Министерство
ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОбРАЗОВАНИЯ
УССР
Черновицкий
ордена Трудового Красного Знамени
государственный университет
ЧЕРВИНСКАЯ В. В.
ЛОТОЦКАЯ В.И.
ЗАДАНИЕ
Черновцы ЧГУ1985
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УССР
ЧЕРНОВИЦКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Подлежит возврату на кафедру
ВТОРОЕ ЭПЮРНОЕ ЗАДАНИЕ
(ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ)
ЧЕРНОВЦЫ ЧТУ 1983
Второе. еадрное задание (дия студентов заочников)
(на русском языке)
Печатается яо рпдкнпго редакционно-издательского совета Черновицкого
государственногоушеерситета
Составители:	Валентина ВмтеяьевнаЧерВшйгяав, иаядицаттехнических наук,
доцент
Валерия
(ответственный за выпуск);
Ивановна Потоцкая, ассистент
Актератургай редактор:
Анатолий Евгеньевич Нямцу
Подписано к печати. 13.09.8$.
Формат 60x84/8. Бумага типографская > 2.
Офсетная печать. Усл печ.листов 2,3.
Уч.-иэд.листов.2,5., Тираж 700. Заказ 579.
Бесплатно
1я^раяаряя вомроямиию мюстТ^льной печати Черноввдкоч’О тесударствеьйЮго
уяперситета
г*Чврновцн( ул*ймробинското, 2
ПРОГРАММА ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
АЛЯ 2-го ЭПЮРНОГО ЗАААНИЯ
s'- Содержание программы	1ункты в мето- дичес- ких ука эаниях	Номера за- дал решае- мые в аудитории	Задачи решаемые дома (обя- зательные)
ТЕМА 6 Стандартные виды аксонометрических проекций. Фрон- тальная косоугольная диметрическая проекция. Аксо- нометрические проекции плоских фигур. Аксономет- рические проекции простейших геометрических тел.’ Последовательный ход построения фронтальной димет- рической проекции шестиугольной призмы. Прямо- угольная изометрическая проекция. Прямоугольная диметрическая проекция? ТЕМА 7 Кривые линии, винтовые линии. Способ образования кривых поверхностей. Формообразование поверхнос- ти. Классификация поверхностей. Поверхности вра- щения. Их формообразование и построение на них точек и линий.Построение точек на поверхностях. ТЕМА 8 Построение сечений поверхностей. Построение раз-' верток поверхностей. Пересечение поверхности с прямой линией.	6.1-6.9. 7.1-76 &1-8.3	,1; 1,5; 1,5; 2,1 (рис.50) E1J 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 5,7 £13 5,19; 520; 5,21; 5,22 Е13	2,1 (рис.51 и. , 52) С1] 51; 5,2; 5,3 5,8; 5,9 [13 ’ 5,19; 5,20; 5,21; 5,22; £13
Примечание: I - "Рабочая программа практических занятий по начертательной гео-
метрии", Черновцы, ЧТУ, 1981
2 - Русскевич Н.Л. "Сборник задач по начертательной геометрии" -
К: "Вища школа" 1978, § 35, с.90-93.
4
ТЕМА 6.6.1 СТАНДАРТНЫЕ ВИЛЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ПРОЕКЦИЙ
Сущность аксонометрических проекций изложена нами в "Первом эпюрном задании
для заочников" (ЧГУ, 1981г.; см.тему 1.10, с.10). Сейчас рассмотрим стандартные
аксонометрические проекции.
Существуют различные виды аксонометрических проекций. Стандарт (ГОСТ 2.317-
68) рекомендует пять: 1) прямоугольную изометрическую; 2)прямоугольную диметрическую;
3)косоугольную диметрическую; 4) фронтальную косоугольную изометрическую!
5) горизонтальную косоугольную изометрическую.
,	В практике чаще всего применяются первые
три вида, на которых мы и остановимся более подробно. Общий принцип построения
аксонометрических проекций заключается в том, что ортогональные координаты любо-
го элемента, определяющие его положение в пространстве, умножаются на свои коэф-
фициенты искажения, и полученные величины переносятся на аксонометрические
Соединяя построенные таким образом точки соответствующими линиями, получаем
аксонометрическую проекцию предмета.	*
6.2 ФРОНТАЛЬНАЯ КОСОУГОЛЬНАЯ ДИМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОЕКЦИЯ
В 1-ой контрольной работе студенты строили наглядные изображения многогран-
ников во фронтальной диметрии. Рассмотрим построение различных поверхностей в
указанной аксонометрии. Фронтальной аксонометрия, называется потому, что
плоские сригуры, расположенные параллельно картинной плоскости,
проецируются на нее дез искажении.
Фронтальную диметрию целесообразно применять в тех случаях, когда какие-
либо плоские фигуры, ограничивающие поверхность тела, на чертеже желательно изоб-
ражать без искажения (например, круги (рис.16), многоугольники (рис. 14).
Б.З ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Этот вид аксонометрических
проекций по расположению осей
и приемам построения сходен
с фронтальной косоугольной
проекцией. Однако, в прямоуголь-
ной диметрической проекции ось
W располагают под углом
7° 10' к горизонтали, ось 0V'-
под углом 41°25' к горизонта-
ли, а ось til' - вертикально. Практически углы округляют до 7° и 41° (рисЛ),
Оси диметрической пррекции проще всего строить способом построения уклонов
(для оби х'-уклон I : 8, для оси У'уклон 7 : 8) или при помощи транспортира.
При построении диметрической проекции линейные размеры вдоль оси У сокращают
в два раза по отношению к соответствующим размерам осей X1 и Z!.
5
6.4 ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
В практике технического черчения прямоугольную изометрическую проекцию
(изометрию) применяют наиболее часто. Положение аксонометрических осей в прямоу
z‘
Рис. 2
показателями
искажения
разрешает
X'
с$
гольной изометрической проекции При-
нято следующее: ось O’Z'располагают
вертикально, а ось СГХ' и O'Y1 - под
углом 120° к ней (рис. 2, а и б).
Коэффициенты искажения по всемтрем
осям O'Xi ОУ , о*?' , равны 0,б^Срис.г,а),
Ввиду одинакового коэффициента иска-
жения по всем трем аксонометрическим
осям этот вид аксонометрической
проекции называется изометрической
проекцией.
При практических построениях
совсем удобно, поэтому с целью упрощения
не <
выполнять изометрическую проекцию условно <
т.е. по трем осям откладываем действитель-
пользоваться
построений ГОСТ ,2.317-68
с коэффициентом искажения равным I,
ные размеры. Очевидно, что построенное таким образом изображение будет крупнее
самого предмета примерно в 1,22 раза,(рис.2,б),
и. построение i аксонометрии	вашгфо
А. I КОСОУГОЛЬНОЙ АВМЕТРИИ (Ш1ЩНШ I
Для того, чтобы научиться строить аксонометрические проекции любыхпредме-
тов (геометрических тел, моделей, деталей), поверхности которых ограничены плос-
кими гранями, надо научиться строить аЯоонометричесвЙ проекции плоских фигур,
Пр этому вначале мы остановимся на построений аксонометрических проекций плоских
фигур, расположенных в плоскостях проекций, или в'плоскостях им параллельных.
При построении плоских дяаур6 аксонометрии следует помнить; прямые
линии, ограничивающие контур фигуры, расположенные параллельно осям проекции,
проецируются 6 аксонометрии также параллельно осям и с тем же коэффи-
циентом искажения, что и оси.
Начало и направление координатных осей на ортогональных проекциях изображен-
него предмета нужно располагать таким образом, чтобы они лучше всего соответ-
ствовали его симметрии. Рассмотрим на примерах построение некоторых аксономет-
рических проекций.
Построение прямоугольника и шестигранника расположенных в разных плоскос-
тях проекций. Комплексный чертеж прямоугольника задай на рис. 3,а, а шестигран-
ника на рис. 4,а. Для построений фронтальной днметрии построим оси фронтальной
косоугольной димеТрии (рис. 3,6). Угол Между осями X'Z* - 90°, ось У состав-
ляет с осью X' - 45°. Коэффициенты искажения во всех этих случаях по осям
X', Z.' - I, по оси У' - 0,5. Прямоугольник, как и шестигранник (или какая-
6


CtiOt
Ж
г
Рис. 5
Либо другая плоская фигура), расположенный в плоскости Аг. не
изменяет своего вида (рис.3,в и рис.4,б). Фронтальная димет-
рия этих же фигур, лежащих в плоскостях Пу и П3 , получится
искаженной.
Остановимся подробнее на построении фронтальной диметрии
прямоугольника,лежащего в плоскостях Пг , Пу . На рис, 3,в
прямоугольник расположен в плоскости Пг , поэ-
тому во фронтальной диметрии не меняет своего
вида. Прямоугольник удобно расположить так,
чтобы его оси симметрии совпадали с осями про-
екций, поэтому точка пересечения осей симмет-
рии совпадает с началом координат. От точки О'
по оси О'Х' откладывают в одну и другую сторску
половину длины прямоугольника, а по оси 02'-
половину ширины его. Через полученные точки про-
ведены прямые,параллельные осям,до их пересе-
чения. Точки пересечения являются вершинами
прямоугольника. Сравнивая рис.З.а и в, видно,
что заданный прямоугольник во фронтальной ди-
метрии изображается без искажений. Этот же
прямоугольник, расположенный в плоскости Пу,
изобразится в виде параллелограмма (рис.3,д). Длина прямоугольника направлена по
оси X' и отложена без сокращения, а ширина по оси У' - с сокращением в два раза.
В виде параллелограмма изобразится и прямоугольник, расположенный в плос-
кости (рис.3,г). Длина прямоугольника направлена по оси У" и сокращается в
два раза, а ширина по оси V откладывается без сокращения. Подобным образом
строится проекция прямоугольника и в других видах аксонометрии.
2

Ь—Л
Bi*, Qsfy
а
Рис. 4. а ~ комплексный
черт ем шестиугольни-
ка; д~& плоскости Пг •
(натура); 6-S плоскос-
ти Of} е-& плоскости П3.
Точно так же шестиугольник, расположенный
в плоскости Пг. , во фронтальной диметрии
не меняет своего вида (рис.4,б).
у Построение шестиугольника,
расположенного в плоскости
(рис.4,в), выполняется в сле-
дующей последовательности: по
оси (УХ1 из точки О'откладыва-
ется размер, равный половине
размера шестиугольника, и оп-
ределяется положение вершин
Г и 2*/. По оси 0{У* , направ-
—ленной под углом 45°, из точ-
ки О' откладывается размер,
равный половине ширины шести-
угольника, сокращенный в два
раза. Через полученные точки
лету-
1 II 'Xf
(середину сторон 3-4'и 6^5 проводятся линии, параллельные оси О'х'и на них
откладываются в обе стороны размеры, равные половине стороны шестиугольника,
Построение шестиугольника, расположенного в плоскости П3 (рис.4,г), аналогично,
7
Z2i




У'
Puc.5
с г V
только в этом случав в два раза сокращается расстояние
между вершинами шестиугольника I* - 2' расположенными на
оси 0'У' и размерысторон 3-4* и 5-6*. Расстояние между сторо-
нами 3-4 и 5-6 имеет действительный размер на рис.4,в.
б. В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ KUMETPUU
На рис. 5,а дан комплексный чертеж правиль-
ного треугольника’, а на рис. 5,б-г его построение
. в прямоугольной диметрии. В данном случае высота
В* треугольника (82^2) является его осью симметрии.
С этой оси начинается построение' аксоно-
метрии. На плоскостях П2 и П3 ось В2.О2
распологается II оси Z' , поэтому ее раз-
мер остается без изменения. От точки О'
откладываем отрезки О'А' и О'С' II оси X’
(без сокращения) и И оси У ;(с сокращени-
ем в два раза).
На рис.6,а дан комплексный чертеж, а
на рис.5,б построены аксонометрические ди-
метрические проекции правильного пяти-
угольника, расположенного в плоскости ГЦ.
Как обычно,, при построении сначала надо
найти точки геометрического тела, лежащие
на осях. Таких точек две: вершина
пятиугольника В и середина противополож-
ной стороны ED . Мы расположили их на
оси У . Отмечаем точку О' и откладыва-
ем размеры до точ|ки В* и до середины стороны
E'D' , сокращенные в два раза. По этой же
оси откладываем отрезок Q (от точки В' ).
Через полученную точку проводим вспомага-
тельную линию II оси X' и на ней вправо и
а-комплексный чер-
теж пятиугольника)
6- прямоугольная
диметрия
Рис. 6
Рис 7
влево откладываем отрезки, равные расстоя-
нию от точек А и С до оси У . Остальные
построения ясны из чертежа.
В. В H30METPUU
Изометрическая проекция шестиугольни-
ка, расположенного в плоскостях /Ъ , Пг
и П$ , показана на рис.7,а,б, и в.
Размеры для построения шестиугольников на
рисунке 7 берутся из комплексного черте-
жа по рис.4,а.
Как и в предыдущих случаях
(см.п.А и Б), построение прямолинейных,
^очертаний шестиугольника производится
путем проведения,прямых, параллельных
'аксонометрическим осям (ясно из черте-
жа) .
8
6.6. AKC0H0METPU4ECKUE
Большая ось-
\“13d
ОКРУЖНОСТИ
КОСОУГОЛЬНОЙ АИМЕТРОи
(ФРОНТАЛЬНОЙ ) На рис.8
изображена диметрия куба с ок-
ружностями, вписанными в его
грани. Передняя грань куба
изображается в натуральную ве-
личину в виде квадрата, поэто-
• му и окружность, лежащая в
этой плоскости, изображается
без искажения. Это обстоятель-
ство представляет существенное
преимущество при вычерчивании
фронтальной диметрии деталей
цилиндрической формы или с
большим числом цилиндрических
отверстий.
Верхняя и левая грани ку-
ба проецируются в форме парал-
лелограммов. Окружности, впи-
РиС.8
изображаются эллипсами, которые удобно заменять овалами.
санные в эти грани,
Построение овалов в этих плоскостях аналогично их построению в прямоугольной
диметрии . (см. рис.10).
Большая ось -106 D
С
В
3?
Г
ff
Рис. 9. Проекции окружности, вписанной в грани
куба & прямоугольной диметрии.
в прямоугольной AUMETPUU
На рис.9 выполнено построе-
ние диметрической проекции куба
со вписанными в его грани окруж-
ностями. Как видно из чертежа,
окружности, расположенные на гра-
нях куба, в диметрической проек-
ции превращаются в эллипсы. Длина
большой оси каждого из трех эллип-
сов равна 1,06 диаметра окружнос-
ти. Длина малой оси эллипса, соот-
ветствующего окружности, лежащей
плоскости, равна 0,95 диаметра
окружности, а для эллипсов,
соответствующих окружностям,
лежащим в плоскостях хОу и уОг -
0,35 диаметра окружности. ;
Направление большой оси эл-
липса в прямоугольной диметрии,
(так же,как и в изометрии),
перпендикулярно аксонометриче-
ской оси, не лежащей в плоскос-
ти, -к которой относится эллипс
(A'&'lz1, X'L’li/', E'F'lx').
в
При изображении деталей и в этом виде проекций построение эллипсов, изображаю-
щих окружности, можно заменить построением овалов.
Построение овалов, изображающих окружности, расположенных на верхней и бо-
ковой гранях куба, выполняют аналогично построению их во фронтальной диметрии.
Различие состоит только в том, что при изображении окружности, лежащей на гори-
зонтальной грани куба, большую ось овала располагают горизонтально, а не под уг-
лом 7°, как это делают во фронтальной диметрии. При изображении окружности, рас-
положенной на боковой грани куба, большую ось овала, как и во фронтальной димет-
рии, располагают под углом примерно 7° к вертикали. Построение овалов в зависи-
мости от положений к основным плоскостям показано на рис.10.
Рассмотрим построение овала, параллельного плоскости ХОУ . Порядок постро-
ения следующий: а) определяется положение центра О' , через него проводятся пря-
мне,
оси
рая отметит на оси, параллельно
ось IIZ'
1,06 И
большая
осых1
большая
осыг
• Рис. 10. Построение обалоб & прямо-
угольной диметрии.
Малая ось
//X'

параллельные аксонометрическим осям, и большая ось овала, перпендикулярная
Z.'	; б) из центра овала проводится окружность заданного диаметра D , кото-
Ол , точки п1 и /7у ; в) от центра 0/ вдоль осиг'
откладываем отрезки Offi = ^5 = 0;
и из точек Ог. и Oj радиусами
R= О2.П1 = О$п' проводим дуги л’П*и
л,'л^до пересечения с окружностью
диаметра D ; д) соединяя прямы-
ми точки 0g и О3 с точками л’
и п] на пересечении с боль-
шой осью, получим точки
1ЛЯО Of. к О5, из которых
радиусами Г = 0^'=
=0sri проводим дуги,
замыкающие овал.
Построение овала,
параллельного плос-
кости
гично
овала
ХОУ
Рассмотрим пост-
роение овала, парал-
лельного плоскости
XOZ: а) определя-
ется положение
Z.OY , анало-
построению
в плоскости
центра овала, через который проводятся прямые, параллельные аксонометрическим
осям, и большая ось овала, перепндикулярная оси У1 ; б) из центра овала проводится
вспомогательная окружность диаметра d = 0,2 D и отмечаются точки пересечения
О7 , Og , 0g , О^о; в) из точек Од , 0^ проводятся дуги т'т'и тртцрадиуса /?2 =
= 0j0m', а из точек 0g , О7 проводятся дуги т'лр радиуса ^2 = О^т' .
Выбод. Построение прямолинейных- очертаний изделий произбодится путем проведения
прямых, параллельных аксонометрическим осям. Окружности, предстабляющие собой
оснрбания цилиндрических и конических частей деталей (отберстий, бобышек и др.),
б аксонометрии изображаются б биде зллипсоб.
10
в. о изометрми
Для построения окружностей, которые проецируются в аксонометрии в виде
эллипсов возьмем куб.
Предположим, что в изометрическую проекцию гра-
ней куба вписаны окружности (рис.II, б).
Для построения изометрической проекции куба нужно
вдоль осей О'Х\ р’у', 0'1' отложить размеры, равные
Горизонтальна длине ребра куба, и провести контурные прямые, парал-
лельные этим осям. Каждую грань куба при этом изобра-
жают в виде ромба с острым углом 60° (рис. 11,6).
Из рис.II,б видно, что всякую окружность, находя-
щуюся на горизонтальной поверхности
предмета (в данном случае на верхней
грани куба).изображают в виде эллип-
са с горизонтально расположенной
большой осью ( 1 оси Z.1) и вертика-
льно расположенной малой (вдоль оси
’ Z'). Кроме того, видно, что всякую
окружность, находящуюся на передней
или боковой поверхности предмета (в
данном случае на передней и боковой
грани куба), изображают в виде эл-
липса с большой осью, направленной
под углом 60° к горизонтали. При
этом,во всех случаях большую ось эл-
липса располагают по большей диаго-
нали ромба, а малую ось - по его ма-
лой диагонали.
Эллипсы в изометрической проекции
можно заменить овалами, один из спо-
собов построения которых показан на
рис.II,в: а) для окружности, лежащей
в плоскости Хй У из центра Oi проводим
прямые, параллельные двум аксономет-
рическим осям, в которых лежит окруж-
ность; б) из точки O!f проводим большую
ось овала, которая в плоскости черте-
жа перепендикулярна третьей аксономет-
рической оси, а перпендикулярно боль-
шой оси проводим малую ось; в) строим
окружность заданного диаметра D и от-
мечаем точки пересечения окружности с
осями - точки 0% и О5 , т1 и т{ ;
г) из точек 0'z и ^.проводят дуги/т/'/77'
Рис. 11
и (П/тя/радиусами R = О^т' =0зГП}; д) соединяем точку 0'3 с точками гп\ и из точек
пересечения и (?5 проводим дуги радиуса г я. л?'= ОйТПу. Построение овала II блос-
тям 20У и ZOX аналогично построению в плоскости ХОУ .
11
ТЕЛ
Аг
z &
Сг
X
Q Jу
х'
Рис.12
&2=Сг
CfaDi
z'
Б.7 ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
В КОСОУГОЛЬНОЙ АИМЕТРИИ
ВО ФРОНТАЛЬНОЙ КОСОУГОЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
Рассмотрим последовательный ход построения фронталь-
ной диметрии простейшего геометрического тела - прямоу-
гольного параллелепипеда, гранями и основанием которого
является прямоугольник, приведенный на рис.12,а. Построе-
ние аксонометрической проекции всегда начинается с прове-
дения осей. Их проводят тонкими сплошными линиями (рис.12,6).
Закрепляем эти же оси на комплексном чертеже заданного
геометрического тела. Последовательный ход построения
фронтальной диметрии шестигранной призмы (с основанием -
шестигранник), представленной на рис. 13, показан на рис. 14
а и б, цилиндра-на рис.15.
Ход построения фронтальной диметрической проекции
правильной шестиугольной призмы, комплексный чертеж кото-
рой задан на рис.13,а выполнен специальным образом. Вна-
чале строится шестиугольник так, как описано в предыдущем
пункте 65, рис.4. Затем проводятся ребра,уходящие вдаль
под углом 45°, т.е. параллельно оси У'(рис.14,6). На од-
ном из ребер отложен сокращенный вдвое размер высоты, рав-
ный 90 мм, и на этом расстоянии проведены параллельные
сторонам шестиугольника прямые, изображающие видимые реб-
ра основания призмы (рис.14,в). Затем обве-
ден видимый контур и| нанесены размеры
(рис.14,в). На рис.|15,а дан комплексный чер-
теж цилиндра, ось которого расположена гори-
зонтально (вдоль оси X'), Чертеж его во
фронтальной диметрии показан на рис. 15,(5.0к-
ружности (основания цилиндров), расположен-
ные в плоскости П2или в плоскостях ей парал-1'
дельных, во фронтальной диметрической проек-
ции не искажаются. Окружности, расположенные
в плоскостях Г1<и П3 или им II , проецируют-
ся в виде эллипсов, с большой осью, равной
1,06 Оокр ,и малой осью равной 0,35 Оокр .
fa-Oi
Оз
ФБР
Зв.
Рис 15
Комплексный чертеж, призмы
z'
С
В'
С
а
У
D1
к
У
6
ФБР
45°

У1
а-комплексный чертеж
цилиндра
Рис. 14 Последовательный код построе-
ния фронтальной диметрической проекции
шестиугольной призмы.
Рис. 15
5-фронтальная
диметрическая
проекция
цилиндра
12
6.0 ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
ДЕТАЛЕЙ 0 РАЗРЕЗАМИ
ДЕТАЛЕЙ о
Puc.lb
Рис.17
Ci - комплексный
черта*
S- косоугольная
диметрия
Для наглядности и
выявления внутренних
форм,деталь выполняют
с разрезами.
Для выполнения
разрезов в аксономет-
рических проекциях
применяют плоскости,
совпадающие с коорди-
натными, или им парал-
лельные, Плоские фигу-
ры, получающиеся при
деталей, в аксономвтри-
разрезе
ческих проекциях должны быть заш-
трихованы. Для определения линий
наклона штриховки в разрезах бе-
рут отрезок произвольной длины I
и откладывают его по воем аксоно-
метрическим осям от точки 0*, учи-
тывая при этом коэффициенты иска-
жения по каждой из осей (рис.16).
Соединив концы отложенных отрез-
ков, получают направление штри-
ховки для всех координатных
плоскостей. На рис.16,в показано
направление линий для штриховки
разрезов в изометрической проек-
ции, на рис. 16,б - в прямоуголь-
ной диметрической проекции и на рис.16,а - во фронтальной диметрической проекции.
Пример изображения: втулки в косоугольной диметрии, комплексный чертеж ко-
торой дан на рис.17,а, показан на рис.17,6.
' Пример. Построить прямоугольную диметрию геометрического тела, ортогональ-
ные проекции которого приведены на рио,18. Высота Н расположена по оси I1 . На- х
чадо ортогональных осей данных проекций (О) принято в центре основания шести-
гранной призмы. Ребра призмы обозначены буквами ( %. симметричной части призмы).
Проводим оси прямоугольной диметрин (рис.19,а). Оси X' и располагаются соот-
ветственно под углами 7°10' и 41°2б' к горизонтальной прямой. Теоретические
коэффициенты искажения по осям X' , l' - 0,94, по оси У' - 0,47.
Практически принимаются приведенные коэффициенты искажения, ь атом
случае по осям X* ,' Z1 откладываются истинные значения ортогональных коорди-
нат, по оси У' - 0,5. Изображение, построенное.таким образом, в 1,06 раза больше
ортогональных проекций, поскольку 1/0,94 «1,06. I
При построении плоскость ХОУ совмещаем с основанием детали (построение шес-
тигранника см.рио.19,а). С этой целью По ортогональным координатам отроим вершины
шестигранника нижнего основания (Л\	, О'. Е1,?1), в аксонометрической
15
плоскости Х'О'У . Соединяя тонкой линией построенные вершины, получаем диметри-
ческую проекцию основания. Затем по осям Х‘ , У* , расположенным выше на вели-
чину ребра, точно также строим диметрическую проекцию верхнего основания. В плос-
кости верхнего основания строим эллипс, представляющий собой проекцию основания
конуса. Величина малой оси при теорети-
ческих коэффициентах искажения в плоско-
стях П4 и П3 равна 0,33 D , в плоскос-
ти Пг- 0,90 . Большая ось во всех плос-
костях равна диаметру окружности - D .
При приведенных коэффициентах искажения
малая ось в плоскостях П^и П3равна 0,3£D ,
в плоскости Лг - 0,95 0. Большая ось во всех
плоскостях равна 1,06 0 . Направление малой
оси эллипса, расположенного в горизонтальной
плоскости проекций, совпадает (как и в изо-
метрии) с осью Z' , в плоскости П<с осью У'и в
14
плоскости Л3с осью X1 . Зятем на высоту и /7 стриим- но осям эллипсы нижнего и
верхнего основания цилиндра. Эллипсы конуса и нижнего основания цилиндра соединя-
ем очерковой линией. Она представляет собой окружность, радиус которой равен по-
ловине большой оси эллипса конуса. Выполненное построение обводим контурными ли-
ниями в тех местах, где они видимы.
Для наглядности аксонометрического изображения геометрического тела выпол-
нен разрез (вырез четверти) (рис.13,6). Для сравнения на рис.20 приведено аксоно-
метрическое изображение той же детали (рис.18) в изометрии.
6.9 ВЫБОР ВИ1А АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИЙ
При выборе вида аксонометрической проекции необходимо, чтобы выполнялись
требования наглядности и простоты построения. При этом следует учитывать и
тот фактор, что при выбранном биде аксонометрии наглядность изделия
зависит еще и от правильного расположения его по отношению к осям, которые
Ориентируют по основным бидон комплексного чертежа(как например, это сделано на рис. 23).
Прежде всего следует отметить, что в ряде случаев очень трудно правильно выбрать
вид аксонометрии (для изделий, имеющих наклонные ребра, стенки и т.д.). Поэтому
необходимо предварительно сделать наброски, применяя различные виды аксонометрии,
с тем, чтобы найти наиболее удачное решение, удовлетворяющее требованиям нагляд-
ности и простоты построения. Последнее, в основном,зависит от конфигурации изде-
лия и взаимного расположения геометрических элементов.
При выборе вида аксонометрии необходимо также учитывать следующее:
I.	Косоугольная фронтальная диметрическая проекция удобна в тех случаях,
когда предмет имеет большое количество окружностей или сложных по форме геометри-
ческих фигур, расположенных в плоскостях, параллельных одной какой-либо плоскости.
Располагая эти окружности или плоские фигуры параллельно фронтальной плоскости
аксонометрических проекций, мы получаем возможность вычерчивать сложные плоские
детали
Z'
F
Рис.25. Деталь б пря-
моугольной диметрии
(наглядное изображение)
Рис 22. Деталь 6 изометрии
(отсутствует наглядность)
15
2.	Прямоугольнаядиметрическая проекция дает наиболее правильное зрительно*
восприятие форм изображаемого предмета, т.е. обладает наибольшей наглядностью.
Но при ее построении приходится пользоваться двумя показателями искажения.
3,	Прямоугольная изометрическая проекция дает менее правильное зрительное
восприятие форм, чем прямоугольная диметрия, но удобна тем, что характер искаже-
ния фигур, расположенных параллельно различным координатным плоскостям, одинаков.
Последнее особенно важно при вычерчивании эллипсов.
Однако: а) нельзя применять изометрическую проекцию для призматических
и пирамидальных форм, имеющих в основании квадрат (рис.21); б) проецирующая
плоскость, расположенная под углом 45° к основным плосксфтям проекций в прямо-
угольной изометрии, может преобразиться в прямую линию (рис.22). В этих случаях
необходимо применять другой вид аксонометрии (например, прямоугольную диметрию
рис.23).; о
16
ТЕМА 7. КРИВО ЛИНЕ ЙЧАТЫЕ
7.1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Q
Рис. 24.
ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
О КРИВЫХ ЛИНИЯХ
Кривая линия может рассматри-
ваться как геометрическое место (непре-
рывное множество) последовательных по-
ложений точки (рис.24,а) или как линия
пересечения двух поверхностей, из кото-
рых хотя бы одна кривая (рис.24,б).
Кривые линии бывают плоение и
пространственные. К плоским относятся
Рис. 25 Зторный
(комплексный) чертеж
крибой линии
полностью сохраняются их
g линии пересечения кривой поверхности
плоскостью) окружность, эллипс, парабо-
ла, гипербола и др. К пространственным
относятся: винтовые линии, линии взаимного пересечения
кривых поверхностей (в общем случае) и др. У плоской
кривой линии все точки лежат в одной плоскости, у прост-
ранственной - нет.
При построении проекций плоской или пространствен-
ной кривой необходимо прежде всего указать особые точки.
Так, например, чтобы установить наличие особых точек на
пространственной кривой» нужно иметь две ее проекции.
На рис.25 точка 4 является двойной точкой кривой» а
точки В и В*» £ и С4 - только кажущимися двойнвди точ-
ми этой кривой. Это можно установить, имея лишь две про-
екции кривой.
Крибые линии подразд&тктся на законо-
мерные и незакономерныеррафические).3емонанерн&я кривая
может быть задана аналитически (уравнением) И графически
(чертежом), например эллипс, парабола и др. Незакономер-
ная кривая может быть задана только графически» например,
горизонталь местности.
В начертательной геометрии кривые линии изучают по
их проекциям. При проецировании кривых второго порядка
свойства, т.е. эллипс проецируется в эллипс (или в ок-
ружность), парабола - в параболу и т.д. Любая кривая, расположенная в проецирую-
щей плоскости, будет иметь одну из проекдой в виде прямой.
1ИМТО1ЫЕ ЛИНИИ
В качестве примера пространственной Кривой рассмотрим винтовую линию.
Винтовые линии, образуемые на цилиндре и конусе, имеют большое
практическое значение в технике.
Цилиндрическое (коническая) винтовая линия образуется на поверхности цилин-
дра (конуса) в результате поступательного движения точки вдоль его образующей при
равномерном вращении вокруг оси цилиндра (конуса).
a
Рис. 26
рота,точка 4 будет совершать
Расстояние А (рис.26,а) или Ао А$ (рис.26^6), на
которое точка А переместится за один оборот вдоль
образующей, называется шагом винтовой линии. Ра-
диус И цилиндра и его ось называют соответственно
ради усам и осью бинтовой пинии. . Винто-
вая линия задается шагом h и радиусом Ro ,
Проекции цилиндрической винтовой линии стро-
ятся следующим образом (рис.26,а). Делим окружность
основания цилиндра и шаг h винтовой линии на рав-
ное число частей, например - 12. Определяем соот-
ветствующие фронтальный проекции,перемещаемой точки
( Ag , ...» А?) и, соединяя их плавной кривой,
получаем синусоиду. Полученный участок А** А1*
называется витком винтовой линйи. При даль-
нейшем винтовом движении,после каждого полного обо-
новые витки.
Развернув цилиндрическую поверхность вместе с винтовой линией на плоскость
(рис.26,б), получаем прямую АаАо ,тангенс угла наклона которой tyo( = h/2$R ,
Угол , полученный на развертке, называется углом подъема винтовой
линии. 0н является также углом наклона касательной к винтовой линии. Построение
касательной (рис.26,б), например, в точке А{ начинаем с проведения горизонталь-
ной проекции AjHi , равной приближенно Дуге AfAf , по которой затем находим
ее фронтальную проекцию. Точка Н (Hi, Не) является горизонтальным следом каса-
тельной, Фронтальная проекция ее должна проходить через Точки И ..Если при
взгляде на цилиндр сверху точка, вращаясь Против часовой стрелки, Приближается к набт-
людателю, то винтовая линия называется правой. В противном случае Имеем
левую винтовую линию. При этом резьба, образованная на цилиндрической
поверхности, называется цилиндрической резьбой, а йа конической - конической резьбой.
Винтовая линия используется для образования различных резьб. Винтовая ли-
ния, нанесенная на поверхность кругового конуса, называется конической
винтовой линией.
72 СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
*. ОбЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Существует два основных способа формообразования поверхностей: перемещением
линии или перемещением поверхности. Причем, линия (или поверхность), образующая
поверхности, в процессе перемещения либо остается неизменной, либо непрерывно ме-
няет свою форму. В графической геометрии в основу изучения поверхностей кладется
способ их образования движением линии. Таким образом, в начертательной геометрии
мы будем рассматривать поверхность как непрерывную совокупность последовательных
положений прямолинейной или криволинейной образующей (производя-
щей), которая перемещается в пространстве по какому-то определенному закону.
Неподвижные линии, по которым движется каждая точка указанной образующей
называются направляющими (см. рис. 27). Форма поверхности забасит от вида
образующей и закона ее перемещения.
Большинство поверхностей можно получить при использовании в качестве обра-
зующей линии: прямой, окружности, винтовой, эвольвенты и ряда других линий. Исхо-
дя из этих положений, поверхности можно рассматривать как непрерывное множество
последовательных положений (следов) движущейся производящей линии (т.е. обра-
зующей.) по другой производящей линии (т.е. направляющей}. Закон движения образу-
ющей может быть сформулирован графически, аналитически или конструктивно.
Мы рассмотрим графический закон образо-
вания поверхностей и укажем ее определитель.
При этом под определителем подразумевается совокупность параметров,
отличающих данную поверхность от всех остальных.
к. ФОРМООБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Одна и та же поверхность может быть образована перемещением
б пространстве различных образующих по различным направляющим.
При этом закон движения образующей определя-
ется направляющими элементами и положени-
ем образующей относительно этих элементов.
Так, например, для получения грани плоскости многогранной поверхности необходимо
образующую прямую 1 перемещать по направлению прямой 2 (рис.27,а) (направление
перемещения образующей показано стрелкой). Поверхность прямого кругового цилин-
дра может быть получена при движении образующей окружности 3 вдоль направляющей
прямой / (рис.27,6) или при параллельном перемещении образующей прямой / по
направляющей - окружности3(рис.2'?,в). Поверхность зуба цилиндрического колеса
 1
Рис.27 Различные случаи
в	г	д
формообразования поверхности.
19
можно получить, если, например,чобразующую - эвольвенту 4 передвигать вдоль
направляющей прямой 1 (рис.27,г) или, наоборот, образующую прямую 1 передви-
гать по направляющей - эвольвенте 4 (рис.27,д). Если же левый -конец образующей
прямой 1 закрепить в одной точке и перемещать по направляющей окружности 5 ,
то получится круговая коническая поверхность (рис.27,е).
Существуют и другие способы получения поверхности прямого кругового конуса
- передвижением беспрерывно изменяющейся окружности, центр которой перемещается
по оси. При этом плоскость окружности все время остается J- к оси конуса.
Многие геометрические задачи, возникающие при конструировании поверхностей,
а также при выборе схемы их формообразования, сводится к построению на чертежах
последовательных положений образующей линии. Закон движения образующей для
поверхности зодун, если возможно определить ее срорму и положение 6 простран-
стве для любого произвольного движения этой образующей.
Следовательно, для ка ж-д ой поверхности
определителем являются: 1) образующая; 2) направляющие
элементы, 5) условия, определяющие положения образующей относительно
направляющих элементов.
В. МЕГОАЫ ВООШШЕШИЯ ПОВЕРХМОСТМ
ША60ТКЕ ПК СТАНАХ
Поверхность деталей, как правило, состоит из нескольких типов геометриче-
ских поверхностей. Это в основном плоскости, круговые и некруговые цилиндры, кону-
сы и сферические поверхности. При выборе схемы формообразования поверхности
целесообразно стремится к тому, итобы одну схему можно было использовать
для всех поверхностей данной детали. Зто не всегда доступно^пзчии^ иногда приходится
для каждой поверхности одной детали назначать свою схему формообразования и обра-
батывать одну и ту же деталь либо различными инструментами, либо на разных
станках.
Можно указать три метода образования производящей линии: I) обработка при
точечном контакте (построчная обработка) (рис.28, a-r)j 2) обработка рри линейном
контакте (рис.28, д и е); 3) обработка при поверхностном контакте (рис. 28,ж,з).
Рис. 28
К первому t^TQjy относятся: сверление, точение, построчное фрезерование
дисковыми и пальцевыми фрезами, построчное шлифование узким кругом и т.п. Этот
вид работы наиболее распространен. Он позволяет обрабатывать поверхность любой
формы и требует два формообразующих движения. Например, при сверлении образующие
поверхности получаются как следы режущей кромки сверла при вращении сверла или за-
готовки. Широко используется второй метод - обработка при линейном контакте, вос-
проиэведени*м образующей линии методом копирования реальной режущей кромки инст-
румента, когда инструмент контактирует по линии с обрабатываемой поверхностью по
всей ее длине и ширине. При этом методе поверхность детали несет на себе отпечаток
профиля резца. “Поэтому при конструировании поверхности учитывается не только
схема режущей кромки. Например, при получении цилиндрической поверхности (рис.28,д)
образующая линия I воспроизводится копированием прямолинейной кромки инструмента,
а направляющая линия 2 - вращением заготовки. Для получения второго тела вращения
соответственно изменена форма инструмента (рис.28,е). Здесь необходимо одно фор-
мообразующее движение - вращение заготовки. Третий метод называется методом
обкатки. Здесь также движение инструмента и заготовки кинематически связаны
Между собой, но инструменту придается форма, сопряженная с формой обрабатывае-
мой поверхности. В этом случае инструмент может иметь форму цилиндра или какого-либо
другого тела вращения (рис.28,ж).	В этом случае вмёсто профиля режущей кромки
рассчитывается контур производящей поверхности.
Каждый из этих методов обработки в свою очередь подразделяется на порядки
сложности подачи по количеству простых движений (поступательных или вращательных),
участвующих в относительном движении инструмента и заготовки.
В общем случае, в зависимости от кинематических возможностей станков и
характера поверхности, координаты детали в процессе формообразования ее поверх-
ностей на станке можно задавать
в трех основных системах: а) де-
картовой - на плоскости и в
пространстве (рис.29, а и б);
б) полярной на плоскости - с по-
дачами одной линейной и одной
угловой (рис.29,в), т.е. двух-
координатной системой управле-
21
'ния; в) цилиндрической - в пространстве - подачами двумя линейными и одной уг-
ловой (рис. 29,6) (т^ехкоординатная система управления); г) можно указать еще
комбинированную систему координат с подачами тремя линейными и одной или двумя
угловыми (рис.29,е), например,три линейных и одно угловое перемещение (рис.29,д)
или пять координат: три линейных, поворот заготовки и качание фрезерного шпинделя
(рис.29,е).
При этом системы координат, относительно которых на чертеже устанавливаются
размеры, именуются относительными системами, в отличие от термина "абсолютная
система". Последний может быть применен для обозначения системы,относительно кото-
рой располагают на станке оси координат по направлению перемещения его рабочих
органов.
При помощи двух программно-управляемых координат можно обработать такие по-
верхности* как: плоскости, поверхности вращения; винтовые поверхности с постоянным
шагом спирали; различного рода плоские кулачки; зубья по методу копирования ре-
жущей кромки инструмента и т.п.
Обработка сложно-пространственной криволинейной поверхности требует дальней-
шего увеличения числа управляемых координат. Такие поверхности обрабатываются уп-
равлением по трем координатам с угловыми перемещениями заготовки и инструмента
(рис. 29, д и е). Сложно-пространственные формы поверхностей детали для любого из-
делия назначаются конструкторами не случайно, выбор их обусловлен строгими кон-
структивными и технологическими требованиями. С изменением принципиальной кинема-
тической схемы формообразования и кинематического соотношения инструмент-изделие
изменяет характер траектории относительного рабочего движения и, следовательно*
изменяют также и внешнее очертание образуемого им контура движения.
Таким образом поверхности технических форм деталей как и вообще формообра-
зование любых поверхностей можно рассматривать как кинематические, т.е. получаю-
щиеся при движении в пространстве по определенному закону какой-либо производят
щей линии (образующей) по направляющей линии.
7.3 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Все поверхности по виду образующей делятся на два класса: линейчатые ,
которые образуются движением прямолинейной образующей и криболинейчатые, кото-
рые невозможно образовать движением прямой линии.
ХНН1ЙЧАТЫЕ ПО1ЕРХНООТИ
Как уже отмечалось: I) линейчатая поверхность описывается движением прямой
линии. Следовательно, через любую точку линейчатой поверхности проходит по край-
ней мере одна прямолинейная образующая} 2) кривые линии, лежащие на линей-
чатой поверхности И определяющие движение прямолинейной образующей, называются
направляющими . Примечание. Направляющая линейчатой поверхности может
быть и прямой линией (см., например* рис.30,а).
Классификацию линейчатых поверхностей проводят в зависимости от вида нап-
равляющих.
По развертыванию линейчатые поверхности делятся также на два класса;
ра $6ер ты бп «щиеся и неразбер тыбающиеся . Первые допускают точное (в
пределах возможности графического инструмента) построение плоской развертки (Или
выкройки), вторые могут быть развернуты только приближенно.
1. РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Разбертыбающиеся поберхности - такие линейчатые поберхности, которые
можно без складок и разрыбоб разбернуть на плоскость.
Развертки поверхностей применяются при раскрое из плоского листового матери-
ала различных строительных конструкций, машиностроительных деталей и т.п. Форма и
размеры таю-’х конструкций и деталей определяются при помощи развертки поверхности,
построенной по чертежу этой поверхности. К развертывающимся поверхностям относят-
ся: I) любая гранная поверхность (рис. 30,а); 2) коническая (рис. 30,6); 3) цилин-
дрическая (рйс>30,в), а также поверхность с ребром возврата (рис.31).
Напрабляющая
Образующая
Напрабляющая
6
Рис. 50
Для указанных поверхностей может быть применено
точное построение развертки. У развертывающихся
линейчатых поверхностей бесконечно близкие друг
от друга смежные прямолинейные образующие лежат
в одной плоскости (пересекаются в одной точке или
параллельны). Поэтому схема формообразования
развертывающихся поверхностей проще, их можно
обработать плоским инструментом, движение которо-
го Определяется одним параметром (например, нап-
равлением перемещения инструмента см. рис.88,ж).
Поверхности с кривой линейной образующей,
такие как сфера (рис.52, а,б), тор (рис.59, а,б),
параболоид вращения (рис. 56, а,б) и др. не могут быть развернуты точно на плос-
кость (без изгибов я разрывов). Поэтому для них может быть выполнена только
приближенна# рвзбёртка (подробнее об этом см. пункт 44).
Одра*
Зующая
т
Напрабляющая
Образующая
6
Рис, if
25
Лг
_2Их
7
Рис. 34
Рис. 52
Mt
Рис. 55
А. ЦИАИН1РИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Цилиндрической поверхностью называется
ч(г поверхность, образованная движением прямой об-
разующей I ( Li , 1g), имеющей постоянное направ-
.ление 5 (	, Sg ) по направляющей кривой линии
т (rni,тг) (рис.32). Цилиндрическую поверх-
ность следует задавать на комплексном чертеже
направлением образующей 3 ( 3j, 32)» а также
направляющей, принадлежащей одной из плоскостей
проекций. Например, если задана т (	, mg)с Щ,
то направляющая р ( ру»jfe) построена по фрон-
тальной проекции (	), а фронтальная проекция
( Л2) кривой П построена по ее горизонтальной
проекции ( Hi). Тогда определитель поверхности
условно запишется ( LII 8 )л/л , т.е. все
образующие ИЗ и пересекаются с направляющейгтц.
Следовательно, определителем цилиндри-
ческой поберхности ябляется направляющая
криЬая и одна образующая.
Задача . По данной фронтальной проекции
линии (mg ) построить горизонтальную проекцию
линии (л?;), лежащей на заданной цилиндрической
поверхности (рис.33).
Примечание. На рис.33 фронтальная проекция
линии (гп2) обозначена точками Д2В2 и пересече-
на указанной линией фронтальной проекций очерко-
вых образующих цилиндрической поверхности. Ци-
линдрическая поверхность задана определителем:
линией т и направлением образующих I IIS . Ес-
ли точка принадлежит поверхности, то она лежит
на линии, принадлежащей этой поверхности. Гори-
зонтальную проекцию линии (CD) строим, исполь-
зуя свойство принадлежности линии поверхности.
Решение. Построим горизонтальную проекцию
() точки С , которая является точной пересе-
чения образующей L с направляющей Л . Для этого
через Ag проводим Проекцию образующей lg H5g. Тоц-
ка Cg-lg * л2 является фронтальной проекцией
точки С . Построив горизонтальную проекцию ( Af)
точки А , проведем через нее горизонтальную проек-
цию образующей If . Искомую точку А; находим
на If при помощи вертикальной линии связи. Анало-
гично строится точка Bf(по заданной точке Bg) И
другие промежуточные точки цилиндрической поверх-
ности. Если направляющая линия m ( mg) замкну-
тая кривая (например, как на рис.34), то цилиндри-
ческая поверхность будет замкнутой, На рис. 34 пред
ставлен эллиптический цилиндр. В практике производства чаще всего используется
прямой круговой цилиндр (рис. 69, а,б).
24
*£
б. КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Конической поверхностью называется
поверхность, описываемая движением прямой,
имеющей одну неподвижную точку (вершину)
и скользящей по разомкнутой (рис. 55) или замк-
нутой (рис.51) кривой - направляющей.
Если направляющей является произвольная
кривая, эллипс, окружность и т.п., то
получается коническая поверхность соот-
ветственно произвольного вида, как, на-
пример, на рис.35 или эллиптическая (рис.54)
илц круговая (рис.51) и т.д.
На комплексном чертежа коническая
поверхность (рис.35) обычно задается
проекциями вершины 5 ( 3^, Sg) и нап-
равляющей т ( mit т2) лежащей в одной
из плоскостей проекций (П<); тогда ос-
тальные направляющие конической поверх-
ности строятся по одной проекции.На рис.35
построены направляющие wi и по заданным
4ронталыиш проекциям и направляющая
Л - <Ю ее горизонтальной проекции.
Аас.Л
Яиже (пункт Б,б) будет рассмотрен еще
один вид криволинайчатой поверхности -
г ШАввЕРТЫМЮЩИЕвА АММЕЙЧАТЫЕ Я08ЫКНОСТИ .
ЛИНЕЙЧАТЫЕ МШХМСТЯ I «АИСКМТМ ММААЕАММА
В зависимости от вида направляющей различают следующие поверхности с плос-
костью параллелизма:
а) Цилиндр<Ш& Цилин-
дроидом называется линей-
чатая поверхность, у кото-
рой две направляющие -
криволинейные,а третья на-
правляющая -бесконечно
удаленная кривая.
Образующая «еремещаетея
в пространстве, «ереоеюая я	......, _
обе направляющие « вое ере-	Й......''
кя остается II плоскости яа-	Ямс. 36
раллелизма.След0*ватвлъно,Ыа «внтлвконом чертеже цилиндроид
таточно задать проевдрппл Двух направляющих кривых (m и п
плоскостью параллелизма (4 Рассмотрим это положение на
ранственном рисунке.
Пусть -6 -плоскость параллелизма, a п - криволинейные направляющие (рис.36,а).
25
Обозначим точки пересечения направляющих с плоскостью параллелизма буквами М и
N . Тогда прямая МА/ = t будет образующей. Описывая цилиндроид, образующая
L пересекает кривые т и п и в то же время параллельна плоскости <5 . Третьей
направляющей в данном случае служит бесконечно удаленная прямая плоскости .
На рис.36,б пространственный чертеж цилиндроида задан комплексным чертежом: б«-
горизонтально проецирующая плоскость параллелизма; т1 и т2, гц и - проекции
направляющей линии.
Чтобы построить в общем случае проекцию точки, лежащей на поверхности ци-
линдроида, например, точки Z7 ( /7,, 02) по заданной фронтальной проекции ( Dq)
этой точки, через заданную проекцию точки проводим одноименную проекцию вспомага-
тельной линии, принадлежащей заданной поверхности. Исходя из условия принадлеж-
ности строим вторую проекцию этой линии и на ней при помощи линии связи отмеча-
ем искомую горизонтальную проекцию данной точки.
На рис. 36,6 все прямые образующие I , L1 ,4? , ... параллельны 6 . Поэто-
му, чтобы построить проекции случайной образующей I поверхности, проведем гори-
зонтальную проекцию Lf И 6 и по точкам А^ и 8) пересечения ее с горизонтальными
проекциями и направляющих построим фрон-
тальные проекции точек: Д2<^. т2и Bq сп2.
Прямая Lq , проходящая через А2 и В2 , яв-
ляется искомой фронтальной проекцией об-
разующей. Для построения проекций Ci и С2
случайной точки С поверхности цилиндра
построим проекции If и 12 случайной прямо-
линейной образую-
щей L этой повер-
хности и зададим
на них проекции
искомой точки.
На рис.37 изоб-
ражен цилиндроид,
у которого обе на-
правляющие являют-
ся окружностями.
Причем одна из ок-
ружностей I/ ,
другая -L к Пз, а
образующая И плос-
б	кости .
5). Коноиды.
Рис. 37 Цилиндроид- а - комплексный чертеж;
Коноидом назыбает-
S-наглядное изображение
ся такой цилин-
дроид, у которого
одна из направ-
ляющих - прямолинейная (не бесконечно удаленная), а другая кривая линия.
Коноид называется круговым, если одна из направляющих является
окружностью.
26
Рис. 58
На рис, 38 дан эпюр кругового коноида,у которого на-
правляющая его окружность расположена II П1	, направля-
ющая прямая J- к fig, а образующие ( I ) коноида II .
На рис. 39,а дан эпюр прямого коноида, у которого направ-
ляющая - прямая 1 к плоскости параллелизма ( fig), Одна
направляющая - полуокружность m( m1t mg), вторая п ( п^,
) J. к /7g .
Коноиды имеют широкое распространение в технике, на-
пример, при изготовлении диффузоров систем винтиляции.
Прямые коноиды применяются при устройстве мостовых опор
(рис. 39,6), поверхностей оболочек для покрытия зданий,
для образования поверхности сводов и т.д. Если все три
направляющие линейчатой поверхности - прямые линии, то
линейчатая поверхность является поверхностью 2-го порядка.
Примером коноида 2-го порядка служит линейчатый
параболоид (гиперболический параболоид или „ косая плос-
кость Линейчатый параболоид г это коноид с тремя
прямолинейными направляющими, одна из которых -
бесконечно удаленная прямая.
Следовательно, линейчатый параболоид - это поверхность,
образованная движением прямолинейной образующей, пересе-
кающей две прямолинейные направляющие, и имеющая плос-
кость параллелизма.
а
Рис. 59 Коноид: а - комплексный чертеж;
д  пространственное изображение.
27
Цилиндроид и коноид относятся к нераэвертывающимся линейчатым поверхностям.
ПОВЕРХНОСТИ С РЕБРОМ ВОЗВРАТА (ТОРСЫ)
Рис. 40
Рассмотрим еще один бид линейчатой разбор-
тыкающейся поберхности - торс.
Торсы (рис.40) образуются движением пря-
мой линии L (образующей) по пространственной кри-
вой - направляющей гл , к которой образующая оста-
ется все время касательной. Кривая m называется
ребром возврата. Ребро возврата состоит из особых
точек поверхности торса, т.е. является особой лини-
ей на поверхности и является определителем торса.
Определителем торса ябляется также образующая
прямая L, касательная к направляющей.
Коническая и цилиндрическая поверхности могут рас-
сматриваться как частичные случаи поверхности с
ребром возврата. У конической поверхности ребро
Z'
*12
Рис. 41
возврата превращается в точку,
совпадающую с вершиной поверх-
ности, а у цилиндрической по,-
верхности - в бесконечно удален-
ную (несобственную) точку. Од-
нако в обоих случаях для опре-
деления поверхности нужны до-
полнительные условия.
Вид поверхности с ребром
возврата зависит от вида самого
Ьг ребра возврата. Так, если реб-
ром возврата служит цилиндриче-
ская винтовая линия, то прямая
образующая t , передвигаясь к
ней касательно,
вую поверхность
щийся геликоид.
На рис.41
опишет винто-
- развертываю-
представлена
поверхность с ребром возврата,
называемая эвольвентным гелико-
идом. Ребром возврата для обра-
зования этой поверхности служит
цилиндрическая винтовая линия
(гелиса), проецирующая на плос-
кость flf в окружность. Горизонтальным следом ее является эвольвента - развертка
этой окружности.
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
& случае, когда направляющая кривая является винтовой линией, поверхность
называется винтовым коноидом или геликоидом (рис.45),
Геликоид является прямым, если его образующая перпендикулярна оси;4
28
°	Рис.42	&	Рис.43
у косого геликоида образующая наклонена к оси. Геликоид называется закрытым,
если образующая пересекает ось поверхности и открытым, если не пересекает ее.
На рис.42,а показан прямой закрытый, а на рис.42,б открытый геликоиды с
осью, перпендикулярной плоскости являющейся плоскостью параллелизма. Они обра-
зуются
прямой, движущейся по двум направляющим - винтовой линии и ее оси. Прямой
геликоид является частным случаем прямого коно-
ида и может быть назван бинтоЬым коноидом .
Если прямой геликоид рассечь соосной с ним ци-
линдрической поверхностью, то образуется поверх-
ность, называемая прямым кольцевым
геликоидом (кольцевым винтовым конои-
дом ) (рис.43, а,б).
Косой геликоид показан на
рис,44. Его образующая, двигаясь под определен-
ным углом к оси винтовой линии, остается парал-
а:
«Г
А?
Очерк
геликоида
___&
конус
----о
г Направляющий дельной образующим направляющего конуса вращения
с вершиной 5 , соосного с геликоидом. Все точ-
ки прямолинейной образующей, кроме одной, пере-
мещаются по цилиндрическим винтовым линиям. На
рис.44 построена пинтовая линия, описываемая точ-
кой А . Одна из точек образующей - та, в которой
образующая пересекает ось поверхности, - в вин-
товом движении участвовать не будет. Эта точка,
обозначенная через В » совершает только прямоли-
нейное движение вдоль оси поверхности, причем
при повороте образующей на угол ас = 360% точ-
ка fl вместе с прямой смещается вдоль оси на Ifo
часть шага h .
Архимеда
< К* Рис 44
29
Соединив точки винтовой линией Д'1, А2-, А5 и т.д., соответственно, с точками'
В*, В2, В3 и т.д., расположенными на оси, получим множество прямых, представляю-
щих собой архимедову винтовую поверхность. В сечении косого геликоида плоскостью
Р , перепендикулярной его оси, получается спираль Архимеда. Поэтому ее называют
еще архимедовой винтовой поверхностью.
Изображенный на рис.45,а винт
образован винтовым вращением трапе-
ции ABCD . Он ограничен двумя ци-
линдрическими поверхностями d и D,
I прямыми П и наклонными И винтовыми
геликоидами.
Винтовые поверхности применяют
в резьбах,(рис.42 б,в и г)форму архи-
медовой фрезы, применяемые для наре-
зания зубчатых колес, рабочие повер-
хности червяков червячной передачи и
т.д.
ТРУБЧАТЫЕ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Это поверхности, которые могут быть образованы движением
окружности постоянного или переменного диаметра.
Так, трубчатой поверхностью. называется поверхность,
образованная движением окружности постоянного диаметра f
при котором центр окружности перемещается по кривой„I ",
называемой осевой пинией поверхности, а плоскость
окружности остается перпендикулярной к этой линии (рис. 46, а).
Трубчатая поверхность с прямой осевой линией являет-
ся, очевидно, прямым круговым цилиндром. Более общим слу-
чаем является так называемая циклическая поверхность,
т.е. поверхность, образобанная произвольным движением
окружности переменного радиуса (рис. 46,6).
Если осью плоскости циклической поверхности явля-
ется прямая I , а плоскость окружности перпендикулярна к
ней, то получается поверхность вращения (рис. 46,вк
Рис. 46 а- трубчатая поберхность , б- циклическая поверхность) б,г,д,е-поверх-
ности вращения
50
7.4 ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ИХ ФОРМООБРАЗОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ НА НИХ ТОЧЕК И ЛИНИЙ
Очень важными,и часто применяемыми в технике видами поверхностей, являются
поберхности бращения(рисЛБгЬ}Рг.\\гъ частности,нашли широкое применение в ка-
честве элементов различных деталей. Поэтому останавливаемся на них более подробно.
Поверхностями вращения,мы будем называть поверхности, образуемые вращением
некоторой кривой (образующей а ) (вокруг прямой I оси вращения). В этом случае
каждая точка образующей прямой описывает окружность (параллель) с центром, лежащим
на оси вращения. Кривые, получающиеся в осевых сечениях поверхностей вращения, яв-
ляются конгруэнтными и называются меридианами . Некото-
«рые поверхности вращения могут быть отнесены к классу линейчатых
поверхностей (например, цилиндры, конусы, однополостный гиперболо-
ид вращения). Другие - к более общему типу - к классу криволиней-
чатых поверхностей (поверхности вращения, образуемые случайной
кривой (рис. 47).’ тор, поверхности вращения второго порядка, кроме
однополосного гиперболоида.
Поверхность вращения (как и любая другая поверхность) на
чертеже обычно задается очерком. Очерком поберхности
ябляется проекция контурной линии поверхности, т.е. линия, которая
• на проекции ограничивает данную поверхность и разделяет видимую
РиС-4-7 ее часть от невидимой.
t ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИЛА
I) Формообразование произвольной поверхности вращения.
Как отмечалось вьпие, поверхность вращения полу-
чается при вращении некоторой образующей а (	<3у)
вокруг неподвижной прямой‘Ё ( Ё/, ig) “ оси вращения.
При вращении каждая точка образующей Q описывает
окружность, центр которой находится на оси вращения.
Эти окружности называются параллелями поверхности.
Выше говорилось, что кривые, получающиеся в осевых
сечениях поверхностей вращения, называются меридиа-
нами. При данном на рис.48 расположении поверхности
вращения кривые а и а' представляют собой очерк по-
верхности относительно /7g. Такие кривые называют
главным меридианам. Если ось поверхности вращения
1 к пл, П/ , то горизонтальная проекция поверх-
ности имеет очерк в виде окружности, как на рис.48
и др.
2. Цилиндр бращения . Цилиндрическую повер-
хность вращения получают при вращении прямой образу-
ющей вокруг параллельной ей неподвижной оси. Цилиндр -
это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической
(боковой поверхностью) и двумя параллельными осно-
ваниями. Для прямого кругового цилиндра ось X ка-
кой-либо плоскости проекций, а направляющей являет-
ся окружность (на рис.46 ось цилиндра I к ).
31
а) На рис. 49,а показан комплек-
сный чертеж прямого кругового
цилиндра, а на рис.49,б его наг-
лядное изображение.
Горизонтальная проекция
цилиндра представляет собой ок-
ружность того же диаметра, что и
основание цилиндра, а фронтальная
и профильная проекции - одинаковые
прямоугольники, высота которых
равна высоте проецируемого цилинд-
ра. Для удобства чтения поверх-
ности цилиндра , очерковые проек-
ции образующих обозначены (на
первом этапе обучения рекоменду-
ется это же делать и студентам),
б) Рассмотрим случай, когда ци-
линдр расположен под некоторым
углом оС к плоскости проекций П? .
Случаи расположения геометрии
ческих тел под углом к плос-
кости проекций на поверхнос-
тях деталей встречаются не-
редко. Поскольку прямой кру-
говой цилиндр расположен
под углом к плоскости проек-
ций Л& , то окружности его
оснований проецируются на fig
в эллипсы. Для построения то*
чек эллипсов введем дополни-
тельную плоскость проекций
Л 4 J. к оси цилиндра.
В системе плоскостей
Л 4 Л4 получаем комплексный
чертеж прямого кругового
цилиндра, основание которого
спроецировано на плоскость
в виде окружности. Эл-,
липсы на плоскости Л£ стро-
им по. большой СО и малой АВ.
осям.
Рис 50
32

S'
Of
4
a
9i
Рис.51
z'
С
ограниченное
И плоскостью
конуса ось 1



5. Конус
вращения.
Коническую по-
верхность вра-
щения пблуча-
ют при враще-
нии прямой ли-
нии L (образу-
ющей) вокруг
пересекающей-
ся с ней оси.
Конус - это
геометриче-
конической по-
У
боковой
основания. Для Прямого
какой-либо плоскости

Д2

A
5
ское тело,
верхностью
кругового
проекций, а направляющей является окружность
(на рис.51,а ось конуса X к П< ).
а) На рис. 51,а представлены три проекции
прямого кругового конуса, ось которого перпенди-
кулярна к горизонтальной плоскости проекций Л-/.
По комплексному чертежу видно, что на фронталь-
ной и профильной плоскости проекций конус прое-
цируется в виде равнобедренного треугольника
62X2^2 и 83^/3 $3 , с высотой, равной высоте
конуса,а на плоскость проекций Пу - в виде окруж-
ности, равной диаметру основания конуса.
б)На рис.52,а представлены три проекции
прямого кругового конуса, ось которого
$2 перпендикулярна плоскости проекций П3.
По комплексному чертежу видно, что на
фронтальной и горизонтальной плоскости
проекций конус проецируется в виде рав-
нобедренного треугольника с высотой рав-
ной высоте конуса, а на плоскость проек-
ций Л3- в виде окружности, равной диа-
метру основания конуса. На рис.52,б -
его наглядное изображение.
в) Рассмотрим случай, когда конус
расположен под некоторым углом ос к
плоскости проекций Л-/(рис.53). Пос-
кольку, основание конуса расположено
под углом к плоскости проекций ГЦ, то
Si окружность основания на ГЦпроецируется
в эллипс. Для построения точек эллипса
введем дополнительную плоскость проек-
ций П5 1 к оси конуса. Тогда в системе
У
Рис. 52
As
У
8g
Puc.55
S3
плоскостей Лfig получаем комплексный
чертеж прямого кругового конуса,
основание которого спроецировано
на плоскость Лд в виде окружности.
Эллипс на плоскости П4 строим по
большой и малой осям. Малую ось
получаем непосредственным проециро-
ванием, а большая С<0< SC$OS
Все остальные точки основания най-
дутся по линии связи отложением
отрезков £/£< = £4£5 , ^F1«FSFS.
г) На рис.54,а изображен
конус, имеющий систему подобных
и подобно расположенных эллипсов,
т.е. эллипсы с пропорциональными
и соответственно параллельными осями. Такой конус называется эллиптическим. На-
звание "эллиптический" не следует понимать как указание на преимущественный выбор
направляющей в виде эллипса, ею могут быть окружность, парабола, гипербола.
Конус, изображенный на рис.54,6, проецируется на плоскость /7< в виде
окружности, как и прямой круговой конуе, КО OQMIWl B4QSKKU шубА UA ШМббМ
Hi не совпадает с центром окружности. Такой конус называют няклоцным круговым,
Пересекая его боковую поверхность плоскостями, параллельными плоскости /7у , по-
лучаем окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через верши-
ну и центр основания конуса (на рис.54,б - прямая 08 ).
Рассмотрим широко использующиеся в тех-
нике поверхности второго порядка с криво-
линейной образующей.
Определение понятий „сфера" и „шар" . Сфера - это поверхность, получен-
ная от вращения окружности вокруг стягивающего ее диаметра. Шар - это геомет-
рическое тело, полученное от вращения круга, также вокруг стягивающего ее диамет-
ра (рис.55,а). Следовательно, сфера есть поверхность, ограничивающая шар.
Экватором сферы является параллель ft (tyi Wh ШдЩМ й ПЛОСПОСТШ И ЩЮХ№
дявцая через центр. Для изображения сферы на момояаксном Чертеже достаточно пост-
роить фронтальную проекцию ее главного меридиана m( Л1,, nig) и горизонтальную
проекцию ее экватора л (	Л2). На рис.55,6 показаны три Проекции сферы, каж-
дая из которых является окружностью с диаметром, равнш диаметру сферы. Э л в -
ментами, определяющими сферу, являются центр
и радиус или диаметр.
На рис.55,в дано аксонометрическое изображение шара в прямоугольной изомет-
рия. В аксонометрической проекции окружности шара в общем случав будут иметь вид
эллипсов. Эллипсы могут быть заменены овалами, в соответствии с изображения»!,
выполненными на рис.10, II.
Овал, параллельный горизонтальной плоскости	) - это овал о большой
осью 1-2 и с малой осью 3-4. В аксонометрии строим два сопряженных диаметра*-
4В и СО для построения эллипса. Находим оси эллипса: 1-2 - большая ось,
равная 1,22 0 , и 3-4 - малая ось, равная 0,7 0 . На этих осях сТройм овал
или эллипс. Аналогично строятся овалы (элЛиПсы) во фронтальной ( X'0'Z ) и про-
34
тг - фронтальный
меридиан
ись Ьращения
0<_
фильной
(y'O'Z')
плоскостях
0	проекций.
~ Для
большей
нагляднос-
ти, выре-
зана 1/8
часть и
показано,
как следу-
ет штриховать материал
в разрезе. Согласно
ГОСТ 2.317-69, линии
штриховку наносят парал-
лельно одной из диагона-
лей проекций квадратов,
лежащих в соответствую-
щих координатных плос-
костях, стороны которых
параллельны аксонометри-
ческим осям.
Е3
Аг
р Js - профильный
\меридион
- . Пг
экбатор
F5
Рис. 55
У‘
п- экбатор
т-елабный
меридиан
А3=Рд
kz
&
X
&
Ха
Ot
%
Рис.56
<9.
Ra
§2
ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕК
ил поверхности СФЕРЫ
И‘
Любая точка, заданная на поверх-
ности сферы, может быть найдена про-
ведением через нее параллели. Напри-
мер, для построения горизонталь-
ной проекции точки 4 ( /Ь ) по
заданной вертикальной проекции
( Д2) проведена параллель, ле-
жащая в плоскости 6 ( 62)
(радиусом Ra )• Точка А пост-
роена на передней части поверх-
ности сферы (рис.56, а,б).
Точка 0 ( Bj, 62)» отмечен-
ная на чертеже, находится на
~ экваторе сферы (на задней
части ее поверхности).
35
вращения образуется при вра-
Рис. 57 Эллипсоид вращения (вытя-
нутый); а- комплексный чертеж;
б-аксонометрическое, изображение п<ении эллипса вокруг большой и малой оси. Эллип-
соид вращения бывает двух видов:
а) вытянутый, образующийся вращением эл-
липса вокруг его большой оси (рис.57,а
и б); б) сжатый, образуодийся вращени-
ем эллипса вокруг его малой оси (рис.58,
а,б).
Если ось вращения эллипсоида (как
— и любой поверхности вращения) перпен-
дикулярна к плоскости проекций Л/ , то
>1 проекция любого сечения поверхности на
"Т~ плоскость проекций fy будет о к р у ж -
* н о с т ь . На рис.57, а,б и на рис.58,
< а,б показано нахождение на поверхности
эллипсоида точки А .
6.	Параболоид вращения -
поверхность полученная вращением пара-
болы вокруг ее оси (рис.59, а,б). Как
обычно через заданную точку проводит-
ся секущая плоскость ( 6 ), пересекаю-
щая поверхность вращения по окружнос-
ти. Построение точки А на комплексном
(рис.59,а) и на аксонометрическом изоб-
ражении (рис.59,б) ясно из чертежа.
а
Рис. 59 Параболоид вращения;
а - комплексный (эпюрный) чертеж;
5- аксонометрическое изображение.
56
7.	Гиперболоид враще-
ния (линейчатый гиперболоид)
бывает двух видов: а) однопо-
лостный (рис.60,а,б), обра-
зующийся вращением гиперболы
вокруг ее малой оси. Он яв-
ляется линейчатой поверхно-
стью, Фак как может быть об-
разован не только вращением
гиперболы, но и вращением
прямой а (а1 , а %) вокруг
оси i. Отсюда и другое его
название - линейчатый гипер-
болоид; б) двуполостный ги-
перболоид вращения - поверх-
ность, образованная вращением
гиперболы вокруг действитель-
ной ее оси (рис.61).
Рис. 61 Двухлопастный
гиперболоид вращения
Точки, принадлежащие поверхностям одно полост-
ного гиперболоида вращения (рис. 60), эллипсоида
вращения (см.рис. 57 и 58), параболоида вращения(рис.59)
двухполостного гиперболоида вращения (рис. 61)
определяются проведением и построением через заданные
точки параллелей. Для однополосного гиперболоида может
быть использован и другой способ построения точек на
поверхности. Так, например, вертикальная проекция точки
в ( 82 ) может быть найдена по заданной ее горизонталь-
ной проекции с помощью фиксированного положения его об-
разующей 11! ( Д й-i , -'г	) •
Точка 4 находится на горловине. На рис.60,б приве-
ден наглядный рисунок однополосного гиперболоида и прове-
дена плоскость 6, пересекающая однополостный гиперболо-
ид по двум прямым а и Ь, и касается его в точке 4 (на
горловине, радиуса г ).
8.	Тор . Формообразуется поверхность тора при
вращении окружности, но не проходящей через центр окруж-
ности. Различают три разновидности торов, которые отли-
чаются друг от друга в зависимости от соотношения ради-
уса R формообразующей окружности и расстояния А
37
Рис.64
типа валов, осей, шпилек и т.д. имеют
пдаввде перехода
от ее центра до оси вращения: I) открытый тор или
круговое кольцо (рис.62, а,б), когда R<A
2) замкнутый тор (рис.63), когда R = А ; 3) само-
пересекающийся тор (рис.64), когда R >А . Тор яв-
ляется поверхностью 4-го порядка. Произвольная пря-
мая пересекает его в четырех точках.
w-
Рис. 65
Торовые поверхности нашли большое распрост-
ранение в машиностроительных деталях и в
архитектуре: обода маховиков , шкивов, кла-
панов (рис.65). Многие поверхности деталей
Рис. 52 Торо&ая поверхность
Рис. 65 Чертеж клапана, состоящего
из поверхностей вращения
от одной поверхности к
другой (для изменения
напряжения в месте перехо-
да) в виде кольцевой по-
верхности, называемой
галтелью. На рис.65
галтелью на клапане
является часть торовой
поверхности 3, часть торо-
вой поверхности 6 (проточ-
ка на клапане).
38
7.5 ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК НА ПОВЕРХНОСТЯХ
Любая п о в е
ной на эпюре,
позначно стро
рхность тогда сч
когда имеется во
ить проекции люб
итается задан-
зможность од-
ой точки, ей
принадлежащей .
2к
21
у.
*3
Рис. 68
Рис. 6 6
Рис. 67
уметь
ее по
научиться строить
задать по-
комплек-
Поэтому, чтобы
верхность и прочесть
сному чертежу, нужно
на ней точки, так как с нанесения то-
чек на поверхности начинаются все
дальнейшие на ней построения.
В Предыдущем разделе мы уже-
рассматривали построение точек на
поверхностях (рис.48-64). Ввиду важ-
ности этого вопроса, остановимся
на нем еще раз.
Примечание. Невидимые на про-
екции точки условно зачернены.
Г. Построение точен на много-
гранных поберхностях.
На рис.66 представлена прямая
призма. Точка Д ( /I2) задана своей
фронтальной проекцией и найдена непос-
редственным проведением линии связи
Проекции точек на наклонной призме
(рис.67)или пирамиде можно построить
двумя способами: I) проведением плоскости
через заданную точку и построением ли-
нии сечения. Обычно через точку прово-
дится горизонтальная плоскость (если
точка задана фронтальной своей проекци-
ей) как это
показано на рис.67, или
фронтальная плоскость (ес-
ли точка задана своей го-
ризонтальной проекцией);
2) проведением прямой через
точку и построением проек-
ций этой прямой, как это
сделано для пирамиды. На
рис.68,а,б и построен ком-
плексный и аксонометриче-
ский ее чертеж. Точка на
аксонометрическом чертеже
пирамиды построена по
координатам, измеренными
на комплексном чертеже.
59
J. ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК НА ПОВЕРХНОСТЯХ ЦИЛИНДРА И KOHVOA
а)Построение точек на поверхности прямого кругового цилиндра (рис. 69).
В2
А2
Аз.
в<
Рис. 69
У'
поберхности
Поскольку все образующие прямого кругового ци-
линдра 1 к плоскости проекций П^, то построение точек
А ( А^ , Аз» &3) и В (	, В2»	) производится
непосредственно проведением линий связи на комплекс-
ном чертеже
цилиндра (рис.69,а). Точка В находится
на очерковой фронтальной образующей
цилиндра. Для построения указанных
точек на аксонометрическом чертеже
величины координат X , у и Z берут-
ся по комплексному чертежу.
б) Построение точек на
наклонного цилиндра (рис. 70).
На поверхности наклонного (эллиптического)
цилиндра задана точка А ( А2) своей фронтальной
проекцией. Для построения горизонтальной проек-
ции точки, проводим через точку А ( A3) верти-
кальную проекцию вспомогательной образующей,
на нижнем (или верхнем) основании цилиндра
фиксируем точку В ( В2). По линии связи нахо-
дим В^ и проводим через нее горизонтальную
проекцию образующей. Затем по линии связи нахо-
дим (по точке Аз) точку А^. Отметим, что, пос-
Рис.70
кольку, у заданного эллиптического цилиндра
сечение горизонтальными плоскостями окружность
то точку можно было бы построить также прове-
дением через точку А ( A3) горизон-
тальной плоскости и на построенной го-
ризонтальной проекции окружности найти
точку.Таким же способом решена задача -
построения точки на поверхности нак-
лонного (эллиптического) конуса (рис.
54).
в) Построение точки на поверх-
ности прямого кругоВого конуса (рис. 71).
Построение точек, принадлежащих
поверхности конуса можно выполнить
двумя способами: I) проведением обра-
зующей, через заданную точку; 2) про-
Рис. 71
ведением плоскости через точку. Так,	а
например, точка А ( А^, А2) на поверх*
ности конуса (рис.71) построена при
40
помощи образующей I ( L< , Lg )• Если же точка дана своей фронтальной проекцией на
очерковой образующей, как например, точка С ( Q )» то ее горизонтальная проекция
строится просто проведением линии связи CgC-t.
Мы рассмотрели построение точек на прямом круговом конусе тогда, когда ось
конуса 1 к плоскости проекции . Случай, когда конус расположен под некото-
рым углом оС к плоскости проекций П«, рассматривался в 7.4, пункт 3, рис.54,б. Пост-
роение точки А ( Ai) по заданной фронтальной проекции ( Аг) ясно из чертежа.
Построение точек.на машиностроительной детали.
Рис. 73 •-невидимые точна;
о - видимые точки.
Как уже отмечалось, деталь состоит из одной или
нескольких геометрических тел. Чтобы прочесть деталь,
надо увидеть, из каких геометрических тел она состоит
и уметь строить на них точки.
Приведенная деталь (рис.73) состоит из трех ге-
ометрических тел: призмы (I), конуса (2) и цилиндра (3),
срезанного фронтальными плоскостями ( h° ).
Разберем построение точек на приведенном примере
(рис.73). Точка А ( Аг) дана своей фронтальной про-
екцией на боковой поверхности четырехугольной призмы;
точка В ( 82) - на боковой поверхности четырехугольной
'«мы, также своей фронтальной проекцией; точка C(Ci)
- на верхнем основании призмы, горизонтальной проекци-
ей; точка D ( Di) - на верхнем основании цилиндриче-
ской поверхности, горизонтальной проекцией. Проведение
линий связи и определение соответствующих проекций
точек можно проследить по чертежу (рис.73).
Построение линий на машиностроительной детали.
Линии, расположенные на поверхностях шара (I),
цилиндра (П) (рис.74), конуса (I) (рис.75) разнообраз-
ны и широко распространены в деталях машин. Линии на поверхности строим/по тому же
методу, что и построение точек. Построение ясно из приведенных чертежей.
47
ТЕМА 8. 8.1 СЕЧЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ПЛОСКОСТЬЮ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
Сечением любой поверхности плоскостью называется плоская фигурна, полученная
в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как
поверхности тела, так и секущей плоскости. Форма сечения зависит от формы по-
верхности и от положения секущей плоскости»
В дальнейшем, при изучении курса черчения, при построении форм различных
деталей, студенту часто придется строить линии пересечения плоскостями поверх-
ностей вращения.
В первом эпюрном задании студенты строили линии пересечения плоскостью по-
верхностей многогранников. Сейчас рассмотрим пересечение плоскостью криволинейных
поверхностей вращения и построение фигуры сечения. Отметим, что цилиндр прибли-
женно можно рассматривать как многогранную призму, а конус - как многогранную пи-
рамиду и в соответствии с этим проводим аналогию при решении задач. При построе-
нии линии пересечения поверхностей различают два типа точек f I) произвольные ,
или промежуточные точки и 2) характерные или опорные точки, т.е., точки, которые
выделяются из произвольных точек какими-либо своими свойствами (низшие и высшие
точки проекций кривой, крайние левые и крайние правые, точки видимости и др.).
Отсюда возникают две задачи: I) дать общий метод построения любого числа произ-
вольных точек и 2) способ построения характерных опорных точек (для каждого типа
характерных точек может потребоваться свой способ построения).
1.	МЕТОЛ ПОСТРОЕНИЯ ЛЮБОГО ЧИСЛА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ТОЧЕК
СЕЧЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
С ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ
Этот метод заключается в применении вспомогательных плоскостей.
В качестве последних примем, например, плоскости уровня. Положим,
что поверхность вращения дана осью 1(4,^) и меридианом /л(л?у,
^2) (рис.76). В качестве секущей плоскости возьмем фронтально
проецирующую плоскость Г (т.е. плоскость, совпадающую со следом-
проекцией т2). В сечении получится плоская кривая. Рассмотрим
пример построения двух ее опорных точек. Поверхность вращения
расположена таким образом, что ее ось перпендикулярна плоскости
П1 . Тогда в сечении поверхности вращения плоскостью уровня
получатся окружности, а пересечение следа-проекции Т и плоскости
уровня <£> дает прямую уровня h (	(рис.76). Общие точки
построенной таким образом окружности и прямой уровня (на рис.76
см. точки А и 8 ) будут точками линии пересечения данной поверх-
ности (t гп) с плоскостью . Изменяя положение вспомагательной
плоскости уровня 6, мс*но получить сколько угодно точек иско-
мого сечения.
ЛИНИИ
Рис.76
2.	СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ ГОРИЗОНТАЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ Т.
Плоскость всегда пересекает сферу по окружности.Поскольку на рис.77 плоскость
г наклонена по отношению к плоскостям проекций Пг и П$ , то на плоскости
42
проекций окружность проекцируется в виде эллипса. Построение проекций эллипса
всегда начинается с построения проекций большой и малой осей эллипса. Окружность
на плоскость |П4 спроецировалась в отрезок, расположенный на следе проекции и
равен малой оси эллипса. Рассмотрим построение характерных и промежуточных точек
эллипса: I) точки С ( G, Cg, Cj) и D( , D2, Ds) наиболее близкая D и наи-
более-удаленная С . Точки определяются в пересечении следа-проекции Г, очерком
горизонтальной проекции экватора сферы. На плоскости Л? эти точки будут край-
ней правой ( Dz ) и крайней левой ( Сг ) точками эллипса. Точки С и D определяют.
как уже отмечалось, малую ось
эллипса, т.е. ее фронтальная
проекция сливается с фронтальной
проекцией экватора шара.
Проекция (A^Bi) большой оси
эллипса сечения на плоскость -
точка, являющаяся серединой от-
резка Ci . Проведем вспомога-
тельную фронтальную плоскость
б так, чтобы ее фронтальный
след прошел через точку Ai=Bi
(середину оси эллипса) и опреде-
лил радиус R сечения шара плос-
костью б . Проведем из точки
Og, т.е. из центра шара, ок-
ружность этого радиуса. Окруж-
ность пересечет-линию связи,
проведенную из точки Ai=Bi в
точках Az и Вг, определяющих
большую ось эллипса АВ . След-
Проекция расположена таким
образом, что на фронтальной проекции весь эллипс видимый, а на плоскости /73 грани-
цей видимой и невидимой части эллипса являются точки 1: и 23. В этих точках происхо-
дит касание эллипса с контуром шара на плоскости /73 . Для нахождения фронтальной и
профильной проекции точек 1 и 2 , проводим через горизонтальную их проекцию вспомо-
гательную плоскость уровня б (т.е. параллельную фронтальной плоскости проекций (Dg).
Плоскость 6 пересекает сферу по окружности ( радиуса Ri ), а пересечение плоскости
6^ издает прямую уровня f Точки 1% и 2Z- общие точки прямой уровня fz и
окружности. Промежуточные точки эллипса строим при помощи вспомогательных фронталь-
ных плоскостей. Натуральная величина сечения (не построенная на чертеже) выразится в
виде круга.
3.	СЕЧЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ПЛОСКОСТЬЮ
В табл.1 рассмотрены сечения, которые получаются при различном расположении
плоскости по отношению к оси цилиндра. Остановимся более подробно на сечении круго-
вого цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью Т (рис.78) наклонной к оси цилиндра
под произвольным углом. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизон-
тальным следом проекций . Построение профильной проекции сечения начинаем с опреде-
ления характерных точек. При этом точки А$ и Bj на профильной проекции кривой пересе-
чения будут низшей и высшей точками; точки Cs и D3 - точки видимости. Точки kBz
43
определяем в пересечении фронтальных
очерковых образующих со следом прЪек-
цией Тг , а затем по горизонтальным
линиям
дим их
Bi
Z'
3’
п’/ тиндра и верхнему основа
Аз
Рис. 7д
3,54,
1ч
Рис 78
связи (указаны стрелками) нахо-
профильные проекции. Точки С г
и Д? получены в
пересечении со
_ следом проекции
Тгобразующих, яв-
qs Ляющихся очерко-
выми на профиль-
ной проекции ци-
линдра. Построе-
ние промежуточных
у точек (они обоз-
начены цифрами)
понятно из чер-
тежа. Истинная
величина сечения
найдена способом
перемены плоскостей
проекций. На рис.78
рассмотрен случай,
когда плоскость
пересекает все об-
разующие заданного
цилиндра. На рис. рассмотрен аналогичный
случай сечения прямого кругового цилиндра
плоскостью. Плоскость пересекает цилиндр по
части образующих
нию.
44
4.	СЕЧЕНИЕ ПРЯМОГО КРУГОВОГО КОНУСА ПЛОСКОСТЬЮ
Различные случаи сечения прямого кругового конуса плоскостью по отношению
к оси рассмотрены в табл.1. Остановимся более подробно на различных сечениях
конуса и рассмотрим конкретно, как строится на проекциях конуса характерные и
промежуточные точки.
I)	Сечение кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Т (след-про-
екция Tg ) наклонной к оси конуса, (т.е. ко всем образующим).
При таком сечении конус пересекается;по эллипсу (рис.80). Построение проек-
ций эллипса всегда начинается с построения проекций большой и малой осей эллипса.
с
В5


На фронтальной плоскости проекций эллипс сечения совпа-
дает со следом-проекцией . Большая ось на 77 г - рав-
на длине отрезка 4g ^2» Горизонтальную А-/&1 и профильную
Д3В3 проекцию большой оси
эллипса получим проведением
линии связи из точек Д2 и
32 пересечения следа-проекции
очерковыми образующими
52/2и $г2г. Фронтальная
проекция малой оси
CD (точка Cg-^2 )
расположена на следе
проекции Г в сере-
дине отрезка ♦
Для построения го-
бг

у fit
ризонтальной проек-
ции CjDi малой оси
CD используют вспо-
могательную окруж-
ность радиуса RM .
Она получена сече-
нием конуса плоскостью
уровня б ( пер-
(точки Сг= Ог ).
Профильную проекцию малой оси строим по двум имеющимся проекциям. Построение про-
межуточных точек кривой эллипса сечения можно найти по аналогии с построением то-
чек С и D . На рис. 80 показан пример построения одной из промежуточных то-
чек - Е ( Ei, Ег, Ез), F ( F, , F2 , F3 ). На плоскости проекций весь контур
сечения эллипса видимый, а на /1д часть контура - невидима. Опорными точками види-
мости являются точки С и- D , принадлежащие очерковым образующим профильной
проекции конуса S3 Ю5 и S3 . Истинная величина эллипса определена по методу
перемены плоскостей проекций.
5.	СЕЧЕНИЕ ПРЯМОГО КРУГОВОГО КОНУСА
ФРОНТАЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОДНОЙ
ИЗ ОЧЕРКОВЫХ ФРОНТАЛЬНЫХ ОБРАЗУЮЩИХ
При таком сечении конус пересекается по параболе (рис.81). Фронтальная проек-
ция сечения сливается со следом-проекцией Т2 секущей плоскости, а горизонтальную
45
горизонтальными проекциями
с
Зо 4, .
горизонталей
точки 2 < ,
6. СЕЧЕНИЕ
КОНУСА
ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ,
ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОСИ
ПРЯМОГО КРУГОВОГО
ГОРИЗОНТАЛЬНО-
В сечении прямого кругового
конуса горизонтально-проецирующей
плоскостью, параллельной оси и
двум образующим, получается ги-
пербола (рис.82). Гипербола по-
лучена также на рисунке в табл.1
в результате рассечения конуса
фронтальной плоскостью.
Горизонтальная проек-
ций сечения совпадает со
следом-проекцией ( Тг), а
построение фронтальной и
профильной проекции точек
кривой начинаются с опре-
деления характерных точек:
двух низших точек Д и В
(точек пересечения

и профильную проекцию надо постро-
ить.
Для построения горизонтальных
проекций характерных точек парабо-
лы (высшей 1 и низшей 5	) прово-
дим непосредственно линии связи:
точка пересечение очерковой
образующей 5г 82 со следом-проек-
цией плоскости , а точки 5g и
^2- пересечение окружности основа-
ния с Г2 . Затем строим прове-
дением линий связи профильные про-
екции этих опорных точек.
Для построения горизонталь-
ной проекции параболы проводим ряд
вспомагательных горизонтальных
плоскостей ( р » Р'. ...), каждая
из которых пересекает поверхность
конуса по окружности, а плоскость
Г - по горизонтали, перпендику-
лярной к плоскости fig . В пересе-
чении горизонтальных проекций этих
St
St
соответствующих окружностей получаем
ч
Х12
10t
Рис 82
Si
б4
(2 _
Гипероола



46
следа-проекции Ту с основанием конуса) и наивысшей точки гиперболы - С
Для определения точки С , проводим через вершину 5 вспомогательную образующую
(<5	) перпендикулярно к горизонтальному следу-проекции Ту . Наивысшая точка
находится на этой образующей. Для построения промежуточных точек, проводятся
образующие ( 5у 9у , 3^10^) через точки деления основания конуса на 12 частей
(ясно из чертежа). Найдя горизонтальные проекции точек пересечения соответствую-
щих образующих со следом-проекции Т1 , проецированием определяют их проекции
на Пг и П5 . Характерная точка D (по очерковой образующей конуса на плос-
кости проекций Пг ), является границей видимой и невидимой части сечения на
плоскости . На .профильной проекции опорными являются точки А 3 С5
и точки видимости Fj . Последняя получена в пересечении следа-проекции Гу с
горизонтальной проекцией профильной образующей 5/ /у .
Истинный вид фигуры сечения построен по способу перемены плоскостей про-
екций. Найденные точки гиперболы (на проекциях и истинная величина) соединяют
плавной кривой с помощью лекала.
СЕЧЕ-НИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕ/1
ПЛОСКОСТЬЮ ЧАСТНОГО положения	1аолица 1
№
Чертеж
Наглядное
изображение
назба
ниепо
Ьерх-
ности
Положение
плоскости
линия сечения
(натуральная
беличина)
Произвольное относи-
тельно осей проекций
Окружность
Перпендикулярно оси
вращения цилиндра
Наклонно относитель-
но оси вращения ци-
линдра
Параллельно оси
вращения цилиндра
Окружность
Эллипс или
часть эллипса
Прямоугольник
Перпендикулярно оси
вращения конуса
Окружность
I
Продолжение таблицы 1
Проходит через
Вершину конуса
Наклонно к оси Вра-
щения, пересекает
Все образующие
Параллельно одной ш
образующих В этом
случае угол между плос-
костью и осью конуса
радон иглу между обра-
зующей и осью конуса
Параллельно дВум
образующим (или
оси конуса)
Треугольник
Эллипс
Парабола
Гипербола
48
82 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК
1 РАЗВЕРТКА ПРЯМОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
Развертка цилиндрических поверхностей проводится по аналогии
с разверткой
Рис. 8 2
нием на его поверхности
начены буквами А и 8
ся по диаметру основания
призмы. В этом случае ряд
прямолинейных образующих
принимается за боковые реб-
ра вписанной в цилиндр
призмы.
На рис.83,а,б дан пря-
мой круговой цилиндр, пос-
тавленный основанием на
плоскостьП<и рассеченный
фронтально-проецирующей
плоскостью Т . Для пост-
роения развертки боковой
поверхности усеченной час-
ти цилиндра строится вна-
чале развертка всей боко-
вой поверхности с нанесе-
образующих (образующие обоз-
С индексами). Развертка строит-
D и высоте И цилиндра,
размеры которых выявлены на проекциях (рис.83,а) в
Синусоида
Рис. 83
К
'РазЗертм
усеченой
части

натуральную величину. Причем, разрез боковой поверх-
ности цилиндра может быть
сделан по любой образую-
щей, например, по образу-
ющей А'В' . Для построе-
ния точек Ао , До ....
отсеченной части цилинд-
ра переносим на образую-
щие развертки (рис. 83,в)
части оставшихся после '
сечения образующих,
т.е. размеры
на фронтальной проекции.
Точки Ao,Aq,Ao,...
,Ао соединяем плав-
ной кривой линией, ->
она является линией сечения, по которой поверхность цилиндра рассечена фронталь-
но-проецирующей плоскостью, Т .
Для получения полной развертки поверхности усеченного цилиндра, к любой точ-
ке прямой (выпрямленная окружность основания) присоединяем нижнее основание, а
к точке До линии сечения (фигуру сечения) - эллипс.
49
2. РАЗВЁРТКА КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
а
5
Рис. 84
Построить развертку поверхности прямого
кругового конуса. Развертку боковой по-
верхности конуса можно представить как
сектор окружности радиуса R , равном L-
длине образующей конуса. Угол при вершине
сектора найдем по формуле: <Х = 360	,
где f - радиус окружности основания ко-
нуса (рис.84).
б) Построить развертку усеченной по-
верхности прямого кругового конуса.
На рис.85,а дано сечение конуса
фронтально-проецирующей плоскостью ос ,
Секущая плоскость пересекает все образую-
щие конуса (в сечении полный эллипс).
Для нахождения точек сечения делим осно
вание конуса на 12 равных частей и соединяем точки деления I, 2, 3 и т.д. с вер-
шиной конуса S . Полученные точки на основании переносим на фронтальную и про-
фильную проекции с помощью линий связи и проводим образующие на всех трех проек-
циях.
..Пересечение образующих с плоскостью сечения дает фронтальную проекцию (АгВ^гОг)
эллипса. Большую ось эллипса (АВ ) на горизонтальной
плоскости проекций и малую ось (CD ) на профильной плос-
при переносе точек с фронтальной
плоскости проекций с помощью
линий
кости проекций получим
Х-£
п<
IQl

связи. Для того, чтобы
найти малую ось на го-
ризонтальной плоскос-
ти проекций и большую
ось на профильной
плоскости проекций,
делим фронтальную про-
екцию А^В^ попал ам
точкой ^2-^2	•
Через
екции
0
полученные пре-
проводим ropk-
50
Проводим на горизонтальной плоскости проекций окружность, на которой находим ось
эллипса Ci Di . Профильная проекция С$О$ оси эллипса находится обычннм путем.
Для нахождения натуральной величины сечения применяем способ замены плос-
костей проекций. Для построения развертки находим натуральную величину всех усе-
ченных образующих так, как это было сделано при построении развертки пирамиды.
На рис.85,б гана развертка усеченной поверхности прямого кругового конуса.
в) Пос роить развертку поверхности наклонного конуса (рис.86).
Для построения используется способ приближенной развертки, когда в заданную
поверхность конуса вписывается П -угольная пирамида. Строим развертку пирамиды,
Предварительно проводим ряд ребер (образующих) и определяем истинную длину каждо-
го из них. На основании этого, через точки I, 2 ... 8, расположенных на основании
конуса на равных расстояниях друг от друга, проводим образующие. Истинная длина
каждой образующей определена вращением ее вокруг вертикальной оси, проходящей
через вершину конуса, до положения, параллельного фронтальной "плоскости проекций
(рис.86,а).
Построение развертки боковой поверхности можно начать с любой образующей.
На чертеже (рис.86,б) построение развертки начато с образующей 15 . Для определе-
ния на развертке положения точки 20 проводим из точки 50 , как из центра,дугу
окружности радиусом, равным 2о50 (истинная длина образующей 25 ), а из точки
1а - дугу окружности радиусом, равным
хорде дуги окружности основания между
точками Л и 2i . В пересечении прове-
. денных
5г
< 6,
а
Рис. 86


дуг определится искомая точка 2^
Аналогичным образом определяется
положение точек Ъо, 4 о и др.,
после чего эти точки соединяются
между собой плавной кри-
вой линией.
Вполне очевидно,
что, взяв большее ко-
личество образую-
щих, получим бо-
лее точную
развертку бо-
ковой поверх-
ности конуса.
5. ПРИБЛИЖЁННАЯ
РАЗВЁРТКА НЕРАЗВЁРТЫВАЕМЫХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Построение развертки поверхности вращения не развертывающейся на плоскость
без складок и разрывов (сфер, торов и т.д.) сводится к приближенному вычерчивав
51
5
KR_________~
Рис. 87 Приближенная разЬертка сферы; а-ком
плексный чертеж; J - разбертка
12), а параллелями (плоскости Р, в, , Ф)
нию частей поверхности, ва
которые ее разбивают мери-
дианы или параллели. При
этом каждая часть поверхнос-
ти аппроксимируется (заме-
няется с- той или иной сте-
пенью приближения) куском
какой-либо линейчатой
поверхности. С этой целью
чаще всего применяются
цилиндрические (метод
цилиндров) или кониче-
ские (метод конусов) по-
верхности .
Рассмотрим приближен-
ную развертку сферы с
использованием метода
цилиндров.
По заданному комплек-
сному чертежу (рис.87,а)
поверхность сферы делят
меридиональными плос-
костями, например, на 12
равных секций-сферических
двуугольников (I, 2, 3, ...
проведенными на равном
расстоянии по фронтальному меридиану АВ ( Al ) на шесть участков.
Наибольшая ширина каждого сферического двуугольника равна , а длина - 7Г7? ,
где R - радиус сферы. Построим приближенную развертку одного из сферических .
двуугольников. Так как вершины всех секций сходятся на полюсах шара, в точках
Д и В , то выпрямленная длина секций равна 1/2 большего круга шара.' Эта
длина отложена на вертикальной прямой АоВо . Для того, чтобы построить несколь-
ко точек 1 , it , »' и г? , четверть выпрямленной окружности (т.е. 1/2 4о8о)
разделена на три равные части точками й0 и Ьо . Через эти точки проведены
прямые, перпендикулярные АоВо , и на них отложены отрезки If , f/У ,
равные I/I2 части соответствующих окружностей, проведенных на шаре параллельно
экватору. Затем отмеченные точки соединяются плавными кривыми по лекалу.
Правая часть секции симметрична левой. Остальные одиннадцать секций
!являются повторением первой.
52
8.3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ
I
II
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
з.
I. Точки пересечения прямой линий с поверхностью
Q как точки, одновременно принадлежащие двум гео-
метрическим фигурам, в общем случае, строим при по-
мощи метода вспомогательных секущих плоскостей. Важно
отметить, что данный порядок построений ничем не бу-
дет отличаться от построений точки пересечения прямой
с плоскостью, так как плоскость является частным
видом поверхности,
Порядок построений;
I.	Через данную прямую а проводим вспомогательную
секущую плоскость Г (рис.88).
2.	Построим линию Ь пересечения данной поверхности
секущей плоскостью Т ( b = 5? м ).
[ L
Рис. 88
со вспомогательной
Находим точки К и L пересечения прямой с плоскостью.
Точки пересечения называются также точками встречи: одну из них называют
точкой входа, а другую - точкой выхода. Если прямая касается линии, лежащей на
поверхности, то точки встречи сливаются в одну точку - точку касания.
Вспомогательная плоскость должна выбираться так, чтобы она давала наиболее
простую линию пересечения.
2. ЧАСТНЫЙ способ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧЕК
Рис. 89
ВХОДА И ВЫХОДА
Рассмотрим случаи,
когда нет надобности в
в построениях, описан-
ных в п.1. Это тогда,когда/
например, грани призмы
(рис.89) перпендикуляр-
ны к плоскости проекции
Л/ . Решение выпол-
няется непосредственно
без применения вспомо-
гательной секущей плос-
кости - точки Mi и
найдутся на пересечении
горизонтальной проекции -
прямой и выродив-
шейся проекции поверх-
ности (пятиугольника
для призмы и окружности
для цилиндра). Точки
и - по линиям связи. Очевидно, ото часть прямой, заключенная между
точками входа и выхода, всегда невидима.
55
3.	ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
С ПОВЕРХНОСТЬЮ ПИРАМИДЫ
ПРЯМОЙ ЛИНИИ
Задача решается по общей схеме: а) через прямую
а( а1 , аг) проводится вспомогательная проецирующая плос-
кость г { в данном случае проведена фронтально-проеци-
рующая), фронтальная проекция фигуры сечения сливается
с фронтальной проекцией плоскости т .-Определяем го-
ризонтальную проекцию сечения пирамиды плоскостью г ;
б) пересечение прямой с сечением дает искомые точки входа
и выхода Му N-t , а по линии связи - Мг Ng .
4.	ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С
ПОВЕРХНОСТЬЮ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ
Для- построения точек пересечения прямой с поверх-
ностью призмы через прямую, следует провести проецирую-
щую плоскость. На рис.92 через прямую а ( Оу , аг) прове-
дена фронтально-проецирующая плоскость г . Строим гори-
зонтальную проекцию пересечения плоскости т с поверх-
ностью призмы ( 7у , 21, Зу). В пересечении горизонталь-
ной проекции прямой а с горизонтальной проекцией
Рис. 92
(7у2уЗу) линии пересечения определя-
ем точки Му и Л/у - горизонтальные
проекции точек пересечения прямой
с поверхность^ призмы. Определим ви-
димость точек :\точки Mi иЛ/у будут
на горизонтальней проекции невидимы,
так как находятся на невидимой проек-
ции линии переселения, на плоскости
Пг точка Мг будет видима, так как
находится на видимой грани призмы,
а точка Мг невидима, так как нахо-
дится на невидимой грани.
5.	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ОБЩЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
НАКЛОННОГО ЦИЛИНДРА (РИС.93)
Данная задача решается наибо-
лее просто и точно, если через пря-
мую провести такую вспомогательную плоскость, которая пересекла бы боковую по-
верхность цилиндра по образующим. Чтобы провести эту плоскость на комплексном
чертеже цилиндра, возьмем на прямой а ( Qy, а?) две произвольные точки А и В
И проведем через них прямые b ( bi, bg ) и С ( Су ,	, параллельные образующим
цилиндра. Две /параллельные прямые Ь и с определяют требуемую плоскость. Найдем
ее горизонтальный след ( ОС ), приняв за Щ плоскость основания цилиндра. Для
этого надо предварительно построить следы N и /V* вспомогательных прямых Ь
и С . Сдед ОС пересекает основание цилиндра в точках /у и 2у . Через эти
точки и пройдут горизонтальные проекции образующих, по которым плоскость ос
рассекает поверхность цилиндра. В пересечении их с О. ( Gy, Qg) получены точки
54
di
Mi vi К1 , по которым построены затем
фронтальные проекции и ^2 .
Если горизонтальный след Мг данной
прямой Q находится в пределах чертежа, то
вместо двух вспомогательных прямых Ь и с
достаточно провести одну из них. Тогда
секущая плоскость будет определяться
b или Q и с , а след бу пройдет
и А/4 (или hl1 ), как на рис.93,6.
двумя пересекающимися прямыми а и
через следы этих прямых, т.е. через N
6) Построение точек пересечения прямой а общего положения с поверхностью
наклонного эллиптического конуса с круговым основанием (рис.94, а,б).
В данном случае наиболее целесообразно, как и в предыдущем случае, провести
вспомогательную плоскость так, чтобы она прошла через прямую а и рассекла
поверхность конуса по образующим.
например, А и В . Тогда вспомогательная плоскость определится двумя прямыми,
проведенными через вершину конуса - 5А и S8 . Строим горизонтальные следы
этих прямых и через них проводим горизонтальный след вспомогательной плос-
кости <5 ((бу). Плоскость <5 пересечет поверхность конуса по образующим 18 и
28 , которые в пересечении с заданной прямой и определят искомые точки И и К.
55
В том случае, когда горизонтальный след ( Ng, ) дайной прямой находится в пределах
чертежа (см.,например, рис.94,б), то вместо двух вспомогательных прямых SA и ЗВ
достаточно провести одну, например, SA . Тогда вспомогательная плоскость опре-
делится прямой а и ЗА . В остальном задача решается аналогично.
7. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ СФЕРЫ
а) Пересечение ссреры с прямой частного
положения (рис. 95,о).
Поскольку прямая фронтальная, целесообразно через пря-
мую провести фронтальную плоскость Г ( Т^). Она пересека-
ет сферу по окружности, которая в свою очередь пересе-
кает проекцию dg в точках и Л/g . С помощью линии
связи определим точки Му и Л/^ . При определении видимос-
ти прямой на Hi исходим из того, что точка не вид-
на, так как находится на нижней полусфере, а точка 'Л/<
видна, так как находится на верхней Полусфере. На
фронтальной проекции обе точки видимы.
Примечание: мы услрвились невидимые точки на
проекции зачернять.
б)Пересечение ссреры с прямой общего положения.
Поскольку прямая общего положения, способом замены
плоскостей проекций преобразуем рис.95,б так, чтобы
прямая стала, как в предыдущей задаче, фронтальной.
С этой целью заменим плоскость П% плоскостью Пц ,
параллельной данной прямой <2 . В ре-
зультате получим возможность использо-
вать для решения задачи фронтальную
плоскость и решать задачу в новой сис-
теме, как показанр;ца рис.95,а.
На Л< точкф;М< и Ni видны, так
как проекции Mg и Ng находятся на
верхней полусфере. На /7 g точка A/g
видна, так как находится на главном
меридиане.
Рис. 95
56
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
ВТОРОГО ЭПЮРНОГО ЗАДАНИЯ
Содержание. Второе эпюрное задание выполняется на двух и трех листах
чертежной бумаги формата 12: На двух листах - студентами, занимающимися по курсу
"Инженерная графика" - 80,85 час. (два семестра), 119 час* - (три семестра)на
трех - студентами, занимающимися по курсу "Начертательная геометрия и техниче-
ское черчение" - 187 час. (четыре семестра).
ВЫПОЛНЕНИЕ ЛИСТА 1
I.	По двум заданным проекциям фигуры построить ее профильную проекцию.
2.	Определить недостающие проекции указанной точки, лежащей на поверхности
фигуры.
3.	Построить аксонометрическое изображение фигуры (прямоугольная изометрия)
с нанесением указанной точки (способ построения точки в аксонометрии координатный).
Образец задания для студентов, занимающихся по курсу "Инженерная графика"
(80,85 час) - на рис. 96,аи 97, для студентов, занимающихся по курсу "Инженерная
графика" (П9час) - на рис. 96, б и, 98 и для’ студентов, занимающихся по курсу
"Начертательная геометрия и техническое черчение" (187 час) - на рис. 96,в и 99.
Цель задания: закрепить знания студентов по решению задач на расположение и
построение точек в прямоугольной и аксонометрической проекциях.
I. Выполнение задания начинается с построения по двум данным проекциям фигу-
ры третьей, профильной проекции. На формате листа I в левой части вычерчивается
по указанным размерам заданная фигура (рис. 96,а, б, в). На образце задания выпол-
нено построение профильной проекции фигуры, представляющей собой сочетание: приз-
мы и конуса (рис.97), цилиндра,призмы и конуса (рис.98), призмы, сферы и конуса
(рис. 99) и построение недостающих проекций,'указанных по заданию точек. При
построении используется постоянная прямая чертежа (ппч).
Для построения аксонометрической прямоугольной изометрии следует провести


Рис. 97
DO
Рис. 98
Рис. 99
60
на свободном поле чертежа аксонометрические оси х' , у' , z' и строить изобра-
жение фигуры (см. тему 6).
Точка Л' определена координатным способом и является изображением в изо-
метрии точки А .
Данные для выполнения 1-го листа необходимо брать из табл.2, 3, 4. Размеры
в таблице у сазаны для вычерчивания фигур. Наносить их на лист не следует.
ВЫПОЛНЕНИЕ ЛИСТА 2
I. По двум проекциям построить третью.
2.. Построить натуральную величину сечения.
3. Построить развертку поверхности вращения с нанесением линий сечения.
4. Построить аксонометрическое изображение срезанной поверхности.вращения.
Цель задания: закрепить знания студентов по решению задач на построение се-
чений различных поверхностей плоскостями.и построение разверток поверхностей.
В табл.5
динатой точки
В табл.6
Образец задания для сту-
дентов, занимающихся по
курсу "Инженерная графи-
ка" (119 час.) дан на
[рис. 100,а и 101, а для сту-
дентов, занимающихся по
курсу "Начертательная
геометрия и техническое
черчение" (187 час.) -
на рис. 100,а и 102.
Данные для выпол-
нения второго листа необ-
ходимо брать из табл.5,6.
В результате сече-
ния прямого кругового ци-
линдра и конуса могут
быть получены разнообраз-
ные фигуры (см.тему 8).
направление секущей плоскости указано на рисунках углом и коор-
♦ в табл.б - размерами.
секущие плоскости обозначены следующим образом: ОС - плоскость,
проходящая через вершину конуса; £ - плоскость параллельная ; 6J - плоскость,
параллельная оси вращения; Т и % - плоскость, не параллельная ни одной из обра-
зующих (не проходящая через вершину конуса); б - параллельная одной образующей
конуса.
Натуральную величину сечения определять; способом замены плоскостей проекций.
ВЫПОЛНЕНИЕ ЛИСТА 3
Цель 3-го листа: I) закрепить знания студентов по решению задач на построе-
ние по заданным координатам точки Д ; 2) определить недостающие проекции точек,
принадлежащих плоскости; 3) определить взаимное расположение прямой и плоскости;
4) определить расстояние от точки до плоскости.
Данные для построения 3-го листа приведены в табл.7,8. образец листа 3 на
рис. Ю4| выполнен по заданию, представленному на рис. ЮЗ, а,б.
A
I "Додеядо кону co, рслбертка и tu>
#*%q__________аксонометрия
Ъти IKpabuob to-Ml огФ угу l,.„M__
Tfoobepu/T'VlDxunoll щШ^урс I7epynna №27663
Рис. 101
о»
ha
4*2,5	Сечение конуса, развертка и его аксонометрия				
Чертил		Кравцов	12.0333	ОТФ,ЧГЧ 1курс, 13 группа	1-1
Проверил		Архипов	iiO3.es		H4S6S7S
Примечание! 1) b задании необходимо построить истинную величину сечения конуса (цилиндра) только
плоскостью т (т.е. только эллипса или его части). Если 6 задании нет плоскости т, то строить
сечение нужна плоскостью . 2) Строить разЪертку только докабой поверхности.
Рис. 102
63
На листе 3 студент выполняет две задачи. Образец
ftjciOS
их выполнения показан на
рис. 104 по заданию, представ-
ленному на рис. 103,а,б.
Задача I, Определить рассто-
яние от точки А , принадле-
жащей грани многогранника,
до указанной на чертеже
грани SBD или SBDM.
I. По заданным коорди-
натам строим точку А2 (фрон-
тальную проекцию точки А ).
2. Определяем недоста-
ющую проекцию точки Д
С этой целью через точку
А2( Агс52СгР2) проводим вспо-
могательную прямую, принад-
лежащую плоскости SCD (Аг^ ). Определяем горизонтальную проекцию вспомо-
гательной прямой 31 ( S^fC: Si QDf ). Из условия,что Ac 5/ определяем точку
( А 4 с 5, 1^ ).
3. Через точку А ( А<, А2) проводим прямую а , перпендикулярную к плоскости
SBD (а JLaSBD, ас А у.
Процесс построения перпендикуляра к плоскости описан в теме 3, пункт 3.1 ме-
тодического указания "Первое эпюрное задание (для заочников)".
4. Определяем точку пересечения прямой а с плоскостью A SBD , с этой целью
заключим прямую Q во фронтально-проекционную плоскость Т ( на чертеже плоскость
изображена прямой f2. 5)аъ(ЗВО); (4z5t)c:flt4t*(BiDt)*ft', SttCStD&ftfl.
Точки 4< и 5< определяются по соответствию C4is(eiDij*(4g4i)i
Находим искомую точку	(Ms45*a; H1s4i5i»a1f/lzc:4t5i)» которая являет-
ся основанием искомого перпендикуляра.
Для нахождения натуральной величину отрезка AM(Att1t, Аг^г) сделаны
построения понятные по чертежу.
Задача 2. Построить точку пересечения прямой (• ( Ц, (л) с поверхностью гео-
метрического тела (рис, 103,6).
I.	Как видно из рис. 103,6 поверхность состоит из двух соосных фигур цилинд-
ра и конуса.
2.	Так как боковая поверхность цилиндра горизонтаяьно-проецируюаря (окружность
Я< ),то горизонтальная проекция точки пересечения (входа) прямой найдется непос-
редственно на пересечении окружности Я#с горизонтальной проекцией прямой (у.
3,	Получаем
4.	Определяем фронтальную проекцию точки К (	) проведением вертикальных
линий связи, исходя из условии,что Хс£.
5.	Для определения точки пересечения прямой I ( h , 1г ) с конической поверх-
ность®, проводим вспомогательную плоскость ht через вершину конуса и прямую 4 .
На образце плоскость задана пересекающимися прямыми < SB * I ).
6.	Определяем горизонтальный след вспомогательной плоскости (6°). Построение
понятно по чертежу.
?. Проводим горизонтальные проекции образующих, которые пересекаясь с горизон-
тальной проекцией прямой ( дадут точку выхода прямой ( Ni). Определяем фронтальную
проекцию точки ti ( Яа ), исходя из условия Л/с (.
Примечание ; начало координат для решение 1-ой задачи принимать д указанной точке .0.
Ри с. Ю4
угбЗмм} AM

Таблица 2

Продолжение таблицы 2
Таблица 5
69
Продолжение таблицы 5
Продолжение таблицы 5
090
Таблица 4

Продолжение тайлицы^
73
таблицы 4
Таблица 5
ттг
Продолжение таблицы5
76

Продолжение таблицы 6
Продолжение таблицы 6
79
Таблица 7
во
Продолжение таблицы 7
Таблица 8

Продолжение таблицы 8