ч^^
Sss?sps&sSis
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
щ
МГУ

A. Ю. Ишлинский,
B. И. Борзов,
Н. П. Степаненко
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ
ГИРОСКОПОВ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального
образования СССР в качестве
учебного пособия для студентов
высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
1983

УДК 531.383
Ишлинский А. Ю. и др. Лекции по теории гироскопов /
А. Ю. Ишлинский, В. И. Борзов, Н. П. Степаненко. — М.:
Изд-во МГУ, 1983. — 248 с.
Настоящая книга написана на основе лекций по теории
гироскопов, которые читаются уже более четверти века на
механико-математическом факультете Московского
университета.
В первой части книги помимо вывода основных
уравнений теории гироскопов (как полных, так и укороченных)
дается изложение некоторых вопросов элементарной теории
гироскопов, включая движение гироскопического маятника на
подвижном основании. Во второй части книги
рассматривается нутационная теория гироскопов, излагаются некоторые
результаты, полученные на основе анализа точных
нелинейных уравнений движения гироскопов, исследуются вопросы
устойчивости гироскопических стабилизаторов, приводится
теория пространственного гирогоризонткомпаса — одного из
элементов систем инерциальной навигации.
Библиогр. 51 назв. Ил. 112.
Рецензенты:
кафедра теоретической механики МЭИ;
чл.-кор. АН СССР Д. М. Климов
1703030000—074
077(02)—83
© Издательство Московского университета, 1983 г.

Введение
Удивительные свойства быстро вращающихся тел были
замечены человеком еще в глубокой древности, однако
долгое время они использовались лишь в эффектных
выступлениях жонглеров и в детских игрушках-волчках.
Глубокое изучение закономерностей, которым
подчиняется вращательное движение твердого тела, началось лишь
в XVIII в. и было обусловлено прежде всего задачами
астрономии. Великий Эйлер, а после него Лагранж, Пуансо,
Пуассон и другие ученые создали теорию движения абсолютно
твердого тела и объяснили некоторые свойства
вращающегося твердого тела посредством строгих методов
математики. Оказалось, что поведение вращающихся небесных тел во
многом объясняется этой теорией. Земля почти не изменяет
ориентации оси своего вращения по отношению к
направлению на неподвижные звезды, в результате чего и происходит,
например, смена времен года в северном и в южном
полушариях. В известной мере подобной тенденцией сохранения
направления своей оси обладает и быстро вращающийся
волчок, доставленный на острие, если последнее расположено
близко к центру масс волчка.
Такими же оказались и свойства ротора пироскопа в так
называемом кардановом подвесе, который в 1852 году Фуко
демонстрировал Парижской Академии наук. Попытки
использовать гироскоп Фуко для технических приложений,
в частности для построения гироскопического компаса (столь
нужного кораблям со стальными корпусами и подводным
лодкам), долгое время оставались безуспешными. Лишь
в самом конце прошлого века лейтенант итальянского
морского флота Обри построил гироскопический прибор,
носящий его имя, для управления рулями морской торпеды и
сохранения тем самым ее движения в заданном
направлении. Однако более или менее удовлетворительный
гироскопический компас был создан Сперри лишь в начале нашего
века. Им же был построен гироскопический прибор для ука-
з

зания горизонтального направления на самолете — гиро-
горизонт, или гировертикаль, — указывавший с достаточной
точностью крен и тангаж самолета при полете в сплошной
облачности. Прибор подобного же назначения, однако
несравненно более точный, был создан для нужд морской
артиллерии. Здесь же 'получил применение другой
гироскопический прибор — гироазимут — для весьма точного
указания неизменного направления в горизонтальной плоскости,
представлявший собой дальнейшее усовершенствование
прибора Обри.
Для автоматического управления полетом самолетов
потребовался прибор, который мог 'бы регистрировать и
передавать в систему управления рулями величину угловой
скорости крена, а также тангажа и курса. Такой прибор —
гиротахометр, также основанный на использовании свойств
гироскопа, — нашел себе применение и в системе
стабилизации искусственных спутников Земли и Луны. Ракетная
техника и космические полеты привели к дальнейшему
развитию гироскопических «приборов и устройств,
совершенствованию их конструкций и значительному увеличению их
точности. Гироскопический прибор, регистрирующий интеграл
от переменной величины перегрузки 'внутри ракеты в
заданном направлении, — гироинтегратор — обеспечивает до-
м
стижение первой космической скорости (около 8000 ~)
с точностью до одного метра в секунду. Располагается этот
интегратор, как правило, на так называемом силовом
трехосном гироскопическом стабилизаторе, гироскопы которого
удерживают центральную часть стабилизатора от поворотов
по отношению к направлениям на неподвижные звезды.
Точность стабилизации такова, что это устройство, если 'бы оно
оказалось на Луне, немедленно обнаружило бы ее вращение,
происходящее в 28 раз медленнее вращения Земли.
(Точность гироскопа, который демонстрировал Фуко, была столь
невысокой, что с его помощью нельзя было обнаружить
вращения Земли.)
Гироскопы нашли себе применение при прокладке
штолен метро, при выяснении формы буровых скважин, а
также в качестве компасов сухопутной артиллерии. С
гироскопическими явлениями приходится считаться и при
конструировании машин, «в состав которых «входят быстро
вращающиеся шариковые подшипники.
Не все технические приложения гироскопов оказались
удачными. Нерациональными оказались гироскопические
успокоители качки кораблей из-за неблагоприятных силовых
воздействий, которые они оказывали на корпус, и
однорельсовые гироскопические железные дороги вследствие
сложности и дороговизны.
4

Классические исследования по динамике абсолютно
твердого тела Эйлера и Лагранжа были продолжены другими
учеными, в частности нашими замечательными
соотечественниками Ковалевской, Жуковским и Чаплыгиным.
Однако эти исследования «в основном относились к искусству
интегрирования дифференциальных уравнений движения
твердого тела в идеализированных условиях, очень далеких от
тех, которые имеют место ю реальных гироскопических
приборах с их трением я подшипниках подвесов и другими
неконсервативными силами, а также погрешностями
изготовления.
На смену динамическим уравнениям Эйлера для
объяснения особенностей движения быстро вращающихся твердых
тел пришли несравненно 'более простые уравнения так
называемой элементарной, или прецессионной, теории
гироскопов. Последние (вполне удовлетворительно описывали
поведение конкретных гироскопических приборов, несмотря на
то что в них игнорировались вторые производные
обобщенных координат механической системы рассматриваемого
гироскопического устройства. С точки зрения механики это
соответствует пренебрежению "влиянием на движение оси
ротора гироскопа инерционного воздействия масс колец его
карданова подвеса, а также пренебрежению 'величиной
экваториального момента инерции самого ротора, т. е.
величиной момента инерции относительно прямой,
перпендикулярной к оси собственного вращения ротора и проходящей
через центр его подвеса. Вопрос о допустимости такого
упрощения дифференциальных уравнений движения твердого
тела -послужил предметом специального математического
исследования и свелся к изучению уравнений с малым
параметром при старших производных. В большом числе
случаев учет упомянутых старших производных позволяет
описать быстро затухающие высокочастотные колебания,
возникающие в гироскопических системах в начале их
движения при произвольно выбранных начальных условиях. Так,
например, в случае волчка Лагранжа они описывают
псевдорегулярную прецессию, очень скоро вырождающуюся в
регулярную из-за трения в; опоре волчка, сопротивления
воздуха и упругого^ несовершенства материала, из которого
изготовлен волчок, "^к
Однако с появлением.сцловых гироскопических
стабилизаторов возникли проблемы обеспечения их устойчивости,
обусловленные наличием в.электромеханической системе
искусственных неконсервативных сил. Здесь уже, разумеется,
уравнения прецессионной теории гироскопов недостаточны
я необходимо привлечение полных уравнений динамики
твердых тел, составляющих» гироскопический стабилизатор, а
также уравнений переходных процессов в его электрических це-
5

пях. Решение проблем устойчивости требует, как правило,
исследования лишь малых движений гироскопического
стабилизатора, и, «следовательно, приводит к рассмотрению
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, что не представляет принципиальных
трудностей, хотя и может оказаться весьма громоздким.
Совершенствование гироскопических приборов привело
к столь значительному улучшению их параметров, что
применение классических уравнений движения твердого тела
для описания особенностей движения таких приборов стало
вполне уместным. На этом пути «было обнаружено
систематическое изменение направления оси собственного вращения
вибрирующего гироскопа в кардановом подвесе — эффект,
который не может быть получен из анализа
линеаризованных, .или прецессионных, уравнений. В дальнейшем точные
уравнения оказались полезными и для исследования других
задач теории гироскопов, например для решения вопроса об
устойчивости регулярной прецессии гироскопа в кардановом
подвесе и для изучения поведения гироскопа на подвижном
основании.
Немало способствовали развитию теории гироскопов
практические проблемы космической техники, а также
навигации кораблей и самолетов. Возникла важная задача
определения скорости подвижного объекта и его
местоположения без обращения к внешним ориентирам. Такая задача
в принципе может быть решена на основании показаний
приборов механической природы, расположенных на самом
объекте, а именно гироскопов и измерителей ускорений
(ньютонометров).
Совокупность приборов и интегрирующих устройств,
решающих описанную задачу, именуется системой инерциаль-
ной навигации. Впервые такая система была построена в
Советском Союзе для -нахождения траектории самолета при
выходе его из штопора.
В дальнейшем было обнаружено, что так называемый
вертикальный канал инерциальной системы неустойчив. Это
не имеет существенного значения для управления, например,
полетом ракеты на активном участке, когда работают
двигатели. На малом интервале времени неустойчивость не ус-
успевает развиться. Однако для самолетов уже необходима
повторяющаяся коррекция инерциальной системы от
сторонних измерителей высоты — альтиметров. Морские
системы инерциальной навигации, где определение высоты не
требуется, имеют (вековую устойчивость. Б. В. Булгаков
первым исследовал работу таких систем.
Настоящая книга написана на основе лекций по теории
гироскопов, которые читаются уже 'более четверти века на
механико-математическом факультете Московского универ-
6

ситета мною и моими учениками В. И. Борзовым и
Н. П. Степа'ненко. Содержание лекций естественно
видоизменялось по мере развития самой дисциплины и ее
приложений.
По курсу теории гироскопов ведутся также практические
занятия, на которых рассматриваются дополнительные
теоретические вопросы и решаются задачи, многие из которых
являются оригинальными. Материал этих занятий также
использован при написании книги.
А. Ю. Ишлинский

§ I. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Основным элементом большинства гироскопических
устройств, нашедших практическое применение, является
быстро вращающееся тело — волчок, ротор или собственно
гироскоп. Модель абсолютно твердого тела вполне приемлема
для описания движения таких тел. Поэтому уравнения
движения абсолютно твердого тела являются исходными для
построения теории гироскопических устройств. В простейшем
случае для исследования движения относительно некоторой
неподвижной системы координат ξηζ абсолютно твердого тела
(в краткой записи — твердого тела) с одной неподвижной
точкой Эйлер составил общеизвестные уравнения, носящие
теперь его имя. Первые три из них именуются
динамическими уравнениями Эйлера. Они имеют вид
A-^ + (C-B)qr=MXf
B-ljL + (A-C)pr=Myf
C-^- + (B-A)pq = M2t
где /?, q, r — проекции абсолютной (т. е. отсчитываемой
относительно неподвижной системы координат ξηζ) угловой
скорости тела на оси системы координат xyz9 неизменно
связанной с телом и, следовательно, полностью принимающей
участие в его движении (рис. 1). Начало этой системы находится
в неподвижной точке тела, а оси х, у и ζ являются
одновременно его главными осями инерции. Выбор Эйлером именно
такой системы координат в значительной мере определил
успех исследования ряда задач теории движения твердого
тела вокруг неподвижной точки. Напомним, что Л, В, С в
динамических уравнениях Эйлера суть главные моменты
инерции тела, т. е. моменты инерции относительно главных
осей инерции х, у, ζ. В свою очередь, МХу MVi Mz — проекции
вектора главного момента относительно неподвижной точки
системы сил, действующих на твердое тело. Величины Мх,
Му, Мг можно, разумеется, трактовать и как суммы моментов
8

сил, действующих на тело, соответственно относительно осей
X, У, Z.
В ряде случаев они будут для краткости именоваться
просто моментами Мх, Му, Mz.
ί
Рис. 1
Рис. 2
Приведем также кинематические уравнения
Эйлера
ρ == -^- Sill QSin φ + -^-cos φ,
dt dt
q = -£-!-- sin θ cos φ Sill φ,
4 at Ύ dt
r =
dt
cose + -^-,
dt
связывающие проекции угловой скорости твердого тела с так
называемыми углами Эйлера и их производными по времени.
Эти углы определяют в каждое мгновение времени положение
системы координат xyz, а значит, и самого тела, относительно
неподвижной системы координат ξηζ (рис. 2).
Решение шести дифференциальных уравнений Эйлера
относительно шести неизвестных функций времени р, q, г, θ, ψ, φ
при различных предположениях о начальных значениях этих
функций, о соотношениях главных моментов инерции Л, β и С
и о законах сил, действующих на твердое тело, привлекало
к себе внимание многих математиков. Результаты их
исследований изложены в специальных трактатах по динамике
твердого тела и, частично, в курсах теоретической механики.
К сожалению, ни динамические уравнения Эйлера, ни его
углы ψ, θ и φ не оказались удобными для исследования
гироскопических явлений. Причины этого заключаются в
следующем. Ротор гироскопа обычно представляет собой тело, одна
из главных осей инерции которого (т. е. одна из осей х, у, г)
9

является осью динамической симметрии. Ось динамической
симметрии чаще всего обозначается буквой ζ, вследствие чего
главные моменты инерции тела А и В надлежит считать
равными друг другу. Проекция угловой скорости на ось ζ, т. е.
величина г, как правило, значительно превышает две другие
ее проекции ρ и q соответственно на оси χ и у. Таким
образом, вращение тела происходит в основном вокруг оси ζ, и
как следствие оси χ и у быстро изменяют свою ориентацию.
В связи с этим проекции ρ и q не дают ясного представления
о фактическом изменении ориентации вектора угловой
скорости по отношению к неподвижной системе координат.
Ось ζ быстро вращающегося ротора гироскопа в
большинстве случаев мало отклоняется от некоторого среднего,
сравнительно медленно изменяющегося, направления.
Поэтому, если ось ζ направить в некоторое мгновение времени по
оси z, то в последующее (не слишком, разумеется,
длительное) время ось ζ будет отклонена от оси ζ на малый угол θ —
один из углов Эйлера. Для построения двух других углов
Эйлера следует определить так называемую линию узлов
(ось и на рис. 2) — перпендикуляр к плоскости, содержащей
оси ζ и z, или, что то же, пересечение координатных
плоскостей ξη и ху. Угол между осью ξ и линией узлов является
углом ψ, а между линией узлов и осью χ — углом φ. Нетрудно
видеть, что даже при малых движениях оси ζ вблизи оси ζ
плоскость ζζ, а следовательно, и линия узлов, может резко
изменять свое направление. Углы ψ и φ при этом будут
претерпевать большие изменения, по характеру которых не так
легко составить суждение о фактическом движении оси z,
связанной с телом, по отношению к неподвижной системе
координат.
Такое же заключение может быть получено и из
кинематических уравнений Эйлера, если считать в них угол θ малой
величиной.
Оба изложенных обстоятельства, мешающих прямому
использованию в теории гироскопов динамических и
кинематических уравнений Эйлера, приводят к необходимости
надлежащего изменения формы упомянутых уравнений. Возьмем
прежде всего вместо системы углов Эйлера ψ, θ и φ другую
систему, предложенную А. Н. Крыловым. Введем
вспомогательный трехгранник abc. Пусть в исходном положении трех-
граника его ребра а, Ь, с совпадают соответственно с осями
g, η, ζ неподвижной системы координат ξηζ. Повернем на
угол α трехгранник abc вокруг оси ξ, или, что то же, вокруг
ребра а, считая угол положительным, когда поворот
произошел против стрелки часов, если наблюдать за ним со стороны
положительного направления оси ξ. Трехгранник abc займет
при этом положение некоторой системы координат л^гда,
ось *2 которой совпадает с осью ξ системы ξηζ (рис. 3). Вновь
10

повернем трехгранник, однако ужена угол β вокруг оси #2,
совпадающей с ребром Ъ в новом его положении. Аналогично будем
считать угол β положительным, если поворот произошел
против стрелки часов. Наблюдение за поворотами здесь и
далее всегда производится со стороны положительного
направления соответствующей оси, и замечание об этом будет,
как правило, опускаться. В итоге второго поворота
трехгранник займет положение новой системы координат X\y\Zu ось у\
которой совпадает с осью уг системы Хгу&ъ (рис. 3). Наконец,
Рис. 3
третий поворот трехгранника совершим из положения *ι#ιΖι
в xyz поворотом на угол γ вокруг ребра с> совпавшего в
результате двух предшествующих поворотов с осью Ζι, или, что
то же, с осью ζ системы координат xyz. Последнюю будем
считать, как уже отмечалось, неизменно связанной с твердым
телом, совершающим движение вокруг начала неподвижной
системы координат. Схематично это можно записать так:
ξηζ —-—>· хгуггг —$■—> ххухг± —*—►· xyz.
Углы α, β, γ будем называть углами Эйлера — Крыло-
в а. Они, так же как и классические углы Эйлера, полностью
характеризуют расположение системы координат xyz, г
следовательно, и неизменно связанного с нею твердого тела
относительно системы координат ξηζ. В частности, направление
оси ζ в этой системе определяется углами α и β, которые
малы, если ось ζ совершает малые движения вокруг оси ζ.
Проекции угловой скорости твердого тела на связанные с
ним оси ху у и zf выраженные через углы Эйлера — Крылова
и их производные по времени, представляются формулами
ρ = -^- cos β cos γ Ч £- sin γ,
at di
Рис. 4
Π

<7 =
г =
da
dt
cos β sin γ Η — cos γ,
dy
da · a .
Приведенные формулы, которые нетрудно вывести, используя
рис. 3, находят в теории гироскопов несравненно большее
приложение, чем кинематические уравнения Эйлера. Углам
Эйлера — Крылова будет еще много уделено внимания в
последующих лекциях.
Вернемся к динамическим уравнениям Эйлера. Чтобы
преобразовать их к виду, удобному для теории гироскопов,
введем наряду с системой координат xyz, жестко связанной с
ротором гироскопа, вспомогательную систему x'y'z! % ось г'
которой неизменно совпадает с осью ζ (рис. 4). Система
координат x'y'z' лишь увлекается телом и имеет с ним разные
составляющие угловой скорости вдоль оси ζ (или, что то же,
оси ζ'). Будем называть эту систему увлекаемой, или
сопутствующей. Обозначим через у угол между осями х/
и ху считая его положительным при повороте системы
координат xyz против стрелки часов относительно увлекаемой
системы x'y'z'. Очевидно, что вектор ω угловой скорости
системы координат xyz, жестко связанной с ротором гироскопа,
отличается лишь на величину относительной скорости dy/dt
(направленной вдоль совпадающих осей ζ и ζ' (рис. 4)) от
угловой скорости системы координат x'y'z',
вектора ω
а именно:
и, следовательно,
dt
r = r' +
dy
dt
Рис. б
Здесь к — единичный вектор, направленный вдоль
совпадающих осей zji z'_jl г κ г' — соответственно проекции
угловых скоростей ω и ω7 на ось ζ (ζ').
12

Очевидно, что составляющая cos угловой скорости ω,
лежащая в плоскости ху (рис. 5), совпадает с аналогичной
составляющей cd's угловой скорости ω', откуда следует равенство
ip+ fa=i'P' + 1'Ч'>
в котором 7, /, i'y f — единичные векторы осей х, у и х\ у\
р9 q — по-прежнему проекции вектора ω угловой скорости
ротора гироскопа (или, что то же, угловой скорости системы
координат xyz) на оси χ и у, a p'q' — проекции на оси xfy у'
вектора ω' угловой скорости системы координат x'y'z!.
Из последнего векторного равенства следуют формулы
p^'cosY+^'sinY,
(7= —//sin v+<7'cos γ,
выражающие проекции р и q угловой скорости ω на оси χ и
у через проекции р/ и <f угловой скорости ω7 на оси х' и у'.
Умножая первое равенство на 1, второе — на / и складывая
(эту операцию иногда называют компрессией), получаем
выражение
P+iq=(p'+iq')eriy.
В свою очередь (рис. 6), формулы
Мх = Мх> cos γ + My sin γ,
My = My cos γ — Mx> sin γ,
или, что то же,
Мх + iMy = (Мх> + iMy>) ег%
выражают суммы моментов относительно осей χ и у сил,
действующих на ротор гироскопа, через аналогичные суммы
моментов тех же сил относительно осей х' и у'9 или, в краткой
формулировке, моменты Мх и Му через Мх> и Му>. Как уже
отмечалось выше, из-за симметрии ротора относительно оси ζ
в динамических уравнениях Эйлера следует положить А = В
после чего они примут вид
А-%. + (С-А)дг = Мх,
А-^- + (А-С)рг = Му,
C±- = Mt.
13

Совершая компрессию первых двух уравнений, получим
Λ-J- (р + iq) + i(A -С) (ρ + iq) r = Mx + iMy.
Заметим при этом, что p+iq не есть функция
комплексного переменного, это комплекснозначная функция
действительного переменного t.
Заменим комплекснозначные выражения p+iq и Mx + iMu
найденными выше их представлениями через p'+iq' и
Мх> + iMy>. После сокращения на экспоненциальный
множитель е-я получим уравнение
Α~Έ~{ρ'+ iq'] + i^-Q (ρ' + W ~
-1 (ρ' + iq')C-^- = Mx. + iMy,
at
эквивалентное двум равенствам, содержащим только
действительные величины. В итоге, отделяя действительные и мнимые
части, приходим к следующим трем модифицированным
уравнениям Эйлера, которые будем также называть
гироскопическими уравнениями:
А -ίτ + <с ~ л) ч'т' + ч'н' = м*'>
at
А-%-{ (А-С)р'г'-р'Н' = Му.,
at
г &' , W ал
at at
третье из которых образуется из соответствующего
динамического уравнения Эйлера после замены величины г суммой
г' н —. Следует заметить, что эти уравнения записаны в
dt
проекциях на подвижные оси, но описывают движение
относительно неподвижной системы ξηζ. В уравнениях введена
обозначение
H'=Cdy/dt
для произведения момента инерции С тела относительно оси
симметрии ζ (ζ') на угловую скорость dy/dt ротора гироскопа
по отношению к вспомогательной подвижной системе
координат x'y'z'. Величину Н' будем называть собственным
кинетическим моментом ротора в системе
координат x't/z'. В выборе последней имеется некоторый
произвол, обусловленный тем, что проекция угловой скорости
системы координат x'y'z' на ось ζ', τ. е. величина г\ может
быть, вообще говоря, задана произвольно. Поэтому в какой-
либо другой системе координат x*y*z*t у которой ось ζ*-
И

также совпадает с осью ζ, связанной с телом, значение
собственного кинетического момента Н* будет иным из-за другого
в общем случае значения проекции угловой скорости ω* этой
системы на ось ζ* (ζ), т. е. величины г*. Б. В. Булгаков ввел
так называемую астатическую систему координат x°y°zPf ось
2° которой также совпадает с осью динамической симметрии
тела ζ, а проекция г° угловой скорости ω° этой системы на
ось 2° (ζ) все время равна нулю. В этом случае
модифицированные уравнения Эйлера примут особенно простой вид
at
+ ф№ = М*9
at
где р°, q° — проекции угловой скорости астатической
системы координат на оси х°, у°у
H*=Cdyldt=Cr.
Назовем их уравнениями Булгакова. Посредством
этих уравнений очень просто исследуется движение твердого
тела в случае Лагранжа при условии равенства нулю главно-
го момента сил, действующих на
тело, например движение волчка
при отсутствии силы тяжести.
Можно в принципе
«материализовать» астатическую систему
координат Булгакова. Представим
себе однородный диск, 'насаженный
на ось так, чтобы она была для
него осью симметрии (рис.7).
Тогда при отсутствии трения в силу
третьего динамического уравнения
Эйлера проекция г угловой
скорости диска на ось ζ будет
постоянна. Пусть начальные условия дви- рИс. 7
жения диска таковы, что в
исходное мгновение времени эта проекция была равна нулю.
Тогда она будет равна нулю все время. Если теперь связать
с диском систему координат хРу°^у направив ось ζ° по оси ζ,
то эта система окажется астатической.
Задачи и упражнения
1. Построить таблицу косинусов углов между осями
системы координат xyzy жестко связанной с телом, и системы
координат ξηζ неизменно связанной с основанием. Взаимная
15

ориентация указанных систем координат определяется угла*
ми Эйлера (рис. 2), начала обеих систем находятся в
неподвижной точке О.
2. Построить таблицы косинусов углов между осями сие-
тем координат ξηζ и ХгЦгг^ Хгу&г и хщ&и x&tZt и xyz и далее
таблицу косинусов между осями систем ξηζ и xyz:
а) посредством произведения матриц;
б) пользуясь приемами аналитической геометрии.
3. Вывести формулы для проекций абсолютной угловой
скорости твердого тела на оси xyz, жестко связанные с телом
(кинематические уравнения Эйлера).
4. Составить кинематические уравнения Эйлера движения
твердого тела в проекциях на оси неподвижной системы
координат ξηζ.
5. Вывести кинематические уравнения движения твердого
тела в углах Крылова α, β, γ.
6. Найти аналитические соотношения, связывающие углы
Эйлера ψ, θ, φ и углы Крылова α, β, γ.
7. Как построить углы Эйлера, если заданы начальное
ξηζ и конечное xyz положения некоторой системы координат,
связанной с твердым телом?
Указание. Прямая пересечения координатных
плоскостей ξη и ху (рис. 2) является линией узлов w. Угол ψ между
осью | и линией узлов и отсчитывается против стрелки часов.
8. Показать, что малому повороту твердого тела всегда
соответствуют малые углы Крылова α, β, γ.
9. Пусть движение твердого тела таково, что вектор
абсолютной угловой скорости тела имеет постоянные проекции на
оси системы координат xyz, связанной с самим телом.
Показать, что в этом случае тело вращается вокруг неподвижной
оси с неизменной угловой скоростью, т. е. вектор угловой
скорости не изменяется по отношению к невращающейся
системе ξηζ.
10. Вывести динамические уравнения Эйлера с помощью
теоремы об изменении кинетического момента.
11. Вывести уравнения движения твердого тела с
неподвижной точкой в проекциях на оси жестко связанной с ним
системы координат в случае, когда центробежные моменты
инерции тела в этой системе не равны нулю.
12. Вывести динамические уравнения движения твердого
тела с неподвижной точкой в углах Крылова:
а) исходя из теоремы об изменении кинетического
момента;
б) вторым методом Лагранжа.
Показать эквивалентность полученных уравнений.
13. Для случая движения симметричного твердого тела
вокруг неподвижной точки дать векторный вывод
модифицированных уравнений Эйлера. Воспользоваться при этом тео-
16

ремой об изменении кинетического момента в проекциях на
оси сопутствующей системы координат tfy'z'.
14. Показать с помощью уравнений Булгакова, что
движение осесимметричного твердого тела вокруг неподвижной
точки по инерции (моменты внешних сил отсутствуют)
представляет собой регулярную прецессию.
15. Симметричное твердое тело, вращающееся вокруг оси
симметрии в поле силы тяжести, в случае, когда центр масс
и точка опоры лежат на оси его симметрии, будем называть
тяжелым волчком. Показать на основании анализа
точных уравнений, что возможна регулярная прецессия
тяжелого волчка. Определить угловую скорость этой прецессии.
Выяснить, при каких начальных условиях возможно такое
движение. В качестве независимых переменных выбрать углы
Крылова.
16. Доказать, что выражения
11%
A(u?cos*$ + и2) + 2mg/cosacosp = 2/t —,
С»
— Аи cos β sin β cos a + Αν sin a + Η cos a cos β = k>
где u = da/dt, v = dfi/dt; Hy h, k — постоянные, являются
первыми интегралами системы четырех дифференциальных
уравнений первого порядка:
А — cos β — 2 Auv sin β + vH—mgl sin a = 0,
A — + Au2 shi$cos$ — uHcos$— mglcosa 8ΐηβ =0,
dt
da Λ d& л
и = 0, —*- υ = 0.
at dt
Показать, что эти уравнения описывают движение
симметричного твердого тела с неподвижной точкой в поле силы
тяжести в случае, когда центр масс и точка опоры тела лежат на
оси симметрии (движение тяжелого волчка).
17. Найти первые интегралы задачи о движении тяжелого
волчка посредством общих теорем динамики.
18. Для управления угловым положением тела на орбите
используются реактивные двигатели, создающие моменты
силы тяги, неизменные относительно тела по величине и
направлению. Рассмотреть в пространстве переменных р, q, r
поведение симметричного твердого тела под действием
постоянных связанных с телом моментов Мх и Му. Исследовать
устойчивость движения тела по отношению к угловым
скоростям. (Ограничиться случаем, когда вектор момента
перпендикулярен оси симметрии г; считать, что в начальный
момент времени /?о, <7о, А) отличны от нуля).
1?

19. Движение Земли определяется силами
гравитационного притяжения со стороны Солнца и Луны. Вследствие
сжатия Земли и наклона ее оси симметрии к плоскости
эклиптики (плоскости земной орбиты) сила притяжения Земли к
Солнцу (а также к Луне) не проходит через центр масс
Земли. По этой причине действующие на Землю силы тяготения
эквивалентны некоторой силе, приложенной к центру масс
Земли, и некоторой паре, вызывающей прецессию и нутацию
земной оси. Считая орбиты Земли и Луны круговыми и
полагая, что наклоном плоскости лунной орбиты к плоскости
эклиптики можно пренебречь, составить дифференциальные
уравнения, описывающие прецессию и нутацию земной оси.
Определить средние значения скоростей изменения угла
прецессии и угла нутации ((dtyldt), (dQ/dt))y обусловленные
воздействием: а) Солнца, б) Луны. Массы Солнца, Земли и
Луны соответственно равны М, тА и тг\ расстояние от Земли
до Солнца равно R, собственная угловая скорость Земли
равна ί/, экваториальный и полярный моменты инерции Земли
равны А и С; гравитационная постоянная равна γ, расстояние
от Луны до Земли равно r2.
Указание. Ввести неподвижную систему координат ξηζ
с осями ξ и η, лежащими в плоскости эклиптики, и осью ζ,
перпендикулярной к этой плоскости; подвижную систему
x'y'z' с осью г', направленной вдоль оси вращения Земли, и
осью х'у идущей вдоль линии пересечения плоскости
эклиптики с плоскостью земного экватора (ось у' при этом будет
лежать в экваториальной плоскости Земли); систему xyz,
жестко связанную с Землей, ось ζ которой совпадает с осью
zf. Определить положение Земли относительно неподвижной
системы углами Эйлера (ψ — угол прецессии, θ — угол
нутации, φ — угол собственного вращения). В качестве
сопутствующей выбрать систему координат x'y'z'.
20. В условиях предыдущей задачи вычислить угловую
скорость прецессии земной оси под действием сух\шарного
притяжения Солнца и Луны. Положить (С—Л)/С= 1/305, θ
(угол наклона земной оси к плоскости эклиптики) =23°27'>
ί/=2π 365 рад/год. Показать, что период прецессии земной
оси равен 25 700 годам.
Указание. Вычислить массу Солнца, рассмотрев
движение центра масс Земли вокруг Солнца под действием силы
его притяжения. Для вычисления массы Луны составить
уравнение движения центра масс Луны, считая силу тяготения
равной Y(mi+m2)m2/r22.
§ 2. ПРЕЦЕССИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГИРОСКОПА
Вернемся к модифицированным уравнениям Эйлера и
расположим их члены следующим образом:
18

*1
dt
A^- + (C-A) q'r' '' + q'H' = Mr,
dt
•p'H'=Myf
dW
dt
Mz:
Члены, находящиеся слева от вертикальной пунктирной
черты, представляют собой левые части обычных уравнений
Эйлера для некоторого воображаемого осесимметрического
твердого тела, неизменно связанного с сопутствующей
системой координат x'y'zt\ Моменты инерции этого воображаемого
тела такие же, как и у действительного тела — ротора
гироскопа.
Очевидно, что величины
M:.=A-!%- + (C-A)q'r'y
at
Му. = аУ- + {А-С)Р'г',
Си
являются моментами, которые
следует приложить к воображаемому
телу для того, чтобы оно при
надлежащих начальных условиях
совершало движение сопутствующей
системы координат x'y'z'. В свою
очередь, члены модифицированных
уравнений Эйлера, стоящие справа
от вертикальной пунктирной черты,
представляют собой проекции на
оси х'у у' и г7 (г) производной по
времени от некоторого вектора //',
направленного по оси симметрии
ротора гироскопа ζ с модулем, равным величине
собственного кинетического момента гироскопа (рис. 8).
Таким образом, модифицированные уравнения Эйлера
можно представить в виде одного векторного уравнения
Рнс. 8
dW
dt
= М — М\
где Μ — главный момент сил, действующих на ротор
гироскопа, и М' — вектор, проекции которого на оси х\ у' и zr
суть введенные выше величины Мх>9 М'у, М2'.
1»

Сопоставим последнее векторное уравнение с общей
теоремой динамики об изменении главного момента количества
движения системы, согласно которой
dG/dt = Μ,
где G — в данном случае главный момент количества
движения ротора гироскопа, или его полный кинетический момент,
а Л? — по-прежнему главный момент сил, действующих на это
твердое тело. Оба момента берутся относительно одной и той
же неподвижной точки, здесь — относительно начала
неподвижной системы координат ξηξ. Разумеется, классические
уравнения Эйлера и последнее уравнение эквивалентны.
Векторное представление модифицированных уравнений
Эйлера содержит в своей левой части производную по
времени вектора собственного кинетического момента #' ротора
гироскопа. Векторное уравнение общей теоремы динамики
системы, напротив, содержит в своей левой части вектор
полного кинетического момента G того же ротора. Естественно,
что в правой части первого уравнения, в отличие от второго
уравнения, находится не полный момент Μ всех сил,
действующих на ротор, а разность Μ—Μ'. В соответствии с
вышеизложенным момент Мг можно трактовать в силу III закона
Ньютона как реакцию со стороны воображаемого тела,
идентичного ротору гироскопа и жестко связанного с
сопутствующей системой координат x'y'z'.
Уже указывалось, что в обычных условиях при быстром
вращении ротора гироскопа его ось симметрии может
совершать лишь малые движения вокруг некоторого своего
среднего положения. Поэтому вектор ω угловой скорости ротора
мало отклоняется от направления оси симметрии ротора
ζ (ζ!). Как следствие, проекции угловой скорости ротора на
оси х*и у' малы по сравнению с ее же проекцией на ось z(z/).
Однако эти проекции совпадают с проекциями на те же оси
вектора ω' угловой скорости сопутствующей системы
координат x'y'z'. Таким образом, величины рг и q\ как правило,
малы по сравнению с составляющей г угловой скорости ω
вдоль оси zr (z). Сопутствующую систему x,y,z/ всегда можно
выбрать так, чтобы проекция г' ее угловой скорости на ось
ζ? (ζ) также была мала по сравнению с г. Так, например, в
случае осей Булгакова x?y°2ft эта проекция вообще равна
нулю. Естественно предположить, что производные по времени
проекций р\ q' и г' также не велики. Учитывая изложенные
соображения, можно во многих практически важных случаях
члены модифицированных уравнений Эйлера, находящиеся
по левую сторону от вертикальной пунктирной черты, считать
малыми по сравнению с членами, расположенными справа от
20

той же черты и содержащими собственный кинетический
момент ротора гироскопа или его производную по времени.
Опуская упомянутые малые члены модифицированных
уравнений Эйлера, приходим к новым уравнениям:
д'Н' = Мх>у -Р'Н' = Мв; ££- = М*9
которые назовем прецессионными уравнениями
теории гироскопов. Их можно также представить в
виде одного векторного уравнения
dH'/dt=M,
где по-прежнему Я' — вектор, направленный по оси
симметрии ротора гироскопа и по модулю равный собственному
кинетическому моменту последнего, т. е. величине
H'=Cdy/dt.
В курсах теоретической механики при изучении
гироскопических явлений приводится следующее рассуждение для
обоснования так называемой элементарной теории гироскопов.
Угловая скорость ротора гироскопа ω мало отклоняется от
его оси симметрии. Вектор G полного кинетического момента,
как известно, направлен по перпендикуляру к касательной
плоскости эллипсоида_инерции (рис. 9), построенной в точке
пересечения вектора ω с поверхностью эллипсоида.
Следовательно, яри малом отклонении
угловой кжорости от оси симметрии
ротора ζ вектор О его полного
кинетического -момента тоже имеет малое
отклонение от оси ζ. Поэтому .в
теореме об изменении кинетического
момента (можно с некоторым
«приближением считать вектор G «а-
правленным по оси ζ и равным по
модулю его же проекции на эту
ось. В результате приходим к
приближенному уравнению
где k — единичный вектор, направленный по оси ζ и Сг —
проекция вектора кинетического момента G на ось г.
Произведение Сг£=#, в котором С — момент инерции ротора
относительно оси его симметрии и г — проекция угловой
скорости ω на эту ось, в элементарной теории гироскопов также на·
Рис. 9
21

зывается вектором собственного кинетического момента
ротора. Имеем, согласно приведенной ранее формуле
Cr = c(r' + :J*L\=Cr' + #'.
Отсюда следует, что модуль собственного кинетического
момента в элементарной теории гироскопов отличается на
малую величину О' от введенного выше собственного
кинетического момента ротора гироскопа Н* в сопутствующей системе
координат x'y'zf. В случае же астатической системы
координат это различие вообще отсутствует. В самом деле, по
аналогии с предыдущим равенством имеем
Н = Сг°+Но.
Однако г°=0 согласно основному свойству астатической
системы координат.
Таким образом, отличие уравнений элементарной теории
гироскопов от прецессионных уравнений имеет
несущественный характер. Тем не менее изложенный выше прием
получения прецессионных уравнений теории гироскопов из
модифицированных уравнений Эйлера представляется более
предпочтительным. После нахождения решения прецессионных
уравнений сравнительно просто оценить величины
М'х>9 М'уу М'2>,
которыми прецессионные уравнения отличаются от
модифицированных уравнений Эйлера, т. е. от строгих уравнений
движения твердого тела вокруг неподвижной точки.
Следует особо остановиться на следующем
принципиальном обстоятельстве. Совокупность динамических и
кинематических уравнений Эйлера представляет собой шесть
дифференциальных уравнений первого порядка относительно
переменных р, qt г, ψ, θ, φ, и, следовательно, необходимо шесть
начальных условий для полного описания движения твердого
тела. Ими могут быть требования равенства самих углов
Эйлера ψ, θ, φ и их производных по времени заранее
заданным величинам в начальное мгновение движения. То же
самое, разумеется, относится и к модифицированным
уравнениям Эйлера, где в качестве таких условий можно взять
начальные значения углов Крылова и их производных по
времени.
Однако порядок совокупности прецессионных уравнений
теории гироскопов и кинематических уравнений Эйлера —
Крылова меньше шести. Ниже будет показано, что этот
порядок равен четырем. Тем самым очевидное для твердого
тела задание шести начальных условий оказывается в случае
прецессионных уравнений избыточным. Выясним существо
22

получающегося противоречия. Выберем неподвижную систему
координат ξηζ и увлекаемую систему x'y'z' следующим
образом. Ось ζ направим так, как была направлена ось
симметрии ротора г (г7) в начальное мгновение времени (рис. 10),
Рис. 10
Рис. 11
а оси | и η — произвольным образом. Углы Крылова α и β,
которые определяют ориентацию оси z в неподвижной
системе координат ξηζ, будут в этом случае, как правило,
невелики. За угол α примем угол поворота некоторой системы
координат xf'y"z?' вокруг оси *", совпадающей с осью ξ,
относительно системы ξηζ. В свою очередь, пусть угол ιβ определяет
поворот системы x"y"z" вокруг оси у" в новое положение
x'y'z'\ при котором ось ζ' занимает положение оси симметрии
гироскопа ζ.
Так как ось ζ! всегда совпадает с осью г, то при движении
твердого тела система координат x'y'z' частично увлекается
телом. Поэтому ее можно выбрать в качестве одноименной
системы координат x'y'z', введенной ранее при выводе
модифицированных уравнений Эйлера. За угол γ, определяющий
положение твердого тела по отношению к этой системе
координат, возьмем аналогично предыдущему угол между осями
У и χ (рис. 10). Он растет при вращении твердого тела
против часовой стрелки по отношению к системе координат
x'y'z'y если смотреть со стороны положительного
направления совпадающих осей ζ' и г.
Теперь нетрудно определить составляющие угловой
скорости системы координат x'y'z' по отношению к неподвижной
системе ξηζ. Непосредственно из геометрического
рассмотрения (рис. 11) взаимного расположения этих систем получаем
Ρ =— cos β, q =
at
.>r'=J^Lsinp.
at v
К этим же формулам можно прийти, если в формулах для
проекций угловой скорости твердого тела, выраженных через
углы Крылова, положить третий из этих углов, а именно
23

угол γ, равным нулю. Подставляя 'величины р\ q'y г' в
прецессионные уравнения теории гироскопов, получим
совокупность уравнений
-ί- Я' — Μ . dH' — Μ .
dt H -Mx' dt -Mz*
-*-<**№'=My9 H' = C*L.
dt V У dt
По отношению к углам Крылова α, β, γ эта
система имеет четвертый порядок. Ее общее решение содержит
уже не шесть произвольных постоянных, как в случае
уравнений Эйлера, а лишь четыре. Следовательно, при
использовании прецессионной теории гироскопов могут быть заданы
лишь четыре начальных условия движения твердого тела.
Ими могут быть, в частности, начальные значения углов α, β,
γ и первой производной угла γ по времени. Последнее
начальное условие можно, разумеется, заменить заданием
составляющей г угловой скорости твердого тела ω в начальное
мгновение времени. В самом деле, согласно третьему
кинематическому соотношению Крылова — Эйлера
|Г [ dt ^ dt HJ*=o
а согласно второму уравнению последней системы уравнений
= — -: Μ у ·
dt |/=o [fl'cosp У Ji=o
Следовательно, зная начальные значения величин г и β (а
также, разумеется, и правые части уравнений движения) г
можно найти начальное значение производной угла γ.
Таким образом, в случае уравнений прецессионной теории
гироскопов нельзя задавать наряду с начальными
значениями углов α, β, γ и производной dy/dt также и начальные
значения производных da/dt и d$/dtt т. е. относительных угловых
скоростей системы координат x"y"z" по отношению к системе
ξηξ и системы tfy'z' по отношению к системе координат
x"y"z".
Строгая постановка задачи, напротив, требует задания
начальных значений упомянутых производных. Хотя это
требование и соответствует существу исследования движения
твердого тела вокруг неподвижной точки, тем не менее
возникшее здесь противоречие легко устраняется. Несомненно,
что конкретное движение ротора гироскопа определяется
заданием всех шести начальных условий, т. е. всех трех углов
α, β и γ и их производных по времени da/dt, dfi/dt и dy/dt.
Однако это касается в большинстве случаев лишь
небольшого интервала времени, непосредственно примыкающего к на-
24

чальному мгновению. В течение упомянутого времени
происходят быстрые колебания, или так называемые нутации, оси
ротора около некоторого среднего положения, ориентация
которого изменяется сравнительно медленно. Нутации быстро
затухают. Причиной этого является наличие демпфирующих
сил в составе моментов Мх>у Му>, Мг>, а также других
обстоятельств, в частности неучитывающейся при выводе
уравнений движения ротора знакопеременной упругой
деформации его оси, при которой происходит поглощение энергии
вибраций в самом материале оси. Дальнейшее движение оси
ротора, именуемое прецессионным движением, с большой
точностью подчиняется именно прецессионным уравнениям
теории гироскопов. Если же при этом вычислить так называемые
нутационные члены модифицированных уравнений Эйлера,
т. е. те, которые отличают модифицированные уравнения
Эйлера от прецессионных уравнений, или, что то же, величины
Мх>, Му>, Adz*, то они оказываются исчезающе малыми по
сравнению с моментами Мх>, My, Mz>.
Таким образом, движение оси ротора гироскопа, если
исключить небольшой интервал времени, примыкающий к
начальному мгновению, практически не зависит от задания
начальных значений производных искомых функций.
Аналогичные вопросы встречаются и в других
дисциплинах, например в теории электрических цепей. Так, при
исследовании процесса включения источника питания постоянного
напряжения на зарядку конденсатора (рис. 12) в строгой
постановке следует учитывать омическое сопротивление R
электрической цепи и ее самоиндукцию L, что приводит к
необходимости решать дифференциальное уравнение второго
порядка с двумя начальными условиями. Эти условия
касаются величины начального заряда конденсатора и
начального магнитного потока всей цепи. Часть переходного про-
Рис. 12 Рис. 13
цесса в цепи, обусловленная индуктивностью, в обычных
условиях быстро затухает и дальнейший зарядный ток г
протекает так, как если бы самоиндукция цепи равнялась нулю
(рис. 13). Однако в этом случае процесс описывается уже
дифференциальным уравнением первого порядка, и требуется
25

единственное начальное условие — начальное напряжение на
обкладках конденсатора (или его начальный заряд,
пропорциональный, как известно, упомянутому напряжению). Итак,
второе начальное условие в рассматриваемом процессе
оказывается в большинстве случаев несущественным. Однако
положение дел изменяется, если в электрическую цепь
включается значительное индуктивное сопротивление — катушка
самоиндукции. Переходный процесс здесь уже требует для
своего удовлетворительного описания решения
дифференциального уравнения второго порядка, разумеется, с двумя
начальными условиями.
В теории гироскопов учет нутационных членов
дифференциальных уравнений движения гироскопических систем
оказывается необходимым при исследовании вопросов
устойчивости гироскопических стабилизаторов. Стабилизируемые
массы обладают, как правило, значительными моментами
инерции. Последние входят в уравнения движения
механической системы гироскопа, и соображения о малости членов»
содержащих производные от углов, определяющих
положение оси ротора, теряют силу. Вместе с тем при исследовании
устойчивости можно ограничиться уравнениями малых
движений около среднего положения оси ротора и опустить в
уравнениях движения члены, содержащие произведения
проекций угловой скорости сопутствующей системы координат.
Во многих случаях можно также не учитывать при этом и
прецессионное движение оси гироскопа. В результате
задача нередко приводится к исследованию устойчивости
решения системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
Задачи и упражнения
1. Показать, что если отождествить кинетический момент (7
быстро вращающегося симметричного твердого тела с векто-
ромЯ = С——fe, то из теоремы об изменении кинетического
at
момента будут следовать прецессионные уравнения гироскопа.
2. Применяя теорему Резаля, дать геометрический вывод
прецессионных уравнений движения гироскопа.
Указание. Воспользоваться рис. 8.
3. Исследовать задачу о движении тяжелого волчка с
неподвижной точкой опоры (рис. 14) посредством уравнений
прецессионного движения. Показать, что угловая скорость
прецессии не зависит от угла θ отклонения оси волчка от
вертикали. Считать заданными вес волчка mg, расстояние
от центра тяжести до точки опоры / и собственный
кинетический момент волчка Я.
26

4. Найти угловую скорость прецессии волчка (рис. 14),
если известно, что вес волчка mg=0,5 кг, расстояние от
центра масс до точки опоры /=3 см, момент инерции
относительно оси симметрии С=2г-см-с2 и угловая скорость
собственного вращения dy/dt=l500 1/с.
5. Ограничиваясь рамками прецессионной теории
гироскопов, записать уравнения движения тяжелого волчка с
неподвижной точкой опоры (рис. 14) в переменных α, β, «у.
Найти замену переменных, при которой полученные нелинейные
дифференциальные уравнения сводятся к линейным
уравнениям с постоянными коэффициентами. Дать геометрическую
трактовку найденной замене переменных.
Рис. 14 Рис. 15
6. Рассмотреть движение волчка, опирающегося своей
осью на абсолютно гладкую горизонтальную плоскость
(рис. 15). Показать в рамках прецессионной теории, что при
определенных начальных условиях (каких?) центр масс
волчка остается на месте, а его ось описывает конус с
вершиной в центре масс. Найти угловую скорость прецессии, а
также центр и радиус окружности, описываемой точкой
касания оси волчка с плоскостью. Вес волчка равен rng,
расстояние от точки опоры до центра масс /, момент инерции
относительно оси симметрии С. В начальный момент угол
отклонения оси волчка от вертикали равен θο·
7. На конец оси волчка с неподвижной точкой опоры О
давит гладкая плоскость с постоянной силой Ρ (рис. 16).
Волчку предварительно сообщена большая угловая скорость
ω, направленная вдоль оси симметрии. Момент инерции
волчка относительно этой оси равен С. Пользуясь прецессионной
теорией гироскопов, найти траекторию конца оси волчка на
плоскости, направление движения и его период в зависимости
от угла Θ. Задачу решить в предположении, что сила тяжести
пренебрежимо мала по сравнению с силой Р.
8. Рассмотреть задачу 7 при условии, что в точке касания
27

оси волчка с плоскостью действуют силы сухого трения.
Определить движение волчка, в частности, траекторию конца
оси на плоскости и движение плоскости в случае малого
изменения начального значения угла θο (рис. 16). При каком
значении угла θο волчок не будет двигаться вовсе?
Рис. 16
чччччччччч(\ччччччччч
Рис 17
9. Найти движение волчка, траекторию конца оси на
плоскости и движение самой плоскости в случае, когда
выполняются условия предыдущей задачи, но вместо сил сухого
трения в точке касания оси и подвижной плоскости действуют
силы вязкого трения. Сравнить работу сил вязкого трения
и работу силы Р.
10. На конец оси волчка с неподвижной точкой опоры
давит с постоянной силой Ρ коническая поверхность (рис. 17).
Найти в рамках прецессионной теории гироскопов
траекторию конца оси волчка на конусе, направление движения и
период в зависимости от угла наклона оси волчка.
Поверхность конуса гладкая, сила тяжести отсутствует. При каком
соотношении углов φ и θ ось волчка будет неподвижна?
11. Найти траекторию проекции точки касания оси
волчка с конусом на плоскость основания в том случае, когда
выполняются условия предыдущей задачи, но в точке
касания оси с конусом действуют силы вязкого трения,
пропорциональные относительной скорости. Вычислить и сравнить
работы сил трения и силы Р. Движение рассматривать при
малом изменении начального значения угла Θ.
12. В условиях предыдущей задачи найти соотношение
между углами φ и Θ, при котором волчок будет находиться в
равновесии, если в точке касания оси волчка с конусом
действует сила сухого трения.
28

13. На конец оси волчка с неподвижной точкой опоры
давит с постоянной силой Ρ эллиптическая поверхность. Центр
эллипсоида, уравнение которого
JL+JiL + il^i,
& » *
в начальный момент лежит в точке опоры волчка (рис. 18).
Длина оси волчка /. Показать в рамках прецессионной
теории, что при а = Ь>с и /<а конец оси волчка будет
описывать окружность, плоскость которой
у перпендикулярна оси ζ. Задачу ре-
| I * шить в предположении, что поверх-
J Щ «ость эллипсоида гладкая и сила
Рис. 18 Рис. 19
§ 3. ПОДВЕС ГИРОСКОПА
В предыдущих параграфах были получены уравнения
движения гироскопа в виде уравнений быстровращающегося
осесимметричного твердого тела с неподвижной точкой
опоры. Наиболее часто в качестве устройства, обеспечивающего
указанный способ закрепления, используется карданов
подвес.
Обычно он состоит из внешнего кольца, связанного
плоским шарниром с основанием, и внутреннего кольца, которое,
в свою очередь, связано плоским шарниром с внешним
кольцом (рис. 19). Оси обоих шарниров перпендикулярны друг
другу. Обозначим через х2у2^2 систему координат, связанную
с внешним кольцом карданова подвеса, и направим ось х2
по оси первого шарнира, а ось у2 — по оси второго. С
основанием, которое, как правило, является подвижным, свяжем
систему координат ξηζ и ее ось ξ направим по оси х2
первого шарнира. Обозначим через α (рис. 20) угол поворота
системы координат x2y2Z2 по отношению к системе ξηζ или,
29

что то же, угол поворота внешнего кольца относительно
основания, т. е. относительно подвижного объекта, на
котором расположен гироскоп в кардановом подвесе. С
внутренним кольцом карданова подвеса
свяжем систему координат Х\У\2и
ось у\ которой совпадает с осью zz
Рис. 20 Рис. 21
Угол поворота внутреннего кольца относительно
внешнего (рис. 21) обозначим через β. При α=β = 0
соответствующие оси систем координат X\yiZu Х2У2%2, ξηζ совпадают друг
с другом. Положительные направления отсчета углов были
оговорены выше. Ось Ζ\ будет в этом случае осью
собственного вращения ротора гироскопа, т. е. осью его вращения
относительно внутреннего кольца. Угол поворота ротора по
отношению к внутреннему кольцу обозначим через γ. Он
называется углом собственного вращения ротора. Для отсчета
угла у следует ввести еще одну систему координат — систему
xyz, жестко связанную с ротором и такую, что ее ось ζ
совпадает с осью Ζ\ системы координат x\y\Z\ (рис. 22). Для
определенности положим, что при γ = 0 соответствующие оси
обеих систем координат X\y\Z\ и xyz совпадают.
Нетрудно проверить, что так введенные углы α, β и γ
являются углами Крылова (рис. 3), характеризующими
положение ротора гироскопа относительно основания, или, что
то же, положение системы координат xyz по отношению к
системе ξηζ. Напомним, что углы α и β определяют
ориентацию оси симметрии ротора ζ относительно той же системы ξηζ.
При неподвижном основании углы α и β после затухания
нутаций ротора изменяются в большинстве случаев
медленно, вследствие чего в прецессионной теории гироскопов
обычно пренебрегают динамическим влиянием колец на
движение ротора, обусловленным моментами инерции их масс.
30

Причина этого заключается в следующем. Обозначим через
Ль Ви С\ моменты инерции внутреннего кольца
соответственно относительно осей х\9 у\ и zx. Для определенности
будем считать эти оси главными осями инерции кольца.
Движение внутреннего кольца, как жестко связанного с
увлекаемой системой координат X\y\Zu совпадает с движением
воображаемого тела, рассмотренного выше, т. е. тела,
идентичного ротору гироскопа, но совершающего движение вместе
с увлекаемой системой. Моменты Λί^, Му>, МГу которые
могли бы воспроизвести движение воображаемого тела, как
указывалось выше, ιβ
прецессионной теории считаются
(пренебрежимо малыми. Если
моменты инерции. А и Ви Сх
.внутреннего 'кольца сравнимы с
моментами инерции А и С рото- ι
!иЛ
ра гироскопа, то естественно, что следует пренебречь и
моментами, которые заставляют внутреннее кольцо совершать
его истинное движение вместе с системой координат Х\У&\.
Примерно такие же рассуждения можно провести и для
обоснования возможности пренебрежения массой (точнее,
моментами инерции) внешнего кольца в прецессионной
теории гироскопов.
Заметим, что учет массы (моментов инерции) колец кар-
данова подвеса существен для гироскопов высокой точности,
особенно в случае подвижного основания гироскопа и в
случае динамической неуравновешенности ротора, т. е. при
несовпадении динамической оси симметрии с осью его
собственного вращения. Однако в этом случае прецессионная
теория гироскопов в ее обычном виде уже не пригодна для
соответствующих исследований и надлежит перейти к
нутационной теории.
Вернемся вновь к схеме карданова подвеса. В ряде
случаев ротор гироскопа изолируется от внешней среды. Для
этой цели можно закрыть ротор двумя крышками, жестко
31

связанными с внутренним кольцом, или заключить ротор
в так называемый кожух (рис. 23). Очевидно, что кожух
и внутреннее кольцо кинематически идентичны и в
динамическом отношении ведут себя одинаково, в соответствии с
их моментами инерции.
Существуют гироскопы, не имеющие карданова подвеса,
например, шар-гироскоп, вращающийся на воздушной
подушке, и гироскоп с магнитным или электростатическим
подвесом. Для таких гироскопов система координат Х2У2*2 и
увлекаемая система X\tj\Z\ не связаны с какими-либо другими
дополнительными телами и вводятся чисто геометрически.
§ 4. КИНЕМАТИКА КАРДАНОВА ПОДВЕСА
Ранее была введена система координат ξηζ, жестко
связанная с основанием, т. е. с тем объектом, на котором
установлен гироскоп в кардановом подвесе. Ось ξ ее совпадает
с осью вращения внешнего кольца подвеса (рис. 19), а оси η
и ζ выбираются произвольно. Абсолютную угловую скорость
основания, которое, как правило, является подвижным,
обозначим через й. Проекции щ, ί/η и uz этой угловой скорости
на оси системы координат ξηζ будем считать известными
функциями времени.
С внешним кольцом карданова подвеса связана система
координат Х2У2?2> оси Х2 и \}2 которой направлены
соответственно по осям вращения внешнего и внутреннего колец
(рис. 19). Обозначим, как и прежде, через α угол поворота
этой системы относительно системы координат ξηζ,
связанной с объектом (рис.20), и вычислим абсолютную угловую
скорость 02 внешнего кольца. На основании теоремы
сложения скоростей
- — , da τ
ω2 = и + — Ί,
где h — единичный вектор, направленный вдоль
совпадающих осей Х2 и ξ.
Прежде чем найти проекции р2, ?2, г2 угловой скорости шг
внешнего кольца на оси связанной с ним системы координат
Х2У2?2, найдем проекции uX2f иУл и uZi угловой скорости и
основания на эти же оси. Они, как известно, могут быть
вычислены по формулам
иХг = щ cos (ξ, χ J + иц cos (η, x2) + ί/ς cos (ζ, x2),
иУ2 = щ cos (O2) + ur\ cos (ηΓ//2) + Щ cos (ζ, y2)9
UZt = % C08 (ξ, Ζ2) + ί/η COS (η, Ζ2) + ί/ζ COS (ζ, Ζ2),
32

где множители cos (ξ, χ2), cos (η, x2),..., cos (ζ, ζ2) есть
направляющие косинусы углов между осями систем координат ξηζ
и Х2У2%2. Нетрудно убедиться, обращаясь к рис. 20, что
соответствующая таблица косинусов имеет вид
*2
Уг
z2
1
1
0
0
η ζ
0 0
cos α sin α
— sin α cos α
С помощью этой таблицы легко найти выражения для
указанных проекций:
иу2 — ur\ c°s α + ut sin α,
u2jt =—#η sin α + щ cos α.
Эти же формулы можно записать более компактно, если
ввести следующие матрицы-столбцы размерности (3X1):
II «ь 1
«η
1 "el
г
I "*
"й
1 "г, I
и квадратную матрицу размерности (3X3)
Л =
0 0
cos a sin α
— sin α cos α
С учетом введенных матриц проекции абсолютной угловой
скорости основания и на оси системы координат х2у2^2
запишутся в виде
IIUx' 1
%
II "ζ, I
= Л
I "61|
г"
Ι "ε II
Теперь нетрудно найти выражения для искомых проекций
Р2> 42 и Г2 абсолютной угловой скорости а)2 внешнего кольца
карданова подвеса на оси, жестко связанной с ним системы
координат X2IJ2Z2. Они имеют вид
Р* = Щ +
da
di
q2 = иц cos α + ί/ς sin α,
r2 = — ί/η sin α + ιΐζ cos α.
2 Зак. № 558
33

Если использовать введенные матрицы, то эти формулы
можно записать короче:
IIЛ i
ft
ν%\
I II "ε ι
= A\\un\
1 II «cl

μι I
1 da/dt
0
1 о
Как уже отмечалось, с внутренним кольцом карданова
подвеса связана система координат X\y\ZXy ось у\ которой
является осью вращения этого кольца, а ось Ζ\ направлена
по оси собственного вращения ротора гироскопа (рис. 19).
Систему координат X\t/\Z\ можно получить из системы Хчу&г
поворотом на угол β вокруг оси у2, совпадающей с осью у\
(рис. 21).
Найдем абсолютную угловую скорость ωι внутреннего*
кольца карданова подвеса. Она складывается из абсолютной
угловой скорости внешнего кольца и скорости внутреннего
кольца по отношению к внешнему
ωχ = ω2 + -^Wi
- , da -r . dp у
где /Ι — единичный вектор, направленный по оси у\.
Вычислим проекции абсолютной угловой скорости ω2 внешнего
кольца на оси системы координат X\y\Z\, связанной с
внутренним кольцом. Введем при этом следующую таблицу
косинусов углов между осями систем координат ХъУ&ъ и X\y\Zi
(рис. 21):
2 У 2 2
Х1 COS β 0 —Sltl β
ί/ι 0 1 О
z1 sin β 0 cos β
С помощью этой таблицы указанные проекции можно
представить в виде
К)*« = ^2cosp — Γ28ΐηβ,
(<°*)ffi = <72>
Kk = р2 sin β + r2 cos β.
Если ввести матрицу преобразования
В==
α>8β 0 —sinβ
О 1 О
sin β 0 cos β
34

τα проекции абсолютной угловой скорости внешнего кольца
<02 на оси системы координат X\y\Z\y связанной с внутренним
кольцом, можно записать в виде
||Ы*.|
Wl.
Ι (ω») *, I
= B
\рЛ
г2
кг II
Окончательные выражения для проекций ри Ци т\
абсолютной угловой скорости ωι внутреннего кольца на оси жестко
связанной с ним системы координат X\tj\Z\ принимают вид
pL = щ cos β + Щ sin α sin β — ί/ζ cos α sin β Η cos β,
dt
qx = щ cos α + ί/ζ sin α Η —,
dt
da
rx = щ sin β — ί/η sin α cos β + Ur cos α cos β Η sin β,
dt
или в матричной форме:
II ft I
<7ι
ll'il
\ = ва\
\ч\
«η
\ч\
\+в\
1 da/di
0
Ι о
+
1 ° 1
dfydt
1 о |i
Обратимся теперь к определению угловой скорости
ротора гироскопа. Как уже упоминалось, с ним связана система
координат xyzy ось ζ которой является осью симметрии
ротора и совпадает с осью ζ\ системы x\y\Z\. Положение
системы координат xyz по отношению к системе X\y\Z\ задается
углом поворота у этой системы вокруг оси ζ (ζ\) (рис. 22).
Абсолютная угловая скорость системы координат xyz,
а следовательно, и ротора гироскопа определяется равенством
где к — единичный вектор оси ζ. Ее проекции р, qy r на оси
jc, y> z выражаются формулами
р = (йх = рх COS (Xv X) + (7ι COS (yl9 Χ) + Гг COS (Zl9 X),
q = ω,. = рг cos (xv у) + qx cos (yv у) + гг cos (zv y)y
r ='cd2 = p±cos(x^z) + fcCOS(iiTz) + rxcos (z^z) + —.
at
ъ которых множители cos(x\, χ), cos(y\„x)>..., cos(z\t z) суть
направляющие косинусы углов между осями систем коорди-
2* . 35

нат X\ij\Z\ и xyz. С помощью рис. 22 найдем
соответствующую таблицу косинусов:
Ч Уг *г
χ cosy sin γ О
у — sin γ cos γ Ο
ζ 0 0 1
Если, как и ранее, ввести матрицу преобразования
Г =
cosy sin γ О
— sinγ cosy 0
О 0 1
то проекции р, q, r угловой скорости ω ротора гироскопа на
оси системы координат xyz, жестко с ним связанной,
запишутся в виде
= Г
Ρι\
+
I ° I
о
I dy/dt |
или, с учетом выражений для pl9 qu ru полученных ранее*
\\р\
<7
\\г \
= ГА4
|"i|
«η
Ι"εΙ
+ Γθ
\da/dt\
0
1 о |
+ Γ
1 ° 1
\d$ldt\
Ι ο 1
+
1 ° II
0
dy/dt |
Задачи и упражнения
1. Вывести формулы для проекций абсолютных угловых
скоростей внешнего кольца (рг, Ч2> г2), кожуха (pi, q\, r\) и
ротора гироскопа (р, qy r) на оси систем координат Хъу&ъ
X\y\Z\ и xyz, жестко связанные с соответствующими телами,
в случае неподвижного основания.
2. Найти проекции абсолютных угловых скоростей
внешнего кольца, кожуха и ротора на оси, жестко связанные
с соответствующими телами, в случае произвольного
движения основания.
3. Астатический гироскоп в кардановом подвесе
установлен на самолете так, что ось внешнего кольца Х2 совпадает
с осью ζ, а ось ротора ζ в начальный момент времени
направлена вдоль продольной оси самолета ξ (рис. 24).
Считая, что собственный кинетический момент гироскопа Η не
изменяет направления в пространстве, найти зависимость
между углом α поворота внешнего кольца гироскопа и
углами «ψ, Ο, γ.
Указание. При исследовании задач механики полета
с самолетом обычно связывают систему координат ξηζ,
ось ξ которой направлена вдоль продольной оси самолета
36

в сторону движения, ось η — в плоскости симметрии
самолета вверх, ось ζ —по правому крылу (рис. 25). Вводится
также система координат ξοηοζο, связанная с Землей. При
этом оси go и ζ0 лежат в плоскости горизонта, а ось η0
направлена вертикально вверх. Ориентация системы координат
Рис. 24 Рис. 25
ξηζ (τ. е. корпуса самолета) относительно системы ξοηοζο
задается тремя последовательными поворотами на углы ψ
(курса), О (тангажа) и у (крена), что кратко можно
записать в виде следующей схемы:
Ло> ηι ζι> ζ2 δ2> ς
В качестве измерителей указанных углов на самолете могут
использоваться астатические гироскопы.
4. Мерой угла курса ψ самолета может служить угол
поворота внешнего кольца а. Найти ошибку в измерении угла
курса ψ в зависимости от углов крена γ и тангажа О
самолета, если в начальный момент времени ось ротора
гироскопа Ζ\ направлена в сторону правого крыла (совпадает
с осью ζ), а ось внешнего кольца лежит в плоскости
симметрии самолета и совпадает с осью η. ^читать, что
собственный кинетический момент гироскопа Η неподвижен в
пространстве.
5. Для измерения углов крена γ и тангажа О самолета
может применяться астатический гироскоп в кардановом
подвесе, ось внешнего кольца которого направлена в сторону
правого крыла самолета (по оси ζ), а ось вращения ротора
в начальный момент времени лежит в плоскости симметрии
самолета и совпадает с осью η. Считая, что вектор Η не
изменяет ориентации в пространстве, найти зависимость
углов α и β от углов крена у и тангажа θ. Определить ошибку
в измерении углов крена и тангажа как функцию этих углов.
37

6. Самолет, на котором установлен гироскоп в кардано-
вом подвесе так, как указано в задаче 3, совершает
горизонтальный вираж (центр масс самолета движется по
горизонтальной окружности постоянного радиуса с постоянной
по величине скоростью). При горизонтальном вираже угол
тангажа Ф = 0, угол крена v=7o = const. Построить график
ошибки в измерении угла курса самолета при следующих
значениях углов крена: γ=15°, 30°, 45°.
7. Мерой углов крена у и тангажа Φ самолета могут
служить углы α и β поворота кардановых колец. При
условии неподвижности вектора Η в пространстве найти
зависимость углов ν и # от α и β при следующем расположении
гироскопа на самолете: ось внешнего кольца направлена
вдоль продольной оси самолета ξ, ось ротора гироскопа Ζ\
в начальный момент времени лежит V плоскости симметрии
самолета и совпадает сосью η. Сравнить полученный
результат с результатом задачи 5.
8. Найти зависимость между углами поворотов колец
карданова подвеса α и β гироскопа и углами курса ψ,
крена γ и тангажа θ в случае, когда ось внешнего кольца х2
расположена в плоскости симметрии самолета и совпадает
с осью η, а ось ротора ζ в начальный момент направлена
вдоль продольной оси самолета ξ. При решении задачи
считать, что собственный кинетический момент гироскопа Я
постоянен по величине и направлению.
9. Определить ошибку в измерении углов курса ψ и
крена у самолета в том случае, когда гироскоп в кардановом
подвесе установлен на самолете следующим образом: ось
внешнего кольца Хч направлена вполь продольной оси
самолета ξ, ось ротора гироскопа в начальный момент времени
направлена в сторону правого крыла и совпадает с осью ζ
самолета. Вектор Я неподвижен в пространстве.
• 10. Найти ошибки в измерении углов курса ψ и
тангажа Φ самолета посредством гироскопа в кардановом
подвесе, если в начальный момент времени ось вращения ротора
направлена вдоль продольной оси самолета ξ, а ось внеиь
него кольца совпадает с осью ζ (рис. 24).
§ 5. ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТОВ
Рассмотрим поворот абсолютно твердого тела на
произвольный угол φ вокруг некоторой также произвольной оси d.
Такой поворот называется конечным. Свяжем с телом какой-
либо трехгранник abc, вершина которого расположена на
оси d конечного поворота тела. Пусть ξηζ— исходное
положение этого трехгранника, a xyz — его положение после того,
как поворот тела завершен (рис. 26). Очевидно, что
конечный поворот тела полностью определяется упомянутым уг-
38

лом φ и ориентацией оси d относительно осей системы
координат ξηζ, для чего достаточно задать направляющие
косинусы:
/ = cos(i-,d), m = cos (r\fd)y η = cos (ζ, d).
Оси xt у и ζ образуют с осью конечного поворота d
соответственно те же самые углы α, β и γ, что и оси ξ, η и ζ.
Поэтому одновременно
^^ν «^% ^-^
l = cos(x, d), m = cos(#, d)t n = cos(z,d).
Кроме того, разумеется, всегда
/2+т2+л2=1.
В дальнейшем существенную роль будут играть так
называемые параметры Родрига — Гамильтона. Они выражаются
формулами
р0 = cos -|-, рг = / sin -|-, р2 = т sin -|-, рв
η sin -
и удовлетворяют очевидному соотношению
Ро2+Р12+/?22+Рз2-=1.
Задание этих параметров однозначно фиксирует положение
системы координат xyz по отношению к исходной системе ξηζ.
В самом деле, заданной величине параметра /?o=cos<p/2
соответствует некоторый угол φ* в интервале (0, 2π). Разумеет-
t f
Рис. 27
ся, фактический.угол, φ поворота твердого тела может
отличаться от вычисленного значения φ* на величину 2ηΝ, где
N — произвольное целое число (положительное,
отрицательное или^иуль). Считая.в простейшем случае φ —φ*, можно,
зная р\9 /?2 и °рзГ- немедленно подсчитать направляющие
косинусы 1,/пий оси d.
39

Положение системы координат xyz по отношению к
системе ξηζ можно также определить посредством таблицы
косинусов углов между осями этих систем:
Б η ' С
χ α' b' с'
у а" Ъ" с"
ζ о!" V" с"'
Далее, можно выразить элементы только что приведенной
таблицы косинусов через величины, характеризующие
конечный поворот тела, например через φ, /, m, n или через
параметры Родрига — Гамильтона /?о> Рь Ръ Рз· Для этой
цели обозначим через λ угол между проекцией g оси d на
плоскость ξη и осью £, а через Φ — угол между этой
проекцией и самой осью d. Углы λ и ϋ полностью определяют
направление оси d по отношению к системе координат ξηζ.
Направляющие косинусы оси d выражаются при этом
формулами
^cosftcosX, /п=со${ЫпЯ, n=sin*.
Введем далее вспомогательную систему координат def
(рис. 27). Ось е этой системы направим в плоскости ξη
перпендикулярно упомянутой выше проекции g на эту плоскость
оси d. В свою очередь, ось / направим в плоскости dg
(перпендикулярной координатной плоскости ξη) так, чтобы
система координат def оказалась бы правой, как и система ξηζ.
Для дальнейшего необходима таблица косинусов между
осями систем координат def и ξηζ. Она имеет вид
Ι η ζ
d создсозЯ οοβΟβΙπλ stad
e — sin λ cos λ Ο
/ — эШОсозЯ — βΙϋΟβΙηλ cosO
При повороте тела вокруг оси d трехгранник abcy как
уже указывалось выше, переходит из положения ξηζ в xyz.
Введем другой вспомогательный трехгранник, также жестко
связанный с телом, ребра которого до поворота тела
соответственно совпадали с осями системы def. Обозначим через
и, ν и w направления ребер этого трехгранника после
поворота тела. Так как тело абсолютно твердое, то взаимное
расположение обоих упомянутых трехгранников остается
неизменным. Следовательно, и расположение осей системы
координат и, с/, w по отношению к системе xyz должно быть
точно таким же, как расположение осей dy e и f относительно
осей ξ, η, ζ. Поэтому таблица косинусов углов между осями
систем координат rf, e, f и ξ, η, ζ не может отличаться от
40

таблицы косинусов углов между осями и, v, w и х> у, г
и должна быть следующей:
χ у ζ
и созФсозЯ cos О sin λ sin 0
υ —sin λ cos λ 0
w —sin О cos λ —sin О sin λ cos ft
Ось d системы координат def совпадает с осью и
системы uvw, причем последняя повернута по отношению к
первой на угол φ. Поэтому таблица косинусов углов между
осями этих систем такова:
d
и 1
ν 0
w 0
е
0
COS φ
— Sin φ
/
0
sin φ
COS φ
Пользуясь двумя последними таблицами, нетрудно
построить таблицу косинусов углов между осями систем
координат def и xyzy а именно:
х у ζ
d созОсозЯ cos ft sin λ sin ft
e — sfc^cos(p+ α>8λα)8φ+ — cosftsinq)
+ sinflcx^sincp + sin <)> sin λ sin φ
/ —sin λ sin φ— cos λ sin φ— cosftcoscp
— sin ft cos λ cos φ — sin ft sin λ cos φ
Теперь уже, используя только что полученную таблицу
вместе с таблицей косинусов углов между осями систем
координат def и ξηζ, приходим в результате несложных, хотя
и громоздких, выкладок к искомой таблице косинусов углов
между осями систем координат хуг и ξηζ, образующихся
одна из другой в результате поворота тела на угол φ вокруг
оси d:
Ι η ζ
χ μ cos Φcos*λ + coscp μα^Οχοβλ βΐηλ + μεΐηΦΰοβλ —
+ shift sincp —cos ft sin λ sin φ.
у μοοβΟοοβλβΙηλ— μοο8θ8ΐη2λ + οο8φ μ sin fl> sin λ^i-
— sin ft sin φ + cos ft cos λ j5in φ
ζ μ8ΐη0α>8λ+ μβΙηΟβΙηλ— (1—cos φ) Χ
+ cos ft sin λ sin φ — cos ftcos λ sin φ χ slxpft + cos φ
Здесь
μ=(1—cos φ) cos ft .
♦ 41

Если принять во внимание выражения для
направляющих косинусов оси d конечного поворота тела, то последнюю
таблицу можно представить в виде:
Ι η ζ
χ cos φ + η sin φ + — m sin φ +
+ /2(1— cos φ) +/m(l— cos φ) +ln(\— cos φ)
у — л sin φ + cos φ + / Sin φ +
+ m/(l— cos φ) +m2(l— cos φ) + mn(\ — cos φ)
г m sin φ + — / sin φ + cos φ +
+ tU(l— coscp) +/тш(1— coscp) +я2(1— coscp)
В самом деле,
μ cos Φ cos2 λ + cos φ = (1 — cos φ) COS2 ϋ cos2 λ + COS φ =
= (1 — cos φ) /2 + cos<p,
μ cosftcosX sin λ + sin Ό· sinq> = (1 — cos φ) cos2 Φ cos λ sin λ +
+ sin Φ sin φ = (1 — cos φ) Im + η sin φ
и т. д.
Выше косинусы углов между осями систем координат хуг
и ξηζ были обозначены через а\ Ь\ ..., Ъ"\ с"'. Сопоставляя
соответствующие таблицы направляющих косинусов и
учитывая соотношение /2+т2 + я2=1, нетрудно получить
следующие формулы:
cos φ = -— (а' + Ь" + с" — 1),
, —Ь'" + с" —с' + а"' —а" + Ь'
2sinq> ' 2sinq) ' " 2sinq> \
позволяющие по известным значениям косинусов упомянутых
углов определить угол конечного поворота φ и
направляющие косинусы его оси·/, т, п.
Учтем теперь выражения для #0, ри\р2 и р3- Они
позволяют элементы последней таблицы выразить через
параметры Родрига—Гамильтона. Имеем, в частности,
coscp + /2(l — cos<p)=2/?02 + 2/?i2 — 1,
—п sin φ + lm (1 — cos φ) = — 2р0Рз + 2ρφ2
и ряд других аналогичных равенств. В -результате приходим
к таблице:
Ι η Ι
χ 2pl + 2p2{ — l 2р0р3 + 2рхр2 — 2р0р2 + 2рхр3
у — 2/?0р3 + 2р2рх 2р1 + 2р\ — 1 2р0рх + 2р2рв
ζ 2р0р2 + 2p3pL — 2р0рх + 2р3р2 2pl + 2р\ — 1
42

Одним из сложных вопросов теории конечных поворотов
является так называемое сложение поворотов твердого тела.
Задача заключается в отыскании параметров конечного
поворота, эквивалентного двум заданным поворотам твердого
тела, следующим друг за другом. Пусть первый поворот
твердого тела характеризуется параметрами
Родрига—Гамильтона Ро,*Рь"Р2, Рг и переводит трехгранник abc из
исходного положения ξηζ в промежуточное xyz. Первому
повороту соответствует таблица косинусов углов между осями
систем координат xyz и ξηζ. Пусть, далее, следующий
поворот уже из промежуточного положения xyz в. окончательное
ρστ, характеризуется параметрами Родрига—Гамильтона <7о,
Чи Q2, <7з. Параметры <7о, qu q2, q$ выражаются через угол
второго поворота тела и направляющие косинусы оси этого
поворота по отношению к системе координат xyz. В свою
очередь, таблица косинусов углов между осями систем ρστ
и xyz совершенно аналогична таблице косинусов углов
между осями систем ξηζ и xyz. Однако из исходного положения
|ηζ в окончательное ρστ можно перейти в результате одного-
единственного поворота вокруг соответствующим образом
подобранной оси. Обозначим через г0, г и г2, г3 пока
неизвестные параметры Родрига—Гамильтона, характеризующие этот
результирующей, ^поворот.
х У г
ρ 2ήτ2 + 2qrf — 1 2q0qs + 2qiq2 -2q0q2 + 2qiqs
a -2q0qs + 2q2qt 2?*+2g|-l 2qoqi + 2q2q9
τ З^^ + г^^ -2qbqx + 2qzq2 Щ + Щ-1
Согласно изложенному выше, такому результирующему
повороту будет соответствовать следующая таблица косинусов
углов между осями систем координат ρστ и ξηζ:
Ι η ζ
ρ 2r\ + 2r\ — 1 2r0 r3 + 2rL r2 — 2r0 r2 + 2rx r3
<* -2r0r3 + 2r2rz 2r\ +2rl — l 2r0rx + 2r2rs
χ 2r0r2 + 2rzrx ~2r0rx + 2r3r2 2r\ + 2/f — 1
Она имеет точно такую же структуру, как и две последние
таблицы. Вместе с тем все элементы искомой таблицы легко
вычисляются по заданным элементам двух первых таблиц
при помощи известной формулы для определения косинуса
угла между двумя прямыми, направляющие косинусы
которых известны в одной и той же системе координат (в данном
случае в системе xyz). Поэтому справедливы равенства типа
2г,о2 + 2г,2- 1 = (2ро2+2р!2— 1) (2qo2 + 2q{*- 1) +
+ (2q0qz + 2q{q2) (— 2p0pz+2p2px) +
43

+ (2pop2 + 2pzpi) (—2q0q2 +2q{qz).
+ 2/wf2r1r2= ( + 2p0pz + 2pip2) (2q02+2qi2— 1) +
+ (2po2+2p22— 1) ( + 2q0qs + 2qiq2) +
+ {—2pQpx + 2pzp2) (—2q0q2+2q{qz).
Всего таких равенств девять, но в силу известных
соотношений между элементами таблиц независимых среди них
лишь три. Их можно рассматривать вместе с соотношением
Го2+г,2+г22+г32=1
как систему алгебраических уравнений относительно
неизвестных параметров Родрига—Гамильтона г0, г\, г2, г3.
Нетрудно убедиться после громоздких выкладок, что если
положить в левых частях этих уравнений
Го=poqo — P\q\— Ptfi — Рз?з,
Т\ =poq\ + qoP\ +Р2</з — Рз<72,
r2ssPo42+qoP2+Pzq\—P\qz,
rz=Poq3+qopz+P\q2 — p2q\,
то они удовлетворятся тождественно.
Найденные формулы представляют собой решение
поставленной задачи. Заметим, что если первый конечный
поворот отсутствует, т. е. если <р=0 и, следовательно,
Ро=1, Р1=р2=Рз = 0,
то согласно последним формулам получаем
>\>=<7о, П = <7ь r2 = q2, г3 = <7з,
т. е. суммарный поворот не отличается в этом частном случае
от второго конечного поворота. Аналогичную проверку
формул можно осуществить, полагая, что отсутствует второй
поворот, т. е.
<7о=1, ?1 = <72 = <7з = 0.
Пусть оба поворота происходят вокруг одной и той же оси,
например вокруг оси г. Тогда параметры
Родрига—Гамильтона, соответствующие этим поворотам, таковы:
р0 =* cos-|-, рх = р2 = 0, р3 = sta γ.
</0 = cos-|-, <7з = <72 = 0, <73 = sin-|-,
здесь ψ — угол второго конечного поворота. Полученные
формулы приводят к очевидному результату
44

указывающему на то, что результирующий поворот тела
должен происходить также вокруг оси ζ на угол, равный
сумме углов φ+ψ.
Нетрудно убедиться, что в общем случае (когда оси
обоих конечных поворотов не совпадают) перестановка
последовательности конечных поворотов приводит к разным
окончательным положениям твердого тела. В самом деле,
величины г0, г\9 г2, г3 параметров Родрига—Гамильтона
результирующего поворота принимают иные значения, если в
них вместо значений параметров р0, Рь Рг, Рз, <7о, Яи <72, Яъ
соответственно подставить значения q0, qu ?2, <7з, Ро, Рь Рг, Рз.
Полезно рассмотреть также сложение малых поворотов.
Предположим, что углы φ и ψ соответственно первого и
второго поворотов малы. Тогда с точностью до малых
второго порядка относительно этих углов следует считать
параметры ро и <7о равными едийице, а остальные параметры —
малыми того же порядка, что и упомянутые углы φ и ψ.
Полученные формулы в этом случае с точностью до членов
первого порядка малости принимают вид
r0=l, ri=pi + <7i, г2=р2+?2, г3=рз + <7з.
Отсюда следует, что малые повороты переставимы и
сложение их подчиняется правилам сложения векторов. В самом
деле, введем два вектора с проекциями на оси системы
координат ξηζ, соответственно равными величинам ри Рг, Рз
и <7ь <72, <7з, и назовем их векторами малых поворотов.
Проекции на те же оси геометрической суммы этих векторов
согласно правилам векторной алгебры равны суммам Ρι+<7ι,
Р2+Ч2, Рг+Яъу т. е. выражаются указанными формулами. Ось
первого поворота в этом случае (независимо от того, малый
это поворот или конечный) направлена по вектору с
проекциями pi, р2, Рз. Очевидно, что ось результирующего
поворота, в свою очередь, имеет направление упомянутой
геометрической суммы. Заметим, что, как нетрудно убедиться,
проекции вектора второго малого поворота на оси введенной
выше промежуточной системы координат xyz с точностью
до малых второго порядка относительно углов φ и ψ
остаются соответственно такими же, как и его проекции q\, (72, <7з
на оси исходной системы ξηζ (а также и на оси системы ρστ;
то же относится и к первому вектору с проекциями РьРг, Рз).
В теории конечных поворотов находит естественное
приложение алгебра кватернионов. Кватернион, или
гиперкомплексное число,
р = р0 + ф1 + /р2+&Рз
состоит из действительной части р0 и трех мнимых: ри р2, рз.
При перемножении кватернионов мнимые единицы ί, /, k
подчиняются следующим правилам- умножения:
45

ii = — 1, jj = — 1, kk = — 1, ijk = — I,
ij = —ji = ky jk = —kj = i, ki =—ik = j.
Сопоставим первому конечному повороту, рассмотренному
выше, кватернион р, а второму — кватернион
q = qo + iq\-\-jq2 + kqz.
Помножим кватернион ρ На кватернион q. Обозначая
произведение кватернионов через
r=r0 + iri + jr2 + krZy
получаем, что
Го + 1Г\ + jr2 + krz = p0qo — Р\Ц\— P2Q2 — Рз<7з +
+ i (В0Я1 + Wi + РъЯъ — РъЯт) +
+ /(Ро?2 + ?оР2+-Рз?1 — Р\Яг) +
. +k(Poqz + qoPz + Pi</2 — Ρ2<7ι)·
Два кватерниона равны, если порознь равны их
действительные и соответствующие мнимые части. Сравнивая
раздельно действительные части правой и левой части
последнего равенства и множители при мнимых единицах ί, / и k„
приходим к формулам для определения величин г<>, ги г2у г3.
Тем самым структура этих формул становится прозрачной;
Для перемножения кватернионов употребляется знак ©►
Таким образом,
Нетрудно видеть, что перестановка множителей в кватер-
нионном произведении в общем случае изменяет результат,
т. е.
ΡΘ ЯФЯ Θ р.
Вместе с тем произведение нескольких кватернионов облат
дает свойством дистрибутивности, в частности
(pQq)Qs = pQ(qQ)s).
Таким образом, безразлично: перемножить ли кватернионы
ρ и ?, затем умножить их произведение на кватернион s или
непосредственно умножить кватернион ρ на заранее
подсчитанное произведение кватернионов q и s. Порядок
сомножителей по-прежнему существен.
В случае кватернионов, описывающих конечные повороты*
их действительные и мнимые части удовлетворяют
соотношениям типа
Ро + pi + pi + pi = 1, го + r\ + r\ + r\ = 1.
46

Для таких кватернионов справедливы равенства вида
PQp =pQ p= 1,
где ρ — кватернион, определенный выше, а
Ρ=Ро — ίρ\ — jp2 — kpz.
Кватернионы рир называются сопряженными.
Введение сопряженных кватернионов позволяет решать кватер-
нионные уравнения вида
а© х = Ь,
где а и Ь — заданные, а х — искомый кватернион. Умножая
обе части последнего уравнения слева на сопряженный
кватернион а, получаем:
Иногда действительная часть кватерниона называется его
скалярной составляющей, а совокупность трех мнимых
частей — векторной составляющей. В этом случае, например,
кватернион ρ представляется в виде
р=Ро+р.
Для произведения двух кватернионов ρ и q оказывается при
таком их представлении справедливой следующая формула
р 0 я = РоЧо—р- я + Рой\+ <7оР + ρ χ я-
Здесь точкой, как общепринято, обозначено скалярное,
а крестом — векторное произведение двух векторов ρ и q.
Наличие в правой части равенства векторного произведения
лишний раз показывает, что результат произведения двух
кватернионов зависит от порядка расположения
сомножителей.
Приведем пример применения кватернионов к сложению
конечных вращений. Кватернион р, характеризующий
конечный поворот I на угол φ, равный π/2, вокруг оси ξ,
совпадающей с осью χ (рис. 28), из положения ξηζ в xyz в
соответствии с формулами для р0, Рь Р2 Рз, имеет следующий вид:
Р= COS^- + tSitl _ = -!_+ t-^—
Пусть вслед за поворотом I происходит конечный поворот II
. из положения xyz в ρστ на угол ψ, также равный π/2, но
уже вокруг оси уу совпадающей теперь с осью σ. Этому
повороту в силу тех же формул соответствует кватернион qf
лредставляемый выражением
q = COS^p + j Sin -j- = Jy- + У-^—
47

Непосредственно видно (рис. 29), что в результате
совершения обоих поворотов в указанной последовательности
ось ρ будет направлена по оси η, а «а оси <σ и τ —
соответственно вдоль осей ζ и ξ.
Таким образом, система
координат ρστ .повернута на
угол χ, равный 120°,
относительно исходной системы
|ηζ вокруг оси, имеющей
Рис. 28
Рис. 29
один ή тот же наклон к осям ξ, η, ξ (а также, 'конечно, и к
осям ρ, σ, τ). Обозначим через /0, т0, л0 направляющие
конуса результирующего поворота. Имеем
10 = т0 = п0 = -у=^.
Теперь согласно формулам, аналогичным выражениям для
Ро, Рь Р2, Рз, имеем следующие значения параметров Родри-
га — Гамильтона г0, ги г^ г3, характеризующие
результирующий поворот:
r2 = m0 sin-|- = -^-, г3 = η0 sin -£- = -J-.
2222
Таким образом, результирующему повороту
соответствует кватернион
г=г0 + rxi + r2j + rzk = γ+ γι + -Lj + -jk.
Однако то же самое можно получить и путем прямого
умножения кватерниона ρ на кватернион q. В самом деле,
учитывая лранила перемножения, имеем
VT
'Θ<7=(-
^ + ^1')(
/Г ,Л
V2 , /2 ,
О-
48

2 2 2 J 2
Переставим порядок поворотов (рис. 30). А именно,
пусть первый производится на угол ψ, равный π/2, вокруг
оси η, совпадающий теперь с осью у, а следующий — на
угол φ, также равный π/2, но .вокруг оси х, совпадающей
теперь уже с осью р. Система координат ξηζ так же, как и
ранее, характеризует исходное, система xyz —
промежуточное и, наконец, система координат ρστ — окончательное
положение тела при .совершении .'им конечных поворотов в
только что перечисленном порядке. Кватернионы этих поворотов
те же, что и выше, однако для получения кватерниона г'
результирующего поворота их «следует перемножить в ином
порядке. Имеем:
г' = q © ρ = (cos -J- + / sin -5Λ © (cos γ + i sin -J-\ =
= T + '
i +
1 2
Угол результирующего .поворота оказывается тем же, т. е.
равным 120°. Однако ось поворота расположена уже иначе.
А именно, она теперь наклонена под одним и тем же углом
V'**
Р>«)
Рис. 31
к осям ξ и η in отрицательному 'направлению оси ζ (а
также к осям ρ и σ и отрицательному направлению оси τ).
Соответственно положение системы координат ρστ после
изменения порядка конечных поворотов оказывается совершенно
другим (ам. рис. 31).
49

Параметры Родрига — Гамильтона и 'Соответственно
кватернионы нашли в настоящее время «широкое применение при
исследовании вопросов -стабилизации и навигации
подвижных объектов. Они значительно упрощают решение многих
встречающихся здесь геометрических и кинематических
задач на электронных вычислительных машинах из-за
сравнительной несложности получающихся в этом -случае
математических программ.
§ 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА
С ПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ОПОРЫ
При .построении теории гироскопов совершенно
-необходимо иметь ясное представление об исходных положениях
классической механики. Как известно, классическая
механика изучает движение тел на основании* законов Ньютона.
Эти законы -постулируются
для движения тел по
отношению к некоторой
«абсолютной» системе координат,
за которую может быть
принят TpexirpaiHHHiK,
образованный осями -какой-либо
прямоугольной декартовой
системы координат с (началом
в центре масс солнечной
системы и с осями, не
изменяющими своей
ориентации относительно
направлений «а удаленные звезды,
условно называемые
неподвижными (рис. 32). В такой
системе (координат
механика Галилея—Ньютона, как известно, с исключительной
точностью описывает движение реальных тел, встречающихся в
природе и технике. Ее законы позволяют выяснить причины и
следствия этих движений и, что особенно важно для
технических приложений, рассчитать заранее движение при
различных условиях. Достаточно указать на (предопределение
расположения планет относительно неподвижных звезд и
предсказание затмений, на расчет движения спутников и ракет.
В своем построении классическая механика исходит из
нескольких постулатов, касающихся некоторых
количественных характеристик движущихся тел и :их взаимодействий.
При изучении различных явлений в -классической
механике приходится прибегать к разнообразным моделям.
Материальная точка — простейшая "модель макроскопического
тела. Понятие материальной точки имеет важное значение
Рис. 32
50

ири изучении движения центра .инерции .произвольных тел и
механических систем. Абсолютно твердое тело — модель,
посредством которой наряду -с движением центра инерции
изучается вращение реальных тел, но вместе с тем совер-
щенно игнорируется изменение их форм и внутренние
движения. Исследование движения и равновесия тел с учетом
происходящих в них деформаций производится посредством
введения более сложных .моделей, таких, как идеальная
жидкость, упругое тело, идеальный газ, вязкая жидкость и др.
Каждая из таких /моделей отражает то или иное
механическое свойство тела, существенное при изучении данного
процесса или явления.
Пространство и время в классической механике относят·
ся к первичным понятиям. То же относится к понятию
массы и силы. Эти первичньне понятия не определяются, однако
предполагается, что расстояния, интервалы времени,
величины масс отдельных тел и векторы сил всегда могут 'быть
измерены со сколь угодно 'большой точностью теми или
иными физическими методами.
В классической механике пространство и время
„считаются независимыми .категориями. - Поэтому принимается, что
время течет одинаково во всех точжах пространства и «а
всех движущихся телах. Пространство в механике
Галилея — Ньютона принимается евклидовым; постулируется,
что в нем -справедливы все аксиомы и теоремы евклидовой
геометрии.
Указанные свойства пространства и времени
существенным образом отличают классическую механику Галилея —
Ньютона от механики специальной теории относительности
Эййштейна, в «которой эти категории взаимосвязаны и не
носят абсолютного характера. В механике общей теории
относительности, кроме того, пространство принимается
неевклидовым. Законы механики 'Специальной теории
относительности с большой точностью совпадают с законами
классической механики, если скорости тел невелики по сравнению со
скоростью света, например имеют порядок «космической
скорости. То же происходит и с законами механики общей
теории относительности, если -еще дополнительно рассматривать
движения лишь вдали от больших 'масс.
Основной закон динамики
постулируется в классической механике для движения
материальной точки массы т со скоростью ϋ относительно
введенной ранее «абсолютной» системы «координат, которую
будем обозначать далее через ξα ηαξ£.
51

Правая часть равенства представляет собой вектор силы
F, действующей на рассматриваемую материальную точку.
Таким образом, сила F является фактором, изменяющим
вектор mv количества движения материальной точки по
отношению К «абсОЛЮТНОЙ» СИСТеме КООрДИНаТ ΙαΤίαζα·
В дальнейшем силу F, (входящую в основное уравнение
динамики, будем именовать физической силой, или силой
естественной, в отличие от некоторых других «встречающихся в
механике величин той же размерности — так называемых
сил инерции. Естественные силы выражают меру
механического взаимодействия тел в природе и могут быть
различными ιπο своему физическому характеру. Число их ие
слишком велико; это силы тяготения, электрические и магнитные,
силы упругости и пластичности, силы сопротивления среды
и некоторые другие виды сил, например сила давления
света.
В классической механике принимается, что масса не
меняется с течением времени, ее величина не зависит ни от
скорости материальной точжи, ни от ее положения в
пространстве. Поэтому
(mv) = mwf
где w — ускорение материальной точки относительно
«абсолютной» системы координат. Таким образом, основной
закон динамики устанавливает математическую зависимость
mw=F
между величиной т массы материальной точии, вектором w
ее абсолютного ускорения и вектором физической силы F.
Зная, как движется материальная точка по отношению к
«абсолютной» системе координат^ ηαζα, т. -е. считая
известными функции
£-ЙЮ, т,;=тк(0, £«£(<),
мож«но в принципе согласно основному закону динамики
найти проекции действующей на точку физической силы по
формулам
F m *& F '« ** F т *£
*а dt* Па " dt* la dt*
Если же, напротив, проекции ^*> ^η* и ^ζ* заданы в виде
функций времени ί, .координат материальной точки ξα, ηα> ^,
а также проекций d&dt, dr\*a/dt и άζα/dt скорости этой
точки на оси «абсолютной» системы координат ξσ, ηα, ζα,
то последние соотношения становятся дифференциальны-
52

ми уравнениями. Решение этих уравнений в общем случае
позволяет определить закон движения материальной точки,
т. е. функции ta(i)9 4a(t) и ζα(0· При этом необходимо
задать начальные условия движения точки — значения
координат ξ*α, η*α, ζ*α и их производных по времени d\aldt,
dru/dt, άζα/dt — в начальное мгновение времени t=t0.
В случае одновременного действия на материальную
точку нескольких сил Fk постулируется справедливость
равенства
mw = V/v
k
В несколько иной формулировке это — закон независимости
действия -сил.
Заметим, «наконец, что в соответствии с третьим законом
Ньютона физические силы, будучи выражением
взаимодействия тел, всегда встречаются в природе попарно, «в виде
некоторого действия и равного, но противоположно
направленного противодействия. Действие .и противодействие суть
силы, (Приложенные «соответственно ικ двум разным, но
взаимодействующим телам.
Физическая сила в соответствии с основным законом
динамики может быть измерена «по результату ее действия на
материальную точку, т. е. по вызываемому ею ускорению w
этой точки в «абсолютной» системе координат. Одной из
задач «механики является синтез закона конкретной
физической силы, т. е. нахождение ♦выражения величины силы
через параметры физической природы взаимодействующих
тел, их взаимного расположения и движения относительно
друг друга. Примером такого синтеза является вывод
Ньютона о «наличии тяготения небесных тел друг ικ другу с
силой, пропорциональной произведению их масс и обратно
пропорциональной квадрату расстояния между ними, сделанный
им на 9снаве анализа кеплеровеких законов «фактического
движения планет «вокруг Солнца.
Знание закона изменения физической -силы позволяет на
основании того же исходного уравнения динамики
определить ускорение материальной точки при различных случаях
ее движения. В результате оказывается 'возможным
посредством математических методов предсказать, как будет
происходить это движение на самом деле, и вычислить все
необходимые его параметры, т. е. решить так называемую
основную задачу динамики.
Изучение механических явлений по отношению к
«абсолютной» системе координат во многих случаях
представляет значительные неудобства. Вряд ли, например, имеет смысл
развивать теорию маятника Фуко в «абсолютной» системе
53

координат (с началом «в центре 'инерции солнечной системы
и осями, направленными на неподвижные звезды). Система
координат с началом в точке подвеса маятника и с осями, 1не
меняющими своего расположения <по отношению к Земле,
представляется здесь несравненно более целесообразной и,
если угодно, естественной. Однако такая система координат
является не «абсолютной», а подвижной системой.
Для .изучения движения по отношению (к подвижной
системе координат основное уравнение динамики
т w = F
заменяется эквивалентным ему уравнением относительного
движения
mwr =,F + ~Р +Q,
где Ρ ή Q суть так называемые переносная и кориолисова
силы инерции, выражающиеся формулами
ρ = — т we, Q =
mw°.
м(ь)Мя,ь.с)
Здесь we и wc — соответственно переносное и кориолисово
ускорение материальной точки, обусловленные деижением
•выбранной системы координат то
отношению к системе «абсолютной».
Напомним, что представляет
собой каждое из .упомянутых
ускорений. Для этой дели обозначим
через ξηζ .шдвижиую систему
координат и через ξ, η и ζ — координаты
некоторой движущейся ιπο
отношению к ней точки М. Относительным
ускорением точки Μ называется
вектор, проекции которого на оси
шодвижной системы координат ξηζ
определяются формулами
Рис. 33
щ — ■
d4
dt*
&V
d*r\
dP
-, щ =
dt*
В каждое мгновение времени, 'например в мгновение /=
= /ι, точка Μ занимает .в .подвижной системе координат ξηζ
некоторое определенное место L (рис. 33). Обозначим через
a, b и с координаты этого места L. Таким образом,
6(*i)-e. η(Ί)=*. CCi)
непостоянные -величины α, b, с можно рассматривать как
координаты некоторой точки трехгранника ξηζ, совершающего
54

известное движение по отношению к «абсолютной» системе.
«Абсолютное» ускорение указанной точки L этого трехгран-
_ника in является переносным ускорением we точки Μ в
заданный * момент времени. Как известно, ιβ векторной форме
лереносное ускорение можно представить в виде
wp = ~йР + -^j~- Χ ρ + ω Χ [ω χ ρ],
где w° — вектор абсолютного ускорения "начала подвижной
системы координат ξηζ,_ω — вектор абсолютной угловой
скорости этой системы, ρ — радиус-.вектор в подвижной
системе ξηζ рассматриваемой точки Λί, т. е. ©ектор, проекции
которого на оси этой системы являются переменными
величинами ξ=ξ(0, Л = П(0» ζ=ζ(0·
Наконец, кориолисово ускорение представляется ιβ
векторной форме выражением
W° = 2ωΧ?,
где vr — вектор скорости точки Μ по отношению к
подвижной системе .кординат ξηζ, т. е. ©ектор, проекции ικοτοροτο на
оси этой системы суть величины
г dl· r dr\ r dt
Кориолисово ускорение можно трактовать как
-геометрическую сумму двух составляющих. Первая из 'них
образуется за счет вращения vr вместе с подвижной системой
координат. Вторая, в свою очередь, появляется вследствие
перемещения точки Μ из места .подвижной системы с одной
переносной скоростью в новое место уже с иной переносной
скоростью. Обе эти составляющие кориолиоова ускорения в
точности одинаковы.
Итак, основное уравнение динамики относительного
движения 'наряду с физической силой F содержит в своей
-правой части две силы инерции — переносную Ρ и деориолисову
Q. Будем называть эти силы эйлеровыми силами инерции.
Переносная и кориолисово силы инерции не являются
силами физическими, и в этом смысле они фиктивны. В самом
деле, обе силы инерции зависят исключительно от выбора
конкретной 'Подвижной системы (координат и не отражают
взаимодействия данной материальной точки с -какими-либо
другими телами. Им, в частности, нельзя поставить в
соответствие силы противодействия. Следовательно, закон
равенства и противоположной направленности действия и
противодействия (третий зажон Ньютона) «по отношению ικ ним
не имеет места. Поэтому эйлеровы силы инерции нередко
называют еще лсевдосилами.
55

P*-mw0
Рис. 34
При замене одной подвижной оистемы координат на
другую эйлеровы силы инерции могут измениться
кардинальным образом. Например, если подвижная (Система
координат перемещается
поступательно, т. е. ее угловая,
скорость по отношению к
«абсолютной» системе рав-
-на (нулю, то кориолисова
сила инерции вообще исчезает,
а -переносная сила инерции
произвольной материальной:
точки не зависит от
.положения 'последней ib подвижной
системе. В частности,
переносные силы инерции
элементарных частей сплошного
тела ib случае такой
подвижной системы
параллельны друг другу (рис. 34); их.
равнодействующая Р* равна -произведению массы всего
тела на абсолютное ускорение подвижной -системы координат,,
а именно __ _
ρ* = ΣΡ/= — mw0.
При любой ориентации тела эта равнодействующая сил
инерции проходит через его центр инерции. Такие
поступательно перемещающиеся системы координат удобно .вводить
|При рассмотрении ряда вопросов механики гироскопических,
систем.
Особо остановимся -на поступательно перемещающихся
системах координат, у которых начала, а следовательно, и:
любые точки, движутся прямолинейно и равномерно по
отношению к «абсолютной» системе координат. Это так
называемые галилеевы системы кординат. В таких подвижных
системах не только кориолисовы, но и переносные силы
инерции равны нулю, и, следовательно, уравнение движения
относительно галилеевых систем по форме совпадает с
основным уравнением динамики для движения по отношению к
«абсолютной» системе координат. Отсюда следует, что
«абсолютная» система не имеет каких-либо особых, только ей
присущих, преимуществ. Любая галилеева система ей
полностью эквивалентна. Все законы механики при изучении
движения по отношению к произвольно выбранной галилее-
вой системе имеют идентичный вид. Галилеевы системы
нередко называют также инерциальными.
Вернемся к общему случаю подвижных систем и
выясним, как записываются уравнения движения твердого тела
относительно произвольной подвижной системы. Как уже
56

упоминалось, механика относительного движения отличается
•от механики «абсолютного» движения необходимостью учета
наряду ic физическими силами также и сил инерции —
переносных и кориолисовых.
Следовательно, если мы хотим изучить движение
гироскопа вокруг точки его подвеса, -перемещающейся вместе с
подвижным объектом, на котором установлен гироскоп, то
в уравнения Эйлера в правые части следует добавить
момент переносных и кориолисовых сил инерции. В таком
случае они примут .вид
А -^ + (C — B)qr = Мх + Σΐϊΐοη\χ'Ρί + ЗтопгД-,
В-^- + (А — С)гр = Му +2тотД. + 2тотД·,
С — + (5 — A)pq = Mz + Σπ\οπ\2Ρ)+ Smom2Q;..
dt
Здесь, как и трежде, х, у, ζ — оси, жестко связанные с
твердым телом и направленные по его главным осям
инерции; р, q, г — проекции на эти оси угловой скорости тела
уже по отношению к подвижной системе ξηζ.
Если движение твердого тела изучается по отношению :к
ироизвольной подвижной системе координат, то суммы
моментов сил инерции подсчитывать довольно сложно, так как
все точки тела имеют различные переносные и кориолисовы
ускорения и, следовательно, на каждый элемент тела 'будут
действовать свои силы инерции. В таком 'случае
исследование движения по отношению ικ подвижной (Системе координат
по трудоемкости мало чем отличается от исследования
движения по отношению к «абсолютной» системе координат.
Однако если в качестве подвижной системы выбрать иевра-
щающуюся систему координат, оси которой направлены на
неподвижные звезды, а начало координат движется вместе
с точкой подвеса гироскопа, то исследование задачи может
существенно упроститься.
Как уже упоминалось, угловая скорость такой системы,
которую в дальнейшем будем обозначать ξ*η*ζ*, равна
нулю, т. е.
ω* = 0.
Следовательно, кориолиоово ускорение каждой точки тела
равно нулю, а потому
Smom0Qi=0.
Что касается переносных сил инерции, то поскольку
система ξ*η*ζ* движется поступательно, то
~w* = Щ,
57

где wo — ускорение начала подвижной системы координат;
равнодействующая переносных сил, как отметалось,
сводится в таком случае к 'вектору, приложенному ib .центре масс,
равному по величине произведению массы всего тела на
абсолютное ускорение начала подвижной системы и
направленному в сторону, противоположную вектору wo, т. е.
Ρ = —mw0.
Уравнения движения твердого тела по отношению ικ такой
системе «координат запишутся в виде
А-&- + (C — B)qr = МХ + mam, Р\
dt
Β^άΓ + (A-c)rp = My+momyP\
C— + (B — A)pq = M2 + momz P\
at
Эти уравнения, так же как и уравнения, составленные
относительно произвольной системы ξηζ, записаны в «проекциях
на оси, жестко связанные с телом.
Бели тело динамически симметричное, т. е. А = ВУ что
справедливо, например, для ротора гироскопа, то эти же
уравнения в ряде случаев удобно записать в .проекциях на
оси x'y'z' увлекаемой системы координат:
А ^— + (С — A) q'r' + q'H' = Мх. + monv jP\
at
A -29L + (А — С) г'р' —р'Н' = Μ у + momrP*,
dt
с ~f~ + ~ll· = Мг' + monvPf
н' =с^
dt
откуда нетрудно .получить уравнения прецессионной теории
гироскопов для симметричного твердого тела с подвижной
точкой опоры
q'H' = Μχ· + monv Р\
— р'Н' = Му + monyP·,
dW r= M2' + monv P\
dt
58

§ 7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МОМЕНТ
Вернемся к модифицированным уравнениям Эйлера и
рассмотрим ©опрос о гироскопическом моменте. Понятие
гироскопического момента оказывается полезным .при
определении силового воздействия, которое оказывают -быстро
вращающиеся тела на несущие их подвижные объекты,
например: ротор работающей турбины — <на качающийся корабль,
вращающийся винт — <на совер-
шающий вираж самолет,
колеса .поворачивающегося
автомобиля, мотоцикла или
.велосипеда — на подшипники оси колеса
и т. п.
Допустим, что подвижный
объект — абсолютно твердое тело,
угловая скорость которого и=
= u(t) задана и в общем случае
изменяется с течением времени
(рис. 35). Вращающееся тело
(или маховик), также абсолютно
твердое, считаем симметричным
относительно оси его собственного вращения, которая
•неизменно связана с объектом. Угловая скорость
относительного движения dy/dt задана. Спрашивается,
какое воздействие оказывает вращающееся тело на
подшипники несущего его объекта?
Запишем уравнения движения махов'ика в форме
модифицированных уравнений Эйлера:
aJp'
Рис. 35
dt
dq>
+ (C-A)q'r'+q'H' = Mx>9
Α -η- + (А-С)ρ'г' -р'Н' = Му>,
at
dt
dH'
dt
= MZ>.
Здесь «следует считать #' равным Cdy/dtt где С — момент
инерции вращающегося тела относительно оси его
динамической симметрии, а у -г- угол поворота тела вокруг этой
оси .по отношению к объекту. В овою очередь, величины Мх,,
Му, и Mz, представляют собой суммы моментов
относительно осей д^, у' и ζ' аил воздействия подвижного объекта на
вращающееся тело.
Напомним, что модифицированные уравнения
Эйлера,записаны в проекциях на оси сопутствующей системы
координат x'y'z\ ось ζ* которой совпадает с осью вращения тела,
но .которая не принимает участия в его быстром ©ращении.
59

Эту систему можно выбрать произвольно. Обьгаю ее
выбирают так, чтобы f <было много меньше dy/dt. В данном
случае за систему координат x'y'z' можно принять систему, оси
которой жестко связаны tc подвижмым объектом, поскольку
ось вращения маховика -неизменно связана с ним.
Очевидно, что угловая скорость ω' системы координат x'y'z' будет
•равна й, а ее .проекции р\ q\ rr на оси х\ у', ζ'
соответственно «примут вид
р' = их>, q'=Uy>, г'=иг>.
В таком случае для величин Мх„ Му„ Мг,,
характеризующих 'воздействие объекта на вращающееся тело, получаем
выражения
dur,
Мх> = А —£- + (С—А)иу>иг. + иу- #',
Мг = Α ί[- + (А- С) и*и* -их. #',
г, dUZ> , dH'
м2,=с-д^ + -дГ-.
В силу третьего закона Ньютона если вектор Μ
характеризует 'воздействие подвижного объекта на маховик, то
обратное 'воздействие маховика на подшипники подвижного
объекта
Ν = —Μ.
Разобьем этот момент N на две части N° и Г,
составляющие которых вдоль осей xf, yr и zr представляются
соответственно формулами:
Л# = -А -^- -(С-А)щ.uz>,
К = -А^ЗГ (А-С)их.и2>,
0 duz, dH'
Nz'==~c^di dt 9
IV = иг #',
rv = o.
Составляющие №Х',№У>У№2> не зависят от величины
собственного кинетического момента #', т. е. не зависят от того,
вращается в данное мгновение тело относительно объекта
или Бет. В то же время составляющие IV и IV полностью
определяются этим вращением (точнее, собственным
кинетическим моментом #' вращающегося тела в системе коорди-
60

нат, жестко связанной с (подвижным объектом) и угловой
скоростью й самого объекта; соста!вляющая Г2' по
определению тождественно равна нулю.
Вектор Г, составляющие 'которого выражаются
умазанными формулами, называется гироскопическим моментом. Он
представляет собой (Главный 'момент тех сил 'воздействия
вращающегося тела на "подвижный объект, которые
(возникают из^за наличия вращения тела «по отношению к
подвижному объекту. В соответствии с 'выражениями для IV, IV
и IV гироскопический момент может быть представлен в
виде
f = #'х и,
где R' —■ вектор собственного 'кинетического момента
вращающегося тела (в произвольной системе координат, жестко
связанной с объектом), направленный отри положительном
(отрицательном) значении угловой скорости dyjdt в сторону
положительной (отрицательной) части оси г'. Модуль этого
вектора 'равен модулю скаляра #'.
Представление гироскопического момента в векторной
форме удобно тем, что оно позволяет выразить
составляющие этого вектора в любой конкретной системе координат.
В частности, в случае системы координат ξηζ (рис. 35)
имеем
Γξ = #ηί/ζ — #ζί/η,
Γη = #ζί/ξ — #ξί/ζ,
где Γξ, Γη, Γς — составляющие, гироскопического момента
вдоль осей ξ, η и ζ.
В большинстве практических важных случаев угловая
скорость dyjdt собственного вращения тела 'на несколько
«порядков больше угловой скорости и подвижного объекта.
Кроме того, обе эти угловые скорости изменяются, как
правило, плавно и медленно. Поэтому модуль вектора №
намного меньше модуля вектора Г. Таким образом, в
отмеченных случаях основное воздействие вращающегося тела .на
подвижный объект сводится к гироскопическому (моменту Г,
перпендикулярному оси ζ' собственного вращения тела и
угловой скорости й самого «объекта.
Задачи и упражнения
1. Турбовинтовой самолет совершает плоский разворот.
Скорость самолета V=250 м/с. Радиус кривизны траектории
/? = 2000 м. Вектор угловой скорости турбины относительно
корпуса самолета (направлен к носу самолета. Угловая ско-
61

рость вращения турбины dy/dt = 600 с-1, ее момент инерции
относительно оси вращения С = 40 <кг-!М-с2. Найти (величину
•и 'направление момента, действующего со стороны турбины
на самолет в случае правого (левого) тиража (рис. 36).
2. Велосипед движется пря-
1 _ молинейно со скоростью К==
i ν =18 км/час. Радиус колес те-
/ л\ \ / лосипеда г = 0,5 м. Масса одно-
( I R \ jC го к°леса Р=3 кг. Предпола-
V ^^^^^ гая» что ,ма,°са к°леса равно-
^^_ ^^^ мео-но распределена вдоль его
обода, найти величину и
направление момента, приложен-
Рис 36 ного к велосипеду со стороны
осей колес в случае, когда
велосипедист начинает наклоняться влево (вправо) с угловой
скоростью о> = 0,3 с-1.
3. Велосипедист движется по окружности постоянного
радиуса /? = 20 м с линейной скоростью К=12 км/час.
Радиус колес велосипеда г=0,5 м, масса одного колеса Р = 3 кг.
Предполагая, что масса .колеса равномерно распределена
вдоль его обода, -найти величину и направление момента»
приложенного к велосипеду со стороны колес. Найти угол
наклона велосипедиста к горизонту с учетом
гироскопического момента и без него. Считать, что колеса велосипеда
катятся без проскальзывания.
4. Мотоцикл с .коляской движется но окружности
постоянного радиуса. Найти величину и направление
гироскопического момента, приложенного >к мотоциклу со стороны
колес коляски, если: скорость мотоцикла К=54 ,км/час, радиус
окружности /? = 20 м, радиус обода колеса г = 0,5 м, масса
колеса Ρ = 6 кг. Считать, что масса колеса равномерно
распределена вдоль обода и качение колес происходит -без
проскальзывания.
* 5. Для размельчения руды, зерна и других твердых
материалов применяются дробильные мельницы с бегунами'.
Принципиальное устройство такой мельницы показано на
рис. 37. Бегуны катятся без проскальзывания по
горизонтальной плоскости, а .горизонтальный вал (водило)
вращается с постоянной угловой «скоростью Ω во-круг вертикали.
Определить дополнительное давление бегуна на
горизонтальную плоскость, возникающее за счет вращения, если масса
бегуна Ρ = 1000 кг, радиус инерции относительно оси
симметрии ρ = 40 см, Ω = 60 об/мин, /? = 75 см, г = 50 см.
6. Тонкий диск радиуса R вращается с постоянной
угловой скоростью ω относительно платформы (рис. 38). В свою,
очередь, платформа вращается вокруг вертикали с
постоянной угловой скоростью Ω. Найти момент сил реакций, воз-
62

никающих в подшипниках оси вращения диска, и ^оми
реакции, если угол между осями (вращений .равен 90°, а
расстояние «между подшипниками равно а. Показать, что
гироскопический момент, действующий со стороны оси диска на
его подшипники, равен (моменту сил Кориол-иса .в
подвижной системе координат, «связанной с ■платформой.
Рис. 37
7. В условиях предыдущей задачи «найти момент сил
реакций, возникающих в подшипниках оси вращения диска,
если эта ось образует с плоскостью горизонта угол а.
8. Показать, что гироскопический момент как <бы
стремится совместить «кратчайшим путем «вектор собственного
кинетического момента с «направлением вектора угловой
скорости объекта (правило Η. Ε. Жуковского).
§ 8. ОБ ОДНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
ДВИЖЕНИЯ ВОЛЧКА
Уравнения движения твердого тела ©округ неподвижной
точки )В случае, .когда эллипсоид .инерции тела есть
эллипсоид вращения, допускают интересную геометрическую
интерпретацию. Оказывается, что в ряде 'Случаев движение оси
симметрии такого тела можно трактовать «а'К движение
точки по сфере единичного радиуса иод действием
определенных сил.
Будем считать, что А = ВУ т. е. ось ζ является осью
динамической симметрии тела, которое -в дальнейшем будем
называть ротором гироскопа или просто волчком. Как уже
отмечалось, уравнения Эйлера в этом случае имеют вид
А-^ + (С-A)qr = Мх, А-%. + (А-С)рг = Му, С-^-М,.
Напомним, «что в этих уравнениях р, q, r представляют
собой проекции абсолютной угловой скорости тела на оси х>
63;

yt ζ неизменно связанные с телом и направленные по его
главным осям инерции, А, В=А и С суть главные моменты
инерции тела для неподвижной точки. В свою очередь, Мх,
Му in Mz — моменты относительно осей х, у, ζ системы сил,
действующих на ротор гироскопа.
Ограничимся случаем М2 = 0. Тогда из третьего уравие-
ния движения волчка следует интеграл
Сг=const,
ή последнюю систему уравнений можно записать в виде
A^--Aqr = Mx-Crqt
А^ + Арг = Му+ Стр.
На оси ротора гироскопа на единичном расстоянии от
неподвижной точки возьмем точку G(0, 0, 1). Эта точка
называется полюсом гироскопа. Приложим в ней силу
Ρ(Ρχ, Ру, Ρ ζ), такую, что момент этой юилы^относительно
неподвижной точки равен главному моменту Μ
относительно той же точки системы сил, действующих на ротор
гироскопа, т. е. _
mom0P=Ai.
В .проекциях на оси х, у, ζ имеем
momxP=Mx, тошу Ρ=Му, mom2P=Ai2.
Указанные условия приводят ικ системе уравнений для
определения Рх, Ру, Рг\
УоРг — *оРу = Μχ9 ZqPx — XqP2 = My> XG Ру ~ УоРх = Μ2,
которые с учетом координат точки
ха = Уо = 0, zG = 1
сводятся к соотношениям
^РУ=МХ, РХ=МУ.
Заметим, что третье уравнение последней системы
удовлетворяется тождественно и никаких ограничений >на
составляющую Рг отсюда получить нельзя.
Уравнения Эйлера с учетом введенной силы Ρ можно
переписать 'в 'виде
-A-^ + Aqr^Py+Crq,
A*L + Apr = Px + Crp.
64

При движении ротора гироскопа точка G .перемещается
по сфере единичного радиуса. Вычислим скорость и
ускорение точки в этом движении. Скорость точки G можно
найти по формуле Эйлера
vG = ω Χ го.
В нашем случае ω(ρ, qf r) —- абсолютная угловая
скорость ротора гироскопа, a rG(0, 0, 1) — радиус-вектор
точки G. Отсюда для проекций скорости точки G получим
формулы
vx=q, vy=—p, vz=0f
которые позволяют представить исходные уравнения в виде
A^--Avyr = Px-Crvy,
A^j-+Aos = P, + Crox. .
Перейдем теперь к аире делению ускорения точки G. По
известной формуле кинематики
dvG dvG
+ ωΧ og
dt dt
проекции абсолютного ускорения точки G на оси χ, у, ζ
системы координат, жестко связанной с телом, запишутся в
виде
dvx
dt
+ Ψ ζ — Щ
У9
dvu , -
dvg
Wt = —*- + puy~qv>
dt
x·
Однако (В случае движения точки G по сфере vz=0t в силу
чего последние выражения ιπ-римут вид
dvx
wx=—-rvy,
wy = —j£- + ™х>
u>z = PVy— qvx =« — (Фх + xfy.
Принимая во внимание полученные выражения,
запишем уравнения движения .ротора гироскопа в виде
Awx=*Px—Crvy, Awy=Py+Crvx.
3 Зак. № 558 65

Эти уравнения -по форме очень похожи на уравнения
движения материальной точки
только вместо^массы т следует взять момент инерции Л, а
вместо силы F — найденную выше силу Ρ и
дополнительную силу Г, проекции «которой «а оси системы координат
адмеют вид
Тх=—Сп>У9 Ty = Crvx, Г*=0.
\у Если (ввести /вектор v±,
получающийся из вектора ν .поворотом на угол π/2
против часовой стрелки (рис. 39) и„
следовательно, имеющий 'проекции на
оси хну
Рис.39 (v±)x=—vy, (ν±)ν = υχ,
то силу Г можно записать в виде
f=Crv±.
После этого уравнение движения ротора гироскопа в
векторной форме
можно трактовать как уравнение движения точки массы Л„
движущейся по сфере единичного радиуса под действием сил
Ρ и Г. Если -спроектировать последнее уравнение на
направление оси г, то с учетом 'выражения для составляющей
ускорения до, .получим выражение для Рг:
Pz=-A(p*+q*) =-Л (vx*+Oy*).
Это соотношение можно рассматривать как условие на
составляющую Рг, при выполнении которого точка G будет
двигаться по сфере единичного радиуса.
§ 9. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ «СПЯЩЕГО» ВОЛЧКА.
УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МАЕВСКОГО
Если ротор гироскопа быстро закрутить 'вокруг его оси
симметрии, расположенной достаточно близко от вертикали,
то .при выполнении определенных условий его ось симметрии
и в дальнейшем движении остается почти вертикальной.
Ротор, совершающий такое движение, называется «спящим»
волчком. Рассмотрим это явление.
Допустим, что центр масс волчка (рис. 14) находится на
расстоянии / от точки опоры О. Введем сферу единичного
радиуса с центром в этой точке, а также систему коорди-
66

нат ξηζ, у которой ось ζ вертикальна, а оси ξ, η лежат β
плоскости, касающейся сферы в точке ее 'пересечения с осью
ζ (рис. 40).
В точке G (полюсе гироскопа) приложим силу Р,
такую, что mom0P = mora0mf. С помощью рис. 40 нетрудно
найти, что величина силы определяется равенством
Ρ=mgl sin θ,
где θ — угол между осью волчка и вертикалью.
Поскольку исследуется вопрос об устойчивости движения
оси волчка и, следовательно, допускаются лишь малые
отклонения оси ζ от вертикали, то в первом приближении
вместо движения точки G ,по
ζ сфере .можно рассматривать
движение точки А в
.касательной плоскости (рис. 40).
Рис. 40
Рис. 41
Положение точки А в касательной плоскости ξη зададим
радиусом sin θ и полярным углом φ (рис. 41). Скорость
точки А в плоскости ξη будет иметь составляющие V\=d\\dty
Vr^dx^dt.
Напомним, что вектор v± есть вектор, перпендикулярный
вектору ν и .получающийся из последнего 'поворотом на угол
л/2 против часовой стрелки. Тогда имеем
δι=»±(-4η/Λ*έί!/Λ).
Проектируя векторное уравнение
Aw = P+Crv±
на оси I и η, получим два дифференциальных уравнения,
определяющих движение точки А в плоскости ξη:
А -££- = Я cosθ cos φ — Сг-^-,
di2 Ύ di
di2
: Ρ cos θ sin
Ύ di
Если учесть, что
ξ = sin θ cos φ, η = sin θ sin φ,
3*
67

а также, что угол θ мал и, следовательно, приближенно
можно считать cos θ равным единице, то выписанная выше
система .примет ©ид
A JL· β mgH-Cr -4L, A ^L = mg/η + Cr^.
dt2 * dt dt2 s ' dt
Последняя система допускает частное решение ξ=η = 0. Это
решение соответствует вертикальному положению оси
волчка. Исследуем движение ©олчка «в окрестности этого
положения. Введем комплекснозначную функцию ζ=ξ+,/η.
Умножая первое уравнение на 1, второе — на / и складывая их„
получим
dt2 δ ъ dt
Решение этого уравнения ищем в «виде £=MetW. Для
определения «величины ν лолучим уравнение
v2 A—Crv+mgl=Of
откуда
Cr±Yr&r* — 4Amgl
2А
Vl,2 =
Далее рассмотрим два случая.
а) Параметры системы таковы, что C2r2>4Amgl. Тогда
Vi, V2 — действительные количества
Vt =
Cr+V&rb — bAmgl
2А
Рис. 42
Сг — Vc*r2 — 4Amgl
2 2Л
и искомое решение записывается в
виде
Каждое из -слагаемых описывает
движение -по окружности радиуса |Λί{|
с периодом Ti = 2n/vi (ί=1, 2). При
\М2\ > |Λίι | картина движения
изображена на рис. 42. В рассматриваемом
случае (пои C2r2^>4Amgl)
.приближенные значэния корней будут следую·
щими:
^ιΗ&+&('-^)]-τ
mgl ^ Сг
Сг "~ А
68

2 2Л L \ C*r* /J Cr
Первая из этих величин vx =ss —— соответствует угловой
скорости нутации, а вторая величина v2 =s ЛИ- соответ-
ствует угловой скорости прецессии.
б) Пусть теперь соотношение между параметрами волчка
таково, что
C2r2<4Amgl.
В этом случае корни vi, V2 — комплексно сопряженные
величины. В самом деле,
vu = й β- = у* ν ±,ν,
где
Cr
Cr ^ л « V4Amgt — C*r* . Л
ν = — > 0, ν = - - > 0.
2Л ' 2Л
Решение уравнения записывается в виде
Как видно из этого решения, сомножитель e*nt с течением
времени неограниченно возрастает. Следовательно, в
случае C2r2<4Amgl движение неустойчиво.
Строго говоря, на основании проведенного исследования
нельзя утверждать, что при выполнении условия С2г2>
>4mglA движение волчка в окрестности вертикали будет
устойчивым, так как теорема Ляпунова об устойчивости по
первому приближению не позволяет сделать однозначный
вывод об устойчивости или неустойчивости движения
волчка, поскольку имеет место критический случай. Однако
строгое исследование этого вопроса в нутационной постановке
(например, с помощью построения функции Ляпунова)
показывает, что при выполнении условия C2r2>4mglA движение
волчка в окрестности вертикали устойчиво. Это условие
впервые было получено Маевским при исследовании
устойчивости движения относительно центра масс вращающегося
артиллерийского снаряда.
69

Задачи и упражнения
1. Исследовать устойчивость «спящего волчка» в точной
постановке. Построить функцию Ляпунова с помощью
связки интегралов по методу Четаева.
2. Исследовать в рамках прецессионной теории
устойчивость вертикально стоящего волчка при наличии
сопротивления его собственному вращению, пропорционального
скорости dy/dl, т. е. считая, что dH'/dt = —ndy/dt.
§ 10. УРАВНЕНИЯ ПРЕЦЕССИОННОЙ ТЕОРИИ
ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
Как уже указывалось (см. § 3), гироскоп в кардановом
подвесе представляет собой систему трех твердых тел:
ротора, внутреннего кольца подвеса и его внешнего кольца
(рис. 43). Подшипники оси внешнего кольца расположены
в теле некоторого подвиж«ого
основания. Внутреннее кольцо
конструктивно может быть выполнено в
-виде кожуха, -в .подшипниках которого
.вращается ротор «гироскопа.
Свяжем, <как и ранее, ю
подвижным основанием, внешним кольцом
и кожухом соответственно три
системы координат ξηζ, ХъУ&ь ХхУ&г
с общим началом в центре карданю-
ва подвеса. Оси ξ и х2 .направим по
оси «внешнего кольца, оси у2 « У\ —
по оси внутреннего кольца
(кожуха), а ось ζχ — .по оси ротора
гироскопа ζ. Кроме того, введем .невра-
щающуюся систему координат
ξ*η*ζ* с началом также в центре
карданова стодвеса.
Угловая скорость любого тела по отношению к невра-
щающейся системе координат ξ*η*ζ* равна, разумеется,
угловой скорости того же тела по отношению к
«абсолютной» системе и является, таким образом, его абсолютной
угловой скоростью.
Введем, как и прежде, угол α поворота внешнего кольца
относительно основания и угол β поворота внутреннего
кольца относительно внешнего. Относительные угловые скорости
вращения колец dajdt и dfi/dt направлены соответственно
по осям х2 (I) и у2 (у\). ' - - л
Обозначим через ω ι угловую скорость внутреннего
кольца относительно невращающейся системы коордоддат £*η*ζ*.
Проекции pi, Ци т\ этой угловой скорости на оси хи Уи zu
Рис. 43
70

связанные с внутренним кольцом подвеса, выражаются через
угловую скорость основания й и углы α и β посредством
ранее найденных (см. § 4) формул
рг = cos β + щсоа β + щ sin α sin β — ^cos α sin β,
dt
qx = —£- + u^cos a + щ sin a,
dt
rx =-^-Βΐηβ + uisinfi — ί/ηείηαοοββ + ί/ς<χ)8αα)8β,
dt
где иь иц и щ — проекции абсолютной угловой скорости
основания на оси жестко связанной с ним системы
координат £ηζ.
Обозначим через К (Kx2t КУ2, Κζ2) главный момент
относительно центра подвеса О сил воздействия основания на
внешнее кольцо подвеса. Далее, введем обозначение
L(LXl, Lyit LZx) для главного момента относительно того
же центра сил воздействия внешнего кольца на внутреннее.
Наконец, через Μ (ΜΧχ, МУхУ ΜΖχ) обозначим главный момент
сил воздействия внутреннего кольца (кожуха) на ротор
гироскопа.
Силы, не являющиеся силами взаимодействия между
телами, входящими в состав механической системы «ротор+
+кожух+внешнее кольцо», будем называть сторонними
силами.
Обозначим главные моменты этих сил, приложенных
соответственно к внешнему кольцу, кожуху и ротору через
k(kXi, ky2i kZi), l(lXx91УхУ 1Ζχ), m(mXx, myv mZx).
В число сторонних сил, действующих на элементы
массы внешнего кольца, внутреннего кольца и ротора, следует
включить силы инерции переносного движения,
обусловленные перемещением системы координат, относительно
которой изучается движение гироскопа. Такой системой в
данном случае является невращающаяся система координат
ξ*η*ζ* с началом в центре карданова подвеса.
В прецессионной теории гироскопов пренебрегают
кинетическими моментами колец карданова подвеса. Это
эквивалентно предположению отсутствия у колец моментов
инерции. Как следствие, силы, приложенные к внешнему кольцу
подвеса, равно как и силы, приложенные к внутреннему
кольцу, образуют порознь уравновешивающиеся системы сил
(рис. 44 и 45). Поэтому следует положить равным нулю
71

главный момент системы сил, приложенных к внешнему
кольцу, т. е. считать, что
K + k— Z = 0.
(ь91,-м)<~0
Рис. 44
czz
ΖΓ3
Рис. 45
Аналогично, для внутреннего кольца карданова подвеса
получим уравнение
1 + Г— Ж = 0.
Равенство нулю главного момента сил, действующих на
внешнее кольцо, в проекциях на оси Х2, t/2 и z2 приводит
к уравнениям
**, + ** —1^=0,
Kz2 + K-L2t = 0.
В эти уравнения, кроме соответствующих проекций векторов
К и k, входят проекции главного момента —Г сил воздействия
внутреннего кольца на внешнее, обозначенные через —LXt, — ЬУл
и — L*2. На основании III закона Ньютона величины этих
проекций связаны (рис. 46) с проекциями LXl9 Lyi и LZl момента L сил
воздействия внешнего кольца на внутреннее следующими
соотношениями:
LXs = LXtcos$ + L2l &in β,
Ly2 = Lyx,
LXtsin$ + LZlcos$.
^ =
Уравнения равновесия внутреннего кольца карданова
подвеса в проекциях на оси хи Уи zu в свою очередь, имеют
вид - . .
LXl + lXt—MXi = 0, Lyt + lyt — Myt = 09 LZi + lZl — M2i = 0.
72

Здесь величины — MXl9—MMl,—MZt— соответствующие
проекции главного момента — Μ суммы сил воздействия ротора
гироскопа на внутреннее кольцо, или, что, разумеется, то же
самое, моменты суммы этих сил относительно осей хи у\, Ζ\.
Исключая величины LXi, Ly% и LZt из уравнений,
соответствующих равенству нулю главного момента системы сил,
приложенных к внешнему кольцу, получим:
Кх2 + К = Z^cosp + L2l stop,
А#а + ky2 = Lyv
KZ2 + kZi=—LXi slnp + L2lcosp.
Для дальнейшего существенное значение имеют
выражения МХх и МУх для сумм моментов относительно осей х\ и ух
сил воздействия внутреннего кольца на ротор гироскопа*.
Совместно с неизвестными КУг, Кгг, LXl и LZt их можно
определить, пользуясь двумя последними системами
уравнений.
Величины КУг и KZt
представляют собой суммы моментов
относительно осей У2 и 2г сил
нормальных реакций в подшипниках
внешнего кольца. Аналогично, сум-
* мы LXt и LZt образуются за счет
нормальных реакций подшипников
внутреннего кольца (кожуха).
Знание сил реакций может оказаться,
например, полезным для
определения сил трения в подшипниках
подвеса.
Разрешим теперь указанные уравнения относительно величин
#&» Кгг, LXl9 LZit MXit Myl9 считая остальные, т. е. kXt9 ky29 kZtt
Ixt* ht* Ъху m*t» тУо m2t, Цхг, Lyit MZv как бы заданными. В
результате получим:
Куг = — кУг + Lyi9
KZt = -kZi~ (Кхг + kXt) tg β + (ΜΖι —1Ζχ) sec β,
LXl = (KX2 +kXi)secp~(MZl -lZx) tg β,
^ζ, = —/zt + ΜΖν
Λίχ, = /Λ + (Κχ> + kXi) sec β - (ΜΖί -1Ζχ) 1ββ, '
Μ yt = lyt + Lyt.
73

Обратимся теперь к уравнениям движения ротора. Как
уже указывалось, в прецессионной постановке кинетический
момент ротора G можно с малой погрешностью заменить
собственным кинетическим моментом ротора Я,
направленным по оси ζ (ζ\) вращения ротора. Модуль вектора Η
равен произведению момента инерции С ротора относительно
оси ζ на величину его собственной угловой скорости dy/dt,
а именно:
H=Cdy/dt,
где γ — угол поворота ротора относительно внутреннего
кольца.
Как уже было ранее показано (см. § 2), уравнения
движения ротора гироскопа в прецессионной постановке имеют
вид
qxH = mXi + ΜΧί, —рхН = тУх + Λί „t, —г = m2l + Mz[.
at
Приведенные уравнения отличаются от ранее выведенных
тем, что моменты сил, стоящие в правых частях, разбиты на
две части, соответствующие моментам Μ сил воздействия
кожуха на ротор и моментам т сторонних сил. Заметим, что
величина τηΖχ представляет собой, как правило, момент
торможения ротора со стороны воздуха (в случае отсутствия,
например, герметически закрытого кожуха). Величина M2if
в свою очередь, складывается из момента трения (как в
подшипниках, так и из-за наличия среды, заполняющей кожух)
ротора о внутреннее кольцо (кожух) и момента,
вращающего ротор. Последний момент чаще всего развивается
вращающимся магнитным полем статора, жестко связанного
с кожухом.
Заменяя в уравнениях движения ротора гироскопа
выражения MXi и МУх их значениями, найденными выше,
получаем следующие уравнения движения ротора гироскопа при
наличии карданова подвеса:
qxH = lXi + mXx + (Кхг + kX2) sec β - (ΜΖχ — /„) tg β,
— piH = lyi + nVyi + Lyi,
-f- = m2l+Ai2l.
Подставим в левые части уравнений движения гироскопа
выражения проекций абсолютной угловой скорости
внутреннего кольца через абсолютную угловую скорость основания
й(Ы|, wn, ί/ς) и относительные угловые скорости da/dt, dfijdt
74

колец карданова подвеса. Уравнения движения ротора
гироскопа в этом случае запишутся в следующем виде:
(—— + ылсоза + «ζsin а] # =
= 1хх + тХх + (КХг + *л) sec β - (Μ Ζχ - 1Ζχ) tg β,
— /^—^Lcosβ + Μξ<Χ)8β + Μηείηαβίηβ —«ζ(Χ)3α8ΐηβ\ # =
= lyx + ™>Ух + Lyxy
dH
at
= mZx + ΜΖχ.
Полученные уравнения представляют собой совокупность
трех дифференциальных уравнений, содержащих три
искомые функции времени α(ί)9 β(ί) и Η(ί).
Следует обратить внимание на то, каким образом входит
в правые части уравнений сумма kX2 моментов
относительно оси внешнего кольца Х2 сторонних сил, непосредственно
приложенных к внешнему кольцу, а также сумма /С*2,
образуемая моментами относительно той же оси Х2 сил трения
в подшипниках и сил воздействия на внешнее кольцо со
стороны основания. Здесь при определении величины момента
МХхУ действующего на ротор по оси Хи легко допустить
ошибку, если непосредственно проектировать (рис. 47)
моменты КХг и kXi на ось хи забывая, что они приложены не
к внутреннему кольцу (кожуху), а к другому телу — к
внешнему кольцу карданова подвеса. В результате в правые
части уравнений величины КХг и kXi войдут с множителем
ш л
=)|||... 4—£
^
3
ч
а=
N
Рис. 47
Рис. 48
cos β, что, разумеется, неверно. На рис. 48 показано
правильное разложение момента КХ2 на составляющие. В свою
очередь, величину, момента MXl зависит (при βΦΟ) как от
суммы 1Ζχ моментов относительно оси ротора ζχ сторонних
сил, приложенных к внутреннему кольцу карданова подвеса,
75

так и от суммы MZt— моментов сил воздействия этого
кольца на ротор гироскопа, что на первый взгляд кажется
также неожиданным.
§ 11. МЕТОДЫ КИНЕТОСТАТИКИ
В ТЕОРИИ ГИРОСКОПОВ
Приведем другой вывод уравнений движения ротора
гироскопа в кардановом подвесе, основанный на применении
принципа виртуальных скоростей. Предварительно выпишем
некоторые кинематические соотношения, полученные ранее
(§4).
Проекции р2, Цъ ъ абсолютной угловой скорости ω 2
внешнего кольца карданова подвеса на оси жестко с ним
связанной системы координат Х2У2%2 выражаются
формулами
da
Р2 = "&+—»
q2 = un cos a + щ sin α,
r2 =s — ί/η sin a + ui cos a.
В свою очередь, формулы для проекций на оси хи У\ и z\f
связанные с внутренним кольцом, абсолютной угловой
скорости ωι этого кольца имеют вид
p1 = p2cosp— r2sinp,
/y=p2sinp + r2cosfi.
Наконец, проекции абсолютной угловой скорости ω
ротора гироскопа на те же оси х\9 уи Ζ\ представляются
очевидными формулами
Р^Ръ Ч = Яь /- = /-!+ -^-,
где γ — по-прежнему угол поворота ротора гироскопа
относительно внутреннего кольца.
Рассмотрим в неэращающейся подвижной системе
координат ξ*η*ζ* кинетостатику механической системы, в состав
которой входят три твердых тела: внешнее кольцо
карданова подвеса, внутреннее кольцо (кожух) и ротор (рис. 43).
В прецессионной (элементарной) теории гироскопов, как
уже отмечалось выше, кинетические моменты обоих колец не
учитываются вовсе, а за кинетический момент ротора G
принимается его собственный кинетический момент Я,
направленный по оси собственного вращения ротора ζ(ζχ) и
равный Cdy/dt=H.
76

Введем даламберовы силы инерции в системе координат
ξ*η*ζ*. В соответствии с прецессионной теорией гироскопов
они должны определяться только измейением в этой
системе вектора собственного кинетического момента Н. В самом
деле, прецессионные уравнения движения ротора можно
представить так, чтобы они имели вид уравнений статики,
а именно
Μχι + м.*г + ΝΧι = 0, тУх + МУх + Ny% = О,
m2i + M2l + N2l = 0,
где
NXl = -Я1Н9 Nyi = PlH, Νβι= ^-.
Очевидно, что величины NXl9 Ny% и ΝΖχ надлежит
рассматривать как суммы моментов относительно соответствующих
осей даламберовых сил инерции. Вместе с тем правые части
равенства представляют собой (с точностью до знака)
проекции скорости конца вектора собственного кинетического
момента Я, или, что то же, его производной по времени, на
оси системы координат X\t)\Zu связанной с внутренним
кольцом карданова подвеса.
Таким образом, при рассмотрении кинетостатики данной
механической системы к числу действующих на нее сил
следует добавить пары с моментами ΝΧχ, NVl и ΝΖχ,
приложенные к ротору гироскопа.
Силы, действующие на рассматриваемую механическую
систему, могут быть разделены на силы сторонние и силы
взаимодействия между ротором и внутренним кольцом
подвеса, внутренним кольцом и внешним и, наконец, между
внешним кольцом и основанием гироскопа. Движение
системы рассматривается по отношению к невращающейся
системе координат ξ*η*ζ*. Поэтому в состав сторонних сил
должны быть включены переносные силы инерции,
обусловленные перемещением системы координат |*η*ζ* относительно
«абсолютной» системы координат.
Силы взаимодействия между телами данной
механической системы «ротор + кожух -f внешнее кольцо» состоят
из сил нормальных реакций связей и из пар, векторы,
которых направлены по осям плоских шарниров, связывающих
эти тела. Точно так же обстоит дело с силами
взаимодействия между основанием и внешним кольцом подвеса. Если
имеются еще силы взаимодействия между основанием и
другими телами рассматриваемой системы, то их можно
отнести κ сторонним силам.
На основании принципа Даламбера гироскоп в кардано-
вом подвесе под действием всех перечисленных сил и пар
сил NXv Nyt и Nгх должен находиться в состоянии равнове-
77

сия. Рассматриваемая механическая система имеет три
степени свободы; движение основания относительно
«абсолютной» системы координат следует считать заданным. За
обобщенные координаты системы наиболее естественно принять
углы α, β и γ, τ. е. углы поворота внешнего кольца карда-
нова подвеса относительно основания, внутреннего кольца
относительно внешнего и ротора относительно внутреннего
кольца.
Сообщим виртуальные скорости δ©2, δωι и без
элементам механической, системы, соответствующие виртуальным
обобщенным скоростям: 6da/dt, ba§jdt, bdyldt. Тогда
проекции виртуальной угловой скорости внешнего кольца б©2 на
оси связанной с ним системы координат -Одг^г будут иметь
вид
δ/?2 = δ^ δ<72 = 0, бг2 = 0.
at
В свою очередь, выражения для проекций на оси
системы координат X\y\Z\ виртуальной угловой скорости
внутреннего кольца подвеса без ι запишутся следующим образом:
at [at at
Наконец, для проекций на те же оси виртуальной
скорости ротора δω получим выражения
βρ-οοββδ-ί· δ<7 = δ-^-,
at at
v at at
Составим теперь выражение для виртуальной мощности
всех сил, приложенных к рассматриваемой механической
системе, включая пары ΝΧι, Νϋχ и NZt. Имеем:
δ W = (mXi + NXt) δρ + (тУх + Nyi) 8q + (mZl + NZl) 6r +
+ 1х^рг + /^б?! + /21бгх + ft,,6ft + Μ2ί δ-~^ +
at
Здесь, как и ранее КХг— сумма моментов относительно оси
внешнего кольца дед сил воздействия основания гироскопа
на это кольцо; Lyi — аналогичная сумма, относящаяся
к воздействию внешнего кольца на внутреннее, однако уже
вокруг оси внутреннего кольца у ι (у2); MZl — сумма момен-
78

тов сил воздействия внутреннего кольца на ротор
относительно оси его собственного вращения ζ (ζ{). Далее, через
А, / и т с подстрочными индексами обозначены суммы
моментов сторонних сил, действующих соответственно на
внешнее кольцо подвеса» его внутреннее кольцо (кожух) и ротор
относительно осей, указанных в этих индексах.
В выражение виртуальной мощности 6W, естественно, не
вошли силы нормальных реакций связей, так как они
никакой мощности не развивают.
Заменим теперь в формуле для 6W проекции
виртуальных угловых скоростей их выражениями, выписанными
выше. В результате получим.
б W = [Кх2 + kXi + (lXt + mXl + NiXt)cos β +
+ (/2ι+/η2ι + #Ζι)8ΐηβ]δ -^- +
at
+ (ίΛ + Щг + Lyx + Afo) δ -4L + (ml2i + Νζί + M2t) δ-^-.
В силу принципа виртуальных скоростей мощность 6W
должна быть равна нулю при любых виртуальных скоростях,
согласованных со связями, т. е. при произвольных значениях
виртуальных обобщенных скоростей 6da/dt> bd$jdt и 6dy/dt.
Последнее возможно лишь при равенстве нулю порознь
каждого из множителей перед этими виртуальными скоростями.
В результате получаем соотношения
КХг + kXi + (lXl + mXt + ΝΧί) cos β + (l2t + m2l + N2l) sin β = 0,
Lyt + lyt + myt + Nyi = 0,
M2t + m2t + N2l = 0,
которые приводятся к уравнениям, ранее полученным
методом элементарной статики. Следует лишь заменить ранее
введенные величины NXtf NVt и NZl их выражениями через
ри Ц\ и Я и, кроме того, исключить из первого соотношения
посредством третьего сумму т2х + NZl.
§ 12. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА
В ИАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
В качестве примера приложения полученных уравнений
рассмотрим движение оси ротора гироскопа, подвешенного
в кардановом подвесе, под действием некоторых сил,
приложенных к его кольцам.
Пусть гироскоп установлен на неподвижном основании.
Рассмотрим движение гироскопа в кардановом подвесе при
наличии постоянного момента Кхл сил воздействия основа-
79

ния на внешнее кольцо карданова подвеса. В соответствии
с введенными ранее обозначениями для моментов сил,
действующих на внешнее кольцо, внутреннее кольцо (кожух) и
ротор гироскопа, в рассматриваемом случае следует поло·
жить:
kX2 = ky2 = kZi = 0, Кхя = К = const,
lXt = lyt = l2t = 0, Lyt = 0, *
Тогда уравнения движения оси ротора гироскопа, подвешен*
ного в кардановом подвесе, принимают следующий вид:
-^-# = tfsecp, ^Lcosp# = 0, -^- = 0.
dt l dt v dt
Из третьего уравнения полученной системы следует
постоянство собственного кинетического момента гироскопа
#=//|/=o = const.
Далее, из второго уравнения можно найти закон изменения
угла:
а(/) =а(0) =const.
Отсюда следует, что при наличии момента сил воздействия
со стороны основания на внешнее кольцо, направленного по
оси вращения этого кольца, Само кольцо остается
неподвижным.
Наконец, первое уравнение позволяет найти закон, по
которому изменяется угол β поворота внутреннего кольца по
отношению к внешнему. Это уравнение можно записать
следующим образом:
cospdp = — dt.
Η
Откуда легко найти, что
stop = sin β0+-£-*,
π
где β0 определяется значением угла β в начальное
мгновение времени β0=β(0).
Таким образом, полностью определено движение ротора
гироскопа, подвешенного в кардановом подвесе, под
действием постоянного момента К = Кхг.
Перейдем теперь к исследованию движения ротора
гироскопа при наличии момента сил взаимодействия между
ротором и внутренним кольцом, в предположении,'что все
остальные моменты равны нулю. Будем, как и ранее, предпола-
80

гать, что гироскоп установлен на неподвижном основании,
т. е. й=0.
Полагая в уравнениях прецессионной теории гироскопа
в кардановом подвесе моменты всех сил, кроме М2хУ
равными нулю, придем к следующей системе дифференциальных
уравнений:
tf-4J---AfAtgfc #^-οο3β = 0, -ψ--ΜΗ.
Из второго уравнения полученной системы следует, что
a = a(0)=const,
т. е. внешнее кольцо карданова подвеса в этом случае так·
же неподвижно. Исключим из первого и третьего уравнений
момент сил взаимодействия ΛίΖι, для чего разделим первое
уравнение на второе. В результате получим
cospdp dH
sinp H
Отсюда следует, что
ln_sin£_=_,n_H_
sin βο #ο
или, в окончательном виде,
sin β = -^- sin β0.
Здесь величины #о и sin β0 определяются значениями
собственного кинетического момента и угла β в начальное
мгновение времени: #0=#(0)-, βο = β(0).
Угол отклонения (рис. 43) собственного кинетического
момента Η от перпендикуляра к плоскости внешнего кольца
называется поклоном волчка.
Из интегрального соотношения
stnp(t)= Яо$1про
Η
непосредственно следует, что при разгоне ротора (ΜΖί > 0),
т. е. при увеличении собственной угловой скорости ротора
гироскопа, поклон (или, что то же, угол β) уменьшается,
а при выбеге (Λ12ι<0), τ. е. при уменьшении угловой
скорости ротора относительно внутреннего кольца, поклон
увеличивается. Этот же результат можно получить,
непосредственно применяя теорему об изменении момента количества
движения к механической системе в целом.
Действительно, силы взаимодействия колец карданова
подвеса между собой и с ротором гироскопа являются внут-
8L

ренними и, следовательно, не меняют момент количества
движения рассматриваемой системы. Согласно теореме об
изменении момента количества движения в прецессионной
постановке в этом случае имеем
Отсюда немедленно следует, что
(Н)Х2 = Η sin β = #0 sin β0 = const.
С геометрической точки зрения это соотношение выражает
постоянство момента количества движения всей системы
относительно оси вращения внешнего кольца (рис. 49).
В заключение рассмотрим
влияние на движение гироскопа
в кардановом подвесе момента
сторонних сил, приложенных к
__ внутреннему кольцу. Полагаем,
zz как и ранее, что основание
неподвижно, т. е. м = 0.
Кроме того, будем считать, что
kX2 = ky2 = ki2 = 0, 1Χχ = 1Ух = О,
Mxi = Щг = Ыгх = 0, Κ]χ2 = Lyx = Мг% = 0.
Движение ротора гироскопа, таким образом, происходит
только под влиянием момента сторонних сил /2l,
направленного вдоль оси ротора гироскопа. Уравнения
прецессионной теории гироскопа в кардановом подвесе в этом случае
имеют вид
Отсюда следует, что
Η=const, α=const,
т. е. собственный кинетический момент гироскопа и угол
поворота внешнего кольца карданова подвеса при действии
на внутреннее кольцо момента сторонних сил/21 остаются
неизменными и определяются их значениями в начальное
мгновение времени. Далее, из первого уравнения можно
определить закон изменения угла β. Интегрируя его, найдем
— { М<
н J Ζχ
sin β = sin β0 е °
Отсюда следует, что при /2, > 0 поклон гироскопа
возрастает, а при /2ι<0 поклон гироскопа уменьшается.
82

Задачи и упражнения
1. Гироскоп с тремя степенями свободы (рис. 50), ротор
которого приводится в движение струей сжатого воздуха,
используется для управления движения торпеды (прибор
Рис. 50 Рис. 51
Обри). В начальный момент ось внешнего кольца
вертикальна, ось ротора гироскопа направлена вдоль продольной оси
торпеды. Центр масс ротора смещен вдоль его оси на
величину by вес ротора равен Р. Найти траекторию торпеды как
функцию времени. Предполагается, что скорость торпеды
постоянна по величине и направлена вдоль ее продольной
оси.
2. При постоянном числе оборотов ротора прибора Обри
(рис. 50), установленного на неподвижном основании,
замечено медленное уменьшение величины угла β. (Явление не
наблюдается, когда кожухи гироскопов не имеют отверстий.)
Объяснить это явление за счет влияния стороннего момента
сил торможения ротора о воздух (ηιΖίφΟ) и
компенсирующего это торможение момента ΜΖί сил взаимодействия
между внутренним кольцом и ротором.
3. Ось внешнего кольца астатического гироскопа
направлена по касательной к параллели места (рис. 51). Показать,
что при наличии вязкого трения в осях подвеса
ось ротора гироскопа с течением времени установится
параллельно оси вращения Земли (будет «смотреть» на
Полярную звезду).
Указание. Ввести географическую систему координат.
4. Астатический гироскоп при наличии сил вязкого тре-
83

ния в осях карданова подвеса может быть использован для
определения широты места (см. задачу 3). Найти ошибку
определения широты места, обусловленную малым
смещением Ь центра масс ротора гироскопа вдоль его оси
вращения. Положить Η=4000 г-см-с, mg=400 г, 6 = 2-10~4 см.
5. Найти возможные положения равновесия
астатического гироскопа в кардановом подвесе, установленного на
Земле (рис. 51), в предположении, что по осям вращения колец
карданова подвеса действуют следующие моменты сил
сухого трения:
** =
Lyt =
- К sign
da
при
da
\кХя\<к
— Lsign
при
dt
da
dt
Ф0,
= o;
dp
dt
\Lyt\<L
при
при
dt
Φ 0,
0.
Исследовать движение гироскопа в окрестности областей
возможного положения равновесия и найти ошибку в
определении широты места. Принять Я=4000 г-см-с, L = /C=
= 2 г-см.
6. Астатический гироскоп в кардановом подвесе
установлен на Земле так, что ось его внешнего кольца направлена
по вертикали. Определить
видная мое движение оси ротора
гироскопа по отношению к
поверхности Земли. Найти период
движения в зависимости от широты
места установки прибора.
21ч2
1^
Рис. 52
Щ^ш^З
34

7. Ось внешнего кольца гироскопа в кардановом подвесе
направлена по вертикали, а ось собственного вращения
ротора расположена в плоскости меридиана. Грузик,
укрепленный на внутреннем кольце (рис. 52), вызывает
прецессию гироскопа, устраняющую его видимый уход (т. е.
движение относительно Земли). В течение нескольких часов,
лока не накопится ошибка в 1°ч-2°, такой гироскоп,
именуемый гироазимутом, или гироскопом направления, может
заменить компас. Определить, на сколько должен быть смещен
центр тяжести гироскопа при заданных параметрах Η и т9
чтобы угловая скорость прецессии оказалась равной угловой
•скорости вращения Земли. Задачу решить в предположении,
что все моменты, кроме myt, и 1Ух, равны нулю, а тУх +1У1Ф0.
8. Каким может быть наиболее общее расположение
центра масс ротора и колец карданова подвеса, чтобы моменты
силы тяжести не влияли на движение гироскопа:
а) в случае неподвижного основания;
б) в случае поступательного движения основания.
§ 13 ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ
ГИРОСКОПИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Гироскопическим маятником называется симметричное
вращающееся тело (ротор), подвешенное в точке на его оси
симметрии так, что центр масс ротора не совпадает с
точкой'подвеса. Ротор может быть подвешен, в частности, с
помощью карданова подвеса. В этом варианте подвеса центр
масс внешнего кольца карданова подвеса должен находиться
на его оси вращения, а центр масс системы двух твердых
тел — «внутреннее кольцо (кожух) + ротор» — должен быть
смещен вдоль оси вращения ротора гироскопа (рис. 53).
Этого можно достичь, например, посредством закрепления
дополнительной массы на внутреннем кольце (кожухе)
гироскопа в кардановом подвесе. Подобный гироскопический
маятник является основой многих приборов, служащих в
качестве указателя вертикали на движущемся * объекте.
Рассмотрим теорию такого устройства при некоторых
упрощающих исследование предположениях. А именно:
будем пренебрегать кривизной земной поверхности,
рассматривая движение центра карданова подвеса в касательной
плоскости. Будем также считать, что угловая скорость
объекта, на котором установлен гироскопический маятник, во
все время движения перпендикулярна касательной
плоскости. Кроме того, не будем учитывать угловую скорость
вращения Земли вследствие ее малости по сравнению с
угловой скоростью объекта, на котором установлен
гироскопический маятник.
85

С подвижным объектом, как и прежде, свяжем систему
координат ξηζ, направив ось ζ перпендикулярно плоскости
в которой движется объект. Очевидно, что ось ζ будет
вертикалью. В силу сделанных ранее предположений проекции
угловой скорости основания записываются в виде
Щ = 0, "η = 0, U^O.
Для исследования движения гироскопического маятника
воспользуемся полученными ранее уравнениями движения
гироскопа в кардановом подвесе. Как и прежде, с внешним
кольцом карданова подвеса свяжем систему координат
Х2У2?2, направив ось Х2 по оси вращения внешнего кольца
и совместив ось х2 с осью ξ системы координат ξηζ. С
внутренним кольцом свяжем систему координат xiy\ZU
направив ось у\9 совпадающую с осью у2, по оси вращения
внутреннего кольца, а ось z\ — по оси вращения ротора
гироскопа. Систему координат xyz свяжем с ротором гироскопа,
совместив ось ζ с осью Ζ\.
Начала всех систем координат находятся в
геометрическом центре карданова подвеса, а именно в точке
пересечения осей вращения внешнего кольца, внутреннего кольца
и ротора гироскопа. Взаимное положение введенных систем
координат будем определять углами α, β, γ, согласно
следующей схеме:
ξηζ —2—>· x2y2z2 —£ ^ χ^χζχ —ϊ—► xyz.
|.*a ft· У\ ζι> ζ
Если пренебречь моментами сил взаимодействия между
основанием и внешним кольцом, между внешним кольцом и
внутренним, а также между внутренним кольцом и ротором:
гироскопа, то в этих уравнениях следует положить
**=0, Lyt=fi, Af,f=0.
Из числа моментов сторонних сил учтем только моменты
сторонних сил, обусловленные смещением центра масс
внутреннего кольца и ротора гироскопа вдоль оси ротора.
Вследствие этого в прецессионных уравнениях гироскопа в карда-»
новом подвесе будем считать равными нулю следующие мо*
менты сторонних сил:
kX2 = 0f /2t = 0, m:2l = 0.
В результате сделанных предположений прецессионные
уравнения гироскопа в кардановом подвесе примут следующий
вид:
-£j~ + щ sin а\ Η = mXl + lXv
86

— ί—— cos β — щ cos α sin β) Η = тУх + 1УхУ
at
Из третьего уравнения полученной системы следует, что
для рассматриваемого движения собственный кинетический
момент гироскопа есть величина постоянная, т. е.
#=C-^- = const.
dt
В правые части первых двух дифференциальных уравнений
входят моменты сторонних сил lXxf 1Ух и тХх> тУх. В качестве
сторонних рассматриваются моменты силы тяжести и силы
инерции переносного движения, обусловленные
подвижностью системы координат ξ*η*ζ*. Поскольку движение
гироскопа в кардановом подвесе рассматривается по отношению
к системе координат £*η*ζ*, ориентированной по
неподвижным звездам, то, как указывалось ранее, силы инерции
Бмеют равнодействующую, приложенную в центре масс
соответствующего тела. Центр масс внешнего кольца лежит на
его оси вращения. Поэтому момент сторонних сил,
приложенный к внешнему кольцу, как об этом уже упоминалось,
равен нулю. Моменты сторонних сил, приложенных к
внутреннему кольцу и ротору гироскопа, вычисляются по фор*
мулам:
1Χχ = momXl Fx + mom^ /
1Ух = mom^/7! + mom^ f
mXi = mottiXxF% + τηοτηΧχ
тУх = mom^ jF2 + mom^
В выписанных формулах F{f F2 — веса внутреннего кольца
и ротора гироскопа соответственно, до0 — ускорение начала
системы координат ξ*η*ζ*, или, что то же самое,
геометрического центра карданова подвеса.
Введем координаты центра масс внутреннего кольца
*ι* = ί/ι*=0, zxk = —lx
и ротора гироскопа
*ιρ=ί/ιρ = 0, zf = —12.
Fi -
)■
)·
■£-».
g
Ft -
)·
W*
g
87

По известной формуле механики
mom0F = rxF
найдем моменты сил тяжести mom0Fi, mom0F2 в проекциях
на оси системы координат x\y\Z\. Учтем при этом, что силы
тяжести направлены по оси ζ в отрицательном направлении.
Получим:
тот,Л = у\ (Fx)2l -ζΐ (FJ9t = k{F~)yi = -/^cosC^,
momXlF2 = y\ (Fs)2l — z\ (T2)yi = l2 {F2)yt = — /2F2cos ζyv
mom^Fi = z\ (F1)Xl — x\ (Fx)2l = — /, (Fi)Xi = /^cosC*!,
morn^ F2 = zf (Fa)*, — л£ (F2)2l == — /2 (F2)*t = /2F2 cos ζ xx.
Суммы моментов сил тяжести относительно осей Х\ и у\
записываются в виде
топьД + тот XlF2 = — (1^ + l2F2)coslyu
тот^ Fx + тот^ F2 = (/^ + /2F2) cos ζ χν
Но выражение, стоящее в круглых скобках, можно записать
более кратко:
llFl+l2F2 = lF=mgL
Здесь / — координата общего центра тяжести ротора и
внутреннего кольца, a F=F{-\-F2 — общий вес системы «ροτορ-f-
«путреннее кольцо». В результате получим следующие
формулы:
mom^Fi + momXiF2 = — Flcoslyv
mom^ Fx + mom^ F2 = + Fl cos ζ χν
Аналогично можио показать, что силы инерции, приложенные
к внутреннему кольцу и ротору, можно заменить одной силой
инерции
Р= —mw0t
приложенной в общем центре масс системы двух твердых
тел, состоящей из внутреннего кольца и ротора гироскопа.
Моменты сил инерции переносного движения в проекции «а
оси системы X\y\Zi записываются следующим образов:
mom*, Ρ = — mlwylt mom^ P = mlwXi.
Проекции ускорения начала системы координат X\y\Zi па
оои х\ и у\ можно найти по формулам
88

wyt= щсов1ух + wncosii]y1 + щсоз1у1т
Воспользуемся полученной в кинематике карданова подвеса
таблицей направляющих (косинусов между осями системы
координат X\y\Z\ и ξηζ. Эта taбл,ицa «имеет ©ид
Ι η - ζ
хх cos β sin α sin β —cos α sin β
yx 0 cos α sin α
zx sin β — cos β sin α cos α cos β
С помощью выписанной таблицы косинусов найдем:
mom Xt F = — Fl sin α,
momi,1F= — Flcosasinfi,
mom λ;, Ρ = — ml (wncos α + щ sin α),
mom^ Ρ = ml (щ cos β + wn sin β sin α — щ cos α sin β).
Поскольку геометрический центр карданова подвеса
движется в горизонтальной плоскости, то составляющая
ускорения wo вдоль оси ζ равна нулю, т. е.
Таким образом, правые части системы
дифференциальных уравнений движения гироскопического маятника
1хх + mXl = momXl F + momXiP,
hi + mvi = niom^ F + mom^ P.
полиостью определены через углы α, β и параметры
движения основания.
Система дифференциальных уравнений
(—£- + Hasina) Я = —/7 sin a — mtoncosa,
~('^cos$—uicosaslnfl\ #= — /7 cos a sin β+
+ т1щооз β + mlwn sin a sin β
описывает движение гироскопического маятника при
движении несущего его объекта в горизонтальной плоскости. Для
однозначности решения необходимо также задать значения
α и β в начальное мгновение времени.
89

Прежде чем перейти ·κ исследованию поведения
гироскопического маятника при произвольном движении основания,,
рассмотрим более простой случай, а именно движение
гироскопического маятника «а неподвижном основании.
§ 14. ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
НА НЕПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ
Система дифференциальных уравнений, описывающих^
движение гироскопического маятника (на неподвижном
основании, имеет вид
JL· н = — mgl sin α,
at s
An
cos β# = — mgl cos α sin β.
Найдем общий интеграл этой системы. Для этого разделим
одно (уравнение на другое. Получим
1 dp __ sing
cos β da cos α sin β
Приведем данное уравнение к виду
sin βί/β , sin ada __ ^
cos α
откуда найдем: d In |cos о.cos β| =0. Если ib процессе
движения углы α и β заключены ib пределах от 0 до π/2, то имеет
место интеграл
cos β icos α=const.
Бели посмотреть на таблицу косинуоо,в углов между осями
систем координат Х\У\2\ и ξηζ, то можно найти, что
■cos β cos α=cos ζζ{ = cos £#=iconst.
Следовательно, угол θ между вертикалью и осью
собственного ^ращения ротора гироскопа постоянен, т. е^©ектор
собственного кинетического момента гироскопа Η описывает
прямой конус. Осью конуса является вертикаль. Отсюда
также следует, что сила тяжести работу не совершает, а
поэтому энергия гироскопического маятника на неподвижном
основании остается неизменной.
Нелинейные уравнения, описывающие движение
гироскопического маятника, установленного на (неподвижном
основании, допускают точное решение. Для этого необходимо
'ввести соответствующую замену переменных, приводящую
исходную нелинейную систему к системе дифференциальных
90

уравнений с постоянными коэффициентами. А именно:
введем 1ншые переменные χ и у по формулам
A:=sinp, у = — sin.a cos β.
Продифференцируем эти переменные. Получим
= COS ρ —!—,
^-=-cosacosp— + sinasinp-f-.
Исключим из последних формул da/dt и dp/dt ic помощью
исходных уравнений. В результате получим систему
Я— = mgly, mJL = — mglx.
at & * dt *
Решение этой системы двух дифференциальных уравнений
первого -порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
χ=* (0) cos pt+y (0) sin pt,
y=y(0) cos pt—x(Q) sin pt.
Здесь p = mgl/lf; x(Q), y(0) — значения переменных х и у
© начальное мгновение времени.
С помощью таблицы косинусов углов между осями
систем координат Х\У\£\ и ξηζ легко понять смысл переменных
χ и у. Если «а оси Ζ\ взять единичный отрезок, то χ и у суть
проекции этого отрезка «а оси ξ и η. В самом деле,
* = sin p=cos£2b y=—cospsina=<x^2i.
Угол между вектором Η и плоскостью ξη постоянен.
Проекции единичного отрезка оси ζ на оси ξ и η изменяются по
гармоническому закону.
Следовательно, плоскость ζζ\ вращается с постоянной
угловой скоростью p=mgl/H. Чтобы пайти направление
вектора угловой скорости вращения плоскости £zb образуем
сумму
x+iy= [χ (0) + iy (0)] (cos pt — i sin pt) = per** · eie.
Отсюда 'следует, что точка, являющаяся проекцией конца
единичного отрезка оси z} «а плоскость ξη, движется по
окружности постоянного радиуса:
p=V[x(0)]2+[y(0)]2> s = arctg
У(0)
*(0)
Движение происходит по часовой стрелке, следовательно,
вектор угловой скорости вращения плоскости ζζ\ (направлен в
отрицательную сторону оси ζ.
91

Рассмотрим случай малых углов колебаний
гироскопического маятника, помещенного на неподвижное основание.
Очевидно, в этом случае следует считать
α<1, β<1.
Поэтому нелинейные функции углов а и β в исходных
уравнениях заменим ιβ соответствии со следующими формулами:
sina«ia, cosa«l, sin β«β, οο8β«1.
В результате приходим к линейной системе
дифференциальных уравнений
H-^- = -mgtay H^- = mgl$.
at s dt ^v
Введем картинную плоскость, посредством которой ©
дальнейшем будем исследовать движение гироскопического
маятника. Через точку с (координатами |=0, η = 0, ζ=1 проведем
плоскость, .параллельную 'плоскости ξη. Точку .пересечения
этой плоскости с вектором собственного кинетического
момента Η обозначим буквой G. Координаты точки G
определяются равенствами:
ξ = secatgβ, η = — tga, ζ=1.
С точностью до членов второго порядка малости по
сравнению с (переменными α, β координаты точки G определяются
равенствами:
ξ = β, η = — α, ζ=1.
При малых углах отклонения вектора Η от вертикали вместо
переменных α и β удобно рассматривать (переменные ξ и η —
координаты изображающей точки G. Движение
изображающей точки G полностью характеризует движение оси ротора
гироскопического маятника.
В новых переменных уравнения движения
гироскопического маятника принимают ©ид
H-^-=mgl% H-^ = -mgll.
Если первое уравнение умножить на ξ, а второе — на η и
сложить, то получим
Отсюда следует
£2+T)2 = e2=ioonst,
т. е. изображающая точка должна находиться «а окружности
постоянного радиуса Θ.
92

Введем комплекснозначную функцию ζ=ξ+ίη. Умножив
первое уравнение «а единицу, второе — на / и сложив их,
придем к уравнению первого порядка относительно комплекс-
нозначной функции ζ
dt нъ
Здесь введено обозначение p=mgl/H. Решением этого
уравнения будет функция
Пусть при /=0 имеем С=£(0)=р/в.
Тогда
|ζ|=ρ=θ, arg£=t|) = e—pt
Движение точки G, описываемое
комплекснозначной функцией
изображено на рис. 54. Рис. 54
Задачи и упражнения
1. Считая углы поворота .колец карданова подвеса аир
малыми величинами, проинтегрировать систему уравнений,
описывающую движение отоскопического маятника на
неподвижном основании. Нарисовать фазовые траектории «а
плоскости (α, β).
2. Проинтегрировать систему уравнений, описывающую
прецессионные движения гироскопического маятника на
неподвижном основании для конечных значений углов аир.
3. Гироскопический маятник установлен на неподвижном
основании. Центр масс системы «ротор+кожух» находится
ниже точки подвеса. Ограничиваясь прецессионными
уравнениями движения определить период .колебаний. Найти
длину математического «маятника, имеющего такой же период
-колебаний (т. е. найти «приведенную длину»
(гироскопического маятника). Углы аир .считать малыми.
4. Рассмотреть в рамках прецессионной теории влияние
моментов сил вязкого трения КХ2 =—\kdafdt и Lyi =—λ/ίβ/Λ
в осях карданова подвеса на движение гироскопического
маятника. Основание, на котором установлен маятник, непод*
©ижно. Центр масс гироскопического маятника может быть
расположен как выше, так и ниже точки подвеса. Утлы
поворота колец карданова подвеса считать малыми.
Начертить фазовые траектории в том и другом случае.
5. Гироскопический маятник, центр масс которого лежит
93

ниже точки подвеса, установлен на неподвижном основании.
По осям карданова подвеса действуют моменты сил сухого
трения, определяемые функциями вида
Кх =
Lyt = \
ν ·—- da da , Λ
•/С sign— при — =£0>
\Κ*\<Κ при
, . d$>
— L sign —— при
dt
da
dt
= 0,
dt
Ф0.
UiJ<LnpH -~- =0.
at
Построить фазовые траектории в случае малых углов α, β.
6. В условиях предыдущей задачи построить фазовую
траекторию в том случае, когда центр масс
гироскопического маятника лежит выше точки опоры.
7. В одном из вариантов .гироскопического прибора
«Авиагоризонт», применяемом в авиации для указания вертикали,
на внутреннем кольце астатического гироскопа в кардановом
подвесе (укреплен пространственный физический маятник.
В том случае, когда (гироскоп установлен на неподвижном
основании и углы поворота колец карданова подвеса малы,
можно считать, что электрические сигналы ии и2
(напряжения), снимаемые с маятника, пропорциональны углам а и
β, т. е. ί/ι=5ια, ί/2=5β. На осях карданова подвеса
установлены датчики моментов (двигатели), развивающие моменты,
пропорциональные подаваемому напряжению: KXi =r\UU
Lyt =r2i/2. Можно ли подать напряжения на датчики
моментов таким образом, чтобы вектор Я гироскопа
устанавливался с течением -времени по вертикали? Начертить фазовые
траектории (системы на плоскости (α, β).
8. В условиях предыдущей задачи начертить фазовые
траектории на плоскости (α, β), считая, что датчики
моментов имеют релейную характеристику
Μ = ( Μοί Sign Ui при Ui ** °'
0 при ui = 0.
9. Начертить фазовые траектории
авиагоризонта, установленного на не-
повижном основании (см. задачу 7),
в случае, когда датчики момента
имеют характеристику, изображенную на
рис. 55.
10. На осях вращения карда-
новых колец гироскопического ма-
Рис. 55
94

ятника установлены устройства, измеряющие угол
поворота внешнего кольца по отношению к основанию α и
.внутреннего игольца ню отношению к ©нешнему β. Сигналы,
снимаемые с датчиков угла, -через усилители поступают на
электродвигатели (рис. 56). В частности, на двигатель, соз-
43
дающий момент, направленный по оси Х2 вращения внешнего
кольца, поступает сигнал, снимаемый «с датчика угла β.
Таким образом, создаются искусственные моменты
Предполагая, что Кх2 = — 5β, Lyx = sa, где 5 —
коэффициент пропорциональности, исследовать (прецессионное
движение гироскопического маятника в случае неподвижного
основания и в случае движения точки -подвеса маятника с
постоянным ускорением по горизонтальной .прямой. Начертить
фазовые траектории для случаев s>0 и s<0. Углы α и β
считать малыми.
§ 15. ПОВЕДЕНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ОСНОВАНИЯ
Перейдем теперь к .исследованию движения
(гироскопического маятника на подвижном основании. По предположению
угловая скорость основания, на котором установлен
гироскопический маятник, направлена по вертикали, т. е. по оси ζ,
жестко связанной с основанием системы координат ξηζ.
Следовательно, и&=0, θη=0. Обозначим
ί/; = ω.
\Αβ\—
I Τ 1
/o~o\
\o о/
I ill 1
-ЧдЛ
1 R5""lj^J
Рис. 56
95

Уравнения движения гироскопического маятника, установлен^
ного «а подвижном объекте, принимают ©ид
Η ί —£- + ω sin α j = — mgl sin a — w^ml cos a,
— Η I—— οοββ — (ocosasinp] = — mg/cosasinp+
+ щт1 cos β + Wxjnl sin a sin β.
Рассмотрим движение гироскопическою маятника .в том
случае, когда .вектор собственного .кинетического момента Η
мало отклоняется от вертикали. Из таблицы направляющих
косинусов между осями -систем координат Х\У\гх и ξηζ
следует, что .в этом случае углы α <и β малы. Линеаризуем
исходную систему дифференциальных уравнений для случая
малых углов, пренебрегая квадратичными 'членами и полагая
в них
sin a«a, cos a» 1, sin β^β, oos β« Ι.
В результате придем к линейной системе дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами
[ —— + ωα ] Η = — mgla — mlw^
— (-γ— ωβ) Η = — mg/β + т1щ.
Перейдем к исследованию движения на картинной .плоскости,
полагая в полученной системе уравнений
η = — α, | = β.
Получим следующую систему дифференциальных уравнений
[-у ωη j Η = mgla] — mton,
(-J- + ωξ) Η = - mgll + т1щ.
Преобразуем полученную систему уравнений, ©водя комп-
лекснозначную функцию ζ=ξ+ίη. Для функции ζ(ί)
получается дифференциальное уравнение первого порядка
{-£- + ί(οζ\ Η = — imgll + iml (щ + шп).
Это же уравнение можно записать в следующем <виде:
где
p=mgl/H.
96

Полученное уравнение можно проинтегрировать при
произвольном движении основания, т. е. при -произвольных
функциях wl — Wi(t)i о;л=шл(/), ω = ω(/). Решением уравнения
является функция
t t t
~ί|(ω+ρ)Λ -ί |(ω+ρ)(ί/ t I f(fi>+p)df
ζ = ζ(0)β ° + * ο jij^^ + fa^o Λ#
0
Исследуем (поведение гироскопического маятника ιβ
некоторых частных случаях движения основания. Пусть основание
движется поступательно с .постоянным ускорением w>0,
направленным по оси η. В этом случае ω=0 и ш$=0. Будем
считать, что в начальный момент времени гироскопический
маятник находился в состоянии покоя, т. е. ζ(0)=0.
Уравнение для леремевной ζ(0 ιβ этом варианте движения основания
записывается следующим образом:
at , . о w
at g
Решение его с учетом нулевых начальных условий имеет
вид
ζ = i JL (i _ е-**).
g
Рассматривая это решение «а небольшом промежутке
времени, разложим функцию ег*?г в ряд ло t и ограничимся
линейным членом разложения. Получим
Это означает, что гироскопический маятник начинает
двигаться из состояния покоя в отрицательном направлении оси
ξ. Бели бы на подвижном основании был подвешен обычный
физический маятник, то при ускоренном движении (вдоль
оси η он отклонился <бы в отрицательном направлении оси η.
Рассмотрим последующее движение гироскопического
маятника. Функцию ζ(/), являющуюся решением, представим в
виде 'суммы функций ζχ(ί) и t&(t):
«. . w . w {п4
Здесь
Ь = -!·-- const, ς,-—2Lr^.
g g
4 Зак. № 558
97

Модуль функции ζ2 и ее аргумент выражаются следующими
формулами:
|ζ2|=^, argC2=—ί--ρ/.
g 2
После этого легко представить себе движение изображающей
точки в плоскости ξη. Изображающая точка будет двигаться
.по окружности -радиуса |ζ2| =w/g. Центр окружности
расположен на положительной полуоси η iHa расстоянии |ζι·|β
= w/g от начала координат. Движение будет начинаться из
•начала системы координат .и (происходить по направлению
движения стрелки часов (рис. 57). Максимальное расстояние,
на которое уйдет изображающая точка G от начала
координат, будет
max|g| =2w/g.
Выясним механический смысл величины w/g. Для этого
предположим» что на оси I подвешен обычный математический
маятник ('рис. 58). Рассмотрим относительное равновесие
W
* η
:. 58
математического маятника под действием силы тяжести и
силы инерции переносного движения. В положении равновесия
угол отклонения линии математического маятника от
вертикали θ определяется из равенства
mg g
Для малых углов О будем иметь приближенное соотношение
О =w/g.
Направление, по которому устанавливается математический
маятник в положении относительного равновесия, называется
Рис. 57
Pi
98

динамической вертикалью. Следовательно, величина w/g
определяет угол О между истинной вертикалью и динамиче*
ской.
Рассмотрим ©опрос о том, какой из маятников,
.математический или физический, целесообразнее использовать для
определения вертикали «а движущемся объекте. Как следует из
рассмотренного выше частного случая, максимальные
отклонения для гироскопического и математического маятников
одинаковы. Однако есть большая разница в шоведении этих
маятников на движущемся основании. Скорость основания
(корабля, самолета и т. д.) ограничена
V<Vma*.
Поэтому ограничено время, в течение которого основание
движется с постоянным ускорением
t<Vm*x/W.
Если основание движется с постоянным ускорением, то
можно определить время -набора максимальной скорости
Период колебаний математического маятника, как правило,
меньше времени набора максимальной 1скорости. Например,
если длина математического маятника /=1м, то период его
Для корабля или самолета время набора максимальной
скорости имеет порядок нескольких минут. Период
гироскопического маятника
Ρ mgl
можно сделать достаточно большим. Например, ори Н=
= 5· 104 г-см-с, mgl = 500 г-см.
7> = 2я-^-~10 мин.
mgl
Поэтому за время набора максимальной скорости
гироскопический маятник не успеет отклониться на большой угол.
Подсчитаем отклонение гироскопического маятника лри
.прямолинейном равноускоренном движении основания за время
Τ набора максимальной скорости:
|C|=UL|l-e-W| = — V(l - cos рГ)2 + sin2 pT =
g g
= sin -*— = -=- sin π -τ=-.
g 2 g Tr
4*
99

Гироскопический маятник надо делать с возможно большим
периодом. Бели 7»7\ то последняя формула принимает вид
m 2w Τ _ 2лУтах
После достижения максимального значения «скорости
основание начинает двигаться с постоянной скоростью. Ускорение
основания обращается в нуль, и движение изображающей
точки IB плоскости ξη теперь уже описывается функцией £=
= ζ(Τ)βΓ-ί*)Κ Последующее движение изображающей точки
является движением по окружности постоянного радиуса.
Величина радиуса определяется расстоянием от начала
.координат до 'изображающей точки G ib момент времени 7\
T.e.Q=\t(T)\.
Проведенное выше исследование позволяет достаточно
просто рассчитать движение гироскопического маятника ib
том случае, если ускорение wit=w(t) представляет собой
кусочно-постоянную функцию. Функция такого вида
изображена на рис. 59. Движение можно рассчитать аналитически,
w(t)
L
[ τ
τ'
τ"
V
τ'"
w'Z
Тж
V
г*
t
Рис. 59
рассматривая последовательно решения на отдельных
участках. При этом значение функции ζ(ί) на конце одного из
участков принимается в качестве начального для движения на
следующем участке. Эту же задачу можно решать и
геометрически. Общий интеграл уравнения при постоянном
ускорении w = const записывается в виде
g
100

Как было установлено выше, изображающая точка для
каждого из участков, «а котором ш =»const, движется по
окружности радиуса \С\ с центром в точке r\ = w/g. Траектория
изображающей точки G,
соответствующая графику w(t),
приведена на рис. 60.
По виду траектории на рис. 60
можно сделать вывод о виде
функции w(t)t при котором
отклонения маятника будут
возрастать с максимальной
скоростью. Для этого знак ускорения
w(t) должен меняться через
половину периода собственных
колебаний гироскопического
маятника, т. е. должно быть
Г=1/2ГГ. Рис. 60
Задачи и упражнения
1. Пусть для функции w(t), изображенной «а рис. 59,
γν yv/ =5r ψί/f β
Исследовать методом конечных разностей аналитическую
картину движения.
2. Точка подвеса гироскопического маятника движется тш
горизонтальной прямой с кусочно-постоянным ускорением
w(t). При каком законе изменения w(t) отклонения
гироскопического маятника от вертикали будут возрастать с наи-
«большей скоростью. Найти эту скорость.
3. Исследовать движение гироскопического маятника в
случае, когда его точка подвеса совершает гармонические
колебания -вдоль горизонтальной прямой. Найти зависимость
амплитуды отклонения маятника от частоты колебаний точки
подвеса. Углы поворота колец карданова подвеса α и β
считать малыми.
4. Гироскопический интегратор линейных ускорений,
используемый для измерения проекций скорости поступательно
движущегося объекта, представляет собой гироскопический
маятник, ось внешнего кольца которого стабилизируется в
соответствующем направлении. Показать, что если основание
поступательно перемещается вертикально вверх с
ускорением w (t) и ось внешнего 'кольца также вертикальна, то
приращение угла поворота внешнего кольца линейно зависит от
101

приращения скорости
межуток /времени (рис.
5. Гироскопический
основания за рассматриваемый про-
61). Считать при этом, что #=oonst.
интегратор (см. задачу 4) установлен
на основании, которое
перемещается с постоянным ускорением w.
Вектор ускорения w образует с
вертикалью постоянный угол Θ.
Найти зависимость периода
обращения внешнего кольца от
величины постоянного угла β = βο·
Рассмотреть случай малого значения
угла β0.
6. Гироскопический интегратор
(см. задачу 4) установлен на
основании, которое перемещается с
постоянным ускорением до,
направленным по вертикали. При наличии
момента сил сухого трения в оси
вращения внешнего кольца
К* =
άλ da do. . Л
|-Afe</C*<Ai0, ~^0t
исследовать поведение гироскопического интегратора.
Провести 'сравнении с результатами задачи 4.
7. 'В гироскопическом интеграторе («см. задачу 4) для
компенсации вредного влияния сил сопротивления используется
дополнительная обратная связь. Для этого «на оси
(вращения /внутреннего кольца устанавливается датчик .угла β.
Сигнал, снимаемый с датчика угла, поступает через
усилитель на двигатель, создающий момент Мдв. Момент двигателя
приложен -к внешнему кольцу и направлен ιπο его оси
вращения. Рассмотреть движение прибора, установленного на
.поступательно /перемещающемся основании. Ускорение
основания w направлено по вертикали. Ось внешнего кольца
также вертикальна. В качестве момента сил сопротивления iBpa-
щению внешнего кольца рассмотреть «влияние постоянного
момента кХг и момента сил сухого трения. Момент двигателя
считать линейной функцией угла; ΜΆΒ = —5β. Сравнить
полученные результаты с результатами задачи 6. Ограничиться
прецессионной постановкой.
8. Гироскопический маятник, изображенный на рис. 62,
состоит из двух идентичных -гироскопов (#ι=#2), кожухи
которых укреплены в общем внешнем кольце. Посредством
дополнительных /грузиков массы тх и т2 центры масс гироско-
102

пов смещены вдоль осей роторов соответствующих
гироскопов. Пренебрегая 'влиянием моментов сил сопротивления,
рассмотреть м'алые колебания системы.
/77/5ft
Рис. 62
§ 16. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО
МАЯТНИКА НА ЦИРКУЛЯЦИИ
Рассмотрим движение -гироскопического маятника на
правильной циркуляции корабля. Циркуляцией корабля
называется такое движение, лри котором его центр масс
перемещается по дуге окружности радиуса R.
Ось η системы ξηζ, связанной с
основанием, направим по продольной
оси корабля. Будем считать, что
скорость корабля V постоянна и
направлена по оси η. Ось ξ
направлена к правому борту (рис. 63).
Следовательно, будем считать, что
корабль совершает циркуляцию с
постоянной угловой скоростью ω
Для скорости и ускорения
Центра масс корабля (или, что то же самое нач.
Γ = |ω|./?,
V2
Э
ω
Рис. 63
ν
"* =--^-signc» =-|ω| ysjgno =
α>„ = 0.
-оУ,
-*- + ί {« + p)t = ■^L<at + (да,).
га-
юз

Уравнение примет ©ид
at g
Общее решение полученного уравнения можно записать в
виде суммы
t-й+Ь.
Под функцией ζι будем подразумевать о«бщее решение
однородного уравнения
;,(/)=Се-«(«+р)«.
Функция ζ2(0 представляет собой частное решение
неоднородного уравнения
со pV
g
ζ2(0 =
ζ (/) = Сег*(*+рУ* ·
ω + ρ
Таким образом, общее решение уравнения есть
ω pV
ω+> g
Первый член общего решения описывает движение
изображающей точки G по окружности радиуса \С\. Второй член
общего решения указывает координаты центра круга. Пусть
в начальное мгновение времени вектор собственного
кинетического момента Я был направлен вертикально. Это
соответствует тому, что ζ(0)=0. Общее решение для таких
начальных условий принимает ©ид
6=-
PV
e-i((d+p)t
9g
maxU|=2-f-.-^
ω + ρ g ω+,ρ
Рассмотрим случай левой циркуляции корабля ω>0.
Найдем максимальное отклонение гироскопического маятника:
_pV
ω + ρ * g
На рис. 64 изображен график
функции тах|С(/)| в
зависимости от угловой скорости
циркуляции корабля ω.
Траектории движения
изображающей точки для различных
значений ω при нулевых
начальных условиях изображены на
рис. 65. С увеличением угловой
скорости циркуляции радиусы
Рис. 64 окружностей, по которым дви-
104

жется изображающая точка G, возрастают. Однако
существует предельное значение радиуса окружности, равное pVjg.
Рис. 65
Перейдем к исследованию движения (гироскопического
маятника в том случае, когда корабль совершает .правую
циркуляцию ω<0. При этом .возможны три «различных случая;
α>+ρ>0, ω+ρ<0, ω+ρ=0.
В -первом случае, когда ω+ρ>0, частное решение
следующее:
£2 =
ω
(ύ + ρ
.-£>о.
Движение происходит ιπο часовой стрелке, но с возрастанием
модуля угловой скорости |ω| .радиусы окружностей
возрастают (рис. 64, 65).
Рассмотрим случай ρ+ω<0. Частное решение в этом
случае отрицательно, так как ω<0, ρ+ω<0:
ζ2 =
ω pV
ω + ρ * g
<0.
Изображающая точка, как и лрежде, движется ιπο
окружности, но уже против часовой стрелки. В самом деле, при ω-f*
+Р<0 и ζ(0)=0 аргумент функции ζ(ί) во все время
движения возрастает:
argC(0— (ω+ρ)ί>0.
Минимальное значение функции πιβχ|ζ(ί) | ограничено. В
самом деле, из вида функции
|ω| РУ
|ω+ρ| * g
ϋ»χ|ζ(0| = 2-
105

следует, что функция max| ζ(01 убывает с возрастанием ω
и ограничена величиной
ιηίηΐΜχ|ζ(<)|=2-£^-.
ω t g
Максимальное значение функции |ζ(ΟΙ не ограничено, при
|ω|-*ρ
max^(<0|^oo.
Рассмотрим случай ω = —р. Уравнения движения
гироскопического маятника принимают вид
di g '
Бели в начальное мгновение времени ζ(0) =0, то решение
последнего уравнения ммеет вид
ζ(ή = —φ — t = φ2—t.
g g
Изображающая точка G в случае резонансной
циркуляции движется с постоянной скоростью p*V/g .по оси η.
Рассмотрим это явление .подробнее. Гироскопический маятник «а
неподвижном основании прецессирует с угловой скоростью
p=mg7/#, ,причем движение изображающей точки
происходит то часовой стрелке. Угловая скорость системы
.координат ξηζ такая же ιπο величине (|ω| =/?) и того же
направления. Если бы не было сил инерции, то гироскопический
маятник остался бы на месте. Но силы инерции переносного
движения Р= —тщ создают момент.
В (прецессионной теории момент Μη можно рассматривать
как скорость конца вектора собственного «кинетического
момента //. Вектор Λίη лежит в плоскости ηζ. Поэтому конец
вектора Η также перемещается в плоскости ηζ.
Резонансная циркуляция ухудшает возможности
применения гироскопического маятника иа (подвижных объектах в
качестве указателя вертикали. Она не может продолжаться
долго, тем не менее -возможно накопление ошибок. Одним из
способов борьбы с резонансной циркуляцией является
введение искусственных сил, уменьшающих максимальное
отклонение гироскопического маятника.
Задачи и упражнения
1. Гироскопический маятник состоит из двух идентичных
(гироскопов, связанных опарником (рис. 66). Спарник
обеспечивает выполнение условия βι = —β2. Центр масс одного из
106

«гироскопов смещен вдоль оси ротора посредством (грузика,
укрепленного на кожухе. Гироскопический маятник
установлен «а корабле, совершающем -правую (левую) циркуляцию
радиуса R с постоянной скоростью V. Составить уравнения и
исследовать движения гироскопического маятника в случае
малых углов α, βι, β2. Сравнить со случаем маятника с
одним ΙΓΗΙΡΟΟΚΌΙΠΟΜ.
Рис. 66
2. Гироскоп, конструкция которого изображена на рис. 67,
состоит из ротора и одного карданова -кольца. Плоский шар-
•нир О позволяет карданову кольцу поворачиваться только ©
плоскости чертежа. Центр масс системы лежит в точке G
на расстоянии / от оси О. Линия OG проходит через точку
пересечения оси ротора и стержня OS. Прибор установлен на
корабле (самолете) - так, что ось подвеса карданова кольца
направлена вдоль его продольной оси. Линия OG в началь-
шый момент совпадает с вертикалью. Корабль совершает
правую (левую) циркуляцию радиуса R со скоростью V.
Ограничиваясь прецессионной теорией (гироскопов, найти угол
отклонения линии OG от вертикали. Выяснить, возможно ли
в зависимости от величины V вьибрать угловую скорость
вращения ротора так, чтобы во все время движения линия OG
совладала с вертикалью (т. е. возможно ли создать невоз-
мущаемый маятник указанной конструкции).
3. Гироскоп, конструкция которого описана в задаче 2,
установлен на корабле так, что ось подвеса карданова
кольца направлена параллельно продольной оси корабля. Можно
ли таким образом изменять угловую скорость вращения
ротора, чтобы линия OG совпадала с вертикалью при
прямолинейном движении корабля с переменной скоростью V(t).
Ограничиться исследованием прецессионных уравнений
движения.
107

4. Рассмотрим .плоский физический маятник (рис. 68).
Внутри маятника имеется гироскоп, можух которого может
(поворачиваться относительно маятника вокруг оси у\. При
β = 0 ось ротора гироскопа лежит в .плоскости маятника. При
0(Л
Рис. 67
Рис. 68
повороте кожуха на угол β деформируется пружина,
связывающая «кожух гироскопа с маятником. Момент, развиваемый
■пружиной, Lyt=—&β. Рассмотреть малые колебания системы.
Сравнить периоды колебаний по координате а три #=0 и
НФО,
5. Два одинаковых гироскопических маятника находятся
на общем основании. Угловые скорости вращения роторов
гироскопов равны по величине, но /Противоположны но
направлению, т. е. #1 = —Я2. В начальный момент времени
векторы кинетических -моментов направлены по вертикали.
Показать, что при произвольном движении^ основания в
горизонтальной плоскости разность векторов Нх и Я2 будет всегда
перпендикулярна горизонтальной плоскости.
§ 17. КОРРЕКЦИЯ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
ПОСРЕДСТВОМ ИСКУССТВЕННЫХ СИЛ.
РАДИАЛЬНАЯ КОРРЕКЦИЯ
Одним из возможных способов создания искусственных
сил, уменьшающих возможные отклонения гироскопического
маятника, является следующий. На осях вращения колец
карданова подвеса устанавливаются специальные
устройства, измеряющие угол а поворота внешнего кольца по
отношению к основанию и угол β поворота внутреннего кольца
108

(по отношению к внешнему. Это так называемые датчики
угла. Конструкция и принцип действия датчика угла могут
быть весьма различными. Например, на основании можно
закрепить потенциометр, а на оси внешнего кольца —
скользящий контакт. Тогда напряжение £>, снимаемое со средней
точки потенциометра и скользящего «контакта, будет
пропорционально углу поворота внешнего кольца (рис. 69).
Сигналы, снимаемые с датчиков угла
через усилители, поступают на
электрические двигатели
(рис.56). На двигатель,
создающий момент, направленный по
оси вращения внешнего кольца,
поступает сигнал, снимаемый с
датчика угла β (рис. 56).
Таким образом, искусственным
способом создаются моменты сил
взаимодействия
Кх% = КХш (β), Lyx
Предположим, что
электрические двигатели одинаковы и развиваемые ими моменты
являются линейными функциями углов α и β. Знаки моментов
электродвигателей выберем следующим образом:
Кх% =— 5β, Lyt=sa,
здесь 5 — коэффициент пропорциональности.
Рассмотрим движение гироскопического маятника с
искусственно создаваемыми моментами Кх9 и Lyi при
прямолинейном и равноускоренном движении основания в случае
малых углов α, β и ^ = 0, пуп=пу = const. В первое из
выведенных ранее уравнений малых колебаний
гироскопического маятника следует добавить справа момент Кхг, во
второе — момент Lyt. Получим следующую систему уравнений:
-^ Η = — mgl a — mlw — δβ,
Движение оси ротора гироскопического маятника, как и
прежде, будем интерпретировать как движение
изображающей точки G в плоскости |η. Для этого введем замену
переменных
α=— η, β=ξ.
Рис. 69
= £*(<*)·
109

Выписанная выше система дифференциальных уравнений
примет вид
at g
Здесь введены обозначения
p=mgllH, k=s/H.
Введем комплексцозначную функцию ζ действительного
переменного t
Умножив первое уравнение на 1, а второе — на i и сложив
их, получим дифференциальное уравнение первого порядка
*jr + (k + ipn = —e-w.
at g
Решение его представим в виде суммы общего решения ζ{
однородного уравнения и частного решения ί# неоднородного
уравнения,
где
ζ2 =
ζ=ζΐ+ζ2,
pw __ pw (k — ip)
Общее решение однородного уравнения с течением времени
неограниченно убывает. В самом деле, имеем
I Ei I = I C\ е-*у aTgl± = argC — pt = φ0 — pt.
Вид функции ζ\(ί) изображен на рис. 70. Частное решение
характеризует положение равновесия гироскопического
маятника при наличии коррекции. С течением времени
изображающая точка G попадает в точку ζ с координатами
о pwk p2w
1~_ g(k* + P*) ,1Ίι~ g(k* + P*) '
Лри отсутствии коррекции положение равновесия
гироскопического маятника характеризуется точкой ζ{ί) с
координатами
Ь=0, Yi2=w/g'
Легко показать, что при k=£0 расстояние первой точки от
начала координат меньше, чем расстояние второй от начала
по

координат. В самом деле, расстояние первой точки от начала
координат равно
W
<
W
8 V& + p* g
Следовательно, в случае коррекции установившееся значение
угла θ отклонения гироскопического маятника от вертикали
становится меньше.
Рис. 70
Рис. 71
Рассмотрим случай /=0. Но тогда и р=0. Уравнение,
определяющее функцию ζ, принимает вид
*+*С-0.
Решение его
1=Се
>-м
Выпишем координаты изображающей точки:
Траекторией точки G является прямая, проходящая через
начало координат (рис. 71). Движение изображающей точки
происходит по кратчайшему пути к началу системы
координат. Начало координат является устойчивой особой точкой
типа «узел». Такой вид коррекции называется радиальной
коррекцией.
§ 18. УРАВНЕНИЯ НУТАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
В прецессионной теории гироскопов пренебрегают
массами колец карданова подвеса и экваториальным моментом
инерции ротора. Вследствие этого все три уравнения, опи-
111

сывающие поведение гироскопа в кардановом подвесе,
оказываются уравнениями первого порядка. Эти уравнения,
именуемые прецессионными, достаточно хорошо описывают
изменение ориентации оси гироскопа при медленных
угловых движениях его основания и медленном изменении
действующих на гироскоп сил; при этом имеется в виду, что центр
тяжести ротора расположен точно на оси его собственного
вращения, а эта последняя является осью его динамической
симметрии. Вместе с тем посредством прецессионных
уравнений гироскопа нельзя описать вибрации (нутации) оси
гироскопа в кардановом подвесе, возникающие, например,
после удара по одному из колец подвеса или при резком
изменении действующих на них сил.
Пусть в осях подвеса гироскопа отсутствует трение, на
кольца и ротор не действуют какие-либо сторонние силы
(кроме сил нормальных реакций в подшипниках оси
внешнего кольца) и гироскоп является астатическим, т. е. общий
центр масс ротора и внутреннего кольца совпадает с
геометрическим центром карданова подвеса, а центр масс
внешнего кольца лежит на его оси вращения. Тогда из
прецессионных уравнений следует, что ось собственного
вращения гироскопа полностью сохраняет свою ориентацию
относительно направлений на неподвижные звезды как в случае
неподвижного основания, так и при произвольном движении
последнего (лишь бы не происходило совмещения оси
ротора с осью внешнего кольца). Вместе с тем из рассмотрения
полных, или, что то же, нутационных уравнений гироскопа,
учитывающих массы колец и экваториальный момент
инерции ротора, следует, что последнее заключение
оправдывается лишь в грубом приближении. На самом деле среднее
направление оси собственного вращения ротора при нутации
или при угловых колебаниях основания систематически
смещается от своего исходного направления, несмотря на
полное отсутствие трения в осях карданова подвеса.
Непрерывное смещение среднего направления вибрирующей оси
ротора называется уходом гироскопа. К такому же явлению
ухода приводит несовпадение оси вращения ротора с осью
динамической симметрии, т. е. динамическая
несбалансированность ротора.
Рассмотрим, пользуясь полными (нутационными)
уравнениями, поведение на неподвижном основании описанного
выше астатического гироскопа, по-прежнему при отсутствии
сил трения в осях его карданова подвеса и сторонних сил,
действующих на кольца и ротор (кроме сил нормальных
реакций). Такой гироскоп представляет собой систему трех
тел: ротора, внутреннего и внешнего колец, последовательно
соединенных между собой и с основанием идеальными
плоскими шарнирами. Упомянутые три тела будем считать аб-
112

солютно жесткими, а оси шарниров — главными осями
соответствующих колец. Можно указать два метода вывода
дифференциальных уравнений движения гироскопа в карда-
новом подвесе как механической системы твердых тел.
Первый заключается в последовательном составлении
дифференциальных уравнений Эйлера для каждого из трех тел
с учетом сил их взаимодействия и с последующим
исключением этих сил на основании третьего закона Ньютона.
Другой, более формальный, состоит в использовании второго
метода Лагранжа составления уравнений механических
систем. Воспользуемся последним. Введем, как обычно, четыре
системы координат: ξηζ, связанную с основанием гироскопа,
Х2У2%2 — с его внешним кольцом, XiyiZi — с внутренним
кольцом, и, наконец, xyzf связанную с ротором гироскопа.
Пусть ось Х2 является осью вращения внешнего кольца кар-
данова подвеса относительно основания и совпадает с осью
|, связанной с последним. Если через α обозначить угол
поворота внешнего кольца по отношению к основанию и
через А2 — его момент инерции относительно оси #2, то
кинетическая энергия этого кольца в случае неподвижного
основания представится формулой
Т,=
2
τΜτ-Γ
Обозначим, далее, через уг ось внутреннего кольца,
совпадающую с осью у2 системы координат Х2У2*2, связанной
с внешним кольцом, и через β — угол поворота внутреннего
кольца относительно внешнего. Тогда кинетическая энергия
внутреннего кольца выражается формулой
^iN>>)i+M-£)!+c-(xs4]·
в которой Аи Ви С\ суть главные моменты инерции этого
кольца, т. е. моменты инерции относительно осей Х\у ух и Z\.
В самом деле, угловая скорость этого кольца представляет
собой геометрическую сумму угловой скорости da/dt
внешнего кольца, направленной по оси *2, и угловой скорости
dfl/dt внутреннего кольца относительно внешнего, имеющей
направление оси у\. Угол между осями х2 и Х\ (и также,
разумеется, между осями гг и Z\) равен величине β.
Поэтому величины
H1 at v 41 at г at v
являются проекциями угловой скорости внутреннего кольца
113

соответственно на его главные оси инерции X\\j\Z\.
Подставляя эти величины в формулу
Τ^γ^ρΐ + ВЛ + СЛ)
для кинетической энергии твердого тела, обладающего
неподвижной точкой, приходим к приведенному выше
выражению кинетической энергии внутреннего кольца.
Для подсчета кинетической энергии ротора можно
воспользоваться той же системой координат X\yiZu поскольку
ротор представляет собой симметричное тело. Угловая
скорость ротора по отношению к внутреннему кольцу подвеса
направлена по оси г, постоянно совпадающей с осью z{.
Поэтому проекции абсолютной угловой скорости ротора на оси
системы координат X\tj\Z\ представляются величинами
da л d6 da . 0 , dv
р= COS β, <7= —— , r = SinB-^ b,
H at v ч at at v at"
где γ — угол поворота ротора гироскопа относительно
внутреннего кольца его подвеса. В результате для кинетической
энергии ротора получаем следующее выражение:
Здесь А — экваториальный и С — полярный моменты
инерции ротора.
Кинетическую энергию всей механической системы
обозначим через Г0. Очевидно, что
To=T2 + Tt+T.
Следовательно, учитывая выражения для Гг, Тх и 7\
приходим к формуле
которую можно представить также в более компактном виде
у°~ 2
®т+в'Ш+со^т-
Здесь введены новые обозначения
/(β) = 4 + (Л + Λ)α»2β + Qsln^ =
= Аг + Сх + (Аг + А — Сх) cos2 β,
Вй = Вг + А,
114

имеющие простой механический смысл. А именно, функция
/(β) с точностью до члена Acos2^ представляет собой
текущее значение суммарного момента инерции внешнего и
внутреннего колец карданова подвеса относительно оси #2
вращения внешнего кольца.
В свою очередь, постоянная В0 равна сумме моментов
инерции ротора и внутреннего кольца относительно оси у\>
совпадающей с осью #2- Вокруг этих сливающихся осей
внутреннее кольцо вместе с ротором поворачивается
относительно внешнего кольца.
Углы α, β и γ являются обобщенными координатами
рассматриваемой системы трех тел, связанных друг с другом
голономными (точнее, склерономными) связями. Уравнения
Лагранжа для таких систем имеют, как известно,
следующий вид:
d дТ дТ п и % 0
« dqk °Qk
где п — число степеней свободы, равное в данном случае
трем. Обобщенные силы Qk здесь следует считать равными
нулю, а обобщенные координаты qk — соответственно
равными
<7ι=α, ?2=β, ?3=γ>
причем, разумеется,
qx = da/dtt q2 = d$/dtt qz = dy/dt.
Заменив, далее, в уравнениях Лагранжа кинетическую
энергию Τ ее представлением Т0 через углы α, β, γ, придем к
следующей системе трех дифференциальных уравнений
второго порядка:
*.^--T^>(ir-cO^)^=o,
τΗ-ί--**)]-0
относительно трех искомых функций α, β и γ.
Последняя система уравнений допускает очевидное
частное решение
α=α0, β = βο, γ=Υο + Λ*>
где α0, βο, γο, η — произвольные постоянные, определяемые
из начальных условий. Указанному решению соответствует
равномерное вращение ротора вокруг оси г, или» что то же,
115

оси ζι, не меняющей своего направления в неподвижной
системе координат ξηζ. Ориентация колец карданова подвеса
также остается неизменной.
§ 19. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЗАДАЧИ
О ДВИЖЕНИИ ГИРОСКОПА
В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ.
СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К КВАДРАТУРАМ
Полученные выше уравнения движения астатического
гироскопа в кардановом подвесе, установленного на
неподвижном основании, при отсутствии сил трения в осях его
подвеса и сторонних сил, действующих на кольца и ротор, имеют
ряд интегралов. Найдем их.
Координаты α и β являются циклическими, вследствие
чего третье и первое уравнения исследуемой системы
допускают следующие очевидные интегралы:
C/Jy_ + ^81пр\ я== const,
V at at v)
^(β) -J- + С [±-8ΐπβ + -J.) stop = G = const.
Первый из них совпадает с аналогичным интегралом
случая Лагранжа—Пуассона движения твердого тела вокруг
неподвижной точки, т. е. представляет собой момент
количества движения ротора относительно оси его вращения. Его
константу Η назовем собственным кинетическим моментом
ротора в неподвижной системе координат ξηζ. (Ранее в § 1
у нас встречалась величина H'=Cdy/dt — собственный
кинетический момент ротора в системе x'y'z'. Поскольку
обычно dy/dt^>da/dty то с достаточной точностью #'«#.)
Левая часть другого первого интеграла также имеет
простой механический смысл. Это момент количества
движения всей механической системы (ротора и обоих колец)
относительно оси Х2, совпадающей с осью ξ.
Отсутствие трения в шарнирах, а также и иных сил,
кроме нормальных реакций в тех же шарнирах, обусловливает
наличие еще одного первого интеграла системы
дифференциальных уравнений, а именно интеграла сохранения энергии
механической системы. Последняя состоит в данном случае
из одной кинетической энергии Го, поэтому имеем
тИ>№Ч£)'+с(^+£Л =
= h = const.
Этот интеграл можно, разумеется, получить и
непосредственно из уравнений движения гироскопа в кардановом под-
116

весе. Для этого достаточно сложить левые части этих
уравнений, предварительно умножив их соответственно на dajdt,
dfi/dt и dy/dt, и проинтегрировать образовавшуюся сумму.
Полученные первые интегралы, подобно уравнениям
движения механической системы, также образуют совокупность
трех дифференциальных уравнений, однако уже первого
порядка, относительно тех же искомых функций α, β и γ.
Используя интеграл собственного кинетического момента,
можно привести два других интеграла к виду
7(β)-^ + #8ΐηβ=0,
j®m+M%r=E-
где Ε — новая постоянная.
Далее, из первого из только что приведенных выражений
следует, что
da G — Hsinp
dt /(β)
Подставляя это соотношение в интеграл энергии, приходим
к дифференциальному уравнению
(Q-Hslnfi* . R ( dpy_p
содержащему единственную неизвестную функцию β=β(/).
Имеем отсюда
и, таким образом, отыскание функции β сводится к
обращению гиперэллиптического интеграла
t — t = ι Г УШ^ нь
0 ^J /£/(β)-(0-#8ίηβ)' Ρ·
βο
Последний интеграл становится эллиптическим интегралом
первого рода в тех случаях, когда функция /(β) является на
самом деле постоянной величиной
М=А2+Си
что имеет место при соблюдении условия
А+Аг-Сх=Оу
связывающего некоторые моменты инерции внутреннего
кольца с экваториальным моментом инерции ротора.
117

Последующее отыскание функций α и γ, т. е. оставшихся
обобщенных координат системы, сводится в общем случае
к квадратурам над гиперэллиптическими функциями, что
представляет собой трудную задачу. Продвижение здесь
достигнуто пока для частного случая, сводящегося к
интегрированию эллиптических функций при условии
A+Al—Cl = 0.
Задачи и упражнения
1. Показать, что выражение
является проекцией вектора момента количества движения
системы на ось подвеса внешнего кольца.
2. Показать, что выражение
/ξξ=/(β)+0$ίη2β
представляет собой момент инерции всей системы
относительно оси #2.
3. Вывести нутационные уравнения движения гироскопа
в кардановом подвесе на неподвижном основании:
а) с помощью теоремы об изменении кинетического
момента;
б) исключая реакции связей из уравнений Эйлера,
составленных для каждого из тел системы.
Убедиться в эквивалентности полученных уравнений.
4. Показать, что обобщенные силы, соответствующие
координатам α, β, γ, имеют вид
Qa = (КХ2 + kX2) + (lXl + mXt) cos β + (t2i + m2i) sin β,
Qfi = Lyt + hx + тУч
Qy = MZi + l2i.
5. Вывести нутационные уравнения движения гироскопа
в кардановом подвесе на подвижном основании, составляя
уравнения Эйлера для каждого из тел системы с учетом их
взаимодействия и последующим исключением реакций.
Уравнения выразить через проекции угловых скоростей
колец подвеса и ротора.
6. Составить уравнения движения гироскопа в
кардановом подвесе на подвижном основании, применяя теорему об
изменении кинетического момента ко всей системе в целом,
далее, к системе «ротор + кожух» и, наконец, к ротору
гироскопа.
118

7. Получить первые интегралы задачи о движении
гироскопа в кардановом подвесе «по инерции» (Qa=Qjl=QT=0)
с помощью общих теорем механики.
8. Дать механическую интерпретацию выражению
J(H)=A2 + Cl+{A+Al—Cl)cos*$.
9. Гироскоп в кардановом подвесе установлен на
неподвижном основании. Найти первые интегралы уравнений
движения при выполнении условий:
а) Qcc = Qa(t), Qfi = Qfi(t), Qv = 0;
б) Qa = Qa (*), Qp = Qp (β), Qv = 0.
10. Гироскоп в кардановом подвесе находится на
неподвижном основании. Ось внешнего кольца вертикальна.
Центр масс системы «ротор + внутреннее кольцо» смещен
по оси ротора. Найти первые интегралы уравнений движения
в случае Qa = QT=0. Свести задачу к квадратурам.
11. Исследовать устойчивость астатического гироскопа
в кардановом подвесе на неподвижном основании по
отношению к переменным da/dt, β, dp/u1t. Построить функцию
Ляпунова по методу Четаева, используя имеющиеся в этом
случае первые интегралы.
12. Исследовать устойчивость по Ляпунову астатического
гироскопа в кардановом подвесе на неподвижном
основании по отношению к переменным α, β, da/dt, άβ/dt в случае,
■если в оси подвеса внутреннего кольца имеются силы
вязкого трения {Lyi =—ndfyldt).
13. Астатический гироскоп в кардановом подвесе
установлен на неподвижном основании. По оси подвеса
внутреннего кольца действует постоянный момент Q^const. Найти
условия существования регулярной прецессии и ее угловую
скорость.
§ 20. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА
В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ.
ФОРМУЛА МАГНУСА
Перейдем теперз к приближенному решению
дифференциальных уравнений движения гироскопа в кардановом
подвесе. С учетом интеграла собственного кинетического
момента ротора представим первые два из них в виде
/(β)-ίϋ- + /β(β) JELJL + я cos β JL = о,
νκ; dt* *w dt dt v dt
dt* 2 p VK/ V dt J v dt
119

Вместе с упомянутым интегралом они эквивалентны
исходной системе уравнений и, разумеется, вновь допускают
частное решение, при котором
a=a0=const, p=p0=const, #=const,
и, следовательно, ось ротора и кольца подвеса неподвижны.
Положим в уравнениях
α=α0+*> β=.βο+ί/
и исследуем методом теории малых колебаний поведение
гироскопа в кардановом подвесе в окрестности
установившегося движения. Сохраним в рассматриваемых уравнениях
члены до второго порядка включительно относительно
величин л:, у и их производных по времени. Получим уравнения
так называемого второго приближения:
dt2 dt2 dt dt
+ #cosp0-^-#sIn fctf-jSL = 0,
0 dt2 2 VK0 \ dt ) K0 dt
+ ЯвЫрау-^-=0.
Уравнения второго приближения будут использованы
несколько позже, а сейчас сохраним в них лишь линейные
члены относительно тех же величин ху у, dx/dt и dy/dt. В
результате получим систему линеаризированных уравнений,
или уравнений первого приближения:
θο^_#οο3β0-^ = 0.
0 dt2 ™ dt
Ее общее решение, как нетрудно проверить, имеет вид
χ = а + Μ cos (v/ + ε),
у = b + λ/i^M sin (vt + ε).
Здесь a, by Μ, ε — произвольные постоянные, определяемые
начальными условиями:
__ __ dx __ · dy __ ·
аао

Что касается величины ν, то она определяется формулой
tfcospo
ν = ——
и является частотой малых движений оси ротора около ее
среднего положения
α=αο + α, β = βο+6.
Очевидно, что постоянные а и Ь не играют какой-либо
существенной роли и их можно включить в состав постоянных ао
и β0. Таким образом, малые движения оси ротора в
линейном приближении описываются гармоническими функциями
x = Afcos(vf+ ε), y= i/iMMsin(vt + e)
о
с периодом
Т = 2п ^W*
Η cos β0
Формулы, представляющие решение уравнений движения
гироскопа в линеаризованной постановке, приводят к выводу
о том, что среднее положение оси ротора при нутации
остается неизменным. Однако уже при приближенном
рассмотрении задачи с учетом членов второго порядка, как будет
показано ниже, результат получается иной.
Представим уравнения второго приближения в виде
w dt* ™ dt
Каждое из этих уравнений отличается от соответствующего
линейного уравнения лишь своей правой частью,
содержащей члены второго порядка относительно величин у, dx/dt,
dy/dt и d2x/dt2.
Естественно допустить, что при приближенном решении
этих уравнений в их правые части можно подставить
решение линеаризованных уравнений. В результате правые части
уравнений второго приближения окажутся периодическими
функциями времени с периодом
Т=2ф.
121

Осредним эти функции по времени на интервале, равном
периоду. Тогда в силу их периодичности получим прежде
всего, что
τ
о
и аналогично
Τ )\ dt* У± dt dt Γ Τ dty
= 0
о
— 1 i/ —^- df = У \ = 0.
Τ У dt 2T * о
Поэтому среднее значение правой части первого
уравнения равно нулю. Правая же часть второго уравнения после
подстановки решения линейной системы принимает
следующий вид:
— Г (β0) ν2Λί2 sin2 (vt + ε) +
+ Η sin β0 |/ ί$&- sin (vt + ε) . νΛί2 sin (vt + ε).
Среднее значение последнего выражения за период 7\
очевидно, равно
ν2Μ2
Γι Г(й. . /fsinft, Άί J(M 1
Заметим прежде всего, что произведение νΛί
представляет собой амплитуду колебаний угловой скорости внешнего
кольца подвеса, подсчитанную исходя из линеаризованных
уравнений движений гироскопа при задании значений
угловых скоростей da/dt и dfl/dt в начальное мгновение времени.
Обозначим упомянутую амплитуду через ά„. Таким образом,
νΛί=άα.
Далее, используя формулу для частоты ν, имеем равенство
_^!£&Ly^=y(po)tgPo
ν ψ В0
В результате среднее значение правой части второго
уравнения представляется в виде
2
122
·άί[γ /'(βο) + '(βα)*ββ].

Учитывая формулу для /(β), нетрудно проверить
справедливость следующего тождества:
J(»J + -yJ'<№<*&& = At + Cl9
с помощью которого последнее выражение упрощается и
приводится к виду
Y<£(At + CJtgfi0.
Таким образом, если подставить в правые части
уравнений второго приближения решение линеаризованных
уравнений и произвести осреднение их по времени на интервале,
равном периоду Г, то придем к следующим линейным
уравнениям:
^(βο)-^ + #α>8β01Γ = 0,
Очевидно, что общее решение этой системы уравнений
состоит из суммы какого-либо частного ее решения,
например
a^ + Crftgfc
2Я cos βο
и общего решения соответствующей однородной системы.
Следовательно, формулы
х = с + Ncos(vt + δ) —— ί,
2Я cos po
y = d+ j/"^^sln(v/ + 6),
в которых jV, δ, с, d — произвольные постоянные,
представляют собой общее решение системы осредненных
дифференциальных уравнений. Постоянные Ν, δ, с и d определяются
начальными условиями движения колец карданова подвеса,
т. е. значениями углов α, β и их производных по времени
в начальное мгновение /=0. В самом деле, тем самым
окажутся известными начальные значения величин х, у и их
производных по времени, что и позволяет определить
упомянутые постоянные. Согласно сделанным выше
предположениям величины хну считаются малыми, вследствие чего
должны быть малыми и их начальные значения, равно как
и начальные значения производных этих величин по време-
123

ни. Нетрудно проверить, что при таких предположениях
константы N и δ будут отличаться на малые второго порядка
от констант Миг, входящих в решение линеаризованной
совокупности дифференциальных уравнений при соблюдении
одних и тех же начальных условий. Таким образом, с
точностью до малых второго порядка можно положить, что
νΝ=αα.
Следуя ожидать, что формулы второго приближения
более точно описывают нутационное движение гироскопа в
кардановом подвесе, чем формулы линейного приближения.
Наличие в них члена, пропорционального времени,
свидетельствует о систематическом возрастании среднего значения
угла α — поворота внешнего кольца карданова подвеса от
своего исходного положения.
Далее, для производных углов α и β можно записать
выражения
Отсюда следует, что среднее за период Τ значение
угловой скорости d$/dt внутреннего кольца относительно
внешнего равно нулю, а среднее значение угловой скорости da/dt
внешнего кольца по отношению к неподвижному
пространству за то же время составляет величину
da у ^(Λ+Q)
■tgp0.
(-г-)-
2tfcosp0
Эта формула была впервые опубликована в 1955 году
К. Магнусом и в аналогичном виде немного позже — Плей-
мелем и Гудстейном.
Формула Магнуса получена в результате приближенного
решения приближенных же дифференциальных уравнений
движения гироскопа в кардановом подвесе. Естественно,
возникает вопрос, насколько точна эта формула по
сравнению с истинным решением исходных уравнений той же
задачи. Д. М. Климов и Н. П. Степаненко показали, что
формула Магнуса хорошо согласуется с точным решением в
частном случае
А+Аг—d=0,
в котором //(β)=0 и исходные уравнения интегрируются в
эллиптических функциях. Я. Б. Лунц, М. И. Бородина,
Л. Н. Слезкин и некоторые другие на основании
заслуживающих доверия приближенных методов подтвердили формулу
124

Магнуса и в общем случае, когда указанное соотношение не
имеет места. Сам же факт ухода уравновешенного
(астатического) гироскопа в кардановом подвесе, или, точнее,
отличие от нуля среднего значения угловой скорости его
внешнего кольца при вибрациях, был впервые, по-видимому,
замечен Е. Л. Николаи, который, в частности, довел
интегрирование уравнений задачи до гиперэллиптических квадратур.
Укажем еще один вывод формулы Магнуса, основанный
на специальном преобразовании второго из точных
уравнений
w' df* w dt dt V dt
0 <№ 2 KJ \ dt ) v dt
описывающих движение гироскопа в кардановом подвесе.
Из упомянутого уравнения следует равенство
da = В0 d2p /'(β) / da \»
dt Hcosfi ' dP 2#<χ>8β \ dt J #
Кроме того, имеет место тождество
cos$ dt2 dt { cosfb dt ) οο8β \ dt ) '
а также
/'(»-2Hi+C1-/(P)]tgP,
что следует из тождества
С учетом двух последних соотношений выражение для da/dt
приводится к виду
da = Вр d / 1 d$ \ А2+Сг . β f da γ
dt Η dt [ cosfb ' dt J Яcosβ gP \ dt )
tg β
+
i^m-^a-n
Я cos β
В случае достаточно малых начальных значений угловых
скоростей колец карданова подвеса функция β='β(0
является периодической. Поэтому если по-прежнему обозначить
через Τ период этих движений, то
f-t.f_L.-ie-) л-о
J dt \ cosfi dt )
о
125

и из последнего соотношения следует, что
τ
ι da \ Л2 + С! 1 Г tgp / da γ ,,
\ dt Ι Η " Г J εοββ \ Λ / +
ο
ο
где, как и выше, используется обозначение типа
τ
</(0>=-f \f(t)dt
о
для среднего значения угловой скорости da/dt за период Т.
Очевидно также, что
tgPi < tgp tgp2
cospx cos β cosp2
где βι и β2 — пределы изменения угла β, т. е. корни
тригонометрического уравнения /(β)— α2=0, рассматриваемого
ниже. Вследствие этого выражение для среднего значения
угловой скорости можно представить в виде
+тг(2И'*>(-?-),-М-?-),]>·
где β3 — некоторое среднее значение угла β в интервале
(βι. Ра)-
Если подставить в правую часть последнего равенства
вместо функций α и β их выражения, полученные в
результате решения линейных уравнений и, кроме того, заменить
величины ββ и β на β0, а /(β) на /(βο), то вновь получим
формулу Магнуса
(1*L) = L А* + с* tgβ0v2M2 + O(M3).
Таким образом, можно убедиться в справедливости формулы
Магнуса с точностью до малых величин более высокого
порядка, чем те, что входят в эту формулу. При этом нет
необходимости прибегать к оценкам, связанным с выбором
конечного интервала времени. Именно последнее
обстоятельство, равно как и доказательство сходимости итерационных
процессов и последовательных приближений, составляло
наиболее уязвимое место в ряде предшествующих
исследований.
126

Задачи и упражнения
1. Из решения линейной системы уравнений следует,
что проекция конца вектора собственного кинетического
момента гироскопа Η описывает на плоскости (α, β) эллипс
с полуосями а, Ь. Можно ли параметры гироскопа и
начальные условия выбрать таким образом, чтобы выполнялись
неравенства: 1) а>Ъ, 2) а<6?
2. Уравнения малых колебаний гироскопа в кардановом
подвесе в окрестности начальных значений αο, βο имеют вид
Вл
d*y
dt*
Hcosfi0^- = Qyt
где
Я=const, х=п—α0, ί/==β—βο-
Исследовать движение оси ротора гироскопа
в осях карданова подвеса сил сухого трения:
dx , Л
При —тт- Φ 0.
при наличии
Q* =
Q,=
v . dx
-/(sign —
—K<QX<K при
r · dy
— Lsign —— при
dt
dx
dt
dy
dt
= 0,
9^0,
-L<Qy<L при^- = 0.
dt
Изобразить движение на плоскости (dxjdt, dy/dt), если при
t=0 dx/dt=xo, dy/dt=y0.
3. В условиях предыдущей задачи исследовать движение
гироскопа при наличии момента сил сухого трения и
постоянного момента, действующего по оси внутреннего кольца
гироскопа.
4. Астатический гироскоп в кардановом подвесе
установлен на вращающемся основании. Вектор угловой скорости
основания составляет с осью внешнего кольца гироскопа
угол Θ. В осях вращения колец карданова подвеса имеются
силы вязкого трения. Найти положения равновесия
гироскопа. Исследовать их устойчивость, считая, что угловая
скорость основания много меньше скорости вращения ротора.
5. В осях вращения колец карданова подвеса
гироскопического маятника (рис. 53) имеются силы вязкого трения,
моменты которых пропорциональны относительным угловым
скоростям колец. Можно ли для случая неподвижного
основания выбрать параметры гироскопического маятника
таким образом, чтобы вертикальное положение оси ротора
гироскопа было устойчивым в случае, когда:
127

а) центр масс расположен ниже геометрического центра
подвеса,
б) центр масс расположен выше геометрического центра
подвеса.
При исследовании задачи ограничиться линейными
уравнениями нутационной теории гироскопов.
6. К центру масс покоящегося гироскопического
маятника (рис. 72) внезапно приложена сила Р, изменяющаяся по
закону, изображенному на рис. 73. Считая углы отклонения
оси маятника от вертикали достаточно малыми, исследовать
его движение.
7. Центр масс гироскопи-
^х ческого маятника (рис. 53)
/gf^YI смещен по оси ротора на рас-
^ '& стояние / от центра подвеса.
По осям карданова подвеса
действуют моменты сил
вязкого трения. Считая
величину кинетического момента
гироскопа Η достаточно
большой, найти приближенные
№
И"
тд
ж
Рис. 72
Рис. 73
значения корней характеристического уравнения системы.
Сравнить быстроту затухания прецессионных и
нутационных колебаний. Основание, на котором установлен
гироскоп, неподвижно.
8. Гироскопический маятник, изображенный на рис. 62,
состоит из двух идентичных гироскопов, кожухи которых
укреплены в общем внешнем кольце. На кожухах гироскопов
укреплены грузики массы тх и т2. Грузики находятся на
продолжениях осей роторов соответствующих гироскопов.
По оси подвеса внешнего кольца действует момент сил
вязкого трения. При каких условиях возможно равновесие
системы в случае, если один из грузиков находится выше оси
вращения внешнего кольца? Ограничиться исследованием
линейной системы уравнений.
9. Считая выполненными условия предыдущей задачи,
рассмотреть устойчивость положения равновесия системы.
При каких условиях будет устойчивым такое положение
128

равновесия, когда центр масс одного из гироскопов лежит
выше оси внешнего кольца, а второго — ниже (рис. 62).
Рассмотреть случаи:
а) разных гироскопов;
б) идентичных гироскопов с различными массами
грузиков.
10. Астатический гироскоп в кардановом подвесе
установлен на неподвижном основании. Полагая Qa = Qp = 0,
рассмотреть движение гироскопа под действием момента сил
сухого трения, препятствующего вращению ротора
гироскопа: QT = —nsigndy/dt. Считая величину момента сил
трения достаточно малой (—- <£ 1), рассмотреть малые
колебания гироскопа. Показать, что амплитуда колебаний
внешнего кольца (так же как и внутреннего) возрастает со
временем, если в начальный момент времени
a = α0, β = β0> —jt" = <*ο> —— = β0.
at at
11. Какие силы обусловливают систематический уход
вибрирующего свободного гироскопа (гироскопа,
совершающего нутацию)?
12. Гироскоп в кардановом подвесе установлен на
основании, совершающем периодические колебания вокруг оси
внешнего кольца. По оси внешнего кольца действует момент
сил вязкого трения. Найти среднее значение угловой скорости
внешнего кольца гироскопа (так называемую угловую
скорость «ухода» гироскопа).
13. Астатический гироскоп в кардановом подвесе
установлен на самолете. Ось внешнего кольца гироскопа
совпадает с осью η (см. указание к задаче 3 §4). Определить
скорость систематического ухода гироскопа в случае малых
колебаний самолета по углам крена γ и тангажа Φ,
происходящих по закону
Φ = ΰ^ίηω/,γ=γο$ίη(ωί+<ρο)·
Показать, что скорость систематического ухода равна
величине телесного угла, описываемого осью Х\ системы
координат X\tf\Z\, связанной с внутренним кольцом гироскопа. Пусть
в начальный момент α=ιαο = 0, άο=βο=0, а ось ротора
гироскопа лежит в плоскости симметрии самолета и составляет
с продольной осью ξ угол β = β0. Показать, что направление
скорости систематического ухода определяется направлением
движения оси Х\ по конической поверхности.
14. Гироскоп в кардановом подвесе находится на
неподвижном основании. По оси внешнего кольца действует по-
5 Зак. №558
129

стоянный момент kXa. Считая величину kXi достаточно малой
(кХя/Н ν0<ζ 1), найти изменение амплитуды и частоты
нутационных колебаний гироскопа. В начальный момент времени
при / = 0
15. Гироскоп с двумя степенями свободы (рис. 74) может
применяться для измерения угловой скорости основания, на
котором он установлен. Пусть основание вращается вокруг
оси ξ с постоянной угловой скоростью Μξ = Ω. Считая, что
моменты, развиваемые пружиной и демпфером,
соответственно равны Μχ = — &β, Λί2 = —ηάβ/άί, найти зависимость угла β
от величины Ω в установившемся режиме. Рассмотреть
случай #Ω<&.
Рис. 74 Рис. 75
16. Гироскоп с двумя степенями свободы установлен на
основании, вращающемся с постоянной угловой скоростью о>
(рис. 75). Вектор угловой скорости основания составляет
угол θ с плоскостью основания. Найти зависимость угла β
от величин ω и Θ. Какова будет ошибка, если прибор
используется в качестве измерителя проекции угловой скорости
основания на ось ξ?
17. Гироскоп с двумя степенями свободы (рис. 74)
установлен на основании, вращающемся с постоянной угловой
скоростью Μξ = Ω, направленной по оси ξ. По оси кожуха
гироскопа действует момент сил сухого трения.
Исследовать движение гироскопа. Построить фазовые траектории
системы на плоскости (β,άβ/dt). Выяснить, от каких
параметров будет зависеть ошибка прибора, если гироскоп
используется для измерения угловой скорости Ω. Момент сил
трения рассматривать в виде
130

|-Ai0sign-4L при-^-^O,
-M0< Lyx<М0 при -5£- = 0.
18. Гироскоп с двумя степенями свободы (см. задачу 15)
установлен на основании, совершающем периодические
колебания вокруг оси ξ. Угловая скорость основания равна
Ω&=Ωο8ΐηω/. Считая, что демпфер отсутствует (Λί2 = 0), а по
оси подвеса гироскопа действует момент сил сухого трения,
достроить фазовые траектории системы на плоскости
(β>άβ/άί) для вынужденных колебаний гироскопа.
19. Гироскоп с двумя степенями свободы установлен на
самолете, совершающем малые периодические колебания по
закону
Φ = Ό^ίηίω^+φ), γ=γο8ίηω£.
Гироскоп предназначен для измерения угловой скорости
dty/dt самолета (см. указание к задаче 3 §4). Найти ошибку
прибора в зависимости от параметров колебаний по углам
О и γ.
20. Гироскоп с двумя степенями свободы (рис. 74)
установлен на основании, вращающемся с угловой скоростью Ω
вокруг оси ξ. Найти зависимость угла β поворота кожуха
гироскопа вокруг оси подвеса в случае, если пружина
отсутствует, а по оси подвеса кожуха действует момент сил
вязкого трения Λίι=—Ddfl/dt (интегрирующий гироскоп).
Рассмотреть случай как постоянной угловой скорости, так и
медленно изменяющейся (Q<^dy/dt).
21. В уравнениях возмущенного движения оставить
члены третьего порядка малости и выписать уравнения третьего
приближения.
§ 21. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА
В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
ПОСРЕДСТВОМ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Покажем теперь, что в конечной окрестности частного
решения, соответствующего вращению ротора с постоянной
угловой скоростью при неподвижных кольцах карданова
подвеса гироскопа, существует многопараметрическое
семейство движений этой механической системы с периодическим
изменением координаты β (угла между осью собственного
вращения ротора и перпендикуляром к плоскости внешнего
кольца). Возьмем следующие начальные условия движения
5*
131

рассматриваемой механической системы трех тел. Пусть в
мгновение / = 0
α = α„ β = β„ γ = Υ„
da Λ dp λ dy
= α* = 0» —— = β*, —L = Υ*.
dt at ν* dt τ*
Из-за цикличности координат α и γ их начальные значения
а* и γ* совершенно не существенны. Знание начальных
значений daldty β и dy/dty т. е. величин α* = 0, β* и γ*, позволяет
определить величину Η собственного кинетического момента
ротора. В свою очередь, начальное значение угла β* ВхМесте
с начальным значением ά* и значением собственного
кинетического момента ротора Η определяет величину
постоянной G. А именно,
σ = #δίηβ*.
Учитывая последнее равенство, представим
дифференциальное уравнение для определения угла β в следующем виде:
Я* (sin β-sin β,)* , ρ (dp \%_ρ
Так как функция /(β) всегда положительна, то при
равенстве постоянной Ε нулю имеем в соответствии с предыдущим
равенством
β=β*, d$Jdt==0,
что соответствует упомянутому выше частному решению.
При малых (разумеется, положительных) значениях
постоянной Ε угол β должен, естественно, мало отличаться от
начального значения β*, а угловая скорость dpjdt — от нуля.
Последнее уравнение имеет смысл рассматривать как
уравнение семейства фазовых траекторий на плоскости с
координатами β и v = d$/dt, соответствующих различным
значениям постоянной Е. Для дальнейшего удобно представить
это уравнение в следующем виде:
ί(β) + "2 = α*.
Здесь введены обозначения
ш = (8ίηβ-8ΐηβ,)»/(β,)
/ψ; ^ (β) cos* β*
u_ dp _ УЩ7Щ . <*β /(Ь)Д
u~ dx "" Η cos fa dt ' α — Я»cos»β, '
где, в свою очередь,
τ== Я COS β» /
VJ (β*) Во
132

время, измеряемое в безразмерных единицах, а — новая,
также безразмерная, постоянная и и — производная угла β
по безразмерному времени τ. При небольших значениях
постоянной а фазовые траектории в координатах β и и мало
отличаются от окружностей. Чтобы это показать, введем
новую переменную ί/=β — β*, после чего функция /(β) с
учетом выражения для /(β) и обозначений для А2+С\ = М и
Αχ + Α — С\ = К может быть представлена следующим
образом:
/ф) =
[sin(p.+y)-3inp.]' M + *cos«p.
M + Kcos*$* + y) cos2 β»
Теперь нетрудно видеть, что с точностью до членов третьего
порядка относительно переменной у функция /(β) становится
равной выражению
/№)=/('β*+ί/)=ί/2(ί-λί/),
в котором
λ== Л*-* сев» β. tgp^
Μ + Κ cos2 β,
Следовательно, уравнение фазовых траекторий при малых
значениях параметра а можно представить в следующем
приближенном виде:
У2 — lyz + u2=a2.
Очевидно, что они тем меньше отличаются от окружностей,
описываемых уравнением
у2+и*=а2у
чем меньше параметр а.
Нетрудно убедиться,
что при малых
значениях параметра а
дифференциальное
уравнение для определения
фазовых траекторий
описывает
периодическое изменение угла β.
В самом деле,
движение фазовой точки с
координатами β и и
происходит в
плоскости (<β, и) по часовой стрелке по замкнутой кривой,
симметричной в данном случае относительно оси абсцисс и = 0
(рис. 76). Поэтому, исходя из того же уравнения для
фазовых траекторий с учетом введенных обозначений, период
функции β(/) можно представить формулой
Рис. 76
133

Τ ^2 YJ№*)B» f dV
tfcosp* J уа* — 1ф) '
βι
где βι и β2 — координаты точек пересечения фазовой
траектории с осью абсцисс м = 0, т. е. корни тригонометрического
уравнения /(β)— α2=0.
Определенный интеграл, стоящий в правой части
последней формулы, — гиперэллиптический. Его подынтегральное
выражение уже встречалось выше (в других обозначениях).
В случае весьма малых значений параметра а имеем
β^β.-α, β2^β, + α,
dt^dy, Va* -/(β) ^Va*-y* . -
В результате получаем для периода изменения угла β
следующее выражение:
т = 2 //(β,) Во г dy = 2π //(β»)До
tfCOSp* J у^д2 _ у2 HcOSfi*
Отметим теперь еще одно обстоятельство. Наряду с
периодическим решением дифференциального уравнения
относительно угла β, или, что то же, уравнения
/(β) + (#/<Μ=α*,
можно при достаточно малых значениях параметра указать
еще два решения этого уравнения, а именно:
β =^1 = Const, β = β2=50ΟΠ8ί,
где β! и β2 — по-прежнему корни тригонометрического
уравнения /(β)—α2=0. Указанным решениям соответствует
значение производной u=d$/dr, равное нулю. Пусть теперь
фазовая точка двигается по верхней части своей траектории и
приходит в положение (β2,0). В соответствии с только что
изложенным, казалось бы, она здесь может и остаться,
поскольку постоянные значения β = β2 и w=0, соответствующие
этому положению, сами удовлетворяют уравнению /4β) +
+ (ύίβ/ί/τ)2==α2. Однако на самом деле остановка фазовой
точки здесь невозможна, так как соотношения β = β! = const
и β = β2=^οη8ί не являются решениями исходной системы
уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе при
заданных начальных условиях. Эти ложные решения
возникли в результате операций, совершаемых при получении
интеграла энергии, а именно: умножения левых частей уравне-
134

ния соответственно на производные углов α, β и γ по
времени и последующего сложения. Поэтому при достаточно
малых значениях параметра а фазовая точка, не
останавливаясь, переходит через положение (β2,0) из верхней
фазовой полуплоскости в нижнюю и затем через положение (βι, 0)
обратно в верхнюю полуплоскость, совершая периодическое
движение по замкнутой траектории.
К такому же заключению можно прийти, если определить
значение второй производной функции β(/) в упомянутых
точках (βι, 0) и (β2,0).
Исключение составляет случай равенства —π/2 или π/2
одной из величин βι, β2. Соответствующая замкнутая
фазовая траектория становится в этом случае сепаратрисой. Она
пересекает ось абсцисс под острым углом, а не под прямым,
как остальные замкнутые фазовые траектории. Чтобы это
показать, заметим, что угловой коэффициент касательной
к фазовой траектории представляется формулой
dp ~~ dt dp -~ υ ' dt2
При приближении к оси абсцисс ордината υ стремится к
нулю, и, следовательно, угловой коэффициент неограниченно
возрастает, если только вторая производная d2$Jdt2 не
стремится к нулю, 1ак же как и ордината и.
Так как упомянутая вторая производная отлична от нуля
при ιβι=#=—π/2 или 02#я/2, то соответствующие фазовые
траектории пересекают ось абсцисс под прямым углом.
В случае же, например, β2=π/2 и числитель и знаменатель
правой части последнего равенства одновременно
обращаются в нуль, и, следовательно, для отыскания величины dv/dt
необходимо раскрытие неопределенности этого отношения
при β2-κη/2. Это проще всего проделать, пользуясь
безразмерными переменными β, τ и u = d$/dx. Вместо последней
формулы получим теперь выражение для углового
коэффициента касательной к фазовой кривой уже в плоскости (β, и):
du = J_ <Ρβ
dp и βτ* '
Чтобы получить выражение для d2fljdx2, можно
продифференцировать по переменной τ левую часть
дифференциального уравнения /(β) + (d$/dx)2=*.a2. В последнем случае
после очевидного сокращения получим равенство
dx* 2
135

и, следовательно, вновь учитывая уравнение /(β) + (ώβ/ώτ)2=
= α2, имеем
du = Г (β)
<ίβ 2 Κα2-/(β) '
Значение параметра α, соответствующее сепаратрисе,
находится из условия ее прохождения через точку с
координатами β = β2 = π/2, ί/=0. Поэтому в соответствии с уравнением
/(β)+α*=α*
α*=/(π/2).
Подставляя в формулу для duldfy вместо функции /(β)
ее выражение и переходя к пределу при β-^π/2, можно
вычислить значение углового коэффициента касательной к
сепаратрисе в ее угловой точке (π/2,0). Это значение
оказывается конечным. Дополнительные выкладки показывают,
что фазовая точка достигает положения (π/2,0) за
бесконечно большое время, а само это положение соответствует
положению динамического равновесия механической
системы, при котором ось ротора совпадает с осью внешнего
кольца. Все высшие производные угла β по безразмерному
времени τ для положения фазовой точки в углу
сепаратрисы, как нетрудно показать, оказываются равными нулю.
Сепаратриса отделяет периодические фазовые кривые,
окружающие точку (ιβ*, 0), от других фазовых кривых,
отвечающих более сложным движениям рассматриваемой
механической системы.
§ М. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА
В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ
При составлении уравнений движения гироскопа в кар-
дановом подвесе в предыдущих параграфах применялись
в основном уравнения Лагранжа II рода. Для этих же целей
может быть использован и другой подход, основанный на
применении теоремы об изменении момента количества
движения. Продемонстрируем этот способ на примере
составления уравнений движения гироскопа в кардановом подвесег
установленного на подвижном основании.
В курсе теоретической механики доказывается теорема
о том, что производная от момента количества движения
системы равна моменту внешних сил, приложенных к системе:
.£.-».
Данное векторное соотношение записано относительно инер-
циальной системы координат. Оно эквивалентно трем ска-
136

лярным уравнениям, которые могут быть получены в
результате проектирования векторного соотношения на оси
какого-либо трехгранника. Если в качестве такого
трехгранника выбрать трехгранник xyzy вращающийся с угловой
скоростью ω= (ω*, щу ω*), то, как известно, будем иметь три
скалярных уравнения:
at
-£ί. + (»,05-ω,05)=-Α|·.
at
^. + (ωχοΙ-%ο0χ) = Μΐ
at
Здесь Gx°y Gy°y Gz° — проекции вектора момента количества
движения системы G0 на оси ху уу г. i
С внешним кольцом гироскопа в кардановом подвесе,
как и ранее, свяжем систему координат x2y2z2y ось х2
которой направлена по оси внешнего кольца, а ось у2 — по оси
подвеса внутреннего кольца. Предполагая, что оси х2у у2у z2
являются главными осями инерции, момент количества
движения внешнего кольца запишем в виде
(?2=A2p2i2-}- B2q2\2^C2r2k2y
где А2у В2у С2 — моменты инерции внешнего кольца
относительно осей х2у у2у z2 соответственно; ω2= (Рг,<72>
r2)—абсолютная угловая скорость внешнего кольца; i2y /2, £2 — орты
осей системы координат x2y2z2.
С внутренним кольцом свяжем систему координат X\y\Z\y
у которой ось ух направлена по оси подвеса и совпадает
с осью у2у а ось Z\ направлена по оси ротора двигателя.
Момент количества движения внутреннего кольца запишем
в виде
Gi^AipJi+Btf^+Cxrxku
где АХу В\у С\ — главные моменты инерции внутреннего
кольца относительно осей х\у у\у z\ соответственно; ωι = (рь <7ι, Γι) —
абсолютная угловая скорость внутреннего кольца; i\,j\,k\ —
орты системы координат X\tj\Z\.
Поскольку эллипсоид инерции ротора гироскопа есть
эллипсоид вращения, то момент количества движения ротора
гироскопа можно записать через его проекции на оси системы
Х\У\2\ в виде:
С = Afrk + Aqx\ + С (rt + -2JL) kv
137

где А и С — экваториальный и полярный моменты инерции
ротора соответственно, dy/dt — угловая скорость вращения
ротора гироскопа относительно внутреннего кольца.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из одного
тела — ротора гироскопа. Для этой системы можно записать
лЪ = Л? + т,
at
где Μ — момент сил взаимодействия между внутренним
кольцом и ротором гироскопа, т — момент сторонних сил,
действующих на ротор. Последнее векторное уравнение можно
спроектировать, например, на оси системы координат χ\{/\Ζ\.
Однако при проектировании на оси х\ и у\ в правые части
получающихся скалярных уравнений войдут неизвестные
величины MXlf МУх — моменты сил реакций, действующих со
стороны внутреннего кольца на ротор. Поэтому следует
ограничиться только одним уравнением, получающимся в
результате проектирования векторного уравнения на ось z\\
-irc{r>+f-)=M»+m*=Q-
Обозначая С (гг Η — ) = Я, перепишем получившееся
уравнение в виде
аИ
at
= Ai2l+mZl = Qv
Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух тел:
«внутреннее кольцо + ротор». Момент количества движения
этой системы
Для рассматриваемой системы имеет место векторное
уравнение
= L + I + my
at
где L — момент сил, действующих со стороны внешнего
кольца на внутреннее, 7 и т — моменты сторонних сил,
действующих соответственно на внутреннее кольцо и ротор. По
соображениям, изложенным выше, следует ограничиться
рассмотрением скалярного уравнения, получающегося в
результате проектирования векторного уравнения на ось у{. В
результате имеем
<*<#>
at
**- + (Ί G* - Pi <й!}) = Lyt + 1Ух + myi.
138

Проекции вектора G(1) на оси системы координат X\y\ZX
определяются следующим образом:
(#> = (А + Аг) р19 0«> = (А + Вг) Чь оЦ> = СЛ + Я.
Подставляя эти величины в последнее уравнение, получим
(Л + jy-ijZL + (л + A1-C1)p1rl-Hpl = I,f + /„ + m*.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из трех
тел: «внешнее кольцо + внутреннее кольцо + ротор». Момент
количества движения такой системы есть
~G(2) = G2+Gt+G= А2р2 i2 + B2qJ2 + C2r2k2 +
+ (A + AJp^ + (A + Вг) ςχΓχ + Cffa + H\.
Найдем проекции момента количества движения (?(2) на оси
системы координат Х2У2%2. Поскольку система координат
XiyiZi получается из системы координат ХчУъХъ поворотом
на угол β вокруг оси у2у совпадающей с осью уи между
единичными векторами этих систем имеют место соотношения
?! =i2cosp — £2stop,
ίι = 72»
fe1 = i2sinp + F2cosp.
Подставляя iv jl9 kx в выражение для G(2\ получим
С*} = Αφ2 + (A + Ajpicosp + C^sinp + Я sin β,
<&2)= B2g2 + (A + Bt)qb
G{£ = C2r2 — (A + AJpx sinfi + Ο^οοββ + Hcoa$.
Применяя теорему об изменении момента количества
движения и ограничиваясь рассмотрением скалярного уравнения,
получающегося в результате проектирования на ось χ?,,
получим
dG(2) _____
at
где К — момент сил, действующих со стороны основания на
внешнее кольцо, \ Г, т —моменты сторонних сил,
действующих соответственно на внешнее кольцо, внутреннее кольцо
и ротор. Из векторного соотношения
K + k+T+m = (Kxa + kXt) i2 + (КУ2 + kya)J2 +
139

+ (Кг. + К) k% + (/*, + mXt) ?!+(/,, + тУг) jt +
+ (lzi + mZt)k1
нетрудно найти
<?α = К*, + К + (lXi + mXi) cos β + (/,, + m.zJ sin β.
Подставляя G^, G%\ G™ в уравнение, получим
Аг -*а- + (А + AJ -&L- cos β + cx -^- sta β +
2 dt y v dt Κ1Λ κ
+ -£L- sin β + (С, — Б,) ftr, — (A + BJ q^ +
at
+ [Слсовр-.И + Л,) л sin β] (</2 + -it) +
Последнее уравнение можно несколько упростить, если вос-
пользоваться кинематическим соотношением q2 Η — = <7ι
и первым из полученных уравнений:
dH
at
= MZt + пг2
В результате приходим к следующей системе
дифференциальных уравнений, описывающих движение гироскопа в карда-
новом подвесе, установленного на подвижном основании:
Л2-^+(Л+Л1)~^-а^ +
at at
+ d sin β-^- + (С, - B2) <72r2 - (Л + В,) цхгг +
+ \Cxrx cos β — (Л + Л) рх sin β] qy + Я cos β·?ι =
= Q« — (Λίζ, + /η,,)8ΐηβ =
= tf*. + kXl + (lXi + mXi) cos β + (/,, — Λί,,) sin β,
(Л + ЯЛ-^ + ^ + Д-СО/Ух-Я^
= ^Л + hi + m». = Φβ>
dH
л = Λί,, + m,, = QT.
140

К полученной системе динамических уравнений следует
добавить кинематические уравнения. Кинематические
уравнения получаются из векторных соотношений
— - , da τ - — , dp τ - — , dy -r.
at at at
они рассматривались ранее в § 4.
Влияние подвижности основания сказывается двояким
образом. В левые части динамических уравнений движения
входят проекции абсолютных угловых скоростей тел,
составляющих систему, на соответствующие оси систем координат.
Как следует из кинематических уравнений, эти проекции
непосредственно зависят от угловых движений основания.
Уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе на
подвижном основании составлялись относительно
поступательно перемещающейся системы координат. Поэтому в
число сторонних сил, действующих на тела системы, входят
силы инерции переносного движения, равные по величине
произведениям масс тел системы на ускорение
геометрического центра гироскопа (точки пересечения осей карданова
подвеса), в который помещались начала всех введенных
систем координат. Эти силы приложены в центрах масс тел
и направлены в сторону, противоположную направлению
вектора ускорения геометрического центра гироскопа.
В общем случае эти силы могут давать составляющие
в проекциях моментов сторонних сил kX2ylxvlyJZxy τηΧχ, myiim2l.
Задачи и упражнения
1. С помощью полученных уравнений вывести уравнения
гироскопа в кардановом подвесе, установленного на
неподвижном основании. Сравнить составленные уравнения с
уравнениями, полученными ранее методом Лагранжа.
2. Гироскоп в кардановом подвесе установлен на
основании, совершающем малые колебания вокруг оси внешнего
кольца с угловой скоростью i/6 = i/osin(D£. Исследовать малые
колебания гироскопа, если по оси внешнего кольца
действует момент сил вязкого трения. Начертить график
зависимости амплитуды колебаний внешнего (внутреннего) кольца
карданова подвеса в зависимости от частоты колебаний
основания.
3. Гироскоп в кардановом подвесе установлен на
основании, совершающем малые колебания вокруг оси η системы
координат ξηζ, связанной с основанием. По оси подвеса
внутреннего кольца действует момент сил вязкого трения.
Рассмотреть малые колебания гироскопа, если в начальный
момент β(0)=0, (χ(0)=$(0)=0, угол α равен: а) а = 0°, б) а=
=45°. Сравнить амплитуды колебаний при одинаковых час-
141

тотах в том и другом случае. Величина вектора угловой
скорости основания равна иц=и0 sin ωί.
4. Основание, на котором установлен гироскоп в карда-
новом подвесе, совершает малые колебания вокруг оси,
лежащей в плоскости ξη и составляющей угол θ с осью η.
В начальный момент времени α(0)=β(0)=0, ά(0) =β(0) =0.
Рассмотреть малые колебания гироскопа для случаев:
а) 6=0°, б) 9=45°, в) 6 = 90°. Сравнить амплитуды
колебаний при одинаковых частотах, если величина вектора
угловой скорости основания равна w = Mosin(D/.
5. Основание, на котором установлен гироскоп в карда-
новом подвесе, совершает малые колебания. Вектор угловой
скорости основания имеет проекции щ=0, i/n=Oosin(u/, щ =
= i/osin(iuH-|6). Методом последовательных приближений
найти скорость систематического ухода гироскопа в
зависимости от величины фазового сдвига колебаний δ. В
начальный момент времени α(0)=0, β(0) =βο, ά(0) =β(0) =0.
6. Основание, на котором установлен гироскоп в кардано-
вом подвесе, вращается с постоянной угловой скоростью о>
вокруг оси, лежащей в плоскости ξζ и составляющей угол θ
с осью ζ. По осям карданова подвеса действуют моменты
сил вязкого трения. Найти возможные положения равновесия
гироскопа и исследовать их устойчивость.
7. Основание, на котором установлен гироскоп в карда-
новом подвесе, совершает малые поступательные
гармонические колебания вдоль оси ξ. Амплитуда колебаний равна а,
частота колебаний — ω. Исследовать малые колебания
гироскопа, если центр масс внутреннего кольца смещен вдоль
оси ротора и лежит в точке с координатами Xi = i/i=0, Z\—L·
При ί=0 α(0)=αο, β(0)=β0, ά(0) =£(0)=0.
§ 23. ОДНООСНЫЙ
ГИГРОСКОПИЧЕСКИЙ СТАБИЛИЗАТОР
(ГИРОСКОПИЧЕСКАЯ РАМА)
Гироскопический стабилизатор (гироскопическая рама)
является основным элементом многих современных систем
силовой стабилизации. Гироскопические стабилизаторы
(рамы) бывают одноосные, двухосные и трехосные.
Рассмотрим подробно принцип действия и уравнения движения
одноосного гиростабилизатора, являющегося элементом
многоосных.
Кинематическая схема одноосного гироскопического
стабилизатора (гироскопической рамы) подобна схеме
гироскопа в кардановом подвесе. Отличие состоит в том, что на оси
внутреннего кольца гироскопа в кардановом подвесе
устанавливается измеритель угла поворота внутреннего кольца
по отношению к внешнему β (датчик угла β), а к оси вра-
142

щения внешнего кольца прикладывается через редуктор
момент двигателя стабилизации (рис. 77). Электрический
сигнал, снимаемый с датчика угла β, усиливается усилителем
и подается на электрические обмотки двигателя
стабилизации. Следовательно, момент электромеханических сил,
развиваемый двигателем стабилизации, определяется
напряжением, зависящим от угла поворота β внутреннего кольца
по отношению к внешнему. Рассмотрим поведение одноосного
гироскопического стабилизатора на неподвижном основании.
Как и ранее, с основанием свяжем систему координат ξηζ,
с внешним и внутренним кольцами свяжем системы
координат X2IJ2Z2 и X\y\Z\ соответственно. С ротором гироскопа
свяжем систему координат xyz. Взаимное положение колец кар-
данова подвеса и ротора гироскопа будем определять углами
<х, β, γ. Положение систем координат и последовательность
отсчета углов определяются следующей схемой:
ξηζ т^—* *20Л * *ι#Α ~—* ХУ*-
Начала всех систем координат находятся в точке
пересечения осей карданова подвеса. Угол поворота ротора двигателя
стабилизации по отношению к основанию обозначим Θ.
Найдем выражение кинетической энергии одноосного
гироскопического стабилизатора. При этом можно воспользоваться
известным выражением кинетической энергии гироскопа в
кардановом подвесе
T = ±i[[A2 + (A1 + A)cos*fi + C1sln*fi] (-—)" +
+ ft+* (-£)· +с (-£-», + -£.)·}.
ОС w
VmLQJFvt
Рис. 77
Рис. 78
Напомним, что А2 — момент инерции внешнего кольца
относительно оси х2; А\, В\, С\ — моменты инерции внутреннего
143

кольца относительно осей Х\, у\у Z\ соответственно; А и С—
экваториальный и полярный моменты инерции ротора
гироскопа. Предполагается, что оси системы координат Х\Уу\Уг\
являются главными осями инерции внутреннего кольца.
Для того чтобы найти общую кинетическую энергию
одноосного гироскопического стабилизатора Го, необходимо
к кинетической энергии гироскопа в кардановом подвесе Τ
добавить кинетическую энергию ротора двигателя Гд.
Обозначив момент инерции ротора двигателя через Θ, найдем
д 2 \ dt }
Воспользуемся тем, что углы поворота внешнего кольца и
ротора двигателя стабилизации связаны через редуктор. Из
условия
θ = — /α
найдем
dQ/dt = — jda/dt.
Здесь / — передаточное число редуктора, связывающее углы
поворота внешнего кольца и ротора двигателя стабилизации.
Следовательно, кинетическая энергия ротора двигателя
стабилизации определяется выражением
д 2 ' \ dt )
Общая кинетическая энергия системы равна сумме
кинетических энергий Τ и Гд:
T. = T + T,-±[j(» (^L)! + (fl1 + /4)(^-)' +
+с(^-*"^)'+^(тг)*)·
Если ввести обозначения
B0=A + Bl9
то кинетическую энергию одноосного гироскопического ста·
билизатора можно записать а (виде
144

Для составления дифференциальных уравнений движения
воспользуемся уравнениями Лагранжа II рода
dt \ dqi J dqi
В качестве обобщенных координат рассматриваются
переменные α, β, γ. Получим следующую систему
дифференциальных уравнений:
«•-3—г'« (-5-)"-
-<:(-£--.» + -£)-.>-£--*
-5-И-£-*»+-2Ч]-*
(г 9,-■**■).
Обобщенные силы Qa, Qp, QT равны моментам сил,
приложенных к внешнему кольцу, внутреннему и ротору. Для
того чтобы найти обобщенную силу (по .координате <7*, надо
зафиксировать вое остальные координаты и подсчитать
элементарную работу δΑ на возможном (перемещении б</;.
Тогда Qi определяется из равенства
Будем предполагать, что моменты сил •сопротивления
вращению ротора гироскопа компенсируются моментом двигателя
гироскопа, а моменты сторонних сил lyv myt и сил
взаимодействия между .внешним и .внутренним кольцами гироскопа
отсутствуют. Это означает, что QT = 0 и Qp = 0. Обобщенную
силу Qa представим в 'виде момента сторонних сил и
момента, развиваемого двигателем стабилизации. Момент
двигателя стабилизации является моментом электромагнитных сил
«взаимодействия между ротором двигателя, связанным с
внешним -кольцом посредством редуктора, и статором
двигателя, связанным жестко с основанием. В обозначениях,
.принятых в разделе о прецессионных уравнениях гироскопа в
кардановом подвесе, можно записать
Qa = КХг + kXi = Λί д + Λί,
где kX2 = Μ — момент сторонних сил.
Из третьего уравнения полученной системы
дифференциальных уравнений, описывающих поведение гиросшпическо-
145

го стабилизатора та неподвижном основании, при QT=0
получим
JV-\ = и ^ const.
\ dt ^ dt J
Следовательно, собственный кинетический момент гироскопа
Η при QT=0 — величина постоянная. Учитывая это
обстоятельство, оставшиеся два уравнения запишем оз виде
0 dt2 2 VIV \ dt ) ν dt
Рассмотрим малые движения гироскопического
-стабилизатора в окрестности начальных значений α=αο, β = βο 'под
действием -постоянного момента Μ ιβ случае, когда двигатель
стабилизации выключен, т. е. Л!д=0.
Представим α и β в виде суммы начальных значений и
малых отклонений
α = αο+*, β = βο+*Λ
Система линейных дифференциальных уравнений,
описывающая шоведение гироскопического стабилизатора при 'малых
значениях χ и у, записывается следующим образом:
/»^ + ЯсшР,^-=Ж,
*-S~*-.».-f-o.
Решение этой системы уравнений представляется ιβ ©иде
суммы общего решения однородной системы
xl = a+Neos(vt+B)y
yi = b + Psin(vt+e)
я частного решения неоднородной системы уравнений
*2 = 0> #2= „ ft—*.
л cos po
Следовательно, общее решение системы дифференциальных
уравнений записывается © форме
x = a + Nco8(vt + ε),
Μ
y = b + Psln(v /+ε)+ ry
tf cosp0
146

Постоянные величины а, 6, ε, Ν определяются значениями
переменных х, у и их производных dxldt, dy/dt в начальное
мгновение времени. Частота 'нутационных колебаний ν
определяется равенствам
— Я cos β0
V~ //(βο)Β<> '
Между амплитудами колебаний N и Ρ имеет место
соотношение
Ν =ι/ в°
р V км
Из анализа общего решения следует, что внешнее -кольцо
колеблется с частотой ν, ήο в среднем не поворачивается,
несмотря на наличие постоянного момента Λί, нашравленно-
го по оси вращения внешнего кольца. Гироскоп
стабилизирует внешнее кольцо. Поэтому ось вращения внешнего
кольца карданова .подвеса называется осью стабилизации.
Однако угол поворота внутреннего кольца по отношению к
внешнему β возрастает с течением времени. Как только угол
β достигнет величины π/2, внешнее кольцо 'начнет
вращаться, и эффект непосредственной гироскопической
стабилизации пропадет.
Рассмотрим поведе'ние одноосного гироскопического
стабилизатора в том случае, когда на внешнее кольцо
действует не только дестабилизирующий момент Λί, но и момент
двигателя стабилизации Мл. Примем, 'что в простейшем
случае момент двигателя стабилизации пропорционален углу β,
т. е. ΛίΑ=—5β. Уравнения движения гироскопического
стабилизатора принимают следующий ©ид:
/»-£■+/'«-£—J-+
+ Hcosp-^-=M— δβ,
dt
0 dt* 2 yvf \ dt J v dt
Выписанная система уравнений допускает стационарное
решение
α = α0 = const, β = β0 = = const,
s
соответствующее положению равновесия. Частное решение
•показывает, что дестабилизирующий момент Μ парируется
моментом двигателя стабилизации. Однако окончательный
вывод о поведении гироскопического «стабилизатора может
147

дать только исследование устойчивости собственных
движений. Исследуем поведение системы в окрестности
стационарного решения. Сделаем замену переменных
α = α0+*, β = βο+#,
где χ, у — малые величины.
Составим линейные уравнения относительно переменных
х, у. Получим
/(Рс)^Г +Н-^сов£0 + 8У = 0,
Эту систему уравнений можно свести к одному уравнению
третьего порядка
я0 -^- + fli-^- + а* — + а*у = 0.
Л3 dt2 2 Л
Коэффициенты ао, аь а2у а3 определяются равенствами
ао =iiMBa > αι = 0, а2 = Ясозβ0, α3 - 5.
π cos po
Собственные колебания системы будут затухать, если
действительные части .корней характеристического уравнения
будут отрицательны. Условие Гурвитца, при (выполнении
которого действительные части нюрней характеристического
уравнения будут отрицательны, для уравнения третьего порядка
имеет вид
αχα2>α0αζ.
Но в нашем случае αι = 0, условие Гурвитца не
выполняется. По крайней мере один из корней характеристического
уравнения имеет положительную действительную часть.
Переменные χ и у с течением времени неограниченно
возрастают. Следовательно, гироскопический стабилизатор с
искусственно создаваемым моментом стабилизирующего двигателя
Qa = Кхг + kXi, Кхг = Μд = — s β при Qp = 0 неустойчив.
Задачи и упражнения
1. Одноосный гироскопический стабилизатор (рис. 78)
установлен на самолете (см. указание к задаче 3 § 4). Ось
стабилизации х2 совпадает с осью η самолета, а ось ротора
гироскопа в начальный момент времени направлена по
продольной оси ξ. Самолет совершает колебания ιπο углу
тангажа Φ по закону O^dosincD/. В цепи обратной связи сигнал
с усилителя -поступает на датчик момента, развивающий
момент К Хг = — «β. По оси внутреннего 'кольца (кожуха)
148

гироскопа действует момент сил вязкого трения Lyi=
=—ndfi/dt. Найти зависимость амплитуды колебаний
внешнего кольца ότ параметров s и п.
2. Одноосный гироскопический стабилизатор установлен
на качающемся основании. Проекции абсолютной угловой
скорости основания на оси системы координат ξηζ
соответственно равны
щ = О, иц = их sin ωχ /, щ = и2 sin (ω ί + ψ).
Считая, что с достаточной степенью точности система
обратной связи обеспечивает выполнение условия β = 0 («жесткая»
коррекция), найти среднее значение угловой скорости
внешнего .кольца стабилизатора <da/dt>. Рассмотреть случаи:
а) ωι=7^ω2, ψ = 0,
'б) 0)1=0)2, ψ=τ^0.
Показать, что среднее значение угла поворота внешнего
кольца за период равно величине телесного угла,
описанного осью *2 внешнего кольца (а также совпадающей с ней в
данном случае сильной коррекции оси Х\ системы координат,
связанной с кожухом гироокола).
3. Во внешнем -кольце одноосного гироскопического
стабилизатора установлены два гироскопа, связанных
спарником (рис. 79). Спарник позволяет .кожухам гироскопов по-
Рис. 79
ворачиваться на равные углы в «противоположные стороны
так, как это показано на рис. 79. Гироскопический
стабилизатор установлен на самолете так, что ось стабилизации Х2
совпадает с (продольной осью самолета ξ (см. указание к
задаче 3 § 4). По оси внешнего кольца действует момент
KXt = —s$,no осям кожухов гироскопов — моменты Li =
= —tiidpi/dt (ί=1, 2). Найти амплитуду (колебаний внешнего
кольца, если угол тангажа самолета изменяется по закону
u=uosino>i. Провести сравнение с результатами задачи 1.
149

4. Одноосный гироскопический стабилизатор установлен
на самолете, совершающем колебания по углам крена и
тангажа, в соответствии с законами
ύ,=Ό^8ΐη(ω/+φ), γ^γοβίηω/.
Ось 'внешнего кольца совладает с осью η самолета (см.
указание к задаче 3 § 4), а .вектор кинетического момента
гироскопа Η © начальный момент совпадает с продольной осью
ς. По оси (внешнего кольца действует момент Кх2 = —s$9
по оси подвеса кожуха — момент Lyt = —n——. Найти
среднее значение угловой скорости .внешнего кольца
стабилизатора в зависимости от величины s. Рассмотреть
варианты гироскопического стабилизатора с одним и двумя
.гироскопами. Сравнить результаты.
5. Схема вагона однорельсовой железной дороги,
предложенная Бреннаном, изображена на рис. 80. В иевозмущен-
Рис. 80
Рис. 81
ном положении ось ротора гироскопа направлена
перпендикулярно боковой стенке вагона, ось внешнего кольца
вертикальна. Пружина С создает момент М = —ββ,
приложенный к внутреннему кольцу гироскопа. На оси 'внутреннего
кольца установлен датчик момента, развивающий момент
MA=s$. Момент силы трения вагона о головку рельса Μτ=
= —μάα/dt. Центр масс вагона расположен на расстоянии /
от рельса. Найти условия устойчивости вертикального
положения вагона при его прямолинейном (движении с
.постоянной скоростью.
6. Вагон однорельсовой железной дороги,
стабилизированный по способу Бреннаиа (см. задачу 5), движется по
150

окружности постоянного радиуса с .постоянной скоростью.
Рассмотреть движение Батона в этом случае.
7. Схема вагона однорельсозой железной дороги
Шерля — Шиловского изображена на рис. 81. Ротор гироскопа
- А
Рис. 82
вместе с внутренним кольцом может поворачиваться вокруг
оси, закрепленной в боковых стенках вагона (ось ух). На
внутреннем кольце имеется дополнительный груз массы т.
Центр масс вагона расположен на его оси симметрии на
расстоянии / от рельса. Момент сил трения вагона о рельс
Мх=—tiida/dt, момент сил трения «в оси подвеса
внутреннего кольца M2=—n2d$/dt. На корпусе .вагона установлен
плоский физический маятник, измеряющий угол наклона
вагона а. На оси внутреннего кольца установлен датчик
момента, .создающий момент AiA=sa. Исследовать малые
колебания вагона. Найти условия устойчивости вертикального
положения вагона. Рассмотреть случаи 5 = 0 ή s=£0.
8. Найти амплитуду вынужденных колебаний вагона
однорельсовой железной дороги при прямолинейном движении
вагона с учетом ударов на стыках рельсов. Вагон
реализован по схеме Шерля — Шиловокого (см. задачу 7). Считать,
что при наличи .стыков скорость центра масс вагона
изменяется по закону V=V0+asin(ut, «где ω — частота ударов на
стыках, V0 « а — .постоянные величины.
9. Вагон однорельсовой железной дороги реализован по
схеме Шерля — Шиловокого (см. задачу 7). Однако ©место
одного гироскопа применяются два, соединенные спарником
так, -что 1βι|~|β2| (рис. 82). Рассмотреть .прямолинейное
движение вагона с учетом ударов на стыках. Считать, что
скорость движения центра масс вагона изменяется по
закону V=Vo+asin(ut, .где ω — частота ударов на стыках, У0
и а — «постоянные величины. Сравнить результат с
(результатом в случае одного гироскопа.
151

§ 24. УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КУЗНЕЦОВА
»-
Рассмотрим одноосный гироскопический стабилизатор в
случае, .когда в качестве двигателя стабилизации
используется двигатель постоянного тока iC независимым
возбуждением.
Электрическая схема двигателя постоянного тока с
независимым возбуждением представлена на рис. 83. На статор-
ную обмотку электродвигателя
подается постоянное напряже-
L ц^ ние. В обмотку ротора через кол-
^^^Ы~*^+ лектор поступает напряжение vy
\\f=^j снимаемое с выхода усилителя
|Дч^»шп1 1 обратной связи. Взаимодействие
Ι Ι ι^-^ι магнитных полей ротора и ста-
1 ι 1 тора создает вращающий момент
V| < [β двигателя
—* *~ МД=Ф/,
Рис 83 где Φ — магнитный поток
статора двигателя, i — сила тока в
роторе двигателя. Сила тока / в
роторе двигателя определяется
из уравнения электрической цепи электродвигателя. В
соответствии с законом Кирхгофа напряжение υ на выходе
усилителя надо приравнять падению напряжения в
электрической цепи электродвигателя:
v^L-dL + n + c*-.
dt ^ dt
В последнем уравнении L — самоиндукция цепи ротора,
R — оммическое сопротивление цепи ротора, С —
.коэффициент противоэлектродвижущей силы, dQ/dt — угловая
скорость ротора электродвигателя. Бели воспользоваться
зависимостью между угловой скоростью внешнего «кольца и
угловой скоростью ротора электродвигателя
de . da
dt ' dt
то последнее уравнение можно записать следующим
образом:
dt J dt
Простейшее уравнение усилителя, связывающее угол β с
напряжением «на выходе усилителя, имеет 'вид
ί^ = μβ.
Здесь μ — коэффициент усиления.
152

Учтем также, что момент электродвигателя приложен к
внешнему кольцу не непосредственно, а через редуктор с
передаточным числом у. Поэтому момент, приложенный ,к
внешнему кольцу гироскопического стабилизатора, равен
К\х2 = — у Φ /.
Вопрос об устойчивости малых колебаний
гироскопического стабилизатора с двигателем постоянного тока в цепи
обратной связи сводится к исследованию следующей системы
линейных дифференциальных уравнений:
d2a , r, dp
dt2
+ Н
Λ2β
Λ2
at
— Η·
da
dt
— УФ*·
= 0,
di
~aT
da
at
ι> = μβ (/=/(0)).
Характеристический определитель этой системы имеет вид
/λ2 Ηλ /Φ
Δ(λ) =
— Ηλ ΒΛ2
о
— jCl — μ Lk + RI
Раскрывая этот определитель и приравнивая результат
нулю, получим алгебраическое уравнение
λ(α0λ4 + αιλζ+α2λ2 + α9λ+αΑ) =0,
где введены обозначения
a0 = IB0Ly ax = IB0Ry
a2 = y2(pfi0C+#2L, az = H2Ry а4^ЯуФ.
Характеристическое уравнение (имеет корень λ=0, наличие
этого ικορ-ня обусловлено тем, что переменная α входит в
систему дифференциальных уравнений только -в виде своих
производных и, следовательно, определяется с точностью до
произвольной постоянной. Найдем условия на параметры
гироскопического стабилизатора, при 'выполнении которых
корни уравнения
αολ* + αιλζ + α2λ2+αζλ+α4 = 0
имеют отрицательные вещественные части. На основании
критерия Гурвитца достаточным условием для
справедливости неравенства ReXt<0 для уравнения четвертого порящка
является вьшолнение неравенств
aia2>a0a3, aia2a3>«o^32+^4^i2·
Первое из этих неравенств при замене коэффициентов а0, аь
а2, аз, их значениями принимает вид
IBQR(jOB0C+H*L) >IB0LH*R.
153

Легко ©идеть, что это неравенство после очевидных
преобразований сводится «к неравенству
/Яо2#/ФС>0
и всегда выполняется. Второе неравенство записывается
следующим образом:
IBoR α2ΦΒο€+Η^)Ηψ>ΙΒ0ΙΗ^+μΗ]ΦΡΒοΨ2.
После несложных 'преобразований θτο неравенство можно
привести к виду
/Ό#>μ/,
1ИЛ1И
JL>JL·
ι /с ·
Это условие впервые 'было получено В. И. Кузнецовым.
Интересно отметить, что условие устойчивости зависит только
от пяти параметров /, Я, μ, у, С, в то время как исходная
система содержит девять параметров /, Я, μ, /, С, β0> Φ, Rr
L. Представим неравенство, определяющее условие
устойчивости гироскопического стабилизатора, в следующем виде:
Я > JL. ± = JL. 1+1®. = JL К ω.
' с / с j с w
При β = 0 параметр / есть момент инерции
гироскопического стабилизатора без учета двигателя относительно оси
вращения 'внешнего кольца.
/=/(0)=Л2+Л1 + Л.
Величина /2Θ называется приведенным к оси внешнего
кольца моментом инерции ротора электродвигателя. В
зависимости от передаточного числа / приведенный момент
инерции ротора двигателя меняется, вследствие чего
меняется функция
K(j) = ^fL.
Вид функции К(/) показан на
рис. 84. Найдем передаточное
число /, при котором функция
K(j) минимальна. Запас
устойчивости системы для найденного
значения /=у0пт будет при этом
наибольшим. Из условия
dK(j) Ι Λ ο
—т^-1 =0 найдем
dj |/-/0пт
Это значение /опт *и принимается в .качестве
наивыгоднейшего в смысле обеспечения устойчивости гироскопического
стабилизатора.
154

Задачи и упражнения
1. Оценить влияние на условие устойчивости постоянной
времени τ усилителя одноосного гироскопического
-стабилизатора ic двигателем постоянного тока в цепи обратной
связи (.рис. 77). Уравнение усилителя (имеет вид
где τ — постоянная времени, υ — напряжение, снимаемое
с усилителя, μ — коэффициент усиления .цепи от датчика
угла β до выхода усилителя. Стабилизатор расположен на
неподвижном основании.
2. Найти условия устойчивости одноосного
гироскопического стабилизатора на неподвижном основании (рис. 77) в
зависимости от величины (постоянного момента,
действующего ιπο оси внешнего кольца. Двигатель стабилизации —
двигатель .постоянного тока с 'независимым возбуждением.
3. Основание, на котором установлен одноосный
гироскопический стабилизатор со стабилизирующим двигателем
постоянного тока (рис. 77), перемещается поступательно с
постоянным ускорением w. Вектор w составляет угол θ=
= const с осью внешнего кольца стабилизатора. Центр масс
внешнего кольца лежит в плоскости внешнего кольца и
смещен на величину 1\ от его оси. Центр масс внутреннего
кольца и ротора смещен по оси ротора гироскопа на величину /*
Найти угловую скорость «ухода» гироскопического
стабилизатора в зависимости от величин lu h и масс элементов
системы.
4. Основание, на котором установлен одноосный
гироскопический стабилизатор со стабилизирующим двигателем ιπο-
стоянного тока (рис. 77), вращается с постоянной угловой
скоростью Μξ = Ω вокруг оси внешнего кольца. По оси внут-
ренного кольца гироскопа действует момент сил сухого
трения:
U =
-L0sign-^ при^^О,
-Lo<L9l<Lo при -f-=0.
Найти возможные значения абсолютной угловой скорости
внешнего кольца гироскопического стабилизатора
(возможные значения ошибки стабилизации). От .каких (Параметров
зависит эта ошибка? Результаты сравнить с результатами в
г *
случае Lyx = —n--£-.
155

5. Одноосный гироскопический стабилизатор со стабили·
эирующим двигателем 'постоянного тока (рис. 77)
установлен на основании, вращающемся с постоянной угловой
скоростью Ω 'вокруг оси /внешнего кольца. В .подшипниках оси
внешнего кольца имеется момент сил сухого трения
КХг =
at at
-К<КХг<Кпри -^-=0.
at
Найти возможные значения скорости вращения внешнего
кольца стабилизатора. Сравнить с результатом задачи 4.
6. Одноосный гироскопический стабилизатор с
двигателем стабилизации постоянного тока (рис. 77) находится на
подвижном основании. Основание колеблется 'вокруг оси ξ,
совпадающей с осью внешнего кольца пиростабилизатора„
rb]<*2
*а®
Рис. 85
по закону i|) = asin(ui, где ψ — угол поворота основания,
а — амплитуда, ω — частота колебаний. Найти зависимость
амплитуды колебаний внешнего кольца от параметров
гироскопического стабилизатора и частоты колебаний основания.
Рассмотреть отдельно случай .больших значений
кинетического момента гироскопа Η и .найти приближенное значение
амплитуды колебаний внешнего кольца.
7. Одноосный гироскопический стабилизатор с
двигателем стабилизации .постоянного тока ((рис. 77) установлен на
самолете (см. указание к задаче 3 § 4). Ось стабилизации
Х2 совпадает с осью η самолета, а ось ротора гироскопа в
начальный момент времени направлена по продольной оси ξ.
Самолет совершает колебания по углу тангажа ϋ ιπο закону
Ο=ΰ·0 sin ωί. По оси внутреннего кольца гироскопа
действует момент сил сухого трения. Найти амплитуду колебаний
внешнего кольца.
8. Двухосный гироскопический стабилизатор (рис. 85)
установлен на неподвижном основании. В качестве
двигателей стабилизации, создающих моменты по осям кардановых
156

колец, (используются двигатели .постоянного тока с
независимым возбуждением. Предполагая, что параметры
пироскопов и элементов цепей стабилизации 'идентичны, составить
уравнения малых колебаний двухосного гироскопического
стабилизатора.
9. В условиях задачи 8 найти условия устойчивости
малых колебаний двухосного гироскопического стабилизатора.
§ 25. ГИРОСКОПИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ
СТАТИЧЕСКИ НЕУСТОЙЧИВЫХ ОБЪЕКТОВ
О возможности использования гироскопических явлений
для стабилизации статически неустойчивых объектов
известно давно. Простейшим примером <может служить хорошо
всем известная детская игрушка — волчок (рис. 14). Центр
масс волчка лежит .выше точки опоры. Если «волчок не
вращается, то его вертикальное положение неустойчиво. Если
же волчку сообщить большую угловую скорость вокруг оси
симметрии, то его (поведение существенным образом
'меняется. В § 9 рассматривалось поведение быстро
вращающегося волчка. Было получено условие Маевокого C2r2>4mglAy
при выполнении которого вертикальное положение волчка
устойчиво.
В начале нашего столетия (1907—1909 г.)
гироскопические явления использовались для стабилизации (вагонов
однорельсовой железной дороги, для стабилизации (кораблей
на качке. Строгое изложение теории .гироскопической
стабилизации будет дано далее. Здесь же на примере
исследования одной задачи рассмотрим некоторые особенности
гироскопической стабилизации статически неустойчивых
объектов.
Пусть на оси (внешнего кольца одноосного
(гироскопического стабилизатора укреплено стабилизируемое тело
(рис. 77); центр масс стабилизируемого тела лежит на
расстоянии / от оси вращения. Возможно ли так подобрать
параметры гироскопического стабилизатора, чтобы
положение тела, при котором его центр масс находится «в верхней
точке, было устойчиво?
Уравнения движения одноосного гироскопического
стабилизатора, установленного на неподвижном основании,
записываются следующим образом:
'(Р)-5Г + -ПЮ-^-· -f" + Я-f-cos β =m*/elna + К*,
0 dt* 2 VP/ \ dt ) dt P ^P
Η = const,
где т — масса стабилизируемого тела.
157

На оси внутреннего кольца (жожуха) гироскопа
установлено устройство, измеряющее угол β «поворота внутреннего
кольца относительно внешнего. После усиления этот сигнал
подается на двигатель стабилизации. Двигатель
стабилизации укреплен на оси ©нешнего кольца и развивает момент
стабилизации /С*2 = —$β. Будем также считать, что по оси
внутреннего кольца гироскопа действует момент диосипа-
тивных сил Qp=—Dd$ldt. Уравнения движения
гироскопического стабилизатора при указанных '.предположениях о
моментах сил, действующих на стабилизатор, имеют
стационарное решение α=0, β = 0. Рассмотрим малые колебания
системы в окрестности стационарного решения. Система
уравнений малых колебаний записывается следующим
образом:
J — + Я -^- — mgla + sp = О,
dt* dt * v
BnJ*L + DJL
Η
da
= 0,
dt* dt dt
где /=/(0) =A2+AX + A, B0=B{ + A.
Исследуем устойчивость малых колебаний. Составим
характеристический определитель
1Л,2 — mgl
Δ(λ) =
— Ηλ
Ηλ + s Ι
ΒΑ2 + DX\
Характеристическое уравнение
k[JBo№+JDX2+l(H2—imglB0)+Hs—mglD] = 0
имеет один нулевой корень. Наличие этого корня
обусловлено существованием циклического интеграла у второго урав
нения системы уравнений малых колебаний. Рассмотрим
уравнение
/50λ3+/Ζ)λ2+ (H2—mglB0)k+Hs—mglD = 0
и выберем параметры системы так, «чтобы действительные
части корней характеристического уравнения были
отрицательны: ReXi<0. Составим определитель Гурвитца
|«1
\аз
\о
«0
«2
0
0
flj
«3
здесь
α0=/β0, ai=JDf a2=H2—mglB09 az=Hs—mglD.
Необходимым и достаточным условием отрицательности
действительных частей корней рассматриваемого характери-
158

стического уравнения является шложительность главных
миноров определителя Гурвитца
а\>09 αχα2>α0αζ9 α3>0.
Отсюда «следуют условия на параметры системы, три 1Вьвпол-
нении которых ReX/<0:
JD (H2—mglB0) >JB0 (Hs—tnglD) t
Hs>mglD.
После несложных преобразований эти условия можно
записать б виде
^ mgl Η, ^
Бели ©вести обозначения
то условие 'Отрицательности действительных частей корней
можно записать следующим образом:
DX<D<D2.
Следовательно, при выполнении полученных выше
неравенств характеристический многочлен системы
дифференциальных уравнений, описывающих малые (колебания системы
в окрестности положения равновесия, -при котором центр
масс стабилизируемого тела занимает верхнее .положение,
имеет один нулевой корень и три корня с отрицательными
действительными частями. Согласно теории устойчивости
движения в этом случае нельзя сделать окончательный
вывод об устойчивости исходной нелинейной системы. Однако
исследование задачи в более строгой постановке -показывает,
что при выполнении условий D\<D<D2 рассматриваемое
положение равновесия системы является устойчивым (но не
асимптотически). Соответствующим выбором параметров
системы статически неустойчивое 'положение тела, три
котором центр масс лежит выше точки опоры, можно сделать
устойчивым. Следует обратить внимание на то, что
интенсивность диссипативных сил, характеризующаяся величиной
коэффициента Z), должна лежать в определенных пределах.
В случае, когда центр масс стабилизируемого тела
занимает нижнее положение (система статически устойчива),
положение равновесия устойчиво при 'выполнении только
одного условия D\<Dy накладывающего ограничение на
минимальное значение интенсивности диссипативных сил.
Положение равновесия с расположением центра масс оз верхней
точке неустойчиво как при малой D<DU так и .при большой
D>D2 интенсивности диссипативных сил.
159

§ 26. СТАБИЛИЗАЦИЯ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА
ПОСРЕДСТВОМ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ РАМЫ
В процессе отделения спутника от ракеты-носителя
спутник приобретает некоторую угловую скорость. Вращение
спутника необходимо остановить, т. е. стабилизировать
-(шутник. Это требование связано с тем, что необходимо,
например, ориентировать антенны радиосистем и т. д.
Стабилизация спутника может
осуществляться, например, с помощью
реактивных двигателей, что влечет
за собой расход рабочего
материала. Кроме того, в процессе
движения по орбите вокруг
Земли некоторые из возмущающих
моментов носят периодический
характер, с частотой, равной
частоте обращения спутника по ор-
Рис. 86 бите. Это обстоятельство
приводит к тому, что реактивные
двигатели (сопла) должны работать практически во все время
движения спутника.
Некоторыми преимуществами по сравнению с этим
способом стабилизации обладает .стабилизация спутника
посредством гироскопической рамы. Ограничимся
исследованием стабилизации спутника относительно одной »из его
главных осей.
Предположим, что спутник после отделения от ракеты-
носителя вращается вокруг оси ξ с угловой скоростью щ.
Внутри спутника 'имеется гироскопическая рама с двумя
гироскопами, связанными опарником (рис. 86). Подшипники
оси (внешнего 'кольца рамы укреплены в корпусе рамы, и ось
внешнего кольца совпадает с осью ξ спутника. Механическое
устройство, называемое спарником, может быть
'реализовано в виде двух зубчатых секторов, укрепленных на осях
внутренних колец (кожухов) гироскопов. Углы «поворотов
внутренних .колец (кожухов) гироскопов по отношению к
внешнему в этом случае удовлетворяют соотношению
βΐ β2 = β-
Будем также предполагать, что гироскопы идентичны, т. е.
#ι = #2 = #, и соответствующие моменты инерции первого и
второго гироскопов одинаковы.
Введем невращающуюся систему .координат ξ*η*ζ*,
совместив ось внешнего кольца #2 с осью £*. Угол поворота
внешнего 'кольца вокруг оси ^(S) обозначим а.
Дифференциальные уравнения движения гироскопической рамы с
двумя (гироскопами и спарником имеют следующий вид:
160

-£-p(P)-j-+2tfslnp]=Qa,
0 dt* 2 r \ dt ) ^ dt p
dt [ \ dt dt )\ dt ^V
Здесь
J($)=A2+2(Al + A)cos2$ + 2Clsm2$y
Bq=2{A + Bx).
Как и ранее, A\, Bu C\ — моменты инерции внутреннего
кольца одного из гироскопов относительно осей Х\у у и гх
системы координат, жестко связанной с .внутренним кольцом,
А, С — экваториальный и полярный моменты .инерции
ротора.
Будем 'считать, что QT = 0, Qp = 0. Тогда собственный
кинетический момент каждого -из гироскоггов
Н=с(-^-в1п$+ -&-)= const.
\ dt * dt J
Уравнение движения спутника относительно оси ξ запишем
в виде
Wdu/dt=Mb
где Ψ = /ξξ —. момент инерции шутника относительно оси |,
Λίξ — момент сил, действующих на шутник, относительно
оси ξ. В качестве сил, действующих на спутник, можно
рассматривать сторонние силы и силы взаимодействия между
рамой in спутником. Поскольку «в дальнейшем
предполагается исследование процесса «стабилизации спутника,
вращающегося «округ оси ξ под действием начального -импульса,
то учтем только момент сил (взаимодействия между
корпусом спутника и рамой. Полученные результаты позволят
сделать 'выводы о поведении спутника мод действием
постоянных или переменных сторонних сил. Для рассматриваемого
случая имеет место равенство
Af»~Q..
Система дифференциальных уравнений, описывающая
движение спутника с гироскопической рамой, принимает вид
0 dt* 2 W' \ dt J dt K
ψ-#- = -& (Я = const).
at
6V2 Зак· № 558 161

Значения координат и их производных в начальное
мгновение времени возьмем следующими:
α(0)=α0 = 0, β(0) = β0 = 0,
da
dt
= ά0 = 0, -£.[ = β0 = 0,
lf=0 at \t=o
u(0)=u0
Момент сил взаимодействия Qa может быть различной
природы. Например, это может быть момент сил сухого или
вязкого трения
или же известная функция времени
Q« = <?«(/).
Рассмотрим вначале случай Qa = 0. Из последнего уравнения
системы следует, что спутник будет вращаться с постоянной
угловой скоростью
и{1)=и0\
а гироскопическая рама будет сохранять неизменную
ориентацию относительно системы координат £*η*ζ*, т. е. а=0,
β=0 будет решением первых двух уравнений системы.
Для того чтобы рассмотреть процесс стабилизации
спутника, можно задать момент сил взаимодействия Qa в виде
функции либо координат, либо времени. Проведем
исследование движения системы при достаточно общих
предположениях о моменте сил взаимодействия Qa.
Предположим, что момент сил взаимодействия Qa такой,
что к моменту времени t=^t\ угловая скорость вращения
рамы относительно спутника обращается в нуль
., ч da
= 0.
t=tt
dt
Сложим первое и последнее уравнения системы. Получим
-^-[^(β)-^- + 2ί/8ΐπβ + Ψ«]=0.
Проинтегрируем это уравнение на интервале времени от
t=0 до ί>ίι. При t>-t\ имеем u=dajdt. В результате
интегрирования и учета начальных условий придем к
уравнению
7(β)^ + 2#8ΐηβ + Ψ-^ = Ψ*/0.
162

Поведение рассматриваемой механической системы при ί>/ι
описывается системой уравнений
/(β)-^ + 2#8ΐηβ = Ψ*/0,
at
0 at* 2 w'\ dt J v dt
где
/(β)=/(β)+4'.
В качестве начальных условий следует рассматривать
значения координат α, β и их производных dajdt, dfb/dt в
момент времени t\
α(ίι)=αι, β(*ι)=βι,
da
dt
-» # I -A
Эти значения зависят от вида функции Qa и могут быть
определены при конкретном ее задании. Рассмотрим
дальнейшее движение системы при t>t\.
Последняя система дифференциальных уравнений
допускает частное решение
α = α* = const, β = β* = const (βΐηβ* = -5^Λ.
Исследуем поведение системы в окрестности частного
решения, полагая малыми величины
*=α—α*, ί/=β—β*.
Ограничиваясь линейными членами разложения нелинейных
функций, входящих в исследуемую систему, получим
систему дифференциальных уравнений
/(β*)-^ + 2#οο8βν=0,
*-$-- 2tfcosP*^- = 0
с начальными условиями хи уи у\. Подставив dx/dt из
первого уравнения во второе, придем к уравнению второго
порядка
2#cos6* .
где ν = —7ψ===- — частота нутационных колебании.
у ι (р*)£<)
61/2* 163

Решением последнего уравнения служит функция
у = y1cosv(i— Л) + JiLsinvtf — tj.
ν
По гармоническому закону изменяется также и координата
* = а + (Χχ—α) cos ν (/ — tx) + -^ sin ν (t — /χ).
ν
Между величинами α, λ*ι и #ь уи у{ существует
зависимость
α = ^-ΐ/-Α_Α, Xl = - -%/Jk^Vyv
V /(β*) ν χ ν /(β*) ^
Величины Х\, уи Хи У\ определяются значениями
координат α, β и их производных в мгновение времени l = t{. Из
выражения для α следует, что при t>l\ корпус спутника
вместе с внешним кольцом рамы совершает незатухающие
гармонические колебания возле значения a=a*-fa.
Полученный результат имет простой механический смысл. В
момент времени t=0 спутник вращается с угловой скоростью
и0 вокруг оси Е, а рама сохраняет свою ориентацию
относительно невращающейся системы координат ς*η*ζ*, и
кинетический момент ее равен нулю. Проекция кинетического
момента механической системы, состоящей из спутника и
рамы, в момент времени t=0 направлена по оси ξ и равна
Ψί/0· К механической системе «спутник+рама» можно
применить теорему об изменении кинетического момента.
Поскольку момент сторонних сил относительно оси Ε
отсутствует, то проекция кинетического момента всей системы на
ось ξ должна быть неизменной. Если пренебречь
колебаниями корпуса спутника и гироскопов, то в момент времени
t^tx проекция кинетического момента спутника на ось Ε
равна нулю, а проекция кинетического момента рамы на
ось Ε равна 2#sinp*. В соответствии с вышеизложенным
проекции кинетического момента системы в мгновения
времени tf = 0 и ί^ίχ должны быть равны
2#8ίηβ* = Ψί/0.
Это же равенство было получено ранее при исследовании
системы дифференциальных уравнений. Получилось, что
кинетический момент всей системы как бы взяла на себя рама.
Что будет происходить в том случае, когда на спутник
действуют сторонние силы? Воспользуемся соотношением
~л" [/(Ρ)"ί"+ 2Н8Щ + Ψί/] = Мс-
164

Здесь Мс — момент сторонних сил относительно оси ξ
спутника. Проинтегрируем уравнение в интервале от t=0 до
t>t\. Получим
[У(β) + Ψ]— + 2Я stop = Ψί/0 + f Mcdt.
dt J
о
Полученное уравнение следует исследовать совместно с
уравнением
0 Я» 2 w'\ dt ) v dt
(7(β)=/(β) + Ψ).
Если ограничиться прецессионной теорией, то значение
угла β определяется из уравнения
о
Отсюда видно, что при периодическом изменении момента
сторонних сил Мс угол β изменяется вблизи стационарного
значения
β* = arcsin·
2Я
В заключение рассмотрим.случай, когда в мгновение
времени t=0 корпус спутника жестко соединяется с рамой.
Такое соединение спутника с рамой характеризуется тем, что
/ι=τ->0 и
da \ ι
Οχ = —- = U |/=τ = Ux.
dt |/=τ
При т-vO в механической системе происходит ударное
соединение спутника с рамой. Обозначим через αο, βο
значения координат до удара, а через ατ, βΤ — значения
координат после удара. Поскольку da/di величина конечная, то
конечно ее среднее значение <da/dt>. Изменение угла α
за время τ связано со средним значением угловой скорости
<dajdt> соотношением
ат—ао= <da/dt>-x.
Поэтому
Следовательно,
1 im (Οχ — α0) = 0.
τ-ί-0
αΤ=αο.
6 Зал. № 558 165

Аналогичным способом показывается, что
βτ=βθ·
Проинтегрируем систему уравнений на интервале времени
(О,τ). Получим
at |о
ЧЕ-Йт'ю^)'-"-'*]*-0·
о
Перейдем к пределу при τ -*· 0. Получим
/(βο) (άτ—do) +ΨάΤ = Ψ«0(
βο(β,—βο)=0.
Следовательно, в момент времени t=x координаты системы
и их производные будут таковы:
ατ = α0 = 0, pt = βο = О,
Воспользуемся ранее найденными формулами для
переменных α, β, которые при /ι=τ->0 записываются в виде
χ
а = а* + χ = α* + а + (хх — α) cos vt + —- sin v/,
ν
β = β* + У = β* + yxcosvt + ii sin ν/,
ν
причем теперь
α = χτ- l/-4- ^ , *τ = - ΐ/-#- νί/τ,
Г /(β*) ν V /(β*) * '
Ρ "" 2Я
Согласно начальным условиям для функций α, β и их
производных приходим к равенствам
ο = α* + *τ,ο = β* + ί/τ, :^ = *;,о = #т.
Учитывая приведенные выше формулы для величин а и хх>
ямеем, кроме того,
а = хХу χτ= "ΐ/-~~ νβ*.
V /(β*) μ
Γ(β*)
1-3.6

Таким образом, в линейном приближении колебания
спутника с гироскопической рамой при ударном соединении их
описываются уравнениями:
α = β* V^7r7 Sln Vt' β = β* ° _C0S V/)'
P*=arcsin-I^-^(v = -^-.
2Η 2Η - уттщ-
Спутник совершает незатухающие колебания вокруг оси £
/^
2Я V Ι (β*)
с амплитудой Ψα° \/ в° . Гироскопы колеблются
возле стационарного значения β* с амплитудой, также равной
β*. Максимальный поворот внутреннего кольца гироскопа
относительно внешнего равен удвоенному значению β*,
ηΐ3χβ(ί)=2β*. Колебания системы будут затухать, если
ввести в систему диссипативные силы.
Задачи и упражнения
1. Рассмотреть колебания корпуса спутника и
гироскопической рамы при t>tu в случае, если в осях вращения
кожухов имеются силы сухого трения, моменты которых
_ L.Sign-^-при-^-# О,
at at
-L0<U.<L0 при -^ = 0,
1 at
/=1,2.
Начертить фазовые траектории в плоскости (β, β). Выяснить
влияние величины Lo на быстроту затухания и время
переходного процесса.
2. Гироскопическая стабилизация корпуса спутника
осуществляется посредством гироскопической рамы со
спарником. Между корпусом спутника и рамой действует момент
т, da
сил вязкого трения КХо = —η—, где α — угол поворота
dt
рамы относительно спутника. Исследовать движение
системы, если в начальный момент времени
ч =
и = и% = и0 = const, —2-
f=0
da
dt
= -"ο>β(0) = 0,α(0)=0.
t=0
6*
167

3. Стабилизация корпуса спутника осуществляется
посредством гироскопической рамы со спарником. По осям
кожухов гироскопов действуют моменты сил вязкого трения
£β/==—η -^.Рассмотреть колебания корпуса спутника и
рамы, если в начальный момент угловая скорость
вращения спутника была постоянна: ί/ξ = αο=const,
гироскопическая рама вращалась относительно корпуса спутника с
угловой скоростью da/di=—«о, а кожухи гироскопов были
неподвижны относительно рамы.
4. Пусть стабилизация корпуса спутника осуществляется
посредством гироскопической рамы. В начальный момент
рама и спутник неподвижны относительно инерциального
пространства, а вектора кинетических моментов составляют
углы— β2, β2ο осью внешнего кольца рамы, причем
Ιβι| = I'M =δ. Роторы гироскопов вращаются с угловой
скоростью ωο, полярные моменты инерции роторов равны С.
Пусть в некоторый момент времени роторы гироскопов
начинают затормаживаться. Показать, что после полной
остановки роторов спутник вместе с рамой будут вращаться с
постоянной угловой скоростью.
2Со)о sin δ
и = -—-—
J + ψ
вокруг оси Х2 гироскопической рамы. Здесь /+Ψ — момент
инерции всей системы относительно оси гироскопической
рамы.
§ 27. ТЕОРЕМЫ МЕТЕЛИЦЫНА
В линейных механических системах обобщенные силы
записываются в виде линейных функций обобщенных
координат и скоростей. При этом можно выделить следующие
возможные варианты обобщенных сил.
Обобщенная сила Qi есть линейная функция координат
Q, = -£fi/*<7*> ft,* =1,2... я,
к
причем коэффициенты б,·* удовлетворяют условию
6i£ = 6fc/.
В этом случае можно ввести потенциальную функцию
168

такую, что между функцией Π и обобщенными силами Qi
существует зависимость
k
Такие обобщенные силы с симметрической матрицей
коэффициентов называются потенциальными.
Обобщенная сила Qi представима в виде линейной
функции обобщенных скоростей
Q/ = -£M*. i, Л = 1,2... л,
к
причем матрица коэффициентов β,* симметрическая:
β/Α: = β/εί.
Тогда можно ввести диссипативную функцию Релея
такую, что
2
к
Функция Релея определенно положительна в· случае, когда
Qi — силы вязкого трения.
Возможен также случай, когда обобщенная сила Qi
представима в виде линейной функции обобщенных скоростей
Qi = — £ yuAhf ί, Λ = 1, 2 ... /ι,
с кососимметрической матрицей коэффициентов.
у** = — γ*/.
Такие силы называются гироскопическими. Характерным
для гироскопических сил является то, что работа их равна
нулю. Подсчитаем работу этих сил на действительном
перемещении
dA = £ QJqt = - £ yMkdt = 0.
ι [itk
В самом деле, для всякого слагаемого yikqiqk найдется
такое же по величине слагаемое противоположного знака
yikqtqk. Поэтому dA=0.
169

Введем также обобщенные силы Q*, которые представим
в виде линейной функции обобщенных координат
к
с кососимметрической матрицей коэффициентов:
Такие силы называются собственно неконсервативными
силами. Это искусственно создаваемые силы. Перейдем к
исследованию устойчивости линейных гироскопических систем
с искусственными силами. Наиболее общая запись системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, описывающих собственные колебания
механической системы с η степенями свободы, следующая:
η
]£ (arsxs + bnxs + <VA) = 0, г = 1, 2 ... п.
s=l
Например, собственные колебания механической системы
с двумя степенями свободы в общем случае описываются
двумя дифференциальными уравнениями второго порядка
^11-^1 "Ь ^11-^1 "Ь ^11-^1 ' ^12-^2 "т" ^12-^2 "Ь ^12^2 == ^»
^21·^1 "Ь ^21*^1 "τ" ^21·^1 "Ь ^22^2 ~f~ ^22*^2 * ^22*^2 == ^·
Можно показать, что в системе дифференциальных
уравнений, описывающих движение механической системы, всегда
CLrs = aSt. Действительно, кинетическая энергия является
квадратичной формой обобщенных скоростей
При составлении дифференциальных уравнений
воспользуемся уравнениями Лагранжа II рода*
at \dqr ] dqr
Следовательно, в r-м уравнении коэффициент при второй
производной 5-й координаты следующий:
д2Т
ars = :—:—.
дхгдх$
170

В 5-м уравнении при второй производной r-й координаты
стоит коэффициент
asr =—:—г—,
дх$дхг
Отсюда следует, что ars = a,sr. Квадратичная форма
кинетической энергии положительно определена, а коэффициенты
ars определяют инерционные характеристики системы
(массы, моменты инерции входящих в механическую систему тел).
Ничего определенного сказать о коэффициентах brs, crs в
общем случае нельзя. Поступим с этими коэффициентами
следующим образом. Матрицу коэффициентов brs представим
в виде суммы симметрической и кососимметрической
матриц. Для этого введем коэффициенты βΓ5 и yrs и положим
brs = β/ s 4- Yrs, bsr = β*Γ + \sr.
Наложим на коэффициенты β^ и y,s условия
firs^fysr, Yrs = —\sr.
Коэффициенты βΓ5 и yrs определяются равенствами
Pr. = γ (brs + bsr\ yrs = -L (brs - bgr).
Аналогичную операцию проделаем с матрицей
коэффициентов crs. Введем коэффициенты 6rs и εΓ5, которые будем
определять следующими равенствами:
«г. = -у (Crs + <у). Zrs = у (Crs ~Ctr).
Заменяя коэффициенты b rs И Crsy исходную систему
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами запишем в следующем виде:
η
£ (arsxs + βΓ$Λ·$ + yrsxs + drsxs + ersxs) = 0, r = 1, 2 ... n.
s=l
Коэффициенты последней системы уравнений имеют вполне
определенный механический смысл:
коэффициенты ars характеризуют инерционные свойства
системы;
коэффициенты βΓ5 характеризуют диссипативные силы
системы;
коэффициенты yrs характеризуют гироскопические силы
системы;
коэффициенты 8,s характеризуют потенциальные силы
системы;
коэффициенты Ers характеризуют искусственные силы
системы.
171

Решение последней системы дифференциальных
уравнений будем искать в виде
Для того чтобы система алгебраических линейных
однородных уравнений
έ (α,5λ2 + № + γ^λ + Srs + гг$) Л5 = О, г = 1, 2 ... n9
имела отличное от нуля решение
А\9 Л2 ... АП9
определитель этой системы должен быть равен нулю:
det | αΓ5λ2+fir Л+γΓ Д+8rs + Brs j = 0.
Раскрывая определитель и приравнивая его нулю, получим
характеристическое уравнение порядка 2п. Среди корней
характеристического уравнения могут быть как
действительные, так и комплексные. Поскольку характеристическое
уравнение имеет действительные коэффициенты, то каждому
комплексному корню будет соответствовать
комплексно-сопряженный корень. Если известен комплексный корень
характеристического уравнения
hi ^ hi ~т" Ihi ,
то, подставив корень λ/ в систему алгебраических уравнений
относительно ASy можно найти собственный вектор
{Аи А2, Аг ... Ап}у
соответствующий этому корню. Комплексно-сопряженному
корню
hi:= hi —IKi
будет соответствовать комплексно-сопряженный собственный
вектор
\АЪ л2, А3 ... Ап}.
Предположим, что известен собственный вектор
{Ль Л2, Аг ... Ап].
Тогда систему уравнений
η
Ε (<*Γ,λ2 + βΓ,λ + γΓ$λ + δ„ + ers)As = 0, / = 1, 2 ... η,
можно рассматривать как систему алгебраических
уравнений, из которой можно найти соответствующее данному соб-
172

ственному вектору собственное значение λ/. Проделаем
следующую операцию. Первое из уравнений умножим на Л ι,
второе — на Лг, третье — на Лз и т. д. Затем сложим все
уравнения. Получим:
£ £ (^λ2 + βΓ*λ + Yrs* + «,f + в,.МД = 0.
r=l s=l
Обозначим через Т следующую сумму:
Г S
Покажем, что Г является суммой двух квадратичных форм.
Вычислим произведения
А Дг = (A's + Μ.) (Лг — iAmr) = ЛзЛ; + i4Ur + i (^Ur — ЛЖ),
/is/if == /is-ni/· "τ" л^Л/· I ^/is/i/· — /ls/1/·/·
Подставляя AsAr в выражение для Г, найдем:
т ** Σ Σα"(Л*Л'+л*л"} = г (Л'> + г (Л"}·
S Г
Здесь Г (Л7) и Τ (А") — положительно определенные
квадратичные формы. Можно показать, что форма Τ
определяется значением кинетической энергии на собственном векторе,
т. е. форма Τ характеризует кинетическую энергию системы
в том случае, когда в результате специально подобранных
условий возбуждается колебание, сответствующее
собственному вектору с собственным значением λ/. Если λ/ —
комплексное число, то одновременно с колебаниями,
соответствующими собственному вектору {As}y существуют колебания,
соответствующие вектору {Л*}, и форма Τ характеризует
энергию системы при таких колебаниях.
Совершенно аналогично, в виде двух квадратичных форм
можно представить все суммы с коэффициентами,
образующими симметрическую матрицу. Обозначим
D - £ Σ β,ΗΛ = D(A') + D(A»),
r s
Ρ = £ £ί,Μ = Ρ (Λ') + P(A"h
r s
Форма D характеризует диссипативные свойства системы.
Если коэффициенты βΓ5 суть коэффициенты сил трения, то
функция Релея положительно определена, а следовательно,
положительно определены и квадратичные формы D(A'),
D{A").
173

Потенциальная энергия является квадратичной формой
координат системы. Положением равновесия исследуемой
системы является точка с координатами *ι=*2=...=*η=0.
Если в окрестности положения равновесия потенциальная
энергия положительно определена, то квадратичные формы
Ρ (А') и Ρ (А") также положительно определены, если же
потенциальная энергия отрицательно определена, то
отрицательно определены и квадратичные формы Ρ (Α'), Ρ (А").
Рассмотрим сумму
£ £ чгАЛ =»£ £ VrS (A'X- АЛ) =
г β г s
= iT {XX) — /Г (А'Х) = Я\
Форма Г характеризует гироскопические силы, действующие
в рассматриваемой механической системе.
Аналогично представляется форма Еу характеризующая
искусственные силы
Ε = £ £ ers (XX - АЛ) = Ε (ΑΧ) - Ε (ΑΧ).
Г S
При заданных параметрах системы ars, brS, crs и известном
собственном векторе {As} каждая из выписанных форм есть
число.
Учитывая введенные формы, сумму
£ £ Κ,λ2 + β,;λ + γΓ$λ + 6rs + εΓ$) А Л = О
Г S
запишем в виде
Γλ2 + Ζ)λ-ΗΤλ+Ρ + /£==0.
Полученное соотношение можно рассматривать как
уравнение для определения λ. Отсюда найдем
л -(D + IT) ± /(D + tT)2 - 4Т (Р + IE)
Λι.2 = =
2Т
_^ —(D + iT)±Vm + in
~~ 2Т
Здесь
m=Z)2—Г2—4ГР, η = 2Ζ)Γ—4ΤΕ.
Пусть имеет место равенство
Ym + in =a + ib.
174

Найдем а и Ь. Для этого возведем обе части равенства во
вторую степень и приравняем действительные и мнимые
части. Получим
а2—b2=my 2ab = n.
Из второго равенства найдемЬ = и подставим в первое.
Для определения величины а получим биквадратное
уравнение
4а4—4а2т—п2 = 0.
Решая это уравнение и учитывая, что а2>0, найдем
2 т + Vm2 + η2
а2 = —-^ ——.
«==±/-
+ У~т2 + п2
после чего из равенства b = можно найти Ь. Условие
асимптотической устойчивости положения равновесия
исходной механической системы, как видно из формулы для
корней λι, λ2, следующее:
—D±a<0.
Отсюда следует, что при D<0 система неустойчива, т. е.
диссипативная функция Релея должна быть положительно
определенной. Будем считать, что Z)>0. Обе части
неравенства
±a<D
возведем в квадрат и преобразуем к виду
Vm2 + n2<2D2 — т.
Еще раз возведем в квадрат. В результате получим
/n2 + /i2<(2D2—m)2,
откуда следует, что
n2<4D2(D2—m).
Последнее неравенство после подстановки т и η принимает
вид
(2Ζ)Γ-4Γ£)2<4Ζ)2(Γ2 + 4ΓΡ).
В результате несложных преобразований получаем
неравенство
TE2<DrE+D2P,
175

при выполнении которого исходная механическая система
асимптотически устойчива. Это неравенство впервые было
получено И. И. Метелициным. Полученное неравенств©
характеризует энергетические взаимодействия в системе на
собственном векторе. Исследуемая механическая система
будет устойчива в том случае, если это неравенство
выполняется на каждом из собственных векторов системы.
Докажем несколько теорем, которые следуют из полученного
неравенства.
Теорема I. Если консервативная система статически
неустойчива, то добавлением только
собственно-неконсервативных сил (искусственных сил) нельзя сделать систему
устойчивой.
Доказательство. Для консервативной системы без диооипа·
тивных и гироскопических сил Z)=0 и Г=0. Если добавить
только искусственные силы, то неравенство принимает вид
ТЕ2<0 и не может быть выполнено при любых значениях Е.
Теорема II. Есл>и консервативная система статически
устойчива, то добавление собственно-неконсервативных сил
делает систему неустойчивой.
Доказательство. Для консервативной системы Ds=0, Г=0„
и при £У=0 условие ТЕ2<0 не выполняется.
Теорема III. Собственно-неконсервативная система может
быть сделана устойчивой только при условии, что к
действующим силам одновременно добавляются гироскопические
и диссипативные.
Доказательство. При Р=0 условие асимптотической
устойчивости выполняется только в том случае, если
TE2<DTE.
Теорема IV. Статически .неустойчивая система может быть
сделана устойчивой, если к приложенным силам
одновременно добавить диссипативные, гироскопические и
собственно-неконсервативные силы.
Доказательство. Так как для статически (неустойчивой
системы Р<0, то условие устойчивости TE2<DTE+D2P может
выполняться, если Г£>0 и если гироскопические силы
достаточно интенсивны.
Предположим, что гироскопические силы в системе
доминируют над всеми остальными. Это означает, что
Г>тах(Д £, Ρ, Τ).
Найдем приближенные значения корней λι, Яг с точностью
до членов порядка 1/Г. Для этого найдем а и Ь с точностью
до членов порядка 1/Г. Имеем
b = j / \fm* + n*-m ^
176

»■/-«£
+ 2Γ2 (D2 + 4ТР) — Ζ)2 + Г2 + 4ГР ,
/
pa + D2 + 4ГР — Ζ)2 + Г2 + 4ГР
= УГ2 + 4ТРх
Аналогично найдем
Приближенные
λ1 =
a«D(l-
значения корней
2Г
r(i +
27Έ \
ЯГ J
будут
4l__
2ГР \
п J·
т+'
Ρ
Γ '
λ = — Ζ) —α —/(Г + Ь) _ *L_-J1
2 2Г г r ·
Теорема V. Если условие устойчивости удовлетворяется
и гироскопические силы доминируют над остальными, то
частоты колебаний системы расходятся, т. е. одни из них
делаются весьма большими, а другие — весьма малыми.
Доказательство. Как видно из выражений для λι, λ2,
в первом случае частота колебаний имеет порядок ω=Ρ/Γ
(прецессионные колебания), а во втором случае — порядок
<у=ГУГ (нутационные колебания). Но так как Г»Г, то
Теорема VI. Если условие устойчивости удовлетворяется
и гироскопические силы являются доминирующими, то
колебаниям с более высокими частотами соответствует более
интенсивное затухание по сравнению с затуханием
медленных колебаний.
Доказательство. Как видно из выражений для λι, λ2,
колебаниям с прецессионной частотой ω соответствует затуха-
£
ние — "ρ' а колебаниям с нутационной частотой соответ-
ствует затухание —рЛ Отсюда видно, что колебания с
нутационной частотой затухают значительно быстрее.
Этим свойством пользуются для упрощения систем и
перехода к прецессионным уравнениям. Характеристическое
уравнение для прецессионных уравнений принимает вид
*Τλ+/> + /£=О,
177

откуда
ι Е . р ·
г г
Если £/Г>0, то медленные колебания затухают и
собственно неконсервативные силы выступают в роли диссипа-
тивных. С подобным примером мы встречались при
исследовании радиальной коррекции гироскопического маятника.
Но чтобы перейти к прецессионным уравнениям, надо
обеспечить затухание быстрых колебаний. А это возможно
получить только при наличии диссипативных сил. Поэтому в
гироскопической системе надо искать диссипативные силы,
если даже отсутствуют специально употребляемые для
этого устройства демпфирования.
Задачи и упражнения
1. Показать, что если в механической системе имеются
только потенциальные и диссипативные силы, то скорость
изменения полной энергии системы Е=Т0-\-11 связана с дис-
сипативной функцией Релея уравнением
dE/dt=— 2/?.
2. Показать, что если λ/ — действительный корень, то
кинетическая энергия Т0 на собственном векторе,
соответствующем корню λ/, равна
T0=-Lx2ie2XJfT.
0 2 '
§ 28. ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ
ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
НА ЧАСТОТУ КОЛЕБАНИЙ
И УХОД ГИРОСКОПА
Обычно при определении собственных частот колебаний
гироскопических систем пренебрегают упругой
податливостью элементов подвесов гироскопов и различных
связанных с ними устройств. В то же время, например, величина
частоты нутационных колебаний гироскопа, вычисленная
по соответствующим формулам, оказывается выше частоты
колебаний, определяемой экспериментально. Причиной
такого несоответствия может быть упругая податливость
элементов конструкции. Рассмотрим это явление на примере
гироскопа в кардановом подвесе, установленного на
неподвижном основании. На оси внешнего кольца укреплена
стабилизируемая масса. Для простоты будем предполагать, что
упругой податливостью обладает лишь вал, связывающий
178

внешнее кольцо со стабилизируемым телом. Возникающий
при скручивании вала момент ввиду малости упругих
деформаций считается линейной функцией относительного
поворота внешнего кольца и стабилизируемой массы с
коэффициентом пропорциональности k.
Как и прежде, с основанием, на котором установлен
гироскоп, свяжем систему координат ξηζ, ось ξ которой
перпендикулярна плоскости основания.
Если воспользоваться ранее полученными уравнениями
гироскопа в кардановом подвесе, то уравнения движения
системы могут быть записаны в виде
VK/ dt* KV' dt dt dt v v Ύ/
υ dt2 2 VhV I at ) dt ^
Η = c (J*- 8ΐηβ + -**-) = const.
\ dt * dt )
Здесь, помимо обозначений, встречавшихся ранее, k —
величина жесткости вала, а — угол поворота внешнего кольца
относительно основания, β — угол поворота внутреннего
кольца относительно внешнего, φ — угол поворота
стабилизируемого тела относительно основания, D — момент
инерции стабилизируемого тела относительно оси
стабилизации ξ.
Рассматриваемая система уравнений допускает
стационарное решение α=φ=0, p=f$0=const, что соответствует
равновесию системы. Пусть в начальное мгновение времени
стабилизируемому телу сообщается малая угловая скорость
dw ι
— = Фо» а внешнее и внутреннее кольца при этом не-
dt \t=o
подвижны. Рассмотрим малые колебания системы в
окрестности стационарного" решения. Введем обозначения
α=αο + *, β=βο+ί/, φ=ζ.
Запишем уравнения малых колебаний:
/-£г+ Н^-соз$0 + 1г(х-г)=0,
dt2 dt
0 at* dt K0
D-£- + k(z-x)=0, J = J®0).
179

Начальные условия для этой системы следующие:
z(0)=*(0)=y(0)=0,
*(0)=#(0)=0, έ(0)=φο.
Второе уравнение системы можно проинтегрировать. С
учетом начальных условий будем иметь:
Вп
dy
at
•Hxcosfl0 = B0i/(0) — #x(0)cosp0 = 0.
В результате система уравнений, описывающих малые
колебания гироскопа и стабилизируемого тела, может быть
приведена к виду
Л»
+ k(z — *) = 0.
Введем обозначения
У J Во
Ω
-V-
имеющие простое механическое толкование. Величина ν
представляет собой частоту нутационных колебаний
гироскопа без стабилизируемого тела, величина Ω является
частотой крутильных колебаний стабилизируемой массы с
моментом инерции D в предположении неподвижности
внешнего кольца карданова подвеса гироскопа и наличия
упругой податливости вала. С учетом введенных обозначений
уравнения малых колебаний запишутся в виде
Л2
J
d*z
dt*
+ Ω2(ζ — χ)=0.
Составим характеристический определитель
Δ(λ) =
χ2 + ν2 + _2-Ω* £-Ω2
J
J
λ2 + Ω2
Характеристическое уравнение Δ(λ)=0 записывается
следующим образом:
λ4 + /ν2 + Ω2 JL + Ω2 \ λ2 + ν2Ω2 = 0.
180

Для определения частот колебаний имеем биквадратное
уравнение. Если обозначить λ2=κ, то из
характеристического уравнения получим
κ1,2 =
ίν2 + Ω2 + Ω2 — \ ±rl/ (ν2 + Ω2 + Ω2—V~4v2Q2
Найденным значениям κι, Χ2 соответствуют четыре корня
характеристического уравнения
λι,2 = ± V^i = zfc i ωχ, λ3,4 = d= l/Vca = ± i ω2»
Рассмотрим выражения для определения частот собственных
колебаний
ω«=^[1+μ(1+^)_,/1+μ(1+^]'-4μ].
Ω2 k
где μ = = безразмерный параметр, представ-
v2 Dv2
ляющий собой отношение квадрата частоты крутильных
колебаний стабилизируемого тела при неподвижном внешнем
кольце к частоте нутационных колебаний гироскопа при
отсутствии стабилизируемого тела. Заметим, что параметр μ
пропорционален податливости вала, соединяющего внешнее
кольцо со стабилизируемым телом.
Рассмотрим приближенные значения частот колебаний
<оь 0)2- При &<С1 параметр μ<^: 1. Получим при μ<^1:
ι/ΐ—; tfcospo
Из полученных формул видно, что при малом значении
коэффициента податливости вала k величина ωι определяет
частоту крутильных колебаний тела при неподвижном
внешнем кольце гироскопа, а величина сог определяет частоту
нутационных колебаний гироскопа, изолированного от
стабилизируемой массы.
181

Рассмотрим приближенные значения частот ωι, α>2 прив
μ>1. Получим
^ι^ ч / ;г- β г,, , Ζ\ ' = νι»
)/
V2
'+-Г
.=-1/
_ Я cos β0
/(У + D) β0
*(/ + D)
2 Г /D
При μ>>/ первая из частот ωι = νι представляет собой
частоту нутационных колебаний гироскопа в кардановом
подвесе при абсолютно жестком вале. Вторая частота суть
частота крутильных колебаний двух тел с моментами инерции.
/ и Z), соединенных между собой валом жесткости k.
На рис. 87 изображен график изменения квадратов
частот колебаний рассматриваемой системы в зависимости от
величины k. Из графика хорошо
видно существенное влияние конечной
жесткости вала, соединяющего
внешнее кольцо и стабилизируемую
массу. Если пренебречь упругой
податливостью вала и считать его
абсолютно жестким, то теоретическое
значение частоты нутационных колеба-
рис 87 ний будет определяться по формуле
#cos'60
1 yf(J+D)B0
Вследствие конечной жесткости вала наблюдаемое в
эксперименте значение частоты нутационных колебаний будет
всегда меньше. Поэтому на практике последнюю формулу
используют всегда с поправочным коэффициентом:
tf cospo
v^ (0,5ч-0,7) r "cosPo
Конечное значение жесткости элементов конструкции
подвеса гироскопа оказывает существенное влияние и на
систематический уход. Рассмотрим это явление на примере
рассматривавшегося выше устройства. Исследование будем
проводить методом последовательных приближений. Чтобы
уменьшить количество выкладок, не затрагивающих существа
явления, предположим, что между параметрами гироскопа
имеет место соотношение (А+А{—d) =0. Следовательно,
J=A2+C{ и /'(β)=0.
182

Уравнения движения гироскопа со стабилизируемым
телом с учетом квадратичных членов записываются
следующим образом:
car at at
D_f£- + &(z — *) = 0.
air v '
Найдем решение линейной части системы. Как указывалось
выше, уравнения малых колебаний могут быть записаны
в виде
** +V*X + Q- JL(*_г) = 0,
dt2 J
d*z
dt*
+ Q2(2_^=0.
Начальные условия этой системы таковы:
*(0)=z(0)=0, -f-l = i, = 0, ^-\ =z0 = %-
at |/==o αί |/=ο
Легко проверить, что решение системы уравнений малых
колебаний при указанных начальных условиях записываются
в виде
#=aisin G)i/ + a2sin (02*,
2=&iSin (uit + b2S\n 0)2^
где ωι, G>2 — частоты собственных колебаний, а аАмплитуды
#ь 02, Ь\> &2 определяются начальными условиями. Из
начальных условий имеем
ai(oi + a2G)2=0,
&ιωι + &2ω2=φο.
Еще два уравнения, связывающие амплитуды колебаний,
можно получить, если подставить χ, ζ в одно из уравнений
«системы и приравнять коэффициенты при sincaii, sino^f.
Проделывая эту операцию, например, со вторым уравнением
системы, найдем
6,(Ω2—ωι2)— Ω2α1 = 0,
ΜΩ2—со22)— Ω2α2=0.
В результате для определения аи а2у b\> b2 получится
система линейных алгебраических уравнений
αιωι + α2ω2=0,
183

&ι(Ω2—ω,2)—α!Ω2=0,
ΜΩ2—*>22) — α2Ω2=0.
Определитель этой системы уравнений
Δ = Ω2ωιω2 (о)22—ωι2)
всегда отличен от нуля, поскольку, как это видно из рис. 87,
ωι=^ω2, и система алгебраических уравнений имеет
единственное решение. Для амплитуд колебаний получим
следующие выражения:
φ0(Ω2 —ω2) (Ω2 —ω2)
а* =
Ω^ίω?— ω2)
φ0 (Ω2 — ω2) (Ω2 —
Ω2 ω2(ω2 — ω2)
и φ0(Ω2-ω2)
0\ —
/ 2 2\
ωχ (ω j — cog)
·φ0(Ω2-ω2)
Ьо =
ω2)
»
ω2 (о>2 — ω,)
Переменная у может быть найдена из уравнения
β0 —— Hxcos$0 = 0.
at
С учетом начальных условий получим
У = Л£р-\-±- (1 _cos ω,Ο + -2L-(1 -οοβω,οΐ.
*>о L ωι ω2 J
При исследовании уравнений второго приближения, как
и ранее, в правые части этих уравнений, содержащих члены
второго порядка относительно величин х, у, dx]dty dy/dty
подставим решение линеаризованных уравнений. В результате
правые части окажутся равномерными
почти-периодическими функциями времени, являющимися комбинациями
периодических функций с периодами ΓΙ = 2π/ωι, Г2 = 2я/ш2. Для
равномерных почти-периодических функций /(/) имеет места
операция осреднения
τ
1
Г-»оо Τ .1
184

Применим ее к правым частям уравнений второго
приближения. Для правой части первого уравнения получим:
τ
/2 \Т
lim — [Ну-^- sin β0ί# = Я sinp0lim —
г-**» Τ J at T-+00 Τ
о
о
= -^h. iim ±]y*iT)-y(0))=0,
2 т-+оо Τ
что следует из ограниченности функции y(t). Применяя
операцию осреднения к правой части второго уравнения,
найдем
τ
rr . о «. If dx <* #2sinBoCosBo / 2 , 2ч
Заменяя правые части уравнений второго приближения их
осредненными значениями, получим следующую систему
уравнений:
^^-"^г008^—i*—(αι+α2)'
Я-^ + *(г-*)=0.
Легко видеть, что решение этой системы будет содержать
периодические функции периодов Тх и Г2, а также линейно
возрастающие с течением времени члены. Найдем частное
решение, содержащее линейно возрастающие функции
времени
x4 = uty y4 = vt, z4=wt.
Подставляя частное решение в систему уравнений, получим
tfsinBo / 2 , 2ч
2. Do
V = 0.
Величина и представляет собой значение средней скорости
систематического ухода гироскопа в кардановом подвесе
с укрепленным на оси внешнего кольца стабилизируемым
телом. Скорость систематического ухода зависит от
амплитуд колебаний, возникших в результате того, что
стабилизируемому телу в начальное мгновение времени сообщается
угловая скорость φο·
7 3>ак № 558 185

Проанализируем зависимость скорости систематического
ухода от параметров системы. Подставляя αϊ, аг, найдем
/ da1 \
_ Я sin β0 φ£ [Ω* - Ω2 (ω? + αφ + ω? αφ2 (ω| + αφ
ί2Β0Ω^(ω2{ — ωΙ)2ω2ιωΙ
Характеристическое уравнение линейной части системы
может быть записано в виде
(λ2 + ω?) (λ2 + (4) = λ\+ (ω? + ωΐ) λ2 + ω? α>2 = 0.
Сравнивая коэффициенты данного уравнения с
коэффициентами характеристического уравнения, записанного через
параметры системы, найдем
О)? 0)2 -= Ω2ν2,
ω? + ω* = ν2 + Ω2 -^- + Ω2.
Кроме того, из формул для κι, хг следует
(ω2 _ ω2)2 = (χ2 _ κι)2 = / V2 + Q2 + Q2 JM * _ 4v2Q2#
Подставляя последние соотношения в формулу для скоростиг
систематического ухода, после несложных преобразований
определим скорость систематического ухода внешнего
кольца гироскопа как функцию параметров системы:
#δίηβ0φ;;Ω2£2(ν2 + Ω2-4-+Ω2Ν)
/ da \ = u \ I I
\ dt I Г / D \2 Ί
2θ0/2ν2 ίν2 + Ω2 + Ω2 — J -4ν2Ω2
Напомним, что Ω2 = k/D,
Если воспользоваться введенным выше параметром μ = Ω2/ν2, то»
последняя формула примет вид
da] φο*ββο£2μ(ι + μ + μ-τ-
(-?)-
2tfcosfcJ ΓΛ+μ + μ-y-J - 4μ|
186

"Из этой формулы следует, что скорость систематического
ухода существенно зависит от параметра μ, τ. е. от
податливости вала, соединяющего внешнее кольцо со
стабилизируемым телом. При k=0 параметр μ=0. Скорость
систематического ухода при k=0 обращается в нуль. Этот вывод
имеет простой физический смысл. При k=0 стабилизируемое
тело можно рассматривать как бы насаженным на ось
внешнего кольца, вокруг которой оно может свободно вращаться.
Напомним, что при выбранных в задаче начальных условиях
гироскоп в кардановом подвесе находится в покое в
начальное мгновение времени, а стабилизируемому телу сообщается
начальная угловая скорость φο· Очевидно, что в
последующее время тело будет свободно вращаться вокруг оси, а
гироскоп останется в покое. Систематический уход гироскопа
будет отсутствовать.
При малых значениях коэффициента податливости (μ<^
<Cl) скорость систематического ухода с точностью до членов
порядка μ2 будет пропорциональна податливости вала:
ι da \ = <PptgPofl>
\ dt I 2JHcos$0 *
Рассмотрим случай μ>1, что соответствует валу
большой жесткости. Скорость систематического ухода гироскопа
будет определяться выражением
у da \ TptgPo pa(J + D)l
\ dt I 2tfcosp0 ' (J + D)2 '
При большой жесткости вала стабилизируемое тело и
внешнее кольцо с достаточной степенью точности можно
рассматривать как одно твердое тело. В начальное мгновение
времени телу сообщается момент количества движения ц>оО.
Механическая система, состоящая из внешнего кольца и
стабилизируемого тела, будет обладать тем же моментом
количества движения (J + D)ciQ—<poD. Учитывая изложенные
соображения, скорость систематического ухода при μ^>1 можно
записать в виде
, da χ (/ + z>) agtgpo ^ (Л'2+Сг) a20tg^
\ dt I 2#cosp0 ~~ 2Hcos$0
Последнее выражение совпадает с хорошо известной
формулой Магнуса. В качестве момента инерции Л'2=Л2+£>
рассматривается общий момент инерции внешнего кольца
гироскопа в кардановом подвесе и стабилизируемого тела.
Интересно отметить, что результаты исследований
данной модельной задачи могут быть непосредственно
использованы для определения скорости систематического ухода в
7*
187

задаче о стабилизации искусственного спутника Земли
посредством гироскопической рамы, рассмотренной в § 26.
Роль стабилизируемого тела будет выполнять корпус
спутника. В качестве начальной угловой скорости <р0 следует
взять угловую скорость вращения спутника и до начала
процесса стабилизации. В качестве податливости вала
следует взять податливость конструкции в местах соединения
корпуса спутника с рамой. Процесс стабилизации спутника
осуществляется в результате мгновенного наложения
упругой связи, определяемой податливостью конструкции. Для
того чтобы можно было воспользоваться рассмотренными
выше уравнениями малых колебаний, угловая скорость
вращения спутника должна быть малой, так чтобы имело место
соотношение
Ψμ=£μ<2#.
Скорость систематического ухода гирорамы (или, что то же
самое, угловая скорость вращения спутника) в процессе
стабилизации во втором приближении будет определяться
выражением
Здесь Ψ — момент инерции корпуса спутника относительна
оси вращения гирорамы, /=/+Ψ — суммарный момент
инерции гирорамы и спутника относительно оси гирорамы.
Диссипативные силы, неизбежно присутствующие в любой
реальной системе, приводят к затуханию колебаний.
Скорость систематического ухода с течением времени также
обратится в нуль.
§ 29. ПРУЖИННО-МАССОВАЯ АНАЛОГИЯ
ГИРОСКОПИЧЕСКОГО СТАБИЛИЗАТОРА
В механике хорошо известны и широко применяются
методы аналогий. Эти методы основаны на том, что разные
физические явления могут быть описаны одинаковыми
дифференциальными уравнениями. Это обстоятельство позволяет
переносить результаты теоретического или
экспериментального исследования одного явления на другое. В качестве
простейшего примера можно указать на колебания двух
механических систем: одна из систем представляет собой
грузик на пружинке, а вторая — физический маятник,
совершающий малые колебания в окрестности положения
устойчивого равновесия. С уравнениями движения этих систем мы
188

неоднократно встречались ранее. Эти уравнения можно
записать следующим образом:
d2x г^2ф
т = — ex, J —— = — mgl φ.
dt2 dt* s
Здесь m — масса грузика, с — жесткость пружины, χ —
линейное перемещение грузика, / — момент инерции
физического маятника относительно оси вращения, т — масса
маятника, / — смещение центра масс маятника от оси
вращения, g — ускорение свободного падения, φ — угол поворота
маятника. Очевидно, оба уравнения могут быть приведены
к виду ά21/άί2+ω21=0. В результате получилось уравнение
простейшего гармонического осциллятора. В первом случае
переменная ξ будет соответствовать линейному перемещению
и (о2=с/т, а во втором случае ξ соответствует угловому
перемещению и G)2=mg///. Поперечные перемещения точек
струны в случае, когда возбуждается только первая форма
колебаний, описываются таким же уравнением. Можно было
бы привести значительное число различных примеров из
теории малых колебаний как абсолютно твердых, так и
деформируемых тел, когда поведение переменной величины
системы описывается уравнениями движения простейшего
гармонического осциллятора. На методе аналогий основано
применение целого класса электронных вычислительных
устройств — аналоговых вычислительных машин. При решении
систем дифференциальных уравнений, описывающих
исследуемое явление, с помощью аналоговых вычислительных
машин электрическая цепь конструируется таким образом,
чтобы напряжения на различных участках этой цели
описывались аналогичными дифференциальными уравнениями. В
результате наблюдений за изменением напряжений в
процессе решения задачи на аналоговой вычислительной машине
можно составить суждение о протекании процессов в
исследуемом явлении.
Линейные дифференциальные уравнения одноосного
гироскопического стабилизатора составлены в § 23 в
предположении абсолютной жесткости его элементов. В
предыдущем параграфе было показано, что учет податливости
элементов конструкции может существенным образом
сказаться на значении частот собственных колебаний системы. По
той же причине может оказаться неверным и заключение об
устойчивости стабилизатора. По существу, механическая
система гироскопического стабилизатора является системой
с распределенными параметрами с бесконечным дискретным
спектром частот, подобно многим упругим конструкциям.
Однако в случае гироскопического стабилизатора задача об
отыскании частот собственных колебаний значительно
упрощается благодаря следующим обстоятельствам. Упругая по-
189

датливость подшипников ротора гироскопа в радиальном
направлении и смятие контактирующих зубьев редуктора
значительно превосходят упругую податливость остальных
элементов стабилизатора. Поэтому при определении низких
частот малых колебаний такой системы ее можно считать
как бы состоящей из четырех абсолютно жестких тел:
ротора гироскопа, его кожуха, внешнего кольца вместе со
стабилизируемым телом и ведомым зубчатым колесом редуктора
и ротора двигателя вместе с ведущим зубчатым колесом
редуктора. Ротор гироскопа упруго связан с кожухом
посредством подшипника ротора, кожух гироскопа связан с
внешним кольцом посредством недеформируемого
цилиндрического шарнира, внешнее кольцо связано с ротором
двигателя посредством упругой связи.
Уравнения малых колебаний гироскопического
стабилизатора при неработающем двигателе стабилизации
запишутся в виде
β£ϋ- = ΛΤ(ψ—θ).
Здесь А — экваториальный момент инерции ротора
двигателя, Η — его собственный кинетический момент, В —
момент инерции кожуха относительно его оси подвеса, Ψ —
момент инерции внешнего кольца вместе со
стабилизируемым телом и ведомым колесом редуктора, θ — приведенный
к оси стабилизации момент инерции ротора двигателя
вместе с ведущим колесом, a — угол поворота ротора гироскопа
относительно оси стабилизации (оси вращения внешнего
кольца), β — угол поворота ротора гироскопа относительно
оси подвеса кожуха, δ — угол поворота кожуха гироскопа
относительно его оси подвеса, ψ — угол поворота внешнего
кольца относительно оси стабилизации, θ — приведенный
к оси стабилизации угол поворота ротора двигателя. Напом-
ним, что момент инерции θ равен моменту инерции ротора
двигателя стабилизации вместе с ведущим колесом
относительно оси вращения ротора, увеличенному в j2 раз, а угол
поворота θ равен углу поворота ротора двигателя относи-
190

тельно статора, увеличенному в / раз, / — передаточный
коэффициент редуктора. В системе уравнений К — жесткость,
соответствующая упругому смещению ротора гироскопа
относительно кожуха, N — жесткость редуктора, также
отнесенная к оси стабилизации.
Момент инерции кожуха гироскопа В значительно
меньше момента инерции ротора Л. Поэтому третье уравнение
системы будет описывать колебания кожуха гироскопа
весьма высокой частоты относительно оси кожуха. Если
пренебречь моментом инерции В по сравнению с Л, то из
третьего уравнения получится δ=β. В результате исходная
система уравнений запишется в виде
dt* dt VY '*
dt2 dt
θ^=ΛΤ(ψ-θ).
Первые два уравнения системы описывают движение
ротора гироскопа при наличии момента упругости
подшипников его оси. Третье уравнение описывает движение
внешнего кольца под действием двух упругих моментов — со
стороны ротора гироскопа и со стороны двигателя
стабилизации. Последнее уравнение с точностью до постоянного
множителя — передаточного числа / — описывает вращение
ротора двигателя стабилизации под действием сил упругого
взаимодействия с внешним кольцом.
Второе уравнение системы можно проинтегрировать.
Опуская несущественную для дальнейшего постоянную
интегрирования, получим
dt
Исключая άβ/dt из первого уравнения, систему уравнений
запишем в виде
„ d2 α , И2 vtx ч
θ«#(ψ-θ).
191

Рассмотрим расположенные на одной прямой три массы: А,
Ψ, Θ, отклонения которых от положения равновесия
обозначим соответственно через α, «ψ, θ (рис. 88). Пусть масса А
связана с некоторым неподвижным телом очень большой
массы (с «инерциальным» пространством) пружиной
жесткости Н2/А, масса Ψ связана с массой А пружиной
жесткости К и масса θ связана с массой Ψ пружиной жесткости N.
Очевидно, что совокупность уравнений, описывающих
колебания трех масс, совпадает с последней системой уравнений.
Таким образом, установлена аналогия между колебанияхми
гироскопического стабилизатора и колебаниями упруго
соединенных между собой трех масс, первая из которых
дополнительно соединена своеобразной «гироскопической»
пружиной с инерциальным пространством.
Приведенный аналог позволяет применить к
исследованию гироскопической системы приемы и методы теории
колебаний упругих систем с сосредоточенными массами. Пусть,
например Λ<^:Θ<Ψ, как обычно и бывает у
гироскопических стабилизаторов. В этом случае масса А может
колебаться с весьма высокой частотой. Поэтому при колебаниях
системы с низшими частотами ωι, ω^ инерционные свойства
массы А практически не сказываются на ее смещении.
Опуская в первом уравнении член Ad2a/dt29 получим уравнение
равновесия
α—= #(ψ — а).
А
Отсюда можно найти перемещение массы А:
КА
Н* + КА γ
Подставляя' это выражение во второе уравнение системы,
получим два дифференциальных уравнения для
определения ψ и Θ:
^ _^_ θ_
#2 ^ КА + Н* γ ν γ"
Θίϋ1=#(ψ— θ).
Получившаяся система уравнений проще исходной и может
быть легче исследована.
При колебаниях системы с наивысшей частотой и>з массы
Ψ и θ практически стоят на месте, а колеблется масса Л.
192

Поэтому если в первом уравнении рассматриваемой системы
положить ψ=0, то придем к формуле для определения
частоты колебаний ротора:
ω*
■Μ*+ϊϊ
Исследование частот системы подобным приближенным
способом дает хорошее совпадение с результатами,
получаемыми строгими способами.
ос <
I I
_1_
1Jt*U к
А
Рис. 88
&
Аналогично можно рассмотреть одноосный
гироскопический стабилизатор с двигателем постоянного тока в цепи
обратной связи. Для описания поведения такого стабилизатора
последнее уравнение системы надо заменить тремя
следующими:
θ— =#(ψ — θ) — / — i,
dt* VY g
1 dt
ί/ = μφ(ρ).
Здесь С — коэффициент противоэлектродвижущей силы, ί —
сила тока в якоре двигателя, R — омическое сопротивление
якоря (индуктивное сопротивление не учитывается), υ —
напряжение на выходе усилителя, μ — коэффициент усиления,
Ф(р) — передаточная функция усилителя, ρ — оператор
дифференцирования. Исключая промежуточные переменные,
последние соотношения можно преобразовать к виду
■" ·*»-4 + -£[-ιΛ<»Ρ-*±:].
θ^=.
Λ*
Таким образом, система дифференциальных уравнений,
описывающих малые колебания одноосного гироскопического
стабилизатора с двигателем постоянного тока в цепи
обратной связи записывается в виде:
„ d2a , Я2 Vlx ч
193

Τ£2. = Κ<α-+) + ΛΓ(θ-*),
•■£-*»-4 + -£[-ι*βΜ-*-£.].
Аналогом гироскопического стабилизатора с включенным
двигателем может служить та же механическая система,
что и для «обесточенного», однако с добавлением (рис. 89)
«искусственной» силы
и силы «вязкого» сопротивления
Ρ _ j*C* de
Rg ' dt '
Для образования «искусственной» силы Ρ в
рассматриваемом механическом аналоге используется «интегрирующее»
звено, вырабатывающее по закону
На = О
dt
величину β, и усилитель с передаточной функцией Ф(р).
При исследовании получившегося аналога могут быть
использованы изложенные выше соображения о частотах
колебаний системы. Результаты исследования непосредственно
переносятся на колебания гироскопического стабилизатора.
Задачи и упражнения
1. Астатический гироскоп в кардановом подвесе
установлен на неподвижном основании. Найти влияние
податливости оси внешнего кольца на частоту колебаний гироскопа, из-
гибные деформации оси внешнего кольца считать малыми, а
силы упругости — линейными функциями изгибных
деформаций.
Указание. Предполагая, что центр масс внутреннего
кольца и ротора гироскопа при деформации оси внешнего
кольца не перемещается, деформацию оси внешнего кольца
задать двумя малыми углами Qx и Ог. Ввести промежуточные
системы координат ξιηιζι и БодЁг по схеме:
Ы — ► 6lT|l6l -Л, ■ > S^lCs Т2 * *2#22*·
Л» % ζΐ» Ь2 52» х2
2. Определить влияние жесткости упругой оси ротора
гироскопа на частоту колебаний астатического гироскопа в
кардановом подвесе. Изгибные деформации оси ротора счи-
194

тать малыми, а возникающие при этом упругие силы —
линейными функциями деформаций. Перемещением центра
масс ротора гироскопа при изгибных деформациях
пренебречь.
3. Найти частоты колебаний гироскопа в кардановом
подвесе, установленного на неподвижном основании, с
учетом податливости оси внутреннего кольца. Изгибные
деформации оси считать малыми, а упругие силы — линейными
функциями деформаций. Перемещением центра масс
гироскопа при деформациях пренебречь.
4. Гироскоп в кардановом подвесе установлен на
основании, перемещающемся поступательно с постоянным
ускорением а. Вектор ускорения составляет угол θ с осью внешнего
кольца. Вследствие податливости подшипников ось
внутреннего кольца гироскопа может перемещаться вдоль осей λ:2 и
22 системы координат .оддег» связанной с внешним кольцом.
Считая перемещения малыми, а возникающие при этом силы
упругости — линейными функциями перемещений, найти
угловую скорость прецессии гироскопа (уход) в зависимости
от коэффициентов жесткости для перемещений вдоль осей
х2 и гг. При каких значениях коэффициентов уход будет
отсутствовать? Дать физическое объяснение. При исследовании
ограничиться прецессионной теорией гироскопов.
§ 30. НЕВОЗМУЩАЕМЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ
МАЯТНИК
Рассмотрим задачу о некоторых (свойствах физического
маятника, точка лодвеса которого проиавольным образом
движется по поверхности Земля. При решении задачи
пренебрежем влиянием на движение маятника сил тяготения,
действующих со стороны Солнца, Луны и других небесных тел, а
также движением центра масс Земли в пространстве. В
соответствии с предположениями систему координат с началом в
центре масс Земли и с осями, не меняющими своей
ориентации относительно направлений к неподвижным звездам,
примем за «абсолютную». Будем считать, что Земля — шар
радиуса R с радиальным распределением плотности.
Нельзя ли сконструировать физический маятник, который
не «качался бы на подвижном объекте при произвольном
движении последнего по поверхности Земли? Интуитивно
принципиальная возможность создания такого маятника
представляется сомнительной. Однако оказывается, что в пределах
рассматриваемой нами модели Земли можно так подобрать
параметры маятника, что при произвольном движении точки
подвеса по поверхности Земли (прямая, проходящая через
точку и центр масс маятника, будет проходить все время через
центр Земли. Необходимо лишь обеспечить надлежащие на-
195

чальные условия движения. Идея такого маятника
принадлежит известному немецкому механику Шулеру и «была
высказана им уже полвека «назад.
Рассмотрим плоский физический маятник Шулера, точка
подвеса которого движется произвольным образом по дуге
большого круга невращающейся сферы 5, окружающей
Землю (рис. 90). Пусть 1в начальный момент линия маятника,
соединяющая точку подвеса и центр масс, проходит через
общий центр Ох Земли и этой «сферы. Каким условиям
должны удовлетворять параметры маятника, чтобы линия
проходила через точку Οχ при любом движении точки О по
упомянутой дуге большого 'круга, т. е. чтобы маятник был невоз-
мущаемым?
Свяжем с маятником некое воображаемое абсолютно
твердое тело, не имеющее массы и закрепленное в неподвижной
точке 0\ (рис. 90). При движении точки подвеса в точках О
и Οχ возникнут силы .реакций. Обозначим их (горизонтальные
составляющие через N и Р. Запишем уравнение вращения
такого «продолженного» маятника .вокруг неподвижной точки
Οχ. Имеем J0t -^- = PRy R=r+l.
(Здесь Jot— момент инерции маятника относительно
центра Земли Οχ.) С другой стороны, рассматривая уравнение
движения центра масс маятника в проекции на касательную
к его траектории, получим
т—Z-=mr-—=P—N, \r\=0£.
at dt* » ι ■ ι
Попробуем выбрать параметры маятника так, чтобы N было
равно нулю. Для этого «необходимо взять Jox = mrR.
Согласно теореме Штейнера
J0i = Jc + mr2, Jo-=Jc + ml2,
где /с — момент инерции маятника относительно центра
масс. Поэтому получаем
JQ=mrR—mr2+ml2 =mlR.
Однако если ЛГ=0, то дополнительное тело с закреплением в
точке Οι можно отбросить. Следовательно, если в начальный
момент линия плоского физического маятника проходит
через центр Οι и /0=m/i?, то яри любом последующем
движении точки подвеса маятника по дуге большого круга линия
маятника будет юсе время проходить через точку Οχ.
Разумеется, в начальное мгновение времени ί=0 маятник должен
вращаться с той же угловой скоростью, »с которой вращает-
196

п™^И,У'С °l0· В ЭТ0М ^У4™ в мгновение t=0 должно
соблюдаться очевидное условие должно соо-
R-l
Из теории удара следует, что точка 'подвеса маятника О ,ппи
ла7пИНЛтУ,СЛОВИЯ /o=m//? является Литром ™а для Τ
ла (рис. 90), у которого точка О, .неподвижна. Существенно,
1
m
с о
-vgr
Рис. 90
Рис. 91
однако, что сила тяготения ,не имеет никакого отношения к
параметрам невозмущаемого маятника. Это обстоятельство
*екЛГ.чИЛЛЮСТрИРуеТСЯ П1РибоРсм. Демонстрирующие ™
ί^Ζав^мУщаемости плоского физического майшика. Такой
cof пп^,п^ЛОЖеН'НЬ?.И386С1ПНЫМ «емецки'м ученым Магну
жет В0Раш?гьсяТ^Об0Й СТерЖ6?Ь 'С РУкоя™>й> который м1
жет вращаться в горизонтальной плоскости (рис. 91) bokdvp
ЗГиГкот^; "Э СТерЖНе УКрепЛ6Н маятник, Плоско?т1
колебании которого также горизонтальна. Точку полвеса мя
т7тИаКкоеТНпоСМеЩаТЬ ВД°ЛЬ СТерЖНЯ· П*« эт™ mSho най-
c^SL* t '"ол'ожение> ч™ ^и любом переменном вращении
«ΞβΙΙ То3п°НТаЛЬНОЙ ллоскости »»ня маятника будет,
направлена вдоль стерж«я. Если теперь точку подвеса сме-
ко^в'™РиИГжГНаМ 1ПаВ°Р0Те СТерЖНЯ из "олГешя Iе-
га стеньг ^ ?я СТ°Р0НУ Мая™ИК будет склоняться в
разные стороны, в зависимости от того, смешена ли т™^ ™„
веса в сторону рукоятки или же, Μ^??^^£ρΖ"
Стержень приводится во вращение вокруг вертикальной? 5£
непосредственно рукой экспериментатор?^^РртояЗ
ческогоТя т тепеРькРа^мотРению пр'острансКнош
одического маятника. Найдем условия, которым должны ΐποβ-
ШулГаТ\оТкТХ;сааРаГРаВ "Р^Р^венного маяшГа
шулера, точка /подвеса которого «произвольным юбпя^ти nDH
ЖГради°УГмПГиИЖН°Й Сфб/е S' -РУ-аГщ\Тз°ебмРлаю:МсГм
же радиусом R и центром О,, что и Земля (рис. 92). Пусть
197

система -координат xyz жестко связана с маятником. Начало
эфой системы совпадает с точкой О подвеса маятника.
Уравнения движения -маятника относительно введенной ранее
поступательно перемещающейся системы координат ξ*η*ζ* в
проекциях на оси подвижной системы координат xyz имеют
следующий вид:
A JL + (C—B)qr=Mx + mom, Я*,
at
B-^- + (A-C)pr = My + mom^P·,
at
С -^-+(Β — Α)ρη = Μζ + mom2P*.
dt
Здесь А, Ву С — по-прежнему моменты инерции маятника от·
носительно главных осей инерции х, у> ζ. В свою- очередь, р,
qy r — проекции абсолютной угловой скорости системы
координат xyz на свои же оси. Момент
Μ является моментом силы
тяготения F. Далее, Р* = —mw0 —
переносная сила инерции, обусловленная
движением невращающейся системы
координат с началом в точке
подвеса маятника с ускорением wq.
Задача состоит в следующем.
Нельзя ли подобрать параметры
маятника Л, В, С, I и начальные
Рис. 92 условия движения так, чтобы при
совершенно произвольном
движении точки подвеса по сфере 5 линия ОС неизменно
проходила бы через центр Земли, или, что то же, через центр
сферы 51?
Короче 'говоря, возможен ли навоамущаемый
пространственный физический маятник?
Допустим, что это возможно. Тогда линия ОС будет
направлена по радиусу сферы 5, а движение маятника и, в
частности, его точки подвеса О, по сфере 5 можно задать
проекциями скорости vXy vy точки подвеса на оси х, у и
проекцией угловой скорости на ось ζ. Ограничимся случаем
где хе, Усу zc — координаты центра маос маятника. По
известным формулам кинематики имеем теперь
P=—vy/R, q^vJR.
Поскольку предполагалось, что навоамущаемое движение
маятника возможно, то выписанная выше система уравнений
198

должна обращаться в тождество при произвольных
функциях времени vXy vy. В невозмущаемом движении линия
действия силы тяготения проходит через точку О, так что Λί=0.
Проекции момента сил инерции переносного движения на оси
х9 уу ζ выражаются формулами
mom^ Ρ* = — mlwyy mom,, P* = mlwx> mom^ Ρ* = 0.
Поэтому система уравнений, описывающих движение
маятника, запишется теперь в виде
А
R
В
R
dvy
dt
dvx
dt
и.
- — (А —С) ^— r = mlwxt
R
С ±- + (A — B)^y- = 0.
dt v ' Я2
Согласно формулам .кинематики
& , - -
w = r ω χ ν
dt
проекции ускорения точки подвеса маятника на оси ху у
имеют вид
dvx dun ,
wx = —-rvy,wy=-^ + rvx.
Подставляя в последнюю систему уравнений выражения wXy
wyy оолучим
R dt l ' R \ dt *)'
R dt X ' R \ dt V
C-*L + (A _b) -2fli- = 0.
dt y ' R*
Так как равенства являются тождественными, то члены
одинаковой структуры в их левых и правых частях должны быть
равны. Из первых двух тождеств имеем
A = mlR, B=mlR.
Следовательно,
A = B = mlR.
Кроме того, долж1ны .вьиполняться условия
(С—B+mlR)r=Q, (A—C—mlR)r=0.
199

Однако .в силу соотношения Л=5 = т.//? эти условия
совпадают и приводятся к виду Сг=0. Следовательно, либо /*=0 и
С — произвольная (величина, либо С=0 и тогда г может
быть (произвольным.
Вместе с тем из третьего тождества при А = 5 следует, что
Cdr/dt=0, т. е. 0=0(0). Поэтому если в начальный
момент времени г(0)=0, то тем самым обеспечивается
равенство r(t) =0. Таким образом, (возможны два случая:
1) Л=Л=т/Л, С=0, гФ09
2) Л=Я = т/#, СФО, г=0.
Первый случай физически не реален, так как только
бесконечно тонкий стержень, вытянутый вдоль оси ζ, имеет
момент инерции С, равный нулю. Второй случай как раз и
-соответствует пространственному маятнику Шулера. Итак,,
пусть такой маятник установлен в «начальный момент так, что
линия ОС направлена по радиусу Земли, имеет место
равенство г(0)=0, и, кроме того, в начальный момент
выполняются .равенства 0У=—pR, νχ^η^ установленные ранее. Тогда
при (Дальнейшем произвольном движении точки подвеса по
поверхности Земли ось будет все время направлена к
центру Земли.
Реализовать такой маятник, как об этом упоминалось
выше, крайне трудно. Однако можно (создать модель маятника
Шулера с помощью гироскопов, ньютонометров и
интегрирующих устройств. Подобная модель может дать многое для
решения задачи местоопределения движущегося объекта.
Мы рассмотрели движение маятника Шулера при
выполнении вполне определенных начальных условий. А что будет,
если маятник вначале отклонен от вертикали? В этом случае
надо рассматривать возмущенное движение маятника.
Ограничимся .простым расчетом движения плоского маятника
Шулера на Северном полюсе Земли. Как известно, уравнение
движения такого маятника в абсолютной системе координат
записывается следующим образом:
J η -— = —IF siti θ.
Будем -считать, что F=mg и угол θ мал, тогда уравнение
принимает вид
Jo-^ + mglQ=0.
Отсюда следует, что частота собственных колебаний
маятника выражается формулой
-V4-
200

и период равен
Ψ mgl
Для маятника Шулера
Jo = mRl>
поэтому
Ts = 2π у — = 84,4 мин.
Можно (показать, что при не (слишком больших углах
отклонения и скорости движения точки подвеса, много меньшей
первой космической, маятник Шулера будет колебаться
практически с тем же периодом п'ри произвольном движении его
точки подвеса по поверхности Земли.
Задачи и упражнения
1. Точка подвеса '.плоского физического маятника
перемещается произвольным образом по дуге большого круга
неподвижной сферы 5. Параметры маятника таковы, что момент
инерции А маятника относительно точки подвеса равен А =
= т//?, где т — масса маятника, / — смещение центра масс
от точки подвеса, R — радиус сферы 5. Показать, что при
выполнении определенных начальных условий точка подвеса,
центр масс и центр Земли во все время движения будут
лежать на одной прямой. Найти эти начальные условия.
Определить ;период малых колебаний маятника (период Шулера).
Трением в точке подвеса и воздействием окружающей среды
пренебречь. Считать, что колебания маятника происходят в
плоскости большого круга, по дуге которого движется точка
подвеса, а точка подвеса движется с постоянной скоростью.
2. Найти приведенную длину математического маятника,
имеющего тот же период колебаний, что и период невозму-
щаемого плоского физического маятника Шулера.
3. Найти период обращения искусственного спутника,
движущегося по круговой орбите на уровне Земли. Сравнить с
.периодом маятника Шулера.
4. Абсолютно гладкая плоскость касается неподвижной
сферы 5, концентрической с земным шаром. На плоскость
помещается шарик, который при расчетах принимается за
материальную точку. В начальный момент времени шарик
неподвижен относительно плоскости, а расстояние шарика до
точки касания плоскости со сферой 5 много меньше радиуса
R Земли. Найти период малых колебаний шарика под
действием силы тяготения. Сравнить его с периодом Шулера.
201

5. Искусственный спутник Земли движется ло круговой
орбите 1на уровне Земли. В начальный .момент (времени
спутнику сообщается небольшое приращение скорости вдоль
радиуса Земли по направлению от центра. Найти «период .малых
колебаний спутника относительно круговой орбиты. Сравнить с
колебаниями маятника Шулера.
§ 31. НЬЮТОНОМЕТРЫ
Задачей инерциальной навигации ιβ общем -случае
является определение местоположения движущегося объекта и его
ориентации относительно известной системы координат без
использования информации от
внешних источников (земных
ориентиров, сигналов
радиоизмерителей, наблюдений за
звездами и т. д.). Исходными
данными для решения этой
задачи являются показания так
называемых чувствительных
элементов систем
инерциальной навигации —
гироскопических устройств и ньютоно-
метров (или акселерометров,
а в авиации — измерителей перегрузки).
В простейшем случае в качестве ньютонометра может в
«принципе служить следующее устройство. Грузик массы гп
перемещается «внутри цилиндрической полости корпуса
прибора. Корпус прибора связан с грузиком пружиной
жесткости с (рис. 93). Пусть корпус ньютонометра.вместе с
объектом, на «котором он установлен, совершает поступательное
движение с «абсолютным» ускорением w. В соответствии с
♦положениями механики относительного движения уравнение
относительного движения грузика запишется ,в виде
т = — сх — mwx + mix.
Здесь x — относительное перемещение грузика, отсчитываемое
от положения, в .котором пружина не напряжена, wx —
проекция абсолютного ускорения на направление оси х\ \х —
проекция ускорения тяготения. При составлении уравнения
мы пренебрегали влиянием массы пружины и силой трения
грузика о корпус ньютонометра.
Для успешного функционирования ньютонометра
необходимо, чтобы период собственных колебаний грузика
относительно неподвижного корпуса
= 2п л[±-
Г т
202

был намного меньше характерного времени изменения
ускорения корпуса ньютонометра. В этом случае можно с
достаточным для практики (приближением \в уравнении движения
грузика пренебречь ©торой производной d2x/dt2. В результате
получим
х = (wx — jx).
с
При известной жесткости с пружины по величине
деформации χ можно измерить силу сх, действующую .на грузик со
стороны корпуса прибора. На единицу массы будет
действовать сила сх/т. Прибор можно проградуировать таким
образом, чтобы наблюдаемое смещение грузика отмечало
некоторую величину
а;= —x = wx — jx.
х т
Нетрудно убедиться, что ах' соответствует силе,
действующей со стороны корпуса прибора «а единицу массы грузика,
но взятой с обратным знаком. Эта сила и измеряется ньюто-
нометром. Векторная величина a = w—/ называется
кажущимся ускорением. Следовательно, величиной ах' непосредственно
измеряется проекция ах кажущегося ускорения а на
направление х. Это направление (Называется осью чувствительности
ньютонометра, а описанный выше ньютонометр — одноосным.
Полезно отметить, что одноосный ньютонометр, будучи
установлен на подвижном объекте, измеряет проекцию на свою
ось чувствительности (главного вектора сторонних сил (т. е.
сил, отличных от сил тяготения), действующих на
подвижный объект. При этом необходимо, чтобы ньютонометр
находился около центра масс объекта, а его ось была
стабилизирована — сохраняла неизменное направление по отношению
к невращающейся системе координат.
Уравнение «абсолютного» движения объекта имеет вид
m0w = F + P,
где F = m0j — сила тяготения ко всем небесным телам,
т0 — масса объекта, Ρ — главный вектор сторонних сил
(тяга двигателей, аэродинамические силы и т. д.). Из
последнего уравнения можно получить:
Ρ = m0w — F = mQ (w —J) = m^a.
Из этого равенства следует, что .кажущееся ускорение
объекта, .которое может быть измерено установленным на нем
ньютонометром, пропорционально главному вектору
сторонних сил, действующих на о1бъект.
Все изложенное выше относилось >к поведению ньютонов
203

метра по отношению к «абсолютной» системе координат ©
поле тяготения ко есем небесным телам, включая Землю. При
движении вблизи Земли можно пренебречь градиентами сил
тяготения к Луне, Солнцу и другим небесным телам. В этом
случае вместо «абсолютной» системы координат можно
пользоваться «квазиинерциальной» системой х*у*2*, начало
которой ^находится IB центре масс Земли, а оси которой
ориентированы по неподвижным звездам. Ускорение тяготения ко
всем небесным телам при этом заменяется на ускорение
земного тяготения /*, а абсолютное ускорение w* заменяется
ускорением по отношению к «'квазиинерциальной» системе.
В результате кажущееся ускорение будет определяться
следующим (выражением:
α = 5, —Λ
Полученная формула является исходной <в теории инерциаль-
ной навигации подвижных объектов ©близи Земли.
Для измерения полного вектора кажущегося ускорения а
необходимо иметь на стабилизированной «платформе три
одноосных ньютонометра,
расположенных так, чтобы их
оси чувствительности не
оказались бы одновременно
параллельными одной и той
же плоскости.
Подвес грузика ньютойо-
метра (чувствительной
массы) может осуществляться
весьма разнообразными
способами. Укажем кратко два
наиболее часто встречаю-
Рис. 94 щихся варианта конструкций
ньютонометра.
В основе конструкции маятникового ньютонометра лежит
физический .маятник (рис. 94), центр масс «которого смещен
от оси подвеса. На оси подвеса маятника размещены
устройство для измерения угла поворота маятника относительно
корпуса прибора Д<р (датчик угла φ) и устройство для
создания момента, направленного по оси подвеса ДМ (датчик
момента). Пусть система координат xyz9 связанная с
корпусом ньютонометра,_перемещается поступательно с
«абсолютным» ускорением w. Запишем уравнение движения маятника
относительно квазиинерциальной системы координат под
действием момента сил инерции переносного движения и
момента Мд, создаваемого датчиком момента:
/ —— = — mlwxcos φ + mljx cos φ —
— mlwz sin φ + tnl\2 sin φ + Л1д.
204

Здесь / — момент инерции маятника относительно оси
подвеса, т — масса, / — смещение центра масс от оси подвеса.
Момент датчика момента будем формировать в виде
линейной функции от измеряемого угла φ (так (называемая
«электрическая пружина») Мд=— &φ. Если коэффициент
пропорциональности k выбрать достаточно большим, так чтобы
выполнялось неравенство
ml\w—T\<jk,
то будем иметь (р<С1. В этом случае с достаточной степенью
точности уравнение движения маятника запишется в виде
J-^T = —rru(wx — jx) — k(p.
Последнее уравнение совершенно аналогично уравнению
одноосного ньютонометра, полученному выше.
В основе гироскопического интегратора кажущихся
ускорений (рис. 61) лежит гироскоп в карданов-ом подвесе, у
которого центр масс системы «ротор-{-внутреннее кольцо
(кожух)» смещен вдоль оси ротора на (величину Z. Если корпус
прибора расположен (на стабилизированной (т. е. не
вращающейся) платформе, то угловая скорость da/dt прецессии
гироскопа пропорциональна проекции аУ на ось внешнего кар-
данова кольца вектора кажущегося ускорения а. В рамках
•прецессионной теории будем иметь
Hda/dt=mlay. ,
Здесь Η — собственный кинетический момент гироскопа.
Интегрируя последнее соотношение, найдем
t
α = α0 + ^-1/ν, V\,=jav(0<#,
о
где a0 — исходное значение угла α в мгновение i=0, а V* —
проекция так называемой кажущейся скорости на
ось v.
Маятниковый ньютонометр и 'гироскопический интегратор
доведены в настоящее время до высокой степени
совершенства. Они нашли себе широкое применение ов схемах инер-
циального управления полетом баллистических ракет, в
системах инерциальной навигации.
Задачи и упражнения
1. Составить уравнение движения чувствительной массы
ньютонометра т (рис. 93) относительно корпуса прибора,
если прибор совершает поступательное движение с абсолютным
205

ускорением w. Массой пружины и трением о стенки
.пренебречь. Рассмотреть случаи:
а) ay=cionst;
б) w = w(t)f но характерное .время Т* изменения
ускорения много меньше периода собственных .колебаний грузика Г
(нвазистационарное ускорение).
Найти зависимость смещения центра колебаний грузика от
ускорения основания.
'2. Одноосный ньютонометр перемещается по дуге (большое
го округа неподвижной сферы S, концентрической с
поверхностью Земли. Ось чувствительности ньютонометра составляет
угол α с касательной к сфере S в точке установки прибора.
Найти величину упругой силы пружины ньютонометра.
3. Спутник движется по круговой орбите на высоте h от
поверхности Земли. Считая Землю однородным шаром с
радиальным распределением плотности, найти показания
одноосного ньютонометра, ось чувствительности которого лежит в
плоскости орбиты и составляет постоянный угол θ с
направлением радиуса, проведенного из центра Земли к спутнику.
Размерами спутника и .ньютонометра по сравнению с
расстоянием до центра Земли пренебречь.
4. Ракета, на которой установлен одноосный ньютонометр,
движется вдоль неподвижного радиуса сферы 5, окружающей
Землю. Ось чувствительности ньютонометра направлена вдоль
радиуса. Как должно изменяться ускорение в зависимости от
высоты полета, если кажущееся ускорение, измеряемое нью-
тонометром, постоянно ,π·ο величине и равно av = go? Здесь
go — ускорение тяготения на поверхности сферы 5.
5. Космический аппарат снижается в атмосфере планеты
иод действием гравитационных и аэродинамических сил.
Показать, что посредством трех мьютонометров могут быть
измерены аэродинамические силы, действующие на корпус
аппарата.
§ 32. СХЕМА КОФМАНА — ЛЕВЕНТАЛЯ
ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ
Предположим, что объект движется по дуге большого
круга некоторой воображаемой невращающейся сферы 5,
окружающей Землю. Центр сферы совпадает с .центром Земли.
Свяжем со сферой 5 систему координат ξ*η*ζ*. Очевидно,
что абсолютная угловая скорость ω* этой системы равна
нулю. Задача инерциальной навигации © данном случае
состоит © отыскании длины дуги большого «круга между исходным
и текущим положениями объекта.
Для решения постатейной задачи инерциальной
навигации может быть предложено1 (Следующее устройство. Гироскоп
в <кардановом подвесе (рис. 95) расположен на так
называете

мой стабилизированной платформе, которая, в свою очередь,
♦подвешена «а «борту объекта. Посредством следящих систем
платформа ©о все время движения «стабилизируется таким
образом, чтобы она (была перпендикулярна вектору
собственного кинетического момента .гироскопа Я, т. е. угол поворо-
та внутреннего кольца карданова подвеса относительно
внешнего во все время движения равен нулю. Предполагается, что
Рис. 95
в (процессе движения объекта по дуге большого круга ось
внешнего «кольца и вектор собствевнопо кинетического
момента Η лежат в плоскости этого круга. Со стабилизированной
платформой жестко связан корпус одноосного» ньютонометра,
схема которого рассматривалась в § 31. Ось чувствительности
ньютонометра ν также лежит в плоскости большого «руга и
параллельна оси внешнего кольца гироскопа х.
Ньютонюметр измеряет проекцию кажущегося ускорения
на ось чувствительности аУ. Величина αν поступает в счетно-
решающий блок, в котором образуется функция
Fv(0 = §av(t)dt + bv.
о
Функция F*(t) с точностью до постоянного множителя k
воспроизводится посредством электромагнита в виде
момента Λί=Λί(ί), воздействующего1 на ось внешнего кольца
.гироскопа. В результате под действием момента
Μ = k\ ^av(t)dt + bv]
о
гироскоп прецессирует в плоскости большого круга. С такой
же угловой скоростью лрецеюсирует и «стабилизированная
платформа. Угловая скорость прецессии определяется
известной формулой
ω=Μ/Η.
207

Оказывается, .начальное расположение гироскопа, а также
постоянные k и Ь„ можно выбрать таким образом, что при
произвольном движении объекта по дуге большого «круга
направление собственного (кинетического момента Я ib любое
мгновение времени будет .проходить через центр сферы 5 и„
следовательно, через (центр Земли. При ©том длина дуги S(t)
между начальным и текущим положениями центра
платформы на сфере представится формулой
s(t) = ^Fv(t)dt.
Покажем справедливость этих утверждений. Введем
подвижную систему .координат ξηζ с началом в центре платформы.
Плоскость ξζ поместим в
плоскость дуги большого круга
(рис. 96). Ось ζ направлена
по продолжению радиуса
сферы S, проведенного к текущему
положению центра
платформы, а ось ξ — по касательной
к большому кругу. В
начальное мгновение времени оси ζ
и ζ* направлены по одной
прямой. Угол между осями ζ
и ζ* обозначим через ψ. С
платформой или (что то же
самое) с кожухом гироскопа
свяжем систему координат
Рис. 96 xyz, которая получается из
системы ζηζ поворотом на угол
α вокруг оси η, совпадающей с осью у. В системе координат
xyz вектор Η направлен по оси г. Абсолютная угловая
скорость прецессии гироскопа выражается формулой
d\b , da
dt dt
Абсолютное ускорение центра платформы (начала систем
координат xyz, ξηζ) выражается известными формулами:
Wt = dvldt, оус=—v2IR, где υ — скорость движения центра
платформы по дуге большого круга, R — радиус
сферы S.
Будем предполагать, что >в процессес движения угол α
мал (что обычно имеет место .в реальной навигационной
системе), и в дальнейшем полагать cos α« 1, sin α «α. Из рис. 96
208

можно видеть, что проекция ускорения центра платформы
на ось чувствительности ньютонометра
Таким образом, проекция кажущегося ускорения на ось
чувствительности «ьюто'нометра записывается следующим
образом:
dv , υ2
av = a — /a.
v at R '
Величина av поступает «а счетно-решающее устройство, ib
результате вычислений функция Fv(t) (приобретает вид
^И[^+(т-'Н*+^·
о
Подставляя оолученное выражение в уравнение движения
(гироскопа (и стабилизированной платформы), получим
Это уравнение является основным для дальнейшего
исследования.
Пусть в процессе движения а=0. Тогда последнее
соотношение запишется в виде
Отсюда видно, что если взять fe/#=*l//?, ΰν=:ϋ(0) и учесть
кинематическое уравнение dty/dt^O/Д, то .получившееся
соотношение обращается в тождество. Функция Fv (t) = f avdt + bv
о
в этом случае дает значение скорости движения .по дуге
большого круга:
t
Fy(t) = ^dt + v (0) — σ(0—σ (0) +*(0) =v(t).
о
Бели ее еще раз (проинтегрировать, то можно найти
перемещение объекта по дуге большого круга:
t t t
ϊρν(ήάί = [υάί^ Γ — dt = s(t)— s(0).
0 0 0
209

Основное уравнение инерциальной (навигационной системы
с учетом выбора k/H=l/R можно записать оз виде
dt dt R J [ dt \ R V J Я
о
t
Величина ν' = Fv(t) = f Γ~+ (— —/) α] dt + 6v,
о
получаемая в результате интеприрования в (счетно-решающем
устройстве, принимается в качестве вычисленного значения
скорости объекта, а величина a (t) = f Fv (t) dt = f t/ (f) dt
ο ό
принимается в качестве вычисленного значения перемещения
центра платформы .по дуге большого круга. Если в процессе
функционирования навигационной системы α отлично от
пуля, то в процессе исчисления скорости и положения объекта
будут иметь место ошибки.
Действительно, .имеем
о
или
v'(t)-v(t) = ^R.
at
Интегрируя последнее уравнение, найдем ошибку в
определении истинного положения центра платформы на большом
•круге:
As=a(t)—s(t) =#[α(0— α(0)].
Получим уравнение для определения ошибки a(t).
Дифференцируя основное уравнение и учитывая кинематическую за-
d2 Ψ г* dv d?a l /. Φ \ Λ
висимость—j-R = — , получим: —— +"Б"(^ ο")α =
Начальные условия для этого уравнения таковы:
/л\ da I
α(0)=α0, — = α0.
dt |*=ο
В уравнении малый колебаний стабилизированной
платформы коэффициент "]г(/ г·) можно представить в в.иде
i('-T)=i('-i).
210

где υχ = VJR — значение ледовой космической скорости.
Если скорость движения объекта много меньше первой
космической (v<tVi), то приближенно можно положить
Здесь / — ускорение силы тяготения, g — ускорение силы
тяжести. Решение уравнения малых колебаний ори ns = const
имеет вид
α = α0 cos ns t + -^- sto ns t.
ns
Для определения αο можно (воспользоваться следующими
соображениями. Основное уравнение можно записать в виде
О
Здесь Δν(0)=ϋν—ν(0) — ошибка в задании начальной
скорости. Это уравнение справедливо для любого момента
времени. Полагая /=0, найдем
ao=Au/R.
Таким образом, .погрешность в стабилизации платформы,
а следовательно, в определении скорости и перемещения
центра платформы по дуге большого круга вследствие ошибок
начальной установки платформы αο и начального значения
скорости а0 = х ,в первом приближении изменяется по
гармоническому закону. Величина ns = Л/ -£- носит
название частоты Шулера, а период функции a(t)
-2Ύτ
Τ, = 2π 1/ — =5= 84,4 мин
называется периодом Шулера.
В заключение рассмотрим влияние ошибок -гироскопа и
ньютонометра на ошибку в определении перемещения центра
платформы. Пусть угловая скорость ω поворота платформы
представляется в виде
ω=-£ + μ(0,
где μ(/) — скорость ухода платформы, обусловленная
несовершенством подвеса гироскопа (трение в осях подвесов,
тяжение токоподводов и т. д.).
211

Примем также, что показание ньютонометра αν
отличается от истомного значения кажущегося ускорения на
величину и (t).
Основное уравнение в этом случае запишется в виде
ί+ΐ-*ί[ΐ+(τ-')-"»]*+*+'«·
о
Вычисляемое значение скорости будет
t
ϋ'(0 = ί[Ί +(-7Γ_/)α + Μ(0]Λ + 6ν·
О
Ошибка в определении скорости дается формулой
Avsat/^VssR^_RvL{t)f
at
а ошибка в определении положения — формулой
t t
As = Г b)dt = R [a (t) — α (0)] — R Γ μ (t) dt.
о о
Пусть μ(0=μ=*£θη8ί, u(t) = н=const, Δο(0)=0, 0<i>j.
В первом приближении для определения а, как и ранее,
получим уравнение
о
Отсюда можно найти αο=μ. Дифференцируя последнее
уравнение, получим
#» s R
с начальными условиями
α(0)='θο, αο=μ.
Решение этого уравнения дается формулой
α = a0cos ns t + — (1 — cos nst) + ·£· sin ns t.
g ns
Ошибка в определении скорости
Av(t)=R -f-Λμ-
212

=/? Γ — a0nssinnst + —[η$3ίηη$ί — μ(1 — cosnst)
имеет постоянную составляющую, определяемую скоростью
ухода гироскопа /?μ. Ошибка в определении положения
As = R (а — а0) — Rμ ί =
= —ϋμί + R (— —а0) (I —cosnst) + R-^ slnn5t
\ 8 I ns
имеет линейно возрастающую составляющую —Rμt,
обусловленную несовершенством гироскопа. Несовершенство ньюто-
нометра и ошибка в задании начальной ориентации
платформы приводят к постоянной составляющей R I а0) ©
определении положения центра подвеса на дуге большого
круга.
§ 33. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТА
НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
Определение местоположения объекта и его ориентации
относительно стран света при произвольном перемещении
объекта по земной сфере, основанное исключительно на
показаниях так называемых инер-
циальных чувствительных
элементов — различных
гироскопов и ньютономет-
ров, — составляет
содержание инерциальной
навигации. Инерциальные
навигационные системы
различаются по составу и
расположению чувствительных
элементов, по методу решения
задачи инерциальной
навигации. Тем не менее в
достаточно общем случае
определение географических
координат объекта и его курса связано с решением
определенной системы дифференциальных уравнений. Получим эту
систему уравнений и укажем один из способов решения
задачи инерциальной навигации.
Введем систему координат |ηζ, вращающуюся вместе с
Землей. Расположим ее начало в .центре Земли, ось η
направим к Северному полюсу, ось ζ расположим (в плоскости
Гринвичского меридиана, а ось ξ так, чтобы система
координат ξηζ была правой (рис. 97). Очевидно, плоскость ξζ
совпадает с экваториальной плоскостью Земли. Систему коор-
Рис. 97
213

динат ξηζ назовем гринвичской. Положение центра масс
объекта, движущегося по земной сфере, мож/но определить
сферическими координатами λ, φ, r=R. В центре масс объекта
(поместим (начало 'местной географической системы координат
ENZ, у которой ось Ε направлена на восток, ось N — на
север, а ось Ζ — ©верх ιπο радиусу Земли, проходящему
через ценпр маос объекта. Взаимная ориентация систем
координат |ηζ и ΕΝΖ может быть задана схемой
Ivt—^l^bf^ENZ.
Будем считать, что на объекте имеется стабилизированная
платформа, с которой связана система координат xyz. Во
все время движения объекта ось ζ платформы направлена по
радиусу Земли и совпадает с осью Ζ местной географической
системы £WZ. Система координат xyz получается из системы
ENZ поворотом на угол (—κ) вокруг оси Z. Угол κ будем
называть азимутом платформы. Найдем проекции абсолютной
угловой скорости стабилизированной платформы ω на ее же
оси. Нетрудно найти проекции абсолютной угловой скорости
и местной географической системы ΕΝΖ на ее оси
иЕ = — -^ , mj/= (U + —\ cosq\ uz = [U + —\ sin φ.
Поскольку система координат xyz получается из системы
ENZ поворотом на угол (—κ) вокруг оси Ζ, совпадающей
ч: осью г, то для проекций ωχ, щ, ωΖ абсолютной угловой
скорости стабилизированной платформы получим следующие
выражения:
_ (и + — \ cos φ sin κ — ^- cos κ = ω, (/),
[U Λ ) cos φ cos κ 5L sin κ = ω. (/),
\ at J dt y
При наличии на движущемся объекте системы инерциальной
навигации правые части найденной системы уравнений
следует считать известными функциями времени. Они или
являются непосредственно текущими показаниями
чувствительных элементов, или образуются по этим показаниям в
вычислительных устройствах. Пусть известно местоположение и
ориентация стабилизированной платформы в начальное
мгновение времени, т. е. заданы величины
λο = λ(ίο), φο=φ(*ο), κο=,κ(Α))·
214

Тогда посредством вычислительных устройств можно
непосредственно на объекте в результате непрерывного
интегрирования полученной совокупности дифференциальных
уравнений вырабатывать текущие значения долготы λ, широты φ и
азимута κ платформы. Назовем эту систему уравнений
исходными дифференциальными уравнениями основной задачи
инерциальной навигации.
Введем невращающуюся систему координат ξ*η*ζ*> с
осями которой соответственно совпадают оси гринвичской
системы координат ξηζ в мгновение времени ί=0. Угол ψ = ί/ί+λ,
характеризует расположение плоскости меридиана точки, в
которой находится в данный момент центр масс объекта,
относительно координатной плоскости η*ζ*. В результате
исходные дифференциальные уравнения основной задачи
инерциальной навигации записываются следующим образом:
— cos φ sin κ — cos κ = ω., (t).
dt Ύ dt, yy/
— сое φ cosh — sin κ = ω« (/),
dt Ύ dt yx/
dt Ύ dt гУ/
Углы ψ и φ задают положение центра масс объекта на
неподвижной сфере 5, окружающей Землю.
Как уже указывалось, принципиальное решение задачи
инерциальной навигации при произвольном перемещении
объекта по земной сфере можно построить по-разному
посредством ряда отличающихся друг от друга устройств,
сочетающих гироскопы, ньютонометры, электромеханические
элементы и счетно-решающие блоки.
Рассмотрим одну из простейших схем. На
стабилизированной платформе (рис. 98) расположены два высокоточных
гироскопа I и II. Ось внешнего кольца гироскопа I
параллельна стабилизированной платформе, а ось внешнего кольца
гироскопа II перпендикулярна платформе. Следящие системы
платформы непрерывно приводят ее^ в положение, при
котором она перпендикулярна вектору #' собственного
кинетического момента гироскопа_1. В случае идеального
функционирования системы вектор #' направлен вверх по продолжению
радиуса Земли, проведенного к центру платформы (к центру
ее подвеса на подвижном объекте). Для простоты будем
считать, что центр масс объекта совпадает с центром платформы.
Поскольку платформа перпендикулярна вектору собственного
кинетического момента гироскопа I, ось внутреннего кольца
этого гироскопа параллельна платформе. В азимуте
платформа следит за внешним кольцом гироскопа II, так что во все
21S

время движения угол поворота внешнего кольца гироскопа II
относительно платформы равен нулю. К оси внешнего кольца
гироскопа II прикладывается корректирующий момент К
таким образом, что вектор
Н" собственного
кинетического момента гироскопа II
во все время движения
параллелен плоскости
платформу.
Кроме гироскопов на
стабилизированной
платформе расположены два
одноосных ньютонометра, оси
чувствительности которых
χ и у лежат в плоскости
платформы. Ось χ
чувствительности первого
ньютонометра параллельна оси
внешнего кольца гироскопа I.
Ось у чувствительности
второго ньютонометра
перпендикулярна оси χ и
достаточно точно совпадает с осью
внутреннего кольца
гироскопа I.
С платформой связана
система координат xyz, оси
χ и у, которой совпадают
с осями чувствительности
ньютонометров, а ось г
которой направлена вверх.
Ньютонометры измеряют
проекции ax=ax(t)f ay=
-ay(t) кажущегося ускорения центра стабилизированной
платформы соответственно на оси χ и у. Счетно-решающие
блоки образуют по показаниям ньютонометров функции
о /
Fx = \<*x(t)(U + bxy Fy = Uy(t)dt + by.
о о
Электромагнитные устройства развивают моменты,
приложенные к осям внешнего кольца и кожуха гироскопа I,
соответственно равные величинам
Mi = kFx(t),M2=kFy(t),
и, кроме того, налагают момент L на гироскоп II
относительно оси его кожуха (рис. 98).
Под действием указанных выше моментов Ми Λί2, L,
а также корректирующего момента К гироскопы прецесси-
Рис. 98
216

руют. Следящие системы заставляют стабилизированную
платформу отслеживать прецессию гироскопов. Как
следствие, платформа поворачивается относительно невращающейся
системы координат |*η*ζ* с угловой скоростью ω, проекции
которой на оси х, у и ζ представляются выражениями
о
о
L
Постоянные bx, bVy k, а также величину момента L можно
выбрать так, чтобы оказалось возможным следующее
особенное движение платформы: платформа касается сферы S при
произвольном перемещении ее центра по этой сфере.
Если такое движение возможно, то оси χ и у системы
координат xyz также все время касаются сферы 5. Поскольку
в этом случае в каждое текущее мгновение времени известны
проекции о)х(0> щУ), ωζ(0 угловой скорости этой системы
координат на ее собственные оси, определение
местоположения начала системы xyz и ориентации ее осей χ и у
относительно стран света сводится к интегрированию исходных
дифференциальных уравнений основной задачи инерциаль-
ной навигации.
Покажем, что при надлежащем выборе постоянных bXi by
k и момента L упомянутое выше особенное движение
платформы возможно. Пусть плоскость ху касается сферы 5. Так
как ось ζ проходит через центр сферы 5, то проекции
абсолютной скорости центра платформы на оси ху уу ζ могут быть
записаны следующим образом:
vx=(ayRy vy = —(uxR9 uz=0.
Согласно известным формулам кинематики проекции
ускорений центра платформы на оси ху у, ζ записываются в виде
dvx
и»ж = °>xv„ — % Όχ = jj-*"
В последних формулах учтено, что уг=0.
8 За*. №568
217

Подсчитаем показания ньютонометров, установленных на
платформе. Земля, по предположению, считается шаром с
радиальным распределением плотности. Поэтому ускорение
тяготения направлено вдоль радиуса к центру сферы 5.
Проекции ускорения тяготения на оси χ и у равны нулю.
Следовательно,
Таким образом, для проекций угловой скорости платформы
получим следующие соотношения:
О
О
L
Нетрудно заметить, что получившиеся соотношения
обращаются в тождества в случае, если выбрать by = vy(0)y
bx = vx(0)y &/?/#'= 1, L = 0. Действительно, при L = Q из
последнего соотношения имеем ωζ=0. Подставляя з первые
два соотношения ωχ=— vv/R, (uj, = £>*//?, получим:
-МО = —fl· МО - M°) + ьу],
^(0 = -f-K(0-^(0) + U
Следовательно, при by = vy(0)f bx = vx(Q)y kR = H' последние
два соотношения обращаются в тождества.
Итак, показано, что при надлежащем выборе параметров
системы (& = #//?, L = 0) и соответствующем задании
начальных условий (by = vy(Q)y bx = vx(Q)) возможно такое
движение стабилизированной платформы, что во все время
плоскость ху касается сферы 5, а следовательно, и земной сферы.
При известных значениях ωζ = 0 и ω*, ων, получающихся в ре-
зультате интегрирования сигналов ньютонометров, может
быть решена задача инерциальной навигации. Как и в
случае однокомпонентной инерциальной навигационной системы,
можно рассмотреть малые колебания устройства и в прибли-
218

женной постановке изучить вопрос об устойчивости
рассмотренного особенного движения платформы. Абсолютная
угловая скорость платформы не имеет составляющей вдоль
вертикальной оси, перпендикулярной платформе. Стабилизация
платформы в азимуте обеспечивается гироскопом II, ось
кожуха которого свободна от воздействий каких-либо моментов
(L = 0). Эта простейшая система инерциальной навигации
получила условное название «свободной в азимуте». Возможны
и другие способы построения навигационных систем, когда
платформа, например, ориентируется по странам света или
как-либо иначе.
§ 34. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ
ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Для управления движением кораблей, самолетов и
других объектов, перемещающихся по поверхности Земли,
необходимо знать их ориентацию относительно стран света. До
недавнего времени эта задача решалась либо с помощью
магнитного компаса, либо по наблюдениям за небесными телами
(Солнцем, Луной, звездами). Но для наблюдений за
небесными телами необходимо безоблачное небо. Поэтому основным
прибором, показаниями которого пользовались при
управлении движением, служил магнитный компас. Поскольку
направления на магнитный Север и на географический Север
не совпадают, для нужд навигации составлялись подробные
карты, на которых указывалось магнитное склонение для
данной точки — угол между магнитным и географическим
меридианами.
С развитием техники возрастали не только требования к
точности систем управления, но менялись и сами
движущиеся объекты. Стальные корпуса кораблей очень сильно
искажали магнитное поле. В результате у магнитных компасов
поязлялись ошибки, связанные с наличием больших
металлических масс. Магнитный компас оказался абсолютно
непригодным для управления движением подводной лодки, так как
внутри ее стального корпуса магнитное поле Земли
практически отсутствует. Нужны были новые подходы к решению
этой задачи. Удовлетворительного решения поставленной
задачи удалось достичь благодаря созданию компаса,
основанного на свойствах быстро вращающегося тела, так
называемого гироскопического компаса.
Одним из достижений в теории и практике
гироскопических приборов стало создание пространственного
гироскопического компаса Геккелера — Аншютца. При
конструировании этого прибора был использован целый ряд оригинальных
технических решений, позволивших значительно уменьшить
8*
219

влияние вредных воздействий на чувствительный элемент
прибора.
Рассмотрим (очень кратко) устройство этого прибора.
В токопроводящей жидкости во взвешенном состоянии
плавает сфера, изготовленная из латуни (рис. 99). Снаружи
сфера покрывается эбонитом за исключением областей около
полюсов и на экваторе, где имеются электроды (две шапки и
экваториальный пояс), изготовленные из проводящей графи-
то-эбонитовой смеси. Внутри сферы находится
гироскопическая рама (гирорама) с двумя гироскопами, оси кожухов
которых параллельны. Кожухи гироскопов связаны
спарником так, что гироскопы могут поворачиваться относительно
сферы в разные стороны на одинаковые углы ε (рис. 100).
Рис. 99 Рис. 100
Сфера с размещенной в ней гирорамой представляет собой
чувствительный элемент пространственного гирокомпаса и
называется гироскопической сферой, или просто гиросфероп.
Последняя окружена следящей сферой, на которой также
имеются три электрода, расположенных против
соответствующих электродов гиросферы. На электроды следящей сферы
подается переменное напряжение. Через поддерживающую
токопроводящую жидкость это напряжение поступает на
электроды гиросферы, а затем — на электродвигатели
гироскопов. Центр массы гиросферы лежит ниже ее
геометрического центра, этим достигается необходимый маятниковый
эффект. Плотность жидкости подбирается такой, что гиро-
сфера обладает небольшой отрицательной плавучестью
(примерно 30—40 г). В гиросфере имеется катушка так
называемого электромагнитного дутья. Взаимодействие переменного
электромагнитного поля, образованного циркулир>ющим ρ
катушке переменным током, с токами Фуко, индуцируемыми
в следящей сфере, не только компенсирует отрицательную
плавучесть, но и совмещает ее геометрический центр с цент-
220

ром следящей сферы (центрирует гиросферу). Таким
образом, осуществляется идеальный, практически лишенный
трения, подвес чувствительного элемента компаса. При этом
точкой подвеса можно считать геометрический центр сферы.
Рассмотрим (в прецессионной постановке) теорию
описанного выше пространственного гироскопического компаса.
Примем, что центр подвеса гиросферы перемещается по
некоторой сфере S радиуса /?, окружающей Землю, а силы
тяготения гиросферы к Земле сводятся к единственной силе F,
приложенной к ее центру масс и направленной нормально к
сфере S. Будем считать, что сфера S не участвует во
вращении Земли и не изменяет своей ориентации относительно
неподвижных звезд. Введение невращающейся сферы S, а
также поступательно перемещающейся исходной системы
координат ξ*η*ζ* с началом в точке подвеса гиросферы
значительно упрощает составление уравнений движения
рассматриваемой механической системы. Одновременно становится
более ясным и характер самого решения задачи, не
осложняемый необходимостью принимать во внимание вращение
Земли.
При исследовании задачи примем, что можно пренебречь
силами трения в подвесе самого чувствительного элемента,
а также в подшипниках осей кожухов гироскопов.
Механическая система гироскопического компаса имеет
шесть степеней свободы — углы α, β, γ определяют
ориентацию гиросферы в пространстве, угол е — поворот одного из
кожухов гироскопов относительно сферы, углы yt и γ2 —
повороты роторов гироскопов относительно кожухов.
Будем считать собственные кинетические моменты
гироскопов
Bi^Cidyt/dt, B2 = C2dy2jdt
постоянными и равными одной и той же величине В. Следуя
прецессионной теории гироскопов, примем, что кинетический
момент гиросферы Π равен геометрической сумме
собственных кинетических моментов гироскопов В\ и Б2 (рис. 101).
Тогда
#=25 cos ε.
Заметим, что суммарный кинетический
по биссектрисе угла 2ε,
и из-за наличия
спарника вектор Η не изменяет
своего расположения
относительно гиросферы.
Свяжем с
рассматриваемой гиросферой
систему координат хуг с
началом в центре ее под-
момент Я напоавлен
Рис. 101
221

веса, направив ось у параллельно вектору Я, а ось ζ —
параллельно осям кожухов гироскопов ζχ и ζ2 (рис. 101). Тем
самым положение оси χ определится однозначно. Проекции
вектора собственного кинетического момента Я на оси так
введенной системы координат запишутся в виде
#х=0, НУ = Н=2Вcose, #z = 0.
В соответствии с теоремой об изменении кинетического
момента векторное уравнение движения гиросферы в
прецессионной постановке имеет вид
<Л* £Я - - —
где Μ (MXt МУу Mz) — момент относительно центра подвеса
внешних сил, приложенных к гиросфере.
Проектируя это уравнение на оси системы координат xyzf
получим три дифференциальных уравнения, описывающих
движение гиросферы:
dH
X
dt
dHy
dt
+ ωζΗχ — ωχΗ2 =Myy
+ ωΗυ — ωυ Hx = M2.
dt · "хллу wy"x χ,1ζ·
С учетом выражений для НХу Ну и Ηζ последнюю систему
уравнений можно представить в виде
— ωζ 25 cos ε = МХУ
-±-(2Bcose)=My,
(ux2Bcose = MZ.
В левые части этих уравнений входят проекции ωχ и ωζ
абсолютной угловой скорости системы координат xyzy связанной
с гиросферой, на ее же оси. В общем случае выражения ω*,
<Dj/, ωζ являются функциями углов α, β, γ, определяющих
ориентацию гиросферы, и их производных по времени. Таким
образом, чтобы описать движение чувствительного элемента
компаса, надо знать четыре переменные α, β, γ и ε. Однако
для определения этих переменных получены только три
дифференциальных уравнения. Для полного описания движения
системы необходимо получить еще одно уравнение. Для
этого достаточно рассмотреть взаимодействие между
гироскопами, осуществляемое через спарник. Свяжем с гироскопами
системы координат XiyvZi и лъдаг, как показано на рис. 101,
222

и рассмотрим поведение каждого гироскопа в отдельности.
Вектор собственного кинетического момента первого
гироскопа Bt лежит в плоскости хщи отклоняясь от оси t/i на угол г.
На этот гироскоп действуют моменты ΜΧι({\ Aiyt(1), MZi(i)
сил, приложенных к гироскопу со стороны гиросферы.
Применяя теорему об изменении кинетического момента к одному
гироскопу, в рамках прецессионной теории получим уравнение
at at
или, в проекциях на оси xiy yif zc
dB*l , rrt o(i)_ rrt o(1) — м(1)
jb(1)
— \-ω2ΰΧί —ωχΰΖι —Mytt
at
dBzt , „ nil) fA R(\) _ M(\)
—£- +<йхвУх —<йуВХх =MZl .
Подставляя в эти уравнения выражения для проекций
собственного кинетического момента первого гироскопа на оси
получим три дифференциальных уравнения, описывающих
движение первого гироскопа:
d
at
(В sin ε) — ω2 5 cos ε = Μχλχ\
— (5οθ8ε) + ω2β8ΐπε = Λί^11),
ω,
Bcose — ω,,ββίηε = Λί^.
Совершенно аналогично можно получить систему
дифференциальных уравнений для второго гироскопа. Заметим, что в
этом случае угол ε отсчитывается в противоположном
направлении, т. е.
β<*> = -в sin ε, Bj? = Я cos ε, Β™ = О,
и, следовательно, уравнения движения второго гироскопа в
рамках прецессионной теории имеют вид
■(Я sin ε) — ωζβ<χ>βε= Мх?,
at
223

-^-(Boose) — ω,ΒΒίη ε= Af^,
(oxBcose +ωί/β8ΐπε = Λί^2).
Составим теперь разность моментов Μ2^ и М[2? и
обозначим ее через N. Указанный момент N создается
посредством специального пружинного устройства (рис. 102) и как
бы стремится «развести> гироскопы в разные стороны. Этот
момент приложен со стороны рамы к одному из гироскопов и
направлен по оси подвеса его кожуха. Подставив выражения
для Μ^ζχ и Aizf из соответствующих уравнений, найдем, что
—<uy2Bsin e = N.
Это и есть недостающее четвертое уравнение. Итак, движение
чувствительного элемента гироскопического компаса
определяется следующими четырьмя уравнениями:
— ω2 25 cos ε = Мх, -^— (2Bcos ε) = Myf
(ox2Bcose = Λίζ, —<uy2Bslne =N.
§ 35. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ Г И РОС Ф ЕРЫ
ОТНОСИТЕЛЬНО ТРЕХГРАННИКА ДАРБУ
Введем некоторую подвижную систему координат ζ*η*ζ*,
начало которой расположено в точке подвеса гиросферы, а оси
1*> η*» ζ* которой ориентированы по неподвижным звездам.
Уравнениями движения гиросферы относительно такой
системы координат как раз и являются выведенные выше
уравнения.
Наряду с тяготением гиросферы к центру Земли и
реакцией ее подвеса, в число сил, действующих на гиросферу,
следует включить переносные силы инерции, обусловленные
поступательным перемещением системы координат ξ*η*ζ*.
Последние приводятся к единственной силе Р, приложенной
в центре масс гиросферы. Проекции этой силы на оси системы
координат xyz имеют вид
Рх= —mw,9 Py=—mwy, Pz=—mwz.
Здесь ην — масса гиросферы вместе с кожухами и роторами
ее гироскопов; wXf wVf wz — проекции на оси системы
координат xyz ускорения точки подвеса чувствительного элемента
(центра гиросферы) при ее движении по невращающейся
сфере S.
Введем подвижную систему координат ХоУ<&0 с началом в
центре гиросферы. Направим при этом ось Хо по вектору аб-
224

солютной скорости точки ее подвеса, ось 2о — по
продолжению радиуса R сферы S, а ось у0 — так, чтобы оси хоУо?о
образовывали правый трехгранник (рис. 103). Введенный
Рис. 102 Рис. 103
таким образом трехгранник хоУ&о называется естественным
трехгранником Дарбу.
Обозначим через ν абсолютную скорость точки подвеса
гиросферы, т. е. скорость точки подвеса относительно невра-
щающейся сферы 5. На основании теоремы сложения
скоростей
u = V + #i/cosq>,
где V — скорость точки подвеса по отношению к Земле,
U — угловая скорость вращения Земли и φ — широта
места. Выражения для проекций абсолютной угловой скорости
ω° трехгранника Дарбу на его же оси, а также для
проекций абсолютного ускорения w точки подвеса гиросферы на
те же оси имеют вид
ω,0 = 0, «>*· = —г, ωΖο=ω(/),
о dv о ~ о ν2
%·=—, wy, = (uv, w2o = —,
где ω(/) — некоторая функция времени, определяемая
законом движения точки подвеса по сфере S.
Для дальнейшего исследования системы четырех
дифференциальных уравнений, описывающих движение гиросферы,
необходимо определить величины ω*, ων, ωζ и Мх, Му, Мг
в виде функций от переменных υ(ί), ω(ί)> α, β, γ· Определим
проекции ωχ, ων, ωζ абсолютной угловой скорости гиросферы
225

на оси жестко связанной с ней системы координат xyz.
Ориентацию системы координат xyz относительно системы
координат XoyoZo определим углами α, β, γ так, как показано
на рис. 104 и 105. Переход от системы координат х0у^0
к вспомогательной системе координат x'y'z' осуществляется
поворотом на угол α вокруг оси г0, совпадающей
Следующий переход к
другой вспомогательной системе
координат x"y"z"
осуществляется поворотом на угол β вок-
с осью ζ .
Рис. 104
Рис. 105
руг оси х\ сливающейся с осью *". Наконец, система
координат xyz, жестко связанная с гиросферой, получается из
системы координат x"y"z" поворотом на угол у вокруг оси у",
совпадающей с осью у. Кратко это можно записать так:
Zq, Ζ X ,X I/ , у
Матрицы, соответствующие таблицам направляющих
косинусов отдельных поворотов, будут соответственно иметь вид
Л =
cos α sin α 0
— sin α cos α 0
0 0 1
β =
1 0 0
0 cos β sin β
0 — sin β cos β
Γ =
cos γ 0 — sin γ
0 1 0
sin γ 0 cos γ
226

Таблица косинусов углов между осями систем координат xyz
и XqIJqZo получается перемножением указанных матриц в
определенной последовательности (см. § 4) и имеет вид
χ cosacosy— sinacosv+ —cos β sin γ
— sin a sin β sin γ + cos a sin β sin γ
у —βίηαοοββ cosacosp sin β
ζ cos a sin γ + sin a sin γ — cos β cos γ
+ sinas^cosY — cosask^cosY
Чтобы получить искомые проекции ω*, ω^, coz угловой
скорости ω системы координат xyz на ее же осп, следует взять
сумму проекций на эти же оси угловой,скорости ω°
трехгранника XoyoZo и относительных угловых скоростей: da/dt —
системы координат x'y'z' относительно XoyoZo, d$/dt — системы
x"y"z" относительно x'y'z' и, наконец, dy/dt — системы
координат xyz относительно системы x"y"z'\
Учитывая направление векторов относительных скоростей
(см. рис. 104 и рис. 105) и полученную таблицу косинусов,
найдем проекции абсолютной угловой скорости вектора ω на
оси системы координат xyz, жестко связанной с гиросферой.
Имеем
ω^ = — (sin a cos γ + cos a sin β sin γ) +
R
+ (® + -^-) (—aepstaY) + -^-cosy>
'ό λ /~ d ct \ rt 'd v
ω = cosa<x^ + ω Η sin β Η *-,
y R ν \ dt ) r at
ωζ =-^-(sinasinY—οοβαβίηβΰοβγ)+
R
+ (ω + -^Ц cos β cos γ + -^- sin γ.
\ dt J dt
Величины ωχ, ων, ωζ следует подставить в левые части
уравнений движения гироскопического компаса.
Перейдем теперь к подсчету правых частей тех же
уравнений. Сила тяготения F гиросферы к Земле приложена к ее
центру масс и направлена к центру сферы S. С большой
степенью точности ее можно считать параллельной оси ζ«ι. Тогда
в соответствии с таблицей косинусов проекции силы F на оси
системы координат xyz представляются выражениями
Fx=Fa^sinY, Fy=—/^ίηβ, Fz=—F cos β cos γ.
227

Учитывая выражения для проекций абсолютного ускорения
начала системы координат Xot/oZo, запишем проекции силы
инерции Ρ на оси Xot/oZo:
Используя эти формулы и таблицу косинусов, получим
проекции силы Ρ на оси х, у, ζ:
Рх= —щ — (cos α cos γ — sin α sin β slu γ) —
~ ν2
— mcDt>(sinacosY + cosa βΐηβ sin γ) + m (— οοβββίηγ),
Py = —m —— (— staacos β)— /ηωϋ<χ)8α<χ>8β + tn-2— sin β,
Си i\
Рг = — m —(ooea stay + sina s^cosy) —
at
— m ω ό (sin a sin γ — сое a sin β cos γ) + -^- cos β cos γ.
R
В системе координат xyz центр масс гиросферы лежит в
точке с координатами *с=#с = 0, гс=—/. Искомые моменты сил
подсчитываются, как известно, по формуле
M=7cx(P+F).
Проектируя это векторное равенство на оси х> у, ζ с учетом
координат центра масс гиросферы, найдем, что
Mx=l(Fy+Py)y My=-l(Px+Fx)9 Λίζ=0.
Что касается силы реакции точки подвеса гиросферы или сил
давления жидкости на гиросферу, то их моменты
относительно осей хУ у, ζ равны нулю. Заменяя в последних формулах
величины FXy Fy, PXy Py найденными выше выражениями,
получим
Мх=1\—т —— (— sin a cos β) —
I at
— >ηωϋ<Χ)8α<χ>8β + (m— f\ βΐηβΐ
My = —l I—m—^-(cos a cos γ —sin a sin β sin γ) —
— m ω υ (sin a cos γ + cos a sin β sin γ) +
+ (τη-η^— F^ (— α>8β8ΐηγ)1,
M2=0.
228

Эти выражения, так же как и выражения для ωχ, еоу, ωζ,
надо подставить в уравнения движения гироскопического
компаса. В результате получим следующие уравнения
движения гиросферы относительно трехгранника Дарбу:
— |-^-(sina slnv — cosa sin β cos γ) +
+ (ω + -^-Λ(Χ)8βα)3γ +.-^ fiiny]2Bcoaer=
= ml — sin a cos β — m/ω t; cos a cos β +
dt
+ /(/n-^- —FJ stop,
/in
(2Bcos ε) = ml (cos α сое γ — sin a sin β sin γ) +
dt v ' [dt
+ mlG>v(sinacosy + cosa βΐηβ sin γ) +
+ /fm-| F\ (Όβββίηγ,
Γ — (sin a cos γ + cos a sin β sin γ) —
— (ω +-^-) cos β sin γ + -^cosy]2Bcos8==0
— f-~- cos a cos β + (ω + -^-) β!ηβ +
-^}2Bsine = N(e).
+ ■«
В последнем уравнении принято, что момент N является
функцией ε, τ. е. половины угла «разведения» гироскопов
внутри гиросферы. Что же касается трения в осях подвеса
кожухов этих гироскопов, то оно считается столь малым,
что им можно пренебречь.
Что можно считать заданным в этих уравнениях? Заданы
параметры системы В, т, Ζ, Ry Ν(ε) и параметры движения
υ(ί) и ω (0· Требуется найти углы a (0, β (О» Υ (0» ε (О-
Разумеется, следует считать известными также и
начальные условия α(0), β(0), γ(0), ε(0). Полученная выше
система уравнений является системой нелинейных
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Решение
такой системы в общем виде неизвестно. Постараемся найти
частное решение системы. При этом видом функции Ν=
=Ν(ε) будем распоряжаться пока по своему усмотрению.
229

Потребуем, чтобы эта система уравнений имела частное
решение вида α=β=γ=0, ε=ε(υ)=ε[α(/)]. Значение угла
ε, соответствующее этому решению, обозначим через a(t).
Подставляя указанное частное решение в систему
уравнений, получим
2В cos σ = mlv,
dv
(2B cos σ) = ml
dt N dt
— 2Bs\na=Ny
R
причем четвертое уравнение удовлетворяется тождественна
при любых значениях функций σ и N. Отсюда следует, что
если выполняется первое тождество, то выполняется и
второе. В этом случае ν = ^_^_ Однако третье тождества
ml
будет выполняться при любом значении υ только в том
случае, если функция N=N(e) будет иметь вид
»rv ч 4B2sine cose
N (г) = .
ν ' mlR
Таким образом, при произвольном движении точки подвеса
гиросферы по неподвижной сфере S, т. е. при произвольных
"^ 4/?^ sine cos ε
функциях ω(ί) и v(t) в случае, если Ν (ε) = „
mlR
существует частное решение вида α=β=γ=0, ε=σ(ί)-
При этом e(t)=o(t) находится из соотношения cose(t) =
= т v( . Найденное .решение имеет более общий характер,
2В
чем стационарное (для случая v(t)= const). С изменением
скорости точки подвеса относительно сферы S меняется угол
разведения гироскопов ε, τ. е. гирокомпас как бы «дышит».
Это особенное по своим свойствам решение. Если в
начальный момент
α(0) = β(0)=γ(0)=0
и ε(0) определяется из соотношения
2Bcose(0)=mlv(0)y
то и во все время движения
a(t)=$(t)=y(t)=0
и
mlv (t)
г (ή =a(t) = arccos-
2B
230

Это означает, что ось ζ ©о все время движения будет
направлена по радиусу Земли, т. е. по вертикали места. Ось χ
будет направлена по вектору абсолютной скорости ν точки
подвеса. Таким образом,
гироскопический компас позволяет
реализовать систему координат
xyzy такую, что оси этой
системы сливаются с осями
естественного трехгранника Дарбу.
Угол между касательной к
меридиану и осью у0 обозначим χ
(рис. 106). Величина этого угла
определяется из соотношения
tgX =
Рис. 106
VE + RU cos φ
Здесь VE к VN —
соответственно восточная и северная
составляющие скорости точки подвеса гирокомпаса по
отношению к Земле. Если объект, на котором установлен
гирокомпас, стоит на месте, то V=0 и ось у указывает точно
на Север (при φφη/2). Если объект по отношению к Земле
движется, то направление на Север указывается с точностью
до угла χ. Этот угол называется скоростной девиацией
гирокомпаса. Он может быть вычислен, если известна широта
места и скорость «объекта по отношению к Земле.
§ 36. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ГИРОКОМПАСА
В общем случае начальные условия движения
пространственного гирокомпаса могут быть произвольными.
Спрашивается, как будет вести себя гиросфера в этом случае?
Поскольку уравнения движения гиросферы вокруг осей
трехгранника Дарбу, связанного с траекторией движения
точки подвеса, слишком сложны для исследования движения
в самом общем случае, то ограничимся изучением ее малых
колебаний относительно этого трехгранника. В уравнениях
движения гиросферы сохраним лишь члены (первого порядка
относительно углов α, β, γ и их производных. В результате
лолучим
18 =
= l[n>-^a-{r-mf)f-mS,],
231

— [2BoosB]=l\m— (F — m-~W + /niwce],
iJL + JLa-ωγ) 2BCOS8 = 0,
_ (Λ- + JL + £a\ 2Ssine = — cose slue.
Линеаризация проведена пока не полностью. Обозначая в
дальнейшем угол ε для невозмущенного движения через
σ(/), полож'им в уравнениях
ε=σ(/)+δ,
где б — малая величина, того же порядка, что и углы а„
β, γ. Сохраняя в уравнениях члены первого порядка
относительно всех четырех углов α, β, γ, δ и учитывая, что
2В cos σ (t)=mlv(t),
•придем к системе уравнений возмущенного движения гиро-
сферы:
— mlO— ml —a + FIQ = —ω2θδ sina,
dt dt v
φ , υ
at
(2Βδ5ΐησ) + / (F — m— \ у = Zrnlva.
Если положить приближенно F>/n—, F — m — xFzzmg> τα
Η Η
последнее уравнение можно записать в виде
d
at
• (2Βδ sin σ) + Fly = ω/η/οα.
В этом случае выписанную выше систему уравнений можно
проинтегрировать при произвольном движении точки
подвеса по неподвижной сфере S.
Если первое и четвертое уравнения умножить на ,— »
то систему уравнений можно преобразовать к виду
d\ Ι υα \ Q ~ 2£6sina
dP , υα ~
232

dy . лщ 2Bbsma ~a
—— + ν 7=^· = — ωρ,
dt mlVgR
d ( 2B&s\na \ __ ~ va
dt \m//£R j VY~~ ω γ& *
Здесь ν = YglR — частота Шулера.
Введем две новые комплекснозначные функции
действительного переменного / по формулам
Тогда, как нетрудно видеть, последняя система уравнений
может быть заменена системой двух уравнений
d% ,~ da m .~
—— + ινκ = ιωμ, --£- + *νμ = *ωκ.
dt dt
Эта система, в свою очередь, распадается на два
независимых уравнения. В самом деле, складывая уравнения, а
затем вычитая из первого второе, получим
-j-(* + μ) + * (ν -5)(κ + μ) = 0,
-|-(κ —μ) + ί(ν+5)(κ —μ)=0.
Эти уравнения легко интегрируются. В результате получим
—ί ((ν—(u)dt
κ + μ = (κ0 + μ0) e °
—i j (ν+ω)Λ*
κ — μ=(κ0— μ0)β °
где κο, μο — начальные значения функций κ, μ. Зная κ и
μ, теперь нетрудно представить в явном виде и искомые
переменные α, β, γ, б как функции своих начальных
значений α0, βο, γο, δο и времени /.
Приведенная выше теория малых движений
гироскопического компаса около подвижных осей трехгранника
Дарбу, связанного с траекторией точки подвеса, приводит к
колебаниям незатухающего характера. При ω=const по
каждой из координат имеют место колебания с частотами ν+ω>
ν—ω. Вопрос о строгом обосновании устойчивости
невозмущенного движения требует дополнительного исследования с
учетом членов второго, а возможно, и более высокого
порядков малости.
23а

Рассмотрим частный случай. Пусть ω=const.
Пусть, кроме того, начальные условия таковы, что
а(0)=0, 7(0) =0, 6(0) =0, β(0)=β0^0.
Выбранные начальные условия соответствуют тому случаю
движения гиросферы, когда в начальный момент ось ζ
отклонена от вертикали на малый угол β0. Определим, как
будет двигаться гиросфера в дальнейшем.
В этом случае легко найти, что
κο = Φο> μο = о,
κ + μ = /βο*-^-®', κ — μ ^= ifi^M^K
Определим, например, движение по углу β. Складывая
последние уравнения, найдем, что
2κ = /β0 [*-'<ν-ω)/ + £-*(ν+ω)*]#
Из определения переменной κ следует, что
β = Im κ = — Im {/β0 [er*M&* + e-^-*)*]} =
= — β0 [cos (ν + ω) / + cos (ν — ω) /] = $0qos vt cos ωί.
Как видно из расчета, в этом случае имеет место режим
биений; происходит наложение колебаний с частотами ν—ω
и ν + ω. Максимальное отклонение по координате β .равно
первоначальному значению βο. Аналогично можно
подсчитать колебания по остальным координатам. По этим
координатам также будут иметь место биения.
Задачи и упражнения
1. Астатический гироскоп в кардановом подвесе
установлен на Земле так, что ось его внешнего кольца
направлена по вертикали. Показать, что при отсутствии сил
сопротивления ось ротора гироскопа сохраняет неизменным лер-
воначальное направление в инерциальном пространстве.
Ограничиваясь рамками прецессионной теории, определить
видимое движение оси ротора гироскопа по отношению
Земли.
2. Астатический гироскоп в кардановом подвесе
установлен на Земле таким образом, что ось вращения его
внешнего кольца вертикальна. Внутреннее кольцо гироскопа
жестко соединено с внешним так, что ось ротора гироскопа
перпендикулярна оси внешнего кольца во все время движе-
234

ния. Такой гироскоп называется деклинометрическим. На
возможность использования деклинометрического гироскопа
для определения плоскости меридиана впервые указал Фуко.
Пренебрегая влиянием сил сопротивления, определить
положение относительного равновесия деклинометрического
гироскопа и найти период колебаний при малом отклонении
оси ротора гироскопа от положения равновесия.
3. Определить положение равновесия
деклинометрического гироскопа (см. задачу 2) в случае, когда по оси
вращения внешнего кольца действует момент сил сухого
трения:
Кхг =
-Ко при-^->0,
at
-К0<КХг<К0 при-^-=0,
at
к.
"Ρ«-5Γ<°·
1
Оценить ошибку в определении плоскости меридиана.
Исследовать переходный процесс в случае малого начального
отклонения оси ротора гироскопа от положения равновесия.
4. Инклинометрический гироскоп, на возможность
осуществления которого впервые указал Фуко, может служить
для определения широты места на
поверхности Земли. Для того чтобы
получить инклинометрический
гироскоп, достаточно закрепить внешнее
кольцо астатического гироскопа в кар-
дановом подвесе таким образом, чтобы
ось ротора гироскопа имела
возможность перемещаться только в плоскости
меридиана. Найти положение
равновесия инклинометрического гироскопа
по отношению к Земле и определить
период колебаний гироскопа при
малом отклонении оси ротора от
положения равновесия.
5. Гироскоп в кардановом подвесе
установлен на Земле таким образом,
что ось его внешнего кольца
вертикальна. На кожухе гироскопа
укреплен грузик массы т (рис. 107).
Грузик т расположен таким образом, что
при β = 0 он находится на оси внешнего кольца. Найти
положение равновесия гироскопа относительно Земли.
Выяснить, для каких целей он может быть использован. Рассмот-
0
1 ~== I
κι | [
III
I 1 ^ »
vsrl-
iii
ml J с
| £ S
I»
II·
Lk
IP
III· 1
Hi
m
Рис. 107
235

реть малые колебания в окрестности положения равновесия.
При исследовании задачи ограничиться прецессионной
теорией и считать, что mgt>HU.
Указание. Углы α и β поворота колец карданова
подвеса ввести таким образом, чтобы при α=β=0 ось ротора
смотрела на север (Ν).
6. Гироскоп в кардановом подвесе со смещенным
центром масс кожуха (см. задачу 5) установлен иа корабле,
перемещающемся по поверхности Земли таким образом, что
во ©се время движения ось внешнего кольца вертикальна.
Пренебрегая восточной составляющей VE относительной
скорости движения корабля по сравнению с переносной
скоростью UR cos φ, обусловленной вращением Земли, показать,
что отклонение а* оси ротора гироскопа от плоскости
меридиана будет зависеть только от северной составляющей
Vn скорости корабля по отношению к Земле при
соответствующем выборе параметров гироскопа. Найти эти
параметры и величину отклонения а*.
7. Параметры гироскопического маятника выбраны
таким образом, что (выполняется равенство
mgUH=VgJR9
где т — масса системы «ротор+кожух», / — смещение
центра масс этой системы вдоль оси ротора. Показать, что
отклонение гироскопического маятника при произвольном
движении точки подвеса по поверхности неподвижной сферы S
зависит только от скорости υ точки подвеса и не зависит
от ускорения. Оценить величину отклонения при скоростях
порядка 200-т-ЗОО м/с. Ограничиться прецессионной теорией
и считать, что в процессе движения v2/R<^g.
8. Гироскопический маятник, описание которого дано в
задаче 7, установлен на Земле так, что в начальный момент
времени ось его ротора направлена <по вертикали. Найти
положение равновесия маятника. Рассмотреть малые
колебания в окрестности положения равновесия. При
исследовании ограничиться прецессионной теорией.
§ 37. НЕГОЛОНОМНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ
ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Движение гироскопических систем, рассматриваемое в
рамках прецессионной теории гироскопов, в ряде случаев
можно считать происходящим как бы при наличии неголо-
номных связей. Простейшим примером может служить
движение гироскопической рамы компаса или' движение
одноосного гиростабилизатора при отсутствии трения в осях
кожухов гироскопов (рис. 100 и 79).
236

Уравнение движения одноосного стабилизатора,
соответствующее обобщенной координате а, в рамках прецессионной
теории записывается в виде
и при Му=0 это уравнение имеет вид уравнения неголоном-
ной связи
ι da n
ωχ = и%-\ = 0.
* δ dt
В ряде случаев при изучении некоторых особенностей
поведения гироскопических систем на подвижных
основаниях подобная точка зрения оказывается полезной. Так, если
в процессе движения основание системы возвращается в
исходное положение, то гироскопы вместе с элементами
подвеса могут оказаться (именно в силу неголономного
характера движения) в положении, отличном от исходного.
Рассмотрим этот важный для приложений вопрос на
примере движения твердого тела, насаженного на подвижную
ось I и обладающего свойством ω/=0. Пусть ось /
описывает в пространстве коническую поверхность и возвращается
в прежнее положение (рис. 108). Выберем в теле некоторый
Рис. 108 Рис. 109
отрезок аЪ, перпендикулярный оси I. После того как ось
обойдет конус, отрезок повернется на некоторый угол χ^Ο.
Подсчитаем величину этого угла. Примем, что тело
симметрично относительно оси вращения, т. е. А=В и С=/и. При
условии отсутствия трения в подшипниках уравнения
Эйлера движения симметричного твердого тела вокруг
неподвижной точки О примут вид
A^- + (C-A)qr^Mx, А-^+(А-С)рг = Му, С-±- = 0.
237

Пусть при /=0, г0=со/=0. Тогда во все время движения
имеем г=0.
Окружим точку О (вершину конуса) неподвижной
сферой S единичного радиуса. Введем систему координат
|*η*ζ*, ориентированную по неподвижным звездам и
систему координат ξηζ (рис. 109). Ось ξ последней системы
направим по касательной к параллели на восток, ось η — по
касательной к меридиану на север; при этом ось ζ сольется
с осью /. Положение оси в пространстве определяется двумя
углами, например географическими координатами λ и φ.
Положение тела, в свою очередь, будем определять
введенными углами λ, φ и дополнительным углом α — углом
поворота тела вокруг оси ζ (/). Далее, с телом свяжем
систему координат xyz, причем так, что от системы
координат ξηζ к системе xyz можно перейти поворотом на угол α
вокруг оси ζ, совпадающей с осью г. Кратко это можно
записать так:
ξηζ -~—►■ xyz.
ζ» ζ
Предположим, что за некоторый промежуток времени Τ
ось / описала конус. Тогда в момент времени t=t$ + T
имеем
λ(ίο + Γ)=λ(/0), φ(ίο + Ό=φ(ίο).
Выясним, чему будет равна разность α(/ο + Ό—β (/о) при
УСЛОВИИ, ЧТО G)z = 0.
Обозначим через и абсолютную угловую скорость
системы координат ξηζ и через ω — абсолютную угловую
скорость системы xyz. Очевидно,
da
ωε = «, + —.
Далее, из рис. 109 видно, что
«ζ = — eta φ,
at
и поэтому
dk , , da
ωζ = ως = ω/ = __ sin φ + —-
at at
Поскольку выполняется условие cdj=0, то из последнего
выражения следует, что
da dk . rn
== sin φ,
dt dt
238

•откуда
α — αΛ =
t
f -^- Sin φ (0 dt.
Совокупность переменных λ=λ(/), φ=φ(0 можно
рассматривать как параметрическое задание кривой φ=φ((λ) на
.плоскости φλ (рис. ПО). Таким образом, изменение угла
f
RcospdX
Рис. ПО
Рис. 111
определяется криволинейным интегралом
φ,λ
α — α0 = — f sin φ (λ) άλ.
ΦοΑο
Если в момент времени ti = t0+T
λι=λο и φι = φο,
то рассматриваемый криволинейный интеграл переходит в
интеграл по замкнутому контуру:
α — α0 = — <£ sin φ^λ.
Пользуясь формулой
$"*+e*-Ji(-S—Ι")**
σ
перехода от криволинейного интеграла по замкнутому
контуру к двойному интегралу по поверхности, ограниченной
контуром σ, получим
φ sin φ (λ) άλ = — f ί COS φ (λ) d<fdk9
239

откуда следует, что
χ = f С cos φ (λ) έίφώλ.
Из рис. Ill видно, что cos<pdq>dX=do, где do— элемент
площади сферы между двумя бесконечно близкими
параллелями и двумя меридианами. Поэтому
χ = J j da = or = /?2Ω = Ω (# = 1),
σ
где Ω — мера телесного угла, под которым видна из центра
сферы площадь, ограниченная замкнутой кривой.
Таким образом, угол поворота тела вокруг своей оси
равен мере телесного угла, описанного его осью в процессе
движения.
Рассмотрим для примера движение вершины
трехгранника xyz по замкнутой сферической линии ABCD,
состоящей из двух дуг меридианов и двух дуг параллелей
(рис. 111). При движении вдоль параллелей угол φ не
меняется, а при движении вдоль меридианов не меняется
угол λ, и, следовательно, άλ=0. Поэтому
χ = — φ sin (ράλ = — f sin φί/λ — f sin φί/λ =
AB CD
= (sin φ2 — sin φΧ) (λ2 — λΑ),
где φι и φ2 —широты точек А и С, а λι и %2 ^—
соответственно их долготы. В частности, если вершина трехгранника
описывает последовательно три дуги больших кругов, обра-
зующиеоктант (рис. 112), то
<ρι = 0, φ2=π/2, %2—λι=π/2
и, следовательно,
χ=π/2.
Таким образом, когда вершина трехгранника вернется в
исходную точку, трехгранник окажется повернутым
относительно своего первоначального
положения на угол π/2 вокруг осиг,,
несмотря на то что во все время
его движения выполнялось условие
ωζ=0.
Рассмотренная теорема имеет
большое практическое значение.
Как уже отмечалось, существуют
гироскопические приборы, для ко-
Рис. 112 торых проекция угловой скорости:.
240

рамы на ее ось вращения во все время движения равна
нулю. Если поставить такой прибор на качающееся основание,
то могут появиться ошибки, связанные с неголономным
уходом. Чтобы избежать этой ошибки, необходимо располагать
указанные приборы на гиростабилизированной площадке.
Задачи и упражнения
1. Как движется внешнее кольцо гироскопического
стабилизатора, установленного на вращающейся Земле? (В
начальный момент ось стабилизации вертикальна.)

Литература
1. Андронов Α. Α., В итт Α. Α., Хай к и н С. Э. Теория колебаний.г
Физматгиз, 1959.
2. Α ρ н о л ь д Р. Η., Μ о н д е ρ Л. Μ. Гиродинамика и ее техническое
применение.—М.: Машиностроение, 1964.
3. Бородина Р. М. Решение уравнений движения уравновешенного-
гироскопа методом усреднения.—Укр. матем. журн., 1961, № 3, 97—
100.
4. Б ρ а н е ц В. Н., Ш м ы г л е в с к и й И. П. Применение кватернионов
в задачах ориентации твердого тела.—М.: Наука, 1973.
5. Булгаков Б. В. Колебания.— М.: Гостехиздат, 1954.
6. Булгаков Б В. Прикладная теория гироскопов.— М.: Изд-во-
Моск. ун-та, 1976.
7. Гантмахер Ф. Р. Лекции по интегрированию уравнений движения
тяжелого твердого тела около неподвижной точки.—М.: ГИТТЛ, 1953.
8. Г о л у б е в В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения
твердого тела около неподвижной точки.—М.: ГИТТЛ, 1953.
9. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения, т. 1, 2.— М.: ИЛ,
1952.
10. G е с к е 1 е г J. W. Kreiselkompass und Schiffsmanover.— Ingeniear—
Archiv, 1933, IV, N 1—2, 66—84.
11. Geckeler J. W. Kreiselmechanik des Anschutz — Raumkompasses,
Ingeniear — Archiv, 1935, IV, N 4, 229—253.
12. Gyroscope: Theory und Design with Applications to Instrumentation,
Guidance and Control.—McGraw-Hill Book Company, Inc. 1961.
13. Д е в я н и н Ε. Α., Ишлинский А. Ю., Климов Д. М. Механика
гироскопических и навигационных систем.— В кн.: Механика в СССР
за 50 лет, т. I.— М.: Наука, 1968, с. 245—264.
14. Ишлинский А. Ю. Об относительном равновесии физического
маятника с подвижной точкой опоры.—ПММ, 1956, XX, № 3, 297—308.
15. Ишлинский А. Ю. К теории гирогоризонткомпаса.— ПММ, 1956,
XX, № 4, 487—499.
16. Ишлинский А. Ю. К теории гироскопического маятника.—ПММ,
1957, XXI, № 1, 3—14.
17. Ишлинский А. Ю. Определение местоположения движущегося:
объекта посредством гироскопов и измерителей ускорений.— ПММ,
1957, XXI, № 6, 725—739.
18. Ишлинский А. Ю. Об автономном определении местоположения
движущегося объекта посредством пространственного
гироскопического компаса, гироскопа направления и интегрирующего устройства.—
ПММ, 1959, XXIII, № 1, 58—63.
19. И ш л и н с к и й А. Ю. Об уравнениях прецессионной теории
гироскопов в форме уравнений движения изображающей точки в картинной
плоскости.—ПММ, 1959, XXIII, № 5, 801—809.
20. И ш л и н с к и й А. Ю. Гироскоп.— В кн.: Физический
энциклопедический словарь, т. I. — М.; 1960, с. 457—460.
21. Ишлинский А. Ю. Гироскопа уравнения движения,—В кн.:
Физический энциклопедический словарь, т. I.—М., 1960, с. 460—463.
22. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем.—М.: Изд-во
АН СССР, 1963.
242

23. Ишлинский А. Ю. Инерциальное управление баллистическими
ракетами.—М.: Наука, 1968.
24. И ш л и н с к и й А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная
навигация.—М.: Наука, 1976.
25. И ш л и н с к и й А. Ю. Механика относительного движения и силы
инерции.—М.: Наука, 1981.
26. Ишлинский А. Ю., Б о ρ з о в В. И., С τ е π а н е н к о Н. П.
Сборник задач и упражнений по теории гироскопов.—М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1979.
27. К л и м о в Д. М., Харламов С. А. Динамика гироскопа в карда-
новом подвесе.—М: Наука, 1978.
28. К л и м о в Д. М., С τ е π а н е н к о Н. П. Об интегрировании
уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе.—МТТ, 1967, № 6,
143-150.
29. К о ш*л яков В. Н. Теория гироскопических компасов.— М.: Наука,
1072.
30. Крылов А. Н., 1(рутк о в Ю. А. Общая теория гироскопов и
некоторых технических их применений.—Л.: Изд-во АН СССР, 1932.
■31. Лунц Я- Л. Введение в теорию гироскопов.—М.: Наука, 1972.
32. Лунц Я- Л. Ошибки гироскопических приборов.— Л.: Судостроение,
1968.
33. Лурье А. И. Аналитическая механика.—М.: Физматгиз, 1961.
34. Ма к-Ми л л а н В. Д. Динамика твердого тела.—М.: ИЛ, 1951.
35. Меркин Д. Р. Гироскопические системы.—М.: ГИТТЛ, 1956.
36. Μ е τ е л и ц ы н И. И. К вопросу о гироскопической стабилизации.
ДАН СССР.—XXXVI, № 1, 1952, 31—34.
37. Метелицы н И. И. Гироскопические приборы.—В кн.: Физический
энциклопедический словарь, т. I.— M., 1960, с. 463—467.
38. Magnus К. Beitrage zur Dynamik des kraftefreien, kardanisch gela-
gerten Kreisels — ZAMM, 1955, 35, N 1/2, 23—34.
39. Магнус К. Гироскоп. Теория и применения.—Μ.: Мир, 1974.
40 Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория
дифференциальных уравнений.— М.—Л.: Гостехиздат, 1949.
41. Николаи Е. Л. О движении уравновешенного гироскопа в
кардановом подвесе.—ПММ, 1939, III, № 4, 3—33.
42. Николаи Е. Л. Гироскоп в кардановом подвесе.—М.: Наука, 1964.
43. Ρ 1 у m а 1 е В. Т., G о о d s t e i n R. Nutation of the free gyro
subjected to an impulse. Journal of Applied Mechanics. Transactions of the
American Society of Mechanical Engineers, 1955, 22, N 3, 365—366.
44. Ρ и τ л и У., X о л л и с τ е ρ У., Д е н χ а р τ У. Теория, проектирование
и испытания гироскопов.—М.: Мир, 1972.
45. Ройтенберг Я. Н. Гироскопы.—М.: Наука, 1966.
46. Скарборо Дж. Б. Гироскоп, теория и применения — М.: ИЛ, 1961.
47. Слезкин Л. Н. О применении асимптотических методов к
исследованию гироскопических систем.—ДАН СССР, 1962, 147, № 1, 57—60.
48. Суслов Г. К. Теоретическая механика.— М.—Л.: ОГИЗ, 1946.
49. Чета ев Н. Г. О гироскопе в кардановом подвесе.—ПММ, 1958,
XtfH, >te 3, 379-38 Г.
50. Schuler M. Der Kreiselkompass unter Einfluss der Schiffsswingun-
gen — Zeitschrift fur angewandte Mathematic und Mechanik, 1922, 2,
N 4, 223—250.
51. Schuler M. Die Storing von Pendel und Kreiselapparaten durch die
Beschleuningung des Fahrzeuges.— Physikalische Zeitschrift, 1923, 24,
N 16.
243

Содержание
Введение 3
§ 1. Модифицированные уравнения Эйлера 8
§ 2. Прецессионные уравнения гироскопа 18
§ 3. Подвес гироскопа 29
§ 4. Кинематика карданова подвеса 32
§ 5. Теория конечных поворотов 38
§ 6. Уравнения движения гироскопа с подвижной точкой опоры 50
§ 7. Гироскопический момент 59
§ 8. Об одной интерпретации движения волчка 63
§ 9. Линейная теория «спящего» волчка. Условие устойчивости Ма-
евского 66
§ 10. Уравнения прецессионной теории гироскопа в кардановом
подвесе 70
§ 11. Методы кинетостатики в теории гироскопов 76
§ 12. Частные случаи движения гироскопа в кардановом подвесе . 79
§ 13. Теория движения гироскопического маятника 85
§ 14. Движение гироскопического маятника на неподвижном
основании 90
§ 15. Поведение гироскопического маятника при поступательном
движении основания 95
§ 16. Теория движения гироскопического маятника на циркуляции 103
§ 17. Коррекция гироскопического маятника посредством
искусственных сил. Радиальная коррекция 108
§ 18. Уравнения нутационной теории гироскопа в кардановом
подвесе . . . 111
§ 19. Первые интегралы задачи о движении гироскопа в
кардановом подвесе. Сведение задачи к квадратурам . . . . . 116
§ 20. Малые движения гироскопа в кардановом подвесе. Формула
Магнуса 119
§ 21. Исследование движения гироскопа в кардановом подвесе
посредством фазовой плоскости 131
§ 22. Уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе иа
подвижном основании 136
§ 23. Одноосный гироскопический стабилизаФОр (гироскопическая
рама) .♦...··· 142
§ 24. Условие устойчивости Кузнецова 152
§ 25. Гироскопическая стабилизация статически неустойчивых
объектов 157
§ 26. Стабилизация искусственного спутника посредством
гироскопической рамы 160
§ 27. Теоремы Метелицына 168
§ 28. Влияние жесткости элементов гироскопической системы на
частоту колебаний и уход гироскопа 178
§ 29. Пружинно-массовая аналогия гироскопического стабилизатора 188
§ 30. Невозмущаемый физический маятник 195
§31. Ньютонометры 202
§ 32. Схема Кофмана—Левенталя инерциальной навигационной
системы 206
244

§ 33. Определение местоположения объекта иа земной сфере . . 213
§ 34. Пространственный гироскопический компас. Уравнения
движения 219
§ 35. Исследование движения гиросферы относительно
трехгранника Дарбу 224
§ 36. Малые движения пространственного гирокомпаса . . . . 231
§ 37. Неголоиомиые особенности движения гироскопических систем 236
Литература 242

Александр Юльевич Ишлинский
Виталий Иванович Борзов
Наталия Петровна Степаненко
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ
ГИРОСКОПОВ
Заведующий редакцией С. И Зеленский
Редактор А. А. Локщин
Мл. редактор О Ε Силантьева
Художественный редактор Л. В. Мухина
Переплет художника Н. И. Сенько
Технические редакторы /С. С. Чистякова,
3. С Кондрашова
Корректоры Л А. Айдарбекова,
М. К. Соболева
Тематический план 1983 г. № 76
И.Б № 1634
Сдано в набор 16.11.82 Подписано к печати
08 04 83 Л-95249 Формат 60Χ90'/ΐ6 Бумага тип.
№ 1 Гарнитура Литературная Высокая печать Усл.
печ л. 15,5 Уч -изд. л. 14,69 Зак 558 Тираж
3300 экз. Цена 60 коп. Изд. № 2449
Ордена «Знак Почета» издательство
Московского университета
103009, Москва., ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета> изд-ва МГУ.
Москва, Ленинские горы

В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ
московского
УНИВЕРСИТЕТА
в 1983 году
ВЫЙДЕТ КНИГА:
Фоменко А. Т. Дифференциальная
геометрия и топология. — 15 л.
Практическое пособие является
продолжением учебника А. С. Мищенко и
А. Т. Фоменко «Курс
дифференциальной геометрии и топологии» и содержит
материал, широко использующийся в
современной научной литературе.
Основное внимание уделено элементам
гомотопической топологии, теории
критических точек гладких функций на
многообразиях, описанию гладких
многообразий часто используемых в
приложениях, теории интегрирования гамиль-
тоновых систем на симплектических
многообразиях.

В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ
московского
УНИВЕРСИТЕТА
в 1983 году
ВЫЙДЕТ КНИГА:
Березин Φ. Α., Шубин М. А.
Уравнение Шредингера. — 25 л.
В книге систематически изложены
математические вопросы
нерелятивистской квантовой механики, связанные с
изучением уравнения Шредингера:
спектральная теория одномерного и
многомерного оператора Шредингера, теория
рассеяния, метод континуальных
интегралов и т. п. Изложение рассчитано на
лиц, впервые знакомящихся с
предметом. Книга снабжена большим
количеством задач, на которых читатели
могут проверить свое понимание
излагаемых вопросов. Значительная часть
материала на математическом уровне
строгости излагается впервые, что
делает книгу прекрасным дополнением к
имеющимся изданиям по квантовой
механике.
Уважаемые покупатели!
Книжный магазин № ПО
«Университетская книжная лавка»,
находящийся по адресу: г. Москва,
Ломоносовский проспект, дом 18, является
опорным пунктом Издательства
Московского университета и принимает от
жителей Москвы предварительные заказы
по тематическому плану Издательства.
Заказы на литературу Издательства
от иногородних покупателей принимает
магазин № 93 «Книга — почтой»,
находящийся по адресу: ул.
Кржижановского, дом 14.