TQ . (269)
А замѣнивъ этимъ значеніемъ скорость V въ
полученной нами передъ этимъ фориулѣ (322), находимъ изъ нея;
т=^ (324)
или:
Г*=4 (226)

— 253 —
Сдьлавъ функцію явной по отношенію къ Т, имвемъ
окончательно:
Т=}/Г% (426)
Теперь мы пряно говоримъ вашему чаеовому мастеру:
„Время (Т) качаній веякаго маятника (если онъ близокъ
къ идеальному), будетъ прямо пропорціоналыю корню
квадратному изъ его длины (£0), но вы упустили изъ
виду, что, кромѣ того, время это обратно
пропорціонально, корню квадратному изъ величины уекорительнаго
воздѣйствія (G) земного поля въ данномъ нѣстѣ, такъ
что одинъ и тотъ же маятннкъ будетъ качаться не ео-
всѣмъ одинаково въ различншъ пунктахъ земного шара,
напримѣръ, на экваторѣ и блиаъ полюеовъ". И
действительно послѣдняя формула (326-я) и представляеть
истинный законъ качашй ндеальнаго маятника. Недостаеть
только постояннаго числового множителя 3,14159... = т,
который, какъ чисто отвлеченная числовая величина,
и не ногъ быть полученъ путемъ нашего качественного
анализа. Введя же этотъ множитель получимъ
общеупотребительную формулу:
Т=3,141бѲ...і/^ 327
VI.
Третія примѣрь. Дальность полета брошеннаго тѣла
на безатмоеферныхъ евітилахъ. Качественный под-
боръ отвлеченныхъ факторовъ въ физических-ь фор-
мулахъ.
Предположим^, что какой-нибудь артиллеристъ заигѣ-
тилъ въ нашенъ присі'тствіи, что, если бъ не было на
землѣ атмосферы, то дальность паденія ядра (на
горизонтальной поверхности г при томъ же углѣ наклоневія
дула орудія къ горизонту) измѣнялась бы въ очень про-

— 254 —
стой зависимости оть начальной скорости ядра
Воспользовавшись этимъ неопредѣленнымъ замѣчаніемъ и со-
образивъ, что при большей начальной скорости всякое
тьло упадетъ далѣе при тѣхъ же остальныхъ условіяхъ, мы
„^.■'-•^Ift;..^
L
Фиг. 70-
беремъ карандашъ и пишемъ гадательно, что разстояніе L
до паденія брошеннаго подъ даыыымъ угломъ тѣла бу-
деть возрастать пропорціонально его начальной
скорости У, пока комшіексъ [к] непредусмотрѣнныхъ факто-
ровъ остается постоянным!..
L = \k]V (328)
Опредѣливгь аначеніе [А:] изъ санаго равенства, имѣенъ:
[*]=т=т-^=-гт <329)
Отсюда видимъ, что непредусмотрѣнымъ факторомъ
здѣсь было время Т полета ядра, да еще постоянный
крэффиціентъ = -д-. Внеся ихъ въ исходную формулу
(328-ю), получаемъ:
Ь^~ГТ- ■ (330)
Значить, разстояніе L до паденія брошеннаго тѣла
на ту же горизонтальную поверхность будетъ
пропорціонально не одной начальной скорости F, а еще и
времени его полета.
Но само время полета ядра до его паденія, сообра-
жаемъ мы, завысить отъ ускорительнаго воздѣйствія на
него оондеро-моторнаго поля земного шара. На другихъ
планетахъ оно другое, да н на самой поверхности земли
оно слегка колеблется въ различныхъ мѣстахъ. Слѣдова-
тельно, ддя обобщенія' предыдущей формулы нужно за-

— 255 —
мѣнить въ ней время Т соотвѣтствующей функціей отъ
ускоренія G. Функціи этой мы не знаемъ, а потому
снова прибѣгаенъ къ качественному анализу
соотношений между G и Т. Замѣтивъ, что время полета должно
уменьшаться при увеличтіи ускорительныхъ воздѣй-
ствій, допускаенъ гадательно обратную пропорціональ-
ность между ними, а для исправления возножныхъ не-
досмотровъ снова вводимъ въ равенство конплексъ [А*].
Им-Ьемъ:
Г =[*']■ ^ (331)
V2 2L
А зная, что G=zy и Т=-у- (таблица въ началѣ), на-
ходимъ отсюда и значеніе [к']:
[ff] = T. G=^- ~-..-V .... (332)
Ннеся значеніе [к'] въ предыдущее (331-е) равенство,
находимъ и искомую зависимость между временемъ
полета и ускорительнымъ воздѣйствіемъ планетнаго поля:
Т=^ - - (333)
А внеся, въ свою очередь, и это значеніе Г въ нашу
исходную формулу (330-ю), ннъ-емъ:
У У I Vs
Теперь мы сами можемъ сказать нашему
воображаемому артиллеристу, что разстояніе L до паденія ядра на
тотъ же уровень, въ случаѣ отсутствія атмосферы, было
бы, при томъ же угль- наклоненія орудія къ горизонту,
прямо пропорціонально полу квадрату начальной
скорости У ядра и обратно пропорціонально
ускорительнымъ воздвйствіямъ G въ пондеро-моторномъ волѣ земного
шара илн другой планеты.

— 256 —
Однако мы можемъ пойти и далѣе этого, и
определить вліяніе сажаго угла начальнаго бросанія, т.-е. откло-
ненія дула орудія вверхь отъ горизонта. Только методъ
дальнѣйшаго введенія комплекса непредвидѣнныхъ фак-
торовъ здѣсь уже не поможеть, потому что „уголъ" есть
факторъ отвлеченный: м = 71-. Дѣйствительно, попробо-
вавъ ввести новый комплекеъ [ft"J въ предыдущее (334-е)
выраженіе и опредѣлить его изъ самой формулы, по-
лучимъ:
\)Ь = [Г}~~; откуда 2) [*"] = 2L-£ =
2L V3
=Ь'2І = І '.(335)
Мы видинъ, что конплексъ [&"] здѣеь обратился въ
единицу, свидѣтельствуя этинъ, что ыикакихъ дальнѣй-
шизъ именованны» факторовъ въ этомъ явленіи не
участвуетъ, а могутъ быть только отвлеченные, вродѣ
у j г
тр^. у1 и т. д., каковъ и есть перемѣнный уголъ накло-
ненія къ горизонту начальнаго участка пути у брошен-
наго тѣла.
Чтобъ опредѣлить вліяніе такнхъ (отвдеченныхъ)
факторовъ существуетъ лишь одинъ вспомогательный
методъ. Овъ состоять въ томъ, чтобъ замѣтить при ка-
кихъ велнчнвахь зтихъ факторовъ ихъ функдіи принц-
маюгь значеніе суля и при какихъ достигають своего
максимума, а также, будеть ли этоть накснмунъ
конечной величиной или бесконечностью. Все это
обыкновенно бываетъ очевидно съ перваго же взгляда. А иослѣ
этого легко выбрать изъ всѣхъ функпДй давнаго отвле-
ченваго фактора (если такихъ функцій существуетъ
несколько) тѣ, который пригодны въ давножь случаѣ и
отбросить все остальная. Обыкновенно такой пріемъ
пряно и указываете лишь одну надлежащую функцію.

— 257 —
Покажемт. приложеніе этого вепомогательваго метода
на разбираемомъ нами примѣрѣ.
Съ перваго взгляда очевидно, что разстояніе L между
точкой броеанія и точкой паденія тѣла на тотъ же
самый уровень можетъ быть лишь одпой изъ прямолиней-
пыхъ функцій угла отклоненгя начальной части полета
отъ горизонта. Кромѣ того, это должна быть „періоди-
ческая функція перемѣннаго угла" (о которыхъ мы го-
ворнмъ въ главѣ VI, § 5, стр. 181), потому что при гори-
зонтальиомъ бросанІи (когда уголь наклоненія къ
горизонту—О) полета совсѣйъ не будетъ, и брошенное тѣло
можетъ считаться упав-
шимъ на тотъ же
уровень въ самый номентъ
своего полета. Затвмъ,
по мѣрѣ увеличенія угла
начальнаго пути по от-
ношенію къ горизонту, f
раЗСТрЯНІе ДО ТОЧКИ Па- ЬыЫ ммишЪ-'"\^вмк. илмяій-
^
денія будетъ постоянно ^ L'
увеличиваться, пока не *<"'■ 71.
дойдетъ до
максимальной, и притомъ конечной величины, поелѣ которой
мѣсто паденія будетъ снова приближаться къ мѣсту
броеанія, и, при вертикальномъ направленіи, соотвът-
ствующемъ углу ш = 90и по отношенію къ горизонту,
дальность полета снова обратится въ нуль. При
увеличении же угла болѣе чвнъ на 90°, явленіе повторится
въ противоположную сторону отъ пункта броеанія, а
для дальнѣйшаго возрастанія угла за пределы двууь
прямыхъ уже не останется мѣста.
Эти два періода возраетанія дальности паденія отъ
нуля до нѣкоторой конечной величины и обратнаго
убыванія до нуля по ітѣрѣ увеличенІя угла « отъ 0 до
2 прямыхъ, сразу рѣшаютъ дѣло. ІІрямолинейныхъ
функцій перем'вянаго угла, какъ мы уже знаемъ, только
восемь. Но изъ нихъ котангенсъ, косинусъ,. косекансъ
Оенвщ шѵявт* жмяш&а. **

— 258 —
и синусъ-верзусъ не подходятъ, потому что, при углѣ «
равномъ нулю, они прининаютъ значеніе максимума, а не
нуля, какинъ оказалось у насъ разстояніе L до паденія.
тѣла. Тангенсъ и секансъ тоже не годны въ данномъ слу-
чаѣ, потому что ихъ періодическія возрастанія и паденія
совершаются между нуленъ и безконечностью и, если бъ
мы выбрали одинъ изъ нихъ, то пришлось бы допустить,
что даже при неболыпихъ скоростяхъ тѣло, брошенное
подъ извѣстнымъ угломъ иъ горизонту, улетѣло бы въ
безконечность.
Слѣдовательно, для насъ остается только синусъ да
косинусъ-верзусъ, періодическія возрастанія и паденія
которыхъ колеблются, какъ и въ нашемъ случаѣ, жежду
нулемъ и нѣкоторой конечной величиной (радіусомъ
тритоном етрическаго круга). Но косинусъ-верзусъ вообще
не имѣетъ приложенія къ физическимъ формулами, а
потому мы и разсматриваемъ прямо синусъ.
Представивъ въ умѣ весь уже описанный характеръ
явлен! я, мы видимъ, что измѣненія дальности паденія,
при возрастаніи угла наклоненія начальнаго пути къ
горизонту отъ 0° до 90°, вполнѣ соотвѣтствуютъ измѣ-
неніямъ синуса удвоеннаго угла, т.-е. &п(2&)г потоку
что синусъ вторично обращается въ нуль не при одномъ
(какъ разстояніе L паденія тѣла), а при двухъ пря-
мыхъ углахъ. Значить, взявъ синусъ удвоеннаго угла,
sn2a, мы и имѣемъ такую его прямолинейную функцію,
числовыя значенія которой измѣняются согласно съ
измѣненіями дальности паденія тѣла, брошеннаго подъ
этимъ угломъ ю.
Поэтому для приспособленія нашей формулы (334-й)
къ различнымъ угламъ отклоиеній отъ горизонта на-
чальныхъ направленій бросанія, мы должны еще ввести
въ нее отвлеченный коэффиціентъ
<Ья2» = --г— (336)

— 259 —
гдѣ г0 есть тригонометрический радіусъ, а знакъ (°) съ
лѣвой стороны °8п означаетъ отвлеченный характеръ
этого коэффнпіента.
Итакъ, имѣемъ окончательно (вмѣсто форм. 334-й)
°sn2ie F*
~~2~ (і
(337)
т.-е- при отсутствіи на зенлѣ атмосферы, дальность L
паденія (на тотъ же уровень) брошенныхъ на ея
поверхности тѣлъ была бы прямо пропорціональна
полусинусу удвоеннаго угла и, подъ которымъ отклонено
отъ горизонта направленіе бросанія, и квадрату ихъ
начальной скорости. Затѣмъ, оно было бы обратно про-
порціонально ускорительнымъ воздѣиствіямъ G нондеро-
моторнаго поля земли.
На дѣлѣ, сопротивленіе воздуха всегда нѣсколько
уменьшаетъ эту дальность паденія, но соотвѣтствующій
этому фактору поправочный коэффиціентъ носитъ такой
же отвлеченный характеръ, какъ и только что
найденный синусъ удвоеннаго угла бросанія. Именованная же
часть формулы всегда остается та же самая и безусловно
справедлива.
VII.
Четвертый примѣръ. Сопротивленіе инертной ереды
движущимся въ ней тѣламъ.
Въ предыдущем ь примѣрѣ мы замѣтили, что
дальность паденія брошеннаго тѣла уменьшается, при про-
чихъ равныхъ условіяхъ, вслѣдствіе сопротивления
атмосферы, и что въ данной формул* вліяніе этого
фактора проявляется лишь „ относит ельнымъ образомъ",
т.-е. въ вид в частнаго иаъ двухъ факторовъ того же
самаго фуншвовальнаго состава, а потому и не можетъ
быть определено введеніемъ въ нее новаго комплекса
ftf] непредусмотрѣнныхъ факторовъ. Однако заинтере-
17»

— 260 —
совавшись этимъ вопросомъ, попробуемъ найти законы
сопротивленія среды изъ какого-нибудь другого соотно-
шешя, гдѣ деятельность этого фактора проявляется въ
иненованномъ видѣ. Нѣкоторыя изъ этихъ соотношеній
сразу бросаются въ глаза. Возьмешь первое изъ нихъ.
Всякій знаетъ, что при движеніи плоской пластинки въ
воздухѣ или водѣ, по направленію, перпендикулярному
къ ея поверхности, сила F сопротивленія среды, при
прочихъ равныхъ условіяхъ будетъ увеличиваться по
мѣрѣ увеличенія поверхности S сапой пластинки. Слѣ-
довательно, допустивъ здѣсь прямую пропорціональность
и введя для исправления возможныхъ погрѣшностей и
недоемотровъ нашъ всемогуппй комплексъ [к], получаемъ
такое равенство
F=[fr]S (338)
Опредѣливъ значеніе [Щ изъ самой формулы, имѣемъ
МѴ*
(зная изъ таблицы этой книги, что ¥=~ы~ и S— І8):
гдѣ D=Yi> есть символъ плотности. Внеся это въ-
предыдущее равенство, находшгь:
F^D~8 = ~S,Dr* (340}
т.-е. сила F сопротивленія инертной среды прямо про-
порціональна: поверхности S пластинки, поставленной ■
перпендикулярно къ направленію двшкенія, плотности
В среды и полуквадрату скорости V. какого-то движе-
нія. Что плотность D относится именно къ средѣ, это
совершенно ясно въ данномъ случаѣ, такъ какъ
плотность самой пластинки здѣсь не можетъ ия-ёть никакого
вліяшя. Что же касается до скорости Г, то она можетъ
относиться или къ скорости самой пластинки, или къ.

— 261 —
скоростямъ, который она сообщаетъ молекулаиъ среды,
а скорости эти для упругихъ, отскакивающихъ при
ударѣ, молекулъ будутъ, какъ извѣстно изъ механики,
вдвое болѣе.
Рѣшить эту дилемму и помогаетъ намъ коэффи-
иіентъ ^, вошедшш въ наше выражение. Разложимъ
плотность среды J> на ея основные факторы, тогда
получишь, вмвето предыдущего:
*-=5~- (Ml)
Но -~МѴ*—это симиолъ энергіи и не ножетъ адѣсь
обозначать ничего другого, какъ кинетическую энергію
упругой среды, отскакивающей отъ пластинки, а потому
и V относится къ скоростямъ, пріобрѣтаемымъ ея
молекулами. Въ этомъ случаѣ мы ясно видимъ пользу на-
шихъ числовыхъ коэффиціентовъ, введенныхъ нами
первоначально исключительно для обобщения Гельмгольцева
коэффиціента ?? въ выражении энергіи.
На основаніи предыдущаго выраженія мы можемъ
формулировать тоть же самый вопросъ и въ другомъ
видѣ: „Сила F сопротивления пылеобразной упругой,
неподвижной среды, пряно пропорциональна поверхности
S нормально движующейся въ ней пластинки и
кинетической энергіи -^МУ, которую пластинка, при своемъ
движеніи, сообщаетъ массѣ М среды въ каждонъ эле-
ментѣ занимаемого ею пространства, и обратно пропор-
ціональна объему L3 этихъ элементовъ пространства.
Такое выраженіе будетъ применимо и къ средѣ
неоднородной плотности".
Однако мы можемъ выразить сопротивленіе среды и
въ скоростяхъ самой пластинки. Мы только что сказали,

— 262 —
что скорости V отскакивающихъ упругия-ь молекулъ
среды вдвое болѣе скорости Уг самой пластинки, т.-е.
Ѵ=2Ѵ1. Замѣнивъ этииъ выраженіемъ V въ формулѣ
340-й, получишь:
F=±SD(2VJ*=2SDri\ (342)
т.-е. сопротивление F упругой среды равно удвоенной
поверхности S пластинки, квадрату ея скорости V, а
плотности В среды. Если же молекулы и пластинка не
упруги, то половина работы сопротивленія потратится
на сплющивапіе пластинки и молекулъ среды и, въ концѣ-
концобъ, выдълитъ калорическій эквивалент-!,, а для силы
сопротивленія останется только половина второй части
равенства, т.-е. просто SDVf.
Дѣйствительно, найденная нами формула и предста-
вляетъ полный функціональный составь силы
сопротивленія среды, пока мы разсчитываемъ эту силу по отно-
шенію къ пластинкѣ, поставленной перпендикулярно къ
направленно движенія, и пока инѣемъ дѣло со средой,
состоящей изъ пылеобразно *) разсгьянныхъ въ
пространства чрезвычайно малыхъ и упругих-ь молекулъ. Если
же вмѣсто пластинки будетъ двигаться, напримѣръ, шарь
или конусъ, а вместо изолированныхъ одна отъ другой
молекулъ, среда будетъ содержать молекулы, движущіяся
по всѣмъ направлешлмъ, сталкиваюпцяся между собою
и вызывающи этииъ упругое заныканіе среды ва
движущимися въ ней тѣлами, — то и въ эту формулу вой-
детъ еще рядъ отвлечеішыхъ коэффиціентовъ.
Отмѣтимъ въ заключеніе еще слѣдующее
обстоятельство. Принявь во вниманіе, что двнженіе пластинки про-
тивъ среды всегда ножетъ быть эквивалентно заменено
') Это замѣчааіѳ очеяь существенно. Еии моикуды среди будут*
водажпн, придется вводить поправочные отвдамнайя «оэффнвіенты
къ завясвкостя отъ природа среда в скоростей самого тѣю (ей. Няко-
ѵяшЛ. Морозовъ: „Законы сопротввдешя ynpjroS среды движущийся въ
яеІ тѣхажь* Ші. Спб. Біодогл. лабораторін ІЭ07)*.

— 263 —
движеніемъ самой среды противъ неподвижной
пластинки, мы приходимъ къ заключенно, что выведенная
нами формула годится, наприневръ, и для вычисления
давленія вѣтра на поставленный противъ него парусь.
Такъ и двлаютъ въ курсахъ навигаціи, считая силу I
давленія вѣтра прямо пропорціональной площади пер-
пендикулярнаго къ нему паруса, плотности воздуха и
квадрату скорости вѣтра.
Р=°А31>У (343)
гдѣ °Л есть числовой коэффиціенгь, опредѣляемый на
опытѣ и зависящій отъ единицъ мѣры и нѣкоторыхъ
другихъ условій. Съ нимъ сливается и коэффиціентъ
2 предыдущей (342-й) формулы. Считая скорость вѣтра
въ сантиметрахъ, поверхность S въ квадратныхъ санти-
метрахъ, а плотность воздуха по водѣ, равной 0,00129
един, (do водѣ), наидемъ:
F= 0,00129 . V*S динъ.
VIII.
Пятый примѣръ. Факторы, влпшщіе на скорость зву-
ковыхъ волнъ въ атмосфер* и другихъ упрутихъ
средахъ.
Допустимъ, что, занимаясь метеорологическими нз-
слѣдованіями, мы забыли формулу относительно
скорости распространения звука въ воздухѣ и помнимъ только
(или, скорѣе, соображаемъ), что она должна
увеличиваться при увеличеніи упругости воздуха. А справочной
книги нѣтъ ноль рукой. Чтобы выйти изъ затрудненія,
прибѣгаемъ снова къ качественному анализу явленія,
т.-е. бенемъ' карандащъ и пишемъ: „Скорость распро-
страненія звука У должна (или можетъ) быть прямо
пропорщональной упругости Я воздуха, если комплекса

— 264 —
непредусмотрѣнныхъ факторовъ [fc] получить
надлежащи функціональный еоетавь:
Ѵ=[к]Н (344)
Опредѣляемъ этотъ еоетавь [й] изъ самой формулы,
зная изъ таблицы въ началѣ книги, что Я=^ 2,з
М=Я==ЖГ?=Ж- Т=Ш' ■ - ■ (345)
гдѣ D есть плотность.
Внеся это въ первоначальную формулу (334-ю),
имѣемгь:
Г— JL (346)
КГ
Занѣтивъ же, что V находится и въ первой и во
второй части, соединяенъ оба символа:
У*=% (341)
или
/
В
Г=-.у' ~ (34S)
Теперь мы ножемъ сказать, и не справляясь въ
учебникахъ, что при неизяѣнной молекулярной
структуре упругой среды, скорость распространения звука
и другихъ колебательныхъ движеній будеть въ ней
пряно пропорціональна корню, квадратному изъ ея
упругости и обратно пропорціональна корню квадратному
изъ ея плотности. И действительно, такъ и ееть на
дѣлѣ для каждой данной среды и даже для различных^
по химическому составу, пока число атомовъ въ ихъ
молекулѣ то же самое. Если же оно различно, то сюда
входить еще своеобразный отвлеченный коэффиніентъ
отъ дробности вещества (или, что то же, отъ его
теплоемкости, форм. 35, стр. 31).

265 —
IX.
Шестой примѣръ. НахожденІе факторовъ, обуеловли-
вающихъ угловое ускореніе диска приводимаго во
вращееіе.
Положим ъ, что какой-нибудь мехаеикъ находится въ
затрудненіи, какъ ему вычислить угловое ускореніе при-
водимаго во вращеыіе диска, если удвоить его діаметръ
при томъ же моментѣ пары вращающихъ силъ. Мы сами
знаемъ по этому предмету еще ненѣе нашего механика,
позабыли даже, что такое моментъ пары, но находннъ
на всякій случай въ нашей таблицѣ (начало книги) фун-
кціональные составы упомянутыхъ здѣсь техническихъ
терминовъ.
уг
Угловое ускореніе ТГ*=~
Моментъ пары силъ МУ^-Е^ _ _ (350)
Діаметръ = 2 радіусамъ ... /a — 2L
Масса диска М=М0
Такъ какъ въ этомъ случаѣ мы уже ровно ничего не
понимаемъ, то начненъ приравнивать наудачу, какъ
попало, первыя два выраженія (потому что ихъ
функциональные составы сложнѣе).
Прежде всего поснотримъ, что скажетъ намъ ком-
плексъ[&], если мы скомбинируемъ эти выраженія въвидѣ
обратной пропорціональности:
а = И^ (зы)
Откуда находимъ функциональный составь комплекса:
[*3=Н = 0Л^ (352)
Мы видимъ.что символы второй части здѣсь нельзя
сократить между собою и, такимъ образомъ, перейти къ но-

— 266 —
вымъ факторанъ, кронѣ тѣхъ, которыя стоять въ
средней части этого же равенства. Значить,
\к)=$ѣ\ (253)
Внеся, это въ начальное выраженіе (351), сейчасъ же
приходинъ къ тожеству:
0 = :&0 = Q (354)
А, " -
Итакъ, коннлексъ [к] нанъ сказалъ, что при таконъ
обратномъ ириравнвванш углового ускоренія диска и
момента нары, ни отъ него ничего не получнмъ, кронѣ
абсолютнаго тожества: „уголовное ускореніе й равно
самому себѣ":
a^Q (297)
Такой полный отказъ комплекса [к] отвѣчать на нашъ
вопросъ Ноказываетъ, что въ таконъ вопросѣ нвтъ ни
капли здраваго смысла, и что обратной
пропорциональности между этими двумя факторами совеѣмъ не суше-
ствуетъ. Поэтому поступшгъ наобороть, и зададимъ тотъ
же вопроеъ, допустивъ на этотъ рать прямую
пропорциональность между угловыми ускорешем-ь Й диска
и парой Е вращающихъ его силъ:
Й = [А]£Л (355)
Опредвливъ теперь коннлексъ \к\ изъ самаго
равенства, имѣемъ: ;
А внеся это въ предыдущее равенство (355) полу-
чаемъ:
Q-^kr •■■'■ (357>
Теперь мы вндинъ, что комплексъ [к] даль намъ
вполнѣ определенный ответь. Онъ указал-ъ намъ, кромѣ

-_ 267 — '
момента пары Ё„, еще два фактора М и (2L)2, которые
вліяюгь на угловое ускореніе приводимаго во вращеніе
диска. Чтобъ определить ихъ смыслъ, посмотримъ только
въ первоначальный условія вопроса (рндъ равеыствъ
292). Тамъ' прямо упоминается о массѣ ЛГ=Ж0
диска и его' діаметрѣ равномъ 2 радіусамъ: Iq = 2£.
Другихъ однопменныхъ факторовъ въ этомъ явленіи не
участвуетъ. Значить, именно ихъ вліяніе и указываете
ыамъ комплексъ [к].
Следовательно, имѣемъ вмѣсто предыдущаго:
в=лто ■ ■•*•■ <358>
Теперь мы ножемъ сказать и нашему механику: „Мы
совсѣмъ не понимаемъ предмета, о которомъ вы
говорите; забыли даже, что такое угловое ускореніе и мо-
ментъ пары, но этого и не нужно: качественный ана-
лизъ двухъ словъ, встрѣтившихся въ вашей фраэѣ,
прямо даетъ формулу для рѣшенія вашего вопроса:
угловое ускореніе вращаемаго диска будетъ прямо пропор-
ціонально „моменту" Eh приложенной къ нему пары силъ
и обратно пропорціонально произведении изъ его массы
М0 на квадратъ его діаметра Lq. Значитъ, при удвоеніи
діаметра диска, какъ это поставлено въ вашей задаче,
съ сохранеіііенъ той же массы диска и момента пары,
угловое ускореніе его уменьшится въ 2*=4 раза. Если
же при этомъ будуть изменяться и масса М и моментъ
пары силъ, то формула наша укажетъ вамъ и ихъ
вліяніе".
X.
Резюжэ предыдущаго.
Я не хочу утомлять вниманіе читателя
дальнейшими примерами, которыхъ моглъ бы привести сколько
угодно. Того, что я сказалъ, вполне достаточно, чтобъ
убедить всякаго скептика, что качественный физако-

— 268 —
натематическій анализъ представляетъ могущественное
орудіе для изслѣдованія явленій природы. Если бъ
образованный не математикъ случайно увидѣлъ, съ какой
легкостью, и безъ всякой предварительной подготовки,
ногли быть рѣшены сейчасъ, по санымъ отрывочнынъ и
неопредѣленнымъ намекамъ, нѣсколько сложныхъ фи-
зическихъ пробленъ, надъ которыми гешальнѣйшіе люди
прошлыхъ вѣковъ подолгу ломали себѣ головы, и,
если бъ онъ убѣдился, что see это не шутка, и что
формулы, полученныя нами, даютъ точное
математическое рѣшеніе предложенныхъ физическихъ задать, то
не показалось ли бы ему, что этотъ „качественный фи-
зико-математическій анализъ" есть какой то особый родъ
бѣлой магіи, которая путемъ простого начертанія на
лоскуткѣ бумаги двухъ-трехъ таинственный, синволовъ,
въ нѣсколько секундъ открываете передъ нами
всевозможный тайны видимаго и невидимаго міра? „Назовите
лишь мнѣ,—говорить эта бѣлая магія—нѣсколько
физическихъ факторовъ, и я вамъ не только укажу всѣ со-
отношенія между ними, но и обнаружу, кромѣ того,
присутствіе среди нихъ еще новыхъ факторовъ, если
такіе дѣйетвительно участвуютъ въ данномъ соотноше-
ніи. Дайте мнѣ лишь намекъ на какую-либо закономѣр-
ность въ сложномъ физическомъ явленій, и я вамъ не
только точно опредѣлю эту закононѣрность, но и
обнаружу всѣ остальныя закономѣрности въ этомъ явленій,
которыя были упущены изъ виду, и, если въ
первоначальной формулировкѣ вашей задачи вы сдѣлали какую-
либо ошибку, я ее исправлю, или совсѣнъ выброшу изъ
уравненія".
Въ предыдущемъ изложеніи мы нарочно
ограничивались открытіемъ лишь такихъ законовъ природы,
которые, на самомъ дѣл-в, были найдены задолго до насъ
экспериментально или теоретическимъ путемъ. Такъ мы
и должны были сдѣлать для того,чтобъ показать, что
методъ, которымъ мы обладаеыъ, надеженъ. Въ дальнѣй-
шнхъ отдѣлахъ мы уже оставит, это береговое плава-

— 269 —
ніе и удалимся'на нашемъ челнокѣ въ безнредвльный
океанъ открытыхъ вопросовъ науки.
Но для того, чтобъ показать, что въ этомъ океанѣ
есть иного работы для нашего метода, разсмотримъ еще
одинъ случай, которымъ намъ придется спеціально
заняться въ будущемъ.
XI.
Неизнѣнна ли сила тяготѣнія въ мондеро-моторныхъ
поляхъ небесныхъ свѣтилъ?
Въ чемъ заключается причина тяготвнія небесныхъ
свѣтилъ другъ къ другу? Остается ли эта сила всегда
неизнѣнной или измѣняетъ съ теченіемъ времени свое
напряженіе? Вотъ вопросы, которые охватываютъ все
прошлое и будущее нашей вселенной, и отъ того или
другого рѣшенія которыхъ зависитъ все наше міро-
созерцаніе.
Но какъ рѣшить эту загадку природы, когда опыт-
ныхъ данныхъ, собранныхъ за весь нашъ ничтожный въ
жизни небесныхъ тѣлъ историческій пвріодъ,
совершенно не достаетъ для отвѣта на послѣдній изъ двухъ
вопросовъ? Да если бъ даже и были такія данныя, то
они имѣли бы значеніе лишь въ смыслѣ доказательствъ
измѣнчивости тяготѣнія, потому что при противополож-
номъ утвержденіи, всегда можно возразить, что взятый
нами промежутокъ времени не достаточно великъ для
установленія произошедшей разницы во взаиннонъ тя-
готѣніи свѣтилъ.
Поэтому для современнаго естествоиспытанія ничего
не остается сдѣлать, какъ обратиться съ довѣріемъ къ
тому же орудію открьітій въ области физическихъ наукъ,
въ могуществѣ котораго мы уже могли убѣдиться. И
действительно, качественный физико - математическій
анализъ этого предмета прямо отвѣчаетъ намъ, что сила.
притяженія небесныхъ свѣтилъ завиеитъ не отъ однихъ

— 270 —
ихъ ыеизмѣнныхъ массъ, а и отъ накопившейся въ нихъ
особаго рода энергіи, совершенно сходной по своей
природѣ или даже тожественной съ калорической энер-
гіей нагрѣтаго тѣла. Но если это такъ, то притяженіе
небесныхъ тѣлъ должно послѣдовательно ослабѣвать по
мѣрѣ уменьшенія этой ихъ энергіи, вслѣдствіе ел излуче-
нія „въ болѣе холодныя тѣла".
Приложимъ же нашъ методъ къ разъясненію этого
важнаго предмета, но прежде всего разсмотримъ одинъ
очень простой случай тяготѣнія, тяготѣніе звучащихъ
тЬлъ, обратившей на себя спеціальное внимание лишь
въ сравнительно недавніе годы и притомъ почти
исключительно въ Англіи, такъ что до санаго послѣдняго
времени этоть интересный случай оставался почти неэамѣ-
ченнымъ въ другихъ странахъ.
ХН.
Лоле волнообразныхъ колебаній и его притягательные
воздѣйствія.
Ііѣгв по.тя радіація, беэв поля
тяготѣііа в вѣгъ поли тяготѣжія
бею пола вавоК-либо рвдаігін. Когда
потухает* одно, исчезает* в другое,
потов; что оба поля окно в то ке.
Еще въ 1671 году Робертъ Гукъ1), извѣстный въ
исторіи науки многими гениальными идеями, далеко
опередившими его время, пытался объяснить причину
тяготѣнія волнообразными движеніями,
распространяющимися въ окружающей небесныя тѣла упругой средѣ, и
въ подтвержденіе своихъ взглядовъ дѣйствительно по-
казалъ, что предметы плавающіе на водѣ (или вероятно,
еще лучше на поверхности ртути) „притягиваются" къ
центру производима™ въ этой жидкости волненія.
») Robert Hook. Posthumous Works ей. bj Waller p. Sir and. IS4.

— 271 —
Съ тѣхъ поръ прошло два вѣка, и эта идея, подобно
большинству другихъ соображений Гука, была оставлена
безъ эаслуженнаго вниманія и развитія. Только въ сре-
динѣ ХК вѣка, профессоръ Чаллисъ пытался
подвергнуть ее математической разработке, но, по причинѣ
трудности употребленныхъ имъ методовъ анализа, не
могъ прійти ни къ какимъ точнымъ результатам^ и
только вывелъ заключеніе, еще требующее провѣрки,
что поле волнообразныхъ движеній должно притягивать
къ своему центру всѣ такія тѣла, величина которыхъ
очень значительна сравнительно съ длинами междувол-
новыхъ промежутковъ, и, наоборотъ, отталкивать всѣ
такія, размѣрыхъ которыхъ сравнительно ничтожны.
Опытныя изслѣдованія этого предмета были
произведены Гюйо, Шельбахомъ, Гютри н Внльямомъ Тонсо-
нонъ, изложившимъ въ Іюнѣ 1871 года въ „Philosophical
Magazine" современное состоите вопроса. Гютри демон-
стрировалъ притягательный воздѣйствія звукового поля
въ атмосферѣ, на вибрирующихъ металлическихъ ди-
скахъ и обнаружилъ, что при ихъ приближеніи къ
свободно подвѣшенному тѣлу, они притягиваютъ его къ
себѣ, совершенно также какъ электрофоръ—бузинные
шарики, но только, конечно, съ несравненно меньшей
силой. Другіѳ экспериментаторы обнаружили то же самое
и на остальныхъ звучащихъ инструментахъ, въ томъ
числѣ и на оростыхъ камертонахъ. „Приводить въ ко-
лебаіие камертонъ,—говорить Макевель2) въ своей статьѣ
о тяготѣніи, помѣщеннои въ Британской знциклопедін,—
къ свободно подвѣшенноиу мягкому тѣлу. Тѣло тотчасъ
асе начннаетъ притягиваться къ камертону. Если же
нривѣсить самый камертонъ, то онъ видимо
притягивается ко всякому сосѣднему тѣлу. Сэръ В. Томсоиъ
шжазалъ, что это дѣйствіе во всѣхъ случаяхъ можно
>) I. С. МалѵІІ. Encyclopaedia Bri tannics. Gravitation- Такае:
(Річя к (тпти Д. К- Маижмія, черев. Е. Маракуем, 1S01 то»,
«тр. 118).

— 272 —
объяснить общимъ принципомъ, что въ волнующееся
жидкости среднее давленіе имѣетъ наименьшую
величину тамъ, гдѣ средняя энѳрггя колебательнаго движе-
нія всего больше. Но волновое движете больше всего
вблизи камертона, слѣдовательно, давленіе здесь всего
меньше. А благодаря тому, что давленія на привѣшен-
ное твло съ двухъ противоположныхъ (по радіусу) сто-
ронъ не равны, оно и движется оттуда, гдѣ давленіе
наибольшее, въ сторону наименьшаго давленія, т.-е. къ
камертону. Ему (т.-е. Томсону) удалось также произвести
и оттвлкиваніе въ случаѣ малаго тѣла, которое легче
окружающей среды".
Таковы опыты и соображения нѣсколькихъ знамени-
тыхъ англійскихъ физиковъ. „Инертныя массы" камер-
тоновъ начинаютъ притягивать другь друга, какъ
только мы вдохновинъ ихъ опредѣленнымъ зарядомъ
звуковой энергіи, а до твхъ поръ онѣ остаются
совершенно интертны. Законъ дѣйствія этихъ полей остается
тотъ же самый, какъ и у всякихъ другихъ притягива-
тельныхъ или отталкивательныхъ полей: электрическихъ,
магнитныхъ и обычныхъ Ныотовіанскихъ. Въ
пространств трехъ независимыхъ направленій, гдѣ каждая
сферическая волна звуковой энергіи возрастаете, въ своей
поверхности (и благодаря этому, такъ сказать,
разжижается ва каждомъ своемъ квадратнонъ сантиметрѣ)
прямо пропорціонально квадратамъ разстоянія,
притягательный дѣйствія звуковыхъ полей должны быть (точно
такъ же, какъ и всѣхъ другихъ) обратно пропорціональны
квадратамъ разстоянія. Указанный Томсономъ чисто
гидростатическіи способъ воздѣйствій звуковыхъ полей
на находящаяся въ нихъ посторонни! массы, обусловли-
ваеть необходимость движенія этихъ массъ къ центру
даннаго поля безъ пріобрѣтенія ими вращающихъ сла-
гаеныхъ (какъ и въ поляхъ тяготбнія небесныхъ свѣ-
тилъ), какую форму ни имѣли бы эти „всасываемый
полемъ" массы. Кромѣ того, если бъ всѣ тѣла,
доступный нашему нзслѣдованйе, о&іадали одинаковой плот-

— 273 —
ностью, превышающею, плотность звукового поля, то
величина притягательныхъ воздѣйствій, при прочихъ
равныхъ условіяхъ, определилась бы „на основаніи
опыта и наблюденія" пряно пропоріональной ихъ
массамъ, хотя, на саионъ дѣл-fc, она. была бы пропорщ'о-
нальна иассаиъ вытѣспенной гит среды поля.
Такимъ обрааомъ, если бъ мы могли показать, что
атомы небесныхъ свѣтилъ вызываютъ въ окружающемъ
ихъ вселенскомъ океанѣ какой-либо родъ волнообраз-
ныхъ движеній, аналогичнымъ звуковьшъ движеніямъ
нашихъ канертоновъ, то этимъ еамымъ мы были бы при*
ведены къ заключевію, что, въ результатѣ такихъ
движеній, неизбежно было бы образование около свѣтилъ
такихъ же полей притяженія, какія произошли бы въ
воздухѣ около большого скопленья звучащихъ камерто-
новъ. Если бъ при этомъ атомы всѣхъ извѣстныхъ въ
настоящее время твлъ были одной и той же іиютности
(что неизбежно при единствѣ матеріи у всѣхъ атомовъ)
и при тонъ плотнѣе вытѣсненныхъ ими объемоаъ
космической среды, то всѣ обычныя физическія тѣла, попа-
дающія въ поле радіадіи любого свѣтила, показались
бы панъ притягиваемыми къ нему гидростатическимъ
способомъ, т.-е. беэъ пріобрѣтеиія внащательныгь сла-
гаюпщхъ, прямо пропорціонально евоивгь массамъ (на
дъ-лѣ массамъ вытѣсненной ихъ атомами космической
среды).
Это притяженіе было бы совершенно независимо
отъ поддающихся нашему опредшіенію, т.-е. наблюдае-
мыагь п.іотностей самихг тѣлъ, такъ какъ
гидростатическому воздѣйствію поля должны подвергаться только
атомныя тѣльца, непроницаемый для космической
среды, а никакъ не неждуатомныя промежутки, обуело-
вливаюппе въ значительной мѣрѣ наблюдаемую нами
плотность физическихъ твлъ. Эти междуатомныя
промежутки, наполненные средой поля, должны оставаться
настолько же нейтральными при ея моторно-гидроста-
Однотичевтв. инадш. *°

— 274 —
тическихъ воздвйствіяхъ на физическія тѣла, какъ и
поры губки при ея всплывайіи со дна моря.
Въ результатѣ такихъ соображеній, мы приходимъ
къ неизбъжому заключенію, что если бъ около небес-
ныхъ свѣтилъ существовали поля волнообразныхъ дви-
женій, или даже аналогичный имъ поля электромагнит-
ныхъ возмущеній, то они не могли бы оставаться безъ
вліянія на силы взаимнаго тяготѣнія этихъ свѣтилъ.
Но мы знаемъ со временъ Френеля и Максвелл, что
такія поля волнообразныхъ возмущеній действительно
существуютъ около всякаго свѣтила, температура кото-
раго выше абсолютнаго нуля. Каждая молекула окру-
жающихъ насъ тѣлъ вибрируеть, какъ звучащій камер-
тонъ, и этим-ь вызываетъ въ окружающей ея
космической средѣ поле излученія. Спрашивается, гдѣ же
принадлежащее этому полю притягательное дѣйствіе? Вѣдь
въ св-ътоБыхъ волыеніяхъ оно также необходимо, по
самой ихъ природѣ, какъ и въ звуковыхъ. Почему же
астрономическія наблюденія не указали намъ его
вліянія, если оно не входить, какъ составная часть, въ тѣ
силы, которыя приписывались до сихъ поръ „инертнымъ
массамъ" свѣтилъ? Разница между продольными колеба-
ніями звуковыхъ волнъ и поперечными,
предполагаемыми въ волнахъ евѣта, лучистой теплоты, электри-
ческихъ и ультрафіолетовыхъ колебаніяхъ, не имѣетъ
никакого значенія для этого предмета. Притягательныя
воздѣйствія производятся не самими этими волнами, а
вызываемьшъ ими уненыпенІемъ гидростатическаго да-
вленія въ волнующейся средѣ, которое, какъ показалъ
В. Томсонъ, „тішъ меньше, чѣмъ больше въ данномъ
мѣсть энергія волнового движенія", независимо отъ
продольное™ или поперечности колебаній. Разсматривая
этотъ вопросъ съ теоретической точки зрвнія, намъ
даже легче понять увелнченіе гидростатическаго дав-
ленія отъ центра къ периферіи . поля, какъ резуль-
татъ именно поперечныхъ, а не нродольныхъ
колебаній.

— 275 —
Въ самомъ дѣлѣ, поперечный колебанія молекулъ
совершаются, если позволимъ себѣ для краткости не совсѣмъ
точное выражеиіе, въ „плоскости" (т.-е. между двумя
сосѣдними поверхностями) каждой изъ послѣдователь-
ныхъ сферическихъ оболочекъ среды, окружающей тѣло.
Неиабѣжнымъ механическимъ результатомъ такихъ коле-
баній будетъ стремленіе каждой данной оболочки среды
расшириться, увеличиться безъ изнѣненія толщины, или
на ея счетъ, а это можетъ совершаться только путемъ
увеличенія діаметра этой оболочки, какъ всякій замѣ-
чалъ, раздувая гуттаперчевые шары или мыльные пузыри.
Вложите сильно сжатое по своей ддинѣ резиновое
кольцо въ другое болѣе тѣсное, которое нѣшаетъ ему
расширяться и вы увидите, что внутреннее кольцо будетъ
радіально давить на внѣшнее отъ центра къ периферіи,
вслѣдствіе простого стремленія увеличить свою длину,
т.-е. свое измѣреніе, тщтендикулярное къ радіусу кольца.
То же самое должно происходить и въ каждой изъ по-
слѣдовательныхъ молекулярныхъ оболочекъ среды,
окружающей источникъ излученія, если въ нихъ возникнутъ
колебанія пернендикулярныя къ направленію радіаціи.
Стремленіе расширить свою поверхность должно
вызывать у нихъ стренлеш'е удаляться отъ своего центра.
Благодаря этому, каждая ближайшая оболочка будетъ
давить на слѣдующую, и въ результатѣ вокругъ всякаго,
светящегося или просто нагрѣтаго выше абсолютнаго
нуля светила, неизбѣжно долженъ образоваться какъ
бы океанъ жидкости, перевернутый вверхъ дномъ и
потому гонящій грдростатически всякій попавшій въ него
досторовній атовгь изт. небесной ац/банм на „свою
поверхность", совпадающую съ поверхностью источника
радіаціи. Законъ же этихъ вшдѣйствіп будетъ въ
точности закономъ тяготѣш'я, пока мы додускаегь, что
атомы всѣхъ извѣстныхъ намъ тѣлъ едины по своему
материальному составу или просто обладаютъ той же
самой плотностью-
' IS'

— 276 —
Таковы чисто теоретическіе выводы о безусловной
необходимости притягательныхъ воздбйствій между
всякими двумя источниками поперечныхъ колебаній.
Экспериментально же, существованіе такихъ воздѣйствій было,
какъ мы видѣли, установлено еще Робертомъ Гукомъ,
показавшимъ, что поперечный колебанія волнъ на
поверхности воды, вызываютъ у плаваюшихъ на ней
значительные твлъ стренленіе двигаться къ центру волненія.
Теперь мы видимъ полную унѣстность эпиграфа,
поставленнаго въ началѣ этой главы: „Нѣтъ поля радіа-
ціи безъ поля тяготѣнія"1. Но въ такомъ случаѣ, еще
разъ спрашиваемъ мы, какъ же астрономы, несмотря на
всю необыкновенную точность ихъ измѣрителышхъ при-
боровъ, могли не замѣтить притягательнаго дѣйствія
излученій на движенія небесныхъ свѣтилъ? Здесь нѣтъ
для наеъ другого выхода, какъ допустить, что вліяніе
лучистыхъ полей въ евѣтоносной средѣ, или входитъ,
какъ составная часть, въ напряжете всемірнаго тяго-
тѣнія, или даже служить единственной его причиной,
и что астрономы въ своихъ вычиеленіяхъ и опредѣляли
не что иное, какъ моторныя воздѣйствія этихъ самыхъ
радіацій, хотя и приписывали причину тяготѣнія воз-
дѣйствіямъ другъ на друга „ннертныхъ массъ".
Въ результатѣ мы видимъ себя вынужденными
вернуться къ той же самой гипотезѣ о причинахъ
тяготѣнія, которая была высказана и самимъ великимъ осно-
вателемъ математической астрономіи. Мысли Ньютона
по этому предмету цѣлые вѣка были забыты и даже
неумышленно искажены, пока, наконецъ, ихъ не указалъ
Маклоренъ въ своемъ мемуаръ- „Обь открытіяхъ сэра
Исаака Ньютона", гдѣ онъ цитировалъ его письма къ
Бентлею и Бойлю, и пока Максвель не помѣстилъ ихъ въ
своейрѣчи „О дѣйствіяхънаразетояніи"въ„Proceedingsof
tbe Royal Society" и не написалъ уже цитированной
нами статьи о тяготѣниі въ Encyclopaedia Britannica г).
■J Прекрасный вхъ лерево» сдѣланг Н.К.Ыаракуешпга въ
изданной нмг кнйжкѣ: „Рѣчи и статьи Д. К. Максвыя", 1901.

— 277 —
Въ своихъ Optical Queries Ньютонъ пряно указывалъ,
что, если бъ междупланетныя пространства были заняты
какой-либо средой и если бъ давленія въ этой средѣ были
мен fee вблизи плотныхъ тѣлъ, чѣмъ на больніихъ раз-
етояиіяхъ, то плотныя тѣла стали бы притягиваться
другъ къ другу по закону обратной пропорциональности
квадратамъ разстоянія. Все его затрудненіе было только
въ томъ, что онъ не могъ подтвердить ни опытомъ ни
наблюдееіемъ существованія между планетной среды,
тогда какъ мы, со временъ Френеля, Фарадея и
Максвелла, инѣемъ теперь въ своихъ рукахъ все то, чего
недоставало Ньютону.
Однако, скажутъ намъ, если поле тяготѣнія завысить
отъ энергіи излученія, то почему же нагрѣтыя тѣла не
вѣсягъ на земной поверхности болѣе, чѣмъ остывшія?—
Оттого, отвѣтимъ мы, что въ силахъ взаимнаго притя-
жеиія, развивающихся между земнымъ таромъ и
небольшими тѣ.тами, доступными нашему взвѣішівашю, вліяніе
собственныхъ полей поелѣднихъ составляетъ лишь
ничтожную малую прибавку къ тому вліянію, которое ока-
зываетъ на ихъ ввсъ поле самого земного тара,
температуру котораго мы можемъ считать неизмѣнной, такъ
какъ климатическія колебанІя на земной поверхности,
во-первыхъ, очень незначительны въ сравненіи съ
абсолютной температурой нашей планеты, а во-вторыхъ, за-
хватываютъ лишь ничтожные по своей толщинѣ самые
верхніе слон почвы1). Определить вліяніе собственной
температуры обычныхъ тѣлъ было бы возможно только
на спеціально присно собленныхъ крутильныхъ вѣсахъ
Кулона-Кавендиніа, а этихъ опытовъ и не было
произведено до сихъ поръ. Какъ мы увидимъ далѣе, почти всѣ
наблюденія по этому предмету производились при той же
•> Однако нѣтъ ничего невѣроягнаго, что давно замѣчевное яепро-
порпіон&ыное оеіаблеиіе тяготѣвіі въ возвытевншъ странаіъ сраввн-
теіьно съ берегами моря обусловливается ихъ особеяныхъ оыаждеаіем-ь,
точно такъ же какъ и большинство мѣгтныХъ варушенШ пропорціо-
вальностн, открытии, геодезистами.

— 278 —
самой обычной температурѣ (около 290° abs.), а когда
случайно у изслѣдуемыхъ въ этомъ отношеніи предметовъ
(какъ, напримѣръ, у горъ) оказывалась нѣсколько высшая
средняя температура, то и числовые результаты
получались нѣсколько больше: вмѣсто средняго 6,63 • 10 ~s
абс. един, для вэаимнаго тяготѣнія двухъ шаровъ
(каждый 1 граммъ массы при разетояніи въ 1 см. между
центрами обоихъ) получалось среднее 7,77 ■ 10~8, какъ
это приведено далѣе въ табл. X, XI и XII.
Качественный анализъ формулы Ньютона покажетъ
намъ всѣ .обстоятельства дѣла череаъ нѣсколько стра-
ницъ. Теперь же, чтобъ съ большой увѣренностью
приступить къ математической обработкѣ тяготЬнія,
вернемся еще разъ къ явленіямъ притяженія въ звуковыхъ
поляхъ. На основаніи опнтовъ Гютри, Томсона и дру-
гихъ, имѣемъ слѣдующіе случаи взаимнаго притяженія
двухъ авучащихъ тѣлъ.
Возьмет, два камертона, колебанія которыхъ не
гармоничны другъ съ другомъ, для того чтобъ звучаніе
одного не вызывало отвѣтнаго звучанія у другого.
I случай. Пока звучитъ только одшгь камертонъ онъ
будетъ притягивать другой съ силой прямо пропорціо-
нальной (при прочихъ равныхъ условіяхъ) своей
звуковой энергіи. Второй, не звучащій камертонъ будетъ
здЬсь играть чисто пассивную роль,,— роль „инертной
массы", притягиваемой вторымъ камертономъ. Онъ
будетъ простымъ пунктомъ приложенія силовыхъ
воздействий, исходящихъ изъ перваго камертона и больше
ничего. Если мы не дадимъ ему двигаться къ звучащему
камертону, послѣдній, конечно, самъ двинется къ нему,
но тоже насчетъ запаса лишь своей собственной
энергіи, или, вѣрнѣе, насчетъ работы силъ выэваннаго имъ
вокругъ себя моторно-звуковаго поля, которое, не им-ѣя
возможности втянуть въ себя неподвижный камертонъ,
само двинется къ нему и повлечеть за собою и вызвав-
шій его звучащій камертонъ.

— 279 — -
II мучай. Когда мы заставимъ звучать и второй ка-'
мертонъ, притяженіе нзслѣдуемой пары соотвѣтственно
увеличится, и если энергіи колебательныхъ движеній и
массы обоихъ будутъ равны, то величина этого притя-
женія удвоится.
Такимъ обраэомъ мы инѣемъ въ данномъ явленіи
зависимость между массами М1 и ДГ2 обоихъ камертоновъ,
какъ инертными факторами, служащими лишь объектами
приложенія притягательныхъ силъ; колебательными энер-
гіяии Е1 и Е2 этихъ самыхъ камертоновъ, какъ
активными факторами ихъ притяженія, и, наконепъ, ихъ раз-
стояніями г другъ отъ друга.
Значить полное, двустороннее уешіе Ff ихъ взаим-
наго тяготѣнія определится въ этомъ случат; формулой:
*\ = -*^+^Р- (369)
Здѣсь первый членъ сум-ми I т.-е " ''^3 I выражаетъ
ту долю взаимнаго тяготѣнія каммертоновъ, которая за-
виеитъ отъ звуковой дѣятельности перваго камертона,
или, какъ мы говорймъ для краткости, притяженіе пер-
вынъ камертономъ второго, разсматриваемаго въ данномъ
случаѣ въ качествѣ инертной массы, какъ будто бы онъ
совсѣмъ не звучалъ. Эта доля оказывается прямо про-
порціональной колебательной энергіи Е1 перваго
камертона, массѣ J/a второго (вѣрнѣе, массѣ вытѣсненнаго
имъ объема воздуха, которую можно считать прямо про-
порціональной массѣ самаго камертона, при его неиэмѣн-
ной плотности) и квадрату разстоянія г между центрами
дѣятельности обоихъ.
Второй членъ той же суммы (въ форм. 359)
выражаетъ ту долю взаимнаго тяготѣнія обоихъ эвучащихъ
тѣлъ, которая зависить отъ звуковой дѣятельности
второго камертона. Она представляетъ аналогичную
алгебраическую комбинацію тѣхъ же физическихъ факто-
ровъ, взятыхъ съ обратными значками.

— 280 —
Ограничивается ли этинъ дѣло, или тутъ участвуютъ
еще непреду с мотрѣнные нами факторы? Подвергнемъ эту
формулу качественнему анализу, раздѣливъ сначала для
ясности общее напряженіе F„ на два составлявшие его
усилія Ft и F%l т.-е. на усиліе, зависящее отъ звуковой
деятельности перваго и звуковой дѣятельности второго
камертона, считая Fr=Fi-\-Fi, и введя въ каждую изъ
двух.ъ формулъ особый комплексъ непреду смотрѣнныхъ
факторовъ, получимъ:
F1 = №l]M
*1 = PU»
(360)
Зная (табл. въ началѣ книги), что функциональный составь
энергіи Е=-у-№~Ръ, а масса М и радіуеъ (r~L) суть
основные факторы M-V-L системы, находимъ отсюда:
№1=
3?L
Тмѵ*
ІК) =
EsMt
Імѵ*
і_
м
' м
м
(361)
Такимъ образомъ комплексъ непреду см отрѣнныхъ
факторовъ показываетъ намъ, что здѣсь должны
участвовать еще какія-то отношенія разетояній къ массамъ:
и=4
и=
1
h
. (361')
(361")

— 281 —
Какое могло бы быть ихъ значеніе? Изъ акустики мы
знаемъ1), что выраженіе -^=-5: обозначаете „линейную
плотность" звучащихъ струнъ и стержней (т.-е. отноіпе-
ніе ихъ массъ къ ихъ длинѣ), отъ которой зависитъ
скорость ихъ колебаній при той же ихъ энергіи.
Значить, эти выраженія какъ разъ относятся къ разсматри-
ваемому роду явленій, потому что интенсивность притя-
гательнаго дѣйствія звуковыхъ полей именно и зависитъ
отъ скоростеч, сообщаемыхъ камертонами прилегаюпшмъ
слоямъ воздуха. Внеся эти значенія (361') и (361") въ
выраженіе (361-е), находимъ:
(|)
(I "
1^=т#,-§ (363)
Эти формулы даютъ удовлетворительную картину всвхъ
обстоительствъ явленія. Пока дьйствуютъ другь на
друга только два одиночные, камертона (какъ мы это
допускали до сихъ поръ), мы моженъ сказать, что доля
F, притяженія, зависящая отъ дѣятельности перваго
камертона, прямо пропорціональна его звуковой энергіи
Et (или энергіи, затраченной на приведете его въ ви-
брадіонное состояніе), дѣленной на его линейную
плотность (-J1) и инертной массаъ Д/а второго камертона
(или, вѣрнѣе, массѣ вытѣсненнаго имъ объема воздуха),
д-вленной на квадратъ его разетоянія отъ перваго.
Вторая доля (F3) притяженія, зависящая отъ
дѣятельности второго камертона, определяется той же са-
<> См., мир., Хюпмяъ: Куреь физики, т. а, стр. 12 и іругіе впе-
ціаіыпіе угебвяга.

— 282 —
мой комбинаціей физическихъ факторовъ, взятыхъ въ
обратномъ смысле
Суммарное же двустороннее уеиліе FT ихъ взаимнаго
притяженія равняется суммѣ только что отмѣченныхъ
слагающихъ, т.-е.
I II
F=iFi + Ft) = ^r - £ + Д- ■$■■■■ <**>
"® * т
Отсюда мы приходимъ къ слѣдующимъ интереснымъ
выводамъ:
a) Если вибраціонная энергія Е2 второго камертона
будетъ равна нулю, то второй (И) членъ второй части
обратился въ нуль, и дальнейшее сближающее
напряжете Fr будетъ обусловливаться лишь первымъ (І)чле-
номъ суммы. Точно так-ь же (но въ обратномъ смыслѣ) и
въ томъ случаѣ, когда вибраціонная энергіл £, перваго
камертона будетъ равна нулю. Если же оба умолкнуть,
то и притяженіе, зависящее отъ ихъ звуковыхъ полей,
прекратится за исчезновеніемъ этихъ послѣднихъ.
b) Если длина Z, или L2 того или другого камертона
будетъ увеличиваться при той же его массѣ М и вибра-
шонной энергіи Е и остальныхъ неизмѣнныхъ условіяхъ,
то будетъ увеличиваться и зависящая отъ него доля
притягательнаго дѣйствія.
c) Измѣненія массъ М^ или М2, находящихся въ ъна-
Е, Е.
менателяь каждаі о множителя —тр-г и -тдТТ будетъ ока-
ffi) ft)
аывать свое полное вліяніе лишь въ томъ случаѣ, если
колебательная энергія [Е^^-Я^Ѵ^ или Еі=-МгѴ3г)
того же самаго камертона (в-ь функціовальный составь
которой, какъ мы видимъ, входить та же самая масса)
будетъ оставаться неизмѣнной, т.-е, если эта эне'ргія

— 283 —
будетъ пополняться противоположнымъ измѣненіемъ
второго множителя энергіи (т.-е. Vs).
Отсюда же мы прнходимъ и къ новому интересному
выводу.
Такъ какъ въ числителѣ каждаго члена формулъ
(362) и (363) скрывается въ составѣ энергіи У-л и Es
тотъ же самый множитель (масса), который въ явномъ
видѣ имѣется въ знаменатель, то сокративъ ихъ полу-
чимъ слѣдующія простыл выраженія:
Или суммарно:
Въ каждомъ членѣ второй части мы можемъ принять
множитель а -У*!* законстанту моторно-звуковагополя у
даннаго камертона. Именно таковъ функшональный
составь этого физическаго фактора (форм. 161) и таково
же раціональное толкованіе этой комбинаціи
множителей по самому смыслу изучаемаго нами явленія: ~І*| или
h-Zj, выражаетъ разстояніе конца даннаго камертона отъ
его средняго нейтральнаго сѣченія; а У1 должна соот-
вѣтствовать среднему квадрату звуковыхъ скоростей
этого конца. Константой же моторнаго поля, каігь
мы уже определили ее въ своемъ мѣстѣ, и называется
полупроизведеніе средняго квадрата молекулярныхъ
скоростей поля (на данномъ разстоянш отъ его центра) на

— 284 —
ихъ разстояніе отъ центра паля (или на діаметръ дан-
ной иаопотенціальной оболочки). Значитъ, замѣнивъ
множители „ УЬ символами Q, и Q2 константъ, получимъ
изъ предыдущихъ формулы
PW^-f» (368)
U=<*>1" ■■■■■•■ (369)
или суммарно:
^=(Рі + ^)=%-$+<А-^ (370)
т.-е- полное двустороннее усиліе, или напряжете Fr
вааиннаго тяготѣнія двухъ звучащихъ каиертоновъ
слагается изъ двухъ членовъ. Первый представляетъ мро-
ѵзведеніе константы Q, моторно-звуковаго поля, вызваннаго
вибрадіями перваго камертона, на инертную массу Мг
(или, вѣрнѣе, массу вытЬсненнаго имъ воздуха) второго
камертона, дѣленную на квадратъ ея разстонніл г отъ
перваго. Второй же членъ представляетъ аналогичную
комбинацию тѣхъ же факторовъ, вэятыхъ въ обратномъ
смысл*, т.-е. съ обратными значками.
Такъ какъ дѣйствіе каждаго члена (въ двигательномъ
отношеніи) тоже можетъ назваться двустороннимъ
(потому что въ случаѣ невозможности для интертнаго не
звучащаго камертона двигаться къ звучашему, послѣддій
вмѣстѣ со своимъ полемъ самъ движется къ нему), то
каковы бы ни были количественный или качественныя
различія въ величиеахъ обоихъ еоставляющихъ членовъ
формулы (370), при „паденіи" обоихъ каиертоновъ другъ
на друга не произойдете, никакихъ кинетическихъ рав-
нодѣйствующихъ, если это паденіе совершалось
исключительно подъ вліяніемъ ихъ собственныхъ полей, и
если часть звуковой энергіи другого камертона не
работала въ продолженіе этого времени надъ усиленіемъ

— 285
колебательной энергіи другого камертона. Поелѣдінй
случай вполнѣ возможенъ, если камертоны издаютъ
гармоничные звуки, или унисонны. Усиленіе звуковой
энергні одного насчетъ моторно-звукового поля другого
будетъ здъсь аналогично нагрѣванш одного свѣтила
насчетъ лучистой теплоты другого.
Теперь читатель видитъ, какое прямое отношеніе
имѣетъ все это къ явленіямъ тяготѣнія небееныхъ свѣ-
тилъ. Допустимъ только, что пара нашихъ звучащихъ
камертоновъ замѣнена парой „светящихся" атомовъ1),
и мы, на основаяіи волновой теоріи Френеля или
электромагнитной Ыаксвеля, должны будемъ ггрідти къ
заключенію, что между ними неизбѣжно возникнутв
такія же силы тяготѣнія и будутъ действовать по тѣмъ
же законамъ, какъ и между нашей парой камертоновъ.
Никакінъ новыіъ силъ здѣсь нечего искать, пока не
будетъ доказана недостаточность этихъ. Возражать же
(какъ это иногда дѣлали въ прежнее время противъ
не мгновенной передачи импульсовъ тяготѣнія), что
всякое гвло, вступившее въ поле тяготѣнія солнца тотчасъ
же начинаетъ падать на него, не ожидал дохожденія
до себя посланныхъ къ нему въ аѵютъ самый моментъ
силовыхъ импульсовъ, — значить недостаточно вникать
въ картину изучаемаго явленія. Тяготѣігіе
обусловливается вовсе не скоростью .ратроетраненія звуковыхъ
или свътовыхъ волнъ, а тѣмънеравенствомъгидростати-
') Въ „Періодическвхъ снстемахъ стрсвпія вещества (теорія ввутрен-
ияго стровнія хвнвческвіъ едвнидъ)" я покаэіъ, что атомы совреыеввыть
аівмевтарныхъ тѣаъ должны быть построены по образцу умеводород-
вып, раднкаловъ изъ трек родовъ болѣе первоначальваго вещества,
т.-е. представляют! изъ себя ве шары или крвстамографичеЫе мно-
гограиивки, а иневно стерхвеобразныя націллеиія вохіе первовачаль-
ныгь вдинндъ н въ этомъ отнопввін намонвваитъ камертоны. Замъ-
твнъ кстатв, что указываемое ннов> здѣсь гвдростатвческои ирвтягатедь-
вое дѣвствіе свѣтовыіь в эвуковыіъ волей, не только не протвворѣчить,
но даже пряно находятся въ связи съ отгвлкивательныиъ дѣйствівнъ
свътовыіъ (в эвуковыть) волнъ, укааанныхъ Ыакевеленъ, н блестяще
подтвержденвымъ въ последнее время опытами Лебедева.

— 286 —
ческихъ давленій, которое вызвано въ окружающей
средѣ ихъ амплитудными колебаниями. Разъ свѣтовое
или звуковое поле установилось, его дѣйствіе
обязательно будетъ нгновеннымъ на каждое вновь вступившее
въ него тѣло, каковы бы ни были въ немъ скорости
распространенія радіацій. Другое дѣло, если бъ поле
излученія только что возникло: тогда оно стало бы
распространяться вдаль именно съ такой скоростью, какой
характеризуются его радіація, и постороннее твло
почувствовало бы его дѣйствіе лишь въ тотъ моментъ,
когда периферія поля достигла бы до него т).
До сихъ поръ мы имѣли дѣло лишь съ взаимодѣй-
ствіемъ двухъ одиноккхъ камертоновъ, и перешли отъ
нихъ ко взаимодѣйствію двухъ одинокихъ свѣтящихся
молекулъ. Но вѣдь дѣйствовать другъ на друга могутъ
и нѣлыя скопленія, какъ у тѣхъ, такъ и у другихъ.
Каковы будуть ихъ законы? Еще Ньютонъ показалъ
(для тяготѣнія), что когда вааимодѣйствующія
скопленія будуть шаровидны и концентрически однородны
(т.-е. когда въ каждомъ сферическомъ слоѣ скопленія
„дѣйствующія единицы" будуть равны и расположены
на одинаковыхъ другъ отъ друга разстояніяхь, и приба-
вимъ отъ себя: обладаютъ одинаковыми константами
полей), то взаимодѣйствіе всѣхъ ятихъ единицъ будетъ
такое, какъ если бъ всѣ онѣ одновременно дѣйствовали
изъ центра скопленія, т.-е суммарное дѣйствіе всего
аггрегата будетъ пропорціонально числу °М отдѣльныхъ
его маесъ. Значить, для даннаго случая предыдущія
формулы обратятся въ слѣдующія:
!) Си. ярвмѣчавіо Ш, щ ковкЬ этоВ иявгв-
(371)

— 2S7 —
гдѣ <U/—--1 есть число всѣхъ камертоновъ (или вибри-
рующихъ массъ) въ первомъ шаровидномъ скопленіи,
или отношеніе его общей массы М: къ средней масс* щ,
приходящейся на долю каждаго отдвльнаго камертона;
Q1 — средняя константа звуко-моторнаго поля каждаго
отдвльнаго камертона въ первомъ скопленіи, а
остальные буквенные симво лыизвѣстны изъ предыдущаго.
Ж
То же самое и относительно °МѴ = —^? и О..
а У? ™
Отсюда мы видим'ь, что .«всей въ вызывающемъ поле
скопленіи энергіи имѣетъ не абсолютное, а лишь
относительное чнелювое значеніе, какъ выводить ого и самъ
Ньютонъ, допуская, что, если одно безконечно малое
тѣльце обладаетъ извѣстной притягательной силой, то
скоплен іе изъ такихъ тѣлецъ, лежащихъ на безконечно
близкихъ другъ къ другу разстояніяхъ будетъ обладать
въ п разъ большей силой.
Въ настоящее время Ньютоново выраженіе „твла1-
(corpora, которыя по существу своему не суть простыя
массы, а всегда аггрегаты энергіи, обладаюння и массами
и внутренними скоростями), обыкновенно чамѣняются въ
учебникахъ словомъ „тяготѣющія массы" и такимъ обра-
зомъ, какъ бы отъ имени Ньютона, приписываются инерт-
нымъ массаммъ дбйствія на разстояніи, между тѣмъ,
какъ самъ Ньютонъ, въ своемъ письмѣ къ Бентлею,
говорить; „Мысль, что тііготѣніе прирождено, присуще
матеріи и съ ней нераздѣльно, такъ что одно тѣло можетъ
дѣйствовать на другое на разстояніи, черезъ пустоту, безъ
посредства чего-либо иного, черезъ что и посредствомъ
чего ихъ дѣйствіе и сила могли бы передаваться отъ
одного тѣла къ другому,—эта мысль кажется мнѣ такою
великою нелѣпостью, что я думаю ни одинъ человѣкъ,
способный хоть сколько-нибудь здраво мыслить о философ-
скихъ предметахъ, не можетъ быть ей сопричастенъ" г).
Ч Нз* той хе статье Маскв&ія о тиѵотѣнів въ Encyclopaedia Вгі-
Іавріса (оеревоя» В. Марацева).

— 288 —
Вотъ почему, переходя къ разбору формулы Ньютона,
мы прежде всего условимся никогда не употреблять
этой позднейшей терминологіи и подъ словонъ „тяго-
гвюпця другъ къ другу тѣла", всегда будемъ
подразумевать аггрегаты физической энергіи въ ихъ полномъ
видѣ, съ массами и скоростями, а не однѣ ихъ массы,
которыя по своей природѣ пассивны, инертны, и могутъ
быть только объектами д-бйствія силъ, а не ихъ
причинами.
ХШ.
Комшіексъ непредусмотрѣннъгхь факторовъ тяготвиія,
определяемый изъ формулы Ньютона.
„Но ядѣдуетъ вабывать, что и вакопъ
тяготѣвіи... сперва быіъ гипотезою".
Д,. МепЗеліъевъ. Он. Хим. 4 вел-
Послѣ всего, что мы сказали, уже нетрудно
разобраться и въ истинномъ смысле формулы Ньютона, тѣмъ
болѣе, что „комшіексъ непредусмотрѣнныхъ факторовъ"
быль указанъ въ ней еще Гаусомъ. Только
господствовавшее въ его время представленіе о дбйствІяхъ массъ
на массы черезъ пустоту, не только понѣшало ему дать
этому комплексу надлежащее толкование, но даже
послужило поводе мъ къ установление, совершенно не
выдерживающей критики, такъ называемой „астрономической"
системы единицъ, разборонъ которой мы займемся въ
одной изъ слѣдующихъ главъ.
Формула тяготѣнія въ томъ видѣ, какъ далъ ее Нью-
тонъ въ своей книге „Philosophiae Naturalis Prmcipia
Mathematica, вышедшей въ Лондонѣ въ 1687 году имѣла
слѣдующій видъ:
рг==^ф (372)
т.-е. сила Fr {или, какъ мы ее называемъ, двустороннее
усиліе) тяготѣнія двухъ агтрегатовъ физической энер-

— 289 —
гіи пряно пропорщ она льна ихъ массамъ if, н М2 и
обратно пропорціональна квадрату разстояндя между
ихъ центрами, предполагая, что оба скопленія энертіи
шаровидны и концентрически однородны-
Такъ какъ формула эта выведена полу-гипотетиче-
скимъ путемъ, то прежде всего необходимо посмотрѣть,
нѣтъ ли въ вей какихъ-либо непредусмотрѣнныхъ фак-
торовъ. Припомнимъ для этого, что напряженіе взанм-
наго тяготѣнія здѣсь обусловливается, какъ и у нашихъ
канертоновъ, взаимодъйствіемъ двухъ уснлій: 1) силы
f\t источникомъ которой служитъ первый аггрегатъ, а
объектомъ—второй, и 2) силы F3, источникомъ которой
служитъ второй аггрегатъ, а объектомъ—первый. Разло-
живъ. эту формулу на двѣ и введя въ каждую изъ
нихъ особый комплексъ непредусмотрѣнныхъ факторовъ,
им-Ьемъ:
|^, = И™ (373)
м м
П = [*,] *Г (374)
1
Откуда (зная, что
обоихъ
комплексовъ:
*,=
Ъ*
Ftr*
1
тл/р
L
■\мѵ*
L
МГ*
Т~
Ж*
)»
1
2
1
_2_
аход
М.
(375)
Такъ какъ оба комплекса дали тотъ же самый
функциональный составь, то, чтобъ отличать ихъ другъ отъ
друга, обозначимъ символы второй части соотвѣтетвую-
щини значками. А припомнивъ, что-к- рті есть функ-
19
Осаеша «мил. швыва.

— 290 —
ціональный составь константы пондеро-моторнаго поля
(таблица въ началѣ книги), найдеиъ, принявъ М.= jx:
fc__2K^_ft
—F2/,
(376)
Внеся эти значенія въ исходный формулы (373) и
(374), имѣеиъ:
Л (377)
Что же мы видимъ?—Въ каждой изъ двухъ связан-
ныхъ между собою формулъ, масса, считавшаяся источ-
никомъ силы, обратилась у насъ въ массовую
отвлеченность, т.-е. въ отношеніе двухъ массъ М и у. или число
"Ж отдельно дѣйствующихъ массовыхъ единицъ, каждая
изъ которыхъ обладаетъ средней константой поля Q.
Это значитъ, что масса сама по себѣ, какъ факторъ
инертный, не можетъ быть источникомъ силъ, иначе,
какъ черезъ скорости, характеризующая каждую изъ ея
единицъ и входящія въ функціональный составь ея кон-
станты Я~
= T¥iL-
(378)
Въ результате нашего качественнаго анализа мы
пришли къ тѣмъ же самшгь формуламъ, какія мы имѣли
для притяженія между двумя скоплениями камертоновъ,

— 291 —
дѣйствующихъ другь на друга поередствомъ ихъ зву-
ковыхъ полей (форм. 371).
Кроиѣ того, мы не можемъ не видѣть, что законъ
тяготѣнія получился здѣсь въ самой строго-раціональной
формѣ:
1) Усиліе Flt источникомъ котораго служить первый
сферически-однородный аггрегатъ энергіи (напримѣръ,
небесное свѣтнло), а объектомъ, или пунктомъ
приложения, „инертная масса" втораго аггрегата, прямо про-
порціонально числу "Мг заключающихся въ немъ атомовъ
(или моле кул ъ) и средней константѣ ф, поля каждаго
изъ нихъ. Затѣмъ это усиліе прямо пропорціонально
массѣ Мг второго аггрегата (или, можеть-быть, массѣ,
космической среды, вытѣсненной его атомами) и обратно
пропорціонально квадрату разстоянія г отъ его центра
до центра второго аггрегата.
2) Усиліе -Fj, источникомъ котораго служить второй
аггрегатъ (вѣрнѣе сказать вибраціонная дѣятельность
его молекулъ), а объектомъ—„инертная масса" перваго,
выражается аналогичной алгебраической комбинацией
тѣхъ же самыхъ факторовъ, но въ обратномъ емыслѣ,
т.-е. съ обратными значками у буквъ.
3) Сумма обоихъ усилій,
Ft = Fl-\-Fi (378)
есть полное напряжете FT взаимнаго тяготѣнія обоихъ
аггрегатовъ физической энергйі, въ астрономіи — свѣ-
тилъ.
Если мы захотимъ перейти отъ константъ Qj и Q2
къ энергіямъ Щ и Е2 тѣлъ, вызвавішіхъ эти константы,
то получаемъ и ихъ, гіутемъ простой перестановки, изъ
предыдуідихъ формулъ, зная.что функциональный составь
константы Q=^V2L и что ^МѴ* есть функціональный
составь энергіи Е:
19*

— 292 —
If, 2M^2 Itf,
Д
*)
2M>V*2
r2
J»,
(S) ""(И
.f379>
Мы видишь, что въ резудьтатѣ и здѣсь мы пришли
къ необходимости появленія своеобразна™ фактора! -уЬ
представляющаго частное отъ дѣленія величины средней
атомной массы ji (въ данномъ скопленш энергіи) на
длину L этого атома, т.-е. мы пряно получили факторъ,
характеризуюшій вибраіцю уиругихъ стержней въ аку-
стикѣ,—тоть самый факторъ, который мы имѣли въ
формулахъ 362 и 363 при разсмотрѣніи взаимодѣй-
ствій двухъ вибрирующихъ камертоновъ. Безъ участія
его, говорить намъ формула 379, энергія физическихъ
тѣлъ была бы неспособна вызвать около нихъ полей
притяженія, ни въ воадухѣ, ни въ космической средѣ.
Значить, всякое моторное поле (действующее въ трех-
мѣрномъ пространстве по закону обратной пропорціо-
нальности квадратамъ разстояиІя) вызывается не
„инертными массами", а вибрапіонной деятельностью ихъ моле-
куль. Безъ нея немыслимы такого рода взаимодѣй-
ствія.
Обозначивъ -Ь =
А
торныя воздѣйствія предыдущей формулы въ одно fQr
получимъ сразу:
*>«%=**
и соединивъ оба мо-
г, г* "г s2
(380)
гдѣ 8j и it есть среднія линейныя плотности атомовъ
у двухъ взаимодѣйствующихъ свѣтилъ.

XIV.
ЗаяЪтна о элекгрмчесннхъ и магннтныхъ подяхъ.
Прежде чѣыъ итти дальше сдѣлаемъ маленькое отсту-
пленіе.
Формула Ньютона была впослѣдствія приложена Ку-
лоноигь къ дѣйствІямъ алектрическихъ и магннтныхъ
нолей и оказалась совершенно пригодной для выраже-
нія законовъ отгалкиванія другъ отъ друга однородныхъ
„зарядовъ электричества" н „магнитныхъ полюсовъ", и
притяженія разнородныхъ. Значить, весь
произведенный нами качественный анализъ относится и къ. этимъ
екоплетяял энергіи. А такъ какъ ихъ дѣйстеіе
совершенно независимо отъ твхъ массъ, на которыхъ (или
внутри которыхъ) скопляются эти роды знергів, да и
объектами приложенія электрическихъ и магнитныхъ
полей служат ь тоже не обычный, доступный для нашего
осязанія массы, а какія-то другія, вѣсъ которыхъ на
обычныхъ свѣтилахъ неизмѣримо (или почти - неизмѣ-
римо) иалъ, то мы должны спеціально приспособить и
къ этимъ электрическинъ и къ нагнитнынъ взаимодвн-
стшяиъ тѣ же наши предыдущія формулы, но такъ
чтобъ онѣ не потеряли при этомъ своей изотезичности,
а только превратились въ бояѣе сложный (п, насколько
можно при совремеввоиъ состоянів науки, удовлетворяю-
щій наблюдаемынъ явлеліямъ качественный изомеръ
полей тяготѣшя.
Воепользуемея для этого спѣдующимъ фактонъ. Дѣйст-
віе элевтрическигь и магннтныхъ полей, какъ
аналитически вывелъ Максвелль, прямо пропорціональпо квадрату

— 294 -
скорости Ѵ0 распространения въ нвхъ лучистыхъ колеба-
ній. Скорость эта совершенно не зависитъ отъ быстроты
тѣхъ амплитудныхъ колебаній, которыд мы разсматри-
вали до сихъ поръ. Чтобъ ввести это Ѵ0 въ наши
формулы, воспользуемся слѣдующимъ закононъ, установлен-
нымъ въ акустикѣ для поперечно колеблющихся струнъ
и стержней.
Если мы возьненъ натянутую нить или длинный упру-
гій стержень и будемъ наблюдать быстроту передвиженія
по нинъ поперечныхъ воянъ, при встряяиваніи одного
конца, то увидинъ, что она будетъ равняться корню
квадратному изъ отношенія двусторонняго усилія (или
растягивающей пары) $\ къ такъ называемой
продольной плотности £0 стержня:
ѵ*=Ѵ~ъ"' (а81)
Откуда видно, что сана продольная плотность
*о = -Й (382)
'о
пряно пропорціональна растягивающей парѣ FT и обратно
пропорціональна квадрату скорости К0 передвиженія
волнъ по стержню.
Функщональный составь продольной плотности, какъ
видно изъ только что даннаго опредвленія (и.на осно-
Баніи форм. 361' и 362"), есть отношеніе массы к стержня
или нити на данномъ изъ протяженіи L къ самому атому
протяженно:
*.= (f) ■ ■ ■ t383)
Внеся это въ предыдущую форнулу, инѣемъ:
Знакъ -±z ны поставили передъ двустороннинъ уси-
ліенъ Ft для того, чтобъ выразить этинъ, что по самой

— 295
своей природѣ оно можетъ проявляться въ двухъ взаимно
нейтрализующихъ другь друга фориахъ: оно можетъ
быть какъ растягивающей парой силъ -|- Уг, такъ и
сжимающей парой —Fr! и въ каждомъ данномъ случаѣ
намъ нужно сдѣлать выборъ между обоими способаии
растяженія.
Внеся это (364-е) выраженіе вмѣсто изомернаго
фактора і у-1 въ формулы тяготѣнія, полученныя нами въ
предыдущей главѣ (форм. 379), находимъ изъ нихъ:
\ *а і
1 (±*К\ »-2 і±Л)*2-
т
(385)
Этотъ изомеръ формулъ тягогѣнія, полученный по-
средствомъ введенія въ нихъ множителя F0* (присутствіе
котораго установлено теперь для электрическихъ и маг-
нитныхъ полей какъ теоретически, такъ и
экспериментально), показываетъ, что соля притяженія или отталки-
ванія могутъ возникать еще при стеченіи совершенно
особыхъ обстоятельствъ.
Могутъ быть взаимодѣйствія между с ко плетями
физической энергіи Е1 и Ег, гдѣ факторъ линейной
плотности j-y-l вибрирующихъ атомовъ, замѣненъ дву-
стороннннъ натяженіемъ ±F„ но въ такомъ случаѣ
силы поля І\ и Рг будутъ зависать огь квадрата
скорости F0 распростраиенія по полю лучистой энергіи и
будутъ прямо иропорціональны этому квадрату.
Таковъ именно и есть законъ вяаимодвйствія двухъ
скопленій электрической энергіи: даже знаки ±F„
полученные нами чисто теоретически оказываются въ согла-
сіи съ наблюдаемыми здѣсь фактами. Если оба полеобра-

— 296 —
зуюіція скопленія энергіи характеризуются тѣмъ же
еанынъ знакомь у Fr, то обѣ силы поля F^ и FiT бу-
дутъ, какъ показываетъ опытъ, действовать отталкива-
тельно. Если, наоборот-ь, знаки различны, — возникнетъ
притяженіе, а при соприкосновен] и обѣихъ зарядовъ,
они нейтрадизують другъ друга. Законъ же взаимо-
дѣйствія, какъ показываютъ только что приведенный
формулы, будетъ таковъ:
1) Двигательное усиліе Flt зависящее отъ перваго
скопленія электрической или магнитной энергіи Е„ прямо
пропорционально его заряду (ЕД массѣ М.г второго
скопленія энергіи и квадрату Г02 скорости распространенія
по данной средѣ лучистой энергіи. Кромѣ того, F, будетъ
обратно пропорціональна какому-то напряженію ± Frr
вызванному въ окружающей средѣ, или существующему
въ самомъ иаучаемомъ скопленіи энергіи, и квадрату
разстояшя отъ центра перваго скопленія до центра
второго, предполагая оба эти скопленія однородными
сферическими оболочками.
2) Двигательное усиліе Fv вызываемое въ
окружающей средѣ воздвйствіенъ второго скопленія
электрической или магнитной энергіи, будетъ выражаться той же
самой комбинаціей физическихъ факторовъ, но взятой
съ обратными значками.
3) Общее дѣйствіе обоихъ скопленіи энергіи другъ
на друга будетъ равно суммѣ двухъ предыдущихъ усилій:
*і+^а» т-*е- на основаніи формулы (380)
Накова истинная природа двусторонняя усилія ± F„
обнаруживающагося въ этихъ формулахъ, еще трудно
сказать, но существованіе подобныхъ аатяженій,
действительно, всегда обнаруживается въ электрическихъ и
магнитныхъ поляхъ и указано еще Фарадеемъ. Здѣсь
мы замѣтимъ только слѣдующее. Двустороннее усиліе F,

— 297 —
по своему функцюнальнону составу J *r = —=r— 1
совершенно изомерно съ парой равныхъ силъ, дѣйствую-
щихъ вращательно. Дѣйствительно, какъ сжимающее
такъ и растягивающее напряжение, при налѣйшемъ
несовпадении точекъ приложенія, переходитъ въ пару вра-
щающихъ силъ и наобороть. Поэтому и въ нашемъ слу-
чаѣ нельзя не ожидать, чтобы патяжепіе ±FT въ из-
вѣстной нѣрѣ, или даже цѣликоиъ, не
трансформировалось во вращающую пару, при чемъ -\- или — означали
бы вращеніе справа налѣво или слѣва направо при
пара лл ел ьномъ положеніи осей. Такого рода вращенія и
существуютъ на самонъ дѣлѣ въ электро магнит еыхъ
поляхъ, обнаруживаясь въ нихъ различными способами,
напримѣръ, вращеніямъ плоскости поляризованных!,
лучей.
Въ заключеніе добавимъ, что если мы сократимъ въ
Е Е
нашихъ формулахъ (385-й) множители —к или —тг
J зная, что Е = -^МУ и FT~—y—\ , то получимъ въ
каждомъ изъ двухъ слагаеиыхъ по -^ (а въ сукмѣ обо-
ихі: L), т.-е. символъ, выражающій э*мктроемкоі-7пь.
Отсюда же понятно, что если въ выраженіи -—р-і ко-
F \
торое——-7Т-■ і) символы F и +JF всегда возрастають
±*г I
одновременно, то и вращеніе плоскости поляризованнаго
луча будетъ, при прочихъ равныхъ условіяхъ, пропор-
ціонально путевому фактору L вращающихся токовъ
электромагнита.

XV.
Замѣтна о природѣ тяготѣнія и о характерѣ уснори-
тельныхъ воздѣйствій пондеро-моторкыхъ полей.—
Критически обзоръ олытовъ по этому предмету.
Справедливость предыдущихъ дополненій къ форнулѣ
Ньютона, двлаетъ неизбѣжными слѣдующіе выводы
относительно природы тяготѣнія.
Законъ тяготЬнія, какъ ны видѣли изъ выражения
380-го, получаеть такой, вѣроятно, окончательный видъ:
или, зная, что функціональный составъ энергіи Е=-ЖѴ2.
„ м, ѵ, м 2 .ж, „, м,
т.-е., какъ мы уже указывали выше, общее
двухстороннее усиліе .F0 взанмнаго тяготѣнія двухъ
концентрически однородныхъ шаровидныхъ скопленіи энергіи
выражается двумя независимыми слагаемыми, изъ которыхъ
первая состоитъ изъ отношенія массы Мг перваго аггре-
гата къ удвоенной линейной плотности его молекулъ,
изъ средняго квадрата Vja, внбраціонныхъ скоростей
этихъ молекулъ и изъ отношенія массы Mt второго
аггрегата (вѣрнѣе, выгвсненной его атомами
космической среды) къ квадрату разетоявія т2 между центрами
обоигь аггрегатовъ.
Бторое слагаемое той же самой формулы пред-
ставляетъ совершенно аналогичную комбинации тѣхъ же

— 299 —
самыхъ факторов-*., взятыхъ съ обратными значками,
т.-е. въ обратномъ смыслѣ.
Изъ этого слѣдуетъ:
1) Присутствіе коэффиціентовъ K,s и У2Ш, выражаю-
щихъ среднія еамостоятельныя скорости вибраціи у мо-
лекулъ каждаго аггрегата, показываетъ, что полеобра-
зующая энергія обычныхъ тѣлъ сходна съ лучистой
энергіей, а поле ея дбйствія вполнѣ аналогично съ
полемъ излученія. Это тѣмъ болѣе правдоподобно, что
звуковое поле, какъ показываютъ опыты, тоже
привлекаем легкія тѣльца къ своему центру, по тѣмъ же са-
мымъ эаконавгь обратной пропорциональности квадра-
тамъ разстоянія.
2) Возрастаніе силы моторнаго поля прямо пропор-
ціонально массѣ инертнаго тѣла, притягиваемаго инъ
къ своему центру ипритоыъ безъ еообщенія ему какихъ-
либо вращательныхъ движеній, а это показываетъ, что
моторныя воздЬйствія носятъ чисто гидростатичеекій
характеръ. Только гидростатическія силы возрастаютъ
пропорш'онально массанъ подверженныхъ ихъ дѣйствію
тѣлъ при ихъ неизменной плотности, и только у нихъ
равнодѣиствующая проходить всегда черезъ дентръ
тяжести двигаемаго тѣла при его равномѣрной плотности,
независимо отъ его фигуры. Обязательность же неизмѣн-
ной и равномѣрной плотности показываетъ въ данномъ
случаѣ, что единицами, на которыя направлено дѣйствіе
моторнаго поля, являются отдѣлъные атомы физическихъ
тѣлъ, плотности которыхъ должны быть постоянны и
равномѣрвы. Междуатомныя же промежутки, отъ кото-
рыхъ въ значительной долѣ завиеитъ обычная плотность
тѣлъ, должны быть проницаемы для космической среды,
какъ поры губки доя воды, а потоку не вліяютъ в на
моторныя воадѣйствія окружающего поля.
3) Причина гйдростатическаго воздѣйствія ыоторвыхъ
полей на веякія попадаюпця въ нихъ постороннія тѣла
должна заключаться въ отталкивайіи космической среды
вибраціонныни движеніями молекулъ свѣтила, или даже

ІОО —
отдѣльныхъ участковъ этихъ нолекулъ. Толчки эти,
передаваясь do средѣ отъ одного ея концентрическаго
слоя другому (и, несмотря на то, что упругость среды
послѣ этого возвращаетъ каждый слой на прежнее мѣ-
сто), пронизываютъ лучеобразно все поле и вызываютъ
во всѣхъ его молекулахъ стремленіе унестнсь вдаль отъ
центра поля, вслѣдствіе чего каждый концентрическій
слой молекулъ давить на слѣдующій за нимъ и все поле
вокругъ свѣтила, какъ мы уже не разъ говорили, является
какъ бы океанонъ жидкости, перевернутымъ вверхъ
дномъ и потому гонящимъ изъ своей глубины къ
поверхности свѣтила (и своей то же) всякое погруженное
въ него постороннее тѣло, которое, вслѣдствіе интер-
фереппди въ ненъ продольныхъ колебаній поля въ
поперечный, или по другимъ аналогичнымъ причинамъ, не
подвергается въ такой же степени отталкивательному
вліяш'ю пронизывающей поле лучистой энергіи.
4) Кронѣ того, разборъ полученной нами формулы
(380-й), т.-е.
приводитъ еще къ слѣдующимъ выводамъ:
a) Если бы пондеромоторныя поля возникали путемъ
воздѣйствія на окружающую космическую среду калори-
чесігахъ вибрацій у атомовъ небесныхъ тѣлъ, то при
абсолютномъ нулѣ температуры, когда калорическія
энергіи Д и Ж, обоихъ свѣтилъ равны нулю, и они
обратились бы въ простыл скопленія инертныхъ маесъ,
никакихъ полей у нихъ совсѣиъ не произошло бы.
Значить, по мѣрѣ остыванія центральнаго свѣтила, орбиты
всѣхъ вращающихся около него пданетъ, кометъ и ме-
теоритовъ должны бы были постоянно увеличиваться, а
при абсолютномъ нулѣ, или даже на нѣкоторомъ раз-
стояши до него, всѣ міровыя системы должны бы были
распасться.
b) Если температура только одного изъ двухъ физи-
чесішхъ тѣлъ была бы равна абсолютному нулю, тогда

— 301 —
только одинъ членъ сунны исчезнулъ бы изъ формулы,
а другой остался бы въ полной силѣ. Такимъ образонъ
абсолютно холодный нетеоритъ все-таки вращался бы
вокругъ солнца, а абсолютно охлажденное тѣло инѣло
бы свой вѣсъ на зенной поверхности, и этотъ вѣсъ F1
какъ указываетъ формула 390-я, приспособленная къ
данному случаю,
-^f-^-f-О (390)
былъ бы пряно пропорціоналенъ полевызывающей энер-
гіи Е, зенного шара, нассѣ Щ взвѣшиваенаго тѣла, и
обратно пропорціоналенъ: линейной плотности Sj ато-
новъ земного шара и квадрату га разстоянія взвѣшивае-
наго тѣла отъ центра земли. Значить, абсолютно
охлажденное небольшое тѣло почти столько же вѣсило бы
на земной поверхности, какъ и нагрѣтое.
с) Если бы одно изъ двухъ взаимно тяготѣющихъ
тѣлъ, напримъръ, обладающее полевызывающей энер-
гіей Es было бы ничтожно надо въ сравнены съ дру-
гинъ, то уекорительныя воздвВствія его поля на массу
второго были бы ничтожны, и ны не были бы въ
состоявши опредѣлить ихъ по скоростямъ паденія второго,
огроннаго гвла на налое, а слѣдовательно, не занѣтили
бы и притягательнаго дѣйствія этого налаго тѣла. Та-
кинъ образонъ, какъ бы мы ни нагрѣвали и ни
охлаждали даже значительный камень, его вѣсъ на земной
поверхности былъ бы тотъ же саный, потону что масса
его М2 осталась бы безъ перемѣны, а ускорительное
дѣйствіе его поля на земнойj шарь почти ничего не
прибавило бы къ ускорительному дѣйствію саного
зенного поля на нашъ камень. Вѣсъ же тѣлъ, какъ мы
уже знаенъ, есть произведете ихъ собственной массы
на получаемый ею уекорительныя воздѣйствія, и болѣе
ни отъ чего не завысить. Значить, ни калорической
энергіи, ни теплоемкости камня, отъ которыхъ можетъ
зависѣть его собственное поле, мы не опредѣлили бы

— 302 —
обычнымъ взвѣшяшніемъ, а определили бы всегда только
его чистую массу М2, какъ это и показываетъ
предыдущая формула (390-я). Но на крутильныхъ вѣсахъ мы
могли бы это определить.
Теперь намъ становится понятенъ и тотъ факть,
почему ни самому Ньютону и никому изъ его послѣдо-
вателей не приходило мысли изслѣдовать на онытѣ, не
зависитъ ли сила тяготѣнія физическихъ тѣлъ другь
къ другу не только отъ ихъ нассъ, но и оть осталь-
ныхъ физическихъ особенностей, каковы температура,
теплоемкость и т. д. Ежедневный опытъ нзвѣшиванія
тѣхъ же тѣлъ въ холодномъ и нагрѣтомъ состояніи, въ
сжатомъ и разрѣженномъ вядѣ, въ твердомъ и жидкомъ,
повидимому, исключалъ всякую идею не только о влія-
ніи какихъ - либо другихъ факторовъ, кромѣ массы, на
тяготѣніе этихъ аггрегатовъ физической энергіи къ
центру земного поля, но и на „тяготѣніе" самой земли
къ центрамъ ихъ полей, т.-е. на собственную полевы-
зывающую способность этихъ аггрегатовъ. Случайные
же опыты, производимые почти непрерывно со временъ
M&skelynea (1775), носятъ слишкомъ однообразный ха-
рактеръ относительно выбора матеріаловъ для опытовъ,
и потому не поз воля ютъ сдѣлать вполнѣ опредЬленныхъ
заключений. Въ прилагаемыхъ таблицахъ (табл. ХПІ и XIV),
читатель видитъ резюмэ почти всего, что сдѣлано въ
этомъ направленіи до настоящего времени.
Сопоставляя между собою средніе результаты этихъ
таблицъ, находимъ:
Константы пондеро-моторныхь по.гей у ■различныхъ
аггрератовъ фіиической энергіи въ шаровой фала, при
масаь-=1 грамму и при указанной температура:
Кожстамты Q.
1) Металлнчеекіе аггрегаты, около 290» abs (=17» С.). 6,63.10 -*
2) Шевріжостные геотектнчеекіе аггрегатн (ичва в вода)
прв технературѣ около 2W abs (= 17» С.) . . . 6,77.10-*
3) Массивные геотектвческіе аггрегаты сь глубинвоі
температурой нѣсииьво выше 290» abs 7,41.10 -•

— 303 —
ТАБЛИЦА XIII.
Константы полей у шѳталлнчеекихъ аггрегатовъ энер-
гіи, ори наооахъ равныхъ і траншу, и тенперату-
рахъ, близкихъ къ обыденной (290° abs).
(Яычмслеиы на основаніи опытовъ, сдѣлавнщъ съ дѣлыо определить
пдотвость земного шара).
Имя из
следователя и время
его опытовт..
I в <я
Названіс аггрегвта я s-. g
физической энергіп, а я °з
которому принадлежало н
пондеро-моторное поле.
Константа Q
при массЬ =
1 грамму н
указанной
тенперату рѣ
К)
Cavendish
1798
Reich
1837— 1849
Baily
1842
Boys
1893
Cornu ct Bailie
1870—1878
C. Broun
1896
Jollv
І88І
Coeoig, Rich an
und
Crigar-Menzel
189G
Pointing
1890
Eotvos
. 1896
Свинцовый іпврт. . .
Ртутный шаръ въ
чугунной оболочкѣ .
Тоже въ безвоадуш-
номъ про стран ствѣ.
abs
290»
Тоже
Тоже
Тоже
Тоже
Тоже
Свинцовый шаръ . . Тоже
■
Тоже
Тоже
Свннцовыя кодов я ы . ! Тоже
6,72. ІО-*
6,60. 10-*
6,50.10-*
6,66. 10-*
6,70.10"»
6,66.10-»
6,47.10"»
6,68.10-*
6,71 . Ю-»
6,65 .10-*
Спепіаль-
во
приспособленные

крутильные вѣсы
Кулопа-
Кавен-
днша.
Обычные
вѣсы со
спедіаль-
нымн
присно собле-
ИІЯМіІ.
Методъ
раскачн-
Среднее иэъ десяти опытовъ.
290*
abs.
6. 63 .10-*
Чнсловыя эаачѳаія константы Q (въ четвертой колонкѣ) показываютъ
также ускоритедьяыя воадѣиствія дваиаго динамнческаго поля на растоя-
тл 1 сантиметра отъ его дентра въ абсолютныгь еднвидахъ (сантвметрагь
наденія въ первую секунду), а такке и двигательную силу этого поля,
приложенную къ едннидѣ инертной массы на томъ же разстоявіи,
(1 см.) и выраженную въ динахъ.

— 304 —
ТАБЛИЦА XIV.
Константы 0 полей у гѳотѳктическнхъ аггрегатовъ
энергіи (горныхъ породъ), разечитанеыя на ихъ
шаровидные куеки, обладающіе і грашшомъ массы, при
увазанныхъ тѳмпѳратурахъ.
(Вычислены ва освовавів опытов?., сдѣлаввыгь ст. ц.ѣлыо опредѣлить
плотность земвого шара).
А.
Поверхвоствые аггрегаты при обычной тѳмвературѣ.
Пия нзслѣдо-
вателя и
время его
опытов*.
Airy еь пон.
Hanthorn'a
1866
Berget 1893
Наэваніѳ аггрегата фн-
звчеекоЙввергів,
которому принадлежало
вовдеро-моторвое воле.
Пласть почвы . . .
Слой волы в* 1 аетръ
•я а
ш
9 $ =-
3 2 S,
yd l
■42"
Около
290* abs.
Около
290° abs.
Его ковстав-
та Q ври
массѣ 1 грам.
в указаввов
гемпературѣ.
а и. щ
§s ■
!
,' Качаиія
6,74.10-s
маятника.
6,80.10-* 1
Средвее ваъ двухъ | Около j „ _ ,._, 1
овытовь. | 290» abs- °'" • w \
В.
Массовые аггрегаты съ ввутреввев температурой в £ сколько выше обычвов.
Имя взел*-
дователя и
время его
овытовь.
Мовііеіуве
1775.
Сагііві 1821
James and
Clarke 1855.
Назвавіе аггрегата
физической эвергіи,
которому врвваіле-
>ало моторное воле.
Гора SchienallioB въ
Шотдавдіи
Гора MoBt-Seais въ
СавоВсквхъ Альвахъ
(выше 1,100 метр.)
Гора Artaors - Seat
въ Шотлавдів (высота
251 метр.)
я Кі- ■
f- t- а л
□ са ь- в.
iffH-
U 3 d d
Ов-329» П
(=56* С??)
Ок. 326*??
(=54*С??)
Ок.297*??
(=24*С??)
Среднее нзъ трехъ 1 Оною
овытов*. | 317» П
Константа Q
его поля врв
иаееѣ=1 гр.
в указанной
температур*.
7,68. 10-8
7,62.10"»
6,92 . 10-»
7,41 . і0-«
ні
g о
Отклове-
вія отвѣ-
са.
Качавія
маятника.
Откл
олени отвѣ-
*а.

— 305 —
Числовыя значен ія этихъ константъ показываютъ, и
ускорительный воздѣйствія данныхъ пондеро-моторныхъ
полей на разстояніи 1 сантиметра отъ ихъ центра, вы-
раженныя въ сантиметрахъ паденія попавшихъ въ эти
поля мелкихъ массъ, въ первую секунду времени, 'а
также и двигательную силу данныхъ полей, когда она
приложена къ единицѣ инертной массы на томъ же
разстояніи (1 сантиметра отъ центра) и выражена въ
динахъ J).
Изъ только что приведенныхъ трехъ сопоставлений
мы видимъ, что константы пондеро-моторныхъ полей,
при той же самой единицѣ массы, оказываются
наименьшими у металловъ (6,63.10~а). У поверхностныхъ гео-
тектическихъ агтрегатовъ онъ несколько больше
(6,77.Ю-8), а у массивныхъ геотектическихъ породъ,
обладающий, значительно повышенной внутренней
температурой, онв настолько больше (7,41.10-8), что о
возможности ошибки здѣсь, пов ид иному, не можетъ быть
и рѣчи. Взглянувъ на детали трехъ таблицъ, мы
видимъ, что ни одно наблюденіе падь металлами и поверх-
постными аггрегатами не дало константы более 6Д10—В
абс. ед. и ни одно изъ наблюденій надъ массивными
породами не дало константы меняв 6,9.10—а, да и эта
послѣдняя принадлежи гъ сравнительно невысокой горѣ
Arflmr's Seat (251 метръ), внутренняя температура
которой не можетъ быть значительно повышена. Остальныя
же наблюден ія дали вездѣ константы <юлѣе 7,6.10 ~8,
т.-е. на V, выше, чѣмъ у металловъ.
Въ согласіи съ этимъ находится и тотъ фактъ, что
дѣйствительное напряжение пондеро-моторнаго поля земли
становится нѣсколько менѣе теоретическаго (несмотря на
*) Еслв радіусъ аггрѳгата превосходить 1 сантиметр*, то этж зпа-
чевія ыогутъ оыгь выражены только экстраполящонныят. способов-* н
будуть мевѣе дѣЙвтвнтелыіыгь значенів, потону что сила тяготвнія
внутри сплошных* тЬлт уже не увеличивается нроиордювальжо ввадра-
тмгь разстоявія, кяагь ввѣ этнхъ тЪлъ. Это всегда сіѣдуетъ пнѣть въ
виду, говоря 0 ковставтахь волен у иебесвыхъ свѣтнлъ.
Ocmw еиісііі или- 20

— 306 —
то, что сдѣланы всѣ поправки, необходимый въданныхъ
обстоятельствах^.), по мѣрѣ того, какъ мы двигаемся
отъ экватора къ полюсамъ, т.-е. изъ болѣе нагрѣтыхъ
поясовъ къ сравнительно холоднымъ. Но геодезическимъ
измѣреш'яиъ сплюснутость земного шара у полюсовъ
равна gpc", долѣ его экваторіальнаго діаметра. А по
величине ускорительныхъ импульсовъ земного поля, на-
слѣдованной во множествѣ пунктовъ, она равна только
7>осГ Д0"*- Значить, дѣйствительныя ускорительныя воз-
дѣйствія въ полярныхъ областяхъ поля соотвѣтствужітъ
болѣе далыгамъ разстояніямъ отъ центра земли, чѣмъ
то, на которомъ они наблюдаются, и, слѣдовательно,
мен-ве той величины, какую они должны бы инѣть. Изъ
приведенныхъ двухъ цифръ нетрудно опредѣлить, что
сила тяжести у полюсовъ представляетъ только 0,9999359
долю своей теоретической величины, а методы измѣре-
ній здѣсь настолько совершенны, что не допускаютъ въ
данномъ случаѣ такой ошибки. Конечно, этотъ недочетъ
въ полеобразовательной способности полярныхъ
областей слишкомъ незначителенъ по сравненію съ разли-
чіемъ среднихъ абеолитныхъ температуръ почвы на
экваторѣ и полюсахъ, но онъ и не можетъ быть про-
порціоналенъ этимъ температурамъ, такъ какъ поле
земного шара принадлежитъ не однинъ поверхностнынъ
слоянъ, а глубинныя области, по всей вероятности, не
ненѣе нагрѣты и въ арктическихъ широтахъ.
Точно такъ же и въ возвышенныхъ странахъ, гдѣ почва
болѣе охлаждена, почти всегда оказывается- нѣкоторый
недочеть въ прит яженіи земного шара сравнительно съ
низменностями, болѣе близкими къ нагрѣтымъ глубин-
нымъ слоямъ, не говоря уже о множествѣ мѣстныхъ
йскаженій тяготѣнія, открытыхъ геодезистами, и легче
всего объясняемыхъ неравенствами температуръ у ниже-
лежащихъ слоевъ земли.

— 307 —
Но самой поучительной иллюстрацией нашей идеи
является разница въ полеобразовательной способности
-™небесныхъ срѣтилъ, т.-е. въ отношеніяхъ констаетъ
Q ихъ пондеро-моторныхъ полей ко всему объему W дан-
наго свѣтила и потону неосторожно отожествленныхъ
съ плотностями небесныхъ твлъ1)-
Во всемъ ряду болыпихъ планетъ полёобразователь-
ныя способности -ji плавно уменьшаются по мѣрѣ ихъ
удаленія отъ солнца, хотя цифры, относящаяся къ этому
предмету и не могутъ считаться достаточно достовѣр-
ными, даже въ десятыхъ доляхъ, для очень удаленныхъ
планетъ, у которыхъ трудно определить точные объемы,
и у двухъ ближайшихъ къ солнцу, у которыхъ, за от-
оутетвіемъ спутниковъ, трудно опредѣлить точныя
константы полей. Вотъ этотъ рядъ по новѣйшимъ даннымъ:
ТАБЛИЦА XV.
Подеобразовательныя способности планетъ, отнееен-
ныя къ ихъ равновелнкияъ объенанъ, считав объемъ
земли равнынъ единиц**
w
Меркурій 1,13
Венере 1,03—1,07
Земля 1,00
Марсъ . , 0 70—0,74
Дет ерожш . . . . ■ 7?
Юшгтеръ 0,24—0,23
Сатурнъ 0,11-0,13 (II)
Урмъ 0,17
Нентуиъ 0,16
*) Чмтате» пошммтъ,- что ем» биде бы вѣріо даю въ тонъ сіу-
ч&ѣ, еыж бъ конставты Q возрастали пропорціовальво овнлжя масс&нъ
евкпиъ. А мн жменво в докмавыт, что такое утвер*девіе еще
■треёуеть похперляеніЗ.
, 20*

— 308 —
Мы видимъ, что только у Сатурна, своеобразная
физическая природа котораго обнаруживается въ системѣ
его колецъ, „полеобразовательная способность"
аномально уменьшена (0,11 вмѣсто 0,20 и притомъ внѣ пре-
двловъ возможныхъ ошибокъ), такъ что невольно
приходить въ голову, что и сами кольца этой планеты
выделились благодаря какой-то внутренней
реорганизации ея веществъ, вслѣдствіе которой быстро
понизилась константа ея пондеро-моторнаго поля и такимъ
образонъ часть вещества удалилась съ ея прежняго
экватора не усігввъ сконцентрироваться въ одиночнаго
спутника.
Однако и само центральное свѣтило нашей системы,
несмотря на его высокую температуру обладаетъ
сравнительно слабой поле образовательной способностью, точно
такъ же, какъ и нашъ спутникъ—луна:
W
Солнпв . . .■ . '. 0,25
Луиа 0,61
Такимъ обрааояъ высокая температура свѣтила
(каково солнце) еще не обусловливаетъ сама по себѣ и
высокой полеобразовательнои способности. Дѣйствительно,
если пондеро-моторная энергія поля зависитъ отъ энер-
гіи излученія, какого бы рода она ни была, то очень
глубинные слон чрезвычайно болыпихъ свѣтнлъ должны
принимать въ полеобразованіи лишь очень ничтожное
участіе. Даже для продольныхъ колебаній, или самыхъ
длинныхъ волнъ Герцевыхъ вибраторовъ, глубина пла-
нетъ и звѣздъ за нѣсколько тысячъ километровъ отъ
ихъ поверхностей можетъ оказаться совершенно не
прозрачной и такимъ образонъ не участвующей въ
полеобразованіи,
Съ этой точки зрьнія мы сочли не безынтереснымъ
приложить здѣсь, для важнѣйшихъ евѣтилъ солнечной

— 309 —
системы, частный отъ дѣленія константъ Q ихъ пондеро-
ыоторныхъ полей на величины ихъ поверхностей
І-Ѵ-п <391>
Очевидно, что они выражаютъ величины полеобразова-
тельной способности, отнесенной къ едиыицѣ
поверхности каждаго свѣтила: это—ихъ полеобразовательный
факторъ, такъ сказать „излучаемый единицей ихъ
поверхности" или проходящій черезъ нее. Каю. видитъ
читатель, эта величина, какъ теоретически, такъ и по
числовымъ значеніямъ, оказывается тожественной съ
ускорепіями, пріобрѣтаемыми падающими тѣламн близь
ихъ поверхностей въ продолженіе единицы времени
в = 2£ <392>
т.-е. съ напряжениями тяжеети на поверхности даннаго
свѣтила.
Интереснѣе всего здѣсь то обстоятельство, что если
мы примемъ эти величины пропорціональными абсолют-
нымъ температурамъ поверхностныхъ слоевъ этихъ свѣ-
тилъ, то, принявъ температуру верхнихъ земныхъ породъ
близкой къ 400° abs. (27° С) мы найдемъ на основаніи
3-й колонки XVI таблицы:
1) Температура поверхностныхъ слоевъ солнца
26,9X400=10.600° abs., что довольно близко къ совре-
мевнымъ опред/вленІямъ.
2) МеркуріЙ: 0,93X4W=270° abs. (по цифрамъ Лит-
рова), т.-е. близко къ 0° С. Здѣсь мы обрапщемъ особенное
вниманіе на то, что цифры для Меркурія очень
ненадежны, такъ какъ онъ не имѣетъ спутника, по которому
можно было бы удобно определить его
пондеро-моторное поле. Кромѣ того, овъ обращенъ всегда одной и

— 310
ТАБЛИЦА XVL
Полеобразовательныя способности евѣтилъ солнечной
снстены, разечитанныя на единицу поверхности
каждого свѣтила (при теллурической единиц!;).
(Этя же двфры вырахаютъ вааряженіл тнхѳстн яа давныіъ евѣтидать
въ тедлурическихъ ѳдвивяахъ ускоренія близь новерхвостеи).
Названіи свѣтвдъ.
Соінце . .
liiilllil
Луня . . .
По двввынъ средввы
XIX вѣка.
по Лнтрову.
28,4
0,93
1,06
1
0,41
2,6
0,95
0,96
0,19
во Арагр.
28,30
0.51
0,91
1
0,50
2,45
1,09
1,05
1,10
0,16
По занныыъ
конца ХІХвѣка
(раз считано
авторожь).
26,9
0,43?»
0,97
I
о,;із
2,57
1,15
0,717
0,75?
0,18
Первая каювжа сосганіева но пифрамъ икъ книги: J. Li Won-; Die
Wander des Himmels, вышедшее 2 над. въ 1842 г.
Вторая коіонка взята взъ 4 тома Астрой омія Араге, выаедишго
ОТ. Парнжѣ въ коваѣ 1857 года.
Третья коіонка разечитана авторонъ на основаяів вавбохЁе надеж-
вьигь оврвдѣіевіі накопившихся въ конду ХІХ вѣка, относительно
ковсгавть ноле! в л'лметровъ дажвыхъ свѣгвзъ.

— 311 —
той же стостороной къ солнцу и безатмосференъ.
Благодаря этому, его температура не можетъ быть особенно
высока, и поле его притяженіл должно быть неравно-
мѣрно въ различныхъ направлеыіяхъ.
3) Венера: константа поля и температура поверх-
ностныхъ слоевъ близки къ земнымъ.
4) Для Марса температура получается близко къ
160° abs. (— 100° С). Въ такомъ елучаѣ его снежный по-
кровъ пришлось бы, какъ думаютъ теперь многіе
астрономы, приписать твердому угольному ангидриду.
5) Для Юпитера около 1040° abs., т.-е. калильный
жарь.
6) Для Сатурна немного выше земной.
7). Для Урана и Нептуна нѣсколько ниже земной, но
цифры для нихъ еще не вполнѣ надежны по причинѣ ихъ
отдалености.
8) Для. луны около 80е abs. (почти—200° С). Воздухъ
на ней пришелъ бы въ твердое состояніе.
Само собой понятно, что мы приводимъ эти расчеты
лишь какъ образчикъ нвкоторыхъ небезынтересныхъ
совпаденій съ существующими представленіями о
температурь солнца, Юпитера, луны и т. д. Сами наши
формулы показываютъ, что константы полей могутъ быть
пропорціональны температурамъ поверхностныхъ слоевъ
у данныхъ свѣтилъ лишь при одинаковомъ химическомъ
составѣ и другихъ равныхъ условіяхъ, между прочимъ
зависятъ, вѣроятно, и отъ энергіи излученія, которая по
Stefan'у пропорціональна четвертой степени абсолютныхъ
температурь, а по другнмъ изслѣдователямъ менѣе
этой величины.
Сопоставляя между собою всѣ эти' результаты (и, въ
особенности, принявъ во вниманіе то обстоятельство,
что если считать полеобразовательныя способности -^
пропорціоцальввши только плотностямъ, то для такихъ
огромныхъ планетъ, какъ Сатурнъ, Уранъ, Нептунъ в
даже Юпитеръ, мы не подучшгь плотностей, превосхо-

~ 312 —
дящихъ плотность сухого сосноваго или еловаго
дерева), — мы не можемъ не прійти к*ь заключению, что
въ этой области, гдъ все казалось законченнымъ со вре-
менъ Ньютона, осталось еще очень много работы для
будущихъ изслѣдователей.
Качественный анализъ формулы Ньютона
показываете, что на константы полей тяготѣнія должны
оказывать влінніе не однѣ массы свѣтилъ, а и другіе
физические факторы, и даже даеть функціональный составь
этихъ факторовъ, и прежде всего указываетъ на
квадраты скоростей какихъ-то движеній, очевидно перемѣн-
нозначнаго характера, въ родѣ вибрадіонныхъ, потому что
поступательныя движенія свѣтилъ не могутъ измѣнить
константъ пондре-моторныгь нолей.
Но какому веществу и какимъ его единицамъ
принадлежав эти перемѣняозначныя движенія и въ какой
форнѣ проявляются остальные факторы, непредусмотрѣн-
ные въ формулѣ Ньютона, математическое уравненіе,
конечно, намъ не можетъ разсказать на какомъ-либо изъ
существующихъ на землѣ языковъ. Оно только говоритъ
намъ: ищите здѣсь квадраты скоростей, ищите
линейной плотности, масса же притягивакпцаго свѣтила,
которой вы приписываете абсолютное значеніе, можетъ
здѣсь имѣть только относительное вліяніе, какъ соот-
ношеніе двухъ совершенно различныхъ массъ. Вотъ въ
какомъ направленіи, говоритъ качественный физико-
математическій анализъ, вы должны вести дальнѣйшія
изслѣдованія, если хотите вполнѣ обобщить законы тяго-
тѣніе.
Значитъ, вмѣсто того, чтобы повторять годъ за го-
домъ сотни изнѣреній надъ моторными полями того же
еамаго свинца, да близкой къ нему и по атомному вѣсу
и по теплоемкости ртути, и при той же самой обычной
температурь—необходимо ввести разнообразіе въ подборѣ
прштагивающихъ матеріаловъ, употреблять, напримѣръ,,
графить, чугунъ или горныя породы, дѣлать для сравне-
нія шары того же діаметра (такъ какъ среди непред-

— 313 —
усвотрѣнныхъ факторовъ оказался и линейный L) съ
соответствующими пустотами внутри (для равенства ихъ
массъ при томъ же объемѣ), и измѣнять ихъ
температуры путемъ пропусканія въ нихъ нагрѣтыхъ и охла-
жденныхъ газовъ, черезъ спеціально приспобленныя
системы трубокъ. Притягиваемые же шары на рычагахъ
кулоновыхъ вѣсовъ, или разыовѣсъ на обыкновенныхъ,
можно брать какого угодно состава и температуры такъ
какъ сама формула (390) показываетъ, согласно съ обы-
денныиъ опытомъ, что различіе ихъ матеріала и
температурь окажетъ здѣеь вліяніе только на ихъ
собственный пондеро-моторныя поля, которыя предполагаются
ничтожными по сравненію съ полями „притягивающихъ"
неподвижныхъ тѣлъ.
Но каковы бы ни были результаты этихъ опытовъ,
окажутся ли полеобразовательныя способности небес-
ныхъ тълъ въ зависимости отъ ихъ средней
температуры, или отъ температуры ихъ поверхностныхъ слоевъ,
не превосходящихъ нѣсколькихъ сотъ километровъ въ
глубину и непосредственно участвующихъ въ излученіи,
или отъ накопившейся въ нихъ другого рода энергіи,
близкой по своимъ свойствамъ къ калорической,—во вся-
комъ случаѣ, отожествлять далѣе константы моторныхъ
полей съ массами вызвавшихъ ихъ физическихъ тѣлъ,
и замѣнять по произволу однѣ изъ нихъ другими въ ура-
внеіпяхъ, далѣе невозможно. Сана формула Ньютона
въ своемъ полномъ видѣ и весь рядъ прнведенныхъ нами
таблииъ, показываютъ, что, кромѣ массъ и разстояній,
здѣсь играютъ самостоятельную ноль константы пон-
деро-моторныхъ полей, зависящія отъ свойствъ
окружающей среды и другіе непредусмотрѣнные факторы1).
') Си. шряшѣчаше П ю жощѣ этой ешегя.

хѵг
Комплексы непредусиотрънныхъ факторовъ тнготѣнія,
определяемые изъ друтихъ астрононнческихъ формулъ.
Зависимость силы взаимного тяготѣшя физическихъ
тѣяъ отъ комплекса тѣхъ же самыхъ непредусмотрѣн-
ныхъ факторовъ, которые мы указали выше, можно
вывести и изъ остальныхъ астрономическихъ формулъ.
Приведемъ три слѣдуюпце примѣра.
I. Третій законъ Кеплера гласить: „Кубы разстояній
£ плаыетъ отъ центральнаго свѣтила (при неизмѣнности
его массы и сравнительной ничтожности еобственныхъ
массъ плаиетъ) прямо пропорциональны квадратамъ ихъ
временъ обращенія", если,—црибавляемъ мы отъ себя,—
комплексъ [к] непредусмотрѣнныхъ Кеплеромъ
факторовъ остается неизнѣииымъ. Вт, результате получаемъ:
І" = ЩТ" (393>
от
Зная же, что функціональный составь времени Т=~уг,
находимъ значеніе комплекса [к] нзъ самой формулы:
^Н^Ш'-т™ (394>
Внеся это значеніе [к] въ исходную формулу полу-
чаемъ 3-й законъ Кеплера въ изотезичномъ и, потому
окончательно законченномъ видѣ:
l*=[t FSZ]TS==[y yiL]' у (39б)

— 315 —
т.-е. кубы разстояній планетъ отъ центральнаго свѣтила
будутъ пропорціональны квадратамъ времени Т ихъ обра-
щенія вокругь него, лишь до тѣхъ поръ, пока константа
пондеро-моторнаго поля ^- V2L у этого свѣтила остается
неизмѣнной, что вполнѣ понятно. Но самый функщ'о-
нальный составь этой константы Q показываетъ, что она
должна зависѣть отъ какихъ-то скоростей, накопившихся
кь центральномъ евѣтилѣ, такъ какъ скорости могутъ
вызываться только скоростями. Значить, качественный
анализъ 3-го закона Кеплера подтвер-
ждаетъ результаты анализа закона
Ньютона.
Н. Второй законъ Кеплера гласить:
„Площади S (фиг. 42), описываемыя ра-
діусомъ - векторомъ планеты,
пропорціональны временамъ Т, въ которыя онѣ
описаны", если, — дополняемъ мы отъ Фвг. 72.
себя,—комплексъ [Щ непредусмотрѣнныхъ
факторовъ остается неизнѣннынъ. Значить, ивгвенъ:
8=[к]Т (396)
Откуда, зная, что модуль поверхности S^U, а время
1=-.у> находимъ значеніе комплекса:
w=i=Li-{5;)-YYL- ■ (397>
А внеся это значеніе въ исходную формулу 396-ю, по-
лучаемъ:
S=[i-rzl:r (398)
т.-е. второй законъ Кеплера будетъ справедливъ лишь
до тѣхъ поръ, пока произведете какой-то скорости V
на разстояніе L остается неизмѣнвыыъ. Мы нидимъ, что
это уже не константа поля Q (потому что ея функдіо-

— 316 —
нальный составь ^г ^^> а не -«- FZ). Это какіе-то новые
факторы.
Дѣйствительно, сопоставивъ въ своемъ умѣ разсличныя
особенности планетных ь движеній, мы приходимъ къ
заключение, что VL здѣсь представляетъ не что
иное, какь произведеніе скорости планеты въ
какой-либо точкѣ ея орбиты (напримѣръ, въ лернгеліи) на
разстояиіе этой точки отъ центра свѣтила. Въ самомъ
дѣлѣ, пусть имѣемъ нѣснолько различныхъ орбитъ съ
тѣмъ же самымъ периге-
,.„-" —-.. ліемъ (фиг. 43). Очевидно,
,у~' \ "\ что болыпія изъ нихъ будутъ
$ ф д А характеризоваться и ббль-
\ J шипи площадями S, описы-
"■"=—ггГ' —-*' ваемыми радіусомъ - векто-
Фвг- 73. ромъ въ то же время, иначе
планета (или комета) не
была бы такъ далеко отброшена въ своемъ афеліи, какъ
показываетъ фигура ея орбиты.
Однако можно взглянуть на этотъ предмегъ и съ
другой точки зрѣнія. Полученная нами скорость V въ пе-
ригеліи (фор. 398-я) можетъ и должна быть разсматри-
ваема, какъ функція моторной силы F, исходящей изъ
центрального свѣтила и передающейся черезъ
посредство его поля, такъ какъ быстрота движенія всякаго
спутника въ перигеліи есть въ дѣйствительности ре-
зулыатъ его постояннаго падеійя изъ афелія къ пери-
гелію. Чтобы найти зависимость между скоростью V въ
перигеліи и моторной силой F центральнаго свѣтила,
замѣтимъ, что оігв должны возрастать одновременно и
потому пшненъ, какъ мы это уже дѣлалп при каче-
ственнонъ анализѣ различныхъ механическихъ формулъ:
V~[k]F (399)
т.-е. скорость всякаго спутника въ его перигеліи мо-
жепіъ сдѣлаться пропорціональной моторной системѣ F

— 317 —
центральна™ свѣтила, если комплексъ [к] непредусмо-
трѣнныхъ факторовь получитъ надлежащій функціо-
нальный составь. Если наше предположение имѣетъ въ
себѣ хоть долю истины, то, какъ мы уже знаемъ,
комплексъ [Щ его обобщить и исправить, а въ противномъ
случаѣ приведетъ обѣ части равенства нъ простому и
безполезному для насъ тожеству, какъ это мы видѣли
въ формулѣ (354).
Опредѣливъ значеніе [к] изъ самой формулы (398-й),
имъемъ (зная, что F=-^=MPU)
№1_Z__Z JL-Я
L*J F~MVIJ MU~~ U
гдѣ C — =j есть символъ раздробленности вещества
(см. табл. I въ началѣ книги).
Внеся теперь значеніе [к] въ предыдущую (398-ю)
формулу, получаемъ:
k=[f]"F (400)
т.-е. скорость V планеты или кометы въ перигелйі мо-
жетъ быть пропорциональна моторной силѣ F централь-
наго свѣтила, пока отношеніе раздробленности О
какого-то вещества къ частот* U его колебанін (потому
что частота въ механикѣ характеризуетъ только коле-
банія) остается безъ перемѣны. Къ чему именно
относятся эти факторы—къ средѣ или къ молекуламъ самого
центральна!"о свѣтила, комплексъ непредусмотрѣнныхъ
факторовь предоставляетъ догадываться намъ самимъ.
Внеся это значеніе V въ исходную формулу (398-ю),
получаемъ:
s=[t3-fl]t <»»
Или, зная, что FL (таблица въ началѣ) есть символъ
анергіи В:
8=ЩЕ]Т <**>

— 318 —
т.-е. второй законъ Кеплера „площади S, описываемый ра-
діусомъ-векторомъ свѣтила пропорциональны временамъ Т,
въ которыя онб описаны", будетъ справедливъ лишь до
твхъ поръ пока полеобразовательная энергія (или
работа) центрального свѣтила, а также отношеніе
раздробленности С какого-то вещества, къ частотѣ U его
колебаній остается безъ изнѣненія. И здесь
качественный анализъ показываетъ намъ присутствіе непредусмо-
трѣнныхъ факторовъ, и, между прочимъ, снова указалъ
намъ, что законы тяготѣнія обусловливаются не однѣми
массами центральныхъ свѣтилъ, а ихъ энергіей К,
которая требуеть также и присутствія „скоростей".
III. Законъ ускорительныхъ воздѣйствій въ пондеро-
моторныхъ полягь выражается по Ньютону формулой:
G = [k]^ (403)
т.-е. ускорительное воздѣйствіе G поля на попадающія
въ него инертныя тѣльца прямо пропорціонально „мас-
самъ" -М" аггрегатовъ, находящихся въ центрѣ этихъ
полей и обратно пропорціонально квадратамъ разстоя-
ніи Д,* отъ центра поля, если, првбавляемъ мы отъ
себя изъ осторожности, комплексъ [ft] непредусмотрѣн-
ныхъ факторовъ не сдѣлаетъ здѣеь какихъ-либо допол-
неній или поправокъ, такъ какъ эти формулы
эмпиричны.
Действительно, опредѣливъ значеніе [ft] изъ самой
формулы, находимъ (зная, что 6L2 = Q):
m-tg-%--'■■■■■ (404>
ияи, внеся значеніе [it] въ исходную формулу (405-ю):

— 319 —
т.-е. формула Ньютона, относящаяся къ ускореніямъ, бу-
деть вѣрна лишь до тѣхъ поръ, пока константы Q
полей возрастаю гъ пропорціонально массамъ М аггрега-
товъ, находящихся въ ихъ центрѣ. Только тогда отно-
теніе I -|= I будегъ сохранять постоянную величину. Но,
по самому условію задачи мы видимъ, что масса М въ
этомъ множителѣ принадлежите тому же аггрегату какъ
и масса М внѣ комплекса: значил., оба эти
одноименные множителя сокращаются и мы имѣемъ просто:
0 = £а ■ ■ ■ (407)
Мы видимъ, что и въ этой формулѣ качественный
анализъ выбрасываетъ вонь центральную массу, какъ
попавшую сюда по недоразумѣнію и замѣняетъ ее
константой Q пондеро-ноторнаго поля. Но эта константа есть
лишь результъ работы цептральныхъ силъ поля и потому
можетъ быть функционально выражена равенствомъ
0 = у (408)
т.-е. константа Q моторнаго поля' у всякаго свѣтила
прямо пропорціональна скопившейся въ немъ особаго
рода энергіи Е и обратно пропорціональна средней
линейной плотности его атомовъ. (потому что по симво-
1 Е
ламъ М - L - V - системы какъ <? = о Ѵ*Ц такт, и -у =
\МУШ 1
=-VsL). Внеся значеніе 408 въ предыдущую
формулу (407-ю), получимъ:
(409)
т.-е. ускорительное воадѣйствіе силового поля свѣтила
прямо пронорціонально какой-то скопившейся въ немъ

— 320 -
энергш Ей обратно пропорционально средней линейной
плотности і его атомовъ и квадрату разстоянія Т^2 отъ
центра даннаго поля.
И здѣсь присутствіе множителя S, определяющего
линейную плотность вибрируюцшхъ стержней, показы-
ваетъ, что энергія Е, вызвавшая поле притяженія должна
опредѣляться какими-то вибраціонньгаи движеніяни,
аналогичными свѣтовымъ или звуковымъ.

ТАЙ ИЩА XVII.
Именованный части функціональныхъ соетавовъ у простѣйшихъ физическихъ факторовъ, представленныя въ
различныхъ абеолютныхъ системахъ.
Названія физическихъ факторовъ.
M-L-Y-
системн.
M-L-T-
система.
E-L-Y-
система.
V-G-F-
снстема-
М — массивность (инертность)
М~' —раздробленность
У— скорость движенія
У~1 —медленность движенія
\Ѵ— кубическая фаза трехмѣрнон протяженности
S — квадратная фаза двумѣрноЙ протяженности
/, — линейная (одномѣрная) протяженность. Путь
1„~~] —одномѣрная искривленность
Р—потенщалъ
М
ЛІ~і
г-*
м
M-t
2L
т
L~2 — двумѣрная искривленность •
9 — участительпый* факторъ (угловое ускореніе)
V—частота повтореній
U~l — редкость повтореній (промежутокъ времени)
.7—количество движенія (элементарный силовое импульсъ) . . . .
Е—энергія и работа. („Моментъ пары енлъ"=2і?)
G— ускорительное воздвёегвіе
Е — сила t
й — мощность или работоспособность -.
£3
L*
L-i
L-*
(£)'
Т
1L
L* ... .
.... X*
2L
мѵ
MY2
1 72
2 L
1 М V*
2 L
1 М V*
4 L
jj ....
. . . . L-i
L-i . . .
.... Г-*
r-i . . .
T
2ML
V
2L
2ЯІЛ
T
2ML
И— упругость I ~J2
Q — константа пондеро-моторнаго (силового) поля ....,...[ JLpaji • • .
-V*
В — плотность \ . I JSL
2ML*
г*
у*
4АГ
j*2
Ьч*
(х>
2Е
Г*
2Е
. . . Г"*
Z*
..../,*
jj .....
. . . L-i
Z-* . . . .
Г
2L
1?
2L
У
Е
2L
2Е
L
Е
Т
2Е
2
Y*L ■
•In
2 *
^
/-*
г--і
■ ■ (£)"
2G
-2G4*
2^
Г2
(»• ■
г
Y*F
~2G
G
F
-FY- • -
SFG*
4G
у г
SFG*
У*
M-YU-
снстема.
M
М- 1
r-i
го
(шУ
У
2Г
21
2ЕЧ*
<л0
Г*
Г
. . . . г-і
■J/Г*
гг
МП-
—MY* V
8Л/Г»
Г
1 Г*
4" Г
*Ш

ГЛАВА V.
Фунхціональные составы важнѣйшихъ физическихъ
фаиторовъ, выраженные въ различныхъ абсолютныхъ
систенахъ. Особый преимущества M-L-V-системы.
I.
ВведВні е.
Въ предыдущихъ главахъ мы дали общія
характеристики важнѣйшихъ физическихъ факторовъ и вывели
ихъ функциональные составы въ символахъ М-Ь-Ѵ-си-
стенЫ. Въ дальнвйшемъ иаложеніи мы познакомимся
еще со многими другими, но они уже не будутъ ин-бть
такого общего значенія и функционально сведутся на
комбинацііо предыдущихъ.
Теперь посмотримъ, какой видь прииимають всѣ
описанные нами фнзическіе факторы, когда мы выразимъ
ихъ въ символахъ другихъ абсолштныхт. системъ.
П.
Способь переведенія функоІОнальныхъ составовъ у
физическихъ факторовъ изъ одной абсолютной Снетены
въ другую.
Для того, чтобъ перейти отъ вайей. if-t-F-системы
къ принятой на Парижскомъ конгрессѣ (1882 г.)М-Ь-Т-
сиетеиѣ (или,- какъ ее обыкновенно называютъ, санти-
метръ-грамнъ-секундной — C-G-S),. гдѣ факторъ скоро/-
Ооанн пика ним. "

— 322 —
сти У- замѣщенъ факторомъ времени, мы должны только
найти въ нашей таблицѣ въ началѣ книги
функциональный составь времени:
Т=^ (409)
откуда получаемъ;
F=4 (410)
Замѣнивъ послѣдвимъ значеніенъ всякое V, встрѣ-
чающееся въ нашихъ формулахъ мы, очевидно, и полу-
чимъ то, что иамъ нужно.
Точно такнмъ же способомъ мы можемъ переходить
и ко всякинъ друпягь системамъ съ тремя основными
факторами, но, какъ бы мы ни старались, мы не будемъ
въ состояніи выйти изъ заколдованнаго круга трехъ
основныгь факторовъ. Чтобы показать читателю, какой
видь принимать функщональные составы уже извѣ-
ствыхъ намъ физическижъ факторовъ, когда, они,
выражены въ другихъ системахъ, мы даемъ здѣсь
сравнительную таблицу (табл. ХѴП) пяти наиболѣе простыхъ
иэъ этихъ системъ:
1) Нашей Ж-І^Г-еистемы,
2) Парижской M-L-T-стетекы,
3) jB-Z-F-системы,
4) Ѵ-в-і^чіистемы,
б) М-Ѵ-Ѵ-а/ктека,
Если читатель пожелаетъ ознакомиться и съ
другими системами, то онъ можетъ самъ найти соотвѣтствую-
щіе функщональные составы по только что указанному
методу,
Ш.
Характерный особенности раздкчныхъ абсолютных*
еяетмЕь. Доля еубъективноети въ каждой изъ .яижъ.
При, вервонъ взглядѣ на колонки приложенной та*
блицн (Х¥Ц), Лтшсяетия въ гляая ямгЬтатежьЯа* простота

— 828 —
и выразительность M-L-V-сиитежы, положенной нами въ
основаніе „Основъ качественнаго физико - матеиатиче-
скаго Анализа. Что же касается до другихъ, то мы ви-
днмъ въ нихъ слѣдующія особенности;
Въ .M-Z-T-системъ нногіе важные факторы, напри-
■ „£*
ігвръ, энерпя, М ?=£, заключаютъ такіе
невразумительные множители, какъ L2 (символъ поверхности) или
квадрать времени.
Въ JE-Z-F-сиетемъ, гдѣ масса замѣнена энергіей, почти
всѣ факторы теоретической механики представляются
въ видѣ частныхъ отъ дѣленія зяергіи на одинъ, или
два, изъ остальныхъ основныхъ факторовъ этой
системы.
Въ M-L-U-стаствкѣ очень хорошо и раціонально
представляются сила и мощность, изъ которыхъ
первая является произведешемъ количества движенія на
частоту его повтореній, а вторая — произведешемъ эле-
яентарнаго количества энергіи -^-МѴй на частоту (7его
передать другому тѣлу. Зато всѣ пространственные
факторы прнннмаютъ здѣсь довольно сложный значенія.
Линія, напршгвръ, символизируется въ видѣ движущейся
взадъ и впередъ точки, и длина ея определяется, какъ
величина, прямо пропорщональная скорости V этого
движенія взадъ и впередъ, и обратно пропорщональная
частотѣ U его поворотовъ въ обратную сторону. Зта
система особенно удобна для наслѣдованія вопросовъ
теоретической механики, почему мы и прибѣгали иногда
' къ ней яви наслѣдоваійи функціональнаго состава силы,
мощности и т д.
Во всъ-хъ друтихъ абсолютныхъ сйстенахъ (какова,
напринѣръ, представленная въ предпоследней колопкѣ
этой таблицы V-G-F-cacrela) функщонаяьные составы
большинства физическихъ факторовъ становятся до того
сложны и малопонятны, что применять Яхъ въ наукѣ,
значило бы лишь нарочно запутывать изложеніе и да«
fl»

— 324 —
вать этимъ поводъ къ воаникновенію всякигъ софиз-
МОВЪ.
Приведенная нами сравнительная табличка (XVII)
наглядно показываетъ, почему изъ всвхъ возможныхъ
абсолютныхъ системъ мы выбрали M-L-V-сисяеяу- Она
такъ естественна, что даже и въ настоящее время,—
когда для опредѣленіл „размера физическихъ единит."
оффиціально провозглашена ЗІЕ-і-Т-система, — во всѣхъ
физическихъ форнулахъ, гдѣ ясно хотятъ представить
сущность дѣла, невольно прибъгають именно къ ней, а
не къ принятой на Парижсконъ конгрессѣ 1882 года.
Эта послѣдняя излагается, обыкновенно, въ спедіальной
главѣ учебниковъ, а затѣмъ почти совсѣмъ не
применяется къ дѣлу, такъ какъ за третій изъ основныхъ
факторовъ въ ней принято время, которое, само по себѣ,
ее играеть активной роли въ природѣ, хотя и рисуется
такимъ въ поааіи.
Какъ" мы уже замѣчали ранѣе, время — это факторъ
больше психологически. Мы раздѣляемъ его на
настоящее, прошедшее и будущее, но реально для насъ бы-
ваетъ одно настоящее. Прошлое существуете лишь въ
нашемъ воспоминайга, а будущее въ ожиданіи и ^пред-
чувствіи", если можно такъ выразиться, не рискуя быть
заподозрѣннымъ въ ыетафизикѣ. Но что же такое это
единственно реальное для нашего сознанія йасяіоя«(№
время?—Простая грань между прошльогь'и будущимъ,
не поддающаяся количественному опредѣленію. Измѣрять
и оиредѣдять функдіонально мы моженъ лишь
„промежутки1' между несколькими такими гранями, которыа
поочередно принимали, или приыутъ, значеніе настоя-
щаго, но въ моментъ самаго наблюдения ушли уже изъ
области реально существуюгдаго для насъ.
Пространственные промежутки мы можемъ провѣрять
только угодно разъ. двигаясь взадъ и впередъ между
двумя пунктами. Совсѣмъ не тс относительно промежут-
ковъ времени- Ни мы и никакія другія существа въ
окружающее насъ природ* не способны ни возвратиться

— 325 —
въ прошлое ни посѣтить будущее, иначе какъ въ во-
-ображеніи.
Ни одинъ изъ органовъ чувствъ, служащнхъ у жи-
вотныхъ для воспріятія внѣшняго міра не
приспособился къ специальному наблюденію времени. Бели мы и
-ощущаемъ его теченіе, то лишь въ высшей степени не-
равномѣрно. Нѣсколько недѣль, богатыхъ событіяни,
кажутся намъ иногда длиннѣе, чѣмъ цѣлые месяцы без-
дѣйствія, а треть нашей жизни, которую мы проводимъ
во снѣ, какъ бы совсѣж-ь для насъ не существуетъ. Гд-Ь
нѣтъ движенія, нѣтъ и времени. Оно тамъ застыло и
-остановилось.
Вотъ почеиу мы и считаемъ наиболѣе естественной
для качественнаго физико-математическаго анализа
такую абсолютную систему,' гдѣ время есть факторъ,
производный отъ главнаго аттрибута ніровой жизни
—движенія и его скорости. Во всѣхъ фиэическихъ форму-
лахъ, представленныхъ по этой системѣ, совершенно
такъ же, какъ и на фонѣ нашего сознанія, время
оказывается въ неразрывной связи съ движеніемъ и функціо-
нально определяется какъ величина, прямо пропорціо-
нальная пути движущихся тѣлъ и обратно
пропорциональная скорости, сь которой путь совершенъ. Безъ
„движенія же не будетъ я времени въ нашемъ качествен-
номъ анализѣ явленій природы.
Конечно, во всякой системѣ физическихъ факторовъ,
какъ бы долго мы ее ни выбирали, всегда останутся
слѣды психологическихъ особенностей человѣческой
природы. Всѣ науки, какъ произведенія нашей общей
мысли, могутъ изучать объекты внѣшняго міра лишь въ
томъ видѣ, какими они отражаются въ умѣ каждаго
образованнаго человѣка. Но слово „каждый" (а не одинъ
„я") уже достаточно показываетъ, что наши представле-
аія о внѣшнемъ мірѣ не могутъ быть названы
„субъективными", а только „общечеловѣческими", и провѣрка
одного ума другимъ служить достаточной гарантіей, что
отраженія природы въ нашихъ умахъ, если они въ лю-

— 326
бое время ногугь быть провѣрены опытомъ, соотвѣт-
етвуюгь окружающей дѣйствительности, хотя, конечно,,
и принимаютъ общечеловѣческую окраску, какъ ланд-
шафтъ, разсыатриваеный сквозь цвѣтное стекло.
Но даже и съ индивидуальной точки зрѣнія мы
имѣемъ хороши! критерій для того, чтобъ отличить отъ
всѣхъ остальныхъ ту систему физическихъ факторовъг
которая наиболѣе соотвѣтствуетъ явленіямъ внѣшняга
міра: она всегда окажется наиболѣе удобнымъ орудіенъ.
для . изслѣдованія окружающей природы. А въ этонъ-
отношенш принятая нами і¥-і-К-система не оставляетъ-
желатъ ничего лучшаго.

ГЛАВА VI.
Софизмы и недоразумінія, пронсходящія отъ прене-
бреженія законоиъ нзотезнчностн уравненій. Немысли-
мость снстеиъ лишь съ двумя основными факторами.
I.
Всгуплевіе.
Бросивъ ретроспективный взглядь на прошлое фи-
зико-матеиатическихъ наукъ, мы не можемъ не замѣтить,
какъ, поелѣ рѣзкихъ переходныхъ моментовъ, когда
старый представленія и построенвыя на нихъ ошибочныя
системы рушились навсегда предъ ногучинъ напоронъ
человѣческой мысли, отдѣльные пережитки старыхъ
взглядовъ все-таки находили въ унахъ послѣдующихъ
поколѣній темные уголки, гдв нервдко очень долго и
упорно держались, несмотря на изменившееся въ сво-
ихъ основахъ общее ыіровоззрѣніе. Въ одномъ изъ этихъ
уголковъ и до сихъ поръ коренится у насъ очень
вредный предразеудокъ относительно возможности исключить
изъ абсолютной системы одинъ изъ ея трехъ основныхъ
факторовъ, сведя его функщоналыю къ двумъ другимъ.
Чтобъ ясно понять сущность этого анахронизма, разбе-
реМъ его сначала на болѣе простоит, примѣрѣ. Тогда
будеть ясень для насъ и тоть болѣе запутанный
случай, которыкъ мы намѣрены заняться далѣе.

— 328 —
II.
Пеевдо-теллурическая система физическихъ
факторовъ.
Въ стзрыя времена, когда не было еще представле-
ній объ ускорительныхъ воздѣйствіяхъ зеиного поля,
вѣсъ тѣлъ невольно отожествляли съ ихъ массой, какъ
мы теперь отожествляемъ массы съ инертностью тѣлъ.
Допуетимъ, что по отсталости отъ вѣка мы еще
держимся такихъ воззрѣній, а потому допускаемъ равенство:
F=M (411а)
гдѣ F есть вѣсъ данной массы М,
Но вотъ мы неожиданно узнаемъ, о существованйі
функціональныхъ составовъ у физическихъ факторовъ и
получаемъ въ свое распоряженіе всю ихъ таблицу,
приложенную въначалѣ этой книги. Мы видинъ'изъ нея, что
вѣсъ, какъ одно изъ проявленій силы, имѣетъ функціо-
нальный составь
Какъ согласить это равенство съ нашимъ предыду-
щимъ? Для насъ, пока, нѣтъ никакого сомнѣнія, что „оба
справедливы", и ежедневный опытъ опредѣленія массъ
взвЬшиваніемъ не позволяете намъ сомнѣваться въ
справедливости перваго равенства (такъ какъ объ осла-
бѣваніи вѣса по мѣрѣ удаленія отъ земной поверхности
мы еще не знаемъ).
Считая a priori оба равенства абсолютно вѣрныни,
намъ ничего не остается сдѣлать, какъ употребить слѣ-
дующую уловку.
Введемъ въ фйрмулу (411а-ю) коэффиціентъ (ку.
-F = (ft)M (412)

— 329 —
Опредъливъ его значеніе изъ самой формулы (зная, что
инъемъ:
Еслу бъ мы стояли на правильной точкѣ зрѣнія, то
сказали бы, что введенный нами коэффиціентъ (к) обна-
ружилъ передъ нами непредусмотрѣнный факторъ, н,
заглянувъ въ нашу табличку I, даже нашли бы fro
назван іе: „ускорительное воздѣйствіе'1 какой-то силы.
Но не считая возможнымъ (или не ииѣя достаточной
смѣлости) разстаться съ привычнымъ представленіемъ
о пропорциональности массы ея вѣсу, мы прибѣгаеиъ къ
такому маневру: принимаемъ (к) за простой, вѣчно не-
иэмѣнный коэффиціентъ, имѣющій всегда и вездѣ
постоянное значеніе, а потому способный приравняться
при надлежащемъ подборѣ эталоновъ къ единицѣ
(очевидно, что для этого намъ пришлись бы считать ускоре-
ніе земного поля на земной поверхности единственнымъ
ускореніемъ, возможнымъ гдѣ бы то ни было въ природѣ).
На основаніи этого пишсмъ {вмѣсто равенства 413-го):
1=й <«*>
откуда находимъ
Г=уг2£ (415)
Такимъ образомъ мы получаемъ возможность
исключить скорость V изъ числа трехъ основішхъ факторовъ
Ж-Ъ- К-системы, замѣнивъ ее во всѣхъ формулахъ нашей
таблицы въ началѣ книги череаъ \^L- Въ результатѣ по-
лучимъ слѣдующую таблицу, которую назовемъ
„псевдотеллурической системой физическихъ факторовь", такъ
какъ въ ней ускореніе земного поля на земной поверх*
ноети ложно считается единственнымъ въ природѣ:

— 330 —
ТАБЛИЦА ХѴШ.
Псевдо-теплурическая система физическихъ
факторовъ.
Нвзвмія и обычные Символы
символы. псевдо-теллурическіе.
Масса И М
Путь Т. L
Скорость V Ѵ^І
Время-^ у/и.)
Ча№УГа і — jm
Ускорительное воядѣветвіе ^т -а-—1
Количество двимвія MY Jf'j/2i
Энергія-і-ЗГР* Ml
Сила -^ M
Потендіыь -й-Т5 J-
Констант» поля -g- P*J- ■ ІЛ
Мошость *£ *і35.
4L а
До тѣхъ поръ, пока мы ве знали бы никакягъ еилъ,
которыя характеризуются другими ускорительными воз-
дѣбствіяни, чѣмъ ускореніе живого поля на
поверхности земли, эта иекалѣченная система давала бы численно
в-врные результаты и даже годилась бы для проверки
формулъ, какъ та система унрощенныхъ за нредѣлы
раціональнаго смысла тригононетрическихъ величинъ,

— 331 —
которую мы дали, рядонъ съ ихъ настоящей системой,
въ таблицѣ ХЦ (колонка II), стр. 183.
Действительно, возьмемърядъ функцій, выражающихъ
одинъ и тотъ же факторъ, наприигвръ, энергію:
*-\ѵ-
Кошхвиж.
•1 Х
- - скорости,
«5
II
F L
Си».
X
Путь.
II
Імѵ*
Е^-
Энергія
1
- ЛГР =
Масса.
X
Потев ціаіъ.
11
\мѵ*
= лтах,.
Массы.
X
Ускореніе.
X
Путь.
уі(7*
= Я- Т
Мощность.
Время.
1!
у if Г*
(416>
Заѵвтки, сдѣланныя подъ членами этого длиннаго
равенства, шжазываютъ, что всѣ эти члены представляютъ
лишь различная ореографш энергіи, такъ какъ, по при-
веденіи всѣгь символовъ къ ихъ фувкшональнымъ со-
ставанъ въ ЛГ-Г-Л-системѣ, мы подъ каждымъ членомъ
получаемъ одно и то же выраженіе ~~МТ*.
Но совершенно аналогичное приведеиіе къ тожеству
можно сдѣлатъ здесь и по нашей „псевдо-теллуриче-
ской енстемѣ", хотя она и является совершенно иска-
лѣченной и не годной ни для какихъ обобтденій. Дѣй-
ствительно, воспользовавшись нашей табличкой ХѴПІ,
находимъ внѣсто предыдущей строки:
ълхл = муъЬ ■ у уЪЬ = лг- ь =
Эвергів. Количество двжж. Сила.
X X
1 Путь,
-д- скорости. іі

— 332 —
Масса. Масса. Мощность.
п х. х. х
Потеиціыъ. ісвореніѳ. Броня.
ІІ X |)
ML Путь. ,MX .... (417)
ML
Мы видимъ, что и здгЬсь изъ каждаго члена получилось
выраженіе энергіи въ символахъ „псевдо-теллурической
системы", т.-е. ML, вжѣсто истиннаго состава yMF1.
Система, не имѣющая сама по себѣ логическаго смысла,
все-таки показала полную логичность нашего
равенства'.
Читатель, знакомый съ математикой, конечно, ска-
жетъ, что уловка, которую мы употребили для
построения этой наивной „теллурической" системы, слишкомъ
очевидна, чтобъ ее можно было не занѣтить. Совершенно
вѣрно. Именно для того мы и подобрали такой пршгвръ,
чтобъ показать наглядно, что пригодность данной
системы для провѣрки равенствъ еще не показываеть, что
она сама составлена правильно и годна на что-нибудь
другое, кромѣ этой провѣрки. Дѣло въ томъ, что каждый ■
шагъ въ построенін этой псевдо-системы есть (если
позволительно такъ выразиться въ серьезномъ научномъ
трактате) Лишь пароділ на такъ называемую „астрономе,?
ческую систему едининъ", которая до сихъ поръ
приводится въ курсахъ и порождаете рядъ недоунѣній. Пусть
читатель только сравнить все, что мы сейчасъ
говорили со слѣдующимъ рядомъ разсужденій, который мы,
послѣ наленыгаго собственнаго вступленія, яѣликомъ
лриво димъ изъ учебниковъ, и онъ убѣдится, что мы
правы.

— 333 —
ш.
Псевдо-астро ионическая система.
Бъ старыя времена, когда еще не было даже и пред-
ставленія объ энергіи, какъ самостоятельною, факторѣ
природы, ее невольно отожествляли съ массой и та-
кимъ образомъ приписывали массѣ тѣ свойства,
который принадлежали на саяомъ дѣлѣ исключительно
энергіи. Благодаря этому смѣшенію двухъ различныхъ поня-
тій издатель Ньютоновой „Phylosophiae Naturalis Principia
Matheinatica" Роджеръ Котсъ, въ противность мнѣнію
самого Ньютона, въ своемъ предисловии приписалъ маг-
еамъ свойства притягивать другъ друга черезъ раздѣ-
ляющее нхъ пустое пространство, тогда какъ, на самонъ
дѣлѣ, всякія моторныя воздѣйствія (какъ мы показали
выше) принадлежать исключительно энергіи небесныхъ
гвлъ и. кромѣ того (какъ было обнаружено Фарадеемъ
для электричества), зависятъ отъ окружающей ихъ среды.
Когда- впослѣдствіи Гаусъ замѣтилъ, что формула
Ньютона не представляетъ изотезичнаго равенства, ученіе
объ энергіи тоже еще не развилось, а функцншадьвые
составы большинства физическихъ факторовъ тоясв не
были еще открыты. Казалось, что, кромѣ вассъ и разстоя-
вій, ничто другое не могло вліять на силу взаимного
притяжевія двухъ свѣтил-ь въ проетравствѣ Вселенной,
а потому и формула Ньютона првдетавлялаеь абсолютно
вѣрной при всѣхъ возможныхъ уеловіяхъ, почему и
получила назваиіе „закона всемірнаго тяготѣнія''. Для
того, чтобъ примирить ее съ системой „абсолютныхъ
едининъ", обработанной въ основѣ твмъ же Гаусомъ
и положившей начало употребляемой нами М-Ь-Ѵ-си-
стемѣ, не оставалось ничего другого, какъ употребить
тотъ самый опасный пріемъ, къ которому мы только
что- прибѣгли для построенія „псевдо - теллурической
системы": приходилось счесть конилексъ [Jc] неиреду-

— 334 —
■сыотрѣпоыхъ факторовъ въ формулѣ Ньютона абсолютно
неизмѣннымъ множителемъ и приравнять его къ единнцѣ,
чтобъ затѣвгь выбросить изъ формулы совсѣмъ, какъ не
вліяюпцй на тяготѣніе.
Это и было сдѣлано. Взявъ формулу Ньютона при
равныгь массахъ, и введя въ нее (подъ назвагаемъ
коэффициента пропорциональности, „зависящего
исключительно отъ величины принятыхъ нами эталоновь")
аашъ комплексъ [ft] непредусмотрѣныхъ факторовъ, сей-
часъ же и получили:
F=[k\*£ ........ (418)
откуда
M-F* ы*-Ж" ЛР—Г ' ■ (419)
Придавъ теперь комплексу непрѳдусмотрѣнныгь
факторовъ, не принадлежащее ему постоянное числовое
.значеніе и признавъ его равнымъ единипѣ, нашли изъ
послѣдняго равенства:
1--Т7- <0 (420)
-откуда
М
M=-j F*L (!!!) (421)
т.-е. масса М физического тѣла оказалась (при всѣгь
возможныхъ условіяхъ въ природ*!) равной константѣ ея
динаническаго поля, такъ какъ ~Т*£ есть функиіональ-
_ный составь этой константы (табл. въ началѣ книги).
Вмѣстѣ съ тѣмъ, эта же самая масса определилась,
какъ полуквадратъ какой-те скорости, помноженной на
лакой-то путь

— 335 —
Читатель санъ ввдитъ теперь, въченъ тугь ошибка.
Пріемъ, посредствонъ котораго получили это
удивительное выражен іе, оказался почти буквальнымъ повторе-
ніемъ того самаго софизма, который ни употребили, въ
предыдущемъ параграфѣ, для построения нашей „осевдо-
теллурической системы" и выведи въ результатѣ, будто
масса М равна корню квадратному изъ линіи L (форм. 415).
Поелѣ этой неправильной обработки формулы
Ньютона основаніе для псевдо-астрономвческой системы
было готово. Масса совсѣнъ исчезла изъ числа трехъ
основныхъ физическихъ факторовъ и оказалась не чѣмъ
инымъ, какъ ^VaU
Замѣнивъ этимъ выражешенъ всякую букву М въ
функціональныхъ еоетавахъ таблицы въ началѣ книги,
мы и получаемъ, взамѣнъ абсолютной M-L-V-сясіеѵял
слѣдующую, содержащую лишь два основныя фактора:
скорость V и путь L: (См. табл., стр. 336).
Мы видимъ, что, начиная съ пункта 6, гдѣ пришлось
дать массѣ функціональный составь константы поля,
получилось нѣчто невообразимое.
„Объясняйте это какъ хотите, — говорить ЛѴШіаш
Thomson (лордъ Кельвинъ) въ своей лекціи, прочитанной
3 мая 1883 года въ Институтѣ гражданскихъ инжене-
ревъ въ Лондо'нѣ *), но оказывается, что плотность воды,
плотность латуни, иди средняя плотность земли,
измеряется въ абсолютной (!) мѣрѣ квадратами нѣкоторыхъ
угловыхъ скоростей" (см. пунктъ 10 нашей таблицы, гдѣ
V
ку служить символомъ угловой скорости ѴѴ...
ЛЬ
„Равнымъ образомъ затруднительно для пониманія,
а вмѣстѣ съ тѣмъ и любопытно то обстоятельство, что
скорость въ четвертой Степени служить для мѣры силъ"
{см. пунктъ 7 той же Хіі таблицы).
•) Сх. В. Токов»: „Сіроеаіе мтерііа. Иерее- Вейнбергж, иода
ре*. Воргмма. Спв. 1895.

33(і —
ТАБЛИЦА XIX.
Псевдо-астр о ионическая система физическихъ фа кто-
ровъ.
Падванія и Пспорчсппые фупкціопа.іі>-
праввіьвые функц. составы. вые составы.
1. ЛІасса — ковстаитѣ пои ( ! 1 ~:t-VL
2. Потепцііш, ,-72 ... уц.
ѵя у*
3. J скордтѳльеое воадѣЗствіе -— -^j
А. Путь L L
5. Скорость V" ' V
6. Колнчестводвнхеиія(-И')Ѵ=('-1- Ѵ*Ь~)г/Ѵ\ ■ ■ ■ 4t*l
7.0»., rtn. Пр. («)^ = (|і^)-'^(!) -\ѵі
S. Энергія л работа А (Л) Г2 = — (ѵГад0Г!СО ' ТГ"'
в. Мото (J0S = G-nt)5(!) ..:..-. ІѴ
Для читателя, который предварительно ознакомился
съ нашей „псевдо - теллурической" системой и съ
сущностью той ошибки, на которой построены обѣ, должно
казаться страннымъ это недоумѣніе одного изъ самыгь
крупныхъ физиковъ и матенатиковъ настоящего
времени. Мы. видинъ, что всѣ эти неудобовразужнтельные
функциональные составы не болѣе любопытны, чѣмъ и

— 337 —
тѣ, которые мы дали въ нашей предыдущей таблицѣ VII
(стр. 321), представляющей простую пародію на эту
„ пе евд о -астрономическую" систему. Если что-нибудь и
есть адѣсь „любопытнаго", такъ это та цѣпкость, съ
которой держатся въ темныхъ уголкахъ нашего созна-
нія отдѣльные пережитки старыхъ блужданій на пути
къ истинѣ, даже и послѣ того, какъ къ ней была
открыта пряная и широкая дорога.
IV.
Пеевдо - система электрическихъ и магнитный.
единицъ.
Еще болѣе удивительные результаты, происшедшіе
отъ пренебрежения закономъ изотезичности и компле-
ксонъ непредусмотрѣнныхъ факторовъ, обнаруживаются
при качественномъ изелѣдованіи такъ называемой
„системы электрическихъ и магнитныхъ единшть".
Когда вамъ говорятъ, что „функциональный составъ
времени прямо пропорціоналенъ пути, пройденному
движущимся тѣломъ и обратно пропорціоналенъ его
скорости", вы сразу понимаете, что это именно такъ и
должно быть. Когда вамъ говорятъ, что „плотность
прямо пропорціональна массѣ тѣла, втиснутаго въ
данный объемъ и обратно пропорціональна величинѣ этого
объема", вы сразу видите, что иначе и быть не можетъ.
Но посмотрите только на приложенную здѣсь табличку
(табл. XX важнѣйшихъ физическихъ факторовъ
электрической (ао Клаузіусу).и магнитной {по Гельмгольцу и
др.) энергій, и вы сразу скажете, вмѣстѣ съ В. Томсо-
номъ, что это какая-то абракадабра, въ которой
абсолютно нельзя ничего понять. Вамъ невольно кажется,
что эти выраженія {врод-в Т?М*Т~1) выше вашего пони-
манія, а на самомъ дѣлѣ они ниоюе его! Все это лишь
система устарѣвшихъ недоразумѣній, построенная по
Owu пч«п. ниолжяи. *-

— 338 -
ТАБЛИЦА. XX.
Такъ называемая „электростатическая система'
ктрическихъ и магнитныхъ еднннцъ.
эле-
Обычвыя названія.
Я
О.
о
І
■е-
ф
-л
V
ю
V
в
в*
ч
а.
о
&
Л
■&
ф
3
а
=
5
2— Зарядъ илв „масса*
(велич. инертности) -
ji — Электродвижущая
у—Электрическая „села"
Ег—Работа влектнческ.
„снлъ"
с—Электроемкость : . .
і— „Сим." тока ....
г— Совротявленіе . - .
3*—Зарздъ илв „масса"
(велич. инертности) .
р'— „Сила" магннтваго
</—Магнитная „сила" .
&т—Работа магинтвыхъ
е—Ковффнц. нндукдія
Функциональные составы.
Но Гельм-
гольцу.
L
Ho
Клаузіусу.
Тоже.
(ДО-С1^
По
Мавсвѳлю.
Токе.
Въ овредіілевіа исевдо-иагннтныхъ ѳдинииъ Гельмгольцъ, Клауэіусь
и Максвель разошлись.
Клауэіусь швелъ свои формулы иа доиущвиіи тожества фуявціо-
нальныхъ составовъ у „силы тока" і и силы магннтнаго листка рЛ
Максвелль положила въ основаліе требованіе, чтобъ произведете
„силы тока" і на магннтвын заряіъ іі' сохраняло „размѣры" работы:
Гельмгольцъ требовать, чтобъ пронаведеиіе двухъ варядовъ ifq", yb-
леняов иа растояиіе межіу ними, виѣло „размерь" работы:
Ухе ома вта неустойчивость исходныхъ точекъ воказываетъ,
насколько условны эти „абсолютный системы*1.

— 339 —
тому же самому способу, какъ и тѣ, которыя мы видели
сейчасъ, но такая запутанная, что вы въ ней никогда
не разобрались бы безъ помощи качественного физико-
математическаго анализа и его комплекса непредусмо-
трѣнныхъ факторовъ. Но обратившись къ этому методу,
вы сейчасъ же увидите, какъ подобный системы рушатся
сами собой, и все, что казалось въ нихъ такимъ изуми-
тельнымъ, вдругь становится простымъ и яснымъ.
Для того, чтобы обнаружить здѣсь ошибку, припо-
мнимъ прежде всего, что массы электрической энергіи
могли опредѣляться до еихъ поръ только по констан-
тамъ ихъ пондеро - моторныхъ полей, т.-е. при прочихъ
равпыхъ условіяхъ. Значить, заключаемъ мы, и въ этихъ
формулахъ подъ символами М должны скрываться вовсе
не массы, а тѣ же константы моторныхъ полей, какъ и
въ пеевдоастровомической системѣ. Поэтому, чтобы сдѣ-
лать эти формулы вразунительнѣе, нужно прежде всего
каждый символъ М замѣнить въ еихъ обратно константой
поля по той же самой формулѣ (421-й), посредствомъ
которой массы были неправильно вставлены сюда взамѣнъ
константъ, т.-е. принявъ
M^V'L (422)
Дѣйствительно, сдѣлавъ соотвѣтствующія замфщенія
и замѣнивъ также символъ времени Т его функціональ-
нымъ составомъ въ Ж-Х-Р"-системѣ (т.-е. Т=^=?1, мы
сейчасъ же и получаемъ, вмѣсто КлаузІуеовой и Гельм-
гольцевой, двѣ приложенныя таблицы (XXI и ХХП).
Разсматривая эти (приведенные теперь къ символамъ
псевдо - астрономической системы) функциональные
составы, мы сразу же замѣчаемъ, что первые три электри-
ческіе и магнитные фактора привелись этимъ преобра-
зованіемъ къ простому, логическому и давно извѣстному
яамъ виду. Именно:
22*

ТАБЛИЦА XXI.
Именованный части функціональныхъ ѳоставовъ (оъ отброшенными числовыми
коэффициентами) ваяснѣйшихъ элѳктричѳскихъ факторовъ (псѳвдо-элѳктричѳская система, по
Клаузіуеу).
№№
1
2
5
в
<я
О Б Ы Ч Н Ы Я II Л 3 В Л II I Я,
q — зарядъ или „масса" (иптертность) .
р — электродвижущая „сила1*
G — электрическая „сила*
Ег — работа электрическихъ силъ . . .
с — электроемкость
г
«
сила4 тока
сопротивленіе току
тштшшшт
Функціопаль-
пые составы
по системѣ
псевдО'Эдек-
трическихъ
ѳдиницъ.
ЩМ)Т
L
tjm^t-'
ТГІГ * T
Функдіоиаль-
вые составы
по системѣ
псовдо-астро-
помическихъ
едипицъ.
уа
L
L
78
1
V
истинный ііазвашя.
Константа поля.
Нотенціалъ.
Ускорительное воздѣйствіѳ.
Работа электрическихъ силъ.
ЭлектроконденсаіОя.
Скорѣе „мощность" тока.
Сопротивлепіе.

ТАБЛИЦА XXII.
То же для магнитныхъ единицъ въ псевдо-электрической систѳмѣ, по Гельмгольцу.
КМ
.
1
О Б Ы Ч II Ы Я IIА 3 В Л И I Я.
■*5В
<1 — зарядъ магнетизма („масса")
*'
G*
.сила" магнитнаго листка .
магнитная сила
Е'т— работа магнитныхъ силъ
с' — коэффиціентъ индукціи
• *
Функціонадь-
ные составы
по систѳмѣ
псѳвдо-маг-
нитвыхъ
единицъ.
ЩМ)Т~*
1и
Функціоваль-
ныѳ составы
но систѳмѣ
псовдо-астро-
номическихъ
ѳдиницъ.
у*
L
L
ИСПРАВЛЕННЫЙ НАЗВАНІЯ.
Константа магнитнаго поля.
Потѳвніалъ.
Ускорительное воздѣйствіе.
Работа магнитныхъ силъ.
Коэффиціѳвтъ индукдіи.
со
NB, Тавъ какъ всв числовые коэффиціѳнты при функціонадьныхъ составахъ были отброшены составителями
втихъ систѳмъ (путемъ ѳоотвѣтствѳнваго подбора эталоновъ), то и при пѳрѳводѣ символовъ изъзтихъ систѳмъ въ псевдо-"
астрономическую (изъ дѣвой колонки въ правую) намъ пришлось отбрасывать на табл. XXI и XII всѣ числовые
коэффиціѳнты, какъ прнвяване фиктивное вначеніо. При тѳорѳтическомъ разборѣ атихъ коаффиціѳнтовъ не слѣдуотъ забывать,
что въ нашѳмъ выводѣ коэффиціѳвтъ 2 при символѣ L является каждый разъ, когда L характеризуете вибраціонноѳ
движѳиіѳ (удвоенные путь для возвращѳвія въ первоначальное подожѳніѳ при амплитудѣ L): Магнитпыя единицы взяты
но Гельмгольцу, потому что онѣ нѣсколько раціональнѣе обычныхъ.

_ 342 —
1. Электрическіе и магнитные „заряды" или „массы",
которые ранѣе имѣли странный видь L~M:T"
оказались не чѣмъ инынъ, какъ помноженными на 2
константами пондеро-моторныхъ полей -zrV^L. Не только функ-
ціоналыше составы, но и названія факторовъ оказались
здѣсь давно намъ извѣстными.
2. Электродвижущая „сила" и „сила" магнитнаго
1. L — 1
листка L'M'T оказались не чѣмъ иньшъ, какъ
помноженными на 2 потенціалами -~Ѵ%, характеризующими
пондеро-моторныя поля у данныхъ екопленій
электрической или магнитной энергіи. И здѣсь переиначены и
функциональные составы и названія.
L ' - -1
3. Электрическая и магнитная „силы" M'-L'T
оказались простыми и давно извѣстныни намъ „ускоритель-
ными воздѣйствіями" пондеро-моторныхъ полей ^->- у
данныхъ екопленій электрической и магничноб энергій,
тоже помноженными на 2, какъ и предыдущее. И здѣсь
та же ошибка и въ терминологіи и въ функціональныхъ
составахъ.
Въ этихъ трехъ случаяхъ мы сразу пришли къ рѣ-
шенію недоразумѣній и опредѣленію встиннаго смысла
соотвѣтствующихъ факторовъ, потому что ихъ функціо-
нальные составы (не заключавшие множителя М) одни
и тѣ же какъ по псевдо-астрономической, такъ и по
правильной M-Z-F-системѣ.
Но далѣе, въ нижнихъ отдѣлахъ обѣихъ таблицъ,
начиная съ энергіи, гдѣ функциональные составы псевдо-
астрономйческой системы (вслѣдствіе замѣны массы М
константой -й V*L по формулѣ 421-й) начинаютъ
расходиться съ M-L-V-сисіеиой, мы уже не вгожемъ cpaaj
узнать извѣстныхъ намъ факторовъ по ихъ функціональ-
нымъ составамъ. Для расшифрования ихъ намъ нужно

— 343 —
прибѣгнуть прямо къ тѣмъ формулаігь таблицы XIX
(стр. 336), о которыхъ самъ Б. Томсонъ выразился, что
ровно ничего въ нихъ не понимаетъ. И действительно,
сравнивъ наши послѣднія таблицы (XXI и ХХЛ, стр. 501)
съ таблицей XIX (стр. 493), мы видимъ:
4. Символы электрической и магнитной работы
V*L=2l -^ V2L jV2 тѣ же самые, что и въ
астрономической системѣ, т.-е. масса въ выраженіи энергіи -МѴ-,
помноженной на 2, замѣнена константой ея поля
[т> V^L I. Здѣсь, по крайней ыѣрѣ, хотя наэваніе
оставлено правильное.
5. Электроемкость и коэффиціентъ магнитной ин-
дукціи получили при переводѣ въ астрономическую
систему странный функціональный составь линіё, или раз-
стояній, L. Для того, чтобы понять причины такого
неожиданна™ отожествленія, мы должны припомнить, что
такое представляютъ изъ себя эти факторы.
Электроемкостью конденсатора называется
„количество электрической энергіи, которое нужно сообщить
ему, чтобы довести его поле до потенціала, равнаго
единице, пока скорость распространения электрическихъ
колебаній въ окружающей средѣ остается безъ пере-
мѣны". Если же скорость эта измѣняется, то емкость
С будетъ обратно пропорціональна ея квадрату.
Значить, имѣемъ для этого своеобразнаго фактора
функціональный составъ:
-MFa
с=-рг»ві—^Т*™2!— ' ' (23)
2 ' 2
т.-е. электроемкость с прямо пропорціональна
скопившейся въ конденсаторе масеѣ М, т.-е. количеству
интертности (какъ мы опредѣляемъ массу по табл. на

— 344 —
стр. 24) электрической энергіи (помноженной на 2) и
обратно пропорціональна вызванному этой энергіей по-
тендіалу J,-F2 въ окружающей средѣ.
Мы еидимъ отсюда, что „электроемкость" — это
совершенно своеобразный факторъ, только по названію
похожій на „теплоемкость" ■=.,- (форм. 36-я). Поэтому его
лучше бы называть конденсащей электрической
энергіи, чтобы избѣгать этого несоотвѣтствія названій въ
различныхъ отдѣлахъ физики, приводяпдаго лишь къ
ложныяъ асеоціацілмъ идей.
Но какъ же когли перейти оть этого ращоналінаго
выраженія электроконденсащи (форм. 423) къ тому
невразумительному равенству с = £, которое мы видимъ
въ таблидахъ XXI и XXII? Нѣть ничего проще. При-
помнивъ, что масса по этой системѣ неосмотрительно
отожествлена съ константой^ Y*L электрическаго поля,
замѣнимъ М въ равенетвѣ (423) этимъ выраженіемъ.
Получимъ:
—V г/'
М 2
г=2і—і- = 2^—— = 2£ = і0 . . . .(424)
Lyt hy-2
2 2
Мы видимъ, что электроконденсація вдругъ оказалась
равной какону-то разстоянію Lg, что и требовалось найти.
Аналогичны нъ неправильны мъ занѣщеніемъ мы легко
приведемъ и коэффиціентъ магнитной индукціи къ тому
же самому линейному выраженію.
6. „Сила" тока'(читатель самъ видитъ, сколько здѣсь
„силъ", которыя при наслѣдованйі оказываются совсѣмъ
не силами, а физическими факторами самаго
разнообразная функціональнаго состава!) имѣетъ по таблицѣ XXI
функціональный составъ: F3=4 (s^^-^r) =&Q ■ U*

— 345 —
т.-е. является по псевдо-астронохической системѣ
(которая замѣняетъ массу М электрическое энергіи
константой ея поля) произведеніемъ изъ элементарнаго заряда,
способ иаго вызвать въ полѣ константу Q, на частоту U
его прохожденій по проводнику. По самому этому опре-
дѣленію мы видинъ, что имѣенъ дѣло вовсе не съ
„силой", а со своеобразнымъ факторомъ, болѣе подходя-
щимъ подъ понятіе о „мощности" или работоспособности
77' тока.
4 1*
Дѣйствительно, приравнлвъ „силу тока" % къ
мощности R съ помощью комплекса непредусмотрѣнныхъ
факторовъ, получинъ:
і = \_ЩВ (425)
Откуда
или, внеся значеніе [ft] въ предыдущую формулу:
■-№■
Мы видимъ, что „сила" тока будетъ пряно пропор-
ціональна его мощности и можетъ быть смѣшиваеиа. съ
нею, пока фиаическій факторъ съ функціональвымъ со-
ставомъ тг остается безъ иамѣненія. Но мы уже знаемъ
изъ качественнаго анализа формулы Ньютона, что этотъ
факторъ выражаетъ радіальное натяженіе поля (см. объ-
ясненія къ формуламъ 361 и 385). Такимъ образомъ на-
званіе „сила тока", лучше бы просто замѣнить назва-
ніемъ „могучесть тока" и опредѣлять функціонально
этотъ электрическій факторъ тѣмъ же выражевіемъ,
какъ и механическую мощность съ прибавленіемъ мно-
L
жителя -~ •

— 346 —
Мы не будешь утомлять читателя далыгййшивгь раз-
боромъ всъхъ электрическихъ и магнитныхъ единицъ,
иекаженныхъ аналогичными анахронизмами. Сказаннаго
нами совершенно достаточно для того, чтобы ясно ви-
дѣть, что помѣщаемьш до настоящаго временя въ учеб-
никахъ системы электрическихъ и магнитныхъ единицъ
лишены занонченнаго логическаго и математическаго
смысла-
Для того, чтобы понять, какимъ образомъ могла
возникнуть подобная система, и какимъ образомъ могла она
держаться до настоящаго времени, необходимо раземо-
трѣть ее, какъ и псевдо-астрономическую, съ
исторической точки зрѣнія и начать напгъ разсказъ совершенно
тѣми же словами, какія мы употребляли при изложеніи
псевдо-теллурической и псевдо-астрономической системы.
Именно:
„Въ етарыя времена, когда массы еще смѣшивались
съ энергіей и допускалась передача свѣта черезъ
пустоту", Кулонъ приложилъ формулу Ньютона къ дѣй-
ствіянъ магнитныхъ и электрическихъ полей и нашелъ,
что сила отталкиванія двухъ одноименныхъ зарядовъ
пряно пропорціональна ихъ величинамъ (который были
снѣшаны съ массами электрической и магнитной энер-
гіи) и обратно пропорціональна квадратамъ равстоянія
между ихъ центрами. Значить;
Впослѣдетвіи Фарадей экспериментально, а Максвелль
теоретически доказали односторонность этого равенства
и необходимость ввести во вторую его часть еще
четвертый множитель V2, представляющій скорость
распространена свѣта въ окружающей средь- (или, по формулѣ
348-й), отношеніе упругости среды поля къ ея
плотности), такъ что предыдущая формула принимала видь:
F= щщ~г • • (428)

- 347 —
Но ни самъ Кулонъ, ни слѣдующее за нимъ поко-
лѣніе ученыхъ, конечно, не могли предвидѣть открытій
Фарадея, Максвеля и Герца, а потому, считая
предыдущую (427-ю) формулу, какъ и формулу Ньютона,
абсолютно справедливой и неизмѣнной при всѣхъ возмозк-
ныхъ въ природѣ уеловіяхъ, сдѣлали изъ нея слѣдую-
щій выводъ: принявъ массы тг и тй (въ форм. 427-й)
равными другъ другу (т.-е.= Л7), получили:
Чх)
ЛАЗ(0-. (429)
Откуда, зная, что функціональный соетавъ силы
і*1—^—j—, имѣемг:
, . , / 1 УѴ2 , / 1
М= tfF. L^-=y *■. --- ■ Л*----. 1 l-V*L . М . (430)
или, отбросивъ числовой коэффиціентъ, какъ величину
постоянную:
М= yrU . V\/~L (!!!) ("431J
На основаніи всего вышеизложеннаго читатель по-
нимаетъ уже, гдѣ здѣсь ошибка: исходная формула (429-я)
не была предварительно приведена къ изотезичности
путемъ внесенія въ нее комплекса \к\ непредусмотрѣн-
пыхъ факторовъ, о которомъ тогда не имѣли еще яснаго-
представленія, а потому эта формула, какъ необладав-
шая вполнѣ законченнымъ логическимъ смысломъ,
понятно, не могла служить и для логическихъ выводовъ ').
'} Действительно, если бъ мы приняли въ вен во ннаяашв частную
поправку Максвеля, то на осяовавіи такого же обращивія съ равея-
стнонъ {428}, определяли бы ту же пассу М сонсѣмі иначе:
Откуда ногдв бы вывести еще вовую систему аіѳктріческихь m маг-
ввтвнхъ едваинъ, настолько же неудобовравумнтелъиую, какъ в опв-
сннаемая теперь.

— 348 —
Въ результатѣ получилось равенство (431-е), которое
неловко даже прочесть вслухъ: „Масса равна корню
квадратному изъ самой себя, помноженному на какую то
скорость и на корень квадратный изъ какого-то линей-
наго протяженія\ Читатель видитъ, къ чему приводить
пренебрежете закономъ изотезичности физическихъ
формулъ.
Замѣнивъ этинъ направильнымъ значеніемъ каждую
массу М въ нашей таблицѣ I (начало книги), мы и при-
ходимъ къ разбираемой нами системѣ псевдо-электриче-
скихъ и псевдо-магнитныхъ единицъ.
IV.
Заключительная заяѣтка о псевдо-енстенахъ.
Въ какое недоумѣніе повергали такіе результаты
лучшихъ физиковъ и математиковъ, можно видѣть изъ
той же самой рѣчи Вильяма Томсона, которую мы уже
цитировали выше: „Если бы я вздумалъ сказать, что
вѣсъ этого куска мФла есть четвертая степень двадцати
миль въ часъ {см. пунктъ 7-й, табл. XIX, стр. 336), то вы
нашли бы, что мнѣ мѣсто не здѣсь (въ Институтѣ
гражданскихъ инлеенероеъ), а тамъ, гдѣ лъчатъ людей,
потерявшихъ свой разеудокъ... А между тѣмъ (приба-
вляеть онъ въ заключеніе) это было бы совершенно
здравомысленно".
Бросая ретроспективный взглядъ на все изложенное
нами, невольно изумляешься, какимъ образомъ никому
изъ такихъ замѣчательныхъ нослѣфарадеевскихъ ана-
литиковъ, какъ Максвель, Гельмголыгь и самъ Вильямъ
Томсонъ, не приходило въ голову, что всѣ эти
головокружительные выводы основаны на уже устарѣвшемъ
недосмотрѣ въ исходныхъ формулахъ Ньютона и Кулона,
имѣющихъ приложеніе лишь къ одному изъ безконеч-
наго числа случаевъ, возможныхъ и существующихъ въ
природѣ. Но дѣло въ томъ, что физическія науки за-

— 349 —
ключаютъ въ себъ такъ много отдѣльныхъ предиетовъ
для изслъдованія, изученія и размышления, что нѣкото-
,рые, частные вопросы иногда подолгу не обращаютъ
на себя спеціальнаго вниманія, особенно, когда они
облечены въ чисто математическую форму. Что
казалось всего] удивительнее, • и чту всего болѣе должно
было смущать изслѣдо вате лей, заглядывавшихъ иногда
въ этоть темный уголокъ, — такъ это то, что всв,
только что разобранные нами, уродливые дериваты изъ
замечательной системы абсолютныхъ единицъ Гаусса
оказывались совершенно пригодными для провѣрки физи-
ческихъ формулъ! Невольно казалось, что орудіе провѣрки
не ножегь быть само по себѣ лишеннымъ полнаго логи-
ческаго смысла. А между тънъ это именно такъ и есть!
Каждая, правильно составленная, абсолютная система
функціональныхъ составовъ съ тремя основными
факторами (каковы приведенный нами въ таблицѣ XVII, стр. 321)
имѣетъ то характерное (хотя и вполне понятное для
того, кто вдумывался въ сущность дѣла) свойство, что,
если вы систематически проведете черезт. всѣ ея члены
какой-либо софиаыъ или простую ошибку, то и тотъ и
другая, при провѣркѣ какихъ угодно физическихъ
формулъ, путенъ ихъ приведенія къ скмволамъ этой
системы, попадутъ одинаково въ обѣ части формулы и
приведу тъ такимъ образомъ самое многочленное равенство
къ тому же самому, хотя бы и нелѣпому, виду тожества!
Именно для доказательства этого факта мы и придумали
нашу псевдо-теллурическую систему табл. ХѴПІ, стр. 330)
и провѣрили посредством!, нея правильность равенства
(416-го).
Для того, чтобы сдѣлать то же самое посредствомъ
другихъ псевдо-системъ, возьмемъ, напримѣръ, типиче-
екій случай, приводимый во многихъ учебникахъ, какъ
доказательство пользы только что разобранной Клаузіу-
совой системы псевдо-электричеекихъ единицъ. Одинъ
и тотъ же факторъ—работу Ег электрическихъ.силъ—
мжоно представить въ виде ряда функдій отъ другихъ

— 350 —
факторовъ, напримѣръ, „силы" тока г, электроемкости с,
сопротивленія г. потенціала р, заряда q и времени t.
Вотъ четыре такія функціи:
I. 1!- Ш. ІГ.
Е, = is.r.t = р.іЛ ^ p.q = р2,е ■ (432)
По какой бы систеігБ—абсолютно-справедлив ой, или
софистической — мы ни представили функциональные
составы этихъ факторовъ, иы всегда получинъ изъ
каждого члена одно и то же алгебраическое выраженіе,
символизирующее по данной системѣ работу Е„ чѣмъ и
докажемъ, что всѣ четыре функціи этого многочленнаго
равенства составлены правильно. Употребивъ, напри-
мѣръ, "псевдо - астрономическую систему (табл. XXI,
колонка 2-я, стр.501), получинъ изъкаждаго члена V*L.
p.q = pt.c
II II
(rs.7*L) (F>.L)
!i II
Мы видимъ, что каждый членъ далъ V*L, и что это
выраженіе является хотя и ошибочнынъ въ своей основѣ,
но все же символоиъ работы въ своей псевдо -
системѣ.
Но, очевидно, что ни на что другое, кроиѣ нехани-
ческой провѣрки формулъ, такія, сокращенный за нре-
дѣлы раціональнаго смысла, системы не годны, какъ и
наша теллурическая, которую мы нарочно подобрали,
въ виду ея бросающейся въ глаза наивности.
Е, =
¥(,гг.() = ¥(р.іл) =
™. ¥г-т-т) G""r)
F»L
I!

ПРИЛОЖЕНІЯ

ПРИЛ0ЖЕН1Е I.
(Къ стр. 278-й).
О чиеловыхъ коэффиціентахъ въ наншхъ формулахъ.
Читатель, внимательно слѣдившій за нашимъ изложе-
віемъ, могъ уже убѣдиться, что всв числовые коэффициенты
вашихъ функціональныхъ соетавовъ Гнапримѣръ, для ча-
1 V L
стоты повтореній: TJ----£--=-, для времени: Т~2-у,
для силы: "-J— и т. д.) являются не чѣнъ инымъ, какъ
систенатическинъ проведевіеігь черезъ всю абсолютную
M-L-V-спстежу Гельмгольцева козффиціента ори функціо-
нальномъ составѣ энергіи E—-Z-MV*. Только при та-
конъ обобщении множитель -„- и имѣетъ право на суще-
ствованіе и нолучаетъ даже вполне обоснованный до-
водъ въ пользу своего присутствія: частота повтореній V,
очевидно, должна опредѣляться возвращеніемъ
колеблющегося тѣльца въ исходную точку, т.-е. удвоеннынъ пу-
тенъ, прямымъ и обратньшъ.
Это ясно видно изъ сяѣдующихъ простыхъ сообра-
жешй.
Энергію —МѴ* (и тожественную съ нею по фуншцо-
вальному составу работу) мы можемъ авалитически
опредѣлять несколькими способами:
OSUB DWTi ШЯЛТШШ. ™

354 —
1} Энергія (работа) прямо пропорциональна дѣйствую-
щей силѣ F и пути L, пройденному точкой ея прило-
женія:
Л
2) Сама же сила F прямо пропорциональна движимой
ею массѣ М и сообщаемому ей ускоренію G, т.-е. F= MG,
такъ что, внеся это выраженіе въ предыдущее, получа-
емъ еще;
3) Само же ускореніе G можно опредѣлить, какъ
величину, прямо пропорциональную возникшей скорости V
и обратно нропоршональную времени Т, въ продолженіе
г- У
котораго она возникла, О- = iw> такъ что, внеся это въ
, предыдущее равенство, имѣекъ еще:
^■MV* = M-fL
Такъ какъ первыя части всѣхъ этихъ трехъ равенствъ
равны, то пишемъ прямо:
Но всѣ четыре члена этого равенства обращаются въ
тожество лишь пока мы прининаемъ функціональные
составы:
Для силы: Ъ =-£?-
у?.
Для ускоренія: Сг - = •„,->-
Для времени: Т=^-
Подетавивъ эти величины въ соотвѣтетвующіе члены
предыдущего равенства„мы получаемъ изъ каждаго одно

— 355 —
я то же выраженіе: ■*- №Ѵ*. Если же мы уничтожимъ
въ нихъ числовые коэффициенты, то должны будемъ
уничтожить коэффиціентъ у и въ выраженіи энергіи
-^ МѴ2, иначе первый членъ этого равенства будеть
вдвое менѣе остальныхъ. Следовательно, остается что-
нибудь одно: или выбросить Гельнгольцевъ
коэффиціентъ -g- и писать энергію по прежней Клаузіусовой
транскрипціи: Е — МѴ*, или, признавъ справедливость
Гельмгольцевой поправки, систематически ввести та-
кіе же коэффиціенты и въ выраженія для силы,
времени и т. д. Мы выбрали въ нашей книгѣ послѣдній вы-
ходъ изъ этой альтернативы.
Однако въ такомъ случав общепринятое выраженіе:
„путь L, пройденный тѣломъ, пряно пропорціоналенъ
времени Т и средней скорости V движенія даннаго
тѣла", приводитъ къ выраженію:
{или къ L = 2L,) т.-е. одинокій путь здѣчъ приравнялся
къ удвоенному. Это бываетъ всякій разъ, когда
поступательное движеніе мы приравниваемъ къ
колебательному или вибраціонному. Въ первой части равенства мы
янѣемъ въ такихъ случаяхъ характеристику перемѣще-
нія, т.-е. доступательнаго движенія, во второй
характеристику колебательнаго движенія. Понятно, что этотъ
способъ отличать одинъ родъ движеній отъ другого очень
цѣненъ для иачеетвеннаго анализа явленій природы..
Это введете коэффиціента 2 для выраженія всякаго
двусторонняя) пути — до возвращение въ
первоначальную точісу,—прямо вытекаетъ изъ того, что время Т
(форм. 86) и обратный ему факторъ частоту U повторе-
23*

— 356 —
ніЯ (форм. 91) мы условились считать по колебательнынъ
двшкеніямъ маятника или волны, заключающихъ въ себѣ
всегда прямой и обратный путь, до возвращенія въ точку
исхода.
Точно такъ же и относительно скорости V. Если бъ
мы захотѣли выразить ея зависимость отъ пути и
временя, то пришлось бы написать: ~Ѵ=-\ 1 т.-е. „ско-
рость У тѣла пряно пропорціональна пройденному имъ
пути L и обратно пропорциональна половинѣ времени Т,
въ которое данное тело прошло бы этотъ путь взадъ и
впередъ до возвращенія въ первоначальную точку".
Это же самое желаніе сохранить числовой множи-
тель | при функціональномъ составѣ энергіи вызвало
у насъ необходимость опредѣлять упругость, какъ
двустороннее равновѣсіе сжатаго или растянутаго тѣла, и
изнѣрять ея величину не посредствомъ односторонняго
груза, какъ это дѣлаютъ теперь при нахожденіи
модулей Юнга, а посредствомъ динамического эквивалента,
т.-е. двухъ грузовъ, растягиваюшихъ стержень за два
конца сразу, какъ это объяснено въ главѣ V, § VII.
Большая раціовальность этой точки зрѣнія,
сравнительно съ обычной, достаточно обнаружена нами въ
соотвѣтетвующемъ мѣстѣ текста, а также и далѣе при
рѣшеніи задачи относительно скорости распространенія
упругихъ деформацій въ зависимости отъ упругости и
плотности подвергающейся имъ среды (гл. VIII, § ѴШ).
Точно такъ же нельзя не усумниться и въ удачности
современныхъ опредѣленій гонотектическихъ факторовъ
и самаго „угла". Всякій уголъ образуется скрещивані-
емъ двухъ врямыхъ лиши, а слѣдовательно, является
безусловно нераздельной вугловой парой" (фиг. 74),
состоящей изъ двухъ абсолютно равныхъ частей (или
лопастей), служащихъ какъ бы зеркальнымъ отраженіенъ
другъ друга. Эта двойниковая пара есть простой враща-

— 357 —
тельный сдвиге, первоначальна™ стереометрическая
направление Въ согласін съ этимъ находится целый рядъ
уже общепринятыхъ геонетрическихъ представленій.
Никто изъ насъ не скажетъ, напримѣръ, что гипербола
■состоитъ изъ одиночной вѣтви, а непременно изъ двухъ,
обращенныхъ въ противоположныя стороны. Во въ пре-
дѣлѣ сближенія своихъ вершинъ обѣ гиперболически!
Фиг. 74.
Фиг. 75.
вѣтви сливаются со своими ассинптотами, и тогда мы
получаемъ „угловую пару": два угла, соединенные
вершинами (фиг. 75).
Точно такъ же конусъ, какъ предѣлъ гиперболои-
довъ вращенія, обязательно долженъ характеризоваться
двумя стереометрическими углами, соединенными своими
вершинами. Въ кристаллографіи же
наоборотъ: соединение двухъ про- г
тивоположныгь по направленно
частей происходить основаніями и въ
результатѣ являются
кристаллографическая пирамиды.
Однако всъ- эти соображенія
могли бы быть оставлены въ сто-
ронѣ, если бъ не слѣдующее
аналитическое несоотвѣтствіе, къ
которому приводить обычное
„одностороннее*1 представленіе объ углѣ.
Возьмемъ двугранный уголъ (фиг. 76),
характеризующиеся безконечно длинной осью вращенія ZZ. двухъ без-
граничныхъ плоскостей So и Sv Когда плоскость St
вройдетъ через* полную окружность и вторично сольется
съ плоскостью Sg, оставленной неподвижно, уголъ в»,
-описанный ею, охватитъ все пространство Вселенной и
Фнг. 76.

- 358 —
опредѣлится въ этомъ стереометрически максимальномъ
случаѣ такъ:
паднаи *W- = ^ = 2r. = 6,28318 ■ . .ркіно» ... (О
раиусъ г
Отмѣтивъ эту предельную величину, сдѣлаенъ
аналогичное опредѣленіе другинъ способомъ.
Представимъ себѣ безграничную коническую
поверхность Slt описанную на безгранично длинной оси ZZ
(фиг- 77). Эта поверхность заключаете, въ себѣ
стереометрический уголь ю перемѣнной величины, опредѣляе-
мый, какъ отношеніе отръзка сферической поверхности,
заключенной въконусѣ Slt къ квад-
% ■ рату ея радіуса. Если въ началѣ
t уголъ ю быль безконечно налъ,
коническая оболочка S, сливалась
\ съ осью ZZ. Затѣмъ, по яѣрѣ воз-
'* растанія угла в» она проходила че-
) резь положенія Л и В и въ пре-
Ч4 •/ | \ J дѣлѣ должна будетъ снова зам-
■С~Ц____^Л кнуться вокругъ нижняго конца
оси ZZ, когда описанный ею сте-
реометрическій уголъ охватить въ
* своей (сдѣдавшейся уже внѣшней)
Фиг. 77. полости все пространство
Вселенной. Этотъ геометрически
предельный уголъ определится такъ:
воівая поверхяоеть шара 4-zr*
ккиратъ ея рвліуса г3 " ~~
= 12,56637 егереоаетрнческнхъ радіановъ; (2)
Сравнивъ это выраженіе съ предыдущимъ, мы вй-
димъ, что стереометрически предѣльный уголь, охваты-
вающій все пространство Вселенной, получаетъ двѣ
совершенно различныхъ величины, въ зависимости отъ
того, какимъ методомъ мы его опредѣляемъ: въ одномъ
случаѣ 2к, въ другомъ 4х
Это несогласіе совершенно исчезло бы, если бъ мы'
разсматривали уголъ, какъ величину обязательно двои-

— 359 —
никовую (фиг. 4). Назовешь ея единицу діаметраномъ.
Очевидно, что изнѣряемая ею „двугранная угловая пара"
охватить все пространство Вселенной, когда каждый ко-
нецъ ея діаметра - вектора LL, пройдя полукружность,
снова сольется съ осью XX. Въ суммѣ и здѣсь будетъ
пройдена вся окружность 2яг, но относить ее придется
уже къ удвоенному радіусу (діаметру-вектору), такъ что
получим ъ:
окружность Si»1
оі предѣдт.ная -— . _ _ ,
діаметръ-вѳкторъ гг
= 3,14159... яі&метранонъ или радіапныхъ паръ
(31
Точно такъ же и относительно стереонетрическихъ угло-
выхъ паръ. Если таковая пара (фиг. 78) начнетъ
возрастать, начиная отъ нуля (когда
ограничивающія ее коническія а
оболочки плотно обернуты кру-
гомъ оси ZZ), то она пройдетъ,
по мѣрѣ расширенія полостей
у конусовъ черезъ всѣ
промежуточный положенія, напри-
мѣръ, А а В, послѣ чего оба
конуса развернутся въ
плоскости и сольются между собой
на экваторѣ фигуры. Въ этомъ
предвльномъ случаъ
стереометрическая угловая пара
пройдетъ черезъ полную сферу 4ет2,
но относить ее придется уже
къ квадрату діаметра-вектора,
такъ что найдемъ
£Л-
t^k
z>£
^\
\/dx^J
^щ$?
1
Фнг. 78.
которымъ
она описана,
подн. сфернч. ободочка
w предѣльпая = s—± ——
4ю*
квадрать діаметра-вектора (2г*)
= 3,14159... стереометрическнхъ діанетравовъ
Сравнивъ этотъ результатъ съ предыдущимъ, мы ви-
димъ, что оба способа дали теперь для предѣльнаго
стереометрическаго угла, заключающаго въ себъ все
пространство Вселенной, одну и ту же величину т..

— 360 —
Точно такъ же и съ фазовыми указателями стереоме-
трическихъ факторов-!, объясненныни въ главѣ IV". Вея-
кій разъ, когда намъ точно извѣстна фигура объема W
или поверхности S, входящей въ формулу, и ны видимъ,
что примѣеимость этой формулы нарушается, если мы
метаморфизируемъ данный объемъ W въ кубъ, а
поверхность S въ квадратъ, удобнѣе отмечать эти символы
спеціальными значками, указывающими ихъ фигуру:
площадь круга S0, треугольную грань #0, объемъ
цилиндра S„ и т. д. Возьмемъ, напримѣръ, геометрическую
теорему: „отношеніе площади круга къ квадрату его
радіуса есть величина, отвлеченная и равная числу
«, т.-е. 3,14159 е...
^■=3,14169 (4)
По обычнымъ функшональвымъ составамъ, считая
S„ = £* и r=L, имѣемъ
^ = 3,14159 (5)
равенство, опять требующее спеціальнаго объясненія,
если не хотимъ привести къ софизму 1 = 3,14159. Со-
всѣмъ не то, если мы при сереходѣ отъ 80 къ его
функциональному составу применъ во вниманіе и
характеризующей его коэффиціентъ фигурности, который
здѣсь и есть і:, и напишемъ: S0 = i:£* и rs = £a. Внеся
эти значенія въ исходную (4) формулу, мы и голучинъ
совершенно вѣрное выраженіе
*== 3,14159...
Конечно, вводя такіе числовые коэффиціенты, мы,
собственно говоря, уже удаляемся изъ области чистаго
„качественнаго физико-натематическаго анализа" и за-
хватываенъ также уголокъ количественнаго. Поэтому
все, на чемъ мы рѣшились бы настаивать, это лишь на

— 361 —
оставленіи въ качествен номъ физико-математическоиъ
анализе тѣхъ числовыхъ коэффиціентовъ, которые мы
въ него ввели въ этой книгѣ, потому что только тогда
можно будетъ удерживать въ немъ и важный коэффи-
ціентъ Гельмгольца при функцІоналъномъ соетавѣ энер-
гіи -j-MV2 и отличать вибраціоыныя колебательный дви-
женія отъ посту пательныхъ. Коэффнціенты же объемной
и поверхностной фигурностей слиткомъ рѣдко входятъ
въ основныя физическія формулы и притомъ легко
обнаруживаются и сами изъ нееоотвѣтствіЯ въ родѣ 5-го.
Но если читатель при чтеніи нашей книги не вынесъ
и этого убѣжденія (въ пользѣ писать энергію =-5-ЛЛ ^
и, соотвѣтственно съ этимъ, время Т=-^ и т. д.), то
онъ можетъ прямо отбрасывать всѣ числовые
коэффиціенты нашихъ формулъ и употреблять только ихъ
именованную часть. Самъ авторъ долгое время колебался,
прежде чѣмъ рѣшился сдѣлать это отступленіе отъ
обычной ореографіи, употребляемой теперь для провѣрки
формулъ путенъ ихъ приведенія къ символамъ M-L-T-ck-
стемы.
ПРИЛОЖЕНІЕ П.
(къ гл. ѴШ, §§ XII—ХЛ"1.
О необходимости дополиительныхъ опытовъ надъ тяго-
тѣніемъ на спеціально приспоеобленныхъ крутильныхъ
вѣсахъ Кулона-Кавендиша.
Читатель, отнесшійся внимательно къ нашему
анализу формулъ тяготѣнія, не могъ не замѣтить, что вве-
дееіе въ нее дополнительнаго множителя F* является
неизбѣжнымъ результатсмъ не только чисто математи-
ческихъ соображевій, но также и воззрѣшй самого

— 362 —
Ньютона1) на природу тяготѣнія, такъ долго
остававшихся забытыми. Правда, что и послѣ Ньютона вплоть
до настоящаго времени дѣлалиеь различными
математиками, физиками и астрономами попытки разрабатывать
вопросъ о причинахъ и механизмѣ тлготѣніи съ той же
самой точки зрѣнія-), но всѣ такія попытки возникали
совершенно независимо, наглядно свидетельствуя этимъ,
что, несмотря на торжество классицизма въ среднихъ
школахъ, почти ни у кого изъ ученыхъ XIX вѣка не
хватало энергіи прочесть въ латинскомъ подлинникѣ всѣ
работы такихъ великихъ мыслителей, какъ Ньютонъ.
При томъ же большинство этихъ попытокъ объяснить
природу тяготѣнія съ механической точки зрѣнія были
лишены математической обработки и оставляли необъ-
ясненными нѣкоторыя обстоятельства изучаемаго явле-
нія. Такова, напримѣръ (въ 186+ г.), попытка извѣстнаго
астронома Секки (Secchi), которую я цитирую изъ его
книги „Единство физичеекихъ" еилъ" по переводу Па-
вленкова (1873 г.), позволяя себѣ исправить занѣтками
въ скобкахъ, чрезвычайно тяжелый слогъ перевода.
Стараясь вывеети законы тяготѣнія _изъ вибраціонныхъ и
вращательыыхъ движеній атоновъ или молекулъ
физичеекихъ тѣлъ, заключенныхъ въ окружагощемъ ихъ эоир-
номъ океанѣ Вселенной, авторъ излагаетъ свои воззрѣ-
нія такимъ образомъ:
„Очевидно, что центръ (яі.-е. каждый тібріорующій
и вращающійея атомъ или молекула) даже въ томъ
случаѣ, если онъ одпнъ,—лишь бы онъ былъ возбужденъ
(т.-с. об.іадалъ) достаточно сильнымъ {вибраціоннымъ)
движеніемъ, можетъ привести въ колебаніе
неограниченную среду и измѣнить состоиніе ея плотности (« вмѣст»
съ тѣмъ, конечно, и упругости) такимъ образомъ, что-
она, сдѣлавшись наименьшею въ центрѣ, станетъ воз-
■) См. стр. 277 этой книги.
а) Глава ѴПІ, § ХІГ, его» клвгк.

— 363 —
растать по мѣрѣ приближенія къ окружностиJ). Напря-
женія (каждаго) удара (вѣриѣе: двигательное воздѣй-
етвіе, производимое даннымъ вибрирующимъ или
вращающимся угловатымъ тчьльцемъ на окружаюгцую его
упругую среду) осла&іяетея прямо пропорціонально-
массѣ {этой среды), приводимой въ колебаніе, а рас-
ширеніе {т.-е. последовательное увеличение сфериче-
скихъ поверхностей при волнообразной передачѣ со-
трясенія отъ слоя къ слою въ однородной и ничѣмь
не ограниченной упругой среди,) измѣняется обратно
пропорціонально квадрату разстоянІя (отъ центра) въ
силу того извѣстнаго закона, но которому масса (послѣ-
дуіощихъ) сферическихъ слоевъ (среды), приводимыхъ
въ движеніе, возрастаетъ согласно этому послѣднему
отношенію. Замѣтимъ, что для полученія такихъ
результатов^ совсѣмъ не требуется, чтобъ атомы (физтескихъ
ттлъ) были сферическими, такт, какъ теорія враще-
нія показываетъ, что наружная сторона (т.-е. контуръ}
взаимно ударяющихся тѣлъ не играетъ въ этихъ явле-
ніяхъ никакой роли; что здѣсь все зависитъ отъ распо-
ложенія ихъ главныхъ осей инерціи, и что, наконец1^
какова ни была бы форма тѣла, оиа всегда можетъ быть-
замѣнена правилышмъ эллипсоидоиъ, ибо уравненіе
осей инерціи приводится къ уравнение элипсоида. Бу-
деиъ же считать за доказанное,, что точка {т.-е. ато.чъ
тяготтьнія), находящаяся въ непрерывномъ (перемѣнно-
значномъ) движеніи развиваетъ вокругъ себя атмосферу
(втрнѣе: поле концентрпчесхихъ деформацШ и.ги
движений первоначальныхъ слоевъ) съ плотностью {и
упругостью), убывающей отъ окружности (т.-е. периферіи)
къ центру.
„Представимъ себѣ теперь, что возлѣ перваго центра
колебаній А (фиг. 79-я, взятая изъ книги Секки)
развивается другой центръ В, расположенный внутри сферы
>) Этап ке наглдитъ, мкъ мы влдѣжн въ глав* VIII (§§ ХВ—X\'f
моек кнвгн іержыасъ Ньютовъ, Гукъ, Максведь, Кеіышнъ (Тох^
согь) в др.

— 364 —
дѣйствія первого, ибо эта сфера, какъ мы уже говорили,
можетъ распространяться до беэконечности. Очевидно,
что количество матеріи, а слѣдовательно, и сопротивле-
ніе, встрѣчаемое частицей или атомомъ В (при его ви-
браціонныхь или, вообще говоря,
перемѣннозначныхъ двыженіяхъ)
перестанетъ въ этомъ случаѣ
быть одинаковьшъ со всѣхъ сто-
ронъ: оно будетъ больше съ
наружной стороны (т.-е. съ пери-
феріи поля), и меньше съ
внутренней, такъ что вдоль линіи,
соединяющей центры А и В, масса
(т.-е. плотность поля) а сопро-
тивленіе (вибраціямъ) оказываются наименьшими.
Поэтому колебаніе (т.-е. всякое движеніе или порывъ ей-
брирутцаго атома В) распространится на большее
пространство, когда В проиаводитъ толчекъ (о среду) въ
сторону А, чѣмъ когда онъ (этотъ толчокъ) совершается
въ противоположи онъ направлен іи. Отсюда (неизбежное)
перенѣщеніе В къ А, и такъ какъ эта большая
легкость движенія длится столько же, какъ и центральное
колебаніе (т.-е. существуешь до пиьхъ поръ, пока про-
долэкюютея колебангя атома А, а слѣдовательно, и
ея поле притяженія'), то оба центра будутъ
сближаться между собою до тѣхъ поръ, пока они не' при-
дутъ въ соприкосновение или, вѣрнѣе, пока одинъ изъ
нихъ не подѣйствуетъ прянымъ ударомъ на другой. Съ
этого момента начинается обратная реакція сначала
между атомами А и В ("т.-е. они на нѣкоторое разетоя-
ніе отекочатъ другъ отъ друга), а потомъ между ними
и окружающей средой, которая представляетъ съ этихъ
поръ центръ (т.-е. поле) дѣйствія вдвое большей силы,
і) Мы ввцимъ, что в Секки эдЬсь прніоднть къ вамючввіжі, что
воле притаяешя центра А хоіжво бить пропорционально ве о*нов его
safci, & и екоростаяъ е* внбрашонныхь djb нр&щатаіьныхъ двикеяій,
и что какъ только эти внбр&ніи исчезнуть, исчез иеть в тяготѣніе жассъ.

— 365
сравнительно съ прежней, что происходить отъ при-
чинъ, которыя будутъ разсмотрѣны нами далѣе (это
ясно и съ первого взгляда, такъ что мы не будемъ
переписывать доказательствъ, а просто продолжаемъ
выписку далѣе).
„Изъ этого анализа дѣлается яснымъ, что два атома
или двѣ частицы, колеблющіяся въ матеріальной
(упругой) средѣ, какъ мы уже сказали, стремятся сблизиться
между собой не вслѣдствіе своей внутренней силы (т.-е.
вѣчно присущаго имъ метафизического тяготѣнгя другъ
къ другу черезъ раздѣлякщее ихъ, даже и пустое
пространство), но по причинѣ ихъ неодинакового сопро-
тивленія (перемѣннозначному) движенію,
представляемому средой по различнымъ шшравленіямъ съ того мгно-
венія, какъ въ этой средѣ вмѣсто одного центра
(колебательного) дѣйствія явилось два. Веяная причина,
способная увеличить напряжете (этого нолебатедьнаго) движенія ло
необходимости должна танже измѣнить и дѣйствія (т.-е. силу)
этого видимаго (лучше сказать: кажущегося) притяженія 1).
„Если существуетъ большое число центровъ колеба-
нія (т.-е. если изелтдуемое тѣло содержишь въ себѣ
много колеблющихся молекулъ), то окончательная
равнодействующая зависитъ отъ ихъ количества, распре-
дѣленія и взаимныхъ разстояній и легко опредѣляется
посредствомъ обыкновенныхъ правилъ механики. Мате-
матикъ можетъ совсѣмъ не принимать въ расчетъ того
молекулярнаго механизма, который производить
сближение атомовъ и смотрѣть на это движеніе просто какъ
на начальный фактъ, совершающійся всегда по одному
и тому же закону, прилагая къ нему тѣ же аналитиче-
>) А такт, какъ температура должна увеличивать эти двнженгя,
то собствсМв» воле ирнтяжевія у каждое молекулы должно
возрастать при новышввія температуры, хотя набицщеиыё вѣсъ иебольшнхь
твлъ Олязъ земно! воверіносги, обусловливаемый1 исключительно соб-
ствевнымъ нолемъ зеивого тара, и ве изаѣвяется чувствительно отъ
оыаждевів или вагрѣв&нія этнхъ тѣлѵ

— 366 —
скІе методы, которые употребляются при дѣйствіи
притягательной силы.
„Представимъ себѣ теперь вѣсомую (т.-е.
обладающую большей плотностью и больтимъ молекулярнымъ
вгъсомъ, чѣмъ окружающая эѳирная среиа) матерію,
состоящую изъ центровъ движенія (т.-е. молекулъ), окру-
женныхъ со всѣхъ сторонъ средой. При такихъ обстоя-
тельствахъ каждый дентръ стремится приблизиться къ
другииъ и потому вездѣ, гдѣ только они находятся,
развивается настоящая притягательная сила. Это стре-
мленіе къ сближению есть результата изнѣнеаій, испы-
тываеныхъ плотностью (и упругостью) среды вокругъ
каждыхъ двухъ смежныхъ частицъ. Такимъ образомъ
мы получаемъ для притяженія теорію, сходную съ той,
которая была предложена нами (въ другомъ мѣстѣ книги)
для электрическихъ явленій.
„Если бы кто-нибудь, возражая ыанъ, сказалъ, что
по нашей теоріи (не только обычные атомы, по и)
каждый изъ атомовъ эѳира, долженъ составлять свои
особый центръ притяженія, то это было бы большимъ
заблуждениемъ: атомы, изъ которыхъ состоитъ эоиръ,
всѣ обладаютъ тожественно одинаковыми массам* и сно-
ростяи* движенія, а слѣдовательно.к'олебяиіе ихъ не мо-
жетъ развить расширения (т.-е. уменьшения плотности
среды) ни по какому опредѣленному направленію, такъ
какъ въ колеблющейся средѣ н-бтъ ни одного, иреобла-
дающаго по своей силѣ, центра дѣйствія. Но совершенно
обратное прошойдетъ тамъ, гдѣ атомы пріобрѣтаютъ
большую кассу или скорость движенія. Такого рода явле-
нія и представляютъ собою вѣсомыя частицы" ').
Мы яе продолжаемъ дальше нашей выписки изъ Секки,
такъ какъ иначе пришлось бы переписывать всю ату
главу его книги. Сказаннаго совершенно достаточно,
чтобы понять его идеи, совершенно сходный въ общихѣ
і) А. Сени: Еіяиство физически» сяхѵ Перевод* Ф. Павіежюв»,
1873 г., еір. 411—412.

— 367 —
чертахъ съ идеями Максвелл; Кельвина, Гуна и т. д., и съ
догадками самого Ньютона ]), которыхъ Ньютонъ не могъ
математически обработать и ввести в-ь свою знаменитую
формулу тяготѣнія только потому, что въ его время не
было еще никакихъ понятій объ упругой междузвѣзд-
ной средѣ.
Какъ видитъ читатель, по всѣмъ этимъ теоріямъ и
догадкамъ, скорости всякаго перемѣннозначнаго движенія
молекулъ у обычныхъ тѣлъ (будетъ ли это движеніе
вращательнымъ при угловатой формѣ молекулы, или
вибраціоннымъ, какъ у камертоновъ, или, въ болѣе
слабой формѣ, безпорядочно - мечущимся по всѣмъ напра-
вленіямъ, какъ у нагрѣтыхъ газовъ) должны вліять на
силу развиваемаго ими поля притяженія, наравнѣ съ
массами этихъ молекулъ, какъ это и повторяетъ Секки
два раза въ послъднихъ нѣсколькихъ строкахъ нашей
выписки. Значитъ, первоначальная формула тяготѣнія;
■**---ЭД-—^ обязательно должна быть пополнена и
преобразована такъ, чтобы въ ея комплексъ \к~\ непреду-
смотрѣнныхъ факторовъ, или въ „коэффиціенгь
пропорциональности", какъ его неудачно называютъ, вошли
двѣ функціи отъ перемѣннозначныхъ скоростей Ѵг и >'г,
принадлежащихъ молекуламъ массъ М1 и ~№г.
Ввести же эти функціи необходимо такъ, чтобы онѣ
не противорѣчили ни одному изъ наймодаемихъ въ при-
родѣ явленій и прежде всего тому ежедневно
наблюдаемому факту, что въ полѣ притяженія земного шара
(а съ нимъ и всѣхъ другихъ болыпихъ свѣтилъ) вѣсъ
сравнительно малыхъ тѣлъ, напримѣръ, гирь, не
изменяется чувствительно отъ ихъ собственной температуры
или вообще физическаго состоянія ихъ вещества. До
сихъ поръ трудно было примирить это последнее тре-
бованіе съ присутствіемъ въ формулѣ тяготѣиія
множителей, зависящихъ отъ скоростей I", и Уг, изъ кото-
1) Смотря выше, гл. УШ, § £11 ituneS кжягн.

— Ш —
рыхъ одинъ долженъ измѣнлться вмѣстѣ съ
температурой земного тара, а другой вмѣстѣ съ температурой
взвѣшиваемаго тѣла, а потому и теоріи, въ родѣ только
что цитированной вами, несмотря на всю ихъ
привлекательность для мыслящего человѣка, стремящагося
сознательно отнестись къ окружающимъ его физиче-
скимъ явленіямъ, не вызывали почти никакого
внимания, хотя за нихъ и высказывались многіе изъ вели-
чайшихъ физиковъ и математиковъ, начиная съ самого
Ньютона. Но теперь это недорааумѣніе совершенно
устраняется, послѣ того, какъ нашъ методъ качественнаго
анализа разложилъ первоначальную формулу Ньютона
(форм. 387, стр. 298) на два слагаемый и придалъ ей
такой видъ:
F0 = (F, + *,) - - -Ё[ • -г-2- +^ ~2
Здѣсь, какъ мы уже объясняли въ соотвѣтствующихъ
главахъ текста, і\ есть суммарная сила тяготѣнія между
двумя отдельными телами. Она слагается, въ примѣне-
ніи къ разбираемому нами теперь случаю, изъ силы J*,,
съ которой поле земного тяготѣнія гидростатически
сближаетъ съ землею взвѣшиваемое нами тѣло, и
силы Ps, съ которой поле взвѣшиваенаго нами тѣла,
сближаетъ съ нимъ земной шарь.
Первая сила Ft въ этой формулѣ выражается пер-
вымъ (I) членомъ послѣдней части формулы, гдѣ й, есть
„притягательная" (т.-е. полевызывающая) энергія
земного шара (вѣроятно, мѣняющаяся вмѣстѣ съ его
температурой, хотя надъ зтимъ и не могло быть сдѣлано
никакихъ наблюденій), 23 — средняя продольная
плотность нолекулъ нашей планеты, отъ которой аависитъ
характеръ молекулярныхъ впбращй, образуюшихъ поле
земного притяженія, М2 — масса взвѣтиваемаго нами
тѣла и г—разстояніе его отъ центра земного шара.
Вторая сила F2 (съ которой поле взвѣшиваемаго нами
тѣла сближаетъ съ нимъ весь земной шарь) выражается

— 369 —
вторымъ (П) членомъ послѣдней части формулы, гдѣ Е2
есть полевызывающая энергія взвѣшиваемаго нами тѣла
(которая при всѣхъ его температурахъ близка къ нулю
сравнительно съ полеобразующей анергіей земного шара),
J/j—масса земного шара, г—раэстояше его центра отъ
центра взвѣшиваемаго вами тѣла и 3, — средняя
продольная плотность молекулъ этого послѣдняго.
Очевидно, что въ первомъ (I) членѣ формулы поле-
образующая энергія Щ земного шара очень велика, а
потому и ускорительное воздѣйствіе этого поля на взвѣ-
шнваемую нами массу достаточно чувствительно; оно
достигаетъ въ среднемъ 981 --£-§-* Вовторомъ(ІІ)членѣ
совершенно наоборотъ: полеобразующая энергія Е2
взвѣшиваемаго нами тѣла сравнительно чрезвычайно
ничтожна а, слѣдовательно, и ускорительныя воздѣйствія
ея поля на массу земного шара (предполагаемаго падаю-
щнмъ на взвѣшиваехое нами тѣло) близки къ нулю, и
потому прямо могутъ быть выброшены иэъ расчета.
А таігь какъ вѣсъ тѣлъ есть не что иное, какъ про-
изведеніе массы даннаго тѣла на его усиврѳме (опредѣ-
ляемое въ данномъ случаѣ, канть мы видимъ,
исключительно полемъ земного шара), то очевидно, что при
нрактическонъ опредѣленіи вѣса доступныхъ нашему
опытному изслѣдованію тѣлъ, второй (И) членъ формулы
можетъ быть прямо выброшенъ изъ расчета, какъ не
содержаний совсѣмъ нерваго множителя Щ (въ формулѣ
нѣса МгО^\, т.-е. не содержащій массы взвѣшиваемаго
нами тѣла и не увеличивающій замѣтно его ускоритель-
наго сближевіл (7а съ центромъ земного шара- Значить,
получимъ въ результатѣ:
т.-е. вѣсъ .tf, небольшого тѣла на землѣ прямо пропор-
щоналенъ полеобразующей энергіи і\ земного шара (или,
вообще, любого большого свѣтила) и массѣ М2 (одной
Ошш клесп. вю 24

— 370 —
только массѣ!) взвѣшиваемаго нами тѣла, а затѣмъ этотъ
вѣеъ будетъ обратно пропорціоналенъ только квадрату
разстоянія г дан наго тѣла отъ центра земли и еще
своеобразному множителю 5,, выражающему, повидиаону,
среднюю продольную плотность молекулъ земного шара,
отъ которой зависать скорости и размахи ихъ вибрацій-
Таково же дѣйствіе планетъ на метеориты и солнца на
планеты- Во всѣхъ тѣхъ случаяхъ, когда собственное
поле одного изъ взаимно тяготѣющихъ тѣлъ ничтожно,
сравнительно съ полемъ другого, аналиаъ его движеній
по орбит'в съ достаточной точностью производится при
помощи одного елагаемаго общей формулы,—того, въ ко-
торомъ присутствуегь лишь одна масса даннаго тѣла.
Изъ всего сказаннаго нами видно, что теоретически
полученная нами (въ главѣ ѴШ посредствомъ нашего
метода качественнаго физико-математическаго анализа)
формула тяготѣшя, гдѣ въ каждомъ изъ двухъ слагае-
мыхъ второй части одна изъ ыаееъ Ньютона
альтернативно замѣнилась соотвѣтствующей ей полевызывающей
энергіей (въ 4)>yHK4ioHanbHbifl составь которой входятъ
какъ нассы, такъ и скорости), сразу окааалась въ пол нон ъ
согласіи и съ теоретическими представ л еніями Секки,
Томе она (лорда Кельвина), Максвелл, Гука н самого
Ньютона и со всѣми данными опыта и наблюденія, каігія
имѣются до сихъ поръ. Она сразу уничтожила ту
двойственность въ представленіяхъ, благодаря которой вели-
чайшіе ученые приходили, съ одной стороны, къ
неизбежной зависимости полей тяготѣнія отъ перекѣннозначныхъ
молекуляпныхъ скоростей у атомовъ физическихъ тѣлъ,
образуюшихь эти поля, а съ другой стороны,
употребляли въ своемъ математическомъ анализѣ старинную
л. х- М.М,
формулу г = —ij-s, въ которой эти скорости
совершенно не принимаются въ раечетъ для опредѣленія
силы F.
Такимъ образом^ несмотря на всѣ доводы разеудка,
трудно мирящагося съ воздѣйствіями другъ на друга

— 371 —
неподважныхъ ивертныхъ массъ, да еще черезгь пустое
пространство, приходилось съ этимъ вгариться до
времени и считать a priori поле прнтяженія свѣтилъ про-
Фиг. 80.
порціональнынъ только ихъ инертныиъ нассанъ, йа
что не им-ѣлось решительно никакихъ указаній со
стороны опыта или Ваблюденія '). Вогь эти-то опыты и
1 Замѣтяиъ, «то даже ишичесюе сродство атомовъ в то осжабѣ-
в&етъирн новвжевія тѳипѳрм-уры, жаль его вовдадк Дьюарѵ, Олшев-
скіЙ в др. Тѣкь болѣе его должно быть для тяготввія.
24»

— 372 —
необходимо произвести, конечно, не надъ свѣтилами,
постепеннаго остываніл которыхъ мы не имѣемъ
возможности наблюдать по его незначительности за исто-
рическіЙ періодъ, а надъ ихъ миніатюрными
подражаниями на крутильныхъ вѣсахъ Кавенднша. Теорія прямо
подсказываетъ, что если мы будемъ, поперемѣнно, то
охлаждать, то нагрѣвать болыпіе. полевызывающіе шары
В и Вѵ (фиг. 80), то вхъ притягательное дѣйствіе на
малые шары С и Cj будетъ то увеличиваться, то
уменьшаться. Если даже причина тяготѣнія завися гь отъ
какихъ-либо коле баш й иного рода, чѣмъ калорическія,
то калорическія сотрясенія косвенно могуть вліять и
на нихъ. Понятно, что при этомъ должны быть приняты
слѣдующія предосторожности:
1) Воздухъ долженъ быть выкачанъ изъ колпака РРг,
покрывающаго вѣсы, или, во всякомъ случаѣ, очень раз-
рѣженъ, чтобы не образовалъ замѣтныхъ теченій надъ
испытуемыми шарами при ихъ нагрѣваніи.
2) Крутильная проволока Л (фиг. 2) должна быть
защищена специальной, непроницаемой для тепловыхъ
лучей трубкой D съ такими же нѣсколькими діафраг-
мами К, L, М, для воспрепятствованія циркуляціи остат-
ковъ воздуха, чтобы температура этой проволоки А (или,
еще лучше, кварцевой нити Boys'a), а слѣдовательно, и
ея сопротивленіе крученью не измѣнялись во время
опыта.
3) Притягивающіе больтіе шары В и -В, должны
быть полые, чугунные, каше употребляли. С. Вгыш въ
1896—1897 гг., такъ чтобы посредствомъ спеціальнагѳ
насоса ихъ можно было альтернативно наполнять
(посредствомъ особыхъ трубокъ подъ основаніемъ прибора),
то охлажденной до О» С, то нагрѣтой до 273° С. ртутью.
Если поле .тяготѣнія, при измѣненіи физическихъ усло-
вій тѣла, эависитъ только отъ величины темнературныхъ
колебаній его молекулъ, то при этомъ окажется, что
сила притяженія больщихъ шаровъ (В и Д) будетъ
альтернативно возрастать и убывать вдвое (конечно, за

— 373 —
вычетомъ собственнаго дѣйствія малыхъ шаровъ С и Сг,
которые должны быть сначала зеркально отполированы,
а затѣнъ, при провѣрочномъ опытЬ, покрыты налетомъ
сажи, чтобы исключить вліяніе непосредственнаго
отталкивательнаго дѣйствія свѣтовыхъ волнъ, установ-
леннаго Лебедевымъ)- Если же поле тяготѣнія зави-
ситъ не отъ однихъ температурныхъ колебаній тѣлъ,
то альтер и ативныя возрастанія и убыванія силы
притяженія окажутся соотвѣтственно меньшими, чѣмъ
вдвое.
Вообще говоря, почти всякіе крутильные вѣсы,
особенно С. Braun'a, какъ они описаны въ Denkscurift <].
inath.-natunrissentsch.Classeder Wiener Acad. 1896—1897 гг.,
были бы совершенно годны для предварительныхъ опы-
товъ безъ всякихъ дальнѣйшихъ приспособление, кромѣ
нагрѣвательнаго прибора для ртути да чехла для защиты
крутильной нити отъ нагрѣванія. Но при точныхъ измѣ-
реніяхъ должны быть спеціально приняты иѣры, чтобы
понѣшаіъ нагрѣванію боковыхъ стѣнокъ покрывающаго
снарядъ колпака, а также и отраженію отъ нихъ тепло-
выхъ лучей внутрь снаряда, чтобы не исказить ятимъ
притягательныхъ полей у іпаровъ В а 21,. Лучше всего
были бы толстыя стеклянный стѣнки, по крайней мѣрѣ,
съ боковъ колпака.
Недавніе опыты Лебедева надъ отталкивательными
дѣйствіями лучистой анергіи, оправдавшіе предсказанія
Максвеля, придаютъ, въ настоящее время, такимъ из-
слѣдованіямъ величайшій интересъ даже и независимо
отъ предлагаемыхъ нами форнулъ и теоріи тяготѣнія.
Результаты этихъ опытовъ не только не находятся въ
противорѣчіи съ нашими взглядами, но прямо вытекаютъ
изъ нихъ. Приборъ Лебедева, по существу своему, пред-
ставляетъ оригинальное и болѣе приспособленное для
численныхъ опредѣленій видоизігБненІе извѣстныхъ
свѣтовыхъ мельиидъ Крукса. И эти послѣднія, при доста-
точномъ напрлжениі свѣтового пучка, съ исключеніемъ
изъ него всѣхъ тепловыхъ колебаній, станутъ, конечно,

— 374 —
вращаться въ „должномъ" направлении. Тогда мы полу-
чимъ слѣдующую картину явленіл. Стремленіе каждаго
крыла къ центру лучистаго поля, являющееся резуль-
татомъ убыванія плотности и упругости эеира но на-
правленію къ этому центру, уравновѣсится въ подобной,
усовершенствованной по способу Лебедева, мельниц*
такимъ же стремленіемъ противояоложнаго крыла, а
потому и вращеніе всей системы крыльевъ покажетъ
въ даиномъ случаѣ не гидростатическую силу поля,
называемую тяготѣніемъ, а нѣчто совсѣмъ другое: какъ
разъ ел причину. Вращающее давленіе лучистой энер-
гіи здѣсь какъ разъ равно тому, съ которымъ каждый
концентрическій слой лучистаго поля давить на слѣдую-
щій за нимъ н этимъ вызываете, въ окружающей средѣ
область уменьшающихся къ центру плотностей и упру-
гостей, результатомъ чего и является стремленіе тѣлъ
(въ данномъ случаѣ всей системы крыльевъ) къ центру
этой области. Дѣйствительно, свѣтовыя волны,
отражаясь отъ зеркальной поверхности еоотвѣтствующаго
крыла мельницы, какъ бы отбрасываютъ лучистое
давленіе назадъі и, благодаря этому, такая поверхность
подвергается удвоенному давленію (сравнительно съ давле-
ніемъ предыдущего слоя эоирной среды на слѣдующій
въ этонъ мѣств поля). Но половина вращающего воз-
дѣйствія этой отталкивающей силы нейтрализуется да-
вленіемъ лучей на зачерненную поверхность противопо-
ложнаго крыла мельницы, стремящагося вращать
присборь въ противоположную сторону. Въ результатѣ всего
этого вращающая сила при той же поверхности
крыльевъ должна возрастать здѣсь прямо нронорціонально
притягивающей силѣ *) даннаго лучистаго поля, разсна-
триваемаго какъ поле тяготѣнія, центромъ котораго
служить вибраціонная энергія нолекулъ вольтовой дуги,
гдѣ количественная ничтожность свѣтящихся массъ
!) Т.-е. градіенту убывовія упрутоетвИ и ыотяоетеи аеіра яо иѣрѣ
двмжеяін отъ яеряферія в» цеитру вщчевів. -

— 375 —
вознаграждается ихъ необыкновенно большими
скоростями. Интересно, что при прохожденіи пучка посто-
рониихъ лучей черезъ такое поле ихъ скорость распро-
страненія Ѵд не измѣпяется, такъ какъ уиеньшеніе
плотности I) отъ периферіи къ центру сопровождается
здѣсь пропорціональнымъ уменыпешемъ его упругости Н.
Слѣдовательно, Уц остается постояннынъ, какъ это и
показываетъ наблюдете въ соотвътствіи съ извѣстной
формулой Т0 =} -р-уу, гдѣ -J'r- есть постоянный для
данной среды коэффиціентъ, зависяіцій отъ числа ато-
ліовъ въ ея молекулѣ.
На сколько большой интересъ представляетъ
опытное подтвержденіе или опроверженіе нашихъ выводобъ
о тяготѣніи, елужатъ хотя бы вопросы, поставленные на
очередь нѣсколько лѣтъ тому назадъ S- Jfeumer, про-
фессоромъ геологіи при Парижскомъ музеѣ, въ его нэ-
слѣдованіяхъ, понѣщенныхъ въ CompttiS-rendus de ГАса-
domie des sciences въ 80-хъ и 90-хъ годахъ и резюмирован-
ныхъ затъмъ въ его „Сравнительной геологіи еебесныхъ
тѣлъ" *). Путель обширныхъ изслѣдованій метеоритовъ
{особенно каменистыхъ) этотъ известный ученый дока-
залъ съ поразительной наглядностью, что они предета-
вляютъ изъ себя ничто иное, какъ обломки горныхъ
породъ какихъ-то растрескавшихся на куски планетъ,
геологическія условія которыхъ были аналогичны съ
земными.
Я не имѣю возможности переписывать здѣсь всей
второй части его книги (ч. П. Палеонтология небесныхъ
свѣтилъ), но пусть читатель прочтетъ хоть главу о
стратиграфическихъ отношеаіяхъ метеоритовъ, и онъ
самъ увидитъ, что факты, невидимому, не оставляютъ въ
этомъ никакого сомнѣнія. Среди каменистыхъ
метеоритовъ есть и типическія брекчіи и метаморфическая но-
') Русскій перевдга 1896 г, яздавн. „Научіыиъ Обвзрѣвіеяъ".

— 376 —
роды, нерѣдко съ жильными образованиями, сбросами,
сдвигами и т. д., какіе могли произойти только на
значительные планетахъ, гдѣ возможны болынія давленІя
породъ, и существтетъ нормальная геологическая
деятельность.
Мысль, что планеты въ поелѣднюю эпоху своего суще-
ствовапія, когда температура ихъ приближается къ
абсолютному нулю, могутъ растрескаться на куски отъ не-
равномѣрнаго сжатія и превратиться въ простыя кучи
крупныхъ и мелкихъ облонковъ, не предетавляетъ
ничего необыкновеннаго. Всякій, кому случалось
путешествовать по Альпамъ, видалъ, кань цѣлые склоны горъ
обращаются иногда въ груды щебня отъ дѣйствія влаги
и тенпературныхъ колебаній. Но какимъ образомъ такіе
обломки могли бы разсѣиваться въ небесномъ
пространстве?—Менье доказываетъ, что старинная гипотеза Оль-
берса о взрывѣ планеты между Марсомъ и Юпитеромъ
не имѣеть въ свою защиту никакихъ основаній, и что
всѣ факты, обнаруженные нмъ при изученіи метеори-
товъ, говорятъ скорѣе за то, что каждое свѣтило, при
своемъ постепеннонъ охлаждепіи, совершенно естествен-
вымъ путемъ растрескивается на куски и превращается
въ рой метеоритовъ, подобно тому, какъ комета—въ рой
падающихъ звѣздъ, по той единственной причинѣ, что
между такими обломками постепенно теряется или сильно
ослабѣваетъ сила притяженія, и они разбрасываются,
наконецъ, въ пространство центробѣжной силой велѣд-
ствіе вращенія свѣтила. Потомъ эти обломки, рано или
поздно, входятъ въ круговоротъ жизни другихъ свѣтилъ,
упавъ на которыя вновь пріобрѣтаютъ и температуру и
собственное поле тяготѣнія...
До тѣхъ поръ, пока мы принимаемъ, что взаимное
тяготѣніе есть неотъемлемое свойство самихъ ыаесъ, эта
гипотеза Менье не заслуживаетъ даже и обсужденія,
несмотря на кажущуюся убѣдительность его доводовъ и
на действительно установленные факты постепенней»
разсѣянія вометъ на потоки падающихъ звѣздъ. Совсѣмъ

— 377 —
Другое, когда мы допустишь, какъ это далъ намъ
качественный анализъ формулы Ньютона, что тяготѣніе за-
виеитъ кромѣ массъ свѣтилъ еще и отъ ихъ молекуляр-
ныхъ перемѣннозначныхъ скоростей. Тогда при абсо-
лютномъ нулѣ температуры, когда такія скорости равны
нулю, исчезнетъ у даннаго свѣтила и собственное поле
притяженія, и оно обратится въ груду инертныхъ массъ,
подчиняюшихея лишь постороннимъ вліяніямъ и притя-
женіямъ. Тогда и слова Менье въ заключительной главѣ
его книги: „подобно тому какъ смерть и разложеніе со-
ставляютъ необходимую принадлежность физіологіи жи-
выхъ существъ, такъ и превращеніе свътилъ, достигшихъ
конечнаго предѣла эволюціи въ обломки, должно быть
свойствомъ космической физіологш", — перестаютъ
быть простой поэтической метафорой. Прибавимъ еще,
что и анализъ движенія мелкихъ частичекъ, соста-
вляющихъ кольца Сатурна, приводить къ тому, что
каждое кольцо можетъ долгое время сохранять свою
правильную формулу, не сгущаясь въ отдѣльныхъ
спутниковъ и ■ не раз свиваясь въ сплошную
атмосферу частицъ, носящихся по всѣмъ направленіянъ
вокругь Сатурна лишь до тѣхъ поръ, пока каждая
такая частица и вся ихъ совокупность въ кольпахъ
предполагается ч инертной массой, лишенной собствен-
наго поля тяготѣнія, но подвергающаяся притяжевію
самого Сатурна.
Всѣ эти космологическія замѣчанія мы приводинъ
здѣсъ исключительно въ надеждѣ заинтересовать этимъ
вопросомъ лицъ, имѣющихъ въ своехъ распоряженіи
вѣсы Кавендима, поетредствомъ которыхъ единственно
возможно провѣрить справедливость полученныхъ нами
форму ль тяготѣнія.
Говоря о своемъ періодичеекомъ закант, т.-е.
зависимости свойствъ элементарныхъ.тѣлъ оть ихъ атомнаго
вѣса, Менделѣевъ выразился такъ: „Законы природы
исключеній не терііятъ... Утвержденіе закона возможно
только при помощи вывода изъ него слѣдетвій, безъ него

— 378 —
невозможныхъ и неожидаемыхъ, и оправданія этихъ слѣд-
стбіё въ опытной провѣркъ... Надобно что-либо одно:- -
или считать періодическій законъ вѣрнымъ до конца и
составляющимъ новое орудіе химическихъ знаній или
его отвергнуть. Признавая путь опыта единственнымъ
кврнывгь, я санъ провѣрялъ, что могъ и даль въ руки
всѣмъ воаножность провѣрять или отвергать... Безъ
такого способа испытаыія не можетъ утвердиться -ни одинъ
законъ природы"*)• Это же умѣстно сказать и въ на-
стоящемъ случае. Полная формула тяготѣнія,
приводящая эту силу природы къ обычнымъ механическинъ ня-
чалаиъ, выведена нами теоретически (гл. VIII, § XIII)
по чисто математическимъ соображеніямъ. До сихъ поръ
она иягветъ всѣ права на существованіе, потому что она
согласна съ основными воззрѣніями величайшихъ
мыслителей и иатеиатиковъ, начиная съ Ньютона а соотвѣт-
ствуетъ всѣмъ фактамъ установленнымъ до настоящаго
времени наблюденіемъ и опытомъ (гл. VIII, § XII и § XV)
и предсказываетъ рядъ новыхъ неожиданныхъ фактов"?,
которые, невидимому, возможно провѣрить на вѣсахъ
Кулона-Навендима. Если опыгь оправдаетъ нашу теорію,
она, конечно, будетъ принята разъ и навсегда, если же
нѣтъ—загадка природы попрежнему останется
загадкой до тѣхъ поръ, пока мы не разъяснимъ, какого же
рода тѣ вибраціонные скорости, на необходимость кото-
рыхъ указываетъ намъ качественный анализъ формулы
ІІыотона?
>) Д. Мевдаіѣетъ: Основы Хвкіи. 7 взд. 1903 г. Вывеска 13-я ва
стр. 46э.

_ 379 —
ПРИМъЧАНІЕ III.
{къ глацѣ VIII, § XII, стр. 399,Ь).
О вѣроятныхъ физическихъ свойствахъ меягдузвѣздной
среды.
„Съ какими трудностями намъ пи
приалоі ь бы сталкиваться вт. навнхъ
попыткахъ выработать состоятельное
представление о строенія эепра, но ие-
сомнѣвно, что межпланетное н меяяу-
звѣзівое пространства не пусты, а
заняты матѳріальноіі субстаншен".
С. Ыахісеіі.
Еще лѣтъ пятнадцать тому назадъ, когда мвѣ въ
первый разъ случилось говорить о гидростатической теорІи
тяготения, мнѣ было высказано однимъ, вполнѣ
компетентны мъ и математически образеванныыъ лицомъ,
возражение, что, если бы въ поляхъ тяготѣнія свѣтилъ плотность
среды действительно убывала отъ периферіи поля къ
центру, то всякій посторонній пучокъ свѣтовыхъ лучей
преломлялся бы, проходя мимо любого свѣтила даже на
значительномъ отъ него разстояніи. Такое возражевіе
могло быть, конечно, только результатомъ явнаго
недосмотра со стороны возражавшего.
Законъ измѣненія скорости Ѵ^ распространенія вся-
кихъ волнообразныхъ движеній въ безграничной средѣ
установленъ еще Ныотономъ и въ настоящее время
выражается формулой:
Q
гдв Н—упругость среды, D—ея плотность, а ^ —по-
стоянный для всякой данной среды числовой козффи-
ціенть, зависящей отъ числа атомовъ въ ея молекулѣ.
Отсюда ясно, что скорость Ѵ0 останется безъ перемѣны
до гѣхъ поръ, пока всякое уменьшение плотности D

— 380 —
среды сопровождается пропорці она льны мъ уменынені-
емъ ея упругости Я, какъ это и должно быть, если
космическая среда есть газъ очень близкій къ
идеальному.
Такимъ обраэомъ фантъ отсутствія прелонлевія не
только не противорѣчитъ нашей гидростатической теоріи
тяготѣнія, но даетъ возможность установить и
физическое состояние междузвѣздной среды.
Настало, иаконецъ, время изгнать изъ междузвѣздныхъ
пространствъ тотъ уродливый призракъ, который
поселился въ нигь съ начала XIX вѣка и, послѣ небогатой
фазами эволюціи, принялъ, наконецъ, видъ твердого,
сту&необразнаго вещества'), заполняющего все
пространство вселенной, но способного, не теряя своей
твердости, приходить въ вихревыя движенія въ любой своей
области и не оказывающего движущимся въ немъ тѣламъ
никакого сопротивления г). Еще со временъ Френеля
этогь церберъ, рправдывавігай свое присутствіе тѣмъ,
что „поперечныя" свѣтоьыя колебанія наблюдались до
сихъ поръ только въ твердой средѣ (да и здѣсь внутри
тѣлъ ихъ никогда еще не наблюдали безъ продольныхъ)
и отталкивалъ собою всякаго, кто пытался изслѣдовать
тайны тяготѣнія и другихъ основныхъ явленій природы.
Но въ послѣдніе годы реальная наука нанесла ему, по-
видимому, очень тяжелый ударь, показавъ, что нѣкоторыя
свѣтовыя явленія, считавшіяся до сихъ поръ исключи-
') См., нанр.,В.Томсонъ;СтроеиіеМатерів, стр. 229 русск. нереводъ
Вейнберга подъ ред. Боргмана, 1Ѳ9эг. Сравнсвіе эѳяра съ подутекучтгь
„варомъ", употребленное далѣс Тонсопомъ, неоравнепно удачпѣе, но
тоже заставлкетъ желать лучшего. Въ самое нослѣднее время, 19 января
1903 г., В. Тонсопъ {Lord Kelvin) на аасѣданін Королевскаго Общества
въ Эдинбургв наіохплъ свои повыя нден оъ „аепрѣ" в „электровахъ",
но, эти новыя нден нисколько не упрощвютъ заиутаннаго вопроса о
строввін междуэвѣзднои' среды. Подлинные докладъ лорда Кельвина еще
не быль напсчатапъ. когда я дѣіалъ это прнмвчаніе.
}) О причинахъ ничтожности сопротнвленія эфира, см. ною книгу;
„Законы сопротнвлеіія упругой1 средьГ двнхущнмся твдашъ .
Петербурга. 1908. Паі. Біологпч. лабооатонін Лссгафта.

— 381 —
тельными аттрибутами твердыхъ тѣль, могугь ясно
наблюдаться также и при тот. раздѣльно-молекулярномъ
состоянш, которое характер и зуетъ жидкости и газы.
Я говорю объопытахъ Махлѵеіі'я (1866 г.), Mach'a (1872),
Kundt'a (1881), Де-Метца (1886—1902), НШ'я (1899) и дру-
гихъ надъ „вреліеннымъ двойнимъ лучепреломленіемъ",
обнаруживающимся въ жидкостяхъ, подвергаемымъ одно-
стороннему сдавливанію движущимися въ нихъ
лопатками, или сдвиганію другъ съ друга ихъ параллельныхъ
слоевъ вращающимися въ нихъ цилиндрами. Къ этому же
циклу опытовъ, невидимому, слѣдуетъ присоединить, какъ
дѣпаетъ Де-Метцъ1) и временное двойное лучепреломле-
ніе ьъ жндкостяхъ, деформируемыхъ поперечными
электрическими разрядами и лучами Гертца, какъ это уста-
новилъ Кргг въ 1875 г., а также, можетъ-Сыть, и не-
давніе изслѣдованія Lehmann'a (1890—1902 г.),
установившее возможность постояншго (т.-с. неограниченная
временемъ) существованія жидкихъ кристалловъ (пара-
азокси-фенетолъ, пара-азокеи-анизолъ, бензойный эеиръ
холестеринъ и др.), гдѣ двойное лучепреломленіе,
считавшееся прежде исключительной принадлежностью лишь
твердыхъ, анизотронныхъ кристаллическихъ тѣлъ, мо-
жеп. наблюдаться во всякое время.
Каково бы ни было окончательное объясненіе по-
слѣдняго непредвидѣннаго открытія, но факгъ налицо
и останется навсегда. Всѣ перечисленные нами опыты
и изслѣдованія, начиная съ Максвелл и кончая Де-Мет-
цомъ, удостовѣрили, что свободна-текучія тльла способны
подвергаться одноетороннимъ сокатіямъ, тоячкамъ и-
растяоюеніямъ, не давая моментально еоотвѣтетвующихъ
слагаю щихъ по всвмъ остальныиъ направленіямъ. Но
изъ этого- основного положенія слѣдуетъ, что не только
твердыя тѣла, но также жидкости и газы, способны какъ
къ продольнынъ, такъ и къ поперечнымъ волненіямъ,
если ихъ волны будутъ чередоваться настолько быстро,
") Журв. Pjo. Фяз.-Хин. Общ. XXXIV. ч. Фи., еір. 547 (1902 г.).

— 382 —
что производимыя ими одностороннія сжатія и растяже-
нія уже не будутъ успѣвать перейти также и на другая
направленія. Значить, приписывать междузвѣздной средѣ
явно неподходящія къ ней свойства абсолютно твердаго
тѣла на основаніи одной поляризаціи проносящихся по
ней волнъ н-ѣтъ никакихъ основаніи, тѣмъ болѣе, что
самый фактъ поляризаціи лучей допускаетъ и другія
рѣшешя помимо поперечныхъ колебаній.
„Эти (лучистыя) явленія, — говоритъ Максвель въ
своей статьѣ Aether въ „Encyklopaedia Britannica",—можно
резюмировать въ формѣ математическаго выраженія
и—А ■ Cos(nt — рх-{-а) (')
...„Что же касается до природы самого процесса
(соотввтетвующаго этой формула), то это можетъ быть
перемѣщеніе {вгадъ и впередъ) или вращенІе, или
электрическое возмущеніе, или какое угодно физическое
количество, способное принимать и положительныя и
отрицательный значенія. Какова бы ни была его
природа, но если оно можетъ быть выражено уравненіемъ
этой формы, то процессь, происходящей въ нашей
неподвижной точкѣ {на разетояніи х отъ центра),
называется колебаніемъ"... „Если рассматривать различны»
') Гіѣ и есть функція косинуса, А — ся амплитуда и выраженіе-
(іі(—рѵК+а), отъ которого зависиіъ каждое отдѣльнос вначевіе и
называется фазціі даинаго псріодическаго возмущенія. Въ вен I ость время
ваблвденія, х—разстоявіе иѣста наблюдеиія отъ центра возмущевія, а
постоянные коэффвдіеиты пир определяются на оенованіи того, что
» „ 3s
— равно скорости распространены данныхъ возмущевія, время
р и
перша, въ который каждое нзъ нихъ вавершаетъ свой цпкхь, и
разстоявіе между соответствующими точками двухъ послѣіоватсль-
ныхъ во.шущенШ, такъ называемая „ілнна волны". Что же касается до
постоянной прибавки в, то въ простѣЁшемъ случаѣ она = 0. Эта нах-
ная основная форяу.ш волновыіъ пертурбацін вполв* иаотевичва въ
обѣшсь чавтяхъ. Она будетъ приведена къ вашей транскрипцін и
подробно разобрана но реальному смыслу каждаго члена въ „Ученіи ѳ
волнообразны іъ иертурбапіяп.".

— 383 —
части среды, когда въ нихъ последовательно проходить
тотъ же самый процессъ, то еловомъ „волнообразный"
мы обозначаешь характеръ этого процесса, безъ всякаго
ограниченія его физической природы"...
Переходя затѣмъ къ природѣ свѣтовыхъ лучей Маке-
вель продолжаетъ: „Френель предполагала что это есть
(прямое и возвратное) перемѣщеніе среды,
перпендикулярное къ плоскоети поляризаціи (какъ она
определяется Нико.іевыми призмами или турмалиновыми
пністинкамп). Макъ-Куллохъ и НеЯманъ предполагали,
что ото — перенѣщеніе въ самой „плоскости
поляризаціи"... „Но этотъ процессъ можетъ быть и электро-
магнитнымъ, а такъ какъ въ этомъ случаѣ электрическое
перемѣщеніе и магнитное возмущеніе перпендикулярны
другъ къ другу, то можно предположить, что любое нзъ
нихъ совершается въ плоскости поляризаціи.
„Теорія волненій,—продолжаетъ онъ еще далѣе, въ
формѣ разсматривающей явленія свѣта какъ движенія
„упруго твердаго тѣла",—до сихъ поръ борется съ раз-
личнаго рода трудностями.
„Первая и самая важная нзъ нихъ та, что теорія
указываетъ возможность {даже полную необходимость)
колебаній нормалъныхъ къ поверхности волны {т.-е.
продольныхъ, какъ у звука). Единственное средство
объяснить себѣ фактъ, что оптическія явлеіия, которыя
могли бы возникнуть благодаря этимъ волнамъ не мо-
гутъ имѣть мѣста,—это допустить, что эфиръ несжима-
емъ ічерезъ нѣсколько строкъ далѣе мы увидимъ, что
это, мало совмѣетимое съ упругостью эфира, свойство
теперь не можетъ устранить возможности
продольныхъ колебаній въ эфирѣ, такъ какъ ихъ дѣйствительное
существование экспериментально доказано Лебедевымъ
и является теперь установленинмъ фактомъ)".
„Вторая трудность, это трудность ответить на во-
просъ, почему явленія отраженія лучше объясняются
гипотезой, что колебанія перпендикулярны къ плоскости
поляризаціи, между тѣмъ какъ явленія двойного пре-

— 3S4 —
ломленія требуютъ отъ еасъ допущения, что колебанія
совершаются въ этой плоскости.
„Третья трудность заключается въ толь, что для
объясненія факта, что въ дву прелом ля ющихъ криетал-
лахъ скорость лучей во всякой данной плоскости (если
она поляризована въ этой плоскости) одинакова, мы
должны допустить нѣкоторыя въ высшей степени
искусственный соотношения между коэффициентами упругости".
„Электро - магнитная теорія свѣта удовлетворяетъ
всѣмъ этимъ требованіямъ единственно при гипотезѣ,
что электрическія смъщенія перпендикулярны къ
плоскости поляризаціи. Ннкакихъ нормалышхъ (т.-е- по
линги распространены луча) смѣщеній существовать
не ыожетъ и допускается, что въ двупреломляющихъ
кристаллахъ удельная діэлектрическая емкость для
каждой главной оси равна квадрату показателя прело-
мленія луча, перпендикулярна™ къ этой оси и поляри-
зованнаго въ плоскости, тоже перпендикулярной къ
этой оси" 1).
Кронѣ того, какъ это не разъ было показано
многими, теорія поперечныхъ колебаній не даетъ никакигъ
средствъ объяснить лежаіцій въ основаніи всей спектро-
скопіи фактъ свѣторазеѣянія при преломленіи свѣта.
Не желая запутывать этой краткой замѣтки
формулами и сложными соображениями, который желающіе
могутъ найти въ спеіцальныхъ курсахъ по оптикѣ, я
нарочно привелъ главнѣйшія противорѣчія со времен-
ныхъ теорій излученія, основанныхъ на гипотезѣ попе*
речныхъ колебаній, вь простомъ и ясномъ изложены
такого великаго авторитета въ этой области, какъ Макс-
вель. Въ дополненіе къ этому приведу отъ себя лишь
слѣдуюіщя два пункта
Первый пунктъ таковъ. Недавніе опыты Лебедева
установили, что свѣтовые лучи оказываютъ давлеше на
пластинку, поставленную къ нимъ нормально, какъ это
ij О. „Статья ж рѣв Д. К. Машем", вереи. Мараіуевз-

— 385 —
вычислить еще Максвель (хотя и не укаэалъ послѣдетвій
этого дѣйствія лучистой энергіи, какъ несовяѣстимаго
съ гипотезой поперечныхъ колебаній). Но
несовместимость этого факта съ гипотезой Френеля, признающей
въ свѣтѣ исключительно поперечныя колебанІя,
очевидна. Пусть, напринѣръ, инѣемъ волну АВ (фиг. 81),
гдѣ колебанія послѣдовательныхъ молекулъ (или точекъ)
среды совершаются лишь въ направленіяхъ стрвлокъ и
обратно. Отражаясь отъ пластинки CD, такая волна, оче-
-*-н.
,Л-
ffH^
Фиг. 81.
видно, не будетъ въ состояніи ее оттолкнуть по
направленно, указанному стрѣлкой EF, а будетъ рази* только
раскачивать ее но направленно CD и обратно1), потому
что действительный количества молекулярного
движения (элементарные силовые импульсы шѵ — гдѣ ш масса
молекулы эфира, а ѵ—средняя скорость ея колебаній)
ивѣются въ поперечно волнующейся средѣ только по
этимъ направленіянъ, какъ и указано рядами стрѣлокъ
на нашемъ рисункѣ. Распространеніе же луча отъ А
до пластинки и обратно до В есть только кажущееся
движеніе, не содержащее въ себѣ никакого силового
I) Чтобы отдѣіять надавмціЗ лучъ А отъ отражевнаго В, мы были
орнвуждевы начертить нхъ ве совсвиъ вервендякуіярныші fc къ піа-
стннкі CD, какъ это виѣетъ мѣсго въ нервыі момевгь въ опытахъ
Лебедева. Но смысжь нашнхъ разсужденШ вволвѣ яеѳвъ, ж читатеіь
всегда мохегъ мысзевво црнвѳстн оба луча вашего чертежа еь верпеп-
дикуляру относительно шастания CD.
Освовш дачегтн. швлява. 2.)

- 386 -
импульса mv, а потону не способное дать никакого
толчка пластинкѣ CD по направленію EF. Другими
словами: разъ энергія эфирной среды въ данномъ
объемѣ признается способной работать (какъ здѣсь),
только въ поперечномъ направленіи безъ продольныхъ
слагаемыхъ, то она не будетъ въ состояніи сообщать
движенія тѣламъ въ этомъ продольыонъ направленіи
хотя бы плотность ея и уменьшалась къ переферіи поля.
Съ перваго взгляда ясно, что въ этомъ направленіи не
йудртъ никакихъ толчковъ.
^.^...^....ф-.ф.-ф...^ ...ф.- $..-$.. $ я,
Фиг. 82.
Но эти толчки теперь экспериментально
установлены Лебедевынъ, а потому и прцсутетвіе въ лучахъ
эфира продольныхъ колебаній есть фактъ, который
останется въ наукѣ до тѣхъ поръ, пока она cyuifi-
ствуетъ. Поперечный же колебанія, которые должны бы
давать пластинкамъ боковые толчки, ногутъ быть
установлены экспериментально только въ томъ случаѣ, если
окажется, что пучокъ параллельныхъ лучей А^В^ и А^В%
(фиг. 82), идя вдоль продольно поставленной по отноіпе-
нію къ нему пластинки СЮ, одна сторона которой
зеркальна, а другая закопчена, тоже заставляетъ ее
двигаться въ сторону закопченной поверхности, въ которой
увязаютъ реальныя количества движенія, принадлежа-
щія молекуламъ поперечно волнующейся среды. Но на
успѣхъ такого опыта, повидимому, a priori нѣтъ
никакой надежды въ виду факта, у казан на го въ едѣдующнхъ
строкахъ.
Второй пунктъ нашихъ возражений противъ гипотезы
Френкеля заключается въ томъ, что при пояеречныхъ
колебаніяхъ свѣта физически невозможно существование

— 387 —
тѣни за непрозрачными предметами. Въ самонъ дѣлѣ:
если молекулы эфира двигаются перпендикулярно къ
распространению луча, то какимъ образомъ пучокъ
лучей АВ, проходя черезъ отверстіе экрана CD (фиг. 83),
передаетъ дапѣе только свое фактивное перемѣщеніе по
срединному ряду молекулъ нашей схемы, тогда какъ
реальные (содержание силовые импульсы) толчки этихъ
молекулъ по ограничивающие^ ихъ съ обѣихъ сторонъ
йзковымъ рядамъ такихъ же молекулъ остаются безъ
исякаго отклика съ ихъ стороны? Существованіе же
-S А £ -4 -$Щ° °" ■ °" °
:f-i І І Щ° °" ° -°
Фиг. 83.
этихъ толчковъ неизбѣжно, такъ какъ безъ нихъ
молекулы средняго ряда даже не могли бы переменить
своего движенія на обратное. Представить свѣтоносную
ч;реду каиимъ угодно твердынъ, упругимъ, етуднеобраз-
нымъ веществомъ, и все-таки явленія тѣни за экраномъ
при поперечныхъ колебаыіяхъ остаются физически
невозможными, тогда какъ при продольныхъ колебаыіяхъ нхъ
довольно легко было бы объяснить скольженіенъ сре-
диннаго слоя молекулъ (фиг. 8+) между двумя сосѣдними.
Такое обстоятельство находилось бы, сверхъ того, въ
поляомъ согласіи съ тѣмъ цикломъ опытовъ надъ „вре-
неннымъ двойнымъ лучепреломленіемъ жидкостей",
благодаря которому теперь совершенно установленъ фактъ,
что быстрыя двустороннія давленія въ жидкостяхъ (а
слѣдовательно, и вообще текучихъ тѣлахъ) не даіртъ
моментально боковыхъ слагаюіцихъ, такъ что если
продольный сжатія и растяженія слѣдуютъ другь за дру-
25*

- 388 —
гомъ достаточно быстро, то загибаніе концовъ волнъ въ
сторону тѣни будетъ незначительно1).
Намъ кажется, что эти два наши возраженія, при-
бавленныя къ противорѣчіямъ, только что перечислен-
нымъ Максвелемъ, а также и сама абсурдность считать,
междузвѣздную среду за твердое тѣло, достаточно дока-
зываютъ, что свѣтовыя колебанія всенаполняющаго
эфира продольны, какъ и звуковыя въ воздухѣ, и что
явленія поляризаціи волнъ должны быть объясняемы
другими причинами, напримѣръ, электрическими или
Фиг. 84.
магнитными явленіями, развивающимися въ поясахъ сгу-
щенія и разрѣженія волнующихся срединъ, возможными,
по всей вѣроятности, не только въ свѣтовыхъ или
электрическихъ, но дане и въ звуковыхъ поляхъ въ
атмосферѣ2). і
') Время релакгѵцНі, или разслаблеяія упругий, оіносторонннхъ
сдвнговъ на — -ую долиі(гд.ѣ е есть осиояаиіе шатуральныгь логарнвноЕъ),
т.-е. на 0,3675 первоначального напряжения, оказалось;
Для жндкаго коллодія О,0006б-я доля сек.
я п '/уироцантиаго раствора
глицерина въ вадѣ ." . 0,0374 в »
Обстоятельные обзоръ всего, что здѣладо по этоиу предмету, читатель
можетъ нантя въ интересной статьѣ де~Метца въ Журн. Русск. Фиэ.-
Хик. общества, часть фнзич., т. XXXIV (1902 г.), стр. 647.
*) Некоторые иэъ соврвыенвыхъ ученыіъ отвосять гипотезу попе-
речныхъ колвбавіі ухе въ область исторія. Таяъ, напрнмѣръ,
профессора Копевтагевскаго университета Хрнсгіаисевъ въ своихъ „Основах*.

— 389 —
Для того, чтобы понять нашу мысль и убѣдиться,
какъ удобно фактъ продольныхъ колебаній эфира
связывается съ электромагнитной теоріей Максвеля, обратииъ
вниманіе на слѣдующее обстоятельство.
Молекулы газовъ находятся въ постоянномъ движе-
ніи, измѣняя при каждою, столкновеніи свои направле-
нія и скорости согласно со знаменитой въ исторіи
кинетической теоріи газовъ распредѣлительной формулой
Максвелл,
(4,482) •'■'
смыслъ которой уже объясненъ вшпе (на стр. 207). Это
движеніе газовыхъ молекулъ кажется для насъ съ
первого взгляда хаотическимъ, но если мы приномнимъ, что
давленія газа въ спокойномъ состояніи пропорціональны
его плотностянъ и распространяются одинаково по
всѣмъ направленіямъ, то мы убедимся, что все молекулы
газа будутъ неханическимъ образомъ располагаться такъ,
чтобы во -всемъ занимаемомъ имъ пространствѣ нигдѣ
не было ни особыхъ сгущешй ни особыхъ разрѣженій.
Всѣ онѣ будутъ стремиться быть на максимальныхъ раз-
стояніяхъ другъ отъ друга, и разстоянія эти, въ свою
очередь, будутъ стремиться стать равномерными по всѣмъ
направлен! ямъ.
теоретической физики" (серев. Егорова, поіъ редакп. Геэехуса, 1897 г.,
стр. 353) говорить: „Позже будеть показана невозможность разсматрв-
вать евѣтъ, какъ колебаніе упругой среда иначе, какъ при допувденін,
что среда есть твердое тѣло, а потому необходимо искать двупигь путемъ
объяененія явлешй въ учевіи о евѣтѣ. При етремлевмхъ вовѣВшаго
времени въ этомт. направленін особенно вамѣтныЙ успѣіъ наъетъ элев-
тро-нагнитная корія евѣта".
Нэъ русскнжъ въіхапщнхся фнаиковъ, Хводьеоиъ, вполнѣ признавая,
что нэложавіе лучистой энергін помимо электромагнита ой теоріи .дялто
си»« того пути, по жтщюму пойОутъ учебники -^уЗущаго" (Хволь-
совъ: Курсь физики, т. 2 (1898 г.), стр. 120), врнзнал-ь въ настоящее
время для учебника „6ojle раиіопальнымъ" излагать этотъ отдѣлъ
„оставляя пока въ сторовѣ вояросъ о электровагнитномъ характерѣ
«вѣтовоЗ энергін" (idem).

- 390 -
Уже одно это обстоятельство должно вызывать въ
газѣ естественную подвижную оріентировку лолекулъ,
несмотря на кажущуюся хаотичность ихъ метаній. Если
мы мысленно раздвлимъ занимаемое газомъ пространство
на достаточно налыя, даваеньш теоріей, кубическія ячейки
равной величины, то въ каждой изъ нихъ застанемъ въ
среднемъ одну мечущуюся молекулу, и всякая другая,
влетѣвшая въ этотъ объемъ, вытолкнетъ ее въ свой, или
произведетъ цѣлый круговоротъ выталкиваній, иначе
плотность газа перестала бы быть равномѣрной. А такъ
какъ всѣ молекулы въ газѣ равноцѣнны, т.-е. обезпечи-
ваютъ себѣ тотъ же объемъ метаній, то аамѣна одной
молекулы другой не инѣетъ для насъ ровно никакого
значенія. Мы имѣемъ полное право не замѣчать этого и
принимать, что въ каждой мысленной ячейкѣ мечется безъ
конца одна и та же молекула. Такъ мы и будемъ
поступать, называя эту обезличенную массочку „молекулой"
(въ кавычкахъ). Тотъ рѣдкій случай, когда въ данномъ
объемѣ не будетъ ни одной молекулы, будетъ
уравновешиваться такими, когда въ нее попадутъ двѣ или три,
въ первомъ случаѣ наша „молекула" какъ бы
самоуничтожилась, а во второмъ какъ бы временно
расчленилась на части. Такое устраненіе нами ..молекулярной
индивидуальности" даетъ возможность не слѣдить за
всѣми послѣдующими движеніями молекулъ газа, уно-
сящихъ вмветѣ съ собою и сферу своихъ метаній. Оно
позволяетъ намъ неваріаціонно замѣнить реальный физи-
ческій индивидуумъ равноцѣнной ему обезличенной
единичкой, никогда не выходящей за предѣлы назначеннаго
для нея объема, что чрезвычайно упрощаетъ картину
явленія и позволяетъ ея анализъ, не нарушая его
математической строгости. Когда мы смотримъ на струю
фонтана, какое намъ дѣло, что молекулы воды въ ней
постоянно нѣняются? Когда мы наблюдаеяъ постъ
часового, какое намъ дѣло до того, стоить ли тамъ цѣлый
день одинъ и тотъ же часовой, или замѣняется другимъ
черезъ каждые полчаса?

— 391 —
Однако требованіе, чтобы плотность была равномерна
«о всѣмъ направленіямъ, заставляетъ насъ, крожѣ того,
какъ бы растянуть реальную массу „молекулы" на весь
предназначенный для нея объемъ, т.-е. какъ бы
превратить всю изслѣдуеиую среду въ упругое сплошное тѣло,
отличающееся отъ реально - сплошного лишь тѣмъ, что
оно способно свободно разступаться для пропуска дру-
гихъ тѣлъ и замыкаться за ними, какъ бы скользя по
ихъ поверхностями.
Необходимость такого воображаемаго распространенія
массы нашей „молекулы" вытекаетъ изъ того, что гео-
метрія не даетъ намъ такого пространственна го расио*
ложенія точечныхъ (или близкихъ по величине къ точ-
камъ) массъ, при которомъ ихъ ряды были бы одинаково
•тѣспы по всевозможнымъ направленіямъ.
Если, какъ это мы сейчасъ предположили, все
пространство будетъ разделено на кубическія ячейки и въ
центрѣ каждой предположимъ „молекулу", то разстоянія
сосвднихъ молекулъ по осямъ куба будутъ мен-fee, чѣмъ
но діагоналямъ, и еще менѣе, чѣмъ по промежуточные
направленіямъ. Аналогичная вещь обнаружится и при
раздѣленіи пространства на тетраэдрическія ячейки, а
другихъ разсѣченій на равныя и подобны» другъ другу
ячейки безъ промежутковъ мы уже не имѣемъ. Значить,
независимость плотностей среды отъ направление можетъ
быть достигнута только кинетическимъ путемъ по фор-
мулѣ Максвеля, а со статической точки зрѣнія это сооткѣт-
ствуетъ воображаемому равномѣрпому распространенію
массы „молекулы" на весь предназначенный ей объемъ
съ сохнаненіемъ первоначальнаго упругаго „давленія",
нроизводнмаго реальной мечущейся вмолекулой" на
стѣнки заключающей ея клѣтки.
Итакъ, предположимъ, что мы инѣемъ дѣло со средой,
въ которой ^молекула" (обезличенная) мечется всегда
въ предназначенномъ ей объемѣ, или, если хотите, какъ
бы распространила свою „массу" на весь этотъ объемъ
(см. фиг. 85, представляющую вертикальное сѣченіе

— 392 —
системы ортогонально расположенных! молекулярныхъ
объемовъ кубической формы).
Пока въ газѣ нътъ никакихъ пертурбацій, эта
кубическая форма объемовъ какъ бы сохраняется неопре-
дѣленное время, я среднія разстоянія центровъ каждой
мысленной ячейки одинаковы по всѣмъ тремъ ортогональ-
ньгаъ координатамъ. Если же по газу пробѣгаютъ волны,
то вмѣстѣ съ ними допущенная нами кубическая форма
естественныхъ „молекулярныхъ объемовъ", а слѣдова-
фнг. 85.
тельно, и равенство среднихъ разетояній ихнихъ
центровъ нарушатся. Въ поясахъ волновыхъ сгущенні ати
разстоянія будугъ меньше по направленію движенія
волны, чѣмъ въ поперечныхъ направленіяхъ (поясы Л
на фиг. 86), а въ поясахъ разрѣженія (В) наоборотъ.
Въ боковыхъ же направленіяхъ разстоянія между
центрами „молекулярныхъ объемовъ" будутъ всегда неиз-
мѣыны, такъ какъ тѣснота размѣщенія молекулъ по пер-
пендикулярамъ къ распространенно волны неизбѣжно
должна оставаться та же самая, иначе рядовая послѣ-
довательность волны превратилась бы въ безпорядочныя
мѣстныя уплотненія и разрѣженія или въ чередованіе
ушіотненій и разрѣженій въ шахматномъ порядкѣ по
всвмъ тремъ осямъ координатъ.
Но можетъ ли такое неустойчивое распредѣленіе
среднихъ разетояній у „молекулярныхъ объемовъ"
оставаться безъ всякаго вліянія на свойства волнующейся
среды въ ея поперечныхъ направленіяхъ? Конечно, нѣть.
Вѣдь „молекулы" мечутся и въдеформированныхъ гобъ-

— 393 —
емахъ" тоже во все стороны, и ихъ движенія дають
слагающія по всѣмъ тремъ осянъ, такъ что стѣсненія
въ движеніяхъ по одной оси будугь способствовать уве-
личеыію числа ударовъ не только по ней, но и по пер-
пендикулярнымъ "направленіямъ, соответственно закону
передачи давленій въ идеальномъ газѣ по всѣмъ напра-
вленіянъ.
Фиг. 86.
Такая всесторонняя игра упругихъ силъ произведетъ
въ продольноиъ направленіи смъну сгущеній и разрѣ-
женій среды, а въ боковыхъ направленіяхъ только
„порывы", т.-е. увеличенія и уменьшенія числа „молекуляр-
ныхъ" ударовъ безъ механическихъ передвиженій среды.
Но могутъ ли эти порывы, тоже подчиняющееся
вышеприведенной косинусоидальной функціи
и = А. Cos (nt — р,с -|- а),
какъ и электро-нагни твыя колебанія Максвелл и Гертца
оставаться безъ всякою слѣда на евойствахъ газовой"
среды въ поперечныхъ направленіяхъ? Это совсѣиъ не-
вѣроятно, такъ какъ въ природѣ ничто не проходить
безслѣдно. Если данное усиліе не производить никакого
уже извѣстнаго намъ механическаго эффекта, то оно",
несомнѣнно, отзывается какимъ-нибудь другинъ, еще не
изслѣдованныиъ нами эффектомъ. Такъ и въ разсматри-
ваеыомъ случаѣ, гдѣ волнуюнцйся газъ въ поясахь сгу-
юенія сплющивается съ двухъ сторонъ, какъ твердое,

— 394 —
сплошное тѣло, а въ поясахъ разрѣженія растягивается
такимъ же образомъ двустороннимъ усиліемъ.
Математическая формула поперечныхт. воздѣйствій въ этихъ явле-
ніяхъ, какъ мы только что сказали, та же самая, какъ
для электрическихъ и магнитныхъ воЗмущеній, и оба
возмущенія тоже поперечны другъ къ другу и къ пути
волнъ. Почему бы не быть имъ тожественными?
Присутствіе рѣзнихъ тѣней при прохожденіи свѣто-
выхъ лучей мимо непрозрачныхъ предметовъ и менѣе
рѣзкихъ гЕней для звука при такихъ же обстоятель-
ствахъ 1) показываютъ, что въ обоихъ случаяхъ попе-
■) Большинство нзъ наеъ совершенно неправильно вриписынаетъ
звуку способность хорошо огибать препятетнія: почта во всѣхъ обыч-
ныхъ случаяхъ это оказывается результатом!, не огибанія, а многократ-
■ші отраженш звука отъ поверхностей1 окружающнхъ пасъ прндне-
товъ (и неровностей почвы на свободныхъ проетранствахъ). Предста-
вннъ себѣ, что всѣ твердыя н жндкія тѣла обладать абсолютно
зеркальными поверхностями. Тогда волны свѣта, нвсущіяея среди ннхъ но
какому-либо направлен:», отражались бы отъ каждого пзъ ннхъ
перекрестным!, способоыъ. фвнеиыя пространства одного мвѣщалиеь бы
отрвженіями другого, и мы почти не знали бы свѣтовой тѣви. Какъ
внутри трубки, изогнутой спирально и обладающей зеркальными
внутренними поверхностями, пучокъ лучен совершаетъ цѣлын рядъ оборо-
товъ и выходить еъ другого конца, такъ бываетъ и со эвуконъ, для
котораго всякая твердая поверхность зеркадьня. Но устройте трубки
сь рѣзкнмн нзгнбами подъ прямымъ углоыъ, такъ, чтобы звукъ или
свѣтъ падали пен квждомъ надломѣ на перпендинуляввую поверхность
и отбрасывались обратно, и вы убѣднтесь, что при нѣсколькнхъ такихъ
знгзагахъ череаъ ннхъ уже не проходить ни звукъ, ни евѣть. Изучать
звуковую тѣвь можно только на воздушномъ шарѣ или, по крайней
яѣрѣ, ва открытыхъ со всѣхъ сторовъ воэвыжсевіяхъ. Поставьте между
ухомъ и карманными чаеами книгу въ коынатѣ, в вамъ покажется, что
звукъ свободно огнбаеп. ее, а между тѣнъ до васъ доЮдятъ только
многократные отраавяія оть всѣхъ стѣнъ в on. самоё направленно! въ
уху новерхвости книги. Повторите этогъ опытъ на открытомъ мнстѣ
или на врыті дола и вы увидите (какъ это вспыталъ я не разъ), что
эта же ввнга двстъ тамъ прекрасную тѣіь. Чяканьѳ часовъ совершенно
перестаетъ доходить до уха. Веявій, живили въ большнхъ городахъ,
знаетъ, что во внутренннхъ глухнхъ дворахъ и саднкахъ, совершенно
отдѣленныхъ отъ улнцъ сплошными етѣналп даже не очень высокнхъ
здаяій, совсѣмъ не слышно оглужсительнаго шума м криковъ въ окру-

— 395 —
речные порывы въ поясахъ сгущенія и разрѣженія,
обратные по знаку, но все же не способные вполнѣ
уравновѣшивать другъ друга, встрѣчаютъ въ чемъ-то
значительное противодѣйствіе для своего кинетическаго
воздѣйствія на і"раницахъ тѣни въ боковыхъ направле-
ніяхъ, въ .противность тому, что мы замѣчаем-ь при
распространеніи истинно - поперечныхъ волнъ на по-
жающнхъ улицахъ иначе, квкъ въ форхѣ глухого гула экипажей,
донося щагося чрезъ землю- Здѣсь зданія даютъ ао чти одинаковую тѣпь
какъ для улвчныхъ фонарей, такъ и для улнчнихъ звуковъ. Точно
такъ же чрезъ окно, выходящее ва открытое пространство, совсѣмъ не
слышно спора н криковъ, вылвтающвхъ въ воздухъ изъ другого недале-
каго окна, находящегося чрезъ комнату (чтобы пе было резона пса
промежуточной стѣны), если между тѣмъ ноыБщевіенъ, въ которомъ шу-
мятъ, и тѣыъ, въ которомъ елушаюгь, нѣтъ сообщеніЁ черезъ коридоръ
съ его стѣпами, многократно отражающими звуковая волпы, и если въ
ночвѣ напротнвъ оконъ нѣгъ отражающих!, неровностей. Если же окна
сверхъ того сяотрятъ въ различима стороны, напримѣръ, одно на сб-
веръ, а другое на западъ подъ пряяымъ шли туиымъ) угломъ, то вы
не услышите въ сосѣдней коинатѣ даже ружейнаго выстрѣла иначе,
какъ носредствонъ резонанса общего вола, потолка и стѣнъ. Но если
противъ оконъ будетъ выстроена правильно отражающая стѣна, то все
прекрасно будить слышно. О такомъ же нучкообраанонъ распростране-
нін волнъ, выходящпхъ иэъ откерстій или отраженныхъ экранами, евв-
дѣтвльствуютъ и нзвѣстные опыты съ сосредоточеніемт. звукокыхъ волнъ
въ фокуеахъ вогнутыхъ эеркалъ нлн эвуконроэрачвыхъ чечевикъ.
Отсюда вндво, что разница въ з&гнбаніи свѣтовыхъ н звуковыхъ волвъ въ
сторону тѣпн — лишь количествениая. Кромі того, ве сіѣдустъ
забывать, что большинство окруаюющихъ насъ предиетовъ даетъ своё
особый рѳэовавсъ, т.-е. какъ бы „флуореснирують" но отношенію къ звуку.
Только толщина „эвуко - флуоресцирующих-ь" слоевъ, повиднкому, во
столько же разъ больше „свѣто-флуоаесинруюіпихъ", какъ звуковыя
волны больше свѣтовыхъ.Такииъ образомъ можво сказать, что не очень
толстая доски „звуко-флуоресинруютъ" пясквозь, т.-е. даетъ реэонавсь
во веѣ стороны. Во абоихъ случаяхъ тембръ волнеаш (т.-в. его спектръ)
мѣяяетсн въ зависимости отъ природы отяываВщися нреддетовъ. Во
всенъ, даже аъ ннтерфирендін волвъ, авукъ оказывается авалогиченъ
скѣту, только нолмрнзадіен' его, наекольм няѣ hbb4ctho, некто не яа-
нвшдса на прнчян* прелвватаго' идѣвія о том*, что въ неиъ нѣть нн-
какнхь вовор«чаих» нмпульсовъ. па вторичныгь явлеиін, евязавяыіъ
сь нродольвнян новЫавЫяил м- поникевіамн давленіЯ. Но основательно
ли ото вредноложевіе?

— 396 —
верхности жидкостей, нанриыѣръ, на ртути, гді вліяніе
боковыхъ давленій такъ сильно, что за преградой, че-
резъ отверстіе которой проходятъ ртутныя волненія, не
получается даже и намека на тѣнь.
Такъ какъ время релякеацш, т.-е. раз слаб летя пер-
воначальныхъ междумолекулярныхъ связей поелѣ малаго
упругаго перемѣщенія одного слоя молекулъ вдоль
другого и заиѣны ихъ новыми, у газовъ меньше, чѣмъ у
плотныхъ жидкостей, то, соотвѣтственно съ этимъ, у
нихъ должно быть меньше и время, необходимое для
того, чтобы односторонній толчокъ или давленіе могли
перенестись на новое направленіе или дать слагагощія
во всѣ стороны. Слѣдовательно, рѣзкая тѣнь,
объясняемая лишь ничтожностью стремленія срѣзанныхъ кон-
цовъ у свѣтовыхъ и даже звуковыхъ волнъ
распространяться въ сторону, не можетъ быть объяснена недостат-
комъ времени для передачи продольнаго сжатія въ по-
перечныхъ направленіяхъ. А потону сама собой является
въ голову идея, что періодическіе порывы боковыхъ
силъ уход ять не только на срѣзанныхъ конпахъ волнъ,
но и по всей ихъ площади на перемѣщеніе элементар-
ныхъ электрическихъ зарядовъ, которые можно
представлять, какъ это дѣлаютъ въ послѣднее время, или
въ видѣ особыхъ электроновъ или въ видѣ диссоціиро-
ванныхъ на отдѣльные атомы двуатомныхъ молекулъ
эфира или любымъ другимъ способомъ ').
і) Интересно, что въ плотной жидкости при двуатомпьи-ъ моле-
кулахъ, нмѣювдпхъ мпержневи'дную форму, полпевіе пеиябѣжно должно
давать импульсъ кг нхъвращеиію па осяхъ, перпепдикулярпыхъ къ рас-
пространен!» звуковыхъ волнъ. Въ поясахъ сгущенія Л (фиг. 87) такія
молекулы должны естественно ложиться попѳрекъ расоросгранеаія волны,
такъ какъ нхъ длнпа можетъ уже не умѣститься на сократившейся про-
дольномъ раастояніи. Но это еще не опредѣлнть направлен] я иіъ въ
перпендикулярной плоскости: оно можетъ быть совершенно случаёнымт.
при иервомъ прохвдѣ волны. Л въ поясахъ разрѣжеЫя В такія молекулы
естественно должны повертываться вдоль пути волвы. Для этого, какъ
видно по чертежу, инъ прядется' сдѣлатъ четверть оборота, такъ что
поворотъ на 45° ляжвтъ въ нейтральном* поясѣ С, гдѣ объемы нор-

— 397 —
Какое бы изъ этихъ объяснили ни было выбрано,—
все равно. Рѣзкость контуровъ „пучка" евѣтовыхъ лучей
и остальныхъ эфирныхъ колебаній будетъ совершенно
понятна, такъ какъ работа поперечныхъ силъ обратится
тогда въ игру двухъ взаимно борющихся силъ.
Невозможность объяснить поляризацію свѣта по
способу Френеля и невозможность признать междузвѣзд-
ную среду за твердое тѣло, поаволяютъ ожидать, что
когда-нибудь удастся поляризовать и звуковыя волны
въ атиосферѣ, и въ такомъ случаѣ это будетъ саиымъ
простымъ рѣшепіемъ всѣхъ затруднен ій.
назьпьг. На следующей полуволнѣ ухе само собой, по анерцін, про
издВдетъ сЛдѵющій поворота на 4-5" {см. пояеъ П), в молекула сана
ляжеть поперекь лнвіи распространенія, но въ обратномъ направлеиіи,
а полный оборотъ будетъ происходить черевъ двѣ водны. Отсюда видно,
что, получнвъ первоначальный нмпульсъ, молекула уже сана будетъ
вращаться ва случайной оси, лежащей въ плоскости, нормальной къ
jhhih распространения воіненіи.
Л
Л
Д-
г
с*
<Л
г
г
*
t
ѵ
%
ѵ
с
-*о..
•р
•о.
:г
j
•°
с
%
g
%
3.
ѵ
%
с
...Я*-
Q*-
...о* -
Ъ*
"о*
S
t
%
1
1
%
%
V
{
Фиг. 87.
II наоборотъ: воабуасденіе такого кругового дввженЫ молекулт.
доладаО' само вызывать волнообразное івнкѳніе среды. Прекративъ одно,
мы прекратнмъ и другое, а сдѣлавъ всѣ оси враиенія параллельными,
ыы подярнзуемъ волпеніе въ одной плоскости. Если концы моіекулъ
соотвѣтствуютъ здементарнымъ электрическимъ зарядамъ или несутъ
ихь на сѳбѣ, то враденіе нензбѣлво выэоветъ электромагнитныя дѣВ-
ствія, по закону для еолевс-ида, какъ прѳдподагалъ Максвѳль. Однако
не слѣлуетъ забывать, что опыты V. Сгбліеа, изложенные имъ на за-
сѣданіи Франдувекаго Фняическаго общества 6 іюля 1900 г., не
подтвердили теоріи Мдкевеля (Жури. Русс*. Фйэ,-Химнч. общ. Часть физич.
Т. XXXIV, отд. 2-Я, стр. 71 (1902 г.).

— 393 —
Попытка вт, этомъ направленіи была сдѣлана мною
нѣсколыш времени тому назадъ'). Цилиндрическая
картонная труба, дециметръ въ діаиетрѣ, закрывалась съ
одного конца крышкой А (фиг. 88), снабженной крюч-
комъ, обмотанныиъ ватой, на который привѣшивались
Фиг. 88.
карманные часы (В). Передъ ними плотно вставлялась
обмотанная по окружности слоемъ ваты пробка С съ
большимъ четыреутольнымъ отверетіемъ, въ которомъ
быль вдвланъ рядъ параллельныхъ
бумажныхъ полосокъ (верхній видь
этой пробки иредставленъ особо на
фиг. 89). Она предполагалась
заменяющей первую пластинку турмали-
новыхъ щитиковъ, употребляемы яъ
для поляризаціи свѣта. У самаго
конца трубы вставлялась такая же
Фиг. 89. пробка -D, свободно поворачиваемая
рукою, аналогично второй пла-
стинкѣ турмалиновыхъ щипчиковъ.
Предполагалось, что при перекрестномъ положеніи
бумажныхъ пластинокъ въ этихъ пробкахъ звукь ча-
совъ не будетъ выходить изъ трубки. Однако опытъ
этотъ встрѣтилъ значительный затрудненія по прачинѣ
„зеркальности" всѣхъ твердыхъ поверхностей и „резо-
нантности" дерева и картона для „звуковшть" волнъ.
Оказалось, что прн всѣхъ положеніяхъ пробокъ звукъ
передается, но не но воздуху, а по картону. Пришлось,
1} Въ Шлиссиьбургсвой кріпоегв.

— 399
какъ я и ожидалъ ранѣе, оклеить сплошнымъ слоемъ
пушистой ваты всѣ стѣнки изнутри и даже концы са-
мыхъ рѣшетчатыхъ пробокъ, но тогда оказалось, что
„поляризаціонныя рѣшетки", при разстояніи около '/2
миллиметра между параллельными бумажными
пластинками,, совсвмъ не пропускаютъ звука часовъ ни въ пе-
рекрестнонъ ни въ параллельномъ состояніи. Это была
большая неожиданность. Даже одна такая рѣшетка,
вставленная въ трубу, не пропускала звука совершенно, хотя
не представляла ни налѣйшаго сопротивленія движенію
воздуха, когда въ нее дуютъ, и чрезъ параллельныя
отверетія ясно виднѣлись перелувающіяся при каждоыъ
движеніи узкія полоски неба. Такимъ образомъ не
сильный волны звука, свободно проходящія чрезъ
несравненно болѣе плотныя діафшгмы изъ марли и даже
полотна, совершенно не пропускаются пластинчатыми нѣ-
шетками, со щелями не болѣе \!а мм., если длина пла-
стинокъ превышаетъ длину волны. Это, повидимому,
давало возможность надѣяться на успѣхъ, но при
расширении щелей вдвое (до 1 им. ширины) слабый звукъ
можно было разслышать какъ при скрещенныхъ, такъ
и при параллельныхъ пластивкахъ, и если была какая-
нибудь разница, то я уже не могъ опредѣлить ее
ухомъ.
Опыты эти я не могъ продолжать далѣе за недоетат-
комъ техническихъ приспособлен^. Наибольшая
трудность состоитъ въ томъ, чтобы помѣшатъ многократ-
нымъ отраженіямъ звука въ промежуткѣ между
пробками С и D, вслѣдствіе чего можетъ разрушаться поля-
ризація, если такая и производится этой системой рѣ-
щетокъ. Точно такъ же сильно мѣшаетъ и проводимость
звука стѣнками: малѣйшее пространство, на которомъ
отсталъ ватный покровъ, уже вызывало резонансъ стѣ-
нокъ, да и сама вата пропускаеть звукъ, какъ нетрудно
убѣдиться, обложивъ карманные часы слоемъ ваты. Было
4іы ращональнѣе довольствоваться трубкой съ одной
решеткой и слушать на нѣкоторомъ разстояши выходящій

— 400
изъ нея звукъ чрезъ другую рѣшетку, вставленную вт,
нерезонантный отражающей экранъ, но, конечно, не в*ь
коннатѣ, а на открытомъ мѣстѣ.
Возвращаясь къ главному предмету этой замѣтки
„о еѣроятныхъ физгі'іескихъ свойствахъ ліеждірвѣад-
ной среды", мы можемъ сказать лигпь следующее.
1) Малая плотность этой среды, движеніе въ ней
свѣтилъ безъ зам'Ьтнаго сопротивленія и отсутствие пре-
ломленія звѣздныхъ лучей, прошедшихъ чрезъ боковыя
области полей тяготЬнія того или другого свѣтила
(стр. 397, форм. 1), заставляютъ представлять ее въ
видѣ газа съ чрезвычайно малыми размѣрами нолекулъ.
По свойствамъ своимъ онъ долженъ быть близокъ къ
абсолютному газу, о которомъ можно сказать, что его
плотность пропорциональна упругости, упругость же
очень велика, какъ объ этомъ евидътельствуетъ
необыкновенная скорость распространенія въ немъ волнообраз-
ныхъ пертурбацій.
2) Опыты Лебедева удостовѣрили, что эта упругая
среда способна, какъ и воздухъ, къ волнообразнымъ
движешямъ, состоящимъ изъ щюдолшыхъ колебаній.
За это же говорить и пучкообраэное распространение
свѣтовыхъ и электрическихъ лучей, невозможное при
поперечныхъ колебаніяхъ (стр. 386).
3) Механическая причина поляризаціи лучей должна
считаться до настоящего времени не выясненной.
Въ результатѣ всего сказаннаго мы видимъ, что наши
представления о междузвѣздной средѣ оказываются очень
близкими къ тому, что писалъ о ней Ныотонъ слишкомъ
двѣсти лѣтъ тону назадъ:
„Не слѣдуетъ думать,—писалъ онъ въ 1675 году *),—
что эта среда есть однородное вещество. Она состоитъ
і) Стренясь передать дсныиъ совреневвыхъ явыкожь аачля идеи
Шютовв,, а же архантаскіВ сгогъ латнввавроважжаго аяніЗся&го языка.
XVTJ стыіггіл, я вереввгь аднсь сюво spirit—его фнанчесяям» енменіеиъ:
гмъ, хотя это сіово ниѣіо трн значеиія,- есіи ве боіѣв: в* -хниіц —■

— 401 —
отчасти изъ главнаго, скольаящаго мимо движущихся
преднетовъ (phlegmatic) эфира, отчасти изъ разиыхъ дру-
гихъ летучихъ веществъ, подобно тону, кань атмосфера
составлена изъ скользлщаго мимо движущихся
преднетовъ воздуха, смѣшаннаго съ другими газами в иепаре-
НІями. Этотъ сложный, повсюду простираюшійсл эфиръ,
находится въ непрерывномъ движеніи и обнънв, потому
что природа вѣчный круговращатель. Она превращаетъ
жидкое въ твердое и твердое въ жидкое, неподвижное
въ летучее и летучее въ неподвижное, заставляет ь одни
вещества подниматься и образовывать верхнія эманаціи
земного шара, рѣки и атмосферу, а другіл вещества
опускаться вслѣдствіе этого внизъ для замѣпы предыду-
щихъ. И можетъ быть, что солнце, какъ и земля, обильно
впитываетъ въ себя эту летучую субстанцію, чтобы
сохранить свой свѣтъ и удерживать планеты отъ посте-
пеннаго удаленія (вслѣдстеіе центробтъжной силы,
которая, какъ было иввѣстно Ньютону, развивается при
есякомъ движеніи по круговой орбитѣ). Желающіе мо-
гуть предполагать, что это же летучее вещество
приносить съ собою в топливо для солнца и матеріальное
начало жизни, и что огромныя эфирныя пространства
между нами и звѣздами являются достаточнымъ резер-
вуаромъ для этой пищи солнца и планетъ. Такъ, мо-
жетъ-быть, всѣ вещи происходить изъ эфира".
сашртг, въ фивявѣ — летучее возлуходоразяое вещество (гаЩ, » вь
теологін а пснхологін—духг, которые, въ сущности, представлялся тоже
чънъ-то въ родѣ сознательна™ в мыслящего гава. Изъ солвржаяія
самой заиѣткв ясно видно, что Ньютовъ употреблиетъ въ вен это слово
вмени» въ смыслѣ фнэичѳсиаго газа. Точно такъ же слово phlegmatic—
симииШ, ускахьзивахщШ (отъ phlegm — скользкое вещество, кровавая
сыворотка, слнзь в т. д.), я перевелъ описательно; „свожыявцМ мвмй
движущихся преднетовъ". Значеніе вто до снтъ поръ сохранялось въ
выражевія: флегн&твіескіі харавтерь, т.-е. такой, нвно котораго со-
бытія окружающей живжя скользят*, ве звдѣвая. Употребленіе Ньш-
товомъ втого Эпитета во отношенія къ воздуху опредѣляетъ нполнѣ
сннслъ его вначевія. Перевести же его словонъ: голодные,
безучастные—совершенво нельзя, такъ какъ даліе Ньютовъ говорить, что ефяръ
axwum въ пнелъ о&гёиЛ веществъ у світвлъ.
Овмви ииасж. tnnn *я*

— 402 —
Изъ этой замѣтки ясно, что Ныотонъ смотрѣлъ на
эфиръ какъ на газообразную матеріальную среду, въ
родѣ нашей атмосферы. А его замѣчаніе о толь, что
междузвѣздная среда можетъ быть удерживаетъ
планеты отъ удаленія съ ихъ орбитъ показываетъ, что еще
въ это время, за 12 лътъ до выхода его книги о тяго-
тѣніи (апрѣль 1687 г.) Ныотонъ уже ясно сознавалъ,
что центробѣжная сила должна бы удалять планеты
отъ солнца, и иекалъ ей механичеекаго противодѣйствія
въ теченіяхъ междузвѣздной среды къ небеснымъ
свѣтиламъ, перерабатывающимъ ее въ лучистую энер-
гію. Такъ путемъ постоянныхъ размышленій подходилъ
онъ постепенно къ своему великому открытію.
Будемъ надѣяться, что этимъ же путемъ придетъ
человечество и къ рѣшееію загадки мірового эфира.

замеченный опечатки.
Схр.
16
53
53
79
S3
143
150
188
211
212
228
232
245
271
282
294
381
383
Строка.
1 свержу
4 —
3 снизу
на рнсункі
3 сверх;'
1 снизу
9 сверху
8 —
8 снизу
8 —
7 сверху
17 —
4 спизу
7 —
6 сверху
10 снизу
9 .—
17 сверху
Напечатано:
IV
, а также
прилагающими
а
радіаны
1
2
д важен Ш
нулевыиъ
ЗГ.
единицу
Сі
івиженія
L
мягкому
цифры I и 11
362"
Де-Метцоігь
даіѣе
Надо читать:
У
«ычерхш/ть
пршегающиыи
L
радіанъ
2~
дввхеііія
отвлечённым.
if,
единицу, - -
У3
движенія —
LM
налоиу
поставить правѣе на 2
сантиметра.
361"
Де-Метцриъ, Писаржев-
сщжь и др.
далѣв,—