АЛО. ИШЛИНСКИЙ
ОРИЕНТАЦИЯ, ГИРОСКОПЫ
И ИНЕРЦИАЛЬНАЛ
НАВИГАЦИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1976

УДК G29.191.2 : 02-56
Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. А. Ю. Ишлинский,
М., «Наука», 1976, с. 672.
В монографии излагаются теоретические основы инерциальной
навигации — определения ориентации и местоположения подвижных
объектов без какой-либо информации извне, исходя исключительно из
показаний чувствительных элементов механической природы,
находящихся на самом объекте. Сюда относятся свободные гироскопы,
гиромаятники, гиростабилизаторы, гирокомпасы, гироскопические и иные
измерители кажущихся ускорений (ныотонометры). Описание теории
поведения этих устройств в условиях относительного движения,
главным образом применительно к задачам инерциальной навигации,
составляет одно из центральных мест монографии.
Использование гироскопической стабилизации на борту
подвижных объектов в условиях их пространственного углового движения
приводит к необходимости рассмотрения сложных геометрических и
кинематических задач. В монографии приведены общие методы и
примеры решения таких задач различными приемами, в том числе
посредством матриц, параметров Родрига — Гамильтона и Кейли — Клейна
и алгебры кватернионов.
К собственно инерциальной навигации относится рассмотрение
теории поведения конкретных схем, сочетающих в себе гироскопы,
ныотонометры и счетно-решающие устройства, а также исследование
дифференциальных уравнений, решение которых в конечном счете
определяет местоположение объекта и его курс па земной сфере
(система пространственной инерциальной навигации неустойчива).
Монография предназначена широкому кругу научных работников,
инженеров, аспирантов и студентов старших курсов, занимающихся
изучением специальных разделов теоретической и прикладной
механики и инерциальной навигации. Она может оказаться полезной и
для специалистов, разрабатывающих теоретические и особенно
практические проблемы стабилизации и управления подвижными
объектами самых различных назначений до космических включительно.
Иллюстраций 309. Библ. 284 назв.
БЗ—И—5—1975 © Издательство «Наука», 1976 г.

Монография посвящается
замечательному советскому ученому
Борису Владимировичу
БУЛГАКОВУ
и выдающемуся инженеру нашей страны
Николаю Николаевичу
ОСТРЯКОВУ,
значение трудов которых в гироскопии
исключительно
11 ι s ι
II 1.1 Ч
ПРЕДИСЛОВИЕ
Imi.i.nmi1 управляемых объектов во многих практически важ-
·· г.чучллх должно происходить с малыми отклонениями от той
hi inioii заданной программы. Чтобы это осуществить, необхо-
мии надлежащим образом регулировать величину и направление
ΜΊΐ.ι, д нижущей объект. Соответственно необходимо знать, какую
ι ним и л цию в данное мгновение времени имеет объект и где он
►дмтся. Оказывается, при наличии на подвижном объекте точ-
I ироскопических приборов ориентацию и местоположение
«им.гкта можно установить, не прибегая к наблюдениям за
внешними ориентирами и не получая какие-либо дополнительные све-
Ή ни» извне. Достаточно знать лишь нахождение и ориентацию
«'Ьы'ктл в начальное мгновение времени и далее посредством счетно-
|М'ц|;иощих устройств вырабатывать координаты местоположения
«.иичста путем непрерывного решения совокупности некоторых
• рлпмший. Эти уравнения могут быть конечными
(алгебраическими или тригонометрическими) и дифференциальными. В первом
■ ι\Ί,Ί(ΐ они выражают связи геометрического характера между
периметрами, определяющими ориентацию гироскопов и ориен-
| ninu) объекта. Во втором — аналогичные кинематические
(■и'митномные) связи. Дифференциальными уравнениями описы-
ιι.ιγτπι также поведение гироскопов и других элементов системы,
• 1ужпщей для установления местоположения подвижного объек-
«-Ι Последняя называется системой инерциальной навигации или
просто инерциальной системой, поскольку ее функционирование
<н моиывается на законах классической механики.
Настоящая монография посвящена изложению теоретических
• и мои гироскопической инерциальной навигации, составлению и:
ι»»тению уравнений основных задач, связанных как с
определением ориентации и местоположения подвижных объектов, так и
« исследованием поведения сопутствующих гироскопических
устройств. В связи с этим рассматриваются также некоторые вопросы

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
теории гироскопов и гироскопических приборов (свободных
гироскопов, гиромаятников, гиростабилизаторов, гироскопических
рам и компасов, гироскопических ньютонометров, т. е. приборов,
показания которых являются для упомянутых задач задаваемыми
переменными величинами, непосредственно входящими в
соответствующие уравнения).
В монографии рассматривается лишь инерциальная навигация
объектов, перемещающихся по земной сфере или на постоянной
заданной высоте над нею. К сожалению, чисто инерциальные
системы для определения местоположения объекта, произвольно
изменяющего не только свои географические координаты, но и
удаление от центра Земли, неустойчивы. Вследствие этого
длительная пространственная навигация неосуществима. Такие
неустойчивые инерциальные системы годятся лишь для объектов с малым
временем действия на них негравитационных сил (тяги двигателя,
сопротивления атмосферы и др.). Некоторые теоретические
вопросы относящихся сюда систем изложены автором в другой его
монографии «Инерциальное управление баллистическими ракетами».
Основная часть текста монографии публикуется впервые.
Кроме того, в заново переработанном виде использованы результаты
некоторых исследований автора, опубликованных в разное время
в научных журналах по механике и частично в его книгах
«Механика гироскопических систем» (в основном параграфы первых двух
глав) и «Инерциальное управление баллистическими ракетами»
(параграф о ньютонометре и приложение).
Монография состоит из двух книг, соединенных вместе. Первая
книга — «Кинематика гиростабилизируемых объектов» — содержит
главным образом рассмотрение геометрических и кинематических
вопросов ориентации и стабилизации подвижных объектов. Во
второй книге — «Гироскопические инерциальные системы»,—
несколько большей по объему, наряду с теорией некоторых
гироскопических приборов и устройств, а также очерком механики
относительного движения, дается изложение теоретических основ
механики систем инерциальной навигации.
При написании монографии и подготовке ее к печати автору
большую помощь оказала Μ. Ε. Темченко, которой автор
выражает глубокую благодарность. Автор весьма признателен 13. А.
Стороженко, прочитавшему рукопись и сделавшему ряд важных
замечаний, и В. Б. Лидскому, давшему полезные рекомендации
по изложению собственно математической части монографии.
Автор обязан Н. И. Ворожейкиной и В.М. Кутыроиой, много
сделавшим при подготовке рукописи к печати.

I
КНИГА
КИНЕМАТИКА
ГИРОСТАБИЛИЗИРУЕМЫХ
ОБЪЕКТОВ

ВВЕДЕНИЕ
В первой книге монографии, как уже было отмечено в
предисловии, рассматриваются исключительно вопросы ориентации
подвижных объектов, как правило, при наличии у них гироскопов.
Последние или регистрируют различные параметры ориентации
(крен, дифферент, курс, угловое взаиморасположение объектов
и т. п.), или вырабатывают команды для надлежащего изменения
этих параметров посредством систем управления ориентацией
(сохранение или, напротив, программное изменение курса,
тангажа, проекций угловой скорости на заданные оси, в частности
связанные с движущимся объектом). Предполагается, что
вследствие высокой эффективности систем управления исполнение
команд, предписываемых гироскопам, происходит практически
мгновенно и совершенно точно. Тем самым игнорируются
переходные процессы в системах управления и не принимаются во
внимание так называемые случайные ошибки следящих систем.
Несмотря на это, методы, развиваемые в первой книге,
достаточны для учета упомянутых обстоятельств при решении многих
задач, касающихся определения ориентации подвижных
объектов.
В первой книге предполагается также, что гироскопы свободны
от уходов и оси собственного вращения их роторов не меняют
направления на неподвижные звезды или, напротив, корректируются
столь искусно, что сохраняют постоянные углы с направлениями
на восток, север и вертикалью места. При наличии на подвижном
объекте двух- и многогироскопических систем, а также гироскопов
с сильной коррекцией считается, что справедливы законы
прецессионной теории гироскопов, а силы, нарушающие их идеальное
поведение, отсутствуют или известны.
Для решения задач ориентации, рассматриваемых в первой
книге, такие предположения вполне уместны. Во второй книге
многие вопросы поведения гироскопов и гироскопических систем
рассматриваются с более общей точки зрения, в частности с
привлечением так называемых полных уравнений и учетом переходных
процессов в электромеханических элементах гироскопических
стабилизаторов.
В первой главе настоящей первой книги монографии
рассматриваются вопросы определения ориентации подвижного объекта

10
ВВЕДЕНИЕ
посредством регистрации углов поворота колец кардановых
подвесов, несущих на себе стабилизирующие гироскопические
устройства.
Дается определение крена и дифферента как некоторых точно
указанных углов, которые могут быть непосредственно измерены
на качающемся корабле при наличии идеальной стабилизации в
горизонтальной плоскости внутреннего кольца карданова
подвеса. Считается при этом, что ось внешнего кольца подвеса строго
параллельна продольной оси корабля. Подобным же однозначным
образом определяется курс корабля. За него принимается
показание идеального компаса, без каких-либо девиаций указывающего
направление на страны света. Ось внешнего кольца подвеса
следящей сферы компаса (имеется в виду гироскопический компас
«Аншютц») точно так же располагается параллельно продольной
оси корабля; ось вращения следящей сферы принимается строго
вертикальной.
Иная конструкция карданова подвеса (например, применение
так называемого бикарданова подвеса), иное расположение оси
его внешнего кольца по отношению к кораблю и неточность
монтажа одного подвеса относительно другого приводят к
всевозможным ошибкам в определении крена, дифферента и курса
подвижного объекта. Все эти ошибки называются кардановыми. Незнание
простейшей из них — взаимного поворота стабилизированных
в горизонтальной плоскости внутренних колец двух кардановых
подвесов с различно расположенными в плоскости палубы осями
внешних колец — привело в тридцатых годах к большим
недоразумениям на практике.
Многие приближенные формулы, относящиеся к подсчету
кардановых ошибок, ошибок стабилизации и ошибок в определении
угловых координат удаленных объектов, можно выводить и
аналитически, и посредством векторного аппарата теории бесконечно
малых вращений. Что же касается соответствующих точных
формул, то здесь наряду с чисто аналитическими приемами возможно
применение теории конечных вращений, использующей или
алгебру матриц, или кватернионное исчисление с параметрами Род-
рига — Гамильтона и Кейли — Клейна. Необходимые
относящиеся сюда сведения и примеры приведены в главах второй и
частично в третьей (см. также шестую главу второй книги
монографии).
Основное содержание третьей главы составляет изложение (в
основном на конкретных примерах) методов решения задач по
определению ориентации движущегося объекта при наличии так
называемых свободных гироскопов в системе стабилизации.
Характерным и важным для приложений примером здесь является
вычисление изменения курса объекта, управляемого гироскопом
направления, при возникновении у объекта крена и дифферента.

ВВЕДЕНИЕ
11
В главе четвертой предполагается, что в управлении
движущимися объектами принимают участие гироскопические
устройства типа гироскопов с сильной коррекцией, двухгироскопи-
ческих рам и трехосных гироскопических стабилизаторов. Такие
устройства как бы налагают на угловое движение объекта него-
лономыые связи. Последние не препятствуют постепенному
изменению ориентации объекта, управляемого подобными
гироскопическими устройствами. Здесь оказывается полезной так
называемая теорема о телесном угле, заключающаяся в следующем.
Рассмотрим твердое тело с одной неподвижной точкой, совершающее
движение из состояния покоя. Движение подчинено
единственному условию — проекция угловой скорости тела на некоторую,
жестко связанную с ним прямую, неизменно равна нулю. Пусть
эта прямая в процессе движения опишет конус (необязательно
круговой) и окажется в исходном положении. Тогда в результате
такого движения тело повернется вокруг упомянутой прямой на
угол, равный мере телесного угла описанного ею конуса.
Близкие по геометрической природе соотношения
характеризуют систематические уходы (изменение ориентации) трехосного
гироскопического стабилизатора при малых периодических
изменениях его угловой скорости вблизи нуля. В четвертой главе
излагается теория такого гироскопического стабилизатора.
В приложении рассматривается родственная теории конечных
вращений задача о виде проекции какой-либо конструкции на
заданную плоскость. Задача решается аналитически —
посредством перемножения матриц конечного поворота. Примерно так же
может решаться та же задача на современных электронных
вычислительных машинах, снабженных выводом результата своей
работы на светящийся экран (так называемый дисплей).
Примечание. Список литературы помещается, для удобства
читателей, в конце каждой главы. Кроме того, основная
цитируемая литература приводится в монографии подстрочно.

I
ГЛАВА
ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
§ 1. Простейший карданов подвес.
Определение крена, дифферента и курса корабля.
Карданова ошибка
Простейший карданов подвес (рис. 1) является составной
частью гироскопических и многих других приборов,
устанавливаемых на подвижных объектах. В частности, карданов подвес
служит для создания так называемого искусственного горизонта на
качающемся корабле, самолете или ином движущемся объекте.
С этой целью плоскость внутреннего кольца подвеса
удерживается в горизонте либо посредством расположенных на ней
гироскопов (силовая стабилизация), либо при помощи следящих систем;
последние осуществляют принудительные повороты внешнего
кольца карданова подвеса относительно корпуса прибора и
внутреннего кольца относительно внешнего на углы, задаваемые
сторонними гироскопическими или другими индикаторными
устройствами.
На морских кораблях карданов подвес со стабилизированной
в горизонте плоскостью внутреннего кольца, как правило,
монтируется так, чтобы ось внешнего кольца подвеса была параллельна
продольной оси корабля. Угол θ между плоскостью внешнего
кольца и плоскостью палубы называется при этом креном
корабля. Крен считается положительным, если левый борт корабля
приподнят над горизонтом по сравнению с его правым бортом,
т. е. корабль накренился на правый борт. Очевидно, что при
θ >> 0 внешнее кольцо повернуто относительно палубы по
стрелке часов, если смотреть на него со стороны носа корабля.
Угол ψ между плоскостями обоих колец при упомянутом
расположении карданова подвеса называется дифферентом корабля.
При положительном дифференте корма корабля приподнята по
сравнению с его носом. Если наблюдать за кардановым
подвесом со стороны правого борта, то при ψ }> О (см. рис. 1)
внутреннее кольцо повернуто относительно внешнего против стрелки
часов *.
* Вместо крена и дифферента часто пользуются другими углами, в
частности так называемыми углами килевой и бортовой качки φ и Φ (см. § 2).

§ i. ПРОСТЕЙШИЙ КАРДАНОВ ПОДВЕС. КАРДАНОВА ОШИБКА 13
Углы θ и ψ определяют ориентацию корабля относительно
горизонтальной плоскости *. Для ориентации корабля по
отношению к странам света вводится угол κ, именуемый курсом корабля,
между направлением на север и так называемой курсовой чертой.
Под последней понимается прямая η, связанная со
стабилизированным в горизонте внутренним кольцом рассматриваемого кар-
данова подвеса и совпадающая с осью его внешнего кольца при
ι|) = 0. Нетрудно убедиться, что курсовая черта η при ψ Φ 0
параллельна проекции продольной оси корабля на
горизонтальную плоскость (рис. 2).
Курс корабля κ отсчитывается от направления на север по
стрелке часов. Именно так определенный угол κ измеряют и
воспроизводят на репиторах гироскопические компасы кораблей. При
увеличении угла κ корабль совершает правую циркуляцию, т. е.
поворачивается по стрелке часов, если наблюдать за его вращением
сверху. Если, например, κ = 0, то нос корабля направлен на
север, если же κ = —90°, то на запад и т. д.
* В авиации положение самолета относительно горизонтальной
плоскости характеризуется креном у и тангажом Ф. Крен самолета
определяется так же, как и крен корабля, если условиться «палубой» самолета
считать плоскость, содержащую его продольную и поперечную оси. Тангажом
самолета называется угол между продольной его осью и горизонтальной
плоскостью; тангаж положителен, если нос самолета приподнят. Таким
образом, по определению: ν = θ и $ — — ψ.

14 ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
Разность между текущим значением курса и его заданным
программным значением (как правило, постоянным в течение больших
интервалов времени) именуется обычно рысканием корабля.
Углы θ, ψ и κ полностью определяют мгновенное угловое
положение корабля как твердого тела относительно так называемой
географической системы координат ΕΝΖ (см. рис. 2). Оси этой
системы направлены соответственно на восток, на север и
вертикально вверх, а начало координат расположено в том месте, где
находится корабль.
На первый взгляд представляется, что для определения курса
корабля несущественно, как расположена ось внешнего кольца
карданова подвеса относительно палубы. Казалось бы,
достаточно, чтобы эта ось была параллельна палубе, а за курсовую черту
принята прямая, связанная с внутренним кольцом и
параллельная продольной оси корабля при отсутствии у пего крепа и
дифферента. Однако это не так. Можно показать, что
стабилизированные в горизонте внутренние кольца двух кардапоиых подвесов с
разным расположением осей их внешних колец при качке корабля
поворачиваются одно относительно другого. Ниже
рассматривается случай, когда оси внешних колец параллельны плоскости
палубы и образуют между собой прямой угол (более общий случай
изучается в следующем параграфе настоящей глаиы).
Итак, пусть ось внешнего кольца первого карда но на подвеса
параллельна продольной оси корабля, а ось внешнего кольца
второго подвеса в свою очередь параллельна поперечной оси,
т. е. перпендикулярна плоскости симметрии корабля (рис. 3, а и
3, б). Плоскости внутренних колец обоих подносов горизонтальны.
Введем систему координат xyz, жестко связанную с кораблем.

§ 1. ПРОСТЕЙШИЙ КАРДАНОВ ПОДВЕС. КАРДАНОВ А ОШИБКА 15
Рис. 3
При этом ось χ направим к правому борту корабля, параллельно
его поперечной оси, ось у — к носу корабля, параллельно
продольной его оси, и, наконец, ось ζ — вверх, перпендикулярно
палубе, т. е. параллельно мачте. Введем далее системы координат
Χχ\}χΖλ и ξηζ, связанные соответственно с внешним и внутренним
кольцами первого карданова подвеса, а также системы x]y{z\
и ξ*η*ζ*? связанные с внешним и внутренним кольцами
второго подвеса. Оси упомянутых систем направим так, чтобы при
горизонтальном расположении плоскости ху, а следовательно, и
палубы корабля они были соответственно параллельны осям х, ynz.
Ось уг системы координат xxyxzx (связанной с внешним кольцом
первого карданова подвеса) постоянно направлена параллельно
оси г/, т. е. продольной оси корабля (рис. 3, α и 4, где для удобства
общее начало систем координат χ^χζχ и ξηζ совмещено с началом
системы xyz).
Внешнее кольцо первого карданова подвеса повернуто вокруг оси
у относительно палубы на угол Θ, являющийся, согласно
изложенному выше, креном корабля (см. рис. 4). При θ > О система
координат χ^χΖχ повернута вместе с внешним кольцом по стрелке
часов относительно системы xyz, если смотреть со стороны
положительной части оси у (или, что то же, оси уг). Следовательно,
таблица косинусов углов между осями систем координат хху^х и
xyz имеет вид
xyz
хл cos θ 0 sin θ
n a a (1.1-1)
y1 0 1 0 v '
zx — sin θ 0 cos Θ.

16
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
Рис. 4
Ось внутреннего кольца ξ первого карданова подвеса является
одновременно осью хг, принадлежащей его внешнему кольц^.
Так как система координат ξηζ связана с внутренним колыщм
первого подвеса, по предположению, стабилизированным в го1
ризонте, то плоскость ξη является горизонтальной плоскостью,
а ось ξ и совпадающая с нею ось хг — горизонтальной прямой.
Поворот внутреннего кольца первого подвеса относительно
внешнего совершается вокруг совпадающих осей ξ и хг на угол ψ.
Этот угол в соответствии с ранее изложенным называется
дифферентом корабля. Если он положителен, то система координат ξηζ
повернута против стрелки часов по отношению к системе х^у^
при наблюдении за вращением со стороны положительной части
осей ξ и хг. Таблица косинусов углов между осями систем
координат ξηζ и x-$xzx такова:
(1.1.2)
Теперь можно построить таблицу косинусов углов между
осями систем координат ξηζ и xyz. Для этой цели воспользуемся
известной теоремой аналитической геометрии о косинусе угла между
двумя прямыми в пространстве. Имеем, например,
cos ly == cos 1хг cos хм + cos ξζ/j cos yxy + cos \z± cos zxy (1.1.3)
\
η
ζ
x1
1
0
0
Vi
0
cos ψ
—sin ψ
Zl
0
sin ψ
cos ψ

§ 1. ПРОСТЕЙШИЙ КАРДАНОВ ПОДВЕС. КАРДАНОВ А ОШИБКА 17
и аналогичные формулы для косинусов других углов *. В
результате, используя таблицы (1.1.1), (1.1.2) и формулы вида (1.1.3),
получаем новую таблицу косинусов углов уже между осями
систем координат ξηζ и xyz
xyz
ξ cos θ 0 sin θ
(1.1.4)
η —sin θ sin ψ cos ψ cos θ sin ψ
ζ —sin9cosi|> — sin ψ cos9cosif.
Эту таблицу при известном навыке можно вывести и
непосредственно. Достаточно, например, спроектировать на оси х, у и ζ
отрезки единичной длины, предварительно расположив их на
осях .ξ, η и ζ. Чтобы, например, найти cos ζζ, следует подсчитать
сначала проекцию «единичного» отрезка оси ζ на оси xlt y1 и zu
каждую из этих проекций в свою очередь спроектировать на ось
ζ и результаты сложить.
Некоторые из промежуточных проекций оказываются в данном
случае равными нулю.
Обратимся теперь ко второму карданову подвесу. Ось х\ внеш
него кольца этого подвеса (рис. 3, б и 5) параллельна оси χ и по-
* Формула (1.1.3) и аналогичные ей идентичны формулам для
определения коэффициентов квадратной матрицы третьего ранга у
представляющей собой произведение двух других матриц того же ранга (см. § 7
гл. III).

18
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
перечной оси корабля *, т. е. перпендикулярна плоскости его
симметрии. Обозначим через гр* угол поворота внешнего кольца
второго подвеса вокруг оси х\ относительно палубы корабля и
через Θ* угол между плоскостями внутреннего и внешнего колец
этого подвеса. В согласии с изложенным выше правилом выбора
знака угла ψ примем, что при ψ* > О внешнее кольцо второго
подвеса, а следовательно, и связанная с ним система координат
x\y\z\ повернуты вокруг оси х{(х) против стрелки часов
относительно системы xyz, т. е. относительно корабля; при этом наблюдать
за вращением следует со стороны положительного направления
оси х\ (или параллельной ей оси х, т. е. с правого борта корабля).
Поэтому таблица косинусов углов между осями систем координат
x\y\z\ и xyz имеет вид
(1.1.5)
Аналогично будем считать Θ* > 0, если внутреннее кольцо и
связанная с ним система координат ξ*η*ζ* повернуты вокруг оси
у\ (или, что то же, вокруг оси η*) по отношению к системе
координат x\y\z\, т. е. к внешнему кольцу второго подвеса, по стрелке
часов при наблюдении за вращением со стороны положительного
направления совпадающих осей η* и у\ (т. е. с носа корабля).
Таблица косинусов углов между осями систем координат ξ*η*ζ*
и x\y\z\ такова:
;*
ί
*
X
1
0
0
У
0
cos ψ*
— sin ψ*
ζ
0
sin ψ*
cosip*.
\*
η*
ζ* .
χ*
cos θ*
0
— sin θ*
yf
0
1
0
Ζ*
sin6*
0
cos θ*
(1.1.6)
Используя таблицы (1.1.5) и (1.1.6), можно построить таблицу
косинусов углов между осями систем координат ξ*η*ζ* и xyz:
х у ζ
ξ* cos θ* — sin θ* sin ψ* sin θ* cos ψ*
η* 0 cos ψ* sin ψ*
ζ* —-sin θ*. — cos θ* sin ψ* cos9*cosi|;*.
(1.1.7)
* На рис. 3, б и 4 изображена система координат xyz с началом в центре
второго подвеса. Подобное совмещение начал систем координат (без
изменения, разумеется, ориентации их осей) встречается нередко и в дальнейшем.

§ i. ПРОСТЕЙШИЙ КАРДАНОВ ПОДВЕС. КАРДАНОВА ОШИБКА 19
По предположению
внутреннее кольцо второго подвеса,
так же как и внутреннее
кольцо первого подвеса,
стабилизировано в горизонте, т. е.
плоскости ξη и ξ*η*
горизонтальны. Следовательно, оси ζ и ζ*
параллельный косинусы углов,
которые они образуют с осями
х, у и z, соответственно равны
друг другу. Поэтому, согласно
таблицам (1.1.4) и (1.1.7),
имеют место три равенства
— sin θ cos ψ = —sin θ*;
— sin ψ = —cos θ* sin ψ*;
cos θ cos ψ = cos θ* cos ψ*,
(1.1.8)
каждое из которых является следствием двух других. Из равенств
(1.1.8) следуют формулы
sin θ* = sin θ cos ψ; tg θ = tg θ* sec ψ*;
, tg ψ* = tg ψ sec θ; sin ψ = sin ψ* cos θ*,
посредством которых можно выразить углы θ*, ψ* через θ, ψ и,
наоборот, углы θ, ψ через Θ* и ψ*.
Совместное рассмотрение таблиц (1.1.4) и (1.1.7), а также
формул (1.1.9) приводит к выводу, что при отличных от нуля углах
θ и ψ системы координат ξηζ и ξ*η*ζ* (а также связанные с ними
внутренние кольца кардановых подвесов) ориентированы
различным образом. Так как оси ζ и ζ* параллельны, то одна из систем
оказывается повернутой вокруг вертикали относительно другой
на некоторый угол χ (рис. 6). Будем считать этот угол
положительным, если система координат ξ*η*ζ* оказывается
повернутой по стрелке часов относительно системы ξηζ при наблюдении
за вращением со стороны положительных направлений осей ζ и
ζ*, т. е. сверху. Нетрудно заметить (см. рис. 6), что
cos ξη* = sin χ. (1.1.10)
Далее, так как
cos ξη* = cos ξ# cos #η* + cos ξ у cos г/η* 4- cos \z cos 2η*,
(1.1.11)
то, используя таблицы (1.1.4) и (1.1.7), получаем для
определения угла χ соотношение
sin χ = sin θ sin ψ*, (1.1.12)

20
ГЛАВА Т. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
которое с учетом формул (1.1.9) можно также представить в виде
sin θ sin ψ /Λ л ,Пч
sin χ = -Ζ . (1.1.13)
У1—sin2 θ cos2 ψ ν '
Считая углы θ и ψ малыми, имеем, согласно последнему
соотношению, формулу
χ =θψ, (1.1.14)
справедливую с точностью до членов третьего порядка
включительно относительно углов θ и ψ. Более точная формула (до членов
четвертого порядка включительно) имеет следующий вид:
χ =θψ(1 _|ψ2 + |θ2). (1.1.15)
Итак, пусть на корабле установлены два кардановых подвеса.
Ось внешнего кольца первого из них имеет направление,
параллельное продольной оси корабля, а ось внешнего кольца второго
перпендикулярна плоскости его симметрии. Если стабилизировать
тем или иным способом плоскости внутренних колец обоих
кардановых подвесов в горизонтальной плоскости, то, согласно
соотношению (1.1.13), при качке корабля стабилизированные кольца
будут вращаться одно относительно другого.
Числовой пример. Предположим, что крен θ = 1δ°, а дифферент
ψ = 7°. Тогда, согласно соотношению (1.1.13), получим χ = 0,03264 (1°52,2').
Вместе с тем по приближенной формуле (1.1.14) имеем χ = 0,03199 (1°50,0').
Расчет по более точной формуле (1.1.15) приводит к значению угла χ, равному
0,03264 (1°52, 2'), совпадающему, если ограничиться четырьмя значащими
цифрами, с его точным значением.
Приведенный пример показывает, что величина угла χ в ряде
случаев может оказаться значительной. Во избежание
существенных погрешностей последнее обстоятельство следует иметь в виду
при фиксации на стабилизированных кольцах каких-либо
направлений в азимуте. Расположим, например, на стабилизированном
в горизонте внутреннем кольце первого подвеса (схема которого
изображена на рис. 3, а) гироскоп направления, ориентированный
по линии север—юг (NS), и пусть ось η (курсовая черта) образует
с осью гироскопа направления некоторый угол к (курс корабля).
Воспроизведем посредством следящих систем угол κ в виде угла
между осью η* второго карданова подвеса (осуществленного по
схеме, представленной на рис. 3, б) и оптической осью визира,
расположенного на его внутреннем стабилизированном в
горизонте кольце (оптическая ось визира лежит в плоскости внутреннего
кольца). Согласно изложенному выше, при качке корабля
оптическая ось визира будет совершать угловое движение в
горизонтальной плоскости. Таким образом, ее направление оказывается

§ 2. БИКАРДАНОВ ПОДВЕС
21
нестабилизированным "и отклоненным от линии север—юг (Л^)
на угол χ, величина которого определяется формулой (1.1.13).
Впервые взаимное вращение стабилизированных колец
различно расположенных кардановых подвесов было обнаружено при их
монтаже на одном из кораблей еще в конце тридцатых годов и
получило название кардановой ошибки *. Во избежание этой
ошибки кардановы подвесы со стабилизированными в горизонте
внутренними кольцами монтируются обычно так, чтобы оси их
внешних колец были параллельны продольной оси корабля (см. ,
рис. 3, α и 4), т. е. подобно первому из рассмотренных выше
подвесов.
§ 2. Бикарданов подвес
Более сложным, чем простейший карданов подвес, описанный
в предыдущем параграфе, является бикарданов подвес, нашедший
применение в некоторых морских приборах. Он устроен
следующим образом. Внутреннее кольцо обычного карданова подвеса
кинематически связано со специальным бугелем Б, ось которого
перпендикулярна оси внешнего кольца подвеса (рис. 7). По дуге
бугеля скользит каретка К с подшипником П. В последний
входит стержень С, жестко связанный с внутренним кольцом
карданова подвеса; ось стержня перпендикулярна плоскости этого
кольца. Таким образом, для изменения ориентации внутреннего
кольца по отношению к корпусу подвеса достаточно поворачивать
относительно него внешнее кольцо и бугель. При этом двигатели
следящих систем, осуществляющих вращение внешнего кольца и
бугеля, можно расположить на корпусе подвеса, что представляет
известное удобство. Описанное устройство получило название
бикарданова подвеса по той причине, что в нем бугель Б и
каретка К образуют с кинематической точки зрения второй карданов
подвес. Роль внешнего кольца этого подвеса играет сам бугель
Б, а внутреннего — каретка К. Оси внешних колец основного и
вспомогательного кардановых подвесов оказываются
перпендикулярными друг другу и, следовательно, расположенными так,
как внешние кольца подвесов, изображенных на рис. 3, α и 3, б.
Вследствие этого становится ясной необходимость в подшипнике П.
Действительно, при качке корабля каретка К и внутреннее
кольцо основного подвеса должны поворачиваться одно
относительно другого как раз на угол кардановой ошибки.
В отличие от простейших кардановых подвесов бикардановы
подвесы не требуют при установке на палубе корабля упомяну-
* Карданова ошибка была впервые вычислена методом сферической
тригонометрии Г. В, Чеховичем.

\
22 ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
того в предыдущем параграфе согласования осей. Пусть
внутреннее кольцо одного бикарданова подвеса стабилизировано в
горизонтальной плоскости и зарегистрированы углы поворота его
внешнего кольца и бугеля. Воспроизведем (посредством следящих
систем) эти углы на некотором другом бикардановом подвесе.
Плоскость внутреннего кольца последнего окажется, разумеется,
в горизонте, если оси внешних колец обоих подвесов будут
параллельны. Развернем теперь второй подвес на палубе на 90° и угол
поворота его бугеля сделаем равным углу поворота внешнего
кольца первого подвеса. Затем осуществим равенство углов
поворотов внешнего кольца и бугеля соответственно первого и
второго подвесов. При надлежащем выборе направлений упомянутых
поворотов плоскость внутреннего кольца второго подвеса, как
будет доказано ниже, вновь окажется в горизонте. В случае же
совместной работы двух простейших подвесов оси их внешних
колец необходимо располагать параллельно друг другу. В самом
деле, если эти оси перпендикулярны и углы поворотов внешнего
и внутреннего колец одного подвеса будут равньд соответственно
углам поворотов внутреннего и внешнего колец второго подвеса
(с правильным выбором их направлений), то плоскости
внутренних колец в общем случае окажутся не параллельными. Чтобы они
все же оказались параллельными, упомянутые углы должны быть
связаны соотношениями типа (1.1.9).
Перейдем теперь к обоснованию указанного свойства бикарда-
новых подвесов. Введем систему координат xyz, связанную теперь
с корпусом одного из бикардановых подвесов. Поместим ее начало
в геометрический центр бикарданова подвеса — точку
пересечения осей бугеля и внешнего кольца; в этой точке находится также

§ 2. БИКАРДАНОВ ПОДВЕС
23
центр дуги бугеля, и через нее же проходят ось внутреннего
кольца и ось стержня С. Направим ось χ по оси бугеля и ось у по оси
«шедшего кольца (на рис. 7 ось ζ не указана). За исходное
положение внешнего кольца примем такое, при котором его плоскость
совпадает с плоскостью ху. Угол поворота внешнего кольца от
исходного положения обозначим через Φ и будем считать, что ϋ1 > О
при повороте этого кольца против стрелки часов при регистрации
иращения со стороны положительного направления оси г/. В свою
очередь будем считать, что в исходном положении бугеля его
плоскость и плоскость ху взаимно перпендикулярны. Угол пово- \
рота бугеля от исходного положения обозначим через 0, считая,
что 0 ^> О, если бугель отклонится влево при наблюдении за ним
со стороны положительной части оси х. При # = 0 каретка К
оказывается в середине бугеля; а если одновременно ί =0 и
φ = 0, то плоскость внутреннего кольца подвеса совмещается с
плоскостью ху.
Расположим корпус бикарданова подвеса на корабле так,
чтобы плоскость ху была параллельна палубе, а ось у — продольной
оси корабля. Если теперь стабилизировать плоскость внутреннего
кольца бикарданова подвеса в горизонте, то углы ί и 0, подобно
углам θ и ψ первого карданова подвеса (см. рис. 3, α и 4) или
углам Θ* и ψ* второго подвеса (см. рис. 3, б и 5), будут определять
положение палубы корабля относительно горизонтальной
плоскости (разумеется, при стабилизации внутренних колец этих
обоих простейших подвесов в горизонте). Углы 0 и #,
регистрируемые бикардановым подвесом, в морском деле обычно называются
соответственно углами килевой и бортовой качки. Выясним, как
связаны эти углы с введенными выше дифферентом корабля ψ и
его креном Θ. Первый карданов подвес (см. рис. 3, а) идентичен
части бикарданова подвеса, состоящей из внешнего и внутреннего
колец (см. рис. 7). Положительному крену корабля θ
соответствует поворот внешнего кольца первого подвеса относительно
палубы по часовой стрелке, если смотреть с носа корабля (его
правый борт опускается). Вместе с тем при положительном значении
угла бортовой качки Φ внешнее кольцо бикарданова подвеса имеет
поворот от исходного положения против стрелки часов. Отсюда
следует
Φ =-θ, (1.2.1)
т. е. угол бортовой качки и крен корабля, согласно их
определению, численно равны друг другу, но противоположны по
знаку.
Угол килевой качки 0 характеризует поворот бугеля от его
исходного положения (перпендикулярного к плоскости ху> а
теперь и к палубе) в такое, при котором ось стержня С, постоянно
содержащаяся в плоскости бугеля, принимает вертикальное по-

24
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
ложение. Точно на такой же угол, но обозначенный выше через ψ*,
поворачивается внешнее кольцо второго карданова подвеса (см.
рис. 3, б), если его внутреннее кольцо оказывается
горизонтальным. Действительно, плоскость χ]ζ\, проходящая через ось х\
перпендикулярно к плоскости х\у\ внешнего кольца этого подвеса
(см. рис. 5), всегда содержит перпендикуляр к плоскости
внутреннего кольца (ось ζ*), τ. е. вертикальную прямую.
Следовательно, плоскость χ\ζ\ ориентирована так же, как и плоскость бугеля.
Так как положительным углам 0 и ψ* соответствуют повороты
бугеля и внешнего кольца второго подвеса в одну и ту же
сторону, то
φ = φ*. (1.2.2)
Согласно равенствам (1.2.1), (1.2.2) и второй формуле (1.1.9),
получаем соотношение
tg0 = tg ψ sec ft, (1.2.3)
позволяющее исключить из таблицы (1.1.4) тригонометрические
функции угла ψ. Как нетрудно проверить, из соотношения (1.2.3)
следуют формулы
1 1
sin ψ = -^-sin0 cos Ф, cos ψ = -o-cos0, (1.2.4)
в которых введено обозначение
R = /1 — sin2 φ sin2 ft. (1.2.5)
Величина радикала R при небольших значениях углов 0 и θ
весьма близка к единице. Если, например, φ ==■ 7° и ft = 15°, то
R = 0,99950.
Учитывая формулы (1.2.4) и равенство (1.2.1), таблицу (1.1.4)
можно представить в виде
χ у ζ
ξ cos ft 0 — sin ft
η -д- sin 0 sin ft cos ft -^-cos0 -д-sin 0 cos2 ft (1.2.6)
ζ -β- COS 0 Sin ft -jT Sin 0 COS ft -ττ- COS 0 COS ft.
Последняя таблица содержит выраженные через углы килевой
и бортовой качки φ и ft косинусы углов между осями систем
координат xyz и ξηζ, связанных соответственно с корпусом бикар-
данова подвеса и с его внутренним кольцом. Нетрудно проверить,
что в соответствии с таблицей (1.2.6) при φ = ,ft = 0 оси систем
координат ξηζ и xyz соответственно совпадают.
Величины 0 и θ (с точностью до знака) входят в выражения
для косинусов углов оси ζ с осями х, у и ζ в таблице (1.2.6) сим-

§ 2. БИКАРДАНОВ ПОДВЕС
25
метрично. Вследствие этого, если корпус бикарданова подвеса
развернуть вокруг оси ζ на 90° против стрелки часов (рис. 8) и
затем повернуть бугель на угол
ф' = О, (1.2.7)
а внешнее кольцо — на угол
О' = -0, (1.2.8)
то плоскость внутреннего кольца подвеса вновь окажется
горизонтальной. В самом деле, обозначим через ξ'η'ζ' и x'y'z' системы
координат ξηζ и xyz в их новой ориентации после поворота
корпуса подвеса на 90° и поворотов бугеля и внешнего кольца от
исходных положений последних соответственно на углы ф' и О'.
Чтобы получить таблицу косинусов углов между осями этих
систем, очевидно, достаточно все обозначения в таблице (1.2.6)
сопроводить штрихами. Получим
X'
V cos-θ'
η' -ψ sin φ' sin 0' cos 0'
ζ' -ψ cos 0' sin θ'
где
У
0
1 ^
~йг COS 0
— -JTJ- sin 0' cosd'
ζ'
— sin 0'
•ψ sin 0' cos2 Φ'
1
•H7 COS 0' COS #',
i?' = /1 - sin2 0' sin2 #'. (1.2.10)
Заменим теперь в таблице (1.2.9) на основании равенств (1.2.7) и
(1.2.8) ф' и О' соответственно на # и — 0 и заметим, что при этом
в согласии с (1.2.5)
К = R. (1.2.11)
Имеем
х' У' *
ξ' cos 0 0 sin 0
η' η? sin 0 cos 0 sin θ -^-cos,& -^- cos2 0 sin Φ (1.2.12)
ζ' —-й-Sin 0 COS * — -jr COS 0 Sin # -ТГ- COS0COS'&.
Используя теперь таблицу косинусов углов между осями систем
координат x'y'z' и xyz (см. рис. 8)
(1.2.13)
х'
У'
ζ'
X
0
— 1
0
У
1
0
0
Ζ
0
0
1,

26
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
Рис. 8
Рис. 9
построим таблицу косинусов углов между осями систем
координат ξ'η'ζ' и xyz, а именно,
χ
О
У *
ξ' 0 cos0 sin0
η' —-й-cos Φ -тг sin φ cos 0 sin* -д-cos2 0 sin # (1.2.14)
ζ' -тг cos 0 sin Φ 7^-sin0cosi
-jT COS 0COS1
Последняя определяет ориентацию внутреннего кольца
повернутого бикарданова подвеса по отношению к исходному положению
его корпуса.
Из совместного рассмотрения таблиц (1.2.14) и (1.2.6) видно, что
косинусы углов, которые образуют оси ζ и ζ' с осями х, у и ζ9
соответственно равны. Следовательно, эти оси параллельны и
плоскость ξ'η' горизонтальна. Тем самым свойство бикарданова
подвеса сохранять горизонтальность плоскости внутреннего
кольца при повороте его корпуса на 90° доказано. Разумеется, при
этом величины углов поворотов бугеля и внешнего кольца
меняются местами в соответствии с формулами (1.2.7) и (1.2.8). Тот же
результат можно получить и чисто геометрическим путем, если
заметить, что при горизонтальном расположении внутреннего
кольца бикарданова подвеса углы φ и ϋ являются мерами
двугранных углов соответственно между вертикальными плоскостями,
проходящими через оси χ и г/, и плоскостями χζ и yz.
Нетрудно убедиться, что при одновременном неравенстве нулю
углов 0 и Φ оси ξ' и η' не будут перпендикулярными
соответственно осям ξ и η. Действительно, в силу таблиц (1.2.6) и (1.2.14)

§ 3. О ВЗАИМНОМ ВРАЩЕНИИ ДВУХ ПЛОЩАДОК ПРИ КАЧКЕ 27
имеем
cos ξξ' = cos \х cos x\' + cos ly cos г/ξ' + cos \z cos z\' =
= —sin 0sin θ. (1.2.15)
С другой стороны (рис. 9),
sin χ - cos If. (1.2.16)
Следовательно,
sin χ = —sin φ sin #. (1.2.17)
Если здесь заменить, согласно формулам (1.2.1) и (1.2.2), углы
Φ и φ соответственно на —Θ и ψ*, то в результате вновь придем
к формуле для кардановой ошибки (1.1.12).
§ 3. О взаимном вращении двух стабилизированных площадок
при качке корабля
В первом параграфе настоящей главы было показано, что если
на качающемся корабле расположены два кардановых подвеса
таким образом, что оси их внешних колец параллельны палубе и
перпендикулярны друг другу, а плоскости внутренних колец
стабилизированы в горизонте, то внутренние кольца этих
подвесов при качке корабля будут иметь вращение одно относительно
другого. Соответствующий угол поворота определяется
посредством точной формулы (1.1.13) или при помощи приближенных
(1.1.14) и (1.1.15). В настоящем параграфе решается аналогичный
вопрос для случая, когда оси у и у' внешних колец двух
кардановых подвесов образуют друг с другом произвольный угол φ
{рис. 10).
Итак, пусть оси внешних колец двух кардановых подвесов
параллельны палубе корабля (или какой-либо другой плоскости,
связанной с подвижным объектом). Обозначим через х, у и ζ оси
системы координат, связанной с корпусом первого подвеса, и
через х' ,у ж ζ' — оси системы, принадлежащие корпусу второго
подвеса. Плоскости ху и х'у' параллельны палубе, а оси ужу, как
уже упоминалось, являются осями их внешних колец. Далее
обозначим через ξ, η и ζ оси системы координат, связанной с
внутренним кольцом первого подвеса и совпадающие соответственно
с осями х, у и ζ в исходном положении этого подвеса, т. е. когда
плоскости внешнего и внутреннего колец параллельны плоскости
палубы или, что то же, плоскости ху.
Обозначим через Θ угол поворота внешнего кольца первого
подвеса от его исходного положения. Как было принято в § 1,
полагаем, что Θ >> 0 при повороте внешнего кольца из исходного
положения по часовой стрелке (если смотреть на него со стороны

28
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
Рис. 10 Рис. 11
положительного направления оси у, см. рис. 4). Угол поворота
внутреннего кольца относительно внешнего обозначим через ψ,
считая ψ > О при повороте этого кольца против часовой стрелки
относительно внешнего кольца (если наблюдать за вращением
со стороны положительного направления оси ξ).
Таблица косинусов углов между осями систем координат ξηζ
и xyz имеет тот же вид, что и таблица (1.1.4), а именно:
χ у ζ
ξ cos θ 0 sin θ
η —sin θ sin ψ cos ψ cos θ sin ψ (1.3.1)
ζ — sin θ cos ψ — sin ψ cos θ cos ψ.
Наряду с системой координат x'y'z, связанной с корпусом
второго карданова подвеса, введем систему ξ'η'ζ', связанную с его
внутренним кольцом, и через ΘΉ я|/ обозначим углы поворотов
соответственно внешнего и внутреннего колец, сохранив для них
те же правила знаков, что и для углов θ и ψ.
Аналогично (1.3.1) составляется таблица косинусов углов
между осями систем координат ξ'η'ζ' и x'y'z. Имеем
хг Уг ζΓ
lr cos ΘΓ 0 sin θ'
ηΛ —sin θ'sin ψ' cos ψ' cos θ'sin ψ' (1.3.2)
ζΓ — sin θ' cosij/ —sin ψΛ cos θ'cos ψ'.

§ 3. О ВЗАИМНОМ ВРАЩЕНИИ ДВУХ ПЛОЩАДОК ПРИ КАЧКЕ 29
Как было упомянуто выше, плоскости ху и х'у' параллельны,
а угол между осями у и у' или, что то же, между осями χ и х'
равен некоторой заданной величине φ (см. рис. 10). Поэтому
таблица косинусов углов между осями систем xyz и х'у'ζ такова:
х' У' ζ
х cos φ sin φ 0
у — sin φ cos φ 0 (1.3.3)
ζ 0 0 1.
Плоскости ξη и ξ'η' внутренних колец обоих подвесов, согласно
условиям задачи, также параллельны. Обозначим через σ
неизвестный пока угол между осями ξ и ξ' (рис. 11). Таблица
косинусов углов между осями систем координат ξηζ и ξ'η'ζ'
аналогична таблице (1.3.3), именно:
ΐ η' ζ'
ξ cos σ sin σ 0
η — sin σ cos σ 0 (1.3.4)
ζ 0 0 1.
Очевидно, что если θ = ψ = 0, το σ = φ и, разумеется, θ' = я|/ =
= 0. Действительно, при этом оси систем координат ξηζ и xyz,
а также ξ'η'ζ' и χ'у ζ' соответственно параллельны.
При углах θ и ψ, отличных от нуля, угол σ не равен углу φ;
разность
χ = а - φ (1.3.5)
является величиной дополнительного поворота внутреннего
кольца второго подвеса относительно первого (по стрелке часов,
если χ >0, а наблюдение за вращением ведется сверху).
Задачей дальнейшего является отыскание величины χ как
функции углов θ, ψ и φ. Углы θ и ψ, относящиеся к первому
подвесу, однозначно определяются как функции Θ', г|/ и φ.
Поэтому при необходимости можно найти выражение угла χ
и через углы Θ', г|/ и φ.
Для решения поставленной задачи построим двумя способами
таблицу косинусов углов между осями систем координат ξηζ
и х'у'ζ'', один раз используя для этой цели таблицы (1.3.3) и
(1.3.1), а другой — соответственно таблицы (1.3.4) и (1.3.2).
Имеем, например, исходя из таблиц (1.3.3) и (1.3.1)
cos v\y' = cos цх cos ху + cos цу cos yyr + cos y\z cos zy' =
= —sin θ sin ψ sin φ + cos ψ cos φ, (1.3.6)

30 ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
а на основании таблиц (1.3.4) и (1.3.2)
cos ϊ]ϊ/' = cos ηξ' cos ξ'*/'+ cosr]r]' cos η'ι/' + °os ηζ' cos ζ'ϊ/' =
= cosoj/ cos σ. (1.3.7)
В результате получаем искомую таблицу в двух следующих
видах:
х' у' ζ1
ξ cos θ cos φ cos θ sin φ sin θ
η —sin θ sin ψ cos φ— —sin 6sini|)sin φ + cos θ sin ψ
— cos ψ sin φ + cos ψ cos φ
ζ — sin θ cosip cos φ + — sin θ cosij) sin φ — cos θ cos ψ
+ sinifsinq) —sin ψ cos φ (1.3.8)
и
xf у' ζ'
ξ —sin θ' sin ψ' sin б + cos ψ'sin б cos θ'sin ψ'sin σ +
+ cos θ' cos б + sin θ' cos σ
η —sin θ'sin ψ'cos σ— cos ψ' cos σ cos θ'sin ψ'cos б —
— cos θ'sin σ — sin θ' sin б
ζ — sin6'cosi|/ — sin\|/ cosB'cos^'.
(1.3.9)
Сравнивая в таблицах (1.3.8) и (1.3.9) косинусы углов между
осью ζ и осями х\ у' и ζ'', получаем три равенства:
—sin θ cos ψ cos φ + sin ψ sin φ = —sin θ' cos ψ';
—sin θ cos ψ sin φ — sin ψ cos φ = —sinψ'; (1.3.10)
cos θ cos ψ = cos θ' cos я|/,
каждое из которых является следствием двух остальных. Эти
равенства позволяют, в частности, вычислить углы Θ' и о|/ по
заданным углам θ, ψ и φ.
Если считать углы θ и ψ, а следовательно, и углы Θ' и я|/ малыми
величинами, то вместо первых двух точных равенств (1.3.10)
получаем следующие приближенные формулы:
Θ' = θ cos cp — ψ sin φ; я|/ = θ sin φ + ψ cos φ, (1.3.11)
справедливые с точностью до членов второго порядка
относительно 6 и ψ включительно. Сравнивая далее в таблицах (1.3.8)
и (1.3.9) косинусы углов между осями ξ и у , получаем соотношение
cos θ sin φ = cos я|/ sin σ, (1.3.12)

§ 3. О ВЗАИМНОМ ВРАЩЕНИИ ДВУХ ПЛОЩАДОК ПРИ КАЧКЕ 31
посредством которого по известным углам φ, θ и if' можно
определить точное значение угла σ между осями ξ и ξ' (или, что то же,
между осями η и η').
Заметим, что с точностью до членов второго порядка
включительно относительно углов θ и ψ' имеем
-£^г=1-4-62+4-^2· (!·3·13)
cos ψ 2 ' 2 т ν '
Поэтому, согласно соотношению (1.3.12), с той же точностью
sina = (l — у θ2 + у Ψ'2) sin φ. (1.3.14)
Отсюда следует, что угол σ отличается от угла φ на величину
второго порядка относительно θ и я|/. В соответствии с формулой
(1.3.5) тот же порядок имеет угол χ, τ. е. разность углов απφ,
и с той же точностью справедливо равенство
sin σ = sin (φ + χ) = sin φ + χ cos φ. (1.3.15)
Сравнивая равенства (1.3.14) и (1.3.15), получаем
χ cos φ = у (ψ'2 — θ2) sin φ. (1.3.16)
Подставим в это соотношение вместо величины ψ' ее выражение
через θ, ψ и φ, согласно второй формуле (1.3.11). После очевидных
упрощений приходим к окончательной формуле
χ =~(ψ2 — θ2) sin 2φ + θ ψ sin2 φ, (1.3.17)
представляющей решение поставленной задачи.
Пусть, например, θ = 15°, ψ = 7°, φ = — 45°. При этих числовых данных,
производя вычисления по формуле (1.3.17), получаем χ = 0,02940 (1°41, 1').
Если же произвести вычисления с использованием точных соотношении
(1.3.10) и (1.3.12), то для угла σ получится значение 0,75618 (43°19,5'), а для χ
в соответствии о формулой (1.3.5) значение 0,02922 (1°40,5#).
При φ = π/2, т. е. при расположении осей внешних колец
обоих кардановых подвесов под прямым углом друг к другу,
формула (1.3.17) приводится к виду
χ = θψ (1.3.18)
и, как и следовало ожидать, совпадает с формулой кардановой
ошибки (1.1.14), полученной в § 1 настоящей главы.
Формулы типа (1.3.17) встречаются при решении ряда задач по
определению ориентации объектов. Это означает, что путем
надлежащим образом связанных с объектом воображаемых
кардановых подвесов подобные задачи сводятся к только что
рассмотренной (см., например, § 1 гл. III).

32
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
§ 4. Ошибки, возникающие при регистрации крена,
дифферента и курса
из-за неточности монтажа кардановых подвесов
В соответствии с изложенным в § 1 настоящей главы для
непосредственной регистрации крена, дифферента и курса корабля или
какого-либо иного подвижного объекта на нем следует
расположить карданов подвес, плоскость внутреннего кольца которого
должна удерживаться в горизонте. Корпус подвеса необходимо
монтировать так, чтобы ось внешнего кольца была параллельна
продольной оси корабля, а плоскость основания корпуса
параллельна его палубе. Свяжем, как и в § 1, с корпусом подвеса
систему координат xyz (рис. 12) с началом в геометрическом центре
подвеса. Ось у этой системы направим по оси внешнего кольца
подвеса, и пусть плоскость ху — параллельна основанию
корпуса. С внутренним кольцом в свою очередь свяжем систему
координат ξηζ; оси ξ и η этой системы расположим в
горизонтальной плоскости внутреннего кольца таким образом, чтобы
вокруг оси ξ происходил поворот внутреннего кольца
относительно внешнего. Напомним, что угол θ между осью ξ и осью χ
является креном корабля, а угол между осями η и у — его
дифферентом; при крене на правый борт угол θ положителен; при
положительном дифференте ψ нос корабля опущен, а корма
приподнята; курс корабля κ отсчитывается по стрелке часов от
направления на север до оси η — курсовой черты корабля (рис. 13).
Расположим на корабле второй карданов подвес той же
конструкции и с таким же расположением корпуса, как и у только
что описанного. Обозначим через x'y'z и ξ'η'ζ' системы
координат, аналогичные системам xyz и ξηζ и связанные соответственно
с корпусом и внутренним кольцом второго подвеса. Практически
невозможно смонтировать второй подвес так, чтобы его основание
было строго параллельно основанию первого подвеса и чтобы
были также строго параллельными оси их внешних колец. В
частности, одной из причин этого является упругая податливость
самого подвижного объекта.
Если удерживать плоскость ξ'η' внутреннего кольца в
горизонте, то посредством второго подвеса можно в свою очередь
измерить крен, дифферент и курс корабля. Очевидно, что их величины
Θ', ψ' и κ' из-за углового смещения корпусов подвесов друг
относительно друга в общем случае будут отличаться от величин Θ,
ψ и κ — крена, дифферента и курса, регистрируемых при помощи
первого подвеса. Нетрудно видеть (см. рис. 13), что разность
γ =κ' _κ (1.4.1)
представляет собой угол между осями η и η', соответственно
связанными с осями внутренних колец первого и второго подвесов.

§ 4. ОШИБКИ ИЗ-ЗА НЕТОЧНОСТИ МОНТАЖА ПОДВЕСОВ 33
Рис. 12 Рис. 13
Мерой взаимного углового смещения двух корпусов кардано-
вых подвесов могут служить значения углов Э',г|/ и γ, имеющих
место при совпадении плоскости ξη внутреннего кольца первого
подвеса с плоскостью ху, параллельной основанию его корпуса,
т. е. при θ — ψ — 0. Обозначим их соответственно через θ°, ψ°
и γ°. Они определяют конечный поворот корпуса второго подвеса,
который надо совершить вокруг некоторой прямой, чтобы оси
связанной с ним системы координат x'y'z оказались
параллельными одноименным осям системы χψ, относящейся к корпусу
первого подвеса. Этот конечный поворот является итогом трех
следующих один за другим конечных поворотов (рис. 14) корпуса
второго подвеса: сначала по стрелке часов на угол Θ0 вокруг
оси у\ в результате ось х' окажется параллельной плоскости ;гг/,
связанной с первым подвесом; затем против стрелки часов на угол
ψ° вокруг нового положения оси х', после чего ось ζ станет
параллельной оси ζ первого подвеса; наконец, против стрелки
часов на угол γ° вокруг этого нового положения оси ζ'. Таким
образом оси х\ у' и ζ окажутся параллельными осям х, у и ζ, и угловое
смещение второго подвеса относительно первого будет устранено.
Обратимся теперь к выводу соотношений, посредством которых
величины Θ', ψ' и κ' можно определить по заданным значениям
θ, ψ и κ, а также θ°, ψ° и γ°. Таблица косинусов углов между осями
систем координат ξηζ и xyz, относящихся к первому подвесу,

34
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
Рис. 14
имеет тот же вид, что и таблица (1.1.4), приведенная в первом
параграфе настоящей главы, т. е.
η
χ у
cos θ 0
sin θ sin ψ cos ψ
sin θ cos ψ — sin ψ
ζ
sin θ
cos θ sin ψ
cos θ cos ψ.
(1.4.2)
Аналогичный вид имеет таблица косинусов углов между осями
систем координат x'y'z и ξ'η'ζ', связанных соответственно с
корпусом и внутренним кольцом второго подвеса,
х' У ζ'
I' cos θ' 0 sin θ'
η' — sin θ' sin ψ' cos ψ' cos ΘΓ sin ψ'
ζ' — sin θ' cos ψ' — sin ψ' cos θ' cos ψ'.
(1.4.3)
Оси ζ и ζ' обе вертикальны и, следовательно, параллельны.
Поэтому (см. рис. 13) таблица косинусов углов между осями
систем координат ξηζ и ξ'η'ζ' имеет вид
V η' V
ξ cos γ sin γ О
η —sin γ cosy 0 (1.4.4)
ζ 0 0 1.

§ 4. ОШИБКИ ИЗ-ЗА НЕТОЧНОСТИ МОНТАЖА ПОДВЕСОВ 35
Здесь γ — введенный' выше угол между осями η и η' (или, что
то же, между осями ξ и ξ').
По данным таблиц (1.4.3) и (1.4.4) можно построить следующую
таблицу косинусов углов между осями систем координат ξηζ
и x'y'z:
х' у' ζ
ξ —sin θ' sin ψ' sin γ -f- cos ψ'sin γ cos θ'sin ψ'sin γ +
+ cos θ' cos γ -f- sin θ' cos γ
η —sin θ'sin ψ'cos γ— cos ψ'cosy cos θ'sin ψ'cosy —
— cos θ' sin γ — sin θ' sin γ
ζ — sin θ' cos ψ' — sin ψ7 cos θ' cos ψ'.
(1.4.5)
Пусть теперь положение корабля таково, что углы θ и ψ
одновременно обращаются в нуль. В этом случае оси систем
координат ξηζ и xyz соответственно совпадают друг с другом, а углы
θ', ψ' и γ, как было указано выше, принимают значения Θ0, if>° и
γ°. Поэтому таблица косинусов углов между осями систем xyz и
x'y'z может быть получена из таблицы (1.4.5) простым
изменением обозначений ξ, η, ζ соответственно на χ, τ/, ζ и θ', я|/, γ на
θ°, ψ°, γ°. Имеем
χ9 у' ζ'
χ — sin6°sini|;0sinY04 cos ψ° sin γ° coseosin\|?0sin7°+
+ cos θ° cos γ° + sin θ° cos γ°
у —sinθ°sinψ°cosy0— cosψ° cosy0 cos θ°sinψ° cosγ° —
— cos Θ0 sin γ° — sin Θ0 sin γ°
ζ — sin θ° cos ψ° — sin ψ0 cos θ° cos ψ°.
(1.4.6)
Согласно таблице (1.4.3),
cos ζ'#' = —sin ψ7. (1-4.7)
Однако ось ζ'параллельна оси ζ, и, следовательно,
cos £V= cos ty' = cos ζχ cos xy' -\· cos ζy cos yy' + cos ζζ cos zy'.
(1.4.8)
Используя теперь данные таблиц (1.4.2) и (1.4.6), получаем
sin ψ' =sin θ cos ψ cos ψ° sin 7°+sin ψ cos ψ° cos γ°+ cos θ cos ψ sin ψ°.
(1.4.9)
Аналогично
cos ζ'χ' = —sin θ' cos ψ' (1.4.10)
и
cos ζ'z' ==■ cos ζχ' = cos ζχ cos xx1-f- cos ζy cos yx'-\- cos ζζ cos zx',
(1.4.11)

36 ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОЕ
вследствие чего
sin θ' cos ψ' = sin θ cos ψ (cos θ° cos γ° — sin θ° sin ψ° sin γ°) +
+ sin ψ (— cos θ° sin γ° — sin θ° sin ψ° cos γ° ) +
+ COS θ COS ψ Sin θ° COS ψ°. /л ζ л 2)
Соотношения (1.4.9) и (1.4.12) позволяют последовательно
определить углы Θ' и ψ' по данным величинам θ, ψ, θ0* ψ° и γ°. Для
отыскания угла γ примем во внимание, что, согласно таблице
(1.4.5),
cos ι/'ξ = cos ψ' sin γ. (1.4.13)
С другой стороны,
cos г/'ξ = cos у'χ cos x\ + cos y'y cos г/ξ + cos y'z cos ζξ. (1.4.14)
Таким образом, учитывая данные таблиц (1.4.2) и (1.4.6),
получаем
cos я|/ sin γ = cos θ cos ψ° sin γ° — sin θ sin ψ°. (1.4.15)
Отсюда можно определить угол γ, если предварительно найти
угол ψ' из соотношения (1.4.9). Для нахождения величины κ'
следует теперь воспользоваться формулой (1.4.1).
При наличии на корабле двух совместно работающих карда-
новых подвесов обычно производят так называемое согласование
шкал. Именно в качестве крена, дифферента и курса корабля,
регистрируемых вторым подвесом, принимаются величины Θ', я|/
и κ', уменьшенные на θ°, ψ° и γ° (τ. е. на те значения, которые
Θ', ψ' и κ' принимают при θ = ψ =0). Соответственно разности
Θ* - θ' _ θ°, ' ψ* - ψ' - ψ°, κ* = κ' — γ° (1.4.16)
именуются в этом случае креном, дифферентом и курсом
корабля, регистрируемыми вторым кардановым подвесом после так
называемого согласования его шкал со шкалами первого подвеса.
При одновременном равенстве нулю крена θ и дифферента ψ,
измеряемых на первом подвесе, величины Θ* и ψ* также обращаются
в нуль, ибо, как только что указывалось, в этом случае величины
Θ' и я|/ сами принимают значения Θ0 и ψ°. Что же касается
величины κ*, то в силу третьего равенства (1.4.16) и равенства (1.4.1)
(в котором следует заменить величину γ ее значением γ°) она
становится равной курсу корабля κ, измеряемому при θ = ψ = 0
посредством первого карданова подвеса. Если же θ° = ψ° = γ° = 0,
т. е. угловое смещение корпуса второго подвеса по отношению к
корпусу первого отсутствует, то θ*, ψ* и κ* соответственно
совпадают с Θ', я|/ и κ', а эти последние оказываются равными θ, ψ и
κ при любых углах крена Θ, дифферента ψ и, разумеется, курса

§ 4. ОШИБКИ ИЗ-ЗА НЕТОЧНОСТИ МОНТАЖА ПОДВЕСОВ 37
κ. В общем же случае, когда все величины θ, ψ, θ°, ψ° и γ° (или
хотя бы некоторые из них) отличны от нуля, крен Θ*, дифферент
ψ* и курс κ*, измеряемые посредством второго карданова подвеса
(после согласования шкал), как правило, несколько отличаются
от крена Θ, дифферента ψ и курса κ, измеряемых первым подвесом.
Разности
Δθ = Θ* — θ; Δψ = ψ* — ψ (1.4.17)
и
Δκ =κ* — к (1.4.18)
назовем ошибками в указании крена, дифферента и курса
корабля вторым кардановым подвесом из-за наличия перекоса его
корпуса ^несмотря на согласование шкал). При этом крен Θ,
дифферент ψ и курс κ, измеряемые посредством первого подвеса,
принимаются в качестве истинных.
В соответствии с изложенным выше ошибки Δθ, Δψ и Δκ
обращаются в нуль при произвольных значениях θ и ψ, если только
величины θ°, ψ° и γ° одновременно равны нулю, т. е. одноименные
оси систем координат xyz и x'y'z', связанных с корпусами
рассматриваемых кардановых подвесов, строго параллельны. Вместе с
тем упомянутые ошибки исчезают, как только одновременно
обращаются в нуль крен θ и дифферент ψ, каковы бы ни были
при этом значения θ°, ψ° и γ°. Следовательно, разложение ошибок
Δθ, Δψ и Дх в ряды по переменным θ, ψ, θ°, ψ° и γ° может
начинаться только с членов второго порядка и выше, содержащих
произведения переменных θ и ψ на величины θ°, ψ°, γ°. Таким
образом, если углы θ и ψ лежат в обычных пределах, т. е. далеки
от значений, равных π/2, то можно считать, что ошибки Δθ, Δψ и
Δκ имеют тот же (или более высокий) порядок, что и величины
θ°, ψ° и γ°. Принимая во внимание эти замечания, перейдем
теперь к построению приближенных формул для представления
ошибок Δθ, Δψ и Δκ в виде функций, аргументами которых
являются величины θ, ψ, θ°, ψ° и γ°. Сохраним сначала в соотношениях
(1.4.9), (1.4.12) и (1.4.15) лишь члены первого порядка в
разложении тригонометрических функций θ°, ψ° и γ° по степеням
аргументов. Получаем в результате приближенные соотношения
sin я|/ = sin ψ + ψ° cos θ cos ψ -f γ° sin θ cos ψ,
sin θ' cos ψ' = sin θ cos ψ + θ° cos θ cos ψ — γ° sin ψ,
cos ψ' sin γ = —ψ0 sin θ + γ° cos θ. (1.4.19)
В них, не уменьшая точности расчетов, можно (произведя
разложение в строку Тейлора) заменить sin γ величиной γ, sin я|/ суммой
sin ψ + (ψ' — ψ) cos ψ и аналогично поступить с тригономет-

38
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
рическими функциями cos ψ' и sin θ'. В результате простых
преобразований, вновь отбрасывая члены второго порядка
относительно величин Θ' — Θ, ψ' — ψ, θ°, ψ° и γ°, придем к формулам
ψ'_ ψ = ψ° cos θ + γ° sin θ,
θ'— θ = θ° + (ψ° sin θ — γ° cos θ) tg ψ, (1.4.20)
Τ = ^(-Ψ08ίηθ + γ0οο8θ).
В соответствии с равенствами (1.4.1), (1.4.16), (1.4.17), (1.4.18) имеем
θ' - θ = θ° + Δθ, ψ' - ψ = <ψ° + Δψ, γ = γ° + Δκ. (1.4.21)
Используя последние соотношения в формулах (1.4.20), приходим
к таким выражениям для ошибок Δθ. Δψ и Δκ:
Δθ = (ψ° sin θ — γ° cos θ) tg ψ,
Δψ = — ψ° (1 — cos θ) + γ° sin θ, (1.4.22)
Α , „ sin θ (ϊ ί Λ cos θ\
Δκ = — ψ° г — γ° 1 г ·
τ cos ψ ' \ cos ψ/
Если теперь в выражениях (1.4.22) разложить в ряды
тригонометрические функции аргументов θ и ψ и сохранить в них члены
не выше второго порядка, то получим следующие приближенные
формулы:
Δθ = ψ°θψ — γ°ψ,
Δψ =* γ°θ — j ψ°θ2, (1.4.23)
Δκ = — ψ°θ + \ γ° (ψ2 - θ2).
Пусть, например, θ° = ψ° = γ° = 0,5°; θ = 15°; ψ = 7°. Значения Δθ,
Δψ и Δκ, вычисленные по формулам (1.4.23), оказываются следующими:
Δθ = — 0,0007870 (—2,7'), Δψ = 0,001986 (6,8') и Δκ = — 0,002519 (— 8,7').
Расчет по более точным формулам (1.4.22) приводит практически к тем же
результатам, а именно: ΔΘ = — 0,0007577 (— 2,6'); Δψ = 0,001961 (6,7');
Δκ = — 0,002510 (— 8,6'). Если необходимо вычислить эти величины с еще
меньшей погрешностью, то, разумеется, следует обратиться непосредственно к
точным соотношениям (1.4.9), (1.4.12) и (1.4.15). Учитывая равенства (1.4.1),
(1.4.16), (1.4.17), (1.4.18), получим ΔΘ ='— 0,0007534 (—2,6'); Δψ = 0,001958
(6,7'); Δκ = — 0,002501 (— 8,6').
Задаваясь предельно допустимыми ошибками Δθ, Δψ и Δκ в
указании крена, дифферента и курса, можно, используя формулы

§ э. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В КАРДАНОВЫХ СИСТЕМАХ 39
(1.4.22) или (1.4.23), определить соответствующие предельные
значения θ°, ψ° и γ°, которые нельзя превышать при монтаже
корпуса второго подвеса по отношению к первому.
§ 5. Геометрические соотношения
в системе двух кардановых подвесов
В предыдущем параграфе были получены точные и
приближенные формулы, посредством которых можно сравнивать величины
крена, дифферента и курса корабля, регистрируемые двумя
идентичными кардановыми подвесами, корпусы которых имеют
произвольный (в частности, малый) перекос друг относительно друга,
а плоскости внутренних колец параллельны. В данном параграфе
с привлечением как аналитических, так и чисто геометрических
соображений, касающихся своеобразной «внутренней» геометрии
двух подвесов (с непараллельными осями их внешних колец),
исследуются вопросы структуры установленных ранее соотношений.
Изложение вопросов геометрии кардановых подвесов велось
главным образом применительно к морскому делу. Поэтому для
определенности предполагалось, что плоскости внутренних колец
подвесов (ξη и ξ'η') обе горизонтальны. Нетрудно заметить, что
такое предположение в ряде случаев было не существенным.
В настоящем параграфе достаточно считать упомянутые плоскости
лишь параллельными. Однако теперь угол поворота внешнего
кольца каждого карданова подвеса относительно своего корпуса,
а также угол поворота внутреннего кольца относительно
внешнего, т. е. величины θ и θ', ψ и ψ' перестают быть креном и
дифферентом в собственном значении этих терминов. То же относится
к углам κ и κ', каждый из которых ранее трактовался как
курс корабля, т. е. как угол между направлением на север и
курсовой чертой корабля — проекцией оси внешнего кольца на
плоскость внутреннего кольца соответствующего карданова
подвеса.
В общем случае вместо величин κ и κ' удобнее иметь дело
лишь с углом γ между осями ξ и ξ' параллельных внутренних
колец друг относительно друга. В случае, когда плоскости ξη и
ξ'η' горизонтальны, угол γ равен разности азимутов одного и
того же удаленного предмета Sy измеренных посредством
упомянутых кардановых подвесов. Под азимутом здесь понимается угол
между осью внутреннего кольца карданова подвеса и проекцией
на плоскость этого кольца луча, направленного к упомянутому
удаленному предмету S (угол α между осью ξ и прямой g, рис. 15).
Угол γ может быть назван углом азимутального рассогласования
или просто азимутальным рассогласованием двух кардановых
подвесов.

40
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
В силу соотношений (1.4.9), (1.4.12) и (1.4.15) предыдущего
параграфа величины θ', ψ' и γ можно определить через θ, ψ, θ°,
ψ" и γ° посредством равенств
sin ψ'— sin ψ cos ψ° cos γ° + cos ψ cos θ sin ψ° +
+ sin θ cos ψ cos ψϋ sin γ°,
ι
sinY= —— (cos θ cos ψ° sin γ° — sin θ sin ψ°), (1.5.1)
sin θ' = —-ρ [sin θ cos ψ (cos θ° cos γ° — sin θ° sin ψ° sin γ°) —
— sin ψ (cos θ° sin γ° + sin θ° sin ψ° cos γ°) + cos θ cos ψ sin θ° cos ψ°].
Напомним, что θ°, ψ0 и γ° — значения углов θ', я|/ и γ при θ =
= ψ = 0 (плоскости внутренних колец обоих подвесов
параллельны основанию первого корпуса).
Первые два равенства (1.5.1) не содержат величины Θ0, и,
следовательно, ни угол ψ', ни азимутальное рассогласование γ от Θ0
не зависят. Это на первый взгляд неожиданное обстоятельство
находит себе объяснение из следующих чисто геометрических
соображений.
Расположим на подвижном объекте наряду с рассмотренными
кардановыми подвесами еще один подвес, который назовем в
отличие от основных дополнительным. Пусть угловое
расположение внешнего и внутреннего колец этого дополнительного
подвеса по отношению к объекту не отличается от расположения
соответствующих колец второго основного подвеса. В этом случае
ось у% внешнего кольца дополнительного подвеса и ось у'
внешнего кольца второго подвеса будут параллельными друг другу,

5 К. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В КАРДАНОВЫХ СИСТЕМАХ 41
равно как окажутся параллельными оси ξ* и ξ', а также оси η*
и η', связанные с их внутренними кольцами. Отсюда следует, что
равны друг другу и углы ψ* и ψ' между плоскостями внешнего и
внутреннего колец этих подвесов. Далее, угол γ# азимутального
рассогласования дополнительного подвеса с первым основным кар-
дановым подвесом не будет отличаться от угла γ азимутального
рассогласования основных подвесов. Что же касается корпуса
дополнительного подвеса, то он может быть повернут на
произвольный угол вокруг оси у% (т. е. оси его внешнего кольца,
параллельной оси у внешнего кольца второго подвеса) по отношению к
корпусу основного подвеса. В силу этого угол θ* между плоскостью
внешнего кольца дополнительного подвеса и плоскостью
основания его корпуса может произвольно отличаться от аналогичного
угла Θ', относящегося ко второму основному подвесу. Таким
образом,
ψ*=ψ', γ* = γ, (1.5.2)
но в общем случае
θ* φ θ'. (1.5.3)
Придадим теперь объекту такое угловое расположение, чтобы
плоскость ху системы координат xyz, связанной с корпусом
первого подвеса (эта плоскость параллельна плоскости основания
объекта), совпала бы с плоскостью ξη внутреннего кольца этого
подвеса. В соответствии с изложенным в предыдущем параграфе
углы Θ' и ψ', относящиеся ко второму подвесу, примут при этом
значения Θ0 и ψ°, а угол азимутального рассогласования станет
равным величине γ°. Обозначим соответствующие значения углов
θ*> ψ* и γ*, относящиеся к дополнительному подвесу, через θ°,
•ψ и γ° . Иа основании равенств (1.5.2) имеем
Ψ0*=Ψ°· Ϊ°*=Υ°> (1-5.4)
Однако в общем случае вследствие неравенства (1.5.3)
θ°* ^ Θ*. (1.5.5)
Итак, два кардановых подвеса — второй основной и
дополнительный — имеют различное угловое расположение корпусов
из-за неравенства величин Θ* и Θ0. Несмотря на это, у них
одинаковые углы между плоскостями внешнего и внутреннего колец
и одно и то же азимутальное рассогласование с первым основным
подвесом. Отсюда следует, что угол ψ' и азимутальное
рассогласование γ не должны зависеть от величины Θ0, что и находится
в полном согласии с первыми двумя формулами (1.5.1).
Рассмотрим вновь два кардановых подвеса, плоскости
внутренних колец которых по-прежнему строго параллельны друг
другу. Не изменяя положения корпуса второго подвеса, повернем на

42 ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
произвольный угол вокруг оси у внешнего кольца первого
подвеса его корпус. При этом внешние и внутренние кольца обоих
подвесов останутся на месте, и как следствие не изменится угол ψ
между внешним и внутренним кольцами первого подвеса.
Сохранят, разумеется, свои значения и углы Θ' и я|/, фиксируемые
вторым подвесом, а также угол γ азимутального рассогласования.
Вместе с тем угол Θ, определяющий положение корпуса первого
подвеса по отношению к его внешнему кольцу, будет теперь
иным. Казалось бы вследствие этого, что, вопреки формулам
(1.5.1), углы Θ', ψ' и γ не должны зависеть и от переменной Θ,
т. е. определяться лишь тремя параметрами ψ', ψ° и γ°. Такое
заключение, как будет показано ниже, справедливо лишь в
отношении числа параметров, определяющих углы ψ' и γ. В целом оно
ошибочно, так как величины θ°, ψ° и γ°, характеризующие
взаимное угловое расположение, подвесов после поворота первого
корпуса вокруг оси г/, будут иными. В самом деле, в результате этого
поворота положения обоих внутренних колец по отношению к
корпусу второго подвеса при θ = ψ = 0 изменятся.
Выясним теперь, от какого числа существенных
геометрических параметров, определяющих взаимное угловое расположение
подвесов, зависит угол азимутального рассогласования γ. Как
следствие первой и второй формул (1.5.1) имеем
cos θ cos яЬ° sin γ° — sin θ sin яЬ°
sin γ = г .
У 1 — (sin ψ соз ψ° cos T°+ cos ψ cos θ sin ψ°+ sin θ cos ψ cos ψ° sin γ0)2
(1.5.6)
Из структуры формулы (1.5.6) формально следует, что угол γ
является функцией четырех величин: θ, ψ, ψ° и γ°. Однако, как
будет показано ниже, угол γ вполне определяется заданием лишь
трех параметров, характеризующих своеобразную «внутреннюю»
геометрию системы двух кардановых подвесов, или, что то же,
взаимное расположение их внешних и внутренних колец. В
самом деле, зададим расположение друг относительно друга осей
внешних колец кардановых подвесов, представляющих собой две
скрещивающиеся прямые. Пусть задана также ориентация по
отношению к этому геометрическому образу внешнего и внутреннего
колец первого подвеса. Тогда тем самым из условия
параллельности плоскостей внутренних колец обоих подвесов, как нетрудно
убедиться, будет определено расположение внешнего и
внутреннего колец второго подвеса, а следовательно, и угла у. Число
параметров, определяющих всю описанную конфигурацию
четырех колец, равно трем. В самом деле, за такие параметры, в
частности, могут быть взяты: угол δ между скрещивающимися осями
внешних колец, некоторый угол ε, характеризующий положение
внешнего кольца первого подвеса по отношению к параллельным

§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В КАРДАНОВЫХ СИСТЕМАХ 43
Рис. 16 Рис. 17
плоскостям, содержащим упомянутые скрещивающиеся оси, и
угол ψ между плоскостями внутреннего и внешнего колец того же
подвеса. Что же касается параметров, определяющих угловое
расположение корпусов обоих подвесов по отношению к упомянутому
геометрическому образу, то от них угол азимутального
рассогласования γ совершенно не зависит. За независимые геометрические
параметры, которыми определяется угол γ, удобнее вместо углов
δ, ε и ψ взять любые три из четырех углов: δ, λ, μ и μ', вводимых
таким образом (рис. 16 и 17). Первый из них, т. е. б, является
углом между скрещивающимися осями ужу' внешних колец
рассматриваемых подвесов. Углы μ и μ' представляют собой наклон
параллельных осей ζ и ζ' соответственно к осям у и у'. Наконец,
угол λ образуется осью ζ (а также и ζ') и общим
перпендикуляром ρ к скрещивающимся осям уму' или, что то же,
перпендикуляром к параллельным плоскостям уу" и г/У", содержащим эти
оси. Углы δ, λ, μ и μ' характеризуют упомянутую выше
«внутреннюю» геометрию системы двух кардановых подвесов.
Перечисленные углы остаются неизменными при любых угловых
перемещениях корпусов подвесов, каждого — вокруг оси своего внешнего
кольца. Эти углы нельзя задавать произвольно, так как они
связаны одним соотношением, которое будет установлено в конце
настоящего параграфа. Заметим также (см. рис. 17), что угол μ
между осями ζ и у связан с углом ψ между осями η и у равенством
μ=-|-+ψ. (1.5.7)

44
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
В самом деле, оси ζ,η и у (см. рис. 17) лежат в одной плоскости,
перпендикулярной оси ξ (вокруг последней поворачивается
внутреннее кольцо первого подвеса относительно внешнего). По
совершенно аналогичным причинам имеем также
μ'=-*-+ψ\ (1.5.8)
Любые из двух пар углов λ и μ или λ и μ' определяют
расположение параллельных плоскостей ξη и ξ'η' по отношению к
геометрическому образу, состоящему из двух скрещивающихся осей
у и у . Действительно, скрещивающиеся прямые у и у' однозначно
определяют общий к ним перпендикуляр р. Ось ζ, параллельная
оси ζ', образует с этим перпендикуляром угол λ, а с осью у — угол
μ; тем самым направление оси ζ, а следовательно, и плоскости ξη
полностью определяется. Точно так же определяется направление
оси ζ (и тем самым и оси ζ') посредством углов λ и μ'.
Обозначим через Г, т! и п' косинусы углов, которые образует
ось у' с осями системы координат xyz (связанной с корпусом
первого карданова подвеса), и через I, т и η — косинусы углов оси у
с осями той же системы. В соответствии с таблицей (1.4.6) имеем
Г= cosif>° sin γ°, т! = cos ψ° cos γ°, η' = — sin ψ° (1.5.9)
и, разумеется,
I =0, m=l, n =0. (1.5.10)
Косинусы углов с осями системы координат xyz общего
перпендикуляра ρ к прямым у' я у с учетом принятых выше обозначений
представляются формулами аналитической геометрии
т'п — п'т n'l — Vn I'm — m'l
COS PX = : ; , COS Ш/ = —: — ι COS ϋΖ = : ; ,
r smyy ΓΌ sin у у x smyy
(1.5.11)
в которых
sin у'у = У {т'п — п'т)2 + (ηΊ - Vnf + (I'm — m'I)2 (1.5.12)
или, что то же,
sin y'y =/Ι — (Μ'+ тгои'-f пп')2. (1.5.13)
Используя в формулах (1.5.11) равенства (1.5.9), (1.5.10) и
учитывая, что ранее угол между осями у я у' был обозначен через δ,
имеем
sino|?° Λ cost|)°sinT° /л - л /ч
cospx = lmT> cos^ = °> cospz = i_—, (1.5.14)
где, согласно формуле (1.5.12) и тем же равенствам (1.5.9) и (1.5.10),

§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В КАРДАНОВЫХ СИСТЕМАХ 45
Заметим, что при ψ° = 0 и γ° > 0 угол δ становится равным углу
γ°. При этом ось у' лежит в плоскости ху, а перпендикуляр ρ
направлен по оси ζ.
Определим теперь косинус угла λ между прямой ρ и осью ζ.
Имеем
cos λ = cos ρ ζ = cospx cos ζχ + cospy cosZy + cospz cos ζζ.
(1.5.16)
Учитывая данные таблицы (1.4.2) и формулы (1.5.14), получим
л cos θ cos ψ cos ψ° sin γ0 — sin θ cos ψ sin ψ° (χ - .7,
COS Α — :—г · (1.0.1·)
sino ν '
Однако, согласно второй из формул (1.5.1),
sin θ sin ψ° — cos θ cos ψ0 sin γ° = — sin γ cos ψ'. (1.5.18)
Следовательно,
л sin γ cos ψ cos ψ7 /Л с ΛΓί.
cosX = ·—r-^ —. (1.5.19)
sin о v '
Отсюда, пользуясь равенствами (1.5.7), (1.5.8), получим искомое
представление угла азимутального рассогласования γ через
параметры δ, λ, μ и μ' в виде
sin δ cos λ /A г оА\
sinr-^- :—,. (1.5.20)
1 sin μ sin μ ν '
Заметим, что формула (1.5.20) может быть выведена и методами
сферической тригонометрии.
Как было упомянуто выше, величины углов δ, λ, μ и μ'
связаны одним соотношением. Его можно получить следующим образом.
Построим прямую q, одновременно перпендикулярную как к оси у
(рис. 18), так и к прямой р. Так как прямая ρ в свою очередь
перпендикулярна оси у, то тройку взаимно перпендикулярных
прямых р, q и у можно рассматривать как оси некоторой
вспомогательной системы координат. Проведем через начало этой
системы прямую у", параллельную оси у'. Последняя также
перпендикулярна прямой ρ и, следовательно, лежит в плоскости qy,
образуя в соответствии с теоремой об угле между
скрещивающимися прямыми угол δ с осью г/. Поэтому косинусы углов оси у'
с осями системы координат pqy выражаются следующим образом:
cos у ρ = 0, cos y'q = sin δ, cos у у = cos δ. (1.5.21)
Для дальнейшего необходимы выражения для косинусов углов
оси ζ (а также параллельной ей оси ζ') с осями той же системы
pqy. Представим их в форме
cos ζρ = cos λ, cos tq = cos ν, cos t,y = cos μ, (1.5.22)

46
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
Рис. 18
где λ и μ — введенные ранее
углы, которые образует ось ζ
соответственно с прямой рис
осью у, a v — пока неизвестный
угол между осью ζ и прямой д.
Формулы (1.5.21) и (1.5.22)
позволяют получить следующее
выражение для косинуса угла
между осями г/' и ζ:
cos у ζ = cos у'ρ cos ζρ +
+cos y'q cos tq + cos у'у cos ζ*/ =
= sin δ cos ν + cos δ cos μ.
(1.5.23)
Однако угол между осями у' и
ζ был ранее обозначен через
μ'. Учитывая это
обстоятельство, согласно формуле (1.5.23),
получаем
cos μ' — cos ό cos μ
COS V = ■
(1.5.24)
С другой стороны, косинусы углов λ, ν и μ оси ζ со взаимно
перпендикулярными прямыми р, q и осью у должны удовлетворять
известному соотношению аналитической геометрии
cos2 λ + cos2 v + cos2 μ = 1. (1.5.25)
Учитывая здесь формулу (1.5.24) для cos v, приходим после
простых преобразований к искомой зависимости между углами δ,
λ, μ и μ', а именно
sin2 δ sin2 λ = cos2 μ + cosV — 2 cos μ cos μ' cos δ. (1.5.26)
Теперь формула (1.5.20) может быть представлена в виде
βιηγ
cos2 ό — cos2 μ — cos2 μ' -f- 2 cos μ cos μ' cos 6 ,* г 97ч
sin μ sin μ'
Таким образом, как уже указывалось выше, угол γ является
функцией трех независимых геометрических параметров δ, μ и μ'-

§ 6. КВАЗИКАРДАНОВЫ ОШИБКИ ГИРОКОМПАСА 47
§ 6. Квазикардановы ошибки гироскопического компаса
Задачи, близкие по своему характеру к рассмотренным в
предыдущих параграфах, встречаются при определении погрешности
указания курса корабля гироскопическим компасом. Регистрация
курса обычно происходит посредством особого следящего
устройства. Датчики последнего во время качки и маневрирования
корабля могут перекашиваться по отношению к северо-южному
и западно-восточному диаметрам чувствительного элемента
гироскопического компаса. Упомянутые же диаметры с большой
точностью удерживаются в горизонтальной плоскости, благодаря
наличию внутри чувствительного элемента гироскопов. Перекос
датчиков влечет за собой появление ошибок в показаниях
гироскопического компаса. Эти ошибки в дальнейшем будут называться
квазикардановыми, так как они близки по своему геометрическому
характеру к погрешностям, возникающим при совместной работе
кардановых подвесов.
Чувствительным элементом большинства современных
гироскопических компасов является так называемая гироскопическая
сфера G (рис. 19) — сферическая оболочка из металла с
эбонитовым покрытием, чередующимся с графито-эбонитовыми токопро-
водящими слоями. Гироскопическая сфера, или, кратко, гиросфе-
ра, находится в электропроводящей жидкости и содержит внутри
себя сложное гироскопическое устройство (см. § 6 гл. II второй
книги). Она окружена так называемой следящей сферой С.
Внутренний диаметр следящей сферы С лишь немного превышает
внешний диаметр гиросферы G. Значительная часть внутренней
поверхности сферы С также покрыта эбонитом и имеет отверстия для
электропроводящей жидкости. Остальная ее часть состоит из токо-
проводящих электродов, противостоящих электродам
чувствительного элемента G. На обеих сферах расположено по три
электрода. Два из них имеют форму сферических сегментов, а третий —
либо половины сферического пояса (рис. 20), либо двух (рис. 21)
симметрично расположенных его четвертей (в зависимости от
конструкции гирокомпаса). Они служат для передачи через
электропроводящую жидкость трехфазного тока вовнутрь гиросферы
для вращения роторов гироскопов и питания соленоида М.
Посредством последнего образуются электромагнитные силы,
стремящиеся совместить геометрический центр гиросферы G с центром
внутренней поверхности следящей сферы С. Кроме упомянутых
имеются также электроды датчиков для управления двигателем
следящей сферы (см. ниже) и электроды, посредством которых
может осуществляться дополнительное управление чувствительным
элементом гироскопического компаса (например, выключение
системы затухания, см. § 6 гл. II второй книги).

48
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
Рис. 19
^Резервуар R с электропроводящей жидкостью, в которой
находится следящая сфера и заключенная в ней гиросфера, подвешен
на корабле посредством карданова кольца К. Ось г/2 этого кольца
(см. рис. 19), которое будем называть внешним кольцом карданова
подвеса, устанавливается параллельно продольной оси корабля у0.
Резервуар, играющий роль внутреннего кольца подвеса, подвешен

a 6. КВАЗИКАРДАНОВЫ ОШИБКИ ГИРОКОМПАСА 49
Рис. 20 Рис. 21
во внешнем кольце на оси х1(х2), перпендикулярной оси внешнего
кольца г/2- Сама следящая сфера может вращаться относительно
резервуара вокруг оси ζ, перпендикулярной оси χλ{χ2). Те
электроды, которые имеют форму сферических сегментов, расположены
вверху и внизу следящей сферы; ось ζ является их осью
симметрии. Поворот следящей сферы С относительно резервуара R
осуществляется двигателем D, направление вращения которого
зависит от взаимного расположения обеих сфер — гироскопической
и следящей.
Если корабль стоит на месте (на якоре, у пирса и т. д.), то
гироскопическая сфера спустя несколько часов после запуска
гирокомпаса приходит к вполне определенной ориентации
относительно стран света. Радиус, который при этом окажется
направленным на север, называется ее северным радиусом; радиус,
направленный на восток,— восточными т. д. Аналогично
вводятся понятия северо-южного и западно-восточного диаметров гиро-
сферы.
Свяжем с гиросферой систему координат ξηξ, направив оси ξ,
η и ζ соответственно по восточному, северному и вертикальному
ее радиусам. Будем считать, что ось ζ этой системы сохраняет
вертикальное направление при любых движениях корабля и
соответственно плоскость |η все время горизонтальна. Ось η
устанавливается точно на север лишь в том случае, если корабль
неподвижен. Если же корабль движется, то между направлением оси η

50
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
и плоскостью меридиана
образуется угол — так называемая
девиация компаса,— в общем
случае отличный от нуля.
Чувствительные элементы
современных гироскопических
компасов обладают лишь так
называемой курсовой или
скоростной девиацией. У них
отклонение северного радиуса,
т. е. оси η, от плоскости
меридиана зависит только от
величины и направления скорости
корабля по отношению к Земле
и от широты местоположения
корабля (§ 6 гл. II второй книги).
Истинным гирокомпасным
курсом корабля κ0 (рис. 22)
обычно называется угол между северным радиусом, т. е. осью η, и
проекцией g продольной оси корабля у0 на диаметральную
плоскость гиросферы ξη (горизонтальную, по предположению).
Следящая сфера, как это следует из ее названия, должна
повторять движение гиросферы относительно корабля при
изменении его курса. Для этой цели необходимо иметь непрерывную
информацию о взаимном расположении этих сфер. Рассмотрим
два возможных варианта получения такой информации. В первом
из них проводящий слой гиросферы, находящийся вблизи ее
горизонтального экватора, изготовляется в виде полупояса, который
занимает только южную сторону, симметрично относительно
плоскости ξη (см. рис. 20). На концах этого полупояса располагаются
два электрода повышенной проводимости. На следящей же сфере
помимо основного электрода, противостоящего проводящему
полупоясу гиросферы и служащему для передачи электроэнергии
внутрь гиросферы, монтируются еще два дополнительных
небольших электрода (см. рис. 20). Они расположены на
противоположных сторонах следящей сферы С и примыкают к сечению этой
сферы плоскостью χζ системы координат xyz. Система координат xyz
связана со следящей сферой. Ее начало расположено в
геометрическом центре следящей сферы. Ось ζ, уже введенная ранее,
является осью вращения следящей сферы, а ось у лежит в плоскости,
относительно которой симметрично расположены электроды.
Переходные сопротивления жидкости между электродами на
следящей сфере и электродами повышенной проводимости на токо-
проводящем полупоясе гиросферы служат плечами
электрического мостика, управляющего в конечном счете скоростью и
направлением вращения двигателя, поворачивающего следящую сферу
Рис. 22

§ 6. КВАЗИКАРДАНОВЫ ОШИБКИ ГИРОКОМПАСА 51
в резервуаре. Двигатель непрерывно приводит следящую сферу
в такое положение, при котором эти сопротивления оказываются
равными. Если геометрические центры гиросферы и следящей
сферы совпадают, а ось ζ последней вертикальна, то это соответствует
совпадению осей χ и ξ, а также у и η систем координат xyz и ξη ξ,
связанных соответственно со следящей и гироскопической
сферами.
Пусть теперь вследствие качки корабля, его маневрирования
или каких-либо других причин ось ζ, связанная со следящей
сферой (а также с резервуаром), не вертикальна. Переходные
сопротивления между дополнительными электродами следящей сферы и
проводящим полупоясом гиросферы будут равными, если края
этих электродов, примыкающие с севера к сечению χζ следящей
сферы, будут вплотную подходить к плоскости ξ ξ системы
координат ξηξ, связанной с гиросферой (см. рис. 20). Именно к этой
плоскости с юга примыкают электроды повышенной проводимости
электропроводящего полупояса гиросферы. При сделанном
предположении двигатель будет поворачивать следящую сферу так,
чтобы ось χ непрерывно оказывалась расположенной в
вертикальной плоскости ξ ζ и тем самым была перпендикулярной оси η (рис.
23). Таким образом, во все время работы двигателя будет
выполняться условие
cos щ == 0. (1.6.1)
Введем теперь связанную с корпусом корабля систему
координат x°y°zy), начало которой поместим в центре карданова подвеса
следящей сферы (рис. 24). Ось у0 этой системы совпадает с осью у2
и, следовательно, параллельна продольной оси корабля (см.
рис. 19), ось 2° перпендикулярна плоскости его палубы и
направлена вверх, а ось #° направлена к правому борту. С внешним кольцом
подвеса в свою очередь свяжем систему координат x2y2z2, ось Уъ
которой уже упоминалась выше, а координатная плоскость х2у2
является его срединной плоскостью. Аналогично изложенному
в предыдущих параграфах настоящей главы введем угол θ
поворота внешнего кольца относительно корабля, считая этот угол
положительным, если система координат x2y2z2 повернута
относительно системы x°y°z° по часовой стрелке при наблюдении за
вращением с носовой части корабля, т. е. со стороны положительной
части оси у0 (или, что то же, оси у2). При θ = 0 оси систем x2y2z2
и x°y°z° соответственно совпадают. Свяжем далее с самим
резервуаром систему координат xxyxZ\, ось хх которой является
одновременно осью х2, связанной с внешним кольцом, а ось z1 совпадает
с осью ζ вращения следящей сферы относительно резервуара.
Также, следуя обозначениям предыдущих параграфов, обозначим
через ψ угол между осями у2 и уг. Будем считать этот угол
положительным при повороте системы координат Х\У\%\ относительно си-

52
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
Рис. 23 Рис. 24
стемы х2У2%2 против стрелки часов, если наблюдать за вращением
со стороны правого борта корабля, т. е. со стороны
положительного направления совпадающих осей хх и х2.
Нетрудно построить таблицу косинусов между осями системы
координат x°y°z°, связанной с кораблем, и системой x^y^z^
связанной с резервуаром гироскопического'компаса. Для этой цели
достаточно повторить выкладки первого параграфа этой главы.
В результате получим таблицу
х° у0 ζ°
х± cos θ 0 sin θ
уг —sin θ sin ψ cos ψ cos θ sin ψ (1.6.2)
ζ1 — sin θ cos ψ — sin ψ cos θ cos ψ.
Аналогично тому, как это было сделано в том же параграфе,
введем угол κ (рис. 25) между осями у и у1 (или, что то же, между
осями χ и χλ). Угол κ называется гирокомпасным курсом корабля. Он
непосредственно виден на картушке гирокомпаса и
воспроизводится посредством синхронной связи на всех репиторах. Угол κ
считается положительным, если система координат xxyxzx
(связанная с резервуаром) повернулась по часовой стрелке относительно
системы xyz (связанной со следящей сферой) при наблюдении за
ними сверху. Ось уг является проекцией оси у0 (параллельной

§ 6. КВАЗИКАРДАНОВЫ ОШИБКИ ГИРОКОМПАСА
53
z,zf
продольной оси корабля) на
плоскость х1у1 или, что то же, на
плоскость ху. Таблица
косинусов углов между осями систем
xyz и χ{\ίχΖλ имеет следующий
вид:
X
У
ζ
Ху
cos κ
— sin κ
0
Vi
sin κ
cos κ
0
Ч
0
0
1.
(1.6.3)
Рис. 25
χ — sin θ sin ψ sin κ +
+ cos θ cos κ
у — sin θ sin ψ cos κ —
— cos θ sin κ
ζ — sin θ cos ψ
Посредством] использования
двух последних таблиц можно
построить важную для
дальнейшего таблицу косинусов углов
между осями системы
координат xyz, связанной со следящей
сферой, и системы x°y°z°,
связанной с кораблем, а именно:
У° z°
cos ψ sin κ
cos θ sin ψ sin κ +
+ sin θ cos κ
cos ψ cos κ cos θ sin ψ cos κ —
— sin θ sin κ
— sin ψ cos θ cos ψ.
(1.6.4)
Как уже указывалось выше, истинным гирокомпасным курсом
корабля является угол κ0 между направлением оси η системы
координат ξηζ, связанной с гиросферой, и проекцией оси у0
(параллельной продольной оси корабля) на плоскость ξη (см.
рис. 22). Пусть ось ζ вращения следящей сферы и совпадающая с ней
ось ζλ системы координат х{У&х, связанной с резервуаром,
вертикальны. Тогда эти оси совпадут с осью ζ системы ξη ζ (связанной
с гиросферой) и углы κ и κ0 окажутся одинаковыми. В самом деле,
в этом случае оси χ ж у соответственно совпадают с осями ξ и η.
Следовательно, совпадают также и проекции уг и g оси у0
(параллельной продольной оси корабля) как на плоскость ху, так и на
сливающуюся с последней горизонтальную плоскость ξη. В
результате угол κ между осями уу и у становится равным углу между
проекцией g оси у0 на плоскость ξη и осью η, т. е. гирокомпасный
курс корабля κ обращается в истинный гирокомпасный курс κ0.

54
ГЛАВА Т. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
Введем теперь помимо угла κ0 еще углы θ0 и ψο, которые
совместно с углом х0 определяют положение системы координат x°y°z°,
связанной с кораблем, относительно системы ξηζ, связанной с ги-
росферой. Для этой цели мысленно повернем резервуар
гирокомпаса и следящую сферу относительно корабля так, чтобы оси
системы координат xyz, связанной со следящей сферой, совместились
с соответствующими осями системы ξηζ. Угол θ примет при этом
некоторое значение θ0, а угол ψ — значение ψ0. Назовем угол θ0
гирокомпасным креном и ψ0 — гирокомпасным дифферентом
корабля. Ось ζ в общем случае не совпадает с осью ζ, и,
следовательно, плоскости ху и ξη, как правило, не параллельны. Поэтому
углы θ и θ0, а также ψ и ψ0 могут оказаться равными лишь в
исключительных случаях. Очевидно, что для построения таблицы
косинусов углов между осями систем координат ξη ζ и x°y°z°
достаточно в таблице (1.6.4) заменить буквы х, у и ζ на ξ, η и ζ, а углы
θ, ψ и κ заменить углами θ0, ψ0 и κ0. В результате получим
х° у0 ζ°
| — sin θ0 sin ψ0 sin κ0 + cos ψ0 sin κ0 cos θ08ίη,ψ08ίηκ0 +
+ cos θ0 cos κ0 + sin θ0 cos κ0
η —sin θ0 sin ψ0 cos κ0 — οο8ψ0ϋθ8κ0 οο8θ08ίηψ0ϋθ8κ0 —
— cos θ0 sin κ0 — sin θ0 sin κ0
ζ — sin θ0 cos ψ0 — sin ψ0 cos θ0 cos ψ0.
(1.6.5)
Представим теперь условие (1.6.1) в виде
cos xr\ = cos xx° cos A] + cos xy° cos y°r\ + cos xz° cos ζ°η = 0.
(1.6.6)
Подставляя сюда, согласно таблицам (1.6.4) и (1.6.5), значения
косинусов углов между соответствующими осями, получим после
несложных тригонометрических преобразований соотношение
cos xr\ = cos (θ — θ0) (sin ψ sin κ sin ψ0 cos κ0 — cos κ sin κ0) +
+ sin (θ — θ0) (sin ψ sin κ 8ΐηκ0 + cos κ sin % cos κ0) +
-f cos ψ sin κ cos ψ0 cos κο = 0. (1.6.7)
Посредством этого соотношения можно определить истинный
гирокомпасный ^ροκ0 по заданным углам θ, ψ, κ,
характеризующим положение следящей сферы гирокомпаса относительно
корабля, и заданным углам θ0 и ψο, определяющим взаимное
расположение корабля и вертикального диаметра гироскопической сферы.
Углы θ и θ0 входят в соотношение (1.6.7) в виде разности, что
имеет простое геометрическое объяснение. В самом деле, предста-

§ 6. КВАЗИКАРДАНОВЫ ОШИБКИ ГИРОКОМПАСА 55
вим себе наряду с кардановым подвесом следящей сферы еще
воображаемый подвес с той же осью у2 его внешнего кольца, т. е.
осью, параллельной продольной оси корабля. Пусть плоскость
внутреннего кольца подвеса совпадает с плоскостью ξη, τ. е. с
горизонтальной плоскостью симметрии гироскопической сферы.
Рассматриваемый воображаемый карданов подвес полностью совпадает
с подвесом следящей сферы, если совместить, как уже делалось
выше, связанные с нею оси х, у я ζ соответственно с осями ξ, η и ζ,
связанными с гироскопической сферой. Угол между внешним
кольцом воображаемого подвеса и палубой оказывается при этом
гирокомпасным креном θ0, угол между плоскостями внешнего и
внутреннего колец — гирокомпасным дифферентом ψ0. Наконец,
угол между осью внутреннего кольца воображаемого подвеса и
западно-восточным диаметром гироскопической сферы или, что
то же, угол между проекцией оси у2 внешнего кольца
воображаемого подвеса на плоскость его внутреннего кольца и северо-юж-
ным диаметром является истинным гирокомпасным курсом κ0.
Пусть теперь корпус корабля совершил некоторое угловое
движение, сохранив, однако, неизменной ориентацию своей
продольной оси, а следовательно, и оси у2 внешних колец обоих подвесов:
действительного подвеса следящей сферы и воображаемого
подвеса гиросферы. При таком повороте корабля вокруг продольной
оси взаимное расположение следящей сферы и гиросферы и,
следовательно, связанных с ними систем координат xyz и ξηζ должно
сохраниться. Поэтому величина cos хц и останется той же. Углы ψ,
κ, ψ0 и κ0 также не изменятся, так как ориентация оси у2 внешнего
кольца обоих подвесов остается неизменной. Что же касается
углов θ и Θ0, то они изменятся на одну и ту же величину.
Следовательно, в соотношение (1.6.7), связывающее θ, ψ, κ, θ0, ψ0 и κ0,
величины θ и θ0 могут входить лишь в виде их разности θ — θ0,
представляющей собой угол между внешними кольцами
действительного и воображаемого подвесов. Это и подтверждается
видом соотношения (1.6.7). Из аналогичных геометрических
соображений очевидно, что при равенстве углов θ и θ0, τ. е. при
совпадении внешних колец обоих подвесов, в соотношение (1.6.7) между
оставшимися углами ψ, κ, ψ0 и κ0 величины ψ и ψ0 также должны
входить в виде разности ψ — ψ0. И в самом деле, полагая в
соотношении (1.6.7) θ = θ0, получим равенство
cos (ψ — ψ0) sin κ cos κ0 — cos κ sin κ0 = 0, (1.6.8)
в которое входит лишь разность углов ψ и ψ0. Наконец, если,
кроме того, равны друг другу углы ψ и ψ0, что означает
совпадение еще и внутренних колец обоих подвесов, то, согласно
равенству (1.6.8), оказываются равными углы κ и κ0. При этом
осуществляется полное совпадение подвесов, а оси х, у и ζ, связанныехо

56
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
следящей сферой, сливаются с соответствующими осями системы
координат ξηζ, связанной с гироскопической сферой.
Углы θ, ψ, θ0Ηψ0 обычно не бывают большими и имеют порядок
величин крена и дифферента корабля. Поэтому, разложив
тригонометрические функции аргументов θ — θ0, ψ и ψ0 в степенные
ряды, сохраним в равенстве (1.6.7) лишь члены второго порядка
включительно относительно упомянутых углов. В итоге
приходим к формуле
1 1
sin (κ — κ0) = γ (ψ — ψ0)2 sin κ cos κ0 — у (θ — θ0)2 cos κ sin κ0—
— (θ — θ0) (ψ sin κ sin κ0 + ψ0 cos κ cos κ0), (1.6.9)
из которой следует, что разность κ — κ0 имеет второй порядок
относительно переменных ψ, ψ0, θ и θ0. Поэтому формулу (1.6.9)
можно заменить следующей, более удобной для приложений:
ι
κ — κ0 = Δκ = γ [(ψ — ψ0)2 — (θ — θ0)2] cos κ sin κ —
— (θ — θ0) (ψ sin2 κ + ψ0 cos2 κ). (1.6.10)
Последняя формула позволяет наиболее просто оценить разность
Δκ между гирокомпасньтм курсом κ и его истинным значением κ0.
Эту разность и будем называть квазикардановой ошибкой
гироскопического компаса.
В рассмотренном варианте конструкции гироскопического
компаса вращение следящей сферы определялось расположением
электродов повышенной проводимости у концов
восточно-западного диаметра гиросферы по отношению к противостоящим им
электродам на следящей сфере. Поэтому для успешной работы
такого гирокомпаса требуется наличие достаточно точного
совпадения центров следящей и гироскопической сфер. В противном
случае сопротивление между упомянутыми электродами может
измениться из-за взаимного смещения сфер. В результате произойдет
рассогласование в ориентации одной сферы относительно другой
и как следствие возможно дополнительное увеличение разности
κ — κ0.
Возможен другой, несколько более сложный вариант
конструкции гироскопического компаса, в известной мере свободный от
упомянутого выше недостатка. Токопроводящий слой на
экваториальном полюсе сферы занимает в этой конструкции две
противоположные четверти этого пояса. На них расположены четыре
электрода повышенной проводимости, примыкающие с разных
сторон к концам северо-южного и восточно-западного
диаметров гиросферы (см. рис. 21). Соответственно имеются четыре
электрода, расположенные на следящей сфере и противостоящие
упомянутым. Аналогично электрической схеме первого
варианта электроды вместе с токопроводящей жидкостью образуют элект-

§ 6. КВАЗИКАРДАНОВЫ ОШИБКИ ГИРОКОМПАСА 57
рический мостик. Двигатель
вращает следящую сферу до тех
пор, пока мостик не
уравновесится.
Этому соответствует такое
расположение связанных со
следящей сферой осей хну
относительно системы координат
ξη ζ, связанной с гиросферой,
при котором угол,
образованный осью χ и плоскостью ξζ,
становится равным углу между
осью у и плоскостью η ζ (рис.
26). Первый из упомянутых
углов является дополнительным
к углу между осями χ и η, а
второй — углу между осями у
и ξ. Поэтому двигатель приводит в конечном счете следящую
сферу в такое положение, при котором осуществляется равенство
cos щ = cos #ξ. (1.6.11)
Ранее уже был определен посредством таблиц (1.6.4) и (1.6.5)
косинус угла между осями # и η, стоящий в левой части
последнего равенства. Аналогичные выкладки с использованием тех же
таблиц приводят к следующему выражению для его правой части:
cos yl = cos yx° cos x°l -f cos yy° cos y°l + cos yz° cosz°l =
= cos (Θ — θ0) (sin ψ cos κ sinifo sinx0 — sin κ cos κ0) —
— sin (Θ — θ0) (sin ψ cos κ cos κ0 + sin κ sin ψ0 sin κ0) +
+ cos ψ cos κ cos ψ0 sin κ0. (1.6.12)
Подставляя выражения (1.6.7) и (1.6.12) в равенство (1.6.11) и
производя дальнейшие тригонометрические выкладки, получим
cos щ — cos yl = cos (κ — κ0) sin (θ — θ0) (sin ψ + sin ψ0) +
+ sin (κ — κ0) [cos (θ — θ0) (sin ψ sin ψ0 + 1) + cos ψ cos ψ0] = 0.
(1.6.13)
Последнее равенство можно рассматривать как новое уравнение,
посредством которого определяется истинный гирокомпасный курс
корабля κ0 по заданным углам θ, ψ, κ, а также θ0 и ψ0
(применительно ко второй конструкции гироскопического компаса). Если
θ = θ0, то соотношение (1.6.13) приводится к виду
sin (κ — κ0) [1 + cos (ψ — ψ0)] = 0, (1.6.14)
Рис. 26

58 ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
из которого следует равенство углов κ и κ0 при любых значениях
ψ, ψ0, а также и компасного курса κ. В весьма частном случае
при ψ = —ψ0 соотношение (1.6.13) также упрощается и
становится следующим:
sin (κ — κ0) cos2 <ψ [1 + cos (θ — θ0)] == 0. (1.6.15)
И здесь уже независимо от величин углов θ, θ0, ψ = — ψ0 и κ
имеет место равенство κ = κ0. Разлагая в равенстве (1.6.13)
тригонометрические функции аргументов θ — θ0, ψ и ψ0 в ряды
и сохраняя в них члены до второго порядка включительно
относительно этих переменных, получим
sin (κ - κο) [2 - (θ""θο)2+(ψ-φο)2]+(θ - θ0) (ψ + ψ0) cos (κ - κ0) - 0.
(1.6.16)
Из последнего приближенного равенства следует, что искомая
разность κ — κ0 имеет второй порядок относительно величин
θ — θο> Ψ и Ψο· Поэтому, вновь отбрасывая члены выше второго
порядка относительно тех же величин, придем к следующей
простой формуле для квазикардановой ошибки второго варианта
конструкции гироскопического компаса:
* - *о = —g- (Θ - θβ) (ψ + ψ0). (1.6.17)
Интересно отметить, что в отличие от формул, относящихся
к первому варианту, здесь разность κ — κ0 оказалась не зависящей
от величины компасного курса κ.
В уравнение (1.6.13), а также в приближенное его решение
(1.6.17) углы θ и θ0 входят лишь в виде разности. Причина этого
обстоятельства та же, что и в случае уравнения (1.6.7),
относящегося к первой конструкции гироскопического компаса, и,
следовательно, имеет то же геометрическое объяснение.
Рассмотрим два числовых примера. Пусть в первом из них θ = 8°, ψ == 2°,
θο = 4°, ψ0 = 0. Такие углы могут соответствовать левой циркуляции
корабля с замедлением хода. В случае первого варианта конструкции
гироскопического компаса, произведя вычисления по формуле (1.6.10), получим
κ —- κ0 = Δκ = —- 0,001828 cos κ sin κ — 0,002437 sin2 κ. Принимая компасный
курс корабля κ равным 45°, придем к поправке κ — κ0, равной — 0,002132
(— 7,33'). Непосредственное решение исходного уравнения (1.6.7) приводит к
величине κ — κο = — 0,002136 (— 7,34'). В случае же второго варианта
конструкции гироскопического компаса на всех курсах получим одну и ту же
поправку κ — κο = — 0,001218 (— 4,2'), согласно приближенной формуле
(1.6.17), и κ — κο = — 0,001219 (-— 4,2'), т. е. практически то же самое, в
результате решения уравнения (1.6.13).
Рассмотрим теперь другой пример. Пусть θ = ψ = 0, θ0 = 8°, % = 4°,
что может соответствовать случаю неподвижного относительно корабля ре-

§ 7. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВЫХ КООРДИНАТ 59
зервуара с осью следящей сферы ζ, перпендикулярной плоскости х°у° или, что
то же, плоскости палубы. Формулы (1.6.10) принимают при θ = ψ = 0
следующий вид: κ — κ0 = гЫ (Ψο ~~ ^) cos κ sin κ + θ0Ψο cos 2 κ. При κ = 0
поправка Δκ = 0,009748 (33,5'); для курса κ — 90° она обращается в нуль, а
при курсе κ = — 18°26,1' достигает своего максимального значения Δκ =
= 0,01097 (37,7'). Во втором варианте гирокомпаса на всех курсах поправка
одинакова и равна выражению κ — κ° = гЫ θ0ψ0 = 0,004872 (16,8')·
Приведенные примеры показывают, что второй вариант
конструкции гироскопического компаса предпочтителен перед
первым также и по оценке теоретического значения квазикардановой
ошибки.
§ 7. Аналитическое определение погрешностей
при измерении азимута
и угла возвышения наблюдаемого объекта
из-за неточности горизонтальной стабилизации
Рассмотрим вновь два кардановых подвеса, расположенных на
корабле или на каком-либо другом подвижном объекте. В отличие
от случаев, изложенных в §§ 4 и 5 настоящей главы, примем, что
основания корпусов подвесов строго параллельны друг другу,
равно как параллельны продольной оси корабля и оси их
внешних колец. При этом точно в горизонте удерживается лишь
плоскость внутреннего кольца первого подвеса. Что же касается
плоскости внутреннего кольца второго подвеса, то она имеет
некоторый малый наклон к плоскости внутреннего кольца первого
подвеса. Вследствие этого азимут а и угол возвышения β (рис. 27)
отдаленного предмета S, измеренные посредством первого подвеса,
не будут соответственно совпадать с азимутом а' и углом
возвышения β', регистрируемыми вторым подвесом. Здесь, как и в § 5,
под углом возвышения понимается угол между направлением на
отдаленный предмет S и проекцией g этого направления на плоскость
ξη внутреннего кольца подвеса, а под азимутом — угол а между
упомянутой проекцией g и осью ξ внутреннего кольца. Задачей
последующего является определение разностей
Δα = а' — α, Δβ = βΓ — β, (1.7.1)
которые будут в дальнейшем именоваться азимутальной ошибкой
и ошибкой угла возвышения.
Обозначим, как и выше, через θ крен корабля и через ψ его
дифферент, измеренные на первом подвесе, плоскость внутреннего
кольца которого строго горизонтальна, и через Θ' и ψ' —
аналогичные углы, измеренные посредством второго подвеса. Разности
Δθ = Θ' — θ, Δψ = г|/ — ψ (1.7.2)

60 ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
характеризуют неточность горизонтальной стабилизации
плоскости внутреннего кольца второго подвеса.
Рассмотрим на прямой, исходящей из геометрического центра
первого подвеса, отрезок h, длина которого равна единице (см.
рис. 27). Проекции этого отрезка на оси ξ, η и ζ, связанные с
внешним кольцом первого подвеса, равны соответственно величинам
h% = cos a cos β,
Αη = sin a cos β, (1.7.3)
Αζ = sin β.
Воспользуемся теперь таблицей косинусов (1.3.1) между осями
системы координат ξη ζ и системы xyz, связанной с корпусом
первого подвеса. Имеем
xyz
ξ cos θ 0 sin θ
η —sin θ sin ψ cos ψ cos θ sin ψ (1-7.4)
ζ — sin θ cos ψ — sin ψ cos θ cos ψ.
Теперь можно определить проекции того же отрезка h на оси х>
у и z. Нетрудно убедиться, что
hx = cos a cos β cos θ — sin a cos β sin θ sin ψ — sin β sin θ cos ψ,
hy = sin α cos β cos ψ — sin β sin ψ, (1.7.5)
hz = cos a cos β sin θ -f sin a cos β cos θ sin ψ -f sin β cos θ cosi|).

§ 7. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВЫХ КООРДИНАТ 61
Оси систем координат xyz и x'y'z', соответственно связанных
с корпусами первого и второго кардановых подвесов, по
предположению, строго параллельны. Поэтому, вновь используя таблицу
(1.4.3), т. е.
х9 У* ζ'
ξ' cos θ' 0 sin θ'
η' — sin θ'sin ψ' cos ψΛ cos θ' sin ψr (1.7.6)
ζ' —sin θ'cos ψ' —sin ψ' cos θ'cos ψ',
можно получить следующие выражения для проекций отрезка
h на оси ξ', η' и ζ':
h% =(cos α cos β cos θ— sin α cos β sin θ simf— sin β sin θ cos ψ) cos6' +
+ (cos α cos β sin Θ+ sin α cos β cos θ sinip+sin β cos θ cosi|;) sin6'lt
h^, = — ( cos a cos β cos θ — sin α cos β sin θ sinip — sin β sin θ cosif) X
X sin0' sin ψ' + (sin α cos β cos ψ — sin β sin i|;)cos ψ' +
+ (cos α cos β sin θ + sin α cos βϋοβθβίηψ -f sin β cos6cosif) X
X cos Θ' sin ψ', (1.7.7)
Αζ' = — (cos α cos β cos θ — sin α cos β sin θ sin ψ — sin β sin θ cos ψ) Χ
X sin Θ' cos ψ' — (sin α cos β cos ψ — sin β sin i|;)sin ψΛ -f
+ (cos α cos β sin θ+sinacos β cos θ sin ψ -f sin β cos θ cos ψ) Χ
X cos Θ' cos ψ'.
Однако те же проекции h^, h^ , h^ можно выразить через углы
а' и β', τ. е. через азимут и угол возвышения, регистрируемые
на втором подвесе. По аналогии с формулами (1.7.3) имеем
Λξ, = cos a' cos β', кц> = sin a' cos β', h^> = sin β'. (1.7.8)
Сопоставляя формулы (1.7.7) и (1.7.8), приходим после очевидных
упрощений к трем соотношениям·
cos a' cos β' = cos a cos β cos (θ' — θ) +
+ (sin a cos β sin ψ + sin β cos ψ) sin (θ' — Θ),
sin a' cos β' = — cos a cos β sin ψ' sin (Θ' — Θ) +
+ (sin a cos β sin ψ+sin β cos ψ) sin ψ' cos (Θ' — θ)+
+ (sin a cos β cos ψ — sin β sin ψ) cos ψ', (1.7.9)
sin β' = — cos a cos β cos ψ' sin (Θ' — Θ) +
+ (sin a cos β sin ψ + sin β cos ψ) cos ψ' cos (θ' — Θ) —
—- (sin a cos β cos ψ — sin β sin ψ) sin ψ',

62 ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
связывающим углы а' и β' с α, β, θ, ψ, θ' и ψ'. Посредством этих
соотношений, каждое из которых является следствием двух
остальных, можно найти а' и β' по заданным величинам α, β, θ, ψ, θ', ψ' и
тем самым строго решить поставленную задачу об отыскании
ошибок Δα и Δβ по формулам (1.7.1).
Перейдем теперь к построению приближенных формул. Заменим,
используя строку Тейлора, в соотношениях (1.7.9)
тригонометрические функции аргументов α', β', ψ7 и θ7 — θ = ΔΘ их
приближенными представлениями с точностью до членов первого
порядка относительно разностей Δα, Δβ, Δψ и ΔΘ. Например, sin α'
заменим на sin α + Δα cos β, sin (θ7—θ) на ΔΘ и т. д. В
результате, отбрасывая члены второго порядка и выше относительно
упомянутых разностей, получим равенства
—- Δα sin α cos β —- Δβ cos α sin β =
= ΔΘ (sin α cos β sin ψ -f sin β cos ψ),
Δα cos α cos β —- Δβ sin α sin β =
= — ΔΘ cos α cos β sin ψ + Δψ sin β,
Δβ cos β = — ΔΘ cos α cos β cos ψ — Δψ sin α cos β.
(1.7.10)
Последнее из них сразу же приводит к формуле
Δβ = — ΔΘ cos α cos ψ — Δψ sin α. (1.7.11)
Подставим только что найденное выражение для Δβ в первые
два равенства (1.7.10) и разрешим каждое из них относительно
Δα. Как и следовало ожидать, придем к одной и той же формуле
Δα = —- ΔΘ (sin ψ -f sin α tg β cos ψ) + Δψ cos α tg β. (1.7.12)
Заменяя в равенствах (1.7.11) и (1.7.12) тригонометрические
функции sin ψ на аргумент ψ и cos ψ — на 1 — ψ2/2, получим
следующие приближенные формулы для Δα и Δβ:
/[
Δα = — Δθψ — (ΔΘ sin α — Δψ cos α) tg β + у ΔΘ ψ2 sin α tg β,
Δβ = γ Δθψ2 cos α — ΔΘ cos α — Δψ sin α. (1.7.13)
Числовой пример. Пусть Δψ = ΔΘ = 0,5°; ψ = 7°, α = 60°;
β =■ 30°. Имеем, согласно приближенным формулам (1.7.11), (1.7.12),
Δα = — 0,002875 (— 9,9'); Δβ = — 0,01189 (— 40,9'), а по менее точным
формулам (1.7.13) Δα = — 0,002878 (— 9,9'), Δβ = — 0,01189(— 40,9'). Если
же рассчитать искомые ошибки в определении азимута и угла возвышения,
пользуясь точными соотношениями (1.7.9) и равенствами (1.7.1), то получим
Δα = — 0,002876 (— 9,9'); Δβ = — 0,01189 (— 40,9'). Таким образом,
результаты расчетов по приближенным и точным формулам в данном случае
практически совпадают.

§ 7. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВЫХ КООРДИНАТ 63
Формулы (1.7.11) и (1.7.12) не содержат величину Θ, т. е.
крен корабля. Причина, в силу которой искомые разности Δα и
Δβ не зависят от крена Θ, может быть разъяснена чисто
геометрически посредством рассуждений, аналогичных тем, которые
проводились в § 5 настоящей главы. Именно, допустим, что корабль
изменил свой крен при фиксированных курсе и дифференте,
например повернулся вокруг своей продольной оси. Так как при этом не
изменится направление оси внешнего кольца первого (а также
второго) подвеса, то ориентация стабилизированного в горизонте
внутреннего кольца первого подвеса и ориентация его внешнего
кольца останутся теми же. Пусть, далее, разности ΔΘ и Δψ,
определяемые равенствами (1.7.2), также сохраняют свои значения.
Тогда не изменится и ориентация колец второго подвеса. В
самом деле, внешнее кольцо второго подвеса повернуто
относительно внешнего кольца первого подвеса на угол ΔΘ вокруг оси,
параллельной продольной оси корабля. Следовательно, его
положение не зависит от крена корабля, если только положение самой
продольной оси сохранится неизменным. Точно так же положение
внутреннего кольца второго подвеса относительно его внешнего
кольца полностью определится углом
г|/ =ψ + Δψ, (1.7.14)
значение которого в данном случае сохраняется. В силу
изложенного азимут α и угол возвышения β отдаленного предмета Sy
измеренные при помощи первого карданова подвеса, не зависят от
величины крена корабля Θ, если его дифферент ψ и курс κ (см. § 1
настоящей главы) остаются без изменения. То же относится к
азимуту а' и углу возвышения β', регистрируемым посредством
второго подвеса. Таким образом, разности Δα = а! — α и Δβ = β' — β
могут зависеть лишь от разности ΔΘ = θ' — Θ. Так это и
оказалось в приближенных формулах (1.7.11), (1.7.12) и (1.7.13), а
также, разумеется, и в точных соотношениях (1.7.9) для
вычисления величин а и β'. По изложенной причине должны зависеть
только от разности Θ' — θ и косинусы углов, которые образуют
между собой оси систем координат ξηζ и |'η'ζ'> связанных
соответственно с внутренними кольцами рассмотренных выше кардано-
вых подвесов. Учитывая параллельность соответствующих осей
систем координат xyz и χ у'ζ и используя таблицы (1.7.6) и
(1.7.4), имеем, например,
cos η ζ' = cos ύ\χ cos χζ + cos r\y cos у ζ' -f cos ηζ cos ζζ =
= sin θ sin ψ sinB'cos ψ' — cosifsinil/ -f-
+ cos θ sinij;cos9Acosi|;' =
= sin ψ cos ψ' cos ΔΘ — cos of> sin ψ', (1.7.15)

64
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
а также
cos ξξ' = cos θ cos θ' + sin θ sin θ' = cos Δθ, (1.7.16)
cos ξη' = — cos θ sin θ' sin ψ' + sin θ cos θ' sini|/ = — βίηΔΘ sin ψ'
и т. д.
Посредством формул (1.7.15), (1.7.16) и им аналогичных можно
получить следующую таблицу косинусов углов между осями
систем координат ξ'η'ζ' и ξηζ:
Ι η ζ
ξ' cos Δθ sin Δθ sin ψ sin Δθ cos ψ
η' — sin Δθ sin ψ' cos Δθ sin ψ sin ψ'+ cos Δθ cos ψ sin ψ' —
+ cos ψ cos ψ' — sin ψ cos ψ'
ζ' — sin Δθ cos ψ' cos Δθ sin ψ cos ψ'— cos Δθ cos ψ cos ψ' +
— cos ψ sin ψ' + sin ψ sin ψ'.
(1.7.17)
Если ограничиться здесь лишь членами первого порядка
относительно разностей ΔΘ и ψ' — ψ = Δψ, то придем к таблице
Г ι
η' — Δθ sinif
ζ' — Δθοοβψ
Эту таблицу после замены sin ψ на ψ и cos ψ на 1 — г/2 ψ2 можно
использовать для несколько иного вывода формул (1.7.11) и
(1.7.12), минуя вычисление проекций (1.7.5) отрезка А на оси
системы координат xyz, связанной с корпусом первого подвеса.
Достаточно лишь выразить посредством таблицы (1.7.18) проекции
Αξ', /Ц', Α ζ' через А^, А^, Αζ и воспользоваться формулами (1.7.3)
и (1.7.8).
В этом параграфе предполагалось, что корпусы подвесов
смонтированы друг относительно друга с большой точностью. Если
это не так, то необходимо учесть изложенное в § 4 настоящей
главы, именно: в приближенных формулах (1.7.11), (1.7.12) и (1.7.13)
к величинам ΔΘ и Δψ надлежит добавить соответствующие правые
части формул (1.4.22) или (1.4.23).
η
Δθ sin ψ
1
— Δψ
ζ
Δθ cos ψ
Δψ
1.
(1.7.18)

§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБОК 65
§ 8. Геометрическое определение ошибок стабилизации визира
посредством теории бесконечно малых вращений
твердого тела
Некоторые задачи, рассматривавшиеся в предыдущих
параграфах, можно сравнительно просто решить геометрически,
используя простейшие предложения теории бесконечно малых вращений
твердых тел. Как известно, бесконечно малые повороты твердого
тела можно изображать в виде векторов, направленных по
соответствующим осям вращения. Если тело подвергнуть нескольким
бесконечно малым поворотам вокруг осей, пересекающихся в одной
точке, то их можно заменить одним, вектор которого равен
геометрической сумме векторов данных поворотов независимо от
порядка, в каком они совершались. Приближенно это
предложение можно применить и к малым поворотам твердого тела.
Заметим, что положение тела после нескольких конечных поворотов
зависит от последовательности, в которой они производились *.
Однако в случае малых поворотов различие в положениях тела из-
за изменения упомянутой последовательности имеет второй
порядок малости. Достаточно произвести дополнительный поворот тела
вокруг соответственно подобранной оси на угол, величина которого
имеет второй порядок малости относительно величин углов
данных поворотов, чтобы такое различие в положениях тела исчезло.
Поэтому малые повороты тела можно также изображать
векторами, направленными по соответствующим осям вращения.
Пусть тело совершает поворот, вектор которого равен
геометрической сумме заданных малых поворотов. Положение тела в этом
случае будет отличаться на поворот второго порядка малости от
того положения, которое оно получит, если эти вращения
совершать последовательно одно за другим в любом порядке.
Аналогичные замечания можно сделать и для случая разложения вектора
малого поворота твердого тела на несколько составляющих
векторов.
Рассмотрим в качестве первого примера построение таблицы
косинусов углов между осями двух систем координат ξηζ и
ξ'η'ζΓ, вторая из которых получается в результате поворота
первой системы координат на малый угол ρ вокруг произвольной оси.
Обозначим той же буквой ρ вектор, соответствующий этому
повороту (рис. 28). Пусть р£, рп и ρζ суть составляющие вектора ρ
по осям координат ξ, η и ζ, ai, β и С — точки, расположенные
на тех же осях на расстояниях, равных единице, от начала
координат. Обозначим через А'", В' и С положения тех же точек в ре-
* Имеются в виду повороты вокруг неподвижных осей. Приведенное
утверждение также справедливо (см. § 3 гл. II), если все оси связаны с телом.
Однако если, например, одна из осей неподвижна, а другая связана с телому
то порядок поворотов несуществен (см. § 2 гл. V второй книги).

66
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
А'( 1,
Вг (- ρζ,
Cri Р„,
ρζ, ·
1,
— Ρς»
-рч).
Ρξ).
1)·
зультате происшедшего малого поворота на угол ρ системы
координат ξηζ в положение ξΓη'ζΓ. Нетрудно усмотреть
непосредственно из рис. 28, что координаты точек А', Вг и С в системе
координат ξηζ с точностью до членов первого порядка относительно
величин pg;, pt, и ρζ таковы:
(1.8.1)
В самом деле, точка А в результате поворота системы координат
ξη ζ на малый угол р^ вокруг оси ξ остается на месте; в результате
поворота на малый угол р^ вокруг оси η (против стрелки часов,
если наблюдать за вращением со стороны положительного
направления этой оси) она сместится на расстояние р^ в сторону
отрицательного направления оси ζ и, наконец, в результате поворота на
малый угол Ρζ вокруг оси ζ переместится на расстояние ρζ в
сторону положительного направления оси η. Отрезки О А*', ОБ' и
ОС\ определяемые только что вычисленными координатами точек
А', Вг и С", с точностью до малых второго порядка относительно
величин ρξ, ρ^ и ρζ имеют длины, равные единице. В самом деле,
например,
О А' = γΊ + Ρΐ + р> ~ 1. (1.8.2)
Таким образом, координаты точки А' в системе ξηζ, τ. е. величины
1, Ρζ и — рц, являются одновременно проекциями на оси ξ, η и ζ
отрезка длиной, равной единице, расположенного на оси ξ'.
Отсюда следует, что эти величины равны соответственно косинусам
углов, которые образует ось ξΛ с осями ξ, η и ζ. Те же рассуждения
можно провести и в отношении координат точек В' и С',
расположенных соответственно на осях η' и ζΛ. В итоге, используя
координаты (1.8.1) точек А', В*, С", можно построить следующую
таблицу косинусов углов между осями систем координат ξ'η'ζ' и ξηζ:
г
η'
V
fc
1
-Ρζ
Рп
η
Ρζ
1
— Ρ5
ς
— Ρπ
Ρε
1.
(1.8.3)
В предыдущем параграфе была построена таблица (1.7.18)
косинусов углов между осями систем координат ξ'η'ζ' и ξηζ,
связанных с внутренними кольцами двух кардановых подвесов, оси
внешних колец которых параллельны. При этом предполагалось,
что углы поворотов внешних колец этих подвесов θ и ΘΛ
относительно их корпусов отличаются на малую величину ΔΘ (угол ме-

§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБОК
67
жду плоскостями этих колец), а углы поворотов внутренних колец
относительно внешних ψ и ф' отличаются также на малую
величину Δψ. Покажем теперь, как ту же таблицу (1.7.18) можно
получить иным путем, используя соображения геометрического
характера, посредством которых была составлена таблица (1.8.3).
С точки зрения теории малых вращений твердого тела
положение системы координат ξ'η'ζ' (с точностью до переноса начала)
совпадает с положением системы ξηζ в результате поворотов
последней вокруг оси у (см. рис. 29) внешнего кольца первого подвеса
на малый угол ΔΘ и далее вокруг оси внутреннего кольца ξ на
малый угол Δψ.
Ось у, вокруг которой происходит совместный поворот внешнего
и внутреннего колец на малый угол ΔΘ, образует с осями ξ, η и ζ
углы, косинусы которых, согласно рис. 29 или таблице (1.1.4),
равны величинам
О, cos ψ, —sin ψ. (1.8.4)
В соответствии с обозначениями § 1 настоящей главы при
положительном угле θ поворот внешнего кольца карданова подвеса
относительно его корпуса происходит по стрелке часов, если
наблюдать за вращением со стороны положительного направления оси у.
Поэтому в соответствии с правилами теории малых вращений век-

68
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
тор ΔΘ следует направить вдоль отрицательной полуоси г/. Его
можно разложить на два следующих поворота. Именно, поворот
вокруг оси η на угол — ΔΘ cos ψ и поворот вокруг оси ζ на угол
ΔΘ sin ψ.
Внутреннее кольцо относительно внешнего совершает малый
поворот Δψ вокруг оси ξ. Поворот Δψ, подобно углу ψ, будем считать
положительным, если внутреннее кольцо поворачивается против
стрелки часов при наблюдении за ним со стороны положительного
направления оси ξ. Соответственно вдоль того же направления
следует направить вектор Δψ. В результате составляющие вектора
ρ дополнительного поворота внутреннего кольца первого подвеса
(и связанной с ним системы координат ξηζ) при малом изменении
углов θ и ψ представляются формулами
Ρξ = Δψ, ρ^ = — ΔΘ cos ψ, ρζ = ΔΘ sin ψ. (1.8.5)
С точностью до членов второго порядка включительно
относительно переменной ψ эти формулы эквивалентны следующим:
ρξ = Δψ, Ργι = _Δθ(ΐ-4-ψ2), ρζ-Δθψ. (1.8.6)
Так как поворот на малый угол ρ переводит систему координат
ξηζ в положение ξ'η'ζ', то таблицу косинусов углов между
осями систем ξ η'ζ' и ξηζ можно построить посредством таблицы
(1.8.3). Учитывая формулы (1.8.5), придем вновь к таблице (1.7.18),
полученной в § 7 посредством чисто аналитических соображений.
Если заменить в ней sin ψ на ψ и cos ψ на 1 — V2t|)2> то она примет
вид
ξ η ζ
ξ' 1 Δθψ Δθ(ΐ-^-ψ^
η' — Δθψ 1 Δψ (1'8·7)
ζ' _Δθ(ΐ-4-ψ2) -Δψ 1-
Разумеется, эту же таблицу можно получить, заменяя в таблице
(1.8.3) величины ρξ, ρη, ρζ их приближенными выражениями,
согласно формулам (1.8.6).
При использовании теории малых вращений следует обращать
особое внимание на то, к какому телу из данной системы
кинематически связанных тел относится каждый из рассматриваемых
поворотов. В противном случае можно совершить грубую ошибку.
Например, в случае бикарданова подвеса (см. § 2 настоящей главы,
рис. 7) можно ошибочно принять произвольный малый поворот
внутреннего кольца состоящим из двух малых поворотов Δ0
вокруг оси бугеля χ и Δΰ> — вокруг оси внешнего кольца у. Учи-

§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБОК
69
тывая таблицу (1.2.6), можно было бы прийти к следующим
формулам для составляющих малого поворота внутреннего кольца:
1 J
р-я == Δ0 -jr- sin φ sin # cos # + Δ# — cos 0, (1.8.8)
1 1
Ρζ = Δ0 — cos φ sin # — ΑΦ — sin φ cos θ.
Однако они не верны. Ошибка здесь заключается в том, что при
изменении угла 0, если угол # фиксирован, вращение внутреннего
кольца происходит не вокруг оси χ (за исключением случая, когда
# = 0); вокруг этой оси происходит вращение бугеля. В свою
очередь при фиксированном угле φ и изменении угла Φ оси вращения
внутреннего и внешнего колец бикарданова подвеса также не
совпадают (за исключением, разумеется, случая, когда 0 = 0).
Чтобы получить правильный результат, следует обратиться к
формулам (1.8.5) и выразить в них величины ΔΘ и Δψ через 0, #, Δ0
и ΔΦ, используя формулы (1.2.1), (1.2.3) и (1.2.4). После
выкладок получим вместо (1.8.8) следующие, уже верные формулы:
р^ = (Δ0 cos # — ΔΦ sin 0 cos 0 sin Φ) -^ ,
p4 = A#-i-cos0, (1.8.9)
Ρζ = — A,&-£-sm0cos'&,
(Д = l/Ί — sin2 # sin2 0)·
Рассмотрим теперь задачу об изменении полярных координат
α и β удаленной точки S (рис. 30) из-за неточности горизонтальной
стабилизации*. Расположим на внутреннем кольце карданова
подвеса визир, оптическая ось которого проходит через
геометрический центр подвеса и направлена на удаленную точку S. Угол β
между оптической осью визира ν и плоскостью ξη внутреннего
кольца подвеса в соответствии с определением, приведенным в § 7
настоящей главы, является углом возвышения, а азимут α равен
углу между проекцией g оптической оси на плоскость внутреннего
кольца подвеса и осью ξ внутреннего кольца. Угол же между осью
цапф визира и, расположенной в плоскости внутреннего кольца,
и осью ξ равен π/2 — α.
Изменим угол ψ, τ. е. угол поворота вокруг оси ξ внутреннего
кольца карданова подвеса по отношению к внешнему, на малую
* Т. е. ту же задачу, которая была решена в § 7 аналитическим путем.

70 ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
Рис. 30
величину Δψ, а также угол θ поворота вокруг оси у внешнего
кольца подвеса (отсчитываемый от плоскости палубы) на малую
величину ΔΘ, нарушив тем самым стабилизацию внутреннего кольца
подвеса в горизонте. Для того чтобы вернуть оптическую ось в
прежнее положение, следует повернуть (рис. 31) на некоторый угол
Δα платформу визира вокруг нового направления оси ζ (т. е.
вокруг перпендикуляра к плоскости внутреннего кольца) и
изменить угол β возвышения визира над плоскостью внутреннего
кольца на некоторую величину Δβ, повернув визир вокруг оси
его цапф. Величины Δα и Δβ являются изменениями полярных
координат α и β точки S, происшедшими вследствие нарушения
горизонтальной стабилизации внутреннего кольца подвеса на углы
ΔΘ и Δψ.
Свяжем с визиром (см. рис. 30 и 31) правую систему координат
uvw, ось и которой направлена, как указывалось выше, по оси
цапф визира, а г; — вдоль его оптической оси. Рассмотрим теперь
угловое перемещение системы координат uvw, а следовательно, и
визира, происшедшее вследствие изменения углов θ, ψ, а и β.
Обозначим через р° вектор малого поворота внутреннего кольца
подвеса, обусловленного изменением углов θ и φ на величины
ΔΘ и Δψ. Ограничиваясь членами не выше второго порядка
относительно величин ΔΘ, Δψ, θ и ψ, можно, основываясь на
формулах (1.8.5), представить составляющие этого поворота в виде
pg = Δψ, р° = —ΔΘ, ρ» = Δθψ. (1.8.10)

§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБОК
71
Рис. 31
Угловое перемещение визира, обусловленное только изменением
углов θ и ψ, будет, очевидно, тем же самым, что и внутреннего
кольца подвеса. Составляющие этого углового перемещения по
осям и, ν и ιυ, как нетрудно убедиться при внимательном
рассмотрении рис. 31, равны соответственно величинам
р° = p|sin α — p°cos α,
po = (ρ° cos α + ρ» sin α) cos β + p£ sin β, (1.8.11)
ρ^ = — (ρ° cos α + Ρ° sin a)sin β + Ρ? cos β.
Используя здесь формулы (1.8.10), можно те же составляющие
представить в виде
ро = д<ф sin a + ΔΘ cos a,
ρ° = (Δψ cos a — Δθ sin a) cos β + Δθψ sin β, (1.8.12)
ρ^ = — (Δψ cos α— Δθ sin a)sin β + Δθψ cos β.
Малое изменение угла а обусловливает поворот визира вместе
с его платформой вокруг оси ζ; малое изменение угла β
соответствует повороту вокруг оси его цапф, т. е. вокруг оси и. Поэтому
(см. рис. 31) составляющие вектора р' углового перемещения
визира, вызванного изменением углов α и β вдоль осей и, ν ιιιυ,
имеют соответственно вид
р; = Δβ, ρ; = Δα sin β, ρ^ = Δα cos β. (1.8.13)

72 ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
При получении последних формул учитывалось, что если Δα ^> О,
то дополнительный поворот платформы визира происходит против
стрелки часов (если наблюдать за вращением со стороны
положительного направления оси ζ), а при Δβ ]> 0 визир поворачивается
против стрелки часов вокруг оси и (если смотреть также со
стороны положительного направления этой оси).
Вектор ρ полного углового перемещения визира, обусловленного
изменением всех углов, т. е. углов θ, ψ, α и β, на основании
замечаний, сделанных в начале настоящего параграфа, о сложении малых
поворотов равен геометрической сумме векторов р° и р'.
Составляющие этого полного поворота вдоль осей и, ν и w, согласно
выражениям (1.8.12) и (1.8.13), равны величинам
Ри =Р°и+ Р'и= Δψ sin α + ΔΘ cos α + Δβ,
ρ„ = po -J- ρ^ = (Δψ cos α — ΔΘ sin α) cos β + ΔΘ ψ sin β + Aasin β,
Pw = 9°w + Pw = (ΔΘ sin a — Δψ cos a) sin β + ΔΘ ψ cos β -f Δα cos β.
(1.8.14)
По аналогии с выражениями (1.8.1) перемещения точки 5,
расположенной на оси ν на расстоянии, равном единице от начала
координат, в направлении осей и, ν и w (см. рис. 30 и 31)
соответственно таковы: — pw, 0, ри. Следовательно, оптическая ось
визира останется на месте, если составляющие угла полного
поворота ри и р-у, будут отсутствовать, т. е. если, согласно выражениям
(1.8.14), имеют место равенства
Δψ sin a + ΔΘ cos a + Δβ = 0,
— (Δψ cos a — ΔΘ sin a) sin β -f ΔΘ ψ cos β + Δα cos β =■ 0.
(1.8.15)
Отсюда следуют искомые формулы для изменений полярных
координат точки S, а именно:
Δβ = — (ΔΘ cos a + Δψ sin a), (1.8.16)
Δα = — Δθψ + tg β (— ΔΘ sin a + Δψ cos a).
Они совпадают с выражениями (1.7.13) § 7, если в последних
сохранить лишь члены первого порядка относительно величины ψ.
Вторая из формул (1.8.14) определяет величину составляющей
ρν вектора полного поворота визира вдоль его оптической оси.
Эта составляющая определяет малый угол ρυ поворота перекрестия
визира вокруг его оптической оси v. При соблюдении условий
(1.8.15), т. е. при неизменности направления оптической оси
визира на тот же самый удаленный предмет S, можно исключить
из упомянутого выражения для р„ величину Δα посредством
второй формулы (1.8.16), после чего поворот визира вокруг

ЛИТЕРАТУРА 73х
оптической оси выразится формулой
ρ» = -^(--ΔΘ3ίηα + ΔΨ™8α). / t1·8·17)'
В аналитическом исследовании, изложенном в § 7, это
обстоятельство (вращение визира вокруг оптической оси) осталось без
внимания.
ЛИТЕРАТУРА
Благовещенский С. Я. Качка корабля. Л., Судпромгиз, 1954.
Игилинский А. Ю. Геометрия бикарданова подвеса.— Приборостроение, 1944,.
№ 1.
Игилинский А. Ю. О взаимном вращении двух стабилизированных площадок
при качке корабля.— Приборостроение, 1944, № 2.
Игилинский А. Ю. Геометрия двух бикардановых систем.—
Приборостроение, 1944, № 3.
Игилинский А. Ю. Бортовая и килевая качка и изменение курса при качке
корабля вокруг произвольно ориентированной оси.— Приборостроение,
1944, № 4.
Игилинский А. Ю. Ошибки при совместной работе кардановых подвесов
разных систем.— Приборостроение, 1945, №№ 1, 2.
Игилинский А. Ю. Механика специальных гироскопических систем. Киев,
Изд-во АН УССР, 1952.
Игилинский А. Ю. К теории гирогоризонткомпаса.— ПММ, 1956, т. 20,
вып. 4.
Игилинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР,
1963.
Крылов А. Я., Крутиков Ю. А. Общая теория гироскопов и некоторых
технических их применений. Л., Изд-во АН СССР, 1932. См. также Крылов А. Я.
Собр. тр., т. 8, М.— Л., Изд-во АН СССР, 1950.
Крылов А. Я. О курсовой и баллистической погрешностях гирокомпаса,
снабженного кольцевыми успокоителями, и об их уничтожении. Μ., ΓΟΜ3,
1938 (литогр. изд.).
Крылов А. Я. О теории гирокомпаса Аншютца, изложенной проф. Геккеле-
ром.— Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз., 1940, № 4. См. также Крылов
А. Я. Собр. тр., т. 2, ч. 1, М.— Л., Изд-во АН СССР, 1943.
Крылов А. Я. Качка корабля. Л., Воен.-морск. акад. РККФ, 1938. См. также
Крылов А. Я. Собр. тр., т. 11, М.— Л., Изд-во АН СССР, 1951.
Крылов А. Я. Карданов подвес на корабле.— Собр. тр., т. 12, ч. 1. М.— Л.,.
Изд-во АН СССР, 1955.
Крылов А. Я. О равновесии и движении тел на качающемся корабле. Л.,
литогр. изд., 1938. См. также Крылов А. Я. Собр. тр., т. 12, ч. 1. М.— Л.,
Изд-во АН СССР, 1955.
Крылов А. Я. Определение на корабле погрешности показаний
гирокомпаса.— Собр. тр., т. 12, ч. 1. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1955.
Кудревич Б. И. Избранные труды. М., Изд. Упр. начальника гидрограф,
службы ВМФ, 1959.
Кудревич Б. И. Краткое изложение принципа жироскопических компасов и
описание жироскопического компаса Сперри.— Зап. по гидрогр., 1916,
т. 40, вып. 1.
Кудревич Б. И. Теория и практика гироскопического компаса. Изд. 2-е., ч.
1—3, Л., Гидрограф, упр., 1929—1932; ч. 4,5, М.— Л., Упр. воен.-мор. изд-
ва, 1945.

74
ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ
• Кудревич Б. И., Ривкин С. С. Геометрия карданова подвеса.— В кн.: Куд-
ревич Б. И. Теория гироскопических приборов, т. 1. Л., Судпромгиз,
1963.
Кудревич Б. И., Ривкин С. С. Преобразование координат на корабле.— В
кн.: Кудревич Б. И. Теория гироскопических приборов, т. 1. Л.,
Судпромгиз, 1963.
Кузовков Н. Т. О движении гиростабилизированной платформы,
установленной в бикардановом подвесе.— Изв. АН СССР. ОТН, 1958, № 7.
Одинцов А. А. О влиянии негоризонтальности главной оси гироскопа
направления на его кардановую ошибку.— Изв. высш. учебн. заведений.
Приборостроение, 1971, т. 14, № 7.
Остромухов Я. Г., Ривкин С. С, Темченко Μ. Ε. Геометрия и кинематика
систем гироскопической стабилизации.— В сб.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М., «Наука», 1973.
Лелъпор Д. С. Гироскопические системы, ч. I. Теория гироскопов и
гироскопических стабилизаторов. М., «Высш. школа», 1971.
Ривкин С. С. Теория гироскопических устройств, ч. I. Л., Судпромгиз, 1962;
ч. 2, Л., «Судостроение», 1964.
Ройпгенберг Я. Н. К теории гироскопического компаса.— ПММ, 1964, т. 28,
вып. 5.
Geckeler J. W. Kreiselmechanik des Anschutz — Raumkompasses.— Ingr.—
Arch., 1935, Bd. 6, H. 4.
Magnus K. Kreisel. Theorie und Anwendungen. Berlin, e. a., Springer — Ver-
lag, 1971. Рус. перев.: Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.,
«Мир», 1974.

π
ГЛАВА
КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. Аналитический вывод некоторых соотношений
в теории конечных вращений
Теория конечных вращений твердого тела имеет существенное
значение для решения ряда задач по определению ориентации
подвижных объектов. В настоящем параграфе приводится чисто
аналитический вывод формул для косинусов углов между осями двух
произвольно расположенных одна относительно другой систем
координат без каких-либо добавочных геометрических построений.
В следующем параграфе настоящей главы дан другой вывод тех
же формул, основанный на многократном использовании таблиц
косинусов углов между осями основных и вспомогательных систем
координат. Излагаемое ниже основано исключительно на
простейших теоремах аналитической геометрии. Некоторые из этих
теорем используются в векторной форме.
Пусть система координат xyz поворачивается на произвольный
угол φ вокруг некоторой оси г;, проходящей через ее начало.
Исходное положение системы обозначим через x^y^z^. Если /, т и
η — косинусы углов, которые образует упомянутая ось
конечного поворота ν с осями системы координат x^y^z*, то очевидно, что
те же величины являются соответственно косинусами углов между
осью ν и осями системы xyz. В частности, имеем
I = cos λ, (2.1.1)
где λ — угол, который образует ось вращения ν одновременно
и с осью х^ системы координат x%y%z%, и осью χ системы xyz
(рис. 32).
Обозначим направляющие косинусы оси χ относительно системы
координат x*y*z* соответственно через а, & и с. Они, наряду с
направляющими косинусами осей у ж ζ в той же системе координат
%*y*z%, являются в данном случае искомыми величинами. Помимо
очевидного равенства
а2 + Ь2 + с2 = 1, (2.1.2)
направляющие косинусы а, & и с оси χ удовлетворяют также

76 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рис. 32
соотношению
la + mb + nc = Ζ, (2.1.3)
которое в соответствии с
известной формулой
аналитической геометрии выражает
величину косинуса угла λ между
осью χ и осью вращения v.
Для определения трех
искомых величин а, & и с
требуется еще одно уравнение. Для
вывода этого уравнения можно
воспользоваться тем
обстоятельством, что плоскость xv
повернута относительно
плоскости x*v вокруг оси
вращения ν на заданный угол φ. Тем
самым мера двугранного угла
между упомянутыми
плоскостями также должна равняться углу φ. Так как двугранный угол
измеряется углом между двумя перпендикулярами к образующим
его плоскостям, то введем два вектора h и /с, первый из которых
перпендикулярен плоскости x#v, а второй — плоскости xv (см.
рис. 32). Согласно свойству скалярного произведения двух
векторов, имеем
hk cos φ =■- hxJeXm + hykv^ + hzkz^ (2.1.4)
где hx^ hy^ h2m — проекции на оси х%, у*, z% вектора h и
соответственно кх^ кУт, kz^ — проекции на эти же оси вектора к.
В качестве вектора h возьмем векторное произведение
единичного вектора %®, расположенного на оси х%, и единичного вектора
направление оси вращения v. Проекции первого из
]/#> z*> разумеется, равны соответственно
1; 0; 0, (2.1.5)
Z; т; п. (2.1.6)
г;0, имеющего
них на оси х±
а второго
Согласно правилам составления векторного произведения,
получаем
Х° χ ν*
<
1
ι
7° *°
0 0
т η
(2.1.7)
где в свою очередь г/° и ζ°
единичные векторы, располо-

§ 1. ВЫВОД НЕКОТОРЫХ СООТНОШЕНИЙ В ТЕОРИИ ВРАЩЕНИЙ 77
женные соответственно на осях у% и z#. Таким образом,
hx^ = 0, hv% = — η, hz^ = т. (2.1.8)
Далее в качестве вектора к можно взять векторное произведение
к = х° X г;0 =
*° £° z°
а Ъ с
Ι πι η
(2.1.9)
Здесь вторую строку детерминанта составляют проекции
единичного вектора^0 на оси х%, у% и ζ#, равные, конечно,
направляющим косинусам оси χ в системе координат x%y#z#. Раскрывая
детерминант (2.1.9), приходим к следующим равенствам:
кх^ — пЪ — тс, ку^ = 1с — па, kz^ = та — lb. (2.1.10)
Модули векторных произведений (2.1.7) и (2.1.9) одинаковы
и равны синусу угла λ между осями х# и ν или, что то же, между
осями χ и v. Таким образом, учитывая еще формулу (2.1.1), имеем
k = h=-s'mX=-- Υί — I2. (2.1.11)
Посредством равенств (2.1.8), (2.1.10) и (2.1.11) соотношение
(2.1.4) можно представить в виде
(1 — I2) cos φ = — I (mb + nc) + {η2 + m2) a. (2.1.12)
Оно и является недостающим третьим уравнением, помимо
уравнений (2.1.2) и (2.1.3), для отыскания трех неизвестных косинусов
a, b и с, определяющих направление оси χ по отношению к осям
системы координат x%y#z%. Согласно уравнению (2.1.3)
тЬ + пс = 1{1 — а). (2.1.13)
Кроме того, из соотношения, аналогичного (2.1.2), следует
т2 + п2 = ι _ рщ (2.1.14)
Учитывая последние два равенства в уравнении (2.1.12), получаем
после приведения подобных членов формулу для одной из
искомых величин
а = I2 (1 — cos φ) + cos φ. (2.1.15)
Для определения величины b исключим из соотношения (2.1.2)
косинусы а ж с посредством формул (2.1.3) и (2.1.15). В
результате придем к квадратному уравнению
{/2 _(. (1 _ г2) cos φ]2 + b2+ ^{l — [I2 + (1 - I2) cos φ] I — bm}2 = 1,
(2.1.16)

78 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ь
которое после упрощений с помощью соотношения (2.1.14)
приводится к виду
Ъ2 — 2Ыт (1 — cos φ) + 12πι2 (1 — cos φ)2 — η2 sin2 φ = 0.]
(2.1.17)
Из двух корней этого уравнения
Ь1 — 1т (1 — cos φ) + η sin φ, b2 = Irn (1 — cos φ) — η sin φ
(2.1.18)
следует остановиться на первом. Действительно, полагая, в
частности,
/ = т = 0; л = 1; Φ = ^' (2.1.19)
получаем соответственно (рис. 33)
6Х = + 1; 6а = - 1. (2.1.20)
Однако, учитывая принятые обозначения (рис. 33), имеем в этом
случае
Ъ = coszj^ = + 1, (2.1.21)
и, следовательно, второй корень уравнений (2.1.18) должен быть
отброшен. Таким образом, в общем случае
Ъ = 1т (1 — cos φ) + η sin φ. (2.1.22)
Подставляя теперь выражения (2.1.15) и (2.1.22) для α и & в
уравнение (2.1.3), придем, учитывая равенство (2.1.14), к следующей
формуле для определения величины с:
с ==■ In (1 — cos φ) — т sin φ. (2.1.23)
Аналогично определяются косинусы углов между осью у и
осями х%, г/jj., ζ# и далее между осью ζ и теми же осями х%, г/*, ζ#. В
итоге таблица косинусов углов между осями систем координат xyz
и х*у^% может быть представлена в следующем виде:
х%
χ (1 — cos φ) Ζ2 +
+ cos φ
у (1 — coscp)Zra—
— η sin φ
ζ (1 — cos φ) In -[-
+ m sin φ
У*
(1 — cos φ) ml -\-
+ w sin φ
(1 — cos φ) га2 -f
+ cos φ
(1 — cos φ) mn —
— 1 sin φ
z#
(1 — cos φ) nl —
— га sin φ
(1 — cos φ) mn -f
+ I sin φ
(1 — cos φ) η2 -f
+ cos φ.
(2.1.24)
этой таблице величины /, га, д, т. е. косинусы углов, которые

§ 1. ВЫВОД НЕКОТОРЫХ СООТНОШЕНИЙ В ТЕОРИИ ВРАЩЕНИЙ 79
образует ось поворота ν с осями х%,у^,ζ* (а также и с осями x,y,z)r
можно заменить (рис. 34) выражениями
/ = cos x%v = cos α cos β, (2.1.25)
πι = cos y%v ==■ sin α cos β,
η — cos z#v — sin β.
Здесь β — угол между осью ν и плоскостью х#у#, а а — угол
между осью х^ и проекцией g оси ν на ту же плоскость.
В результате элементы таблицы (2.1.24) представляются через
три угла α, β и φ*.
Изложим теперь решение задачи, обратной той, которая была
поставлена в начале этого параграфа, а именно: по заданной
таблице косинусов углов между осями двух систем координат с
общим началом найти как направляющие косинусы оси, так и угол
конечного поворота, в результате которого одна из систем
приводится в совпадение с другой.
Пусть некоторая система координат xyz получав!ся в итоге
поворота на угол φ из положения x#y#z# вокруг прямой v. Как и
ранее, обозначим направляющие косинусы этой прямой в
системе координат x#y*z# (а также в системе xyz) через /, т и п.
Обратимся теперь к таблице (2.1.24) косинусов углов между осями
систем координат xyz и x%y#z#.
Складывая диагональные элементы и учитывая тождество
(2.1.14), получим выражение l+2cosq), позволяющее в интервале
(О, π) однозначно определить угол поворота φ. Возьмем разность
* Другим путем то же представление этих элементов выводится в § 3
настоящей главы.

$0 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
двух симметричных относительно диагонали элементов той же
таблицы, находящихся в ее левом верхнем углу. Получим
величину 2п sin φ, что позволяет найти косинус η угла между прямой
ν и осью ζ% (или, что то же, угла, образуемого прямой ν с осью ζ).
Другие аналогичные разности дают возможность определить
остальные направляющие косинусы, т. е. /и га.
Таким образом, если таблица косинусов углов между осями
«систем координат xyz и x*y*z* известна и представлена в виде
#* Z/# z#
(2.1.26)
χ sxl s12 s13
У S21 s22 s23
% $31 ^32 #331
то справедливы следующие формулы:
ι 1
cos φ = -j (sn + s22 + s33) — у (2.1.27)
л
I = 8"7'n , m= '"Γ'1» , л = '"Γ*" . (2.1.28)
2 sin φ 2 sin φ 2 sin φ v '
Эти формулы позволяют найти как угол конечного поворота φ
системы координат xyz из положения x%y%z# в ее новое
положение, так и направляющие косинусы /, га, га оси такого поворота.
Существенно отметить, что помимо угла φ, находящегося в
интервале (0, π), можно указать также угол φ', уже в интервале
'(— π, 0), такой, что 1+2 cos φ' = 1 + 2 cos φ. Очевидно, что
углы φ и φ' отличаются друг от друга лишь знаком. Если, далее,
найти направляющие косинусы /', га', п' оси конечного вращения,
соответствующие углу φ', то и они окажутся противоположного
знака по сравнению с величинами /, га, #т Однако из этого следует,
что поворот тела на угол φ' = — φ вокруг полупрямой, заданной
направляющими косинусами V, т', п\ и поворот на угол φ
вокруг первоначальной полупрямой (направление которой
определяется косинусами /, га, п) представляют собой одно и то же.
Углы вида φ -\- 2кл и φ' + 2&'π, где к ж к' — любые целые
числа, также, разумеется, представляют собой решения задачи об
отыскании конечного поворота, соответствующего одной и той же
таблице (2.1.24). Однако очевидно, что все они приводят лишь к
дополнительным вращениям тела вокруг той же самой оси на целое
число полных поворотов, каждый раз возвращающих тело в одно
и то же конечное положение.
Заметим в заключение, что посредством формул (2.1.27) и
(2.1.28) с учетом равенства (2.1.14) можно прийти после
исключения угла φ к интересному тождеству
(*23 — *32)2 + («81 ~ *1з)2 + (*12 — *2l)2 + (*Ц + *22 + *33^1)2 = *·
(2.1.29)

§ 2. КРЕН, ДИФФЕРЕНТ, КУРС ПРИ КОНЕЧНОМ ПОВОРОТЕ 81
В нем содержатся в симметричной форме все элементы таблицы
косинусов углов между осями двух произвольных
прямоугольных систем координат.
§ 2. Изменение величин крена, дифферента и курса
при конечном повороте корабля
вокруг произвольной оси
Испытание в лабораторных условиях гироскопических
устройств можно проводить, заставляя корпус, в котором они
заключены, совершать конечные повороты вокруг некоторой наклонной
оси. Если гироскопы стабилизируют внутреннее кольцо кар-
данова подвеса в горизонте и, кроме того, сохраняют в этой
плоскости некоторое направление, в частности на север, то при
упомянутых поворотах корпуса на шкалах подвеса будут
регистрироваться крен θ и дифферент ψ основания устройства, а на
внутреннем кольце — угол κ между стабилизированным направлением
и курсовой чертой (см. § 1 гл. I).
Примем, что в исходном положении корпуса карданова подвеса
углы θ и ψ равны нулю, а угол κ равен некоторой величине κ0.
Задачей дальнейшего является определение величин θ, ψ, а
также разности χ между величинами κ и к0 по заданному конечному
повороту корпуса карданова подвеса от исходного положения
вокруг оси, расположение которой относительно корпуса подвеса
также задано. Такая же задача возникает при подсчете изменения
крена, дифферента и курса корабля после его конечного углового
перемещения из одного положения в другое. Действительно,
согласно известной теореме кинематики, любое такое перемещение
можно совершить посредством единственного конечного поворота
корабля вокруг соответственно подобранной оси. С другой
стороны, при заданном местоположении корабля совокупность
величин: крена, дифферента и курса — определяет его ориентацию
в пространстве единственным образом.
Итак, пусть в соответствии с обозначениями, принятыми в § 1,
с корпусом карданова подвеса связана система координат xyz,
причем ось у направлена по оси внешнего кольца подвеса. Будем
считать, что в исходном положении (Θ — ψ — 0) плоскости обоих
колец совпадают с плоскостью ху.
Обозначим буквой ν (см. рис. 34) ось, вокруг которой может
совершать повороты корпус карданова подвеса вместе с системой
координат xyz. Пусть x%y%z% — исходное положение этой системы,
при котором плоскость х^у* горизонтальна. Как и в предыдущем
параграфе, угол между осью ν и плоскостью х*у* обозначим
буквой β, а угол между осью х% и проекцией g оси ν на эту
плоскость — через а. Рассмотрим далее вспомогательную систему

82 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рис. S5 Рис. 36
координат u%v%w% (рис. 35), ось ν% которой совпадает с осью vb
вокруг которой может поворачиваться корпус карданова подвеса;
ось щ лежит в плоскости х*у* и перпендикулярна прямой g,
образуя тем самым угол π/2—α с осью х%; ось w% перпендикулярна
осям и% и v#, составляя вместе сними правую систему координат
Очевидно, что угол между осями w% и z% также равен β.
Таблицу косинусов углов между осями систем координат u^v^w^
и х*у%г% нетрудно построить, подсчитав, например, проекции на оси
^*'#*>z* единичных отрезков, расположенных на осях u%,v^w%
(см. рис. 35). Она имеет вид
*£# У* z*
и* sin α — cos α 0
tt · a - α ι2·2·1)
v% cos α cos ρ sin α cos ρ sin β ч '
u\ — cos α sin β — sin α sin β cos β.
В соответствии с постановкой задачи, до поворота корпуса под"
веса вокруг оси υ (ν%) оси связанной с ним системы координат
xyz соответственно совпадали с осями системы x*y*z% и,
следовательно, плоскость ху была горизонтальна. Введем систему
координат uvw, которая, так же как и система xyz, связана с корпусом
карданова подвеса. Оси системы uvw до поворота корпуса
подвеса соответственно совпадают с осями системы координат u^v^w^.

§ 2. КРЕН, ДИФФЕРЕНТ, КУРС ПРИ КОНЕЧНОМ ПОВОРОТЕ 83
и
V
W
и*
cos φ
0
sin φ
ν*
0
1
0
w*
— sin φ
0
cos φ.
Очевидно, что таблица косинусов углов между осями систем
координат uvw и xyz имеет точно такой же вид, что и таблица
(2.2.1) косинусов углов между осями систем координат щи%ю%
xyz
и sin α — cos α 0
β α - а (2·2·2)
ν cos α cos β sin α cos β sin β ч '
w — cos α sin β — sin α sin β cos β.
После поворота корпуса подвеса на угол φ вокруг оси ν (рис. 36),
постоянно совпадающей с осью у„., косинусы углов между осями
систем uvw и ιι%ν%ιυ% образуют таблицу
(2.2.3)
Используя таблицы (2.2.1) и (2.2.3), можно построить таблицу
косинусов углов между осями систем координат uvw и х*у^%.
В частности, например,
COS X%U — COS X%U% COS U%U -f COS X*V% COS V#U -f- COS X%W% COS W%U =
= sin α cos φ -f cos α sin β sincp. (2.2.4)
Искомая таблица имеет вид
·£# У* z*
и cos α sin β sin φ + sin α sin β sin φ — — cos β sin φ
+ sin α cos φ — cos α cos φ
ν cos α cos β sin α cos β sin β
in — cos α sin β cos φ + — sin α sin β cos φ —
+ sin α sin φ — cos α sin φ cos β cos φ.
(2.2.5)
Таблицы (2.2.2) и (2.2.5) определяют косинусы углов между
осями систем координат xyz, х*у^% и осями одной и той же
системы координат uvw. Это позволяет построить следующую таблицу

84 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
косинусов углов между осями систем координат xyz и χ*υ*ζ%:
%* У* ζ*
χ μ cos2 α cos β + μ cosasin acos β + —sin a cos β8ΐηφ +
+ cos φ + sin β sin φ + Iх cos a sinp
у μ cos a sin a cos β — μ sin2 a cos β -j- cos a cos β sincp +
— sin β sin φ + cos φ -f μ sin a sin β
ζ sin acos β sin φ + —cos a cos ββίηφ-Ι- 1 — μ cos β,
-f μ cos a sin β + μ sin asin β (2 2 6)
где
μ = (1 — cos φ) cos β. (2.2.7)
Таблица (2.2.6) содержит косинусы углов между осями двух
систем координат, получающихся одна из другой посредством
конечного вращения на угол φ относительно оси, проходящей через
их начало. Предложенный здесь способ получения такой таблицы
представляется одним из наиболее простых. В предыдущем
параграфе был указан чисто аналитический вывод элементов той же
таблицы.
По предположению, внутреннее кольцо карданова подвеса
стабилизировано в горизонте. Следовательно, ось ζ,
перпендикулярная плоскости внутреннего кольца подвеса, и ось ζ%,
перпендикулярная горизонтальной плоскости, совпадают, а косинусы их
углов с осями х, у и ζ соответственно равны между собой.
Таблица косинусов углов между осями системы координат ξηζ
(связанной с внутренним кольцом карданова подвеса) и осями
системы координат xyz имяет тот же вид, что и таблица (1.1.4),
а именно:
xyz
ξ cos θ 0 sin θ
(2 2 8)
η — sin θ sin ψ cos ψ cos θ sin ψ
ζ —sin θ cos ψ —sin ψ cos θ cos ψ.
Используем теперь таблицы (2.2.6) и (2.2.8) для сравнения
косинусов углов, которые образуют соответственно оси ζ и ζ% с осями
х, у и z. В итоге с учетом обозначения (2.2.7) получаем три
соотношения:
— sin θ cos ψ = (1 — cos φ) cos a cos β sin β — sin a cos β sin φ,
— sin ψ = (1 — cos φ) sin a cos β sin β + cos a cos β sin φ,
cos θ cos ψ = (1 — cos φ) sin2 β + cos φ, (2.2.9)
каждое из которых является следствием двух остальных.

§ 2. КРЕН, ДИФФЕРЕНТ, КУРС ПРИ КОНЕЧНОМ ПОВОРОТЕ 85
Соотношения (2.2.9)
позволяют при известных величинах
углов α, β и φ найти углы θ и
ψ поворота внешнего кольца
подвеса относительно корпуса
и внутреннего кольца
относительно внешнего. Если считать
углы β и φ небольшими, а
азимутальный угол α
произвольным, то, согласно первым двум
соотношениям (2.2.9), с
точностью до членов второго
порядка включительно
относительно переменных β и φ, имеем
θ = φ sin α,
ψ = _ φ cos α. (2.2.10)
Формулы (2.2.10) можно
несколько уточнить, если
разложи! ь правые части
соотношений (2.2.9) по степеням β и φ
и удержать в них члены, до
третьего порядка включительно. При этом в аналогичных
разложениях по степеням θ и if) левых частей соотношений (2.2.9)
надлежит члены высших порядков относительно эгих переменных
заменить выражениями (2.2.10). В результате получим
следующие формулы:
Рис. 37
111
θ = φ sin α <г β φ2 cos α Υ β2 Φδίηα+Τ"Φ3
cos^ α sin α*
ψ = __ φ cos α γ βφ2 sin α + — β2φ cos α + — cp3cosasin2a.
(2.2.11)
При угле φ, равном нулю, оси систем координат ξηζ, xyz и
#*#*Ζ* соответственно совпадают. При отличной от нуля величине
угла φ система координат ξηζ, связанная с внутренним кольцом
карданова подвеса, оказывается повернутой вокруг оси ζ
относительно неподвижной системы координат x*y*z* на некоторый
угол χ (рис. 37), равный, как уже указывалось выше, разности
углов κ и κ0. Используя таблицы (2.2.8) и (2.2.6), а также
формулу (2.2.7), находим
cos ξί/ψ—· — sin χ = cos ξχ cos xy^ -f- cos ξζ/ cos yy% + cos ξζ cos zy%==
= cos θ [(1 — cos φ) cos a sin a cos2 β + sin β sin φ] -f-
-f- sin θ [(1 — cos φ) sin a cos β sin β — cos a cos β sin φ].
(2.2.12)

86 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Таким образом, соотношение (2.2.12) определяет упомянутый
угол χ, на который повернется вокруг оси ζ внутреннее кольцо
подвеса от своего исходного положения при конечном повороте
корпуса подвеса вокруг оси ν на угол φ. При %>0 внутреннее
кольцо оказывается повернутым относительно своего исходного
положения (когда χ — 0) по часовой стрелке, если наблюдать
за вращением сверху. Следовательно, угол κ между
стабилизированным направлением в горизонтальной плоскости и осью η
в этом случае увеличивается на величину угла χ (см. рис. 37)
по сравнению с тем значением κ0, которое он имел при φ — 0.
Если ограничиться при подсчете величины угла χ членами
второго порядка относительно переменных β, θ и φ, то из соотношения
(2.2.12) получим
χ = —β φ — у φ2 cos α sin α + θ φ cos α. (2.2.13)
Подставляя сюда, согласно (2.2.10), выражение для Θ, приходим
к окончательной формуле
χ = —β φ + γ φ2 cos α sin α. (2.2.14)
Более точное выражение для величины угла χ можно получить
аналогично предыдущему, сохраняя в разложениях правой и
левой частей соотношения (2.2.12) члены более высокого порядка
относительно переменных β, φ и χ.
Отметим, что поворот внутреннего кольца подвеса в
горизонтальной плоскости от исходного положения (т. е. когда φ — 0)
оказывается, согласно формуле (2.2.14), различным при
отклонении корпуса на один и тот же по абсолютному значению угол φ
вокруг оси у, но в разных направлениях.
Числовой пример. Пусть корпус подвеса совершает колебания с
амплитудой φα = 0,300 (17°11,3') вокруг оси ν, образующей с горизонтальной
плоскостью угол β = 0,200 (11°27,5'), причем проекция этой оси на плоско сть
ху делит угол между осями χ и у пополам, т. е. α = 45°. Согласно
приближенным формулам (2.2.10) и (2.2.14), имеем:при φ =+0,300 θ = 0,2121 (12°9,3'),
ψ = - 0,2121 (— 12°9,3'), χ = — 0,03750 (— 2°8,9'). Если же φ = — 0,300,
то θ = — 0,2121 (— 12°9,3'),ψ = + 0,2121 (12°9,3'), χ = + 0,08250 (4°43,5').
Заметим, что если подсчитать углы θ, ψ и χ, исходя из основных соотношений
(2.2.9) и (2.2.12), то получим, что при φ = + 0,300 θ = 0,2046 (11°43,5'),
ψ = — 0,2125 (— 12°10,7'), χ = — 0,03812 (— 2°11,1'), а при φ = — 0,300
θ = — 0,2169(— 12°25,8'), ψ = 0,2000 (11°27,5'), χ = 0,08188 (4°41,5').
Таким образом, точность подсчета по приближенным формулам (2.2.10) и
(2.2.14) величин θ и ψ удовлетворительна до второго, а для величины χ—даже
до третьего знака после запятой. В третьем же знаке верны результаты
вычислений величин θ и ψ по более точным формулам (2.2.11). Действительно, здесь
при φ = + 0,300 θ = 0,2047 (11°43,7'), ψ = — 0,2127 (— 12°,11,1/), а при
φ = _ 0,300 θ = — 0,2174 (— 12°27,5'), Ψ = 0,1999 (11°27,3').

§ 3. ПАРАМЕТРЫ РОДРИГА-ГАМИЛЬТОНА И КВАТЕРНИОНЫ 87
Дифференцируя по времени выражения (2.2.10) для θ и ψ и
(2.2.14) для χ, нетрудно получить соответствующие выражения для
угловых скоростей поворота внешнего кольца относительно
корпуса подвеса, внутреннего кольца относительно внешнего и,
наконец, угловую скорость вращения внутреннего кольца в азимуте
по отношению к неподвижной системе координат χ%ι/%ζ%.
Полагая, в частности, в формулах (2.2.10) и (2.2.14)
φ = φα sin ωί, (2.2.15)
получаем для углов θ, ψ и χ выражения
θ — φα sin α sin ωΐ,
ψ = _ φα cos α sin ωί, (2.2.16)
χ = — β φα sin ωί Η—γ φ| sin α cos α sin2 ωί =
1 1
= ~ο~Ψα S*n ^α— β Φα S*n ωί *Γ Φα S*n ^α C0S ^ω*>
откуда
-тг = ωφα sin α cos ωί,
—ϊ = — (oq)acosacos(D£, (2.2.17)
ά,Ύ 1
-jjf = — ω β φα cos ωί + -τ- ω φ2 sin 2a sin 2ωί.
Движение внутреннего (стабилизированного в горизонте) кольца
состоит в данном случае из наложенных друг на друга
гармонических колебаний вокруг вертикальной оси ζ с частотами ω и 2ω.
§ 3. Параметры Родрига — Гамильтона и кватернионы
В теории конечных вращений известную роль играют так
называемые параметры Родрига — Гамильтона, которые вводятся
следующим образом. Каждому повороту тела на угол φ вокруг оси ν
с направляющими косинусами Ζ, m и η в заданной исходной
системе координат x*y%Zx ставятся в соответствие четыре числа
Φ 7 · Φ
р0 = cos -f-, Pi = Ζ sin -£- ,
φ . φ
= m sin -γ , Рз = п sm -γ
(2.3.1)
связанные друг с другом очевидным соотношением
Pl + pi + р\ + Pt = 1. (2.3.2)

88 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
X
У
ζ
х%
2pJ + 2р\ - 1
2ριΡ2 — 2р0Рз
ΖΡιΡά + ЗроРг
У*
2ρλρ2 + 2р0р3
2р1 + 2р\ - 1
2РгРз — 2ΡοΡι
Ч
2piP3 — 2PoPi
2Р2р3 + 2PoPl
2pl + 2ρ| - 1
Они и называются параметрами Родрига — Гамильтона *.
Обратимся теперь к таблице (2.1.24) § 1 настоящей главы,
содержащей косинусы углов между осями двух систем координат
#*#*ζ* и xyz (вторая из них образуется из первой в результате
поворота на угол φ вокруг той же оси ν). Эту таблицу можно
представить, учитывая формулы (2.3.1), в виде
(2.3.3)
В самом деле, достаточно подставить здесь вместо величин р0,
Pit P21 Рз их представления (2.3.1) и воспользоваться
простейшими формулами для тригонометрических функций двойного
угла, чтобы вернуться к таблице (2.1.24).
Пусть теперь система координат xyz повернулась на угол φ'
вокруг некоторой оси ν' и перешла в положение x'y'z''. Косинусы
углов оси ι/ с осями х, у, ζ обозначим через V, т', п'. Введем
параметры
ф' 7/ · ф'
q0 = cos -γ- , ?ι = I sin -|- ,
(2.3.4)
q2 = m sm-y , q3 = /г δΐηγ ,
соответсавующие второму повороту. Тогда на основании только
что изложенного элементы таблицы
xyz
2^ + %q\ — 1 2ад2 + 2q0q3 2q±qz — 2ад2
2^ — 2q0q3 2q\ + 2q\ — 1 2?2g3 + 2^
2gi?8 + 2?o?» 2gra?8 - 2?0<7i 2^ + 2g| — 1
(2.3.5)
представляют собой косинусы углов между осями системы
координат x'y'z' и системы xyz. Первая из них получается из второй
в результате конечного поворота, характеризующегося
параметрами (2.3.4). Разумеется, аналогично тождеству (2.3.2) имеем
ql + ql + gt+ql = i. (2.3.6)
Очевидно, что система координат x'y'z' может быть также
непосредственно образована конечным поворотом исходной системы x%y%z%
на надлежащий угол σ вокруг некоторой оси d. Геометрическое
определение величины σ и направления d дается известной теоре-
* См. Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961,

§ 3. ПАРАМЕТРЫ РОДРИГА — ГАМИЛЬТОНА И КВАТЕРНИОНЫ 89
мой Шаля *. Для аналитического решения той же задачи
введем параметры
г0 = cos -у-, Γι = a sin у- ,
(2.3.7)
га = Ъ sin у- , г3 = с sin у- ,
где а, Ь, с — направляющие косинусы оси d в системе координат
x*y#z# (и точно так же в системе x'y'z). Отыскание угла σ и
направления оси d сводится тем самым к вычислению параметров
го> ri> г2> гз по известным совокупностям параметров р0, рх, р2,
Рз и Яо> Яи Яъ-> Яз> соответственно характеризующим повороты из
положения χ*ν*ζ% в xyz и из последнего в положение x'y'z''.
По аналогии с таблицей (2.3.3) можно построить следующую
таблицу косинусов углов между осями систем координат x*y*z*
и x'y'z', элементы которой выражены через параметры г0, гъ г2,
(2.3.8)
Однако элементы этой же таблицы можно выразить через
параметры р0, рх, р2, р3 и q0J qly q2y q3. Для этого следует лишь
воспользоваться изложенным в § 1 предыдущей главы методом построения
таблицы косинусов углов между осями двух систем координат по
уже известным двум другим таблицам косинусов углов. Эти
последние содержат соответственно косинусы углов между осями
каждой из данных систем координат и осями какой-либо
вспомогательной системы. В данном случае вспомогательной является
система координат xyz. Имеем, в частности,
cos хх% = cos χ'χ cos χχ% + cos χ'у cos yx% + cos x'z cos zx%
cos x'y% — cos x'x cos xy% + cos x'y cos yy% + cos x'z cos zy%
и т. д. (2.3.9)
Подставляя сюда данные таблиц (2.3.3), (2.3.5) и (2.3.8), приходим
к уравнениям
2rl + 2г\ - 1 = (2q20 Η- 2gJ - 1 )(2pl + 2Ρ{ - 1) +
+ (2?ι?2 + 2д0?з) (2ριΡ2 -2>РоРз) + (^ЯгЯз ~ 2?0?а) (2>РгРз + 2/?0р2),
г»>
xr
У'
ζ'
а именно:
·*-#
24 + 2r\ - 1
2гхгг — 2r0rs
2ггг3 + 2r0r2
г/*
2?у2 + 2r0r3
2ri + 2rJ - 1
2r2r3 — 2r0rx
Z*
2γλ — 2r0r2
2r2r3 + 2γ0γχ
2r? + 2i$ - 1
б'ле. § 6 гл. Ill втой книги.

90 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
г*,у
&#><£
Рис. 38
Рис. 39
2г,г2 + 2г0г3 = (2<tf + 2q\ - 1) ((2Plp2 + 2РоРз) +
+ (2ίι?2 + 2ЯоЯз) (2po + 2ρϊ — l) + (2?!g8—2g0ya) (2p2p3—2poPl)
и т. д. (2.3.10)
Всего таких уравнений девять. Они содержат четыре неизвестных
го> Γι> г2> гз> удовлетворяющих, кроме того, соотношению
го + rt + r\ + rl = 1. (2.3.11)
Можно непосредственно убедиться, что уравнения (2.3.10)
и соотношения (2.3.11) обращаются в тождества, если в них
положить
Го = РоЯо — РхЯг — Р2Я2 — РзЯз,
гг = Р1Я0 + P0Q1 ~ Р3Я2 + Р2Я31
г2 - Р2Я0 + РзЯг + P0Q2 — PiQs,
Гз = РзЯо — Р2Я1 + P1Q2 + РоЯз-
(2.3.12)
Формулы (2.3.12) совместно с выражениями (2.3.7) позволяют
найти угол конечного поворота σ и направление оси d для перевода
системы координат x*y*z* сразу в положение x'y'z без
предварительного перехода в промежуточное положение xyz. Структура
этих формул будет пояснена несколько ниже.
Приведем пример. Пусть система координат x*y*z% повернулась вокруг оси
х% на угол φ = π/2 против стрелки часов (если наблюдать за вращением со
стороны положительного направления этой оси) и заняла положение xyz (рис. 38).
В этом случае I — 1, т = 0, η = 0. Согласно формулам (2.3.1), такому
конечному повороту будет соответствовать следующая совокупность
параметров Родрига—Гамильтона: ро = V~2 /2, />ι = "|/"2/2, рг = 0, ^з^О.

§ 3. ПАРАМЕТРЫ РОДРИГА — ГАМИЛЬТОНА И КВАТЕРНИОНЫ 91
Повернем далее систему xyz вокруг
'**& оси у также на угол π/2 (и тоже
против стрелки часов) в положение
x'y'z' (рис. 39).
Имеем теперь φ' = π/2, V = О,
т' = 1, п' = 0. Согласно формулам
2Л (2.3.4), этот поворот будут характе-
J ризовать параметры до = 1^2/2,
V. <7i = 0, ?2 = /2"/2, дз=0.
^ч. Воспользуемся далее равенствами
^\ (2.3.12). Получим параметры
Ζ*"7' Г0 = V2, ГХ = V2, Г2 = V8, ГЗ = V2,
Рггс. ^0 соответствующие конечному повороту
системы координат х*у*г%
непосредственно в положение x'y'z' (рис. 40).
Угол σ этого конечного поворота, согласно первой формуле (2.3.7) и только
что найденному значению параметра г0, равен 120°. В свою очередь
косинусы а, 6, с углов оси d с осями х%, у% и ζ*, согласно остальным формулам (2.3.7)
и числовым значениям других параметров, оказываются одинаковыми и
равными 1/1^3. Таким образом, оси системы координат x'y'z' должны совпасть с
соответствующими осями системы х%у^% после поворота последней на угол
120° вокруг прямой, равнонаклоненной к ее осям х%, у% nzr Нетрудно видеть
(см. рис. 40), что это именно так.
Некоторую систематизацию вычислений, связанных с
нахождением параметров Родрига — Гамильтона, доставляют так
называемые кватернионы — гиперкомплексные числа вида
Ρ = Ро + tPi + /р2 + кр.а (2.3.13)
с одной действительной и тремя мнимыми единицами i, / и к *.
Здесь р0, рг, р2 и р3 — параметры Родрига — Гамильтона,
определяемые по-прежнему формулами (2.3.1). Произведения мнимых
единиц самих на себя и друг на друга, по определению,
подчиняются правилам
ρ = /2 = к2 = - 1;
β = U kj = — ί; (2.3.14)
ki = /, ik — — /;
ij = к, ji = — к.
Поэтому произведение двух кватернионов ρ и q, первый из которых
* Klein F., S о т т е г f e I d A. Uber die Theorie des Kreisels. Η. 1—4,
Leipzig—Berlin, Teubner, 1897/1898—190311910.
'~, rrf

92 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
представляется формулой (2.3.13), а второй имеет вид
Я = Уо + Щ\ + т + кЯ-б, (2.3.15)
оказывается снова кватернионом. Введем для последнего
обозначение
г = r0 + irx + /га + krs. (2.3.16)
Учитывая формулы (2.3.14), немедленно получаем равенства, в
точности воспроизводящие формулы (2.3.12) для параметров
Родрига — Гамильтона, соответствующие результату двух
последовательных конечных поворотов, первый из которых
характеризуется совокупностью параметров р0, pv p2, р3, а второй —
Яо) Ян Я*, Яз- Следовательно, каждую совокупность параметров
Родрига — Гамильтона можно поставить во взаимное соответствие
некоторому кватерниону, представляемому выражением типа
(2.3.13). Кватернион г, соответствующий результату двух
конечных поворотов, является произведением кватернионов ρ и q
г = p®q, (2.3.17)
где ρ — кватернион первого поворота, a q — второго, причем
символ умножения кватернионов обозначен через Θ.
Нетрудно убедиться, принимая во внимание правило
перемножения мнимых единиц (2.3.14), что в общем случае
Ρ © Я Φ Я® Р- (2.3.18)
Последнее неравенство указывает на непереставимость двух
последовательных поворотов. Именно, положение тела в результате двух
конечных поворотов изменится, если второй поворот произвести
ранее первого (и если, конечно, оси их не параллельны).
Компонента р0 в выражении кватерниона (2.3.13) называется
скалярной частью кватерниона р, а сумма
p = iPl + /ра + кРз (2.3.19)
его векторной частью. Таким образом,
Ρ = Ро + Р. . (2.3.20)
Произведение (2.3.17) двух кватернионов ρ и q можно теперь, как
нетрудно проверить, используя формулы (2.3.14), выразить в
следующем виде:
Р®Я==РоЯо — Р'Я+РоЯ + ЯоР+Р X ?. (2.3.21)
Здесь p-q — скалярное произведение векторных частей
кватернионов ρ и д, т. е. выражение
p-q =Р!?! + Р2Я2 + РэЯ-г-
(2.3.22)

§ 4. КВАТЕРНИОНЫ В ЗАДАЧАХ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ 93
В свою очередь
\ i j к \
Ρ X 2= Pi P2 Рз = г(?2?з — Рз?2) +/(Ps?i—Pi?s)+A(Pi?2—?2?ι)·
Ι ?ι ?2 ?з I (2.3.23)
представляет собой векторное произведение тех же частей.
Формулы (2.3.21) — (2.3.23) удобны для вычислений.
Наличие же в равенстве (2.3.21) векторного произведения ρ Χ q
лишний раз показывает справедливость в общем случае неравенства
(2.3.18). Исключение составляет случай ρ X q = 0, чему
соответствует параллельность векторов ρ и q и, следовательно, совпадение
осей конечного поворота.
Формулы (2.3.12) получаются также и из равенства (2.3.21),
если собрать в правой части последнего отдельно скалярную часть
кватерниона и коэффициенты при мнимых единицах ί, /, к и затем
приравнять их соответственно скалярной части и коэффициентам
при тех же мнимых единицах кватерниона г. При этом следует
учесть формулы (2.3.17), (2.3.16), а также (2.3.13) и (2.3.15).
§ 4. Применение кватернионов
к геометрическим задачам кардановых подвесов
Используем теперь теорию конечных вращений с применением
кватернионов (или, что, по существу, одно и то же, параметров
Родрига — Гамильтона) для решения иным путем задачи,
рассмотренной в § 1 предыдущей главы. Упомянутая задача
заключалась в отыскании угла взаимного поворота стабилизированных
в горизонте внутренних колец двух кардановых подвесов при
качке корабля. Оси внешних колец подвесов взаимно
перпендикулярны и обе параллельны плоскости палубы корабля (см. рис. 3, а
и 3, б).
Поворот внешнего кольца первого карданова подвеса
относительно палубы происходит вокруг оси у, параллельной
продольной оси корабля, на угол θ (крен корабля) по стрелке часов, если
наблюдать за вращением со стороны носа корабля (см. рис. 3, а
и 4). Соответствующий кватернион, согласно формулам (2.3.13)
и (2.3.1), имеет следующий вид:
ρ = cos -g / sin -γ . (2.4.1)
Η свою очередь поворот внутреннего кольца подвеса (стабили-
лированной площадки) вокруг своей оси относительно внешнего
кольца характеризуется кватернионом
g^cos|- +isin-| . (2.4.2)

94 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Здесь угол ψ (дифферент корабля) отсчитывается против стрелки
часов, если наблюдать за вращением со стороны правого борта,
т. е. положительной части оси ξ, совпадающей при θ = 0 с осью
х. Последняя параллельна поперечной оси корабля.
Произведение
θ Ψ,. θ. ψ ..θ ψ ,
г = ρ® q = cos -γ cos -γ + ι cos -у sin ^ ; sin -γ cos -γ -\-
+ &sin4-sinJ^ (2.4.3)
2 °,ΙΑ 2
определяет кватернион г, характеризующий расположение
внутреннего кольца первого подвеса и связанной с ним системы
координат ξηζ относительно корпуса корабля, т. е. системы
координат xyz. При углах θ и ψ, одновременно равных нулю, оси этих
систем соответственно совпадают, а кватернион г обращается в
действительную единицу (г0 = 1, гх = г2 = г3 = 0).
Во втором подвесе ось (см. рис. 3,6 и 5) внешнего кольца
параллельна поперечной оси корабля, поэтому кватернион поворота
этого кольца имеет вид
q* = cos |- + i sin |- . (2.4.4)
Здесь ψ* — угол поворота внешнего кольца относительно корабля,
положительное направление отсчета которого такое же, как и
угла ψ. Далее, кватернион р*, соответствующий повороту на угол
Θ* внутреннего кольца второго карданова подвеса относительно
его внешнего кольца, представляется по аналогии с формулой
(2.4.1) выражением
ft* ft*
ρ* = cos -2 j sin γ- . (2.4.5)
Их произведение
имеет вид
г* = д·©^ (2.4.6)
θ* ψ* . θ* . ψ* . . θ* ψ*
Г = COS γ- COS -ту (- £ COS -у Sin -^ ] Sin у COS ~
— Asin-^-sin-f . (2.4.7)
Кватернион г* характеризует расположение системы координат
ξ*η*ζ*, связанной с внутренним кольцом второго подвеса,
относительно системы xyz, т. е. корпуса корабля. По условию задачи
плоскости ξη и ξ*η* обоих внутренних колец параллельны, и
требуется найти угол X их взаимного разворота (см. рис. 6). С
внутренними кольцами первого и второго подвесов соответственно
связаны системы координат ξηζ и ξ*η*ζ*. Поэтому, если повернуть
систему ξηζ в надлежащем направлении вокруг оси ζ (параллель-

§ 4. КВАТЕРНИОНЫ В ЗАДАЧАХ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ 95
ной оси ζ*), то ее другие оси ξ и η станут соответственно
параллельными осям |* и η* системы координат ξ*η*ζ*, связанной с
внутренним кольцом второго подвеса. Согласно изложенному
выше, кватернион, характеризующий такой поворот, имеет вид
s = cos -|- — к sin -|- , (2.4.8)
где X — угол поворота системы координат ξηζ вокруг оси ζ по
часовой стрелке, если X ^> 0 и наблюдать за вращением со
стороны положительного направления этой оси (см. рис. 6). Если теперь
перемножить кватернионы г и s, то получим новый кватернион,
соответствующий угловому перемещению системы координат
ξηζ из положения xyz в положение ξ*η*ζ*. Однако
непосредственному повороту системы координат ξ*η*ζ* из положения xyz
соответствует кватернион г*. Следовательно,
res = r*. (2.4.9)
Правая часть последнего равенства выражается формулой (2.4.7).
Чтобы получить его левую часть, следует перемножить (используя
правила (2.3.14) умножения мнимых единиц) кватернионы, пред
ставленные формулами (2.4.3) и (2.4.8); имеем
^ θ ψ Χ , · θ . ψ . χ .
г © s = cos -у cos -у cos -у + sin -у sin -у sin -у- +
ι 7 θ . ψ χ..θ Ψ · Χ \
+ l\ COS -γ Sin -γ COS -γ -f- Sin -γ COS -γ Sill -γ ] —
. / . θ ψ χ θ . ψ . χ \ ,
— у ( sin -γ cos -у- cos -£ cos -у sin -γ sin -γ- J +
(θ lb γ ft ib Υ \
sin -y sin -y cos -| cos-rr-cos-y sin -y J . (2.4.10)
Два кватерниона, в частности кватернионы г θ б* и г*,
представляющие конечные повороты, равны, если одинаковы их скалярные
и векторные части. Поэтому, согласно формулам (2.4.7), (2.4.10)
и соотношению (2.4.9), получаем четыре равенства:
θ ψ χ , . θ . ψ . χ θ* ψ*
COS -у COS -γ COS -у + Sjn -γ Sin -у Sin -у = COS -у COS -у ,
θ . ψ Χ , . θ ψ . χ θ* . V
COS -у Sin -у COS -у + Sin -у COS -у Sin -у = COS -у SJn -у ,
θ ψ χ , θ . ψ . χ .θ* ψ*
— sin — cos -у cos -у + cos -у sin -у sin -у = — sin -у cos -у ,
θ . ψ χ θ Ψ . Χ · θ* . ψ*
sin -у sin -у cos ~ cos -у cos -у sin -γ = — sin -у sin -у ,
(2.4.11)
из которых в силу соотношений типа (2.3.2) независимых лишь
три.

$6 ГЛАВА II, КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Равенства (2.4.11) следует в данном случае рассматривать как
уравнения для отыскания неизвестных величин θ*, ψ* и χ по
заданным θ и ψ. Перемножим отдельно левые и правые части первого
и третьего уравнений (2.4.11) и приравняем полученные
результаты. Произведем такую же операцию со вторым и четвертым
уравнениями (2.4.11), а затем сложим соответственно левые и правые
части полученных равенств и эти суммы также приравняем друг
ДРУГУ· В итоге не слишком громоздких выкладок, используя
простейшие формулы тригонометрии, придем к соотношению
sin θ cos ψ = sine*, (2.4.12)
позволяющему найти угол Θ* по известным углам θ и ψ. Оно
совпадает с первым из соотношений (1.1.9), полученных в § 1
предыдущей гла^ы другим способом. Посредством аналогичных
выкладок можно прийти и к остальным равенствам § 1, в частности к
формуле (1.1.12) для отыскания кардановой ошибки, т. е.
величины угла χ. В последнем случае надо перемножить левые части
лервого и четвертого равенств (2.4.11), а также второго и третьего
и результаты сложить. То же следует проделать и с правыми
частями тех же равенств и обе суммы приравнять друг другу. После
несложных тригонометрических преобразований получим
— cos ψ sin χ = — sin θ* sin ψ*. (2.4.13)
Если учесть здесь еще соотношение (2.4.12), то выражение для
χ представится в виде искомой формулы (1.1.12), а именно:
sin χ = sin θ sin ψ*. (2.4.14)
Эту же формулу можно вывести еще и иным путем. Рассмотрим
последовательность поворотов от системы координат ξηζ,
связанной с внутренним кольцом первого подвеса, к системе ξ*η*ζ*,
з свою очередь связанной с внутренним кольцом второго подвеса.
Эта последовательность состоит из поворота внешнего кольца
первого подвеса относительно внутреннего вокруг оси ξ на угол ψ
по стрелке часов, поворота системы координат xyz, связанной с
кораблем, относительно внешнего кольца первого подвеса вокруг
оси у на угол θ против стрелки часов (см. рис. 3, α и 4) и уже
рассмотренных выше двух поворотов (2.4.4) и (2.4.5), приводящих в
конечном счете (см. рис. 3, б и 5) к системе координат ξ*η*ζ*.
Соответствующие перечисленным поворотам кватернионы имеют
яид
g x = cos -| ι sin -у-, ρ = cos -γ- + j sin -y
ψ* , . . ψ* ± θ* . . θ*
q% = cos -γ + ι sin -γ , ρ* = cos ~2 ] sin -y
(2.4.15)

§ 4. КВАТЕРНИОНЫ В ЗАДАЧАХ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ 97
Произведение этих кватернионов
s = q*1 © ρ'1 © g* © ρ* (2.4.16)
соответствует такому конечному повороту системы координат
ξηζ, после которого ее оси становятся соответственно
параллельными осям системы ξ*η*ζ*. Однако для этой же цели
достаточно повернуть систему ξηζ на угол χ вокруг оси ζ (по стрелке
часов, если наблюдать за вращением со стороны положительного
направления этой оси (см. рис. 6)). Такому повороту как раз и
соответствует кватернион s, представленный формулой (2.4.8).
Произведение кватернионов обладает свойством
ассоциативности *, поэтому соотношение (2.4.16) можно представить в виде
s = г"1 © г*, (2.4.17)
где
г-1 = q"1 © р~\ (2.4.18)
а кватернион г* представляется формулами (2.4.6) и (2.4.7).
Подставим первые два выражения (2.4.15) для кватернионов q"1
и р"1 в равенство (2.4.18); получим
_ι θ Ψ- θ . ψ ... θ ψ
г г = cos -у cos -| ι cos -y sm ~ + у sin -у cos -^
_ к sin 4- sin -f-. (2.4.19)
2 2
Сопоставляя формулы (2.4.3) и (2.4.19), нетрудно заметить, что
справедливы, в частности, равенства
γ"^®γ= 1, г ©г'1 = 1, (2.4.20)
второе из которых геометрически означает возвращение системы
координат ξηζ в исходное положение xyz после двух взаимно
устраняющих друг друга поворотов г и г""1. То же самое,
разумеется, справедливо и по отношению к любым кватернионам вида
ρ = cos -у +i Z sin -|- +/' m sin -y -\-k η sin -y ,
(2.4.21)
ρ ι — cos -7j i / sin -^ / m sin —| /c η sin -y ,
также представляющим взаимно устраняющие друг друга
повороты. В самом деле, предположим для определенности, что
кватернион ρ характеризует конечный поворот некоторого трехгран-
* Б ρ а н е ц В. Н., Шмыглевский И П. Применение
кватернионов в задачах ориентации твердого тела, М., «Наука», 1973. См.
также сноску на стр. 91.
7 А Ю. Ишлинский

98 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ника из положения xyz в ξηζ. Тогда величина φ в первой из
формул (2.4.21) окажется углом этого конечного поворота;
количества /, т, η являются косинусами углов, которые соответственно
образует ось того же поворота как с осями х, г/, z, так и с ξ, η,
ζ. В свою очередь, второе гиперкомплексное число (2.4.21) можно
истолковать как кватернион, соответствующий конечному
вращению вокруг оси, образующей те же углы с осями ξ, η, ζ, что и
ось первого конечного поворота. Однако сам поворот при этом
произойдет на угол —φ, τ. е. в противоположном направлении.
В результате трехгранник совершит два равных, но
противоположных поворота вокруг одной и той же оси и, следовательно,
вернется в исходное положение. Разумеется, тот же результат
получается на основании формального применения правил (2.3.14)
перемножения мнимых единиц. Учитывая также соотношение
(2.3.2), имеем
р©р"1 = р-1©р = 1. (2.4.22)
Вернемся теперь к равенству (2.4.17). Учитывая формулы (2.4.8),
(2.4.19) и (2.4.7), получим
cos-| к sin -f- =
=- cos -γ ί cos -^ ι sin γ Ι + sin у I/cos γ — к sin -γ \
Θ J cos —(cos -|- + i sin |- J — sin γ ί/cos |- + к sin |- j |. (2.4.23)
Сравним теперь скалярные части и коэффициенты при мнимых
единицах в левой и правой частях кватернионного равенства
(2.4.23). В результате, приняв во внимание правила (2.3.14)
умножения мнимых единиц, придем к следующим соотношениям:
χ 0 - θ* ψ*—ψ , . θ . θ* ψ+ψ*
cos -γ = cos -γ cos -γ cos ο Ί" sin ~~2~sin "Τ cos 2 *
θ θ* . ψ*—ψ . θ . θ* . ψ+ψ*
(J = COS -я- COS -^- Sin ■ 0 Sin -?r-Sin -7Γ- Sin - T
Θ
2 vw 2 oxxx. 2 ^xxx 2 oxxx 2 uxxx 2
Λ θ . θ* ψ*—ψ , . θ θ* ιΜ-ψ*
0 = — COS -γ Sin -γ- COS 2 Ύ + Sin -^ COS -y COS Ψ 'τ
χ θ . θ* . ψ*—ψ .θ θ* . ψ*+ψ
Sin ~ = — COS -ΓΓ- Sin -7г Sin ■ 0 — Sin -77- COS -77- Sin
2 — ν,ν,ο 2 — 2 oxxx 2— onx 2 ^o 2 oin 2 .
(2.4.24)
Составим произведение левых частей первого и четвертого
соотношений (2.4.24) и приравняем его произведению правых частей
тех же соотношений. Ту же операцию проделаем над левыми и
правыми частями второго и третьего соотношений (2.4.24).

§ 4. КВАТЕРНИОНЫ В ЗАДАЧАХ КАРДАНОВЫХ^ПОДВЕСОВ 99
В результате придем к двум равенствам:
— 2 sin χ — — cos ψ sin θ* sin ψ* — sin θ sin ψ cos θ* -f-
+ cos 9sini|;sin0* cosij;* — sin θ sin ψ*,
0 — — cos ψ sin Θ* sin ψ* — sin θ sin ψ cos Θ* + (2.4.25)
+ cos θ sin ψ sin Θ* cos ψ* +sin θ sin ψ*.
Сравнивая разность их левых частей и разность правых, вновь
получаем формулу (1.1.12) § 1 предыдущей главы.
Приведем еще один пример применения кватернионов к решению
задач геометрии конечных вращений. Возвратимся к задаче,
решение которой было дано ранее в § 2 настоящей главы посредством
сопоставления таблиц косинусов между осями систем координат,
связанных с поворачивающимися друг относительно друга телами.
Задача заключалась в отыскании крена θ и дифферента ψ,
регистрируемых кардановым подвесом, внутреннее кольцо которого
стабилизировано в горизонте. Корпус карданова подвеса
повернут при этом вместе с кораблем на угол φ вокруг некоторой оси ι?,
наклоненной под углом β к плоскости ху, параллельной палубе
(на рис. 35 оси х, у и ζ изображены в их исходном положении
х%, у% и ζ%). Ось у системы координат xyz, связанной с корпусом
карданова подвеса, является осью внешнего кольца (см. рис. 3, а
и 4).
Направляющие косинусы оси ν в системе координат xyz суть
величины
/ = cos β cos α, m = cos β sin α, η = sin β, (2.4.26)
где α — угол между проекцией оси ν на плоскость ху и осью х.
Кватернион /г, соответствующий конечному повороту корпуса
карданова подвеса на угол φ вокруг оси ζ;, согласно общему
представлению (2.3.13) и формулам (2.3.1), имеет вид
h = cos-|-+J Zsin-y- +j ms'm -|-+&rasin-|-. (2.4.27)
При φ — 0 оси системы координат xyz соответственно совпадают
с осями неподвижной системы х*у^%, плоскость которой
горизонтальна.
Внешнее кольцо при θ ^> 0 оказывается повернутым
относительно корпуса по часовой стрелке, если смотреть со стороны
положительного направления оси у. Следовательно, этот поворот
характеризуется кватернионом
θ θ
p = cos~2 У sin-у-, (2.4.28)
7*

100 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
совпадающим с кватернионом (2.4.1) предыдущей задачи, уже
рассмотренной в этом параграфе. Аналогично кватернион
д = cos -|- + i sin -|- (2.4.29)
характеризует поворот на угол ψ внутреннего кольца
относительно внешнего вокруг оси ξ системы координат ξηζ, связанной с
внутренним кольцом карданова подвеса. Произведение
s=hepeq, (2.4.30)
согласно изложенному в этом параграфе, представляет собой
кватернион, соответствующий непосредственному переводу одним
конечным поворотом системы координат ξηζ из положения x*y*z%
в ее новое положение. Однако в результате последовательных
поворотов, характеризуемых кватернионами /г, ρ и q, плоскость
ξη внутреннего кольца карданова подвеса сохраняется
горизонтальной и, следовательно, параллельной плоскости х*у*. Поэтому
кватернион s должен иметь ту же структуру, что и в формуле
(2.4.8), а именно:
s = cos -|- — к sin -|-, (2.4.31)
где χ — угол поворота по стрелке часов системы координат x^y^z^
вокруг вертикальной оси z% (или, что то же, оси ζ) до
одновременного совпадения оси х% с ξ и у% с осью η.
Кватернион ρ ® q уже был вычислен ранее, и в соответствии с
формулой (2.4.3) он имеет вид
θ Φ , . θ. ψ ..θ ψ .
ρ Θ q = cos -у- cos -γ + ι cos -γ sin -| j sin -γ cos -γ +
+ &sin-|-sin-|-. (2.4.32)
Перемножим теперь, принимая во внимание правила (2.3.14),
кватернионы h и ρ Θ q и обратимся к равенству (2.4.30).
Приравняем действительную и мнимые части, составляющие правую
часть этого равенства, действительной и соответствующим
мнимым частям его левой части, т. е. кватерниона s. Учитывая
формулу (2.4.31) для кватерниона s, придем в результате к следующим
четырем равенствам:
φ θ ψ .
COS у COS у COS у +
, . φ / ι θ. ψ. .θ ψ . θ . ψ\ χ
+ sin γ ( — I cos у sin у + πι sin у cos у — η sin γ sin у) = cos у ,

§ 4. КВАТЕРНИОНЫ В ЗАДАЧАХ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ Ю1
φ θ . ψ ,
COS y COS ySin γ +
, · Φ /ι θ ψ . . θ . ψ . .θ Ψ\ Α
+ sin γ ί / cos γ cos γ + m sin γ sin γ + η sin γ c°s γ 1 = 0,
φ . θ ψ .
— COS γ Sin γ COS γ +
,.φ/,.θ.ψ, θ ψ, θ Ψ\ Λ
+ sin γ ( —-1 sin γ sm γ + m cos γ cos γ + тг cos -^ sm γ) = О,
φ . θ . ψ .
cos γ sin γ sin γ +
, . φ/7.θ ψ θ. ψ, θψ\ .χ
+ sin γ( — Zsm γ cos γ— ra cos ysin γ + tzcosyCos γ)= — sin γ ,
(2.4.33)
из которых независимых лишь три. Их можно рассматривать как
уравнения для определения величин θ, ψ и χ по углу φ и
направляющим косинусам Ζ, га, п. Последние в свою очередь
выражаются через два угла α и β посредством формул (2.4.26).
Умножим левые части второго и третьего равенств соответствен-
A .U А «|,
но на sin γ sin γ и — cos γ cos γ , после чего сложим их. Помно-
θ ψ . θ . ψ
жим их снова, но уже на cos γ cos γ и — sin ysin γ и опять
сложим. В результате несложных преобразований получим два
равенства:
sin θ = — I sin θ sin ψ + 2га (cos2 γ cos2 γ — sin2 γ sin2 γ) +
+ η cos θ sin ψ tg γ ,
sin ψ = — 2Z(cos2 γ cos2 γ + sin2 γ sin2 γ) + η sin θ cos ψ tg γ .
(2.4.34)
Будем считать углы β, φ и как следствие θ и ψ небольшими. Тогда,
учитывая выражения (2.4.26), нетрудно вывести отсюда формулы
для углов θ и ψ, справедливые с точностью до членов первого
порядка относительно β и φ, а именно:
θ = φ sin α, ψ = — φ cos α. (2.4.35)
Они совпадаю! с формулами (2.2.10) § 2 настоящей главы. Чтобы
получить более точные формулы (2.2.11) того же параграфа, еле-

102 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
дует с учетом выражений (2.4.26) сохранить в равенствах (2.4.34)
члены до третьего порядка включительно относительно
переменных β, φ, θ и ф. Сначала представим равенства (2.4.34) в
следующем приближенном виде:
θ - -±- θ3 = [-Θ ф cos α + 2 (1 - -i- β2)'(1 - -1-θ2 -
--i-^2)sin «+ β ψ] (4"Φ +^-<Ρ3)> (2.4.36)
ψ -ίγ ψ3 = -[2 ί1 -4-β2) (4 -4-θ2 -4-ψ2)cosa +
+ βθ] (-^φ+^-φ3)·
Затем, сохраняя лишь члены порядка не выше третьего,
преобразуем их следующим образом:
1 111
θ — φ sin a = jt- θφ φ cos a o~ ^^ ^T ^^ "^ ~Τ^2ςΡ ~~
— —φ3) sin a + — βψ φ + —θ3,
ф + φ cos a = у (β2φ + у θ2φ + у φ2φ — у φ3) cos a — у βθφ-f — ψ3.
(2.4.37)
Правые части последних равенств имеют третий порядок
относительно переменных β, φ, θ и ф. Поэтому без потери точности в
этих равенствах можно заменить величины θ иф их приближенным
представлением (2.4.35). После приведения подобных членов
придем к соотношениям, в точности эквивалентным формулам (2.2.11).
Для определения угла χ следует воспользоваться последним из
равенств (2.4.33). Сохраняя в нем лишь члены до второго порядка
относительно переменных β, φ, θ иф, получим
11 1
χ = γ θφ +-y φ θ cos a + -у φφ sin a — β φ. (2.4.38)
Подставив сюда приближенные выражения (2.4.35), получим после
приведения подобных членов формулу
χ = —β φ + -уф2 cos a sin a, (2.4.39)
совпадающую с формулой (2.2.14) § 2 настоящей главы.
Примеры, приведенные в этом параграфе, показывают, что
решение задач, относящихся к конечным вращениям, и в частности
к геометрическим вопросам кардановых подвесов, можно прово-

ЛИТЕРАТУРА
103
дить, минуя составление и сопоставление таблиц косинусов углов
между осями систем координат, надлежащим образом связанных
с телами, поворачивающимися относительно друг друга.
Выкладки, связанные с умножением кватернионов и получением
исходных уравнений, содержащих искомые параметры Родрига —
Гамильтона, сравнительно просты и единообразны. Однако
уравнения, как правило, получаются более громоздкими, чем при
непосредственном применении таблиц косинусов. Возможен,
разумеется, и комбинированный путь решения задач, когда параметры
Родрига — Гамильтона используются лишь для составления
необходимых таблиц косинусов, минуя их составление посредством
промежуточных таблиц. В § 5 и 7 следующей, третьей, главы
будет показано применение специальных схем и матриц, которые в
значительной мере алгоритмизируют решение упомянутых
геометрических задач и, по-видимому, являются более простыми в
практическом отношении, чем параметры Родрига —
Гамильтона и их кватернионное представление. Однако последние, а также
их комплексная форма {параметры Кейли — Клейна)
оказываются полезными при рассмотрении кинематических вопросов
инерциальной навигации, приведенных в главе VI второй книги.
ЛИТЕРАТУРА
Бвжко А. 77., Б ранец В. Н., Захаров Ю. М., Шмыглевский И. 77.
Применение кватернионов в теории конечного поворота твердого тела.— Изв. АН
СССР. МТТ, 1971, № 1.
Б ранец В. #., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах
управления положением твердого тела.— Изв. АН СССР. МТТ, 1972, № 4.
Б ранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах
ориентации тветздого тела. М., «Наука», 1973.
Ганкелъ Г. Теория комплексных числовых систем, преимущественно
обыкновенных мнимых чисел и кватернионов Гамильтона, вместе с их
геометрическим толкованием. Казань, Типо — лит. Имп. Ун-та, 1912.
Гробов В. Α., Коцюба А. В. О применении параметров Кейли — Клейна при
исследовании квазипрецессионного движения свободного твердого тела.—
Прикл. механика, 1971, т. 7, вып. 7.
Ишлинский А. Ю. Бортовая и килевая качка и изменение курса при качке
корабля вокруг произвольно ориентированной оси.— Приборостроение,
1944, № 4.
Ишлинский А. Ю. Механика специальных гироскопических систем. Киев,
Изд-во АН УССР, 1952.
Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР,
1963.
Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. М., «Наука»,
1973.
Кучерков С. Г. Исследование кинематических уходов трехосного гиростаби-
лизатора с помощью теории конечных поворотов.— Изв. высш. учебн.
заведений. Приборостроение, 1969, т. 12, № 10.
Лурье А. И. О теории конечных поворотов твердого тела.— ПММ, 1957, т.
21, вып. 4.

104 ГЛАВА II. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961.
Остромухов Я. Г., Ривкин С. С, Темченко Μ. Е. Геометрия и кинематика
систем гироскопической стабилизации.— В сб.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М., «Наука», 1973.
Сине Дж. Л. Классическая динамика. М., Физматгиз, 1963.
Суслов Г. К. Теоретическая механика. Изд. 3-е. М.— Л., Гостехиздат, 1944.
Ткаченко А. И. Погрешности вычисления параметров Родрига —
Гамильтона.— Изв. АН СССР. МТТ, 1973, № 1.
Hamilton W. R. Lectures on quaternions. Dublin, Hodges and Smith, 1853.
Hamilton W. R. Elements of quaternions, vol. 1—2. N. Y., Chelsea, 1969.
Klein F., Sommerfeld A. Uber die Theorie des Kreisels. Hft 1—4. Leipzig —
Berlin, Tdubner, 1897/1898-1903/1910.
Korn G., Korn T. Mathematical handbook for scientists and engineers. N. Y.,
McGraw — Hill, 1961. Рус. перев.: Корн Г., Корн Т. Справочник по
математике для научных работников и инженеров. М., «Наука», 1968.
Roberson R. Ε. Kinematical equations for bodies whose rotation is described by
the Euler — Rodrigues parameter.— AIAA Journal, 1968, vol. 6, No. 5.
Рус. перев.: Роберсон Р. Кинематические уравнения для тела, повороты
которого описываются параметрами Эйлера — Родригеса.— Ракетн. техн.
и космонавтика, 1968, т. 6, № 5.
Whittaker E. Т. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid
bodies. 3rd ed. Cambridge, Univ. press, 1927. Рус. перев.: Уиттекер Е. Т.
Аналитическая динамика. Μ.— Л., ОНТИ, Главн. ред. техн.— теорет.
лит., 1937.

Ill
ГЛАВА
ОРИЕНТАЦИЯ ОБЪЕКТОВ,
УПРАВЛЯЕМЫХ ГИРОСКОПАМИ
§ 1. Курс объекта при наличии крена и дифферента
В этой главе рассматриваются задачи, связанные с определением
ориентации объектов, управление или стабилизация которых
осуществляется посредством гироскопов.
Одной из характерных задач ориентации является нахождение
курса подвижного объекта (например, корабля, самолета или
торпеды) при наличии у него крена и дифферента. При этом
предполагается, что поворот объекта в горизонтальной плоскости
производится рулями, управляемыми в свою очередь гироскопом в кар-
дановом подвесе — так называемым курсовым прибором.
Свяжем с объектом систему координат xyz (рис. 41) с началом в
центре карданова подвеса гироскопа, направив ось у параллельно
продольной оси объекта, а ось χ — к его правому борту. Плоскость
yz окажется при этом параллельной плоскости симметрии
объекта, ху — плоскости его действительной или воображаемой палубы,
а ось ζ — мачте, также действительной или воображаемой.
Ось внешнего кольца карданова подвеса гироскопа ζ' обычно
совпадает с осью ζ, τ. е. параллельна плоскости симметрии
объекта и перпендикулярна его продольной оси (см. рис. 41). Примем,
что рули непрерывно действуют на объект так, чтобы угол α
между осью у (параллельной продольной оси объекта) и
перпендикуляром у' к плоскости внешнего кольца гироскопа изменялся бы по
заданному закону или, в частности, оставался постоянным.
Назовем угол α угловой установкой объекта.
Обозначим буквой η (рис. 42) проекцию оси у на горизонтальную
плоскость ΕΝ географической системы координат ΕΝΖ и введем
систему координат ξηζ с вертикальной осью ζ (параллельной ochZ).
Начала систем координат ENZ и ξηζ также расположим в
центре карданова подвеса. Угол κ между горизонтальными осями
N и η (ось N направлена на север) называется (см. § 1 гл. I)
курсом объекта, а угол ψ (рис. 42) между осью η и осью у (или, что
то же, осью η и продольной осью объекта) — его дифферентом.
II ри ψ ^> О положительная часть оси у расположена под
горизонтальной плоскостью ξη.
Угол θ между осями ξ и о; представляет собой (см. § 1 гл. I)
it Iмм ι объекта (рис. 43). Если θ ^> 0, то объект накренен на правый

106 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 41 Рис. 42 "
борт, вследствие чего положительная часть оси χ находится под
горизонтальной плоское!ью ξη.
Назовем отсчетным направлением h прямую (рис. 44),
направленную вдоль горизонтальной проекции вектора собственного
кинетического момента гироскопа Η или, что то же, оеи
собственного вращения его ротора у" (последняя лежит в плоскости zy',
связанной с внешним кольцом карданова подвеса гироскопа, см.
далее рис. 47). Обозначим через ε угол между прямой h и вектором
Η и через γ угол между той же прямой и направлением на север,
т. е. осью N. Угол ε будем считать положительным, если вектор
Η расположен ниже горизонтальной плоскости ΕΝ (или ξη, что
то же). Угол γ отсчитывается по стрелке часов от направления на
север (если наблюдать сверху, т. е. со стороны положительного
направления оси Ζ).
В начале движения объекта углы γ и ε определяются положением
оси у" собственного вращения ротора гироскопа в мгновение
освобождения его от арретиров. В последующем направление вектора
собственного кинетического момента Η и, следовательно,' оси у"
по отношению к системе координат ΕΝΖ изменяется по ряду
причин, в частности из-за вращения Земли * и изменения место-
* Изменение отсчетного направления h (изменение угла у) из-за
вращения Земли можно на практике почти полностью устранить, например
небольшим смещением центра тяжести ротора гироскопа вдоль оси его
собственного вращения у" (рис. 44). См. также рис. 62 § 3 гл. II второй книги.

§ 1. КУРС ОБЪЕКТА ПРИ НАЛИЧИИ КРЕНА И ДИФФЕРЕНТА Ю7
Рис. 43 Рис. 44
положения на ней самого объекта. Существенное влияние на
изменение направления вектора Η оказывает также воздействие на
гироскоп сил ι рения в осях его подвеса, а также (в случае
несовпадения совместного центра масс ротора и внутреннего кольца с
центром карданов а подвеса) силы тяжести и сил инерции,
обусловленных движением объекта *. Определение закона изменения
направления вектора Η — собственного кинетического момента
гироскопа — в системе координат ΕΝΖ, т. е. закона изменения углов
у и ε, составляет задачу теории гироскопа в кардановом подвесе
(см. гл. II второй книги) и здесь рассматривается лишь частично,
и конце параграфа. В основном его содержании углы γ и ε
считаются заданными функциями времени, в частности, постоянными.
Угол между осью η (т. е. проекцией оси у на горизонтальную
плоскость) и отсчетным направлением h назовем азимутом
объекта и обозначим его буквой φ (рис. 45). Курс объектах и его азимут
<р, как и угол γ, отсчитываются в горизонтальной плоскости по
стрелке часов; они связаны между собой очевидным
соотношением
κ = γ _ φ. (3.1.1)
111»11 отсутствии у объекта крена и дифферента, т. е. при θ =
// /нч)полагается, что центр масс внешнего кольца расположен на его

108 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
= ψ = 0, ось ζ {ζ') внешнего кольца карданова подвеса гироскопа
параллельна оси ζ и, следовательно, вертикальна. Как следствие
оказывается вертикальной плоскость, содержащая ось z,
перпендикуляр у' к плоскости внешнего кольца и ось у" собственного
вращения ротора гироскопа. При этом азимут φ становится
равным угловой установке α (рис. 46). В самом деле, в этом случае
ось у совпадает с осью η, а перпендикуляр у' к плоскости
внешнего кольца — с отсчетным направлением h. Если же крен θ
и дифферент ψ объекта отличны от нуля, то в общем случае
φ = α + χ, (3.1.2)
где χ — так называемая курсовая ошибка. С геометрической точки
зрения она аналогична кардановой ошибке, определение величины
которой производилось в § 1 и 2 гл. I.
В силу равенств (3.1.1) и (3.1.2) при фиксированном угле γ,
характеризующем вместе с углом ε ориентацию оси ротора
гироскопа относительно географической системы координат ΕΝΖ, и при
заданной угловой установке α курсовая ошибка χ представляет
собой изменение (с обратным знаком) курса объекта, возникающее
из-за наличия крена и дифферента. Задачей последующего
является определение курсовой ошибки χ. Как будет показано ниже, при
фиксированных углах γ и ε она является функцией крена Θ,
дифферента ψ, а также угла а.
Заметим, что проекции вектора Н, направленного вдоль оси у",
на оси системы координат ξηζ (см. рис. 46) представляются

§ 1. КУРС ОБЪЕКТА ПРИ НАЛИЧИИ КРЕНА И ДИФФЕРЕНТА 109
следующим образом:
Щ = Н cos ε sin φ,
ΗΆ — Η cos ε cos φ, (3.1.3)
Ηζ = — Η sin ε.
Таблица косинусов углов между осями систем координат ξηζ
и xyz в точности совпадает с таблицей (1.1.4) § 1 гл. I, т. е. имеет
вид
χ у ζ
ξ cos θ 0 sin θ
η —sin θ sin ψ cos ψ cos θ sin ψ (3.1.4)
ζ — sin θ cos ψ — sin ψ cos θ cos ψ.
Поэтому проекции вектора Н, но уже на оси системы xyz,
связанной с объектом, равны величинам
Нх = Н (cos ε sin φ cos θ — cos ε cos φ sin ψ sin θ -f- sin 8Cosifsin θ),
Ηυ ==jH"(cos8 cos φ cos ψ -f sin ε sin ψ), (3.1.5)
Hz = Η (cos ε sin φ sin θ -f cos ε cos φ sin ψ cos θ — sin ε cos ψ cos Θ).
Однако эти же проекции можно выразить через углы α и β,
определяющие соответственно поворот внешнего кольца карданова
подвеса гироскопа относительно самого объекта и кожуха
(внутреннего кольца) относительно внешнего кольца. Угол α (угловая
установка) уже был введен выше (см. рис. 41). Он положителен,
если перпендикуляр у' к плоскости внешнего кольца отклонен
в сторону движения стрелки часов от оси г/, параллельной
продольной оси объекта. Угол β (рис. 47), который в технике нередко
называется «поклоном волчка» (т. е. ротора гироскопа),
представляет собой угол между упомянутым выше перпендикуляром у'
и осью у" собственного вращения ротора гироскопа. Примем, что
гели β > 0, то вектор Η (и, следовательно, ось у") расположен
лод плоскостью ху и соответственно проекция этого вектора на
ось ζ отрицательна.
11етрудно теперь убедиться, что посредством углов α и β
проекции вектора Η на оси системы координат xyz можно представить
и тгде (рис. 48)
Hx=zH cos β sin α,
Hy = Η cos β cos α, (3.1.6)
Hz = — Hsin$.

HO ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 47 Рис. 48
Сравнивая между собой формулы (3.1.5) и (3.1.6), приходим к
трем соотношениям:
cos β sin α = cos ε sin φ cos θ — cos ε cos φ sin ψ sin θ +
+ sin ε cos яр sin θ,
cos β cos α = cos ε cos φ cos ψ + sin ε sin ψ,
(3.1.7)
— sin β — cos ε sin φ sin θ + cos ε cos φ sin ψ cos θ —
— sin ε cos ψ cos θ,
из которых независимых только два.
Полученные соотношения позволяют по заданным углам
θ, ψ, α и ε найти угол φ (а также угол β). Если учесть еще формулу
(3.1.2), то задача об определении курсовой ошибки χ после этого
оказывается решенной.
Можно построить приближенную формулу для величины χ,
справедливую до членов второго порядка включительно
относительно углов θ, ψ и ε (угол а, т. е. угловая установка, может быть
при этом произвольным). Чтобы вывести такую формулу,
умножим левую и правую части первого соотношения (3.1.7) на cos α,
а второго соответственно на sin α. Левые части полученных тем
самым новых соотношений оказываются одинаковыми, откуда
следует равенство и их правых частей. В результате имеем
(cos ε sin φ cos θ — cos ε cos φ sin ψ sin θ+sin ε cos ψ sin θ) cos α=
= (cos ε cos φ cos ψ + sin ε sin ψ) sin α, (3.1.8)

§ 1. КУРС ОБЪЕКТА ПРИ НАЛИЧИИ КРЕНА И ДИФФЕРЕНТА Ш
откуда после несложных преобразований получаем
cos ε cos θ sin (φ — α) + cos ε (cos θ — cos ψ) cos φ sin α +
+ sin ε (sin θ cos ψ cos α — sin ψ sin α) —
— cos ε sin θ sin ψ cos φ cos α = 0. (3.1.9)
В последнем равенстве все члены, кроме первого, имеют второй
порядок по отношению к величинам θ, ψ и ε. В этом нетрудно
убедиться, если разложить тригонометрические функции углов Θ,
ψ и ε в ряды по их аргументам. Следовательно, разность φ — α,
равная, согласно формуле (3.1.2), курсовой ошибке χ, имеет
порядок не ниже второго относительно тех же величин. Поэтому при
определении величины χ с упомянутой точностью можно в
равенстве (3.1.9) заменить cos φ и sin φ соответственно на cos α и sin α,
затем cos ε, cos θ, cos ψ — на единицу, и, наконец, sin ε, sin θ,
sin ψ соответственно на ε, θ, ψ. После перечисленных замен
приходим к следующей удобной для практических расчетов формуле
курсовой ошибки:
ι
χ = -τ- (θ2 — ψ2) sin 2α + ψ θ cos2 α — ε (θ cos α —· ψ sin α).
(3.1.10)
Пусть, например, ε = 3°, θ= 12°, ψ = 2°иа= 45°. Величина χ,
вычисленная по приближенной формуле (3.1.10), оказывается равной 0,007855(27,07).
Если же, исходя из точных соотношений (3.1.7), предварительно определить
угол φ и затем по формуле (3.1.2) найти курсовую ошибку χ, то получим
χ = 0,007903 (27,2').
При ε — 0 (г. е. при горизонтальном направлении оси у",
совпадающей с направлением вектора собственного кинетического
момента гироскопа Н) формула (3.1.10) по своей структуре
совпадает с формулой (1.3.17) § 3 гл. I для взаимного поворота
стабилизированных в горизонте внутренних колец двух кардановых
подвесов, оси внешних колец которых параллельны палубе корабля
и образуют между собой угол χ. Это не случайно. Величину χ
н данном случае также можно трактовать как взаимный поворот
двух расположенных в горизонте площадок, каждая из которых
является плоскостью внутреннего кольца своего карданова
подноса. Оси внешних колец этих воображаемых подвесов следует
расположить в плоскости ху, параллельной «палубе» объекта,
одну вдоль оси у, параллельной продольной оси объекта, а
другую — под углом π/2 — α к первой и, следовательно,
перпендикулярно оси у'', введенной ранее (см. рис. 41). Углы θ и ψ относятся
к первому карданову подвесу (см. рис. 43), а оси ξ и η связаны с
по стабилизированным внутренним кольцом. Соответствующие
\ ι.ιιι,ι второго подвеса в § 3 гл. I были обозначены через Θ' и я|/.
Г. спою очередь осью ξ' (см. § 3 гл. I), связанной с внутренним
кольнем второго воображаемого подвеса, надлежит именовать теперь

112 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
отсчетное направление h (т. е. ось у"). При этом угол Θ'
обращается с точностью до знака в угол β «поклона волчка».
Формула (1.3.17) § 3 гл. I совпадает с формулой (3.1.10), если
положить в последней ε = 0, а в первой дополнительно произвести
замену обозначения угла φ между осями внешних колец подвесов
у и у' на π/2 — α. Кроме того, из третьего соотношения (3.1.7)
с учетом того, что углы φ и α отличаются друг от друга на малую
величину χ, следует приближенная формула
β^8 — θ sin α— ψ cos α, (3.1.11)
которая в свою очередь при ε — 0 совпадает с первой из
формул (1.3.11) того же § 3 гл. I. Достаточно лишь в последней вновь
изменить обозначение φ на π/2 — α и положить Θ' — — β. Таким
образом, в геометрическом, а также в аналитическом смысле
(с точностью до обозначений) курсовая ошибка (при ε — 0) и
карданова ошибка представляют собой одно и то же.
В заключение отметим два обстоятельства, имеющие отношение
к стабилизации курса объекта. Первое из них относится к случаю
воздействия на внешнее кольцо гироскопа каких-либо сил. При
фиксированных углах крена Θ, дифферента ψ и курса κ это
приводит к изменению угла β между вектором собственного
кинетического момента гироскопа Η и перпендикуляром уг к плоскости
внешнего кольца и как следствие к изменению угла ε между этим
вектором (или, что то же, осью у") и горизонтальной плоскостью
ξη. Казалось бы, что в силу формулы (3.1.10) это должно было бы
привести к последующему изменению курсовой ошибки χ, а
следовательно, и самого курса объекта κ. Однако последнее
заключение ошибочно, так как при изменении угла β, но при
фиксированных углах θ, ψ и κ одновременно с изменением курсовой ошибки
χ происходит и поворот отсчетного направления h по отношению
к системе координат ξηζ; в результате курс объекта остается тем
же. В самом деле, пусть сумма моментов сил, приложенных к
внутреннему кольцу вокруг его оси, отсутствует (кроме, быть
может, сил, моменты которых устраняют видимое движение
гироскопа вокруг оси ζ из-за вращения Земли). В этом случае, согласно
хорошо описывающей эти явления прецессионной теории
гироскопа (см. гл. II второй книги), при постоянных крене, дифференте
и курсе объекта внешнее кольцо не будет иметь вращения по
отношению к объекту. Соответственно останутся в одном и том же
положении рули объекта, и ничто не будет ему мешать продолжать
движение с тем же курсом.
Второе обстоятельство связано с так называемой сильной
коррекцией гироскопа. В этом случае момент, приложенный к оси
внешнего кольца, создается таким, чтобы почти полностью
устранить угол β (т. е. «поклон волчка»). Вследствие этого ось ротора

§ 2. КУРС ОБЪЕКТА, ДВИЖУЩЕГОСЯ С НАКЛОННОГО ОСНОВАНИЯ ЦЗ
гироскопа у" при сильной коррекции все время остается почти
перпендикулярной к плоскости внешнего кольца, несмотря на
наличие килевой и бортовой качки объекта. Как и выше,
пренебрежем моментами сил, действующими на внутреннее кольцо
гироскопа вокруг оси этого кольца (кроме моментов сил, устраняющих
видимое движение гироскопа из-за вращения Земли). Проекция
угловой скорости внешнего кольца гироскопа на связанную с
ним ось zr (ζ) относительно системы координат ΕΝΖ оказывается
в этом случае равной нулю. Пусть ось ζ, параллельная мачте
объекта, при качке последнего совершает конусообразные
движения. Тогда, как будет показано в § 1 гл. IV, после каждого
замкнутого движения мачты внешнее кольцо гироскопа оказывается
дополнительно повернутым по отношению к географической
системе координат ΕΝΖ на угол, равный мере телесного угла конуса,
описанного при этом осью ζ.
§ 2. О курсе объекта,
начавшего движение с наклонного основания
Задача, близкая по своему геометрическому характеру к
рассмотренной в предыдущем параграфе, заключается в определении
курса объекта после его схода с некоторого пускового
устройства, расположенного на наклонном основании. Пусть в
мгновение пуска крен, дифферент и курс (см. § 1 гл. I) основания
соответственно равны величинам θ°, ψ° и κ°; «палуба» объекта (в
дальнейшем плоскость ху) параллельна плоскости основания (#0г/°)>
а угол между продольной осью основания у0 и продольной осью
у самого объекта равен некоторой небольшой по сравнению с
единицей величине δ (рис. 49). Ось ζ' внешнего кольца карданова
подвеса гироскопа — курсового прибора, управляющего
движением объекта,— как и в предыдущем параграфе,
перпендикулярна «палубе» объекта (плоскости ху), а ось кожуха хг
(внутреннего кольца подвеса) этой плоскости параллельна. Вектор Η
собственного кинетического момента гироскопа направлен по оси
у" собственного вращения ротора гироскопа.
Примем, что в мгновение пуска происходит разарретирование
внешнего кольца и кожуха карданова подвеса гироскопа и в
течение дальнейшего движения объекта вектор Η не изменяет своей
ориентации по отношению к географической системе координат
ΕΝΖ с началом в центре карданова подвеса гироскопа (т. е. так
же, как и в § 1 настоящей главы).
Рассмотрим сначала такое расположение внешнего кольца
карданова подвеса и кожуха гироскопа, при котором в зааррети-
рованном состоянии ось у" собственного вращения гироскопа была
направлена параллельно продольной оси объекта у (см. рис. 49).

114 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Обозначим через θ, ψ и κ
соответственно крен, дифферент и
курс объекта в произвольное
мгновение времени после схода
объекта с основания. Примем
сначала, что рули объекта
заставляют его ориентироваться
так, чтобы ось у" (и,
следовательно, направленный вдоль нее
вектор собственного
кинетического момента Н) во все время
движения объекта оказывалась
в плоскости симметрии объекта
yz. Таким образом, во время
движения объекта его
продольная ось у и перпендикуляр к
плоскости внешнего кольца
гироскопа параллельны (этому
в предыдущем параграфе
соответствовал случай «нулевой»
угловой установки— а = 0).
Определим курс объекта κ, считая величины θ°, ψ°, κ°, δ, θ
и ψ известными. Очевидно, что для решения поставленной
задачи достаточно найти разность
Рис. 49
1
(3.2.1)
т. е. угол между проекцией η° на горизонтальную плоскость
продольной оси основания у0 (в мгновение пуска объекта) и проекцией
η продольной оси объекта у (в произвольное мгновение времени)
(рис. 50 и 51).
Введем следующие четыре системы координат с общим началом
в центре карданова подвеса гироскопа: систему координат x°y°z°,
связанную с основанием и пусковым устройством, систему xyz,
связанную с самим объектом, а также системы координат ξ°η0ζ°
и ξηζ, оси ζ° и ζ которых вертикальны. Изложенного выше
достаточно для полного определения направлений всех осей этих
систем.
Приведем теперь таблицу косинусов углов между осями систем
(3.2.2)
ξθηθζθ и xoy<,zo
1°
η°
ζ°
, именно:
χ°
cos θ°
— sin θ° sin
ψ°
— sin6° cos ψ°
У0
0
cosif0
— sin ψ°
z°
sin θ°
cos6°sini|;0
cosG°cosi[)0,

§ 2. КУРС ОБЪЕКТА, ДВИЖУЩЕГОСЯ С НАКЛОННОГО ОСНОВАНИЯ Ц5
Рис. 50 Рис. 51
а также таблицу косинусов углов между осями систем координат
1-ϊ\ζ и xyz
xyz
I cose о sine
η — sinBsimf cos ψ cos θ sin ψ (3.2.3)
ζ — sin6cosi|; —sin ψ cos θ cos ψ.
< hui аналогичны таблице (1.1.4), приведенной в § 1 гл. I.
Поктор Η в мгновение пуска объекта, согласно сделанным
м μ ни* предположениям, был параллелен плоскости х°у° и образо-
ni.iiia.ii угол δ с осью у0 (см. рис. 49). Следовательно, его проекции
11.· оси системы координат x°y°z° соответственно равны
Hxo = Hsin6, Ну0 = Η cos δ, Hz* = 0. (3.2.4)
I In м.ауясь таблицей (3.2.2) и формулами (3.2.4), нетрудно соста-
ιιιιιι, поражения для проекций того же вектора Η на оси ξ°, η° и
" Ним таковы:
IF^=Hsm6 cos6°,
ΠΆ* = Η (cos δ cosi|>° — sin δ sin θ° sin ψ°), (3.2.5)
Ι [χ* = — Η (cos δ sinif0 4- sin frsin θ° cosif0).

116 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Х,Х\
Рис. 52
Так как оси ζ° и ζ систем
координат ξ°η°ζ0 и ξηζ
параллельны, а угол между осями η° и η
был ранее обозначен буквой χ
(см. рис. 50), то таблица
косинусов углов между этими
системами координат имеет
следующий вид:
(3.2.6)
Эта таблица совместно с
формулами (3.2.5) позволяет найти
проекции вектора Η уже на оси
ξ, η и ζ, именно:
1
η
ζ
1°
cos χ
sin χ
0
ηο
— sin χ
cos χ
ΰ
ζ°
0
0
1
#£ = #[sin6 cos θ° cos χ— (cos δ cosi|;0 — sin δ sin θ° sin ψ°) sin χ],
Hn = H[sm6 cos θ° sin χ+ (cos δ cosif0 — sin δ sin 6°sin^0) cos χ],
Ηζ = — #(cos6sini|)° + sin 6sine°cos^0).
(3.2.7)
Однако те же проекции (3.2.7) можно представить и в иной форме,
используя другие углы. Как уже указывалось выше, при
движении объекта перпендикуляр уг к плоскости внешнего кольца
непрерывно совмещается с осью г/, параллельной продольной оси
объекта. Поэтому вектор Η постоянно находится в плоскости
симметрии объекта yz. Обозначим через β (рис. 52) угол между
вектором Η и осью у'. Этот угол, как и в предыдущем параграфе
настоящей главы, представляет собой «поклон волчка», т. е. угол между
перпендикуляром к плоскости внешнего кольца карданова
подвеса гироскопа (совпадающего в данном случае с продольной осью
объекта у) и осью собственного вращения ротора гироскопа у".
Будем считать угол β положительным, если при этом вектор Η
расположен ниже плоскости «палубы» ху.
Проекции вектора Η на оси системы координат xyz (см. рис. 52)
представляются следующим образом:
Нх = 0, НУ = Н cosfi, Hz = — Hsinfi.
(3.2.8)
В силу последних формул и таблицы (3.2.3) проекции того же

§ 2. КУРС ОБЪЕКТА, ДВИЖУЩЕГОСЯ С НАКЛОННОГО ОСНОВАНИЯ Ц7
вектора Η на оси системы ξη ζ принимают теперь вид
Щ = — Η sin β sin θ,
Hn = H (cos β costj; — sin pcosBsinif), (3.2.9)
H^ = — Я (cos β8ΐηψ + sin β cos θ cosif).
Сравнивая полученные формулы с формулами (3.2.7), приходим
к трем равенствам:
Ρ (χ, θ°, ψ°, δ, θ, ψ) = sin δ cos θ° cos χ —
— (cos δ cos ψ° — sin δ sin θ° simj;0) sin χ = — sin β sin θ,
sin δ cos θ° sin χ -f (cos δ cosif»0 — sin δ sin θ° sin ψ0) cos χ =
= cos β cos ψ — sin β cos θ sin ψ,
—cos δ sin ψ°—sin δ sin θ° cos ψ°= — cos β sin ψ—sin β cos θ cos ψ,
(3.2.10)
каждое из которых является следствием двух остальных. При
заданных величинах θ°, ψ°, δ, θ и ψ третье равенство (3.2.10)
позволяет определить угол «поклона волчка» β, после чего угол χ можно
найти, используя первое равенство (3.2.10) или с тем же успехом
второе. Можно поступить и так: умножить левую и правую части
второго равенства на sin ψ, а третьего—соответственно на cos ψ и
затем сложить отдельно левые и правые части образовавшихся
соотношений. В результате придем к равенству
Q (χ, θ°, ψο, δ, θ, ψ) =sin δ cos θ° sin ψ sin χ — (3.2.11)
— (cos δ sin ψ° + sin δ sin θ° cos ψ°) cos of> +
+ (cos δ cos ψ°— sin δ sin θ° sin ψ°) sin ψ cos χ =— sin β cos θ.
Разделим теперь на левую часть последнего равенства левую же
часть первого из равенств (3.2.10) и точно так же поступим с их
правыми частями. В итоге получим уравнение
Ρ(χ,θ°,ψ°,6,θ,ψ) fl /о 212^
<3(Χ,θο,ψο,δ,θ,ψ) - <« «> ίό.Δ.\Δ)
содержащее единственное неизвестное — угол χ. Ограничиваясь
в этом уравнении членами не выше третьего порядка относительно
величин χ, δ, θ°, ψ° и θ, нетрудно прийти, учитывая формулы
(3.2.10) и (3.2.11), к приближенному равенству
δ- 4-δ3-4" δ (θ°)2 - "Τ δ χ2 - χ + ΊΓΧ3 + -Υ ^ +
+ γΧ(Ψ°)2-4-θ2(δ-χ) = -ψοθ-δθ0θ+ψθ, (3.2.13)
из которого следует, что углы χ и δ имеют один и тот же порядок.

118 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Поэтому в членах равенства (3.2.13), имеющих третий порядок
относительно перечисленных выше величин, можно заменить χ
на величину δ, которая является заданной. Возникающая при
этом ошибка будет, во всяком случае, выше третьего порядка.
В результате получим следующую новую приближенную формулу
для разности χ — δ, представляющую собой в данном случае
с точностью до знака курсовую ошибку (см. предыдущий
параграф). Имеем
χ_ δ = θ (ψ° —ψ) + δθ°θ--1δ[(θ°)2-(ψ0)2]. (3.2.14)
Числовой пример. Пусть θ° = 8°, ψ = 4°, θ = 10°, ψ = —2° и
δ = 6°. Согласно вычислениям по приближенной формуле (3.2.14), получаем
значение разности χ — δ, равное 0,02006 (1°9,0'). Точное значение этой
разности, найденное в результате решения уравнения (3.2.12), равно 0,02033 (1°9,9').
Положим в уравнении (3.2.12) δ = 0, что соответствует случаю
параллельности оси пускового устройства продольной оси
основания. Уравнение (3.2.12) приводится при этом к виду
sin χ + tg θ sin ψ cos χ = tg θ cos ψ tg ψ°, (3.2.15)
не содержащему крен основания Θ0. Если, кроме того, принять
ψ = 0 (отсутствие у объекта дифферента), то придем к формуле
sin χ = tgBtg^0. (3.2.16)
Последнюю можно получить и более простым путем, если с самого
начала считать дифферент подвижного объекта ψ равным нулю,
а ось пускового устройства параллельной продольной оси
основания, т. е. положить δ = 0. При параллельности упомянутых
осей непосредственно очевидно, что крен основания Θ0 при любых
значениях ψ0, θ и ψ не должен влиять на последующую
ориентацию объекта в азимуте. То же следует из уравнения (3.2.15),
согласно которому изменение крена основания не оказывает
влияния на разность κ — κ0 = χ и как следствие на курс подвижного
объекта κ.
До сих пор рассматривался случай движения объекта без так
называемой угловой установки гироскопического прибора (см.
§ 1 настоящей главы). Поэтому при отсутствии у основания и
подвижного объекта крена и дифферента продольная ось объекта у
отклонена вправо на угол δ от того направления продольной оси
основания г/°, которое у него было в мгновение пуска. Можно
с точностью до ошибки, обусловленной креном и дифферентом
основания и подвижного объекта, устранить это отклонение
посредством угловой установки прибора на тот же угол δ, но влево.
При такой угловой установке система управления заставляет
рули непрерывно приводить объект в положение, при котором

§ 2. КУРС ОБЪЕКТА, ДВИЖУЩЕГОСЯ С НАКЛОННОГО ОСНОВАНИЯ Ц9
ζ,ζ'
с!>
У
Рис. 53
продольная ось объекта
образует угол δ с перпендикуляром у'
к плоскости внешнего кольца
подвеса гироскопа (рис. 53).
Примем, как и выше, что в
мгновение пуска (t = 0) обе эти оси,
т. е. у и г/', совпадали и
образовывали угол δ с продольной
осью основания у0 (см. рис. 49).
После начала движения
объекта ось у вместе с объектом
изменяет свою ориентацию до тех
пор, пока, как только что было
упомянуто, угол между нею и
осью у' не достигнет значения
δ. В частности, при отсутствии
крена и дифферента у
основания и объекта (θ° = ψ° = θ =
— ψ = 0) курс объекта точно
совпадет с курсом основания
и не будет отличаться от него на угол δ, как это было в
случае отсутствия угловой установки.
Обозначим вновь буквой χ искомую разность между текущим
курсом объекта κ и курсом основания κ0, имевшим место в
мгновение пуска. В данном случае угол χ (а не разность χ — δ, как
было выше) сам является курсовой ошибкой. Вместе с тем он,
как и ранее (см. рис. 51), является углом между осями η° и η
введенных выше систем координат ξ°η°ζ° и ξηζ (оси η° и η являются
проекциями на горизонтальную плоскость соответственно
продольной оси основания у0 в мгновение пуска и продольной оси
объекта у в произвольное мгновение времени).
Проекции вектора собственного кинетического момента Η
на оси системы координат ξηζ, выраженные через углы θ°, ψ°, δ и
χ, представляются, очевидно, теми же формулами (3.2.7), ибо
условия схода объекта с основания остаются в точности такими,
как и в первом случае, рассмотренном выше в настоящем
параграфе. Выразим теперь упомянутые проекции через углы θ, ψ, β,
имеющие отношение к подвижному объекту после завершения
им разворота на угол δ в результате угловой установки
гироскопического прибора. Для этой цели введем систему координат
У ι/ζ' также с началом в центре карданова подвеса гироскопа,
снязанную с его внешним кольцом (см. рис. 53). Ось zr этой
системы совпадает с осью ζ системы координат xyz, связанной с
подвижным объектом, ось х' является осью внутреннего кольца подвеса,
,ι ось уг, как уже было упомянуто выше, перпендикулярна плоско-
сги его внешнего кольца. Таблица косинусов углов между осями

120 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
систем координат xryrzr и xyz (см. рис. 53) имеет вид
χ U ζ
χ' cos δ — sin δ 0
у' sin δ cos δ 0
ζ' 0 0 1, (3.2.17)
ибо угол между осями ρι/Γ при движении объекта
поддерживается равным δ.
Ось ротора гироскопа у" лежит в плоскости yrzr и образует
угол β с осью уг (см. рис. 53). Поэтому проекции на оси системы
координат х'у'zr вектора собственного кинетического момента Н,
расположенного на оси у", соответственно равны величинам
Нх> = 0а #> = #cosp, Hz> = -Hsin$. (3.2.18)
Используя таблицу (3.2.17) или непосредственно рис. 53, можно
получить выражения для проекций того же вектора Η на оси
системы координат xyz, а именно:
Нх = Η cos β sin δ, Hy = Η cos β cos δ, Ηζ = — Η sin β.
(3.2.19)
Воспользуемся теперь таблицей (3.2.3) косинусов углов между
осями систем координат ξηζ и xyz и составим, учитывая
выражения (3.2.19), следующие формулы для проекций вектора Η на оси
системы координат ξηζ, выраженные через углы θ, ψ, δ и β:
H^ = Η (cos β sin δ cos θ — sin β sin θ),
Η^ = — Η (cos β sin δ sin θ sin ψ — cos β cos δ cos ψ +
+ sin β cos θ sin ψ),
#ζ = — Η (cos β sin δ sin θ cos ψ + cos β cos δ sin ψ +
+ sin β cos θ cos ψ). (3.2.20)
Сравнивая формулы (3.2.20) и (3.2.7), получаем следующие три
соотношения (из них независимых только два), содержащие
неизвестные величины углов χ и β:
sin δ cos θ° cos χ — (cos δ cos ψ° — sin δ sin θ° sin ψ°) sin χ =
= cos β sin δ cos θ — sin β sin θ,
sin δ cos θ° sin χ + (cos δ cos ψ° — sin δ sin θ° sin ψ°) cos χ =
= — cos β sin δ sin θ sin ψ + cos β cos δ cos ψ — sin β cos θ sin ψ,
— cos δ sin ψ° — sin δ sin θ° cos ψ° =
= — cos β sin δ sin θ cos ψ — cos β cos δ sin ψ — sin β cos θ cos ψ.
(3.2.21)

§ 2. КУРС ОБЪЕКТА, ДВИЖУЩЕГОСЯ С НАКЛОННОГО ОСНОВАНИЯ 121
Используем эти соотношения для составления уравнения,
содержащего лишь одно неизвестное — угол χ. Для этого образуем
сумму произведений левых частей равенств (3.2.21), умноженных
последовательно на cos δ, —sin δ cos θ cos ψ и sin δ cos θ sin ψ,
и аналогичную операцию произведем с их правыми частями.
В результате придем к новому равенству
[sin δ cos θ° cos χ — (cos δ cos ψ° — sin δ sin θ° sin ψ°) sin xlcos δ —
— [sin δ cos 9°sin χ -f (cos δ cos ψ° — sin δ sin Θ0 sinip0) cos χ] Χ
X sin δ cos θ cos ψ — (cos δ sin ψ° + sin δ sin Θ0 cos ψ°) Χ
X sin δ cos θ sin ψ = — sin β cos δ sin Θ. (3.2.22)
Если же левые части второго и третьего равенств (3.2.21)
умножить соответственно на sin δ sin θ cos ψ + cos δ sin ψ и
— sin δ sin θ sin ψ + cos δ cos ψ и затем снова сложить, а после
этого такие же действия произвести и с их правыми частями, то
получим еще одно равенство
[sin δ cos θ° sin χ -f (cos δ cos ψ° — sin δ sin θ° sin ψ°) cos χ] Χ
Χ (sin δ sin θ cos ψ + cos δ sin ψ) + (cos δ sini|;0 + sin 6sin θ° coso|)°) X
X (sin δ sin θ sin ψ — cos δ cos ψ) = — sin β cos δ cos θ. (3.2.23)
Разделим теперь друг на друга порознь левые и правые части
равенств (3.2.22) и (3.2.23). В итоге получим уравнение
A cos χ + В sin χ + С fi n 9 9Лч
содержащее искомый угол χ. Здесь
А = sin δ cos δ cos θ° —
— (cos δ cos ψ° — sin δ sin 9°sin ψ°) sin δ cos θ cos ψ,
В = — sin2 δ cos θ° cos θ cos ψ —
— (cos δ cos ψ° — sin δ sin θ° sin ψ°) cos δ,
С == — (cos δ sin ψ° + sin δ sin θ° cos ψ°) sin δ cos θ sin ψ,
D == (cos δ cosψ°—sin δ sin θ° sin ψ°) (sin δ sin θ cos ψ +cos δ sin ψ),
Ε = sin δ cos θ° (sin δ sin θ cos ψ + cos δ sin ψ),
F — (cos δ sin ψ° + sin δ sin 0°cos ψ°) (sin δ sin θ sin ψ — cos δ cos ψ).
(3.2.25)

122 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Разделим числитель и знаменатель левой части уравнения
(3.2.24) на cos2 δ. Учитывая обозначения (3.2.25), имеем
tg δ [cos θ° — (cos ψ° — tg δ sin θ° sin ψ°) cos θ cos ψ ] cos χ —
— [tg2 δ cos θ° cos θ cos ψ + (cosif)0— tg6 sin θ° sin ψ0)] sin χ —
— tg δ cos θ sin ψ (sin ψ° + tg δ sin θ° cos ψ°) =
= tg θ [(cos ψ°—tg6 sin Θ0 sin i|)°)(tg δ sin θ cos ψ -f sin ψ ) cos χ +
-f tg δ cos Θ0 (tg δ sin θ cos ψ -f sin ψ) sin χ -f
+ (sin ψ° + tg δ sin Θ0 cos ψ°) (tg δ sin θ sin ψ — cos ψ)].
(3.2.26)
Сохраним в этом громоздком уравнении лишь члены первого,
второго и третьего порядков относительно величин χ, δ, ψ°, θ°, ψ и θ.
В результате придем к приближенному равенству
χ = - -Α-δ(θ°)2+4-δ (ψο)» + ^δθ2 + 4" Η2 - δ2χ +
+ -γ (Ψ°)2Χ + 4" Χ* — δ ψ°ψ — δθ2 — θψ + ψ°θ + δθ°θ.
(3.2.27)
Из последнего равенства следует, что выражение для χ не должно
содержать членов первого порядка относительно величин δ, θ°,
ψ°, θ и ψ. Поэтому, опуская в его правой части слагаемые — δ2χ,
(ψ°)2χ/2 и χ3/6> порядок которых выше третьего, придем к
окончательной формуле для определения курсовой ошибки с
упомянутой выше точностью
χ = θ (ψ° - ψ) + \ δ [(ψ -ψ0)2 - (G - θ0)2]. (3.2.28)
Формулы (3.2.14) и (3.2.28) имеют аналогичную структуру.
Числовой пример. Пусть Θ0 = 8°, ψ° = 4°, δ = 6°, θ = 10°,
ψ = — 2°. Согласно приближенной формуле (3.2.28), имеем χ = 0,01898
(1°5,3'); решая же точное уравнение (3.2.24), получим χ = 0,01897 (Г5,2').
Вычисления по формуле (3.2.28), равно как и по аналогичной
ей формуле (3.2.14), показывают, что для получения достаточно
точной ориентации объекта по курсу последний должен иметь
небольшой крен. Сделанное заключение справедливо лишь для
такого расположения гироскопического прибора (как раз и
рассмотренного выше), при котором ось его ротора в заарретирован-
ном состоянии была параллельна продольной оси объекта. При
крене Θ, равном нулю, курсовая ошибка в этом случае при
введенных выше числовых данных для ψ°, θ°, δ и ψ имеет порядок всего
лишь двух—пяти минут. Несколько ниже будет рассмотрено другое
расположение гироскопического прибора на объекте, обладающее
несколько иными свойствами.
Заметим, что при движении объекта с горизонтального
основания (Θ0 = ψ° = 0) можно получить ложное суждение о точности

§ 2. КУРС ОБЪЕКТА, ДВИЖУЩЕГОСЯ С НАКЛОННОГО ОСНОВАНИЯ 123
работы гироскопического прибора из-за наличия крена и
дифферента объекта при дальнейшем его движении. В самом деле, полагая
в формуле (3.2.26) θ° = ψ° = 0 и принимая, кроме того, для
простоты δ = 0, имеем
sin χ = — tg θ sin ψ cos χ, (3.2.29)
откуда с достаточным приближением получаем
χ = - θ ψ. (3.2.30)
Следовательно, если, например, объект при своем движении
имеет дифферент ψ < 0, то при крене на левый борт, т. е. при
θ < 0, несмотря на наличие точного гироскопа, угол χ будет
отрицателен, что соответствует уходу объекта вправо от заданного
направления. И наоборот, крену объекта на правый борт
соответствует отклонение продольной оси в другую сторону. Величина
этого отклонения (если крен θ недостаточно мал) может оказаться
довольно значительной. Например, при θ = —12°, ψ = —2°
имеем χ = — 0,007311 (- 25,1').
Выше рассматривались случаи, когда плоскость внешнего
кольца гироскопа в заарретированном состоянии была
перпендикулярна продольной оси объекта г/, а вектор Η собственного
кинетического момента гироскопа был этой оси параллелен.
Рассмотрим теперь иной случай, при котором в заарретированном
состоянии плоскость внешнего кольца параллельна плоскости
симметрии объекта yz, и, следовательно, ось ротора гироскопа у" в
мгновение пуска объекта направлена вместе с осью у' вдоль оси #, т. е.
параллельна поперечной оси объекта (рис. 54). Примем, как и
лыше, что, пока объект находится в пусковом устройстве,
плоскость его симметрии yz перпендикулярна плоскости основания
х°у°, а его продольная ось у этой плоскости параллельна и
по-прежнему образует угол δ с продольной осью основания у0. Вектор
собственного кинетического момента гироскопа Η направлен
ндоль оси ротора у" и, следовательно, в мгновение пуска также
параллелен плоскости х°у°. Поэтому проекции этого вектора на
оси системы координат x°y°z°, связанной с основанием, имеют вид
Нхо = Η cos δ, Ну* = - Η sin δ, #2ο = 0. (3.2.31)
Используя таблицу (3.2.2) косинусов углов между осями систем
координат ξ°η°ζ° и x°y°z°, можно найти проекции вектора Η уже
на оси системы ξ°η°ζ°, именно:
#ξο = Η cos δ cos θ°,
Ηιρ = — Η (cos δ sin θ° sin ψ° + sin δ cos ψ°), (3.2.32)
Ηχο ■= — Η (cos δ sin θ° cos ψ° —- sin δ sin ψ°).

124 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 54 Рис. 55
Наконец, посредством таблицы (3.2.6) найдем следующие
проекции вектора собственного кинетического момента гироскопа Η
на оси системы координат ξηζ:
#ξ = Η [cos δ cos θ° cos x+(cos δ sin θ° sin ^°+sin δ cos ψ°) sin χ],
#η = Η [cos δ cos θ° sin χ—(cos δ sin θ° sin ^°+sin δ cos ψ°) cos χ],
#ζ = — Η (cos δ sin θ° cos ψ° — sin δ sin ψ°). (3.2.33)
Для отыскания угла χ необходимо выразить теперь проекции
вектора Η на те же оси ξ, η и ζ через углы θ, ψ и β (т. е. крен
подвижного объекта, его дифферент и угол «поклона волчка»). В
отличие от случая, рассмотренного выше, примем здесь, что
продольная ось объекта у вследствие наличия системы управления
рулями непрерывно совмещается с плоскостью xrz внешнего
кольца карданова подвеса гироскопа (рис. 55) и, следовательно, все
время остается антипараллельной оси внутреннего кольца
подвеса х' (совпадающей с осью х"). Поэтому проекции вектора Η на
оси системы координат xyz, связанные с подвижным объектом,
выражаются следующим образом:
Нх = Я cos β, Ну = 0, Ηζ = - Η sin β. (3.2.34)

§ 2. КУРС ОБЪЕКТА, ДВИЖУЩЕГОСЯ С НАКЛОННОГО ОСНОВАНИЯ 125
Воспользуемся далее таблицей (3.2.3) косинусов углов между
осями систем координат ξη ζ и xyz и определим проекции того же
вектора Η на оси системы координат ξηζ. Имеем
#ξ = Η (cos β cos θ — sin β sin θ),
Ηη = —- Η (cos β sin θ sin ψ -f sin β cos θ sin ψ), (3.2.35)
#ζ = — Η (cos β sin θ cos ψ + sin β cos θ cos ψ).
Вектор Н, по предположению, не меняет своей ориентации по
отношению к вертикали места и странам света (т. е. относительно
географической системы координат ΕΝΖ с началом в центре кар-
данова подвеса). Поэтому эти выражения можно соответственно
приравнять правым частям формул (3.2.33), в которых проекции
вектора Η на те же оси ξ, η и ζ выражены посредством углов Θ0,
ψ°, δ (определяющих положение подвижного объекта на старте), а
также искомого угла χ. Получаем три соотношения:
cos δ cos θ° cos χ + (cos δ sin ψ° sin θ° + sin δ cos ψ°) sin χ =
= cos (Ά + θ),
cos δ cos θ° sin χ —- (cos δ sin ψ° sin θ° + sin δ cos ψ°) cos χ =
= — sin (β -f θ) sin ψ,
— cos δ cos ψ° sin θ° + sin δ sin ψ° =—sin (β + θ) cos ψ, (3.2.36)
каждое из которых является следствием двух остальных.
Неизвестными величинами в соотношениях (3.2.36) являются χ и β.
Разделим левую и правую части второго соотношения (3.2.36)
соответственно почленно на левую и правую части третьего. В
результате получим следующее уравнение для определения угла χ:
cos б cos θ° sin χ — (cos δ sin ψ° sin θ° + sin б cos ψ) cos χ _, . ,q ο οη\
— cos б cos ψϋ sin θ° + sin δ sin ψυ & Ψ· V · · /
В уравнение (3.2.37) не входит величина угла θ. Следовательно,
курс подвижного объекта, равный, согласно формуле (3.2.1),
сумме κ° + χ, в рассматриваемом случае (ось ротора гироскопа
у" в мгновение начала движения направлена по поперечной оси
объекта χ и отклонена от поперечной оси основания х° на угол δ)
не зависит от крена объекта θ в отличие от предыдущего случая.
Это важное обстоятельство нетрудно проверить непосредственно,
если заметить, что по определению ось внутреннего кольца
подвеса ротора гироскопа х' при дальнейшем движении объекта в
результате действия рулей антипараллельна его продольной оси г/.
При дифференте объекта ψ, равном нулю, уравнение (3.2.37)
для определения угла χ приводится к виду
. cos δ sin ψ° sin θ° + sin δ cos ψ° /ο ο qq\
tg χ cos δ cos θο · {о.г.6Ь)

126 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Если, кроме того, принять, что и δ = 0 (ось пускового устройства
параллельна продольной оси основания), то угол χ
характеризует собой курсовую ошибку, равную разности между курсом
основания и объекта в мгновение пуска и последующим курсом
подвижного объекта. Равенство (3.2.38) принимает при этом вид
tgx = sin ψ° tg θ°. (3.2.39)
Формулу (3.2.39) можно получить и более простым путем, если
с самого начала считать величины углов ψ и δ равными нулю.
Вернемся к общему случаю уравнения (3.2.37), считая вновь
углы δ и ψ отличными от нуля. Нетрудно убедиться, что углы χ
и δ отличаются друг от друга лишь на величины второго порядка
относительно ψ, θ° и ψ°. В самом деле, уравнение (3.2.37) можно
преобразовать к виду
cos θ° sin χ — sin ψ° sin θ° cos χ — tg δ cos ψ° cos χ —
= — cos ψ° sin θ° tg ψ + tg δ sin ψ° tg ψ. (3.2.40)
Сохраним теперь в обеих частях этого уравнения члены не выше
третьего порядка относительно переменных χ, δ, θ°, ψ°, θ и ψ.
Получим приближенное равенство
* ~ ΊΓ Χ3 - "Τ Χ <θ°)2- Ψ°θ° ~ δ ~ Χ δ3 + ΊΓδ (Ψ°)2+4"δ %2=
= - θ°ψ+ δψ°ψ, (3.2.41)
из которого и заключаем, что углы χ и δ имеют один и тот же
порядок относительно ψ, θ° и ψ°. Используя это обстоятельство,
приходим к формуле
χ _ δ = (ψο _ ψ)θ° + δψ°ψ + -Α- δ (θ0)2 - 4"δ (Ψ0)2» (3.2.42)
справедливой до членов третьего порядка включительно
относительно тех же величин ψ, θ° и ψ°.
Возьмем для числового примера те же данные, что и выше, т. е. Θ0 = 8°,
ψο = 4°, ψ = — 2°, δ = 6°. Получим в этом случае для разности χ — δ,
согласно приближенной формуле (3.2.42), значение 0,01513 (52'), а при решении
точного уравнения (3.2.37)—соответственно 0,01506 (51,8').
§ 3. О показаниях гироскопического прибора,
измеряющего дифферент объекта
Наряду с гироскопическим прибором курса на движущемся
объекте могут быть использованы и другие гироскопические
приборы, предназначенные для выполнения различных задач,
связанных с управлением его движением. Так, в системе управления
движением объекта в вертикальной плоскости или, в общем слу-

§ 3. ПОКАЗАНИЯ ПРИБОРА, ИЗМЕРЯЮЩЕГО ДИФФЕРЕНТ 127
чае, при заданном изменении его высоты может применяться
гироскоп в кардановом подвесе, ось х2 внешнего кольца которого
перпендикулярна плоскости симметрии объекта (рис. 56). Примем,
что ось ух внутреннего кольца подвеса до запуска и разарретирова-
ния гироскопа была направлена параллельно продольной оси
объекта, а ось z1 ротора гироскопа лежала в плоскости симметрии
объекта, параллельно его «мачте». Обозначим через λ текущий
угол поворота внешнего кольца относительно объекта во время
его последующего движения. Угол λ, равный нулю в начале
движения, используется в системе управления так называемыми
вертикальными рулями объекта, изменяющими угол наклона его
продольной оси к горизонтальной плоскости, т. е. величину
дифферента. При отсутствии у объекта крена и при горизонтальном
расположении его продольной оси в момент начала движения
текущий угол λ в точности равен текущему же значению дифферента
объекта ψ. При этом, конечно, предполагается, что ось ротора
гироскопа ζχ остается во время всего движения вертикальной,
для чего должны быть приняты специальные меры. Как уже
указывалось в § 1 настоящей главы, уход гироскопа по отношению
к географической системе координат ΕΝΖ обусловливается
вращением Земли и перемещением по отношению к ней самого
объекта, а также действием на гироскоп различных возмущающих сил,
создающих моменты вокруг осей внутреннего и внешнего колец
подвеса (трение, недостаточная балансировка и др.)·
Свяжем с объектом, как и в предыдущих параграфах, систему
координат xyz с началом в центре карданова подвеса гироскопа.
Направим ось у параллельно продольной оси объекта по
направлению его движения, ось χ перпендикулярно плоскости
симметрии объекта к его правому борту (с ней совпадает в данном случае

128 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
ось х2 внешнего кольца подвеса). Ось ζ будет при этом направлена
кверху (рис. 57).
Угол ψ между продольной осью объекта и горизонтальной
плоскостью или, что то же, между осью г/, связанной с объектом,
и ее проекцией η на горизонтальную плоскость, является,
очевидно, дифферентом объекта. В соответствии с изложенным в § 1 гл. I
примем, что при ψ ^> 0 положительная часть оси у находится под
горизонтальной плоскостью, содержащей центр карданова
подвеса. Курсом объекта по-прежнему будем называть угол κ,
отсчитываемый по стрелке часов от направления на север до проекции
η продольной оси объекта (или, что то же, оси у) на
горизонтальную плоскость (см. рис. 42).
Введем далее систему координат ξηζ с тем же началом в центре
карданова подвеса, что и у системы xyz (см. рис. 57). Ось ζ этой
системы вертикальна, а ось η, как только что указывалось,
является проекцией оси у на горизонтальную плоскость; очевидно,
что ось | также расположена в горизонтальной плоскости. Угол
θ между осью | и осью х, связанной с объектом, является креном
объекта. При положительных значениях угла θ (см. § 1 гл. I)
объект имеет крен на правый борт.
Пусть текущие значения крена θ и дифферента ψ отличаются от
их начальных значений θ0 и\|)0 в мгновение начала движения
объекта. Кроме того, примем, что и текущее значение курса объекта
отличается от первоначального. Обозначим (рис. 58) через φ
величину этого изменения, т. е. угол между осью η и ее исходным
направлением η0. Введенный ранее угол λ между продольной
осью объекта у и осью у' внутреннего кольца карданова подвеса
гироскора в этих же условиях уже не равен углу ψ, т. е. дифферен-

§ 3. ПОКАЗАНИЯ ПРИБОРА, ИЗМЕРЯЮЩЕГО ДИФФЕРЕНТ 129
ту объекта. Задачей настоящего параграфа является определение
угла λ как функции только что перечисленных углов θ0, ψ0, θ, ψ и
φ. При этом по-прежнему предполагается, что ось ротора
гироскопа во время движения объекта практически не изменяет своего
направления относительно вертикали места и стран света, т. е.
сохраняет неизменную ориентацию в географической системе
координат ΕΝΖ (см. аналогичное предположение в § 1
настоящей главы).
Для дальнейшего необходима таблица косинусов углов между
осями систем координат xyz и ξηζ. Введем аналогично тому, как
это было сделано в § 1 гл. I, вспомогательную систему координат
ξ'η'ζ' (см. рис. 57), положение осей которой определяется
поворотом по стрелке часов на угол ψ системы координат ξηζ вокруг оси
ξ, совпадающей с осью ξ' (наблюдение за вращением производится
со стороны положительного направления оси ξ). В результате этого
поворота ось η' приходит в совпадение с осью у системы
координат xyz, связанной с объектом.
Таблица косинусов углов между осями систем ξ'η'ζ' и ξηζ
имеет вид
ξηζ
ξ' 1 О О
η' 0 cos ·ψ —sin ψ
ζ' 0 sin ψ cos ψ. (3.3.1)
В свою очередь положение осей системы координат xyz образуется
в результате уже другого поворота, а именно системы координат
ξ'η' ζ' на угол θ против стрелки часов вокруг оси η' или, что то же,
оси у, параллельной продольной оси объекта (наблюдать за
вращением следует со стороны положительного направления оси η').
Таблица косинусов углов между осями систем координат xyz и
ξ'η'ζ' такова:
Ι' η' ζ'
х cos θ 0 — sin θ
у 0 1 О
z sinB 0 cosG. (3.3.2)
По данным таблиц (3.3.1) и (3.3.2), пользуясь обычными
приемами (см. § 1 гл. I), нетрудно получить искомую таблицу
косинусов углов между осями систем координат xyz и ξηζ, а именно:
Ι η ζ
χ cos θ — sin θ sin ψ — sin θ cosi|)
у 0 cos ψ — sin ψ
ζ sin θ cos θ sin ψ cos θ cos ψ. (3.3.3)

130 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Она совпадает с таблицей (1.1.4) § 1 гл. I.
Обозначим через x0y0z0 и соответственно через ξόηίζό и ?0ЛоСо
расположение систем координат xyz, ξ'ηΛζΛ и ξηζ в мгновение
начала отсчета времени движения объекта. По данным таблицы
(3.3.3), изменив в ней обозначения, приходим к следующей
таблице косинусов углов между осями систем координат x0y0z0 и ξ0η0ζ0:
ξο Ло ζο
х0 cos θ0 — sin θ0 sin ψ0 — sin θ0 cos ψ0
У о 0 cosi|;0 — sini|;0
z0 sin θ0 cos θ0 sin ψ0 cos θ0 cos ψ0. (3.3.4)
Здесь θ0 и ψ0, как и ранее, обозначают значения крена и
дифферента объекта в начальное мгновение его движения.
Если отвлечься от возможных погрешностей работы
гироскопического прибора, управляющего вертикальными рулями объекта,
то при неизменном курсе оси η0 и η в системе координат ΕΝΖ
совпадают. В общем же случае при возможных программных
разворотах объекта они будут образовывать между собой, как уже
указывалось выше, некоторый угол φ (см. рис. 58), который
называется обычно курсовым углом объекта. Будем считать, что при
φ ^> 0 система координат ξηζ повернута вокруг оси ζ0,
совпадающей с осью ζ, против стрелки часов относительно системы ξ0η0ζ0,
если следить за поворотом сверху. Таблица косинусов углов
между осями систем координат ξηζ и ξοΉο^ο имеет вид
ьо Ήο ьо
ξ cos φ sin φ 0
η —sin φ cos φ 0 (3.3.5)
ζ 0 0 1.
В начальное мгновение движения ось ротора гироскопа ζχ
направлена по оси ζ0 системы координат x0y0z0, связанной с объектом,
и, следовательно, по этой же оси направлен вектор Η собственного
кинетического момента гироскопа. Поэтому проекции вектора Η
на оси системы координат ξοΉο^ο Β соответствии с таблицей (3.3.4)
выражаются формулами
Нь = Я sin θ0,
#Яо = Η cos θ0 sin ψοι (3.3.6)
#ζ0 = Η COS θ0 COS ψ0.
Пользуясь далее данными таблицы (3.3.5), можно найти проекции

§ 3. ПОКАЗАНИЯ ПРИБОРА, ИЗМЕРЯЮЩЕГО ДИФФЕРЕНТ 131
Рис. 59
х2,х
в географической системе
того же вектора на оси системы
координат ξηζ, а именно:
Hi = Η (sin θ0 cos φ +
+ cos θ0 sin ψ0 sin φ),
Нц= Η (— sin θ0 sin φ +
-f- cos θ0 sin ψ0 cos φ),
#ζ = # cos θ0 cos ψ0. (3.3.7)
Наконец, в силу данных
таблицы (3.3.3) можно получить
следующие несколько громоздкие
выражения для проекций
вектора собственного
кинетического момента гироскопа Η на оси
системы координат xyz (по-
прежнему исходя из
предположения, что ось ротора
гироскопа не изменяет своей ориентации
координат ENZ). Имеем
Нх= Η [(sin θ0 cos φ + cos θ0 sin ψ0 sin φ) cos θ -f
+ (— sin θ0 sin φ + cos θ0 sin a|)0rcos φ) (—sin θ sin ψ) +
+ cos θ0 cos ψ0 (— sin θ cos ψ)],
Hy= Η [(— sin θ0 sin φ + cos θ0 sin ψ0 cos φ) cos ψ +
+ cos θ0 cos ψ0 (— sin ψ)], (3.3.8)
Hz= Η [(sin θ0 cos φ -f cos θ0 sin ψ0 sin φ) sin θ +
+ (-—sin θ0 sin φ -f cos θ0 sin ψ0 cos φ) cos θ sinip +
+ cos θ0 cos af>0 cos θ cos ψ].
Так как вектор собственного кинетического момента Η
направлен по оси zu связанной с внутренним кольцом карданова подвеса
гироскопа, то его проекции на оси х, у и ζ можно выразить и через
углы λ и μ поворотов соответственно внешнего кольца карданова
подвеса относительно объекта и внутреннего кольца относительно
внешнего (рис. 59). Сравнение таких новых выражений для
упомянутых проекций со старыми, т. е. с формулами (3.3.8), и дает
возможность определить искомый угол λ, а также и угол μ. Для
вывода соответствующих формул свяжем сначала с внешним
кольцом карданова подвеса систему координат #2i/2z2, а с
внутренним — систему x1y1z1 (см. рис. 59). При углах λ и μ, равных нулю,
оси этих систем соответственно совпадают с осями системы коор-

132 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 60
динат xyz, связанной с объектом. Если λ ^> 0, то система
координат x2y2z2 повернута вокруг оси х2, совпадающей с осью х, против
стрелки часов относительно системы xyz при наблюдении за
вращением со стороны положительного направления оси х2 (х). При
μ ^> О система координат χ^χζχ в свою очередь повернута по
стрелке часов относительно системы х2у$2 вокруг совпадающих осей
у2 и у1У если при этом смотреть со стороны положительной части
оси у1 (у2) (рис. 59 и 60). Применяя те же приемы, что и при
построении таблицы (3.3.3), нетрудно получить следующую таблицу
косинусов углов между осями систем координат xxyxzx и xyz:
У 2
sin λ sin μ cos λ sin μ
cos λ sin λ (3.3.9)
sin λ cos μ cos λ cos μ.
Так как ось ротора гироскопа совпадает с осью zly то по данным
последней таблицы получаем следующие искомые формулы для
проекций вектора Яна оси х, у, ζ, выраженные через углы λ и μ:
Нх = —- Η sin μ,
Ну = — Η sin λ cos μ, (3.3.10)
Hz = Η cos λ cos μ.
Сравнивая формулы (3.3.10) и (3.3.8), приходим к следующим
трем соотношениям, каждое из которых является следствием
χ
хг cos μ
Ух 0
zx — sin μ

§ 3. ПОКАЗАНИЯ ПРИБОРА, ИЗМЕРЯЮЩЕГО ДИФФЕРЕНТ 133
двух других:
— sin μ = (sin θ0 cos φ + cos θ0 sin ψ0 sin φ) cos θ +
+ (—sin θ0 sin φ+cos θ0 sin ψ0 cos φ) (—sin θ sin ψ)+
+ cos θ0 cos ψ0 (— sin θ cos ψ),
—sin Xcos μ = (— sin θ0 sin φ + cos θ0 sin ψ0 cos φ) cos ψ +
+ cos θ0 cos ψ0 (— sin ψ), (3.3.11)
cos λ cos μ = (sin θ0 cos φ + cos θ0 sin ψ0 sin φ) sin θ +
+ (— sin θ0 sin φ + cos θ0 sin ψ0 cos φ) cos θ sin ψ -}-
+ cos θ0 cos ψ0 cos θ cos ψ.
Эти соотношения и позволяют определить углы λ и μ, если считать
заданными углы θ0, ψ0, θ, ψ и φ.
Угол μ поворота внутреннего кольца относительно внешнего
в системе управления движением обычно не регистрируется.
Интерес для практики представляет лишь угол λ поворота внешнего
кольца относительно его исходного положения на объекте. Разделив
соответственно левые и правые части последних двух
соотношений друг на друга и приравняв результаты, приходим к
следующей формуле, определяющей угол λ:
. л (sin θο sin φ — cos θο sin ψο cos φ) cos ψ + cos θο cos яро sin ψ /Q Q /j o\
° a sin θ + b cos θ sin ψ + с cos θ cos ψ · V · · У
Здесь, как нетрудно видеть, введены обозначения
а = cos ζ0ξ = sin θ0 cos φ + cos θ0 sin ψ0 sin φ,
Ъ = cos z0r\ = — sin θ0 sin φ -f cos θο sin Ψο cos Φ»
γ a , (3·3·13)
с = cos z0 ζ = cos θ0 cos ψ0.
Формулу (3.3.12) с учетом обозначений (3.3.13) можно представить
в более удобной, хотя и несколько громоздкой форме
λ== с^Т —ШЪ CQS φ + cos ψο cosT sm У
1 + tg ψο tg ψ + —~ s—г cos φ + — V— — — iL-L sin φ
1 \ 6 Y 6 Y ^cos ψο cos ψ / ψ ' \ cos ψ cos ψο / Y
(3.3.14)
Если углы ψ0, θ0, ψ и θ невелики (не превышают 15—20°), то,
пренебрегая в последней формуле членами третьего порядка
относительно этих углов и их произведений, получим следующую'
простую приближенную формулу для угла λ, а именно:
χ = ψ _ <ψ0 cos φ + θ0 sin φ. (3.3.15)

134 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Пусть, например, θ0 = 6°, ψ0 = 3°, ψ = 15°, θ = — 15°, ср = 30°.
Вычисление по последней формуле приводит к значению λ = 0,2688 (15°24,Г), а
согласно точной формуле (3.3.14), имеем λ = 0,2869 (16°26,4').
Рассмотрим теперь ряд частных случаев.
Примем, что в начале движения объект не имел ни крена, ни
дифферента. Полагая в формуле (3.3.14) θ0 — ψ0 = 0, получим,
что при любом значении курса объекта φ имеет место равенство
** = £!· <3·3·16)
Пусть, например, ψ = 15°, θ = 15°. Тогда вычисления по точной формуле
(3.3.16) приводят к результату λ = 0,2706 (15° 30,2'), что отличается только
на 30,2' от приближенного значения λ = ψ = 15°, полученного, согласно
формуле (3.3.15). Если угол крена θ достигает 30°, то эта разница превышает 2°.
В самом деле, согласно формуле (3.3.16), при том же угле дифферента ψ = 15°
получим λ = 0,3001 (17°11,5').
Положим теперь в формуле (3.3.14) φ = 0, что соответствует
движению объекта без изменения курса. Имеем
cose(i + tg^otg^+co^o(fosx|))
Положим, в частности, θ0 = 6°, ψ0 = 3°, θ = — 15°, ψ = 15°. Тогда,
произведя вычисления, согласно формуле (3.3.17), получим λ = 0,2228 (12°46').
Приближенное значение угла λ в этом случае равно 12°, как это следует из
формулы (3.3.15) при φ = 0.
Если, кроме того, объект не имеет крена, то, полагая в
формуле (3.3.17) θ0 = θ = 0, получим соотношение
tg λ = **-*» (3.3.18)
λ =ψ — ψ0. (3.3.19)
Последнее равенство следует и из простейших геометрических
рассуждений.
§ 4. Ориентация объекта,
управляемого двумя гироскопами
В „ряде случаев угловые движения объектов могут совершаться
в результате совокупного действия рулевых устройств,
управляемых двумя свободными гироскопами в кардановых подвесах.
Ниже, в частности на примере известной немецкой ракеты V-2,
рассматриваются геометрические вопросы ориентации подобных
или, что то же,

§ 4. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ДВУМЯ ГИРОСКОПАМИ 135
Рис. 61
объектов в предположении, что оси собственных вращений
роторов гироскопов сохраняют неизменным свое расположение
относительно направлений на неподвижные звезды.
Свяжем с подвижным объектом правую систему координат
xyz. Ось ζ назовем его продольной осью. Пусть в исходном
положении объекта оси этой системы соответственно совпадают с осями
невращающейся (по отношению к направлениям на неподвижные
звезды) системы координат ξηζ (рис. 61). Оси хх и г/2 внешних
колец обоих гироскопов расположены в подшипниках, жестко
связанных с подвижным объектом. Они взаимно перпендикулярны,
причем первая из них параллельна оси х, а вторая — оси у.
Примем, что в исходном положении объекта ось ηχ собственного
вращения ротора первого гироскопа, именуемого в настоящем
параграфе гирогоризонтом, параллельна оси у и, следовательно, оси
η, а ось ξ2 ротора второго гироскопа — гировертиканта — оси
х, совпадающей в исходном положении объекта с осью ξ.
Очевидно, что в исходном положении объекта оси ζχ и ξ2 кожухов
обоих гироскопов (см. рис. 61) оказываются в силу принятых
предположений параллельными продольной оси объекта z, a
также оси ζ.
В дальнейшем будем считать, что гироскопы не имеют уходов.
Это означает, что при движении объекта оси их роторов не
изменяют своего направления по отношению к невращающейся системе
координат ξηζ. Таким образом, ось % оказывается все время
параллельной оси η, а ось ξ2 — оси ξ.

136 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 62 Рис. 63 I _
Ар и;
Помимо системы координат xyz, связанной с подвижным
объектом, и невращающейся системы ξηζ введем еще системы
координат х{у^ и x2y2z2, связанные с внешними кольцами гироскопов, и,
кроме того, системы ξ1τ]1ζ1 и ξ2η2ζ2> соответственно связанные
с их кожухами *. Ось хъ как уже упоминалось выше, неизменно
параллельна оси х, а ось у2 параллельна оси у. Кроме того, ось
ζλ одновременно является осью ζΐ5 а ось ζ2 — осью ζ2.
На основании изложенного выше следует, что в исходном
положении объекта соответственные оси всех шести систем
координат xyz, ХгУ^п ξ^ιζι, x2y2z2, ξ2η2ζ2 и ξηζ или параллельны или
совпадают друг с другом. В случае же произвольной ориентации
объекта неизменно попарно параллельны лишь оси χ и хх, у и у2,
rii и η, ξ2 и ξ и, кроме того, как только что было указано,
постоянно совпадают друг с другом оси z1 и ζΐ5 а также ζ2 и ζ2,
являющиеся осями кожухов соответственно первого и второго
гироскопов.
Обозначим теперь через аг угол поворота внешнего кольца
первого гироскопа относительно объекта (рис. 62). При аг = О оси
системы координат х^у^, связанной с этим внешним кольцом,
соответственно параллельны осям системы xyz, связанной с
объектом. Будем считать, что аг ^> 0, если система x1y1z1 повернута
вокруг оси хх (параллельной оси х) относительно системы коорди-
* На последующих рисунках начала систем координат ξηζ, xyz, х-^у^,
хчучгч и других вспомогательных систем для удобства совмещены.

§ 4. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ДВУМЯ ГИРОСКОПАМИ 137
Рис. 64 Рис. 65
нат xyz против стрелки часов при наблюдении за поворотом со
стороны положительного направления оси хг или оси х. Далее
через βχ обозначим угол поворота кожуха первого гироскопа по
отношению к его внешнему кольцу (рис. 63). Примем, что при
βι ^> 0 система координат ξ1η1ζ1 (кожух первого гироскопа)
повернута против стрелки часов по отношению к системе координат
xiyizi (внешнее кольцо), если взглянуть на них со стороны
положительного направления оси ζλ (всегда совпадающей с осью z^).
При βχ = 0 оси ^! и г)! соответственно совпадают с осями х1 и уг.
Введем еще угол уг (рис. 64), на который в общем случае
оказывается повернутой система координат |1η1ζ1 (кожух первого
гироскопа) относительно невращающейся системы ξηζ вокруг оси ηχ
(неизменно параллельной, по предположению, в течение всего
времени движения объекта оси η), τ. е. вокруг вектора Н1
собственного кинетического момента первого гироскопа. И здесь
будем считать угол γ2 положительным, если система координат ξηζ
кажется повернутой по отношению к системе ξ1η1ζ1 против
стрелки часов при наблюдении за этим поворотом со стороны
положительного направления оси гц или, что то же, оси η.
Введем теперь углы α2,β2 и γ2, аналогичные углам αΐ5 $г и γ1?
но имеющие отношение уже ко второму гироскопу (см. рис. 61).
При а2 = 0 соответственные оси системы координат x2y2z2
параллельны осям системы xyz. Если а2 > О (рис. 65), то система x2y2z2
(внешнее кольцо карданова подвеса второго гироскопа)
оказывается повернутой по стрелке часов по отношению к системе коор-

138 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
динат xyz (подвижный объект), если наблюдать за поворотом со
стороны положительного направления оси г/2, параллельной оси у.
Далее при β2 > 0 (рис. 66) система координат ξ2η2ζ2 (кожух
второго гироскопа) повернута относительно системы x2y2z2 (внешнее
кольцо) по стрелке часов, если взглянуть на них со стороны
положительного направления оси ζ2, всегда совпадающей с осью ζ2.
Если же β2 = 0, то ось |2 совпадает с х2, а η2 — с осью у2. Наконец,
угол у2 (рис. 67) представляет собой поворот вокруг оси ξ2(ξ),
(т. е. вокруг вектора Н2 собственного кинетического момента
второго гироскопа) системы координат ξ2η2ζ2, связанной с
кожухом, по отношению к невращающейся системе ξηζ. При у2 = О
оси систем ξ2η2ζ2 и ξηζ соответственно совпадают, а при γ2 > О
система ξηζ кажется повернутой по стрелке часов по отношению
к системе ξ2η2ζ2, если посмотреть на них со стороны
положительного направления оси ξ2 или параллельной ей (по
предположению) оси ξ.
Ориентацию объекта или, что то же, связанной с ним системы
координат xyz, по отношению к невращающейся системе ξηζ
(рис. 68) определим следующими углами: углом θ между
продольной осью объекта ζ и плоскостью ξη, углом ψ между прямой
η' — проекцией оси ζ на эту плоскость и осью η и, наконец,
углом φ между осью у и плоскостью ζζ, содержащей ось ζ,
продольную ось объекта ζ, а также прямую η'.

§ 4. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ДВУМЯ ГИРОСКОПАМИ 139
У
Рис. 68
Назовем угол θ тангажом объекта, ψ — углом скоса и φ —
углом вращения. Задачей дальнейшего является представление
углов θ, ψ и φ в виде функций каких-либо трех из четырех углов
«1» βΐ> <*2> β2·
Для решения поставленной задачи составим в трех вариантах
одну и ту же таблицу косинусов углов между осями невращаю-
щейся системы координат ξηζ и осями системы координат xyz,
связанной с объектом, используя для этой цели один раз
совокупность углов αχ, βΐ5 γ1? другой раз α2, β2 и γ2, и, наконец, в третий
раз — совокупность θ, ψ и φ. Сравнивая выражения для одних
и тех же косинусов, представленных по-разному в упомянутых
вариантах таблицы, получим после дополнительных выкладок все
необходимые соотношения, содержащие искомые углы θ, ψ и φ.
Чтобы получить упомянутую таблицу в виде, содержащем
лишь углы cijL, β! и γ1? составим сначала таблицу косинусов углов
между осями систем координат x1y1z1 и xyz, связанных
соответственно с внешним кардановым кольцом первого гироскопа и
с подвижным объектом (см. рис. 62). Она имеет вид
χ у ζ
а* 1 О О
г/ι О cos at sin at (3.4.1)
z1 0 — sin a± cos ax.

140 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
ь
4ι
L·
хл
COS βχ
— sin βχ
0
ί/ι
sin βχ
cos βχ
0
Zl
0
0
1.
Далее построим аналогичную таблицу, относящуюся к системам
ξ1η1ζ1 и xxyxzx (последняя связана с кожухом первого гироскопа).
Имеем (см. рис. 63)
(3.4.2)
Используя эти таблицы, приходим к таблице косинусов углов
между осями ξ1η1ζ1 и xyz, а именно:
xyz
ξι cos β! cos 04 sin βχ sin αλ sin β!
цг —sin βχ cos αχ cos β! sin at cos β! (3.4.3)
ζ! 0 — sin <x± cos 04.
Если теперь воспользоваться наряду с последней еще таблицей
ξι ηι ζι
ι
η
ζ
cos γχ
0
sin γ!
0
1
0
— sin γχ
0
cos yt
(3.4.4)
косинусов углов между осями систем координат ξηζ и ξ^ζχ
(см. рис. 64)f то получим первый из вариантов искомой таблицы
χ у ζ
ξ cos β! cos y1 cos сиг sin β! cos γχ+ sin ax sin βχ cos γ!—
+ sin 04 sin 7t — cos 04 sin γχ
η — sin βχ cos 04 cos βχ sin 0^ cos βχ
ζ cos βχ sin γχ cos at sin β! sin уг— sin <хг sin βχ sin γχ+
— sin a± cos 7t + cos ax cos γ^
(3.4.5)
Сюда входят лишь тригонометрические функции углов αΐ5 β! и
γχ, имеющие отношение только к первому гироскопу.
Составим теперь другой вариант таблицы косинусов углов
между осями систем координат ξηζ и xyz, используя
совокупность углов α2, β2 и γ2. Сначала составим таблицу косинусов углов
между осями координат xyz (сам объект) и хгу^г (внешнее кольцо

§ 4. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ДВУМЯ ГИРОСКОПАМИ 141
второго гироскопа; см. рис. 65). Она имеет вид
#2
Уг
Ч
X
COS «2
0
— sin α2
У
0
1
0
ζ
sin о^
0
COSOCj.
(3.4.6)
Совместно с таблицей косинусов углов (см. рис. 66) между осями
систем координат ξ2η2ζ2 (кожух второго гироскопа) и #2#2Ζ2 (его
внешнее кольцо), а именно:
(3.4.7)
таблица (3.4.6)
L·
η2
ζ2
η2
x2 Уг
cos β2 — sin β2
sin β2 cos β2
0 0
4
0
0
1
дает возможность получить таблицу
χ у
cos 0C2 cos β2 — sin β2
cos α2 sin β2 cos β2
— sin
α2 0
ζ
sin α2 cos β2
sin α2 sin β2
COS OC2
ξ
η
ζ
?2
1
0
0
ъ
0
cos γ2
sin γ2
ζ2
0
— sin γ2
cos γ2
(3.4.8)
косинусов углов между осями систем координат ^ЛгСг и ^Ζ· Если
теперь построить таблицу косинусов, относящуюся к системам
ξηζ и ξ2η2ζ2 (см. рис. 67), т. е.
(3.4.9)
то на основании двух последних таблиц придем к следующему,
уже второму варианту таблицы косинусов углов между системой
координат xyz, связанной с подвижным объектом, и невращаю-
щейся системой ξηζ:
χ у ζ
ξ cos a2cos β2 — sin β2 sin a2 cos β2
η cos a2 sin β2 cos γ2 + cos $2 cos 72 s^n a2 sin β2 cos 72 —
+ sin a2 sin γ2 — cos a2 sin γ2
ζ cos a2 sin β2 sin y2 — cos β2 sin γ2 sin a2 sin β2 sin 72 +
— sin a2 cos γ2 + cos a2 cos 7г-
(3.4.10)

142 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Эта таблица содержит лишь
тригонометрические функции
переменных α2, β2, γ2, τ· е·
углов, имеющих отношение
только ко второму гироскопу.
Наконец, построим третий
вариант той же таблицы,
используя, однако,
исключительно углы ψ, φ и О (см. рис. 68),
где θ — угол между осями ζ и
z. Он связан с введенным ранее
углом Θ между осью ζ и
плоскостью ξη, τ. е. тангажом
объекта, очевидным соотношением
О = 5 — Θ. (3.4.11)
Введем вспомогательную
систему координат ξ'η'ζ', ось
ζ' которой параллельна оси ζ,
а ось η' направлена
параллельно проекции продольной оси
объекта ζ на плоскость ξη (рис.
69), и, следовательно, образует
угол ψ (угол скоса объекта) с
осью η. Будем считать угол ψ
положительным, если система
координат ξηζ кажется
повернутой по отношению к системе
ξ'η'ζ' против стрелки часов,
при наблюдении за вращением
со стороны положительного
направления оси ζ' (или оси ζ).
Таблица косинусов углов
между осями этих систем имеет вид
Ι η ζ
ξ' cos ψ — sin ψ 0
η' sin ψ cos ψ 0 (3.4.12)
ζ' 0 0 1.
Введем далее систему
координат x'y'z', ось х' которой
совпадает с осью ξ', а ось ζ'
параллельна продольной оси объекта
ζ (рис. 70). Это всегда
возможно, так как ось ξ' параллельна

§ 4. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ДВУМЯ ГИРОСКОПАМИ 143
плоскости ξη и одновременно перпендикулярна проекции η' на
эту плоскость оси ζ {ζ') (см. рис. 68). Поэтому оси ξ' и ζ, а
следовательно, и оси ξ' и ζ' взаимно перпендикулярны. Заметим, что
все шесть осей—ζ', ζ, ζ, ζ', η' и у' — параллельны одной
плоскости, перпендикулярной плоскости ξη, причем ζ и ζ' а также ζ и
ζ' соответственно параллельны друг другу.
Выше было введено обозначение # для угла между осями ζ и
ζ или, что то же , между соответственно параллельными им осями
ζ' и ζ' (см. рис. 70). В соответствии с формулой (3.4.11), если
тангаж θ заключен в пределах —π/2 < θ < π/2, угол θ положителен.
При этом система координат ξ'η' ζ' оказывается повернутой против
стрелки часов вокруг оси ξ' (совпадающей с осью х') по
отношению к системе координат x'y'z', если наблюдать за вращением со
стороны положительного направления оси ξ' или (что то же) оси
х'. Таблица косинусов углов между осями систем x'y'z и ξ'η'ζ'
(см. рис. 70) такова:
V η' V
χ' 1 0 0
у' 0 cos ft —sin ft (3.4.13)
ζ' 0 sin ft cos ft.
Используя таблицы (3.4.12) и (3.4.13) , можно построить
следующую таблицу косинусов углов между осями систем координат
x'y'z' и ξηζ:
Ι η ζ
х' cos ψ — sin ψ 0
у' cos # sin ψ cos'&cosij) — sin # (3.4.14)
ζ' sin # sin ψ sin # cos ψ cos #.
Система координат x'y'z' повернута вокруг оси ζ',
параллельной продольной оси объекта z, на угол φ (т. е. на угол вращения)
от того положения, при котором оси х' и у' соответственно
параллельны осям χ и у (см. рис. 68). В самом деле, плоскость у'ζ
параллельна осям ζ и z (см. рис. 68), следовательно, угол между
осью у и этой плоскостью является углом вращения, введенным
выше. Таким образом, угол вращения φ представляет собой угол
между осями у' и у. Будем считать угол φ положительным, если
система координат x'y'z' повернута по отношению к системе
координат xyz против стрелки часов (рис. 71). Таблица косинусов углов
между осями этих систем имеет вид
χ У ζ
χ' cos φ sin φ 0
у' —sin φ cos φ 0 (3.4.15)
ζ' 0 0 1.

U4 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Используя последние две таблицы, приходим, наконец, к
третьему варианту таблицы косинусов углов между осями систем
координат ξηζ и xyz, именно:
xyz
ξ — cos # sin ψ sin φ + cos # sin ψ cos φ + sin # sin ψ
+ cos ψ cos φ + cos ψ sin φ
η —cos # cos ψ sin φ— cos # cos ψ cos φ— sin # cos ψ (3.4.16)
— sin ψ cos φ — sin ψ sin φ
ζ sin # sin φ — sin Φ cos φ cos*.
Посредством гироскопов могут быть измерены лишь углы
поворотов их внешних колец относительно объекта и углы
поворотов кожухов относительно внешних колец, т. е. углы а19
α2, βχ и β2. Углы уг и у2 гироскопами не регистрируются, так как
они не являются углами относительного поворота каких-либо
сочлененных тел. Положение объекта по отношению к невращаю-
щейся системе координат ξηζ, как нетрудно убедиться, вполне
определяется любыми тремя из углов α1? α2, βχ и β2. Сами эти углы
связаны одним соотношением, которое нетрудно получить,
сравнивая, например, между собой, согласно таблицам (3.4.5) и (3.4.10),
косинусы углов, образуемых осью ξ соответственно с осями х, у и ζ.
Имеем следующие равенства, каждое из которых является
следствием двух других:
cos βχοο8 уг = cos α2 cos β2,
cos aL sin βχ cos yL + sin аг sin y± = — sin β2, (3.4.17)
sin аг sin βχ cos уг — cos aL sin y± = sin a2 cos β2.
Умножим обе части второго из равенств на cos a1? а третьего —
соответственно на sin ax. Складывая раздельно левые и правые части
получившихся новых равенств и приравнивая результаты,
получим
sin βχ cos уг = —- sin β2 cos аг + sin a2 cos β2 sin ax. (3.4.18)
Разделим теперь левую часть этого равенства на левую же часть
первого из равенств (3.4.17) и сделаем то же самое с их правыми
частями. В итоге придем к следующей формуле:
ts^--^Stgi32+sinaitga2' <3·4·19)
посредством которой угол βχ определяется через углы αλ, α2 и
β2. Это и есть искомое соотношение между углами al5 a2, β1? β2.
Ему можно придать вид, симметричный относительно пар

§ 4. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ДВУМЯ ГИРОСКОПАМИ 145
переменных аг и α2, βχ и β2, а именно:
tg βχ cos α2 + tg β2 cos аг = sin at sin a2. (3.4.20)
В ракете V-2 управление рулями производилось по данным
регистрации величин углов а1? а2 и β2. В полете при отсутствии
возмущений продольная ось ракеты ζ должна была бы оставаться
параллельной плоскости ηζ невращающейся системы координат
ξηζ, введенной в начале настоящего параграфа, а тангаж
θ—меняться во времени по заданной программе. Последнее осуществлялось
рулями ракеты посредством первого гироскопа с использованием
данных об угле аг поворота его внешнего кольца. Этот
гироскоп назывался гирогоризонтом. Другой гироскоп — гировер-
тикант — управлял при помощи рулей углом скоса ракеты ψ и
углом ее вращения φ соответственно по данным об углах а2 и β2.
Разумеется, как в этом можно убедиться и из последующих
формул, точное управление тангажом по данным об угле аг может
иметь место лишь при таком управлении ракеты, при котором
одновременно обращаются в нуль углы а2 и β2 и как следствие
углы ψ и φ. Угол $г поворота кожуха первого гироскопа, т. е. ги-
рогоризонта, относительно его внешнего кольца в системе
управления ракетой V-2 не использовался и в виду этого не
регистрировался.
Покажем теперь, как найти углы ψ, # (и тем самым Θ) и φ,
определяющие ориентацию объекта по отношению к невращающейся
системе координат ξηζ, если известны углы а1? а2 и β2. Согласно
таблице (3.4.16), имеем
tgi|) = £25M. (3.4.21)
Возьмем теперь значение cos \z из таблицы (3.4.10), а cos τμ из
таблицы (3.4.5). Получим
tg ψ = sinct2COSP2 = sinct,2CosPa ΊΛ+Ισ*β,. (3.4.22)
& T sin αϊ cos βι sin αϊ r ' & ri v '
Если теперь воспользоваться формулой (3.4.19), то в результате
простых преобразований придем к выражению
tg ψ = 5a2 "j/~(cos a2 cos β2)2 + (sin β2 cos ax — sin a2 cos β2 sin αχ)2,
(3.4.23)
после чего задачу об отыскании угла ψ можно считать решенной.
Рассмотрим некоторые частные случаи равенства (3.4.23).
Если ах = 0, то при любом значении а2, отличном от нуля,
получим ψ = =fc Jt/2. В этом случае ось кожуха первого гироскопа
ζ1? равно как и совпадающая с ней ось ζχ системы координат
хлУ\ъ\-> связанной с внешним кольцом, параллельны продольной
оси объекта ζ (см. рис. 61 и 62). Ось ζχ перпендикулярна оси ηχ,

146 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 72
а последняя, по предположению, во все время движения объекта
остается параллельной оси η невращающейся системы координат
ξηζ (см. рис. 63). Поэтому при аг = О продольная ось объекта я,
как параллельная оси ζχ, оказывается также перпендикулярной
оси η. То же самое относится и к проекции оси ζ на плоскость
ξη, откуда уже непосредственно и следует, что с точностью до
знака угол скоса ψ должен быть равен π/2 (см. рис. 68).
Рассмотрим другой крайний случай, а именно: аг = π/2.
Согласно равенству (3.4.23), теперь имеем
tgi|> = tg α2 cosp2. (3.4.24)
Последняя формула может быть также получена из чисто
геометрических соображений. В самом деле, если αχ = π/2, то
ось ζχ кожуха первого гироскопа (или, что то же, ось гг)
становится антипараллельной оси у системы координат xyz, связанной
с объектом (рис. 72). Отсюда следует, что ось η1? как
перпендикулярная оси ζχ, а также оси zx, перпендикулярна и оси у, т. е.
параллельна плоскости χζ (см. рис. 72). Однако, по
предположению, ось η1? τ. е. ось ротора первого гироскопа, неизменно
параллельна оси η невращающейся системы координат ξηζ. Поэтому
(см. рис. 72) при аг = π/2 ось η перпендикулярна оси у и в свою
очередь параллельна плоскости χζ. С другой стороны, плоскость
χ2ζ2 системы координат α:2ι/2ζ2, связанной с кожухом второго
гироскопа, при произвольном значении угла а2 параллельна
плоскости χζ (см. рис. 65), так как оси у9я у всегда параллельны. Поэтому
при а± = π/2 ось η параллельна плоскости χ2ζ2.

§ 4. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ДВУМЯ ГИРОСКОПАМИ 147
%,£*»7
Рис. 73
Ось ξ2 ротора второго
гироскопа перпендикулярна
плоскости η2ζ2 и, кроме того, по
предположению, неизменно
параллельна оси ξ невращающей-
ся системы координат ξηζ.
Следовательно, плоскости ηζ и η2ζ2
параллельны, и в частности ось
η параллельна плоскости η2ζ2.
Однако только что было
доказано, что та же ось η
параллельна плоскости χ2ζ2. Отсюда
вытекает, что ось η
параллельна прямой пересечения
плоскостей η2ζ2 и χ2ζ2. Такой прямой
является ось ζ2, совпадающая с
осью ζ2 (рис. 73). Таким
образом, доказано, что при аг =
= π/2 ось η параллельна оси ζ2
(см. рис. 73). Вместе с тем ось ξ, по предположению, всегда
параллельна оси ξ2 (имеющей направление вектора собственного
кинетического момента второго гироскопа). Следовательно,
плоскости ξη и ξζ2 параллельны. Далее, ось ζ2 и совпадающая с ней
ось ζ2 образуют (см. рис. 65 и 72) с плоскостью yz угол а2.
Следовательно, тот же угол с осью ζ образует ось η и параллельная
ей ось ζ2 (ζ2).
Плоскости ξ2ζ2 и χ2ζ2 (т. е. χ2ζ2) образуют (см. рис. 66)
двугранный угол, который измеряется плоским углом β2 между осями
ξ2 и х2, порознь перпендикулярными к оси ζ2. Проведем в
плоскости χ2ζ2 ось z* (см. рис. 72 и 73), параллельную оси ζ и
проходящую через начало системы координат x2y2z2. Построим теперь
плоскость, проходящую через ось z*, перпендикулярную к
плоскости ξ2ζ2, и обозначим через ρ прямую, являющуюся
пересечением этих плоскостей (см. рис. 73). Очевидно, что прямая ρ
является проекцией оси z* на плоскость ζ2ξ2. С другой стороны, так
как плоскости ξη и ζ2ξ2, по доказанному выше, параллельны, то
проекция оси ζ на плоскость ξη параллельна прямой ρ и образует
с осью η тот же самый угол, что и прямая ρ с осью ζ2 (z2),
параллельной оси η. Однако угол между осью η и проекцией оси ζ на
плоскость ξη, по определению, является углом скоса объекта ψ,
т. е. одним из трех углов (ψ, Φ и φ), характеризующих
положение объекта по отношению к невращающейся системе
координат. Следовательно, угол между прямой ρ и осью ζ2 также
равен ψ.
Итак, плоскости ρζ2 и ζ*ζ2 образуют двугранный угол β2,
а плоскости z*p и ρζ2 взаимно перпендикулярны. В свою очередь,

148 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 74
угол между осями ζ* и ζ2 равен а2, а между прямой ρ и осью ζ2
равен ψ (рис. 73 и 74). Теперь уже на основании простейшего
стереометрического построения (см. рис. 74) или, если угодно,
в результате применения формул сферической тригонометрии
непосредственно следует формула (3.4.24).
Если в формуле (3.4.24) положить дополнительно β2 = 0, то по-
Это равенство также можно получить и непосредственно (см.
рис. 73). Выше было доказано, что при аг = π/2 ось η параллельна
оси ζ2, совпадающей с осью ζ2. В случае β2 = 0 оси системы
координат #2#2z2, связанной с внешним кольцом второго гироскопа,
соответственно совпадают с осями системы ξ2η2ζ2, связанной с его
кожухом (см. рис. 66 и 73). Следовательно, ось ξ невращающейся
системы координат ξηζ, неизменно параллельная, по
предположению, оси ξ2, в данном случае перпендикулярна оси у2 (как
совпадающая при β2 = 0 с осью η2). Однако ось у2 параллельна оси у
системы координат xyz, связанной с объектом. Таким образом,
и ось η, и ось ξ перпендикулярны оси у, вследствие чего ось z,
также, конечно, перпендикулярная оси г/, параллельна плоскости
ξη. Поэтому ось ζ параллельна своей проекции ρ на ту же
плоскость ξη (см. рис. 73). Угол же между этой проекцией и осью η
является, по определению, углом ψ скоса объекта. Таким образом,
в данном случае угол ψ равен углу между осями ζ и η или между
осями ζ и ζ2, так как оси η и ζ, по доказанному выше, параллельны.
Однако последний угол как раз и является углом а2 поворота
внешнего кольца второго гироскопа и связанной с ним системы
координат x2y2z2 по отношению к системе координат xyz,
связанной с объектом.
Обратимся теперь к вычислению угла #. Для этой цели
сопоставим вновь косинусы углов, образуемых осью ζ с осями ξ и η,

§ 4. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ДВУМЯ ГИРОСКОПАМИ 149
т. е. cos ξζ и cos ηζ, следуя таблицам (3.4.5), (3.4.10) и (3.4.16).
Имеем
sin ft sin ψ = sin α2 cos β2, ,g ,
sin ft cos ψ = sin ax cos β1?
откуда в результате простейших выкладок получим формулу
sin ft = "j/sin2 <xt cos2 βχ + sin2 α2 cos2 β2, (3.4.27)
решающую задачу об отыскании угла ft по заданным а1? а2 и β2
после предварительного определения угла βχ в соответствии с
формулой (3.4.19). Заметим, что формула (3.4.27) не меняет своего
вида при замене углов аг и βχ соответственно на а2 и β2, а этих
последних на ах и β1? что и следовало ожидать по соображениям
симметрии. В частном случае при одновременном обращении
в нуль углов а2 и β2 имеем, согласно формуле (3.4.19), βχ = 0.
Учитывая это обстоятельство и формулу (3.4.27), получаем, что
при α2 = β2 = 0 справедливо равенство ft = ах и, следовательно,
тангаж объекта полностью определяется углом поворота внешнего
кольца первого гироскопа — гирогоризонта — относительно его
кожуха.
Перейдем, наконец, к вычислению угла вращения объекта φ.
Сравнивая косинусы углов между осями ζ и л: в таблицах (3.4.5) и
(3.4.16) и осями ζ и г/, согласно таблицам (3.4.10) и (3.4.16),
получим равенства
sin ft sin φ = cos βχ sin v1?
P Y1 (3.4.28)
—- sin ft cos φ = cos β2 sin γ2.
Чтобы воспользоваться одним из них, необходимо сначала
представить величины sin γχ и sin γ2 в виде функций углов α1? β1? α2,
β2. Для этого сначала сравним между собой косинусы углов
между осями ξ и г/, а также между осями ξ и ζ в таблицах (3.4.5) и
(3.4.10). Получим два соотношения:
cos αχ sin βχ cos γχ + sin аг sin γ! = —sin β2, ,« , 2q\
sin аг sin βχ cos уг — cos аг sin γχ = sin α2 cos β2.
Умножая левую и правую части первого из них на sin α1? а
второго на —cos α1? получим после суммирования формулу
sin γι = — sin β2 sin αχ — sin α2 cos β2 cos αχ. (3.4.30)
Аналогично если вновь взять косинусы углов оси η с осями χ и ζ
из таблицы (3.4.5) и соответственно приравнять их тем же
косинусам, но уже взятым из таблицы (3.4.10), то получим еще два

150 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
соотношения:
— sin βχ = cos α2 sin β2 cos γ2 + sin α2 sin γ2, ( , „.
sin αχ cos $± = sin α2 sin β2 cos γ2 — cos α2 sin γ2.
Обе части первого из этих соотношений помножим на sin α2, а
второго — на —cos α2, после чего придем к еще одной формуле:
sin γ2 = —- sin βχ sin α2 —- sin аг cos βχ cos α2. (3.4.32)
Используя формулы (3.4.30) и (3.4.32) в равенствах (3.4.28),
получим
sin θ sin φ = — cos βχ (sin β2 sin αχ + sin α2 cos β2 cos αχ),
sin # cos φ = cos β2 (sin βχ sin α2 + sin аг cos βχ cos α2).
(3.4.33)
Каждое из этих равенств * можно использовать для отыскания
угла φ, если предварительно определить угол Φ посредством
формулы (3.4.27). Первое из соотношений (3.4.33) наиболее удобно для
отыскания угла φ по трем углам а1? а2 и β2. Учитывая формулу
(3.4.27), имеем
cos βι (sin 82 sin αϊ + sin аг cos 82 cos αϊ) /о / о / ч
sincp = ) — —. (d.4.o4)
У sin2 αϊ cos2 βι + sin2 a2 cos2 β2
Если теперь воспользоваться равенством (3.4.19) и исключить
из последней формулы угол βχ, то придем к окончательному
выражению
/ . sin αϊ sin β2 + cos αϊ sin аг cos β2
l^sin2 αϊ + sin2 аг cos2 β2 + tg2 аг (sin αϊ sin аг cos β2 — cos αϊ sin β2)2
(3.4.35)
§ 5. Общий метод составления таблиц
косинусов углов между осями систем координат
При рассмотрении содержания параграфов настоящей и пр|еды-
дущих глав нетрудно обратить внимание на большое место,
которое занимает в тексте составление таблиц косинусов углов между
осями различных систем координат. В сущности, аналитическая
сторона решения конкретной задачи чаще всего сводилась к
сравнению по-разному составленных таблиц, относящихся к одним
и тем же системам координат. Поэтому представляется сущест-
* Нетрудно усмотреть симметрию и в равенствах (3.4.33), а также
в формулах (3.4.26) по отношению к перестановке пар переменных αχ, βχ и
аг, рг с одновременной заменой углов φ и ψ на тс/2 — φκ π/2 — ψ. Причиной
этого является симметрия расположения' гироскопов объекта по отношению
к плоскости, которая делит пополам двугранный угол между координатными
плоскостями χζ и yz.

§ 5. ОБШИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ КОСИНУСОВ 151
Рис. 75 Рис. 76
венным возможно более упростить процесс составления
подобных таблиц, чтобы избежать громоздких и однообразных
действий, проведение которых без ошибок требует большого внимания.
Любые две системы координат (в частности, те, косинусы углов
между осями которых являются искомыми величинами) всегда
можно рассматривать как исходное и последующее положения
одного и того же трехгранника, совершающего в определенном
порядке конечные вращения (повороты) вокруг тех или иных
своих ребер. Если упомянутый трехгранник совершает одно за
другим три конечных вращения вокруг каждого из своих трех
ребер, то, как в дальнейшем будет показано, возможны только два
существенно отличных рода последовательностей таких
вращений. Следовательно, в этом случае достаточно составить раз и
навсегда лишь две существенно отличные друг от друга таблицы
косинусов углов между направлениями ребер трехгранника в его
исходном и конечном положениях.
Обозначим ребра подвижного трехгранника буквами а, Ъ и с.
Исходное направление этих ребер назовем соответственно
буквами х, у, ζ, а конечное — в случае одной последовательности
вращений буквами ξ1? τ)!, ζχ, а в случае другой — ξ2, η2, ζ2. Пусть
направления χ, у, z, рассматриваемые как оси, образуют правую
систему координат xyz (рис. 75). Тогда правые же системы
координат будут образовывать и направления ξχ, г\г, ζ± и ξ2, Лг* £г-
Перемещение трехгранника аЬс из положения xyz в положение
ζιΉιζι последовательными поворотами вокруг ребра а на угол
аг, ребра Ъ на угол $г и, наконец, вокруг ребра с на угол γχ назовем
угловым перемещением первого рода. Положительным значениям

152 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 77
углов α1? β! и γχ {углов Эйлера — Крылова, см. следующий параграф)
здесь и далее соответствуют повороты трехгранника abc против
стрелки часов вокруг ребер а, Ъ и с, если смотреть на его вершину
со стороны этих ребер (рис. 76).
Угловым перемещением второго рода назовем перемещение
трехгранника abc из положения xyz в положение ξ2η2 ζ2
посредством последовательных поворотов сначала на угол β2 вокруг
ребра Ъ, затем на угол а2 вокруг ребра а и, наконец, на угол γ2 вокруг
ребра с. При этом направления поворотов, соответствующие
положительным значениям углов α2, β2 и γ2, определяются точно
так же, как и в случае углов αχ, βχ и ух. Любое другое перемещение
трехгранника abc, состоящее из трех последовательных конечных
поворотов вокруг каждого из его ребер, сводится к одному из двух
описанных выше перемещений. Необходимо лишь
соответственным образом обозначить через а, Ъ и с ребра трехгранника и через
αι» βΐι Υι или α2ι β2ι Τ2 углы конечных поворотов соответственно
вокруг каждого из этих ребер. При этом достаточно только
рассмотреть порядок двух первых поворотов, так как в обоих случаях
третий поворот можно всегда считать последним и производить
его на угол у1 или же на угол γ2 вокруг ребра с.
Пусть, например, трехгранник uvw, ребра которого образуют
правую систему координат, совершает перемещение из исходного
положения u°v°w° (рис. 77) в конечное u*v*w* посредством пово-

§ 5. ОБЩИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ КОСИНУСОВ 153
х]ухг х
Рис. 78
рота вокруг ребра w (или, что то же, оси w°) на угол κ, затем
вокруг ребра ν (занявшего в результате предыдущего поворота
некоторое положение ν') на угол ε и, наконец, вокруг ребра и
(пришедшего после первых двух поворотов в совпадение с осью и*)
на угол δ. Обозначим ребро ν буквой а, ребро w — буквой Ъ,
ребро и — через с и соответственно примем
ε =α2, κ = β2, δ = γ2. (3.5.1)
При этом трехгранник аЪс оказывается также правым (т. е.
взаимное расположение ребер а, Ъ и с соответствует правой системе
координат). Так как последовательность ребер, вокруг которых
производятся конечные вращения, представляется теперь в виде
Ъ, а, с, то в данном случае имеет место перемещение второго рода.
Заметим, что перемещение твердого тела вокруг неподвижной
точки, определяемое классическими углами Эйлера ψ, θ и φ
(рис. 78), не принадлежит к классу рассматриваемых
перемещений. В самом деле, это перемещение состоит из следующих
последовательных поворотов трехгранника аЪс, ребра которого в
исходном положении совпадали соответственно с осями х0, у0 и ζ0.
Сначала совершается поворот на угол ψ вокруг ребра с,
совпадающего с осью ζ0, затем вокруг переместившегося в новое положение
ребра а или, что то же, линии узлов х1 (рис. 78) на угол θ и,
наконец, на угол φ вновь вокруг ребра с, которое теперь уже будет

154 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 79 Рис. 80
совпадать с осью ζ конечного положения трехгранника — системы
координат xyz. Таким образом, здесь нет трех последовательных
поворотов вокруг каждого из ребер трехгранника abc. Наличие
двух конечных поворотов вокруг одного и того же ребра
обусловливает неудобство применения системы классических углов
Эйлера при изучении малых угловых перемещений твердого тела.
Это происходит потому, что таким перемещениям соответствуют,
вообще говоря, большие (а не малые) углы ψ и φ, отличающиеся,
впрочем, на малую величину друг от друга (гл. II второй книги).
Построим теперь обычным путем таблицы косинусов углов
между осями систем координат xyz и ξ^ιζι, а также осями систем
xyz и ^гЛгСг^ соответствующих начальному и конечному
положениям трехгранника abc для перемещений как первого, так и
второго рода.
При перемещении первого рода сначала совершается поворот
вокруг оси а (совпадающей с осью х) на угол аг. Этот поворот
переводит трехгранник abc из положения xyz в положение, которое
обозначим через х[у'&[ (рис. 79). Соответствующая таблица
косинусов углов между осями систем координат χ^ίζ[ и xyz имеет вид
х У ζ
χί Ι 0 О
(3.5,2)
yi О cos (Хг sin аг
z{ 0 — sino^ cos ал%

§ 5. ОБЩИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ КОСИНУСОВ 155
УЛР[С)
сЬг
/уМ№
Рис. 81
Рис. 82
Следующий поворот происходит вокруг ребра Ъ (теперь оно уже
совпадает с осью y'i) на угол βχ. В результате трехгранник аЬс
из положения ХгУ& переводится в положение ξίη^ζί (рис. 80).
Этому повороту соответствует следующая таблица косинусов
углов между осями систем координат ξ|η{ζ{ и х\у'&\\
(3.5.3)
Используя таблицы (3.5.2) и (3.5.3), можно теперь построить
таблицу косинусов углов между осями систем ξίηίζί и xyz, именно,
ίχ
ηί
ζχ
Χχ
COS β!
0
sin β!
Ух
0
1
0
Ζχ
— sin β4
0
cos βχ
χ у z
|i cos β! sin аг sin β! —cos ax sin βχ
ηί 0 cos αχ sin αχ
ζ! sin β! — sin 04 cos β! cos αχ cos βχ.
(3.5.4)
Последнему повороту трехгранника abc, т. е. повороту на угол
γχ вокруг ребра с (совпавшего после двух предшествующих
поворотов с осью ζχ, или, что то же, осью ζχ)? соответствует переход
трехгранника из положения 1[ν\[ζι в конечное положение ξ^ιζι

156 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
&>ш
Рис. 83
Рис. 84
\l
ηι
ζι
ξι
cosyj
— sin y1
0
ηι
sin γχ
cos уг
0
&
0
0
1.
(рис. 81). Таблица косинусов углов между осями §ιη1ζ1 и ξίηίζί
имеет вид
(3.5.5)
На основании таблиц (3.5.4) и (3.5.5) построим искомую
таблицу косинусов углов между осями систем ξχηι ζι и xyz,
характеризующую перемещение первого рода, т. е. совокупность трех
последовательных поворотов трехгранника аЪс вокруг ребер а, Ъ
и с. Эту таблицу будем называть таблицей первого рода. Она
имеет вид
χ у ζ
sin 04 sin PiCosTr-l-
+ cos 04 sin γχ
— sin a± sin pt sin γχ+
+ cos 04 cos Yi
— sin 04 cos β!
gt COS Pt COSY!
ηχ — cospiSinYi
ζι sin β1
— cos 04 sin βχ cos y± +
^-sma^my!
cos 04 sin β18ίηγ1 +
+ sin 04 cos yt
cos at cos βχ.
(3.5.6)
Приступим теперь к построению таблицы косинусов углов
между осями системы координат xyz и системы 12^12^29 образующейся

§ 5. ОБЩИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ КОСИНУСОВ 157
Х2
У%
ч
X
cos β2
0
sin β2
У
0
1
0
ζ
— sin β2
0
cos β2.
в результате перемещения второго рода. Первый поворот
трехгранника аЪс производится теперь вокруг ребра у2 (совпадающего
с осью у исходного его положения) на угол β2 (рис. 82). При этом
трехгранник аЪс переходит из исходного положения xyz в другое
положение, которое обозначим через x2y2z2. Такому конечному
вращению соответствует таблица косинусов
(3.5.7)
Дальнейший поворот трехгранника аЪс происходит вокруг ребра
а (теперь уже совпадающего с осью х2) на угол сс2. В результате
этот трехгранник переходит из положения x'2y2z'2 в положение,
обозначаемое в дальнейшем через ξ2Ή2ζ2 (рис. 83). Таблица
косинусов углов между осями систем координат 52т]2^2 и #2ДОг имеет
вид , , ,
хг Уч ζ2
L· ι о о
, η . (3.5.8)
η2 Ο cosa2 sino^
ζ2 0 — sin Оз cos a2.
Зная таблицы (3.5.7) и (3.5.8), можно построить следующую
таблицу косинусов углов между осями систем координат 52^2?2 и xyz:
L·
Л2
с;
X
cos β2
8ίηα28ίηβ2
cos a2 sin β2
У
0
cos Оа
— sin 0^2
ζ
— sin β2
sin a2 cos β2
cos a2 cos β2.
(3.5.9)
В результате последнего поворота на угол γ2 вокруг ребра с
(последнее занимает после двух предыдущих поворотов положение
ζ2, совпадающее с ζ2) трехгранник аЪс переводится из положения
^гЛ^г в конечное положение ζ2ν\2ζ2 (рис. 84). Соответствующая
таблица косинусов аналогична таблице (3.5.5) и, следовательно,
имеет вид
Ъ2
It cosy, _„ ~ (35Л0)
η2 — sin γ2
L· о
η2
siny2
οοβγ2
0
L·
0
0
1.

158 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Используя таблицы (3.5.9) и (3.5.10), можно построить,
наконец, таблицу косинусов углов между осями систем координат
ξ2η2ζ2 и xyz, именно:
χ
ξ2 sinp2sinoc2sin72 +
+ cos β2 cos γ2
η2 sin β2 sin α2 cos72—
— cos β2 sin γ2
ζ2 sin β2 cos α2
Будем называть ее таблицей второго рода. Она характеризует
угловое перемещение второго рода трехгранника аЪс из
положения xyz в положение ξ2η2ζ2, τ. е. перемещение, которое
образуется в результате трех последовательных поворотов вокруг ребер Ь,
а ж с соответственно на углы β2, α2 и γ2.
В силу свойств конечных вращений положение системы
координат ξχηχζι не совпадает, разумеется, с положением системы
координат |2η2ζ2, если при отличных от нуля значениях аг и βχ имеет
место
αχ =α2, βχ=β2, Υι =γ2· (3.5.12)
В самом деле, из равенств (3.5.12) и сопоставления таблиц (3.5.6)
и (3.5.11) следует, что соответственные элементы этих таблиц
равны друг другу лишь в случае одновременного обращения в нуль
углов ах и а2 при $г = β2 и уг = γ2 или в случае βχ = β2 = 0,
αχ = α2, γχ = γ2. В общем же случае при условии (3.5.12)
соответственные элементы таблиц (3.5.6) и (3.5.11) оказываются не
равными друг другу и положения систем координат ξιΤ^ζχ и ξ2η2ζ2 по
отношению к системе xyz друг с другом не совпадают.
Справедливо и обратное утверждение. Именно, если одноименные оси систем
координат ξ1τ)1ζ1 и ξ2η2ζ2 совпадают, то углы аг и а2, ^г и β2, а
также уг и γ2, попарно не равны друг другу (кроме случаев,
упомянутых выше, т. е. аг = а2 = 0 или $г = β2 = 0).
Приведем несколько примеров использования таблиц первого
и второго рода. В § 6 гл. 1 была получена таблица (1.6.4)
косинусов углов между осями систем координат x°y°z° и xyz. Переход
от системы x°y°z° к системе xyz осуществлялся посредством: 1)
поворота на угол θ по стрелке часов вокруг оси г/°, совпадающей
с осью г/2, приводящего к системе координат #2*/2z2 (см. рис. 24);
2) поворота против стрелки часов на угол ψ вокруг оси х2 этой
новой системы к системе x^y^z^ ось хг которой совпадает с осью
х2, и, наконец, 3) поворота на угол κ против стрелки часов
вокруг оси ζ1 к системе координат xyz. Ось ζ последней совпадает
с промежуточной осью ζλ (см. рис. 25).
У *
cos pc2 sin γ2 cos β2 sin o^siny^ —-
— sin β2οοδγ2
cos &2 cos γ2 cos β2 sin α2 cos γ2 ~f-
+ sin β2 sin γ2
— sino^ οο8β2οο8α2. (3.5 Ц)

§ 5. ОБЩИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ КОСИНУСОВ 159
Нетрудно прийти к выводу, если переименовать оси х°, i/°, z°;
Хъ,Уг,Ч\ хъУъ*1 х,У,я соответственно на х, у, ζ; #2, г/2, Ч\
^27Ή2, ζύ 1>2,Ч2, Сг и, далее, угол θ заменить на — β2, угол ψ — на
а2 и γ — на κ, указанная выше последовательность поворотов
оказывается перемещением второго рода. В самом деле,
трехгранник аЪс будет в этом случае последовательно занимать,
отправляясь от исходного положения xyz, положения х'цц'&ъ, ^гЛгй и,
наконец, ξ2η2ζ2, поворачиваясь сначала вокруг ребра Ъ на угол
β2 = — θ, затем вокруг ребра а на угол а2 = ψ и, наконец,
вокруг ребра с на угол γ2 = κ· Поэтому достаточно в таблице (3.5.11)
заменить углы α2, β2, γ2 соответственно на ψ, —θ и κ, а названия
осей х, у, z; xiyiz2\ ξ2, η2, ζ2; ξ2, η2, ζ2 вновь заменить на
χ°, y°, z°; #2,i/2,z2; x^y^z^ χ, у, ζ, чтобы сразу же прийти к
таблице (1.6.4) § 6 гл. I.
Удобно при анализе угловых перемещений ввести следующую
условную запись. Применительно к только что рассмотренному
перемещению, соответствующему таблице (1.6.4) гл. I, она имеет
вид
*V*° ζψ- ЪУ& ^ψ- Wi ~ xyz. (3.5.13)
В этой записи стрелка показывает, из какого исходного
положения и в какое последующее переходит трехгранник аЪс. Над
стрелкой приводятся две совпадающие оси, вокруг которых
совершается конечный поворот, а под стрелкой — угол этого
поворота. Знак «минус» означает при этом, что поворот происходит
по стрелке часов, если наблюдать за вращением с положительной
части упомянутых совпадающих осей. Угловому перемещению
первого рода, рассмотренному в настоящем параграфе, к которому
относится таблица (3.5.6), можно поставить в соответствие
следующую схему:
xyz ~~ΪΓ* XiyiZl ~βΓ~* ξι%ζι ~1Γ* ^£ι· (3.5.14)
В свою очередь для перемещения второго рода,
характеризующегося таблицей (3.5.11), имеем
xyz IT* х*УгЪг "άΓ* *2%^2 ~~τΓ~* ^^' (3.5.15)
Рассмотрим еще в качестве примера таблицы (3.4.5), (3.4.10)
и (3.4.16) предыдущего параграфа настоящей главы, относящиеся
к ориентации объекта (в частности, баллистической ракеты),
управляемого двумя гироскопами. Учитывая пояснения к
составлению этих таблиц, можно соответствующие им угловые

160 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
перемещения представить в виде следующих условных записей:
xyz *£. xlVlZl ^ ξ^ώ Μ. ξηζ (3.5.16)
в случае таблицы (3.4.5);
xyz -^ x2y,z2 ^ ξ2η2ζ2 %|Γ ξηζ (3.5.17)
для таблицы (3.4.10) и, наконец,
Ы ^ ^ ^ χ'ν'ζ' =7f *У* (3-5.18)
в случае таблицы (3.4.16).
Заметим, что любую из приведенных выше схем (т. е. условных
записей) можно записать в противоположном порядке,
одновременно меняя, разумеется, знаки у углов поворотов на обратные.
Так, последнюю схему можно заменить следующей, ей
эквивалентной,
xyz -*£. x'y'z' ^ ξ'η'ζ' i^L ξηζ. (3.5.19)
Покажем теперь, как получить таблицу (3.4.5), избегая
длинных вычислений, приведенных в предыдущем параграфе. Для этой
цели следует использовать схему (3.5.16) углового перемещения,
соответствующего таблице (3.4.5), и воспользоваться данными
той из таблиц (3.5.6) или (3.5.11), которая относится к
перемещению того же рода. Произведем сначала следующую замену
обозначений осей и углов в схеме (3.5.16), а именно буквы х, у, ζ\
χι> У\-> V» ξι^ Ήι, ζιπξ, η, ζ соответственно заменим на у, z, χ; у'ъ
zi х'г, Ль ti I2 и η2, ζ2, ξ2. Получим новую схему
yzx —^* y2z2x2 —^~* η2ζ2ξ2 —^-* ЛгСгёг» (3.5.20)
которая после несущественного циклического изменения порядка
букв принимает вид
У^Уч ' ' ' Х2'> ^2 t' 'ν' *2' ^2 fc _ *· /О г 0/I \
xyz —-* x2y2z2 —^—» l&vL· -^-> 12η2ζ2. (3.5.21)
Согласно схеме (3.5.21), повороту трехгранника аЪс вокруг ребра
а предшествует поворот вокруг ребра 6, совпадающего при этом
вращении с осями у и г/2. Таким образом, здесь имеет место угловое
перемещение второго рода. Поэтому в соответствии со схемой
(3.5.16) надлежит заменить обозначения αλ на β2 и βχ на а2 и,
кроме того, γλ на γ2. Если теперь в таблице второго рода (3.5.11)
поменять все буквы в соответствии со сделанными заменами в
обратном порядке, то придем после дополнительной циклической
перестановки строк и столбцов к искомой таблице (3.4.5).

§ 5. ОБЩИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ КОСИНУСОВ 161
Для составления таблицы косинусов между осями систем
координат xyz и ξηζ, соответствующих схеме (3.5.17), также можно
обойтись без сравнительно громоздких выкладок, изложенных
в § 4 настоящей главы. Достаточно заменить в схеме (3.5.17)
буквы х, у, ъ\ х2у у2, 22; ξ2, η2, ζ2 и ξ, ν, ζ соответственно на
z, χ, у; ζλ, хъ у'г; ζ[, Ц ц[ и ζ1τ gb η2. Β результате после
необходимого упорядочения получим схему углового перемещения
первого рода, а именно:
°°У* ΊΤ5Γ XiyiZl ^βΓ ^η'ζι ~=^γΓ ξιηιζι' (3.5.22)
Чтобы схемы (3.5.22) и (3.5.14) полностью совпали, необходимо
еще произвести замену — а2 на <х1? — β2 на β! и — γ2 на γχ.
Если теперь в таблице первого рода (3.5.6), относящейся к схеме
(3.5.14), вернуться к обозначениям схемы (3.5.17) и, кроме того,
произвести циклическую перестановку столбцов и строк, то
получим без всяких вычислений таблицу (3.4.10).
Схеме (3.5.18), а также эквивалентной ей схеме (3.5.19) не
соответствует ни угловое перемещение первого, ни второго рода,
так как в последовательности поворотов вокруг трех осей одна из
них повторяется дважды. В начале этого параграфа были
приведены так называемые классические углы Эйлера (см. рис. 78),
переводящие трехгранник аЪс из положения х0Уо^0 в xyz
последовательными поворотами вокруг ребра с на угол ψ, вокруг ребра
а (пришедшего в положение линии узлов) на угол θ и, наконец,
вокруг ребра с (но уже в его новом положении) на угол φ. Этому
соответствует условная запись
Ζθ, 21 Х\ш Х2 22, z /О С ООч
ХоУоЯо —J£— xaf1z1 —gp-> x2y2z2 ~* xyz, (3.5.23)
где #!#!% и x2y2z2 — обозначения промежуточных положений
трехгранника аЪс. Сравнивая схемы (3.5.23) и (3.5.18),
приходим к выводу, что можно получить таблицу косинусов углов
между осями систем координат х0Уо%0 и xyz, выраженных через
классические углы Эйлера ψ, θ и φ, минуя соображения
геометрического характера. Достаточно в таблице (3.4.16) § 4 настоящей главы
изменить знаки у углов ψ и φ на обратные, положить Φ — —θ
и, наконец, заменить буквы ξ, η, ζ на x0l y0, z0. В результате
получим искомую таблицу
χ у ζ
х0 — sin ψ cos θ sin φ + —sinif cos9 coscp— sin ψ sin θ
+cosif cos φ — cosif sin φ
г/о cosifcos9sinq)-f- + cos ψ cos θ cos φ— — cosifsin6
+sin^cosq) —sinifsincp (3.5.24)
z0 sin θ sin φ sin θ cos φ cos θ,

162 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
которую можно найти во многих трактатах по аналитической
геометрии.
Таким образом, используя уже составленные таблицы
косинусов углов между осями каких-либо двух систем координат, можно
путем замены обозначений осей и углов приходить ко многим
другим таблицам без каких-либо дополнительных построений
и вычислений.
§ 6. Об ориентации объекта,
стабилизируемого посредством трех гироскопов
Определим положение подвижного объекта относительно не-
вращающейся системы координат ξηζ посредством трех углов
Эйлера — Крылова. Для этой цели свяжем с объектом систему
координат xyz, оси которой в исходном положении объекта
соответственно совпадают с осями невращающейся системы ξηζ.
Переход от системы координат xyz к системе ξηζ при
произвольном положении объекта можно осуществить тремя конечными
поворотами вспомогательного трехгранника abc, рассмотренного
в § 5 настоящей главы, последовательно вокруг его ребер а, Ъ
и с. Соответствующие углы этих поворотов обозначим через а,
β и γ (рис. 85). Их величины определяются взаимным
расположением упомянутых систем координат xyz и ξη ζ. Первый поворот
трехгранника следует совершить на угол α вокруг ребра а,
совпадающего с осью х. Условимся считать, что при угле а, равном
нулю, ребра Ь is. с соответственно совпадают с осями у и ζ, а при
а ^> О трехгранник повернут против стрелки часов, если
наблюдать за вращением со стороны положительного направления оси
х. В результате поворота на угол а трехгранник abc займет
некоторое положение x'y'z', причем ось хг будет одновременно осью χ
системы координат xyz, связанной с объектом. Следующий
поворот трехгранника abc на угол β происходит вокруг его ребра Ъ,
совпадающего теперь уже с осью у'. Аналогично будем считать
β ^> 0, если трехгранник повернулся относительно положения
x'y'z' против стрелки часов при наблюдении за вращением со
стороны положительного направления оси у'. Обозначим через
ξ'η'ζ' положение трехгранника abc после его второго поворота.
Наконец, последний поворот трехгранника из положения ξ'η'ζ'
в ξηζ совершается вокруг ребра с, которое после обоих
предыдущих поворотов занимает положение совпадающих осей ζ' и ζ.
Обозначим через у величину угла этого поворота. Будем считать,
что γ ^> 0г если трехгранник abc повернулся против стрелки
часов по отношению к своему промежуточному положению ξ'η'ζ'
при наблюдении за ним со стороны положительного направления
оси ζ' или, что то же, оси ζ. Нетрудно убедиться, что рассмотрен-

§ 6. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ СТАБИЛИЗАЦИИ ТРЕМЯ ГИРОСКОПАМИ 163
я,я',(а)
Рис. 85
ная последовательность поворотов трехгранника образует, по
терминологии § 5 этой главы, угловое перемещение первого рода.
Оно переводит трехгранник аЪс из положения xyz в положение
ξηζ. Поэтому косинусы углов между осями систем координат
ξηζ и xyz определяются таблицей (3.5.6), в которой следует
опустить все подстрочные индексы у наименования осей ξ, η, ζ и углов
α, β, у. Имеем
Χ У Ζ
ξ cos β cos γ sin α sin β cos γ+
+ cos α sin γ
η —cos β sin γ —sin α sin β sin γ+
+ cos α cos γ
ζ sin β — sin α cos β
— cos α sin β cos γ +
+ sin α sin γ
cos α sin β sin γ +
+ sin α cos γ
cos α cos β-
(3.6.1)
Углы α, β и γ, как известно, называются углами
Эйлера—Крылова. Они в отличие от классических углов Эйлера всегда малы,
если только мал угол конечного поворота, непосредственно
переводящий трехгранник аЪс из положения xyz в положение ξηζ.
Направление оси этого конечного поворота определяется в
результате следующего воображаемого геометрического построения.
Построим сферу с центром в совместном начале систем
координат ξη ζ и xyz (рис. 86). Точки пересечения осей этих систем со сфе-
11*

164 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 86
рой обозначим |теми же буквами. Отметим середины дуг больших
кругов ζχ и г\у (можно взять, разумеется, и дуги г\у, ζζ или ζζ,
ζχ). Построим далее большие круги сферы, перпендикулярные
к дугам ζχ и г\у и проходящие через их середины. Пересечение
этих кругов, как нетрудно убедиться, определяет положение оси
конечного поворота, переводящего трехгранник из положения
xyz в ξηζ, что и составляет содержание теоремы Шаля*.
Пусть положение систем координат xyz и ξηζ задано и
требуется восстановить все три указанные выше последовательные
повороты трехгранника abc, переводящие его из положения xyz в
положение ξηζ. Нетрудно видеть, что направление оси у', вокруг
которой производится второй из описанных выше
последовательных конечных поворотов (первый происходит вокруг оси х, а
третий — вокруг оси ξ), можно определить простым построением
(см. рис. 85). Именно, ось у' и совпадающая с нею ось η',
являются пересечением плоскостей yz и ξη. Угол между осями у' ж у
является углом а, а между у' и η — углом γ. Наконец, угол β есть
угол между осью χ и осью ξ' — перпендикуляром к оси η' в
плоскости ξη.
Расположим теперь на подвижном объекте три гироскопа:
I, II и III так, чтобы ось внешнего кольца карданова подвеса
* См.у например, Бухголъц Η. Η. Основной курс теоретической
механики, ч. 1, 2. М.у «Наука», 1972.

§ 6. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ СТАБИЛИЗАЦИИ ТРЕМЯ ГИРОСКОПАМИ 165
Рис. 87
гироскопа I была параллельна оси х, гироскопа II — оси у и
гироскопа III — оси ζ (рис. 87). Направим в исходном положении
подвижного объекта, когда соответственные оси систем
координат xyz и ξη ζ совпадают, ось собственного вращения или, что
то же, вектор собственного кинетического момента гироскопа I,
параллельно оси z, гироскопа II — оси χ и гироскопа III — оси у.
Тогда в том же исходном положении ось кожуха гироскопа I
окажется параллельной оси г/, кожуха гироскопа II — оси z,
гироскопа III — оси х. Предположим, что при угловых движениях
объекта векторы собственных кинетических моментов гироскопов I,
II и III не изменяют своего направления относительно невращаю-
щейся системы координат ξηζ. Тогда ось собственного вращения
гироскопа I во все время движения объекта будет направлена
параллельно оси ζ, гироскопа II — оси ξ и гироскопа III — оси η.
Свяжем с внешним кольцом гироскопа I вспомогательную
систему координат ХхУ-lZ-l, а с кожухом этого гироскопа — систему
ξ1η1ζ1. Пусть оси систем χ^χΖχ и ξχηιζι соответственно
параллельны осям систем xyz или ξηζ, когда объект находится в исходном
положении. Очевидно, что ось хг, являющаяся в этом случае осью
внешнего кольца карданова подвеса гироскопа I, остается
параллельной оси χ системы координат xyz, связанной с подвижным
объектом, при любом (а не только исходном) положении
последнего. В свою очередь ось ух системы координат x1y1z1, связанной
с внешним кольцом, постоянно совпадает с осью кожуха ^ ги-

166 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 88
роскопа I, а ось ζΐ5 вдоль которой направлен собственный
кинетический момент Н1 этого гироскопа, по предположению, всегда
параллельна оси ζ невращающейся системы координат ξηζ.
Взаимное расположение систем координат хц/^ и ξχηιζχ по
отношению к системам xyz и ξη ζ в точности такое же, как и систем
x'y'z' и ξ'η'ζ', введенных в начале этого параграфа, при
определении углов Эйлера — Крылова (рис. 85, 88) по отношению к тем же
самым системам xyz и ξηζ. В самом деле, угол поворота вокруг
оси χ системы координат xxyxzx относительно системы xyz или,
что то же, поворот внешнего кольца карданова подвеса гироскопа
I по отношению к объекту является введенным выше углом а
Эйлера—Крылова. Далее, угол поворота вокруг оси уг системы
координат ξιϊ]ιζι по отношению к системе xxyxzx, т. е. кожуха
гироскопа I относительно его внешнего кольца, является углом
Эйлера—Крылова β (см. рис. 88). Наконец, угол между осями
ξχ и ξ (а также между осями ηχ и η) систем координат ξ^ιζι и ξη ζ
представляет собой угол γ. При этом предполагается, что
направления поворотов, соответствующие положительным значениям
углов α, β и γ, сохраняются такими же, как и в системе углов
Эйлера—Крылова.
Свяжем с внешними кольцами подвесов гироскопов II и III
системы координат x2y2z2 и ХъУ&ъ, а с их кожухами — системы
ЕгЛг^г и ξ3η3ζ3· Пусть в исходном положении объекта оси всех
введенных систем координат параллельны соответствующим осям
системы xyz, связанной с объектом. Тогда осями внешних колец

§ 6. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ СТАБИЛИЗАЦИИ ТРЕМЯ ГИРОСКОПАМИ 167
гироскопов II и III окажутся оси у2 и z3, а осями их кожухов —
соответственно ζ2 и ξ3 (см· Рис· 87).
Введем углы λ, μ, ν, относящиеся к гироскопу II (рис. 89), и
углы ρ, σ, τ —- к гироскопу III (рис. 90), играющие ту же роль, что
и углы α, β, γ у гироскопа I (см. рис. 88). Угол λ при этом является
углом поворота вокруг оси у2 внешнего кольца карданова подвеса
гироскопа II по отношению к подвижному объекту или, что то
же, углом между осями ζ и ζ2 (а также между χ и х2) систем
координат xyz и x2y2z2 (см· Рис· 89). В свою очередь угол ρ определяет
поворот вокруг оси ζ3 внешнего кольца гироскопа III
относительно подвижного объекта (см. рис. 90). Далее, углы μ и σ,
аналогичные углу β гироскопа I, суть углы поворотов кожухов
гироскопов II и III по отношению к своим внешним кольцам
соответственно вокруг осей ζ2 (ζ2) и #3(£з)· Наконец, углы ν и τ, подобно углу
γ, определяют, насколько повернуты системы координат ξ2η2ζ2
и ^з^з^з относительно невращающейся системы ξηζ
соответственно вокруг осей |2 и η3 или, что то же, осей ξ и η.
Выше была приведена таблица (3.6.1) косинусов углов между
осями систем координат ξηζ и xyz. Элементы этой таблицы были
выражены через функции углов Эйлера—Крылова α, β, γ,
имеющих отношение к гироскопу I. Для дальнейшего необходимо
элементы той же таблицы (3.6.1) выразить в виде функций других
углов Эйлера—Крылова, относящихся либо к гироскопу II, т. е.
совокупности углов λ, μ, ν, либо к гироскопу III — углов ρ, σ, τ.
При решении этой задачи можно избежать обычных сравнитель-

168 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Рис. 91 Рис. 92
но громоздких вычислений, связанных с построением таблиц
косинусов углов между осями систем координат, одна из которых
образуется из другой в результате трех конечных поворотов.
Покажем, например, как можно непосредственно получить
таблицу, аналогичную таблице (3.6.1), элементы которой, однако,
выражены в виде функции другой совокупности углов Эйлера—
Крылова, а именно: λ, μ и v. Для этой цели переименуем сначала
оси х, у, ζ соответственно в ζ*, #*, у*\ оси х2, у2, ζ2 — в ζ\, χ{, у{;
оси ξ2, η2, ζ2 — в ζί, II, ύ)1 и, наконец, оси ξ, η, ζ — в ζ*, ξ*, η*,
а углы λ, μ и ν — в α*, β* и γ* (рис. 91—93). Нетрудно видеть,
что взаимное расположение систем координат #*?/*z*, x\y\z\,
ξιΉιζι* ξ*η*ζ* оказывается точно таким же, как взаимное
расположение систем xyz, хгу zlt ξιΉιζι, ξηζ, относящихся к I
гироскопу. В частности, система координат x\y{z{, связанная с внешним
кольцом гироскопа II, повернута на угол α* = λ вокруг оси
х* (#!> У·, Уъ) против стрелки часов по отношению к системе #*г/*2*,
связанной с движущимся объектом (см. рис. 91). То же относится
(см. рис. 92) к углу β* = μ, характеризующему расположение
системы координат ξϊηίζί относительно системы x\y\z{ (их оси
у{ и ηί совпадают друг с другом и с осями ζ2 и ζ2). Точно так же
при повороте на угол γ* = ν вокруг оси ζ* (ζ{, ξ2, ξ) оси ξϊ, ηί
системы Ιϊηΐζί, связанной с кожухом гироскопа II,
соответственно приходят в совпадение с осями ξ*, η* невращающейся системы
ξ*η*ζ* (см рИС дз)# Поэтому, чтобы получить таблицу
косинусов углов между осями систем координат x*y*z* и ξ*η*ξ*, доста-

§ 6. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ СТАБИЛИЗАЦИИ ТРЕМЯ ГИРОСКОПАМИ 1бУ
точно воспроизвести с только что перечисленными изменениями
в обозначениях таблицу (3.6.1), а именно:
я* (у) у* (ζ) ζ* (χ)
ξ*(η) cos β* cos γ* sin α* sin β* cos γ*-f — cos α* sin β* cosy*-f
+ cos a* sin γ* + sin a* sin γ*
η*(ζ) —cos β* sin γ* —sin a* sin β* sin γ*-f cos a* sin β* sin γ*-f
+ cos a* cos γ* + sin a* cos γ*
ζ*(ξ) sin β* —sina* cos β* οο8α*ϋθ8β*.
(3.6.2)
Возвратимся к старым обозначениям и заменим в последней
таблице углы α*, β*, γ* на λ, μ, ν, а оси х*, г/*, z*; ξ*, η*, ζ*
соответственно на у, ζ, χ; η, ζ, ξ. Если, кроме того, произвести
одновременную циклическую перестановку столбцов и строк, то
придем к следующей таблице:
ι
η
ζ
Χ
cos λ cos μ
— cos λ sin μ cos v-f
+ sin λ sin ν
cos λ sin μ sin v-f
+ sin λ cos ν
У
sin μ
cos μ cos ν
— cos μ sin ν
z
— sin λ cos μ
sin λ sin μ cos ν +
+ cos λ sin ν
— sin λ sin μ sin ν -f-
+ cos λ cos v.
(3.6.3)
В этой таблице косинусы углов между осями систем координат
ξηζ и xyz выражены уже в виде функций углов λ, μ, ν, имеющих
отношение к гироскопу П. Повторяя рассуждения, аналогичные
только что изложенным, которые в конечном счете приводятся
к замене в последней таблице углов λ, μ, ν на ρ, σ, τ, а осей x,y,z;
ξ, η, ζ вновь на г/, z, χ; η, ζ, ξ, получим после дополнительной
циклической перестановки строк и столбцов новую таблицу
χ у z
ξ —sin p sin σ sin τ + cos ρ sin σ sin τ + —cos σ sin τ
+ cos ρ cos τ + sin ρ cos τ
η —- sin ρ cos σ cos ρ cos σ sin σ
ζ sin ρ sin σ cos τ + — cos ρ sin σ cos τ + cos σ cos τ.
+ cos ρ sin τ + sin ρ sin τ
(3.6.4)
Здесь косинусы углов между осями систем координат ξη ζ и xyz
выражены через углы ρ, σ, τ, имеющие отношение к гироскопу III.

170 ГЛАВА ТП. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
ζ(?ν Я??)
vm
7(£?)
Рис. 93
В этой таблице можно
совершить замену углов ρ, σ, τ на α,
β, γ, а осей #, г/, ζ; ξ, η, ζ вновь
на г/, z, χ; η, ζ, ξ. В результате
придем, разумеется, к
исходной таблице (3.6.1).
Как уже было только что
указано, элементы таблиц
(3.6.1), (3.6.3) и (3.6.4) лишь
по-разному представляют одни
и те же косинусы углов между
осями систем координат ξη ζ и
xyz. Так, в таблице (3.6.1) эти
косинусы выражены через углы
α, β, γ, имеющие отношение к
гироскопу I и являющиеся
одновременно искомыми углами
Эйлера —- Крылова. В свою
очередь в таблице (3.6.3) те же
косинусы выражены через углы λ, μ, ν, относящиеся к гироскопу
И, и, наконец, в таблице (3.6.4) — через углы ρ, σ, τ, связанные
с гироскопом III. Следовательно, в принципе можно составить
18 соотношений, связывающих между собой девять углов: α, β,
ν, λ, μ, ν, ρ, σ, τ. Однако независимых из них окажется лишь 6,
так как геометрически очевидно, например, что углы λ, μ, ν, ρ,
σ, τ должны полностью определяться заданием углов α, β, γ. Β
самом деле, тройка углов λ, μ, ν, равно как и тройка ρ, σ, τ,
представляют собой видоизменение системы углов Эйлера —
Крылова и, следовательно, должны однозначно определяться заданным
положением подвижного объекта или, что то же, положением
связанной с ним системы координат xyz относительно невращаю-
щейся системы ξηξ. В свою очередь это положение определяется
заданием основных углов Эйлера—Крылова α, β и γ.
Наиболее просто на подвижном объекте могут отсчитываться
углы поворотов внешних колец гироскопов I, II, III относительно
самого объекта, т. е. углы α, λ и р. Первый из них уже является
одним из основных углов Эйлера—Крылова. Задача
последующего — определение двух остальных углов Эйлера—Крылова,
а именно: углов β и γ в виде функций-α, λ и р. Для этой цели
можно использовать любые из упомянутых выше 18 соотношений.
Однако задача значительно усложняется из-за необходимости
исключить из этих соотношений углы μ и σ, представляющие
собой углы поворотов кожухов гироскопов II и III относительно
их внешних колец, а также углы ν и τ. Непосредственное
измерение последних на движущемся объекте вообще невозможно, ибо
с невращающейся системой координат ξηζ никакое материальное

§ 6. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ СТАБИЛИЗАЦИИ ТРЕМЯ ГИРОСКОПАМИ 171
тело не связано. В самом деле, угол τ является углом поворота
кожуха гироскопа III и связанной с ним системы координат
£зЛз£з относительно невращающейся системы ξηζ вокруг оси η3,
параллельной оси η. Точно такую же роль (однако уже по
отношению к гироскопу II) играет угол v.
Перейдем теперь к непосредственному отысканию углов β и γ
по заданным углам α, λ и р. Составим отношение cos z\ к cos xl·,
один раз пользуясь таблицей (3.6.1), а другой — таблицей (3.6.3),
и приравняем результаты. Получим
- cosatgP+sina-J^ = _tgX. (3.6.5)
Проделаем то же самое с отношением cos yr\ к cos #η, используя
таблицы (3.6.1) и (3.6.4). Придем в итоге к новому равенству
_sinatgP + cosa-^ = ctgp. (3.6.6)
Равенства (3.6.5) и (3.6.6) можно рассматривать как уравнения
для определения углов β и γ по заданным α, λ и р. Исключая из
них tg γ, получим соотношение
/ cos β \
sin a cos α = (— tgλcosβ + cos α sin β) ί + sin α sin β J, (3.6.7)
откуда после упрощения имеем
tg3= ginacosatgp + tKX , (3.6>8)
& l cos a — sin a tg ρ tg λ ν '
Тем самым вопрос об отыскании угла β можно считать решенным.
Пользуясь вновь обоими уравнениями (3.6.5) и (3.6.6), можно
получить следующее соотношение:
4. 4.2 —1£ λ + cos a tg β . /о а п\
tg a tg2 γ = , , . ' Q. tg p. (3.6.9)
& 6 ' 1+slnatgβtgρ &r v '
Если теперь сюда подставить выражения для tg β, согласно
формуле (3.6.8), и произвести упрощения, то придем к формуле
посредством которой с точностью до знака определяется угол γ.
Чтобы решить вопрос о знаке угла γ, заметим, что при малых
значениях углов α, β и γ, согласно уравнениям (3.6.5) и (3.6.6),
должны быть малыми и углы λ и р. Разлагая в этих равенствах
тригонометрические функции упомянутых углов в ряды и сохраняя
члены до второго порядка включительно, получим после
несложных преобразований приближенные формулы
β=λ+αγ, γ = p. (3.6.11)

172 ГЛАВА Ш. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Последнее из равенств (3.6.11) позволяет сделать выбор знака
у радикала, возникающего при дальнейшем упрощении формулы
(3.6.10), и представить ее в виде
tg T = tg ρ у 1!bsin>at8ip · (3.6.12)
В заключение отметим, что рассмотренное в этом параграфе
расположение трех гироскопов относительно системы координат
xyz, связанной с подвижным объектом, обладает свойством
своеобразной симметрии относительно прямой, образующей равные
углы с осями х, у и ζ. Именно, после поворота объекта на угол
2π/3 вокруг этой прямой достаточно произвести циклическую
замену обозначений осей и углов, чтобы различие между новым
и старым расположениями кардановых подвесов гироскопов
относительно объекта совершенно исчезло. Однако по техническим
соображениям такое симметрическое расположение может
оказаться не наилучшим, если объект движется с большим
ускорением, направленным, например, в основном вдоль оси ζ. В этом
случае считается предпочтительнее иное исходное положение
гироскопа I, при котором ось его кожуха направлена
параллельно оси ζ, связанной с объектом. Тогда ось собственного вращения
гироскопа I окажется параллельной оси у, как и у гироскопа III.
Ось же ротора гироскопа II остается по-прежнему параллельной
оси х. Очевидно, что углы Эйлера—Крылова, определяющие
положение объекта относительно невращающейся системы
координат ξηζ, в этом случае будут вновь выражаться через углы
поворота внешних колец гироскопов I, II, III, однако, разумеется,
посредством несколько иных формул, чем (3.6.8) и (3.6. 12). Вывод
этих формул можно произвести методом, аналогичным
изложенному в этом параграфе, причем здесь могут пригодиться формулы
и таблицы § 4 настоящей главы, где рассматривалась ориентация
объекта, управляемого двумя гироскопами: гировертикантом и ги-
рогоризонтом. Нетрудно убедиться, что в новом исходном
положении гироскоп I будет соответствовать (см. рис. 61 § 4 этой
главы) гирогоризонту, а гироскоп II — гировертиканту.
Разумеется, формулы и таблицы, связанные с гироскопом II, с точностью
до обозначений останутся теми же самыми; кроме того, следует
без изменений использовать все то, что относится к гироскопу III.
§ 7. Применение матриц
к решению геометрических задач систем стабилизации
Каждый конечный поворот твердого тела вокруг неподвижной
точки характеризуется направлением оси поворота и углом, на
который поворачивается связанный с телом некоторый трехгран-

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОРИЕНТАЦИИ 173
ник аЪс при переходе тела из одного положения в другое.
Аналитически поворот вполне определяется таблицей косинусов углов
между осями систем координат, с которыми совпадали
направления ребер трехгранника аЪс в исходном положении и в
последующем, после совершения конечного поворота. Пусть, например,
в исходном положении трехгранник совпадал с системой
координат xyz, а в последующем — с системой ξηζ. Условимся таблицу
косинусов kij (здесь и далее г, / = 1, 2, 3) углов между осями
этих систем
xyz
^12
^22
Ко
I к
11
/с,
к
(3.7.1)
23
ко
ъ32
ко
располагать так, чтобы буквы, обозначающие оси исходного
положения трехгранника (в данном случае xyz), оказались в
горизонтальной строке, а конечного (ξηζ) — в вертикальном столбце.
Можно ввести следующую символическую запись таблицы (3.7.1):
S = КХ, (3.7.2)
где буква X — условное обозначение системы координат xyz,
буква S — системы ξηζ, а К — символ конечного поворота.
Последний будем отождествлять с матрицей
К =
к1г /с12 к13
k<i\ к%2 /с2з
кз1 к32 ^зз»
(3.7.3)
которую назовем матрицей конечного поворота.
Если трехгранник аЪс совершит из положения ξηζ еще один
конечный поворот к некоторому новому положению uvw, то
такому повороту будет соответствовать своя таблица косинусов
Ц] углов между осями систем координат ξηζ и uvw. В
соответствии с только что изложенным эту таблицу следует представить
в виде
Ι η ζ
и /п ί12ι ί13
V ^21 ^22 *"
^31 ^32 ^3
(3.7.4)
23
W
В свою очередь в символическом представлении этого нового
конечного поворота
U = L3 (3.7.5)

174 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
символ L представляет матрицу
hi '12
L = || ^21 ^22
^31 ^32
П3
'23
33
(3.7.6)
а Ξ и U — условные обозначения систем координат ξηζ и uvw.
Два последовательных конечных поворота трехгранника аЪс
из начального положения xyz в промежуточное ξηζ и затем из
положения ξηζ в окончательное uvw эквивалентны некоторому
одному конечному повороту. Соответствующая ему таблица
косинусов углов тц между осями систем uvw и xyz, а именно:
У
т12
т22
т
13
т.
(3.7.7)
23
Шо
X
U 771ц
ν т21
w т31 тъ2 //1,33
легко может быть получена (см § 1 гл. I), если заданы таблицы
(3.7.1) и (3.7.4). В частности, например,
т23 = cos vz = cos v\ cos ξζ + cos щ cos ηζ + cos νζ cos ζζ =
= ^21^13 "l· ^22^23 + 4з^33> (ά.Ι.Ο)
а в общем случае
mij = S hakaj (*, 7 = 1.2, 3).
(3.7.9)
Обратимся теперь к символической записи. С одной стороны,
U = MX, (3.7.10)
где Μ — матрица, соответствующая таблице (3.7.7), т. е.
Μ =
Ш1
m
12
т
13
Л7г«
21 ^22 ^23
т,
31
иг
32
т
зз
(3.7.11)
С другой стороны, если заменить в равенстве (3.7.5) условное
обозначение S системы координат ξηζ его представлением (3.7.2),
то получим
ϋ = LKX. (3.7.12)
Очевидно, что символ конечного поворота Μ в формуле (3.7.10)
эквивалентен символу LK в равенстве (3.7.12). Поэтому следует
считать, что
LK - М. (3.7.13)

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОРИЕНТАЦИИ 175
Однако последнее равенство можно рассматривать также как
результат произведения матрицы К слева на матрицу L (или, что
то же, матрицы L справа на матрицу К). В самом деле, формула
(3.7.9), согласно которой по элементам матриц К и L образуются
элементы матрицы Л/", как раз и определяет правило
перемножения матрицы К слева на матрицу L. Таким образом, матрица Μ
результата двух последовательных конечных поворотов К и L
равна произведению матрицы К первого поворота слева на матрицу
L второго.
Нетрудно установить матрицу, которая соответствует
конечному повороту на угол а вокруг ребра а трехгранника abc. Для этой
цели достаточно рассмотреть таблицу (3.5.2) § 5 настоящей главы.
Эта таблица характеризует поворот трехгранника abc на угол
аъ переводящий его из начального положения xyz в последующее
x[y'iz{ вокруг ребра а, совпадающего с осями χ и хг. Расположение
букв х, у, ζ и хъ у'ъ ζ'χ в этой таблице в точности соответствует
принятому выше условию: буквы ж, у, ζ располагаются в
горизонтальной строке, а х'ъ у[, ζχ — в вертикальном столбце. Опуская
в таблице (3.5.2) подстрочный индекс у угла а, приходим к
выводу, что матрица
Л(а) =
ап
Я21
Яя1
012
#22
аЯ2
«13 1
а23
#33
=
1
0
о
0
cos а
— sin а
О
sin а
cos а
(3.7.14)
соответствует конечному повороту трехгранника abc вокруг ребра
а на угол а.
Обратимся теперь к таблице (3.5.3) § 5 этой главы, относящейся
к повороту на угол pt трехгранника abc вокруг ребра δ,
совпадающего с осями у[, тц. Этот поворот переводит трехгранник из его
начального положения x[y[z[ в конечное ξ^ηίζί. Нетрудно теперь
видеть, что матрица
β(β) =
&11
&21
&31
&12
&22
&32
&13 !
hs
&33
=
cos β
0
sin β
0
1
0
— sin β
0
cos β
(3.7.15)
определяет конечный поворот трехгранника abc на угол β вокруг
ребра &.
Наконец, на основании таблицы (3.5.5) того же параграфа
нетрудно прийти к выводу, что матрица
С(у) =
11
'31
-12
-32
'13
^23
'33
cos γ
sin γ
0
sin у
cos γ
0
0
0
1
(3.7.16)

176 ГЛАВА TIL ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
характеризует поворот на угол γ трехгранника аЪс вокруг ребра с.
Рассмотрим символическую запись последовательных
поворотов трехгранника аЪс вокруг своих ребер а, Ъ и с соответственно
на углы α, β и γ. Первый поворот на угол а, который переводит
трехгранник из положения xyz в положение xryrzr, происходит
вокруг ребра а, совпадающего с осями χ и х'. Его символическая
запись имеет вид
X' = А (а) X. (3.7.17)
Последующему повороту того же трехгранника на угол β вокруг
ребра &, совпадающего в его новом положении с осями у' и ηΓ,
из положения xry zr в ξ'η'ζ' соответствует запись
В' = В (β) Χ'. (3.7.18)
Наконец, для завершающего поворота из положения ξΓηΓζ' в ξηζ
на угол γ вокруг ребра с, совпадающего после первых двух
поворотов с осями ζΓ и ζ, имеем
Ξ = C(y)S'. (3.7.19)
Подставим выражение для Хг, согласно символической формуле
(3.7.17), в равенство (3.7.18). Получим
В' = В ($)А(а)Х. (3.7.20)
В соответствии с изложенным выше произведение матриц
В($)А(а) =Ζ)(α, β) (3.7.21)
образует новую матрицу, определяющую конечный поворот
трехгранника аЪс из начального положения xyz сразу в положение
ξ'η'ζ'. Таблица (3.5.4) § 5 этой же главы как раз относится к
подобному повороту. Ей соответствует матрица
cos β sin α sin β —cos α sin β II
0 cos α sin α ,
sin β —sin α cos β cos α cos β ||
(3.7.22)
в которой следует, конечно, заменить обозначения а на аг и β на
βρ Нетрудно убедиться, что и в самом деле матрица (3.7.22) может
быть получена по правилам умножения матричного исчисления
матрицы А (а) слева на матрицу В (β), τ. е.
з
dij = S bi°a°i> (3.7.23)
σ=1
D (α, β)
dn d12 d13
&21 ^*22 ^*23
o>31 a32 d39
=
где b\a и aaj — элементы матриц (3.7.15) и (3.7.14).

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОРИЕНТАЦИИ 177
Подставим теперь в символическое равенство (3.7.19)
выражение для ΞΓ, согласно формуле (3.7.20). Получим
Ξ = С (γ) Β (β) А (а) X. (3.7.24)
Очевидно, что последнее равенство определяет конечный поворот
из положения xyz в положение ξηζ трехгранника abc,
получающийся в результате трех последовательных поворотов вокруг
ребер а, Ъ и с соответственно на углы α, β и γ. Такой поворот в § 5
этой главы был назван угловым перемещением первого рода.
Обозначим его матрицу через Ρ (α, β, γ). Тогда равенство
Ξ = Ρ (α, β, γ) Χ (3.7.25)
представляет собой символическую запись углового перемещения
первого рода. Сравнивая формулы (3.7.24) и (3.7.25), получаем
символическое равенство
Ρ (α, β, γ) = С (γ) Β (β) А (α). (3.7.26)
Представим в общем случае матрицу Ρ (α, β, γ) в виде
II Рп Vvl Pis I]
^(*,β,ϊ)= Αι A2 Аз . (3.7.27)
II Рз1 Рз2 Аз II
Ее элементы pij нетрудно установить, обращаясь к § 5 настоящей
главы, где при определении конечного поворота первого рода
углы последовательных поворотов трехгранника abc вокруг ребер
а, Ъ и с были обозначены через alt β! и γ1? а окончательное его
положение — через ξ^!?!· Опуская подстрочные индексы в
установленной там таблице (3.5.6) косинусов углов между осями
систем координат ξ1η1ζ1 и xyz, придем к следующей матрице
углового перемещения или, что то же, конечного поворота первого рода
cos β cos γ sin a sin β cos γ + —cos a sin β cos γ +
+ cos a sin γ + sin a sin γ
Ρ = II —cos β sin γ —sin a sin β sin γ + cos a sin β sin γ +
-f cos a cos γ + sin a cos γ
sin β —sin a cos β cos a cos β
(3.7.28)
Заметим, что здесь, в частности,
Аз = cos a sin β sin γ + sin a cos γ. (3.7.29)
Произведение матриц В (β) Α (α) представляет собой, согласно
формуле (3.7.21), матрицу D (α, β). Поэтому символическое

178 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
равенство (3.7.26) можно представить в виде
Ρ (α, β, у) = C(y)D (α, β). (3.7.30)
Таким образом, матрица Ρ (α, β, γ) должна быть результатом
произведения слева матрицы D (α, β) на матрицу С (γ). В этом
легко убедиться и непосредственными вычислениями. В частности,
согласно представлениям матриц С (у) и D (α, β) в виде (3.7.16)
и (3.7.22), в силу правила (3.7.9) перемножения матриц имеем,
в частности,
Р2з^гАз+^^з + c23d33=— sin У (— cos а sin β)+^08 γ sin α,
(3.7.31)
т. е. вновь приходим к формуле (3.7.29).
Умножение матриц ассоциативно, поэтому можно матрицу
Ρ (α, β, γ) получить двумя способами: либо умножая матрицу
С (γ) справа на матрицу D (α, β) = Β (β) А (а), либо умножая
произведение матриц С (γ) Β (β) также справа на матрицу А (а).
В символической записи это представляется следующим образом:
Ρ (α, β, γ) = С (γ) [Β (β) Α (α)] = [С (γ) Β (β) ] А (а).
(3.7.32)
Разумеется, эти свойства матричных произведений можно
непосредственно проверить для общего случая перемножения трех
произвольных матриц. Применительно к теории конечных
поворотов они выражают очевидный геометрический факт: конечный
поворот, эквивалентный трем последовательным поворотам
трехгранника вокруг трех произвольных ребер (или вообще трех
произвольных прямых, неизменно связанных с трехгранником),
можно получить и в результате двух последовательных
поворотов, в частности следующих. Во-первых, конечного поворота,
переводящего трехгранник из исходного положения сразу во
второе промежуточное и поворота из этого промежуточного в
конечное. Во-вторых, поворота из начального положения в первое
промежуточное и далее из него сразу в конечное.
Порядок перемножения матриц, как известно, существен.
Рассмотрим, например, наряду с матрицей Ρ (α, β, γ),
представленной в виде (3.7.26), матрицу
Q (α, β, γ) = С (у) А (а) В (β) (3.7.33)
при одних и тех же значениях углов α, β и γ. Матрица Q (α, β, γ)
соответствует угловому перемещению трехгранника аЪс из
начального положения xyz в другое конечное положение |η ζ по
сравнению с тем, которое получается после поворота, соответствующего

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОРИЕНТАЦИИ 179
матрице Ρ (α, β, γ). Тем самым при отличных от нуля α и β
С (γ) Α (α) Β (β) φ С (у) В (β) А (а). (3.7.34)
Нетрудно убедиться, что матрица Q (α, β, γ) характеризует
угловое перемещение второго рода, описанное в § 5 настоящей главы,
т. е. результат последовательных конечных поворотов вокруг
ребер &, а и с соответственно на углы β = β2, α = α2 и γ = γ2
трехгранника abc из положения xyz в положение ^2\]2ζ2. Элементы
матрицы Q (α, β, γ) легко получить, используя данные таблицы
(3.5.11), опуская в последних подстрочные индексы.
Приведем несколько правил операций над матрицами,
полезных для приложений к теории конечных поворотов. Пусть А (а)
по-прежнему матрица (3.7.14), соответствующая перемещению
(3.7.17) трехгранника abc из положения xyz в положение xryrzr
в результате поворота на угол α вокруг ребра а, совпадающего
с осями χ и х', т. е.
Хг = А (а) X. (3.7.35)
Тогда символическая запись
X* = А (-а) X' (3.7.36)
будет означать конечный поворот трехгранника abc из положения
xryrzr в #*ζ/*ζ* на угол —а вокруг того же ребра а, совпадающего
с осями хг их*, т. е. на угол а по стрелке часов, если наблюдать
за вращением со стороны положительного направления этих осей.
Однако в результате такого поворота трехгранник abc
возвратится на старое место, т. е. в положение xyz. Следовательно, оси #*,
г/*, ζ* соответственно совпадают с осями х, г/, z и имеет место
символическое равенство
X = X*. (3.7.37)
Подставим в правую часть этого равенства выражение для X*,
согласно формуле (3.7.36). Учитывая выражение (3.7.35) для Х\
получаем
χ = А (-а) А (а) X. (3.7.38)
Произведение А (—а) А (а) представляет собой матрицу, которой
соответствует сохранение трехгранника abc в его начальном
положении xyz, т. е. матрицу нулевого поворота. Обозначим такую
матрицу через Е. Таким образом,
А (-а) А (а) = Е. (3.7.39)
Путем прямых вычислений нетрудно непосредственно убедиться,
учитывая представление (3.7.14), что
1 О О II
Ε =\\ 0 1 О I. (3.7.40)
0 0 1

180 ГЛАВА. III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Матрица Ε называется также единичной матрицей. Разумеется,
только такой матрице соответствует таблица косинусов углов
между осями двух совпадающих систем координат, в частности систем
xyz и #*ζ/*ζ*. Нетрудно убедиться в справедливости следующих
символических равенств, аналогичных равенству (3.7.39) :
B(-fi)B(fi)=E (3.7.41)
С (-у) С (у) = Я, (3.7.42)
а также символических равенств типа
А (-а) В (-β) С (-у) С (у) В (β) А (а) = Е. (3.7.43)
В последнем случае незачем приводить конкретные вычисления.
Достаточно использовать соотношения (3.7.39), (3.7.41) и (3.7.42),
а также равенства
ЕК = КЕ = К, (3.7.44)
где К — произвольная, а Е — единичная матрица (3.7.40).
Из равенств (3.7.43) и (3.7.26) следует, что матрица
R (α, β, γ) = А (-а) В (-β) С (-у) (3.7.45)
соответствует конечному повороту, возвращающему трехгранник
abc в начальное положение после поворота, описываемого
матрицей Ρ (α, β, γ). Как следует из сопоставления формул (3.7.26)
и (3.7.45), чтобы получить матрицу R (α, β, γ), недостаточно
только поменять знаки у аргументов матрицы Ρ (α, β, γ),
представленной в виде (3.7.26). Необходимо также изменить порядок
перемножаемых матриц А, В и С. Вместе с тем все эти действия приводят
в конечном счете лишь к так называемому транспонированию
матрицы Ρ (α, β, γ), τ. е. к замене в ее выражении (3.7.28) первой,
второй и третьей строк соответственно первым, вторым и третьим
столбцами. В самом деле, таблица косинусов углов между осями
систем координат ξηζ и xyz, соответствующая матрице Ρ (α, β, γ),
может быть представлена в двух эквивалентных видах:
(3.7.46)
Этим таблицам, согласно изложенному выше, можно поставить
в соответствие следующие два равенства:
S = Ρ (α, β, γ) Χ и Χ = R (α, β, γ) Ε. (3.7.47)
Непосредственное сопоставление друг с другом обеих таблиц
ξ
η
ζ
х у
Ρ11 Pl2
ΡΖΙ Ρ22
Ρζι Ρ**
Ζ
Ρ is
Ρ23
Рзз
и
χ
У
ζ
fc
Ρπ
Pl2
Pis
η
Psi
Ρ22
Ρ23
ς
Ρ si
Ρ32
Рзз'

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОРИЕНТАЦИИ 181
(3.7.46) немедленно приводит к выводу, что
R (α, β, у) = Ρ* (α, β, γ). (3.7.48)
Здесь ΡΎ (α, β, γ) — транспонированная матрица Ρ (α, β, γ), τ. е.
такая, которая (как только что было указано) получается в
результате замены первой строки матрицы Ρ (α, β, γ) ее первым
столбцом, второй строки — вторым столбцом и третьей — третьим.
Из равенств (3.7.47) и (3.7.48) следует тождество
К* К = КК* = Е, (3.7.49)
где К — любая матрица, соответствующая конечному повороту,
в том числе и матрица Ρ (α, β, γ).
Непосредственное рассмотрение формул (3.7.14)—(3.7.16)
приводит к выводу, что
4* (а) = А (-а), В* (β) = В (- β), С* (γ) = С (-γ).
(3.7.50)
Разумеется, для этих матриц тождество (3.7.49) также справедливо.
В начале предыдущего параграфа было указано, что решение
конкретных задач геометрии систем управления и ориентации,
в основном, сводится к сравнению по-разному составленных
таблиц косинусов углов между осями одних и тех же систем
координат. В терминах матричного исчисления это означает
установление некоторых символических равенств между матрицами,
характеризующими отличные друг от друга последовательности
конечных поворотов. Как следствие элементы этих матриц
являются функциями по-разному введенных углов. Так, в § 5 этой же
главы составлялись три разновидности таблицы косинусов углов
между осями системы координат xyz, связанной с объектом, и
осями невращающейся системы ξηζ. Этим частным таблицам
соответствуют три различные системы последовательных поворотов,
схемы которых представлены условными записями (3.5.16)—
(3.5.18) § 5 настоящей главы. В переводе их на матричную
символику получаем
Ξ = В (?1) С (βχ) Α (а,) X, (3.7.51)
Ξ = Α (-γ2) С (-β2) В (-ос,) X,
а также
χ = С (-φ) А (-#) С (-ψ) Ξ. (3.7.52)
Последнее выражение посредством равенств типа (3.7.43) и (3.7.44)
можно представить и в таком виде:
Ξ = С (ψ) А (О) С (φ) Χ. (3.7.53)
В формулах (3.7.51) — (3.7.53) под матрицами В (γχ), С (—β2),
А (—#) и другими, им аналогичными, следует понимать матрицы

182 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
той же структуры, что и матрицы (3.7.15), (3.7.16) и (3.7.14).
Разумеется, в последних, т. е. в матрицах В (β), С (γ), Α (α),
надлежит их аргументы β, γ, а соответственно заменить на уъ —β2, —Φ
и т. д.
Согласно выражениям (3.7.51) и (3.7.53), имеют место
следующие матричные равенства:
В (Уг) С (βΟ Α (α,) = Α (-γ,) С (-β2) В (-α2), (3.7.54)
Л (-γ2) С (-β2) В (_а2) = С (ψ) Л (θ) С (φ). (3.7.55)
Две матрицы равны друг другу, если равны все без исключения
их соответственные элементы. Поэтому из матричных равенств
(3.7.54) и (3.7.55) следуют 18 соотношений между углами а1у
βι, Υι> α2> β2> Υ2> ψ, # и φ. Однако независимых из них лишь шесть,
так как для каждой матрицы конечного поворота можно составить
только шесть различных, независимых друг от друга
соотношений между ее элементами. Это те же самые соотношения, которые
связывают элементы таблицы косинусов углов между осями двух
произвольных прямоугольных систем координат. Таким образом,
в частности, из равенств (3.7.54) и (3.7.55) можно образовать
лишь шесть независимых соотношений, содержащих девять
упомянутых выше углов: α1? β1? уи а2, β2, 72» Ψ» ^ и Ф· Эти
независимые соотношения можно рассматривать как уравнения для
определения любых шести из перечисленных величин по заданным
трем. Такими задаваемыми величинами в § 5 настоящей главы
были, например, углы аи ^г и а2, а искомыми — все остальные.
При этом практический интерес представляли лишь углы ψ и #,
характеризующие ориентацию продольной оси объекта ζ
относительно осей невращающейся системы координат ξηζ.
В завершение настоящего параграфа изложим в терминах
матричного исчисления постановку и решение задачи, приведенной
в § 1 гл. I. Там рассматривались два кардановых подвеса, оси
внешних колец которых ух и х\ были перпендикулярны друг
другу, причем ось ух была параллельна продольной оси корабля
г/, а ось х\ — параллельна поперечной его оси х. С кораблем была
связана система координат xyz, с внешними кольцами подвесов —
системы ХхУхъх и x\y{zl, а с внутренними — соответственно ξηζ
и ξ*η*ζ*. Учтем принятые в § 1 гл. I направления
положительных отсчетов углов θ и ψ* поворота внешних колец относительно
корабля и углов ψ и Θ* — внутренних колец относительно
внешних. Тогда условные схемы конечных поворотов колец карданова
подвеса, в соответствии с изложенным в § 5 этой главы,
представляются следующим образом:
xyz —Щ-> xiyfa —^—» ξηζ (3.7.56)

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОРИЕНТАЦИИ 183
И
xyz —-* sjfyfzf —-*ξ*η*ζ*. (3.7.57)
Задача заключалась в отыскании угла χ — поворота внутренних
колец, т. е. стабилизированных площадок друг относительно друга
в предположении, что связанные с ними оси ζ и ζ* параллельны.
При выбранном в этом параграфе положительном направлении
отсчета угла χ имеем следующую схему конечного поворота
трехгранника аЪс из положения ξηζ в положение ξ*η*ζ*:
Ы—*-*ξ*η*ζ*. (3.7.58)
— х
Условные схемы (3.7.56) — (3.7.58) соответствуют символическим
равенствам
Ξ = Α (ψ) Β (-Θ) X, (3.7.59)
В* = В (-Θ*) Α (ψ*) X, (3.7.60)
Ξ* = С (-χ) Ξ. (3.7.61)
Заменяя в (3.7.61) символ Ξ его выражением (3.7.59), получим
2* = С (-χ) Α (ψ) 5 (-Θ) X. (3.7.62)
Сравнивая теперь равенства (3.7.62) и (3.7.60), придем к
соотношению
В (-Θ*) Α (ψ*) = С (-χ) Л (ψ) 5 (-Θ). (3.7.63)
Из этого соотношения следуют девять алгебраических равенств, из
которых независимых лишь три. Всего в соотношение (3.7.63)
входит пять углов: ψ, θ, χ, ψ*, θ*. Поэтому любые три из них
можно определить через два остальных. В § 1 гл. I заданными
принимаются углы ψ и Θ, относящиеся к первому карданову подвесу,
а искомыми — угол χ взаимного поворота внутренних колец и углы
ψ* и Θ*, которые связаны со вторым подвесом.
В матричных уравнениях можно производить некоторые
преобразования, которые в ряде случаев полезны для получения
удобных форм алгебраических соотношений между входящими
переменными. Так, например, умножим обе части равенства
(3.7.63) слева на матрицу С (χ) и учтем, что аналогично тождеству
(3.7.42) имеем
С (χ) С (-χ) = Ε. (3.7.64)
Принимая во внимание теперь равенство (3.7.44), придем к
новому виду матричного уравнения (3.7.63), а именно:
С (χ) Β (-Θ*) Α (ψ*) = Α (ψ) Β (-Θ). (3.7.65)

184 ГЛАВА III. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ГИРОСКОПАМИ
Можно также обе части равенства (3.7.63) справа умножить
последовательно на матрицы В (Θ) и А (—ψ) и учесть тождества (3.7.39)
и (3.7.41). В этом случае придем к матричному уравнению
В (-Θ*) Α (ψ*) Β (θ) Α (-ψ) = С (-χ), (3.7.66)
в правую часть которого входит только одно неизвестное — угол χ.
Применение матричного исчисления в известной мере
алгоритмизирует процесс составления уравнений при решении
геометрических задач ориентации стабилизируемых объектов. Вычисления
сводятся при этом в основном к одному и тому же приему
перемножения матриц с минимальным использованием геометрических
построений, что, как правило, снижает вероятность ошибочных
выводов. В случае же числовых примеров матрицы с успехом
могут перемножаться на быстродействующих цифровых электронно-
вычислительных машинах с использованием для этой цели готовых
программ.
ЛИТЕРАТУРА
Бухголъц Н. Н. Основной курс теоретической механики, ч. 1, 2. М., «Наука»,
1972.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., Гостехиздат, 1953.
Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М., Физматгиз, I960.
Евгенъев В. С. О кардановой погрешности курсового гироскопа при
нерегулярной качке.— Изв. высш. учебн. заведений. Приборостроение, 1969, т. 12,
№ 9.
Ишлинский А. Ю. Механика специальных гироскопических систем. Киев,
Изд-во АН УССР, 1952.
Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР,
1963.
Ишлинский А . Ю. Об азимутальном рассогласовании кардановых подвесов.—
Инж. ж. МТТ, 1966, № 3.
Литвин-Седой М. 3. Введение в механику управляемого полета. М., «Высш.
школа», 1962.
Остромухов Я. Г., Ривкин С. С, Темченко Μ. Ε. Геометрия и кинематика
систем гироскопической стабилизации.— В сб.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М., «Наука», 1973.
Подобрий Г. М., Белобородый В. С, Халимонов В. В., Носов А. И.
Теоретические основы торпедного оружия. М., Воениздат, 1969.
Ривкип С. С. Применение методов теории матриц к анализу геометрии
гироскопических устройств.— В сб.: Вопросы прикладной гироскопии,
вып. 2. Л., Судпромгиз, 1960.
Broxmeyer С. Inertial navigation systems. N. Υ. e. a. McGraw-Hill, 1964.—
Рус. перев.: Броксмейер Ч. Ф. Системы инерциальной навигации. Л.,
«Судостроение», 1967.
Korn G., Кот Т. Mathematical handbook for scientists and engineers.
N. Y., McGraw-Hill, 1961. Рус. перев.: Корн Г., Корн Т. Справочник
по математике для научных работников и инженеров. М., «Наука», 1968.

IV
ГЛАВА
ОРИЕНТАЦИЯ ОБЪЕКТОВ
ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
§ 1. О квазинеголономном движении
одноосного гироскопического стабилизатора
Определение ориентации объектов, управляемых гироскопами,
сводится, как правило, к рассмотрению уравнений связи между
параметрами (например, углами), величины которых зависят от
расположения чувствительных элементов как относительно стран
света (или относительно какой-либо невращающейся системы
координат), так и по отношению к самому движущемуся объекту.
Связи между такими параметрами, которые рассматривались
выше, выражались тригонометрическими (а иногда
алгебраическими) уравнениями, нередко большой сложности. Эти связи
называются обычно геометрическими.
При наличии в системах управления подвижными объектами
полигироскопических устройств (например, двухгироскопических
рам, см. далее рис. 105) или гироскопических стабилизаторов с так
называемой сильной коррекцией (рис. 94 и затем рис. 125)
упомянутые параметры оказываются связанными дифференциальными
соотношениями первого порядка. Они образуются после
пренебрежения в исходных точных дифференциальных уравнениях
гироскопических устройств так называемыми нутационными членами
(см. § 1 гл. II второй книги). В результате совокупность
дифференциальных уравнений второго порядка заменяется совокупностью
того же числа уравнений, однако уже первого порядка. Они
называются уравнениями прецессионной или элементарной теории
гироскопов.
Рассмотрение задач о движении гироскопических устройств
посредством полных дифференциальных уравнений (т. е. с учетом
нутационных членов) обычно (за исключением изучения
вопросов устойчивости) подтверждает правильность результатов,
полученных при решении уравнений прецессионной теории. Это
объясняется тем, что решения «укороченных», или прецессионных,
уравнений, по существу, не могут описать лишь быстро
исчезающие вибрации, которые возникают в устойчивых гироскопических
устройствах при резком изменении воздействующих на них сил.

186 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
IIII1III11I11I11II
W
У//////////Ш
-Эд
ММШ\
таг
№
В ряде случаев некоторые из
«укороченных» уравнений
имеют такой же характер, как и
соотношения между
обобщенными координатами или
параметрами той или иной
механической системы при наличии в
ней неголономных связей *.
Будем называть такие
укороченные уравнения соотношениями
квазинеголономных связей. В
настоящей главе рассматривается
несколько примеров
квазинеголономных связей. Простейшим
примером является одноосный
гироскопический стабилизатор
с так называемой сильной
коррекцией (см. рис. 94), если
рассматривать его движение с
точки зрения прецессионной
теории гироскопов.
Рассмотрим гироскоп в карда-
новом подвесе, находящийся на
подвижном основании.
Подшипники оси внешнего кольца
подвеса гироскопа жестко связаны с основанием (см. рис. 94). К
самой оси внешнего кольца прилагается (например, посредством
управляемого контактным устройством Π электродвигателя Эд
и зубчатой передачи) момент if, именуемый обычно
стабилизирующим моментом. Последний должен вызывать столь интенсивную
прецессию («сильную» коррекцию) гироскопа вокруг оси кожуха,
чтобы ось ротора практически все время совпадала с
перпендикуляром к плоскости внешнего кольца при произвольном угловом
движении основания.
Введем две системы координат xyz и x'y'z', соответственно
связанные с внешним кольцом карданова подвеса гироскопа и его
кожухом, с общим началом в центре подвеса (рис. 95).
Совпадающие друг с другом оси у w у' направим вдоль оси кожуха, ось ζ —
по оси внешнего кольца, а ось х' — вдоль вектора И собственного
π
Рис. 94
* Примером неголономной связи может служить качение без
проскальзывания шара по неподвижной плоскости. Скорость точки шара,
соприкасающейся в текущее мгновение времени с плоскостью, равна нулю. Отсюда
следуют два дифференциальных соотношения первого порядка, которые
связывают обобщенные координаты, характеризующие положение центра шара,
а также его ориентацию и первые производные этих координат (обобщенные
скорости).

§ i. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА4 187
кинетического момента гироскопа. Положение осей χ и ζ' тем
самым также определится. Угол между осями χ и хг обозначим
через β.
В силу изложенного, благодаря действию момента ϋΓ, угол
β можно положить равным нулю. Итак, примем, что
β = 0 (4.1.1)
и, следовательно, одноименные оси систем координат xyz и x'y'z
все время совпадают.
Согласно прецессионной теории гироскопов (см. 11 гл. второй
книги), составляющие скорости конца вектора Η (рис. 96) вдоль
осей х', у' и ζ' соответственно равны суммам М'х>, Μ[β> и М'г*
относительно тех же осей сил, действующих на механическую
совокупность «ротор—кожух». В результате
О = Μ*, п'гН = Μ'*, —(йу,Н = M'z>. (4.1.2)
Вследствие совпадения осей систем координат xyz и х'у'ь' их
угловые скорости ω и ω' одинаковы. Поэтому, в частности,
ων' — ωι/, αν = ωζ. (4.1.3)
Введем для момента Му* краткое обозначение (см. рис. 94)
M'y. = L. (4.1.4)
Кроме того, при β = 0 следует считать, что
М'2' = К. (4.1.5)
Последнее равенство нуждается в пояснении, так как момент К
приложен к оси внешнего кольца гироскопа, а момент Μζ* — к
механической подсистеме «кожух — ротор» (см. § 3 II гл. второй
книги). Примем, что момент Μζ> представляет собой воздействие
на кожух со стороны внешнего кольца (т. е. сторонние силы,
которые могли бы действовать на подсистему «кожух — ротор»,
отсутствуют). Тогда в силу III закона Ньютона на внешнее кольцо,
помимо момента К, будет действовать момент — Μζ>, имеющий
направление, обратное моменту Μζ>. В прецессионной теории
гироскопов масса внешнего кольца гироскопа в расчет не
принимается, вследствие чего надлежит считать, что все приложенные к
внешнему кольцу силы образуют взаимно уравновешенную систему.
Упомянутые моменты К ж—Мг' направлены по одной и той же
прямой — оси ζ (или, что то же, оси ζ'). В соответствии с уравнениями
равновесия пространственной системы сил имеем
К+{-М'г.) = 0, (4.1.6)
откуда и следует равенство (4.1.5).

Рис. 95 Рис. 96
Учитывая теперь в уравнениях (4.1.2) равенства (4.1.3) —
(4.1.5), приходим к соотношениям
- ωνΗ = Κ, ωζΗ = L, (4.1.7)
где, как и выше, ω^ и ω2 — проекции на оси у и ζ угловой скорости
внешнего кольца гироскопа или, что то же, системы координат xyz.
Суммарный момент вокруг оси кожуха у' (совпадающей с осью у)
всех сил, приложенных к подсистеме «кожух — ротор», в случае
одноосного гироскопического стабилизатора сводится в результате
точной балансировки и использования высоко совершенных
подшипников оси кожуха к ничтожной величине. Примем в связи с
этим во втором соотношении (4.1.7) момент L равным нулю.
Получим в результате равенство
ωζ = 0, (4.1.8)
которое и выражает основное свойство одноосного
гироскопического стабилизатора — проекция угловой скорости внешнего
кольца карданова подвеса гиростабилизатора на ось этого кольца равна
нулю. Предполагается при этом, что все время осуществляется
равенство (4.1.1).
Внешнее кольцо гироскопа является твердым телом, и,
следовательно, его ориентацию относительно какой-либо невращающейся

§ 1. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 189
Рис. 97 Рис. 98
системы координат ξηζ можно определить тремя параметрами, в
частности, углами Эйлера или Эйлера — Крылова (см. § 5 и 6
гл. III). Проекция угловой скорости этого тела на какую-либо
связанную с ним ось, в частности проекция угловой скорости внешнего
кольца на ось z, выражается через производные этих углов по
времени и через сами углы. Поэтому равенство (4.1.8) можно
рассматривать как условие неголономной связи, налагаемое на
движение твердого тела, в данном случае на движение внешнего
кольца карданова подвеса.
Наличие неголономной связи (4.1.8) обусловливает важные
геометрические свойства соответствующего движения твердого тела.
Пусть, например, ось ζ внешнего кольца совершает коническое
движение, при котором одна из точек оси неподвижна, а какая-либо
другая описывает на некоторой невращающейся сфере S с
центром в первой точке какую-либо замкнутую сферическую кривую
(рис. 97).
Обозначим через F площадь области на сфере, ограниченную
этой кривой. Ниже будет доказано, что при возвращении оси ζ в
исходное положение ζ0 внешнее кольцо вместе со связанной с ним
системой координат xyz в исходное положение x0yozo не
возвращается, а приходит в некоторое новое положение х{\ц^\ угол χ, на
который оказывается при этом повернутым кольцо (и
соответственно система координат Х\У&Х по отношению к системе £02/ozo> см·

190 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
рис. 97), связан с точностью до знака с величиной площади F
простым соотношением
%=:£, (4.1.9)
в котором R — радиус сферы S.
Отношение, стоящее в правой части последнего равенства,
является мерой телесного угла Ω, под которым видна упомянутая
сферическая область из центра сферы S или, что то же, мера
телесного угла конуса, описываемого осью в своем движении. Отсюда
следует, что имеет место формула
χ = Ω, (4.1.10)
определяющая поворот одноосного гироскопического
стабилизатора, ив частности гироазимута (см. § 6 гл. V второй книги), в
результате замкнутого углового движения оси его внешнего кольца
(оси стабилизации). Таким образом, отсутствие проекции угловой
скорости тела на какую-либо связанную с ним ось еще не
гарантирует отсутствия конечного поворота тела вокруг этой оси после ее
возвращения в исходное положение. Из вышеизложенного следует,
что одноосные стабилизаторы могут успешно применяться для
фиксации направлений в горизонтальной плоскости лишь при условии
сохранения на движущемся объекте вертикальной ориентации оси
внешнего кольца (с точностью до учета кривизны поверхности
самой Земли). В этом случае они называются гироскопами
направления или гироазимутами *.
Обратимся теперь к доказательству равенства (4.1.10). Введем
невращающуюся систему координат ξη ζ с началом в центре сферы
S (рис. 98). Пусть ось внешнего кольца стабилизатора z совершает
произвольное движение, проходя, однако, все время через центр
сферы.
Обозначим через ψ и φ полярные координаты точки
пересечения этой оси со сферой S. Здесь φ — угол между осью ζ и ее
проекцией ξΧ на координатную плоскость ξη, а ψ — угол между
этой проекцией и осью неизменного направления ξ. Так как
поступательное перемещение стабилизатора для дальнейшего
несущественно, поместим начало системы координат xyz, связанной с его
внешним кольцом, в точку пересечения оси внешнего кольца со
сферой S. Построим далее вспомогательную подвижную систему
координат enz с началом в той же точке пересечения. Ось η этой
* При обходе на земной поверхности области площадью F гироскоп
направления отклоняется дополнительно (кроме видимого ухода из-за вращения
Земли) на угол χ, выражаемый формулой (4.1.9), в которой под величиной R
следует понимать теперь радиус Земли, принимаемой за сферу. Таким
образом, в принципе посредством гироскопов высокой точности можно не только
обнаружить сферичность Земли, но и измерить ее радиус.

S 1. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 191
Рис. 99
Рис. 100
системы лежит в плоскости ζ ζ или, что то же,вплоскости ξχζ, а осье
к ней перпендикулярна. Положительное направление оси ζ обеих
систем xyz и enz направлено по продолжению радиуса сферы,
проведенного к упомянутой точке. При увеличении угла ψ система
координат enz вращается против стрелки часов вокруг оси ζ, а при
возрастании угла φ — по стрелке часов вокруг оси ηΐ5
параллельной оси е, но проходящей через центр сферы (рис. 98 и 99). Поэтому
проекции угловой скорости и системы координат enz на ее же оси
выражаются формулами
ир =
dt
chb
IF C0S Φ»
-jj- sin φ. (4.1.11)
Введем угол fl* между осями е и χ или равный ему угол между
осями η и у (см. рис. 98 и 100). Если угол Ь увеличивается, то
система координат xyz вращается против стрелки часов относительно
системы enz при наблюдении за вращением со стороны
положительного направления оси ζ. Следовательно, относительная угловая
скорость dft/dt системы координат xyz по отношению к
вспомогательной подвижной системе enz направлена вдоль положительной
части оси z. Соответственно проекция абсолютной (т. е. по
отношению к невращающейся системе координат ξη ζ) угловой скорости
внешнего кольца стабилизатора и связанной с ним системы xyz
на ось ζ (см. рис. 99) представляется выражением
db , dty .
(4.1.12)
Однако, согласно основному свойству одноосного
гироскопического стабилизатора, в соответствии с формулой (4.1.8)

192 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
У>9
последнее выражение равно
нулю. Таким образом,
равенство
dt
+ ^sin(p= 0 (4.1.13)
(fW
x,f>
Рис. 101
является аналитическим
представлением неголономной связи,
наложенной на угловые
движения одноосного
стабилизатора. Оно справедливо,
разумеется, лишь в рамках
прецессионной теории гироскопов.
Согласно равенству (4.1.13),
имеем
d$ = — βίηφ^ψ. (4.1.14)
Определим теперь угол, на который повернется относительно
вспомогательной подвижной системы координат enz система xyz,
связанная с внешним кольцом стабилизатора, при перемещении оси ζ
из одного положения в другое. Пусть при таком перемещении ψ0,
φ0 Ηψυ φχ суть соответственно начальные и конечные полярные
координаты ψ, φ совместного начала систем xyz и enz, т. е. точки
пересечения оси внешнего кольца стабилизатора со сферой.
Обозначим через $0 и θχ относящиеся сюда начальное и конечное
значения угла # между осями е и х. Из соотношения (4.1.14) следует
формула
Ψι,Φι
#1_#0==— С sincpd^, (4.1.15)
Ψο,φο
правая часть которой представляет собой криволинейный интеграл
во вспомогательной плоскости (ψ, φ) переменных ψ и φ (рис. 101).
Величина этого интеграла существенно зависит от того, по какой
сферической траектории происходит переход начала системы
координат xyz (а вместе с ним и начала системы enz) из одного
положения в другое, т. е. от вида функциональной зависимости φ = φ (ψ),
соответствующей каждой из таких траекторий. Заметим при этом,
что характер изменения самих координат ψ и φ во времени
существенной роли не играет *.
* Последнее утверждение также справедливо лишь в рамках
прецессионной теории гироскопов, как и равенство (4.1.13). В строгой постановке той
же задачи надлежит исходить из полных (нутационных) уравнений
гироскопического стабилизатора. (См. книгу автора «Механика
гироскопических систем». М.. Изд-во АН СССР, 1963).

§ 1. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 193
Пусть начало системы координат xyz возвращается в исходное
положение, описав на сфере замкнутую кривую. Тогда, вводя для
этого случая обозначение
χ = θι - θ», (4.1.16)
получим формулу
χ = — (j)sinq)di|>. (4.1.17)
В правой части последнего равенства находится криволинейный
интеграл по контуру замкнутой кривой (см. рис. 101),
расположенный в той же вспомогательной плоскости (ψ, φ). Как следует из
только что изложенного, угол χ в формуле (4.1.17) характеризует
изменение ориентации гироскопического стабилизатора в
результате замкнутого движения оси ζ его внешнего кольца по конической
поверхности или, что то же, движения начала системы координат
xyz по замкнутой кривой на сфере.
Рассмотрим частное движение начала системы координат по
замкнутому сферическому «прямоугольнику», последовательными
вершинами которого являются (рис. 102) точки Α (ψ0, φ0), В (-фх, φ0),
С (ψ^ φΧ), D (ψ0, ψ±) и вновь Α (ψ0, φ0). Очевидно, что на
параллелях АВ и CD подынтегральная функция в формуле (4.1.17)
постоянна и соответственно равна sin φ0 и sin q^, а и а меридиан ах В С и D А
постоянна координата ψ, вследствие чего d§ = 0. Поэтому,
учитывая также отрицательный знак дифференциала ώψ при движении по
стороне CD, получим
χ = (sin φΧ — sin φυ) (^ — ψ0). (4.1.18)
Вместе с тем, как известно из стереометрии, площадь так
расположенного сферического прямоугольника ABCD равна правой
части последней формулы, умноженной на R2. Следовательно, эта
правая часть представляет собой в соответствии с замечанием к
формуле (4.1.9) меру телесного угла, описанного осью ζ в
результате только что рассмотренного ее движения. В еще более частном
случае можно взять движение начала системы координат xyz по
границе октанта, т. е. по трем дугам больших кругов, каждая из
которых равна четверти окружности (рис. 103). В формуле (4.1.18)
следует при этом положить ψΧ — ψ0 = π/2, φ0 — 0, φΧ = π/2.
Получим χ = π/2, что как раз составляет восьмую часть 4 π, τ. е.
телесного угла, под которым видна вся сфера из ее центра, а также
и из любой ее внутренней точки. Можно в том же самом убедиться
и непосредственно, если рассмотреть движение начала системы
координат xyz последовательно по всем этим трем дугам, налагая
каждый раз на движение системы условие (4.1.8) (см. рис. 103).
Исходя из формулы (4.1.18), можно посредством простых
предельных переходов обосновать формулу (4.1.10) и в самом общем

194 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Рис. 102 Рис. 103
случае. Однако проще это сделать при помощи формулы Грина
§ pdx+Qdy=β (4£- - 4!г)dxdy (4ЛЛ9)
преобразования криволинейного интеграла по замкнутому контуру
в плоскости ху в двойной интеграл по области σ, находящейся
внутри этого контура (см. рис. 101). При этом контур обходится в том
направлении, по отношению к которому область находится слева.
Обратимся вновь к вспомогательной плоскости (ψ, φ) и положим в
формуле (4.1.19)
* = ψ, у = φ, Р = —sincp, <? = 0. (4.1.20)
В силу формулы Грина имеем в новых обозначениях
ф(— sin(p)dij) = jjjcoscp *Ρ*Ψ· (4.1.21)
Однако произведение
R2 coscpd(pd\|) = dF (АЛ.22)
представляет собой элемент площади сферы в полярных
координатах или, что то же, площадь элементарного сферического
прямоугольника между координатными линиями ψ и ψ + ίίψ, φ и φ + ^Φ
(рис. 104), стороны которого соответственно равны R cosy city и Rdy.
Поэтому двойной интеграл, стоящий в правой части равенства
(4.1.21), представляет собой частное от деления на R2 площади F
части сферы S, находящейся внутри замкнутой сферической
траектории, описываемой началом системы координат xyz. Однако от-

§ 1. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 195
Рис. 104
ношение площади F к квадрату радиуса R как раз и представляет
собой меру телесного угла Ω, под которым эта площадь видна из
центра сферы. Итак,
((>(—sinq>)di|) = Q. (4.1.23)
Заменяя теперь в формуле (4.1.18) криволинейный интеграл его
выражением, согласно последнему соотношению, вновь приходим к
равенству (4.1.10). Тем самым справедливость этого равенства
доказана в общем виде *.
Числовой пример. Пусть ось ζ, жестко связанная с телом,
совершает движение, скользя по сферическому прямоугольнику А В CD,
примыкающему к экватору сферы S, т. е. к координатной линии φ = 0 (см. рис. 102,
который следует мысленно изменить так, чтобы было φ0 = 0), причем угловые
размеры сторон АВ и ВС равпы 1°. При таких данных, согласно формуле
(4.1.18), имеем χ = sin 1°. 0,01745 = 0,000304 ~ 1'.
* Равенство (4.1.10), имеющее много приложений, находится в тесной
связи с теорией параллельного перенесения вектора в римановой геометрии
(см. Рашевский П. К. Введение в тензорный анализ и риманова
геометрия. М., Гостехиздат, 1932). Оно было установлено автором настоящей
монографии в 1943 г. и опубликовано впервые в его книге «Механика
специальных гироскопических систем», напечатанной в 1952 г. в изд-ве АН УССР.
Полученный автором результат независимо был повторен в 1958 г. Гудма-
ном Л. Е. и Робинсоном А. Р. и опубликован в статье «Effect of finite rotations
on gyroscopic sensing devices».— Appl. Mech., 1958, v. 25, N 2 (русск. перев.:
Г у д м а н Л. Е., Робинсон А. Р. Влияние конечных вращений на
гироскопические чувствительные элементы. Механика. Период, сб. перев.
иностр. статей, 1959, Μ 5).

196 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Рис. 105 Рис. 106
Приведенным примером можно воспользоваться для установления
величины допустимого отклонения движущейся по конусу оси
одноосного гироскопического стабилизатора от вертикали, если
желательно использовать стабилизатор в качестве высокоточного гиро-
азимута. При этом необходимо хотя бы приблизительно знать,
сколько в среднем конических движений совершает ось
стабилизатора за единицу времени.
Внешнее кольцо одноосного гироскопического стабилизатора с
сильной коррекцией не единственное твердое тело, движение
которого стеснено пеголономной или дифференциальной связью типа
(4.1.8). Таким же свойством, например, обладает двухгироскопная
рама, т. е. общее внешнее кольцо двух одинаковых гироскопов,
связанных спарником и вращающихся в разные стороны (рис. 105) *.
Проекция угловой скорости собственно рамы, т. е. общего
внешнего кольца кожухов обоих гироскопов, на ось стабилизации ζ
(при отсутствии трения в осях кожухов и спарника) точно так же
равна нулю, как и у внешнего кольца одноосного стабилизатора с
одним гироскопом (с сильной коррекцией).
Другим примером стеснения движения квазинеголономной
связью (4.1.8) может оказаться вращение твердого тела, насажен-
* Случай несвязанных гироскопов с разными кинетическими моментами-
более сложен. Он изложен в следующем параграфе настоящей главы.

§ 2. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГИРОРАМЫ 197
ного на ось. Последняя должна быть одновременно осью
динамической симметрии тела (рис. 106). Неовхтщимо, чтобы трение в
подшипниках оси отсутствовало, а центр тяжести тела был расположен
на этой оси. Тогда при надлежащих начальных условиях
упомянутое твердое тело будет вести себя так же, как и одноосный
гироскопический стабилизатор или двухгироскопная рама.
В самом деле, обратимся к третьему уравнению из совокупности
так называемых динамических уравнений Эйлера движения
твердого тела вокруг неподвижной точки (см. § 2 гл. II второй книги).
При равенстве главных моментов инерции А и В имеем
С-^=Мг. (4.1.24)
В рассматриваемом случае Mz = 0 и, следовательно,
г = г0 = const, (4.1.25)
где г0 — значение проекции угловой скорости ω твердого тела на
ось ζ его динамической симметрии в начальное мгновение времени.
При г0 = 0 имеем
r = coz = 0. (4.1.26)
Если теперь заставить ось, на которую насажено такое тело,
совершить из положения покоя некоторое коническое движение, описав
ею телесный угол Ω, то в конце такого движения вместе с осью
остановится и тело. Однако конечное положение тела не будет
совпадать с исходным. Так как равенство (4.1.26) эквивалентно
равенству (4.1.8), то соответствующий поворот тела произойдет на
угол χ = Ω. Итак, поворот тела происходит против стрелки часов
вокруг оси, вернувшейся в исходное положение, если сама ось
обходила конус в направлении, при котором внутренняя область
этого конуса оставалась слева. Наблюдать за происходящим при
этом надо из какой-либо точки, расположенной достаточно далеко
от начала координат на положительной части оси ζ (см. рис. 106)в
§ 2. Квазинеголономное движение рамы
с двумя разными гироскопами
Интересный случай кинематической, именно квазинеголономной,
связи имеет место (с точки зрения прецессионной теории
гироскопов) в следующем гироскопическом устройстве. Рама, подшипники
оси которой расположены на подвижном основании, служит
подвесом для двух гироскопов с различными собственными
кинетическими моментами. Для одного из них, собственный кинетический
момент которого обозначим через Η', рама служит внешним
кольцом (рис. 107). Кожух другого жестко связан с рамой, причем век-

198 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Шт.
Рис. 107
тор Η его собственного кинетического момента перпендикулярен
плоскости рамы. С последней свяжем систему координат xyz так,
чтобы ось ζ являлась осью рамы, а ось χ была направлена по
вектору Н. Ось у' кожуха первого гироскопа параллельна оси у. Угол
между осью х' собственного вращения первого гироскопа или, что
то же, между вектором Н' его собственного кинетического момента
и осью х, обозначим через β. При увеличении угла β кожух
первого гироскопа вращается против стрелки часов относительно
рамы, если наблюдать за вращением со стороны положительного
направления оси у'. Введенные выше оси х' и у' являются осями
системы координат x'y'z', связанной с кожухом первого гироскопа
(рис. 108). Направление оси ζ' этой системы очевидно. Если угол β
равен нулю, то соответственные оси систем координат x'y'z' и xyz
либо совпадают, либо друг другу параллельны.
Будем считать, что произведена точная статическая
балансировка подсистемы «кожух — ротор» первого гироскопа и всей рамы в
целом. Это означает, что центр тяжести упомянутой подсистемы
расположен на оси у', а самой рамы вместе с обоими гироскопами —
на оси ζ. Примем далее, что трение в осях рамы и кожуха первого
гироскопа отсутствует и, кроме того, устранены все остальные воз-

§ 2. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГИРОРАМЫ 199
действия на раму, а гироскопы равномерно вращаются
относительно своих кожухов.
При описании угловых движений рамы вместе с обоими
гироскопами и первого гироскопа относительно самой рамы
воспользуемся прецессионной теорией гироскопов (см. гл. II второй книги).
Обозначим через ω' абсолютную угловую скорость кожуха первого
гироскопа и соответственно через ον, ον и ον ее проекции на оси
связанной с кожухом системы координат x'y'z'. В соответствии с
упомянутой теорией (см. также предыдущий параграф и рис. 109)
0 = Μ*, ον#' = М'у, — ауЯ' = Μ ^ (4.2.1)
где Μχ', Му> и Μ г» — проекции на оси х\ у , ζ' момента М'
воздействия рамы на кожух первого гироскопа.
Из-за отсутствия трения в оси кожуха первого гироскопа следует
М'у. = 0, (4.2.2)
после чего в силу второго уравнения (4.2.1)
ον =0. (4.2.3)
Тем самым получено одно из уравнений движения рассматриваемой
механической системы, состоящей из рамы и двух гироскопов.
С точки зрения прецессионной теории гироскопов эта механическая
система обладает двумя обобщенными координатами — углами β и
θ, характеризующими соответственно поворот кожуха первого
гироскопа относительно рамы и поворот самой рамы относительно
ее основания. Чтобы получить второе уравнение движения той же
системы, следует обратиться к прецессионным уравнениям
движения второго гироскопа (рис. 110). Они аналогичны уравнениям
(4.2.1), а именно:
0 = Мх, щН = Му, - (оуН = Afz, (4.2.4)
где 0)уий2 — проекции угловой скорости самой рамы на
связанные с ней оси у и ζ системы координат xyz.
Правые части уравнений (4.2.4) представляют собой проекции
на оси х, у и ζ момента Μ воздействия рамы на кожух второго
гироскопа. Теперь, согласно III закону Ньютона, нетрудно сделать
вывод, что на раму действуют со стороны кожухов обоих гироскопов
силы противодействия, сумма моментов которых относительно оси
ζ составляет величину (рис. 111)
-Mz — Af^cosp. (4.2.5)
При составлении последнего выражения учтено, что ось ζ' образует
с осью ζ угол β и что в силу первого уравнения (4.2.1) Мх* — 0.

200 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Рис. 108 Рис. 109
Трение в подшипниках оси рамы, по предположению,
отсутствует, а ее центр тяжести лежит на оси ζ. Поэтому выражение (4.2.5)
представляет собой сумму моментов относительно оси ζ всех сил,
действующих на саму раму. В прецессионной теории гироскопов
кинетические моменты элементов подвеса (равно как и
экваториальные составляющие кинетических моментов роторов гироскопов)
не учитываются. Ввиду этого надлежит считать, что все силы,
приложенные к самой раме, взаимно уравновешиваются, и в частности
равна нулю сумма моментов этих сил относительно оси ζ (см. § 2
гл. II второй книги). На основании изложенного следует, что
выражение (4.2.5) равно нулю. Заменяя в нем величины Μζ* и Μζ их
представлениями в соответствии с равенствами (4.2.1) и (4.2.4),
приходим, наконец, ко второму уравнению механической системы —
рамы с двумя гироскопами — а именно:
Ιιωυ + (*V C0SP — 0· (4.2.6)
Здесь величина
fc = -Jr (4.2.7)
представляет собой отношение собственных кинетических моментов
гироскопов рамы. Соотношения (4.2.3) и (4.2.6) образуют
совокупность прецессионных уравнений движения данной системы.
Для последующего необходимо вывести формулы, которыми
выражаются величины coy, ov и ων через параметры, определяющие
ориентацию оси рамы и ее основания относительно какой-либо
невращающейся системы координат, и введенные выше углы β

§ 2. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГИРОРАМЫ 201
и #. Для этой цели можно
частично воспользоваться
изложенным в предыдущем
параграфе настоящей главы. В
упомянутом параграфе положение
оси ζ системы координат xyz,
игравшей роль, аналогичную
одноименной системе xyz
настоящего параграфа, определялось
относительно невращающейся
системы координат ξηζ (см.
рис. 98) посредством двух углов
ψ и φ. Ориентация внешнего
кольца одноосного гиростаби-
лизатора характеризовалась
углом # между связанной с нимг
осью χ и осью е вспомогательной
подвижной системы координат
enz. Ось ζ последней была
направлена по оси внешнего
кольца стабилизатора, как и
одноименная ось системы координат
xyz, а ось η пересекала ось ζ.
Применительно к излагаемому
в настоящем параграфе имеем
(рис. 112) для проекций ωχ, ωυ
и ωΖ угловой скорости системы
координат xyz на ее собственные
оси х, у и ζ следующие
выражения:
ω*
ω.
: ие cos fl* + ип sin #,
— ие sin # + ип cos Φ,
(4.2.8)
Здесь ие, ип и uz — проекции
на оси е, nwz угловой скорости
вспомогательной подвижной
системы координат enz,
представляемые формулами (4.1.11).
Используя последние, приведем
выражения (4.2.8) для
проекций угловой скорости рамы (на
оси связанной с нею системы
Рис. 110
Рис. 111
ω„
Мг

202 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
координат xyz) к следующему
виду:
сод = -—- cos φ sin fl* ^- cos #,
ω^ = ~ρ cos φ cos # + -jr sin *»
(4.2.9)
Рггс. 172
Отметим, что последняя из
формул (4.2.9) уже имелась в
предыдущем параграфе под
номером (4.1.12).
Относительная угловая
скорость dfi/dt кожуха первого
гироскопа по отношению к раме
направлена по оси у',
параллельной оси у, а сама система
координат x'y'z' повернута
вокруг оси у' на угол β
относительно системы xyz (см. рис.
108). Поэтому формулы для проекций угловой скорости ω'
кожуха первого гироскопа на оси связанной с ним системы коорди-
лат x'y'z' имеют следующий вид:
ω*' = ω* cos β — ωζ sin β,
(4.2.10)
ω'Ζ' = ωχ sin β + ωζ cos β
или с учетом выражений (4.2.9)
■ω'*' = (-^- cos φ sin·» — -^- cos #j cosp — (^ sin<p + -^ή sinp,
dty
•gv = -£- cos φ cos 1
«V = <*v + "5Γ '
ο?φ
ф
+ -^sin»+^,
(4.2.11)
«;.= (^cos9Sind-^cosO)sinp+(^sin9 + ^)cosl·
Используя формулы (4.2.9) и (4.2.11) в равенствах (4.2.3) и
(4.2.6), приходим к двум следующим соотношениям:
(^βοβφβίηθ-^-οοΒ^βΐηΡ+^Βΐηφ + ^οοββ-Ο,
fc(^.coB9Cofl*+-g-rin*)+· (4-2Л2)
+ (-^ cos φ cos θ +-^-sin'fl' + -J-Jcosp= 0.

§ 2. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГИРОРАМЫ 203
Каждое из них имеет вид дифференциальной, или неголономной,
связи (линейной, но не однородной) по отношению к производным
обобщенных координат — углов β и Ф,— характеризующих
состояние рассматриваемой механической системы. Вместе с тем
соотношения (4.2.12) можно рассматривать как совокупность двух
дифференциальных уравнений первого порядка относительно
искомых углов β и #. Функции времени ψ (t) и φ (t), определяющие
текущее положение оси ζ относительно невращающейся системы
координат ξηζ, следует считать в этих уравнениях заданными. Из-за
сложности уравнений (4.2.12) ограничимся рассмотрением ряда
частных случаев.
Заметим, что при h = — 1 модули векторов собственных
кинетических моментов Н' и Η обоих гироскопов равны, но
противоположны по направлению (при угле β, равном нулю, см. рис. 107).
Пусть h = — 1, тогда второе уравнение (4.2.12) обращается в
тождество, если положить в нем
β = 0. (4.2.13)
Первое уравнение (4.2.12) при β = 0 приводится к виду
-fshxp + ^O (4.2.14)
и, следовательно, также обращается в тождество, если принять в
качестве Φ = Φ (t) функцию
*(0 = *ο-$^^8ίηφ(0^, (4.2.15)
о
где θο — произвольная постоянная.
Совокупность формул (4.2.13) и (4.2.15) для углов β и # при
условии h = — 1 можно рассматривать как решение совокупности
уравнений (4.2.12), удовлетворяющее начальным условиям
ф (0) = #0, β (0) = 0. (4.2.16)
Однако левая часть уравнения (4.2.14) представляет собой в силу
третьей формулы (4.2.9) проекцию угловой скорости ω системы
координат xyzy а следовательно, и самой рамы на ось ζ. Таким
образом, в случае h = — 1 описываемая рама ведет себя как внешнее
кольцо одноосного гироскопического стабилизатора с «сильной»
коррекцией или как двухгироскопическая рама со спарником,
рассмотренные в предыдущем параграфе, т. е. как тело, угловое
движение которого ограничено условием (4.1.8). «Сильную»
коррекцию осуществляет при этом второй гироскоп. При угловых
движениях рамы развиваемый им гироскопический момент (равный, но
противоположно направленный моменту М) передается на первый
гироскоп посредством нормальных реакций подшипников его ко-

204 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
жуха. Вызываемая ими прецессия первого гироскопа оказывается
именно такой, чтобы угол β оставался неизменно равным нулю.
Случай h = 0 является предельным, так как при этом второй
гироскоп, по существу, отсутствует, а первый становится
свободным гироскопом в кардановом подвесе. Уравнения (4.2.12)
становятся в этом случае следующими:
■§- = -4f(sin<»)+COS(PsinutgW + ^cosut«P' (4217)
d& d^ α d<p . α
-77- = тг COS φ COS ft у- Sin ft.
dt dt Ύ dt
Эти уравнения имеют почти столь же сложный вид, как и
уравнения (4.2.12). Тем не менее можно немедленно указать их первые
интегралы. В самом деле, по предположению, в подшипниках осей
кожуха первого гироскопа и самой рамы трения нет, и второй
гироскоп отсутствует. Следовательно, в соответствии с
прецессионной теорией гироскопов вектор Н' кинетического момента первого
гироскопа должен сохранять неизменным свое направление по
отношению к невращающейся системе координат ξηζ (см. рис. 98 и
далее рис. 117 и 118). В частности, должны быть постоянными его
проекции i/ξ, ΗΆ и Н^ на соответствующие оси этой системы.
Определим их. Проекции вектора Н' на оси системы координат xyz
суть соответственно величины (см. рис. 108)
Н'х = Н' cos β, Ну = 0, Ηζ = - Я' sin β. (4.2.18)
Поэтому проекции того же вектора на оси вспомогательной
подвижной системы enz представляются следующим образом (рис. 113):
Не = Н' cos β cos ft, Hn = Η' cos β sin ft, H'z = — Η' sin β.
(4.2.19)
Далее, используя последние формулы, нетрудно получить
проекции вектора Н' на оси системы координат ξιΉ1ζ1 (рис. 114). Ось ζ1
последней совпадает с осью ζ невращающейся системы ξηζ, а ось
ξ1 направлена по пересечению координатных плоскостей |η и ηζ
(или, что то же, плоскостей ξη и ζζ). Положение оси ^
определяется тем самым однозначно. Имеем
#ξι = Η' (—cos β sin ft sin φ — sin β cos φ),
#'ηι =H'e=H' cos β cos ft, (4.2.20)
Нхд = Η* (cos β sin ft cos φ — sin β sin φ).
Угол между осями ξ и ξ1? а также между η и η! равен ψ (рис. 98 и
115). Поэтому искомые проекции вектора Нг собственного
кинетического момента первого (и в данном случае единственного)

§ 2. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГИРОРАМЫ 205
Рис. 113 Рис. 114
гироскопа на оси ξ, η и ζ невращающейся системы координат ξηζ
выражаются формулами
Е\ = Н' [(—cos β sin ft sin φ —sin β cos φ) cos ψ —cos β cos ft sin ψ],
ΗΆ = Η' [(—cos β sin ft sin φ — sin β cosq>)sinif>+ cos βοοβϋϋοβψ],
#ζ = #ъ = Η' (cos β sin ft cos φ — sin β sin φ). (4.2.21)
Нетрудно, хотя и в результате довольно громоздких выкладок,
непосредственно убедиться, что выражения, находящиеся в
правых частях последних равенств, действительно являются первыми
интегралами уравнений (4.2.17). Достаточно упомянутые
выражения продифференцировать по времени и заменить производные
углов ft и β правыми частями уравнений (4.2.17). После приведения
подобных членов окажется, что производная по времени каждой из
величин ΐΓξ, Ηη и Н^ тождественно равна нулю. Разумеется, среди
трех первых интегралов (4.2.21) независимых лишь два.
Любые два из трех равенств (4.2.21) можно рассматривать как
тригонометрические уравнения для определения текущих значений
углов ft — ft (t) и β = β (t), если заданы функции ψ = ψ (t) и φ =
= φ (t). Необходимо также задать какие-либо два из трех
отношений проекций Ηζ, 7/η, /Ζζ к величине самого кинетического
момента Н'. Для отыскания этих отношений необходимо, зная
величины ft (0) и β (0), подсчитать значения правых частей тех же равенств
(4.2.21) для мгновения времени t = 0. Примем, в частности,
β (0) = 0. (4.2.22)
Пользуясь произволом выбора невращающейся системы координат

206 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
ξηζ, расположим ее оси так,
чтобы в начальное мгновение
времени t = 0 ось ξ была
направлена по оси рамы ζ (рис.
116). Тогда в то же мгновение
будут иметь место следующие
равенства:
ψ (0) - 0, φ (0) - 0. (4.2.23)
Направим далее ось η
параллельно начальной ориентации
оси χ и соответственно
параллельно вектору Н' собственного
кинетического момента
гироскопа. Заметим, что оси е и η
вспомогательной подвижной
системы enz будут в мгновение Рис. 115
t — 0 соответственно
параллельны осям η и ζ и совпадать с
осями χ ж у. Из последнего обстоятельства следует, что
О (0) - 0. (4.2.24)
Подставляя начальные значения углов #, β, ψ и φ, согласно
равенствам (4.2.22)—(4.2.24), в формулы (4.2.21), получаем, что в
данном случае (см. также рис. 117)
#ξ = ο, #; = н\ #^ = о.
(4.2.25)
В соответствии с формулами (4.2.21), углы #, β, ψ и φ оказываются
теперь связанными соотношениями
— (cos β sin Φ sin φ + sin β cos φ) cos ψ — cos β cos # sin ψ = 0,
— (cos β sin # sin φ + sin β cos φ) sin ψ -f- cos β cos # cos ψ = lr
cos β sin # cos φ — sin β sin φ = 0,
(4.2.26)
из которых, разумеется, независимы только два. Из первого
уравнения (4.2.26) можно выразить tg β через Ο,-ψπφ, а из третьего —
через §иф. Приравнивая результаты, после простых
преобразований получим тригонометрическое уравнение
tg Ό = — tg ψ sin φ
(4.2.27)
для определения угла Φ при заданных величинах ψ и φ. Если, далее,
правую и левую части первого уравнения (4.2.26) умножить на
cos ψ, а правую и левую части второго — соответственно на sin ψ„

§ 2. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГИРОРАМЫ 207
Рис. 116 Рис. 117
затем раздельно сложить их и суммы приравнять, то получим
равенство
— (cos β sin # sin φ + sin β cos φ) — sin ψ. (4.2.28)
Проделаем теперь аналогичную операцию с третьим уравнением
(4.2.26) и с только что полученным уравнением (4.2.28), умножая
их левые и правые части соответственно на sin φ и cos φ. В
результате придем к новому тригонометрическому уравнению
sin β — — sin ψ cos φ (4.2.29)
уже для угла β.
Простой вид обоих тригонометрических уравнений (4.2.27) и
(4.2.29), обусловливает возможность непосредственного получения
их геометрическим путем. Для этой цели рассмотрим угловое
перемещение оси рамы, т. е. оси ζ, из начального положения,
характеризуемого координатами ψ = 0, φ = 0, в какое-либо другое. Пра-
следим, какую ориентацию примут после такого перемещения оси
хжу связанной с рамой системы координат xyz, а также оси
системы x'y'z, связанной с кожухом гироскопа. Для удобства
рассмотрения совместим начала всех введенных ранее систем
координат: ξηζ, ξχϊΐιζι, enz, xyz и x'yz. В исходном положении, т. е. в
мгновение t = 0, как уже упоминалось выше, с осью ξ совпадали
оси ξ1? z и z', с осью η — η1? е, χ и х\ а с осью ζ — ζ1? η, у и у'.
К текущему мгновению t система координат ξχΤ^ζ! (см. рис. 117)
повернется вокруг оси ζχ (или, что то же, вокруг оси ζ) на угол ψ
против стрелки часов по отношению к системе ξη ζ, а система enz —
на угол φ по стрелке часов вокруг совпадающих осей ηχ и е относи-

208 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Рис. 118
тельно системы координат ξιΉι ζχ. Наблюдение за поворотами
ведется в первом случае со стороны положительного направления осей
ζ и ζΑ, а во втором — со стороны положительного направления
осейг)! и е. В результате (см. рис. 117,118) плоскость еп
оказывается наклоненной к плоскости ξη на угол π/2 — φ. Далее, система
координат xyz, связанная с рамой, повернется к мгновению t на угол #
вокруг оси z по отношению к системе enz, а система x'yz',
связанная с кожухом гироскопа,— вокруг оси у (или, что то же, оси у')
на угол β относительно системы xyz. Однако ось х' в течение всего
времени движения рамы и кожуха гироскопа должна оставаться
параллельной оси η, τ. е. своему первоначальному направлению.
В самом деле, ось х' направлена по вектору собственного
кинетического момента Н' и, следовательно, из-за отсутствия трения в
осях рамы и кожуха гироскопа не должна изменять своей
ориентации по отношению к невращающейся системе координат ξηζ (в
соответствии с прецессионной теорией гироскопов). Нетрудно
видеть, что при ψ ^> 0 и φ > 0 это возможно (рис. 118) только в том
случае, если повороты вокруг осей z и у (у') (соответственно на
углы # и β) будут происходить по стрелке часов, если наблюдааь за
этими поворотами соответственно со стороны положительных
направлений осей ζ и у {у). Вследствие этого значения углов Φ и β
должны быть отрицательными. .
Угол Φ является углом между осями е и х, а β — между χ и χ'.
Плоскость, содержащая оси е и х, перпендикулярна плоскости, в
которой находятся оси χ и х'. В самом деле, к первым двум осям

§ 2. КВАЗИНЕГОЛОНОМНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГИРОРАМЫ 209
перпендикулярна ось ζ, а к двум другим — ось у (или, что то же,
ось ι/'). Однако оси ζ и у, как принадлежащие одной и той же
системе координат xyz, перпендикулярны друг другу, откуда и
следует перпендикулярность упомянутых плоскостей.
Итак, три прямые: η, с которой совпадает ось χ', ηχ (она же ось е)
и, наконец, ось χ — расположены в пространстве следующим
образом (см. рис. 118). Угол между осями η {χ') и \\λ (е) равен ψ; между
η! (е) и χ — модулю величины #; между χ и η (χ) — модулю β.
Кроме того, угол между плоскостями хц (χζ) и щ1 (ху) —прямой, а
угол между плоскостями щг (еп) и ηηχ (ξη) равен π/2 — φ. На
сфере S такому расположению прямых η (#'), ηχ (е) и χ
соответствует прямоугольный сферический треугольник. Вследствие этого
соотношения (4.2.27) и (4.2.29) следуют из основных формул
сферической тригонометрии; в последних необходимо лишь учесть (см.
рис. 118, на котором углы # и β отрицательные), что
ZThs = — ft, z.xr\ = — β. (4.2.30)
Возможен и чисто геометрический вывод тех же формул,
аналогичный тому, который был приведен в конце § 4 гл. III.
Перейдем теперь к общему случаю уравнений (4.2.12), когда
А=/=0. Расположение невращающейся системы координат ξηζ
возьмем такое же, как и в предыдущем примере (см. рис. 116, где
следует добавить собственный кинетический момент Η второго
гироскопа). Тогда в мгновение t = 0 будут вновь выполняться
равенства (4.2.23) и (4.2.24). Кроме того, примем, что угол β по-
прежнему удовлетворяет в начальное мгновение условию (4.2.22),
т. е. равен нулю. Обратимся снова к формуле (4.1.17). Она
справедлива для определения угла поворота рассматриваемой
гироскопической рамы вокруг ее оси в результате движения последней по
конусу с возвращением в исходное положение, если только h =
= —1, т. е. гироскопы равны друг другу, но вращаются в
противоположные стороны. Соответствующий угол χ равен телесному углу
упомянутого конуса. Следовательно, при небольших изменениях
полярных координат ψ и φ от их начальных значений угол χ или, что
то же, изменение угла # после одного цикла конического движения
оси ζ в соответствии с формулами (4.1.21) и (4.1.23) имеет порядок
произведения vnoMflHyTbix изменений углов ψ и φ. Если же, как в
данном случае, начальные значения величин ψ и φ равны нулю,
то угол χ имеет порядок произведения самих величин ψ и φ при
условии, что они невелики. Далее, согласно формуле (4.2.27),
которая относится уже к случаю h = 0, угол поворота рамы по
отношению к вспомогательной системе координат enz также имеет
порядок произведения углов ψ и φ. В отличие от случая h = —1
этот угол «не накапливается» и исчезает вместе с возвращением оси
рамы в исходное положение, т. е. имеет место равенство χ = 0.

210 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Что же касается угла β, то в соответствии с формулой (4.2.29) его
следует считать величиной того же порядка, что и угол ψ.
В силу изложенного следует ожидать, что и при значениях /г,
заключенных между 0 и —1, а также по крайней мере при малых
положительных значениях h приращение угла О* при описанном
выше замкнутом обходе осью рамы ζ конуса окажется порядка
произведения углов ψ и φ, если только они в процессе своего
изменения остаются небольшими. Учитывая сделанные замечания,
сохраним в уравнениях (4.2.12) лишь члены первого порядка
относительно самих углов β, ψ и φ и отбросим члены, содержащие в
качестве множителя sinO1, как имеющие при θ(0) = 0 более высокий
порядок. Представляя, кроме того, уравнения (4.2.12) в виде
соотношений между дифференциалами, получим
— β<Ζφ + dO + φ<Ζψ = 0, (4.2.31)
(А + 1) cfy + c/β = 0.
Второе соотношение (4.2.31) с учетом начальных условий (4.2.22)
и (4.2.23) преобразуется после интегрирования к виду
β = - (h + 1) ψ. (4.2.32)
Используя последнюю формулу в первом соотношении (4.2.31),
получаем
dO=—φίΐψ —(Λ + 1)ψΛρ = —(Λ + 1)ίϊ(ψφ) + Λφ£ΐψ. (4.2.33)
Отсюда после использования начальных условий (4.2.23) и (4.2.24)
следует, что искомый угол # представляется в виде формулы,
содержащей криволинейный интеграл
0= — (/*4~1)ψφ+Α $φώψ. (4.2.34)
0,0
При возвращении оси рамы в исходное положение, при котором
ψ = φ = 0, получаем
# = fe(J)(p*J>. (4.2.35)
Однако с точностью до членов не ниже третьего порядка
криволинейный интеграл (с обратным знаком), стоящий в правой части
равенства (4.2.35), представляет собой в силу формулы (4.1.24) меру
телесного угла конуса, описанного осью ζ при ее возвращении в
исходное положение. Изменение угла #, соответствующее такому
движению, в предыдущем параграфе было обозначено через χ. Таким

§ 3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ РЫСКАНИЯ КОРАБЛЯ 211
образом, при движении гироскопической рамы, описанной в
настоящем параграфе, имеет место приближенная формула *
χ = — ΛΩ. (4.2.36)
При h = — 1 эта формула становится точной и совпадает с
формулой (4.1.10) предыдущего параграфа.
§ 3. Проекция угловой скорости корабля на вертикаль
и угловая скорость рыскания
Рассмотрим вначале следующий пример неголономной связи,
налагаемой на твердое тело, движущееся вокруг неподвижной
точки. Пусть движение тела таково, что в любое мгновение времени
равна нулю проекция его угловой скорости на прямую
неизменного направления по отношению к невращающейся системе
координат. Следует выяснить, какова будет ориентация тела по
отношению к той же системе, если некоторая другая прямая, жестко
связанная с телом и проходящая через неподвижную точку, в
процессе движения тела вернется в исходное положение.
Для решения поставленной задачи возьмем в качестве прямой
неизменного направления ось ζ системы координат ξη ζ, введенной в
§ 1 настоящей главы. В свою очередь за упомянутую выше другую
прямую примем ось ζ какой-либо жестко связанной с телом
системы координат xyz с началом в неподвижной точке тела. Положение
оси ζ по отношению к системе координат ξη ζ, так же как и в § 1
настоящей главы, будем определять углами ψ и φ (см. рис. 98).
Кроме того, введем угол #, характеризующий, как и в упомянутом
параграфе, поворот системы координат xyz по отношению к
вспомогательной подвижной системе enz (см. рис. 98 и 100).
В предыдущем параграфе настоящей главы были найдены
формулы (4.2.9) для проекций угловой скорости ω системы
координат xyz на ее собственные оси через производные по времени
* См. статью Климова Д. М., Потапенко В. А, К уходам
гироскопа в кардановом подвесе на подвижном основании.— Инж. ж. МТТ,
1966, Μ 1, где формула (4.2.36) получена другим путем, идея которого
заключается в следующем. Если h мало, то при изменении ориентации оси
рамы можно считать, что в первом приближении направление собственного
кинетического момента Н' большого гироскопа (кожух которого имеет
свободу вращения относительно рамы) остается одним и тем же. При этом
определится характер изменения ориентации собственного кинетического
момента Η второго (малого) гироскопа, а также его силовое воздействие на
раму и, далее, воздействие последней на первый гироскоп. В следующем
приближении определяется изменение ориентации первого гироскопа в
результате упомянутого воздействия, что и приводит в конце концов к
формуле (4.2.36).

212 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
угловя|э, φ,Φπ сами углы φ и #,
именно:
ωχ = -—■ cos φ sin ϋ j- cos #,
у = -^- cos φ cos # + -~- sin 0,
ω,
ω,
■жяш<р + -зг· <4-зл)
Нетрудно убедиться, используя
в свою очередь формулы (4.1.11)
или полагая в формулах (4.3.1)
угол Φ равным нулю (см. рис.
100), что проекции а>е, ωη, ωζ
той же угловой скорости
системы координат xyz, но уже на
оси вспомогательной подвижной системы enz равны величинам
Рис. 119
ω« = Μβ
ω„
dip
un = -jf cos φ,
(4.3.2)
, dft Ab . . d&
Здесь ие, un, uz — проекции угловой скорости системы координат
enz на ее же оси (см. также рис. 99). Далее (рис. 119) имеем
ωζ = ωη cos φ + ω2 sin φ, (4.3.3)
и, следовательно, в соответствии с предыдущими формулами
(4.3.4)
ωζ
Разумеется, формулу (4.3.4) можно получить и непосредственно.
В самом деле, угловая скорость ω системы координат xyz, жестко
связанной с телом, является геометрической суммой
относительных угловых скоростей dty/dt, άψ/dt и dft/dt — соответственно
системы координат ξιΉιζι относительно ξηζ, системы enz по отношению
к ξ^!?! и, наконец, системы xyz относительно enz (рис. 120).
Следовательно, проекция угловой скорости ω на ось ζ равна сумме
проекций на ту же ось составляющих угловых скоростей dty/dt,
άψ/dt и dft/dt. Вектор первой из них направлен по самой оси ζ,
вектор второй — по отрицательному направлению оси ηχ и,
следовательно, перпендикулярен к оси ζ (рис. 121). Наконец, вектор

§ 3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ РЫСКАНИЯ КОРАБЛЯ
213
*\ ι£ζ
Рис. 120
Рис. 121
угловой скорости dft/dt направлен по оси ζ, образующей с осью ζ
угол π/2 — φ. После сделанных замечаний формула (4.3.4)
становится очевидной.
В соответствии с поставленной задачей следует положить
ωζ =0, (4.3.5)
после чего в силу формулы (4.3.4) получаем для определения угла
Φ дифференциальное уравнение
—-sm(p + -7г ■= 0.
at T at
(4.3.6)
Пусть углы ψ и φ, определяющие положение оси z относительно
невращающейся системы координат ξηζ, заданы в виде функций
времени
Ψ = Ψ (0, φ = φ (f). (4.3.7)
Тогда, согласно соотношению (4.3.6), получаем
ι
0(f) =0,-^
1
dt(t)
sin φ (ί) dt
dt,
где
*o = θ (0)
(4.3.8)
(4.3.9)
— значение угла О в начальное мгновение t = 0. Приведем
формулу (4.3.8) к виду, аналогичному формуле (4.1.15) первого параграфа
настоящей главы. Имеем
О sin φ
(4.3.10)
Ψο,φ»

214 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Для вычисления криволинейного интеграла в правой части этой
формулы достаточно знать путь интегрирования в плоскости ψφ
или, что то же, угол φ в виде функции угла ψ. Закон изменения
координаты ψ (и, как следствие, координаты φ) во времени при этом
не имеет значения. Если ось ζ возвращается в исходное положение,
то угол # изменится на величину
*--$■&· <4·3·">
где криволинейный интеграл берется по замкнутому контуру в
плоскости (ψ, φ), как в формуле (4.1.18) в § 1 этой главы. Вновь
используя формулу Грина (4.1.20), получим
Х = -5^». (4.3.12)
а
Здесь интегрирование ведется уже по области σ (см. рис. 101) на
плоскости (ψ, φ) внутри упомянутого замкнутого контура.
Предполагается, что интеграл в формуле (4.3.11) берется в таком
направлении, чтобы при обходе замкнутого контура область находилась
слева. В противном случае знак в правой части формулы (4.3.12)
следует переменить на обратный. К сожалению, двойной интеграл
(4.3.12) не допускает простого геометрического толкования, как
аналогичный ему интеграл (4.1.22) в § 1 настоящей главы.
Заметим, однако, что если для всех точек области σ (см. рис. 101)
π/2 > φ ]> 0, то справедливы неравенства
\\ cos φd„*ψ < ЦiU^t <g «"*£* . (4.3.13)
a a a
Первый из двойных интегралов в неравенствах (4.3.13), как уже
было выяснено в § 1, представляет собой меру Ω телесного угла
конуса, который описывает в своем замкнутом движении ось ζ.
В соответствии с формулами (4.1.9) и (4.1.10) эта мера представляет
собой отношение площади F фигуры на сфере S (рис. 122),
вырезанной упомянутым конусом, к квадрату ее радиуса R, т. е.
-£ = Ω. (4.3.14)
Последний двойной интеграл в неравенствах (4.3.13) также имеет
геометрическую интерпретацию. Он представляет собой отношение
A/R2, где А — площадь фигуры, вырезанной тем же конусом, но
уже из плоскости, касающейся сферы S в точке ее пересечения с
осью ζ (см. рис. 122).
В самом деле, проведем через начало системы координат ξηζ
какую-либо прямую до пересечения с упомянутой касательной

§ 3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ РЫСКАНИЯ КОРАБЛЯ
215
плоскостью (рис. 123). Расстояние от образующейся при этом точки
пересечения до точки касания плоскости со сферой S равно
г =Rctgq>. (4.3.15)
Введем в касательной плоскости полярную систему координат г, θ
(рис. 124), считая, что
θ =ф. (4.3.16)
Элемент площади в этой полярной системе выражается формулой
dA = rdQdr. (4.3.17)
Если принять теперь во внимание равенства (4.3.15) и (4.3.16), то
получим
г<Ю<&- = -Д'С03?У*1' . (4.3.18)
sin3 φ ν '
Отсюда следует, что площадь, вырезанная конусом в касательной
плоскости, представляется с точностью до знака двойным
интегралом
А = &§ ^У* · (4.3.19)
Учитывая равенства (4.3.19) и (4.3.12), а также (4.3.14), можно
неравенства (4.3.13) представить в виде
Ω=4-<Χ<4τ, (4-3.20)

216 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
что дает оценку сверху и снизу
для угла поворота тела χ
посредством неравенств,
содержащих чисто геометрические
величины.
Формула (4.3.12) или
эквивалентная ей (4.3.11)
представляют собой решение задачи,
поставленной в начале
настоящего параграфа. Из этих
формул вместе с тем следует
недопустимость определения угла
ρ — рыскания корабля —
посредством формулы
t
P = Po + ]j<Mff (4.3.21)
0 Рис. 123
где р0 — начальное значение
этого угла, а α)ζ — проекция
угловой скорости корабля, как твердого тела, на вертикальную ось.
В самом деле, при ωζ = 0 формула (4.3.21) указывает на
неизменность величины р. Однако, как было показано выше, условие
ωζ = 0 совсем не обеспечивает отсутствия поворотов тела вокруг
оси ζ.
Оставляя в стороне описание схемы устройства, посредством
которого можно измерить угловую скорость корабля ω,
вычислить ее проекцию ως на вертикальное направление и интеграл от
этой проекции по времени, исследуем более обстоятельно формулу
(4.3.21). Заменим в ней проекцию угловой скорости ωζ ее
выражением (4.3.4). Получим равенство
Ρ = Ρο + $(-^ + ·^·8Ϊαφ)Λ, (4-3.22)
О
которое можно, аналогично предыдущему, представить также в
следующем виде:
P = po + ^— Ψο+ \ sincpcWh (4.3.23)
&о,Фо
Здесь ψ, φ и Φ — текущие значения углов, определяющих
положение корабля по отношению к невращающейся системе координат
ξηζ, а ψ0, φ0, #0 — начальные значения тех же углов (в мгновение
t = 0). Очевидно, что величина р, согласно формуле (4.3.23),
существенно зависит от вида кривой на плоскости (#, φ), вдоль ко-

§ 3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ РЫСКАНИЯ КОРАБЛЯ
217
торой подсчитывается
криволинейный интеграл
sincpdft. (4.3.24)
&ο,Ψο
Поэтому зависимость величины
ρ от углов ft и φ, как и
следовало ожидать, не является
однозначной.
Пусть корабль в результате
своего углового движения
возвращается в мгновение t = tx
к исходной ориентации
относительно системы ξηζ.
Очевидно, что в это мгновение
осуществляются равенства
Ψι =Ψο, Φι =<Ро» *ι =*о,
(4.3.25)
где
Ψι =Ψ (О. Φι =
— значения углов ψ, φ и ft в упомянутое мгновение t = t±.
Формула (4.3.23) принимает при этом вид
Pi = Ро + § sin φ d ft. (4.3.27)'
Здесь р! — значение величины р, соответствующее мгновению
t = ίχ.
Контурный интеграл, находящийся в правой части последней
формулы, зависит от вида замкнутой кривой в плоскости (ft, φ),
соответствующей рассматриваемому движению корабля.
Следовательно, величина pt оказывается зависящей от характера движения,,
приводящего тело в исходное положение *.
Таким образом, величина ρ не может служить какой-либо
угловой координатой тела, например углом, определяющим положение
корабля в азимуте, т. е. относительно стран света. Для этой цели,
как известно (см. § 1 гл. I), используется так называемая курсовая
черта корабля — проекция на горизонтальную плоскость его
продольной оси. Применительно к изложенному выше продольной
* Исключение составляет частный случай φ = л/2, при котором
криволинейный интеграл (4.3.24) становится обыкновенным. Однако при этом
палуба корабля, за которую можно принять плоскость ху, остается все время
горизонтальной и, естественно, угловая скорость рыскания оказывается
равной вертикальной составляющей угловой скорости корабля.
Рис. 124
φ (h), *i = * (h) (4.3.26>

218 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
осью могла бы быть, в частности, ось г/, а вертикальной — ось ζ.
Очевидно, что при возвращении системы координат xyz, связанной
с кораблем, в исходное положение по отношению к системе
координат ξηζ упомянутая проекция окажется направленной точно
так же, как и в начале движения. Соответственно будет
отсутствовать изменение угла рыскания, а также курса корабля
(см. § 1 гл. I).
Затруднения с определением ориентации тел при наличии
различных соотношений, связывающих их угловые скорости, а также
при использовании в счетно-решающих устройствах текущих
значений угловых скоростей и их всевозможных проекций могут
возникать в ряде задач управления движущимися объектами. В
частности, сюда относятся вопросы построения так называемых бес-
ллатформенных систем инерциальной навигации, вопросы точности
показаний сложных полигироскопических приборов и поведения
гиротахометров на подвижных основаниях.
§ 4. Кинематические уходы
трехосного гироскопического стабилизатора
Изменение ориентации стабилизированных платформ трехосных
силовых гироскопических стабилизаторов при наличии
гармонических возмущающих воздействий можно объяснить, используя
соображения, аналогичные тем, которые были приведены в
предыдущих параграфах настоящей главы.
Рассмотрим трехосный силовой гироскопический стабилизатор,
гироскопы которого расположены на стабилизированной
платформе следующим образом (рис. 125). Оси кожухов гироскопов I, II
и III направлены соответственно вдоль осей х, у и ζ системы
координат xyz, жестко связанной со стабилизированной платформой.
Примем, что собственные кинетические моменты всех гироскопов
одинаковы, причем в исходном положении собственный
кинетический момент гироскопа I направлен параллельно оси г/, гироскопа
II — оси ζ и, наконец, гироскопа III — оси х. Обозначим через ρ
угол поворота кожуха гироскопа I вокруг оси χ из исходного
положения (рис. 126). Будем считать угол ρ положительным при
повороте кожуха против стрелки часов, если наблюдать за вращением
со стороны удаленной точки на положительной части оси х.
Аналогично введем углы σ и τ — поворотов кожухов гироскопов II и III
соответственно вокруг осей у и ζ (см. рис. 126).
Свяжем с кожухом первого гироскопа такую систему координат
x'y'z (рис. 127), чтобы ее ось х' была направлена по оси χ системы
координат xyz, связанной со стабилизированной платформой, а оси
у' и ζ при ρ = 0 были бы параллельны осям у и ζ. Подобным же
образом введем системы координат x"y"z" и xmymzm\ связанные

§ 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УХОДЫ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 219
Рис. 125
соответственно с кожухами второго и третьего гироскопов (рис.
128 и 129). Оси ζ" и х" при σ = 0 параллельны соответственно осям
ζ и х, а хт и ут при τ =0 — осям χ и у.
Обратимся сначала к гироскопу I. Обозначим через Мх· = Мх,
Μν> и М2> суммы моментов сил воздействия на его кожух со
стороны стабилизированной платформы (рис. 130). При этом суммы
моментов Му> и MZ' создаются соответственно вокруг осей у' и ζ
реакциями опор подшипников оси кожуха, а сумма моментов Мх —
вокруг оси х, совпадающей с осью х\— задатчиком момента,
расположенным на самой стабилизированной платформе. В состав
суммы моментов Μх входит также момент сил трения в
подшипниках оси кожуха, который принимается равным нулю во всех
гироскопах.
В дальнейшем суммы моментов сил, как и выше, чаще всего
будут именоваться просто моментами.
Ограничимся в настоящем параграфе рассмотрением уравнений
движения стабилизатора с точки зрения прецессионной теории
гироскопов. Тогда в соответствии с изложенным во II главе второй
книги можно представить уравнения движения гироскопа I в виде
— αν Я = Мх> - М'п 0 = М'у, ω'χτΗ = Μ'ζ>. (4.4.1)

220 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Х,ХТ ^\ ρ
Μ"
χ,χ
Рис. 126
Рис. 127
При этом собственный кинетический момент первого, а также
второго и третьего гироскопов считается одной и той же постоянной
величиной Н.
Уравнения (4.4.1), как известно, имеют следующую
геометрическую интерпретацию (см. рис. 130). Вектор скорости конца
вектора Н, направленного в случае гироскопа I по оси г/, равняется
главному моменту сил, действующих на кожух этого гироскопа
(начало вектора Η условно принимается неподвижным).
Величины проекций ω^ и ω^ угловой скорости ω' кожуха
гироскопа I соответственно на оси ζ' и х' связаны с проекциями ω х,
ω у и ωζ угловой скорости ω стабилизированной платформы на оси
х, у и ζ следующими очевидными соотношениями (см. рис. 127):
αν = — <% sin ρ + ω2 cos ρ,
<«V = ωχ
ι dp
(4.4.2)
В них ρ — уже введенный ранее угол поворота вокруг оси χ {χ'}
кожуха гироскопа I по отношению'к стабилизированной
платформе.
Аналогичным образом можно получить уравнения движения
гироскопов II и III. Соответственно имеем (рис. 131 и 128) следующие
уравнения гироскопа II:
ω.
Η = Мх
— ωχ„Η == Μυ
Μ,
w>
о = мг
(4.4.3)

§ 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УХОДЫ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 221
в которых введены обозначения
ωκ" = — ω2 sin в + ω~ cos σ,
. - V (4·4·4)
, d<5
Щ" = ωι/ = Щ + -jf
для проекций угловой скорости кожуха гироскопа II на оси х" и
у" связанной1 с этим кожухом системы координат x"y"z'\ а М^г,
MV", Mz» — моменты воздействия на кожух гироскопа II со
стороны стабилизированной платформы, причем момент Му» = Му
налагается посредством задатчика, расположенного на
стабилизированной платформе; σ, как уже упоминалось,— угол поворота
кожуха гироскопа II вокруг оси у {у").
Наконец, нетрудно убедиться (рис. 132 и 129), что уравнения
движения гироскопа III представляются в виде
О = М^, ω'^Η = Ml*, — fity*# = Ml» = Μ"ζ\ (4.4.5)
где
ω"νΗ — — ωχ sin τ + ωι/cos χ·>
,η m dX
(οζ„, = ωζ = ωζ + -jj- .
В последних равенствах ω'" — угловая скорость кожуха
третьего гироскопа, Мх»>щ My», Mzw = M'z — моменты воздействия на

222 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Рис. 130 Рис. 131
этот кожух со стороны стабилизированной платформы, и τ —
введенный выше угол поворота вокруг оси ζ (zr") кожуха
относительно платформы *.
В силу третьего закона Ньютона, кожухи гироскопов I, II и III
воздействуют на стабилизированную платформу посредством
моментов, равных величинам Мх>, МУ', Mz>, Мх», Му», Μζ», Μ χ*,
Му>», M"z»' (рис. 133), но имеющим противоположное
направление. Кроме того, к стабилизированной платформе со стороны
основания, на котором она подвешена посредством карданова подвеса
(на рис. 133 он не показан), могут быть приложены моменты Кхг
Ку, Kz, имеющие направления соответственно осей х, у и ζ,
связанных с платформой (см. рис. 125 и 133). В соответствии с
прецессионной теорией гироскопов (см. гл. II второй книги) в уравнениях
движения самой платформы следует опустить моменты инерции ее
массы.
Таким образом, все приложенные к платформе моменты
должны взаимно уравновешиваться; в итоге получаем соотношения
Кх —М'х— МХ" cos σ + М'ушзт τ = О,
Ку — Му— М'у'» cos τ + Μ'* sin ρ = 0, (4.4.7)
Κζ — M'l — Μ'ζ> cos ρ -f М'Х" sin σ — О,
* Нетрудно заметить, что уравнения (4.4.1), (4.4.3) и (4.4.5)
получаются друг из друга в результате простой циклической перестановки. То
же относится и к формулам (4.4.2), (4.4.4) и (4.4.6).

§ 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УХОДЫ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 22$
Рис. 132
в которых учитывается, что в
силу формул (4.4.1), (4.4.3) и
(4.4.5) моменты м'у>, М^иМ^
порознь равны нулю; кроме
того, конечно, Мх> = М'х9М~у>=:М1
И M"z«> = M'l.
Подставим теперь в
соотношения (4.4.7) выражения для
моментов Мх, М'у, Μ"ζ, Μχ», My*
и ΜΖ' в соответствии с
уравнениями (4.4.1), (4.4.3) и (4.4.5).
Кроме того, произведем замену
величин ον, ον, ωχ-, ω^, ω^,
ωΖ"' соответствующими правыми
частями формул (4.4.2), (4.4.4),
(4.4.6). Получим три уравнения;
ωυ sin ρ — ω2 cos ρ + ίω^ + -%f) cos σ — ί ωζ + -^-J sin τ IЯ = ΛΓΧ,
Γωζsinσ — ω* cosσ + (ωζ + -^jcost — ίωχ + -^)sin Ρ\Η = Κυ,
ωχ sin τ —- coy cos τ + ί ω^ + -£- j cos ρ — ί ων + -^rj sin σ| Я = ΛΓ2,
(4.4.8)
к которым следует добавить еще три, а именно:
— (— ω у sin ρ + ωζ cos ρ) Я = Мх,
—- (—- ωζ sin σ + ωχ cos σ) Я = Afv, (4.4.9)
— (— ω ^ sin τ + ω y cos τ) Я = Μ2.
Последние представляют собой с учетом формул (4.4.2), (4.4.4)
и (4.4.6) соответственно первое, второе и третье уравнения
совокупностей (4.4.1), (4.4.3) и (4.4.5).
Моменты Мх, Му и M"z\ входящие в правые части уравнений
(4.4.9), как уже отмечалось выше, приложены к осям кожухов
гироскопов I, II и III (см. рис. 125 и 133); они создаются задатчи-
ками моментов, расположенными на стабилизированной платформе
и служат для изменения ее ориентации относительно невращаю-
щейся системы координат. В свою очередь моменты Кх, Ку и Kz,
которые входят в уравнения (4.4.8), воздействуют на саму
платформу; они образуются посредством задатчиков моментов,
расположенных на осях ее карданова подвеса. Основное их назначение —
уравновешивать какие-либо другие нагрузки, воздействующие на плат-

224 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕТОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Рис. 133
"форму и вызывающие нежелательное увеличение углов ρ, σ и т.
Таким образом, перечисленные моменты являются в известной мере
регулируемыми величинами, зависимость которых от времени и от
других параметров, определяющих состояние описываемой
механической системы, в общем случае следует считать известной.
Поэтому уравнения (4.4.8) и (4.4.9) образуют совокупность шести
уравнений, описывающих в рамках прецессионной теории
гироскопов угловые движения стабилизированной платформы
относительно невращающейся системы координат вместе с движением
относительно нее самих гироскопов I, II и III.
Проекции (Од, ω у, ωζ абсолютной (т. е. относительно
невращающейся системы координат) угловой скорости платформы
выражаются через производные надлежащим образом введенных углов
Эйлера ψ, θ, φ (рис. 134) или углов Эйлера — Крылова α, β, у
(рис. 135) и через сами эти углы. Таким образом, совокупность
(4.4.8)—(4.4.9) состоит из шести дифференциальных уравнений
первого порядка относительно углов ρ, σ, τ и углов ψ, θ, φ (или α,
β, γ), определяющих положение системы координат xyz
относительно некоторой невращающейся системы ξη ζ. Разумеется,
порядок этой совокупности может оказаться значительно выше, если
правые части уравнений (4.4.8) и (4.4.9) будут содержать в своем
составе переменные, связанные с основными координатами
рассматриваемой механической системы дифференциальными
соотношениями теории регулирования.

§ 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УХОДЫ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 225
Рис. 134 Рис. 135
Рассмотрим случай равенства нулю всех моментов, приложенных
к осям кожухов гироскопов I, II и III. Полагая в уравнениях
(4.4.9)
м; = м; = м;'' = о, (4.4.Ю)
получаем для определения величин ωχ, <йу и ωζ три однородных
алгебраических уравнения:
— ω у sin ρ + ωζ cos ρ = О,
— ωζ sin σ + ωχ cos σ = 0, (4.4.11)
— ωχ sin τ -f- ω у cos τ — 0.
При малых углах ρ, σ и τ определитель совокупности этих
уравнений
Δ = cos ρ cos σ cos τ — sin ρ sin σ sin τ (4.4.12)
всегда отличен от нуля, и уравнения (4.4.11) имеют единственное
решение
ωχ == ωί/ = ωζ = 0. (4.4.13)
Таким образом, обращение в нуль моментов Мх, Му, Мг влечет
за собой, согласно прецессионной теории гироскопов, абсолютную

226 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
стабилизацию платформы, т. е. неизменность ее ориентации
относительно невращающейся системы координат ξηζ *.
Пусть условия (4.4.10) выполнены и углы ρ, σ и τ невелики.
Тогда, полагая в уравнениях (4.4.8) величины ω^, ων и ωΖ равными
нулю, приходим к соотношениям
тт ί d<5 . dx \ TT d<5 Tr
Kv, (4.4.14)
Kx.
Моменты Kx, КужКг, действующие на стабилизированную
платформу со стороны карданова подвеса, можно при помощи
электромеханических устройств образовать такими, чтобы они сводили
углы ρ, σ и τ к нулю. В частности, допустим, что эти моменты
представляются формулами
Кх = - Κσ, Ку = - К%, Кг = — Кр, (4.4.15)
где К — постоянное количество (т. н. крутизна характеристики).
Тогда в соответствии с соотношениями (4.4.14) получим, что р,
σ и τ будут стремиться к нулю почти по экспоненциальному
закону. Возможны, разумеется, и многие другие закономерности
образования моментов, обеспечивающие такое изменение углов ρ, σ и τ,
при котором они бы быстро уменьшались. Предел допустимой
скорости убывания этих углов устанавливается здесь условиями
динамической устойчивости гироскопического стабилизатора, что в
прецессионной теории гироскопов остается без внимания.
В дальнейшем будем предполагать, что электромеханические
устройства обеспечивают такое управление величинами моментов
Кх, К у и Кг, при котором углы ρ, σ и τ можно полагать (после
некоторого переходного процесса) исчезающе малыми величинами.
Уравнения (4.4.9) с достаточным приближением представляются в
этом случае в следующем простом виде:
— Ηωζ = Αίχ, — Ηωχ = Му, , —Ηωυ = AfT- (4.4.16)
Моменты, стоящие в правых частях этих уравнений, будем считать
заданными. Тогда проекции ωх, ωу и ωζ угловой скорости плат-
* Исключение составляет случай обращения в нуль определителя (4.4.12),
представляющий для механики гироскопических систем самостоятельный
интерес. Можно показать, что в этом случае моменты Μζ,, Μχ„ и Μ .„
при отличных от нуля углах ρ, σ, τ компланарны (т. е. их векторы
параллельны одной и той же плоскости, а угловая скорость ω может быть
произвольной).
ч
dx
COS Τ —г;
dt
Η (cos ρ -g-
dp \ тт dX
d<5 \ TT dp

§ 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УХОДЫ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 227
формы на связанные с нею оси
системы координат xyz в силу
уравнений (4.4.16) также
надлежит считать известными
функциями времени
z,m
ω,
= ωχ(ί),
ω7
ω2
= ωζ (t).
ων (t),
(4.4.17)
Определение ориентации
системы координат xyz, связанной с
платформой, по отношению к Рис. 136
какой-либо невращающейся
системе координат ξηζ, сводится
теперь к известной проблеме Дарбу (см. § 1 гл. V второй книги).
Рассмотрим один из частных случаев этой проблемы, считая, что
ω2 = 0, ωχ = — ω sin pt,
ω,
ω cos pt, (4.4.18)
где ω и ρ — постоянные положительные количества; ω — модуль
угловой скорости платформы, ρ — угловая частота обращения
вектора этой угловой скорости в плоскости ху (рис. 136).
В согласии с формулами (4.4.16) в этом случае момент Мх должен
быть равен нулю, а моменты Му и Μζ — изменяться по закону
Му = ω Η sin pt, Μ™ = — ω# cos pt.
(4.4.19)
В свою очередь моменты К х, Кц и Кг должны быть настолько
эффективными, чтобы углы ρ, σ, τ были в достаточной мере малыми
величинами и тем самым была возможна замена уравнений (4.4.9)
на уравнения (4.4.16).
Введем невращающуюся систему координат ξηζ и определим
положение системы xyz, связанной со стабилизированной
платформой двояко: посредством совокупности углов Эйлера ψ, θ, φ (см.
рис. 134) и при помощи углов Эйлера — Крылова α, β, γ
(см. рис. 135). В первом случае имеем следующую таблицу
косинусов углов между осями систем xyz и ξηζ:
\ η ζ
χ — sin ψ cos θ sin φ -f- cos ψ cos θ sin φ -f- sin θ sin φ
+ cos ψ cos φ + sin ψ cos φ
у —- sin ψ cos θ cos φ — cos ψ cos θ cos φ — sin θ cos φ
— cos ψ sin φ — sin ψ sin φ
ζ sin ψ sin θ — cos ψ sin θ cos θ , (4.4.20)

228 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
а во втором, как нетрудно убедиться, таблицу
Ι η ζ
х cos β cos γ sin α sin β cos γ + — cos α sin β cos γ -f
+ cos α sin γ -f- sin α sin γ
у —cos β sin γ — sin α sin β sin γ + cos α sin β sin у -\-
+ cos α cos γ + sin α cos у
ζ sin β — sin α cos β cos α cos β
(4.4.21)
Таблица (4.4.20) с точностью до обозначений совпадает с
таблицей (3.5.24), построенной в § 5 гл. III; следует лишь заменить
названия осей x°y°z0HdL ξηζ и строки поменять местами со столбцами.
Точно так же можно получить таблицу (4.4.21), если в таблице
(3.6.1) § 6 гл. III поменять местами наименование осей xyz и ξηζ.
В первом случае (см. рис. 134), т. е. при применении
классических углов Эйлера ψ, θ, φ, угловая скорость тела ω является
геометрической суммой трех угловых скоростей: dty/dt, направленной
по оси ζ, dQ/dt — по линии узлов (или, что то же, по прямой
пересечения плоскостей ξη и ху, совпадающей с осью ξ при угле ψ,
равном нулю) и, наконец, угловой скорости dy/dt, направленной по
оси ζ. Отсюда немедленно следуют формулы
dip . Q . , d&
ωχ = —£- sin Ό sin φ + -тг cos φ,
ωυ = -^ sin θ cos φ — -^ sin φ, (4.4.22)
dob λ , ^Φ
для проекций угловой скорости платформы на оси связанной
с нею системы координат xyz.
Во втором случае, когда используются углы Эйлера — Крылова
α, β и γ (см. рис. 135), та же угловая скорость ω системы xyz
по отношению к невращающейся системе ξηζ представляется
геометрической суммой угловой скорости da/dt, направленной
по оси ξ, угловой скорости d$/dt, направленной по оси η' системы
координат ξ'η'ζ', повернутой вокруг совпадающих осей ξ и ξ'
на угол а относительно системы ξηζ, и, наконец, угловой
скорости dy/dt, имеющей направление оси ζ.
Чтобы найти косинусы углов, которые образует только что
упомянутая ось ηΛ с осями х, у и z, достаточно положить в таблице
(4.4.21) угол а равным нулю и отождествить оси ξ', η', ζ'
соответственно с осями ξ, η, ζ. После сделанных замечаний нетрудно
представить, используя таблицу (4.4.21), проекции ωχ, соу и ω2

§ 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УХОДЫ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 229
угловой скорости платформы
на связанные с нею оси х, у
и ζ в следующем виде:
da n . d& .
ωΛ = -^-οο8βοο8γ + -£-8ΐη γ,
dt
ωη1
da
-τ- cos β sin γ +-£- cos γ,
^ί
ωζ=-7-8ΐηβ+-£
d*
di
(4.4.23)
Рис. 737
В общем случае (4.4.17)
равенства (4.4.22) и (4.4.23)
следует рассматривать как две
совокупности
дифференциальных уравнений, решение
каждой из которых позволяет при
известных функциях времени
ωχ (t), ω у (t), ωζ (t) и при задании надлежащих начальных
условий определить текущую ориентацию системы координат xyz по
отношению к невращающейся системе ξηζ. В известном смысле
обе совокупности эквивалентны. В самом деле, найдя решение
одной из них, например (4.4.22), относительно углов ψ, θ и
φ, можно посредством сравнения таблиц (4.4.20) и (4.4.21)
отыскать углы α, β и γ в виде функций времени. Последние,
разумеется, будучи подставлены в уравнения совокупности (4.4.23),
обратят их в тождества.
Вернемся к частному случаю (4.4.18). Пользуясь произволом
расположения невращающейся системы ξηζ, совместим ее ось ξ
с тем направлением х0 оси χ (связанной с платформой), которое
последняя имела в начальное мгновение t = 0 (рис. 137). Тем
самым начальные значения углов Эйлера ψ и φ (см. рис. 134) в
дифференциальных уравнениях (4.4.22) оказываются следующими:
ψ (0) =0, φ (0) = 0.
(4.4.24)
Обозначим далее через x0y0z0 положение системы координат xyz
в мгновение ί = 0 и расположим ось ζ так, чтобы она в это
мгновение образовывала бы с осью z0 некоторый угол θ0, величина
которого определяется тригонометрическим уравнением
tge.-f.
(4.4.25)
Таким образом, начальное значение угла Эйлера θ задается
равенством
θ (0) = θ0) (4.4.26)

230 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
где θ0 — корень уравнения (4.4.25) в интервале (0, π/2). Тем
самым теперь известны все начальные условия нижеследующей
совокупности дифференциальных уравнений:
--Ζ- sin v sin φ + —г- cos φ = — ω sin pt,
-j- sin θ cos φ —· -77- sin φ = ω cos pt, (4.4.27)
образующихся в результате замены в уравнениях (4.4.22) величин
Од, ω^, ωζ их выражениями в соответствии с формулами (4.4.18).
Нетрудно убедиться, что уравнения (4.4.27) допускают
следующее решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.4.24)
и (4.4.26) при соблюдении равенства (4.4.25):
ωί pt
ψ: -
sin θ0 cos θο '
φ = — pty θ = θ0 = const. (4.4.28)
Найденное решение единственное. В самом деле, уравнения
(4.4.22), равно как и уравнения (4.4.27), преобразуются в
эквивалентные им линейные дифференциальные уравнения при
переходе от углов Эйлера к параметрам Родрига — Гамильтона (см.
гл. VI второй книги). Решение же линейных дифференциальных
уравнений всегда единственно.
Из формул (4.4.28) следует, что в рассматриваемом случае
линия узлов к (см. рис. 134) равномерно поворачивается в
плоскости ξη против стрелки часов, если наблюдать за ней сверху
со стороны положительного направления оси ζ. Что же касается
системы координат xyz, то она также вращается равномерно,
однако с меньшей по модулю угловой скоростью вокруг оси ζ по
отношению к линии узлов. Это вращение происходит уже по часовой
стрелке, т. е. в противоположном направлении по сравнению
с угловым движением линии узлов. Поэтому, когда угол ψ
увеличивается на 2π и ось ζ возвращается в исходное положение,
то ось χ в исходном положении не оказывается. Из первых двух
формул (4.4.28) следует, что
φ(ψ) = — ψ cos θ0. (4.4.29)
Полагая здесь ψ = 2π, получаем
φ(2π) = — 2π cos θ0,. (4.4.30)
что соответствует повороту системы координат xyz из исходного

§ 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УХОДЫ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 231
положения (рис. 138) в положение xxyxzx на угол
χ = 2π (1 - cos θ0) (4.4.31)
против стрелки часов. Однако именно такова же мера Ω телесного
угла кругового конуса, описанного осью ζ при ее обращении вместе
с линией узлов вокруг оси ζ. Для доказательства этого
известного в элементарной геометрии утверждения достаточно заметить,
что площадь сферы радиуса R, вырезанная упомянутым конусом
(рис. 139), представляется интегралом
θο
F = 2я ξ R sin G R d® = 2я R2 (1 — cos θ0) = i?2Q. (4.4.32)
о
Таким образом, формула (4.4.31) представляет собой частный
случай формулы (4.1.10), которая была получена для более общего
случая движения твердого тела, рассмотренного в § 1 настоящей
главы.
Покажем теперь, как в рассматриваемом частном случае
(4.4.18) движения твердого тела, зная классические углы Эйлера
(4.4.28) ψ, θ, φ, определить углы Эйлера — Крылова α, β, γ.
Сопоставляя косинусы углов между одноименными осями систем
координат xyz и ξηζ в таблицах (4.4.20) и (4.4.21), получаем,
в частности, следующие два равенства:
sin β = sin ψ sin θ, (4.4.33)
— sin α cos β = — cos ψ sin θ,
позволяющие по заданным углам ψ и θ последовательно опреде-

232 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
лить углы β и а. При этом принимается, что углы α и β обращаются
в нуль при θ = 0 и что угол θ всегда меньше π/2. Кроме того,
согласно тем же таблицам (4.4.20) и (4.4.21), имеем
sin a sin γ — cos a sin β cos γ = sin θ sin φ,
sin a cos γ + cos a sin β sin γ = sin θ cos φ, (4.4.34)
что позволяет однозначно определить угол γ по заданным
величинам θ, φ и уже найденным ранее α и β. Посредством комплексно-
значных количеств равенства (4.4.33) и (4.4.34) можно представить
в следующем компактном виде:
sin α cos β + jsin β = sin θ exp (έψ), (4.4.35)
и
(sin α-f i cos α sin β) exp (—iy) = sin θ exp (— ΐφ). (4.4.36)
Если левые и правые части равенств (4.4.35) и (4.4.36) порознь
разделить друг на друга, то получим
sin α cos β + ί sin β ,. ч γ./ιι-μ / / / о гтч
—. , н —r-T5 exp (ιύ) = exp [ι (ψ + φ)]. (4.4,37)
sma + ι cos a sin β rv 4/ ri \τ ι τ/ι \ /
Последнее соотношение позволяет проследить, как изменяется
угол γ, т. е. один из углов Эйлера — Крылова, при заданном
изменении классических углов Эйлера ψ и φ. Заметим прежде всего,
что модуль дроби, стоящей в левой части соотношения (4.4.37),
равен единице, поэтому ее можно представить в виде
8ίηαϋ08β + i βίηβ ,.гчч // / оо\
—: —г—J :-£ — ехр ho). (4.4.38)
sin a 4-1 cos a sin β ^ \ / ν ι
Посредством не слишком сложных тригонометрических
преобразований можно теперь получить формулу
. гч sin a sin β ,, . ΟΠλ
tgo = ; ί-5-, (4.4.39)
& cos a + cos β ' ν '
из которой следует, что аргумент δ упомянутой дроби невелик.
Из сравнения таблиц (4.4.20) и (4.4.21) следует равенство
cos a cos β = cos θ. (4.4.40)
Учитывая последнее, нетрудно сделать вывод, что при заданном
постоянном угле θ = θ0 максимальное значение аргумента δ
достигается при а = β. При этом
sin a = sin β = ]/"2 sin -γ ,
. θο (4.4.41)
sin2 -7Γ ν
tg6 = - * ,

§ 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УХОДЫ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 233
и, следовательно, аргумент δ при небольших значениях θ0 имеет
второй порядок малости. При а или β, равных нулю, в
соответствии с формулой (4.4.39) аргумент δ также обращается в нуль.
Учитывая равенства (4.4.37) и (4.4.38), приходим к соотношению
δ + γ = ψ + φ, (4.4.42)
позволяющему определить с учетом формул (4.4.33) и (4.4.39)
угол γ — последний из искомых углов Эйлера — Крылова.
В начальное мгновение ί = 0 в соответствии с формулами
(4.4.28) углы ψ и φ порознь равны нулю. Угол β, согласно первой
формуле (4.4.33), при этом также равен нулю. Поэтому равен
нулю в силу формулы (4.4.39) и аргумент δ. В результате из
соотношения (4.4.42) получаем, что
γ (0) = 0, (4.4.43)
где γ (0) — значение угла γ в начальное мгновение времени.
В рассматриваемом частном случае с учетом формул (4.4.28),
(4.4.29) и (4.4.42) имеем
γ = (1 - cos θ0) ψ - δ = ^Д* Pt - δ. (4.4.44)
Из-за малости угла δ с достаточным приближением можно считать,
что угол γ возрастает пропорционально времени. При ψ = 2π
углы β и δ в согласии с формулами (4.4.33) и (4.4.39) вновь
обращаются в нуль, а ось ζ возвращается в свое исходное положение
по отношению к невращающейся системе координат ξηζ. Формула
(4.4.44) при этом согласуется с равенством (4.4.31).
Приведем в заключение геометрическую интерпретацию
движения твердого тела (платформы), угловая скорость которого
задана, согласно формулам (4.4.18), своими проекциями ωχι ων
и ω2 на оси х, у и z, связанные с самим телом.
Расположим в плоскости ху бесконечно тонкий диск радиуса R,
жестко связанный с телом (рис. 140). Через точку с координатами
ξ = η = 0, ζ = - h = - R sin θ0 (4.4.45)
проведем плоскость, параллельную координатной плоскости ξη.
Заставим диск катиться без скольжения по этой плоскости. Точка
диска, находящаяся в месте его касания с плоскостью, имеет по
отношению к самой плоскости и, следовательно, к невращающейся
системе координат ξηζ скорость, равную нулю. Поэтому
мгновенная ось вращения тела проходит через эту точку, а также,
разумеется, через общее начало систем координат xyz и ξηζ. Таким

234 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
образом, вектор ω угловой скорости тела, направленный по
мгновенной оси вращения, все время лежит в плоскости ху. Отсюда
следует первое из выражений (4.4.18) — равенство нулю
проекции ωζ угловой скорости тела на ось ζ жестко связанной с ним
системы координат xyz.
Радиус г окружности, по которой катится диск, меньше радиуса
диска R и связан с последним формулой
г = R cos θ0. (4.4.46)
После того, как диск обкатит эту окружность целиком и
соответственно ось ζ вернется в исходное положение, точка касания
диска с плоскостью не дойдет на самом диске до своего исходного
положения на длину дуги, равную разности
s = 2nR — 2кг = 2яЯ (1 — cos θ0). (4.4.47)
Тем самым диск окажется повернутым вокруг оси ζ по сравнению
с исходным положением на угол, определяемый формулой (4.4.31).
При изложенном геометрическом выводе этой формулы выражения
(4.4.18) для проекции угловой скорости ωχ и ωυ не потребовались.
Поэтому формула (4.4.31) верна при любом законе
изменения ω = ω(ί) угловой скорости качения диска без скольжения по
плоскости.
Определим теперь также геометрическим путем угловую
скорость dty/dt обращения оси диска ζ вокруг неподвижной оси ζ

§ 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УХОДЫ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 235
(рис.141). Для этой цели
отметим на оси ζ точку А на
расстоянии R (или каком-либо другом)
от центра диска. Так как
мгновенная угловая скорость диска
ω направлена по оси /,
лежащей в его плоскости (см. рис.
141), то скорость упомянутой
точки параллельна плоскости
диска и равна, как нетрудно
видеть, величине
ν = ωΚ.
(4.4.48)
Отрицательное направление оси
/ постоянно проходит через
точку касания диска с
плоскостью, параллельной коорди-
Рис. 142 натной плоскости ξη.
Следовательно, эта ось
перпендикулярна общей касательной к
окружности диска и к окружности радиуса г, по которой он катится.
Отсюда, в свою очередь следует, что ось I
перпендикулярна к линии узлов ку т. е. к пересечению (см. рис. 140)
плоскостей ху и ξη. В самом деле, плоскость ξη и плоскость, по
которой катится диск, параллельны и, следовательно,
пересекаются плоскостью ху по параллельным прямым. Нетрудно далее
убедиться, что скорость ν перпендикулярна оси ζ и оси /, по
которой направлена угловая скорость диска ω; следовательно, она
параллельна линии узлов к. Так как скорость dtyjdt обращения
оси ζ, линии узлов к и оси / (так называемой оси Резаля) вокруг
оси ζ одинаковы, то для величины той же скорости ν (см. рис. 141)
справедливо равенство
ν = i?sia90-
dt
(4.4.49)
где R sin θ0 — расстояние упомянутой точки оси ζ от
неподвижной оси ζ.
Сравнивая равенства (4.4.48) и (4.4.49), немедленно получаем
(см. также рис. 142)
dt sin θο ч '
откуда при постоянной величине ω следует первая из формул
(4.4.28).
После сделанных геометрических замечаний многие из
полученных выше формул становятся совершенно прозрачными.

236 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
§ 5. Малые движения
трехосного гироскопического стабилизатора
В этом заключительном параграфе последней главы первой
книги рассматривается приближенное решение задачи об
отыскании изменения ориентации стабилизированной платформы,
совершающей малые угловые движения с заданным законом
изменения угловой скорости. Согласно прецессионной теории
гироскопов, угловая скорость стабилизированной платформы
определяется в соответствии с уравнениями (4.4.16) предыдущего
параграфа
— ωζΗ = М'Х9 — ωχΗ = М'у, — ωυΗ = M'l (4.5.1)
заданием закона изменения во,времени моментов МХу Му, М'"·
Последние соответственно приложены к осям кожухов
гироскопов I, II и III (см. рис. 125). Поставленная выше задача сводится
к интегрированию совокупности трех дифференциальных
уравнений (4.4.23), а именно:
da n . d$ . ,
-jj- cos β cos γ + -£ sin γ =■ ωχ (ί),
— ~ cos β sin γ + ^ cos γ = <*>„ (ί), (4.5.2)
_8ιηβ + _ = ωζ(ί)
или аналогичных им уравнений (4.4.22). В уравнениях (4.5.2)
проекции ωχ(£), а)у(/) и ωζ (t) угловой скорости платформы на
оси х, у и ζ, связанные с ней самой, следует считать известными
функциями времени, а углы Эйлера — Крылова (см. рис. 135)
α, β и γ — искомыми. Кроме того, должны быть заданы начальные
условия — значения углов α, β и γ в мгновение времени t = О,
принимаемое за исходное, т. е. величины
а (0) = оо, β (0) - β0, у (0) = γ0. (4.5.3)
Надлежащим выбором невращающейся системы координат ξηζ,
относительно которой ведется отсчет углов α, β и γ, всегда можно
добиться того, чтобы величины α0, β0 и γ0 были равны нулю.
Для этого достаточно в начальное мгновение ί = 0 совместить
оси ξ, η, ζ соответственно с осями х, у, ζ.
В предыдущем параграфе была подробно рассмотрена задача
об отыскании классических углов Эйлера ψ, θ и φ, а также и углов
Эйлера — Крылова α, β и γ в случае, когда проекции ωχ, ωυ и ωΖ
изменялись по простейшему закону (4.4.18), причем величина ωζ
была тождественно равна нулю. В настоящем параграфе
рассматривается приближенное решение совокупности дифференциаль-

§ 5. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТРЕХОСНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 237
ных уравнений (4.5.2) относительно углов Эйлера — Крылова
α, β и γ в случае произвольных, но в известном смысле малых
величин ωχ, ω^ и ωζ. Именно, будем предполагать, что их
интегралы по времени, являющиеся, как будет далее показано,
приближенным представлением искомых углов α, β и γ, τ. е. функции
t t t
Фх =*1<*χ(ί) dt, фу =^(uy(t)dt, 0Z = § ω2 (f) <ft, (4.5.4)
0 0 0
на любом интервале времени остаются малыми величинами по
сравнению с единицей. Это требование, в частности,
удовлетворяется при гармоническом законе изменения функций ωχ (t), ων (£),
ωζ (t)y а именно:
(Оя (£) = ωχ cos pt + ωχ sin pt,
ωυ (t) = ωυ cos pt -f- ωυ sin pt, (4.5.5)
ωζ (t) = ωζ cos pt + ω2 sin pt.
Здесь ooi, ω"χ, Oy, ω£, ωζ, ωΐ — постоянные величины, отношение
каждой из которых к угловой частоте ρ предполагается
значительно меньшим единицы.
Разложим тригонометрические функции углов β и γ,
расположенные в левых частях уравнений (4.5.2), в степенные ряды и
представим эти уравнения в виде
£-М')-т4 + ^<Р.т>£+1Мт>£.
ί = Μ0 + ϊ£ + ^(Μ)£ + *.(Τ)·£. (4-5.6)
-£ = «мо-р-£ + ,мр)£.
где Аг($, γ), Α2 (β, γ), Α3 (β), Βχ (γ), Β2 (γ) — бесконечные ряды по
соответствующим переменным, начинающиеся с членов порядка
не ниже второго.
Уравнения (4.5.6) можно решать методом последовательных
приближений, взяв за исходное приближенное решение функции
(4.5.4). Имеем
α = 0* (0, β = Фу (t), У = Фг (t). (4.5.7)
При этом удовлетворяются следующие начальные условия:
а (0) = β (0) = γ (0) = 0. (4.5.8)
Чтобы получить следующее приближение, представим сначала,
учитывая те же начальные условия (4.5.8), уравнения (4.5.6)

238 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
в интегро-дифференциальной форме, а именно:
t
β = Фу (t) + \ Гт -£ + А2 (β, γ) £ + В2 (γ) f-1 di, (4.5.9)
ί
oL J
Подставим теперь в подынтегральные выражения правых частей
последних равенств выражения (4.5.7) и учтем равенства (4.5.4).
Ограничиваясь в этих подынтегральных выражениях членами не
выше второго порядка относительно величин α, β, γ и их
производных по времени, получим следующее приближенное решение
поставленной задачи:
t
α = 0* (0 —$0z (О МО Λ,
β = 0ν(Ο + $0ζ(*)ω*(ί)*, (4.5.10)
Т = 02(*)-$0у(*)<оя(ОЛ.
В случае гармонического изменения проекций угловой скорости
ωχ (Οι ω£/ (0 и ωζ (t) в соответствии с равенствами (4.5.5) имеем,
учитывая формулы (4.5.4),
, ' sin pt . "1 — cos Pi
0oc = ω* —jj^- + ωχ —г— ,
, ' sin pi , " 1 — cos pi // с /i /i \
0xj = <% —у1- + ω„ y-Z- , (4.5.11)
, ' sin pt . " 1 — cos pi
0z = ω2— h ωζ у—ί- .
Подставим теперь выражения (4.5.5) и (4.5.11) в формулы (4.5.10).
В результате получим
' sin pt , " 1 — cos pt
<χ = ωχ—γ—{-ωχ
t
Γ / ' sin pt » 1 — cos pt \ . > . , " . ,4 ,,
— ^ ί ωζ —— + ωζ >: — J (ωυ cos pt -f о)у sin pt) at,

§ 5. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТРЕХОСНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 239
0 ' sin pt . » 1 — cos pt
β = <% —f- + ωυ ^
Ρ ' * Ρ
t
. С / ' sin pt , " 1 — cos pt \ . > . . " . ,4 j.
+ \ ί ω2 \- ωζ — \ (ωχ cos pt + ωχ sin pi) α£,
0 \ ρ ρ ι
(4.5.12)
' sin pt . » 1 — cos pi
γ = ω2 — 1- ω;
Ρ Ρ
t
sin pt . "1 — cos pi
$(°v
+ ωι/ —-^ ) (ω* cos pt -f ω* sin pi) dt.
о ч ^
После интегрирования в правых частях последних формул,
наряду с членами, содержащими тригонометрические функции с
угловыми частотами ρ и 2р, появляются члены, линейно зависящие
от времени. В результате выражения (4.5.12) для искомых
функций α, β и γ можно представить в виде
а = (ωυωζ — ω^ω*) -^ + Φχ »
β = (ω'ζωχ — ω^ωά) -g—■ + φΐ, (4.5.13)
γ г= (ω«ω^ — ®хщ) -jf + Φζ-
Здесь фХу фу, ф\ — периодические функции времени (включая
постоянные количества). Их период Τ выражается формулой
Т = —. (4.5.14)
Итак, в общем случае изменения по гармоническому закону (4.5.5)
проекций ωχ (t)y ωυ (t), ωζ (t) угловой скорости стабилизированной
платформы на связанные с нею оси х, у, ζ угловое движение
платформы, согласно выражениям (4.5.13), является сложным. Оно
является результатом наложения двух движений. Одно из них
характеризуется периодическим изменением углов Эйлера —
Крылова α, β и γ. Другое — линейным возрастанием или
убыванием каждого из этих углов. Последнее движение называется
обычно систематическим угловым уходом платформы *. Таким
* О систематическом уходе вибрирующей стабилизированной платформы
см., например, 3 и н е н к о В. А. О систематических уходах трехосной
гироскопической платформы, вызванных ее угловыми колебаниями.— Изв.
АН СССР. Механика и машиностроение, 1964, № 3; Л у н ц Я. Л. О
систематических уходах платформы трехосного гиростабилизатора при
колебаниях оснований.— Изв. высш. учебн. заведений. Приборостроение, 1964,
т. 7, Μ 4.

240 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
образом, систематический уход происходит с постоянной угловой
скоростью. В соответствии с формулами (4.5.13) и (4.5.14) за
время Τ приращения углов α, β и γ составляют величины:
Δα = (ωυωζ — ωυωζ) —^ ,
Δβ = (ω'ζωΙ — ωζωχ) -^ , (4.5.15)
Γ
Применим формулы (4.5.15) к частному случаю. Определим
систематическое смещение твердого тела (платформы), угловая
скорость которого была задана выражениями (4.4.18) предыдущего
параграфа. В обозначениях настоящего параграфа для того же
случая движения, учитывая выражения (4.5.5), имеем
ω* = (0у = ωζ = ωζ = 0, ωχ = — ω^ = — ω. (4.5.16)
Подставляя значения только что приведенных величин в
формулы (4.5.15), получаем
Δα = 0, Δβ=0, Δγ = π-^. (4.5.17)
Тот же результат можно получить посредством формул (4.4.31)
и (4.4.25) того же параграфа. При малых значениях угла θ0 между
осями ζ и ζ они принимают вид
χ = 2π (1 — cos θ0) ^ πθο·
tgGo^eo^, (4.5.18)
откуда следует приближенное соотношение
Х=л-£, (4.5.19)
по существу совпадающее с третьим равенством (4.5.17).
Напомним, что величина χ здесь представляет собой угол поворота тела
вокруг оси z, когда последняя, описав конус, вновь приходит
в исходное положение. Период Т1 такого движения оси ζ, как это
следует из изложенного в предыдущем параграфе, составляет
величину
T1 = —cosQQ. (4.5.20)
Из сравнения формул (4.5.20) и (4.5.14) следует, что при малых
значениях угла θ0 период 2\ практически совпадает с заданным

§ 5. МАЛЫЕ СДВИЖЕНИЯ ТРЕХОСНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 241
Рис. 143 Рис. 144
периодом Τ гармонического изменения (4.5.5) проекций угловой
скорости стабилизированной платформы на оси х, у и ζ.
Согласно формуле (4.4.31) предыдущего параграфа, угол χ
равен мере телесного угла конуса, описанного при своем
периодическом движении осью ζ. Аналогичную геометрическую
интерпретацию можно дать и формулам (4.5.15) для ухода
стабилизированной платформы за один период изменения проекций угловой
скорости ωΧ(£), (Оу t), ωζ (t) при произвольных, однако малых
значениях величин ω^, ω^, ω^, ω^, ω*, ω*. При этом в
соответствии с формулами (4.5.7) и (4.5.11) углы Эйлера — Крылова
α, β и γ с точностью до членов второго порядка относительно только
что перечисленных величин можно считать периодическими
функциями времени. С той же точностью оси системы координат xyz,
связанной с платформой, будут описывать в пространстве
конические поверхности, а их точки пересечения со сферой S —
замкнутые сферические кривые (рис. 143)*. Обозначим через Fx, Fу и Fz
площади областей на сфере, ограниченные этими кривыми.
Введем далее величины
Ω,=-£, Ωυ=Α, Ω2 = Α, (4.5.21)
каждая из которых представляет собой меру телесного угла
* Как и выше, сфера S не вращается, ее центр находится в общем начале
невращающейся системы координат ξηζ и подвижной системы xyz. Буквой R
обозначен далее радиус этой сферы.

242 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
конуса, описанного соответствующей по названию осью системы
координат xyz в течение одного периода Г. Оказывается, что
имеют место следующие равенства:
Δα = QXJ Δβ = Qyi Δγ = Ωζ, (405022)
в которых Δα, Δβ и Δγ — величины второго порядка относительно
самих углов α, β и γ» Они характеризуют, согласно формулам
(4.5.15), систематический угловой уход платформы за тот же
период Т. Равенства (4.5.22) содержат как частный случай
соотношение (4.4.31) предыдущего параграфа»
Для доказательства равенств (4.5.22) рассмотрим одну из
упомянутых выше сферических кривых, например ту, которую
описывает точка пересечения сферы S с подвижной осью ζ» Используя
таблицу (4.4.21) косинусов углов между осями систем координат
xyz и ξη ζ, нетрудно определить текущие координаты ξ, η и ζ этой
кривой (рис. 144)» Имеем с точностью до членов второго порядка
ξ = R cos zl = R sin β ^ ί?β9
η = R cos щ = — R sin α cos β ^ — Ra, (4»5»23)
ζ = R cos ζζ = R cos α cos β ^ i?,
где а и β являются функциями времени и выражаются первой и
второй формулами (4.5.7) и соответственно (4.5.11)»
Приближенные формулы (4.5.23) определяют на плоскости ζ = R или, что
то же, на плоскости ξη, касающейся сферы в ее точке
пересечения с осью ζ, некоторую кривую» Координаты ξ и η точек этой
кривой с точностью до членов второго порядка совпадают с
одноименными координатами ξ и η соответствующих точек
рассматриваемой сферической кривой (рис. 145)» Поэтому площадь части
сферы, ограниченной сферической кривой, можно с той же
точностью заменить площадью куска плоскости ζ = i?,
заключенного внутри упомянутой плоской кривой (4.5.23), и,
следовательно, представить в виде известного контурного интеграла
Fz = ±$ldi\-i\dZ. (405»24)
В справедливости формулы (4.5»24) можно также убедиться,
преобразуя ее правую часть но формуле Грина (4.1.20), приведенной
в первом параграфе настоящей главы. Получим, полагая сначала
1, = хиц=уш затем возвращаясь к прежним переменным, что
γφξΛι-η<β = $$<£ dx\. (4.5.25)
Двойной интеграл в правой части последнего равенства берется

§ 5о МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТРЕХОСНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 243
по области о, ограниченной кривой (4.5.23), и представляет собой,
разумеется, площадь этой области, т. е„ величину Fz°
Координаты ξ и η являются в первом приближении
периодическими функциями, и, следовательно, контур области в
плоскости ξη обходится по прошествии одного периода Τ их изменения.,
Поэтому формулу (4.5.24) можно представить в следующем виде:
о
Учитывая здесь приближенные формулы (4„5ο23), (4.5.7) и (4.5011)
и производя интегрирование, получаем
Fz = 2— (ω>; — (й"х(йЬ). (4.5.27)
Однако отношение площади Fz к квадрату радиуса сферы S, как
уже было указано выше, представляет собой меру телесного угла,
под которым видна рассмотренная выше замкнутая сферическая
кривая, описываемая точкой пересечения оси ζ со сферой S»
Обозначен был этот телесный угол через ΩΖο Сравнивая формулу
(4о5.27) с третьим из равенств (4.5.15), получаем третье из
соотношений (4.5с22). Аналогично можно убедиться в справедливости
первого и второго соотношений.
Заметим, что в случае изменения координат ξ и η по
гармоническому закону приближенные формулы (4.5.23) определяют
текущие координаты эллипса в плоскости ζ = /?, параллельной
координатной плоскости ξη (рис. 146). В самом деле, учитывая в этих
формулах равенства (4.5.7) и (4.5.11), приходим к представлению

244 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
эллипса в параметрической форме, а именно:
с. г> / ' sin pt . „ 1 — cos pt \
„ / 0 Sin ρί , /, 1 —COS pt \ ,, г ооч
η- — R[ωχ—f- + (ux —Ζ- , (4.5.28)
Координаты центра эллипса (4.5.28) таковы:
t._^L, *—^. (4.5.29)
Если имеет место пропорция
(4.5.30)
то эллипс (4.5.28) становится отрезком прямой, и его площадь Fх
обращается в нуль, что следует также из формулы (4.5.27).
При этом на основании формул (4.5.21) одновременно становится
равным нулю телесный угол Ωζ, и в соответствии с равенствами
(4.5.22) исчезает систематический уход Δγ стабилизированной
платформы по углу γ, т. е. вокруг оси ζ. То же самое, разумеется,
непосредственно следует из третьей формулы (4.5.15), если
считать, что в ней количества ωχ, ω£, ων, coy связаны пропорцией
(4.5.30).
Эллипс (4.5.28) становится окружностью, если
ω^ = ων, ω*= — (Оу. (4.5.31)
Радиус г этой окружности представляется формулой
г= —, (4.5.32)
где
ω = Υ(ωχ)* + (<■£)■ = /W4W . (4.5.33)
Уход платформы за один период в соответствии с формулами
(4.5.22), (4.5.21), (4.5.27) и равенствами (4.5.31), (4.5.33)
составляет теперь величину
Δγ=^ρ1. (4.5.34)
То же следует и из третьей формулы (4.5.15) при учете тех же
равенств (4.5.31) и (4.5.33).
Формула (4.5.34) имеет тот же вид, что и третья формула
(4.5.17), полученная при частном случае задания количеств ω*

§ 5. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТРЕХОСНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 245
ω£, (%, ω^, ωζ, ωζ в согласии с равенствами (4.5.16). Отсюда
следует, что отличие от нуля ωζ и ωζ или, что то же, неравенство
нулю проекции ωζ угловой скорости платформы на связанную
с нею ось ζ не оказывает влияния на величину систематического
ухода платформы вокруг этой оси.
Количества oi и o)J в случае (4.5.16) равны нулю. В условиях
же (4.5.31) они могут быть какими угодно (но равными друг другу).
В обоих случаях точка пересечения оси ζ со сферой S движется
по окружности. Различие сводится лишь к переносу отсчета
времени в формулах (4.5.5). В самом деле, условиям (4.5.16), согласно
формулам (4.5.5), соответствуют равенства
ωχ = — ω sin pt, ων = ω cos pt, ωζ = 0. (4.5.35)
Изменим здесь начало отсчета времени и положим
pt = pt± — ε. (4.5.36)
После этого два первые равенства (4.5.35) приводятся к виду
ωχ = ω sin ε cos ρίΛ — ω cos ε sin ρίΛ,
Fl Fl (4.5.37)
ω у = ω cos ε cos ρίλ + ω sin ε sin ptv
Таким образом, в соответствии с общими формулами (4.5.5)
надлежит считать, что
coi = ω„ = ω sin ε,
! (4.5.38)
— ωχ = ωυ = ω cos ε.
Последние равенства находятся в согласии с условиями (4.5.31)
и формулой (4.5.33). Они позволяют, кроме того, определить
величину ε.
Очевидно, что в соответствии с формулами типа (4.5.27)
равенства (4.5.21) и (4.5.22) справедливы также и для произвольного
периодического (необязательно гармонического) изменения
проекций угловой скорости ωχ (£), ων (t), ωζ (t). При этом
необходимо, чтобы движение тела по отношению к невращающейся системе
координат ξηζ в первом приближении было бы периодическим
с малыми углами отклонения осей х, г/, z, связанных со
стабилизированной платформой, соответственно от осей ξ, η, ζ.
Формулы (4.5.15) для определения систематического ухода
стабилизированной платформы при гармоническом изменении (с
малой амплитудой) проекций ωχ (t), ων (ί), ωΖ (t) угловой скорости
платформы на оси связанной с нею системы координат xyz важны
для приложений. Они позволяют установить максимально
допустимую амплитуду гармонического изменения угловой скорости
стабилизированной платформы при задании предельной величины
ее систематического ухода.

246 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Систематический угловой уход стабилизированной платформы?
разумеется, не зависит от выбора той или иной системы углов,
определяющих положение системы координат xyz, связанной
с платформой, и определяется лишь параметрами гармонических
функций (4.5.5), согласно которым происходит изменение
проекций угловой скорости платформы на оси х, у, ζ. Полезно
непосредственно убедиться в этом и тем самым проверить справедливость
изложенного в настоящем параграфе, выбрав следующую
новую совокупность α, β, γ углов Эйлера — Крыловае Пусть
переход от невращающейся системы координат ξη ζ в положение
системы xyz происходил в результате поворота на угол у вокруг оси ζ,
последующего поворота на угол β вокруг нового положения оси η
и затем на угол α вокруг того положения оси ξ, которое она займет
после двух предшествующих поворотов (т0 е. вокруг оси х). Углы
α, β и γ считаются при этом положительными, если
соответствующие им повороты вокруг только что упомянутых осей происходят
против стрелки часов при наблюдении за поворотами со стороны
положительного направления этих осей.
Таблицу косинусов углов между осями систем координат xyz
и ξηξ, выраженных через углы α, β и γ, нетрудно составить^
пользуясь правилами, изложенными в § 5 гл„ III. Она имеет
следующий вид:
ξ η ζ
χ gos[3cosy cos β sin γ — sin (4
у sin α sin β cos γ — sin α sin β sin γ + sin α cos β
— cos α sin γ + cos α cos γ
ζ cos α sin β cos γ + cos α sin β sin γ — cos α cos β 0
+ sin α sin γ —sin α cos γ (4.5.39)
, Угловая скорость ω стабилизированной платформы или, что
то же, системы координат xyz, является геометрической суммой
следующих трех относительных угловых скоростей: dy/dt,
направленной по оси ζ; dfi/dtj имеющей направление нового положения
оси η после поворота системы координат ξηζ на угол γ вокруг
оси ζ, и, наконец, doi/dt, вектор которой совпадает с осью χ
(рисо 147).
Суммы проекций перечисленных выше относительных угловых
скоростей da/at, d$/dt и dy/dt порознь на оси х, у и ζ, очевидно,
равны соответственно проекциям на те же оси их геометрической
суммы — угловой скорости ω. Тем самым, пользуясь таблицей

§ 5. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТРЕХОСНОГО ГИРОСТАБИЛИ8ДТОРА 247
Рис. 147
(4.5.39) с учетом только что сделанного замечания о направлении
относительной угловой скорости d$/dty получаем
da df . ?f
ωυ = -£- cos α 4- -jr sin α cos β,
d$ . <~ f dy ~ *
ωζ = — -jj- sin α + -Tj- cos α cos [4.
(4.5.40)
При подсчете проекций на оси χ, у, ζ относительной угловой
скорости d$/dt следует найти косинусы углов с осями х, у, ζ нового
положения оси η после поворота системы ξηζ на угол γ. Для этой
цели в таблице (4.5.39) следует положить угол γ равным нулю;
в результате старое и новое положения оси η совместятся.
Равенства (4.5.40) можно рассматривать как совокупность
дифференциальных уравнений для отыскания углов α, β, γ по
заданным функциям времени ωχ (t), ωυ (t), ωζ (£)0 Они имеют вид,
аналогичный уравнениям (4.5.2), в которых неизвестными
величинами были углы α, β и γ.
Предыдущие выкладки этого параграфа велись с точностью до
членов второго порядка включительно относительно углов α, β
и γ и их производных по времени. Соответственно, сохраним в
уравнениях (4.5.40) лишь члены первого и второго порядков
относительно производных по времени от углов α, β, γ и их самих.

248 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ
Получим приближенные уравнения
da
IF
d$
dl
dy
~dt
= <М«)+?тЬ
"^ dy
= ω„(ί) —a-gj-,
(4.5.41)
Решая эти уравнения методом последовательных приближений,
можно за первое приближение принять для углов α, β и γ
соответственно те же функции времени (4.5.4), что и ранее для углов
α, β и γ. При этом начальные значения новых углов α, β, 'γ
окажутся равными нулю, как и начальные значения углов α, β и γ.
Итак, в первом приближении полагаем
t
a = § ω* (0 dt = Φ* (0»
о
t
β=5ω1/(ί)Λ-0ν(Ο. (4.5.42)
о
t
о
Подставим выражения (4.5.42) в правые части уравнений (4.5.41)
и проинтегрируем каждую из них по времени. С учетом
упомянутых выше начальных условий для искомых функций α (ί), β (t),
γ (t) получим следующие формулы второго приближения:
t
« = 0*(О+ J 01/(0 ωζ (ί) Λ,
о
t
β = φν (t) - 5 фх (0 ω2 (ί) dt, (4.5.43)
О
ί
f = 0z(*) + $0*(O<O1/(O*.
Они аналогичны формулам (4.5.10) для функций α (ί), β (ί), γ (ί).
Выразим теперь функции α (ί), β (ί)» ? (0 через α (ί), β (ί)» V (0
с точностью до членов второго порядка относительно последних
переменных. Для этой цели сохраним в таблицах (4.4.21) и

§ 5. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТРЕХОСНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 249
(4.5.39) косинусов углов между осями систем координат xyz и
ξηζ члены порядка не выше второго по отношению к величинам
α, β, γ и α, β, γ. Придем к таблицам
(4.5.44)
I
χ ΐ—Ιβ^-Ι-γ*
у -τ ι
2 β
ι
χ 1_1β2-1γ*
У —ϊ + αβ
z β + γα
η
γ + αβ
2 Τ 2 α
— α
η
τ
4—γ^-τ?
-α + βγ
1
1
ζ
-β + γα
α + βγ
-γ«2-|β2
ζ
-β
α
-4-«2-τβ2
(4.5.45)
Сравнивая соответственные коэффициенты этих таблиц, нетрудно
прийти к искомым выражениям углов α, β, γ через α, β, 'γ:
а = ос — βγ,
β = β + γα, (4.5.46)
γ = γ — άβ.
Подставим в правые части последних равенств соответственно
правые части формул второго приближения (4.5.43). Получим,
сохраняя лишь члены первого и второго порядков,
t
ос = фх (t) + 5 фу (0 ωΖ (t) dt - 0У (ί) 0Ζ (0,
о
β = фу (t) - Ι φχ (t) ω2 (ί) dt + φχ (ί) 02 (ί), (4.5.47)
0
t
Τ = 0ζ (0 + S 0* (0 coy (ί) Λ - φχ (ί) 0У (ί).
Формулы (4.5.47) и (4.5.10) идентичны, в чем нетрудно
убедиться, пользуясь правилом интегрирования по частям. Имеем,

250 ГЛАВА IV. ОРИЕНТАЦИЯ ПРИ НЕГОЛОЫОМНЫХ СВЯЗЯХ
в частности* с учетом выражений (4о5„4)
t t t
\ Φν (*) ω2 (0 dt = J фу (t) -^i- dt = фу (t) φζ (t) - J φζ (t) ωυ (t) dL·
0 0 0
(405048)
В результате первая из формул (405047) немедленно приводится
к первой из формул (4о5о10)о Аналогичные действия можно
произвести и с правыми частями двух остальных формул (4„5о47)о
Таким образом, формулы (4.5„10) и (4„5о47) представляют собой
по-разному представленное приближенное решение одной и той же
важной для приложений задачи об отыскании ориентации тела
по заданной его угловой скорости,, Решение (4„5.10) выражено в
обычных углах Эйлера —Крылова α, β, γ (см„ рис0 135), а решение
(4.5.43) отнесено к другим углам ά, β и γ (см„ рис 147)„ Каждая
из совокупностей перечисленных углов по-своему определяет
положение системы координат xyz, связанной с телом
(стабилизированной платформой), по отношению к невращающейся системе
ξηζ. Угловая скорость тела в обоих случаях задается одними и
теми же ее проекциями ωχ (t), ωυ (£), ωζ (t) на оси связанной с
телом системы координат xyza
ЛИТЕРАТУРА
Боданский Е. Д., Фурман В. Д. О погрешностях численного
интегрирования кинематических уравнений Пуассона.— Космические исследования,
1970, т. 8, вып. 6.
Вранец В. #., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах
ориентации твердого тела. М., «Наука», 1973.
Зиненко В. А. Об уходах гиростабилизированной платформы.— Изв.
АН СССР. Механика, 1965, № 4.
Ишлинский А. Ю. Механика специальных гироскопических систем. Киев,
Изд-во АН УССР, 1952.
Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР,
1963.
Кантор И, Л., Солодовников А о С. Гиперкомплексные числа. М., «Наука»,
1973.
Кучерков Со Г. Исследование кинематических уходов трехосного гироста-
билизатора с помощью теории конечных поворотов.— Изв. высш. учебн„
заведений. Приборостроение, 1969, т. 12, № 10»
Меркин Д. Ρ о Гироскопические системы. Изд. 2-е. М., «Наука», 1974.
Назаров Б. И о О погрешностях гиростабилизаторов.— Изв„ АН СССР.
ОТН. Техн. кибернетика, 1963, № 2.
Новожилов И. В. Уходы трехосного силового гиростабилизатора в
зависимости от расположения гироблоков на платформе.— Инж. ж, МТТР
1968, № 2.
Остромухов Яо Г., Ривкин С, С, Темчепко Μ. Ε, Геометрия и кинематика
систем гироскопической стабилизации„— В сб.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М., «Наука», 1973о

ЛИТЕРАТУРА
251
Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., Гостех-
издат, 1953.
Решеттков В. I. Деяш питания динамши карданового шдв1су трив!сно!
стаб!л13овано1 платформи. Прикл. механша, 1961, т. 7, вин. 2.
Roberson i?. Ε. Kinematical equations for bodies whose rotation is described
by the Euler — Rodrigues parameter.— AIAA Journal, 1968, vol. 6, No. 5.
Рус. перев.: Роберсон Р. Е. Кинематические уравнения для тела,
повороты которого описываются параметрами Эйлера — Родригеса.— Ра-
кетн. техн. и космонавтика, 1968, т. 6, № 5.
Whittaker E. Т. A treatise on the analytical dynamics of particies and rigid
bodies. 3rd ed. Cambridge, Univ. Press, 1927. Рус. перев.: Уиттекер Ε. Τ,
Аналитическая динамика. Μ.— Л., ОНТИ, Глав. ред. техн.-теорет.
лит., 1937.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ
ПОСРЕДСТВОМ МАТРИЦ
В практике проектирования, в частности, сложных кардановых
подвесов со многими кольцами, несущими различные элементы
гироскопических и иных устройств, бывает необходимо
изобразить на чертеже общий вид конструкции и ее составных частей
под разными ракурсами. Для этой цели в начертательной
геометрии разработаны специальные приемы, сводящиеся к
последовательности геометрических построений посредством циркуля и
линейки. Однако возможен и чисто аналитический путь решения
той же задачи.
Свяжем с конструкцией какую-либо правую прямоугольную
систему координат xyz и обозначим через xh, yh, zh (h = 1, 2, . . .),
координаты характерных точек, определяющих очертания
конструкции. Если конструкция имеет, например, очертания куба,
то такими точками могут быть его вершины. Тогда в системе
координат с началом в центре куба и с осями, направленными
параллельно его ребрам, координаты xh, yh, zh (h = 1, 2, . . ., 8)
характерных или определяющих точек (в данном случае восьми
вершин куба) суть все возможные комбинации чисел χ = ~а9
у — тЬ α, ζ = + а. Здесь а — половина длины ребра куба.
Дуга окружности или какой-либо другой кривой, входящей
в очертание конструкции, может быть для изобразительных целей
задана совокупностью достаточно большого числа ее точек.
В частности, дугу, равную четверти окружности, лежащую в
первом квадранте плоскости ху с центром в начале системы
координат xyz, можно задать совокупностью точек xh — г cos (n/2n)h,
yh = г sin (n/2ri)h, zh — 0, (h — 0, 1, 2, . . ., n) *. Здесь η — число
делений четверти окружности на равные малые дуги.
Наконец, в самом простом случае при изображении отрезка
длиной Ζ, примыкающего к началу координат, характерными
* Другой способ задания окружности указан в конце настоящего
приложения.

ПРИЛОЖЕНИЕ
253
точками, естественно, следует считать начало координат χ = О,
у = 0, ζ — 0 и конец отрезка с заданными координатами .г = а,
у = Ь, ζ = с. При этом, конечно,
а2 + &2 + с2 = Ζ2. (1)
Ясно, что вид конструкции, а в простейшем случае системы
координат или схемы карданова подвеса со стороны
положительного направления оси ζ определяется совокупностью координат
хь.ч У hi со стороны оси χ — совокупностью yh, zh и, наконец,
со стороны оси у — координатами zh, xh упомянутых определяющих
точек. Однако, как уже было упомянуто в начале настоящего
приложения, полезно уметь определить общий вид конструкции
со стороны какой-либо оси, ориентация которой по отношению
к системе координат xyz задана произвольным образом.
Изложение аналитического приема соответствующего построения и
составляет содержание последующего. Приводимые примеры
относятся исключительно к изображению систем координат и
окружностей, определяющих впрочем очертания многих конструкций.
В дальнейшем удобно считать, что система координат xyz
может изменять свою ориентацию относительно некоторой
неподвижной системы ξηζ. Пусть начала этих систем совпадают,
а положение системы xyz по отношению к системе координат ξηζ
определяется таблицей косинусов
Ι η ζ
X Кц rCiz ^13
У &21 ^22 ^23 (2)
z k31 /с32 ^зз·
Тогда координаты ξΛ, ηΛ, ζΗ (h = 1, 2, . . ., η) введенных выше
определяющих точек, но уже в системе координат ξηζ могут быть
вычислены посредством известных формул
ьп = ku%h ~Ь ^2ι!/λ ~Η ^3izh>
Ή h = *12ΧΗ + &22#/ι + ^32Z/i> (3)
Очевидно, что совокупность координат ξΛ, ηΛ (/г = 1, 2, . . ., и)
определяет вид конструкции со стороны положительного
направления оси ζ и аналогичным образом совокупность координат
Ль» tn — со стороны оси |, и далее, совокупность ζΛ, ξ& — со
стороны оси η.
Если необходимо судить о виде конструкции лишь со стороны
•одной оси ζ, заданным образом ориентированной по отношению*
к системе координат xyz, то выбор направлений двух других

254
ПРИЛОЖЕНИЕ
осей ξ и η ограничивается лишь требованием, чтобы они вместе
с осью ζ образовывали бы ортогональную правую систему0
Рассмотрим, как изменится вид конструкции со стороны оси ζ
введенной выше системы координат ξηζ, если конструкция или
ее часть вместе с системой координат xyz повернется вокруг какой-
либо оси, проходящей через их общее начало, и займет некоторое
новое положение x'y'z9. Для большей четкости изложения
исходное положение системы xyz обозначим через x°y°zQ.
Система координат xyz, связанная с конструкцией, находится
после упомянутого поворота в положении x'y'z'. Поэтому
координаты определяющих точек в системе координат x'y'z такие же?
как и в системе xyz, т. е.
хн = хь> У'к = Уч* ΖΉ = Ζ*· (4)
Однако в системе координат x®y°z° координаты определяющих
точек будут уже другими,, Введем таблицу
х°
In
'21
*31
У0
П2
ί-22
*32
Ζ0
113
^23
^33
косинусов углов между осями системы координат xyz в ее новом-
и старом положениях (соответственно x'y'z' и x°y®z°). В
соответствии с таблицей (5) координаты определяющих точек в системе
x°y°z° представляются следующими общеизвестными формулами
преобразования координат:
Л. = hiXh + hiJ/h + hizh 9
Ук = h2^h + hlVh + h2zh, (6>
zh = ПЗ^Л 4" hdUh 4" ί·33ΖΛ°
Заменяя здесь в согласии с равенствами (4) координаты х'^ ук и ζίι,
соответственно на xh, yh и zh, получим формулы
x°h = lnxh + l2lVh + l31zh<)
У1 = I l2Xh + hlVh + *32Z/i> (7>
zh = hsxh + IwVh + hbzh°
Координаты определяющих точек в неподвижной системе ξηζ.
окажутся также другими. Обозначим их через ξ^, %, ζίι- Чтобы
найти величины ξ^, Ήλ, £л,"сэгедует в формулах (3) заменить
координаты xh, yh, zh одноименными координатами х^, у\, z°, а буквы.

ПРИЛОЖЕНИЕ
255
ijb, y\h и ζκ сопроводить штрихами» Получим
lh = knx0h + k2iy°h + Α31Ζλ,
% = к12хн + k22y°h + k32z°h, (8)
ζ^ = k13x% -}- к2дуь + k33Zh-
B последних равенствах надлежит заменить хп, у®, Л. правыми
частями формул (7)„ В результате приведения подобных членов
получим
lh = qiixh + ЧчхУн + «si^/i»
чн = qi&h + ч^Ун + Чъ&ъ (9)
ih = qi&h + ЧыУк + ЯввЧ-
Здесь
Qll ~ П1^11 "Г ^12^21 "Г ПЗ^-31»
#21 == '21^11 "Г" ^22^21 + ^23^31» (Ю)
#31 = 'si^ll + ^32^21 + ^33^31
и т. д., а в общем случае
<7|j = 41&1J + *i2"2j ~Ь 43*%' = 4akaji (ll)
где i, / = 1, 2, 3 *0
Величины qij в формулах (9) являются косинусами углов между
осями системы координат xyz в ее новом положении xryrzr и осями
неподвижной системы ξη ζ. Очевидно, что вид повернутой
конструкции со стороны, например, положительного направления оси
определяется совокупностью координат ξ^, η^, вычисленных по
формулам (9). Введем матрицы **
Ι η ζ
X fi\\ /Cj2 #13
К = J/ &21 ^22 ^23
z || /c31 /c32 %3 II ,
* Здесь применено обозначение суммирования по так называемому
повторяющемуся «немому» индексу о (впервые введенное А. Эйнштейном. См.
Einstein A. Die Grundlage der allgemeinen Relatwitatstheorie.— Ann.
der Physik, 1916, Bd« 4, Ε'. 4., см. также Альберт Эйнштейн.
Собрание научных трудов, т. /. Μ., «Наука», 1965):
я
liategj = 2^ Чо^оj (&»/ = 1? А О).
** Добавление в записи матрицы К букв х°9 t/°9 z°, ξ, η, ζ (см. § 7 гл. III
основного текста) представляет удобство при ее толковании как таблицы
косинусов углов между осями соответствующих систем координат ж0*/^®
и |ηζο То же относится к матрицам L, Q и другим, которые будут введены
в дальнейшем.

256
ПРИЛОЖЕНИЕ
L
Q
χ'
-У'
ζ'
χ'
= У'\
ζ'
Xй
Mu
^21
I hi
I
?n
?21
Qsi
У"
П2
*22
/-32
η
Яп
?22
g32
Ζυ
hd
*23
hs
ζ
?13
#23
#33
(12)
Нетрудно видеть, что матрица Q в силу формул (10) и (11) является
произведением матрицы К слева на матрицу L, т. е. имеет место
матричное равенство
Q = LK. (13)
В самом деле, согласно формулам (11), коэффициенты матрицы Q
образуются в результате «умножения» строк матрицы L на
столбцы матрицы К, что и характеризует (см. § 7 гл. III) матричное
произведение (13).
Пусть уже один раз повернутая конструкция совершает
дополнительный поворот вокруг новой оси, также проходящей через
общее начало систем координат xyz и ξηζ. Аналогично
предыдущему, обозначим через x"y"z" новое положение системы координат
xyz, связанной с конструкцией и совпадающей с системой x'y'z
до начала этого нового поворота. Обозначим через Μ матрицу
х' У' г'
М:
X
У"
z"
тп т12
^21 ^22
т31 т32
т13
т23
т33
(14)
элементы которой представляют собой косинусы углов между
осями систем координат x"y"z" и x'y'z'. Теперь уже не представляет
большого труда показать справедливость формул
rxlxh + r21yh + r31zh ,
£λ
ηΛ = r12xh + r22yh + r32zh ,
ζ/ι = r13xh + r23yh + r33zh ,
(15)
где ξ£, ηί, ζπ — координаты определяющих точек конструкции
(или ее части) в системе координат ξηζ после ее двух поворотов;
xhi Уъ., zh — координаты тех же точек в системе координат xyz,

ПРИЛОЖЕНИЕ
257
связанной с конструкцией. При этом коэффициенты r{j в
формулах (15) образуют матрицу
Ι η ζ
х Г11 7*12 ^13
Д = /Г21 ^22 ^23 (16)
Z II ^31 7*32 Г33 || '
Последняя представляется матричным произведением
R = MLK. (17)
Совокупность координат ξ£, η£ определяет вид конструкции
(или ее какой-либо части) со стороны положительного
направления оси ζ после указанных двух поворотов.
Матрица L имеет особенно простой вид, если ось вращения
конструкции (или ее части) совпадает с какой-либо из координатных
осей х°, у0 или z°. Тогда соответственно одна из осей — х, у или ζ
системы координат xyz, связанной с конструкцией, остается при
повороте на месте, и матрица L становится одной из простейших
матриц А — А (а), В = В (β) или С = С (γ), рассмотренных
в § 7 гл. III. То же относится к матрице Μ и другим аналогичным
матрицам, описывающим остальные последовательные повороты,
если каждый раз соответствующая ось вращения совпадает с одной
из осей промежуточных систем координат (например, в случае
матрицы Μ с одной из осей хгу уг или ζ'). Умножение на такие
матрицы производится совсем несложно. К тому же операции
умножения произвольных (не слишком высокого порядка)
матриц можно осуществлять по готовым программам практически
на всех существующих быстродействующих математических
машинах *.
Рассмотрим изображение на плоскости различно
расположенных в пространстве правых прямоугольных систем координат,
получающихся одна из другой в результате последовательных
поворотов вокруг каких-либо координатных осей, полученное
посредством описанных выше приемов.
Пусть ξηζ по-прежнему неподвижная система координат.
Направим ее ось ξ перпендикулярно плоскости чертежа. Оси х, у и ζ
системы xyz, связанной с конструкцией, расположим в их исходной
ориентации х°, у0, z° так, чтобы они образовывали с осью ζ один
и тот же угол или, что то же, одинаковые углы с плоскостью ξη.
* Нисколько не сложнее случай, когда последовательные повороты
происходят вокруг скрещивающихся осей. Здесь лишь необходимо каждый раз
производить дополнительное поступательное смещение конструкции и
связанной с нею системы координат xyz так, чтобы очередная ось вращения
проходила через начало системы координат ξηζ.

258
ПРИЛОЖЕНИЕ
JO
Расположим, кроме того, ось z°
в плоскости η ζ (рис. 148).
Тогда, как можно убедиться,
таблица косинусов углов между
осями систем координат x°y°z°
и ξη ζ будет иметь вид таблицы
(2), в которой следует поменять
наименование осей х, у, ζ на
х°, у0, ζ° и положить
1
Рис. 148
В самом деле, согласно
вышеизложенному, косинусы углов
оси ζ с осями х°у у0, z°, по предположению, одинаковы, а сумма их
квадратов равна единице, следовательно,
%3 ~Ь ^23 ~Ь &33 — 1·
Далее, ось ζ° перпендикулярна оси ξ, поэтому
&31 = COS Ζ°ξ = 0.
(19)
(20)
Последнее из равенств (18) вместе с равенством (20) дают
возможность определить величину /с32, так как в свою очередь
Из очевидного соотношения
^11^13 ~Ь ^21^23 ~Ь ^31^33 = ^
(21)
(22)
и предыдущих равенств следует, что величины кг1 и /с21 равны по
модулю и противоположны по знаку. Кроме того, конечно,
Α?ι+*1ι = 1.
(23)
Продолжая подобным образом или непосредственно обращаясь к
методам решения стереометрических задач с применением
тригонометрии, нетрудно найти модули всех коэффициентов (18) и
установить их знаки.

ПРИЛОЖЕНИЕ
259
Итак, в соответствии
с
ная выше, представляется
х°
К = у«
z°
равенствами
следующим
ι
1
~ Уг
1
V2
0
η
1
1
/6
2
(18) матрица ϋΓ, введен-
образом:
ζ
1
/3
1 j
/з
1
1/3 I
(24)
*
В качестве определяющих точек конструкции — в данном
случае самой системы координат xyz — возьмем точки 2, 2 и 3,
соответственно расположенные на осях xyynz этой системы и удаленные
от ее начала на расстояние, равное единице, т. е. точки с
координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). На основании равенств (18)
в системе координат ξηζ суть
координаты
точек 1,
= -0,707,
2 и 3
11г:
1,=
ι
V2
= 0,707,
0,
η2 =
η3 =
ι
-0,408,
/6
= -0,408,
0,577»
1
-4=·= 0,577,
1^3
Кб
=0,817,
ζ3 = -i^= 0,577.
V* (25)
В самом деле, проекция единичного отрезка, расположенного на
какой-либо одной оси, на другую ось равна косинусу угла между
этими осями. К тем же значениям ξ{, η$ и ζ$ (i =1,2, 3) приводят,
разумеется, и формулы (3) с учетом тех же равенств (18).
Совокупность значений координат ξχ, %; ξ2, η2; ξ3» Лз позволяет
построить проекции на плоскость ξη всех трех осей системы
координат xyz в ее исходном положении x°y°z° или, что то же>
установить вид на систему xyz в положении x°y°z0 со стороны
положительного направления оси ζ.
Рассмотрим теперь, как будет изменяться общий вид системы
xyz со стороны положительного направления той же оси ζ при
ее различных поворотах из исходного и последующих положений.
Повернем сначала систему координат xyz из ее исходного
положения x°y°z° на угол а вокруг оси х, совпадающей с осью х°. В
результате перейдем к системе координат xy'z', ось х' которой также
совпадает с осью х° (рис. 149 и 150). Этому повороту можно
поставить в соответствие таблицу
(26)
косинусов углов
х'
У'
z'
<ДУ
X»
1
0
0 -
осями
У"
0
cos α
sin α
систем
Ζυ
0
sin α
cos α
координат
χ у z и
xYz°.

260
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис. 149
Рис. 150
Угол а в таблице (26) оказывается положительным, если система
координат xyz, переходя из положения x°y°z° в x'y'z', повернулась
против стрелки часов при наблюдении за вращением со стороны
положительного направления оси х. Сопоставляя таблицу (26) со
второй из матриц (12), приходим к выводу, что в рассматриваемом
случае эта матрица имеет вид
χ
ζ'
У0
0
cos α
sin α
0
sin α
cos α
(27)
Β § 7 гл. Ill эта матрица была обозначена через А = А (а). Она
соответствовала повороту трехгранника аЪс вокруг ребра а на
угол а. Учитывая формулу (13), имеем теперь
АК,
(28)
где Q — третья из матриц (12); она соответствует преобразованию
координат по формулам (9).
После поворота системы координат xyz на угол а в положение
^Уг'определяющие точки 2, 2 и 3 (см. рис. 148 и 150 *) окажутся
расположенными на осях х\ у' и ζ' по-прежнему на расстоянии,
равном единице, от начала координат. Следовательно, их коорди-
* На рис. 150 новые положения точек 2, 3 обозначены через 2\ 3\ а
старые — через 2°, 3°. Точка 1 осталась на месте в положении 1°.

ПРИЛОЖЕНИЕ
261
наты в системе χ у'ζ' будут точно такими же, как и в системе xyz,
т. е. (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1). Поэтому в соответствии с формулами
(9) координаты Ц ц'ъ ζ{; ξ2, η2, ζ2; li Лз\ £з нового положения
точек 1, 2, 3 в системе координат ξηζ выражаются так:
ΙΊ = ?ш
L· = #21»
ЬЗ — #31»
ηί = ^12,
Л2 — #22»
ЛЗ = #32>
£ί = #13,
Ь2 == #23»
£з = #33
(29)
Здесь qij (i, f = 1, 2, 3) по-прежнему элементы матрицы Q.
Вид системы координат x'y'z' со стороны положительного
направления оси ζ определяется точками плоскости ξη с
координатами (gn, g12), (#21, #22) и (g81, g32).
Произведем теперь дальнейший поворот системы координат
xyz уже из положения x'y'z'. Пусть этот новый поворот происходит
на угол β вокруг оси у", совпадающей теперь с осью у'. Обозначим
через x"y"z" новое положение системы координат xyz (рис. 151 и 152).
Угол β будем считать положительным, если только что описанный
поворот совершается против стрелки часов при наблюдении за
ним со стороны положительного направления оси у\
совпадающей в данном случае также и с осью у". Согласно изложенному
в § 7 гл. III, такому повороту соответствует матрица
х"
= Вф) = у"
ζ"\
X
1 cos β
' 0
sin β
У
0
1
0
ζ
—sin β
0
cos β
(30)
Выше для описания дополнительного поворота конструкции,
следующего за основным, была введена матрица М, имеющая
вид (14). Нетрудно видеть, что ее роль играет сейчас матрица В (β).
Заменяя в формуле (17) матрицы L и Μ соответственно на
матрицы А и В, получаем
R = ВАК. (31)
Здесь R — матрица (16), коэффициенты которой являются
косинусами углов между осями систем координат x"y"z и ξηζ.
Определяющие точки 1, 2 жЗ системы xyz после совершения
последней обоих указанных выше поворотов имеют в системе x"y"z'
соответственно те же координаты (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1),
что и в системе xyz. Согласно формулам (15), получаем теперь

262
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис. 151 Рис. 152
следующие значения координат этих точек в системе ξη ζ:
Ь2 — ГЪ\1 ^2 =: 7*22» Ь2 ~ Г23> W^)
ЬЗ — 7*31* Щ == 7*32» ЪЗ — 7*33·
Очевидно, точки плоскости ξη с координатами (ги, г12), (г21, г22)
и (г31, г32) позволяют определить вид системы координат x"y"z"
со стороны оси ζ или, что то же, проекции на плоскость ξη осей
х", у" и ζ" (см. рис. 152).
Теперь уже нетрудно установить правило, посредством которого
можно определить вид со стороны положительного направления
оси ζ на подвижную систему координат xyz после завершения
заданной последовательности нескольких поворотов последней из
исходного положения x°y°z° в окончательное xvi/vzv *.
Пусть матрица К характеризует расположение системы
координат x°y°z° относительно системы ξηζ(ε сущности, эта матрица также
определяет конечный поворот системы xyz из положения ξηζ в
х°у0^). Обозначим через Z/, L", . . ., V матрицы, соответствующие
упомянутым поворотам системы координат xyz всякий раз вокруг
одной из ее осей. Каждая из таких матриц может быть одной из
* Излагаемое также легко обобщается, если имеет место
последовательность поворотов вокруг произвольно заданных осей. В этом случае вводимые
ниже матрицы Ζ/, Z/, . . ., Lv не обязаны быть матрицами вида А (<%)*
В (β) или С (у).

ПРИЛОЖЕНИЕ
263
S = VL·-1
и представить ее в виде
xv
S = !T
£V
*u
^21
s31
• ·
η
S12
s22
S32
. U
ζ
513
S23
6*33 1
матриц Α (α), β (β) или С (γ), описанных в § 7 гл. III. Очевидно,
что теперь следует вычислить матрицу
(33)
(34)
Тогда точки на плоскости ξη с координатами (sn, s12), (s21, s22) и
(s31, s32) будут являться проекциями определяющих точек 1, 2 и 3
системы координат xyz при ее совмещении с системой x"y"zv. Эти
точки расположены соответственно на осях #ν, ζ/ν, ζν на
расстоянии, равном единице, от совместного начала систем координат
ξηζ и xyz.
Числовой пример. Пусть система координат xyz
последовательно поворачивается из исходного положения x°y°z° вокруг своих осей х, у и z
каждый раз на 15°, а ее исходное положение x°y°z° определяется матрицей (24)
относительно системы ξηζ. В рассматриваемом случае .
L1 = А (15°), L" = В (15°), L"' = С (15°)
и
S = С (15°) В (15°) А (15°) К,
где К — матрица (24).
Простые расчеты по формулам типа (10) и (11), которые можно, разумеется,
поручить математической машине, приводят к следующим результатам *:
Л(15°) К =
~==
£(15°) -4(15°) К =
=
110 0
0 cos 15° sin 15° Ι
|θ —sin 15° cos 15°
*
-0,707 —0,408 0,577
0,683 —0,183 0,707
— 0,183 0,894 0,408
cos 15° 0 —sin 15° 1
0 1 0
sin 15° 0 cos 15°
•
-0,707
0,707
0
II »
II —0,707
0,683
I -0,183
— 0,636 —0,626 0,4521
■ 0,683 —0,183 0,7071
— 0,360 0,758 (
),E
441
'
— 0,408
- 0,408
0,817
- 0,408
— 0,183
0,894
0,577
0,577
0,577
0,577
0,707
0,408
* Числовые расчеты в настоящем приложении произведены Э.Х.Липкинои.

264
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис. 153
(7(15υ)#(15°)Α(15°)# =
cos 15°
sin 15°
0
0,437
0,824
0,360
sin 15°
cos 15°
0
-0,652
-0,015
0,758
0
0
1
0,620
0,566
(
),5
44
0,636 — 0,626 0,452
0,683 —0,183 0,707
— 0,360 0,758 0,544
На основании изложенного выше правила замечаем, что координаты ξ и η
проекций характерных точек 1,2,3 системы координат xyz на плоскость ξη
(рис. 153) последовательно принимают следующие значения:
Л*
2о
Зо
— 0,707
0,707
0,000
η
-0,408
— 0,403
0,817,
1'
2'
3'
1"'
2'"
3"'
-0,707
0,683
-0,183
ξ
-0,437
0,824
- 0,360
η
- 0,408
— 0,183
0,894,
η
— 0,652
-0,015
0,758 .
1"
2"
3"
ξ
- 0,636
0,683
— 0,360
η
— 0,626
-0,183
0,758
Здесь через i°, 2°, 3° обозначены определяющие точки 1, 2 и 3 системы
координат xyz в ее исходном положении x°y°z°; через Г', 2'', 3' — после поворота на
15° вокруг оси а?0, совпадающей с осью х'. Далее через Г, 2", 3" обозначены

ПРИЛОЖЕНИЕ
265
Рис. 154 Рис. 155
положения тех же определяющих точек системы xyz после второго поворота
также на 15°, но уже вокруг совпадающих осей у' ну" из того положения
x'y'z', которое она заняла после первого поворота. Наконец, Г", 2'", 3'" —
обозначения тех же точек системы координат xyz при ее переходе в положение
xmy"rz"r в результате еще одного поворота на 15°, а именно вокруг
совпадающих осей ζ" и z,rr из положения x'y'z".
Заметим, что посредством цепочки матриц
К, АК, ААК = А2К, АА2К = А3К,. . .,ΑΑ^Κ = АтК (35)
можно определить на плоскости ξη положение последовательных
проекций произвольной точки с постоянными координатами χ = ау
у = 6, ζ = с в системе xyz при следующих друг за другом
поворотах этой системы вокруг оси χ каждый раз на один и тот же угол а.
Рассмотрим, например, определяющую точку 2, лежащую на оси
у. Она имеет координаты (0,1, 0) в системе x°y°z°, а также в каждой
из систем координат z*y*z* (κ = 0, 1, 2, . . ., т), определяемых
матрицами (35). Очевидно, что при изменении κ определяющая
точка 2 перемещается по окружности единичного радиуса, лежащей
в плоскости yz (совпадающей с плоскостью y°z° и другими
координатными плоскостями ?/κζκ систем x^y^z*) с центром в общем начале
систем координат xyz и ξη ζ. При достаточно малом значении угла α
можно построить проекции на плоскость ξη многих точек
упомянутой окружности и без большого труда начертить проекцию
на эту плоскость всей окружности в целом. Тем самым достигается
наглядность в изображении взаимного расположения систем ко-

266
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис. 156
ординат xyz, x0y°z° и ξηζ при повороте первой из них по
отношению ко второй на какой-либо заданный угол вокруг оси х,
совпадающей с осью х° (рис. 154). Аналогично (рис. 155) при помощи
матриц
5κ (β) Α (α) Κ (κ = 0, 1, 2, ... т) (36)
строится проекция на плоскость ξη ряда точек окружности,
лежащей в плоскости ζ'χ*, τ. е. в плоскости ζχ системы координат
xyz после предшествующего поворота последней на угол α
из положения x°y°z° в x'y'z'. Достаточно взять для этой цели
определяющую точку 3 с координатами (0, 0,1) в системе χyz, т. е.
расположенную на оси ζ.
Заметим, наконец, что посредством матриц
С* (γ) Β (β) Α (α) Κ (κ = 0,1,2, . . ., т) (37)
можно вычислить координаты ξ и η проекций точек окружности
с центром в совместном начале систем xyz и ξηζ, расположенной
в плоскости х"у". При этом система координат x"y"z" совпадает с
положением системы xyz после двух ранее произошедших поворотов
последней из положения x°y°z° (рис. 156). В данном случае можно
взять определяющую точку 2, лежащую на оси χ системы xyz, т. е.
точку с координатами (1, 0, 0).

ПРИЛОЖЕНИЕ
267
При вычислении степеней простейших матриц Α (α), В (β) и С (у)
полезно использовать следующее их свойство. Пусть, например,
В (β^ и В (β2) — две простейшие матрицы (30), причем в общем
случае аргументы βχ и β2 не равны друг другу. Непосредственно
можно убедиться, пользуясь правилом (11) перемножения
матриц, что
В (βχ) Β (β2) = Β (β2) В (β,) = Β (βα + β2). (38)
Поэтому, в частности,
В (β) Β (β) = Β (2β), Β (β) Β (2β) = 5 (3β), (39)
и в общем случае
£*(β) = .Β(κβ). (40)
Числовой пример. Положим в цепочке матриц (35) Л = А (15°),
т. е. α = 15°. Воспользуемся далее формулами (9), положив в них χ = 0,
у = 1, ζ = 0. В соответствии с изложенным, точки окружности в плоскости
■yz (y°z°) изобразятся на плоскости ξη своими проекциями с координатами
κ
0
1
2
3
4
5
ξ
0,707
0,683
0,612
0,500
0,354
0,183
η
-0,408
-0,183
0,055
0,289
0,503
0,683
κ
6
7
8
9
10
11
ξ
0,000
—0,183
-0,354
-0,500
-0,612
-0,707
η
0,816
0,894
0,911
0,866
0,762
0,408.
Естественно, что у точек с номером κ = 12, 13, 14, . . . , 23 координаты ξ и η
•отличаются от соответствующих координат точек, у которых номер κ — 0,
1,2, . . . , 11, лишь знаком.
Возьмем далее а — 15°, β = 15°. Вычисляя матрицы (36) и полагая в
формулах типа (15) χ — 0, г/= 0, 2=1, получим для координат ξ и η точек
окружности, расположенной в плоскости ζ'χ1\ следующие координаты:
κ
0
1
2
3
4
5
ξ
-0,183
—0,360
—0,512
-0,629
—0,704
-0,730
η
0,894
0,758
0,570
0,344
0,094
-0,163
κ
6
7
8
9
10
11
ξ
—0,707
—0,636
-0,521
-0,371
-0,195
-0,006
η
-0,408
—0,626
-0,801
—0,921
—0,979
—0,970.

268
ПРИЛОЖЕНИЕ
И, наконец, для точек окружности в плоскости х"у" координаты ξ и η
оказываются следующими:
κ
0
1
2
3
4
5
1
-0,636
—0,437
-0,209
0,033
0,274
0,495
η
-0,626
-0,652
—0,633
-0,572
-0,471
-0,339
κ
6
7
8
9
10
И
ξ
0,683
0,824
0,909
0,932
0,892
0,791
η
-0,183
-0,015
0,154
0,313
0,450
0,557.
При этом следует воспользоваться матрицами (37) и соотношениями,
аналогичными (9) и (15), считая в них χ = 1, у = 0, ζ = 0. Кроме того, следует
положить в матрицах (37) α = β = γ = 15°.
Указанные выше приемы позволяют в известной мере
алгоритмизировать изготовление чертежей, изображающих
принципиальные (скелетные) схемы кардановых систем, и в простейшем случае
рисунков со сложным взаимным расположением систем координат
(трехгранников). При этом появляется возможность
своеобразного кодирования (записи) подобных рисунков посредством
матриц. Так, рисунок с исходным x°y°z° и тремя последующими
положениями системы координат xyz, получающимися в результате
последовательных поворотов вокруг осей χ (χ°, х'), у (уг, у") и
ζ (z"y ζ'") на углы Эйлера — Крылова αν βΐ5 γχ (угловое перемещение
первого рода; см. § 5 гл. III), в соответствии с вышеизложенным
представляется выражением
Si = C Ы В (βΟ А К) К. (41)
Здесь матрица К характеризует начальное положение системы
координат xyz, выше всюду обозначенное через x°y°z°.
Если же сначала был поворот на угол β2 вокруг оси у (г/°, уг)
и уже затем вокруг осей χ (xf, χ") и ζ (ζ\ ζ"') соответственно на
углы α2 и γ2 (угловое перемещение второго рода; см. вновь § 5
гл. III), то рисунок можно воспроизвести по следующему
матричному произведению:
S2 = С (γ2) Α (α2) Β (β2) К. (42)
Наконец, рисунок, изображающий три последовательных
поворота системы координат на классические углы Эйлера, кодируется
посредством матриц следующим образом:
Ss = С (φ) Α (Θ) С (ψ) К. (43)
Алгоритм построения проекций на плоскость ξη дуг окружностей
при наглядном изображении углов поворота трехгранника также

ПРИЛОЖЕНИЕ
269
Рис. 157
можно произвести в матричной форме. Матрицы (35) — (37)
представляют собой примеры записей подобного рода для совокупности
углов Эйлера — Крылова, а посредством матриц
О (φ) Κ, Α* (Θ) С (ψ) Κ, С* (φ) Α (Θ) С (ψ) К (44)
можно построить проекции точек аналогичных окружностей в
системе углов Эйлера (рис. 157). Вычисления приводят к следующим
последовательностям координат этих окружностей в случае ψ =
κ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
С* (15°) AT
ξ
-0,707
-0,500
-0,259
0,000
0,259
0,500
0,707
0,866
0,966
1,000
0,966
0,866
η
—0,408
—0,500
-0,558
-0,577
—0,558
-0,500
-0,408
—0,289
—0,149
0,000
0,149
0,289
А
κ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
*(15°)С(15°)Л:
ι
0,866
0,836
0,750
0,612
0,433
0,244
0,000
-0,244
-0,433
-0,612
-0,750
—0,836
η
-0,287
—0,068
0,158
0,373
0,563
0,714
0,816
0,863
0,851
0,781
0,658
0,490
Сх(15°)
κ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
А (15°) С (15°) К
1
-0,500
—0,266
-0,015
0,238
0,474
0,679
0,836
0,937
0,974
0,945
0,851
0,699
η
-0,500
—0,500
—0,467
-0,401
—0,308
—0,195
-0,068
0,064
0,191
0,306
0,399
0,465.

270
ПРИЛОЖЕНИЕ
Первая из матриц (12), обозначенная в приведенных примерах
через К, определяла положение исходной системы координат
x°y°z° относительно системы ξηζ (ось ζ которой перпендикулярна
к плоскости чертежа). Заметим, что (как нетрудно проверить)
ее можно представить в виде произведения двух матриц
К = С (-135°) А (-54°45'). (45)
Это означает, что к положению x°y°z° система координат xyz
переходит из положения ξηζ двумя последовательными поворотами.
Сначала на угол а = —54°45' (т. е. по стрелке часов) вокруг оси х,
совпадающей с осью ξ. Затем уже вокруг оси 2 в ее новом
положении ζ° на угол γ = —135° (т. е. вновь по стрелке часов). В
первом случае надо наблюдать за вращением со стороны
положительного направления оси ξ, во втором — z°, совпадающей с новым
положением оси ζ после совершения первого поворота.
Представление (45) соответствует угловому перемещению первого рода (см.
§ 5 гл. III), т. е. последовательным поворотам на углы Эйлера —
Крылова α, β и γ, причем угол β оказывается равным нулю.
Классические углы Эйлера ψ, θ и φ, соответствующие переходу системы
координат xyz из положения ξηζ в x°y°z°, в данном случае
представляются следующим образом:
ψ = 0, θ = α, φ = γ. (46)
Возможны и другие представления матрицы К в виде
произведения простейших матрица, В и С, расположенных, однако, в ином
порядке. Нетрудно видеть, что отыскание аргументов α, β и γ
таких матриц сводится к решению системы тригонометрических
уравнений. В левых частях этих уравнений находятся элементы
произведения упомянутых матриц, а в правых — соответственные
элементы (18) матрицы К.
В заключение отметим, что формулы преобразования координат
ξ = к1гх + к21у + k31z,
η = к12х + к22у + k32z, (47)
ζ = к13х + к23у + kS3z,
аналогичные соотношениям (3), а также обратные им формулы
χ = /Ьц! -\- к12ц -)- Α:13ζ,
У = ^2ΐξ + &22η + &23ζ> (48)
ζ = k31l + к32ц + &33ζ
можно, как известно, представить в матричной форме. Назовем

ПРИЛОЖЕНИЕ
271
координатными матрицы
1а; 0 0
Х =
\у 0 0
ζ 0 0
Ϊ UJ
110 0
η 0 0
ζ 0 0
ξ 0 0 Ι
η 0 0
ζ 0 0
=
кц k2i κ31
^22 ^32
I ^13 "'гз "'Зз
•
а; 0 0
у о о
2 0 0
(49)
определяемые координатами какой-либо точки в системах
координат xyz и ξηζ.
Тогда, как нетрудно проверить, формулы (47) (вместе с
сопутствующими тождествами 0 = 0) содержатся в следующем
матричном равенстве:
(50)
Достаточно для этого учесть порядок сомножителей и правило (11)
перемножения одной матрицы на другую, а также, что одно
матричное равенство в данном случае эквивалентно девяти
алгебраическим. Точно так же группа формул (48) (вместе с теми же
шестью тождествами 0 = 0) эквивалентна такому матричному
равенству:
(51)
(52)
можно рассматривать как таблицу косинусов углов между осями
системы координат xyz и осями системы ξηζ. В свою очередь
элементы так называемой транспонированной матрицы Кту
получающейся из матрицы К перестановкой строк и столбцов, т. е.
матрицы
Элементы
χ 0 0
У 0 0
2 0 0
I
=
I 1
матрицы
К = \
кп кг2 к13
"^21 "^22 "^23
^31 ^32 "'ЗЗ
кп ки к1Ъ
k<i\ к2% к2%
1
"з! ^32 ^33
•
ι ε о о
η 0 0
ζ 0 0
him
Ят =
кг1
&12
&13
&21
&22
&23
&31
&32
&33
= В*я
(53)
составляют также таблицу косинусов углов между осями тех же
систем координат, но перечисленных в обратном порядке, т. е.
между осями системы ξηζ и осями системы xyz. Так, например,
элементы первой строки матрицы К, т. е. ки, к12 и /с13,
представляют собой косинусы углов между осью χ и осями ξ, η и ζ. В свою
очередь элементы первой строки матрицы ΚΎ являются косину-

272
ПРИЛОЖЕНИЕ
сами углов оси ξ с осями х, у и ζ. Дополнительные буквы в
начертании матриц К, L, Q в формулах (12) и служат как раз для
точного указания осей соответствующих систем координат (косинусы
углов между которыми являются элементами данной матрицы).
Учитывая обозначения (49), (52) й (53), матричные равенства
(50) и (51) можно представить в следующем виде:
X = К Ξ.
(54)
(55)
Здесь под обозначениями X и S можно также понимать так
называемые матрицы-столбцы
X
X
У
ζ
fc
η
Ι ζ
(56)
Умножение матриц-столбцов на квадратные матрицы ΚΎ и К
определяется теми же формулами (47) и (48), что и для квадратных
координатных матриц (49)*.
Заметим, что, пользуясь законами перемножения матриц (см.
§ 7 гл. III), из соотношения (54) нетрудно получить соотношение
(55) и обратно. Для этой цели умножим обе части матричного
равенства (54) слева на матрицу К. Получим
К Ε = ΚΚτΧ. (57)
Произведение матриц К и ΚΎ (в любом порядке) равно единичной
матрице Е. В этом можно убедиться, приняв во внимание известные
свойства коэффициентов таблицы косинусов типа
(58)
+ #2 +
&1з — 1>
кп + /b2i + k3i = 1,
^ιιΛ2ΐ ~l· к12к22 + к13к23 = 0,
^и^12 + к21к22 + к31к32 = 0
и т. д. Таким образом,
#£* = ΖΤΖ - # =
; ι о о
0 1 0
0 0 1
(59)
где £" — так называемая единичная матрица (см. § 7 гл. III).
* См. К о ч и н Η. Е. Векторное исчисление и начало тензорного
исчисления. М., Изд-во АН СССР, 1961.

ПРИЛОЖЕНИЕ
273
В результате равенство (57) приводится к виду
КЕ = EX. (60)
Однако умножение любой матрицы слева (а также и справа) на
единичную приводит вновь к той же самой матрице. Поэтому из
последнего равенства сразу же следует формула (55).
Изложенное выше не изменится, если координатным матрицам
поставить в соответствие, сохраняя те же обозначения, так
называемые матрицы-столбцы *
Ι χ
У
1 2
S =
> '
ιξ ι
η
ζ I
Полезно, кроме того, ввести матрицы-строки
X* = \x,y,z[, Ξτ = |ξ,η, ζ|, (62)
считая их как бы краткими обозначениями транспонированных
квадратных матриц
1 ж 0 0
Loo
г 0 0
Τ
=
х у z
0 0 0
0 0 0 1
>
1 i 0 0
η 0 0
Ι ζ 0 0
Τ
=
i η ζ Ι
0 0 0
Ι ο ο ο I
В свою очередь исходным координатным матрицам X и Ξ, а тем
самым и соответствующим матрицам-столбцам, можно поставить
в соответствие транспонированные матрицы-строки. Именно:
Х=\х, у, zf, Ξ =|||, η, ζψ. (64)
Теперь матричные равенства (50) и (51) или, что тоже, (54) и(55)
представляются следующим образом:
||ξ, η, ζρ = *τμ, ι/, zf, μ, у, zf=K\l, η, ζ||τ. (65)
Из формул (62) следуют также равенства для самих матриц-строк
||ξ, η, ζ|| = *||*, г/, z||, ||х, г/, z\\=-К*\\Ъ, η, ζ||· (66)
* Матрицу-столбец можно, разумеется, рассматривать как
прямоугольную матрицу. При атом произведение квадратной матрицы типа (53)
на матрицу-столбец следует считать частным случаем произведения двух
прямоугольных матриц. Последнее, как известно, выполнимо лишь когда
число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Это как раз и
имеет место. С той лее точки зрения возможна трактовка и остальных
здесь встречающихся формул. См. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.
М., «Наука», 1967.

274
ПРИЛОЖЕНИЕ
Примечание. Для большей алгоритмизации формул вместо
обозначения совокупности координат какой-либо точки тремя
различными буквами вводится обозначение посредством одной буквы
с подстрочным цифровым индексом. Так, вместо (х, у, ζ)
используются обозначения (хи х2, х3), вместо (ξ, η, ζ) вводится (ξΐ5 ξ2, ξ3)
и т. д. Соответственно изменяются и наименования осей и систем
координат: хгх2х3 вместо xyz, ξ^ζβ вместо ξηζ и т. д. В этом
случае становятся более обоснованными введенные выше
обозначения для матриц-столбцов X и S. В результате имеем следующее
представление этих матриц через матрицы-строки:
X =■ |*ι, *а, *з|Г - 1Ы|Т, Ξ = Цъ ξ2, ξ3||τ = 1ЫГ> (67)
где \\xsj и ||Is|| — краткие обозначения соответствующих матриц-
#грок. Аналогичные обозначения для матриц К и Кт см. выше
в формулах (52) и (53).
Вместе с тем подобные обозначения координат позволяют
применить к записи уравнений сокращения, принятые в тензорном
анализе и приведенные в настоящем приложении на стр. 255.
В частности, уравнения (47) можно представить в виде
Ъ = Кха (5 = 1, 2, 3). (68)
Как уже упоминалось выше, в правой части последнего равенства
не записывается, но подразумевается суммирование по так
называемому «немому» индексу σ. Уравнения (48) соответственно
представляются следующим образом:
х& = КЛа (* = 1, 2, 3). (69)
Здесь вновь подразумевается суммирование по «немому»
индексу σ. Для обозначения ранее встречавшихся матриц, матриц-
столбцов и матриц-строк теперь не требуется новых индексов.

π
КНИГА
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ

ВВЕДЕНИЕ
Первая книга монографии была в основном посвящена
исследованию специальных вопросов геометрии и кинематики, связанных
с определением ориентации подвижных объектов, а также
расположенных на них гироскопов. Лишь в последней ее главе
изучались дифференциальные соотношения прецессионной теории
гироскопов, в соответствии с которыми в ряде случаев может
происходить изменение ориентации платформ, стабилизируемых
гироскопами (в частности, с так называемой сильной
коррекцией).
Во второй книге основное внимание уделяется вопросам
динамики. Именно, приводится теория основных элементов систем инер-
циальной навигации — гироскопов и ньютонометров, а также
строятся уравнения функционирования некоторых конкретных систем.
Только в конце книги вновь отводится место геометрии и
кинематике теперь уже в связи с некоторыми теоретическими
вопросами систем инерциальной навигации.
Может быть, ни в каких иных разделах механики не требуется
столь частое обращение к механике относительного движения,
как в теории гироскопов и соответственно в динамике систем
инерциальной навигации. В связи с этим первая глава второй книги
посвящена строгой трактовке сил инерции и выводу
уравнений относительного движения в полном согласии с исходными
положениями классической механики. В приведенных в главе
примерах изучается движение и равновесие пространственного
физического маятника цр отношению к вращающейся Земле. Они
имеют и самостоятельный интерес. Укажем, например, на
исследование условий так называемой «невозмущаемости», при
соблюдении которых динамическая ось симметрии пространственного
физического маятника непрерывно направлена к центру Земли
(принимаемой за шар с радиальным распределением плотности),
несмотря на совершенно произвольное движение точки подвеса
маятника на постоянной высоте над ее поверхностью. Частным
случаем является здесь известный маятник Шулера. Его точка
подвеса движется как угодно по дуге большого круга, не
принимающего участия во вращении Земли, а центр тяжести остается
в плоскости этого круга. Маятник Шулера сыграл немалую эври-

278
ВВЕДЕНИЕ
стическую роль в развитии гироскопических систем инерциальной
навигации.
Во второй главе, исходя из модифицированных уравнений
Эйлера движения осесимметричного твердого тела вокруг неподвижной
точки, излагается прецессионная теория гироскопов и приводятся
некоторые приложения этой теории к гироскопу в кардановом
подвесе и к другим гироскопическим устройствам, находящим
применение в инерциальной навигации. На основе полученных в той
же главе прецессионных уравнений гироскопа в кардановом подвесе
анализируется поучительная для понимания особенностей
гироскопических явлений задача о так называемом «поклоне волчка».
Далее, в согласии с законами механики относительного движения
проводитсяжпринципиальное для теории инерциальной навигации
исследование движения гироскопического маятника, точка подвеса
которого так же, как и в случае физического маятника,
рассмотренного в первой главе, произвольным образом перемещается
на постоянном расстоянии от центра земного шара. Здесь
существуют свои условия «невозмущаемости». Помимо них выясняется
возможность измерения так называемой «абсолютной» скорости
движения точки подвеса по отношению к системе координат с
началом в центре Земли и не принимающей участия в ее вращении.
Такой «невозмущаемый» гироскопический маятник был предметом
исследования замечательного советского механика Б. В.
Булгакова, и его надлежало бы именовать гироскопическим маятником
Шулера — Булгакова (М. Шулер исследовал лишь частный
случай движения гироскопического маятника при перемещении
точки подвеса по большому кругу Земли в предположении, что она
не вращается).
В главе второй дается также методика получения уравнений
прецессионного движения сложных гироскопических систем на
примере одной конкретной схемы трехосного гироскопического
стабилизатора. Сюда же относится вывод уравнений движения
чувствительного элемента пространственного гироскопического
компаса Геккелера. В конце главы, вновь в рамках прецессионной
теории гироскопов, исследуется одна из причин возникновения
ошибок в показаниях гироскопического интегратора кажущегося
ускорения подвижного объекта. Заметим, что источником ошибок
гироскопического интегратора может оказаться и так
называемое накопление телесного угла. Последнее имеет точно такой же
характер, как и у одноосного гироскопического стабилизатора,
рассмотренного в начале последней главы первой книги.
Третья глава второй книги монографии содержит исследование
поведения свободного (уравновешенного или астатического)
гироскопа в кардановом подвесе, а также простейших
гироскопических стабилизаторов, основанное на рассмотрении так
называемых нутационных (полных или точных) уравнений движения.

ВВЕДЕНИЕ
279
В последних, в отличие от уравнений прецессионной теории,
учитываются моменты инерции, а следовательно, и моменты
количества движения колец подвеса и связанных с ними тел, а также
экваториальный момент инерции ротора. Первое исследование
движения гироскопа в кардановом подвесе с использованием
нутационных уравнений было предпринято Е. Л. Николаи, далее
Н. Г. Четаевым и после сравнительно долгого перерыва К.
Магнусом и почти одновременно с ним Б. Плаймелем и Р. Гудстейном,
а также другими исследователями. Оказалось, что при наличии
нутаций уравновешенный гироскоп, установленный на
неподвижном основании, систематически «уходит» вокруг оси внешнего
кольца, даже когда нет трения во всех осях его карданова
подвеса. В главе приводится новый вывод формулы для средней
скорости такого ухода — так называемой формулы Магнуса; находится
оценка точности этой формулы и ее уточнение. Дается также
качественная картина изменения обобщенных координат такого
гироскопа.
Наконец, в той же, третьей, главе проводится исследование
поведения одноосного и двухосного гироскопических
стабилизаторов. Главное значение здесь имеет установление условий
устойчивости их движения с учетом переходных процессов в
электрических цепях двигателей стабилизации. Впервые для простейшего
случая это было осуществлено В. И. Кузнецовым, а более
сложные случаи были рассмотрены Я. Н. Ройтенбергом. В конце главы
описывается аналогия между гироскопическим стабилизатором
и системой нескольких масс, соединенных между собой упругими
элементами (пружинами). В ряде случаев такая аналогия
позволяет сравнительно просто получить заключение о характере
парциальных колебаний стабилизатора и их устойчивости.
В начале четвертой главы излагается теория простейшего нью-
тонометра — одного из основных элементов большинства систем
инерциальной навигации. В равной мере это исследование
относится и к материалу главы лкзрвой, так как оно является примером
использования положений и теорем механики относительного
движения. Сюда же относится изложение принципа действия
гироскопического интегратора, приведенное в конце второй главы
в связи с изложением прецессионной теории гироскопов.
Основное содержание четвертой главы второй книги монографии
посвящено описанию принципиальных основ схем простейших
систем инерциальной навигации, когда объект движется по дуге
большого круга невращающейся Земли (в частности, так
называемой схемы Бойкова). Схемы более сложных инерциальных
систем для объектов, произвольно перемещающихся на постоянном
удалении от центра Земли, приведены в пятой главе. Для
некоторых систем приводятся уравнения, описывающие их поведение
при неточном соблюдении необходимых начальных условий.

280
ВВЕДЕНИЕ
Заметим, что первые исследования по математической теории
инерциальной навигации принадлежат Б. В. Булгакову. Им были
составлены уравнения поведения оригинальной системы,
предложенной советскими инженерами Л. М. Кофманом и Е. Б. Левен-
талем. Эта инерциальная система приближенно решала задачу
об определении географических координат подвижного объекта,
перемещающегося по земной сфере. Некоторые из последующих
исследований, относящихся к теории инерциальной навигации,
оказались небезупречными. К ним относится, в частности,
рассмотренная в пятой главе работа Ч. Фокса. Лишь в середине
пятидесятых годов были составлены дифференциальные уравнения
функционирования системы инерциальной навигации, свободной
от принципиальных ошибок. Их можно найти, в частности,
в статье автора «Об уравнениях задачи определения
местоположения движущегося объекта посредством гироскопов и измерителей
ускорений» (ПММ, 1957, т. 21, вып. 6).
Вопросы теории инерциальной навигации с переменной
высотой над поверхностью Земли, или, что то же, при произвольном
пространственном движении объекта, в монографии оставлены
без внимания из-за устойчивости инерциальных систем лишь при
стороннем измерении высоты объекта. Уравнения одной из них см.
в упомянутой выше статье. Анализ этих вопросов изложен в книге
«Развитие механики гироскопических и инерциальных систем»
(М., «Наука», 1973) в обзоре В. Д. Андреева, И. Д. Блюмина,
Е. А. Девяиина, Д. М. Климова и в предисловии к монографии
(стр. 6). См. также замечание к главам IV и V (стр. 590).
В начале пятой же главы монографии выводятся упомянутые
выше дифференциальные уравнения основной задачи
инерциальной навигации — определения географических координат и курса
объекта без использования какой-либо внешней информации
исключительно по известным текущим значениям проекций угловой
скорости некоторой системы координат на ее же оси. Сама же эта
система координат обычно бывает связана со специальной
стабилизированной платформой, центр которой движется по земной
сфере вместе с объектом.
Упомянутые проекции вырабатываются по непрерывно
поступающим показаниям от гироскопических приборов и ньютоно-
метров, находящихся на стабилизированной платформе. Однако
возможны и так называемые бесплатформенные варианты схем
систем инерциальной навигации, где приборы расположены
непосредственно на борту подвижного объекта. Любопытно, что
в принципе возможна такая система, в которой гироскопы вообще
отсутствуют, будучи заменены достаточным числом разнесенных
друг относительно друга высокоточных ньютонометров.
При интегрировании дифференциальных уравнений основной
задачи инерциальной навигации представляет известный интерес

В ВЕДЕНИЕ
281
излагаемый в шестой главе переход от географических координат
к параметрам Родрига — Гамильтона. При этом географический
полюс Земли перестает быть особой точкой совокупности
дифференциальных уравнений задачи, а сами уравнения становятся
линейными. Однако их число увеличивается на единицу. Вместе с тем,
совокупность новых уравнений имеет простой алгебраический
первый интеграл, который можно, в частности, использовать для
контроля точности численного решения задачи на электронных
вычислительных машинах.
Параметры Родрига — Гамильтона, а также их комплексно-
значные комбинации — параметры Кейли — Клейна —
непосредственно применяются в теории конечных вращений твердого тела
вокруг неподвижной точки, теории, естественным образом
связанной со стереографической проекцией сферы на плоскость и далее
с дробно-линейной функцией комплексной переменной. Все это
показывается в шестой главе и в приложении к настоящей книге.
В конце шестой главы излагается применение к навигации
стереографической проекции, особенно целесообразное в высоких
широтах, где стереографическая проекция мало отличается от
проекции земной сферы на касательную плоскость в ее географическом
полюсе. Введение вместо обычного так называемого
гринвичского курса устраняет здесь трудности в определении ориентации
объекта цри его прохождении через полюс.
Существенное значение имеет исследование устойчивости
решения дифференциальных уравнений основной задачи инерциаль-
ной навигации по отношению к малым изменениям начальных
условий. В начале пятой главы этот вопрос решается чисто
геометрически посредством одной теоремы А. И. Лурье о сложении
вращений, а в главе шестой — посредством алгебры кватернионов.
При этом показывается и геометрически, и аналитически, как,
зная одно какое-либо частное решение совокупности упомянутых
дифференциальных уравнений, построить общее, содержащее
надлежащее число произвольных постоянных.
В упоминавшемся уже приложении приводится прямое
аналитическое доказательство существования известного
взаимно-однозначного соответствия между поворотом твердого тела и дробно-
линейным преобразованием в теории функций комплексного
переменного. Попутно устанавливаются связи между параметрами
этого преобразования и параметрами Кейли — Клейна.
Теория инерциальной навигации — большой раздел
современной прикладной механики. Ее развитие успешно продолжается.
Появление новых чувствительных элементов и счетно-решающих
средств приводит к новым схемам систем инерциальной навигации
и соответственно к новым математическим соотношениям, здесь
не рассмотренным. Можно привести, кроме того, целый ряд
важных вопросов, имеющих прямое отношение к теории и практике

282
ВВЕДЕНИЕ
инерциальных систем и совершенно не затронутых в этой книге.
Таковы вопросы динамической точности следящих систем, влияния
случайных помех на чувствительные элементы, выбора
оптимальных параметров навигационных систем, их классификации, ухода
гироскопов и ошибок ньютонометров из-за несовершенства их
изготовления и многое другое. Тем не менее можно выразить
надежду, что изложенные в монографии методы решения задач об
определении ориентации объектов, управляемых гироскопами, приведенные
общие сведения о механике чувствительных элементов —
гироскопов и ньютонометров, рассмотренные принципиальные особенности
решения задач самой инерциальной навигации на земной сфере
окажутся полезными в ряде последующих исследований этой
проблемы.

I
ГЛАВА
ОЧЕРК МЕХАНИКИ
ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 1. Относительное движение и силы инерции
Гироскопы всегда находятся на подвижных основаниях, будь то
борт корабля, самолета, ракеты, а также просто платформа,
расположенная на Земле или на иной планете. Естественно, что при
построении теории гироскопов и теории других чувствительных
элементов системы инерциальной навигации совершенно необходимо
ясное представление исходных положений классической механики,
а также четкое понимание различия между физическими
(естественными) силами и силами инерции.
Приводимая ниже трактовка вопросов механики относительного
движения, по-видимому, разделяется многими и не находится в
каком-либо существенном противоречии с общеизвестными трактатами
и учебниками по теоретической механике. Тем не менее
представляется полезным еще раз обратить внимание на необходимость
решения конкретных задач, относящихся к теории гироскопов и
систем инерциальной навигации, в строгом согласии с общими
законами классической механики.
Основные идеи дальнейшего изложения — следующие:
а) Законы классической механики постулируются для
движений тел по отношению к некоторой «абсолютной» системе отсчета,
за которую может быть принят трехгранник, образованный осями
какой-либо прямоугольной декартовой системы координат с
началом в центре инерции нашей Солнечной системы (т. е. совокупности
небесных тел, состоящей из Солнца, всех планет и всех спутников);
оси «абсолютной» системы не меняют своей ориентации
относительно направлений на удаленные звезды, условно называемые
неподвижными. В такой системе координат законы механики Галилея —
Ньютона оправдываются, как известно, исключительно точно *.
* Принято называть галилеевой или инерциальной
произвольную систему отсчета (систему координат), перемещающуюся
поступательно, равномерно и прямолинейно относительно «абсолютной» системы.
Нетрудно доказать, что движение тел по отношению к любой инерциальной
системе подчиняется одним и тем же по форме законам Галилея —
Ньютона. В этом смысле все инерциалъные системы равноправны (принцип
относительности Галилея; см. также стр. 301 настоящего параграфа).

284 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
б) Реально существующими объявляются лишь силы,
вызывающие ускорения материальных точек и тел относительно
«абсолютной» системы координат *. Эти силы именуются в дальнейшем
силами естественными или физическими **. Они выражают меру
механического взаимодействия тел в природе и могут быть
различными по своему физическому характеру: силами тяготения,
электрическими и магнитными силами, силами упругости и
пластичности, силами сопротивления среды и некоторыми другими видами
сил, например, силой давления света.
В результате детального рассмотрения нередко обнаруживается
общность сил, казалось бы, совершенно различных. Так, в
частности, силы упругости могут трактоваться как суммарное
проявление сил электрических, взаимодействующих между молекулами
или атомами данного тела.
в) Физическая сила измеряется, в конечном счете,
производимым ею ускорением эталона массы в «абсолютной» системе
координат. Однако определяется она в конкретных случаях чаще всего
через параметры положения и движения тел относительно друг
друга. Установление того, каким образом зависит сила от этих
параметров, составляет задачу синтеза закона сил. Классическими
примерами такого синтеза являются открытие Ньютоном закона
всемирного тяготения и Ампером закона взаимодействия
проводника, по которому течет электрический ток, с магнитом,
создающим равномерное магнитное поле.
г) Следует отличать так называемые даламберовы силы
инерции (см. ниже) от сил инерции, вводимых при рассмотрении
движения материальных точек и тел по отношению к подвижным
системам координат. Последние будут в дальнейшем именоваться
эйлеровыми силами инерции***. И даламберовы и эйлеровы силы
инерции не являются силами физическими и в этом смысле нереальны.
Введение таких сил чисто условное, хотя в ряде случаев оно
оказывается полезным для решения и пояснения отдельных явлений
механики.
д) Даламберовы силы инерции вводятся при рассмотрении
«абсолютного» движения взаимосвязанных материальных точек и
* Или, что то же, относительно произвольной инерциалъной системы
отсчета (см. предыдущую сноску).
** Приводимое здесь определение естественных или физических сил, в
сущности, эквивалентно закону инерции или I закону Ньютона.
*** Этот термин новый. Леонард Эйлер впервые употребил подвижнее
системы координат для решения сложных задач механики, например, в
теории движения твердого тела около неподвижной точки. {Е и I e r L. Theoria
motus corporum solidorum seil rigidorum. Rostock, Greifswald, 1765). До Эйлера
Гюйгенс применял подвижные системы координат- (поступательно
перемещающиеся со скоростью начала, постоянной по величине и направлению,
т. е. инерциальные) при изучении удара шаров. (Гюйгенс X. Три мемуара
по механике. М., Изд-во АН СССР, 1951).

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 285
представляют собой воображаемые силы, каждая из которых равна
произведению массы точки на ее ускорение, но направлена в
сторону, противоположную ускорению. Физические силы,
действующие на механическую совокупность*, вместе с даламберовыми
силами инерции образуют статически уравновешенную систему сил;
последняя подчиняется законам статики. Рассмотрение таких
уравновешенных систем сил оказывается полезным, например,
при определении неизвестных сил реакций связей, наложенных
на данную механическую совокупность. Движение последней
принимается как бы заданным. Силы, подобные даламберовым
(с заменой «абсолютного» ускорения на относительное), можно
вводить и при изучении механики относительного движения.
Такие силы вместе с эйлеровыми силами инерции и физическими
силами также образуют уравновешенную систему сил.
е) Эйлеровы силы инерции различны для одной и той же
механической совокупности, если изучать ее движение по отношению
к разным подвижным системам координат. Целесообразный выбор
системы координат, по отношению к которой исследуется движение
данной механической совокупности, как правило, значительно
упрощает решение задач механики. Во всех случаях подвижная
система координат и ее движение относительно системы
«абсолютной» должны быть обусловлены с самого начала исследования.
ж) Каждому относительному движению совокупности
материальных точек, т. е. движению по отношению к выбранной
подвижной системе координат, можно поставить в соответствие движение
некоторой точно такой же механической совокупности
относительно системы координат «абсолютной». При этом текущие значения
«абсолютных» координат точек этой вспомогательной идентичной
механической совокупности в каждое мгновение должны равняться
соответствующим текущим значениям относительных координат
материальных точек исходной или основной совокупности.
Чтобы осуществить упомянутое «абсолютное» движение такой
вспомогательной механической совокупности, следует
воспроизвести не только те же физические силы (внешние и внутренние),
которые действовали на основную механическую совокупность,
но еще добавить новые физические силы.
Эти новые физические силы в точности соответствуют
эйлеровым силам инерции в данном относительном движении исходной
механической совокупности. Лишь так следует понимать нередко
* Слово «система» часто встречается в сочетании со словом «координат».
Поэтому, чтобы в дальнейшем избежать путаницы, тот же термин в
сочетании со словом «механическая», как правило, заменен словом «совокупность».
Таким образом, вместо фразы типа «Движение механической системы
относительно подвижной системы координат» преимущественно употребляется
фраза «Движение механической совокупности относительно подвижной
системы координат» и т. д.

286 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
встречающуюся следующую трактовку сил инерции, вводимых
при рассмотрении движения по отношению к подвижной системе
координат, т. е. эйлеровых сил инерции. Именно, силы инерции
определяются как реальные силы, действующие на механическую
совокупность в предположении, что подвижная система
координат условно принимается за неподвижную.
Ниже только что перечисленные положения вместе с исходными
законами классической механики обсуждаются более пространно;
кроме того, приводится несколько примеров, полезных для
понимания сущности механики относительного движения и связанных
с ней обстоятельств.
Классическая механика, или механика Галилея — Ньютона,
в своем построении исходит из нескольких постулируемых
положений, касающихся некоторых количественных характеристик
движущихся тел и их взаимодействий.
Основным содержанием классической механики в узком смысле
этого термина — механики теоретической (общей или
рациональной) — является исследование вопросов равновесия и движения
материальных точек и абсолютно твердых тел.
Материальная точка — простейшая модель макроскопического
тела, размеры которого столь малы*, что перестают быть
существенными. Понятие материальной точки имеет важное значение при
изучении движения центра инерции произвольных тел и
механических совокупностей. Абсолютно твердое тело — модель,
посредством которой наряду с движением центра инерции изучается
вращение реальных тел, но вместе с тем совершенно игнорируется
небольшая деформация их твердых частей и подчас значительные
перемещения частей жидких и газообразных, например,
атмосферы на планетах.
Исследование движения и равновесия тел ** с учетом
происходящей в них деформации производится посредством введения более
сложных моделей, именуемых, в частности, идеальной жидкостью,
упругим телом, идеальным газом, вязкой жидкостью, пластической
средой, многокомпонентным телом и др. Каждая из таких моделей
отражает то или иное механическое свойство тела, существенное
при изучении данного процесса или явления. Исследование
движения деформируемого тела, жидкости, газа и плазмы относится
уже к механике так называемой сплошной среды. В механике спло-
* По отношению к некоторой длине, характеризующей изучаемое явление
в целом. Так, при исследовании влияния взаимного притяжения планет на
их движение вокруг Солнца планеты можно считать материальными
точками. Размеры планет ничтожно малы по сравнению с расстояниями между
ними и практически не влияют на движение центров их масс.
** Здесь и всюду далее имеется в виду механическое движение и
равновесие в отличие, например, от химического равновесия смеси тел.

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 287
шной среды, кроме законов Галилея — Ньютона, необходимо
привлечение уравнений, которым подчиняется деформирование
конкретных тел (равенство нулю касательных напряжений в идеальной
жидкости, закон Гука в упругом теле и т. д.). В ряде случаев
необходим также учет уравнений, связывающих механические
параметры элементов тела (давление, вязкость, модули упругости,
функции последействия и т. д.) с химическими и физическими
параметрами (температура, энерговыделение, перестройка
структуры и т. п.).
Механика Галилея — Ньютона с более чем достаточной
точностью описывает в практически необходимых случаях, за малыми
исключениями, движение реальных тел в природе и технике. Ее
законы позволяют выяснить причины и следствия этих движений и,
что особенно важно для технических приложений, рассчитать
заранее движение тел при различных обстоятельствах. Достаточно
указать на предопределение расположения планет относительно
неподвижных звезд, на расчет движения ракет и космических
кораблей и, разумеется, всех машин, приборов и сооружений.
Упомянутые выше исключения, как известно, относятся к
исследованию движений малых частиц (например, протонов) со
скоростями, сравнимыми со скоростью света, а также движений вблизи
больших масс (пример — ежегодное дополнительное смещение
апогея Меркурия). При описании таких движений надлежит
пользоваться уже механикой специальной теории относительности
либо механикой общей теории относительности Эйнштейна.
Законы механики специальной теории относительности
обращаются с большой точностью в законы классической механики,
если скорости тел по сравнению со скоростью света невелики,
например, имеют порядок космической скорости. То же
происходит и с законами механики общей теории относительности, если
еще дополнительно рассматривать движения лишь вдали от
больших масс *.
Пространство и время в классической механике относятся к
первичным понятиям. То же относится к понятию массы и силы.
Эти первичные понятия не определяются, однако предполагается,
что связанные с ними величины расстояний, интервалы времени,
величины масс отдельных тел и векторы сил всегда могут быть
измерены с большой точностью теми или иными физическими
методами. То же относится к фиксации мгновения времени, когда
движущаяся точка оказывается в данном месте пространства.
В классической механике пространство и время считаются
независимыми категориями. Поэтому принимается, что время течет оди-
* Квантовая природа вещества также может в некоторых случаях вызвать в
телах такие движения, которые не согласуются с классической механикой.
Так, макровихри в сверхтекучем гелии квантованы, что совершенно не
следует из законов обычной («классической») гидродинамики.

288 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
наково во всех точках пространства и на всех движущихся телах
и что можно, в принципе, построить некие «идеальные» часы, на
ходе которых не сказываются обстоятельства механической
природы. Показания пары таких часов будут совпадать независимо
от их частных движений, например, от долгого пребывания вместе
или порознь, вблизи или вдали от каких бы то ни было больших
масс Вселенной. Пространство в механике Галилея —
Ньютона принимается евклидовым; постулируется, что в нем
справедливы все аксиомы и теоремы евклидовой геометрии.
Изложенные свойства пространства и времени решительным
образом отличают классическую механику Галилея — Ньютона от
механики специальной теории относительности Эйнштейна, в
которой эти категории взаимосвязаны и не имеют абсолютного
характера. В механике общей теории относительности, кроме того,
пространство приходится считать неевклидовым.
Основной закон динамики *
■4r(mv) = F (1.1.1)
постулируется в классической механике для движения
материальной точки массы т со скоростью υ относительно введенной выше
«абсолютной» системы координат **, которую будем обозначать
далее через ξηζ.
Правая часть равенства (1.1.1) представляет собой вектор силы
F, действующей на рассматриваемую материальную точку. Таким
образом, сила F является причиной, изменяющей вектор την
количества движения материальной точки по отношению к
«абсолютной» системе координат ξη ζ. В конечном счете, сила F
представляет собой меру физического воздействия на материальную точку
других тел как самой природы, так и изготовленных человеком.
В дальнейшем силу F, входящую в основное уравнение динамики
(1.1.1), будем именовать физической силой, или силой естественной
(см. стр. 284, п. «б»), в отличие от некоторых других встречающихся
в механике величин той же размерности — так называемых сил
инерции.
В классической механике принимается, что масса не меняется
с течением времени, ее величина не зависит ни от скорости
материальной точки, ни от ее положения в пространстве. Поэтому
J^(mv)--=mw, (1.1.2)
где w — ускорение материальной точки относительно
«абсолютной» системы координат.
* Или, что то же, II закон Ньютона.
** См. также сноску на стр. 283.

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 289
Таким образом, основной закон динамики устанавливает
математическую зависимость
mw = F (1.1.3)
между величиной массы материальной точки т, вектором w ее
ускорения по отношению к «абсолютной» системе координат и
вектором физической силы F.
Зная, как движется материальная точка по отношению к
«абсолютной» системе координат ξηζ, τ. е. считая известными функции
I = ξ (t), η = η (t), ζ = ζ (t), (1.1.4)
представляющие координаты точки в этой системе, можно, в
принципе, согласно основному закону динамики (1.1.3), найти проекции
действующей на точку физической силы на оси той же системы по
формулам
Если же, напротив, каждая из проекций F^, F^ и F^ задана в
виде функции времени t, координат материальной точки ξ, η
и ζ, а также проекций άζ/dt, dx\ldt и d ZJdt скорости этой точки на
оси «абсолютной» системы координат ξηζ, то соотношения (1.1.5)
становятся дифференциальными уравнениями. Решение этих
уравнений в общем случае позволяет определить закон движения
материальной точки, т. е. функции ξ (ί), η (t) и ζ (t). При этом
необходимо (также в общем случае) задать начальные условия движения
точки — значения координат ξ, η, ζ и их производных по
времени d\idt, dr\/dt, άζ/dt — в начальное мгновение времени t = t0.
Из изложенного выше следует, что при рассмотрении движения
по отношению к «абсолютной» системе координат классическая
механика имеет дело исключительно с физическими или
естественными силами. Рассмотрим случай, когда материальная точка
неподвижна в этой системе (т. е. ее координаты ξ, η и ζ —
постоянные количества) или движется прямолинейно и равномерно.
Тогда ее абсолютное ускорение w равно нулю. Следовательно, или на
точку никакая физическая сила не действует вовсе, или действия
всех сил, приложенных к материальной точке, взаимно
нейтрализуются.
В случае одновременного действия на материальную точку
нескольких сил Fk постулируется справедливость равенства
В несколько иной формулировке — это закон независимости
действия сил с Каждая отдельная составляющая сила Fk как бы вносит в

290 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
состав вектора ускорения w
материальной точки свою часть
Wi
т к
(1.1.7)
независимо от того, какие еще
силы действуют на эту точку.
Таким образом, равенство
2** = 0 (1.1.8)
выражает условие того, что
силы, приложенные к
материальной точке, взаимно нейтрализу-
Рис. 1 ют или, что то же,
уравновешивают друг друга; точка
движется в этом случае
относительно «абсолютной» системы координат ξη ζ равномерно и
прямолинейно или остается неподвижной.
Заметим, наконец, что в классической механике, в
соответствии с III законом Ньютона, физические силы, будучи
выражением взаимодействия тел, всегда должны встречаться в природе
попарно в виде некоторого действия и равного, но противоположно
направленного противодействия. Действие и противодействие
суть силы, приложенные соответственно к двум разным, но
взаимодействующим телам.
Рассмотрим теперь в качестве примера взаимодействия тел
перемещение материальной точки массы т с численно постоянной
скоростью ν по «абсолютно» неподвижной окружности радиуса R
(рис. 1). Известно, что при таком движении ускорение точки
направлено к центру окружности и равно величине
и>«= -£-. (1.1.9)
Следовательно, на материальную точку при таком движении
действует физическая сила Fn, также направленная к центру
окружности и равная, в соответствии с основным уравнением динамики,
величине
77 V
Fn= т-гу-
И
(1.1.10)
Происхождение этой силы, именуемой обычно
центростремительной, может быть различным. В случае спутника она обусловлена
взаимным притяжением его массы т и массы Земли. Если спутник
движется по круговой орбите на малой высоте по сравнению с
радиусом Земли R ^ 6.370.000 м, то сила притяжения спутника
к Земле (и равная ей сила противодействия — притяжение Земли

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 291
к спутнику) близка к величине веса * спутника
G = mg, (1.1.11)
где g — ускорение силы тяжести, т. е. ускорение свободного
падения тел в пустоте по отношению к Земле вблизи ее
поверхности. Из-за вращения Земли ускорение силы тяжести g всюду,
кроме полюсов, немного менее величины ; — ускорения силы
тяготения. Последнее практически не отличается от ускорения
того же падающего в пустоте тела (точнее, материальной точки),
однако относительно невращающейся системы координат с
началом в центре масс Земли. Наибольшее значение ускорения силы
тяжести на географическом полюсе — 9,83 м-сек~2, где оно совпадает
с ускорением силы тяготения /, а наименьшее — на экваторе —
9,78 м-сек'2. За номинальное значение ускорения силы тяжести
принимается его значение на широте 45°, равное 9,81 м-сек~2.
Ускорение силы тяжести зависит также и от долготы, однако
весьма незначительно.
Сравнивая последние два равенства, получим следующее
численное значение для первой космической скорости:
Vl = tfjR ^ 7 900 м-сек-1 **. (1.1.12)
Если же движущаяся материальная точка — грузик,
обладающий массой т и «привязанный» к неподвижному центру нитью
длиной R, то упомянутая выше центростремительная сила Fn
возникает вследствие воздействия нити на грузик. Согласно
третьему закону Ньютона о равенстве и противоположной направлен-
* Вес характеризуется силой давления тела на неподвижную
относительно Земли горизонтальную опору, на которой тело расположено. Такой
опорой может быть, в частности, платформа рычажных или пружинных весов
после успокоения их колебаний при взвешивании тела. Если тело подвешено
на невесомой нити и не совершает колебаний относительно Земли, то
натяжение нити также равно весу тела. При взвешивании в пустоте вес равен
силе тяжести mg.
Взвешивание тел на пружинных весах, совершающих относительно Земли
то или иное движение, естественно должно приводить к результатам,
отличным от веса покоящегося тела. Эта разница совсем невелика при
взвешивании в поезде и даже в горизонтально летящем самолете. Однако в
пикирующем самолете, ракете и движущемся с ускорением лифте давление тела на
опору может оказаться в несколько раз больше или, напротив, меньше силы
тяжести. В свободно падающем лифте это давление вообще оказывается
равным нулю, и тело становится как бы невесомым. То же явление имеет
место внутри спутников и космических кораблей, движущихся при
выключенном двигателе.
Подробнее см. статью автора «Классическая механика, силы инерции,
невесомость».— В сб. «Теоретическая механика во втузах». Изд. 2-ое. М.,
«Высшая школа», 1975. См. также далее § 4 настоящей главы и § 1 гл. IV.
** Обладая такой скоростью, спутник в течение суток совершает вокруг
Земли около семнадцати оборотов.

292 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ТА
Рис. 2 Рис. 3
ности действия и противодействия, материальная точка действует
на нить с точно такой же силой Г, но направленной от центра
окружности (рис. 2). Эта сила и растягивает нить.
Натяжение нити при малой ее массе по сравнению с массой
материальной точки практически одинаково по всей длине нити.
Если же масса нити соизмерима с массой материальной точки, то
натяжение заметно увеличивается при переходе от сечений нити,
близких к движущейся точке, к сечениям, расположенным у
неподвижного центра. График (эпюра), изображающий изменение
натяжения вдоль нити, как можно показать, имеет вид части
параболы (рис. 3). Интересно отметить, что натяжение около
неподвижного центра в этом случае в точности такое же, как если бы
масса материальной точки т при сохранении величины ее скорости
была бы увеличена на половину массы т' удерживающей ее нити,
а сама нить была бы заменена другой, воображаемой нитью,
лишенной массы вообще.
Заметим, что натяжение нити (а следовательно, и
центростремительная сила Fn) может быть вычислено по величине
деформации нити, которую, в принципе, можно измерить и непосредственно.
Для этого, разумеется, необходимо знать закон, связывающий
натяжение нити с ее деформацией, т. е. закон физической силы,
о котором упоминалось выше. Если материал упруг, то удлинение
малого куска нити пропорционально его длине и натяжению нити
в данном месте. Это закон TvKa или закон так называемой упругой
силы.
Могут встретиться и более сложные законы, описывающие
деформирование нитей, если последние изготовлены, в частности,
из не вполне упругого материала.
Сопротивление нити растяжению ограничено, и при достаточно
большом натяжении нить непременно разорвется. Посредством
(π+πΐ

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 293
Рис. 4
малой дополнительной силы FT, приложенной к материальной
точке перпендикулярно радиусу R (рис. 4), можно постепенно
увеличивать скорость точки ν при ее движении по окружности.
В результате, согласно формуле (1.1.10), будет возрастать
центростремительная сила Fn и равная ей, но противоположно
направленная сила Τ воздействия материальной точки на нить.
Именно эта последняя физическая сила и разрывает нить, когда
скорость материальной тючки становится достаточно большой.
Физическая сила F, в соответствии с основным законом
динамики, может быть измерена по результату ее действия на
материальную точку, т. е. по вызываемому ею ускорению w
этой точки в «абсолютной» системе координат. Одной из задач
механики является синтез закона конкретной физической
силы, т. е. нахождение выражения величины силы через
параметры физической природы взаимодействующих тел, их
взаимного расположения и движения друг относительно друга.
Примером такого синтеза, как уже упоминалось выше,
является вывод Ньютона о наличии тяготения небесных тел друг
к ДРУГУ с силой, пропорциональной произведению их масс
и обратно пропорциональной квадрату их взаимного расстояния,
сделанный на основании анализа кеплеровых законов
фактического движения планет вокруг Солнца. Проблема синтеза сил
возникала и в случаях упругого воздействия тел друг на
друга, электрического и магнитного воздействий, трения,
сопротивления среды и ряда других воздействий, из коих
некоторые еще недостаточно известны и изучены. Изучение законов
взаимодействия тел и, в частности, приемов измерения сил —
задача физического содержания.
Знание закона физической силы позволяет на основании того же
исходного уравнения динамики (1.1.1) определять ускорение

294 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
материальной точки при различных случаях ее движения. В
результате представляется возможным посредством математических
методов предсказать, как будет происходить это движение на
самом деле и вычислить заранее все нужные его параметры, т. е.
решить так называемую основную задачу динамики.
Приведем известный пример решения основной задачи динамики.
Пусть на материальную точку (некий грузик) массы т действует
сила F, представляющая собой меру воздействия на эту массу
конца защемленного в неподвижное основание упругого стержня,
отогнутого от его первоначального прямолинейного
вертикального расположения (рис. 5). Закон силы здесь следующий. При
небольших по сравнению с длиной стержня отклонениях χ конца
стержня от вертикали сила F пропорциональна этому отклонению
и, естественно, направлена к тому положению конца стержня,
при котором последний не напряжен, т. е. к вертикали. При таких
малых отклонениях можно приближенно принять, что
материальная точка перемещается по горизонтальной прямой,
перпендикулярной вертикальной оси ненапряженного стержня. Пренебрегая
собственной массой последнего (а также влиянием веса грузика
на изгиб стержня), получим, в соответствии с основным
уравнением динамики, соотношение
ти> = — кх, (1.1.13)
где К — величина, характеризующая упругость стержня при
изгибе так называемой сосредоточенной силой, приложенной к его
концу. В данном случае
* = -£·, (1.1-14)
и, следовательно,
т^ = -Кх. (1.1.15)
Последнее равенство представляет собой дифференциальное
уравнение, позволяющее при дополнительном знании отклонения χ
материальной точки от положения равновесия и ее скорости ν
в некоторое начальное мгновение времени t = t0 узнать, как будет
двигаться точка в дальнейшем. Решение уравнения (1.1.15)
показывает, что в этом случае точка будет совершать гармонические
колебания в соответствии с выражением
χ = x0cosk(t — t0) + -у- smk(t — t0), (1.1.16)
где х0 и v0 — значения величин χ и ν в начальное мгновение t0, a
* = }/Т (LI-IT)

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 295
F+P+Q
Рис. 6
— угловая частота колебаний,
связанная с их периодом Τ
формулой
Τ = Ц-= 2π|/"^ . (1.1.18)
Тем самым все параметры
движения оказываются предвычис-
ленными.
Изучение механических
явлений, связанных с рассмотрением
движения материальных точек и
тел по отношению к
«абсолютной» системе координат, во многих случаях представляет
значительные неудобства. Вряд ли, например, имеет смысл развивать теорию
маятника Фуко в «абсолютной» системе координат (с началом в
центре инерции Солнечной системы и осями, направленными на
неподвижные звезды). Система координат с началом в точке
подвеса маятника и с осями, не меняющими своего расположения
относительно Земли, представляется здесь несравненно более
целесообразной и, если угодно, естественной. Однако такая система
координат является не «абсолютной», а подвижной системой *.
Если в основном уравнении динамики
mw = F (1.1.19)
под величиной w понимать ускорение wr по отношению к
подвижной системе координат материальной точки с массой т, а под F —
по-прежнему физическую силу, то уравнение становится
неверным. Его следует, как известно, заменить уравнением
шг = F + P + Q,
(1.1.20)
где Ρ и Q суть так называемые переносная и кориолисова силы
инерции (рис. 6), выражающиеся формулами
Р = — mwe
Q =
mwc
(1.1.21)
(1.1.22)
Здесь we к wc — соответственно переносное и кориолисово
ускорения материальной точки, обусловленные движением выбранной
подвижной системы координат по отношению к системе
«абсолютной». Переносное ускорение зависит в общем случае также от поло-
* Она не является также и инерциалъной (галилеевой) системой
координат, так как по отношению к системе «абсолютной» ее начало имеет
ускорение, отличное от нуля, а сама система вращается вместе с Землей.

296 ГЛАВА I. ОЧЕРК хМЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
жения, а кориолисово ускорение — от скорости точки по отношению
к подвижной системе координат *.
Уравнение динамики относительного движения (1.1.20)
является непосредственным следствием основного уравнения динамики
точки в ее движении относительно «абсолютной» системы
координат. В самом деле, представим это основное уравнение динамики
в несущественно измененном виде
mwa = F, (1.1.23)
где wa — новое обозначение ускорения материальной точки
относительно «абсолютной» системы координат.
Согласно формулам кинематики точки, имеет место соотношение
wa --=wr + we + wc. (1.1.24)
Учитывая теперь в равенстве (1.1.23) соотношение (1.1.24) и
далее формулы (1.1.21), (1.1.22), приходим к уравнению (1.1.20).
Остановимся несколько более подробно на смысле векторов:
wr — относительного ускорения, где — ускорения переносного
и wc — кориолисова ускорения. Для этой цели обозначим через
xyz подвижную систему координат и через х, у и ζ — координаты
некоторой движущейся по отношению к ней точки L.
Проекции вектора относительного ускорения W точки на оси
подвижной системы координат xyz представляются, как известно,
формулами
г d2x r d2if r d2z ,. . OCN
">* = -**' wv = ~dir' ^=ήτ· (1Л-25>
Формулы (1.1.25) определяют относительное ускорение
аналитически. Геометрически относительное ускорение можно определить
следующим образом. Рассмотрим в некоторой вспомогательной
«абсолютной» системе координат ξη ζ воображаемую точку Λ с
такими координатами ξ, η, ζ, чтобы они в любое мгновение времени
t были соответственно равны координатам х, у и ζ действительной
точки L в подвижной системе xyz (рис. 7). Таким образом, для
произвольного аргумента t имеют место следующие попарные
равенства функций:
£№=* (0, η (0 = У (0, £(*)=* (0. (1.1.26)
«Абсолютное» ускорение воображаемой точки Λ по
определению является пределом отношения приращения вектора скорости
точки Λ относительно «абсолютной» системы координат ξηζ к
* Ниже приводятся формулы (1.1.29), (1.1.33) для проекций переносного
и кориолисова ускорений на оси подвижной системы координат, а также
формулы (1.1.30) и (1.1.31), представляющие эти ускорения в векторной
форме.

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 297
соответствующему интервалу времени при стремлении последнего
к нулю. Пользуясь произвольностью выбора «абсолютной» системы
координат ξηζ, расположим ее оси так, чтобы в какое-либо
мгновение t — tx они оказались бы соответственно параллельными
осям подвижной системы xyz (рис. 8). Тогда в это же мгновение
вектор иг относительного ускорения действительной точки L
оказывается равным «абсолютному» ускорению воображаемой точйи
Λ. Тем самым относительное ускорение определяется через
ускорение «абсолютное». Такое определение может произвести
впечатление излишне сложного. Однако оно устраняет надобность в
нередко встречающихся и не поддающихся четкому толкованию
определениях типа: относительное ускорение точки — это то
ускорение, которое видит наблюдатель, связанный с подвижной
системой координат и не замечающий движения последней. Введение
упомянутой выше воображаемой точки Λ, воспроизводящей
в «абсолютной» системе координат ξη ζ движение точки L по
отношению к подвижной системе xyz, окажется полезным и в
дальнейшем.
Перейдем к определению переносного ускорения we. В
каждое мгновение времени, например, в мгновение t = ί1? точка L
занимает в подвижной системе координат xyz некоторое определенное
место Μ (рис. 9). Обозначим через a, b и с координаты этого места
М. Таким образом,
* (*ι) = α> У (*ι) = Ь, ζ (tx) = с.
(1.1.27)
Постоянные величины а, Ъ и с будем рассматривать, как
координаты точки воображаемого твердого тела, жестко связанного
с подвижной системой координат xyz и, следовательно, вместе с нею
совершающего движение по отношению к «абсолютной» системе.

298 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Рис. 8
Рис. 9
«Абсолютное» ускорение точки этого тела с упомянутыми
постоянными координатами а, Ъ, с и является переносным ускорением we
точки L, перемещающейся в подвижной системе координат xyz.
В кинематике твердого тела выводятся формулы для проекций
ускорения произвольной его точки на оси жестко связанной с ним
системы координат xyz, справедливые для самого общего случая
движения твердого тела *. Эти формулы можно представить в виде
W*
dq
dr
w°x + "Ж с 1ГЪ + P(pa + qb + re) — ω2α,
о ι dr
dt
dp
W-
dt
dp
~df
dt
dq
IT
c + q(pa + qb + re) — ω26, (1.1.28)
w\ + -£- b -fi-a +r (pa + qb + re) — (o2c.
Здесь ρ, q и г — проекции на оси х, у и ζ вектора угловой скорости
ω этого твердого тела, являющейся одновременно и угловой
скоростью самой системы координат xyz по отношению к «абсолютной»
системе
«абсолютного» ускорения начала системы xyz.
**· wx, Wy и w°z — проекции на подвижные оси х, у и ζ
* См. Суслов Г. К. Теоретическая механика. М.— Л., Гостехиз-
дат, 1944.
*н Угловая скорость твердого тела является одной из величин,
характеризующих его физическое состояние. Угловая скорость может быть измерена
(посредством, например, гироскопов или измерителей
центростремительных сил) без какой-либо информации о положении тела по отношению к
«абсолютной» системе координат. Поэтому термин абсолютная угловая
скорость тела в отличие от «абсолютной» скорости точки должен
употребляться без кавычек.

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 299
Заменяя в последних формулах величины а, Ьжс соответственно
на текущие координаты х, у и ζ, приходим к следующим
выражениям для проекций переносного ускорения we точки L,
совершающей движение по отношению к подвижной системе координат xyz,
а именно:
wex = w°x + -£- ζ — -£- у + ρ (ρχ + qy + г ζ) — ω2χ,
wl = wl + ^x — ^z + q(px + qy + rz)-- со2г/, (1.1.29)
w\ = w\ + -£-y J- x + r (px + qy + rz) — ω2ζ.
Отметим, что векторное представление переносного ускорения
имеет вид
we = w<> + -^J- X г + ω (ω-f) — ω2ΐ. (1.1.30)
Здесь UP — вектор абсолютного ускорения начала системы
координат xyz, ω — по-прежнему вектор абсолютной угловой скорости
этой системы и ? — радиус-вектор в той же системе координат
xyz движущейся точки L, т. е. вектор, проекциями которого на оси
этой системы являются переменные величины χ = χ (t), у = у (t)
и ζ = z(t); косой крест в формуле (1.1.30) означает, как обычно,
операцию векторного произведения, а точка — скалярного.
Наконец, кориолисово ускорение представляется в векторной
форме выражением
wc = 2ω X yr, (1.1.31)
где ντ — вектор относительной скорости точки L по отношению
к подвижной системе координат xyz, т. е. вектор, проекции
которого на оси этой системы суть величины
г _ dx_ vr -JL vr = — (ί 1 32ϊ
и который можно определить геометрически аналогично вектору
относительного ускорения wr, как это было сделано несколько
выше.
Проекции кориолисова ускорения гдс на оси подвижной системы
координат xyz выражаются формулами
wx = 2 (qvl — rvry),
wcy = 2(rurx -ρυ% (1.1.33)
w\ = 2 (pvry — qvrx).

300 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Кориолисово ускорение можно трактовать как геометрическую
сумму двух составляющих. Первая из них — та часть производной
по времени вектора νν (τ. е. производной вектора
относительной скорости точки L), которая образуется за счет вращения
вектора Ъг вместе с подвижной системой координат. Вторая—также
часть производной, но уже вектора переносной скорости vey
возникающей из-за изменения этого вектора при перемещении
точки L из одного места подвижной системы координат в другое. Обе
эти составляющие кориолисова ускорения в точности одинаковы.
Итак, основное уравнение динамики относительного движения
(1.1.20) наряду с физической силой F содержит в своей правой
части две эйлеровы силы инерции — переносную Ρ и кориолисову Q.
Переносная и кориолисова силы инерции не являются силами
физическими, в этом смысле они фиктивны. В самом деле, обе
эйлеровы силы инерции зависят исключительно от обстоятельств
кинематического характера, связанных с выбором конкретной
подвижной системы координат, и не отражают взаимодействия
данной материальной точки с какими-либо другими телами. Им,
в частности, нельзя поставить в соответствие силы
противодействия. Следовательно, закон равенства и противоположной
направленности действия и противодействия (третий закон Ньютона)
никакого отношения к ним не имеет. Поэтому эйлеровы силы
инерции нередко называют еще псевдосилами *.
При замене одной подвижной системы координат на другую
эйлеровы силы инерции могут измениться кардинальным образом.
Например, если подвижная система координат перемещается
поступательно, т. е. ее угловая скорость по отношению к «абсолютной»
системе (абсолютная угловая скорость) равна нулю, то
кориолисова сила инерции вообще исчезает, а переносная сила инерции
произвольной материальной точки не зависит от положения
последней в подвижной системе. В частности, переносные силы инерции
элементарных частей сплошного тела в случае такой подвижной
системы координат параллельны друг другу; их
равнодействующая равна произведению общей массы всего тела на абсолютное
ускорение начала подвижной системы координат. При любой
ориентации тела эта равнодействующая сил инерции проходит через
его центр инерции. Такие поступательно перемещающиеся системы
координат, в частности, удобны для рассмотрения теоретических
вопросов механики гироскопических систем.
Особо остановимся на подвижных поступательно
перемещающихся системах координат, у которых их начала, а следовательно,
и любые точки с неизменными в этих системах координатами
движутся прямолинейно и равномерно по отношению к «абсолют-
* См. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по
физике, изд. 2-е. М., «Мир», 1967.

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 301
^
^-тч
ζ
^
у
4^
V LE
Рис. 10
ной» системе координат (т. е. движутся с «абсолютным» ускорением,
равным нулю). Это так называемые галилеевы системы координат,
или, как их еще называют физики, галилеевы системы отсчета
(включая в состав системы отсчета также и «местные» часы).
В таких подвижных системах не только кориолисовы, но и
переносные силы инерции равны нулю, и, следовательно, основное
уравнение динамики (1.1.20) для галилеевых систем по форме
совпадает с основным уравнением динамики(1.1.23) для движения
по отношению к «абсолютной» системе координат. Отсюда следует,
что «абсолютная» система не имеет каких-либо особых, только ей
присущих, преимуществ. Любая галилеева система координат ей
полностью эквивалентна. Все законы механики и их следствия при
изучении движения по отношению к произвольно выбранной гали-
леевой системе имеют идентичный вид. Галилеевы системы нередко
называют также инерциальными.
Наименование инерциальной системы координат «галилеевой»
скорее служит цели дополнительного увековечения имени
гениального ученого Галилея, чем отражает тот факт, что эта система была
предложена самим Галилеем точно в таком виде, как мы ее теперь
понимаем. Галилей в своих знаменитых «Беседах» * принимает,
что внутри корабля, движущегося равномерно в одном и том же
направлении, все механические явления, в частности падение тел,
неотличимы от аналогичных явлений, происходящих внутри
неподвижного корабля, пришвартованного к пирсу. Однако Галилею
сферическая форма Земли и факт ее вращения были хорошо
известны. Таким образом, Галилей за инерциальную систему
координат, в нашем понимании этого слова, принимал систему,
равномерно обращающуюся вокруг Земли по большому кругу. Как
* Галилей Галилео. Беседы и математические доказательства,
касающиеся новых отраслей науки.— В кн.: Галилей Галилео. Избр. тр. Т. 2. М.,
«Наука», 1964.

302 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
следствие, стрельба из пушки под одним и тем же углом к горизонту
на восток и на запад, по мнению Галилея, должна была приводить
к одной и той же дальности полета ядра 1е — lw (рис. 10), а
падающие тела не должны были отклоняться к востоку от вертикали *.
Вернемся к общему случаю подвижных систем координат, т. е.
систем неинерциальных, и к основному уравнению динамики
(1.1.20) для движения материальной точки относительно таких
систем. Как уже упоминалось выше, согласно уравнению (1.1.23)
механика относительного движения отличается от механики
«абсолютного» движения (а также и от механики движения
относительно галилеевых систем координат) необходимостью учета наряду
с физическими силами также еще и псевдосил, т. е. эйлеровых
сил инерции — переносной и кориолисовой. Разумеется, должны
приниматься в расчет эйлеровы силы инерции всех материальных
точек и всех элементарных частей сплошных тел, входящих в
состав рассматриваемой механической совокупности.
Можно предложить следующее определение эйлеровых сил
инерции. Аналогично приему, изложенному выше при
определении относительного ускорения, рассмотрим вспомогательную
механическую совокупность, полностью идентичную основной
механической совокупности по распределению ее масс. Пусть эта
вспомогательная совокупность совершает в точности такое же
движение по отношению к произвольно выбранной «абсолютной»
системе координат ξηζ, какое совершает основная механическая
совокупность по отношению к данной подвижной системе xyz.
Таким образом, произвольной материальной точке или
элементарной части сплошного тела основной совокупности с текущими
координатами χ (t), у (t), ζ (t) во вспомогательной механической
совокупности соответствует материальная точка или элементарная
часть сплошного тела с той же массой и с координатами | (£),
η (ί), ζ (ί), причем
ξ (t) = χ (f), η (0 = У W, С (0 = * (0· (1.1-34)
Пусть далее на все материальные точки и элементарные части
сплошных тел вспомогательной механической совокупности
действуют те же физические силы (внешние и внутренние), что и на
основную совокупность, т. е. силы той же величины, приложенные
к тем же местам и так же ориентированные относительно осей
«абсолютной» системы координат ξηζ, как они ориентированы
относительно подвижной системы xyz.
* Интересно, что Галилей был чрезвычайно близок к открытию первой
космической скорости, поставив вопрос о том, всегда ли упадет на Землю
ядро пушки, стреляющей в горизонтальном направлении (при отсутствии
сопротивления движению ядра со стороны воздуха). Однако он ошибся при
подсчете бесконечно малых.

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 303
Чтобы движение вспомогательной механической совокупности
относительно «абсолютной» системы координат ξηζ в точности
повторяло движение основной механической совокупности
относительно подвижной системы координат xyz, необходимо в общем
случае к вспомогательной системе приложить, помимо физических
сил основной системы, еще дополнительные силы. Так как
движение рассматривается по отношению к «абсолютной» системе
координат, то это могут быть только физические силы. Очевидно, что
они в точности соответствуют эйлеровым силам инерции.
Таким образом, эйлеровы силы инерции равны тем физическим
силам, которые следует добавить к исходным физическим силам,
чтобы воспроизвести относительное движение какой-либо
механической совокупности как движение абсолютное. Заметим,
в частности, что внутренние усилия в телах вспомогательной
механической совокупности будут точно такими же, как и в основной
совокупности.
Благодаря такому определению эйлеровых сил инерции
оказываются излишними не слишком ясные, тем не менее встречающиеся
рассуждения о том, что силы инерции должны рассматриваться как
обычные наблюдателем, перемещающимся вместе с подвижной
системой координат и считающим ее как бы неподвижной.
В заключение рассмотрим, какой вид имеют уравнения
движения материальной точки по отношению к так называемой
«падающей» системе координат, имеющей существенное значение для
теоретических и прикладных вопросов. Введем поступательно
перемещающуюся систему координат ξ*η* ζ*, начало которой
находится в центре масс некоторого небольшого тела (например,
искусственного спутника), совершающего движение в космическом
пространстве (рис. 11). Такое тело движется под действием сил
притяжения ко всем небесным телам нашей Солнечной системы,
т. е. к Солнцу, Земле, Луне,_ большим и малым планетам и их
спутникам. Обозначим через / вектор суммарной силы тяготения
к перечисленным телам, приходящейся на единицу массы
рассматриваемого тела, и пусть Μ — масса последнего. Из-за небольших
размеров тела по сравнению с расстоянием до центров масс
небесных тел Солнечной системы можно принять, что все силы
тяготения, действующие на его элементарные части, параллельны друг
другу. Тогда уравнение движения центра массы самого тела по
отношению к «абсолютной» системе координат ξηζ представится в
виде
Mw° = Mf. (1.1.35)
Здесь w° — «абсолютное» ускорение начала системы координат
ξ*η*ζ*, τ. е. ускорение по отношению к системе ξηζ. Очевидно,
что
w° = J. (1.1.36)

304 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Рис.
Пусть материальная точка, обладающая массой т, совершает
движение в непосредственной близости к рассматриваемому телу.
В соответствии с изложенным выше, имеем следующее уравнение
относительного движения этой точки по отношению к подвижной
системе координат ξ*η*ζ*
mwr = F + P + Q. (1.1.37)
Здесь F — сила тяготения материальной точки к телам
Солнечной системы, Ρ — переносная ж Q — кориолисова силы инерции.
В данном случае сила тяготения с большой точностью
представляется формулой
F = mf. (1.1.38)
При определении переносной силы инерции
p^—mW (1.1.39)
следует учесть, что по предположению система координат ξ*η* ζ*
перемещается поступательно. Поэтому
we = w<>. (1.1.40)
Кориолисова сила инерции Q в рассматриваемом случае
отсутствует. В самом деле,
Q = — 2тс5* X vr, (1.1.41)
где ω* — угловая скорость системы координат ξ*η*ζ*. Однако
со* равна нулю.
о
и

§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ 305
В результате учета формул (1.1.38)—(1.1.40) и отсутствия силы
Q уравнение (1.1.37) приводится к виду
mwr = mf — mw°. (1.1.42)
В соответствии с равенством (1.1.36), правая часть последнего
уравнения равна нулю. Отсюда следует, что
wr = 0, vr = const. (1.1.43)
Таким образом, материальная точка т, если пренебречь
воздействием на нее массы М, должна совершать по отношению к
системе координат ξ*η*ζ* равномерное и прямолинейное движение.
В частности, при равенстве в начальное мгновение времени
относительной скорости W нулю, точка окажется по отношению к этой
системе в состоянии относительного покоя.
Введенная система координат ξ*η*ζ* называется падающей *.
Она не обязана, разумеется, вместе с несущим ее телом массы Μ
непременно падать на Землю или на какое-либо другое небесное
тело. Название это условное. Начало такой системы можно
поместить в центр масс, например, космического корабля или
ракеты при условии, если их двигатели выключены **. С известным
приближением падающую систему координат можно связать и с
падающим на самом деле тяжелым лифтом или с самолетом,
совершающим в течение некоторого времени программное движение
точно такое же, какое он имел бы при отсутствии атмосферы и
неработающих двигателях. В падающих системах координат
относительное движение тел совершается так, как если бы в
земных условиях они были бы лишены тяжести, т. е. находились
бы в состоянии так называемой «невесомости» ***.
Поместим, наконец, начало системы координат |*η*ζ* в центре
Земли. Согласно изложенному, движение тел (например, маятника
Фуко и снаряда) по отношению к этой системе происходит
практически так, как если бы она сама была «абсолютной», а притяжение
тел к Солнцу, Луне и другим небесным телам (кроме Земли)
отсутствовало бы вовсе.
* Inertial guidance. Ed. by Pittman G. R. London, 1962. Русск. пе-
рев.: Инерциальные системы управления. Под ред. Питтмана Д. М., Воен-
издат, 1964.
** Случай, когда двигатели ракеты или космического корабля работают,
приводит к важному для практики рассмотрению движения и равновесия
тел по отношению к поступательно перемещающейся системе координат,
начало которой движется ускоренно вместе с центром массы ракеты или
корабля. (См. теорию нъютонометра в § 1 гл. IV настоящей книги).
*** Более подробное изложение вопросов «невесомости» см. в брошюре автора
«Класична механгка i сили терцИ». Кшв, «Знания», 1970, а также в его же
статье «Классическая механика, силы инерции, невесомость».— В сб.:
Теоретическая механика во втузах. Изд. 2-е. М., «Высш. школа», 1975.

306 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 2. Невозмущаемый физический маятник
Полезным примером, иллюстрирующим законы механики
относительного движения (см. предыдущий параграф настоящей
главы), является рассмотрение задачи о движении физического
маятника, точка подвеса которого перемещается по невращающейся
сфере S, концентрической с земным шаром *. Пренебрежем
влиянием на движение маятника Солнца, Луны и других небесных тел.
Соответственно, систему координат ξη ζ с началом в общем центре
Земли и сферы S и с осями, не изменяющими ориентации
относительно направлений к неподвижным звездам, примем за
«абсолютную». Будем считать, что Земля — шар с радиальным (зависящим
только от расстояния до центра Земли, в частности, постоянным)
распределением плотности. Тогда тяготение массы маятника _к
Земле окажется практически эквивалентным единственной силе F,
проходящей через центр тяжести маятника и центр Земли.
Пренебрежем трением в подвесе маятника и воздействием на него
окружающей среды. Тело маятника будем считать абсолютно
твердым.
Обозначим через х, у и ζ главные оси инерции массы
маятника, проходящие через точку его подвеса; эти оси образуют систему
координат xyz, жестко связанную с маятником. Составим
уравнения движения маятника относительно поступательно
перемещающейся (и, следовательно, невращающейся) системы координат
ξ*η*ξ* с началом в точке его подвеса. В соответствии с
изложенным в § 1 настоящей главы, эти уравнения будут отличаться от
известных уравнений Эйлера движения твердого тела вокруг
неподвижной точки по отношению к «абсолютной» системе координат —
А ■%-+&-B)qr=Mx,
В^- + (А-С)гр=Му, (1.2.1)
С-^-+(В-А)рд = М„
тем, что в их правые части Мх, Му и Μζ следует ввести^ наряду с
моментами относительно осей х, у и ζ силы тяготения F, также и
соответствующие моменты эйлеровых сил инерции. В состав по-
* Введение упомянутой сферы S оказывается полезным во многих случаях
исследования движения гироскопических и инерциалъных систем. Уравнения
движения, составленные по отношению к такой сфере, не принимающей
участия во вращении Земли, оказываются наиболее простыми. Особенно это
относится к теории гироскопического компаса, гироскопического маятника
Шулера — Булгакова, невозмущаемого физического маятника и к основной
задаче инерциалъной навигации.

§ 2. HEB03 МУЩАЕМЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
307
следних в общем случае входят переносные и кориолисовы силы
инерции. Однако система координат ξ*η*ζ*, по отношению к
которой составляются уравнения движения маятника, перемещается
поступательно, и ее абсолютная угловая скорость ω* равна нулю.
Поэтому, как было указано в предыдущем параграфе,
кориолисовы силы инерции в данном случае отсутствуют вовсе, а
переносные силы инерции элементарных масс маятника сводятся к
единственной силе Р, проходящей через его центр массы. Эта сила
равна произведению величины массы т всего маятника на
ускорение w точки его подвеса, т. е. начала подвижной системы
координат ξ*η*ξ*_относительно введенной выше «абсолютной» системы
ξηξ. Сила Ρ параллельна вектору w упомянутого ускорения,1 но
имеет противоположное направление, т. е.
ρ = — mw. (1.2.2)
В результате замены правых частей уравнений (1.2.1) на суммы
моментов сил F и Ρ соответственно относительно осей xf у и ζ
уравнения движения маятника примут следующий вид:
л dP
dt
+ (C-B)qr = yc (Fz + Pz) - zc (Fy + Py),
В-^ + (А-С)гр = *с(Fx + Px) - xc(Fz + Pt), (1.2.3)
C ЧГ + (B~A)P<1 = *c(Fy + Py)-yc(Fx + Px).
Здесь xc, yc, zc — координаты центра массы маятника в системе
xyz, связанной с маятником; F x, Fyy Fζίι Рх, Р^у, Ρ ζ — проекции
соответственно на оси х, у и ζ силы тяготения F и
равнодействующей Ρ переносных сил инерции; А, В и С, как[и выше,— главные
моменты инерции массы маятника, или, что тоже, моменты
инерции относительно главных осей инерции х, у и ζ; наконец, р, q,
г — проекции на те же оси угловой скорости ω маятника и
связанной с ним системы координат xyz (относительно невращающейся
системы координат ξ*η*ζ*, или, что одно и то же, относительно
«абсолютной» системы ξηζ).
В дальнейшем ограничимся случаем такого маятника, у
которого центр массы расположен на отрицательной части оси z,
являющейся, кроме того, осью динамической симметрии (рис. 12).
Соответственно в уравнениях (1.2.3) положим
А = В (1.2.4)
и
*с = Ус = О, *с = ~ U (1.2.5)
где I — расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

308 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
В результате уравнения (1.2.3)
принимают следующий вид:
А^-
л dt
. + (C-A)qr = l{Fy + Pv),
А-^Г+(А-С)гр =
«4--»·
(1.2.6)
Рис. 12
Из последнего уравнения (1.2.6)
заключаем, что при любом
движении точки подвеса маятника
проекция его угловой скорости
на ось динамической симметрии
с течением времени остается
неизменной, т. е.
г = const. (1.2.7)
Рассмотрим в настоящем
параграфе одну частную задачу о
поведении физического
маятника, точка подвеса которого
перемещается по сфере S. Именно, выясним условия, при
соблюдении которых ось ζ динамической симметрии маятника с подвижной
точкой подвеса неизменно будет проходить через центр Земли.
Предположим, что параметры маятника — его главные
моменты инерции А = В и С, масса т, расстояние I между его центром
масс и точкой подвеса, а также начальные обстоятельства движения
маятника и, наконец, характер движения его точки подвеса по
сфере S таковы, что и в самом деле ось ζ все время проходит через
центр Земли. В этом случае, помимо условия (1.2.7), должны
обращаться в тождества также и первые два уравнения (1.2.6).
В них теперь следует положить проекции F х и Fy силы тяготения
равными нулю, так как последняя проходит через центр масс
маятника и через центр Земли и, следовательно, направлена по оси ζ.
После сделанного замечания упомянутые уравнения приводятся
к виду
A)qr=lPv
C)rp=-lPx
(1.2.8)
где г — постоянная величина в силу первого интеграла (1.2.7).

§ 2. НЕВОЗМУЩАЕМЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 309
Определим теперь составляющие Рх и Ру равнодействующей
переносных сил инерции, для чего воспользуемся формулой
(1.2.2). Заметим прежде всего, что система координат xyz,
связанная с маятником, движется в рассматриваемом случае так, что
оси хж у касаются сферы S, а ось ζ является продолжением
радиуса R, проведенного из центра этой сферы к точке подвеса маятника.
Таким образом, оси х, у и ζ можно рассматривать как ребра
некоторого трехгранника Дарбу, перемещающегося по сфере S *.
Обозначим через vx, vy, νζΉ wx, wy, wzпроекции на ребра χ, у, ζ
соответственно скорости и ускорения относительно «абсолютной»
системы координат ξη ζ вершины трехгранника Дарбу, т. е.
начала системы координат xyz, совпадающего с точкой подвеса
маятника и с началом подвижной невращающейся системы ξ*η*ζ*.
Для дальнейшего необходимы формулы, выражающие проекции
скорости ν и ускорения w вершины трехгранника Дарбу на его
ребра через проекции на те же ребра его угловой скорости ω.
Дадим здесь вывод этих формул. Если с трехгранником Дарбу
связать твердое тело, то окажется, что у такого тела при
надлежащих его размерах одна точка всегда остается неподвижной,
какой бы ни был характер движения вершины трехгранника по
сфере S. Эта точка совпадает с общим центром сферы S и Земли.
Она расположена на расстоянии радиуса R сферы S от вершины
трехгранника на отрицательном направлении оси ζ.
Введем систему координат x'y'z' с началом в центре Земли и с
осями х' и у', соответственно параллельными ребрам
трехгранника χ и у. Ось ζ' этой системы направлена по тому же радиусу
сферы S, что и ребром. Угловая скорость ω' у новой системы
координат x'y'z', очевидно, та же, что и у трехгранника xyz. Поскольку
начало системы x'y'z' неподвижно, имеем следующие формулы
Эйлера для проекций vx>, vy>, vz> на оси χ', у', ζ' скорости любой
точки твердого тела, связанного с этой системой, а следовательно,
и с трехгранником Дарбу:
ν* = ω'υ>ζ' — (u'z>y'.
vy> = ωΖ'χ' — gvz', (1.2.9)
νζ> = (дх>у' — ωυ'χ'.
Здесь χ', у' я ζ' — координаты какой-либо точки упомянутого
твердого тела в системе x'y'z', а ω^, ω^ и ωζ> — проекции на оси
этой системы ее угловой скорости ω'.
* Дарбу при рассмотрении геометрии кривых поверхностей ввел
подвижный трехгранник, вершина которого перемещается по
рассматриваемой поверхности, а одна из его граней этой поверхности касается. (См.
D а г Ъ о и χ G. Legons sur la theorie generale des surfaces et les applications ge-
ometriques du calcul infinitesimal. P. I. Paris, Gauthier — Villars, 1891—1914.)

310 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Так как оси х'', у', ζ' соответственно параллельны ребрам х, у и
ζ, то, разумеется,
*V = νχ,
ω^ = ρ,
IV = yv,
ω^ = g,
νζ>
ω^
= ^2,
= г.
(1.2.10)
Положим теперь в формулах (1.2.9) х' = у' = 0 и ζ' = R, что
соответствует координатам вершины трехгранника Дарбу в
системе x'y'z'. В результате с учетом формул (1.2.10) получим
vx = qR, vy = - pR, vz = 0. (1.2.11)
Ускорение с геометрической точки зрения является вектором
скорости относительно неподвижной системы координат конца
вектора самой скорости движущейся точки при условии
совмещения начала этого вектора с началом упомянутой системы. Что же
касается проекций wx>, wy>, wz> ускорения движущейся точки на
оси подвижной системы координат x'y'z', то они представляются
формулами *
dvx,
dv ,
wlf = —-^- + <u'Z'Vx> — iu'X'VZ', (1.2.12)
dvz' ,
WZ' = —jt 1- <u'x'Vy — <u'y>VX'.
Производные dvx>ldt, dvy>/dt и dvz<\dt в правых частях этих
формул характеризуют часть скорости конца вектора скорости,
возникающую за счет изменения величины этого вектора и его
направления по отношению к подвижной системе координат x'y'z'.
Остальные члены обусловлены другой частью скорости конца
вектора скорости уже из-за вращения самой системы x'y'z'.
Нетрудно видеть, что последние члены получаются из правых частей
формул (1.2.9), если в них заменить координаты х\ у' и ζ'
соответственно на проекции скорости vx>, vy> и vz>.
Учитывая в формулах (1.2.12) равенства (1.2.10) и (1.2.11),
получим следующие выражения для проекций ускорения вершины
трехгранника xyz на его же ребра:
w* = R {-чг + рг
Wy=-R^-qr\, (1.2.13)
«;z=-.R(p» + 0·
* См. первую сноску на стр. 298.

§ 2. НЕВ03МУЩАЕМЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
311
При этом, конечно,
wx> = wx, wy> = wy, wz> = wz. (1.2.14)
Зная «абсолютное» ускорение вершины трехгранника Дарбу
xyz, уже нетрудно определить проекции на его ребра
равнодействующей Ρ переносных сил инерции элементарных масс
физического маятника. Как уже было упомянуто выше, сила Ρ
обусловлена движением невращающейся системы координат ξ*η*ζ*
с началом в точке подвеса маятника, или, что то же, в вершине
трехгранника Дарбу xyz. Именно по отношению к этой
поступательно перемещающейся системе координат ξ*η*ζ*, как
указывалось выше, и составлены уравнения (1.2.3) движения маятника
вокруг точки своего подвеса. В соответствии с формулой (1.2.2),
имеем
рх = — ™>Щ = —mR (-±- + prj ,
Ру = - mwy =тН(^- sr) , (1.2.15)
Pz = — mwz = mR (ρ2 + q2).
Подставим теперь первые два выражения (1.2.15) в уравнения
(1,2.8). После очевидных упрощений получим два соотношения
(А - 1тВ)-^ + (С — А + ImR) qr - О,
(А - ImR) J±.-(C-A + ImR) pr - 0, (1.2.16)
в которых г — постоянная величина, равная проекции угловой
скорости маятника на ось ζ в начальное мгновение времени.
Соотношения (1.2.16) должны соблюдаться в любое мгновение
времени, т. е. тождественно, если при некотором движении точки
подвеса маятника по сфере S его ось динамической симметрии ζ
неизменно проходит через центр Земли. Выясним, каковы должны
быть условия обращения равенств (1.2.16) в тождества. Уже
упоминалось выше, что эти условия могут касаться как величин
параметров самого маятника А, С, т, I, так и характера движения
его точки подвеса по самой сфере S, а также радиуса Земли R
и проекции г угловой скорости маятника на ось ζ.
Соотношения (1.2.16) можно рассматривать как совокупность
однородных линейных алгебраических уравнений относительно
количеств А — ImR и С — А + ImR. Так как С Φ 0 (в противном
случае маятник представлял бы собой бесконечно тонкий стержень,
вытянутый вдоль оси z), to, по крайней мере, одно из этих
количеств не равно нулю. Поэтому равенства (1.2.16) могут обратиться

312 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
в тождества только в том случае, если будет равен нулю
детерминант
dp
— и ι ι
■ г (р 4-+ *-%-)· С1·2·17)
Д =
at V
do
-IF ~Pr
dt ' ч dt
Последнее возможно в двух случаях. В первом — детерминант
(1.2.17) обращается в нуль, если
г = 0, (1.2.18)
а во втором — при осуществлении равенства
В первом случае, т. е. при г = 0, в силу соотношений (1.2.16),
должно соблюдаться условие
А = ImR, (1.2.20)
а функции времени
Ρ = Ρ (t), q = q{t) (1-2.21)
могут быть совершенно произвольными. Отсюда, в согласии с
формулами (1.2.11), следует, что никакие изменения величины и
направления скорости движения точки подвеса по сфере S не
могут вывести маятник из такого состояния движения, при котором
ось ζ его динамической симметрии проходит через центр Земли,
а проекция г угловой скорости маятника на эту ось равна нулю.
В силу изложенных причин, только что описанный маятник
называется невозмущаемым. На принципиальную возможность
осуществления невозмущаемого маятника указал впервые М.
Шулер *, имя которого он и носит. К сожалению, практически
осуществить маятник Шулера не представляется возможным из-за
чрезвычайной малости необходимой величины его параметра Ζ **.
* S с h и I е г М. Die Storung von Pendel und Kreiselapparaten durch die
Beschleunigung des Fahrzeuges. Phys. Z., 1923, B. 24, H. 16.
** Интересно отметить, что условие (1.2.20) эквивалентно расположению
центра удара или1 что то же, центра качания физического маятника, в
центре Земли. Центр удара и точку подвеса можно менять местами.
Отсюда следует, что маятник Шулера не возмущается и при скачкообразном
изменении его скорости (последнее может происходить при импульсивном
воздействии на маятник в точке его подвеса по касательной к сфере S).
Заметим, что уже на современном уровне техники посредством
гироскопов можно осуществить такое устройство — чувствительный элемент
пространственного гироскопического компаса,— которое в пределах точности
прецессионной теории гироскопов, постоянно указывает направление на центр
Земли при произвольном перемещении точки подвеса чувствительного
элемента по ее поверхности.

§ 2. НЕВОЗМУЩАЕМЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
313
Перейдем теперь ко второму случаю, когда детерминант (1.2.17)
обращается в нуль из-за соблюдения равенства (1.2.19). Имеем,
в силу этого равенства,
ρ2 + φ = ω* = const, (1.2.22)
откуда
P^+Vuf^f. С1·2·23)
Здесь постоянная ωπ имеет простой смысл. Она равна проекции
угловой скорости ω трехгранника Дарбу xyz на его грань ху.
Первое соотношение (1.2.16) приводится теперь к виду
=F (Л - ImR) g -^ + (С-А + ImR) qr = 0. ' (1.2.24)
За исключением переменной q и ее производной по времени все
количества, входящие в последнее равенство, суть постоянные
величины. Поэтому, если проекция г угловой скорости трехгранника
xyz отлична от нуля, а проекция q является функцией времени,
то равенство (1.2.24) может иметь место лишь при условии
1 -^г = к= const. (1.2.25)
Последнее представляет собой дифференциальное уравнение
первого порядка для функции q = q (t), решая которое получаем
tf= <D„sin (kt + ε), (1.2.26)
где ε, равно как ωπ и А, постоянная величина.
Далее, в соответствии с формулой (1.2.23), имеем без потери
общности *
ρ = ωπ cos (kt + ε). (1.2.27)
Если теперь подставить выражения (1.2.27) и (1.2.26) в
соотношения (1.2.16), то оба они приводятся к единственному равенству
(А — ImR) к — (С — А+ ImR) г = 0, (1.2.28)
которое следует рассматривать как условие обращения
соотношений (1.2.16) в тождества.
Если положить в условии (1.2.28) к = 0, оно принимает вид
С- А + ImR = 0. (1.2.29)
* Отрицательному значению правой части формулы (1.2.23)
соответствует перемена знака у постоянной к и изменение значения постоянной ε
на π —- ε. В результате выражения (1.2.26) и (1.2.27) сохраняют тот
же самый вид и в случае отрицательного значения радикала (1.2.23).

314 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Рис. 13 Рис. 14
В силу формул (1.2.27), (1.2.26) и (1.2.7), при к = О проекции
р, q и г угловой скорости ω трехгранника Дарбу соответственно
на его ребра ж, у и ζ оказываются постоянными величинами. Из
этого обстоятельства, а также из-за наличия у трехгранника xyz
неподвижной точки — общего центра Земли и сферы S — следует,
что трехгранник xyz вращается с угловой скоростью ω вокруг оси,
не меняющей своей ориентации по отношению к «абсолютной»
системе координат ξη ζ. Пусть, например, точка подвеса
маятника относительно Земли неподвижна. Направим ребро χ
трехгранника Дарбу на восток и соответственно ребро у — на север.
Угловая скорость ω трехгранника xyz будет при этом постоянна и
равна угловой скорости Земли, а ее проекции на ребра х, у и ζ
соответственно равны величинам (рис. 13)
ρ = 0, q = U cos φ, г = U sin φ. (1.2.30)
Здесь U — угловая скорость Земли, а φ — географическая
(точнее, геоцентрическая) широта местоположения точки подвеса
маятника.
При соблюдении условия (1.2.29) линия маятника — прямая,
соединяющая точку подвеса с центром тяжести (ось ζ),— будет
в случае равновесия маятника относительно Земли проходить
через центр последней. Угловая скорость Земли U и широта φ
местоположения точки подвеса маятника в условии (1.2.29) не
содержатся. Однако величина радиуса Земли R входит в упомяну-

§ 2. НЕВОЗМУЩАЕМЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
315
тое условие, связывающее главные моменты инерции маятника А
и С, его массу т и параметр I.
При к =f=0 угловая скорость трехгранника Дарбу постоянна
лишь по модулю. В самом деле, в силу формул (1.2.22) и (1.2.7),
имеем
ω2 = ρ2 + q2 + г2 = ωΐ + г* = const. (1.2.31)
Однако направление вектора угловой скорости трехгранника
Дарбу по отношению к самому трехграннику и по отношению к
«абсолютной» системе координат ξη ζ (т. е. к сфере S) непрерывно
изменяется. Можно показать, что рассматриваемый случай
соответствует движению точки подвеса маятника по одному из
малых кругов сферы S. Для этой цели введем углы Эйлера ψ,
θ и φ (рис. 14 *, см. также § 5 гл. III первой книги),
характеризующие ориентацию связанной с физическим маятником системы
координат xyz (в данном случае одновременно являющейся
трехгранником Дарбу) относительно «абсолютной» системы ξη ζ.
Очевидно, что углы ψ и θ определяют положение точки подвеса
маятника или, что то же, начала системы координат xyz на сфере S.
В свою очередь, угол φ показывает, насколько повернулась
система xyz относительно меридиана места или, что то же, плоскости
ζζ. Проекции р, q и г угловой скорости системы координат xyz,
а следовательно, и физического маятника на оси х, у и ζ
выражаются, согласно известным кинематическим уравнениям Эйлера,
посредством формул
ρ = -if- sin Ό sin φ + -τ-— cos φ,
sin θ cos φ -τ--sin φ, (1.2.32)
* — dt -'"" —ψ dt
-—?·«· · + -£-·
Заменяя здесь проекции ρ, q и г их представлениями, согласно
равенствам (1.2.27), (1.2.26) и (1.2.7), приходим к совокупности
трех дифференциальных уравнений
—Tj— sin θ sin φ -f —π" cos φ = ωπ cos {Id + ε),
d\\i r/A
-τρ- sin θ cos φ -г—sin φ = ωκ sin (kt + ε), (1.2.33)
d\\> п . dtp
где г — постоянная величина.
* /f« /же. 24 для наглядности начало системы координат xyz смещено в
центр сферы S.

316 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Одно из частных решений
этих уравнений имеет
следующий вид:
θ = θ°, (1.2.34)
φ = -ту kt —ε,
Рис. 15
где θ° — постоянное
количество, которое определяется
следующим образом.
Подставим выражения (1.2.34)
в левые части уравнений (1.2.33).
Первые два из них сразу же
обращаются в тождества, а третье
приводится к равенству
G>„ctg6° — к= г (1.2.35)
и, следовательно, тоже становится тождеством, если за величину
Θ0 взять корень тригонометрического уравнения
tg9° =
k-j-r
(1.2.36)
Первые две формулы (1.2.34) показывают, что точка подвеса
физического маятника должна двигаться по малому кругу сферы
S с центром на оси ζ (рис. 15) со скоростью
at
(1.2.37)
Условие (1.2.28) позволяет выразить частоту к гармонического
изменения проекций ρ и q через проекцию г угловой скорости
маятника на ось ζ. Имеем
Подставляя это выражение в уравнение (1.2.36), получим
tg9°= л-гтя ^ (1>2>39)
Теперь постоянную ωπ можно исключить из правой части первой
формулы (1.2.34), в результате чего имеем
^л^Ьг^· С1·2'40)
То же самое можно проделать с равенством (1.2.37), и тем самым

§ 3. МАЯТНИК-ГИРОСКОП, НАПРАВЛЕННЫЙ К ЦЕНТРУ ЗЕМЛИ 317
привести выражение для скорости точки подвеса к виду
v = ^L·^0· с1·2·41)
Таким образом, задавая различные значения Θ0 и проекции г
угловой скорости физического маятника на ось его динамической
симметрии, получаем все семейство законов движений точки
подвеса физического маятника, соответствующее частному решению
(1.2.34), при которых ось ζ его динамической симметрии проходит
через центр Земли (при соблюдении, разумеется, надлежащих
начальных условий движения маятника).
Отправляясь от частного решения (1.2.34), можно построить
и общее решение совокупности дифференциальных уравнений типа
(1.2.33). Общему решению соответствует на сфере S множество
всевозможных окружностей, каждая из которых представляет
собой траекторию начала системы координат xyz, связанной с
физическим маятником, или, что то же, траекторию точки подвеса
маятника при заданных начальных условиях. В их числе
находится также окружность, расположенная на сфере S и
соответствующая частному решению (1.2.34) совокупности
дифференциальных уравнений (1.2.33). Далее в § 4 гл. VI показывается, что
любую кривую общего решения и одну из кривых частного
решения можно совместить друг с другом, перемещая любую из них
по сфере, как абсолютно жесткое образование (рис. 142 в том же
параграфе), т. е. без изменения кривизны и кручения в каждой
ее точке. При этом одновременно совмещаются соответствующие
оси систем координат xyz, которые относятся к совпадающим
точкам сферических кривых упомянутых общего и частного решений
совокупности уравнений (1.2.33). Тем самым построение общего
решения сводится к некоторому преобразованию координат,
соответствующему конечным вращениям твердого тела.
§ 3. Маятник-гироскоп,
ось которого направлена к центру Земли
Настоящий параграф близок по своему содержанию к
предыдущему. В частности выясняется, может ли быть произвольным
осесимметричный физический маятник, чтобы при неподвижной
относительно Земли точке подвеса его ось при отсутствии
возмущений неизменно проходила бы через центр Земли (последняя
по-прежнему принимается за шар с радиальным распределением
плотности). При этом считается возможным допустить вращение
маятника по отношению к Земле вокруг оси его динамической
симметрии с той угловой скоростью, которая окажется
необходимой. Ответ на этот вопрос оказывается положительным.

318 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Рис. 16 Рис. 17
Итак, пусть подобный маятник осуществлен и вращается
вокруг связанной с ним оси ζ его динамической симметрии,
проходящей через центр Земли. Ось ζ неподвижна относительно самой
Земли и образует угол Θ0 с ее осью ζ или, что то же, с вектором
U угловой скорости вращения Земли (рис. 16).
Свяжем с Землей систему координат enz, начало которой
расположено в точке подвеса маятника, т. е. в точке пересечения оси
ζ со сферой S или, что то же, с поверхностью Земли (по
предположению, поверхность Земли считается сферой того же радиуса,
что и сфера S). Ось η системы координат enz расположим в
плоскости меридиана местоположения точки подвеса маятника и
направим ее на север. Ось е направим на восток, а ось z,
естественно, явится продолжением радиуса Земли, соединяющего ее центр
с точкой подвеса маятника. Угловая скорость системы координат
enz, разумеется, совпадает с угловой скоростью Земли U.
Вследствие этого (рис. 16) проекции угловой скорости системы enz
на ее же оси составляют величины
I7n = i/ sin e°t (1.3.1)
Uz = UcosQ°,
где θ° — угол между осью ζ динамической симметрии физического
маятника и осью Земли ζ (угол Θ0 дополняет до зт/2 широту
местоположения точки подвеса маятника).
Координатная плоскость ху системы координат xyz, связанной
с физическим маятником, по предположению, совпадает с
координатной плоскостью еп системы enz, связанной с Землей, и ось ζ
у них общая. Обозначим через χ угол, который образует ось χ

§ 3. МАЯТНИК-ГИРОСКОП, НАПРАВЛЕННЫЙ К ЦЕНТРУ ЗЕМЛИ 319
с осью е. При χ > О система координат xyz повернута против
стрелки часов по отношению к системе enz, если вести наблюдение со
стороны положительного направления оси ζ (рис. 17). Угловая
скорость системы координат xyz отличается от угловой скорости
системы enz лишь на составляющую άχ/dt, имеющую направление
оси ζ. Эта составляющая представляет собой относительную
угловую скорость системы координат xyz по отношению к системе enz
и может быть названа видимой угловой скоростью физического
маятника. Проекции абсолютной угловой скорости системы
координат xyz (или, что то же, физического маятника) на оси х, у и ζ
были выше обозначены через р, q is. г. Учитывая сделанные
замечания, имеем в данном случае
ρ — Z7sin60sinx,
q = U sin9° cos χ, (1.3.2)
г = ^ + U cos θ°.
Подставим выражения для ρ и q в равенства (1.2.16) предыдущего
параграфа, которые должны удовлетворяться тождественно, если
ось ζ проходит через центр Земли. В результате, считая Θ0 =/= О,
придем к единственному соотношению
(А — ImR) ^ + {С - А + ImR) г = 0. (1.3.3)
Оно совпадает с полученным из других соображений условием
(1.2.28) предыдущего параграфа, если положить в последнем
% = -к? (1.3.4)
Подставим теперь в соотношение (1.3.3) выражение для
проекции г, согласно третьей формуле (1.3.2). В результате^простейших
преобразований получаем соотношение
С-^ = —(С-Л+ Zmi?) ί/cos6°, -(1.3.5)
согласно которому для физического маятника с произвольными
параметрами С, А, I ж т, расположенного в любом месте Земли,
можно подобрать такую угловую скорость d %/dt его видимого
вращения, чтобы ось маятника могла сохранять сколь угодно
долго направление к центру Земли.
Проекция г угловой скорости физического маятника на ось его
динамической симметрии, в силу третьего уравнения
совокупности (1.2.6) предыдущего параграфа, является постоянной
величиной. Вследствие этого, согласно третьей формуле (1.3.2),
остается постоянной и видимая скорость d%/dt вращения маятника,
т. е. его относительная угловая скорость по отношению к Земле.

320 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Если видимая угловая скорость d %/dt равна нулю, то маятник
полностью неподвижен относительно Земли, а его ось
динамической симметрии ζ по-прежнему будет направлена к центру Земли.
Из соотношения (1.3.5) в этом случае следует условие
А = ImR + С, (1.3.6)
налагаемое на параметры маятника, чтобы подобное движение
(т. е. относительное равновесие физического маятника по
отношению к вращающейся Земле) было возможно. Условие (1.3.6)
совпадает с условием (1.2.29), полученным в § 2 настоящей главы
несколько иным путем. В следующем параграфе то же условие (1.3.6)
будет еще раз получено при рассмотрении общего случая
равновесия физического маятника относительно невращающейся Земли.
Положим теперь
^ = -С/cos90, (1.3.7)
что, согласно третьей формуле (1.3.2), означает равенство нулю
проекции г угловой скорости маятника на ось ζ его динамической
симметрии. Согласно соотношению (1.3.5), получаем теперь
условие
А — ImR = 0, (1.3.8)
которое должно соблюдаться при осуществлении рассматриваемого
движения. Однако такое же условие (1.2.20) уже было получено
в предыдущем параграфе, когда выяснялась возможность
направления оси ζ неизменно к центру Земли при произвольном
движении точки подвеса маятника по поверхности сферы S. При этом,
помимо условия (1.3.8), оказалось еще необходимым равенство
нулю упомянутой проекции г угловой скорости маятника на ось
ζ. Очевидно, что движение точки подвеса физического маятника
по параллели Земли является частным случаем рассмотренного
выше произвольного движения по сфере S.
Вернемся к соотношению (1.3.5). Как уже отмечалось, оно
является необходимым условием возможности такого движения
физического маятника (с неподвижной относительно Земли
точкой подвеса), при котором ось его динамической симметрии
проходит через центр Земли *. Рассмотрим случай, когда видимая
угловая скорость άχ/dt такого маятника задана заранее (рис. 18).
* Заметим, что исходную формулу (1.3.5) можно получить посредством
применения модифицированных уравнений Эйлера, изложенных далее в § 1
гл. II настоящей книги. Сопутствующую систему координат x'y'z',
используемую в этом параграфе, следует связать с вращающейся Землей и
совместить, например, с системой enz (см. рис.18, на котором сила тяготения
маятника к Земле не указана).

§ 3. МАЯТНИК-ГИРОСКОП, НАПРАВЛЕННЫЙ К ЦЕНТРУ ЗЕМЛИ 321
ти2йшв°
г^г>ог%глйо
{С-А)и*ыъВ°йъ6
Рис. 18
Физический маятник уместно в этом случае называть гироскопом,
а произведение
(1.3.9)
at
— собственным кинетическим моментом этого гироскопа.
Карданов подвес у такого гироскопа должен или отсутствовать вовсе
(см., например, гироскоп на воздушном подвесе, § 1 гл. II) или быть
таким, чтобы не оказывать воздействия на ось собственного
вращения гироскопа, если эта ось по отношению к Земле
неподвижна *. Предполагается, конечно, что силы трения в подвесе
гироскопа отсутствуют, равно как нет и других физических сил,
действующих на ротор, кроме сил тяготения.
Примем, что, помимо άχ/dt, и остальные величины, входящие в
соотношение (1.3.5), являются заданными, за исключением
параметра I — расстояния между неподвижным относительно Земли
центром подвеса гироскопа и его центром массы. Согласно этому
соотношению, получаем
Ζ·-=-4ττί ,rH^ +C-A) , (1.3.10)
тН V U cos θ°
где величина Η определяется формулой (1.3.9).
* Непременным условием отсутствия такого воздействия является, как
можно показать, обращение центрального эллипсоида каждого из кардано-
вых колец подвеса в шар.

322 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
В зависимости от величины и знака собственного кинетического
момента Η центр тяжести ротора должен быть расположен или
выше, или ниже центра его подвеса (рис. 18).
§ 4. Равновесие физического маятника
относительно Земли
Приведем еще одну задачу механики относительного движения.
Рассмотрим физический маятник с неподвижной относительно
Земли точкой подвеса. Найдем положение его равновесия по
отношению к Земле при произвольном соотношении между
моментами инерции А = В, С и произведением ImR. В таком положении
вектор угловой скорости маятника ω совпадает с вектором
угловой скорости Земли {/, вследствие чего проекции вектора ώ на
оси х, у, ζ, т. е. величины/?, q, r постоянны и соответственно
равны проекциям на те же оси вектора Ό. Поэтому первые два
уравнения (1.2.6) § 2 настоящей главы принимают вид
(С - A) UZUV -l(Fv + Pv) =■■ О,
(1.4.1)
(C-A)UJ7x-l{Fx + Ps) = 0,
а третье уравнение обращается в тождество. Здесь, кроме
обозначений, уже встречавшихся в предыдущих параграфах, Ux, Uу,
U z — проекции угловой скорости Земли на оси системы
координат xyz, связанной с маятником.
Введем вектор
К = (С — A) UZU -IF - IP. (1.4.2)
Нетрудно видеть, что левые части равенств (1.4.1) представляют
собой проекции вектора К соответственно на оси χ ж у. Они равны
нулю. Следовательно, вектор К параллелен оси ζ.
Обозначим через λ, μ и ν направляющие косинусы оси ζ в
«абсолютной» системе координат ξη ζ, т. е. косинусы углов, которые
образует ось ζ соответственно с осями ξ, η и ζ. Имеем
Κ% = λΚ, Кц = μΚ, ϋΓζ - νΚ. (1.4.3)
Здесь ϋΓ|, ΚΆ и ϋΓζ — проекции вектора К на оси ξ, η и ζ.
Очевидно, что
#ζ = (С - A) UZU^ - IFz - lPl9
К^-=(С- A) UZU^ - IF* - IP*, (1.4.4
#ζ = (С - A)UZU^ - IF^ - ΖΡζ,
где Ub ?7η, ί/ζ, далее Fv F^ F^ и, наконец, Ρν Ρη, Ρζ —

§ 4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 323
проекции на оси ξ, η, ζ соответственно векторов угловой скорости
Земли £7, силы тяготения F и равнодействующей Ρ переносных
сил инерции.
Из формул (1.4.3) и равенств (1.4.4) следует пропорция
(С - A) UXJ^ -l(Fz + Pg) _ (С - Α)ϋζϋΆ - Ι (^ + Ρ J ^_
λ ~ μ
(С — A) UUr — l(FY + PY)
= - —-^ * ζ . (1.4.5)
Направление осей введенной выше «абсолютной» системы
координат ξηζ, начало которой расположено в центре Земли, может
быть задано как угодно. Представляется целесообразным
направить ось ζ этой системы вдоль земной оси. Тогда
Ul = Ur] = 0, UXo = U (1.4.6)
и, следовательно,
Uг = Uι cos z\ + ί/η cos ζη + ί/ζ cos ζζ = vU. (1.4.7)
Расположим далее ось η «абсолютной» системы так, чтобы в
рассматриваемое мгновение (рис. 19) точка подвеса физического
маятника оказалась бы в координатной плоскости η ζ. Исходные
уравнения (1.2.3) § 2 настоящей главы описывают движение маятника по
отношению к поступательно перемещающейся системе координат
ξ*η*ζ* с началом в точке подвеса маятника. «Абсолютное»
ускорение неподвижной относительно Земли точки подвеса направлено
перпендикулярно оси Земли, или, что то же, оси ζ. Поэтому в
рассматриваемое мгновение времени проекции на оси ξ, η и ζ
равнодействующей Ρ переносных сил инерции, обусловленных
движением невращающейся системы координат ξ*η*ζ*, представляются
выражениями
Рг = 0, Ръ = mU2R cos φ, Ρζ = 0. (1.4.8)
В свою очередь, формулы для проекций на те же оси ξ, η и ζ силы
F тяготения маятника к Земле, как нетрудно убедиться, имеют
следующий вид:
F^-^L· F^-ψ^ F^-ψζ,, (1.4.9)
где / — гравитационная постоянная; т — по-прежнему масса
маятника; Μ — масса Земли; г — расстояние между центром
Земли и центром тяжести маятника; £с, т]с и ζ€ — координаты этого
центра в «абсолютной» системе £т]£(рис. 19), причем, конечно,

324 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
7 ξε ξ
В самом деле, величина силы тяготения F маятника к Земле
определяется известной формулой Ньютона
ρ ^ fmM
г2
(1.4.11)
и направлена по радиус-вектору г к центру Земли. В свою очередь,
отношения координат £с, η<. и ζ0 к длине радиус-вектора г
соответственно равны направляющим его косинусам в системе ξη ζ.
Используя равенства (1.4.6) — (1.4.9) в пропорции (1.4.5),
получим после упрощений
ljmMlc
lmU*Br* cos φ + lfmMr\ (С — A) U^v + ЦтМ^
μ
. (1.4.12)
Координаты £с, г]с и ζ0 выражаются через направляющие
косинусы λ, μ и ν оси z в системе ξηζ посредством формул (рис. 19,
на котором радиус-вектор г и сила тяготения F не указаны)
ξο = ~ λ/,
η с = — i*J + R c°s φ,
£c = — vl + R sin φ.
(1.4.13)
Подставим правые части этих формул в равенство (1.4.10).
Учитывая известное соотношение
λ2 + μ2 + ν2 = 1,
(1.4.14)
получаем, что

§ 4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 325
В результате все члены пропорции (1.4.12) выражаются явным
образом через величины λ, μ и v. Эти величины, в свою очередь,
связаны соотношением (1.4.14).
Два равенства, на которые распадается пропорция (1.4.12)
и соотношение (1.4.14), с учетом формул (1.4.13) и (1.4.15)
образуют три алгебраических уравнения для отыскания искомых
величин λ, μ, ν. Последние задают направление оси ζ физического
маятника в его положении равновесия относительно
вращающейся Земли (точнее — относительно «абсолютной» системы
координат ξηζ, плоскость η ζ которой в рассматриваемое мгновение
времени проходит через точку подвеса маятника). Первое из
соотношений пропорции (1.4.12), если учесть формулы (1.4.13),—
единственное, которое содержит искомую величину λ, причем и в
числителе и в знаменателе. Отсюда следует, что величину λ можно
задавать какой угодно и, в частности, положить ее равной нулю.
В последнем случае, т. е. при
λ = cos \z = 0, (1.4.16)
центр тяжести маятника расположен в меридиональной
плоскости η ζ, содержащей, как уже упоминалось, также и точку подвеса.
Случаю λ Φ 0 соответствуют решения, аналогичные тем,
которые могут быть получены для очень длинного математического
маятника *. Сюда же относятся некоторые решения для случая
φ = π/2, когда точка подвеса маятника расположена на оси
Земли. Все они представляют сугубо теоретический интерес и
оставлены здесь без внимания.
Введем угол отклонения а динамической оси ζ симметрии
маятника от радиуса Земли, проходящего через точку подвеса (рис. 20).
Тогда, в случае λ = 0, имеем
μ = cos ηζ = cos (φ + α), ν = cos ζζ = sin (φ + α). (1.4.17)
Теперь, как следствие равенства двух последних отношений
пропорции (1.4.12) и формул (1.4.13), получаем уравнение
— I sin (φ+α) {mU2Rr3 cos φ — fmM [R cos φ — / cos (φ + α)]} =
= cos(cp+a) {(С—Л) U2r* sin (<p+a)+lfmM [R sincp—Z sin (φ+α)]},
(1.4.18)
содержащее искомый угол а. После несложных
тригонометрических преобразований оно приводится к виду
г д С Ί
/М sin α = U2r3 cos φ ТЩГ cos (Φ + α) s*n (ψ + °0· (1-4.19)
* См. статью автора «Об относительном равновесии физического
маятника с подвижной точкой опори».— ПММ, 1956, т. 20, вып. 3.

326 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Здесь вместо длины
радиус-вектора г следует подставить его
выражение, согласно формуле
(1.4.15).
Заметим, прежде всего, что
при условии
ΐτ^1 с1·4·20)
уравнение (1.4.19) допускает
решение
а = 0. (1.4.21)
Таким образом, при соблюдении
условия (1.4.20) центр Земли, Рис. 20
точка подвеса и центр тяжести
физического маятника,
находящегося в равновесии относительно Земли, лежат на одной прямой.
Однако этот случай выше уже был исследован другим путем, причем
условие (1.4.20) в точности совпадает с условием (1.2.29).
В принципе угол а может быть даже отрицательным. Именно,
центр тяжести маятника, расположенного в северном полушарии,
может в положении равновесия оказаться отклоненным от
вертикали не к югу, как всегда отклоняется математический маятник,
а к северу. Для этого, согласно формуле (1.4.19),
необходимо,чтобы соблюдалось неравенство
С > ImR,
что, в свою очередь, возможно лишь в случае
(1.4.22)
А > С. (1.4.23)
Одновременно расстояние / между точкой подвеса маятника и его
центром тяжести должно быть достаточно мало. Соответственно
неравенству (1.4.23) эллипсоид инерции маятника, построенный
для точки его подвеса, должен быть вытянутым вдоль оси ζ
динамической симметрии; следовательно, вытянутую вдоль оси ζ
форму должно иметь и тело маятника (рис. 21).
Разложим в уравнении (1.4.19) тригонометрические функции в
ряды по степеням искомого угла α и сохраним лишь члены первого
порядка относительно этой величины. В результате придем к
соотношению
2/ Μ
А —С
ImR
) sin 2φ + 2α
1 —
Α — σ
ImR
cos2cp + sin2 φ i ,
(1.4.24)

§ 4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 327
Рис. 21
Рис. 22
которое при соблюдении условия (1.4.20), так же, как уравнение
(1.4.19), обращается в тождество при а = 0.
Множитель перед фигурной скобкой в правой части равенства
(1.4.24) с большой точностью равен отношению центробежной
силы, обусловленной вращением Земли, к удвоенной силе тяжести
материальной точки, расположенной на экваторе. В самом д^ле,
С/2Г3
~mU2R
№
mU2R mU*I1
fmM
F
mg
(1.4.25)
где m — масса материальной точки, g — ускорение силы тяжести
и, кроме того, принято приближенно, что
F
г ~ Д,
mg.
(1.4.26)
Упомянутый множитель (1.4.25), как нетрудно заметить,
значительно меньше единицы (примерно в триста раз).
Соответственно можно пренебречь в правой части соотношения (1.4.24)
произведением этого множителя на величину угла а, предполагая, что
последняя также мала по сравнению с единицей. В результате
получим приближенную формулу
α =
U-
А
1т Η
sin 2φ,
(1.4.27)
которой удобно пользоваться для подсчета малого угла а
отклонения оси ζ динамической симметрии физического маятника от
направления к центру Земли. Из этой формулы вновь следует,
что угол а обращается в нуль, если выполняется условие (1.4.20).
Обозначим через Ас момент инерции маятника относительно
прямой, параллельной оси х, но проходящей через центр тяжести.

328 ГЛАВА I. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Согласно теореме Штейнера, имеем
А = Ас + ml2. (1.4.28)
Теперь формула (1.4.27) принимает вид
В случае математического маятника длины / в последней формуле
следует положить
Ас = С = 0. (1.4.30)
В результате получим следующую формулу для угла ат —
отклонения математического маятника к югу от направления к
центру Земли:
ocm = ^(i - 4-)8ίη2φ. (1.4.31)
В формулах (1.4.29) и (1.4.31), разумеется, можно пренебречь
отношением длины маятника / к радиусу Земли R по сравнению с
единицей. Сопоставление этих формул приводит к заключению, что
угол отклонения физического маятника а может быть и больше
и меньше угла ат отклонения математического маятника. Это
зависит от того, какой из моментов инерции больше — Ас или С,
т. е. от вида центрального эллипсоида инерции физического
маятника. Если этот эллипсоид вытянут, то а<ат, и, наоборот, если
сплюснут, то а>сст. В последнем случае тело физического
маятника должно иметь вид тонкого диска (рис. 22).
ЛИТЕРАТУРА
Андреев В. Д. Об одном случае малых колебаний физического маятника с
подвижной точкой опоры.— ПММ, 1958, т. 22, вып. 6.
Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. М., Гостехиздат, 1955.
Бухголъц II. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1—2. М.,
«Наука», 1972.
Галилей Галилео. Беседы и математические доказательства, касающиеся
новых отраслей науки.— В кн.: Галилей Галилео. Избр. тр. Т. 2. М.,
«Наука», 1964.
Гюйгенс X. Три мемуара по механике. М., Изд-во АН СССР, 1951.
Ишлинский А. Ю. Об относительном равновесии физического маятника с
подвижной точкой опоры.— ПММ, 1956, т. 20, вып. 3.
Ишлинский А. Ю. Галилео Галилей.— В сб.: Галилей и современность.
М., «Знание», 1964.
1шлтсъкий О. Ю. Класична мехашка i сили шерцп. Κηϊβ, «Знания», 1970.
Ишлинский А. Ю. Классическая механика, силы инерции, невесомость.~
В сб.: Теоретическая механика во втузах. Изд. 2-е. М., «Высш. школа»,
1975.
Ишлинский А. Ю., Блюмин И. Д. Теория гироскопических и инерциаль-
ных систем.— В кн.: История механики с конца XVIII века до середины
XX века. М., «Наука», 1972.

§ 4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 329
Лурье А. И. Свободное падение материальной точки в кабине спутника.—
ПММ, 1963, т. 27, вып. 1.
Суслов Г. К. Теоретическая механика. М.—Л., Гостехиздат, 1944.
Тихменев С. С. О положении равновесия физического маятника,
установленного на подвижном основании.— В сб.: Элементы расчета точных
приборов. М., Оборонгиз, 1954.
Darboux G. Legons sur la theorie generate des surfaces et les applications geo-
metriques du calcul infinitesimal. P. 1—4. Paris, Gauthier — Villars, 1887.
Einstein A. Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie.— Ann. Phy-
sik, 1916, Bd. 49, H. 7. Рус. перев. см. в кн.: Эйнштейн А. Собр. науч.
тр. Т. 1. Работы по теории относительности. 1905—1920. М., «Наука»,
1965.
Feynman R. P., Leighton R. В., Sands M. The Feynman lectures on physics.
Vol. I. Reading (Mass.), Addison — Wesley Publ., 1963. Рус. перев.: Фейн-
ман Р., Лейтон Р., Сэндс Μ. Фейнмановские лекции по физике. Изд.
2-е. М., «Мир», 1967.
Foucault L. Sur une nouvelle demonstration experimentale du mouvement de
la terre, fondee sur la fixite du plan de rotation.— С. г. Acad. sci. Paris,
1852, vol. 35.
Inertial guidance Ed. by Pittman G. R. N. Y.—London, 1962. Рус.
перев.: Инерциальные системы управления. Под ред. Питтмана Д. М.,
Воениздат, 1964.
Schuler Μ. Die Stoning von Pendel und Kreiselapparaten durch die Beschle-
unigung des Fahrzeuges.—Phys. Z., 1923, B. 24, H. 16.
Schuler M. Mathematischer Anhang zu dem Vortrage von Dr. Anschutz-Ka-
mpfe iiber «Der Kreisel als Richtungsweiser auf der Erde mit besonderer
Berucksichtigung seiner Verwendbarkeit auf Schiffen».— Jahrb. Schiffbau-
techn. Ges., 1909, Bd. 10.

и
ГЛАВА
ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
§ 1. Модифицированные уравнения Эйлера
Основным элементом большинства гироскопических устройств,
нашедших практическое применение, является быстро
вращающееся тело — волчок, ротор или собственно гироскоп. Модель
абсолютно твердого тела вполне приемлема для описания движения
таких тел. Поэтому уравнения движения абсолютно твердого тела
являются исходными для построения теории гироскопических
устройств. В простейшем случае для исследования движения
абсолютно твердого тела (в краткой записи — твердого тела) с
одной неподвижной точкой относительно некоторой неподвижной
системы координат ξηξ Л. Эйлер составил уравнения, носящие
теперь его имя. Первые три из них обычно именуются
динамическими уравнениями Эйлера *. Они уже были приведены в § 2
предыдущей главы. Имеем
A^- + (C-B)qr = Mx,
B^L + (A-C)rp = My, (2.1.1)
C^- + (B-A)pq = Mt,
где ρ, q, r — проекции абсолютной (т. е. относительно
неподвижной системы координат ξηξ) угловой скорости тела на оси
специально выбранной системы координат xyz, неизменно связанной с
телом и, следовательно, полностью принимающей участие в его
движении (рис. 23). Начало системы xyz находится в неподвижной
точке тела, а ее оси х, у и ζ являются одновременно его главными
осями инерции. Выбор именно такой системы координат в
значительной мере определил успех исследования ряда задач теории
движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Напомним, что
А, В, С в динамических уравнениях Эйлера суть главные моменты
* См. первую сноску на стр. 298.

§ 1. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 331
инерции тела, т. е. моменты
инерции вокруг главных осей
инерции х, у, ζ. В свою очередь,
Мх, Μ у, Mz — проекции
вектора главного момента
относительно неподвижной точки
системы сил, действующих на
твердое тело. Величины Мх, Му,
Μζ можно, разумеется,
трактовать и как суммы моментов
сил, действующих на тело,
соответственно относительно осей
х, у, ζ. В ряде случаев они для
краткости изложения именуют- Рис. 23
ся просто моментами Μ х, Му,
Мг.
Приведем также вновь кинематические уравнения
(см. § 2 гл. I)
Ρ = -jf sin θ sin φ -f- -j- cos φ,
q ^-^-sinO cos φ — -τ- sin φ,
ί/ψ λ . dw
Эйлера
(2.1.2)
связывающие проекции угловой скорости твердого тела ω с так
называемыми углами Эйлера ψ, θ, φ и их производными по
времени. Эти углы определяют в каждое мгновение времени положение
системы координат xyz, а значит, и самого тела относительно
неподвижной системы ξηζ (рис. 14).
Решение шести дифференциальных уравнений Эйлера
относительно шести неизвестных функций времени р, q, г, ψ, θ, φ при
различных предположениях: о начальных значениях этих
функций, о соотношении главных моментов инерции А, В, С и о законах
сил, действующих на твердое тело (т. е. моментов Μ х, Му, Μζ),
привлекало к себе внимание многих математиков. Результаты их
исследований изложены в специальных трактатах по динамике
твердого тела и частично в курсах теоретической механики *.
К сожалению, ни динамические уравнения Эйлера, ни углы
Эйлера ψ, θ и φ не оказались удобными для исследования
гироскопических явлений. Причины этого заключаются в следующем.
* Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения
тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М., Гостехиздат, 1953;
Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. М.— Л., ОНТИ, Глав,
ред. mexH.-meopem. лит., 1937. Белецкий В. В. Движение
искусственного спутника относительно центра масс. М., «Наука», 1965.

332 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Ротор гироскопа обычно представляет собой быстро вращающееся
тело. Одна из главных осей инерции этого тела является осью
динамической симметрии; она обозначается чаще всего буквой ζ.
Две другие оси системы координат xyz, связанной с телом,
естественно, следует обозначить через χ и у. Следовательно, главные
моменты инерции ротора А и В надлежит считать равными друг
другу. Проекция угловой скорости на ось ζ, τ. е. величина т%
как правило, значительно превышает две другие ее проекции ρ
и q соответственно на оси χ ж у. Таким образом, вращение ротора
происходит в основном вокруг оси ζ и, как следствие, оси хну
быстро изменяют свою ориентацию. В связи с этим знание
проекций рид, как функций времени, не дает ясного представления о
фактическом изменении ориентации вектора угловой скорости по
отношению к неподвижной системе координат.
Ось быстро вращающегося ротора гироскопа в большинстве
случаев мало отклоняется от некоторого среднего сравнительно
медленно изменяющегося направления. Поэтому, если ось ζ
неподвижной системы координат ξη ζ направить так, чтобы она в
некоторое мгновение времени совпала бы с осью ротора ζ, то в
последующее (не слишком, разумеется, длительное) время ось ζ
будет образовывать с осью ζ малый угол θ — один из углов
Эйлера. Для построения двух других углов Эйлера следует
определить так называемую линию узлов и (см. рис. 14) —
перпендикуляр к плоскости, содержащей оси ζ и ζ или, что то же, пересечение
координатных плоскостей ξη и ху. Угол между осью ξ и линией
узлов и является угломя|э, а между линией узлов и осью χ — углом φ.
Нетрудно видеть, что даже при малых движениях оси ζ вблизи
оси ζ плоскость ζζ, а следовательно, и линия узлов и могут резко
изменять свое направление (см. § 5 гл. III первой книги). Углы ψ
и φ будут при этом претерпевать большие изменения, по характеру
которых не так легко составить суждение о фактическом движении
оси ζ, связанной с телом, по отношению к неподвижной системе
координат ξηζ. Такое же заключение может быть получено и из
рассмотрения кинематических уравнений Эйлера (2.1.2), если
считать в них угол θ малой величиной.
Оба изложенных обстоятельства, мешающих прямому
использованию в теории гироскопов динамических и кинематических
уравнений Эйлера, приводят к необходимости надлежащего
изменения формы упомянутых уравнений. Возьмем, прежде всего,
вместо совокупности углов Эйлера ψ, θ и φ другую систему (см.
§ 6 гл. III первой книги), предложенную А. Н. Крыловым *.
Для удобства дальнейшего изложения опишем эти углы
применительно к введенным выше системам координат ξη ζ и xyz.
* Крылов Α. Η., Κ ρ у т к о в Ю. А. Общая теория гироскопов и
некоторых технических их применений. Л., Изд-во АН СССР, 1932.

§ 1. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 333
Введем вспомогательный трехгранник аЪс. Пусть в исходном
положении трехгранника его ребра а, &, с совпадают
соответственно с осями ξ, η, ζ неподвижной системы координат ξηζ. Повернем
на угол а трехгранник аЪс вокруг оси ξ или, что то же, ребра а,
считая как обычно угол положительным, когда поворот
произошел против стрелки часов, если наблюдать за ним со стороны
положительного направления оси ξ. Трехгранник аЪс займет при
этом положение некоторой системы координат x2y2z2, ось х2
которой совпадает с осью ξ системы ξηζ (рис. 24). Вновь повернем
трехгранник, однако уже на угол β вокруг оси у2, совпадающей с
ребром Ъ в новом положении последнего, т. е. в положении,
которое ребро Ъ займет в результате только что описанного первого
поворота трехгранника. Аналогично будем считать угол β
положительным, если поворот произошел против стрелки часов.
В итоге второго поворота трехгранник займет положение новой
системы координат — ХхУ^, ось уг которой совпадает с осью у2
системы x2y2z2 (рис. 24). Наконец, третий поворот трехгранника
аЪс совершим из положения χ^χΖ± в xyz поворотом на угол γ
вокруг ребра с, совпавшего в результате двух предшествующих
поворотов с осью ζχ или, что то же, с осью ζ системы координат
xyz (рис. 25). Последнюю будем считать, как уже отмечалось,
неизменно связанной с твердым телом, совершающим движение
вокруг начала неподвижной системы координат ξηζ.
Углы α, β, γ называются углами Эйлера — Крылова (см. § 6
гл. III первой книги). Они так же, как и классические углы
Эйлера, полностью характеризуют расположение системы координат
xyz, а следовательно, и неизменно связанного с нею твердого тела
относительно системы координат ξη ζ. В частности, направление
оси ζ в этой системе определяется углами α и β, которые малы,
если мал угол θ между осями ζ и ζ (рис. 24).
Проекции угловой скорости твердого тела на связанные с ним
оси х, у и z, выраженные через углы Эйлера — Крылова и их
производные по времени, представляются формулами
da r> , rfS .
ί' = -rfT cos β cos Т -Ь -^- эдп τ,
?= ~"^C0S^sin1r + i'C0S1r' (2Λ.3)
da . η . dy
которые нетрудно вывести, используя результаты, изложенные в
§ 6 гл. III первой книги, а также рис. 24 и рис. 25. Они находят в
теории гироскопов несравненно большее приложение, чем
кинематические уравнения Эйлера.
Вернемся к динамическим уравнениям Эйлера (2.1.1). Чтобы
преобразовать их к виду, удобному для использования в теории

334 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
УгМ
гироскопов, введем наряду с
системой координат xyz, жестко
связанной с твердым телом —
ротором ги роскопа,
вспомогательную систему x'y'z', ось ζ'
которой неизменно совпадает с
осью ζ (рис. 26). Система
координат x'y'z' как бы увлекается
телом; составляющая угловой
скорости системы x'y'z' вдоль
оси ζ' (или, что то же, вдоль
оси ζ), разумеется, отличается
от соответствующей
составляющей угловой скорости самого
тела. Будем называть такую
систему координат увлекаемой
или сопутствующей.
Обозначим через у' угол
между осями х' и х, считая его
положительным при повороте
системы координат xyz против
стрелки часов относительно увлекаемой системы x'y'z' при наблюдении
со стороны положительного направления оси ζ (ζ'). Очевидно,
что вектор ω угловой скорости системы координат xyz, жестко
связанной с ротором гироскопа, отличается лишь на величину
относительной скорости dy'ldt (направленной вдоль совпадающих
осей ζ' и ζ, рис. 26 и рис. 27) от вектора ω7 угловой скорости
сопутствующей системы координат x'y'z'. Таким образом,
Рис. 24
и, следовательно,
а = ы'+кЧГ
(2.1.4)
(2.1.5)
Здесь к — единичный вектор, направленный вдоль совпадающих
осей ζ и ζ', а г и г' — проекции угловых скоростей ω и ω7 на ось
ζ (ζ').
Очевидно, что составляющая ωπ угловой скорости ω, лежащая
в плоскости ху (рис. 27 ирис. 28), совпадает с аналогичной
составляющей ω^ угловой скорости ω7, откуда следует равенство
ϊρ +7я = VV +/у. (2.1.6)
Здесь Ϊ, J и I', /' — единичные векторы, соответственно
направленные вдоль осей х, у и х\ у'; р, q — по-прежнему проекции вектора
ω угловой скорости ротора гироскопа (или, что то же, системы
координат xyz) на оси χ и г/; наконец, р', q' — проекции на оси
х\ у' вектора ω' угловой скорости системы координат x'y'z'.

§ 1. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 335
Рис. 25 Рис. 26
Из последнего векторного равенства (рис. 28) следуют формулы
ρ = ρ' cos γ7 + q' sin γ7, (2.1.7)
q = — ρ' sin γ7 + q' cos γ',
выражающие проекции р и q угловой скорости ω на оси хну
через проекции р' и q' угловой скорости ω7 на оси х' и у'.
Умножим левую и правую части второй формулы (2.1.7) на
i = γ— 1и соответственно сложим с левой и правой частями
первой формулы, после чего приравняем результаты. Такая
операция, называемая компрессией, приводит к единственному
равенству, но уже между комплексными количествами. В данном
случае получаем
Ρ + iq = (p' + Щ') ехР (—*?')· (2-1.8)
В свою очередь (рис. 29), формулы
Мх = Af^cos у' + Af^sin у', (2.1.9)
Му = — Мхъ\ъ γ7 + AiVcos у'
или, после компрессии,
Мх + iMy = (Мх> + iMy>) exp (-iy') (2.1.10)
определяют зависимость между суммами моментов относительно
осей χ и у сил, действующих на ротор гироскопа, и аналогичны-

336 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
ми суммами моментов тех же сил
относительно осей х' иг/7.
Как уже отмечалось выше,
из-за симметрии ротора
относительно оси ζ в динамических
уравнениях Эйлера (2.1.1)
следует положить А = В, после
чего они примут вид
\Z,Zr
Α"-ί+^-Α)ν
NL·
dq
~dt
+ (4-C)rp = M„ (2.1.11)
4=«.
Совершая компрессию первых двух уравнений (2.1.11), получим
A-±-(p + iq) + i(A-C)(p + iq)r = Mx + iMy. (2.1.12)
Заменим здесь комплекснозначные выражения ρ + iq и Μ х +
+ iMy найденными выше их представлениями (2.1.8) и (2.1.10)
через р' + iq' и МХ' + iMy'. Далее подставим вместо проекции г
угловой скорости тела на ось ζ равную ей сумму (2.1.5)
величин г' и dy'/dt. После приведения подобных членов и
сокращения на экспоненциальный множитель ехр (— iy') придем
к соотношению
ачг(р' + iq>) + *(Л ~ С) {р' + **')г' ~1(р+ 1^с ^—Μχ,+ίΜνΊ
(2.1.13)
эквивалентному двум равенствам, содержащим только
действительные величины. Добавим к этим двум равенствам еще одно,
которое образуется из последнего динамического уравнения Эйлера
(2.1.11) после упомянутой выше замены (2.1.5) величины г суммой
г' + dy'ldt, В итоге приходим * к следующим трем
модифицированным уравнениям Эйлера, которые будем также называть
гироскопическими уравнениями:
A^ + (C-A)q'r' + q'H' = Mx>,
А% + {А-С)г'р'-р'Я' = Му,,
(2.1.14)
Г—Л- —
С dt + dt
мг>.
* См. статью автора {{Гироскопа уравнения движения». — В кн.:
Физический энциклопедической словарь, т. 1. М., «Советская энциклопедия», 1960.

§ 1. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 337
\У
<v
ч/*
Рис.
" Vl
у
V
'Г
4 \1
Р'
28
sX
X'
Рис. 29
В уравнениях (2.1.14) введено обозначение
(2.1.15)
для произведения момента инерции С ротора гироскопа
относительно оси симметрии ζ на собственную угловую скорость dy'/dt
ротора гироскопа по отношению к сопутствующей подвижной
системе координат x'y'z'. Величину Н' будем называть собственным
кинетическим моментом ротора в сопутствующей системе
координат x'y'z'. В выборе последней имеется некоторый произвол,
обусловленный тем, что проекция угловой скорости системы
координат x'y'z' на ось ζ', т. е. величина г', может быть, вообще говоря,
задана как угодно. Поэтому в другой какой-либо сопутствующей
системе координат .r*z/*z* (у которой ось ζ* также совпадает с
осью ζ, связанной с телом) значение собственного кинетического
момента Я* будет иным из-за другого, в общем случае, значения
проекции угловой скорости ω* этой системы на ось ζ* (ζ), т. е.
величины г*. Б. В. Булгаков * ввел так называемую
астатическую систему координат Λ/°ζ°, ось z° которой аналогично оси ζ'
также совпадает с осью динамической симметрии тела ζ, а
проекция г° угловой скорости ω° этой системы на ось ζ° (ζ) все время
равна нулю. В этом случае модифицированные уравнения Эйлера
принимают особенно простой вид
Л *£ + q»H» = М*о,
dt
dt
My,
Mz°,
(2.1.16)
* Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. Изд. 2-е. М., Гос-
техиздат, 1955.

338 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
где р° и q° — проекции угловой скорости астатической системы
координат x°y°z° соответственно на ее собственные оси х° и у0
и, кроме того, по аналогии с обозначением (2.1.15)
Я0 = С^ = С(г—г°) = Ст. (2.1.17)
Здесь γ° — угол между осями χ и х° (или, что то же, между осями
У и у0).
Назовем равенства (2.1.16) уравнениями Булгакова. Посредством
этих уравнений совсем просто исследуется движение твердого
тела вокруг неподвижной точки, лежащей на оси его динамической
симметрии, в случае равенства нулю главного момента Μ
относительно этой точки системы сил, действующих на тело, т. е.
равенства нулю величин Мхо, Μ у* и Μ ζ* или, что то же, величин Мх,
Му и Μζ. Согласно третьему уравнению Булгакова (2.1.16),
получаем, что при этом собственный кинетический момент Н° в
астатической системе координат x°y°z° остается постоянным. Из
неизменности величины собственного кинетического момента Н°
следует, в силу равенства (2.1.17), постоянство проекции г
угловой скорости твердого тела на ось ζ (ζ°). То же, разумеется,
получается непосредственно из третьего уравнения (2.1.11), если
положить в нем момент Μζ равным нулю.
Первое и второе уравнения (2.1.16) при Μх* = Муо = 0
после соответствующего умножения на р° и q° и суммирования их
левых частей образуют соотношение
A^-W + W^O, (2.1.18)
откуда получаем, что сумма
(р0)2 + (д0)2 - ω2 (2.1.19)
также постоянна. Совместно с постоянством величины г это
приводит к выводу, что модуль угловой скорости симметричного
твердого тела при Мх = Му — Μг — 0 с течением времени не
меняется, а сам вектор ω в астатической системе координат x°y°z° (а
также и в системе xyz, связанной с телом) направлен по образующей
круглого конуса с осью ζ° (ζ) (рис. 30). Вектор угловой
скорости ω равномерно обращается вокруг оси ζ° в системе x°y°z°
с периодом
Γ = 2π4ο· (2-1.20)
В самом деле, вследствие постоянства модуля кинетического
момента Н° два первых уравнения Булгакова (2.1.16) состав-

§ 1. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 339
Рис. 30
Рис. 31
ляют в данном случае совокупность двух линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
относительно переменных р° и д°, именно
А 4£ + H°q°
dt
dq«
dt
О,
_ H°p° = 0.
(2.1.21)
Их общее решение, как нетрудно проверить, представляется
посредством следующих двух тригонометрических функций
ω-cos
>„ sin ( -^1 + ε
(2.1.22)
обладающих упомянутым периодом Т. Здесь ω°π и ε —
произвольные константы, определяемые из начальных условий
движения. Первая из них, т. е. ωπ, имеет простой смысл — это величина
проекции на плоскость х°у° (ху) вектора ω° угловой скорости
астатической системы координат Булгакова x°y°z° или, как было
уже разъяснено, модуль равной ей проекции ωπ вектора ω
угловой скорости твердого тела на ту же плоскость (см. рис. 31, на
котором θ = H°t/A + ε).
Можно в принципе «материализовать» астатическую систему
координат Булгакова. Представим себе однородный диск,
насаженный на ось так, чтобы она была для него осью симметрии

340 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
(рис. 32, см. также § 1 гл. IV
первой книги). Тогда при
отсутствии трения,в силу третьего
уравнения Эйлера (2.1.11),
проекция г угловой скорости диска на
ось ζ будет постоянна. Пусть
начальные условия движения
диска таковы, что в исходное
мгновение времени эта
проекция равна нулю. В таком
случае она будет равна нулю все
время. Если теперь связать
с диском систему координат
x°y°z0, направив ось z° по оси ζ,
то эта система окажется
астатической. Рис. 32
Вернемся теперь к
рассмотрению модифицированных
уравнений Эйлера (2.1.14). Представим их следующим
образом:
A^ + {C-A)qY
С)г'р'
С
dr'
dt
+ q'H' = Мх>,
-ρ'Η' = Μυ>,
(2.1.23)
ί +
dW
dt
Mz
Члены, расположенные слева от вертикальной пунктирной
черты, аналогичны левым частям обычных уравнений Эйлера (2.1.11),
однако для некоторого воображаемого осесимметрического
твердого тела, неизменно связанного с сопутствующей системой
координат χ у'ζ'. Моменты инерции этого воображаемого тела такие же,
как и у действительного тела — ротора гироскопа. Очевидно,
что величины
М\
x>=A^f + (C-A)q'r\
Ми
= A4f + (A-C)r'p\
Mz> =С
dt
dt
(2.1.24)
являются моментами, которые следует приложить к
воображаемому телу для того, чтобы оно при надлежащих начальных условиях
совершало точно такое же движение, как и сопутствующая
система координат x'y'z'. В свою очередь, члены левых частей
модифицированных уравнений Эйлера (2.1.23), стоящие справа от
вертикальной пунктирной черты, представляют собой проекции на оси

§ i. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 341
х\ у' и ζ' производной по времени от некоторого вектора Η',
направленного по оси ζ'(ζ) симметрии ротора гироскопа, с модулем,
равным величине собственного кинетического момента Н'. В этом
нетрудно убедиться, если учесть, что производная вектора Н'
по времени, в соответствии с известной теоремой векторного
анализа, представляет собой вектор V скорости конца вектора Н'
относительно произвольной неподвижной системы координат
ξηζ (рис. 33). Что же касается начала вектора Н', то оно должно
помещаться в неподвижной точке, например, в начале упомянутой
системы ξηζ. Вектор Н' по предположению жестко связан с осью
ζ' подвижной системы координат x'y'z'. Следовательно,
составляющая Vx> скорости конца этого вектора, имеющая направление
оси χ', обусловлена наличием проекции q' на ось у' угловой
скорости ω' системы координат x'y'z' (рис. 34). Очевидно, что
Аналогично составляющая Vv* той же скорости вдоль оси у'
выражается формулой
Наконец, составляющая скорости конца вектора Н' вдоль оси
ζ' (ζ) обусловлена изменением модуля Н' самого вектора и,
следовательно, имеет вид
^ = Ш,. = ТГ · (2·1·27)

342 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Таким образом, модифицированные уравнения Эйлера (2.1.23)
можно представить в виде одного векторного уравнения
¥L- = M — M\ (2.1.28)
где И — главный момент сил, действующих на ротор гироскопа,
и И' — вектор, проекции которого на оси χ', у' и ζ' суть
введенные выше посредством равенств (2.1.24) величины Мх>, Му> и Μζ>-
Сопоставим последнее векторное уравнение (2.1.28) с
соотношением
-§-=М, (2.1.29)
следующим из общей теоремы динамики системы^об изменении ее
главного момента количества движения. Здесь G — главный
момент количества движения ротора гироскопа или его полный
кинетический момент, а Ж — по-прежнему главный момент сил,
действующих на ротор. Оба момента берутся относительно одной
и той же неподвижной точки (здесь — относительно начала
неподвижной системы координат ξηζ). Разумеется, классические
уравнения Эйлера (2.1.1) и векторное уравнение (2.1.29),
следующее из общей теоремы динамики системы о кинетическом моменте,
эквивалентны.
Векторное представление (2.1.28) модифицированных уравнений
Эйлера содержит производную по времени вектора собственного
кинетического момента Н' ротора гироскопа, т. е. производную
лишь части вектора полного кинетического момента G ротора
гироскопа. Векторное уравнение (2.1.29) общей теоремы динамики
системы, напротив, содержит в своей левой части вектор полного
кинетического момента G того же ротора. Естественно, что в
правой части уравнения (2.1.28), в отличие от уравнения (2.1.29),
находится вместо момента Ш всех сил, действующих на ротор,
геометрическая разность моментов Μ и М'. В соответствии с
вышеизложенным, момент М' можно условно трактовать как
реакцию со стороны воображаемого тела, идентичного ротору
гироскопа. Это тело приводится в движение так, чтобы оно
перемещалось вместе с сопутствующей системой координат x'y'z'.
Приведем пример использования модифицированных уравнений
Эйлера (2.1.14) или (2.1.23). Именно, определим момент
дополнительной пары сил давления оси вращающегося маховика (ротора)
на подшипники, возникающий при произвольном угловом
движении основания, несущего этот маховик (рис. 35). Упомянутый
момент обычно называется гироскопическим моментом.
Свяжем сопутствующую систему координат x'y'z' с подвижным
основанием, направив, разумеется, ось ζ' вдоль оси ζ собственного

§ i. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 343
Рис. 35
вращения маховика. Рассмотрим сначала случай отсутствия как
трения в подшипниках, так и сопротивления вращению со
стороны среды, окружающей маховик. Соответственно положим
момент Мг' в третьем уравнении совокупности (2.1.23) равным нулю.
Как следствие получим первый интеграл
Сг' + Н' = Η = const.
Очевидно, что в силу равенства (2.1.15)
#= Ст.
(2.1.30)
(2.1.31)
Первые два уравнения той же совокупности (2.1.23) после
исключения из них посредством соотношения (2.1.30) величины
собственного кинетического момента Н' приведутся к виду
А -§1 - Ar'q' + q'H = Мх.,
do' (2Л·32)
А-%- + Ар'г'-р'Н = Му..
Гироскопический момент или, что то же, момент сил воздействия
маховика на подшипники его оси обозначим через Г. В силу
III закона Ньютона гироскопический момент Г и момент Μ
сил реакций подшипников равны по модулю и противоположно
направлены. Поэтому
-Мл
Мь
IV = —Μζ· = 0. (2.1.33)

344 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Силы реакций действуют на сам маховик, и следовательно, в
соответствии с уравнениями (2.1.32),
Tx,= -q'H-A(^f-r'q'),
* ' (2.1.34)
ry. = p'H-A(-?f+r'p').
Введем теперь наряду с вектором ω' угловой скорости
сопутствующей системы координат
5' = Vp' + J'q1 + k'r* (2.1.35)
еще векторы
Н = ~к'Н = к'Сг (2.1.36)
и
ση = Ί'Αρ' + ]Ά9'. (2.1.37)
Первый из них (Н) назовем полярным кинетическим моментом
маховика (ротора), а второй (Gn) — его^экваториальным
кинетическим моментом. Очевидно, что вектор G полного кинетического
момента маховика выражается суммой
G = ΪΆρ' + fAq' + Λ'Ο = Gn + H. (2.1.38)
Теперь формулы (2.1.34). как нетрудно проверить, можно
представить в векторной форме следующим образом:
Γ = Ιχω'-^-ω'χ?, (2.1.39)
Второй член правой части последнего равенства представляет
собой локальную производную вектора Gn в системе координат x'y'z
и выражается следующим образом:
%--ГЛ%. + -ГЛ%.. (2.1.40)
Этот член имеет существенное значение лишь при резких
изменениях угловой скорости основания. Третий же член равенства
(2.1.39) вообще невелик по сравнению с первым, ибо скорость
собственного вращения маховика, как правило, на несколько
порядков больше угловой скорости основания и,
следовательно, Η ^> Gn. Поэтому с достаточным для практики приближением
можно положить
Г = Η χω'. (2.1.41)
Последнее равенство известно под названием формулы для
гироскопического момента. Согласно этой формуле, вектор
гироскопического момента Г перпендикулярен плоскости векторов Ή и ω\

§ i. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 345
Гироскопический момент
направлен так, как будто бы он
стремится совместить
кратчайшим путем вектор Η с
вектором ω7, т. е. ось ζ'{ζ)
собственного вращения маховика с
осью мгновенного вращения
основания (правило Η. Ε.
Жуковского, см. рис. 36). В
соответствии с векторной формулой
(2.1.41), приближенные
выражения для проекций Тх> и IV
вектора гироскопического момента
Г на оси х' и у'
сопутствующей системы координат х'у'ζ
имеют следующий вид:
IV = -?'Я, IV = Р'н-
(2.1.42)
Последние равенства нетрудно
установить, если сопоставить
формулы (2.1.41), (2.1.39) и
(2.1.34).
Силы давления маховика на
подшипники деформируют последние, благодаря чему
гироскопический момент может быть измерен. Тем самым представляется
возможным определить сразу две составляющие угловой скорости
основания, несущего маховик (ротор), а именно,
Рис, 36
Ρ
ω*',
q = (йу.
(2.1.43)
Действительно, согласно формулам (2.1.42) для гироскопического
момента имеем
ov =
У
Η
GV = —
(2.1.44)
Таким образом, если величина гироскопического момента может
быть измерена, то, используя маховик, можно создать
гироскопический измеритель угловой скорости—гиропгахометр — с двумя
осями чувствительности. Для определения полного вектора ω'
угловой скорости подвижного основания одного такого гиротахомет-
ра недостаточно. Однако, если установить на основании два
подобных гиротахометра, то вектор угловой скорости ω' окажется
измеренным с «избытком». Например, проекция ωυ> может быть
измерена одновременно двумя такими гиротахометрами (рис. 37).

346 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Рис. 37
Точное измерение усилий, возникающих в подшипниках,
встречает значительные технические трудности. Вследствие этого обычно
употребляется гиротахометр с одной осью чувствительности
(рис. 38). Маховик, в данном случае именуемый ротором,
заключается в кожух, ось которого находится в подшипниках
основания. Повороту кожуха по отношению к основанию препятствует
пружина.
Введем сопутствующую систему координат хгу^±1 связанную с
кожухом, направив ось ух по оси кожуха, ось z± — по оси ζ
собственного вращения ротора. Направление оси хг тем самым
определяется однозначно. Очевидно, что равенства (2.1.34) после
соответствующей замены индексов остаются справедливыми. Имеем
TXl=-qiH-A(^L-riqi),
dx dt ' (2.1.45)
Γνι = Ρι#-4(-Α + ΓιΛ),
где теперь под ΤΧί и Гш следует понимать проекции момента
воздействия ротора на кожух и под ри qu гг — проекции угловой
скорости последнего на оси хи уи ζλ. Момент Г^ будет воспринят
подшипниками оси ротора и далее подшипниками оси кожуха.
Возникающая при этом деформация подшипников обычно
незначительна. Что же касается момента Гш, то он в конечном счете
вызовет деформацию пружины, препятствующей повороту
кожуха вокруг оси уг. Пренебрежем в уравнениях (2.1.45), по аналогии ι

§ 1. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 347
с изложенным выше, членами, содержащими множитель А, а
также моментом инерции вокруг оси уг массы кожуха гироскопа.
Тогда, если пружина линейная и жесткость ее К, получим
Р!#~ К$12, (2.1.46)
где β — легко поддающийся измерению угол поворота кожуха
относительно основания и I— длина рычага, соединяющего
пружину с его осью.
Таким образом, величина β оказывается пропорциональной
проекции рг угловой скорости кожуха гироскопа на ось хг. Ось хг
изменяет свое положение относительно основания. Однако из-за
малости угла β в большинстве случаев можно принять, что
величина рг одновременно является проекцией угловой скорости
основания на то связанное с ним направление, которое занимает ось хг
при угле β, равном нулю.
Обычно, помимо пружины, одноосный гиротахометр снабжается
демпфером, установленным на оси кожуха у1у для гашения его
угловых колебаний (см. рис. 38). Последние могут возникнуть при
резких изменениях угловой скорости основания.
Вернемся теперь к гироскопическим уравнениям (2.1.23). Уже
указывалось, что в обычных условиях при быстром вращении
ротора гироскопа его ось симметрии совершает лишь малые
движения вокруг некоторого своего среднего положения. Поэтому
вектор ω угловой скорости ротора мало отклоняется от
направления оси симметрии ротора ζ (ζ). Как следствие, проекции угловой

348 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
скорости ротора на оси х' и у' малы по сравнению с ее же
проекцией на ось ζ (ζ). Однако, в силу формул (2.1.4) и (2.1.6), эти
проекции совпадают с проекциями на те же оси вектора ω' угловой
скорости сопутствующей системы координат x'y'z'. Таким образом,
величины р' и q', как правило, малы по сравнению с
составляющей г угловой скорости ω вдоль оси ζ (ζ). Сопутствующую
систему x'y'z всегда можно выбрать так, чтобы проекция г' ее угловой
скорости ω' на ось ζ' (ζ) также была мала по сравнению с г. В
частности, в случае осей Булгакова x°y°z° эта проекция вообще равна
нулю. Естественно предположить, что производные по времени
проекций ρ', q и г' также невелики. Учитывая изложенные
соображения, можно во многих практически важных случаях члены
модифицированных уравнений Эйлера (2.1.23), находящиеся по
левую сторону от вертикальной пунктирной черты, считать
малыми по сравнению с членами, расположенными справа от той же
черты и содержащими модуль Н' собственного кинетического
момента ротора гироскопа или его производную по времени.
Опуская упомянутые малые члены модифицированных уравнений
Эйлера, приходим к новым уравнениям
q'H' = Mx>, -р'Н' = Му>, -ψ- = Μζ>, (2.1.47)
которые назовем прецессионными уравнениями теории гироскопов»
На основании соображений, изложенных выше, их можно также
представить в виде одного векторного уравнения
ψ-Μ, (2.1.48)
где по-прежнему Ή' — вектор, направленный по оси ζ (ζ')
симметрии ротора гироскопа и по модулю равный собственному
кинетическому моменту последнего, т. е. величине, определяемой
формулой (2.1.15). Приведенные выше формулы (2.1.41) и (2.1.42), а
также равенство (2.1.46) относятся, по существу, к соотношениям
прецессионной теории гироскопов.
§ 2. Уравнения прецессионного движения гироскопов
В курсах теоретической механики при изучении
гироскопических явлений приводится рассуждение для обоснования так
называемой элементарной теории гироскопов примерно следующего
характера *. Угловая скорость р_отора гироскопа мало
отклоняется от его оси симметрии. Вектора полного кинетического момента,
* См., например, Бухгольц Η. Η. Основной курс теоретической
механики, ч. 2. М., «Наука», 1972.

§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ
349
как известно, направлен по
перпендикуляру к касательной
плоскости эллипсоида инерции (рис.
39), построенной в точке
пересечения с поверхностью
эллипсоида вектора со угловой
скорости ротора (или, что то же, его
мгновенной оси вращения).
Следовательно, при малом
отклонении вектора угловой
скорости ω от оси асимметрии
ротора вектор G его полного
кинетического момента тоже имеет
малое отклонение от оси ζ.
Поэтому в соотношении (2.1.29),
следующем из теоремы об
изменении вектора G полного
кинетического момента ротора,
можно с некоторым приближением
считать этот вектор
направленным по оси ζ и равным по модулю его же проекции на эту ось.
В результате приходим к приближенному векторному уравнению
Рис. 39
^(Сгк) = М,
dt
(2.2.1)
где к — единичный вектор, направленный по оси ζ, и Сг —
составляющая полного кинетического момента G вдоль оси ζ.
Произведение
Сгк = Я, (2.2.2)
в котором С — момент инерции ротора вокруг оси его симметрии ζ
иг — проекция угловой скорости на эту ось, в элементарной
теории гироскопов также называется вектором собственного
кинетического момента ротора. Он параллелен вектору Я' (см. рис. 34).
Имеем, согласно приведенным ранее формулам (2.1.5) и (2.1.15),
H = Cr = c(r' + 4f) = Сг' + Я'.
(2.2.3)
Отсюда следует, что модуль вектора собственного кинетического
момента ротора гироскопа в элементарной теории гироскопов
отличается на малую величину Сг' от модуля, введенного выше
вектора собственного кинетического момента ротора гироскопа Я'
в сопутствующей системе координат x'y'z'. В случае же
астатической системы координат x°y°z° это различие вообще отсутствует.
В самом деле, аналогично предыдущему равенству имеем
Я = Сг° + Я0.
(2.2.4)

350 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Однако г° = 0, согласно основному свойству астатической
системы координат.
Таким образом, отличие уравнений элементарной теории
гироскопов от прецессионных уравнений имеет несущественный
характер. Тем не менее изложенный в предыдущем параграфе прием
получения прецессионных уравнений (2.1.47) представляется
более предпочтительным.
Приближенное решение задачи о движении осесимметричного
твердого тела вокруг неподвижной точки, полученное в
результате интегрирования уравнений (2.1.47) прецессионной теории
гироскопов, является точным решением уравнений (2.1.23) той же
задачи, однако с несколько измененными правыми частями и без
удовлетворения всех начальных условий движения. В самом деле,
увеличим в уравнениях (2.1.23) заданные моменты Мх*, Му> и Μζί
приложенные к телу, соответственно на величины М'х>, М'у* и
А/г', следующие из формул (2.1.24), и подставим в правые части
последних вместо р', q' функции времени, найденные в
результате интегрирования прецессионных уравнений (2.1.47). После
этого модифицированные уравнения Эйлера или, что то же,
строгие (полные) уравнения движения твердого тела (2.1.23) с таким
образом измененными правыми частями будут удовлетворены
тождественно, если за р', q и Н' принять решение
прецессионных уравнений (2.1.47). Отсюда следует, что оценка точности
решения задачи о движении твердого тела посредством
интегрирования прецессионных уравнений в известной мере
характеризуется тем, насколько малы упомянутые «добавки» М'Х', М{/ и
М'г' по сравнению с заданными моментами Μχ>, Μу* и ΜΖ'.
Остановимся на соответствии начальных условий прецессионных
и полных уравнений. Динамические (2.1.1) и кинематические (2.1.2)
уравнения Эйлера представляют собой шесть дифференциальных
уравнений первого порядка относительно переменных р, q, r,
ψ, θ, φ. Следовательно, необходимо шесть начальных условий для
полного описания движения твердого тела. Ими могут быть
условия равенства самих углов Эйлера ψ, θ, φ и их производных по
времени заранее заданным величинам в мгновение начала
движения. То же самое, разумеется, относится и к совокупности
модифицированных уравнений Эйлера (2.1.14) и кинематических
уравнений Эйлера — Крылова (2.1.3), где в качестве таких условий
можно в ряде случаев взять начальные значения углов Эйлера —
Крылова α, β, γ и их производных по времени.
Однако порядок совокупности прецессионных уравнений теории
гироскопов (2.1.47) совместно с кинематическими уравнениями
Эйлера — Крылова (2.1.3) меньше шести. В дальнейшем
выяснится, что этот порядок равен четырем. Тем самым задание шести
начальных условий оказывается в случае прецессионных
уравнений избыточным. Выясним получающееся противоречие.

§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ 351
Рис. 40 Рис. 41
Выберем неподвижную систему координат ξηζ и увлекаемую
систему x'y'z следующим образом. Ось ζ направим так, как была
направлена ось симметрии ротора ζ [ζ') в начальное мгновение
времени (рис. 40), а оси ξ и η — произвольным образом. Углы
Эйлера — Крылова α и β, определяющие текущую ориентацию оси
ζ (ζ') в неподвижной системе координат ξη ζ, будут в этом случае,
как правило, невелики. В качестве угла <х примем угол поворота
из положения ξηζ некоторой системы координат x"y"z" вокруг
оси х", совпадающей с осью ξ. Поворот должен быть таким,
чтобы ось ζ" оказалась бы в плоскости \ζ. В свою очередь,
пусть угол β определяет поворот системы х'у'ζ из положения
x'y"z" вокруг оси г/', совпадающей с осью у". После упомянутого
поворота системы x'y'z' ось ζ' должна занимать положение оси
симметрии гироскопа ζ.
Так как ось zr всегда совпадает с осью z, то при движении
твердого тела система координат x'y'z', как уже было отмечено выше,
частично увлекается телом. Поэтому ее можно выбрать в качестве
одноименной сопутствующей системы координат x'y'z, введенной
ранее при выводе модифицированных уравнений Эйлера. За угол
γ', определяющий положение твердого тела по отношению к этой
системе координат, возьмем, аналогично предыдущему, угол между
осями х1 жх (рис. 26). Он растет при вращении твердого тела
против стрелки часов по отношению к системе координат x'y'z',
если наблюдать за вращением со стороны положительного
направления совпадающих осей ζ и ζ.

352 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Теперь нетрудно определить составляющие угловой скорости
системы координат x'y'z' по отношению к неподвижной системе
ξηζ. Непосредственно из рассмотрения (рис. 41) взаимного
расположения этих систем следует, что
ρ ^-r-cosp,
dt
« =-2Г
(2.2.5)
da
~dt
sin β.
К этим же выражениям можно прийти, если в формулах (2.1.3)
для проекций угловой скорости твердого тела, выраженных через
углы Эйлера — Крылова, положить третий из этих углов, а
именно угол γ, равным нулю (условно совмещая тем самым системы
координат xyz и x'y'z'). Подставляя выражения (2.2.5) для
величин р', q , г' в прецессионные уравнения теории гироскопов
(2.1.47) и учитывая соотношение (2.1.15), получим следующую
совокупность уравнений
dt
dt
мх
My>,
(2.2.6)
dH' - Μ
Η'
rdY
По отношению к углам Эйлера — Крылова α, β, γ' эта
совокупность имеет четвертый порядок. Ее общее решение содержит уже
не шесть произвольных постоянных, как в случае уравнений
Эйлера, а лишь четыре. Следовательно, при использовании
прецессионной теории гироскопов могут быть заданы лишь четыре
начальных условия движения твердого тела. Ими могут быть,
в частности, начальные значения углов α, β, γ' и первой
производной угла γ' по времени. Последнее начальное условие можно,
разумеется, заменить заданием составляющей г угловой скорости
твердого тела в начальное мгновение времени. В самом деле,
в соответствии с третьим кинематическим соотношением Эйлера —
Крылова (2.1.3), заменяя в нем обозначение γ на γ', имеем:
гЬ=о=[4г+^85п^=0
(2.2.7)
Далее, согласно второму уравнению совокупности уравнений
(2.2.6),
dal =-Ыппгм4=о· <2·2·8>,
dt
ί=ο

§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ 353
Итак, зная начальные значения величин г и β (а также,
разумеется, величину МУ'), можно, учитывая четвертое уравнение
(2.2.6), определить начальное значение производной угла γ'.
Следовательно, в случае уравнений прецессионной теории
гироскопов нельзя задавать наряду с начальными значениями
углов α, β, γ' и производной dy'/dt также и начальные величины
производных da/dt и d$/dt или, что то же, относительных угловых
скоростей систем координат x"y"z" и х'у ζ соответственно по
отношению к системам ξηζ и x"y"z" в мгновение t = 0. Вместе с тем
очевидно, что при строгой постановке задачи, напротив, задание
начальных значений упомянутых производных обязательно и
соответствует существу исследования движения твердого тела
вокруг неподвижной точки. Возникающее здесь противоречие легко
устраняется. Несомненно, что конкретное движение ротора
гироскопа определяется заданием всех шести начальных условий,
т. е. всех трех углов α, β и γ' и их производных по времени da/dt,
d$/dt и dy Idt. Однако это касается в большинстве случаев лишь
небольшого интервала времени, непосредственно примыкающего
к начальному мгновению. В течение упомянутого времени
происходят быстрые колебания или так называемая нутация оси
ротора около некоторого среднего положения, ориентация
которого изменяется сравнительно медленно. Нутация быстро
затухает. Причиной этого является наличие демпфирующих сил,
входящих в состав моментов Мх>, Μу>, Μζ>, а также несовершенная
упругость материала, из которого изготовлен гироскоп. Нутация
сопровождается периодической деформацией всех элементов
гироскопа и особенно его оси. Это ведет к поглощению энергии
и, в конечном счете, к исчезновению нутации. Выше при выводе
уравнений движения гироскопа упругость его элементов не
учитывалась. В случае прецессионного движения учет деформации
гироскопа необходим лишь при исследовании поведения особо
точных гироскопов на вибрирующем основании *. После
затухания нутации дальнейшее медленное движение оси ротора,
именуемое прецессионным, с большой точностью согласуется именно
с прецессионными уравнениями теории гироскопов. Если же при
этом вычислить так называемые нутационные члены (2.1.24)
модифицированных уравнений Эйлера (2.1.23), которыми
последние отличаются от прецессионных уравнений (2.1.47), то эти
члены оказываются исчезающе малыми по сравнению с величинами
моментов Мх>, Му>, Μζ>.
Таким образом, движение ротора гироскопа, если исключить
небольшой интервал времени, примыкающий к начальному
мгновению, фактически не зависит от задания начальных значений
* См. книгу автора «Механика гироскопических систем». М., Изд-во АН
СССР, 1963.

354
ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
производных углов α и β.
Строгому обоснованию
прецессионной теории гироскопов
посвящены специальные
исследования *, в частности, основанные U
на теории дифференциальных
уравнений с малым параметром
у старших производных
искомых функций.
Аналогичные вопросы ветре- рис ^
чаются и в других
дисциплинах, в частности, в теории
электричества **. Например, при включении источника питания
постоянного напряжения U на зарядку конденсатора (рис. 42)
в строгой постановке следует учитывать омическое
сопротивление R электрической цепи и ее самоиндукцию L, что
приводит к необходимости решать дифференциальное уравнение
второго порядка соответственно с двумя начальными
условиями. Эти условия касаются величины начального заряда
конденсатора и начального магнитного потока всей цепи. Часть
переходного процесса в цепи, обусловленная индуктивностью, в обычных
условиях быстро затухает (рис. 43), и дальнейший зарядный ток
i протекает так, как если бы самоиндукция цепи равнялась нулю
(рис. 44). Однако в этом случае процесс описывается уже
дифференциальным уравнением первого порядка и требуется
единственное начальное условие — начальный заряд конденсатора (или
начальное напряжение на его обкладках, пропорциональное,
как известно, упомянутому заряду). Итак, второе начальное
условие в рассматриваемом процессе оказывается в большинстве
случаев несущественным. Однако положение дел изменяется,
если в электрическую цепь включается значительное
индуктивное сопротивление — катушка самоиндукции (рис. 42). В этом
случае для удовлетворительного описания переходного процесса
уже необходимо воспользоваться решением дифференциального
уравнения второго порядка и, разумеется, двумя начальными
условиями.
В теории гироскопов учет нутационных членов
дифференциальных уравнений движения гироскопических систем оказывается
необходимым при изучении поведения гироскопов высокой точ-
* Метелиц ы н И. И. К вопросу о гироскопической стабилизации.—
Докл. АН СССР, 1952, т. 86, Μ 1; Μ е ρ к и н Д. Р. Гироскопические
системы. Изд. 2 е. М., «Наука», 1974; Новожилов И. В. О понижении
порядка уравнений гироскопических систем.— Инж. ж. МТТ, 1966, Μ 5.
** Андронов Α. Α., В u m m A. A. u X а й к и н С. Э. Теория
колебаний. М., Физматгиз, 1959.

§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ
355
U
L=0
Рис. 43 Рис. 44
ности и при исследовании вопросов устойчивости
гироскопических стабилизаторов (см. гл. III § 5 и § 6 настоящей книги).
Стабилизируемые массы обладают, как правило, значительными
моментами инерции. Последние входят в качестве коэффициентов
в уравнения движения гироскопической системы. Поэтому теряют
силу изложенные выше соображения о возможности
пренебрежения в этих уравнениях вторыми производными от углов,
которыми определяется положение оси ротора. Вместе с тем при
исследовании устойчивости движения таких гироскопических систем
можно ограничиться уравнениями малых движений около
среднего положения оси ротора и опустить в уравнениях движения
(2.1.14) члены, содержащие произведения проекций угловой
скорости сопутствующей системы координат. Во многих случаях
можно также не учитывать при этом и прецессионное движение
оси гироскопа. В результате установление устойчивости
гироскопического стабилизатора нередко приводится после ряда
упрощений к исследованию решения системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. § 5 и § 6
гл. III).
Обратимся теперь к гироскопу в кардановом подвесе (рис. 45)*.
Последний состоит из двух колец: внешнего, связанного плоским
шарниром с основанием, и внутреннего**, которое в свою очередь
* Существуют гироскопы, не имеющие карданова подвеса, например, шар-
гироскоп (рис. 46), вращающийся на «воздушной подушке» (на слое воздуха,
который подсасывается под вращающийся шар), и гироскоп с регулируемым
магнитным или электрическим подвесом (рис. 47). В этом случае система
координат х"у"ъ" (или хгугъг) и увлекаемая система x'y'z' (или х\у\Ъ\) не
связаны с какими-либо другими дополнительными телами и вводятся чисто
геометрически.
** В ряде случаев ротор гироскопа изолируется от внешней среды. Для
этой цели можно закрыть ротор двумя крышками, жестко связанными с
внутренним кольцом (рис. 48) или заключить ротор в так называемый кожух
(рис.49). Очевидно, что кожухи внутреннее кольцо кинематически
идентичны. В динамическом отношении они эквивалентны лишь в случае, если их
моменты инерции одинаковы.

356 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
ν7Ύ\ \s ч9Х?
Рис. 45
связано другим плоским шарниром с кольцом внешним. Оси
обоих шарниров перпендикулярны друг другу. Подшипники
оси ротора вмонтированы в тело внутреннего кольца карданова
подвеса.
Обозначим через x2y2z2 систему координат, связанную с
внешним кольцом карданова подвеса, и направим ось х2 по оси первого
шарнира, а ось у2 — по оси второго. С основанием, которое, как
правило, является подвижным, свяжем систему координат ξηζ
и ее ось ξ направим по оси х2 первого шарнира. Обозначим через
α (рис. 50) угол поворота системы координат x2y2z2 по отношению
к системе ξηζ или, что то же, внешнего кольца относительно
основания, на котором расположен гироскоп в кардановом
подвесе. С внутренним кольцом карданова подвеса свяжем систему
координат £]#!%. Ось уг этой системы совпадает с осью у2 системы
^22/2^2 (рис. 45) и тем самым является осью второго шарнира,
вокруг которой внутреннее кольцо поворачивается относительно
внешнего. Угол последнего поворота (рис. 51) обозначим через β.
При α = β = 0 соответственные оси систем координат χ^χΖί9
%2У2*2, £ηζ совпадают друг с другом.
Плоскость yxz± является обычно так называемой срединной
плоскостью внутреннего кольца, именно той плоскостью его
симметрии, к которой наиболее близко расположена масса кольца
(рис. 52). Ось %, как правило, совпадает с осью ζ собственного
вращения ротора гироскопа, т. е. с осью его вращения
относительно внутреннего кольца.
Угол поворота ротора по отношению к внутреннему кольцу
обозначим через γ. Он называется углом собственного вращения
ротора гироскопа. Для отсчета угла γ следует ввести систему

§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ
357
Рис. 46
Рис. 47
ζ.,ζ
УиУг
У/>Уг
У„Уг
Рис. 48
Рис. 49

358 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
координат xyz, жестко связанную с ротором, и такую, чтобы ее
ось ζ совпадала с осью ζ± системы координат xxyxzx (рис. 52). Для
определенности положим, что при γ = 0 оси обеих систем
координат xyz и #!#!% соответственно совпадают.
Нетрудно проверить, что так введенные углы α, β и γ являются
углами Эйлера — Крылова (рис. 24 и 25), характеризующими
положение ротора гироскопа относительно основания или, что
то же, системы координат xyz по отношению к системе £ηζ. При
этом углы α и β определяют в системе координат ξηζ ориентацию
оси ζ динамической симметрии ротора.
Если гироскоп расположен на неподвижном основании, то
после затухания нутации ротора углы α и β в большинстве случаев
изменяются медленно. Это дает основание пренебрегать в
прецессионной теории гироскопов динамическим влиянием колец
на движение ротора, обусловленным моментами инерции их
масс.
Изложим относящиеся сюда рассуждения. Обозначим через А 1?
Ви С1 моменты инерции внутреннего кольца соответственно
вокруг осей хг, ух и ζχ. Для определенности будем считать их
главными осями инерции массы этого кольца. Система координат
ХгУ& имеет общую ось % или, что то же, ось ζ с системой xyz,
связанной с вращающимся ротором. Поэтому систему хгу^17 не
принимающую участия во вращении ротора, можно принять за
увлекаемую или сопутствующую систему координат x'y'z'',
введенную выше. Тогда движение внутреннего кольца, как жестко
связанного с увлекаемой системой координат x'y'z\ совпадет
с движением воображаемого тела, рассмотренного выше (см.

§2. УРАВНЕНИЯ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ
359
Рис. 52
предыдущий параграф), т. е.
тела, идентичного ротору
гироскопа, но совершающего
движение вместе с увлекаемой
системой. Моменты МХ', Μν>, Мг>,
которые могли бы
воспроизвести движение воображаемого
тела, как указывалось выше,
считаются в прецессионной
теории пренебрежимо малыми.
Если моменты инерции Аг, Вх,
Сх внутреннего кольца
сравнимы с моментами инерции
А = В и С ротора гироскопа,
то естественно, что следует
пренебречь и моментами сил,
которые заставляют внутреннее
кольцо совершать его истинное
движение вместе с системой
координат #!#!%. Примерно такие же рассуждения можно
привести и при допущении возможности пренебрежения массой
(точнее, моментами инерции) внешнего кольца карданова подвеса.
Выше указывалось, что учет массы (моментов инерции) колец
карданова подвеса необходим при изучении движения гироскопов
высокой точности. Особенно это существенно при значительной
угловой вибрации подвижного основания гироскопа* и при
наличии даже незначительной динамической неуравновешенности
ротора**, т. е. при несовпадении динамической оси симметрии
с осью его собственного вращения. Однако в упомянутых случаях
прецессионная теория гироскопов в ее обычном виде уже
непригодна для соответствующих исследований, и надлежит перейти
к нутационной теории. Систематический уход гироскопа в кар-
дановом подвесе, обусловленный незатухающими колебаниями
(нутациями) механической совокупности «ротор — внутреннее
кольцо — внешнее кольцо», рассмотрен ниже в гл. III.
Ротор и кольца карданова подвеса, и»х оси и подшипники не
являются абсолютно твердыми телами. Различие в упругой
податливости ротора в аксиальном и радиальном направлениях
объясняет, в частности, уход гироскопа при поступательных
вибрациях его основания. Для определения величины такого ухода
уравнений прецессионной теории гироскопов вполне достаточно.
* См. сноску на стр. 353.
** См. К л и м о β Д. М. О движении гироскопа в кардановом подвесе с не-
аксиалъно насаженным ротором.— Докл. АН СССР, 1959, т. 124, Μ 3.

360 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
§ 3. Гироскоп в кардановом подвесе
В этом параграфе, являющемся естественным продолжением
предыдущего, в рамках прецессионной теории гироскопов
приводится вывод общих уравнений движения оси гироскопа, ротор
которого подвешен в кардановом подвесе (см. рис. 45).
Подшипники оси внешнего кольца этого подвеса расположены в теле
некоторого подвижного основания. Как указывалось в предыдущем
параграфе, внутреннее кольцо подвеса конструктивно может
иметь, в частности, форму кожуха, в подшипниках которого
вращается ротор гироскопа (см. рис. 49).
Снова свяжем с подвижным основанием, внешним кольцом
и внутренним кольцом (кожухом) соответственно три системы
координат ξηξ, x2y2z2, Х\У\%\ с общим началом в центре карданова
подвеса. Оси ξ и х2 направим по оси внешнего кольца, оси у2иуг —
по оси внутреннего кольца (кожуха), а ось ζχ — по оси ротора
гироскопа ζ. Кроме того, введем систему координат xyz,
связанную с ротором гироскопа, и невращающуюся систему ξ*η*ζ* -^
обе с началом также в центре карданова подвеса.
Угловая скорость любого тела по отношению к «абсолютной»
системе координат (см.§1 гл. I настоящей книги) равна,
разумеется, угловой скорости того же тела по отношению к системе ξ*η*ζ*
и, таким образом, является его абсолютной угловой скоростью.
Обозначим; как и в предыдущем параграфе, через α угол
поворота внешнего кольца относительно основания (см. рис. 50).
При α > 0 система x2y2z2 повернута против стрелки часов
относительно системы координат ξηξ, если наблюдать за поворотом
со стороны положительного направления оси ξ (χ2). Аналогично
введем угол β поворота внутреннего кольца (кожуха)
относительно внешнего кольца карданова подвеса, т. е. системы координат
xiyizi п0 отношению к системе x2y2z2 (см. рис. 51). Относительные
угловые скорости daldt и d$/dt вращения систем координат x2y2z2
по отношению к ξη ξ и xxyxzx относительно χ^2ζ2 направлены (см.
рис. 50 и рис. 51) соответственно по осям х2 (ξ) и у2 (yj.
Обозначим через ω1 угловую скорость внутреннего кольца
относительно невращающейся системы координат ξ*η*ξ*.
Проекции ω^, ω^, ω^ этой угловой скорости на оси х1У уг, zu
связанные с внутренним кольцом подвеса, выражаются (рис. 53)
через угловую скорость основания й и углы α и β посредством
следующих формул:
ω^ = щ cos β + Щ sin α sin β — u^ cos α sin β + -τ- cos β,
ω1ι = Щ cos ot + ι/ζ sin α + — , (2.3.1)
ω*, = щ sin β — иъ sin α cos β + ty; cos α cos β + -тг sin β.

§ 3. ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
361
Рис. 53 Рис. 54
Вывод этих формул приводится несколько ниже; в них щ, ιιη
и щ — проекции абсолютной (т. е. относительно невращающейся
системы координат ξ*η*ζ*) угловой скорости й основания на оси
жестко связанной с ним системы ξηζ (см. рис. 53).
Обозначим суммы моментов сил воздействия основания на
внешнее кольцо подвеса относительно связанных с кольцом осей х2,
у2 и ζ2 соответственно через КХг, КУ2 и К^. Введем далее
обозначения LXl, LVi и LZl для сумм моментов относительно осей х1У
уг и zt сил воздействия внешнего кольца на внутреннее. Наконец,
через MXl, MVi и MZt обозначим суммы моментов сил воздействия
внутреннего кольца (кожуха) на ротор гироскопа * относительно
тех же связанных с внутренним кольцом осей х1у ух и zx.
Через kXi1 кУг и к1г обозначим суммы моментов относительно
соответствующих осей сторонних сил**, приложенных к
внешнему кольцу; через lXlJ 1У1 и l2l — к внутреннему кольцу (кожуху)
и, наконец, через mXi, mVl и mZl — к ротору.
В число сил, действующих на элементы массы внешнего кольца,
внутреннего кольца (кожуха) и ротора, следует включить силы
* В некоторых случаях (например, в гироскопическом приборе Обри)
имеются силы взаимодействия между ротором и внешним кольцом (так
называемые силы дутья). Наличие таких сил приводит к небольшому
усложнению последующих выкладок.
** Т.е., не являющихся силами взаимодействия между телами,
входящими в состав механической совокупности «ротор — внутреннее кольцо
(кожух) — внешнее кольцо карданова подвеса».

362 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
инерции (переносного движения и кориолисовы силы),
обусловленные перемещением с течением времени системы координат,
относительно которой изучается движение гироскопа. Такой
системой в данном случае выбрана невращающаяся система
координат ξ*η*ξ* с началом в центре карданова подвеса, которая уже
была упомянута выше (при этом кориолисовы силы отсутствуют).
Дальнейшие исследования проводятся в рамках прецессионной
теории гироскопов. Поэтому, в соответствии с изложенным в
предыдущем параграфе, кинетические моменты колец карданова
подвеса при движении последних относительно невращающейся
системы координат ξ*η*ζ* в дальнейшем не учитываются. Тем
самым следует положить равным нулю главный момент системы
сил, приложенных к внешнему кольцу. Точно таким же свойством
наделяется система сил, приложенных к внутреннему кольцу
(кожуху). Точкой приведения сил в обоих случаях выбирается
центр карданова подвеса.
Из условия равенства нулю сумм моментов всех сил,
действующих на внешнее кольцо, относительно каждой из осей х2, Уг и ζ2
следуют уравнения
КХ2 + кХ2 — LX2 = О,
Кш + кт-Ьш^0, (2.3.2)
KZ2+kZ2-LZi = 0.
В эти уравнения входят суммы моментов вокруг осей х2) у2 я z2
сил воздействия внутреннего кольца (кожуха) на внешнее,
обозначенные через — LX2, —LU2 ж —LZ2. На основании III закона
Ньютона они связаны с моментами LX1, Lyi и LZx сил воздействия
внешнего кольца на внутреннее кольцо (кожух), т. е. сил
противодействия, соотношениями (рис. 54)
LXll = LXi cos β + LZl sin β,
Lyi = Lyi1 (2.3.3)
LZ2 = — LXl sin β + LZl cos β.
Уравнения равновесия сил, приложенных к внутреннему
кольцу (кожуху) карданова подвеса, в свою очередь, имеют вид
LXl + lXl - ΜΧί = О,
LVl + lyi - Мш - О,
LZl + 1Ζχ - MZl = 0.
Здесь величины —Mxt, —Myx и —ΜΖχ — соответствующие суммы
моментов сил действия ротора гироскопа на внутреннее кольцо.
(2.3.4)

§ 3. ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
363
Исключим посредством соотношений (2.3.3) величины LX2,
Ly2 и LZ2, которые входят в уравнения (2.3.2). Получим
КХ2 + кХг = LXi cos β + LZi sin β,
Ky2 + ky2 = Lyi, (2.3.5)
KZ2 + kZ2 = — £*! sin β + L2l cos β.
Для дальнейшего существенное значение имеют выражения
ΜΧί и Мш для сумм моментов относительно осей х1 и у1 сил
воздействия внутреннего кольца (кожуха) на ротор гироскопа.
Совместно с неизвестными Ку„ KZ2, LXl и LZl их можно определить,
пользуясь уравнениями (2.3.4) и (2.3.5).
Величины КУ2 и KZ2 представляют собой суммы моментов
относительно осей у2 и z2 сил нормальных реакций в подшипниках
внешнего кольца. Аналогично суммы LX1 и LZi образуются за
счет нормальных реакций подшипников внутреннего кольца
(кожуха). Знание сил реакций может оказаться, например,
полезным для определения сил трения в подшипниках подвеса.
Разрешим уравнения (2.3.4) и (2.3.5) относительно величин
КУ2, К2г, LXl, L2l, ΜΧχ и AfVl, считая остальные, т. е. кХ2, /%2,
kZ2, Ι χ» lyi, /Zl, KXi, Lyi и MZl заданными. Имеем
К-Уг == — ky2 -(- Lyi,
KZ2 = -kZ2- (KX2 + kX2) tg β + (MZi - lZl) sec β,
LXl = (KX2 + kX2) sec β - (MZl - lZi) tg β,
LZl = - Z2l + MZl1 (2.3.6)
MXl = lXi + (KX2 + kX2) sec β - (ΜΖί - lZl) lg β,
MVx =-- Ztfl + Lyi.
Следует обратить внимание на то, каким образом входит в
состав выражения ΜΧί сумма кХг моментов относительно оси
внешнего кольца х2 сторонних сил, непосредственно приложенных
к внешнему кольцу, а также сумма КХ2, образуемая моментами
относительно той же оси х2 сил трения в подшипниках и сил
воздействия на внешнее кольцо со стороны основания. Здесь при
определении величины момента МХ1 легко допустить ошибку, если
непосредственно проектировать моменты КХг и кХг на ось хг,
забывая, что они приложены не к внутреннему кольцу (кожуху),
а к другому телу — к внешнему кольцу карданова подвеса. В
результате в состав выражения ΜΧι величины Кх% и кХ2 войдут
с множителем cos β, что, разумеется, неверно.
В соответствии с предпоследней формулой (2.3.6), величина
момента ΜΧι зависит также (при β Φ 0) как от суммы lZt момен-

364 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
тов относительно оси ротора zx(z) сторонних сил, приложенных
к внутреннему кольцу карданова подвеса, так и от суммы MZl —
моментов сил воздействия этого кольца на ротор гироскопа.
Оба эти обстоятельства на первый взгляд кажутся неожиданными.
Обратимся теперь к уравнениям движения ротора. В
соответствии с прецессионной теорией гироскопов, изложенной в
предыдущем параграфе, кинетический момент ротора G можно с малой
погрешностью заменить собственным кинетическим моментом
ротора Н, направленным по оси ζ (ζχ) вращения ротора
относительно внутреннего кольца (кожуха). Модуль этого кинетического
момента Η равен произведению полярного момента инерции ротора
С на проекцию г его угловой скорости ω на ось ζ, именно
Я = Ст. (2.3.7)
Угловая скорость ротора ω равна геометрической сумме
относительной угловой скорости η ротора по отношению к
внутреннему кольцу и абсолютной угловой скорости последнего, т. е.
угловой скорости ω1 по отношению к невращающейся системе
координат ξ*η*ζ*. Однако из-за чрезвычайно большой величины
угловой скорости ротора по отношению к внутреннему кольцу
(кожуху) или так называемой собственной угловой скорости
ротора η по сравнению с угловой скоростью ω1 самого кольца можно
не делать различия между величинами ω, η и г. Соответственно
в формуле (2.3.7) можно считать проекцию г равной упомянутой
собственной угловой скорости η ротора гироскопа, т. е. положить
r^»=4l· (2·3·8>
где γ — угол поворота ротора относительно внутреннего кольца
(кожуха).
Поступая так же, как и j* предыдущем параграфе, рассмотрим
скорость V конца вектора Η относительно невращающейся
системы координат ξ*η*ζ*, считая, что начало вектора совпадает с
началом этой системы. ^Нетрудно видеть (рис. 55), что проекции
упомянутой скорости V на оси системы координат χ^χΖχ
представляются выражениями
νΧι = ωΙβ, Vy^-ω^Η, VZl = ■%!-, (2.3.9)
где (oit и ω^, как уже упоминалось выше, являются проекциями
на оси хг и уг угловой скорости ω1 внутреннего кольца (кожуха)
относительно невращающейся системы координат ξ*η*ζ*.
Выражения (2.3.9), согласно формулам (2.1.47) предыдущего
параграфа, соответственно равны суммам моментов, действующих

§ 3. ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
365
Рис. 55
Рис. 56
на ротор сил, относительно осей хг, уг и zu т. е· в данном случае
а>{,Д = mXl + ΜΧί1
— со*Д = mVt + М]
lVi*
(2.3.10)
— = m2l + Mz,
Заметим, что величина mZl представляет собой, как правило,
момент сил торможения ротора окружающим воздухом (в случае
отсутствия, например, герметически закрытого кожуха).
Величина MZl, в свою очередь, слагается из момента трения в
подшипниках, сопротивления вращению ротора со стороны среды,
заполняющей кожух, и момента, вращающего ротор. Последний момент
развивается, чаще всего, вращающимся магнитным полем статора,
жестко связанного с кожухом.
Заменяя в равенствах (2.3.10) выражения ΜΧί и МУ1, согласно
двум последним формулам (2.3.6), получаем следующие
уравнения движения ротора гироскопа при наличии карданова подвеса:
с^Д = mXl + lXl + {КХ2 + к*,) sec β — (MZl — lZi) tg β,
■ ωΧιΗ = тУ1 + lVl + L
— = mZl+MZi.
(2.3.11)
Соотношения (2.3.11) при учете первых двух формул (2.3.1)
представляют собой совокупность трех дифференциальных
уравнений, содержащих три искомые функции времени <х (£), β (/)
л Η {ή.

366 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
УиУг
Рис. 57
Дадим другой вывод
уравнений (2.3.11) — посредством
применения принципа виртуальных
скоростей *. Сначала приведем
некоторые дополнительные
кинематические соотношения.
Нетрудно убедиться (рис. 56),
что проекции ω*2, ω£2, о)*2
угловой скорости ω2 внешнего
кольца подвеса относительно невра-
щающейся системы координат
ξ*η*ζ* на оси СИстемы χ^2ζ2>
связанной с кольцом,
выражаются формулами
2 . da
0)χ2 = щ-\—-г— ,
ω,,
ω2
= Μη cos ά -|- ^sina, (2.3.12)
— — щ sin α -f ιΐζ cos α,
где всюду надстрочный индекс 2 не является, разумеется,
обозначением квадрата.
Аналогично можно получить следующие формулы для
проекций на оси хи ух и %, связанные с внутренним кольцом (кожухом),
угловой скорости ω1 этого кольца относительно невращающейся
системы координат ξ*η*ζ* (рис. 57):
04-04 cos β— cousin β,
1 2 , 0?β
ωνι = 0)y2 + η^- ,
o)~t = ω2Χζ sin β + ω2Ζζ cos β.
(2.3.13)
Подставляя в правые части последних равенств выражения (2.3.12)
для ω*2, о)у2 и ω!2> придем к формулам (2.3.1), приведенным в
начале настоящего параграфа.
Наконец, проекции угловой скорости ω ротора гироскопа
относительно системы координат ξ*η*ζ* на те же оси хи ух и ζχ
представляются очевидными формулами
ωΓι= < + -%-, (2.3.14)
0)ν
(От
где γ — уже упоминавшийся выше (см. рис. 52) угол поворота
ротора гироскопа относительно внутреннего кольца (кожуха).
См. первую сноску на стр. 298.

§ 3. ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
367
Рассмотрим в невращающейся подвижной системе координат
ξ*η*ζ* кинетостатику механической совокупности, в состав
которой входят три твердых тела: внешнее кольцо карданова подвеса,
внутреннее кольцо (кожух) и ротор (см. рис. 45). В прецессионной
(элементарной) теории гироскопов, как уже отмечалось выше,
кинетические моменты обоих колец не учитываются вовсе, а за
кинетический момент ротора G принимается его собственный
кинетический момент Н, направленный по оси собственного вращения
ротора ζ {ζχ). Модуль вектора Ή примем, в соответствии с
формулами (2.3.7) и (2.3.8), равным произведению момента инерции
С ротора относительно оси его динамической симметрии ζ (ζχ)
на величину его собственной угловой скорости, именно
# = Сп = С^ . (2.3.15)
Введем даламберовы силы инерции * в системе координат
ξ*η*ζ* β соответствии с прецессионной теорией гироскопов, они
должны определяться только изменением в этой системе вектора
собственного кинетического момента Н. В самом деле,
прецессионные уравнения движения ротора (2.3.10) можно представить так>
чтобы они имели вид уравнений равновесий статики, а именно
mXi + MXl+ DXi = 0,
"hH + Myt + Dyt = 0, (2.3.16)
mZl + MZl + DZl = 0,
где
DXl = — (йУ1Н, DVx = — (— co*t#), DZi
Очевидно, что величины DXx, Dyi и Dz, надлежит рассматривать
как суммы моментов вокруг соответствующих осей даламберовых
сил инерции. Вместе с тем, правые части равенств (2.3.17)
представляют собой с точностью до знака проекции скорости конца
вектора собственного кинетического момента Η или, что то же,
его производной по времени на оси системы координат хху^1г
связанной с внутренним кольцом (кожухом) карданова подвеса.
Таким образом, при рассмотрении кинетостатики механической
совокупности «внешнее кольцо — внутреннее кольцо — ротор»
к числу действующих на нее сил следует добавить пары сил с
моментами DXli Dyx и DZl, приложенные к ротору гироскопа; фор-
* Здесь под элементарной даламберовой силой инерции понимается вектор^
направленный в сторону, противоположную ускорению рассматриваемого
элемента массы относительно невращающейся системы координат ξ*η*ζ*;
величина даламберовой силы инерции равна произведению этого ускорения
на величину массы (см. § 1 гл. I настоящей книги).
dH
dt
(2.3.17)

368 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
мулы (2.3.17) для этих моментов были только что приведены
выше.
Силы, действующие на рассматриваемую механическую
совокупность, могут быть разделены на силы сторонние и силы
взаимодействия: между ротором и внутренним кольцом подвеса,
внутренним кольцом и внешним и, наконец, между внешним кольцом
и основанием гироскопа. Движение всех тел рассматривается по
отношению к подвижной системе координат ξ*η*ζ*. Поэтому
в состав сторонних сил должны быть включены кориолисовы силы
инерции и силы инерции переносного движения, обусловленные
перемещением системы ξ*η*ζ* относительно «абсолютной»
системы координат. Однако система ξ*η*ζ* не вращается, поэтому
кориолисовы силы инерции отсутствуют. Что же касается
переносных сил инерции, то вследствие поступательного перемещения
системы координат ξ*η*ζ* все они имеют направление,
противоположное ускорению ее начала относительно системы
«абсолютной».
Очевидно, что силы инерции переносного движения,
«действующие» на элементы какого-либо тела рассматриваемой
механической совокупности, приводятся в данном случае к
равнодействующей, проходящей через центр тяжести тела (см. § 1 гл. I
настоящей книги). Величина этой равнодействующей равна
произведению массы тела на ускорение начала (а следовательно, и любой
другой фиксированной точки) системы координат ξ*η*ζ*.
Наконец, взаимодействие между телами механической
совокупности «внешнее кольцо — внутреннее кольцо — ротор» состоит
из сил нормальных реакций связей и из пар, векторы которых
направлены по осям плоских шарниров, связывающих эти тела.
Точно так же обстоит дело с силами взаимодействия между
основанием и внешним кольцом подвеса. Если имеются еще силы
взаимодействия между основанием и другими телами рассматриваемой
совокупности, то их можно отнести к сторонним силам.
На основании принципа Даламбера рассматриваемая
совокупность трех абсолютно твердых тел, именуемая гироскопом в кар-
дановом подвесе, под действием всех перечисленных сил вместе
с парами DXt, Dyt и DZt может пребывать в состоянии
равновесия по отношению к как бы остановленному основанию.
Движение основания гироскопа относительно «абсолютной»
системы координат следует считать заданным. За обобщенные
координаты совокупности наиболее естественно принять углы а,
β и γ, т. е. углы поворотов внешнего кольца карданова подвеса
относительно основания, внутреннего кольца по отношению к
внешнему и ротора относительно внутреннего кольца.
Пусть 8(da/dt), δ(ώβ/ώ), b(dyldt) — виртуальные обобщенные
скорости рассматриваемой механической совокупности. Тогда
проекции виртуальной угловой скорости внешнего кольца на оси

§ 3. ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
369
связанной с ним системы координат на основании формул (2.3.12)
представятся в виде
δ<42 = δ^, δα4=0, βω?, = 0. (2.3.18)
Используя формулы (2.3.1), получаем далее следующие
выражения для проекций на оси системы координат хщ^ виртуальной
угловой скорости внутреннего кольца подвеса (кожуха):
δα4 = cos β δ^-, δ<4, = δ-g-, δω|, = sin β δ^ . (2.3.19)
Наконец, для проекций на те же оси виртуальной угловой
скорости ротора, согласно формулам (2.3.14) и (2.3.19), получаем
выражения
δωΛι = cos β δ ·£- ,
бсоУ1=б|>, (2.3.20)
δωΖι = 8ίηβδ^+δ^-.
Составим теперь выражение для виртуальной мощности всех
сил, приложенных к рассматриваемой механической совокупности
тел, входящих в состав гироскопа в кардановом подвесе, включая
пары DXi1 DVl и DZf Заметим при этом, что мощность,
развиваемая силами, приложенными к какому-либо телу с неподвижной
точкой, равна скалярному произведению главного момента
совокупности этих сил относительно упомянутой точки на угловую
скорость тела *. Поэтому, в частности, мощность сторонних сил,
приложенных к внутреннему кольцу карданова подвеса, равна
произведению
/ω1 = 1ΧίωΧί + 1ух(*гУ1 + ΖΧ. (2.3.21)
Здесь I — главный момент упомянутых сил πω1 — вектор
угловой скорости внутреннего кольца.
Если же два тела взаимодействуют друг с другом и имеют
общую ось, то мощность, развиваемая силами взаимодействия,
равна произведению суммы моментов сил воздействия одного тела на
другое на скорость изменения угла между ними. Таким образом,
мощность сил действия внешнего кольца карданова подвеса на
внутреннее вместе с мощностью сил противодействия,
приложенных уже к внутреннему кольцу, составляет величину Lyt d$/dt.
В этом произведении Lyi — сумма моментов сил действия
внешнего кольца на внутреннее относительно оси ух последнего и β —
* См, первую сноску на стр. 298,

370
ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
угол между кольцами, причем положительные направления
угла β и момента LVx совпадают. К тому же выражению можно
прийти, если рассматривать частный случай формулы для мощности
обобщенных сил, действующих на ту или иную механическую
совокупность, приняв угол β за обобщенную координату и LVt —
за соответствующую ей обобщенную силу.
После сделанных замечаний уже нетрудно составить искомое
выражение для виртуальной мощности всех сил, приложенных
к рассматриваемому гироскопу. Имеем
b\V = (mXl + DXl) δωΧι + {myi+Dyi) δωυι+ (mZl + DZi) δωΖχ + ΙχβωΧί +
+ Ιυι8ω11+ΙζΜΐ+^28ω12+ΜΖίδ^+ Lyfi^- + Κχβ^- .
(2.3.22)
Здесь, как и ранее, КХг — сумма моментов относительно оси
внешнего кольца х2 (ξ) сил воздействия основания гироскопа на это
кольцо, LVi — аналогичная сумма моментов сил воздействия,
однако уже внешнего кольца на внутреннее, вокруг оси
внутреннего кольца у1 (ι/2), Μζι — сумма моментов сил воздействия
внутреннего кольца на ротор относительно оси его собственного
вращения ζ (ζχ). Далее через /с, I и т с подстрочными индексами
обозначены суммы моментов сторонних сил, действующих
соответственно на внешнее кольцо подвеса, его внутреннее кольцо
(кожух) и ротор, относительно осей, указанных в этих индексах.
В состав последних входят обусловленные движением системы
координат ξ*η*ζ* эйлеровы силы инерции, «действующие» на
внешнее и внутреннее кольца подвеса и ротор гироскопа.
В выражение виртуальной мощности 6W, естественно, не вошли
силы нормальных реакций связей, так как они никакой мощности
не развивают.
Заменим теперь в формуле для bW проекции виртуальных
угловых скоростей их выражениями, согласно равенствам (2.3.18),
(2.3.19) и (2.3.20). Правая часть этой формулы примет вид
[КХ2 + kX2 + (lXl + ?nXl + DXl) cos β + (lZl + mZl + DZl) sin β] δ £- +
+ У* + my. + Dyi + Lyi) δ^ + (mZi+ DZl+ ΜΖί) δ -J- .
(2.3.23)
В силу принципа виртуальных скоростей, мощность 6W
должна быть равна нулю при любых виртуальных скоростях, т. е. при
произвольных значениях виртуальных обобщенных скоростей
δ (da/dt), δ (d$/dt) и δ (dy/dt). Последнее возможно лишь при
равенстве нулю порознь каждого из множителей перед этими
виртуальными скоростями в выражении (2.3.23). В результате

§ 3. ГИРОСКОП В КАРДАНОВ ОМ ПОДВЕСЕ
371
получаем соотношения
КХ2 + кХ2 + (lXi + тХх + DXi) cos β + (lZl + πιΖχ + DZl) sin β = О,
Lvi + hi + mut + Dyt = 0,
MZt + mZt + DZl = 0,
(2.3.24)
которые приводятся к уравнениям (2.3.11), ранее полученным
методом элементарной статики. Следует лишь заменить величины
DXi, Dyx и DZl их выражениями, согласно равенствам (2.3.17),
и, кроме того, исключить из первого соотношения (2.3.24)
посредством третьего сумму mz -\-Dz,
В уравнениях (2.3.11) можно заменить проекции ω^, и ω^
угловой скорости внутреннего кольца карданова подвеса их
представлениями, согласно формулам (2.3.1). В результате получим в
окончательном виде следующие прецессионные уравнения
движения гироскопа в кардановом подвесе:
(щ cos α + Щ sin α + -JH Η = mXl + lXl + {КХг + kXz) sec β —
-(MXt-ltl)tgb
— (и%соБ$ + Μη sin α sin β—·ι*ζϋ08α8ΐηβ + "^"C0SP)^r =
dot
Щи + ht + Ly»
-^ = mZi+MZl. (2.3.25)
Уравнения (2.3.25) имеют многочисленные приложения.
Рассмотрим здесь два примера. Первый из них относится к исследованию
поведения гироскопа в кардановом подвесе при переменной
угловой скорости вращения ротора, т. е. при переменной величине
собственного кинетического момента гироскопа Н, второй — при
наличии воздействия сторонних сил аэродинамического
сопротивления вращению ротора (со стороны окружающей ротор внешней
среды).
Обратимся к первому примеру. Замечено, что угол β между осью
собственного вращения ротора и перпендикуляром к плоскости
внешнего кольца (рис. 58) уменьшается при увеличении угловой
скорости вращения ротора (разгоне) и, напротив, увеличивается,
когда ротор замедляет свое вращение (в частности, при выбеге).
Чтобы не усложнять исследование этого явления, оставим сначала
без внимания влияние на движение гироскопа моментов трения
КХ2 и Lyt в осях его подвеса, а также моментов кХг, lXu lVl, l2x,
Шх!* ту*, ™>г\ всевозможных сторонних сил. Не будем учитывать
также вращение Земли, считая тем самым угловую скорость й
основания и связанной с ним системы координат |ηζ в уравнениях

372 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
(2.3.25) равной нулю. В
частности, будем считать, что
ротор заключен в герметически
закрытый кожух и приводится в
движение вращающимся
электромагнитным полем статора.
Последний находится внутри
кожуха и жестко с ним связан.
После сделанных упрощающих
предположений уравнения
(2.3.25) движения гироскопа в
кардановом подвесе примут вид
я-& = -ДМ*?,
da
Рис. 58
—ff-^-cosp= 0, (2.3.26)
dt
dH
dt
Mz.
Из второго уравнения только что полученной совокупности
дифференциальных уравнений следует, что при β φ ± π/2
а = const. (2.3.27)
Таким образом, в данном случае, согласно прецессионной теории
гироскопов, при изменении скорости вращения ротора внешнее
кольцо должно оставаться неподвижным.
Исключая из первого уравнения посредством третьего момент
ΜΖχ воздействия статора на ротор гироскопа и разделяя
переменные, получаем
cos β φ _ dH
sin β ~~ Я '
Отсюда, в результате интегрирования, имеем
(2.3.28)
Η sin β = #0 sin β0 = const, (2.3.29)
где Н0 и β0 — соответственно значения собственного кинетического
момента Η и угла β в исходное мгновение времени t = 0.
Однако, в соответствии с формулой (2.3.15) Η = Сп, где η —
угловая скорость собственного вращения ротора, т. е. его
угловая скорость по отношению к кожуху (внутреннему кольцу кар-
данова подвеса). Поэтому, в силу соотношения (2.3.29) и формулы
(2.3.15), при увеличении собственной угловой скорости ротора
η угол β должен уменьшаться и наоборот. Заметим, что нельзя
за исходное принять одно из тех мгновений времени t, при котором
собственная угловая скорость ротора недостаточно велика (в
частности, при трогании ротора с места). При малой угловой скорости

§ 3. ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
373
ротора существенное влияние на его движение имеют моменты
трения в осях подвеса, которые выше не учитывались, и, кроме
того, использование самой прецессионной теории гироскопов
становится неправомерным.
При уменьшении угловой скорости ротора соотношение (2.3.29)
справедливо лишь до того мгновения, когда угол β, увеличиваясь,
достигнет значения π/2. В это мгновение кинетический момент Я,
согласно соотношению (2.3.29), становится равным величине
#min = #0 sin β0. (2.3.30)
При β = π/2 кольца «складываются», и ось собственного
вращения ротора совмещается с осью вращения внешнего кольца
относительно неподвижного основания. Однако следует учесть, что
прецессионная теория гироскопов перестает быть справедливой
и при значениях угла β, мало отличающихся от π/2.
Соотношение (2.3.29) можно получить несравненно более
простым путем, непосредственно применяя теорему о моменте
количества движения к совокупности трех твердых тел: ротора гироскопа
и обоих колец его карданова подвеса. На основании этой теоремы
справедливы равенства
dGc dG^ „ dGY
-1Γ = Νζ> -4Γ = Ν«> -ΊΓ = Ν<> (2·3·31)
где ί?ξ, 6?η и 6?ζ — проекции суммарного кинетического момента
гироскопа в кардановом подвесе на соответствующие оси
неподвижной в данном случае системы координат ξηζ, а Ν%, Ν^ и Ν^ —
суммы моментов относительно тех же осей всех внешних сил,
действующих на внешнее и внутреннее кольца подвеса, а также на
ротор. Такими внешними силами могут быть сторонние силы,
действующие на кольца подвеса и на ротор, силы трения в оси
внешнего кольца и силы нормальных реакций в подшипниках той
же оси.
Совместим ось ξ с осью х2 внешнего кольца карданова подвеса.
Учитывая, что нормальные реакции в подшипниках оси внешнего
кольца имеют моменты лишь относительно осей η и ζ, а сторонние
силы и силы трения, по предположению, отсутствуют, приходим
к выводу, что
Νξ = 0. (2.3.32)
Однако в этом случае на основании первого уравнения (2.3.31)
имеем
Gz = const. (2.3.33)
Согласно изложенному выше в прецессионной теории
гироскопов моменты количества движения колец подвеса не учитываются
вовсе, а момент количества движения ротора сводится к собст-

374 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
венному кинетическому моменту Н. Последний, как указывалось,
имеет направление оси ротора ζ и, в соответствии с формулой
(2.3.15), равен произведению его полярного момента инерции
С на угловую скорость η вращения ротора относительно
внутреннего кольца подвеса. Поэтому проекцию G% суммы моментов
количества движения обоих колец и ротора в прецессионной теории
гироскопов следует считать равной проекции на ту же ось одного
только вектора собственного кинетического момента ротора, т. е.
вектора Н. Вектор /f, направленный по оси ζ собственного
вращения ротора, образует угол π/2—β с осью ξ (рис.58). Следовательно,
^ = #* = #sin β (2.3.34)
и, таким образом, учитывая первый интеграл (2.3.33), вновь
приходим к соотношению (2.3.29).
С геометрической точки зрения соотношение (2.3.29) выражает
собой постоянство проекции вектора Η на ось ξ (рис. 59).
Очевидные. 59
но, что большей длине вектора Н, т. е. большей угловой скорости
ротора, соответствует меньший угол β и наоборот.
Обратимся теперь ко второму примеру. Пусть ротор не
заключен в кожух (рис. 60), но его скорость собственного вращения
поддерживается постоянной, например, за счет вращающегося
магнитного поля или турбинного эффекта струи сжатого воздуха,
устремляющегося на специально отфрезерованные лопатки в теле
ротора. Пусть вновь отсутствует трение в подшипниках осей кар-
данова подвеса гироскопа, равно как и сторонние силы, которые
могли бы действовать на внешнее и внутреннее кольца подвеса.
Что же касается сторонних сил, действующих на ротор
гироскопа, то они, несомненно, присутствуют, так как вследствие
отсутствия закрытого кожуха ротор встречает сопротивление
вращению со стороны окружающей его внешней среды (воздуха).
Естественно принять, что эти силы создают лишь момент mZi вокруг
оси ротора. Тогда третье уравнение совокупности (2.3.25) с
учетом предполагаемого постоянства величины собственного
кинетического момента ротора Η и сделанных выше предположений
представится в виде
0 = mZl + Μτν (2.3.35)

§ 3. ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
375
Положительная величина Mzt представляет собой разность
между моментом, вращающим ротор, и суммарным моментом
сопротивления вращению, обусловленным трением в подшипниках
ротора и аэродинамическими силами, развиваемыми в зазоре
между внутренним кольцом и самим ротором. Соответственно
mz — величина отрицательная.
Заменим теперь в первом уравнении (2.3.25) величину MZl ее
выражением через т2, согласно равенству (2.3.35). Учитывая, что,
по предположению, все остальные моменты (KXi, kX2, lXl, mXl, i2l),
входящие в правую часть этого уравнения, отсутствуют, получим
#-f-=mZllg3. (2.3.36)
Вследствие равномерного вращения ротора, здесь следует
считать постоянными момент mZi сопротивления его вращению со
стороны окружающего гироскоп воздуха и величину
собственного кинетического момента ротора Н.
Интегрируя дифференциальное уравнение (2.3.36), имеем
sin β = sin β0 exp ("тг *) . (2.3.37)
где β0 — значение угла β в исходное мгновение времени t = 0.
Так как mz < 0, то, согласно формуле (2.3.37), угол β должен
с течением времени по модулю монотонно уменьшаться, имея
пределом нуль. Подобное поведение гироскопа в кардановом
подвесе уже давно было обнаружено рабочими-наладчиками
гироскопических приборов и проверено в лабораторных условиях (равно
как было замечено и изменение угла β при увеличении или
уменьшении угловой скорости η вращения ротора). Угол β в технике
иногда называется «поклоном волчка».
Можно указать две помехи, мешающие гироскопу сохранять
заданное направление в горизонтальной плоскости. Это — трение
в осях его карданова подвеса и, кроме того, видимое движение
гироскопа из-за вращения Земли. Последнее, однако, в
рассматриваемом случае можно практически устранить, если
направить ось внешнего кольца гироскопа по вертикали, а ось
собственного вращения его ротора расположить в плоскости меридиана
места. Теперь посредством грузика, расположенного на
внутреннем кольце (или иным способом), можно вызвать прецессию
гироскопа, устраняющую его видимый уход.
В самом деле, расположим систему координат ξηζ, связанную
с основанием гироскопа (и, тем самым, на этот раз вращающуюся
вместе с Землей), так, чтобы ось ξ была направлена вертикально
вверх, ось η — на восток и ось ζ — на север (рис. 61).
Обозначим, как всегда, через φ широту места. Тогда проекции вектора

376 ГЛАВА П. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Рис. 60
угловой скорости Земли на эти оси, т. е. величины
C/ξ = U sin φ, ί/η = 0, ί/ζ = f/ cos φ (2.3.38)
представят собой соответственно проекции щ, и^, щ угловой
скорости й основания на оси ξ, η и ζ той же системы координат.
Первые два уравнения совокупности (2.3.25) примут теперь вид
U cos φ sin α + -Д) H=(KX2+kX2) sec β+ΖΛι+ mx — (MZl— lZl) tg β,
da
— IU sin φ cos β — t/coscpcosasinp + ~jfcos β)·^ = A/i + hi + myi·
(2.3.39)
Пусть в исходном положении α = β = 0 и, следовательно,
совпадают одноименные (т. е. оси абсцисс, ординат и апликат) оси
систем координат ξηζ, х2у2^ и х{у^ъ связанные соответственно
с основанием, с внешним и внутренним кольцами карданова
подвеса. Предположим, что
КХа = ЬУх = Λ/Ζι = 0, кХг = 1Χι = Ζ2ι = mXj = 0. (2.3.40)
В этом случае совокупность дифференциальных уравнений (2.3.39)
допускает решение
a (t) = 0, β (0 = 0, (2.3.41)
если только
hi + m>vi = — Η U sin φ.
(2.3.42)

§ 3. ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
377
ξ,χ,,Ζ
ζ.,ζ
Рис. 61
Рис. 62
Решение (2.3.41) соответствует стационарному движению
гироскопа вместе с вращающейся Землей, при котором собственный
кинетический момент ротора Η и соответственно его ось ζ
направлены на север. Момент lVl + гаш, устраняющий видимое движение
гироскопа (т. е. движение относительно Земли), можно создать,
в соответствии с формулой (2.3.42), посредством небольшого
грузика Р, укрепленного на внутреннем кольце с его северной
стороны (рис. 62). Необходимо лишь (в случае отсутствия дебаланса
у системы «внутреннее кольцо — ротор»), чтобы
Ρ-—-sin φ,
(2.3.43)
где а — расстояние от центра масс грузика до оси внутреннего
кольца карданова подвеса гироскопа.
Разумеется, что собственный кинетический момент Η при
неизменной величине а должен быть постоянным.
Можно убедиться, что при малых значениях углов α и β при
наличии упомянутого грузика видимей уход гироскопа из-за
вращения Земли будет иметь порядок произведения U cos φ·β0£
по углу α и —U cos φ·α0£ по углу β, где t — не слишком большое
время, прошедшее от мгновения, когда углы α и β были
соответственно равны значениям а0 и β0. Действительно, уравнения (2.3.39)
с учетом равенств (2.3.40) и (2.3.42) с точностью до членов первого

378 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
порядка относительно переменных α и β имеют следующий вид:
■^r + Ucosy.<x= О, ^_?7οο8φ.β-0. (2.3.44)
Полагая здесь t = О, получаем
dt
da
= β0 = — ί7οοδφ·α0, -5г _ = <*ο — U cos φ'^0.
Μ ^ "Υ "°' <** |ί=ο
(2.3.45)
Далее имеем следующее приближенное представление искомых
переменных α и β при малых значениях аргумента
а = а0+ ct0t, β- β0 + Μ, (2.3.46)
откуда при учете равенств (2.3.45) приходим к приведенным выше
суждениям о порядке ухода гироскопа. Функции α(ί) и β(£),
полученные интегрированием уравнений (2.3.44), — гармонические с
периодом 2я/и cos φ и амплитудой (ссо + βο)1/2.
Посредством уравнений (2.3.39) после уточнения их правых
частей можно учесть и уход гироскопа из^за трения в осях его подвеса.
§ 4. Невозмущаемый гироскопический маятник
В § 2 главы I было показано, что параметры физического
маятника и начальные условия его движения могут быть выбраны так,
что прямая, соединяющая точку подвеса маятника с его центром
тяжести, будет постоянно проходить через центр Земли, условно
принимаемой за шар с радиальным распределением плотности.
Перемещение точки подвеса на земной сфере может быть при этом
совершенно произвольным. С точки зрения прецессионной теории
гироскопов, как показывается далее в § 6 настоящей главы, точно
таким же свойством обладает чувствительный элемент гирогори-
зонткомпаса Геккелера или так называемого пространственного
гироскопического компаса*. Необходимо лишь надлежащим
образом выбрать начальные обстоятельства его движения. Суммарный
собственный кинетический момент чувствительного элемента
такого компаса при этом оказывается всегда перпендикулярным
к направлению скорости ν движения точки подвеса относительно
невращающейся сферы S с тем же центром и тем же радиусом R,
что и Земля (рис. 63); величина упомянутой скорости ν связана
приведенным в том же параграфе простым тригонометрическим
соотношением (2.6.36) с углом 2σ — 2ε между осями собственного
вращения гироскопов.
* См. статью автора «К теории гирогоризонткомпаса».—ПММ, 7956,
т. 20, вып. 4.

§ 4. НЕВОЗМУЩАЕМЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 379
Рис. 63
Указанные свойства
физического маятника и
пространственного гироскопического
компаса имеют место, разумеется,
лишь при отсутствии трения в
устройстве их подвеса, а для
гирокомпаса, кроме того,— в
осях кожухов гироскопов.
В настоящем параграфе
показывается, что при соблюдении
некоторых условий сходные
свойства обнаруживаются также
и у гироскопического маятника
с подвижной точкой подвеса,
произвольным образом
перемещающейся по земной сфере.
При изучении поведения
такого маятника удобно
рассматривать движение точки его
подвеса по отношению к
упомянутой выше невращающейся
сфере S, а самого гироскопического маятника — относительно
некоторой поступательно перемещающейся системы координат
ξ*η*ζ* с началом в точке его подвеса. При этом так же, как
и в случае физического маятника, значительно упрощается
составление уравнений движения и учет эйлеровых сил инерции (см.
§ 1 гл. I). Одновременно становится более ясным и характер
самого решения задачи, не осложняемый необходимостью принимать
во внимание вращение Земли *. Исследование проводится, исходя
из уравнений прецессионной теории гироскопов, изложенной
в двух предыдущих параграфах.
При рассмотрении задачи о движении гироскопического
маятника с подвижной точкой подвеса примем, что отсутствуют силы
трения в осях его карданова подвеса, а также силы, стремящиеся
повернуть внутреннее кольцо (кожух) относительно внешнего.
Таким образом, в уравнениях (2.3.11) предыдущего параграфа
следует положить
КХ2 = О, £У2=0. (2.4.1)
Если, кроме того, считать, что ротор вращается в закрытом
кожухе с постоянной угловой скоростью, то естественно предположить,
что
mz = О, Mz = 0. (2.4.2)
* См. Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. Изд. 2-е. М.
Гостехиздат, 1955.

380 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Примем, наконец, что
сторонние силы, приложенные к
внешнему кольцу, не создают
суммарного момента вокруг оси
этого кольца χ2(ζ), а силы,
приложенные к внутреннему
кольцу, — относительно оси
ζ1 (ζ), т. е.
кХ2 = 0, /21 = 0. (2.4.3)
Как правило, для этого доста-
Рис. 64 точно, чтобы внешнее кольцо
было уравновешено, а центр
тяжести внутреннего кольца
лежал на оси ζχ (ζ), т. е. на оси собственного вращения ротора
гироскопа.
При сделанных предположениях уравнения (2.3.11)
значительно упрощаются и сводятся к виду
ωυιΗ = Ιχι + тхц
— (uljl = lv. 4- ιηυ
(2.4.4)
"xt*
vVx ι
постоянная величина.
где Н
Для дальнейшего существенно заметить, что вид этих
уравнений сохраняется в произвольной системе координат xry'z', если
ее начало также расположено в центре карданова подвеса, а ось
ζ совпадает с осью ζ± (ζ) системы координат хгу^г, жестко
связанной с внутренним кольцом подвеса (кожухом). Действительно
(рис. 64), проекции αν, ω'υ> и αν угловой скорости ω7 такой
системы координат x'y'zr на ее собственные оси связаны с проекциями
ω^, ω^ и ω^ угловой скорости ω1 системы координат χ^χζλ на
оси последней соотношениями
αν = ω^ cos δ -f ω^ sin δ,
ω„
— ω^ sin δ + ^li cos δ,
(2.4.5)
ω
db
ι . αο
dt
Здесь δ — угол между осями хг и хг; при δ > 0 система
координат xry'z повернута против стрелки часов относительно системы
xilJizii если наблюдать за поворотом со стороны положительного
направления оси ζ1 {ζ).

§ 4. НЕВОЗМУЩАЕМЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 381
Подставим в первые две формулы (2.4.5) величины ω^ и ω^,
согласно равенствам (2.4.4). Замечая, что выражения
{lXl + mXl) cos δ + (lVl + mVi) sin δ = lx> + mx>,
— {lXt + Шхд sin δ + (ZVl + mv) cos δ = l# + my
(2.4.6)
сил, приложенных к внутреннему кольцу и к ротору гироскопа
получим уравнения *
представляют собой суммы моментов относительно осей х' и уг
утреннему кольц
щ.Н = I* + тх>, ^
— ω'χΉ = /у + mV'.
Перейдем теперь к основному вопросу — исследованию
поведения гироскопического маятника, точка подвеса которого
перемещается произвольным образом по поверхности Земли, а
следовательно, и по поверхности невращающейся сферы S. Для этой
цели, прежде всего, составим дифференциальные уравнения
движения оси гиромаятника по отношению к поступательно
перемещающейся системе координат ξ*η*ζ*, оси которой не изменяют
своей ориентации по отношению к направлениям на неподвижные
звезды. Центр же сферы S считается «абсолютно неподвижным».
В уравнения (2.4.7) вошли лишь сторонние силы, приложенные
к внутреннему кольцу карданова подвеса (кожуху) и к ротору
гироскопа. Согласно законам механики относительного движения,
в число действующих на внутреннее кольцо (кожух) и ротор сил,
помимо сил тяготения, должны быть также включены силы
инерции переносного движения и кориолисовы силы инерции,
обусловленные движением исходной системы координат ξ*η*ζ* (χ. е.
эйлеровы силы инерции; см. § 1 предыдущей главы). Однако
кориолисовы силы инерции отсутствуют, так как система ξ*η*ζ*
перемещается поступательно. Элементарные силы инерции
переносного движения, будучи по той же причине параллельными,
сводятся к единственной силе Р. Последняя проходит через
общий центр тяжести внутреннего кольца (кожуха) и ротора
гироскопа и направлена в сторону, противоположную абсолютному
ускорению начала системы ξ*η*ζ*, τ. е. центра карданова подвеса.
Обозначим через wx>, wy> и wz> проекции на оси хг, у' и zr
ускорения центра подвеса гироскопа. Через т обозначим суммарную
массу внутреннего кольца (кожуха) и ротора. В соответствии с
ψ
* Разумеется, уравнения (2.4.7) могут быть получены и без
приведенных выкладок, если заметить, что, согласно соотношениям (2.4.4), вектор,
у которого компонентами являются величины guJ. и ω* , перпендикулярен
вектору с компонентами Ιχ -f- тх и I -f- m , причем модули обоих
векторов пропорциональны друг другу.

382 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
теоремами механики
относительного движения, изложенными в
§ 1 предыдущей главы,
проекции на те же оси искомой
равнодействующей переносных сил
инерции, «приложенных» к
элементарным массам внутреннего
кольца (кожуха) и ротора,
определяются формулами
Рх> = — mwx>, Ρ у' == — мшу*,
Ρ/ = — mwz: (2.4.8)
Будем считать, что силы
тяготения к Земле
элементарных частиц совокупности
«внутреннее кольцо — ротор»
сводятся к единственной силе F, на-
Рис. 65 правленной к центру Земли и
проходящей через их общий
центр тяжести. Примем, что
последний лежит на отрицательной части оси ζ' (ζ) (т. е. на оси
ротора) на расстоянии а от начала координат. Тогда, в
соответствии с известными формулами статики (см. также рис. 65), имеем
1Х' + гпХ' = а (РУ'+ Fy>),
W +ту> = -а {Рх> + F*).
(2.4.9)
В этих формулах через F х* и Fy> обозначены проекции силы
F на оси х' и у'.
Подставляя правые части формул (2.4.9) в равенства (2.4.7),
получим исходные уравнения движения гироскопического
маятника
* (2.4.10)
ον Η = а (Ру> + Fy>).
На основании изложенного выше эти уравнения справедливы при
произвольном выборе системы координат χ'у'ζ' с началом в центре
карданова подвеса и осью ζ, направленной по оси ротора ζ.
При этом должны отсутствовать силы трения в осях подвеса и
усилия, стремящиеся повернуть внешнее кольцо относительно
основания, т. е. соблюдаться условия (2.4.1), а также и условия (2.4.2)
и (2.4.3), касающиеся других силовых воздействий на
механическую совокупность тел «внешнее кольцо — внутреннее кольцо —
ротор», т. е. на гироскоп в кардановом подвесе.

§ 4. НЕВОЗМУЩАЕМЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 383
Введем так называемый естественный трехгранник Дарбу x°y°z°
(частный случай трехгранника Дарбу, применявшегося в § 2
гл. I) с вершиной в центре карданова подвеса, ребро z° которого
нормально сфере S, а ребро х° направлено по вектору скорости
ν центра подвеса (положение трехгранника тем самым
определяется однозначно) *. Нетрудно убедиться, используя формулы (1.2.11)
§ 2 гл. I (см. также рис. 63), что проекции угловой скорости ω°
трехгранника x°y°z° относительно системы координат ξ*η*ζ*
(или, что то же, относительно невращающейся сферы S) на его
ребра х° и у0 определяются равенствами
ωχο = 0, αν = -^- . (2.4.11)
Для этой цели достаточно в формулах (1.2.11) положить νχ = ν
и vy = 0, а также ρ — ω^ο ид= ω^ο. Что же касается проекции
ω**) упомянутой угловой скорости на ребро z°, то она зависит от
геодезической кривизны ** сферической кривой, по которой
движется на сфере S точка подвеса гироскопического маятника,
а также от модуля скорости сдвижения этой точки по упомянутой
траектории. Именно
о°2о = — . (2.4.12)
Здесь pg — радиус геодезической кривизны сферической кривой
в том месте, где в данное мгновение времени находится точка
подвеса. Если ввести обозначение
ω°ο = 5, (2.4.13)
то проекции ускорения вершины трехгранника x°y°z° на его ребра
х°, у0 и z°, в соответствии с общими формулами (1.2.13) § 2 гл. I,
выразятся следующим образом:
w°* = "Ж ' Wy0 = ων' Wz° = 7Г ' (2.4.14)
Чтобы убедиться в этом, достаточно в формулах (1.2.13) заменить
обозначения осей χ, ι/, ζ на х°, г/°, ζ° и положить, учитывая
равенства (2.4.11) и (2.4.13), ρ = ω°χ0 = 0, q = сог°о = v/R, r == ω°ζο = ω.
В выборе направлений осей х' и уг введенной выше системы
координат x'y'z имеется известный произвол. В связи с этим
можно направить ось х' этой системы так (рис. 69J, чтобы она лежала
в плоскости z'x°, содержащей ось ротора ζ {ζ') и ребро х° естествен-
* См, сноску на стр. 378.
** См, Рашевский П. К, Курс дифференциальной геометрии. М., Г ос·
техиздат, 1956.

384 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
^
ного трехгранника Дарбу. Вдоль последнего, как уже
указывалось выше, направлен вектор скорости точки подвеса
гироскопического маятника (рис. 66). Тем самым ось у\ как
перпендикулярная к ребру х° (вследствие того, что ребро х°, ось х' и ось ζ
находятся в одной плоскости), окажется в плоскости y°z°.
Обозначим через β угол между осью хг и ребром х°, а через а —
угол между осью у' и ребром у0. Относительная угловая скорость
системы координат x'y'z' по отношению к трехграннику x°y°z°
равна геометрической сумме относительной угловой скорости
da/dt, имеющей направление ребра х°, и относительной угловой
скорости dfi/dt, направленной по оси у'.
Нетрудно построить таблицу косинусов углов между осями
системы координат x'y'z и ребрами трехгранника x°y°z°. Она имеет
вид
х° у0 z°
cos β sin α sin β —cos α sin β
0 cos α sin α (2.4.15)
sinp —sin α cos β cos ά cos β.
При построении этой таблицы полезно ввести вспомогательную
систему координат x"y"z" (рис. 66), ось х" которой совпадает с
ребром х° естественного трехгранника Дарбу, а ось у" — с осью у'
системы x'y'z' (ребро х° и ось у', как было указано выше, взаимно
перпендикулярны). Положительному значению угла α
соответствует поворот вспомогательной системы координат x"y"z" против
стрелки часов вокруг ребра х° или, что то же, вокруг оси х", если
х'
У'
ζ'

§ 4. НЕВОЗМУЩАЕМЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 385
наблюдать за поворотом со стороны положительного направления
последней. При β ^> 0 система координат x'y'z' повернута
аналогичным образом относительно вспомогательной системы x"y*z"
вокруг оси у', совпадающей с осью у". Таким образом,
упомянутые выше относительные угловые скорости d$/dt и da/dt
представляют собой соответственно угловые скорости системы координат
xryrz по отношению к системе x"y"z" и этой последней
относительно системы x°y°z°.
Используя таблицу (2.4.15), учитывая формулы (2.4.11)
и (2.4.13) и принимая во внимание сделанные выше замечания
о направлении относительных угловых скоростей da/dt и d$/dt,
получаем следующие формулы:
ω'χ, = — sin α sin β — ω cos α sin β + -τ- cos β,
щ> = -jt cos α -f* ω sin α-f- "jf > (2.4.16)
αν — jr- sin a cos β + ω cos α cos β -f- —τ- sin β.
Здесь, как и ранее, ον, αν и αν — проекции на оси χ', у' и zr
угловой скорости W системы координат x'y'z' относительно не-
вращающейся сферы S.
Линия действия силы тяготения F, как уже упоминалось выше,
проходит через совместный центр тяжести ротора и внутреннего
кольца и через центр Земли (совпадающий с центром сферы S).
Так как расстояние а между упомянутым центром тяжести и
точкой подвеса гироскопического маятника ничтожно мало по
сравнению с радиусом Земли i?, то с большой точностью можно
принять, что сила F параллельна оси z° и направлена в
отрицательную сторону последней. Учитывая теперь таблицу (2.4.15), имеем
следующие формулы
Fх> = F cos a sin β,
Fyf = _ F sin α, (2.4.17)
F г» = — F cos α cos β
для проекций силы тяготения F на оси системы координат xry'z.
Посредством той же таблицы (2.4.15) и формул (2.4.14) получаем
для проекций ускорения центра подвеса на оси системы координат
x'y'z выражения
dv ""■' v^
wx> = -=— cos β + col? sin α sin β + -^- cos α sin β,
•— v^
wv> = ων cos α jr- sin a, (2.4.18)
wT
dv
= —ΤΓ sin β — cov sin a cos β ^- cos a cos β.

386
ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Далее по формулам (2.4.8) находим проекции на те же оси
равнодействующей Ρ переносных сил инерции. Подставим их вместе
с выражениями (2.4.17) в правые части уравнений (2.4.10). В левых
частях этих уравнений заменим величины αν и щ* их
представлениями, согласно формулам (2.4.16). В результате получим
следующую совокупность двух дифференциальных уравнений для
отыскания неизвестных функций времени а = a (t) и β = β (t),
которые определяют положение оси ζ (ζ) ротора гиромаятника
по отношению к естественному трехграннику Дарбу x°y°z°:
^γ- sin α sin β — ω cos α sin β -f- —τ- cos β)# =
= α ί F ^-j cos α sin β — mi -^- cos β -f-owsinasin β) ,
(■
υ ~ ~ . , Φ\ γτ (2.4.19)
^-cosa + ω sin α +-^τ)-" =
ίF -τ?—) sin a — тш cos a
Уравнения (2.4.19) содержат функции времени
ν = ν (ί), ω = ω (ί), (2.4.20)
которые надлежит считать известными. В самом деле, если на
сфере S задано движение точки подвеса гиромаятника, то тем самым
становится известным движение естественного трехгранника
Дарбу, и полностью определяются эти функции.
Соотношения (2.4.19) представляют собой исходные
прецессионные уравнения движения оси ζ (ζ) ротора гироскопического
маятника. Они справедливы, если соблюдены условия (2.4.1) —
(2.4.3). При произвольных заданных функциях ν (t) и ω (t) и
конечных (т. е. не бесконечно малых) значениях искомых углов
α и β решение этих уравнений представляет значительные
трудности. Задача упрощается, если, учитывая малое отклонение оси
ζ (ζ) от вертикали, в уравнениях (2.4.19) сохранить лишь члены
первого порядка в разложениях тригонометрических функций
по степеням переменных α и β. Образующиеся при этом
дифференциальные уравнения
Г~ ι α Ι η ™>v2 \1 n am dv
[<» + Tr[F—тг№ = -тгчг>
L ч /J (2.4.21)
^β , Γ— ι α ί η тг'2 Μ am ~ ν
-ЗГ + Г + ТГ^ ΊΓ)\α=-·Η-™--Η
оказываются линейными, однако с переменными коэффициентами.
Они допускают, как будет показано ниже, интегрирование в
квадратурах.
da
~df

§ 4. НЕВОЗМЕЩАЕМЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 387
Используем, прежде всего, в уравнениях (2.4.21) подстановку
am
Получим в результате следующую совокупность уравнений:
м (2.4.23)
-f- + Ρ (*)* = ?(<).
в которых
p(t) = (o + -n-[F--ir
4 ' (2.4.24)
К уравнениям (2.4.23) можно применить операцию
«компрессии» (см. § 1 настоящей главы), после чего приходим к одному
уравнению
^- + ip(t)X = iq(t), (2-4.25)
в котором % (t) — подлежащая определению комплекснозначная
функция времени. Она связана с искомыми функциями ft (t)
и β(ί) соотношением
χ (0 = * (0 + Φ (О- (2.4.26)
Общее решение уравнения (2.4.25) имеет следующий вид:
t
X(i) = Cexp[-iJp(i)di] +
о
t i t
+ i K[g(0exp(i^p(0di)ldi}exp[— ί^ρ(ί)Λ]. (2.4.27)
0 0 0
Значение комплекснозначной произвольной постоянной С
решения (2.4.27) определяется начальным положением оси
гиромаятника и начальным значением скорости его точки подвеса
относительно сферы S. Действительно, согласно формуле (2.4.27),
учитывая также соотношения (2.4.26) и (2.4.22), имеем
С = X (0) = * (0) + ίβ (0) = ос (0) + ίβ (0)+^ν (0). (2.4.28)
Особый интерес представляет случай
q (t) = 0, (2.4.29)

388 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
так как при этом выражение для комплекснозначной функции
χ (t) значительно упрощается и поведение гироскопического
маятника оказывается особенно простым. Согласно второму
равенству (2.4.24), этот случай возможен, если надлежащим образом
выбраны параметры а, т, Н, а скорость ν движения точки
подвеса гиромаятника по сфере S постоянна.
Заметим, что при малой скорости движения точки подвеса
относительно Земли по сравнению, например, с окружной
скоростью точек экватора с известным приближением можно принять
F — -ijfl ~ mg = const, (2.4.30)
где g — ускорение силы тяжести.
Условие (2.4.29) обращения в нуль функции q (t) приводится
на основании приближенного равенства (2.4.30) и второго
равенства (2.4.24) к известному условию Шулера
^■=-/ϊ = ». (2.4.31)
для гироскопического маятника *, в которое скорость ν уже не
входит. Здесь ns — так называемая угловая частота Шулера.
Пусть тождество (2.4.29) осуществлено и, кроме того, начальные
обстоятельства движения таковы, что
О (0) = 0, β (0) = 0. (2.4.32)
Тогда, согласно формуле (2.4.27) и равенству (2.4.28), имеем для
произвольного мгновения времени
χ(ί) = 0. (2.4.33)
Отсюда, в соответствии с равенством (2.4.26), следуют тождества
Ь (t) = 0, β (ή = 0. (2.4.34)
Из второго тождества (2.4.34) заключаем (рис. 66 и рис. 67),
что в рассматриваемом случае ось х' системы координат x'y'z'
и ребро х° трехгранника Дарбу x°y°z° неизменно совпадают друг
с другом. Вектор скорости вершины трехгранника x°y°z° (или, что
то же, точки подвеса гироскопического маятника) относительно
сферы S направлен по ребру х°. Следовательно, ось ζ' (ζ) (ось
ротора гироскопа) расположена в плоскости y°z°,
перпендикулярной скорости v.
В соответствии с первым тождеством (2.4.34) и равенством
(2.4.22), при тех же начальных условиях (2.4.32) имеем, что для
См. сноску на стр. 379,

§ 4. НЕВОЗМЕЩАЕМЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 389
любого мгновения времени
справедливо соотношение
α = —
am
и (t). (2.4.35)
подвеса по сфере S (и, соот-
Последнее означает, что ось z(z')
собственного вращения
ротора отклоняется от ребра z°,
т. е. от геоцентрической
вертикали (продолжения радиуса
Земли, проведенного к точке
подвеса гироскопического
маятника), в сторону
положительной части оси у0 (см. рис.
67). Это отклонение
оказывается пропорциональным скорости
ν точки подвеса относительно
сферы S. Указанное свойство
оси ротора сохраняется при
произвольном движении точки
ветственно, по земной сфере), вследствие чего гироскопический
маятник, параметры которого удовлетворяют условию (2.4.31),
нередко называется невозмущаемым, а также гироскопическим
маятником Шулера.
При известных величине и направлении скорости ν точки
подвеса по отношению к сфере S геоцентрическая вертикаль на
подвижном объекте, несущем гироскопический маятник, может быть
построена без особых затруднений. Так, например, обстоит дело
на плавучем маяке, где скорость ν равна окружной скорости
точек соответствующей параллели Земли и направлена на восток.
Если же гироскопический маятник расположен на корабле, то
для построения вертикали, помимо местоположения и курса,
необходимо также знать и скорость корабля относительно Земли.
Как известно, последняя измеряется посредством лага, однако
лишь с точностью до скорости течения.
Пусть имеет место равенство (2.4.31) и соответственно q (ί) = О,
а начальные условия (2.4.32) движения оси ротора
гироскопического маятника не соблюдены. Тогда, согласно формуле (2.4.27),
ось ζ' (ζ) ротора будет совершать по отношению к естественному
трехграннику Дарбу коническое движение с угловой скоростью
обхода* —ρ (t) вокруг прямой, образующей с гранями x°z° и y°z°
соответственно углы
a=—JELv4 β = ο. (2.4.36)
н
* Под угловой скоростью обхода здесь следует понимать составляющую
вдоль указанной прямой вектора угловой скорости воображаемого тела, наса-

390 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Учитывая приближенное равенство (2.4.30), можно, согласно
первой формуле (2.4.24), представить в рассматриваемом случае
величину ρ (t) в виде
ρ (t) = ω (0 + ns. (2.4.37)
Пусть естественный трехгранник Дарбу x°y°z° и, следовательно,
точка подвеса гироскопического маятника неподвижны
относительно Земли. Тогда величина —ρ (t) окажется видимой (т. е. по
отношению к Земле) угловой скоростью обхода оси ротора
гироскопического маятника вокруг прямой, положение которой
определяется углами (2.4.36). Прямая отклонена от геометрической
вертикали — ребра z° — точно на север. Величина ω на широте φ
равна вертикальной проекции U sin φ угловой скорости Земли U.
В этом частном случае скорость ν точки подвеса по отношению
к сфере S равна RU cos φ и направлена, как и ребро х°, на
восток по касательной к земной параллели (см. § 6 настоящей главы).
Из изложенного выше следует, что для фактического
построения геоцентрической вертикали (перпендикуляра к сфере S)
необходимо в каждое мгновение времени знать не только
направление оси гироскопического маятника Шулера, но также величину
и направление скорости ν точки подвеса маятника относительно
сферы S. Однако представляется возможным построение
геоцентрической вертикали и без предварительных сведений о
величине и направлении скорости v. Для этой цели следует иметь два
гироскопических маятника, гироскопы которых вращаются в
противоположные стороны. Тогда при соблюдении
соответствующих начальных обстоятельств и условия (2.4.31) ось ротора одного
из них будет отклоняться от геоцентрической вертикали на угол,
определяемый формулой (2.4.36), а ось другого — на такой же
по величине угол, но противоположного знака. При этом обе оси,
согласно изложенному выше, будут лежать в плоскости,
перпендикулярной вектору скорости v. Следовательно, биссектриса
угла между осями роторов будет направлена по геоцентрической
вертикали, а сам угол в известном масштабе воспроизведет
величину скорости v. Подобное двухгироскопическое устройство имеет
общие свойства с гирогоризонткомпасом Геккелера (см. далее
§ 6 настоящей главы). Действительно, при движении точки
подвеса по параллели Земли плоскость, содержащая оси обоих
роторов, совпадает с плоскостью меридиана. При каком-либо другом
движении точки подвеса эта плоскость, как можно показать, от-
женного на эту прямую как на ось и увлекаемого осью ζ' (ζ) —
своеобразным «водилом». Заметим, что угол между упомянутой осью zr (z) и
прямой (2.4.36), в силу формулы (2.4.27), при q = 0 остается
неизменным. Таким образом, можно считать, что ось ζ' (ζ) с воображаемым телом
неизменно связана.

§ 5. СЛОЖНЫЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 391
клоняется от плоскости меридиана на угол, равный
классической скоростной девиации гирокомпаса (вновь см. § 6 настоящей
главы).
Указанные заключения являются следствием рассмотрения
линейных дифференциальных уравнений (2.4.23) и,
следовательно, верны лишь с некоторым, однако достаточным для практики,
приближением. Этим отличается гироскопический маятник
Шулера от пространственного гирогоризонткомпаса Геккелера, у
которого аналогичные свойства осуществляются, в принципе, точно.
§ 5. Сложные гироскопические системы
При изучении сложных гироскопических устройств для
составления уравнений их движения преимущественно применяется
вторая метода Лагранжа *. Воздавая должное этой методе, как
бы автоматически приводящей к цели, нельзя не отметить ее
крайней громоздкости, порой затемняющей механический смысл
получаемых уравнений. Вместе с тем, составление уравнений
движения сложных гироскопических устройств может быть при
известном навыке сравнительно просто произведено
последовательным применением теоремы о кинетическом моменте (т. е.
теоремы о моменте количества движения) ко всей механической
совокупности устройства и к ее отдельным составным частям **.
Описание соответствующей методы на примере исследования
одного конкретного силового гироскопического стабилизатора и
составляет основное содержание настоящего параграфа.
Примером другого сложного гироскопического устройства может
служить чувствительный элемент гирогоризонткомпаса, теория
которого приведена в следующем параграфе.
Движение гироскопических устройств (см. § 1 настоящей
главы) после некоторого переходного процесса сводится к
медленному изменению ориентации осей собственного вращения
гироскопов относительно неподвижных звезд. Такое движение
называется обычно прецессионным. При изучении прецессионного
движения, как было указано в конце § 2 настоящей главы, можно
не учитывать кинетические моменты элементов подвеса
гироскопического устройства и кожухов его гироскопов, а также
экваториальные составляющие кинетических моментов самих роторов
* См., например, Крылов А. Н.иКрутков Ю. А. Общая теория
гироскопов и некоторых технических их применений. Л., Изд-во АН СССР,
1932. См. также далее § 1 гл.III настоящей книги, где посредством второй
методы Лагранжа выведены полные (нутационные) дифференциальные
уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе.
** См. Николаи Е. Л. Гироскоп в кардановом подвесе. М., «Наука»,
1964.

392 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
гироскопов; то же относится и к кинетическим моментам роторов
вспомогательных двигателей и датчикам углов. Что же касается
составляющих, направленных по оси собственного вращения
соответствующего гироскопа (так называемых полярных
составляющих), то каждую из них можно принять равной произведению
осевого (полярного) момента инерции ротора гироскопа на его
угловую скорость относительно своего кожуха.
Упомянутые допущения приводят к так называемой
прецессионной (элементарной) теории гироскопических явлений (см. § 2
настоящей главы). Уравнения, которыми описывается движение
гироскопического устройства, при принятии перечисленных
допущений значительно упрощаются. В частности, снижается их
порядок. Вместе с тем, точность результатов исследований,
полученных в рамках прецессионной теории гироскопов, оказывается
вполне достаточной, за исключением особых случаев, когда
приходится учитывать влияние инерции колец карданова подвеса.
Исследование же переходных процессов в гироскопических
устройствах, необходимое, например, для установления условий
устойчивости движения; возможно лишь при учете кинетических
моментов всех частей устройства; уравнения прецессионной
теории для этой цели не годятся *.
При использовании теоремы о кинетическом моменте для
составления дифференциальных уравнений движения гироскопического
устройства следует, прежде всего, четко оговорить состав
механической совокупности, производная вектора кинетического
момента которой подвергается рассмотрению. При этом кинетический
момент и его производную следует относить к некоторой
поступательно перемещающейся, т. е. невращающейся системе координат,
которая также должна быть четко установлена. Она в дальнейшем
будет называться опорной системой координат и обозначаться
через ξ*η*ζ*. Именно по отношению к ней должны быть
вычислены эйлеровы силы инерции, «действующие» на рассматриваемую
механическую совокупность. Ввиду поступательного характера
движения упомянутой опорной системы координат (см. § 1 гл. I)
в состав эйлеровых сил инерции входят в данном случае одни
лишь переносные силы инерции, имеющие равнодействующую.
Линия ее действия проходит через центр тяжести механической
совокупности. Направление этой равнодействующей обратно
направлению ускорения начала системы ξ*η*ζ* относительно
невращающейся системы £ST)S£S с началом в центре Земли, которую
можно считать как бы «абсолютной» (см. конец § 1 гл. 1).
Величина же равнодействующей равна произведению массы рассмат-
* См. далее § 5 гл. ll/, где исследуются условия устойчивости одноосного
гироскопического стабилизатора, а также § 6 той же главы, содержащей
сопоставление условий устойчивости двухосного и одноосного стабилизаторов.

§ 5. СЛОЖНЫЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
393
риваемои механической совокупности на только что
упоминавшееся ускорение опорной системы координат ξ*η*ζ*.
В качестве опорной системы координат может быть в общем
случае взята произвольная система ξηζ, не обязательно
перемещающаяся поступательно. Однако, если опорная система ξηζ
вращается относительно «абсолютной» системы координат ξθη5ζ%
то учет переносных сил инерции значительно усложняется. Ко-
риолисовы силы инерции теперь уже не будут равны нулю, и их
также следует учитывать в уравнениях движения механической
совокупности по отношению к системе координат ξηζ.
Пусть некоторая система координат ξ*η*ζ* выбрана в
качестве опорной и G — кинетический момент рассматриваемой
механической совокупности по отношению к упомянутой системе
координат. Последняя перемещается поступательно. Поэтому,
согласно теореме о кинетическом моменте, имеют место соотношения
U>(jr:* 0>Cr^* d(jy*
В их левых частях находятся производные по времени от
проекций вектора кинетического момента G соответственно на оси ξ*,
η* и ζ*, а в правых — суммы моментов относительно тех же осей
всех внешних сил вместе с моментами переносных сил инерции.
В приложениях соотношениями (2.5.1) пользоваться не всегда
удобно из-за большой громоздкости получающихся уравнений.
Нередко значительное упрощение выкладок достигается подсчетом
проекций производной кинетического момента на оси некоторой
специально выбранной подвижной системы координат, движение
которой связано тем или иным образом с движением
рассматриваемой механической совокупности. Обозначим через xyz одну из
таких систем координат; будем называть ее вспомогательной или
расчетной. Пусть далее ω — абсолютная угловая скорость этой
новой системы координат, т. е. ее угловая скорость по
отношению к опорной невращающейся системе ξ*η*ξ*. Примем, что
начала этих обеих систем совпадают. Проекции производной
вектора кинетического момента рассматриваемой механической
совокупности при его изменении относительно опорной системы
координат ξ*η*ζ* на оси х, у и ζ могут быть представлены
известными выражениями
(#)»-=^+ω^-ω^
(dG\ dG
\~df)z = ~ + ****** ~ ω,>*'

394 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
где Gx, Gyy Gz — проекции вектора кинетического момента на
те же оси, а ω^, ω^ и ωζ — составляющие угловой скорости ω
системы координат xyz относительно опорной системы ξ*η*ζ*
или, что то же, относительно «абсолютной» системы.
Согласно теореме о кинетическом моменте, выражения (2.5.2)
равны соответственно суммам моментов относительно осей х, у и
ζ всех внешних сил, действующих на рассматриваемую
механическую совокупность, вместе с переносными силами инерции,
обусловленными движением опорной системы координат ξ*η*ζ*,
но отнюдь не вспомогательной системы xyz. Система координат
xyz имеет чисто кинематическое назначение — в ней подсчет
производной кинетического момента при его изменении
относительно опорной системы ξ*η*ζ* может оказаться более
простым, чем в самой системе ξ*η*ζ*. Обозначая упомянутые суммы
моментов внешних сил через МХ1 Μу и ΜΖ1 получим соотношения
_i + (uyGz - ωβυ = Мх,
_ϋ + ωβχ _ ωχοζ = Μν, (2.5.3)
dGz
-£- + axGu — <OyGx - Μζ,
совокупность которых эквивалентна соотношениям (2.5.1)
теоремы о кинетическом моменте.
В число внешних сил, действующих на тела той или иной
механической совокупности, входят неизвестные силы реакций связей
этих тел с основанием (обычно подвижным), на котором они
расположены. Гироскопические устройства в большинстве случаев
связаны с основанием посредством кардановых подвесов. Поэтому,
если рассматриваемая механическая совокупность тел состоит из
нескольких элементов данного гироскопического устройства,
например, из всей системы без внешнего кольца или из отдельного
гироскопа с его кожухом и ротором, то внешней связью системы,
как правило, оказывается плоский шарнир. В ряде случаев с
некоторым приближением можно принять, что момент трения в
шарнире не зависит от нормальных реакций подшипников его оси.
Если ось шарнира совпадает с одной из осей системы
координат xyz, то одно из соотношений (2.5.3) становится при этом
уравнением движения гироскопического устройства, не содержащим
неизвестных сил нормальных реакций связей. В более общем
случае, когда ось шарнира не совпадает ни с одной из осей х, у и
z а трение имеет тот же характер, уравнение движения
гироскопического устройства, не содержащее нормальных реакций,

§ 5. СЛОЖНЫЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
395
принимает вид
( dG \
y-jf- + ayGz — u)zG7JJcosxv +
( dG \
+ [-jf- + ωζ(?χ — ωχΘζ jcos у ν +
ί dG \
+ [-jf- + ®xGv — (u,jGxJcos zv =
- Mv.
(2.5.4) ^
Здесь cos xv, cos yv> cos zv —
косинусы углов, которые
образует ось шарнира ν с осями х,
у и ζ, а Λίν — сумма моментов
относительно оси ν внешних
сил, действующих на
рассматриваемую механическую
совокупность тел гироскопического
устройства. В состав Μν входят
также: момент трения в оси
шарнира, крутящий момент,
который может прилагаться к этой
оси посредством, например,
электрического двигателя, и
моменты относительно оси ν
переносных сил инерции,
обусловленных поступательным
перемещением опорной системы
координат ξ*η*ζ*.
Уравнение (2.5.4) следует из очевидного равенства
Μν = Мх cos xv + My cos yv + Μζ cos zv, (2.5.5)
если подставить в него вместо моментов Мх, Μу и Мг левые
части соотношений (2.5.3).
Если момент трения в оси шарнира зависит от нормальных
реакций, то составление уравнения движения, не содержащего этих
неизвестных реакций, становится более сложной задачей и требует
использования всех трех соотношений (2.5.3). Заметим, что
составление уравнений движения гироскопического устройства с учетом
трения зависящего от величин нормальных реакций, посредством
первой методы Лагранжа (с введением множителей) также в
достаточной мере затруднительно *.
Рис. 68
* См, Метелицын И. И, Гироскопические системы с неидеальными
связями.— Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1959, Μ 1.

396 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Разъясним изложенный выше метод на примере составления
уравнений движения одного сложного гироскопического
устройства — трехосного силового стабилизатора (рис. 68)*.
На подвижном основании, несущем это устройство,
укреплены подшипники цапф оси ξ (χ') кольца К карданова подвеса
платформы П. Платформа Π может поворачиваться относительно
кольца К вокруг оси у' (г/), лежащей в срединной плоскости
кольца К и образующей с осью ξ (χ') прямой угол. На
платформе Π расположены два гироскопа I и II, кожухи которых могут
поворачиваться относительно платформы соответственно вокруг
осей ζχ и ζ2, перпендикулярных плоскости платформы.
Стабилизируемое тело Τ вместе с гироскопом III, в свою
очередь, может поворачиваться относительно платформы Π
вокруг некоторой оси ζ (ζ), которая перпендикулярна плоскости
этой платформы. Ось у3 кожуха гироскопа III параллельна
плоскости платформы П.
Введем правые системы координат ξηζ, x'y'z, xyz и x"y"z\
соответственно связанные с движущимся основанием, кольцом К9
платформой Π и стабилизируемым телом Т. Система координат
xyz в дальнейшем принимается за расчетную. Оси х' и у' системы
координат x'y'z' лежат в плоскости кольца К\ ось хг совпадает
с осью ξ и является осью вращения кольца К относительно
основания (рис. 69). Угол поворота кольца относительно
основания обозначим через а. Когда а=0, оси систем координат χ у'ζ'
и ξηζ соответственно совпадают. При α ^> 0 кольцо повернуто
относительно основания объекта против часовой стрелки, если
наблюдать за вращением со стороны положительного
направления оси ξ (χ').
Система координат xyz связана с платформой Π (рис. 70). Ось у
этой системы совпадает с осью у''. Вокруг нее происходит поворот
платформы Π относительно кольца К. Угол этого поворота
обозначим через β. Ось χ системы координат xyz лежит в плоскости
платформы, а ось ζ ей перпендикулярна. При β = 0 плоскости
платформы Π и кольца К, а также соответственные оси систем
координат xyz и x'y'z совпадают. Когда β ^> 0, платформа Π
повернута против часовой стрелки относительно кольца К, если
наблюдать за поворотом со стороны положительного
направления оси у{уг).
Наконец, со стабилизируемым телом Т, в свою очередь,
связана система координат x'y'z", ось ζ" которой совпадает с осью ζ
системы xyz, связанной с платформой П. Угол разворота этих
* Гироскопический стабилизатор по излагаемой ниже схеме был, в
частности, создан в 1957 г. в Киеве (в АН УССР) при участии С. В. Малашенко,
П. Г. Шишкина (главный конструктор прибора), Э. В. Вирта, М. Е. Тем-
ченко, О. Ф. Бойчука для стабилизации измерительных приборов на
вертолете. Стабилизатор иной схемы описан в § 4 гл. IV первой книги.

§ 5. СЛОЖНЫЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 397
систем друг относительно друга обозначим через γ (рис. 71).
При у = 0 оси χ и χ", а также у и у" совпадают друг с другом.
Если γ ^> 0, то тело Τ повернуто относительно исходного
положения против часовой стрелки при наблюдении со стороны
положительного направления оси ζ {ζ").
Углы поворотов кожухов гироскопов I и II относительно
платформы Π обозначим через δχ и δ2 (рис. 72). При Ь1 = О ось
собственного вращения гироскопа I параллельна оси у. Аналогично
при 62 = 0 ось собственного вращения гироскопа II параллельна

398 1ГЛАВА И. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
У1 М'
Рис. 71 рис, 72
оси х. Направление положительного отсчета углов δχ и δ2 примем
таким же, как и для угла γ.
Наконец, обозначим через ε угол между осью собственного
вращения гироскопа III и плоскостью платформы (рис. 73).
Положительное направление отсчета угла ε выберем таким, чтобы
при 0 < ε < π/2 проекция собственного кинетического момента
гироскопа III на ось ζ (ζ") была положительной.
Для обеспечения длительной стабилизации тела Τ в
описываемом устройстве, помимо гироскопов, должны быть предусмотрены
вспомогательные элементы, посредством которых на кольцо Ку
платформу Я и тело Τ налагаются моменты, величина и
направление которых определяются углами бь δ2 и ε. Такими элементами
могут быть, в частности, электродвигатели Эдг, Эд2 и Эд3 (рис. 69,
70, 73). Корпус двигателя Эдх укреплен на подвижном основании;
он развивает вокруг оси ξ (χ') момент AT**, приложенный к кар-
данову кольцу К. Управляется двигатель посредством усилителя,
напряжение на входе которого создает датчик Дг (рис. 72),
укрепленный на оси кожуха гироскопа I. Момент, развиваемый
двигателем Эди вызывает прецессию гироскопа I в сторону
уменьшения угла δχ. Тем самым при достаточно большом моменте этого
двигателя устраняется опасность достижения углом δχ
значения тс/2, при котором стабилизация нарушается. Последнее может
произойти, в частности, из-за вращения устройства вместе с
подвижным основанием вокруг оси ζ или по другой причине
(действие сил веса, трение, инерционные и ветровые нагрузки
и др.).

§ 5. СЛОЖНЫЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 399
Двигатель Эд2, посредством
которого к платформе II
прилагается вокруг оси у{уг)
момент Му, находится на кольце
К. Управляется двигатель Эд2
при помощи датчика Д2,
регистрирующего угол поворота δ2
кожуха гироскопа II (рис. 72)*
Наконец, двигатель Эд3,
расположенный на платформе £/7,
стремится повернуть тело Τ
вокруг оси ζ {ζ"), развивая момент,
величина и направление
которого определяются введенным
выше углом ε (рис. 73).
Изменение ориентации тела
Т, как будет показано ниже,,
может происходить лишь в
результате действия сил,
приложенных к кожухам
гироскопов I, II и III и создающих моменты вокруг их осей.
Такими силами могут быть, в частности, силы трения в
подшипниках подвеса кожухов, из-за действия которых заданная
ориентация тела Τ изменяется. Для ее восстановления
посредством электромагнитов, а в ряде случаев и при помощи силы
тяжести искусственно создаются моменты * вокруг осей
кожухов гироскопов I, II и III, вызывающие прецессию гироскопов
и вместе с нею угловое движение тела Τ в нужном направлении.
Рис. 73
* Моменты, создаваемые небольшими дополнительными грузами, могут,
например, приводить платформу в плоскость горизонта, а у гироскопа III
вызывать такую прецессию, чтобы тело Τ не вращалось относительно
Земли. Для этого на кожухе гироскопа III следует расположить
соответственно подобранный грузик, создающий момент относительно оси его кожуха
(см. § 3 настоящей главы). Для приведения же платформы в плоскость
горизонта достаточно укрепить на кожухах гироскопов lull сбоку
дополнительные грузы. При наклоне платформы дополнительные грузы создают
моменты вокруг осей кожухов, вызывая тем самым прецессию гироскопов I
и II. При надлежащем выборе стороны расположения грузов на кожухах
и наличии стабилизирующих электродвигателей Эд\ и Эд% платформа
приходит в горизонтальное положение. Описанная система коррекции называется
механической. Она проще электрической коррекции, где моменты,
приложенные к осям кожухов гироскопов I и 11,образуютсяпосредством
электромагнитов. Величина и направление моментов определяются при
электрической коррекции отклонением специальных маятников, расположенных на
платформе П. (О механической коррекции см. Б о й ч у к О. П., Τ е м ч е н-
к о М. G. До meopii тривгсного ггроскотчного стабыЬзатора». Автоматика,
Kuie, 1959, Μ 3 (на укр. яз.); они же. «Спосгб усунення балгстичних девгацш
тривгсного гхроскотчного стабШзатора». Там же, № 2, 1961).

400 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
При составлении уравнений, описывающих поведение этого
сложного гироскопического устройства, рассмотрим
последовательно шесть механических совокупностей: 1) все устройство в
целом, т. е. кольцо К, платформу П, тело Т, все три кожуха
и три ротора гироскопов I, II и III со всеми кинематически
связанными с ними дополнительными элементами; 2) то же
устройство, но без кольца К; 3) тело Τ с кожухом и ротором
гироскопа III; 4) кожух и ротор гироскопа I; 5) кожух и ротор
гироскопа II и, наконец, 6) кожух и ротор гироскопа III.
Любая из перечисленных совокупностей тел связана с другими
или с подвижным основанием плоским шарниром. Угол
поворота цапф каждого такого шарнира относительно своего
подшипника является одной из обобщенных координат устройства.
Этим, собственно, и определяется выбор состава упомянутых
механических совокупностей. Момент внешних сил,
действующих на соответствующую совокупность относительно оси
шарнира, будем считать заданным.
Для первых трех механических совокупностей в качестве
опорной системы координат возьмем систему ξ*η*ζ* с началом в
геометрическом центре подвеса всего гироскопического устройства,
т. е. в общем начале систем координат ξηζ, x'y'z', xyz и χ"у"ζ",
связанных соответственно с подвижным основанием, кольцом К,
платформой Π и телом Т. Начала опорных систем координат для
трех последних механических совокупностей будем брать каждый
раз совпадающими с точками пересечения осей кожуха и ротора
соответствующего гироскопа.
В качестве расчетной, как уже упоминалось в начале
настоящего параграфа, примем во всех шести случаях одну и ту же
систему координат xyz, связанную с платформой П. Абсолютную
угловую скорость этой системы или, что то же, платформы Л,
относительно опорной системы координат ξ*η*ζ* обозначим, как
и выше, через ω, а ее проекции на оси х, у и ζ — через ωχ, ω^ и
ωΖ. Величины проекций ωχ и ω^ обусловливаются прецессией
гироскопов I и II и, следовательно, должны быть небольшими;
что же касается составляющей угловой скорости платформы Π
вдоль оси ζ (ζ"), т. е. ωΖ, то ее величина определяется движением
основания, на котором установлен рассматриваемый
стабилизатор. Следовательно, проекция ωζ может быть, в общем случае,
произвольной.
Обозначим через М' главный момент внешних сил, действующих
на первую из перечисленных выше механических совокупностей.
Ее кинетический момент обозначим через G'. В соответствии с
прецессионной теорией гироскопов, как уже было изложено выше,
этот кинетический момент следует считать состоящим лишь из
геометрической суммы собственных кинетических моментов
гироскопов I, II и III.

§ δ. СЛОЖНЫЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
401
\ζ,ζ"
Проекции кинетического
момента G' на оси расчетной
системы координат xyz
представляются выражениями
Gx = Η (— sin δχ + cos δ2 +
+ cos γ cos ε),
Gy = Η (cos 6t + sin δ2 +
+ sin γ cos ε),
Gz = Η sin ε, (2.5.6)
в чем нетрудно убедиться,
рассматривая рис. 72 и 74.
Модули собственных кинетических
моментов гироскопов I, II и III Рис. 74
считаются здесь равными
одному и тому же постоянному
количеству Н9 т. е. гироскопы предполагаются идентичными.
Соотношения (2.5.3) применительно к первой механической
совокупности принимают вид
dG„
dt
(ufiy = МХ,
■ d)xG'z = Myi
+ axGy — ayGx = Mz.
X
dt
dt
dG'z
I
1
+
1 ,
(dyGz
ω,βχ
f* cC
(2.5.7)
Аналогично формуле (2.5.5) в данном случае (рис. 70) имеем
М'х cos β + M'z sin β == M'x>, (2.5.8)
где МХ' представляет собой сумму моментов сил, действующих
на первую механическую совокупность, т. е. на весь
стабилизатор, относительно оси ж'(ξ) подвеса кольца К. Таким образом,
равенство
(~ЗГ + ®vG'z ~ ®zGV C0S ^ + \ЗГ + ω*&'ν ~~ ω«6*) sin Ρ = Μ*''
(2.5.9)
полученное посредством замены моментов Мх и Му в
формуле (2.5.8) их выражениями, согласно соотношениям (2.5.7),
является уравнением движения гироскопического стабилизатора.

402 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Оно не содержит моментов сил неизвестных нормальных реакций
подшипников оси кольца К *.
Используя в равенстве (2.5.9) формулы (2.5.6), получим
уравнение
d I dy \
cos ?-jr(— sin δι -f cos62) — cos β sin γ cose ίωζ -\—j-\ +
+ ω^ [cos β sin ε — sin β (— sin δ± + cos δ2 + cos γ cos ε)] +
+ (ωχ sin β — ωζ cos β) (cos δχ + sin δ2) + ωχ sin β sin γ cos ε —
— (cos β cos γ sin ε — sin β cos ε) —^- = j= Mx* . (2.5.10)
В состав момента М'х>, помимо моментов сил трения и момента,
развиваемого электродвигателем Зд1? входят также моменты сил
притяжения всех подвижных частей устройства к Земле и
моменты переносных сил инерции, обусловленных поступательным
перемещением опорной системы координат ξ*η*ζ* с началом в
геометрическом центре подвеса.
Уравнение (2.5.10) является одним из шести
дифференциальных уравнений, описывающих движение гироскопического
стабилизатора. Чтобы получить следующее уравнение, рассмотрим
механическую совокупность, включающую в себя, как и
предыдущая совокупность, все части стабилизатора, кроме кольца К. Так
как кинетический момент кольца К в прецессионной теории
гироскопов не учитывается, то следует считать суммарный
кинетический момент G этой новой механической совокупности таким же,
как и кинетический момента' совокупности предыдущей, т. е.
положить
Gx = Gx, Gy = G'yi Gz = Gz. (2.5.11)
Здесь Gx, Gy и Gz — проекции кинетического момента новой
механической совокупности на оси х, у и z, а величины G'x, Gy и
Gz определяются формулами (2.5.6).
Силы реакции связи платформы Π с кольцом К в этой
совокупности — силы внешние и должны учитываться в соотношениях,
являющихся следствием теоремы о кинетическом моменте. Эти
соотношения имеют вид равенств (2.5.3). Нормальные
составляющие сил реакций не входят лишь во второе из уравнений (2.5.3),
так как ось у (у') является одновременно осью платформы П;
подшипники этой оси жестко связаны с кольцом К. Используя
равенства (2.5.11) и формулы (2.5.6), получаем в результате
* Принимается, как и выше, что моменты трения во всех осях подвеса
гироскопического стабилизатора не зависят от величины сил нормальных
реакций в подшипниках этих осей-

§ 5. СЛОЖНЫЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 403
уравнение
-jj- (cos δ3 + sin ό2) — sin γ sin ε -^- + (ωζ + ^Λ cos γ cos ε +
+ ωζ(— sin δι + cos62) — cousin ε = ηγΜν. (2.5.12)
В состав правой части этого уравнения, т. е. в выражение Му,
входит момент трения в оси подвеса платформы, приведенный к оси у
момент двигателя Эд2, а также моменты сил тяготения и
переносных сил инерции всех частей стабилизатора, кроме
кольца К его подвеса.
Рассмотрим теперь третью механическую совокупность —
тело Г с кожухом^и ротором гироскопа III (см. рис. 71). Ее
кинетический момент G" состоит из одного собственного кинетического
момента _Я3 гироскопа III (Я3 = Я). Следовательно, проекции
вектора G" на оси расчетной системы координат xyz (см. рис. 74)
представляются формулами
G'x = Я cos γ cos ε, Gy = Я sin γ cos ε, G"z = Я sin ε. (2.5.13)
Из трех уравнений типа (2.5.3) следует в данном случае
воспользоваться последним, так как в остальные уравнения войдут
неизвестные нормальные реакции подшипников оси стабилизируемого
тела, являющиеся по отношению к рассматриваемой частной
механической совокупности силами внешними. Таким образом,
учитывая формулы (2.5.13), приходим к уравнению
Я [cos ε -J- + ωχ sin γ cos ε — ωυ cos γ cos ε j = Ml. (2.5.14)
Здесь Ml представляет собой момент вокруг оси ζ (ζ") всех
внешних сил, действующих на третью механическую совокупность,
т. е. на тело Г, кожух и ротор гироскопа III, включая силы
трения, момент, налагаемый двигателем Эд3, а также моменты
эйлеровых сил инерции и сил тяготения. Эйлеровы силы инерции
по-прежнему сводятся к одним лишь переносным силам инерции,
обусловленным поступательным перемещением опорной системы
координат ξ*η*ζ* с началом в геометрическом центре подвеса
стабилизатора.
При рассмотрении следующих трех механических
совокупностей, именно совокупностей кожухов и роторов гироскопов I, II и
III, введем соответственно опорные системы ξ£ г\[ ζ\ , Цг\1 ζΐ и
?з Чз £з · Как уже указывалось выше, расположение их начал
следует выбрать так, чтобы они совпадали с точками пересечения
осей кожухов и роторов соответствующих гироскопов.
Перечисленные системы перемещаются поступательно. Они имеют
различные ускорения по отношению к «абсолютной» системе коор-

404 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
динат. Это различие обусловливается угловой скоростью ω
платформы Я, а для опорной системы ξ*η3*ζ3* иногда и относительной
угловой скоростью dy/dt тела Τ по отношению к платформе Я. Из-
за небольших размеров гироскопического стабилизатора и, как
правило, ограниченности величин ω^, ων, ωΖ, dy/dt, а также
их производных по времени, упомянутое отличие ускорений
начал разных опорных систем координат от ускорения опорной
системы ξ*η*ζ* невелико и, как правило, может не учитываться.
Применяя теорему о кинетическом моменте к механической
совокупности, состоящей из ротора и кожуха гироскопа I, имеем
аналогично третьему соотношению типа (2.5.3) равенство
-§fGl + ωχσ* - ωνΟτχ ·-= Ml, (2.5.15)
не содержащее неизвестных сил нормальных реакций оси кожуха.
Здесь (рис. 72)
б£ = —#sin6b б£ = Я cos δΐ7 GTZ = 0 (2.5.16)
— проекции наноси расчетной системы координат xyz
кинетического момента G1 этой совокупности или, что то же, собственного
кинетического момента Нх гироскопа I (Н1 = Я).
Величина MZi представляет собой сумму моментов
относительно оси z± кожуха гироскопа I сил, действующих на кожух
и ротор этого гироскопа. К таким силам относятся, в частности,
силы трения в осях подвеса кожуха, силы тяготения, переносные
силы инерции, силы упругости токоподводов и реактивные
воздействия роторов датчиков.
Используя формулы (2.5.16), приводим равенство (2.5.15) к виду
Я (ωχ cos Ьг + ων sin δχ) = Μ\ν (2.5.17)
Оно и является четвертым уравнением движения гироскопического
стабилизатора.
Подобным же образом получаем пятое уравнение. Оно
относится к гироскопу П. Имеем
Я (<оя sin δ2 — ωυ cos δ2) = Μ™. (2.5.18)
Момент ΜΖ2 аналогичен моменту MZl и является суммой
моментов сил, действующих на кожух и ротор гироскопа II,
относительно оси ζ2 его кожуха. Существенно, что уравнения (2.5.17) и
(2.5.18) не содержат неизвестных сил нормальных реакций
подшипников осей кожухов гироскопов I и П.
Наконец, рассмотрим шестую механическую совокупность,
состоящую из кожуха и ротора гироскопа III (рис. 73). В этом
случае соотношения (2.5.3) после замены в них величин GXJ Gy и Gz

§ 5. СЛОЖНЫЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
405
соответственно на проекции *
Gx = Η cos γ cos ε, Gy = Η sin γ cos ε, Gz — Η sin ε
кинетического момента гироскопа III, принимают вид
Η --тт- (cos γ cos ε) -f- ω^ sin ε — ωζ sin γ cos ε
Η —τ- (sin γ cos ε) + ω2 cos γ cos ε — ωχ sin ε
Η —τ- sin ε + (ωχ sin γ — ωυ cos γ) cos ε
(2.5.19)
= Ml11, (2.5.20)
= Ml11.
Здесь Мхи, Μυ \ Mz — суммы моментов сил, действующих на
кожух и ротор гироскопа III относительно осей, соответственно
параллельных осям х, у и ζ, но проходящих через геометрический
центр подвеса гироскопа III. В число этих сил входят также
неизвестные силы нормальных реакций подшипников оси кожуха
гироскопа III, расположенных в теле Т. Составим выражение
- М™ sin γ + My11 cos γ = мЦ1. (2.5.21)
Нетрудно видеть, что оно представляет собой сумму моментов
сил, действующих на гироскоп III относительно оси у3 его
кожуха, и упомянутые силы нормальных реакции в него не входят.
Подставляя сюда значения моментов Мх1 и Му 1, согласно
равенствам (2.5.20), получим в результате простых преобразований**
#Г(ωζ + -~-jcos8 — ((dxcosy -f ω^ίηγ) sin ε 1 = МЦ1. (2.5.22)
Уравнением (2.5.22) замыкается совокупность шести
уравнений, описывающих поведение гиростабилизатора и его отдельных
частей как относительно друг друга, так и по отношению к
направлениям, связанным с неподвижными звездами (точнее,
относительно невращающейся опорной системы координат ξ*η*ζ*).
Для удобства последующих заключений соберем вместе
уравнения (2.5.10), (2.5.12), (2.5.14), (2.5.17), (2.5.18) и (2.5.22). По-
* Формулы (2.5.19) с точностью до обозначений их левых частей
совпадают с формулами (2.5.13), в которых проекции собственного кинетического
момента гироскопа III, в силу допущений прецессионной теории гироскопов,
представляют проекции на те же оси кинетического момента механической
совокупности «тело Τ — кожух — ротор гироскопа III».
** Заметим, что при выводе уравнений (2.5.17), (2.5.18) и (2.5.22) можно
вместо расчетной системы координат хуъ выбрать и другие расчетные
системы, в частности, при выводе уравнения (2.5.22) — систему x"y"z",
связанную с телом Τ (см. рис. 71).

406
ГЛАВА И. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
лучится (после небольших дальнейших преобразований)
совокупность уравнений, описывающих движение трехосного силового
гироскопического стабилизатора:
cos β —г- (— sin δχ + cos δ2) — sin γ cos ε ί ωζ -1—j-\ + ω^ sin ε —
— (cos β cos γ sin ε — sin β cos ε) -τ- -f
+ sin β ωχ sin γ cos ε — ωυ (— sin δχ + cos δ2 + cos Τ cos ε) +
1 '
+ (ωχ sin β — ωζ cos β) (cos δχ + sin δ2) —ηπτ Μχ>,
—τ- (cos 6i + sin62) — sin γ sin ε —^- + cosy ϋ08ε(ωζ-|—j-Λ +
+ ωζ (— sin δι + cos δ2) — ω^ sin ε = -ττ- Μν, (2.5.23)
ί άε \
Η ί cos ε —τ—1- ωχ sin γ cos ε — ω^ cos γ cos ε) = Μζ,
Η (ωχ cos δχ + ων sin δχ) = ΜτΖι,
Η (ωχ sin δ2 — ω^ cos δ2) = М11г,
Ε
ίωζ -1—^-jcos8— ((dxcosy + ωυ sin γ) sin ε
Мш
1У1Уз ·
Рассмотрим несколько важных следствий из этих уравнений.
Пусть
М1 = 0, М%=0, М™ = 0, (2.5.24)
т. е. к осям кожухов гироскопов моменты не приложены.
Согласно четвертому и пятому уравнениям (2.5.23), получим
в этом случае равенства
ω я cos δ± + ω у sin δχ = 0,
ωχ sin δ2 — ωυ cos δ2 = 0. (2.5.25)
Отсюда следует, что
ωχ = ω^ = 0 (2.5.26)
во всех случаях, кроме
δ, = 61±-5-*, (2-5.27)
когда оси собственного вращения гироскопов I и II параллельны, и
стабилизация нарушается. Однако, если в результате действия
электродвигателей Эд1 и Эд2 углы δχ и δ2 остаются малыми или,
* Ср. с условием одновременного обращения в нуль проекций ωΛ, ω^, ωζ
угловой скорости платформы трехосного гироскопического стабилизатора,
рассмотренного в § 4 гл. IV первой книги.

§ 5. СЛОЖНЫЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
407
во всяком случае, по модулю меньшими 45°, то соотношение
(2.5.27) невозможно.
Итак, при выполнении первых двух условий (2.5.24) в силу
равенств (2.5.26), плоскость платформы Π оказывается
стабилизированной. Именно, перпендикуляр к ней (ось ζ) не меняет своей
ориентации относительно направлений на неподвижные звезды.
Вместе с тем, проекция угловой скорости самой платформы на
связанную с ней ось ζ, τ. е. величина ωζ, в общем случае может
быть отлична от нуля; она зависит от движения основания, на
котором расположен гироскопический стабилизатор.
Обратимся теперь к шестому уравнению системы (2.5.23).
Учитывая в нем третье условие (2.5.24) и равенства (2.5.26),
получим ,
ω, + 4г = °> (2·5·28)
если только, конечно,
ε φ±-γ-. (2.5.29)
Левая часть равенства (2.5.28) представляет собой проекцию
на ось ζ (ζ") угловой скорости тела Τ относительно опорной
системы координат ξ*η*ζ*. Проекции этой угловой скорости на
оси χ и у совпадают с соответствующими проекциями угловой
скорости ω платформы Π и, в силу равенства (2.5.26), равны
нулю. Таким образом, при отсутствии моментов на осях кожухов
всех трех гироскопов, т. е. при соблюдении условий (2.5.24),
тело Τ оказывается стабилизированным относительно
направлений на неподвижные звезды.
Первые три уравнения (2.5.23) при учете равенств (2.5.26)
и (2.5.28) принимают теперь вид
— II cos β \-т- (sin 6χ — cos δ2) + (cos γ sin ε — tg β cos ε)—tj- +
+ ωζ (cos δχ + sin δ2) = M'x>,
Η\-ύγ (cos6i+ sin62) — sin γ sine-^|--f- ω2(—sinox + cos62) = My,
ffcose-^-= Ml.
at
(2.5.30)
Предположим, что к кольцу К, платформе Π и телу Τ никакие
моменты не приложены, а трение в их осях отсутствует, т. е.
М'х> = Му = Mi = 0. (2.5.31)
Если вновь выполняются условия (2.5.24) и, кроме того, угловая
скорость основания такова, что
ωΖ = 0, (2.5.32)

408 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
то уравнения (2.5.30) удовлетворяются, когда значения углов δ19
δ2 и ε постоянны.
Пусть управление электродвигателями Эдг, Эд2 и Эд3
производится так, чтобы моменты, которые они налагают на оси
кольца К, платформы Π и тела Г, были пропорциональны углам
поворотов кожухов соответствующих гироскопов. Кроме того,
допустим, что моменты трения отсутствуют, а какие-либо
другие моменты к осям подвеса по-прежнему не приложены.
Примем, что в этом случае
M'xr = A6lf Му = - Аба, М\ = - кг, (2.5.33)
где к — коэффициент пропорциональности (крутизна
характеристики момента стабилизации).
Уравнения (2.5.30) имеют в этом случае решение
6Х = 0, δ2 = 0, ε = 0. (2.5.34)
Можно убедиться, что положение равновесия рассматриваемого
гироскопического стабилизатора, определяемое решением (2.5.34),
устойчиво (в рамках прецессионной теории). Действительно, если
углы δχ, δ2 и ε малы, то при сохранении членов лишь первого
порядка относительно этих величин и их производных по времени
уравнения (2.5.30) с учетом равенств (2.5.32) и (2.5.33)
приводятся к виду
#-§. = -46,, (2.5.35)
#-* -Λβ.
at
Нетрудно видеть, что, согласно этим уравнениям, величины
углов б1? δ2 и ε будут стремиться к нулю независимо от закона
изменения угла β между плоскостями кольца К и платформы П.
Величина угла определяется движением основания; следует
считать, конечно, что β <90° *.
* В некоторых случаях при включенных двигателях переходные процессы
в гиростабилизаторе не затухают и приводят к автоколебаниям
стабилизируемого тела (в первую очередь, как правило, вокруг оси х' (\) подвеса
кольца К). При изучении этих колебаний, а также средств их подавления
следует учитывать моменты инерции частей гироскопического устройства
и переходные процессы в электрических цепях двигателей и в дополнительных
цепях обратной связи усилителей. Вместе с тем, из-за значительной
частоты автоколебаний влияние на них движения самого основания, как правило,
оказывается несущественным, (см. § 5 гл.III, в которой излагаются вопросы
устойчивости одноосного гироскопического стабилизатора).

§ 5. СЛОЖНЫЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
409
В более общем случае в состав правых частей уравнений (2.5.30),.
т. е. моментов М'Х', Му и Ml, войдут, кроме моментов
электродвигателей, еще моменты трения в осях подвеса χ' (ξ), у (у') и
ζ (ζ") — соответственно кольца К, платформы Π и тела Т.
Направление последних определяется относительными угловыми
скоростями da/dt, d$/dt и dy/dt. Кроме того, при недостаточной
уравновешенности механической системы и ее отдельных частей
в состав М'Х', Му и Ml войдут также моменты переносных сил
инерции и сил тяготения.
Пусть ωζ=/= 0. Тогда в предположении малости углов δ1? δ2 и
ε уравнения (2.5.30) можно представить в виде
-Яcosβ[^-tgβ4- + ωZ(1 + δ2)] = M^+^(δl)'
Е [ЧГ + ω* d - «θ] = Μ* + Μν (δ2), (2.5.36>
#^ = ЛС + Л£(в).
Здесь Мх*, Μ у и М2* — упомянутые ранее суммы моментов сил
трения, сил инерции, сил тяготения и прочих сил, действующих
соответственно на механические совокупности: 1) кольцо if,
платформу Я, тело Г, кожухи и роторы гироскопов I, II, III; 2)
платформу /7, тело Г, кожухи и роторы гироскопов I, II, III; 3) только
тело Г, кожух и ротор гироскопа III. Далее, М^ (δχ), Μу (δ2),
Μζ (ε) — моменты, налагаемые на эти механические
совокупности соответственно двигателями Эдг, Эд2 и Эд3.
Момент, развиваемый каждым из электродвигателей, не может
превышать некоторого предела, обусловленного параметрами
двигателя и передачей, связывающей его вал с соответствующей
осью. На рис. 75 показана часто встречающаяся форма диаграммы
зависимости между моментом М, развиваемым двигателем (в
режиме короткого замыкания, т. е. при полностью заторможенном
роторе), и углом δ отклонения кожуха соответствующего
гироскопа от среднего положения. На рис. 76 показана другая форма
этой зависимости, так называемая ступенчатая.
Для успешной работы стабилизатора совершенно необходимо,
чтобы максимальный момент Мтах при любых движениях объекта
превышал соответствующий «дестабилизирующий» момент М*,
Μ у или М*. Кроме того, максимальный момент двигателей Эдх
и Эд2 должен с избытком превышать произведение ((о2)тахЯ,
в котором ((о2)тах — максимальное ожидаемое значение угловой
скорости поворота платформы Π вокруг оси ζ, обусловленное
движением объекта с разворотом (циркуляцией). В противном
случае кожухи гироскопов I и II при вращении платформы будут
от нее отставать, и углы 6t и δ2 начнут увеличиваться.

410
ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
\М
\мт
Рис. 75
Рис. 76
Чтобы в этом убедиться, обратимся к простейшему случаю,
когда движение основания таково, что угол β между плоскостями
кольца К и платформы Π равен нулю. Примем, кроме того, что
в результате действия стабилизирующего момента Μζ (ε) равен
нулю и угол ε. Тогда первые два уравнения (2.5.36) можно
представить в следующем виде:
- Я № + ωζδΛ = М'х. (бх) + ω2# + Μ'*.,
dt
н(^г- ω Α) = му (δ«) - ω*Η + Μ*'
(2.5.37)
Из рассмотрения этих уравнений очевидно, что члены ωζΗ и
— ωζΗ, помещенные соответственно в их правых частях, играют
ту же роль, что и дестабилизирующие моменты Мх* и М*.
Следовательно, для успешной работы стабилизатора необходимо,
чтобы стабилизирующие моменты Мх> (δχ) и Му (δ2), выбранные,
например, в форме рис. 75, оказывали бы на стабилизатор
основное воздействие и превышали бы остальные члены уравнений
(2.5.37).
Выше были выяснены условия (2.5.24), при соблюдении
которых тело стабилизировалось относительно направлений на
неподвижные звезды. Они сводились к тому, что суммы моментов сил,
действующих на каждую из трех механических совокупностей
«кожух — ротор», относительно оси соответствующего кожуха
порознь равнялись бы нулю. Чтобы это практически
осуществить, необходимо стремиться к сведению моментов трения в
подшипниках оси кожуха к возможно меньшей величине.
Необходимо также весьма точно расположить центр тяжести
совокупности «кожух — ротор» на оси кожуха и принять меры к умень-

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА
411
шению других возмущающих моментов, в частности, моментов
так называемого тяжения токопроводов.
В ряде случаев требуется, чтобы тело Τ было стабилизировано
относительно системы координат, связанной с вертикалью места
и странами света, именуемой, обычно, географической системой
координат ΕΝΖ; оси этой системы направляются соответственно
на восток, на север и в зенит. При неподвижном основании
угловая скорость тела Τ должна быть при этом равна угловой
скорости Земли. Если же основание перемещается, то угловая
скорость тела Τ должна быть равна сумме угловой скорости Земли
и угловой скорости относительного движения географической
системы координат ΕΝΖ по отношению к Земле. В этих случаях,
в соответствии с тремя последними уравнениями (2.5.23), к осям
кожухов гироскопов I, II и III должны быть приложены
моменты ΜΖί, ΜΖ2 и МУг , вызывающие нужную прецессию гироскопов
и, как следствие, необходимую угловую скорость тела *.
Другим примером сложного гироскопического устройства может
служить платформа, стабилизация которой осуществляется тремя
расположенными на ней гироскопами **, нередко используемая
в системах инерциальной навигации. Вывод прецессионных
уравнений движения такого устройства можно осуществить
аналогично рассмотренному в настоящем параграфе. При некоторых
частных предположениях это сделано в § 4 гл. IV первой книги.
§ 6. Гироскопический компас Геккелера
Примером сложной гироскопической системы может служить
чувствительный элемент — гиросфера — как двухроторного
гироскопического компаса «Аншютц» или «Курс», так и
пространственного компаса Геккелера, именуемого часто «гирогоризонт-
компасом». В настоящем параграфе сначала излагается теория
гиросферы, общая для обоих компасов; затем выясняются
условия, при удовлетворении которых гироскопический компас
становится пространственным. Далее указываются замечательные
свойства гирогоризонткомпаса и возможность его использования
в качестве элемента системы инерциальной навигации (см. также
§ 5 и § 6 гл. V настоящей книги). В конце параграфа исследуются
малые угловые колебания гиросферы около установившегося
движения.
* См. сноску на стр. 399.
** Существуют также другие гироскопические стабилизаторы со многими
гироскопами. См., например, Булгаков Б. В., Ρ о й т е н б е ρ г Я. Н.
К теории силовых гироскопических горизонтов.— Изв. АН СССР, ОТН,
1948, в. ЗиРойтенберг Я. Н. Гироскопы. М., «Наука», 1966.

412 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Рис. 77 Рис. 78
В § 6 гл. I первой книги, при рассмотрении вопросов съема
показаний гироскопического компаса на корабле в условиях
качки, уже было дано описание конструкции плавающей в токо-
проводящей жидкости оболочки гиросферы и подвода к ней
трехфазного тока для разгона и поддержания вращения роторов
гироскопов (см. рис. 19 в первой книге). Внутри этой оболочки
вмонтирована рама (рис. 77), являющаяся общим внешним кольцом
для двух идентичных гироскопов I и II, оси кожухов (или, что
кинематически то же, оси внутренних колец) которых
параллельны друг другу. Из-за наличия двух зубчатых секторов,
жестко связанных с кожухами гироскопов, или какого-либо
иного кинематического устройства повороты кожухов от
положения, при котором оси роторов параллельны, одинаковы, но
происходят в разные стороны. В случае, когда кожухи связаны
спарником (рис. 78), последнее справедливо лишь для малых углов
отклонения гироскопов от их номинального расположения.
Свяжем с оболочкой гиросферы и, следовательно, с внешним
кольцом обоих гироскопов трехгранник xyz с вершиной в
геометрическом центре гиросферы. Направим ребро ζ параллельно
осям кожухов вертикально вверх, а ось у — вдоль
геометрической суммы собственных кинетических моментов гироскопов
(рис. 77, 79). Модуль вектора суммарного собственного
кинетического момента Η гиросферы представится выражением
Я = 25 cos ε, (2.6.1)

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА
413
где В — принимаемая постоянной величина собственного
кинетического момента любого из гироскопов и ε — половина угла
между осями их роторов.
Проекции вектора Η на ребра х, у, ζ соответственно равны
Нх = О, Ну = 25 cos ε, Ηζ = 0. (2.6.2)
Будем рассматривать движение гиросферы по отношению к
поступательно перемещающейся опорной системе
координат |*η*ζ* с началом в ее геометрическом центре. Тогда, в силу
общей теоремы механики о кинетическом моменте, имеем
^ = М, (2.6.3)
где & — вектор полного кинетического момента гиросферы
относительно начала системы координат ξ*η*ζ* при движении
гиросферы по отношению к той же системе координат, а М — главный
момент (также относительно начала системы ξ*η*ζ*) всех
внешних сил, действующих на гиросферу. В состав последних следует
также включить эйлеровы силы инерции, обусловленные
поступательным перемещением системы координат ξ*η*ζ*.
В качестве расчетной системы координат возьмем систему xyz,
оси которой совпадают с ребрами одноименного трехгранника,
связанного с оболочкой гиросферы. Следуя соображениям,
приведенным в предыдущем параграфе, получаем три соотношения
_JL + ωυοζ _ ωζβυ = Мх,
dG„
(оА-(оА-М„ (2.6.4)
dt
dG2
dt
+ ωχθυ — ωυϋχ = Mz,
в которых ωχ, (йу ж ωζ — проекции угловой скорости гиросферы
на связанные с нею оси х, у и z, a Gx, Gy и Gz — проекции на те
же оси ее полного кинетического момента.
Оставаясь по-прежнему в рамках прецессионной теории
гироскопов, примем, что полный кинетический момент G гиросферы
практически совпадает с ее общим кинетическим моментом Ή и,
следовательно, в соотношениях (2.6.4) величины Gx, Gy и Gz
можно соответственно заменить на Ηх, Н!п Ηζ. Учитывая
формулы (2.6.2), приведем эти соотношения к виду
— ωζ2Β cos ε = Мх1
-^(2В cose) = МУ9 (2.6.5)
ωχ2Β cos ε = Μζ.

414 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
I ос", χ
Рис. 79 4'
Движение гиросферы как механической системы описывается
при постоянстве собственных кинетических моментов гироскопов
четырьмя параметрами *. Три из них характеризуют положение
трехгранника xyz, связанного с гиросферой, относительно
опорной системы координат ξ*η*ζ*, а четвертый — так называемый
угол разведения гироскопов, т. е. угол 2ε между осями
собственного вращения их роторов. Естественно, что совокупность
дифференциальных уравнений, описывающих движение гиросферы,
должна содержать четыре уравнения по числу степеней свободы.
В первом и третьем уравнениях совокупности (2.6.5) проекции
ω ζ и ω х угловой скорости гиросферы могут быть выражены через
углы, характеризующие ориентацию гиросферы относительно
опорной системы координат ξ*η*ζ*, и, разумеется, их
производные по времени. Во второе уравнение (2.6.5) входит производная
угла ε. Таким образом, совокупность (2.6.5) содержит лишь три
из необходимых четырех уравнений движения гиросферы.
Недостающее четвертое уравнение движения можно получить, если
учесть силовое взаимодействие гироскопов чувствительного
элемента друг с другом и с их общим внешним кольцом — рамой,
жестко связанной с оболочкой гиросферы. Для этой цели введем,
прежде всего, две новые системы координат x'y'z' и x"y"z" (рис. 79),
оси ζ' ж ζ" которых соответственно направлены по осям
кожухов гироскопов I и II и, тем самым, параллельны ребру ζ\ оси у' и
у" параллельны ребру у и, как следствие, оси хг и х" параллельны
ребру χ трехгранника xyz, связанного с гиросферой.
* Еще одну или две степени свободы (в зависимости от конструкции
компаса) привносит так называемое устройство для гашения собственных
колебаний гиросферы (система затухания). Такое устройство, однако,
автоматически отключается, как только корабль начинает совершать циркуляцию
или изменять величину своей скорости. Здесь и далее предполагается, что
система затухания отсутствует (или выключена).

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА
415
Далее рассмотрим механическую систему, состоящую только
из кожуха и ротора гироскопа I. Воспользуемся применительно
к ней теоремой о кинетическом моменте, приняв систему
координат х'у'V за расчетную. Угловая скорость этой системы такая
же, как и у трехгранника xyz. Поэтому, согласно упомянутой
теореме, приходим к трем следующим соотношениям:
dt
dG
dt
dt
+ (uyGz>
+ ω26ν
+ <*>xGy'
— ωβυ>
— ®XGZ'
— (OyGx'
= мЪ,
= м)0
= M\;
(2.6.6)
аналогичным равенствам (2.6.4). Здесь Gx>, Gy* и Gz> — проекции
полного кинетического момента механической системы «кожух —
ротор» гироскопа I на оси х', у', ζ' и Мх>, Му>, Mzf — суммы
моментов относительно тех же осей всех внешних сил,
действующих на эту систему.
В соответствии с положениями прецессионной теории
гироскопов, в соотношениях (2.6.6) можно воспользоваться
приближенными равенствами
&. = ВЪ = В sin ε, G\> = Bly> = В cos ε, G\ = О, (2.6.7)
где Вх> и Βν* — проекции вектора собственного кинетического
момента гироскопа I на оси х' и уг (В1 = В — модуль этого
вектора, одинаковый для обоих гироскопов).
Для получения недостающего четвертого уравнения
воспользуемся последним соотношением (2.6.6). Оно принимает вид
ωχΒ cos ε — ω^Β sin ε = Mz>. (2.6.8)
Проекция ВХ" собственного кинетического момента
гироскопа II на ось х" (см. рис. 79) отличается от проекции Вх> лишь
знаком, а проекции By" и Ву> равны друг другу. Вследствие
этого, точно такие же рассуждения, однако относящиеся уже
к гироскопу II, как нетрудно убедиться, приводят к соотношению
ωχΒ cos ε + ων[Β sin ε = Μ". (2.6.9)
Оно может быть также получено из соотношения (2.6.8) после
изменения в нем на обратный знака угла ε и замены величины М2'
на Μζ», т. е. на сумму моментов вокруг оси ζ сил, действующих
на механическую систему «кожух — ротор» гироскопа II.

416 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Заметим, что если сложить раздельно левые и правые части
соотношений (2.6.8) и (2.6.9) и после этого полученные суммы
приравнять друг другу, то придем к соотношению
ωχ2Β cos ε = м\> + мЦ (2.6.10)
Сопоставляя последнее с третьим соотношением (2.6.5), приходим
к почти очевидному равенству
М\. + М% = Μ г. (2.6.11)
В самом деле, моменты М1 и Мп, действующие соответственно
на механические системы «кожух — ротор» гироскопов I и Л,
являются внутренними силами в механической системе,
состоящей из оболочки гиросферы (вместе с жестко связанной с ней
рамой), элементов механической передачи между гироскопами
π обоих упомянутых роторов вместе с их кожухами *. Поэтому
моменты М1 и Ми можно рассматривать как воздействия
соответственно на механические подсистемы «кожух — ротор»
гироскопов I и II со стороны третьей подсистемы, в состав которой входят
остальные тела гиросферы. В свою очередь, моменты той же
величины, но противоположного направления, а именно — М1 и
— Мп, являются ответным воздействием на третью подсистему
со стороны двух предыдущих. Кроме того, на тфетью подсистему
действует еще упоминавшийся выше момент М. Эта подсистема
(т. е. оболочка гиросферы, рама — внешнее кольцо обоих
гироскопов, элементы механической передачи между ними и другие
тела, кроме роторов и кожухов гироскопов) собственного
кинетического момента не имеет. В силу прецессионной теории
гироскопов при составлении уравнений движения следует полагать
равным нулю и ее полный кинетический момент. Однако в этом
случае моменты приложенных к ней сил должны взаимно
уравновешиваться, откуда следует соотношение
- И1 - Μ11 + Μ = 0, (2.6.12)
частным случаем которого и является равенство (2.6.11).
Составим теперь раздельно разности левых и правых частей
соотношений (2.6.8) и (2.6.9) и приравняем их. Получим новое
соотношение
— ωυ2Β sine = TV, (2.6.13)
в котором
TV = М\. - Μ" (2.6.14)
* Предполагается, конечно, что центры масс этих систем находятся
на осях соответствующих кожухов, и нет никаких воздействий со стороны
внешних полей, окружающих чувствительный элемент гироскопического
компаса (например, магнитных).

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА
417
— разность сумм моментов сил вокруг осей ζ' и ζ", приложенных
соответственно к механическим системам «кожух — ротор»
гироскопов I и П.
Соотношение (2.6.13) как раз и является упомянутым выше
недостающим дифференциальным уравнением. Оно вместе с тремя
уравнениями (2.6.5) образует совокупность четырех уравнений,
содержащих четыре искомых параметра, которые определяют
ориентацию гиросферы и угол разведения ее гироскопов.
Полезно рассмотреть так называемую игру сил, создающих
внутри гиросферы разность моментов М\> и М\»· Если кожухи
соединены между собой пружиной, то, в соответствии с рис. 80,
имеем
М\, = —М" - -Г/г, (2.6.15)
где Τ — натяжение пружины и h — ее расстояние до плоскости,
содержащей оси обоих кожухов.
Пусть пружина при угле ε, равном π/2, не напряжена ж К —
ее жесткость, а г — расстояние точки крепления пружины к
кожуху от оси последнего (см. рис. 80). Тогда, учитывая также
формулу (2.6.14), получим для момента N следующее выражение:
N = —AKr2 cos ε sin ε. (2.6.16)
Как будет далее показано, такой вид зависимости величины N от
угла ε как раз и необходим, чтобы только что описанное
гироскопическое устройство могло стать пространственным
гироскопическим компасом.
Рассмотрим другой возможный способ образования
моментов М\> и Мг» (и соответственно их разности Ν) посредством
иначе расположенной пружины. Один конец этой пружины
присоединен, например, к первому зубчатому сектору, жестко
связанному с кожухом гироскопа I, а другой ее конец — к самой
раме (или к оболочке гиросферы) (рис. 81). В соответствии с
вышеизложенным, сумма моментов всех сил, действующих на первое
зубчатое колесо (рис. 82) относительно его оси ζ\ должна быть
приравнена нулю. Пренебрегая трением в зубчатой передаче,
соединяющей кожухи обоих гироскопов, имеем
- М\> _ ГЬ + 01 у = 0, (2.6.17)
где —Мг> — момент обратного воздействия кожуха первого
гироскопа на зубчатое колесо, b — плечо силы, Τ — натяжение
пружины, d — диаметр начальной окружности зубчатого колеса и
Q1 — окружное усилие, с которым второе колесо действует на
первое. Усилие^1 принимается положительным, если оно
направлено вверх (рис. 82).

418
ГЛАВА 1Г. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Рис. 80
Для второго колеса аналогичное уравнение равновесия имеет
вид
_Mzri+<?ri4 = 0, (2.6.18)
где Q11 — уже сила воздействия первого колеса на второе, равная
по модулю силе Q1. Ее положительное направление — вниз.
Как следствие обоих уравнений (2.6.17) и (2.6.18), а также
формулы (2.6.14), получаем равенство
N = - ТЬ, (2.6.19)
где Τ и Ъ в общем случае являются функциями угла ε.
Вернемся к соотношению (2.6.13). Оно, как уже указывалось,
вместе с тремя соотношениями (2.6.5) образует совокупность
четырех дифференциальных уравнений, содержащих искомые
четыре параметра, посредством которых определяются ориентация
гиросферы и угол разведения ее гироскопов.
Примем, что центр масс гиросферы (вместе с обоими
гироскопами) расположен.лт оси ζ на расстоянии I ниже ее
геометрического центра. Тогда его координаты хс, уе и zc в системе
координат xyz таковы:
Хс = 0, Ус = 0, Zc = -/. (2.6.20)
Эйлеровы силы инерции, обусловленные движением
поступательно перемещающейся системы ξ*η*ζ*, сводятся в данном

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА
419
Рис. 81 Рис. 82
случае (см. § 1 гл. I настоящей книги) к единственной силе Р,
которая является равнодействующей этих сил инерции и приложена
в центре масс гиросферы. Проекции силы Ρ на оси системы
координат xyzt связанной с гиросферой, равны соответственно
величинам
Рх = —mwx1 Ру = —mwy, Pz = —mw2, (2.6.21)
где wx, wy и wz — проекции на те же оси «абсолютного»
ускорения геометрического центра сферы, в данном случае ускорения
этого центра по отношению к сфере S или к связанной с ней
невращающейся системе координат ξδηθζ5; т—масса гиросферы.
На гиросферу действуют физические силы: силы тяготения,
которые можно заменить единственной силой F, приложенной
к центру масс гиросферы, и силы давления поддерживающей
жидкости на оболочку гиросферы. Как уже указывалось, при
рассмотрении движения гиросферы по отношению к
поступательно перемещающейся системе координат ξ*η*ζ* в число
учитывающихся в уравнениях движения сил надлежит включить
эйлеровы силы инерции. В результате, повторяя рассуждения,
приведенные в § 2 предыдущей глаЕы, и учитывая, что силы давления
проходят через центр гиросферы, получим следующие
выражения для моментов Мх, Μу и Μг сил, действующих на гиросферу:
Мх = 1(Ρυ+ Fy), Му = -Ι (Ρχ + Fx), Mz = 0. (2.6.22)

420 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Здесь Fx и Fи — проекции на связанные с гиросферой оси χ и у
силы тяготения F гиросферы к Земле. При вычислении этих
проекций с большой точностью можно принять, что сила F
параллельна проходящему через центр гиросферы радиусу Земли
(или, что то же, радиусу сферы S).
Подставим теперь выражения (2.6.22) в правые части
соотношений (2.6.5) и соединим их вместе с соотношением (2.6.13).
Учитывая также формулы (2.6.21), получим равенства
— ωζ2Β cos ε = I (— mwy + Fy), ^j (25 cos ε) = — I (— mwx + Fx),
ωχ2Β cos 8 = 0, — ωυ2Β sin ε = Ν, (2.6.23)
которые оказываются исходными дифференциальными
уравнениями для построения теории пространственного
гироскопического компаса Геккелера (а также * и для обычного
«апериодического» компаса «Аншютц»).
Введем в рассмотрение, как и в § 4 настоящей главы,
естественный трехгранник Дарбу x°y°z° и расположим его вершину
в геометрическом центре гиросферы, а ребро z° — по
продолжению радиуса Земли. Скорость Ъ этого центра по отношению к
сфере S направлена по ребру х°, вследствие чего проекции
угловой скорости ω° трехгранника x°y°z° на его собственные ребра
представляются формулами
ω£ο=0, (Dyo = -jT-, ω!!ο = ω. (2.6.24)
Здесь ν = ν (t) и ω = ω (/) — две функции времени, задание
которых вместе с начальным расположением трехгранника x°y°z°
определяет его движение по отношению к сфере S или к
связанной с нею невращающейся системе координат ξδηδζδ.
Заметим далее, что, согласно изложенному в § 4 настоящей
главы проекции «абсолютного» (относительно системы
координат ξδηδζθ) ускорения центра гиросферы на ребра
трехгранника x°y°z° имеют следующий вид:
m;xo=-^j-, ιυ^^ωυ, wzo = ^-. (2.6.25)
Наконец, очевидно, что проекции силы тяготения F гиросферы
к Земле на те же ребра таковы:
Fxo = 0, Fyo = 0, Fzo = -F. (2.6.26)
* См. Кошляков В. Н. Теория гироскопических компасов. М.,
«Наука», 1972.

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА 421
Рис. 83
Определим теперь ориентацию трехгранника xyz, связанного
с гиросферой, относительно естественного трехгранника Дарбу
x°y°z° посредством трех углов Эйлера — Крылова α, β и γ (рис. 83).
Для этой цели введем две вспомогательные системы координат
x2y2z2 и Х\У\Ъ\- Система x2y2z2 повернута по отношению к
трехграннику x°y°z° на угол α вокруг оси ζ2, совпадающей с ребром ζ°.
Другая система координат — хц/ιΖι — повернута относительно
системы x2y2z2 на угол β вокруг совпадающих осей х2 и хг. Наконец,
трехгранник xyz оказывается повернутым по отношению к систе
ме x1y1z1 на угол γ вокруг оси у1. которая, в свою очередь,
совпадает с ребром у.
Последовательности перечисленных конечных поворотов
соответствует следующая схема (см. § 5 гл. III первой книги)
xoyozo _l_, X2y2Z2 __±__ XlylZl ±^U xyz. (2.6.27)
Согласно этой схеме, например, чтобы перейти от положения,
которое занимает система координат x2y2z24 в положение χ^χΖχ,
надо совершить конечный поворот на угол β вокруг сливающихся
осей х2 и χλ и т. д. Представим ту же схему (2.6.27) в следующем
несущественно измененном виде:
zoxoyo __i_* Z2X2y2 _j__ ZlXiyi JLi^ Zxy. (2.6.28)

422 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Теперь очевидно. что рассматриваемая последовательность
принадлежит к угловому перемещению первого рода. В самом деле,
она описывает поочередные повороты некоторого трехгранника abc
вокруг ребер α, δ и с на углы α, β и γ. При этом в исходном
положении ребра этого трехгранника а, Ъ и с совпадают
соответственно с ребрами ζ°, х° и у0 естественного трехгранника Дарбу,
а в окончательном — с ребрами ζ, χ и у трехгранника,
связанного с гиросферой.
В § 5 гл. III первой книги была приведена таблица (3.5.6)
косинусов углов между ребрами трехгранника abc в их исходном
положении и в положении после окончания углового
перемещения первого рода. Исходное положение было обозначено через
xyz, а окончательное — через ξχηχζχ. Поэтому, чтобы построить
таблицу косинусов между ребрами трехгранников xyz и x°y°z°,
достаточно в упомянутой таблице (3.5.6) заменить обозначения х,
Уу ζ> Ιι» Ήι и ζχ соответственно на z°, х°, y°, z, x и у и переставить
надлежащим образом ее строки и столбцы. Получим, опуская
индексы углов α, β и γ, таблицу
χ* у0 ζ°
χ — sin α sin β sin γ + cos α sin β sin γ + —cos β sin γ
+ cos α cos γ + sin α cos γ
у — sin α cos β cos α cos β sin β
ζ sin α sin β cos γ + — cos α sin β cos γ + cosPcosY
+ cosoc sin γ + sin α sin γ
(2.6.29)
Угловая скорость ω трехгранника xyz относительно невращаю-
щейся системы координат |*η*ζ* равна геометрической сумме
угловой скорости ώ° естественного трехгранника Дарбу x°y°z°
(относительно той же системы) и трех относительных угловых
скоростей: da/dt — системы координат хгу&г по отношению к
трехграннику x°y0z0, dfi/dt — системы xxyxzx относительно хгУчЧ и*
наконец, dy/dt — трехгранника xyz, связанного с гиросферой, по
отношению к системе координат хху^х. Относительные угловые
скорости daldt, d$/dt и dy/dt имеют соответственно направления
z° (z2), х2 (#ι) и у1 (у). При этом заметим, что ось х2 (tfj), а
следовательно, и вектор относительной угловой скорости dft/dt, лежат
в плоскости ζχ и образуют с ребрами χ ж ζ углы γ и π/2 — γ и,
разумеется, угол π/2 с осью у (у^.
Учитывая вышеизложенное, а также формулы (2.6.24) и
таблицу (2.6.29), уже нетрудно определить проекции со^., ων и ω2
угловой скорости трехгранника xyz на его же ребра. Они имеют

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА
423
следующий вид:
ω* = ~7Г (sin 'а cos ^ "^ cos α s*n ^ sm Ί) ~~~
/~ , dai\ Q . , d$
— ω + -7Γ cos P sinIT -r -37- cos γ,
ω„
= -^-cos a cos β + (ω -|- -j-j sin β + -^-, (2.6.30)
coz = — (sin a sin γ — cos a sin β cos γ) +
+(s+^)cos?cos^ + ^sin^
Аналогичным образом, используя ту же таблицу (2.6.29) и
формулы (2.6.25) и (2.6.26), можно найти проекции wx, wy и wz
«абсолютного» ускорения w геометрического центра гиросферы и проекции
FХУ Fу и Fг силы тяготения^ на ребра х, у и ζ трехгранника xyz.
Имеем
Wx~~~dt (C0S a C0S Τ — S*n a S^n ^ S^R Ч) +
+ ων (sin a cos γ + cos a sin β sin Y) + 77· cos β sin γ,
dv . η , ^ о г;2
w
у = -тт sin a cos β + ων cos a cos β jr sin β, (2.6.31)
wz — -77- (cos a sin γ -f sin a sin β cos γ) +
y2
+ ων (sin a sin γ — cos a sin β cos γ) — -ττ cos β cos γ
и
/7Λ = F cos β sin γ, Fy = — ,Ρ sin β, Fz = —F cos β cos γ. (2.6.32)
Подставив далее величины ω^., ω^, ωζ, ι^^, wy, wZl Fx, Fy, согласно
формулам (2.6.30) — (2.6.32), в равенства (2.6.23), получаем
следующую совокупность четырех дифференциальных уравнений
первого порядка относительно искомых переменных α, β, γ и ε:
— -^- (sin a sin γ — cos a sin β cos γ) -f
da \ R dp .
+ ^ + ^)cospcosT+ ^-sinT
25 cos ε —
= I j — m -^- sin a cos β + ωζ; cos a cos β — -^- sin β — F sin β[,
— (25 cos ε) = — I \ — m -^-.(cos a cos γ —- sin a sin β sin γ) +
4-ωζ; (si η a cosy + ϋ08ά8ΐηβ8ίη γ) + -^-cos β sin γ + F cos β sin γ \

424 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
-^- (sin α cos γ + cos α sin β sin γ) — ί ω + -^- ) cos β sin γ +
+ -£· cos γ 25 cos ε = 0,
- [-£ cos α cos β + (ω + -J-) sin β + ^-1 25 sin ε = Μ. (2.6.33)
При определенном выборе момента N как функции угла ε
(половины угла «разведения» гироскопов), только что полученная
совокупность четырех дифференциальных уравнений движения
гиросферы может при произвольном виде непрерывных и
дифференцируемых функций ν (t) и ω (t) обладать важным частным
решением. В нем углы α, β и γ тождественно равны нулю, а угол ε
связан с величиной ν (t) простым тригонометрическим
соотношением. Это, в частности, означает, что можно подобрать параметры
гиросферы так, чтобы при надлежащих начальных условиях ее
движения трехгранник xyz, связанный с гиросферой (см. рис. 83),
все время совпадал бы с естественным трехгранником Дарбу
#°ι/0ζ0, каким бы образом ни перемещался центр сферы по
поверхности земного шара. Таким образом, в упомянутом случае
трехгранник xyz как бы «следит» за естественным трехгранником
Дарбу x°y°z°, каковы бы ни были скорость ν = ν (t) их совместной
вершины и вертикальная составляющая ω°ζο = ω (t) их общей
угловой скорости. Ось χ оказывается тем самым все время
направленной по вектору линейной скорости гиросферы, т. е. скорости
ее центра. Выясним условия существования такого решения.
Подставив в дифференциальные уравнения совокупности (2.6.33)
а = β = γ = 0, получим равенства
ω25 cos ε = Ιπιων,
4" (25 cos ε) = Im ^, (2.6.34)
0-0,
—-jj.25sin8 = tf,
третье из которых уже является тождеством. Первое и второе
равенства становятся тождествами, если в качестве искомой
функции ε предполагаемого частного решения взять
ε = σ (ί), (2.6.35)
где σ (t) — текущий корень тригонометрического уравнения
2 5 cos σ = lmv(t). (2.6.36)

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА
425
Наконец, в тождество обратится и четвертое равенство, если
сконструировать гироскопическое устройство так, чтобы момент N
непременно зависел бы лишь от угла ε и выражался в общем
случае формулой
N — г—тт cos ε sin ε. (2.6.37)
Чтобы в этом убедиться, достаточно теперь подставить в левую
и правую части четвертого равенства (2.6.34) с учетом формулы
(2.6.37) вместо угла ε функцию σ (t) и заменить величину ν ее
представлением через ту же функцию σ (/), согласно уравнению (2.6.36).
Выше было показано, что именно такую, как (2.6.37), форму
зависимости от угла ε имеет момент N (равный разности моментов
М\> и Μ*»), если кожухи гироскопов связаны друг с другом
пружиной (рис. 80). Из сопоставления формул (2.6.16) и (2.6.37)
следует, что жесткость К пружины и расстояние г точек ее
крепления от осей кожухов гироскопов должны быть выбраны так,
чтобы они были связаны со значением собственного
кинетического момента 5, массой гиросферы т и метацентром I (расстоянием
между геометрическим центром гиросферы и ее центром масс)
соотношением
Кг* = -^т . (2.6.38)
В этом случае описанное гироскопическое устройство становится
пространственным гирокомпасом. Остановимся на его свойствах.
В силу изложенного, если обеспечены начальные условия
а (0) =0, β (0) = 0, γ (0) - 0, 25 cos ε (0) = mlv (0),
(2.6.39)
то дальнейшее движение гиросферы происходит так, что имеют
место равенства
a (t) = 0, β (t) = 0, γ (t) = 0, ε (t) = σ (ί), (2.6.40)
где σ (t) — по-прежнему корень тригонометрического уравнения
(2.6.36).
Таким образом, ребра трехгранника xyz, связанного с гиросфе-
рой, будут все время соответственно совпадать с ребрами
естественного трехгранника Дарбу x°y0z0, как бы ни двигалась гиросфе-
ра по поверхности Земли. Такое движение гиросферы назовем
установившимся (стационарным). При установившемся
движении ось ζ или, что то же, вертикальный диаметр гиросферы,
является продолжением радиуса Земли, а ось χ направлена по
вектору ν «абсолютной» скорости геометрического центра гиросферы.
Кроме того, по текущему значению угла ε можно, не прибегая

426 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
ни к какой информации извне, определить, в соответствии с
формулой (2.6.35) и уравнением (2.6.36), текущее значение
«абсолютной» (т. е. по отношению к невращающейся сфере S) скорости
ν геометрического центра гиросферы. Перечисленные
замечательные свойства пространственного гироскопического компаса
позволяют использовать его в схемах инерциальной навигации (см.
гл. V настоящей книги), а также в качестве датчика для
стабилизации платформ в плоскости местного геоцентрического горизонта,
т. е. в плоскости, касательной к земной сфере.
Пусть, например, гиросфера находится на корабле, стоящем
у пирса и, следовательно, неподвижном относительно
вращающейся Земли. Тогда «абсолютная» скорость ее геометрического центра
направлена по касательной к параллели места и равна величине
г;0 = J??7cos φ, (2.6.41)
где U, как и ранее, угловая скорость Земли; R — ее радиус и φ —
широта местоположения объекта.
Допустим, что гиросфера «успокоилась» по отношению к Земле,
и угол 2ε между осями роторов принял стационарное значение 2ε°.
В этом случае левую часть последнего равенства, согласно
уравнению (2.6.35) и формуле (2.6.36), можно представить в форме
yo^^cose0, (2.6.42)
после чего, учитывая равенство (2.6.41), получим соотношение
М8Ф=ТШГс08е°· <2·6·43)
Таким образом, пространственный гирокомпас на неподвижном
основании может также служить и в качестве гироширота. По
замеру угла ε° — половины угла разведения гироскопов, в силу
соотношения (2.6.43), можно определить (не обращаясь к
наблюдению светил или радиосигналов) широту φ своего
местоположения.
В принципе, параметры пространственного гирокомпаса 5,
/, ти его пружинного устройства К и г можно выбрать так, чтобы
наряду с выполнением условия (2.6.38) имело место равенство
ImRU = IB. (2.6.44)
Тогда широта φ будет в точности равна углу ε°.
Связанная с гиросферой ось χ в случае неподвижного
относительно вращающейся Земли корабля направлена при
стационарном движении гиросферы, как уже указывалось выше, по
касательной к параллели места, т. е. на восток. Соответственно ось
у направлена точно на север. Однако, если объект перемещается

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА
427
Рис. 84
по земной сфере, то ось у на север уже не направлена. Пусть
Vn — северная и Ve — восточная составляющие скорости гиро-
сферы вместе с кораблем по отношению к самой Земле. Очевидно,
что «абсолютная» скорость гиросферы ν в этом случае представляет
собой геометрическую сумму составляющих Vn, Ve и
направленной на восток скорости v° = RU cos φ самого местоположения
корабля, обусловленной вращением Земли. Как нетрудно видеть
(рис. 84), «абсолютная» скорость гиросферы отклоняется от
направления на восток на угол Ф, причем
tg fl = ^ . (2.6.45)
RU cos φ + Ve
Пусть гиросфера пребывает в стационарном режиме. Тогда на тот
же угол Ь отклонится от направления на север и связанная с ги-
росферой ось ι/, совпадающая с северо-южным диаметром
гиросферы. В этом случае направление оси у называется гиронордом.
Угол Φ отклонения гиронорда от истинного направления на север
называется также скоростной ошибкой (девиацией)
гироскопического компаса *.
Формула (2.6.45) для угла Ф, которая приводится во всех
руководствах по гирокомпасному делу, не дает строгого решения
задачи. В самом деле, нельзя найти величины северной Vn и
восточной Ve составляющих скорости корабля, не зная его курса,
располагая только заданными значениями самой скорости V и
угла дрейфа, т. е. угла между направлением скорости V и продоль-
* Точно такую же скоростную ошибку имеет не только
пространственный гироскопический компас, в котором удовлетворены приведенные выше
начальные условия (2.6.39), но также и обычный гирокомпас, в котором после
успокоения собственных колебаний последнего (благодаря наличию
демпфирующих сил) так называемая система затухания выключена.

428 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
ной чертой корабля (см. § 1 гл. I первой книги). Однако точный
курс корабля остается не известным, пока не найдена величина
курсовой ошибки Ф; последняя, в свою очередь, в силу формулы
(2.6.45), зависит от величин Vn и Ve- В результате простого
преобразования, очевидного также и из геометрических соображений
(см. рис. 84), нетрудно прийти к формуле
sinfl = -i777^—, (2.6.46)
HU cos ср ' v '
свободной от упомянутого недостатка. В ней Vy— проекция
скорости центра гиросферы на связанную с нею ось у (гиронорд),
т. е. на прямую, положение которой относительно корабля
известно.
Вернемся теперь вновь к уравнениям движения (2.6.33)
гиросферы, как механической системы с четырьмя степенями свободы.
Предположим, что начальные условия (2.6.39) ее стационарного
движения не соблюдены. В этом случае можно ожидать, что
движение гиросферы будет близким к установившемуся. Назовем его
возмущенным движением и для его исследования воспользуемся
методом малых колебаний. Именно, положим углы α, β и γ, а
также разность
δ = ε - σ (ί) (2.6.47)
малыми величинами.
Заменим в уравнениях (2.6.33) момент N его представлением
согласно формуле (2.6.37), а переменную ε на сумму G + δ в
соответствии с равенством (2.6.47). Далее разложим левые и
правые части этих уравнений в ряды по степеням переменных α, β,
γ и δ и сохраним в них лишь члены не выше первого порядка.
В результате придем к уравнениям
_ f*L _ _Lp + ω) 25cos σ + So25sin a =
dv . . ~*
-τ- (25 cos a — δ IB sin σ) = Im (-|- + ωναλ — llF '~π~) γ,
("S" + 7Fa_®O25c0S6 = 0' (2.6.48)
_ Ш. + JL + Ζή IB sin σ — -jf δ IB cos σ =
= jo- (cos a sin a + 6cos2o — 6sin2a).

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА
429
Эти уравнения можно упростить и далее, если воспользоваться
равенством (2.6.36) и, кроме того, как и в § 4 настоящей главы,
принять
F-^t-mg^.F. (2.6.49)
После не слишком сложных выкладок получаем
d vol 0 ~ 62#sins ί/γ . 62Bsme ~n
η$ = ω — Γ , —- + ns 1лГ— = — ωβ,
dt VgR ' ml VgH ' dt s ml VgR
(2.6.50)
d$ . va ~ d Ь2В sin α ~/ г;а
-^ + ns r = ωγ, 7= — пл = — ω —-==,
dt VgH dt ml VgH VgH
где
^|/j- (2.6.51)
уже встречавшаяся в § 4 настоящей главы угловая частота Шулера.
Уравнения (2.6.50) допускают операцию «компрессии» (см. § 1
настоящей главы), в результате которой, как нетрудно проверить,
можно прийти к совокупности двух дифференциальных уравнений
dx, . . .^
— + ι/ι8κ= ιωμ,
ίμ ^ . .- (2·6·52>
-^- + ι^5μ = ιωκ,
в которых κ и μ — комплекснозначные функции действительного
переменного t, связанные с первоначальными искомыми
переменными соотношениями
Г=+Ф,
YgR xor · (2.6.53)
. 62i?sins v '
m/ J/ git
Совокупность (2.6.52) распадается на два независимых
дифференциальных уравнения
-^ (κ + μ) + i К — ω) (κ + μ) = 0,
d ^ (2.6.54)
—t (κ — μ) + ί (л, + ω) (κ — μ) - 0,
каждое из которых интегрируется в квадратурах. Имеем
t
κ -f μ = (κ0 + μ0) e*P [— ί)(η5 — ω)άΐ | ,
ο
t
κ — μ. = (κο _ μ0) θχρ [— ι ξ (/ιβ + ω) di] ,
J (2.6.55)

430 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
где к0 и μ0 — значения переменных κ и μ в начальное мгновение
t = 0.
Пусть движение корабля таково, что функция ω — ω (t)
постоянна. Тогда из вида формул (2.6.55) и соотношений (2.6.53)
следует, что величины να, β, γ и δ sin a(t) выражаются через
суперпозиции гармонических функций с частотами
ni = ns — ю, п2 = ns + ω. (2.6.56)
В частности, так будет, если корабль окажется стоящим на якоре
или у пирса. В этом случае угловая скорость естественного
трехгранника Дарбу с вершиной в центре гиросферы равна угловой
скорости Земли U. Таким образом, вертикальную составляющую
ώ угловой скорости этого трехгранника следует считать равной
вертикальной составляющей U sin φ угловой скорости Земли
(см. § 3 настоящей главы). Если корабль будет идти вдоль
экватора, то величина ω обратится в нуль и обе частоты пг и п2
окажутся равными частоте Шулера /г5.
Рассмотрим в качестве примера следующие начальные условия
движения гиросферы
а (0) = а0 =μ 0, β (0) =0, γ (0) =0, δ (0) = 0. (2.6.57)
Имеем, согласно соотношениям (2.6.53),
Х0=-^, μ0^0. (2.6.58)
В соответствии с формулами (2.6.55), считая по-прежнему ω
постоянной величиной, имеем
κ = ifr-^ {exp [— i (ns —ω)ί]+ exp [— i (ns + ω) t]},
!o? ~ - (2·6·59)
μ - 2У""7Г ^XP [" * ^s ~ ^ t] ~~ ΘΧΡ [~~ l ^ +®)*^'
Отсюда, в частности, учитывая вновь соотношения (2.6.53),
получаем, что
α = α0 ν cos nst cos Cot. (2.6.60)
Если, кроме того, корабль неподвижен относительно Земли, то,
согласно последнему равенству, при начальных условиях (2.6.57)
гиросфера будет совершать в азимуте колебания типа
гармонических биений с периодом Шулера
Ts = ill = 2π ~\/~— ~ 84,4 мин. (2.6.61)

§ 6. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС ГЕККЕЛЕРА
431
Рис. 85
Период изменения амплитуды этих колебаний
2я
γ 2Я
ω
U sin φ
(2.6.62)
совпадает с периодом маятника Фуко и на широте 60° равен 28
часам 41 минуте. За первую четверть этого периода гиросфера
совершит около пяти полных колебаний с уменьшающейся почти
до нуля амплитудой, что ошибочно может быть принято за
естественное затухание ее движений. На самом же деле, если гиросфера
изготовлена так, что трение в подвесах гироскопов ничтожно
мало, то в дальнейшем будет наблюдаться возрастание амплитуды
ее колебаний с периодом Шулера, пока не пройдет еще четверть
периода биений (см. рис. 85). Нечто подобное можно ожидать и от
некоторых схем инерциальной навигации, дифференциальные
уравнения поведения которых имеют много общего с уравнениями
пространственного гироскопического компаса.
В заключение отметим следующее свойство чувствительного
элемента двухроторного гироскопического компаса. Пусть по-
прежнему подвес чувствительного элемента — гиросферы —
осуществлен без трения, а момент Ν, приложенный к кожухам
гироскопов, выражается формулой (2.6.16). Тогда, в силу третьего
и четвертого уравнений совокупности (2.6.23), имеем
ωχ 25cos ε = 0, — ωυ2Β sin ε
AKr2 cos ε sin ε. (2.6.63)
Отсюда следуют при ε =f= 0 и ε =f= π/2 равенства
ω* — 0,
IKr*
В
■cos ε.
(2.6.64)
Эти равенства справедливы при произвольном движении
геометрического центра гиросферы. В частности, гирокомпас может быть

432 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
помещен на объекте, изменяющем свою высоту над Землей, быть
в кабине космического корабля с включенными двигателями и т. д.
Кроме того, совершенно не обязательно соблюдение условия
(2.6.38), при выполнении которого гирокомпас становится
пространственным. В случае же пространственного гирокомпаса при
учете упомянутого условия (2.6.38) второе равенство (2.6.64)
принимает вид
^ = 1кТнС0Бг' (2.6.65)
Что же касается проекции ω ζ угловой скорости оболочки гиросфе-
ры на ее вертикальный диаметр (параллельный осям кожухов),
то она, согласно первому из уравнений (2.6.23), определяется
суммой Мх моментов относительно оси χ сил, приложенных к
центру масс гиросферы, включая эйлеровы силы инерции (см. выше),
а также углом 2ε разведения гироскопов и величиной В —
собственного кинетического момента каждого из них.
Таким образом, оболочка гиросферы представляет собой
твердое тело, угловая скорость которого (в рамках прецессионной
теории гироскопов) связана двумя условиями (2.6.64) типа неголо-
номной связи (см. гл. IV первой книги).
Изложенное позволяет уяснить особенности поведения
чувствительного элемента двухроторного гироскопического компаса
(гиросферы) при использовании в схемах инерциальной навигации.
§ 7. Гироскопический интегратор
В этом небольшом параграфе исследуется прибор, так
называемый гироскопический интегратор кажущихся ускорений, который
наряду с ньютонометрами (см. § 1 гл. IV настоящей книги)
находит себе применение в схемах инерциального управления
баллистическими ракетами * и инерциальной навигации движущихся
объектов (см. гл. IV и V настоящей книги). Исследование
представляет собой пример учета в теории гироскопов малых величин
второго порядка.
Гироскоп прибора (рис. 86) имеет статическую
неуравновешенность относительно оси кожуха. На ось внешнего кольца
налагается посредством электродвигателя момент, при помощи
которого ось ротора удерживается в перпендикулярном направлении
к плоскости кольца. Управление двигателем осуществляется
посредством контактного приспособления, расположенного
на оси кожуха. Под действием силы тяжести, а также
переносных сил инерции, обусловленных поступательным перемеще-
* См. книгу автора «Инерциалъное управление баллистическими
ракетами». М., «Наука», 1968.

§ 7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАТОР
433
нием основания (обычно,
стабилизированной платформы),
гироскоп совершает прецессию
вокруг оси внешнего кольца.
Соответствующий угол
поворота служит одной из исходных
величин в системе управления
движением объекта.
При испытании прибора на
неподвижном наклонном
основании было обнаружено заметное
влияние на период прецессии
гироскопа наличия постоянного
угла отклонения оси
гироскопа от перпендикуляра к
плоскости внешнего кольца. Ниже
дается теоретическое
объяснение этому явлению.
Обозначим через θ угол
отклонения оси ζ внешнего кольца
от вертикали Ζ и введем систему координат ξη ζ, связанную с
основанием прибора (рис. 87). При этом ось ζ направим по оси
ζ внешнего кольца, а ось ξ расположим в горизонтальной
плоскости перпендикулярно к вертикальной плоскости, содержащей
оси Ζ и ζ.
С внешним кольцом гироскопа свяжем систему координат xyz,
ось ζ которой совпадает с осью ζ, а ось у направлена по оси
кожуха гироскопа. Угол между осями ξ и χ обозначим буквой ψ.
Обозначим, наконец, через δ угол отклонения оси ротора
гироскопа от оси х, т. е. от перпендикуляра к плоскости внешнего
кольца.
Прецессию вокруг оси внешнего кольца вызывает момент силы
тяжести гироскопа относительно оси кожуха, т. е. относительно
оси у. Для подсчета этого момента заметим, что, согласно
известным формулам механики, он представляется выражением
Рис. 86
Му = zc (mg) х — хс (mg) z,
(2.7.1)
где хс и zc — координаты центра тяжести гироскопа в системе
координат xyz, a (mg)x и (mg)z — проекции на соответствующие
оси силы тяжести гироскопа mg. Очевидно, что
хс = a cos δ, zc = a sin δ,
(2.7.2)
где а — расстояние центра тяжести гироскопа от геометрического
центра его подвеса.

434 ГЛАВА IT. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Для определения проекций силы тяжести на оси системы
координат xyz заметим, что ее составляющие вдоль осей ξ, η и ζ
соответственно равны величинам (см. рис. 87)
О, mg sin θ, — mg cos θ. (2.7.3)
Последняя из них одновременно является проекцией силы mg
на ось ζ (ζ). Чтобы найти проекцию силы тяжести на ось х,
следует, в свою очередь, спроектировать на эту ось составляющую
той же силы вдоль оси η; в результате получим выражение
(mg)x = — mg sin θ sin ψ. (2.7.4)
Таким образом, формула (2.7.1) для момента Μу может быть
представлена следующим образом:
Му = mga (cos δ cos θ — sin δ sin θ sin ψ). (2.7.5)
Согласно прецессионной теории гироскопов, момент Му
равен составляющей скорости перемещения конца вектора
собственного кинетического момента гироскопа Нъ направлении оси г/,
т. е. величине,
tfcos6-^. (2.7.6)
В самом деле, в данном случае основание неподвижно, и угол δ
постоянен. Поэтому конец вектора Η описывает вокруг оси ζ (z)
окружность радиуса Η cos δ. Приравнивая выражения (2.7.5)

§ 7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАТОР
435
и (2.7.6.) друг другу, получим дифференциальное уравнение
Η cos ό —jj- = mga (cos δ cos θ — sin δ sin θ sin ψ). (2.7.7)
Разумеется, это уравнение можно было получить и
непосредственно из уравнений (2.3.11) движения гироскопа в кардановом
подвесе, если соответствующим образом изменить обозначения углов
α и β на ψ и δ.
После разделения в дифференциальном уравнении (2.7.7)
переменных и последующего интегрирования получаем
равенство
<=-g-\ . flcos6^. н . , , (2.7.8)
mga J cos δ cos θ — sm δ sm t) sin ψ ' v '
в котором ψ0 — значение угла ψ в начальное мгновение времени
t = 0.
Для подсчета периода прецессии Г, т. е. времени полного
обращения внешнего кольца гироскопа, здесь следует положить
ψ0 = 0 и ψ — 2π, после чего в случае постоянных углов θ и δ
имеем *
т = Я ζ οΓψ ^ Я 2я
~~ mga cos θ J 1 — tg δ tg θ sin ψ mga cos θ ' γ\ _ (tg δ tg θ)2
(2.7.9)
Полученное соотношение является обобщением известной
формулы периода прецессии тяжелого волчка. Действительно, при θ =
= 0 (ось прецессии вертикальна)
т==2лН_ (2.7.10)
mga v '
независимо от величины угла δ **.
Положим в формуле (2.7.9) величину δ равной нулю, т. е.
примем, что направление оси собственного вращения гироскопа
(т. е. вектора собственного кинетического момента Н) все время
приводится в совпадение с осью χ — перпендикуляром к
плоскости yz внешнего кольца. Соответствующий этому случаю период
прецессии обозначим через Т0. Согласно формуле (2.7.9),
приходим к равенству
Τ _- 2π^ /2 7 11)
0 mga cos θ \ - - /
* См. Д в а й m Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические
формулы. М., Госуд. изд-во иностр. литер., 1948.
** См. Николаи Е. Л. Теория гироскопов. М.— Л., Гостехиздат, 1948.

436 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Вернемся вновь к формуле (2.7.9). Очевидно, что при θ =f= О
период прецессии возрастает с увеличением угла δ независимо от
знака последнего. Это и было обнаружено экспериментально еще
до того, как была получена формула (2.7.9).
При конкретных расчетах в формуле (2.7.9) можно с
достаточным приближением положить
Vi Λλ,«« ^l+,-|-t8»6tg«9~l+-f-64g»9. (2.7.12)
У1 — tg2 δ tg2 θ ιΔ Δ
Получающуюся при этом формулу
Τ = Т0 (1 + I б2 lg2 θ) (2.7.13)
можно также вывести и иным путем. Разложим подынтегральное
выражение (2.7.9) в ряд и произведем почленное интегрирование.
Имеем
2π 2π
S l-tgWsin* -Stl+tg6tg8Sina|J + tg26tg29sin2t|,+
0 0
+ ... ] ώψ - 2π + π tg2 δ tg2 Θ+... (2.7.14)
Ограничиваясь здесь первыми двумя членами разложения и
заменяя величину tg δ на δ, вновь приходим к формуле (2.7.13).
Числовой пример. Пусть θ = 45° и δ = 0,07 (^4°). На
основании формул (2.7.13) имеем
7= Г0 (1 + -|- δ2 tg2 θ) = 1,0024 Г0,
т. е. ошибка в измерении величины периода прецессии оказывается около
XU% по сравнению со случаем δ = 0.
Таким образом, для точной работы гироскопического
интегратора следует обеспечить возможно малое значение угла δ.
Аналогично может быть определена величина ошибки прибора
в случае, когда центр массы механической совокупности «кожух —
ротор» не лежит на оси собственного вращения ротора.

ЛИТЕРАТУРА
437
ЛИТЕРАТУРА
Андреев В. Д., Блюмин И. Д., Девянин Ε. Α., Климов Д. М. Обзор
развития теории гироскопических и инерциальных навигационных систем.—
В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.,
«Наука», 1973.
Андронов Α. Α., Витт Α. Α., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М., Физ-
матгиз, 1959.
Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра
масс. М., «Наука», 1965.
Блюмин Г. Д., Чичинадзе М. В. Условия невозмущаемости однороторного
гирокомпаса.— Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1964, № 3.
Блюмин Г. Д., Жбанов Ю. ТТ., Кошляков В. II. Гироскопические
компасы.— В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных систем.
М., «Наука», 1973.
Богацкая И. Г., Климов Д. М., Слезкин Л. Н. О влиянии овальности
элементов подвеса на точность гироскопического интегратора линейных
ускорений.— Изв. АН СССР. МТТ, 1973, № 4.
Булгаков Б. В., Тихменев С. С. Теория гирогоризонта Сперри с
маятниковой воздуходувной коррекцией.— Уч. зап. Моск. ун-та. Механика. 1937,
вып. 7.
Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. Изд. 2-е. М., Гостехиздат, 1955.
Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1—2. М.,
«Наука», 1972.
Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого
твердого тела около неподвижной точки. М., Гостехиздат, 1953.
Данилин В. 77., Новиков Л. 5., Орлов О. Ф., Тиль А. В., Харламов С. А.
Гироскопические чувствительные элементы.— В кн.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М., «Наука», 1973.
Девянин Е. Α., Ишлинский А. Ю., Климов Д. М. Механика
гироскопических и навигационных систем.— В кн.: Механика в СССР за 50 лет.
Т. I. Общая и прикладная механика. М., «Наука», 1968.
Жбанов Ю. К. К теории гирогоризонткомпаса.— ПММ, 1962, т. 26, вып. 6.
Ильин П. Α., Сергеев М. А. Сухопутный двухстепенной гирокомпас с
воздушными шаровыми опорами.— Тр. Ленингр. ин-та точн. мех. и оптики,
1958, вып. 36.
Ишлинский А. Ю. Механика специальных гироскопических систем. Киев,
Изд-во АН УССР, 1952.
Ишлинский А. Ю. К теории гирогоризонткомпаса.— ПММ, 1956, т. 20,
вып. 4.
Ишлинский А. Ю. К теории гироскопического маятника.— ПММ, 1957,
т. 21, вып. 1.
Ишлинский А. Ю. Теория двухгироскопической вертикали.— ПММ, 1957,
т. 21, вып. 2.
Ишлинский А. Ю. К теории сложных систем гироскопической
стабилизации.— ПММ, 1958, т. 22, вып. 3.
Ишлинский А. Ю. Полная компенсация внешних возмущений, вызванных
маневрированием в гироскопических системах.— В кн.: Теория
инвариантности и ее применение в автоматических устройствах. М., 1959.
Ишлинский А. Ю. Об уравнениях прецессионной теории гироскопов в
форме уравнений движения изображающей точки в картинной плоскости.—
ПММ, 1959, т. 23, вып. 5.
Ишлинский А. Ю. Гироскопа уравнения движения.— В кн.: Физический
энциклопедический словарь. Т. 1. М., «Сов. энциклопедия», 1960.
Ишлинский А. Ю. Гироскоп.— В кн.: Физический энциклопедический
словарь. Т. 1. М., «Сов. энциклопедия», 1960.

438
ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР,
1963.
Ишлинский А. Ю. Инерциальное управление баллистическими ракетами.
М., «Наука», 1968.
Ишлинский А. Ю., Блюмин И. Д. Теория гироскопических и инерциаль-
ных систем.— В кн.: История механики с конца XVIII века до середины
XX века. М., «Наука», 1972.
Калинович В. Н. О составлении уравнений гироскопических систем.— В
кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.,
«Наука», 1973.
Каргу Л. И. Об ошибках гироскопического интегратора линейных
ускорений.— Изв. высш. учебн. заведений. Приборостроение, 1965, т. 8, № 2.
Климов Д. М. Об условиях невозмущаемости гироскопической рамы.—
ПММ, 1964, т. 28, вып. 3.
Кондорский И. Д. К теории гиромаятниковых систем.— Изв. АН СССР,
МТТ, 1970, № 4.
Кошляков В. Н. К теории гирокомпасов.— ПММ, 1959, т. 23, вып. 5.
Кошляков В. Н. О приводимости уравнений движения гирогоризонткомпа-
са.— ПММ, 1961, т. 25, вып. 5.
Кошляков В. Н. Об уравнениях Геккелера в теории гирокомпасов.— ПММ,
1964, т. 28, вып. 4.
Кошляков В. Н. Теория гироскопических компасов. М., «Наука», 1972.
Крылов А. Н. О теории гирокомпаса Аншютца, изложенной проф. Геккеле-
ром.— Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз., 1940, № 4; см. также
Крылов А. Н. Собр. тр. Т. 2. Ч. 1, М.— Л., Изд-во АН СССР, 1943.
Крылов Л. Я., Крутиков Ю. А. Общая теория гироскопов и некоторых
технических их применений. Л., Изд-во АН СССР, 1932. См. также
Крылов А. Н. Собр. тр. Т. 8, М.— Л., Изд-во АН СССР, 1950.
Кудревич Б. И. Теория и практика гироскопического компаса. Ч. 1—3. Изд.
2-е. Л., Изд. гидрогр. упр. 1929—1932; ч. 4. Л., Военмориздат, 1939; ч. 5.
М.— Л., Упр. Воен.-мор. изд., 1945.
Летов А. М. К теории гирополукомпасов.— Инж., сб., 1952, т. 13.
Литвин-Седой М. 3. О гироскопическом измерителе линейного ускорения.—
Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1961, № 2.
Луни Я. Л. Ошибки гироскопических приборов. Л., «Судостроение», 1968.
Луни Я. Л. Введение в теорию гироскопов. М., «Наука», 1972.
Малеев П. И. Новые типы гироскопов. Л., «Судостроение», 1971.
Меркин Д. Р. Гироскопические системы. Изд 2-е. М., «Наука», 1974.
Метелицын И. И. Гироскоп.— В кн.: Техническая энциклопедия. Т. 5. М.,
ОНТИ, Глав. ред. техн. энц. и словарей, 1937.
Метелицын И. И. Гироскопические приборы.— В кш: Физический
энциклопедический словарь. Т. 1. М., «Сов. энциклопедия», 1960.
Николаи Е. Л. Теория гироскопов. Л.— М., Гостехиздат, 1948.
Николаи Е. Л. Гироскоп в кардановом подвесе. М., «Наука», 1964.
Новожилов И. В. Прецессионные уравнения гироскопических систем с
«жестким» управлением по части переменных.— Изв. АН СССР. МТТ, 1971,
№ 1.
Новожилов И. В. О переходе к прецессионным уравнениям гироскопии на
бесконечном интервале времени.— Изв. АН СССР, МТТ, 1971, № 5.
Новожилов И. В. Приближенные методы исследования гироскопических
систем.— В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных
систем. М., «Наука», 1973.
Одинцов А. А. Пособие по курсовому и дипломному проектированию. Вып. 2.
Гироскопические интеграторы линейных ускорений. Киев, 1968. (Киевск.
политехи, ин-т).
Павлов В. А. Основы проектирования и расчета гироскопических
приборов. Л., «Судостроение», 1967.

ЛИТЕРАТУРА
439
Пельпор Д. С. Гироскопические приборы и автопилоты. М.,
«Машиностроение», 1964.
Пельпор Д. С. Гироскопические системы. Ч. 1. Теория гироскопов и
гироскопических стабилизаторов. М., «Высш. школа», 1971.
Пельпор Д. С. Гироскопические вертикали.— В кн.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М., «Наука», 1973.
Рабинович Ю. И. Поведение гирокомпаса, выполненного в виде двух
интеграторов угловой скорости, на качке.— Изв. АН СССР. МТТ, 1969, № 4.
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М., Гостехиздат, 1956.
Ривкин С. С. Теория гироскопических устройств. Ч. 1. Л., Судпромгиз,
1962; Ч. 2. Л., «Судостроение», 1964.
Ривкин С. С. Непосредственные гиростабилизаторы.— В кн.: История
механики гироскопических систем. М., «Наука», 1975.
Ройтенберг Я. Н. Многогироскопная вертикаль.— ПММ, 1946, т. 10, вып. 1.
Ройтенберг Я. Н. Об ускоренном приведении гироскопического компаса в
меридиан.— ПММ, 1959, т. 23, вып. 5.
Ройтенберг Я. Н. К теории гироскопического компаса.— ПММ, 1964, т. 28,
вып. 5.
Ройтенберг Я. Н. Корректируемый гирогоризонткомпас.— ПММ, 1965,
т. 29, вып. 4.
Ройтенберг Я. Н. Гироскопы. М., «Наука», 1966.
Ройтенберг Я. Н. Управляемые гироскопические системы.— Инж. ж. МТТ,
1968, № 3.
Синицин И. Н. К динамике гироскопического интегратора линейных
ускорений, установленного на наклонном основании.— Инж. ж. МТТ, 1967, № 6.
Синицин И. #., Слезкин Л. Н. Гироскопические интеграторы линейных
ускорений.— В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных
систем. М., «Наука», 1973.
Суслов Г. К. Теоретическая механика. М.— Л., Гостехиздат, 1944.
Теория и конструкция гироскопических приборов и систем. (Под ред.
Г. Д. Блюмина). М., «Высш. школа», 1971.
Ткаченко А. И. О показаниях гироскопического интегратора линейных
ускорений.— Инж. ж. МТТ, 1968, № 1.
Четаев Н. Г. О гироскопе в кардановом подвесе.— ПММ, 1958, т. 22, вып. 3.
Шиф М. А. О компенсации одного вида баллистической девиации гирогори-
зонткомпаса.— Инж. ж. МТТ, 1966, № 4.
Эйлер Л. Новая теория движения Луны.— В кн.: Крылов А. Н. Собр. тр.
Доп. к т. 5 и 6. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1937.
Euler L. Decouverle d'un nouveau principe de mecanique.— Mem. Acad. Roy.
sci. Berlin, t. 6 (1750), 1752; См. также Euler L. Opera omnia, 1957, ser.
2, vol. 5.
Euler L. Du mouvement de rotation des corps solides autour d'un axe variable.
Mem. Acad. Roy. sci. Berlin, t. 14 (1758), 1765. См. также Euler L. Opera
omnia, 1964, ser. 2, vol. 8.
Cannon R. H. Kinematic drift of single-axis gyroscopes.— J. Appl. Mech.,
1958, vol. 25, No. 3. Рус. перев.: Кеннон Р. X. Кинематический уход
гироскопа с двумя степенями свободы.— Механика. Период, сб. перев.
иностр. статей, 1960, № 1.
Christoph P. Die 84-Minuten — Abstimmung beim Kreisel und beim Raum-
kompass.— Ingr.— Arch., 1958, Bd. 26, H. 4.
Geckeler J. W. Kreiselkompass und Schiffsmanover. 1,2.— Ingr.— Arch., 1933,
Bd. 4, H. 1,2.
Geckeler J. W. Kreiselmechanik des Anschutz-Raumkompasses.— Ingr.—
Arch., 1935, Bd. 6, H. 4.
Grammel R. Der Kreisel, seine Theorie und seine Anwendungen. Bd. 1—2.
Berlin, Springer, 1950. Рус. перев.: Граммель Р. Гироскоп, его теория и
применения. Т. 1—2. М., Изд-во иностр. лит., 1952.

440 ГЛАВА II. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Ishlinsky A. Yu. On the dynamics of a system of rigid bodies.— In:
Theoretical and applied mechanics. (Proc. 13th Int. Congress of theoret. and appl.
mech. Moscow University, 1972). Berlin, e. a., Springer — Verlag, 1973.
Klein F., Sommerfeld A. Ober die Theorie des Kreisels. H. 1—4,
Leipzig-Berlin, Teubner, 1897/1898-1903/1910.
Kreiselprobleme. Symposion Gelerina, 1962. Hrsg. H. Ziegler. Berlin, e. a.,
Springer, 1963.
MacMillan W.D. Dynamics of rigid bodies. N. Y. — L., McGraw-Hill,
1936. Рус. перев.: Мак-Миллап В. Д. Динамика твердого тела. М., Изд-во
иностр. лит., 1951.
Magnus К. Zur Geschichte der Anwendung von Kreiseln in Deutschland.—
В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.,
«Наука», 1973. Рус. перев.: Магнус К. К истории применения гироскопов
в Германии.— В кн.: История механики гироскопических систем. М.,
«Наука», 1975.
Martienssen О. Die Verwendbarkeit des Rotationkompasses als Ersatz des mag-
netischen Kompasses.— Phys. Z., 1906, Bd. 7. H. 15.
Roberson R. E. Kinematical equations for bodies whose rotation is descrihed
by the Euler-Rodrigues parameter.— AIAA Journal, 1968, vol. 6, No. 5.
Рус. перев.: Роберсон P. Е. Кинематические уравнения для тела,
повороты которого описываются параметрами Эйлера — Родригеса.— Ракет'н.
техн. и космонавтика, 1968, т. 6, № 5.
Scarborough J. В. The gyroscope. Theory and applications. N. Y.— L., Inter·
science, 1958. Рус. перев.: Скарборо Дж. Б. Гироскоп. Теория и
применения. М., Изд-во иностр. лит., 1961.
Schuler Μ. Der Kreiselkompass unter Einfluss der Schiffschwingungen.—
ZAMM, 1922, Bd. 2, H. 4.
Whittaker E. T. Treatise on the analytical dynamics. Cambridge, 1927. Рус.
перев.: Уиттекер Ε. Τ. Аналитическая механика. Μ.— Л., ОНТИ, 1937.
Wrigley W., Hollister W. M., Denhard W. G. Gyroscopic theory, design and
instrumentation. Cambridge (Mass) — London, M. I. T., 1969. Рус.
перев.: Ригли У., Холлистер У., Денхард У. Теория, проектирование и
испытания гироскопов. М., «Мир», 1972.

Ill
ГЛАВА
НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
§ 1. Уравновешенный гироскоп. Точная теория
В прецессионной теории гироскопов массы колец карданова
подвеса и экваториальный момент инерции ротора считаются
несущественными, и их полагают равными нулю (см. § 1 гл. II
настоящей книги). Вследствие этого, совокупность уравнений,
описывающих движение оси ротора гироскопа в кардановом подвесе,
оказывается даже в самом общем случае лишь четвертого порядка.
Эти уравнения, именуемые прецессионными, достаточно хорошо
описывают изменение ориентации оси гироскопа при медленных
угловых движениях его основания и плавном изменении
действующих на гироскоп сил. Имеется при этом в виду, что центр
тяжести ротора точно расположен на оси его собственного
вращения; предполагается также, что последняя является для ротора
одновременно осью динамической симметрии. Однако посредством
прецессионных уравнений гироскопа нельзя описать вибрации
(нутации) оси гироскопа в кардановом подвесе, возникающие,
например, после удара по одному из колец подвеса или при резком
изменении приложенных к нему сил.
Отметим следующее важное обстоятельство. Пусть в осях
подвеса гироскопа отсутствует трение, на кольца и ротор не действуют
какие-либо сторонние силы, а гироскоп сбалансирован, т. е.
совместный центр масс ротора и внутреннего кольца совпадает
с геометрическим центром карданова подвеса и, кроме того, центр
массы внешнего кольца лежит на его же оси. В этом случае
согласно прецессионным уравнениям ось собственного вращения
гироскопа должна сохранять неизменной свою ориентацию
относительно направлений на неподвижные звезды независимо
от того, неподвижно ли основание, на котором расположен
гироскоп, или оно движется произвольным образом (лишь бы не
происходило совмещение оси ротора с осью внешнего кольца). Вместе
с тем, из рассмотрения так называемых полных или, что то же,
нутационных уравнений гироскопа, учитывающих массы колец и
экваториальный момент инерции ротора, следует, что последнее
заключение оправдывается лишь приближенно. На самом деле
среднее направление оси собственного вращения ротора при

442 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
нутации (угловой вибрации) гироскопа или при угловых
колебаниях его основания в общем случае систематически смещается
от своего исходного направления, несмотря на полное отсутствие
трения в осях карданова подвеса. Непрерывное смещение
среднего направления вибрирующей оси ротора представляет таким
образом уход гироскопа, необъяснимый с точки зрения
прецессионной теории гироскопов. К такому же явлению ухода приводит
несовпадение оси ротора с осью динамической симметрии, т. е.
динамическая несбалансированность ротора.
В настоящем параграфе, основываясь на полных (нутационных)
уравнениях, рассматривается поведение на неподвижном
основании описанного выше сбалансированного гироскопа при
отсутствии сил трения в осях его карданова подвеса и сторонних сил,
действующих на кольца и ротор. Будем считать такой гироскоп
совокупностью трех абсолютно жестких тел: ротора, внутреннего
кольца подвеса и его внешнего кольца, последовательно
соединенных между собой и с основанием идеальными шарнирами.
Предположим также, что оси шарниров являются главными осями
инерции соответствующих колец.
Можно указать несколько различных способов получения
дифференциальных уравнений движения гироскопа в кардановом
подвесе, рассматриваемого в виде механической совокупности трех
твердых тел. Один из них заключается в составлении
дифференциальных уравнений Эйлера для каждого из упомянутых трех
тел с последующим исключением сил их взаимодействия
(нормальных реакций подшипников) на основании третьего закона
Ньютона (такой метод частично использован в § 3 гл. II). В другом
методе, приведенном в § 5 гл. II, последовательно составляются
соотношения, касающиеся изменения проекции на подходящую ось
кинетического момента самого ротора, далее, совокупности
ротора и внутреннего кольца подвеса и, наконец, всей совокупности
тел, состоящей из ротора, внутреннего и внешнего колец*. Метод,
который будет здесь использован, носит несколько более
формальный характер; вместе с тем он как бы автоматически ведет к цели.
Заключается этот метод в составлении уравнений Лагранжа
второго рода.
Введем, как и в § 1 гл. II, сначала четыре следующие системы
координат: ξηζ, связанную в данном случае с неподвижным
основанием гироскопа, х2У2^2 — с ег0 внешним кольцом, χ^χΖχ —
с внутренним кольцом и, наконец, xyz, связанную с ротором
гироскопа (рис. 45). Пусть по-прежнему ось х2 является осью
вращения внешнего кольца карданова подвеса относительно
основания и совпадает с осью ξ, связанной с последним. Если через а
* См. Николаи Е. Л. Гироскоп в кардановом подвесе. Изд. 2-е. М.,
«Наука», 1964.

§ 1. УРАВНОВЕШЕННЫЙ ГИРОСКОП. ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ 443
обозначить угол поворота внешнего кольца по отношению к
основанию (рис. 50) и через А2 его момент инерции относительно оси
£2(ξ), то кинетическая энергия этого кольца в случае
неподвижного основания представится формулой
Направим ось у± по оси внутреннего кольца подвеса и совместим
с нею ось у2 системы координат хгугъг, связанной с внешним
кольцом. Обозначим далее через β угол поворота внутреннего
кольца относительно внешнего (см. рис. 51). Покажем, что кинетическая
энергия внутреннего кольца выражается формулой
в которой А11 Вг и С1 суть главные моменты инерции этого кольца,
т. е. моменты инерции соответственно вокруг осей х1У у± и ζν
В самом деле, угловая скорость внутреннего кольца
представляет собой геометрическую сумму угловой скорости da/dt
внешнего кольца, направленной по оси х21 и относительной угловой
скорости d$/dt внутреннего кольца по отношению к внешнему (см.
рис. 51). Последняя имеет направление оси у^у?). Угол между
осями х2 и х1 (и также, разумеется, между осями z2 и zx) равен
величине β. Поэтому количества
da г, d$ da . 0 /0 л 0\
Pl = _COSp, ?!=-£, Г, = -^8111 β (3.1.3)
являются проекциями угловой скорости внутреннего кольца
соответственно на его главные оси инерции х1У у1У ζν Подставляя
эти величины в формулу
Тг = ±- (A lPl + Bl4\ + Crf) (3.1.4)
для кинетической энергии твердого тела, совершающего движение
вокруг неподвижной точки (вокруг начала системы координат
#ι#ιΖι), приходим к выражению (3.1.2).
Для подсчета кинетической энергии ротора можно
воспользоваться той же системой координат хху^х. Не нарушая общности
рассуждений, примем, что в рассматриваемое мгновение времени
оси χ и у системы координат xyz1 связанной с ротором,
соответственно совпадают с осями хх и уг. Относительная угловая
скорость ротора по отношению к внутреннему кольцу подвеса
направлена по оси Zj постоянно совпадающей с осью zv Поэтому
проекции угловой скорости ротора на оси системы координат хху^х
представляются величинами
da n d& da . п . dy /0 л rN
р=—008β, q=-£, Γ = ^-8]ηβ + ^, (3.1.5)

444 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
где γ — угол поворота ротора гироскопа относительно
внутреннего кольца его подвеса.
Используя формулу, аналогичную (3.1.4), получим следующее
выражение для кинетической энергии ротора
r.=-H4(>4+(l)!]+c(isl"p+i)l <зл-6>
Здесь А — экваториальный и С — полярный моменты инерции
ротора.
Кинетическую энергию всей механической системы обозначим
через Т. Очевидно, что
Τ = Т2 + Тг + Т0. (3.1.7)
Учитывая здесь выражения (3.1.1), (3.1.2) и (3.1.6), приходим
к формуле
Т = Т {[л* + (Λι + ΑΊcos" f> + c> si"° f ] (-fr)' +
+ № + ^(·f)! + c(fSi»P + ■§),} (3.1.8)
которую можно представить также в более компактном виде
В формуле (3.1.9) введены новые обозначения
/ (β) = А2 + (Аг + A) cos2 β + Сг sin2 β (3.1.10)
и
Θ = Вг+ А, (3.1.11)
имеющие простой механический смысл. Именно, функция / (β),
если вычесть из нее одночлена cos2 β, представляет собой текущее
значение суммарного момента инерции внешнего и внутреннего
колец карданова подвеса относительно оси х2 вращения
внешнего кольца по отношению к основанию или, что то же,
относительно оси ξ системы координат ξηζ, связанной с основанием. В свою
очередь, постоянное количество Θ равно сумме моментов инерции
ротора и внутреннего кольца относительно одной и той же оси
у19 совпадающей с осью у2. Вокруг этих совпадающих осей
внутреннее кольцо вместе с ротором (вращающимся, кроме того,
вокруг собственной оси) может поворачиваться по отношению
к внешнему кольцу.
Углы α, β и γ являются обобщенными координатами
рассматриваемой механической системы трех твердых тел, связанных
друг с другом голономными (точнее, склерономными) связями.
Уравнения Лагранжа второго рода для таких систем имеют,

§ 1. УРАВНОВЕШЕННЫЙ ГИРОСКОП. ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ 445
как известно, следующий вид
± (1ΣΔ _JL = Qk9 к = 1, 2,..., и, (3.1.12)
dt\dqkl dqk
где η — число степеней свободы, равное в данном случае трем.
Обобщенные силы Qk в уравнениях (3.1.12) при сделанных выше
предположениях следует считать отсутствующими, а обобщенные
координаты qk соответственно равными
?ι = α, 02 = β, ?з = Т. (3.1.13)
причем, разумеется,
ϊι = -3Γ. 5« = -^· Ϊ» = -3Γ· <ЗЛЛ4>
Заменим теперь в уравнениях Лагранжа (3.1.12) кинетическую
энергию Τ ее представлением согласно формуле (3.1.9) и примем
во внимание формулы (3.1.13) и (3.1.14). В результате придем
к следующим трем дифференциальным уравнениям второго
порядка
T['«i + "(i*f+i)-.p]-l·
Мс[^+Щ-°
относительно трех искомых функций α, β и γ. Здесь /' (β) —
производная по углу β функции /(β), введенной согласно обозначению
(3.1.10).
Совокупность уравнений (3.1.15) допускает очевидное частное
решение
а = α0, β = β0, У = 7о + nt, (3.1.16)
где а0, β0, у0 и η — какие угодно константы. Движение гироскопа
в кардановом подвесе, описываемое решением (3.1.16),
называется стационарным*.
* Можно указать еще одно частное решение: а = а0 -f- ά0£, β = β0,
У ~ Υο ~+~ nt) соответствующее другому стационарному движению. Однако
это решение тождественно удовлетворяет совокупности дифференциальных
уравнений (3.1.15) лишь при условии, если постоянные ά0, β0 и η связаны
соотношением V2 J'($о) ^о + Η cos βο = 0, где Η = С (ά0 чт β0 + η). Ему
соответствует вращение внешнего кольца карданова подвеса с постоянной
угловой скоростью ά0, причем угол между обоими кольцами подвеса остается
неизменным. Для вопросов, рассматриваемых в настоящей главе, это решение
интереса не представляет.

446 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Решению (3.1.16) соответствует равномерное вращение ротора
вокруг оси ζ или, что то же, оси ζν не меняющей своего
направления относительно неподвижной системы координат ξηζ.
Ориентация колец карданова подвеса также остается неизменной.
Координаты α и γ являются циклическими, вследствие чего
третье и первое уравнения (3.1.15) допускают следующие
очевидные первые интегралы:
с(4НпР+1г) = я (зл·17)
И
Здесь Η и G — постоянные, значения которых определяются
начальными условиями движения гироскопа в кардановом подвесе,
именно значениями угла β и производных углов α и γ по времени
в исходное мгновение t = t0.
Первый интеграл (3.1.17) совпадает с аналогичным интегралом
уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки
в так называемом случае Лагранжа — Пуассона*. Константу Η
этого интеграла назовем собственным кинетическим моментом
ротора в неподвижной системе координат ξηζ (см. § 1 гл. II
настоящей книги).
Левая часть другого первого интеграла, т. е. интеграла (3.1.18),
имеет простой механический смысл. Она представляет собой
момент количества движения всей механической системы (ротора
и обоих колец) относительно оси ж2, совпадающей с осью ξ
неподвижной системы координат ξηζ. Так как по сделанному
предположению в подшипниках этой оси трение отсутствует, то,
согласно общей теореме динамики системы о моменте количества
движения, величина G в равенстве (3.1.18) является постоянным
количеством. Тем самым первый интеграл (3.1.18) можно получить,
минуя составление дифференциальных уравнений (3.1.15).
Отсутствие трения в шарнирах, а также и иных сил, кроме
нормальных реакций в тех же шарнирах, обусловливает наличие
еще одного первого интеграла совокупности дифференциальных
уравнений (3.1.15), а именно, интеграла сохранения энергии
механической системы. Последняя состоит в данном случае из одной
кинетической энергии Т, поэтому, учитывая формулу (3.1.9),
имеем
-И'*>(£)"+*(i)"+c(#-!> + £)■]-*. (3119>
где h — постоянное количество.
* С у с л о в Г. К. Теоретическая механика. М.— Л., Гостехиздат,
1944.

§ 1. УРАВНОВЕШЕННЫЙ ГИРОСКОП. ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ 447
Только что указанный первый интеграл можно, разумеется,
получить непосредственно из уравнений (3.1.15). Достаточно ело
жить левые части этих уравнений, предварительно умножив их
соответственно на da/dt, dfi/dt и dy/dt, и заметить, что
образовавшаяся сумма является полной производной по времени от левой
части равенства (3.1.19).
Первые интегралы (3.1.17), (3.1.18) и (3.1.19), подобно
уравнениям (3.1.15), также образуют совокупность трех
дифференциальных уравнений, однако уже первого порядка, относительно тех
же искомых функций α, β и γ.
Используя интеграл (3.1.17), можно привести интегралы
(3.1.18) и (3.1.19) к виду
/(P)^r + tfsinp = G (3.1.20)
•Μβ>(#)2 + Θ(|-)2 = *' (3.1.21)
где Ε — постоянная, которая просто выражается через
количества h и Н.
Согласно соотношению (3.1.20),
da __£— //sin β /Q л 99ч
"ЗГ - / (β) * [όΛ.ΔΔ)
Подставляя правую часть последнего равенства в интеграл
энергии (3.1.21) вместо производной угла а по времени, приходим к
дифференциальному уравнению
J (β) \ dt
содержащему единственную неизвестную функцию β = β (t).
Имеем отсюда
и, таким образом, отыскание функции β (t) сводится к обращению
гиперэллиптического интеграла
t -10 = + { , V§T^) ® , (3.1.25)
βο
в котором функция J (β) по-прежнему определяется формулой
(3.1.10), а β0 — значение угла β в начальное мгновение t — t0.
Интеграл (3.1.25) становится эллиптическим интегралом первого
рода в тех случаях, когда функция / (β) сводится к постоянному

448 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
количеству
Μ = А2 + Сг. (3.1.26)
Согласно формуле (3.1.10), последнее имеет место при соблюдении
условия
К = С1 — А1 — А =0, (3.1.27)
связывающего моменты инерции Аги Сх внутреннего кольца с
экваториальным моментом инерции ротора А.
Последующее отыскание функций α и γ, т. е. оставшихся
обобщенных координат системы, в силу соотношений (3.1.22) и (3.1.17),
сводится теперь в общем случае к квадратурам над
гиперэллиптическими функциями, что представляет собой в строгой постановке
трудную задачу. Для упомянутого выше частного случая, когда
имеет место равенство (3.1.27), гиперэллиптические функции
сводятся к эллиптическим функциям, и соответствующие
квадратуры упрощаются*. Однако важные заключения об особенностях
движения гироскопа в кардановом подвесе можно сделать и без
совершения упомянутых квадратур. В последующих трех
параграфах для этой цели привлекаются методы исследования
движения посредством фазовой плоскости, а также некоторые
заслуживающие доверия приближенные методы аналитического характера.
§ 2. Исследование движения гироскопа
на фазовой плоскости
Выяснение всех обстоятельств движения гироскопа в
кардановом подвесе (см. рис. 45) сводится к изучению общего решения
совокупности трех дифференциальных уравнений второго
порядка относительно углов α, β и γ при задании произвольных
начальных условий — значений самих перечисленных углов и их первых
производных по времени в мгновение начала движения. В
предыдущем параграфе такие дифференциальные уравнения,
именно (3.1.15), были составлены. Они относились к случаю, когда
основание гироскопа неподвижно, трение в осях его подвеса
отсутствует, гироскоп уравновешен (центр тяжести внешнего кольца
лежит на его оси, а центр тяжести совокупности «внутреннее
кольцо — ротор» находится в центре карданова подвеса). Кроме того,
ротор симметричен относительно собственной оси вращения,
которая вместе с осью внутреннего кольца является главной для
эллипсоида инерции этого кольца. Было также указано
простейшее частное решение (3.1.16) упомянутых уравнений (3.1.15).
* См. Климов Д. М., Степаненко Н. П. Об интегрировании
уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе.— Инж. ж. МТТ,
1967, № 6.

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 449
Согласно этому решению, угол а, определяющий положение
внешнего кольца относительно неподвижного основания, и угол β
между внутренним и внешним кольцами карданова подвеса могут
быть постоянными, равными а0 и β0, а угол γ поворота ротора по
отношению к внутреннему кольцу может расти, как линейная
функция времени γ0 + IV·
Решение (3.1.16) соответствует вращению ротора с некоторой
постоянной угловой скоростью вокруг собственной оси,
сохраняющей неизменное направление относительно «абсолютно»
неподвижной системы координат ξηζ (см. § 1 гл. I) или, что в данном
случае то же, относительно основания гироскопа. Для
осуществления такого стационарного движения, в чем нетрудно
убедиться, необходимо соблюдение следующих начальных условий.
Именно, в начальное мгновение t — t0 должны иметь место
равенства
а = α0ϊ β = β0, γ = γ0»
da _ n ^ __ π d4 — ν
Перейдем теперь к исследованию движения гироскопа в кар-
дановом подвесе при произвольных начальных условиях.
Отметим прежде всего, что координаты α и γ в рассматриваемой задаче
циклические (они входят в уравнения движения лишь своими
производными), и их начальные значения а0 и γ0 при исследовании
движения совершенно несущественны. Таким образом, в общем
случае характер движения рассматриваемого гироскопа в карда-
новом подвесе определяется заданием лишь четырех начальных
условий
£ = «*„, P = fc, l = Po, § = tc (3.2.2)
Вместо последнего из только что перечисленных начальных
условий (3.2.2) представляется более естественным задание величины
собственного кинетического момента ротора
Я = С (ά0 sin β0 + γ0), (3.2.3)
так как, в соответствии с изложенным в предыдущем параграфе,
последний остается без изменения в течение всего времени
движения гироскопа (является одним из первых интегралов
дифференциальных уравнений). Зная Η и начальные значения ос0 и
β0, легко установить и начальное значение собственной угловой
скорости ротора γ0.
В дальнейшем величина собственного кинетического момента Η
принимается одной и той же во всех рассматриваемых подклассах
движений гироскопа в кардановом подвесе. Поэтому характер

450 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
движения будет исследоваться в зависимости лишь от трех
начальных значений ά0, β0 и β0.
Ограничимся вначале изучением движений гироскопа в карда-
новом подвесе в окрестности описанного выше стационарного
движения, которому соответствуют величины ά0 и β0, равные нулю.
Ниже будет показано, что при таких движениях существуют
мгновения времени, в которые угловая скорость da/dt внешнего кольца
обращается в нуль (см. также § 3 настоящей главы). Это движения
типа нутаций, при которых ось ротора гироскопа совершает малые
движения около некоторого направления (в общем случае
медленно изменяющегося). Пусть t% — одно из упомянутых мгновений.
Примем его за исходное. Тогда начальные условия для указанных
движений оказываются следующими: в мгновение t — t% имеют
место равенства
£ = <*. = 0, β = β„ -§- = β*. (3.2.4)
Остаются, таким образом, лишь два существенных начальных
параметра β^ и β^ (и, кроме того, конечно, величина собственного
кинетического момента Я), определяющих все возможные движения
гироскопа в кардановом подвесе в тех случаях, когда его
внешнее кольцо движется с мгновенными сстановками.
Вместо начального значения β* удобнее задавать значение
постоянной Ε в интеграле энергии (3.1.21)
Μτΐ+ *&-*· <3·2·5>
полученном в предыдущем параграфе и являющемся, наряду с
соотношением (3.2.3), одним из первых интегралов
дифференциальных уравнений (3.1.15) движения гироскопа. В самом деле,
в мгновение t = t% имеем на основании равенств (3.2.4) и (3.2.5)
в&=Е. (3.2.6)
Согласно изложенному в том же предыдущем параграфе, помимо
первых интегралов (3.2.3) и (3.2.5), дифференциальные уравнения
(3.1.15) имеют еще один первый интеграл (3.1.20), а именно,
/(p)^+#sinp = G. (3.2.7)
Здесь, как уже пояснялось, постоянная G представляет собой
проекцию на ось x2(l·) внешнего кольца геометрической суммы
кинетических моментов всех твердых тел, входящих в состав
гироскопа в кардановом подвесе или, что то же, главного кинетического
момента механической совокупности «внешнее кольцо —
внутреннее кольцо — ротор». Подставляя в равенство (3.2.7) начальные

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 451
условия (3.2.4), получим, что
Я sin β* = G. (3.2.8)
Теперь, вновь используя первый интеграл (3.2.7), приходим к
следующей формуле для угловой скорости внешнего кольца
гироскопа
da Η (sin β^ — sin β) ,ο ο Q\
ΊΓ ТЩ ' {ό У)
Если только что найденное выражение для угловой скорости
da/dt подставить в левую часть интеграла энергии (3.2.5), то
образуется дифференциальное уравнение первого порядка
^(sin3-sW + @ ^β у = Е (32Л0)
относительно функции времени β = β (t). Оно совпадает с
уравнением (3.1.23) предыдущего параграфа, если учесть при этом
наличие равенства (3.2.8).
Функция J (β), на основании определяющей ее в предыдущем
параграфе формулы (3.1.10), положительна при любом значении
угла β. Поэтому при постоянной Е, равной нулю, согласно
уравнению (3.2.10), имеем тождественно
р = р*· #·=°· (3-2Л1)
Далее, как следствие формулы (3.2.9), получаем, что в этом случае
^= 0. (3.2.12)
Тождественные равенства (3.2.11) и (3.2.12) означают, что оба
кольца карданова подвеса неподвижны. Таким образом, при
обращении постоянной Ε в нуль имеет место стационарное движение
гироскопа, которое соответствует решению (3.1.16),
рассмотренному в предыдущем параграфе.
Очевидно, что в силу того же уравнения (3.2.10), при малых
значениях постоянной Ε угол β должен мало отличаться от
своего начального значения β*, а угловая скорость d$/dt внутреннего
кольца по отношению к внешнему — от нуля. В свою очередь,
на основании формулы (3.2.9) малой должна быть и угловая
скорость внешнего кольца da/dt.
Рассмотрим теперь уравнение (3.2.10) с геометрической точки
зрения, а именно как уравнение
Я» (sin β-sing»)» Qv2 =

452
ГЛАВА ТП. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Рис. 88
семейства кривых на плоскости с координатами β и г;. При этом,
конечно,
, = -§-· (3.2.14)
Каждому значению постоянной Ε соответствует своя кривая,
именуемая обычно фазовой траекторией. На рис. 88 изображены
некоторые из таких фазовых траекторий. Ниже приводятся
характерные особенности этих кривых. Из вида уравнения (3.2.13)
следует, что в данном случае все фазовые траектории
симметричны относительно оси абсцисс ν = 0. Точки фазовой траектории
называются фазовыми точками; их координаты β и г; являются
функциями времени. Каждая фазовая точка перемещается по
своей траектории слева направо в верхней части фазовой
плоскости и справа налево — в нижней. В самом деле, в первом случае
ν ^> 0, и, следовательно, в силу равенства (3.2.14) угол β должен
возрастать, во втором случае имеет место обратная картина.
Пусть постоянная Ε в уравнении (3.2.13) уменьшается и, в
конце концов, обращается в нуль. Тогда фазовые траектории,
отвечающие уменьшающимся значениям этой постоянной,
стягиваются в точку оси абсцисс (β*, 0). Последняя, как следует из
предыдущего, соответствует стационарному движению гироскопа.
При небольших значениях постоянной Ε фазовые траектории
(3.2.13) представляют собой замкнутые кривые (см. рис. 88). Как
будет показано ниже, каждая из них дважды под прямым углом
пересекает ось абсцисс ν = 0.
Чтобы получить значения координат точек пересечения фазовой
траектории с осью абсцисс, следует положить в уравнении (3.2.13)
ν = 0. В результате придем к тригонометрическому уравнению
Я2 (sin β —sing»)2
J Φ)
Ε.
(3.2.15)

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 453
При Ε — 0 это уравнение в интервале (— π/2, π/2) имеет один
двойной корень βχ = β2 — β*. При малых значениях
постоянной Ε в том же интервале находятся два близких друг к
другу корня β — βχ и β = β2. Один из них меньше, а другой больше
значения β„.. В самом деле, согласно формуле (3.1.10)
предыдущего параграфа функцию J (β) можно представить в виде
/(β) = А2 + Аг + А + (Сг — Аг — А) sin2 β (3.2.16)
и, следовательно, уравнение (3.2.15) по отношению к величине
sin β — квадратное. Корни этого уравнения выражаются формулой
sin а χ = sin β»± Ув (1 + * sin2 β^) - ε2κ ^ (3.2.17)
ι — ε%
где ε = (Ла + Α1 + А)ЕЩ\ к = (С1-А1~- Α)/(Α2 +Α± + Α).
Отсюда видно, что при малых значениях Ε или, что то же —
малых ε, оба корпя близки к значению sin β*, а также и друг к
другу. При этом числитель формулы (3.2.17) отличается от sin β*
на величину порядка у г, а знаменатель от единицы на величину
более высокого порядка, а именно, порядка ε. Таким образом,
при малых ε (или, что то же, малых Е)
sin β2 > sin β* > sin β1: (3.2.18)
и, следовательно, β* находится в интервале (β1? β2).
Будем теперь постепенно увеличивать постоянную Ε в
уравнении (3.2.13), считая для определенности, что угол β^ находится
в интервале (0, π/2). Последнее не сужает общности дальнейших
рассуждений, так как направление отсчета угла β определяется
лишь выбором направления оси ξ (χ2), совпадающей с осью
внешнего кольца (см. рис. 45 и рис. 51). При некоторой величине
постоянной Ε больший из корней тригонометрического
уравнения (3.2.15) непременно достигнет критического значения π/2.
Подставляя это значение в уравнение (3.2.15), получим
Я» (1 -Sing»)» __ ρ /*94Q\
TJpiT) "" ^s' (б.^.Щ
где Es — значение постоянной Ε для фазовой траектории,
проходящей через точку (π/2, 0).
Очевидно, что для отыскания другого корня следует решить
относительно sin β уравнение
(sin β — sin β*)2 _ (1 — sin β»)2 ,o 9 9Πλ
ТЩ - A2 + Cl > (ό.Ζ.ΖΌ)
которое получается из уравнения (3.2.15), если заменить в нем
величину Ε на ее частное значение Es, согласно формуле (3.2.19), и

454 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Рис.
воспользоваться формулой (3.2.16) для отыскания величины /(π/2).
Уравнение (3.2.20) можно представить в следующем виде:
(1 - sin β) l(A2 + CJ (1 + sin β - 2 sin β*) -
_ (cx — Аг — А)(1 + sin β) (1 — sin β*)2] = 0. (3.2.21)
Отбрасывая уже известный корень этого уравнения sin β2 = 1,
получаем для другого корня значение
2(A2 + Ci)sm^
sin βχ = — 1
Л2 + (Αι + А) (1 — sin β*)2 + Ci — Ci (1 — sin β*)2
(3.2.22)
Знаменатель дроби правой части последнего равенства при
положительных значениях угла β^, меньших или равных π/2,
строго положителен, так как состоит из суммы одного положительного
количества А2 и двух не отрицательных: (Аг + А) (1 — sin β^)2
и Сг — С1 (1 — sin β*)2. Поэтому правая часть равенства (3.2.22)
является непрерывной функцией угла β^. Вместе с тем, согласно
этому равенству, угол βχ принимает значения: π/2 при β* = π/2
и — π/2 при β* = 0. В силу непрерывности угол βχ обязан при
изменении угла β* от 0 до π/2 принять в интервале (—π/2, π/2)
любое промежуточное значение (по крайней мере, один раз).
Фазовая траектория, проходящая через точку (π/2, 0),
называется сепаратрисой (рис. 89). Для этой кривой, как уже
упоминалось, постоянная Ε в уравнении (3.2.13) становится равной
величине Es и, следовательно, представляется формулой (3.2.19).
Она отделяет замкнутые фазовые траектории, окружающие точку

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 455
Рис. 90
Рис. 91
(β#> 0)> от траекторий другого вида, отвечающих более сложным
движениям гироскопа в кардановом подвесе. Если продолжать
увеличивать в уравнении (3.2.13) постоянную Е, то появятся
замкнутые траектории (см. рис. 89), охватывающие точки (β*, Ο),
(π/2, 0) и (π— β*, 0). Эти траектории симметричны относительно
прямой β = π/2. Далее при постоянной Е, равной значению
„' _ Я» (1+sin β»)»
(3.2.23)
возникает новая сепаратриса (см. рис. 89), проходящая, согласно
уравнению (3.2.15) и формуле (3.2.16), через точки (— π/2, 0) и
(3π/2, 0). При еще больших значениях постоянной Ε траектории
становятся разомкнутыми. Им соответствует такое движение
гироскопа в кардановом подвесе, при котором угловая скорость
d$/dt в процессе своего изменения в нуль не обращается, и
внутреннее кольцо вращается по отношению к внешнему в одну и ту
же сторону.
При уменьшении значения начального угла β* обе сепаратрисы
сближаются и при β^ = 0 сливаются в одну кривую (рис. 90),
которая проходит через точки (—π/2, 0) и (π/2, 0), отделяя
замкнутые фазовые траектории от разомкнутых. Если же значение β*
становится отрицательным, то сепаратрисы располагаются так,
как показано на рис. 91.
Исследуем теперь, под каким углом фазовые траектории, в
частности сепаратрисы, подходят к оси абсцисс ν = 0. Угловой
коэффициент касательной к фазовой траектории представляется при

456
ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
учете равенства (3.2.14) отношением
, _ dv _ dv # d$ _ 1 <*2β ,ο ο о/ч
л-"Ж"""ЗГ'"5Г""~'лГ' (^.^)
Для определения второй производной угла β обратимся ко
второму уравнению (3.1.15) предыдущего параграфа, а именно,
»^-±''№Щ-С{ж^+Ш^ = °- (3-2.25)
Заменяя здесь угловую скорость da/dt ее выражением (3.2.9) и
используя первый интеграл (3.1.17), имеем
Ω <Ρβ _ /' (β) № (sin β -sin β*)2 Я* cos β (sin β - sin β*) ,ο ο 9fi\
U^~ 2[/(β)]2 7(β) · \ό·Δ'ΔΚ>)
Последнюю формулу можно также получить и непосредственно из
дифференциального уравнения (3.2.10). Следует лишь приравнять
нулю производную по времени от левой части этого уравнения и
произвести сокращение на отличный в общем случае от нуля
множитель d$/dt.
Подставим выражение (3.2.16) для функции / (β) в правую
часть равенства (3.2.26). В результате после небольших
преобразований получим
d23 _ Я2 cos 3 (sin β — sin β») r /Q4 /Q 9 97\
W - Θ[/(β)Ρ * W> (ό,Δ.Δί)
где
F (β) = Α2 + (Аг+ А) (1 — sin β sin β*) + Сг sin β sin β*.
(3.2.28)
В дальнейшем ограничимся случаем, когда функция F (β)
положительна при любых значениях переменной β в интервале
(—π/2, π/2) и положительных, но меньших π/2 величинах угла β*.
Выясним, когда это имеет место. При изменении переменной β
от значения — π/2 до π/2 функция F (β), как нетрудно убедиться,
изменяется монотонно от величины
F (- itfi)=Ai + A1 + A — (C1 — A1 —A) sin β* (3.2.29)
До
F (л/2) =А2 + АХ + А Jr(C1 — A1 — A)sm β*. (3.2.30)
Величина F (π/2) при 0 < β* < π/2 положительна при любых
значениях моментов инерции А2, Αν А и С χ. Поэтому функция
F (β) будет положительна на всем интервале (—π/2, π/2)
изменения переменной β, если при тех же условиях будет
положительна и величина F (—π/2), τ. е. если
А2 + А1 + А-(С1-А1- A) sin β* > 0. (3.2.31)

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 457
*гЛ
Рис. 92
Последнее неравенство соблюдается при любом положительном
и меньшем π/2 значении β*, как только
А2 + 2Аг+ 2А >С1в
(3.2.32)
У гироскопов, применяющихся на практике, моменты инерции
внутреннего кольца С1и Аг (соответственно относительно оси
ротора и относительно оси, перпендикулярной как к оси ротора, так
и к оси внутреннего кольца) незначительно отличаются друг от
друга; в результате неравенство (3.2.32) соблюдается. Таким
образом, ограничиться случаем, когда функция F (β) положительна,
вполне естественно *.
Вернемся вновь к выражению (3.2.24) для углового
коэффициента к касательной к фазовой траектории. Имеем, учитывая
формулы (3.2.27) и (3.2.28),
, 1 Я2 cos β (sin β—sin β») ст/пч /о о qo\
* = - — ' Θ[/(β)|2 b (Ρ)' (ό.Ζ.όό)
где, в силу изложенного выше, функцию F (β) будем считать
положительной. На прямой β = β^, перпендикулярной оси абсцисс,
* Разумеется, при желании можно сконструировать особенный карданов
подвес, моменты инерции которого не удовлетворяют неравенству (3.2.32).
Для этой цели можно, например, расположить на внутреннем кольце
(кожухе) дополнительные массы вблизи оси х\ симметрично относительно
центра подвеса (рис. 92). Построение фазовых траекторий (3.2.13) в случае
гироскопа в таком кардановом подвесе при отрицательных значениях
переменной β требует специального исследования с учетом возможности появления
стационарного движения, указанного в сноске к стр. 445; оно остается здесь
без внимания. Что же касается фазовых траекторий, окружающих точку
^β*» ®) стационарного движения гироскопа, то они качественно имеют один
и тот же вид для всех сочетаний моментов инерции Аъ, Αι, Λ и Ci, а также
любых положительных значений углов β* и β, меньших π/2.

458 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
угловой коэффициент к равен нулю. Следовательно, касательные
к фазовым траекториям, построенные в точках пересечения этих
кривых с прямой β — β^, параллельны оси абсцисс. Справа
от прямой β — β^, в верхней части фазовой плоскости (β, г;),
угловой коэффициент касательной всюду отрицателен. При
движении фазовой точки по своей траектории коэффициент к
возрастает по модулю, устремляясь в бесконечность по мере
приближения к точке (β2, Ο) пересечения траектории с осью абсцисс (см.
рис. 88). Таким образом, фазовая траектория пересекает в этой
точке ось абсцисс под прямым углом. То же самое относится к
касательным, построенным в точках пересечения оси абсцисс
фазовыми траекториями слева от прямой β = β^. Исключения
составляют точка (π/2, 0) пересечения первой сепаратрисы с осью
абсцисс (см. рис. 89) и аналогичная точка (—π/2, 0) второй
сепаратрисы (а также обе эти точки для одной и той же сепаратрисы в случае
β* = 0, см. рис. 90). В упомянутых точках равен нулю не только
знаменатель дроби, находящейся в правой части формулы (3.2.33),
но и ее числитель (из-за наличия в нем множителя cos β). Для
выяснения упомянутых исключений определим сначала
величину фазовой координаты ν для точек, расположенных на верхней
части первой сепаратрисы. Согласно уравнению (3.2.13), имеем
В рассматриваемом случае надлежит постоянной Ε придать
значение Е8, определяемое формулой (3.2.19) и, кроме того, сохранить
перед радикалом лишь знак плюс (фазовые точки в верхней части
фазовой полуплоскости движутся слева направо). Получим
после несложных выкладок, учитывая формулу (3.2.16), что
ν =
(М = А2 + Сь К = Сг - Ах - А). (3.2.35)
Подставим теперь это выражение в формулу (3.2.33) и положим
в ней β — π/2. В результате получим, учитывая формулу (3.2.28),
следующее выражение для углового коэффициента касательной
к верхней части первой сепаратрисы в ее узловой точке (π/2, 0):
к* = - H,Y\ZTrt VA + A, + A + (d - At- A) sin β*. (3.2.36)
(A2 + C1) κθ
Угловой коэффициент касательной к нижней части сепаратрисы в
той же узловой точке (π/2, 0) отличается от только что найденного
коэффициента ks лишь знаком.

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 459
Для частного случая, упомянутого в предыдущем параграфе,
когда
К = Сх — Аг — А = 0, (3.2.37)
эта формула значительно упрощается и принимает вид
k* = -HVj0^- (3·2·38)
Аналогично можно определить угловой коэффициент k's касательной
к верхней части второй сепаратрисы в ее узле (—π/2, Ο). Для этой
цели в правой части формулы (3.2.34) надлежит заменить
постоянную Ε на E's в соответствии с формулой (3.2.23) и повторить ход
выкладок. В итоге получим формулу
К = Н{^1+*1у% VA + Аг + А - (С, - A,- A) sin ^. (3.2.39)
Как было упомянуто выше, при β* = 0 обе сепаратрисы
сливаются в одну кривую. Соответственно становятся равными по
модулю угловые коэффициенты касательных в обоих узлах (л/2, 0)
и (— π/2, 0) как к верхней, так и к нижней частям этой кривой.
Вернемся к замкнутым кривым (см. рис. 88), непосредственно
окружающим точку (β^, 0) на фазовой плоскости (β, г;). Ось ротора
совершает в этом случае малые движения около некоторого
своего среднего положения. Последнее, как выяснится в следующем
параграфе, непрерывно меняет свое расположение по отношению
к системе координат ξηζ, неизменно связанной с неподвижным
основанием гироскопа. Однако угол β, характеризующий
положение внутреннего кольца по отношению к внешнему, изменяется
периодически между двумя постоянными значениями βχ и β2,
являющимися корнями тригонометрического уравнения (3.2.15).
Построим формулу для периода Τ изменения угла β. Очевидно,
что половине периода соответствует время, в течение которого
фазовая точка переходит из положения (β1? 0) в (β2, 0) по верхней
части фазовой траектории (см. рис. 88), окружающей точку (β^, 0).
Точно такое же время затрачивает фазовая точка при движении
по нижней части траектории из положения (β2, 0) в (β1τ 0).
Согласно уравнению (3.2.10), имеем
dt = irenftg _ 0
— /Λ7(β) — //2 (sin β — sin β*)* '
Положительному значению правой части последнего равенства
соответствует движение фазовой точки по верхней, а
отрицательному — по нижней частям фазовой траектории (в первом случае
угол β возрастает и ίϊβ > 0, во втором имеет место обратная

460 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
картина). Теперь очевидно, что
Τ = 2 [ V^dV . (3.2.41)
К той же формуле можно прийти, если в гиперэллиптическом
интеграле (3.1.25) предыдущего параграфа заменить постоянную G
ее выражением (3.2.8) и надлежащим образом ввести пределы
интегрирования.
Пусть разность
β - β* = У (3.2.42)
мала по сравнению, например, с количеством π/2. Тогда с учетом
равенства (3.2.16) дифференциальное уравнение (3.2.10) с точностью
до членов третьего порядка включительно относительно новой
переменной у можно представить в виде
-^(y*-W) + e(£f = E. (3.2.43)
Здесь
где, в свою очередь, Μ и К — величины, которые были введены
посредством обозначений (3.1.26) и (3.1.27) в предыдущем
параграфе (однако теперь К =f= 0).
Обозначим через τ так называемое безразмерное время, связав
его с обычным временем t равенством
t = JpUp т. (3.2.45)
Η cos β# ν '
Тогда дифференциальное уравнение (3.2.43) приведется к виду
у*-Ху* + (^У=а*, (3.2.46)
в котором
„2 _ Ε J (Μ /Ο Ο Λ7\
й - Я*cos*β* (ό.ΔΛί)
квадрат нового (безразмерного) параметра а. Этот параметр
аналогично постоянной Ε в случае фазовой плоскости (β, г;)
определяет конкретную кривую в новой фазовой плоскости (г/, и), где
«*=£· (3-2.48)
При стремлении параметра а к нулю фазовые кривые все теснее
окружают начало системы координат (г/, и) и в пределе стягивают-

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 461
ся в точку. При значениях
параметра а, отличных от нуля,
фазовые кривые пересекают ось
абсцисс (и = 0) в точках,
которым соответствуют корни
кубического уравнения
Г
λρ8 - α2 = 0. (3.2.49)
В данном случае следует
остановиться на тех корнях у = ух
и У = Уг последнего уравнения,
которые обращаются в нуль
вместе с параметром а.
Нетрудно убедиться, что уравнение
(3.2.49) удовлетворяется с
точностью до членов второго порядка
параметра а, если принять
Уг = —а + —λβ2
и, далее
У г = а
у-β-ρ*
Рис. 93
включительно относительно
4-λα*.
(3.2.50)
(3.2.51)
Очевидно, что вид фазовых кривых на плоскости (у, и)
отличается от вида аналогичных кривых на плоскости (β, г;) лишь
масштабом. Последние (см. рис. 88) окружают точку (β^, 0), а
первые — начало координат (рис. 93). При малых значениях
произведения λα по сравнению с единицей фазовые кривые (3.2.46)
на плоскости (г/, и), в свою очередь, мало отличаются от
окружностей
у2 _[- и2, = а2
(3.2.52)
причем в этом случае формулы (3.2.50) и (3.2.51) следует заменить
равенствами
уг = —а, у2 = а. (3.2.53)
Для того, чтобы определить половину безразмерного периода
τ0 движения фазовой точки, исходя из приближенного
дифференциального уравнения (3.2.46), надлежит проинтегрировать в
пределах от у± до у2 дифференциальное соотношение
dx =
dy
Va*
5 + λ?/3
(3.2.54)
следующее из этого уравнения и справедливое для верхней части
фазовой траектории. В результате приходим к формуле

462 ГЛАВА IIT. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
содержащей определенный эллиптический интеграл, пределы
которого являются корнями (3.2.50) и (3.2.51) кубического
уравнения (3.2.49).
Произведем в интеграле (3.2.55) замену переменных у на #,
в соответствии с формулой
у = a sin О + -ί-λ α2 sin2 d. (3.2.56)
При изменении переменной θ от —π/2 до π/2 переменная у
изменяется от —а + 72^я2доа+ 1/2^ β2· Поэтому, согласно равенствам
(3.2.50) и (3.2.51), пределами интегрирования теперь станут
величины —π/2 и π/2. Далее, с точностью до членов третьего порядка
включительно относительно параметра а имеем
а2 — у2 + Ху3 = a2 cos2 О. (3.2.57)
Принимая во внимание последнее равенство и сделанные выше
замечания о пределах интегрирования, можно представить формулу
(3.2.55) в следующем приближенном виде
π/2
о С* cos Ό + λα cos Ό sin Ό ,« /0 о ко\
te=M —^θ d0· <3·2·58>
—π/2
Очевидно, что с точностью до членов второго порядка
относительно параметра а, входящего в эту формулу, интеграл равен π и,
следовательно,
τ0 = 2π. (3.2.59)
Перейдем, используя равенство (3.2.45), от безразмерного
времени τ к обычному времени t. В результате получим для периода
малых нутаций гироскопа в кардановом подвесе следующее
выражение:
Τ = 2π ^β,/(β*) . (3.2.60)
У/cos β* ν }
К точно такому же выражению можно прийти, если
непосредственно обратиться к приближенному дифференциальному уравнению
(3.2.46) и отбросить в нем член третьего порядка λι/3. Получим
дифференциальное уравнение
у* + Щ = а2> <3·2·61>
интегралом которого является функция
у = a cos (τ + δ), (3.2.62)
где δ — произвольная постоянная. Выражая здесь переменную у
через угол β, согласно соотношению (3.2.42), и заменяя
безразмерное время τ обычным временем t в соответствии с равенством

§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 463
(3.2.45), имеем
^^+asin(Ywmt+8)- {3·2·63>
Отсюда вновь приходим к формуле (3.2.60). Заметим, что параметр а
в этом случае представляет собой амплитуду угловых колебаний
внутреннего кольца около положения β = β*. В дальнейшем
амплитуда функции г/ = β — β,,, будет обозначаться через уа.
§ 3. Интегрирование приближенных уравнений движения.
Формула Магнуса
В настоящем параграфе исследуется нутационное движение
гироскопа в кардановом подвесе в приближенной постановке.
Рассмотрим для этой цели первые два дифференциальных уравнения
(3.1.15), составленные в § 1 настоящей главы. С учетом интеграла
(3.1.17), полученного там же, их можно представить в виде
^-±'Ф)'-'«.!>£-о. <3'ЗЛ>
Вместе с интегралом (3.1.17) эти уравнения эквивалентны
исходной совокупности (3.1.15) и, разумеется, допускают частное решение
α = α0, β = β0, (3.3.2)
где а0 и β0 — постоянные количества. Решение (3.3.2), как
отмечалось выше, соответствует случаю, когда ось ротора и, как
следствие, оба кольца подвеса гироскопа неподвижны.
Положим в уравнениях (3.3.1)
а = а0 + χ, β = β0 + у (3.3.3)
и исследуем методом теории малых колебаний небольшие
движения механической совокупности тел гироскопа в кардановом
подвесе около положения, в котором оба кольца неподвижны, и их
положение задано углами а0 и β0. Сохраним в уравнениях (3.3.1)
члены до второго порядка включительно относительно величин
х, у и их производных по времени (переменная величина χ в эти
уравнения входит лишь своими производными). Получим
Hsm$0y-£- = 0,
(3.3.4)

464
ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ .ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Уравнения (3.3.4) в своем полном виде будут использованы
несколько далее, а сейчас сохраним в них лишь линейные члены
относительно величин г/, dx/dt, dy/dt и d2x/dt2. В результате получим
совокупность линеаризованных уравнений
/ (М-g-+ Я cos βο-g--■=<),
(3.3.5)
Ее общее решение, как нетрудно проверить, имеет вид
χ — с + Q cos (vt -\- ε),
(3.3.6)
Здесь с, d, Q и ε — произвольные постоянные, определяемые
начальными условиями движения. Именно, в начальное
мгновение времени t = t0 должны иметь место равенства:
χ = а (0) — а0 = х0, у = β (0) — β0 = у0,
(3.3.7)
dx dot I . dy dp
dt dt \t=0 X(h dt dt
где x0, y0, ±0, y0 — заданные количества.
Что же касается величины ν, то на основании уравнений (3.3.5)
и выражений (3.3.6) она определяется формулой
_ ffcosflo
и является угловой частотой малых движений оси ротора.
Частоте ν соответствует период
Т = *L = 2π Ϋ^ψ* , (3.3.9)
ν II cos βο ч '
В предыдущем параграфе с точностью до обозначений такая же
формула, а именно (3.2.60), была получена в результате
исследования движения оси ротора посредством использования фазовой
плоскости в предположении малости амплитуды изменения угла β.
В соответствии с равенствами (3.3.3) и формулами (3.3.6),
среднее положение оси ротора при описанных малых движениях
определяется величинами
ct! = а0 + с, βι =- β0 + d. (3.3.10)
Заметим, что величина угла аг в данном случае определяет лишь
среднее расположение колеблющегося вокруг своей оси х2
внешнего кольца карданова подвеса гироскопа относительно введенной

§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 465
в § 1 второй главы неподвижной системы координат ξηζ (ось ξ
совпадает с осью внешнего кольца #2,см. рис. 15). Величина ах
зависит, таким образом, от выбора направлений осей η и ζ и,
следовательно, в определении характера малых движений не
играет никакой роли. Угол βχ должен отличаться от π/2 и — π/2
(иначе ось ротора совпадет с осью внешнего кольца подвеса),
а постоянную Q следует считать малой по сравнению с величиной
π/2-Ιβ,Ι.
Из формул (3.3.6), представляющих решение линеаризованных
уравнений движения гироскопа, следует, что среднее положение
оси ротора при нутации остается неизменным. Однако уже при
приближенном рассмотрении той же задачи с учетом членов
второго порядка результат получается иной. Чтобы это показать,
представим сначала уравнения (3.3.4) в виде
e^-H-.f.i-^dw^'-i-toi· <3'3'И)
Каждое из уравнений (3.3.11) отличается от соответствующего
уравнения (3.3.5) лишь своей правой частью, содержащей члены
второго порядка относительно величин г/, dx/dt, dy/dt и d2x/dt2:
Естественно допустить, что при построении решения совокупности
уравнений (3.3.11) в первом приближении можно в упомянутые
правые части подставить функции (3.3.6), т. е. решение
линеаризованных уравнений (3.3.5). В результате правые части
уравнений (3.3.11) окажутся периодическими функциями времени с
частотой ν и периодом Г, определяемыми, как и выше,
соответственно формулами (3.3.8) и (3.3.9).
Осредним эти функции по времени на интервале, равном их
периоду Т. Тогда, в силу периодичности, получим, прежде всего,
что
τ
1 Г / d2x dx dy\ - 1 dx у п /0 0 . 0ч
и аналогично
^ί*4^[ = °· <3·3·13>
Поэтому среднее значение правой части первого уравнения
совокупности (3.3.11) равно нулю. Правая часть второго уравнения
той же совокупности после подстановки в нее функций (3.3.6)

466
ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
принимает следующий вид:
[у /' (?о) ν2 + v# sin % YJ-^- ] Q2 sin2 (ν* + ε) +
+ Η sin β0 vQ d- sin (ν* + ε). (3.3.14)
Среднее значение последнего выражения за период Τ равно
ψ&Όο) + ^Ϋ~ψ]. (3-3.15)
Согласно первым формулам (3.3.3) и (3.3.6), произведение vQ
является амплитудой колебаний угловой скорости внешнего
кольца, подсчитанной исходя из уравнений (3.3.5) движения
гироскопа при задании отличного от нуля значения хотя бы одной из
угловых скоростей da/dt или d$/dt в начальное мгновение времени.
Обозначим упомянутую амплитуду через άα. Таким образом,
vQ = aa. (3.3.16)
Далее, используя формулу (3.3.8), имеем равенство
^/^^WtgPc (3.3.17)
В результате выражение (3.3.15) представляется в виде
[|j'(%) + /(^o)tg?o] · (3.3.18)
Учитывая формулу (3.1.10), нетрудно проверить тождество:
J (β) + у Г (β)"^8 β = ^2 + C19 (3.3.19)
после чего выражение (3.3.18) упрощается и приводится к виду
γάΙ{Α2 + Ολ)^%. (3.3.20)
Таким образом, если подставить в правые части уравнений (3.3.11)
решение (3.3.6) линеаризованных уравнений (3.3.5) и произвести
осреднение их по времени в течение периода Г, то придем к
следующим линейным уравнениям:
м ? а (3.3.21)
θ4£ - Я cosβο-g- == | &1 (А. + С,) tg β0.
Очевидно, что общее решение совокупности уравнений (3.3.21)
состоит из суммы какого-либо частного ее решения, например,
±*
<*1{A2 + Ci)tg$
я = 11—J.—^— f, у = 0 (3.3.22)
Ш cos βο '

§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 467
и общего решения соответствующей однородной совокупности,
т. е. тех же уравнений (3.3.5). Решение последних имеет вид
(3.3.6). Следовательно, формулы
х = с +Q cos νί + ε') 2//cos Во 1,
ш cos й (3.3.23)
y = d'+Q'yj-pS\n(vt + e'),
в которых с', d', Q' я г' — произвольные постоянные, а частота ν
по-прежнему определяется формулой (3.3.8), представляют собой
общее решение совокупности дифференциальных уравнений (3.3.21).
Постоянные с'', d\ Q' и ε' можно определить, зная начальные
условия движения колец карданова подвеса, т. е. значения углов
α, β и их производных по времени в начальное мгновение t = t0.
В самом деле, в силу соотношений (3.3.3), тотчас же найдем
начальные значения величин х, у и их производных по времени. Для
определения только что упомянутых постоянных этого как раз и
достаточно.
Согласно сделанным выше предположениям, величины χ и у
считаются малыми, вследствие чего должны быть малыми и их
начальные значения, равно как и начальные значения производных
этих величин по времени. Нетрудно проверить, что при таких
предположениях константы Q' и ε' будут отличаться на малые
второго порядка от констант Q и ε, входящих в решение (3.3.6)
линеаризованной совокупности дифференциальных уравнений
(3.3.5) при соблюдении одних и тех же начальных условий. Таким
образом, в соответствии с формулой (3.3.16), с точностью до малых
второго порядка можно считать, что
vQ' = άα. (3.3.24)
Следует ожидать, что формулы (3.3.23) более точно описывают
нутационное движение гироскопа в кардаповом подвесе, чем
формулы линейного приближения (3.3.6). Наличие в них члена,
пропорционального времени, свидетельствует о систематическом
возрастании среднего значения угла а — поворота внешнего кольца
карданова подвеса от своего исходного положения. В соответствии
с изложенным выше, учитывая также соотношения (3.3.3), имеем
da dx /ν · , , , ч ^ (/l2+Ci)tgpo
4ί = ^Γ--^ *ιη(ν*+ε) 277^ '
r (3.3.25)
ί^ΐ^^/φοοβ^ + ε).
Очевидно, что среднее за период Τ значение угловой скорости
dfy/dt внутреннего кольца относительно внешнего равно нулю, а

468
ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
среднее значение угловой скорости da/dt внешнего кольца по
отношению к неподвижному основанию за то же время составляет
величину
<W> = 2ΪΠ^-0 ■ <3·3·26)
Здесь и в дальнейшем используется общепринятое обозначение
для среднего значения какой-либо функции φ (t) на интервале Г,
а именно,
τ
<φ(0>=4"5(")^Λ· (3·3·27)
о
Формула (3.3.26), известная под названием формулы Магнуса*,
была получена в результате приближенного решения
приближенных же дифференциальных уравнений (3.3.11) движения
гироскопа в кардаиовом подвесе. Естественно возникает вопрос,
насколько точна эта формула по сравнению с истинным решением
исходных уравнений (3.3.1) той же задачи. Оказалось, что формула
Магнуса хорошо согласуется с точным решением в частном случае
соблюдения условия (3.1.27) , при котором
J (β) = Л2+ Сг = const, J' (β) = 0, (3.3.28)
и уравнения (3.3.1), как уже упоминалось в § 2 гл. II,
интегрируются в эллиптических функциях. Исследования, основанные на
использовании различных приближенных методов, привели к
формуле Магнуса и в общем случае, когда соотношение (3.3.28) не
имеет места **. Сам же факт ухода уравновешенного
(астатического) гироскопа в кардановом подвесе или, точнее, отличие от нуля
среднего значения угловой скорости его внешнего кольца при
вибрациях, был, по-видимому, известен еще в 1939 г.Е. Л. Николаи ***,
* Magnus К. Beitrage zur Dynamik des Krdftefreien, kardanisch gelager-
ten Kreisels.— Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. Januar —
Februar, 1955, Bd.35, H. 1/2. Аналогичная формула немного позже была
получена Плаймелем и Гудстейном. См. Ρ I у т а I е В. Т. and Goodstein R.
Nutation of a free Gyro subjected to an impulse. Trans. AS ME, Ser. E, J. Appl.
Mech., 1955, vol. 22, № 3. Русск. перев.: Плаймель В. Т., Г у д-
с т е й н Р. Нутация свободного гироскопа при импульсном воздействии.—
Машиностроение. (Сб. переводов и обзоров иностр. период, лит.), 1956,
Μ 5 (35).
** См., например, Л у н ц Я. Л. О неустойчивости оси фигуры
гироскопа.— Π ММ, 1960, т. 24, вып. 4; Бородина Р. М. Решение уравнений
движения уравновешенного гироскопа методом усреднения. Укр. матем.
журн. 1961, т. 13, Μ 3; Б ρ ю н о А. Д. О движении гироскопа в
кардановом подвесе.— Изв. АН СССР, МТТ, 1972, Μ 6.
*** Николаи Е. Л. О движении уравновешенного гироскопа в
кардановом подвесе.— Π ММ, 1939, т. 3, вып. 4.

§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 469
который, в частности, довел интегрирование дифференциальных
уравнений движения этого гироскопа до гиперэллиптических
квадратур.
Укажем еще один вывод формулы Магнуса. Он основан на
следующем преобразовании второго из точных уравнений (3.3.1),
описывающих движение гироскопа в кардановом подвесе. Из
упомянутого уравнения следует равенство
dt Я cos β dt* 2Я cos β \ dt j " {ο.ο.^υ)
Заметим, что имеют место тождества
1 <Ρβ d I 1 dfi 4 tg3 /ф\2 /QQQf»
cos β d*2 di \cosP di у cos3\df/ \о.о.о\з)
Г (β) = 2 U2 + d - / (β)] tg β. (3.3.31)
Последнее следует из тождества (3.3.19). С учетом соотношений
(3.3.30) и (3.3.31) равенство (3.3.29) приводится к виду
da
~dt
tgP
Я at ^ cos β dt ) Η cos β g P V df ) "t"
+
■[><» (£)·-<» (#)■]· <3·3·32»
Я cos β
Функция β = β (t) в случае малых движений оси ротора, как
было показано в § 2 настоящей главы, строго периодическая.
Поэтому, если по-прежнему обозначить через Τ период этих
движений, то
Ч(ыЬ4)л = 0· <3·3·33>
о
Теперь, согласно равенству (3.3.32), получаем следующее
выражение для среднего значения угловой скорости da/dt за период Т,
а именно,
,da А2+С1 1 С tgp fda\2j4 ,
^"dT^"" я Т) cosp \л у аг i"
о
4ί*['(»@'-«(!)"]^ <3·3.34)
о
Монотонно возрастающая в интервале (βχ, β2) функция tg β/cos β
удовлетворяет в этом же интервале неравенству
J£|_<UP<№, (3.3.35)
cos βι ^ cos β ^ cos β2 ч '
в котором βχ и β2 — пределы периодического изменения угла β,

470 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
т. е. корни тригонометрического уравнения (3.2.15),
рассмотренного в предыдущем параграфе. Так как, кроме того, (da/dt)2
всегда положительна, то, согласно теореме о среднем значении
определенного интеграла от произведения двух функций *,
соотношение (3.3.34) можно представить в виде
(/42 + Ci)tg33 .(daAK ,
Jlcosfc \dt ) } ~^
+ -ИтЙЫ'0>>(£),-е(#)>. <3·3·36)
0
где β3 — некоторое среднее значение переменной β в интервале
(βι> М-
Подставим в правую часть равенства (3.3.36) вместо функций
α и β их представление (3.3.3), с учетом формул (3.3.6),
полученных в результате решения линеаризованных уравнений (3.3.5).
Далее заменим величину β3 на мало отличающееся от нее значение
β0, a tg β, cos β и J (β) (по тем же причинам) — на tg β0, cos β0
и /(β0)· При этом второй член правой части соотношения (3.3.36)
обратится в нуль. В результате, учитывая обозначение (3.3.16),
вновь получим формулу Магнуса (3.3.26).
§ 4. Уточнение формулы Магнуса
Вопрос о систематическом уходе свободного гироскопа из-за
инерционности колец карданова подвеса в случае, когда ось его
ротора совершает малые движения (нутации), имеет существенное
значение для оценки точности показаний инерциальных систем.
В связи с этим представляет интерес уточнение полученной в
предыдущем параграфе приближенной формулы Магнуса для
средней скорости поворота внешнего кольца свободного гироскопа при
нутационном движении последнего.
В настоящем параграфе при упрощающем выкладки
предположении (3.1.27) строится выражение для этой скорости в виде ряда
по степеням некоторого параметра а, введенного в § 2 настоящей
главы посредством формулы (3.2.47). Формуле Магнуса, как
оказывается, соответствует первый член этого ряда.
Продолжим исследование характера движения гироскопа в кар-
дановом подвесе в окрестности его стационарного состояния (оба
кольца неподвижны, ротор вращается равномерно) посредством
введения фазовой плоскости, как и в § 2 настоящей главы. Однако
* См. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. I. M.,
«Наука», 1974.
<—> =

§ 4. УТОЧНЕНИЕ ФОРМУЛЫ МАГНУСА
471
за фазовые координаты примем теперь угол α поворота внешнего
кольца карданова подвеса относительно неподвижного основания
и угол β, определяющий положение внутреннего кольца
относительно внешнего (угол между осью ротора и перпендикуляром к
плоскости внешнего кольца). В упомянутом § 2 фазовыми
координатами были величины β и ν = d$/dt.
В начале настоящей главы были указаны три первых интеграла
(3.1.17), (3.1.20) и (3.1.21) дифференциальных уравнений (3.1.15)
движения гироскопа в кардановом подвесе. Далее было показано,
как выбрать постоянные этих интегралов, чтобы движение
гироскопа происходило около упомянутого стационарного состояния,
при котором, в соответствии с равенствами (3.1.16), углы α и β
постоянны, а угол γ поворота ротора относительно внутреннего
кольца изменяется с постоянной угловой скоростью. Изучение
движения гироскопа в окрестности такого состояния сводится
к решению дифференциального уравнения (3.2.10)
7Щ + Θ Kdf) =Е (ЗА1)
с последующим интегрированием по времени правой части
соотношения (3.2.9), именно,
dot, Я (sin β*—sin β)
dt J (β)
(3.4.2)
Здесь сохранены обозначения, встретившиеся в § 1 и § 2
настоящей главы. В частности, β^ — то значение угла β, при котором
угловая скорость внешнего кольца da/dt обращается в нуль.
В § 2 было также выяснено, что в случае нутационного движения
гироскопа угол β как функция времени изменяется периодически.
При этом период нутации определяется формулой
-2 VSjWiw (ЗАЗ)
^\
^£V (β)-Я* (sin β-sin β*)*'
В течение одного полупериода своего изменения угол β
монотонно возрастает от некоторого значения βχ до значения β2.
Последние являются корнями тригонометрического уравнения
(3.2.15), именно,
Я2 (sin β — sin β^)2 _ Ε ,^ ^ ^
Далее, в течение другого полупериода угол β в том же
интервале (β1? β2) монотонно убывает. Периодическое движение
гироскопа в кардановом подвесе имеет место лишь при достаточно
малых значениях постоянной Е, меньших некоторой величины Es.

472 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Формула (3.2.19), для величины
Es была получена выше в том
же § 2 настоящей главы.
Согласно уравнению (3.4.1),
в течение полупериода
возрастания угла β имеем
dt "У
Ε J (β) — Я2 (sin β— sin β^)2
θ/(β)
(3.4.5)
Естественно, что в следующем
полупериоде справедливо то же
неравенство, однако знак его
правой части надлежит
изменить на обратный. Очевидно,
Рис. 94 что угловая скорость d$/dt
внутреннего кольца по отношению
к внешнему обращается в нуль
при значениях угла β, равных βχ или β2, являющихся корнями
уравнения (3.4.4).
Разделим друг на друга левые части равенств (3.4.2) и (3.4.5)
и то же самое проделаем с их правыми частями. Приравнивая
результаты, получим дифференциальное соотношение
w-v-
Я (sin β* — sin β)
VeJ{$) — Я2 (sin β — sin β*)2
(3.4.6)
после интегрирования которого можно, в принципе, построить
график (рис. 94) совместного изменения углов α и β в фазовой
плоскости (β, α) при возрастании угла β в интервале (β1? β2).
Функция, находящаяся в правой части последнего соотношения,
устремляется в бесконечность, если угол β приближается к
одному из значений βχ или β2. Поэтому кривая зависимости угла α
от переменной β имеет вертикальные касательные при β = βχ
и при β = β2. Очевидно также, что касательная к этой кривой
горизонтальна при β = β*, так как в этом случае правая часть
соотношения (3.4.6) обращается в нуль.
Рассмотрим один из полупериодов изменения угла β, в
течение которого последний возрастает от значения βχ до β2, и
обозначим через αλ и а2 соответствующие значения угла а. К концу
полупериода, когда угол β достигнет значения β2, угол α
изменится на величину
ОСо — OCi
Я (sin β — sin β») <φ
^(β) /Я^ — ЯЧзтР — зтв*)»
(3.4.7)

§ 4. УТОЧНЕНИЕ ФОРМУЛЫ МАГНУСА
473
Точно на такую же величину изменится угол а при
последующем убывании угла β до значения βχ. В самом деле, для
подсчета этой величины следует вновь проинтегрировать правую часть
соотношения, но уже в пределах от β2 до β1? предварительно
изменив, в соответствии с изложенным выше, ее знак на обратный.
График совместного изменения углов α и β, как это следует из
приближенных формул предыдущего параграфа, при
положительных значениях величин Я и β* имеет вид незамкнутой кривой»
Двигаясь по этой кривой, фазовая точка с абсциссой β (t) и
ординатой a (t), в конечном счете сползает вниз (см. рис. 94). В том же
можно убедиться, если непосредственно произвести достаточно
точное графическое или численное построение (в частности, на
электронной вычислительной машине) интеграла правой части
формулы (3.4.7) с применением обычных методов выделения
участков интегрирования, содержащих особенности
интегрируемой функции *.
Для того чтобы вычислить среднюю угловую скорость ухода
внешнего кольца гироскопа, следует, очевидно, разделить разность
а2 — а1? представляемую определенным интегралом (3.4.7), на
половину периода нутации гироскопа. С учетом формулы (3.4.3)
получим искомый результат, именно,
<*> = -
Я (sin β-sin β») <*β 1
χ
.J V [Ε J (β) -Η* (sin β -sin β*)*] /(β)
Ρ1
Λ , VJ№"" Γ. (3.4.8,
Произведем в правой части последнего равенства выкладки в
предположении, что справедливо соотношение (3.1.27) между
моментами инерции Аъ Сх внутреннего кольца и экваториальным
моментом инерции А ротора гироскопа. В соответствии с
формулой (3.1.10), функция /(β) сводится в этом случае к постоянной
А2 + Cv Имеем
<<*> = — Н \[ ^β-^β*)^ ]. \[ d$ γ
A2 + Ci [) У &2 _ /sin β — sin β )2J [) ]/>_ (sin β — sin β*)2 J f
βι βι
(3.4.9)
где
б2 = E{A)+Cl) . (3.4.10)
* Бахвалов Η. С. Численные методы. М., «Наука», 1973.

474 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
В конце § 2 настоящей главы посредством равенства (3.2.47)
был введен, как уже указывалось, безразмерный параметр а.
Заменяя в этом равенстве функцию /(β) постоянным количеством
^2 + Ci> получаем
а* = Е(н?+Л1) · (3.4.11)
Я2 cos2 β* v '
Учитывая теперь соотношение (3.4.10), приходим к следующей
зависимости между положительными параметрами а и &
Ь - a cos β*. (3.4.12)
Если, в свою очередь, использовать равенство функции /(β)
сумме А2 + Сх в тригонометрическом уравнении (3.4.4) для
определения величин β1? β2, то оно приведется к виду
Я» (sin β,- sin β). = 3.4.13)
Отсюда, учитывая обозначение (3.4.10) и соотношение (3.4.12),
получаем два равенства
sin βχ = sin β* — a cos β^ (3.4.14)
и
sin β2 = sin β^ + a cos β* (3.4.15)
для определения пределов интегрирования в формуле (3.4.9).
Произведем теперь в правой части формулы (3.4.9) замену
переменной β, по которой производится интегрирование, новой
переменной θ, используя соотношение
sin β = sin β^ + a cos β* sin Φ. (3.4.16)
При этом имеем
cos β ώβ = α cos β* cos Od#. (3.4.17)
Тогда, согласно равенствам (3.4.14) и (3.4.15), после указанной
замены переменной β на новую переменную θ пределы
интегрирования βι и β2 в формуле (3.4.9) заменятся соответственно на
—π/2 и π/2. Принимая еще во внимание равенство (3.4.12),
получим
= _ Яосо*^Г Τ _dd "р . Г Ψ _sin*d* 1 3.4.18)
N 7 Л2 + С1 L J cos β J L j cos β J v 7
—π, 2 —π/2
Из соотношения (3.4.16) следует, что
cos β - cos β* ]Λ — 2α tg p^sind — α2 sin2*. (3.4.19)
Разложим теперь правую часть последнего равенства в ряд по
степеням параметра а. С точностью до членов третьего порядка

§ 4. УТОЧНЕНИЕ ФОРМУЛЫ МАГНУСА
475
включительно относительно этого параметра имеем
1 1 г л ι _ i.„ о „:„ α ι „2 Μ ι 3 . oft \ 0:~2„
[l+atgf^sintf + a2 U- + ^lgi% sin2* +
+ «3 (|-lg β*+ 4 1«8β*) sin3#]· (3·4·20)
Таким образом, с той же точностью
'V=^[i+t-(i+3,«iM <3·4·21>
COS β
π/2
π/2
Ρ sin ΰ* dft г/я tg β*
— π, 2
cos β 2 cos β#
l+^(3 + 5Lg2^)]. (3.4.22)
Подставляя найденные выражения в формулу (3.4.18) и вновь
учитывая равенство (3.4.11), получаем следующее выражение для
средней скорости ухода гироскопа
<*> = " 2ЙШ1 +-F(7 + 9t8'P.)]· (З·4·23)
Оно справедливо с точностью до членов четвертого порядка
относительно параметра а включительно.
Ранее в § 3 настоящей главы через <ха было обозначено
максимальное значение угловой скорости da/dt внешнего кольца карданова
подвеса свободного гироскопа в случае его нутационных движений
на неподвижном основании. Из рассмотрения модифицированного
интеграла энергии (3.1.21) следует, что упомянутая угловая
скорость проходит свое максимальное значение άα при
одновременном обращении в нуль угловой скорости d$/dt внутреннего кольца
подвеса по отношению к внешнему кольцу. Это происходит в те
мгновения времени, когда сам угол β принимает одно из своих
крайних значений βχ или β2. Полагая в упомянутом первом
интеграле (3.1.21) угловую скорость d$/dt равной нулю, а величину
«/(β), как и выше, равной сумме А2 -\- Сх, получаем
(Аг+CJal^ Ε (3.4.24)
Заменяя теперь в формуле (3.4.23) постоянную Ε и параметр а
их представлениями, согласно равенствам (3.4.24) и (3.4.11),
получим
(3.4.25)
<ά> = —
2Я cos β*

476
ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Последняя формула, в принципе, претендует на большую
точность по сравнению с формулой Магнуса. Заметим, однако, что
в отличие от формулы Магнуса, она получена для частного
случая, когда функция /(β) постоянна (равна сумме моментов
инерции А2 и Cj).
При практических подсчетах средней скорости ухода <ά> по
формуле (3.4.25) в качестве величины угла β^ (при достижении
которого угловая скорость da/dt обращается в нуль)
достаточно взять среднее арифметическое крайних значений βχ и β2
изменения угла β, если только они незначительно отличаются друг
от друга. Величину άα можно в этом случае определить,
пользуясь изложенной в § 3 настоящей главы линейной теорией
малых движений гироскопа в кардановом подвесе, причем,
встречающийся там угол β0 следует положить равным β*.
Согласно второй формуле (3.3.6), нетрудно получить следующее
выражение для амплитуды уа изменения угла β при нутации
гироскопа в кардановом подвесе, именно
ya-Q}/^· (3-4.26)
При этом согласно первой формуле (3.3.6) величина уа
представляет собой амплитуду изменения угла а. Учитывая упомянутое
выше, здесь следует положить
Ah) = '(β.) =Α2 + Ct. (3.4.27)
Если теперь принять во внимание формулы (3.3.16) и (3.3.8),
то придем к такому соотношению между величинами da и уа:
Используя последнее соотношение, имеем
Al(A2 + Ci)tz% _ Hs'm$* 2 \_ 2 alJAt + Ci)* ι 2
2 Ц cos β* - 2 (Ла + Ci) У* ' 8 а "" ЪН*со**$* ~~ 8 Уа '
(3.4.29)
На основании последних равенств формула (3.4.25) приводится
к виду
<ά> = - ъ£гкг yl V + τ й <7 +9 *' Ц ■ (ЗА30>
Числовой пример. Пусть Л2 = 6 г-см-сек2; Сг = Аг -f- A =
= 10 г-см-сек2, Θ = 9 г-см-сек2; Η = 50 000 г-см-сек', β0 = β^ = 45°, а
амплитуда уа колебаний внутреннего кольца гироскопа (т. е. по углу β)
составляет 1° (0,01745).

§ 4. УТОЧНЕНИЕ ФОРМУЛЫ МАГНУСА
477
Имеем в данном случае
^(βο) = А2 ~{~ Сг — 16 г-см-сек2
и согласно формуле (3.3.8) предыдущего параграфа,
Из формул (3.4.26) и (3.4.27) следует, что величина
Q = ναγΓ л " ^ ^0,01309-0,75°.
Θ
A2 + Ci
представляет собой амплитуду колебаний внешнего кольца гироскопа (т. е.
по углу а).
Чтобы найти амплитуду άα изменения угловой скорости внешнего кольца,
надлежит обратиться к формуле (3.3.16) предыдущего параграфа. Имеем
«α = ν<? = 38>56 сек'1.
Следовательно,
(άα)2 И2 + Сг)
2 Η cos β*
. tg β* == 0,3365 сек 1
(^(Аг + Сг)* ι
8Я»со8»р, (7 + 9 fcSaP·) = Tya (7 + 9 fc^*) = 0.0006091.
В результате, согласно формуле (3.4.25), получаем для средней скорости
ухода внешнего кольца следующее значение:
<ά> = —0,3365 (1 + 0,0006091).
Тот же результат, разумеется, следует и при вычислениях <а>, согласно
формуле (3.4.30).
В рассмотренном числовом примере, несмотря на значительную
величину амплитуд угловых колебаний колец карданова подвеса
(около одного градуса) и, как следствие, большое значение
угловой скорости систематического ухода внешнего кольца <ά>,
второй член в квадратных скобках формулы (3.4.25) оказался по
сравнению с единицей весьма малым. Вместе с тем, с точностью
до этого члена формулы (3.3.26) и (3.4.25) совпадают. Естественно
ожидать, что и для общего случая, когда функция /(β)
представляется формулой (3.1.10) и, следовательно, не сводится к
постоянной, соответственно более сложные расчеты приведут к
аналогичному заключению. Таким образом, приведенный выше числовой
пример дает основание считать, что приближенная формула
Магнуса (3.3.26), вывод которой изложен в предыдущем параграфе,
несомненно заслуживает доверия. Можно, однако, в том же
убедиться и непосредственно, если произвести оценку как сверху,

478 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
так и снизу упомянутой величины (ά) угловой скорости
систематического ухода внешнего кольца гироскопа, совершающего
нутационное движение. Построим простейшую оценку такого рода,
вновь ограничиваясь рассмотрением гироскопа в кардановом
подвесе, у которого моменты инерции внутреннего кольца и ротора
связаны соотношением (3.1.27), в результате чего функция ,/(β)
сводится к постоянной А2 + С\ и, следовательно, угловая
скорость <ά> представляется формулой (3.4.18).
Заметим, что, используя равенство (3.4.19), определенные
интегралы, содержащиеся в формуле (3.4.18), можно представить
в виде
π/2
-π/2
cos β
π/2
db
cos3
cos β*
* _^ V1 ~~ 2a b% P*sin ^ ~~ a2 sin2 ^
π/2
r / ι
+
У~1 — 2a tg β-,,βίη θ — at sin2 ΰ
(3.4.31)
[Λ H-^algP^sinfl — a2sin2i
π/2
cos β*
и-
УГ
У1 + ε - δ2
d#
и аналогичным образом
π/2 π/2
Г sin Odd _ 1 Ρ
] cos β ~~ cos3* J
-π/2
Vi— ε-δ2 "Kl + e—δ2.
sin ftdtf. (3.4.32)
Здесь введены краткие обозначения
2α tg β* sin θ = ε, α sin θ
δ.
(3.4.33)
Примем, что угол β* — среднее значение угла β отклонения оси
собственного вращения ротора от перпендикуляра к плоскости
внешнего кольца — положителен. Пусть он заметным образом
отличается от 90° (например, меньше 75°). Тогда при достаточно
малой амплитуде уа угловых колебаний внутреннего кольца
гироскопа в любое мгновение времени кольца подвеса будут
далеки от того положения, при котором они складываются. В
соответствии с последними равенствами (3.4.29), параметр а можно
положить равным упомянутой амплитуде уа. Если последняя мала
(например, меньше одного градуса), то, в силу изложенного,
величины ε и δ, определяемые формулами (3.4.33), можно считать
значительно меньшими единицы, т. е.
ε<< Ι, δ << 1.
(3.4.34)

§ 4. УТОЧНЕНИЕ ФОРМУЛЫ МАГНУСА
479
Введем малую положительную величину
κ = 1 J62 » (3.4.35)
имеющую, в соответствии с обозначениями (3.4.33), порядок
параметра а. Имеем теперь
1 1 1
"Kl — ε —δ2 "j/Ί-δ2 Vl -κ
(3.4.36)
Используя известные формулы разложения дробной степени
бинома в ряд, получаем
1 1 (л , 1 , 1-3 о , 1-3-5 , . 1.3·δ·7 4 ч
(3.4.37)
и подобным же образом
1 1 /, 1 1-3 2 1.3.5 з , 1-3.5.7
ΐ/"ΐ+β 5а УТ^У2 \ 2^2-4 2-4-6" ' 2.4-6-8
(3.4.38)
Как сумма S, так и разность ii правых частей последних формул,
в конечном счете, состоит из суммы одних только положительных
слагаемых. В самом деле,
S = г 1 + , 1 - * (2 + ухЧ Μ4κ4 + · · ·)
и (3.4.39)
Д - 1 _ 1 - 1 Лс ι 3'5?сз, 3-5-7 д ■ \
п- ут^т=о5 νι + ε-δ2~ νΓΊΓδ2νκ + 4.6κ+4.6-8κ + ···/·
(3.4.40)
Очевидно, что
S> . 2 >2 (3.4.41)
^ 1^1 _δ2 ^ ν )
и, учитывая также формулу (3.4.35),
r>yt=w>k>e- (3A42)
С другой стороны, согласно равенствам (3.4.39) и (3.4.40), имеем
следующие неравенства
^<?т=^(2 + ^ + ^ + ^ + ---)=Уг=^(2 + т^)=5+
(3.4.43)

480 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
И
(3.4.44)
Формулу (3.4.18) для систематического ухода <ά> внешнего
кольца гироскопа, совершающего нутационное движение, с учетом
равенств (3.4.31) и (3.4.32), а также (3.4.39) и (3.4.40) можно
представить в виде
π/2
На cos β* χ /rt , #_ν
ο
Учитывая теперь неравенства (3.4.41), (3.4.42), (3.4.43) и (3.4.44),
получаем оценку
π/2 π/2
[ esmftdft ? #+siri φοΓΦ
"/2 ^ Nacosy ^ ^/2 ' V^.w;
{ S+d$ { 2d®
о о
Принимая во внимание формулу (3.4.43) вместе с обозначениями
{3.4.35) и (3.4.33), имеем
Τ s** - Τ ТгЫ2 + (i-£-*)* - <3·4·47'
О
π/2
J У 1 — a2 sin2 θ L
(2a tg 3*sin ^Я
d&.
(1 — a2 sin2 *)2 — (2a tg β^βϊη d)2
о '
Очевидно, что на всем интервале (0, π/2), где производится
интегрирование,
1 - a2 sin2 θ > 1 - а2 (3.4.48)
и
(1 - a2 sin2 θ)« — (2а tg β* sin fl)2 > 1 - 2a2 — (2a tg β*)2.
(3.4.49)
Следовательно,
Τ ч+м ^Τ ι \о j_ (2«*8β·8ίηft)2 "Ι
УТТТоН ' l-2a2-(2atgPHc)2J
= ТТ^ I1 + 1-2а2-4а2^) ' t3·4·50)

§ 4. УТОЧНЕНИЕ ФОРМУЛЫ МАГНУСА
481
Аналогичные соображения приводят к выводу, что
π/2
-JatgP:
\ fl+sinflrfft< / (l + i—о 2 /2! 2о ) ■ (3.4.51)
о ^ /(1 —αψ V 1 —2α*—4α^β* / V /
Последние два неравенства с учетом первой из формул (3.4.33),
позволяют оценку (3.4.46) для величины <ά> заменить следующей:
I VTZTbf R 1-2α»-4αη^β>> ^_ (Л8 + Ci)<dt> ,
2ау L a tgp* 1_2fl«-3a«tg^]|l^ " Я* cos β* <-
(d.4.5Z)
1 о
~2 а tgP* 1 — 2a2 — a2 tg2 β^
< /(1 _ а2)з 1 - 2a2 - 4a2 tg* β* #
Если в только что приведенных неравенствах опустить члены
третьего порядка относительно параметра а, то они приводятся к
равенству
~ яГсов^ =¥atgiV (3·4·53)
Из этого равенства после замены параметра а его значением
согласно формуле (3.4.11) и учета соотношения (3.4.24), получается
формула
a?n "" 2(Ла + С1) "" 2Я cos β* " l<*.4.04)
Она совпадает с формулой Магнуса (3.3.26), если только не делать
в них различия между величинами β0 и β*.
Нетрудно видеть, что тем же неравенствам (3.4.52) удовлетво-
ряет величина у a ig β^. Однако из этого следует, что
(А2+ &)<&> 1 - „ I 1. . 0 ^(*;β*)
Яа cos β^
yatg^|<yatgp^___-, (3.4.55)
где
1 —2a«—aHga3* 1 — 2α2 — 4я2 tg2 β*
Λ (α; Ρ*) = l-2a2-4*2tg2P, - ί1 - *) i-2a»-3a»tg«p<l · <3 Α56>
Отсюда получаем следующую оценку формулы Магнуса
|<*>-M<|dM|:j^=^=, (З·4·57)
справедливую, разумеется, для случая, когда имеет место
соотношение (3.1.27), т. е. Ах + А = С1в Здесь am — величина
систематического ухода гироскопа, вычисленная по формуле (3.4.54).

482 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Оценка (3.4.57) заменяется более простой, если учесть, что
всегда
N <«: Ρ*) < α2 ΐ-Ιΐ-ΐη^β, - 2α' + 4α2^ Ρ*' (3·4·58)
Различие между этими оценками весьма мало.
В рассмотренном выше числовом примере систематический уход
внешнего кольца гироскопа, подсчитанный по формуле Магнуса,
составлял —0,3365 сек'1, а амплитуда уа колебаний внутреннего
кольца гироскопа принималась равной 1°(0,01745).
Замечая, что согласно равенствам (3.4.29) а = уа, и учитывая
в неравенстве (3.4.56) остальные числовые данные рассмотренного
примера, получаем, что
| <ά> + 0,3365 | < 0,0006158 сек'1.
Таким образом, ошибка формулы Магнуса составляет в настоящем
примере величину, во всяком случае, меньшую чем 1%. Заметим,
что вычисление той же ошибки, произведенное выше посредством
рядов, дает основание считать, что на самом деле эта ошибка еще
меньше.
В общем случае, когда функция /(β) не сводится к постоянной
А2 + Си оценки для величины угловой скорости <ά>
систематического ухода внешнего кольца гироскопа были получены
различным путем К. Г. Валеевым * и В. Ф. Журавлевым **. Кроме
того, используя методы линейного программирования, В. Ф.
Журавлев построил для случая /(β) = А2 + Сх последовательность
оценок, стремящихся к искомой величине <ά> как сверху, так и
снизу.
§ 5. Одноосный гироскопический стабилизатор
Гироскопы во многих случаях используются для стабилизации
различных устройств (платформ для ньютонометров,
радиолокационных антенн и т. п.) на подвижных объектах, совершающих
наряду со своим основным перемещением также дополнительные
угловые движения, как правило, случайного характера.
Гироскопическая стабилизация может быть косвенной или индикаторной
и непосредственной или силовой. В первом случае устройство,
нуждающееся в стабилизации в основном повторяет посредством
следящих систем то же угловое движение по отношению к подвижно-
* В а л е е в К. Г. О прецессии симметричного гироскопа в кардановом
подвесе.— Механика твердого тела. Республиканский межведомственный
сборник, Μ 7. Киев, «Наукова думка», 1974.
** Журавлев В. Ф. К вопросу об оценках эффекта Магнуса.— Докл.
АН СССР, 1976, т. 227, № 1.

§ 5. ОДНООСНЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ СТАБИЛИЗАТОР 483
му основанию, что и сам гироскоп. Во втором — гироскоп входит
в состав стабилизируемого устройства и может в отдельные
промежутки времени непосредственно воспринимать на себя все
усилия, стремящиеся эту стабилизацию нарушить. Выше уже
исследовались некоторые свойства силовых гироскопических
стабилизаторов, главным образом в связи с тем, что их движение с точки
зрения прецессионной теории гироскопов подчиняется связям
неголономного характера (см. § 1, 4 и 5 гл. IV первой книги).
В § 2 и § 5 предыдущей главы указывалось, что уравнения,
построенные на основании прецессионной теории гироскопов не
пригодны для обстоятельного изучения переходных процессов в
гироскопических стабилизаторах и исследования их устойчивости. При
решении этих вопросов необходимо обратиться к полным
уравнениям движения соответствующего гироскопического устройства и
не отбрасывать в них члены, содержащие вторые производные по
времени от обобщенных координат.
Силовые гироскопические стабилизаторы являются
электромеханическими системами. Поэтому в совокупность
дифференциальных уравнений, описывающих их поведение, включаются также
и уравнения переходных процессов, протекающих в электрических
цепях таких систем *.
В настоящем параграфе рассматривается линейная теория
одноосного гироскопического стабилизатора, основными
элементами которого (рис. 95) являются гироскоп Г и электрический
двигатель постоянного тока Эд с независимым возбуждением, управ-
* См. книгу автора «Механика гироскопических систем». М., Изд-во
АН СССР, 1963.

484 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
ляемый простейшим усилителем У. Внешнее кольцо К гироскопа
Г либо составляет единое целое со стабилизируемым телом Г,
либо имеет с последним общую ось. Двигатель Эд, именуемый
нередко двигателем стабилизации, связан с кольцом К через
редуктор с передаточным числом /. На вход усилителя подается
напряжение, снимаемое с датчика Д, посредством которого
регистрируется угол β поворота кожуха гироскопа Г относительно его
внешнего кольца К. Примем, что на выходе усилителя образуется
электродвижущая сила V, связанная с углом β дифференциальным
соотношением
т4г+у=^· (3-5Л)
Здесь параметр μ называется отнесенной к углу β крутизной
характеристики усилителя, at — постоянной времени.
Соотношение (3.5.1) является одним из простейших.
Изменение силы тока in в электрической цепи якоря двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением описывается
дифференциальным уравнением
у = тя + ь^ + с^-, (3-5.2)
в котором R — омическое сопротивление этой цепи, L — ее
коэффициент самоиндукции, С — коэффициент противоэлектродви-
жущей силы двигателя, а φ — угол поворота ротора двигателя
относительно статора.
Вращающий момент Μφ, образующийся на валу двигателя,
выражается, если пренебречь магнитными потоками рассеяния,
следующей формулой:
М9 = ^-1Я , (3.5.3)
где g — коэффициент, численно равный 9,81, если момент Μφ
измерять в килограммометрах, коэффициент противоэлектродвижу-
щей силы С — в вольтах, умноженных на секунду, и силу тока гя —
в амперах.
Разъясним принцип работы гироскопического стабилизатора,
основываясь на законах прецессионной теории гироскопов. Для
этой цели рассмотрим его поведение на неподвижном основании
непосредственно после приложения к оси внешнего кольца К
гироскопа Г так называемого дестабилизирующего момента М*
постоянной величины и направления. Из-за действия момента М*
ротор гироскопа Г, увлекая за собой кожух, начнет прецессиро-
вать, поворачиваясь по отношению к внешнему кольцу К вокруг
оси кожуха ух (г/2). Как только угол β станет отличным от нуля,
датчик Д начнет подавать на вход усилителя У постепенно возрас-

§ 5. ОДНООСНЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ СТАБИЛИЗАТОР 485
тающее напряжение. Соответственно будет возрастать напряжение
на выходе усилителя У и, как следствие, увеличиваться вращающий
момент Μφ на валу двигателя Эд. В результате, благодаря
наличию редуктора, к внешнему кольцу гироскопа будет прилагаться
момент Μα, возрастающий вместе с углом β.
Пренебрежем трением в редукторе, а также, как это всегда
следует делать, применяя уравнения прецессионной теории
гироскопов, моментами инерции ротора двигателя и вращающихся
частей редуктора. Тогда можно приближенно считать, что
Ml = —/Мф. (3.5.4)
При надлежащем подключении обмотки якоря двигателя Эд к
выходным клеммам усилителя У можно осуществить направление
момента М£ таким, чтобы он был противоположен направлению
дестабилизирующего момента М*. Поэтому, если наступит
равенство
М* + Ml = 0, (3.5.5)
то дальнейшее изменение угла β прекратится.
Примем, что трением в подшипниках оси кожуха уг можно
пренебречь и что сумма моментов относительно этой оси всех других
сил, действующих на кожух и ротор, равна нулю. Тогда в течение
всего процесса изменения угла β угол а, в соответствии с
прецессионной теорией гироскопов (см. § 1 и § 2 гл. II), будет сохранять
первоначальное значение. Тем самым стабилизация внешнего
кольца в рассматриваемом примере сохраняется сколь угодно долго,
если только двигатель сможет развивать момент Μφ, способный
уравновесить дестабилизирующий момент М*. В противном
случае, ось ротора гироскопа в результате прецессии может
совместиться с осью внешнего кольца, и стабилизация прекратится.
На первый взгляд кажется, что при надлежащем выборе
передаточного числа / можно при любом двигателе добиться равенства
(с точностью до знака) момента М\ (воздействия на внешнее
кольцо гироскопа со стороны редуктора) произвольному
дестабилизирующему моменту М*. Однако это не так. Предел максимально
возможному значению передаточного числа / устанавливается
условиями устойчивости гироскопического стабилизатора. При
нарушении условий устойчивости возникают, как правило,
расходящиеся (т. е. с возрастающей амплитудой) угловые колебания
внешнего кольца и кожуха гироскопа. Частота таких колебаний обычно
бывает несравненно выше частоты колебаний основания, на
котором расположен стабилизатор. Поэтому при исследовании
устойчивости гироскопического стабилизатора его основание можно
условно считать неподвижным.

486 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Возникновение неустойчивости в системах без сухого трения
начинается с малых амплитуд. Соответственно представляется
возможным для установления условий устойчивости обратиться к
методам теории малых колебаний и соответственно к
линеаризованным уравнениям движения гироскопа.
Воспользуемся сначала полными уравнениями (3.3.1) движения
свободного гироскопа в кардановом подвесе, приведенными в
§ 3 настоящей главы. Включим в правую часть первого из них
дестабилизирующий момент М* и момент воздействия Мга па
внешнее кольцо со стороны редуктора. При тех же обозначениях, что и в
упомянутых параграфах, придем к уравнениям
J№^ + J'®)^^- + Hcos^ = M*+M:, (3.5.6)
Θ5-4·πβ)(^)2-*-β4=°· <3·5·7)
Для дальнейшего необходимо учесть уравнение движения
ротора двигателя стабилизации. В рассматриваемом случае, когда
основание неподвижно, оно имеет вид
φ^- = Μφ-Κ, (3.5.8)
где Φ — момент инерции ротора двигателя, φ — угол поворота
ротора относительно статора или, что то же, относительно
неподвижного основания гироскопического стабилизатора, Μτφ —
момент воздействия двигателя на редуктор.
Если пренебречь трением в элементах редуктора и их инерцией,
то следует положить
Ml = - }Ml. (3.5.9)
Заметим, что приведенное выше соотношение (3.5.4) следует из
равенства (3.5.8) и уравнения (3.5.9), если положить в последнем
Φ = 0, т. е. пренебречь инерцией ротора двигателя.
Умножим на передаточное число / левую и правую части
уравнения (3.5.8) и вычтем их соответственно из левой и правой частей
уравнения (3.5.6). Приравняем образовавшиеся разности, учтем
равенство (3.5.9), а также и то, что угловые скорости άψ/dt ротора
двигателя и daldt внешнего кольца связаны соотношением
После приведения подобных членов и замены момента Μφ его
представлением, согласно .формуле (3.5.3), приходим к следующему

§ 5. ОДНООСНЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ СТАБИЛИЗАТОР 487
уравнению:
(3.5.11)
Уравнения (3.5.11), (3.5.7), (3.5.2) и (3.5.1) образуют полную
совокупность дифференциальных уравнений, описывающих
поведение гироскопического стабилизатора. Последний нагружен
дестабилизирующим моментом М*, приложенным к оси внешнего
кольца гироскопа. Как и в предыдущих параграфах настоящей
главы, предполагаются отсутствующими: все сторонние моменты,
приложенные к кожуху и ротору гироскопа, трение в
подшипниках оси внешнего кольца и оси кожуха, а также момент вокруг оси
кожуха, создаваемый силами воздействия на него со стороны
внешнего кольца.
Пусть дестабилизирующий момент М* остается постоянным.
Тогда, как нетрудно проверить, упомянутая совокупность
уравнений имеет частное решение
α = α°, β - β*, ί* = Й , V = V*f (3.5.12)
где α° — произвольная постоянная, а β*, ί£ и F* суть величины,
определяемые формулами
β*^_^Μ*, i* = -^-j|f*, У*- -7ГМ*· (3·5·13)
Произведем в уравнении (3.5.2) замену угловой скорости άψ/dt
ротора двигателя ее выражением (3.5.10). Далее в уравнениях
(3.5.11), (3.5.7), (3.5.2) и (3.5.1) положим
а = а0 + х, 1Я ~ it 4- ζ,
(3.5.14)
β - β* + у, V = F* + ν
и сохраним в них лишь члены первого порядка относительно
переменных х, у, ζ и ν, а также первых и вторых производных этих
переменных по времени. В результате получим следующую
совокупность линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами относительно новых переменных х, у, ζ и ν:
ί -Т77Г + Η COS β* -jr = -— Ζ,
dt2 ' r dt £
(3.5.15)
θ
L
dt*
dz
IT
-ffl
+ Rz
cos β*
-JC
dv
x 1Γ
dx
dt
dx
~df
+ v
= o,
= v,
= μ^·

488 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Здесь коэффициент
/ = /(β*) + у2ф
(3.5.16)
обычно называют приведенным моментом инерции
гироскопического стабилизатора.
Гироскопический стабилизатор будет устойчив, если у
характеристического уравнения совокупности линейных
дифференциальных уравнений (3.5.15) не окажется как положительных
действительных корней, так и комплексных корней с положительными
действительными частями. Упомянутое характеристическое
уравнение имеет следующий вид:
0. (3.5.17)
В ряде случаев можно пренебречь переходными процессами в
цепях самого усилителя и положить в уравнениях (3.5.1) и (3.5.15)
постоянную времени τ равной нулю *. При этом
характеристическое уравнение (3.5.17) после раскрытия детерминанта приведется
к виду
λ (α0λ4 + ^λ3 + α2λ2 + α3λ + α4) - 0, (3.5.18)
/λ2
— Hcos$*%
-jCk
0
Η cos β*λ
θλ2
0
-μ
jC/g
0
Lk+ R
0
0
0
— 1
τλ +1
где
α0 = IQL,
αχ = /θϋ,
a2 = i?2cos2p*L-
/2£2
Θ,
α3 = Я2 cos2 β*7? ,
(3.5.19)
α4:
НС
Я cos β*.
Один из корней алгебраического уравнения (3.5.18) равен нулю.
Это обусловливается тем, что в совокупность дифференциальных
уравнений (3.5.15) сама искомая функция χ не входит (входят лишь
ее первая и вторая производные). Остальные корни уравнения
* Случай χ φ 0 см. в книге Ройтенберга Я. Н. Гироскопы,
М.у «Наука», 1966. Более сложные случаи дифференциальной связи между
входным и выходным напряжениями усилителя в связи с устойчивостью
гироскопического стабилизатора см. Ворисенок И. Т. Улучшение
переходных процессов в гиростабилизаторе при помощи корректирующих
контуров.-^ «Вестн. МГУ)>. Сер. 1, Математика и механика·, I960, Μ 1.

§ 5. ОДНООСНЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ СТАБИЛИЗАТОР 489
(3.5.18) не положительны или в случае, если они комплексные, не
имеют положительных действительных частей при соблюдении
известного неравенства Рауса *
а1а2а3 ^> а^а^ + α0α3· (3.5.20)
Подставляя сюда, согласно равенствам (3.5.19), значения
коэффициентов α0, αΐ9 α2, α3, α4 и производя упрощения, придем к
следующему условию устойчивости одноосного гироскопического
стабилизатора:
-Щ->—£ , (3.5.21)
1 II cos β* ν
впервые полученному в 1943 году В. И. Кузнецовым. Следует
обратить внимание на следующее обстоятельство. В условие
устойчивости (3.5.21) не входят величины коэффициента самоиндукции
L, сопротивления R цепи якоря и момента инерции Θ
совокупности «кожух — ротор» гироскопа относительно оси кожуха, что
представляется несколько неожиданным. Однако от этих величин, а
также, разумеется, и от ряда других параметров гиростабилиза-
тора зависит характер переходных процессов гиростабилизатора
и амплитуды его вынужденных колебаний **.
Обращение условия (3.5.21) в равенство означает в общем
случае появление у характеристического уравнения (3.5.18) пары
чисто мнимых корней, что соответствует порогу устойчивости
гироскопического стабилизатора. Поэтому естественно принять за коэф
фициент запаса устойчивости описываемого гироскопического ста
билизатора величину отношения левой части неравенства (3.5.21)
к его правой части. Обозначим этот коэффициент через s. Имеем
= /Cffcosp* (3.5.22)
μ/
Подставим сюда выражение (3.5.16) для величины /. Так как
согласно формуле (3.1.10) § 1 настоящей главы
/(β*) = А2 + (Аг + A) cos2β* + ClSin2p*: (3.5.23)
то для коэффициента запаса устойчивости получим следующее
выражение
s = /С/У соз β* (3 5 24)
μ [А* + Ci + /2Ф + (Αι + А — Ci) cos2(3*]
Коэффициент s зависит, в частности, от угла β*, при котором, как
отмечалось выше, дестабилизирующий момент М* уравновешива-
* См. К у ρ о ш М. Г. Курс высшей алгебры. М., «Наука», 1968.
* См. сноску на стр. 483.

490 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
ется моментом М£, создаваемым вокруг оси внешнего кольца
двигателем стабилизации Эд. При угле β*, равном π/2, коэффициент s
обращается в нуль. Если, как обычно,
А2 + С1+?Ф>А1+А- С19 (3.5.25)
то при изменении угла β* от нуля до π/2 происходит монотонное
уменьшение этого коэффициента. В силу условия (3.5.21),
гироскопический стабилизатор теряет устойчивость, как только
коэффициент s становится меньше единицы.
Рассмотрим теперь коэффициент устойчивости
гироскопического стабилизатора как функцию передаточного числа /. Согласно
формуле (3.5.24), коэффициент s обращается в нуль при / = 0 и
стремится к нулю при неограниченном возрастании этого числа.
Следовательно, при достаточно малых или, напротив, слишком
больших значениях передаточного числа / гироскопический
стабилизатор неустойчив. Максимального значения коэффициент s
достигает при передаточном числе / , равном величине
ύ=[/^. (3-5.26)
Это значение оказывается равным выражению
СН cos β* /Q с 07ч
вте = -. (3.5.27)
41 V J (β*) Φ
Если количество sm меньше единицы при β* = 0, то при
соблюдении неравенства (3.5.25) (что практически всегда имеет место)
стабилизатор неустойчив при любом передаточном числе
редуктора. Чтобы в этом случае гироскопический стабилизатор стал
вновь устойчивым необходимо надлежащим образом изменить его
параметры, в частности, увеличить собственный кинетический
момент гироскопа Η или уменьшить крутизну характеристики
усилителя, т. е. параметр μ. Отсюда следует, что из-за необходимости
обеспечения устойчивости гироскопического стабилизатора нельзя
параметр μ выбирать произвольно. Максимально допустимое его
значение должно удовлетворять неравенству (3.5.21). Тем самым,
в силу первой формулы (3.5.13), при заданном максимально
возможном угле β* поворота кожуха гироскопа относительно
внешнего кольца ограничивается максимально допустимое значение
дестабилизирующего момента М*. Устойчивость гироскопического
стабилизатора в известных пределах можно улучшить рациональным
выбором так называемых корректирующих цепей *.
* См. сноску на стр. 488.

§ 5. ОДНООСНЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ СТАБИЛИЗАТОР 491
Большое значение передаточного числа ) нежелательно не
только из-за возможной потери устойчивости гироскопического
стабилизатора. При угловых колебаниях основания ротор двигателя
стабилизации их повторяет с большей амплитудой (за
исключением случая, который будет рассмотрен ниже, когда передаточное
число / равно отрицательной единице). При этом будет развиваться
дополнительный момент воздействия редуктора на ротор
двигателя соответственно угловому движению последнего. В силу закона
равенства и противоположной направленности действия и
противодействия к внешнему кольцу гироскопа, в свою очередь, окажется
приложенным дополнительный момент. Последний может вызвать
недопустимо большое угловое движение кожуха гироскопа
относительно его внешнего кольца.
Предположим, что основание гироскопического стабилизатора
колеблется вокруг оси стабилизации, образуя с плоскостью
неизменного направления переменный угол Θ, изменяющийся,
например, по гармоническому закону с амплитудой θα и частотой р,
именно
θ - θα cos pt. (3.5.28)
В этом случае в уравнениях (3.5.6) и (3.5.7) под величиною α
следует теперь понимать угол, характеризующий поворот внешнего
кольца гироскопа относительно плоскости неизменного
направления (содержащей ось стабилизации). В свою очередь, в
уравнении (3.5.8) угол φ поворота ротора двигателя надлежит
отсчитывать от той же плоскости, а соотношение (3.5.10) заменить
следующим:
4-(φ-θ) — /4(«-θ)· <3·5·29)
В самом деле, разности φ —θ и α — θ представляют собой
соответственно углы поворота ротора двигателя и внешнего кольца
по отношению к основанию и связаны между собой из-за наличия
редуктора.
Положим в уравнении (3.5.6) дестабилизирующий момент М*
равным нулю, а момент Мга заменим его представлением через
момент Λ/φ, согласно остающемуся без изменения равенству (3.5.9).
После этого исключим посредством уравнения (3.5.8) величину
Λ/φ и далее, при помощи соотношения (3.5.29), угол φ. В
результате, учитывая формулу (3.5.3), придем к дифференциальному
уравнению
J (β) 4Ϊ + J' (P) -S- -Ι" + Η cos β -§- = (3.5.30)
di2 ' ^' dt dt ' ^ dt
~^ϊ Τ / V τ 4 - -ft*
.2rT. dH ..,.,.ν ,*, ЛЩ . С .

492 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
В уравнении (3.5.2), посредством которого описываются
переходные процессы в цепи якоря двигателя стабилизации, в случае
углового движения основания гироскопического стабилизатора
необходимо, в соответствии с вышеизложенным, заменить
величину φ на разность φ — θ. После этого оно, с учетом соотношения
(3.5.29), принимает следующий вид:
v-m. + L%.-H:($-*). (3.5.31)
Дифференциальное соотношение (3.5.1) и формула (3.5.3) при
равенстве дестабилизирующего момента М* нулю остаются,
естественно, без изменения.
При неподвижном основании совокупность уравнений (3.5.30),
(3.5.7), (3.5.31), (3.5.1) и (3.5.3) допускает очевидное решение
α = α0, β = 0, iH = 0, 7 = 0, Μφ = 0, (3.5.32)
где α0 — постоянная величина, которую, не нарушая общности
последующих рассуждений, можно принять равной нулю.
Поэтому при малых угловых движениях основания, например, при
небольших значениях амплитуды θα в выражении (3.5.28)
гармонического изменения угла Θ, все перечисленные переменные, именно
α, β, гя, Μφ, V и их производные по времени, можно считать
малыми величинами. Соответственно пренебрежем в упомянутых
уравнениях членами второго и более высокого порядков относительно
только что перечисленных величин. В результате после небольших
упрощений получим следующую совокупность линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
at* ' dt g n ' ' v ' ' dt* '
@-S~^^-=°> (3·5·33>
Rl» + L4T ~ >С ~Έ = ~ 1C Ίϊΐ +^
относительно переменных α, β, in. При этом, как и ранее,
постоянная времени χ в дифференциальном соотношении (3.5.1)
принята равной нулю. Кроме того, в согласии с формулой (3.5.16)г
введено обозначение
/о = / (0) + /2Ф. (3.5.34)
Члены / (/ + i)Od2Q/dt2 и —fCdQ/dt соответственно входят в
правую часть первого и третьего уравнений совокупности (3.5.33).
Они играют роль факторов, возмущающих стационарное
состояние стабилизатора, определяемое равенствами (3.5.32). Первый
из этих членов представляет собой меру инерционного воздействия

§ 5. ОДНООСНЫЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ СТАБИЛИЗАТОР 493
на внешнее кольцо гироскопи- \гг
ческого стабилизатора,
обусловленного принудительным
неравномерным вращением ротора
двигателя при угловых
движениях основания. Это
воздействие исчезает при/ = —1, что
соответствует или
непосредственному расположению ротора
двигателя на оси внешнего
кольца (без редуктора) или
одинаковым зубчатым колесам на
входе и выходе редуктора при
наличии паразитного колеса,
моментом инерции которого
можно пренебречь (рис. 96). В
последнем случае, как нетрудно
непосредственно убедиться, при
угловых движениях основания
ротор двигателя не вращается, Рис. 96
если только внешнее кольцо
стабилизатора неподвижно.
Второй из возмущающих членов (3.5.34) характеризует
дополнительное напряжение, возникающее при работе электрического
двигателя с независимым возбуждением в режиме генератора.
Возникающий при этом ток в цепи якоря двигателя стабилизации
является причиной образования дополнительного вращающего
момента на валу двигателя и, как следствие, момента,
приложенного к оси внешнего кольца гироскопа. Оба возмущающих члена
возрастают с увеличением передаточного числа /.
В силу линейности дифференциальных уравнений (3.5.33) и
постоянства их коэффициентов переменные α, β и гя (по
истечении переходного процесса в стабилизаторе) изменяются по
гармоническим законам с той же самой частотой р, что и угол Θ,
заданный в виде функции времени посредством формулы (3.5.28).
Амплитуды этих переменных можно определять обычными методами
теории линейных колебаний *.
Как правило, при выборе параметров гироскопического
стабилизатора стремятся не только выполнить условия его устойчивости.
Необходимо еще, чтобы максимальные значения углов α и β,
возникающих в процессе их изменения при различных условиях
применения стабилизатора, не превышали некоторых заранее задан-
* См. книгу автора «Механика гироскопических систем». М., Изд-во АН
СССР, 1963, где показано также, как можно приближенно учесть при
определении вынужденного движения гироскопического стабилизатора на
качающемся основании влияние сухого трения в осях подвеса.

494 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
ных величин. Последние обычно диктуются назначением
стабилизатора и параметрами элементов и узлов устройства, имеющихся
в распоряжении конструктора. Требования, которым должен
удовлетворять гироскопический стабилизатор, как правило,
противоречивы. Поэтому выбор величин его параметров производится
в результате разумного компромисса, столь часто
встречающегося в инженерной практике.
§ 6. Простейший двухосный гироскопический стабилизатор
В системах инерциальной навигации наряду с одноосными
гироскопическими стабилизаторами находят большое применение
двухосные и особенно трехосные стабилизаторы. При
экспериментальных исследованиях гироскопических стабилизаторов было
замечено, что двухосные и трехосные стабилизаторы менее
устойчивы (в результате чего более склонны к автоколебаниям),
нежели одноосные с такими же параметрами конструкции. В настоящем
параграфе на характерном примере простейшего двухосного
гироскопического стабилизатора, расположенного на неподвижном
основании, упомянутое свойство стабилизаторов исследуется
теоретически *.
В дальнейшем, дабы не усложнять выкладки, пренебрежем (как
и в предыдущем параграфе) упругой податливостью элементов
подвеса стабилизатора и постоянной времени усилителей
стабилизации. Кроме того, не будем учитывать самоиндукцию выходной
цепи каждого усилителя и примем, что к стабилизатору внешние
нагрузки (дестабилизирующие моменты) не приложены. Будем
считать, что двигателями стабилизации являются одинаковые
электрические двигатели постоянного тока с независимым
возбуждением, и точно так же совершенно одинаковы гироскопы
стабилизатора. Наконец, примем, что трение в осях подвеса
гироскопического стабилизатора отсутствует.
Условие устойчивости двухосного гироскопического
стабилизатора, как будет показано ниже, имеет в этом случае вид
простого алгебраического неравенства, сходного с известным условием
устойчивости соответствующего одноосного стабилизатора.
Приведем сначала уравнения движения электромеханической
системы одноосного стабилизатора при сделанных выше
упрощающих предположениях. Для этой цели обратимся к совокупности
(3.5.33) дифференциальных уравнений, описывающей поведение
одноосного гироскопического стабилизатора на подвижном
основании при отсутствии дестабилизирующего момента. Если основа-
* См. статью автора «О меньшей устойчивости двухосного
гироскопического стабилизатора по сравнению с одноосным».— Докл. АН СССР, 1965,
т. 163, Μ 6.

§ 6. ПРОСТЕЙШИЙ ДВУХОСНЫЙ ГИРОСТАБИЛИЗАТОР 495
ние неподвижно, т. е. θ = 0, а упомянутый коэффициент
самоиндукции L равен нулю, то эти уравнения можно с точностью до
обозначений представить в виде
/
θ
d*$
dt*
+ н
— Η
dp
dt
da
"dt
= —
=-o,
l^o.
(3.6.1)
*,-#-£ =μβ.
Для удобства изложения приведем обозначения всех величин,
встречающихся в этих уравнениях. Здесь а — угол поворота
кольца подвеса стабилизатора относительно некоторого исходного
положения, β — угол поворота кожуха гироскопа стабилизатора
от среднего положения, при котором ось собственного вращения
ротора гироскопа перпендикулярна к плоскости внешнего кольца,
/ — передаточное число редуктора от оси ротора двигателя
стабилизации коси внешнего кольца (оси стабилизации), / — сумма
приведенных к оси стабилизации моментов инерции всех
подвижных частей стабилизатора при угле β, равном нулю, Θ — сумма
моментов инерции кожуха и ротора гироскопа относительно оси
кожуха, Η — собственный кинетический момент гироскопа, R —
сопротивление выходной цепи усилителя, σ — новое обозначение
силы тока в этой цепи (в предыдущем параграфе она обозначалась
через iH), С — коэффициент противоэлектродвижущей силы
двигателя стабилизации, μ — коэффициент усиления усилителя
стабилизации, g— именованное число, равное 9,81 в-а-сек/кг-м
(если не учитывать магнитных полей рассеяния двигателя).
Характеристическое уравнение совокупности (3.6.1) имеет в
данном случае более простой вид, чем уравнение (3.5.17)
предыдущего параграфа, а именно,
ад =
/λ2 Ηλ jC/g
Ηλ βλ2 0
jCK — μ R
= 0. (3.6.2)
Так как сам угол а непосредственно не входит в уравнения (3.6.1),
то характеристическое уравнение (3.6.2) в числе своих корней
имеет несущественный для дальнейшего корень λ = 0. Поэтому в
данном случае для суждения об устойчивости одноосного
гироскопического стабилизатора достаточно исследовать корни
алгебраического уравнения третьей степени
λ3 + αλ2 + ЬХ + d = 0, (3.6.3)

496 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Рис. 97
следующего из уравнения (3.6.2). Здесь коэффициенты
/Ч7« . _ #2 _ μ/СЯ
α =
Rgl
Θ1
d =
RglQ
(3.6.4)
суть положительные величины.
Кубическое уравнение (3.6.3) имеет корни только с
отрицательными действительными частями, если выполнено условие Рауса
ab > d. (3.6.5)
Подставляя сюда значения коэффициентов а, Ъ и d, согласно
обозначениям (3.6.4), получим известное условие устойчивости
одноосного гироскопического стабилизатора в форме
I ^ Я *
(3.6.6)
Заметим, что такой же вид (при отсутствии дестабилизирующего
момента М* или, что то же, при β* = 0) имело условие
устойчивости одноосного гироскопического стабилизатора и при учете
самоиндукции цепи якоря двигателя, полученное в предыдущем
параграфе.
Обратимся теперь к двухосному гироскопическому
стабилизатору (рис. 97), состоящему из двух вмонтированных в общий
подвес одноосных стабилизаторов, идентичных только что
описанному. Будем предполагать при этом, что роторы обоих гироскопов
рассматриваемого гироскопического стабилизатора вращаются в
одну и ту же сторону.

§ 6. ПРОСТЕЙШИЙ ДВУХОСНЫЙ ГИРОСТАБИЛИЗАТОР 497
При выводе дифференциальных уравнений малых движений
двухосного стабилизатора следует иметь в виду, что угол поворота
каждого из его гироскопов относительно невращающейся системы
координат с точностью до малых второго порядка состоит из суммы
угла поворота стабилизированной платформы Π вокруг
соответствующей оси стабилизации и угла поворота кожуха относительно
платформы. Поэтому, в частности, к угловой скорости d$Jdt
вращения кожуха правого гироскопа относительно платформы
надлежит добавить угловую скорость dajdt платформы по отношению
к внешнему кольцу. Образующейся суммой dfijdt + da2/dt, а
также ее производной d2§Jdt2 + d2ajdt2 и следует заменить
соответствующие члены d$/dt и d2$/dt2 в уравнениях (3.6.1) одноосного
стабилизатора при переходе к гиростабилизатору двухосному. Далее,
при составлении уравнений движения левого гироскопа
следует по аналогичной причине заменить члены d$/dt и d2$/dt2 в
уравнениях (3.6.1) соответственно на разности dfijdt — dajdt и
d2$Jdt2 — d^ajdt2 (см. рис. 97). Именно этим существенно
отличаются обе группы последующих уравнений (3.6.7) от
совокупности уравнений (3.6.1) одноосного стабилизатора. Имеем:
т d2ai . jj I φι . rfa2 \ j'C
Ii-di^ + H[— + -dr)==—гбь
α / d2$i , 6?2α2 \ ττ dag _ n
u \ dt* ~г dt* J ~~ η ~ ~ υ'
Bb-fcQ-M, (3·6·7)
^-dl^ + n[-Tt dTj^- — ^'
u ^ dt* d& J n dt ~ u'
где, помимо обозначений Я, Θ, /, С, g, R и μ, принятых выше,
теперь 1г — сумма приведенных моментов инерции относительно
внешней оси стабилизации всех подвижных частей
стабилизатора, однако за вычетом момента инерции левого гироскопа (см.
рис. 97), 12— аналогичная сумма моментов инерции
стабилизированной платформы относительно внутренней оси
стабилизации вместе с расположенными на ней элементами точно так же,
за вычетом момента инерции, но теперь уже правого гироскопа
относительно оси его кожуха, аг — угол поворота внешнего кольца
стабилизатора от его исходного положения, а2 — угол поворота
стабилизированной платформы по отношению к внешнему кольцу,
βι и β2 — углы поворотов кожухов гироскопов от их исходного
положения, при котором собственные оси вращения роторов
перпендикулярны платформе, σχ и σ2 — величины силы тока в вы-

498
ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
ходных цепях усилителей стабилизации, соответственно
расположенных на внешней и внутренней осях подвеса.
Характеристическое уравнение совокупности (3.6.7) имеет вид
Λλ2
-нх
-jCX
-н%
-θλ2
0
11%
θλ2
-μ
0
0
0
]'C/g
0
R
0
0
0
Ηλ
Θλ2
0
/2λ2
-Ηλ
-jC%
0
0
0
Ηλ
θλ2
-μ
При дополнительном условии
h = h = i
характеристическое уравнение (3.6.8), как оказывается, можно
представить следующим образом
S2 (λ) + Ρ2 (λ) = 0, (3.6.10)
где S (λ) — тот же определитель третьего порядка, что и в
уравнении (3.6.2) для одноосного стабилизатора, а
/>(λ) = -^-Θλ2. (3.6.11)
Левая часть уравнения (3.6.10) распадается на произведение
двух сопряженных множителей
S (λ) + ίΡ (λ) = 0,
S (λ) — iP (λ) = 0, (3.6.12)
каждый из которых является полиномом четвертого порядка
относительно переменной λ. Отсюда следует, что вопрос об
устойчивости рассматриваемого двухосного гироскопического
стабилизатора сводится к исследованию условий отрицательности
действительных частей не равных нулю корней двух алгебраических
уравнений с комплексными коэффициентами
λ [ λ3 + αλ2 + (b + ic)K + d] = 0,
λ [ λ3 + αλ2 + (b - ic)K + d] = 0. (3.6.13)
Здесь использованы те же обозначения (3.6.4) и, кроме того,
с = -ёг · (3·6·14>
о
о
о
jClg
о
R
= 0. (3.6.8)
(3.6.9)

§ 6. ПРОСТЕЙШИЙ ДВУХОСНЫЙ ГИРОСТАБИЛИЗАТОР 499
Общие приемы исследования корней алгебраических уравнений
с комплексными коэффициентами * позволяют в данном случае
установить следующие условия устойчивости:
а > О, а2Ъ - ad - с2 > 0, a [(ab - d)2 - be2] > 0. (3.6.15)
Учитывая, что коэффициенты а, Ь, с и d положительны, можно
второе и третье неравенства (3.6.15) представить соответственно в
виде
4ь<*-ж< 4-<1-77Γ· (3-6Л6)
Последнее из только что приведенных неравенств
то лишь при предварительном условии
aVb ^
Однако отсюда следует, что
1~^ϊ~>1 ~7yt' '
Таким образом, второе неравенство (3.6.15) является следствием
третьего. Преобразуем третье неравенство (3.6.15) к следующей
более удобной форме
аЪ > d + c]fb. (3.6.19)
Подставляя в неравенство (3.6.19) значения коэффициентов ау
Ь, с и d, согласно их обозначениям (3.6.4) и (3.6.14), получаем
условие устойчивости двухосного гироскопического стабилизатора
в следующем простом виде:
ΐ>^-(1+/ϊ)· (3·6·20)
Как следует из вышеизложенного, последняя формула
справедлива для случая вращающихся в одну сторону роторов обоих
гироскопов двухосного стабилизатора. Если же роторы вращаются
в противоположных направлениях, то во второй группе
уравнений (3.6.7) следует изменить на обратные знаки у членов,
содержащих множителями величины Η и μ. Соответственно изменяется
и характеристическое уравнение (3.6.8) и его представление в
форме (3.6.10), где вместо суммы квадратов величин S2 (λ) и Ρ2 (λ)
появляется разность тех же квадратов. В результате приходим
к двум алгебраическим уравнениям уже с действительными
* Чеботарев Н. Г., Мейман Η. Н. Проблема Рауса — Гурвица
для полиномов и целых функций. —Тр. Машем, ин-та им. В. А. Стеклова
АЛ СССР, 1949, т. 26.
может иметь мес-
(3.6.17)
(3.6.18)

500 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
коэффициентами
λ [λ3 + αλ2 + (b + c)% + d] = 0,
λ [λ3 + αλ2 + (b — c)K + d] = 0. (3.6.21)
Условие устойчивости двухосного гироскопического
стабилизатора становится теперь несколько иным, а именно,
α (Ь — с) > d. (3.6.22)
Используя значения величин а, Ъ, с и d, согласно формулам (3.6.4)
и (3.6.14), приводим условие (3.6.22) к виду
·¥->*-(·+iS3-)· <Μ·23>
Условия (3.6.20) и (3.6.23) жестче, чем соответствующее
неравенство (3.6.6), обеспечивающее устойчивость одноосного
гироскопического стабилизатора. Этим и объясняется
упоминавшийся выше факт меньшей устойчивости двухосного гироста-
билизатора по сравнению с одноосным. Аналогичный результат
имеет место и в случае трехосного стабилизатора *.
В заключение покажем, как можно получить условие (3.6.19)
из следующих простых соображений. Уравнения (3.6.13) имеют по
одному комплексному коэффициенту. Следовательно, они могут
иметь лишь комплексные корни (кроме корней, равных нулю,
которые несущественны). При изменении коэффициентов уравнений,
например, коэффициента d, переход от устойчивости к
неустойчивости будет, очевидно, осуществляться при обращении одного из
корней уравнений в чисто мнимую величину. Положим во втором
уравнении (3.6.13)
λ = ιω. (3.6.24)
Разделяя действительные и мнимые количества выражения,
содержащегося в квадратных скобках его левой части, получаем
ω3 _ Ъа = 0, —αω2 +οω + d = 0. (3.6.25)
Исключая из второго равенства посредством первого величину ω,
приходим к условию
ab = d + с \[Ъ (3.6.26)
существования периодического движения гироскопического
стабилизатора. Теперь несколько увеличим коэффициент с/, заменив
его количеством d + δ. Тогда с точностью до членов второго по-
* См. Новожилов И. В. Об устойчивости трехосного гиростаби-
лизатора.— Изв. АН СССР, Механика, 1965, №5. С л е з к и н Л. Н.,
Ван Данъ-чжи. О влиянии связей между каналами гироскопической
платформы.— Изв. высш. учебн. засед., Приборостроение, 1965, т. 8, № 4.

§ 7. УЧЕТ УПРУГОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 501
рядка относительно δ получим следующую величину корня
образующегося при этом нового уравнения:
λ= 2δ6_ Γ_δ с-2аУГ Ι (3β6β27)
462 +(с_ 2а VbY L 462 -f (с — la Vbf J ч
Из последней формулы имеем, что при δ ^> 0 действительная часть
корня измененного уравнения положительна и, в силу
вышеизложенного, двухосный гироскопический стабилизатор
неустойчив. Отсюда нетрудно заключить, что гироскопический
стабилизатор станет устойчивым, если коэффициент d выбрать меньше
того значения, которое следует из равенства (3.6.26). В результате
коэффициенты а, Ь, с и d будут удовлетворять уже неравенству
(3.6.19), которое и следует рассматривать в этом случае как
условие устойчивости.
§ 7. Учет упругой податливости
элементов гиростабилизатора
Линейные дифференциальные уравнения гироскопического
стабилизатора составлены в § 5 настоящей главы в предположении
абсолютной жесткости его элементов (колец карданова подвеса,
подшипников, оси ротора, оси двигателя стабилизации и т. д.).
Поэтому значения частот собственных колебаний
электромеханической системы гироскопического стабилизатора, вычисленные
в результате решения упомянутых уравнений, могут заметно
отличаться от наблюдаемых на самом деле. По той же причине
может оказаться неверным и заключение об устойчивости
стабилизатора. Учет упругой податливости подвеса гироскопа и
механических передач гиростабилизатора, хотя и значительно
усложняет исследование, однако в подобных случаях оказывается
совершенно необходимым.
По существу, механическая система гироскопического
стабилизатора (рис. 98) является системой с распределенными
параметрами. Если считать ее лишенной трения, то при разорванных
электрических цепях двигателя она может рассматриваться как
консервативная система с бесконечным дискретным спектром частот
подобно многим упругим конструкциям — балкам, плитам,
рамам и т. п. *
Однако в случае гироскопического стабилизатора задача об
отыскании частот собственных колебаний значительно
упрощается благодаря следующим обстоятельствам. Упругая податливость
* Релей Дж. Теория звука, т. 1. М., Гостехиздат, 1955.
Тимошенко СП. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959.

502
ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Рис. 98
подшипников ротора гироскопа в радиальном направлении и
смятие контактирующих зубьев редуктора значительно превосходят
упругую податливость остальных элементов стабилизатора.
Поэтому при определении низших частот малых колебаний такой
консервативной системы ее можно считать как бы состоящей из
четырех абсолютно жестких тел: ротора гироскопа, его кожуха,
внешнего кольца подвеса (вместе со стабилизируемым телом и ведомым
зубчатым колесом редуктора) и, наконец, ротора двигателя
(вместе с ведущим колесом). Первые два тела упруго связаны друг с
другом посредством подшипника оси ротора; шарнир, соединяющий
кожух гироскопа с внешним кольцом подвеса, можно принять не-
деформируемым, а связь внешнего кольца с ротором двигателя —
упругой. Пренебрежем, кроме того, массой кожуха и трением в
подшипниках его оси. После сделанных допущений уравнения
малых колебаний описанной идеализированной гироскопической
системы (при неработающем двигателе стабилизации),
расположенной на неподвижном основании, можно, в согласии с
изложенным в предыдущих параграфах настоящей главы, представить в
виде
, d20L
dt*
#·§ = *<*-«>·
. </2β jj da n
Ψ
dP
==ΑΓ(α-ψ) + ΛΓ(θ-ψ),
(3.7.1)
θ4£=ΛΓ(ψ-θ).
Здесь А — экваториальный момент инерции ротора гироскопа;
Η—его собственный кинетический момент; α и ψ — соответственно

§ 7. УЧЕТ УПРУГОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 503
углы поворота вокруг оси стабилизации ротора и кожуха
гироскопа (последнего вместе с внешним кольцом подвеса,
стабилизируемым телом и ведомым колесом редуктора) по отношению к
основанию; β — малый угол отклонения кожуха гироскопа от его
среднего положения (при котором ось собственного вращения
ротора перпендикулярна оси стабилизации); К — жесткость,
соответствующая упругому смещению а—ψ ротора гироскопа
относительно кожуха; Ψ — сумма моментов инерции внешнего кольца,
стабилизируемого тела и ведомого колеса редуктора относительно
оси стабилизации; θ — приведенный к оси стабилизации угол
поворота ротора двигателя (т. е. угол поворота по отношению к
статору, уменьшенный в ] раз, где / — передаточное число
редуктора); iV — жесткость редуктора, также отнесенная к оси
стабилизации, ив — приведенный к оси стабилизации момент инерции
ротора двигателя вместе с ведущим колесом редуктора
(суммарный момент инерции этих тел относительно оси ротора двигателя,
увеличенный в у2 раз).
Первые два дифференциальных уравнения совокупности (3.7.1)
описывают движение ротора гироскопа при наличии воздействия
на него момента упругости подшипников его оси. Разность ψ—а
характеризует деформацию подшипников. Возникающий при этом
момент упругих сил принимается пропорциональным деформации.
Последнее в случае шариковых подшипников может
рассматриваться лишь как некоторое приближение. Упомянутые
уравнения — линеаризованные. Их нетрудно получить методом,
описанным в § 1 настоящей главы, полагая Θ = / (β) = А и замечая,
что момент, соответствующий координате β, равен нулю
(отсутствует трение в подшипниках оси кожуха).
Третье уравнение совокупности (3.7.1) представляет собой
дифференциальное уравнение вращения стабилизируемого тела
(вместе с внешним кольцом подвеса гироскопа с его кожухом и
ведомым колесом редуктора) вокруг оси стабилизации. На тело
действуют два момента упругости — со стороны ротора гироскопа и
со стороны двигателя стабилизации. Наконец, последнее
уравнение той же совокупности описывает с точностью до постоянного
множителя—передаточного числа /—вращение ротора двигателя
стабилизации под действием сил упругого взаимодействия со
стабилизируемым телом.
Второе дифференциальное уравнение совокупности (3.7.1)
можно проинтегрировать. В результате получим соотношение
Л§-#а==0, (3.7.2)
в котором опущена несущественная для дальнейшего
произвольная постоянная. Если теперь исключить посредством этого
соотношения угловую скорость d$/dt из первого уравнения, то придем

504 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
а
щЩ>
ж
ψ ущ\ θ
|vw4
к
ψ
PVWW4 θ
N
§лллн
*WA
ψ ИДЛЛН *
Рис. 99
Рис. 100
к другой форме совокупности уравнений, описывающих движение
той же гироскопической системы, а именно:
d20L
т
dt*
А
<х= К (ψ — α),
Ψ),
(3.7.3)
Рассмотрим теперь расположенные на одной прямой три массы:
i, Ψ и Θ, отклонения которых от положения равновесия
обозначим соответственно через α, ψ и θ (рис. 99). Пусть масса А
связана с массой ψ пружиной жесткости К, а масса Ψ с массой Θ,
в свою очередь,— пружиной жесткости N. Пусть, кроме того,
масса А связана с некоторым неподвижным телом очень
большой массы (с «инерциальным» пространством) посредством
пружины, жесткость которой равна величине Н2/А. Очевидно,
что совокупность уравнений, описывающих колебания такой
системы, состоит из тех же уравнений, что и совокупность (3.7.3).
Отсюда следует, что лишенный трения, «обесточенный»
гироскопический стабилизатор допускает механическую аналогию в виде
системы трех последовательных, упруго связанных друг с другом
масс Α, ψ и Θ, первая из которых дополнительно связана
своеобразной «гироскопической» пружиной с «инерциальным»
пространством.
Приведенный аналог и ему подобные позволяют применять к
исследованию гироскопических явлений приемы и методы теории
колебаний упругих систем с сосредоточенными массами. Пусть,
например,
Α <Θ <Ψ, (3.7.4)

§ 7. УЧЕТ УПРУГОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 505
как обычно и бывает у гироскопических стабилизаторов. В этом
случае можно ожидать, что масса А не должна сколько-нибудь
ощутимо влиять на величины низших частот колебаний
рассматриваемой системы. Почти очевидно, что самой низкой частоте ωχ
соответствует синфазное движение всех трех масс (рис. 100); следующей
частоте ω2 — синфазное движение масс А и Ψ, а движение массы
Θ — им в противофазе.
Наличие малой массы А при колебаниях системы с низшими
частотами ωλ и ω2 почти не сказывается на величине ее смещения а.
Тем самым это смещение можно приближенно определить из
первого уравнения совокупности (3.7.3), опуская в нем член Ad2a/dt2.
В результате получим
α = жхтт^· <3·7·5>
Подставим это выражение во второе уравнение совокупности
(3.7.3). В результате последняя приводится к двум следующим
дифференциальным линейным уравнениям относительно переменных
θ^-=Α-(ψ-θ).
(3.7.6)
Уравнение частот этой новой совокупности имеет вид
"* +„«+&»-W-£" о. (з.7.7)
^2 + Л2Т / ν2 + /с2
Здесь введены обозначения
ν = 4· *г=4' *2=4» η* = τ~> ε=4· <3·7·8>
Корни уравнения (3.7.7) при выполнении условий (3.7.4) почти
не отличаются от двух наименьших корней ωχ и ω2 уравнения
частот
ω6 - (ν2 + к2 + κ2 + η2 + Ιη2)ω* + [ν2 (κ2 + η2 + £/г2) +
+ η2 {k2 + U2 + κ2)]ω2 — ν2η2κ2 = 0, (3.7.9)
соответствующего совокупности дифференциальных уравнений
(3.7.3) или, если оставить в стороне два равных нулю
несущественных корня исходной совокупности (3.7.1).
Наибольшему корню уравнения (3.7.9) соответствует наивысшая
частота ω3 колебаний идеализированной механической системы.
На этой частоте массы ψ и Θ практически стоят на месте, и
колеблется одна только масса А. Поэтому, если в первом уравнении

508 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
совокупности (3.7.3) положить ψ = 0, придем в итоге к формуле
ω^=4-(^ + -^-) = /£2 + ν' ί3·7·10>
для приближенного вычисления наибольшего корня ω3 уравнения
(3.7.9).
Числовой пример. Пусть ν = 200 сек~г; к = 100 сек~г; κ = 40 сек~г;
η = 80 сек~г\ ξ = 0,2. Корни приближенного характеристического
уравнения (3.7.7) имеют следующие значения: ω1 = 32,15 сек"1; ω2 = 89,03 сек"1.
Кроме того, согласно формуле (3.7.10), ω3 = 223,61 сек"1. Если же частоты
обесточенного гироскопического стабилизатора определить, решая
характеристическое уравнение (3.7.9) исходной совокупности дифференциальных
уравнений (3.7.3), то получим: ωχ = 32,07 сек"1, ω2 = 88,96 сек"1, ω3 =
= 224,36 сек"1.
Рассмотрим теперь тот же гироскопический стабилизатор,
однако с включенным двигателем постоянного тока (с независимым
возбуждением). В соответствии с изложенным в § 5 и § 6
настоящей главы, для описания поведения такого стабилизатора
последнее из уравнений совокупности (3.7.3) надлежит заменить тремя
следующими:
RU-jC^- = V, (3.7.11)
Помимо уже встречавшихся в настоящем параграфе обозначений,
здесь С — коэффициент противоэлектродвижущей силы
двигателя; 1Я — сила тока в цепи якоря двигателя; R — омическое
сопротивление якоря двигателя вместе с выходным сопротивлением
усилителя (индуктивное сопротивление этой цепи здесь не
учитывается); V — электродвижущая сила на выходе усилителя; μ —
коэффициент усиления постоянного напряжения; Φ (ρ) —
передаточная функция усилителя, нормированная так, что Φ (0) = 1
(ρ — оператор дифференцирования); коэффициент g численно
равен 9,81, если, как и в двух предыдущих параграфах, сила тока
гя выражена в амперах, а вращающий момент на валу двигателя —
в килограммометрах *.
Аналогом гироскопического стабилизатора с включенным
двигателем может служить та же механическая система, что и для обес-
* Заметим, что аналогичный вид имеют уравнения и для случая
двигателя переменного тока. См. Весекерский В. Α., Фабрикант Е. А.
Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. Л.,
«Судостроение», 1968.

§ 7. УЧЕТ УПРУГОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 507
(vM
iu·
pwvw
>
«1 f
~=Va
Рис. 101
Ψ-+-
точенного стабилизатора, однако с добавлением (рис. 101)
«искусственной» силы
Р =
Kg
•Ф(Р)Р
и силы «вязкого» сопротивления
F= -
/^
(3.7.12)
(3.7.13)
приложенных к массе Θ. В самом деле, исключая из первого
уравнения (3.7.11) силу тока in посредством второго уравнения и далее
электродвижущую силу V при помощи третьего, получим
^ = Ν^-°)+^1
_μφ(ρ)β_#
(3.7.14)
Таким образом, в правую часть третьего уравнения совокупности
(3.7.3) в случае включенного двигателя стабилизации надлежит
ввести дополнительно два члена Ρ и F в соответствии с формулами
(3.7.12) и (3.7.13).
Для образования «искусственной» силы Ρ в рассматриваемом
механическом аналоге (см. рис. 101) используется «интегрирующее»
звено, вырабатывающее по закону (3.7.2) величину β, и усилитель
с передаточной функцией Φ (ρ) (с точностью до постоянного
множителя — \jLjCIRg). Интегрирующее звено и усилитель образуют
здесь контур обратной связи. Из-за наличия этого контура при
больших, необходимых иногда по техническим требованиям,
коэффициентах усиления μ колебания механического аналога могут
оказаться расходящимися. Соответственно в этом случае будет
неустойчив и сам гироскопический стабилизатор.
Обычно низшие частоты колебаний гироскопического
стабилизатора при включении электрических цепей двигателя изменяются
незначительно, и характер колебаний его масс на таких частотах
по сравнению с изложенным выше остается без существенных из-

508 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
менений. В ряде случаев это обстоятельство позволяет судить о
свойствах гироскопического стабилизатора без предварительного
числового анализа полной совокупности его уравнений.
Пусть, например, передаточная функция усилителя имеет вид:
ф(р) = 1 +ρ*2*. (3.7.15)
Такой усилитель тем значительнее «поднимает» без изменения
фазы амплитуду поступающего на его вход гармонически
изменяющегося напряжения, чем выше частота последнего. Это свойство
усилителя не может способствовать увеличению устойчивости
гироскопического стабилизатора. Действительно, пусть при
надлежащем включении двигателя искусственная сила Р, созданная в
соответствии с равенствами (3.7.12) и (3.7.15), способствует затуханию
колебаний стабилизатора с частотой ω1. На этой частоте массы Ау
Ψ и Θ, согласно изложенному выше, колеблются синфазно.
Однако при колебаниях на следующей частоте ω2 > ωχ фазы
колебаний масс Θ и А противоположны (см. рис. 100). В результате сила
Р, обладая к тому же относительно большей амплитудой, будет
стремиться на частоте ω2 «раскачать» систему и нарушить тем
самым ее устойчивость.
Выше указывалось, что на практике экваториальный момент
инерции ротора А намного меньше моментов инерции ψ и Θ.
Поэтому при исследовании колебаний гиростабилизатора с низшими
частотами имеются основания опустить член A(d2a/dt2)
непосредственно в первом уравнении совокупности (3.7.1). В результате
получим
α - *:- -г § ■ (3·7·16)
Подставляя это выражение во второе и третье уравнения (3.7.1),
получим приближенную совокупность уравнений движения
обесточенного гироскопического стабилизатора в следующем виде:
+ 4^-Я^ = °' (".IT)
θ-ξ?- = ΛΤ(ψ-θ).
Уравнение частот последней совокупности совпадает, как и
следовало ожидать, с уравнением (3.7.7) (не считая корня ω0 = 0).
В пределе при К -> оо уравнения (3.7.17) переходят в
совокупность уравнений гироскопического стабилизатора уже с
абсолютно жесткими подшипниками ротора гироскопа (вновь с дополни-

§ 7. УЧЕТ УПРУГОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА 509
тельным предположением, что Α <^ψ). Имеем
dt2 ' dt
л di* dt ~~и'
©■^^(ψ-θ), (3·7·18)
причем, в этом случае следует считать угол α — поворота ротора
вокруг оси стабилизации — равным углу ψ поворота кожуха и
стабилизируемого тела.
Уравнения (3.7.17), учитывающие упругую податливость
подшипников ротора, совпадают по виду с уравнениями (3.7.18),
относящимися к гиростабилизатору с абсолютно жесткими
подшипниками ротора. Отличие заключается лишь в первом
коэффициенте второго уравнения (при второй производной угла β по
времени). Таким образом, замену в этом уравнении коэффициента
А на i + Н21К можно рассматривать как приближенный учет
жесткости упомянутых подшипников.
С точностью до замены суммы А + Ψ на Ψ те же уравнения
(3.7.18) можно получить непосредственно из совокупности (3.7.1).
Следует лишь предположить, что коэффициент жесткости К
неограниченно возрастает и, как следствие, разность углов α и ψ
стремится к нулю. Так как момент сил взаимодействия ротора
и кожуха остается конечным, то надлежит считать при этом
конечным и произведение К(а —ψ). Сложим раздельно левые и
правьте части первого и третьего уравнений (3.7.1). Полагая
далее α — ψ, получим в результате совокупность трех уравнений
(Ψ+Λ)^+#-!- = ΛΓ(θ-ψ),
a!w-hjw=0· (3·7·19)
которая отличается от совокупности (3.7.18) лишь коэффициентом
при второй производной от угла ψ в первых уравнениях.
В уравнениях настоящего параграфа всюду не принимался во
внимание момент инерции кожуха гироскопа стабилизатора
относительно его (кожуха) оси. Не представляет большого труда учесть
упомянутый момент инерции. Соответствующие выкладки
усложняются незначительно и приводят к замене члена Ad2fi/dt2 на
(А + Вх) d2$ldt2 (где Вх — момент инерции кожуха относительно
своей оси) во всех дифференциальных уравнениях настоящего

510 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
параграфа. Фактически это соответствует пренебрежению
податливостью подшипников ротора при его вращательных движениях
вокруг оси кожуха. Такое пренебрежение допустимо вследствие
малости момента инерции кожуха и, как следствие, большой
величины дополнительной частоты упругих колебаний,
возникающих у гироскопического стабилизатора из-за наличия
упомянутой податливости.
ЛИТЕРАТУРА
Андреев В. Д., Блюмин И. Д., Девянин Ε. Α., Климов Д. М. Обзор
развития теории гироскопических и инерциальных навигационных систем.—
В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.,
«Наука», 1973.
Андронов Α. Α., Витт Α. Α., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М., Физ-
матгиз, 1959.
Бесекерский В. Α., Фабрикант Е. А. Динамический синтез систем
гироскопической стабилизации. Л., «Судостроение», 1968.
Борзое В. И. Влияние моментов сил вязкого трения на уход гироскопа в
кардановом подвесе при вибрации основания.— Изв. АН СССР. МТТ,
1970, № 2.
Будняцкий И. М., Лупи Я. Л. О движении гироскопа, установленного на
вибрирующей платформе, с неточно насаженным ротором на вал.— Изв.
высш. учебн. заведений. Приборостроение, 1961, т. 4, № 6.
Будняцкий И. М., Лунц Я. Л. Уходы динамически неуравновешенного
гироскопа, установленного на колеблющемся основании.— Изв. высш.
учебн. заведений. Приборостроение, 1965, т. 8, № 1.
Булгаков Б. В. Теория гирогоризонта Аншютца.— ПММ, 1937, т. 1, выи. 1.
Булгаков Б. В., Ройтенберг Я. Н. К теории силовых гироскопических
горизонтов.— Изв. АН СССР. ОТН, 1948, № 3.
Булгаков Б. В. Колебания. М., Гостехиздат, 1954.
Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. М., Гостехиздат, 1955.
Бунатян Л. А. Движение свободного гироскопа на подвижном основании
с учетом масс колец карданова подвеса.— Докл. АН СССР, 1963, т. 152,
№ 2.
Бутенин Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний. Л., Судпромгиз,
1962.
Бутенин Н. В., Климов Д. М., Лунц Я. Л., Степаненко Н. П.
Нелинейные задачи теории гироскопических систем.— В кн.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М., «Наука», 1973.
Бухголъц Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1,2. М.,
«Наука», 1972.
Василенко В. #., Темченко Μ. Ε. К теории гирокомпаса на торсионном
подвесе.— Инж. ж. МТТ, 1966, № 1.
Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого
твердого тела около неподвижной точки. М., Гостехиздат, 1953.
Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 1. М.— Л., Гостехиздат, 1933.
Девянин Ε. Α., Ишлинский А. Ю., Климов Д. М. Механика
гироскопических и навигационных систем.— В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т. 1.
Общая и прикладная механика. М., «Наука», 1968.
Жбанов Ю. К. Гирогоризонткомпас на вибрирующем основании.— ПММ,
1961, т. 25, вып. 5.
Журавлев В. Ф. Динамика ротора в неидеальных шариковых подшипниках.—
Изв. АН СССР. МТТ, 1971, № 5.

ЛИТЕРАТУРА
511
Зиненко В. А. О систематических уходах трехосной гироскопической
платформы, вызванных ее угловыми колебаниями.— Изв. АН СССР.
Механика и машиностроение, 1964, № 3.
Зиненко В. А. Об уходах гиростабилизированной платформы.— Изв. АН
СССР. Механика, 1965, № 4.
Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.,
«Судостроение», 1970.
Ишлинский А. Ю. Механика специальных гироскопических систем. Киев,
Изд-во АН УССР, 1952.
Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР,
1963.
Ишлинский А. Ю. Об одной механической аналогии гироскопического
стабилизатора при наличии упругой податливости его элементов.— Докл.
АН СССР, 1965, т. 161, № 6.
Ишлинский А. Ю., Блюмин И. Д. Теория гироскопических и инерциаль-
ных систем.— В кн.: История механики с конца XVIII века до середины
XX века. М., «Наука», 1972.
Климов Д. М. О движении гироскопа в кардановом подвесе с неаксиально
насаженным ротором.— Докл. АН СССР, 1959, т. 124, № 3.
Климов Д. М., Слезкин Л. Н. Применение асимптотических методов к
решению задач о движении астатического гироскопа в кардановом
подвесе.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, № 3.
Климов Д. М. Исследование уходов астатического гироскопа в кардановом
подвесе на качающемся основании.— Изв. АН СССР. Механика и
машиностроение, 1963, № 5.
Климов Д. М., Потапенко В. А. К уходам гироскопа в кардановом подвесе
на подвижном основании.— Инж. ж. МТТ, 1966, № 1.
Климов Д. М., Космодемьянская Г. Н., Черноусъко Ф. Л. О движении
гироскопа с неконтактным подвесом.— Изв. АН СССР. МТТ, 1972, № 2.
Крылов Н. М., Боголюбов Η. Η. Введение в нелинейную механику. Киев,
Изд-во АН УССР, 1937.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., «Наука», 1968.
Лестев А. М. О движении статически сбалансированного гироскопа в
кардановом подвесе, установленного на вибрирующем основании.— Изв.
высш. учебн. заведений. Приборостроение, 1962, т. 5, № 1.
Луни Я. Л. О движении но инерции гироскопа в кардановом подвесе.— Изв.
высш. учебн. заведений. Приборостроение, 1959, № 3.
Луни Я. Л. Движение неуравновешенного гироскопа с учетом трения в
опорах.— Изв. высш. учебн. заведений. Приборостроение, 1959, т. 2, № 4.
Лунц Я. Л. О движении гироскопа в кардановом подвесе, установленного
на подвижной платформе.— Изв. высш. учебн. заведений.
Приборостроение, 1960, т. 3, № 4.
Лунц Я. Л. О систематических уходах платформы трехосного гиростабили-
затора при колебаниях основания.— Изв. высш. учебн. заведений.
Приборостроение, 1964, т. 7, № 4.
Лунц Я. Л. Ошибки гироскопических приборов. Л., «Судостроение», 1968.
Лунц Я. Л. Введение в теорию гироскопов. М., «Наука», 1972.
Магнус К. Об устойчивости движения тяжелого симметричного гироскопа в
кардановом подвесе.— ПММ, 1958, т. 22, вып. 2.
Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М., Гостехиздат, 1956. См. также
Меркин Д. Р. Гироскопические системы. Изд. 2-е. М., «Наука», 1974.
Меркин Д. Р. Об устойчивости движения гирорамы.— ПММ, 1961, т. 25,
вып. 6.
Меркин Д. Р. Применение аналитических методов к анализу
гироскопических систем.— В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциаль-
ных систем. М., «Наука», 1973.
Метелицын И. И. К вопросу о гироскопической стабилизации.— Докл. АН
СССР, 1952, т. 86, № 1.

512 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Назаров Б. И. О погрешностях гиростабилизаторов.— Изв. АН СССР. ОТН,
Техн. кибернетика, 1963, № 2.
Назаров Б. И. Силовые гиростабилизаторы.— В кн.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М., «Наука», 1973.
Немыцкий В. Z?., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных
уравнений. М.— Л., Гостехиздат, 1949.
Николаи Е. Л. О движении уравновешенного гироскопа в кардановом
подвесе.— ПММ, 1939, т. 3, вып. 4.
Николаи Е. Л. К теории девиаций гироскопических приборов.— Тр. Ле-
нингр. политехи, ин-та, 1941, № 3.
Николаи Е. Л. Теория гироскопов. Л.— М., Гостехиздат, 1948.
Николаи Е. Л. Гироскоп в кардановом подвесе. Изд. 2-е. М., «Наука»,
1964.
Новожилов И. В. О понижении порядка уравнений гироскопических
систем.— Инж. ж. МТТ, 1966, № 5.
Новожилов И. В. Об одной из форм уравнений малых колебаний гироскопа
в кардановом подвесе.— Инж. ж. МТТ, 1968, № 1.
Новожилов И. В. О «магнусовых уходах» гироскопа в кардановом подвесе
конечной жесткости.— Инж. ж. МТТ, 1968 № 3.
Новожилов И. В. Уходы трехосного силового гиростабилизатора в
зависимости от расположения гироблоков на платформе.— Инж. ж. МТТ, 1968,
№ 2.
Новожилов И. В. О применении асимптотических разложений теории
дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей
производной для исследования гироскопических систем.— Изв. АН СССР, МТТ,
1970, № 4.
Новожилов И. В. Зависимость систематических уходов гироскопических
устройств от степени элементарного делителя нулевого корня линейной
части уравнений.— Изв. АН СССР. МТТ, 1971, № 4.
Пельпор Д. С. Свободное движение гироскопа, заключенного в кардановом
подвесе. 4.1.— Научн. докл. высш. школы. Машиностроение и
приборостроение, 1958, № 3.
Пельпор Д. С. Движение гироскопа, заключенного в кардановом подвесе,
ротор которого динамически несбалансирован. Ч. 2.— Научн. докл.
высш. школы. Машиностроение и приборостроение, 1959, № 1.
Пельпор Д. С. Влияние инерции рамок кардана на движение гироскопа,
установленного на вибрирующей платформе.— Изв. высш. учебн. заведений.
Приборостроение, 1959, т. 2, № 5.
Пельпор Д. С, Сумароков Н. П. Движение трехосного гироскопического
стабилизатора на качающемся основании.— Изв. высш. учебн.
заведений. Приборостроение, 1962, т. 5, № 2.
Пельпор Д. С. Гироскопические приборы и автопилоты. М.}
«Машиностроение», 1964.
Пельпор Д. С. Теория гироскопических стабилизаторов. М.,
«Машиностроение», 1965.
Пельпор Д. С. Гироскопические системы. Ч. 1. Теория гироскопов и
гироскопических стабилизаторов. М., «Высш. школа», 1971.
Решеттков В. I. Деят питания динамши карданового шдвшу трив1СН01
стабш13овано1 платформи.— Прикл. мехашка, 1961, т. 7, вип. 2.
Ройтенберг Я. Н. Некоторые вопросы теории силовых гироскопических
стабилизаторов.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1962,
№ 4.
Ройтенберг Я. Н. Гироскопы. М., «Наука», 1966.
Румянцев В. В. Об устойчивости движения гироскопа в кардановом
подвесе.— ПММ, 1958, т. 22, вып. 3.
Румянцев В. В. Об устойчивости движения гироскопа в кардановом
подвесе (II).— ПММ, 1958, т. 22, вып. 4.

ЛИТЕРАТУРА
513
Скимелъ В. Н. Некоторые задачи движения и устойчивости тяжелого
гироскопа.— Тр. Казанск. авиац. ин-та, 1958, т. 38.
Скимелъ В. Н. К устойчивости стационарных движений гироскопической
рамы.— ПММ, 1960, т. 24, № 4.
Слезкин Л. Н. О применении асимптотических методов к исследованию
гироскопических систем.— Докл. АН СССР, 1962, т. 147, № 1.
Слезкин Л. Н. О влиянии инерционности колец карданова подвеса на
движение гироскопического интегратора линейных ускорений.— Изв. АН
СССР. Механика и машиностроение, 1964, № 4.
Сломянский Г. А. Об интегрировании уравнений движения симметричного
астатического гироскопа.— ПММ, 1953, т. 17, вып. 4.
Степапенко Н. П. Об уходе двух связанных гироскопов.— Изв. АН СССР.
МТТ, 1969, № 1.
Степапенко Н. П. О гироскопе в кардановом подвесе на свободном
основании.— Изв. АН СССР. МТТ, 1970, № 3.
Стороженко В. Α., Темченко Μ. Ε. О применении теории конечных
вращений к задаче автономного определения координат места движущегося
объекта.- Изв. АН СССР. МТТ, 1971, № з.
Стороженко В. А. Применение энергетического метода к исследованию
устойчивости некоторых колебательных систем.— Инж. ж. МТТ, 1966,
№ 3.
Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1. М., Гостехиздат, 1955.
Суслов Г. К. Теоретическая механика. М. — Л., Гостехиздат, 1944.
Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959.
Тихменев С. С. К вопросу об «уводе» гироскопа на кардановом подвесе при
его нутации.— Изв. высш. учебн. заведений. Приборостроение, 1959, т. 2,
№ 5.
Харламов С. А, О движении гироскопа в кардановом подвесе при наличии
момента вокруг оси собственного вращения.— Докл. АН СССР, 1Э61,
т. 139, № 2.
Харламов С. А. Нутационные колебания и уход синхронного гироскопа,
установленного в кардановом подвесе.— Докл. АН СССР, 1962, т. 146,
№ 3.
Харламов С. А. О движении гироскопа, установленного на шариковых
подшипниках в кардановом подвесе.— ПММ, 1962, т. 26, вып. 2.
Харламов С. А. К теории астатического гироскопа с электрическим
приводом, установленного в кардановом подвесе.— Изв. АН СССР. Механика и
машиностроение, 1963, № 6.
Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М., Гостехиздат, 1955.
Четаев Н. Г. О гироскопе в кардановом подвесе.— ПММ, 1958, т. 22, вып. 3.
Grammel R. Der Kreisel, seine Theorie und seine Anwendungen. Bd. 1—2.
Berlin, Springer, 1950. Рус. перев.: Граммелъ Р. Гироскоп, его теория и
применения. Т. 1—2. М., Изд-во иностр. лит., 1952.
Ishlinsky A. Yu. On Ibe dynamics of a system of rigid bodies. In: Theoretical
and applied mechanics. (Proc. 13th Int. Congress of Theoret. and Appl. Mech.
Moscow University, 1972). Berlin, e. a., Springer — Verlag, 1973.
Magnus K. Auswanderungserscheinungen an schwingenden Kreiseln in kar-
danischer Lagerung.— In: Advances Aeronautical Sciences. Vol. 1. London,
e. a., Pergamon Press, 1959, p. 507—523.
Magnus K. Beitrage znr Dynamik des Kraftefreien, Kardanisch gelagerten
Kreisels.— Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. Januar
— Februar, 1955, Bd. 35, H. 1/2.
Magnus K. Der Kreisel, eine Einfuhrung in die Lehre vom Kreisel, mit An-
leitung zur Durchfurung von Versuchen. Gottingen, Industrie — Druck,
1965.
Magnus K. Kreisel. Theorie und Anwendungen. Berlin,— e. a., Springer —
Verlag, 1971. Рус. перев.: Магнус К. Гироскоп. Теория и применение.
М., «Мир», 1974.

514 ГЛАВА III. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
Magnus К. Zur Geschichte der Airwendung von Kreiseln in Deutschland.—
В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.,
«Наука», 1973. Рус. перев.: Магнус К. К истории применения гироскопов
в Германии.— В кн.: История механики гироскопических систем. М.,
«Наука», 1975.
Scarborough /. В. The gyroscope. Theory and applications. New York —
London, Interscience, Publ., 1958. Рус. перев.: Скарборо Дж. Б. Гироскоп.
Теория и применения. М., Изд-во иностр. лит., 1961.
Stewart В. М. Some effects of vibration and rotation on the drift of
gyroscopic instruments.— ARS Journal, 1959, vol. 29, No. 1. Рус. перев.:
Стюарт P. К вопросу о влиянии вибраций и вращения на дрейф
гироскопических приборов.— Вопр. ракетн. техн. Сб. перев. и обзоров иностр.
период, лит., 1959, № 8.
Wrigley И7., Hollister W. Μ., Denhard W. G. Gyroscopic theory, design, and
instrumentation. Cambridge (Mass.),— London, Μ. Ι. Τ. 1969. Рус. перев.:
Ригли У.п Холлистер У., Денхард У. Теория, проектирование и
испытания гироскопов. М., «Мир», 1972.

IV
ГЛАВА
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ
ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО ЭКВАТОРУ
И БОЛЬШОМУ КРУГУ
НЕВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗЕМЛИ
§ 1. Чувствительные элементы инерциальиых систем.
Ньютонометры
Задачей инерциальной навигации в общем случае является
определение местоположения объекта, произвольно
перемещающегося по земной сфере *, а также его ориентация относительно стран
света без использования какой-либо внешней информации
(земных ориентиров, наблюдений за звездами, Солнцем, Луной,
измерения магнитного поля Земли, приема сигналов радиомаяков
и т. п.). Исходными данными для решения этой задачи являются
показания так называемых чувствительных элементов систем
инерциальной навигации — простых и сложных гироскопических
устройств (свободных гироскопов, гиротахометров, гирокомпасов,
гиростабилизированных платформ и т. п.), а также ньютономет-
ров различного назначения (упруго подвешенных масс, гироинтег-
раторов, маятников с интегрирующим маховиком Бойкова и др.).
Показания чувствительных элементов поступают на вход
электромеханического или электронного вычислителя, посредством
которого решаются уравнения инерциальной навигации,
содержащие в качестве неизвестных координаты объекта на земной
сфере и его курс. Упомянутые уравнения приводятся в начале
следующей, пятой, главы. В настоящей же главе рассматривается
лишь частная задача инерциальной навигации — определение
местоположения объекта при движении по большому кругу невра-
щающейся сферы S (см. § 2 гл. I настоящей книги),
концентрической с Землей или, что то же, по большому кругу земной сферы
в предположении, что последняя не вращается.
Как правило, чувствительные элементы систем инерциальной
навигации служат для определения изменения ориентации
(углового перемещения, угловой скорости) специальной платформы,
стабилизированной при помощи гироскопов, по отношению к
какой-либо невращающейся системе координат. Кроме того,
посредством этих элементов производится прямое или косвенное изме-
* Чисто инерциалъные системы, включающие и определение высоты
(пространственная навигация), неустойчивы и здесь не приводятся. См. стр. 590.

516 ГЛАВА IV. ННЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
Рис. 102
рение некоторых параметров
(кажущиеся ускорение и
скорость), в известной мере
характеризующих «абсолютное» движение
центра подвеса платформы,
движущейся вместе с объектом.
При этом под «абсолютным»
движением, в согласии с
изложенным в главе I настоящей книги,
следует понимать перемещение
платформы по отношению к
какой-либо фиксированной га-
лилеевой системе.
Измерение вращательных
движений стабилизированной
платформы может быть произведено
посредством гироскопов высокой
точности. Что же касается
определения перемещения центра платформы по отношению к
выбранной галилеевой системе координат, то из-за неустойчивости
трехмерных инерциальных систем это возможно только в принципе.
Должно быть, конечно, задано как поле тяготения, так и
исходное положение и начальная скорость центра платформы.
Чувствительные элементы, действие которых основано на
законах классической механики, позволяют измерить лишь так
называемое кажущееся ускорение а — геометрическую разность
между абсолютным (т. е. по отношению к галилеевой системе)
ускорением w и ускорением силы тяготения / (абсолютным
ускорением свободной материальной точки в данном месте
пространства из-за притяжения к Земле и другим небесным телам).
В дальнейшем достаточно (см. § 1 гл. I) под абсолютным
ускорением w условно понимать ускорение относительно невращаю-
щейся системы координат ξ8ηθζδ с началом в центре Земли, а
под вектором / — ускорение по отношению к той же системе
ξδηδζδ свободной точки под действием тяготения к одной Земле.
Чувствительные элементы, измеряющие кажущееся ускорение,
были названы нъютонометрами *. В простейшем случае в
качестве ньютонометра, измеряющего проекцию кажущегося
ускорения на заданное направление ν его оси чувствительности, может
служить, как известно **, следующее устройство (рис. 102).
Грузик массы πι перемещается с минимальным зазором внутри
* Они также называются (не вполне правильно) акселерометрами или
измерителями ускорений. См. статью автора «Об уравнениях задачи
определения местоположения движущегося объекта посредством гироскопов и
измерителей ускорений».— ПММ, 1957, т. 21, вып. 6.
** См. книгу автора «Инерциалъное управление баллистическими
ракетами». М., «Наука», 1968.

§ 1. ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. НЬЮТОНОМЕТРЫ 517
цилиндрической полости корпуса прибора. Корпус связан с
грузиком пружиной жесткости с.
Нетрудно убедиться, что смещение δ грузика от того положения
в цилиндрической полости, при котором пружина не напряжена
(т. е. не натянута и не сжата), характеризует проекцию αν
кажущегося ускорения корпуса ньютонометра на направление оси v.
Последняя является в данном случае осью упомянутой
цилиндрической полости. В самом деле, пусть корпус ньютонометра вместе
с объектом, на котором он расположен, совершает поступательное
движение с абсолютным ускорением w. Тогда, пренебрегая
массой пружины и трением между грузиком и стенками полости,
можно представить уравнение движения грузика относительно
корпуса прибора в следующем виде:
τη-р- = — сЬ —mwv + Щ»· (4.1.1)
Здесь δ обозначает, как уже упоминалось, смещение грузика
относительно корпуса вдоль направления ν или, что то же, величину
деформации пружины, wv — проекция ускорения корпуса на
направление ν, /ν — проекция на то же направление ускорения
тяготения.
Пусть период собственных колебаний грузика относительно
неподвижного корпуса, определяемый известной формулой
Г = 2я]/^, (4.1.2)
намного меньше характерного времени изменения ускорения
корпуса ньютонометра, например, времени, в течение которого
ускорение интенсивно возрастает или убывает. В этом случае * можно
с достаточным для практики приближением в уравнении (4.1.1)
опустить вторую производную смещения δ по времени. В
результате получаем, что
б_ f—^. (4.1.3)
Наблюдаемое смещение грузика от положения, при котором
пружина не напряжена, можно проградуировать так, чтобы оно
непосредственно измеряло некоторую величину αν, связанную с
деформацией пружины δ соотношением
αν = —-jjj-δ. (4.1.4)
В этом случае произведение mav будет определять (с обратным
* Крылов А. Н., Прутков Ю, А. Общая теория гироскопов и
некоторых технических их применений. Л., Изд-во АН СССР, 1932.

518 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬЫАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
знаком) силу сб, с которой растягивается пружина. Согласно
равенству (4.1.3), имеем теперь
αν = Wv — /v. (4.1.5)
Отсюда на основании данного в начале параграфа определения
кажущегося ускорения следует, что величина αν является
проекцией кажущегося ускорения а на направление v. Это
направление, как уже указывалось, называется осью чувствительности
ньютонометра, а сам описанный ньютонометр — одноосным.
Для измерения полного вектора кажущегося ускорения а
необходимо иметь на стабилизированной платформе три одноосных
ньютонометра, расположенных так, чтобы оси их
чувствительности не оказались бы одновременно параллельными одной и той же
плоскости. Более сложно устроенные ньютонометры могут
измерять полный вектор кажущегося ускорения или его проекцию
на заданную плоскость непосредственно.
Если корпус одноосного ньютонометра совершает также и
угловые движения, то под величиной wv в уравнении движения
(4.1.5) следует понимать проекцию переносного ускорения
грузика на направление ν, τ. е. абсолютное ускорение того места
корпуса прибора, где в текущее мгновение времени находится
грузик, принимаемый в данном случае за материальную точку.
Обозначим через w0 абсолютное ускорение точки 0 крепления пружины
ньютонометра к его корпусу или ускорение какой-либо другой
фиксированной точки корпуса ньютонометра, также находящейся на
оси чувствительности ν (см. рис. 102). Через ρ обозначим
расстояние между этой точкой и грузиком и через ωπ — составляющую
угловой скорости корпуса вдоль плоскости, перпендикулярной
к оси чувствительности. Можно показать *, что разность
проекций ускорения ιϋ0 и переносного ускорения грузика we на ось
ν равна произведению ω^ρ. При небольших размерах
ньютонометра это произведение мало и, как правило, им можно пренебречь.
В силу изложенного при расположении корпуса ньютонометра на
стабилизированной платформе угловые движения последней при
определении кажущегося ускорения центра ее подвеса можно не
учитывать. Поэтому в дальнейшем принимается, что кажущееся
ускорение центра стабилизированной платформы непосредственно
измеряется расположенными на ней ньютонометрами.
Случай, когда оси чувствительности ньютонометров не
проходят через центр подвеса, требует дополнительного исследования
* Следует обратиться к формулам (см. § 2, гл. I настоящей книги)
для ускорения точек твердого тела (корпус ньютонометра) в проекциях
на оси системы координат с началом в точке крепления пружины.
Используя эти формулы, надлежит вычислить проекцию на ось чувствительности
ньютонометра ускорения какой-либо точки, находящейся на этой оси.

§ 1. ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. НЬЮТОНОМЕТРЫ 519
Рис
из-за необходимости учета
угловых ускорений платформы.
Последние, в принципе,
обусловливают различие в текущих
показаниях ныотонометров с
параллельными осями
чувствительности при неточной
стабилизации платформы. Однако
можно ожидать, что и здесь
показания ньютонометров годятся
для измерения кажущегося
ускорения центра платформы,
если только расстояние между
центром и осью
чувствительности невелико.
При малых значениях
кажущихся ускорений, например,
при измерении их на спутнике,
сделанные выше заключения о
практическом равенстве
показаний ньютонометров с
параллельными осями чувствительности
теряют силу. Более того, по показаниям нескольких
разнесенных друг относительно друга одноосных ньютонометров, в
частности, с разным расположением осей чувствительности можно без
каких-либо гироскопических систем определить (правда,
неоднозначно) вектор угловой скорости спутника *.
Существует много различных конструкций одноосных
ньютонометров. Некоторые из них измеряют не само кажущееся
ускорение, а его интеграл по времени. К числу таких приборов
относится гироскопический интегратор кажущихся ускорений,
доведенный в настоящее время до высокой степени совершенства **.
В нем угловая скорость daldt прецессии гироскопа (рис. 103)
пропорциональна проекции av на ось внешнего кольца вектора
кажущегося ускорения центра масс неуравновешенной системы
«кожух—ротор» гироскопа. В результате, угол а поворота
внешнего кольца относительно корпуса оказывается пропорциональным
интегралу от упомянутой проекции; этот угол также
пропорционален массе т системы «кожух — ротор», расстоянию / между
центром этой массы и осью кожуха и обратно пропорционален
*Девянин Ε. Α., А н д ρ е е в В.Д., Демъяновский А. П.
К теории инерциальных систем, не содержащих гироскопических
чувствительных элементов.— Инж. ж. МТТ, 1966, Μ 1.
** Π е л ь η ο ρ Д. С. Гироскопические приборы и автопилоты. М.,
«Машиностроение», 1964.

520 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
собственному кинетическому моменту Η гироскопа (см. § 7 гл. II
настоящей книги). Таким образом,
t
а = α° + ΊΓ V" ^ = ^(t)dt, (4Л*6)
о
где а0 — исходное значение угла а в мгновение t — 0, а \\ —
проекция так называемой кажущейся скорости на ось v.
Для того чтобы гироскопический интегратор функционировал
правильно, к внешнему кольцу подвеса его гироскопа
прикладываются искусственно создаваемые силы. Их суммарный момент К
относительно оси внешнего кольца должен вызывать
дополнительную прецессию гироскопа, в результате которой вектор Η
собственного кинетического момента (или, что то же, ось собственного
вращения ротора) все время оказывается перпендикулярным оси
этого кольца. В § 7 гл. II настоящей книги приводилось вычисление
ошибки гироскопического интегратора в случае, когда этот вектор
образует с осью внешнего кольца угол, отличающийся от прямого
на некоторую постоянную величину δ.
Интеграторы кажущихся ускорений нашли себе большое
применение в схемах инерциального управления полетом
баллистических ракет *. Они могут использоваться также и в инерциальной
навигации.
§ 2. Схема Кофмана — Левенталя
(одноосный вариант)
Предположим, что объект движется по дуге большого круга
некоторой воображаемой невращающейся сферы S, центр которой
совпадает с центром Земли (см. § 2 гл. I настоящей книги).
Введение такой сферы, не принимающей участия во вращении Земли,
как уже указывалось, удобно для исследования и последующего
изложения многих вопросов теории гироскопов и инерциальной
навигации.
Свяжем с только что введенной сферой S произвольно
выбранную невращающуюся систему координат ξθηδζδ с началом в центре
сферы. Очевидно, что абсолютная угловая скорость ωδ этой
системы равна нулю.
Задача инерциальной навигации в данном случае состоит в
отыскании длины s = s (t) дуги упомянутого большого круга между
исходным и текущим положениями объекта, точнее, некоторой
связанной с ним точки. В частности, объект может двигаться в
плоскости экватора на известной постоянной высоте над Землей.
См. вторую сноску па стр. 516.

§ 2. СХЕМА КОФМАНА — ЛЕВЕНТАЛЯ (ОДНООСНЫЙ ВАРИАНТ) 521
(@vwvwwj
Рис. 104
Тогда последующее определение местоположения объекта
относительно Земли сводится уже к простому учету времени от начала
движения, дабы иметь возможность вычислить соответствующий
этому времени поворот Земли относительно сферы S.
Для фактического решения поставленной частной задачи инер-
циальной навигации может быть предложено * следующее
устройство (рис. 104). Гироскоп в кардановом подвесе расположен на
так называемой стабилизированной платформе, которая, в свою
очередь, подвешена на борту подвижного объекта. Посредством
следящих систем платформа стабилизируется таким образом,
чтобы она была все время перпендикулярна к оси собственного
вращения гироскопа или, что то же, к вектору Η его собственного
кинетического момента.
Предполагается, что при движении объекта центр подвеса
стабилизированной платформы, именуемый в дальнейшем просто
центром платформы, перемещается по дуге упомянутого большого
круга, а ось внешнего кольца карданова подвеса самого
гироскопа расположена так, что она все время находится в плоскости
этого круга. В ту же плоскость непрерывно приводится вектор Η
собственного кинетического момента гироскопа, для чего к оси
* См. К о φ ж а п Л. М., Левенталъ Е. Б. «Навигационный
прибор для регистрации пройденного пути и скорости». Лот. сеид. № 184465
от 26 декабря 1932 г. Официальный бюллетень Комитета по делам
изобретений и открытий при СМ СССР, 1966, № 15. Теоретическое рассмотрение
этой схемы было предпринято Б. В. Булгаковым в 1938 г. и опубликовано
лишь в 1969 г. (см. «Теория одной гироскопической системы навигации».—
Изв. АН СССР, МТТ, 1969, Μ 3). Имеется также исследование на эту
тему Л. И. Ткачева («О 84-минутном периоде для систем со связанными и
свободными гироскопами».— Π ММ, 1949, т. 13, вып. 2).

522 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
кожуха последнего прикладывается корректирующий момент К *.
Со стабилизированной платформой жестко связан корпус какого-
либо одноосного ньютонометра, в частности описанного в
предыдущем параграфе настоящей главы. Ось чувствительности ν
ньютонометра также находится в плоскости большого круга и
параллельна оси χ внешнего кольца гироскопа. В соответствии с
изложенным в том же параграфе можно принять, что ньютонометр
измеряет текущую величину αν = av (t) проекции на ось
чувствительности ν вектора кажущегося ускорения центра
платформы.
Величина av(t) поступает в счетно-решающий блок, в котором
с пренебрежимо малым запаздыванием образуется функция
ι
Fv(0 = $Ov(0^ + bv, (4.2.1)
о
в состав которой входит постоянная величина bv< Значение
последней будет определено несколько далее.
Функция Fv (t) с точностью до постоянного множителя к
воспроизводится посредством электромагнита в виде момента Μ =
= Μ (t), воздействующего на ось внешнего кольца гироскопа.
В результате под действием упомянутого момента
Μ = kFv (t) = к К αν (t) dt + 6Ϋ1 (4.2.2)
гироскоп прецессирует в плоскости большого круга (рис. 105).
Соответствующая угловая скорость прецессии ω выражается (см.
§ 2, гл. II настоящей книги) известной формулой
ω = £. (4.2.3)
С той же угловой скоростью ω = ω (t) посредством следящих
систем поворачивается по отношению к введенной в начале
настоящего параграфа невращающейся системе координат |δηδζδ и
стабилизированная платформа.
Существенно, что начальное расположение гироскопа, а также
постоянные bv и к в формулах (4.2.1) и (4.2.2) можно выбрать
такими, чтобы при произвольном движении центра платформы по
дуге большого круга направление собственного кинетического
момента Η в любое мгновение времени проходило через центр
* См. главу II настоящей книги, в которой излагаются законы
прецессионного движения гироскопов.

§ 2. СХЕМА КОФМАНА — ЛЕВЕНТАЛЯ (ОДНООСНЫЙ ВАРИАНТ) 523
Рис. 106 Рис. 106
сферы S и, следовательно, через центр Земли *. При этом длина
дуги s (t) между начальным и текущим положениями центра
платформы на сфере представится простой формулой
t
s(t) =--^F,(t)dt. (4.2.4)
о
Тем самым, чтобы фактически определить текущее значение длины
дуги s (t)у следует включить в состав описываемого устройства еще
один счетно-решающий блок для интегрирования функции Fv (ί).
В итоге задача инерциальной навигации по дуге большого круга
на невращающейся сфере S оказывается решенной.
Покажем справедливость только что приведенных утверждений.
Совместим координатную плоскость ζδξδ невращающейся
системы координат ξδηδζδ с плоскостью большого круга сферы S, по
которому происходит движение объекта. Исходное положение
центра платформы (см. рис. 105) поместим на оси ζδ. Введем далее
подвижную систему координат ξη ζ с началом в центре платформы.
* Возможны и другие варианты взаимного расположения гироскопа и
стабилизированной платформы. Например, можно заставить платформу
посредством следящих систем быть все время параллельной вектору Н. Тогда
при том же выборе постоянных &ν и к вектор Η будет неизменно
перпендикулярен радиусу Земли, проведенному к центру платформы, если таким же
было его начальное расположение.

524 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
Направим ось ζ этой системы по продолжению радиуса сферы S,
проведенного к текущему положению центра платформы, и ось
| — по касательной к большому кругу. В начальное мгновение
t — 0 оси ζ и ζ5 направлены по одной прямой, а ξ и ξθ —
параллельны. Угол между осями ζ5 и ζ (или, что то же, между осями
Is и |) в текущее мгновение времени t обозначим через ψ — ψ (t).
С самой платформой свяжем систему координат xyz также с
началом в ее центре. Ось z системы xyz направим по вектору Η
собственного кинетического момента гироскопа, ось χ расположим
в плоскости большого круга; ось у окажется при этом
параллельной осям η и Ύ]5. Обозначим далее через а — a (t) угол между
осью ζ и вектором Η или, что то же, осью z. Заметим при этом, что
угол между перпендикулярной к вектору Η платформой и осью
|, касающейся большого круга, также является углом a (t).
Очевидно, что
s(t) = ϋψ(0 (4.2.5)
и
Ψ + α = χ, (4.2.6)
где χ = χ (ή — угол между вектором Η (т. е. осью ζ) и
направлением оси ζδ невращающейся системы координат ξδηδζδ.
Угловая скорость ω прецессии гироскопа, являющаяся
угловой скоростью вращения вокруг оси η кожуха гироскопа и
одновременно угловой скоростью его внешнего кольца и
стабилизированной платформы, выражается следующей формулой:
При положительном значении производной dtyldt система
координат ξηζ вращается против стрелки часов по отношению к системе
ξδηδζδ, если наблюдать за вращением со стороны положительного
направления оси ηδ, параллельной оси η. Точно так же вращается
вокруг оси η или. что то же, вокруг оси у при da/dt ^> 0
стабилизированная платформа вместе с гироскопом, а также связанная
с нею система координат xyz по отношению к системе ξηζ.
Абсолютное ускорение центра платформы представляет собой
геометрическую сумму центростремительного wn и касательного
wx ускорений. По предположению этот центр перемещается по
дуге большого круга невращающейся сферы S. Следовательно,
согласно общеизвестным формулам, имеем
dv ν2 // о о\
^ = -5Γ· №» = Τ· (4·2·8>
где ν — скорость.движения центра платформы по кругу и R —
радиус последнего.

§ 2. СХЕМА КОФМАНА — ЛЕВЕНТАЛЯ (ОДНООСНЫЙ ВАРИАНТ) 525
Нетрудно видеть (рис. 106), что проекция wv абсолютного
ускорения ыа ось чувствительности ньютонометра ν, совпадающую
с осью χ системы координат xyz, выражается следующей формулой
w,> —wx — —r- cos α + -τι- sin ά, (4.2.9)
где а = a (t) — введенный выше угол между вектором Η и осью ζ.
Ускорение тяготения / направлено к центру Земли и его
проекция на ось ν (или, что то же, на ось х), в свою очередь,
такова
U = ]'χ = /sin α. (4.2.10)
Воспользуемся теперь формулой (4.1.5) предыдущего параграфа
для проекции кажущегося ускорения на направление v. Учитывая
два последних равенства, имеем
αν = ах = -£- cos α + ί-^ /1 sin α. (4.2.11)
Таким образом, в общем случае при α (ή =/= 0 функция Fv (t)
представляется, согласно формулам (4.2.1) и (4.2.11), в виде
t
Fv (t) - [ Г-J- cos α + (-J - λ sin αϊ dt + 6V. (4.2.12)
о
Подставим теперь полученное выражение для функции Fv (t)
в формулу (4.2.2) для момента М. После этого уравнение прецессии
гироскопа (4.2.3) с учетом формулы (4.2.7) обратится в следующее
интегродифференциалыюе уравнение для определения
неизвестной функции а = а(/):
da к ?Vdv . / г;2 Д . "I ,. . къ* d\p ,/олоч
о
которое является основным для дальнейшего исследования.
Для упрощения последующих рассуждений введем некоторую
воображаемую вспомогательную платформу с тем же центром,
что и у основной платформы, и расположим на ней дополнительный
ньютонометр, ось ν* чувствительности которого также лежит
в плоскости большого круга сферы S. Заставим вспомогательную
платформу двигаться так, чтобы она все время была
перпендикулярна к радиусу большого круга, проведенному к ее центру.
Тогда проекция центростремительного ускорения wn центра
подвеса платформы и проекция ускорения тяготения / на
направление оси ν* чувствительности дополнительного ньютонометра
окажутся равными нулю, и его показание clVm представится простой

526 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
формулой
- = 4b (4-2.14)
что также непосредственно следует из формулы (4.2.11), если в ней
положить а = 0 и av заменить на aV:i!.
Пусть момент М*, прилагаемый теперь к внешнему кольцу
гироскопа вспомогательной платформы, вновь образуется в
соответствии с формулой (4.2.2), однако вместо показаний αν
основного ньютонометра в счетно-решающий блок вводятся показания
αν^ ньютонометра дополнительного. В этом случае функция Fv^,
получаемая на выходе счетно-решающего блока, имеет вид
t
*v. (О = $-J-*+ *v (4-2.15)
о
Придадим постоянной величине bVA в последней формуле значение
fcv. = »(0), (4.2.16)
где ν (0) — скорость центра платформы в мгновение t = 0. Тогда
формула (4.2.15) после очевидного упрощения примет вид
Fv,(t) = v(t). (4.2.17)
Момент М#, приложенный к гироскопу, представится теперь,
в соответствии с равенством (4.2.2), формулой
М* = kv(t). (4.2.18)
Следовательно, угловая скорость прецессии гироскопа, в
согласии с формулами (4.2.3) и (4.2.7), составит величину
d% kv (t) к ds
dt ' Η Η At
(4.2.19)
Выберем коэффициент пропорциональности в формуле (4.2.18)
таким, чтобы осуществлялось равенство
4=4-· (4·2·20)
В этом случае, согласно соотношениям (4.2.19) и (4.2.5), получим
(4.2.21)
άχ 1 ds dip
~dt ~~ ~7Γ dt ~~ ~dt
где ψ — по-прежнему угол между исходным и текущим
направлениями радиуса большого круга, проведенного к центру платформы,
т. е. угол между осями ζδ и ζ (рис. 106). В мгновение t = 0 имеем
ψ (0) - 0. (4.2.22)

§ 2. СХЕМА КОФМАНА — ЛЕВЕНТАЛЯ (ОДНООСНЫЙ ВАРИАНТ) 527
Установим в исходном положении гироскоп так, чтобы вектор Η
его собственного кинетического момента был направлен по
продолжению текущего радиуса большого круга, т. е. по оси ζ.
Тогда, с учетом равенства (4.2.6), надлежит считать, что
χ (0) = α (0) = 0, (4.2.23)
после чего, согласно соотношению (4.2.21). в результате
интегрирования получаем
χ (0 = Ч> (0- (4.2.24)
Последнее равенство означает, что не только в начальное, но и
в произвольное мгновение времени вектор Η направлен по
продолжению текущего радиуса большого круга, т. е. по оси ζ.
Вместе с тем основная платформа, в силу наличия следящих систем,
будет все время к этому радиусу перпендикулярна. Тем самым
основная и вспомогательная платформы оказываются
ориентированными совершенно одинаково и, как следствие, показания
основного ньютонометра αν и вспомогательного aVA не будут
отличаться друг от друга. Ввиду изложенного, ничего не изменится,
если вместо показаний aVA вспомогательного ньютонометра в
счетно-решающий блок поступят показания a v основного
ньютонометра. Функция Fv(t) примет теперь тот же вид (4.2.17), что и
функция Fv+ (t). При этом необходимо, чтобы было выполнено
условие
/;v - ν (0), (4.2.25)
аналогичное равенству (4.2.16). Далее очевидно, что
интегрирование функции Fv (t) посредством дополнительного
счетно-решающего блока приводит в данном случае к формуле
ί t
J F, (t) dt = ^v(t)dt = s (ί), (4.2.26)
о о
где s (t), как и ранее, длина дуги между исходным и текущим
положениями центра платформы, причем, разумеется, s (0) = 0.
Формула (4.2.26) представляет собой решение задачи инерциаль-
ной навигации по дуге большого круга невращающейся сферы S
при непременном выполнении условий (4.2.23) и (4.2.25).
Пусть теперь или условие (4.2.25) соблюдается с некоторой
ошибкой или в начальное мгновение времени t = 0 основная
платформа образует с осью ξ угол а (0) = а0, несколько
отличающийся от нуля. Или, наконец, как этого следует чаще всего ожидать
на практике, имеет место и то и другое. Тогда величина
t
e(t) = ^F,(t)dt, (4.2.27)
о

528 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
получаемая в результате интегрирования в счетно-решающем
блоке функции Fv (£)> будет отличаться от истинного значения
s (t) — длины дуги между исходным и текущим положениями
центра платформы. Функция Fv (t) определяется вновь формулой
(4.2.12), но угол а = a (t) не равен тождественно нулю.
Определим разность между величинами в (t) и s (t). Прежде
всего заметим, что угловая скорость прецессии гироскопа,
согласно равенствам (4.2.3), (4.2.2) и (4,2.7), представляется следующим
образом:
-§ = ΊΓ^)· <4·2·28>
Отсюда с учетом формулы (4.2.27) получаем
χ(<) = Χ(0) + -^3(0· (4.2.29)
Здесь
X (0) = а (0) = а0 (4.2.30)
— в общем случае отличный от нуля угол между вектором Η
собственного кинетического момента гироскопа и осью ζδ невращаю-
щейся системы координат ξδηδζδ в начальное мгновение времени.
Очевидно, что в то же мгновение t = 0, величина а (0) является
также значением угла между осью ξ и осью ν чувствительности
ньютонометра. Последняя, как уже упоминалось выше, совпадает
с осью χ системы координат xyz, связанной с платформой (рис. 106).
Угол а (0) называется ошибкой начальной установки платформы.
Будем считать, что равенство (4.2.20) выполняется точно. Тогда
из соотношения (4.2.29) и равенства (4.2.30) следует
σ (г) = R Ιχ (ή - а (0)]. (4.2.31)
Далее, учитывая также равенства (4.2.6) и (4.2.5), получаем
As = а (0 — s (t) = R[a (t) — а (0)]. (4.2.32)
Здесь As — искомая ошибка в определении истинного положения
центра платформы на большом круге.
Таким образом, ошибка As рассматриваемой системы инерци-
альной навигации при идеальном функционировании всех ее
элементов — гироскопа, следящих систем, счетно-решающих
блоков — определяется разностью углов a (t) и а (0). При этом угол
a (t) является текущей погрешностью в стабилизации платформы
по отношению к направлению оси ξ, т. е. ее отклонением от
касательной к большому кругу сферы S, проведенной через текущее
положение центра платформы. Угол а (0), как уже указывалось
выше, возникает в результате неточной начальной установки
платформы в мгновение t = 0.

§ 2. СХЕМА КОФМАНА — ЛЕВЕНТАЛЯ (ОДНООСНЫЙ ВАРИАНТ) 529
Займемся теперь рассмотрением вопроса об устойчивости не-
возмущенного движения платформы, при котором α (t) = 0. Для
этой цели необходимо выяснить, как изменяется угол a (t) во
времени при неточном соблюдении условия (4.2.23) обращения
начального значения α (0) в нуль, а также условия (4.2.25) выбора
величины постоянной Ьх. Согласно формуле (4.2.5),
£=44· (4·2·33>
Поэтому интегродифференциальное уравнение (4.2.13) можно
представить в виде
da k?[dv , / ν2 Д . Ί jM . kK v (t) ,, 0 Q/4
0
Полагая здесь t = 0 и сохраняя равенство (4.2.20), получим
■i-L^-Tri*·-"^ <4·2·35>
Таким образом, несоблюдение условия (4.2.25) ведет к появлению
отличной от нуля производной угла а = a (t) в начальное
мгновение времени.
Продифференцируем соотношение (4.2.34) по времени и вновь
учтем равенство (4.2.20). В результате придем к следующему
дифференциальному уравнению относительно функции a (t):
d2<x 1 /. ν2 \ . 1 ,л ν dv ,. 0 о£?ч
-dF==--H\)--R)sma--7r(i-cosa)-dt ' (4·2·36)
в котором скорость ν (ή движения центра платформы по
большому кругу надлежит считать как бы известной функцией времени.
Начальными условиями этого уравнения являются соотношения
(4.2.30) и (4.2.35), именно
α(0) = α0, -^-|£_ο = άο- (4.2.37)
Тождественное равенство нулю угла а всегда является
решением дифференциального уравнения (4.2.36). Это решение, в
частности, устойчиво, если
ν = v0 = const, (4.2.38)
т. е. в случае движения центра платформы по дуге большого круга
с постоянной по модулю скоростью v0 относительно сферы S или,
что то же, относительно невращающейся системы координат
ξδηθζδ. Одним из таких движений является перемещение объекта
с постоянной скоростью относительно Земли по экватору.
Отыскание необходимых условий устойчивости решения а = 0
нелинейного дифференциального уравнения (4.2.36) в общем слу-

530 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
чае составляет значительные трудности. Ограничимся
приближенным рассмотрением вопроса об устойчивости решения этого
уравнения. Сохраним в нем лишь члены первого порядка относительно
угла а. Получим новое дифференциальное уравнение
dH
dt*
n2sa=0, (4.2.39)
в котором
η2
4-(>-Я~И'~£)· №«ч
Входящая в формулу (4.2.40) величина
Vl = YJr (4.2.41)
является значением первой космической скорости для тел,
покидающих Землю. Если
*<Oi, (4.2.42)
например, имеет порядок скорости точек экватора Земли в ее
суточном движении, то можно приближенно положить
п\ ~-^ ~ -J- = const. (4.2.43)
Здесь / — ускорение силы тяготения и g — ускорение силы
тяжести (см. § 1 гл. I настоящей книги).
Решение дифференциального уравнения (4.2.39) при начальных
условиях (4.2.37) в предположении постоянства количества ns
выражается следующей формулой:
α — α0 cos nst + — sin nst. (4.2.44)
Таким образом, погрешность α = a (t) в стабилизации
платформы из-за несоблюдения условий (4.2.23) и (4.2.25) в первом
приближении изменяется по гармоническому закону. Величина
V·*-·
(4.2.45)
как уже было упомянуто в § 4 гл. II настоящей книги, носит
название частоты Шулера, а период функции a (t) (т. е. угла
отклонения платформы от касательной к большому кругу)
Γδ = 2π]/Α (4.2.46)
называется периодом Шулера.

§ 2. СХЕМА КОФМАНА — ЛЕВЕНТАЛЯ (ОДНООСНЫЙ ВАРИАНТ) 531
Итак, в предположении постоянства количества ns
невозмущенное движение платформы, т. е. такое движение, при котором
угол а — α (/) тождественно равен нулю, является устойчивым *.
В заключение рассмотрим, какая возникнет ошибка в
определении местоположения объекта, движущегося по дуге большого
круга, если в описанной инерциальной системе гироскоп и нью-
тонометр не функционируют идеально. Именно, пусть угловая
скорость ω поворота стабилизированной платформы
определяется теперь не формулой (4.2.3), в которой величина Μ задается
выражением (4.2.2), а представляется в виде
ω =4+ ^>· <4·2·47>
Здесь μ (t) — дополнительная угловая скорость ухода гироскопа
из-за воздействия на него всевозможных возмущающих факторов
(трение в осях подвеса, тяжение токоподводов, моменты сил
тяготения и эйлеровых сил инерции, обусловленных наличием деба-
ланса, инерционное влияние колец подвеса и др.)·
В свою очередь, примем, что показание αν ньютонометра
отличается от истинного значения кажущегося ускорения на некоторую
величину и (t). Таким образом, вместо формулы (4.2.11) следует
теперь считать, что
αν = -τξ cos α -f- (-73 Л sinoc-f- u(t). (4.2.48)
Подставляя последнее выражение в формулу (4.2.1), получим для
функции ϊ\(ή следующее представление:
t
Fv(t) = [ [-^-cosa + (-J- - λ sin a + u(t)\dt + 6V. (4.2.49)
о
Таким образом, учитывая также формулу (4.2.2), приходим,
согласно равенству (4.2.47), к такому выражению для угловой
скорости стабилизированной платформы:
ω
к Г Г dv Ι ν2 \ 1 Λ&ν
; ТГ \l~dT cos a + \ΊΓ ~~ η sin a + u Щ dt +-JT +V W'
0 (4.2.50)
* При периодическом характере изменения скорости движения объекта
по дуге большого круга количество ns в соответствии с формулой (4.2.40)
также является периодической функцией. Поэтому дифференциальное
уравнение (4.2.39) становится уравнением Хилла. В этом случае, в принципе,
возникает возможность параметрического резонанса и, соответственно,
неустойчивого движения платформы.

532 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
Однако угловая скорость ω, согласно формуле (4.2.7), слагается
из угловой скорости dtyldt трехгранника ξηζ (с осью ξ,
касающейся большого круга; см. рис. 106) и относительной угловой
скорости da/dt системы координат xyz, связанной с платформой, по
отношению к трехграннику ξηζ. В результате приходим,
принимая во внимание равенство (4.2.5), к интегродиффереициальному
уравнению
t
da к Г Г dv . Ι ν* λ . , ,, Л ,, . кК . ,,ч 1 ds
(4.2.51)
относительно угла a — ошибки в стабилизации платформы в
плоскости местного горизонта (т. е. в плоскости, касающейся земной
сферы там, где находится подвижный объект).
Обозначим, как и выше, через σ (t) величину, которая, в
соответствии с формулой (4.2.27), образуется на выходе
счетно-решающего блока рассматриваемой системы инерциальной навигации.
Эта величина, как уже было показано, совпадает с величиной
истинного расстояния s (t), пройденного движущимся объектом от
исходного положения, при идеальном функционировании всех
элементов схемы инерциальной навигации и надлежащем выборе
начальных условий. При этом, в частности, в счетно-решающий
блок, интегрирующий функцию F (£), должна быть введена
постоянная 6V в соответствии с условием (4.2.25). Таким образом,
в общем случае вместо истинного значения расстояния s (t) от
инерциальной системы поступает некоторое «расчетное» расстояние
σ (ή. В согласии с формулами (4.2.27) и (4.2.49) расчетное
расстояние σ (t) представляется выражением
в =
о о
t
Г dv
~dt
cos a -f (J|L — λ sin a + и (θ] dt\ dt + bj. (4.2.52)
Проинтегрируем теперь левую и правую части равенства (4.2.51)
в пределах от 0 до текущего значения времени £, считая, что
s (0) = 0. Получим равенство
1 1
а(0 - ^^^[^cosa + (^-y)sma + ^(0j^}di +
о о
+ -nLt+\jv(t)df+a(0)-^, (4.2.53)
о
посредством которого можно исключить двухкратный интеграл
в формуле (4.2.52). В результате, если принять во внимание

§ 2. СХЕМА КОФМАНА — ЛЕВЕНТАЛЯ (ОДНООСНЫЙ ВАРИАНТ) 533
условие (4.2.20), придем к соотношению
t
As = e(t) — s (t) = R[a(t) — a (0)] — Д ξ μ (t) dt. (4.2.54)
о
Это соотношение вместе с формулой (4.2.32) очевидно также и из
геометрических соображений. Достаточно в формуле (4.2.6),
которую легко установить, рассматривая рис. 105, учесть
выражение (4.2.5) для угла ψ и формулы (4.2.29) и (4.2.30), касающиеся
угла χ. При μ — 0, т. е. при отсутствии дополнительного ухода
гироскопа, обе формулы (4.2.32) и (4.2.54), как и следовало
ожидать, совпадают.
Можно ожидать, что в большинстве случаев решение интегро-
дифференциального уравнения (4.2.51) имеет колебательный
характер и не возрастает с течением времени. Основанием для этого
служит следующее обстоятельство. Еслиинтегродифференциальное
уравнение (4.2.51) линеаризовать и положить функции μ (t) и
и (l) равными соответственно постоянным величинам μ и и, то
при постоянной скорости ν его решением становится
гармоническая функция времени. В самом деле, сохраним в
уравнении (4.2.51) лишь члены не выше первого порядка отаожхетажэ
искомой переменной α и заменим функции μ (ή и и (ή
постоянными величинами μ и и. Получим
^ = π\[-^ + \ΊΓ-ήα + η\άι + ΊΓ + ^-4Γ' (4·2·55>
ο
Считая, что условия (4.2.20) и (4.2.25) по-прежнему имеют место,
приходим после упрощений к интегродифференциалыюму
уравнению
-§ = -^α(0^ + -^ + μ· (4.2.56)
О
Будем, как и ранее, считать величину ns постоянной. Тогда, как
нетрудно проверить, решение уравнения (4.2.56) имеет вид
α — а0 cos nst -[- — (1 — cos nst) -]—— sin nst, (4.2.57)
§ л s
где α0 — значение угла α в начальное мгновение времени t = 0.
Согласно соотношению (4.2.54), теперь следует формула
As = о (t) — s (t) — — Βμί А- Д f — α0) (1 — cos nst) -f Д -j- sin nst.
(4.2.58)

534 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
Итак, в рассматриваемом случае, если отвлечься от
гармонически изменяющихся членов в выражении для As, несовершенство
гироскопа ведет к линейно возрастающей с течением времени
ошибке —R\at в указании местоположения подвижного объекта
посредством рассматриваемой инерциальной системы. В то же
время несовершенство ньютонометра обусловливает лишь
постоянную («статическую») ошибку Rulg, которую можно пояснить
следующим образом. Для определения местоположения объекта
на заданном меридиане Земли достаточно измерения высоты
звезды Полярной над горизонтальной плоскостью. Пусть объект
неподвижен. Тогда положение горизонтальной плоскости можно
отыскать при помощи ньютонометра инерциальной системы,
используя его в качестве уровня. Следует лишь расположить ось
чувствительности ньютонометра так, чтобы его показание αν
оказалось равным нулю. Однако из-за несовершенства ньютонометра
ось его чувствительности при этом может отклониться от
горизонтального направления как раз на величину u/g. Аналогично
ведет себя при указании горизонтальной плоскости физический
маятник, в оси которого имеется сухое трение.
Таким образом, ошибка в определении местоположения объекта
посредством инерциальной системы из-за несовершенства
ньютонометра и ошибка при определении местоположения по звездам
из-за неточного определения положения горизонтальной
плоскости имеют одну и ту же природу.
§ 3. Маятник Бойкова с интегрирующим маховиком
В предыдущем параграфе было описано устройство для
определения длины дугиs — s (t), определяющей текущее положение
подвижного объекта на большом круге невращающейся сферы S.
В конечном счете функциям (t) вычислялась посредством двух
последовательных операций интегрирования в блоках
счетно-решающего устройства. Возможно, однако, такое устройство, в котором
искомая длина дуги s (t) получается как величина,
пропорциональная углу поворота некоторого маховика, вращение которого
регулируется надлежащим образом *. Это устройство состоит из
гироскопа высокой точности, стабилизированной платформы и
подвешенного к ней физического маятника с упомянутым выше
маховиком (рис. 107). Ось внешнего кольца гироскопа параллельна
плоскости платформы. Момент К. приложенный к оси кожуха
гироскопа, непрерывно приводит вектор Η собственного кинети-
* В о у к о w J. M. Einrichtung zum Messen von Wegstrecken. Deutsch
Patentschrift No. 661822, Kl0 42-17. Siemens Apparaten una Maschienen, Berlin,
11 Januar 1935.

§ 3. МАЯТНИК БОЙКОВА С ИНТЕГРИРУЮЩИМ МАХОВИКОМ 535
к
ческого момента гироскопа в плоскость большого круга, по
окружности которого происходит движение объекта. В результате
действия следящей системы платформа все время оказывается
перпендикулярной оси собственного вращения ротора гироскопа,
т. е. вектору Н. Оси физического маятника и маховика
параллельны платформе и перпендикулярны плоскости большого круга
сферы S.
Введем, как и в § 2 настоящей главы, подвижную систему
координат |ηζ с началом в центре платформы, т. е. в центре ее
подвеса (см. рис. 107 и рис. 108). Ось ζ этой системы направим в
плоскости большого круга так, чтобы она проходила через общий
центр Земли и сферы S, а ось ξ — по касательной к большому
кругу в сторону возрастания угла ψ между осями ζ и ζδ.
Последняя также лежит в плоскости большого круга и является одной из
осей невращающейся системы координат ξδηδζδ с началом в центре
сферы S.
Оси η и ηδ обеих систем параллельны и направлены
перпендикулярно плоскости большого круга.

536 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
Аналогично предыдущему свяжем со стабилизированной
платформой систему координат xyz с началом в центре платформы
(рис. 108). Направим ось ζ этой системы параллельно вектору Η
собственного кинетического момента гироскопа и ось у
перпендикулярно плоскости большого круга. Угол между осями ζ и ζ
обозначим через Θ. Положительное направление отсчета угла θ такое
же, как и угла ψ.
Маховик является ротором электрического двигателя, статор
которого вмонтирован в тело физического маятника. Обозначим
через 7V суммарный момент относительно оси вращения ротора
всех приложенных к нему сил, т. е. сил, развиваемых статором,
и сил трения (см. рис. 107). Примем, что N ^> 0, если он
направлен против стрелки часов. Вследствие III закона Ньютона ротор
воздействует на маятник с теми же силами, но имеющими
противоположное направление. Поэтому к физическому маятнику
следует считать приложенным момент противоположного
направления, т. е. —N. Величина этого момента зависит от силы тока,
протекающего в статоре. Посредством специальной электрической
схемы сила тока регулируется таким образом, чтобы момент
—N заставлял маятник занимать положение, при котором линия

§ 3. МАЯТНИК БОЙКОВА С ИНТЕГРИРУЮЩИМ МАХОВИКОМ 537
маятника (прямая, проходящая через центр массы маятника
перпендикулярно к его оси подвеса) находилась бы все время в
плоскости yz, жестко связанной с платформой.
Движение физического маятника будем рассматривать по
отношению к подвижной невращающейся и, следовательно,
поступательно перемещающейся системе координат ξ*η*ζ* с началом
в центре подвеса платформы (см. рис. 108). Чтобы избежать не
принципиальных осложнений в выкладках, примем, что ось
маятника и ось расположенного в нем маховика совпадают с осями
г/, η, а такжет]*. Так называемые эйлеровы силы инерции (см. § 1
гл. I настоящей книги), обусловленные движением системы
координат ξ*η*ζ* по отношению к системе ξδηδζδ, принимаемой
условно за абсолютно неподвижную или за галилееву систему,
сведутся к единственной силе JP, проходящей через центр тяжести
физического маятника. Она равна произведению его массы на
абсолютное ускорение начала системы координат ξ*η*ζ*.
Упомянутое ускорение и сила Ρ направлены по одной прямой, но в
противоположные стороны. Силу Ρ образуют две составляющие:
нормальная или центробежная сила инерции Рп и касательная
(тангенциальная) сила инерции Ρτ. Первая выражается формулой
Р„ = т-£ (4.3.1)
и параллельна оси ζ (см. рис. 108). Формула для второй
составляющей имеет следующий вид:
i\ = »»-£.. (4.3.2)
Здесь и в предыдущей формуле т — масса маятника. Сила
инерции Рх параллельна оси ξ и при dvldt ^> 0 ориентирована в
отрицательном направлении этой оси. Кроме того, на маятник
действуют силы тяготения. Из-за малых размеров маятника по
сравнению с Землей эти силы с большой точностью можно заменить
единственной силой
F = mj\ (4.3.3)
где / — значение ускорения тяготения в том месте, где находится
центр платформы.
По той же причине сила F практически антипараллельна оси ζ
и проходит через центр тяжести маятника (рис. 108).
Обозначим, наконец, через / момент инерции физического
маятника относительно его оси подвеса и через а — расстояние от этой
оси до центра масс маятника. Нетрудно составить следующее
уравнение движения маятника по отношению к введенной выше
подвижной невращающейся системе координат ξ*η*ζ* с началом

538 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
в точке оси подвеса маятника,
совпадающей с центром
стабилизированной платформы, а
именно:
7—2(Ψ + θ) = m-^-acosQ —
dp
— mlj
—^-) α sin θ — N.
(4.3.4)
При этом принято во внимание,
что, благодаря наличию регули-
Рис. 109 руемого момента 7V, центр
тяжести маятника все время
расположен в плоскости yz или, в
частности, лежит на самой оси ζ системы координат xyz,
связанной с платформой.
Введем в рассмотрение угол φ поворота маховика относительно
корпуса физического маятника (рис. 109). При исправно
действующей системе регулирования угловой скорости электрического
двигателя угол φ одновременно характеризует поворот маховика
относительно системы координат xyz. Уравнение вращения маховика
по отношению к системе координат ξ*η*ζ* представится в этом
случае следующим образом:
d*
θ-£ϊ(Ψ + β + φ) = #.
(4.3.5)
где Θ — момент инерции маховика относительно оси его
вращения, а остальные обозначения уже встречались выше.
Пусть посредством электромеханических элементов устройства
образуется момент
M = h
dcp
~dt
(4.3.6)
приложенный к оси внешнего кольца гироскопа (см. рис. 107).
Здесь h — коэффициент пропорциональности, значение которого
будет установлено ниже.
Угловая скорость прецессии гироскопа, возникающая из-за
действия момента Му выражается в данном случае формулой
(4.2.3) предыдущего параграфа настоящей главы. Соответственно
имеем (см. рис. 108)
(4.3.7)
я4(ие) = /»?.
dt
dt
Теперь сложим раздельно левые и правые части уравнений
(4.3.4) и (4.3.5) и приравняем результаты. Получим после

§ 3. МАЯТНИК БОЙКОВА С ИНТЕГРИРУЮЩИМ МАХОВИКОМ 539
простейших выкладок соотношение
(/ +θ)^(ψ + Θ)+ та (;-^)8ίηθ-та 4гcose =-θ^-,
(4.3.8)
которое вместе с равенством (4.3.7) можно рассматривать как
совокупность двух дифференциальных уравнений для определения
углов θ = θ (t) и φ = φ (t) при заданной функции времени
Ψ=,ψ(0· Последняя определяет закон движения объекта, точнее
центра его стабилизированной платформы по дуге заданного
большого круга. При этом, как и в предыдущем параграфе,
ν = Β%. (4.3.9)
Только что упомянутая совокупность дифференциальных
уравнений (4.3.7) и (4.3.8) имеет следующее важное частное решение:
θ = 0, φ - "*/*-/-β ψ (4.3.10)
при условии, если коэффициент h будет выбран в соответствии
с формулой
h = „ Шг п . (4.3.11)
та Η — / — θ ч '
В самом деле, исключив переменную φ из уравнений (4.3.7) и
(4.3.8), получим равенство
= тас<ввД^-^/ + в + — j-jj, (4.3.12)
которое представляет собой дифференциальное уравнение второго
порядка относительно единственной искомой функции θ (t).
Уравнение (4.3.12) может иметь решение θ = 0 при условии
/+θ+-^ = maR, (4.3.13)
откуда и следует формула (4.3.11) для определения коэффициента
h. Очевидно, что начальные условия дифференциального
уравнения (4.3.12) должны быть в этом случае следующими:
θ(0) = θ0 = 0,
d® ' θ0 = 0. (4.3.14)
dt
ί=0
Если последнее из них подставить в уравнение (4.3.7), то с учетом

540 ГЛАВА IV. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЭКВАТОРЕ ЗЕМЛИ
условия (4.3.11) и равенства (4.3.9) получим для начального
значения угловой скорости маховика по отношению к корпусу
маятника следующее выражение:
dw \ · Η rf-ψ ι maR — / — Θ /Пч /7 0 . гч
-ж | ί=0 = φ° = — -зг | ί=0 = Θ7?—ν (0)· (4·3·15)
Реализация найденного начального значения угловой скорости
обеспечивает выполнение второго из начальных условий (4.3.14).
Таким образом, начальная установка устройства сводится к
совмещению в мгновение t = 0 оси ζ, связанной с платформой, с осью
ζ, проходящей через центр Земли и центр платформы. В мгновение
t = 0 ось ζ совпадает с осью ζδ, так как угол ψ между ними в это
время равен нулю. Кроме того, следует согласовать начальную
угловую скорость ф0 вращения маховика с начальной скоростью ν (0)
движения центра платформы по дуге большого круга, в
соответствии с формулой (4.3.15). Точное исполнение начальных условий
(4.3.14), а также условия (4.3.15) приводит к осуществлению
частного решения (4.3.10). Необходимо лишь, учитывая, что ψ (0) = 0,
положить
φ (0) = φ0 = 0, (4.3.16)
т. е. отсчитывать угол поворота маховика относительно корпуса
маятника, начиная с начального мгновения времени.
Принимая во внимание соотношение (4.2.5), получаем, согласно
равенствам (4.3.10), формулу
которая и представляет собой решение задачи инерциальной
навигации по дуге большого круга сферы S посредством устройства,
описанного в настоящем параграфе.
Ограничимся в дифференциальном уравнении (4.3.12) членами
первого порядка относительно искомой функции θ = θ (t) и
примем, кроме того, аналогично изложенному в предыдущем
параграфе, что справедливо следующее приближенное равенство:
V
j -jr ~ g = const. (4.3.18)
Тогда при соблюдении условия (4.3.11) получим следующее
уравнение малых колебаний:
dP
+ ηϊθ = 0, (4.3.19)
совпадающее с точностью до обозначения искомой функции с
дифференциальным уравнением (4.2.39) предыдущего параграфа.

ЛИТЕРАТУРА
541
В результате придем к заключению, что при нарушении
начальных условий (4.3.14) угол 0 изменяется по гармоническому
закону с периодом Шулера Г8, величина которого определяется
формулой (4.2.46).
ЛИТЕРАТУРА
Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. М., «Наука», 1966.
Андреев В. Д., Девянин Е. А. Автономные инерциальные навигационные
системы.— В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных
систем. М., «Наука», 1973.
Булгаков Б. В. Теория одной гироскопической системы навигации. — Изв.
АН СССР, МТТ, 1969, № 3.
Горенштейн И. Α., Шулъман И. Α., Сафарян А. С. Инерциальная
навигация. М., «Сов. радио», 1962.
Горенштейн И. Α., Шулъман И. А. Инерциальные навигационные
системы. М., «Машиностроение», 1970.
Девянин Ε. Α., Ишлинский А. Ю., Климов Д. М. Механика
гироскопических и навигационных систем.— В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т. 1.
Общая и прикладная механика. М., «Наука», 1968.
Ишлинский А. Ю. Механика специальных гироскопических систем. Киев,
Изд-во АН УССР, 1952.
Ишлинский А. Ю. Об уравнениях задачи определения местоположения
движущегося объекта посредством гироскопов и измерителей ускорений.—
ПММ, 1957, т. 21, вып. 6.
Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР,
1963.
Ишлинский А. Ю. Инерциальное управление баллистическими ракетами.
М., «Наука», 1968.
Кофман Л. М., Левепталь Е. Б. Навигационный прибор для регистрации
пути и скорости. Авт. свид. № 184465.
Крылов А. Н., Крутков Ю. А. Общая теория гироскопов и некоторых
технических их применений. Л., Изд-во АН СССР, 1932. См. также
Крылов А. Н. Собр. тр. Т. 8. М. — Л., Изд-во АН СССР, 1950.
Литвин-Седой М. 3. О гироскопическом измерителе линейного ускорения.
Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1961, № 2.
Пелъпор Д. С. Гироскопические приборы и автопилоты. М.,
«Машиностроение», 1964.
Фридлендер Г. О. Инерциальные системы навигации. М., Физматгиз, 1961.
Boykow /. Μ. Instrument for indicating navigational. Заявл. 10.1-1934.
Приор. 22. П-1938. США, Кл. 73-178, Пат. № 2109283.

ν
Ι ЛАВА
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ОБЪЕКТА
ПО ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
§ 1. Исходные дифференциальные уравнения
основной задачи инерциальной навигации
Определение местоположения объекта и его ориентации
относительно стран света при произвольном перемещении объекта по
земной сфере, основанное исключительно на показаниях так
называемых инерциальных чувствительных элементов — различных
гироскопов и ньютонометров (измерителей кажущегося
ускорения, см. § 1 гл. IV настоящей книги), составляет содержание
инерциальной навигации. Существует ряд различных систем
инерциальной навигации, отличающихся друг от друга составом и
расположением используемых чувствительных элементов. В них, как
правило, оказывается различным и ход решения задачи —
отыскания географических координат объекта и его курса
посредством электромеханических или электронных вычислителей по
текущим показаниям чувствительных элементов. Тем не менее
в достаточно общем случае определение географических координат
и курса объекта связано с решением некоторой определенной
совокупности трех дифференциальных уравнений. Выводу этих
уравнений и посвящен настоящий параграф, а их конкретным
приложениям к различным схемам инерциальной навигации — § 3
и § 4 настоящей главы.
Ниже будет показано, что правыми частями упомянутых выше
дифференциальных уравнений служат функции, представляющие
текущие значения трех проекций на оси х, у и ζ абсолютной (т. е.
относительно направлений на неподвижные звезды; см. § 1 гл. I
настоящей книги) угловой скорости какой-либо системы
координат xyz, жестко связанной со стабилизированной платформой.
Последняя обычно подвешивается при помощи двухосного
(рис. НО) или трехосного (рис. 111) кардановых подвесов на
подвижном объекте и стабилизируется (в частности, посредством
гироскопов и ньютонометров, входящих в состав данной системы
инерциальной навигации) так, чтобы ось ζ, перпендикулярная
к платформе, была неизменно направлена по радиусу Земли.
Введем систему координат ξηζ, вращающуюся вместе с Землей
(рис. 112). Расположим ее начало в центре Земли, ось η направим

§ 1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ 543
Рис. 110 Рис. 111
к Северному полюсу, ось ζ расположим в плоскости Гринвичского
меридиана, а ось ξ так, чтобы система координат ξηζ была правой.
Назовем ее гринвичской системой координат. Очевидно, что
взаиморасположение системы координат xyz, связанной со
стабилизированной платформой, и гринвичской системы ξηζ полностью
определяет долготу λ и широту φ (см. рис. 112) как начала системы
xyz, так и местной географической системы координат ENZ (ось Ε
направлена на восток, N — на север и Ζ — вверх по радиусу
Земли, проходящему через общее начало систем координат xyz
и ENZ). В самом деле, угол φ между осью Ζ (или, что то же, осью ζ)
и плоскостью экватора ζξ представляет собой широту места
(геоцентрическую), а угол между проекцией ζχ оси ζ на ту же
плоскость и осью ζ — долготу λ местоположения подвижного объекта.
Далее, угол κ (рис. 113) между осью у и осью N (направлением на
север) или, что то же, угол между осью у и плоскостью ν\ζ (τ. е.
плоскостью меридиана места) определяет поворот по стрелке часов
(при κ ^> 0) системы координат xyz, связанной со
стабилизированной платформой, относительно стран света. Тем самым, зная
расположение стабилизированной платформы относительно
самого объекта, можно установить его курс. В дальнейшем только
что введенный угол κ будем называть азимутом платформы.
Вектор угловой скорости Земли U (рис. 112) имеет направление
оси η и, следовательно, его проекции на оси Ε. Ν, Ζ таковы:
UE = 0, UN = t/coscp, U ζ = i/sincp. (5.1.1)
При переменной долготе λ и постоянной широте φ
местоположения объекта географическая система координат ΕΝΖ по-

544 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
IHty
Рис. 112
Рис. 113
ворачивается по отношению к гринвичской системе ξηζ вокруг
оси η с относительной угловой скоростью dXIdt (см. рис. 112).
Таким образом, вектор этой угловой скорости направлен так же,
как и вектор угловой скорости Земли U. В свою очередь, если при
неизменной долготе λ изменяется широта φ, то вектор
соответствующей относительной угловой скорости (при άψ/dt > 0)
направлен параллельно отрицательной части оси Ε (т. е. на запад) и
равен по модулю производной άφ/dt. Теперь нетрудно видеть (см.
рис. 113), что проекции абсолютной (т. е. относительно
произвольной невращающейся системы координат) угловой скорости
и системы координат ENZ на ее собственные оси Ε, Ν и Ζ
представляются выражениями *
иЕ =
Щ
dt
d\
dt
uN = [U + -Π- cos φ, uz= [U -f -=- sin φ
dl
(5.1.2)
Система координат xyz, связанная со стабилизированной
платформой, вращается по отношению к географической системе
ENZ вокруг совпадающих осей ζ и Ζ с угловой скоростью d>c/dt,
причем вектор этой угловой скорости (при dn/dt ^> 0) направлен
в сторону убывающих аппликат отрицательного направления
оси ζ (рис. 114). Поэтому для проекций ω^. (ή, ωυ (ή и ωΖ (t)
абсолютной угловой скорости стабилизированной платформы на
* Буу л г а к о в Б. В. Прикладная теория гироскопов. М., Гостехиз-
дат, 1955.

§ 1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ 545
оси х, у и ζ получаем,
обращаясь к рис. 114 и формулам
(5.1.2), следующие выражения:
— (и + -г-) cos φ sin κ —
— -^ cos κ = ωλ (t),
(U + -τ-) cos φ cos κ —
— -^ sin κ = соу(0,
(^ + -5Γ 8ΐηφ--3Γ = ω2(0·
(5.1.3)
При наличии на движущемся
объекте системы инерциальной
навигации правыечастиравенств
Рис. 114 (5.1.3) следует считать
известными функциями времени. Они
или являются непосредственно
текущими показаниями чувствительных элементов или образуются
по этим показаниям в вычислительных устройствах инерциальной
системы (далее см. § 3 и § 4 настоящей главы). Таким образом,
равенства (5.1.3) следует рассматривать как совокупность трех
нелинейных дифференциальных уравнений относительно трех
неизвестных функций времени λ = λ (ή, φ = φ (/), κ = κ (ί) при
заданных ωχ (t), ω7/ (t), ω7 (ή.
Пусть известны местоположение и ориентация
стабилизированной платформы в начальное мгновение времени, т. е. заданы
величины
λ0 = λ (*0), φ0 - φ (ί0), κ0 - κ (ί0), (5.1.4)
где t0 — исходное мгновение времени. Тогда посредством
вычислительного устройства (электромеханического, электронного
и т. п.) можно непосредственно на объекте в результате
непрерывного интегрирования совокупности дифференциальных
уравнений (5.1.3) вырабатывать текущие значения долготы λ, широты φ
и азимута κ, характеризующие местоположение
стабилизированной платформы и ее ориентацию относительно стран света в
данное мгновение времени. Назовем уравнения (5.1.3) исходными
дифференциальными уравнениями основной задачи инерциальной
навигации.
Введем теперь невращающуюся систему координат ξδηδζδ,
с осями которой соответственно совпадают оси гринвичской
системы координат ξηζ в мгновение времени t = 0 (рис. 112). Угол

546 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
Рис. 115
поворота гринвичской системы относительно невращающейся
ξ5ηδζδ равен, очевидно, произведению Ut, а угол
ψ = Ut + λ (5.1.5)
характеризует расположение плоскости меридиана места по
отношению к координатной плоскости ηδζδ. Величины ψ, φ и κ
(точнее, ψ, — φ и — κ) можно трактовать как совокупность углов
Эйлера—Крылова, определяющих ориентацию системы координат xyz
по отношению к системе ξδηδζ*. В самом деле, представим себе,
следуя § 5 гл. III первой книги, трехгранник abc, ребра которого в
исходном его положении совпадают соответственно с осями ξ5, η*,
ζδ (рис. 115). Совершим последовательно конечные повороты этого
трехгранника: на угол ψ вокруг ребра й, затем вокруг ребра а на
угол —φ и, наконец, на угол —κ вокруг ребра с (знак минус
у обозначения угла φ или κ означает, что их положительному
значению соответствует поворот по часовой стрелке, если наблюдать за
вращением со стороны положительного направления ребер а или с).
В результате трехгранник abc, совершив угловое перемещение
второго рода, перейдет из положения ξδηδζδ в xyz. Углы ψ, —φ
и —κ оказываются при этом углами Эйлера—Крылова.
Используя формулу (5.1.5), представим уравнения (5.1.3) в виде
(ux(t),
ων(ί), (5.1.6)
ω2 (t).
αψ . d(p
-77 cos φ sin κ тг cos κ =
at at
di|>
dq>
,, cos φ cos κ -j- sin κ =
at T dt
dt
dt

§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ 547
В них неизвестными функциями являются уже величины ψ, ср^и
κ. Совокупность дифференциальных уравнений (5.1.6) при
изучении ряда теоретических вопросов более удобна, нежели
совокупность (5.1.3). Решению уравнений (5.1.6), соответствующих
конкретным движениям объекта по земной сфере (например, по
параллелям), посвящены многие исследования. В некоторых из
них изучаются свойства уравнений, получаемых из совокупности
(5.1.6) в результате различных преобразований, например, при
замене искомых углов φ, ψ и κ параметрами Родрига —
Гамильтона, характеризующими расположение системы координат xyz
относительно невращающейся системы ξδη5ζδ*. На этом пути (он
описан в следующей шестой главе настоящей книги) можно
получить некоторые практически полезные результаты. Кроме того,
если ввести параметры Кейли — Клейна, то, как показал Дарбу,
нахождение общего решения уравнений (5.1.6) приводится к
отысканию частного решения некоторого уравнения Риккати **.
Однако метод Дарбу развития не получил.
Уравнения (5.1.6) можно разрешить относительно производных
искомых функций. В результате придем к следующей
совокупности дифференциальных уравнений основной задачи инерциаль-
ной навигации
d\f> _ — ωΛ (t) sin κ + ω?/ (t) cos κ
dt cos φ '
-^ = — 0)3.(0 cos κ — (0^(0 sin κ, (5.1.7)
-TT = — ω2 (t) — [ωχ (t) sin κ — ω^ (t) cos κ] tg φ.
Она имеет свои преимущества и также будет использована в
дальнейшем.
§ 2. Геометрическое рассмотрение вопроса
об устойчивости решения дифференциальных уравнений
основной задачи инерциальной навигации ^
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости решения
совокупности дифференциальных уравнений основной задачи
инерциальной навигации. В классической постановке вопрос об
устойчивости решения совокупности дифференциальных уравнений
исследуется по отношению к малым изменениям их начальных
условий. Соответственно в случае уравнений (5.1.3) инерциальной
навигации исследование устойчивости следует вести по отноше-
* Котляков В. Л. Об уравнениях местоположения движущегося
объекта.— ПММ, 1964, т. 28, вып. 6.
** Л у ρ ь е А. И. Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961.

548 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
нию к малым изменениям величин λ0, φ0 и κ0. При переходе же от
совокупности уравнений (5.1.3) к совокупности (5.1.6) или
(5.1.7) — соответственно по отношению к малым изменениям
начальных значений искомых функций ψ (t), φ (г) и κ (t), т. е.
величин ψ0, φ0 и κ0.
В изложенной выше постановке вопроса об устойчивости
решения задачи инерциальной навигации, наряду с точным
решением
ψ — ψ (О, ф = ф(0» κ = κ(ί) (5.2.1)
совокупности дифференциальных уравнений (5.1.6),
удовлетворяющих начальным условиям
Ψο = Ψ(*ο)ι Ψο = V (t0), *o = κ(ί0), (5.2.2)
надлежит рассматривать также другое точное решение той же
совокупности, однако при незначительно измененных начальных
условиях. Пусть
ψ* - ψ* (Ο, φ* - φ* (*), κ* = κ* (ί) (5.2.3)
— это другое решение, которое назовем возмущенным.
Соответственно обозначим через
Ψο = Ψ* Μ, Ψο = φ* (t0), κ? = κ* (ί0) (5.2.4)
начальные условия нового решения.
Для ответа на вопрос об устойчивости следует в этом случае
выяснить, будут ли функции ψ* (г), φ* (t), κ* (t) в любое
мгновение времени t столь же незначительно отличаться соответственно
от ψ (t), φ (t), κ (t), как и их значения в начальное мгновение t0.
При этом, разумеется, правые части уравнений (5.1.6), т. е.
функции ωχ (t), (uy (t), ωζ (t), остаются одними и теми же.
Нетрудно составить дифференциальные уравнения для самих
возмущений, т. е. для разностей
Δψ = ψ* — ψ, Δφ = φ* — φ, Δκ = κ* — κ. (5.2.5)
Оказывается, что для этих уравнений существует функция
Ляпунова*. Тем самым доказывается устойчивость (по Ляпунову)
общего решения совокупности (5.1.6) дифференциальных
уравнений основной задачи инерциальной навигации. Путь
построения функции Ляпунова указан в конце настоящего параграфа.
В районе полюсов Земли малым смещениям объекта могут
соответствовать очень большие изменения долготы λ (и, следователь-
* См. Б о й ч у к О. Ф., Ишлинский А. Ю., Сторожен-
к о В. А. Построение функции Ляпунова для совокупности уравнений
основной задачи инерциальной навигации.— Изв. АН СССР, МТТ, 1975, Μ 5~

§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ 549
но, угла ψ), а также азимута к (см. об этом подробнее далее в § 5,
гл. VI). Поэтому классическая постановка вопроса об
устойчивости решения основной задачи инерциальной навигации
становится здесь излишне стеснительной. Представляется более
естественным характеризовать близость двух местоположений и
фактической ориентации в азимуте платформы, стабилизированной в
плоскости местного горизонта EN, не близостью соответствующих
углов λ (или ψ), φ, к, а малостью угла δ конечного поворота
этой платформы при перемещении несущего ее объекта из одного
положения в другое. При этом вопрос об устойчивости
решения задачи инерциальной навигации ставится следующим
образом.
Обозначим через х0Уо*о начальное положение системы
координат xyzy связанной со стабилизированной платформой, а через
xly*ozo — также начальное, но несколько измененное положение
этой же системы. Пусть для перехода из положения x0y0z0 в x*0y*0z*0
надо совершить конечный поворот D (t0) на угол δ (t0) вокруг
некоторой оси d0. В дальнейшем рассматриваются два движения
стабилизированной платформы: основное — из начального
положения х0Уо*о и возмущенное — из положения Здо^о- Как и при
классическом рассмотрении вопроса об устойчивости, оба
движения таковы, что проекции ωχ (ί), ω^ (ί), ωζ (ή абсолютной
угловой скорости платформы на оси х, у и ζ основного движения в
любое мгновение времени соответственно равны проекциям на оси
#*, г/*, ζ* возмущенного движения.
Обозначим через D (£х) конечный поворот на угол δ (ίχ) вокруг
оси du в результате которого можно перейти из положения x{y^zx
системы координат xyz, которое она занимает в произвольное
фиксированное мгновение времени t = tx при основном движении
платформы, в положение x[y*xz{, соответствующее положению
платформы в то же мгновение, но в возмущенном движении. В
новой постановке вопрос об устойчивости решения задачи
инерциальной навигации сводится к изучению поведения функции δ (tx)
при произвольном ее начальном значении δ (t0) и произвольных
функциях ωχ (ί), ω у (ή, ωζ (t). В частности, ставится вопрос, не
будет ли в общем случае угол δ (t±) с течением времени tx
неограниченно увеличиваться. Ответ на этот вопрос оказывается
неожиданно простым: конечные повороты D {tx) и D (t0) для любого
фиксированного мгновения времени tx совершенно одинаковы и,
следовательно, решение дифференциальных уравнений (5.1.6)
в этом смысле устойчиво. Таким образом, угол δ (гх)
оказывается постоянным и равным своему начальному значению δ (ί0),
а ось dx конечного поворота D (^) для разных мгновений времени
сохраняет свою ориентацию относительно невращающейся
системы координат ξδηδζδ, τ. е. остается параллельной оси d0
конечного поворота D (t0).

550 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
Рис. 116
Доказательство приведенного
выше утверждения
основывается на следующей интересной
теореме конечных вращений.
Два конечных поворота
твердого тела: поворот А на угол а
вокруг оси а с неизменной
ориентацией относительно невра-
щающейся системы координат
ξδηδζδ и поворот В на угол β
вокруг оси Ь, жестко связанной
с телом, переставимы. Это
означает, что любая
последовательность поворотов А и В
приводит, в конечном счете, тело
с одной закрепленной точкой из
одного и того же исходного в
одно и то же конечное
положение по отношению к упомянутой
невращающейся системе
координат ξδηδζδ. В несущественно
отличной формулировке эта
теорема была доказана
аналитически А. И. Лурье *. Дадим здесь ее простое геометрическое до
казательство.
Заметим, прежде всего, что при любой последовательности
поворотов угол между неподвижной осью а и осью 6, жестко
связанной с телом, остается неизменным. Следовательно, можно
связать с этими двумя осями промежуточное тело (например, кольцо
К; рис. 116), не ограничивающее движение основного тела.
Поворот А можно теперь трактовать как поворот этого
промежуточного тела на угол а по отношению к невращающейся системе
координат ξδηδζδ вокруг неподвижной оси а. В свою очередь, поворота
представляет собой поворот основного тела по отношению к
промежуточному на угол β вокруг их общей оси Ъ. Совершенно
очевидно, что последовательность упомянутых поворотов не отражается
на конечном положении промежуточного тела, а следовательно,
и основного.
С кинематической точки зрения интегрирование совокупности
дифференциальных уравнений (5.1.6) или эквивалентной ей
совокупности (5.1.7) позволяет определить конечный поворот
упомянутого выше трехгранника из начального положения x0yozoi
которое он занимал в мгновение времени t = ί0, в конечное
положение ХгУггъ соответствующее некоторому мгновению t = tx.
Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Физматгиз^ 1961.

§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ 551
Обозначим такой поворот через G. Очевидно, что поворот G
определяется лишь последовательностью значений функций ωχ (ή,
ωу (/), ωζ (ή в интервале времени (ί0, ίχ) или, что то же,
проекциями абсолютной (т. е. по отношению к невращающейся системе
координат) угловой скорости ω на соответственные ребра
трехгранника и не зависит от начального положения последнего.
Введем теперь два трехгранника abc и а*Ь*с*, которые
занимают в мгновение t — t0 соответственно два различных
исходных положения x0y0z0 и xly*0z*0. Пусть трехгранники движутся так,
что в каждое текущее мгновение t проекции угловой скорости
первого из них на ребра а, 6, с в точности равны проекциям угловой
скорости второго соответственно на ребра α*, ύ*, с*. Обозначим,
как и ранее, через xlylz^ положение трехгранника а*6*с* в
мгновение t = tlt а через X\yxzx — положение в то же мгновение
времени трехгранника abc. Как только что было отмечено, конечный
поворот G*, переводящий трехгранник а*Ъ*с* из положения x^ylzl
в xly{z{, не будет отличаться от конечного поворота G
трехгранника abc из положения х0Уо%о в X\M\Z\- Это означает, что ось
g* конечного поворота G* будет образовывать те же углы с осями
xli yl·, zo (а также с х\, у*, z{ и с ребрами а*, Ь*, с*), как и ось g
конечного поворота G с осями х0, у0, z0 (и, конечно, с осями
Хц уц ζί и с ребрами а, Ъ, с). В свою очередь, углы γ* и γ обоих
конечных поворотов, разумеется, одинаковы.
Рассмотрим теперь последовательность двух поворотов: G и
D (tx) трехгранника abc из его исходного положения x0yozo в #ι#ιζι
и далее в положение x[y[z{. Первый из них, т. е. поворот G,
происходит на угол γ вокруг оси g, ориентация которой определяется
относительно трехгранника abc заданием функций ωχ (/), (йу (t),
ω ζ (t) в интервале (ί0, ίχ). Ориентация оси dx второго поворота, т. е.
поворота D (^), напротив, определяется по отношению к
невращающейся системе координат взаимным расположением систем
ХхУ& и x{ylzl. По только что доказанной теореме такие повороты
переставимы. Поэтому можно сначала из положения x0y0z0
совершить поворот D (tj) на угол δ (гх) и затем поворот G на угол у
последовательно вокруг осей άλ и g. В результате трехгранник
окажется в том же самом положении xtyizl. Нетрудно видеть, что
в этом случае второй конечный поворот, а именно G, ничем не
будет отличаться от поворота G*, переводившего трехгранник а*6*с*
из исходного положения xlylzl в x\y\z\. В самом деле, в
положении x\y{z\ ребра трехгранника abc соответственно совпадут с
ребрами трехгранника а*6*с* и, как следствие, ось конечного
вращения g совпадет с аналогичной осью g*. Отсюда, в силу также
равенства углов γ и γ*, заключаем, что в случае указанной
перестановки конечных поворотов трехгранник abc начнет конечный
поворот G из положения ХоУ&о> т. е. из исходного положения трех-

552 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
гранника а*6*с*. Таким образом, при упомянутой перестановке
поворотов трехгранник аЪс сначала в результате поворота D (£х)
должен попасть из положения x0y0z0 в #ο2/οζο· Однако такой
поворот был ранее обозначен через D (t0). Следовательно, повороты
D (£х) и D (t0) идентичны, их оси dx и d0 совпадают, а углы δ '(ίχ)
и δ (t0) равны друг другу. Обе только что рассмотренные
последовательности конечных поворотов можно изобразить в
согласии с § 5 гл. III первой книги посредством следующей
условной схемы:
я
%оУо%о " Х1У1%1
у
do J δ(ί„) dx I δ(ί,) (5.2.6)
g*
xbyozo —;—" xiyizi'
Доказанный факт равенства углов δ (ίχ) и δ (t0) означает, что в
упомянутом выше смысле решение совокупности уравнений (5.1.6)
инерциальной навигации устойчиво при произвольном
изменении начальных значений переменных ψ, φ и κ и при любых
заданных проекциях ωχ (t), ων (ί), ωζ (/) абсолютной угловой
скорости стабилизированной платформы на оси связанной с нею
системы координат xyz. Таким образом, устойчивость решения имеет
место при любых перемещениях объекта, на котором
расположена стабилизированная платформа, по земной сфере, если
связанная с платформой ось ζ постоянно проходит через центр Земли
(иначе, например, угол φ не будет широтой).
Заметим, наконец, что введенный выше угол δ конечного
поворота, переводящего стабилизированную платформу в
фиксированное мгновение времени из основного положения в возмущенное,
может быть использован для построения функции Ляпунова. Для
этой цели следует величину угла δ выразить через определяемые
равенствами (5.2.5) возмущения Δψ, Δφ, Δκ и величины ψ, φ и κ,
описывающие невозмущенное движение центра подвеса
стабилизированной платформы. Функция
У = δ (Δψ, Δφ, Δκ, ψ, φ, κ) (5.2.7)
является одновременно и первым интегралом и функцией
Ляпунова * упомянутых дифференциальных уравнений для
возмущений (5.2.5). Тем самым вопрос об устойчивости решения
совокупности (5.1.6) дифференциальных уравнений основной задачи
инерциальной навигации по отношению к возмущению начальных
условий (5.2.2) оказывается решенным как геометрически, так и
аналитически.
* См. цитируемую литературу на стр. 548.

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 553-
§ 3. Схема инерциальной навигации
со стабилизированной в азимуте платформой
Как уже указывалось в начале настоящей главы,
принципиальное решение задачи инерциальной навигации при произвольном
перемещении объекта по земной сфере можно построить
по-разному посредством ряда отличающихся друг от друга устройств,
сочетающих гироскопы, ньютонометры, электромеханические
элементы и счетно-решающие блоки. В настоящем параграфе
приводится, по-видимому, первая из предложенных схем подобных
устройств, строго решающая задачу инерциальной навигации *
(разумеется, при условии, если безошибочно действуют все
чувствительные элементы, следящие системы, вычислители и другие
ее составные части, а Земля считается шаром с радиальным
распределением плотности).
Описываемая ниже схема инерциальной навигации является
одной из простейших. Из трех функций времени — проекций
ωχ (0* ωυ (О И ωζ (ή угловой скорости стабилизированной
платформы, входящих в правые части дифференциальных уравнений
совокупности (5.1.6) в этом устройстве вырабатываются лишь две:
ωχ (t) и ω у (t). Третья функция — ωζ (I) — здесь тождественно
равна нулю, так как платформа стабилизируется в азимуте
посредством одного из гироскопов устройства **. Заметим, что ось
ζ нормальна к плоскости платформы и при отсутствии
возмущений постоянно проходит через центр земной сферы.
В последующих параграфах этой главы указываются другие-
схемы инерциальной навигации. В частности, возможна схема (см.
§ 5 настоящей главы), у которой а>у (t) и ω2 (ή в общем случае
отличны от нуля и подаются на вход вычислителя, интегрирующего
совокупность дифференциальных уравнений (5.1.6). Однако, в
силу свойств гироскопической системы устройства, оказывается
тождественно равной нулю функция ωχ (t). Здесь χ — ось, жестко
связанная с платформой и лежащая в ее плоскости.
В состав описываемого в настоящем параграфе устройства
системы инерциальной навигации входят два высокоточных
гироскопа I и II (рис. 117). Ось внешнего кольца гироскопа I
параллельна стабилизированной платформе, расположенной на
подвижном объекте, а ось внешнего кольца гироскопа II этой платформе
перпендикулярна. Следящие системы непрерывно приводят
* Эта схема была указана автором для морской техники и, независимо,
Л. В. Кондратьевым применительно к авиации в 1966 году.
** См. статью автора «Об уравнениях задачи определения
местоположения движущегося объекта посредством гироскопов и измерителей ускорений».—
ПММ, 1957, т. 21, вып. 6.

554 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
платформу в положение, при
котором она, в свою очередь,
перпендикулярна вектору Н'
собственного кинетического
момента гироскопа I.
В случае идеального функци-
1 которых χ и у лежат в
плоскости платформы. Ось χ чувстви-
Рис. 117 тельности первого ньютономет-
ра параллельна оси внешнего
кольца гироскопа I. Ось у
чувствительности второго ньютонометра перпендикулярна оси х.
Введем вновь систему координат xyz, жестко связанную с
платформой. Начало этой системы находится в центре платформы,
ее ось ζ направлена вверх, а оси χ ж у совпадают с одноименными
осями чувствительности ньютонометров. Согласно изложенному
в § 1 предыдущей главы, можно считать, что ньютонометры
измеряют проекции ах = ах (t) и ау — ау (ή кажущегося ускорения
центра стабилизированной платформы соответственно на оси χ
и у. Счетно-решающие блоки образуют по показаниям
ньютонометров функции (см. § 2 предыдущей главы)
t t
Fx (t) = ξ ax (t) dt + bx9 Fy (t) = \ ay (t) dt + by. (5.3.1)
о о

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 555
В свою очередь, электромагнитные устройства развивают моменты,
приложенные к осям внешнего кольца и кожуха гироскопа I,
соответственно равные величинам
Мг = кГх(1), М2 = kFy(t) (5.3.2)
и, кроме того, налагают момент L на гироскоп II вокруг оси его
кожуха (рис. 117). В формулах (5.3.1) и (5.3.2) Ьх, Ьу и к —
постоянные параметры, необходимые значения которых будут
указаны позже.
Под действием указанных выше моментов Mv M2 и L, а также
и корректирующего момента К гироскопы I и II прецессируют
(рис. 118 и рис. 119). Как следствие, платформа поворачивается
относительно невращающейся системы координат ξδηδξδ с
угловой скоростью ω, проекции которой на оси х, у и ζ
представляются после учета формул (5.3.1) и (5.3.2) выражениями:
ω* = "~ ΊΓ = —Jp[\ay^dt + Ъу\ '
о
t
ω,, = -j± = -I7[\ a* (*)dt + b*\ ' (5.3.3)
о
L
ω* = IF"'
Постоянные bXJ by и /с, входящие в состав формул (5.3.1),
(5.3.2) и в первые два равенства (5.3.3), а также величину
момента L в правой части третьего равенства, можно выбрать так, чтобы
оказалось возможным следующее особенное движение
платформы. Именно, платформа касается сферы S при произвольном
перемещении ее центра по этой сфере. Чтобы такое движение
платформы было возможно, она во всяком случае должна, разумеется,
касаться сферы S в своем исходном положении, т. е. в мгновение
t = 0.
Если только что описанное движение осуществляется, то оси
χ и у системы координат xyz также все время касаются сферы S.
В силу формул (5.3.3), в каждое текущее мгновение времени
известны проекции ωχ (ί), ων (ή, ωζ (ί) угловой скорости этой
системы координат на ее собственные оси х, у и ζ. Поэтому
определение местоположения начала системы xyz и ориентации ее осей
χ и у относительно стран света сводится, согласно изложенному
в § 1 настоящей главы к интегрированию совокупности
уравнений (5.1.6).
Для обоснования возможности упомянутого выше особенного
движения платформы при надлежащем выборе постоянных Ьх,
by и /с, а также момента L, введем, как и во втором параграфе пре-

556 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
ωχΗ'=-Μ2
M^iuyli'
Рис. 118
Рис. 119
дыдущей главы, некоторую воображаемую вспомогательную
платформу с тем же центром, что и у основной платформы. В
плоскости вспомогательной платформы расположим оси ξ и η системы
координат ξηζ, жестко связанной с этой платформой; ось ζ
системы ξηζ направим по продолжению радиуса сферы S,
проведенного к центру платформы. Тогда вспомогательная платформа
все время будет касаться этой сферы. Потребуем, кроме того,
чтобы при движении центра платформы по сфере S проекция ω*
абсолютной угловой скорости со* вспомогательной платформы на
связанную с ней ось ζ все время равнялась нулю.
Расположим далее на вспомогательной платформе два
дополнительных одноосных ньютонометра с осями чувствительности,
направленными по осям ξ и η, и при помощи счетно-решающих
блоков образуем наряду с функциями Fx (t) и Fy (t) следующие
переменные величины:
Fl(t) = \ai(t)dt + bl
о
t
F^(t) = ^al(t)dt + bl
(5.3.4)
Здесь ας и αη — показания дополнительных ньютонометров, а
6ξ и Ъъ — постоянные, значения которых будут установлены
несколько далее.

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 557
Наконец, образуем,
руководствуясь формулами (5.3.2),
моменты
(5.3.5)
соответственно вокруг осей
внешнего кольца и кожуха
гироскопа I, а величину момента
L, приложенного к кожуху
гироскопа II. положим равной
нулю (т. е. оставим ось этого
кожуха свободной от
воздействия на нее каких-либо сил, а
трение в подшипниках будем
считать отсутствующим).
Таким образом, к гироскопу
I, расположенному на основной
платформе, моменты М1 и М2,
образованные по показаниям ее
собственных ньютонометров в соответствии с формулами (5.3.1)
и (5.3.2), теперь уже не приложены. Вместо них действуют на тот
же гироскоп моменты М\ и М2, обусловленные показаниями
дополнительных ньютонометров, расположенных на
вспомогательной платформе. Очевидно, что в этом случае проекции угловой
скорости основной платформы на связанные с ней оси х, у и ζ
выражаются по аналогии с формулами (5.3.3) следующим образом:
Рис. 120
ωχ =
Я'
ω,.
М{
ΙΓ
ω7 =
L
11"
-0.
(5.3.6)
Примем, что в начальное мгновение времени t = 0 оси х, у и ζ,
связанные с основной платформой, соответственно совпадают с
осями ξ, η и ζ платформы вспомогательной. Оказывается, что при
надлежащем выборе параметров Ь%у Ьц и к основная платформа
будет совершать то же движение, что и вспомогательная, т. е. оси
систем координат xyz и ξη ζ будут соответственно совпадать не
только в начальное мгновение времени t — 0, но и во все последующие.
Заметим, прежде всего, что так как ось ζ системы координат ξηζ
проходит через центр сферы S, то в соответствии с формулами
кинематики твердого тела (рис. 120), имеют место соотношения*
Vn = _(о| R. (5.3.7)
г? g = ω^/?,
η
* Суслов Г. К. Теоретическая механика. М.— Л., Гостехиздат, 1944.
См. также статью автора «Об относительном равновесии физического
маятника с подвижной точкой опоры».— Π ММ, 1956, т. 20, вып. 3 и § 2 гл. I
.настоящей книги.

558 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
Здесь г; ξ и ζ;η — проекции скорости центра вспомогательной
(а следовательно, и основной) платформы на оси ξ и η, а ω|, ω% —
проекции угловой скорости ω* вспомогательной платформы на
те же оси. Далее уже нетрудно определить проекции на оси ξ,
η и ζ ускорения центра подвеса платформы. Имеем, согласно
известным формулам кинематики (см. § 2 гл. I настоящей книги),
dv~ * *
dv * * 0 Ω
M?fl = — + ωζζ;ξ — ωξζ;ζ, (5.3.8)
dt
dt
Щ = -тг + ®\υΆ — ω*^.
Однако, в соответствии с изложенным выше, движение
вспомогательной платформы должно подчиняться условию
ω[ = 0. (5.3.9)
Кроме того, так как вектор скорости центра этой платформы все
время касается сферы S и, следовательно, перпендикулярен оси ζ,
то, разумеется,
ζ;ζ = 0. (5.3.10)
С учетом равенств (5.3.9) и (5.3.10) и соотношений (5.3.7)
формулы (5.3.8) приводятся к виду
dv-
"* = -*-·
»„ = %■, (5.3.11)
ν\ + υ% ν*
Щ = η— = --r-
Теперь нетрудно подсчитать, какие будут показания а* и а*
дополнительных ньютонометров, оси чувствительности которых
соответственно направлены по осям ξ и η. Определим также
величину проекции а* кажущегося ускорения на ось ζ. Согласно
изложенному в § 1 предыдущей главы, имеем
а* = w^ — /ξ,
a\ = w* — U> (5.3.12)
\ = Щ — к-
Ось ζ системы координат ξηζ является продолжением радиуса
сферы S, проведенного к началу этой системы. Земля, по пред-

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 55&
положению, считается шаром с радиальным распределением
плотности. Поэтому ускорение тяготения / направлено вдоль
отрицательной части оси ζ и, следовательно, справедливы равенства
/δ = 0. /η = 0, /ζ = -/. (5.3.13)
Формулы (5.3.12) для а(9 а* и а£ с учетом равенств (5.3.11) и
(5.3.13) становятся теперь следующими:
Подставим полученные выражения для а\ и α? в формулы (5.3.4)
и произведем интегрирование. Получим
^(0 = ^(0-^(0) + ^, 5>
F\{t)=p4(o-w4(0)+*>;
Если теперь положить
^ = ** (0), &; = νΆ (0), (5.3.16)
где ζ;ξ (0) и ζ;η (0) — проекции на оси ξ и η скорости центра
платформы в начальное мгновение f = 0, то формулы (5.3.15)
упростятся и приведутся к виду
F\(t) = i>z(t), K(t) = *„(*)· (5·3·17>
Учтем формулы (5.3.17) и (5.3.5) в соотношениях (5.3.6) и примем
также во внимание равенства (5.3.7). Получим
ω* = — "тр ^ (0 = -jjr ωξ,
* /,χ ΛΑ? , Ι · · )
Выберем коэффициент пропорциональности А: в выражениях
(5.3.5) для моментов М1 и М2 таким, чтобы удовлетворялось
соотношение
-^- = 1, (5.3.19)
аналогичное условию (4.2.20), полученному в § 2 предыдущей
главы. Тогда соотношения (5.3.18) обратятся в следующие равенства:
ω* (0 = ω£ (f), ω^ (ή = ω5 (ί). (5.3.20)

560 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
Присоединим к ним еще одно, а именно,
ωζ (ί) = ω* (0, (5.3.21)
которое следует из сопоставления условия (5.3.9) и третьего
уравнения (5.3.6) движения гироскопа II, за внешним кольцом
подвеса которого следит основная платформа и связанная с нею
система координат xyz.
Итак, системы координат xyz и ξηζ, соответственно связанные с
основной и вспомогательной платформами, совпадают друг с
другом в исходное мгновение t = 0 и далее, в силу равенств (5.3.20)
и (5.3.21), движутся так, что проекции их угловых скоростей ω
и ω* на соответственные оси равны друг другу, а их начала
находятся в общем центре обеих платформ. Следовательно,
основная платформа и связанная с ней система координат xyz будут
совершать в точности такое же движение, как и то, которое
предписано дополнительной платформе вместе с системой ξηζ. Таким
образом, описанное движение основной платформы происходит
в соответствии с прецессией гироскопов в результате воздействия
на них моментов Мъ М%. Кроме того, отсутствует момент L, а
корректирующий момент К заставляет собственный кинетический
момент гироскопа II все время быть параллельным сливающимся
друг с другом плоскостям ху и ξη. При этом моменты Мх и М2>
в соответствии с формулами (5.3.5) и (5.3.4), образуются по
показаниям а% (t) и αΆ (t) дополнительных ньютонометров,
расположенных на вспомогательной платформе. Очевидно, что показания
ах (t) и ау (t) ньютонометров, находящихся на основной
платформе, в рассматриваемом случае не будут отличаться соответственно
от αξ (t) и αη (t). Поэтому в движении основной платформы ничего
не изменится, если моменты Мх и М2 заменить моментами Мх и М2у
формируемыми по данным ньютонометров основной платформы,
в согласии с формулами (5.3.2) и (5.3.1), а вспомогательную
платформу из рассмотрения изъять. Тем самым доказано, что при
произвольном перемещении центра основной платформы по сфере S
последняя будет все время касаться сферы, если соблюдены
следующие условия. Платформа должна касаться сферы в мгновение
/ = 0, выполняется соотношение (5.3.19), постоянные Ъх и Ъу
в формулах (5.3.1) связаны такими же равенствами
Ьх = vx (0), Ъу = νυ (0) (5.3.22)
с проекциями скорости центра платформы на оси χ и у в
начальное мгновение времени, как и в аналогичных им условиях (5.3.16);
отсутствует суммарный момент L сил, действующих на кожух —
ротор гироскопа II, относительно оси его кожуха; совершенно
точно функционируют следящие системы устройства и его счет-

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 561
но-решающие блоки; наконец, осуществляется коррекция
гироскопа II посредством момента К так, как уже было описано.
Выше упоминалось, что решение задачи инерциальной
навигации при наличии описанного движения основной платформы
сводится к интегрированию совокупности дифференциальных
уравнений (5.1.6) (см. § 1 настоящей главы). Входящие в уравнения
(5.1.6) функции ωΛ., (ή, ωυ (ή, ωυ(ί) задаются при этом формулами
(5.3.3), в которых следует положить
L = 0 (5.3.23)
и кроме того, учесть соотношение (5.3.19).
Исследуем теперь в приближенной постановке вопрос об
устойчивости только что описанного движения платформы, при котором
ее плоскость, следуя за гироскопами, неизменно касается сферы S.
Для этой цели составим сначала уравнения возмущенного
движения платформы. В общем случае в начальное мгновение времени
платформа может быть несколько наклонена к плоскости,
касающейся сферы S и проведенной через исходное положение центра
платформы. Кроме того, может оказаться, что не совсем точно
соблюдены условия (5.3.22). Что же касается равенства (5.3.19),
то будем по-прежнему считать, что оно выполняется строго.
В невозмущенном движении платформа совпадает с введенной
выше воображаемой вспомогательной платформой, с которой
была жестко связана система координат ξηζ. Следовательно, система
координат xyz, связанная с действительной (или основной) плат-

562 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
формой, в невозмущенном движении последней перемещается так
же, как и система ξηζ, полностью совпадая с нею. Однако при
возмущенном движении соответственные оси этих систем будут
образовывать друг с другом некоторые углы, изменяющиеся с течением
времени. Обозначим через α, β и γ углы Эйлера — Крылова,
определяющие расположение системы координат xyz относительно
системы ξηζ (см. § 6 гл. III первой книги). В случае углов
Эйлера — Крылова для перехода от системы координат ξηζ к системе
xyz следует совершить три конечных поворота (рис. 121): на угол α
вокруг оси ξ, на угол β вокруг оси у" (нового положения оси η)
и на угол γ (рис. 122) вокруг оси z, в которую переходит ось ζ
после двух предшествующих поворотов. Таблицу косинусов углов
между осями систем координат xyz и ξηζ нетрудно получить,
видоизменяя, например, таблицу (3.5.6) § 5 гл. III первой книги.
Именно, названия осей х, у, ζ, ξ1? η1? ζ± следует поменять
соответственно на ξ, η, ζ, χ, у, z, а углы α1? βχ, γχ на α, β и γ. В
результате получим таблицу
1
cos β cos γ
— cos β sin γ
sin β
η
sin α sin β cos γ +
+ cos α sin γ
— sin α sin β sin γ -f-
-f- cos α cos γ
— sin α cos β
ζ
— cos α sin β cos γ+
+ sin a sin γ
cos α sin β sin γ-f-
+ sin α cos γ
cos α cos β. (5.3.24)
Невозмущенное движение платформы, а следовательно, и
системы координат ξηζ, в соответствии с вышеизложенным, таково,
что проекция ω* ее угловой скорости ω* (относительно невращаю
щейся системы ξψζ5) на ось ζ тождественно равна нулю.
Проекции ω* ω^ той же угловой скорости ω* связаны с проекциями
#ξ и г;п на оси ξ и η скорости центра платформы соотношениями
(5.3.7). Угловая скорость ω системы координат xyz, движущейся
вместе с платформой в ее возмущенном движении (также
относительно системы ξδηδζ5), равна геометрической сумме угловой
скорости ω* системы ξηζ и векторов — ξ° da/dt, y"° d$/dt и
z° dy/dt — относительных угловых скоростей обусловленных
изменением углов α, β и γ. При изменении одного лишь угла а
система координат xyz вращается по отношению к системе ξηζ
вокруг оси ξ и, следовательно, относительная угловая скорость
da/dt направлена по оси ξ. Если же изменяется только угол β,
то вращение происходит вокруг оси у" и по этой же оси
направлена относительная угловая скорость d$/dt. Ось у" лежит в
плоскости ху (а также и в плоскости η ζ); она образует с осями χ ж у
соответственно углы π/2—γ и γ (рис. 122). Наконец, при изменении

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ; НАВИГАЦИИ 563
одного лишь угла γ система координат xyz вращается
относительно системы ξηζ вокруг оси z, по которой и направлена упомянутая
третья относительная скорость dy/dt. Учитывая только что
изложенное, приходим, используя таблицу (5.3.24), к следующим
выражениям для проекций угловой скорости ω системы координат
xyz на ее же оси:
ω* = (ω£ ~\—:тг) cos β cos Τ + ω1 (c°s oc sin γ + sin ά sin β cos γ) +
+ -£-smT,
ω.
ω3
dt
— — (ωξ -\—77") cos β sin γ -J- ω?ι (cos α cos γ — sin α sin β sin γ) +
+ -f- cos γ, (5.3.25)
= (ω* + ~ж) sin β— ω^ sin α cos β + -^f- .
Найденные выражения для проекций ωχ и ων следует подставить
в соотношения (5.3.3), которыми определяется прецессия
гироскопа I. В эти же соотношения входят проекции ахи ау кажущегося
ускорения центра платформы на оси χ и у. Чтобы их вычислить
заметим сначала, что проекции w%, w^, w^ абсолютного
(относительно системы координат £sns£s) ускорения w центра платформы
на оси ξ, η и ζ выражаются формулами (5.3.11), а проекции /ξ,
7η и /ζ ускорения тяготения /' —· соответственно формулами
(5.3.13). Учитывая равенства (5.3.14) и вновь используя таблицу
(5.3.24) косинусов углов между осями систем координат xyz и
ξηζ, получим необходимые в дальнейшем выражения для
проекций кажущегося ускорения центра платформы на оси χ и у
dv? dv
ах = -7т=- cos β cos γ -f- —тг- (cos ос sin γ + sin α sin β cos γ) +
+ ί у" ν-τΛ (sin α sin γ — cos α sin β cos γ),
V У (5.3.26)
dvf dv^
ay = -r-=-cos β sin γ -1—-τ--(cos α cos γ — sin α sin β sin γ) -f-
+ (/ тг) (sin α cos γ + cos a sin β sin γ).
Предварительно продифференцируем по времени левые и правые
части соотношений (5.3.3). В результате получим, учитывая
еще условие (5.3.19), равенства
day a„ άω„ α

564 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
Заменим в формулах (5.3.25) проекции ω| и ωί угловой
скорости ω* системы координат ξη ζ их представлением через проекции
г;ξ и ζλη скорости центра платформы, согласно равенствам (5.3.7),
и подставим затем полученные новые выражения для ω^ и ω^
в левые части равенств (5.3.27). В правые части тех же равенств
подставим величины ах и ау, согласно формулам (5.3.26). В
результате получим соотношения
^[(""^ + ^")С08РС081Г +
+ -^-(cos α sin γ + sin α sin β cos γ) -f -^- sin γ =
1 Γ dvp dv
= -jT-\ -—- cos β sin γ -1——- (cos α cos γ — sin α sin β sin γ) +
+ ί У ^-) (sin α cos γ -f- cosa sin β sin γ) ,
V ' (5.3.28)
^b(-^ + 40cospsinT+
+ -J?- (cos a cos γ — sin a sin β sin γ) -f- -j- cos γ =
1 Γ dv? dv
= -^- -^- cos β cos γ -1—jp- (cos a sin γ + sin a sin β cos γ) +
+ (j ^p j (sin a sin γ —- cos a sin β cos γ) ,
которые при заданных функциях времени v%(t) и νΆ (t)
представляют собой два дифференциальных уравнения с тремя искомыми
функциями времени a (t), β (t) и γ (t). Недостающее третье
уравнение, содержащее те же искомые функции, следует из третьего
соотношения (5.3.3). Так как в рассматриваемой схеме
инициальной системы к кожуху гироскопа II никакие силы не приложены,
то в третьем соотношении (5.3.3) следует положить, как уже
указывалось выше, L = 0. Подставив в левую часть этого
соотношения выражение для проекции угловой скорости ωζ, согласно
третьей формуле (5.3.25), и вновь учтя равенства (5.3.7), получим третье
дифференциальное уравнение в виде
__^sinp_^sinacosp+i2-sin|J+^- = 0. (5.3.29)
Таким образом, совокупность дифференциальных уравнений для
отыскания трех функций a (t), β (t) и γ (t) состоит из двух
уравнений второго порядка (5.3.28) и одного уравнения первого
порядка (5.3.29). Установим начальные условия для этих уравнений.

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 565
Тремя из них являются значения углов α, β, γ в мгновение t = 0.
Введем для них обозначения
а (0) = αΟΪ β (0) = β0, γ (0) = γ0. (5.3.30)
Два других начальных условия — значения производных по
времени от углов α и β в то же мгновение t = 0, т. е. величины
§L=a°' !L^' <5·3·31>
связаны со значениями проекций v% (t) и νΆ (t) скорости центра
платформы в мгновение t = 0 и параметрами Ьх и Ьу, входящими
в формулы (5.3.1) для функций Fx (t) и Fy (t). В самом деле,
положим в формулах (5.3.3) t = 0. Получим с учетом условия
(5.3.19)
ωχ (0) - — -£- by, ωυ (0) =-£- bx. (5.3.32)
Подставим теперь в левые части этих равенств выражения для ωχ
и ων, согласно первым двум формулам (5.3.25), и вновь учтем
равенства (5.3.7). Далее положим t = 0. В результате, принимая
во внимание обозначения (5.3.30) и (5.3.31), придем к
соотношениям
/ г>я (0) . \
у # l· ос0 J cos β0 cos γ0 +
^— (cos a0 sin γ0 + sin a0 sin β0 cos γ0) + β0 sin γ0 = ■£■ ,
/ M°) \ (5.3.33)
— ^ -_ + a0 J cos βο sm To+
■^- (cos a0 cos To — sin a0 sin β0 sin To) + βο cos To = -jf ,
которые являются линейными алгебраическими
уравнениями для отыскания двух недостающих начальных условий
<*о и βο·
Ограничимся рассмотрением малого возмущения движения
платформы. В соответствии с этим, сохраним в дифференциальных
уравнениях (5.3.28) и (5.3.29) лишь величины первого порядка
относительно переменных a (t), β (t), γ (t) и их производных по
времени. После сравнительно несложных выкладок придем к двум
уравнениям второго порядка
d2ct
, \ dy . 1 /. ι>*\ η
" ' +τ('-4)ι«-»
di2 ' Я di

566 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
и одному уравнению первого порядка
Посредством последнего уравнения можно исключить из
предыдущих двух производную угла γ по времени. Принимая, кроме
того, во внимание, что
tf = v\ + vl (5.3.36)
получим следующую совокупность двух дифференциальных
уравнений для двух неизвестных функций a (t) и β (t)
' (5.3.37)
d2ct
dt*
+ (+-*)? + *« = »·
После того как в результате интегрирования последних
уравнений найдены неизвестные a (t) и β (t), отыскание угла γ (t)
сводится, в соответствии с уравнением (5.3.35), к однократной
квадратуре.
Дифференциальные уравнения (5.3.37) — линейные с
переменными коэффициентами. Поэтому вопрос об устойчивости
тривиального решения
а = β = 0 (5.3.38)
требует особого исследования. При равномерном движении
центра платформы по дуге большого круга невращающейся сферы S
проекции г;ξ (t) и ζ;η (t) скорости центра платформы относительно
сферы суть постоянные величины. Корнями характеристического
уравнения совокупности дифференциальных уравнений (5.3.37)
в этом случае служат числа + i Y~j/R, + i Vi/R — v2/R2.
Если
υ<^υι = Υ]ϊϊ, (5.3.39)
т. е. если скорость центра платформы намного меньше первой
космической скорости (см. § 2 предыдущей главы), то все корни
характеристического уравнения близки по модулю к частоте
Шулера
где g — ускорение силы тяжести.
В частном случае движения центра платформы по экватору или
по дуге большого круга невращающейся Земли можно направить

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 567
ось ξ по касательной к соответствующей окружности. Тогда
Vl = v (ή, νΆ = О, ωζ = 0. (5.3.41)
Последнее равенство собственно и разрешает выбор такого
движения системы координат ξη ζ в качестве невозмущенного (заметим,
что аналогичное движение по параллели условию ωζ = 0 не
удовлетворяет). Совокупность дифференциальных уравнений (5.3.37)
распадается теперь на два независимых уравнения
(5.3.42)
Второе уравнение совпадает, по существу, с уравнением (4.2.39)
§ 2 предыдущей главы. Следует отметить, что малые колебания
платформы вокруг оси ξ, по которой направлен теперь вектор
скорости центра платформы, в этом случае не только не связаны с
колебаниями платформы в плоскости большого круга, но и не
зависят от модуля ее скорости.
Рассмотрим вопрос об ошибке в определении местоположения на
сфере S подвижного объекта посредством системы инерциальной
навигации, описанной в настоящем параграфе. Примем, что
допущена неточность в начальной установке платформы, а также
при вводе в счетно-решающий блок параметров Ьх и Ьу. В
результате, в общем случае будет иметь место неравенство нулю всех
или некоторых (по крайней мере, одной) из пяти величин
α(0)-α„, р(0) = ро, Τ(0)=··γ0, ^-|/=ο=άο, -§|t=0=ft>· (5·3·*3)
Именно этими величинами и определяется в рассматриваемом
случае возмущенное движение платформы.
Будем считать, что сама инерциальная система безупречна.
В частности, в ее счетно-решающие блоки поступают истинные
текущие значения проекций ωχ (£), ω^ (ί), ωζ(ί) на оси х, у, ζ
угловой скорости связанной с платформой системы координат xyz
относительно невращающейся сферы S (или, что то же, некоторой
невращающейся системы gsr]^s). В результате действия
инерциальной системы окажется известным в тех или иных
параметрах истинный конечный поворот из ее исходного положения в
мгновение t = 0 в какое-либо другое, соответствующее мгновению t = tlm
Когда равны нулю все без исключения величины (5.3.43),
характеризующие начальные условия совокупности
дифференциальных уравнений (5.3.28) и (5.3.29) инерциальной системы, то в
любое мгновение времени
a = β = γ = о (5.3.44)

568 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
и платформа находится в невозмущенном движении. В этом
случае конечный поворот, который укажет в результате своего
функционирования инерциальная система, позволит, в принципе,
точно определить местоположение центра платформы в мгновение
t = tl9 если, разумеется, оно точно было известно в начальное
мгновение t = 0. При возмущенном движении это будет не так.
Обозначим через ^оЛо^о начальное положение системы
координат xyz, связанной с платформой в ее невозмущенном движении,
и через х0у0я0 — фактическое положение этой системы в
мгновение t = 0. Соответственно через ξιηιζι обозначим положение той
же системы в мгновение t = tx при невозмущенном движении и
через #χϊ/ιΖι — действительное ее положение в результате
возмущенного движения.
Конечный поворот из положения ξοΉο^ο Β хъУъ*ъ может быть
определен углами Эйлера — Крылова α0, β0, γ0, а из положения
ΙιΉιζι в xilJizi — подобными же углами α1? βχ, уг. Обозначим эти
повороты соответственно через D (0) и D (tx), как и в предыдущем
параграфе, в котором изучались вопросы, близкие по своему
характеру к здесь излагаемым. Ориентация платформы в мгновение
t — tlt в результате ее невозмущенного движения, полностью
определяет местоположение центра платформы на сфере S и ее
расположение относительно стран света. В свою очередь, отыскание
ориентации платформы сводится к определению положения
системы координат ξχηχζχ. Для этой цели достаточно найти конечный
поворот G из положения ξοΉο^ο Β ^ιΠιζι- Однако инерциальная
система, в соответствии с вышеизложенным, может точно указывать
лишь конечный поворот G* из положения x0y0z0 в xiyxzv Задача
об определении ошибки в местоположении центра платформы
сводится, таким образом, к отысканию конечного поворота G.
Для решения этой задачи заметим, что переход из положения
ξ0η0ζ0 в положение х{у^х можно осуществить двумя способами.
Во-первых, переходом из ξοΉο^ο Β хоУо*о посредством упомянутого
выше конечного поворота D (0) и далее из x0y0z0 в х{у^х путем
поворота G*. И, во-вторых, иначе, сначала переходом из положения
ξ0η0ζ0 в ξχϊΐχξχ в результате конечного поворота G и затем из
ii'HiCi B xiyizi посредством поворота D (/χ). Нижеследующая
схема иллюстрирует эти переходы
ξοΉοζο —-> ξιηιζι
До) I | ι>(ίι). (5.3.45)
хоУо^о ~ϊ* х\Ул7>\
Матрицы D (α0, β0, γ0) и D (а1? βχ, γχ), соответствующие
конечным поворотам D (0) и D (£χ), имеют, согласно изложенному в § 7

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 569>
гл. III первой книги, следующий вид:
D К, ββ. То) = С (γ0) Β (β0) Α (α0), (5.3.46)
D (ах, plf Ъ) = С Μ Β (β,) Л (а,), (5.3.47)
где А (а) , В (β) и С (γ) — матрицы простейших конечных
поворотов трехгранника abc на углы α, β и γ вокруг ребер а, Ъ и с.
Поэтому эквивалентность последовательностей поворотов D (0)г
G* и G, D (t±) можно представить в виде матричного равенства
G*D (о0, β0, ?0) = i> (αΧ) βχ, Yl) G. (5.3.48)
Здесь, аналогично предыдущему, через G л G* обозначены
матрицы, соответствующие одноименным конечным поворотам.
Учитывая изложенное в том же § 7 гл. III первой книги, из
матричного равенства легко получить выражение для матрицы G в
явном виде. Именно,
G = D-1 К, β1? уг) G* D (α0, β0, γ0). (5.3.49)
Здесь D'1 (а1? β2, γχ) — матрица, обратная D (α1? βχ, γ^, т. е.
такая, что
D'1 (alf β1? Tl) D (alf βΐ5 ъ) = Ε, (5.3.50)
где Ε — единичная матрица.
Нетрудно убедиться, учитывая свойства матриц Α (α), Β (β),.
С (γ) (см. вновь § 7 гл. III первой книги), что
D-1 К, βι, Υι) = A (-ai) ^ (- βχ) С (- ?1) *. (5.3.51)
Итак, в соответствии с формулами (5.3.46), (5.3.51) и (5.3.49)г
имеем
G = А (- а,) В (- βχ) С (- 7l) G* С (γ0) 5 (β0) Α (α0).
(5.3.52)
Конкретные вычисления, связанные с определением конечного
поворота G, и последующее нахождение ошибки местоположения
центра платформы значительно упрощаются, если углы α0, β0,.
ϊο> αι» βι» Τι считать малыми и пренебречь их произведениями.
Рассуждения, приведенные в конце настоящего параграфаг
имеют вполне общий характер. Они годятся и для выяснения
ошибок в определении местоположения центра платформы
посредством инерциальных систем, осуществленных по иным схемам.
* Легко проверить, что матрица D 1 fal5 βΐ5 уг) оказывается равной
транспонированной матрице Dr (а19 βΐ5 уг).

570 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ| НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
§ 4. Инерциальная система
с принудительно вращающейся платформой
Платформа инерциальной системы, рассмотренной в
предыдущем параграфе, была стабилизирована в азимуте. Ее абсолютная
угловая скорость не имела составляющей вдоль вертикальной оси,
перпендикулярной плоскости платформы. Благодаря этому
обстоятельству, соотношения, связывающие показания измерителей
кажущегося ускорения (ньютонометров) с проекциями угловой
скорости платформы на направления осей их чувствительности,
оказались особенно простыми, вследствие чего описанная система
инерциальной навигации была названа простейшей.
Стабилизация платформы в азимуте обеспечивалась
гироскопом II (см. рис. 117), ось кожуха которого была свободна от
воздействия каких-либо моментов, включая трение. Быть может,
именно поэтому описанная простейшая система инерциальной
навигации получила условное название «свободной в азимуте» в
отличие, например, от систем, платформа которых
ориентируется по странам света или как-либо иначе.
В настоящем параграфе описывается схема инерциальной
навигации, отличающаяся от простейшей лишь заданным
принудительным непрерывным вращением стабилизированной платформы
в азимуте. Это оказывается полезным для существенного
уменьшения ошибок инерциальной системы, вызванных несовершенством
функционирования ее элементов, а также дебалансами и трением
в чувствительных элементах. Разумеется, вычислительная часть
системы значительно усложняется. Некоторое время тому назад
даже считалось невозможным осуществление не имеющей
принципиальных (методических) ошибок инерциальной системы, в
которой используются только показания двух ньютонометров или
их интегралы, а платформа не стабилизируется в азимуте.
Для осуществления упомянутого непрерывного вращения
стабилизированной платформы в азимуте к оси прецессии гироскопа II
(рис. 117) необходимо приложить некоторый заданный, отличный
от нуля момент L(t). Проекции ω^, ω^? ωζ угловой скорости
платформы на оси х, у и ζ связанной с нею системы координат xyz
будут теперь выражаться, в согласии с формулами (5.3.3),
следующим образом:
М2 Mi L ,r / 4\
Теперь уже проекция ωζ отлична от нуля, и интегрирование
совокупности дифференциальных уравнений (5.1.6) становится
несколько более сложным.

§ 4. СИСТЕМА С ВРАЩЕНИЕМ В АЗИМУТЕ
571
В случае, когда упомянутый момент L и соответственно
проекция ωζ угловой скорости платформы не равны нулю,
моменты^ M1 и М2 уже нельзя формировать по тем же законам, как
и ранее, согласно равенствам (5.3.1) и (5.3.2). Это приведет к
потере стабилизации платформы в горизонте. Как будет доказано
ниже, моменты М1 и М2 должны в данном случае определяться
решением следующей системы двух интегральных уравнений *:
t t
Mi= k[ax (t) dt — η^- [ M2L (t) dt + kbx,
о о
t t
M2 = k[ay(t) dt + -^-{M^L^dt + kby.
(5.4.2)
Здесь ax (t) и ay (t) — показания ньютонометров с осями
чувствительности, направленными соответственно параллельно осям χ
и у системы координат xyz, жестко связанной с платформой, а
постоянные величины /с, Ъх и Ъу выбираются так, чтобы плоскость
ху могла оставаться горизонтальной при произвольном движении
начала системы координат xyz (центра платформы) по земной
сфере. Оказывается, что постоянная к, входящая в уравнения (5.4.2),
должна удовлетворять вместе с величиной собственного
кинетического момента Н' и радиусом Земли R соотношению
совершенно аналогичному условию (5.3.19) предыдущего
параграфа. В свою очередь, так же, как и в предыдущем параграфе,
постоянные величины &х и Ъу должны быть связаны равенствами
Ъх = νχ (0), Ъу = vy (0) (5.4.4)
со значением проекций на оси χ и у «абсолютной» (т. е. по
отношению к невращающейся сфере S, концентрической с земным
шаром) скорости центра платформы в исходное мгновение времени
t = 0. Эти равенства также встречались при рассмотрении инер-
циальной системы со свободной в азимуте платформой.
Покажем, что моменты Мг и М2, являющиеся решением
системы интегральных уравнений (5.4.2), действительно обеспечивают
стабилизацию платформы в плоскости горизонта.
* См. Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. М., «Наука»,
1966. Б о й ч у к О. П. Про демпфгрування в шерщальних системах на-
МгацИ.— Доп. АН УРСР. сер. А, 1967, Μ 3. Стороженко В. Α.,
Темченко Μ. Ε. К задаче автономного определения местоположения
объекта в околополярных областях.— Изв. АН СССР, МТТ, 1971, Μ 5,

572 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
Рассмотрим произвольное движение платформы, при котором,
однако, начало системы координат xyz (т. е. центр платформы)
движется по земной сфере, а плоскость ху этой сферы касается.
При таком движении проекции их и vy скорости начала координат
относительно невращающейся сферы S радиуса R, окружающей
Землю, связаны с проекциями ωχ и ων угловой скорости ω
системы xyz с точностью до изменения обозначений теми же
соотношениями (5.3.7), что и в предыдущем параграфе (см. также § 2 гл. I
настоящей книги), а именно,
vx = R(uy, vy = — 7?ωχ, (5.4.5)
причем, разумеется, νζ = 0. В свою очередь, проекции ускорения
начала координат на оси χ л у представляются формулами
dv dv
w* = ~~df ~" ω*νν> wv ^ "W + ωΡ*' (5.4.6)
В них ωζ — в общем случае отличная от нуля проекция угловой
скорости системы координат xyz на ось ζ или, что то же, на
продолжение радиуса земной сферы, проведенного к центру
стабилизированной платформы. Задание переменных величин ωχ,
о)у, (οζ (или, если угодно, vx, vyi ωζ) как функций времени в
данном случае полностью определяет движение платформы по сфере
S (если известно ее начальное расположение). Так как плоскость
ху горизонтальна, точнее перпендикулярна геоцентрической
вертикали, т. е. радиусу Земли, то проекции j х и fy ускорения
тяготения на оси χ и у равны нулю. Как следствие, проекции ах и ау
кажущегося ускорения в этом случае соответственно равны
проекциям wx и wy ускорения истинного. Таким образом, имеем
dv dv
α* = "df" — ωζνν> αυ = ~dT + ωζνχ· (5.4.7)
Однако проекции кажущегося ускорения измеряются ньютоно-
метрами и, следовательно, или они сами или, как бывает в ряде
подобных устройств, их интегралы — проекции кажущейся
скорости
Vx(t) = \ax(t)dt, Vy(t) = loy{t)dt (5.4.8)
о о
— надлежит при решении задачи инерциальной навигации
считать известными функциями времени. Следовательно, равенства
(5.4.7) можно рассматривать как совокупность двух
дифференциальных уравнений для искомых переменных vx (t) и vy (t), в
которых функции ах (t), а у (t) и ωζ (t) заданы. Совершив над этими
уравнениями операцию компрессии (см. § 1 гл. II настоящей
книги), получим единственное дифференциальное уравнение первого

§ 4. СИСТЕМА С ВРАЩЕНИЕМ В АЗИМУТЕ
573
порядка
-jf (vx + ivy) + ш2 (t) (уя + ivy) = ах (t) + iay (t) (5.4.9)
для комплекснозначной функции времени vx -f ivy. Решение
этого уравнения имеет вид
t
vx + ivy = (υ% + ivl) *-«*<') + (г*х«) § е^) [ах (t) + iay (t)] dt. (5.4.10)
о
Здесь
vl = vx (0), v°y = vy (0) (5.4.11)
— значения проекций vx (t) и vy (t) скорости центра платформы
на оси χ и у в начальное мгновение времени t = 0 и
t
χ(ί) = $ω,(ί)Λ (5.4.12)
О
— функция времени, которую в формуле (5.4.10) следует считать
известной.
Зная теперь текущие значения функций vx (t) и vy (t), можно,
согласно равенствам (5.4.5), найти проекции ωχ (t) и ωυ (t)
угловой скорости платформы на те же оси хну. Далее, в соответствии
с первыми двумя формулами (5.4.1), нетрудно определить, какие
моменты Мх — М1 (t) и М2 — М2 (t) надлежит приложить к
первому гироскопу платформы, чтобы она в процессе своего движения
оставалась в плоскости местного горизонта.
Заметим, что отыскание неизвестных vx и vy по известным
функциям ax{t), а-у (£), ωζ (t) можно производить, решая не
дифференциальные уравнения (5.4.7), а интегральные
t t
$ ах (t) dt = vx — vx (0) — £ νυω2 (t) dt,
(5.4.13)
\ ay (t) dt = vy — vy (0) + jj νχωζ (t) dt.
о о
Последние получаются, если левые и правые части уравнений
(5.4.7) порознь проинтегрировать по времени в пределах от нуля
до текущего мгновения времени t и соответственно приравнять
ДРУГ ДРУгу. Выразим в этих интегральных уравнениях функции
vx и vy через ων и ωΧ, согласно равенствам (5.4.5), а затем ωχ,
о)уи ωζ, в согласии с формулами (5.4.1), через Mlt М2 и L. Учтем,
далее, соотношения (5.4.3) и (5.4.4). В результате получим
приведенные выше интегральные уравнения (5.4.2). В них функции
времени — моменты Мх и М2 — являются неизвестными, а ин-

574 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
Рис. 123
тегралы от текущих значений проекций ax(t), ay (t) кажущегося
ускорения и момент L (t), вызывающий вертикальную
составляющую ωζ (t) угловой скорости платформы — известными или
заданными функциями времени t. На рис. 123 представлена возможная
схема счетно-решающего устройства, посредством которого можно
получить текущие значения моментов М1 и М2, удовлетворяющие
системе интегральных уравнений (5.4.2).
Заметим в заключение, что решение (5.4.10) дифференциального
уравнения (5.4.9) в результате операции интегрирования по
частям может быть представлено в виде
t
vx + ivy = [vx (0) + ivy (0)] exp [- ίχ (t)\ + $ [ax (t) + iay (t)] dt -
- exp [- ίχ (t)] J {ίωζ (t) exp [ίχ (t)] J [ax (t) + iay (t)] ώ} dt.
о о
(5.4.14)
Тем самым, искомые проекции vxnvy «абсолютной» скорости
центра платформы оказываются выраженными через интегралы по
времени от проекций кажущихся ускорений ах и ау, что в ряде
случаев предпочтительнее.
Таким образом, оказывается возможным иное, по сравнению
с изложенным выше, решение поставленной задачи инерциаль-
ной навигации на земной сфере при заданной не равной нулю
проекции ωζ угловой скорости платформы на нормаль к ней.
Используя формулы (5.4.1) и (5.4.5) и считая в равенстве (5.4.12)
coz(t) = const, получим, в частности, следующие формулы для

§ 5. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ГИРОКОМПАСНОГО ТИПА 575
искомых моментов Мг и М2:
t
М1 = kV# (t) — Ыг \ [Vx (τ) sin ω2 (t — τ) — 7XJ (τ) cos ωζ (ί
ο
+ Α [ζλκ (0) cos ωζ£ + у^ (0) sin ωζ£],
t
Μ2 = АУ1У (ί) — Ус(о2 ^ [7α (τ) cos ωζ (ί — τ) + Vy (τ) sin ωζ (ί
ο
— Α; [νχ (0) sin ω2£ — νυ (0) cos ωζί].
Здесь V χ (t) и У у (t) — функции, выражающиеся формулами
(5.4.8).
§ 5. Инерциальные системы гирокомпасного типа
В настоящем параграфе рассматриваются две схемы инерциаль-
ной навигации, различающиеся составом своих чувствительных
элементов и, вместе с тем, весьма близких как по характеру своего
поведения, так и по математическому описанию. Первая из них по
расположению гироскопов и ньютонометров на
стабилизированной платформе мало отличается от простейшей схемы инерциальной
навигации, описанной в § 3 настоящей главы, однако один из ее
гироскопов имеет переменную угловую скорость собственного
вращения. Во второй схеме используется пространственный
гироскопический компас (см. § 6 гл. II настоящей книги). Его
чувствительный элемент — гиросфера — дополняется при этом одним
ньютонометром.
Исследование обеих систем ограничивается выяснением условий
так называемого идеального функционирования соответствующей
системы инерциальной навигации, при котором, в частности,
нормаль к платформе и вертикальный диаметр гиросферы неизменно
проходят через центр Земли, как бы ни перемещался объект по
земной сфере.
Исследование вопросов устойчивости и малых колебаний
стабилизированной платформы и гиросферы около их невозмущенного
движения при идеальном функционировании соответствующих
схем здесь опущено. Оно аналогично исследованию тех же
вопросов в § 3 настоящей главы применительно к простейшей схеме
инерциальной навигации.
Перейдем к рассмотрению первой из упомянутых в начале
настоящего параграфа схем инерциальной навигации. Она
отличается от простейшей схемы, описанной в § 3 настоящей главы (см.
рис. 177), лишь следующим. Отсутствует момент М2, приложенный
τ)] dx +
(5.4.15)
τ)] dx —

576 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
к кожуху гироскопа I; момент
Μlt действующий на внешнее
кольцо того же гироскопа I,
остается без изменения и
по-прежнему выражается формулой
(5.3.2); угловая скорость и
соответственно собственный
кинетический момент Н" гироскопа
II изменяются
пропорционально текущему значению
функции Fx (t), заданной первой из
формул (5.3.1). Наконец, момент
L, приложенный к кожуху
гироскопа II (ранее равный
нулю), становится теперь
пропорциональным текущему
показанию ау того ньютонометра, ось
чувствительности которого
направлена по оси у (см. рис.
117 и рис. 118). Согласно
первым двум формулам (5.3.3) § 3
настоящей главы (см. также рис. 118), имеем теперь
Рис. 124
GL. = —·
С0„ = -7Т7- =
Μ*
Н'
Μι
Η'
= 0,
kFx(t)
Η'
(5.5.1)
(5.5.2)
где Fx (t) — функция, определяемая первым из равенств (5.3.1).
В последней из формул (5.3.3) того же параграфа (см. рис. 119),
в соответствии с только что изложенным, следует положить
(5.5.3)
(5.5.4)
и
L = lay (t)
Н" = hFx (<),
где I и h — постоянные коэффициенты, подлежащие в дальнейшем
определению. В результате получим
lay (t)
ω2 =
Wx W
(5.5.5)
Покажем, что коэффициенты к, Z, h и постоянную Ъх, входящую
в состав функции Fx(t), можно подобрать такими, чтобы система
координат xyz совершала упомянутое выше идеальное
движение, т. е. такое, при котором координатная плоскость ху все
время касалась бы сферы S, а ось ζ проходила через центр этой сферы.

§ 5. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ГИРОКОМПАСНОГО ТИПА 577
Введем естественный трехгранник Дарбу x°y°z° (см. § 4 гл. II
настоящей книги), вершина которого движется по сфере S,
неизменно совпадая с центром платформы (рис. 124), а плоскость х°у°
этой сферы касается. Пусть в любое мгновение времени его ребро #°
направлено вдоль вектора ν скорости вершины и, следовательно,
касается сферической кривой, которую эта вершина описывает.
Проекции скорости вершины трехгранника x°y°z° на его ребра
(см. там же) представляются очевидными равенствами
vxo = v {t)4 vyo = 0, vzo = 0, (5.5.6)
а проекции угловой скорости трехгранника также на его ребра —
формулами
ω*0 = 0, со°уо = -7т-, ω^ο = ω (t), (5.5.7)
где ω (t) — по-прежнему составляющая угловой скорости ω°
трехгранника вдоль ребра ζ°, направленного перпендикулярно
поверхности сферы S (см. рис. 124).
Приведем еще, пользуясь изложенным в упомянутых
параграфах (§ 4 и § 6 гл. II настоящей книги), формулы для проекций
Wx°, Wy° и wz° ускорения w вершины естественного трехгранника
Дарбу на его ребра х°, у0 и z°. Имеем
w& = -τ- , wyo = ων, wzo = ττ- . (5.5.8)
Как уже указывалось в § 6 гл. II настоящей книги, заданием
траектории движения центра платформы (а следовательно, и
вершины трехгранника) на сфере S вместе с законом движения по этой
траектории вполне определяются функции ν (t) и ω (t) и тем самым,
согласно формулам (5.5.7), проекции угловой скорости ω° на
ребра трехгранника. Заметим также, что имеет место равенство
5(0=-^-, (5.5.9)
где pg — текущий геодезический радиус кривизны сферической
кривой *. Под последним понимается радиус кривизны
плоской кривой, получающейся в результате ортогонального
проектирования сферической кривой на касательную плоскость к сфере S.
Точкой касания является при этом текущее положение центра
платформы, а радиус кривизны pg определяется для той точки
плоской кривой, которая совпадает с точкой касания. Заметим
также, что, если обе функции ν (t) и ω (t) заданы, то, зная их, мож-
* Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии,— М., Гос-
техиздат, 1956.

578 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
но определить сферическую кривую, по которой происходит
движение центра платформы, однако лишь с точностью до ее
произвольного перемещения на сфере как твердого тела, т. е. без
дополнительных изгиба и кручения.
Выясним теперь, какие должны соблюдаться условия, чтобы
система координат xyz, связанная со стабилизированной платфор-
фой, двигалась бы точно так же, как и естественный трехгранник
Дарбу x°y°z°. Очевидно, что оси х, у, ζ и ребра х°, г/°, ζ° должны
соответственно совпадать друг с другом в начальное мгновение
времени t = 0, а в последующие мгновения вектор угловой
скорости ω системы координат xyz должен быть равен вектору
угловой скорости ω0 трехгранника x°y°z°, т. е. должны тождественно
осуществляться равенства
ωχ = (ύ°χο, toy = to°yo, toz = to°zo. (5.5.10)
Первое из них, в силу равенства (5.5.1) и одного из выражений
(5.5.7), имеет место всегда. Второе и третье равенства (5.5.10),
после учета формул (5.5.2), (5.5.5) и двух остальных выражений
(5.5.7), приводятся к виду
hFx (О
= ω(*)· (5.5.12)
Эти соотношения должны удовлетворяться тождественно при
любых функциях ν (t) πω (t), соответствующих произвольному
движению центра платформы по сфере S. Выясним условия, при
которых это имеет место. При совпадении осей х, у, ζ с ребрами х°,
г/°, ζ° проекции ускорения w центра платформы на оси х, г/, ζ,
в силу формул (5.5.8), соответственно равны величинам
dv ~ ν2 .г г л о\
Wx = ~dT' wv = tov, wz= £- . (э.5.13)
Кроме того, равны нулю проекции jx и jy ускорения силы земного
тяготения на оси χ я у, так как само ускорение / направлено к
центру Земли и, следовательно, в данном случае — вдоль
отрицательного направления ребра ζ°. Используя формулы (5.5.13),
получаем для показаний ах и ау ньютонометров, оси
чувствительности которых направлены вдоль осей χ и у, в соответствии с
изложенным в § I четвертой главы настоящей книги, следующие
выражения:
я* = wx — Jx = ~jf » αυ = wv — h = ®v. (5.5.14)

§ 5. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ГИРОКОМПАСНОГО ТИПА 579
Подставляя значение ах в выражение (5.3.1), приведенное в §3
настоящей главы для функции Fх (t), получаем
t
Ρχ (t) = J «* (t) dt + bx = v(t)-v (0) + bx, (5.5.15)
0
где ν (0) — значение скорости перемещения центра платформы
по сфере S в начальное мгновение t = 0.
Пользуясь свободой выбора постоянной Ъх в счетно-решающем
устройстве, образующем текущие значения функции F х (£),
положим
bx = v (0). (5.5.16)
Тогда функция Fх (t) оказывается численно равной скорости ν (t)
центра платформы, т. е.
Fx (t) = v (t). (5.5.17)
Соотношение (5.5.11) принимает теперь вид
-Т^1--^. (5-5.18)
Оно обращается в тождество, если коэффициент к выбран в
соответствии с равенством
к =■!£-. (5.5.19)
Последнее совпадает с условием (5.3.19) § 3 настоящей главы.
Соотношение (5.5.12) в результате подстановки в него
выражений для функций ау (t) и Fx (t), согласно второй формуле (5.5.14)
и равенству (5.5.17), приводится к виду
_j^L==S(i)_ (5520)
Оно, в свою очередь, становится тождеством, если коэффициенты
I и h с точностью до знака равны друг другу, т. е.
I - - h. (5.5.21)
Таким образом, все условия для обращения равенств (5.5.10) в
тождества выполнены. Следовательно, система координат xyz,
связанная с платформой, должна осуществлять такое движение,
при котором ее ось ζ неизменно будет проходить через центр сферы
S, а ось χ направлена вдоль вектора скорости начала этой
системы. Проекции угловой скорости системы координат xyz на ее же
оси, т. е. функции времени ωχ (£), ω^ (t) и ω2 (t), теперь полностью
определяются через величины ах (t) и ау (t)y измеряемые на борту
объекта. Именно, в силу равенств (5.5.10), (5.5.7), (5.5.12),

580 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
(5.5.21) и (5.5.17), имеем
ωχ(0 = <>, coy(i) = -^-, ωι(ί) = ^.. (5.5.22)
Для образования функции ω ζ (t) следует предусмотреть в
рассматриваемой схеме системы инерциальной навигации возможность
непрерывной операции деления текущего показания ау (t) ньюто-
нометра с осью чувствительности, направленной по оси у, на
текущее же значение ν (t) — скорости центра платформы
относительно невращающейся сферы S.
Зная функции ωχ (t), ωυ (t), ω2(£), можно уже решать
совокупность дифференциальных уравнений (5.1.3) § 1 настоящей
главы относительно искомых функций λ (t), φ (t) и κ (t), которая
принимает теперь следующий вид:
~ cos κ — (U + -jf) cos φ sin κ = 0,
—-βίηκ + \U + -уг) cos φ cos κ = ^-- , (5.5.23)
άκ . lTT , d%\ . a (t)
dt ι \ ' dt J Ύ ν (t) '
Разрешая эти уравнения относительно производных dK/dt, άφ/dt
и άκ/dt, получим видоизмененную совокупность
άφ ν (t)
dt Я
dX ν (t) cos κ
dt Я cos φ
sin κ,
-ί/, (5.5.24)
άκ ν (t) cos κ . % (0
- ■ tg φ
dt "~" И &Ύ v(t) '
Первое и третье уравнения этой совокупности не содержат
искомой функции λ (t) и, следовательно, они интегрируются независимо
от второго уравнения. Последующее нахождение функции λ (t),
т. е. текущей долготы местоположения центра стабилизированной
платформы на подвижном объекте, сводится, в соответствии со
вторым уравнением (5.5.24), уже к простой квадратуре.
В начале параграфа было указано, каковы должны быть
моменты М1 и Μ2, действующие на внешнее кольцо и кожух гироскопа I,
и момент L, приложенный к кожуху гироскопа II, чтобы
описанная в настоящем параграфе система инерциальной навигации
допускала идеальное функционирование (совпадение осей
системы координат xyz, связанной с платформой, с ребрами
естественного трехгранника Дарбу x°y°z°). Согласно равенствам (5.5.1),
(5.5.2) и (5.5.3), принимая во внимание вторую формулу (5.5.14),
а также соотношение (5.5.17), приходим к выводу, что перечислен-

§ 5. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ГИРОКОМПАСНОГО ТИПА 581
ные моменты должны осуществляться в согласии с равенствами
Мг = kFx (t) = kv (t)9 M2 = 0, L = lay = Ιω (t)v(t). (5.5.25)
Выясним, кроме того, какова должна быть величина момента К,
приложенного к внешнему кольцу гироскопа II. Вызываемая им
прецессия должна непрерывно приводить ось собственного
вращения ротора этого гироскопа в положение, при котором она
оказывается параллельной платформе, т. е. плоскости ху.
Соответственно проекция угловой скорости кожуха гироскопа II на ось χ
должна равняться проекции на ту же ось угловой скорости
платформы, следящей за кожухом гироскопа I. Последняя
проекция, согласно равенствам (5.5.1), равна нулю, а первая, в
соответствии с законами прецессионного движения гироскопа II (см.
рис. 119), связана с величиной момента К равенством
Я" со* = К. (5.5.26)
Из вышеизложенного представляется, что при совершенном
исполнении элементов инерциальной системы и ее идеальном
функционировании устройство для образования момента К может
отсутствовать вовсе. Однако для приведения оси собственного
вращения гироскопа II в положение, параллельное плоскости хуу
необходимо, чтобы такое устройство все же существовало. В
частности, можно потребовать, например, чтобы момент К
образовывался по закону
К = — с$. (5.5.27)
Здесь β — угол между осью собственного вращения гироскопа II
и перпендикуляром к плоскости его внешнего кольца, ас —
настолько большой коэффициент пропорциональности, чтобы, не
нарушая устойчивости гироскопической системы, можно было
осуществлять так называемую сильную коррекцию, при которой
угол β оказывается пренебрежимо малым.
Обратимся теперь к рассмотрению второй схемы инерциальной
навигации, о которой было упомянуто в начале настоящего
параграфа. Заметим прежде всего, что угловая скорость
стабилизированной платформы только что описанной системы
инерциальной навигации (в режиме идеального функционирования) имеет,
согласно формулам (5.5.7) и равенствам (5.5.10), следующие
проекции на оси связанной с платформой системы координат xyz
ωχ = 0, ων = -^ , ωζ = ω (t). (5.5.28)
Однако в точности такой же вид имеют формулы (2.6.24) § 6
гл. II настоящей книги для проекций угловой скорости
чувствительного элемента — так называемой гиросферы пространствен-

582 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
ного гироскопического компаса — на оси связанной с ним
одноименной системы координат xyz при соблюдении надлежащих
начальных условий движения гиросферы. При этом ось у
упомянутой системы координат направлена по суммарному собственному
кинетическому моменту Η обоих не отличающихся друг от друга
гироскопов чувствительного элемента (см. рис. 77), а ось ζ
параллельна осям кожухов гироскопов, проходит через центр
гиросферы и направлена вверх. Суммарный кинетический момент
гиросферы Н, как это следует из изложенного в том же параграфе,
выражается формулой
Η = 2В cos ε, (5.5.29)
где ε — половина так называемого угла разведения гироскопов
и В — собственный кинетический момент каждого из них в
отдельности (см. рис. 79).
Упомянутые выше начальные условия движения гиросферы
сводятся к следующему. В начальное мгновение времени t = 0 оси
.г, у и ζ должны совпадать с осями естественного трехгранника
Дарбу x°y°z°, т. е. ось χ должна быть направлена по вектору
скорости ν центра гиросферы относительно невращающейся сферы
S, а отрицательная часть оси ζ должна проходить через центр
Земли. Кроме того, в то же начальное мгновение t = 0 следует
гироскопы развести на угол 2ε(0) так, чтобы величина ε(0) = ε0
была бы корнем тригонометрического уравнения
25 cos ε0 = mlv (0), (5.5.30)
в котором ν (0) — значение скорости центра гиросферы в
мгновение t — 0. Предполагается, разумеется, что 2В ^> mlvm3i^.
При соблюдении перечисленных начальных условий
дальнейшее текущее значение угла ε (t) связано с текущим значением
скорости ν (t) равенством
25 cos ε (г) = mlv (t)9 (5.5.31)
каково бы ни было последующее движение гиросферы по земному
шару. При этом оси χ и ζ системы координат, связанной с гиросфе-
рой, все время будут направлены соответственно по вектору
скорости г; и по продолжению радиуса Земли. Таким образом, в этом
случае, непрерывно измеряя угол ε, можно знать текущее
значение скорости ν центра гиросферы в его движении относительно
невращающейся сферы S. Далее, в силу формул (5.5.28), помимо
проекции ω д., равной нулю, становится известной проекция ωυ
угловой скорости системы координат xyz относительно сферы S
или, что то же, по отношению к невращающейся системе
координат £SY)S£S.
Изложенное показывает полную аналогию уравнений движения
чувствительного элемента пространственного гироскопического

§ 5. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ГИРОКОМПАСНОГО ТИПА 583
компаса и стабилизированной платформы устройства, описанного
в начале настоящего параграфа. В самом деле, система координат
xyz, связанная с гиросферой, в случае соблюдения только что
приведенных начальных условий движется точно так же, как и
одноименная система координат, связанная со стабилизированной
платформой, если в свою очередь удовлетворены перечисленные
выше требования. Кроме того, собственный кинетический момент
Я" гироскопа II, расположенного на стабилизированной
платформе, изменяется в соответствии с соотношением (5.5.4) и равенством
(5.5.17), по закону
Н" = hFx (t) = hv (t), (5.5.32)
т. е. пропорционально текущему значению скорости движения
центра подвеса по сфере S. Точно так же, в силу равенств (5.5.29)
и (5.5.31), пропорционально ν (t) меняется величина суммарного
собственного кинетического момента гиросферы, а именно
Η = mlv (t). (5.5.33)
Для решения задачи инерциальной навигации, как уже
неоднократно указывалось, необходимо знание текущих значений всех
трех функций времени ωχ (t), ωϋ (t) и ωζ (t). Однако посредством
одного лишь чувствительного элемента пространственного
гироскопического компаса определить функцию ωζ (t) нельзя. Для
этой цели можно поступить так же, как и в первой из схем
инерциальной навигации, описанной в настоящем параграфе.
Расположим на платформе, следящей за угловым движением гиросферы,
ньютонометр с осью чувствительности, направленной по оси у *.
Ньютонометр можно расположить и непосредственно в гиросфере
(рис. 125). Разумеется, при этом придется принять меры против
нарушения балансировки гиросферы из-за перемещения грузика
внутри корпуса ньютонометра.
Пусть соблюдены все необходимые начальные условия, и гиро-
сфера вместе со связанной с нею системой координат xyz движется
так же, как естественный трехгранник Дарбу x°y°z°. При таком
движении гиросферы ось ζ все время направлена по продолжению
радиуса Земли, и проекция ускорения J силы земного тяготения
на ось у отсутствует. Поэтому, в соответствии со второй формулой
(5.5.14), показание введенного ньютонометра оказывается равным
величине
ау = ω ν. (5.5.34)
*Калинович В. М. Про видозмти терщалъноъ системы naei-
гацй гърогоризонткомпас — ггроскоп напрямку — лгчилъно-розв' язуваль-
ний npucmpiu,— Доп. АН УРСР, 1962, Μ 5.

534 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
Однако из соотношения (5.5.31)
имеем
v{t)= 2BcZB{t) -(5.5.35)
Исключая величину ν из
последних двух равенств и
учитывая, что ωζ (t) = ω (t),
получаем следующую формулу для
проекции угловой скорости
системы координат xyz на
вертикальную ось
ωζ(ί)
2В cos ε (t)
(5.5.36)
Для фактического
определения функций ν (t) и ω ζ (t)
необходимо предусмотреть в рассматри- Рис. 125
ваемой второй схеме инерциаль-
ной навигации помимо
чувствительного элемента пространственного гирокомпаса и
дополнительного ньютонометра еще и счетно-решающий блок,
осуществляющий непрерывное вычисление правых частей формул
(5.5.35),(5.5.36) по известным текущим величинам ау (t) и ε (t).
Теперь уже согласно формулам (5.5.28), (5.5.35) и (5.5.36)
известны все три функции времени — ωχ (£), ων (t), ωζ (t).
Следовательно, дальнейшее решение задачи инерциальной навигации
сводится к интегрированию совокупности дифференциальных
уравнений (5.1.3) § 1 настоящей главы. Нетрудно показать, что
в данном случае упомянутая совокупность приводится к виду,
аналогичному (5.5.24), а именно:
чг
dk
dt
dx
~dt
IB cos ε (t)
Rml
Sin κ,
IB cos ε (Ο
Rml cos φ
2gCQS8(Q
Rml
cos κ-
U,
(5.5.37)
cos κ tg φ ·
mlay(t)
2Bcoss(t)
§ 6. Схемы инерциальной навигации без ньютонометров
Пространственный гироскопический компас (см. § 6 гл. II
настоящей книги) в сочетании с другими гироскопическими приборами,
в принципе, может служить основой построения схем инерциальной
навигации, в которых ньютонометры как самостоятельные
чувствительные элементы вообще отсутствуют. Их роль как бы передает-

§ 6. СХЕМЫ БЕЗ НЬЮТОНОМЕТРОВ
585
Рис. 126
ся самому чувствительному элементу этого компаса — гиросфере.
Центр тяжести последней расположен ниже ее геометрического
центра. Образующаяся при этом «маятниковость» гиросферы
делает ее восприимчивой не только к силе тяготения, но и к
неравномерному перемещению центра гиросферы по земной поверхности.
При этом движение гиросферы удобно рассматривать по отношению
к подвижной поступательно перемещающейся системе координат
ξ*η*ζ* с началом в центре гиросферы и ввести соответствующие
эйлеровы силы инерции (см. § 1 гл. I настоящей книги). В
результате «действия» эйлеровых сил инерции изменяется
ориентация гиросферы, а также угол 2ε между ее гироскопами. Однако
при установившемся (или стационарном, см. § 6 гл. II настоящей
книги) движении гиросферы ее вертикальный диаметр неизменно
направлен по продолжению радиуса Земли. При этом по величине
угла ε, в частности согласно формуле (5.5.31) предыдущего
параграфа, можно судить о величине ν «абсолютной» скорости точки
подвеса гиросферы, т. е. скорости по отношению к невращающейся
сфере S. Отметим далее, что так называемый западно-восточный
диаметр гиросферы при ее установившемся движении направлен
по самому вектору «абсолютной» скорости, а проекция угловой
скорости гиросферы на этот диаметр оказывается равной нулю.
В предыдущем параграфе уже была рассмотрена одна из схем
инерциальной навигации с использованием гиросферы
пространственного гироскопического компаса. В настоящем параграфе
приводятся еще две схемы, в которых также в качестве одного из
чувствительных элементов применяется гиросфера пространствен-

586 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
ного гироскопического компаса. В одной из них гирокомпас
функционирует совместно с гироскопом направления или гиро-
азильутом *, в другой — совместно с двумя гиротахометрами.
В последнем случае гирокомпас может быть и обычным,
«апериодическим», т. е. не пространственным, так как знание величины
«абсолютной» скорости г;при этом не требуется. Однако
экваториальная плоскость чувствительного элемента апериодического
компаса не находится с достаточной точностью в горизонтальной
плоскости, и в схеме становится необходимым наличие отдельного
гирогоризонта.
В обеих схемах, так же, как и в схемах предыдущего
параграфа, здесь выясняются лишь условия их идеального
функционирования.
Итак, рассмотрим вначале схему инерциалыюй навигации, в
которой используется пространственный гироскопический компас
и гироскоп направления. Чувствительный элемент гироазимута
не отличается от гироскопа II инерциальной системы,
рассмотренной в § 3 настоящей главы (см. рис. 117). Подшипники оси внешнего
кольца его карданова подвеса расположены на специальной
платформе. Последняя посредством следящих систем стабилизируется
так, чтобы все время быть параллельной экватору гиросферы
или, что то же, плоскости ху связанной с гиросферой системы
координат xyz. Таким образом, ось внешнего кольца гироазимута
оказывается непрерывно параллельной оси ζ, τ. е. вертикальному
диаметру гиросферы. К этой оси приложен момент К, величина и
направление которого регулируются так, чтобы вектор Н"
собственного кинетического момента гироазимута все время был бы
параллелен стабилизированной платформе (осуществляется так
называемая сильная коррекция). К механической совокупности
«кожух — ротор» гироскопа направления никаких внешних сил
(кроме нормальных реакций в подшипниках оси кожуха) не
приложено; общий центр тяжести ротора и кожуха расположен на оси
последнего.
Таким образом, сумма L моментов относительно оси кожуха
всех сил, приложенных к совокупности «кожух — ротор», равна
нулю, и, в соответствии с формулой (5.3.3) § 3 настоящей главы,
имеем
ω; = _ΑΓ = 0. (5.6.1)
* См. статью автора «Об автономном определении местоположения,
движущегося объекта посредством пространственного гироскопического
компаса, гироскопа направления и интегрирующего устройства».— Π ММ, 1959,
т. 23, вып. 1. Б о й ч у к О. Ф., Калинов и ч В. Н. К теории
инерциальной системы навигации, построенной на базе гирогоризонткомпаса. —
Сб.: Математическая физика, вып. 8. Киев, «Наукова думка», 1970.

§ 6. СХЕМЫ БЕЗ НЬЮТОНОМЕТРОВ
587
Здесь G)z — проекция на ось ζ угловой скорости внешнего
кольца гироазимута. Она не равна ωζ — проекции на ту же ось
угловой скорости платформы, так как в данном случае последняя
следит за гиросферой, а не за гироазимутом, как это имело место
в упомянутом выше параграфе.
Обозначим через а угол между осью кожуха гироазимута и
осью х, связанной с гиросферой (рис. 126). Примем, что угол
а ^> 0, если гиросфера повернута против стрелки часов по
отношению к гироазимуту по сравнению с положением, при котором
а = 0. Очевидно, что
ωζ = ωΐ + -^ . (5.6.2)
Учитывая равенство (5.6.1), имеем
ω2 = $L . (5.6.3)
Угол а можно непосредственно измерить и далее при помощи
счетно-решающих устройств получить его производную в виде
текущей функции времени. Следовательно, все три функции ωχ (£),
<uy(t) и ωζ(ί) становятся вновь известными. Для последующего
решения задачи инерциальной навигации можно вновь
обратиться к дифференциальным уравнениям (5.1.3) § 1 настоящей главы,
положив в них
ω* = 0, (оу = -!L , со2 = -^ . {5.6.4)
В результате простых преобразований, совершенно аналогичных
тем, которые были произведены с уравнениями (5.5.23), придем к
следующей совокупности дифференциальных уравнений:
άφ ν (t) .
dX ν (t) cos κ
dt Η cos φ
dx
U, (5.6.5)
da , ν (t) .
Интегрированием этих уравнений заканчивается решение задачи
инерциальной навигации — определение искомых координат λ
и φ подвижного объекта на земной сфере и азимута κ
стабилизированной платформы применительно к рассматриваемой схеме.
Угол κ в данном случае равен с точностью до знака величине Φ
скоростной ошибки гироскопического компаса (см. вновь § 6
гл. II настоящей книги) и представляет собой угол между
направлением на восток и осью х, связанной с чувствительным элементом

588 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
(или, что то же, между осью у — гиронордом — и направлением
на север).
Перейдем теперь к последней из рассматриваемых схем инер-
циальной навигации. Ее чувствительными элементами являются
гироскопический компас и два гиротахометра. Оба гиротахометра
расположены на платформе, стабилизированной в горизонтальной
плоскости и следящей за угловым движением гиросферы в
азимуте.
Свяжем с платформой систему координат xyz, направив ее ось
ζ вертикально вверх, а ось у — параллельно северо-южному
диаметру гиросферы, т. е. по направлению «гиронорда». Тогда ось χ
окажется параллельной «абсолютной» скорости ν центра
гиросферы при перемещении объекта по земной сфере. Таким образом,
оси х, у и ζ оказываются одновременно ребрами х°, у0 и ζ°
естественного трехгранника Дарбу, введенного в § 4 и § 6 гл. II настоящей
книги (см. также предыдущий параграф). В силу свойств этого
трехгранника, проекция ωχ угловой скорости системы координат
xyz на ее ось х, параллельную вектору ν, равна нулю. Две другие
проекции — ω у и ωζ — в данной схеме инерциальной навигация
измеряются гиротахометрами. При этом оси кожухов гиротахомет-
ров можно расположить параллельно осям у и ζ, а оси их роторов
при ненапряженных пружинах, связывающих кожухи со
стабилизированной платформой, параллельно оси х. Тогда первый ги-
ротахометр, в соответствии с изложенным в § 1 гл. II настоящей
книги, будет практически (при достаточно большой жесткости
пружин) измерять проекцию угловой скорости стабилизированной
платформы на ось ζ, а второй — на ось у. Тем самым оказываются
известными все три проекции угловой скорости платформы,
стабилизированной в плоскости местного горизонта, на оси связанной
с нею системы координат xyz. Далее следует вновь обратиться к
интегрированию совокупности дифференциальных уравнений
основной задачи инерциальной навигации, например, в форме (5.1.7).
Учитывая тождественное равенство нулю функции ωχ(ί), придем
к уравнениям
-^j- = coy (t) cos κ sec φ,
-jp = — ωυ (t) sin κ, (5.6.6)
dye
— = — ωζ (ί) + ων (t) cos κ tg φ,
в которых угол κ представляет собой по-прежнему угол между
ребром χ и направлением на восток. В свою очередь, угол ψ
связан с долготой места λ соотношением (5.1.5), указанным в § 1
настоящей главы.

§ 6. СХЕМЫ БЕЗ НЫОТОНОМЕТРОВ 589
Второе и третье уравнения совокупности (5.6.6), не содержат
искомой функции ψ (t) и, следовательно, интегрируются независимо
от первого. После этого отыскание функции ψ (t) сводится к
квадратуре. К сожалению, упомянутые второе и третье уравнения
совокупности (5.6.6) на два независимых дифференциальных
уравнения уже не распадаются и должны интегрироваться
совместно.
Заметим в заключение, что, по-видимому, первая попытка
построить схему строгого определения координат движущегося
корабля исключительно по показаниям гироскопических
приборов — гирокомпаса, гирогоризонта и гиротахометров —
принадлежала в конце сороковых годов Ч. Фоксу*. Однако его
теоретические построения оказались неверными из-за принципиальной
ошибки. Не была учтена относительная угловая скорость по
отношению к местной географической системе координат
трехгранника, следящего за азимутальным движением апериодического
компаса (в обозначениях настоящего параграфа — естественного
трехгранника Дарбу x°y°z°) **. Это соответствует пропуску
производной угла κ по времени в совокупности уравнений (5.1.3)
и соответственно в уравнениях (5.1.7) и (5.6.6).
* F о х. Ch. The mechanical determination of position and velocity on the
Earth's surface.— Proc. Cambridge Philos. Soc, 1949, april, vol. 45, No. 2.
** Вследствие допущенной ошибки, Ч. Фокс получает для определения
широты единственное дифференциальное уравнение
i = -gr(Af*+il#|ctgU)'/·,
где сохранены обозначения автора, принятые в цитируемой статье: λ —
широта местоположения корабля; С — полярный момент инерции ротора
гироскопа, используемого в качестве гиротахометра; s — угловая скорость
его собственного вращения (таких гироскопов в схеме Фокса два, их
собственные кинетические моменты расположены в горизонтальной плоскости);
М1 и Мъ — моменты, измеряемые на осях подвесов этих гироскопов
(соответственно вокруг вертикали и вокруг гиронорда). Далее приводятся
следующие формулы для моментов Мг и Мы
Cs Cs
Μι = —- (Ωα cos λ — w) sec α; Μ2 = -^— (Ωα cos λ — w) tg λ,
в которых α — радиус земного шара; Ω — его угловая скорость; w —
западная составляющая скорости корабля относительно Земли; α — скоростная
девиация гирокомпаса.
Вторая из этих формул неверна. В ее правой части отсутствует член Csct,
принципиально меняющий существо исследования. По той же причине
неверно соотношение
Мг Мч
*х = Ж8еса~"й7
и ряд других формул.

590 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
ЗАМЕЧАНИЕ К ГЛАВАМ IV И V
Неустойчивость пространственной инерциальной системы
обнаруживается на следующем простейшем примере. Рассмотрим объект,
перемещающийся поступательно вдоль оси абсцисс невращающейся системы координат
ξηζ с началом в центре Земли по закону ξ = ξ (t). Нетрудно составить
дифференциальное уравнение d\/dt2 + /\#2/ξ2 = α? (ί), в результате
интегрирования которого функцию ξ (ή в принципе можно определить, пользуясь
лишь текущим показанием % (£) ньютонометра, расположенного на борту
объекта. Здесь j — ускорение земного тяготения и R — радиус Земли.
Если начальные условия движения объекта введены в интегрирующее
устройство неточно, то функция ξ (t) будет определяться с ошибкой δ (t).
Последняя удовлетворяет уравнению d2b/dt2 — jR (2ξ -]- δ)δ/ξ2 (ξ, + δ)2 = 0.
Пусть объект «завис» на полюсе Земли на расстоянии ξ = R = const
от ее центра. В этом случае в линейном приближении для определения
ошибки δ получим дифференциальное уравнение d26/dt2 — 2ν2δ = 0, (ν2 = j/R),
одно из частных решений которого экспоненциально возрастает,
увеличиваясь вдвое каждые десять минут. Таким образом чисто инерциальное
определение высоты объекта представляет собой некорректную задачу, и,
как следствие, длительная пространственная навигация чисто инерциаль-
ными средствами неосуществима.
ЛИТЕРАТУРА
Андреев В. Д. К теории инорциальпых систем автономного определения
координат движущегося объекта.— ПММ, 1964, т. 28, вып. 1.
Андреев В. Д. Об общих уравнениях инерциальной навигации.— ПММ,
1964, т. 28, вып. 2.
Андреев В. Д. Об ошибках систем инерциальной навигации.— Изв. АН
СССР. Техн. кибернетика, 1964, № 2.
Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. М., «Наука», 1966.
Андреев В. Д., Блюмин И. Д., Девянин Ε. Α., Климов Д. М. Обзор
развития теории гироскопических и инерциальных навигационных систем.—
В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.,
«Наука», 1973.
Андреев В. Д., Девянин Е.А. Автономные инерциальные навигационные
системы.— В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных
систем. М., «Наука», 1973.
Андреев В. Д., Девянин Ε. Α., Демьяновский А. П. К теории инерциальных
систем, не содержащих гироскопических чувствительных элементов.—
Инж. ж. МТТ, 1966, № 1.
Андреев В. Д., Парусников Н. А. Об упрощении уравнений инерциальной
навигации, связанном с несферичностью Земли и ее поля тяготения.—
Изв. АН СССР. МТТ, 1970, № 1.
Бойчук О. Ф. Общая схема расчета ошибок некорректируемых
инерциальных систем.— Прикл. механика, 1971, т. 7, вып. 9.
Бойчук О. П. Метод екв1валентних ποΒοροτίΒ у кшематищ шерщальних
систем.— Доп. АН УРСР, сер. А, 1972, № 7.
Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. М., Гостехиздат, 1955.
Василенко В. П., Калинович В. Я., Котляков В. Н. О построении гироком-
пасной инерциальной системы.— Изв. АН СССР. МТТ, 1969, № 4.

ЛИТЕРАТУРА
591
Горенштейн И. Α., Шулъман И. Α., Сафарян А. С. Инерциальная
навигация. М., «Сов. радио», 1962.
Горенштейн И. Α., Шулъман И. А. Инерциальные навигационные системы.
М., «Машиностроение),, 1970.
Девянин Ε. Α., Демъяновский А. П. Определение абсолютной угловой
скорости, расстояния до притягивающего центра и построение вертикали
инерциальными средствами.— Инж. ж. МТТ, 1966, № 2.
Девянин Ε. Α., Ишлинский А. Ю., Климов Д. М. Механика
гироскопических и навигационных систем.— В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т. 1.
Общая и прикладная механика. М., «Наука», 1968.
Девянин Ε. Α., Парусников II. А. О лагранжевой форме уравнений инер-
циальной навигации.— Инж. ж. МТТ, 1968, № 2.
Девянин Е. А. О возможных принципах построения систем инерциальной
навигации.— Изв. АН СССР. МТТ, 1969, № 6.
Девянин Е. А. К теории невозмущаемой бигироскопной вертикали.— Изв.
АН СССР. МТТ, 1970, № 3.
Девянин Е. А. Об общих уравнениях систем инерциальной навигации.—
Изв. АН СССР. МТТ, 1973, № 4.
Жбанов Ю. К. Исследование свободных колебаний в системе автономного
определения координат движущегося объекта. — ПММ, 1960, т. 24, вып. 6.
Захарин М. if., Захарин Φ. Μ. Кинематика инерциальных систем
навигации. М., «Машиностроение», 1968.
Ишлинский А. Ю. Об уравнениях задачи определения местоположения
движущегося объекта посредством гироскопов и измерителей ускорений.—
ПММ, 1957, т. 21, вып. 6.
Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР,
1963.
Ишлинский А. Ю. Идеи теории инвариантности и инерциальная навигация.—
В кн.: Теория инвариантности в системах автоматического управления.
М., «Наука», 1964.
Ишлинский А. Ю. Геометрическое рассмотрение устойчивости решения
основной задачи инерциальной навигации.— Инж. ж. МТТ, 1968, № 3.
Ишлинский А. Ю. Об одной схеме инерциальной навигации по земной
сфере. Препринт — Ии-т. матем. АН УССР, Киев, 1976.
Ишлинский А. Ю., Блюмин И. Д. Теория гироскопических и инерциальных
систем.— В кн.: История механики с конца XVIII века до середины XX
века. М., «Наука», 1972.
Калинович В. М. Про похибки автономного визначення, обумовлеш неточ-
ним введениям початкових умов для координат.— Доп. АН УРСР, сер.
Α., 1969, №6.
Клиеер Л. И., Парусников П. А. Об уравнениях малых колебаний шулеров-
ской вертикали.— Инж. ж. МТТ, 1966, № 5.
Климов Д. М., Рабинович Ю. И. О кинематических ошибках инерциальных
систем навигации.— Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 6.
Климов Д. М. Об интегрировании кинематических уравнений инерциальных
систем навигации.— Изв. высш. учебн. заведений. Приборостроение, 1968,
т. И, № 7.
Кондратьев Л. В. Поведение инерциальных систем навигации при больших
скоростях полета.— Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1965, № 2.
Кошляков В. П., Люсин Ю. Б., Стороженко В. Α., Темченко Μ. Ε.,
Шулъман И. Ш. Об устойчивости решений системы дифференциальных
уравнений з-адачи автономного определения координат движущегося
объекта.— Докл. АН СССР, 1968, т. 179, № 1.
Лурье А. И. О теории конечных поворотов твердого тела.— ПММ, 1957, т. 21,
вып. 4.
Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961.
Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Л.—М.,ОНТИ, 1935.

592 ГЛАВА V. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ НА ЗЕМНОЙ СФЕРЕ
Парусников Н. А. Методы аналитической механики в инерциальной
навигации.— Науч. тр. Ин-та механики МГУ, 1970, № 7.
Парусников Н. А. Некоторые задачи определения ориентации приборных
трехгранников.— Изв. АН СССР. МТТ, 1972, № 6.
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М., Гостехиздат, 1956.
Раушенбах Б. В., Токарь Ε. Η. Управление ориентацией космических
аппаратов. М., «Наука», 1974.
Стороженко В. Α., Темченко Μ. Е. О погрешностях работы системы
инерциальной навигации при неточном вводе в счетно-решающее устройство
начальных данных.— Инж. ж. МТТ, 1967, № 4.
Суслов Г. К. Теоретическая механика. М.—Л., Гостехиздат, 1944.
Ткачев Л. И. Системы инерциальной ориентировки. М., изд. МЭИ, 1973.
Якушенков А. А. О влиянии неточного начального ориентирования и
дрейфа азимутального гироскопа на точность инерциальной навигационной
системы с интегральной коррекцией по скорости.— Тр. ЦНИИ Мор. флота,
1960, вып. 30.
Battin R. Н. Astronautical guidance. Ν. Υ., e. a., McGraw — Hill, 1964.
Broxmeyer С. Inertial navigation systems. N. Y., e. a., McGraw — Hill, 1964.
Рус. перев.: Броксмейер Ч. Ф. Системы инерциальной навигации. Л.,
«Судостроение», 1967.
Draper С. S., Woodbury R. В. Geometrical stabilization based on
servo-driven gimbals and integrating gyro units.— In: AGARD 2 nd Guided
Missiles seminar Guidance and Control. Venice, Italy, Sept., 1956, AGARD Og-
rapb, 1956, N 21.
Draper C. £., Wrigley W., Grohe L. R. The floating integrating gyro and its
application to geometrical stabilization problems on moving bases.—
Aeronaut. Engng. Rev., 1956, vol. 15, No. 6.
Draper C. £., Wrigley W., Hovorka J. Inertial guidance. Oxford, Pergamon
Press, 1960.
Draper C. S., Wrigley W. Gyroscopic angular deviation sensors based on
floatation and viscous shear integration.— В кн.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М., «Наука», 1973. Рус. перев.:
Дрейпер Ч. С, Ригли У. Интегрирующие поплавковые гироскопы.—
В кн.: История механики гироскопических систем. М., «Наука», 1975.
Fox Ch. The mechanical determination of position and velocity on the Earth's
surface.— Proc. Cambridge Philos. Soc, 1949, vol. 45, No. 2.
Goodman L. E., Robinson A. R. Effect of finite rotations on gyroscopic
sensing devices.— J. Appl. Mech., 1958, vol. 25, No. 2.
Inertial navigation. Analysis and design. Ed. by C. F. O'Donnell. New York
a. o. McGraw-Hill, 1964. Рус. перев.: Инерциальная навигация.
Анализ и проектирование. Под ред. К. Ф. О'Доннела. М., «Наука», 1969.
Inertial guidance. Ed. by G. R. Pittman. N. Y. — L., Wiley, 1962. Рус.
перев.: Инерциальные системы управления. Под ред. Д. Питтмана. М.,
Воениздат, 1964.
Ishlinsky A. Yu., Klimov D. M. Some aspects of the solution of the main
problem of inertial navigation.— J. Inst. Navig., 1970, vol. 23, N 4.
McClure C. L. Theory of inertial guidance. New Jersey, Prentice — Hall, Inc.,
1960. Рус. перев.: Мак-Клур К. Л. Теория инерциальной навигации.
М., «Наука», 1964.
Reisch S. Report on absolute navigation. Royal Aircraft Establishment,
Translation, 1945, No. 75.
Space navigation guidance and control. Ed. by J. E. Miller. Maidenhead, Te-
chnivision, 1966.
Wrigley W., Woodbury R. В., Hovorka J. Inertial guidance. New York, Publ.
Inst. Aeronaut. Sci., 1957. Рус. перев.: Риглей В., Вудбери Р.,
Говорка Дж. Инерциальная навигация. М., Изд-во иностр. лит., 1958.

VI
ГЛАВА
ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ
ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ
§ 1. Параметры Родрига — Гамильтона
в теории инерциальной навигации
В предыдущей главе местоположение и ориентация в азимуте
стабилизированной в плоскости местного горизонта и
расположенной на подвижном объекте платформы системы инерциальной
навигации определялись относительно гринвичской системы
координат ξη ζ тремя углами: λ, φ и κ. Ось η системы ξηζ была
направлена по оси вращения Земли, а ось ζ лежала в плоскости
гринвичского меридиана. Для этой же цели оказались более удобными
три угла ψ, φ, κ, определяющие положение упомянутой
платформы относительно невращающейся системы ξδηδζδ, с которой
гринвичская система совпадает в мгновение t = 0. Углы λ и ψ
выражались при этом друг через друга посредством формулы (5.1.5).
Платформа и связанная с ней система координат xyz
стабилизировались так, чтобы перпендикуляр к плоскости платформы,
совпадающий с осью ζ, при произвольном движении объекта
неизменно проходил через центр Земли, принимаемой за сферу.
Было также показано, что ψ, —φ и —κ являются углами Эйлера —
Крылова (см. § 1 предыдущей главы), определяющими ориентацию
системы координат xyz относительно невращающейся системы
ξδηδζδ. Определение этих углов сводилось к интегрированию
совокупности дифференциальных уравнений (5.1.6). Задачей
настоящего и последующих параграфов этой главы является введение
вместо углов ψ, φ и κ различных систем параметров Родрига —
Гамильтона и составление для них соответствующих
дифференциальных уравнений инерциальной навигации *.
Введем вновь трехгранник аЪс и совместим его ребра а, Ъ, с
соответственно с осями системы ξδηδζδ (см. рис. 115). Произведем,
как и в предыдущем параграфе, конечный поворот этого
трехгранника на угол ψ вокруг ребра Ь, вначале совпадающего с осью ηδ,
против стрелки часов, если наблюдать за вращением со стороны
положительного направления этой оси (рис. 127). Трехгранник
* Как было отмечено в конце § 1 предыдущей главы, введение упомянутых
параметров в ряде случаев оказывается полезным. В частности, это
целесообразно при навигации в высоких широтах (см. § 5 настоящей главы).

594 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
4ȣ>*
Рис. 128
c,Z,z
Рис. 129
займет после такого поворота
некоторое положение ξιηιζι,
причем ось % будет совпадать
с осью Земли ηδ, а ось |х
окажется параллельной оси Ε
(направлению на восток) местной
географической системы
координат ΕΝΖ. Кватернион q,
соответствующий описанному
повороту, согласно изложенному в
§3 гл. II первой книги,
представится формулой
q = cos-|- +/sin-|-. (6.1.1)
Дальнейший поворот
трехгранника аЬс произведем на
угол —φ вокруг ребра а,
совпадающего теперь уже с осью
ξχ (см. рис. 115 и рис. 128).
Положительному значению
угла φ будет соответствовать
поворот трехгранника по
стрелке часов, если наблюдать за
ним со стороны
положительного направления оси ξχ,
параллельной оси Е. Новая
ориентация трехгранника аЬс
совпадает с ориентацией местной
географической системы ΕΝΖ.
Кватернион р,
характеризующий второй поворот
трехгранника abc, имеет вид
ρ = cos-| isin-|- . (6.1.2)
Согласно изложенному в том
же § 3 гл. II первой книги,
произведение только что
полученных кватернионов q и р,
соответствует конечному
повороту трехгранника abc из
положения ξδηδζδ непосредственно (с
точностью до поступательного
перемещения, в результате ко-

§ 1. ПАРАМЕТРЫ РОДРИГА — ГАМИЛЬТОНА
595
торого его вершина окажется на поверхности земной сферы) в
положение ENZ. Имеем
ψ φ . ψ . φ ,
q Θ ρ = cos -γ cos -τρ— ι cos -γ sin -γ +
+ у sin -|-cos ~|- + Λ: sin ^- sin -^- . (6.1.3)
Последний, третий поворот трехгранника abc на угол κ совершим
вокруг ребра с, которое после двух предшествующих поворотов
совпадает теперь с осью Ζ (рис. 129). В итоге трехгранник займет
положение системы координат xyz. Поворот вокруг ребра с при
положительном значении угла κ следует производить по стрелке
часов, если наблюдать за ним со стороны положительного
направления оси ζ, имеющей то же направление, что и ось Ζ. Кватернион г
этого поворота определяется выражением
г — cos -^ к sin -γ . (6.1.4)
Очевидно, что формула
I = (q®p) θγ (6.1.5)
дает возможность вычислить кватернион
I = 10 + Иг +jl2 + kl3. (6.1.6)
Последний вновь, в соответствии с изложенным в § 3 гл. II
первой книги, характеризует поворот трехгранника abc, в
результате которого он из положения ξδηδζδ попадает сразу в положение
системы координат xyz (опять с точностью до параллельного
переноса его ребер). Пользуясь правилами перемножения
кватернионов, приходим к формулам
7 ψ φ κ . . ψ . φ . κ
10 = cos -γ cos -γ cos у + sin у sin -γ sin -у ,
7 ψ . φ κ ψ φ . κ
/χ = — cos -γ sm -у- cos -τ> sin -γ cos -^- sin —γ
Ζ2 = sin -γ- cos -γ- cos -= cos -γ sin -ίρ sin -γ ,
Ί ψ . φ κ ψ φ . κ
Ζ3 = sin -γ sin -у cos ~2 cos -|- cos -γ sin -у .
Здесь /0 — действительная, a /1? l2 и /3 — мнимые части
кватерниона (6.1.6). Они связаны соотношением
И+ %+ % + %=!. (6-1.8)
Величины /0, /х, /2 и ^з являются в данном случае параметрами
Родрига — Гамильтона, посредством которых можно определить
расположение системы координат xyz по отношению к невращаю-
(6.1.7)

596 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
щейся системе ξδηδζδ (в § 3 гл. II первой книги они обозначались
другими буквами). Приведенный здесь вывод формул (6.1.7),
выражающих параметры Родрига— Гамильтона через углы
Эйлера — Крылова, относится, по-видимому, к наиболее простым *.
В уже упоминавшемся § 3 гл. II первой книги приведена также
таблица (2.3.3) косинусов углов между осями систем координат,
взаимное расположение которых задано посредством параметров
Родрига — Гамильтона. Заменим в этой таблице обозначения
параметров р0, р19 рг, р3 соответственно на /0, У /2, 13, а осей
#*, */*, ζ* на Is, ηδ» ζδ· В результате получим таблицу
V ч8 ζ8
χ α' V с'
у а" Ъ" с" (6.1.9)
z a'" V" с'\
в которой косинусы углов между осями систем координат xyz
и ξδηδζδ представляются следующими формулами:
а' = 2Ц + 2% - 1, Ъ' = 2 (у2 + уз), С = 2 (У3 ~у2),
а" = 2 (у2 - уз), Ъ" = 2/20 + 2Й - 1, с" =2 (У3 + УО,
а" = 2 (Уз + У2), i" = 2 (Уз - W, '"=2 Й + 2Й - 1.
(6.1.10)
Чтобы выразить коэффициенты таблицы (6.1.9) через углы ψ,
φ, κ, следует в формулы (6.1.10) подставить выражения (6.1.7)
и произвести необходимые упрощения. В результате простых и
не слишком громоздких выкладок придем к искомой таблице
V η5 Is
χ smo|)sin(psinx+ —cos φ sin κ cos ψ sin φ sin κ —
-f- cos ψ cos κ — sin ψ cos κ
у —sin ψ 8ΐηφοθ8κ+ cos φ cos κ —cos ψ sin φ cos κ—
-f-cos^sinx — sin ψ sin κ
z sin ψ cos φ sin φ cos ψ cos φ.
(6.1.11)
Таблицу (6.1.11) можно получить, разумеется, и более простым
Путем, например при помощи символической записи конечных по-
* В статье В. Н. Котлякова «О применении параметров Родрига —
Гамильтона и Кейли — Клейна в прикладной теории гироскопов».—
ПММ, т. 29, вып. 4, 1965 приведен вывод тех же формул без
использования алгебры, кватернионов.

§ 1. ПАРАМЕТРЫ РОД РИГА — ГАМИЛЬТОНА
597
воротов, предложенной в § 5 гл. III первой книги, и умножения
матриц (§ 7 гл. III первой книги). Переход трехгранника abc
в результате описанных выше трех последовательных конечных
поворотов из положения ξδηδζδ в xyz (см. рис. 115 и рис. 127, 128)
характеризуется в этом случае схемой
гД ηι ξι, Ε Ζ, ζ
l\X — ξ^ζχ —- ΕΝΖ — xyz. (6.1.12)
Напомним теперь матричную запись конечных поворотов,
введенную в § 7 гл. III первой книги. Первому конечному повороту
соответствует матрица В (ψ), второму — А (—φ) и третьему —
матрица С (— κ). Согласно формулам (3.7.15), (3.7.14) и (3.7.16) того
же параграфа, эти матрицы * в данном случае имеют вид
ц
£(*)=%
ζΐ
Is
cos ψ
0
sin ψ
ii
Ε
Л(—φ) = ΛΓ
Ζ
11
ρ
jo
η8
0
1
0
ηι
0
cos φ
sin φ
Is
— sin ψ Ι
0
cos ψ Ι
ζΐ
0 Ι
— sin φ
cos φ |
(6.1.13)
С(-к) = у
Ζ
ΕΝΖ
cos κ — sin κ 0
sin κ cos κ 0
0 0 1
Согласно изложенному в §7 гл. III первой книги, произведение
матриц В (ψ), А (—φ), С (—κ), а именно
L = L(y, -φ, -κ) = С (- κ) Α (-φ) Β (ψ), (6.1.14)
определяет матрицу конечного поворота трехгранника abc из
положения ξδηδζδ непосредственно в положение xyz (с точностью
до поступательного перемещения). Производя сначала перемно-
v J? приведенной записи матриц В (ty), А (—ср^ и С (—к), а также
последующих матриц для удобства указаны начальные и конечные положения
трехгранника abc соответствующего конечного поворота.

598 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
жение матрицы В (ψ) слева на матрицу А (— φ), получим
Is ηδ Is
Ε
А(—у)В (ψ) = Ν
Ζ
cos ψ 0 — sin ψ ίί
| —sin ψ sin φ cos φ —cos ψ sin φ (6.1.15)
sin ψ cos φ sin φ cos ψ cos φ |
Наконец, перемножим матрицы С (— κ) и А (— φ) Б (ψ) в
порядке, предписываемом формулой (6.1.14). В результате придем к
матрице
Is η5 ζ*
sin -ψ sin φ sin κ + — cos φ sin κ cos ψ sin φ sin κ —
+ cos ψ cos κ — sin ψ cos κ
L— y\—sin ψ sin φ cos κ+ cos φ cos κ —cos ψ sin φ cos κ—
+ cos ψ sin κ — sin ψ sin κ
sin ψ cos φ sin φ cos ψ cos φ
(6.1.16)
элементы которой, как и следовало ожидать, в точности совпадают
с соответствующими элементами таблицы (6.1.11) косинусов углов
между осями систем координат xyz и ξδηδζδ.
В соответствии с терминологией § 5 гл. III первой книги,
переход трехгранника abc из положения ξδηδζδ в xyz является угловым
перемещением второго рода. Поэтому еще более простой способ
получения таблицы (6.1.11) заключается в замене букв а2, Рг
и γ2 в таблице (3.5.11) § 5 гл. III первой книги на — φ, ψ и — κ,
а также обозначений осей координата, у, z на ξ&, ηδ, ζδ и |2, η2, £г
на х, г/, ζ.
Совокупность уравнений (5.1.6) задачи инерциальной навигации
объекта по земной сфере, полученная в § 1 предыдущей главы,
является нелинейной относительно искомых функций времени
ψ (ί), φ (t) и κ (t). При интегрировании этой совокупности и
изучении общих свойств решения задачи встречаются трудности как
аналитического (из-за обращения в нуль cos φ при φ — + π/2,
т. е. на географических полюсах Земли), так и вычислительного
характера. Известно *, что в уравнениях (5.1.6) можно перейти
к новым искомым переменным, а именно к параметрам Родрига —
Гамильтона /0, 1±, 12, /3- В результате получаются уравнения,
которые относительно этих параметров оказываются линейными,
что в значительной мере упрощает аналитическое исследование
и интегрирование уравнений на электронных вычислительных
машинах.
* См. сноску на стр. 550.

§ 1. ПАРАМЕТРЫ РОДРИГА — ГАМИЛЬТОНА 599
Непосредственное преобразование уравнений (5.1.6) с
использованием формул (6.1.7) к переменным /0, /1? 12 и 13, связанным
дополнительным соотношением (6.1.8), очень громоздко. Поэтому
имеет смысл вывести искомые уравнения независимым путем,
обращаясь к простейшим теоремам аналитической геометрии и
кинематики.
Возьмем в подвижной системе координат xyz (связанной со
стабилизированной платформой) произвольную точку с постоянными
координатами х, г/, ζ и совместим начала системы xyz и невращаю-
щейся системы ξδηδζδ, условно считая в дальнейшем оба начала
неподвижными. Нетрудно видеть, что координаты ξδ, ηδ, ζδ той же
точки в системе ξδηδζδ выразятся формулами
Is = а'х + а"у + a'r/z,
ц* = Ь'х + Ь»у + b»Zt (6.1.17)
ζ* = с'х + с"у + с" ζ,
где а', а", . . ., с", с,г/ — те же величины, что и в формулах (6.1.10).
Производные координат ξδ, ηδ, ζ*5 по времени представляют
собой проекции скорости упомянутой точки на оси системы ξδηδζδ.
Имеем, учитывая, что х, у и ζ в формулах (6.1.17) — постоянные
количества, следующие равенства:
dls _ da^ da" da"
dt - dt X ~^ dt У ^ dt Z'
drf_ __ <W_ db" , db^_
dt "~ dt X ~^ dt У' + dt Z'
άζ8 __ dc^_ dc" , dc'r/
~dF^ dt X +~1ГУ +~ΙΓΖ'
Используем вновь таблицу (6.1.9) — теперь уже для вычисления
проекций скорости введенной выше точки на оси подвижной
системы координат xyz. Получим, в частности, учитывая
равенства (6.1.18),
V x a dt ^ ° dt ^C dt V dt ^ dt ^C dt )Х ^
, / , da" . ,, db" , , dc"\ . Ι , daT» . ,, db"' , , dcr» \
(6.1.19)
Для коэффициентов таблицы (6.1.9), как известно, справедливы
равенства типа
(а')2 + {b'f + (С)2 = 1, а'а" + Ъ'Ъ" + с'с" = 0 (6.1.20)
(6.1.18)

600 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
и, как следствие, соотношения вида
, da' , 7, db' . , dc' n
а 1Г+ЬЧГ + СЧГ==0^
, da" . ,, db" , , dc" / „ da' . Ί„ db' , „ dc' \ ,η л 0у| ч
α ίγ +b чг +с чг = - [α чг +ъ чг +с чг) · (6Л·21)
С учетом этих соотношений нетрудно привести выражение (6.1.19)
для проекции V х скорости введенной выше точки на ось χ к виду
, da"' , ,, dV" , , dc'"\ I „ da' . ,„ db' . „ dc' \
(6.1.22)
Аналогично получим еще две формулы для двух других проекций
скорости точки, не изменяющей своего расположения в подвижной
системе координат xyz. Имеем
".-(*4г + «'т + 'Нг)*-('*4г + »*£ + «-тг)«·
(6.1.23)
Естественно, что формулы (6.1.22), (6.1.23) обладают свойством
цикличности. Именно, каждая из них переходит в другую при
одновременной замене в циклическом порядке букв: а', а', а";
Ь\ V, Ъ'"\ с', с", с"; х, у, ζ.
Как и следовало ожидать, выражения (6.1.22) и (6.1.23)
совпадают по своей структуре с известными в кинематике твердого тела
формулами Эйлера
Vx = ωυζ — ω2ι/,
Vy = ωζχ — ωχζ9 (6.1.24)
Vz = <uxJf — <дуХ
для проекций скоростей точек твердого тела, совершающего
движение около неподвижной точки (скорости проектируются на оси
жестко связанной с телом системы координат xyz с началом в
неподвижной точке). Отсюда следует, что величины
^ = *'чУ + ь'чг + с'ч^' (6Л·25)
„ da' . Ί „ db' . „ dc'
ω*=α чг + ь чг+счг
являются проекциями на оси х, у, ζ угловой скорости подвижной

§ 1. ПАРАМЕТРЫ РОДРИГА — ГАМИЛЬТОНА
601
системы координат xyz по отношению к невращающеися системе
ξδηδζδ. Тем самым равенства (6.1.25) можно рассматривать как
формулы, выражающие проекции угловой скорости ωχ, oy, ωΖ
через косинусы углов между осями этих систем и их
производные по времени.
Если в равенства (6.1.25) подставить величины косинусов углов
между осями систем xyz и £ST)SCS, согласно таблице (6.1.11), то
после упрощений вновь придем, разумеется, к уравнениям (5.1.6)
предыдущей главы относительно неизвестных функций ψ (£), φ (t)
и χ (ί). Чтобы, в свою очередь, получить уравнения, содержащие
в качестве неизвестных функций параметры Родрига —
Гамильтона l0(t), l^t), l2(t), ls(t), подставим в те же равенства (6.1.25)
выражения коэффициентов таблицы (6.1.9) с учетом формул (6.1.10).
Имеем, в частности,
+ 8 (Уз - Ш (Zo-^ + h 4r) + (6Л'26)
+ 2(211 + 211- 1)^ + 1^ + 1^ + 1^).
После приведения подобных членов и использования соотношения
(6.1.8) придем к формуле
^ = 2(1^-1^-1^ + 1^). (6.1.27)
dt А dt L dt ' а dt
Аналогично выводятся и две другие оставшиеся формулы, а именно
dhi Ί dlo Ί dl\
--^ι —J'
(6.1.28)
9 / j dbi , dlo ι dl\ Ί dl3
ο 11 dh . dlo 7 dh .у dh \
Равенства (6.1.27) и (6.1.28) вместе с соотношением (6.1.8)
являются совокупностью трех нелинейных дифференциальных
уравнений и одного алгебраического для отыскания при
надлежащих начальных условиях четырех неизвестных функций
времени l0(t), l^t), l2(t) и l3(t). Однако нелинейность этой
совокупности лишь кажущаяся. Дифференциальные уравнения (6.1.27) и
(6.1.28) нетрудно преобразовать к виду, разрешенному
относительно производных упомянутых функций, в результате чего
получаются линейные дифференциальные уравнения, однако с
переменными коэффициентами. Для этой цели сначала умножим

602 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
левую и правую части первого из них на llt второго — на /2,
третьего — на /3 и приравняем далее суммы левых и правых частей.
Учитывая соотношение (6.1.8), получим после приведения
подобных членов равенство
ωΑ + «Λ + «А = 2 [l0 (ϊχ -§- + h % + l3 -§-) - (1 - ll) Щ
(6.1.29)
Однако, согласно тому же соотношению (6.1.8),
^4г + ^4г + гз4г = -'о4г (6.1.30)
и, следовательно,
24Γ = -(ω^ + ω^ + ωΑ). (6.1.31)
Далее умножим левые и правые части уравнений (6.1.27) и (6.1.28)
соответственно на /0, —/3 и /2, после чего вновь сложим раздельно
их правые и левые части. В итоге, также учтя соотношение (6.1.8),
придем к новому равенству
2 -jj- = ω,Λ — ω^3 + ωζΖ2. (6.1.32)
В результате аналогичных действий нетрудно получить еще два
соотношения
2 -jjp = ω^0 — <uzh + ο>χΖ3>
di3 (6·ΐ·33)
2 -jj- = ωζί0 — <uxh + (uyli-
Равенства (6.1.31), (6.1.32) и (6.1.33) можно рассматривать
как совокупность четырех линейных дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами ωχ (t), ων (t), (uz(t)
относительно четырех искомых функций /0(ί), /χ(ί), /2(£), l3(t). При этом,
как нетрудно убедиться, соотношение (6.1.8) является следствием
одного из первых интегралов этой совокупности, а именно
й + А + l\ + ll = const. (6.1.34)
Текущие значения переменных величин ωχ (£), ωυ (t), ωζ (t)
в совокупности уравнений (6.1.31) — (6.1.33) вырабатываются
той или иной системой инерциальной навигации. В предыдущей
главе были описаны некоторые из таких систем. Начальные
условия искомых переменных /0, /1? /2 и /3 нетрудно определить по
формулам (6.1.7), если известно исходное расположение
стабилизированной платформы, т. е. углы ψ, φ их в начальное мгновение
времени t = 0. Интегрирование упомянутой совокупности диф-

§ i. ПАРАМЕТРЫ РОДРИГА — ГАМИЛЬТОНА
603
ференциальных уравнений посредством быстродействующего
счетно-решающего устройства (или электронной вычислительной
машины) позволяет в произвольное мгновение времени знать
значения параметров Родрига—Гамильтона /0, /15 /2, /3. Далее
посредством другого счетно-решающего устройства (или той же
самой электронной вычислительной машины) можно, вновь
используя формулы (6.1.7), определить текущие значения углов ψ, φ и
κ и тем самым решить задачу инерциальной навигации *.
В заключение покажем, как введение некоторых комплексно-
значных функций действительной переменной — времени t —
сокращает запись ряда уравнений и выражений, встречающихся
в этом параграфе. Введем следующие комплекснозначные функции:
А = /ι+ «2. h = h+ й8. (6.1.35)
которые непосредственно связаны с классическими параметрами
Кейли—Клейна в теории конечных вращений твердого тела **.
Умножим теперь левую и правую части первого
дифференциального уравнения (6.1.33) на i = Y~—1, раздельно сложим их
соответственно с левой и правой частями уравнения (6.1.32) и
приравняем друг другу обе суммы. Получим после использования
формул (6.1.35) одно уравнение
2άΓ^~~~ίωζ^ + (ω* + ίων)ΐ* (6.1.36)
с двумя комплекснозначными функциями /х и /2, которые будем
в дальнейшем именовать параметрами Кейли—Клейна. Если
проделать аналогичные операции со вторым уравнением (6.1.33) и с
уравнением (6.1.31), то придем к другому дифференциальному
уравнению
2-^Г = ίωζ/* — К — i(oy)fi (6.1.37)
относительно тех же искомых параметров /х и /2.
Совокупность двух дифференциальных уравнений (6.1.36) и
(6.1.37) относительно параметров Кейли—Клейна /х и /2
эквивалентна совокупности четырех уравнений (6.1.31) — (6.1.33),
содержащих в качестве неизвестных функций параметры Родрига —
Гамильтона /0, /15 /2,/3. Можно ввести параметры Кейли — Клейна
* Стороженко В. Α., Темченко Μ. Е. О применении теории
конечных вращений к задаче автономного определения координат места
движущегося объекта.^— Изв. АН СССР, МТТ, 1971, Μ 3.
** Именно а = /1? β = i/г, у = г/г, δ = /х, где α, β, γ и δ — классические
параметры Кейли — Клейна; см. Лурье А. И. Аналитическая механика.
М., Физматгиз, 1961. Klein F. Vorlesungen iiber das Ikosaeder. Leipzig,
Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1884. Klein F., Sommerfeld A.
tfber die Theorie des Kreisels. H. 1 — 4, Leipzig — Berlin, Teubner, 189711898—
1903/1910. См. также приложение к настоящей книге.

604 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
и несколько иначе, например, в виде
«Τι = к - М8. g* = 1о+ Иг- (6.1.38)
В этом случае аналогичным образом нетрудно показать, что
совокупность уравнений (6.1.31) — (6.1.33) эквивалентна следующим
двум дифференциальным уравнениям:
2 -£~ = — i®ygi + (<*>я — i<*z) %ъ
d . (6Л-39)
относительно уже новых комплекснозначных функций времени
§ 2. Определение углов Эйлера — Крылова
по заданным параметрам Родрига — Гамильтона
В предыдущем параграфе были получены дифференциальные
уравнения (6.1.31)—(6.1.33), содержащие в качестве неизвестных
функций времени параметры Родрига—Гамильтона /0, /15 /2, /3.
Эти параметры сравнительно просто выражаются через
географические координаты объекта: долготу λ (или, связанный с нею,
введенный в § 5 предыдущей главы, угол ψ), широту φ и
азимутальный угол κ стабилизированной платформы системы инерци-
альной навигации. Однако обратная задача — определение углов
λ (или ψ), φ и κ несравненно сложнее вследствие необходимости
получения однозначного решения тригонометрических уравнений,
содержащих искомые углы. Перейдем к решению этой обратной
задачи. Прежде всего, сравним между собой данные таблиц (6.1.9)
и (6.1.11). Учитывая формулы (6.1.10), имеем, в частности,
следующие равенства:
cos
COS
sin
cos
φ
φ
ψ
ψ
sin
cos
sin
cos
cos
κ
κ
Φ
Φ
φ
=
=
=
=
=
ν
ν
Ъ"
α"
с"
=
=
=
=
=
2 (hh
2Ц +
Δ \1<ιΙ%
2 (/Λ
2Ц +
+
21\
—
+
ιι\
^(гз)>
-ι,
Vl))
^0^2)5
-1,
из которых, разумеется, лишь три существенно независимы.
Широта φ местоположения объекта на земной сфере может
принимать значения лишь в интервале (—π/2, π/2). В этом
интервале третье равенство (6.2.1) определяет широту φ однозначно.
В самом деле, правая часть третьего равенства является косину-

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ ЭЙЛЕРА — КРЫЛОВА 605
сом угла между осями ηδ и ζ (см. рис. 128). Поэтому по модулю
она не может быть больше единицы. Функция sin φ в интервале
(—л/2, +л/2) монотонно возрастает от значения —1 до 1.
Поэтому существует единственное значение угла φ в упомянутом
интервале, при котором третье равенство (6.2.1) осуществляется.
Угол κ, характеризующий ориентацию стабилизированной
платформы на подвижном объекте относительно стран света,
может принимать любое значение в интервале (0, 2π). Вследствие
этого нельзя, например, однозначно определить в этом интервале
угол κ из соотношения
tgx = -■£-=- 2[hh + W , (6.2.2)
ё Ь" 2/2 + 2/2-1 ' V ;
следующего из первого и второго равенств (6.2.1). Действительно,
любому значению правой части тригонометрического уравнения
(6.2.2) соответствуют в интервале (0, 2π) два значения угла κ,
тангенс которых равен этой правой части (разность таких значений
равна π). Нельзя по подобной же причине после предварительного
отыскания величины cos φ определить угол κ, пользуясь каким-
либо (однако только одним) из равенств (6.2.1) — первым или
вторым. В самом деле, любое значение между —1 и 1 — функция
sin κ (равно, как и cos κ) принимает в интервале (0, 2π) дважды *.
Упомянутая двузначность выбора угла κ легко устраняется, если
например, наряду с первым равенством (6.2.1) учитывается
необходимость совпадения знаков у левой и правой частей второго
равенства (6.2.1). В самом деле, первое равенство (6.2.1)
определяет в интервале (0, 2π) два значения угла κ: одно в первой (или
четвертой) четверти тригонометрического круга, другое,
соответственно, во второй (или третьей) четверти. Однако в одном случае
cos κ — положительная величина, а в другом — отрицательная.
Следовательно, знак правой части второго равенства (6.2.1) сразу
позволяет сделать правильный выбор из двух значений угла κ,
найденных посредством первого равенства (6.2.1). При этом
надлежит учитывать, что и в первом, и во втором равенствах (6.2.1)
величина cos φ положительна, так как —π/2 <φ <я/2.
Можно также указать и другие приемы однозначного
определения угла κ. Воспользуемся, например, тем, что функция ctg κ/2
однозначна (монотонно убывает) в интервале (0, 2π) и, вместе с
тем, выражается рационально через функции cos κ и sin κ
посредством формулы
.κ 14- cos κ /α 0 оч
ctS-2- = -ihn^· <6·2·3)
* Заметим, что подобные же трудности по установлению однозначного
корня тригонометрических уравнений возникают, например, в простейшей
задаче теории колебаний при определении фазы вынужденного колебания
при гармоническом возмущении линейной системы.

606 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Рис. 130
Подставляя сюда значения cos κ и sin κ, согласно первому и
второму равенствам (6.2.1), получаем тригонометрическое уравнение
κ _ cos φ-f-&" _ Vi — (ft'")2 + ft''
— b'
V
(6.2.4)
Оно имеет в интервале (0, 2π) единственный корень. То же
относится к тригонометрическому уравнению
κ Ί Г cos φ + ft · l/
cos -s- = — I/ 0 Ύ ' sign b ,
2 r 2 cos φ &
(6.2.5)
в справедливости которого нетрудно убедиться.
Укажем еще следующее компактное представление угла κ
через заданные величины V и &". На основании второго и первого
уравнений (6.2.1) составим, используя'известную формулу
Эйлера, соотношение
cos φ (cos κ + i sin κ) = cos φ exp (ΐκ) = Ъ" — ibr. (6.2.6)
Отсюда, вновь учитывая, что cos φ при — π/2 <φ <π/2 —
положительная величина, имеем
arg (&' - »'),
(6.2.7)
что позволяет определить угол κ чисто геометрическим путем
(рис. 130). Последняя формула получит в дальнейшем некоторое
развитие в связи с применением параметров Кейли—Клейна.
При отыскании угла ψ надо иметь в виду, что этот угол имеет
лишь вспомогательный характер. Основной же искомой величиной
в теории инерциальной навигации (наряду с широтой φ местопо-

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ ЭЙЛЕРА — КРЫЛОВА
607
ложения подвижного объекта и азимутом к стабилизированной
платформы) является долгота объекта λ, которая в зависимости
от положения подвижного объекта на земной сфере принимает
значения лишь в интервале (0,2π). Из-за вращения Земли и
изменения долготы λ угол ψ, равный, согласно формуле (5.1.5), сумме
Ut + λ, может с течением времени увеличиваться или уменьшаться
и оказаться в результате в одном из интервалов (2пк, 2пк + 2π),
где к — какое-либо целое число или нуль. Вместе с тем, если к
углу ψ в фиксированное мгновение времени t добавить или из него
вычесть угол, кратный 2π, то при неизменной широте это будет
соответствовать одному и тому же местоположению подвижного
объекта на земной сфере. Благодаря только что указанному
обстоятельству, можно указать следующий способ отыскания
долготы λ в интервале ее возможных значений (0, 2π). Сначала
находится такой угол ψ = ψ*, который удовлетворяет четвертому и
пятому соотношениям (6.2.1) и заключен в пределах 0 <Г. ψ* <2π.
Для этой цели следует поступать точно так же, как и было
сделано выше при отыскании угла κ. В результате придем к
эквивалентным формулам
t ψ* cos φ + с"' VI — (6да)2 + ст
Clg 2 а* а"'
cos-£-= 1/ —о-*—! sign α ,
2 У 2 cos φ s '
ψ* = arg(c'"+ ίο"),
(6.2.8)
(6.2.9)
(6.2.10)
соответственно аналогичным формулам (6.2.4), (6.2.5) и (6.2.7).
Далее к углу ψ* добавляется количество 2π столько раз, чтобы
разность между тем, что получится, и произведением Ut,
оказалась бы в интервале (0, 2π) (рис. 131). Эта разность и будет,
разумеется, искомой долготой λ в мгновение t. Соответственно
формула для долготы λ имеет вид
λ = ψ + (к + 1) 2π - Ut. (6.2.11)
Число к определяется в теории чисел* символом
к =
2π
] , (6.2.12)
который означает наибольшее целое число, не превосходящее
количество, заключенное в квадратные скобки. Пусть например,
4π < Ut — ψ* < 6π. Тогда к = 2 и, следовательно, λ = ψ* -f
+ 6π — Ut, в чем можно убедиться и непосредственно (см. рис.
131). Если же при t > 0 разность Ut — ψ* отрицательна, то она
* См. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М., «Наука», 1965.

608 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
наверняка больше, чем —2π (ибо 0<^ψ*<^2π). В этом
случае приходим к числу к = —1 и согласно формуле (6.2.11),
как и следовало ожидать, получаем
λ = ψ* - Ut.
(6.2.13)
В дальнейшем изложении материала настоящей главы всюду
предполагается, что после того, как угол ψ* найден, для
нахождения угла λ применяется только что описанная процедура и,
в частности, используются формулы (6.2.11) и (6.2.12).
-бл
-4л
~2Л
0 λ
I I
f 2л
-Ut-fi*
Ut
-φ*
Рис. 131
Используем теперь параметры Кейли — Клейна (6.1.35) и (6.1.38),
введенные в предыдущем параграфе, для построения компактных
формул, выражающих углы ψ* и χ через параметры Родрига—
Гамильтона. Обратимся прежде всего к формуле (6.2.10).
Подставляя в нее выражения для с" и а!", согласно равенствам
(6.1.10) или (6.2.1), получим
ψ* = arg [2/S + 2l\ - 1 + 2ί (1,13+ l0l2)l (6.2.14)
Однако, используя функции (6.1.38), можно ту же формулу, как
нетрудно проверить, представить в виде
Ψ* = arg(gj— gt).
(6.2.15)
Далее по формуле (6.2.11) определяется долгота λ.
Для определения угла κ можно поступить аналогичным
образом. Учитывая вновь равенства (6.1.10) и используя формулу
(6.2.7), получим
κ = arg [2ll + 2l\ - 1 - 2ί(Ιλ12 + l0l3)]. (6.2.16)
Отсюда, принимая во внимание формулы (6.1.35), имеем
х = arg Ql - /ϊ), (6.2.17)
гДе /г — комплексное количество, сопряженное с /2.

§ 3. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ПАРАМЕТРОВ И УГЛЫ ЭЙЛЕРА 609
§ 3. Параметры Родрига — Гамильтона и Кейли — Клейна,
связанные с классическими углами Эйлера,
в теории инерциальной навигации
В первом и втором параграфах настоящей главы, а также з
главе пятой, исходная невращающаяся система координат ξδηδζδ
(см. рис. 115) была выбрана так, чтобы углы ψ, φ и κ (точнее,
ψ, —φ, —κ), характеризующие местоположение объекта и его
ориентацию относительно стран света, образовывали совокупность
углов Эйлера—Крылова. При этом ось ηδ в § 1 и § 2 была
направлена по оси вращения Земли, а ось ζδ — в плоскости,
совпадающей в мгновение t = 0 с Гринвичским меридианом. Формулы
(6.1.7), выражающие связь между упомянутыми углами и
параметрами Родрига—Гамильтона, несколько громоздки. Вследствие
этого затрудняется исследование вопросов инерциальной
навигации в высоких широтах, т. е. около Северного и Южного
полюсов Земли. Вместе с тем, можно выбрать такую новую невра-
щающуюся систему координат ξ8ηδζδ, чтобы упомянутые выше
углы ψ, φ и κ (точнее, ψ+π/2, π/2—φ и —κ; см. рис. 132) являлись
бы углами Эйлера. Формулы, выражающие углы ψ, φ и κ через
новые параметры Родрига—Гамильтона, оказываются при этом
более простыми и удобными для построения теории инерциальной
навигации в высоких широтах, в частности, с применением так
называемой стереографической проекции.
Используем в данном и последующих параграфах, так же, как
и в главе V, обозначение ξηζ для системы координат,
вращающейся вместе с Землей. Однако направление осей этой системы
выберем иное. Именно, ось ζ направим по оси вращения Земли к
Северному полюсу, а ось ξ в плоскости Гринвичского меридиана
(рис. 133). Долгота местоположения объекта будет теперь мерой
двугранного угла между плоскостью местного меридиана η'ζ' и
координатной плоскостью ξζ. Пусть новая невращающаяся
система ξ5η5ζδ совпадет с новой же системой координат ξηζ в
мгновение времени t = 0. Тогда по-прежнему будет справедливо
соотношение (5.1.5), приведенное в § 1 предыдущей главы, а именно
ψ - Ut + λ, (6.3.1)
где ψ — теперь угол между плоскостью местного меридиана и
плоскостью ξδζ<; новой невращающейся системы координат ξ5ηδζδ.
Повернем систему координат ξδηδζβ на угол σ, равный
ψ + π/2, вокруг оси ζ8 (τ. е. вокруг земной оси) против стрелки
часов, если наблюдать за вращением со стороны звезды Полярной.
Обозначим через ξ'η'ζ' получающуюся при этом новую систему
координат (рис. 132 и 134); ее ось ζ' совпадает с осью ζ8.
Координатная плоскость η'ζ', как уже упоминалось, содержит местный

610 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Рис. 132 Рис. 133
меридиан, а следовательно, и центр стабилизированной
платформы, расположенной на подвижном объекте (т. е. начало системы
координат xyz, жестко связанной с платформой).
Совершим теперь поворот системы координат ξ'η'ζ' вокруг
оси ξ' на угол θ также против стрелки часов, если наблюдать за
вращением со стороны положительного направления оси (рис.
134). Новое положение системы обозначим через x'y'zr. Ось х'
этой системы координат (совпадающая с осью ξ') параллельна
направлению на восток (£"), у' — на север (iV), а ось ζ направлена
по местной геоцентрической вертикали (Ζ), т. е. по направлению
радиуса Земли. Углы ψ, θ и тем самым ориентацию системы
координат x'y'z относительно системы ξ8η8ζδ всегда можно
подобрать такими, чтобы центр стабилизированной платформы оказался
бы^на оси ζ . Нетрудно видеть (см. рис. 134), что в этом случае
θ = -J- - φ, (6.3.2)
где φ — по-прежнему широта местоположения движущегося
объекта.
Расположение платформы относительно стран света будем
характеризовать углом χ, на который следует повернуть систему
координат х'у'ζ' вокруг оси ζ' (рис. 135) против стрелки часов
(если наблюдать за вращением сверху), чтобы ее оси оказались
бы соответственно параллельными осям системы координат xyz,
связанной со стабилизированной платформой подвижного объек-

§ 3. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ПАРАМЕТРОВ И УГЛЫ ЭЙЛЕРА 611
<W'
■;*;(*)
Рис. 134
та. Оси ζ' и ζ этих обеих систем направлены по одной и той же
прямой, проходящей через центр Земли (рис. 136). Угол χ с
точностью до знака равен азимуту κ, введенному в предыдущем
параграфе, а именно == __χ (6.3.3)
Символическая схема (см. § 5 гл. III первой книги) описанных
трех последовательных поворотов (см. рис. 134—136) имеет вид
bs l5bs ψ+π/2 ъ ιъ θ * χ
syz.
(6.3.4)
Из рассмотрения схемы (6.3.4) следует, что углы ψ-}-π/2, θ и
χ образуют классическую систему углов Эйлера; она совершенно
аналогична схеме (3.5.23), приведенной в § 5 гл. III первой
книги. Поэтому, чтобы построить таблицу косинусов углов между
осями систем координат ξ5η5ζ5 и xyz, достаточно в таблице (3.5.24)
того же параграфа заменить угол ψ на ψ -\- π/2, угол φ на χ и,
кроме того, разумеется, названия осей х0, г/0, ζ0 — соответственно на
Ss» Лв> ζ8- Далее уже нетрудно представить таблицу в виде
Is ηδ ζ8
— sin ψ cos θ sin χ + sin θ sin χ
+ cos ψ cos χ
— sin ψ cos θ cos χ — sin θ cos χ
— cos ψ sin χ
sin ψ sin θ cos θ. (6.3.5)
— cos ψ cos θ sin χ —
— sin ψ cos χ
— cos *ψ cos θ cos χ +
+ sin\|)sin%
cos ψ sin θ
.39*

612 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
ζ.ζ',(Ζ)
ξ',ζ'(Ε)
Рис. 135
ЬХ
Рис. 136
Введем параметры Родрига—
Гамильтона т01 т1ч т2, т31
соответствующие конечному
повороту из положения новой нев-
ращающейся системы координат
ξ5η5ζ5 в положение xyz.
Параметры га0, т1, т2, т3, разумеется,
отличаются от параметров /0,
/х, /2, /3, характеризующих
конечный поворот из положения
прежней (т. е. той, которая
использовалась в § 1 и § 2
настоящей главы) невращающейся
системы координат ξθηθζδ в то
же самое конечное положение
xyz. В самом деле, углы наклона
оси конечного поворота к осям
системы xyz, а также к
одноименным осям систем координат
Is^sis и ξγζ5 в обоих случаях
разные. Точно так же не равны
ДРУГ другу величины
соответствующих углов конечного
поворота.
Таблицу косинусов углов
между осями невращающейся
системы координат ξ5η5ζ5 и
системы xyz с коэффициентами,
выраженными в параметрах
Родрига — Гамильтона т0, тъ т2,
т3, можно построить на
основании изложенного в § 3 гл. II
первой книги. Она аналогична
таблице (6.1.9) с учетом формул
(6.1.10) предыдущего
параграфа; необходимо лишь заменить
в последних буквы /0, /1? /2, 13 на т0, тх, т2, т3. Имеем,
χ 2ml + 2mJ — 1
у 2 {т1т2 — т0т3)
ζ 2 {т1т3 + т0т2)
2 (?%га2 + т^о^з)
2т20 + 2ml — 1
2 (т2т3 — т^т^)
2 {тхт3 — т0т2)
2{т2т3 + т0тх) (6.3.6)
2т1 + 2т23- 1.
Сравнивая одинаково расположенные элементы таблиц (6.3.5) и
(6.3.6), т. е. косинусы углов между одними и теми же осями сие-

§ 3. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ПАРАМЕТРОВ И УГЛЫ ЭЙЛЕРА 613
тем координат xyz и ξ5η5ζ5, можно вывести следующие равенства:
cos ψ sin θ = 2 {m^m3 + ^отг)»
sin ψ sin θ — 2 (m2m3 — m^rn^),
cos θ = 2ml+ 2m\- 1, (6.3.7)
sin θ cos χ = 2 (m2m3 + m^rn^),
sin θ sin χ — 2 (m1m3 — m0m2).
Третье из них позволяет однозначно определить угол θ в
интервале (0, π), что соответствует, в силу соотношения (6.3.2),
значению широты φ в интервале (—π/2, π/2). Совокупность первого и
второго равенств (6.3.7), в свою очередь, однозначно определяет
угол ψ в интервале (0, 2π). В самом деле, образуем из этих двух
равенств, аналогично изложенному в предыдущем параграфе,
соотношение
sin θ ехр (£ψ) = 2 [m1m3 -f mQm2 + i (m2m3 — m^m^] —
— — 2i (m1 -\- im2)(m0 + im3). (6.3.8)
Введем теперь новые (по сравнению с предыдущим параграфом)
параметры Кейли — Клейна
^ι = ш\ + im2, h2 — m0 -f ^з· (6.3.9)
Так как О <θ <π, то sin θ — положительная величина всюду,
кроме полюсов Земли (где sin θ обращается в нуль). Вследствие
этого, согласно равенствам (6.3.8) и (6.3.9), имеем
ψ = γ + arg hx + arg h2. (6.3.10)
Подобным же образом, исходя из четвертого и пятого уравнений
(6.3.7), приходим к соотношению
sin θ ехр (ίχ) — 2[m2m3 + m()mi + i (тхт3 — m0m2)] —
= 2 {m1 — im2)(m0 -f wi3), (6.3.11)
откуда
χ = arg h2 — arg hv (6.3.12)
Формулы (6.3.10) и (6.3.12) могут привести к значениям
углов ψ и χ, лежащим за пределами интервала (0, 2π). В этом случае
следует добавить к ним или вычесть из них количество 2π,
чтобы каждый из углов ψ и χ оказался бы в интервале (0, 2π). Для
последующего определения угла λ следует обратиться к формулам

614 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
(6.2.11) и (6.2.12) предыдущего параграфа и объяснениям к ним.
Кроме того, аналогично формуле (6.2.4), вывод которой дан в § 2
настоящей главы, можно предложить еще два тригонометрических
уравнения, однозначно определяющих углы ψ и χ в интервале
(О, 2π), именно
ctff -2L = sin θ + 2 (тт* + ттд /g з 13)
_χ_ __ sin θ + 2 (т2тз + wpym) f fi 3 14Λ
° 2 2 (mime — mo/гаг) " ν ' · /
Заметим, что задача отыскания параметров Родрига —
Гамильтона по заданным эйлеровым углам ψ -f π/2, θ и χ путем сравнения
элементов таблиц (6.3.5) и (6.3.6) с последующим решением
алгебраических уравнений представляется крайне громоздкой.
Несравненно более просто воспользоваться методом алгебры
кватернионов, как это было сделано в § 1 настоящей главы.
Кватернионы, соответствующие последовательным конечным поворотам,
изображенным на символической схеме (6.3.4) перехода из
положения системы координат ξ5η5ζ5 в положение xyz (см. рис. 134 и
136), имеют следующий вид. При повороте, переводящем систему
£вЛв£в (см· рис 134) в положение ξ'η'ζ' (оси ζ8 и ζ' совпадают),
г' = cos -д- + к sin -γ. (6.3.15)
В последней формуле
σ = ψ + — (6.3.16)
— упоминавшийся выше угол, на который необходимо повернуть
систему координат ξ5η5ζ5, чтобы ее оси соответственно совпадали
с осями системы ξ'η'ζ' (τ. е. первый из классических углов
Эйлера). Далее при переходе к системе x'y'z (поворот от системы
ξ'η'ζ' на угол θ вокруг сливающихся осей ξ' и хг\ рис. 134 и 137)
■р' = cos-γ- + isin-^- . (6.3.17)
Наконец, переход от системы x'y'z (или, что то же, от
ориентации местной географической системы ENZ) к системе координат
xyz определяется кватернионом
г" = cos \- + к sin -|-. (6.3.18)
Здесь совпадают оси z'(Z) и z (см. рис. 135 и 136).
В силу свойств кватернионов, изложенных в § 3 гл. II первой
книги, справедливо следующее равенство:
т = т0 + im1 + jm2 + кт3 = г' Θ ρ' Θ г", (6.3.19)

§ 3. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ПАРАМЕТРОВ И УГЛЫ ЭЙЛЕРА 615
Z,Z',{Z)
ξ',χ'ΛΕ)
f>£o£s
4S,40>*
Рис. 137
Рис. 138
где т — кватернион, характеризующий конечный поворот из
положения |sr]s£s сразу в xyz.
Если теперь воспользоваться правилом перемножения мнимых
единиц кватернионов (см. § 3 гл. II первой книги), то
немедленно получим
β ... θ , _. __.. <j ... θ ,_.... σ
г' Θ ρ' = cos -у cos -γ- + ϊ cos -γ sin -у + / sin -γ sin -γ- +
I 7 · σ θ
+ /c sin y cos -γ
(6.3.20)
γ'θ//θγ" = cos -γ cos у cos γ siny cosy sin-y +
,./ σ.θ Χ , · c5 . θ . χ χ .
+ ι ί cos у sin-^- cos -γ + sniy siny sin-y ) +
+ / (sin — sin — cos -γ -
σ . θ . χ
cos -γ sin -у sin y
+ Α: ί sin -γ cos -γ- cos -γ + cos -^
s θ . χ \
cos — cos -γ sin -у)
2 /·
(6.3.21)
Выше было отмечено, что система углов Эйлера приводит к
более простым формулам для параметров Родрига — Гамильтона га0,
т11 т2, т3, нежели система углов Эйлера — Крылова,
примененная в предыдущем параграфе. В самом деле, сравнивая
действительную и мнимую части кватернионного равенства (6.3.19) и
учитывая формулы (6.3.21) и (6.3.16), получаем после
очевидных упрощений

616 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
θ σ 4- χ θ / я . ψ + χ
т0 = cos у cos —γ± == cos -у cos (-у + -Ц^—
θ σ — χ .θ / π . ψ — χ
гах = sin -s- cos —г^ = sin -s- cos -7- +
"л- V^WO л О J 11 су \jVJ>D \j I л"
ι ι ^ \4 ζ / /6#3#22)
θ . σ — χ . θ . / π , ψ — χ4
πι2 —· sin -γ- sin —g-^ = sin -у sin f -у + -r-2—
θ.σ+χ θ./π.ψ+χ
ra3 = cos -у sin —y^ = cos ysm y+ 2
Теперь достаточно сопоставить формулы (6.3.22) и (6.1.7), чтобы
убедиться в большей простоте последних.
Посредством алгебры кватернионов сравнительно просто
установить связь между системой параметров Родрига—Гамильтона
т0, тг, га2, т3 и системой /0, llf 12, /3, которая соответствовала в
§ 1 настоящей главы конечному повороту из положения 5sr]s£s в .гг/z.
Для установления только что упомянутой связи произведем
следующие вспомогательные повороты. Воспользуемся вновь
трехгранником аЪс. Повернем его из положения 5sr]s£s на угол —π/2
вокруг ребра а, совпадающего с осью ξδ, в положение ξοΊο^ο (рис.
138). Этому повороту соответствует кватернион
р° = cos-τ isin-τ- . (6.3.23)
Далее повернем тот же трехгранник аЪс вокруг ребра с,
совпадающего теперь с осями ζ0 и η5 (рис. 139), снова на угол —π/2.
Такой поворот описывается кватернионом
r° = cos —г к sin у . (6.3.24)
Новое положение ребер трехгранника abc, которое получилось
в результате двух предшествующих поворотов, совпадает, как
нетрудно убедиться (рис. 139 и 140), с направлением осей невращаю-
щейся системы координат ξ5η5ξ5 настоящего параграфа.
Конечный же поворот из положения ξ5η5ξ5 в xyz описывается, в
соответствии с вышеизложенным, системой параметров
Родрига—Гамильтона т0, ml5 т2, т3 или, что то же, кватернионом т.
Нетрудно видеть, что справедливы кватернионные равенства
I = 10 + ilx -f /72 + kls = р° Θ r° Θ m =
= ρ° Θ г° Θ (m0 + im1 + jm2 + km3). (6.3.25)
В самом деле, все их части являются кватернионами, описывающими
один и тот же конечный поворот из положения |sy)s£s в xyz.
Заметим, что, в согласии с формулами (6.3.23) и (6.3.24), кватернион
q° = р° Θ r° - -у (1 - i - /- Λ) (6.3.26)

§ 3. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ПАРАМЕТРОВ И УГЛЫ ЭЙЛЕРА 617
Рис. 139
Рис. 140
соответствует конечному повороту из положения £sr]s£s
непосредственно в положение ξ5η5ξ5. Косинус половины угла этого
поворота равен действительной части кватерниона q°, т. е. числу г/2
(см. § 3 гл. II первой книги). Следовательно, сам угол, в
соответствии с изложенным в предыдущем параграфе настоящей главы,
определяется в интервале (0, 2л) однозначно и равен 120°. Поворот
происходит против стрелки часов вокруг оси, равнонаклоненной
к отрицательным направлениям осей ξδ,ηδ, ζδ (а также и к осям ξθ,
ηθ, £s, см. рис. 140). В самом деле, в данном случае все мнимые
части кватерниона равны —1/2. Каждая из них, согласно
формулам (2.3.4) § 3 гл. II первой книги, представляет собой
произведение синуса половины угла конечного поворота на косинус угла
между осью поворота и соответствующей координатной осью.
Так как sin 60° положителен, то направляющие косинусы оси
конечного поворота оказываются отрицательными, а
соответствующие им углы — тупыми. Можно, разумеется, трактовать тот же
поворот и как происходящий по часовой стрелке, однако вокруг
оси, равнонаклоненной уже к положительным направлениям
координатных осей ξ5, η5, ζ8. При этом угол конечного поворота
следует определить в интервале (—2π, 0), т. е. считать
отрицательным. Он оказывается равным —120°, а синус его половины —
отрицательным количеством. Как следствие, направляющие
косинусы оси конечного поворота становятся положительными (см.
рис. 140).
Произведем, учитывая равенство (6.3.26), дальнейшее
перемножение кватернионов правой части соотношения (6.3.25).
Приравняв порознь действительную и каждую мнимую части полученного

618 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
произведения соответствующим членам левой части того же
равенства, получим искомые формулы
2/0 = т0 + т1 + т2 + т3,
21г = —т0 + т1 + т2 — т3, (6.3.27)
2/2 = — т0 — т1+т2+ т3,
213 = —т0 + т1 — т2 + т3.
Они связывают новую систему параметров Родрига—Гамильтона
т0, Шц т2, т3 с системой 10, Z1? 12, 13, которая применялась в двух
предыдущих параграфах. Рассматривая формулы (6.3.27) как
совокупность линейных уравнений относительно параметров га0,
т^ т2, т3, нетрудно получить для последних следующее
представление через параметры Z0, /l5 l2, l3:
ZjUq = Lq ί± l2 /3,
2щ = U + h ~ k + /3, (6-3.28)
Zm2 = Lq -\- li -f- /2 ^з>
2m3 = l0 — h + h + h-
Равенства (6.3.27) и (6.3.28) обращаются, разумеется, в
тригонометрические тождества, если в них заменить параметры Родрига—
Гамильтона l0, /l5 12, 13 и га0, тг, т2, т3 их выражениями (6.1.7)
и (6.3.22) через углы ψ, φ, κ, θ, σ и χ и учесть соотношения
(6.3.2), (6.3.3) и (6.3.16).
В § 1 настоящей главы были получены дифференциальные
уравнения (6.1.31) — (6.1.33), содержащие в качестве искомых
величин параметры Родрига—Гамильтона, а в качестве
известных — проекции ωχ, ωу, ωζ угловой скорости стабилизированной
платформы на оси жестко связанной с нею системы координат,
а именно
2 -£- = — (ωχΙχ + ωυ12 + ωζΖ3),
dt
dh
dt
2 —τ— = ωχ10 — ωυ13 + ωζΖ2>
2 -jj- = ωΧΖ3 + ων10 — ωζΙλ,
2 -^ = — ω^ + (ύυ1± + ωζ10.
(6.3.29)
Их интегрирование при соблюдении надлежащих начальных
условий позволяет найти параметры Родрига—Гамильтона для
произвольного мгновения времени. В силу соотношений (6.2.1) и след-

§ 3. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ПАРАМЕТРОВ И УГЛЫ ЭЙЛЕРА 619
ствий из них, тем самым определяется долгота и широта
местоположения подвижного объекта, а также ориентация
стабилизированной платформы относительно стран света. В результате
становится известным, в свою очередь, и курс объекта.
Формулы перехода (6.3.27) и (6.3.28) от одной совокупности
параметров Родрига—Гамильтона к другой позволяют без труда
произвести в уравнениях (6.3.29) замену искомых переменных
hi hi hi h на moi πι\·> mzi ms- Для получения преобразованных
уравнений проще всего составлять линейные комбинации левых
и правых частей уравнений (6.3.29), используя коэффициенты
правых частей формул (6.3.28) при параметрах l0, lu l2, 13. Так,
умножая последовательно на числа 1/2, —V2, —V2,—V2 правые и
левые части уравнений (6.3.29), раздельно их складывая и учитывая
вновь формулы (6.3.28), получим первое уравнение уже в
переменных т0, тх, га2, т3. Затем следует повторить ту же операцию,
однако с умножением правых и левых частей уравнений на числа
V2, V2, —V2, V2; получим относительно тех же искомых
переменных второе уравнение и т. д. В итоге придем к дифференциальным
уравнениям
2 -^- = — (оуи! + (uym2 + ωζτη3),
о drni .
Δ —τ— = ωχπι0 — (йут3 -f ωζπι2,
at (6.3.30)
ο Ami ,
2 -^- = ωχπι3 + (uymQ — ωζτη1,
2 -^— = — ωχΜ2 + ωυπι1 + ωζτη0,
которые идентичны уравнениям (6.3.29), если в них сразу заменить
обозначения /0, 1ъ hi h соответственно на т0, тъ т2, т3.
Разумеется, этот результат можно было предвидеть заранее. Вывод
уравнений (6.3.29) в § 1 настоящей главы имел вполне общий
характер и опирался лишь на свойства таблицы косинусов между осями
невращающейся системы координат £sr|sCs и системы xyz,
связанной со стабилизированной платформой, а также на формулы
Эйлера в кинематике твердого тела. Замена обозначений
невращающейся системы координат ξδηδζδ и параметров Родрига — Гамильтона
hi hi hi h соответственно на ξ5η5ζ5 и т0, т1, га2, т3 ничего
существенного при этом не вносит.

620 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
§ 4. Построение общего решения дифференциальных уравнений
инерциальной навигации
Преобразования, проведенные в конце предыдущего параграфа,
оказываются полезными для излагаемого ниже построения общего
решения совокупности дифференциальных уравнений типа (6.3.29)
или (6.3.30). Предварительно рассмотрим, как и в § 2 гл. V
настоящей книги, два движения стабилизированной платформы:
основное и возмущенное.
Пусть система координат xyz, жестко связанная с платформой,
в начальное мгновение занимает в основном движении некоторое
положение х0Уо^0, а в возмущенном — x*0y*0z*0. Первому
положению соответствуют начальные значения параметров Родрига —
Гамильтона га00, т10, т20, ш30, а второму — ш*т, ml0, ml0, ml0.
Движение в обоих случаях фиксируется по отношению к невра-
щающейся системе координат ξ5η5ζ5, введенной в начале
предыдущего параграфа.
Будем понимать теперь под xyz и x*y*z* положения,
характеризующие ориентацию стабилизированной платформы в
основном и возмущенном движениях в одно и то же текущее
мгновение времени t.
Основное и возмущенное движения платформы можно описать
одной и той же совокупностью дифференциальных уравнений
(6.3.30), однако с разными начальными условиями. Входящие
в эти уравнения функции времени
ωχ = ωχ (ή, ωυ = o)y (t), ω2 = cdz (t) (6.4.1)
в основном и в возмущенном движениях одни и те же. Они
представляют собой проекции угловой скорости стабилизированной
платформы на оси связанной с нею системы координат xyz.
Параметры Родрига—Гамильтона, определяющие положение
xyz относительно невращающейся системы координат ξ5η$ζ8,
обозначим, как и ранее, через т0, т11 т2, т3, а положение x*y*z*
относительно той же системы — через mj, m[, m\, m\. Очевидно,
что т0 = т0 (t), т1 = т1 (ί), т2 = т2 (2), т3 = т3 (t) являются
функциями времени, удовлетворяющими дифференциальным
уравнениям (6.3.30) с начальными условиями га00, га10, га20, га30.
Соответственно функции времени ml ~ т*0 (2), т\ = т\ (i), m*2 = m*2{t)>
тз — т1 (0 удовлетворяют тем же уравнениям (6.3.30), но с
другими начальными условиями — т*00, ml0, πι*20, пС®.
Обозначим через
п (t) = п0 (ή + ίη± (ή + jn2 (t) + кпг (ή (6.4.2)
кватернион, определяющий переход от начального положения
ЗДо2о к текущему xyz в соответствии с уравнениями движения

§ 4. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 621
(6.3.30). Имеем в силу свойств кватернионов
m(t) = m (t0) Θ η (t). (6.4.3)
Здесь
га (t) = m0 (t) -|- im1 (t) + /ra2 (t) + km3 (t), (6.4.4)
как и выше, кватернион, характеризующий текущее положение
системы координат xyz относительно невращающейся системы
ξδΉδζδ ПРИ невозмущенном движении платформы, а
™ (t0) = т00 + im10 -|- /га20 + /wi30 (6.4.5)
— его значение в начальное мгновение t — t0.
В силу принятых выше условий очевидно, что кватернион
?г* (г), определяющий, в свою очередь, переход из возмущенного
начального положения ХоУо^о в текущее возмущенное x*y*z*,
ничем не отличается от кватерниона η (t). В самом деле,
рассматриваемый кватернион, описывающий переход из начального
положения в текущее, зависит исключительно от хода изменения в
интервале (t0l t) функций соа(/), ω7/ (t), ωζ (t), входящих в состав
уравнений (6.3.30). При этом последние имеют один и тот же вид
как для кватерниона η (/), так и для п* (/). Итак,
>г* (/) - η (t) (6.4.6)
и, следовательно,
га* (t) = га* (tQ) Θ η (Ζ), (6.4.7)
где кватернионы га* (ί) и га* (/0) имеют тот же смысл, что и га (/)
и га (/0), однако относятся уже к возмущенному движению.
Согласно доказанному в § 2 предыдущей главы, конечный
поворот, в результате которого можно перейти в фиксированное
мгновение времени от положения платформы в невозмущенном
движении к положению той же платформы в ее возмущенном
движении, является для любого мгновения времени одним и тем же.
Именно, ось этого конечного поворота в произвольное мгновение
времени занимает неизменное направление относительно
невращающейся системы координат ξδη5ξ5, а угол поворота остается
тем же самым. Обозначим через с кватернион такого поворота.
Совершим поворот, соответствующий кватерниону с, из
положения невращающейся системы координат ξδη5ζ5 и обозначим через
uvw получающуюся при этом систему координат. Если теперь из
положения uvw совершить конечный поворот, соответствующий
кватерниону га (/0), то придем в положение xly^zl. В самом деле,
согласно изложенному в § 2 предыдущей главы, повороты от
системы ξ8η8ζ& к х0Уо%о и Далее от x0y0z0 к xly$zl вокруг оси,
фиксированной по отношению к невращающейся системе £sTb£s> являют-

622 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
ся переставимыми поворотами. Имеем теперь, в силу свойств
кватернионов,
с Θ т (t0) = га* (ί0), (6.4.8)
где га* (t0) — по-прежнему кватернион, характеризующий
расположение стабилизированной платформы относительно невращаю-
щейся системы ξ5η5ζ5 в начальное мгновение t = t0 в случае
возмущенного движения, а га (t0) — в случае невозмущенного.
Совершим теперь из того же положения uvw конечный
поворот, соответствующий кватерниону га (t). В силу доказанного в
§ 2 предыдущей главы, придем к текущему положению £*ϊ/*;ζ*
платформы в ее возмущенном движении. Аналогично равенству
(6.4.8) получим
c0m(i)=m* (t). (6.4.9)
Здесь, как уже упоминалось, га* (/) — кватернион,
характеризующий положение стабилизированной платформы
относительно невращающейся системы ξ5η5ζ5 в возмущенном движении,
а га (t) — в невозмущенном.
Можно доказать справедливость равенства (6.4.9) и не
прибегая к геометрическим рассуждениям приведенным в § 2
предыдущей главы, а используя лишь алгебру кватернионов. Для этой
цели умножим обе части равенства (6.4.8) справа на кватернион
η (t). Имеем
с Θ га (ΐ0) Θ η (t) = га* (t0) Θ η (ί). (6.4.10)
Если теперь учесть соотношения (6.4.3) и (6.4.7), то немедленно
приходим к равенству (6.4.9).
Кватернионное равенство (6.4.9) можно представить в виде
(с0 + и?! + /с2 + кс3) © [га0 (t) + imx (t) + jm2 (t) + km3 (t)] =
- m0* (t) + zraf (t) + jm2(t) + Am? (t), (6.4.11)
где c0, clt c2, c3 — постоянные величины — действительная и
мнимые части кватерниона с, соответствующего, как указывалось
выше, конечному повороту из положения xyz в x*i/*z* и, в
частности, ИЗ X0y0Z0 B ХоУо^о.
Порознь приравнивая действительные и отвечающие друг другу
мнимые составляющие правой и левой частей последнего
равенства, получаем
™о (0 = с0т0 (t) — с1т1 (t) — с2т2 (t) — с3га3 (*),
™* (0 = *ο™ι (0 + ^га0 (ί) + с2т3 (t) — с3га2 (ί),
™<* (t) = с0т2 (t) — с1т3 (ί) + с2га0 (t) + с3тг (/), (6.4.12)
™з (0 = с0га3 (ί) + с1т2 (t) — c2m1 (t) + c3m0 (t).

§ 4. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 623
Предположим, что основное движение стабилизированной
платформы задано и, следовательно, функции времени т0 (/), т1 (/),
тг (0> тз (0 известны. Функции т$ (/), т* (/), т% (/),
т%
(О
также являются решением совокупности дифференциальных
уравнений (6.3.30), но с другими (и в общем случае
произвольными) начальными условиями. В силу формул (6.4.12) они
выражаются через линейные комбинации известных функций с четырьмя
коэффициентами с0, с±, с21 с3, не зависящими от времени.
Дифференциальные уравнения (6.3.30) — линейные, и совокупность их
имеет четвертый порядок. Согласно общей теории линейных
дифференциальных уравнений *, всякое решение совокупности
(6.3.30), линейно зависящее от четырех произвольных постоянных,
является общим, если только частные решения
[m0(Z), m1 (t), т2 (t), т3 (/)],
[—m2(t),
l—m3(t),
πι.
пг2 (t),
(ί), -πι3 (/),"
Шс
т
т3 (/),
—т2 (/),
т0 (/),
щ (0»
-тг (t)l (6.4.13)
πι.
(01,
соответствующие этим постоянным, линейно независимы.
Последнее имеет место, так как детерминант Вронского
W =
m0(t)
— т1 (t)
— пг2 (t)
— т3 (t)
m1(t)
m0(t)
m3(t)
m2 (t)
m2(t)
— m3 (t)
m0(t)
m1{t)
m3(t)
m2(t)
mx (t)
m0(t)
(6.4.14)
отличен от нуля. В самом деле, возведем детерминант в квадрат.
Получим равенство
W2 =
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
= 1,
(6.4.15)
которое, в частности, означает, что матрица этого детерминанта
является ортогональной. Тот же результат, разумеется,
получается, если произвести прямое вычисление детерминанта W. Получим
W = (ml + т\ + ml + m\f = 1.
(6.4.16)
* Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.— Л.,
Гостехиздат, 1945. Понтрягин Л. С. Обыкновенные
дифференциальные уравнения. Изд. 4-е. М., «Наука», 1974.

Можно непосредственно убедиться в том, что каждая из
четверок функций (6.4.13) является частным решением совокупности
дифференциальных уравнений (6.3.30), если частным решением
является хотя бы одна из них (т. е. из этих четверок функций).
В самом деле, например, пусть
т0 = т0 (*), т1 = тл (/), т2 = т2 (t), т3 = т3 (t),
(6.4.17)
как и ранее, является частным решением совокупности (6.3.30).
Положим теперь
т0 = — т1 (t), тг = т0 (2), т2 = — т3 (ί), т3 — т2 (t)
(6.4.18)
и подставим эти функции в уравнения (6.3.30). В результате
придем к тем же самым равенствам, что и при подстановке в те же
уравнения четверки функций (6.4.17), однако расположенным
в несколько ином порядке. Согласно сделанному выше
предположению, равенства, образующиеся при подстановке четверки
функций (6.4.17) в уравнения (6.3.30), должны быть тождествами.
Отсюда следует, что четверка функций (6.4.18) также образует
частное решение совокупности дифференциальных уравнений
(6.3.30).
Итак, решение (6.4.12) следует рассматривать как общее
решение совокупности дифференциальных уравнений (6.3.30).
Таким образом, если известно основное движение стабилизированной
платформы, то можно немедленно найти закон движения,
соответствующий ее возмущенному движению при произвольном
изменении начальных условий.
В задачах инерциальной навигации постоянные с0, с19 с2, с3
являются параметрами Родрига—Гамильтона и, следовательно,
стеснены условием
4 + 4 + 4 + 4 = 1- (6.4.19)
Аналогичному условию
ml + ml + т\ + т\ = 1 (6.4.20)
подчиняются и функции т0 (t), m1 (t), m2 (t), m3 (t). Если теперь
возвести в квадрат левые и правые части формул (6.4.12) и порознь
сложить их, то в результате несложных выкладок получим
равенство
(то*)' + К*)2 + (т?)2 + (т?)« = 1, (6.4.21)
кохорое находится в согласии с тем, что функции т$ (t), m\ (t),
ml{t), m3 (t) являются параметрами Родрига — Гамильтона и что
независимых среди них лишь три. Соответственно для определе-

§ 4. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 625
ния этих параметров достаточно решать совместно любые три из
четырех дифференциальных уравнений (6.3.30), причем из-за
условия (6.4.19) число произвольных постоянных их общего
решения (6.4.12) также равно трем.
Остановимся на вопросе определения параметров Родрига—
Гамильтона с0, сг, с2, с3 по известным т00, т10, га20, т30 и т^,
T^iib mtoi mtoi τ· е· по заданному начальному положению
платформы в основном и в возмущенном движениях. Для этой цели
умножим обе части равенства (6.4.8) справа на кватернион
т-1 (t0) = т00 — im10 — jm20 — кт30. (6.4.22)
Так как
т (t0) Θ т-1 (t0) = (m00 + im10 + jm20 + km30) Θ
Θ (m00 — im10 — fm20 — km30) = 1, (6.4.23)
то в результате упомянутого действия приходим к равенству
с = т* (ί0) θ т-1 (t0) (6.4.24)
или, что то же
с0 + icx + fc2 + kc3 = (mto + imt0 + fm?0 + km%) Θ
Θ (m00 — im10 — fm20 — km30). (6.4.25)
Отсюда немедленно получим искомые величины
с0 = m00W00 + тют10 "Г т2ЪтЪ0 + ^30m30>
с1 — т00тЮ — ^Ю^ОО I ^20^30 — ^30^20»
с2 = т00т%0 — т10т%0 — т20т$0 + m30mf0t (6.4.26)
С3 = Ш007П3д -\- Ш10Ш20 — ^2 0^10 — ^30^00·
Полезно сделать следующее замечание. Выше конечный поворот,
переводящий стабилизированную платформу из невозмущенного
начального положения x0y0z0 в возмущенное #οί/οζο>
отождествлялся с конечным поворотом от невращающейся системы координат
ΙδΉβζδ κ промежуточной системе uvw. Последний
характеризовался кватернионом с. Однако конечный поворот из положения x0y0z0
в ХоУо^о можно описать посредством некоторого другого
кватерниона
я — Яо + ia-L + ja* + ka3l (6.4.27)
если отправляться не от системы ξ8ηβζ8, а непосредственно от
системы координат x0y0z0. Разумеется, действительные части с0 и а0
соответственно кватернионов ежа одинаковы, так как, согласно
изложенному в § 3 гл. II первой книги, они порознь равны
косинусу половины угла поворота, переводящего платформу из поло-

626 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
жения x0y0z0 в xlylzl. Вместе с тем, мнимые части этих
кватернионов в общем случае различны. В самом деле, ось упомянутого
поворота образует разные углы с соответствующими друг другу
осями систем координат x0y0z0 и ξ5η5ζ5.
Итак, пусть совершаются два последовательных поворота,
исходя из начального положения, совпадающего с невращающейся
системой координат ξ5η5ζδ. Первый, приводящий к системе x0yozo
и характеризуемый кватернионом т (t0), второй — из
промежуточного положения ХоУо^о в ^ο2/οΖο> которому соответствует
кватернион а. Имеем, в согласии с изложенными в § 3 гл. II первой
книги свойствами кватернионов, равенство
т (t0) 0fl = m* (t0), (6.4.28)
где m* (ί0), как и ранее, определяет положение системы x^ylzl
относительно невращающейся системы ξвЛs ζs· Сравнение равенств
(6.4.28) и (6.4.8) приводит к соотношению
сет (t0) = m (t0) Θ α, (6.4.29)
которое позволяет по известным кватернионам сит (t0) найти
кватернион а. Умножая, в частности, обе части соотношения
слева на кватернион т~х (t0), представляемый формулой (6.4.22),
и сравнивая результаты, получим, учитывая равенство (6.4.23),
а = т~г (t0) Θ с θ т (t0). (6.4.30)
Точно так же можно прийти к формуле
с = т (t0) Θ α Θ m-1 (t0). (6.4.31)
Если произвести перемножение кватернионов, стоящих в правой
части формулы (6.4.31), то после сравнительно несложных
выкладок получим соотношения
Сх = ах — 2αλ (т% + ml0) + 2т10 (т20а2 + т30а3) +
-f- 2т00(т20а3 т30а2)9 „ , ^
с2 = а2 — 2а2 (mlQ + т\0) + 2т20(т30а3 +т10а1) +
+ 2т00 (m30«i — т10а3),
с3 = а3 — 2а3 (ml0 + т\0) + 2т30 ^10αλ + т20а2) +
+ 2т00 (т10а2 — т20ах).
Как уже указывалось, первое из соотношений (6.4.32) следует
из простого геометрического факта равенства величин с0 и а0
порознь косинусу половины угла конечного поворота при переходе
из положения x0yozo в х*оУо%1· Остальные соотношения также име-

§ 4. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 027
ют свою геометрическую интерпретацию. Нетрудно построить и
соотношения,обратные(6.4.32),выражающиепараметрыао^!, a2la3
через с0, с1? с21 сз·
Аналогично изложенному выше, если ввести кватернион
b = b0 + ib, + jb2 + kb3, (6.4.33)
соответствующий переходу какого-либо трехгранника в
фиксированное мгновение из положения xyz в #*z/*z*, то получим
w* (t) = m(t) e Ъ. (6.4.34)
Учитывая равенство (6.4.9), имеем
с © m(t) = га (ί) θ 6, (6.4.35)
откуда
δ = щ-i (f) © с © w (/). (6.4.36)
Здесь кватернион га-1 (t) определяется формулой, аналогичной
(6.4.22), а именно
га-1 (t) = га0 (ί) — irax (ί) — fm2 (t) — km3 (t). (6.4.37)
Кватернионы b и а в общем случае не равны друг другу,
однако, по соображениям, изложенным выше, всегда Ь0 = а0. Кроме
того, нетрудно установить формулы типа (6.4.32), связывающие
друг с другом системы параметров Родрига—Гамильтона Ь0,
Ь1У й2, Ь3 и с0, си с2. с3.
Обратим внимание еще на возможность компактного
представления совокупности дифференциальных уравнений (6.3.30) при
помощи кватернионов. Сложим раздельно правые и левые части этих
уравнений, предварительно умножив правую и левую части второго
уравнения на мнимую единицу i, третьего — на / и четвертого —
на к. Приравнивая результаты, получим, учитывая формулу
(6.4.4) и правила перемножения мнимых единиц,
2 -г— = (Од. (im0 — πΐχ — кт2 + Мз) + (6.4.38)
+ ωυ (jm0 + Ьщ. — т2 — im3) + ω2 (кт0 — jm1-\-im2 — га3).
Однако последнее соотношение можно представить в виде
своеобразного линейного дифференциального уравнения
2 — = πιθω. (6.4.39)
Здесь т = m(t) вновь искомый кватернион, характеризующий
расположение системы координатяг/z относительно невращающейся
системы ξ5η5ζ8, а
ω = ω (ή = ίωχ + /ω^ + &ωΖ (6.4.40)

628 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
— кватернион без действительной части, представляющий
заданную угловую скорость системы координат xyz, связанной со
стабилизированной платформой.
По аналогии с матричными дифференциальными уравнениями *
казалось бы, что выражение
t
т = т (0) © ехр \-^- \ ω (t) dt\ =
о
t
= т (0) θ ехр j-g- ^ [ίωχ (t) + ]ωυ (t) + Jmz (t)] dt\ (6.4.41)
d
представляет собой общее решение уравнения (6.4.39), если под
т (0) понимать заданное значение кватерниона πι = πι (ή в
начальное мгновение времени t = 0. К сожалению это далеко не
всегда так. Однако формулой (6.4.41) во всяком случае можно
пользоваться, если угловая скорость твердого тела (кватернион ω)
на некотором интервале времени (0, ίχ) постоянна по величине
и направлению. Пусть угловая скорость тела изменяется так,
что остается постоянной на сравнительно больших интервалах
времени, но различна на каждом из них. Тогда уравнение (6.4.39)
может быть решено последовательным использованием формулы
(6.4.41). При этом значение кватерниона т в конце предыдущего
интервала времени становится начальным для интервала
последующего, а ряд, соответствующий экспоненте правой части
равенства (6.4.41), обрывается на члене, обеспечивающем необходимую
точность вычислений.
В общем случае, разбивая интервал времени на достаточно
малые промежутки, можно приближенно считать в течение каждого
из них кватернион ω постоянным. Заменяя дифференциальное
уравнение (6.4.39) разностным, приходим тем самым к
приближенному методу решения задачи об отыскании углового движения
твердого тела по заданным в виде функций времени проекциям
его угловой скорости на оси системы координат, связанной с этим
твердым телом.
Вернемся к дифференциальным уравнениям (5.1.6) основной
задачи инерциальной навигации (см. § 1 предыдущей главы). Из
изложенного в настоящем параграфе следует, что достаточно знать
какое-либо одно решение совокупности этих дифференциальных
уравнений, чтобы найти их общее решение **. Для этого следует
* См. Франк Φ., Μ и з е с Р. Дифференциальные и интегральные
уравнения математической физики. М.— Л., ОГИЗ, 1943.
** К л и м о в Д. М. Об интегрировании кинематических уравнений инер-
циальных систем навигации.— Изв. высш. учебн. заведений. Приборостроение,
1968, т. 11, Μ 7.

§ 4. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 629
с учетом равенств (6.3.2) и (6.3.3) по формулам (6.3.22) сначала
перейти от углов λ, φ их к параметрам Родрига — Гамильтона т0,
т1У т2, т3 и затем воспользоваться общим решением (6.4.12).
Далее можно вновь вернуться к географическим координатам
платформы λ и φ и ее азимуту κ, используя приемы, описанные
в настоящем параграфе, соотношения (6.3.7), равенства (6.3.2),
(6.3.3) и следствия из них, в частности, формулы (6.3.13) и (6.3.14).
Естественно поставить вопрос об отыскании общего решения
совокупности уравнений (5.1.6) без промежуточного перехода к
параметрам Родрига — Гамильтона. Дадим геометрическое решение
этого вопроса, вновь основываясь на результатах § 1 настоящей
главы *. Всякому решению совокупности дифференциальных
уравнений (6.3.30), эквивалентной, в силу изложенного выше,
исходной совокупности (5.1.6), соответствует некая своя тройка
функций ψ (£), φ (ί), κ(ί). Вновь воспользуемся жестко связанной
с невращающейся системой координат ξδηδζδ сферой S с центром
в начале системы ξδηδζδ и с тем же радиусом, что и земная сфера,
(и, следовательно, так же невращающейся). На сфере три
функции ψ (£), φ (£), κ (t) определяют последовательность точек Q с
полярными координатами ψ и φ вместе с исходящими из них
полупрямыми #, которые касаются сферы S и образуют угол к с
соответствующим меридианом места (рис. 141, угол κ на этом рисунке
не указан). Точки Q изображают на сфере S последовательные
положения начала координат системы xyz, связанной со
стабилизированной платформой, а полупрямые q характеризуют
ориентацию платформы в азимуте. Полупрямые q, в частности, могут
представлять собой последовательные положения оси у или какой-
либо другой связанной с платформой полупрямой в плоскости ху,
проходящей через начало системы координат xyz и,
следовательно, касающейся сферы S. Назовем последовательность
упомянутых точек Q и направлений q многообразием М. Оно состоит,
таким образом, из некоторой сферической кривой, в каждой
точке Q которой задано свое направление q.
Проведем из начальной точки Q0 упомянутой выше сферической
кривой ψ = ψ (£), φ = φ (£), т. е. из точки с географическими
координатами ψ0 = ψ (t0) и φ0 = φ (t0), дугу s большого круга до
какой-либо текущей точки Q этой кривой. Построим в точке Q к
упомянутой дуге касательную (рис. 141). Угол τ между этой
касательной и заданным направлением q можно считать известной
функцией точки Q на кривой. Другой известной функцией той же
точки Q является угол ρ между касательной к сферической кривой
в этой точке и упомянутой касательной к дуге s большого круга,
* Ж б а н о в Ю. К. Исследование свободных колебаний в системе
автономного определения координат движущегося объекта.— ПММ, 1960, т. 24,
вып. 6.

630 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Рис. 141 Рис. 142
проходящего через точку Q. Наконец, также известной функцией
точки Q надлежит считать длину самой дуги s. На основании
изложенного в § 2 предыдущей главы вид сферической кривой и
ориентация по отношению к ней направлений q в каждой ее точке Q
определяются лишь последовательностью значений функций
(ox(t), (dy(t), ωζ(ή и не зависят ни от полярных координат ее
начальной точки ψ0 и ср0, ни от начального значения азимута κ0.
Поэтому при изменении начальных условий уравнений (5.1.6)
сферическая кривая вместе с заданными в каждой ее точке
направлениями, т. е. все многообразие М, переместится, как жесткое
целое, в новое положение М* (рис. 142). Таким образом, углы τ
и ρ, а также длина дуги s, рассмотренные выше как функции
точки Q на сферической кривой, останутся без изменения, однако
функции ψ = ψ* (£), φ = φ* (t) и κ = κ* (t) будут уже другими.
Теперь, пользуясь, например, приемами сферической
тригонометрии *, можно непосредственно определить функции ψ* (£),
φ* (t), κ* (ί), зная их начальные значения ψ* =ψ* (£0), φ* = φ* (£0),
κ0 = κ* (ί0) и, разумеется, исходное решение уравнений (5.1.6),
т. е. функции ψ (£)» φ (0 и κ (ί).
* См. Калинович В. Н. Про похибки системы автономного визна-
чення, зумовлеш выъними поливаниями платформи.— Доп. АН УРСР, 1963у
№ П.

§ 5. ВЫСОКИЕ ШИРОТЫ. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ 631
§ 5. Навигация в высоких широтах.
Применение стереографической проекции
При прохождении подвижного объекта вблизи полюса Земли
использование для нужд навигации обычных географических
координат и курса становится затруднительным, а в ряде случаев
и невозможным. На самом полюсе понятие долготы и курса теряет
смысл, а при движении объекта, например, по дуге большого
круга в непосредственной близости от полюса, долгота и курс
резко изменяются, и измерить их с необходимой для практики
точностью нелегко.
Для устранения трудностей, связанных с определением
местоположения объектов в высоких широтах, предлагались разные
способы. Один из них, в частности, заключался в применении
полярных координат с «полюсом» на экваторе — так называемых
квазигеографических координат. В этом случае действительные
полюса Земли — Северный и Южный — оказывались на
«экваторе» соответствующей квазигеографической сетки, и трудности
с определением местоположения объекта и его курса устранялись
(возможны и иные расположения «полюсов» квазигеографической
сетки). Другой способ заключался в использовании проекции
околополюсного района на плоскость, касающуюся земной сферы
в ее полюсе, и введении на этой плоскости обычных
прямоугольных координат. Для мест, расположенных вблизи самого полюса,
оба описанных способа одинаково удобны.
Исходные дифференциальные уравнения (5.1.3) основной
задачи инерциальной навигации, предложенные в § 1 предыдущей
главы, имеют особенность при φ = ± π/2, τ. е. как раз на
полюсах Земли. Поэтому их интегрирование, т. е. отыскание
переменных λ, φ и κ при расположении объекта в полярных областях,
встречает затруднения. Однако при переходе к параметрам Род-
рига — Гамильтона особенности в дифференциальных уравнениях
лнерциальной навигации полностью исчезают, поскольку
уравнения становятся линейными. Таким образом, с точки зрения
интегрирования дифференциальных уравнений инерциальной
навигации в параметрах Родрига — Гамильтона, движение объекта
в полярной области никаких осложнений не вносит. Вместе с тем,
обратный переход к географическим координатам неизбежно
связан с потерей точности определения долготы и курса вблизи
полюса. Этого нет при переходе от параметров Родрига —
Гамильтона к квазигеографическим координатам. Соответствующие
формулы перехода могут быть составлены методами, изложенными
выше, без особого труда. Способ навигации, связанный с
проекцией полярной области на плоскость, касающуюся земной сферы
в ее полюсе, также удобен для реализации решения уравнений
инерциальной навигации в параметрах Родрига — Гамильтона.

632 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
В этом случае представляет
преимущество не
ортогональная проекция земной сферы на
упомянутую плоскость, а
стереографическая *, которая
строится следующим образом (рис.
143). Из Южного (а при
навигации в Антарктиде — из
Северного) полюса Земли через
точку, соответствующую
положению объекта на земной
сфере, проводится прямая до
пересечения с плоскостью,
касающейся сферы в Северном
(соответственно в Южном) полюсе.
Точка пересечения упомянутой
прямой с плоскостью и
называется стереографической
проекцией точки сферы **.
Рассмотрим теперь вид
сверху на сходящиеся в полюсе
меридианы (рис. 144). Предположим, как и выше, что движение
происходит вблизи полюса, и плоскость ху, связанная со
стабилизированной платформой, расположенной на объекте, все время
горизонтальна. Угол κ, который образует ось у с меридианом
местоположения объекта будем называть, как и ранее, азимутом
платформы. Спроектируем ось у на плоскость, касающуюся земной
сферы в ее полюсе. Согласно теореме о внешнем угле
треугольника (см. рис. 144), имеем следующее приближенное равенство:
Рис. 143
κ — λ = μ.
(6.5.1)
Здесь λ — угол между меридианом местоположения объекта и
Гринвичским меридианом, т. е. долгота, а μ — угол между
проекциями оси у и Гринвичского меридиана на плоскость,
касающуюся земной сферы в ее полюсе. Назовем угол μ гринвичским
азимутом платформы.
На полюсе гринвичский азимут μ, в отличие от истинного
азимута κ, определяется вполне однозначно. Отметим в связи с этим
следующее обстоятельство. Рассмотрим какое-либо фиксирован-
* Каменский B.C. Инерциалъная система навигации в декартовой
системе координат, стереографически отображенной на сферу.— Изв. АН
СССР, Техническая кибернетика, 1965, Μ 2. См. также сноску на стр. 571.
** При малых линейных размерах куска области сферы в окрестности
полюса по сравнению с радиусом Земли ортогональная проекция практически
совпадает со стереографической.

§ 5. ВЫСОКИЕ ШИРОТЫ. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ (Щ
&
Рис. 144
Рис. 145
ное мгновение времени. Тогда каждой паре значений углов ψ и Θ,
в согласии с формулами (6.3.1) и (6.3.2), соответствует некоторое
конкретное место на земной сфере с географическими
координатами λ и φ. Параметры Родрига — Гамильтона, разумеется, не
определяются при этом однозначно. В силу формул (6.3.22) и
(6.3.3), они зависят еще от величины азимута κ (т.е. от ориентации
стабилизированной платформы и связанной с нею системы
координат xyz относительно стран света). Подставим теперь в формулы
(6.3.22) значение θ = 0, соответствующее нахождению объекта
на самом Северном полюсе (φ=π/2). При этом, учитывая также
соотношения (6.3.1) и (6.3.3), получаем для параметров га0, т1,
т2, пг3 следующие равенства:
т0 = cos ί-τ- +
т1 = О,
Ψ + Χ
cos
+
Ut
·)·
т2 = О,
т* = sin
(6.5.2)
+
Ψ + Χ
= sin
π Ut
4+2
Γκ — λ
из которых формально следует, что на самом полюсе значения
параметров Родрига — Гамильтона зависят от разности углов к
и λ, каждый из которых на самом полюсе не имеет смысла. Однако
их разность, согласно формуле (6.5.1), всюду вблизи полюса
представляет собой гринвичский азимут платформы. Последний имеет
смысл и на самом полюсе, так как представляет собой угол между
проекциями Гринвичского меридиана и оси у (связанной с
платформой) на плоскость, касающуюся земной сферы в ее полюсе.

634 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Рис. 146 Рис. 147
Поэтому равенства (6.5.2) можно рассматривать как предельные
при неограниченном приближении к полюсу и представить их
в виде
/π , Ut μ \
то = со8(—+ "2 -Г)'
т1 = О,
т2 = 0, (6.5.3)
. ( я . Ut μ \
ms = sm^-r + -r--f-).
Таким образом, введение гринвичского азимута μ позволяет
доопределить величины параметров Родрига — Гамильтона и на
самом полюсе. Тем самым можно обосновать их непрерывное
изменение как при прохождении объекта в полярной области вблизи
полюса, так и непосредственно через него.
Итак, угол κ из-за его резкого изменения при перемещении
платформы вблизи полюсов неудобен для характеристики ориентации
стабилизированной платформы относительно земных ориентиров.
Вместо него целесообразно ввести угол μ, τ. е. гринвичский
азимут платформы. По той же причине для характеристики
местоположения объекта в полярной области неудобен и угол λ —
долгота объекта.
В связи с изложенным выше, определим местоположение объекта
двумя декартовыми координатами и и ν стереографической
проекции центра стабилизированной платформы (т. е. проекции начала
связанной с нею системы координат xyz) на плоскость, касающуюся

§ 5. ВЫСОКИЕ ШИРОТЫ. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ 635
земной сферы в ее полюсе. В качестве системы координат uv
выберем (рис. 143 и рис. 145) систему с началом в Северном (или
Южном) полюсе Земли, с осью и, направленной по касательной
к Гринвичскому меридиану, и осью ν — по касательной к
меридиану с долготой λ = 90°. Очевидно, что оси и и ν соответственно
параллельны осям ξ и η рассмотренной в начале § 3 настоящей
главы системы координат ξη ζ, вращающейся вместе с Землей. Широта φ
местоположения объекта (рис. 145 и 146) связана с этими
координатами приближенным соотношением, следующим из равенств
| и + iv | = Υ и1 + ν2 = г = 2R ig -i- ~ RQ - R (±- - φ V (6.5.4)
в которых R — радиус Земли, а г — модуль комплексного
количества и + ίν, τ. е. радиус-вектор стереографической проекции
начала системы координат xyz на комплексную плоскость uv.
Произведение
RQ ~ г, (6.5.5)
в котором θ — угол, определяемый равенством (6.3.2),
представляет собой расстояние по дуге большого круга между объектом и
полюсом (см. рис. 146).
В свою очередь, долгота места λ находится (см. рис. 145) в
результате решения тригонометрических уравнений
г cos λ = гг, г sin λ = г?, (6.5.6)
например, так, как было показано в § 2 настоящей главы. В
частности, для отыскания угла λ можно воспользоваться уравнением
ctg 4- - г-~- ■ (б·5·7)
Очевидно также, что
λ = arg (и + iv). (6.5.8)
Обратимся теперь к определению координат и и ν
стереографической проекции начала системы координат xyz на плоскость uv,
считая заданными координаты ξ, η, ζ местоположения объекта
на земной сфере. Для этой цели достаточно соображений
элементарной геометрии. Из подобия двух пар прямоугольных
треугольников (одна из них изображена на рис. 147, см. также рис. 143)
имеем
_L_ - JL· Ή _ JL· /β ^ αχ
Отсюда
u + to = 2J?-^tJl. (6.5.10)

636 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Рис. 148
Стереографическая проекция
сферы на плоскость обладает
свойством конформности,
заключающемся в следующем *.
Две кривые, пересекающиеся на
сфере под каким-либо углом,
отображаются на плоскость в
виде двух кривых,
пересекающихся под тем же самым углом;
равные, исходящие из одной и
той же точки бесконечно малые
дуги больших кругов на сфере
переходят в общем случае с
изменением (увеличением) своей
длины в равные же бесконечно
малые дуги на плоскости
стереографической проекции.
Малые дуги вблизи полюса при
отображении на плоскость
практически остаются без изменения.
Укажем еще на одну
особенность стереографической
проекции сферы на плоскость.
Произвольная окружность
(конечного диаметра), расположенная
на сфере, отображается на
плоскость также в виде окружности
(в частном случае в виде
прямой), однако уже другого
(большего) диаметра. Центр
окружности на сфере в общем случае
не переходит в центр
окружности на плоскости.
Стереографическая проекция имеет тесную
связь с дробно-линейными
функциями комплексной переменной и + iv и конечными вращениями
твердого тела **.
Рассмотрим какое-либо положение объекта на земной сфере.
Через центр его стабилизированной платформы проходит дуга
меридиана места и дуга большого круга, плоскость котороги
совпадает с плоскостью yz системы координат xyz, связанной с
платформой (рис. 148). Угол κ между ними является азимутом
платформы.
* Лаврентьев Μ. Α., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. М.щ «Наука», 1965.
** См. приложение, стр. 641.
Рис. 149

§ 5. ВЫСОКИЕ ШИРОТЫ. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ 637
При рассматриваемом стереографическом отображении
меридиан места переходит в прямую, проходящую через начало
системы координат uv (рис. 149). В свою очередь, малый отрезок дуги
большого круга, лежащего в плоскости у ζ, примыкающий к
центру платформы, отображается в малый же отрезок окружности.
Последний примыкает к проекции центра платформы на
плоскость uv и в силу конформности угол между ним и отображением
меридиана также равен азимуту κ, τ. е. углу между плоскостью
меридиана и координатной плоскостью yz.
В результате решения совокупности дифференциальных
уравнений (6.3.30) можно определить текущие параметры Родрига —
Гамильтона т0, ти т2, тг, характеризующие расположение
объекта (точнее, начала связанной с его стабилизированной
платформой системы координат xyz), относительно невращающейся
системы ξ5η5ζ5. По известным параметрам т0, тг, га2, т3, решая
тригонометрические уравнения (6.3.7), можно вычислить
широту φ, угол ψ и азимут платформы κ; последний позволяет определить
курс корабля. Этой же цели служат формулы (6.3.10) и
(6.3.12)—(6.3.14).
Покажем теперь, как, зная параметры Родрига — Гамильтона,
найти координаты и и ν точки, изображающей объект на
плоскости uv. Заметим прежде всего, что координаты gs, η5, ζ5
подвижного объекта относительно невращающейся системы координат
Is^sCs выражаются формулами
ls = R cos zls,
η5 = R cos zr\s, (6.5.11)
ζ5 = R cos ζζ5,
так как именно ось ζ, связанная со стабилизированной
платформой, направлена по радиусу Земли, проведенному к началу
системы координат xyz. Используя таблицу (6.3.6), имеем
ls = 2R (тгт3 + т0т2),
η5 = 2R (т2т3 — т0тг), (6.5.12)
ζ8 = R (2т20 + 2πι\ - 1)·
Далее, так как (рис. 133 и рис. 150)
ξ = ls cos Ut + η5 sin Ut,
η = _ ls Sin Ut + r]s cos Ut, (6.5.13)
TO
I + Щ = (l8 + *ηβ) exp (—iUt).
(6.5.14)

638 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
В свою очередь, согласно
первым двум формулам (6.5.12),
Is + Щз = 2i? (тгт3 + т0т2 +
-f im2m3 — ίπι^πι^)^
= — 2Ri(m1 + im2) (m0 + im3).
(6.5.15)
Таким образом, принимая во
внимание соотношение (6.5.14),
I + Щ = — 2Ri (тг + im2)(m0+
-f im3) exp (—iUt).
(6.5.16)
Учитывая также, что, согласно
третьей формуле (6.5.12),
PuC' 15° R + ts = R + l = 2R (ml +mt),
(6.5.17)
имеем, в соответствии с равенством (6.5.10), для комплекснознач-
ной величины и + iv выражение
и -\- iv
— 2Ri {m\ -f- im<i) (mo -f- im^)
exv(—iUt). (6.5.18)
Сравнивая в формуле (6.5.18) раздельно действительные и
мнимые составляющие ее правой и левой частей, получаем
г, d (mim3 + Атготг) cos Ш + (rn&na—momi) sin Ut
m\+m\
л d — (АП1/П3 + АПр/пг) sin Ш -(- (^2тз — mpmi) cos Ш
(6.5.19)
Используем теперь в выражении (6.5.18) формулы (6.3.9) для
параметров Кейли — Клейна h± и /г2. Получим
и + iv = - 2#i ^*ехр(- i£7i) - 2R — ехрГ- ί (ш + -|Л].
(6.5.20)
Для определения долготы λ через параметры Кейли — Клейна
hx и k2 обратимся к формулам (6.5.8) и (6.5.20). Имеем
λ = — -J- + arg /гх + arg Λ2 - Ш. (6.5.21)
Эта же формула, разумеется, непосредственно следует из соотно-

§ 5. ВЫСОКИЕ ШИРОТЫ. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ 639
шения (6.3.10) и исходного равенства (6.3.1), связывающего
углы ψ и λ.
Составим далее выражение для μ, τ. е. гринвичского азимута
платформы. Подставляя в левую часть равенства (6.5.1)
выражения (6.5.21) для λ и (6.3.12) с учетом формулы (6.3.3) для к,
получаем
μ = " _ 2 arg h2 + Ut. (6.5.22)
К формулам (6.5.21) и (6.5.22), если они приводят к значениям
λ и μ, лежащим вне интервала (0, 2π), относятся точно такие же
замечания, как и к формулам (6.3.10) и (6.3.12).
Наконец, получим формулу для определения радиус-вектора г
стереографической проекции начала системы координат xyz на
плоскость uv. Согласно формулам (6.5.4), (6.5.20) и (6.3.9),
г = | и + iv | = 2R
h
= 2Д'
гг&+т\
(6.5.23)
Однако,
(6.3.7),
согласно третьему тригонометрическому уравнению
ml + ml
1 4- cos θ
cos*
и, кроме того, в силу равенства (6.4.20)
/га? + ига = 1 — (™о + ml) = sin2 -γ
Поэтому формула (6.5.23) приводится к виду
r = 2fllg-J-.
(6.5.24)
(6.5.25)
(6.5.26)
Последнее соотношение непосредственно следует из
геометрического определения стереографической проекции (см. рис. 146)
и может служить проверкой правильности ряда выкладок
настоящего параграфа. Для небольших значений угла θ формулы
(6.5.26) и (6.5.5) практически эквивалентны.
Полученные в этом параграфе формулы универсальны, так как
они справедливы на всей земной сфере — ив средних широтах
и около Северного полюса*. В этом состоит несомненное
преимущество использования в инерциальной навигации параметров
Родрига — Гамильтона.
* Для навигации в Антарктиде следует, как уже указывалось выше,
применять другую стереографическую проекцию земной сферы — из Северного
полюса на плоскость, касающуюся Земли в ее Южном полюсе.

640
ЛИТЕРАТУРА
ЛИТЕРАТУРА
Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. М., «Наука», 1966.
Б ранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах
ориентации твердого тела. М., «Наука», 1973.
Калинович В. М. Про похибки автономного визначення, обумовлет неточ-
ним введениям початкових умов для координат.— Доп. АН УРСР. Сер.
А, 1969, № 6.
Котляков В. Н. Об уравнениях местоположения движущегося объекта.—
ПММ, 1964, т. 28, вып. 6.
Лаврентьев Μ. Α., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного
переменного. М., «Наука», 1965.
Лурье А. И. О теории конечных поворотов твердого тела.— ПММ, 1957,
т. 21, вып. 4.
Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961.
Остромухов Я. Г., Ривкин С. С, Темченко Μ. Ε. Геометрия и кинематика
систем гироскопической стабилизации.— В сб.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М., «Наука», 1973.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 4-е.
М., «Наука», 1974.
Синг Дж. Л. Классическая динамика. М., Физматгиз, 1963.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.—Л., Гостехиздат,
1945.
Темченко Μ. Ε. К задаче автономного определения координат
местоположения объекта посредством использования плоской декартовой системы
координат, стереографически отображенной на сферу, при учете
несферичности Земли.— Изв. АН СССР. МТТ, 1974, № 3.
Hamilton W. R. Lectures on quaternions. Dublin, Hodges and Smith, 1853.
Hamilton W. R. Elements of quaternions. Vol. 1-2. N. Y., Chelsea, 1969.
Ishlinsky A. Yu., Klimov D. M. Some aspects of the solution of the main
problem of inertial navigation.— J. Inst. Navig., 1970, vol. 23, No. 4.
Klein F., Sommerfeld A. Uber die Theorie des Kreisels. H. 1-4, Leipzig —
Berlin, Teubner, 1897/1898—1903/1910.
Korn G., Korn T. Mathematical handbook for scientists and engineers. N. Y.,
e. a. McGraw-Hill, 1968. Рус перев.: Корн Г., Корн Т. Справочник по
математике для научных работников и инженеров. М., «Наука», 1973.
Roberson R. Ε. Kinematical equations for bodies whose rotation is described
by the Euler—Rodrigues parameter.— AIAA Journal, 1968, vol. 6, No. 5.
Рус. перев.: Роберсон Р. Е. Кинематические уравнения для тела,
повороты которого описываются параметрами Эйлера — Родригеса.— Ракетн.
техн. и космонавтика, 1968, т. 6, № 5.
Whittaker Ε. Т. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid
bodies. 3 rd ed. Cambridge, Univ. Press, 1927. Рус. перев: Уиттекер Ε. Τ.
Аналитическая динамика. Μ.—Л., ОНТИ, Глав. регт. техн.-теорет. лит.,
1937.

ПРИЛОЖЕНИЕ
КОНЕЧНЫЙ ПОВОРОТ ТВЕРДОГО ТЕЛА
И ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
В настоящем приложении конечные повороты твердого тела
вокруг неподвижной точки рассматриваются с точки зрения
теории функций комплексного переменного. Известна теорема *,
согласно которой любому конечному повороту твердого тела
можно поставить в соответствие вполне определенное дробно-
линейное преобразование
Параметры а, Ь, с, d этого преобразования с точностью до общего
множителя определяются заданием конечного поворота. В свою
очередь, конечный поворот твердого тела полностью
характеризуется заданием соответствующих параметров а, Ь, с и d. Наконец,
комплексные числа w и w' определяют посредством
стереографической проекции положение конкретных точек твердого тела
соответственно до и после поворота.
Доказательство приведенного выше утверждения излагается
в ряде руководств по аналитической механике. Оно носит
несколько косвенный характер и основывается на геометрических
свойствах преобразования (1). Ниже это утверждение
доказывается прямыми вычислениями и попутно выводятся соотношения
между параметрами α, 6, с и d и параметрами Кейли — Клейна
(и, тем самым, параметрами Родрига — Гамильтона),
встречавшимися выше в основном тексте (см. § 1 главы VI настоящей
книги).
Конечный поворот твердого тела можно задать различными
способами, в частности, тремя углами Эйлера ψ, θ, φ или тремя
углами Эйлера — Крылова α, β, γ (см. соответственно § 5 и § 6
гл. III первой книги). Разумеется, конечный поворот вполне
характеризуется заданием направляющих косинусов /, га, η его
оси в какой-либо неподвижной системе координат ξηζ и угла φ
* Лаврентьев Μ\ Α., Ill а 6 а т Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. М., «Наука», 1965.

642
ПРИЛОЖЕНИЕ
поворота тела вокруг этой оси из исходного положения в
конечное. Заметим, что параметры Родрига — Гамильтона (см. § 3 гл. II
первой книги)
Φ 7 · Φ
Ро = cos -γ , Pi = l sin -γ ,
(2)
ρ2 = m sin -γ-, ρ3 = λ sin -у- ,
удовлетворяющие очевидному тождеству
pl + ρί+ρΙ+ΡΪ-ι, (3)
однозначно определяют угол φ в интервале (0, 2π) и направляющие
косинусы I, т, п. Следовательно, параметры Родрига —
Гамильтона также вполне характеризуют конечный поворот твердого
тела. Этому же могут служить параметры Кейли — Клейна *
(см. § 1 гл. VI настоящей книги), т. е. комплексные числа вида
/i = Pi + Ψ2, /2 = Ро + Фз> (4)
причем, конечно,
ΛΛ + /2/2 = 1. (5)
В дальнейшем будет удобно, однако, исходить из задания
конечного поворота таблицей
(6)
косинусов углов между осями какой-либо системы координат xyz,
связанной с твердым телом, и осями неподвижной системы ξηζ,
с которой система xyz совпадала в исходном положении тела.
Все девять элементов таблицы (6) нельзя задать совершенно
произвольно. Они должны быть действительными числами, в общем
случае, по модулю не большими единицы, и удовлетворять
известным из аналитической геометрии в пространстве шести
независимым друг от друга соотношениям. В качестве таких
соотношений можно взять, в частности, следующие:
#11 ~Ь #12 ~Т #13 = 1,
#21 ~Т #22 ~\~ #23 = 1» (')
#31 ~Г #32 ~Г #33 ~ 1
X
У
ζ
ι
#11
#21
#31
η
^12
#22
#32
ζ
#13
#23
#33
* Заметим, что под параметрами Кейли — Клейна нередко понимают
комплекснозначные величины, по-разному связанные с параметрами Родрига —
Гамильтона. Однако упомянутое различие мало существенно.

ПРИЛОЖЕНИЕ
643
^21^31 "Г ^22^32 ~Т ^23^33 — О,
^31^11 ~Т~ ^32^12 "Г к33к13 = О, (8)
^11^21 "Τ" #12^22 \ ^13^23 == О.
Кроме того, детерминант
I ^11 ^12 ^13
А — /С21 ^22 #23 (")
I ^31 ^32 ^33 I
должен быть непременно положительным *. Нетрудно показать,
что модуль детерминанта (9) равен единице. Достаточно для этой
цели возвести его в квадрат и учесть соотношения (7) и (8).
Из соотношений (7) и (8) можно вывести, как следствие, другие,
аналогичные им, например,
«13 Н~ Л2з ~Г ^зз = 1,
"llAl2 \ ^21^22 \ к31кз2 == О» (Ю)
а также и новые соотношения, которые будут приведены несколько
далее.
Элементы k{j{i,j = 1, 2, 3) таблицы (6) нетрудно выразить
через углы Эйлера ψ, θ, φ или через углы Эйлера — Крылова
α, β, γ. Для этой цели можно воспользоваться таблицами (4.4.20)
и (4.4.21), приведенными в § 4 гл. IV первой книги. Точно
так же, пользуясь таблицей (2.1.24) гл. II первой книги, элементы
kij можно представить в виде функций направляющих косинусов
I, пг, η оси конечного поворота и его угла φ. Наконец,
сопоставление таблицы (6) настоящего приложения и таблицы (2.3.3)
§ 3 гл. II первой книги позволяет установить связь между
элементами к^ и параметрами Родрига — Гамильтона р0, рг, р2, р3-
Соответствующие обратные задачи, т. е. определение углов
Эйлера ψ, θ, φ (или углов Эйлера — Крылова α, β, γ), направляющих
косинусов Ι, τη, η и угла φ или параметров Родрига — Гамильтона
Ро> Pi» Р2> Рз по заданным элементам кц таблицы (6) несравненно
сложнее. Для решения таких задач можно воспользоваться
методом, указанным для аналогичных случаев в конце § 2 гл. VI
настоящей книги.
Перейдем теперь к разъяснению смысла комплексных величин
w иш', входящих в формулу дробно-линейного преобразования (1).
* В противном случае система координат xyz, построенная в
соответствии с таблицей (6), окажется левой, если система ξηζ была правой. В
трехмерном пространстве подобное угловое перемещение абсолютно твердого тела
невозможно.

644
ПРИЛОЖЕНИЕ
Возьмем совокупность точек твердого тела, расположенных на
одной и той же полупрямой, жестко связанной с телом и
исходящей из его неподвижной точки — начала системы координат ξη ζ.
Очевидно, что положение упомянутых точек относительно
системы ξηζ вполне определяется, если известно расположение одной
из них относительно той же системы. Поэтому о перемещении
всех точек твердого тела в результате его конечного поворота
можно судить по изменению положения тех из них, которые
расположены, например, на расстоянии, равном единице от начала
системы координат ξηζ. Возьмем какую-либо из таких точек.
Обозначим через Μ ее расположение при исходном и через М' —
при конечном положениях твердого тела. Через ξ, η и ζ обозначим
координаты точки Μ в системе координат ξηζ, которую будем
считать неподвижной. Соответственно обозначим через х, г/, ζ
координаты точки М' в системе координат xyz, жестко связанной
с твердым телом. В исходном положении тела оси систем
координат xyz и ξη ζ соответственно совпадают друг с другом, а точка М'
занимает положение М. Поэтому, каково бы ни было дальнейшее
положение тела, всегда имеют место равенства
х = I, У = Ή, ζ = ζ. (И)
Обозначим далее через ξ', η', ζ' координаты точки Μ' в
неподвижной системе координат после свершения конечного поворота,
характеризуемого таблицей косинусов (6). Координаты ξ', η', ζ'
в общем случае, разумеется, отличаются от исходных значений
ξ, η, ζ и, как нетрудно видеть, представляются формулами типа
ξ' = χ cos x\ + у cos г/ξ + ζ cos ζξ. (12)
Учитывая теперь равенства (11), а также обозначения косинусов
углов между осями систем координат xyz и ξηζ в таблице (6),
получаем
I' = kill + #2ΐη + &3ΐζ,
η' = #12 ξ + &22Л + #32 ζ, (13)
ζ' = Α18£ + к2зП + &зз£-
Формулы (13) связывают начальные и конечные координаты одной
и той же точки твердого тела в результате конечного поворота,
заданного таблицей (6).
Поставим теперь в соответствие начальному положению
выбранной точки Μ твердого тела точку W плоскости ξη посредством
следующего геометрического построения (рис. 151). Из точки S,
расположенной на отрицательной части оси ζ на расстоянии,
равном единице от начала координат, проведем через точку Μ
прямую. Эта прямая пересечет координатную плоскость ξη в точке,

ПРИЛОЖЕНИЕ
645
Рис. 151
Рис. 152
которую и обозначим через W. Очевидно, что точка W является
стереографической проекцией * из полюса S точки Μ сферы
единичного радиуса
на плоскость
ξ2 + η2 + ζ2 = 1
ζ = ο.
(14)
(15)
Используя простейшие геометрические построения (рис. 152)
и теоремы подобия треугольников, нетрудно получить формулы
ξ „_ η
ι + ε
ν =
i + Ь
(16)
для координат и и ν точки W в плоской системе координат ξη.
Очевидно, что комплексное количество
(17)
W
IV
полностью определяет координаты точки Μ на сфере. В самом
деле, формулы (16) вместе с соотношением (14) составляют
совокупность трех уравнений с тремя неизвестными ξ, η и ζ, из которых
* Только что описанная стереографическая проекция несущественно
отличается от приведенной в § 5 гл. VI настоящей книги. Последняя является
стереографической проекцией земной сферы из ее Южного полюса на плоскость,
касающуюся сферы в Северном полюсе.

646
ПРИЛОЖЕНИЕ
следуют равенства
I = и (1 + ζ), η = * (1 + ζ) (18)
и квадратное уравнение
(ц2 + νη (1 + ζ)8 + S" = Ι- (19)
Последнее всегда имеет корень ζ =—1. Его, однако, следует
отбросить. В самом деле, при ζ = — 1 переменные величины ξ и η,
согласно равенствам (18), равны нулю при любых заданных
конечных значениях и и г?, что в общем случае неверно. Другой корень
уравнения (19) имеет вид
Г 1-й2—ν2 /9П.
Подставляя полученное значение ζ в равенства (18), имеем
ь = ι _(_ М2 _j_ г;2 » Л = ι _|_ U2 _j_ ^ · \^Ч
Формулы (20) и (21) однозначно выражают координаты ξ, η, ζ
точки Μ через координаты и и ν точки W. Естественно, что факт
взаимного однозначного соответствия точек Μ и W совершенно
ясен с геометрической точки зрения (см. рис. 151). При этом, если
точка М, расположенная на сфере, неограниченно приближается
к полюсу Р, т. е. к точке с координатами ξ = η = 0, ζ = — 1,
то точка W, оставаясь в координатной плоскости ξη, удаляется
в бесконечность. Тем самым естественно принять, что
стереографической проекцией полюса Ρ является бесконечно удаленная точка
комплексной плоскости (w = и + w = оо).
Построим теперь стереографическую проекцию точки М' на
ту же плоскость (15) и обозначим ее через W'. Аналогично
формулам (16) имеем для координат и' и г/ точки W на плоскости ξη
выражения
И' = ТТГ· y' = W' (22)
где ξ', η', ζ', как и выше,— координаты точки М' в неподвижной
системе ξηζ, причем, аналогично соотношению (14),
ξ'2+η'2 + ζ'2 = 1. (23)
Образуем комплексное количество
w' = и' + ίν\ (24)
которое, в свою очередь, однозначно определяет координаты ξ',
η', ζ' точки Μ' посредством формул вида (20) и (21).

ПРИЛОЖЕНИЕ
647
Подобно тому, как каждой совокупности координат ξ, η, ζ
точки Μ, согласно формулам (13), соответствует определенная
совокупность координат |', η', ζ' точки Μ', каждому
комплексному числу w может быть поставлено в соответствие комплексное
число ιυ'. Упомянутая в начале настоящего приложения теорема
содержит утверждение, что w', рассматриваемое как комплексное
переменное, является аналитической функцией комплексного
аргумента w вида (1), т. е. дробно-линейной функцией. При этом
параметры α, δ, с и d не зависят от координат ξ, η, ζ исходного
положения выбранной точки Μ твердого тела, а полностью
определяются величинами, характеризующими заданный конечный
поворот, например, элементами к^ таблицы (6), параметрами
Родрига — Гамильтона р0, рг, р2, р3, углами Эйлера ψ, θ, φ или
какими-либо другими величинами.
Теорема будет доказана, если равенство (1) обратится в
тождество при осуществлении следующих действий. Величины w
и w' в нем заменяются выражениями
?л-1±Л ,«'~il±JI!L (2*Л
w - Ύ+Γ ' 1 + ζ' ' ( '
следующими из формул (17) и (16), (24) и (22). Затем вместо
координат ξ', η', ζ' подставляются правые части формул (13). Далее
параметры а, Ъ, с и d подбираются такими, чтобы указанным
образом преобразованное равенство (1) обратилось бы в тождество
при любых значениях координат ξ, η, ζ, удовлетворяющих
условию (14). Очевидно, что в этом случае исходное равенство (1)
будет справедливо для любых пар количеств w и w'', относящихся
к данному конечному повороту. Оно оказывается тем самым
эквивалентным формулам (13), позволяющим по заданным
исходным координатам ξ, η, ζ какой-либо точки твердого тела
определить координаты ξ', η', ζ' ее конечного положения после
завершения заданного конечного поворота.
Обратимся теперь непосредственно к доказательству теоремы.
Прежде всего заметим, что при с = 0 соотношение (1) между
w и w сводится к простому линейному соотношению
™'=ΊΓ™ + -ΊΓ· (26)
Оставляя пока в стороне этот частный случай *, примем, что
параметр с отличен от нуля. Тогда, не уменьшая общности, можно
* Доказательство теоремы для случая с = 0 приводится в конце
настоящего приложения. Он соответствует конечному вращению твердого тела
вокруг оси ζ, перпендикулярной плоскости стереографической проекции,
причем параметр Ъ оказывается равным нулю.

648
ПРИЛОЖЕНИЕ
принять в последующих выкладках
с = 1. (27)
Теперь, учитывая равенство (27), представим предполагаемое
соотношение (1) в виде
ww + dw' — aw— b = 0. (28)
Подставляя сюда выражения (25) для w и и/, получим
(Г + Щ'Ш + Щ) + d (I' + ίη')(1 + ζ) - а (1 + ζ')(ξ + ίη)-
- Ъ (1 + ζ')(1 + ζ) = 0. (29)
Заменяя координаты ξ', η', ζ' правыми частями формул (13), имеем
[ки1 + k21r\ + k31l+ i (k12l + Λ22η + Α32ζ)](ξ + ίτ1 + d + d£) —
- (1 + h3l + к23ц + Λ33ζ) la (| + ίη) + b (1 + ζ)] = 0, (30)
что можно представить в виде
ΑΙ? + 5ξη + Cv? + ϋζ*+ΡΙζ+ Qi\l+Ll + Мл\ + Νζ - Ъ = 0.
(31)
Здесь
А
Б
С
D
Ρ
Q
L
Μ
Ν
=
=
=
=
=
=
=
=
*u +
^12 ^13^?'
i (kn + ik12) +
* ("-21 ~b ik22) —
(*si +
(*u +
(*n +
(*u +
(*n +
= (*si +
ik32)d —
i/c12)d +
i/c22)d +
i/c12)d —
ik22)d —
ik32)d —
#21 ~r ^#22
23 >
A33b,
/c3i -f- £/c32
* (^3i + ^32)
α — &13&,
Ш — #23^ J
• (&33 + l)b.
i (&i3 -
k33a —
^/c32
— ik23)a,
■ k13b,
ta — k23b
Соотношение (31) содержит 9 величин — А, В, С, D, P, Q, L,
Μ, Ν, зависящих от параметров α, &, с, d и от 9 элементов /ci;·
(i, / = 1, 2, 3) таблицы (6). В соответствии с изложенным выше,
доказательство теоремы сводится к установлению справедливости
следующего утверждения. Параметры а, Ъ и d при заданных
элементах таблицы (6) можно выбрать так, чтобы соотношение (31)
выполнялось при произвольных значениях координат ξ, η, ζ,
подчиненных лишь условию (14). Покажем, что это возможно.
Вначале выясним, каковы должны быть величины А, В, С,
D, Р, Qy L, Μ, Ν, чтобы соотношение (31) было справедливо для

ПРИЛОЖЕНИЕ
649
некоторых частных значений координат ξ, η, ζ, удовлетворяющих
условию (14). Так, полагая последовательно η — ζ = 0, ξ = ±1
и ζ — ξ = 0, η = ± 1, убеждаемся, что величины A, L, С и Μ
должны удовлетворять четырем уравнениям
A ±L—b = 0, С ±М - 6 = 0. (33)
Из уравнений (33) немедленно следует, что
А = С = Ь, L = Μ = 0, (34)
после чего соотношение (31) принимает вид
В1ц + Όζ* + PU + ρηζ + Νζ - 6 (1 - ξ2 - η2) = 0. (35)
Полагая здесь % = η = l/j/2, ζ = 0, получаем
5-0. (36)
Это же, впрочем, следует и из первой цепочки равенств (34)
так как, согласно выражениям (32),
В = i {A - С). (37)
Если же в соотношении (35) с учетом равенства (36) положить
η = 0, ζ = 1/~|/~2, ξ = zfc l/V~2, то придем еще к двум уравнениям
D ±Р + NY2 - 6-0, (38)
откуда
Ρ = 0 (39)
и
Л = 6 — JV 1/2". (40)
Аналогично, принимая в том же соотношении (35) ξ = 0,
ζ = — 1/"|/2", η = ± 1/1^2, получим)
Д ± ρ-ΛΓΙ/Τ- 6 = 0, (41)
вследствие чего
Q = 0 (42)
и
д = δ + ΝΥ2. (43)
Сопоставление равенств (40) и (43) приводит к выводу, что
N = 0 (44)
и, кроме того,
D = Ъ. (45)

650
ПРИЛОЖЕНИЕ
С учетом формул (34), (36), (39), (42), (44) и (45)
соотношение (35), а следовательно, и исходное соотношение (31)
приводятся к виду
Ъ (ξ2 + η2 + ζ2 - 1) = 0. (46)
Однако последнее равенство тождественно удовлетворяется при
всех значениях ξ, η, ζ, подчиненных условию (14).
Таким образом, соотношение (31) обратится в тождество, если
параметры а, Ъ и d можно будет подобрать так, чтобы
одновременно удовлетворялись уравнения
А = С = D = Ь, (47)
B=P = Q = L = M=N = 0,
где А, В, С, D, Р, Q, L, M, iVпредставляются выражениями (32).
Можно указать и иной путь получения уравнений (47). С учетом
условия (14) соотношение (31) преобразуется к виду
(А - D)? + 5ξη + (С - D)rf + £ξ + Μη + £-6 =
= -(Pl + Qn + АО ζ. (48)
Возводя обе части последнего равенства в квадрат и вновь
используя условие (14), получим
{{А - Ζ>)|2 + 5ξη + (С - Ζ>)η2 + Ч + Мц + D - δ]2 =
= (Р\ + <?η + JV)2(1 - ξ2 - η2). (49)
Соотношение (49) уже не содержит ζ. Оно окажется тождеством
по отношению к переменным ξ и η, если будут равны
коэффициенты при одинаковых одночленах его левой и правой частей.
Приравнивая эти коэффициенты, нетрудно получить пятнадцать
уравнений, из которых независимыми оказываются только
девять. Решая последние относительно девяти неизвестных
величин А, В, С, D, Р, Q, L, Μ и Ν, приходим снова к равенствам
(47), которые, в свою очередь, являются уравнениями для
определения параметров дробно-линейного преобразования а, Ъ и d.
Число уравнений (47) втрое превышает число искомых
неизвестных а, Ъ и d. Тем не менее задача об отыскании параметров
а, Ъ и d допускает решение и притом единственное. Выше уже было
показано, что уравнение В = 0 является в силу равенства (37),
следствием уравнений А — Ъ и С = Ь. Следовательно, из
совокупности (47) его можно выбросить. Далее можно изъять уравнение
N = 0, так как, в силу четвертого и девятого равенств (32),
N = D - 6,
(50)

ПРИЛОЖЕНИЕ
651
а, согласно уравнениям (47), D = δ. Наконец, из тех же равенств
(32) имеем
Ρ — L = к31 + ik32 — (А88 — 1)я (51)
и, кроме того,
Q _ Μ = i (Asl + ik32) - i (£33 - \)a. (52)
Следовательно,
Q - Μ = i(P - L) (53)
и одно из уравнений (47) Ρ = О, Q = О, L = 0 или Μ = 0 тоже
лишнее. Можно, однако, поступить и так — отбросить сразу два
уравнения Ρ = 0 и @ = 0, но ввести новое
Α3ι + *А32 — (^зз — 1)« = 0· (54)
В самом деле, пусть наряду с равенствами (34), согласно которым
L = Μ — 0, справедливо также соотношение (54). Тогда в силу
равенств (51) и (52) обращаются в нуль выражения Ρ и Q, т. е.
удовлетворяются уравнения (39) и (42).
Таким образом, девять уравнений (47) для трех неизвестных
a, b и d приводятся пока к шести — к уравнению (54) и уравнениям
А =Ь, С = δ, D = δ, L = О, Μ = 0. (55)
Подставим в уравнения (55) выражения (32) для А, С, D, L и М.
Получим те же шесть уравнений в следующей развернутой форме:
/еп + ^А12 -
& (^21 ~Ь ik22) —
(к31 + ik32)d —
(Au+ i£12)d -
(/с21 + ik22)d -
"-31 ~Т~ ^32
— &13α — δ
- ik23a — δ
(*зз + 1)δ
— α — Α13δ
-га — Α23δ
(Азз — !)«
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
Входящие в эти уравнения девять элементов кц таблицы (6),
как уже отмечалось выше, связаны друг с другом шестью
соотношениями (7) и (8) или другими, им эквивалентными. В остальном
все они, за исключением элемента А33, могут быть какими угодно.
Элемент к33 в уравнениях (56) не должен полагаться равным
единице. В самом деле, при равенстве элемента к33 единице и, как
следствие, в силу соотношений (7) и (10), обращении
элементов А13, А23, к31 и к32 в нуль, совокупность уравнений (56)
становится несовместной (параметр δ должен равняться одновременно
трем различным значениям); заметим, что при &33 =—1 та же
совокупность совместна. Причина, почему в совокупности уравнений (56)

652
ПРИЛОЖЕНИЕ
нельзя положить к33 = 1, заключается в следующем. Равенство
&зз = 1 имеет место лишь при конечном повороте твердого тела
вокруг жестко связанной с ним оси ζ, совпадающей с осью ζ
неподвижной системы координат ξηζ. Этому повороту, как уже
указывалось выше, нельзя поставить в соответствие
дробно-линейное преобразование (1) с параметром с, отличным от нуля, и
надлежит непосредственно обратиться к частному виду (26) этого
преобразования (см. далее конец настоящего приложения).
Уравнения (56) распадаются по своей структуре на две
группы, которые можно представить следующим образом:
к13а -\- Ъ = к±1 -)- ik12,
к23а — ib = к21 + ik22, (57)
(^33 — 1)α ~ ^31 + ^32
и
а + к13Ъ — (/сп + ik12)d = О,
ia + к23Ъ — (к21 -f ik22)d = 0, (58)
(Λ88 + 1)6 - (Asl + ik32)d = 0.
Первая группа содержит три неоднородных линейных
уравнения с двумя неизвестными α и δ. Детерминант, составленный из
коэффициентов при неизвестных и правых частей этой
совокупности уравнений, а именно
Δι =
^13
^23
зз— 1
1
— i
0
/Сц + ^12
^21 ~f~ ^22
к31 -f- ik32
(59)
как будет показано несколько ниже, равен нулю. Вместе с тем,
как нетрудно видеть, все миноры второго порядка, стоящие в его
первых двух столбцах, отличны от нуля. В самом деле, элемент Α·33
в уравнениях (57) и (58) отличен от единицы. Рассмотрим также
отдельно от излагаемого непосредственно ниже и случай к33 = — 1.
Тогда, при к33 Φ + 1 в силу соотношений (7) хотя бы один из
элементов к13 или &23 не равен нулю. Поэтому совокупность трех
уравнений (57) совместна, и любое из них является следствием двух
остальных. Последнее из уравнений (57) позволяет сразу
определить параметр а. Имеем,
&31 + Ϊ&32
ι — Ι
(60)
Теперь параметр Ъ можно определить либо из первого, либо из
второго уравнения (57). Однако дальнейшие выкладки
оказываются более простыми, если применить следующий прием.
Умножим левые и правые части уравнений (57) последовательно на

ПРИЛОЖЕНИЕ
653
&i3> &2з> ^зз» после чего раздельно сложим их и результаты
приравняем друг другу. Учитывая соотношения типа (10) между
элементами kij таблицы (6), получаем
(1 — к33)а + (А18 — ik23)b = 0, (61)
откуда, принимая во внимание формулу (60), имеем
Ъ = ы + **»' . (62)
Вторая группа равенств (57) — (58) содержит три однородных
линейных уравнения относительно трех неизвестных а, Ь и d.
Детерминант совокупности этих уравнений
I 1 А13 кп + ik12 1
Δ2 = (—1) i к23 k2i + ik22 (63)
I 0 &зз+1 k31 + it02 J
близок по своей структуре к детерминанту Аг и также
(доказательство см. ниже) оказывается равным нулю. По аналогичной
причине не равны нулю миноры второго порядка, которые
состоят из элементов первого и второго столбцов детерминанта (63).
Поэтому совокупность уравнений (58) допускает решения,
отличные от тривиального (а = Ъ = d = 0), и каждое из уравнений (58)
следует из двух других. Из третьего уравнения (58) с учетом
формулы (62) приходим к следующему выражению для параметра d:
d= J^ + l ■ (64)
к 1з — глаз х '
Сделанные замечания о равенстве нулю детерминантов Δχ
и Δ2 и об отличии от нуля ряда их миноров сокращают число
уравнений для неизвестных а, Ь и d с шести до четырех. Однако
на самом деле независимых уравнений в совокупности (56), как
и следовало ожидать, лишь три. Чтобы это показать, составим
новое уравнение, которое, с одной стороны, является следствием
трех уравнений (58), а с другой — совпадает с уравнением (61).
Последнее же является следствием трех уравнений (57). Тем самым
оказывается лишним еще одно из уравнений — либо группы (57),
либо (58), и сделанное предположение оправдывается. Для
доказательства этого утверждения поступим так. Левые части
уравнений (58) последовательно помножим на /с13, к23, к33 и сложим
их. Учитывая соотношения типа (10), придем к уравнению
(к13 + ik23)a -f (1 + к33)Ъ = 0. (65)
Уравнения (61) и (65) идентичны, так как имеет место пропорция
1 — /сзз &1з — г/сгз /ββ\
fcl3 + ^23 "~~ 1 + /СЗЗ ' * '

654
ПРИЛОЖЕНИЕ
эквивалентная очевидному равенству типа (10)
AL+ Λ&+ *& = !. (67)
Докажем теперь равенство нулю детерминантов (59) и (63). Имеем
Аг = ΐ (^11 ^22^33 ~Ь ^23^32) — * (^22 — ^11^33 Н~ ^13^3l) ~Ь
4" (^12 + ^21^33 — ^23^3l) — (^21 + ^12^33 — "Чз^Зг)· (68)
Аналогично можно прийти к следующему равенству:
Δ2 = £ (Кц ^22^33 ~"Ь ^23^32) ~"Ь ^ (^22 — ^11^33 4" ^13^31/ ~"Ь
+ (^12 + ^21^33 — ^23^3l) + (^21 Ί ^12^33 — ^13^32)· (69)
Однако, каждое из выражений, содержащихся в круглых скобках
в правых частях равенств (68) и (69) порознь равно нулю.
Убедимся в этом на примере первой и третьей скобок правой части
равенства (68) или, что то же, (69). Для этой цели составим следующие
три очевидные соотношения типа (7) и (8):
^11^11 + ^12^12 + ^13^13 == 1»
^21^11 + ^22^12 + ^23^13 = 0,
^3]Λΐ1 I %2%2 ~Т~ ^33^13 == U·
(70)
Их можно рассматривать как совокупность трех линейных
алгебраических уравнений с тремя неизвестными /сп, /с12 и /с13,
детерминант которой Δ имеет вид (9) и, как указывалось выше, равен
единице. Поэтому имеем, в частности,
клл —
Αΐ9. = -г-
1 кп
U /С22
0 /с32
кп 1
Α,ι 0
к31 0
&13
^23
#33
&13
^23
^33
— #22^33— ^23^32?
= — (^21^33 ^2
(71)
откуда и следует обращение в нуль только что упомянутых
выражений, находящихся в круглых скобках в равенствах (68) и (69).
Подобным же образом можно убедиться, что равны нулю и
остальные аналогичные выражения. Тем самым доказано равенство нулю
детерминантов Δχ и Δ2. Как следствие, можно считать доказанной
и саму теорему, сформулированную в начале настоящего
приложения для случая, когда в формуле (1) параметр с отличен от нуля»

ПРИЛОЖЕНИЕ
655
Можно также проверить, что выражения (60), (62) и (64) для
величин а, Ъ и d при/с33=^= ±1 удовлетворяют всем уравнениям (56).
Несколько особняком стоит случай, когда элемент к33
таблицы (6) задается равным отрицательной единице (к33 = —1).
В этом случае, как и при к33 = 1 элементы /с13, /с23, ^31 и ^32 по
тем же причинам обращаются в нуль. Указанный случай имеет
место, например, при повороте твердого тела на угол π вокруг
оси х, совпадающей с неподвижной осью ξ.
Приведенный только что вывод формул для параметров а, Ъ
и d оказывается теперь неправомочным, вследствие чего надлежит
непосредственно обратиться к уравнениям (57) и (58). Нетрудно
проверить, что в отличие от случая к33 = 1, эти уравнения
оказываются совместными. Параметры and получаются равными
нулю, а параметр Ъ — комплексному количеству кп + i/c12,
которое в случае к33 = —1 одновременно равно количеству —yfc22 +£/c21.
Перейдем теперь к представлению величин a, b, d через
параметры Родрига — Гамильтона (2) и далее через параметры Кейли—
Клейна (4). Величины косинусов углов между осями систем
координат, как известно, можно выразить через параметры
Родрига — Гамильтона, характеризующие конечный поворот от одной
системы к другой. Воспользуемся таблицей (2.3.3) § 3 гл. II
первой книги (поменяв обозначения х%, г/*, z% на ξ, η, ζ). Имеем
Ι η ζ
χ 2ρ\-\-2ρΙ — 1 2ρ1ρ2+2ρ0ρ3 2ρ1ρ3—2ρ0ρ2
У 2>ΡιΡ2 — %РоРз 2Ρ2 + 2ρ0 — 1 2ρ2ρ3 + ΖροΡι
2 ZpiPs + %ΡοΡ<ι 2ρ2ρ3 — 2ρ0ρλ 1ρ\ + 2ρΙ— 1.
Заменим теперь, сопоставляя таблицы (6) и (72), элементы
/t3i, &32, к33 в формуле (60) для величины а их представлениями
через параметры Родрига — Гамильтона. Получим
„ _ Р*Р* + Р°Р* + ь (р*р* — Р°Р^ __ ι Р° + ^3 /73>
т — /. по V /
Проделаем аналогичные выкладки в правой части формулы (62).
Имеем
Ъ = Р1Рз ~^~ Р°Р2 ~f"i (р2Рз ~" ^0/^ = ρι ~^~ίρ2 пах
р\рг — ρορι — i (рърз + ρορί) j"i — i/?2 * '
И, наконец, обращаясь к формуле (64), приходим к следующему
выражению для величины d:
d = pI + pI illz^. (75)
ριΡ3 — PoPi — ι (Р2рз + Po^i) pi —ip2 '

656
ПРИЛОЖЕНИЕ
Подставляя полученные выражения для величин а, Ъ и d в
исходную формулу (1) дробно-линейного преобразования и считая
в ней по-прежнему с = 1, получаем после упрощения
^/ = (Ро + ^з) м? — i (pi + i/*) ,7gv
— i (jt?i — ip2) г£7 + /?o — ij»3 ' ^ '
Введем теперь, аналогично § 1 гл. VI, параметры Кейли —
Клейна
/ι = Pi + Ф2, /2 = Ро + Фз· (77)
Формула дробно-линейного преобразования, соответствующая
конечному повороту твердого тела, заданного параметрами Кейли —
Клейна, оказывается тем самым следующей:
w'= /*l-*ft_ . (78)
— ifiw + /2
Таким образом, в формуле (1) в общем случае, снимая
несущественное условие (27), можно с точностью до произвольного
отличного от нуля постоянного множителя положить
я = /2> b = — ifl9 с = — ifl9 d = /2. (79)
Нетрудно проверить с учетом формул (77) и тождества (3) для
параметров Родрига — Гамильтона, что
ad - be = fj1 + UU = Ро + Ρ? + Ρ22 + pl = 1. (80)
Именно так обычно и нормируются коэффициенты
дробно-линейного преобразования.
Случай, когда коэффициент с равен нулю, остался пока без
внимания. Однако к нему можно перейти, если в формулах (79)
положить
с = — ifx = 0. (81)
В результате формула (78) принимает вид
w' = 4?-w. (82)
/2
Из равенства (81) и второй формулы (77) следует, что
Ρι = Λ = 0. (83)
Поэтому, учитывая выражения (2) для параметров Родрига —
Гамильтона, получаем
/ = т = 0, л = 1, (84)
т. е.
р0 = cos -т|- , р3 = sin -γ- (85)

ПРИЛОЖЕНИЕ
657
и, следовательно,
/2 = cos — + i sin -|-. (86)
После сделанных замечаний формула (82) приводится к виду
w' = и?ехр(кр), (87)
имеющему простое геометрическое толкование. Она соответствует
повороту твердого тела вокруг оси ζ (см. ниже).
Можно, однако, получить формулу (87) прямым путем,
непосредственно исходя из линейного соотношения (26). Для этой цели
следует провести рассуждения, аналогичные тем, которые были
изложены выше для общего случая. Так, заменяя в соотношении
(26) комплексные переменные w и w их выражениями, согласно
формулам (25), имеем, считая для удобства d = 1,
(£' + *η')(1 + ζ) = α (ξ + ίη)(1 + ζ') + b (ί + ζ)(1 + ζ'). (88)
Далее подставим сюда вместо ξΓ, η' и ζ' их представления через
ξ, η и ζ в соответствии с формулами (13). В результате получим
соотношение (88) в следующем виде:
К*11 + **12)ξ + (А21 + ί*22)η + (*31 + ^32)ζ] (1 + ζ) ~
- (αξ + гац + Ъ + 6ζ)(1 + Α18ξ -I- Λ23η + &33ζ). (89)
Оно должно оказаться тождеством по отношению к переменным ξ,
η и ζ, удовлетворяющим условию (14). Соотношения (89) и (31)
имеют одну и ту же структуру. Однако в отличие от формул (32)
теперь следует считать, что
А = — Αΐ3«»
Jl> = — IKy^CL — /^23β,
С/ —■ — '*^2 3 '
Ό == ^31 + ^32 — ^33^5
■Ρ = ^11 4" ^12 — ^33α — ^13^5
Q = ft21 + **22 — ^33« — λ23&, (90)
^ = &11 + ^12 — α — ^13&5
Μ = k21 + iA22 — ία — Κφ,
Ν =. ft31 + iA32 — &33& — δ.
Условия обращения левой части соотношения (31) в тождество,
очевидно, сохраняются и для соотношения (89). Именно, послед-

658
ПРИЛОЖЕНИЕ
нее соотношение сводится к тождеству, если удовлетворяются
все девять уравнений (47), в которых величины А, В, С, D, P, Q,
L, Μ и N представляются выражениями (90).
Однако, в отличие от предыдущего, в данном случае это
невозможно осуществить при любых значениях элементов кц
таблицы (6) и при не равном нулю параметре Ъ. В самом деле, в силу
пятого и седьмого уравнений (47) и обозначений (90), имеем
ρ _ L = (1 — к33)а = 0. (91)
Параметр а в правой части линейного соотношения (26) является
множителем при комплексном переменном w и, разумеется, не
может равняться нулю. Поэтому из уравнения (91) заключаем,
что
к33 = 1. (92)
Однако на основании соотношений типа (7) и (8), которым
удовлетворяют элементы /^ таблицы (6), отсюда немедленно следуют
равенства
^13 — ^2з = ^3i = ^32 — 0. (93)
Тем самым таблица (6) косинусов углов между осями систем
координат xyz и ξηζ принимает вид
(94)
Из тех же соотношений типа (7) и (8), а также равенства
детерминанта (9) единице можно установить соотношения
кп = /С225 &21 == — ^21> ("5)
что ясно и из других соображений. В самом деле, таблица (94)
соответствует повороту тела вокруг оси ζ, совпадающей с осью ζ
системы координат xyz, связанной с телом. Однако таблица
косинусов углов между осями подвижной системы координат xyz и
неподвижной системы ξηζ в этом случае представляется
следующим образом:
X
У
ζ
ё
%1
#21
0
η
^12
/С22
0
ζ
0
0
1.
X
У
ζ
\
cos φ
— sin φ
0
η
sin φ
cos φ
0
ζ
0
0
1.
(96)
Здесь φ — угол поворота системы координат xyz из положения
ξηζ против стрелки часов, если наблюдать за вращением со сто-

ПРИЛОЖЕНИЕ
G59
роны положительного направления оси ζ или, что то же, оси ζ.
Сопоставление таблиц (94) и (96) приводит к тем же соотношениям
(95), которые теперь принимают вид
&U = &22 — cos Ψ> &ΐ2 = — hi = sin ψ· (97)
Вернемся к уравнениям (47), в которых величины А, В, С, D,
Р, Q, L, Μ ηΝ представляются теперь формулами (90). При учете
равенств (92), (93) первые четыре,а также последнее уравнения (47)
сводятся к равенству
Ъ = 0, (98)
после чего остальные уравнения оказываются совпадающими
с двумя следующими
кп + ikn — а = 0, к21 + ^2 — ш = 0. (99)
В силу соотношений (97), последние уравнения эквивалентны
единственному равенству
а = cos φ + i sin φ = exp (ίφ). (100)
Подставляя найденные значения параметров α и δ, согласно
равенствам (98) и (100), в формулу (26) и полагая в ней d = 1,
вновь приходим к простейшему линейному преобразованию (87).
Так как модуль комплексного количества а равен единице, то
линейное преобразование (87) означает поворот в плоскости ξη
радиус-вектора комплексного количества w против стрелки часов
на угол φ без изменения его модуля. Точка W на плоскости ζ — 0
и точка Μ твердого тела, расположенная на единичной сфере
ξ2 + Л2 + ζ2 == 1, лежат на одной прямой, всегда проходящей
через точку S (0, 0, —1) (см. рис. 151). Отсюда также следует,
что функция комплексного переменного (87) соответствует
повороту твердого тела вокруг оси ζ на угол φ.
В заключение заметим следующее. Пусть за одним поворотом
твердого тела, определяемым дробно-линейным преобразованием
(1), следует второй, заданный преобразованием
W" = , , ,, . (101)
Подставляя сюда вместо w его выражение (1) через w, получим
после простых выкладок новое дробно-линейное преобразование
Оно соответствует повороту тела сразу из исходного положения
в конечное, которое оно занимает в результате двух
последовательных поворотов (1) и (101).

660
ПРИЛОЖЕНИЕ
Параметры α", Ъ", с", d" в соотношении (102) выражаются через
параметры а, &, с, d и а', &', с', dr следующим образом:
а" = а! а + Ъ'с,
Ъ" = а'& + 6'd,
с" = <?'а + d'c, (103)
<Г = <?'& + dU
Они удовлетворяют условию нормирования (80), если тому же
условию удовлетворяют параметры а, &, с, d и а', &', с', d'.
Изменение порядка поворотов приводит, как и следовало ожидать,
в общем случае к другим значениям коэффициентов а", Ъ", с", d".
В самом деле, положение тела в результате двух
последовательных поворотов, оси которых не совпадают, оказывается
различным, если эти повороты переставить.
Можно ожидать в дальнейшем развития применения дробно-
линейного преобразования к теории движения твердого тела
вокруг неподвижной точки, в частности, при рассмотрении
конкретных геометрических задач стабилизации и систем инерциаль-
ной навигации.
ЛИТЕРАТУРА
Лаврентьев Μ. Α., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного
переменного. М., «Наука», 1965.
Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Азимут 39, 59, 69
— гринвичский 632
— объекта 107
— платформы 543, 632
Бугель 21
Гироазимут 190, 586
Гировертикант 135, 145
Гирогоризонт 135, 145
Гирогоризонткомпас Геккелера 378,
411
Гирокомпас 47
— апериодический 586
— пространственный 378, 411, 425
Гиронорд 427
Гироскоп направления 190, 586
Гиросфера 47, 411, 412
Гиротахометр 345
Гироширот 426
Движение оси ротора прецессион-
ное 353
— прецессионное 391
— рамы квазинеголономное 197
— типа нутаций 450
Девиация компаса 50
— — курсовая 50
— — скоростная 50, 427
Детерминант Вронского 623
Дифферент корабля 12, 16, 32, 81
— — гирокомпасный 54
— объекта 105, 128
Задача динамики основная 294
Закон динамики основной 288
— независимости действия сил 289
— упругой силы 292
Индекс «немой» 255, 274
Интегратор гироскопический
кажущихся ускорений 432, 519
Кватерниона часть векторная 92
— — действительная 595
— — мнимая 595
— — скалярная 92
Кватернионов произведение 91, 100
— свойство ассоциативности
произведения 97
Кватернионы 91
Компрессия 335
Координаты квазигеографические
631
Коррекция механическая 399
— сильная 112, 186, 586
— электрическая 399
Коэффициент запаса устойчивости
489
Крен гирокомпасный 54
— корабля 12, 15, 32
— объекта 105, 128
— самолета 13
Крутизна характеристики момента
226, 408, 484
Курс корабля 13, 20, 32, 39
гирокомпасный 52
гирокомпасный истинный 50, 53
— объекта 105, 128
Линия физического маятника 314,
536
Матрица единичная 179, 272
— конечного поворота 173, 597
— координатная 271
— «нулевого» поворота 179
— столбец 272, 273
— строка 273
— транспонированная 181, 271, 273
— углового перемещения 177
Маятник Бойкова 534
— Шулера — Булгакова 278
— Шулера гироскопический 389
— — невозмущаемый 278, 389
физический 277, 322
— — физический невозмущаемый
277, 306, 312
Мера телесного угла 190, 210, 214,
231, 243

662
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Момент инерции приведенный 488
— гироскопический 342, 344
— кинетический собственный 186,
218, 321, 3d7, 349
— стабилизирующий 186
Мощность сил виртуальная 369, 370
Направление отсчетное 106
Нутация 353
Ньютонометр 516
— одноосный 518, 519
Ось визира оптическая 69
— чувствительности ньютонометра
518
Ошибка азимутальная 59
— гирокомпаса квазикарданова 56
— гирокомпаса скоростная 427
— карданова 21
— курсовая 108, 119, 126
— начальной установки платформы
528
— ньютонометра «статическая» 534
Параметры Кейли — Клейна 103,
603, 642, 655
— Родрига — Гамильтона 87, 595,
642
Перемещение угловое первого рода
151, 163, 177
второго рода 152, 179
Период Шулера 430, 530
Плоскость внутреннего кольца
срединная 356
Подвес бикарданов 21
— карданов 12
«Поклон волчка» 109, 375
Порог устойчивости 489
Правило Жуковского 345
Преобразование дробно-линейное
641
Прибор курсовой 105
Принцип относительности Галилея
283
Проекция стереографическая 632,
645
Пружина «гироскопическая» 504
Псевдосилы 300, 302
Радиус кривизны геодезический 577
Рама двухгироскопная 196
Рассогласование азимутальное 39
Рыскание корабля 14, 216
Связь кинематическая 197
— неголономная 186, 189, 192, 203,
211
Связи геометрические 185
— дифференциальные 196, 203
— квазинеголономные 186, 196, 197
Сепаратриса 454
Сила «вязкого» сопротивления 507
— «искусственная» 507
— центростремительная 290
Силы естественные 284, 288
Силы инерции даламберовы 284, 285,
367
— — кориолисовы 295, 304, 307
переносные 295, 300, 304, 307
— — эйлеровы 284, 302
— физические 284, 288
Система координат (отсчета)
«абсолютная» 283, 295, 306
— — астатическая 337
галилеева 283, 295, 301
— — географическая 14, 543
— — гринвичская 543
инерциальная 283, 284, 295,
301
опорная 392, 400
— — падающая 303, 305
— — расчетная 393, 400
— — увлекаемая или
сопутствующая 334
— инерциальной навигации,
«свободная в азимуте» 570
Системы инерциальные 515, 542
Скорость кажущаяся 572
— космическая первая 291, 530
— обхода угловая 389
— угловая абсолютная 298, 360
— физического маятника видимая
угловая 319
Согласование шкал 36
Соотношения квазинеголономных
связей 186
Сопротивление «вязкое» 507
Стабилизация гироскопическая
косвенная 482
— индикаторная 482
— непосредственная 482
— платформы абсолютная 225
— силовая 482
Сфера гирокомпаса следящая 47
— невращающаяся 306, 378, 419
Схема Кофмана — Левенталя 520
Таблица углового перемещения
первого рода 156
— — — второго рода 158
Тангаж самолета 13
— объекта 139

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
663
Теорема конечных вращений 550
— о телесном угле 11.
— Шаля 164
— Штейнера 328
Точки фазовые 452
Траектория фазовая 452
Трехгранник Дарбу 309
естественный 383, 420, 577
Угол азимутального
рассогласования 39
— бортовой качки 23
— возвышения 59, 69
— вращения 139, 143
— дрейфа 427
— килевой качки 23
— курсовой объекта 130
— разведения гироскопов 414, 582
— скоса объекта 139, 147
— собственного вращения ротора
356
Углы Эйлера классические 153, 161,
224, 315, 332, 609
— Эйлера — Крылова 152, 162, 224,
333, 421, 546, 604
Уравнения Булгакова 338
— гироскопические 336
— нутационные 441
— основной задачи инерциальной
навигации 545
— прецессионной теории
гироскопов 185, 441
— элементарной теории гироскопов
185, 349
Уравнения Эйлера движения
твердого тела динамические 330
— — кинематические 315, 331
— — модифицированные 336, 337,
340, 348
Ускорение «абсолютное» 296
— кажущееся 516,522, 554
— кориолисово 295, 299, 300
— относительное 296, 297
— переносное 295, 297, 299
— силы тяготения 303, 516, 525, 559
Условие Шулера 388
Установка объекта угловая 105
— — «нулевая» угловая 114
Уход угловой платформы
систематический 239, 242
Формула гироскопического момента
344
— Грина 194
— Магнуса 468
— Магнуса уточненная 475 v
Формулы Эйлера 309, 600
Циркуляция правая 13
Частота Шулера 388, 429, 530, 566
Черта курсовая 13, 39, 217
Числа гиперкомплексные 91
Широта геоцентрическая 543
Элемент гирокомпаса
чувствительный 47

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Андреев В. Д. 280, 328, 437, 510,
519, 541, 571, 590, 640
Андронов А. А. 354, 437, 510
Ампер А. М. 284
Бахвалов Н. С. 473
Бежко А. П. 103
Баттин Р. X. 592
Белецкий В. В. 331, 437
Белобородый В. С. 184
Бесекерский В. А. 506, 510
Благовещенский С. Н. 73
Блюмин Г. Д. 437, 439
БлюминИ.Д. 280, 328,437, 510, 511,
590
Богацкая И. Г. 437
Боголюбов Η. Η. 511
Боданский Е. Д. 250
Бойков И. М. 279, 534, 541
Бойчук О. Ф. 396, 399, 548, 571,
586, 590
Борзов В. И. 510
Борисепок И. Т. 488
Бородина Р. М. 468
Бранец В. Н. 97, 103, 250, 640
Броксмейер Ч. Ф. 184, 592
Брюно А. Д. 468
Будняцкий И. М. 510
Булгаков Б. В. 5, 278, 280, 306, 328,
337, 379, 411, 437, 510, 521, 541,
544, 590
Бунатян Л. А. 510
Бутенин Н. В. 510
Бухгольц Η. Η. 164, 348
Валеев Г. К. 482
Ван Дань-джи 500
Василенко В. П. 510, 590
Виноградов И. М. 607
Вирт Э. В. 396
Витт А. А. 354, 437, 510
Вудбери Р. Б. 592
Галилей Г. 283, 286, 287, 288, 301,
302, 328
Ганкель Г. 103
Гантмахер Ф. Р. 184, 273
Гамильтон В. Р. 104, 640
Геккелер И. В. 74, 378, 390, 391,
411, 420, 439
Говорка Дж. 592
Голубев В. В. 331, 437, 510
Горенштейн И. А. 541, 590
Граммель Р. 439, 513
Грин Дж. 194, 242
Гробов В. А. 103
Гро Л. Р. 592
Гудман Л. Е. 195, 592
Гудстейн Р. 279, 468
Гук Р. 287, 292
Гурса Э. 510
Гюйгенс X. 284, 328
Даламбер Ж. Л. 368
Данилин В. П. 437
Дарбу Г. 227, 309, 329, 547
Двайт Г. Б. 435
Девянин Е. А. 280, 437, 510, 519,
541, 590, 591
Демьяновский А. П. 519, 590
Денхард У. 440, 514
Дрейпер Ч. С. 592
Евгеньев В. С. 184
Жбанов Ю. К. 437, 510, 591, 629
Жуковский Η. Ε. 345
Журавлев В. Ф. 482, 510
Захарин М. И. 591
Захарин Φ. Μ. 591
Захаров Ю. М. 103
Зиненко В. А. 239, 250, 511
Зоммерфельд А. 91, 104, 440, 603,
640
Зубов В. И. 511
Ильин П. А. 437
Ишлинский А. Ю. 73, 103, 184, 192,
195, 250, 280, 291, 305, 325, 328,
336, 353, 378, 432, 437, 483, 493,

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
665
494, 511, 516, 541, 548, 553, 557,
586, 591, 592, 640
Калинович В. Н. 438, 583, 586, 590,
591, 630, 640
Каменский В. С. 632
Кантор И. Л. 103, 250
Каргу Л. И. 438
Кеннон Р. X. 439
Клейн Ф. 91, 104, 440, 603, 640
Клигер Л. И. 591
Климов Д. М. 211, 280, 359, 437,
438, 448, 510, 511, 541, 590, 591,
592, 628, 640
Кондорский И. Д. 438
Кондратьев Л. В. 553, 591
Корн Г. 104, 184, 640
Корн Т. 104, 184, 640
Космодемьянская Г. Н. 511
Кофман Л. М. 280, 521, 541
Коцюба А. В. 103
Кочин Η. Ε. 272
Кошляков В. Н. 420, 437, 438, 547,
590, 591, 596, 640
Крутков Ю. А. 73, 332, 391, 438,
517 541
Крылов А. Н. 73, 332, 391, 438,
517, 541
Крылов Η. Μ. 511
Кудревич Б. И. 73, 74, 438
Кузнецов В. И. 279, 489
Кузовков Н. Т. 74
Курош А. Г. 489, 511
Кучерков С. Г. 103, 250
Лагранж Ж. Л. 391, 395, 446
Лаврентьев М. А. 636, 640, 641,660
Левенталь Е. Б. 280, 521, 541
Лейтон Р. 300, 329
Лестев А. М. 511
Летов А. М. 438
Литвин-Седой М. 3. 184, 438, 541
Лунц Я. Л. 239, 438, 468, 510, 511
Лурье А. И. 88, 103, 104, 281, 329,
547, 550, 591, 598, 603, 640, 660
Люсин Ю. Б. 591
Ляпунов А. М. 548, 591
Магнус К. 74, 279, 440, 463, 468,
470,511, 513
Мак-Клур К. Л. 592
Мак-Миллан В. Д. 440
Малашенко С. В. 396
Малеев П. И. 438
Мартинссен О. 440
Мейман Η. Η. 499
Меркин Д. Р. 250, 354, 438, 511
Метелицын И. И. 354, 395, 438, 511
Мизес Р. 628
Миллер Дж. Е. 592
Назаров Б. И. 250, 512
Немыцкий В. В. 512
Николаи Е. Л. 279, 391, 435, 438,
442, 468, 512
Новиков Л. 3. 437
Новожилов И. В. 250, 354, 438, 500,
512
Носов А. И. 184
Ньютон И. 283, 284, 286, 287, 288
Одинцов А. А. 74, 438
О'Доннел К. Ф. 592
Орлов О. Ф. 437
Остромухов Я. Г. 74, 104, 250, 640
Остряков Η. Η. 5
Павлов В. А. 438
Парусников Н. А. 590, 591, 592
Пельпор Д. С. 74, 439, 512, 519, 541
Питтман Д. М. 305, 329, 592
Плаймель Б. 279, 468
Подобрий Г. М. 184
Понтрягин Л. С. 623, 640
Потапенко В. А. 211, 511
Пуассон С. Д. 446
Рабинович Ю. И. 439, 591
Раушенбах Б. В. 592
Рашевский П. К. 195, 383, 577
Резаль А. 235
Рейш С. 592
Релей Дж. В. 501
Решетников В. И. 251, 512
Ривкин С. С. 74, 104, 184, 439, 640
Ригли У. 440, 514, 592
Риккати Дж. 547
Роберсон Р. Е. 104, 251, 440, 640
Робинсон А. Р. 195, 592
Ройтенберг Я. Н. 74, 279, 411, 439,
488, 490, 510, 512
Румянцев В. В. 512
Сафарян А. С. 541, 591
Сергеев М. А. 437
Синг Дж. Л. 104, 640
Синицин И. Н. 439
Скарборо Дж. Б. 440, 514
Скимель В. Н. 513
Слезкин Л. Н. 437, 439, 500, 511,
513
Сломянский Г. А. 513
Смирнов В. И. 470
Солодовников А. С. 103, 250

666
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Степаненко Н. П. 448, 510, 513
Степанов В. В. 512, 623, 640
Стороженко В. А. 513, 548, 552, 571,
591, 603
Стретт Дж. В. 513
Стюарт Р. 514
Сумароков Н. П. 512
Суслов Г. К. 104, 298, 439
Сэндс М. 300, 329
Темченко Μ. Ε. 74, 104, 250, 396,
399, 510, 513, 571, 592, 603, 640
Тиль А. В. 437
Тимошенко С. П. 501, 513
Тихменев С. С. 329, 437, 513
Ткачев Л. И. 521, 592
Ткаченко А. И. 104, 439
Токарь Ε. Η. 592
Уиттекер Е. Т. 104, 251, 331, 440,
640
Фабрикант Е. А. 506, 510
Фейнман Р. 300, 329
Фокс Ч. 280, 589, 592
Франк Ф. 628
Фриндлендер Г. О. 541
Фуко Л. 295, 329, 431
Фурман В. Д. 250
Хайкин С. Э. 354, 437, 510
X а лимонов В. В. 184
Харламов С. А. 437, 513
Хилл Дж. 531
Холлистер У. 440, 514
Христоф П. 439
Чеботарев Н. Г. 499
Черноусько Ф. Л. 511
Четаев Н. Г. 279, 439, 513
Чехович Г. В. 21
Чичинадзе М. В. 437
Шабат Б. В. 636, 640, 641, 660
Шаль М. 89, 164
Шиф М. А. 439
Шишкин П. Г. 396
Шмыглевский И. П. 97, 103, 250,
640
Штейнер Я. 328
Шулер М. 277, 278, 306, 312, 329,
389, 440
Шульман И. А. 541, 590
Шульман И. Ш. 591
Зйлер Л. 284, 330, 439, 442
Эйнштейн А. 255, 287, 288, 329
Якушенков А. А. 592
Примечание. В. именной указатель не вошло подробное
перечисление имен собственных, многократно встречающихся в сочетании с
математическими и физическими терминами, как то: классические углы Эйлера,
углы Эйлера — Крылова, кинематические и динамические уравнения
Эйлера, параметры Родрига — Гамильтона, параметры Кейли — Клейна,
трехгранник Дарбу, законы Ньютона, частота и период Шулера, а также имен
авторов общеизвестных курсов по механике и математике.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
I
книга
КИНЕМАТИКА
ГИРОСТАБИЛИЗИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
ВВЕДЕНИЕ 9
Г ГЛАВА. ГЕОМЕТРИЯ КАРДАНОВЫХ ПОДВЕСОВ 12
§ 1. Простейший карданов подвес. Определение крена,
дифферента и курса корабля. Карданова ошибка 12
§ 2. Бикарданов подвес 21
§ 3. О взаимном вращении двух стабилизированных
площадок при качке корабля 27
§ 4. Ошибки, возникающие при регистрации крена,
дифферента и курса из-за неточности монтажа кардановых
подвесов 32
§ 5. Геометрические соотношения в системе двух
кардановых подвесов 39
§ 6. Квазикардановы ошибки гироскопического компаса 47
§ 7. Аналитическое определение погрешностей при
измерении азимута и угла возвышения наблюдаемого
объекта из-за неточности горизонтальной стабилизации 59
§ 8. Геометрическое определение ошибок стабилизации
визира посредством теории бесконечно малых вращений
твердого тела 65
Литература 73
II ГЛАВА. КОНЕЧНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 75
§ 1. Аналитический вывод некоторых соотношений в
теории конечных вращений 75
§ 2. Изменение величин крена, дифферента и курса при
конечном повороте корабля вокруг произвольной оси 81
ч/§ 3. Параметры Родрига — Гамильтона и кватернионы 87
§ 4. Применение кватернионов к геометрическим задачам
кардановых подвесов 93
Литература 103

668
ОГЛАВЛЕНИЕ
III ГЛАВА. ОРИЕНТАЦИЯ ОБЪЕКТОВ, УПРАВЛЯЕМЫХ
ГИРОСКОПАМИ
§ 1. Курс объекта при наличии крена и дифферента
§ 2. О курсе объекта, начавшего движение с наклонного
основания
§ 3. О показаниях гироскопического прибора,
измеряющего дифферент объекта
§ 4. Ориентация объекта, управляемого двумя
гироскопами
§ 5. Общий метод составления таблиц косинусов углов
между осями систем координат
§ 6. Об ориентации объекта, стабилизируемого посредством
трех гироскопов
§ 7. Применение матриц к решению геометрических задач
систем стабилизации
Литература
IV ГЛАВА. ОРИЕНТАЦИЯ ОБЪЕКТОВ ПРИ НЕГОЛОНОМНЫХ
СВЯЗЯХ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
§ 1. О квазинеголономном движении одноосного
гироскопического стабилизатора
§ 2. Квазинеголономное движение рамы с двумя разными
гироскопами
§ 3. Проекция угловой скорости корабля на вертикаль и
угловая скорость рыскания
§ 4. Кинематические уходы трехосного гироскопического
стабилизатора
§ 5. Малые движения трехосного гироскопического
стабилизатора
Литература
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ОБРАЗОВ ПОСРЕДСТВОМ МАТРИЦ

ОГЛАВЛЕНИЕ
669
II
книга
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ВВЕДЕНИЕ 277
I ГЛАВА. ОЧЕРК МЕХАНИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 283
§ 1. Относительное движение и силы инерции 283
§ 2. Невозмущаемый физический маятник 306
§ 3. Маятник-гироскоп, ось которого направлена к центру
Земли 317
§ 4. Равновесие физического маятника относительно Земли 322
Литература 328
II ГЛАВА. ПРЕЦЕССИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ 330
§ 1. Модифицированные уравнения Эйлера 330
§ 2. Уравнения прецессионного движения гироскопов 348
§ 3. Гироскоп в кардановом подвесе 360
§ 4. Невозмущаемый гироскопический маятник 378
§ 5. Сложные гироскопические системы 391
§ 6. Гироскопический компас Геккелера 411
§ 7. Гироскопический интегратор 432
Литература 437
III ГЛАВА. НУТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ 441
§ 1. Уравновешенный гироскоп. Точная теория 441
§ 2. Исследование движения гироскопа на фазовой
плоскости 448
§ 3. Интегрирование приближенных уравнений движения.
Формула Магнуса 463
§ 4. Уточнение формулы Магнуса 470
§ 5. Одноосный гироскопический стабилизатор 482
§ 6. Простейший двухосный гироскопический стабилизатор 494
§ 7. Учет упругой податливости элементов гиростабилизатора 501
Литература 510

670
ОГЛАВЛЕНИЕ
IV ГЛАВА. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО
ЭКВАТОРУ И БОЛЬШОМУ КРУГУ НЕВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗЕМЛИ 515
§ 1. Чувствительные элементы инерциальных систем. Ньюто-
нометры 515
§ 2. Схема Кофмана — Левенталя (одноосный вариант) 520
§ 3. Маятник Бойкова с интегрирующим маховиком 534
Литература 541
V ГЛАВА. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ
ДВИЖЕНИИ ОБЪЕКТА ПО ЗЕМНОЙ СФЕРЕ 542
§ 1. Исходные дифференциальные уравнения основной
задачи инерциальной навигации 542
§ 2. Геометрическое рассмотрение вопроса об устойчивости
решения дифференциальных уравнений основной
задачи инерциальной навигации 547
§ 3. Схема инерциальной навигации со стабилизированной
в азимуте платформой 553
§ 4. Инерциальная система с принудительно вращающейся
платформой 570
§ 5. Инерциальные системы гирокомпасного типа 575
§ 6. Схемы инерциальной навигации без ньютонометров 584
Замечание к главам IV и V 590
Литература 590
VI ГЛАВА. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ 593
§ 1. Параметры Родрига — Гамильтона в теории
инерциальной навигации 593
§ 2. Определение углов Эйлера — Крылова по заданным
параметрам Родрига — Гамильтона 604
§ 3. Параметры Родрига — Гамильтона и Кейли —
Клейна, связанные с классическими углами Эйлера, в
теории инерциальной навигации 609
§ 4. Построение общего решения дифференциальных
уравнений инерциальной навигации 620
§ 5. Навигация в высоких широтах. Применение
стереографической проекции 631
Литература 640
ПРИЛОЖЕНИЕ. КОНЕЧНЫЙ ПОВОРОТ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ДРОБНО-
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 641
ПРЕДМЕТНЫЙ^ УКАЗАТЕЛЬ 661
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 66 i

АЛЕКСАНДР ЮЛЬЕВИЧ
ИШЛИНСКИЙ
ОРИЕНТАЦИЯ, |ГИРОСКОПЫ
И ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ
Утверждено к печати
Отделением механики
и процессов управления
Редактор
Μ. Ε. Τ емче! то
Редактор издательства
JO. А. Юдина
Художник
Ю. П. Трапаков
Технический редактор
Э. Л. Нунипа
Корректоры
М. С. Бочарова,
Н. Г. Васильева, Г. Н. Лащ
Сдано в набор 17/VTI 1975 г.
Подписано к печати 11/ΓΙΙ 1976 г.
Формат 60x90Vi6
Бумага мелованан
Усл. печ. л. 42
Уч.-изд. л. 39
Тираж 6600. Т-02759
Тип. зак. 2680
Цена 4р. 30 к.
Издательство «Наука»
103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука».
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10