/
Author: Ахиезер А.И. Барьяхтар В.Г. Пелетминский С.В.
Tags: физика монография магнетизм квантовая физика физика твердого тела спиновые волны
Year: 1967
Text
530.3
A 95
УДК 538.11
«Спиновые волны», Ахиезер Л И, Барьяхтар В Г.,
Пе лет мм некий С. В., монография, Главная редакция фи-
физико-математической литературы издательства «Наука», 1967.
В качестве вводного описания подробно излагается обмен-
обменная модель ферромагнетика и антиферромагпетика. Развита
феноменологическая (макроскопическая) теория спиновых волн.
Рассмотрено поведение ферромагнетиков и антиферромагнети-
антиферромагнетиков в высокочастотном внешнем поле (ферромагнитный и ап-
тиферромагнитный резонанс). Развита теория взаимодействия
между упругими деформациями и спиновыми волнами. Изло-
Изложена квантовая теория спиновых волн. Рассмотрены термо-
термодинамические свойства ферромагнетиков и антиферромагнети-
антиферромагнетиков (спиновая теплоемкость, магнитно-калорический эффект).
Развит формализм гриновских функций применительно к рас-
рассматриваемым задачам. Кратко рассмотрены эффекты, связан-
связанные с флуктуациями магнитных характеристик (в частности
рассеяние медленных нейтронов на спиновых волнах). Опи-
Описаны кинетические эффекты в ферромагнетиках (магнон-маг-
нонное и магнон-фононное рассеяние). Рис. 20, библ. 124 назв.
Александр Ильич Ахиезер,
Виктор Григорьевич Барьяхтар,
Сергей Владимирович Пелетминский
Спиновые волны
М., 1967 г. 368 стр. с илл.
Редактор К. П. Гуров
Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректоры Л. Н. Боровика и О. А. Сигал
Сдаио в набор 4/V 1967 г. Подписано к печати 8/VIII 1967 г. Бумага 84х1087зг>
Физ. печ. л. 11,5. Условн. печ. л. 19,32. Уч. изд. л. 19,21. Тираж 10000 экз. Т-07074.
Цена книги 1 р. 39 к. Заказ J4 704.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, B-7I, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.
2-3-6
103 67
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Глава I. Ферромагнетики и антиферромагнетики .... И
§ 1 . Обменная модель ферромагнетика 11
1. Магнитное упорядочение 11
2. Молекула водорода 12
3. Обменный гамильтониан ферромагнетика 18
4. Обменная энергия ферромагнетика 22
§ 2. Магнитное дипольное взаимодействие 25
1. Энергия дипольного взаимодействия 25
2. Тензор размагничивающих коэффициентов 29
§ 3. Энергия магнитной анизотропии и полная энергия фер-
ферромагнетика 32
1. Спин-орбитальное взаимодействие 32
2. Плотность энергии магнитной анизотропии 34
3. Полная энергия ферромагнетика 36
§ 4. Энергия антиферромагнетика 38
1. Обменная энергия антиферромагнетика 38
2. Энергия магнитной анизотропии и полная энергия
антиферромагнетика 41
Глава П. Макроскопическая теория спиновых волн ... 43
§ 5. Уравнение движения магнитного момента и уравнение
переноса тепла в ферромагнетиках 43
1. Уравнение движения магнитного момента 43
2. Поток и диссипация энергии 46
3. Уравнение переноса тепла в ферромагнетике .... 50
4. Граничные условия для вектора намагничения .... 52
5. Равновесные состояния ферромагнетиков и линеари-
линеаризованное уравнение движения плотности магнитного
момента 54
§ 6. Спиновые волны в ферромагнетиках 60
1. Тензор высокочастотной магнитной восприимчивости
ферромагнетика . 60
1* 3
2. Закон дисперсии спиновых волн 62
3. Затухание спиновых волн 64
§ 7. Уравнения движения магнитных моментов в антиферро-
антиферромагнетиках 68
1. Эффективные магнитные поля в антиферромагнетиках 68
2. Равновесные состояния антиферромагнетиков .... 69
§ 8. Спиновые волны в антиферромагнетиках 70
1. Тензор высокочастотной магнитной восприимчивости
антиферромагнетиков 70
2. Спектр спиновых волн в антиферромагнетиках ... 73
§ 9. Электромагнитные волны в магнитоупорядоченных кри-
кристаллах 75
1. Дисперсионное уравнение для электромагнитных волн 75
2. Взаимодействие между собственно электромагнитными
и спиновыми волнами 78
3. Вращение плоскости поляризации в одноосных фер-
ферромагнетиках 81
Глава Ш. Высокочастотные свойства ферромагнетиков
и антиферромагнетиков 83
§ 10. Однородный ферромагнитный и антиферромагнитный
резонансы 83
1. Уравнение для определения частот однородного резо-
резонанса 83
2. Однородный ферромагнитный резонанс 85
3. Однородный антиферромагнитный резонанс 88
4. Поглощение энергии вблизи резонанса 89
§ П. Неоднородный ферромагнитный резонанс 91
1. Общие уравнения для определения частот неоднород-
неоднородного резонанса 91
2. Пластинка 93
3. Шар 95
4. Эллипсоид вращения 98
5. Резонанс на стоячих спиновых волнах 99
§ 12. Поверхностный импеданс ферромагнетиков 102
1. Дисперсионное уравнение для ферромагнитного ме-
металла 102
2. Соотношения между амплитудами полей в ферромаг-
ферромагнитном металле 104
3. Поверхностный импеданс . 108
4. Плотность потока энергии через поверхность ферро-
ферромагнетика 110
5. Пространственная дисперсия высокочастотной магнит-
магнитной восприимчивости и поверхностный импеданс фер-
ферромагнитных металлов 111
4
§ 13. Параметрическое возбуждение спиновых волн 116
1. Уравнения параметрического ферромагнитного резо-
резонанса 116
2. Инкремент нарастания амплитуд неоднородных колеба-
колебаний магнитного момента 119
§ 14. Когерентное усиление спиновых волн потоком заряжен-
заряженных частиц 125
1. Условия резонанса 125
2. Инкремент нарастания амплитуд спиновых волн . . . 126
3. Немоноэнергетический пучок 134
Глава IV. Связанные магнитоупругие волны 136
§ 15. Уравнения теории упругости и уравнение движения маг-
магнитного момента в ферромагнетиках 136
1. Эффективное магнитное поле и тензор натяжений
в упруго деформированном ферромагнетике 136
2. Плотность потенциальной энергии ферромагнетика . . 141
3. Граничные условия 143
4. Следствия из закона сохранения момента количества
движения 146
5. Изменение энтропии деформированного ферромаг-
ферромагнетика 149
6. Основные уравнения 149
7. Случай малых неоднородностей 151
§ 16. Связанные магнитоупругие волны в ферромагнетиках 154
1. Линеаризованные уравнения движения 154
2. Взаимодействие звуковых волн со спиновыми волнами
и магнитоакустический резонанс 156
3. Затухание магнитоупругих волн 164
4. Вращение плоскости поляризации поперечной магнито-
упругой волны 168
Глава V. Квантовая теория спиновых волн 170
§ 17. Квантование спиновых волн в ферромагнетиках .... 170
1. Магноны 170
?.. Операторы рождения и уничтожения магнонов и фо-
ионов 173
§ 18. Представление гамильтониана ферромагнетика с помощью
операторов рождения и уничтожения магнонов 175
1. Реализация операторов спина с помощью бозевских
операторов 175
2. Унитарное преобразование 180
3. Энергия магнона 182
§ 19. Связанные состояния двух магнонов 185
1. Уравнение Шредннгера для связанных состояний двух
магнонов 185
2. Спектр связанны.* состояний 189
5
Глава VI. Термодинамика ферромагнетиков и антифер-
антиферромагнетиков 196
§ 20. Термодинамика ферромагнетиков 196
1. Термодинамический потенциал идеального газа маг-
нонов 196
2. Равновесный магнитный момент и спиновая тепло-
теплоемкость ферромагнетиков 197
3. Магнитокалорический эффект 205
4. Влияние взаимодействия между спиновыми волнами
на термодинамический потенциал ферромагнетика . . 207
§ 21. Термодинамика антиферромагнетиков 210
1. Спиновая теплоемкость антиферромагнетиков .... 210
2. Тензор статической магнитной восприимчивости анти-
антиферромагнетиков 213
§ 22. Спиновые функции Грина и высокочастотная магнитная
восприимчивость ферромагнетиков 215
1. Корреляционные функции спинов и двухвременные
функции Грина 215
2. Связь тензора высокочастотной магнитной восприим-
восприимчивости с двухвременной запаздывающей функцией
Грина 218
3. Энергия, поглощаемая ферромагнетиком 224
§ 23. Спиновые функции Грина и намагниченность ферромаг-
ферромагнетика 228
1. Уравнение для запаздывающей функции Грина .... 228
2. Равновесный магнитный момент ферромагнетика
в случае спина, равного половине 231
3. Равновесный магнитный момент ферромагнетика в слу-
случае произвольного спина 233
§ 24. Флуктуации магнитных величин и рассеяние медленных
нейтронов и света на спиновых волнах 237
1. Корреляторы флуктуации магнитных величин в ферро-
ферромагнетиках 237
2. Рассеяние медленных нейтронов на спиновых волнах. 240
3. Комбинационное рассеяние света на спиновых волнах. 245
Глава VII. Кинетические явления в ферромагнетиках . . 252
§ 25. Процессы взаимодействия между магнонами 252
1. Гамильтониан взаимодействия магнонов друг с другом 252
2. Вероятности распада и слияния магнонов 254
3. Вероятность рассеяния магнонов магнонами 259
§ 26. Процессы взаимодействия магнонов и фононов 261
1. Гамильтониан взаимодействия магнонов с фононами 261
2. Вероятности испускания магноном фонона и превра-
превращения двух магнонов в фонон 263
3. Вероятности процессов взаимодействия фононов с маг-
магнонами . . 265
6
§ 27. Релаксация магнитного момента в ферромагнетиках . . 268
1. Квазиравновесные бозевские распределения магнонов
и фононов 268
2. Уравнения для определения параметров квазиравно-
квазиравновесных распределений 273
3. Релаксация магнитного момента и выравнивание тем-
температур спинов и решетки 276
4. Релаксация магнитного момента в области очень ннз-
ких температур 278
§ 28. Теплопроводность ферромагнетиков 281
1. Поток энергии спиновых волн 281
2. Кинетические уравнения для определения функций
распределения магнонов и фононов 284
3. Теплопроводность ферромагнетиков при низких тем-
температурах 287
4. Второй звук в ферромагнетиках 292
Глава V1I1. Квантовая теория спиновых волн, исполь-
использующая индефинитную метрику 296
§ 29. Квантование спиновых волн 293
1. Операторы идеализированных спинов 295
2. Индефинитная метрика 299
3. Связь матричных элементов спинов и идеализирован-
идеализированных спинов 301
4. Теорема о следах . 305
5. Связь между различными реализациями операторов
спина 305
6. Представление статистической суммы ферромагнетика
с помощью бозевских операторов 307
§ 30. Термодинамический потенциал ферромагнетика 316
1. Разложение термодинамического потенциала по сте-
степеням температуры 316
2. Уравнения, определяющие амплитуду рассеяния двух
магнонов 320
3. Амплитуда рассеяния магнонов в области малых им-
импульсов 323
§ 31. Теория высокочастотной магнитной восприимчивости
ферромагнетиков 328
1. Связь тензора высокочастотной магнитной восприим-
восприимчивости ферромагнетика с функциями Грина магнонов 328
2. Нахождение функций Грина магнонов 331
3. Компоненты тензора высокочастотной магнитной вос-
восприимчивости 338
Дополнение. Спиновые волны в неферромагнитных
металлах (В. П. Силин) . . . . • 344
Литература 364
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы, особенно в связи с различными при-
приложениями, интенсивно развиваются исследования магнито-
упорядоченных кристаллов-—ферромагнетиков, антиферромаг-
антиферромагнетиков и ферритов. Многие свойства этих кристаллов —
в первую очередь высокочастотные, а также термодинамиче-
термодинамические и кинетические свойства — определяются в области
низких температур специфическими волнами, могущими рас-
распространяться в этих телах, так называемыми спиновыми
волнами, представляющими собой передающиеся от атома к
атому колебания атомного магнитного момента.
Эти волны и связанные с ними частицы — магноны, откры-
открытые в 1930 г. Блохом, во многом аналогичны дебаевским
квантам звука—фононам в обычных кристаллах. Как те,
так и другие подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, и
вносят свой вклад в теплоемкость и теплопроводность маг-
нитоупорядоченных кристаллов. В отличие от фононов спи-
спиновые волны — магноны—обладают магнитным моментом,
поэтому они определяют не только тепловые, но и магнит-
магнитные свойства магнитоупорядоченных кристаллов.
Настоящая книга посвящена теории спиновых волн. Мы
начинаем с изложения основ теории ферромагнетизма —модели
Гейзенберга, и далее последовательно излагаем сперва фено-
феноменологическую, а затем микроскопическую теорию спино-
спиновых волн.
Феноменологическая теория, базирующаяся на уравне-
уравнениях электромагнитного поля Максвелла и уравнении дви-
движения магнитного момента, позволяет исследовать высоко-
высокочастотные свойства магнитоупорядоченных кристаллов, в ча-
частности однородный и неоднородный ферромагнитный и
антиферромагнитный резонансы, поверхностный импеданс,
параметрическое возбуждение спиновых волн, когерентное
8
усиление спиновых волн потоками заряженных частиц. Она
позволяет также, с привлечением теории упругости, развить
теорию связанных магнитоупругих волн, в частности теорию
магнитоакустического резонанса.
Фундаментальной проблемой в микроскопической теории
спиновых волн является проблема их квантования, сводящаяся
к представлению операторов спина с помощью бозевских
операторов рождения и уничтожения магнонов. Мы излагаем
два метода решения этой проблемы, принадлежащие Голстейну
и Примакову и Дайсону. Кроме того, мы приводим решение
задачи о связанных состояниях двух магнонов.
Микроскопическая теория спиновых волн позволяет иссле-
исследовать термодинамические и кинетические свойства магнито-
упорядоченных кристаллов в области низких температур. При
исследовании термодинамических свойств магнитоупорядочен-
ный кристалл можно рассматривать как совокупность идеаль-
идеальных газов магнонов, фононов и электронов проводимости.
Мы определяем зависимости намагниченности и теплоемкости
магнитоупорядоченных кристаллов от температуры и внеш-
внешнего магнитного поля, а также излагаем теорию флуктуации
магнитных величин, позволяющую исследовать такие явления,
как рассеяние медленных нейтронов и рассеяние электромаг-
электромагнитных волн на спиновых волнах.
Кинетические свойства магнитоупорядоченных кристаллов
существенно связаны с неидеальностью газов магнонов, фо-
фононов и электронов проводимости. Поэтому для их исследо-
исследования необходим учет различных процессов взаимодействия
между магнонами, фононами и электронами проводимости,
а также между этими частицами и примесными атомами. Мы
ограничиваемся рассмотрением только достаточно чистых маг-
магнитоупорядоченных диэлектриков, кинетические свойства ко-
которых определяются процессами рассеяния магнона магноном
и черенковским излучением фонона магноном. Мы излагаем
теорию релаксации магнитного момента и выравнивания тем-
температур спинов и решетки в таких кристаллах, а также тео-
теорию теплопроводности магнитоупорядоченных диэлектриков;
наконец, мы излагаем квантовую теорию высокочастотной
магнитной восприимчивости ферромагнетиков.
Мы надеемся, что эта книга, несмотря на ее неполноту —
в ней отсутствует, например, микроскопическая теория кине-
кинетических явлений в ферромагнитных металлах и не содер-
содержится теория спиновых волн в сложных (винтовых) магнитных
структурах, — будет, тем не менее, полезной как теоретикам,
9
так и экспериментаторам, работающим в области физики
магнитоупорядоченных кристаллов.
Для понимания большей части книги достаточно знания
основ квантовой механики и статистической физики, и только
последняя глава, содержащая более абстрактный материал,
требует знания квантовой теории поля. Из этой главы, ко-
которая в первом чтении может быть опущена, для эксперимен-
экспериментаторов должен представлять интерес последний раздел по-
последнего параграфа.
Мы хотели бы в заключение выразить благодарность
И. А. Ахиезеру, написавшему для книги параграф о флук-
туациях магнитных величин и рассеянии медленных нейтронов
и электромагнитных волн на спиновых волнах, и В. П. Силину,
написавшему дополнение о спиновых волнах в неферромаг-
неферромагнитных металлах. Мы благодарны также В. В. Ганну,
В. А. Попову, М. А. Савченко и Л. А. Шишкину за помощь
в подготовке рукописи.
Авторы
ГЛАВА I
ФЕРРОМАГНЕТИКИ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИКИ
§ 1. Обменная модель ферромагнетика
1. Магнитное упорядочение. Целый ряд кристаллов
обладает упорядоченной магнитной структурой. Это значит,
что в отсутствие стороннего магнитного поля среднее (кван-
товомеханическое) значение магнитного момента по крайней
мере одного из атомов в каждой элементарной ячейке кри-
кристалла отлично от нуля.
В простейшем типе магнитоупорядоченных кристаллов —
ферромагнетиках (Fe, Ni, Co, Dy) — средние значения маг-
магнитных моментов всех атомов имеют одинаковую ориентацию,
если только температура ферромагнетика не превосходит опре-
определенной критической температуры—температуры Кюри.
Благодаря этому ферромагнетики обладают спонтанным маг-
магнитным моментом, т. е. макроскопическим магнитным мо-
моментом, отличным от нуля в отсутствие стороннего магнит-
магнитного поля.
В более сложных магнитоупорядоченных кристаллах —
антиферромагнетиках (к их числу относятся карбонаты, без-
безводные сульфаты, окислы, фториды переходных металлов
Мп, Ni, Co, Fe) — средние значения магнитных моментов
атомов (в отсутствие стороннего магнитного поля) компен-
компенсируют друг друга в пределах каждой элементарной ячейки.
Иными словами, антиферромагнетик представляет собой сово-
совокупность нескольких подрешеток (их называют магнитными
подрешетками), для каждой из которых среднее значение
магнитных моментов атомов отлично от нуля. Такая магнитная
упорядоченность имеет место, если температура антиферро-
антиферромагнетика ниже определенной критической температуры —
температуры Нееля.
11
Наконец, существует еще один тип магнитоупорядоченных
кристаллов — ферриты, которые состоят из нескольких маг-
магнитных подрешеток, магнитные моменты которых, в отличие
от антиферромагнетиков, не компенсируются, так что фер-
феррит обладает спонтанным магнитным моментом. Ферритами
являются, например, соединения переходных металлов типа
комплексных солей МпО • Fe2O3, 3Y2O3 • 5Fe2O3 и др.
Магнитная упорядоченность ферро- и антиферромагнети-
антиферромагнетиков возникает благодаря корреляции между направлениями
спинов электронов отдельных атомов этих тел, магнитный
момент которых имеет в основном спиновую природу. Эта
корреляция обусловлена в свою очередь взаимосвязью между
пространственной симметрией волновой функции и величиной
суммарного спина системы электронов. Такая взаимосвязь,
являющаяся следствием принципа неразличимости одинаковых
частиц, приводит к зависимости энергии системы от вели-
величины ее полного спина, так как волновым функциям, обла-
обладающим различной пространственной симметрией, соответ-
соответствуют, вообще говоря, различные значения энергии системы.
Существенно, что при этом гамильтониан системы может
не содержать членов, описывающих магнитные, т. е. реляти-
релятивистские, взаимодействия электронов, так что речь идет
о чисто квантовом эффекте, связанном с тем, что электроны
подчиняются статистике Ферми—Дирака. Этот эффект назы-
называют обменным эффектом, а о зависимости энергии системы
от величины ее полного спина (т. е. о зависимости энергии
от свойств симметрии волновой функции) обычно говорят,
что она обусловлена обменным взаимодействием.
2. Молекула водорода. Разъясним характер обменного
взаимодействия на простейшем примере молекулы вздорода,
два электрона которой электростатически взаимодействуют
между собой и с обоими протонами молекулы [1].
Гамильтониан системы электронов при закрепленных на
заданном расстоянии ядрах имеет, очевидно, вид
11 1 1 1 1
е2! —•
и"/~ 2т
где pv р2 — операторы импульсов электронов, т и е—их
масса и заряд и, наконец, га„ — расстояние между частицами
а и р A, 2 — индексы электронов, а, Ь—индексы ядер,
г = гаЬ). Так как @%? не содержит членов, описывающих
магнитное взаимодействие электронов, то волновую функцию
12
системы электронов ф можно представить в виде произведе-
произведения пространственной ц>(г1, г2) и спиновой x(°i- a2) волно-
волновых функций;
r2a2) = cp (rv r2) x (ov a2)
(ffj, a2 — проекции спинов электронов на некоторую ось).
Функция ф должна быть, согласно принципу Паули, анти-
антисимметричной относительно одновременной перестановки коор-
координат и спиновых переменных электронов. Это значит, оче-
очевидно, что симметричной спиновой функции соответствует
антисимметричная пространственная функция и, наоборот,
антисимметричной спиновой функции соответствует симме-
симметричная пространственная функция. Функция у будет сим-
симметричной, если суммарный спин 5 обоих электронов равен
единице, 5=1, и антисимметричной, если 5 = 0. Поэтому
пространственная волновая функция будет антисимметричной
при 5=1 и симметричной при 5 = 0. Мы будем обозначать
эти функции соответственно через фа и cps.
Предполагая, что взаимодействие между атомами является
слабым и что оба они находятся в основном состоянии, можно
приближенно построить функции <$s(ru г2) и Фа(г,, г2) с по-
помощью волновых функций электрона, движущегося в куло-
новском поле каждого из ядер:
фДП. r2)=y====~{(f(rai)(f(rb2)-t'r(f(ra2)(p(rbl)}, 5 = 0,
Ф« <>i> Ъ) = у2п_ ,г) {ф ^ ф (г»2) ~ ф (г
где ф(гш-) — нормированная волновая функция атома водо-
водорода, «состоящего» из 1-го электрона (/=1, 2) и a-го ядра
(a —a, ft) и
Y= J (f(rai)(f (rbl)dr1.
Значения энергии молекулы в состояниях с 5=1 и 5 = 0
связаны с функциями фа и cps соотношениями
(г) = Г Фа (г}, г2)
@= J ф
(в интегралах опущен знак комплексного сопряжения, так
как фа и ф4. являются вещественными функциями в силу
13
предположения о том, что атомы находятся в основном состоя-
состоянии). Подставляя сюда приведенные выше выражения для
Фа и (ps, найдем
F (г\— А (?)-В (г) А(г) + В(г)
где
В (г) = ( U(p (ral) ф (r61) ф (га2) Ф (rb2) drx dr2
Га1
(в выражениях для E^(r) и ^^(л) отброшены не зависящие
от г слагаемые, представляющие собой энергию двух атомов
водорода, находящихся на бесконечном расстоянии друг
от друга).
Величина А (г) определяет, очевидно, электростатическую
энергию взаимодействия обоих атомов в предположении, что
каждый из электронов «жестко» связан с одним из ядер
(электрон 1 с ядром а и электрон 2 с ядром Ь), а величина
В (г) — их обменную энергию. Последнее название связано
с тем, что величина В (г) представляет собой матричный эле-
элемент электростатической энергии взаимодействия электро-
электронов U между состоянием, в котором электрон 1 «принад-
«принадлежит» ядру а и электрон 2 — ядру Ь, и состоянием, в кото-
котором электрон 1 «принадлежит» ядру b и электрон 2 — ядру а.
Обменная энергия отличается важной особенностью: она
быстро (экспоненциально) уменьшается с увеличением рас-
расстояния между ядрами, в отличие от медленно спадающей
энергии их кулоновского взаимодействия. Это объясняется
тем, что в В (г) входят произведения волновых функций элек-
электронов, «привязанных» к разным ядрам, ф (гаг) ф (г61) и
Ф (га2) Ф (r62). Поэтому В (г) зависит от того, в какой мере
«перекрываются» волновые функции (f(rai) и Ф(г6,-), а это
«перекрытие» экспоненциально уменьшается с ростом г.
На этом основании можно сказать, что обменное взаимодей-
взаимодействие является короткодействующим.
Качественно ход изменения величин Е^(г) и Е^(г)
с ростом г, т. е. расстояния между ядрами, изображен на
рис. 1. Мы видим, что два невозбужденных атома водорода
14
Е Ч
могут образовывать молекулу водорода (которой соответ-
соответствует кривая Ец (г) с минимумом) только при антипарал-
антипараллельной ориентации спинов обоих электронов.
Этот пример наглядно показывает, что чисто квантовый
эффект обмена электронов приводит к эффективному взаимо-
взаимодействию между атомами, существенно зависящему от сум-
суммарного спина атомов, хотя спиновые переменные и не входят
явно в исходный, «микроскопический» гамильтониан сово-
совокупности атомов, учитывающий только электростатические
взаимодействия.
Обменное взаимодействие, лежащее, как показывает рас-
рассмотренный пример, в основе гомеополярной химической
связи *), объясняет также при-
природу ферро- и антиферро-
антиферромагнетизма.
В отличие от молекулы во-
водорода, для которой обменная
энергия отрицательна (В (г) < 0),
благодаря чему состояние с сум-
суммарным спином 5 = 0 оказы-
оказывается обладающим меньшей
энергией, чем состояние со
спином 5=1, в ферромаг-
ферромагнетиках состоянию с большим
спином соответствует меньшая
энергия, так что в основ-
основном состоянии ферромагнетика
спины всех атомов имеют па-
параллельную ориентацию**).
Для того чтобы математически описать обменное взаимо-
взаимодействие, введем в рассмотрение оператор
SV = — J(r) s^ -f- Е (г),
где s,, s2 — операторы спинов электронов и J(r),E(r) —
некоторые функции от г, которые мы подберем таким обра-
образом, чтобы собственные значения оператора &€ (действую-
(действующего в пространстве спиновых переменных) совпадали со зна-
значениями энергии Е^(г) и
Рис.
*) Квантово-механическое объяснение химической связи было
дано Гейтлером и Лондоном [1].
**) Это объяснение природы ферромагнетизма принадлежит Гай-
зенбергу [2], Френкелю [3] и Дорфману [4].
15
Так как
то собственные значения оператора s:s2 равны: —-^ при
5 = 0 и j при 5=1. Поэтому собственные значения е№
будут совпадать с величинами Е^(г) и Е^(г), если положить
Величина Е(г) определяет, очевидно, среднее значение энергии
атомов (параллельной ориентации спинов электронов соот-
соответствует статистический вес 3/4, а антипараллельной ориен-
ориентации— статистический вес 1/4), a J{r) — обменную энергию.
Отвлекаясь от этой средней энергии, мы будем в дальнейшем
рассматривать только первое слагаемое в выражении для ?Ю,
зависящее от спинов электронов. Его называют гамильто-
гамильтонианом обменного взаимодействия электронов и обозначают
через ,Же *)
3€t=-. — J(r)S:S2. A.2.1)
Мы получили выражение для гамильтониана обменного
взаимодействия, рассматривая конкретно молекулу водорода.
Но к нему можно прийти и из более общих соображений,
а именно исходя из требования инвариантности гамильтониана
взаимодействия частиц относительно пространственных вра-
вращений.
Действительно, поставим вопрос о нахождении наиболее
общего выражения для гамильтониана взаимодействия двух
одинаковых частиц, предполагая, что он зависит только от
координат и спинов частиц. Так как из операторов спинов
частиц S] и s2 и радиус-вектора г, определяющего их отно-
относительное положение, можно построить только три незави-
независимых инварианта относительно преобразований простран-
пространственных вращений:
*) В таком виде гамильтониан обменного взаимодействия был
впервые получен Дираком [5J.
16
то искомый гамильтониан &6 может быть произвольной функ-
функцией этих инвариантов. Взамен (Si/-)(s2r) удобнее ввести
инвариант
г. . Q ( Q *Ш\ (О **Л С С
о ]2 О У А ] ft) \OnftJ ^^~ »Э 102,
где п = — , и записать поэтому ?Ю в виде
оуо f(г ее с ^
QJV J \1 , «з^«32» 12/'
где / — произвольная функция трех независимых переменных.
Если спин каждой из частиц равен s = -h-' т0 эт0 выра-
выражение может быть значительно упрощено, благодаря следую-
следующему свойству спина -=-: любая целая положительная степень
матриц SjS2 и s12, а также произведение таких степеней выра-
выражаются в виде линейной комбинации самих этих матриц и
единичной матрицы. Это свойство является следствием извест-
известного соотношения для компонент спина s — -к-
__1 1 ,
sksl — ~2 E/ilmsm T -J "Itf
Используя это соотношение, легко проверить, например, что
3 1
S?n =-тг ~{~-k-i
3,1.. __ J_
~ 2
1
Отсюда следует, что, разложив функцию / в ряд по сте-
степеням ее аргументов, можно привести гамильтониан Л? к виду
eW = Ul(r)+U2(r)sls2-\-U3(r)s12, A.2.2)
где Ul(r), U2(г) и U3(r)—некоторые функции от расстоя-
расстояния между частицами. Подчеркнем еще раз, что эта формула
справедлива только в случае частиц, имеющих спин s=-h-.
С первыми двумя слагаемыми в выражении для Ш мы уже
познакомились выше, при рассмотрении молекулы водорода.
Что касается третьего слагаемого, то в случае двух электро-
электронов оно представляет собой энергию их магнитного взаимо-
взаимодействия, т. е. энергию взаимодействия магнитных моментов
2 А. И. Ахиезер 17
eh eh , t
электронов, —s, и —s2 (m — масса электрона, ft— кван-
/ eh \2 1
товая постоянная). При этом U3(r) s» I 1 • —. Эта энергия
содержит по сравнению с Ul{r)-\-U2(r)sis2 добавочный
1 / /l»\2
множитель —г- точнее говоря, множитель — , где v — вели-
с2 \ v \ с)
чина порядка скорости электрона в атоме!. В случае моле-
молекулы водорода мы не учитывали этой энергии, имеющей
релятивистское происхождение, так как v<^c.
3. Обменный гамильтониан ферромагнетика. Перейдем
теперь к установлению вида гамильтониана ферромагнетика.
Главный вопрос, который нас интересует, заключается в вы-
выяснении характера энергетического спектра ферромагнетика
вблизи основного состояния, которому, как показывает опыт,
и как должна объяснить теория, соответствует параллельная
ориентация магнитных моментов отдельных атомов ферро-
ферромагнетика. Сперва мы не будем учитывать сравнительно
слабых релятивистских взаимодействий. Поэтому исходный —
микроскопический гамильтониан ферромагнетика будет со-
содержать в качестве потенциальной энергии лишь энергию
кулоновского взаимодействия электронов и ядер и, кроме того,
кинетическую энергию частиц, т. е. сумму операторов Лапласа
для каждой из частиц. Волновые функции этого гамильто-
гамильтониана должны обладать определенными свойствами симметрии,
благодаря чему, как было разъяснено выше, устанавливается
корреляция между значениями общего спина системы и зна-
значениями ее энергии.
Если предполагать, что кристалл формируется аналогично
молекуле водорода, т. е. из отдельных атомов, каждый
из которых содержит по одному электрону в основном со-
состоянии, то, используя указанный микроскопический гамильто-
гамильтониан, можно приближенно найти энергетические уровни
кристалла.
Однако для исследования более общих случаев микро-
микроскопический гамильтониан является слишком сложным, чтобы
им можно было непосредственно пользоваться. Поэтому есте-
естественно попытаться перейти от микроскопического гамильто-
гамильтониана к гамильтониану, имеющему более простую математиче-
математическую структуру и приводящему в главных чертах к такому же
энергетическому спектру, как и исходный гамильтониан.
Этот переход можно произвести аналогично рассмотренному
18
выше переходу от микроскопического гамильтониана двух
атомов водорода, содержащего два лапласиана и электро-
электростатические потенциальные энергии различных пар частиц,
к обменному гамильтониану, имеющему значительно более
простую математическую структуру, чем исходный гамильто-
гамильтониан. При этом, как мы видели, если речь идет об энерге-
энергетических состояниях, возникающих из основных состояний
двух атомов и отличающихся только значением суммарного
спина 5, то исходный гамильтониан эквивалентен обменному
гамильтониану.
Наше главное предположение заключается в том, что мы
получим правильную физическую картину энергетического
спектра ферромагнетика вблизи его основного состояния,
если заменим микроскопический гамильтониан ферромагнетика
суммой обменных гамильтонианов различных пар его атомов *).
Будем для простоты предполагать сперва, что все атомы
ферромагнетика имеют спин s = -^ . Тогда обменный гамильто-
гамильтониан ферромагнетика, которым мы заменяем исходный, микро-
микроскопический гамильтониан, будет иметь вид суммы гамильто-
гамильтонианов A.2.1)
^)StSm, A.3.1)
где Sj и sm—спины атомов, находящихся в /-м и т-и узлах
решетки и J{Rlm)~некоторая функция от радиус-вектора Rlm,
соединяющего /-й и m-й узлы (суммирование производится
по всем парам атомов кристалла). Эта функция, носящая
название обменного интеграла /-го и /и-го атомов, очень
быстро, экспоненциально, убывает с увеличением расстояния
между атомами, так как она определяется степенью пере-
перекрытия волновых функций атомов. Поэтому практически
величина J(Rlm) отлична от нуля только в том случае, если
1-й и т-й атомы являются соседними; при этом
где а— постоянная решетки и |—численный параметр по-
порядка 0,1, определяемый степенью перекрытия волновых
функций соседних атомов.
*) Вывод выражения для эквивалентного гамильтониана в рам-
рамках гомеополярной модели кристалла принадлежит Боголюбову и
Тябликову [6].
2* 19
В гамильтониане A.3.1) расстояния между атомами счи-
считаются заданными, а динамическими переменными являются
только операторы спинов атомов, которые действуют (а вместе
с ними и оператор $&„) на волновую функцию системы,
представляющую собой функцию только от спиновых пере-
переменных, но не от пространственных координат частиц.
Для ферромагнетика обменный интеграл положителен,
J{Rm) > О,
благодаря чему в основном состоянии спины всех атомов
имеют одну и ту же ориентацию (эта ориентация, однако,
никак не выделена, если учитывать только обменное взаимо-
взаимодействие, см. ниже).
Как мы убедимся далее, обменный гамильтониан ферро-
ферромагнетика A.3.1) приводит не только к правильному заключе-
заключению о том, что спины, а следовательно, и магнитные моменты
атомов ферромагнетика, являющиеся в основном спиновыми,
имеют в состоянии с наименьшей энергией одинаковую ориен-
ориентацию, но правильно описывает также ту часть энергетиче-
энергетического спектра ферромагнетика, которая находится вблизи
основного состояния. Поэтому использование обменного
гамильтониана приводит к разумным физическим результатам
в области достаточно низких температур (т. е. температур,
малых по сравнению с температурой Кюри), когда возбуждены
главным образом энергетические состояния, близкие к основ-
основному состоянию. Мы будем далее предполагать, что выра-
выражение A.3.1) для гамильтониана обменного взаимодействия
справедливо не только в случае s=l/2, но и при произ-
произвольном спине атомов.
Важным свойством обменного гамильтониана A.3.1), кото-
который обычно называется гейзенберговским гамильтонианом
(говорят также о модели ферромагнетика Гайзенберга, пони-
понимая под этим ферромагнетик, который описывается гамильто-
гамильтонианом A.3.1)), является то, что он коммутирует с каждой
из проекций суммарного спина ферромагнетика
5 = 2*,.
Действительно, используя известные перестановочные соотно-
соотношения для операторов проекций спина атома
20
(a, p, Y — координатные индексы), легко убедиться, что
и поэтому
Отсюда следует, что если учитывать только обменное вза-
взаимодействие, то квадрат полного спина системы и его про-
проекция на какую-либо ось будут квантовомеханическими интег-
интегралами движения, т. е. обменное взаимодействие само по себе
не может изменить этих величин. Это обстоятельство является
совершенно понятным, если вспомнить, что с микроскопи-
микроскопической точки зрения обменное взаимодействие — это чисто
электростатическое взаимодействие с учетом симметрии волно-
волновой функции системы.
Как уже указывалось, магнитный момент ферромагнетика
имеет в основном спиновую природу. Поэтому можно опре-
определить оператор плотности магнитного момента ферромагне-
ферромагнетика М(г) в точке г как сумму
M(r) = 2^sfi(r — Rl), A.3.3)
ей
где [Хг, = ~ магнетон Бора, Rt— радиус-вектор, опре-
определяющий положение 1-го узла кристаллической решетки.
Гамильтониан обменного взаимодействия ?f€e можно вы-
выразить через оператор плотности магнитного момента:
ёЮе = - y<~ J dr J dr'J (r - г') М (г) М (г').
Действительно, подставляя сюда вместо М выражение A.3.3),
получим
зв.=- ^ 21dr I dr'SiSj(r ~ r')Kr ~ Rl) x
1фт
X6(r/-/?JB(x0J = -i V J{Rlm)sxsm,
1фт
что совпадает с выражением A.3.1).
Легко видеть, используя A.3.2), что операторы проекций
плотности магнитного момента удовлетворяют перестановоч-
перестановочным соотношениям
[Ж,- (г), Мк (г')] = 2iV^mMl (г) 6 (г - г'), A.3.4)
21
Если ввести оператор полного магнитного момента ферро-
ферромагнетика
m=JM(r)dr, A.3.5)
то его проекции будут удовлетворять перестановочным соот-
соотношениям
4. Обменная энергия ферромагнетика. Гамильтониану
A.3.1) соответствует макроскопическая обменная энергия
ферромагнетика
jj dr'JJr-r')Nl[r, t)M(r',t), A.4.1)
где М (г, t)—плотность макроскопического магнитного мо-
момента ферромагнетика, являющаяся, вообще говоря, функцией
координат г и времени t и J(r) — некоторая функция от г,
а также от температуры Т. Эта функция, так же как и
функция J(r), быстро уменьшается с ростом г и при доста-
достаточно низких температурах (Г <^ Тс, Тс— температура Кюри)
мало отличается от функции J(r).
Плотность макроскопического магнитного момента связана
с оператором плотности магнитного момента М(г) соотно-
соотношением
M(r, t) = Sp рМ (r),
где р — локально равновесная матрица плотности ферро-
ферромагнетика и черта сверху обозначает усреднение по физи-
физически бесконечно малому элементу объема.
Так как в основном состоянии ферромагнетика суммарный
спин имеет максимально возможное значение, то в соответ-
соответствии с нашим представлением о природе ферромагнетизма
мы будем предполагать, что при достаточно низких темпера-
температурах (Т <з§^ Тс) модуль плотности макроскопического момента
практически не меняется со временем, так что возможные
изменения вектора M(r, t) со временем сводятся в основном
к его вращениям, практически без изменения модуля век-
вектора М.
Возвращаясь к формуле A.4.1) для обменной энергии
ферромагнетика, напомним, что обменный интеграл J(r)
быстро уменьшается с увеличением г. Поэтому в формуле
22
A.4.1) можно разложить M(r', t) в ряд по степеням г' —г
и ограничиться членами не выше второго порядка:
t)
Подставляя это разложение в A.4.1) и отбрасывая первое
слагаемое, как несущественную постоянную, получим
X д-^шг *— т да/1{r ~ гГ) (х> - *') К - х^ х
Мы будем предполагать, что каждый узел решетки
является ее центром симметрии. В этом случае перзое сла-
слагаемое здесь обращается в нуль, и мы приходим к следую-
следующему выражению для обменной энергии:
где
j
Выполнив в A.4.2) интегрирование по частям, можно
представить обменную энергию ферромагнетика в виде [7]
We== J wedr, A.4.4)
v
где
1 дМ дМ
(V — объем ферромагнетика). Эта величина представляет
собой плотность макроскопической обменной энергии ферро-
ферромагнетика.
Обратим внимание на то, что величина we не зависит
от направления вектора плотности магнитного момента М.
Это обстоятельство является фундаментальным свойством об-
обменного взаимодействия.
23
Структура выражения для we может быть понята, если
рассматривать обменную энергию ферромагнетика феномено-
феноменологически как энергию магнитной неоднородности. Действи-
Действительно, рассмотрим зависимость плотности энергии ферро-
ферромагнетика от градиентов компонент вектора М. Основному
состоянию ферромагнетика соответствует одинаковая ориен-
ориентация спинов атомов, т. е. некоторый постоянный по вели-
величине и направлению вектор намагничения. Напротив, для
возбужденных состояний компоненты вектора намагничения
будут зависеть от координат. Для состояний, близких к ос-
основному, компоненты М (г) будут медленно меняться от точки
к точке, и поэтому плотность энергии можно разложить
в ряд по степеням градиентов компонент М(г), ограничившись
первыми неисчезающими членами. Коэффициенты в этом
разложении представляют собой некоторые тензоры, обладаю-
обладающие свойствами симметрии кристалла.
Если в числе элементов симметрии кристалла есть центр
инверсии, то разложение плотности энергии we будет на-
начинаться с членов, квадратичных относительно градиентов,
т. е. будет иметь вид
™e=2a^J^-7>^' О)
где aiklm — некоторый тензор 4-го ранга. Но энергия we имеет
обменное происхождение, а это значит, что we не должно
зависеть от направления вектора Л1(г), иными словами, в выра-
выражении A.4.5) должны совпадать индексы / и i, т. е. тен-
тензор aiklm должен быть вида актЬц, и мы приходим к полу-
полученному выше выражению A.4.4) для we, в котором aik пред-
представляет собой некоторый тензор второго ранга, который
в принципе можзг зависеть от квадрата вектора М (и от тем-
температуры) и который отличается тем свойством, чго квадра-
квадратичная относительно градиентов форма we должна быть
существенно положительной.
Заметим, что соображения, которые привели нас к этому
выражению, являются более общими, чем приведенный выше
вывод, исходным пунктом которого было выражение A.3.1)
для обменной энергии, справедливое, строго говоря, при
s = 112- Действительно, мы нигде не пользовались тем, что
спин атома равен s = '/г и использовали только основное
свойство обменного взаимодействия, а именно, его инвариант-
инвариантность относительно вращений момента М- Поэтому можно
считать, что полученное нами выражение для We является
24
общим и справедливым независимо от того, какое значение
имеет спин отдельного атома ферромагнетика.
Симметричный тензор aik, входящий в выражение для
обменной энергии, определяется в модели Гайзенберга фор-
формулой A.4.3), в которую входит обменный интеграл между
соседними атомами. В более общем случае он может, как уже
указывалось выше, зависеть от квадрата намагничения
(и температуры), но всегда по порядку величины равен
где Jo — величина обменного интеграла между соседними
атомами; этот интеграл определяет по порядку величины
также температуру Кюри Тс (в энергетических единицах);
поэтому
с 2
где Мо як -^§-.
В одноосных кристаллах тензор а!к имеет две независи-
независимые компоненты, и поэтому we имеет вид
(ссь z совпадает с осью кристалла).
В кубических кристаллах aik = abik.
§ 2. Магнитное дипольное взаимодействие
1. Энергия дипольного взаимодействия. Обменное
взаимодействие является наибольшим, но не единственным
взаимодействием между атомами ферромагнетика. Наряду
с ним имеет место магнитное взаимодействие между магнит-
магнитными моментами атомов и взаимодействие между магнитными
моментами и электрическим полем кристаллической решетки.
Оба эти взаимодействия являются релятивистскими, и поэтому
соответствующие им энергии значительно меньше обменной
энергии We, составляя по порядку величины I—I We, где
v — величина порядка скорости электронов в атоме.
Однако, несмотря на то, что релятивистские взаимо-
взаимодействия значительно слабее обменного взаимодействия, они
играют существенную роль. Эта роль двоякая.
25
Во-первых, благодаря релятивистским взаимодействиям
в кристалле возникает избранное направление намагничения,
которому соответствует минимальное значение энергии ферро-
ферромагнетика. На этом основании говорят, что релятивистские
взаимодействия приводят к появлению энергии анизотропии,
т. е. к зависимости энергии ферромагнетика от направления
намагничения М (обменная энергия, как видно из A.4.4),
не зависит от направления вектора Л1).
Во-вторых, благодаря релятивистским взаимодействиям
устанавливается статистическое равновесие в системе спинов
ферромагнетика. Если бы этих взаимодействий не было,
а также не было взаимодействия спинов с колебаниями ре-
решетки, то статистическое равновесие в решетке не могло бы
установиться.
Перейдем к рассмотрению релятивистских взаимодействий.
Начнем с магнитного дипольного взаимодействия.
Магнитное дипольное взаимодействие описывается гамиль-
гамильтонианом
F- (М *?» ~ 3
1фт
где sl—спин атома в l-ч узле и Rlm — радиус-вектор, соеди-
соединяющий узлы I и т.
Гамильтониану ffi'т соответствует макроскопическая энер-
энергия магнитного дипольного взаимодействия
--1^ У
где М (/?;)== -^- st (черта над st служит для обозначения
усреднения) и v0 — объем элементарной ячейки.
Чтобы придать этому выражению обычный феноменологи-
феноменологический вид, нужно перейти в нем от суммирования по от-
отдельным узлам решетки к интегрированию по объему ферро-
ферромагнетика. Однако, так как при формальном переходе от
суммирования к интегрированию возникает неопределенность
при /?гш-> О, то поэтому следует предварительно выделить
область малых Rim. Для этого мы разобьем Wm на два
26
слагаемых,
B.1.2)
где р — достаточно малая макроскопическая длина; если
L—длина, на которой существенно меняется плотность ма-
магнитного момента, то величину р мы выберем таким обра-
образом, чтобы выполнялись неравенства
Так как M(Rt) медленно меняется на расстояниях по-
порядка а, то первое слагаемое можно представить в виде
двойного интеграла по объему ферромагнетика V:
Wm = -± \dr \ dr'Mi(r)Mk(r')-^-TT-L^. B.1.3)
2Л'| дХ1дХ* 1Г~Г l
2Л'|>Р
Во втором же слагаемом можно вынести величину Мк j
за знак суммы, заменив Mk{Rj) на Mk(Rl). Вводя далее обо-
обозначение *)
представим Wm в виде
^"m = -\hu\ drMt(r)Mk(r). B.1.4)
V
Покажем, что
W'n = ~ \ J dr { ~ ЛР-Ь ЛИ/С») }, B.1.5)
*) Так как р^>а, то величина р^ не зависит от р.
27
где //'m) — статическое магнитное поле, создаваемое намагни-
намагничением М. Это поле удовлетворяет уравнениям магнитостатики
rot tf (m> = О,
BЛ'6)
dlv (#<"•> + 4лМ) = 0
и условиям непрерывности на границе ферромагнетика тан-
тангенциальных составляющих вектора магнитного поля //(т) и
нормальной составляющей вектора индукции /?<т)=//(т)-|-4лМ
{Н(:\ = {Н^)Х, (H%n\ + 4nMv = {H^)v, B.1.7)
где индексы плюс и минус служат для обозначения полей
внутри и вне ферромагнетика, а индексы т и v обозначают
тангенциальные и нормальные составляющие векторов на по-
поверхности ферромагнетика 5.
Решение уравнений магнитостатики с граничными усло-
условиями B.1.7) имеет, как известно, вид
Я(т)(г) = — gradq)(r), B.1.8)
где ф (г)— магнитостатический потенциал, определяемый фор-
формулой
5
Эту формулу можно переписать также в виде
<f(r)=\drfMt(r')-?-r-- Цт. B.1.10)
откуда
^,(г)+lim
3 р->о,
i
r-r'
Подставляя это выражение в формулу B.1.5), мы при-
приведем ее к виду B.1.3).
Таким образом, энергия магнитного дипольного взаимо-
взаимодействия имеет вид
W —
w m —
B.1.11)
28
Покажем, что интеграл от третьего слагаемого в этом
выражении может быть приведен к виду
-?$MH™dr = ±${H™?dr. B.1.12)
v
где интегрирование в правой части равенства производится
по всему пространству. Заметим для этого, что, согласно
уравнениям B.1.6),
Поэтому
1
)dS[t
где интегрирование во втором интеграле совершается по по-
поверхности тела. Так как потенциал ср и нормальная соста-
составляющая вектора индукции fi';n) непрерывны на поверхности
тела, то поверхностный интеграл может быть преобразован
в объемный интеграл по объему V, окружающему ферро-
ферромагнетик:
i = - --L J dr d iv ФЯ С»).
8я J v~l
S V
Учитывая, что div (фЯ(т)) =— (Я(т)J, мы получим фор-
формулу B.1.12)
2. Тензор размагничивающих коэффициентов. Рассмо-
Рассмотрим однородно намагниченный ферромагнетик, AI(r) = const.
Магнитное поле Н^'п){г) в таком ферромагнетике имеет, со-
согласно B.1.10), вид
J" rift Л
__^__ = „4л^(г)М, B.2.1)
v
где N (г) тензор с компонентами:
^-гг. B.2.2)
Это поле не является, вообще говоря, однородным. Но,
если придать ферромагнетику форму произвольного эллип-
эллипсоида, то при М = const поле внутри него (но не вне) будет
однородным. Действительно, в этом случае, как можно убе-
29
диться, для точек внутри эллипсоида справедливо равенство
со
dr' _ ь Г ds_
где
а, Ь, с — полуоси эллипсоида и х, у, z — проекции радиус-
вектора г произвольной точки внутри эллипсоида на главные
Г dr
оси эллипсоида. Гак как интеграл -.— ,. представляет
v
собой квадратичную функцию координат точки г, то тензор Л'
не будет зависеть от координат, т. е. поле //<т) будет одно-
однородным.
Тензор N называется тензором размагничивающих коэф-
коэффициентов. В системе координат, оси которой совпадают
с главными осями эллипсоида этот тензор имеет только диа-
диагональные элементы [8]:
со
Г ds
B-2-3)
л 7 1 и Г ds
Легко убедиться, что сумма размагничивающих коэффициен-
коэффициентов Nv N2, /V3 всегда равна единице:
Л/"! -+ Л/-|- Л/'з = 1 - B.2.4)
Приведем значения размагничивающих коэффициентов в не-
некоторых случаях.
Если тело имеет форму шара, то
^ = ^ = ^ = 1.
30
Если тело имеет форму цилиндра, ось которого направлена
вдоль оси х (а = оо, Ь = с), то
^, = 0, N2 = N3 = ±.
В случае вытянутого эллипсоида вращения —y~\- -к— = 1.
(а > Ь) размагничивающие коэффициенты имеют вид
„ *2 + у2 ,
Наконец, в случае сплюснутого эллипсоида вращения у^—\-
-j—^" -— 1 (а > с) коэффициенты /V, равны
1
До сих пор мы не учитывали магнитного поля, создавае-
создаваемого сторонними источниками. При наличии такого поля,
которое мы будем называть сторонним и обозначать через Но"К
к энергии ферромагнетика должно быть добавлено слагаемое
WH = — [ drMHoe)- l B.2.5)
Если стороннее поле однородно и тело имеет форму
эллипсоида, то поле и намагничение внутри тела также будут
однородными. При этом связь между магнитным полем Н^
внутри тела, намагничением М и сторонним магнитным по-
полем Но имеет вид
Заметим, что, говоря об однородности поля и намагни-
намагниченности ферромагнетика, мы не принимали во внимание воз-
возможной доменной структуры ферромагнетика. Это справед-
справедливо в случае достаточно сильных внешних магнитных полей.
Если же ферромагнетик распадается на домены, то в при-
приведенных выше формулах под полем и намагниченностью
следует понимать усредненные значения этих величин по до-
доменной структуре ферромагнетика.
31
§ 3. Энергия магнитной анизотропии
и полная энергия ферромагнетика
1. Спин-орбитальное взанмодействие. Перейдем теперь
к рассмотрению взаимодействия магнитных моментов атомов
ферромагнетика с электрическим полем кристаллической ре-
решетки. Гамильтониан этого взаимодействия, которое назы-
называется спин-орбитальным, можно представить в общем виде
^ = 2'Л C-1.1)
1г
где sk — спин k-то атома, Ak = — 2\xQHk и Hk — магнитное
поле, испытываемое k-м атомом благодаря его движению
в электрическом поле Ек кристаллической решетки. Если
vk — скорость /г-го атома, то, очевидно,
Отнесенная к одному атому энергия спин-орбитального
взаимодействия составляет по порядку величины
Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия содержит
скорости, т. е. операторы импульсов частиц, и соответствует
поэтому микроскопическому гамильтониану, о котором гово-
говорилось в начале этой главы. Переходя к модели Гайзенберга,
мы должны заменить операторы скоростей операторами, по-
построенными только из спинов частиц (и расстояний между
ними), причем эта замена, как разъяснялось выше, не должна
изменить структуры энергетического спектра ферромагнетика
(по крайней мере вблизи его основного состояния).
Если бы мы имели дело с изотропным пространством,
а не с решеткой и спин атомов равнялся бы s — -^ , то такой
модифицированный гамильтониан спин-орбитального взаимо-
взаимодействия должен был бы иметь следующий вид:
}. C.1.2)
где f(Rik) и р (Rlk) — некоторые функции расстояний между
узлами решетки. Первая из этих сумм не отличается по своей
32
структуре от гамильтониана обменного взаимодействия, по-
поэтому она может быть отнесена к этому гамильтониану и
здесь может не рассматриваться.
Вторая сумма имеет ту же структуру, что гамильтониан
магнитного дипольного взаимодействия. Различие заключается
в том, что в эту сумму (ее иногда называют гамильтонианом
псевдодипольного взаимодействия) входит быстро спадающая
с увеличением расстояний между атомами функция р {Rm)-
тогда как в гамильтониан дипольного взаимодействия, являю-
являющегося длиннодействующим, входит медленно меняющаяся
функция RJ,f.
В кристаллической решетке ситуация осложняется из-за
неэквивалентности различных направлений. Благодаря этому
скалярная функция P(#;«) заменяется некоторым тензором
второго ранга р (#;д.) и гамильтониан спин-орбитального взаимо-
взаимодействия приобретает вид
Переходя здесь от спинов к плотности магнитного мо-
момента, получим следующее выражение для макроскопической
энергии спин-орбитального взаимодействия:
г%к (г — г') Mt (г) Mk (r'). C.1.3)
Так как функция $ik{r — г') быстро уменьшается с уве-
увеличением расстояния \r— r'\ между атомами, то функцию
М{г') можно разложить в ряд по степеням г — г' и сохра-
сохранить в этом разложении только первый член. В результате
мы получим
Wsl= f wa(M)dr, C.1.4)
v
где
Сравнение этого выражения для Wsl с выражением для
энергии магнитного дипольного взаимодействия Wm показы-
показывает, что два слагаемых под знаком интеграла в B.1.11)
имеют ту же структуру, что и wa(M). Поэтому можно
3 А. И. Ахиезер 33
отнести эти слагаемые к wa(M) и понимать под энергией ма-
магнитного дипольного взаимодействия величину
dr. C.1.5)
При выводе формулы для Ws[ мы предполагали, что
S — -CT-- В общем случае при s Ф у она, строго говоря, не
справедлива и о wa(M) можно только сказать, что эта вели-
величина представляет собой некоторую функцию плотности ма-
магнитного момента, причем в отличие от плотности обменной
энергии, не зависящей от направления вектора намагничения,
плотность энергии спин-орбитального взаимодействия зависит
от направления этого вектора относительно кристаллографи-
кристаллографических осей.
2. Плотность энергии магнитной анизотропии. При
достаточно низких температурах (Г <^ Тс) модуль вектора М
представляет собой практически, как мы уже говорили, не-
некоторую постоянную величину и wa(M) можно рассматривать
только как функцию направления М. Эту функцию обычно
называют плотностью энергии магнитной анизотропии.
При феноменологическом описании ферромагнетика функ-
функцию wa (M) обычно представляют в виде разложения в ряд
по степеням компонент М и сохраняют в нем несколько пер-
первых членов [8—10]. В это разложение должны, очевидно,
входить только такие комбинации произведений компонент
вектора М, которые являются инвариантами относительно
элементов симметрии кристалла. В числе элементов симметрии
содержится, очевидно, также и преобразование обращения
времени {t—> — t), при котором компоненты М меняют свой
знак; поэтому разложение wa (M) должно содержать только
четные степени компонент М.
Рассмотрим, например, одноосный ферромагнетик. Если
ограничиться в разложении wa(M) членами второго порядка
по степеням компонент М, то мы получим
где 9 — угол между вектором М и осью симметрии кристалла п
и р — некоторая константа, называемая константой анизо-
анизотропии. Эта константа является, вообще говоря, функцией
температуры.
34
Если р > О, то минимум энергии анизотропии достигается
при 8 = 0, т. е. энергия анизотропии будет минимальна при
намагничении вдоль оси симметрии (ось z), которая является,
как говорят, направлением легкого намагничения. Если р < 0,
то энергия анизотропии достигает минимума при Q=~,
т. е. при намагничении, лежащем в плоскости ху, перпенди-
перпендикулярной оси z. Для определения направления легкого на-
намагничения приведенного выражения для wa(M) недостаточно
и необходим учет дальнейших членов разложения wa(M) по
степеням компонент М.
Если кристалл относится к тетрагональной симметрии,
то анизотропия в базисной плоскости (плоскости ху) опре-
определяется инвариантом МХМУ. При гексагональной симметрии
кристалла анизотропия в базисной плоскости (плоскости ху)
проявляется лишь в членах 6-го порядка относительно ком-
компонент М и определяется инвариантом
Если кристалл обладает кубической симметрией, то пер-
первыми неисчезающими членами в разложении энергии магнит-
магнитной анизотропии по степеням компонент М будут члены 4-го
порядка. Кубическая симметрия допускает два инварианта
4-го порядка, составленных из компонент вектора М:
мхм\ -+¦ м2хм1 -+¦ м]м1 мх 4- My 4- м\.
Второй инвариант не является, однако, независимым, так как
он равен- Ж4 — 2(M2xMy-f Мхм1 -\- M^Ml). Поэтому энергия
магнитной анизотропии кубического ферромагнетика, учиты-
учитывающая только члены 4-го порядка относительно компо-
компонент М, имеет вид
р'(Л^Жу4- М1л4~\-М1М;) C.2.2)
или, что эквивалентно,
wa{M) = -^'{Mx-+My^-Mt), C.2.3)
где р'—некоторая константа (константа анизотропии).
Ясно, что при р' > 0 направление легкого намагничения
совпадает с направлениями трех ребер куба. Если |}' < 0, %
то энергия анизотропии будет минимальной при намагничении
3* 35
вдоль какой-либо из четырех пространственных диагоналей
куба.
Отметим, что спин-орбитальное взаимодействие обуслов-
обусловливает не только энергию магнитной анизотропии, но ока-
оказывает также влияние на гиромагнитное отношение атомов
в ферромагнетиках. Действительно, рассмотрим магнитный мо-
момент атома
т = 2[iQs --f- (V.
где I—его орбитальный момент. Если бы не было спин-
орбитального взаимодействия, то среднее значение орбиталь-
орбитального момента равнялось бы нулю. Благодаря спин-орбиталь-
спин-орбитальному взаимодействию среднее значение вектора I становится
отличным от нуля,
где к—некоторый тензор с компонентами порядка ( —) . и
выражение для т приобретает вид
m = 2\y0gs, g = I-\-^k. C.2.4)
Отличие тензора g от единичного тензора / составляет по
порядку величины I —J -~ 10~2—10~4.
3. Полная энергия ферромагнетика. Сложив энергии
обменного, спин-орбитального и магнитного дипольного взаи-
взаимодействий, а также энергию ферромагнетика в стороннем
магнитном поле, получим полную макроскопическую энергию
ферромагнетика
v C.3.1)
„/.. дМ:\ 1 дМ дМ
Здесь /(М2) — некоторая функция от /И2, причем отвечаю-
отвечающая ей энергия имеет в основном обменное происхождение.
Если учесть энергию магнитной неоднородности, обуслов-
обусловленную релятивистскими взаимодействиями, то с точностью
дМ, , „ А
до членов, квадратичных по -^—=-, функция г будет иметь
OX fc
36
г
вид
F(M'
где тензоры аг.<,;гт(Л1) и уц1(М) представляют собой неко-
некоторые функции от плотности магнитного момента М (а также
от температуры). Второе слагаемое в выражении для F от-
отсутствует в случае ферромагнетиков, обладающих центром
инверсии.
Выражение C.3.1) для энергии ферромагнетика справед-
справедливо, строго говоря, в статическом случае. При этом
поле //(т\ создаваемое магнитными моментами атомов, удов-
удовлетворяет уравнениям магнитостатики B.1.6). Однако вы-
выражением C.3.1) и уравнениями магнитостатики можно поль-
пользоваться и в том случае, когда величины //С") и М изме-
изменяются со временем, если только это изменение происходит
достаточно медленно, именно, фазовая скорость волн, свя-
связанных с колебаниями //(т) и М, должна быть малой по
сравнению со скоростью света.
Используя B.1.12), можно переписать выражение для W
в виде
W — \ w dr,
где
w = F (m, ¦^l) 4- ^ (H(m)Y - MH(oe> C.3.3)
и интегрирование совершается по всему пространству.
Приведенное выражение для макроскопической энергии
ферромагнетика относится, как уже упоминалось, к квази-
квазистатическому случаю, когда магнитное поле Я(Ш| н плот-
плотность магнитного момента М медленно изменяются со вре-
временем. Но в дальнейшем мы будем, кроме квазистатических
полей, изучать также электромагнитные волны в ферромаг-
ферромагнетике. В этом случае нужно пользоваться не уравнениями
магнитостатики, а полной системой урапнений Максвелла
C.3.4)
37
где Е — электрическое поле, Н — магнитное поле за выче-
вычетом стороннего магнитного поля, В = //~|~4лЛ1—магнитная
индукция, D— электрическая индукция и j — плотность тока
проводимости.
В области частот, малых по сравнению с оптическими
частотами, дисперсия диэлектрической проницаемости несу-
несущественна и плотность электрической энергии равна -^- ED.
В этом случае выражение для макроскопической энергии
ферромагнетика приобретает вид
)Р} C.3.5)
§ 4. Энергия антиферромагнетика
1. Обменная энергия антиферромагнетнка. В преды-
предыдущих параграфах, исходя из гайзенберговской модели фер-
ферромагнетика, мы получили выражение для макроскопической
энергии ферромагнетика. Переходя теперь к рассмотрению
антиферромагнетиков, заметим прежде всего, что не сущест-
существует микроскопической модели антиферромагнетика, анало-
аналогичной гайзенберговской модели ферромагнетика. Это свя-
связано с тем, что невозможно микроскопическое описание
антнферромагнетика как кристалла, в котором спины сосед-
соседних атомов были бы ориентированы противоположно друг
другу. Действительно, если все атомы антиферромагнетика
одинаковы (а такая ситуация имеет место в ряде случаев),
то гамильтониан антиферромагнетика не может измениться
при перестановке местами двух атомов. Поэтому его соб-
собственные функции должны либо не изменяться, либо изме-
изменять свой знак при такой перестановке. С другой стороны,
волновая функция атомов в рассматриваемом случае явно не
удовлетворяет этому условию, так как перестановка спинов
соседних атомов нарушает исходный порядок.
Не имея микроскопической модели антиферромагнетика,
аналогичной модели Гайзенберга для ферромагнетика, можно
тем не менее построить макроскопическую теорию антиферро-
антиферромагнетизма, предполагая, что антиферромагнетик представляет
собой совокупность нескольких магнитных подрешсгок, каж-
каждая из которых характеризуется своей плотностью магнитного
момента. В отсутствие стороннего магнитного поля сумма
плотностей магнитных моментов подрешеток обращается
38
в нуль, при наличии же стороннего поля эта сумма отли-
отличается от нуля и возникает макроскопический магнитный
момент антиферромагнетика [11 — 13].
Такое представление об антиферромагиетике как сово-
совокупности нескольких намагниченных подрешеток, хорошо
согласуется с экспериментальными данными о тепловых и
магнитных свойствах антиферромагнетиков, а также с резуль-
результатами нейтронографии антиферромагнетиков.
Мы будем рассматривать только антиферромагнетики про-
простейшей структуры, состоящие из двух одинаковых магнит-
магнитных подрешеток. При достаточно низких температурах
{T<^TN, где TN — температура Нееля) модули плотностей
их магнитных моментов Мх (г, /) и M2(r, t) одинаковы,
М} (г, t)\ = \M2(r, t)\, причем с большой степенью точно-
точности это общее значение плотностей моментов можно, так же
как и в случае ферромагнетиков, считать не зависящим от
времени. Если стороннее магнитное поле отсутствует, то,
как уже указывалось выше, в основном состоянии антиферро-
антиферромагнетика плотности магнитных моментов его подрешеток,
одинаковые по величине, имеют противоположное направле-
направление.
Так же как и для ферромагнетика, энергия антиферромагне^
тика складывается из обменной энергии Wе, энергии спин-
орбитального взаимодействия Wsl, энергии магнитного
дипольного взаимодействия Wm и энергии антиферромагне-
антиферромагнетика Wи в стороннем магнитном поле. Две последние энер-
энергии определяются теми же формулами, что и в случае ферро-
ферромагнетика:
D.1Л)
где /7(m* — магнитное поле, создаваемое магнитными момен-
моментами атомов антиферромагнетика и интегрирование произво-
производится по объему антиферромагнетика. В статическом и ква-
квазистатическом случаях поле Н^ определяется уравнениями
магнитостатики B.1.6), в которых под величиной М нужно
понимать сумму плотностей магнитных моментов подреше-
подрешеток, м = мг 4~ м2.
Установим теперь вид макроскопической обменной энер-
энергии We. Плотность этой энергии we, зависящую от плотностей
39
магнитных моментов обеих подрешеток М1 и М2, можно,
так же как и в случае ферромагнетика, разложить в ряд по
степеням градиентов Л1, и М2. При этом следует иметь в
виду, что плотность энергии we, согласно основному свой-
свойству обменного взаимодействия, должна быть инвариантной
относительно пространственных вращений векторов Mj и М2.
Поэтому разложение в ряд с точностью до членов, квадра-
квадратичных относительно градиентов Мх и М2 должно иметь вид
[14. 15]
we = f (MiM2, Ml М1Л ' 1 - (dMl дМ{ ' dMt> дМ"
dxk r dxj dxk
где / — некоторая симметричная функция магнитных момен-
моментов Л1; и М-,, входящих в нее в виде инвариантов МгМъ
М2, М22, и aik, a!ik—тензоры, аналогичные тензору ап, оп-
определяющему плотность обменной энергии ферромагнетика.
Первое слагаемое в этом выражении представляет собой
плотность обменной энергии однородно намагниченных под-
подрешеток, а второе и третье слагаемые — плотность обменной
энергии, связанной с неоднородностью магнитных моментов;
при этом второе слагаемое описывает обменное взаимодей-
взаимодействие в каждой из подрешеток, а третье слагаемое — обмен-
обменное взаимодействие между подрешетками.
Таким образом, обменная энергия антиферромагнетика
имеет вид
We= ( dr{f(MiM2, Ml м1)-{-
v
, 1 / dM{ дМ{ . сШ, dM2 \ . , dMi дМ,
При достаточно низких температурах квадраты плотно-
плотностей магнитных моментов практически постоянны и функ-
функцию / можно считать зависящей только от одной перемен-
переменной М^М2. В простейшей модели антифeppOiMагнeтика счи-
считают, что
f(MiM2, Ml Ml) = 6MiM2,
где 6—некоторая положительная постоянная.
40
Оценим величины се.., а' и 6. По аналогии с ферро-
ферромагнетиками можно считать, что по порядку величины
где ТN — температура Нееля.
При больших градиентах магнитного момента, когда
дМ Ма
-5—~—-, все слагаемые в выражении для we равны по
порядку величины. Поэтому
а 7\,
Так как TN^>> \10М0, то 6^>1.
2. Энергия магнитной анизотропии и полная энергия
антиферромагнетика. Рассмотрим, наконец, энергию спин-
орбитального взаимодействия в антиферромагнетиках. Плот-
Плотность этой энергии является функцией плотностей магнитных
моментов Мг и М2 обеих подрешеток и зависит от ориен-
ориентации этих векторов относительно кристаллических осей.
При достаточно низких температурах (Г <^ TN), когда М\ =
= М2 = const, плотность энергии спин-орбитального взаимо-
взаимодействия можно интерпретировать как плотность энергии
магнитной анизотропии. Эту величину, так же как и в слу-
случае ферромагнетика, можно представить в виде разложения
по степеням векторов Afj и М2, содержащего такие комби-
комбинации произведений компонент этих векторов, которые
являются инвариантами по отношению к преобразованиям
симметрии кристалла. Например, в случае одноосного анти-
антиферромагнетика плотность энергии магнитной анизотропии
имеет вид [14, 15]
wa(Mv Af2) = —-g-p {(А11яJ + (А12яJ} — р'МяНад,
D.2.1)
где р и р' — константы магнитной анизотропии и п — еди-
н'ичный вектор вдоль оси анизотропии.
Если при поворотах вокруг оси симметрии одна из под-
подрешеток не переходит в другую, то к этому выражению
может быть добавлено слагаемое [16]
М2)п), D.2.2)
41
где d—г некоторая константа того же порядка, что и кон-
константы анизотропии р и р' (энергия wd, так же как и энер-
энергия wa, имеет релятивистское происхождение).
Наличие энергии wd может приводить к тому, что в от-
отсутствие стороннего магнитного поля магнитные моменты
подрешеток в состоянии равновесия не будут ориентированы
точно противоположно друг другу, т. е. антиферромагнетик
при Но = 0 будет обладать отличным от нуля суммарным
магнитным моментом. Этот момент будет однако мал, так
так энергия wd имеет не обменное, а релятивистское про-
происхождение. На этом основании антиферромагнетики с кон-
константой d, отличной от нуля, называют антиферромагнети-
антиферромагнетиками со слабым ферромагнетизмом [16] (подробнее об усло-
условиях появления малого магнитного момента в антиферромаг-
антиферромагнетиках см. [17]).
Сложив энергии Wm, We, Wsl и Wn, найдем полную ма-
макроскопическую энергию антиферромагнетика:
W = \ dr{F + ±{H^Y-(M^M2)HV),
где
i2. М\.
2 л,2\ , 1 / дМ{ дМ, , дМ2 дМ2
+ a'ik™±™±+Wa, D.2.3)
и интегрирование производится по всему пространству.
ГЛАВА II
МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
§ б. Уравнение движения магнитного момента
и уравнение переноса тепла в ферромагнетиках
1. Уравнение движения магнитного момента. Сильная
корреляция между ориентациями спинов отдельных атомов
в магнитоупорядоченных кристаллах приводит к существо-
существованию в таких кристаллах специфических волн.
Чтобы понять их происхождение, рассмотрим сначала
ферромагнетики и будем предполагать, что Г = 0. В этом
случае все магнитные моменты атомов ферромагнетика имеют
одинаковую ориентацию, соответствующую минимуму его
энергии. Представим себе теперь, что мы изменили ориен-
ориентацию магнитного момента какого-либо одного атома и пре-
предоставили затем атом самому себе. Тогда это изменение ори-
ориентации не останется локализованным в исходном атоме, а
благодаря обменному взаимодействию будет переходить от
атома к атому, т. е. будет распространяться в виде волны.
Такие волны носят название спиновых волн*). Они могут
распространяться как при 7 = 0, так и при ТфО, как в
ферромагнетиках, так и в антиферромагнетиках и характе-
характеризуются определенными зависимостями частоты от волно-
волнового вектора.
Спиновые волны можно рассматривать как колебания
плотности магнитного момента, распространяющиеся в маг-
нитоупорядоченном кристалле. Поэтому для их исследования
необходимо иметь уравнение, определяющее изменение плот-
плотности магнитного момента со временем.
*) Они были открыты Блохом [1].
43
Чтобы установить это уравнение, напомним сначала про-
простейшую задачу о движении «жесткого» магнитного момента тп
во внешнем магнитном поле Н. Такой момент прецессирует
вокруг направления поля Н согласно уравнению
m = g(mXH). E.1.1)
2м-о
где g = -g-.
Рассмотрим теперь ферромагнетик. Благодаря сильному
обменному взаимодействию между спинами отдельных агомов
ферромагнетика его магнитный момент с большой степенью
точности является «жестким», если только температура фер-
ферромагнетика достаточно низка. Иными словами, модуль век-
вектора плотности магнитного момента ферромагнетика лишь
в очень слабой степени может зависеть от времени. Поэтому
изменение со временем плотности магнитного момента дол-
должно в первом приближении носить характер прецессии, т. е.
происходить по закону
^dL = giM(r, ОХЯ(г. 0). E.1.2)
где И (г, t) — некоторый вектор, который мы будем назы-
называть эффективным магнитным полем. По смыслу уравнения
E.1.2) этот вектор можно определить только с точностью
до произвольного вектора, параллельного вектору M(r, t).
Прежде чем переходить к определению эффективного
магнитного поля Н, разъясним, что означает уравнение дви-
движения магнитного момента ферромагнетика E.1.2), или, как
мы будем его называть, уравнение прецессии, с точки
зрения квантовой механики [2].
Точное квантовомеханическое уравнение движения для
оператора плотности магнитного момента ферромагнетика
M(r, t) имеет, как известно, вид
Щ Щ. • E.1.3)
где <Ш—гамильтониан ферромагнетика и [А, В] = АВ — В А —
коммутатор операторов А и В.
Чтобы найти коммутатор \Ш, Щ, удобно представить
гамильтониан <ffi в следующем общем виде:
ёС [М(г, 0} = ^] J drxdr2. . .drnfixi2... in(ri,r2 г„) X
XMti(ru t)Mi2(r2, t) ... Min(rn, t),
где /,• / ...,¦ (Гь r2, ..., г„) — некоторые функции коорди-
44
нат, симметричные относительно любой перестановки пере-
переменных ikrk и ttrt (эти функции могут содержать также
б-функции от разностей координат и их производные).
Коммутатор \&в, Mt(r, t)\ равен, очевидно,
..drnfixii...in{rx,r7. гя)Х
Mti(ri. t) ... Mt^in.i. OX
X[Mik(rk, t), Mi(r, t)]Mlk+t(rk+1, t) ... M,n(rn, t).
Замечая, что согласно A.3.4)
[Mlk(rk, t), Mi(r, t)]=2i\iQEik{jMj(r, t)b(r-rk),
перепишем уравнение движения для М в виде
дМ, (г, t) 2u0 Vi V1 Г j _,
L = ^ZZ\ dri...drk-idrk+i...drnX
-ъ r, rk+1 rjM^in.t) .
k-l t)Mik+i(rk+u t)... Min(rn,
E.1.4)
Перейдем к макроскопическому описанию ферромагнетика.
Для этого необходимо усреднить уравнение E.1.4) при помощи
матрицы плотности ферромагнетика. При таком усреднении
оператора M(r, t) мы получим локальную величину — плот-
плотность макроскопического магнитного момента Mt(r, t).
Если рассматривать достаточно медленные изменения макро-
макроскопического магнитного момента, характеризующиеся вре-
временами, которые значительно больше времени установления
локального квазиравновесия в ферромагнетике, то в левой
части равенства E.1.4) мы получим производную по времени
от плотности макроскопического магнитного момента. Справа
мы должны усреднять произведения операторов плотностей
моментов в разных точках пространства. Ферромагнетик отли-
отличается тем свойством, что в нем благодаря сильному обмен-
обменному взаимодействию очень быстро устанавливается локаль-
локальное квазиравновесное распределение магнитного момента.
Поэтому с большой степенью точности усреднение произве-
произведения операторов плотностей моментов дает произведение
45
локальных макроскопических плотностей момента, являющихся
уже, разумеется, с-числами. Таким образом, в результате'
усреднения E.1.4) мы получим соотношение, имеющее туже
структуру, что и исходное соотношение, в котором, однако,
не нужно различать порядка множителей М1х (Г\, t), Л^2(г2, t). ..
Функции /(• i2...t после усреднения (при помощи мат-
матрицы плотности) также претерпят изменение и станут, вообще
говоря, зависеть от температуры. Эти модифицированные
функции (мы будем по-прежнему обозначать их через fti ... / )
определяют макроскопическую энергию ферромагнетика
W = Hi I dri ¦ ¦ • dr"fn ¦- ln С' r") X
yCM^r.J) ...Min{rn,t).
Возвращаясь к формуле E.1.4), в которой величины
Жг (г, t) представляют собой с-числа, мы можем переписать
ее в виде уравнения прецессии
где вектор Н определяется формулой
Н, = У^п j dr2 . . . drnff, i2 in (r, r2, . . ., г„) X
XMla(r2. t) ... Mln(ra, t).
Эта формула показывает, что вектор Н, т. е. эффекти-
эффективное магнитное поле, представляет собой функциональную
производную от энергии ферромагнетика W по магнитному
моменту M(r, t) [3]:
?Г EЛ'5)
Формула E.1.5) показывает также, что вариация энергии
связана с вариацией плотности магнитного момента 6M(r, t)
соотношением:
6W = — [Н(г, t)bM{r, t)dr. E.1.6)
2. Поток и диссипация энергии. Уравнение движения
магнитного момента, которое мы установили в предыдущем
разделе, не учитывает диссипации энергии. Микроскопиче-
Микроскопическая теория процессов, приводящих к диссипации энергии,
46
будет изложена в главе VII, здесь же мы покажем, как
феноменологически описать эти процессы.
Введем для этого в правую часть уравнения движения
магнитного момента E.1.2) добавочное слагаемое R:
^ E.2.1)
и будем предполагать, что вектор R (он называется релакса-
релаксационным членом) перпендикулярен вектору М X Н и явля-
является линейной функцией эффективного магнитного поля
0, E.2.2)
где rlk— некоторый тензор, зависящий, вообще говоря, от М.
Свойства тензора rik, так же как и вид эффективного
магнитного поля, могут быть, как мы сейчас убедимся, уста-
установлены из закона сохранения энергии [4].
При феноменологическом описании мы будем исходить из
следующего выражения для энергии ферромагнетика:
W
= J drw.
n , .. дМ,-
где r — некоторая функция от Mi и , ¦, которую можно
ох/,
рассматривать как потенциальную энергию единицы объема
ферромагнетика.
Дифференцируя плотность энергии по времени и исполь-
используя уравнение движения магнитного момента E.2.1), а также
уравнения Максвелла
rot tf<'»> = i5L j + _L ™. , div B(m) = О,
ro? ^i divZ> 0,
с от
где В(т) = Н(т) + 4л7И и j = oE (a — проводимость ферро-
ферромагнетика), получим
dw dMt
-вг = —5Г
E.2.3)
Если сначала пренебречь диссипацией энергии, т. е. счи-
считать а = 0, R=0, то изменение плотности энергии со вре-
временем должно сводиться к пространственной дивергенции
плотности потока энергии П:
dw . дПк _ п
dt ~r dxk ~
Поэтому первое слагаемое в E.2.3) должно обращаться
в нуль.
Учитывая уравнение прецессии E.1.2), отсюда можно
дМ[
заключить, что множитель при -тг- должен с точностью
до произвольного слагаемого, пропорционального М, совпа-
совпадать с эффективным магнитным полем Ht. Опуская это не-
несущественное слагаемое, получим следующее выражение для
эффективного магнитного поля:
где Я(г) = Я(ш)-+ Ное). (Это выражение Н, как будет пока-
показано далее, находится в соответствии с формулой E.1.5).)
Второе слагаемое в E.2.3) показывает, что [4]
щ * ( я<т)) (Ш^ д/_ 52
Учтем теперь диссипацию энергии. Тогда уравнение E.2.3)
примет вид
dt
dM
Используя уравнение E.2.1) для —зт- и выражение E.2.2)
для R, отсюда получим
-rikHflk. E.2.6)
Мы видим, что диссипация энергии определяется симмет-
симметричной частью тензора rik. Поскольку правая часть равен-
равенства E.2.6) должна быть всегда отрицательной, то тензор rik
должен быть таким, чтобы форма rlkxtxk была существенно
положительной. В дальнейшем мы будем пользоваться сле-
следующим простейшим выражением для rik:
^^bu). E-2.7)
48
m
где n = -rjr и Tj и t2 — две константы, имеющие размер-
размерность времени, причем — > 0, 1 > 0. Эти константы,
зависящие от температуры, мы оценим в § 27. Вектор R
определяется при этом формулой
Т2 ^1
Покажем в заключение этого раздела, что выражение
E.2.4) для эффективного магнитного поля в приближении
магнитостатики представляет собой функциональную произ-
производную от энергии ферромагнетика по плотности магнит-
магнитного момента.
Вычислим для этого вариацию энергии ферромагнетика W,
связанную с изменением плотности момента 6M(r, t). Заме-
Заметим прежде всего, что
dF \ьм1 +
дхк .
I
s
- - ¦ к,
где V — объем, a S — поверхность ферромагнетика.
Найдем далее вариацию магнитной энергии ^— (Н Jdr.
Легко видеть, что в приближении магнитостатики, когда
имеет место соотношение
^"%H{m)dr = 0, E.2.9)
где ЬИ — вариация магнитного поля, связанная с вариацией
плотности магнитного момента дМ. Действительно, замечая,
что div/f' =0, имеем
= J
где индексы плюс и минус служат для обозначения полей
внутри и вне ферромагнетика. Последнее выражение обра-
обращается в нуль в силу непрерывности потенциала ф и
4 А. И. Ахиезер 49
нормальной составляющей вектора fi(m) на границе феррома-
ферромагнетика.
Из формулы E.2.9) вытекает, что
6-gL J (я(т)J dr=-j мт(т) dr.
Но, согласно B.1.8) и B.1.10),
МШ(т) dr= j H{m)bMdr.
V V
Поэтому окончательно мы получим следующее выражение
для вариации энергии:
4
dxk
где НA) = Н{
Отсюда видно, что
OF
ЬМ дМ ~^ дхк , дМ
О -
дхк
т. е. —~дм~~Н в соответствии с формулой E.1.5).
3. Уравнение переноса тепла в ферромагнетике. До
сих пор мы нигде не учитывали того обстоятельства, что
плотность энергии w зависит также от плотности энтропии 5.
Поэтому под dwjdt в уравнении E.2.6) нужно, строго говоря,
понимать производную от плотности энергии по времени при
постоянной энтропии, т. е. записывать уравнение E.2.6)
в виде
(^ V^/7,. E.3.1)
Ясно, что
да; \ dw dw ds
~dr)s=~di ds~ST'
С другой стороны, в постоянном стороннем магнитном
поле #ое> имеет место закон сохранения энергии, в силу
50
которого
где и — коэффициент теплопроводности, а — %VT — плотность
потока тепла (для простоты мы не рассматриваем анизотро-
анизотропии теплопроводности). Поэтому из E.3.1), E.3.2) вытекает
соотношение
^ + div (_ 21 уг) = х (-1 VTj + -1 а?2 + у г„Я4Яу
E.3.3)
/ йда ~\
напомним, что -^—= л .
\ ds I
Величина ^-VT представляет собой плотность потока
энтропии, а правая часть равенства E.3.3) — источники
энтропии.
В уравнение теплопроводности E.3.3) входит энтропия
неравновесного состояния ферромагнетика, которое характе-
характеризуется заданием двух независимых величин—температуры
и плотности магнитного момента (в состоянии равновесия
плотность магнитного момента является определенной функ-
функцией температуры и стороннего магнитного поля). Эту энтро-
энтропию можно определить как энтропию ферромагнетика, нахо-
находящегося в некотором состоянии равновесия, которое ха-
характеризуется температурой Т и сторонним магнитным полем,
равным Щ —Н.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
s )м
и, следовательно,
Величина V (w-f-HM. — sT) представляет собой, очевидно,
термодинамический потенциал Q ферромагнетика в дополни-
дополнительном стороннем поле, равном — Н (при наличии этого
дополнительного поля величина М будет являться равновес-
равновесной плотностью магнитного момента ферромагнетика). Таким
образом,
V
4* 51
и, следовательно,
1 дп .. 1 дй
V дТ V дН '
что и утверждалось.
Уравнение E.2.1) вместе с уравнением теплопроводности
E.3.3) и уравнениями Максвелла представляют собой полную
систему уравнений для определения величин М, Е, Н, Т.
4. Граничные условия для вектора намагничения.
Так как в уравнение движения магнитного момента входят
производные по координатам от плотности магнитного мо-
момента М, то необходимо еще выяснить, каким условиям
удовлетворяет плотность магнитного момента на границе
ферромагнетика [5—7].
Используем для этого непрерывность нормальной соста-
составляющей плотности потока энергии на поверхности ферро-
ферромагнетика:
где v — единичный вектор нормали к поверхности ферро-
ферромагнетика. Эти составляющие вне и внутри ферромагнетика
определяются формулами
ELv = -?- v (?_ X НП = ? Н^ (у X ?-).
E.4.1)
д ^—
Так как тангенциальные составляющие электрического и
магнитного полей непрерывны на границе ферромагнетика,
то отсюда следуют соотношения
dF
ddMt
дхк
= 0, E.4.2)
которые и представляют собой граничные условия для век-
вектора плотности магнитного момента.
Обратим внимание на то, что если при феноменологиче-
феноменологическом описании ферромагнетика релаксационный член R вы-
выбрать так! м образом, что RM — 0, то из уравнений E.2.1)
будет следовать соотношение
ЛР — const, E.4.3)
52
означающее, что уравнения движения E.2.1) вырождаются
в систему двух дифференциальных уравнений. Поэтому в этом
случае уравнения движения магнитного момента будут несо-
несовместны с тремя граничными условиями E.4.2).
Такая ситуация возникает, например, в том случае, если
положить в выражении E.2.7) для тензора rtj константу т2
равной бесконечности.
Чтобы понять причину этого противоречия, предположим,
что величина т2 хотя и велика, но конечна. Тогда при лю-
любом конечном т2 уравнения движения магнитного момента
E.2.1) будут совместны с граничными условиями E.4.2).
Отсюда следует, что при больших т2 вблизи границы должен
образовываться пограничный слой, толщина которого стремится
к нулю при т2-н>-со и в котором нельзя пренебрегать дис-
сипативными слагаемыми, нарушающими закон сохранения
E.4.3). Толщина этого слоя по порядку величины равна
где со — частота изменения магнитного момента.
В пограничном слое происходит резкое изменение вектора
OF
vk —,.. , так что вблизи поверхности, но вне пограничного
слоя граничные условия E.4.2) уже несправедливы.
Посмотрим, как можно получить из граничного условия
E.4.2) и уравнений движения магнитного момента E.2.1)
новое эффективное граничное условие в случае т2—>оо,
которое позволило бы избежать детального рассмотрения
свойств пограничного слоя.
Интегрируя уравнения движения E.2.1) по толщине по-
пограничного слоя в направлении нормали к поверхности фер-
ферромагнетика и учитывая граничное условие E.4.2), получим
~дГ
дх ду
где z — координата вдоль нормали B = 0 соответствует гра-
границе ферромагнетика). Так как М и -з— могут иметь в по-
пограничном слое только конечный разрыв /б-образное изме-
д OF \
нение испытывает только -т -гтр I и толщина слоя о при
т2 -> со стремится к нулю, то в отсутствие диссипации (R = 0)
мы получим из последнего уравнения
.,. . dF
дхк
= 0 E.4.4)
(векторное произведение вычисляется вблизи поверхности,
но вне пограничного слоя). Условие E.4.4) и представляет
собой искомое граничное условие в отсутствие диссипации.
Заметим, что граничное условие E.4.4) также обеспечи-
обеспечивает непрерывность нормальной составляющей плотности по-
потока энергии. Действительно, используя формулы E.4.1) и
непрерывность тангенциальных составляющих электрического
и магнитного поля, получим
тт тт dF дМ
llVnv v
дхк
Но так как в рассматриваемом случае
то
II_v _ II+v ==-?•///М X v*-
\
откуда в силу граничного условия E.4.4)
б. Равновесные состояния ферромагнетиков и линеа-
линеаризованное уравнение движения плотности магнитного
момента. Из уравнения движения плотности магнитного мо-
момента E.2.1) следует, что, приравняв нулю эффективное маг-
магнитное поле, мы получим уравнение для определения равно-
54
весных значений плотности магнитного момента
Я = 0. E.5.1)
Вспоминая определение эффективного магнитного поля
мы видим, что обращение эффективного магнитного поля
в нуль соответствует минимуму энергии ферромагнетика.
Используя выражение C.3.1) для энергии ферромагнетика,
легко убедиться, что *)
Мы будем далее изучать только простейший и наиболее
важный случай, когда равновесному состоянию ферромагне-
ферромагнетика соответствует однородное намагничение и не будем
изучать явлений, связанных с возможной доменной структу-
структурой ферромагнетика. Если ферромагнетик помещен в одно-
однородное и постоянное стороннее магнитное поле //[, , to для
однородности намагничения необходимо, как мы видели
в § 2, чтобы ферромагнетик имел форму эллипсоида. В этом
случае, который мы и будем далее рассматривать, поле внутри
ферромагнетика Н^ и стороннее магнитное поле И^ связаны
между собой соотношением
= Hf — AnNM0, E.5.3)
где Ж, — равновесная плотность магнитного момента и N —
тензор размагничивающих коэффициентов.
Условие равновесия в случае однородного намагничения
имеет вид
(О dwa (Мо) г ,Ж2\ _ 0
Для одноосного ферромагнетика
(я—единичный вектор вдоль оси анизотропии) и, следова-
следовательно,
Hf + Eя (Моп) — 2М0/ {Ml) == О,
*) Эффективное магнитное поле, действующее на магнитный
момент ферромагнетика, было введено Ландау и Лифшицем [3].
55
или
Hf + Р« (Л10«) — 4яЛГМ0 — 2М0/ (лф = 0. E.5.4)
Последнее уравнение в принципе может служить для опре-
определения равновесной плотности магнитного момента Мо при
заданном стороннем поле Н\ ¦ Однако фактически вид функ-
функции / (Ж2) нам неизвестен, и поэтому модуль вектора Мо
определить с помощью E.5.4) нельзя; направление же век-
вектора Мо при заданной его величине определяется уравне-
уравнением E.5.4) полностью. Действительно, умножая E.5.4) век-
торно на Мо, мы получим уравнение
(tf f+ ря (Моп) — 4nNM0) X Мо = 0, E.5.5)
не содержащее / (Л40), из которого можно найти М0'М0.
Это уравнение имеет, вообще говоря, несколько решений, и
мы должны взять те из них, которые соответствуют мини-
минимуму плотности энергии w(M) ферромагнетика,
w (М) = — 1 р (Mnf — Н{ое)М — I Н{т)М =
= — ^ Р (МяJ — Я[,е)Ж + 2лМЛ/Л1.
Рассмотрим в качестве примера ферромагнетик, имеющий
форму сферы, и предположим, что #^') = 0. В этом случае
уравнение E.5.5) принимает вид
Таким образом, М3 может быть направлено либо парал-
параллельно, либо перпендикулярно оси анизотропии.
Если Р > 0, то минимум энергии достигается при Мо || п.
В этом случае говорят о ферромагнетиках с магнитной ани-
анизотропией типа «легкая ось». Если Р < 0, то минимум энер-
энергии достигается при Мо J_ п. В этом случае говорят о фер-
ферромагнетиках с магнитной анизотропией типа «легкая пло-
плоскость». Схематически результаты решения уравнения E.5.5)
в некоторых наиболее интересных случаях приведены на
рисунках на стр. 198—199.
В дальнейшем мы будем изучать малые адиабатические
(и = 0, 5 = const) колебания плотности магнитного момента
ферромагнетика *М и соответствующие колебания магнитного
поля Н около их равновесных значений. Уравнение движе-
движения плотности магнитного момента в этом случае сильно
56
упрощается, так как эффективное магнитное поле становится
линейной функцией отклонений магнитного момента и маг-
магнитного поля от их равновесных значений.
Рассмотрим, например, одноосный ферромагнетик. Полагая
М(г, t) = Мо + /и (г, t), H{t)(r, t) = Hf + h(r, t),
где т и h — малые отклонения от Мо и //j,, получим, со-
согласно E.5.2), E.5.4), следующее выражение для эффектив-
эффективного магнитного поля с точностью до квадратичных по т
и h членов:
4M0f"(M20)(M0m). E.5.6)
Поэтому уравнение движения плотности магнитного момента
в случае малых отклонений от равновесных значений, кото-
которое мы будем называть линеаризованным уравнением движе-
движения, имеет вид
E.5.7)
Если ферромагнетик обладает магнитной анизотропией типа
«легкая ось» ф > 0) и Н^ параллельно вектору я, то ли-
линеаризованное эффективное магнитное поле равно
Н = h - ({i + -щ) т + aik э___+(р_4Л1^ (М§) (тп) я.
E.5.8)
Если ферромагнетик обладает магнитной анизотропией типа
« ;егкая плоскость» (E < 0) и Н^ _|__я, то линеаризованное
эффективное магнитное поле равно
Н\р д2т „,
Н = h — Ж т + Щп ~дх~дГи + Р"{тП) - 4Мо/
E.5.9)
К линеаризованному уравнению движения плотности маг-
магнитного момента E.5.7) должны быть присоединены гранич-
граничные условия для плотности магнитного момента. Общее гра-
граничное условие для плотности магнитного момента было
57
сформулировано выше:
dF
дхъ
= 0,
где F—плотность энергии ферромагнетика, определяемая
формулой C.3.2), и v — единичный вектор вдоль внешней
нормали к поверхности ферромагнетика.
Нас интересуют малые отклонения магнитного момента
от равновесного значения и малые градиенты момента. В этом
случае
dF dm
a
и граничные условия приобретают вид
= 0. E.5.10)
В предыдущем разделе мы видели, что если не учитывать
диссипативных процессов, нарушающих закон сохранения
квадрата плотности магнитного момента, то граничные усло-
условия E.4.2) становятся несправедливыми и должны быть заме-
заменены условиями E.4.4). В этом случае вместо E.5.10) мы
получим
= 0. E.5.11)
«<• OJCi ift, i ll ft
Если в числе элементов симметрии кристаллической ре-
решетки имеется центр инверсии, то, как известно, для нее
нельзя построить тензор третьего ранга, т.е. у.к, 1=0, и
граничные условия E.5.11) принимают вид
(заметим, что т J_ Mo).
Во многих случаях энергия анизотропии сильно возрастает
вблизи поверхности ферромагнетика, и поэтому коэффициенты
в линеаризованном уравнении движения плотности магнитного
момента будут зависеть от координат. Это сильно ослож-
осложняет исследование уравнений движения. Однако, как мы сей-
сейчас покажем, если длины волн, связанных с колебаниями
плотности магнитного момента, велики по сравнению с тол-
толщиной слоя 6, на котором существенно изменяется константа
58
анизотропии, то в уравнении движения магнитного момента
можно не учитывать зависимости константы анизотропии от
координат, но при этом следует пользоваться некоторым эф-
эффективным граничным условием вида E.5.11), в котором
величины ylk-l определяются характером зависимости кон-
константы анизотропии от координат.
Чтобы убедиться в этом, предположим, что ось анизо-
анизотропии перпендикулярна границе ферромагнетика и константа
анизотропии зависит от расстояния z до границы, р = р (г)
(ферромагнетик занимает полупространство z > 0). Линеари-
Линеаризованное уравнение движения плотности магнитного момента
имеет тогда вид
где
= h — f>(z)m-\-a Am.
Предполагая, что функция C (z) резко возрастает в тонком
слое толщины б, на котором т и h практически не ме-
меняются, получим после интегрирования этого уравнения по z
от нуля до 6
дт
0 dt ~
dt
Г ' б
JHoXlAu —mjp(z)
V о
z=u
dm
причем здесь мы учли, что -з—
г=0
= 0 в силу граничного
условия E.5.12).
Предполагая далее, что при 6—>0 интеграл (i(z)dz
о
остается конечным, получим из последнего уравнения эффек-
эффективное граничное условие
= 0,
E.5.14)
где
и =
59
Для того чтобы можно было пренебречь в уравнении
E.5.13) членами, пропорциональными б, необходимо, оче-
очевидно, чтобы частота изменения плотности магнитного мо-
момента со, длина волны X и величина р @) удовлетворяли
условиям
/Г . E.5.15)
Кроме того, необходимо, чтобы плотность магнитного мо-
момента медленно менялась в слое толщины б. Считая, что
в этом слое изменение плотности магнитного момента опи-
описывается уравнением
aS^~ P@)m = 0,
легко заключить, что величина б должна удовлетворять
условию
или
Если длина волны X удовлетворяет неравенствам ybd <^
<^Х <^d, то эффективное граничное условие приобретает
вид [5]
= 0, 1/"бТ<С l <C d. E.5.16)
г=0
дт
dz
Если же l~^>d, то [6]
т|г=0 = 0, l^s>d. E.5.17)
§ 6. Спиновые волны в ферромагнетиках
1. Тензор высокочастотной магнитной восприимчи-
восприимчивости ферромагнетика. Перейдем теперь к исследованию
колебаний плотности магнитного момента ферромагнетика
M(r, t) около равновесного значения Мо. Вместе с коле-
колебаниями плотности магнитного момента будут происходить
также колебания магнитного поля //' (г, t) около равновес-
равновесного значения Hq. причем отклонения плотности магнитного
момента т (г, t) и магнитного поля h(r, t) будут связаны
между собой линеаризованными уравнениями движения E.5.7).
60
Переходя в этом уравнении к компонентам Фурье откло-
отклонений m(r, t) и h(r, t):
m{r, t)= J m(k, &)elikr'
h(r, t)= J h(k, a)enkr~at)dkd(,i,
получим
— Шт{к, со) = g fMo X U (*, со) — j a/y-A(-&,-
Ml
Это уравнение устанавливает связь между компонентами
Фурье m(k, со) и A (k, со), которую мы будем записывать
в виде [3]
ПЦ (*, со) = х/;- (*, со) hj (k, со), F.1.1)
где
/ 'кхх %ху ° \
yjj(k, ©) = [ x^ Хуу 0 , F.1.2)
\ О О О У
ia>gM0
Xjry ==: Xyx O.O m2" '
j = gM0 Lfakj + ^^ + Р cos2 i
М
и i[? — угол между осью анизотропии п и вектором Жо; ось 2
направлена вдоль Мо, ось х лежит в плоскости векторов п
и Af0. Величины %ij(k, со) образуют, очевидно, некоторый
тензор, который называется тензором высокочастотной маг-
магнитной восприимчивости ферромагнетика. Обратим внимание
на то, что компоненты тензора Хг/(^> ю) зависят не только
от частоты со, но также и от волнового вектора к. Это зна-
значит, что в ферромагнетиках имеет место как временная, так
и пространственная дисперсия магнитной восприимчивости.
61
Если ферромагнетик обладает анизотропией типа «легкая
ось» (р>0) и ЛУ»||Я^, то
Lij = йй2 === аи,
где
( ^ ) F.1.3)
Относящиеся к этому случаю формулы справедливы также
для ферромагнетиков кубической симметрии. При этом нужно
лишь произвести замену р на 2р'/Ид, если ось легкого на-
намагничения направлена вдоль ребра куба, и р на -»¦ |р'| М20,
если ось легкого намагничения направлена вдоль простран-
пространственной диагонали куба, где р' — константа анизотропии,
входящая в формулу C.2.3) для плотности энергии анизо-
анизотропии.
Если ферромагнетик обладает магнитной анизотропией
типа «легкая плоскость» (р < 0) и M0J_n, MQ\\H^\ то
(О
а, = gM0 (tufakj + -^- +1 P |) • F.1.4)
2. Закон дисперсии спиновых волн. Перейдем к уста-
установлению зависимости частоты со спиновой волны от ее вол-
волнового вектора k. Для этого нужно воспользоваться как
уравнением движения магнитного момента, так и уравнениями
Максвелла. Уравнение движения магнитного момента эквива-
эквивалентно, как мы только что видели, введению тензора высоко-
высокочастотной магнитной восприимчивости %ij(k, со). Поэтому нам
нужно еще учесть связь между величинами т (г, t) и А (г, t),
вытекающую из уравнений Максвелла. Но спиновые волны
являются низкочастотными магнитными волнами и для них
можно не учитывать электрического поля, а магнитное поле
считать безвихревым. Иными словами, при исследовании спи-
спиновых волн можно пользоваться магнитостатическим прибли-
приближением, т. е. считать, что величины т (г, t) и А (г, t) удо-
удовлетворяют уравнениям
rot A (r, t) — 0,
div h (r, t) = — 4л div m (r, t).
62
Переходя в этих уравнениях от величин т (г, t) и А (г, t)
к их компонентам Фурье, получим
, со) = О,
ftft(ft, (o) = — 4nft/n(ft, со). F.2.1)
Из первого уравнения следует, что магнитное поле A (ft, со)
параллельно волновому вектору ft:
Л (ft, со) = — /ftcp (ft, со),
где cp(ft, со) — компонента Фурье магнитного потенциала. Учи-
Учитывая, что
т (ft, со) = х(*, со) A (ft, со),
представим второе уравнение F.2.1) в виде
^ + Anklkjtlj(k, co))cp(ft, ©) = 0.
откуда
tf + inkikj^jik, со) = 0. F.2.2)
Это соотношение, связывающее частоту со и волновой век-
вектор ft спиновой волны (оно называется дисперсионным урав-
уравнением), и определяет спектр спиновых волн в ферромаг-
ферромагнетике.
Используя выражение F.1.2) для X(;(ft, со), приведем дис-
дисперсионное уравнение F.2.2) к виду
"+¦ Q,Q2 — a>2 ' ?2 т Q,Q2— со2
откуда
Wi(ft) = |/"Q1Q2 + 4ng-M0(Qj cos2 фл + Q2 sin2 фй) sin2 #ft ,
F.2.3)
где ¦&? и фй — полярный и азимутальный углы волнового век-
вектора ft (напомним, что ось z направлена вдоль вектора Мо,
а ось х лежит в плоскости векторов Мо и »). В области
волновых векторов ak2 ^> 1 выражение для частоты спиновой
волны значительно упрощается [8]:
В изотропном случае эта формула приобретает вид
^ F.2.4)
63
где 9С = Ь s 2 ° а @С по порядку величины совпадает с тем-
температурой Кюри). Таким образом в области волновых век-
векторов аи2 ~^> 1 частота спиновой волны пропорциональна
квадрату волнового вектора.
3. Затухание спиновых волн. В предыдущем разделе
мы не учитывали диссипативных процессов и пришли поэтому
к выводу о том, что спиновые волны не затухают. В дей-
действительности, однако, спиновые волны всегда затухают,
хотя это затухание при низких температурах (Т <^ вс) очень
мало. Оно вызывается взаимодействием спиновых волн между
собой, а также с колебаниями решетки и электронами про-
проводимости. Эти механизмы затухания мы изучим позднее,
здесь же ограничимся феноменологическим рассмотрением
процесса затухания спиновых волн.
Для этого необходимо воспользоваться уравнением дви-
движения плотности магнитного момента содержащим релакса-
релаксационный член R и уравнением теплопроводности. Мы в даль-
дальнейшем не будем учитывать процесса теплопроводности, считая
колебания плотности магнитного момента адиабатическими.
Если выбрать релаксационный член R в форме E.2.8),
то уравнение для М будет иметь вид
-
F.3.1)
где п = -j-p-, и эффективное магнитное поле определяется
JVl Q
формулой E.5.6). Исходя из этого уравнения и поступая
так же, как и в предыдущем разделе, можно определить
тензор высокочастотной магнитной восприимчивости ферро-
ферромагнетика с учетом диссипативных процессов.
Мы ограничимся здесь рассмотрением одноосного фер-
ферромагнетика, причем будем предполагать, что поле Н\> парал-
параллельно еси легкого намагничения. В этом случае, согласно
E.5.8),
н
д2т
Входящую в выражение для Н величину / (Ml) лег-
легко связать со статической магнитной восприимчивостью
ферромагнетика yQz = —Л-. Действительно, в состоянии
64
г
равновесия, как мы видели,
#&°+ рЛ10 — 2Af0/' (/Ио) = О,
откуда
BM0ff"(Ml) = -0 -^-. F.3.2)
Используя эти формулы, получим следующие выражения
для компонент тензора высокочастотной магнитной воспри-
восприимчивости:
X(ft, «) = ( Xyjr lyy °
V о о Хг2
где
,. „ /со , Q
у _у =
Q»-
Q2 (О Н J-.
Заметим, что —-п—<С 1. Отметим также, что компо-
нента izz тензора y^{k, ю) отлична от нуля, в то время как
при т2 = оо она равнялась нулю.
Подставив F.3.3) в F.2.2), получим уравнение для опре-
определения частоты спиновой волны как функции ее волнового
вектора. При R Ф 0 это уравнение имеет комплексные корни,
вещественная часть которых определяет частоты, а мнимая —
коэффициенты затухания спиновых волн (декременты затуха-
затухания).
Так как —-г=—<^|оэ|, то коэффициент затухания спино-
спиновой волны ys(k) определяется формулой
Y,(ft) = j^(О4 2л^Ж0sin*Ьк). F.3.4)
5 А. И. Ахиезер 65
Эта величина мала по сравнению с частотой, которая с точ-
точностью до членов порядка (gMox)~ по-прежнему определяется
формулами F.2.3), F.1.2).
Формулы F.3.3) для тензора высокочастотной магнитной
восприимчивости мы получили, исходя из феноменологического
уравнения движения плотности магнитного момента с релак-
релаксационным членом, содержащим величину т как некоторую
материальную константу. В § 31 будет дана микроскопическая
теория высокочастотной магнитной восприимчивости, основан-
основанная на учете конкретных процессов взаимодействия между
спиновыми волнами, которая показывает, что формулы F.3.3)
не передают правильно характера функций yjj(k, a>) при про-
произвольных ft и со. Мы увидим, что только в области малых
Т
частот, когда и <^ cos @) <^ -г- и а?2<^1, а также при
частотах, близких к частоте спиновой волны, |и — aM(ft)|<^
<^<вДй), формулы F.3.3.) правильно определяют тензор
)iij(k, со). При этом в первом случае величина т является
некоторой функцией температуры, а во втором — функцией
температуры и волнового вектора.
Таким образом, уравнение движения плотности магнитного
момента с релаксационным членом, содержащим т как не-
некоторую материальную константу, имеет ограниченную при-
применимость при исследовании поведения ферромагнетика в сто-
стороннем переменном магнитном поле.
Ограниченная применимость этого уравнения проявляется
также при определении декремента затухания спиновой волны,
а именно: формула F.3.4) для декремента затухания спиновой
волны с величиной т как некоторой материальной константой
оказывается справедливой только в том случае, если
При этом, как будет показано в § 31,
^() atf<:i. F.3.5)
Если же а?2 ^> 1, то
(^f\ ,(*);> Г. F.3.6)
Как упоминалось выше, уравнение движения плотности
магнитного момента с релаксационным членом E.2.8) при-
приводит, при наличии стороннего переменного магнитного поля,
к правильным результатам в области малых частот. С другой
стороны, как мы убедимся в главе VII, уравнение движения
66
плотности магнитного момента с релаксационным членом при-
пригодно для описания процесса релаксации магнитного момента,
т. е. приближения его к равновесному значению. Следует,
однако, иметь в виду, что для описания процесса релак-
релаксации и поведения ферромагнетика в стороннем переменном
магнитном поле приходится пользоваться разными релакса-
релаксационными константами. Это обстоятельство лишний раз под-
подчеркивает качественный характер уравнения движения пло-
плотности магнитного момента с релаксационным членом.
Рассмотрим более подробно процесс релаксации магнит-
магнитного момента. Положим для этого в уравнении F.3.1)
М = М0-\-т,
где т — малая добавка к равновесной плотности магнитного
момента Мо, которую будем считать функцией только времени,
но не координат. В простейшем случае, рассмотрением ко-
которого мы здесь ограничимся, когда стороннее магнитное
поле направлено вдоль оси легкого намагничения и образец
имеет форму шара, эффективное магнитное поле с точностью
до линейных относительно т членов равно
4л Нке) 1 \
Г+~Г, то" (»«)»
и решение уравнения F.3.1) имеет вид
тх + toy = (тх0 + /оту0) е~у^е1а"\ F.3.7)
ГДв (Оа =
/1 1 \/ Нке)\
Yl=f 1 P4-J7- F-3.8)
1P4J7
и mz0 и mxQ -f- /иуо — начальные значения продольной и по-
поперечной (относительно MQ) составляющих отклонения плот-
плотности магнитного момента т от равновесного значения Мо.
Величины
1 1
67
представляют собой времена релаксации продольной и по-
поперечной составляющих магнитного момента. Так как Мо
в очень малой степени зависит от Н^К то у%г <^ 1 и, сле-
следовательно, Y,5^—n~- Мы видим, что форма тела мало
Ъ1
сказывается на величине \г.
Нке)
Если р-|—т.— ^> 1, то форма тела не оказывает влияния
также и на у.; в этом случае
1 / 1 1 \/ Нке)
yz = —T-> Y±= 1 Р +
м0
§ 7. Уравнения движения магнитных моментов
в антиферромагнетиках
1. Эффективные магнитные поля в антиферромагне-
антиферромагнетиках. Изучив спиновые волны в ферромагнетиках, мы
перейдем теперь к изучению спиновых волн в антиферромаг-
антиферромагнетиках, которые, так же как и спиновые волны в ферро-
ферромагнетиках, представляют собой распространяющиеся колеба-
колебания магнитных моментов. Для этого нужно прежде всего
установить уравнения движения магнитных моментов в анти-
антиферромагнетиках.
В отличие от простой магнитной структуры ферромаг-
ферромагнетиков, магнитные структуры антиферромагнетиков отли-
отличаются, как уже указывалось выше, большим разнообразием.
Мы ограничимся здесь рассмотрением только простейшего
случая — одноосных антиферромагнетиков с двумя зеркаль-
зеркальными магнитными подрешетками.
Если не учитывать диссипации энергии, то уравнения
движения плотностей магнитных моментов Мг(г, t) и M2(r, t)
обеих' магнитных подрешеток будут иметь такой же вид,
как и уравнение движения E.1.2) для плотности магнитного
момента ферромагнетика [9],
дМ,
dt
лм. ~ <7ЛЛ)
где g — гиромагнитное отношение и Hi и Н2 — эффективные
магнитные поля, действующие на моменты M1(r, t) и M2(r, t).
68
Эти поля связаны с энергией антиферромагнетика W общим
соотношением E.1.5)
Используя выражение для энергии антиферромагнетика W,
получим отсюда
~( — H{i) — -^- 4- — dF
1 дМ' дхь д дм>
G.1.2)
дхь . дМп
дхк
где //( —магнитное поле внутри антиферромагнетика.
Заметим, что уравнения движения плотностей магнитных
моментов находятся в соответствии с законом сохранения
энергии и приводят к следующему выражению для плотности
потока энергии в антиферромагнетике:
</\ йл:» ^ ' dxi dt )'
dxj
2. Равновесные состояния антиферромагнетиков.
Прежде чем изучать спиновые волны в антиферромагнетиках,
мы должны еще определить равновесные значения плотностей
магнитных моментов М10 и М20 обеих подрешеток [10], возле
которых происходят колебания моментов Л1, и М2- С этой
целью нужно, так же как и в случае ферромагнетиков, при-
приравнять нулю эффективные магнитные поля. Можно, однако,
учитывая «жесткость» магнитных моментов подрешеток
(М1 = М2 = Мо), исходить из того, что равновесному состоя-
состоянию антиферромагнетика соответствуют такие направления
магнитных моментов подрешеток, при которых достигается
минимум плотности энергии антиферромагнетика
w = ЬМ^Мз — у р \{Mxiif 4- (M2nf\ —
— р' (М1П) {Mm) - Н[е) (М, + М2)
(Мы пренебрегли здесь для простоты энергией wd, ответ-
ответственной за возникновение слабого ферромагнетизма [11] и
энергией 2л (Мj-f-M2) N(Мt -f¦ М2), зависящей от формы
69
тела. Основные состояния и спектр спиновых волн с учетом
энергии wd подробно рассмотрены в монографиях [12, 13].)
Предположим сначала, что стороннее магнитное поле
отсутствует. Если при этом р — Р' > О, то, как легко убе-
убедиться, минимум w достигается в том случае, когда магнит-
магнитные моменты подрешеток ориентированы вдоль оси анизо-
анизотропии и М10 -\~ Af20 = 0. О таких антиферромагнетиках го-
говорят, что они обладают магнитной анизотропией типа «легкая
ось». Если р — р' < 0, то минимум w достигается в том случае,
когда магнитные моменты подрешеток ориентированы пер-
перпендикулярно оси анизотропии и Жl0 -f- Л12о = 0. В этом
случае говорят, что антиферромагнетик обладает магнитной
анизотропией типа «легкая плоскость» *).
Нетрудно определить равновесные направления магнитных
моментов М10 и М20 и при наличии стороннего магнитного
поля Но. Результаты соответствующих вычислений схемати-
схематически приведены на стр. 204.
§ 8. Спиновые волны в антиферромагнетиках
1. Тензор высокочастотной магнитной восприимчивости
антиферромагнетиков. Имея уравнения движения магнитных
моментов в антиферромагнетике и зная равновесные значения
этих моментов, можно найти тензор высокочастотной магнит-
магнитной восприимчивости антиферромагнетика. Для этого следует
положить в уравнениях движения G.1.1) и в уравненияхG.1.2),
определяющих эффективные магнитные поля,
Mx(r, t) = M10-\ mx(r, t). M2(r, t) = M20 + m2(r, t),
H{i)(r, t) = H\>l) + h(r. t).
где /И], т.,, h - малые отклонения от равновесных величин
Мю, М20, Но'\ и произвести затем линеаризацию этих урав-
уравнений. В результате мы придем к системе двух линейных
дифференциальных уравнений для определения отклонений
моментов mx(r, t) и m2(r, t).
Производя в этих уравнениях преобразование Фурье, можно
выразить компоненты Фурье отклонений магнитных моментов
*) В качестве примера антиферромагнетиков с магнитной ани-
анизотропией типа «легкая ось» можно привести CuCI2-2H2O, Cr2O3,
FeCO3; антиферромагнетиками с магнитной анизотропией «легкая
плоскость» являются гематит, карбонаты и фториды переходных
металлов.
70
/и, (ft, со) и m2{k, со) через компоненту Фурье переменного
магнитного поля h(k, со) и найти суммарный переменный маг-
магнитный момент антиферромагнетика
m(k, (o) = m1(k, co)-b/n2(fc, и) = ?(*, со) A (ft, оз), (8.1.1)
где y^{k, со)—некоторый тензор, зависящий от k, со и вели-
величин, характеризующих равновесное состояние антиферромаг-
антиферромагнетика. Этот тензор и представляет собой тензор высоко-
высокочастотной магнитной восприимчивости антиферромагнетика.
Найдем его прежде всего для антиферромагнетика с маг-
магнитной анизотропией типа «легкая ось». Если магнитное
поле //о"' параллельно оси анизотропии и Я-f' < /-/,, где
Hl = M0j/6(P—Р'). то линеаризованные уравнения для
mx(k, со) и m,(k, со) имеют, согласно G.1.2), $4.2.1), D.2.3),
следующий вид:
/Г
— /шп, (*,©) = ? ^Afn X [A (ft, со)
, и) —F-r-a^.^.fey)m_,(ft, «I j, (8.1.2)
, со) —^й _^_4-Р —Э' +
+ <z//ft,*y)jni(ft, и) —(fi+ a^kfi^m^k. «)]), (8.1.3)
откуда [9]
где
_ _^
Ixx — У.уу — 2
±
(ось г направлена вдоль оси анизотропии и магнитное поле
//ое) параллельно оси анизотропии); так как магнитный мо-
момент антиферромагнетика мал, то Но =Hq).
71
Поступая аналогичным образом, можно определить тензор
высокочастотной магнитной восприимчивости антиферромагне-
антиферромагнетика в том случае, когда магнитное поле //if' ориентировано
перпендикулярно оси анизотропии:
/х„ о о \
X(ft. ©) = ( 0 1уу х„ . (8.1.4)
Хгу Хгг '
где
eL
¦ ЗСгУ Хо „2 ,9
= ^Л10 j/
26 (a|y - а'|у)
(предполагается, что Яо0<С^2. Я2 = 26Л1а, ось z направ-
направлена вдоль оси анизотропии, ось дг вдоль //[f').
Рассмотрим теперь антиферромагнетики с магнитной ани-
анизотропией типа «легкая плоскость». Если поле //if' перпен-
перпендикулярно оси анизотропии и Н^ <^ Нч, то тензор высоко-
высокочастотной магнитной восприимчивости определяется форму-
формулой [13]
/Х„ 0 0 \
Х(Л. со) = ( 0 хуу Хуг . (8-1.5)
где
Хгг — Хо ,2 2 ' Хуг Хгу — Хо
72
/
2b{alj-a'l])kl
(ось z направлена вдоль оси анизотропии, а ось х вдоль
магнитного поля //о").
Если магнитное поле //о параллельно оси анизотропии,
то
/ гхх х,у о
Х(А. ©) = ( Ху, Хуу О
' о о Хгг
где
(8.1.6)
-<оа
Луу
о;; -<
—
У-ZZ
__ _
„2
й, —
н
(ось z направлена вдоль оси анизотропии, а ось л: лежит
в плоскости магнитных моментов подрешеток).
2. Спектр спиновых волн в антиферромагнетиках.
Зная тензор высокочастотной магнитной восприимчивости
антиферромагнетика, легко найти спектр его спиновых волн [14].
Для этого следует воспользоваться общим дисперсионным
уравнением F.3.2), которое определяет спектр спиновых волн
в магнитостатическом приближении как для ферромагнетиков,
так и для антиферромагнетиков,
&2-f inkikjXijik, со) = О.
Однако фактически в случае антиферромагнетика решать это
уравнение не нужно, так как компоненты тензора %/,(k, ai)
для антиферромагнетика пропорциональны малому пара-
параметру хо> и поэтому с точностью до членов порядка gMoiQ
73
частоты спиновых волн должны совпадать с полюсами тен-
тензора %(k, «). Отсюда следует, например, что в случае анти-
антиферромагнетиков с магнитной анизотропией типа «легкая ось»
частоты спиновых волн определяются формулами [15, 9, 16]
klkj
со51 (к) = Q+ -
<Di2(ft) = Q_ = gM0 |Дб (a,, - a'u) kikj + (§-J f
(8.2.1)
если магнитное поле //'/ параллельно оси анизотропии и
/y[f' < Hi и формулами [16]
/IН V (Н{е)\2
2b{alj~a'i])klkj + [1±)+y[-),
coi2 (k) = Q2 = gM0
(8.2.2)
если магнитное поле Но перпендикулярно оси анизотропии.
В случае антиферромагнетиков с магнитной анизотропией
типа «легкая плоскость» частоты спиновых волн определяются
формулами [12, 13]
asi(k) = Q'; = gM0
(О ... (ft) == LJn =
если магнитное поле
формулами [17]
(aiy-a;;.) ktk, 4- (^J + (^),
tie)
(8.2.3)
параллельно оси анизотропии, и
(8.2.4)
если магнитное поле Но' перпендикулярно оси анизотропии.
74
Во всех случаях в антиферромагнетиках, в отличие от
ферромагнетиков, имеется не одна, а две ветви спиновых
волн, причем в области больших волновых векторов обе ча-
частоты спиновых волн пропорциональны волновому вектору.
§ 9. Электромагнитные волны
в магнитоупорядоченных кристаллах
1. Дисперсионное уравнение для электромагнитных
волн. В предыдущих параграфах мы изучили спиновые волны,
представляющие собой распространяющиеся магнитостатиче-
ские колебания магнитных моментов в магнитоупорядоченных
кристаллах. Но наряду с такими волнами в этих кристаллах
могут распространяться также и собственно электромагнит-
электромагнитные волны. Для исследования этих волн недостаточно поль-
пользоваться уравнениями магнитостатики, а необходимо исходить
из полной системы уравнений Максвелла и учитывать при
этом закон движения магнитных моментов. Этот учет при-
приводит, как мы видели, к соотношению
m(k, ©) = ?(*¦ со) A (ft, со), (9-1.1)
где m(k, со) и h(k, со)— амплитуды переменных составляю-
составляющих плотности магнитного момента и магнитного поля и
%(k, со) — тензор высокочастотной магнитной восприимчивости
ферромагнетика или антиферромагнетика.
Уравнения Максвелла для плоских волн с учетом связи
(9.1.1) имеют вид
[kXe) = ^b, [kXfi]=-jd, (9.1.2)
где 6 — \ih и d —ее — амплитуды переменных составляющих
магнитной и электромагнитной индукции, \i(k, со) = 1 -f-
-]r4n%(k, со) — тензор магнитной проницаемости и е — тензор
диэлектрических постоянных. В дальнейшем для простоты мы
будем рассматривать случай, когда е/;- = еб;;- и считать е не
зависящим от k и со.
Приравняв нулю детерминант системы (9.1.2), получим
дисперсионное уравнение, связывающее частоты и волновые
векторы электромагнитных волн в магнитоупорядоченных
кристаллах [4]:
D(k, <o) = A(k. со)л4 + 5(*. со) л2 + С (ft, (o) = 0, (9.1.3)
75
ck
где п =—-7=r — показатель преломления,
соУ е
4я
, ©)= 1 -+ -?г kikj%ij(k<
С (ft, со) = det n/;-(ft, «)
и A,;(ft, со) — миноры определителя det|i(-;-(ft, a).
Это дисперсионное уравнение определяет при заданном
волновом векторе ft, вообще говоря, не одну, а несколько
частот. Для ферромагнетика таких частот три, а для анти-
антиферромагнетика — четыре. Различные частоты, соответствую-
соответствующие одному и тому же k, определяют различные ветви ко-
колебаний.
Хотя решить дисперсионное уравнение в общем виде
нельзя, но тем не менее исследовать характер различных вет-
ветвей колебаний можно. С этой целью следует прежде всего
выделить те участки ветвей колебаний, которые соответствуют
спиновым волнам и собственно электромагнитным волнам.
Спиновые волны характеризуются, вообще говоря, малой
фазовой скоростью (по сравнению со скоростью света в ва-
вакууме с), фазовая же скорость собственно электромагнитных
волн порядка с. Поэтому для спиновых волн показатель пре-
преломления значительно больше единицы, п^>> 1, и дисперсион-
дисперсионное уравнение для них должно получаться из общего диспер-
дисперсионного уравнения (9.1.3), если сделать в нем предельный
переход п~>-оо (формально это означает, что мы полагаем
с == оо, что в свою очередь соответствует магнитостатическому
приближению, в котором мы исследуем спиновые волны).
И действительно, разделив (9.1.3) на га4 и устремив затем п
к бесконечности, мы получим уравнение
A(k, со) = О, (9.1.5)
которое совпадает с дисперсионным уравнением
ДЛЯ СПИНОВЫХ ВОЛН.
Замечая, что частота спиновых волн cos(ft) порядка gM0,
можно сказать, что спиновым волнам соответствуют значения
76
волнового вектора k, удовлетворяющие неравенству
или
(к — длина волны).
Кроме спиновой волны при k ~^> ——- существуют также
две собственно электромагнитные волны, характеризующиеся
законом дисперсии:
ck
Наша задача заключается теперь в том, чтобы выяснить, как
ведут себя ветви электромагнитных колебаний при k <С ——-.
Так как . ^> ——-, то в этой области волновых век-
Vа с
торов ak2 с^\, и, следовательно, несущественна простран-
пространственная дисперсия тензора высокочастотной магнитной вос-
восприимчивости. Это значит, что коэффициенты А, В, С
в дисперсионном уравнении (9.1.3) при й <d ——- будут за-
зависеть только от частоты и направления волнового вектора,
но не от его величины.
В этих условиях дисперсионное уравнение удобно рас-
рассматривать как уравнение относительно п или, что то же
самое, относительно модуля волнового вектора k при задан-
заданных частоте и направлении распространения. Решение этого
уравнения имеет вид
2 _ / ckll2\2 _ — В (it, а) ± у В2 (и, со) — 4Л (и, а) С (и, со)
Х'2~~\а>УГ] ~ 2А(х, со)
(9.1.6)
k
где х = -г •
Вещественным показателям преломления nt соответствуют
волны, распространяющиеся с фазовой скоростью:
Vi(*. со) = -—с
-.
У е, tii (*, со)
Эта скорость является функцией со и х.
77
2. Взаимодействие между собственно электромагнит-
электромагнитными и спиновыми волнами. Дальнейшее исследование вет-
ветвей электромагнитных колебаний в области k ^ -^—- требует
детального знания тензора высокочастотной магнитной вос-
восприимчивости. Мы ограничимся здесь рассмотрением одно-
одноосного ферромагнетика, причем будем предполагать, что сто-
стороннее магнитное поле направлено вдоль оси анизотропии.
Тензор \i(k, со) в этом случае имеет вид
(9.2.1)
где
(i(co)=l
и ось z направлена вдоль оси анизотропии (так как нас инте-
интересует область, в которой несущественна пространственная
дисперсия тензора ц, то мы пренебрегли в выражении для .Q
членом аи2).
Вводя в рассмотрение орты
. _ пХк . _ ftX(«Xft) • _^_
7 j2 | ft X (« X А) Г Jz~ k'
71 ~ | п X к Г j2 | ft X (« X А) Г Jz
где п — единичный вектор вдоль оси анизотропии, представим
векторы 6, h, e в виде
6 = bjx -(- b2j2,
h = Kh + hih + АзУз.
Исключая из уравнений (9.1.2) вектор е, получим
ГГJр
k (k X А) — &2й = — ~ Ь,
откуда
bl = n4l, b2 = n2h2. (9.2.2)
78
Так как Ь = \x,h, то
, Ц. COS TTj . r.
1"~ \i sin2 fl> + cos2 #ft 2~~ '
feC+!os2 <»fe ^ + { n2 - y. sin2 П + cos2 »J ^ = °'
(9.2.3)
где ^ft — угол между волновым вектором k и осью анизо-
анизотропии. Исключение из этих уравнений амплитуд Ьх и Ь2 при-
приводит к следующим значениям показателя преломления [18, 19]:
1
4 (м-2 - V-'2) sin2 О* ± /(м-2 — /' — \tf sin1 О* + 4ц'2 cos2 Ък }
(9.2.4)
(эти формулы являются частным случаем общих формул
(9.1.6) для одноосного кристалла).
Значения величин Ьх и Ь2 для волны с показателем пре-
преломления tij связаны между собой соотношением
где
Заметим, что
Р1Р2 = —
и, следовательно,
,B)
= ф,. (9.2.6)
Учитывая вещественность р;-, отсюда легко заключить, что
рассматриваемые волны являются эллиптически поляризован-
поляризованными, причем главные оси эллипсов поляризации направлены
по ортам у, и у2. Эллипсы поляризации обеих волн имеют
одинаковое отношение осей, но повернуты друг относительно
друга на 90°; направление вращения в них противоположно.
Из формул (9.2.2) следует:
h['] _ М/> ц' sin Ь„ + (ц — 1) sin Ък cos Ьк
79
(индекс j служит здесь, как и ранее, для обозначения волны
с показателем преломления nj).
Обратимся теперь к формулам (9.2.4) для показателей пре-
преломления и выясним, при каких значениях со волновой вектор
обращается в нуль. Так как при со->О правые части (9.2.4)
имеют конечные пределы, равные ji(O)h cos2ftfe
sin2V
то k обращается в нуль вместе с со, причем в области
0
с
(9.2.7)
Кроме того, волновой вектор обращается в нуль при неко-
некотором значении со порядка gM0, а именно при
со = соо =
4лЖ0 -|- (Шо).
(9.2.8)
Полученные результаты позволяют схематически изобра-
изобразить ход ветвей электромагнитных колебаний в одноосном
ферромагнетике, что сде-
сделано на рис. 2. На этом
рисунке спиновым волнам
соответствует пунктирная
кривая со = со5(?), а соб-
собственно электромагнитным
волнам — пунктирная пря-
ck ..
мая со = —-= . эта кривая
асимптотически совпадает с
частью ветви / при
О)
(Од
//1
/ч
III
Ill/I
У "
'У
iL.—^_
г
ш
ск
OJ = WS
(K)J
У'
ffM0 1
С V7v
а прямая является
Рис. 2.
общей асимптотой ветвей //
и /// (так же при k ^>
-). Легко показать, что расхождение этих ветвеИ
ck
ck ,
относительно прямой со = —7^ определяется при k
У 6
80
формулой
^( *^Y) (9.2.9)
Остановимся еще на свойствах поляризации рассматривае-
рассматриваемых ветвей электромагнитных колебаний. Легко убедиться,
что вектор индукции b при k-->0 направлен вдоль вектора jx
для колебаний ветви f и вдоль вектора j2 для колебаний
ветви /7; ветвь Ш характеризуется при k—»-0 эллиптической
поляризацией, причем для нее
I
COS*,
с /
ветви
/У
и
///
имеют
В области больших k
круговую поляризацию.
В области больших k у ветвей // и /77 магнитное поле
является поперечным, а у ветви / -- продольным, в области же
малых k для них характерно наличие как поперечных, так и
продольных составляющих магнитного поля, причем обе эти
составляющие имеют одинаковый порядок величины *).
3. Вращение плоскости поляризации в одноосных фер-
ферромагнетиках. Так как в ферромагнетиках заданному зна-
значению частоты соответствуют, вообще говоря, два значения
волнового вектора, то в них возможен эффект вращения пло-
плоскости поляризации (эффект Фарадея).
Пусть, например, линейно поляризованная волна падает
нормально на ферромагнетик, ось анизотропии которого со-
совпадает с направлением нормали. Тогда компоненты магнит-
магнитного поля в ферромагнетике могут быть записаны в виде
hx = i A (
h2 == -i- A (elk'* — eik*z) е~
где А — амплитуда падающей волны и kh2 — — |/"e j/jj, ± ц'
(направление поляризации падающей волны совпадает с осью х;
z = 0 соответствует границе слоя). Вводя обозначения
*) Взаимодействие спиновых и электромагнитных волн в анти-
антиферромагнетиках исследовано в [20], а в металлах — в [21].
6 А. И. Ахиезер 81
k — -к (k1 -f k2), K= — (k1—k2), перепишем эти выражения
в виде
Л, =
При выходе из слоя ферромагнетика отношение величин hx
и Л2 будет равно
A^tgx/, (9.3.1)
"i
где / — толщина слоя. Мы видим, что плоскость поляризации
при прохождении слоя ферромагнетика поворачивается, при-
причем угол поворота ф пропорционален толщине слоя:
ф = х/ = -~- |/е (|/^|J.(co)-f- ц'(со) — |/(х((о) — р/ (со))- (9.3.2)
ГЛАВА III
ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ
И АНТИФЕРРОМАГНЕТИКОВ
§ 10. Однородный ферромагнитный
и антиферромагнитный резонансы
1. Уравнение для определения частот однородного
резонанса. В предыдущих параграфах при нахождении
спектра спиновых волн мы не учитывали размеров тела,
иными словами, мы считали, что длина спиновой волны зна-
значительно меньше размеров тела. Перейдем теперь к иссле-
исследованию спиновых волн в ограниченных образцах ферромаг-
ферромагнетиков и антиферромагнетиков, когда размеры образцов
сравнимы с длинами спиновых волн.
Рассмотрим сначала однородные колебания плотности
магнитного момента. Чтобы возбудить такие колебания, нужно
придать образцу эллипсоидальную форму и поместить его
в стороннее переменное магнитное поле, длина волны кото-
которого X велика по сравнению с размерами образца L:
В этом случае можно считать стороннее магнитное поле
однородным, а так как образец имеет форму эллипсоида,
то магнитное поле внутри образца также будет однородным.
Переменные составляющие этих полей h и h> связаны
между собой соотношением
h{i) + 4iiNm = h(e\ A0.1.1)
где т— переменная составляющая магнитного момента, зави-
зависящая только от времени, и N — тензор размагничивающих
коэффициентов.
б* 83
Если магнитное поле hk ' изменяется по закону hf-' —¦ е ш ,
то
((), A0.1.2)
где х(а>) — тензор высокочастотной магнитной восприимчи-
восприимчивости тела, соответствующий однородным колебаниям маг-
магнитного момента (компоненты этого тензора могут быть по-
получены из общих формул для компонент тензора высоко-
высокочастотной магнитной восприимчивости х(#,со), если положить
в них k = 0). Подстановка A0.1.2) в A0.1.1) дает
откуда
или
где А (со) = det (I -f- 4nNy_ (со)) и &ц> (со) — миноры детерми-
детерминанта А (со).
Если бы диссипативные процессы в спиновой системе
отсутствовали, то нули ©W (/= 1,2, . . .) детерминанта А (со)
были бы вещественными; поэтому в этом случае при изме-
изменении частоты со источника поля и приближении со к одному
из значений ©W поле внутри образца неограниченно бы воз-
возрастало (при неизменной амплитуде переменного стороннего
поля /г(е)). Это значит, что внутри образца, в отсутствие
внешних источников, могли бы существовать переменные
магнитные поля конечной амплитуды с частотами af-p. Таким
образом, величины со^> представляют собой собственные ча-
частоты однородных магнитных колебаний рассматриваемого
нами эллипсоидального образца ферромагнетика или анти-
антиферромагнетика. Они носят название частот однородного ре-
резонанса— ферромагнитного или антиферромагнитного, в зави-
зависимости от вещества эллипсоида.
Итак, мы видим, что частоты однородного резонанса
являются корнями уравнения
det(l+4n/v?(co)) = 0, A0.1.3)
где под у С*3) следует понимать тензор высокочастотной
магнитной восприимчивости )(@, со), вычисленный, в предпо-
предположении об отсутствии диссипации в спиновой системе.
84
2. Однородный ферромагнитный резонанс. Перейдем
к определению частот однородного резонанса *) в различных
случаях. Начнем с рассмотрения одноосного ферромагнетика,
ось легкого намагничения которого и постоянное стороннее
магнитное поле Н^ направлены вдоль одной из главных осей
эллипсоида, например оси z. Тензор x(w) в этом случае,
согласно F.3.3), имеет вид
Txy
7-уу
0
(ft))
(О))
0
0
0
?(©)= Xv,(«) У.уу(«) 0 . A0.2.1)
где
0
— а2— 2/шЦ,
°
gM,
(мы пренебрегли здесь величиной %zz, так как xi°i<dl)-
Если оси х и у направлены вдоль двух других главных
осей эллипсоида, то тензор размагничивающих коэффициен-
коэффициентов N будет иметь вид
\ °
N = \ О N,
Поэтому
*) Однородный ферромагнитный резонанс был открыт Грнф-
фитсом [2], а теория этого резонанса дана Киттелем [1].
85
где
(Aco) = det(l4-
Мы видим, что в одноосном ферромагнетике с магнитной
анизотропией «легкая ось» имеется одна частота однородного
резонанса, равная [1]
1 /7
= gM0 у (C+
A0.2.3)
Эта частота зависит от формы образца и величины сторон-
стороннего поля Ное\ возрастая с увеличением последнего.
Приведем значения резонансной частоты для образцов
различной формы.
Если образец имеет форму шара, то iV, = N2 = N3 = -^ и
A0.2.4)
Если образец имеет форму цилиндра, ось которого сов-
совпадает с осью легкого намагничения, то Nl = N2 = -^-,
JV3 = 0 и
... I Н<е1 \
(О(г» = §-Л1о1р4-Т7— + 2я1. A0.2.5)
Если" образец имеет форму цилиндра, ось которого пер-
перпендикулярна оси легкого намагничения, то Л^ = 0, N2 =
= Ns = y и
@<г> = .
(цилиндр будет однородно намагничен r направлении, пер-
перпендикулярном его оси, если имеет место неравенство
/4е) + М*о — 2лЖ0>0>
86
Если образец имеет форму пластинки, поверхность кото-
которой параллельна оси легкого намагничения, то /V1 = yV3 = 0,
N2 = 1 (ось у направлена в глубь пластинки) и [1,2]
co(f> =
A0-2-7)
Наконец, для пластинки, ось легкого намагничения кото-
которой перпендикулярна поверхности пластинки, /Vj=/V2 = O,
(ю.2.8)
(в этом случае пластинка однородно намагничивается, если
Н(ае) + f,M0 - 4лЖ0 > 0).
Формула A0.2.3) определяет частоту однородного ферро-
ферромагнитного резонанса в том случае, когда стороннее магнит-
магнитное поле направлено вдоль оси легкого намагничения.
Если стороннее магнитное поле направлено перпендику-
перпендикулярно оси легкого намагничения и образец имеет форму
шара, то его резонансная частота определяется форму-
формулами [3, 4]
со
(О
A0.2.9)
Af0
Эта резонансная частота сначала убывает с ростом
обращается в нуль при Ное' = р/И,, а затем возрастает с ро-
ростом Н^\ Поэтому при фиксированной частоте стороннего
переменного магнитного поля и изменении величины поля Ное}
ферромагнитный резонанс наступает дважды: один раз в сла-
слабом и второй раз в сильном стороннем магнитном поле.
Мы рассмотрели оаноосные ферромагнетики с магнитной
анизотропией типа «легкая ось» (E > 0). Рассмотрим теперь
одноосные ферромагнетики с магнитной анизотропией типа
«легкая плоскость» (р < 0).
Тензор высокочастотной магнитной восприимчивости таких
ферромагнетиков определяется формулами F.1.2), F.1.4).
Полагая в них 4»=0 и используя общее уравнение A0.1.3),
найдем резонансную частоту ферромагнетика с магнитной
87
анизотропией типа «легкая плоскость»:
/7
A0.2.10)
(мы, как и ранее, предполагаем, что стороннее магнитное
поле Но и магнитный момент направлены вдоль оси г).
3. Однородный антиферромагнитный резонанс. Перей-
Перейдем теперь к рассмотрению собственных однородных коле-
колебаний магнитных моментов в ограниченных образцах анти-
антиферромагнетиков, предполагая по-прежнему, что они имеют
эллипсоидальную форму.
В § 8 мы видели, что компоненты тензора высоко-
высокочастотной магнитной восприимчивости антиферромагнетика
пропорциональны малому параметру io- Поэтому с точностью
до членов порядка /о§"^Ио корни уравнения A0.1.3) для
определения частот однородного резонанса в случае анти-
антиферромагнетика совпадают с полюсами тензора / (со). С дру-
другой стороны, частоты спиновых волн, как мы видели,
являются в этом же приближении полюсами тензора х (к, со).
Таким образом, частоты однородного антиферромагнитного
резонанса равны частотам спиновых волн при k = 0. Эти
частоты практически не зависят от формы образца анти-
антиферромагнетика, в отличие от частот ферромагнитного резо-
резонанса, которые существенно зависят от формы образца.
В случае антиферромагнетиков с магнитной анизотропией
типа «легкая ось» частоты однородного антиферромагнитного
резонанса определяются формулами [5]
«Г = *(//, + /# >). «2r) = g(я, -Мг)), (ю.з. 1)
если магнитное поле Н\>] параллельно оси анизотропии и
Н[*} < Нх, и формулами
(Ю.3.2)
если магнитное поле Ное) перпендикулярно оси анизотропии.
Заметим, что экспериментальное изучение антиферромаг-
антиферромагнитного резонанса позволяет определить энергетическую щель
в спектре спиновых волн, т. е. величину Нх = Мо ^26 (E — р').
В случае антиферромагнетиков с магнитной анизотропией
типа «легкая плоскость» частоты однородного антиферромаг-
антиферромагнитного резонанса определяются формулами
О, A0.3.3)
если магнитное поле Ное) параллельно оси анизотропии, и
формулами [6, 7]
O rfP dp A0.3.4)
если магнитное поле Но перпендикулярно оси анизотропии.
4. Поглощение энергии вблизи резонанса. В преды-
предыдущих разделах мы не учитывали диссипативных процессов
в спиновой системе и пришли поэтому к выводу о существо-
существовании незатухающих собственных колебаний.
Рассмотрим теперь роль диссипативных процессов. Эти
процессы вызывают, во-первых, затухание собственных ко-
колебаний и, во-вторых, если образец находится в переменном
стороннем поле h{e , приводят к поглощению энергии этого
поля веществом образца.
Затухание собственных колебаний частоты ю^ характе-
характеризуется декрементом затухания уЮ, определяющим изменение
со временем амплитуды собственных колебаний А;-,
Чтобы найти декременты затухания у<-р, нужно решить
уравнение
Л (со) — det (I -f 4n/V ?(со)) = 0,
в котором компоненты тензора % (со) определены с учетом
диссипативных процессов в спиновой системе. Корни этого
уравнения будут комплексными, причем их вещественные
части будут определять частоты, а мнимые части — декре-
декременты затухания собственных колебаний.
Перейдем к определению энергии, которую поглощает
образец, находящийся в стороннем переменном поле:
Мы будем предполагать, что период этого поля значитель-
значительно больше времени установления локального равновесия
89
в веществе образца. В этом случае уравнения E.2.1), E.2.4),
выведенные для постоянного поля, будут справедливы и для
переменного поля. Поэтому —тт- =0 и, следовательно,
\ dt }к(е)
производная от энергии образца по времени будет равна
dW dW dh{e) ,,., dh{e)
= — VM ¦
dt dh{e) dt dt
где V — объем образца (мы учли однородность поля й(<?)).
Усредняя это выражение по времени, найдем среднюю
энергию, поглощаемую ферромагнетиком или антиферромаг-
четиком в единицу времени:
dW
где т — переменная составляющая магнитного момента и черта
сверху означает усреднение по времени. Вспоминая, что
и используя соотношение
представим /га(О в виде
т @ = у ?И V"to' + i X'* И КеШ' (Ю.4.2)
где
X' (со) = X (ю) A Н- 4-^ X (©))"*¦
Подставляя, наконец, это выражение в A0.4.1) и производя
усреднение по времени, получим
Мы видим, что поглощение энергии образцом опреде-
определяется антиэрмитовой частью тензора х'@)' который связы-
связывает переменную составляющую плотности магнитного момента
со сторонним переменным магнитным полем.
Антиэрмитова часть тензора %' (со) особенно велика в об-
области резонансных частот. Например, в случае одноосного
ферромагнетика с магнитной анизотропией типа «легкая ось»
90
и H(oe) || и тензор х'(<») имеет, согласно A0.2.2), A0.2.1),
следующий вид:
а о), — / ' 7, 2 <й — со2
— to
0
to
[0 — i
0
0
?- 0
т
0
A0.
4.4)
и поэтому его антиэрмитовая часть при (о, близких к частоте
однородного ферромагнитного резонанса, определяется фор-
формулой
—toM со, 0 1. A0.4.5)
§ 11. Неоднородный ферромагнитный резонанс
1. Общие уравнения для определения частот неодно-
неоднородного резонанса. В предыдущем параграфе мы рассмот-
рассмотрели простейший вид собственных колебаний плотности маг-
магнитного момента в ферромагнитных и антиферромагнитных
образцах — однородные колебания. Перейдем теперь к рас-
рассмотрению более сложных собственных колебаний плотности
магнитного момента, при которых поле и намагничение за-
зависят от координат, но колебания по-прежнему являются
магнитостатическими [8, 9]. Для этого необходимо, чтобы
фазовая скорость волн, соответствующих таким колебаниям,
была значительно меньше скорости света с, т. е.
где X — длина волны и ю — частота колебаний. Кроме того
мы будем предполагать, что пространственная дисперсия маг-
магнитной восприимчивости несущественна. Это предположение
справедливо, если длина волны колебаний X удовлетворяет
неравенству
91
где а —я~|/ •-—тт-. Итак, мы предполагаем, что длина волны
колебаний лежит в интервале *)
У^Г<С^<С^. A1.1.1)
Для нахождения частот собственных колебаний восполь-
воспользуемся уравнениями магнитостатики:
rotft(<;)=0, divft(e)=O,
rot hw = 0, div (h(i) + 4nm) = 0
для переменных составляющих магнитного поля вне и внутри
образца, которые мы считаем гармоническими функциями
времени:
h(e) (r, t) = h(e) (г)е-ш, hw (r, t) = h{i) {г)е~ш.
Вводя потенциалы <р(<) и <р(<г), связанные с полями ft(()(r)
и h^ (r) соотношениями
h@ (г) = — Vy(i) (r), h(e){r) = — Vy{e)(r), A1.1.2)
перепишем уравнения магнитостатики в виде
Дф(«) == О,
К этим уравнениям должны быть добавлены граничные
условия: непрерывность на границе образца тангенциальных
составляющих магнитного поля и нормальной составляющей
магнитной индукции,
(индексы т и v служат для обозначений тангенциальных и
нормальной составляющих векторов), а также условие на бес-
бесконечности, заключающееся в том, что при г —> оо поле h (r),
а следовательно, и <р<е) должны обращаться в нуль,
*) Считая Я ~ L, где L—размеры образца и со ss 1010 —
10п сек~1, получим отсюда 10~6 cm<^'L<^'\ cm.
I
92 /
Используя A1.1.2), можно представить граничные усло-
условия в виде
(vft — проекция единичного вектора вдоль нормали на ось k).
Сформулированная таким образом граничная задача имеет
нетривиальные решения не при произвольных, а только при
вполне определенных значениях входящих в уравнение A1.1.3)
и граничные условия A1.1.5) параметров /г;-. С другой сто-
стороны, величины itj являются определенными функциями ча-
частоты, iij — Xtj (w). Поэтому, найдя значения параметров yaj
и зная вид этих функций, можно в принципе определить
соответствующие значения частот, которые и представляют
собой частоты собственных колебаний плотности магнитного
момента в образце. Эти частоты обычно называют частотами
неоднородного резонанса.
2. Пластинка. Рассмотрим сначала колебания магнитного
момента в бесконечной плоскопараллельной пластинке. Гра-
Граничные условия A1.1.4) и A1.1.5) в этом случае прини-
принимают вид
дг ^^Ргу ду ' ^г-*- дх I \Z=±L
ф) | = О,
дг
где \\и = о;А -f- 4я//й и 2Z — толщина пластинки (ось г пер-
перпендикулярна поверхности пластинки, оси х и у лежат в пло-
плоскости пластинки; плоскость z = 0 проходит через середину
пластинки).
Будем искать потенциалы <$^ и <р(е> в виде
^>^^ (П.2.2)
где А, В, С, D — некоторые константы.
93
Подставляя эти выражения в A1.1.3) и используя гранич-
граничные условия A1.2.1), получим [10]
/=/** +4
(П.2.3)
Эти уравнения определяют частоты и волновые векторы соб-
собственных магнитостатических колебаний пластинки.
Рассмотрим подробнее ферромагнитную пластинку, пред-
предполагая, что ось анизотропии и стороннее магнитное поле //[>
направлены перпендикулярно поверхности пластинки (вдоль
оси z). В этом случае тензор высокочастотной магнитной
восприимчивости у (и) определяется формулами F.1.2), F.1.3),
подстановка которых в A1.2.3) дает
Qo (Qo + 4ngM0 sin2 *),
где
(Нке) \
l-vj |~р— 4я). Отсюда следует
tZgJ-i Xg R>zL,t Z\Jl -^^ j f\>z*-i I *^v '
— kzL ctgkzL, n[n-\—2 I ^ I
где n = 0, 1, 2, ... и
(
A1.2.5)
Мы видим, что возможные значения частот собственных
колебаний ферромагнитной пластинки заключены в интервале
Qo < <*r) < VQo (йо + 4я^Ж0). A1.2.6)
94
Заметим, что если kzL<^\, то
k±L « {kzLf.
т. е. степень неоднородности поля вдоль пластинки меньше
степени неоднородности поля вдоль нормали к пластинке.
При &.,?->О, частота а><г> совпадает с частотой ферромаг-
ферромагнитного резонанса пластинки, определяемой формулой A0.2.8).
Если стороннее магнитное поле и ось легкого намагни-
намагничения лежат в плоскости пластинки, то можно показать, что
собственные частоты колебаний определяются формулами
2kz
где sin2# = —Ц-5—, Q0 = gM0[—r-j f- pI (ось х направлена
вдоль оси анизотропии, а ось z — вдоль нормали к поверх-
поверхности пластинки). Эти частоты заключены по-прежнему в ин-
интервале A1.2.6). При kz—>0 частота ©<г> совпадает с часто-
частотой однородного ферромагнитного резонанса пластинки,
определяемой формулой A0.2.7) (чтобы убедиться в этом,
следует иметь в виду, что при kz —> 0 величины kx, ky -— kz).
3. Шар. Найдем частоты собственных колебаний плот-
плотности магнитного момента в шаре [9]. Потенциалы магнит-
магнитного поля ф('>(г) и ф(е>(г) внутри и вне шара удовлетворяют
уравнениям A1.1.3)
,
)
ду* /^ dz* ~Ul A1.3.1)
Дф(«) == 0,
где ось z направлена вдоль оси анизотропии и ц= 1 + ^Щ.хх
\1хх определяется формулами F.1.2), F.1.3), в которых
Потенциал ф(е> магнитного поля вне шара можно взять
в виде
(»(«)= - P'm '(cos fh/>~/m4> П 1 Я 91
где ф и 0 — азимутальный и полярный углы радиус-вектора г,
п и т — целые числа и Р„ ' — присоединенные полиномы
95
Лежандра. Этот потенциал, как известно, является решением
уравнения Лапласа и удовлетворяет условию на бесконеч-
бесконечности A1.1.4).
Для нахождения потенциала <рО внутри шара заметим,
что функция
я
F (г) — etmif J / (iz -f- p cos a) cos та da,
-я
где р = j/"x2-f-у2 и /(г)— некоторая произвольная функ-
функция — удовлетворяет уравнению Лапласа. Поэтому решение
уравнения A1.3.1) для <р(г> может быть представлено в виде
ф(»> (г) == etm<? Г / (г [i У jl cos 0 + sin 9 cos a]) cos ma da.
-Я
Подберем функцию / таким образом, чтобы на поверх-
поверхности шара выполнялось условие
(а — радиус шара), т. е.
/ (a [i Vv cos 9 + sin 9 cos a]) cos ma da — ¦—¦ P\,m' (cos 9)
A1.3.3)
(из равенства потенциалов <р(г)(г) и <р(е)(г) на поверхности
шара следует непрерывность тангенциальных составляющих
магнитного поля).
Легко видеть, что условие A1.3.3) будет выполняться,
если в качестве / (z) выбрать функцию
\aVl—ц
где С™—некоторая постоянная, которую мы определим
в дальнейшем. Действительно, используя теорему сложения
для полиномов Лежандра
Рп (
хх'
96
легко показать, что
я
[ п ( l FV cos 0 4- sin 0 cos a \ ,
Рп [ —— ~ cos та da =
J \ у \ — и2 /
я
Поэтому граничное условие A1.3.3) будет выполняться,
если в качестве С™ выбрать
(п-\т\)\
Z
Таким образом, потенциал ф("(г), удовлетворяющий урав-
уравнению A1.3.1) и граничному условию A1.3.3), имеет вид
я
e ф
[ п (г i У|Г cos 6 4- sin 9 cos a \ ,
\ P,A ^— ,—L- cosmarfa.
A1.3.4)
Потенциал ф(')(г) должен удовлетворять еще второму
граничному условию A1.1.5), означающему непрерывность
нормальной составляющей магнитной индукции. В сферических
координатах это условие имеет вид
-f- cos 9 (-4— cos 9 sin 9-^- -,— ,, 3—
\ or г од I г с/ф J \r=a дг
Подставляя сюда вместо ср(^(г) и <pW(r) выражения A1.3.4)
и A1.3.2), получим
я-f~ I -f- tn\\? (со) 4-s~7~ 'n ^л (s) = 0, A1.3.5)
где
Это условие может выполняться, очевидно, не при произ-
произвольных, а только при вполне определенных значениях со,
которые и представляют собой частоты неоднородного фер-
ферромагнитного резонанса.
7 А. И. Ахиезер 97
Таким образом, мы получили дисперсионное уравнение
для определения частот собственных колебаний магнитного
момента в ферромагнитном шаре. Корни этого уравнения,
которые мы будем обозначать через ©?) , зависят от целых
чисел пит, где от — — п, —п-\- 1, .... п, и не зависят
ни от каких непрерывных параметров (р обозначает номер
решения). Иными словами, спектр колебаний ферромагнит-
ферромагнитного шара является дискретным.
Легко видеть, что магнитное поле внутри шара при п—\,
т = + 1 является однородным. В этом случае дисперсион-
дисперсионное уравнение A1.3.5) имеет единственное решение
{мы учли, что в случае сферы Q0 = gM01C — -~--\—тт— II.
Эта частота, как и следовало ожидать, совпадает с частотой
однородного ферромагнитного резонанса шара, определяемой
формулой A0.2.4).
При п = 2 (т = 0, ±1, ±2) корни дисперсионного урав-
уравнения A1.3.5) имеют вид
(П. 3.6)
Можно показать, что при т = п, п—1, независимо от
величины п имеется только один корень уравнения A1.3.5)
Наконец, можно показать, что частоты собственных коле-
колебаний шара fi>(^ удовлетворяют неравенству
4. Эллипсоид вращения. Уравнение A1.3.5) определяет
частоты неоднородного ферромагнитного резонанса для шара.
Если ферромагнетик имеет форму эллипсоида вращения, ось
которого совпадает с осью легкого намагничения, то, как
98
можно показать, частоты неоднородного ферромагнитного
резонанса определяются из дисперсионного уравнения [9]
-t'wlaP* &)=°- с11-4-1)
где
6 ~ й2 — а2 ' б =
(b\2
а и & — полуоси эллипсоида ^—\- -р- = 1 (Ь <_ а) и
<2,7 (г) — функции Лежандра второго рода.
Корни этого дисперсионного уравнения являются дискрет-
дискретными и зависят от целых чисел пит. Частоты собствен-
собственных колебаний эллипсоида, которые мы будем обозначать
через (й*?>т (р — служит для обозначения номера решения),
так же как и частоты собственных колебаний шара, заклю-
заключены в интервале A1.3.7).
При я=1, т=\ дисперсионное уравнение A1.4.1) имеет
единственное решение
где
A1.4.2)
-l
Эта величина, как можно показать, представляет собой раз-
размагничивающий фактор сплюснутого эллипсоида вращения.
Сравнивая формулы A1.4.2) и A0.2.3), мы видим, что
корень о)^ дисперсионного уравнения A1.4.1) является ча-
частотой однородного ферромагнитного резонанса эллипсоида
вращения.
5. Резонанс на стоячих спиновых волнах. До сих пор
при исследовании собственных колебаний плотности магнит-
магнитного момента в ограниченных ферромагнетиках мы не учи-
учитывали пространственной дисперсии высокочастотной магнит-
магнитной восприимчивости. Это законно, как следует из A1.1.1),
для не слишком малых образцов. Однако условие A1.1.1)
нарушается, если размеры образцов достаточно малы. В этом
случае при исследовании собственных колебаний магнит-
магнитного момента необходимо учитывать зависимость тензора
7* 99
высокочастотной магнитной восприимчивости не только от
частоты, но и от волнового вектора.
Рассмотрим в качестве примера тонкую ферромагнитную
пластинку, причем для простоты будем считать, что ось лег-
легкого намагничения и поле Н^ направлены перпендикулярно
поверхности пластинки и что в плоскости пластинки магнит-
магнитное поле и магнитный момент однородны, т. е. все величины
зависят только от координаты z, перпендикулярной плоскости
пластинки [11].
Так как проекция переменной составляющей плотности
магнитного момента на ось z равна нулю, то div/tt = 0, и
поэтому переменное магнитное поле удовлетворяет уравнениям
divA = 0, rotA=:0, A1.5.1)
справедливым как внутри, так и вне пластинки. Ясно, что
эти уравнения, вместе с однородными граничными условиями
h = О при z = + оо, имеют только тривиальное решение
А = 0. Отсюда однако не следует, что /и = 0. Действительно,
считая, что т изменяется пропорционально е~ (Slt~kzz)t и учи-
учитывая соотношение m = y^(k, со)Л, мы получим следующее
уравнение для определения т:
t~l(k, й))/га = 0, A1.5.2)
которое имеет нетривиальное решение, если
Вводя циркулярные компоненты магнитного момента
= тх + (ту и используя выражения F.1.2), F.1.3) для
, <?>), можно переписать уравнения A1.5.2) в виде
(со — Q (k)) от+ = О,
где
( 2
Q(k) = gM0 [ak\ + p — 4л-Ь
Мы видим, что частота собственных колебаний пластинки
равна
©<Г) = О(#) A1.5.3)
и что отлична от нуля только циркулярная компонента маг-
магнитного момента т+.
100
Допустимые значения kz могут быть определены из гра-
граничных условий. При этом, помимо обычных граничных
условий для векторов h и 6 = А-|-4ят, которые автомати-
автоматически выполняются, если h = О и тг = 0, следует исполь-
использовать еще граничные условия для магнитного момента, так
как при наличии пространственной дисперсии уравнение дви-
движения магнитного момента содержит производные по коор-
координатам. Эти граничные условия, согласно E.5.14), имеют вид
*-0' AL5-4)
где 2L—толщина пластинки.
Полагая
A1.5.5)
и исключая произвольные постоянные А, В, найдем, что до-
допустимые значения kz удовлетворяют одному из уравнений:
kzLtgkzL = Т,
A1.5.6)
kzLtgkzL = ±.
Первое из этих уравнений соответствует симметричным от-
относительно замены z на —г решениям A1.5.5), а второе
уравнение— антисимметричным решениям.
Если d~^§> L, то возможные значения kz равны
n
—j-n для симметричного решения,
-^-(rt-f-тг) для антисимметричного решения,
где я = 0, +1, ±2, ... (эти значения kz являются следст-
следствием граничного условия -з— =0).
Если d<^L, то возможные значения kz равны
я / , 1 \
~г\п'\"^\ Для симметричного решения.
п для антисимметричного решения
(эти значения k7 вытекают из граничного условия m |г=±?=0).
Подставляя эти значения kz в A1.5.3), найдем часто-
частоты собственных колебаний плотности магнитного момента в
101
пластинке с учетом пространственной дисперсии магнитной
проницаемости. Как видно из полученных формул, интервал
(тг \2
"Т") '
Поэтому для наблюдения резонанса на этих частотах удобно
пользоваться тонкими пленками. Измерение интервала между
резонансными частотами позволяет экспериментально опре-
определить константу обменного взаимодействия а. Данные экс-
экспериментов по определению обменных констант различных
ферромагнетиков приведены в обзоре [12].
§ 12. Поверхностный импеданс ферромагнетиков
1. Дисперсионное уравнение для ферромагнитного
металла. Результаты предыдущего параграфа относятся,
строго говоря, к магнитоупорядоченным диэлектрикам, а не
к металлам, так как мы нигде не учитывали проводимости
вещества. Представляет поэтому интерес выяснить, как про-
проявляется ферромагнитный резонанс в ферромагнитных металлах.
Как известно, электромагнитная волна затухает, распро-
распространяясь в металле. При этом, если длина свободного про-
пробега электронов проводимости / достаточно мала, то глубина
проникновения электромагнитного поля в металл равна по
порядку величины
* A211)
где со—частота поля, о—проводимость. Эта формула опре-
определяет глубину проникновения в том случае, если выполня-
выполняется условие I <^Ь. Ясно, что если размеры образца L малы
по сравнению с глубиной проникновения электромагнитного
поля, то скин-эффект не будет проявляться, и формулами
предыдущих параграфов можно пользоваться независимо от
того, является ли ферромагнетик диэлектриком или металлом.
Если же L~>,b, то проводимость будет оказывать существен-
существенное влияние на распределение поля в образце и результаты
предыдущего параграфа будут неприменимы к металлам.
Мы перейдем теперь к исследованию этого влияния, пред-
предполагая, что
В этом случае, очевидно, ни форма ни размеры тела несуще-
несущественны, и мы приходим к задаче об отражении и преломле-
102
нии электромагнитной волны на границе ферромагнитного
металла, заполняющего полупространство.
Пусть на ферромагнетик падает плоская монохроматиче-
монохроматическая волна ?-<(ю<-*о»") с частотой со и волновым вектором k0.
Электромагнитное поле в ферромагнетике будет иметь тогда
вид суперпозиции ряда плоских монохроматических волн,
с той же частотой со, что и у падающей волны, но с отли-
отличающимися от k0 волновыми векторами k. Для каждой такой
волны электрическое и магнитное поля изменяются по закону
e-Hat-kr) и удовлетворяют уравнениям Максвелла
~
где (I и 0 — тензоры магнитной проницаемости и проводи-
проводимости ферромагнетика, зависящие, вообще говоря, от со и k.
Приравнивая нулю детерминант этой системы, мы получим
дисперсионное уравнение, которое определит возможные зна-
значения k при заданной со. Предполагая, что I <^ 6, мы можем
считать, что 0 ие зависит ни от k, ни от со. Кроме того,
чтобы упростить вычисления, мы будем считать, что а/у.=аб,- •
и 4ло^г>>со. Легко видеть, что в этом случае волновой
вектор k направлен перпендикулярно к поверхности ферро-
ферромагнетика. Действительно, тангенциальные составляющие вол-
волнового вектора непрерывны на границе образца, модуль же
волнового вектора внутри тела значительно больше k0, если
Полагая в A2.1.2) k = — kx, где v —единичный вектор
вдоль внешней нормали к ферромагнетику, найдем
е = -[-ш^х^ <12Л-3)
и, следовательно,
^ A2.1.4)
откуда
det{Io2?2(v,.vA — 6ik) + i\ilk(k, co)} = O. A2.1.5)
Это дисперсионное уравнение позволяет найти волновой
вектор к как функцию частоты со и углов между нормалью
к поверхности v и кристаллографическими осями. При этом,
очевидно, следует выбирать те решения, для которых Itn й>0.
103
Мы ограничимся рассмотрением одноосного ферромагне*
тика, причем будем считать, что равновесное значение его
магнитного момента направлено вдоль оси легкого намагниче-
намагничения. В этом случае
\i(k, со) i\i'(k, со) О'
? (k, ю) = (
где
A2.1.6)
?2' = Q
[мы считаем, что \izz = 1, так как yQz = —-гк <СС 1! см- F.3.3)
2. Соотношения между амплитудами полей в ферро-
ферромагнитном металле. Предположим сначала, что стороннее
магнитное поле //[f направлено параллельно оси легкого на-
намагничения, которая лежит в плоскости, ограничивающей
ферромагнетик. Уравнения A2.1.4) приобретают в этом слу-
случае вид
(
t
A2.2.1)
где ft = — (ось z направлена вдоль оси анизотропии,
у 2ша
а ось у — вдоль внутренней нормали к поверхности ферро-
ферромагнетика).
Эта система уравнений допускает решение, для которого
волновой вектор равен
х+1
104
и электромагнитное поле имеет компоненты
ет = (^\ 0,0), ЛA) = @, 0, h^).
причем
^ = _?,/?> A2.2.2)
Кроме этого решения, система A2.2.1) допускает реше-
решения с /гг = 0, для которых волновой вектор k удовлетворяет
дисперсионному уравнению
to) = 0, A2.2.3)
где
-^(fe, а) д
Это уравнение является кубическим относительно k2, и по-
поэтому имеется, вообще говоря, три решения с Лг = 0. Ком-
Компоненты полей для этих решений характеризуются следую-
следующими соотношениями:
е = @, 0, ег), h = (hx, hy, 0), A2.2.5)
причем
_ ц/ (ft, и) _ ^ft
" ~" |х (ft, to) *' г ~ 4яа пх-
Кубическое дисперсионное уравнение A2.2.3) превраща-
превращается в уравнение первого порядка относительно к2 в том
случае, когда можно не учитывать пространственной диспер-
дисперсии магнитной восприимчивости, т. е. зависимости \i(k, со)
от волнового вектора k. Вдали от ферромагнитного резо-
резонанса для этого необходимо, как видно из формулы A2.2.4),
выполнение условия а|йр<^1, а вблизи резонанса — усло-
условия a\k |2 <^ —г?— (последнее условие далее будет уточнено).
Мы будем сначала предполагать выполненными эти усло-
условия. Тогда уравнение A2.2.3) будет иметь единственное
решение
ЦЬ1 A2.2.6)
105
где
, со).
Подставляя это значение волнового вектора в A2.2.5),
запишем компоненты поля, соответствующие волновому век-
вектору &2' в виде
<?> = (о, о,42)). ^] = {hf,hf, о),
причем
A2.2.7)
у \i @, to)
где
Величины 6 и 6' имеют простой физический смысл: если
пренебречь диссипативньши слагаемыми в Х/уС05)' то 6 и 6'
будут определять глубины проникновения в ферромагнетик
волн с комплексными волновыми векторами kx и k2 (поля
будут затухать в металле по закону е~У/&/ и е~у&).
Обратим внимание на то, что величина ?2 обращается при
¦— = 0 в бесконечность, если частота со принимает значение:
где Qo и fio — значения Q и Q' при k = 0 (мы учли, что
если поле Но параллельно поверхности пластинки, то Н\}=
=zffoe)). Эта частота представляет собой частоту ферромаг-
ферромагнитного резонанса пластинки, поверхность которой парал-
параллельна оси легкого намагничивания (см. формулу A0.2.7)).
Мы рассмотрели случай, когда ось легкого намагничения
лежит в плоскости, ограничивающей ферромагнетик. Анало-
Аналогично можно рассмотреть случай, когда ось легкого намагни-
намагничения и стороннее магнитное поле Н^ направлены перпенди-
перпендикулярно этой плоскости. Уравнения A2.1.4) приобретают
106
в этом случае вид
1ад! + ) у = О. A2.2.8)
— /ji'A,-f (-g- /Й262 4- ц) Ау = О
(ось г предполагается здесь направленной вдоль вектора v).
Исключая из этой системы hx и hy, получим диспер-
дисперсионное уравнение для определения k
, со)J — \ir2(k, со) = О,
или A2.2.9)
i А, ю) —|x(ft, со).
Компоненты электромагнитного поля определяются при этом
формулами
е = (ех, ±tex, 0), h = (hx, ±ihx, 0),
где
е^Н* A2.2.10)
и знаки плюс и минус берутся в соответствии с тем, с каким
знаком берется ц' в уравнении A2.2.9).
В условиях, когда можно пренебречь пространственной
дисперсией высокочастотной магнитной восприимчивости, каж-
каждое из уравнений A2.2.9) имеет по одному решению. Эти
решения имеют вид
*+=-4г' k-^4r> <12-2Л1>
где
Y\x±\x'
i
@±fi 1±
\
A2.2.12)
Величины 6+ и 6_ (как и ранее величины 6, 6') опре-
определяют при •— = 0 глубины проникновения полей е , А
107
и е( \ Л( ', соответствующих волновым векторам k+ и ?_.
Эти поля имеют следующие компоненты:
е<+> = 04Ч _/4+), о), а'+> = (а^». -^Ч о).
^-' = D-', te5r}. о), а(-}=(*<,-'. ^->, о), ( 3)
причем е^* и А* связаны между собой соотношениями
еУ = -Ц< + %+\ /i] = iZ{'%-\ A2.2.14)
где
8зш, ¦
Как следует из формул A2.2.12) для[х + |1', величина ?<+>
4#^обращается при — = 0 в бесконечность, если частота пере-
перет
менного поля принимает значение
ff(e) \
-± 4л]
М
(мы учли, что если Но параллельно v, то Hq =//[f'—4яМо).
Эта частота представляет собой частоту ферромагнитного
резонанса пластинки, поверхность которой перпендикулярна
оси легкого намагничения и стороннему магнитному полю Ное)
(см. формулу A0.2.8)),
Выше мы сформулировали условие пренебрежения про-
пространственной дисперсией вблизи резонанса, т. е. при со«
« У QqQqB виде неравенства a\k f <СГ—-г;— .Учитывая теперь,
что вблизи резонанса k j-Vs^ox< можно переписать это
неравенство в виде
При выполнении последнего неравенства, накладывающего
ограничения на величины о и — , возможно пренебрежение
пространственной дисперсией в условиях резонанса.
3. Поверхностный импеданс. Установив соотношения
между амплитудами полей внутри ферромагнетика, можно
сформулировать граничные условия для определения электро-
электромагнитного поля вне - ферромагнетика. Так как на границе
ферромагнетика непрерывны тангенциальные составляющие
108
электрического и магнитного полей, а внутри ферромагнетика
эти составляющие связаны линейными однородными соотно-
соотношениями, то искомое граничное условие должно иметь вид [13]
?v), A2.3.1)
где еОт и ЛОт — тангенциальные составляющие полей е0 и h0
вне ферромагнетика вблизи его границы и ? — некоторый
двумерный тензор. Этот тензор, называемый тензором по-
поверхностного импеданса, зависит только от частоты поля и
констант, характеризующих ферромагнетик.
Так как внутри ферромагнетика электромагнитные волны
распространяются вдоль нормали (если 4л0^>ю), то bv==
= dv = 0. Поэтому вне ферромагнетика, вблизи его границы,
должны выполняться также граничные условия
eav = hOv = 0. A2.3.2)
Компоненты тензора поверхностного импеданса могут быть
найдены, если заметить, что внутри ферромагнетика вблизи
его границы имеет место равенство
eT = ?(AtXv) A2.3.3)
и воспользоваться соотношениями между компонентами элек-
электромагнитного поля ех и hx, полученными в предыдущем
разделе.
Рассмотрим сначала тот случай, когда ось анизотропии
и стороннее магнитное поле лежат в плоскости, ограничи-
ограничивающей ферромагнетик. Выбирая оси координат так же, как
в аналогичном случае, разобранном в предыдущем разделе,
перепишем соотношение A2.3.3) в виде
Подставляя в эти равенства вместо ех, hx сначала ех\ hx ,
а потом е(т2). Л?', получим, используя A2.2.2), A2.2.7):
Таким образом, тензор поверхностного импеданса в рассма-
рассматриваемом случае имеет вид:
о D- A2-з-4)
109
Определим тензор поверхностного импеданса в том слу-
случае, когда ось легкого намагничения направлена перпендику-
перпендикулярно к поверхности ферромагнетика. Выбирая оси координат
так же, как и в аналогичном случае, разобранном в преды-
предыдущем разделе, перепишем соотношение A2.3.3) в виде
е —Г h Г h
е у «yjr'y Ьуу".*:-
Подставляя сюда сначала е<+>, Ы+\ а потом е["\ Ы~\ получим,
используя A2.2.13), A2.2.14), следующую систему уравнений
для определения компонент тензора поверхностного импеданса:
it -\-t —i6+) it -4-t —б+)
lbjj T^ bxy "= • 1Ъух I byy fe »
ft — ? =it,(~\ —it +? =?(").
откуда
f f- _j_
Ьхх— byy— 2
*jry «yj:
Таким образом, тензор поверхностного импеданса в том
случае, когда ось легкого намагничения и стороннее магнит-
магнитное поле направлены перпендикулярно поверхности ферро-
ферромагнетика, имеет вид
A2-3'5)
4. Плотность потока энергии через поверхность фер-
ферромагнетика. С поверхностным импедансом можно связать
среднее по времени значение плотности потока энергии через
поверхность металла:
Замечая, что
AoxXv = (?~Teox.
получим
Dv = -giReeot(E~T«ot = JLRe(*;tXv)E(AotXv). A2.4.1)
ПО
Если тензор поверхностного импеданса диагоналей, то
эти формулы приобретают вид
A2.4.2)
Зависимость потока энергии Uv от частоты со при неиз-
неизменной амплитуде магнитного поля на поверхности ферро-
ферромагнетика определяет форму линии поглощения электромаг-
электромагнитного поля в ферромагнитном металле. Эта форма линии,
как следует из A2.4.1), _
фактически определяется за-
зависимостью компонент тен-
тензора поверхностного импе-
импеданса от частоты.
Как мы видели в пре-
предыдущем разделе, изменение
компонент тензора ? с ча-
частотой имеет резонансный
характер, причем эти ком-
компоненты достигают макси-
максимума при совпадении часто- рИС- з.
ты со с частотой ферромаг-
ферромагнитного резонанса со(п; ширина линии резонанса по порядку
величины равна, очевидно, 1/т. Вдали от резонанса компоненты
тензора ? ведут себя как 'j/co. Схематически ход зависимости
IIV от частоты (при hOx = const) показан на рис. 3.
5. Пространственная дисперсия высокочастотной маг-
магнитной восприимчивости и поверхностный импеданс фер-
ферромагнитных металлов. До сих пор мы не учитывали про-
пространственной дисперсии магнитной восприимчивости фер-
ферромагнетика. При этом ширина линии ферромагнитного
резонанса, как мы видели, определяется только релаксацион-
релаксационной постоянной 1/т и не зависит от электропроводности
металла о. Покажем теперь, что учет пространственной дис-
дисперсии тензора магнитной восприимчивости у (k, со) приводит
к дополнительному уширению линии ферромагнитного резо-
резонанса, обусловленному проводимостью о [14, 15].
С этой целью мы должны определить компоненты тензора
поверхностного импеданса вблизи ферромагнитного резонанса
при наличии пространственной дисперсии. Для определен-
определенности будем предполагать, что ось легкого намагничения,
Ш
параллельная стороннему магнитному полю, лежит в пло-
плоскости, ограничивающей ферромагнетик.
В этом случае, независимо от предположения о характере
пространственной дисперсии, в ферромагнетике может суще-
существовать электромагнитное поле:
еа) = (еA\ О, 0), АA) = @, 0, /?>),
соответствующее волновому вектору
причем
A) ? ,A)
Рассмотрим уравнение A2.2.3) и исследуем его решения
вблизи резонанса, т. е. при (О~со(г>, со(г) = К QoQo- Предпо-
Предполагая, что вблизи резонанса выполняется неравенство а| k |2<^1
(что будет далее оправдано), перепишем уравнение A2.2.3)
в виде
Корни этого уравнения имеют вид
Oft» в ^ +
23 (Q+Q)()
Так как тт<С1 1 и вблизи резонанса | ц (со) | ^Э> 1. то волно-
волновые векторы k2 и k3, как и утверждалось, удовлетворяют
условию- а | Л2, з |2 <С! 1 •
Заметим, что если релаксационная постоянная 1/т доста-
достаточно велика, так что
то выражения для корней k2 и k3 значительно упрощаются:
4яг -s- u (со),
с2
и мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в предыдущем
разделе (так как | k3 \Ц$>\ k21, то поле, соответствующее
волновому вектору k3, практически не проникает в ферро-
ферромагнетик; поэтому это поле не фигурировало в предыдущем
разделе).
Волновым векторам k2 и k3 соответствуют решения урав-
уравнений Максвелла A2.2.5):
h{2) = №, hf, 0), h™ = {hf, hf, О),
где
p) )*'(fe2,ffl) h(V p) = ^(fes.o) g) 252
У Ц (*2. «) У Ц (*3. «) V '
Эти решения, однако, непосредственно не представляют собой
магнитных полей, могущих существовать в ферромагнетике,
так как они не удовлетворяют граничным условиям для плот-
плотности магнитного момента. Последние должны, очевидно,
учитываться, если существенна пространственная дисперсия
тензора магнитной яосприимчивости (в этих условиях уравне-
уравнения движения магнитного момента содержат вторые производ-
производные магнитного момента по пространственным координатам).
Граничные условия, согласно E.5.14), имеют вид
— d^-\ =0. A2.5.3)
Этих условий два, так как тг = 0 (мы пренебрегаем дис-
сипативными слагаемыми, изменяющими величину плотности
магнитного момента).
Граничным условиям A2.5.3) удовлетворяет решение
A2.2.2), соответствующее волновому вектору кх, так как для
него /иA)=0, но не удовлетворяют решения A2.5.2), соот-
соответствующие волновым векторам k2 и k3. Более того, в силу
однородности граничных условий им, строго говоря, нельзя
удовлетворить и суперпозицией этих решений.
Однако вблизи резонанса граничные условия A2.5.3) не
являются независимыми и, как мы покажем, выполнение одного
из них автоматически влечет за собой выполнение другого.
Действительно, так как m = j^(k, со)А, то в силу A2.5.2)
имеем
у = 2, 3. A2.5.4)
i \i' (kj, CO)
'"* ~ 4я ц {kj, со) "* '
8 А И- Ахиезер }}3
Поэтому
77Г —== i-
Но вблизи резонанса, когда со я* со(г) = V QoQo, можно счи-
считать, что (x'(fty, to) = (i'@, (о<Г)) и \i(kj, со) = 0 (напомним,
что а|&;-|2<^1). Таким образом, при со ж о)(г)
т. е. отношение mS^lmS^ не зависит от типа решения.
Следует заметить, что при строгом решении задачи дис-
дисперсионное уравнение A2.2.3) имеет не два, а три корня и
с помощью полей, соответствующих этим решениям, всегда
можно удовлетворить граничным условиям A2.5.3).
Найдем теперь суперпозицию полей А( \ е и йC), е'3),
удовлетворяющую граничным условиям A2.5.3) вблизи резо-
резонанса.
Используя первую из формул A2.5.4) и учитывая, что
[i(kj, со) |^>1, имеем
тх == m?» + mf = -L- (^ (ft2, со) hf 4- »(ft3. со) A(jJ}.
Поэтому граничное условие A2.5.3) имеет вид
A— гМ)(х(А2, ©)А?) + A—/МI1(*з. (о)А|?)|у=0 = 0.
с2*2,
ty =
Замечая, что [i(kj, со) =—1-т—— , получим
A — ikid) k<ihx -4- A — Шзи) k^hx .,_n = О,
откуда в'ытекает соотношение между амплитудами полей
, C) ^2 ' («2^ , B)
Следовательно, согласно A2.5.2),
Л B) . " \ 2' / »B) г,C) , " \ 3' / 2 2 »,B) /if) с е\
У Ц(А2, СО) У " /Ь "Л ь2 1 -•'•-' '
П4
Таким образом, искомая суперпозиция полей h = h® -f- AC).
е = еB) -(- еC), удовлетворяющая граничным условиям для
момента, имеет вид
hf=(hrx. hy. о), в'=@.0.*;).
где
з 1 шг
'ч. со) и.' (kv со) ki 1 — /Л
ft' =/[-1—Ь-5_2 -L_L_3 :L_f ^)C A2.5.6)
l ¦•/fc2, со) n(ft3, со) fc 1 "¦ J '
i-tk3ft
B)
Найдя поля, могущие существовать внутри ферромагне-
ферромагнетика, легко определить компоненты тензора поверхностного
импеданса вблизи резонанса. Воспользуемся для этого уравне-
уравнениями
** = — ?* А
Подставляя в них А = А , е = е , получим
C« = Si. S« = 0. A2.5.7)
Подставляя далее h — h', e~e', найдем
• ^« = 0. A2.5.8)
Последнюю формулу удобно переписать в виде
^. A2.5.9)
где A((й) — некоторая функция от частоты, которая может быть
определена с помощью формул A2.5.1).
Приведем формулы для ц(а) в двух предельных случаях
d\^\ и \kjd\-^>l [16]:
8* 115
при j
«oo A2.5.10)
A + ?)
05 + (>J - со2 - /со
при I kjd | Э> !
-, . 4ngMoQ'o
Ц («0 ==
_ ю2 _ to
i П ГТ
) _J__ (±4_ J,)
A2.5.11)
где
(г)J
(Дсо(г))
Эти формулы показывают, что учет пространственной диспер-
дисперсии магнитной проницаемости и скин-зффекта эквивалентен
увеличению релаксационной постоянной на величину по-
порядка [14]:
§ 13. Параметрическое возбуждение спиновых волн
1. Уравнения параметрического ферромагнитного резо-
резонанса. При изучении однородного ферромагнитного резонанса
мы исходили из линеаризованного уравнения движения плот-
плотности м'агнитного момента и пришли поэтому к заключению,
что переменное однородное магнитное поле возбуждает только
однородные колебания плотности магнитного момента. В дей-
действительности в силу нелинейности уравнения движения плот-
плотности магнитного момента однородные колебания связаны
с неоднородными колебаниями, и поэтому однородное пере-
переменное магнитное поле может возбуждать как однородные,
так и неоднородные колебания плотности магнитного момента.
Это возбуждение носит характер параметрического резонанса
116
и может быть названо параметрическим возбуждением спино-
спиновых волн [17, 18].
При рассмотрении параметрического возбуждения спиновых
волн для определенности будем считать, что ферромагнетик
имеет форму эллипсоида вращения, вдоль оси вращения кото-
которого направлены векторы Щ и Мо (мы выберем ее за ось z
координатной системы).
Чтобы установить связь между однородными и неодно-
неоднородными колебаниями плотности магнитного момента, будем
исходить из уравнений движения для циркулярных компонент
т± = тх ± imy отклонения плотности магнитного момента от
равновесного значения т = М — Мо,
m± = ±ig(MzH±—Hzm±), A3.1.1)
где
Н±=Нх±Шу. Mz =
Так как М — Мо, то
г- •••
Для простоты мы не будем учитывать энергии магнитной
анизотропии, т. е. будем считать, что эффективное магнитное
поле имеет вид
H — aAm +
где h — переменная составляющая магнитного поля в ферро-
ферромагнетике и #о' = Ное> — 4лМ3М0 (Л/3 — размагничивающий
коэффициент вдоль оси z). Таким образом,
, Нг —
Перейдем к пространственным компонентам Фурье откло-
отклонения плотности момента от равновесного значения
ftt If f\ — ^ tti (b\ pi for tti (b\ ¦— . I tff (f А д~/Аг //*•
k J
и установим уравнения для компонент Фурье т (k) (мы не
отмечаем в числе аргументов m(k) времени). При этом сле-
следует иметь в виду, что спиновые волны соответствуют маг-
нитостатическому приближению, т. е. поле к (г, t) удов-
удовлетворяет уравнениям магнитостатики. Отсюда следует, что
117
компоненты Фурье поля A (ft) связаны с /«(ft) соотношениями
toft (km (k)) ь,п
I h{e\t) — 4яЛ/я» @), ft = 0,
где Л(е)(О — стороннее переменное поле, которое мы будем
предполагать ориентированным перпендикулярно Мо и изме-
изменяющимся по закону
Запишем прежде всего уравнения движения для компонент
т+ (ft) при ft = 0. Так как однородные колебания возбу-
возбуждаются сторонним полем и связь между однородными и
неоднородными колебаниями в общем невелика, то естественно
исходить для т± @) из линеаризованного уравнения движения,
которое как легко убедиться, имеет вид
т± @) = ± igMbh^ + Ш{г)т± @), A3.1.3)
где (o(r) =gM0 I-tj—[-4лЛГ11 — частота однородного ферро-
магнитного резонанса в рассматриваемом случае (Ыг — раз-
размагничивающий множитель, соответствующий осям х и у).
Запишем уравнения движения для т+ (ft) при k Ф 0.
Так как неоднородные колебания возбуждаются не непосред-
непосредственно, а благодаря связи с однородными колебаниями, то
в уравнениях движения для т± (ft) мы должны удержать
не только линейные по т± (ft) члены, но и билинейные члены
типов т± @) т± (ft). Легко убедиться, что уравнения движе-
движения с учетом таких членов имеют вид
т+ (ft) = — lAkm+ (ft) — iBkm- (ft)-f- F+ (ft),
где
Ak = Q -+- 2ngM0 -i_z., Bk = 2ngMu -±-,
F±(k)=± 2nig if- \{m+ @) m_ (ft) + m_ @) m+ (ft)) k±
-\-m±
118
Так как величины т± @) определяются уравнением,
в которое не входят величины т± (k) с k Ф 0, то уравне-
уравнения A3.1.4) для tn±{k) представляют собой систему линейных
дифференциальных уравнений первого порядка с переменными
коэффициентами (пропорциональными га±@)).
2. Инкремент нарастания амплитуд неоднородных ко-
колебаний магнитного момента. Для дальнейшего исследова-
исследования системы уравнений A3.1.4) удобно перейти от перемен-
переменных т (k), m_ (k) к нормальным координатам ck, c*_k:
где
(ft)
Тогда уравнение для сА будет иметь вид
^-^(iJf.+^W-^Ji), A3.2.1)
где
X {ukm+ (O)+v"km_ @)) c\u + [(k+vM + k_ut) X
X («»«+ @) + г<>_ @)) — \{k_m+ @) - k+m_ @))] ck J.
Найдем входящие сюда величины яг± @). Чтобы не по-
получить бесконечных значений mt@) при резонансе, мы
должны, очевидно, ввести в уравнения движения A3.1.3)
для пг± @) затухание спиновых волн, т. е. заменить их урав-
уравнениями
т± @)== + *(co(r) + iy{n) т± @) ± LgMoh(i\ A3.2.2)
где v(n — коэффициент затухания при резонансе. Решение
этого уравнения имеет вид
и+„— tot .*+„imt
еш
A3.2.3)
( h' elw h~p"lw 1
*-@)=-к-'
119
Остается подставить эти выражения в A3.2.1) и решить по-:
лученные линейные уравнения с переменными коэффициен-
коэффициентами. Удобно положить с этой целью
Мы получим тогда для хк уравнение вида
где Чк< «*, Cft, C*—некоторые константы, зависящие от k и
пропорциональные амплитуде стороннего магнитного поля h(e).
Мы рассмотрим далее наиболее интересный случай, когда
со ?к 2соЛ (k). В этом случае в последнем уравнении можно
сохранить только одно слагаемое, пропорциональное ак:
где, как легко видеть из A3.2.1), A3.2.3),
ак = 2nig ^r{k+uk + k_v\) gM0 X
Ясно, что величина х_* удовлетворяет уравнению
•• „* ' (ш-2ш (ft)) t
используя которое получим окончательно следующее уравне-
уравнение для определения х*:
=0. A3.2.5)
Решение этого уравнения имеет вид
V((V' A3.2.6)
где
К = - / (f - «, (А)) ± |/| a, p - (-! - со, (А)J
К = - / (f
и х^\ х1?* — произвольные постоянные.
Мы видим, что если выполняется неравенство
120
то величина Х+ будет иметь положительную вещественную
часть:
A3.2.7)
т. е. амплитуда колебаний будет экспоненциально нарастать
со временем с инкрементом щ («>).
Этот вывод основан на предположении, что спиновые
волны не затухают, Если учитывать их затухание, то нара-
нарастание колебаний будет иметь место только в том случае,
если инкремент нарастания т]а((о) превосходит декремент за-
затухания спиновых волн ys(k)
или
/ гл \9.
k). A3.2.8)
Естественно, что экспоненциальный рост амплитуд спи-
спиновых волн не будет продолжаться бесконечно долго, так
как при достаточно больших амплитудах начнут играть роль
не учтенные нами в уравнениях A3.1.4) нелинейные эффекты,
которые в конечном счете приведут к некоторому стацио-
стационарному режиму, который будет характеризоваться опреде-
определенными амплитудами как однородных, так и неоднородных
колебаний плотности магнитного момента. Мы не будем здесь
решать этой нелинейной задачи, решение которой дано в ра-
работе [17], а ограничимся лишь рассмотрением начальной ста-
стадии, когда происходит экспоненциальное нарастание ампли-
амплитуды колебаний Л* по закону
Из выражения A3.2.4) следует, что инкремент нараста-
нарастания амплитуды спиновой волны г]А((о) будет особенно велик,
если частота стороннего поля со близка к частоте ферромаг-
ферромагнитного резонанса со(г). В этом случае
где
if-1 uk
121
и условие A3.2.6) приобретает вид
| Ло+ | > he.
где
A3.2.9)
Мы видим, что возбуждение однородным полем неодно-
неоднородных колебаний будет происходить в том случае, если
амплитуда стороннего переменного магнитного поля прево-
превосходит некоторое минимальное критическое значение hc.
В условиях резонанса, когда
ш = со'г> = 2соЛ (&),
критическое поле определяется формулой
hc_ Vs(ft)v(r) м
По порядку величины
Считая-3^~-^1-~ КГ1, получим hc~ 10~2М0^ 10 гс.
Подставляя в условия резонанса со(г) =
, (ft) =
2 + -Д- + р + 4л sin2 dftj ^а*2 + -^ + p
получим следующее выражение для величины волнового век-
вектора параметрически возбуждаемой спиновой волны:
= у
Bл sin* в*)* +1
Отсюда следует, что для параметрического возбуждения спи-
спиновых волн должно выполняться условие
0. A3.2.10)
122
(Напомним, что условием однородного намагничения эллип-
эллипсоида является неравенство Н\,1)-\-$М0 = Н$— AnNzM0 -f-
+ рМ0>0.) Мы видим, что наличие большой константы
магнитной анизотропии препятствует возможности параметри-
параметрического возбуждения неоднородных колебаний плотности
магнитного момента.
Заметим, что если Н^] -\-$М0 близко к 4яЛ^М0> то воз-
возбуждаемые спиновые волны распространяются в узком конусе,
ось которого направлена вдоль вектора Мо, причем угол
раствора этого конуса равен
— #!/>— |Ш0
Мы рассмотрели параметрическое возбуждение спиновых
волн с частотой co,,(?) = -yj-co(r). Но возможно также пара-
параметрическое возбуждение однородным магнитным полем неод-
неоднородных колебаний магнитного момента с частотами соД?) =
= —(й*г\ где п и т — произвольные целые числа.
В частности, возможно параметрическое возбуждение спи-
спиновых волн с частотой (В5(?) = (В(Г\ Для того чтобы найти
инкремент нарастания амплитуды таких волн, необходимо
в уравнении движения магнитного момента при k ф 0 сохра-
сохранить члены типов т± (k) m2± @).
Мы не будем приводить здесь подробные вычисления,
а приведем лишь окончательное выражение для инкремента
нарастания амплитуды колебаний, предполагая, что частоты
(us(k), а(г) и со близки друг к другу:
где
Р' (к) - -J- (gMQf u\ (ak2 + 4я ^ -
Амплитуда спиновых волн будет нарастать со временем, если
у\'к (со) превосходит декремент затухания спиновых волн ys (k):
123
Это условие можно записать в виде
где
A3.2.12)
В условиях резонанса, когда
ш = и(г> = со5 (к),
критическое значение поля определяется формулой
h =—,
W (*)
по порядку величины
gM0 j gM0
Мы видим, что hc^> hc-
Из условия резонанса со(Г)—cos(?) легко получить выра-
выражение для величины волнового вектора параметрически воз-
возбуждаемой спиновой волны:
Отсюда следует, что независимо от величины H{oi] -)- р
возможно возбуждение спиновых волн в интервале углов
Если же мы хотим, чтобы спиновые волны возбуждались
в интервале углов sin2lfrft > 2Nlf то должно выполняться
условие
— 2NX ¦
Мы рассмотрели параметрическое возбуждение неодно-
неоднородных колебаний плотности магнитного момента в том слу-
случае, когда h(e) перпендикулярно Мо. Но параметрическое воз-
возбуждение колебаний плотности магнитного момента возможно
и при Щ параллельно Мо. Мы, однако, не будем здесь рас-
рассматривать этот случай (см. [19]).
124
Параметрическое возбуждение спиновых волн возможно
не только с помощью переменного магнитного поля, но и
с помощью звука. Такое возбуждение было исследовано
в [20].
§ 14. Когерентное усиление спиновых волн потоком
заряженных частиц
1. Условия резонанса. Если через ферромагнетик дви-
движется заряженная частица с достаточно большой скоростью,
то она будет возбуждать в нем как собственно электромаг-
электромагнитные, так и спиновые волны. Для этого необходимо лишь,
чтобы фазовая скорость волны совпадала с проекцией ско-
скорости частицы v на направление волнового вектора. Иными
словами, должно выполняться условие резонанса
•ok — со (?),
где со (k) — частота волны с волновым вектором k.
Это явление (черенковское излучение) может быть исполь-
использовано для усиления спиновых волн пучком заряженных
частиц, например электронов, проходящих через ферромаг-
ферромагнетик [21]. При этом пучок частиц будет наиболее интен-
интенсивно возбуждать те спиновые волны, для которых выпол-
выполняется условие
(D, (*) = **„. A4.1.1)
где v0 — скорость пучка.
Коэффициент усиления, точнее говоря, инкремент нара-
нарастания амплитуды спиновых волн, существенно зависит от
степени моноэнергетичности частиц в пучке. Если разброс
частиц по скоростям не мал, то инкремент нарастания будет
пропорционален плотности частиц п0, в случае же большой
моноэнергетичности пучка инкремент может быть пропорцио-
пропорционален п'^ (предполагается, что плотность частиц достаточно
мала).
Возбуждение спиновых волн пучком заряженных частиц,
проходящих через ферромагнетик, аналогично возбуждению
плазменных колебаний пучком заряженных частиц, проходя-
проходящих через плазму, причем в обоих случаях зависимость ин-
инкремента нарастания амплитуды колебаний от плотности
частиц в пучке одинакова.
Наряду с возбуждением спиновых волн при выполнении
условия as (k) — kv0, которое можно назвать черенковским
125
возбуждением, возможно еще, так же как и в плазме, нахо-
находящейся в постоянном магнитном поле, возбуждение спино-
спиновых волн при выполнении условий [22]
, A4.1.2)
где qb = J-^-!—5 циклотронная частота электрона (Во—ма-
(Во—магнитная индукция в ферромагнетике) и /=± 1, + 2, ...
Это возбуждение при / = —1, —2, ... называется цикло-
циклотронным.
2. Инкремент нарастания амплитуд спиновых волн.
Мы рассмотрим здесь простейшую задачу о прохождении
скомпенсированного плазменного пучка через ферромагнетик,
причем сначала будем пренебрегать тепловым движением ча-
частиц в пучке. В этом случае пучок можно характеризовать
«гидродинамическими» величинами — плотностью и скоро-
скоростью каждой из его компонент, в простейшем случае —
двух: легкой и тяжелой. До процесса взаимодействия пучка
с ферромагнетиком, т. е. в невозмущенном пучке, плотность
и скорость имеют одинаковые значения для обеих компонент
пучка. Мы будем обозначать их через п0 и v0 и предпола-
предполагать не зависящими ни от времени, ни от координат. Чтобы
это невозмущенное состояние не могло измениться под влия-
влиянием постоянного магнитного поля в ферромагнетике, мы
будем предполагать, что движение пучка происходит вдоль
вектора постоянной составляющей магнитной индукции Во
в ферромагнетике, т. е. ч>0 параллельна Во.
Под влиянием переменных полей, возникающих в резуль-
результате совместного действия частиц пучка и атомов феррома-
ферромагнетика, плотность и скорость пучка будут изменяться во
времени и в пространстве. Мы будем предполагать, что изме-
изменению подвергается только плотность и скорость легкой
компоненты пучка, плотность же и скорость тяжелой ком-
компоненты будем считать неизменными.
Так. как мы пренебрегаем тепловым движением частиц
пучка, то для определения изменения плотности и скорости
легкой компоненты пучка, которые мы будем обозначать
через n(r, t) и v(r, t), можно воспользоваться уравнениями
гидродинамики, не содержащими давления:
дп A4-2Л)
—rr -\- div nv = 0,
от '
126
где е и Ь — переменное электрическое поле и переменная
составляющая магнитной индукции, создаваемые частицами
легкой компоненты пучка и атомами ферромагнетика (е и
т ¦— заряд и масса частиц легкой компоненты). Эти величины
вместе со связанными с ними переменным магнитным полем h
и переменной электрической индукцией d подчиняются урав-
уравнениям Максвелла:
1 db
rot h = ~ е (nv — novd) + у ^-,
divd=4ne(n — n0), A4.2.2)
в которые входят переменные составляющие плотности заряда
и плотности тока, связанные с легкой компонентой пучка.
Векторы & и А связаны между собой соотношением
b = h -\- 4я/и,
где /и = М^-Л10 — отклонение плотности магнитного мо-
момента М от равновесного значения, причем М подчиняется
уравнению движения E.2.1), наконец,
d== ее,
где е — диэлектрическая постоянная ферромагнетика.
Наша задача заключается в совместном решении уравне-
уравнений гидродинамики A4.2.1) и уравнений Максвелла A4.2.2).
Эта задача однако слишком сложна, так как и уравнения
гидродинамики и уравнения Максвелла содержат нелинейные
члены. Мы ограничимся поэтому здесь исследованием только
начальной стадии взаимодействия пучка с ферромагнетиком,
когда плотность и скорость пучка еще мало отличаются от
своих невозмущенных значений. Соответственно этому мы
положим
n(r, /) = no + «1(r, f).
v(r, t) = vo + v-l(r. t),
где щ (г, f) и о, (г, t) — отклонения плотности и скорости
пучка от невозмущенных значений, и будем считать, что
llC^ |"l^"o- Уравнения A4.2.1) заменятся при этом
127
L.
линеаризованными уравнениями гидродинамики
A4.2.3)
а уравнения A4.2.2) — линеаризованными уравнениями Макс-
Максвелла:
1 дЬ
4я . . . . 1 дй
—е(я1г>о + яог>1) + --^-. A4.2.4)
divd ~4яеп1,
div& —0.
Для исследования полученных линеаризованных уравнений
перейдем к компонентам Фурье, считая, что все переменные
величины пропорциональны e~l(at-kr\ Мы получим тогда
следующую систему однородных линейных алгебраических
уравнений для компонент Фурье:
kXh = —е (щпх + nQvx) — ~e.
Vl
(са — *г
A4.2.5)
^iv, X До).
где (X (/fe, q) — тензор магнитной проницаемости (при изучении
взаимодействия пучка со спиновыми волнами диэлектрическую
проницаемость е можно считать не зависящей ни от а, ни от k,
так как дисперсия диэлектрической проницаемости проявляется
при частотах а ^> gM0).
Приравняв нулю детерминант этой системы уравнений,
мы получим дисперсионное уравнение для определения частот
как функций волнового вектора. Корни этого уравнения
будут, как мы увидим далее, комплексными, причем неко-
некоторые из них будут иметь положительную мнимую часть,
Im(B>0. Соответствующие им решения линеаризованных
уравнений гидродинамики и Максвелла будут представлять
собой волны с экспоненциально нарастающей со временем
128
амплитудой Ak:
где Tift==lmco (эта величина называется инкрементом нараста-
нарастания амплитуды колебаний). Наличие таких решений и озна-
означает усиление волн в ферромагнетике пучком частиц—как
спиновых, так и собственно электромагнитных. Кроме того,
оно означает неустойчивость исходного, невозмущенного со-
состояния пучка, ибо произвольные бесконечно малые флуктуа-
флуктуации плотности и скорости пучка будут нарастать экспонен-
экспоненциально со временем.
Ясно, что в действительности этот экспоненциальный рост
в конце концов прекратится, так как при увеличении п1 и t>i
начнут действовать не учитываемые нами нелинейные эффекты,
которые приведут к возникновению некоторого стационар-
стационарного состояния, характеризуемого определенными постоян-
постоянными амплитудами. Мы не будем здесь решать этой нелиней-
нелинейной задачи, а ограничимся, как уже упоминалось выше, только
рассмотрением начального этапа взаимодействия пучка с фер-
ферромагнетиком, который можно исследовать, пользуясь линей-
линейным приближением.
Для определенности будем предполагать, что ферромаг-
ферромагнетик обладает магнитной анизотропией типа «легкая ось».
В этом случае тензор высокочастотной магнитной восприим-
восприимчивости определяется формулами F.1.2), F.1.3), используя
которые и исключая из системы A4.2.5) величины е, h, nx, v^
получим следующее дисперсионное уравнение:
D(k, со)+ " wO(k, со) = О, A4.2.6)
г (о У [(со У — ы-в\
где
D (Л,а>) = со" (я2 - ц) [я2 - ii A - п\)] + coV2 (n\ - 1),
О(Л.Ш) = И2(co'2_co2B) {(fx'2-fx2) A
{B - fx2) A - я2±) п\
X'2 - (X2) B -п]) + ц (? + я2)
==4^v> Ш'= ш _ ftp,,. л = -^, я. =/«2 — «2.
9 А. И. Ахиезер 129
(Мы пренебрегли здесь членами, квадратичными относительно
плотности пучка п0.)
В отсутствие пучка это уравнение переходит в известное
уже нам дисперсионное уравнение
D(k, со) = 0,
определяющее частоты трех ветвей электромагнитных колеба-
колебаний в ферромагнетике. Благодаря воздействию поля пучка
происходит модификация этих ветвей, определяемая вторым
слагаемым в A4.2.6).
Если плотность пучка достаточно мала (мы будем рас-
рассматривать далее только этот случай), то его влияние на
спектры колебаний будет особенно существенным в тех слу-
случаях, когда мала одна из величин (со'J, О»'J — со^, иными
словами, если выполняется одно из условий (эти условия
должны выполняться с точностью до членов порядка Qp)
at(k)^kvu, G\t{k)mkvQ±<i>B, A4.2.7)
где индекс i служит для обозначения ветви колебаний. Пер-
Первое из этих условий можно интерпретировать в случае малых
плотностей пучка как условие резонанса между колеба-
колебаниями /-й ветви и ленгмюровскими колебаниями пучка (в си-
системе координат, связанной с пучком, частота этих колебаний
равна со' = йр/\/"е), а второе условие — как условие резонанса
между колебаниями /-й ветви и циклотронными колебаниями
пучка.
Интересуясь влиянием пучка только на спектр спиновых
волн, мы будем далее понимать под сог(?) частоту спиновой
волны (us(k).
Рассмотрим сначала взаимодействие спиновых волн с ленг-
ленгмюровскими колебаниями пучка. Полагая в A4.2.6)
и считая, что \l(k)\<^.a>s(k), получим следующее уравнение
для определения |(?)
ь v»; —-
>в -f- D (fc,w)
Один из корней этого уравнения вещественен, а два дру-
других— имеют мнимые части. Корню с Im?(ft)>0, соответ-
соответствует, очевидно, нарастание амплитуды спиновой волны со
130
временем по закону
где T]s(k) = Iml(k). Эта величина есть инкремент нара-
нарастания амплитуды спиновой волны, она равна
. A4.2.8)
Так как Qp — Уп0, то инкремент нарастания амплитуды
спиновых волн, удовлетворяющих условию резонанса соЛ(?) =
— IvVq, будет, как уже упоминалось, пропорционален п'^\ Этот
результат существенно связан с двумя предположениями:
малостью плотности пучка и моноэнергетичностью его частиц.
Замечая, что
G(?,cos)
д
__с2/г2 /<o^(ft)\2 ~ - . ..(.„. . Н$
\Q(ft)
-35TD^ffl)
. («)
Q(ft)
представим окончательно инкремент нарастания амплитуды
спиновых волн в виде
а sin2 ®ь /Й„
w" (IF
Эта формула показывает, что относительный инкремент нара-
нарастания особенно велик при малых k.
Для того чтобы реально могло происходить усиление
спиновых волн пучком частиц, необходимо, очевидно, выпол-
выполнение неравенства
где \s(k) — декремент затухания спиновой волны.
Величина l,(k) наряду с мнимой имеет вещественную часть
Re \ (k) = —^=- %(k), которая определяет смещение частоты
спиновой волны, обусловленное взаимодействием с пучком.
Так как i]s(k) <^as(k), то это смещение несущественно и
его можно не учитывать.
Из условия резонанса &s(k) = kv0 легко найти мини-
минимальную скорость, которой должен обладать пучок, чтобы
9* . 131
возбуждать спиновые волны:
П МЛ
A4.2.10)
Заметим, что при заданных v0 и ФА условие резонанса
может, вообще говоря, выполняться для нескольких значений
волнового вектора (число этих значений определяется харак-
характером функции ft>s(ft) при больших k, k ].
Если выполняется неравенство v0 cosiE)'ft^>'ymIri, то будут
возбуждаться спиновые волны с частотами, близкими к cos@) =
/7
^ j^ ] и волновыми
векторами k = —? * . Относительный инкремент нараста-
нарастания амплитуд этих волн равен
ть@) Т^З / ngM0 V/, /v0 Q. V/,
=(] () /@) A4'2Л1)
где
„ \2 I1,
Эта величина может достигать значения —?гг-~10 , если
@s (О)
^~10-\ яо~1О10 см~\
Так как относительный декремент затухания спиновых
волн в достаточно чистых иттриевых ферритах [24] соста-
составляет 10~2— 10~3, то они, по-видимому, могут быть исполь-
использованы для наблюдения эффекта когерентного усиления спи-
спиновых волн пучком заряженных частиц. При этом пучок
должен быть достаточно моноэнергетичным, а именно, относи-
относительный разброс скоростей должен быть меньше тM@)/(о5@).
Если, кроме неравенства vQcosbk^>vmln, выполняется
еще неравенство v0 cos§k <CC gMn — , то, кроме «длинно-
«длинноволновой» спиновой волны с частотой <»5@) и волновым век-
L «о @) ^
тором k = — ' ' , могут возбуждаться «коротковолновые»
спиновые волны с волновым вектором & = —^ т~^~- Относи-
132
тельный инкремент нарастания таких спиновых волн опреде-
определяется формулой
j_ /, % ( po (gQy I sin 0t
2 ^ UJ U
A4.2.12)
Эта величина значительно меньше относительно инкре-
0
мента ' нарастания амплитуд спиновых волн с ВОДНО-
ВОДНОМУ (О)
и °>s @)
выми векторами д~ ^~—.
Рассмотрим взаимодействие пучка частиц со спиновыми
волнами, для которых выполняется условие резонанса *)
°Ъ (й) — k<Do — ав-
Полагая
(О = ©,(*) + &(*). ||(*)|<С ©,(*)•
получим, согласно A4.2.6),
1 fipfflj(ft) G (*. и)
откуда легко найти относительный инкремент нарастания
амплитуды спиновых волн:
X
/
V
cos *» + -?&?-sin» О
A4.2.13)
Q (k) 1""°"« i m o/-bi "'" Jk
Минимальная скорость частиц пучка в этом случае равна
A4.2.14)
Если f0 cos ^ ^> vmln, то будут возбуждаться спиновые
волны с частотой co==cos@) и волновым вектором k —
Относительный инкремент этих волн по
v0cos
*) Спиновые волны, для которых выполняется условие резо-
резонанса <о (к) = ftt»Q -(- /<в где / =?t — 1, при движении пучка вдоль
направления магнитной индукции Во не усиливаются.
133
порядку величины равен
1В ~ р ° A4 2 151
%@) gM0 с • A4.J.10J
3. Немоноэнергетический пучок. В предыдущем раз-
разделе мы считали пучок частиц строго моноэнергетичным и
описывали его поэтому гидродинамически. В действитель-
действительности, благодаря тепловому движению частиц в пучке, всегда
имеется разброс частиц по скоростям. Это разброс характери-
характеризуется величиной vT/v0, где vT = ]/27' в\ятп—тепловая ско-
скорость частиц в пучке (Тв—температура пучка) и v0— сред-
средняя скорость направленного движения частиц в пучке. Разброс
по скоростям можно считать малым и не учитывать его, если
относительный инкремент нарастания амлитуды спиновых волн
значительно больше vT/v0:
v0
При выполнении этого неравенства справедливы результаты
предыдущего раздела. Если же выполняется неравенство
то результаты предыдущего раздела становятся непримени-
неприменимыми, так как в этом случае нельзя пользоваться гидродина-
гидродинамическим описанием пучка и нужно пользоваться кинетическим
описанием [23].
Мы не будем здесь подробно исследовать этот случай и
отметим лишь, что инкремент нарастания амплитуды спино-
v ц (А)
вой волны при —— > ... будет пропорционален не n'J*
или я'/г, как это имело место для моноэнергетического пучка,
а невозмущенной плотности пучка п0 в первой степени. Так
как плотность пучка считается малой, то это означает, что
немоноэнергетичность пучка приводит к уменьшению инкре-
инкремента нарастания.
Если ——^> r\s(k)la>s(k), то декремент затухания спино-
спиновой волны с волновым вектором k определяется формулой
A4.3.1)
134
где
)
V пр I 2ngM0 a?s (ft) -f Q2 (ft) cos2
«rl
и \°s(k)—декремент затухания спиновой волны с волновым
вектором k в отсутствие пучка. Мы видим, что декремент
затухания обращается в нуль при kv0 = kvmla и становится
отрицательным, если kv0 > kvmln; при этом спиновые волны
перестают затухать и становятся нарастающими.
Уменьшение декремента затухания при приближении v0
к "min (vo < ^min) приводит к увеличению интенсивности слу-
случайных спиновых волн в ферромагнетике.
Можно показать [23], что отношение квадрата амплитуды
случайных спиновых волн при наличии пучка к этой же вели-
величине в отсутствие пучка равняется по порядку величины
A20(k)
A4.3.2)
где Т — температура ферромагнетика.
Заметим, что сильное увеличение интенсивности случай-
случайных спиновых волн при приближении скорости пучка v0
к vmln должно приводить к значительному увеличению сече-
сечения рассеяния медленных нейтронов, а также электромагнит-
электромагнитных волн в ферромагнетике. Это явление аналогично извест-
известному явлению критической опалесценции вблизи точек фазо-
фазового перехода второго рода.
ГЛАВА IV
СВЯЗАННЫЕ МАГНИТОУПРУГИЕ ВОЛНЫ
§ 15. Уравнения теории упругости и уравнение движения
магнитного момента в ферромагнетиках
1. Эффективное магнитное поле и тензор натяжений
в упруго деформированном ферромагнетике. До сих пор
мы не учитывали связи между спинами и движением ионов
кристаллической решетки. В действительности же такая связь
существует, благодаря чему колебания спинов сопровождаются
колебаниями ионов, а колебанияионов — колебаниями спинов.
Иными словами, спиновые волны в ферромагнетиках и в анти-
антиферромагнетиках должны сопровождаться упругими волнами
и упругие волны—спиновыми волнами. Выражаясь более
точно, можно сказать, что в магнитоупорядоченных кристал-
кристаллах должны распространяться не чисто магнитные и не чисто
упругие, а связанные магнитоупругие волны [1, 2].
Связь между спиновыми и упругими волнами, однако,
невелика и практически проявляется только при выполнении
определенных условий — условий резонанса (они будут далее
подробно исследованы). Если же эти условия не выполняются,
то с большой степенью точности можно говорить о раздель-
раздельном существовании спиновых и упругих волн, которые тем
не менее взаимодействуют между собой.
Перейдем к исследованию связанных магнитоупругих волн.
Для этого нам необходимо иметь уравнения, определяющие
изменение со временем не только плотности магнитного
момента ферромагнетика, но и вектора смещения каждого
его элемента.
При феноменологическом описании ферромагнетика, кото-
которым мы будем пользоваться, естественно предполагать, что
эти уравнения имеют «гидродинамический» характер. Иными
136
словами, характеризуя состояние ферромагнетика магнитным
моментом единицы массы \i(r, t) и вектором упругого
смещения элемента ферромагнетика u(r, t), которые рас-
рассматриваются как функции эйлеровых координат г и вре-
времени /, мы предполагаем, что уравнения движения для ц и и
имеют следующий вид:
dv . до\ t A5.1.1)
Здесь v(r, t) — скорость элемента ферромагнетика,
du ди ди
'0=Ж==-дТ-^Ч-дГ1'
Н — эффективное магнитное поле, /—упругая сила, отне-
отнесенная к единице массы ферромагнетика, R — релаксационный
член и р—. плотность ферромагнетика. Величины //, /, R мы
ф ди dv.
будем считать зависящими только от \х{, -т-—, -г-1- и -,—-.
OX fe OXfe OXfc
Иными словами, мы считаем, что состояние ферромагнетика
однозначно определяется заданием в начальный момент вре-
времени распределения магнитного момента ц и векторов сме-
смещения а и скорости v.
Из закона сохранения импульса следует, как известно,
что сила / может быть представлена в виде
где tik — некоторый тензор, который мы будем называть
тензором натяжений.
Чтобы иметь полную систему уравнений, к уравнениям
A5.1.1) необходимо добавить еще уравнение непрерывности
-|L + divp'o = 0 A5.1.3)
и уравнения магнитостатики
rottf = — /,
A5.1.4)
137
где В — магнитная индукция, связанная с магнитным момен-
моментом ц, соотношением
в = Я ¦+ 4лМ == Я 4- 4ярц,
a J — плотность тока:
j = a[E + ~(vXB)}. A5.1.5)
(Мы считаем, что источники стороннего магнитного поля
отсутствуют, так что Яо' — 0, и вместо Я пользуемся обо-
обозначением Я.)
Перейдем к определению величин Я, /, R [1]. Введем
для этого плотность энергии ферромагнетика w. Она склады-
складывается из плотности магнитной энергии -^—Я2, плотности
кинетической энергии движущихся элементов ферромагнетика
pv2 и плотности потенциальной энергии ферромагнетика.
Последняя является некоторой функцией \it, , и -~-.
OX]; OXfc
Отнесенную к единице массы потенциальную энергию ферро-
ферромагнетика мы будем обозначать через F = Fi[it, -~-, -т—'-\.
Таким образом,
Дифференцируя плотность энергии w по времени и исполь-
используя уравнения A5.1.1), A5.1.3), A5.1.4), получим
dw ( „ dF . 1 д I dF \ ) d\x.,
op
дх
ди,
д д\Ч dt
дх^,
+ p4rV,l A5.1.7)
138
Предположим сначала, что не происходит диссипации
энергии, т. е. R = 0, J~0. В этом случае упругая сила,
которую мы будем обозначать через / \ не должна зависеть
от dvtldxk, и изменение плотности энергии со временем
должно сводиться к пространственной дивергенции от плот-
плотности потока энергии П@):
Поэтому мы должны считать выражение в фигурных скоб-
скобках, стоящее перед vv равным нулю. Это приводит к сле-
следующему выражению для силы /@' в отсутствие диссипации
энергии:
д ! dF , dF d\i; \ .,_ , _,
Wr'u-Pj^^Y A5-1.8)
дхк dxk I
dn a
— р -— . равным п, что приводит к следующему выражению
Кроме того, мы должны считать выражение, стоящее перед
dn a
— р -— . равным п, что приводит к
для эффективного магнитного поля:
Отсюда, в соответствии с A5.1.7), следует, что плотность
потока энергии И равна
дхк
)p^rbil\. A5.1.10)
Замечая, что в приближении магнитостатики (при а = 0)
можно представить /j0) в виде
139
где
/0) Ли) j_ Лт)
dxk дхк A5.1.11)
Формулы A5.1.9). A5.1.10), A5.1.11) справедливы в отсут-
отсутствие диссипации энергии (/ = 0, R — 0).
При наличии диссипации энергии тензор натяжений будет
отличаться от t\J; мы запишем его в виде
Ilk == 4ft ~г~ 4fe > (lO.l.lz)
где tfi! определяется формулой A5.1.11), a tik представляет
собой некоторый тензор, связанный с диссипацией энергии.
Чтобы определить диссипацию энергии, воспользуемся фор-
формулой A5.1.7)
/
A5.1.13)
где /@), Я и П@) определяются формулами A5.1.8), A5.1.9),
A5.1.10). Замечая, что в силу уравнений A5.1.4) и формул
A5.1.8), A5.1.11) при 0=^0 имеет место равенство
f(°) l ' c;vb^ - д t@)
и учитывая A5.1.13), получим
dw . дИ;
= — q, A5.1.14)
dt * dxi
где
П,- = lif' + vkt'ki A5.1.15)
и
п J2 I DHl/ dvl
Я —~г-т- Кп -4- tik -г— .
Вектор П представляет собой плотность потока энергии
при наличии диссипации, a q — количество тепла, выделяю-
выделяющееся в единицу времени в единице объема ферромагнетика.
140
(Здесь не учитывается процесс теплопроводности, который мы
рассмотрим позже.) Ясно, что величины t'ik и Ri должны быть
такими, чтобы выделяющееся тепло q было положительным
2. Плотность потенциальной энергии ферромагнетика.
До сих пор мы считали, что плотность потенциальной энер-
энергии ферромагнетика является произвольной функцией \it,
d\iijdxk, dtii/dx,,. В действительности, однако, эти величины
могут входить не произвольным образом, а только в виде
определенных комбинаций, обеспечивающих инвариантность
функции F относительно произвольных вращений ферромаг-
ферромагнетика, при которых происходит поворот как решетки, так
и магнитного момента [3].
Чтобы определить эти комбинации или, как мы будем их
называть, инварианты, удобно ввести наряду с эйлеровыми
координатами лагранжевы координаты \, связанные с эйле-
эйлеровыми координатами соотношением
г = ? + «(§. /). A5.2.1)
где вектор смещения и рассматривается как функция \ и. t.
При повороте тела преобразовываются проекции магнит-
магнитного момента ферромагнетика \ik и эйлеровы координаты xk,
соответствующие положениям точек тела в деформированном
состоянии, лагранжевы же координаты \k, служащие для
того, чтобы «нумеровать» отдельные элементы ферромагне-
ферромагнетика, остаются неизменными.
Нам нужно составить инвариантные комбинации перемен-
ных \it, -, и , , или, что то же самое, переменных \it,
dui ди: п
~~, -?г-. В последних векторным индексом является только
oik dlk
индекс i (индекс k, связанный с лагранжевыми координатами
можно не учитывать, так как эти координаты не подвер-
подвергаются вращению). Поэтому задача состоит в том, чтобы
построить все независимые инварианты с помощью трех
векторов \xr Vi = ijt' Х'="д?-
Можно показать, что число таких инвариантов равно 18
и что в качестве них могут быть взяты инварианты
. дхк dxk K dxk dxk d\ik nc99.
141
Другие инварианты, например:
Г- 1 Р р dxt дх, дх± _ dxt d^j_
_ 1 Ф/ фу ф^ _ 1 дх^ dxj d]>.k
^ 1 дх^ ф;- Ф* ™ _ 1 ^Q ?^V
Qm = у e«^e/mr -g|7 -щ^ ~д?^' п — y eo-ft6;™" ^г S|^|Xft'
_ 1 ф/ фу
^r — ~2 eijkelmr -ftj d?m Vk<
могут быть выражены через инварианты /(-;-, Kt, Ktj. Дей-
Действительно,
^ = KlITrlK,, Olm = KmnfnrKrl, C2 = det/iy,
О = i- det /С,;, Рг„ = CIT^Knm. Tr = CITsKs.
Qrn — ~2C et>iselmr'lt^mk^ns' ™ lm = -jt ^nsr' lnKmsK, ,
Таким образом, ограничения, связанные с инвариантностью
функции F относительно вращений, сводятся к тому, что F
является не произвольной функцией переменных ц,-, -^- , -^
(число их равно 21), а функцией только 18 инвариантов
F = F{Ilt. Kt, Кф. A5.2.3)
Так как инварианты /,-;, Kt, Ktj содержат производные
от \ik и xk по лагранжевым переменным |z, то мы приведем
здесь выражения для эффективного магнитного поля Н и
тензора натяжений t\f в лагранжевых переменных.
Замечая, что
6F dF dxs dxk . dF d\is dxk
Тдщ ~~ , dus 17 dlp "I" d)is d%t dlp '
dX* lp h A5 2 4)
dF __ dF dxk (io.z.1)
dxk dip
142
получим из A5.1.11), A5.1.9)
Ли) 6F дхк
'(^-p-\. A5.2.5)
(*V± dim] '
(
oxk dln
\
3. Граничные условия. Сформулируем условия, которые
должны удовлетворяться на границе ферромагнетика с ваку-
вакуумом.
Рассмотрим прежде всего граничные условия для магнит-
магнитного и электрического полей. Из уравнения div/? —О следует
непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной
индукции на поверхности ферромагнетика S:
vfi+=vfi_, A5.3.1)
где индексы плюс и минус здесь и в дальнейшем служат для
обозначения полей внутри и вне ферромагнетика вблизи его
поверхности и v — единичный вектор нормали к поверхности.
Граничные условия для тангенциальных компонент поля
проще всего получить путем перехода от неподвижной
системы отсчета К к системе отсчета К', движущейся вместе
с данным элементом поверхности тела, скорость которою
(направленную вдоль нормали v) обозначим через vv. В си-
системе К' справедливы обычные граничные условия — непре-
непрерывность тангенциальных составляющих Ет и Нх. Согласно
релятивистским формулам преобразования эти требования
эквивалентны условию непрерывности тангенциальных компо-
компонент векторов Е-\ (•» X В), Н (vy.D)zzH (прибли-
С . С
жение магнитостатики формально соответствует тому, что
D = Q).
Взяв проекции этих векторов на плоскость, перпендику-
перпендикулярную к v, получим искомые граничные условия
vX(tf+-//.) = O. A5.3.2)
Покажем далее, что тензор натяжений tlh удовлетворяет
граничному условию
tf4. A5.3.3)
143
где t$ — тензор натяжений электромагнитного поля вне ферро-
ферромагнетика
() A5-3-4)
и Н — магнитное поле вне ферромагнетика. Введем для этого
импульс ферромагнетика
Л = J pvt dr
(в приближении магнитостатики можно не учитывать импульса
электромагнитного поля внутри ферромагнетика). Изменение
импульса в единицу времени должно равняться силе, дей-
действующей на ферромагнетик со стороны электромагнитного
поля вне ферромагнетика, т. е.
5
С другой стороны,
dPi Г д . , Г
~dt = J ~Ж Р^ dr"+ J
V S
Замечая, что
д dvt д
и используя уравнения упругости A5.1.1), A5.1.2), получим
откуда и следует соотношение A5.3.3).
Используем, наконец, непрерывность нормальной соста-
составляющей плотности потока энергии на границе ферромаг-
ферромагнетика:
S+\ = S~\\ A5.3.5)
где S+ и S~ — плотности потока энергии вблизи границы
внутри и вне ферромагнетика. Эти величины должны быть
определены с учетом движения границы ферромагнетика.
Поэтому, если П — плотность потока через неподвижную
поверхность внутри ферромагнетика (она определяется фор-
формулой A5.1.15)), то плотность потока S+ через подвижную
144
границу ферромагнетика будет иметь вид
pt/2 + PF+^-) A5.3.6)
(второе слагаемое в этом выражении представляет собой
плотность потока энергии, обусловленную движением поверх-
поверхности тела). Аналогично
с Я2
56"=?(?.ХЯ4-^-^. A5.3.7)
где второе слагаемое, так же как и второе слагаемое в фор-
формуле для S4, представляет собой поток энергии, обусловлен-
обусловленный движением поверхности тела.
Используя соотношения A5.1.10), A5.1.15), A5.1.11),
A5.1.12), можно представить S+\ в виде
It v -v (н А1 + 31 ^-v 4±.
| ikvk vi\ + "+- 811 / J P d\ii V* dt
д1г-
dxk
Подставляя сюда выражение A5.1.11) для tlk, получим
S+ v = - v,tlkvk + (Я+)т| -^ (v X (E+)x) ~-^vv (B+\
*~ An v T + T ^ d)X; * dt
Используя A5.3.4), можно представить S~v в виде
.)rj^(vX?-)(-^v№..)j
Сравнивая это выражение с выражением для S+\ и исполь-
используя граничные условия A5.3.2), A5.3.3), получим
dF =0. A5.3.8)
Заметим, что при учете теплопроводности непрерывность
нормальной составляющей плотности потока энергии также
будет выполняться, так как температура удовлетворяет
10 А. И. Ахиезер 145
граничному условию
дТ
= 0. A5.3.9)
(Мы пренебрегаем процессом лучеиспускания; при учете по-
последнего необходимо учитывать также наличие дополнитель-
дополнительного теплового потока электромагнитной энергии вне и вну-
внутри тела.)
4. Следствия нз закона сохранения момента количе-
количества движения. Для учета диссипации энергии мы ввели
чисто формально в уравнения движения тензор Ju, и релакса-
релаксационный член Ri. Покажем теперь, что между этими вели-
величинами существует определенная связь, вытекающая из закона
сохранения момента количества движения [3, 4].
В обычной теории упругости плотность момента количе-
количества движения равна, как известно, ptlklxkvt. В ферромагне-
ферромагнетике к этому выражению должна быть добавлена плотность
спинового момента количества движения —p\\,t. Поэтому мо-
о
мент количества движения ферромагнетика определяется фор-
формулой
-/= PUrX •»)-+— p\dr A5.4.1)
J \ g I '
(мы не учитываем здесь момента количества движения электро-
электромагнитного поля, так как пользуемся магнитостатическим
приближением). Продифференцируем это выражение по вре-
времени:
dJ- Г ( 1 )
~7j ' '~* I ] iki k i I M1/ i P^^/i n —г"
"* J t g 1
J ( ot g ot \
(первое слагаемое определяет изменение Jt, обусловленное
изменением поверхности тела со временем). Замечая, что
d[i:
и учитывая уравнения упругости A5.1.1), A5.1.2), получим
W** + jР ~{Г \dr , A5.4.2)
146
В силу закона сохранения момента количества движения
объемный интеграл в этом выражении должен обращаться
в нуль, т. е.
}r = 0. A5.4.3)
(Мы использовали здесь уравнение движения магнитного мо-
момента.) Поверхностный же интеграл, в соответствии с A5.3.3),
представляет собой момент сил, действующих на тело со
стороны электромагнитного поля вне тела:
Тензор tlk содержит, как видно из формулы A5.1.11),
только первые производные магнитного момента ц по коор-
координатам, а эффективное магнитное поле Н содержит также
и вторые производные -=—^—. Поэтому, используя гранич-
граничное условие A5.3.8), можно переписать уравнение A5.4.3)
в виде
d\ik dF
"" dxs v d\ii
дх„
[Р X [Н—^jj. -
откуда
*mtik= 94kMHi — lf-) - P^trp.—T- + ~Ri- A5.4.4)
J
xj
Это соотношение заменяет в случае ферромагнетиков соот-
соотношение симметрии tlk = tkl для тензора натяжений в обыч-
обычной теории упругости [3, 4].
Если бы диссипация энергии отсутствовала, то соотноше-
соотношение A5.4.4) имело бы вид
г-|?)- реш|М ^_. A5.4.5)
Легко, однако, убедиться, что последнее соотношение спра-
справедливо и при наличии диссипации энергии. Действительно,
замечая, что 4* = 4*'+ 4ft'' и используя выражение A5.1.11)
10* 147
для t\t\ перепишем A5.4.5) в виде
(и) dF dut, dF
ik == — pe«^s g- pe<w -fij- q— ¦
d'dTJ
Учитывая далее формулы A5.2.4), A5.2.5), можно преобра-
преобразовать это соотношение к виду
dF dxk , dF дцк , dF ) „ ,._ . „.
dui ogm Л d\ii o|m ' К d\n <
Ho F является не произвольной функцией величин -fir-, Рч,
-fir-, а функцией инвариантов Ii}, Kt, Ktj, построенных из
этих величин. Поэтому, как легко проверить, это соотно-
соотношение удовлетворяется тождественно.
Вспоминая, что tlk=tfj*-\-t'lk, получим из A5.4.4),
A5.4.5)
Это важное соотношение, связывающее между собой дисси-
пативные члены Rl и t'lh, является, как мы видим, след-
следствием закона сохранения момента количества движения.
Разлагая тензор t'lk на симметричную и антисимметрич-
антисимметричную части:
представим, согласно A5.4.7), выражение A5.1.15) для ко-
количества выделяемого тепла q в виде
#>*?. A5.4.9)
Это выражение должно быть положительным при произволь-
произвольных значениях Ht и -;—*-. Поэтому мы можем положить
148
где величины rik, t|;ft. sp представляют собой положительно
определенные тензоры, т. е. тензоры, для которых
rikXiXk > °> V „УиУар > °
при произвольных значениях xt и ylk, отличных от нуля.
Таким образом, формула A5.4.9) принимает вид
Я = у / + '« (#, + -^г rot,-о) (Я й + ±- rot
у / + '« (#, + ^г rot,-о) (Я й + ±
t,
+ « -P-P-. A5.4.11)
'«; sp дХр дхк v
5. Изменение энтропии деформированного ферромаг-
ферромагнетика. В формуле A5.1.14), так же как и во всех преды-
предыдущих формулах, не учитывалось изменение энтропии ферро-
ферромагнетика. Между тем плотность энергии зависит от энтропии,
поэтому под dw/dt следует понимать производную от плот-
плотности энергии по времени при постоянной энтропии единицы
массы 5, и, следовательно, уравнение A5.1.14) правильно
записывать в виде
<dw\ . дПк _
dt )s ' дхк "'
где
' dw \ dw dw ds
dt Is ' dt ds dt -
С другой стороны, в силу закона сохранения энергии
E3L 4- JL.(n --х~1=0 (
dt ~ dxk \ k dxk)
где и—коэффициент теплопроводности. Поэтому
т, ds , d I дТ
(мы учли, что -з— = р7'|. Используя далее уравнение непре-
непрерывности, получим окончательно
xt- (ps) + -д— \psvk =¦ -s— =кТ1— +г-- A5.5.2)
dt r дхъ у R Т дхк I \Т dxk I ' Т х '
¦с, v. дТ ,
Величина p5fft ^"а—" представляет собой плотность потока
энтропии, а правая часть равенства — плотность источников
энтропии.
6. Основные уравнения. Выпишем для удобства основ-
основные уравнения, определяющие изменение со временем
149
различных величин, характеризующих упруго деформирован-
деформированный ферромагнетик.
Уравнение движения магнитного момента единицы массы
ферромагнетика имеет вид
4t = g(pXH)+±R. A5.6.1)
где эффективное магнитное поле Н и релаксационный член R
определяются формулами
p дхк ly
\
Уравнение движения для вектора смещения и уравнение
непрерывности имеют вид
d*Ui _ dtik
р dt* ~ dxk '
¦^- + divpz>==0, A5.6.3)
где тензор натяжений tik, складывающийся из бездиссипатив-
ной tf? и диссипативной t'ik частей, определяется формулами
/ = /@) -I-1' /<°) = № -ч- 6т)
ли)_ dF dlt dF оц
du, dxt P дщ dxt '
0 dxk V A5.6.4)
/ 1 /dvs dvp
Уравнения магнитостатики имеют вид
rottf = —у.
150
где j — плотность тока,
} A5.6.6)
Наконец, уравнение, определяющее изменение энтропии
единицы массы, имеет вид
д , . , д ( v. дТ \ I 1 дТ \2 q
где q— количество тепла, выделяемое в единице объема
ферромагнетика,
q = ~ 4-'«{"i + -^ ">t,v) [нк + i rot, v) +
7. Случай малых неодиородностей. В заключение этого
параграфа приведем выражения для плотности потенциальной
энергии ферромагнетика, тензора натяжений и эффективного
магнитного поля в случае малых градиентов плотности маг-
магнитного момента и вектора упругого смещения.
Записав инварианты /^, Kt, Кц в виде
hi = bij 4 2и,у. К, = \it + p.,,-щ^-, K,j =-Щ7+-щ--щт'
где Mi;- — тензор деформаций в лагранжевых переменных
1 I dui duj duk duk \
ач= \H7+^|7 + -щ- -щ) -
разложим функцию F{Iljt Kt, Kij) в ряд по степеням utj и
Кц, ограничиваясь членами до второго порядка включительно:
lmu[m + 2Эгт; rm,ulmKrm, + ylmKlm
A5.7.1)
Здесь a, llm, p/m;J,m.. Y/m. ^m;rm- Vrm. - некоторые
функции инвариантов /Сг, причем, очевидно, в функциях
РмцГ/в" ^яч/'т- V,m;,-m- можно заменить АГг на |i,. Что же
касается функций а(/С/). ^„,(AT(), ylm{Ki), то они должны
быть разложены в ряд по степеням |ай -^р- вплоть до членов
151
второго порядка:
а диь . 1 д2а
^ +
A5-7.2)
Подставляя эти разложения в A5.7.1), получим окончательно
2 У1т; I'm' ~+~ \
A5.7.3)
Здесь величины УГт;Гт.. \т, Гт.. \т. Ч1т, Vks;tm. а, являются
произвольными функциями iit, ограниченными только соот-
соотношениями симметрии:
Yjm; I'm' ~ У I'm'; lm' lm; I'm' ~ ^l'm'\ Im == ^m'l'\ lm'
Заметим, что величины у, ,, , и а связаны с величинами
Jlm; 1т
Щт;1'т' и wa, введенными в § 3, соотношениями
Ytm; I'm' ~ Po lm; I'm" рд а'
где р0 — плотность ферромагнетика в отсутствие деформаций,
а величина у1т совпадает с величиной у1т, введенной в § 3.
Как видно из A5.7.3), плотность потенциальной энергии
ферромагнетика содержит как члены, зависящие только от
плотности магнитного момента и только от градиента век-
вектора смещения, так и члены смешанного типа, зависящие и
от плотности магнитного момента и от градиента вектора
смещения. Последние члены и обусловливают связь между
спиновыми и упругими волнами в ферромагнетике.
Величина —я(ц) в выражении для F представляет собой
плотность энергии однородно намагниченного ферромагнетика,
т. е. плотность энергии анизотропии. Обратим внимание на то,
что эта величина входит в потенциальную энергию ферро-
152
магнетика также и в виде первой и второй производных по
плотности магнитного момента. Благодаря этому возникает
дополнительное слагаемое в плотности магнитострикционной
/ да ди, \
энергии (слагаемое -*—^гЖ"^1 и в плотности упругой энер-
/ 1 дга dut duv \
гии слагаемое -_--;—3 й,й/. • -з>—¦ )¦ Иными сло-
вами, энергия магнитной анизотропии приводит к дополни-
дополнительной магнитострикции и к дополнительному изменению
модулей упругости. Важно подчеркнуть, что эти изменения
не могут быть сведены к переопределению величин Х1т и
hm- гт'< так как ПРИ этом нарушались бы свойства симме-
симметрии A5.7.4).
Отметим также, что в плотность потенциальной энергии
ферромагнетика вектор смещения входит в виде -^- , а не
dut ди j
в виде симметричного тензора деформации и^--=^-—1_ _i ,
как это имеет место в обычной теории упругости. Это свя-
связано с тем, что в инварианты, определяющие плотность по-
потенциальной энергии ферромагнетика, наряду с градиентом
вектора смещения входит плотность магнитного момента.
Используя формулы A5.7.3), A5.6.2) и A5.6.4), можно
найти эффективное магнитное поле Н и тензор натяжений t'fu
в случае малых градиентов магнитного момента и вектора
смещений:
d\is dy.s dli
дХ'т i - д2а ц I а да \ ди'
1 д , ™, , ,
- ' v —!-i__l-. v -4-
•fti; ml At l Чг? i
h f^6 + ^ 6 f
= 2pj -g- hm;Vm' -f-^mm'6«' + ^lm' 6m/' -f-
dXVm, 1 da 1 d2a » dut,
^ + ^ + ^)
kin Is Г фт I
153
§ 16. Связанные магнитоупругие волны
в ферромагнетиках
1. Линеаризованные уравнения движения. Используя
полученные в предыдущем разделе выражения для эффектив-
эффективного магнитного, поля и тензора натяжений, легко вывести
уравнение движения для магнитного момента и вектора сме-
смещения, которые в принципе могут служить для исследования
связанных магнитоупругих волн произвольной амплитуды,
лишь бы градиенты магнитного момента и вектора смещения
были достаточно малы, Однако мы не будем здесь зани-
заниматься нелинейными магнитоупругими волнами, а ограничимся
только исследованием волн малой амплитуды. С этой целью
мы должны провести в выражениях A5.7.3), A5.7.5) доба-
добавочное разложение в ряд по степеням отклонения магнитного
момента ц от его равновесного значения fi0, для которого
выполняются равенства
являющиеся условиями минимума потенциальной энергии.
Приведем результаты разложения, предполагая для простоты,
что ферромагнетик является одноосным.
Плотность энергии имеет вид
1 1 . 1 ди, ди,,
H22 + X±
Ш+т /р>° («лА™- - «А V) х
ди, ди,,
Здесь Ц] — малое отклонение магнитного момента ц от равно-
равновесного значения ji0, n — единичный вектор вдоль оси легкого
намагничения, т. е. параллельный вектору ц0, а — обменная
константа, р0 — равновесная плотность ферромагнетика р, Ь.
/, с и d—некоторые постоянные» входящие в выражения
154
/ дЧ \ i dXlm
для 1ф^г/ и гг
A6.1.2)
(постоянная р совпадает с константой анизотропии, введенной
в § 3); в рассматриваемом приближении эйлеровы и лагран-
жевы координаты, очевидно, не различаются.
Эффективное магнитное поле определяется формулой
— РоНю [(/ 4- Р) v (»a) 4
+ / (nV) а] - »Ро [д (лц^ + с (Vo) + (» + ixgrf) (»V) (na)];
A6.1.3)
тензоры натяжений tfy, tffi? и ^'m имеют вид
«& = Р0 {^; I'm' + (№оJ (/ + Р) 6тт,«Л, -
ИМ,,
{(/ + Р) hm»Z +
п[Г1т} я, я).
где
Km; I'm' = V I'»- 4" (^оJ {(* 4" V&) ^.П^т'
4- cFlmnt.nm. + bVm.nl
Используя эти формулы, получим, согласно A5.6.1)
A5.6.4), следующую систему линеаризованных уравнений:
0, A6.1.5)
rot h — 0, pj 4 Po div,i> = 0,
155
где р1 — отклонение плотности ферромагнетика от равновес-
равновесного значения и F, F' — плотности упругой силы и силы
трения.
Fl = d^ «№ + *№) = Ро {Km; Г*
A6.1.6)
d2tfr 1
V- I'm' дхтдхт, + 2i"rOt'R
тдхт
Наконец, релаксационный член определяется формулой
Полученные линеаризованные уравнения показывают, что
изменение магнитного момента происходит не только благо-
благодаря действию магнитных сил, но и благодаря деформации
ферромагнетика, а изменение вектора смещения — не только
благодаря действию упругих сил, но и благодаря неоднород-
неоднородности магнитного поля и магнитного момента. Эта связь
между магнитными и упругими величинами обусловливается
магнитострикцией, энергией магнитной анизотропии и пондеро-
моторными силами.
2. Взаимодействие звуковых волн со спиновыми вол-
волнами и магнитоакустический резонанс. Предполагая, что
величины fij, и, h и р, изменяются со временем по закону
e-i(®t-kr)^ где w и ? — частота и волновой вектор связанных
магнитоупругих волн, можно с помощью линеаризованных
уравнений A6.1.5) получить дисперсионное уравнение, свя-
связывающее между собой величины со и k. Однако в общем
случае произвольных тензоров ^ik.tm< t]ik. lm и произвольного
направления распространения волны это уравнение имеет
очень громоздкий вид и его трудно исследовать. Поэтому,
чтобы проанализировать основные свойства связанных магнито-
магнитоупругих волн, мы ограничимся рассмотрением простейшего
случая, когда ферромагнетик можно считать изотропным отно-
относительно его упругих свойств, т. е. будем предполагать, что
Ки; Ш = [(*,? - 2 КJJ б„ К + КJ (б„ \т
156
(s't и s't — представляют собой скорости продольного и попе-
поперечного звука). Кроме того, мы будем считать, что магнито-
упругая волна, распространяется вдоль оси анизотропии (ось z)
и отсутствуют релаксационные слагаемые, приводящие к изме-
изменению величины магнитного момента (—= 0 . В этом случае
мы получим из A6.1.5) следующие уравнения для цирку-
циркулярных компонент \if = \iu + i\a и и±=их + ш векто-
векторов jjij и и:
(ш+-»,(*)A + 16,)) lif-
{(О2 —©*(ft)(l—/d/)}tt* = A6.2.1)
{(О? —0J(ft)(l—/д,)}Иг = 0,
где a>s (k) = gM0 (ak2 -+¦ p) — частота спиновой волны (Мо =
= №))¦ a>t(k) = stk и (ог(А) = 5гй—частоты поперечной и
продольной звуковых волн, в которые входят модифициро-
модифицированные скорости звука st и st.
и, наконец, бд, б/ и бг — величины, определяющие диссипа-
диссипацию энергии,
1 Ю Ml
л?.
Не учитывая сначала диссипативных процессов, мы будем
исходить из уравнений:
[со + ©,(*)] (if = + tkfgM0-?± u±.
[со2 -о?(ft)]a* = — lkfM^, A6.2.2)
Мы видим, что вдоль оси анизотропии могут распространяться
независимо продольная и поперечные волны.
Скорость распространения продольных звуковых волн sl
мало отличается от s' так как —о"<^1- н0 в принципе
1 РЛ
157
изменение скорости продольной волны можно наблюдать,
если включить вдоль оси анизотропии стороннее магнитное
поле Н<у< так как в этом случае скорость продольных зву-
звуковых волн будет зависеть от Н$ (при Н^ Ф О в формуле
для st величину р надо заменить на р —|—тт
Рассмотрим поперечные магнитоупругие волны, распро-
распространяющиеся вдоль оси анизотропии. Исключая из первых
двух уравнений системы A6.2.2) амплитуды к*, [х±, получим
следующие дисперсионные уравнения:
(©* - со2 (ft)) (со - о, (ft)) - ZgMotf (ft) = О,
(«rf8 — о)? (ft)) (<в Н- со, (Л)) + Cff Ж0о>2 (*) = 0.
где ? = /2—=". Первое из этих уравнений определяет ча-
стоты магнитоупругих волн с «левой» круговой поляризацией
(к+ ф 0, и~ = 0), а второе — частоты магнитоупругих волн
с «правой» круговой поляризацией (и~ ф 0, и+ = 0).
Если в этих уравнениях положить ? = 0, то дисперсион-
дисперсионные уравнения распадутся на уравнения, определяющие частоты
двух поперечных упругих волн и частоту спиновой волны.
Поэтому величину С можно рассматривать как параметр связи
между упругими и спиновыми волнами. Обычно /яаЗ-ч-10,
Мо я^ 103 гс, р0 са 10 г/сл3 и s, *» 3 • 105 см/сек, поэтому
C^slO^ -^-10. Таким образом, как и указывалось выше,
связь между упругими и спиновыми волнами является слабой.
Учитывая малость параметра ?, легко найти корни дис-
дисперсионных уравнений A6.2.3). Прежде всего из второго
уравнения A6.2.3) имеем
Мы видим, что взаимодействие поперечной звуковой волны
с «правой» круговой поляризацией со спиновой волной при-
приводит к изменению частоты a>t(k) на величину порядка t,a>t(k).
Рассмотрим теперь взаимодействие поперечной звуковой
волны с «левой» круговой поляризацией со спиновой волной.
При этом следует различать два случая в зависимости от того,
велико или мало различие между величинами (os(k) и (ot(k).
158
Если волновой вектор ft таков, что | со^ (ft) — со, (ft) 13^>
, (ft), то корни дисперсионного уравнения имеют вид
—w.+t
A6.2.6)
, (ft) (со2 (k) -co2 (k))
Эти формулы показывают, что поперечная звуковая волна
с «левой» круговой поляризацией взаимодействует со спи-
спиновой волной значительно сильнее, чем поперечная звуковая
волна с «правой» круговой поляризацией.
Если величины со, и со, мало отличаются друг от друга,
то первое из уравнений A6.2.3) можно переписать в виде
(со - со, (ft)) (со - со, (ft)) -1 &Мцсо, (ft) = 0.
Корни этого уравнения имеют вид
Щ — -2 («/+«,) — y У^®' ~ w^2 + 2?gMo®f
1 1 i
со„ = у (со, 4- со,) Н- y у (со, — со,J -f 2QgMoat.
Эти формулы справедливы, если [со, — со, | с< со, ]/?¦
Обратим внимание на то, что в области волновых век-
векторов | со, — со, |^~со, Y%> отли-
отличие частот связанных магнито-
упругих волн со,, соц от невоз- 6
мущенных частот со,, со, соста-
составляет по порядку величины
YZ w,, в то время как при
I ®s ~ ш/1 ^ ^°< эт0 отличие
составляет Ссо, или ^со,.
На рис. 4 изображен при-
примерный ход ветвей связанных
магнитоупругих волн при рас-
распространении их вдоль оси ани-
анизотропии. Ветви / и // соот-
соответствуют взаимодействующим
спиновой и поперечной звуко-
звуковой волне с «левой» круговой
поляризацией. В области малых волновых векторов, k < k0,
где ft0 определяется из условия со, (ft0) = со, (ft0), ветвь / соот-
соответствует звуковой волне, а ветвь // — спиновой волне;
159
¦9 = 0
IV
Рис. 4.
в области же больших волновых векторов, k > k0, ветвь /
соответствует спиновой волне, а ветвь //—звуковой волне [5].
Ветвь /// соответствует поперечной звуковой волне с «пра-
«правой» круговой поляризацией, которая практически не взаимо-
взаимодействует со спиновой волной. Наконец, ветвь IV соответ-
соответствует продольной звуковой волне, которая также в рассма-
рассматриваемом случае практически не взаимодействует со спиновой
волной.
Возвратимся к уравнениям A6.2.2). Из них следует, что
амплитуды циркулярных компонент магнитного момента и
вектора смещения связаны между собой соотношением
или, что то же самое, соотношением
«*=—f ,kfM," - ц* A6.2.8)
со2—со, (ft) '
Эти формулы показывают, что если в ферромагнетике воз-
возбудить упругие колебания, то эти колебания вызовут в свою
очередь магнитные колебания, и наоборот, если возбудить
магнитные колебания, то они вызовут упругие колебания.
Рассмотрим для определенности возбуждение магнитных
колебаний звуковыми. Обращаясь в этом случае к фор-
формуле A6.2.7), мы должны понимать в ней под со тот корень
дисперсионного уравнения, который близок к со/ (при рас-
рассмотрении возбуждения звуковых колебаний магнитными нужно
в формуле A6.2.8) понимать под со тот корень дисперсион-
дисперсионного уравнения, который близок к as). Мы видим, что воз-
возбуждение колебаний носит резонансный характер и что
амплитуда магнитных колебаний, возбуждаемых звуковыми
колебаниями (и соответственно амплитуда звуковых колебаний
возбуждаемых магнитными колебаниями), будет особенно
велика в том случае, когда выполняется условие
(os(k) = (at(k). A6.2.9)
Таким образом, можно говорить об определенном резо-
резонансе, который мы будем называть магнитоакустическим ре-
резонансом.
Определим частоты магнитоакустического резонанса. Из
условия резонанса
160
легко найти соответствующие значения волнового вектора k:
и _ st + 1/1 / s, \a p
2agM
0
s2t
Так как д- — ~^> 1, то
а ( "
1 st *
Этим волновым векторам соответствуют частоты магнитоаку-
стического резонанса
Считая уИ0«103 гс, s,» » 3 • 105 см'сек, р г» 1 и а —
^^^10~2сл2, получим ыР^Ю13сек-\<*{Р~\Оюсек.
Таким образом, частоты магнитоакустического резонанса лежат
в области ультра- и гиперзвука. Поэтому явление магнито-
магнитоакустического резонанса может быть использовано для со-
создания генераторов гиперзвука.
До сих пор мы для простоты рассматривали распростра-
распространение магнитоупругих волн вдоль оси анизотропии. В этом
направлении для изотропного (в смысле упругих свойств)
ферромагнетика отсутствует взаимодействие продольной зву-
звуковой и спиновой волны. Однако здесь сказывается не свой-
свойство продольности звуковой волны, а избранность направле-
направления распространения. Если распространение происходит
в произвольном направлении, то имеет место взаимодействие
спиновой волны со всеми ветвями упругих колебаний, т. е.
как с поперечными, так и с продольной звуковыми волнами.
Это значит, что при произвольном направлении распростра-
распространения происходит изменение законов дисперсии как попереч-
поперечных звуковых и спиновой волн, так и продольной звуковой
волны. Аналогичное положение имеет место, естественно, для
всех ветвей упругих колебаний в случае анизотропного
(в смысле упругих свойств) ферромагнетика, когда разделение
на поперечные и продольные колебания вообще не имеет
смысла.
Взаимодействие между спиновой волной и всеми ветвями
упругих колебаний должно приводить к резонансному воз-
возбуждению спиновой волной, как правило, всех звуковых волн
и всеми звуковыми волнами — спиновой волны. Иными сло-
11 А. И. Ахиезер 161
вами, магнитоакустический резонанс может иметь место не
только на поперечной, но и на продольной звуковой волне.
Он возникает всякий раз, когда совпадают невозмущенные
частоты различных ветвей колебаний. В такой формулировке
условие резонанса справедливо и для анизотропного (в смысле
упругих свойств) ферромагнетика, а также для антиферро-
антиферромагнетиков [6].
Дисперсионное уравнение при произвольном направлении
распространения волны имеет сложный вид, и мы не будем
приводить его здесь, а приведем лишь решения дисперсион-
дисперсионного уравнения для изотропного (в смысле упругих свойств)
ферромагнетика, справедливые в окрестностях магнитоакусти-
ческих резонансов.
Рассмотрим сначала окрестность магнитоакустического
резонанса на продольной звуковой волне. Этот резонанс имеет
место при выполнении условия
(Ol(fc) = (os(k), A6.2.10)
где со; (fc) = stk. Частоты магнитоупругих волн в окрестности
этого резонанса определяются формулами [7]
со, — сош = stk.
1 у К-
90st ' ' A6.2.11)
1 Г м2,
1/ (со2 — со2J-|- 4 (§-Ж0J —| (P-f- 2/ —4лJ
2 j PyS^
H{i\
где Ft = lak2-\- p -f- -г?-] sin2 &fe cos2dfe и dfe—угол между
волновым вектором k и осью анизотропии. Частоты и,, со1И
соответствуют поперечным звуковым волнам, которые в окрест-
окрестности рассматриваемого резонанса не взаимодействуют со спи-
спиновой волной, а частоты со,,, colV — продольной звуковой
волне и спиновой волне, взаимодействующим между собой.
Рассмотрим теперь окрестность магнитоакустического резо-
резонанса на поперечной звуковой волне, который имеет место
162
при выполнении условия
(DJ(A) = (D/(A). A6.2.12)
В окрестности этого резонанса частоты магнитоупругих волн
определяются формулами:
w: = тг
+ «?)+ A6.2.13)
11/7T_ 242,
" 2 у U t)^r
co[V = stk,
где
Ft = [(Р + /) sfn2 в* - / cos2 ft,]2 (p + 4- + akA +
P cos2 ¦fl'j I p -|—tj—-j- аи2 -)- 4л sin2
Частота k»iV(A!) в рассматриваемом случае соответствует про-
продольной звуковой волне, не взаимодействующей со спиновой
волной, а частота со[П (k) — одной из двух поперечных зву-
звуковых волн, которая также не взаимодействует со спиновой
волной; частоты щ{к) и соц(&) соответствуют взаимодей-
взаимодействующим спиновой волне и второй поперечной звуко-
звуковой волне.
Мы видим, что при произвольном направлении распро-
распространения, как и в случае ¦&* = 0, со спиновой волной
в окрестности резонанса взаимодействует только одна из двух
поперечных звуковых волн.
Отметим, что возникающая благодаря взаимодействию зву-
звуковых и спиновых волн дисперсия скорости звука особенно
велика в области магнитоакустических резонансов *).
*) Эта дисперсия скорости звука бьи<а обнаружена экспери-
экспериментально на монокристалле JYQ [8].
Ц* 163
¦ft ФО
На рис. 5 схематически изображен ход ветвей магнито-
магнитоупругих колебаний при произвольном направлении их рас-
распространения. В области волновых векторов k < k'Q (k'Q опре-
определяется из условия «г (k) = (os (k)) ветви / и /// соответ-
соответствуют поперечным звуковым волнам, ветвь // — продольной
звуковой волне и ветвь IV —
спиновой волне; при k'Q <
< k < k0 ветви / и /// по-
прежнему соответствуют по-
поперечным звуковым волнам,
ветвь //— спиновой волне и
ветвь IV — продольной зву-
звуковой волне; наконец, при
k > k0 ветвь / соответствует
спиновой волне, ветви //
и /// — поперечным звуко-
звуковым волнам и ветвь IV —
продольной звуковой волне.
Отметим, что различные
участки ветви // соответст-
соответствуют продольным звуковым,
спиновым и поперечным зву-
звуковым волнам. Это обстоятельство может быть использовано
для преобразования продольных звуковых волн в спиновые
и поперечные звуковые волны. Для этого необходимо при-
приложить к телу слабо-неоднородное магнитное поле, благодаря
чему при заданной частоте волновой вектор будет меняться
вдоль тела [11].
3. Затухание магнитоупругих волн. Перейдем к иссле-
исследованию затухания связанных магнитоупругих волн, которое
обусловлено диссипативными процессами в спиновой системе
и в решетке.
Коэффициент или декремент затухания y(k) определяет
изменение со временем амплитуды плоской волны Ак при
заданном волйовом векторе k,
Рис. 5.
Чтобы найти у (k), следует воспользоваться дисперсионным
уравнением
Д(о), k)~0,
164
выведенным с учетом диссипативных процессов. Корни этого
уравнения будут комплексными, причем вещественные их части
представляют собой частоты, а мнимые части—декременты
затухания соответств) ющих волн,
V; (ft) = lm (Oj (ft).
Подчеркнем, что каждая ветвь колебаний характеризуется
своим декрементом затухания.
Если декременты затухания достаточно малы, \(*)<С!
<3^|co(ft)|, то для их нахождения не обязательно решать
дисперсионное уравнение с учетом диссипативных процессов,
а можно определять у (ft) непосредственно по формуле
2W
где q — количество тепла, выделяющееся в единицу времени
в теле благодаря диссипации энергии, и W — энергия тела;
при этом переменные величины, от которых зависят q и W,
должны определяться в пренебрежении затуханием (черта
означает усреднение по времени).
Чтобы выяснить характер затухания магнитоупругих волн
мы снова начнем с рассмотрения простейшего случая, когда
волны распространяются вдоль оси анизотропии. Дисперсион-
Дисперсионные уравнения в этом случае с учетом диссипативных про-
процессов имеют, согласно A6.2.1), следующий вид:
(со2 — со2 A — / 6,)} (со — соД 1 — / 6s)} —
.. е ° A6.3.1)
1 2/gMQ
Наша задача заключается в нахождении мнимых частей корней
этих уравнений при заданном значении волнового вектора ft.
При этом следует различать два случая в зависимости от того,
велико или мало различие между частотами со5. (ft) и co((ft).
Если волновой вектор ft таков, что | со4 (ft) — со, (ft) | ^> t,u>t (k),
то декременты затухания поперечных звуковых волн уи, y2t
165
и спиновой волны ys имеют вид
6, 4+S2 }^ JmA. A6.3.2)
(a i га
Первая из этих формул определяет декремент затухания той
из двух поперечных звуковых волн, которая взаимодействует
со спиновой волной (ей соответствует «левая» круговая поля-
поляризация), а вторая формула — декремент затухания второй
поперечной зв}ковой волны (с «правой» круговой поляриза-
поляризацией), которая не взаимодействует со спиновой волной.
Мы видим, что затухание звуковой волны, не взаимодей-
взаимодействующей со спиновой волной, практически определяется
только диссипативными процессами, протекающими в решетке,
в то время как затухание взаимодействующих звуковой и
спиновой волн определяется вблизи магнитоакустического
резонанса как диссипативными процессами в решетке, так и
диссипативными процессами в спиновой системе.
Заметим, что декремент затухания у1 продольной звуко-
звуковой волны, распространяющейся при Фй = 0 независимо от
поперечных звуковых волн и спиновой волны, определяется
только диссипативными процессами в решетке
Y *©
Пусть теперь частоты (os(k) и wt(k) мало отличаются
друг от друга, так что \&s(k) — wt (k) \ c< У С «, (k). Тогда
корни уравнения A6.3.1), соответствующие ветвям колеба-
колебаний / и //, изображенным на рис. 4, будут иметь вид
у /К — «>< + ' FМ - 6ЛI2 + 2^0? A - %) «V
у (w5-b at) — у
-ЪуТК-
16S
В условиях магнитоакустического резонанса
со, = co^-i-w*(
Последние формулы показывают, что если затухание невзаи-
невзаимодействующих волн достаточно мало (F, - &J2 <^ 0» то дек-
декременты магнитоупругих волн одинаковы
\1 = Ун=4ш*^-Ь*/)- A6.3.3)
Мы видим, что в этом случае декременты затухания обеих
взаимодействующих волн при резонансе одинаковы, причем
они определяются как диссипативными процессами в решетке,
так и в спиновой системе.
Если Ft — 65J 2§> ?, то Yi = ®s °j> Yu = w* °<- Таким об-
образом, в случае очень слабой связи (?<С1F,—б^J) затуха-
затухание каждой ветви колебаний определяется диссипативными
процессами в «своей» системе.
Рассмотрим подробнее тот случай, когда диссипация энер-
энергии в решетке значительно меньше диссипации энергии в
спиновой системе, bt<^.t,6s. В этом случае вдали от магни-
магнитоакустического резонанса декременты затухания взаимодей-
взаимодействующих звуковой и спиновой волн определяются форму-
формулами
1 г. ^ . . (Do
При магнитоакустическом резонансе декременты затухания
обеих магнитоупругих волн становятся одинаковыми:
Yi==Yii=-2 6/^-
Мы видим, что если 6,-<:?6s, то декремент затухания зву-
звуковой волны сильно, в 1/С раз, возрастает в условиях маг-
магнитоакустического резонанса.
Если имеет место обратное соотношение между величи-
величинами 6( и bs, т. е. 65с<?6,, то при магнитоакустическом ре-
резонансе сильно возрастает декремент затухания спиновой
волны, достигая значения
Yi = Yn ~ j 6tas-
167
Остановимся еще на характере затухания магнитоупру-
магнитоупругих волн при произвольном направлении их распростране-
распространения, когда имеет место взаимодействие магнитной волны не
только с поперечными, но и с продольной звуковыми вол-
волнами. Благодаря этому взаимодействию дисс.ипативные про-
процессы в спиновой системе оказывают влияние на затухание
упругих колебаний, а диссипативные процессы в решетке —
На затухание магнитных колебаний, причем оно особенно
велико в условиях магнитоакустических резонансов.
В случае резонанса на продольной звуковой волне
(и; = со,) декременты затухания магнитоупругих воли опре-
определяются формулами
1
I I i III О t t1
j A6.3.4)
Yn = Yiv = у ®s (fy + &j),
а в случае резонанса на поперечной звуковой волне
((j)t = <в5) — формулами
1 ,А , АЛ
Yi = Yn = у ®$ (б< + °s)-
Yiii^yVv A6'3-5)
1
Yiv = ~2 ^i&i
(индексы I, II, III, IV обозначают ветви колебаний, изобра-
изображенные на рис. 5).
4. Вращение плоскости поляризации поперечной маг-
иитоупругой волны. Дисперсионное уравнение A7.2.3), рас-
рассматриваемое как уравнение относительно волнового век-
вектора k при заданной частоте со, имеет несколько корней,
благодаря чему может возникать вращение плоскости поляри-
поляризации поперечных магнитоупругих волн [9, 2]. Чтобы убе-
убедиться в этом, рассмотрим длинные магнитоупругие волны,
когда выполняется неравенство ak2<^ 1, т. е. несущественна
зависимость частоты спиновых волн от волнового вектора.
В этом случае дисперсионное уравнение A6.2.3) имеет два
корня:
^l/ !?r_^W_, ft2==JL, A6.4.1)
1 st V со — cos @) — ?gMa * st '
168
причем волновому вектору kx соответствует волна с «левой»
круговой поляризацией, а волновому вектору fe2 — волна
с «правой» круговой поляризацией.
Компоненты вектора смещения и определяются, очевидно,
формулами
—4 Re { —
A6.4.2)
где и±—произвольные константы и ось z направлена вдоль
оси анизотропии. Если при z — 0 колебания происходят
вдоль оси х (при этом й+ = г = й = о'), то формулы
A6.4.2) приобретают вид
k,—k2
z
ux = u cos cor '—±—- z cos -
/, *,+*, \ .*.-*. A6-4-3)
uy — u cos I cor —^—- z\ sin —Ц5—- z.
Мы видим, что при распространении волны плоскость,
в которой происходят колебания вектора смещения, пово-
поворачивается, причем угол ф между направлением колебаний
и осью х изменяется пропорционально z:
A6.4.4)
Таким образом, вращение плоскости поляризации магнитоуп-
ругой волны характеризуется величиной ' *~ 2 . Эта вели-
величина называется коэффициентом вращения плоскости поля-
поляризации.
Если частота со не слишком близка к частоте соДО), то
коэффициент вращения плоскости поляризации равен
а о—• A6.4.5)
со2 - a2s @)
В заключение отметим, что резонансное изменение коэф-
коэффициента вращения плоскости поляризации было обнаружено
экспериментально [10].
ГЛАВА V
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
§ 17. Квантование спиновых волн в ферромагнетиках
1. Магноны. В предыдущих параграфах было показано,
что если отклонить магнитный момент какого-либо атома
ферромагнетика от направления, соответствующего минимуму
энергии ферромагнетика и предоставить его затем самому
себе, то в кристалле начнет распространяться спиновая волна.
Ясно, что энергия этой волны будет равна энергии возбуж-
возбуждения кристалла, связанной с изменением ориентации спинов
его атомов.
Мы получим энергию элементарного возбуждения, свя-
связанного со спиновой волной, если умножим ее частоту K>s{k)
(k — волновой вектор спиновой волны) на квантовую посто-
постоянную Ъ. Эту энергию
es(k) = has(fc) A7.1.1)
можно рассматривать как энергию некоторой частицы, а ве-
величину
p = hk
— как ее импульс. Эту частицу мы будем называть магно-
ном.
Так как спиновая волна распространяется не в свобод-
свободном пространстве, а в кристаллической решетке, то вектор р
может быть определен только с точностью до 2лит, где т —
вектор обратной решетки. Поэтому вектор р называют не
импульсом, а квазиимпульсом магнона.
Если энергия возбуждения ферромагнетика Es невелика,
то ее можно представить в виде суммы энергий отдельных
распространяющихся в нем спиновых волн или, выражаясь
170
иначе, в виде суммы энергий магнонов
?ЛЛ} = 2ЙО)*(Й)Л(*)- A7.1.2)
k
Здесь n(k)— число магнонов (спиновых волн) с волновым
вектором k, и суммирование производится по всем значе-
значениям k.
Выражение A7.1.2) определяет, естественно, только маг-
магнитную часть энергии ферромагнетика, связанную с различ-
различными взаимными ориентациями спинов его атомов. Оно спра-
справедливо, если энергия возбуждения ферромагнетика доста-
достаточно мала, так как только в этом случае можно исходить
из концепции идеального газа магнонов, которой соответст-
соответствует формула для энергии A7.1.2).
Малые энергии возбуждения соответствуют низким тем-
температурам, Т <§^ТС (Тс — температура Кюри). Поэтому вы-
выражением A7.1.2) можно пользоваться, если Т <^ТС. В этом
случае средняя энергия магнона будет равна по порядку ве-
величины температуре
(мы пользуемся энергетической шкалой температур). Под-
Подставляя сюда
(мы пренебрегаем релятивистскими взаимодействиями), по-
получим
откуда
Так как ЭС~ГС и Т <^ТС, то
Это неравенство означает, что длина волны магнона X = -г
велика по сравнению с постоянной решетки:
Иными словами, при низких температурах в ферромагнетике
возбуждены в основном длинноволновые магноны. Но длин-
длинноволновые колебания магнитных моментов можно описывать
171
чисто феноменологически, основываясь на макроскопической
электродинамике, что мы и делали в предыдущих главах.
Таким образом, мы приходим к важному физическому
выводу, заключающемуся в том, что найденный нами фено-
феноменологически закон дисперсии спиновых волн определяет
энергию длинноволновых магнонов, а тем самым и энергию
ферромагнетика в области низких температур, когда Т<^ТС.
До сих пор мы говорили о ферромагнетиках, но все ска-
сказанное в равной мере относится и к антиферромагнетикам.
Разница заключается лишь в том, что в антиферромагнети-
антиферромагнетиках, в отличие от ферромагнетиков, может распространяться
не одна, а несколько спиновых волн с одним и тем же вол-
волновым вектором k (в случае антиферромагнетиков с двумя
зеркальными магнитными подрешетками таких волн две).
Обозначая частоты спиновых волн в антиферромагнетике
через a>Sj (k), где индекс j служит для обозначения типа
спиновой волны, можно сказать, что в антиферромагнетике
энергия магнона типа j с волновым вектором k равна
zSJ(k) = basj(k). A7.1.3)
Если энергия возбуждения антиферромагнетика доста-
достаточно мала, то ее можно, так же как и в случае ферромаг-
ферромагнетика, представить в виде суммы энергий отдельных маг-
магнонов
Es = Jl К; (*)«>(*)¦ A7.1.4)
где суммирование, в отличие от формулы A7.1.2), относя-
относящейся к ферромагнетику, производится не только по волно-
волновым векторам k, но и по типам спиновых волн /.
Так же как и в случае ферромагнетика этой формулой можно
пользоваться, если температура антиферромагнетика доста-
достаточно низка, т. е. Т <^TN, где TN — температура Нееля.
Формулы A-7.1.2) и A7.1.4) для магнитной части энер-
энергии ферромагнетика и антиферромагнетика аналогичны фор-
формуле
El='2it(opj(f)Nj(f) A7.1.5)
для энергии колебаний кристалла, где Nj(f)—число фоно-
нов, т. е. частиц, связанных с звуковой волной, характери-
характеризующейся волновым вектором f, поляризацией j и часто-
частотой aPj(f).
172
Энергия магнона равна умноженной на й частоте спино-
спиновой волны, так же как и энергия фонона равна умноженной
на h частоте звуковой волны.
Аналогия между этими волнами простирается дальше —
как фононы, так и магноны подчиняются одной и той же
статистике — статистике Бозе — Эйнштейна. Поэтому в со-
состоянии статистического равновесия средние значения чисел
магнонов и фононов определяются единой формулой Планка
(*) ^N<f> <17Л6)
в ' -1 е ' -1
Эти выражения вместе с выражениями A7.1.2), A7.1.4),
A7.1.5) позволяют в принципе находить все термодинамиче-
термодинамические величины для магнитоупорядоченных кристаллов, свя-
связанные со спиновой системой и с колебаниями решетки.
Если кристалл является проводником, то, естественно,
для определения его термодинамических величин нужно учи-
учитывать еще вклад, вносимый электронами проводимости. Мы
ограничимся в дальнейшем рассмотрением только магнитоу-
магнитоупорядоченных диэлектриков, термодинамические свойства ко-
которых определяются магнонным и фононным спектрами.
Знание этих спектров, т. е. знание законов дисперсии
спиновых волн и фононов, а также статистики, которой под-
подчиняются магноны и фононы, достаточно для построения
термодинамики магнитоупорядоченных кристаллов, но недо-
недостаточно для исследования их кинетических свойств. Послед-
Последние зависят от длин свободного пробега магнонов и фоно-
фононов, которые в свою очередь определяются различными про-
процессами взаимодействия спиновых волн и фононов.
2. Операторы рождения и уничтожения магнонов и
фононов. Чтобы иметь возможность изучать как термодина-
термодинамические, так и кинетические свойства магнитоупорядочен-
магнитоупорядоченных кристаллов, желательно с самого начала иметь метод,
позволяющий описывать процессы взаимодействия магнонов
и фононов. Таким методом является метод вторичного кван-
квантования, в котором состояние кристалла задается волновой
функцией — или вектором состояния — в пространстве чисел
частиц. На эту функцию действуют операторы рождения и
уничтожения частиц, которые мы будем обозначать через
ct (А), с .(k) для магнона типа j с волновым вектором к и
через b+ (f), b (/) для фонона с волновым вектором / и
поляризацией j.
173
Так как магноны и фононы подчиняются статистике
Бозе—Эйнштейна, то операторы с+ (ft), с , (ft), b+ (/), b .(/)
удовлетворяют перестановочным соотношениям
[с. (ft), с* (ft')] = 6„. А (k-П [с, (*). V (*)] = 0,
[*,(/). *;. (Л]=ь1У Д(/-Л. р,-(/). v (Л] = 0,
где [Л, В] обозначает коммутатор операторов А и В и
1, ? = 0,
Как известно, из этих соотношений следует, что опе-
операторы
nj {k) = с} (k) cj (ft), Nj (/) = */ (/) bj (/)
имеют только целые неотрицательные собственные значения:
' ! A7.2.2)
где собственный вектор Ф... п.... w описывает состояние,
в котором имеется rij(k) магнонов типа j с импульсом hk
и N j (f) фононов с импульсом hf и поляризацией у.
Операторы с) (k), bj (k) при действии на вектор состоя-
состояния Ф...Я....ЛГ.... увеличивают число частиц на единицу, а
операторы Cj(k), bj(f) при действии на Ф...п n умень-
уменьшают число частиц на единицу:
... л)....
По этой причине с у" (ft) и bj (f) называются операторами
рождения, a c;(ft) и йу-(/)—операторами уничтожения маг-
нона и фонона.
Через операторы рождения и поглощения магнонов и фо-
фононов можно выразить оператор энергии магнитоупорядо-
174
ценного кристалла. Если бы магноны не взаимодействовали
между собой и с фононами, то оператор спиновой части
энергии кристалла имел бы вид
ffis = 2 b®sj(k) cj (k) Cj(k), A7.2.4)
где суммирование производится по всем значениям волнового
вектора k и по различным типам j спиновых волн. Дейст-
Действительно, собственные значения этого оператора равны, сог-
согласно A7.2.2),
?, = 2*<M*)«y(*). (П.2.5)
что находится в соответствии с формулой A7.1.4).
Аналогичным образом, если бы фононы не взаимодейст-
взаимодействовали между собой и с магнонами, то оператор, соответ-
соответствующий колебательной энергии кристалла, имел бы вид
$?, = 2 *юРу (/)*/(/) *у(Л A7.2.6)
fj
где суммирование производится по всем значениям волнового
вектора фонона f и по различным поляризациям фононов J.
Собственные значения этого оператора равны, согласно
A7.2.2),
Et=%b®pJ(f)Nj(f). (П.2.7)
§ 18. Представление гамильтониана ферромагнетика
с помощью операторов рождения и уничтожения магнонов
1. Реализация операторов спина с помощью бозевских
операторов. В главе I мы выразили гамильтониан ферро-
ферромагнетика через операторы спинов его атомов. С другой
стороны, в предыдущем параграфе мы показали, что гамиль-
гамильтониан ферромагнетика в пренебрежении взаимодействиями
между магнонами может быть выражен через операторы
рождения и уничтожения магнонов. Поэтому возникает фун-
фундаментальный вопрос, как связать операторы проекций спина
атома с операторами рождения и уничтожения магнонов,
иными словами, как построить с помощью операторов с+ (k),
c(k), удовлетворяющих перестановочным соотношениям A7.2.1),
операторы sf, sf, удовлетворяющие перестановочным соот-
соотношениям A.3.2).
Для решения этой задачи введем в рассмотрение
операторы а+ и а., удовлетворяющие перестановочным
175
соотношениям
[av в+] = бн„ A8.1.1)
и построим с помощью этих операторов, которые мы будем
называть бозевскими операторами, операторы [1]
A8.1.2)
s* = —
где радикалы понимаются формально, как бесконечные ряды
по степеням
atai
2s '
Легко убедиться, что построенные таким образом опе-
операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям A.3.2)
для операторов спинов. Поэтому операторы s + , sf, s* можно,
казалось бы, интерпретировать как операторы проекций спинов
атомов. Однако следует иметь в виду, что операторы s+ и s~
должны быть эрмитово сопряженными, а оператор s*—само-
s*—самосопряженным. Эти условия эрмитовости выполняются, оче-
очевидно, только в подпространстве собственных векторов опе-
atai
ратора —s— • которые принадлежат собственным значениям
этого оператора, меньшим или равным единице. Поэтому
только в этом подпространстве операторы A8.1.2) можно,
строго говоря, интерпретировать как операторы спинов агомов.
Перейдем теперь к выяснению связи между операторами
a+v a; и операторами рождения и уничтожения магнонов.
Так как первые являются функциями координат узлов ре-
решетки, а вторые — функциями волновых векторов, то прежде
всего мы перейдем к компонентам Фурье операторов а+, a[t
где N—число элементарных ячеек в теле, и волновой век-
вектор k лежит в первой зоне Бриллюэна.
Легко убедиться, что операторы а+ (k), a(k) удовлетво-
удовлетворяют перестановочным соотношениям
[о(A), a+(A')]-= \(k— к'), [а(А), а(*')]= 0, A8.1.4)
176
где
совпадающим с перестановочными соотношениями A7.2.1) для
операторов рождения и уничтожения магнонов с+ (k) и с (k).
Поэтому можно утверждать, что операторы а+(k), a (k) и
с+(k), c(k) связаны между собой некоторым унитарным пре-
преобразованием. Чтобы найти это преобразование, необходимо
иметь конкретный вид гамильтониана ферромагнетика, вы-
выраженного через операторы спинов его атомов. Предполагая
для простоты, что гамильтониан магнитной анизотропии имеет
вид
SfP — Р п М YiVY2 и —LU1 м — 2sfX°
где р — константа анизотропии (ось z направлена вдоль оси
анизотропии), мы будем исходить из следующего выражения
для гамильтониана ферромагнетика:
2 (sfJ. A8.1.5)
г i
Здесь первое слагаемое представляет собой гамильтониан
обменного взаимодействия, второе слагаемое — гамильтониан
магнитного дипольного взаимодействия и третье слагаемое —
гамильтониан взаимодействия спинов со сторонним магнитным
полем (для простоты мы считаем, что это поле направлено
вдоль оси анизотропии).
Выразим гамильтониан ферромагнетика через бозевские
операторы а+(k) и a(k). Запишем A8.1.2) в виде рядов по
at а,
¦Ч
степеням
2s
A8.1.6)
\2 А. И. Ахиезер \7J
и подставим эти разложения в A8.1.5). Тогда гамильтониан
ферромагнетика представится в виде
+ .... A8.1.7)
где WQ не содержит операторов а+, а(,
s2
A8.1.8)
&6 — некоторая квадратичная форма относительно опера-
операторов а + , ar e%?f] — форма третьего порядка относительно
этих операторов, Н[] — форма четвертого порядка и т. д.
Величина WQ представляет собой, очевидно, энергию
ферромагнетика в основном состоянии, когда спины рассма-
рассматриваются как классические величины.
Мы приведем здесь явное выражение только для опера-
оператора 3&[':
, 1
1фт
где
A, (Rlm) = - 2sJ(Rim) - ^f- (Rim — 3zL).
Klm
A2 (Rlm) - 2sJ (Rlm) - ^f (R)m - Щт) + -^ (H{oe + fiM0),
В (Rlm) = - -|P {RTmf. Rfm = Xlm ± iylm.
?
Переходя в выражении для efB^T от операторов а?, at
к их компонентам Фурье согласно формулам A9.1.3), получим
ка+ (к) a (k) +1 Bfea (ft) a (ft) -f
;J, A8.1.10)
178
где
2 V
— 6(J-qs 2i ¦
Поступая аналогичным образом, можно представить операторы
S$f\ efef1 в виде [2]
Sff^= S (Ф A2,34)а+а+а3«4А(*1+*2"~*з~*4)+ A8.1.11)
1234 1
+ Ф^ A23,4) а+а+а+а4Л /Аг —J— Л2—f—Jfe3—Л4)+э. с],
где ФД12.3), ФД12.34) и Ф^ A23,4) — некоторые функции
от волновых векторов kt (мы пользуемся обозначениями
1 ==А,, 2 = й2 и не учитываем процессов переброса).
По порядку -величины
"¦. A8.1.12)
)
Функция Ф^( 12,34) в области волновых векторов
имеет, согласно A8.1.11) и A8.1.5), вид
—*з)—У(*,) —У(*а) —У(*а)-У(*4)}. A8.1.13)
12* 179
Если 1/ ^° ° <^ а& <^ 1 (Уо — значение обменного ин-
интеграла между соседними атомами), то
Ф,A2.34)«- -^(Ma + W A8.1.14)
то
Наконец, если ak <^ у ° ,
,, АЛ
A8.1.15)
Оператор &в\? представляет собой гамильтониан невзаи-
невзаимодействующих спиновых волн или, выражаясь иначе, га-
гамильтониан идеального газа магнонов, а операторы S@s ,
ffl№ — гамильтонианы взаимодействия магнонов друг с дру-
другом. Поэтому мы будем пользоваться также обозначениями
где
2. Унитарное преобразование. Мы можем теперь уста-
установить вид унитарного преобразования, связывающего бозев-
ские операторы а+(k), a(k) и операторы рождения и унич-
уничтожения магнонов с+ (k), c(k). Это преобразование, которое
мы запишем в виде [1, 3]
( io.Z. I)
где uk и vk — некоторые функции волнового вектора k,
должно приводить квадратичную форму S'&V K диагональ-
диагональному виду
&№ = ?<2) + S e,(*) c+ (k) с (k). A8.2.2)
Здесь е5(А) — энергия магнона с волновым вектором k и
Е^ — величина, не содержащая операторов рождения и унич-
уничтожения магнонов, которую можно интерпретировать как
энергию нулевых колебаний в системе спинов.
Покажем, как найти величины uk и vk. Прежде всего,
так как операторы а+ (k), a(k) и с+ (k), c{k) удовлетворяют
одинаковым перестановочным соотношениям, то и* и v^
180
должны удовлетворять условию
|в*р —|©*Р=1. A8.2.3)
Воспользуемся далее квантовомеханическим уравнением дви-
движения для a (k):
a(k)= ^-
Подставляя сюда выражение A8.1.10) для <fflf*s\ получим
a (k) = — ~ Aka (k) — -i- B*ka+ (- k),
откуда, учитывая A8.2.1),
«(*>=—? и а+вх)с (*) - 4 (^х+в;«.)с+ (- *)•
С другой стороны,
где
Сравнение этих формул дает
= 0,
откуда
гг(Ь) = УА1-\Вк?- A8.2.4)
Используя A8.2.3), найдем коэффициенты uk и vk:
es (k) _ Bk /Ak — e.s(k)
(произвольный фазовый множитель в uk и vk выбран равным
единице).
Заметим, что в пренебрежении релятивистскими взаимо-
взаимодействиями Bk = Q и uk = 1, г»* = 0, т. е. унитарное пре-
преобразование A8.2.1) в этом случае вырождается в тождест-
тождественное преобразование.
Энергия магнона в пренебрежении релятивистскими взаи-
взаимодействиями определяется, согласно A8.2.4), A8.1.10).
формулой
es (k) = Ak = 2\i0H^ 4- 8 (У @) — J(k)).
Эта формула переходит при ak <^ 1 в формулу F.2.4).
181
Приведем, наконец, выражение для энергии нулевых ко*
лебаний:
A8.2.6)
*
Сложив Eo и Wo, найдем энергию основного состояния фер-
ферромагнетика:
Ео = Е02)-4- ^о = — s2N J] J(Rim) —
i
-f B1VJ S Rtm~53Z'm +
Легко убедиться, что энергия нулевых колебаний мала
по сравнению с классической энергией основного состояния,
т. е. 42) <С Wo.
3. Энергия магнона. Определим величины Ak и Bk.
Найдем прежде всего суммы, определяющие Ао и Во. По-
Поступая так же, как в § 2, имеем
Mm
2i
где интегрирование производится по объему тела (имеющему
форму эллипсоида), из которого исключен объем сферы
бесконечно мало'го радиуса с центром в начале координат,
и величины $tj определяются формулами
_ V
(величины ргу характеризуют энергию магнитной анизотро-
анизотропии, обусловленную магнитным дипольным взаимодействием,
см. § 2).
182
Преобразовав объемные интегралы, входящие в выраже-
выражения для сумм, в поверхностные,
dr -r-j- ¦ — = —q — dSz,
Л
f i
= — —-f {x dSx — у dSy - 2ix dSy),
s
где 5 — поверхность эллипсоида, и замечая, что, согласно
B.2.2), компоненты тензора размагничивающих коэффициентов
можно представить в виде
1 Г х-
S
получим окончательно
4я
Чт
3vo У 5 - — ®хх — Руу — 2'Рху 4 4л (N1 — N2))
(оси х, у, z совпадают с главными осями эллипсоида).
В случае простой кубической решетки piy- = 0 и величины
Ао, BQ имеют вид
(lo.o. 1)
N2).
Величины Ао и Во определяют энергию спиновой волны
с волновым вектором k = 0:
X
Сравнивая эту формулу с A0.1.7), мы видим, что
eo = W>, A8.3.2)
где (о(г) — частота однородного ферромагнитного резонанса.
Найдем теперь величины Ak и Bk при 2"-<СГ^<С1а~1-
Б этом случае можно заменить суммы, входящие в выражения
183
для Аь и Bk интегралами, которые вычисляются элемен-
элементарно. В результате получим
= 4я (TV, - N2) 4- 4я
Считая для простоты, что решетка является простой куби-
кубической, можно пользоваться при ak<<^\ следующим выра-
выражением для J(k):
где Jo—обменный интеграл между ближайшими соседними
атомами. В результате мы получим следующие формулы для
Ак и Вк:
Ak = 2sJ(akf + 0 о 0
A8.3.3)
где #а и фА — полярный и азимутальный углы волнового
вектора k.
Сравнивая эти формулы с F.1.3), F.2.3), мы видим, что
энергия спиновой волны es(k) равна (как и должно быть)
es(k) = hws(k). A8.3.4)
где <?>s(k) — частота спиновой волны с волновым вектором k.
При квантовании спиновых волн мы исходили из микроско-
микроскопического гамильтониана ферромагнетика, выраженного через
операторы спинов атомов. Но квантование спиновых волн
можно формально проводить несколько иным путем [4],
исходя из макроскопической энергии ферромагнетика, если
считать компоненты вектора М(г) не классическими вели-
величинами, а операторами, подчиняющимися перестановочным
соотношениям
[Mt{r), Mk(r')]=2Hx0?mMi(rN(r-r'). A8.3.5)
Такой подход, как и все макроскопическое рассмотрение,
является законным только в случае длинных волн, когда
184
Переходя к компонентам Фурье Отклонения магнитного
момента от равновесного значения
М(г) - Мо = m(r) = y= J] m(ft) e
e""
и полагая
m+ (ft) = mx (ft) -f Шу (ft) =
" a+(ft')a+(ft")X
'0 v
k'k"k"'
X а (*'")д (* + *' + *"-*"')+ -..}. A8.3.6)
т_ (ft) = т^. (ft) — iOTy (ft) =
= f 2^ {«(*)- 4^r 2 a + (ft') a (ft") a (ft'") X
XA(H ft' — ft" — *'")+ ...},
mz (ft) = ^S=- 2 a+ (ft') a (ft") A (ft + ft' - ft"),
легко убедиться, что перестановочные соотношения A8.3.5)
удовлетворяются, если операторы а+ (ft) и a (ft) подчиняются
перестановочным соотношениям A8.1.4).
§ 19. Связанные состояния двух магнонов
1. Уравнение Шредингера для связанных состояний
двух магнонов. Так как магноны взаимодействуют между
собой, то возникает вопрос, может ли это взаимодействие
приводить к образованию связанных состояний магнонов.
Мы покажем, что в системе двух магнонов возможно суще-
существование связанных состояний [5, 6].
Чтобы упростить исследование будем учитывать только
обменное взаимодействие, т. е. будем считать, что гамильтониан
ферромагнетика имеет вид
Sf - ^ ? J{R
lm
Так как оператор 5^ = 2 s* коммутирует с гамильтониа-
гамильтонианом Ш', то собственные состояния <Ш можно характеризо-
характеризовать собственными значениями оператора Sz.
185
Мы будем обозначать общие собственные векторы опе-
операторов 0?и 5г через | !R):
S, | Я ) = (Я — Ns)\m), A9.1.1)
где 9^=0, 1, ..., 2Ns. Основному состоянию ферромагне-
ферромагнетика соответствует, очевидно, значение Ш, равное нулю.
Вектор основного состояния [ 0) удовлетворяет уравнениям
St\0) = -Ns\0), «f|0> = 0. A9.1.2)
где 5* = sf ± Isj. Так как
Г9г „±1 — + о±х
[V sr\— х *; °ц"
то второе уравнение гарантирует отсутствие состояний с проек-
проекцией спина, меньшей чем —Ns.
Подействовав на вектор состояния | 0) каким-либо из опе-
операторов s+, мы получим состояние с 9^ = 1. Но состояние
sf | 0) не будет собственным состоянием гамильтониана фер-
ферромагнетика ?!в. Легко убедиться, однако, что, образовав
суперпозицию этих состояний:
|l*>=iy*V|0), A9.1.3)
мы получим собственный вектор гамильтониана ?$ и опера-
оператора Sz:
ffl\ 1*> = (?0 + М*)I U>. sz\ 1*> = О ~Щ\ h), A9.1.4)
где Еп = — 2\i0NsH^1 — sW 2 J(Rim) — энергия основного
состояния ферромагнетика и е^(k) — 2\iji^-\- s(J@) — J{k)).
Так как, согласно A8.1.2),
то состояние | 1*) представляет собой состояние с одним ма-
гноном с волновым вектором k и энергией ss(k).
Если подействовать на вектор состояния 10) произведе-
произведением двух операторов типа sf, то мы получим состояние
с 9^ = 2. В этом состоянии имеется два магнона, которые не
обладают, однако, определенными импульсами.
Наиболее общая форма вектора состояния, содержащего
два магнона, имеет, очевидно, вид
186
2ф(?., Rj)s+s+\0). A9.1.5)
где величины -ф (Rh Rj) = -ф (Rj, Rt) можно интерпретировать
как волновую функцию двух магнонов в координатном пред-
представлении.
Нас интересуют состояния |2), обладающие определенной
энергией. Эти состояния удовлетворяют уравнению Шре-
дингера
30\2)=Е2\2). A9.1.6)
Так как д%?| 0)=Я0| 0), то
I/ Ч
A9.1.7)
где g?' = Е2 — Еп.
Чтобы упростить исследование этого уравнения, мы будем
учитывать обменное взаимодействие только между ближай-
ближайшими атомами. В этом случае гамильтониан ?f6 имеет вид
i иг.
где Уо — обменный интеграл между ближайшими соседними
атомами и суммирование по X обозначает суммирование по
ближайшим к 1-му атому соседним атомам.
Используя это выражение для гамильтониана и переста-
перестановочные соотношения
перепишем уравнение A9.1.7) в виде
— - sJ0 J] {ф (Rj + р, Rt) + ф (Rt + р, /?,-)) +
A9.1.8)
где р — вектор, соединяющий ближайшие соседние атомы,
Y — число ближайших соседей и
. г = 0.
187
Чтобы упростить это уравнение, перейдем к импульсному
представлению:
ф(*,. л>)=^2в"г*^2в'*г**(*)- A9Л9)
К k
где
(суммирование по k и К производится по первой зоне Брил-
люэна).
Подставляя A9.1.9) в A9.1.8), получим
где
/с(*) = ^5]1/к^' *')**(*')• A9.1.10)
VK (k, k') = 2У0 2] cos*p (cos i АГр - cosA'p)
и e^ (k) — сумма энергий двух спиновых волн с волновыми
—
векторами ftj = — К-\-k и k2= ^К — k:
A9.1.11)
Покажем, что интегральное уравнение A9.1.10) может
быть сведено к конечной системе алгебраических уравнений.
Введем для этого величины
1 Ч^ / 1 \
Фд- (р) = -д^- ^, фд- (k) I cos -к Кр — cos kpI.
Тогда, согласно A9.1.10),
2«Фд(р)=-Ефд(рО^(р. РО. A9.1.12)
где
Вк (Р. р') = -тг
t-tK(k)
к
Легко видеть, что
д g Л {k) Ц ^ (Р)- A9-1.13)
р
188
Приравняв нулю детерминант системы A9.1.12), получим
уравнение для определения энергии ef состояний с двумя
магнонами [6]
det{—2sA(p — рО-Ь вк(Р. Р')}=О. A9.1.14)
Легко видеть, что это уравнение при заданном К имеет N
корней, равномерно заполняющих интервал энергий:
^(*)<6f <maxe/f(Jfe) A9.1.15)
(переходящих при N-+oo в непрерывный спектр собствен-
собственных значений гамильтониана $&). Но, кроме того, уравне-
уравнение A9.1.14) может также иметь (при N —>оо) изолированные
корни. Состояния, соответствующие этим корням, и пред-
представляют собой связанные состояния двух магнонов.
Заметим, что из формул A9.1.10) и A9.1.12) следует,
что величина К (будем называть ее квазиимпульсом связан-
связанного состояния двух магнонов) представляет собой константу
движения. Однако эта величина не входит тривиальным обра-
образом ни в энергию If связанного состояния двух магнонов
(в виде слагаемого К}\1М, где М — некоторая константа),
ни в волновую функцию связанного состояния (в виде мно-
множителя eiKlt в волновой функции в координатном предста-
представлении). Это связано с тем обстоятельством, что гамильто-
гамильтониан S€ не инвариантен относительно преобразований Галилея.
2. Спектр связанных состояний. Перейдем к исследо-
исследованию спектра связанных состояний двух магнонов. Величины
Вц (р, р'), входящие в уравнение A9.1.14), могут быть, оче-
очевидно, записаны в виде
cos kp (cos ko' — а.Л
k < A9.2.1)
] ]
где t = 3 — . (cf — 4fJ0//<f)), a — cos -~- Kp и интегриро-
интегрирование производится по первой зоне Бриллюэна. Так как
— л <; кр <; я, то о ^ ар <; 1.
Величины Вк(р, р'), как видно из A9.2.1), являются
аналитическими функциями в плоскости комплексной пере-
переменной t с разрезом вдоль вещественной оси, — S ир -^
р
<^ ^». 2 ар- В этом интервале, согласно A9.1.15), лежит
непрерывный спектр собственных значений гамильтониана.
189
-{-4sJ0C
Дискретный спектр гамильтониана (если он существует)
лежит вне этого интервала, т. е. при
m > 2 ор-
Исходя из физических соображений, область существова-
существования связанных состояний можно еще более сузить. Действи-
Действительно, по смыслу связанного состояния (f ss (f (К) < е^. (k)
для всех значений k. Поэтому ^ {К) < е^. @) ~4\iQH^-\-
C — 2 aPV Отсюда следует, что t ^> 2 <V
\ р / р
Чтобы установить верхний предел для переменной t, за-
заметим, что уравнение A9.1.14) не содержит явно магнитного
поля Hq. Поэтому для нахождения верхнего предела пере-
переменной t достаточно рассмотреть случай tiff = 0. Так как
ef > 0 (в силу устойчивости основного состояния феррома-
ферромагнетика), то t < 3. Это неравенство определяет верхний пре-
предел переменной t и при наличии магнитного поля.
Таким образом, область существования связанных состоя-
состояний определяется неравенствами
ЦаР</<3. A9.2.2)
р
Дисперсионное уравнение A9.1.14) является очень слож-
сложным. Поэтому, чтобы упростить задачу, мы рассмотрим сна-
сначала случаи одномерной и двумерной решеток. Величины
Вк(Р< р') сохраняют при этом формально свой вид A9.2.1),
если под Лир понимать одномерные и двумерные векторы,
а под г»0/BлK — величину (a/2n)d, где d — размерность ре-
решетки. Параметр t связан при этом с «f соотношением
t = d . . (If — 4(io//J,eA, и область связанных состояний
определяется неравенствами
2op<'<rf- A9.2.3)
р
Рассмотрим сначала одномерную решетку. Величина Вц
равна в этом случае
в =
К
и дисперсионное уравнение A9.1.14) принимает вид
25a2(t2 — a2O2 = (t— a2)(± t — Y*2 — а2), A9.2.4)
190
где нижний знак соответствует случаю t < — а, а верхний
знак — случаю t > а. Так как при t < — а левая и правая
части этого уравнения имеют противоположные знаки, то оно
не имеет решений при t < — а.
Если уравнение A9.2.4) при ?>0 переписать в виде
a2(s- 1)]. q(t) =
— l)a2]2,
где
то очевидные неравенства p(a)^.q(a) и р A)^-^A) пока-
показывают, что а<^<^ 1. Эти неравенства находятся в соответ-
соответствии с A9.2.3) при d~ 1.
При 5=1/2 уравнение A9.2.4) имеет единственное реше-
решение t(a) = — (I -f-a2) < 1. Этому решению соответствует
= 1A+а2)<
энергия связанного состояния *):
-|-iyo(l—cos/fp). A9.2.5)
На рис. 6 показана струк-
структура , спектра двухмагнонных
состояний в одномерном случае
(d=l). Непрерывной части
спектра соответствует область
— а<^<]а (на рис. 6 она
заштрихована). Любому значе-
значению а в интервале 0<Са<^1
соответствует единственное
связанное состояние при а ^
<^*(а)-^1, причем, как легко
видеть, t@)=-j-. Значение
t (а) = 1 достигается при а = 1.
Перейдем теперь к рас- рис. б.
смотрению связанных состоя-
состояний в двумерном случае (й = 2). Величины Вк в этом случае
могут быть выражены через полные эллиптические интегралы
первого, второго и третьего рода. Мы не будем этого здесь
делать, а ограничимся рассмотрением только некоторых част-
частных случаев.
*) Этот случай был впервые исследован Бете [5].
191
Пусть сначала а] = а2 = а. Можно показать, что в этом
1/4 \
случае в интервале 0<;а<^-^- 1 имеется два связан-
состояния t, (a), /, (а),
is \ я
ных
причем
Состояние
1
1
4
1
Л.
2 s
(а) при а =
примыкает к не-
непрерывному спектру. При а >
> ~ ( И имеется только
одно связанное состояние /2(<х),
причем /2A) = 2. Структура
спектра двухмагнонных состо-
состояний при а1 = а2 = а показана
на рис. 7, из которого видно,
что 2а <^], /2<2. Это нахо-
находится в соответствии с неравен-
неравенствами A9.2.3).
Если а2 —0, а1=а, то исследование корней уравнения
A9.1.14) производится совершенно элементарно. В этом слу-
случае в интервале 0 <^ а -^ 1
имеется два связанных со-
состояния. Одно из этих со-
состояний /х (а) в точности
совпадает со связанным
состоянием в одномерном
случае, другое же опре-
определяется формулой
Рис. 7.
1 -
, 4s ) "Г" а •
A9.2.6)
Структура спектра в
этом случае
рис
жит
. 8.
Наконец,
для
показана на
рис. 9 слу-
иллюстрации
1.
4s
0
Рис. 8,
структуры спектра в общем виде. По осям отложены вели-
величины cii и а2. В области изменения <Х] и а2, соответствующей
заштрихованной части рисунка, существует одно связанное
состояние. В остальной области изменения ах и а2 имеется два
связанных состояния.
192
Перейдем теперь к рассмотрению связанных состояний
в трехмерном случае (d — 3).
Пусть сначала <Х] =а2 = а3 = а. Тогда уравнение A9.1.14)
распадается на два совпадающих уравнения:
и уравнение
2sa
—
A9.2.7)
A9.2.8)
где
л л л
D (х) = —[ [ [
cos *' dkl
X — COS k, — COS k2 — COS ks '
1 t ( ( cos ki cos k2 dkx dk2
n J J J x COS «i COS «2 '
0 0 0
я л я
¦ COS k3
0 0 0
Уравнению A9.2.7) соответствует двукратно вырожденное
связанное состояние, а уравнению A9.2.8) — невырожденное
связанное состояние.
Рис. 9.
Структура спектра двухмагнонных состояний в этом слу-
случае показана на рис. 10. Из рисунка видно, что не суще-
существует связанных состояний при а, близких к единице (ма-
(малые К). Так как граница непрерывного спектра определяется
13 А. И. Ахиезер 193
уравнением t = За, to двукратно вырожденное связанное со-
состояние ответвляется от непрерывного спектра при
а невырожденное состояние при
D,C) = 0.17.
При a •¦= 0 величина t (a) равна l/4s как для уравнения
A9.2.7), так и для уравнения A9.2.8).
Рис. 10.
Рис. 11.
Исследование случая a]=a2 = 0, a3 = a сводится к ре-
решению уравнения A9.1.14) для одномерной и двумерной ре-
решеток. Структура спектра при a1 = a2 = 0 изображена на
рис. 11. Из этого рисунка видно, что в области 0<а<
1/4 \
< -к— 1 имеется три связанных состояния, а в области
1/4 \
уг- 1<а<;1 — два связанных состояния.
J.S \ П I
194
На рис. 12 качественно показано число связанных состоя-
состояний в различных областях пространства 0<<^с^-<^1 (/=1,
2, 3) в общем случае. Из рисунка видно, что в области О
(.0,1.1 )
(ОД1)
@,0.0)
(WJ
(V,o)
вблизи точки аг да I (малые К) вообще нет связанных состоя-
состояний; в области / имеется одно связанное состояние; в об-
области 2 — два связанных состояния; и, наконец, в области 3 —
три связанных состояния. Этот рисунок, очевидно, качественно
согласуется с рис. 10 и 11.
ГЛАВА VI
ТЕРМОДИНАМИКА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ
И АНТИФЕРРОМАГНЕТИКОВ
§ 20. Термодинамика ферромагнетиков
1. Термодинамический потенциал идеального газа
магнонов. Выяснив характер статистики, которой подчиняются
спиновые волны — магноны и зная закон их дисперсии, мы
можем перейти к исследованию термодинамических свойств
ферромагнетиков и антиферромагнетиков.
Воспользуемся с этой целью известным соотношением [1]
Q = — 74nSpe T , B0.1.1)
связывающим термодинамический потенциал Q произвольной,
системы с ее гамильтонианом ?Ю. Гамильтониан магнито-
упорядоченных кристаллов складывается из гамильтониана
спиновой системы и гамильтониана решетки. Поэтому в термо-
термодинамический потенциал таких кристаллов вносят вклад как
спиновая система, так и решетка. Мы рассмотрим здесь вклад
спиновой системы и будем поэтому под §f6 понимать гамиль-
гамильтониан спиновой системы ?/вs. Этот гамильтониан можно пред-
представить в виде
где е%?0 — гамильтониан идеального газа магнонов и &6ss —
гамильтониан взаимодействия между магнонами.
В области достаточно низких температур можно считать
что магноны образуют идеальный газ частиц, подчиняющихся
статистике Бозе — Эйнштейна. Для этого необходимо, чтобы
температура удовлетворяла условию Т <<^ТС для феррома-
ферромагнетиков и T<^TN — для антиферромагнетиков. В этих
196
условиях можно сначала не учитывать гамильтониана взаимо-
взаимодействия 36 ss и исходить из следующего выражения для
термодинамического потенциала:
Qo = — T'lnSpe T . * B0.1.2)
Подставляя сюда
= е0 (щ+2
U ]
U ]
где &sj(k) — энергия магнона сорта j с волновым вектором k
и c+\k), c.{k) — операторы рождения и уничтожения соот-
соответствующего магнона, получим следующее выражение для
термодинамического потенциала идеального газа магнонов:
-~ е т ). B0.1.3)
Равновесная плотность магнитного момента М[Т, Но) и спи-
спиновая теплоемкость cs(T, Hffl) магнитоупорядоченного кри-
кристалла связаны с Q соотношениями
AIe__L.-i° Cs = -L^ B0.1.4)
V дНое) s V дТ2 К '
где V — объем тела. Для идеального газа магнонов эти фор-
формулы приобретают, согласно B0.1.3), вид
м(т, н^) =
V дН(е) BjiK ~ J дН{е) BsJ(ft)
' e T _i B0.1.5)
« y -1
Первое слагаемое в формуле для М представляет собой плот-
плотность магнитного момента при Т = 0, а второе слагаемое —
поправку к плотности магнитного момента, обусловленную
конечной температурой спиновых волн.
2. Равновесный магнитный момент и спиновая тепло-
теплоемкость ферромагнетиков. Перейдем к определению равно-
равновесного магнитного момента и спиновой теплоемкости ферро-
ферромагнетиков.
197
Равновесные состояния ферромагнетиков
0 < О, N3>N2>N,
3 3
199
Рассмотрим прежде всего одноосные ферромагнетики С
магнитной анизотропией типа «легкая ось», причем будем
предполагать, что стороннее магнитное поле Н$ и равно-
равновесный магнитный момент направлены вдоль оси анизотропии
(условия, при которых Мо параллелен Н^\ приведены на
стр. 198— 199на схеме равновесных состояний ферромагнетика).
Используя выражение A8.2.7) для Ео и выражение A8.3.3)
для Ак и Bk, можно найти намагниченность таких ферро-
ферромагнетиков при Т = 0 [2]:
V V
1/ 4-iTii AA \ ''¦) / Ot( hA
6ns \ Qc J \ H(ol) -f рЛ
l0. B0-2Л)
где
4 йп[—5^—j J'
Второе слагаемое в этих формулах обусловлено «нуле-
«нулевыми» колебаниями спиновых волн и составляет по порядку
величины ( ° ° 1 2« 10~ от первого слагаемого. Таким
\ "с I
образом, равновесное намагничение при Т = 0 практически
не зависит от внешнего магнитного поля.
Определим зависимость магнитного момента и спиновой
теплоемкости ферромагнетика от температуры. Энергия спи-
спиновой волны в рассматриваемом случае, согласно A8.34),
равна
е, (*) = [% (akf -Ь \io{Hf + (Ш„)] [вс (akf +-
где dft — угол между волновым вектором k и осью анизо-
анизотропии. Используя это выражение для zs(k) и переходя
в B0.1.5) от интегрирования по At к интегрированию по
х = -у-, можно представить величину ДМ = М (Т, Н^) —
200
— Ж (О, Н{ое)) в виде
Ма I Т
X
ОО
/
[/.у2 +12 sin4 ft — (т] -f
е^—1
dx,
где
В этих же переменных спиновая теплоемкость ферромаг-
ферромагнетика определяется формулой
\s p ^~"^ /2 9 Q I f\
X
Kii A1+25 sin2
dx-
—П—1 sin2
Приведем выражение для АуИ, cs в некоторых наиболее
интересных предельных случаях *):
~ iSr м° (i)8/2 •
0Ж() [4] B0.2.2)
*) Зависимость AjM и cs от Т при Г ^> 2п\а0М0 и 7" ^
Но (Р-Л^о "Ь "о'') — так называемый закон трех вторых — была
впервые получена Блохом [3].
201
А ехР
Г яиоИ
Г <С2л(хо/Ио<С |л0(р/И0 + Я</>). B0.2.2)
105 s \ 2 / 1 / 7_ \ / T \Ъ
64 п'Ь a
з
9,
0м0 [4],
7- <С М-о
Xexpj ^—°- -
B0.2.3)
Мы видим, что в случае сильных магнитных полей и
очень низких температур отклонение равновесного магнитного
момента от его значения при Т = 0 и спиновая теплоемкость
ферромагнетика экспоненциально малы. Это обстоятельство
связано с наличием энергии активации у спиновых волн.
Сравним спиновую теплоемкость ферромагнетика с тепло-
теплоемкостью, обусловленной колебаниями решетки. Эта тепло-
теплоемкость (она называется фононной) в области температур
Т <^ QD, определяется формулой
С'=ПГ' ~Мт~K' B0.2.4)
где 9D — температура Дебая, равная для изотропного тела
г. /2 | 1_V" а fo< a fa;
D \ 36^ 0;3 J ' ' a l a
(st и 5; — скорости поперечного и продольного звука).
202
Легко убедиться, что спиновая теплбемкость превосходит
фононную теплоемкость в интервале температур Р[хо/Мо <
< Т < -д—. Нижний предел здесь составляет несколько сотых
градуса для веществ с малой энергией анизотропии
и равен примерно 1°К для одноосных кристаллов, у кото-
которых энергия магнитной анизотропии велика ф« 10); верх-
верхний предел получает величину порядка 10-т-100° К.
Формулы B0.2.2), B0.2.3) показывают, что при темпе-
температурах 8е^>Г^>A0(Я()г)-(-рЖ0), 2л(хо/Ио магнитный мо-
момент ферромагнетика изменяется с температурой по такому
же закону, как и спиновая теплоемкость. В других областях
эти величины имеют различный температурный ход.
Температурная зависимость магнитного момента и тепло-
теплоемкости ферромагнетиков изучалась экспериментально, причем
в согласии с теорией наблюдается закон ДЖ~'С5~7' .
Перейдем к рассмотрению ферромагнетиков с магнитной
анизотропией типа «легкая плоскость», причем будем предпо-
предполагать, что стороннее магнитное поле Но направлено перпен-
перпендикулярно оси анизотропии и равновесный магнитный момент
параллелен Но (см. схему на стр. 198). В этом случае энергия
спиновой волны в пренебрежении влиянием магнитного ди-
польного взаимодействия определяется, согласно F.2.3),
F.1.4), формулой
е, (*) = Y[Qe (ak? + 2^0 W +1 P I Mo)] [Qc («*У + 2цо/^>],
используя которую можно представить величины АМ(Т, Н^)
и cs в виде
^¦4D + 1)
оо
где т) = 2(xo//J)/yr, |=2|р|(хоЖоуТ. Так как мы пренебрегли
203
Равновесные состояния антиферромагнетиков
п
xjte)
А Н1ое>
м,
п
Н,
(В)
-7
П
п,
о
И — ТАМ
влиянием магнитного дипольного взаимодействия, то этими
формулами можно пользоваться при Т ^> 2л(х0Ж0.
Рассмотрим несколько предельных случаев.
Если T~^>\iQHW, Г^>|р|(х0Ж0, то мы снова приходим
к формулам Блоха для cs и ДМ.
Если*) (Х0Я(/><;:Г<С|Р|A0Ж0, то [5]
Наконец, если |р|ЛТо;>Я^> и Т^^УШЩЦР> то
B0.2.6)
uc
XlrSr) l^V4 expj —
3. Магнитокалорический эффект. Зная зависимость
теплоемкости спиновых волн от стороннего магнитного
поля Hqi , можно исследовать магнитокалорический эффект,
т. е. изменение температуры ферромагнетика при адиабати-
адиабатическом изменении стороннего магнитного поля. Чтобы найти
это изменение температуры, нужно приравнять значение
энтропии в начальном и конечном состояниях:
Ss(H[e\ Г1) + 5;(Г1) = 55(Я^), Г2) + 5, (Т2), B0.3.1)
где Ss(H(e\ T) — энтропия спиновых волн, SL(T) — энтро-
энтропия фононов и Н(\\ Т^ и Н^К Т2 — начальные и конечные
значения магнитного поля и температуры. Энтропия спиновых
волн определяется формулой
*) Для Dy константа р может достигать значений р ~ 102.
205
используя которую легко показать, что
0, (х01 р | Жо>
Энтропия фононного газа при Т <^ QD равна
Подставляя эти выражения в B0.3.1), получим следующее
уравнение для определения конечной температуры ферромаг-
ферромагнетика при адиабатическом выключении стороннего магнит-
магнитного поля нРAюН@е)^?>Т^>2л110М0, (Jo|p|Mo).
Г, у/, НЩе) { WW\ 2я2 / Г, \з
) ехЧ
4яМе,,
_ 5? E/2)
В левой части этого уравнения можно пренебречь энтропией
спиновых волн по сравнению с энтропией фононов. Пред-
Предполагая далее, что начальная температура Г, достаточно
низка, '1<С^-д—. можно в правой части этого уравнения
"с
пренебречь энтропией фононов по сравнению с энтропией
спиновых волн. В результате мы получим
Мы видим, что конечная температура Т2 при адиабати-
адиабатическом выключении достаточно сильного магнитного поля
оказывается значительно меньше начальной температуры Т1
(напомним, что формула B1.3.2) относится к случаю 7\<^
Уменьшение температуры ферромагнетика при адиабати-
адиабатическом выключении сильного стороннего магнитного поля
связано с тем, что энтропия спиновой системы в этом случае
уменьшается с ростом стороннего магнитного поля, так как
206
большим магнитным полям соответствует большая упорядо-
упорядоченность в спиновой системе. С другой стороны, большему
упорядочению в спиновой системе в отсутствие стороннего
магнитного поля соответствует более низкая температура.
Поэтому при адиабатическом выключении стороннего магнит-
магнитного поля возникающая неупорядоченность в спиновой си-
системе соответствует более низким температурам, чем при
наличии стороннего магнитного поля. Это и приводит
к уменьшению температуры ферромагнетика.
Заметим, что если Щ « Мо, то зависимость спиновой
энтропии от магнитного поля Н%) может быть не монотон-
монотонной, благодаря чему выключение магнитного поля не будет
обязательно приводить к уменьшению температуры тела.
4. Влияние взаимодействия между спиновыми волнами
на термодинамический потенциал ферромагнетика. При
вычислении термодинамического потенциала ферромагнетика
мы считали, что спиновые волны образуют идеальный газ, и
не учитывали взаимодействия спиновых волн друг с другом.
Покажем теперь, что при низких температурах, Т<§^ТС,
взаимодействие между спиновыми волнами оказывает малое
влияние на термодинамический потенциал ферромагнетика.
Определим с этой целью поправку к термодинамическому
потенциалу в первом борновском приближении по энергии
взаимодействия спиновых волн &€ss. Эта поправка опреде-
определяется, согласно B0.1.1), формулой
Q1 = Sp^/ T . B0.4.1)
Подставляя сюда ?ft?ss = Sflf + Stlf1 + . . . и используя
выражения A8.1.11) для S&i и ?f€s, получим
Qi = S Ф, A2.34) (а+а+а3а4) A (ft, + k2 - k3 - Л4),
207
перепишем пг в виде
О1 = 22л,л2Ф,A2.12). B0.4.2)
Оценим сначала вклад, вносимый в Q, обменным взаимо-
взаимодействием. В области волновых векторов ak ^s> l/ , "
V Jo
величина Ф3 A2,12) определяется формулой A8.1.13), атак
как Т <^ Qc, то эту величину можно разложить в ряд по
степеням ak, в котором должны быть сохранены члены по-
порядка (akL (так как член kxk2 при интегрировании по dkt dk2
обращается в нуль). Отсюда следует, что интересующий нас
вклад в Qj имеет вид [6]
Это соотношение справедливо при с
Таким образом, поправка к термодинамическому потен-
потенциалу в области температур (хаЛ10 <^ Т <^ 9С пропорцио-
пропорциональна пятой степени температуры.
В случае простой кубической решетки
"h C*lPK C*2P)
. B0.4.3)
где
Со
Sp-mx
m-1
Определим вклад Q{\ вносимый в термодинамический
потенциал релятивистскими взаимодействиями. В этом случае,
согласно A8.1.15),
и поэтому
Мы видим, что если Т ^> |^^ОЖО9С, то основную роль играет
обменное взаимодействие.
208
Рассматривая далее только эту область температур и
используя формулу B0.4.3), легко найти поправки к плот-
плотности магнитного момента и спиновой теплоемкости ферро-
ферромагнетика:
Заметим, что при сравнении формул B0.4.4) с форму-
формулами B0.2.2), B0.2.3) необходимо иметь в виду, что при
выводе последних мы считали, что es (?) = eo-f Qc(akJ.
В действительности же закон дисперсии магнонов имеет вид
zs(k) — eQ-\-s(J@) — J(k)). Другая зависимость энергии маг-
нона от k также приводит к поправке к термодинамическому
потенциалу. Легко убедиться, что термодинамический потен-
потенциал нулевого приближения с учетом более сложной диспер-
дисперсионной зависимости энергии спиновой волны в случае про-
простой кубической решетки имеет вид
(здесь выписаны слагаемые, содержащие температуру, степень
которой не превосходит 9/2). Первое слагаемое в этом вы-
выражении соответствует закону дисперсии магнонов es(ft) =
= е0 -f- 6C(akJ и приводит при ео=Ок выражениям B0.2.2),
B0.2.3) для магнитного момента ферромагнетика и спиновой
теплоемкости.
В заключение этого раздела остановимся на роли свя-
связанных состояний магнонов в термодинамике ферромагне-
ферромагнетиков.
Связанные состояния двух магнонов, которые мы иссле-
исследовали в § 19, можно рассматривать как совокупность новых
квазичастиц с квазиимпульсом К и энергией (? {К)- При
низких температурах, очевидно, главную роль будут играть
связанные состояния с наименьшей энергией и, следовательно,
с малыми значениями квазиимпульса К- Так как в трехмерном
случае связанных состояний двух магнонов с малым значе-
значением К (Ка<^1) не существует, то в области низких тем-
температур связанные состояния вносят пренебрежимо малый
14 А. И. Ахиезер 209
вклад в различные термодинамические величины. Однако
в двумерном и одномерном случаях, когда возможны свя-
связанные состояния при любых значениях квазиимпульса К,
они могут играть роль в термодинамике ферромагнетиков
в области низких температур. Заметим, наконец, что связан-
связанные состояния могли бы проявиться в дифференциальных
сечениях рассеяния электромагнитных волн, а также нейтро-
нейтронов в ферромагнетиках.
§ 21. Термодинамика антиферромагнетиков
1. Спиновая темлоемкость антиферромагнетиков. Пе-
Перейдем к исследованию тепловых и магнитных свойств анти-
антиферромагнетиков в области низких температур, Т <з^ TN.
Спиновая часть термодинамического потенциала антифер-
антиферромагнетика с двумя магнитными подрешетками, которые мы
только и будем рассматривать, определяется при Т <^ ТN
формулой B0.1.3), в которой суммирование производится по
двум типам спиновых волн, существующих в таких анти-
антиферромагнетиках.
Начнем с определения спиновой теплоемкости антифер-
антиферромагнетиков:
Г fe
с __J_._^y Г ^() dk
s~ BяK дТ JU ] eSj (fe)
1 e T -1
Рассмотрим сначала антиферромагнетики с магнитной ани-
анизотропией типа «легкая ось». Пусть Щ параллельно п
(п—единичный вектор вдоль оси анизотропии) и Н^ < Н\.
Тогда энергии магнонов будут определяться, согласно (8.2.1),
формулами
где Qj^a2 = 2 6 (а — а') u,/W0, jx = hg (мы считаем для простоты,
что at. = аб^,, а' = а'6; Л. Используя это выражение для esj,
получим
где
8
ъ т < ч— т
Приведем выражения для cs в некоторых предельных слу-
случаях [7—9]:
«,= <
»гЩ{Нх-Нф)
B1.1.1)
Пусть магнитное поле Н$ направлено перпендикулярно
оси анизотропии. Тогда, согласно (8.2.2), энергии магнонов
определяются формулами
8,2 (k) =
и спиновая теплоемкость имеет вид [9]
ех—\
h
ОС
dx-
—\
В предельных случаях \jlHi, \xHq
q
\iHx
эта формула приводит к выражениям для cs, совпадающим
с первыми двумя выражениями B1.1.1).
Если Т <^цН$ , цН1 и Н^^ Hi, то спиновая тепло-
теплоемкость также определяется второй из формул B1.1.1), в
которой только добавляется множитель 1/2. При этом спи-
спиновая теплоемкость будет экспоненциально малой, независимо
14* 211
оттого, мала или велика разность |#i—#(<о|. (Напомним,
что если магнитное поле Н(ое) параллельно оси анизотропии,
то при \i Hi — Н$ | <^ Т <^ \хИ^\ \iH\ спиновая теплоем-
теплоемкость пропорциональна 7"/*.)
В области температур QN^>T~^>\iH(Qe), цЯ, спиновая
теплоемкость антиферромагнетиков пропорциональна'третьей
степени температуры, т. е. ведет себя так же, как и фонон-
ная теплоемкость, независимо от ориентации магнитного
поля Но . Следует отметить, однако, что условие \хН1 <<z^ QN
может выполняться только в случае антиферромагнетиков
с достаточно высокой температурой Нееля. Для антиферромаг-
антиферромагнетиков с температурой Нееля в несколько десятков градусов
(хЯ, ~ Эд,. Поэтому наблюдать закон Т3 в спиновой тепло-
теплоемкости в антиферромагнетиках с магнитной анизотропией
типа «легкая ось» очень трудно.
Зная спиновую теплоемкость антиферромагнетиков, можно
выяснить, как проявляется в них магнитокалорический эффект.
Рассмотрим, например, тот случай, когда магнитное поле #[f'
параллельно оси анизотропии и Н$ < Н\. Изменение темпе-
температуры при адиабатическом выключении внешнего магнитного
поля можно определить из условия равенства энтропии до и
после выключения магнитного поля. Опуская простые вы-
выкладки, приведем выражение для конечной температуры Т2:
сильно проявляется, если \i
где 7, — начальная температура антиферромагнетика. Эта
/ 9 \2
формула справедлива, если T1<^_\iH1, цН1\-^-\ .
Выше мы видели, что спиновая теплоемкость зависит не
только от величины, но и от направления магнитного поля Н^
относительно оси анизотропии. Эта зависимость особенно
) — Нг | <^ Т <^цНи цН^ .
В этом случае спиновая теплоемкость С^^— -^—I , если
магнитное поле параллельно оси анизотропии и экспонен-
экспоненциально мала, если магнитное поле перпендикулярно оси
анизотропии. Благодаря этому должно происходить умень-
уменьшение температуры антиферромагнетика, если антиферромаг-
антиферромагнетик, первоначально находящийся в магнитном поле, пер-
перпендикулярном к оси анизотропии, повернуть таким образом,
212
чтобы магнитное поле стало параллельно оси анизотропии.
Конечная температура тела определяется при этом формулой
где I = 2л(ТЕ5г^5тт1 ' ~ 0,15. Эта формула справедлива,
\ Joj G2) /
р2
если 7
Рассмотрим теперь антиферромагнетики с магнитной ани-
анизотропией типа «легкая плоскость». Если поле Но перпен-
перпендикулярно п, то спиновая теплоемкость таких антиферро-
антиферромагнетиков определяется формулами [9, 10]
4я2
B1.1.4)
Мы видим, что в широком интервале температур спиновая
теплоемкость пропорциональна 7*3, т. е. ведет себя с изме-
изменением температуры, как и фононная теплоемкость. При
этом, однако, коэффициент при 7*3 в области температур
цНое\ (A#i <<с^ Г<^ 0jv вдвое больше соответствующего ко-
коэффициента в области температур \х.Щ <^ Т <^ \iH\ (или
|i//i <^ Т <^ ixHoe)). Это связано с тем, что при достаточно
низких температурах возбуждается только безактивационная
ветвь спиновых волн, в то время как в области более вы-
высоких температур возбуждаются обе ветви спиновых волн *)
Если стороннее магнитное поле параллельно оси анизо-
анизотропии, то спиновая теплоемкость определяется первой из
формул B1.1.4) при Г<сУ((хЯJ+((хЯ^J и третьей из
формул B1.1.4) при T^VbxHrf+diHff [11].
2. Тензор статической магнитной восприимчивости
антиферромагнетиков. Как мы знаем, магнитные моменты
подрешеток антиферромагнетика, в отсутствие стороннего
*) Отметим, что удвоение коэффициента при Г3 в теплоемкости
спиновых волн было экспериментально наблюдено в МпСО3 [10].
213
магнитного поля, компенсируют друг друга; в слабых же
магнитных полях возникает результирующий магнитный мо-
момент, пропорциональный стороннему магнитному полю. По-
Поэтому магнитные свойства антиферромагнетиков в случае сла-
слабых полей можно описывать тензором статической магнитной
восприимчивости:
_ dMj _
Xik иг(е)
V
д2Еп
BлK дН\е) дН[е)
V
*I
Подставляя сюда выражения (8.2.1) — (8.2.4) для энергий
магнонов в антиферромагнетиках, легко вычислить компоненты
тензора yak. Мы приведем здесь окончательные результаты
для отличных от нуля компонент j_ik при Hq —>0.
Для антиферромагнетика с магнитной анизотропией типа
«легкая ось» [8—10]:
Xxx — Xyy —
B1.2.1)
Xzz
T
а для антиферромагнетика с магнитной анизотропией типа
«легкая плоскость» [9, 11]:
Ххх Хуу Хо 12 аЩ 17) / '
я2 TIT
B1.2.2)
(здесь %0 = -г и ось 2 направлена вдоль оси анизотропии).
214
1 Ц / Г \2
§ 22. Спиновые функции Грина и высокочастотная
магнитная восприимчивость ферромагнетиков
1. Корреляционные функции спинов и двухвремеиные
функции Грина. Как мы знаем, отличительной особенностью
ферромагнетика является наличие сильной корреляции между
направлениями спинов его отдельных атомов. Эту корреля-
корреляцию характеризуют корреляционные функции спинов, которые
определяются следующим образом. Если sl (t) — оператор
спина l-то атома в гейзенберговском представлении, то кор-
корреляционными функциями спинов /-го и т-то атомов назы-
называют усредненные значения операторов s^(?)s^@) (индексы i,
k обозначают проекции спина):
(s> {t) s*m @)) = Sp pos/ (t) s"m @), B2.1.1)
где pj — равновесная матрица плотности ферромагнетика, свя-
связанная с его гамильтонианом $в соотношением
а-ас
Ро = е т . B2.1.2)
Корреляционные функции можно выразить через матрич-
матричные элементы операторов спина. Введем для этого собствен-
собственные векторы | v) гамильтониана ферромагнетика ?}в\
где Ev — значение энергии ферромагнетика в состоянии | v).
Тогда
(s* @) s' (О) = S ^ (°"?v) (V | s* @) | (х) ((х | s't (t) | v),
vn
где э = y- Ho
(V | s\ @1 v) = eiJ* ^~Bv) (jx | s/ @) | v>.
Поэтому
Из этой формулы следует, что компонента Фурье корре-
корреляционной функции (skv @) sj(t)\
- /'. со) = J dte^ ^* @) s* (^ B2.1.3)
может быть представлена в виде
2 ^ (°-?v) (V | s* @) | |i) (ц 15/, @) | v) б (Йсо + Я - Е ).
B2.1.4)
Ясно, что
со
^ Jrt(/ —/'. а). B2.1.5)
Из формулы B2.1.4) в силу эрмитовости операторов st вы-
вытекает соотношение
flh (l —1\ со) = Ум (/' — /, со). B2.1.6)
Аналогичным образом может быть определена компонента
Фурье J'lk (I — /', со) корреляционной функции (sf (t) sf, @)\;
ао
(s' (/) s* @)) = ^ J d«De-'a'4 (Z — /'. со), B2.1.7)
— со
где
*' @) I v) (v | sf- @) | ц) б (й<й -Ь ?„ - fiv).
HV
Легко убедиться, что
J'lk (/ - f. со) = /ЙИУ« (/ — /', со). B2.1.8)
Введем наряду с корреляционными функциями двухвре-
менные запаздывающие функции Грина [12j *)
ОЙ (I - i. t) = — /в @ ([st (/), sf @)]> B2.1.9)
и двухвременные опережающие функции Грина
0$ (/ — /'. /) = /в (- /) <[*/ (t), sf' @)J>. B2.1.10)
где
1, f>0,
о. ^<o.
*) Метод функций Грина к решению задач ферромагнетизма
был впервые применен Боголюбовым и Тябликовым [14].
219
Используя формулы B2.1.3), B2.1.7) и B2.1.8), легко
выразить компоненты Фурье запаздывающей и опережающей
функций Грина через функцию V,-ft(Z — /', со) (эта функция
называется спектральной функцией):
—l.e>) = -^ J
—оо
00
- I , со}- ^ J
a _ щ' 4- /о
B2.1.1
ю_ю'_/о
Заметим, что функция G^(/—/', со) является аналитиче-
аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексного пере-
переменного со, а функция 0Й'(/ — /, со) — аналитической функ-
функцией в нижней полуплоскости со.
Формулы B2.1.11) показывают, что функции G^,(/ — /', со)
и G/fe'(/ —l', со) можно рассматривать как предельные значе-
значения единой аналитической функции Oik(l — I', z) комплекс-
комплексной переменной z:
^ ]r2T~l)^. B2.1.12)
—оо
Именно:
G{ll (/ - /', «) = Qlk (l -l', of-10), }
G%} (/ — /',«) = Oik {I — Л © - Ю).
Из определения Glk{l — /', z) следует:
Olk (I — l', а — Ю) - Glk (I ~ l', и -(- Ю) =
l)Jlk(l — l', и). B2.1.14)
Это соотношение вместе с формулами B2.1.5), B2.1.7) по-
позволяет связать корреляционные функции спинов (sf, @) sj (t)y
(slt it) sf, @)) со скачком функции Gilt (I — /', z) на
217
вещественной оси:
B2.1.15)
/0) - Grt (/ - /', со -
Входящую сюда функцию Gik(l — l', <o-\-iQ) — Gik{l — l',
(о — ДО) можно выразить через запаздывающую функцию
Грина. Действительно, согласно B2.1.11) и B2.1.6),
-l',a) = GiT(/'-Л со)
и, следовательно,
G/ft (* — /', w-f- /0) — Gik{l — l', со — ДО)
Вводя обозначения
Jik(k, a) = 23 e'lhRu'Jlk(l — /', и), B2.1.16)
y;ft(ft. fl,) = ^e-'*J?«7/* (/-/'. со),
получим из B2.1.15)
У«(*. <») = ^(в{ОЙ(А. ее) —Ой*(*. и)}.
у/И*. ©) = к^ш+1){ой(*. ffl)-oiT(*. <»)}. B ЛЛ7)
где
2. Связь тензора высокочастотной магнитной вос-
восприимчивости с двухвременной запаздывающей функцией
Грина. Покажем, что тензор высокочастотной магнитной
восприимчивости может быть выражен через двухвременную
запаздывающую функцию Грина [13]. Определим для этого
218
среднее значение оператора st в переменном стороннем маг-
магнитном поле:
B2.2.1)
где р(О—матрица плотности ферромагнетика в шрединге-
ровском представлении при наличии стороннего переменного
магнитного поля h(r, t). Она удовлетворяет уравнению
Й-^ = [Л?-г-V. р], B2.2.2)
где ?}в — гамильтониан ферромагнетика в отсутствие сторон-
стороннего переменного магнитного поля и V — гамильтониан взаи-
взаимодействия ферромагнетика с переменным магнитным полем:
_ .. f)st. B2.2.3)
Для нахождения st(t) перейдем к гайзенберговскому пред-
представлению:
— if -i— чс
s,(t)—eT s,e~ T .
B2.2 А)
Матрица плотности в гейзенберговском представлении удо-
удовлетворяет уравнению
= П/(Г>, р], B2.2.5)
где V (t)—оператор энергии взаимодействия ферромагнетика
с переменным сторонним магнитным полем в гайзенбергов-
ском представлении:
V(O = 2moS*(*,. 0*; (О-
В первом приближении по стороннему переменному маг-
магнитному полю решение уравнения B2.2.5) имеет вид [8]
= р(—оо) — -J- JVtf'). P(— оо)]Л'. B2.2.6)
где р(—оо) — матрица плотности системы при t = — оо.
Предполагая, что при t = —со переменное магнитное поле
обращалось в нуль, а ферромагнетик находился в состоянии
219
термодинамического равновесия, мы должны выбрать в ка-
качестве матрицы плотности р(—оо) равновесную матрицу
плотности рд. Согласно B2.2.6) и B2.2.1) мы получим тогда
следующее выражение для среднего значения спина 1-го атома:
оо
3(О = (ф + -^2 \dMU-i'. t-t')hk{Rv> О-
/' -со
B2.2.7)
где Gil (l — / , t) — запаздывающая двухвременная функция
Грина, определяемая формулой B2.1.9) и /sf\ — равновесное
(при данной температуре) значение спина 1-го атома:
Зная среднее значение спина 1-го атома st(t) можно, со-
согласно формуле A.3.3), найти среднее значение оператора
плотности магнитного момента:
Щг. /) = — 2|io 2 а (г—я,) i; (/).
Подставляя в эту формулу вместо st(t) выражение B2.2.7),
получим
m(г, t) = M(r, t) — M0{r) =
W -co
B2.2.8)
где
есть равновесная плотность магнитного момента.
Найдем компоненту Фурье m(r, t):
m(k, co)= J drdte-i("r-at)m(r, t).
Замечая, что
220
где х — вектор обратной решетки и v0 — объем элементар-
элементарной ячейки, получим из B2.2.8)
2 2лт, со),
где h (k, со) — компонента Фурье стороннего магнитного поля
h(r, t):
h(k, со)= Г drdte-4kr-^h{r, f). B2.2.10)
Формулу для m(k, со) можно представить также в инте-
интегральном виде
m(k, со) = \ ?'(*• k'; со) A (ft', a)dk', B2.2.11)
где
? ' — k-\-2nx),
Заметим, что интегральная связь между компонентами
Фурье плотности магнитного момента и стороннего магнит-
магнитного поля обусловлена тем, что ферромагнетик не является
однородным телом, а представляет собой периодическую
структуру.
Если стороннее магнитное поле мало меняется на рас-
расстояниях порядка a(ak<^\) и мы интересуемся «длинновол-
«длинноволновыми» компонентами Фурье магнитного момента (ak<^\), то
m(k, ю) = х'(*. и)Л(й, со). B2.2.13)
Так как стороннее переменное магнитное поле, вообще го-
говоря, не совпадает с магнитным полем в ферромагнетике h('\
то тензор %'(&, со), с которым мы уже встречались в § 10,
отличается от тензора магнитной восприимчивости %(k, со).
Если kL~^§>\ (L — размеры тела), то компоненты Фурье
полей h(r, t) и ft (r, If) связаны между собой соотношением
Поэтому соотношение B2.2.13) в этом случае можно пере-
переписать в виде
U 4я , , ,,
221
Сравнивая это уравнение с соотношением
лу(*. ю) = Ху/(*. ю)Лр>(*. ю).
получим
?(*, Ю) = [1_4лх'(.к ю)«]"'х>(*. «)¦ B2.2.14)
где
к]
Из последней формулы следует:
?'(*. ©) = х(*. а)[1+4яях(*. о)]. B2.2.15)
Подставляя сюда вместо х(^> ®) выражение F.3.3), получим
~>(ъ (л\
to, 0\
/и/^Л10т. 0 I B2.2.16)
0, 0/
(ось г выбрана вдоль оси анизотропии п, а ось у — перпен-
перпендикулярна плоскости (п, k); релаксационная постоянная 1/т2
предполагается равной нулю). Мы видим, что полюсы тен-
тензора %'(k, (о) определяют частоту a>s(k) и декремент затуха-
затухания спиновой волны ys(k) с волновым вектором k.
Если kL <CI 1. то поля hM (со), Л («) связаны между собой
соотношением
и, следовательно,
«в) = [1—4ях'@. v>)fi]-lJi'(O. ю),
где ^V — тензор размагничивающих коэффициентов (тело пред-
предполагается имеющим эллипсоидальную форму, см. § 10). Из
последней формулы следует:
Х'@. «в) = х@. (о)[1+4яЛ^?@, со)]-1.
Эта формула совпадает с формулой A0.4.2). В случае одно-
одноосного ферромагнетика с магнитной анизотропией типа «лег-
«легкая ось» и //о^Н» тензор %' @. «) определяется формулой
A0.4.4).
222
Используя формулы B2.1.7), можно выразить спектраль-
спектральные функции Jin (k, о)) и Jik (k, о) через антиэрмитову часть
тензора х'ц, (*¦ со):
B2.2.17)
С помощью этих соотношений можно получить выраже-
выражения для компонент Фурье корреляционной функции операто-
операторов плотности магнитного момента {Mt{rv tl)Mj{r2, t%)),
где оператор Mt(r, t) определяется формулой A.3.3). Со-
Согласно формулам B2.1.7), B2.2.9) компонента Фурье этой
функции имеет следующий вид:
J drdr'ше1а(<-1'^1кг+1к'г' {Mi{r, t)Mj(rf, t'j)=s
= BnK(MiMJ)ia'2i6(k-k' + 2jix), B2.2.18)
т
где
или, согласно B2.1.7), B2.2.12),
<*W*ffl="(A',B+1){jc7i(*" e>)-x;,(*. «)}. B2.2.19)
Это важное соотношение определяет спектральное распреде-
распределение флуктуации плотности магнитного момента в ферро-
ферромагнетиках. В § 24 мы вернемся к этому соотношению и
применим его для исследования процессов рассеяния нейтро-
нейтронов и фотонов в ферромагнетиках.
Определим в заключение этого раздела запаздывающую
функцию Грина Q^j(k, а) при i = 0 в пренебрежении реля-
релятивистскими взаимодействиями.
Заметим прежде всего, что
, B2.2.20)
о
где S(O—2*i(O и N — полное число атомов в ферромаг-
ферромагнетике.
223
При учете одного только обменного взаимодействия га-
гамильтониан ферромагнетика имеет вид
где if6e — гамильтониан обменного взаимодействия. Так как
[S, ЭД=0, то
Si @ = —g" t5' W. ^ @1 = "тг еш М* 5г (О-
Отсюда следует;
Sx (t) = Sx @) cos соог — Sy @) sin coo^,
Sy (t) = Sx @) sin соог -f Sy @) cos cont,
5,@ = 5,@).
где Go — gH^ (ось ? направлена вдоль #ое)). Подставляя
эти соотношения в B2.2.20) и используя перестановочные
соотношения для операторов полного спина:
[Sj. Sk]=t&mS[.
найдем
, I I
М + Ш° + Ю«' B2.2.21)
1
<й — ш0 + г'О Г
(остальные компоненты тензора G(/}@, со) равны нулю).
Тензор Xij(O, со) определяется формулой
X/0 @.«» = —ff О(/)@, о».
3. Энергия, поглощаемая ферромагнетиком. Покажем,
что антиэрмитова часть тензора Х(*, ш) определяет энергию
переменного магнитного поля, поглощаемую ферромагне-
ферромагнетиком.
Энергия переменного магнитного поля, поглощаемая фер-
ферромагнетиком в единицу времени, очевидно, равна
Q(f) = ~SV9{t){H + V). B2.3.1)
224
Используя уравнение B2.2.2) для матрицы плотности и вы-
выражение B2.2.3) для V, получим
(t)^fh(Rt. t),
i
или, согласно A.3.3),
. t)~h{r, t).
Переходя к компонентам Фурье величин Л(г, t) и m(r, t),
получим
со со
J d@ J rftt>/fi)'e'(C0+@')''«(A!, <й)Л(—й, со')
— со -^ —оо
Если переменное магнитное поле действует в течение конеч-
конечного промежутка времени, то энергия, поглощенная ферро-
ферромагнетиком, согласно B2.2.11) равна
— X'/,(*. *': <o)}hj(kf, @) B2.3.2)
(мы учли, что хГу(*- *'• <Й)==Х//(—¦"*¦ — *': —»). Пред-
Предполагая, что компоненты Фурье переменного магнитного поля
отличны от нуля только при ak <^_ 1, получим
со
0
B2.3.3)
где х'(k, й) определяется формулой B2.2.12). Записав эту
формулу в виде
>„,*». B2.3.4)
o"
где
15 А. И. Ахиезер 225
видим, что Qa da> представляет собой энергию, поглощаемую
ферромагнетиком в интервале частот со, со + da. Величина Qra
как функция со определяет форму линии поглощения.
Рассмотрим случай, когда к ферромагнетику приложено
периодическое во времени стороннее магнитное поле, изме-
изменяющееся с частотой со0. Тогда
1
где <ой = /моо. Компонента Фурье этого поля равна
со
h (k, со) = 2л 2 Л {k, со„N(о> — со„).
Используя это выражение и формулу B2.3.1) легко найти
среднюю энергию, поглощенную ферромагнетиком за период
т 2я .
1 J Q (О Л = - -^-р- ^ J rf* ^*'Ю«Л* (*• ю«) X
О
J ^р
О тд > О
Х{х'(*. *'; <вя)-х'+(*• fe/; ©/,)!*(*'¦ «»)¦ B2.3.5)
Если магнитное поле Л (г, ^) мало меняется на расстоя-
расстояниях порядка a (ka <^ 1), то
Г
dk<onh(k, со„)Х
J
Х{х'(*. а>я)-х/+(*. «„)}*(*. <»„) B2.3.6)
(см. формулу A0.4.3)).
Выше мы определили тензор х'@> ю) в пренебрежении
релятивистскими взаимодействиями. Используя этот тензор,
определим теперь энергию однородного переменного магнит-
магнитного поля Л (t), поглощаемую ферромагнетиком. Компонента
Фурье этого поля имеет вид
h(k, со) = BлK 6 (k) h (ю),
где
226
Подставляя это выражение для h{k, со) в B2.3.4), получим
спектральную плотность поглощенной энергии Qa:
2
Qa = 2aQ^-{Sz)\hx(ao) + ihy(ao)\4(a — ao) B2.3.7)
у
(при этом мы заменили F(А2)J на „ ,3 6(й); см., напри-
например, [26]).
Эта формула показывает, что поглощение энергии проис-
происходит только на резонансной частоте ш = соо. Таким образом,
как и указывалось выше, одно только обменное взаимодей-
взаимодействие не может привести в случае однородного переменного
магнитного поля к уширению линии ферромагнитного резо-
резонанса.
Полное поглощение энергии определяется формулой
2
Q = 2(B0-!J-E,)|Ajr((o0) + /Ay(aj0)|2. B2.3.8)
Покажем в заключение этого раздела, что тензор х'(*> ю)
определяет релаксацию магнитного момента.
Пусть в начальный момент времени ^=0 в системе
имеется некоторое распределение плотности магнитного мо-
момента /и@)(г), которое было бы равновесным при наличии
постоянного магнитного поля Л@) (г), связанного с начальным
распределением магнитного момента соотношением
'(k. W\ 0)tf0) (k')dk'. B2.3.9)
Величина магнитного момента при t > 0 определяется выра-
выражением B2.2.11), в котором в качестве переменного магнит-
магнитного поля следует взять
h(r, t) = e(— t)eEth{0)(r), e^-+0.
Такой выбор Л (г, t) соответствует адиабатическому вклю-
включению поля А@) (г) при t = — оо и мгновенному выключе-
выключению его в момент ^ = 0. Компоненты Фурье этого магнит-
магнитного поля имеют вид
h(k, со) = л6+ (со)Л@) (k), B2.3.10)
где
6^ (й) = —Т-Т-!—^:
v ' ш (ю — it)
15» 227
и e->-f 0. Подставляя B2.3.10) в B2.2.11), найдем
т (k, со) = л6+ (ю) J x" (k, k'\ о) А«» (*') dk'.
откуда
оо
т(г. t) = -~^ j dkdk' JrfeMtfi+(ffl)e'(*'-«»ox
'). B2.3.11)
Так как компоненты тензора х'(*. <*>) являются аналити-
аналитическими функциями в верхней полуплоскости комплексной
переменной со, то при t < 0
что находится в соответствии с B2.3.9).
§ 23. Спиновые функции Грина
и намагниченность ферромагнетика
1. Уравнение для запаздывающей функции Грина.
Для нахождения равновесного магнитного момента ферромаг-
ферромагнетика мы определяли предварительно термодинамический
потенциал й. Но к этой задаче можно подойти и с несколько
иной точки зрения, а именно можно связать намагниченность
ферромагнетика с корреляционной функцией спинов его
атомов.
Чтобы убедиться в этом, предположим для простоты, что
спин атомов ферромагнетика равен s=l/2- Тогда из извест-
известной формулы
2
(индекс /мы опускаем) следует, что
(<g=-s(s+l)-f ((SzJ) + (S+S_), B3.1.1)
откуда при s= 7г
<*»)== — •§¦ + <s+S->- B3.1.2)
Это соотношение связывает среднее значение спина на ось z
с корреляционной функцией (s^ (t) sf @)^ при t = 0 (ее можно
назвать автокорреляционной функцией, так как для нее
1 = 1').
228
Используя формулы B2.1Л5), B2.2.12), можно предста-
представить это соотношение в виде
где х1+(*1й) — циркулярная компонента тензора %' (k, со),
равная
х'_+ (k, 0) = г'хх(*. со)+х'уу (к, со) 4- i (х'ху (к, й) - 1ух{к, ©)).
B3.1.4)
Подставляя сюда выражение F.1.2), для компонент тензора
%(к, 0) получим, как легко видеть, формулу Блоха для
намагниченности.
Введем в рассмотрение запаздывающую функцию Грина:
O(r) (l — /', t) = — В @ ([sf @. sr (°)])' B3-1 -5)
связанную с корреляционной функцией (sj~ (t) sfi @)\ и по-
попытаемся установить уравнение, которому удовлетворяет эта
функция Грина.
Дифференцируя G (l — /', i) по времени и замечая, что
" =6 @, получим
А 0{г) (I - l', t) = -t6 (О (W @), st @)]) +
Будем предполагать для простоты, что гамильтониан фер-
ферромагнетика определяется только обменным взаимодействием:
В этом случае
и уравнение B3.1.6) приобретает вид
_д_
dt
4- G(r) (/ - /', t) = 2/6 (О Ьи. (sf) - <2i»0HfO^ (l-l',t)
?
B3.1.7)
229
В правую часть этого уравнения, кроме искомой функции
Грина G<r) (/ — /', t), входит еще функция
© @ ([s*m @ sf (О - s* (О s- (О. 5+ @)]),
содержащая, в отличие от G^'(l—/ , t), не два, а три опе-
оператора спина (она также называется двухвременной запазды-
запаздывающей функцией Грина).
Если бы мы захотели получить уравнение, которому удо-
удовлетворяет последняя функция, то, как легко видеть, пришли
бы к функции Грина, содержащей четыре оператора спина.
Продолжая этот процесс, мы получили бы бесконечную си-
систему уравнений для функций Грина, содержащих произволь-
произвольное число операторов спина.
Чтобы определить интересующую нас функцию Грина
G(r'(/—/', i). необходимо каким-то образом связать функ-
функцию Грина, содержащую три спиновых оператора, с функци-
функцией G(r)(/—/', t). Мы сделаем простейшее предположение, а
именно примем, что имеет место соотношение [м]
- /О@ ([^ @ sf @, s+ @)]) = (*г) 0{г) (I — l', t), B3.1.8)
где /s2} = /sz\ не зависит от номера узла т. Использование
этого соотношения в B3.1.7) приводит к следующему ура-
уравнению для функции Грина G(r'(l—/ , t):
Jl gm (/ - Л t) = 2ib (t) (s2) 6U. -2ф0М"О(г) (/-/', t) +
^){G{r)(l-l'- t)-O(r\m-l', t)](s,). B3.1.9)
m
(тф1)
Переходя к компонентам Фурье функции G(r)(/ — /', t) no
времени и по пространственным переменным:
G{r) (/-/'. t) = У^ 2 J dae-'C»'-**"') G(r) (Л, о,),
получим из B3.1.9)
(x>Gir)(k, Q) = — 2(sz) + as(k)G{r\k, о), B3.1.10)
где
o,(k) = gH$>-&)-(J(p) — J(k)). B3.1.11)
230
Учитывая, что функция G(/)(ft, 0) аналитична в верхней полу-
полуплоскости о, найдем отсюда
G(r)(fttt>) = 1&± . B3.1.12)
со — (os (ft) -|- '0
Аналогичным образом может быть найдена компонента
Фурье опережающей функции Грина G(a)(/ —/', t):
Q(a\k,(c) = 1-^2> . B3.1.13)
ш — a>s (ft) — @
Отсюда следует, что
G(ft, z) = 2 (fz) . B3.1.14)
г — fflj (ft)
Поэтому величина скачка функции G(ft, 0) на веществен-
вещественной оси равна
G(k, (o + tO) — Q(k, м-/0) = 4л/($гN(со — иД*)). B3.1.15)
Найдем автокорреляционную функцию /sf @) sf @)\ в со-
совпадающие моменты времени. Согласно B2.1.15) имеем
^ G (ft, ш + 'О) — О (ft, со — Ю)
* -CXI
Подставляя сюда B3.1.15), получим
-ig^—, B3.1.16)
^ * — 1
где vo = VfN и интегрирование совершается по объему эле-
элементарной ячейки обратной решетки. Эта формула справед-
справедлива для любого значения спина s.
2. Равновесный магнитный момент ферромагнетика
в случае спина, равного половине. Если s = 1/2, то с по-
помощью B3.1.16) можно сразу получить уравнение, которому
удовлетворяет среднее значение проекции спина sz. Действи-
Действительно подстановка B3.1.16) в B3.1.2) дает
I rf*cth^=l B3.2.1)
где
is (fo) = has (ft) = 2цоЯ{,е) — (sz) (/@) — У (ft)).
231
Это уравнение является трансцендентным уравнением относи-
относительно (sz) и, как явствует из его вывода, не ограничено
областью низких температур [14].
Как мы сейчас убедимся, формула B3.2.1) приводит к пра-
правильным результатам в области низких температур, Т <§^ Тс,
и разумным результатам в области температур, близких к тем-
температуре Кюри. Поэтому эту формулу можно рассматривать
как хорошую интерполяционную формулу во всем интервале
температур.
Покажем прежде всего, что из уравнения B3.2.1) выте-
вытекает формула Блоха для намагниченности ферромагнетика
при низких температурах, T<^sJ0. В этом случае вели-
величина (sz) мало отличается от своего минимального значения
sz = —1/2. Поэтому в выражении для es(k) можно заме-
заменить (s2) на —1/2, в результате чего мы получим
dk
Bя)'
Основной вклад в этот интеграл вносит область малых вол-
волновых векторов. Поэтому обменный интеграл, входящий в вы-
выражение для es(k), можно разложить в ряд по степеням k.
Считая для простоты, что ферромагнетик обладает кубической
симметрией, получим
в соответствии с формулой Блоха (см. B0.2.2)).
Вычислим намагниченность ферромагнетика при //(>*' = 0
и температурах Т, которые ниже температуры Кюри Тс, но
близки к ней. Если /iff = 0 и Т = ТС, то, очевидно, (sz) = 0.
Поэтому, считая в B3.2.1), что ($г)—>0, получим
4v0 j, Г dk .
BяK с J J @) — J (A) ~~ '
откуда вытекает следующее выражение для температуры Кюри:
, -1
232
Для простой кубической решетки, в приближении «ближай-
«ближайших» соседей получим отсюда
Тс==~2~ё''
где Уо — обменный интеграл между ближайшими соседями и
л л л
Г Г 3
dx \ dy \ dz-^ « 1,51.
J J о — cos л: — cosy — cos г
BяK
—я —л
Чтобы найти зависимость (вг) от температуры при Т ^Тс
(Г < Тс), заметим, что в этой области температур | (sz) |<s^ I,
'в (k)
поэтому функцию cth ДЛ. можно разложить в ряд и удер-
удержать в нем первые два члена разложения:
27 e, (*) I 3 I IT I
Подставляя это выражение в B3.2.1) и учитывая определение
температуры Кюри B3.2.2), получим
Т 01
_1 l_ ZJo /о \2 1
у \^ у \°г/ *•
откуда
^Р~ . B3.2.3)
(Заметим, что такую же зависимость намагниченности от тем-
температуры в области температур Т — ТС(Т < Гс) дает теория
фазовых переходов второго рода Ландау [15].)
Если Т > Тс и //5=0, то уравнение B3.2.1) решений
не имеет.
3. Равновесный магнитный момент ферромагнетика
в случае произвольного спина. Уравнение B3.2.1) спра-
справедливо при s— 1/2. Если s^= 1/2, то также можно получить
уравнение для {sz), но оно будет иметь более сложную стру-
структуру, чем уравнение B3.2.1). Это объясняется тем, что
в основное соотношение B3.1.1), связывающее (sz) с {s+s_),
входит, кроме (sz), еще (sz). Чтобы исключить эту величину,
мы введем обобщенную запаздывающую функцию Грина [16]
— l', t; fl) = —/8(o([sf(O. eas*'(O)s+ @)j). B3.3.1)
233
Дифференцируя эту функцию по времени и используя при-
приведенное выше выражение для гамильтониана J%?, получим
t; a) = - lb(t)bu.([sT. e^'s*])-
m
где s, sss,@). Полагая
- /0 @ ( [^ @ sr (t), eas*' s + ]) = (sz) G(r) (I - Г, f, a)
и переходя к компонентам Фурье по времени и координатам,
найдем
0">(*. со; e) = lk^l^LlLf B3.2.2)
о — (Bj (А) -\- /О
где (о^(Д;) определяется формулой B3.1.11).
Аналогичное соотношение справедливо для обобщенной
опережающей функции Грина:
(*,m;a)=g^k:' 4J-i. B3.3.3)
a — &s (k) — ДО
Эти функции являются предельными значениями единой
аналитической функции
О (ft, г; а)= L" „ iU , B3.3.4)
г — &s (k)
скачок которой на вещественной оси равен
О (ft. @+/0; а) — О (ft, © — Ю; а) =
= — 2ш- ( [S-, eash + ] ) б (о — as (ft)). B3.3.5)
Через величину этого скачка может быть выражена обобщен-
обобщенная корреляционная функция
Действительно, при выводе формулы B2.1.15) нигде не ис-
использовалось то обстоятельство, что s является спиновым
234
оператором, поэтому, заменяя в B2.1.15) s* на eaS{'sr и si
на s~, получим
' V Г j G (k, a + Ю; a) — G (fc a — /0; a) .„,
— 7, do)—^ ! sj- : :—'-e~mt.
* -oo
Полагая здесь I' — l и t = 0, получим, используя B3.3.5),
C-^?4 • B3-3.6)
Входящие в это уравнение средние значения можно выразить
через функцию
Ф (о) =(«*"')• B3.3.7)
Действительно, замечая, что sfs~=s(s~\-l)-\-s^[—(sfJ>
найдем
asz, \ . . , I asz\ I asz, \ I asz
l+sj-/ s(s+l){e </\\e lsf/ \ l
a , a , \ I as , ,49\
e ls+sj-/ = s(s+l){e </-\-\e lsf/ — \e l (sff/=
(а) — Ф"(а). B3.3.8)
Используя далее соотношения коммутации между sz и sf,
можно показать, что
a a
, е 1\= — {\—еа)е ls~.
Поэтому
({sF,eas'S+}) =-A -ea)(eas*s+sr)~2(eas's')e°.
и, следовательно,
( [sT,eas* s+]} = -(\-ea)s(s +1)Ф(о) -
— A +еа)Ф'(а) + A —еа)Ф"(а). B3.3.9)
Подстановка B3.3.8), B3.3.9) в B3.3.6) приводит к сле-
следующему дифференциальному уравнению для определения
функции Ф(а):
)«-° + ЭД Q);=0, B3.3.10)
235
где
^У^-! . B3.3.11)
Чтобы найти Ф(о), необходимо еще знать начальные
условия для Ф(а). Одно из них имеет вид
Ф@)=1. B3.3.12)
Второе условие следует из операторного тождества:
П(*г-/>) = 0.
P--S
усредняя которое, получим
П ?-'*<¦>
p=-s
= 0. B3.3.13)
а = 0
Решение уравнения B3.3.10) с начальными условиями
B3.3.12), B3.3.13) имеет вид
Дифференцируя это выражение по а и полагая затем
а = 0, найдем
Эта формула вместе с определениями B3.3.11) и B3 1.11)
величин %1 и es(k) позволяет определить зависимость намаг-
намагниченности от температуры в широком интервале температур.
Рассмотрим прежде всего случай низких температур,
Т <^ Тс. При этом среднее значение проекции спина на на-
направление магнитного поля (s2) мало отличается от своего
минимального значения — s и при вычислении величины !ft
в выражении для ?,(*) можно заменить (sz) на —s. В ре-
результате мы снова получим формулу Блоха
(sz) = — д -f gC/2) [ Т. \'2. B3.3.16)
236
Поступая так же, как и в случае s = 1/2, можно найти
поведение намагниченности вблизи температуры Кюри (Т < Тс):
—T, B3.3.17)
где
(см. формулу B3.2.3)).
Мы показали, как могут быть получены уравнения, опре-
определяющие зависимость намагниченности ферромагнетика от
температуры в широком интервале температур. Обобщение
этих уравнений на случай антиферромагнетиков не предста-
представляет особых затруднений [17]. Результаты, получаемые при
этом в области низких температур, так же как и в случае
ферромагнетиков, совпадают с выводами теории спиновых
волн; при температурах же, близких к температуре Нееля,
намагниченность подрешеток меняется по закону Ai(~y~TN—Т.
§ 24. Флуктуации магнитных величин и рассеяние
медленных нейтронов и света на спиновых волнах
1. Корреляторы флуктуации магнитных величин в фер-
ферромагнетиках. В § 22 мы нашли корреляционную функцию
плотности магнитного момента, характеризующую флуктуации
магнитного момента в ферромагнетиках. Зная эту функцию
и используя уравнения магнитостатики, можно найти корре-
корреляционные функции магнитного поля и магнитной индукции.
Мы приведем здесь выражения для компонент Фурье этих
функций, которые будем называть корреляторами флуктуации,
в том случае, когда ak<^\.
Корреляторы флуктуации определяются согласно формуле
B4.1.1)
где At(r, t) служит для обозначения любой из магнитных
величин и r = rj— r2, t = tx —12 (такое определение воз-
возможно ввиду того, что корреляционные функции в непре-
непрерывной и однородной среде являются функциями разностей
аргументов г,, ^ и r2, t2)-
Заметим, что
<ЛД*. v>)Aj{k'. со')) = Bnf{AlAj)b(ub(* + *0б(со + со').
B4.1.2)
237
где
At(k, ю) =
Рассмотрим прежде всего коррелятор флуктуации откло-
отклонения плотности магнитного момента от равновесного значе-
значения m(r, t). При k Ф О, со ф 0 этот коррелятор определяется
формулой B2.2.19):
(mimj)kb) = — ih(Na^-l)h' (k, со) — %'*-{к, со)], B4.1.3)
где X/ (*• ы)—тензор высокочастотной магнитной восприим-
восприимчивости, определяемый формулами B2.2.16), и
(заметим, что величина © может быть здесь как положитель-
положительной, так и отрицательной).
Подчеркнем, что коррелятор плотности магнитного мо-
момента, характеризующий спектральное распределение флук-
флуктуации плотности магнитного момента, полностью определяется
тензором высокочастотной магнитной восприимчивости. Здесь
мы сталкиваемся с ситуацией, аналогичной ситуации, имеющей
место в электрических цепях, флуктуации в которых опре-
определяются их комплексными сопротивлениями. Более того, кор-
корреляторы в обоих случаях могут быть найдены одинаковым
методом, исходя из выражения для изменения энергии системы
в единицу времени под действием «случайной» силы и из-
известной связи между интересующей нас флуктуирующей ве-
величиной и «случайной» силой *). В случае флуктуации плот-
плотности магнитного момента под «случайной» силой нужно по-
понимать стороннее магнитное поле h (k, о>). При этом вели-
величины m(k, со) и h^ (k, со) связаны между собой соотношением
m(k, &) = x'(k, <d)h(e)(k, о),
а выражение для изменения энергии ферромагнетика имеет,
согласно B2.3.5), вид
-~
, со) {%'(k, «)- /'*(*. «)} *<«>(*. со).
*) Этот метод был развит Найквистом, Леонтовичем и Рытовым
и Келленом и Велтоном (см. [18] )•
238
Как мы знаем, положение особенностей тензора /'(k, со)
определяет закон дисперсии слабозатухающих колебаний
магнитного момента — спиновых волн. Поэтому спектральное
распределение флуктуации плотности магнитного момента
имеет резкие максимумы при частотах, совпадающих с часто-
частотой спиновой волны <as(k).
При частотах, близких к (us(k), коррелятор флуктуации
плотности магнитного момента, определяется следующей фор-
формулой [19]:
l)gM0Qt}ys(k) [^-
I- B4.1.4)
Здесь ys(k) — декремент затухания спиновой волны и тен-
тензор пц имеет вип
/ О Ш 0\
Q,7= — ко Oj О
V 0 0 0/'
где
Q = gM0 [atf + p + -j°-j, Qv = Q + 4ngMnsin2 **
(ось z выбрана вдоль оси анизотропии, ось у перпендику-
перпендикулярна к плоскости (я, k), п — единичный вектор вдоль оси z;
¦&k — угол между векторами я и k).
Если ys(k)—>0, то
л (М2-^(*)J + 2(*)(*)J l
и формула B4.1.4) принимает вид
(«/«y>»ffl = 2tA|^a) +- l|^oQ..6((o2-co2(ft)). B4.1.6)
Найдем корреляторы флуктуации магнитного поля {hihj)k@
и магнитной индукции {bfij)k(!t, предполагая по-прежнему, что
|0)| «©,(*).
Используя соотношение
легко видеть, что
^ B4.1.7)
где
Если Ys(*)—>-0, то
2)to = 4 BлK fi | Л/й + 1 | gvVI0Q sin2 *»й (со2 — со2, (*)).
B4.1.8)
Наконец, используя соотношение b = h-\-4nm, получим
где
Если ys (*)->¦ 0, то
^;)йм = 4BлK(А/Ц)-т- l)g-M0#. б(со2 — со2(А). B4.1.10)
В частности,
(^2)*m = 4 BяK/; I ^ + 11 ^жо0 sin2tffccos2tf*6 (со2 — со2 )
B4.1.11)
2. Рассеяние медленных нейтронов на спиновых вол-
волнах. Зная корреляторы флуктуации магнитных величин
в ферромагнетике, можно определить сечения рассеяния мед-
медленных нейтронов и света на спиновых волнах.
Рассмотрим прежде всего рассеяние медленных нейтро-
нейтронов на спиновых волнах в ферромагнетиках. Мы будем
интересоваться рассеянием нейтронов с малым изменением их
импульса А/7, &.р <^—. В этом случае можно исходить из
следующего выражения для гамильтониана взаимодействия
нейтрона со спиновыми волнами;
SV, = — \iaeb(r. t); B4.2.1)
здесь Ь (rx t) — переменная составляющая вектора магнитной ин-
индукции в ферромагнетике, \in — магнитный момент нейтрона
240
и 0@^, а2, а3) — матрицы Паули,
о/' a2~[~i о
(ось 3 совпадает с направлением вектора постоянной соста-
составляющей магнитной индукции в ферромагнетике Во).
Нас интересует вероятность перехода нейтрона из началь-
начального состояния i, характеризуемого импульсом нейтрона р,
проекцией его спина s2 на направление вектора магнитной
Р2
индукции Во и энергией нейтрона е=-н- 2sziinB0, в ко-
конечное состояние /, характеризуемое импульсом нейтрона р',
проекцией его спина s'z и энергией г' = ~ 2s'z\inBQ. Как
известно, эта вероятность определяется формулой
V dp'
Й2 "
g g'
гдео) = —г— и (J\<S61\?) — матричный элемент перехода
(V — объем ферромагнетика). Так как волновые функции
нейтрона в начальном и конечном состоянии имеют вид
1 ~T~(Pr~Zt) I —7-(p'r — &'t)
ih. о h л/ . ib . р * л/
3 •
где fa и X/ — спиновые волновые функции нейтрона, то
0 = —^- %{s'z\oj\sz) Г drel<rbj{r, t),
J J
где q = j-(p — /j'). Следовательно,
B4.2.3)
Это выражение должно быть усреднено по флуктуаци-
ям магнитной индукции. Вспоминая, что корреляционная
16 А- И. Ахиезер 241
функция (b](rx, t\)b.,(r2, ty^ зависит только от разностей
координат гх — г2 и времен tx — t2 и переходя от rx, tx и r2,t2
к новым переменным г = Г\ — г2, t = tl—ti,R = -^(rj+r2),
7" =-к-(*i-M2)> получим
= J
?., (r2, t2\S dr dt dR dT =
= V AT (bjbr)
где ДГ — интервал изменения времен tx и t2.
Таким образом, мы можем ввести вероятность перехода,
отнесенную к единице времени
dp'
Jj'
B4.2.4)
Разделив это выражение на плотность потока нейтронов, рав-
равную v/V (v — начальная скорость нейтронов) и число ато-
атомов в ферромагнетике, получим дифференциальное сечение
рассеяния нейтронов, отнесенное к одному атому
dp'- , B4.2.5)
П'
где ге0 — число атомов ферромагнетика в единице объема и
Эта формула справедлива, строго говоря, при малых
передачах импульса нейтрона, когда aq<^\. Если aq^\,
то при рассеянии нейтронов будут проявляться неоднород-
неоднородности микроскопического магнитного поля на расстояниях
порядка размеров атома. Это приводит к появлению в сече-
сечении рассеяния добавочного множителя \F(aq)f, где F— не-
некоторая функция переданного импульса, называемая магнит-
магнитным формфактором. Если ад<^1, то, очевидно, F=l.
Интересуясь далее случаем ад<^\, мы не будем выписы-
выписывать множителя \F(aq)\2 в выражениях для сечения рас-
рассеяния.
Прежде чем анализировать зависимость дифференциального
сечения рассеяния нейтронов от переданных импульса и
24?
энергии, выясним спиновую структуру сечения рассеяния.
Мы рассмотрим три случая: рассеяние неполяризованных ней-
нейтронов, рассеяние поляризованных нейтронов без изменения
ориентации их спина и рассеяние поляризованных нейтронов
с изменением ориентации их спина (нейтроны предполагаются
поляризованными вдоль вектора Во). Соответствующие сече-
сечения рассеяния мы будем обозначать через do, do^ и do^.
Для получения первого из этих сечений выражениеB4.2.5)
должно быть просуммировано по ориентациям спина нейтрона
в конечном состоянии и усреднено по ориентациям спина
в начальном состоянии. Замечая, что
получим
ffi=i^<*V(Ssp- B4-26)
Учитывая, что
где п — единичный вектор вдоль Во, найдем сечение рассея-
рассеяния daH:
Наконец, так как
то
Заметим, что
da = da,, -{-da,.
Используя формулу B4.1.11) для коррелятора флуктуа-
флуктуации магнитной индукции, получим следующее выражение для
сечения рассеяния неполяризованных нейтронов [20]:
X A + cos2 #?) + 4я sin2 # А б (со2 — (us (q)) dp', B4.2.9)
16* 243
где Ф^ — угол между векторами q = -r-{p — р') и Во и
h& = р ~р— (в выражении для энергии нейтрона можно
не учитывать слагаемого 2\inszB0).
Сечение рассеяния поляризованных нейтронов определя-
определяется, согласно B4.1.11), формулами [21]
X sin2 u? cos2 й?б (со2 — ш2 Щ dp', B4.2.10)
X A + cos4^) + 4я sin2 0, J б (ш2 - а, (у)) dp'.
Эти выражения, так же как выражение B4.2.9), справедливы
при aq<^ 1 и ys(q)—>0- Для учета затухания спиновых
волн нужно в этих формулах произвести замену B4.1.5).
Полученные выражения для da, da.., da. показывают,
что сечения рассеяния нейтронов имеют резкие максимумы,
если изменения энергии и импульса нейтрона связаны между
собой соотношениями
е — е'2=й(о= ± ha>s(q), р — p' = bq. B4.2.11)
Эти соотношения имеют простой физический смысл. Если
h(a = h(x)s(q), то максимум соответствует излучению нейтро-
нейтроном магнона с импульсом hq и энергией ha>s(q). Если же
5(о = — ha>s(q), то максимум в сечении рассеяния соответст-
соответствует поглощению магнона с той же энергией.
Мы видим, что, изучая неупругое рассеяние медленных
нейтронов в ферромагнетиках, можно экспериментально опре-
определять зависимость частоты спиновой волны от ее волнового
вектора, а также декремент затухания спиновых волн.
Остановимся теперь на физическом смысле множителя
Na -\- 1, входящего в выражения для сечения рассеяния. Если
(о > 0 и ys(q)->0, то этот множитель будет равен n(q)-\- 1,
где n(q) — среднее число магнонов частоты as(q) при тем-
температуре Т,
— 1
е~^~ -1
244
Если же со < 0 (и по-прежнему ys (я) -> 0). то этот множитель
будет равен n(q).
Таким образом, сечение рассеяния нейтрона с испуска-
испусканием магнона пропорционально n{q)-\-\, а сечение погло-
поглощения магнона пропорционально n(q). Аналогичные законо-
закономерности, как известно, имеют место также при испускании
и поглощении света, только в этом случае Na обозначает
среднее число фотонов частоты ш при температуре Т.
Поэтому слагаемое в da при со > 0, не содержащее n(q),
можно интерпретировать как сечение спонтанного излучения
нейтроном магнона, а слагаемое, пропорциональное n(q) —
как сечение вынужденного излучения магнона. Так как n(q)
обращается при Т—>0 в нуль, то сечение вынужденного из-
излучения магнона, так же как и сечение поглощения магнона
нейтроном, обращается при Т—>0 в нуль. Отсюда следует,
что при очень низких температурах, когда Г<^Де, где
Де = |е— е')—изменение энергии нейтрона, почти все рас-
рассеянные нейтроны имеют энергию е' = е—Де; при Г!>>Де
число рассеянных нейтронов с энергиями е —|—Де и е — Де
одинаково по порядку величины.
Заметим в заключение этого раздела, что законы сохране-
сохранения B4.2.11) позволяют определить энергию рассеянных
нейтронов, движущихся в заданном направлении. В частно-
частности, если p~^>bq, то
1р . б\2 (cos 1K — cos i|/J
Bр 6\
X P+nsTT+a-fsin^ +4Я-Я
„ e
sin 2"
где Э — угол рассеяния и т|? и ф' — углы между векторами
р и р' и осью анизотропии *).
3. Комбинационное рассеяние света на спиновых
волнах. Перейдем к изучению рассеяния света на флуктуа-
циях плотности магнитного момента в ферромагнетиках
*) Наряду с рассмотренным нами неупругим рассеянием нейтро-
нейтронов на спиновых волнах в ферромагнетиках возможны и другие
процессы рассеяния нейтронов: упругое ядерное рассеяние, упругое
магнитное рассеяние и неупругое рассеяние нейтронов на колеба-
колебаниях решетки. Вопросы, касающиеся рассеяния медленных нейтро-
нейтронов в кристаллах, изложены более подробно в монографиях [22].
t 245
B3—25]. Это рассеяние обусловливается взаимодействием
световых и спиновых волн, описываемым нелинейным членом
g(my^H) в уравнении движения плотности магнитного
момента
m=;g(M0XU)+g(mXU). B4.3.1)
где Н — эффективное магнитное поле:
# = #(/», А) =
Так как | т | <СС ^о> то нелинейный член в уравнении дви-
движения B4.3.1) мал. Поэтому можно приближенно выделить
поля падающей световой волны е°, Л°, удовлетворяющие
«свободным» уравнениям Максвелла
rot е° = — - ~ (Л° + 4яя1<>). rot Л° = Б де°
Р + -ТГ-
с dt v ' ;> '"L"- — с dt '
dive° = O, B4.3.2)
dm"
dt
и поля спиновой волны, удовлетворяющие уравнениям
= 0, B4.3.3)
J>§L = g(M0Xffs). Hs = H(ms, hs).
ОТ и '
Благодаря взаимодействию между волнами поле в ферро-
ферромагнетике будет отличаться от суммы полей, связанных
с падающей световой и спиновой волнами:
= ms-\-m°+m'-\-m"-{-..., B4.3.4)
где бесконечные ряды h'-\-h"-\-.. ., е'-\-е"-\-... обоз-
обозначают поля, связанные с рассеянными волнами, возникаю-
возникающими в результате взаимодействия падающей световой и
спиновой волн. При этом А', е' обозначают поля рассеян-
рассеянных волн, билинейные относительно полей падающей свето-
световой и спиновой волн, т. е. имеющие структуру типа h°ms.
Если частота падающей волны равна со, и частота спиновой
волны—(Dj, то поле А', е' соответствует рассеянным вол-
246
нам с частотами со' = со±сох. Аналогичным образом А", е"
обозначают поля рассеянных волн, линейные по Л° и били-
билинейные по т\ т. е. имеющие структуру типа h°msms. Этим
волнам соответствуют частоты со" = со ± cos (A) ± со^ (*') и
т. д.
Подетавляя выражения B4.3.4) в нелинейное уравнение
движения плотности магнитного момента B4.3.1), легко убе-
убедиться, что
= g(ms X
Мы ограничимся рассмотрением рассеянных волн, соот-
соответствующих полям А', е'. Эти поля удовлетворяют, очевидно,
следующим уравнениям:
1 dh' . „ . ., ь де'
=-7-ar + *' rotA=7-ЗГ'
') = 0, dive' = 0,
где
к=~
Мы будем предполагать, что падающая волна является
плоской монохроматической волной, частота которой со зна-
значительно больше частот спиновых волн, со^§>сох(А). При
этом, очевидно, тензор высокочастотной магнитной восприим-
восприимчивости Х/у (*• и) будет очень мал и мы можем в выражении
для ^Г пренебречь вторым слагаемым, а в первом слагаемом
заменить Н° на Л°:
Таким образом, поля рассеянных волн удовлетворяют
уравнениям
rot А'= ±4*1,
с dt
rote' Ifl-i^XAO), B4.3.6)
<JivA' = 0, dive' = 0.
откуда
? i?Lrot<»'X*'> B4.3.7)
Это уравнение имеет такую же структуру, как и уравне-
уравнение для электрического поля в среде, создаваемого током /':
с с2 dt* ~~ с2 dt "
Поэтому можно сказать, что при взаимодействии световой и
спиновой волн поле рассеянной полны создается током j',
определяемым соотношением
?L- = eg rot (m* X hP). B4.3.8)
Переходя в B4.3.7) к компонентам Фурье, получим
U:'2— ~zje'{k', a')=~a'f(k', со'), B4.3.9)
где
J'(kr, со') = g—т {{kf Xе°){kmf (q, Aa)))-\-(k'y^k)(e°ms(q, Aco))}
B4.3.10)
и
q = k — k', Aco = со — со'.
Определив электрическое поле рассеянной волны, можно
найти интенсивность рассеянного излучения, т. е. увеличение
(в единицу времени) энергии рассеянных волн U':
U'=jer(r,t)jf(r.t)dr. B4.3.11)
Переходя здесь к компонентам Фурье и используя B4.3.9),
получим
О' = -*4пг Re / ^ J dk' rfco' dk" dv"e
X-
Учтем теперь, что рассеяние света происходит на «слу-
«случайных» спиновых волнах. Это значит, что последнее выра-
выражение должно быть усреднено по флуктуациям плотности
магнитного момента tns. Замечая, что
</ (ft', со') /* (к", со")> = BяL б (к' - к") б (со' - со") (J'\.9.,
248
получим в результате усреднения
= V [ irg-bg-VX, яб (*" _ г ?). B4.3.12)
где, согласно B4.3.10),
2 | n2 9e0g0 е
*' }''4A» B4-ЗЛЗ)
и Э — угол рассеяния, т. е. угол между векторами А и А'.
Устранив в B4.3.12) б-функцию интегрированием по
модулю волнового вектора k1', получим
'»' w'2 rf«'d0'- B4-3. И)
где k' = — |/~е и do' — элемент телесного угла, в котором
лежит вектор k'.
Это соотношение показывает, что величина
представляет собой интенсивность рассеянного излучения
в интервале частот da>' и интервале телесных углов do'.
Разделив dU' на VII0, где П° = ^— \е° X А°| — плотность
потока энергии в падающей волне, получим дифференциаль-
дифференциальное сечение рассеяния, отнесенное к единице объема (или
дифференциальный коэффициент экстинкции) dU
Как было показано в разделе 1 этого параграфа, кор-
коррелятор флуктуации плотности магнитного момента (я^-от •)
имеет резкие максимумы при | со J — <?>s(q). Поэтому сечение
рассеяния света на спиновых волнах также имеет резкие
максимумы при выполнении условий
ш — ш'= ± ti*s(q), q = k — k'. B4.3.16)
249
Эти условия можно, очевидно, интерпретировать как законы
сохранения энергии и импульса при испускании и поглощении
магнона фотоном.
Мы видим, что в спектре рассеянного излучения возни-
возникают два сателлита, отстоящих от основной линии на рас-
расстоянии Дю = ± (йД<7). Выполняющиеся при рассеянии законы
сохранения B4.3.16) позволяют однозначно определить изме-
изменение частоты при рассеянии, если известны направления
распространения падающей и рассеянной волн. Замечая, что
А
^>|А(о) <7 = 2?sin-2", получим
— я sin~2 -о- (cos ф — cos ф'J [ 2
где ф—угол между векторами А, и и ф'—угол между
векторами k', п.
Учитывая, что в выражение для коррелятора флуктуации
плотности магнитного момента входит множитель Л/дт-(—1, легко
убедиться, что при очень низких температурах (Т <^ й | Лео |)
происходит рассеяние только с уменьшением частоты; при
7"^.й|Дй)| интенсивности обоих сателлитов в спектре рас-
рассеянного излучения одинаковы по порядку величины.
Если падающая волна является неполяризованной, то вы-
выражение B4.3.15) должно быть еще усреднено по двум воз-
возможным поляризациям падающей волны. Это усреднение озна-
означает, что величина е®е°. должна быть заменена величиной
В ргзультате мы получим следующее выражение для диффе-
дифференциального сечения рассеяния неполяризованного света [25]:
k,k', I da' do'
2 cos Э -Щ- Re ^mj\, Дсо J —-Щ- • B4.3.17)
где Дш = а) — at' и q = k — k'.
250
Подставляя в эту формулу выражение B4.1.4) для кор-
коррелятора флуктуации плотности магнитного момента, получим
eh (gM^2\(k, k') 6(Дсо2—co2(<7)") do' da>',
B4.3.18)
где
v(A, A')= fH—it—\-4ak2 sin2-^-1A —cos0cosibcosib') +
\ ма г/
{/ fl\~2 1
1 — 12 sin -j j (cos ф — cos ф'J) X
x {sin2 e + i- cos e (sin -J) (n D x -jr) J}.
Если либо рассеянная, либо падающая волна распростра-
распространяется вдоль оси анизотропии, то эта формула значительно
упрощается
: = |л/дш+1!(^) zh(gMof sin2e(
2я cos2 -|) б (Аш2 — со2 (g)) do' da'. B4.3.19)
Заметим, что, согласно B4.1.5), для учета затухания спино-
спиновых волн в формулах B4.3.18), B4.3.19) достаточно произ-
произвести замену
6 (Лео2-со2 (?))->
-> L ys (q) Дсо {((Да)» - со2 (д)J + BY, (q) с *
Наряду с рассеянием света на флуктуациях магнитного
момента в ферромагнетике происходит также рассеяние света
на упругих флуктуациях, в частности на флуктуациях плот-
плотности. Рассеяние на упругих флуктуациях приводит прежде
всего к возникновению в спектре рассеянного излучения зву-
звуковых сателлитов (/S.u>= + sq, s — скорость звука), ничем
принципиально не отличающихся от звуковых сателлитов
в случае обычных (не ферромагнитных) кристаллов- Кроме
того, благодаря связи между упругими и спиновыми волнами
рассеяние электромагнитных волн на упругих флуктуациях
вносит вклад в интенсивность рассмотренных в этом разделе
спиново-волновых сателлитов.
¦251
ГЛАВА VII
КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
§ 25. Процессы взаимодействия между магнонами
1. Гамильтониан взаимодействия магнонов друг с дру-
другом. До сих пор мы изучали, главным образом свободные
спиновые волны. В частности, при изучении термодинами-
термодинамических свойств ферромагнетиков мы исходили из предполо-
предположения об идеальности газа спиновых волн — магнонов, так
как неидеальность этого газа приводит при Т <^ Тс лишь
к малым поправкам к термодинамическому потенциалу фер-
ферромагнетика. Теперь мы перейдем к изучению процессов
взаимодействий спиновых волн, которые являются определяю-
определяющими в кинетических явлениях, протекеющих в магнитоупо-
рядоченных кристаллах *).
При изучении этих процессов мы будем рассматривать
магнитоупорядоченный кристалл как совокупность газов
частиц — в случае магнитоупорядоченного диэлектрика как
совокупность газов магнонов и фононов — и описывать про-
процессы взаимодействия в терминах операторов рождения и
уничтожения частиц. С этой целью необходимо выразить
гамильтониан ферромагнетика, построенный с помощью опе-
операторов спинов атомов, через операторы рождения и уни-
уничтожения частиц. Эту проблему мы уже изучали в § 18 и
видели, что она тесно связана с проблемой реализации опе-
операторов спина с помощью бозевских операторов. Как было
показано в разделе 1 § 18, гамильтониан ферромагнетика
(точнее говоря, его спиновую часть) <§€' s можно представить
*) Процессы взаимодействия спиновых волн друг с другом и
с колебаниями решетки впервые были исследованы А. Ахиезером [1].
252
в виде бесконечной суммы членов, содержащих произведения
различного числа бозевских операторов a{k) и a+(k),
ею s ==z вп> s ~i~ &0 s ~i~ &t> s ~\~ • • • •
где J??(/' (ге = 2, 3, 4, ...) — форма, содержащая произве-
произведения п операторов а+ (k), a (k). Производя унитарное пре-
преобразование A8.2.1), диагонализующее форму &e(f, т. е.
приводящее ее к виду
mf = S e, (ft) c+ (ft) с (ft) = ЗЮ0.
мы выразим <^?t3), effii® через операторы рождения и уни-
уничтожения магнонов с+ (k) и c(k):
2^()8A + 23) + . с
23
B5.1.1)
= Ц V, A2.34) с+с+Сзс4Л (ftx + К - *3 ~ *4) + э- с'
1234
где 4^A2,3), ЧгяA2,34) — некоторые функции волновых
векторов магнонов kt, k2, ... (мы пользуемся обозначением
1=*р 2 = й2).
Так как собственные значения е%?0 равны сумме энергий
отдельных магнонов, то, как указывалось в § 18, оператор е%?0
следует интерпретировать как гамильтониан газа свободных
магнонов, а сумму операторов <3№(f, &в^< ¦¦¦ —как общий
гамильтониан их взаимодействия
$?„ = mf + Mf+ . .. B5.1.2)
Ясно, что оператор ей?'/' (я = 3, 4, ...) описывает про-
процессы, в которых участвуют п магнонов. В частности, опе-
оператор SffV описывает процессы слияния двух магнонов и
распада магнона на два магнона, а оператор е%?!4) — процессы
рассеяния двух магнонов. По этой причине величина 4^A2,3)
называется амплитудой слияния (распада) магнонов, а вели-
величина 4^A2,34) — амплитудой рассеяния магнона магноном.
In \
Наличие в выражениях для <§№$ функции A ^i озна-
чает, что в процессах взаимодействия с точностью до вектора
обратной решетки (умноженного на 2л) сохраняется суммар-
суммарный волновой вектор спиновых волн.
253
Заметим, что в гамильтониане Stef1 мы не выписали чле-
членов типа с+с+с+, а в гамильтониане е%?D)—членов типов
с+с+с+с+ и с+с+с+с4, так как члены с+с+с+ и cfc+c+c+
благодаря закону сохранения энергии не вносят вклада в ве-
вероятности процессов в первом борновском приближении;
член же с^ с+с+с4 описывает процесс распада одного магнона
на три, средняя вероятность которого значительно меньше
средней вероятности распада одного магнона на два.
Мы не будем приводить здесь полностью выражений для
амплитуд 4^A2,3) и WsA2.34), так как они имеют громозд-
громоздкий вид, а укажем только порядок их величин.
Учитывая, что и*~г/А~1, имеем, согласно A8.1.12),
^фгA2.3), B5.1.3)
где фг A2,3) — 1.
Рассеяние магнона магноном обусловливается как обмен-
обменным, так и релятивистским взаимодействием; поэтому
Ч^ A2,34) = Чг(/) A2,34)+ 4^A2,34),
где Чг(/)A2,34) и 4*°A2,34) — амплитуды обменного и ре-
релятивистского рассеяния:
в) A2,34) =:АфЛ12,34), 4^A2.34) = ^
B5.1.4)
где фг A2,34) ^ 1. Если (-^)/!<а*< 1, то
Ф, A2.34) = -?(*,*2 + *А) B5.1.5)
(отметим, что фг и фг — симметричные функции как по пер-
первым, так и по вторым двум аргументам).
Зная величины Ws A, 2, ..., п), можно определить ве-
вероятности соответствующих процессов взаимодействия спино-
спиновых волн. В области низких температур, Т <§^ Тс, средние
вероятности этих процессов уменьшаются с увеличением числа
участвующих в них магнонов и наиболее вероятными-являются
процессы распада магнона на два магнона и обменного рас-
рассеяния магнона магноном.
2. Вероятности распада и слияния магнонов. Вычислим
сначала вероятность слияния двух магнонов. Матричный
254
г
элемент этого процесса имеет, очевидно, вид
| Jfc9f|«j, п2, п3) —
где пх, щ и га3— числа магнонов в начальном состоянии.
(Мы не учитываем в этом параграфе процессов переброса,
при которых суммарное изменение волнового вектора маг-
магнонов равно вектору обратной решетки т, умноженному на 2л).
Поэтому вероятность (отнесенная к единице времени) слияния
двух магнонов с волновыми векторами кх и k2 в магнон
с волновым вектором А3, равна
+82 — 83). B5.2.1)
где е,==еДй,.).
Вероятность обратного процесса — распада магнона с вол-
волновым вектором k3 на два магнона с волновыми векторами
ki и k2 равна
<№n^,n^=^^Wt\%№)\2^+ 1H*2+ ОХ
X «зД (*! + А2 - А3)б (е, + е2 — е3). B5.2.2)
Мы видим, что в этих процессах выполняются законы со-
сохранения
е, + е2 = е3, А, + А2 = А3. B5.2.3)
Изменение числа магнонов с волновым вектором ku
в единицу времени в результате процессов слияния и обрат-
обратных им процессов распада можно представить в виде
(hi)e = Le\n}. B5.2.4)
где
23
— пхщ (я3 + 0} д (*i + *2 — *зN (ei + е2 — е3).
Эта величина называется интегралом столкновений, описываю-
описывающим процессы слияния и распада магнонов,
255
Легко убедиться, что интеграл Столкновений обращается
в нуль для планковского распределения магнонов
е т -1
Действительно, в силу закона сохранения энергии 63 =
(«j + 0 («2 + 1) «3 = «I«2 («3 + 0.
и поэтому
Если числа магнонов л (Л) мало отличаются от своих
равновесных значений n(k).
то интеграл столкновений Ас \п) можно разложить в ряд
по степеням 6n(k) и сохранить только линейные члены раз-
разложения. Коэффициент при —6n(k) в этом разложении пред-
представляет собой величину, обратную времени жизни магнона
с волновым вектором k по отношению к процессам слияния.
Мы будем обозначать это время жизни через xc(k). Легко
видеть, что
2, з
ХА(Н*2- *з) о (?i + Ч — eg). B5.2.5)
Предполагая для простоты, что энергия спиновой волны
es(k) не зависит от направления волнового вектора, es(k) =
= eo-f- Qc(akf, и считая фг A2,3) ^— 1, получим [2]
1
B5.2.6)
Определим теперь время жизни магнона по отношению
к процессам его распада. Матричный элемент этого процесса
256
Имеет вид
- q>r B3,1
Поэтому вероятность (отнесенная к единице времени) распада
магнона с волновым вектором kx на два магнона с волно-
волновыми векторами Л2 и *з равна
Ct »,+!. «.+ 1 = "Х "^^^ ! Фг B3.1) Р Я, («2 + О («з + D X
-е1). B5.2.7)
Вероятность обратного процесса равна
? «,-1. Я.-1 = "X ^^^ I Фг B3,1) Р (Я, + 1) «2«3 X
+ ез-е1)- B5-2.8)
Законы сохранения в этих процессах имеют вид
62 + 63 = 6!, k2 + k3 = kv B5.2.9)
Изменение числа магнонов с волновым вектором kx в еди-
единицу времени в результате процессов распада и обратных
им процессов слияния определяется, очевидно, формулой
8зТ (iVWoJ V | /до П 12
где
^ Л
23
)«2«3 —»1 («2+1) («3+1I X
X А (*1 — *2 —
Отсюда легко найти время жизни xd(k) магнона с волновым
вектором k по отношению к процессам распада
1 _ bLd {п} _ 8я (
Т7ТУ ~
(,)
_ 2, з
X («2 + «з+ 1) А(*! — *2 — *аN (е, — е2 — е3). B5.2.10)
Считая, что еДй) = ео-)-0G(а&J, получим из законов
сохранения энергии и импульса
2Qc(ak2f — 29^2*^2 cos * + е0 = 0,
где Ф — угол между векторами kx и Л2- Из этого равенства
следует, что процесс распада магнона с волновым вектором kx
17 А. И. Ахиезер 257
на два магнона возможен только в том случае, если
е,(а?,J>2е0, т. е. е,(*1)>3ео.
Приведем выражения для —jj-r- в некоторых предель-
предельных случаях [2]:
(к)
а / 6С \
\ е0 J
е, (ft)
8nhak
) — е0)
еД*)-Зе0).
B5.2.11)
Сложив интегралы столкновений Lc[n} и Ld{n], найдем
полное изменение числа магнонов с заданным волновым век-
вектором kx (в единицу времени), обусловленное процессами их
распада и слияния:
(П{)= Lc \П\ -f- Ld \П\ =LS [П\. {ZO.ZAZ)
Формулы B5.2.6) и B5.2.11) определяют обратные вре-
времена жизни спиновых волн с заданным волновым вектором
по отношению к процессам слияния и распада. Для оценки
роли различных процессов в установлении теплового равно-
равновесия в системе магнонов необходимо знать среднюю вероят-
вероятность процессов слияния и распада магнонов, которую мы
будем обозначать через w@\ Она, очевидно, определяется
формулой
C)— l \~(fo\ l \ l \
к
Подставляя сюда выражения B5.2.5), B5.2.10) и выполняя
интегрирование по k, получим [1, 3]
ц0М0
B5.2.13)
258
3. Вероятность рассеяния магнонов магнонами. Вы-
Вычислим вероятность рассеяния магнона магноном. Матричный
элемент этого процесса можно представить, согласно B5.1.1),
в виде
—1, п2—1, «з+1, «4+ 11 е%?{4)\ пх, и2,
= ?,A2,34) Vr
Поэтому вероятность рассеяния магнона магноном в единицу
времени равна
да:"г?"ч
X Л (*, + *2 — *3 — *4) ° (ei + е2 — ез — е4) ; B5.3.1)
следовательно, изменение числа магнонов с волновым векто-
вектором ki в единицу времени в результате процессов рассеяния
определяется формулой
где
1)я3я4
— *4>
f e2 —
B5.
—
X
"ез-
.3.2)
{я} = ^ 2| V, A2,34) Р {(я,
234
— «,«2 («з + 1) (Я4 + 1)} А (А
Величина i}^ \п), так же как и величина Lp {n}, носит на-
название интеграла столкновений по отношению к процессам
рассеяния магнона магноном.
Легко видеть, что планковское распределение магнонов
обращает интеграл столкновений Z.14' \п) в нуль. Действи-
Действительно, из закона сохранения энергии ^ + е2 = е3 + е4 сле-
следует:
и поэтому
Д4){«) = о.
Поступая так же, как и в предыдущем разделе, можно
определить время жизни магнона с заданным волновым
17* 259
вектором по отношению к процессам рассеяния т^ (ft):
X6(e1 + e2 —ез —^4)- B5.3.3)
Опуская выкладки, приведем окончательно выражения для
—щ в некоторых предельных случаях [4,5]:
Т \ ъ! ¦
Мы видим, что при 7->0 величина т^4>(Л) стремится
к бесконечности. Это обстоятельство соответствует тому, что
при 7=0 в ферромагнетике отсутствуют «тепловые» спи-
спиновые волны. Подчеркнем, что при больших волновых век-
векторах, когда ?s(k)^>li0M0, рассеяние происходит главным
образом благодаря обменному взаимодействию. Если же
\e.s(k) — Eol<deo- т0 основную роль играет релятивистское
взаимодействие.
Формула B5.3.3) определяет время жизни спиновой волны
с волновым вектором k по отношению к процессам рассея-
рассеяния. Усреднив величину —тт-. с равновесной функцией рас-
пределения п (k), найдем среднюю вероятность рассеяния спи-
спиновых волн:
Величина, обратная w1-^, представляет собой среднее время
жизни т^4) магнона по отношению к процессам рассеяния.
В области температур ,u0Al0 <C! T <^L ®с основную роль
играют процессы обменного рассеяния и [3,5]
B5.3.5)
260
({-)\
§ 26. Процессы взаимодействия магнонов и фононов
1. Гамильтониан взаимодействия магнонов с фоно-
нами. Перейдем к исследованию взаимодействия между спи-
спиновыми волнами и колебаниями решетки. Заметим, что атомы
ферромагнетика не являются неподвижными, как мы предпо-
предполагали при установлении вида гамильтониана ферромагнетика,
а совершают малые колебания около положений равновесия—
узлов кристаллической решетки. Поэтому в коэффициентах,
стоящих перед произведениями операторов рождения и уни-
уничтожения магнонов в выражении для гамильтониана ферро-
ферромагнетика и являющихся функциями радиус-векторов его
атомов, мы должны, строго говоря, под Rw понимать
/?н-==/&-+ »/ — »/'•
где R°tr — равновесное значение радиус-вектора, соединяю-
соединяющего 1-Я и /'-й атомы, и и1— смещение /-го атома из его
положения равновесия. Это смещение можно, в свою очередь,
разложить на плоские волны:
B6.1.1)
где f и apj (f) — волновой вектор и частота колебаний
с поляризацией j, ej(f)— единичный вектор поляризации,
Ь) (/), bj (/) — операторы рождения и уничтожения фонона
с волновым вектором / и поляризацией J, p—плотность
вещества.
Таким образом, коэффициенты перед произведениями опе-
операторов рождения и уничтожения магнонов в гамильтониане
ферромагнетика являются функциями операторов рождения и
уничтожения фононов. Так как |иг|<<^а, то мы можем раз-
разложить эти коэффициенты в ряд по степеням компонент
Ui — Щ'. в результате чего гамильтониан ферромагнетика
примет вид
w \ °Н"' /о
IV, mm'
261
где индекс нуль означает значение функции при Ru> = jfu>
и а, р служат для обозначения индексов координат. Первое
слагаемое в этом выражении представляет собой гамильто-
гамильтониан собственно спиновой системы, а остальные слагаемые
после подстановки в них выражений B6.1.1)—гамильтониан
взаимодействия магнонов с фононами. Мы сохраним в этом
гамильтониане, который будем обозначать через ?№sl, только
линейные по смещениям атомов члены:
A B6.1.2)
w \mw к
Заметим, что в это выражение смещения атомов входят не
порознь, а в виде разностей Ui — Щ'. Поэтому 3&s! обра-
обращается в нуль, если к нулю стремятся волновые векторы
фононов.
Мы не будем рассматривать здесь процессы превращения
магнона в фонон, которые приводят к существованию свя-
связанных магнитоупругих волн и оказывают лишь малое влия-
влияние на спектры магнонов и фононов (феноменологическая
теория связанных магнитоупругих волн дана в главе IV),
а ограничимся только рассмотрением процессов с участием
двух магнонов и одного фонона (процессы с участием боль-
большего числа частиц при низких температурах менее вероятны).
Гамильтониан, описывающий процессы с участием двух маг-
магнонов и одного фонона, имеет вид
123
(здесь, как и ранее, используются обозначения сг = с(й;),
bi^r=bj(fi); в гамильтониане не выписаны слагаемые c+c+b+
и ccb, так как в первом борновском приближении они не
вносят вклада в вероятности переходов).
Входящие в S€sl величины Wsl A,23) и W'st A2,3) пред-
представляет собой амплитуды процессов испускания (поглоще-
(поглощения) фонона магноном и распада фонона на два магнона.
Эти амплитуды можно, согласно B6.1.2), B6.1.1), предста-
представить в виде
1 -23) = -?=¦ (—М'Л ^А/зФ,* A .'
B6.1.4)
262
где m^^pa3, ф^A,23) и ф^A2,3) — некоторые функции
от волновых векторов магнона и фонона, равные по порядку
величины единице, если ka<^\ и fa<^l.
Отметим, что процессы испускания и поглощения фонона
магноном обусловлены в основном обменным взаимодействием,
а процессы слияния двух магнонов в фонон и распада фонона
на два магнона — релятивистским взаимодействием.
Прибавив к сумме ($&sH и 36sl гамильтониан е$?г, опи-
описывающий колебания решетки, мы получим полный гамиль-
гамильтониан ферромагнетика 36'.
3&=svo+- mss+ 36^ тл. B6.1.5)
Здесь 300 по-прежнему обозначает гамильтониан газа сво-
свободных магнонов, а 36' ss — гамильтониан взаимодействия
между магнонами (этот гамильтониан определяется формулами
B5.1.1), B5.1.2)).
2. Вероятности испускания магноном фонона и пре-
превращения двух магнонов в фонон. Рассмотрим прежде
всего процессы испускания и поглощения фонона магноном.
Эти процессы можно трактовать как черенковское излучение
(поглощение) звуковых волн. Излучающей частицей при этом
является магнон. Так как закон дисперсии спиновых волн
совпадает (в пренебрежении релятивистскими эффектами)
с законом дисперсии обычных нерелятивистских свободных
частиц, то условие излучения фонона заключается в том, что
скорость магнона v должна превосходить скорость звука s.
й2
Замечая, что «масса» магнона равна тт = 0 „А ¦ и, следо-
Z.CL U^-i
вательно, v = — =-г-У 6,е (й), можно представить усло-
тт и
вие излучения в виде
где QD = температура Дебая.
Запишем теперь матричный элемент, соответствующий
. процессу испускания фонона магноном:
(«1+1. «2-1. N3+l\3est\nv я
= 4^A3,2) У («!+ 1)«2GV3+ 1)Д(*! -Ь/з-Аг). B6.2.2)
263
Отсюда следует, что вероятность черенковского излучения
фонона равна
<;'!% |^A32)|2( + 1)
— е2). B6.2.3)
Изменение числа магнонов, обусловленное процессами
испускания и поглощения магноном фонона, можно предста-
представить в виде
(n{)i = Ltl[n, N}, B6.2.4)
где
23
X [(«, ¦+-1) «2W3 — я, («2 + 1) (Л^з + 1)] A (ft, - ft2 —/3) X
Хб(ег —е2
Легко видеть, что интеграл столкновений Ls[ обращается
в нуль для равновесных распределений магнонов и фононов
е Т -1 в г -1
Действительно, в силу закона сохранения энергии
(ПХ + 1) «2^3 = «! («2 Ч- 1)(Л/3-Г- 1),
(я, + 1) (Л^з + 1) п2 = n,N, (я2 + 1),
и поэтому
?д{я. Щ = 0.
Поступая так же, как в предыдущем параграфе, можно
определить время жизни магнона с данным волновым векто-
вектором по отношению к процессам испускания и поглощения
фонона, которое мы будем обозначать через xsl(k). Обрат-
Обратная величина этого времени жизни определяется формулой
6л (ft,) fi
X А (*!_— *2 —/з) ^ (ei — е2 —
-f ! Ча A3; 2) р GV3 - Яа) A (ft, +/3 — ft2) б (е, -+- Ьо>3 - е2)}.
B6.2.5)
264
г
Усреднив
1
по равновесному распределению магнонов,
найдем среднюю вероятность испускания и поглощения фо-
нона магноном
1
ф,, = -=г=
sl У
У,
л (ft)
п («)•
д2
В предельных случаях, когда Т <<^ -g— и
личина имеет вид [1]
' )„ Т /ТУ'
еЬ
¦w.
Ь nips2
с
Ь mFs2
т V
эта ве-
B6.2.6)
где s — некоторая средняя скорость звука. Заметим, что
экспоненциальная зависимость средней вероятности испуска-
2
ния фонона при Т <^ -^-— от температуры связана с тем, что
"с
в процессах излучения могут принимать участие только те
магноны, энергия которых больше -jo—•
Поступая аналогичным образом, можно определить сред-
среднюю вероятность превращения двух магнонов в один фонон
(и обратного процесса превращения фонона в два магнона).
Эта вероятность, которую мы будем обозначать через <w'sl,
определяется формулами
¦ \2 q2
"si '
B6.2.7)
Сравнение этих формул с формулами B6.2.6) показы-
показывает, что wsl^§>w'sl вплоть до температур порядка одного
градуса.
3. Вероятности процессов взаимодействия фононов
с магионами. Используя выражение B6.1.3) для гамильто-
гамильтониана взаимодействия магнонов с фононами, можно опреде-
определить изменение числа фононов с заданным волновым вектором
265
в единицу времени, вызываемое поглощением и испусканием
фонона магноном:
{N1)a=Lu{N. n). B6.3.1)
где
+ е2 -е3)Х
X А (Л + k2 - fta
Легко видеть, что
Поступая так же, как и в предыдущем разделе, можно
определить время жизни фонона с заданным волновым век-
вектором и поляризацией x[s(f, j) по отношению к процессам
поглощения и испускания фонона магноном:
T(,(/rA)="w/,(V
Мы приведем здесь окончательное выражение только для
средней вероятности процессов поглощения и испускания
фонона магноном:
Т \2 G2
т^>-?-- B6.3.2)
Фононы взаимодействуют не только с магнонами, но и
между собой. Простейшими процессами взаимодействия фо-
фононов друг с другом являются распад фонона на два фонона
и слияние двух фононов. Мы ограничимся здесь рассмотре-
рассмотрением только этих процессов и не будем рассматривать слу-
случаев, когда трехфононные процессы невозможны [13].
Гамильтониан, описывающий трехфононные процессы,
имеет вид
$011= 21 ЧГ1A2.3)*1+*2+*зД(/1+/2— /з)+э- с. B6.3.3)
123
где
и ф,A2,3)—некоторая функция от направлений волновых
векторов и поляризаций фононов, по порядку величины рав-
равная единице. Отсюда легко получить выражения для вероят-
266
ностей процессов распада фонона на два фонона и слияния
двух фононов
X (N2 Ч 1) MjA (Л +/а —/з) в'(й©1 + й©2 %)
9_ B6.3.4)
<г+^>, лг._1 = т-1 чг'<32-1> i2(yv>+!>x
X J^A (/i —/2 —/3) б (йш, — Ьщ ~ Ьщ)
и найти изменение числа фононов с заданным волновым век-
вектором и поляризацией (в единицу времени), обусловленное
процессами распада и слияния фононов:
23
— N,N2 (N3 + 1)] A (/, + /2—
+1 W, B3,1) p [(iV.+ l)^^ _A'1(yV2+l)(yV3+ 1I X
X Л (/i — /2 —/з)в(й©1 — А©2 —А<йз)}. B6.3.5)
Легко видеть, что интеграл столкновений фононов друг
с другом Lf) {N) обращается в нуль для планковского рас-
распределения фононов:
?<3> [Щ = 0.
Поступая так же, как и в предыдущем разделе, можно
определить времена жизни фонона с заданным волновым век-
вектором и поляризацией по отношению к процессам распада
и слияния фононов. Мы приведем здесь окончательное выра-
выражение только для средней вероятности этих процессов:
j Г<:6Д. B6.3.6)
Сравнение этой формулы с формулой для wls показывает,
что если 0д ^g> Т ^> -а- . то
т. е. изменение функции распределения фононов происходит
главным образом благодаря столкновениям фононов друг
с другом.
267
Сравним в заключение этого раздела вероятности ¦о»<3' и
^ характеризующие интенсивность взаимодействия магно-
нов друг с другом, с вероятностями wsl и w'sV характеризу-
характеризующими интенсивность взаимодействия магнонов с фононами.
Легко видеть, что
если > ^\
B6 3 7)
если
Таким образом, взаимодействие магнонов друг с другом,
вплоть до температур порядка \х.0М0, сильнее взаимодействия
магнонов с фононами. Отсюда можно заключить, что равно-
равновесие в системе магнонов должно наступить быстрее, чем
равновесие между магнонами и фононами [1]. Поэтому тем-
температуры спиновой системы и решетки могут, вообще говоря,
отличаться друг от друга.
§ 27. Релаксация магнитного момента
в ферромагнетиках
1. Квазиравновесные бозевские распределения магно-
магнонов и фононов. Изучая термодинамические свойства ферро-
ферромагнетиков, мы определили равновесное значение магнитного
момента ферромагнетика, но не выяснили, как происходит
процесс релаксации его магнитного момента. Теперь мы
перейдем к изучению этого процесса, тесно связанного с про-
процессом установления термодинамического равновесия в ферро-
ферромагнетиках. Этот процесс, как и все кинетические явления,
протекающие в ферромагнетиках, существенно определяется
различными процессами взаимодействия магнонов, фононов и
электронов проводимости. Мы будем здесь рассматривать
только ферродиэлектрики и не будем поэтому учитывать
процессов взаимодействия с участием электронов проводи-
проводимости. Кроме того, мы будем считать кристалл достаточно
чистым и лишенным дефектов, так что можно не учитывать
процессов рассеяния магнонов и фононов примесными атомами
и дефектами решетки *).
*) Учету влияния примесей на различные кинетические процессы
в ферромагнетиках посвящены работы [6, 7]; роль электронов про-
проводимости в кинетических процессах рассмотрена в работах [8].
268
В предыдущей главе мы оценили среднюю вероятность
обменного рассеяния магнона магноном:
и среднюю вероятность распада магнона:
Вероятности остальных процессов в системе магнонов значи-
значительно меньше та><4) и w^\
S S
Если 9С (Ь^кУ1' <^ т <С %, то w<V^>wf. Поэтому
в этом интервале температур наиболее сильным является
обменное рассеяние магнонов. Это рассеяние приводит, как
будет показано далее, к установлению бозевского распре-
распределения магнонов, которое является, однако, не равновесным,
а квазиравновесным, так как его температура, т. е. темпе-
температура спинов, может отличаться от температуры фононов,
т. е. температуры кристаллической решетки, и соответству-
соответствующий этому распределению магнитный момент может отли-
отличаться от равновесного значения магнитного момента ферро-
ферромагнетика. Так как гамильтониан обменного взаимодействия
коммутирует с полным магнитным моментом тела S01 и его
проекцией на ось легкого намагничения Ttz, то последние
величины могут иметь произвольные значения.
Переход к равновесным значениям этих величин, а также
выравнивание температур спинов и решетки, обусловливается
взаимодействиями, могущими изменять магнитный момент си-
системы, т. е. магнитным дипольным взаимодействием и спин-
орбитальным взаимодействием. Эти взаимодействия в области
температур Т ^> 8g I ^ " I 7 являются слабыми по сравнению
с обменным взаимодействием. Поэтому релаксация магнит-
магнитного момента и выравнивание температур спинов и решетки
происходят медленно по сравнению с процессом установле-
установления квазиравновесного бозевского распределения для магнонов
с заданным значением магнитного момента.
Чтобы исследовать процесс релаксации магнитного момента
в ферродиэлектриках и выравнивание температур спинов и
решетки, будем исходить из кинетических уравнений для
функций распределения магнонов и фононов:
269
где п (k) и Nj (/) — числа магнонов и фононов (сорта j)
с волновыми векторами k и / и Ls [n, N] и Lt{N, n)—ин-
n)—интегралы столкновений магнонов и фононов.
Интеграл столкновений магнонов Ls [n, N) представляет
собой сумму интегралов столкновений магнонов друг с другом
(Z(s4) {«} и L^ {«}) и интеграла столкновений магнонов с фоно-
нами (Lsl {«, N}):
Ls\n, Щ = 1$ {п\+ if \n) + U{n. N} B7.1.2)
(интегралы столкновений L{4\ Lf\ Lsi определяются форму-
формулами B5.3.2), B5.2.12), B6.2.4)).
Интеграл столкновений фононов Lt {N, п\ представляет
собой сумму интеграла столкновений фононов друг с другом
(X/J' {M}) и интеграла столкновений фононов с магнонами
U[S{N, я}):
Ц{Ы, п] = L{p {N} + Lls {N, n} B7.1.3)
(интегралы столкновений L\3) {N} и Lu {N, п) определяются
формулами B6.3.5), B6.3.1)).
Мы рассмотрим сначала температуры, удовлетворяющие
условиям
При этом наиболее вероятными будут следующие процессы:
для магнонов — обменное рассеяние и для фононов — распад
и слияние фононов. Соответственно этому мы выделим из
интеграла столкновений магнонов слагаемое L^e) {«Jsee^L^ [n\,
определяющее изменение функции распределения магнонов,
обусловленное их обменным рассеянием, и запишем кинети-
кинетическое уравнение для магнонов в виде
toW-=ls%)[n}+L's[n. N], B7.1.4)
где L's {«, N) включает в себя все остальные слагаемые
в интеграле столкновений магнонов:
L's[n, JV}=L<3){«)+44r){«}+M«> N) B7.1.5)
(il4r) \n) описывает релятивистское рассеяние магнонов) и
|s — формально вводимый большой параметр, характеризу-
характеризующий интенсивность обменного рассеяния. В рассматриваемой
270
области температур интеграл столкновений L's [n, N] можно
рассматривать как малое возмущение.
Аналогичным образом кинетическое уравнение для фоно-
нов в рассматриваемой области температур мы запишем в виде
L'l{N,n), B7.1.6)
где ?;Z^{N} = zf {TV}, Li{N, n}=:Lls\N, n] и |«-фор-
мально вводимый большой параметр, характеризующий интен-
интенсивность процессов взаимодействия фононов друг с другом.
В рассматриваемой области температур интеграл столкно-
столкновений l'i [N, n] можно рассматривать как малое возмущение.
Так как кинетические уравнения для функций распре-
распределения магнонов и фононов содержат большие параметры
^ и |г, то мы будем искать решения этих уравнений в виде
разложений по обратным степеням параметров ^ и ?г:
п (k) = «(°> (k) +-raA)(*)+ ....
Подставляя эти разложения в B7.1.4), B7.1.6), получим сле-
следующие уравнения для определения га'°\ ЛЛ°>, «(')
- Ls {«' \ N }, B7.1.7)
_UN^_ r'Ur(O) „@I
WW Г" I — —Qj. 4l« . Я I-
Рассмотрим сначала первые два уравнения для определе-
определения функций «@), ЛЛ0). Мы будем предполагать, что сторон-
стороннее магнитное поле (или константа анизотропии) достаточно
велико, так что энергию магнона можно считать равной
Легко показать, что при этом общее решение уравнения
Г<;> {п{0)} = 0 имеет вид [5]
е Ts -1 B7.1.8)
п0, k = О,
271
где ?, Ts, n0 — некоторые пока произвольные функции
времени.
Обратим внимание на то, что /г@) @) является произволь-
произвольной величиной. Это связано со структурой интеграла столк-
столкновений L^ {п\, содержащего (под знаком интеграла), со-
согласно B5.1.5), выражение (k1k2-\-k3ki)A(k1-\-k2—k3—k4) X
X6Fi-f-e2 — е3 — е4), которое обращается в нуль, если
один из импульсов магнонов равен нулю. Заметим, что отсюда
вытекает также соотношение
справедливое при произвольной функции распределения ма-
магнонов n{k).
Общее решение уравнения L{iP) {/V@)} = 0 имеет вид
B7-1.10)
¦ 1
где Tj—некоторая, пока произвольная функция времени.
Величины Ts, С и Г, имеют простой физический смысл:
Ts и Т1 представляют собой температуры системы магнонов
и системы фононов, a Z, — химический потенциал системы ма-
магнонов.
Мы видим, что если учитывать только наиболее сильные
взаимодействия в системе магнонов и системе фононов, т. е.
обменное рассеяние магнонов и распад и слияние фононов,
то температуры магнонов и фононов могут различаться и
химический потенциал магнонов может быть отличен от нуля.
Мы будем поэтому называть распределения я()(?), Ny(f)
квазиравновесными.
Для того чтобы распределения магнонов и фононов стали
равновесными (т. е. чтобы температуры Ts и Tt выравнялись,
а химический потенциал ? обратился в нуль), необходимо
наряду с рассмотренными сильными взаимодействиями магно-
магнонов и фононов учитывать также их слабые взаимодействия,
т. е. релятивистское рассеяние магнонов и процессы испуска-
испускания и поглощения магноном фонона.
Таким образом, мы приходим к картине двухступенчатой
релаксации в ферромагнетиках, первая ступень которой обу-
обусловлена сильными, а вторая — слабыми взаимодействиями
в системе магнонов и фононов, причем первая ступень завер-
272
шается установлением квазиравновесных, а вторая—полностью
равновесных распределений.
Ясно, что время установления квазиравновесного бозев-
ского распределения магнонов определяется вероятностью
обменного рассеяния магнонов и по порядку величины равно
t<«>= — « A/is.
ч4) еЛ т
Время же установления квазиравновесной функции распре-
распределения фононов определяется вероятностью процессов слия-
слияния (распада) фононов и по порядку величины равно
1 Ь /е„\5
т, =
2. Уравнения для определения параметров квазиравно-
квазиравновесных распределений. Установим теперь уравнения для
определения параметров квазиравновесных распределений [5].
Заметим с этой целью, что интегралы столкновений L^f {«}¦
lY {N} удовлетворяют соотношениям
- _ B7 2 1)
2 е, (k) L(se) {я} =0, 2 hwpj(f)^ [Щ = 0
* Л
при произвольных функциях распределения для фононов и
магнонов. Первое из этих соотношений было доказано выше,
второе является следствием сохранения числа магнонов при
обменном рассеянии, а третье и четвертое—следствием закона
сохранения энергии.
Из этих соотношений и уравнений B7.1.7) для функций
nW и ДГA) следует, что должны выполняться условия
J8 А. И Агсиезер 273
Эти условия, являющиеся условиями разрешимости уравне-
уравнений B7.1.7) для функций /гA), Nw, представляют собой
одновременно уравнения для определения параметров квази-
квазиравновесного распределения.
Заметим, что вместо последнего уравнения можно пользо-
пользоваться уравнением
которое вытекает из того, что
2<
С {п, N]
{Л/, я) = 0.
Мы будем считать величины ?, ЬТ = Т$— Т, и v=e0-^-,
где N — полное число атомов в теле, малыми (величина nJN
считается малой, но конечной при N —> оо) и разложим
поэтому величины, входящие в уравнения B7.2.2), по степеням
?, ЪТ и v. Сохраняя в разложении только линейные члены,
получим
ЪТ
4-
- -i- v =
ч
4- г?- v =
4- -
v = Bvvv,
B7.2.4)
где cs и сг — спиновая и фононная теплоемкости, отнесенные
к одному атому, и
о,—i
Nct jU dT '
274
B7.2.5)
(индекс О означает, что значения производных от интегралов
столкновений берутся при ? = v = 6Г = 0).
Обратим внимание на то, что
Это соотношение выражает принцип симметрии кинетических
коэффициентов Онзагера.
Первые три уравнения B7.2.4) определяют, очевидно,
величины 67\ ?, v, а четвертое—величины Ts и Tv
Предполагая, что величины 67\ t,, х изменяются по
закону e~>J, мы получим три возможных значения к. Одно
из них равно
2^\Wr@, 1+2; 1, 2)|2Х
12
i + bj — e1+2 — е0), B7.2.6)
а два других кг и к2 являются корнями квадратного уравнения
Bn-BlzBTT = 0. B7.2.7)
18* 275
В области температур 8
для A,j, Я2, Я3 сильно упрощаются:
й ]А^57 е' 2
ве ( д ° )
'
9^ \ 9 J •
выражения
3. Релаксация магнитного момента и выравнивание
температур спинов и решетки. Покажем, что ? и v опре-
определяют величину магнитного MOiMemra ферромагнетика S01 и
проекцию полного магнитного момента Ж на плоскость, пер-
перпендикулярную оси анизотропии Т1±:
(J
Действительно, используя формулы A8.3.6), имеем
Подставляя вместо я (А) выражение B7.1.8), получим в линей-
линейном по С и ЬТ приближении
B7.3 2)
где М —-у-,
= —~^-
~^
^М{Т)—равновесное значе-
значение плотности магнитного момента при температуре Т, которая
установится в теле при полном равновесии и 6TS=TS—Т.
Мы видим, что проекция полного момента Т1^ полностью
определяется величиной v, которая изменяется со временем
по закону
B
Поэтому
276
t_
B7.3.3)
где
Величина т^ представляет собой время релаксации поперечной
составляющей магнитного момента. Подчеркнем, что релакса-
релаксация поперечной составляющей магнитного момента происходит
независимо от релаксации величины полного магнитного мо-
момента и от процесса выравнивания температур спинов и
решетки.
Релаксация величины полного магнитного момента и про-
процесс выравнивания температур спинов и решетки происходит
по более сложным законам:
О Q
м (о — м = 2 aie~%i' • бг (о = 2 */«"v •
i-i /-1
где коэффициенты аг и b-t определяются начальными значе-
значениями магнитного момента и разности температур спинов и
решетки.
Мы не будем приводить здесь общих выражений для этих
коэффициентов, а ограничимся только рассмотрением некото-
некоторых наиболее интересных случаев.
Если ML @) = ЬТ @) = 0, то
M(t) — M = (M @) — М)е-V,
6T(t) _ М@)-М /е0есу/2 6 ,,, , B7.3.4)
Из этих формул видно, что величина т = -тг- представляет
собой время релаксации величины магнитного момента.
Если Ж1@) = 0 и Ж@) — Ж = 0, то
6Г(О = 6Г @)
где
Отметим, что величины kv Я,2, Я,3 удовлетворяют нера-
неравенству ^^-Ач^^з (напомним, что
277
Так как g<^Z.l (^i<C^2 и го<^.^)> т0 в начальной ста-
стадии выравнивания температур основную роль играет первая
экспонента е~**', а на конечной стадии — вторая экспонен-
экспонента е-*-»'.
Из формул B7.3.3), B7.3.4) и неравенств Я2^>Я,1^>Я3
следует, что установление равновесного значения величины
магнитного момента происходит быстрее, чем изменение пер-
перпендикулярной составляющей полного магнитного момента.
Иными словами, вначале устанавливается равновесное значе-
значение величины магнитного момента, а затем уже происходит
поворот магнитного момента к оси легкого намагничения [5].
Последний этап релаксации феноменологически может быть
описан с помощью релаксационного члена типа
j (MX (MX Я)).
При Г—100°К для Xv А,2, Ка имеем следующие оценки:
9 -1 ^«lO7 сек~1 Я,3«105 сек'1
сек-1, ^«lO7 сек~1, Я,3«105 сек
Сравнивая формулы F.3.8) для релаксации магнитного
момента, которые мы получили, исходя из феноменологи-
феноменологического уравнения F.3.1), с формулами B7.3.3), B7.3.4),
видим,
где величины у± и уг определяются формулами F.3.9)
1 /1 1 \ / Hlj)\
Уг = —ТГ- Y,= г-— Р + -ТГ •
Отсюда легко выразить постоянные хх, т2, входящие в фено-
феноменологическое уравнение F.3.1), через постоянные X,, Х3:
1 1 1 XJ HtfY
& +A'+^l B736>
4. Релаксация магнитного момента в области очень
низких температур. Перейдем к исследованию релаксации
магнитного момента в интервале температур е0 <^ Т <^
<^8С(^° °] ', предполагая по-прежнему, что стороннее маг-
магнитное поле (или константа анизотропии) достаточно велико.
При этом, очевидно (в силу законов сохранения энергии
и импульса), невозможны процессы слияния двух магнонов
278
и распада магнона, если волновой вектор одного из магно-
нов, участвующих в процессе, равен нулю.
В этой области температур основную роль в установле-
установлении теплового равновесия играют процессы слияния и рас-
распада магнонов, а не их обменное рассеяние. Так как эти
процессы не меняют числа магнонов с волновым вектором
k = О, но изменяют общее число магнонов, то они приводят
к установлению (за времят<,3> = ~7зГ]квазиравновесного рас-
пределения вида B7.1.8), но с химическим потенциалом,
равным нулю:
[ «о. k = 0
Время установления этого распределения составляет по по-
порядку величины xf> *« -.—-гг-р- [-&]
Область температур Г<^8С ( " ) практически совпа-
дает с областью температур Т <^ -~, в которой главную
роль играют релятивистские взаимодействия магнонов друг
с другом, взаимодействие же магнонов с фононами несу-
несущественно. Поэтому можно рассматривать систему магнонов
саму по себе и исходить из следующего кинетического урав-
уравнения для определения функции распределения магнонов:
^ = ilf\n\+LT{n), B7.4.2)
где формально введен большой параметр |, характеризующий
интенсивность наиболее вероятных процессов слияния и рас-
распада магнонов, |Z.j3) {п) =/43) [п\ и Д4) [п] — интеграл столк-
столкновений, описывающий менее вероятные процессы реляти-
релятивистского и обменного рассеяния магнонов.
Разлагая функцию распределения магнонов в ряд по
обратным степеням параметра |:
п(k) = /г@)(ft) -f /г<'>(k)+ ...
279
и подставляя это разложение в B7.4.2), получим следующую
систему уравнений для определения /г@), /гA), . . .:
Lf>{a*») = 0. ^){я0)}=^_^{я@)}. B7.4.3)
Решение первого из этих уравнений имеет вид B7.4.1).
Замечая, далее, что при произвольном п справедливы
соотношения
получим следующие условия разрешимости второго из урав-
уравнений системы B7.4.3):
= 0 B7.4.4)
k
(мы учли, что 2 es(k) L^{n) = 0). Подставляя в эти урав-
уравнения квазиравновесное распределение no(k), получим урав-
уравнения для определения п0 и Ts
v»=— l3v, v + c/s = 0, B7.4.5)
к одному атому, и
Решение этих уравнений имеет вид:
где v — &о-хг 'cs—теплоемкость спиновых волн, отнесенная
Используя B7.3.2), можно переписать эти формулы в виде
Ж± (О = Ж± @) е~ f V, Г W - Г (°) = - Ж{в ~ 1У
B7.4.7)
Мы видим, что -j^ определяет время релаксации попе-
поперечной составляющей магнитного момента. Согласно B7.4.6)
оно равно по порядку величины
Это выражение совпадает с выражением B7.2.8) для
280
Обратим внимание на то, что равновесная температура
Т = Т (оо) связана с начальной температурой Т@) соотно-
соотношением
Т = Т@)-{~ Е°л?@) . B7.4.9)
т. е. Г>Г@). Увеличение температуры объясняется пере-
переходом в тепло энергии, связанной с отклонением магнитного
момента от равновесного значения.
Полученные результаты относятся, строго говоря, к тому
случаю, когда константа анизотропии или магнитное поле Щ'
достаточно велики. Как уже отмечалось выше, при этом
невозможны процессы слияния и распада магнонов с волно-
волновым вектором k = 0. В кристаллах с малой энергией анизо-
анизотропии (такими кристаллами являются кристаллы кубической
симметрии) и в случае достаточно слабых полей становится
возможным распад магнона с волновым вектором А = 0 на
два магнона. Это приводит к тому, что времена релаксации
продольной и поперечной составляющих магнитного момента
имеют одинаковый порядок величины [9]. В этом заключа-
заключается отличие релаксации в случае малой анизотропии и сла-
слабых полей от релаксации в случае большой анизотропии или
сильных полей, когда установление равновесного значения
магнитного момента происходит значительно быстрее пово-
поворота момента к равновесному направлению.
§ 28. Теплопроводность ферромагнетиков
1. Поток энергии спиновых волн. В § 20 мы видели,
что теплоемкость ферромагнетиков складывается из спиновой
и фононной теплоемкостей, причем спиновая теплоемкость
превосходит фононную теплоемкость в интервале температур
Т < -т—. Поэтому можно ожидать, что и теплопрозодность
ферромагнетиков (точнее говоря, ферродиэлектриков, о кото-
которых далее только и будет идти речь) в определенных усло-
условиях также будет обусловливаться главным образом магно-
нами, а не фононами [10].
Мы перейдем теперь к изучению теплопроводности фер-
ферромагнетиков и определению вкладов в тепловой поток, вно-
вносимых магнонами и фононами. Определим сначала плотность
потока энергии магнонов.
281
Согласно E.2.5) компоненты вектора плотности потока
энергии в ферромагнетике имеют вид
n(s) с dm dm
где поля Е и Н в приближении магнитостатики удовлетво-
удовлетворяют уравнениям
rot Я = 0, div В = О,
Используя эти уравнения, легко выразить вектор ПE) через
компоненты Фурье отклонения плотности магнитного момента
от равновесного значения m(k):
V
*, ft'
B8.1.1)
Это выражение для плотности потока энергии справедливо
и в квантовом случае, если под m(k) понимать операторы,
определяемые формулами A8.3.6)
т+ (k) =
т_ (k) = /2м-0Ж0 a (ft) ....
+ (*')a (*"> A (* + *' -
Используя эти формулы и формулы A8.2.1), можно вы-
выразить оператор потока энергии через операторы рождения
и уничтожения магнонов:
4- q>J(ft. ft')^(ft)c(ft')ei(*+*">'4-9. с.},
где фг (ft, ft') и ф^ (ft, ft') — некоторые функции волновых
векторов ft и ft'. Производя статистическое усреднение этого
оператора, найдем плотность потока энергии в ферромаг-
ферромагнетике:
HfV. 0= 2 Ы*. *')<г+(*>(*) >*'(*-*')Г +к. с.},
282
где
{с+ (kf) с (*)) = Sp pc+ (kr) с (k)
и р — матрица плотности ферромагнетика (мы учли при этом,
что для состояний, близких к равновесному, \{с (k) с (k')) \ ""
КС(*)С(*О>|).
Вводя далее функцию
п (к, г, 0 = 2 (с+ (*') с (ft)) e'(*-*')' B8.1.2)
и предполагая kL^§>\, где L — характерные пространствен-
пространственные размеры, на которых заметно меняется функция n(k, r; t),
получим
М*. — *)я(*. г;
где, согласно B8.1.1), A8.3.6),
Фг (к, — Л) = 2м-оЛ1о^Ий + 4л|х0Ж0 _li- (Лй ~ | S, |) —
Замечая, что
4г ^* — I В* I) — 4я|х0Ж0 (Л* _ | В4 |) _§. вв.
представим величину П( в виде
"^ r' f)' B8.1.3)
где v (k)—групповая скорость спиновых волн:
Величина и (ft, г; О-гг представляет собой число магно-
нов с волновым вектором k в элементе объема dr. Поэтому
полученная формула, как и следовало ожидать, допускает
простую корпускулярную интерпретацию; поток энергии, свя-
связанный со спиновыми волнами, представляет собой поток
энергий магнонов. Аналогичной формулой, как известно,
283
определяется плотность потока энергии фононов П( J:
П@ =у ^topjlfiSjinNjtf. г; О. B8.1.4)
fj
где Nj (f, r; t) —у число фононов с волновым вектором f,
поляризацией J и частотой a>pAf), в элементе объема dr и
Sj(f) — групповая скорость фонона,
Плотность полного потока энергии в ферромагнетике равна
П = П(*)+П(/). B8.1.5)
В отсутствие градиента температуры магноны и фононы
находятся в равновесии:
е т -1 е т -1
Тепловой поток в этом случае обращается в нуль. Если же
имеется градиент температуры, то числа магнонов и фононов
отличаются от равновесных значений и возникает тепловой
поток.
; Чтобы вычислить его, мы должны найти функции рас-
распределения магнонов и фононов при наличии градиента тем-
температуры.
2. Кинетические уравнения для определения функций
распределения магнонов и фоноиов. Кинетические уравне-
уравнения для определения функций распределения фононов и маг-
магнонов в стационарном случае имеют вид
v^=Ls{n,N}, s.^ = Ll{N,n}, B8.2.1)
где Ls {n, N\ и Z.; {./V, n) — интегралы столкновений для маг-
магнонов и фононов, определенные в предыдущих параграфах.
Функции распределения n(k) и Nj(f) должны, очевидно,
приводить к таким же значениям энергии магнонов и фоно-
фононов, как и равновесные функции n(k) и Nj(f). Поэтому
они должны удовлетворять, помимо кинетических уравнений,
284
добавочным условиям:
J es (ft) га (ft) dk ¦¦= J es (ft) n(k)dk.
B8.2.2)
Если градиент температуры достаточно мал, то функции
распределения га (ft) и Л^(/) будут мало отличаться от равно-
равновесных функций га (ft) и Nj(f), т. е.
я (Л) = я (Л) + вя (Л). ЛГ, (/) =JV;. (/) 4- Wj {f).
где |6re(ft) |<С«D) и \Wj(f)\<^:Nj(f). Поэтому при вы-
вычислении <?«/<?г и dNjjdr можно заменить n(k) на га (ft) и
Nj (/) на ЛГ;. (/):
v J-= я(*)(я(*L- Р
dNj - , -
*; -йГ = ^ (Л (^/
Подстановка этих выражений в кинетические уравнения
B8.2.1) приводит к двум неоднородным интегральным урав-
уравнениям для определения функций n(k) и Nj(f). Эти урав-
уравнения являются нелинейными, но их можно линеаризовать,
так как функции распределения га (ft) и Nj(f) мало отли-
отличаются от равновесных функций га (ft) и Nj(f).
С этой целью удобно ввести вместо 6«(ft) 6Nj(f) функ-
функции cp(ft), Фу(/), связанные с 6га(ft) и Wj(f) соотношениями
Учитывая, что равновесные функции га (ft), Nj(f) обращают
интегралы столкновений в нуль, получим следующую систему
линейных интегральных уравнений для определения функций
Ф(Л) и Ф;.(/):
B8.2.4)
285
где
L"s \Ф*
х
>
X
X(q
(Ы
4JJ —
Х(
А (АН
А(*Н
^i —ф2
1бЯ ^ГЧ |Ш CIO Q/|\ 12/^Г
fj Л] ¦*¦ S\ * )\ \ 1
234г
:Ф1 + Ф2 —Фз —Ф4N(е! + е
-1)(й2+1)Й3(ф1 + Ф2 — ФЗ
-*2-*3-2лт) +1^,B3,
— ФзN(е, — е2 — 83)А(А!-
-1-1)
2 J
LS
23t
N(е
1)Р
-k2
l(«2-|-
Е3 — В,
{2|?
i + e2
(«1 +
— *з-
1)
—
1)
Г
— А
v
<
12,3)р
?з)Х
«7зХ
>ят)} -
23t
1—*2—/з —
з — Ф2N(е1 + -Й«з — е2)Х
— *2 — 2лт)}, B8.2.5)
Ф}= —-^ 2{2(^гA2,3)Р(Л^1-г-1)(Л^2-|-1)Х
23»
X Л^з (Ф, + Ф2 — Фз) Ь (Ли, + йм2 — й©з) X
X Л^2Л^3 (Ф, — Ф2 — Ф3) 6 (Ао, — Асо2 — Лсо3) X
23т
X (гё2 + 1)й3 (Ф1 + Ф2 — Фз) 6 (*«! + Ч — е3) X
ХДСЛ + Л, —*з —2ят) B8.2.6)
(мы учитываем здесь процессы переброса и суммируем по-
поэтому по векторам обратной решетки т; цифры в аргумен-
аргументах и индексах служат для обозначения индивидуальных
состояний магнонов и фононов).
Помимо интегральных уравнений B8.2.4), функции cp(ft)
Ф;(/) должны, согласно B8.2.2), удовлетворять условиям
2 е,(*)«(*)(я (А0+1)Ф(*) = 0.
к B8.2.7)
_ _
2 Ыр] (/) Nj (/) (Nj (/) + 1 Ybj (/) = 0.
286
3. Теплопроводность ферромагнетиков при низких тем*
пературах. Перепишем кинетические уравнения B8.2.1)
в виде
р. Ф} + 4">{ф. Щ = п(п+\)у
- - ha - B8-ЗЛ)
где l°sLf{cp, Ф}, &ЭД°>{Ф. ф} и 4U) {Ф. Ф). ^"' (Ф, Ф} -части
интегралов столкновений, описывающие соответственно про-
процессы взаимодействия магнонов и фононов с сохранением и
без сохранения квазиимпульса. Так как при несохранении
квазиимпульса не могут быть одновременно малыми все ком-
компоненты волновых векторов сталкивающихся фононов и маг-
магнонов, то при низких температурах (Т <^ Вс, QD) интегралы
столкновений Llsu} {ср, Ф} и L[u) {Ф, ср} будут, очевидно, экс-
экспоненциально малы. Для удобства дальнейших рассуждений
мы учитываем это обстоятельство введением больших пара-
параметров |° и \t, стоящих перед интегралами ^'{ф. Ф} и
40){Ф. Ф}.
Решение уравнений B8.3.1) будем искать в виде разло-
разложений по обратным степеням параметров \s, \t:
Подставляя эти разложения в B8.3.1), получим уравнения
??>{ф«\ ф<°>} = 0, 40) {Ф@). Ф<0)} = 0, B8.3.2)
содержащие только функции ф( \ Ф(' и уравнения
?sLf] [ФA), 0} + l"LT {0. Ф11)} -f LV W°\ Ф@)} =
), 0} + |?Z?>{0, ФA»} + Lf {(ГУ0». Ф@Ч =
\)l?jL(sW), B8.3.3)
содержащие как функции фA), ФA), так и функции ф@), Ф@).
Рассмотрим сначала уравнения B8.3.2).
287
Общее решение этой системы уравнений имеет, очевидно,
вид
^Hk) = uk + Bes(k),
где^ ut и В — произвольные постоянные. Учитывая, однако,
добавочное условие B8.2.7), легко заключить, что кон-
константа В должна равняться нулю: В = 0.
Покажем теперь, как найти постоянные ut. Рассмотрим
для этого уравнения B8.3.3). Так как при произвольных
значениях <р ' и Ф имеют место соотношения
+ 2 **„ if) {l]LTW\ 0} + %Lf> {0, ф'1'}) = 0.
то уравнения B8.3.3) будут иметь решение только в том
случае, если выполняются соотношения
о
2 e, (*) tf > {Ф(О). ФИ + S ^w (/) Ii"' {Ф@), Ф@)} = 0.
ft /;
Второе из этих соотношений, в силу закона сохранения
энергии удовлетворяется тождественно при любых ut, первое же
соотношение определяет неизвестный вектор и.
Учитывая B8.3.4), перепишем это соотношение в виде
fi
288
где
Аи =
). B8.3.5)
Считая ферромагнетик для простоты изотропным, получим
отсюда
и =
±
. .J. V7\
B8.3.6)
где ct и cs — фононная и спиновая теплоемкости и
Л^Ж 2 I ^A2-34) |2(«! +¦
1234
X «3И4
— S3 —
123
123
—2ят).
—*2-/з —2ят), B8.3.7)
123 _
X W3 6 (Лео, + Лсо2 — Лсо3) А (/, +/2 — /3 — 2лт)
(мы учитываем здесь только слагаемые с наименьшими т,
отличными от нуля).
Используя формулы B8.2.3), B8.3.4) для n(k) и МД/),
получим следующее выражение для теплового потока:
п = 2 е, (*) п (k) v+2 sa
С другой стороны,
где Jt — коэффициент теплопроводности. Поэтому
19 А. И. Ахиезер
289
Оценим величину А. Так как при несохранении квази-
квазиимпульса не могут быть одновременно малыми все компо-
компоненты квазиимпульсов сталкивающихся частиц, то величины
As, Asl, At должны содержать экспоненциально малые мно-
множители. Действительно, рассмотрим, например, первое сла-
слагаемое в выражении для As. Пусть для определенности
не малы компоненты вектора kv Тогда не малой будет
энергия магнона е1. Но благодаря наличию б-функции
6(Ej —|— е2 — е3 — е4) отсюда можно заключить, что не малой
будет и энергия магнона е3 (или е4). Поэтому в выражении
(п1 -j- 1)(я2-(- 1)п3п4 экспоненциально малыми будут вели-
величины пх и и3. Показатели экспоненциально малых множите-
множителей определяются, очевидно, наименьшими значениями величин
ei + e2> *(Оз + е2 и /ий1 + /ив2 в соответствующих областях
интегрирования. Найти в общем виде эти наименьшие значе-
значения нельзя, так как для этого необходимо знать точные
законы дисперсии магнонов и фононов в области больших
волновых векторов. Можно, однако, утверждать, что по по-
порядку величины наименьшие значения г1 -j- е2 и Лсо1 -j- йсо2 равны
Э^ и Эр. Поэтому As и Лг можно записать в виде
где as, а(, т^, ti( и \s, yt по порядку величины равны еди-
единице.
Если предполагать, что законы дисперсии
e,(*) = Qc{akf, o)p/(/) = S//
справедливы не только при малых ak и а/, но и при ei~l,
af—'l, то можно показать, что величины r\s, r\t и ys, yt
будут равны
Величину Ast легко оценить в двух предельных случаях:
когда QC^>QD и когда бс<С^9о.
В первом случае из законов сохранения
290
следует: kx — k2—jt. Поэтому е2 -f- Ьщ -—¦ Qc и показатель
экспоненты в выражении для Asl будет равен по порядку
величины QJT. Таким образом, если QC'^>QD, то Asl имеет
вид
х ' ^ е г , С28.3.1П
где величины asl, т), т)', у — порядка единицы. Заметим, что
если считать квадратичный закон дисперсии для магнонов и
линейный закон дисперсии для фононов справедливыми вплоть
до k, /~ят, то величины г\, г\', у будут равны
Во втором предельном случае 9с<С^6о излучение фонона
магноном невозможно и поэтому величина As[ равна нулю.
Сравнение полученных формул показывает, что в пре-
предельных случаях QC^>QD и 9С<^00 основной вклад в ве-
величину А вносят соответственно А1 и As:
\AS,
Поэтому
, B8.3.12)
Из этих формул следует, что при ®с<^$о основную роль
в теплопроводности ферромагнетика будут играть магноны
при произвольных температурах (удовлетворяющих, конечно,
условиям Г<^0С, QD). Если же 8C^>0D, то вклад магно-
магнонов будет главным в области температур Т <^ Эд/Э^.
При квадратичном законе дисперсии для магнонов и ли-
линейном законе для фононов эти формулы приобретают вид*)
к =
*) При оценке роли магнонов в теплопроводности ферромаг-
ферромагнетиков мы учитывали только рассеяние магнона магноном. Однако
наряду с этим процессом могут также играть роль процессы с уча-
участием не четырех, а большего числа магнонов [11].
19* 591
4. Второй звук в ферромагнетиках. В предыдущем
разделе мы рассмотрели поведение ферромагнетика, т. е.
газа магнонов и фононов в постоянном температурном поле
с малым градиентом. Рассмотрим теперь тот случай, когда
температурное поле непостоянно и неоднородно:
Г(гЛ) = Г0A+#(г, 0).
где ®(r, t)—относительная добавка к температуре, кото-
которую мы будем считать малой, |&|<^;1.
В этом случае мы не можем при определении функций
распределения магнонов и фононов считать, что исходными
функциями являются планковские равновесные функции. Дей-
Действительно, обратимся к кинетическим уравнениям для опре-
определения функций распределения магнонов и фононов:
{»¦"}.
B8АЛ)
где
|(s0) /.'0) {п, N) и I^Z^f/V, n)—интегралы столкновений
магнонов и фононов без процессов переброса, Ls [n, N) и
L\u) [N, n) — интегралы столкновений с учетом этих процессов
и 14> I/ — формально вводимые большие параметры, опреде-
определяющие отношение вероятностей столкновений магнонов и фо-
фононов с сохранением и без сохранения квазиимпульса. Ре-
Решение этих уравнений будем искать в виде разложения но
обратным степеням больших параметров |s и |f:
Подставляя эти разложения в B8.4.1), получим уравнения
292
определяющие функции /г@) и N(o), и уравнения
B8 4 3)
определяющие функции «A) и
Легко видеть, что общее решение уравнений B8.4.2)
имеет вид
д(о)— I N(? — - B8 4 41
П zs(k)-uk • ™J— h<opJ(f)-uf ' V0-1*-*)
e f -1 e f -1
где иi и Т — некоторые, пока произвольные, функции коор-
координат и времени (в функцию распределения я@> не входит
химический потенциал, так как интеграл столкновений
Ls {i<0). N( '} описывает как процессы с сохранением, так
и без сохранения числа магнонов). Замечая, что имеют ме-
место соотношения
fj
fj pi l
при произвольных п и Nj, легко показать, используя
B8.4.3), что должны выполняться соотношения
&\ _i_ V1 /7V. (f) \ -| ^~
Л )
Л
(ft) »
ft fj
4-^; I Je, (ft) »,(*)»«« (ft) +
293
Эти соотношения, являющиеся условиями разрешимости урав-
уравнений B8.4.3), являются одновременно уравнениями, опре-
определяющими изменение параметров и и ¦&. Замечая, что
ku
1 и
1, можно представить эти уравнения
в виде
(cs + ct) Ь +1 Bс, + с,) div и = О,
Ви + j Bc s + с,) V^ = - А и,
, B8.4.6)
где с5 и сг — спиновая и фононная теплоемкости, отнесенные
к одному атому,
и Л определяется формулой B8.3.7) (при получении этих
уравнений мы считали, что es(k) = Qc(akJ и a>Pj(f) = Sjf).
Полагая и, ¦& <~ gHqr-at)^ получим следующее дисперси-
дисперсионное уравнение, связывающее частоту со и волновой век-
вектор q:
H-
Корни этого уравнения имеют вид
»1,2(9) = -«41
л B8.4.8)
где
Первые два из этих корней описывают процесс релаксации
поперечных (относительно q) составляющих вектора и, а тре-
третий корень определяет частоту и затухание волны, связан-
связанной с колебаниями температуры и продольной составляющей
вектора и. Эти волны называются вторым звуком. Заметим,
что так как вектор и определяет функцию распределения
магнонов, то вместе с колебаниями температуры будут
происходить колебания магнитного момента и магнитного
поля.
294
Приведем выражение для скорости второго звука v в
э е
двух предельных случаях, когда Т <-^ и Т~^>-гг-.
В первом случае основной вклад в теплоемкость ферро-
ферромагнетика и в величину В вносят магноны и [12]
Во втором случае основной вклад в теплоемкость ферро-
ферромагнетика и в величину В вносят фононы и
Л/ l
B8-4.10)
ГЛАВА VIII
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН,
ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ ИНДЕФИНИТНУЮ МЕТРИКУ
§ 29. Квантование спиновых волн
1. Операторы идеализированных спинов. В § 18 при
установлении связи между операторами спинов атомов и опе-
операторами испускания и поглощения магнонов мы существенно
i
использовали разложение радикала I/ 1 ^— в ряд по
степеням a+aJ2s, которое, строго говоря, справедливо только
в случае больших спинов, s^>l. Кроме того, мы видели,
что радикалы I/ 1 =— > содержащие операторы а+,
О|, можно рассматривать как операторы проекций спинов
атомов только в подпространстве собственных векторов опе-
оператора afaJ2s, принадлежащих собственным значениям этого
оператора, меньшим или равным единице. Используя извест-
известное соотношение
2 а+ак = 2 a?av
отсюда можно заключить, что развитая теория квантования
спиновых волн справедлива при выполнении неравенства
2 nk < 2sN,
k
где nk — число магнонов с волновым вектором k и N — об-
общее число атомов тела. Но при таком ограничении, накла-
накладываемом на числа заполнения магноноз, среднее значение
296
числа магнонов с волновым вектором к, строго говоря, не
определяется формулой Планка:
в т -1
Таким образом, вообще ставится под сомнение возможность
применения теории к случаю s—1. В этой связи важное
значение приобретает выяснение вопроса о том, какова в
действительности область применимости развитой в § 18
теории квантования спиновых волн.
Мы покажем, что единственным критерием ее примени-
применимости является условие малости температуры ферромагне-
ферромагнетика Т по сравнению с его температурой Кюри Те, что же
касается величины спина атомов ферромагнетика, то она мо-
может быть произвольной.
Чтобы убедиться в справедливости этих утверждений,
мы попытаемся связать операторы рождения и уничтожения
магнонов с операторами проекций спина, не прибегая к фор-
формулам A8.1.2), содержащим радикалы*).
Напомним прежде всего, что проекции операторов спи-
спинов удовлетворяют перестановочным соотношениям A.3.2)
[sz, s±]=±s±, [s+, s_]=2sz B9.1.1)
(индекс /, нумерующий узлы кристаллической решетки, здесь
и в дальнейшем, где это возможно, мы опускаем).
Введем операторы av a^, удовлетворяющие перестано-
перестановочным соотношениям
= Ьп„ [аг о/,] = 0. B9.1.2)
Легко убедиться, что если с помощью операторов al ^ а,
а+ ^ а+ (эти операторы мы будем для сокращения назы-
называть бозевскими операторами) построить операторы [2]
B9.1.3)
= — s-{-a+a,
*) Излагаемый ниже формализм принадлежит Дайсону [1].
297
где s — значение спина атома, то они будут удовлетворять
тем же перестановочным соотношениям, что и операторы
проекций спина s±, sz;
+ =s+.
[sz, s_] = ]/2s[a+a, a — -ja + aal =
--= — /2s (a— ~a+aa\= — s_,
[s+, ~s_]=2s\a+, a—~ a + aaj=- 2s -f 2a+a=2s2.
Однако операторы 5 нельзя отождествить с операторами s.
Действительно, собственные значения оператора а+а исчер-
исчерпываются неотрицательными целыми числами. Поэтому соб-
собственные значения оператора s2, равные —s, — s-\- I
не ограничены сверху, в то время как собственные значе-
значения оператора s2, равные —s, —s-j-1 s—1, s, ог-
ограничены сверху.
Хотя отождествление операторов s и S невозможно, тем
не менее матричные элементы операторов s (будем для со-
сокращения называть операторы 5 операторами идеализирован-
идеализированных спинов) могут быть связаны с матричными элементами
операторов спина s. Чтобы установить эту связь, исследуем
подробнее свойства операторов s.
Введем в рассмотрение собственные векторы Фя опера-
оператора а+а:
а+аФл = пФл, B9.1.4)
где п может принимать значение п = 0, 1, 2, ... Мы будем
говорить, что Ф„ описывает состояние, в котором присут-
присутствует п возбуждений.
Состояние с п = 0 будем называть состоянием вакуума.
Вектор этого состояния Фо определяется уравнением
аФ0 = 0. B9.1.5)
С помощью вектора состояния вакуума Фо можно пост-
построить векторы состояний Фя с произвольным числом воз-
возбуждений. Действительно, используя перестановочные соот-
соотношения B9.1.2), легко убедиться, что
Фя=-^(а+)"Ф0. B9.1.6)
298
Состояния с n<C2s мы будем называть физическими, а
с п > 2s — дополнительными.
2. Индефинитная метрика. До сих пор мы не делали
никаких предположений о связи между операторами а и а+
и считали только, что они удовлетворяют перестановочным
соотношениям B9.1.2), в остальном же являются независи-
независимыми. Предположим теперь, что операторы а и а+ являются
эрмитовски сопряженными.
Определение эрмитовского сопряжения требует, как из-
известно, введения метрики в пространстве векторов состояний,
т. е. определения скалярного произведения этих векторов.
Легко убедиться, что если операторы а и а? являются
эрмитовски сопряженными, то скалярное произведение век-
векторов состояний Ф„ и ФЛ', обозначаемое далее через (Ф„, Фп-).
будет равно
(Ф„, ф„,) = &„„-. B9.2.1)
Действительно, рассмотрим, например, скалярное произведе-
произведение (Фг, Фг). Согласно B9.1.6)
(Ф„ Ф1) = (в+Ф0, а+Ф0).
Но, по определению эрмитовского сопряжения операторов
L и Z.+,
(ф, №) = A+Ф, ?), B9.2.2)
где Ф и W — произвольные векторы состояний. Поэтому
($i. Ф0 = (Ф0. аа+Ф0).
Учитывая, что
и предполагая
(Фо. Фо)=1.
получим
(Ф„ Ф0=1.
Аналогичным образом можно убедиться, что равенство B9.2.1)
имеет место и при п = п' > 1.
Чтобы убедиться в ортогональности векторов состояний
Фл и Ф„' при пфп', умножим уравнение B9.1.4) скалярно
на Фя-:
(Ф„., в + вФя) = »(Фя.. ФД
Так как
(Ф„.. а+аФп) = ((а+а)+Фп,, Ф„)
299
и (а+а)+ = а+а, то мы приходим к соотношению
л'(Фя-. Фя) = я(Фя-. Ф„),
откуда и следует ортогональность векторов состояний при
пфп'.
Мы видим, таким образом, что, если потребовать, чтобы
операторы а и а+ были эрмитовски сопряженными в про-
пространстве векторов состояний Фя, то мы придем к метрике
B9.2.1).
Легко видеть, что в этой метрике операторы s+ и s_,
определяемые соотношениями B9.1.3), не будут эрмитовски
сопряженными. Покажем, однако, что можно определить
метрику в пространстве векторов состояний Ф„ таким обра-
образом, чтобы операторы s+ и s_ были в ней эрмитовски соп-
сопряженными, а оператор s2 — самосопряженным. Это значит,
что может быть определено скалярное произведение векто-
векторов состояний Ф„, которое мы будем теперь обозначать че-
через (Фя, ФЯ') таким образом, чтобы выполнялись соотно-
соотношения
<ф„г,Ф„)=(/,Ф„ф„).
(ф„., »,ф„)=(»,ф„, ф„>.
Мы будем предполагать, что скалярные произведения
(Ф„', Ф„) и (ФЛ', Фп) связаны между собой соотношением
(Ф„', Ф„) = (Ф„', ^Ф«), B9.2.4)
где F— некоторый оператор, который называется метриче-
метрическим оператором. Так как скалярное произведение (W, Ф)
должно обладать свойством
(W, Ф)*=(Ф, ?>,
то оператор F должен быть эрмитовым в метрике B9.2.1):
F+=F. B9.2.5)
Найдем вид метрического оператора F. Из равенств
B9.2.3) следуют, согласно B9.2.4), соотношения
откуда
Fs±=s±F, Flsz = s+F. B9.2.6)
300
Подставляя в эти соотношения выражения B9.1.3) для s±, sz,
i найдем
a+(l — ~\F = Fa + , nF=Fn, B9.2.7)
где п = а+а. Мы видим, что F приводится к диагональному
виду вместе с п. Поэтому первая формула B9.2.7) дает
где
Таким образом,
откуда
(i)(-^). B9.2.8)
Это выражение показывает, что Fn = 0 при n'^2s-\-\.
Возвращаясь к выражению B9.2.4), получим
{Фа.Фп') = РпЬпп>. B9.2.9)
Эта формула показывает, что метрика, задаваемая скаляр-
скалярным произведением (W, Ф), является индефинитной, так как
скалярное произведение (Ф„, Ф„) при п > 2s, т. е. для до-
дополнительных состояний обращается в нуль, хотя Фп Ф 0.
3. Связь матричных элементов спинов и идеализи-
идеализированных спинов. Наша задача заключается в установлении
связи матричных элементов операторов s2, s± с матричными
элементами операторов sz, s±.
Введем с этой целью собственные векторы оператора s2,
которые мы будем обозначать через | п):
*,|») = (»-*)|«). B9.3.1)
где /г—0, 1, 2, ..., 2s (величина т = п — s представляет
собой проекцию спина атома на ось z).
Вектор состояния | п) может быть построен с помощью
вектора состояния | 0), определяемого уравнениями
5г|0) = —s|0), s_|0)=0 B9.3.2)
(второе из этих уравнений учитывает тот факт, что нет век-
векторов состояний с проекцией спина, меньшей чем —s). Для
301
этого необходимо подействовать на 10) оператором (sf)*:
| п) = Bsyn/2(n !)/2 (s+)n 10). B9.3.3)
Действительно, согласно B9.3.4),
n n ), B9.3.4)
откуда и из формул B9.3.3), B9.3.2) непосредственно сле-
следует B9.3.1).
Покажем, что состояния | п) удовлетворяют следующим
условиям ортогональности и нормировки:
{n\n') = Fnbm.. B9.3.5)
где Fn определяется формулой B9.2.8). Заметим с этой
целью, что векторы состояний B9.3.3), как собственные век-
векторы эрмитовского оператора sz, являются ортогональными,
т. е.
(п'\п) = Ая{2аГа±-Ьяа.. B9.3.6)
где
Найдем величину Ап. Замечая, что s(s-\- l) = s^-f-
+ 2"(s+5_-Ь 5_s+), и используя соотношение [s+, s_] =
= 2sz, получим
s^s+=(s-sz){s + sz+\). B9.3.7)
Эта формула и формула B9.3.4) позволяют представить опе-
оператор sls"+ в виде
sn_sn+ = sn_~Js_s+s"+-1 = s^-'s^ (s — sz—n-\- \)(s + sz -f-re).
Усредняя это равенство по состоянию 10) и используя
B9.3.2), найдем
а так как Ао=1, то
Aa =
что и требовалось доказать.
Таким образом, векторы состояний - | п) являются
ортонормированными.
302
Установим теперь связь между матричными элементами
операторов s и s.
Докажем, что если O(s) представляет собой произволь-
произвольную функцию операторов проекций спина st, то имеет место
следующее общее соотношение:
) = (ФЛ> /7О(РяР)Фл.))
B9.3.8)
где Р — оператор проектирования на подпространство физи-
физических векторов состояния:
'Ф„. «<2s,
п > 2s.
Формула B9.3.8), если отвлечься от операторов проек-
проектирования сводит задачу о нахождении матричных элементов
оператора G(s) к задаче о нахождении матричных элементов
произведения бозе-операторов а, а+ между состояниями Фл,
Фп', являющимися собственными состояниями оператора числа
возбуждений п — а+а.
Для доказательства формулы B9.3.8) предположим сна-
сначала, что эта формула справедлива для G{s) = si, и пока-
покажем, что она будет справедлива для G(s) = s^s^.
Замечая, что состояния FZ |ге) являются ортонормиро-
ванными, имеем
(ге | stsk | re') = 2 (re | s/1 re") F~} <»" | sk \ n). B9.3.10)
n"
Согласно нашему предположению формула B9.3.8) справед-
справедлива для G(s) = slt т. е.
(ге|5/|ге") = (Ф„, Fs№n") B9.3.11)
(в этой формуле мы опустили оператор проектирования, так
как состояния Ф„, Ф„» являются физическими). Подставляя
B9.3.11) в B9.3.10) и замечая, что
(Ф„., /7?*Фл') = '7/1'(Ф/|-
получим
(п\518к\п')^^'(Фп. Р71Ф„-)(ФЯ; ?»Ф„.), B9.3.12)
л"
где суммирование производится только по системе физических
ректоров состояний.
303
Заменяя в последней формуле Ф„» на РФп", можно рас-
распространить суммирование по п" в B9.3.12) на полную си-
систему векторов состояний Ф„». В результате мы получим
Эта формула совпадает с формулой B9.3.8) при G(s) = s/5ft.
Поступая аналогичным образом, легко доказать, что фор-
формула B9.3.8) будет справедлива для функций G (s), имеющих
вид произведений любого числа операторов st, если только
она справедлива для O(s) — st.
Остается убедиться в справедливости формулы B9.3.8)
для G (s) = sit что может быть сделано непосредственным
вычислением. Действительно, из формулы B9.1.3) следует:
(Ф„, Fsi<Dn')=Fn(n—s)bnj. B9.3.13)
К тому же результату приводит и левая часть равенства
B9.3.8):
<я | sz | я') = (я — s) (п | я') = (я - s) Fnbnn.,
так как, согласно B9.3.4), (п | я') = Fп6„„'.
Если G(s) = s+, то из B9.1.3) имеем
(Фв. /75~+Ф„')=:/27/?й(Ф„, а+Ф„')=/27Лг/«би, в.+]:
С другой стороны, из квантовомеханического определения
матричных элементов оператора момента следует:
n'hF:'h (n\s+\я') =
где т — п — s, т' = п' — 5. Поэтому, используя B9.2.8),
получим
| n-iBs+\ — я)бА „41 =
= |/2s/:'n l/ябп, л/+ь
Таким образом,
<я|*+|я')=(Фя. /^ФЛ')- B9.3.14)
Согласно B9.2.4) отсюда следует:
Переходя к комплексно сопряженным величинам и замечая,
что
304
получим
(n\s_\n') = (Ф„, /Ъ_ФЯ.). B9.3.15)
Равенства B9.3.13), B9.3.14), B9.3.11) доказывают спра-
справедливость формулы B9.3.8) для G(s) = s/. Таким образом,
формула B9.3.8) доказана в общем случае.
4. Теорема о следах. При вычислении статистической
суммы, а также различных кинетических коэффициентов при-
приходится находить следы оператора G(s). Мы покажем, что
вычисление SpG(s) сводится к вычислению следа некоторого
оператора, построенного с помощью бозе-операторов а, а+.
Согласно формуле B9.3.8)
Sp G (s) = >] — (п | G (s) | га) = 2 (Ф„. G (PsP) Фп),
п п
где штрих у суммы означает, что суммирование производится
только по физической системе векторов состояний Фл
(га <; 25). Замечая, что РФП = 0 при га > 2s, имеем
Таким образом,
B9.4.1)
где st связаны с бозе-операторами а, а+ формулами B9.1.3).
5. Связь между различными реализациями операто-
операторов спина. В § 18 (раздел 1) мы построили с помощью
бозевских операторов а+, а операторы
B9.5.1)
s'z =
которые формально удовлетворяют перестановочным соотно-
соотношениям для операторов спинов. С другой стороны, мы ввели
операторы
sz = — s-\-a+a,
20 А. И. Ахиезер
которые также удовлетворяют перестановочным соотноше-
соотношениям для операторов спина. Возникает поэтому вопрос, как
связаны между собой обе эти системы операторов, о кото-
которых можно говорить как о различных реализациях операторов
спина с помощью бозевских операторов а+, а.
Воспользуемся для этого формулами B9.2.8), B9.1.4),
B9.1.6). Считая, что п, п'^2s, получим
(Ф„. /7'Аа + /7-1/1Фл0 = 1/ -Р- (Фл. 0+Ф„-) =
Ф-
B9.5.2)
Замечая далее, что
У 1-?271(ф«-
перепишем B9.5.2) в виде
(Ф„ Р»^Г-1'-Ф,.) =
Мы видим, что операторы s+, 5_, 5г связаны с опера-
операторами s' , s'_, s'z соотношениями
s'± = F'l2s±F-'h, s'z=~sz = Fy2szF-''\ B9.5.3)
Эти формулы справедливы в подпространстве физических
векторов состояний, т. е. при п <J 2s.
Выше мы получили формулу
где G(s) — произвольная функция операторов s. Используя
соотношения B9.5.3), мы выразим теперь (ra|G(s)|ra') через
операторы s'.
¦306
Заметим для этого, что при п, п' <! 2s
(Ф„, FG (PsP) Ф„<) = yi\F^(Фя> F4>G (PsP) F-4><Z>n.).
Так как оператор G(PsP) действует в физическом подпро-
подпространстве векторов состояния, то, согласно B9.5.3),
F<l:iG(PsP) F~'h = G(PF'l2sF~'hP) = G (Ps'P).
Поэтому
J ). B9.5.4)
п'
У ' и1*п
Так как состояния F~l'2\n) являются ортонормированными,
то из последней формулы следует соотношение
Sp G (s) = Sp ЯО (Ps'P). B9.5.5)
Формула B9.5.4) показывает, что матричный элемент
оператора G(s) между нормированными состояниями F^2\n),
вообще говоря, не равен матричному элементу (Ф„, О($')ФЛ')
и только в пренебрежении промежуточными дополнительными
состояниями указанные матричные элементы будут совпадать.
6. Представление статистической суммы ферромагне-
ферромагнетика с помощью бозевских операторов. Теорема о следах
может быть применена к вычислению статистической суммы
ферромагнетика
^(s), p = -i, B9.6.1)
где ^?(s;) — гамильтониан ферромагнетика (здесь выписаны
явно аргументы s;, чтобы подчеркнуть, что гамильтониан вы-
выражен через операторы проекций спинов отдельных атомов).
Согласно этой теореме
Sp е~ ^ (si) = Sp Pe~m (P°iP), B9.6.2)
где s; — операторы идеализированного спина 1-го атома,
определяемые формулами B9.1.3), и Р—оператор проекти-
проектирования на подпространство векторов физических состояний.
При этом под физическими состояниями мы понимаем такие
состояния, для которых собственные значения операторов a. + at
меньше или равны 2^ для каждого узла решетки. Вводя опе-
оператор проектирования Р; для 1-го узла решетки:
20* 307
где
можно представить оператор Р в виде произведения опера-
операторов Pt:
Ц
Мы покажем, что правая часть равенства B9.6.2) может
быть с экспоненциальной точностью порядка е т преобра-
преобразована к такой форме, которая не будет содержать опера-
оператора проектирования Р. Таким образом, мы сведем задачу
о вычислении следов матриц, содержащих операторы st,
к вычислению следов матриц, содержащих операторы а+, а
алгебра которых значительно проще алгебры операторов st.
Выразим прежде всего оператор effiiPsffl через бозевские
операторы а + , av предполагая, что гамильтониан ферромаг-
ферромагнетика <Ш (sx) имеет простейшую форму:
учитывающую только обменное взаимодействие спинов и их
взаимодействие со сторонним магнитным полем. В этом случае
1фт
где
/ ' / / * / '
и операторы а+, at удовлетворяют перестановочным соотно-
соотношениям
\_ v г] и" [ v г\ I / ' г\ •
Так как оператор s~ является оператором уничтожения,
a sf — оператором рождения элементарного возбуждения, то,
308
очевидно,
Поэтому выражение для q№ (PstP) может быть представлено
в виде
1
1Фт
]
Используя явный вид операторов sf, sf, sf, получим
Щт)"Г[1 -^г)^т-^1)\Р' B9-6.4)
1фт
где
Легко убедиться, что последнюю формулу можно пред-
представить также в виде
»(e'»-e«)l/>- B9-6-5)
Введем в рассмотрение операторы:
tP) = Р ( EQ
{ i
п + п
i i —
B9.6.6)
309
Тогда
&е (Ps~P) = PMDP = P3€D P. B9.6.7)
Легко видеть, что оператор <ШО (а также оператор $во),
действуя на дополнительное состояние, переводит его в до-
дополнительное же состояние. Поэтому
и, следовательно, для произвольной функции /(&%') имеют
место формулы
В частности, согласно этим формулам и формуле B9.6.7),
статистическую сумму можно представить в следующих двух
эквивалентных видах:
Z = SpPe-VMD B9.6.8)
Эти формулы являются абсолютно точными, но ими неудобно
пользоваться при конкретных вычислениях, так как они со-
содержат оператор проектирования Р, исключающий дополни-
дополнительные состояния.
Покажем, что с точностью до членов порядка е г во
второй из формул B9.6.8) может быть опущен оператор
проектирования Р.
Рассмотрим, например, дополнительное состояние:
Легко видеть, что это состояние является собственным со-
состоянием оператора e%?D:
~М'ОФ ... rij ... =
% + snj 2 J(ReJ IФ ... п,
1фт )
Поэтому вклад состояния Ф ... «;- . . . (п}- > 2s) в
равен по порядку величины е-Ру°. При низких температурах
этот вклад экспоненциально мал.
310
Аналогично можно показать, что вклад любых дополни-
дополнительных состояний при низких температурах экспоненциально
мал и составляет по порядку величины е~Рд, где A ~>-r-Josy
(у — число ближайших соседей).
Таким образом, с точностью до членов порядка е-Рд,
mo. B9.6.9)
Что касается первой из формул B9.6.8), то в ней нельзя
опускать оператор проектирования Р. Действительно, для
дополнительных состояний
Ф ... п. ... п., ...= Х (а+)"> (а+)а *' Фо,
1 ' уП]\пг\ У J' \ I) °
rij > 2s, ny > 2s
имеем
(Ф...
а,-
... ny — ©
. р 911 /-/*'
—0 гЧ) 0
?) («у -f" П
г) Л
... Пу . .
.) =
X
Это выражение, а следовательно, и спектр оператора $$D
неограничен снизу, так как при п., п.,-*оо
(Ф ... П; ... п. &eD<§ ... tij ... п.,)->оо.
Поэтому, опуская оператор проектирования в первой фор-
формуле B9.6.8), мы получим расходящееся выражение
Вернемся к формуле B9.6.9). Входящий в нее опера-
оператор 36D (в отличие от оператора 36р) содержит оператор
проектирования Рт, что затрудняет непосредственное исполь-
использование этой формулы. Мы покажем, однако, что этот опе-
оператор может быть заменен эквивалентным ему оператором,
не содержащим операторов проектирования Рт. Представим
с этой целью оператор 36D в виде
где
^ _^^^ V Itn) t V 2? / "^ ^ tit'
1фт
311
Оператор $в'о обладает очевидным свойством: если по-
подействовать им на вектор физического состояния Фп,п2 ...
(nt^.2s), то мы получим нуль:
Легко убедиться, что если одно из чисел я, равно 2s-\-\,
а остальные равны нулю, то в результате действия опера-
оператора &6'D на вектор такого состояния мы также получим
нуль
$?оФь...л,...о...=0. я, =2*4-1-
Поэтому справедливо соотношение
&?оФп1п2... = 3@оФп1п2..., !]/»,< 2* 4-1.
I
Наконец, если общее число возбуждений равно 2s -\- 2,
то только при действии на векторы состояний вида
оператор &6'о дает отличный от нуля результат.
Легко видеть, что действие оператора 36d на эти век-
векторы состояний эквивалентно действию оператора
В самом деле,
= — jV2s + 2 2 J(Rt,,)Ф..о...л ..«r...o....
Лр...Л/....О....
Яр = 2s + 2, яг=},
т. е.
р р
Аналогичное равенство справедливо для вектора состояния
Ф...0.../, ...пг...о... (яр = 2s-|-l, яг=1):
Ясно, что если 2w;<2s-)-2, то
Таким образом, действие оператора &6D на векторы состоя-
состояний, описывающих не более чем 2s-\-2 возбуждения, экви-
эквивалентно действию на них оператора 2'
Мы рассмотрели состояния с общим числом возбуждений,
не превосходящим 2s-\-2. Но аналогичным образом можно
рассмотреть состояния с произвольным числом возбуждений.
При этом нужно последовательно вводить операторы дЖ(о*+3).
?f?'%s+ аналогичные оператору <g%?0i+2> и содержащие
соответственно Bs -\- 3), Bs -f- 4), ... операторов типа af
и такое же число операторов типа at.
Бесконечная сумма этих операторов и оператора ШD
будет эквивалентна оператору ?№D\
г=2
т. е.
00
Шво-=&€ОЛ- S 3@(о+г)- B9.6.10)
г-2
Это соотношение показывает, что формулу B9.6.9) можно
представить в виде
B9.6.11)
313
Оператор &?D мы будем называть эффективным гамильто-
гамильтонианом ферромагнетика. Заметим, что входящая в него бес-
конечная сумма операторов 2 &в!)+т) имеет отличные от
нуля матричные элементы только между дополнительными
состояниями.
Формула B9.6.11) принципиально решает поставленную
в начале этого раздела задачу, а именно, она сводит вычи-
вычисление следа матриц, содержащих операторы спинов атомов st,
к вычислению следа матриц, содержащих более простые бо-
зевские операторы a(r, av
Для дальнейшего применения формул B9.6.6) удобно
ввести операторы испускания и поглощения магнонов а+ (k)
и a (k), которые мы определим как преобразования Фурье
операторов af и at:
ihr B9.6.12)
Из перестановочных соотношений B9.1.2) для операто-
операторов аг+, at вытекают перестановочные соотношения
[«(*). в+(*0] = б«'. B96ЛЗ)
[а (к), а (?')] = [а ( (*), а+ (к')] = О
для операторов a (k), а ь ф').
Используя разложение B9.6.12), можно выразить эффек-
эффективный гамильтониан &6D через операторы испускания и
поглощения магнонов:
r), B9.6.14)
г-2
где
^ (к) а {к).
B9.6.15)
314
и величины ?s(k) и Ф(кг, к2; ft3, ft4) определяются форму-
формулами
е, (ft) = 2ц0Я^ + 5 (У @) - У (ft)),
i, ft2; ft3, ft4)==
= j {/(fti) + J(k2) — J{kx — ft3) — J(k2 — ft3)}, B9.6.16)
•/(ft)=S-/(/?(j «"*"»•
Эти выражения вместе с перестановочными соотношениями
B9.6.13) показывают, что оператор е%?0 представляет собой
гамильтониан свободных магнонов, a a (ft) и а+ (ft)— опера-
операторы поглощения и испускания магнона с волновым векто-
вектором ft и энергией e^(ft).
Оператор е%?7, содержащий произведения четырех опера-
операторов a (ft), a+ (ft), представляет собой гамильтониан обмен-
обменного взаимодействия магнонов.
Явных выражений для оператора d%?z/+r> мы приводить
здесь не будем, а заметим лишь, что ??в\) содержит про-
произведения 2s-\-r операторов типа a (ft) и столько же опе-
операторов типа а+ (ft). Поэтому оператор e%?(ji+r) описывает
процессы взаимодействия, в которых участвует 2Bs-\-r)
магнонов.
Заметим, что выражение для e^(ft) переходит в известное
уже нам выражение для энергии магнона (в пренебрежении
энергией магнитной анизотропии и энергией магнитного ди-
польного взаимодействия). При ak <C! 1 энергия магнона
равна
B9.6.17)
где Уо — значение обменного интеграла между ближайшими
соседями.
Легко видеть, что величина Ф^, ft2; ft3. kA) (она назы-
называется амплитудой обменного рассеяния магнонов) обращается
в нуль, если ft3 = 0 либо ft4 = 0. Это значит, что взаимо-
взаимодействие между длинноволновыми возбуждениями является
слабым. Отметим, однако, что при ka~\ взаимодействие
между магнонами отнюдь не является слабым. Только в пре-
предельном случае больших спинов s^>l, как видно из фор-
формул C0.6.16), это взаимодействие будет слабым при всех
значениях к-
315
Отметим, что Q>{kx, k2; k3, &4) Ф Ф(&3, k4; kx, k2). Благо-
Благодаря этому операто𠧈1 (так же как и оператор е%?о) не
является эрмитовым. Неэрмитовость ?№'7 однако не проявляется,
если не учитывать дополнительных состояний, вклад которых
в статистическую сумму экспоненциально мал при Т <^ Тс.
§ 30. Термодинамический потенциал ферромагнетика
1. Разложение термодинамического потенциала по
степеням температуры. Полученная в § 20 формула для
поправки к термодинамическому потенциалу Ог справедлива,
строго говоря, при s^>>1, так как только в этом случае
оператор $в35 можно рассматривать как малое возмущение.
Покажем теперь, что если отбросить предположение о вели-
величине s, но считать по-прежнему, что Т <^ТС, то мы получим
для поправки к термодинамическому потенциалу выражение,
отличающееся от выражения B0.4.3) только численным мно-
множителем порядка единицы (зависящим от величины спина) [1].
С этой целью мы обратимся к формуле B9.6.9), выра-
выражающей статистическую сумму ферромагнетика через опера-
операторы испускания и поглощения магнонов и, интересуясь
областью низких температур, поставим вопрос о разложении
термодинамического потенциала Q,
Q = — jlnZ, C0.1.1)
в ряд по степеням T/Qc.
Замечая, что S€D = &€^-\-§€t, где 3&0 и ?Ш, опреде-
определяются формулами B9.6.14), B9.6.15), перепишем оператор
в виде
о
о
Под знаком следа можно циклически переставлять опера-
операторы; поэтому
= - р sP
316
Производя в последнем члене интегрирование по частям, по-
получим
p
Следовательно, термодинамический потенциал Q может быть
представлен в виде
й = О0 — -i-ln A — Щ, C0.1.2)
где
О0 = — i-lnSpe-P^1»
I
C0.1.3)
о
(скобки (...)о означают усреднение с равновесной матрицей
плотности невзаимодействующих частиц, (А)о = Sp Ле^'00^).
Первое слагаемое в C0.1.2) определяет термодинамиче-
термодинамический потенциал идеального газа магнонов, а второе — по-
поправки к термодинамическому потенциалу, обусловленные
обменным взаимодействием. Интересуясь в дальнейшем только
поправками, пропорциональными Г5, можно заменить 1пA—рт])
на —Рл,
Q = a0_j-AQ, AQ = ti. C0.1.4)
Покажем, что в области низких температур, Т <^ Тс,
справедливо следующее соотношение:
. C0.1.5)
12
где Аг, А2, . . . — некоторые операторы, приводящиеся к диа-
диагональному виду вместе с числами заполнения пь и Ф12 —
вектор состояния, содержащего только два магнона с волно-
волновыми векторами kx и k2:
317
Чтобы доказать это соотношение заметим, что для вычисле-
вычисления выражения, стоящего в левой части равенства C0.1.5),
необходимо найти диагональные матричные элементы:
где [ {nt}) служит для обозначения вектора состояния <?>„,„,..,
Матричный элемент 2№{л.\ в свою очередь сводится к сумме
произведений матричных элементов типа
где п'1—числа заполнения в промежуточных состояниях.
Предположим сначала, что е%?7 = Зь',. Тогда в силу
структуры оператора S&j матричные элементы effij про-
пропорциональны Ynin2 (гез-Ь 1) (п4 ~\~ 1) (мы считаем, что
п[ = п1—1, п'2~п2—1, п'3 — п3-\-1, л^ = л4-(- IV Если,
например, Ttin л содержит оператор е%?7 два раза, то он
будет содержать числа заполнения в виде
При усреднении матричных элементов числа заполнения п
заменяются их средними значениями nv определенными рас-
распределением Планка
1&,г Лг)
е ' — 1
Так как по переменным kt происходит интегрирование, то
в области низких температур все множители типа («г —|— 1)
в матричных элементах могут быть заменены единицей (это
значит, что в промежуточных состояниях основную роль
играют магноны, волновой вектор которых равен по порядку
величины 1/й, а энергия е~/0). Отсюда следует, что в об-
области низких температур необходимо выбирать такие проме-
промежуточные состояния, которые приводят к множителям типа
я-f- 1, а не я. Иными словами, схема виртуальных переходов,
существенных при Т <^ 0,, должна иметь следующий вид:
\пх, щ, »3, я4, «5, п6, ...}->
-*{«! — 1, Л2— 1, П3-{-1, Л4+1, Л5, Л6. ...}->
-*{«! - 1, Л2— 1, Л3, Л4, «5-h 1, «6+1. .-.}-> ...
... -*{«!. Л2, Л3, Л4, Л5, Л6, ...}.
318
Таким образом, при вычислении матричного элемента 2№/„.1
можно считать, что начальное и конечное состояния имеют вид.
откуда и следует формула C0.1.5) (множитель !/2 возникает
в этой формуле потому, что в сумме учитываются оба то-
тождественных состояния Ф12 и Ф21).
Формула C0.1.5) выведена в предположении, что &?'г=$6',.
Поэтому нам нужно выяснить, какой вклад вносит бесконеч-
оо
ная сумма 2 ^'о+г) в левую часть равенства C0.1.5). По-
1-2
кажем, что этим вкладом можно пренебречь в области низких
температур. Действительно, 2 Bs -\-2) — магнонным процес-
процессам, описываемым гамильтонианом S$(ds+2 . соответствует
статистический вес k ( 5+ '. Отсюда следует, что при
Т <^ 0,, эти процессы не могут приводить к поправкам более
низкого порядка, чем Т2 (напомним, что й~Г'/2). По-
Поэтому даже для спина s =-~ эти поправки не могут быть
более низкого порядка чем Т'^2, в то время как поправки,
связанные с $№'/, пропорциональны Г5.
Таким образом, согласно C0.1.5), C0.1.3), выражение
для ДЯ может быть представлено в виде
12 V
ф121. C0.1.6)
Как уже указывалось, основной вклад в промежуточные
состояния вносят магноны с энергией порядка Jo. Поэтому
в интеграл по р' в последней формуле главный вклад вносят
такие значения р', для которых Р'^-т-- Так как Р^>-т->
Jo Jo
то в формуле C0.1.6) можно пренебречь величиной р'/Р по
сравнению с 1 и заменить верхний предел интегрирования р
319
ма оо. В результате мы получим
2 *" (° ^1! (^' e е + Ф SV,} Фи).
12 C0.1.7)
где ?—>--|-0. (Правило обхода в операторе ef€q — е1 —е2
в формуле C0.1.7) является несущественным, так как
Вводя вектор состояния
перепишем формулу C0.1.7) в виде
Ль2 = -~~ У, /Zj/z2flj2, C0.1.9)
где величина
а,2 = (ф12, J??/F12) C0.1.10)
представляет собой амплитуду рассеяния двух магнонов на
нулевой угол.
Таким образом, вычисление поправки к термодинамиче-
термодинамическому потенциалу, обусловленной обменным взаимодействием
магнонов, сводится к чисто динамической задаче определения
амплитуды рассеяния магнонов.
2. Уравнения, определяющие амплитуду рассеяния
двух магнонов. Переходя к решению этой задачи, заметим
предварительно, что вектор состояния х?12, определяющий
амплитуду а12 рассеяния двух магнонов, удовлетворяет, со-
согласно C0.1.8), уравнению
Таким образом, при | —>0 Ч?12 удовлетворяет уравнению
Шредингера с учетом обменного взаимодействия между маг-
нонами.
Гамильтониан e%?D имеет, согласно B9.6.15), следующий
вид:
где
k
i№'/== -гт ^,ФA2; M)a+a+a3a4^(k1 -\-k2 — k3 — ?4),
1234 C0.2.2)
ФA2, 34) = i-
320
Так как Ф12 = а+а+Ф0 и гамильтониан g$D сохраняет
число частиц, то
^и= S^d'. 2')а+а+Ф0. C0.2.3)
где ip12(l'. 2')==ф|2B'. 1') — искомая волновая функция двух
магнонов.
Пользуясь перестановочными соотношениями для опера-
операторов а + , а, легко убедиться, что
Ф12C', 4')
3'4'
(напомним, что мы пользуемся обозначениями 1=^, 2^й2,
1-|-2 = А1 4-*2 и т- Д-)-
Подставляя это выражение в C0.2.1), найдем
1'2': 3'4'} Х
3'4'
1' + 2'— 3' — 4')Ф12C/, А') = Щ2(\', 2'), C0.2.4)
где
Будем в дальнейшем учитывать обменное взаимодействие
только между ближайшими соседями. В этом случае
(суммирование здесь производится по векторам ближайших
соседей) и функция ФA2, 34) приобретает вид
ФA2; 34) = -^-2 (е'*'" + еР)A — е-'*зР)- C0.2.5)
р
Вводя обозначение
/7,A2; 14-2') = --^¦
C0.2.6)
21 А. И. Ахиезер 321
представим уравнение C0.2.4) в виде
— в] — ?2-f~ i^) Ф12 A '• 2') —
>/)=ll$°,Jl'. 2'). C0.2.7)
Разделив это уравнение на е1'-\-г2'—г1—е2-)-г|, легко
показать, что
= i-(e-«.p-f- -е-№*— 2), C0.2.8)
где
Л,'A2; l- + 2-)^^
Выразим через величины /^р амплитуду рассеяния а12.
Из уравнения C0.2.1) следует:
(Ф12, Se,^l2) - ^-1%(Ф12> ^12). C0.2.9)
Но, согласно C0.2.3),
(Ф12. Ч^12) = 2ф12A, 2).
Замечая, что ф?2A, 2) = '/2. найдем из C0.2.7)
»>*+e»>*)F,A2; 1+2).
р
Наконец, подставляя это выражение в C0.2.9), получим
^2 12; 1 +-2).
C0.2.10)
Таким образом, для нахождения амплитуды рассеяния не-
необходимо знать только величину FP = FI>A2; 1 + 2), которая
удовлетворяет, согласно C0.2.8), уравнению
— ^ i4pp./V = i(е-'*!» + «-'*#- 2), C0.2.11)
р'
322
где
А„. = е1** -е~1'*Ч<г~'')±{В„р-+ 5Р_Р-), C0.2.12)
<?'*"
N
ft
Система алгебраических уравнений C0.2.11) может быть
упрощена, если ввести вместо Fp величины
4}. C0.2.13)
удовлетворяющие, как следует из C0.2.11), C0.2.12), урав-
уравнениям
25°р— т S(Вр-"' + fip+p'> Gp' +cos т q(> S Bp'Gp'=
р' р'
= cosi(*I— *2)P —cosi-w. C0.2.14)
Определив Ор, легко, согласно C0.2.10), C0.2.13), найти
амплитуду а12:
^5]l C0.2.15)
3. Амплитуда рассеяния магнонов в области малых
импульсов. Для нахождения величины AQ при Т <^ 8С, как
видно из формулы C0.1.9), нужно знать поведение ах2 при
^ia<^C 1. ^2а<^. !• В этом случае система уравнений C0.2.14)
упрощается:
__ ), C0.3.1)
р'
где
Bl=--~^Yt e (fe)-e ' ео = еД°)- C0.3.2)
Замечая, что ?s(k) — ео = — Уо 2 (e'fep— !)• имеем, очевидно,
21* 323
Дальнейшие вычисления мы произведем для простой куби-
кубической решетки. Из величин kv k2, р в этом случае можно
построить только два инварианта:
(*,*а)а\ г(р) = (*,р)(*#) - i- а2 (*,*„) C0.3.4)
(мы учли, что р2 = а2). Поэтому решение уравнения C0.3.1)
должны иметь вид
G(,= Az(p)-\-A'di(klk2), C0.3.5)
где А, А'—некоторые постоянные.
Замечая, что ^г(р) — 0 и используя C0.3.5), получим
р
после суммирования уравнения C0.3.1) по р
А' = -щ- C0.3.6)
(мы учли, что в простой кубической решетке у каждого
атома имеется шесть ближайших соседей).
Найдем теперь величину А. Согласно C0.3.3) для про-
простой кубической решетки
2 (в°р. ~ $_,.) = 2 « - в1) = о, (зо.з.7)
р' р'
та< как для всех ближайших соседей величины Вр одинаковы.
Подставляя C0.3.5) в C0.3.1) и учитывая C0.3.7), получим
25р+р^(р/) = Г^(р), C0.3.8)
р'
где
Г = 25 — C0.3.9)
Так как z (p)—известная величина, то уравнение C0.3.8)
определяет Г и тем самым искомую величину А.
Для простой кубической решетки
л —я —л
где
Q =
324
16л3C-
- COS X, — COS
x2 — cos x3), jt
_ Pi
a
C0.3.
•
10)
Полагая в формуле C0.3.8) р = (а, 0, 0), получим
ГгA. O,O) = BwoZ(l. 0, 0)-b?ooo2(l, 0, 0L
4- 2B°m[z@, I, 0)+ г@, 0. 1)], *(/,. у2, у3) =
Замечая, что гA, 0, 0)+ 2@, 1,0L-2@,0, 1) = 0, найдем
§эоо —2В?Ю. C0.3.11)
Согласно определению 5Р величины Z?2oo и fiSoo можно вы-
выразить через В\оо и Впо:
оооо = ?>юо п- -g- •
Подставляя эти выражения в C0.3.11), получим
Г = б(В?оо-В?ю). C0.3.12)
или
л Я Я
Г = 6 | dxx \ dx2 | ^ХзСобх^! — cosx2)Q""'.
-я -я -я
Приведем значения величин Г и BIqq:
Г «0,2, ??оо~ 0,086. C0.3.13)
Таким образом, в области малых значений kx и &2, реше-
решение системы уравнений C0.3.1) имеет вид
C0.3.14)
Перейдем теперь к нахождению асимптотического пове-
поведения амплитуды рассеяния а12 при &,а<^1, k2a<§^l.
Последняя связана с величиной Gp соотношением
«12= 2!]0 cos
Подставляя сюда C0.3.14), найдем
«12 = -^«2(*А)- C0.3.15)
Как мы видели выше, знание а12 позволяет определить по-
поправку к термодинамическому потенциалу AQ, обусловленную
325
обменным взаимодействием магнонов. Однако формула C0.3.15)
для а12, справедливая с точностью до членов порядка k2,
обращает AQ в нуль. Поэтому для нахождения AQ необходимо
знать а12 с точностью до k4. С этой целью представим ампли-
амплитуду рассеяния а12 в виде
2 Ор {cos (*i ~ *з) Р — cos-g- (*, + k2) р } —
2 }
S C0.3.16)
При вычислении первого члена в этом выражении можно, оче-
очевидно, воспользоваться асимптотическим выражением C0.3.14)
для Ор. Используя C0.3.14), легко получить
I
с точностью до членов, пропорциональных #4 включительно.
Учитывая, что эта величина будет в дальнейшем, согласно
C0.1.9), интегрироваться по направлениям векторов kx и k2,
мы можем заменить ее следующим выражением:
— "тИ~ S Gp { C°S4 (*1 — ft2) P — COS у (ft] -f
¦zrl- C0.3.17)
Для нахождения второго члена в формуле C0.3.16) не-
необходимо воспользоваться точными уравнениями для вели-
величин Gp. Умножая уравнения C0.2.14) на cos-g- (kt -f- k2) p и
суммируя по р, получим
2s ^ Gp cos -g- (*! + *2) p =
p
cos у (*i —*2) P — c°s 2" (*i + *г)
326
Легко проверить, используя определения C0.2.12), C0.2.2)
величин fip, es (k), что
fip+p- COS j (fcl + k2) p =
p
^ COS -j (*! — *2) P COS (*i + *2> P-
p
Поэтому
Так как первая фигурная скобка в этом выражении пропор-
пропорциональна k2, то для вычисления 2s V Gpcos ¦K-(kl-\-k2) p
р
с точностью до членов, пропорциональных й4, достаточно
воспользоваться формулой C0.3.14) для Gp. Учитывая, что
величина а12 при вычислении Аи интегрируется по углам,
определяющим направление векторов kx и &2- можно произ-
произвести замену
±42l(\ ^). C0.3.18)
Подставляя, наконец, C0.3.17), C0.3.18) в C0.3.16), полу-
получим окончательно
а12-»._^.Л?фE), C0.3.19)
где
Q(s) = -|- ^^_г — l-i--^2-. C0.3.20)
Заметим, что
Q (сю) = 1.
Подстановка C0.3.19) в C0.1.9) приводит к следующему
выражению для поправки к термодинамическому потенциалу,
обусловленной обменным взаимодействием магнонов:
!lf C0.3.21)
327
где Qj определяется формулой B1.4.3),
Эта формула определяет поправку к термодинамическому
потенциалу, обусловленную обменным взаимодействием магно-
нов в предположении, что Т <g^ Tc. Что касается величины
спина атома s, то, как уже указывалось, он может быть
произвольным.
Мы видим, что температурная зависимость величин Q^
и AQ одинакова: в отсутствие стороннего магнитного поля
обе величины пропорциональны Г5. Различие между Q1 и Аи
определяется только численным множителем Q(s), зависящим
от спина s. Величина Q(s) достигает максимального значения,
приближенно равного 1,6 при 5=1/2.
В отсутствие стороннего магнитного поля величина AQ
приводит к следующим поправкам к спиновой теплоемкости
и плотности магнитного момента:
Дс.=
S " ~ ' ' \ 4Я5У0/
//>\ .. / T Id
C0.3.22)
Эти величины только множителем Q{s) отличаются от соот-
соответствующих величин, найденных в § 20.
§ 31. Теория высокочастотной магнитной
восприимчивости ферромагнетиков
1. Связь тензора высокочастотной магнитной вос-
восприимчивости ферромагнетика с функциями Грина маг-
нонов. В § 22 мы связали тензор высокочастотной магнит-
магнитной восприимчивости x'tf c двухвременной запаздывающей
функцией Грина спинов:
, со) = ~^0Vj{к, со),
где G([}(k, со) определяется формулами B2.1.9)
Of)(к, со)= Jdte'^^e-Mu'QWl-l', t)
-оо I
оГ] (/ -1'. t)=-m (t) ([si {t), si @)] >.
828
Как было показано в разделе 2 § 22, учет одного только
обменного взаимодействия не приводит к уширению линии
однородного ферромагнитного резонанса. Поэтому в этом
параграфе мы будем учитывать наряду с обменным также
релятивистские взаимодействия. Чтобы не усложнять задачи
мы будем пользоваться следующим простейшим выражением
для гамильтониана этих взаимодействий:
где р — константа магнитной анизотропии. Гамильтониан фер-
ферромагнетика в этом случае имеет вид
с- 1
2
1фт
. C2.1.1)
Для такого гамильтониана, как легко видеть, отличными от
НУЛЯ будут ТОЛЬКО КОМПОНеНТЫ Хгг' У-'хх'
зора Xij(k' ю)' причем
х' (*•») =-х' (*.») =
3?
¦ху'
со
¦))•
ух
.-,.2
. со)- С"(-*. -ш)).
где О^1 (k, со) определяется формулой B3.1.5):
(t) ( [*Г (/). s+ @)] >.
V, t) =
тен"
C1.1.2)
C1.1.3)
Для определения тензора %'„ с помощью этих формул
необходимо воспользоваться определенной реализацией опе-
операторов спина с помощью операторов рождения и уничто-
уничтожения магнонов. При этом в принципе можно исходить либо
из метода квантования спиновых волн, развитого в § 18,
32Р
либо из метода квантования спиновых волн, развитого в этой
главе. В первом методе квантования операторы спинов вы-
выражаются, как мы видели в § 18, в виде бесконечных рядов
at а,
по степеням —g—. Использование этих бесконечных рядов
сильно затрудняет исследование интересующей нас проблемы,
тем более, что стандартная теория возмущений не позволяет,
как известно, определить форму линии поглощения; поэтому
заранее неизвестно, можно ли ограничиваться в разложениях
операторов спинов по степеням a+aJ2s несколькими первыми
членами. Учитывая это обстоятельство, мы будем пользо-
пользоваться вторым методом квантования, в котором операторы
спинов заменяются операторами идеализированных спинов,
связанными с бозевскими операторами а + , at соотношениями
B9.1.3):
Заменяя в гамильтониане &€ операторы спина операто-
операторами идеализированных спинов и переходя к компонентам
Фурье бозевских операторов а+, а{, мы получим оператор
Oik,, k2; k3, k4)a+ (*,) X
ft 1234
X a+ (*j) а (*з) a (*4) A (k, + k2 — k3 - kj. C1.1.4)
где
ts (k) = 2fx0 (//f) + PAJO) + s G@) - J(k)),
Ф(*,. k2; *3, Й4)=4 t-/(*i) + -/(*2) —
— 7(*3 —*2)—7(*3 —*,)}—Jio^oP- C1.1.5)
Этот оператор отличается от гамильтониана ферромагнетика,
но, как мы видели в предыдущих параграфах при вычисле-
вычислении термодинамического потенциала и других величин типа
Spe^3€f(s[), где /($,)—произвольная функция спинов, раз-
различие между операторами <z№ и 36D (а также между st и st)
несущественно, если только 7<^0С. Поэтому при вычисле-
вычислении компонент тензора высокочастотной магнитной восприим-
восприимчивости мы будем считать оператор cffiD гамильтонианом
ферромагнетика, и заменим в выражении для функции Грина
330
) (ft, со) операторы спинов st операторами идеализирован-
идеализированных спинов st. В результате мы придем к следующему вы-
выражению для функции G(r) (ft, со) [3]:
QV) (k, со) = 2sGx (ft, со) — G2 (ft, со), C1.1.6)
где Gt (ft, со)—компонента Фурье одночастичной запаздываю-
запаздывающей функции Грина,
0,A-т, t) = - /в(О([«ДО. КЩ) C1Л-7)
и 02 (Л, со) — компонента Фурье двухчастичной запаздываю-
запаздывающей функции Грина:
02(l-m.t) = - i&(t)( [а+ (t) аг (t)a,(t), a+ @)]) C1.1.8)
(компоненты Фурье определяются согласно формуле C1.1.3)).
2. Нахождение функций Грина магнонов. Для нахо-
нахождения функций Gx(k, со) и G2(k, со) удобно пользоваться
методом графического представления функций Грина [4].
Введем с этой целью одночастичную температурную функцию
Грина магнонов
ОA)(*. т) = G>(?, т)в+(*. 0)),
где C1.2.1)
a(k, x) = e3€ra(k)e~^^
и Тх — символ упорядочения операторов по переменной т:
т > ... > т
h 'п
Если ввести компоненту Фурье функции G(I) (k, x) по
переменной т,
Р
О{1) (ft, va) = ft f rfTe/v«TGA) (ft, t),
о C1.2.2)
O,.)(*.T)=SrVoA)(J, vB).
n
где v/l=—r-nT, n = 0, 1, 2 . . ., то можно показать, что
GA)(ft, v,,) = GI(ft, jvJ. C1.2.3)
Справедлива и обратная теорема: по функции GA)(ft, vn)
можно восстановить функцию Gj (ft, со), аналитически
продолжив соотношение C1.2.3) в комплексную плоскость
331
переменной vn так, чтобы Gj (k, со) не имела особенностей
в верхней полуплоскости со.
Если гамильтониан определяется формулой C1.1.4), то
функция Грина GA) (k, vn) может быть представлена совокуп-
совокупностью диаграмм, изображенных на рис. 13. При этом каждой
линии диаграммы сопоставляется функция
а каждой вершине диаграммы — амплитуда рассеяния ФA2, 34)
Рис. 13.
(функция O°(k, vn) совпадает с функцией GA) (k, \„) в пре-
пренебрежении взаимодействием между спиновыми волнами).
Функцию Грина GAj (k, v,,) можно, очевидно, представить
в виде
Gm(fc, vn) = —т^ . ! „.. г, C1.2.4)
A) v "^ «i (Л) — 'vn — 2 (ft, vB) v y
где 2 (ft, vn) — так называемый массовый оператор, который
? =
Рис. 14.
определяется совокупностью компактных диаграмм, изображен-
изображенных на рис. 14. Этим диаграммам соответствует следующее
выражение для массового оператора:
2 (k, ^n) = ~1^\dk'G\k', -0)Ф(*. *'; А, *')
F J dk'dk" И ф (*' *'; *"' * + *' - *")
8T2v2
п'п"
ХФ(*". * + *' — *"; *, k')O°(k', \n')G°(k", ve-)X
XO°(H*'-*".vfl+Vy-v,.)+ .... C1.2.5)
332
где G°(k, —O) = G°(ft, T)|t_>_0 (мы сохранили в этом ряду
по степеням Ф только первые два слагаемых).
Замечая, что
Л
легко выполнить в C1.2.5) суммирование по пг и п!'\
lnx®{k, kx; k, *,) +
2. *з; *. ft,)
«и2
где
^3 = * + *! — k2, al^as(ki), i=l, 2, 3.
Используя формулу C1.2.3) и аналитичность функции Gx(k, и)
в верхней полуплоскости переменной со, получим, согласно
C1.2.4),
О,(*, со) = —7гг 1 v;,—-, C1.2.7)
14 у as (k) — (в—2 (ft, <d) v y
где с точностью до второго борновского приближения
(включительно) по Ф величина 2(?, со) определяется формулой
*,; А,
J dkxdk^{k, *,; А2, А3)Ф(*2. *з! *. *,)Х
—«1—» —'0 ' ^1^'й-)
Перейдем теперь к нахождению двухчастичной функции
Грина О2(А, со). Введем для этого двухчастичную темпера-
температурную функцию Грина
0B) (*1> *2> *3> Т-р Т2' Т-з) ==:
=-(Гха+(А„ т^а^, т2)а(А3. t3)a+(*, o)> C1.2.9)
333
и ее компоненту Фурье переменным tp т2, t3
= fi3 J
где v,- ~~r- ЩТ¦ Ясно, что
oB) (ft,, ft2, ft3; т, т, т) =
2>
Компонента Фурье функции 0B) (ftp ft2> ft3; x, т, т) по пере-
переменной х равна
0B, (ftp ft2, ft3; Vn) = (^j 2°B)(*1- *2- *з! Vfl + V! —V2).
л,я2
C1.2.10)
Введем функцию
0B) (ft, VB)= 2 0B) (*P *2- ft + *l —*2= VB).
ft, 1г,
Согласно C1.2.10) имеем
0B) (k. Vj =
тJ S °t2)(*l- *2- ft + fti—*2; Vp V2, Vn + V!—V2).
Л,Л2*1*2
C1.2.11)
Так как соотношение C1.2.3) справедливо для произвольных
двухвременных функций Грина, то
• vB) = 02(*. /vB). C1.2.12)
Восстановление функции G2(ft, со) по функции Gr2) (ft, \„)
производится таким же образом, как и восстановление функ-
функции О] (ft, со) по функции 0A) (ft, vn).
Функция 0B) (ftp ft2, ft3; Vp v2, v3) может быть предста-
представлена совокупностью диаграмм, изображенных на рис. 15.
Так как амплитуда рассеяния Ф^^; ft3ft.j) мала, то из всей
совокупности диаграмм рис. 15 достаточно сохранить только
те диаграммы, которые приводят к диаграммам, изображен-
изображенным на рис. 16 (жирной линии соответствует совокупность
диаграмм рис. 13).
334
Из этих диаграмм и формулы C1.2.11) следует, что функ-
функцию 0B) (k, \n) можно представить в виде
ОB) (A, vB) = A(*. ve) 0(„ (*. ve). C1.2.13)
где 0(d (k, vn)— температурная функция Грина, определяемая
равенством C1.2.4) и
]— k2; kv k)GQ(kv vl)Q°{k2, v,)X
XO°(* + *i —*2. vB + v,-v2). C1.2.14)
Заметим, что учет диаграмм, изображенных на рис. 17,
которые не учитывались при выводе формулы C1.2.13), при-
приводит лишь к поправкам порядка Ф2 в выражении для Л (k, \n).
G°
Рис. 15.
*ш = ^ + jK+ .
Рис. 16.
kvn k\>r
Рис. 17.
Выполнив в C1.2.14) суммирование по щ, п2, получим
Л (ft, vn) =
n{k)dk—J^-jd^dk^ik,, k3; k, *,)X
V Wl
X a2+ffl,_«)l_/ve3
C1.2.15)
335
Функция O2(ft, со), согласно C1.2.12), C1.2.13), имеет вид
G2(ft, со) = Л (ft, co)Oi(fti, со), C1.2.16)
где
Л (ft, со) = .0 °3 п (ft) dk —
г
*!й!й2Ф(*2, ft3; ft, ftj)X
~n n л
X-
co2 -)- (B3 — «! — со — Ю
Эта формула справедлива с точностью до членов порядка Ф2.
Используя последнее соотношение, а также формулу
C1.1.6), получим окончательно следующее выражение для
функции Грина O(r (ft, со);
ат)(Ъ п\ ¦-= 2sU (fe' m) = 2s/? (fe' m)
а(Ъ п\ -= =
^K> ; ««(ft) — « — 2 (ft, (B) |mi(ft)_m_S(ft; m)|2 '
C1.2.17)
где
Il(ft, co)= 1 — ~A(k, со),
25 C1.2.18)
R(k, со) = (cos(ft) — со)П(ft, со)— 2*(ft, со).
Учитывая C1.1.2), получим отсюда следующие выражения
для компонент тензора Х/у(*> и):
/? (ft, ю)
voh I Iffl^ft) — м- 2 (ft, (в)|2 "•"
_j /?* (- ft, _ (в) у
1<вЛЛL-(в — 2(— ft, —со) |2 J '
__^o f /?(*,«)
<b—2(ft,
/?* (— ft, — (Q)
* (— ft, — (Q) 1
«>-2(-ft. — со p Г
Таким образом, нахождение тензора j^'. (А, со) сводится
к вычислению величин 2 (ft, со) и R(k, со), определяемых
формулами C1.2.8), C1.2.16).
336
Прежде чем получать конкретные выражения для ком-
компонент тензора )(//(*¦ со)> покажем, что величина R{k, со)
удовлетворяет неравенству
colm#(*, co)>O. C1.2.20)
Действительно, из C1.2.16), C1.2.8) имеем
Im R (*, со) = -^дг [ет - 1) Jrf*, dk2 [~ (со, (А) - со)
— *•
4v
lmR(k, (D) = ^»j
^ + со2 — со3 — со), C1.2.21)
Используя далее выражение C1.1.5) для
получим
2
откуда и следует C1.2.20).
Учитывая C1.2.17), мы видим, что
colm0(r)(ft, co)>O.
Это неравенство является общим свойством функции G(r\k, со),
определяемой равенством C1.1.3), и следует из формулы
B2.1.11) и положительности спектральной функции J(k, со).
Неравенство C1.2.20) обеспечивает положительность энер-
энергии, поглощаемой ферромагнетиком. Действительно, спек-
спектральная плотность последней Qa определяется, согласно
B2.3.4), формулой
k, -co)-
— |А+(*. со)|21тх'_+(?, со)}, C1.2.22)
где
y'_+(k, co) = L(ft, со)+ Х;у(А, со)-/(Х;_Д*( со)-х;у(А, со)}.
Но, согласно C1.1.2),
Х'_+(*. со) = -
2s/?
22 А. И. Ахиезер 337
Поэтому
3. Компоненты тензора высокочастотной магнитной
восприимчивости. Перейдем теперь к выяснению характера
функций y'(k, со). Рассмотрим прежде всего область резонанса,
когда | со — о)у (k) | <^ со5 (k). Используя формулы C1.2.19),
C1.2.18), легко убедиться, что в этой области
2 о) — <а^
2 (й_т;5(А)-Д(о^(
где
^0 = -%^. Y,(*)=ImS(*. ©Д*)).
ДюД*) = —ReZ(ft, соД*))
(если со < 0 и | со-^соДА) [<^a>s(k), то компоненты тен-
тензора j_ijik, со) определяются этими же формулами, в которых
нужно лишь заменить со на —со и перейти к комплексно
сопряженным величинам).
В разделе 2 § 22 мы видели, что полюсы тензора %' (k, со)
определяют частоты и декременты затухания спиновых волн,
поэтому ys(fc) есть декремент затухания спиновой волны,
а со^ (k) -j- Acos (k)—ее частота. Мы видим, что эти величины
тесно связаны с массовым оператором 2 (k, со), а именно:
декремент затухания \s(k) представляет собой мнимую часть
массового оператора в резонансе, а величина Аш5 (k) — его
вещественную часть. Обратим внимание на то обстоятельство,
что частота спиновой волны отличается на ДсоДй) от вели-
величины соДА), которую мы до сих пор считали частотой спи-
спиновой волны. Это отличие можно интерпретировать в корпус-
корпускулярной картине как изменение энергии магнона Де5(к) =
= йДсоДА), вызванное взаимодействием магнонов друг
с другом.
338
Используя формулу C1.2.8), можно представить ys(fc)
и ДсоДА) в виде
Y,(*)=ImS(*. со, (*))==
Bя)
,, ft2; ft, ft3)PX
X п,л2 A 4- iTj) 6 (со, + со2 — (й3 — w, (ft)), C1.3.2)
«з = «i —(— «2 Л.
rfft«(ft)O(ft, ft,; ft, ft,)
Отметим, что
ImZ(ft, со,(ft)) = Im R(ft, со,(ft)).
Приведем выражения для ys(k) и A(o,(ft) в некоторых
предельных случаях [5, 6]:
Т \2
re /i/i ¦ « " i
24я
/2, со, (ft)» o)s @), L,
4-
Мы видим, что в однородном случае, когда ft==0, вели-
величины \Д*) и ^И5(*) определяются только энергией магнит-
магнитной анизотропии, иными словами, в однородном случае обмен-
обменное взаимодействие между магнонами не приводит к уширению
линии ферромагнитного резонанса и не влияет на частоту
ферромагнитного резонанса.
Если ft = 0 и р = 0, то из формул C1.2.8), C1.2.16),
C1.2.18) следует, что массовый оператор обращается в нуль и
339
Я@, W) = (Wo-W){l-
22*
Поэтому величины Xij Ф< ю) ПРИ Р — О могут быть предста-
представлены в виде
о..2
со0 —со—
«ой \ BлK J w /tmo + m-f-'O (в0 —со —«OJ
Замечая, что —^-Is ?" n(k) dk) = M(T), мы видим,
что эти формулы совпадают с формулами B2.2.21).
Рассмотрим поведение компонент тензора ^ .(А, со) в одно-
однородном случае вдали от резонанса, когда | со — соо | ^> ys @),
ДсоДО). В этом случае, согласно C1.2.19).
у' @, со) = у' @, со)^=
КХХ У ' > l.yy V ' I
Ira R @, со) ..Ira/? (О, — со) "I
(« — fflo) (« + ao) J
)= C1.3.4)
2 [«--«о («-«of
где
Im # @, со) = 4P(^f (е — 1) г/0 J rf*! rfft2nin2 A + й3) X
-f- Ш2 — Юз — СО). Лз ^^ *1 г *2Р V"^ .О.О)
Выполнив интегрирование по угловым переменным и
устранив 6-функцию, легко привести Im R @, со) к виду
340
где ! = —^-, T) = -=-. Используя эту формулу, можно по-
показать, что если Ьщ <С[ Т и со > 0, то [3]
, co) =
C1.3.6)
Ая? C/2) P2 (lioMoy (Ji_)'l'(ha_ y/2
Bя)з fisy0
Г
где
0,4;
если же к» < 0 и йсоо <^ Т, то
Im#@. co) =
4„J a I T \2
Л"Т?
BяK
и;) '
Й|(в|
-ехр( j^,,
C1.3.7)
Определим спектральную плотность энергии, поглощае-
поглощаемой ферромагнетиком в однородном переменном магнитном
поле. В этом случае
h(k, со) = BлK 6 (А) А (со),
где
СО
= ^ J
Заменяя в формуле C1.2.22) для Qm квадрат 6-функции,
341
). на
где
< получим
C1.3.8)
' @, ©) = —
O, to)
— и0 — 2@, <в)|2 '
Из этих формул видно, что резонансное поглощение энергии
имеет место только для поля с «правой» круговой поляриза-
поляризацией (/г_(со) = О). В этом случае
Bя)»
2 / Т \2
s/J '
ffloYi @)
Т2, |со — со0|00, C1.3.9)
яС C/2)
S/o / \ ЙСО
В случае поля с «левой» круговой поляризацией
Bя)« ё
0 й
с
j (И-ол
IS
ft<BS/0
0Л10J / а
Ио^Л \ fflo
0 <^ Си , <
JO^ 1 '
/о Wo
схр 1
j
с:
г.
Йа
/ Г
с /
\ о%/ О
I •
Г
'^ й '
- й "~*~
C1.3.
342
Сравним теперь найденные выражения для компонент
тензора х'[/@, со) с выражениями F.3.3) для Д/(*> '©)• ко"
торые были получены, исходя из феноменологического урав-
уравнения движения плотности магнитного момента.
Легко убедиться, что формулы F.3.3) правильно опре-
определяют компоненты тензора Xij №• ©) в области малых частот
и малых волновых векторов, когда со<^соо и а&2<^1.
В этом случае для описания поведения ферромагнетика
в стороннем переменном магнитном поле можно пользоваться
уравнением движения для плотности магнитного момента
с релаксационным членом типа E.2.8), если выбрать т в виде
Т==~+"т7 = BлK hsJa '
Подчеркнем, однако, что эта величина, как видно из
формул B7.2.6), B7.2.8), отличается от величины Bv
которую нужно ввести в уравнение движения для плотности
1 , 1
магнитного момента вместо j для описания процесса
релаксации магнитного момента.
Если со^сОд и ak2<i\, то описание поведения ферро-
ферромагнетика в стороннем переменном магнитном поле с помощью
простейшего релаксационного слагаемого E.2.8) становится
невозможным, и необходимо пользоваться формулами C1.2.19)
для Xij(k, со).
Заметим в заключение этого раздела, что декремент за-
затухания спиновой волны с & == 0 представляет собой, оче-
очевидно, обратное время релаксации поперечной составляющей
магнитного момента:
С другой стороны, эта величина равна, согласно B7.3.3),
— -=¦ Bvv. Поэтому должно иметь место равенство
в справедливости которого можно непосредственно убедиться,
сравнивая формулы C1.3.2) и B7.2.6).
ДОПОЛНЕНИЕ
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В НЕФЕРРОМАГНИТНЫХ
МЕТАЛЛАХ
В. П. Силин
Спиновые волны в ферромагнетиках изучаются уже мно-
многие годы, о них на/шсано большое число работ, связанные
с ними представления широко известны, а имеющийся на
сегодняшний день' теоретический и экспериментальный ма-
материал необычайно богат. В частности, в этом можно убе-
убедиться, читая/ настоящую монографию А. И. Ахиезера,
В. Г. Барьяхтара и С. В. Пелетминского. Напротив, о спи-
спиновых волнах^-в—неферроиагнитных металлах знает очень
узкий крт^глюдей. Дело здесь, прежде всего, в том, что
спиновые \волны в неферромагнитных металлах, находящихся
в магнитном поле, были обнаружены на опыте совсем не-
недавно [1, &\ хотя соответствующее теоретическое предска-
предсказание возможности существования/таких волн было сделано
около десят^ леЧ тому назад в оаботе автора [3].
Чрезвычаилая\ажйостьо6н1фуч:ения спиновых волн в не-
ферромагнитншд мзъадде^^находяифмся в магниуном поле,
обусловлена те\д, фо они представляют собой первое (и пока
единственное) явжние, в котором отчетливо проявляется ка-
качественное отличи ч^электронов проводимостиуот гара. Сле-
Следует надеяться, что изучение таких сяинодих волн Приведет
к внедрению в сознание широких масс\3шзиков значительно
более адекватных представлений о металлах, чем имеющие
(и не без оснований) популярность в настоящее время. Оче-
Очевидно, что в ближайшее время будет проведено большое
число экспериментальных работ по изучению спиновых волн
в неферромагнитных металлах. Автор надектся, что настоя-
настоящая статья поможет обдумыванию постановки таких экспе-
экспериментов и обсуждению их результатов.
1. Электроны проводимости можно изучать на основе
теории ферми-жидкости Ландау [4], распросгоаненной на
электронную жидкость металла [5]. Поэтому настоящее из-
изложение мы начнем с краткого обзора теории вырожденной
344
ферми-жидкости, которая позволяет провести учет взаимо-
взаимодействия электронов (и в том числе обменного взаимодейст-
взаимодействия), приводящего, в частности, к появлению спиновых волн.
Хотя энергия взаимодействия электронов проводимости
металла друг с другом отнюдь не мала, однако, как изве-
известно, электронная теория металлов успешно использует пред-
представление об электронах как о независимых частицах.
Прежде всего, это связано с тем, что междуэлектронные
столкновения, представляющие собой одно из проявлений
корреляции движения электронов, в случае вырожденной
жидкости оказываются малым эффектом, поскольку вероят-
вероятность столкновения электрона пропорциональна квадрату тем-
температуры, что обусловлено малым числом электронов в зоне
размытия Ферми. С другой стороны, корреляционные эффек-
эффекты существенны для целого ряда не зависящих от темпе-
температуры недиссипативных свойств электронных возбуждений
металла. Это, в частности, показали различные попытки
учета корреляции электронов (см., например, [6, 7]). Однако
в большинстве случаев учет влияния междуэлектронной кор-
корреляции приводит лишь к количественным эффектам. Одним
из исключений, как это следует из теории ферми-жидкости,
являются спиновые волны.
В теории ферми-жидкости Ландау учет влияния между-
междуэлектронного взаимодействия на динамические характеристики
возбуждений достигается с помощью представления о том,
что энергия является некоторым общим функцисналом функ-
функции распределения частиц. В отличие от идеального ферми-
газа невзаимодействующих частиц, в случае ферми-жидкости,
благодаря значительному самосогласованному взаимодействию,
энергия отдельных частиц зависит от состояния окружающих
частиц. Поэтому энергия системы частиц, образующих ферми-
жидкость, становится не равной сумме энергий отдельных
частиц, а оказывается некоторым (вообще говоря, весьма
сложным) функционалом функции распределения.
Изменение плотности энергии системы при бесконечно
малом изменении функции распределения п можно записать
в виде [4]
6? = Sps J dpe(р, r)bn{p, г), A.1)
где е и п являются матрицами в пространстве спиновых
переменных электрона и Sps — шпур по спиновым со-
состояниям. Формула A.1) представляет собой определение
345
энергии (функции Гамильтона) квазичастицы (электрона ме-
металла), отличающейся от энергии свободного электрона бла-
благодаря самосогласованному взаимодействию с окружающими
частицами. В теории ферми-жидкости важную роль играет
соотношение, определяющее изменение энергии квазичастицы
е(р, г), вызываемое изменением распределения п. Если
отсутствует магнитное поле, то в общем случае можно записать:
Ье(р, r) = SpS' J" dp'dr'F(p, p'\ r, r')bn(p', г'). A.2)
Иными словами, вторая вариационная производная плотности
энергии жидкости по функции распределения зависит от
спинов s, s', импульсов р, р' и координат г, г'.
В системе заряженных частиц эффекты, обуславливаемые
е2
кулоновским взаимодействием U = —, часто описываются
в приближении самосогласованного поля Хартри. В таком
приближении функция F имеет следующий вид:
Fx(p, p'\ r, r') = bSS'U(\r— r'\). . A.3)
Поскольку в приближении Хартри функция распределения
системы многих частиц принимается в виде произведения
функций распределения отдельных частиц, то тем самым
пренебрегается влиянием корреляции электронов на вид функ-
функции F. Поэтому разность F — Fх целиком обусловлена эф-
эффектом корреляции электронов.
Практический интерес представляют многие задачи, в кото-
которых радиус корреляции частиц можно считать пренебрежимо
малым по сравнению с характерным расстоянием изменения
функции распределения. Тогда
F(p, p'- r, r')—h^b(r--rf)f(P- />')• A-4)
Соответственно этому формулу A.2) можно записать
в виде [3]
&е(р, r)= J dp'dr'U(\r—r'\)iM(pr, r') +
+ Sp5- J dp'J(p, p')bn(pf, r). A.5)
Первое слагаемое в правой части этой формулы учитывает
дальнодействующий характер кулоновских сил. Заметим, что
если это слагаемое понимать буквально, то оно приводит
для однородных распределений к расходящемуся интегралу.
346
Фактически такая расходимость компенсируется электроста-
электростатической энергией ионов. Поэтому в первом слагаемом пра-
правой части формулы A.5) под (м следует понимать отклоне-
отклонение распределения от пространственно однородного.
Заметим, что для реальных металлов эффективный радиус
междуэлектронной корреляции по порядку величины близок
к междуатомным расстояниям. Поэтому формула A.4) может
быть использована для широгого класса явлений в металлах.
Отметим также, что функция f(p, р'), возникшая в фор-
формуле A-4), для реальных металлов неизвестна. Одной из
нерешенных пока задач физики металлов является экспери-
экспериментальное определение этой функции *).
Для интересующей нас проблемы спиновых волн суще-
существенна кинетическая теория ферми-жидкости. Волны в за-
заряженной жидкости частиц со спином могут сопровождаться
электромагнитными полями. Поэтому для их теоретического
изучения следует пользоваться уравнениями электромагнит-
электромагнитного поля:
rot?-f---^ = 0, divЕ = 4пеSpA dpЬп,
С 01 ^
A.7)
dpsn.
*) Приведем здесь выражение, получающееся с помощью вы-
вычислений, трактующих взаимодействие электронов как малое воз-
возмущение. Соответствующий результат имеет вид [5]
f(p, p') = -'
A.6)
\ __W° — Л —If1 °\
)' Sy~l[i OJ' s^~2"\0 —\y
где s — оператор спина:
_J_/0 1\
5*~2\1 0)
а Ф (к) — фурье-образ потенциала энергии взаимодействия двух
электронов. Если для последнего принять экранированный кулонов-
ский потенциал, то
ф (k)
где р и v — импульс и скорость электрона на поверхности Ферми.
Поскольку для большинства металлов e2/hv^2, то использо-
использование теории возмущений не является обоснованным. Однако нельзя
также отрицать эвристическую ценность подобных результатов,
позволяющих качественно понять целый ряд явлений.
347
Здесь 2[\qS — оператор магнитного момента электрона, а
>, г) = — 2Mo(*fi) + Sp,-Jd/j'{?(p, /»') +
(«?)ф(/>, /»')}<&(/>'. г). A.8)
В последней формуле, в отличие от формулы A.5), мы опу-
опустили дальнодействующее слагаемое, учли влияние магнит-
магнитного поля, а также конкретизировали спиновую зависимость
функции (при этом пренебрежено малыми спин-орбиталь-
спин-орбитальными взаимодействиями).
Для матрицы плотности можно записать следующее ура-
уравнение движения [3]:
дп / ~ ~ . _1_ (д2а_ дп_ . дп_ _<Эёо_
~di ~fi [ °' п'-~т~ 2 \ др дг ~^~ дг др
1 / де0 дп . дп дг0
2 \ дг др ' др дг
Здесь [е0> я]_ — коммутатор матриц в пространстве спина,
а 7 — оператор столкновений.
Удобно вместо я воспользоваться функцией распределе-
распределения f=Spsti частиц в фазовом пространстве координат и
импульсов и векторной функцией а = 2Spssn спиновой
плотности в фазовом пространстве. Тогда, учтя, что
te>)me = emeei + 2(s)mee2. A.10)
(a,e = <Wl + 2(*)m»/2. 0-И)
из A.9) получим:
df , det df dEi д/ , дг2 да дг2 да_ .
~dt ' др дг дг dp ' dpj drj drj dpj '
df е Г де{ 1 df el de2j dOj
+XBJ + Lp" XBJ ~d"p~ = /l1
A.12)
348
Аналогично уравнения поля запишутся в виде
divE=4ne J dpbf{p, r), A.14)
A.15)
Уравнения A.12) — A.15) составляют основу кинетической
теории волн в вырожденной электронной ферми-жидкости.
Укажем, наконец, что согласно A.8) и A.10)
бе, (р, г) = J dp'q, (p, р') 6/ (/>', г), A.16)
Ьг2{р, г) = — М+/<*/>'*(/>. р')Ыг(р'. г). A.17)
2. Спиновые волны представляют собой возбуждения над
основным состоянием электронной жидкости, находящейся
в постоянном и однородном магнитном поле. Поэтому сна-
сначала нам следует рассмотреть равновесное состояние, для
которого нужно знать матрицу плотности п, учитывающую
парамагнетизм электронной жидкости.
Поскольку изменение химического потенциала является
величиной второго порядка по В, а энергия электрона пре-
претерпевает линейное изменение, то, ограничиваясь линейными
по В членами, можно написать [4]:
А* = Т%Г-Аео. BЛ)
где /0(е) — функция распределения Ферми. Соответственно
этому можно считать, что функция распределения частиц
в фазовом пространстве не отличается от /0, а векторная
функция спиновой плотности в фазовом пространстве имеет вид
B-2)
Подставив это выражение в формулу A.17), найдем уравне-
уравнение, определяющее Ае2:
Ае2 (р) = - ИоЯ + | <*/>'Ф (Р. Р') -щ^ Ае2 (рг). B.3)
Поскольку
349
где е0 — энергия Ферми, то уравнение B.3) можно записать
в виде
J
где dS' — элемент поверхности Ферми.
Очевидно, что можно представить решение уравнения
B.5) в виде
Ду. B.6)
При этом Y/y Уже не зависит от магнитного поля и опреде-
определяется уравнением
J wev. B.7)
Уравнение B.7) легко может быть решено в том случае,
когда поверхность Ферми является сферой. Отсутствие выде-
выделенных направлений позволяет тогда считать функцию ф (р, р')
лишь функцией угла в между векторами р и р', лежащими
на сфере Ферми. Поэтому оказывается удобным использовать
разложение функции ф по полиномам Лежандра:
B.8)
l-Q
где v— скорость на поверхности Ферми, h—постоянная
Планка, р, — постоянные коэффициенты и
l{Z)~ 2Ч\ йг' {Z '¦
При этом решение уравнения B.7) можно записать следую-
следующим образом:
yi.(p) = ybij, B.9)
где [4]
V = 11°р • B-Ю)
Можно найти решение уравнения B.7) и для произвольной
поверхности Ферми, если ф(/*, /0==1Фо — const. Тогда ytj
снова имеет вид B.9), где
V = 2ф0 Г dS ' B.11)
""" BлйK J | Ve (р) |
350
Формулы B.9), B.2) и B.6) позволяют записать для
равновесного состояния:
Аг2 = -уВ, а = ~у^~В. B.12)
Эти выражения мы используем ниже в теории спиновых
волн.
Заметим, что формулы B.12) могут быть использованы
для определения статической парамагнитной восприимчи-
восприимчивости х электронной жидкости, которая определяется соот-
соотношением *)
1В=2цо$р ^ dpns=n0^ dpa(p). B.13)
Очевидно,
dS 2 /oi л\
W BяйK ' ( '
В частности, для случая сферической поверхности Ферми [4]
где Хо — парамагнитная восприимчивость электронного газа.
3. Для рассмотрения возбуждений над основным состоя-
состоянием электронной жидкости, находящейся в постоянном и
однородном магнитном поле, изучим малые колебания рас-
распределений. Будем считать, что функция распределения мало
отличается от фермиевской /0(е), а векторная функция спи-
спиновой плотности в фазовом пространстве имеет вид (ср.
формулу B.12))
^ C-1)
где 6с — малая неравновесная добавка, а Яо — постоянное и
однородное магнитное поле **).
Ограничим себя рассмотрением малых колебаний, для
которых 6с перпендикулярно Но. В этом случае-кинетиче-
случае-кинетическое уравнение A.13) приводит к следующему уравнению:
C-2)
*) Статическая парамагнитная восприимчивость мала по
сравнению с единицей.
**) Малость статической магнитной восприимчивости неферро-
неферромагнитного металла позволяет вместо магнитной индукции Во
писать Но.
361
где
и & — переменная магнитная индукция.
Для функции \р ниже мы будем использовать выражение
B.8), считая соответственно поверхность Ферми сферой.
В качестве интеграла столкновений мы используем следую-
следующее модельное выражение *):
C-3)
Здесь х — характерное время релаксации импульса электрона,
а т2 — время переброса спина. Поскольку переброс спина
обусловлен спин-орбитальными или магнитными взаимодей-
взаимодействиями, то в реальной ситуации т2^>т. Ниже главным обра-
образом нас будет интересовать случай, когда столкновения, при-
приводящие к релаксации импульса, сравнительно редки. При
этом использование модельного интеграла столкновений C.3)
не может дать значительного отличия от истины.
Длинноволновые спиновые волны в окрестности частоты
обычного парамагнитного резонанса электронов проводимости
можно описывать с помощью макроскопического уравнения для
неравновесной плотности намагничения:
я»(г. t)=\b\dpbo{p. r, t). C.4)
Нетрудно видеть, что после умножения уравнения C.2) на
ц0 и интегрирования по импульсам получается
Цру C-5)
где
/ C.6)
В условиях, когда пространственная неоднородность несу-
несущественна (можно пренебречь последним слагаемым левой
части уравнения C.5), содержащим производную по коорди-
*) Относительно интеграла столкновений в теории вырожден-
вырожденной ферми-жидкости см. [8].
3&2
нате), уравнение C.5) соответствует уравнению Блоха, со-
составляющему основу теории электронного парамагнитного
резонанса [9], Для описания спиновых волн необходимо учесть
роль пространственной неоднородности намагничения. Если
длина волны X спиновых волн велика по сравнению с лар-
моровским радиусом электрона R в магнитном поле Но, то
для получения явного выражения слагаемого уравнения C.5),
содержащего пространственный градиент, удобно воспользо-
воспользоваться методом моментов [10]. Ограничиваясь первым при-
приближением по степеням /?/Х, можно принять
j [+^) C.7)
Тогда с помощью уравнения C.2) получаем следующее урав-
уравнение для 2/;-:
Г+р; ~~дГ ~~ пешп&
где n=H0IH0, Q0=2yH0'h = [2щ,//0/й A +ро)]=©,/A +Ро).
Q = eHgVJcp.
Считая b, m и 2;;- зависящими от времени —е~ш, мо-
можно записать решение уравнения C.8) в следующем виде:
2г, = - — ^ о ( (- to + v) — (m, - х*,) -
-o)o,i^[(m-X&)X«];}. C.9)
+
;(c
(ЗЛ0)
C.11)
Здесь принято, что ось ориентирована вдоль Но, и учтено,
что неравновесная плотность намагничения т перпендикулярна
постоянному магнитному полю. Кроме того, v == A —(— Pi)/t,
т± — mx + imy, b± = bx±iby и
. C.12)
23 А. И. Ахиезер ,353
Формулы C.9) — C.11) позволяют записать следующее урав-
уравнение для неравновесного намагничения:
- Нот + ^ {(m - %Ь) X Но) - (» -?r
-f ^{яХ(«—Х»)]} = —-^^-(«-Хб). C-13)
где
v— ' (м— ffl-I,
11
I 1
> V — I (ffl—<0_i, i) V — / (ffl-f-Wi, i) V — « (<B + <B-i, i) J
C.14)
В пределе v^*>co и com, „ уравнение C.13) представляет
собой уравнение диффузии намагничения, кладущееся в ос-
основу теории парамагнитного резонанса электронов проводи-
проводимости [11, 10]. Формулы C.14) описывают частотную диспер-
дисперсию анизотропного коэффициента диффузии намагничения,
которая становится особенно важной в условиях, когда
v < со ~ сот) п. Последнее неравенство выполняется при до-
достаточно низких температурах и для чистых образцов ме-
металла.
С помощью уравнения C.13) нетрудно записать выраже-
выражение для компонент высокочастотной магнитной восприимчи-
восприимчивости х±, учитывающей частотную и пространственную ди-
дисперсию (m—- e~ial+ikr) *):
*) Внимательный читатель может заметить, что определение
C.15) отличается от использованного ранее B.13). Это обуслов-
обусловлено тем, что, в отличие от статической восприимчивости х. ма"
лой по сравнению с единицей, высокочастотная восприимчивость
в окрестности резонанса может быть отнюдь не малой.
354
где h± = hjc + ihy и h — переменное магнитное Поле внутри
i металла. При этом
Ti(J>s + k,D±(k ffl)l
Х±(со, k)= 1 2 , , в , C.16)
—/((o±(O5)-f- l~TVa -f-fe2 D±(k, а) —С
т2
©5 = 2\i0H0fft — частота спинового резонанса электрона про-
проводимости, $k — угол между векторами k и п, а
D± (ft. со) = / ~ A + р0) A + Pi) (о) ± «о, 1 + /v) X
у/ со^О* + ^в* 1. C17)
Последнее выражение для D± (k, со) было получено Платц-
маном и Волфом [2].
Комплексная магнитная восприимчивость C.16) может
быть использована для определения спектра тех спиновых
волн, которые могут возбуждаться магнитным полем. Огра-
Ограничимся случаем не слишком высоких частот, когда со <^Г ск.
Тогда для интересующего нас случая уравнения поля сво-
сводятся к
rot (Ь — 4лт) = 0, div & = 0. C.18)
Имея в виду соотношение C.15), получаем следующее урав-
уравнение, определяющее спектр спиновых волн:
1+4лХ±(со, й) = 0. C.19)
Подставив сюда выражение C.16), получим дисперсионное
уравнение длинноволновых колебаний (kv<^ со) в окрестно-
окрестности | со | = ©,:
со = + <¦>, — I l + Ро — ik2 D± (k, со). C.20)
В условиях, когда co<^v, можно пренебречь зависимо-
зависимостью D± от частоты. При этом D± оказывается величиной
действительной, а поэтому согласно формуле C.20) группо-
групповая скорость волн будет мнимой. Это означает, что в таких
условиях спиновые волны не существуют и возмущения на-
намагничения расплываются по законам диффузии. Напротив,
в пределе v<^co коэффициент диффузии D± становится мни-
мнимым, а групповая скорость волн — действительной. Это оз-
означает, что вместо диффузного расплывания возмущений ста-
23* 355
нежится возможным распространение волн намагничения —
спиновых волн.
Обнаруженные на опыте [1, 2] спиновые волны соответ-
соответствуют частотам, близким частоте спинового резонанса элек-
электронов проводимости. При этом, в соответствии с только
что сказанным, спиновые волны проявляются лишь в усло-
условиях, когда 0)^>v. В этом случае из формулы C.20) имеем:
(о = со^[1 — k2a(k)], C.21)
где
Зев* po_Pl A-\
"— 7 ^ ^Г- C-23)
(Po —PiJ <4
Как мы увидим ниже, зависимость а от угла Ф^ между век-
векторами k и Но позволяет экспериментально определить ве-
величину А. Однако, прежде чем переходить к изложению
экспериментальных результатов, рассмотрим некоторые след-
следствия, вытекающие из теории для коротких спиновых волн.
4. Для произвольных длин волн колебаний теория су-
существенно усложняется, в особенности благодаря сложному
виду функции ф (р, р') (см. формулу B.8)). Ставя перед
собой задачу продемонстрировать те возможности, которые
открывает теория вырожденной электронной жидкости для
изучения коротковолновых спиновых волн, для простоты
примем, что функция ф не зависит от угла между р и р',
т. е. примем
ф = 2 v po= const. D.1)
Представим неравновесную спиновую плотность в фазовом
пространстве в виде
да =:HI±ge-l<*t + l*r D.2)
и будем считать, что неравновесное магнитное поле таким же
образом зависит от времени и координат. Тогда можно
записать кинетическое уравнение C.2) следующим образом:
D.3)
356
2л
Здесь *± = Ъх ± »,, ?±=?,±#,, (^±> = ^
о о
t, полярная ось для сферических координат в про-
пространстве импульса ориентирована вдоль Но. Имея в виду
естественное условие периодичности по ф, получаем из ки-
кинетического уравнения D.3):
- со + Qo— i — ^j+i -^—slnB [8Шф —sinф']|. D.4)
Поскольку согласно D.2) и B.15) неравновесная плотность
намагничения связана с g соотношением т = — (xly){g),
то с помощью D.4) получаем для высокочастотной магнитной
восприимчивости, определенной соотношением C.15), сле-
следующее выражение:
D.5)
Здесь х — статическая восприимчивость и
X 1 -¦ D.6)
ш ± Йп — пО, — k,,v cos 6-1 1
Подставляя D.5) в уравнение C.19), можем определить спектр
спиновых волн дтя произвольных kR. При этом получаем
следующее уравнение, определяющее спектр'Спиновых волн:
+ ^ D.7)
со ± QQ — пО. — &ц« cos б-) 1
357
Рассмотрим частный случай продольного распростране-
распространения спиновой волны, когда й^ = 0. Тогда формула D.7)
принимает вид
1 __ _»_ ( Ро |_ _М In m ± Q<> + kV + '
1 ~ 2*w \ 1 -f-Po ~^ т«Г <d±Q0—*« + /
Простые следствия, вытекающие из этого уравнения, нетрудно
получить в пределе длин волн, меньших длины свободного
пробега [3], когда можно пренебречь — и —. Тогда в об-
т т2
ласти сравнительно длинных волн, когда kv<^Q0, формула
D.8) дает
©=+Q0A+Pq){1+aV/3P0Q2}. D.9)
При отрицательных р0 с уменьшением длины волны ча-
частота уменьшается. При этом в случае l-f-l/C0<0 частота
спиновой волны обращается в нуль при k = Qolv согласно
следующей формуле:
пригодной в окрестности ю = 0.
При положительных р0 с уменьшением длины волны ча-
частота возрастает, и в области коротких длин волн, когда
kv ^> й0, дисперсионное уравнение D.8) принимает вид
Это уравнение описывает спиновые волны в ферми-жидко-
сти в отсутствие магнитного поля, которые, как показал
Л. Д. Ландау [12], могут существовать лишь при положи-
положительном р0.
Простое следствие вытекает из дисперсионного уравне-
уравнения D.7) для коротких волн kR^$> 1 и в предположении
поперечного распространения. При этом спиновые волны ока-
оказываются возможными вблизи резонансных частот, когда
о) = (о„+6« F@<О„), D.12)
где
4—^-, D.13)
358
Следует заметить, что резонансная частота (о„ не зави-
зависит от сделанного в начале этого раздела предположения о
виде функции ф и остается такой же в общем случае B.8).
Если р0 мало по сравнению с единицей, то и для не
очень коротких волн можно получить компактную формулу,
описывающую спектр спиновых волн вблизи резонанса:
Я/2
/ i
1 — Г dQ sin 0 X
я/2
k.v _\ ! R. Г . _.2[
a ] ¦
-^-sinB) } 1 +T-4V \dQsmQJ,,}. D.15)
о J
Наконец, снова вернемся к случаю длин волн, больших
ларморовского радиуса электронов. Дисперсионное уравне-
уравнение D.7) в этом случае принимает вид C.20), в котором
вместо Dj (k, (о) стоит выражение C.17), умноженное на
DЛ6)
Последний результат получается и в случае ф, представлен-
представленной рядом B.8). Заметим, что при ы —> q: со, выражение D.16)
обращается в единицу, что подтверждает пригодность ре-
результатов раздела 3 для изучения окрестности спинового ре-
резонанса электронов проводимости.
Используя выражение D.16), мы можем записать следую-
следующие соотношения для собственных частот спиновых волн,
близких к предельным значениям C.12) (
D.17)
¦3®s р1 р0 — Pi j
(о = q: (Oi, 11 1 -(-
A+Pi)
D.18)
(o= q: (o_i,i | 1 +
+
[Pi - A +Po) A + Pi) G/«j [Pi - Po - A+Po) A+Pi) Qhs]\'
D.19)
359
Для получения выражений в окрестности предельных частот
С3.1 2) с большими п следует в разложении по к удерживать
более высокие степени.
Заметим, что для результатов этого раздела, посвящен-
посвященных конкретным спектрам спиновых волн, существенно пред-
предположение о большой величине времени релаксации импульса.
Можно думать, что это предположение даже более сущест-
существенно, чем для результатов второго раздела, где время ре-
релаксации импульса возникало в относительно малых чле-
членах ~ к2.
5. Эксперимент, приведший к обнаружению спиновых
волн в неферромагнитном металле, выполненный Шултцем и
Данифером [1], по постановке своей подобен многим рабо-
работам, посвященным измерению магнитного момента электрона
с помощью наблюдения предсказываемого в работе [13] явле-
явления селективной прозрачности металлических пленок при спи-
спиновом резонансе электронов проводимости. Обычно в экспе-
экспериментах, связанных с изучением спинового резонанса элек-
электронов проводимости, возникает следующее положение [11].
Электромагнитное поле резко убывает в малой области скин-
слоя (нормального или аномального). Именно в скин-слое
спиновый момент электронов оказывается ориентированным
под действием высокочастотного поля. Электроны с ориен-
ориентированным таким образом спиновым моментом диффунди-
диффундируют из скин-слоя в толщу металла. Поскольку время пере-
переброса спина т2 весьма велико (в эксперименте [1] оно со-
составляет =& 10~ сек), то намагничение, обусловленное ори-
ориентированными спиновыми моментами электронов, диффун-
диффундирует в глубь металла на расстояния, много большие глубины
скин-слоя. Для газа электронов коэффициент диффузии ра-
равен it v2x. Поэтому при толщинах металлической пленки,
меньших 6эфф ~ v \Лст2/3 (где 6эфф — расстояние, проходи-
проходимое электроном при диффузии за время переброса спина),
поле прошедшей волны не зависит от толщины. Подобная
селективная прозрачность металлической пленки возникает1
в малой окрестности со —о,. Ширина такой окрестности оп-
определяется временем переброса спина [11, 13].
Такая обычная картина селективной прозрачности метал-
металлических пленок имеет место при сравнительно высоких тем-
температурах, когда время релаксации импульса т мало и спи-
спиновые волны не существуют. С уменьшением температуры и
уменьшением v-^l/т возникает возможность распростране-
360
ния спиновых волн. При этом из области скин-слоя намаг-
намагничение распространяется в толщу металла в виде спиновых
волн. Поэтому возникает увеличение прозрачности металли-
металлических пленок на частотах спиновых волн. Действительно, для
Поля, проходящего через пленку, согласно работе [2] имеем
Ht~[x2r2Ws\n2W]~~\ E.1)
Здесь
— (о,)т2, E.3)
а(й), E.4)
где L — толщина металлической пленки, a a (ft) определено
формулой C.22). Формула E.1) получена в предположении,
что частота внешнего поля близка к частоте спинового ре-
резонанса электронов проводимости. Согласно этой формуле
в дополнение к обычной линии селективной прозрачности
при спиновом резонансе, соответствующей W — 0, имеет ме-
место серия линий для W = ил (п = + 1,. +2, . . .), отвечаю-
отвечающих спиновым волнам с частотой C.21). Рисунок 1Д (взятый
из работы [1]) отражает факт возникновения таких допол-
дополнительных линий прозрачности.
Кратко опишем эксперимент, выполненный Шултцем и
Данифером [1]. Пленка металлического натрия помещалась
между двумя резонаторами, настроенными на одну и ту же
частоту и находящимися в постоянном и однородном маг-
магнитном поле. Оба резонатора заполнены диэлектриком, что,
в частности, обеспечивает параллелизм поверхностей мягкого
натриевого образца и предохраняет поверхность натрия от
изменений под действием воздуха. В типичных условиях опыта
уровень утечки от одного резонатора к другому составляет
165 децибел. В то же время мощность излучения, проходя-
проходящая на главной линии спинового резонанса, составляет со-
согласно рис. 1Д, а примерно 20 децибел над уровнем утечки.
Приведенные на рис. 1Д результаты являются типичными для
случая матнитного поля, параллельного поверхности образца
(Фи = 90°), равного =& 3250 гаусс. При э'том спин-волновые
линии прозрачности проявляются слева от линии основного
спинового резонанса, т. е. со стороны меньших значений
постоянного магнитного поля. При повороте постоянного маг-
магнитного поля в направлении к нормали к поверхности об-
образца спин-волновые линии прозрачности сближаются с ли-
361
нией основного' спинового резонанса, а при некотором угле $с
все моды сходятся вместе. При дальнейшем уменьшении уг-
угла ¦&* между направлением постоянного магнитного поля и
нормалью к поверхности металла в соответствии с теорети-
теоретическим законом C.21) дополнительные линии спин-волновой
прозрачности появляются со стороны больших полей от ос-
основной линии. Экспериментально определенная величина раз-
разделения спиновых волн от линии основного резонанса близка
к предсказываемому теорией закону га2//.2, где L — толщина
пленки, а га — номер гармоники.
В работе [1] утверждается, что при данной толщине об-
образца интенсивность спин-волновой линии и ее ширина глав-
главным образом определяются временем свободного пробега
электрона т. При увеличении температуры (для натрия вплоть
до 11° К) и уменьшении времени свободного пробега линии
спиновых волн уширяются, а их интенсивность падает. На
362
рис. 1Д, б наряду с экспериментальными точками приведена
теоретическая кривая, построенная по формуле E.1) при по-
подобранных значениях т и р0.
Согласно оценкам, приведенным в работе [1], величина ют
составляет примерно 20. В этих условиях при количествен-
количественном анализе эксперимента можно использовать формулу E.1),
в которой т2Г2 является действительной величиной. При этом
положение линии спиновой волны при данном угле ФА оп-
определяется соотношением
«(<>*) = — т2(ляГJ. E.5)
В частности,
a (#ft)/a (90°) = 1 — ^cos2^, E.6)
где А определено формулой C.23). Величина А, таким об-
образом, определяется по угловой зависимости E.6) или по
углу Ьс, при котором линии спин-волновой прозрачности
совмещаются с основной линией электронного спинового ре-
резонанса (А = sec2¦&с). В работе [1] найдено, что ¦б'с=69,5°.
Поскольку отношение ларморовской частоты электрона Q
к частоте спинового резонанса со5 равно отношению массы
свободного электрона т к эффективной массе т* электрона
проводимости, то, используя известное из других измерений
значение пС\т (которое для натрия, согласно [1], можно счи-
считать равным 1,24), имеем соотношение, связывающее кон-
константы р0 и pt. Второе необходимое соотношение может быть
получено точным определением положения линии спиновых
волн. В эксперименте [2J последнее измерение еще недо-
недостаточно точно. Поэтому об определении констант р0 и Pj
пока еще говорить нельзя. Можно думать, что в ближайшем
будущем результаты работы [1J будут значительно уточнены
и постоянные, характеризующие обменное взаимодействие
электронов, будут определены. Следует также надеяться, что
будут приложены определенные усилия по изучению воз-
возможности наблюдения коротковолновых спиновых волн, для
которых теория предсказывает ряд специфических особен-
особенностей. Хотя в экспериментальном отношении работы Шултца
и Данифера [1] и Платцмана и Волфа [2] сделали лишь пер-
первый шаг, нельзя сомневаться в том, что за* ними последуют
другие, которые в конечном итоге не только сделают необ-
необходимыми представления об электронах проводимости метал-
металлов как о вырожденной ферми-жидкости, но и определят
область их применимости.
ЛИТЕРАТУРА
К главе I
1. W. He i tier and F. London, Z. Phys. 44, 455 A927).
2. W. H e i s e n b e r g, Zs. f. Phys. 49, 619 A928).
3. Я.Френкель, Zs.f. Phys. 49, 31 A928).
4. Я.Дорфман, Nature 119, 353 A928).
5. P. Dirac, Proc. Roy. Soc. A123, 714 A929).
6. H. Боголюбов, Лекцп з квантово! статистики. Рад. школа,
Ки'1в, 1949; Н. Боголюбов, С. Тябликов, Вестник МГУ
№ 3, 35 A949).
7. Л. Ландау, Е. Лифшиц, Sow Phys. 8, 157 A935).
8. Л. Ландау, Е. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред,
Гостехиздат, М., 1957.
9. Н. Акулов, Ферромагнетизм, ОНТИ, М., 1939.
10. С. В о н с о в с к и й, Я. Шур, Ферромагнетизм, Гостехиздат,
М. — Л., 1948.
11. L. Neel, Ann. de Phys. 17, 61 A932); 5, 232 A936); 3, 137
A948), Изв. АН СССР, сер. физ., 21, 890 A957).
12. Л. Ландау, Sow Phys 4,675 A933).
13. J. Van Vleck, J Chem. Phys. 9, 85 A941).
14. M. Каганов, В. Цукерник, ЖЭТФ 34, 106 A958).
15. Е. Туров, Ю. Ир хин, Изв. АН СССР, сер. физ., 22, 1168
A958).
16. Е. Дзялоши некий, ЖЭТФ 32, 807 A957).
17. Е. Туров, Физические свойства м агнитоу пор ядоченных кри-
кристаллов. Изд. АН СССР, М., 1963.
К главе II
1. F. В loch, Zs. f. Phys. 61, 206 A930).
2. С. Herring, S. Kittel, Phys. Rev. 81, 869 A951).
3. Л. Ландау, Е. Лифшиц, Sow Phys. 9, 157 A935).
4. А. Ахиезер, В. Барьяхтар, С. Пелетминский, ЖЭТФ
35, 474 A958).
5. G. Rado, I Weertman, Phys. Rev. 94, 1386 A954);
W. A m e n t, G Rado, Phys. Rev 97, 1558 A955).
6. С Kittel, Phys Rev. 110, 1295 A958); L N e e 1, J Phys. 15,
225 A954).
7. P. Pincus, Phys. Rev. 118, 658 A960).
364
8. Е. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 15, 1 A945).
9. М. Каганов, В. Цукерник, ЖЭТФ 34, 106 A958)
10. L. N е е 1, Ann de Phys. 5, 232 A936).
11. И. Дзялошинский, ЖЭТФ 32, 1547 A957).
12. А. Боровик Романов, «Итоги иауки» ФМН, 4, Изд-во АН
СССР, М., 1962.
13. Е. Туров, Физические свойства магнитоупорядоченных кри-
кристаллов, Изд-во АН СССР, М., 1963.
14. Н Боголюбов, С. Тяблико в, ЖЭТФ 19, 251, 256 A949).
15. С. Т я бликов, А. Аматуни ДАН СССР, 108, 69 A956).
16. Е. Туров, Ю. Ирхин, Изв. АН СССР, сер. физ., 22, 1168
A958).
17. В. Попов, УФЖ 6, 25 A961).
18. М. Гинцбург, ЖЭТФ 35, 1047 A958); J. Phys. Chem. Solids
11, 336 A959).
19. В. A u 1 d, J. Appl. Phys. 31, 1642 A960).
20. Г. Г е н к и н, Ю. Отмахов, Е. Розенблюл, ФТТ 5, 2968
A958).
21. E. Stern, E. Callen, Phys. Rev. 131, 512 A963); А. Бланк,
M. Каганов, Юй-Лу, ЖЭТФ 47, 1268 A964); В. Б а р ь я х-
тар, М. Савченко, К. Степанов, ЖЭТФ 50, 576 A966).
К главе III
1. С. Kittel, Phys. Rev. 71, 270 A947).
2. J. Griffiths, Nature 158, 670 A946).
3. J. Artman, Рос. IRE 44, 1284 A956); Phys. Rev. 105,62A957).
4. Г. Скроцкий, Л. Курбатов, Феноменологическая теория
ферромагнитного резонанса. Статья в сб. «Ферромагнитный ре-
резонанс». Физматгиз, М., 1961.
5. С. Kittel, Phys. Rev. 82, 565 A952); F. К e f f e г, С. Kittel.
Phys. Rev. 85, 329 A952).
6. E. Боровик-Романов, И. Калин кип а, Н. Крейнес,
Л. Прозорова, Е. Рудашевскнй, Physics and Techniques
of Low Temperature Proceedings of the 3rd Regional Conference
held in Praque, 1963.
7. E. Typo в, Физические свойства магнитоупорядоченных кри-
кристаллов, Изд-во АН СССР, М., 1963.
8. Л. Mercereau, R. F е у n m a n, Phys. Rev. 104, 63 A956);
R. White, I. Solt, J. Mercereau Bull. Am. Phys. Soc. 2, 1, 12
A956); R. White, I. Solt, Phys. Rev. 104, 56 A956); J. Dil-
Dillon, Bull. Am. Phys. Soc. 2, 1, 125 A956).
9. L. Walker, Phys. Rev. 105, 310 A957); Magnetism, vol. 1, A. P.,
N. Y. and L., A963), стр. 299.
10. J. Eshbach, R. Damon, Phys. Rev. 118, 1208 (I960); R. Da-
Damon, J. Eshbach, J. Phys. Chem. Solids 19, 308 A961);
В. Барьяхтар, М. Каганов, Неоднородный резонанс и
спиновые волны. Статья в сб. «Ферромагнитный резонанс». Физ-
Физматгиз, 1961.
11. С. Kittel, Phys. Rev. 110, 1295 A958).
12. Z. Frait, Phys. st. sol. 2, 1417 A962).
13. Л. Ландау, Е. Л и ф ш и ц, Электродинамика сплошных сред,
Гостехиздат, М., 1957.
365
14. W. Ament, G. R a d o, Phys. Rev. 97, 1558 A955).
15. В. Гуревич, ЖЭТФ 33, 1497 A957); 28, 2352 A958).
16. M. Каганов, Юй-Лу, Изв. АН СССР, сер. физ., 25, 1375
A961).
17. Н. Suhl, J. Phys. Chem. Solids 1, 209 A957).
18. R. Damon, Magnetism, AP, N. Y. and L, vol. 1 A963); стр.551.
19. E. Schloman, J. Green, U. M i 1 a n s, J. Appl. Phys. 31, 386
A960).
20. А. Гуревич, ФТТ 6, 2376 A964).
21. А. Ахиезер, В. Барьяхтар, С. Пелетминский, ЖЭТФ
45, 337 A963).
22. В. Барьяхтар, 3. Махмудов, ЖЭТФ 47, 593 A964).
23. И. А х и е з е р, ЖЭТФ 49, 298 A965).
24. Г. Смоленский, А. Гуревич, Ферромагнитные полупровод-
полупроводники, статья в сб. «Полупроводники в науке и технике», т. 2.
Изд-во АН СССР, 1958, стр. 349.
К главе IV
1. А. Ахиезер, В. Барьяхтар, С. Пелетминский, ЖЭТФ
35, 228 A958).
2. С. К i 11 e 1, Phys. Rev. 110, 836 A958).
3. H. Tiers ten, J. Math. Phys. 5, 1298 A964).
4. К. Власов, ФММ 20, 3 A965).
5. E. T у р о в, Ю. И р х и н, ФММ 3, 15 A956).
6. С. Пелетминский, ЖЭТФ 37, 452 A959); В. Барьяхтар,
М. Савченко, В. Г а н н, П. Р я б к о, ЖЭТФ 47, 1989 A964);
М. Савченко, ФТТ 6, 864 A964); В. Барьяхтар, С. Сав-
Савченко, В. Тарасенко, ЖЭТФ 49, 944 A965).
7. И. Ахнезер, Ю. Болотнн, ЖЭТФ 52, 482 A966).
8. М. Pomerantz, Phys. Rev. Letters 7, 312 A961).
9. К. Власов, Б. Ишмухаметов, ЖЭТФ, 36, 1301 A959), 37,
1745 A959); 46, 201 A964).
10. Н. Matthews, R. Le Craw, Phys. Rev. Letters 8, 397 A962).
11. E. Schloman n, J. of Appl. Phys. 35, 159 A964).
К главе V
1. Т. Hois te in, H. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 A940).
2. А. Ахиезер, J. Phys. USSR 10, 217 A946).
3. H. Боголюбов, С. Тябликов, ЖЭТФ 19, 257 A948);
С. Тябликов, Методы квантовой теории магнетизма. Изд-во
«Наука», М., 1965.
4. С. Kittel, E. Abrahams, Rev. Mod. Phys. 25, 233 A953)
5. H. В е t h e, Zs. f. Phys. 71, 205 A931).
6. M. Wortis, Phys. Rev. 132, 85 A963).
К главе VI
1. Л. Ландау, Е. Л и ф ш и ц, Статистическая физика, Изд-во
«Наука», М., 1964.
2. Т. Holstein, H. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 A940).
3. F. В I och Zs. f. Phys. 61, 206 A930).
366
4. М. Каганов, В. Цукерник, ФММ 5, 561 A957).
5. Е. Туров, Физические свойства магнитоупорядоченных кри-
кристаллов, Изд-во АН СССР, М., 1963.
6. Т. Oguchi, Phys. Rev. 117, 117 A960).
7. R. Kubo, Phys. Rev. 87, 568 A952); С. Тябликов, ФММ 2,
193 A956).
8. M. Каганов, В. Цукерник, ЖЭТФ 34, 106 A958).
9. Е. Т у р о в, Ю. И р х и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1168
A958).
10. А. Боровик-Романов, Итоги науки, 4 Изд-во АН СССР
A962).
11. В. Б арьяхтар, В. Попов, УФЖ 6, 340 A961).
12. А. Абрикосов, Л. Горькое, И. Дзялошинский, Ме-
Методы квантовой теории поля в статистической физике, Физмат-
гиз, М., 1962; Б. Бонч-Бруевич, С. Тябликов, Методы
функций Грина в статистической механике, Физматгиз, М., 1961.
13. R. Kubo, J. Phys. Soc. Japan 12, 570 A957).
14. H. Боголюбов, С. Тябликов, ДАН СССР 126, 53 A959);
С. Тябликов, Укр. матем. ж. 11, 287 A959).
15. С. В он со вс кий, Изв. АН СССР, сер. физ., И, 485 A947);
В. Гинзбург, ЖЭТФ 17, 833 A947).
16. R. Tahir-Kheli, D. Тег Н а а г, Phys. Rev. 127, 38 A962);
127, 95 A962); Н. С а 11 е п, Phys. Rev. 130, 890 A963).
17. В. Б арьяхтар, Л. Шишкин, ФММ 17, 664 A964).
18. Л. Ландау, Е. Л и ф ш и ц, Электродинамика сплошных сред,
Гостехиздат, М., 1957.
19. И. Ахиезер, Ю. Болотин, ЖЭТФ 52, 451 A966).
20. О. Halpern, M. J о h k s о п, Phys. Rev. 55, 898 A939); С. Ма-
Малеев, ЖЭТФ 33, 1010 A957); 34,1518 A958).
21. С. Малеев, ЖЭТФ 40, 1224 A961).
22. А. Ахиезер, И. П о м е р а н ч у к, Некоторые вопросы теории
ядра, Гостехиздат М., 1950; Ю. И з ю м о в, Р. Озеров, Маг-
Магнитная нейтронография, Изд-во «Наука», М., 1966.
23. Ф. Басе, М. Каганов, ЖЭТФ 37, 1390 A959).
24. Y. Shen, N. В 1 о е m b e r g e n, Phys. Rev. 143, 372 A965).
25. И. Ахиезер, Ю. Болотин, ЖЭТФ 52, 1084 A966).
26. А. Ахиезер, В. Берестецкий, Квантовая электродинами-
электродинамика, Физматгиз, 1959.
К главе VII
1. А. Ахиезер, J. Phys. USSR 10, 217 A940).
2. Е. Schlomann, Phys. Rev. 121, 1312 A961).
3. M. Каганов, В. Цукерник, ЖЭТФ 35, 474 A958); 36, 224
A959).
4. М. Кривоглаз, В. Кащеев, ФТТ 3, 1541 A961").
5. А. Ахиезер, В. Барьяхтар, С. Пелетминский, ЖЭТФ
36, 216 A959).
6. А. С 1 о g s t о п, Н. S h u I, L. Walker, P. Anderson, Rhys.
Rev. 101, 903 A956); Phys. Chem. Solids 1, 129 A986);
M. Sparks, R. London, С Kittel Phys. Rev. 122, 791
A961); С Haas, H. С a 11 e n, Magnetism, vol. I, 450 AP
A963).
367
7. Л. Г у р е в и ч, Г. Р о м а Я, ФТТ 8, 525 A966); В. Барьяхтар,
Г. Уруш адзе, ЖЭТФ 39, 335 (I960).
8. С. Вонсовский, ЖЭТФ 16, 981 A946); С. Вонсовский,
Е. Туров, ЖЭТФ 24, 419 A953).
9. В. Барьяхтар, Г. Урушадзе, ЖЭТФ 38, 1253 A960).
10. А. А х и е з е р, Л. Ш и ш к и н, ЖЭТФ 34, 1267 A958); А. А х и е-
зер, В. Барьяхтар, ФТТ 2, 2442 A960).
11. Р. Гуржи, ЖЭТФ 45, 750 A963).
12. Р. Гуржи, ФТТ 7, 3515 A965).
13. Н. Померанчук, J. Phys. USSR 6, 247 A942).
К главе VIII
1. F. Dyson, Phys. Rev. 102, 1217, 1230 A956).
2. С. Малеев, ЖЭТФ 33, 1010 A957).
3. С. Пелетминский, В. Барьяхтар, ФТТ 6, 219 A964).
4. А. Абрикосов, Л. Горькое, И. Дзялошинский, Мето-
Методы квантовой теории поля в статистической физике, Физматгиз,
1962.
5. И. Ахиезер, В. Барьяхтар, С. Пелетминский, ЖЭТФ
40, 365 A961).
6. М. Кривоглаз, В. Кащеев, ФТТ 3, 1541 A961).
К дополнению
1. S. S с h u 11 z, G. D u n i f e r, Observation of spin waves in so-
sodium and potassium. Phys. Rev. Letters 18, № 8, 283 A967).
2. P. M. P i a t z m a n, P. A. Wolff, Spin-wave excitation in non-
ferromagnetic metals. Phys. Rev. Letters 18, № 8, 280 A967).
¦ 3. В. П. Силин, Колебания вырожденной электронной жидкости.
ЖЭТФ 35, 1243 A958).
4. Л. Д. Л а ндау, Теория ферми-жидкости. ЖЭТФ 30, 1058 A956).
•5. В. П. Силин, К теории вырожденной электронной жидкости.
ЖЭТФ 33, 495 A957).
6. D. Pines, Electron interaction in metals. Solid state physics 1,
367 A955).
7. В. П. С и л и н, К теории коллективного описания взаимодей-
взаимодействия электронов в твердом теле. ФММ 3, 193 A956).
8. В. П. Силин, Об оптических свойствах металлов в инфракрас-
инфракрасной области. ЖЭТФ 34, 707 A958).
9. F. В loch, Nuclear induction. Phys. Rev. 70, 460 A946).
10. В. П. Силин, К кинетике парамагнитных явлений. ЖЭТФ 30,
421 A956).
11. F. J. Dyson, Electron spin resonance absorption in metals. Phys.
Rev. 98, 349 A955).
12. Л. Д. Ландау, Колебания ферми-жидкости. ЖЭТФ 32, 59
A957).
13. М. Я. А з б е л ь, В. И. Герасименко, И. М. Л и ф ш и ц, Па-
Парамагнитный резонанс и поляризация ядер в металлах. ЖЭТФ
32, 1212 A957).