Первое эпюрное задание (для заочников) - Червинская В.В., Лотоцкая В.И.

Author: Червинская В.В. Лотоцкая В.И.

Tags: геометрия чертежи инженерная графика начертательная геометрия

Year: 1980

Similar

Начертательная геометрия

Курс начертательной геометрии

Начертательная геометрия

Text

Министерство
ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
УССР
Черновицкий
ордена Трудового Красного Знамени
госуларственный университет
/ДЛЯ ЗАОЧНИКОВ/
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УССР
ЧЕРНОВИЦКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО
ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
кафедра графики
ПЕРВОЕ ЭПЮРНОЕ ЗАДАНИЕ
/ ДЛЯ ЗАОЧНИКОВ /
ЧЕРНОВЦЫ, ЧТУ, 1980
ВВЕДЕНИЕ
Методические рекомендации содержат программу по начертательной геометрии,
контрольные задания для самостоятельной работы студентов и указания но их выпол-
нение. Кроме того, дан обязательный учебный материал по каждому разделу курса,
образцы выполнения заданий и контрольные вопросы к ним.
Учебный процесс по начертательной геометрии включает следующие формы обучения:
лекции, самостоятельную работу студента, практические занятия, программированный
контроль знаний по темам курса, выполнение эпюрных заданий (контрольных графи-
ческих работ) , консультации, зачет по контрольным работам и экзамен.
ВЫПОЛНЕНИЕ ЭПЮРНОГО ЗАДАНИЯ
Прежде чем приступить к решению 1-ой задачи, необходимо внимательно изучить
основные свойства параллельных проекций ( си. нике тему I, п.1.2> и для приобретена:
опыта самостоятельно решить несколько простейших задач на применение метода орто-
гонального параллельного проецирования (см. программу по таблице l).
I. Графическое задание выполняется на 3-х листах формата 12. Каждый студент
получает отдельный вариант задания.-Образцы оформлении лгетог, заданил см. рус. ТОО,
ГС\ ТСЗ и тст.
2. Все задания выполняются в карандаше. Для обводки контурных линии исполь-
зуются мягкие карандаши (ТУ. и м), а для вспомогательных линий - твердые (Ти 2Т) ,
3. При изображении фигур,участвующих в условии задачи, студент должен при-
держиваться указанных размеров, а там, где отсутствуют размеры, - соблюдать фор-
мы фигур и их взаимное расположение.
4, На чертеже нужно сохранить линии вспомогательных построений, которые дают
возможность проверить правильность выполнения заданий (см. образец) ,
5. буквенные обозначения и цифры выполняются стандартным шрифтом размером
3,5 мм по ГОСТу.
В методических рекомендациях используются следуюирле усладные
обозначения :
I. Плоскости проекций обозначаются прописной греческой буквой П с индексом
1,2,3... . ОсноВные плоскости проекций : /7/ - горизонтальная плоскость про-
екции, Пг - фронтальная плоскость проекций, П$ - профильная плоскость проекции.
Дополнительные плоскости проекций : /7$, П5,.. .
2. Прямые и кривые линии обозначаются малыми буквами латинского алфавита:О. ,
В , С,.. , Линии уровня (ъ том числе и следы плоскости) обозначаются буквами: Л -
горизонтали, f - фронтали, р - профильные прямые. Их проекции - hf , ht , hj..,
ft> ft И T. -
3. Точки в пространстве обозначаются большими буквами латинского алфавита:
А,Й,С... , или арабскими: / ,2,5... . Обозначения проекций фигур те же, но с
абавлением индекса, соответствующего плоскости проекции. Новое положение точки А
юсле одного преобразования проекций обозначается А^, после второго - А® И т.д.
4. Плоские и двугранные углы обозначаются греческими буквами Gt , ft , / о
[аписанием слова "угол" или знака <. Проекции углов - СЦ... и т.д,
5. Кривые поверхности (в том числе и плоскости) обозначаются прописными бук-
вами греческого алфавита в , Д , £ , Г , Ф , Л... . Проекции поверхностей - Gt..,
4
Тайпица 1
ПРОГРАММА ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ АЛЯ 1-ГО ЭПЮРНОГО ЗАДАНИЯ
Содержание программы 1ункты в мето- дичес- ких укс заниях Зой ера зада1 решаемые в ь аудитории Задачи ре- шаемые дома (обязатель- ные)
ТЕПА 1 'ведение. Предмет начертательной геометрии. Виды проецирования. Проецирование точки на две взаимно- иеопандикулярные плоскости проекций/ Эпюрное изоб- ражение или комплексный чертеж. Проецирование точ- ки на три плоскости проекции. Прямоугольные коор- динаты точки. Комплексный чертеж. Позиционные и метрические задачи. Способы преобразования ком- плексного чертежа. Способ замены плоскостей про- екций. Аксонометрические проекции. Комплексный чертеж прямой. Проекция плоских углов. Прямой угол ТЕМА 2 Взаимное положение прямых линий. Параллельные пря- мые. Пересекающиеся прямые. Перпендикулярные пря- мые. Скрещивающиеся пряные. Условия видимости. Конкурирующие точки. Комплексный чертеж плоскости. Прямая в плоскости. Точка в плоскости. . ТЕМА 3 Взаимное положение-прямой и плоскости. Построение линий взаимного пересечения двух плоскбстей(общий случаи). Построение линий пересечений двух плос- костей, заданных следами. Пересечение проецирую- щей плоскости с плоскостью общего положения, Точ-„ ка пересечения прямой с плоскостью (точка встречи; ТЕМА 4 Основные метрические задачи. Метрические задачи на прямую.. Определение натуральной величины от- резка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекции. Преобразование плоскости общего положе- ния в проецирующую. Определение натуральной вели- чины плоской фигуры. Определение расстояния пт точки до плоскости. Определение расстояния между двумя параллельными прямыми. Определение расс.’оя^ ния между двумя скрещивающимися прямыми. Опреде- ление двугранного угла, образованного пересечени- ем двух плоскостей, ТЕМА 5 Основные понятия о геометрических телах. Много- гранные поверхности. Построение аксонометрических проекций плоских фигур и многогранников, Проекции точек, прямых и плоских фигур, как элементов гео- метрических тел. Сечение поверхности плоскостью. Построение развертки. 11-1.1Z г.1-2.9 3.1-5.5 4.1-4.7 5.1-5.4 АРМ 9.ZI К 32,33,22]; №2221] NN40,68 22]; NN 50,56,60,7г 47 21] NN 98,99,101,116, 5921]; МО 22) NN174,116.11721). NN 108,110,20510 NN184,185,148,142, 145,154 221 !тО(фиг.471)С1] NN 220fan. 472, 4 63,468.469),252 255,257,266 225 NN 241,288,296 304 656)> 514 Сумп. 646)10, Mi4f9faf39>, 450, 452, 455,458.459, 455 £11 N467 C1J №№13,18,24 £11 NN 45,48,59, 61,19,77213 NN51,58.40,96, 102,11221]. NN 115,116,199, 204,210 []] NN&9fan.45t), 45 b), 221,222 21] NN 219 fan 45$, 46Q,461).22OT 254, 280 21J NN212,216,284. 285,293,501, 502,316 £13 NN428, 456, 450(625), 452fy*557)r - 453fa.815), 456,465,460 £13 N 467 брцг ИЯ, 867,870,872)21]
Примечание:
I - X.A. Арустамов "Сборник задач па начертательной гео не трин’*-.
2 - А.К. Радаев "Сборник задач па начертательной геометрии".
5
6. Линии пересечения плоскостей проекций (оси проекции) на чертеже обозначат
ются Xi4, y15t zti. Начало координат -0. Натуральная система координат - Окцг,.
7, При замене плоскостей проекций новая4ось обозначается буквой Д о соот-
ветствуодин индексом Хц, Х25... и т. д. f
8. Аксонометрические оси обозначаются: X*, у', Z* . Начало координат - О ,
Аксонометрическая плоскость проекций -Л .
9. Аксонометрические проекции точек, прямых, плоскостей и углов обозначаются
с добавлением индекса вверху Д', а', 6*, tf*... . Вторичные проекции имеют индекс
внизу прямоугольных проекций с добавлением штриха вверху: Дг, Д3, fl/, 4^, Я*,
й/, оф ctj, и т. д.
Приняты следующие знаки-симболы:
I. II - знак параллельности; 7. z - знак равенства;
2. Я - не параллельны; 8. - знак неравенства;
3. 1 - знак перпендикулярности; 9. О' - знак касания;
4. X - знак пересечения; Ю. Л - скрещивания прямых;
5. 11 - прямой угол; II. С - знак принадлежности
6. = - знак совпадения, тождества; 12. ф - не принадлежит.
Так, например, запись А сцоэ нечаст, что точка Д принадлежит прямой а ;АсД*
арякая а проходит через точку Д ; Дс6- точка Д принадлежит фигуре Q .
ТЕМА 4. 11 ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Начертательная геометрия, как аналитическая и. дифференциальная, изучает ге-
ометрические образы: точки, прямые, плоскости, кривые линии, поверхности и их ос-
новные геометрические свойства. Однако, в отличие от метода аналитических наук,
начертательная геометрия является наукой графического характера. Если в аналити-
ческих науках прямые и кривые линии, плоскости и поверхности изучаются посредством
составления и исследования их уравнений, то в начертательной, геометрии процесс ре-
шения задачи является сугубо геометрическим, а в основе лежит метод проецирования,
В начертательной геометрии рассматриваются способы решения пространственных задач
посредством геометрических построений на плоском чертеже. Практический, приклад-
ной характер начертательной геометрии как науки определил ев/ широкое применение в
технике. Известно ее широкое применение в техническом черченииt а также в таких
отраслях науки и техники, как архитектура и строительное дело, картография, топо-
графия, кристаллография,, прикладная механика и другие, 0)на широко, используется на |
производстве при разметке и раскрое материалов и т.д. Начертательная геометрия изу-
чает пространственные формы предметов действительного Мира и их геометрические за-
кономерности при помощи изображений на плоскости.
12.ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Основу начертательной геометрии составляет метод проекций, позволяющий полу-
чать изображения пространственных фигур на плоскости. По этому методу каждой точ-
ке трехмерного пространства ставится в соответствии определенная точка двухмерно-
го пространства (плоскости). Проекции могут быть как цен тральными., так и парал-
лельными. При центральном проецировании все проецирующие лучи проходит черев точ-
6

ку J - центр проекция (ряс. I) . Для того» чтобы получить проекции
точек А ,8, С,., принадлежащие заданной геометюическои фигуре про-
странства» надо соединить центр $ с данными точками и продолжить
прямые линии (проецирующие лучи} до пересечения с плоскостью
проекций . Точки 4> , St , полученные на плоскости
проекций fb , называются проекциями точек 4, ВС .., а гео-
метрическое место проекций всех точек фигуры на плоскость
проекций называется проекцией этой фигуры»
Все; окружающие нас предметы (фотографии, художественные
картины, здания, дороги/ мы видим в центральной проекции.
При бесконечном удалении предмета от глаз наблюдателя, углы
между лучами Прения-будут настолько малыми, что лучи можно
считать параллельными. Такое проецирован^ называется парал-
лельным. В зависимости от угла & наклона проецирующих пря-
мых, параллельные проекции делятся на косоугольные и прямо-
угольные (ортогональные/ рис, 2,3. Обе разновидности парал-
лельного проецирования используются для получения аксономет-
рических изображений. Метод ортогонального’ проецирования
был разработан Гаспаром Монжом и называется методом Монжа.
Прямоугольное, проецирование предмета на определенные плос-
кости проекций находится в основе выполнения чертежей и яв-
ляется наиболее распространенной системой в инженерном деле.
.Отметим некоторые свойства проекций геометрических об-
разов при параллельном проецировании на плоскость;
Г. Проекцией некоторой точки. А на плоскость проекций
Я/есть *очка 4/ (символическая запись ,
2. Проекцией прямой линии в общем случае является прямая линия.
3. Если точка К .принадлежит прямой О. , ее проекция X/находится на at, В
символах 310 положение выглядит так: если то проекция
Если две прямые линии параллельны, то параллельными будут их проекции:
если а Мб, ToafM6f, и а21/б?.
5. При параллельном згосцировании сохраняется пропорциональность геометри-
ческих элементов. Та: им ооразом, отношение отрезков, параллельных прямых равно от-
ношению проекций Э'.'йх отрезков. Если ABIICD , то ж. Отсюда следствие:
при параллельном проецировании отношение длин проекций параллельных отрезков пря-
мой к действительным длинам отрезков есть величина постоянная. Эту величину на- '
зывают коэффициентом искажения.
5. Плоская фигура в общем случае проецируется в плоскую фигуру, а в частном
случае - в прямую линию.
7. Если плоска.: фигура расположена в плоскости, параллельной плоскости про-
екций, то она проецируется без. искажений: если прямая а ЦП, , то аНа^ ,
В противоположность способу аксонометрического проецирования метод ортого-
нальных проекций рассматривает изображение пространственных фигур на комплексном
(двухплоскостном или трехплоскостном} эпюре. Доказано,что две ортогональные про-
екции вполне определяют положение оригинала в пространстве. Все окружающие, нас
предметы имеют три измерения: длину, ширину и высоту. В черчении же предметы изрб-
7
ражаются на плоскость (т.е. в тетради, на доске и т.д.), которая имеет только
два измерения: длину и ширину.
13. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА АВЕ ВЗАИМОПЕРПЕНДИКУЛЯР-
НЫЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
А
Рис. 4 /Горизонтальная
плоскость проекций
0^2
/плоскость
проекций
Проецирующие
линии.
Фронтальная Две взаимоперпендикулярные плоскости Пу и/7г пере-
секаются по пряной Х« - оси проекций.А - точка в про-
странстве внутри двугранного угла, образованного плоскос-
тями ГЪ и Пг . А< - горизонтальная проекция точки, Аз •?
фронтальная проекция точки - это точки, получаемые в ре-
зультате пересечения перпендикуляров из точки Л соот-
ветственно с плоскостями П< и/7« {рис.4}. Величина отрез-
ка АА^ - это расстояние от точкиА до плоскости /7г (ап-
пликата точки А ), а-величина отрезка А Аг - расстояние
от точкиД до /7г( ордината точкиА/. Плоскость, опреде-
ляемая проеципующими лучами АА< и ААг . перпендикулярна
jvvcnquu у-, п '
как к плоскости проекций //г , так и к плоскости проекций/4 .
Следовательно она перпендикулярна и к линии их пересечения -
— оси проекций. Эта плоскость пересекает ось проекций в точ-
кеА#, причем А/Аг - расстояние от точки А до плоскости
A?Aiz - расстояние от точкиА до плоскости П4.
Пиния
связи
1.4. ЭПЮРНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ИЛИ
КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ .
Повернув плоскость проекции Гц вокруг оси проекций Хуг.на угол 90° до совме-
щения с плоскостью Пг , принимаемой неподвижной (рис. й) , получим изображение,,
которое’называется эпюром или комплексным чертежом точки в системе Hi П? {рис. 5).
Границы плоскостей проекций при этом на чертеже не показываются. Следовательно,
комплексным'чертежом называется изображение, полученное в результате проецирова-
ния точки (предмета) на взаимноперпендикулярные плоскости с последующим совмеще-
нием плоскостей с одной плоскостью. Проекции Ау и* А2 будут лежать на одном перпен
дикуляре к оси Х,г . В этом случае говорят, что точки А< и А2 будут расположены
в проекционной связи. Прямая называется линиеи связи.
1.5. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИИ
П'ри построении технического чертежа часто бывает недостаточно двух проекций,
тогда система Д/72 дополняется третьей плоскостью П3 -профильной плоскостью про-
екций, перпендикулярной П< и Пг . Эти плоскости /7у ,/J и Пз взаимно пересекаются
по прямой Хи, Ум , - осям проекций .-Тогда 0 - точка пересечений осей проекций
Если теперь внутри трехгранного угла, образованного плоскостями проекций/7/
Пг и Пз поместить точкуД (рис. в) и провести из нее перпендикуляры до nepecexei-
ния с плоскостями проекций, то получим проекции точки на три плоскости проекций.
Ду - профильная проекция точки А . Чтобы получить комплексный чертеж (эпюр/ сле-
_дувт совместить две плоскости Пу и Пз с вертикальной плоскостью Пг , которая при-
нимается неподвижной. Плоскость /7? повернется вокруг оси X# , а плоскость Пз -
8
вокруг оси При этом ось Ук как бы раздвои-
Z
Рас.6
лась: одна ее часть совмещается с продолжением
sen Х<? - вправо, а вторая с продолжением оси
- вниз. На эпюре это выразилось появлением
осей И Уз (т очки А3/ и . Как видно из
эпюрного изображения (рис. 7), фронтальная и го-
ризонтальная проекции любой точки всегда нахо-
дятся на вертикальной линии связи, а фронтальная
и профильная - на горизонтальной линии связи
перпендикулярной оси 7^, Профильная проекция точ-
у ки всегда находится на таком же расстоянии от
оси Z^, как и горизонтальная от осиХ« . Поэте-
му, имея две проекции точки, всегда можно построить третью
(рис. 7) . Для построения третьей проекции заданной фигуры
должна использоваться постоянная прямая чертежа (ппчД К
сведению студента, в черчении, в соответствии со стандартом
Совета Экономической Взаимопомощи (СТ ОЗН). 362-76 фронталь-
ная проекция называется главным видом, горизонтальная про-
екция - видом сверху и профильная проекция - видом слева.
Таким образом, мы вплотную подошли к теме построения
точек в системе прямоугольных координат, которой посвящено
первое задание настоящей контрольной работы.
U6. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ даИНАТЫ ТОЧКИ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЁЖ
Координатами точки называются числа, выражающие ее расстояние от трех вза-
ииноперпендикулярних плоскостей - плоскостей координат. Чтобы построить прямоу-
гольные координаты точки надо знать числовые значения ее координатных отрезков
при установленной системе единиц измерения: X - абсциссу' (широту тонкий), 9 ~
ординату (глубину тэчки/4 ),Z - аппликату (высоту точки А) . Из чертежа (pnc.7j
видно, что горизонтальная проекция гочкиА определяется абсциссой X и ординатой
у , Фронтальная - абсциссой X и аппликатой Z , и профильная - ординатой и ап-
пликатой Z .
11 ПОЗИЦИОННЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Существует два вида задач: позиционные и метрические. При решении позиционных
задач требуется определить только взаимное расположение (позицию} геометрических
элементов, без участия их численных характеристик. Метрические задачи - это такие,
в условиях или решении которых присутствуют геометрические понятия, связанные с
числовой характеристикой. На рис. 5 и 7 мы решили позиционную задачу с простейшим
геометрическим элементом - точкой, теперь рассмотрим метрическую задачу с точкой,
когда заданы численные значения ее координат.
Пример, Построить эпюр точки по ее координатам/] (X-3^,У =/4 , Z -30).
Решение. I) Строим горизонтальную проекцию точки А (рис. 8}. С этой целью: от
точки О начала координат но оси Х& откладываем 54 единицы и отмечаем точку Aiz , от
точки 0 по оси У/ откладываем № единиц и отмечаем точку Ajj . Через Фочку Ajz про-
водим прямую параллельную оси у, через точку А/j - прямую параллельную оси Xiz'*
9
Точка пересечения этих прямых - горизонтальная про-
екции Ai . 2) Строим фронтальную проекцию точки.
Для этого от точки 0 по оси 2гз откладываем JQ еди-
ниц и отмечаем точку Д^. Через; точку Дц проводим
прямую (линию связи/, параллельную оси Х<д. Затем
через точкуАа проводим прямую (вторую линиюсвя-
зи/, параллельную оси Zgj. В результате пересечения
этих линий связи получаем фронтальную проекцию точ-
киД.. По двум полученным прекциям точки строим тре-
тью - профильную проекцию точки Aj .
На рис. 8 построили точку общего положения,
т. е. точку, которая не принадлежит координатным
плоскостям. Если одна координата точки равна нулю,
то точка лежит на плоскости проекций. Такая точка
называется точкой частного положения, У такой точ-
ки две ее проекции лежат на осях проекций. Пример
точки частного положения для которой У => (X пред-
ставлен на рис. 9 Л(Х = 30, У*О .Z-20).
1.8. СП0С06Ы ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
Часто заданные геометрические элементы (прямая, плоскость/ занимают общее по-
локение относительно плоскостей проекций, что усложняет решение задачи. В ряде
случаев графическое решение задачи может быть упрощено цреобразрванием комплексно!»
го чертежа так, чтобы заданные геометрические элементы находились в частном поло-
жении относительно той или иной плоскости проекций, т. е. были параллельны ей.
Рассмотрим два способа преобразования комплексного чертежа: 1) способ замены плос-
костей проеций; 2/ способ вращения проецирующих осей.
1.9. СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
При использовании рассматриваемого способа положение заданных геометрических
элементов в пространстве не меняется.* Заменяются лишь соответствующие плоскости
проекций. Если заменой одной плоскости проекций не удается получить необходимое
расположение проецируемой геометрической фигуры относительно плоскости проекций
(это зависит от условия задачи/, то заменяются обе.
Рис.10
t__ Рассмотрим на примере с точкой сущ-
^2 - ность способа замены плоскостей проекций.
С этой .целью в системе /7/ возьмем
‘ 1? произвольную точку/ и. построим ее орто-
гональные проекции Ai нА* (рис. 10/. За-
-——тем заменим плоскость П| на-
\ вой плоскостью П4, также
\ перпендикулярной плоскости
\ П/ , т.е. от системы ДЛЖ
перейдем к Г^Г^с новой осы»
? Рас 11 Спроецировав, как
10
обычно, точку А на новую плоскость Пч , получим новую проекцию -Ла . В результа-
те этой замены остаются неизменными положение горизонтальной проекции А и высо-
та А<А =AAz=АА 6К0°РДИната Za ) точки А . На комплексном чертеже точки про-
водим новую ось проекций , учитывая, что ее положение и направление ('для тонкий
не ограничено дополнительными условиями (рис. I1J. Затем проводим новую л^нию свя-
зи А А , перпендикулярную к. оси Хн . От новой оси Х/а на динии связи А А отклады-
ваем расстояние, равное. (вейзмеиное^.
Замена'.плоскости fli на П4 производится аналогично. Очевидно в этом случае в
'системе ЛуЛ$.неизменной, будет у , , '
Примечания, Условимся новые фронтальные плоскости, проекций, обозначать чет-
ными цифровыми индексами:. Л« ; Лв и т.д., а горизонтальные - нечетными: П?; П?
и т. д,
^АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Цри.изложении предыдущего материала, для изображения наглядного рисунка мы
исцодьэовали комплексный чертеж. Так на рисунках 4 и 6 положение точки А в про—
стрд^Ств.е'Вполне определяется относительно плоскостей проекций отрез ками ДА, ДА,
ДА» представляющими расстояние точкиД соответственно от каждой из плоскостей
проекций Л<ч, ДтИ- flj • Однако, такой чертеж должен давать не только представле-
ние о^.-геометрическом объекте, но и быть обратимым, т.е. иметь метрическую опреде-
ленлкьсть/С .Этой целью в-основу построения наглядных метрически, определенных пред-
меуов; =п^ожеН;.так называемый координатный'метод. Но комплексный чертеж точки (как
и. .любого объекта .по наглядному изображению}|может. быть>. правильно : пост роен < в мет-
рическом отношений только в том Случае,'если известны коэффициенты искажения ука-
занных, координатных отрезков, определяющих расстояние точкиД от координатных
плоскостей. Если.указанные коэффициенты искажения координатных отрезков известны,.
Tо..это позволит определить натуральную величину, т,е. придает чертежу -необходимую
метрическую определенность. Такая определенность обеспечивается аксонометричес-
кой системой_ОСей координат -t т.е. аксонометрическими проекциями.
. Способ;.аксонометрических проекции является достаточно наглядным и простым в
построении. Образование прямоугольных и косоугольных аксонометрических проекций и
их свойства подробно рассмотрены в ГОСТ 2.317-69 Единой системы конструкторской
документации (ЕСКД) И будут в дальнейшем учащимися изучаться. Мы в своих построе-
ния xv использовали фронтальную диметрическую проекцию (косоугольную), с которой
учащиеся встречались еще в школе при изучении геометрий и черчения. Аксонометри-
X. /& "Л е А' /г\ . х А< 11 lo \ А/ Х-4 / □ff’ Va' } \ / Puo.it ^*^**и*****^у ческие проекции существенно отличаются от прямоугольных проекций, рассмотренных в те ме I, пунктах I.-3, К5. В аксонометричес- ких проекциях предмет проецируется не на две или три взаимноперпендикулярные плос- кости проекций, а на одну (аксонометричес- кую,) плоскость (рис,12^, однако показывает предмет 8 трех ом измерениях. Сущность аксонометрических .проек- ции заключается в том, что изображаемый предмет пучком параллельных лучей проецн-
II
руется на некоторую аксонометрическую плоскость проекций ГТ (рис.'ХЭ), располо-
женную так, что ни одна из координатных осей предмета не проецируется на эту плос-
кость в виде точки.
На рис.12 изображена пространственная координатная система BxyZ и: точкаА ,
отнесенная к этой системе. Точка А связана с системой координатных осей с по-
мощью трех звеньев - координатной пространственной ломаной линии ОАхАД у кото-
рой отрезки ОАх^Хд .’АдА/= <Д , АуА соответствуют натуральным координатам точ-
ки А . При проецировании этой системы на плоскость П пространственные координа-
ты Хд, УА и ZA изобразятся аксонометрическими осями, а пространственная ломаная -
плоской .ломаной 0'АЬА А’ .
Итак, прямые Ок1 .оу’ *Oz‘ представляют собой аксонометрические оси ко-
ординат. Точка А -аксонометрическая проекция точки А , А< - вторичная проекция
точки А . От начала координат откладываем по осям отрезокв , который равен нату-
I'
егч
x'aM а
Рис. 13 tf
Z13
ральной единице измерения’ (см. рис,12). Проекции этих единиц
на плоскости П’ изобразятся отрезками £х, бу к &z, которые при
общем положении осей относительно плоскости Л не равны между
собой. Отрезки Рх , бу , Gz будут представлять собой аксоно-
метрические единицы измерения, или аксонометрические масштабы
.(коэффициенты искажения). С помощью этих коэффициентов искаже-
ния на аксонометрическом изображении уже можно проводить изме-
рение по осям и направлениям, им параллельным. Числовое выраже-
? А

1С>
J

а;
Рис. 15
Z15
«1 a
Рис.14
10 единиц
z'

х1г
А'
о

2’ Н7з коэффициентов искажения показывает, во
с.:.?лька раз увеличиваются или уменьшаются от-
\ д’3 резки по ося’’ в своих аксонометрических изо-
бражениях.
Во фронтальной косоугольной диметрической
проекции коэффициенты искажения по осям X и Z,
вх=в2-/, а Угол M0W этими осями равен 90°.
Ось у.расположенная под углом 45° к продолже-
ния оси X , аву-у. (рис. 13).
Задача.1. Построить по комплексному
чертежу точки Д/Х=м ,у ,z =
20/. ее аксонометрическое изображение
и вторичные проекции на плоскость ГЕ.
л;, л; (рис. 14).
Решение ясно из чертежа Срис. 15).
Задача 2 * Построить по» аксонометри-
ческому изображению точки ее комплекс-
ный чертеж (рис. 1б), •
Решение : по аксонометрическому, чертежу определяем координаты, откладывая за-
данный отрезок по осям X , Ul Z и строим по координатам комплексный чертеж
Л (*-25.у -12. Z-12X<j>ho. 17).
^КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЁЖ ПРЯМОЙ
Для того, чтобы найти проекцию прямой линии, достаточно найти проекции двух
точек, а затем эти точки соединить. К$к<и точка, прямая на чертеже определяется
д;
*
Рис.17
Рис. 16
Обозначения прямых дано 6 отрезках - точками Айв, кроме того еоризонтапьнРЯ прямая обозначена: дукббиН t фронтальная--f, профильная- р.
Примечание: Прямые частною положении подразделяются на прямые уродня и проецирующие.
Прямые,- принадлежащие
осям проекций
Прямые уродня
Профильная -
Фронтальная
Горизонтальная
3
Проектирующие прямые
Прямые д плоскости проекций
Горизонтали ну-
ледого уродня
Фронтально -
проецирующая
Франтили нуле-
дого уродня
Профили нуледого
уродня
<ъ
Горизонтально-
проектирующая
||
ti
1
15
8
£
Рг?=
б<£*
В $
Сэ
й-.
§
В
S
в
13
At
А
Рил.19
X
Рис.13 xt
А

О
л
двумя проекциями А Б /АД Ц Ai fit А
Если по смыслу задания фиксация
точек пряной не требуемся, то. ее
обозначают одной буквой ф
) . На рис.18 изображены
4 отрезки прямой Д В в прострете-
_Ктве и ее комплексный чертеж,
ft/ (рис.19) в системе ортогоиал*^
ного проецирования. На рис. 19
концы отрезка находятся на
разных расстояниях ст плос-
' костей проекций, т.е. прямая
не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Такая прямая называется прямой
общего положения.
ПРЯМАЯ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
Прямые частного положения подразделяется на прямые уровня и проецирующие.
Характерные особенности указанных прямых и их проекций приведены в таблице 2»
<12. ПРОЕКЦИЯ ПЛОСКИХ УГЛОВ. ПРЯМОЙ УГОД
Две пересекавшиеся прямые образуют плоский угол. Известно, что плоский угол
проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если его стороны парал-
лельны этой плоскости. Плоский прямой угол
проецируется на плоскость проекций в нату-
ральную величину только тогда, когда одна
—- из его сторон параллельна этой плоскости
проекции.
Доказательство этой),положения легко
проследить по рис.20 П<- плоскость проек-
ций *, 4.ДВС - прямой, ЬС И П< ; проекция
стороны 6С на плоскость П<; Н< - след прямой Аб,, т.е. точка пересечения стороны
ДО с плоскостью. П< . Так как ВС IIП. , то ее проекция Й,С<И6С . Если из точки
провести прямую Qllftt С, , то d будет параллельна и ВС. Следовательно,
на основании теоремы о трех перпендикулярах - прямой угол., Поэтому 4. С«&Н< тоже
прямой, что и требовалось доказать. Это положение показано на эпюрном изображения
на рис.21 угол АВС - прямой и одна его сторона ВС параллельна плоскости проекций/^
Следовательно, как доказано выше, фронтальная проекция угла Ст проецируются на
плоскость Пг прямым, т.е. в натуральную величину.
В
AtcJo
Л Рис.21
ТЕМА 2. 2.1. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ЯРИМЫХ ЛИНИЙ
Прежде всего отметим, чт# под -позиционными задачами понимают задачи на опре-
деление общих элементов прямых и плоскостей и их взаимопринадлежиость, Две прямые
в пространстве могут занимать следующие положения: быть взаимна параллвлышш, пе-
14
ресекаться (если под прямым углом, то быть перпендикулярными) и скрещиваться.
Взаимное положение двух прямых можно определить непосредственно по комплексному
чертежу, исходя из соответствующих признаков, на которых мы сейчас остановимся.
21 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие
общей точки, называются параллельными. Из свойства па-
раллельного проецирования следует: проекции двух парал-
лельных. прямых параллельны между собой. Так; если пря-
мая Ав II СИ, то проецирующая плоскость 7 Следова-
тельно, линии их пересечения с плоскостью П/ тоже па-
раллельны (рис.2?\ Отсюда вывод: чтобы установить по .
заданному комплексному чертежу параллельность прямых
общего положения, достаточно иметь две любые их
проекции (рис.23). Если же надо установить параллель-
ность прямых уровня, в числе этих проекций должны
быть проекции на плоскость, которой они параллельны.
Так, например, на рис.31 представлен чертеж, на кото-
ром фронтальные и горизонтальные проекции профильных
прямых параллельны между собой. Однако по профильной
проекции видно, что прямые не параллельны, а скре-
щивающиеся.
2.5. ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ
У пересекающихся прямых точи и
пересечения их одноименных проек-
ций лежит ни одной линии связи
(рйс. 24, 25).
Следовательно, две прямые,.имеющие
общую точку, называются пересекаю-
щимися.
2.4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
В частном случае, при пересечении прямые:
могут быть взаимноперпендикулярнн. При построе-
нии перпендикулярных прямых используется.свой—
ство проецирования прямого угла,рассмотренного
в теме I, пункте I.I2 На рис.26 дан пример
комплексного чертежа двух прямых, когда одна из
прямых.(О.) - горизонтальная прямая, а на рис.27',
когда одна из прямых (CD - фронтальная прямая.
2.5. СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ
У скрещивающихся прямых точки пересечения одноименных проекции Нб Обжат на
одной линии связи (рис.28, 29). Поэтому, скрещивающимися называются две прямые,
не лежащие в одной плоскости и не имеющие общей точки. Точка пересечения проекций
15
двух скрещивавшихся прямых - проекция двух точек. Так, на-
пример, на рис.28 проекция К.Л»4 является общей проекцией
двух точек М , лежащей на прям ой А b и точки К , лежащей на
прямой СБ . Это же положение рассмотренное в пространстве,
проиллюстрированно на комплексном чертеже (рис,29).
Если одна из заданных прямых профильная (рис.ЗО), то-
не смотря на то, что одноименные проекции прямых на фронталь-
ной и горизонтальной проекции пересекаются и точка их пере-
сечения к точка их пересечения лежит на одной линии связи,
судить о том, пересекаются они Или скрещиваются, нельзя без
построения профильной проекции. Так, на рис.30 прямые скрещиваются; Аналогичную
картину мы видим, если обе скрещивающиеся прямые профильные (рис,31).
2.6. УСЛ0ВИЯ ВИДИМОСТИ. КОНКУРИРУЮЩИЕ точки
Риезг
На рис.32 а,б на.
горизонтально-проециру-
ющей прямой лежат точки
А ,В ж С , Наблюдатель,
смотрящий сверху (на-
правление взгляда указа-
но стрелкой) первой ви-
дит точкуД , как наи-
более удаленную от плос-
кости । т’е» имеющую наибольшую высоту.
Рассмотрим это понятие видимости точек на примере двух скрещиварщихся прямых
(рис.33). Прежде всего отметим, что точки принадлежащие скрещивающимся прямым и
।проецирующиеся на одну из плоскостей проекций в одну общую, а на другую - в две
разные точки, называют конкурирующими. Так, определяя взаимное положение конку-
рирующих точек, устанавливаем, что относительно плоскости П< видимой будет точка :
принадлежащая прямой CD , так как она имеет большую, чем у точки , аппликату
и, следовательно, располагается выше в пространстве. Относительно плоскости П^ви*
димой будет точка £ , принадлежащая прямой ДВ, так как ее ордината больше орди-
наты точки F . Следовательно, точка £ ( на виде спереди, т.е, в плоскости Пх )
является видимой. По фронтальным проекциям прямых видно, что прямая ДАв точке £
16
расположена перед прямой CJ. Из двух конкурирующих точек видимой будет та, ко-
торая имеет большую координату и поэтому отстоит дальше от плоскости проекций.
Используя свойство конкурирующих точек, при изображении предметов, для при-
дания чертежу больней наглядности, проекции видимых элементов принято вычерчи-
вать сплошными линиями, а невидимых - штриховыми. В ряде случаев невидимые линии
на чертеже вовсе не показываются.
2.7. КОМПЛЕКСНЫМ ЧЕРТЕЖ ПЛОСКОСТИ
Основным способом задания плоскости на комплексном чертеже являетея задание
ее проекциями, трех точек, не лежащих на од-
но/ прямой (рис. ’3-:, а и б). Обычно для на-
глядности точки А , 8 и С соединяются. Тог.
да получают задание плоскости: а) проекция-
ми прямо'! и точки, не лежащей на этой пря-
мой; б) проекциями двух пересекающихся пря-
мых (рис. 35, а и б); в) проекциями двух па-
раллельных прямых (рис. 36); г) следами, тее
6) А
оС

1а ^’\ *
Л,
Рис. 34
прямыми линиями, по которым данная плоскость пересекает плоскости проекций. Это
частный случай задания плоскости двумя пересекающимися прямыми, одна из которых
- горизонталь, принадлежащая плоскости Д» (такие прямые называются прямыми нуле-
вого уровня), а вторая - фронталь, принадлежащая плоскости . Точки могут быть
соединены в любую плоскую фигуру: треугольник (рис. 37), чет.ыреугольник и т.д.
Плоскости могут занимать общее и частное положение. Плоскость, произвольно
расположенную по отношению к плоскостям проекций, называют плоскостью общего по-
ложения. Следует помнить характерный признак комплексного чертежа плоскости, об-
щего положения: ни одна проекция плоскости (горизонтальная, фронтальная, профиль-
ная) не изображается в виде одной прямой линии, а обязательно в виде ‘плоской фи-
гуры (рис.34 т 37).
Плоскости частного положения подразделяется на проецирующие и.плоскости,
уровня (см. таблицу 3). Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называют
плоскостями уровня. Характерный признак комплексного чертежа плоскости уровня:
две проекции плоскости уровня обязательно прямые линии, перепендикулярные или
совпадающие с линиями связи чертежа, третья проекция - натуральная величина за-
данной геометрической фигуры. Проецирующими,называются плоскости, перпендикуляр-
ные только к одной плоскости проекций. Характерным признаком комплекского,черте-
жа проецирующей плоскости является то, что одна из проекций плоскости вырождает-
ся в прямую линию, называемую следом - проекцией.
Плоскости
положения
3
Ноимено-
дание плос-
кости
Положе-
ние
MOC-
кости
Эскиз комплексного
чертежа плоскости
Расположение сле-
дов плоскости
Наимено-
вание
плоскости
Положе-
ние
плос-
кости
Эдкиз комплексного
чертежа плоскости
Расположение сле-
дов плоскости
1} Фронтальная проекция плоскос- ти -вырожденная (прямая).

ZJh'lXiPflz.
У,
лпч - постоянная прямая чертежа
1) Горизонтальная
провкци^плоскос-
ти -вырожденная.
ZJftJ-X;PfJ.y
1) Профильная
проекция плос-
кости -врожден-
ная
2) ft и hi ИХ
1) Профильная
проекция плос-
кости -вырожден-
ная,
2) h° и ft сов-
падают с х.
1) Плоскость имеет
дде вырожденные
проекции фрон-
тальную и
профильную; - .
г)£*%1г
4) Плоскость
имеет dte бы-
₽.‘ рожденные про -
Хп екции горизон-
h’... спальную и про-
и филрнуЮ;
^MX,:P!nz
18
2.8. ПРЯМАЯ В ПЛОСКОСТИ
Прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через
дде точки этой
i Прямая общего

A
&
С,.
Рис. 53
Ci
Puc.40
через точку A .
Проведем теперь
Рис. 39
плоскости.
положении 5 плоскости.
Задача. Построить в плоскости, заданной треугольником, пря-
мую общего положения.
Решение. Построение можно начать с любой проекции (рис.33).
Допустим, что прямая Z проходит через точку С(С^, С2 ) и
расположена под произвольным углом к оси . Проводим
вначале фронтальную проекцию прямой д , отмечаем на проек-
ции Агбг фронтальную проекцию 1t точки 1 . Строим горизон-
тальную проекцию точки 1 . Соединяем точки и У* и: на-
ходим горизонтальную проекцию прямой t , принадлежащей
заданной плоскости.
На рис.39 показан'пример расположения прямой общего
положения в плоскости частного положения (фронтально проеци-
рующей), заданной двумя параллельными прямымич
Следовательно: если д проецирующей плоскости провести прямую,
то одна проекция ее дудят совпадать с проекцией самой плоскости
(с её следом - проекцией).
2. Прямая, лежащая 6 плоскости, является прямой частного поло-
жения. Горизонтали, (рронтали и линии ската плоскости^
Прямая h(hl9/li) t лежащая в плоскости уровня, называет-
ся линией уровня . Следовательно, она параллельна плоскости
проекций ( h II Hi) , Линия уровня, параллельная горизонтально.>
плоскости проекций, называется горизонталью . Фронтальная
проекция hi горизонтали h всегда параллельна оси
проекций . Линия уровня, параллельная фронтальной
плоскости проекции, называется (рронтапью . Горизон-
тальная проекция фронтали параллельна оси проекций.
Задача. ПлоскостьдАВС (А^С^» А2В2С,) дана
проекциями трех точек (рис.40). Для наглядности точ-
ки соединены в треугольную пластинку. Через одну из
этих точек (например,А ) провести, горизонталь к фрон-
таль, лежащие в данной плоскости. Фронтальная проек-
ция горизонтали всегда параллельна оси *<г . Поэтому
проводим через точку А2 прямую h2 IIХ^ . Прямая h
(горизонталь) лежит в плоскости ABC r поэтому h2 пе-
ресекает &С2 в точке Lt , т.е.А проходит через точ-
ку L ( L2-BzCi *А2; * LtLt ). Таким образом,
h(.hi, h2 ) - горизонталь плоскости ABC , проведенная

ту же точку А фронталь плоскости АЗС . Горизонтальная
проекция ее должна быть параллельна оси. Поэтому проводим через точку Ai прямую
через
19
$< 11Хц и находим точку , точку пересечения с прямой В4С1 . Поскольку точкам
находится на прямой ВС , ее фронтальная проекция Nt будет лежать на Bi Ct . Пря-
мая AtNtzjt является фронтальной проекцией фронтали. Следовательно), (^4, ft) -
фронталь плоскости АВС , проведенная через точЙу'-А , Очевидна, что через каждую
точку плоскости можно провести одну горизонталь к одну фронталь, лежащие в этой
плоскости.
PuC.4Z
Рассмотрим более част-
ный случай проведения пря-
мых в плоскости заданной
следами. Как уже отмечалось,
следы плоскости - это пря-
мые, по которым заданная
МгНЛ’ плоскость пересекается с
плоскостями проекций Пц и
nt(pHc.4I, 42). На рисунке это прямые hi nfJCW-
□xdxftj - горизонтальный след плоскости rf ; ff *

=» .<Х </7f - вертикальный след плоскости Л ). Для задания плоскости следами достаточ-
нр задать горизонтальную проекцию h° горизонтального следа и фронтальную проек-
ции fl фронтального следа, так как другие проекции следов совпадают о осью Хц ,
Как видим, горизонтальная проекция прямой А(А/ stf*/7<) совпадает с самой прямой,
т.е. Аг Л, а фронтальная проекция - с осью (ЛвМа). Для прямой f я^л/4) бу-
дем иметь: fp-f, Прямые h° u j9 пересекаются"на оси проекций, следователь-
но, точка Тп пересечения их проекций Л/ih И лежит на оси ^е).
Итак, следы плоскости пересекаются на оси проекций. *F*Ft -Следы Прямой,
нежащей 6 плоскости <Х.
ЬьАод: чтобы прямая лежала д плоскости, необходимо, чтобы одноименные следы
прямей лежали на одноименных следах плоскости.
3.Линии наибольшего наклона плоскости.
Линии наибольшего наклона данной плоскости к соответствующей плоскости про-
екций называются прямые, лежащие в данной плоскости и перпендикулярные к ее ли-
ниям уровня. Линию наибольшего наклона к плоскости /1у называют линией ската
плоскости. На рис. 43 проведена прямая ASIA плоскости
2 . Угол между прямой АВ и ее проекцией АД
(<ABiAj) обозначим (X . Любой другой угол, например,
ACfA< (ф )» будет меньше угла ABjAf. В этом легко
убедиться, повернув АВ1 на А<С< и сравнив треуголь-
ники AAj Bi и AAiCi . Угол AAiB{ (угол ) есть ли-
нейный угол двугранного угла, образованного плоскос-
тями 2 и Л1 . Следовательно, линия оката плоскости
может служить для определения угла наклона этой плос-
кости к плоскости проекций fit .
Аналогично можно показать, что если прямая при-
надлежит плоскости Q. и перпендикулярна к ее фронтали f или же принадлежит плос-
Рис.45
кости Q , но перпендикулярна \ee про-
. филъной линии i , то навдои этой прямой
к плоскостям и соответственно опре-
деляет углы £ и Y - наибольшие углы
между плоскостью 2 и плоскостями П^и П5.
Очеъидное линия наибольшего накло-
на плоскости определяет положение этой
плоскости. Напрамер, если задана линия
ската КВ (рис.44), то проведя перпенди-
кулярную к ней горизонтальную прямую AN
орыо проекций Хц и проведя hf iNffi , мы вполне оаредщ5и|>м плос-
X
Рис.44
или задавшись
кость, для которойHF является линией ската (рис.45).
2.9. ТОЧКА Б ПЛОСКОСТИ
Из курса стереометрии известно: точка принадлежит плоскостиt дели они при-
надлежит прямой, лежащей bдонной плоскости. Рассмотрим решение задачи на
проведение в плоскости прямой общего положения.
Зл/Й?4Д.*дана плоскость ) двумя пересекающимися прямыми К и € и
фронтальная проекция точки - А,(рис.46 ). Построить горизонтальную проекцию точки.
Решение. Чтобы построить вторую
проекцию точки, надо провести через
построение выполнено в полном соответствии с
А2 какую-либо прямую , постро-
ить горизонтальную проекцию Д пря-
мой СИ и найти искомую точку А< ,
как точку Пересечения СЛ с линией
связи, проведенной через точку A? t
На чертеж8р(рис. 47) плоскостьd взя-
та точка Через точку А про-
ведены горизонтал^^^^;) и фрон-
таль f ( fi, ft) плоскостичХ » >Это
пространственным рисунком (см. рис.41)
Построение проекции точки'А , принадлежащей плоскости d производится так же,
как было показано выше (сравните рис. 47 с рис. 42) с помощью прямой HF . Постро-
ение горизонтали и фронтали плоскости <Х через точку А показано на рис. 47.
ТЕМА 5.5.1. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
1. Прямая, параллельная плоскости. Условие параллельности
прямой и плоскости.
Для установления палаллельности прямых и плоскостей не существует наглядно-
го признака параллельности. Для того, чтобы построить прямую параллельную плос-
кости, необходимо построить в данной плоскости некоторую прямую, а затеи провести
прямую параллельную этой прямой. Отсюда признак известный из стериометрии:
если прямая параллельна прямой, лежащей д данной плоскости, то она параллельна
самой плоскости.
2Х
параллельность следа - проекции плоскости
Ври построении прямой/ параллель-
ной плоскости d , вместо произвольной
прямой этой плоскости можно взять лю-
бую главную ее линию, например, как на
рио. 48 горизонталь/?!/ (а, следо-
вательно a lid ). Справедливо и обратное
условие параллельности прямой и плос-
кости -.если плоскость параллельна данной
пряной, то о этой плоскости можно npotecmu
прямою, параллельную данной уммой.
.Признаком параллельности прямой и
плоскости частного положения является
соответствующей проекции прямой (рис.49)
2. Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости: прямая и плоскость перпендикулярны,
если прямая перпендикулярна кд&ум пересекающимся прямым, лежащим В
этой плоскости . Оно необходимо и достаточно- Но очевидно, что прямая перпенди-
кулярная к плоскости, перпендикулярна ко, всем прямым, лежашим в данной плоскости,
Рис. 50 Рис.51 Рис. 52
На рис. 52 дан пример построения перпендикуляра
в том числе и к линиям ее
уровня. Для удобства решения
задачи при построении прямой,
перпендикулярной плоскости,
в качестве пересекающихся
прямых плоскости берутся ли-
нии уровня (рис. 50.) или сле-
ды плоскости (нулевые линии
уровня). В последнем случае
признак перпендикулярности
на комплексном чертеже - про*
екции прямой перпендикулярны
одноименным следам плоскости
(рис.51).
из точки И на плоскость фрон-
тально-проецирующую. Как видно из рисунка, для этого, достаточно провести из точки
D перпендикуляр на след-проекцию плоскости на фронтальной проекции и построить
его горизонтальную проекцию. (Горизонтальная проекция
перпендикуляра расположится Носах).
Задача1. Построить прямую а(ау; а2 ) перпендику-
лярную плоскости d .заданной двумя пересекающимися
прямыми Ь (^; ) и c(.Ci; Сг) (рис. 53).
Решение , Строим в заданной плоскости горизон-
таль h Qhn hz) и фронталь f ( f<; fs) плоскости. БЪ-
ризоктальная проекция прямой проведена перпендикуляр
но к горизонтальной проекции hi горизонтали^ а фрон-
тальная а2 - перпендикулярна к фронтальной проекции
ft фронтали плоскости. Точка пересечения проекций
22
не является точкой пересечения прямой а с плоскостью <£.
a^h^ и
Для определения основания перпендикуляра необхо-
мо определить точку встречи прямой с плоскостью (.см,,
пункт 3.5 стр. 22 ). А для определения истинной величины
перпендикуляра.задача сводится к определению истинной
величины прямой (см. пункт 4J стр. 23). Решение данной
задачи значительно упрощается с помощью метода замены
плоскостей проекций (см. пункт 1.9 стр. 6).
Задача 2. Через точку 5 (Sv,5r) провести прямую
перпендикулярную к плоскости треугольника (рис. 54).
Задача по построению аналогична задаче I.
Решение задачи:
Построить: а Л АВС, а=>3.
Алгоритм решения:/. A a (ABC)', П Цц
(Аг > 4а 6^* 4)х (^г £г) ;
, 4 s ( 4 Ъ) х (^1^1) >
^'2.(С2)с(А&С), (С,2,)пх1г; (С,2,)с(*,№,)>
2, -- (С, 2,) « (А,&,); 2t = (?, 20 Л (Аг в,) ; (2г £,);
J. а,1 (А,1,); atl(2,Ct); а(а„аг) 1 (А&С).
3.2. ПОСТРОЙ! ЛИНИЙ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ (ОВЩИЙ СЛУЧАЙ)
Задача, ппсттюитч пияи'э пересечения плоскости ос , заданно:-, треугольником с
плоскостью jB , задпгнсй днум.4 пересекающимися прямыми В и (рис. 55).
Решение. Построение точки Л?
(^Л ).
I) Проведем вспомогательную
секущую плоскость 6 ИЦ . Проекция
этой плоскости - прямая .
2) Построим 12*6х<* . Фронталь-
ная проекция прямой 12 совпадает
с 6г . Прямая Afi плоскости» d пере-
секает плоскость 6 в точке 1 .
Фронтальная проекция этой точки
йстда плоскости. горизонталь-
ная проекция построена при помощи Вертикальной линии сВязи 4 4 . Прямая В С
плоскости <Х пересеьазт плоскость 6 в точке 2 C2Es 6t*BtCtU 2,c.BtCi ). Соединив
прямой точки 4 получим горизонтальную проекцию искомой линии.
3) Построим прямую 34 = 6 /. получим Зг4гв62 ; 3fSXtA/f ; .
4): ^сб1(
Для построения точки /V (Л'г, Л/2 ) применяем вспомогательную секущую плоскость
12 Ц . Вое построения выполняем аналогично построению точки ff . Прямые 74 АЛ и
> проведенные через одноименные проекции точек Л? и N t являются проекциями
искомой линии пересечения заданных плоскостей.
23
плоскостей, заданных следами, роль
Аналогичными рассуждениями решает-
ся задача построения линии пересечения
в случае, если одна плоскость задана еле*
дами, а другая - двумя параллельными пря-
мыми (рис. 56).
5.3. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕ-
НИЙ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ,
ЗАДАННЫХ СЛЕДАМИ
Даны две пересекающиеся плоскости
d и (рис. 57). Для построения точка
М линии пересечения данных плоскостей
необходима построить две прямые, лежащие
в этих плоскостях и одновременно во вспоч
могательной секущей плоскости, Но. такие
прямые уже есть - ими могут быть следы
к ffe • имеется и плоскость П^ , в
которой эти прямые лежат. Следовательно,
при построении линии пересечения Мух
тельных секущих плоскостей выполняют
люмости проекций.
Построение проекций линии пересечения двух плоскостей, заданных следами
(рис. 58), выполняется в следующем порядке:
I) Строят проекции , Mt точки пересечения фронтальных следов: фронталь-
ная проекция лежит в точке пересечения £ и /Д , горизонтальная проекция М<
- на оси Х12 .
2) Строят проекции А/, , точки пересечения горизонтальных следов: гориэ’он-»
тальная проекция Л/< лежит в точке пересечения и , фронтальная А4 - на оси
3) Одноименные проекции точек пересечения бледов соединяют прямыми, которые
и будут искомыми проекциями M-f А4 линии пересечения данных плоскостей. Вы-
вод: чтобы построить проекции линии пересечения Мух плоскостей, заданных следами,
необходимо соединить прямыми пиниями одноименные проекции точек пересечения
одноименных следоб этих плоскостей.
3.4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ 0
ПЛОСКОСТЬЮ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Задача 1. Построить линию пересечения двух плоскостей заданных треуголь-
ником. Одна из плоскостей d фронтально-проецирующая, вторая плоскость общего по-
ложения (рис. 59). Так как треугольник MEF (<Х) проецируется на плоскость прямой
линией (MiF^ ), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются
оба треугольника, представляет собой отрезок Л/* на проекции . Дальнейшее
построение ясно из чертежа.
Задача 2. Построить линию пересечения горизонтально-проецирующей плоское^,
ти, заданной следами с плоскостью общего положения, заданной треугольником МО '

(рис. 60). Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей - отрезок
Л/#Л/< - определяется на следе hj . Построения ясны из чертежа.
Задача 5 . Построить линию пересечения плоскости общего положения с гори-
зонтальной плоскостью (рис. 61). Линия пересечения представляет собой горизонталь.
По аналогии - любая фронтальная плоскость пересекает плоскость общего положения
по фронтапи этой плоскости.
3.5. ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С
ПЛОСКОСТЬЮ (ТОЧКА ВСТРЕЧИ)
д Точка встречи прямой с плоскостью определяется как точ-
г—> ка, принадлежащая одновременно прямой и плоскости (рис. 62).
\ь\ / \ <*/ Если заданная прямая и плоскость имеют общее положение, то
\ X \ /С последовательность построения следующая:
/\ I) Заключаем прямую в проецирующую плоскость J8 (вспо-
/ \/ \ могательную);
\ \ 2) Строим линию пересечения вспомогательной (Ji) и за-
\ данной (fit ) прямую МЫ ;
В 3) Находим точку встречи (К) на пересечении7 полученной
Рис: 62 линии МЫ с заданной прямой А В .
Комплексный чертеж построения точки встречи по изложенной схеме показан на
Если плоскость, проецирующая (например, горизон-
тально проецирующая рис. 64), то проекции точек пере-
сечения находятся непосредственно, так как одна проек-
25
ция ее определяется на пересечении следа проекции плоскости с соответствующей
проекцией прямой, а вторая как, например, точка К , находится из условия принад-
лежности прямой (с помощью линии связи). Совершенно аналогично» определяется точ-
ка К1 , пересечения прямой общего положения Q ) с, плоскостью фронтально-
проецирующей (рис. 65).
ТЕМА 4. ОСНОВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
До сих пор мы рассматривали позиционные задачи, т.е. такие, некоторых опреде-
ляется взаимное расположение (позиции) двух и большего числа геометрических обра-
зов. Задачи, решением которых является определение метрических характеристик двух
геометрических фигур, выражающиеся в определении расстояний и углов между ними и
т.д. называются метрическими , Метрические задачи удобнее всего решать при по-
мощи преобразования эпюра. Существует несколько, способов преобразований эпюра. Мы
рассматриваем в основном преобразование с использованием метода замены плоскостей
проекций. При применении этого типа преобразования эпюра мы оставляем- неизменными
рассматриваемые геометрические образы, а изменяем положение плоскостей проекций
таким образом, чтобы на новых плоскостях проекций проекцировалась натуральная ве-
личина искомых элементов. Кроме того,.в настоящих методических указаниях мы рас-
сматриваем еще один метод преобразования - способ вращения, но только для опреде-
ления истинной величины отрезка прямой общего положения.
4.4. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ И
УГЛОВ ЕЁ НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИИ
В^С - BCt А1С-натуральная Величина
отрезка АВ; уголка.
Рис. 66
Разность длин
/проецирующих
прямых
Известно, что прямая общего положения и углы ее наклона к плоскости проекций
проецируются с искажением на все три плоскости проекций. Если же прямая параллель-
на какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямая и угол ее наклона к
плоскости проекций проецируются в натуральную величину.
Существует несколько способов определения истинной величины отрезка прямой.
Рассмотрим три из них.
1. Способ прямоугольного треугольника.
Возьмем, например, модель: отрезок АВ
в пространстве и его горизонтальная проек-
ция Ау В-f на плоскость fit (рис. 66). Отре-
зок АВ является гипотенузой прямоугольно-
го треугольника АВС , каторый графически
получен проведением перпендикуляра АС к
проецирующей прямой ВBi через точку а ,
Один катет треугольника АВС равен разнес-
ти проецирующих прямых (ВС* АВ,-А А, ),
другой - горизонтальной проекции •
На основании этого сформулируем пра-
вило определения истинной величины отрезка
прямой на чертеже по методу- прямоугольного
Разность длин
проецирующих
прямых

гб
Ai
угол мекду пряной и
плоскостью Пг Рид. 88
комплексный чорте:?: отрезка АВ
треугольника: истинная
величина отрезка прямой
равна гипотенузе прямо-
угольного треугольника,
один катет которого ра-
вен проекции отрезка на
плоскость проекций, а
другой катет равен раз-
ности расстояний концов
отрезка до плоскости
проекций. При этом ги-
потенуза АВ наклонна к
катету. АС под углом с( ,
равным углу наклона пря
мои к плоскости проек-
ций 111 (см. рис. 67).
На рис. 68 представлен
На основании изложенного правила легко по рисун-
ку понять как определяется длина отрезка и углы наклона его к плоскостям flj и П2.
Л Определение истинной деличины отрезка методом замены плоскостей
проекций ‘ Основы способа изложены в теме I,. пункт 1.9
Дан отрезок А5 (АД и А28г) - прямой общего положения в системе плоскостей
проекций Пг и Л2 . Чтобы определить истинную величину отрезка прямой его следует
расположить параллельно какой либо плоскости проекций.
а) В системе плоскостей Л/Л2 заменим плоскость Пг на (I4 (рис. 69), горизон-
тально-проецирующую, расположенную параллельно АВ . В этой системе проекций АД
на плоскость остается прежней, а проекция прямой АВ на плоскость Л4 - А484
При выбранном нами положении плоскости Л4 новая ось проекций Хц. расположится па-
раллельно A, Bi » а новая проекция А4 является натуральной величиной отрезка.
Если на соответствующих линиях связи точек А< и В/ отложить от оси Х^ неизменные
для новой системы плоскостей Л/Л4 аппликаты и Zg , то получим точки А4 и 84 ,
Соединив их, получим натуральную величину отрезка прямой
АВ , а угол между А4В4И осью Хи(^) - натуральная‘ве- *
>гла наклона прямой А8 к горизонтальной плоскости проекций.
б) В системе плоскостей Л1Л2 заменим плоскость Л< на
/?5 , Фронтально-проецирующую таким образом, чтобы плос-
кость Л5 была параллельна КВ и расположена от нее на не-
котором произвольном расстоянии. В новой системе плоскос-
тей Лг Л5 , проекция АД на плоскость Л2 остается прежней,
а проекция прямой на плоскости Л5 будет А5 Bs . При замене
ГЦ на нежу и фронтально-проецирующую плоскость координаты
точек остается неизменными. Указанные координаты отклады-
ваем от оси X2£, расположенной параллельно А2В2, На соот-
ветствующих линиях связи точек А и В , как указано*на чер-
теже (рис. 70). Получим точки А5 и В$ , соединив их, по-
лучим натуральную величину прямой АВ . Угол между A58$ и
27
осью Х^ является натуральным углом наклона прямой АВ к
плоскости /7 г. .
ш J. Определение натуральной деличины отрезка по способу враще-
ния докруг пряных перпендикулярных к плоскости проекций.
При применении указанного, способа положение плоскостей про-
екций остается неизменным. Меняется лишь.положение заданных
геометрических элементов относительно плоскостей проекций.
Рассмотрим вращение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
. Вращение вокруг оси,, перпендикулярной к Па решается
аналогично.
Задача : определить истинную величину отрезка АВ (AMД),
Построение- Сркс. 71, а и б). Проводим через, течку д
плоскости проекций ft и враща-
ем отрезок АВ вокруг этой оси.
Точка В САъВг), как лежащая
на оси вращения, окажется не-
подвижной, а тачка А )
будет вращатся вокруг оси i
Поэтому горизонталь-
ная проекция тачки Л будет опи-
сывать окружность радиуса Mi
с центром в точке ft ( lt ), до
положения, при котором проекция
Mi расположится параллельно;
фронтальной плоскости проекций,
Тогда фронтальная проекция точ-
ки Л будет двигаться по? прямой
(8ъВг ) ось вращения i CG, it ) перпендикулярно к
АгА2 , параллельной оси проекций Х« , в данном случае по оси Xyj?, поскольку точ-
ка А лежит на оси . Соединив точку fl2 и At , получим истинную длину прямой и
величину угла ( d ) - наклона отрезка к плоскости ft . При вращении вокруг оси,
перепендикулярной к плоскости П2 , задача решается аналогично. Но в этом случае
кроме истинной величины отрезка определяется натуральная величина угла fi - накло-
на отрезка к плоскости ft.
4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОЕЦИРУЮЩУЮ
Прежде дсего отметим продало'- чтобы продести нодую
.плоскость проекций! к данной плоскости, необходимо
надую ось проекций продести 1 к фронтальной проекции
Фронтали или к горизонтальной проекции горизонтали
данной плоскости-
Задача. Дана плоскостьдЛвС общего) положения.
Преобразовать его в плоскость фронтально-проецирую-
щую. Для этого плоскость проекций П2 заменим на
(Л lh данной пло.скости) рис, 72а. При этом,
согласно изложенного правила, новая ось 1 hi .
Проведя через Ai линию связи АД 1 и..отложив от
Рис. 72 а
А»
Pt Mu
п,
28
точки/Ц =ДуД«хХ^ отрезок АЮА4 = ДЛД2 , получим новую проекцию А4 вершины А
данного треугольника. Аналогично строятся новые, проекции и С4 двух других вер-
шин. Соединив А4 , В4 и С4 прямой получим ьпонтальную проекцию т^е'^очьнпка (про-
екциядАВС выродилась в прямую линию). Построения на рис. 72а привели к получе-
нию угла (X наклона плоскости дАВС к плоскости Н .
45 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Задача 1. Дана плоскость лАВС горизонтально-проецирующая. Найти натураль-
ную величину треугольника (рис. 726),
Для решения этой задачи достаточно заменить одну плоскость проекции, а имен-
но плоскость Л2 на ГЦ (. Л4 // плоскости дАВС ). Дальнейшее построение ясно из чер-
тежа.
Задача?. Дана плоскость аАВС общего положения. Найти натуральную величи-
ну'треугольника (рис. 73).
Для решения данной задачи необходимо ввести две дополнительные плоскости
проекций /Z4 и С5 . Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразовывает-
ся плоскость дАВС (т.е. сводится к задаче I). На рис 73 плоскость проекций /Ц за-
менена на ./7* (/41/4 Шри этом новая ось проскпи!'1 см. пункт 4.2,
только в этом пункте’на рис. 72а рассматривалось-преобразование плоскости л АВС
в горизонтально-проецирующую и плоскость, проекции /4 заменялась на П4 1 /7/ ).
Второй этап решения задачи ясен из чертежа и аналогичен задаче I (рис. 726).
4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
В основе задачи по проведению на эпюре взаимна перпендикулярных прямой и
плоскости лежит теорема о частном случае проецирования прямого угла Сем. тему I,
пункт I.I2 , а также тему 2, пункт 2.2) На рис. 52 была рассмотрена задача про-
ведения из. точки Л (14,14)1 на фронтально-проецирующую плоскость а А ВС , а на
рис.73арассмотрена аналогичная задача, когда плоскость 4АВС горизонтально-про-
ецирующая. В первом случае Срис. 52) расстояние между прямой и плоскостью проеци-
руется в натуральную величину на плоскость /4 » а во- втором (рис.73а) - на плос-
кость , Если же по условию задачи задана плоскость общего положения (как/ на-
пример, на рис. 50 и 51) и расстояние от точки до плоскости проецируется с иска-
жением, то такую задачу удобно решить методом преобразования плоскости в плос-
кость частного положения.
29
Задача:' Определить расстояние от точки М до плоскости АВС , Плоскость
задана Треугольником общего положения (рис.736).
Построения : Проводим в плоскости треугольника горизонталь h (hi, bg ) и
заменим плоскость П2 на , перпендикулярную плоскости заданного треугольника.
Для этого выбираем новую ось Хи перпендикулярно горизонтали Ai1< , Тогда, прове-
дя операцию замены (см. тему I, пункт 1.9) для точек (АьА2), ( B-#,Bj), (СъСг )»
определим искомое расстояние так как плоскость треугольника, пер-
пендикулярна к плоскости Л^ , На рис. 74 эта же задача решена для случая, когда
плоскость задана следами т.е. пересекающимися прямыми уровня горизонталью А и
фронталью f° . \
4.5.ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ’МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ
Для того, чтобы длина'перпендикуляра между
и*
nt
прямыми проецировалась в натуральную величину,
необходимо, чтобы прямые были проецирующими,- т.е.
проецировались в точки. Так, нацример, на рис. 75
даны прямые уровня. Для определения расстояния меж-
5$ ду ними достаточно одного преобразования. Заменим
g плоскость на плоскость П^ так, чтобы она была
§ перпендикулярна к заданным прямым. На линиях свя-
зи от новой оси Ху4 откладываем отрезки, равные рас-
стояниям от заменяемых проекций -и прямых До
оси Х/г . Получим проекции и 3^ прямых, выро-
дившиеся в точки. Расстояние между, ними будет ис-
й4 комое. Если же параллельные прямые общего положе-
Рис.75
ния, то для решения задачи требуется сделать два преобразования (или две замены).
Построение : (рис. 76) Заменим плоскость проекций /72 новой плоскостью ,
выбрав новую ось проекций Хц параллельно горизонтальным проекциям и City ,
la Л4 прямые проецируются в натуральную величину. При второй замене заменим плос-
кость проекций П< новой плоскостью , выбрав новую ось проекций Х45, перпенди-
кулярную к фронтальным проекциям Ajfig и , При указанном, построении расстояние
между точками C$*Hsvl на плоскости П$ является искомым, т.к. в результате
30
А.
fh
Ба
рис.
*45
Рис, 76
Ла
л5
"4

двух замен прямые окажутся перпендикулярными плос-
кости Л$ .
4.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ
ДВУМЯ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Из стереометрии известно, что расстояние меж-
ду скрещивающимися прямыми измеряется длиной 1 опу-
щенного
одной прямой на другую.
С*
а'
е‘
Х12
d'
а
пример,
Csd
Рис. 77
когда одна из
приведен
скрещивающихся прямых проецирующая (перпендикуляр-
иакЛ<). В атом случае расстояние между прямыми
находятся непосредственно по чертежу (использует-
ся свойство проецирования прямого угла). Если обе
npHMtse общего положения., то решение
плану (рис.
переходим к
вупойнить по -следующему
I) ОТ системы Л1Л2
где а Л4«АВ,;
2) От системы
гдеЛзЮд, а/751А4В4;
3) Заменой плоскостей Л^Л^ новыми Л4Л5
задачи можно
78) :
системе
Л/Л4 ,
переходим к
системе
^4^5 ,
А8
Л»
Яд
45
• Л5
Рис.78
%.*
отрезок А&
переведен в горизонтально
-проецируещее положение (т.е. сводится к рис. 77). Получили на плоскости проек-
ций Л5 проекцию прямой Ав в виде точки (A^sfis) и проекцию второй прямой C5D5 »
Проведением из точки AS6S перпендикуляра на , находим натуральную величину
перпендикуляра между скрещивающимися прямыми 46 и CD . Построение проекций иско-
мого перпендикуляра йино из чертежа.
Примечание . Построение перпендикуляра в проекциях на Л< и Л2 показано на
рис. 78 стрелками, al на этих плоскостях проекций показан штрихпунктирной линией.
47. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУГРАННОГО УГЛА, ОБРАЗОВАННОГО
ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Если обе плоскости проецирующие, то двугранный угол между ними измеряется
31
75
углом между следами-проекциями эти^ плоскостей. Например,
если плоскости бС и £ горизонтадыно-проецирующие (рис. 79
и рис. 80),то “таким углом, является уголф между следами-
проекциями (X иfi , так как ребро ВС проецируется в точку.
Если же плоскости общего положения, то. за основу
двугранного угла между ними берется линейный угол, кото-
рой, лежит в плоскости, перпендикулярной к ребру ВС дву-
гранного., угра (рис. 81). Он может быть получен путем про-
ецирования двугранного угла на плоскость 'проекций, пер-
пендикулярную к его ребру В. С Ребро проецируется при этом в точку, а грани уг-
ла - в прямые линии. $2.
Задача . Определить двугранный угол, образованный пересечением плоокоотей
треугольника АЗС и DBC (рис. 8Х).
Решение . Подобные задачи целесообраано решать, используя способ последова-
тельной двукратной замены плоскостей проекций. При этом преобразуем систему плос-
костей fit/1% в такую, в которой линия ВС являющаяся ребром двугранного_угла, ста-
нет проецируется. На рис. 81 в системе П^Пз линия ВС преобразована в точку, а
каждая из проекций треугольников-является вырожденной (прямой). Угол ip между ни-
ми определяет величину двугранного угла между заданными плоскими фигурами.
ТЕМА5. 5.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ.
МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.
Все поверхности можно разделить на две группы: многогранные и кривые,
Многогранной, называется поверхность, оЗразоданная частями пересекающихся
плоскостей (гранями). Многогранником называется тело, ограниченное много-
гранной поверхностью.
Грани, ребра и вершины являются элементами многогранника. Совокупность-всех ре-
бер и вершин многогранника является его сеткой . Несколько) плоскостей Сне менее
трех), пересекающихся в точке, образуют пирамидальную поверхность. Эта точка
является вершиной, в ней пересекаются все ребра поверхности (рис;. 82),.
32
миды
Для построения проекций
многогранникаSAfiC (.рис,
83) необходимо построить
проекцииSiAiBiC< vi^ibtCt
его вершин.
Многогранники, грав-
иями которых является
одинаковые правильные
многоугольники и в их вер-
шинах пересекается одина-
ковое число ребер, назы-
ваются правильными , у
правильных многогранни-
ков ребра имеют одинаковую
длину, линейные углы вза-
имно равны и двугранные
углы равны друг другу.
Берлина правильной пира-
находится на перпендикуляре, проходящем череа центр основания.
Плоскости, параллельные некоторой прямой, при взаимном пересечении образуют
призматическую поверхность Срис. 84, 85). Все ребра такой поверхности взаимно
параллельны. Так как взаимно параллельные прямые пересекаются друг с другом в
бесконечно удаленной точке, то, очевидно, призматическая поверхность является
частным случаем пирамидальной с несобственной вершиной.
Для увеличения наглядности чертежа прибегают к некоторой условности., прин-
ципы которой были рассмотрены в теме 2, пункт 2,6 при рассмотрении конкурирующих
точек двух скрещивающихся прямых. Так, например, на чертеже изображай тетраэдр
своими проекциями (рис. 86). Требуется определить, какие из ребер являются неви-
димыми .
Примечание : Рисун-
ки 86 и 87 (нагляд-
ный чертеж) следует
читать одновременно.
По одной проек-
ции тетраэдра нельзя
сказать, какие ребра
видны, а какие нет.
Чтобы решить этот
вопрос, необходимо
дать две проекции
тетраэдра к&СА, и
АД Ct каждая из ко-
торых представляет
собой полный четырех-
угольник. Рабположе-
нив точек пересечения
33
диагоналей этих
четыре хугольн иков
дает возможность
определить види-
мость на чертеже..
Рассмотрим
точку пересечения
диагоналей четы-
рехугольника
АДCfSi,т.е. про-
екцию тетраэдра
на плоскость fli ,
Она является го-
ризонтальной про-
екцией двух точек,
одна из которых
(точка М ) лежит
на ребре АС нашего тетраэдра, а другая Сточка N ) - на
ребре 83 (M-pN-j = АД * В151 ). Находим вертикальные проек-
ции точекМ и.М (MgsAA, ). Если смотреть на тет-
Рис. 86 раэдр сверху, то из двух точек И nN будет видна та точка.
высота которой над горизонтальной плоскостью больше, т.е.. точка N . Но точка N
лежит на ребре 63 . Следовательно, в горизонтальной проекции ребро 85 окажется
видимым, а ребро АС - невидимым.
Рассмотрим точку пересечения диагоналей четерехугольника№iOtSt (.т.е. про-
екцию тетраэдра на плоскость Пг ) и определим видимость во фронтальной проекции.
Глубина точки L (на ребре АС ) больше глубины точки К (на. ребре АЗ ), Поэтому во
фронтальной проекции ребро ВС будет видно, а ребро АЗ окажется невидимым. Таким
образом, на чертеже дважды, применен критерий видимости. При этом оказалось, что
конкурирующие точки, т.е. точки с совпадающими проекциями, позволяют установить
расположение ребер тетраэдра в пространстве (рис. 86 и 87).
Точки на гранях пирамиды и призмы строятся при помощи вспомогательных пря-
мых ( см. рис. 82 и 83), принадлежащих плоскости граней. Для того, чтобы оареде-
лить по данной проекции точки. М , лежащей на грани ASB , проекцию (рис. 83),
проводим через точку фронтальную проекцию вспомогательной прямой этой
грани. Затем строим горизонтальную проекцию этой прямой ив пересечении пос-
ледней с вертикальной линией связи точки М* определим искомую проекцию Mi . Ес-
ли дана точка Mi , а надо найти точку , то поступаем наоборот. При построени-
ях надо стремиться к тому, чтобы точку можно было’ построить наиболее престо.
5.2 ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИИ
ПЛОСКИХ ФИГУР И МНОГОГРАННИКОВ
Аксонометрические проекции многоугольников, отнесенных к. какой либо системе
координат, строятся по точкам (координатам вершин), которые соединяют отрезками
прямых.
34
CtDg
AtBt
Хл
6
Задача 1 . По заданным координатам вершин многоуголь-
ник* А (50, 10, 10); В (50, 40; 10); С (0, 40, 10);
В (0, 10, 10) построить комплексный чертеж и его аксо-
Bio-
X’
oC'f
a)
I'
5)
неметрическое изобра-
жение (рис. 88, а, б).
На рис. 88, а, б пока-
зано построение четы-
рехугольника, параллель-
ного горизонтальной
плоскости проекций. Та-
ким же образом строятся
Ct
s'
z'
верхних точек
пирамиды ркс.
Задача I . По
аксонометрические проекции
жащих в плоскостях Hi , fit
spCi
PuC. 89
Рис. 88
плоских фигур, параллельных плоскостям Лг и Л3 или ле-
. п, .
Построение аксонометрических ’проекции многогранников
следует начать с изображения основания, затем используя ко-
ординату высоты (или высот) многогранника строят изображе-
ния
шин
(точек верхнего основания призмы или вер-
38, 89).
заданным
X72
координатам вершин многогранник
Ю, 0);
30, О);
Ю, 0);
20, 30)
комплексный чер-
аксонометричес-
ка Л (40,
3 (20,
С (10,
S (20,
построить
теж и его
кое изображение (рис.89,а,с),

55 ПРОЕКЦИИ ТОЧЕК, ПРЯМЫХ И ПЛОСКИХ ФИГУР, КАК
ЭЛЕМЕНТОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
На основании изложенного можно, сделать вывод: все геометрические предметы
состоят из точек, линий (прямых и. кривых) и плоскостей. Следовательно, научиться
строить на плоскостях проекций точки, линии (прямые, или кривые) и плоскости и
ориентировать их относительно друг друга означает научиться строить, чертеж. Рас-
смотрим вначале построение грашшх тел, т.е. тел, образующими которых являются
прямые линии. Так, например, на рис. 90, а, б и в изображены плоские фигуры -
проекции граней призмы отдельно, а на рис. 90, г составленная из них трехгранная
призма. Анализ чертежа призмы (рис. 90) показывает, что линии пересечения граней
предмета (ребра), перпендикулярные к горизонтальной плоскости проекций /?< , про-
ецируется на эту плоскость в точку, а на две другие .плоскости проекций (/?2 и/73),
проецируются параллельно оси I и, следовательно, в натуральную величину. Верхнее
и нижнее основания призмы, параллельные плоскости ГЬ , проецируются на нее в на-
35
туральную величину, а на плоскости Пг и П3 - в линию. При этом грани призмы
А21)гСгЕ2 й£2СгВ25г лежат в гориз-онтально^проецирующих плоскостях, но не парал-
лельны фронтальной и профильной плоскостям проекций и поэтому проецируются на
них с искажением, а грань BZFZ параллельна фронтальной плоскости проекций
и проецируется на нее в натуральную величину, а на плоскости и /73 в линию.
Рассмотрим аналогичную задачу составления пирамиды из простейших геометри-
ческих фигур, расположенных определенным образом треугольников. На рисунке 91, а,
О, г изображены отдельно грани пирамиды, а на рисунке 91,г, составленная из них
пирамида. Своим основанием ABS пирамида стоит на горизонтальней плоскости проек-
ций, поэтому на плоскость /7< , основание пирамиды, проецируется в натуральную ве-
личину, а на плоскости /7г и основание проецируется в линию, сливающуюся с
плоскостями проекций. Проекция ее грани ABS является профильно проецирующей,и
поэтому на профильную плоскость проекций вырождается в линию. Две ее другие
грани ASC и &5С не параллельны ни одной из плоскостей проекций и поэтому изобра-
жаются на плоскостях проекций с искажением, т.е. являются плоскостями общего по-
36
ложения. Линии пересечения граней - ребра пирамиды 5А и 56 - прямые общего поло-
жения, ребро $С , параллельное профильной плоскости, проецируется на нее без. ис-
кажения.
5.4. СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТКИ
Построение линий пересечения поверхностей с плоскостью применяется при об-
разовании форм различных деталей машин, при вычерчивании разрезов и планов зда-
ний и т.д.
Линия пересечения поверхности с плоскостью (сечение) является линией, од-
новременно принадлежащей поверхности и секущей плоскости. Поэтому для ее постро-
ения необходимо отыскать такие точки и линии, которые одновременно принадлежат
данной поверхности и заданной секущей
Рио. 92
пересечение шестигранной пирамиды
различными плоскостями
секущая плоскость :•
Секущая плоско
Аг
Рис.93
плоскости.
Рассмотрим пересечение пирамида
различными плоскостями. При этом по-
лучаются различные фигуры: многоуголь-
ник подобный основанию, если секу-
щая плоскость параллельна основанию
пирамиды (рис. 92, а)’; треугольник,
если секущая плоскость проходит через
вершину пирамиды (рис. 92, б); много-
угольник, не подобный основанию, если
лонена к основанию (рис. 92, в),
ь может быть плоскостью общего положения и плоскостью част-
ного положения. Рассмотрим многогранные поверхности по-разному расположенные от-
носительно плоскостей проекций (например, как на рис. 92) и их сечение плоскос-
тями частного, положения,
1. Построение линии пересечения поверхностей многогранника плоскостью
частного положения
Принцип решения задачи . При пересечении многогранников проецирующими плоскос-
тями одна из проекций сечения на одной из плоскостей
проекций вырождается в отрезок прямой линии. Для оп-
ределения других проекций фигуры сечения используется
спосод редер , сущность которого заключается в нахож-
дении проекций точек пересечения соответствующих ребер
многогранника со следом-проекций секущей плоскости.
Задача. Построить линию пересечения неправильной,
пирамиды SABC плоскостью фронтально-проецирующей 6
(рис. 93).
Линия пересечения 123 ) построена
по точкам пересечения ребер пирамиды с плоскостью 6 •
щр1,.ирзльлая проекция сечения совпадает со следом-про-
екцией секущей плоскости. <5г . Поэтому фронтальная про-
екция точки7=5А*б должна одновременно принадле-
жать 5^2 и 6а , т.е. 4=5гА8 . Горизонтальная про-
екция . Аналогично строятся точки 2 к 3 иско-?
мой линии сечения.
37
Решение этой задачи 3 символах:
«Г(7,; 4); 2) 6 П 53; 2(2^2,) ; 3) бП$е*3(Зр 3t) i
4) бПдАЗС .= 123 (W, i 1t2t3t).
2. Построение раздёрток поверхностей геометрических тел,
С развертками поверхностей мы часто, встречаемся и в обыденной жкэни. % Wk
производстве, например, при изготовлении деталей из. листового материала..
Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, полученная
в результате совмещения с плоскостью всех ее граней. Построение развертки по-
верхности многогранника сводится к построению изображении истинной величины ре-*
бер и граней. При определении указанной истинной величины используется способ
перемены плоскостей проекций?, или способ вращения.'Полная развертка поверхности
состоит из развертки (раскатки) ее боковой поверхности и оснований.
Рис.94
Во
о—
Ав
в.
и
До Ъ ч с Со
р I) На рис. 94 пс комплексно-,
0 му чертежу прямой призмы постро-
ена ее развертка. При этом, по-
скольку ребра проецируются в ис-
тинную величину,
высоту граней
берут с фрон-
тальной проек-
ции, а ширину
- о горизонталь-
ной. Развертку
принято строить
так, чтобы к
наблюдателю бы-
ла обращена лицевая сторона по-
верхности. Это условие необходи-
мо соблюдать потому, что некото-
рые материалы (кожа, ткани) име-
ют две стороны: лицевую и обо-
ротную. К одной из граней боко-
Со &в
% 1о
&
А

Со 8g
вой поверхности пристраивают основание призмы. Если на поверхности призмы задана
точка i (на рис/94 она задана ца грани CZC^, то на развертку точку пере-
носят с помощью двух отрезков, помеченных на чертеже фигурными скобками.
2) На рис. 95 по комплексному чертежу пирамиды построена ее развертка. По-
строение развертки пирамиды труднее, чем прямой призмы, так как ее ребра AS и
С5 проецируются не в истинную величину на плоскости проекций, а ребро?5В II плос-
кости П3 . Прежде чем строить развертку, проанализируем комплексный чертеж пира-
миды. По двум ее проекциям построена третья. По чертежу устанавливается, что пи-
рамида треугольная, правильная, так как ее основанием является правильный тре-
угольник, лежащий в плоскости П< , а высота проецируется в центр основания. Гра-
ни АВЗ и &SC равны между собой, а грань ASC профиль но<-проецирующая. Пирамида пра-
ецируется на плоскость П3 в треугольник, а ребро 8S - в истинную величину.
38!
Величину ребра AS -CS находят методом вращения вокруг горизонтально-проециру-
ющей оси, проходящей через вершину 3 так, чтобы она стала II фронтальной плоскос-
ти проекций Л2 . Имея три стороны каждой грани и пользуясь способом засечек, лег-
ко построить развертку (рис. 96). Построение следует начинать с Передней грани:
на горизонтальной прямой отложить! _отрезок AeC0 = и сделать первую засечку ра-
диусом A0S0- Ag5i . вторую - Са50 -CiSt • В пересечении засечек получим точку 30 .
Сторону Д,5о принимаем за базу и из точки А делаем засечку радиусом. АоВа -А1В1 ,
из точки So делают засечку радиусом В© = S3fl3 ; в пересечении засечек получаем
точки во . Аналогично к стороне ЗоСо пристраиваем грань 3© В© & , а к сторонеД©^
- треугольник основания. 4©СоВо •
Для* определения истинной величины плоского | сечения поверхностей тел плоо-.
костью удобно пользоваться методом замены плоскостей проекций.
Задача!. Четерехугольная призма ABCDA1B1C101 поставлена основанием ABCD на го-
ризонтальную плоскость и рассечена фронтально-проецирующей плоскостью Ф ( )
(рис. 97, а, б).
Решение . Пересечение следа-проекции плоскости Ф с фронтальными проек-
циями боковых ребер призмы дает фронтальные проекции , 2С , Зг и 4е вершин ис-
комого сечения. Так как призма прямая, то горизонтальные проекции 4, и
4f этих вершин совпадают о вырожденными проекциями соответствующих ребер. Про-
фильные проекции , 25 , 34 и 43 указанных вершин определяем при пересечении
горизонтальных линий связи точек 4 St и 4^ соответствующими проекциями
Д3Д3 ifl3 Bj »C3Cj ребер призмы.
Натуральная величина уйгуры сечения fs,2^^s найдена способом замены
плоскостей проекций (тема I, пункт 1.9).
Разбёртка бокоЬой поверхности призны.
Разрежем призму па ребру ДА1 . Развертка боковой поверхности состоит из че-
тырех прямоугольников, у которых основания равны сторояам основания призмы, а вы-
сота - высоте призмы (рис. 97, б). Пристроив к одному из оснований прямоугольни-
ков верхнее и нижнее основания призмы, получим полную развертку ее поверхности.
Для построения развертки боковой поверхности усеченной призмы наносим иа разверт-
39
ку линии найденного пересечения и на ребрах 4O4J , , С9Са соответст-
венно строим точки 4 , 20 , Зо и 4о. Отрезки А919 , Вв29 , С030 и Ио 4» соответствен,
но равны отрезкам А^ 1t , Вх 2г , С*32 и Д 4г . Чтобы получить полную развертку
усеченной части призмы, к одному из участков линии пересечения (3₽4*) пристраива-
ем сечение натуральной величины. Поверхность усеченной части призмы обводим кон-
турной линией.
Задача?. Построить сечение неправильной четырехугольной пирамиды A6CDS ,
поставленной основанием на горизонтальную плоскость /7^ , профильно-проецирующей
плоскостью Т (рис. 98, а, б).
Ц ми пересечения следа-проекции *г3 с профильными проекциями ре-
бер, позволяют определить фронтальные /2 , 2, , 3, и 4, горизонтальные 4 t £ »
40
и 4, проекции вершин искомой сечения на соответствующих фронтальных и. гори-
зонтальных проекциях ребер пирамиды.
Натуральная Величина фигуры сечения 4* найдена способом замены
плоскостей проекций (тема I, , пункт 1.9).рис. 98, а.
Аналогично построению развертки боковой поверхности призмы (рис. 98, б) строят
развертку боковой поверхности пирамиды.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ
I-ГО ЭПЮРНОГО ЗАДАНИЯ
Вариант задания контрольной радоты. Для студентов-заочников, посещающих груп-
повые вечерние занятия, вариант задания должен соответствовать номеру фамилии
студента по журналу, а для студентов заочной формы обучения - сумме- трех послед-
них цифр но.\^ра зачетной книжки. Так, например, если номер зачетной книжки сту-
дента Г'-И72$, он выполняет вариант 18, если номер зачетно.й книжки студента 701002,
то вариант ’2 и'т.д. При шифре, заканчивающемся тремя нулями, выполняется 30-й ва-
риант.
Содержание - эпюрное задание выполняется на трех листах формата 12, в
-соответствии с образцами, данными на риеунках 100, 102, 103 и 104. Все три лис-
та выполняются на формате 12 (297 * 420) карандашом. Результаты решений желатель-
но выделять цветными карандашами.
Лист 1.
1) По двум данным проекциям многогранника построить его профильную проекцию.
2) Определить координаты точек многогранника.
3) Определить натуральную величину ребраЗАи углы его наклона к плоскостям
проекций /7, и Лл .
4) Установить положение ребер относительна плоскостей проекций.
5) Построить аксонометрическое изображение многогранника Сво фронтальной
диметрии).
Образец листа I на рис. 100 выполнен по заданию,
представленному.на рис, 99.
Цель I-го листа: закрепить знания студентов по ре-
шению задач на расположение и построение точек в прямоу-
гольных и аксонометрических проекциях.
I) Выполнение.задания начинается с построения по
двум данным проекциям точек (вершин многогранника) тре-
тьей, профильной проекции.' На формате листа I в левой
части (см. образец рис. 100) вычерчиваются по указанным
размерам заданные проекции многогранника на плоскостях
П< и flg и обозначаются его вершины. При построении тре-
тьей проекции рекомендуется использовать постоянную пря-
мую чертежа (п.п.ч.). Профильные проекции точек целесо-
образно обозначать по мере их получения.
На образце задания Срис. 100) по рис.99 выполнено
построение профильной проекции многогранника, представ-
ляющего собой сочетание соосных призмы и пирамиды. По-
Коор&инйты
О
L
г
Jh
Точ-
ки
У
45
2Ё
1Ю
98
z
№1 fyffTTpo&tue mown на знюреив ансонв^прии
V fioHci
J ^З гр \нг 739002

. х
.54
3$
i?
z
0
_0_
L
к
0_
120

Озгвз
к_Jikfej
№ x\ R Гф |«
£Д&—-2Х/.
Анализ положения pefcp ^ногосра.нника;
• 86; EK; CL ;0Т; 5О;АЕ- горизонтально -
проецирующие реЕрс.;"
6В - (ррантп.льное редра;
SC - профи льное ргоро;
Ав; BD; DE; CE;AE;FG; ST; TL;M;EKi№/; NE;
flР-горизонтальные pefya
*а£
81-61

Tte. Ж
42
верхность пирамиды срезана, а отсутствующая часть ребраSM ) для удоб-
ства построения показана точками. Таким же образом покараны чертежи в вариантах
задании в табл. 5. Для определения видимости ребер многогранника на профильной
проекции необходимо представить положение предмета к профильной плоокости проекций;
2) Для построения аксонометрической проекции определяем координаты точек
вершин многогранника замером по комплексному чертежу. Результаты измерения зано-
сим в таблицу так,’как :зтг сделано на образце рис. 100.
3) Определение натуральной величины ребра 5А и угла наклона его к плоскос-
тям %- и nt (см. тему 4,- пункт 4.1 методических указаний). Натуральную величину
ребра ЗА необходимо выделить двойной линией, как это.» сделано на рис. 100.
4) Пример анализа положения ребер многогранника относительно, плоскостей про-
екций (см. образец}. Методические рекомендации по этому вопросу см. в теме I,
пункт Г. II. '
Для построения аксонометрической косоугольной диметрии ‘следует изобразить
на Чертеже координатные оси как на комплексном чертеже, так и на поле чертежа -
аксонометрические оси (см. тему I, пункт 1,10 методические указания)*, При этом
ось Z должна совпадать с. вертикальной осью многогранника, а оси X vify - лежать в
плоскостй его основания. В аксонометрии вначале строится основание многогранни-
ка ГГГЛ' , затем достаточно отложить высоту призмы и построить одну точку
верхнего основания (например, F* ). Остальные точки верхнего основания строятся
проведением линий, параллельных нижнему основанию. Затем откладываем высоту пи-
рамиды и строим вершину 5 (5<,5t). Срез пирамиды N'M'P' построен по координатам
точек. Видимость ребер в аксонометрических проекциях определяется с учетом того,
что тело рассматривается сверху слева (см, тему 5, пункт 5.2).
Лист 2, Для студентов заочной и Зечорной формы обучения.
Для студентов заочной формы обучения.
1) Определить натуральную величину двугранного угла
при ребре АВ (тема 4, пункт 4.1),
2) Определить натуральную величину расстояния между
прямыми АВ и 83 (тема 4, пункт 4.4),
3) Определить натуральную величину расстояния от
точки 3 до плоскости лА8С (тема 4, пункт 4.2);
4) Определить натуральную величину' плоскости а АЗС .
При решении указанных задач нужно использовать 'ме-
тод замены плоскостей проекций (образец выполнения см.
рис. 102).
Для студентов дочерней, формы обучения:
I) Определить натуральную величину расстояния меж-
РиС.1М ДУ прямым* 41 и SC (тема 4, пункт 4,4);
Вс 2) Определить натуральную величину двугранного уг-
ла при ребре А&( тема 4, пункт 4.1)‘.
Цель задания (образец выполнения см. рис. I03T; Практическое применение
способа преобразования комплексного чертежа.
Задание предусматривает выполнение студентами метрических-задач с использо-
ванием метода перемены плоскостей проекций. Исходные данные для образцов лйста 2
представлены на рис. 101. Задание студент должен взять согласно: своему варианту

PbLC. 104
no таблице 6.
Примечание . Некоторые размеры вершин призмы в чер-
тежах заданий получаются построением, исходя из условия,
что ребра призмы параллельны между бобой.
Лист 5.
I) По двум проекциям.п-острбить третью проекцию.
2) Построить натуральную величину сечения.
3) Построить.развертку многогранника с нанесеиллм
линий сечения.
"4) Построить аксонометрическое изображение срезал-
него многогранника.
. Образец листа ;3 Срис? 105) выполнен по паданию,
представленному на рис. 104.
. Данные для выполнения 3-го листа необходима брать
из. таблицы б. Размеры в таблице указаны/для вычерчива-
ния многогранника, наносить их на лист не следует Сем.
образец рис. 105). Направление, секущей плоскости указан-
но на рисунках задания углом и координатой точки Tf8 *
[рауин выполнения листов /*а? зпюрноы задания.
Таблица. 4
№п/п листа Сроки быдачи Сроки сдачи
1 третья неделя сентября пербая неделя4 октября
2 последняя неделя октября бторая неделя ноября'
5 бторая неделя ноября последняя неделя ноября
Л

д
Ao
л
а.
л
А

'АЛ
i
fi,
4
Иг

А
л»Х.
H
SA
8.
61
а

<з
Во
А»
ю0

<4
jh
te'
^rrfo
o—
Д
л
Ь,

'Co vp j
Jo
аг
л

Я»
U
6.

с<

А
Ко
До
to
Ло
Д
X'
№5
А
6‘
B‘\£
c7

г’
т
’puclS
ж
ZWIJ
w
f\^‘
Сечение многогранника, разбертка и его
аксонометрия ___________________'
13.1i.8O 06трт€хни.ческий. tp^i
Ш180 4курс 13 группа
Черггят Kpabuoto.
Upobepufi Apxunob
Архи.поЬ
^5t?665
Таблица 5
Продолжение таблицы 5

Г.аодолжсние танины 6
Таблица 7
Продолжение таблицы 7
Продолжение тадяицы 1
Первое эпюрное задание /для заочников/
Печатается по решению редакционно-издательского совета Черновиц-
кого государственного университета
Составители: Валентина Витальевна Червинская, кандидат технических
наук, доцент; Валерия Ивановна Потоцкая, ассистент
Ответственный* за выпуск: Владимир Иванович Удовицкий, кандидат
технических наук, доцент
Литературный редактор: Анатолий Евгеньевич Нямцу
Подписано к печати 17,12.80.
Формат 60x84/8. Бумага типографская > 2-А,
Офсетная печать, Усл.печ.листов 4,51,
Уч.-изд, листов 2,0. Тираж 500. Заказ 427,
Бесплатно.
Лаборатория копировально-множительной печати Черновицкого госу-
дарственного университета
г. Черновцы, ул.Коцюбинского, 2