/
Text
Г. Г. СЛЮСАРЕВ
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Издание второе,
дееоноииое и переребетооооо
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МАШИНОСТРОЕНИЕ”
ЛЕНИНГРАД 1 В 6 9
УДК 53.087.352,001.1.24
Методы расчета оптических систем. Изд. 2-е, доп. и перс
раб. Сл юс а рев Г. Г., изд-во «Машиностроение», 1969,
672 стр. Табл. 57. Илл. 201. Библ. 69 пазе.
За 30 лет, прошедших со времени выхода первого издания,
в прикладной (вычислительной) оптике произошли большие из-
менения: появились новые области применения оптических си-
стем, новая методика расчета, на которую повлияло появление
электронно-вычислительных машин, в практику вошел ряд но-
вых систем, усовершенствовалась методика оценки качества изо-
бражения. понятие разрешающей способности получило даль-
нейшее развитие. Все это вызвало полную переработку книги.
Во втором издании заново написаны главы, посвященные ме-
тодике автоматического расчета систем, основам расчета допус-
ков в оптических системах, оценке качества изображения,
влиянию изменения температуры иа изображение, полностью
переработаны сведения по расчету хода лучей, аберрациям
третьего порядка, предварительному расчету конструкций си-
стем, общей методике расчета систем.
Книга лредиазначеиа для инженерно-технических работ-
ников •—вычислителей и конструкторов оптических систем и
широкого круга инженерных работников оптической промыш-
ленности.
Рецензент Д-р физ.-матем. наук проф. Д. IO. Гальперн
3-13-6
84-69
ПРЕДИСЛОВИЕ
За тридцать лет со времени выхода первого издания моногра-
фии «Методы расчета оптических систем» произошли большие из-
менения в прикладной (вычислительной) оптике. Значительно
расширилась спектральная область применения оптических си-
стем, для чего понадобились не только новые материалы, но даже
и новая методика расчета, например для рентгеновского диапазона.
Требования к апертурным углам ряда оптических систем типа кол-
лективов и конденсоров достигли пределов возможного —90",
а вместе с тем система не должна содержать более одной-двух линз.
Применение асферических поверхностей уже ие является таким
редким явлением, каким оио было 30 лет назад, и теория оптиче-
ских систем с асферическими поверхностями получила заметное
развитие; особенно пришлось усовершенствовать методику прак-
тических расчетов таких систем.
Но главным событием последних лет оказалось создание быстро-
действующих электронных вычислительных машии (ЭВМ), от ко-
торых помимо значительного сокращения времени на расчет хода
лучей (что привело к возможности ие считаться с числом лучей
и вычислять на бумаге важнейшие характеристики качества изо-
бражения, даваемого оптическими системами) можно было ожидать
полной автоматизации расчетов. Однако опыт работы с такими ма-
шинами показал, что эти надежды пока преждевременны. Лишь
глубокое знание аберрационных свойств оптических систем позво-
ляет направить работу электронных вычислительных машин таким
образом, чтобы в малые сроки добиться нужных результатов.
Появление машин не умалило значения теории аберраций; наобо-
рот, оио привело к необходимости углубления этой теории в неко-
торых направлениях, например в области аберраций и исследова-
ния свойств систем с асферическими поверхностями. Электронные
вычислительные машины значительно ускорили расчеты таких
простых систем, как объективы зрительных труб, и в этой области
достигнута почти полная автоматизация. Расчеты сложных опти-
ческих систем, как, например, объективов с переменным фокус-
ным расстоянием, нашедших в последнее время широкое приме-
нение в области фотографии, кинематографии и телевидения,
I* 3
из-за непомерного количества вычислений неосуществимы без
помощи этих машин.
Необходимость использования оптических приборов за пре-
делами иижиих слоев атмосферы поставила перед оптической про-
мышленностью новые задачи, в том числе разработку новых групп
оптических систем, работающих в условиях значительных изме-
нений температуры. В последние годы советскими и зарубежными
авторами создана теория расчета оптических систем, не расстраи-
вающихся при изменении температуры.
В связи с увеличением светосилы оптических систем и повыше-
нием требований к разрешающей способности последних потребо-
вались более совершенные приемы оценки качества изображения,
даваемого этими системами; сложность расчетов, необходимых для
этой оценки, уже не страшна после появления ЭВМ. Пришлось
более подробно изучить вопросы влияния децентрировки и других
ошибок изготовления, а также дефектов материалов на качество
изображения.
Во 2-е издание книги введены ноиые главы: влияние темпера-
туры на положение изображения и иа аберрации оптических си-
стем, расчет допусков в оптических системах, в том числе и допу-
сков на децентрировку; глава об оценке качества изображения;
о системах, содержащих асферические поверхности, в том числе
поверхности с двойной кривизной, из которых составляются ана-
морфоты. Большое место уделено главе, трактующей о применении
ЭВМ к расчету оптических систем и об автоматизации этих рас-
четов.
Хотя некоторые главы, в том числе I, II и III, по названию
совпадают с соответствующими главами 1-го издания, они под-
верглись коренной переработке. Исправлены замеченные опечатки,
добавлены формулы и графики, оказавшиеся полезными иа прак-
тике, в частности ряд формул для вычисления волновых аберраций
на основании продольных и поперечных; значительно сокращены
разделы, относящиеся к мало применяемой в настоящее время
методике тригонометрического расчета хода лучей, а также не-
которые другие, необходимость которых не подтвердилась прак-
тикой.
Гл. VII написана каид. техн, наук А. П. Грамматиным, п. 13
гл. VIII составлен д-ром техи. наук Г. В. Погаревым.
Большую помощь при собирании и обработке материала ока-
зали Г. Г.’Костина и А. И. Слюсарева. Автор выражает им, а также
всем сотрудникам отдела, помогавшим ему советами и замеча-
ниями, глубокую благодарность.
РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ
ЧЕРЕЗ ЦЕНТРИРОВАННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ИЗ СФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. ВВЕДЕНИЕ
Расчет оптических систем во всех мыслимых случаях состоит
из двух этапов. На первом этапе тем или иным способом ищут
приближенное решение, используя чаще всего теорию аберраций
третьего порядка, а иа втором этапе путем постепенных улучшений,
достигаемых иа основании контрольных расчетов хода большого
числа лучей через первоначальный и слегка измененные варианты
системы, добиваются окончательного решения, отвечающего всем
поставленным условиям. Поэтому расчет хода лучей через иссле-
дуемую систему занимает, как правило, от 50 до 90% всей работы.
Чем система сложнее, чем больше ее апертурные и полевые углы,
тем больше времени тратится на ее корректировку.
Одним из основных вопросов методики расчета является раз-
работка такого способа расчета хода лучей, который, будучи
быстрым и удобным, позволил бы по виду промежуточных величии
судить о роли тех или других поверхностей в образовании аберра-
ций и т. д.
До 50-х годов нашего столетия методика расчета хода лучей
через оптические системы, так же как и общая методика боль-
шинства точных вычислений (требующих 5—7-значных чисел),
основывалась на использовании таблиц логарифмов; для расчетов
применялись формулы, удобные для логарифмирования.
Подробно описанная в первом издании этой книги, а также
в большом количестве отечественных и зарубежных источников
методика тригонометрического расчета, широко применявшаяся
начиная со времен Пецваля (середина XIX в,), впервые начавшего
рассчитывать оптические системы на бумаге, во второй половине
XX в. (после появления ЭВМ) стала сходить"иа иет.
Малопригодность для ЭВМ существующих схем расчетов хода
лучей объясняют следующие причины: 1) обилие переходов от углов
к синусам и тангенсам и обратно, требующих большого числа опе-
раций на ЭВМ; 2) зависимость точности результатов от величины
радиусов поверхностей, которые, как правило, принимают самые
различные значения; 3) необходимость специальных формул для
случая плоских и близких к плоским поверхностей; 4) значитель-
ное усложнение схемы расчета при наличии асферических поверх-
ностей, В свя с этим было разработано несколько приемов
5
расчета, свободных от этих недостатков. Среди них следует отме-
тить прием Федера, который будет описан подробно несколько
ниже. Принимая во внимание, что еще не все предприятия, зани-
мающиеся оптическими расчетами, имеют в своем распоряжении
ЭВМ, приведем формулы, получившие распространение во времена
Пецваля, опуская всю теорию погрешностей, присущих им, так
как она подробно изложена в первом издании этой книги (гл. I)
и в настоящее время не представляет практического интереса.
Рассмотрим сначала системы, состоящие из сферических по-
верхностей.
2. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧА В МЕРИДИОНАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Обозначения и знаки
В 1955 г. был выпущен Государственный стандарт обозначения
основных величин, встречающихся в геометрической оптике.
В этом стандарте приняты обозначения, применяемые в отечествен-
ных вычислительных отделах, в основном совпадающие с обозиа-
\ У ченнями немецких и русских
авторов.
Пусть 00i (рис. 1.1)—опти-
/ ческа я ось системы; MS— луч,
п / падающий на сферическую по-
/ верхность AM; М, S — точки
I \ XJX. пересечения луча с поверхно-
I (истью и с осью; С — центр крн-
од ' Г 5 с о, визны поверхности AM; А •—
вершина поверхности; MS' —
Рис. 1.1 луч, преломленный поверхно-
стью AM. Введем следующие
обозначения: отрезок ЛЗ обозначим через s; радиус кривизны
АС =* МС —через г; показатель преломления среды, в которой
находится падающий луч, — через п; угол луча с осью A.MSA —
через и; угол нормали с осью А.МСО — через ср; угол луча
с нормалью A^SMC — через г, соответствующие величины после
преломления обозначаются теми же буквами, ио со штрихами
(s', п', и', i').
Большое значение имеют правила знаков. Условимся чертить
все схемы таким образом, чтобы лучи света распространялись
слева направо, и будем считать положительным это направление
распространения света. За начало отрезков АС и 4S примем вер-
шину А; таким образом, «иг положительны, когда S и С лежат
вправо от А. Углы и и и' будем считать положительными, если
для совмещения луча с положительным направлением оптической
оси OOj луч нужно вращать против часовой стрелки; углы i и i'
положительны, если луч нужно поворачивать против часовой
стрелки для совмещения с нормалью МС, причем за начало нор-
мали принимаем точку М.
В случае, показанном на рис. J.1, все отрезки и углы положи-
тельны. Следует заметить, что правило знаков для углов i и Г
отличается от принятого в книгах Рора 11], Чапского и Эппен-
штейна 121 и др.
Формулы
Положение луча определяется двумя координатами — s и и.
Предположив s и и известными, вычислим координаты s' н и' пре-
ломленного луча.
Треугольник MSC дает
SC
Sinf = -5777- Sin и =
MG
= - г s sin». (1.1)
Из закона преломления
получаем
sin Г = £ sin 1. (1.2)
Угол и' (после преломления) отличается от и на величину от-
клонения i'—i:
и' — и 4- i' — i. (1.3)
Треугольник MS'C дает
Четыре приведенные формулы решают задачу для случая одной
преломляющей поверхности, так как они дают s' и и' по известным
S и и.
Для определения хода луча через исю оптическую систему
необходимо иметь еще формулы для перехода от одной поверх-
ности, например к-й, на (к + 1)-ю.
Пусть (рис. 1.2) MKSK — луч, падающий на (к + 1)-ю поверх-
ность Ок+1Л4к+1 после преломления через к-ю поверхность ОКМК.
Из чертежа имеем
™ dK, (1-5)
(1-в)
где dK — расстояние между вершинами поверхностей с номерами к
и к 4- 1. Кроме того,
пк+1 = пк. (1.7)
7
Уравнения (1.5)—(1.7) решают вопрос о переходе от одной по-
верхности к другой. Удобно для вычисления ввести вспомогатель-
ную величину Ак = rK+l — rK + dK — расстояние между двумя
последовательными центрами поверхностей к и к + 1 (на рнс. 1.2
Ак = СкСк+1); тогда величина гк+1 — sK+1 выражается через
величины гк — sK и Ак согласно формуле
= + Ак. (1.5*)
Формула (1.5*) заменяет формулу (1.5), сокращая несколько
схему вычислений.
Параксиальные лучн
Основные формулы. Если луч проходит через всю оптическую
систему иа бесконечно малых расстояниях от оптической оси, то он
называется параксиальным (нулевым или осевым). Так как углы,
которые параксиальный луч образует с осью и с нормалями, также
бесконечно малы, то для расчета хода параксиального луча через
систему можно использовать формулы (1.1)—(1.4), заменяя синусы
весьма малыми углами:
; = (1.1*)
Г = 4 i; (1.2*)
п v ’
и'— uA-i1 —(1-3*)
г— s' ~ г-Ц-. (1.4*)
Формулы перехода от поверхности к к поверхности к-г 1 те же,
что и для обыкновенного луча, т. е. (1.5) и (1.6).
Ясно, что результат вычислений — величина s' — не изме-
няется, если все углы увеличить или уменьшить в одно и то же
число раз,-т. е. результат ие зависит от выбора единицы углов;
поэтому параксиальный угол может быть взят произвольным.
Вычисления удобно вести по той же схеме, как и вычисления для
луча, образующего конечные углы с осью, с помощью тех же таб-
лиц логарифмов; в обоих случаях встречаются общие величины,
как, например, логарифмы радиусов кривизны, отношения пока-
зателей преломления, величины Ак. Однако, когда нужно вы-
числить только значения $ и s' для параксиальных лучей, лучше
применять другие формулы, в особенности если пользоваться
арифмометром. Эти формулы получаются из основной формулы
преломления через поверхность с радиусом кривизны г
п' п п' — п
s' s ~~ т
8
Умножая обе части иа h (расстояние МН на рис. I.I) и обозна-
чая отношения — = и, [«параксиальные углы», анало-
гичные тем, какие встречались в формулах (1.1*) —(1.4*) 1, полу-
чаем
г , h (п' — п)
пи — пи = —--------
или, вводя значки, указывающие номер поверхности преломления,
Для перехода от высоты иа поверхности к к высоте на поверх-
ности с номером к+1 рассмотрим рис. 1.3, где начерчены две по-
следовательные поверхности и 4к+1Л!к+1, разделенные
промежутком АкАк+1 = dK. Луч BCD после преломления через
поверхность АКМК падает на поверхность Лк+i^x+i» образуя
с осью угол ик+1. Из рис. 1.3 видно, что
hM = hK — (1.9)
Формулы (1.8) и (1.9) позволяют вести расчет хода луча через
всю систему.. Величины sK, t и
s* определяются соотношениями
= All •
uKtl ’
— -А_
легко получаемыми из чертежа.
Для практических вычислений удобнее ввести вместо перемен-
ных и переменные пи; обозначив их буквой v, имеем
»K+i — v* = (пкЛ — пк);
А а>
9
Формулы для расчета хода параксиального луча через систему
бесконечно тонких соприкасающихся линз. Во многих случаях
при предварительных расчетах хода луча в сложных системах
можно принять для упрощения, что отдельные части системы яв-
ляются сложными линзами, состоящими из нескольких бесконечно
тонких соприкасающихся простых линз. Обозначим оптическую
силу одной из таких сложных линз с номером i буквой <р; из теории
идеальных оптических систем известно, что
где суммирование распространяется на все поверхности линзы с.
Для всех линз группы i высоты h пересечения луча со всеми по-
верхностями компонента равны одной и той же величине Л,-.
Применяя формулу (1.8) последовательно ко всем поверхностям
компонента н складывая все полученные уравнения, получаем
hi J-1 = hi — ditxi,
где а£ и а' — углы с осью параксиального луча до и после прелом-
ления через линзу i; dt — расстояние между компонентом i и
компонентом i-f-1.
Применяя последовательно эти формулы ко всем линзам си-
стемы, можно рассчитать ход параксиального луча через систему
бесконечно тонких линз.
Как известно, эти же формулы могут применяться для системы
линз конечной толщины, но в этом случае нужно понимать под ht
высоты пересечения луча с главными плоскостями линзы. Кроме
того, оптическая сила системы линз конечной толщины должна
быть получена точным расчетом хода параксиального луча,
падающего иа нее параллельно оптической оси.
Соотношения, связывающие координаты* двух параксиальных
лучей. Если рассчитан ход одного произвольного параксиального
луча через оптическую систему, то координаты любого другого
параксиального луча связаны с координатами первого формулой
Q„-Qks = (110)
где QKX и QKS — нулевые инварианты первого и второго лучей
для /с-й поверхности, т. е. выражения следующего вида:
[О
$ и х — расстояния от вершины поверхности к до точек пере-
сечения с осью первого и второго параксиальных лучей; h и у —
высоты пересечения с поверхностью к первого и второго лучей.
Величины ук могут быть последовательно исключены из формулы
(1.10) при помощи формулы
— = ¥ + Q,s) У —
У1 ftt 1 ls/ Zj nvftv/tv..
(1.11)
Вывод этих двух формул, принадлежащих Зейделю, можно найти
в книгах Рора [1] и Чапского и Эппенштейна [21; ои будет дан
в гл. II (см. стр. 93—96).
Формулы (1.10) и (1.11)
вследствие своей сложно-
сти не применяются непо-
средственно для расчета
хода лучей, но они имеют
большое значение в неко-
торых преобразованиях
выражений аберраций
третьего порядка; в систе-
мах, состоящих из конеч-
ного числа бесконечно
Рис. 1.4
тонких групп линз (впо-
следствии мы их будем называть компонентами), эти формулы
значительно упрощаются и могут быть полезными.
Определение кардинальных точек оптической системы по коор-
динатам двух произвольных параксиальных лучей. Наиболее
простой способ определения положения кардинальных точек
(главных точек и фокусов) состоит в расчете хода двух параксиаль-
ных лучен, входящих в систему параллельно оси: одного в поло-
жительном направлении, т. е. слева направо (прямой ход), дру-
гого — в противоположном направлении, т. е. справа налево
(обратный ход). Расстояния s'F, и sF (рис. 1.4) между вершинами
О и О' системы и точками пересечения луча с осью в прямом (s^,)
и в обратном (sF) ходе дают положение фокусов (заднего и перед-
h h
него), отношения же —г ~= f и = / дают величины фокус-
ир 11 р
. ных расстояний (заднего и переднего). Положения главных точек
относительно последней (для задней точки) н первой (для передней
главной точки) поверхностей определяются отрезками /' и t.
Величины /' и / считаются положительными, если главная точка
лежит вправо от соответственной вершины. Например, на рис. 1.4
И
/ > 0, a t‘ <0:
t' = SF’-~f'\
I — —f -f- sF.
При расчете луча в обратном ходе принимаем
rl rp* • -
«1 - п,ч1; п.2 = пр\ . . .
di = rfp-v • -
Вместо двух указанных специально выбранных лучей для опре-
деления положения кардинальных точек можно воспользоваться
расчетом хода двух произвольных параксиальных лучей; зная
начальные координаты sx и ир sp и{ и конечные координаты s’p
н ир, sp и Up этих лучей, можно получить требуемые величины Д
t и
Обозначим через S и S' (рис. 1.5) точки пересечения с осью
первого из этих параксиальных лучей до и после преломления.
Пусть HS = —и Н S — 1Р — расстояния от главных плоско-
стей до точек S и S'. Соответственные величины для точек пересе-
чения с осью второго луча обозначим и £р. Два основных уравне-
ния гауссовой оптики дают для первого луча
для второго
J_ д /' __ _ Ц1
Ъ 1р ’11 “р'
12
Из этой системы уравнений получаем
Обозначим через si и sp расстояния от вершин до точек S и $*
и через и sp соответственные величины для второго луча.
Из рнс. 1.5 видно, что & = $1 — /, = sp — i.
Следовательно,
Для второго луча
Вычитая первое уравнение из второго, получаем
откуда находим
г = ; f = . (1.12)
йх «1 «р иР
Зная f и легко определить / н С:
Для контроля вычислений фокусных расстояний может слу-
жить формула
"/-|4/= 0, (1.14)
Формулы (1.13), выражающие / и /' двумя различными спосо-
бами, иного контроля не требуют.
Расчет хода лучен по Смиту
Т. Смит 131 предложил метод расчета, не требующий примене-
ния тригонометрических таблиц и пригодный для вычислений на
арифмометре. Положение луча определяется синусом угла и
и длиной р перпендикуляра ОН, опущенного иа луч MS
(рнс. 1.6). Определим величину р в зависимости от углов и и i.
13
Длина отрезка ОМ равна 2r sin у-. Из треугольника ОМН по-
лучаем р = МО cos £_МОН\ так как £_МОН -- и —у, то р =
= МО cos^u—2-) = 2r sin-^- cos (ji------р). Но <р = и — i,
Ф «4-1
поэтому и----у = —.
Следовательно,
р = 2гsin-уcos-Ц-*-; (1.15)
аналогично
р' = 2г sin 4 cos " Д. (116)
Разность р' — р = 2г sin 4 ( cos +1-----cos Но
и' 4- i' u4-i с, . а 4-и' 4 i 4- i' и'—— i
cos —-------cos —I1- — —2 sin —------ sin--------—r-1----- .
Z - 4 4
Вводя в правую часть последней формулы выражение для р
из формулы (1.15), получаем
и 4- i . il i
sin —s— sin ——
P' - P = -2p-------Ц-г, - • (I-18)
cos~2“
Все дальнейшие преобразования имеют целью освободиться
от комбинаций углов и + i', Г — I, и 4- * и т. д. и оставить только
величины sin i, sin i', sin и и sin и', что позволит обойтись без
тригонометрических таблиц.
Замечая, что
sinH+si»r
14
(1.20)
и подставляя эти выражения в формулу для р'—р, имеем
- _ = _ D (sin t' — sin t) (sin и + sin i') .
" ” ” n i 4- i' и — i' u±i‘ \ )
2 cos —%— cos —2— COS 2 ~
Преобразуем теперь знаменатель, преследуя указанную выше
цель.
В курсах тригонометрии выводится соотношение
4 cos a cos b cos с = cos (a -f- b — с) + cos (а — 6 4- с) 4-
+ cos (— а + b + с) -J- cos (а + b + с).
Применяя его для выражения, стоящего в знаменателе, полу-
чаем
. i -J- i' it—i’ и I i , , .. , .
4 cos ~— cos —— cos —— = 1 ~Н COS (1 -Н ) -}-
+ cos (и — i') -J- cos (и + i).
Полагая
о = sin V — sin i 4- sin u;
т = cos i' 4- cos i 4- cos и
и составляя выражение о2 4_ т2 — 1, имеем
т24- о2 — 1 = 2[1 4-cos (I 4- г") 4- cos («4- i) + cos (и — Г)]. (1.21)
Таким образом, знаменатель формулы (1.19) для р'—р прини-
мает вид Ч4 (т2 4- о2 — 1) и окончательно
р' -р = -4р .<sin ‘‘ - + sin . (1.22)
Последняя формула позволяет переходить от р к р'.
Отметим, что величина р'—р всегда мала, порядка продольных
аберраций луча. Ее можно вычислять с точностью на два порядка
меньшей, чем остальные величины (sin и, sin и’, sin t, sin t').
Между величинами pus существует зависимость
р = s sin и.
Величины р и sin i связаны соотношением sin i — sin и------,
которое получается из основной формулы расчета
. . г — s . . s sin и р
sin I — ----sin и — Sinu---------= sinu—— .
г г г
Переход к sin и' происходит с помощью аналогичной формулы
sin и' = -у- + sin i' — sin i' 4- + P ~P •
15
Последнюю формулу можно написать и так:
sin и' = sin и + sin i' — sin i 4- —- ~ -
нлн
Sin II! = o’ + p ~p .
Переход от поверхности с номером к к поверхности с номером
к + 1 выполняется согласно формуле, вытекающей из рис. 1.7:
— Рк ' dK sin ик.
/ г / /Х. Таким образом, для расчета хода
/ р*/ / / Xv луча имеем последовательность фор-
/ Z //рк^ мул:
V ич^1/ ___________ для первой поверхности
Ок dK Ок^, p1 = S1Sinw1;
Рис. 1.7
для любой поверхности
I. sin i = sinrz-у-;
2. sin i' = -^sinZ;
3. о = sin и + sin i' — sin i; (123)
4. т — cosw 4- cos Г -p cos(;
- , . (sin i' — sin i) (sin и sin i'\
5. p'-p = -ip----------Tz+„2_! -------->;
6. sin u* — о 4- P r P ;
для перехода
7. = p« — dxSin«'.> (1.24)
Для удобства вычислений необходимо иметь таблицу значений
косинусов по данным синусам. Точность в 0,0001 является вполне
достаточной при шестизначных вычислениях.
Преимущества формул Смита по сравнению с обычными, при-
веденными выше, следующие.
1. Эти формулы приспособлены для вычислений с помощью
счетных машин.
2. Оии не требуют применения таблиц, за исключением четы-
рехзначной таблицы перехода от синусов к косинусам.
3. Наиболее ответственная часть вычислений, а именно пере-
ход от р к р', требует в большинстве случаев не более четырех-
значной точности.
4. Величина р'—р пропорциональна поперечной аберрации
луча на той поверхности, для которой она вычисляется. Это позво-
16
ляет определить, иа каких поверхностях возникают аберрации
оптической системы, выяснить их причины и принять меры к их
устранению.
5. Вычисления, производимые по формулам Смита, в отличие
от вычислений по обычным тригонометрическим формулам не те-
ряют точности при больших радиусах кривизны. Они пригодны
н для того предельного случая, когда раднус поверхности де-
лается бесконечным, т. е. поверхность становится плоской, и это
свойство формул делает их пригодными для расчета с помощью
автоматических машин, так как в данном случае весьма нежела-
тельна необходимость перехода с одних формул на другие при
переходе к плоским (или близким к плоским) поверхностям.
Главным недостатком формул Смита является их громоздкость,
удлиняющая процесс вычисления. Кроме того, могут встретиться
такие случаи, когда четырехзначная точность при вычислении
разности р'—р недостаточна. Это происходит тогда, когда углы i
и i имеют противоположные знаки (отражение) или sin и + sin Г
принимает большое абсолютное значение, что может случиться
в системах с большими углами поля зрения или значительными
апертурами. В оптических системах, содержащих отражающие
поверхности, применение формул Смита требует особых предосто-
рожностей, в частности увеличения числа знаков до пятя или
шести при вычислении разности р'—р. Тогда четырехзначные
таблицы для вычисления косинуса по известному значению сииуса
должны быть заменены таблицами, содержащими большее число
знаков, а может быть, выгодно обойтись без таблиц и вычислить
косинус по формуле cos х = ± "И 1 — sin2 х.
3. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Расчет хода лучей в пространстве с помощью формул
аналитической геометрии
Рассмотрим формулы, позволяющие решать задачи, связанные
с расчетом хода лучей через оптическую систему более общего
типа, чем рассматриваемые до сих пор.
Решим сначала такую задачу. Предположим, что известны на-
правление падающего луча, направление нормали и показатели
преломления двух сред, ограничивающих преломляющую поверх-
ность. Определим направление’преломленного луча.
Рассмотрим сферический треугольник XNU (рис. 1.8), в кото-
ром х — точка, соответствующая направлению оси х\ N — точка,
соответствующая направлению нормали; U и U'—точки, соот-
ветствующие направлениям падающего и преломленного лучей.
Обозначим через а, р и у косинусы углов, образуемых направ-
лением U с осями Ох, Оу, Ог-, через а', 0' и у' — направляющие
косинусы углов, образуемых направлением U' (преломленным
2 Г. Г Слюсарев 17
лучом); через X, р и v — направляющие косинусы нормали к пре-
ломляющей поверхности в точке пересечения луча с поверхностью;
через Nx — угол между нормалью и осью X.
В сферическом треугольнике XNU имеем
а = Acosi -J- sin i sin Nx cos /_ XNU\
a' = A cost' 4- sin i' sin Nx cos / XNU.
Умножая первое уравнение на —п, второе на п' и складывая,
получаем
п'а' — па = (п' cos/' — я cos/) Л. (1.25)
Положим для краткости п' cos i' — п cos i — Д; тогда n'a' —
— па = АД.
' / Аналогично
/ \ , ,, п'$'—лр = иД; )
/ \ ' (1.25*)
‘ п'у'—Пу~У&. I
I /
Последовательность вычисле-
/ ний такова:
и 1) вычисляется i по формуле
Рис. 1.8 cos i = aA 4- рр 4- yv; (1.26)
2) вычисляется i' _по формуле
sin г'= —sint; (1.27)
3) вычисляется Д по формуле
Д = п' cos /' — п cos i; (1-28)
4) вычисляются a', Р' и у' по формулам-
п'а' — па 4- АД;
л'Р' = пр + рД;
п'у' — пу 4- ¥Д.
(1.29)
Напоминаем, что положительное направление нормали совпа-
дает с положительным направлением распространения света.
Формулы (1-29) для луча, лежащего в меридиональной плоскости,
принимают вид
, . , Л Л 1
п sin и — п sin и = — Д; I
г } (1.29*)
п' cos и' — п cos и = Д COS ф. j
Последняя группа формул решает поставленную задачу. Она
имеет простое геометрическое толкование.
18
Пусть L — единичный вектор, изображающий падающий луч,
проекции которого на оси суть а, р, у; L' — вектор, изображающий
преломленный луч, с проекциями а', 0', у'; W — вектор нормали
с проекциями X, p., v.
Группа формул (1.29) может быть заменена одной векториаль-
ной формулой
п'А' = nA + &N. (1.30)
Направление вектора .V совпадает с направлением распро-
странения света.
Эта формула удобна в тех случаях, когда направление векто-
ров Af, 4 и Л' не зависит от положения лучей, например при вы-
числении хода лучей через призмы или системы призм. Заметим,
что в случае отражения лучей нужно считать п' = —п и учесть
изменение направления распространения света.
Тогда уравнение (1.30) принимает вид
А' А — 2/VcoSi. 0-31)
Положительным направлением вектора N считается то, которое
совпадает с направлением распространения отраженного света.
Приведем одно преобразование выражения Д = nr cos V —
— п cos i, которое может быть полезно в некоторых случаях.
Возведем в квадрат все уравнения (1.29) и сложим. Ввиду орто-
гональности осей имеем
х2 ч- р.2 4-v2 = 1;
«24-₽3 + у2 = 1;
а'ЧА/- I-
Кроме того,
аа' 4- р(3' 4- уу' — cos (Г — i).
Принимая во внимание последние соотношения, получаем
л'2 — 2nn' cos (Г — i) 4- п2 = А2. (1.32)
Формула (1,30) является основной для метода расчета хода
косого луча через систему сферических, а также несферических
поверхностей, предложенного И. В. Лебедевым [41.
Пусть ак, у\ и ак+1, рк+1, ук+1 — направляющие коси-
нусы падающего и преломленного лучей; обозначим через хк,
ук, zK координаты точки пересечения луча с поверхностью к,
отнесенные к центру кривизны; пусть гк — радиус кривизны
к-й поверхности.
Угол падения i определяется из уравнения
0(Yii—n Хк I R Ук । г* + Рк+iF* + Т*+1гк Н ЗЗ’!
COSI - ак+1 — + — 4- ук+1 — ---------------------. (1.33)
2*
19
Преобразуем выражение А — п' cos i' — п cos i.
Ввиду того, что
cost" =У 1 — sin2Г = j/" 1--------sin2i ~ j/" 1 — —к- (1 — cos2;);
n' cos;' = Уfi'2 ~~ я2 4- n2cos8t,
получаем
Д s= ]/n'2 — ns + n3cos2; — ncos;. (1.32*)
Зная Л, можно определить aK+1, y\-+1 по формуле (1.29):
пк , Д хк
“х+1 пк+1 гк
V = Пк V ! Д 2к
Y*+1 Пкн "Г п«+1 гк ’
(1.34)
Теперь известны положение и направление преломленного
луча, поскольку известны координаты xKi ук, zK точки луча и его
направляющие косинусы. Остается осуществить переход к сле-
дующей преломляющей поверхности; он производится следующим
образом.
Пишем уравнение преломленного луча
Х-х« = Y-y*
ссКн Р«+1
Z — 2к
(1.35)
где i — величина, зависящая от положения рассматриваемой
точки на прямой. Ищем точку пересечения этого луча с поверх-
ностью к + 1, радиус кривизны которой равен гх+1. Пусть Ак =
= — гл + dK — расстояние между центрами Ск и СХ41
обеих поверхностей.
Обозначим через хк+1> ум, zK+1 координаты точки пересе-
чения луча с поверхностью /с+ 1, отнесенные к новому центру
кривизны. Переход от старой системы координат к новой осуще-
ствляется по формулам
Хк = Хк+1 4- Аю 1
ук = (1.36)
= Z„+1. I
Уравнение сферы с номером к + 1 в новых координатах имеет
ВИД
Л х-(-1 -f- У к -|-1 — Г «-pi •
Уравнение луча может быть переписано в виде
Хк = хк |-ам1/; r« = yK + (W; ^ = zK-hyK+lt.
20
Подставляя эти значения для Хк, Ук и ZK в предыдущее урав-
нение и принимая во внимание переход от новой системы к старой,
получаем
(х« — Л + <W)S + (!/« + fiwiO* + (z« + V«tiOa = 'Li-
Произведя возведение в квадрат соответствующих величин и
помия, что
«ж+1 4" "Ь = 1;
+ Ук+^к = rK+1COSl\,
получаем для определения значения tK, соответствующего точке
пересечения луча с поверхностью к 4- 1, уравнение
4" (гкц-icos i — 4" гк-р Ак = 0. (1.37)
Решив это уравнение относительно /Л, выбираем то значение
корня, которое соответствует первой точке пересечения луча со
сферой.
Определив tK> имеем
xK+i = хк -|- a,K+ltK Ак, )
Ук+1 — Ук 4“ Pk+i^k» । (1.38)
ZK+1 = ZK 4" Тк+1^к- '
Как легко видеть, tK представляет собой «косую толщину» dK,
т. е. расстояние между поверхностями к и (к + 1), отсчитываемое
вдоль луча.
Зная координаты хк+1, yK+v zK+l точки пересечения луча
с поверхностью к 4- 1 и направляющие косинусы падающего
луча аж+1, 0к+1 и ук+1, можно по приведенным выше формулам
продолжать расчет хода луча через вторую поверхность. Подроб-
ности вычисления и схему см. в статье И. В. Лебедева [41.
Вычисления выполняются на арифмометре и не требуют при-
менения тригонометрических величин; кроме того, метод может
быть обобщен на случай несфернческих поверхностей, как это
указано в статье [41.
К достоинствам аналитического метода можно отнести сле-
дующие:
1) отпадение надобности в таблицах;
2) незначительное количество случаев потери точности (к та-
ким относится случай больших радиусов, при которых определе-
ние величины / становится неточным, так как в коэффициентах
уравнения, определяющего t, появляются разности больших и
близких величин);
3) выполнение вычислений по однотипным формулам, что об-
легчает процесс вычисления и уменьшает возможности ошибок;
21
4) наличие контрольных формул, например
«к 4" 4" = 1
К недостаткам этого метода следует отнести:
1) полное отсутствие углов в схеме, из-за чего трудно по вы-
числениям хода луча определить те места в системе, в которых
появляются аберрации высших порядков;
2) слишком большое различие между аналитической схемой
и обычной тригонометрической, вследствие чего сравнение хода
лучей в обоих случаях с первого взгляда невозможно.
Впрочем, за отсутствием опыта по применению аналитического
метода невозможно дать о нем достаточно обоснованный отзыв;
было бы полезно в одном из вновь организуемых вычислительных
отделов подвергнуть этот метод подробному исследованию.
Расчет косого луча через отражающую поверхность
второго порядка
Предположим, что в оптической системе одна отражающая
поверхность имеет форму гиперболоида или эллипсоида с эксцен-
триситетом е.
Пусть а, р и у — направляющие косинусы падающего луча.
Они равны:
а = cos 6 cos б;
р = —cos 6 sine;
у = sin 6,
(1.39)
где сферические координаты 6 и е известны из расчета косого
луча, доведенного до несферической поверхности.
Пишем уравнение этого луча в виде
X = $+а<;
у = /4-^;
Z — yt,
(1.40)
где / — расстояние по лучу от точки Л1 пересечения луча с несфе-
рнческой поверхностью до точки В пересечения луча с меридио-
нальной плоскостью; s — абсцисса точки В относительно вершины
отражающей поверхности.
Уравнение поверхности второго порядка, отнесенное к вер-
шине, имеет вид
' /(X, У, 2) = (е2—1)Х2-р 2гХ — У2 —Z2 = 0. (1.41)
22
Помня, что направляющие косинусы нормали %, [i, v пропор-
df df df
циональны частным производным , —, — , получаем
X = ^[г + (^-1)Х];
Y
(1-42)
где R = Vг’ + 2ге2Х + е2(г2 — 1)X2.
Подставляя выражения для X, У и Z в уравнение поверхности
второго порядка, получаем для t уравнение второй степени
(а2е2 — 1) I2 4- 2/[га 4- за(е2 — 1) — Z|3] 4- 2rs 4-
+ (е2_1)52_/2==о.
Полагаем для краткости
Л=а2е2 — 1; ]
В = га -f-sa(ea— 1) — /[3;
C = 2rs-h(e2— l)s2 — /2; J
AC AC
Если -^2" > 0, полагаем = sin2 Т, откуда
. 2В . 2 Т
<-—.
АС АС
Если < 0, полагаем-----= tg2 Т, откуда
(1.43)
(1-44)
, 2В , , Т г
I — —д- sin2 -у sec Т.
Зная можно вычислить X, Y и Z по формулам (1.40) и, под-
ставив в формулы (1.42), получить X, р. и v.
Угол луча с нормалью i вычисляется по формуле
cos I = ак -|- 4- yv. (1-45)
Направляющие косинусы а', р' и у' вычисляются по формулам
а' = а — 2% cos г, )
|3' = р — 2|icosi; ! (1.46)
у' — у — 2v cos i. J
Координаты луча, падающего на поверхность, следующую
после асферической, определяются из выражений
а ’ Т
sin 6 = у'; s' — X — Z,
(1-47)
23
после вычисления которых можно продолжать расчет хода луча
через следующие за поверхностью второго порядка сферические
поверхности по обычным формулам.
Формулы Федера
Для расчетов с помощью электронно-вычислительных машин
очень удобны формулы, предложенные Федером 15].
Луч в схеме Федера определяется с помощью следующих век-
торов (рис. 1.9):
Q (X; Y; Z) — единичный вектор вдоль луча до преломле-
ния;
Qi (Xjj У,; —то же после преломления;
Т (х; у\ z) — вектор, соединяющий вершину поверх-
ности 1 с точкой пересечения луча с этой
поверхностью;
7\ (*п У1> zi) ~~ то же для поверхности 2.
Расчет хода луча через сферическую поверхность. Приводим
формулы Федера для случая сферических поверхностей.
Обозначим через сг = ~;
с2 = — кривизны сфериче-
Г2
ских поверхностей 1 и 2; че-
рез В — пересечение падаю-
щего луча с перпендикуляром
М к нему, опущенным нз
точки О2; через At и А2 —
точки пересечения луча с по-
верхностями 1 и 2; через L —
расстояние (рис. 1.9).
формулой
l = dX — (xX -\-yY + zZ). •
Проекция Мх на оптическую ось перпендикуляра М опреде-
ляется по формуле
Mx = x + lX — d.
Длина отрезка М определяется следующим образом:
М2 = М2Х + М2У -и Ml =- (х + IX - d)2 + (у + IY)2 + (z + IZ)2 =
= x2 + y2 + z2 + P + 2l(xX+yY + zZ — dX) — 2dx + <P =
= d2 + x2 + у2 + г2+ P — 2P — 2dx.
Окончательно
M2 = х2 + у2 + г2 — I2 — 2dx + d2.
24
Рис. 1.9
Отрезок I = AjB определяется
Определим точку пересечения луча с поверхностью 2. Уравне-
ние ее, отнесенное к вершине 02, следующее:
Xj -J- -J- — 2,2*1 = 0.
Уравнение луча
xL—Мх — Му г± —Мг
X = Y = 7. = Z|
откуда
хг = ГХ\ — + z,--- M2 + tZ.
Подставляя эти выражения для хь у, и z1 в уравнение сферы и
помня, что
ХМх + YM, ф- ZMz = О,
получаем
е — 2r2tX + М! — 2гаЛ4х = 0;
t = Г2Х — У г2Х2 — М2 + 2г2Мх
(знак И- относится ко второму пересечению с поверхностью 2 и
обычно не представляет интереса).
Вычислим косинус угла падения I:
—cos i = X + Y + Z =
(Мх + IX) X + (Му + tY)Y+(Mz+tZ)Z
МхХ + MyY + M?Z ч-1
Вычислим величину
L = l + t = l + r2 X — Уг1хг - М"1 + 2г2.Их =
У г2Х‘‘ — ^ + 2г2Мх}
— Н"
г2Х + у rlx2 — Мг + 2ггМх
г2Х + У ^Х2 - М2 + 2г2Мх
_ 1 __________М1 — 2г2Мх____________
г2Х + У4«2 — м! 4- Чг2Мх
= t j________с,1УР — 2Мх = ; сгХР-1Мх
X + У X2—+ 2с2мх X + cos I ,
где сг = У.
' 2
25
Зная L, легко получить xlt ух и
х, = х + Lx — d;
Ух = у+ LY-,
zt = 2 4- LZ.
Остается вычислить направляющие косинусы преломленного
луча Xt; У,; Zr. Угол определяется по его косинусу:
COSA= [1 — (4/(1-cos3/^]1/2.
Косинусы преломленных лучей связаны с косинусами падаю-
щих лучей системой формул (см. стр. 44 в книге [6] или стр. 18
этой главы).
п'Х1 = пХ + (п' cos Г — п cos i) cos (УХ);
n'Yj^ = nY 4- (rt'cosf — ncosZ) соз(УУ);
n’Zv = nZ 4- (n' cos i' — n cos i) cos (XZ),
где У — направление нормали в точке преломления.
Но
cos (УХ) -- r'2 ~-X| — 1—c^Xi, cos (УК) —-— = —е^;
Г2 Г2
cos (NZ) = —— = — сгги
Г»
1
где с2 = — •
гг
Обозначая через g выражение cos i\ —-£г cos ilt получаем
x, =4х + §(1-сЛ);
Z^^Z-gc^.
Составим сводку необходимых для вычислений формул Федера
для сферических поверхностей:
L l = dX— (хХ -YyY + zZy,
2. Mx = x-YlX — d-t
3. М2 = х2 4- у2 + г2 — /3 — 2dx + d2;
л Г™. м2 . 2МХ
4-со*‘ = |/*2-т + — ;
26
5.
, сгМ‘-2Мл .
1 T X + cos Г1
6. х, = x + LX — d;
7. yt = !) + LY-,
8. z, = z + /Z;
9. cost; = [1 — (v~)’ (1 — COS2<1)]1/2;
10. g = COS 6 — COS If,
II. X^^X + gty-c^,
12- Л = ^Y~gW
13. ZY ~ ~r-Z~~ gc2z±.
Преимущества формул Федера по сравнению с приведенными
в первом издании этой книги формулами Кербера для косых лучей
заключаются в следующем:
1) полное отсутствие тригонометрических функций;
2) минимальное число квадратных корней (один на поверх-
ность);
3) отсутствие переменных, обращающихся в бесконечность
(такими величинами являются, например, s н s' в формулах рас-
чета хода лучей, приведенных в начале этой главы). Величина L
может, правда, обратиться в бесконечность, если X ф- cos i = 0,
но в этом случае луч касается преломляющей поверхности и не
участвует в образовании изображения;
4) отсутствие формул, приводящих к потере точности.
В частности, случай больших радиусов, который при обычной
схеме приводит к потере точности и вызывает необходимость при-
менения новых схем (что для работы с помощью электронной ма-
шины является нежелательным), здесь не вызывает никаких за-
труднений; плоские поверхности не требуют применения специаль-
ной схемы.
Расчет хода луча через поверхность второго порядка. Формулы
Федера могут быть распространены на случай поверхностей вто-
рого порядка.
Предположим, что поверхность О2Л2 является поверхностью
второго порядка. Ее уравнение, отнесенное к вершине О2, имеет
вид
F (xmzj) = X? + yl + zi — = 0.
Уравнение луча сохраняет прежний внд:
Xj tX; -р Н-
27
Величина I определяется формулой
гХ 4- eW - V~(rX~+ еШ)2 — (1 —в2) М*~2гМх-е2Мх
1 — еа№
Умножая и деля на сопряженную величину, получаем для t
сМ2 — се2М2х — 2МХ
Z ~ Х(«2Мх+1)+Q ’
где с = 4’> <?= У^2 + с2е2М2х + 2сМх-с2М2(1 — е2№).
Величина L определяется нз уравнения
Отсюда следуют выражения для хг\ yt; zr:
— х LX —d\
yt--y \ LY\
Zj = z + L.Z.
(1.48)
Определяем cos i = XX + Ир — Zv, где X, p, v — направля-
ющие косинусы нормали. Если положительное направление нор-
мали совпадает с направлением света, имеем
dF dF dF
° - -j- m )+('<)+©- V'+A’s+a.
Тогда
cosZ = ^x + ir + iZ.
После подстановки величин yt\ zt из формул (1.48) и под-
становки выражения для t получаем
Формулу для cos i' получаем по-прежнему:
cost' = [1 — (1 — cos8t)J1/2.
Положим
g = COS t' — -~г COS I,
28
после чего выражения для Хх; Ух; Z, принимают вид
По-прежнему можно пользоваться для контроля формулами
X? + У1 + Z? = 1;
(cfeq - I)3 । (су,)2 + (сг,)2 = й3.
Составим сводку необходимых для вычислений формул Федера
для поверхностей второго порядка:
1. l — (d — х)Х — yY — zZ;
2. Мх — x-YlX — d-,
3. М2 = (х — «/)= + г/2 + z= - Р;
4. Q= ]/"№ + АЛм* + 2сМх — ЛИ2 (1 — esX2);
сМ2 — се2М2 -2МХ
5’ L = l+ X (яРМ, + 1) + Q ’
6. Xj=x —d + LX;
7. у,= у + ly-
в. г, = z + £Z;
9. D= ]/’l + c2e'2 (t/2i + z?);
10. COSt =
11. COSf— p —(p-) U —COS2l)j1/2;
12. g- = cosi'—-^-cost;
13. .
14. Y^-^Y-g^;
^.Z^^Z-g^.
29
4. БЕСКОНЕЧНО ТОНКИЕ АСТИГМАТИЧЕСКИЕ ПУЧКИ
Определения
Рассмотрим бесконечно тонкий пучок лучей, ограничиваемый
поверхностью конуса с вершиной в точке О. Этот так называемый
элементарный гомоцентрический пучок после прохождения через
оптическую систему, вообще говоря, перестает быть гомоцентри-
ческим; по выходе из системы пучок имеет особое «астигматиче-
ское» строение. Все лучи пучка стягиваются в две линии (фокаль-
ные линии) бесконечно малой длины, расположенные во взаимно
перпендикулярных плоскостях1.
В пределе две фокальные
,va линии обращаются в точки и
называются фокусами пучка.
Предположим, как всегда,
/#,"• - чт0 оптнческая система имеет
/ ' ось симметрии. Если централь-
/ \ ный луч элементарного пучка
/ \ (его принято называть главным
I s__________________\г лучом} находится в меридио-
нальной плоскости, то из теории
Рис- МО астигматических пучков извест-
но, что одна из фокальных
линий, а именно та, которая образуется сагиттальными лучами,
т. е. лучами, лежащими в плоскости, перпендикулярной мери-
диональной, лежит в этой последней плоскости; ее пересечение
с главным лучом называется сагиттальным, фокусом. Вторая фо-
кальная линия, образуемая меридиональными лучами, т. е. лу-
чами, лежащими в меридиональной плоскости, перпендикулярна
последней; точка пересечения ее с главным лучом называется
меридиональным фокусом.
Положение сагиттального фокуса вычисляется согласно дан-
ному определению, которое можно сформулировать несколько
иначе. Рассмотрим точку пересечения двух лучей, исходящих из
вершины пучка О и симметрично расположенных относительно
меридиональной плоскости. Когда эти два луча беспредельно
приближаются друг к другу, точка пересечения стремится к неко-
торому предельному положению: это — положение сагиттального
фокуса, сопряженного с точкой 0. Отсюда вытекает возможность
определять координаты этого фокуса в случае одной преломляю-
щей поверхности.
Пусть М0МО— главный луч падающего сагиттального
пучка С — центр преломляющей поверхности; СОО' —
прямая, соединяющая центр с вершиной О пучка (рис. 1.10).
1 Более подробное наложение- см. в курсах геометрической оптики,
3Q
Пучок MiOM2 получен вращением главного луча (в ту и в другую
сторону) вокруг осп СО иа бесконечно малый угол. Рассмотрим
пучок после его преломления через поверхность SM. Главным луч
занимает положение МО', крайние лучи пучка — положение М tOf
и М2О'; эти лучи должны пересекаться в точке пересечения О'
главного луча с прямой СО, так как преломленный пучок, в свою
очередь, получается в результате вращения преломленного глав-
ного луча МО’ вокруг оси СО. Таким образом, фокус бесконечно
тонкого сагиттального пучка находится в точке пересечения глав-
ного луча с прямой, соединяющей центр преломляющей поверх-
ности с вершиной пучка.
Если поверхность SA1 песферическая, но симметричная отно-
сительно оси SC, то вместо центра кривизны С нужно брать точку
пересечения нормали к точке М с оптической осью.
Фокус меридионального пучка определяется также в резуль-
тате перехода к пределу. Рассмотрим два луча, исходящих из вер-
шины пучка 0 и лежащих в меридиональной плоскости. После
преломления эти два луча пересекаются в некоторой точке О',
положение которой зависит от угла, образованного двумя лучами
в точке О. Когда этот угол беспредельно уменьшается, точка О'
стремится к некоторому положению, которое является положе-
нием меридионального фокуса.
Формулы Аббе—Юига для определения положения
астигматических фокусов
Случай одной преломляющей поверхности. По Аббе положение
фокусов, как сагиттального, так и меридионального, бесконечно
тонких пучков, а также и
положение источника света Z,
(вершины пучка) опреде- л
дяются их расстояниями
0т точки пересечения глав- /
•ного луча с поверхностью. /
Пусть ЗЛ (рис. I.II)— / \\
•сечение поверхности мери- / хХ.
диоиальной плоскостью; /
Лв — главный луч; М — I \
вершина падающего пучка; s \\ irV
А'В' — луч, образующий уГ
it главным лучом угол du \\ X
& проходящий через точку \
М; Св — перпендикуляр, p*c- М1
опущенный из центра С на / ?
Луч Л в; длину СВ обозначим буквой q, а расстояние ВВ' —
приращение величины q — через dq. При дальнейших выводах
будем считать величины du, dq и остальные приращения
3!
бесконечно малыми величинами первого порядка; нх квадратами
и взаимными произведениями будем пренебрегать. Дифференциал
дуги АА' между двумя лучами АВ и А*В' равен пйр, где ф — угол
нормали с осью. Опуская из точки А перпендикуляр АН на
луч А1 В', в бесконечно малом прямоугольном треугольнике АНА'
имеем АН = АА' cos i, так как угол между касательной
к^кругу ЗЛ в точке А и перпендикуляром к лучу А'В' равен
углу i.
Обозначим через tm расстояние AM по лучу от поверхности
до вершины М пучка. Подобие треугольников МАИ и МВВ'
дает
АН ВВ’ ВВ'
AM ~ ВМ ~ АВ—AM
или
rdycosi dq
tm r COS i — tm
(1.49)
Ho q = r sin i и dq = r cos idi,
и формула (1.49) принимает вид
г dtp cos i _ r cos t di
tm f COS i — tm
(1.50)
Точно такую же формулу можно написать для преломленных
лучей:
г dtp COS f _ г cos I' di' , J e
tm rcosi'-^’
где t'm — расстояние фокуса меридионального пучка преломлен-
ных лучей от поверхности; I' — угол преломления.
Дифференцируя равенство п sin i -- п' sin выражающее за-
кон преломления, получаем
ncos idi = n\cosi' di'. (1.51)
Деля уравнение (1.50*) на (1.50) и принимая во внимание (1.51),
получаем после простых преобразований формулу Аббе для бес-
конечно тонкого меридионального пучка, а именно:
п' cos2 i1 п cos21 _ п1 cos i' — n cos t
t tin r
m
Формула (1.52) связывает величины i и i’ через углы пре-
ломления i и I'.
Для сагиттального пучка соотношения между расстоянием ts
от точки пересечения А главного луча с преломляющей поверх-
ностью до вершины М пучка и расстоянием ts от той же точки А
до фокуса М‘ бесконечно тонкого сагиттального пучка после
преломления могут быть получены следующим образом.
(1.52)
32
Пусть (рис. 1.12) ЛЗ — падающий луч; ЛЗ' — преломленный
луч; М и М' — сагиттальные фокусы до и после преломления;
угол АСО' обозначим буквой ф. Как было доказано, точки М, М'
и центр С преломляющей сферы находятся на одной прямой.
Из треугольника АМС имеем
sin I _ МС
sin ф — '
Аналогично из треугольника АМ'С находим
sin V _ М’С
sin Я’ “ -дМ' '
Умножая первое уравнение на п sin ф и второе на п' sin ф и
принимая во внимание закон преломления, получаем формулу
МС , М'С
-==- = п----
AM AM'
илн _____ ________
МС , М'С
п -г- = П -Г- • (1-53)
rs
С другой стороны,
проектируя МС и М'С на
радиус АС, получаем
МСсо$ф = г — 7scosZ; 1
М’Ссозф = г — tscosi J
(1-54)
Подставляя в уравнение (1.53) значения МС и М'С из (1.54)
и деля иа cos ф. получаем после простого преобразования фор-
мулу Аббе для бесконечно тонкого сагиттального пучка
п'
Z
n' cos Г — п cos i
(1.55)
п
Формулы (1.52)’и’(1.55) решают поставленную задачу в случае
одной преломляющей поверхности. Когда преломляющая поверх-
ность плоская, формулы (1.52) и (1.55) принимают особенно про-
стой вид, а именно:
п' _ ncos4 = 0; (1.52*)
t tm
т
4--^=0. (1.55*)
Ч ts
Случай нескольких центрированных поверхностей. Фокусы
Сагиттального и меридионального пучков, полученные после
3 г. Г. Слюсарев 33
преломления через одну поверхность, являются вершинами пучков,
падающих иа следующую поверхность. Поэтому задача нахожде-
ния положения астигматических фокусов после преломления через
оптическую систему решается повторным применением фор-
мул (1.52) для меридионального и (1.55) для сагиттального пучков.
Обозначим по-прежнему через к номер преломляющей поверх-
ности. Формулы (1.52) и (1.55) с добавлением значка к у величин
л, г, б», г, п , i , tm и t’s дают положение фокуса преломленного
пучка по известному положению фокуса падающего пучка. К ним
Рис. 1.13
нужно еще присоединить фор-
мулу перехода от поверхности
с номером к к поверхности
с номером к + I. Пусть
(рис. 1.13) точка М'к =
представляет фокус сагит-
тального (или меридиональ-
ного) пучка, преломленного
через поверхность с номером
к; тогда, очевидно,
Ct-H ~
= — ВКВК^ = — dK,
где dK — так называемая косая толщина между поверхностями
к и к + I (расстояние по главному лучу между точками пересече-
ния луча с поверхностями к и к + 1). Обозначим высоты пересече-
ния поверхностей к н к + 1 с главным лучом НКВК и Нк+1Вк+1
через hK и hK+i и соответствующие нм стрелки АКНК и Лк+1Як+1 —
через ак и пк+1Л
Величина dK может быть получена по формуле
4 = (Л« — AK+i)cosecuK+l, (1.56)
где
hK = rK sin фк = rK sin (w/c — iK) = rK sin (uK — iK).
Для малых углов uK+l лучше пользоваться формулой
= dK -|- ак aK+J ,
где
ак = 2r„sin2 * 4 * *^-.
Формулы Аббе не очень удобны для вычислений при помощи
логарифмических таблиц, так как формулы (1.52) и (1.55) мало
пригодны для приведения их к логарифмическом)7 виду, и при по-
мощи арифмометра, так как число умножений и делений велико.
Однако прн вычислениях с помощью ЭВМ формулы Аббе доста-
34
точно удобны; их преимущество заключается в том, что они при-
годны и для несферических поверхностей. В последнем случае для
меридиональных пучков следует вместо гк писать г,пк (радиус
кривизны меридионального сечения преломляющей или отража-
ющей поверхности), а для сагиттальных — rKS (радиус кривизны
сагиттального сечения этой же поверхности).
Для плоскопараллельной пластинки с толщиной d и пока-
зателем преломления п формулы Аббе приводят к особенно про-
стым вычислениям. Пусть (рис. 1.14) на пластинку падает луч,
образующий с осью угол
иг и абсцисса точки-фоку-
са М1 (сагиттального нли
меридионального) относи-
тельнопервой поверхности
призмы равна Найдем
х'— абсциссу соответству-
ющего фокуса Л4' после
преломления через пла-
стинку.
Замечая, что Wj =
W2 = *1 = (2’ из = uv 4? =
— d sec w2, = xi sec
/2 = х'2 sec uv и применяя
последовательно формулы
X2s = ---------------- •
24 15 n COS U2 ’
' , d cos3 u,
%2w ~ Xun ~ V cos3 u2 •
(1-57)
Преломление через плоскопараллельную пластинку вызывает
смещение фокусов в направлении оси на величину А = х2 — х} +
+ d. Подставляя вместо х'2 только что найденные значения, нахо-
дим для смещения As сагиттального фокуса
AS = d(i ___L
b \ n cos u., / ’
для смещения A„t меридионального фокуса
(1-58)
1 COS3U! \
n COS3 U2 )
J
4,
= d
Пластинка вызывает, кроме того, смещение Аг/ фокусов в на-
правлении, перпендикулярном к оси. Обозначим через и у2
ординаты фокусов Mi и М2 До и после преломления. Замечая, что
3* 35
z/| = 01Л1 — Xj tg u(, а у, = OyA, — х,г tg Up получаем
У'г ~ У> = = °2A2 — (x>—*1) “i =
= —d 1g u, — (x' — x,) tg ur
Для смещения сагиттального фокуса находим
л ' . . . d cos и. . _
^У, = У2 </, = -d tg «2 + _ tg и, =
так как
sin иг — nsinu2;
для смещения меридионального фокуса получаем
* - г, d cos3 u. , _
Л</„. = У1 - t/1 = -d tg «2 + tg «. =
= dtgz/2(cob;01 - iv
B 2 \ cos2 u2 /
Окончательно
M = 0; Aj/„. = dtgu2(-^i--l) =
= -d („2 _ 1) “"‘X tg U2 = -d (П? - 1) -p /1П7'2 ,,
n — sin Uj |/(n2—sin2 ut)3
(1.59)
Как осевые, так и поперечные смещения фокусов плоскопарал-
лельной пластинкой не зависят отхь т. е. от положения пластинки,
а зависят только от ее толщины, показателя преломления и на-
клона главного луча к передней грани.
5. РАЗНОСТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Разностные формулы для сферической аберрации
Кербер вывел две формулы, позволяющие получить сфериче-
скую аберрацию и отклонение от закона синусов оптической си-
стемы, не прибегая к обычному способу, который заключается
в вычислении хода луча с большим числом знаков по основным
формулам (1.1)—(1.5) с последующим вычитанием координат
параксиального луча, рассчитанного с такой же точностью, как
первый луч. Вместо этого результат получается сложением сравни-
тельно малых величин, по существу являющихся аберрациями
луча для каждой поверхности системы.
36
Основные формулы (1.1)—(1.4) приводят к следующему выра-
жению:
, . ч п sin и гг..
Г — S' (Г — s)—r (1.60)
' п sin и ' ’
причем |см. формулу (1.3)]
и' — и + i' — i.
Введем величину D, определив ее из уравнения
sin и' = sin и sin Г — sin i -f- D. (1-61)
Разложив в этом уравнении синусы всех углов в ряды и приняв
во внимание (1.3), убеждаемся, что D —величина третьего по-
рядка малости относительно углов и', и, i и I'.
Замечая, что
, ., .. ( П 1 \ . ( п , \ Г — S .
sin I — sin l = ( — — 1 ) sm i — — — 1 )------sin u,
\ n / \ H } r
получаем из (1.61)
sin u' = sin и + (у— 1) —sin и + D.
Из формулы (1.60) находим ——г- и заменяем sin и' только
(г S )
что полученным выражением; это дает
1 п' 1 _ п' — п I tl' D /Т
г — s' п г — s nr If — s п sin и ’ ' ' '
Перепишем эту формулу для параксиальных лучей, обозначая
через s0 н s' расстояния от вершины поверхности до точек пере-
сечения луча с осью до и после преломления, получаем
так как отношение -^п~ при беспредельном уменьшении и
в силу сделанного замечания относительно величины D стремится
к нулю.
Вычитая (1.63) из (1.62), получаем
ds'_________________ J_______ds________1______1_ _ d__
п (г — s') (г — s’) ~ п “ So) (.г — S) г — s п sin/z’
ГДе
— s — So и 6s = S — Sq.
Обозначим углы, образуемые параксиальным лучом с осью
системы до и после преломления, буквами а и а'; на основании
37
уравнения (1.60) можно написать
(г — s') п' sin и' = (г — s) п sin и;
(r — s0)na — (г — So) па.
Перемножив соответственные части последних трех уравнений,
получим
n'a' sin и'ds' — ла sin uds = ла (г s0)D. (1-64)
Правую часть можно видоизменить следующим образом:
па (г — s0) D п (г — s0) D = nrh (—------~\D = nri0D,
«о \ $o r /
где i0 — угол, образуемый параксиальным лучом с нормалью.
Тогда уравнение (1.64) принимает вид
n'a' sin и'ds' — па sin и 6s — nri^D. (1.65)
Если написать уравнение (1.65) для всех р поверхностей си-
стемы и просуммировать все уравнения, то в левой части остаются
только два члена:
Преобразуем теперь величину D к удобному для вычисления виду:
D = sin и' — sin и — sin i' -f- sin i;
, . с . и’ ~ и It' -I U
sin и — sin и = 2 sin —2— cos —2— ’
sin Г — sin i = 2 sin cos 1 % ‘ •
Ho
u' — и = i' — i,
поэтому
n о • >' — i ( u' + U. i' -! i \
D - 2 sin —2— ( cos-----£-----cos —2— * =
, , i' — i i' J- i — (u' 4- и) , и - и i’ I i
= — 4 sin —x— sin----------—-------— sin------------1— =
2 4 4
= —4 sin ‘ sin sin - • (1.66)
Окончательно
- tipa’p stn u^s’p = 4 rKnKi0K sin ‘K 2‘K sin sin . (1.67)
№1
38
Величина 6.sj принята равной нулю, что практически всегда имеет
место.
Иногда удобнее заменить произведение nKi0K более симметрич-
ным выражением согласно уравнению
пк
которое может быть выведено следующим образом:
.' . к ; ft к * 1 ~~ ft к {
а»с | 1 — ССК = * Ок — Ьк = --‘Ок — 10к —--------- 10к'
пк*1 ftк*1
Отсюда
= ZZT • t1-68)
»Kti Пк
Введем для краткости символ Аббе
где f — некоторая функция величин, относящихся к падающему
лучу; /' — та же функция координат преломленного луча. На-
пример,
а' — а = Да;
-4--L =д±.
п п п
Теперь можно переписать формулу (1.67) в виде
к=р
6s’p = , г4—- / Sin * sin sin . (1.69)
пр“р sln“p A— 2 2 2
<=1
Если одна из поверхностей с номером с — плоская, то соответ-
ствующий член суммы принимает вид м X 0. Неопределенность
* Фк х
легко раскрыть, так как произведение rK sin -у стремится к ,
. поэтому слагаемое для поверхности с принимает более простой вид
1 Дас и’с — ис ис-\-ис (170)
_ftc—rs,n—-sin-2 .
Д—
Пс
Кербером выведена подобная же формула, дающая отступление
от закона сниусов, т. е. величину, позволяющую определить кому
системы для точек, лежащих достаточно близко от оси (см. стр. 112).
39
Пусть угловое увеличение системы равно Обозначим
знаком 6 (sin и'^ следующее выражение:
б (sin uK) — sin ир — sin Up
Формула Кербера для отступления от закона синусов имеет вид
sin И)
1Х
(1-71)
причем
где I = s sin и — длина перпендикуляра, опущенного из вер-
шины поверхности на луч; таким образом, lx — sx sin u,; hK —
высота падения параксиального луча на я-ю поверхность системы;
dK —расстояние между поверхностями с номерами к и к + 1;
DK — величина, определяемая формулой (1.66).
Вывод формул (1.71) и (1.71*), практически мало применяемых
вследствие их сложности, приведен в книге Popall I на стр. 305—
307.
Прн вычислениях надо обратить внимание на то, что в фор-
муле (1.71*) под вторым знаком суммы происходит двойное сум-
мирование, так как величина 6sK сама получается согласно фор-
муле (1.69) в результате суммирования по первым к поверхностям.
Разностные формулы для внеосевых пучков
Г. Д. Рабиновичем [71 предложена очень простая и удобная
формула для вычисления отступления от отношения синусов.
Дальше (гл. II) будет показано, что важной для оценки комы
ДУ , Дз'
оптической системы является величина л — —р—где
V — поперечное увеличение системы. Величина л может быть
получена в виде суммарной формулы
П - У С-72)
Развернутое выражение для D дано формулой (1.66). Вывод
этой формулы основан на формуле (1.64). В выводе формулы (1.64)
40
не делается предположения, что действительный и параксиальный
лучи исходят из одной и той же точки на оси системы. Заменяем
первый параксиальный луч вторым с величинами 0 и х, а дей-
ствительный луч оставляем прежним, исходящим из центра пред-
мета. Соотношение (1.64) принимает вид
л'Р' sin и' (s' — х') — njp! sin Uj (S] — xj = rv £>v,
i v
где s и s' — координаты точек пересечения действительного луча
с осью до и после преломления.
Имеем Sj — s' - s' • Д.<; следовательно,
n'p' sin и' (s' — x') — nipi sin Ut (sA — xj =
,o, . , , , z. г$ + Дх — x 6. (s, —x.) n, sin w, zl -c.
= n B's na (s — x) —4-------------------н-H-------7——г . (1.73)
1 V ' [_ S — X 0 (s — X ) n sin и J ' '
Но так как
rtiaiPi C*i — si) = fl'a’P' (x' — s') = -ЬЛ
где J — инвариант Лагранжа—Гельмгольца, то
р, (&1 — х,) _ n'a' 1
0' (s' — x'j ~~ V ’
с другой стороны, по определению
Л] sin «]
n' sin и'
= V+ ДУ.
Подставляя два последних равенства в уравнение (1.69) и
используя выражение для ц, получаем
п'₽' sin и' (s' — х’) — rtjPj. sin иг (sx — X]) =
,а, . , . . . As'
= п 0' sma (s' — х ) (J + sr-x,
V -j- AV
V
== —п'0' sin и’ (s’ — х') q.
Из этой формулы легко получить окончательную формулу
(1.72). Г. Д. Рабиновичем [7) выведена еще одна формула, кото-
рая может быть полезна при расчете аберраций наклонных лучей
в меридиональной плоскости, а именно:
АГ = Г - /,V = -I.V--------------------Г V Dv.
1 1 cos и 1 п a cos и i * д * *
(1-74)
41
где D — рассмотренная раньше величина, представляющая собой
выражение D = sin и' — sin и — sin i’ -Т sin i.
Углы и, и', i, i' относятся к рассматриваемому лучу,
Этой формуле можно еще придать вид
AZ' = ,^-rZ Ov - WA (COS Uv+1 - cos«„)j ,
(1-74*)
ИЛИ
M1 = ~^-4----T —,'’ 7>v + 2n1ai/iSiIi Xf,”»in “v '-v V
na COS и > I AJ_ 1 2 2 1
Если st oo, формула (1.74*) принимает вид
AZ' = I' f tg w. = , -----г rv Dv —
1 1 to 1 n a cos и v 1 v
Г tg w, , ч
— 1—s-A > .(cosu —cos a),
cos и x '
В последних формулах отдельные слагаемые характеризуют
влияние каждой поверхности.
Разностные формулы Кербера—Рабиновича целесообразно при-
менять прн расчете очень длиннофокусных объективов, например
объективов астрономических труб, когда основной тригонометри-
ческий расчет хода лучей необходимо выполнять при помощи
семизначных таблиц логарифмов. Дифференциальные формулы поз-
воляют получить ту же точность в величине аберраций при исполь-
зовании пятизначных таблиц логарифмов как при расчете хода
луча, так и при вычислении самих аберраций по формулам (1.67),
(I.7I) или (1.72). Особого выигрыша во времени эти формулы,
однако, не дают, так как необходимо сначала рассчитать ход
луча с пятизначными таблицами, а затем произвести все вычис-
ления по формулам (1.69), (1.71) и (1.72). Ценность дифферен-
циальных формул заключается в том, что они дают возможность
определить отдельно влияние каждой поверхности на аберрации.
В настоящее время дифференциальные формулы применяются
мало, так как прн точности выполняемых иа совремеинных ЭВМ
вычислений нет нужды в специальных приемах. Тем не менее
приведенные выше дифференциальные формулы представляют
теоретический интерес: они, например, позволяют оценить влия-
ние аберраций высших порядков и их распределение по поверх-
ностям, и решить ряд других задач.
42
Разностные формулы для волновой аберрации
Для оценки качества изображения, даваемого оптической си-
стемой, необходимо (см. гл. X) знать величину волновой аберра-
ции, т. е. отступления поверхности волны (поверхности, орто-
гональной лучам пучка, выходящего из оптической системы и обра- »
зующего изображение точки-предмета) от идеальной (сферической)
волны.
Рассмотрим частный случай, когда точка и ее изображение
находятся на оси оптической системы. Пусть S (рис. 1.15) —
точка, из которой исходит луч После выхода из системы луч
пересекает ось ее в точке S'. Обозначим через ру расстояние SMt
(на чертеже отрицательное); через dy — расстояние по лучу от
первой до второй поверхности; через dK — расстояние по лучу
от /с-й до к + 1-й поверхности. Величина — 4- n2dt 4- * • • 4-
+п'р' = I называется оптическим путем луча. Если из этой
величины / вычесть сумму —nysy 4- n2dy ........I- n's’ - l0 (опти*
ческий путь вдоль оси системы), то разность I — 10 обозначает
волновую аберрацию луча SAlp Эта разность I — 10, как показал
Конради, может быть вычислена при помощи приема, аналогич-
ного приему, примененному Кербером для вывода его дифферен-
циальных формул. Вычислим разность I — для одной поверх-
ности. В этом случае (рис. 1.16)
/ — =-. п'р' — пр — (n's' — ns) = п’ (р' — s’) — п (р — s), (1.75)
h h
где р - sin и ; s — + а\ а — стрелка, соответствующая
высоте h.
Далее
р — s ft ( —4------) — а — h (Tg “~-^п ы ) — 2г sin® —•
г \ sin и tg ч / \ sin и ig и / 2
43
или
р — s = hig ---2r sin2 — r sin <p tg -4,-2r sin2 =
= 2r sin (cos lg ---slT1 v )
Аналогично
p — s' 2rsm у (cos у t£y — sni 2"):
l — l0 = n’(p' — s') — n (p — s) =
2r sin -5- cos (n' tg — n tg -(n' — n) tg . (1.76)
Подставляя полученные выражения для р—s и р'—s', преоб-
разуем формулу (1.76). Выражение в квадратных скобках можно
написать в таком виде:
«'(tg^—tgf)-n(tgf-tg’-) =
л' sin ~ п sin у- /л' sin ~~ п sin у \
и’ ф и W ф I и и Г
cos у- cos ~~ cos у cos у- cos у \ cos у cos — у
Умножим и разделим последнее выражение на 2 cos cos у
и приведем к общему знаменателю. Тогда выражение в скобках
принимает вид
--------————-----;----~ ns\ni х
U и' ф I I
COS у СОЗ у- 2 COS у COS у COS у
/ и i и' Р \
X (cos у COS -g-COS — COS у 1.
Наконец, помня, что
cos a cos р — у cos (а —13) -|- у cos (а 4- р),
получаем для I —
... и' — и . и' 4 I
. Л sin I sin -5- sin -5-
- 4 —Ф—Л- с-77)
COS у cos COS -у cos у COS у
44
Если оптическая система состоит из нескольких поверхностей,
имеющих общую ось симметрии, разность оптических путей I — 10,
относящаяся ко всей системе, равна сумме разностей, относя-
щихся к каждой поверхности отдельно. Вопрос о волновых абер-
рациях будет более подробно рассмотрен в гл. X.
6. НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
В некоторых случаях могут оказатьси полезными следующие
соотношения между величинами, определяющими лучи падающий
и преломленный при прохождении через сферическую поверхность
(формулы приводятся без выводов):
i — i и х и
2n' sm-2-cos-^—
r sin i
(1-78)
гг' cos и
п cos и
п' sin (Г — I)
sin i
(1.79)
п —п и 4- и i ,
— cos —$— sec —2— J (Эрфле)
—— COS —------—cos —ъ— =
s 2 s 2
n' cos 11 i---n cos ц , (Кайзер)
п'
s’
— Sin —5-
sec 11 £l- sin и ; (Конради)
п' sin а' — n sinu =
. i — i i • -r i
h. cos —£— sec —<5—;
n's' sinu' — ns sin u — h(n' cos Г — n cost).
(1.80)
(1.81)
7. ОТРАЖЕНИЕ ОТ СФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Если в центрированной оптической системе встречается не-
сколько отражающих поверхностей, то расчет хода луча через
систему можно выполнить по вышеприведенной схеме для систем
преломляющих поверхностей, ио только правило знаков нужно
изменить. В этом случае положительным направлением будем
считать направление слева направо, как и раньше, но это может
и не совпадать с направлением света. Далее нужно принять, что
отражающая поверхность с номером к разделяет две среды с по-
казателями преломления равными по величине, но с противопо-
ложными знаками, т. е. нужно принять, что = —пк.
45
Правила знаков для величии s, s', г и h остаются без измене-
ния. Правила знаков для углов u, i и <р можно оставить такими же,
но нужно понимать под направлением луча направление слева
направо, которое, как сказано, ие всегда совпадает с направле-
нием распространения света. Толщине dK после отражения при-
писывается знак, противоположный знаку толщины
Таким образом, расчет делается по обычным вышеприведенным
формулам, в процессе расчета хода луча при отражении меняют
знак у показателя преломления и у толщины, следующей за отра-
жающей поверхностью. Если после первого (и вообще нечетного)
отражения следует несколько преломляющих поверхностей, при-
ходится некоторое время (до следующей отражающей поверх-
ности) иметь дело с отрицательными толщинами и показателями
преломления.
При этом, однако, отношение п/п' на преломляющих поверх-
ностях остается положительным. Для быстрой ориентировки
в знаках углов и и i следует представить себе, что луч во всех
средах распространяется слева направо, и в этом предположении
определять знаки углов и и i, пользуясь обычными правилами,
изложенными в начале главы.
8. техника ВЫЧИСЛЕНИЙ. ОШИБКИ и их нахождение
Расчеты хода лучей, меридиональных и косых, а также опре-
деление положения фокусов бесконечно тонких астигматических
пучков удобнее всего производить с помощью логарифмических
таблиц. Вычисления с помощью арифмометров также получили
некоторое распространение, но до сих пор нельзя указать ни
на одну схему, которая была бы заметно выгоднее других-. При
выборе способа вычислений следует в первую очередь руковод-
ствоваться соображениями, связанными с эксплуатацией тех или
иных пособий — таблиц или счетных машин.
В большинстве случаев достаточную точность дают пятизнач-
ные логарифмические таблицы, однако при расчетах длинно-
фокусных систем (объективы телескопических систем с большим
увеличением, астрономические объективы) и систем с большими
апертурными углами (объективы микроскопов) лучше пользо-
ваться шестизначными, а иногда и семизначными (при фокусных
расстояниях свыше метра) таблицами нли применять особые
приемы, о которых говорилось выше.
Одним из таких приемов, пригодных для вычислений сфери-
ческой аберрации, является применение дифференциальных фор-
мул Кербера и Рабиновича. Обычно вычисления делаются одно-
временно двумя вычислителями, сверяющими через определенное
число операций полученные результаты. Этот прием не вполне
гарантирует от ошибок, и одной из задач конструктора является
веление расчета таким образом, чтобы всякая ошибка была сразу
46
обнаружена и ие оказывала влияния на дальнейший ход работы.
Грубые ошибки замечаются без труда по значительному расхож-
дению между полученным и ожидаемым результатом. Гораздо
труднее отыскание мелких ошибок, встречающихся чаще, чем
крупные. Их причина — неправильное интерполирование, не-
верное сложение и т. д.
Такие ошибки, влияющие на результат расчета достаточно
малы, чтобы обратить иа себя внимание ведущего работу, могут
иметь большое значение для дальнейшего хода вычислений,
давая неверный материал, на основе которого делаются непра-
вильные выводы о влиянии изучаемого параметра на качество
изображения, образуемого системой, и т. д. Для предупреждения
подобных последствий можно рекомендовать не давать ни одного
расчета хода луча, не зная наперед хотя бы примерного значения
ожидаемых результатов; ввиду этого необходимо тщательно
собрать и обработать тот материал, который может помочь такому
предсказанию. Такая предварительная подготовка, помимо пря-
мой цели, дает необходимые и важные для дальнейшего ведения
расчета сведения о свойствах рассчитываемой или изучаемой
системы. В тех случаях, когда отсутствуют какие-либо вспомо-
гательные материалы, необходимо сделать расчеты нескольких
добавочных лучей. Имея несколько точек на кривых аберраций,
можно судить о правильности отдельных результатов. В даль-
нейших главах будут даны примеры такой обработки материалов;
будет показано, какую ценную помощь могут оказать применение
теории аберраций третьего порядка и некоторые сведения об
аберрациях высших порядков.
ЛИТЕРАТУРА.
l. V on Rohr М. Die Theorie d. optischen Instrumente. Berlin, Springer,
1904.
2. Czapski S., Eppenstein O. Grundziige d. Theorie der Optischen
Instrumente. Leipzig, Barth. 1924.
3, Smi t h T. National Physical Laboratory, Collected Researches, vol. 18,
1922.
4. Л e б e д e в И. В. Опт. пром., 1938, № 7.
5. Feder D. Р. JOSA, vol. 41, 1951.
6. Слюсарев Г. Г. Геометрическая оптика. №.. — Л.. АН СССР, 1946.
7. Р а б и н о в и ч Г. Д. —ЖТФ. Т. XVI. Вып. 9, 1946.
ГЛАВА II
ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ ЦЕНТРИРОВАННОЙ
ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1. АБЕРРАЦИИ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ
Гауссова теория изображения и эйконалы
Гауссова теория изображения оптическими системами является
приближением, пригодным только в случаях, когда поперечные
размеры оптической системы и размеры объекта очень малы по
сравнению с продольными размерами системы или, другими сло-
вами, когда поле зрениясистемы и ее апертура очень малы. В реаль-
ных системах законы гауссовой теории теряют смысл. Изображе-
ние светящейся точки уже не представляет собой точку; лучи,
излучеииые точкой-объектом и прошедшие через оптическую
систему, уже не собираются в одной точке, а образуют в плоскости
установки некоторую фигуру рассеяния весьма сложного вида;
картина усложняется еще явлениями дифракции, которые будут
рассмотрены особо (см. гл. X).
Теория аберраций, наравне с гауссовой теорией изображения,
лежит в основе всех методов расчета оптических систем. Явление
аберраций для зеркал было известно в глубокой древности,
а с XVII в. оно стало известным и для преломляющих систем
(Кеплер, Декарт); изучение сферической аберрации было предпри-
нято Ньютоном; ему было известно также и явление астигматизма.
Однако, несмотря на ряд блестящих работ Гюйгеиса, Р. Смита,
Клеро, Эйлера и Лагранжа по геометрической оптике, систематиче-
ское изучение аберраций началось только в середине XIX в. (Зей-
дель, Эри, Коддинтои и др.); в дальнейшем развитии теории абер-
раций принимали участие Пецваль, Аббе, Гульстраид, Шварц-
шильд, Т. Смит и др. Параллельно с перечисленными исследова-
ниями, основанными в общем на законе преломления Сиеллиуса,
развивалась (на основе принципов Ферма н Малюса о кратчай-
шем оптическом пути) теория характеристических функций Га-
мильтона, из которой возникли эйконалы Брунса и Шварцшильда.
Систематическая и полная теория аберраций оптических систем
может быть разработана иа основании особой теории соответствия
между двумя совокупностями прямых (лучей); этн соответствия
устанавливаются при помощи функций, называемых эйконалами
н определяющих свойства изображений. В отличие от теории кол-
линеарности Аббе, в которой совокупности лучей удовлетворяют
48
общего характера, которые
трем основным условиям коллинеарности Максвелла, предпола-
гающим заранее полное отсутствие аберраций, в теории эйконала
делается единственное и вполне естественное предположение, что
каждому лучу в пространстве предмета соответствует луч в про-
странстве изображения. Эго соответствие выражается некоторой
зависимостью между координатами лучен; написав эту зависи-
мость по определенному правилу, можно посредством простой
математической операции получить все аберрации оптической
системы. Кроме того, теория эйконала позволяет установить ряд
свойств оптических систем весьма
значительно труднее получить дру-
гими методами.
Эйконалы представляют собой
функции от тех или иных пара-
метров, выражающие оптические
расстояния между специальным
образом выбранными точками. На-
помним, что оптическим путем
между двумя точками А и В назы-
вается сумма J nl произведений
показателей преломления п на
отрезки /, отсчитываемые вдоль
пути луча, соединяющего точки
Эйконалы отличаются друг от
определяющих луч, а также точек
ческого пути. Для решения задачи о расчете аберраций, особенно
если интересует зависимость их от положения предмета н изобра-
жения, удобнее всего использовать так называемый угловой
эйконал, т. е. оптический путь между точками Р н Р' — точками
пересечения луча с перпендикулярами к нему, опущенными из
точек О и О', в которых плоскости предмета и изображения пере-
секают оптическую ось системы. В качестве параметров, опре-
деляющих луч, возьмем направляющие косинусы р и v падаю-
щего и р' и у’ преломленного лучей. Третий косинус X (X') опре-
деляется из известных соотношений
X2 + p2 + v2=I; 1
«,« I '2 I '2 II (H-I)
X 4- р + v ' = I. ] 7
Пусть О и О' (рис. И.2) — две сопряженные точки на оси
системы в пространстве предметов и в пространстве изображений;
RMM'R' — луч; ОР и О'Р' — перпендикуляры, опущенные из
точек О и О' иа луч RMM'R'. Если четыре величины р, v, р', v'
заданы, то, вообще говоря, луч полностью определен, так как
один и только один луч обладает указанными значениями пара-
метров.
А и В (рис. II.I).
друга выбором параметров,
начала и конца отсчета опти-
4 Г. Г. Слюсарев
49
Действительно, пусть заданы параметры р, v, р' и v'. Пара-
метры р и v определяют совокупность параллельных лучей,
падающих на систему. Среди этой совокупности лучей найдется
одни и только одни, у которого после преломления через оптиче-
скую систему направляющие косинусы будут соответственно
равны р' и v'.
Исключением является случай телескопических систем, когда
может ие оказаться ни одного луча с заданными параметрами
нли их может быть бесконечно большое число, если система
идеально неправлена для данного направления.
Зависимость углового эйконала от переменных р, v, р', v'
может быть установлена с помощью дифференциальных соотно-
Рис. П.2
шений, для вывода которых нужно рассмотреть новый луч Rl}
бесконечно близкий к лучу R. Предположим, что в пространстве
предметов луч Rt параллелен лучу R, а следовательно, имеет
те же р и v, что и луч R, ио проходит через точку у 4~ dy, z -г dz
плоскости YZ. После преломления через оптическую систему
луч Rt займет положение, определяемое косинусами р' + dp',
v' + dv'. В общем случае луч Ri в пространстве изображений ие
будет параллелен лучу R', но и не будет пересекать его. Найдем
на обоих лучах две ближайшие точки: точку У' с координатами X',
Y' и Z на луче R и точку ЛЧ с координатами X + dX ; Y +
+ dY и Z + dZ' на луче r\. Отрезок N' N\ есть кратчайшее
расстояние между лучами R и Rt в пространстве изображений;
он перпендикулярен каждому из иих. Обозначим косинусы углов,
образуемых лучом R' с осями О'х', O'y', O'z', буквами V, р' hv';
эти косинусы связаны соотношением
Соответственные косинусы для луча Ri будут равны X ф- dk ,
р' -|- dp' и v' —j- dv'.
Опустим из начала координат О' перпендикуляры: О'Р' иа
направление луча R и О' Р\ на направление луча R\. Расстояния
N Р и NiP\, равные проекциям радиусов-векторов О N и O\N 1
50
на лучи /? и /?1, очевидно, определяются формулами
N'P' = XX' + р'У' + v'Z'; (II.2)
N[p[ = (V + dV) (х' + dX) + (н + du') (У' + d/') +
+ (v'+ dv')(Z'+ dZ'). (II.3)
Введем функцию W, выражающую собой длину оптического
пути между точками Р и Р’ в зависимости от значений р, р',
v и v ; измененное для луча значение той же функции W дает
длину оптического пути между точкой Рг (пересечением перпен-
дикуляра OPit опущенного из начала координат О на луч
и точкой Р[. Согласно представлениям волновой теории света,
лучи геометрической оптики суть нормали к поверхности свето-
вой волны; поэтому два бесконечно близких параллельных луча R
и R’ в пространстве предметов можно рассматривать как нормали
к элементу плоской волны, находящемуся в плоскости ОРРХ; в та-
ком случае световые колебания в точках Р и Рг имеют одинаковые
фазы. В пространстве изображений точки N и Л4, лежащие иа
общем перпендикуляре (V (Vi к лучам R и R\, также принадле-
жат одному элементу поверхности волны и, следовательно, имеют
одинаковые фазы колебаний. Согласно теореме Малюса, система
лучей, ортогональных поверхности волны в пространстве пред-
метов, сохраняет свойство ортогональности по отношению к по-
верхности волны после всех преломлений и отражений при про-
хождении ее через оптическую систему; поэтому можно считать,
что отрезки PPi и N лежат на поверхности волны, проходя-
щей через систему. В этом случае оптические длины между точ-
ками Р и N , с одной стороны, и точками Р\ и N\, с другой, оди-
наковы; поэтому приращение функции W определяется произве-
дением п' иа разность путей, определяемых уравнениями (II.2)
н (II.3),
NxP'i — NP' = X dX' 4- р' dY +
-4 v' dZ' -j- X' dX -r Y' dpJ ф- Z' dv'.
При этом произведения второго порядка малости, конечно,
во внимание не принимаются.
В этой разности сумма первых трех членов
X'dX' + p' dY' -pv'dZ' =0,
так как прямая N Л4 перпендикулярна лучу с направляющими
косинусами %', р', у'. Таким образом,
dW — п’ (X' dX -ф Y' d[i' -ф Z' dv'). (11.4)
4!
51
В силу соотношения (П.1)
dl' = -
Следовательно,
dW = п* (У' — X' -£-) dfi' + п' — Х'-^ dV,
откуда
(П.5)
Геометрическое толкование правых частей уравнения (II.5)
не представляет затруднений: они равны соответственно коорди-
натам Y', Z' точки L' пересечения луча с плоскостью Y'Z'. что
легко проверить, если в уравнение луча
х' — X' _ г/' —У' _ z' -7J
V р' V'
подставить х' = 0. Тогда у' и г получаются равными правым
частям уравнения (П.5).
С помощью точно таких же рассуждений можно прийти к вы-
воду, что
31Г ' dW
—— . - пу\ — -- пг,
dp J ov ’
(П.6)
(П-7)
— n’z'.
где у и г — координаты точки пересечения луча R. с плоскостью YZ
в пространстве предметов. Переписываем уравнение (II.5), учи-
тывая геометрическое толкование:
dW , , dW
-^-r — — п у ; -ЧГ7-
dp а dv
Системы уравнений (II.6) и (II.7) показывают, что если бы
функция W (р, v, р', v') была известна в явном виде, то, диффе-
ренцируя ее по одной из переменных, от которых она зависит,
и подставляя в выражение этой производной численные значе-
ния р, V, р' и v' для рассматриваемого луча, можно получить
координаты точки пересечения луча с плоскостью YZ (или Y'Z').
Рассматривая ряд лучей, исходящих из одной и той же точки
dW d№
плоскости предмета, и вычисляя все производные -^г и ,
соответствующие этим лучам, можно получить ряд значений для
точек пересечения лучей с плоскостью изображения. Естественно
брать за плоскости YZ и Y'Z’ плоскости предмета и изображения,
что в дальнейшем и будет сделано.
Таким образом, функция W определяет точку пересечения
луча с плоскостью изображения, что является основной задачей
52
расчета хода луча. Однако функция W, за исключением очень
малого числа не представляющих практического интереса слу-
чаев, ие может быть выражена в конечном виде как функция от р,,
v, р' и v'; ее приходится выражать в виде ряда, расположенного
по степеням р, v, р', v'.
К этим вычислениям мы вернемся ниже. Если с чнсто техни-
ческой стороны применение теории эйконала для расчета аберра-
ций ие представляет каких-либо серьезных преимуществ по
сравнению с методами, основанными иа непосредственном примене-
нии элементарных формул тригонометрического расчета хода
лучей, то необходимо отметить, что только эта теория позволяет
получать очень ценные при расчете сведения общего характера
об аберрациях (например, данные о числе независимых коэффи-
циентов аберраций разных порядков тех или иных оптических
систем).
Общий вид выражений для аберраций третьего порядка
Как следует из формул (11.6) н (11.7) производные от углового
эйконала IF по направляющим косинусам р, v, ц', v' равны
соответственно координатам у, 2, у', z' точек пересечения лучей
с плоскостями предмета и
изображения.
Пусть LL' (рис. П.3) —
центрированная оптическая
система; 00 — плоскость
предмета; О'О' — плоскость
изображений; РР и Р'Р' —
плоскости входного и выход-
ного зрачков; А — точка
предмета, лежащая в мери-
Рис.П.З
диональной плоскости иа
расстоянии у — I от оси; ABCDEF — луч, определяемый коор-
динатами т и М точки его пересечения с плоскостью входного
зрачка; этот луч пересекает плоскость изображений О'О' в точке
F, координаты которой у' и г'. Если бы система была идеаль-
ной, то мы должны были бы иметь у' — $у, г' = рг = 0.
Отступления у' — $у = 6g' и г' — рг — &G’ представляют
собой проекции на оси координат поперечной аберрации AqF,
т. е. расстояния между идеальным изображением До точки А
н точкой пересечения луча с плоскостью изображения.
Эти проекции суть функции от координат падающего луча I, т
и М и от конструктивных элементов оптической системы OLL',
т. е. от радиусов кривизны ее поверхностей, толщин и показателей
преломления линз, воздушных промежутков между линзами и
положения плоскостей предмета и входного зрачка.
53
Считая систему известной, рассмотрим 6g' и 6G' как функции
от одних только координат луча /, т, М, так что
6g' = /х(/, /п, Му 6G' = /а(/, т, му
Вследствие симметрии системы относительно оси легко уста-
новить, что функции /j и /2 не могут содержать членов четных
порядков, как Im, М2, тМ и др.; присутствие таких членов на-
рушило бы выполнение условий
f](— I, -т, — т, М);
{.,(1, т, —М) = — т, .41)
и т. д., обусловленных симметрией системы. Пусть е — расстоя-
ние от плоскости входного зрачка до плоскости предмета. Если
о'. Л (/, т, М) разложить в ряд Мак-
fl' I Г" ' I т М
JU-----е----► лорена по величинам —, — и — ,
f/\ А' которые мы примем за величины пер-
вого порядка малости, то получим
4-М—Г---------О’-- т' = “14 + а‘~7~ +
'т * * I м . г Iя I t. ?т I
Т 4- а3 — 4- Ьх 4- Ь2 4-
Рис. II.4 + -^-4- • - (П.8)
где аг - — частная производная от /, по -у, соответ-
ствующая значению I = 0; а2 = — частная производная
от /а п° у» соответствующая значению т = 0, и т. д.; о, —
= — частная производная от третьего порядка по I
для значения / = 0 и т. д.
Но коэффициенты о2, а.3 равны нулю. Это вытекает из
принципа Ферма, что легче всего показать следующим образом.
В теории идеальных систем, а также реальных систем в парак-
сиальной области было показано, что все лучи, исходящие из
точки предмета, вновь сходятся в точку, лежащую в плоскости
изображений.
Рассмотрим, что происходит с изображением, если взять в ка-
честве плоскости установки плоскость, отстоящую от плоскости О'
иа величину Д. Такое изменение плоскости установки может улуч-
шить качество изображения в тех случаях, когда имеются аберра-
ции, и иногда называется дефокусировкой. Пусть Р' (рис. II.4) —
плоскость выходного зрачка системы; Ро — центр выходного
54
зрачка; А' — изображение точки-предмета А параксиальными
лучами; N' — точка на выходном зрачке с координатами т'
и М’. Найдем координаты у' и г' точки пересечения А" луча,
проходящего через точку Л4, с плоскостью Oi, отстоящей от пло-
скости изображения О' на величину Д и от выходного зрачка
иа е' -[• Д. Уравнение луча N'A' имеет вид
X _ Y —т' _ Z — M'
' у' — т' ~ — М'
ИЛИ
У = т' + у'-т' X; Z = М' + -^4^-Х.
е 1 е
Дадим X значение в' |- Д. Тогда
У = т' (у' - tri) (I + 4) +
Z = M' —М'( \ +4*) =— м'
Изменение координат точки пересечения при переходе от ста-
рой плоскости О к новой еще ие характеризует измеиеиия картины,
так как такому изменению подверглись координаты всех лучей,
в том числе и главного луча ЛИ . Важны изменения, отнесенные
к новому положению точки пересечения главного луча. Для
главного луча координаты этой точки равны
о = У' + У' ~ У' I + ~ j > 20 = 0.
Относительные изменения
У — У„ = — tri 4-; Z--Z,. = —X\'Y
0 е' 0 е'
пропорциональны первым степеням координат т' и М'. Но для
идеальных систем т' = $рт\ М' = ррЛ1, где — линейное
увеличение в зрачках. Для реальных систем приходится ввести
поправки третьего порядка малости относительно величин -у-, ,
которыми для принятой нами точности можно пренебречь, так как
они умножаются на Д — величину второго порядка малости, по-
скольку она такого же порядка малости, что и продольные
аберрации системы.
Окончательно можно сказать, что изменение положения пло-
скости установки на величину Д вводит аберрации
ле- - - 4
55
первого порядка малости. Отсюда можно сделать вывод, что на-
личие членов аберраций первого порядка малости свидетельствует
о случайности выбора плоскости установки.
Если за плоскость установки принять плоскость, сопряжен-
ную с плоскостью предмета, то коэффициенты аг н а3 должны
быть равны нулю.
Определим более точно вид разложения (I, т, Л1) и (Л
т, 2W). С этой целью установим существование функции S, част-
ные производные от которой по ее аргументам как раз равны /д
и /2; эта функция S играет роль потенциала аберраций. Симме-
трия системы позволяет легко представить разложение функ-
ции S в ряд по степеням ее аргументов и по этому разложению
решить поставленный вопрос.
Уравнение поверхности волны
Рассмотрим поверхность волны пучка лучей, исходящих из
светящейся точки А, лежащей в меридиональной плоскости.
После выхода из оптической системы 00' эта волна, претерпев-
г шая на каждой преломляющей по-
верхности изменение формы, больше
I не является сферической. Ее отсту-
( v- пление от сферической формы может
—— быть определено отрезком N> пред-
z ставляющим собой отсчитываемое по
у> / нормали расстояние между реальной
\1 / волной и идеальной волновой поверх-
^рис ц 5 ностью, определяемой центром в точ-
ке Ло (идеальном изображении точки
Лх) и радиусом R’, равным расстоянию между плоскостью изо-
бражения и плоскостью выходного зрачка.
Пусть ОХ (рис. II.5) —оптическая ось системы; О — начало
координат; XOY — меридиональная плоскость, содержащая гаус-
сово изображение С светящейся точки, причем С находится на
расстоянии /о от оси.
Пусть S — идеальная волновая поверхность с вершиной
в точке О и радиусом ОС = /?'; М — некоторая точка этой
поверхности; МК — нормаль к волновой поверхности в этой
точке; К—точка пересечения нормали с реальной волновой
поверхностью.
Уравнение идеальной волновой поверхности имеет вид
(х -d)2 + (У -Q2 + Z2- К” = О,
где d — абсцисса точки пересечения плоскости установки
с осью ОХ.
56
Можно написать уравнение реальной волновой поверхности
в таком виде:
f (х> z) = (х — ф2 + (У — — (/? N)'2 — О,
где N — отрезок МК — некоторая функция от у и от г.
Уравнение нормали к реальной волне в точке с координатами yt
2 и х имеет вид
X - х _ Y —у __ Z — 2
' *Л' ’ “ _д[_
дх ду дг
откуда, пренебрегая величиной N по сравнению с R'
что N — функция от у и z, получаем
и помня,
х — d п’ dN ~
v-k-R
Полагая в последнем уравнении X
координат Z = 6G , Y = /о г 6g7 точки
скостью установки, а именно:
Z — z
= г» дХ •
2 — R
dz
= d, получаем
пересечения луча с пло-
(II.9)
значения
(11.10)
Уравнения (II. 10) связывают поперечные аберрации 6G' и 6g'
с производными от функции N по г и по у. Остается теперь выра-
зить последние координаты через известные т и АГ.
Если аберрации системы невелики, то можно принять, что
направление реального луча, проходящего через точку М идеаль-
ной волновой поверхности с координатами х, у, z, мало отличается
от направления нормали МС, т. е. можно принять, что реальный
луч проходит через точку С с координатами d, /0 и О. Положим,
что плоскость yOz совпадает с плоскостью выходного зрачка и что
координаты точки пересечения луча с этой плоскостью суть 0, т'
и М'. Так как эти координаты должны удовлетворять уравнению
прямой, проходящей через точки М и С, то они связаны следую-
щими соотношениями:
М' = г;
а — х
dy — xl0
tn = -------
d — х
(11-11)
где
X^d-Y
Эти приближенные уравнения дают достаточную точность
для всех случаев, встречающихся на практике, так как нормали
57
в соответственных точках обеих волновых поверхностей — реаль-
ной и идеальной сферической — мало отличаются друг от друга.
Если угол расхождения выходящего пучка невелик и отно-
шение диаметра выходного зрачка к расстоянию d (или /?') не
превышает 1 : 4 и даже 1:3, то формулы (II.II) могут быть
упрощены следующим образом. Положим, что d = /?'; тогда
обычным приемом разложения корня квадратного в ряд по фор-
муле бинома Ньютона находим
Далее, используя формулы (Н.П) и помня, что х мало по
сравнению с d, получаем приближенные формулы для т' и М'
в таком виде:
т'=у + ~(у— l'o)\ M' = z(l+~y)-
После замены х только что найденным приближенным значением
находим
I z2 4- (у — Q2 .
т' ~ У ~2 ' (# о) ‘
Наоборот, у и 2 выражаются через М' и т' следующим образом:
(11.13)
(II.14)
Формулами (11.12) и (11.13) следует пользоваться только
тогда, когда нужна исключительная точность; во всех остальных
случаях можно просто положить, что М' = 2, т' = у, и тогда
вместо формулы (11.10) имеем
6G' = «'w-
Волновая аберрация N представляет собой функцию от у' и z',
т. е. от координат точки пересечения луча со сферой S. Но коорди-
наты у' и г' могут быть выражены через т' и М', поэтому функция
N может быть разложена в ряд по степеням т' и М'. Она зависит
также от конструктивных элементов системы и от положения
плоскости предмета, ио в данном вопросе эта зависимость может
58
не приниматься во внимание. Сопоставляя уравнения (11.8) и
(11.14) и помня, что коэффициенты = о2 = а3 = 0 и что т' —
— pm и М' = с точностью до членов третьего порядка малости,
мы видим, что разложение функции N начинается с членов чет-
вертого порядка малости.
Рассмотрим теперь, как использовать симметрию системы для
определения числа коэффициентов разложения.
Каноническая форма уравнения поверхности волны
В выражение всякой функции от нескольких переменных вхо-
дит еще ряд коэффициентов, число которых путем специального
выбора системы координат или введением новой системы перемен-
ных может быть доведено до минимума.
Например, уравнение конического сечения в прямоугольной
системе координат имеет вид
Ах2 + Вху 4- Су2 + Dx 4- Еу -f- F = О
с шестью коэффициентами А, В, С, D, Е, F. Но особым выбором
осей координат это уравнение может быть приведено к виду
а2 уа -
где имеется только два коэффициента а и Ь. Никакими способами
коническое сечение не может быть представлено меньшим числом
параметров.
Волновая аберрация N представляет собой функцию четырех
параметров, например у, z, т', М' (за у и z здесь принимаем ко-
ординаты точки пересечения луча с плоскостью предмета).
Если разложить эту функцию в ряд по степеням величин у.
z, tn' и М’, то в общем случае будет 1 член нулевого порядка,
4 члена первого порядка, 10 (1 4-3 4-6) членов второго порядка,
20 (I 4- 3 4- 6 4- Ю) членов третьего порядка и 35 (1 4- 3 4- 6 +
4- io 4- 15) членов четвертого порядка (столько членов, сколько
имеется частных производных того же порядка). Особым выбором
системы координат (перемещением начала координат и изменением
направления осей) число членов может быть уменьшено на не-
сколько единиц.
Насколько деликатен вопрос о минимальном числе независимых коэффициен-
тов функции, можно иллюстрировать двумя примерами из теории аберраций.
Пецваль, первым давший разложение в ряд аберраций пятого порядка, насчи-
тал 12 коэффициентов; Шварцшильд нашел всего У. По поводу этого числа воз-
никла полемика между Кербером и Зоннефельдом; Кербер, проделав разложение
другим методом, подтвердил результаты Пецваля, в то время как Зоннефельд
доказал правильность вывода Шварцшильда. Победа осталась за последним.
Лармор насчитал 7 независимых коэффициентов в разложении эйконала
второго порядка общей оптической системы; Смит и после него Герцбергер пока-
зали, что это число может быть сведено к 6 (вместо 10 при случайном выборе ко-
ординатной системы).
59
Если оптическая система обладает осью симметрии, то функ-
ция N по-прежнему зависит от четырех переменных: у, z, т'
и М', но эти четыре переменные могут входить в выражение для N
только в определенных комбинациях, обусловливаемых осевой
симметрией. Пусть ОХ (рис. II.6) — оптическая ось системы;
А (у, г) — точка, где луч пересекает плоскость предмета; Р' (т',
ЛГ) — точка, где луч пересекает плоскость выходного зрачка;
(риф — углы, образуемые с меридиональной плоскостью радиу-
сами-векторами ОА -= г и О’Р’ = г’. Положение луча АР' по
отношению к оси симметрии ОХ определяется тремя параметрами,
/т\ например расстояниями ОА и О’Р’ и
f \ разностью углов ф — ф; все эти трн
уЫ х величины при вращении луча АР' от-
“YT ~ носительно оси остаются постоянными.
47 \J у —г cos (р; т'— г' со$ф;
РИС. п,б г=г51Пф; М' — r'sinip.
Следовательно, постоянными остаются величины
7? = у2 + г2 = г2; Rp = т,г + М’* = r'*;
и = ут' + гМ' = г г’ cos (ср — ф).
Так как положение прямой АР' относительно оси ОХ пол-
ностью определено тремя величинами Rp, р и (ф—ф), то У может
зависеть от у, z, т' и М' только через их функции R, Рр и и.
Так как это функции второго порядка относительно у, z, т'
и М', то величина 2V<4), т. е. сумма всех членов N, порядок кото-
рых равен четырем, может быть составлена только из шести ком-
бинаций, а именно /?2, R2P, и2, RRP, Ru, Rpu, н имеет вид
д''41 = + 4 я2+4^ +Си"+-т +ERu+FR“u-
где А, В, . . F — некоторые постоянные, зависящие только
от конструктивных элементов системы; численные коэффициенты
н поставлены для удобства дальнейших выкладок.
С целью упрощения выберем плоскость XOY так, чтобы она
проходила через точку объекта; тогда г -- 0. Дифференцируя
последнее уравнение, вычисляя производные согласно (11.14)
и заменяя величины R, Rp и и их выражениями, получаем
6g' = р' [Вт' (т’2 + №) + F (Зт'а + №) у +
+ (2С + D'ijn’y2 4- £(/>];
SG' = R’ [ВМ’ (т'г + М'г) + 2m'M'yF +
60
Члена, содержащего коэффициент А, нет, и остались только
члены, зависящие от В, С, D, Е, F. Каждый из этих членов соот-
ветствует некоторой комбинации произведений величин у, т',
М', причем сумма степеней всегда равна трем. Отсюда и произошло
название «аберрации третьего порядка», данное этим членам.
Положим R'B =Л„ R'F - Blf (2С + D) R' - С,, R'E = ЕJt
У = I-
Для dg' и 6G' получаются следующие формулы:
gg' = А^т' (т'2 + М'2) + Bjl(3m'2 + ЛГ2) + С^т’ + Е^3; 1
60' = Л1Л1'(т'а + Л1'2) + 2В1/т'Л1'+О1/2Л1', / (П.15)
где Д], Bi, . . ., Ех — коэфициенты, зависящие только от по-
стоянных оптической системы и от положения плоскостей объекта
и входного зрачка, но не зависящие от координат луча; послед-
ний определяется четырьмя координатами: двумя в плоскости
объекта {у = I, z = 0) и двумя координатами пересечения луча
с плоскостью выходного зрачка (т' и М'). Впрочем, можно за-
менить координаты в плоскости выходного зрачка т' и М' коорди-
натами точки пересечения луча с плоскостью входного зрачка т
и М. Для этой цели пользуются соотношениями т’ = т$р,
М' = М$р, верными только в гауссовой области; но при рас-
смотрении аберраций третьего порядка такая замена не меняет
результатов, и мы получаем формулу точно такого же вида, как
формула (11.15), где коэффициенты . . ., имеют иное чис-
ленное значение.
Изображение точек при наличии аберраций
Как уже было указано, гомоцентрический пучок лучей, вышед-
ших из какой-нибудь точки пространства предметов, после про-
хождения через оптическую систему вследствие наличия аберра-
ций оказывается ие гомоцентрическим; лучи его не пересекаются
в одной точке и поэтому в плоскости гауссового изображения
образуют размытое светлое пятно — пятно рассеяния. Фор-
мулы (11.15) дают возможность определить точку пересечения
с плоскостью изображения каждого отдельного луча нз числа
образующих пучок, если оптическая система обладает аберра-
циями только третьего порядка.
Чтобы исследовать распределение точек пересечения с пло-
скостью изображения отдельных лучей данного пучка, обычно
пользуются следующим приемом: из всего пучка рассматривают
непрерывную совокупность лучей, выходящих из одной точки
предмета и по выходе из системы пересекающих плоскость выход-
ного зрачка по окружностям с центром на оси системы.
Каждая такая совокупность лучей в плоскости изображений
дает систему точек пересечения, геометрическое место которых
61
есть замкнутая более или менее сложная кривая. Обыкновенно
изучают кривые, получающиеся в том случае, когда только один
из пяти коэффициентов в формулах (II.15) ие равен нулю, т. е.
изучают в отдельности кривые аберраций, определяемые только
одним из коэффициентов.
Каждая из пяти аберраций, определяемых одним из коэффи-
циентов в формулах аберраций, имеет особое название. Аберра-
ция, обусловленная коэффициентом А, называется сферической
аберрацией-, коэффициент В определяет кому, С — кривизну по-
верхности меридиональных фокусов астигматического элементар-
ного пучка, D — кривизну поверхности сагиттальных фокусов
того же пучка, Е— дисторсию (изображения). Необходимо
отметить, что в действительности случаи, когда система обладает
только одной аберрацией, являются исключительными; обычно
системы имеют все пять аберраций. Различные комбинации абер-
раций для различных точек предмета дают иногда очень сложные
кривые распределения точек пересечения лучей, принадлежащих
к одной определенной выше совокупности лучей, с плоскостью
изображения.
Если допустить, что оптическая система не дает аберраций
в плоскости выходного зрачка, т. е. что выходной зрачок есть
безаберрационное, идеальное изображение входного зрачка, то
каждой совокупности лучей, выбираемой указанным способом
для исследования распределения лучей по выходе их из системы,
в пространстве предметов соответствует пучок лучей, располо-
женных на конической поверхности с вершиной в изображаемой
точке и проходящих через точки окружности в плоскости выход-
ного зрачка с центром иа оптической оси. На самом деле, вслед-
ствие аберраций в зрачках, окружности в плоскости входного
зрачка соответствует замкнутая кривая в плоскости выходного
зрачка, отступающая по форме от окружности. Но эти отступле-
ния невелики, и ими можно пренебречь при решении всех задач,
связанных с качеством изображения, так как этот вопрос по своей
природе не требует особо точных ответов.
Если распределение лучей в пучке, выходящем из оптической
системы, известно, то в некоторой степени можно судить о распре-
делении световой энергии в пятне рассеяния по большей или
меиьшей плотности точек пересечения лучей с плоскостью изоб-
ражения при условии равномерного распределения точек пере-
сечения тех же лучей с плоскостью выходного зрачка. Найденное
таким образом распределение энергии соответствует действитель-
ному только в случаях значительных величин аберраций; у более
совершенных систем с хорошим исправлением аберраций распре-
деление световой энергии в пятне рассеяния есть результат интер-
ференции когерентных лучей и потому место наибольшей густоты
точек пересечения лучей может не быть местом наибольшей осве-
щенности.
62
В дальнейшем при исследовании распределения лучей в пучке
будем рассматривать совокупности их, определяемые пятью
окружностями в плоскости выходного зрачка с радиусами, длины
которых относятся как 1 : 0,8 : 0,6 : 0,4 : 0,2, т. е. образуют
арифметическую прогрессию.
Сферическая аберрация. Если коэффициенты В - С ~ D = Е
равны нулю, то оптическая система обладает только сферической
аберрацией третьего порядка; координаты точки пересечения
луча с плоскостью изображения определяются уравнениями
6g' = Ат' (т‘- + №); 1
. 6G' = AM’ (т'2 -г Л-1'2). ) 1 '
Переходя к полярным координатам в плоскости выходного
зрачка и принимая за полярную ось
О'у', имеем
;rc' = p'cos0; М' = р' sin 0,
где р' и 0 — полярные координаты
точки с прямоугольными координа-
тами т', М'.
Тогда
6g' = Др'3 cos 0;
6G' = Др'3 sin 0,
откуда
6g'2-f-6G'2 =Д2р'в.
Следовательно, при постоянном значении р' кривая, описы-
ваемая лучами при их пересечении с плоскостью изображения,
является окружностью с радиусом, равным Др'3. При этом из
соотношения = ctg 0 вытекает, что каждой точке иа выход-
ном зрачке соответствует точка в плоскости изображения, распо-
ложенная в той же меридиональной плоскости, что и первая
точка.
Между окружностями с центрами иа оси системы в плоскости
выходного зрачка и соответствующими им окружностями в пло-
скости изображения существует подобие особого рода с перемен-
ным масштабом подобия, зависящим от радиуса окружности р'.
Равномерно нанесенным окружностям на выходном зрачке
(рис. II.7) соответствуют в плоскости изображения окружности
с очень быстро растущими радиусами. При радиусах, численные
значения которых меняются по этому закону, в плоскости изобра-
жения получаются фигуры, представленные на рис. II.8. В
табл. II. I указаны относительные значения р', причем за единицы
63
измерения для обеих величин условно приняты радиусы окружно-
стей с номером 6; числа обоих столбцов не могут быть сравниваемы
друг с другом, так как в действительности единица первого столбца
имеет размеры радиуса входного зрачка, а единица второго
обычно ие превышает малых долей миллиметра.
Площади последующих зон быстро растут, так как лучи
сильно концентрированы в середине; количество их быстро умень-
шается к краям изображения.
Расчет показывает, что если разделить кружок рассеяния на
пять частей, отделенных окружностями, радиусы которых ме-
Таблица 11Л
№ кольца Р’
1 0 0
2 0,2 0,008
3 0.4 0,064
4 0,6 0,216
5 0.8 0,512
6 I ’I
няются через равные промежутки в пятую часть радиуса зрачка,
то в первом кольце (наименьшем) сосредоточивается 34% лучей
из числа всех, равномерно заполняющих выходной зрачок, хотя
площадь кольца составляет всего 4% всей площади пятна; во
втором кольце сосредоточивается 20%, в третьем — 17%, в че-
твертом— 15%, в последнем— 14%. Как уже было указано,
вследствие интерференции лучей в системах с умеренными зна-
чениями сферической аберрации, действительное сосредоточение
световой энергии в центральной части пятна рассеяния значи-
тельно превышает то, какое характеризуется приведенными циф-
рами, полученными без учета дифракционных явлений; правиль-
ные результаты дает дифракционная теория изображений
(см. гл. X).
Если экран, на котором получается изображение точки, пере-
мещать параллельно самому себе вдоль оптической оси, то диаметр
кружка рассеяния, получаемого на экране вследствие сфериче-
ской аберрации, изменяется. Пусть луч КМ (рис. II.9), соответ-
ствующий краю выходного зрачка, пересекает ось в точке М,
а параксиальный луч — в точке G, так что GM представляет
продольную сферическую аберрацию системы; при смещении
плоскости установки по направлению от G к М до некоторой
64
плоскости Р, перпендикулярной оси и проходящей через точку А,
наблюдается сначала уменьшение диаметра кружка рассеяния,
а потом увеличение его. Плоскость Р называют плоскостью наи-
меньшего кружка рассеяния. В простейшем случае, когда попе-
речная аберрация может быть представлена единственным членом
третьего порядка, а члены высших порядков отсутствуют, плоскость
наименьшего кружка рассеяния находится на расстоянии трех
четвертей длины GM от гауссовой плоскости; радиус наименьшего
кружка рассеяния в четыре раза
скости. Вывод, выполненный уже
Ньютоном, изложим в более обыч-
ном для современного читателя
виде.
Рассматриваемый луч КМ
(рис. 11.9), пересекающий ось под
углом и, имеет поперечную сфери-
ческую аберрацию, измеряемую
отрезком GHg в гауссовой плоско-
сти. Согласно первой из формул
(П.16), этот отрезок определяется
уравнением
GHG = 6g'^AmrS.
чем в гауссовой пло-
Рис. II.9
Так как величина т' пропорциональна углу и, то можно написать
GHg — аи3,
где а — коэффициент пропорциональности.
Из треугольника MGHg имеем 6g' = u6s', т. е.
6s' = £Ш2.
Назовем высоту пересечения луча К{Нб с плоскостью РА
буквой ft, а расстояние плоскости РА от гауссовой плоскости —
АП1 (Дте <0); из треугольников МАНа и MGHg имеем
h = f>g’ = и (Д„, _ ^2).
Диаметр наименьшего кружка 2ftmln определяется положе-
нием точки пересечения крайнего луча с каким-то другим, под-
лежащим определению лучом; для первого луча имеем
ft«= Am) uKt
для второго
ftmlft = = — (oUmin ~ A«) Wmiti"
Исключая hK, находим
ы8 __ ц3
Ди = CL —------— — d (wmjn 4“ •
«mln — u«
5
Г. Г. Слюсарев
65
Минимум значения Am при переменном umln и заданном ик
получается, когда
~лГ.-(wmin 4“ wminUK 4“ wk) — 2Umin + ик = О»
°“min
отсюда находим
и — ——
**min 2 *
Это значит, что искомый луч образует с осью угол, в два раза
меньший, чем краевой, и с обратным знаком.
Подставляя вместо wmln его значение через ик, получаем для
^min
при этом
Ак — — — Amin) Wk == ~~ WUK,
т. е. четверть поперечной аберрации в плоскости Гаусса. Таким
образом, оба положения доказаны.
Рассматривая изображение точки, даваемое системой, которая
обладает только сферической аберрацией третьего порядка,
меняя плоскость установки от гауссовой плоскости в сторону
точки М, наблюдают следующую картину: сначала видна яркая
точка с большим ореолом, при передвижении плоскости яркость
в центре мало меняется, ореол уменьшается, ио его яркость ра-
стет, становясь сравнимой с яркостью центра; в плоскости наи-
меньшего сечения яркость фона максимальная, затем начинается
быстрое расплывание картины.
Отличительная черта сферической аберрации по сравнению
с остальными — ее независимость от положения точки-объекта
в плоскости предмета. Когда объект находится иа оси, все осталь-
ные аберрации (в монохроматическом свете) исчезают и остается
одна сферическая аберрация. Это свойство относится также
и к более общему случаю сферической аберрации всяких порядков.
Кома. Кома, определяемая выражениями
8G' = 2B1m'M'l1, J
пропорциональна первой степени удаления точки-предмета от
оси и второй степени апертуры.
Для изучения комы снова рассмотрим совокупности лучей,
определяемых окружностями в плоскости выходного зрачка.
Покажем, что каждой окружности в плоскости выходнго зрачка
соответствует окружность в плоскости изображения.
66
Переходя, как и раньше, к полярным координатам, получаем
6g' = Blp'2(3cos20 + sin2 0) (2 4- cos 20);
6G' = B,p'2 (2 cos 0 sin 0) /j = B^p'2 sin 20.
Отсюда
6g' — 2BJ/1p'a = Sx/jp'2 cos 20;
6(7 = B1/Jp'2sin 20.
Из этой системы уравнений находим
(6g' - 2Bl/1p'2)2 + 6G'2 = (ВЛр'2)а. (11.18)
Следовательно, точка с координатами 6g', 6(7 описывает
окружность, радиус которой R = Bj/jp'2 пропорционален квад-
рату радиуса-вектора р'; центр ее, рас-
положенный в меридиональной плоско-
сти, находится на расстоянии 2В1/1р'2
от гауссова изображения; это расстоя-
ние тоже пропорционально квадрату р'.
Если р' меняется по избранному
ранее закону арифметической прогрес-
сии, то радиусы окружностей в пло-
скости изображения растут как квадраты
целых чисел, а расстояния между по-
следующими центрами окружностей
растут как члены арифметической про-
грессии (рис. И. 10).
Нужно обратить внимание на то
обстоятельство, что когда луч вычер-
чивает окружность на выходном зрачке,
его пересечение с плоскостью Гаусса описывает окружность два-
жды, вследствие наличия коэффициента 2 в аргументе косинуса
и синуса.
Если луч двигается радиально в плоскости выходного зрачка,
т. е. величина 0 постоянна, р' переменна, то соответствующая
точка пересечения луча с плоскостью изображения также дви-
жется по прямой. Все эти прямые проходят через гауссово изоб-
ражение точки.
Огибающей всех окружностей служит пара прямых, распо-
ложенных под углом 30° к оси симметрии изображения. В самом
деле, из уравнения (11.18), полагая для краткости В^р'2 = а,
получаем дифференцированием по а
— 2 (6g' — 2а) — а = 0,
откуда
2 с ,
а = -з-6г?.
5“
67
Подставляя это значение а в уравнение (11.18), получаем
4-6g'2—&б'г=о.
Левая часть уравнения может быть разложена иа два мно-
жителя:
(тт6g'—вс’) (тт+вс')=°-
т. е. огибающая состоит из двух прямых, уравнения которых
6g' — V36G' = 0 и 6g' 4- K36G' = 0.
Прямые образуют с осью 6g' углы +30° и —30°.
Распределение энергии в кружке рассеяния при коме несим-
метрично: вся энергия расположена в небольшом угле (60е),
обращенном, в зависимости от знака коэффициента Blt в сторону
оси или в противоположную. При этом плотность энергии, или
освещенность, быстро убывает в направлении от вершины угла
приблизительно обратно пропорционально расстоянию от вер-
шины. Пятно рассеяния имеет вид яркой точки, вернее, кружка
малых размеров, с постепенно расширяющимся хвостом.
О так называемой меридиональной коме и способе ее опреде-
ления на основании тригонометрических расчетов см. стр. 21-3—215.
Астигматизм и кривизна поля. Положив в формуле (II. 15)
д1=±=В1 = £‘|=0, получим
bg'= ]
6G' = DJA'P. ) (П.19)
Полагая по-прежнему т = р' cos 9, М' = р' sin 9 и исклю-
чая 0, получаем уравнение кривой, соответствующей постоян-
ному значению р':
&S2 । 6G'2 . ,,, 2
(Qp'/’)» 1
Это — эллипс с полуосями а = Djp'Z2, b = Cjp'Z2. Вели-
чины а н b растут пропорционально первой степени р' и второй
степени I. Фигура рассеяния, вызываемая наличием коэффициен-
тов Ct и D1} представлена иа рис. 11,11. Распределение энергии
в этой фигуре равномерно, так как а и b пропорциональны зна-
чению р' и все эллипсы подобны.
Легко показать, что, когда меняется плоскость установки,
меняются форма и величина фигуры рассеяния. На рис. 11.12
показаны три положения плоскости установки, представляющие
особый интерес. В плоскости Z, в которой лежит фокус меридио-
нальных лучей, фигура рассеяния представляется в виде отрезка
прямой, лежащего перпендикулярно меридиональной плоскости;
68
в плоскости //, в которой лежит фокус сагиттальных лучей,
фигура рассеяния вырождается в прямую, лежащую в плоскости
меридиана; в плоскости III, лежащей посередине между / и //,
фигура рассеяния имеет вид круга. Если = 0, т. е. нет астиг-
матизма, все фигуры рассеяния представляют собой круги и
существует плоскость, для которой диаметр круга равен нулю.
Рис. 11.12
Изображение плоскости, перпендикулярной оси, даваемое систе-
мой, в которой Ci = 0, является резким, но искривленным и
представляет собой параболоид вращения. Чтобы показать это,
рассмотрим сечение астигматического пучка какой-нибудь пло-
скостью, параллельной гауссовой плоскости и отстоящей от неё
иа расстояние Л.
Принимаем за начало координатных
осей центр выходного зрачка; ось х
направляем вдоль оптической оси си-
стемы, ось у совмещаем с линией пере-
сечения меридиональной плоскости
с плоскостью выходного зрачка, а ось
г — с линией пересечения сагиттальной
плоскости с плоскостью зрачка. Точки
пересечения какого-нибудь луча с пло-
скостью выходного зрачка имеют ко-
ординаты О, т' и в гауссовой пло-
скости луч проходит через точку с координатами е', V + bg'
и 6G', где е' — расстояние между гауссовой плоскостью и пло-
скостью выходного зрачка.
Уравнение луча имеет вид
X______Y —tn' _ Z — №'
с' I' — bg' — т' ЬС — W ’
Координаты точки пересечения луча с указанной выше- пло-
скостью, параллельной гауссовой плоскости, назовем Y и Z;
69
их значения находим из уравнения луча, подставляя е' + Л
вместо X. Считаем, что Л мало по сравнению с е', и пренебрежем
произведениями малых величин н 6G'; это дает
P = r + 6g- + ^-r-Am';
Z = 8G’ — А-М’.
е
Для главного луча координаты точек пересечения его с той же
плоскостью равны /' (1 -Т и 0, так как для него т' = М' — 0;
поэтому аберрации луча 6g' и 6G', отнесенные к точке пересече-
ния главного луча с этой плоскостью, равные разности соответ-
ственных координат обоих лучей, определяются формулами
= 6g' — -7- т' = ( С,/'2 — А) т';
6G' = 6G' —Ад]' =
Вводим новые обозначения
С — С А -
Ь2 — Cj — е,112 ,
(И-21)
Тогда обе слагающие аберрации луча в новой плоскости можно
написать в таком виде:
6g' = С2Г2т' = С2Г2р' cos0;
6G' ~D2l'2M' — D2/'3p'sin 0.
Так как формулы имеют тот же вид, что и формулы для абер-
раций в гауссовой плоскости, то, вообще говоря, кривые пере-
сечения со смещенной плоскостью сохраняют форму эллипсов
во всех параллельных сечениях, полуоси эллипсов пропорцио-
нальны коэффициентам С2 и D2, изменяющим свои значения
в зависимости от величины Д.
Рассмотрим несколько частных случаев формулы (11.21).
1. В плоскости, для которой Д = Сг обращается
в нуль; эллипс вырождается в отрезок 2а, перпендикулярный
меридиональной плоскости; длина отрезка определяется фор-
мулой
2a = 2(D1 —С,)Г2р'-
70
2. В плоскости, для которой Д = D^'l'2, Dz обращается
в нуль; эллипс вырождается в отрезок прямой, перпендикулярный
оси и лежащий в меридиональной плоскости; длина отрезка равна
2b^2(D1~Cl)l'2p'.
3. В плоскости, лежащей посередине между двумя предыду-
щими, имеем
Коэффициенты С2 и D2 равны между собой по абсолютной
величине; эллипс обращается в окружность, радиус которой
равен
4. Если = Dlt астигматическая разность элементарного
пучка, как мы видели, равна нулю. Все параллельные сечения
пучка суть окружности, кроме одного сечения, для которого
& = С^е'Г2 =
В этом сечении С2 = D2 = 0, т. е. пучок оказывается гомоцен-
трическим.
Определение фокусов бесконечно тонких астигматических
пучков может производиться следующим образом.
Рассмотрим меридиональное сечение пучка лучей, выходящих
из выходного зрачка PiP2 (рис. 11.13): РА — главный луч пучка,
Pj-Aj и PzA2 — два крайних луча, пересекающих плоскость
выходного зрачка в точках с координатами +т' и —т'. Опре-
делим линию рассеяния A ,А8 пучка в гауссовой плоскости (jA
системы. Если обозначить расстояние гауссова изображения,
даваемого пучком, от оси буквой I', то
GAX = V -h 6gi и GA2 = V + Sg2,
поэтому длина линии рассеяния AXA2 определяется формулой
/Ms = 6^-6^;.
71
Обозначим расстояние точки Вт, в которой пересекаются оба
крайние луча, от гауссовой плоскости буквой х \ на чертеже
хт <0- Расстояние от плоскости изображения до плоскости
выходного зрачка по прежнему обозначим е' — х' — s'. Из подо-
бия треугольников находим
^2 — _ 2т'
Пренебрегаем величиной хт в знаменателе правой части, так как
она мала по сравнению с е'. Тогда для х' получаем •
= 2^- te - «г!) = ~(s2m7x,) te - в?;).
Вычисляем разность bg-2 — Sgi, дважды применяя первую из
формул (11.15) и полагая при этом, что т' для верхней точки
равно |—т'\ для нижней точки; это дает
х'т = + CJtm').
Изложенный вывод можно повторить для сагиттального сече-
ния того же пучка лучей и определить расстояние x's от гауссо-
вой плоскости точки пересечения крайних лучей пучка с коорди-
натами в плоскости выходного зрачка т' = 0 и ±М'; в резуль-
тате вычисления находим
x's = — (6G'2 — 6G{)
ИЛИ
х, = ~(SM7X,) (4М'3 +
Чтобы получить из двух последних формул координаты фо-
кусов меридионального и сагиттального элементарных пучков,
нужно найти предел, к которому стремятся найденные величины
х'т и x's, когда т' и М' стремятся к нулю; этим путем приходим
к формулам
xm = —(s' — x')
х5 — — (s — х ) D-$.
Таким образом, коэффициенты Сх и Dx в разложении Зейделя
определяют координаты обоих фокусов астигматического элемен-
тарного пучка, для которого осью служит главный луч с аберра-
циями, определяемыми формулами (11.15).
Найдем разность координат обоих фокусов
Хт = ~~(x' — s') /2(С1—£>i).
72
Эта разность является проекцией иа ось системы расстояния
между сагиттальным и меридиональным фокусами пучка, т. е.
проекцией астигматической разности на ось, характеризующей
астигматизм системы.
Астигматическая разность элементарного пучка пропорцио-
нальна разности коэффициентов С! — D, в разложении Зейделя.
Ординату /' точки А, т. е. отрезок AG, можно рассматривать как
изображение отрезка /0. Пренебрегая дисторсией системы, можно
написать
Г = Р/,
где Р — линейное увеличение системы в области параксиальных
лучей.
Воспользуемся обозначением е’ для разности х' — s' н пере-
пишем формулы для координат хт н x’s в таком виде:
Хт = ~ И Xs = —^2— •
Обе формулы определяют геометрические места меридиональ-
ных и сагиттальных фокусов пучков с различными т. е. с раз-
личными углами наклона к оси; очевидно, что оба геометрические
места суть параболы с различными параметрами, касающиеся
одна другой в точке на оси системы. Определим кривизны обеих
парабол 4— и -4- в точке на оси системы. В непосредственной
Кт К$
близости от вершины имеем соотношения
Х'" - 2Rm И Xs ~ 2RS ’
пользуясь которыми для исключения Г, получаем зависимость
кривизн и Rs от коэффициентов С! и
1 2d' 1 _ 2d' п
Rm ” Р3 1 И Р2 *•
Таким образом, кривизна поверхностей меридиональных и
сагиттальных изображений пропорциональна коэффициентам Ci
и Di в разложении Зейделя.
Дисторсия. Последняя из аберраций третьего порядка — ди-
сторсия — определяется единственной координатой
6g'=£,/3.
Она не зависит от координат пересечения луча с выходным
зрачком пг' и М', и, следовательно, все лучи, идущие из опре-
деленной точки объекта, при отсутствии других аберраций со-
бираются в одну точку в плоскости Гаусса, ио эта точка не совпа-
дает с идеальным изображением точки объекта. Отступление от
идеального положения пропорционально кубу Z, так что изобра-
жение точки, лежащей близко к оси, очень мало отклонено от
своего идеального положения, в то время как изображение уда-
ленной от оси точки отклонено значительно, вследствие чего на-
рушается подобие между предметом и изображением. Рассмотрим
изображение прямой, лежащей в плоскости предмета и не прохо-
дящей через оптическую ось некоторой оптической системы, облада-
ющей дисторсией. Изображение этой прямой в случае идеальной
оптической системы, обладающей теми же кардинальными точ-
ками, что и рассматриваемая си-
стема, должно было бы предста-
вляться прямой ВС (рис. 11.14).
Так как рассматриваемая нами
оптическая система обладает
дисторсией, то каждая точка В
изображения прямой отклонит-
ся по направлению 0Вк на не-
которую величину ВкВ'к равную
В/3, где / — расстояние от оси
до точки, изображение которой
совпадает с точкой Вк (к — но-
мер точки).
Рис. II.14
Пусть ОВК = отношение постоянно и равно лииейнО'
му увеличению системы р. Можно поэтому написать
в«в« = -jp-Z” = -р sec3 ш,
где (о — угол между прямой ОВо, перпендикулярной к прямой ВС
и направлением 0Вк. Полагая для краткости
получим
£0^ _
рз —
ВКВК = a sec3 со.
Кривая ВоВ3 — реальное изображение прямой пространства
предметов — определяется как геометрическое место изображений
всех точек этой прямой; из сказанного выше следует, что уравне-
ние кривой В0Вз в полярных координатах (ОВ0 — полярная
ось, со — полярный угол) имеет вид
р = R sec со + a sec3 со = R sec ® (1 + sec3 со
где R = ОВ0.
74
Кривая может быть построена по точкам и имеет вид, пред-
ставленный на рнс. 11.14, если дисторсия положительна (подушко-
образная дисторсия); если дисторсия отрицательна, изображение
прямых имеет кривизну, направленную в сторону центра (бочко-
образная дисторсия). Дисторсия искажает форму контуров, в осо-
бенности на краю поля; углы между элементами кривых могут
значительно менять свою величину.
Рассмотренными пятью аберрациями исчерпывается перечень
аберраций третьего порядка для монохроматического пучка лучей.
Комбинированные аберрации. Аберрации третьего порядка в
чистом виде почти никогда не встречаются, за исключением сфе-
рической аберрации для точки на оси системы. Обычно имеется
комбинация всех пяти аберраций; кроме того, к ннм добавляются
члены аберраций более высоких степеней разложения, о кото-
рых подробно будет сказано ниже. В общем случае, когда ни
один из коэффициентов Вг, . . ., Dx не равен нулю, распре-
деление энергии в пятне рассеяния зависит от четырех величин
и систематическое изучение всевозможных комбинаций коэффи-
циентов содержит непреодолимые трудности.
Если рассматривать только форму кривых аберраций, не интере-
суясь их абсолютной величиной и положением, можно уменьшить
число параметров с пяти до трех. В качестве иллюстраций разно-
образия, создаваемого распределением лучей, приводим несколько
чертежей, соответствующих различным комбинациям коэффициен-
тов А и В (рис. 11.15—11.19).
Полагая в формуле (.11.15) А! = EY — 0 и принимая за еди-
ницу коэффициент комы В,/, можно написать
8g' — 3m'2 + Л4'2 + Ат'',
6G' = 2m'ЛГ + ВМ',
где
А = С^; В = Dtlz.
Сферическая аберрация на рис. 11.15—11.19 во внимание не
принята, так как для точек, расположенных далеко от осн, она
играет второстепенную роль.
Для сравнения приведен рис. 11.20, изображающий аберра-
ционную картину фотографического объектива «Нептун 8»
(/' = 210яя, 1 : 4,5) для наклонного пучка,образующего угол 27°
с осью. Число окружностей на входном зрачке здесь доведено
до 16, вместо 10 для предыдущих рисунков; число точек иа каж-
дой окружности 32. Объектив «Нептун» обладает большими абер-
рациями высшнх порядков, что объясняет сложность аберра-
ционной картины.
75
Рис. II.15
Рис. II.16
76
п
78
Определение коэффициентов аберраций третьего порядка
центрированной оптической системы
Выражения сумм S через коэффициенты Ь. В начале главы
было показано, что если обозначить через W угловой эйконал, т. е.
оптический путь РММ^М^М'Р' (см. рис. II.2) между основаниями
перпендикуляров, опущенных на луч из центров О и О' плоско-
стей предмета и изображений, то координаты у и г, у' и z точек
пересечения луча с этими плоскостями получаются по формулам
(П.6)н(П.7)
1 dlT 1 dW
— - д— = У\-----------7 Т7
n ор п др'
1 д!Г _ .___________I д1Г
п ду ’ л' dv'
где р, v, р', v' — направляющие косинусы луча до и после пре-
ломления через систему.
Функция IV'’обладает такими же свой-
ствами относительно координат р, v,
р' и v', как и функция N относительно
т', М', у и z (см. стр. 59). Поэтому,
обозначая через е, б' и 6 выражения
е — р2 4- v2, е' = p'2+v'2, 6 = рр' +
+ vv', имеем для W следующее выра-
Рис. 11.21
жение:
V = + Ле + Be' + Об + %- е’ + а5ев Н- ее' +
(П.22)
Функция W зависит от положения предмета. Обозначим через
значение функций W, когда плоскостью предметов является
передняя главная плоскость Н\ пусть Д и Д' — расстояния от
соответственных главных плоскостей до плоскостей предмета
и изображения.
Обозначим через т отношение , обратное угловому увели-
чению системы у. Из соотношения h = аД — а'Д' (рис. 11,21)
получаем - = т. Кроме того, основная формула, связывающая
параксиальные координаты плоскостей предмета и изображения
с фокусными расстояниями, имеет вид
J-+4 = i
д ‘ д'
79
Сопоставляя ее с предыдущей формулой, получаем для Д
и Д' соотношения
д=Т"тТ£; (п.23)
Вычисляем разность угловых эйконалов W — WH -
— п (N'Nh) — п (NNh). Из рнс. 11.22 видно, что N NH — Д V.
Выражая Д и Д' через f и т, получаем
Г -- - WH = п' Д'Х' — п ДХ. = -L(m - п’) (л'Г — —) (U.24)
Для вычисления аберраций третьего порядка следует брать
для W только члены четвертого порядка малости относительно
Рис. 11.23
Рис. 11.22
переменных р, v, р', v'. То же относится и к выражению W — WHt
для разложения которого после замены Л и Л' их выражениями
через р, р' и v, v'
7. = /1 -и2—v2 = ]/Г^-е = 1- ’ e Le2;
К — I----J- 8'-е'2.
Получаем
Ц7_Кн__ ‘.J (пт - п') ---?е2). (11.25)
Поперечная аберрация bg' =* у' — $у выражается с помощью
формул (П.6) н (II.7) следующим образом:
,£ , д№ , п' о dW dW , dW /тт псч
— n bg = -5-Г 4--В = -Г-Г-рТ-^—. (11.26)
6 др' 1 п г др др 1 др 4 '
Подставляя вместо W = -J- (IT — WH) его выражение через
р, v, р' и v' и производя дифференцирование, получаем выраже-
ние для —n'Sg' как функции от р, v, р' и у'. Для вывода аберра-
ций Зейделя, выраженных через I, т' и М', нужно еще заменить р,
v, р' и у’ их выражениями через расстояние от точки до оси I
и координаты т' и М' пересечения луча с плоскостью выходного
зрачка. Помня, что р, v и р', v* являются косинусами углов,
80
образуемых лучом с осями у и z до и после преломления, мы
можем написать следующие соотношения (рис. П.23):
(П.27)
Величины z и г' полагаем равными нулю, у обозначаем через /;
кроме того, необходимо исключить Г, т, М и удобно исключить
также х' — s'. Для этого пользуемся соотношениями
о г. т' лл М’
I - poz, т - -р-; М. - -р- ,
где — линейное увеличение в зрачках.
Кроме того, условие Лагранжа—Гельмгольца, применяемое
к сопряженным плоскостям предмета и изображения, дает
Но
па/ = п'а'/'.
следовательно,
X —s' = (* —s)4t't4‘ = (11.28)
После исключения ¥, т и М с помощью перечисленных фор-
мул выражения (11.27) принимают вид
т' - Фр , т' — ZS0 М' , М‘
— S) ’ И- — х' — ’ v — (х — S) Рр ’ V — х' — s'
Подставим эти выражения в полученную формулу для —n'bg'.
Обозначая
(П.29)
с целью сохранения в выражениях для аберраций лишь угловых
величин поля зрения w и апертур со' и получаем окончательно
— 2п'б^ = Sjw' (со'2 4- Q'2) 4- S„ (За»'2 4- fi'2) w 4-
4- (3Sjji + JiSrv) 4* Svays;
—-2n'6(? ((o'24-fi'a) 4-Sn2<D'fi'u! 4-
4- (§ni + ЛЗД fi'tw2»
(11.30)
где
J = nccp(x— s) = — nf'a'P T t, T — n'fa’fi —T, * = rial, (П.30*)
6 Г. Г. Слюсарев
81
о
так как (рис. П.23)
х~ s = f-7^i^> * = ₽(*-s)-
Величина J представляет собой инвариант Лагранжа—Гельм-
гольца; если st = оо, то J = п'/а'р. При этом
- 4 §i=+4й’т+6^2+4й‘т’+ь°^ +
Н- -5- /'пт(1 4-т2);
— 4 §„ = bt 4- 3ft3x + 362т2 + 6,т3 + x'(ft3 4- Зг>2т+
+ Зй1тг4-й„т3) + -^/'пт(1 4тт');
-----2“ (§ш + "у §iv) =bt + 2b3r 4- Ьгх2 4-
4- 2т' (b3 -j- 262т 4- 6jT2) -|- т'2 (Ь2 4* 2djT 4* ^от2) L
+4^'пт<1 +т'г);
---2~ Зу ~ Ьл + ft8T 4~ Зт' (Ь3 4~ ft3T) 4~ Зт'2 х
(П.31)
х (*2 4- М +1'3 (ft, 4- b„r) 4- 4 f'nt (1 4- 4“);
1 5 _ 3^-1
2 div (n'ff* '
В этих формулах коэффициенты b выражаются через коэф-
фициенты а следующим образом:
bl = al—^f’n'; bt= ^-(a3 + at); а„ = а6 +fn;
1 , . ч (П.32)
b3 = a,; ft, = а,; b_t = -у(а<-f)•
Отметим, что коэффициенты углового эйконала а1} а2, . . йв
не зависят от положения зрачка и, за исключением at и а6, ие
зависят также от положения предмета. Они являются такими
же инвариантами оптических систем, как и радиусы, толщины
и показатели преломления, но связаны с коэффициентами абер-
раций гоораздо проще, чем перечисленные конструктивные эле-
менты, а именно линейным образом. Поэтому они являются удоб-
82
иыми характеристическими величинами оптических систем, опре-
деляющими качество изображения, даваемого этими системами.
Формулы (П.31) могут быть иаписаны в удобном для запоми-
нания виде, если только ввести следующие обозначения:
Si = 5Д; Sin J- 3|V — s3; Sv = S4;
Sn — S2‘, Slv — SIV
н понимать операцию ((b 4- т)р как возведение в степень р бинома
(Ь + т) с последующей заменой степеней b индексами при той же
величине, так что
((Ь + т)Р = bp + pb^x + й„_2т2 н----+ тР
и полагать при этом, что bm If1 = b,n+n.
Тогда формулы (11.31) могут быть заменены одной формулой
- -у S« = т' [«* + T)S-,< «6 + Т +
+ 4г«т(1 + г’-’Ч"'-1)] , (11.33)
что легко проверить, проделав указанные операции.
Формулы (11.30), (11.31) или (11.33) позволяют найти аберра-
ции третьего порядка системы при любом положении предмета
и входного зрачка, определяемом величинами т и т', и решают
важную задачу об изменении аберраций при изменении положения
предмета илн входного зрачка.
Определение коэффициентов b-i, ba, bi, Ьз, Ьз, bi. Для при-
менения формулы (11.33) нужно знать численные значения этих
коэффициентов. Они могут быть получены следующим образом.
Рассмотрим случай, когда предмет иа бесконечности, а входной
зрачок в переднем фокусе системы. Пусть суммы, рассчитанные
для этих положений предмета и входного зрачка (при условии, что
ар = I н pi = 1), равны соответственно значениям Sh SH, Sm,
SIV, Sv. Из формул (11.31) при т = 0 и т' = оо вытекает
----= by.
----2~ (Sill + у Siv) =
-4slv = 3b.i;
—у Sv = !\ + у f'n.
(П.34)
Остается неопределенным коэффициент 60. Его можно опреде-
лить следующим образом.
6* 83
Вычислим сумму Si для второго рассчитанного в обратном
ходе луча, т. е.
$i=при ₽',=1;
Поперечная сферическая аберрация третьего порядка 8gr
луча, проходящего через передний фокус, определяется по фор-
муле
— 2n'f)g' — Sjw'3.
Но S] определяется по первой из формул (11.31), а именно:
-4-S, = 6„r‘,
так как т стремится к бесконечности и члены, содержащие т
в степенях меньше четырех, исчезают.
Отсюда следует
fl'fyr’ = 60т4(о':‘.
Так как &g' бесконечно большое, переходим от* поперечной абер-
рации к угловой [сс' ] ==-- ; угловая аберрация остается по-
стоянной при беспредельном увеличении s' и 6g'. Ввиду того что
s' — , где т' — расстояние от оси до точки пересечения луча
с выходным зрачком, имеем
, г -1 60Т4О)'4 Ьо ,
п [а =-----У—;— —-----0);,
L ‘ т т 1
так как можно принять
ш’ _ а/ ________________________1
о)! — а “ т
Этой угловой аберрации 1а' ] соответствует в обратном ходе
поперечная аберрация 6g, равная [а'] /, где / — переднее фокус-
ное расстояние системы. Поэтому
^ = К[а-]/ = —
ь п 1 11 пт' 11
т т < т
Но по определению фокусного расстояния -у — wf, следова-
тельно,
n6g = — ЬоЫ1.
Учитывая изменение направления луча и сопоставляя послед-
нее уравнение с вышеприведенным, получаем
n$g = —
84
При изменении хода луча меняются местами п и гг', 6g и 6g1, (ох
и со'. Поэтому
$-
= (П.34*)
Из формул (11.31) и (П.ЗЗ) вытекает очень важное следствие —
невозможность существования оптических систем, исправленных
для всех положений предмета и входного зрачка. Действительно,
необходимость устранения всех пяти сумм Зейделя при любых
значениях т (т. е. при любом положении предмета) приводит к тому,
что все коэффициенты Ьк должны равняться нулю. Но при этом
остаются не равными нулю члены, не зависящие от b и стоящие
в конце выражений для сумм ^например, s'"'
i/'nr (1 + т2) и т. д.] .
Исключением является случай /' -- со / \\х
(плоскопараллельные пластинки, плоские п/ \\
зеркала, телескопические системы с увеличе-
нием 4-1 или —1), для которого возможно
в принципе полное исправление аберраций Рис. ц 24
третьего (и вообще любого) порядка.
Теперь предстоит вычисление коэффициентов Sn, . . Sv
для любой центрированной оптической системы со сферическими
поверхностями. С этой целью вычисляется функция WH для одной
поверхности и определяются коэффициенты аберраций третьего
порядка для этого случая. Чтобы получить коэффициенты абер-
раций третьего порядка для всей системы, можно поступить
следующим образом. Аберрации каждой поверхности с помощью
теоремы Лагранжа—Гельмгольца переносятся в пространство
изображений всей системы, и аберрация всей системы складывается
из аберраций отдельных поверхностей. Такое сложение законно
для аберраций третьего порядка, так как те пренебрежения,
которые при этом делаются, сказываются только на аберрациях
высшего (начиная с 5-го) порядка.
Вычисление коэффициентов b для одной сферической поверх-
ности. Рассмотрим сферическую поверхность ОМ (рис. 11.24)
с центром кривизны в точке С и радиусом г. Вычислим оптический
путь для случая, когда плоскость предмета и изображения про-
ходит через центр. Используем простую точную формулу для опти-
ческого пути
We = п' MN' — nMN,
откуда
Wc = г (п' cos i' — п cos i).
Это выражение легко приводится к виду
Wc = г]/п2 4- п'2 — 2«n'cos (Г — I), (П.35)
что легко проверить возведением в квадрат обоих выражений.
85
Замечая, что
cos (Г —/) = XX' 4- рр' 4- w' = pl —(р2 4- v2) У1 —(р'а 4~ v'fi) 4-
1 t
4- рр' 4* vv' — (1 -<e) 2 (I — е') 2 4- рр' 4* vv,>
подставляем это выражение в формулу (П.35). Разлагая в ряд
корень квадратный, входящий в эту формулу, и удерживая в раз-
ложении необходимое число членов, можно 1FC написать в виде
1
/ / к Г1 , 2лп' / е + е' , е2 4- е'3 — 2ее' е\1 2
-------------------------------------8---------6Л ’
откуда
U7c = r(„-_„) [1 6) +
+4444 (п.зб)
где
Т = (е' — е)2 — nyz (е2 + е'2 4- 2ее' — 46 (е 4- е') 4- 462).
Чтобы получить WH — оптический путь для главных плоско-
стей, совпадающих и проходящих через точку О, — нужно к Wc
прибавить
WH — Wc = — г (п"к' — пк) — — г (п' — п) 4- г<?,
где
Q = -Jr (n'E' "ПЕ) 4- -|-(я'е'2 — не2).
Складывая Wc + — ^4) ~ WH и отбрасывая члены вто-
рого порядка, излишние прн вычислении аберраций, после простых
преобразований получаем
= 8(74) [<«'6' - пе>2 - (44 <Е' + 6 “ 26,а] ’ (П'37)
где индекс 4, поставленный у величины WH, означает, что в разло-
жении приняты во внимание только члены, содержащие четвертую
степень величин р, v, р' и v'.
Производя возведение в квадрат, приведение подобных членов,
сравнение коэффициентов при разложении W [формула (11.22)]
и переходя от коэффициентов а к коэффициентам Ь, получаем, по-
I п2п'2
лагая q =
А А 1 Па -Ь п'2 4- лп' , .
^ = -4-, b^-^-q---------------- bx = q',
b» = <r, &-i = -4‘?(n nn-n)’!: *• = -<?•
(11.38)
86
Выражения сумм 5 через радиус, показатели и увеличениях и т'.
Подставляя эти значения д в выражения (II. 31)для аберраций и раз-
бивая на множители, получаем выражения зейделевых коэффицнен-
-l^Sn = 1) (т —
n' ~~n
Выражения сумм S через аир. Для вычислений удобно рас-
сматривать два параксиальных луча, один нз которых пересекает
оптическую ось в центре плоскости предметов и образует с осью
углы аъ а8, . . а', а другой пересекает ось в центре входного
зрачка и образует с осью углы рп р2, . . Эти переменные
введены Лаиге. Замечая, что
__ а ,________ р 1_ п2п' ф г — h п' ~~п .
— а' ’________р' ’ 2 Г(п' — л)3 » п'а'—па*
, _ Jx' _____ Jx' (а'п' — ап)
т т л'/а'Р лл'а'р/i ’
где J определяется по формуле (11.30 *), получаем для сумм Зей-
(11.40)
1
(П.41)
87
Имея аберрации отдельных поверхностей, можно вычислить
аберрации всей системы, перенося поперечную аберрацию, вызван-
ную поверхностью к, в пространство изображений всей системы
с помощью закона Лагранжа—Гельмгольца.
Пусть р — номер последней поверхности системы; к — номер
произвольной поверхности; тогда npa'p$g'p = nX^g*. Для полу-
чения инварианта Лагранжа, относящегося к поверхности с но-
мером к, достаточно помножить формулы (П.30) с обеих сторон
на а'. Складывая величины n’KaK&g’K, относящиеся ко всем поверх-
ностям, получаем поперечную аберрацию всей системы, умно-
женную на л'а^; поэтому
— 2npdgp = Ир (йр + 1 У -г Sik +
4- (Зо)р Йр ) -4 сорЬУ? х
X (з$ш + /Siv) + ш? у1, |“Sv;
— 2np6Gp = йр 4- йр ) У^ - — SiK 4-
+ У‘^SIhc + Q>? y^(Sni + j2S1vl.
Вводим обозначения
(П.42)
Sl = .S?^; Sn = 2^SIKHT. д.
И т. д.
Заметим, что выражения сумм a^Sp apSH, . . . , apSv одно-
родны относительно переменных а и р, т. е. ие зависят от выбора
88
единиц для а и р. Условимся брать = I; Pi - 1. Тогда выраже-
ния для' зейделевых коэффициентов принимают вид
Х| = ЕАЛ
Snl = ; (11.44)
о 1 а'п' — ап
sv = V [ftpM₽y + 4^w
v |_ \ а.а) 1 h пп J Да ’
Формулы (11.42) совместно с формулами (11.43) являются
основными для расчета оптических систем. Оии относятся к общему
случаю любых центрированных систем, составленных из сфериче-
ских поверхностей. В том виде, в котором они приведены, они
позволяют вычислить лишь приближенные значения аберраций
систем с небольшими апертурными углами н при небольших углах
поля. В сущности, оин заменяют тригонометрический расчет хода
лучей, требуя гораздо меньшей затраты труда (вычисления тре-
буют трех-четырех знаков и во многих случаях могут быть выпол-
нены с помощью логарифмической линейки, в то время как триго-
нометрический расчет требует применения шестизначных таблиц).
Формулы для коэффициентов аберраций третьего порядка
играют настолько важную роль в расчете оптических систем, что
необходимо иметь самые разнообразные видоизменения этих
формул; на практике представляется большое число отдельных
частных случаев, требующих применения тех или иных вариантов
формул.
Переписываем формулы (П.42) и (11.44) с учетом формул (11.43):
— = CiJp 4" Qp ) S] -j“ ^3(Dp -j- j wiS11 4-
4- WpU'i (3Sin 4- </2Siv) 4-
— 2np6Gp — Qp ^top + Qp Sj 4~ 2copQp ujiSj 1 4”
4- Qpin'i (Sn 1 4~ J2<S|v),
(П.45)
89
(11.45*)
Как было указано выше, при выводе формул (11.45) предпола-
галось, что точка-объект лежит в меридиональной плоскости.
Но иногда встречается необходимость иметь формулы, пригодные
для общего случая, когда положение точки определяется двумя
координатами lt и Lx. Вывод формул для 6g' и 6G' при (или
= -у ^2 s •) отличном от нуля может быть выполнен с помощью
формул (11.45), применяемых для случая, когда меридиональная
плоскость повернута на некоторый угол ф, определяемый форму-
лой tg ф = -у- . Зная выражения для аберраций в повернутой
системе координат, можно получить выражения для их проекций
на первоначальные плоскости. Подробный вывод смотри в книге
А. И. Тудоровского [13] на стр. 451.
В результате получаются следующие формулы:
— 2npbgp = Юр (й)р 4- fip j Si 4- |ЗйУрШр + nypfip 4-
4- 21^р(Орйр) Sn 4~ (ЗнУр а>р 4- Юр1Г’р + SwpU/'pfip) Sm 4-
4~ </2(t>p [wp + ^р )sIV+^р(^р 4~ Wp )SV;
— 2rtp6Gp = fip 4“ Qp j Si 4~
4- (згХ* 4- Wp“>p 4- Zw'ptoptip) Sn +
4" (31ГР Qp 4~ Qpwp 4" 2tWpU^p(Dpj Sin 4~
4- J2fip (аур* 4- Wp] SIV + Wp (wp 4- Wz/) Sv.
(11.46)
90
Выражения сумм 5 через s и л. Приведем формулы (11,46)
к виду, предложенному еще Зейделем и Рором. С этой целью
заменим углы отрезками, относящимися к пространству предме-
тов. Используем формулы (11.29)
Затем замечаем, что для параксиального луча
Ш = п(и — <р) = п 0-----у') = — hn (Т-----L) = —hQs,
так как инвариант ------------L) обычно принято обозначать
через Qs.
С другой стороны,
— г = —г — 1 н = а — а,
и \ п )
, i , . а' — а , а' — а
поэтому (я — п ) = а — а, или nt = —п' — п пп ~ п--------j-»
п' п
откуда
п' п
Величина
Д-И. = = А- - А = h (4т - -И = ЛД-Ь.
п п п s п sn \п s ns / ns
Аналогично имеем
= -Л
д —
п
где
Кроме того, нужно заменить все величины, относящиеся к про-
странству изображений (со', Q')> величинами, относящимися
к пространству предметов.
Принимая во внимание однородность выражений аберраций
относительно величин а и 0, а также соотношения
б>1 _ Ч)р Q, _ Др
которые можно считать точными в области аберраций третьего
порядка, формулы (11.42), (11.43) и (П.45) можно написать в любом
виде, содержащем величины (о н й вместо w' и Й' (при условии,
91
что за единицу принята величина о^) или w' вместо w (если вместо
за единицу принять р^). Так, например, формулы (П.45) могут
быть написаны в виде
—2npcirp8gp = с»] (ы1 й|) Si 4- (Зсо2 4- Р2) одЗц 4-
4- Witt'i (3Sni 4" </25iv) + tt»iSv;
—2n'pap6Gp = Pi (w? 4- Й?) + 2wiPio>iSi'i + X
X (Sin + </2Siv),
где Sp S'n , . . ., Sy имеют те же значения, что и Sh Sn.Sv,
только ах (а ие ар) принимается равным единице.
После всех указанных выше (стр. 91) замен формулу (II.47)
можно привести к виду
hi («1 —«J3 Ui —si) 1
+ (3§ш + S,v) - 4sv;
, , , ' * , 11 (11.48)
= МД-Д.) _ дд , , §
(«1 —Si)3 1 (Xj — Si)3 111 11 1
AfJ? 7 .
+ 7Z--—p S1%1 (^111 + Sjv) •
1*1 — SJ
При этом
s‘=S(^)‘&4^=
Sii = 2(v)3tQ-Q“A»^;
Sv = [(<?« —<2«) x
X — AK — + Qxk^k— j -
(11.49)
Отметим некоторые видоизменения формулы (II.49). Для этого
необходимо применить две весьма важные формулы, выведенные
впервые Зейделем и связывающие между собой координаты точек
пересечения с поверхностями линз двух параксиальных лучей.
В качестве таких лучей обычно принимаются параксиальный,
проходящий через центр объекта, и параксиальный, проходящий
92
через центр входного зрачка. Вывод этих двух формул приво-
дится ниже.
Две формулы Зейделя. Эти формулы связывают координаты
двух вспомогательных лучей. Эти же формулы могут применяться
и для любых двух параксиальных лучей, проходящих через цен-
трированную оптическую систему.
Первая из формул вытекает непосредственно из инварианта
Лагранжа—Гельмгольца пк1^хк ~ J, где J— постоянная. Для
вывода формулы обратимся к рис. 11.25, на котором OKNK пред-
ставляет одну нз преломляющих поверхностей системы с номе-
ром к. Рассмотрим в про-
странстве предметов две
точки Sj и Рг на оси си-
стемы (в частности, это
могут быть точка предмета
и центр входного зрачка).
Предположим, что и
Рк — изображения этих то-
чек, даваемые в паракси-
альной области частью си-
стемы, предшествующей
поверхности с номером к.
В частном случае, рас-
сомтренном в гл. I, через
первую точку проходит
первый вспомогательный луч, не показанный на чертеже, через
• вторую — второй вспомогательный луч NKPKt образующий с осью
угол и пересекающий поверхность OKNK в точке NK на
высоте ук. Этот луч проходит через конец отрезка SKLK, рав-
ного 1К\ координаты точек 8К и Рк, как и раньше, обозначены
буквами sK и хк. Очевидно, что для параксиального луча NKPK
I,
ХК — SK
Угол ак, образуемый с осью первым вспомогательным napai
ксиальным лучом, определяется аналогичной формулой
где hK — высота точки пересечения луча с поверхностью OKNк.
Инвариант J может быть преобразован следующим образом:
</ — ~ (% к $к) ~ ~
~Hk(sk xK)y*h*'
93
Окончательно
HkK(Qxk—Q«c) =J (11.50)
и, в частности,
yKhK (QXk — Qsk) = yjh (Qxi — Qsl), (11.50*)
где QXK и QSK — инварианты Аббе.
В таком виде обычно и пишут первую формулу Зейделя. Эта
формула связывает разность величин QXK — QSK, относящуюся
Рис. 11.26
к любой поверхности к,
с „ величиной Qxl — Qsl,
относящейся к первой по-
верхности:
Ся — <2.1 = «1 ) •
Первая формула Зейде-
ля может быть записана и
в таком виде:
УкК (Q„ — QJ = у^п, X
(П.51)
Следовательно, первая формула Зейделя позволяет исключить
величину Qx, выражая ее через Q5; но в выражение для Qx через
входит еще и координата второго луча у.
Вторая формула Зейделя связывает у с координатами первого
вспомогательного луча, с радиусами, толщинами и показателями
преломления линз, а также с воздушными промежутками между
линзами; в сущности, она представляет собой не что иное, как
формулу для расчета параксиального луча через систему.
Пусть и Ок (рис. П.26) — вершины преломляющих
поверхностей с номерами к — I и к\ и Мк — точки пересе-
чения первого вспомогательного луча с обеими поверхностями
к — I н к после преломления через поверхность к — 1. Из подобия
треугольников и MxMk-.iT’x-i имеем
hK-i — hK _ HK-iHK
Последнее отношение в пределе равно .
SK—1
Таким образом,
94
Аналогично
Вычитая первое уравнение из второго и умножая обе части
на , получаем
Ук-i _ Ук Ук-1 I 1_________
hK. j hK ’ hK I j )
= — d, 1-^(QX K , —Q.k-1).
"KnK
Применяя первую формулу Зейделя (11.50), имеем
i = -fa- — h,y, (Qxl — Q„) .
Пц пк.г nK-lnKnK
Давая индексу к последовательно значения 2, 3, ...» р и скла-
дывая все полученные уравнения, получаем
2
Это уравнение может быть написано в таком виде:
^ = ^ + n1a1Zlap = -^ + Ja„, (П.52)
где
р
Ор ~ Zj Лк-1ЙкЛк '
2
Можно переписать уравнение и таким образом:
— = (11.53)
У1 *1 /Л 1 11 р '
или еще
“ = (П.54)
Для этого достаточно умножить обе части уравнения (11.52)
ftp .
на отношение —. В некоторых случаях (например, при опре-
У\ —
делении аберраций в зрачках) необходимо знать величину J,
имеющую тот же смысл, что и J, но относящуюся к зрачкам.
Заметим, что
7 = л«ткрк = -U (QM — Q„) = hKyK (J- — = _J
\ XK »K /
при любых значениях к. В системах без отражающих поверхно-
стей или с четным числом таковых
flpCtrp^р = ПрОСрРр (Хр — 3р) = Я-(С&1Р1 (Х| 5|)«
95
Если предмет на бесконечности, то при а' = 1; п' -- 1; / = —1;
Pi - 1; iP - /Pt
Если в оптической системе имеется нечетное число отражающих
поверхностей, то для предмета на бесконечности при а' = 1;
«; - I; Р, = I
J = 4-1, так как
Выражения сумм 5 после исключения величины Qx Большое
практическое значение имеет в формулах (11.49) исключение ве-
личин Qx и ДДля этого служит формула (II.5I), из которой
вытекает, что QXK = QSK + Величину Л — можно исключить,
пкУк пх
пользуясь следующими соотношениями:
J___Qx, I _ J____0х_
х' г п.' ’ X ~ г п *
откуда
А— =~ —q,a-4-
пх г х п2
Тогда формулы (11.49) принимают вид
= Х(Х’)
5---=ШП#)2&д»^+
. t ^(3A^~^A,;v)-
96
Переходя к переменным а, пользуясь формулами, приведенными
иа стр. 91, и вводя обозначения
\ п' nJ
а'п' — ап
пп'
(11.56)
Коэффициенты при Slt . . ., Sv в выражениях для «'a'6g' и
п'а'дв' даны в формуле (11.48).
Эти выражения сумм очень полезны для систем, состоящих из
отдельных сравнительно тонких компонентов. Отметим, что суммы
S и S связаны следующими, легко получаемыми из сравнения
формул (11.43) и (11.49), соотношениями:
Sf — /liSjJ J SfV =
Sji — Ait/iSii» Sv =
7
Г. Г. Слюсарев
(П.56*)
97
Таким образом,
S] — X hKPк;
s,v=2 и*’
43^+n»)-J“2iAi’
(П.57)
В практике расчетов встречаются случаи, когда приведенные
выше формулы теряют смысл или принимают неопределенный вид.
Частные случаи. Приводим формулы (11.42*) и (11.44*) с ис-
пользованием сокращенных обозначений, приведенных на стр. 89:
—2л'6§' = Sjw' (<о'2 + Q'2) 4- Sn (Зю'2 4- й'2) a.’t 4-
+ (35и1 + J2Siv) га'ш? + Sv®?;
—2n&G' = Sjfi' (га'2 + й'2) + 2Sum'Q'u'i -f- (SHi + /Slv) й’®?;
s^^hp-, sn=^hP^- зш=£л^у;
Как было указано выше, в формулах (11.43) за единицу приняты
ар и f)p при этом J - n<tl' - п' (х — sp) (5р.
Этими формулами нельзя пользоваться, когда а' 0, т. е.
в весьма важном случае визуальных систем (телескопические си-
стемы, микроскопы и т. д.). За единицу тогда можно принимать
угол ар
Однородность формул относительно отношений т. е.
величин, имеющих по существ)7 одинаковый смысл, приводит
к тому, что выбор угла а, принятого за единицу, безразличен.
Нужно только в формулах (11.42) заменить ю тем из углов юг,
для которого соответственная величина а( принимается равной
98
единице. Формула (11.42) принимает тогда вид
--2rtf6g; “ Sj<0; ~ О/) 4" Зц (Зо>/ 4- й( ) -Г
+ (ЗЗш 4- */’Зп) т(к'' 4- Зуи'3>
—2n'fiGt = 8,й'( (о>? 4 9?) 4- 28,1М)9Д +
+ (Sin + J2Sn) Й>-’,
где / — любое число.
Формулы (11.43) остаются при этом условии без изменения,
но за единицу следует принять аг Величину J надо принять
равной nt (x't — sj) pj.
Такой случай имеет место в телескопических системах, где
= а ~ 0. При отсутствии оборачивающих систем за t следует
принимать величину, соответствующую пространству, отделя-
ющему объектив от окуляра; а - 1 удобнее всего брать в простран-
стве перед окуляром.
Случай Sj — оо. Очень важным является случай, когда
предмет на бесконечности, Тогда at - 0; а’р = где f — фо-
кусное расстояние системы. Удобно принимать заднее фокусное
расстояние /' = 1,0 и первую высоту • 1,0. Тогда а'р — 1,0;
J - п'а'Г — n'AfR. — nR., так как / -----------Если, как
р р р р 11 1 1 1’ 1 п '
было принято выше, [3j — 1, то J - —и; если п — 1, то J —1.
Случай Pi = 0 = оо). Этот случай встречается при
расчете микроскопов. За единицу следует брать рр; тогда
нужно заменить в формуле (11.42) угол w углом wp, а величину J
принять равной npap (хр — sp); если ар •• I, то J = пр (хр — sp)-
Случай а' — а. Иногда встречается случай, когда две
следующих одна задругой величины а равны. Тогда все приведен-
ные выше выражения для Sn, Sni и SIV теряют смысл, так как
для поверхности с номером к появляется неопределенность
вида О-оо. В первых двух упомянутых суммах неопределенность
раскрывается, если написать для соответствующей поверхности
(11.59)
Последнее выражение может быть получено из формулы (11.56)
для 5Ш; первые два члена обращаются в нуль, так как при a —
= a' Р = 0 и U7 — 0; остается только третий член.
7‘
99
Для пятой суммы неопределенность раскрывается сложнее.
Перепишем выражение для Sv из формулы (П.56) для одной
к-н поверхности:
Заметим, что Рк = WK = 0 при а'к = ак. Опуская индекс к,
получаем для Sv на поверхности к
Ввиду того, что а = а',
ft^Sv = J24 2а (4 - — )- £ (4 - 4) =
’• ft2 \ п nJ й2 \ п 2 п2 J
Из выражения радиуса кривизны через а и 0 (помия, что а' =* а)
получаем
/ф'я'-м
” п' — п
С другой стороны,
J = hy - Qs) = hyQx - -h .
Д —
n
Заменяя ay и J их выражениями через 0 и п, получаем после
простых преобразований
4 (₽'+- 4)=- (₽'2 - ₽’)
Переход от Sv к Sv может быть выполнен с помощью одной
из формул (И.56*) Sv — h\y\Sy. Восстанавливая индекс к, по-
лучаем
Sv. = -/(₽<+!-й)- (11.60)
Пример вычисления сумм S для фотографического объектива.
Приводим расчет сумм Зейделя (с добавлением двух хроматических
сумм, значение которых будет объяснено ниже) для фотографиче-
ского объектива типа «триплет» с относительным отверстием 1 : 3,5
100
и фокусным расстоянием 100 мм. В табл. II.2 приведены вычисле-
ния сумм и радиусов кривизны поверхностей в предположении,
что система определена углами ак и толщинами dK. Вычисления
состоят из четырех частей.
В первой части вычисляются величины, относящиеся к показа-
nG.-nD nG'~nD
телям стекол: п, Дп, v, Av, —----- , Д--------.
nD nD
Во второй части вычисляются функции от а: а, Да, av, Aav,
4^, W, Р, С, ± h.
В третьей части вычисляются:
I) радиусы кривизны по формуле г = для чего
в таблице составлены столбцы величин ап, кап,
2) величины у и р второго параксиального луча, для чего
в столбцах располагаются величины у, ДпР, п$, р, р„ (т. е. р,
поделенные на рь чтобы согласно принятому условию pj равня-
лось единице);
3) величины Sn, SIH, SjV, Sv в следующем порядке: Дрл,
hP (из 7 и 10-го столбцов второй части), Sn =
__ о ДРге о ____ Л q __________ 1_О \ ДРп
111 — °11‘Да’’ °IV-----г—’ °v — '°111 °IV'~Acr'
В четвертой части вычисляются величины hC и уС — состав-
ляющие хроматических сумм 5|р и Sff — и дается сводка значе-
ний всех суммы. В приведенном случае J = —1.
Выражения сумм 5 после исключения величин у. Можно со-
вершенно исключить координаты ук и получить для сумм Sj, . . .
. . ., Sv выражения, зависящие только от координат первого вспо-
могательного луча S], s' и h и от начальной координаты ух второго
вспомогательного луча. Формулы, отвечающие этому требованию,
вследствие своей сложности не имеют практического значения;
однако они позволяют вывести одну весьма важную теорему,
относящуюся к влиянию положения входного зрачка на аберрации
системы.
Исходя из формулы (11.52) (задавая р значение к), согласно
которой
А - Л х
hK ~ т J(5k'
где
= 2 ~йк-Лпк ’
101
Таблица 11.2
s n An 1 v == — n Av CJ о a 1
1,0 1.0 0,0
1,6126 0,6126 0,62012 —0,37988 0,0082476 0,0082476
1,0 —0,6126 1.0 0,37988 0,0 —0.0082476
1 1,6259 0,6259 0,61504 —0,38496 0,0129836 0.0129836
1,0 —0,6259 1.0 0,38496 0,0 —0,0129836
1,6126 0,6126 0,62012 —0,37988 0,0082476 0,0082476
1,0 —0,6126 1.0 0,37988 0,0 —0,0082476
а Да Aav Да Ду w P c jL *
0,0 | 0,0
0,865 j 0,865 0.53640 0,53640 -2,2770 — 1,2214 2,781 -0,018780 0,16 1,0
11 1.900 ! 1.035 1.90000 ,36360 2,7245 3,7151 10,122 —0,022471 0.05 0,8616
0,550 | -1,350 0,33827 — .56173 3,5069 —5,4768 19,207 0,045532 0.03 0,7666
-0,300 —0,850 -0,30000 —0,63827 —2,2080 1,4093 -3,112 0,028668 0,14 0,7501
—0,110 0,190 —0,06821 0,23179 —0,5002 —0,1159 0,058 —0,0041254 0,12 0,7921
1,0 1,110 1,0 1,06821 2,9220 3,1213 9.120 -0,024099 0,8053
Продолжение табл, 11.2
an Дал Дл Дал r An r lOO^r Д/tf 3
0,0 1,3949 1,9000 0,8942 -0,3000 -0.1774 1,0 1,3949 0,5051 —1,0058 —1,1942 0,1226 1,1774 0,43917 — 1,21283 —0,62229 0,52412 4,99673 —0.52030 43,917 — 104,497 —47,705 39,314 395,791 41,900 0,0139190 0,0058624 —0,0131202 -0,0159205 0,0015478 0.0146205 27,923 16,378 10,080 8,0 —6.0 —13,372 0,38950 0,09602 —0,13225 —0.12737 - 0,00929 —0,19551 0,77410 1.16360 1,25962 1,12737 1,0 0,99071 0.79520 0.77410 0,72157 1,25962 0,69338 1,0 0,61436 0,79520
III f>n ДЕл Да hP S11 Slll sIV SIII +SJV sv
1,0 0,93214 1,62720 0,89573 1.29182 0,79364 1,02726 —0,06786 0,69506 —0.73147 0,39609 -0,49818 0,23362 —0,07845 0,67156 0,54183 —0,46599 —2,62200 0,21047 2,781 8,721 -14,724 —2,334 0,046 7,344 -0,2182 5,8567 —7,9779 1,0876 -0,1206 1,5460 0,0171 3,9331 —4,3227 —0,5069 0,3162 0,3254 0,8650 0,3635 —0,8069 —0,9793 0,0961 0,9068 0,8821 4,2966 -5.1296 —1,4862 0,4123 1,2322 —0,0692 2,8854 -2,7794 0,6925 —1,0811 0,2593
лс Сводка
IV -1,8780 — 1,9361 3,4905 2,1504 -0,3267 —1,9407 —0,5244 —0,3680 0,4590 0,2293 0,0248 0,3223 Si - 1.834 Sn = 0,174 •Sin =- —0,238 Siv - 0,445 Sv = —0,093 100Sf₽ - —0,44 lOOSff - 0,14
и подставляя вместо ук его значение из этой формулы во все
формулы (11.56) для сумм 5j, .... <SV, получаем
S, = Е hP-
S„ = -^-^hP + J'SiihPa -117);
Зш = (л?У 2 hp H 2J -s? 2 (hpa +
+ J2 2 (hPal - 2W° + 4-A v) •
Sv=(t У 2hp+3 ШJ 2 (hPa - Ii7) +
+3 ja 2 (НРа* ~2Wa+4-д 4)+
+ v+J32 1ЛЛг‘~3117ст" f-
4 f3A -— H П ) — A L-l .
1 h \ n ' / h- n- J
(11.61)
Для перехода от коэффициентов к аберрациях! следует приме-
нять формулы (11.45). Для краткости вводим следующие обозна-
чения:
EftP = Sj; S (hPa — IF) = s2;
+ = £“=* {II.62)
2 k°3-3^2 + 4(3A4 + nWA4]=s»-
Все величины s2, s3, s4, s5 не зависят от положения входного
зрачка. Последнее характеризуется отношением которое для
краткости обозначим буквой g. В таком случае
_ •$! ~ sb
•$11 = gsi + s2’
= g2Sj + 2Jgs2 -f- J2s3;
SIV — s<;
Sv = g3st 4~ 3gV«g 4- gJ2 (3s3 -|- s4) -|- J,Js5;
(11.63)
Влияние перемещения входного зрачка на аберрации третьего
порядка. Формула (И.63) показывает следующее:
1) если Sj = 0, то Sj = 0 и Sn не зависят от g (положения
зрачка);
104
2) если <Sj — 0 и Sn = О, то st и $2 равны нулю, а следова-
тельно, Sni — J2s3 не зависит от g;
3) SIV от g не зависит;
4) если S] ^iij s7= iv = то Sj = 0, s2 == s3 == =
— О, а следовательно, Sv — J3s5 и не зависит от положения вход-
ного зрачка.
Отсюда вытекает следующая теорема, имеющая большое
практическое значение: при исправлении первых i аберраций
третьего порядка аберрация с номером t + 1 (при изложенной
выше системе нумерации аберраций) не зависит от положения
входного зрачка. Например, если исправлена сферическая аберра-
ция, то нельзя использовать положение входного зрачка для
устранения комы; если и сферическая аберрация и кома исправ-
лены, то астигматизм и кривизна поля не зависят от положения
входного зрачка.
Если все аберрации исправлены за исключением дисторсии,
то на эту последнюю нельзя воздействовать никаким измене-
нием положения входного зрачка. В самом деле, все лучи одного
пучка, вышедшие из какой-нибудь точки пространства предме-
тов, пересекают плоскость изображения в одной точке; какой бы
луч ни считать за главный (т. е. какое бы ни выбирать положение
входного зрачка), днсторсня измениться не может.
Влияние положения предмета на аберрации третьего порядка.
В большинстве оптических систем положение плоскости предмета
не постоянно (зрительные трубы, фотографические объективы
и т. д.), и необходимо определить, как влияет на качество изобра-
жения изменение положения предмета.
Этот вопрос с достаточной для практики точностью может быть
решен с помощью формул (11.33), составленных для аберраций
третьего порядка. Для этого надо вычислить коэффициенты
b_i, . . по формулам (11.34) и (И.34*).
В большинстве случаев изменение положения предмета не-
велико. При этом положение входного зрачка не меняется. Изме-
нение сумм может быть вычислено дифференцированием формул
(11.31) по величине т. Например, для получаем
~2” ) = (*з "Ь 4" ^отя) 4“ ~2” "Ь З^2)]
Для частного случая т = 0 имеем
d(~~SI^(4h + ^fn'')d-C. (И-64)
Условие, чтобы сферическая аберрация оставалась исправлен-
ной при больших расстояниях’до'предмета, формулируется так:
S, = 0;
dSi = О,
105
откуда вытекает, что при т - О
Ь, = 0; b3 = -±_fn'. (11.65)
Заметим, что условие уничтожения комы выражается следующим
образом: Sn 0: b4 4- Ь3т' -- 0.
Ввиду того, что Ь4 = 0, получаем
bs = 0. (11.66)
Условие апланатизма противоречит условию Гершеля, выра-
жающему равенство нулю сферической аберрации для бесконечно
малого продольного отрезка прямой. Наилучшим решением яв-
ляется компромисс:
= (U-67)
Аберрации третьего порядка центрированных систем
с иесферическими поверхностями
Хотя теория аберраций третьего порядка центрированных оп-
тических систем может быть построена для общего случая несфе-
рических поверхностей, все же более целесообразно рассматри-
вать отдельно сферические и отдельно несфериче-
*/ скне поверхности по следующим соображениям.
/ Большинство оптических систем не содержит не-
/ У сферических поверхностей, так как их точное
I х изготовление представляет большие затруднения.
о I—------► Для этого большинства должны быть составлены
1 наиболее простые формулы. К тому же введение
\ одной или нескольких несферическнх поверхио-
\ стей производится вычислителем только в том
\ случае, когда не удается решить задачу исправле-
Рис. 11.27 ния системы с помощью одних лишь сферических
поверхностей. Но тогда задача может быть
решена в два приема: сначала для сферических поверхностей,
а далее вводятся коэффициенты деформации в одной-двух поверх-
ностях и с их помощью усовершенствуется система из сфериче-
ских поверхностей. Роль деформации сферической поверхности
более наглядно выступает при отдельном ее рассматривании.
Введем сначала понятие коэффициента деформации Ь. Рас-
смотрим (рис. 11.27) меридианную кривую ОМ поверхности вра-
щения с осью Ох. Ее уравнение в декартовых координатах может
быть написано в виде
* = №)•
Для сферы это уравнение, как это вытекает из уравнения
окружности у2 = х (2г — х) после того, как оно решено относи-
106
телыю х, имеет вид
Заменим сферу поверхностью вращения с радиусом кривизны
у вершины равным г. Ее уравнение будет
*=а^1 *+агУг +
Сравнивая эту поверхность со сферой, напишем ее коэффици-
енты П], а2 в виде
1 (1+*)
“1 ~ 8 г> ’
Рис. 11.28
Коэффициенты b и с могут быть названы коэф-
фициентами деформации, поскольку деформация
исчезает, когда эти коэффициенты равны нулю.
Укажем в качестве примера, что если b --= —1, с = —I и т. д.,
поверхность является параболоидальной Е
Разность MMlt отсчитанная параллельно оси от сферической
поверхности до деформированной, определяется разностью Ах
абсцисс при одном и том же у (рис. 11.28):
Аг - 1 I 1 L
— 8 г* 16 г* 'г
Вычислим изменение углового эйконала A IE, вызываемое де-
формацией поверхности. Определим сначала расстояние AW по
нормали между сферической и деформированной поверхностями.
Оно равно Ax cos <р, где <р, как принято, угол между нормалью
к поверхности и осью. Но если ограничиться первым членом в раз-
ложении х, то получим, что
ДУ = Дх = 4--^т-.
8 г3
Отступление несферической поверхности от сферической, отсчи-
. да/
тываемое вдоль падающего луча, можно написать в виде А ,
где I — угол между падающим лучом и нормалью к поверхности
в точке преломления. С принятой степенью точности можно счи-
тать cos i -• 1; тогда
Л * л 1
А = ДМ = Дх = —----.
1 Подробнее вопрос о связи типа поверхности с коэффициентом Ъ будет рас-
смотрен в гл. IX.
107
Приращение оптического пути A IF, как это вытекает из опреде-
ления углового эйконала IF (см. стр. 51—53), равно А (п — п'),
а следовательно,
АГ = — («' — n) • (II.68)
Формула (II.68) выведена для меридиональной плоскости.
В общем случае вместо у нужно рассматривать величину Н—
расстояние точки пересечения луча с поверхностью от оси.
Согласно изложенному выше, к ранее вычисленному нами угло-
вому эйконалу W добавим для несферической поверхности с коэф-
фициентом деформации b величину
ДГ =
Эту величину с точностью, нас интересующей, можно считать по-
стоянной при переходе от сферической к деформированной поверх-
ности.
Вычислим изменения величин n'Sg' и п'ЪС, вызываемые асфе-
ричностью поверхности. Пользуясь формулой (11.26), получаем
AW) =
ь ' др др
и аналогично
4 ' dv dv
Заметим, что № = Y2 + Z2, где Y и Z — проекции Н на
меридиональную и экваториальную плоскости. Для каждой
нз этих проекций, как это вытекает нз общих теорем геометриче-
ской оптики, можно написать формулы преломления
У
—(п' — л?) — —- (р'п' — рп);
z (П.69)
— (п' — п) — — (у’п' — уп).
Возводим в квадрат оба выражения и складываем, помня, что
по определению (см. стр. 79) р2 т- v2 = е; р'8 + у'2 =
рр' + уу' — 6:
№ = п'ге’ + пге - 2пп'6;
= г(пу + п‘е-2пп-6^
г3 v 7 (п — п)я
Для &W получаем
№ = — («'2е' + «2е - 2пп-6)г. (11.70)
108
„ д(Ь№) , с?(Д!Г) d(AIF) , <)(ДШ
Составим выражения —V—1 Ч- т—Ч:—и - -т—~— .
г др' др ду ду
После простых выкладок получаем
Д(_„^-) = ^> + т^П =
Х ь ' др 1 др
= 2(Л,у + "2в — 2nn'6) - "(*> ~"Т^
Заменим выражение (п'2е' F rt2e — 2пп'б) его значением
№ Y
-2- (п' — п)2 и (п*|л* — пр)— его значением---------(п'—п),
после чего получаем для Л (n'Sg')
’'W^’-lFYbr-пт). (11.71)
Аналогично получаем для Л (nW)
&(n'6G’) = ~H!Z(n'-nx). (11.71*)
Остается выразить Н и Z через величи- Рис. 11.29
ны h, у, I, s и х.
Пользуясь рис. 11.29, на котором изображена проекция пара-
ксиального луча на меридиональную плоскость, имеем в простран
стве изображений
, т' — I’ m's' — Гх’
Y =т 4- X -----г = —----г- •
1 S —х s'— к'
Аналогично
Подставляя эти значения Y и Z в выражения (11.71) и (11.71*)
для Л (n'&g') и A (n'dG'), что допустимо в области аберраций
третьего порядка, получаем
— A («'fig') = ((" — 1'ХУ +
+ М'‘s'°] (m’s' - l’X') = ("s',^s [s'W (№ + m'*) -
— s'4'х' (Зт’* + Л4’2) 4- 3s'm7'2x’2 — /'3x'3] =
= ^г(л' — «т) [s'3<i>' (й'2 + га'2) + six'll)’ (Зга'2 + й'2) +
+ 3s'x'2<o'a>'2 + x'W®].
109
tj a , n'a' — na h n' — n
Но ВВИДУ ТОГО, ЧТО T -- —г\ п — пт = ----- — —----г— ~
J ’ а а' га,
s' (п' — п) <
1имеем 1
— Л (ri’Sg') = -^(п' -п)|-..|.
Составляем величину A (n'a'Sg'), обладающую свойством инва-
рианта Лагранжа—Гельмгольца:
- Д („'a'6g') = 4 А /Ф- - n) ( 1 = [!
Обозначим через В выражение перед квадратными скобками:
п Ь(а'п' — an)3
° ~ (п'-п)* ;
тогда
-Д(л'а^) = ±В|...1. (11.73)
Покажем, что выражение в квадратных скобках входит как
один из сомножителей в коэффициент при величине Р в выраже-
нии аберраций третьего порядка для сферической поверхности.
Воспользуемся для этого формулами (П.48) и (П.56) для величины
npaPSgp и вычислим коэффициент при Р. Он равняется
2[ (*! —st)3 1 й{ 1 (*! —М3 Л?У1 1
/П,Ц о 1 Ц.
л|</?
/!, —
2
— Wi (Зй>1 + Qi) —J— z/j —
"1У1
- А 4] р-
к\У\ Л1 ВД J
Это выражение легко привести к следующему виду:
— A. [s?a>i (и? + Я!) + sfri w j (Зоэ? + Я?) 4-
4- 3S1A?miu>? + -Т-р =---------------А- [• ] Р. (11.74)
1 Здесь и далее значок Г. • . 1 означает выражение в квадратных скобках
в предыдущей формуле.
ПО
Принимая во внимание замечания, сделанные на стр. 91 при
выводе формулы (11.47), величины s,; <of; хх и в формуле
(11.74) можно заменить на s'; со'; Q'; х' и w'.
После этого легко видеть, что коэффициент при Р в правой
части формулы (11.74) совершенно одинаков с коэффициентом
при В в правой части формулы (11.73). Другими словами, выраже-
ния для сумм SIt . . Sv (11.57) с добавлением членов, зависящих
от несферичности поверхностей, имеют вид
D , / па' — па \3 . , .
B = b{ v-n )(»-»);
= bk)-j^wk;
s;,!= 5^-^|-(PK + BO-2J +
slv = -J-nx;
"к
s'v=E4(₽“+b^3/E4^+
+ л V (зд, ± + п.) - л у а дя _L.
(11.75)
\ Из этих формул вытекает следующее важное следствие: вели-
чины Вк, зависящие от деформации поверхности, складываются
с величиной Рк той же поверхности, и обе величины действуют
совместно; ни на ни на другие функции от ак’ деформация ие
влияет.
При вычислениях сумм Зейделя с учетом деформации по
формулам (11.42) и (11.43) нужно к величинам Рк добавить соот-
ветствующие величины Вк и произвести те же вычисления — умно-
жения иа ит. д. — с суммой (Рк -Н Вк), что и с Рк п случае
сферической поверхности. Если пользоваться табл. 11.2, то сле-
дует добавить после столбца Рк еще следующие столбцы: (ДакпЛ)я,
(Ал)2, “Ь дальше никаких изменений по сравнению
с таблицей 11.2 не будет. Таким образом, выражения поперечных
аберраций 6g' и 60' для случая асферических поверхностей будут
ш
иметь вид
— 2n6g = Sjo/ (ffl2 + <Г2) + Sj, (Зш2 + й’2) ® +
+ (35ш + J2Sn) a'w2 + SyW3;
— 2n8G' = Sjfi' (a'2 + Q'2) + 2S‘latiw +
4- (Sin + 42Siv) — щ2-
Примеры применения этих формул будут даны в главе о расчете
оптических систем с несферическими поверхностями во второй
части книги.
Отступление от отношения синусов и кома
Предположим, что оптическая система исправлена в отношении
сферической аберрации для определенного положения предмета.
Точка на оси этого предмета изображается идеально в виде точки.
Но всякая точка плоскости предмета, отстоящая от оси на неко-
тором, хотя бы очень малом расстоянии, изображается астигма-
тичио вследствие комы, и кружок рассеяния, вызываемый комой,
растет пропорционально расстоянию точки от оси. Аббе показал,
что изображение этих точек оказывается идеальным, если соблю-
дено условие синусов, т. е. если для любого луча, проходящего
в пространстве предмета через точку на оси и через ее изображе-
у — угловое
увеличение, соответствующее положению предмета и его изображе-
ния. Если отношение синусов этих углов не постоянно, то условие
sin и, 1
ине, имеет место соотношение sin-^r , где
синусов не выполнено. Отсюда вытекает, что отступление от закона
синусов должно быть связано с комой оптической системы.
В некоторых курсах оптики отступление от закона синусов
излагается таким образом, что читатели склонны рассматривать
его как какую-то особую, шестую аберрацию системы; ее называют
иногда даже аберрацией Чеберле. На самом деле отступление
от закона синусов представляет собой лишь некий признак, по
которому можно судить о коме системы, не проделывая тригоно-
метрического расчета хода лучей, излучаемых точкой, находящейся
на некотором расстоянии от оси (единственный способ определе-
ния комы, если не считать вычисления коэффициента Sn).
Отступление от закона синусов дает возможность определить
с большой степенью точности кому пучка лучей любого отверстия
при достаточно малом расстоянии точки от оси. К решению
поставленного вопроса о связи между комой и отступлением от
закона синусов можно подойти двояко.
Можно на основании теории аберраций третьего порядка найти
соотношение между отступлением от закона синусов и коэффи-
циентами Зейделя для первой и второй сумм. Такие выводы
112
имеются, например, в работе А. И. Тудоровского [1 ], а также в пер-
вом издании этой книги 121.
Однако больший интерес представляет геометрический вывод,
из которого вытекает более общая связь, распространяющаяся
на аберрации любого порядка.
Здесь будет приведено обобщение формулы- Штебле—Лихоцкого,
изложеииое в работе автора [3].
Введем величину 6S, определяемую формулой
б = _ 1, (П.76)
s т sin и . '
где и и и' — углы с осью луча, пересекающего выходной зрачок
, л sin и
на расстоянии i от оси; т — предел при и — 0 отношения ,
т. е.. величина, обратная
угловому увеличению у. _-ту—
Отметим, что величина 6S ----------
неравна величине 6Sin, при-
веденной в [2] на стр. 113. , s>
Она приблизительно равна ——X—и ~ Л’
ей, но с обратным знаком.
Лихоцким было доказано г
следующее положение. л
Пусть из точки Л, находя- рис. изо
щейся на оси оптической си-
стемы, идут два симметричных луча, пересекающихся с осью в точке
А , образуя с осью углы сч (рис. 11.30); пусть 6s =АоА —продоль-
ная сферическая аберрация этих лучей. Рассмотрим точку В, лежа-
щую на бесконечно малом расстоянии от оси иа перпендикуляре
к оси, проходящем через А. Два луча исходят из В таким образом,
что после преломления они образуют с третьим (главным) лучом
Р'В' те же углы. Поставим условие, чтобы эти три луча М'В',
Р В и М{В пересеклись в общей точке В и фигура М В'М\
в точности повторяла фигуру М А М\. Это условие принято-после
Штебле называть условием изопланатизма: при его выполнении
изображение точки В тождественно с изображением точки А.
Штебле и Лихоцкий доказали, что если это условие выполнено,
имеет место соотношение
6S + -,— , =0. (11.77)
хо — so
Для доказательства этого положения Лихоцкий делает пред-
положение о том, что точки М и All расположены на окружности,
проходящей через Р' и А'. В реальных оптических системах это
предположение, пожалуй, никогда не осуществляется, что в зна-
чительной степени лишает его теорему практического интереса.
8 Г. Г. Слюсарев 113
Рис. 11.31
Величина плоского
потока
Кроме того, условие Шчебле—Лихоцкого не позволяет вычислять
значения комы, когда левая часть уравнения (11.77) не равна нулю.
Нашей целью является вывод формулы, связывающей попереч-
ную кому меридионального пучка любой апертуры при бесконечно
малой величине расстояния предмета от оси с величинами 6S и 6s'.
Отметим, что при определении комы пучка любого отверстия
должны быть приняты предосторожности, совершенно излишние
при выводе комы третьего порядка. В частности, необходимо точно
условиться о выборе двух крайних лучей, по которым определяется
кома.
В отличие от Лихоцкого,
принимающего в качестве край-
них лучей два луча, образующие
с главным равные по значению
углы, рассмотрим два луча, вы-
,/iof бранные таким образом, что си-
нусы углов, образуемых этими
лучами с осью, отличаются от
синуса угла, образуемого с осью
главным лучом, на одинаковые
величины. Такой выбор пары
лучей может быть обоснован
следующим образом.
лучей, исходящего из бесконечно
малого источника света, пропорциональна не углу между край-
ними лучами пучка, а разности синусов этих углов. Таким образом,
можно считать, что прн выбранной здесь паре крайних лучей
энергии обеих частей пучка, разделенных главным лучом, равны.
Рассмотрим два бесконечно тонких меридиональных пучка AM
и BN, исходящих из точки А на оси системы и точки В на расстоя-
нии I от первой (рис. 11.31). Расстояние / в дальнейшем будем
считать бесконечно малым. Пусть и — угол, образуемый первым
пучком с осью. Второй пучок образует такой угол и -|- du с осью,
что после преломления он пересекает первый пучок в точке М'
выходного зрачка. Обозначим через и' угол, образуемый пуч-
ком AM с осью после преломления. Поперечную кому пучка,
соответствующую дайной апертуре А = п sin и и заданному поло-
жению выходного зрачка, определим следующим образом.
Вычислим высоту у' пересечения с гауссовой плоскостью
изображения трех лучен: главного луча, проходящего через
центр выходного зрачка Р, образующего угол е с осью, и двух лу-
чей, образующих с осью такие углы и'+ и и'_, что sin и'+ — е =
— 8 — sin и'_ — sin со'.
Обозначим эти высоты через y'Q, у' и у_. Образуем величину
-у0. (П.78)
114
затем перейти к коме
Рис. 11.32
Эту величину назовем комой меридионального пучка для
апертуры А'. Она, как известно, характеризует степень несим-
метричности преломленного пучка.
Кома третьих порядков не зависит от выбора плоскости уста-
новки; это положение неверно для комы пучка большого отвер-
стия, но нетрудно вычислить изменение комы при изменении пло-
скости установки. Этот вывод будет выполнен ниже; он позволит
вычислить кому не в плоскости Гаусса, что вызывает ряд затруд-
нений, а в плоскости А'Н', содержащей фокусы бесконечно тонких
меридиональных пучков M'S' и М’В’, и
в гауссовой плоскости, которая предста-
вляет интерес для конструктора-вычисли-
теля.
В плоскости А'Н' величина Г = А’В'
определяется точно по обобщенной фор-
муле Лагранжа—Гельмгольца
nlcosu du = п'Г cosu' du'. (11.79)
Определим абсциссу точки А' относи-
тельно гауссова изображения Ао точки
А. Имеем
А0Н = A0S фЗН --6s' у S Д 'cos и. .
Но S А определяется из элементарного треугольника A S S{:
. , c, d (6s ) . ,
A S' = —j-r-sinu .
du
Поэтому АаН -- 6.s i- sin и' cos и1. Ордината у'
пересечения луча М'В' с плоскостью А'Н' равна
, ,1С,Л. ! । и d(bs') . , , . ni cos и du
у = AS sin и Д- Г = —* , --sin2u -4—-----------г-г-7- •
J 1 du 1 п cos u du
(11.80)
точки
(П.81)
При составлении выражения для комы можно заметить, что
в выражении для у' (формула (11.81)1 первый член правой части
представляет собой нечетную функцию относительно и' и при
перемене знака и' меняет свой знак, не меняя своего значения.
у, “* У—
При составлении полусуммы —2----------этот член пропадает; вторые
члены, наоборот, составляют четную функцию от и’ и при состав-
Ул. + У— п dl cos и du j,
лении -2—~-----дают —------гзт. Чтобы получить ул в плоско-
2 п cos u du J
сти А , находим сначала значение уг в плоскости Гаусса, соответ-
ствующей углу и' 0 (рис. 11.32). Имеем
= = = (И.82)
8’
где |3 — линейное увеличение системы для сопряженных то-
чек А и Aq. ____ ________________
В плоскости А ордината уо равна уг -Т И Лов. Обозначим И Ло
через —А.
Тогда
— А = Н Ло = H'S S Ло = — 81пи cos u + 6s ;
yQ = dl'r — еД.
(11.83)
Для комы Knt в плоскости А’Н' получаем
пdices и du . ztt олл
Кт = —------гз-7--&Г -F &А (11.84)
п cos и' du’ ‘ 1 ' !
у* At или
% [^у -1] +еД • <п-85>
Ч И
Но sin и = т sin uf (1 + 6S); дифференцируя
Рис. п.ЗЗ это выражение по sin и', получаем
. A * • d6«
4-0-4- s n и .. . >-<;
' * Ч s 1 d (sm и ) *
d (sin ц)
rd (sin и')
Km = dl’r [6S + sin и j + 8Д. (11.86)
Определив кому для плоскости А'Н’, нужно вычислить ее
для плоскости О'. Этот переход может быть выполнен следующим
образом. Пусть (рис. 11.33) у\ — HiAi— высота пересечения
луча с плоскостью Hi, а у-2 = Н2А2 — высота пересечения того же
луча с плоскостью Н2, пусть А — расстояние между этими пло-
скостями. Имеем уч = у\ — A tg и . Пусть известна кома
для плоскости Для плоскости Я 2 она получится по формуле
^ = К,^д( 1гц+ + 1еи- -tguij. (П.87)
Но
sin и+ = sin оз 4- е;
sinuL — —sincu -f-е;
(П.88)
sin Uq = 4- е;
tgu+ =
sin (o' j s
cos cos u'+
(П.89)
116
Если sin и+ ~ sin <о + е, то с точностью до членов, содержащих е
в первой степени, имеем
cos и 4. = cos & — & tg <о ,
как легко проверить из соотношения
sin2 со + cos2 со = 1.
Подставляя в формулу (11.89) значение cos и'+, получаем
после простых преобразований следующее выражение для tg
,0U‘____ sin (о*_____8 __, , /1 е sin (о \ е ______
° + cos и' — е tg со' ' cos о/ ° \ ' cos8 со ) ' cos со'
х- / , / sin3о , 1 \ , в
~tg“ +е(.БЭТ +
Отсюда
= (It90)
и, если заменить А его значением
А — [1^.2 smu'cosu' +6s'J , (11.91)
то после некоторых преобразований получаем выражение для
комы в плоскости О'
(П.92)
п с sin и -
В случае, если s = оо, величина os — - ----1 теряет
смысл и заменяется выражением
£ s, sin и , Л. ,
О, =---—---г -- 1 = —---т-=7-I
s Si TSUI и sin и f
и формула принимает вид
= + (П-93)
rf(sin и ) / xq~so )
Для комы, вызываемой сагиттальными лучами, Конради 14]
была выведена формула, которая после перехода к нашим обозна-
чениям имеет вид
Xs sin s0 — x
V . т sin и' s' —x' '
где Ks = Is — Ils — ордината точки пересечения двух симме-
тричных сагиттальных лучен, исходящих из точки I объекта и
принадлежащих зоне зрачка, соответствующей апертуре sin иг
117
(величина I предполагается бесконечно малой);' Г — ордината
точки пересечения главного луча того же пучка с плоскостью,
в которой пересекается пара сагиттальных лучей (эта плоскость
при бесконечно малом I содержит точку пересечения с осью луча,
исходящего из точки предмета иа оси с апертурой sin z/|); s'} и s’ —
абсциссы точек пересечения с осью параксиального луча и луча
с апертурой sin и}.
Приведем формулу к более удобному виду
A's 1 sin Sq — x sin^! s'.— /-p As — As
I x sin и s — x x sin a s’o -4 As — x’
Помня, что ----------J и вводя это значение в формулу,
получаем
+ + <П'94)
где As’ = s’ — s’.
Последним членом формулы (П.94) в большинстве случаев
можно пренебречь. Любопытно, что для сагиттальной комы выра-
жение комы непосредственно связано с отступлением 6S, в то время
как для меридиональной оно связано с производной от 6S по
аргументу sin и'.
Для практического применения формул следует графически
представить функцию 6S sin и' + —t в зависимости от
аргумента sin и’ и измерить угол касательной в нескольких
точках кривой.
Если ограничиться аберрациями третьего порядка, то можно
считать 6$ D sin2 и'\ 6s' A sin2 и', где А и D — коэффи-
циенты, зависящие от конструкции системы и положения предмета.
Заменяя tg и' в формуле (11.93) через sin и', получаем
K = + =3/' + (11.95)
3(sinu)y *o-so I *o~st> I
Однако последней формулой необходимо пользоваться с осто-
рожностью (при отсутствии высших порядков величин б, и 6s').
Значительно лучше следить не за самой величиной 6S sin и' -f-
, 6s' tg U £ *
Ч---, , , а за ее производной и добиться того, чтобы производ-
но — so
ная по sin w' обращалась в ноль (если нужно исправить кому).
Признаком отсутствия высших порядков комы служит про-
с I 6s’ 6s'
порциональность величины г) = os -|------— или т) = —----г- -J-
*о — s0 *о s0
+ -у— (когда предмет на бесконечности) квадрату апертурного
118
угла sin и' (или hi). В таком случае можно считать, что реальная
кома К,п определяется упрощенной формулой
/<„, = 3Z'-и 6,) - (11.96)
Пример. Двухлиизовый склеенным объектив работает с уве-
личением —1. Входной зрачок совпадает с объективом; фокусное
расстояние его 600 мм, диаметр отверстия 120 мм. Сферическая
аберрация 6s'для луча на краю отверстия = 60) равна 1,52 мм;
отношение “ для этого луча равно —1,0062; для параксиаль-
ного луча = —1. Определить кому объектива для точки
изображения с координатой 1Р 4-2,5 мм при полном отверстии.
Применяя формулу (11.96), имеем
6^ = .3-2,5 (- 0,0062 ) =
= 7,5 (- 0,0014 — 0,0062) - - 0,056.
Точный тригонометрический расчет дал для величины bgK
значение —0,061.
Любопытно получить для этого же объектива величину меридио-
нальной комы на основании его второй суммы 5П. Эта сумма по
формуле (11.47) оказалась равной f-6,45J, a J — nt (х( — Si) =
= Xi — Sp
Таким образом,
— 2/ipap6^p]K = ЗапйУ^л = 3coi^i (xi — Si) = 3o)i^i• 6,45.
При пр = 1; = —1; /1 — —2,5; coi -------—— получаем
6g;., = - 4-(-156б~)2 2.5-6,45 = -0,060.
Результат совпадает с тем, который дает тригонометрический
расчет.
Другой вывод формулы, связывающей отступление от отноше-
ния синусов с коэффициентом сферической аберрации и комы,
пригодной лишь в пределах аберраций третьего порядка, пред-
ставляет интерес ввиду того, что прием, используемый в этом слу-
чае, встречается и при выводе таких аберраций, как хроматиче-
ская разность увеличений и хроматическая разность сферических
аберраций. Поэтому мы его здесь приводим [2].
Пусть по-прежнему
сс„ sin u, i sin и.
6S = -2------'---1 = --------
ctx Stn up T sin Up
119
sin и
Вычислим отношение я. ц , принимая во внимание только
члены второго порядка малости.
Напишем очевидное тождество
sin u' sinu„ sin и„ , sin
-т—3 = —5 —---------------г—3. (11.98)
Sin U, Sin Up Sin Up.! SinUj ' ’
Отношение для любой поверхности может быть опреде-
лено из треугольника MSS' (см. рис. 1.16), где — падающий
луч; МС— нормаль; ОС — оптическая ось системы; MS' — пре-
ломленный луч:
slno« _ Р (П99)
stn ик MS' р' ’
Отрезки р = MS и р' = MS' могут быть определены из
треугольников MSC и MS'C:
р* = (г — s)2 + г2 — 2г (г — s) cos <р = s2 -f- 2г ( г — s) (1 — cos <p) =
= s2 + 4r (r — s) sin2 -y .
С указанной выше точностью можно написать
p2 = s2 + r(r — s) ср2, (П.100)
откуда, используя разложение в ряд для квадратного корня,
получаем
p = s[l+4^)-^. (П.101)
Диалогично для отрезка р' находим
p-=s'[! (П.Ю1*)
С той же точностью определяем отношение отрезков
!r = V Г1 --2 rf!AZlr3Zi'l, (И-102)
где А—согласно обозначению Аббе, заменяет разность
= г<г-‘> =_f2QsA J_. (U.K»)
Следовательно,
или
-^ = 3.(1-4 г), (П.Ю4)
120
где
Г = ft2QsA — .
xs ns
Перемножая отношения -у- для всех поверхностей, имеем
с той же точностью
Sinn' Рр рр А рх = Sp
sinuL Рр Рр-1 Pl Sp
I — 4’2 «'') (Н.105)
Для вычисления произведения отношений вводим отрезки
sok и so« для соответственных параксиальных лучей; полагаем,
что sK = sOk + 6sK; sK — s'Qk -h ds’K, где 6sK и 8sK — продольные
сферические аберрации луча до н после преломления через рас-
сматриваемую поверхность с номером к. Разлагаем в ряд выраже-
$к
ние для отношения s’ :
bs'K
sQk s0k
С принятой точностью останавливаемся на первой степени
ds ds
отношения —, так как —------величина второго порядка мало-
сти, пропорциональная квадрату угла и.
Для произведения всех отношений имеем
_ sOk + _ 50к I | ।
s0k + K s0K \
+ ••* • (II.106)
Сумма S может быть разбита на пары членов следующим
образом:
р
где для краткости опущены значки 0.
121
Ввиду того, что ds'K = 6sk+1 и s'k sk+1 -i- dK, где dK — рас-
стояние между поверхностями с номерами к н к + 1, имеем
Так как предмет не имеет аберрации, то = 0; поэтому
Рассмотрим формулу (11.48) и введем новые суммы Sj и Sn,
связанные с суммами Si и Sn соотношениями
51 = 5^5;
«$п =
Тогда получаем при = 0
2np6g„ap = ,----!—-3 UM S[ — -----Ц-2 -М SH. (11.48*)
р б/ р (х, — Sj)3 у I 1 (Xi — sj2 \ /it / 11 v 7
Остальные члены можно не выписывать, так как они не нужны
для вывода искомой формулы.
Здесь
Si EftfPn
i
su= £ytp,-J S W'l.
1 1
Из формулы (11.48*) получаем для поперечной сферической
аберрации
= (x.-s.y (M S h‘P>’
т. h.
но так как —-— ап — = а,, то
X! — Si S1
6/ ^h‘p‘
“к 2лЛ •
122
Подставляя это значение в формулу (II.НО), находим
Второй член правой части формулы (II.I12), вследствие соотно-
шений
$>с-г 1 — Ьк-Ь-Ъ
может быть написан в виде
Учитывая последнее преобразование, получаем вместо (11.112)
после перераспределения величин Р
+hp-ipp-i „„hp-Jtpi '
Введем обозначение нз формулы (11.52)
р
р Z.4 кк-'НкПк ’
2
тогда выражение в квадратных скобках принимает вид
hlPl^p + hzp2 (СТР “ <*2) + Л3Р3 (Ор — оз) + •
• • • hp_^Pp-j (<jp °p-i)*
Прибавляя и отнимая член ophpPpi получаем
[ • • • 1 = Op £ hj\ — S aKhKPK.
(11.113)
(11.114)
(11.115)
123
После этого можем написать
<JKhKPк
(11.116)
получаем для отношения синусов следующие
Возвращаясь к формулам (II.105) и (П.110) и применяя фор-
мулу (11.116),
выражения:
soi t t 4 _SOP _
S01- SQp
sin
sin и.
—
-g- У (aKhKPK — l^) + члены высшего порядка малости.
i (11.117)
Вторая формула Зейделя (11.52) дает для выражение
Подставляя это значение <ур в формулу (II.117) и помня, что
n'a'l' = J, получаем
sin ип ап ( I l„ — у„
____£ — —Р. h -L _ -р____V h Р
Sin ih а, | 2J hp
[Р Р -11
S М\ + J S wy I • (11.118)
Но выражение в квадратных скобках равно $п, как это видно
из формулы (11.61). Так как = Sj, то можно написать
+ (П-119)
124
Из рис. 11.25 легко выводим, что ур — 1'р == зр0р; но этому
коэффициенту при Sj может быть дана более симметричная форма,
а именно:
1Р~Ур spPp _ Рр
2Jhp "Mb? 2Jap ’
Следовательно,
sin и„ i . .
T-^=i-4r(₽pS,”K₽Sn)- (iu2i)
Обозначим для краткости через q выражение второго порядка
малости —У- (₽„Si — <хр3ц). Тогда
2а „J
6» = V^~ 1 =-f^—1 = 1 + <?-1=<?. (П-123)
Следовательно,
\ = -47(p;,3,-apS1I). (11.124)
2apJ
Задача состоит в том, чтобы, зная отступление от отношения
синусов и продольную сферическую аберрацию, определить
кому системы в предположении, что последняя обладает лишь
аберрациями третьего порядка.
Рассмотрим три луча, исходящие из общей точки и пересека-
ющие входной зрачок в меридиональной плоскости: средний
в центре зрачка, а два других — на расстояниях -\-т и —т от
среднего.
Пусть /р /' — ординаты точек пересечения этих лучей с га-
уссовой плоскостью изображения, причем /' соответствует среднему
лучу, — верхнему.
Обозначим через 6g' следующую величину:
(11.125)
Эта величина характеризует несимметричность расположения
крайних лучей относительно положения среднего — главного —
луча пучка и называется меридиональной комой пучка для от-
верстия его 2т. Если система обладает аберрациями только
третьего поридка, то величина 6g'K зависит только от коэффици-
ента 5ц, и, чтобы показать это, образуем выражение
с ' Z1 f3 /' ^3 с * /т т 1
= —2-------Z2 =-----2------Sg2’ t11 •12Ь'
125
где tig, — меридиональное отклонение точки пересечения с гаус-
совой плоскостью луча с номером I от гауссова изображения точки.
Для вычисления этого выражения воспользуемся форму-
лой (11.48*), положив Му = 0; давая величине ту последовательно
значения т, 0 и —т, получаем
' - ' 3m? / s \2-
2,!ЛМ =------(™-уг S.p (П.127)
все остальные члены, зависящие от $П1, SIV, Sv, сокращаются.
о ( mt V ( si V 1
Замечая по-прежнему, что I х _у ) \ь) ” Ь имеем
2tipap(>gp = —3Sn. (11.128)
Последняя формула показывает, что 6gp зависит только от
коэффициента комы 5И.
Вернемся к формуле (II.124) для 6S.
Тригонометрические расчеты хода луча дают непосредственно
бЭр и 6sin, а нужно получить ожидаемое значение комы 6g'K .
Для этого нужно исключить Sj и Sn, заменяя их выражениями
через bs и Sg'K . Из уравнения (11.42), полагая w = 0 и помня,
что 6s' = a'6g’, получаем
2»X28Sp = — Si- (II.129)
Подставляя (11.128) и (II.129) в формулу (11.124) и пользуясь
уравнениями J = п а I и -р- -- -р—-р-, решаем относительно
. Окончательная формула, ’имеющая вид
р = 3/;(-Д^+ 6S), (II.130)
' хп sp
совпадает с выражением (II.96).
Формула (11.130) непригодна для обширной группы оптических
систем, применяемых для получения изображения бесконечно
удаленных предметов; в этом случае s( оо н величина Ss теряет
смысл. Покажем, что вместо иее можно ввести другую величину.
Согласно определению имеем
Первый член правой части может быть написан в таком виде:
sin и, s.a
----------- , где Si — расстояние от предмета до первой поверх-
sin Up sl«l
ности системы. В пределе произведение st sin iiy равно Л,. Так
126
как и =- /', где f — заднее фокусное расстояние
а₽
системы, то можно написать
-1 - (11.131)
sin ир I Ц Sin Up I
Обозначим символом 6/' разность —--------'f'; тогда
sin ир
Ь, = ^- (11.132)
и формула (11.130) принимает вид
6g'K: „ = 31 . (П.133)
Как уже было сказано, случаи, когда З] = оо, на практике
встречаются очень часто, и тогда нужно применить формулу
(11.133), В тех случаях, когда х' — s —j', т. е. когда выходной
зрачок системы совпадает с ее задней главной плоскостью, формула
упрощается. Это имеет место, во-первых, во всех бесконечно тон-
ких объективах, если выходной зрачок совпадает с оправой объек-
тива, и, во-вторых, в тех случаях, когда объектив состоит нз двух
одинаковых и симметрично расположенных половинок (фотогра-
фические объективы типа «Апланат», двойные симметричные ана-
стигматы типа «Дагор», «Планар», «Плазмат» и т. п.).
формула (И. 133) принимает наиболее простой вид
у-(в/'-М. (11.134)
Бывает полезно на основании результатов расчета хода лучей
через оптическую систему получить значение второй суммы Sn.
В наиболее часто встречающихся случаях, когда предмет нахо-
дится на бесконечности, по формуле (11.45) имеем
с * 3 Ю " о г' г!
Р = - —— ^'15н и I = — U’j.
Используя эти выражения и формулу (II.133), чить следующее: У р - sp 1 “Ф можно полу- (11.135)
или
S., = 2п1чЧг, “р (II.136)
где П = _6s'p_ , Л/'_ (11.137)
127
Применение формул для аберраций третьего порядка
к частным случаям
Простая, бесконечно тонкая линза. Теория аберраций хорошо
применима в случае простых линз, если относительное отверстие
последних невелико (например, не превышает V3—V4) и если глав-
ный луч пересекает линзу на небольшой высоте (не более 0,25—
0,30 диаметра линзы).
Положим, что для линзы известны: ее фокусное расстояние Д
показатель преломления п материала, из которого она изготов-
лена, и углы аь а2 н а3, образуемые с осью первым вспомогатель-
ным лучом до преломления (в воздухе), после преломления
(в стекле) и после второго преломления (в воздухе). Первый из
этих углов а.} возьмем равным единице. Пусть расстояние от пло-
скости предмета до линзы равно з, расстояние от изображения до
линзы равно s'. Линейное увеличение линзы . Правило
знаков для величин з изложено в гл. I (см. стр. 6). На основании
гауссовой оптики имеем следующие соотношения:
= s' = hi~₽). (и.138)
Параметр h, — высота пересечения первого вспомогательного
луча с линзой — равен saj = з и одинаков для обеих поверхно-
стей линзы. Соотношения между радиусами кривизны и пара-
метрами а выражаются следующими уравнениями:
п — 1 п — 1
г, = s-----г; г2 = з------.
1 с'..2п — 1 ’ £ а2п — а3
Параметр а3 связан с линейным увеличением [3
0a3 = 1. Легко проверить, что радиусы кривизны гх и
творяют известному равенству
Выпишем выражения, входящие в состав сумм
лах (11.57), применительно к данному случаю (для краткости вве-
дено обозначение v = :
S W = И (a2v - 1) + Ы (a3—a2v) =
= тЕД[“з+1-(1+*)а21;
(11.139)
формулой
г2 удовле-
(11.140)
в форму-
(11.141)
128
- P = - 1) + )2 («., -M =
(T?Z^[a| + a3+l-(2 + v)(a3+ l)^ + (2v + I)«i] J
Д-2- = Д av = a2v — 1 + at, — a2v = a3 — I;
(11.142)
Остальные величины у и J, входящие в выражения сумм,
определяются следующим образом. Пусть х — расстояние от
линзы до входного зрачка. По условию принимаем ух — х\ J -
— х — s, так как пг = ссг = 1.
Таким образом, выражения сумм Зейделя, определяемых по
формулам (11.57), принимают следующий вид:
S, = sP;
Sn = xP — (x — s) W-,
s„, = 4-₽-2(x”s) +
*iv-~---v- f
Sv = 4-/’-3(x-s)(~)2r + (x-^ z
x -J-(3 + v)(a3— 1),
(11.143)
где
P = [at + a3 + 1 -(2 + v) (a3 + 1) aa + (2v + l)a?|;
«z = -Thv-[a=+ ‘-f1 +v)“^
Согласно формулам (11.47) аберрации для линзы можно напи-
сать в следующем виде:
— 2азЙ£ ~ £2i) Si -|- (Зйц -]- Qj) u*jS11 -|-
+ [3Sin (xi — si)2Siv] + u>?SvJ
— 2a36G — Qi (to? -p Q?) Si -|- 2&>1Й1^15ц -f-
+ £21^1 [Sni -f-(%i — si)2Siv|-
9
Г. Г, Слюсарев
129
Для перевода угловых величии <о, У п w в линейные можно
воспользоваться формулами
ТП, Г\ Мл I, /rt UEV
= = = (п.145)
Формулы (11.143) и (11.144) пригодны только для конечных
значений расстояния от предмета до линзы. Случай s • - оо будет
изучен особо. Рассмотрим сначала несколько частных случаев.
/. Предмет и изображение совпадают, (s 0). Этот случай
встречается в коллективах, применяющихся в телескопических
системах и служащих для отклонения главных лучей системы,
т. е. центральных лучей наклонных пучков. Когда s — 0, то а3 =•
- аь а следовательно, Р и W равны нулю. Нетрудно видеть, что
— Sji = 0. В остальных суммах 5Ш, S!V и Sv появляются
неопределенности типа -у , которые необходимо раскрыть. Когда s
стремится к нулю, а3 стремится к единице, а отношение *-
остается постоянным и равным -у- . Выражение для Sin в этом слу-
чае может быть иаписано в виде
S^-T^p-2T^W+T-
Выражения для Р и W даны на стр. 129,
В том случае, когда s стремится к нулю, Р и IF принимают про-
стой вид, так как ая - 1 и а2 — у.
Действительно,
4^7- Р = 3- (2 -I- v)2v + (2v + 1) v2 = (1 — v)2(3 + 2v);
4=4 117 = 2 - (1 + v) v = (1 - v) (2 + v).
После всех подстановок получаем
5ш = )2 (1 - ^)г (3 + 2V) - 4^ (1 - v) (2 + v) + 1 -
= (3 4- 2v) — 2 (2 4- v) 4- 1 = 0.
Таким образом, Sni равно нулю.
Пятая сумма Sv при 5 = 0 принимает вид
Sv - -J IP - 31F + (3 4- v)(a3- 1)1.
Заменив Р и W их выражениями через v, получаем
Sv = 41(3 +2v)-3(2 +v) + (3 + v)l = 44-(°) =4,
130
т. е. неопределенность. Чтобы раскрыть ее, можно воспользоваться
выражением для Sv из формулы (11.49).
Обозначая через bgducm линейную дисторсию линзы, имеем
=-----------------g- -X| J S)S *1 2 h“ 1'7") ;<
X [(<2,-С?,)-Уа4- + ЙА^]. (II.146)
В нашем частном случае hK - 0, -у- = 1 н произведения
У,Л(Й— Л--1 и ле’А —
г п пх
равны нулю, так как Qx и А —--конечные величины. Един-
ственная величина, которая, умноженная на hK, может дать нечто,
отличное от нуля, это Q^-^-A-^-, так как произведение hQs—
конечно. Таким образом, получаем
= 4 ^hQxQs -- A -i-, (11.147)
НО
/iQs = —4^; '/% = —
%-S Ду , Ду ’
где аи[3 — углы параксиальных вспомогательных лучей
с осью.
Помня, что ai a^ = 1 и a4 — v, получаем
6gAim=4I !) +
или
6^m = 4-l(^+₽irA).
* У1 X ‘I '8 /
Последнее выражение может быть изменено исключением ра-
диусов fj и г2.
Ввиду того, что
п— 1 1 — п
^П-^ и 0а-М ’
9*
131
получаем окончательно
6g;„™ = -1-|(₽3—₽) [ M’+ftr-h-P, ] . (П.148)
Так как 03 — pi =- ~ , последняя формула может быть написана
в таком виде:
= -i-l( П+п)„^~1Р‘~Рз )> (11.148*)
или, выражая 0 через г и х, получаем
= 44(т^ + ^- 4г)- <11-148**)
Как показывают формулы (11.148*) и (II.148**), дисторсия
простой линзы, даже когда плоскости предмета и изображения
сливаются, не равна нулю [кроме исключительного случая,
когда (1 4- п) р2 = Pi + Рз 1 • В результате последних вычислений
можно прийти к следующим выводам: бесконечно тонкая линза,
давая изображение при увеличении +1,т.е. при совпадении пло-
скостей предмета и изображения, обладает только двумя аберра-
циями: кривизной поля, обусловленной тем, что четвертая
сумма SIV отлична от нуля и дисторсией, определяе-
мой формулой (II.148**).
Все остальные аберрации равны нулю.
2. Предмет и изображение находятся на близком расстоянии.
Пусть имеется бесконечно тонкий компонент, заднее фокусное
расстояние которого равно s и s' — расстояния от линзы до
предмета и до изображения; а и а' — углы, образованные лучом
с осью до и после преломления. Обозначим линейное увеличение
компонента через 0 и положим -^- = -^-==0 = 14-8. Пред-
положим, что е мало. Напомним выражен-ия для коэффициентов
аберраций третьего порядка системы бесконечно тонких компо-
нентов, находящихся в воздухе:
5i = S
J‘SIV = Р 2ФД1,;
Sv = Е4р> - 3/S 4Wi+-/2Е < ф-- (з+П() ’
132
где
n‘ = SI=
J = a1ll = a'/';
//,- = xzpf = x$i, h-t = Stat = Sia'i',
at и pt- — углы вспомогательных лучей с осью.
По мере того как увеличение 0 лннзы приближается к единице,
величины Р{, Wi, ht приближаются к нулю, выражения для Si
и <SH стремятся к нулю, а для $ш и Sv становятся неопределен-
ными. Чтобы раскрыть неопределенность, необходимо вместо ве-
личин Pt и W{ ввести основные параметры Р( и W,, вычисленные
по тем же формулам, что н Р( и Wlt но в предположении, что а == 0;
а' — 1.
Существуют соотношения (см. гл. III, стр. 254), связывающие Pi
и W( с Р, и Wf. Выразим а через а' н е:
а — а' (I -|- е); |
а' а = — га', ]
откуда h = /' (а' —а) = —еа'?'.
Подставим выражения (II.149) в упомянутые соотношения.
Получаем
р = а,3(—(3 + 2n)e + (4W —7 —4л)е2-Ь
Н — Р-г 4W — 4 — 2л) е3];
= (2 Н-л)е 4-(W — 2 — л)е8].
(11.150)
Входной зрачок обычно находится далеко от линзы, поэтому
с достаточной степенью точности можно считать х — оо. Положим
0' = 1 и а' = 1. Тогда у = J = (1 + е) Ф = .
Если принять во внимание малость величины е и удержать
в разложениях только член, содержащий е в низшей степени,
то получаем для одного компонента
5г = (3 + 2л)е7';
•$п = — (1 + л) ef;
5in^(i-2W)e/';
^5IV = /'n; I
Sv = (W-l)f. j
(11.151)
На основании этих формул можно сделать следующие выводы.
I. Сферическая аберрация пропорциональна второй степени в
и практически отсутствует.
133
2. Поскольку величина п у большинства тонких компонентов
мало отличается от 0,65 и может считаться постоянной, кома за-
висит только от расстояния предмета до линзы и не зависит от
формы линзы.
3. Астигматизм рассматриваемых систем пропорционален пер-
вой степени е и зависит от формы линзы; при W = 0,5 астигма-
тизм компонента исправлен.
4. Дисторсия, вызываемая тонким компонентом, зависит от
формы линзы и в первом приближении не зависит от е, т. е. ей
может быть сообщено любое значение даже при е -- 0.
3. Линза дает изображение при увеличении — 1. Тогда з
= —2/; «j = 1,0; а3 — —1. В этом случае имеем следующие
выражения для Р, W, Aav, П:
р = —(T-JkH1 + (2v+ 1)0^; |
!V = TA-(l+v)a2;
.2 Aav — —2;
yjn = -2v.
j (11.152)
J
По формулам (II.143) получаем следующие выражения сумм:
S, = -ДАуГ [1 + (2v+ 1)<4];
S|I = [1 +(2v+ 1)«2] +v)a2;
С __ 'v .
^IV — ,
4pSv - — Зх? (xi + 2f ) U7 — 2xi (*i 4- 2/')2 (3 -ф v).
Выражения для сумм принимают особенно простой вид в том
практически важном случае, когда хг = 0, т. е. когда отверстие
линзы служит входным зрачком. Тогда
5ц — —j J_v (1 + v)a2;
S,n = if".
•>1V — ~p~,
(11.154)
Sv = 0
134
и для поперечных аберраций bg' и 6G' по формуле (11.47) получаем
ft)?' / 2 . п2\ [1 + (2v 4- I)
2Г = (“1 4- Q-) -
— (Зо)1 4- Qi) у «2 4~ 4)i^i (3 4“ v);
ftG'
2/'
=й1(и?+й0^4^- -
2б>1Й,а'1У±^ а2+ QiiC'?(l + v).
(II. 155)
Нанлучшие результаты получаются при а.» = 0. Тогда кома
исчезает, остаются некоторый минимум сферической аберрации,
кривизна поля и астигматизм. Последние две аберрации не зависят
от формы линзы, т. е. от а2.
4. Случай, когда предмет на бесконечности (sj ос). Нужно
исходить из формул (11.57) и (11.142). причем а3 = 1; а, = 0.
Получаем для сумм Slf . . ., Sv следующие выражения:
S, = h, I Р = Р;
= yP + W‘,
У2Р "Ь 2yWz + 1;
•Sjv = v;
sv y*P + 3z/2lF -F у (3 4- v);
P = [’~<2 + v>“2 + <2v+ ‘H;
(11.156)
Особый интерес представляет случай, когда у} = 0, т. е. зра-
чок входа совпадает с линзой. Тогда Sj =- Р\ Sn = IF; 5Ш — I;
SIV =* v; Sv -- 0. От формы линзы, т. е. от значения а2, зависят
только сферическая аберрация и кома. Остальные аберрации за-
висят только от фокусного расстояния линзы, ее отверстия и по-
ложения рассматриваемой точки в плоскости предмета.
Пример 1. Плоско-выпуклая линза, обращенная выпукло-
стью к предмету, снабженная диафрагмой, находящейся на рас-
стоянии 50 мм впереди нее, дает изображение бесконечно удален-
ной точки, расположенной на линии, образующей угол — 10°
с оптической осью. Фокусное расстояние линзы 100 мм, отвер-
стие — 20 мм, показатель преломления п = 1,5. Определить абер-
рации линзы.
В этом случае поперечная сферическая аберрация определяется
с большой точностью членом третьего порядка, так как члены
135
высших порядков очень малы. Из формулы (И.139) следует,
что для плоско-выпуклой линзы, когда г2 =
2
Применяя формулы (11.47) и (II.156), находим
т1 3т1 г> 2
-26g,= р +-рЛ (?£ + №) +nil “»? X
X (33ш + Siv) + F ш315\ (ввиду того, что ffli = ;
U7 = Tyv[l-(l+v)a2] =
р = (| [1 -(2 + v)a2 + (2v+ 1)о^] =
=9 Г1 -4 -4 + (4 +1) 4] = 4-=2’33-
Вычисляем суммы Sh Sn, . . ., Sv:
с р 7.С 1 . ? * । к.
—, ои------ 2 3 3 —— 1,0,
s>n = 44+4 + 1 = ^ = 1’92; s>v = 4=
sv = -4-4-4-4-4(3 + 4) = -2’37-
Для отдельных членов поперечной аберрации по формулам
(11.157) находим
6&ф.ав= — 4 Р = — FW2’33 = — 0,116
&ёк.„а=- -f 4WiS"= 4 4 0’174'1,5 =+0,392
bgMP. крш = - (3S„, + slv) =
= — -у 0,1742 ((3• 1,92) + 0,67] = — 0,151 • 6,4 = — 0,97 мм;
$gdtlCm = — F ~^-Sy — — 0,265-2,37——0,63 мм.
136
Интересно вычислить продольную величину астигматизма. Она
равна поперечной, деленной на выходной апертурный угол си-
стемы, т. е. на . Поперечная величина астигматизма
— 221-^23,1! - -тЛп;
продольная величина
— F'ki’Sh! = — 100-0,1742-1,92 = — 5,8 мм.
Пример 2. Определить дисторсию плоско-выпуклого кол-
лектива с фокусным расстоянием 100 мм из стекла с показателем
преломления п = 1,5 в случае, когда изображение точки нахо-
дится на поверхности коллектива на расстоянии 15-м.м от оси;
увеличение в зрачках равно — 1.
Определяем уг. Полагаем [3j - 1; хг — —2/, так как увели-
чение в зрачках равно —1. Таким образом, yL — XjPj = —2/ =
— —200. Определяем р2 и Рз- Первая поверхность плоская, сле-
довательно, |32 == 0,667; |33 — —Pi = —1, так как уве-
личение в зрачках равно —1.
Применяя формулу (11.148*), получаем
s' I 153 (2,5'0,667) + 1— 1 Л по
= - т исмосГ ’---------oF------= - °’28 мм’
тригонометрический контроль дал —0,29 мм.
Влияние формы простой лиизы иа величины Р и W. Оптиче-
ские элементы всякой оптической системы, и в частности простой
линзы, могут быть разделены на две группы: а) «внешние» эле-
менты, как-то: фокусное расстояние, отверстие, увеличение прн
заданном положении предмета или изображения; б) «внутренние»
элементы, определяющие конструкцию системы, а именно: радиусы
кривизны отдельных поверхностей, толщины линз, расстояния
между линзами, показатели преломления отдельных сред. В про-
стой линзе к первой группе элементов относятся фокусное расстоя-
ние / и расстояние до предмета $, а также линейное увеличение [3 ~
I' s' „
ко второй — параметры, вполне определяющие
конструктивные элементы системы, т. е. п и а2. Действительно,
по данному а2 и известным из первой группы элементам /, «] и а3
можно вычислить радиусы кривизны поверхностей линзы; толщина
ее принимается равной нулю, и система вполне определена. При
заданном значении / параметр а2 влияет только на форму линзы.
Рассмотрим зависимость параметров Р и W ота2.
Величина
137
определяемая по формуле на стр. 128, линейна относительно а2
и может принять любое наперед заданное значение.
Она равна нулю при
Величина
Р = 15» + + 1 ~(2 + v) (“3 + О «2 + (2v -Г 1) оса]
второй степени относительно а2 и может принять любые большие
значения, но имеет некоторый минимум, ниже которого она не
может опускаться. Значение этого минимума зависит от а3 н от v.
Для практических приложений важно знать, когда величина Р
может обратиться в нуль, так как только в этих случаях сфери-
ческая аберрация может быть вполне устранена. Условие, при
котором выражение для Р имеет вещественные корни, может быть
написано в виде
|(2 + v)(a3+ 1)]2-4(^ + «з+ 1) (2v+ 1)3=0 (11.158)
ИЛИ
V (v — 4) (al -4- 1) + (4 -1- 2v) Оз 3= 0.
Это условие приводит к тому, что для каждого значения v
величина а3 должна находиться между некоторыми определенными
пределами. Неравенство (11.158) может быть переписано в виде
с1-159)
Положим для краткости
2 + ч2
ТГ- v) V =
где т — положительная величина.
Неравенство (11.159) принимает вид
(Хз — 2ma3 -J- 1 < 0
и удовлетворяется, когда а3 лежит между пределами
т— Утг—1 и т -4- ]/ т2—1.
Результаты вычисления т для различных значений показа-
теля преломления п даны в табл. 11.3; там же указаны те пределы
значений а3, при которых Р может обратиться в нуль.
Таблица показывает, что чем больше показатель, тем шире
пределы изменения для а3, т. е. те области для s и s', для которых
может быть исправлена сферическая аберрация. Как правило,
последняя может быть исправлена только при увеличениях, близ-
ких к единице, т. е. при слабом действии линзы.
138
Таблица 11.3
п т Кт*-1 Нижний предел «3 Верхний предел а,
1,5 1,100 0,458 0,642 1,558
1.6 1,133 0,533 0.600 1,667
1,7 1,169 0.605 0.564 1.771
Апланатические точки преломляющей поверхности. В случае
одной преломляющей поверхности сферическая аберрация и кома
пропорциональны соответственно величинам S] и 5ц, значения
которых в этом случае согласно формулам (11.57) таковы:
Sj = /1 (a'v' — av);
511 = у(, V'_T) ~av)-J)(а' — “Ч.
Обе суммы обращаются одновременно в нуль, когда один из
множителей а'—а или a'v*—av равен нулю. Первый случай не
представляет интереса, так как луч проходит без преломления;
во втором случае a'v' = av. Положение точек, для которых имеет
место условие одновременного уничтожения сферической абер-
рации и комы, может быть определено, если к полученному урав-
нению прибавить еще следующее уравнение преломления:
ап —ап — — (л —п).
Исключая а' из первого уравнения и внося его значение во
h п г h п’ п
второе, получаем a =---;a =----------—Расстояния со-
1 J Г п • |- П г л + п
пряженных точек S и S', для которых соблюдены поставленные
h , h.
выше условия, равны s =• —; s — —7 , или
Эти точки носят название апланатичсских точек сферической
преломляющей поверхности. Они находят применение в расчетах
объективов микроскопа.
Другие применения теории аберраций третьего порядка будут
рассмотрены ниже в связи с расчетом различных оптических
систем.
Афокальный мениск конечной толщины. До сих пор рассма-
тривались аберрации бесконечно тонких линз. Однако бывают
случаи, когда линзы, хотя и афокальны, обладают аберрацией
139
вследствие того, что при малых радиусах кривизны поверхно-
стей даже небольшая толщина, нарушая равенство высот hx = h2,
вызывает появление отличного от нуля коэффициента сферической
аберрации.
Обозначим через [6g' ] угловую сферическую аберрацию ме-
нисковой афокальной линзы (рис. 11.34) с радиусами гх и г2,
толщиной d и показателем преломления п — — для луча, па-
раллельного оси, пересекающего
-----1— -п~: 3 j J мениск на высоте т\ выражая а2
г/ через гх и помня, что Л2 = Aj —
-----СП —dtcc2, можно, пользуясь форму-
VA лой (J 1.45) для случая двух по-
верхностей, получить
(11.161)
Аберрация положительна при любом значении rt.
Мениск усугубляет сферическую аберрацию простой положи-
тельной линзы. Так как всякую линзу конечной толщины можно
рассматривать как состоящую из мениска и бесконечно тонкой
линзы, то из формулы (II.161) вытекает, что увеличение толщины
линзы увеличивает значение коэффициента сферической аберрации.
Коррекционные мениски будут рассмотрены во второй части
книги.
Аберрации высших порядков
Теория аберраций третьего порядка дает только первое при-
ближение в расчете координат пересечения различных лучей с пло-
скостью изображения. Можно получить более точную картину
расположения точек пересечения, если в разложении эйконала
по степеням малых величин у, z, т' и М' взять следующие члены
более высокого порядка (под т' и М’ следует понимать коорди-
наты точек пересечения луча не с плоскостью выходного зрачка,
а со сферой Шварцшильда, центр которой находится на оси в пло-
скости изображения, а вершина — в плоскости выходного зрачка).
Такая работа была выполнена Кольщюттером [51 для аберраций
пятого порядка. Число независимых аберраций пятого порядка
равно девяти. Существует четырнадцать аберраций седьмого по-
рядка и двадцать — девятого порядка и вообще +7.L абер-
раций порядка t. Последнее число определяется так. На стр. 60
было показано, что эйконал для оптических систем, имеющих
ось симметрии, является функцией только трех величин Л, Rp
и и, связанных с координатами луча следующим образом:
jR = у* -|_ г2; Rp = 4- №; и = ут' -j- zM'.
140
Для вычисления аберраций /-го порядка нужно брать произ-
водные по т' и М' от всех членов порядка I 4 1, которые полу-
чаются в разложении эйконала N по степеням координат луча.
Так как величины /?, Rp и п, от которых зависят члены разложения
эйконала, второго порядка малости по отношению к координатам
луча у, г, иг' и М', то надо найти такое число произведений сте-
пени f 1 , которое можно составить из величин Rp и и; это
(t 4 3) (t + 5)
число равно ------Из этого числа нужно вычесть число
членов, не зависящих нн от т', ни от М', так как последние абер-
раций не дают, как это видно из формулы (11.10). Таких членов,
содержащих только R -у2 4- г2, может быть только один. Разность
(/ + 3)(/ + 5) __ _ 1)(П- 7)
8 8
и есть искомое число.
Рассмотрим особо аберрации пятого порядка. Разложение эй-
конала по степеням R, Rp и и дает следующие члены третьего
порядка малости относительно переменных и шестого порядка
относительно координат у, г, т’ и М':
= 0-qR^ -]- a-iR1 Rp -p a%R и -j- asRsp 4- a^R2pR -j-
Ч- as$pU- 4“ 4* fyu^R “F tyj?Rp 4~ ac,RRpu.
Формулы (II. 10) дают для величины поперечных аберраций пя-
того порядка (с точностью до постоянного множителя)
к / у' — у dN dN dRp .
6g пропорциональное = —= _^ +
. dN ди dN п г i dN
-р —j— —т — “Гп— 2ш -j- —— у,
1 ди dm dRp 1 ди J
_ dN __ dN dN ,
_ ЭлГ dfy ~дМ'
du dM' ~ dRp du z'
(11.162)
6G' пропорциональное
Желая получить только общий вид аберраций пятого порядка,
а не численные значения коэффициентов ах, а2, . . ., я0, можно
заменить такие величины, как у и г, соответственно величинами /
и 0, им пропорциональными, после чего получить, обозначая через
bt, 62, . . Ь9 коэффициенты, соответственно пропорциональные
а„ а2, . . йд,
= гЬд/п'/4 4- 6&Х (m's 4- М'2)2 -р 464Pm' (т'2 + №) 4-
+ 4b6/m'2(m'2 -р М'2) -р 268/2m'8 -р 2bgl3m'2 + b3l5 +
4- b5i (т'2 + /И'2)2 -р ЗЬв/3т'2 -г 2Ь-1*т' 4-
-Р 2Ьв!2т' (т'2 4- М'2) 4- b.l3 (т'2 + М'2).
141
Аналогично для 6G' получаем
6G' - 2ЬГЛ174 4- GbsM' (т’2 + М'2)2 4- 4b4lzM' (т'2 4- М'2) +
4- 4bJWm'l (т'2 4- М'2) + 2Ь812т,2М' 4- 2Ь01ят'М'.
Располагая члены выражений по возрастающим степеням /,
получаем
6g' = 6Ь3т’ (т'2 4- М'2)2 + bs (т'2 + №) (5m'2 + М’2) I + ]
+ [464т' (т'2 + М'2) + 2Ь„т' (2т'2 + №)] I2 +
+ |/>9(Зт'- .И'!) + ЗЬвт'2]13 + 2(Л( + 6;) т'I* + b.J3; } (II. 163)
вб' = Gb.M’ (т'2 + Л4'2)2 4- 4»5 (т'2 + M'2)M'm'l + I
+ (4Ь,М' (т'2 + М'2) + 2bsm'2M'] I2 + 2b3m'M'l3 + 2blM'l1. I
При переходе от одной преломляющей поверхности к системе
из нескольких преломляющих поверхностей общий вид уравне-
ний не меняется, хотя сами коэффициенты не могут быть получены
таким же простым способом, как для случая аберраций третьего
порядка. Для характеристики аберраций пятого порядка удобно
поступить так же, как и в случае аберраций третьего порядка:
приравнивая последовательно все коэффициенты разложения,
кроме одного, нулю, изучать распределение точек пересечения
с плоскостью изображения лучей, соответствующих определенным
кривым на выходном зрачке, например окружностям с центром
на оси системы. С этой целью полагаем
т' = pcosO; М' — psinO,
где р — радиус окружности, через которую проходят лучи,
пересекая выходной зрачок; 0 — угол между радиусом-вектором,
идущим из центра зрачка иа рассматриваемую точку пересечения,
и меридиональной плоскостью.
Все девять аберраций родственны аберрациям третьего порядка,
и это отражается в названиях аберраций.
1. Сферическая аберрация пятого порядка определяется урав-
нениями
6g'= 6/?3р5 cos 0; 6G'= 6Ь3р5 sin 0, (11.164)
При постоянном р получаются окружности. Если последователь-
ные значения р образуют арифметическую прогрессию 0,0; 0,2;
0,4;. . 1, то соответствующие им окружности в плоскости изо-
бражения концентричны с очень быстро возрастающими диаме-
трами, которые соответственно пропорциональны величинам 0;
0,0003; 0,0100; 0,077; 0,328. Вследствие этого получается весьма
быстрое рассеяние энергии по мере удаления от центра изобра-
жения.
142
2. Кома высшего порядка по отверстию определяется уравне-
= )-ЛГ2)(5т'2 -Ь АГ:) /--i5p‘(3 4-2 cos20)/; 1
6G' — 4Ь&(т'г М‘-)т'М'1 = 65р4 (2 sin 20)Z I
и, как кома третьего порядка, дает окружности, ио центры и>
в меридиональной плоскости удалены от точки пересечения глав-
ного луча на расстояния, пропорциональные не второй, а четвер-
той степени радиуса окружности р. Угол
огибающих, также прямых, с осью равен
41,8°. Картина напоминает кому третьего
порядка, но рассеивание лучей гораздо
сильнее по мере удаления от гауссова
изображения.
3. Сферическая аберрация высшего по-
рядка для каждой точки изображения дает
точно такую же картину, как сферическая
аберрация третьего порядка, но отличает-
ся от аберрации третьего порядка тем,
что в точке с координатой I — 0 она от-
сутствует и быстро растет пропорциональ-
но квадрату /, как это видно из уравнений
6gr = 4Ь,т' (т'2 + М'г)Р', 1
6G' = 4Ь,М' (т'г + М'*}Р.) ( J
4. Кривизна высшего порядка также зависит от /2, но кривые
рассеяния не окружности, как в случае аберраций третьего по-
рядка, а крылоподобные кривые (рис. 11.35), которые легко могут
быть получены нз следующих уравнений:
6g' = 2^' (2m'3 + = 268p3cos0(1 + cos2О)/2;
6G' = 2bam'tn,M,l2 = 2Ьер3 cos2 0 sin 0Z2.
} (II. 167)
Если придавать 0 все значения от 0 до 2л, то точка пересечения
луча пробегает всю кривую (при положительном bs) сначала по
верхней петле, потом описывает зеркальное отражение верхней
петли от горизонтальной оси. Кроме формы фигур, соответствую-
щих постоянному значению р, имеется еще одно существенное от-
личие рассматриваемой аберрации от кривизны третьего порядка:
быстрое рассеяние света по мере удаления от центра вместо равно-
мерного распределения.
5. Кома высшего порядка по полю, определяемая уравнениями
6g' = 69(3m'2 -j- №) /3;
6G' = 2b%m'Mrl\
(II.168)
НЗ
отличается от комы третьего порядка только тем, что размеры
картины, даваемой ею, зависят от куба, а не от первой степени I.
При заданном / боковая кома пятого порядка добавляет свой эф-
фект к коме третьего порядка, не меняя вида и распределения
кривых, а меняя только размеры.
6. Дисторсия высшего порядка (по отверстию) определяется
уравнениями
6g' = 3bem'2l3; 6G' - О (II. 169)
и дает прямую линию, длина которой пропорциональна квад-
рату т'.
7. Боковая кривизна и астигматизм высшего порядка, опреде-
ляемые уравнениями
6g' = 2(^ Ь7)т'1\ 6G' = 2^М74, (11.170)
отличаются от кривизны и астигматизма третьего порядка только
тем, что они зависят не от квадрата /, а от Z4; характер картины
при постоянном / одинаков для обеих аберраций.
8. Дисторсия высшего порядка по наклону («боковая»), опреде-
ляемая уравнениями
6g' = 6G' =0, (II.171)
отличается от дисторсии третьего порядка только тем, что она
пропорциональна пятой степени /.
Следует еще раз обратить внимание на то обстоятельство,
что в действительности перечисленные аберрации в чистом виде
не встречаются; имеет место общее уравнение (11.163), к которому
нужно прибавить выражения аберраций третьего порядка н абер-
раций более высоких порядков; последние всегда более или менее
искажают своим присутствием влияние аберраций третьего и
пятого порядков. Истинные кривые распределения лучей в пло-
скости изображения имеют на самом деле очень сложный вид,
о котором не могут дать понятие кривые отдельных аберраций;
этот вид очень быстро меняется с изменением положения точки (/)
и отверстия системы (р).
Коэффициенты b2, • • •> Ь9 аберраций пятого порядка так
сложны, что их нет смысла вычислять по выведенным для них
формулам 151. Такое вычисление тем более бесполезно в тех слу-
чаях, когда величины аберраций пятого порядка становятся зна-
чительными, так как при этом неизменно обнаруживается также
и влияние аберраций более высокого порядка, вычисление которых
с помощью формул разложения практически невозможно.
Помимо диссертации Кольшюттера [5] формулы для вычисле-
ния сферической аберрации пятого порядка можно найти в книге
Рора 161.
Г. Д. Рабинович [7] предложил более удобные формулы для
вычисления сферической аберрации и отступления от отношения
синусов. Приводим эти формулы без доказательства.
144
Положим
As' = az'2 + bz'4; r| = axz'2 4- btz'4,
, . , ( a' Sin U \3/2 , , ( hKS, Sin U, \3/2
z' = sinu -----;—r = sin a ( , , ;—=tsm«;
\ a sin u' ) \ h^' sin u' J ’
Asin— az2', hs'\- — bzA-, 1]ш = aiz"2; r|V — bi^4*»
As = AsJn + Asv 4---; Л ~ i)ni + % + • • •
Вводим вспомогательные величины
и уже многократно применяемые величины
Ш д_. '
Л-L "
и, кроме того,
tv = ~2~ (otv+1 4“ av 4~ 4~ wv) = ®v 4“ 4- Wv,
где
J — лар(х — s);
Cv = - 4- (a2v+i s’ Л/P, -af S hiP^ ;
C! = -4-“^lPl.
Окончательно имеем для сферической аберрации и отступления
от отношения синусов третьего и пятого порядков следующие вы-
ражения:
а$п, = -4^-
„_________L_£2_'y*/! р APv .
Пш - 2 a'V ^У Да, ’
Asv = - 4 4^ 1; [Л’₽у <ТУ + В’) + Су] ’
10 Г. Г. Слюсарев 145
v=*
•iv - - 4 j 2 +c'’i 44 •
v=-l
Можно еще написать Asy в виде
Asv =. _ .А /L. У [hxpv (Tv + W] _ ±. As;„.
Приближенные способы вычисления аберраций
пятого и более высоких порядков
Сферическая аберрация высших порядков тонких склеенных
систем. При расчете оптических систем необходимо учесть влия-
ние аберраций высших порядков. В настоящее время (1963 г.)
рядом авторов такие формулы выведены, в частности М. Герц-
бергером 18] и Д. Ю. Гальперном в его докторской диссертации.
Однако чрезвычайная громоздкость формул для расчета коэффи-
циентов пятого порядка (а тем более коэффициентов более высокого
порядка) делает их практически неприменимыми. Кроме того,
в тех случаях, когда аберрации пятого порядка велики и должны
быть приняты во внимание, то велики и аберрации более высоких
порядков; поэтому знание коэффициентов аберраций пятого по-
рядка без знания остальных коэффициентов приносит мало пользы.
При таких обстоятельствах естественно искать более простые
пути расчета приближенных значений коэффициентов аберраций
высших порядков. Одна из таких попыток описана в первом из-
дании этой книги [2], стр. 133—140. Здесь приведем без доказа-
тельства одну из полученных формул, пригодную для сравнительно
простых систем типа двойных склеенных объективов, а именно:
As-;. „= -‘-sln4u/> У | Ь (11.172)
где Asfl. п — та доля продольной сферической аберрации, которая
ак — О’
вызывается членом пятого порядка; qK =------j—----j---нуль-
< Пк
инвариант поверхности к = 1,0).
Пример I. Возьмем объектив из двух склеенных линз со
следующими данными:
г, = 4-43,3;
г =—43 9* di = 5i «2=1,5163;
4 =-2196,0; ^ = 2;
F — 100; sx -- ое; д2--- 4,51.
146
Вычислить сферическую аберрацию для луча с высотой h -
-- 14,14.
Влияние первой и третьей поверхностей незначительно, и нм
можно пренебречь.
Пользуясь формулой (11.172), можно вычислить
sin4 «0 = О,ОСЮ4ОО; м, =8,015;
</« = 8415; п'* = 11,052;
Ase. п — 0,38.
Тригонометрический расчет дает для Ase. п 0,43.
Пример 2. Объектив нз двух склеенных линз, значительно
перенсправленный, с очень большими высшими порядками, имеет
следующие данные:
г = +31,5;
d = 2,0; п2 = 1,6169;
1О,Х,
г, = -135,4; ^ = 5’0; «3 = 1.5163;
100; Sj = сю; qz = 7,75.
Вычислить высшне порядки аберраций для двух лучей с вы-
сотами = 10 и Aj = 14,1. Как и в предыдущем случае, влия-
ние первой и последней поверхностей ничтожно.
Пользуясь формулой (11.172), вычисляем для h -- 10
sin4 tip — 0,0001; 11,052;
</« = 216666; п° = 8,015;
Дзд. п — 0,90;
для 14,1
А$в. л =: 3,6.
Аберрация третьего порядка равна 0,89 для первого луча и
1,79 — для второго.
Суммарная аберрация равна соответственно 1,8 и 5,4; точный
тригонометрический расчет дает 1,98 и 8,7. В первом издании этой
книги 12] при решении приведенных здесь примеров были исполь-
зованы графики, что дало результаты, более близкие к тригоно-
метрическим, а именно: для первого луча Ase. п ~= 1,11; суммар-
ная аберрация 2,00; для второго луча Ase. п 6,5; суммарная
аберрация 8,3.
Сферическая аберрация высших порядков систем значительной
длины. Одна из основных причин появления аберраций высших
порядков (особенно важная в оптических системах с большими
расстояниями между линзами) заключается в том, что вследствие
наличия аберраций третьего порядка лучи проходят с большим
10* 147
отклонением от своего идеального пути, определяемого законами
гауссовой оптики. Пусть (рис. II.36) ABCD — луч, рассчитанный
по правилам параксиальной оптики; ABC'D^ — реальный луч.
Вследствие сферической аберрации линзы он направляется
по ВС', пересекает лннзу L2 значительно ниже, чем следовало бы,
если бы не было аберрации, и после преломления линзой £2 пере-
секает ось в точке При вычислении аберраций третьего порядка
предполагается, что реальный луч пересекает линзу £2 на расстоя-
нии L2C от оси; фактически луч пересекает ее в другом месте.
Это изменение пути вызывает отклонение луча в дальнейшем его
следовании, не принятое в расчет в теории аберраций третьего
порядка, и последствия этого изменения вызывают аберрации
пятого (и более высокого) порядка. Учет таких аберраций представ-
ляет большие затруднения.
Интерполяционный метод вычисления коэффициентов аберра-
ций высших порядков. Любая аберрация, например сферическая,
кома, астигматизм, может быть разложена в ряд по степеням
малой величины, принятой в качестве переменной, например ве-
личины угла луча с осью, или отношения высоты пересечения луча
с входным зрачком к фокусному расстоянию системы, или (наи-
более общий случай) сниуса угла с осью луча в пространстве изо-
бражения, или угла поля зрения и т. д. Коэффициенты этих раз-
ложений определяются на основании значений изучаемой абер-
рации, полученных из результатов тригонометрического расчета
хода лучей через оптическую систему для нескольких значений
переменной.
Пример. Определим коэффициенты сферической аберра-
ции для объектива. Продольную сферическую аберрацию для
объектива можно написать в таком виде:
6s' = a sin® и' + b sin4 и' 4- с sin6 и'. (11.173)
В большинстве случаев можно ограничиваться первыми тремя
членами разложения. Для определения трех неизвестных коэф-
фициентов а, b и с нужно иметь расчет трех лучей для различных
значений и' — угла луча с осью после выхода из системы. Если
известна первая сумма Зейделя для сферической аберрации
третьего порядка, достаточно знать аберрации двух лучей. Пред-
148
положим, что рассчитаны координаты трех лучей, для которых
получены значения углов с осью и\, и?, из н аберрации 6si, бза»
6s3. Имеем систему уравнений
a sin2 U\ 4~ b sin4 «1 4- с sin6 щ = 6si;
a sin2 и2 -И /’Sin4 и2 -р с sin6 и2 = 6з2;
a sin2 W3 4- b sin4 и'з 4- с sin6 w3 =
(11.174)
из которых нетрудно определить коэффициенты а, Ь, с. Для этого
можно подобрать начальные данные Sj н и, для трех лучей таким
sin2u, sin3 «2
образом, чтобы отношения —й—г и —я—г были примерно
sin^w3 sin^«g
I 2 sin'2 «1 i sin2«2 2
равны н -5- , для чего полагают . = — и . а 2 — ,
н 3 з sin2«3 3 мп2 «з 3
где их, u2i и3—углы с осью лучей в пространстве предмета.
Начертив кривую 6s' как функцию от sin2 и', нетрудно найти
графически значения 6s', соответствующие тем и', которые в точ-
ности удовлетворяют поставленному условию.
Введем вспомогательные выражения
А=а;
в = ь sin2u3;
С = с sin4 м3.
Подставим их в уравнения (11.174):
A sin2«1 Ч----4^-sin4«; Ч------4т sin6»! = SsI;
sin u3 sin4w3
4sin2w2 4-----г sin4 «2 4------д—г sin6w2 = ^2! (П 174*)
e sin «3 sin u3 ' '
A sln2i4 4----sin4«3 4---------sin6 Из ~ 6s3.
sin u3 sin t/3
6sl
-Г- = Уз,
Деля все три уравнения (II. 174*) на sin2 н3 и полагая, что
dsj д$2
: 5 ~ ~ . 9 ~ Уи
Sill snrw3
получаем
3 + 9 & + 27
4я+4в+4"^=г/а;
А -4 В + С — у3.
149
Решая эту систему относительно А, В и С, находим
~ 9 27 , 27
C = -j-g3-----— УУ,
Ъ 9 I 1 о 45
В = — ~^у3+ \&У2--------2~ Уи
А = Уз 2~ У- Н" tyv
откуда легко получить
9 27 , 27
— Уз----j" у* "2~ У1
sin4^
— 4- Уз 5" 18уг — У1
Ь =-----1-----;
sni'iij
9 л
У -Уз ~^У2 + ^У1-
(11.175)
Необходимость составить интерполяционную формулу для
сферической аберрации встречается при оценке качества изобра-
жения, например при исследовании волновой аберрации системы.
Примеры такого применения см. в гл. X.
Аберрации высшего порядка для точек, ие лежащих на оси
системы. Значительно большие трудности представляет решение
вопроса об оценке качества изображения внеосевой точки. Один
из возможных способов исследования опирается на изучение
аналитического выражения волновой аберрации для рассматри-
ваемой точки, а для вычисления этого выражения необходимо
составить интерполяционную формулу для поперечных откло-
нений 6g' н 6G', учитывая и члены высших порядков.
С этой целью пишут выражения для аберраций 6g' и 66' в виде
разложения в ряд по степеням величин /ь тр и вид этого
разложения известен нз теории аберраций третьего и пятого
порядков. При необходимости можно продолжать разложение
и дальше, пользуясь тем же методом, но вычисления при этом
очень усложняются. Коэффициенты аберраций третьего порядка
могут быть вычислены непосредственно по формулам Зейделя.
Коэффициенты аберраций пятого порядка могут быть вычислены
на основании результатов тригонометрического расчета хода
лучей через систему, если предположить, что аберрации точно
определяются членами третьего и пятого порядка и что все члены
высших порядков в разложении, начиная с седьмого порядка,
равны нулю. Так как число коэффициентов пятого порядка равно
девяти, то нужно рассчитать ход по крайней мере девяти лучей,
в том числе нескольких косых; в действительности необходимо
знать аберрации большего числа лучей, чтобы проверить возмож-
но
ность ограничения членами пятого порядка и вообще иметь воз-
можность контроля.
Не будем останавливаться более подробно на технике вычис-
ления коэффициентов аберраций высших порядков. Этот вопрос
сложен и с принципиальной стороны вследствие того, что сходи-
мость рядов сомнительна, н с практической, так как вычисление
большого числа членов — к тому же неопределенною — пред-
ставляет значительные трудности; кроме того, результаты таких
вычислений обычно не представляют особого интереса.
Исключением является случай, когда по известным нз триго-
нометрического расчета поперечным аберрациям требуется найти
волновые аберрации, чтобы иа основании дифракционной теории
изображения вычислить распределение энергии в картине изобра-
жения объекта. В этом случае, по-видимому, более эффективны
графические методы 19, 10].
Сложение аберраций
При расчете оптических систем часто представляется целе-
сообразным разделить систему на две или больше частей и изу-
чить нх в отдельности. Число свободных параметров в каждой
части меньше, чем во всей системе, н исследование всех частей
в отдельности может быть выполнено с гораздо меньшей затратой
труда и времени, чем исследование всей системы в целом. Однако
остается еще решить задачу наилучшего подбора каждой части
таким образом, чтобы аберрации всей системы получили надле-
жащие значения. Для этого нужно уметь «складывать аберрации»,
т. е. вычислить аберрацию всей системы, зная аберрации каждого
компонента в отдельности.
В теории аберраций третьего порядка доказывается, что по-
перечные аберрации, вызываемые каждой поверхностью, с по-
мощью закона Лагранжа—Гельмгольца могут быть спроектиро-
ваны в любую плоскость изображений и сложены. Это свойство
может быть перенесено на аберрации более высокого порядка.
В первом приближении можно считать, что поперечные абер-
рации, умноженные на п'а' (т. е. в сущности превращенные в раз-
ности оптических путей), складываются. При более точных вычис-
лениях следует ввести поправки. Общего правила для вычисления
поправок нельзя указать. Вид поправки зависит от способа,
с помощью которого аберрации получены. Укажем несколько
формул, выведенных Д. Ю. Гальперном Ц1, 12], позволяющих
решать ряд задач н среди них задачу сложения аберраций.
Из эйконала Шварцшильда [13] легко выводится формула
а / 6g' , , , sin u
— д I —- + sin и-----г-
ы V * , р"
д ( 4- sin и'
151
где 6g' у' — $у — поперечная аберрация в плоскости с абсцис-
сой s'; х’ — абсцисса выходного зрачка; и и и' — углы луча с осью
до и после преломления через оптическую систему.
Знак частной производной д означает, что производная взята
только по у0; постоянной остается, строго говоря, координата
т' = у' + (s' — х') sin и' на сфере Шварцшильда. __
С достаточным приближением можно положить, что т' — т’ —
координата точки пересечения луча с плоскостью выходного
зрачка, тогда 6g' — 0.
Формула (11.176) может быть упрощена, оставаясь точной,
если х’ = оо.
В этом случае имеем совершенно точно
I/ —d(sm и.' — х sin ц) /ц
__V ду д sin и' ’ \ • )
к fy'
---X-----* где
/ п
у Ж’
рис ц з7 Обращение х' в бесконечность следует пони-
мать таким образом. Положение сферы Шварц-
шильда, на которой отсчитываются координаты т', М', может
быть принято произвольно; вовсе не обязательно считать ее
соприкасающейся с плоскостью выходного зрачка. Эту сферу
можно рассматривать как некоторую координатную поверхность;
удобно считать ее находящейся на бесконечности, так как она
в этом случае становится плоской и перпендикулярной оси.
Прн этом лучи, соответствующие одному и тому же значе-
нию т', параллельны друг другу, т. е. значения углов и' для
обоих лучей одинаковы. Если начертить кривую функции 6S =
= (sin и — т sin и) прн аргументе sin и' (рис. 11.37), то угловой
коэффициент касательной 6$ равен производной от 6g по уо при
постоянном и'. Другими словами, зная аберрацию 6g', соответству-
ющую расстоянию параксиального изображения точки от оси,
можно получить значение этой аберрации при другом, но близком
значении у^ + dy'o (при том же апертурном угле и). Для тех
значений и', при которых касательная параллельна оси sin и,
напимер и'о, аберрация 6g при изменении у'о не меняется. Если
аберрация 6g' равна нулю, то она остается равной нулю и для со-
седних точек изображения.
Формула (11.176) позволяет также вычислить аберрацию си-
стемы двух компонентов, если для каждого нз них известны его
аберрации. Тригонометрический расчет, выполненный для каждого
компонента в отдельности, дает значения аберраций для различного
положения точек г/' промежуточной плоскости. Переход от одной
точки к другой может быть выполнен с помощью формулы (11.176).
152
Эта же формула может служить для решения задачи вычисле-
ния аберрации системы при обратном ходе лучей. Применение ее,
конечно, возможно лишь при условии, что рассматриваемые пучки
лучей в том и другом ходе настолько близки друг к другу, что коор-
динаты пересечения лучей с плоскостями предметов и изображения
очень мало отличаются друг от друга.
Более подробно этот вопрос изложен в работе [ 131.
2. ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
Ход лучей через оптическую систему зависит от показателей
преломления сред, через которые луч проходит; показатели,
в свою очередь, зависят от длины волны; поэтому изображения
одного и того же объекта, например светящейся точки, даваемые
лучами различной длины волны, не совпадают друг с другом.
Так как плоскость установки в большинстве случаев является
общей, то этн изображения создают размытую картину; на краях
светлых полей появляются цветные каймы. Это явление носит на-
звание хроматической аберрации. Она в значительной степени
портит качество изображения, ухудшает разрешающую силу при-
бора, и ее исправление требует большого внимания со стороны
вычислителей, особенно для систем длиннофокусных или обладаю-
щих большой апертурой (астрономические объективы, объективы
микроскопов). Для решения некоторых задач, связанных с ис-
правлением хроматической аберраций систем, необходимо знать
зависимость показателя преломления от длины волны.
Зависимость показателя преломления от длины волны
Существует ряд теоретических и эмпирических формул, свя-
зывающих значение показателя преломления п с длиной волны Л.
Это формула Коши вида
«= л + -р- + -£г ’
более современная формула Зелльмейера
уч
2а ’
где X/ — значения длин волн, соответствующих полосам погло-
щения, a Di — постоянные коэффициенты. Однако формулы Коши
и Зелльмейера громоздки для практических расчетов. Для по-
следних более удобна формула Корню
" = "0 + 3^-,
153
в которой п0, с и Л() — постоянные, подбираемые так, чтобы функ-
ция наилучшим образом представляла значения показателей.
Обычно вычисляют п0, с и А,,, из условия, что для трех значений
X — Xj, Х3 — функция/(Л) принимает три заданных значения
п2, п3. Легко получить для Ло значение
, Х3 — тК2
“ ] - т ’
где
п.) — п, ),а — X,
т = ------- —Л- •
Л3 — АЦ л.2 — A.J
Если принять, как это часто делается, Х3 656,3; = 589,3;
= 486,1. имеем т = -hpDl,6491, где pD — —/С'*
Тогда
. 656,3 —589,3m
— i _ т
По известному значению Хо легко получить с и пп. Значения Ао
можно получить по данным pD (табл. 11.4).
Таблица 11.4
PD % Рд
0,698 145,7 710 . 197,1
9,5 7.4
700 155,2 712 201,5
9,1 7.2
702 164,3 . 714 211,7
8,8 6.9
704 173.1 716 218,6
8.3 6,7
706 181,4 718 225,3
8,0 6,4
708 189,4 720 231,7
7,7 6,1
710 197,1 722 237,8
Эта таблица позволяет по заданному pD найти Хо интерполя-
цией; зная X.Q, легко найтн с и п0.
Гартманн усложнил формулу Корню, придав ей вид
'! = п» + д^г-
154
Добавочный коэффициент а позволяет несколько расширить
область применения формулы, но настолько усложняет вычисле-
ния, что формула Гартманна едва ли может получить практи-
ческое применение.
Наиболее рациональный способ выразить показатель прелом-
ления как функцию от длины волны состоит в следующем. Напи-
шем п в виде
л = /70 R (Л),
где R (X) — поправочная функция, которая не превышает не-
скольких десятков единиц пятого знака даже в широкой области
330—900 нм.
В табл. II.5 приведены значения коэффициентов Хп, 1g с, пп
для большого числа сортов стекол довоенного изготовления.
Для первой группы (до ТФ5 включительно) константы Хо, с и па
вычислены по значениям показателей преломления для длин
волн 339,934; 545,561; 863,017 н.и; для второй группы — для
длин волн 365, 546 и 656 нм.
В табл. II.6 даны значения 105/? (X) для длин волн 350; 400;
500; 600; 700; 800; 900 и 950 нм для первой группы стекол и для
длин волн 350; 400; 500; 600 и 700 нм для второй группы.
Однако табл. II.5 и II.6 могут быть применены лишь в тех
случаях, когда нужно'вычислить показатель преломления ’ для
одного из приведенных сортов стекла.
В общем случае удобно пользоваться табл. II.7, содержащей
п. — п
значения рг — —-----14].
пр~пс
Если обозначить буквой рк частную относительную дисперсию
п. — П-
оптического стекла, т. е. отношение —-то величина р, может
Пр — пс ™
рассматриваться как функция одного аргумента X, причем эта
функция вполне определена, если только известно одно ее частное
значение, например pD. Другими словами, если для какого-ни-
будь стекла величина pD равна известному числу, то, не зная ни-
чего больше относительно этого стекла, можно наперед определить
для него величину рк при любом X.
Чтобы проверить правильность этого утверждения или, лучше,
степень точности, с которой оно выполняется, можно поступить
следующим образом: построив декартову систему координат, от-
ложить по оси абсцисс величины р&, а по оси ординат — рь, рс
и рА>. Все эти величины можно взять из каталога заводов, из-
готовляющих оптические стекла. Каждому стеклу соответствуют
три точки: для h, для G’ и для А'.
Если бы указанная закономерность выполнялась совершенно
точно, все точки уложились бы на три кривые, представля-
ющие собой зависимость рЛ, pG- и]рА' от pD. Таким образом,
155
Таблица 11.5
Сорт стекла nD V ч 1g с
КЗ 1.5100 63,4 157,77 1,89286 1.49199
К8 1,5163 64,1 154,46 1,90093 1,49810
К9 1,5181 58,9 167,64 1,90376 1,49991
БК4 1,5302 60,5 164,51 1.91198 1,51057
БК6 (5) 1,5399 59,7 166,05 1,92219 1,52032
БК8 1,5467 62,8 159,01 1,92491 1.52780
БК9 1,5646 55,8 174,25 1,95289 1,54391
БКЮ 1,5688 56,0 172,62 1,95544 1,54788
КФ1 1,5145 54,6 174,24 1,92658 1,49626
КФЗ 1,5262 51,0 179,99 1,94460 1,50457
БФ6 1,5696 49,4 185,74 1,97550 1,54484
БФ5 1,5484 52,4 181,06 1,95041 1,52722
БФ7 1,5795 53,9 176,92 1,96655 1,55687
БФ11 1,6222 53,1 178,37 2,00344 1.59878
БФ12 1,6259 39,1 203.29 2,07475 1,59513
БФ13 1,6395 48,3 187,89 2,03684 1,61287
ЛФ2 1,5480 45,9 190,60 1,98383 1,52385
ЛФ5 1,5749 41,3 198,27 2.02924 1,54748
ЛФ7 1,5783 41,7 197,90 2,02819 1.55050
тк1 1,5638 60,8 163,24 1,93888 1,54483
ТК2 1,5724 57,5 170,00 1,95256 1,55134
ткз 1.5891 61,2 162,08 1,95081 1,56927
ТК5 1,6126 58.6 166,75 1,97966 1,59047
ТК6 1,6126 58,3 169,00 1,97631 1,59003
ТК7 1,6137 56,3 171,31 1,98671 1,59137
ТК8 1,6140 55,1 173,91 1,98694 1,59032
ткю 1,6227 56,9 171,40 1.98971 1,60003
Ф1 1,6128 36,9 205,80 2,08510 1,58129
156
Продолжение табл. 11.5
Сорт стекла "D V Ч 1g с йо
Ф2 1,6164 36.6 206,47 2,09062 1,58459
ФЗ 1,6199 36,3 206,86 2,09474 1,58707
ТФ1 1,6475 33,9 211,15 2,13091 1,61154
ТФ2 1,6725 32,2 214,52 2,16185 1,63436
ТФ4 1,7398 28,2 222,58 2,23687 1,69308
ТФ5 1,7550 27,5 223,14 2,25378 1,70600
02 1,5294 57,8 173,73 1,96171 1,50744
КФ2 1,5189 57,3 170,10 1,90968 1,49979
К1 1,4982 65,1 157,96 1,86720 1,57960
К5 1,5110 64,3 161,56 1,87426 1,49387
К7 1,5142 64,0 163,28 1,87796 1,49632
кю 1,5263 60,1 168,83 1,89731 1,51121
БК2 1,5147 60,6 168,47 1,88942 1,49631
БК7 1,5414 59,1 172,12 1,91179 1,52228
БФ4 1,5473 53,6 180,48 1,93930 1,52626
БФ8 1,5826 46,5 192,57 2,00059 1,55725
БФ10 1,6079 46,2 190,56 2,02766 1,58421
ЛФ1 1.-5406 47,2 190,74 1,96612 1,51903
ЛФ4 1,5730 42.7 196,94 2,01837 1,54681
ТК4 1,6111 55,8 174,42 1,98434 1,58818
ТК9 1,6171 54,0 178,28 1,99374 1,59312
тки 1,6577 51,2 182,24 2,03380 1,63173
Ф4 1,6242 35,9 207,53 2,10306 1,59060
ТФ10 1,7280 28.3 220,81 2,23540 1,68007
01 1,4686 66,3 159,53 1,83354 1,44986
03 1,5810 41,4 198,42 2,03559 1,55423
ТФЗ 1,7172 29,5 219,14 2.21922 1,67280
157
Таблица 11.6
стекла Значения 103Я (Л) в зависимости от длины волны Л в им
350 400 500 600 700 800 £00 $50
КЗ +4 +5 -1 +3 +7 +5 —6 —
К8 И 3 +2 —2 + 4 + 9 + 7 —5 -24
К9 +9 + 15 + 2 0 + 3 + 2 — 1 —
БК4 1-7 + 12 + 2 +1 + 5 +4 —4 -20
Б Кб 4 11 + 13 42 +1 +4 44 —5 —
БК8 + 5 +6 —1 + 3 -1-8 +5 —5 —24
БК9 -1 6 -; 20 + 3 —1 + 1 + 2 -2 —16
БКЮ —9 420 + 3 0 + 2 -42 —3 —
КФ1 + 8 413 + 2 41 +4 + 4 — 4 — 18
КФЗ + 7 116 +2 0 н +4 -5 —
БФ6 413 425 + 5 —1 0 42 —2 —
БФ5 + 11 + 19 + 4 —1 +1 +2 —3 -16
БФ7 -1-13 + 23 + 5 —2 42 + 2 —2 —
БФ11 + 15 +27 + 5 —2 —1 + 1 —2 —
БФ12 + 17 441 + 10 -6 -6 -3 +1 —
БФ13 -1-15 +26 + 5 —3 0 +1 -1 — 11
ЛФ2 + 11 +20 + 3 -1 -41 +2 -3 -15
ЛФ5 + 16 428 -1-6 —2 —2 —•1 0 —
ЛФ7 + 15 + 25 + 5 —2 —1 + 1 __ —
ТК1 + 5 -1-11 —1 + 1 + 5 -1 4 —4 —20
ТК2 + 10 + 19 +4 0 + 2 4-3 —3 —16
ткз -1-7 + 11 0 + 3 4 8 46 -6 —
ТК5 + 8 + 17 + 2 0 + 4 44 -4 —22
ТКб + 12 + 21 +4 —1 +2 +2 —3 -16
ТК7 + 12 +22 + 4 —1 + 1 + 2 —4 —18
ТК8 + 15 +26 +5 —3 —1 +1 -2 —15
ткю + 13 +25 + 5 -2 +1 +1 —2 —20
Ф1 + 14 +41 + 10 —6 —5 —1 —1 —
158
Продолжение габл. 11.6
Сорт стекла Значения 104/? (X) в зависимости <я длины волны X в нм
350 400 500 600 700 300 000 050
Ф2 ;-22 + 41 + 9 —6 -6 —2 0 -6
ФЗ -1-20 1 43 + 11 —6 —6 —1 0 -6
ТФ1 +20 4 51 н-13 -8 —9 —3 4-1
ТФ2 +20 + 59 1-15 —9 -И -5 +2 —
ТФ4 +ю + 78 + 23 -13 -18 —8 + 4 —
ТФ5 + 30 + 80 +20 -15 — 18 -8 4-6 +12
02 +6 + 7 -1 • + 2 + 8 + 6 -6
КФ2 — “г 5 0 0 4-1
К5 —4 -1-4 + 1 0 + 3
К7 -6 + 4 +1 0 —2
кю -6 + 8 + 2 0 0
К1 —2 + 3 0 + 1 —2
БК2 -8 + 7 + 2 -1 + 1
БК7 -7 +9 -1-2 -1 + 2
БФ4 — -|-9 + 2 — 1 + 3
БФ8 —7 +13 + 3 -1 + 1
БФЛ -5 -Ы5 + 4 -1 + 3
ЛФ1 -4 +9 + 2 -1 4-2
ЛФ4 —4 + 15 + 3 -1 + 2
ТК9 -5 + 14 + 3 -1
ТК4 —4 + 14 + 4 — 1 +2
ТКИ -6 + 16 +4 -2 —
Ф4 — + 21 +6 —2 +4
ТФ8 — + 34 +11 —3 —
Л70 —1 +2 0 0 —2
Л79 + 15 + 5 —1 4-3 —
ТФЗ + 32 +9 —3 + 7 —
159
Значения p^ в зави
+
?
Л Ре 451 452 453 454 455 456 458 459 460 461 462 463
PD 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710
400 1,041 047 053 059 066 073 080 088 096 104 113 122
405 0,961 966 972 977 984 990 997 003 ОН 018 026 034
410 0,884 889 894 899 904 910 916 922 929 935 942 949
415 0,810 815 819 824 829 834 839 845 850 856 862 868
420 0,739 743 747 751 756 760 765 770 775 780 785 791
425 0,670 674 678 682 686 690 694 698 702 707 712 716
430 0,605 608 611 614 618 621 625 629 633 637 641 645
435 0,541 544 547 550 553 556 559 562 566 569 572 576
440 0,480 482 485 487 490 492 495 498 501 504 507 510
445 0420 422 425 427 429 431 434 436 439 441 444 446
450 0,363 365 367 369 370 372 374 376 378 380 383 385
455 0,307 309 311 312 314 315 317 319 320 322 324 325
460 0,254 255 256 258 259 260 262 263 264 266 267 268
465 0,202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213
470 0,151 152 153 154 155 155 156 157 158 158 159 160
475 0,103 103 104 104 105 105 106 106 107 107 108 108
480 0,055 055 056 056 056 056 057 057 057 058 058 058
485 0,010 010 010 010 010 010 010 010 010 010 010 010
490 0,034 034 034 035 035 035 035 035 035 036 036 036
495 0,077 077 078 078 078 079 079 079 080 080 080 081
500 0,118 119 119 120 120 121 121 122 122 123 123 124
505 0,158 159 160 160 161 162 163 163 164 164 165 166
510 0,197 198 199 200 201 202 202 203 204 205 206 206
515 0,236 237 238 238 239 240 241 242 243 244 245 245
520 0,273 274 275 276 277 278 279 280 280 281 282 283
525 0,309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320
530 0,344 345 346 347 348 349 350 352 353 354 355 356
535 0,378 379 380 382 383 384 385 386 387 388 389 391
540 0,412 413 414 415 416 417 418 420 421 422 423 424
545 0,444 445 446 447 448 450 451 452 453 454 455 457
160
Таблица II.7
СИМОСТН ОТ Ре И рр
465 466 467 468 469 470 471 717 473 474 475 476 477 б
711 712 713 714 715 716 718 719 720 721 722
132 141 152 162 173 184 196 208 221 233 246 1,260 5
042 051 060 069 079 089 099 109 120 131 143 0,154 4
957 964 972 980 989 997 106 015 025 034 044 0,054 4
875 882 889 896 903 910 918 926 934 942 951 0,959 3
797 802 808 814 821 827 834 841 848 855 862 0,869 3
721 726 732 737 742 748 753 759 765 771 778 0.784 2
649 653 658 662 667 672 677 682 687 692 697 0,702 2
580 583 587 591 595 599 603 607 611 616 620 0,625 2
513 516 519 522 526 529 533 536 540 543 547 0,551 I
449 451 454 457 459 462 465 468 471 474 477 0,480 1
387 389 391 393 396 398 400 403 405 407 410 0,412 1
327 329 331 332 334 336 338 340 342 344 346 0,348 1
270 271 272 274 275 277 278 280 281 283 284 0,286 1
214 215 216 217 218 219 221 222 223 224 225 0,226 1
161 161 162 163 164 164 165 166 167 167 168 0,169 0
109 109 110 110 111 111 112 112 113 113 114 0,114 0
059 059 059 060 060 060 060 061 061 061 061 0,062 0
010 010 010 он ОН 011 ОН ОН 011 ОН 011 0.011 0
036 036 036 037 037 037 037 037 036 038 038 0,038
081 081 082 082 082 083 083 084 084 084 085 0,085
124 125 125 126 126 127 127 128 128 129 129 0,130
166 167 168 169 170 170 171 172 172 173 173 0,174
207 208 209 209 210 211 212 213 214 214 215 0,216
246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 0,257
284 285 286 287 288 289 290 292 293 294 295 0,296
321 322 323 325 326 327 328 329 330 331 332 0,333
357 358 359 361 362 363 364 365 366 367 368 0,370
391 393 394 395 396 398 399 400 401 402 403 0,404
425 427 428 429 430 431 432 434 435 436 437 0,439
458 459 460 462 463 464 465 467 468 469 470 0,472
И Г. Г. Слюсарев
161
Значения р^ в зави
А, в км 451 699 452 453 454 455 450 458 459 706 460 461 462 463 710
700 701 702 703 704 705 707 708 709
550 0.476 477 478 479 480 481 482 484 485 486 487 489
555 0,507 508 509 510 511 512 513 515 516 517 518 520
560 0,537 538 539 540 541 542 543 545 546 547 548 550
565 0,566 567 568 569 570 572 573 574 575 576 577 579
570 0,595 596 597 598 599 600 601 603 604 605 606 607
575 0,623 624 625 626 627 628 629 630 631 633 634 635
580 0,650 651 652 653 654 655 656 657 658 660 661 662
585 0,677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688
590 0,703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714
595 0,778 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739
600 0,753 754 755 756 757 758 758 759 760 761 762 762
605 0,777 778 779 780 781 782 782 783 784 785 786 787
610 0,801 802 803 804 804 805 806 807 807 808 809 810
615 0,824 825 826 827 827 828 829 830 830 831 832 832
620 0,847 848 849 850 850 851 851 852 852 853 853 854
625 0,870 870 871 872 872 873 873 874 874 875 875 876
630 0,891 892 893 893 894 894 895 895 895 896 897 897
636 0,913 914 914 915 915 915 916 916 917 917 917 918
640 0,934 935 935 935 936 936 936 936 937 937 937 938
645 0,955 955 955 956 956 956 956 956 957 957 957 957
650 0,975 975 975 976 976 976 976 976 976 976 976 976
655 0,995 995 995 995 995 995 995 995 995 995 995 995
660 1,014 014 014 014 014 014 014 014 014 014 014 014
665 1,033 033 033 033 033 033 032 032 032 032 032 031
670 1,052 052 052 051 051 051 051 050 050 050 049 049
675 1,070 070 070 070 069 069 068 068 067 067 067 066
680 1,089 088 088 087 087 086 086 085 085 084 084 083
685 1,106 106 105 105 104 103 103 102 101 101 100 100
690 1,124 123 122 122 121 120 119 119 118 117 116 116
695 1,141- 140 139 138 138 137 136 135 134 133 132 132
162
Продолжение табл. 11.7
симости от pg pD
465 711 466 • 467 468 469 470 471 473 474 475 476 477 fl
712 713 714 715 716 717 718 719 726 7'21 722
490 491 492 494 495 496 497 499 500 501 502 0,504
521 522 523 525 526 527 528 529 530 532 533 0,534
551 552 553 555 556 557 558 559 560 562 563 0,564
580 581 582 584 585 586 587 588 589 591 592 0,593
608 610 611 612 613 614 615 617 618 619 620 0,621
636 637 638 639 640 642 643 644 645 646 647 0,648
663 664 665 666 667 668 669 671 672 673 674 0,675
689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 0,700
715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 722 0,726
740 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 0,750
764 765 766 766 767 768 769 770 771 772 773 0,774
788 788 789 789 790 791 792 793 794 795 796 0,797
811 811 812 813 814 814 815 816 816 817 818 0,819
833 834 834 835 836 836 837 838 838 839 839 0,840
855 856 856 857 858 858 859 859 860 860 861 0,861
876 877 877 878 879 879 880 880 881 881 882 0,882
898 898 899 899 900 900 901 901 901 901 902 0,902
918 918 919 919 919 920 920 920 921 921 921 0,922
938 938 938 939 939 939 940 940 940 940 941 0,941
958 958 958 958 958 958 959 959 959 959 959 0,959
976 977 977 977 977 977 977 977 977 978 978 0,978
995 995 995 995 995 995 995 995 995 995 995 0,995
013 013 013 013 013 013 013 013 013 013 013 1,013
031 031 031 031 030 030 030 030 030 030 029 1,029
049 048 048 048 047 047 047 047 046 046 046 1,045
066 065 065 065 064 064 063 063 062 062 061 1,061
083 082 082 081 081 080 080 079 079 078 078 1,077
099 098 098 097 096 096 095 095 094 093 093 1,092
115 114 ИЗ 113 112 111 НО НО 109 108 108 1,107
131 130 129 128 127 126 125 125 124 123 122 1,121
11*
163
Значения в зави
ре 451 452 453 454 455 456 458 45J 460 461 462 463
в км pD 699 700 701 702 703 701 705 706 707 708 709 710
700 1,158 157 156 155 154 153 152 151 150 149 148 147
705 1,174 173 172 171 170 169 168 167 165 164 163 162
710 1,190 189 188 187 186 184 183 182 181 179 178 177
715 1,205 205 204 202 201 200 198 197 196 194 193 192
720 1,222 220 219 218 216 215 213 212 210 209 207 200
725 1,237 236 234 233 231 229 228 226 225 223 222 220
730 1,262 251 249 247 246 244 242 241 239 237 235 234
735 1,267 265 264 262 260 258 256 255 253 251 249 247
740 1,282 280 278 276 274 272 270 268 266 264 263 261
745 1,296 294 292 290 288 286 284 282 280 278 276 274
750 1,310 308 306 304 302 299 297 295 293 291 289 286
755 1,324 322 320 317 315 313 311 308 306 303 301 299
760 1,338 335 333 331 328 326 323 321 319 316 314 311
765 1,351 349 346 344 341 339 336 334 331 328 326 323
770 1,365 362 359 357 354 351 349 346 343 341 338 335
780 1,392 389 386 383 380 377 374 371 368 365 362 359
790 1,417 414 411 408 404 401 398 394 391 388 385 382
800 1,442 439 435 432 428 425 421 417 414 410 407 403
810 1,467 463 459 456 452 448 444 440 436 432 429 425
820 1,491 487 483 479 475 471 466 462 458 453 450 446
830 1,515 510 506 502 497 493 489 484 473 474 471 466
840 1,538 533 529 524 519 514 509 505 500 495 491 486
850 1,561 555 550 545 540 535 530 525 520 515 510 505
860 1,583 577 572 566 561 555 550 545 539 534 529 524
870 1,505 599 593 587 581 575 570 564 558 552 548 542
880 1,627 620 614 607 601 594 589 583 576 571 566 560
890 1,648 641 634 627 621 614 608 601 595 589 583 578
900 1,669 661 654 647 640 633 626 619 613 607 601 595
910 1,689 682 674 667 660 652 645 637 631 625 618 613
920 1,709 702 694 687 679 671 663 656 649 642 635 629
164
Продолжение табл. II.7
СИМОСТИ ОТ Ре и р£)
465 466 467 468 469 470 471 | 473 474 475 476 477
711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722
146 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 1,135
161 160 159 158 157 156 155 153 152 151 150 1,149
176 175 173 172 171 170 169 167 166 165 164 1,162
190 189 188 186 185 184 182 181 180 178 177 1,176
205 203 202 200 199 197 196 194 193 192 190 1,189
218 217 215 214 212 211 209 208 206 204 203 1,201
232 231 229 227 225 224 222 220 219 217 215 1,213
246 244 242 240 238 236 235 233 231 229 227 1,225
259 257 255 253 251 249 247 245 243 241 239 1.237
272 270 267 265 263 261 259 257 255 253 251 1,249
284 282 280 278 275 273 271 269 267 265 262 1,260
297 294 292 290 287 285 283 281 278 276 273 1,271
309 306 304 302 299 297 294 292 289 287 285 1,282
321 318 316 313 310 308 305 303 300 298 295 1,293
333 330 327 325 322 319 317 314 311 309 306 1,303
357 354 351 348 345 343 340 337 334 331 328 1,325
379 376 373 369 366 364 360 357 354 351 347 1,343
400 397 394 390 387 384 380 377 373 370 366 1,362
421 418 415 411 407 404 400 396 392 389 385 1,381
442 439 435 431 427 423 419 415 411 407 403 1,399
462 459 455 450 446 442 438 433 429 425 420 1,415 '
482 478 474 469 465 460 456 451 447 442 437 1,432
501 496 492 488 483 478 474 469 464 459 454 1,449
520 575 510 505 500 496 491 486 480 475 470 1,465
538 533 528 522 517 513 507 502 496 501 486 1,481
555 550 545 539 534 529 523 518 512 507 501 1,495
572 567 562 556 550 545 539 534 527 522 516 1,510
589 584 578 572 566 560 554 549 542 537 530 1,524
606 601 594 588 581 575 569 563 556 550 543 1,537
623 617 610 603 596 590 584 577 570 562 556 1,550
166
правильность закономерности была бы показана для трех случай-
ных, частных значений аргумента X, откуда можно было бы
заключить, что она вообще имеет место для любого X.
На самом деле точки, соответствующие различным сортам
стекла, ложатся не по кривой, а внутри узкой трубки. Это объяс-
няется, с одной стороны, тем, что данные каталога лаются с точ-
ностью до одиой-двух единиц третьего знака в величинах р, с дру-
гой стороны, тем, что закономерность не совсем верна. Для того
чтобы по возможности исключить влияние случайных ошибок, был
построен график (рис. 11.38) по только что описанному принципу,
ио точки, которые наносились, относились не к какому-нибудь
определенному стеклу, а к среднему из определенной группы сте-
кол. Группы были взяты нз каталога Шотта, где их имеется 18,
в каждой группе в среднем 6—7 сортов стекол. К точкам для pG'
относятся две кривые: одна из них, проведенная сплошной ли-
нией, представляет зависимость pG- от р& для большинства стекол;
166
другая кривая, проведенная штриховой линией, охватывает че-
тыре группы стекол, а именно: 1) баритовые кроны ВаК; 2) курц-
флинты KzF; 3) легкие флинты LLF; 4) флинты F. У всех этих
стекол pg' несколько больше (на 0,002—0,003), чем у остальных
групп.
Для величины ph это явление выражено еще сильнее: разность
между двумя категориями стекол доходит до 0,005—0,006. Для рА>,
наоборот, никакой ощутимой разницы нет.
Наличие определенной и единой для всех сортов стекол за-
висимости величины от двух аргументов pD и А (оставим пока
в стороне вопрос о четырех группах, составляющих исключение)
позволяет построить таблицы, дающие рк как функцию от pD и А.
Табличные вычисления производились следующим образом.
1. На основании кривых, приведенных на рис. 11.38, была
построена таблица значений рА-, р& и Ph как функций от рэ
(табл. 11.8).
Таблица 11.8
PD РА' pg- Ph PD РА' рс,- Ph.
0,700 -1,358 0,555 0,971 0,712 -1,327 0,596 1,056
0,702 — 1,353 0,561 0,981 0,714 — 1,321 0,604 1,075
0,704 —1,348 0,567 0,993 0,716 —1,316 0,612 1,094
0,706 —1,342 0,573 1,007 0,718 —1,311 0,620 1,115
0,708 — 1,337 0,580 1,023 0,720 —1,306 0,629 1,137
0,710 —1,332 0,588 1,039 0,722 —1,302 0,639 1,160
Примечание. Поправка для стекол второй 1руппы — 0,003;
— 0,005 (для всех
2. Для каждого pD вычислялись рк, где А принимало значе-
ния от 400 до 770 нм через 5 нм. Основанием для этих вычисле-
ний служили шесть частных значений А, для которых известны рк>
а именно:
Спектральная линия
Рк
А'...................... 768,5 рА,
С ..................... 656,3 —1.0
D ..................... 589,3 Pd
F ..................... 486,1 0
G'...................... 434,1 pG,
h ......-............... 404,7 ph.
Для интерполяции была применена формула Гартманна
167
к которой добавлялся особый поправочный член, уточняющий
ее в крайних областях спектра.
Таким образом была получена табл. II.7. По вертикальным
столбцам меняется % при постоянном по горизонтальным стро-
кам — Рс при постоянном Л.
Промежутки для pD взяты в 0,001; так как на основании дан-
ных каталога эта величина не может быть получена точнее, то
нет надобности интерполировать по этому аргументу. Для %
промежутки приняты в 5 нм. При таких промежутках разности
функции достаточно постоянны и можно применить линейную
интерполяцию, но вряд ли это нужно на практике, так как всегда
имеется возможность округлить X, выраженное в нм, до ближай-
шего кратного пяти и избежать всякого интерполирования.
Пользоваться табл. II.7 надо следующим образом:
1) взять из каталога или из спецификации величину пока-
зателя nD, дисперсию пр — пс и относительную частную диспер-
сию
2) по величинам pD и X найти в таблице значение
3) вычислить пк - пр 4- рк (nF — пс).
Таким образом, весь процесс нахождения показателя сводится
к отысканию в таблице величины рк и умножению ее на другое
число (Пр — пс).
Нужно обратить внимание на то, что, если Х> 486,1, то рк
величина отрицательная, если X <486,1, то рк величина поло-
жительная.
Если стекло принадлежит к одной из групп BaF, KzF, LLFh F,
то надо к величине рк прибавить поправку, указанную в отдель-
ном столбце таблицы. Эта поправка не зависит практически от pD.
Пример. Найти показатель п для X = 560 нм для стекла
Ленинградского завода оптического стекла К8: nD = 1,5163;
Ир — пс = 0,00806; nF — nD = 0,00566.
Имеем
nF = 1,52196;
р5б0 = —0,540 (из табл. II.7);
п560= 1,52196 —(0,540-0,00806) = 1,51761.
Точность табл. II.7 может быть охарактеризована следующими
числами: при ее помощи показатель может быть вычислен с точ-
ностью до одной единицы пятого знака в области X = 460-ь700 нм’,
до двух един иц — в области X = 430 -е 460 нм и X = 700 и- 770 нм;
168
до трех-четырех — в области % — 400 <- 430 нм. Так как лучи
последней области почти не действуют на глаз и потому не оказы-
вают никакого заметного влияния на качество изображения по
сравнению с областью желтых и зеленых лучей, то такая точность
должна считаться вполне достаточной, тем более что она того же
порядка, что и точность самых совершенных методов измерений
показателей.
В последнее время фирмы «Шотт», «Ченс» и др. выпустили
каталоги, в которых относительные частные дисперсии pD не да-
ются, а вместо них даются ре, где е — линия, соответствующая
длине волны 546,4; для того чтобы можно было пользоваться этими
каталогами, рядом со строкой, содержащей все значения pD от
0,699 до 0,722, в табл. II.7 дана дополнительная строка, дающая
непосредственно значения ре.
Табл. II.7 может быть использована для решения более об-
щей задачи: по показателям преломления стекла для трех любых
длин волн определить значение показателя для любой другой
длины волны. Этот результат может быть получен способом по-
степенных приближений.
Классификация хроматических аберраций
В начале этой главы шла речь о том, что в монохроматическом
свете всякая светящаяся точка изображается как некоторая
фигура рассеяния, вид которой зависит от аберраций системы.
Как положение точки изображения, так и аберрации системы за-
висят от показателя преломления испускаемой световой энергии.
Если источник света испускает лучи всех длин волн, то каждой
длине волны соответствуют определенная плоскость изображения
и определенное пятно рассеяния и все эти пятна различных цветов
складываются в общее окрашенное пятно.
Как аберрации монохроматических пучков, так и хроматиче-
ские аберрации представляют собой сложное явление, для изу-
чения которого необходима предварительная классификация.
Хроматические аберрации могут быть разделены на группы по
признаку принадлежности лучей к определенной области аберра-
ций (гауссова область, аберрации третьего порядка); хроматиче-
ские аберрации, относящиеся к области пятых и более высоких
порядков, обычно ие имеют практического значения.
В гауссовой области положение изображения зависит только
от положения предмета и для лучей данного цвета не зависит от
выбора лучей, образующих изображение. Так как положение изо-
бражения определяется двумя координатами, то число хромати-
ческих аберраций первого порядка равно двум: хроматическая
аберрация положения и хроматическая аберрация увеличений.
В области Зейделя пяти аберрациям в монохроматическом
свете соответствуют пять хроматических аберраций, из которых,
169
однако, только одна имеет практическое значение — хромати-
ческая разность сферических аберраций.
Для оценки количественной стороны хроматической аберрации
берут условно две определенные длниы волны, лежащие по ту
и другую сторону от некоторой средней длины волны, для которой
выполняется основной расчет в монохроматическом свете. На-
пример, при средней длине волиы = 589,3 нм, соответствую-
щей желтой линии D натрия, берут — 656,3 нм (линия С во-
дорода) и %3 = 486,1 нм (линия F водорода). Хроматическая абер-
рация определяется разностью так или иначе выбранных коорди-
нат, вышедших из системы лучей, соответствующих длинам волн
и 13.
Хроматическая аберрация положения
Положение плоскости изображения зависит от значения пока-
зателей преломления линз системы; изменение положения этой
плоскости с изменением длины волны лучей обусловливает хро-
матическую аберрацию положения. Она определяется расстоянием
6s' между двумя плоскостями изображения одной и той же пло-
скости предмета, соответствующими двум длинам волн X, и Х3.
Условимся обозначать величины, относящиеся к длинам волн Xi
и Х3, соответственно значками С и F, поставленными сразу же
после обозначения величины, например sc, пс и т. д. Вообще го-
воря, величины, снабженные значками С и F, следует относить
к длинам волн 656,3 и 486,1 нм, общепринятым для характери-
стики хроматических аберраций зрительных оптических приборов;
но все результаты, полученные при таком частном подборе, могут
быть обобщены для любых двух длин волн и %3.
Рассматриваем некоторую точку-предмет S иа оптической оси
системы. Исходим из известной формулы преломления через
сферическую поверхность.
—= п'~п . (11.177)
Берем два луча Си/7, пересекающие ось до преломления в точ-
ках Sc и с абсциссами Sc и расстояние SqSf предполагается
очень малым, Так как к обоим лучам относится формула (II.177),
то, написав ее дважды, один раз для лучей С и другой —для
лучей F, вычитаем одио уравнение из другого. Пренебрегая квад-
ратом малых разностей
6s = sF — $с и 6s’ — Sp — s’c,
получаем
n’ s , , n s , fin' fin tin'— 6n ztt ,ro.
— 7Г& + x6s + -?--------Г=--------r---’ (П.178)
170
где для краткости положено, что
nF — пс — бп; n'F — п'с = 6н'ф
Формулу (II. 178) можно переписать в виде
л-"?-=л(4-Н&'’ <ПЛ79)
где А — символ Аббе для разности двух одинакового вида вы-
ражений, различающихся только тем, что в первом выражении
все величины со штрихами относятся к преломленному лучу,
так что Aq — q' — q. С точностью, указанной выше, можно
считать величины s' н п’, относящимися к длине волны, лежащей
между X, и Л3; максимальная точность получается тогда, когда
эта длина волны принята равной ф
Замечая, что ------— равно — где Qs — нулевой ин-
вариант Аббе, имеем
Д™ = —A^6n = -<?SA~. (11,180)
Формула (11.180) решает вопрос о нахождении хроматической
аберрации положения для случая одной поверхности.
Чтобы перейти к общему случаю системы из р поверхностей,
замечаем, что
Ss« = 6s»+v S"«=6n«+1’
где ак и а’к — углы с осью параксиального луча, проходящего
через точку S предмета. Умножая обе части формулы (11.180)
на й2, получаем
A«-^-Ss = A«aa6s = — /i2QsA-^-. (П.181)
Применяем формулу (II. 181) для всех р поверхностей системы:
/?!«! Й51 — = — /ijQi, sAi ;
/?2^2 — rtsCtl б$2 = — J
/!рССр Й5р rtpttp6Sp — hpQp, s^p •
171
Складывая все полученные уравнения и принимая во внимание
сделанное выше замечание, получаем в левой части прар Ssp —
flia?6si. Таким образом,
*--р
п'ра'р Ssp — ntafost = — /£(?„, (II.182)
В левой части величина 6s,, относящаяся к точке-предмету,
обычно равна нулю. Правую часть можно переписать в перемен-
ных Ланге, пользуясь многократно применявшейся формулой
л —
п
Тогда формула (11.182) принимает окончательный вид
«4 = Лтт <1И83>
"Л 2^. Л7Г “
I
Величина 6$р называется продольной хроматической аберра-
цией положения изучаемой оптической системы. Нетрудно видеть,
что она не зависит от единиц, в которых выражена величина а.
Выражение, стоящее под знаком суммы, содержит произведение
величин h и Да, из которых каждая имеет то же измерение, что
2 '2
и ai. Сумма имеет измерение ар, но н знаменатель ар имеет то же
измерение, вследствие чего частное 6s' оказывается нулевого из-
мерения по отношению к данному углу. Иногда говорят о попереч-
ной хроматической аберрации положения, понимая под этим произ-
ведение отрезка 6sp на выходной апертурный угол сор. Такое пред-
ставление имеет условный характер и практически применимо
только при очень малых апертурных углах.
Рассмотрим два частных случая применения формулы (11.183).
I. Простая линза в воздухе. Для бесконечно тонкой системы
из двух поверхностей, находящейся в воздухе, формула (11.183)
принимает особенно простой вид
= А1so. А,
Vg-- 1 llg i -Vg fig
так как
6nx = 6и3 = 0.
Но у бесконечно тонкой системы поэтому
a,6s2 --г\——aj —а, + <х2) =
1 — va ttj
= - “•) = h> ^t<“* -
tit
172
Пользуясь основной формулой для бесконечно тонкой линзы
s' s f ’
где f' — ее фокусное расстояние, после умножения на h имеем
й,
“з — «1 = -р- •
Подставляя это выражение в формулу для продольной хромати-
ческой аберрации, находим
или
- I •
(И.184)
Выражение -п'^п 1 встречается часто во всех формулах, свя-
занных с хроматическими аберрациями; Аббе назвал его коэффи-
циентом дисперсии и обозначил буквой v. В дальнейшем будем
пользоваться этим обозначением. (До сих пор буквой v обознача-
лась обратная величина показателя преломления — ; во избежа-
ние недоразумений v в этом значении не будет применяться в ос-
новных формулах, а только в промежуточных выводах).
Тогда формула (11.184) принимает особенно простой вид
(11.184*)
где индекс 2 у величины 6s' опущен. Формула (11.184*) может
быть получена независимо от формулы (11.183) при использовании
следующего выражения:
Дифференцируя по п н s', получаем
или
2. Сложная лннза. Если имеется две или несколько бесконечно
тонких линз, разделенных бесконечно малыми воздушными про-
межутками, можно исходить из формулы
где Ф; — оптическая сила линзы с номером I.
173
Дифференцируя эту формулу по s' и по значениям показателей,
получаем
_ ds- _ у ф
s'2 “ v(. ’
откуда
(11.185)
где V,- — коэффициент Аббе для материала линзы I.
Формула (11.183) для хроматической аберрации положения
дает возможность вычислить положение плоскости изображения
для любого цвета по отношению-к плоскости изображения, соот-
ветствующей определенному цвету К- Для этого нужно принять,
что величина 6л, входящая в выражение коэффициента м, равна
разности показателен Лд — пк для обоих рассматриваемых цве-
тов; показатель п, так же как и величины анйв формуле (11.183),
соответствует некоторой средней длине волны.
Максимальная точность при вычислении хроматической абер-
пь + пк
рации получается в том случае, когда п = 2 и когда а
и h соответствуют именно этому значению п показателя. Это вы-
текает из легко доказываемого свойства разложения функций в ряд
Тзйлора, заключающегося в том, что разность f (х + h) —f (х)
функции f (х), соответствующая приращению h аргумента х,
представляется через значение первой производной наиболее точно,
если эта производная вычислена для значения аргумента х, равного
х + -|-« Другими словами, в формуле
f(x + h)-f(x) = hf'(x+lh)+R(x, h) (11.186)
остаточный член R (х, h) достигает минимального значения, когда
коэффициент t равен-—. Разлагая левую часть в ряд Тэйлора,
можно убедиться, что при t величина Я (х, h) не содержит
Множителя 1г2, а только h3. Последнее обстоятельство имеет боль-
шое практическое значение. Часто обнаруживаются расхождения,
иногда существенные между значением хроматической аберрации,
полученным точным тригонометрическим расчетом двух лучей
разных длин волн, и значением, полученным по формуле (11.183).
Расхождения объясняются тем, что величины a, h и п берутся
не для среднего значения длины волны. Например, часто для
вычисления хроматической аберрации в фиолетовой части спектра
исходят из значений a, h и п, вычисленных для цвета D, лежащего
вне фиолетовой области; в этом случае расхождения могут быть
значительными.
174
Необходимо помнить, что величина хроматической аберрации,
полученной на основании формулы (11.183), верна только для
параксиальных лучей; практически формула применима для
очень узкой области, соответствующей малым апертурным углам.
Хроматическая аберрация увеличений
Изображение точки, лежащей в меридиональной плоскости,
в параксиальной области определяется двумя координатами —
абсциссой s' и ординатой Г, поэтому оно обладает двумя хрома-
тическими аберрациями. Первая, исследованная выше, касается
положения плоскости изображения; это аберрация абсциссы s'.
Вторая относится к ординате Г, которая также является функ-
цией от длины волны луча. Эта аберрация измеряется либо раз-
ностью величин /' (ординат изображений одной и той же точки
объекта лучами двух различных длин волн, которые мы будем
условно обозначать значками С и F), либо связанными с нею
величинами. Для определения линейного увеличения оптической
системы можно исходить из формулы Лагранжа—Гельмгольца
= npapl'p,
откуда
_ >^«1
Но, имея в виду формулу h — sa = s'a', можно написать
«j a2
ap a2 аз
_ s2 S3 Sp
Sj S2 Sg Sp * * SK ’
№1
где символом П обозначается произведение величин, стоящих
под этим знаком; таким образом,
^=-^п4> <п-187)
где для краткости пропущен значок к.
Рассмотрим теперь три параксиальных луча, исходящих из
одной и той же точки предмета на оси, различных цветов С, D, F;
длина волны луча D лежит в промежутке между значениями длин
волн Си F. Полагая, что разности показателей для лучей С, D и F
очень малы, можно вычислить разность Ыр — Ipf — 1рс дифференци-
рованием уравнения (11.187). Величины п, s и др., которые
175
появятся при дальнейших выкладках, будут относиться к сред-
нему лучу D. Логарифмическое дифференцирование дает
р
Но сумма Сможет быть разбита иа пары членов следующим
1
образом:
Ввиду того, что и sK = sk+j + dK, где dK — рас-
стояние между поверхностями с номерами к и к 4- 1, имеем
j £lK6sK.] j dp-$sP
sA+i sp-isp
Так как предмет не имеет аберрации, то 6st = 0; поэтому
1 К=1
Но для продольной хроматической аберрации имеем формулу
<> ' 1 \1 . kct . 6п
пк<хк А
Условимся для краткости писать
А ДЧ = с;
л-Ь "
тогда
6s. = -4тг S ЛС.
ЛХС4К
(П.189)
176
Подставляя это значение в формулу (II. 188*), находим
Второй член правой части формулы (11.190), вследствие соот-
ношений
может быть напнсан в виде
Учитывая последнее преобразование, получаем вместо (11.190)
р р _
V' / 6s, «•< \ ~ ? W'“ Г 4 №,С, + /.Л)
7j (’« ’ s; ) прар\ ~r I
» 4» (^|б| -I- h2C2 -4- Л3С3) . . ^p-i (^[б| + h2C2 4- •• • + hp-[Cp.l )1
"* «М ”” г ’ ‘’ “t Пркр.^р J*
(II.190*)
Выражение в квадратных скобках можно написать иначе,
перераспределяя величины С:
г. . .] _ h С I dl L d* J. . . . _Ц dp-1 1 -L
1 J 1 J \ n^hyh.i ' п5/1зЛ3 “г "Г nphp.jhp)
' ( n3h2h3 “b ' ' ' H nphp-Lhp) + ’ ' hp-iCp-i nphp^hp •
Введем обозначение, которое уже использовалось в формуле
(П.52),
р
Q == У dK~l
Р Ьк-^кПк ’
тогда выражение в квадратных скобках принимает вид
[•••] — hxC^p + /iaC2(op — о2) + Л3С3 (Од— °з) + • • ‘
------F
р-1 _ _ _ _
~ S ^кСк — — • • • —
12 г. Г. Слюсарев
177
Прибавляя н отнимая член ophpCp, получаем
р _ р _
[•••] = (г_ hKCK ^4 GKhKCK.
1 1 2
Таким образом, отбрасывая индексы, имеем
Заменяя <зр его значением из формулы (11.52), т. е.
где
получаем вместо формулы (11.188)
р р
+ 4-vZjfte+Zjoft5' (И,191)
1 2
Выражение в скобках преобразуется к виду
1 1 Ур _ 1 __ Ур =
n'p«psp ПР^Р1Р l,p npap2s'p npaps'p’p
Подставляя опять
получаем
^- = 1 J^hC+tahC. (11,191*)
Ip "1 »р tp-bp J h' 1 2
Умножая обе части формулы (11.191*) на hKCK и суммируя по
всем к от I до р, находим
2i/C = f-S^C +JSo/iC;
178
поэтому формула (11.191*) приводится к следующему виду:
1Р 1 пр хр~~ sp
Когда последняя среда одинакова с первой, то
6^1 _ ^пр
п'р
На практике обычно разность 6/ — lF — !с не представляет
интереса, потому что обе величины lF и 1с измеряются каждая
в плоскости установки, соответствующей ее цвету. Гораздо важ-
нее другая разность, а именно разность координат точек пересе-
чения двух лучей различных цветов, идущих из одной и той же
точки объекта, с плоскостью изображения одного определенного
цвета, например цвета D. В случае фотографического или проек-
ционного объектива имеет значение разность координат лучей
различных цветов в плоскости светочувствительного слоя н в пло-
скости экрана. В оптических системах, предназначенных для
наблюдения глазом и имеющих окуляр, необходимо рассматри-
вать картину аберраций в фокальной плоскости окуляра, т. е.
снова в одной и той же плоскости для лучей всех цветов.
Рассмотрим некоторую плоскость установки MdNd для цвета D,
не совпадающую с плоскостями изображений для цветов С н F
(рис. 11.39). Пусть цветные лучи С, D, F, исходящие из одной и
той же точки-объекта, проходят через одну и ту же точку вход-
ного зрачка (чаще всего для оценки хроматической аберрации
берут луч с координатами mt — 0 и М , =0). После прохождения
через систему лучи пересекают оптическую ось в точках Рс, Pd>
PF и плоскость изображения лучей D — Md^d — в точках С,
12* 179
Nd, F. Пусть Nr н Nc — точки, где цветные лучи F и С пересе-
кают плоскости изображения, соответствующие своему цвету.
Тогда MfNf = lF\ McNc — lc- Обозначим расстояния точек
пересечения лучей с плоскостью MdN’d через Lc, LD и L'f. Тре-
буется найти соотношение, связывающее разность Lf — Lc с раз-
ностью If — lc- Обозначим через Рс, Ро и pF углы, образуемые
с осью лучами С, D и F; на рис. 11.39 они отрицательны. Хотя
углы Рс, Ро и Р/r не равны между собой, но они весьма близки
друг к другу; при умножении малых величин порядка аберрации
на одну из величин, например на рс, можно с достаточной степенью
точности заменить ее величиной pD или Р^. Поэтому можно легко
установить связь между Lr и If и Lc и 1с'
Lf = If~M7MdVf;
Lc — I с —Л^сЛТдРс-
Разность
Lf — Lc = ^f — $ с — (МрМд — McNId) Р« = ^f — + McMf P«-
Но отрезок MCMF представляет как раз продольную хромати-
ческую аберрацию положения 6sp, поэтому окончательно имеем
Lf — Lf; f ' " ^с \~ 6spp£). (11.194)
С другой стороны, из формулы (11.192) получаем
= /'[--^ + 4-2^ + ^-^). (п.192*)
Так как
то уравнения (11.194) н (II.192*) дают
L'F-L'c = ^yC + l'(^~^. (11.195)
Величина хроматической аберрации положения здесь исчезла.
Если первая и последняя среды одинаковы, то
L? — = (11.196)
Эту формулу удобно писать еще в таком виде:
-~-=4-Si/S' (п.196*)
Величина слева может быть названа относительной хромати-
ческой аберрацией увеличений; она выражается в процентах.
180
Отметим, что разность б/' не зависит от координат луча в пло-
скости входного зрачка; это видно из формулы (11.188), где все
величины зависит от координат первого вспомогательного луча,
но не второго. В дальнейших преобразованиях вводятся искус-
ственным путем координаты второго вспомогательного (главного)
луча, но зависимость б/' от координат этого луча, естественно,
только кажущаяся. Причина такой независимости заключается
в том, что все параксиальные лучи, исходящие из точки-предмета,
пересекают плоскость изображения (своего цвета) в одной и той же
точке.
Иначе обстоит дело с величиной 6L', измеряемой в одной и
той же плоскости установки; оиа связана с выбором главного
луча, поскольку разность б£' — б/' зависит от наклона к оси
последнего, как показывает формула (11.194). Единственный
случай, когда 6L' также не зависит от выбора луча, это тот, когда
исправлена первая хроматическая аберрация положения н 6sp = 0.
Тогда б£' — 5/', а последняя величина не зависит от координат
луча.
Полагая, что луч проходит через центр зрачка н является
«главным», доказанное свойство хроматической разности увели-
чений можно выразить следующим образом: если исправлена
первая хроматическая аберрация, то вторая хроматическая абер-
рация (увеличений) не зависит от положения входного зрачка.
Это свойство второй хроматической аберрации напоминает свой-
ство комы при исправлении сферической аберрации. Возмож-
ность такой аналогии обусловливается тем, что первая и вторая
хроматические аберрации находятся в области параксиальных
лучей в таком же соотношении, как сферическая аберрация
и кома в области оптики пучков конечного отверстия.
В дальнейшем будем понимать под хроматической аберрацией
увеличений, или второй хроматической аберрацией, величину
' ' ~ Lp ~~ L(2
Lf — Lc\ чаще всего будем пользоваться отношением —р------,
выражая его в процентах.
Выведем еще одну формулу, связывающую хроматическую
аберрацию увеличения с хроматической аберрацией положения
и аберрацией последнего угла а'.
Из формулы Лагранжа—Гельмгольца получаем
п1а1
Дифференцируя логарифмы обеих частей этого уравнения,
подставив 1р — 1с вместо dl, находим
__ dtii dnp da,p
v np “p
(11.197)
181
Но величины If — lc ^LP — Lc связаны соотношением
Деля обе части этого уравнения на Г, имеем
LF — lF~lC , &Sp
I' ~~ I' “1* ' / •
Подставляя вместо отношения —— его выражение (11.197),
получаем для хроматической разности увеличений
~~ dn. &пр . &Lp
(11.198)
_^L
Г '
г*
Если предмет находится на бесконечности, то —г-
аР
Формула (11.198) позволяет вычислить величину хроматиче-
ской разности увеличения, когда имеется расчет двух паракси-
альных лучей для двух цветов.
В . .
быть
случае бесконечно тонкой линзы формула (П.196*) может
упрощена следующим образом. Для простой лннзы имеем
q___ Да д ди _ а, — а3 — а3
д 1 п _____________1 Л2 V ’
где v
— коэффициент дисперсии.
Разность а, — а3 заменяем
получаем для С выражение
С =
отношением
h
-р после чего
_____h_
fv ’
Подставляя это значение С в формулу (11.196*), находим
дь' _____________1 yft ______1 ______h У 1
1‘ J fv ~ a'/' ~ a'2 I' fv
Замечая, что - = —Д—- и -Д- — 'получаем оконча-
* х — s
тельно
где х' — расстояние от линзы до выходного зрачка; s' — рас-
стояние от лиизы до плоскости изображения. Если х' или s
равно нулю, вторая хроматическая аберрация равна нулю. Мно-
житель , может быть заменен равным ему множителем
182
. Равенство этих двух выражений вытекает из основного
уравнения для простой линзы
откуда следует
или
s'x' ____________________________ sx
Пример. Определить хроматическую разность увеличе-
ний для линзы из стекла К8 (-v — 64), если предмет на бесконеч-
ности, а входной зрачок
находится в переднем фо-
кусе линзы (рис. 11.40). ________________
I'
Х h
Применим формулу (II.196*) для случая нескольких беско-
нечно тонких линз на бесконечно малых расстояниях друг от
друга. Выше было показано, что для одной бесконечно тонкой
линзы величина С равна
h _ _ Ф
fv ~ V
где Ф — оптическая сила линзы.
В данной системе ординаты точек пересечения первого и вто-
рого вспомогательных лучей со всеми линзами системы h п у
одинаковы для всей системы и могут быть выведены за знак суммы.
Формула (11.196*) принимает тогда вид
&L’_______yh yi Ф
г ~ j у *
Но, как было показано, для простой линзы
hy sx ________ s'x'
J х — s х' — s'
183
Это соотношение остается в силе и здесь; поэтому
где Фг — оптическая сила i-й лиизы системы; vt — коэффициент
Аббе стекла этой же линзы. Суммирование распространяется на
все / линз системы.
Хроматическая аберрация высших порядков
Хроматические аберрации второй группы относятся исклю-
чительно к конечным апертурам или к конечным углам поля
зрения. Они возникают оттого, что аберрации третьего, пятого
и более высоких порядков зависят от показателей преломления
н, следовательно, вид пятен рассеяния меняется с цветом лучен,
создающих картину изображения: пятна кажутся окрашенными.
Этот эффект является вторичным. Уже сами по себе абер-
рации — величины малые, а изменения их с длиной волны соста-
вляют только небольшую долю их величины, поэтому сравни-
тельно редки случаи, когда хроматические аберрации этой группы
оказывают заметное влияние на качество изображения, даваемого
системой. Можно отметить следующие случаи: хроматическая
разность сферических аберраций в микроскопических объективах;
хроматическая разность увеличений для больших углов поля
зрения в широкоугольных фотографических объективах и т. д.
Вторичный спектр или остаточная хроматическая
аберрация положения
При наличии не менее двух стекол в оптической системе всегда
можно подбором фокусных расстояний отдельных линз системы
свести в пространстве изображений в одну точку на оси два луча
различных длин волн, например С и F; но при этом лучи других
длин волн ие пересекают ось в той же точке. Поэтому изображение,
даваемое оптической системой с хорошим хроматическим испра-
влением для двух лучей, все-такн оказывается окрашенным.
Эта остаточная хроматическая аберрация оптической системы
оказывает иногда весьма заметное влияние на качество изобра-
жения, особенно в системах с большими фокусными расстояниями
(астрономические объективы, коллиматоры для испытания опти-
ческих систем, перископы для подводных лодок и т. д.).
Допустим, что оптическая система в отношении хроматической
аберрации исправлена для лучен двух цветов С и F. Представим
графически величину s' как функцию от длины волны X. Кривая
зависимости s' от длины волны X имеет вид, представленный на
рис. 11.41. Отметим на этой кривой экстремальную точку е.
184
Условимся расстояние между абсциссой точки е и общей
абсциссой точек С и F называть вторичным спектром оптической
системы для пары лучей С н F; тогда
6s5f = Sp — se.
Определим величину вторичного спектра для системы беско-
нечно тонких линз, находящихся в соприкосновении.
По-прежнему будем считать, что хроматическая аберрация
положения исправлена для пары лучей двух цветов, условно
обозначаемых через F и С. Кроме этих двух Л
лучей рассмотрим лучи К и L, соответству-
ющие двум длинам волн К и L. Хроматиче-
ская аберрация для этих лучей может быть
вычислена с помощью формулы (11.185), а
именно:
6s«=-s'2S^-’
рис. П.41
где Ф, — оптическая сила линзы i (для дли-
ны волны, лежащей между К и L), a vz =
— — показатель преломления для средней длины волны.
Вводим следующий ряд обозначений:
dsCF =SF— Sei
= sl —$/<;
Вводим также обозначение приведенной оптической силы cpf —
= ЛФЬ где F — фокусное расстояние всей системы; Ф,- —опти-
ческая сила i-й линзы.
Двухлинзовые объективы. Условие масштаба дает
4-=ф,+ф2>
откуда
Ф1 + Фг — 1.
Хроматическая аберрация 6$с/?согласно формуле (11.185) равна
185
Аналогично для 8sFl
SsKL =
Вводя переменное ф1я получаем для условия масштаба
(«1 — 1)^ + («г— 1)ф2= >•
Величины 5sCf и SsKL принимают вид
(nF — «с)1Яч + («т —«с)21|12 = mSs'ce',
+- [nL —пк)2^2 =- m&s'KL.
Исключение ij’i и i|>2 из этих трех уравнений дает
/1Х — 1 пг — 1
(lip - nc)l (tlF — nc)2
(nL — П/<)1 (nL — пку2
-1
— mbsc/
— m&sKL I
(11.202)
или, при делении на произведение (п, - 1) (и2 — 1),
1 1 -1
-— mSscF
*1 *2
(11.201)
(11.203)
Если хроматическая аберрация положения устранена для
лучей С и F, то для вычисления вторичного спектра нужно поло-
жить §sCF = 0; К = D-, L ~ F. Тогда уравнение (11.203) дает
m&'DF = . (11.204)
Таким образом, величина вторичного спектра пропорциональна
отношению разности частных относительных дисперсий к раз-
ности относительных дисперсий. Формула (11.204) приводит
к простому графическому построению, позволяющему получить
исчерпывающие сведения о возможностях, которые дают совре-
менные оптические стекла в отношении уменьшения вторичного
спектра.
Отложим по оси абсцисс величины vCF, по оси ординат —
pDP. Каждому стеклу соответствует одна точка. На рис. 11.42
построение выполнено для величин vCF и реР, где е означает
спектральную линию с длиной волны 546,1 нм — ртутную зеле-
ную линию. Чтобы определить величину вторичного спектра,
которая получится у системы из двух каких-нибудь стекол,
186
достаточно соединить прямой точки, относящиеся к этим стеклам.
Тангенс представляет собой величину
(PppK ~~ ^Ppp)i
v8-v1
s'2
которая при умножении на коэффициент —не зависящий
от свойств стекол, н дает величину вторичного спектра.
На рис. 11.42 нанесены точки, соответствующие всем группам
стекол каталога фирмы «Шотт»; то, что по оси ординат отложены
Рис. 11.42
величины не pDF, а ре?, нисколько не влияет на выводы. Одного
взгляда на этот рисунок достаточно, чтобы убедиться, насколько
затруднен выбор стекол для получения системы с минимальным
вторичным спектром: все точки лежат иа одной прямой; поэтому
величина вторичного спектра почти не зависит от выбора стекол,
если пользоваться наиболее употребительными сортами. Изло-
женное дает возможность оценивать величину вторичного спектра
объективов, исправленных хроматически. У двухлинзового объ-
ектива величина вторичного спектра, определенная на основании
формулы (11.204) по данным каталогов любых оптических заводов,
равна 1/2000 от величины для группы лучей С, D и F. Если
система ахроматизована для лучей С и F, то луч D не является
тем лучом, для которого величина s' достигает своего минимума,
так как его длина волны (589 нм) лежит гораздо ближе к лучам С
(л = 656 нм), нежели к лучам F (X = 486 нм). Минимум s' имеет
место для луча с длиной волны А. 560 нм, и если величину вто-
ричного спектра определить разностью Sgeo — sf или Sgeo —
JS7
s'^
то она окажется около 1/1700 -р- для большинства пар стекол.
Итак, величина вторичного спектра зависит от того, для каких
двух лучей устранена хроматическая аберрация положения дан-
ного объектива. Выбор этих лучей определяется назначением
объектива; общеприняты несколько способов ахроматнзации,
что дает возможность разделить объективы на группы по этому
признаку.
К первой группе относятся оптические приборы визуального
назначения: астрономические объективы для визуального рассма-
тривания, бинокли, геодезические трубы, перископы и т. д.
В ннх «соединяют» лучи С и F, т. е. ставится условие, что s? -- sc
н s' достигает минимума для X = 560 нм. Величина вторичного
$'2
спектра равна 1/1700 от -уг .
Во вторую группу — ее можно называть фотовнзуальной —
входят все фотообъективы и ряд астрономических объективов,
служащих для фотографирования с визуальной установкой на
фокус. Вторичный спектр имеет минимум s' для цвета F, а соеди-
нены лучи D и G' (X = 589 н X = 434,1). Величина вторичного
спектра здесь достигает 1/1300 величины -^т-.
В третьей группе объективов (астрофотографической) испра-
вление делается таким образом, чтобы ианлучшее изображение,
получаемое всегда около минимума кривой s' в зависимости от X,
получалось для той длины волны, которая энергичнее всего дей-
ствует на нормальные фотопластинки; такой волной обычно счи-
тают волиу луча G' (X = 434,1); здесь соединены лучи F и h (к =
= 486 нм и % = 404 нм). Такое исправление было бы наиболее
желательным для фотообъективов тех камер, у которых наведе-
ние иа фокус производится ие с помощью матового стекла, а с по-
мощью шкалы расстояний или дальномера, как это имеет место
в современных малогабаритных камерах. У объективов этой
группы длина вторичного спектра, измеряемая расстоянием
Sf — Sg- (при sF =» sA), равна
Вычисление величины вторичного спектра для любой спек-
тральной области. В настоящее время спектральная область,
в которой работают оптические системы, значительно расширяется
как в сторону инфракрасной, так и в сторону ультрафиолетовой
области спектра. Отдельные группы оптических систем предназна-
чены работать в самых разнообразных областях с более или менее
раздвинутыми границами, поэтому нужно иметь возможность
вычислить заранее величину вторичного спектра для любой
выбранной спектральной области.
Кроме того, приходится довольно часто решать на практике
такую задачу: если система исправлена для спектральной об-
188
ласти К—L, какова хроматическая аберрация для двух других
длин волн? Эта задача может быть в некоторых особо важных для
практики случаях сведена к расчету тех же систем для обла-
сти С—F, но для этого необходимо знать, какое значение имеет
хроматическая аберрация для области C—F, когда она исправлена
в области К—L. Так обстоит, например, дело при расчете двух-
линзовых склеенных объективов, для которых составлены спе-
циальные вспомогательные таблицы, одним из аргументов которых
служит хроматическая аберрация, определяемая параметром С
и относящаяся к цветам С и F.
Многие рассуждения, связанные с вопросом о вторичном
спектре, очень упрощаются, если вместо переменной X ввести дру-
гую переменную I, связанную с Л соотношением
. 1000
1 X —200’
в котором X должна быть выражена в микрометрах (мкм).
Выше было указано, что между показателем преломления п
и длиной волны Л существует зависимость (Корню)
п = "« +
где п0, с н Хо — постоянные, зависящие от рассматриваемого
материала. Величина Хо для большинства оптических стекол
меняется в пределах 160—220. Если принять равным 200, то
погрешность в величине показателя невелика н приближенно
можно считать, что величины пи/ связаны линейным соотноше-
нием
а — п0 -f- с'1,
где с = 1000 ‘
При этом оказывается, что ряд функций, зависящих от показа-
телей, выражается гораздо проще через переменную /, чем через
переменную к. Это естественно, так как большинство функций,
с которыми приходится встречаться иа практике (например, дис-
персия призм, хроматические аберрации линз и т. д,), выражается
почти линейно через показатель, а поэтому связано с длиной волны
зависимостью гиперболического типа.
График зависимости s' от длины волны для ахроматической
системы представляет собой сложную кривую; если же в качестве
переменной по оси абсцисс отложить величину /, то кривая зави-
симости принимает вид параболы. При этом из большого мате-
риала по расчету двухлинзовых объективов, различно исправлен-
ных в отношении хроматической аберрации (а также из вычисле-
ний, произведенных с помощью формул для хроматической абер-
рации), вытекает, что параметр параболы, изображающей зави-
симость s' от I, остается практически постоянным.
189
На основании сказанного возникает возможность выразить
величину за, — so (где sa, относится к лучу с длиной волны X, а
s0 — к лучу, для которого величина s принимает экстремальное,
для двухлинзовых объективов — минимальное значение) с по-
мощью формулы вида
sa — so + а (^а — У2- (11.205)
- , юоо , юоо э
Здесь ^_2Qq; /о = _2QQ; Хо — длина волны, соответ-
ствующая минимальному значению величины s'. Коэффициент а,
зависящий от положения предмета и от фокусного расстояния
объектива, равен 0,00120 при бесконечно удаленном предмете
и -рг- 0,00120, когда предмет на конечном расстоянии. Поэтому
формулу (11.205) можно написать в виде
Вл — So =0,00120 (/х — Z0)a. (11.206)
Эта формула позволяет решать ряд задач, связанных с определе-
нием вида хроматической кривой. Чтобы облегчить решение этих
задач, нужно иметь таблицу перехода от величин X к величинам /
(см. табл. II.9).
В табл. 11.10 приведены величины X и / для наиболее часто
применяемых длин волн.
Применение величины I вместо X позволяет решить следующую
важную задачу: вычислить хроматическую аберрацию 8s'cp, если
система ахроматизована для длин волн и L.
Таблица II.9
А в нм 1 А в нм 1 А в нм 1 А в нм 1 А в нм 1
360 6,250 400 5,000 500 3,333 600 2,500 700 2,000
365 6,061 410 4,762 510 3,226 610 2,439 710 1,961
370 5,882 420 4,545 520 3,125 620 2,381 720 1,923
375 5,714 430 4,348 530 3,030 630 2,326 730 1,887
380 5,556 440 4,167 540 2,941 640 2,273 740 1,852
385 5,405 450 4,000 550 2,857 650 2,222 750 1,818
390 5,263 460 3,846 560 2,778 660 2,174 760 1,786
395 5,128 470 3,704 570 2,703 670 2,128 770 1,754
400 5,000 480 3,571 580 2,632 680 2,083 780 1,724
490 3,448 590 2,564 690 2,041 790 1,695
500 3,333 600 2,500 700 2,000 800 1,667
190
Таблица 11,10
Линия спектра к в нм Линия спектра к в нм 1
Д' 766,5 1,759 F 486,1 3,495
с 656,3 2,192 S 435,8 4,239
D 589,3 2,589 G' 434,1 4,272
d 587,6 2,580 h 404,7 4,885
е 546,1 2,889
Пусть lL и 1К — значения величины I при /. = и К =
Ввиду симметричности параболы по отношению к своей оси, эк-
стремум кривой s' (/) в точке £rain соответствует значению /т1п,
ь-Н,
лежащему точно посередине между lL и /к, т. е. Zmin = Л
(рис. 11.43). Вычислим разность 6sCF -= sp — sc.
Имеем
4 = s» + 0,00120 (l.F -
4 = So +0,00120(/с -/mln)2;
(11.207)
sr - Sc = 0,00120 [(ZF — Zo)2 — (lc - Zo)2] =
= 0,00120 (Zf - Zc) (lP + lc ~ 2Z„) =
= 0,00120 -yr (lF lc) (ZF + lc — lie II)-
Подставляя численные значения lF и lc, получаем
Sp — s’c = ~ [°,°089 — 0,00156 (lK + Zz.)l. (11.208)
Если хроматическая аберрация (в параксиальной области)
для лучей К и L не равна нулю, а соответствует значению пара-
метра CKL, то величина С (для области С—F) может быть выра-
жена через Скь согласно формуле
с = ,1,3^ Скс + 0,0089 — 0,00156 (lK + 1Л, (11.208*)
lL~lK
которая получится, если написать формулу (11.206) для длин
волн С, F, К и L и исключить величины Sq и /mjn.
191
Часто бывает желательным заранее знать величину вторич-
ного спектра двойного склеенного или несклеенного объектива As'
при исправленной хроматической аберрации для лучей двух
спектральных линий /С и L. Значение As* — вторичного спектра
для фокусного расстояния, равного единице, при бесконечно
удаленном источнике в зависимости от
U_____________ к спектральной области, в которой выпол-
няется ахроматизация, — приводится в
табл, 11.11 для наиболее употребительных
на практике спектральных линий А', С,
F, С и h. В клетке, находящейся на
с ~ срч. пересечении столбца и строки, соответст-
, вующих интересующим иас значениям К
и L, находится значение вторичного спек-
тра в десятитысячных долях фокусного
расстояния. Например, если соединены
рнс [j 43 лучн спектральных линий F и h, находим
в таблице число 6; вторичный спектр ра-
вен 0,0006, или t 1 • фокусного расстояния. Для других ком-
бинаций длин волн можно найти величины вторичного спектра
на рис. 11.44 (правая сторона), соединяя прямой числа к 3-й
н 5-й шкал и делая отсчет на 4-й шкале 104щДз'. На ле-
вой стороне рис. 11.44 приведены три шкалы: две одинаковых
шкалы л и между ними шкала 1043. При необходимости ахромати-
зировать систему для двух длин волн кк и следует соединить
Таблица II.11
А' С D е F G' h
А' 0 0.7 2 4 • 18 30
С 0,7 0 1 2 6 13 22
D 2 1 0 0,6 2 8 16
е 4 2 0,6 0 1 6 12
F 9 6 2 I 0 2 6
G' 18 13 8 6 2 0 1,5
h 30 22 16 12 6 1,5 0
192
прямой линией точки, соответствующие этим значениям Л. Точка
пересечения этой прямой со второй шкалой дает значение вели-
чины 104 С, при которой осуществляется ахроматизация для
длин волн и XL.
Вторичный спектр сложных систем. Если система состоит
из нескольких линз (или зеркал и лииз), толщина которых мала
по сравнению с их фокусным расстоянием, можно написать для
Л <о*с 4тДЗ’ 'Л
60
«оо - — «00
woo— 50 — «ООО - 60
900 — 900 - 70 —
еоо-= 700 = -я’ '«К ? 8 800 =-700 - 60 - 50 - 40 — 370 — эео
-с -20 С - - 30 — 390
600— -л <0 D- 600 -20 h- - <5 — 400
55D-T -е - о е- 550 - <0 —
- -10 — = S s’- —
500 = 500
- г - -20 F - 4 — 460
- -30 "° F-
450— 450
- -э’ Р40 б'- - 2 500
- - -50 — = 5 е - =- S50
<00 — h --60 h_ — 400 - ’° D - <5 " =-600
- - -70 -20 л
390 — — 390 С
эео— - -80 — 360 - 30 - 40 я*. Г-700
370 — - -90 — 370 - 50 ==800
360 — --«00 — 360 - 60 - 70 — 900 —-<000
-.60 — «00
2 04С <0 *гп AS' л
Рис. 11.44
хроматической аберрации, соответствующей двум цветам F и D,
выражение
mt>sDF = — Mi. (11.209)
где 1|>,- — —<fl--величина, не зависящая от длины волны,
"z>— 1
так как она равна
Предположим, что хроматическая аберрация неправлена для
лучей С и F. Тогда
m6siF = —2Л?Ч>,(лг—Лс)г = 0. (П.209*)
Вводим некоторую, совершенно произвольную, величину р,
определение которой вытекает из дальнейшего.
13 г. Г. Слюсареа 193
Вычитаем из уравнения (П.209) уравнение (П.209*), умножен-
ное на р:
m&s'Dl.- = — V hfyt [(nF — nD)i~p(nF — пс)/] =
= -'^11‘^(Р‘-РУ (11.210)
Величину p можно принять равной одному из pt; в этом слу-
чае соответственный член пропадет.
Любопытно, что выражение (11.210) отличается от выражения
хроматической аберрации только множителем (р{ — р).
Устранение вторичного спектра. Как видно из предыдущего,
применение обычных сортов оптического стекла не позволяет
устранить вторичный спектр. Для его уничтожения необходимо
использовать либо особые сорта стекол, обладающие необычным
ходом дисперсии, либо кристаллы. Среди последних следует ука-
зать иа два, обладающие такими свойствами, которые делают их
особенно пригодными для изготовления апохроматических объек-
тивов. Это флюорит и фтористый лнтнй, зависимость показателя
преломления которых от длины волны приведена в приложении I
руководящего материала 230.10.03. В табл. П.12 приведены пока-
затели преломления для наиболее часто употребляемых длин
волн. Остальные оптические характеристики этих кристаллов
даны ниже.
Флюорит Фтористый
литий
nD 1,43384 1,39205
ПгТ-П^ 0,00456 0,00400
Пр—nD 0,00321 0,00276
95,1 98,0
0,704 0,690
Таблица 11.12
Линия спектра К Флюорит Фтористый литий
h 404,7 1,44152 1,39851
G' 434,1 1,43961 1,39692
Г 486,1 1,43705 1,39481
е 546,1 1,43496 1,39304
D 589,3 1,43384 1,39205
' С 656,3 1,43249 1,39081
А' 768,5 1,43093 1,38927
194
Относительные частные дисперсии ро этих материалов имеют
те же значения, какими обладают оптические стекла, для которых
число Аббе v равно 52—54, например стекло KF3 (nD — 1,5262;
v = 51; pD = 0,707); стекло 02 (nD = 1,5294; v = 51,8; pD =
= 0,705).
Комбинация флюорита или фтористого лития с этими сортами
оптического стекла приводит к хорошему исправлению вторич-
ного спектра, по крайней мере, для видимой области. Однако
следует учесть, что флюорнт и фтористый литий обладают боль-
шими температурными коэффициентами расширения и изменения
показателя преломления; это требует принятия особых мер при
конструировании оптических приборов, работающих в условиях
изменяющейся температуры.
Заводы оптического стекла делали многочисленные попытки
разработать сорта стекол, с помощью которых вторичный спектр
мог бы быть устранен. Для этого, как видно из формулы (11.204),
необходимо, чтобы частные относительные дисперсии обоих сте-
кол были одинаковы. При этом разности величин v стекол должны
быть по возможности большими, так как значения оптических
сил ф обратно пропорциональны разности —v2, а относитель-
ное отверстие объектива тем больше, чем меньше значения вели-
чин ф. Для достижения этого попытки делались в двух направле-
ниях: увеличения в кронах величины pD н уменьшения ее в флин-
тах, где она всегда больше. В отношении кронов никаких обна-
деживающих результатов не было получено. Удалось разрабо-
тать несколько сортов флинта с укороченной синей частью, на-
пример для стекла KzF2 фирмы «Шотт» имеем
Пп ~ 1,5294; v = 5I,8; ~ = 0,459.
и ’ nF “ ПС
В пару к этому стеклу подходит крон К7, у которого
по = 1,5П1; v = 60,6; ^^- = 0,457.
и ’ ’ пр — пс *
Такая комбинация стекол дает вторичный спектр, равный
0,459 _ о,457 __ q,0Q2 ___ I
69,6 — 51,8 ~ 8,8 ~ 4400 ’
т. е. лишь в 2—2,5 раза меньше, чем у нормальной пары Ф1/К8,
для которой
0,469 — 0,454 _ 0,014 _ 1
64,1 — 36,9 — 27,2 “ 1943 '
При этом в последнем случае величина ф в три раза меньше,
чем в первом, а следовательно, светосила объективов, изготов-
ленных из курц-флинта и крона, в три раза меньше, чем у нор-
мальных. Кроме того, как это будет показано дальше, комбинации
13* 195
стекол с малой разностью v приводят к большой сферохроматнче-
ской аберрации, и этот недостаток почти целиком обесценивает
уменьшение вторичного спектра.
Пример. Рассмотрим комбинацию двух стекол Шотта
К2 и KzF2, дающих полное уничтожение вторичного спектра
для лучей С, е и F:
nD VCF peF Ppg
K‘2 .......................... 1,5160 56,8 0,459 0,547
KiF2 .......................... 1,5294 51,8 0,459 0,551
Вычислим для этой пары положение луча g. Формула (II.204)
дает
________(^Fgb (^Fg)i _ 0,551 — 0,547 ___« ООПЯ______
mbSpg— v2 —Vi — 56,8 — 51,8 — 0,0008 — 1200 .
При фокусном расстоянии в 1 м луч g пересекает ось на 0,8 мм
дальше, чем лучи С, D и F.
Трехлиизовые системы. Замена двухлиизовой системы трех-
лннзовой позволяет поставить еще одно добавочное условие, а
именно: можно потребовать, чтобы лучи четырех цветов пересе-
кали ось в одной и той же точке; пусть это, например, будут
лучн С, е, F н К.
Поступая так же, как в случае двух линз, получаем следующие
уравнения:
(«1 — 1) М>1 + (n2 — I) Ч-’г + («з — I) ‘Фз =1;
(«F — «c)i *1 + (nF — nc)i Фг + («F - «с)з *3 = "fo'cr;
(nF-«.)l*,+ (»F-n.)2'l’2+(«F-n<)34’s = m6s;F; I (П'211)
(nK - Л«)1 Ф1 + ("f - «eb *2 + - П,)з '1‘з = J
Исключение величин ipi, ф2, Фз из этой системы уравнений дает
ni — 1 л2—1 п3—1 —1
(«F-nc)i (nF~nc)2 (пр~пс)з
(«F-г), («F-«.)2 («F-«f)3
(nK — n.)\ (nK-n.)2 {пк—п>)з ~тКК
а после деления иа (пх — 1) (п4 — 1) (п3 — 1)
111—1
1 1 1 fi ,
— — — —mosri,
Vj v3 CF
(P«f)1 (PeF)2 (Рер)з __~
Vi V3
(Рек) i (Рек)* (Рек)з mFs'
Vi Va v3 eK
= 0, (11.212)
(11.212*)
196
Если 6scp = &s'ep = 0, то после некоторых очевидных сокра-
щений получаем
1
Pi
I 1 1
v2 v3 mbseK — Pj
Pi
1 1
Рг Рз
P2 Рз
(11.213)
где для краткости положено р ~ peF
спектр tn&s'eK равен
(v2-vI)(v3-v,)(M-
и р' = РеК-
Вторичный
P2 — Pl\
V2~‘Vl )
и для того, чтобы он не равнялся нулю, необходимо, чтобы точки
на рис. 11.42, соответствующие выбранным для расчета стеклам,
не лежали на одной прямой. До появления курц-флинтов это
условие было невыполнимо, так что вопреки утверждениям,
встречающимся в некоторых курсах физики и астрономии, устра-
нение вторичного спектра было неосуществимо даже при наличии
трех сортов стекла. Впрочем, хотя наличие курц-флннтов позво-
ляет получить знаменатель отличным от нуля в выражении для
bSeK< подбор стекол, который обратил бы в ноль числитель этого
выражения, весьма затруднителен.
Кроме того, необходимо подчеркнуть некоторую иллюзор-
ность всех полученных результатов, в особенности в случае трех-
линзовых систем, обусловленную тем, что ошибка в показателе
преломления на одну-две единицы пятого знака после запятой —
предел точности измерения показателя преломления современ-
ными точными методами — может весьма сильно изменить рас-
пределение хроматической аберрации в двухлинзовых, а тем более
в трехлинзовых системах. Например, если взять уже применен-
ную комбинацию стекол К2 н KzF2 по каталогу Шотта, то доста-
точно изменить показатель пе у одного из этих стекол на 10"5,
не меняя при этом пс и пР, чтобы вторичный спектр стал 0,0002
вместо нуля; при фокусе в 5 м это дает уже 1 мм. В трехлинзовых
объективах, вследствие малости знаменателя, неопределенность
гораздо больше.
Следует добавить, что вследствие крутизны радиусов поверх-
ностей малейшее отступление от правильной центрировки вызы-
вает появление заметных аберраций, в частности комы. При
выборе стекол для исправления или уменьшения вторичного
спектра следует обратить на это особое внимание.
Хроматическая разность сферических аберраций
Величина сферической аберрации оптической системы зави-
сит от длины волны лучей, для которых'эта аберрация рассчиты-
вается. Если система обладает большой апертурой, изменения
197
сферической аберрации с изменением длины волны могут ста-
новиться весьма значительными и этот недостаток может свести
на иет исправление хроматической аберрации.
Пусть — расстояние от последней поверхности системы до
точки пересечения с осью луча, ордината которого на входном
зрачке равна т. Если а, Ь, с — некоторые постоянные, от т не
зависящие, то можно написать
si = (si)o + «1 sln2«i + bl. sin4Ui -ь СЛ Sln6«i + • • •
Рассмотрим Два цветных луча С н F. Для них величины а,
Ь, с принимают значения ар, ас\ bp, bc; сР, сс. Поэтому
(Sp)m— (Sc)m = (Sf)o — (sc)o + («F — GC) Sln2U, +
+ (&F-&c)sin4u1... (11.214)
Разность (s/?)o — (sc)o представляет собой продольную хрома-
тическую аберрацию параксиальных лучей; следующие члены
выражения (II.214) обозначают хроматическую разность сфери-
ческих аберраций, или, проще, «сферохроматическую» аберра-
цию. Практическое значение имеет только первый член разложе-
ния, содержащий разность аР — Oq.
Таким образом, сферохроматическая аберрация определяется
почти полностью разностью ар — т. е. разностью сумм Sr
для двух цветов. В принципе вычисление этой разности не пред-
ставляет трудностей, так как достаточно продифференцировать Sj
по показателям преломления и помножить каждую частную
производную на конечную разность показателей пР — пс, чтобы
получить с достаточной точностью искомое выражение. Однако
даже в простейших случаях это выражение имеет настолько
сложный вид, что до снх пор в литературе не опубликовано ни
одной формулы для сферохроматической аберрации в общем слу-
чае. Автором такая формула была выведена для двухлинзовых
склеенных бесконечно тонких объективов, исправленных в отно-
шении хроматической аберрации.
Выведем формулу сферохроматической аберрации для беско-
нечно тонкой линзы,
В курсе Чапского—Эппенштейна [15] даиа формула для
сферической аберрации бесконечно тонкой линзы для беско-
нечно удаленного предмета, из которой можно вывести формулу
. < , 26g'
для угловой аберрации г =-----:
/ = Лз [£±2 фр» _^±±ф2р, + ф>] , (П.215)
где Ф — оптическая сила линзы; рх -------кривизна первой
поверхности. Эту формулу легко получить из общей формулы для
198
сферической аберрации третьего порядка (11.142), если вместо й2
написать его выражение через р,: а2 = Л (п — 1) р„ а а9 прирав-
нять НФ. Формула (II.215) удобна тем, что содержит кри-
I
визиу рх = —, не зависящую от длины волны.
Имеем
' ' dz' , v
ZF—2c=-^-(nF—nc).
Но
®c = ("F—”c)(Pi —Pz) = V-
После дифференцирования получаем
' А» Г 2 + п* гЪгх2 4п — 1 /т»2 л । п ~ 2) гр? 1
Zp - 2с = - ------- ФР1 --- --Г- Ф Р1 Ч--7---ГчН- Ф
Г V [ п2 г п —1 ! ' (л— I)2 J
Последнюю формулу можно написать в виде
/ Г 2 + л3 -2 4я—1 ~ . я (Зя-2) 1
гР гс — vF-a [ „а Pl pl + (n_|)iJ>
— F
где Pi = Fpx = —, a F — фокусное расстояние линзы.
Можно преобразовать это выражение к виду
zF — zc = [ро + A (pi — p0)2J , (И.216)
где
п (4па — 23л + 16)
Ро 4 (л — 1)’ (2 + ла) ;
п2 ’
1 4л — I л2
Ро — V л—1 “2 + Л3 ’
В табл. 11.13 приведены значения р', А и р0 как функции от п.
Сферохроматическую аберрацию нельзя устранить, так как
ее минимальное значение обусловливается значением р'о, кото-
рое для обычных значений п больше единицы; при этом линза
имеет вид крутого мениска (рх = 2,6; рг = 0,8). Например, прн
п = 1,5, v = 60 и р! = 0 имеем
= 4г 4-('>76 + *>88 2’652) = 4^ V ‘
гт 2Л 1
Прн — = т
— гс = 4000 1 •
199
В 'случае, когда предмет на конечном расстоянии, нужно
исходить нз формулы, приведенной в книге Чапского—Эппеи-
штейна [15], а именно:
г' = Л3 [1±1р2ф„(4^Ш_0ф + 2А±_1ф!)р +
+ 3А^озф + 3Л+11фзо+(_4гуфз], (11.217)
где о = -у—; St — расстояние от линзы до предмета.
Предположим, что линзе с номе-
п Л по по ром к предшествует оптическая сП- стема, обладающая хроматической аберрацией положения Азк-д пусть A/zK_i — разность высот параксиаль- ных лучей С н F на предыдущей
1,5 1,889 2,65 1,76
1,55 1,831 2,58 1,38 линзе с номером к— L
1,60 1,780 2,53 1,07 При вычислении разности гр—г с
1,65 1,732 2,48 0,82 нужно будет учесть влияние изме-
нения показателя преломления п,
1,70 1,691 2,44 0,62 оптической силы Ф, величины сгЛ -• 1
1 ,
=----, высоты пересечения пк.
В статье автора [14] влияние первых трех перечисленных
величин выведено, а именно:
zF — Zc =
, Зп2 Ч-2 —л . 6л —2- , л(3л — 2)1 ,
Н---4----------Г а “Г -Т ГТ2~ 4"
1 п- ' п — 1 1 (л — 1 )2 -I
ft3 / .я + 1-1ОЗл + 2-|Зп4-1\/ ч
+ 75- 4 ₽ + 2 п ° + тгт ) ~
(11.218)
1
F
где ст = —.
Остается учесть влияние изме-
нения высоты пересечения hK.
Вычислим Aftx. Из формулы пе-
рехода
Рис. 11.45
— кк~\ ^к-^к
получаем
A/zx = A/iK_1 — dK^aK.
Вычислим Ааж по известным AsK-i и АйЛ-ь Пусть Ag'
(рис. 11.45) — поперечная хроматическая аберрация, равная
Ask_i ак. Разность Аак углов ак, соответствующих лучам С n F,
200
равна (с точностью до членов второго порядка малости)
Да = +^«-1 = -д^-1а« + д\-1 _
SK-1 SK— 1
Отсюда
ДА, = длЛ_, - -д^-^ + дМ. = &h /1 _ Л-/. +
SK-1 \ 5К-1 /
, AsK .а* . Sl, , Д$„
+ 4-L - " = ДЛ«-! + ^-1 =
SK-1 SK-1 SK-1
,, Лк .
= ЛГГ +—л^—’
ИЛИ
Но
Д/»к _ A/ik_|
hK ~ hK-i
(1к-1
OCkASk-I.
Л“1
aUs«-i = Е Л?Ф;С4,
1
причем суммирование производится по всем линзам, предшеству-
ющим к-й.
Следовательно,
М.к _ АЛк-| J_ d*-i 'у1 h?qy С:
hK ~ hK.t 1 hKhK^ Ъ 'W6*-
Напишем эти соотношения для к = 2, 3, 4, . . .
^ = 0;
^ = ^й-фЛ-
^г= ЛХА‘Ф‘С1 +^7Мф1с1 + Жс2)
и т. д.
Обозначим для краткости
№1
Тогда
— CjO^ -|- С2 (ок Оа) И- С3 (ок Og) -f~ ... CK_j (gk Ok-i)
^- = a/^C-S аС. (11.219)
£01
Воспользуемся второй формулой Зейделя (П.52):
к~ J \hK hj
Заменяя о его значением через у и h, получаем после ряда опе-
раций, аналогичных тем, которые были приведены прн выводе
хроматической аберрации увеличений,
(П.220)
Вычисляем влияние изменения высоты hK.
Обозначим для краткости
+ 3^-, + 3^.- + (^y]=A
Формула (И.217) для г' при этих обозначениях может быть
написана в виде
Л3
г' = (П.221)
‘к
Изменение h на Д/i приводит к изменению г* на Да':
Az-=^.p,dftK = ^.p,^. (11.222)
•TfC ‘к
Пользуясь формулами (11.218) и (11.222), получаем
' ' Г 1 hK [ \ ЗЛ3
гг-гс=Т14’ ] м +
причем
Г 1 2 4-я2-, (л п* 4-1 - . 4п— 1\- ,
, Зпа + 2 -г , бгс-2- , n(3fi-2).
+ ° + ° + (п — 1)а ’
(•)= -4^P + ^° + ^-
20?
I
Х'к
После очевидных упрощений получаем
(г? —гс)«
| vK I ' I “Г I J hx Рк
->(• • -)]25-4-р«2Й- о1-223)
К \ / J 1 1 J
Поперечная аберрация bgf связана с угловой Az' формулой
—bg' — Az's', откуда n'a'bg' = —n'h&z'.
Подставляя вместо Az' его выражение из (11.223), получаем
n'a'Sg' = — п'
(,L224)
203
Если система состоит из д компонентов, то получаем
-j]
(11.224*)
Другой возможный, но, по-видимому, не приведший пока
к удобным формулам способ аналогичен в принципе тому, с по-
мощью которого находят фокус меридионального бесконечно
тонкого пучка; но здесь дифференцирование происходит по пока-
зателю преломления. Эта задача представляет трудности чисто
технического характера, и ее успешное решение, по-видимому,
вполне возможно.
Исправление сферохроматической аберрации в большинстве
оптических систем вызывает серьезные затруднения. Впервые
на нее обратил внимание Гаусс и, вычисляя радиусы кривизны
астрономического двухлинзового объектива, исправил ее. Испра-
вление этой аберрации в двухлинзовых системах возможно только
за счет апланатизма, т. е. система, исправленная в отношении
хроматической разности сферических аберраций, обладает зна-
чительной комой. При этом радиусы кривизны системы, удовле-
творяющей условию Гаусса, очень малы, что приводит к большим
толщинам линз. Гаусс, очевидно, переоценил влияние на качество
изображения хроматической разности сферических аберраций,
считая ее главной причиной, наблюдающейся в длиннофокусных
астрономических объективах большой хроматической аберрации.
На самом деле этот хроматизм вызывается вторичным спектром.
В настоящее время гауссово условие в астрономических объек-
тивах не выполняется, так как выполнение условия апланатизма
имеет гораздо большее значение. Только в апохроматических
объективах микроскопа, где изображение точки на оси системы
должно быть безупречным, условие Гаусса должно быть удовле-
творено с возможной точностью. В современных фотографических
объективах с большой светосилой также необходимо считаться
с этим условием, но не следует придавать ему излишнего значения
по примеру Рудольфа, высказавшего предположение, что уничто-
жение хроматической разности сферических аберраций увеличи-
вает глубину резкости объектива; это предположение, по-внди-
мому, ни на чем не основано.
Хроматическая разность увеличений высших порядков
Хроматическая разность увеличений, согласно фор-
муле (11.195), пропорциональна расстоянию Г от изображения
точки до оптической оси системы. Строго говоря, формула (11.195)
верна только в параксиальной области, а прн переходе к конеч-
ным значениям углов она становится только приближенной.
204
Точное значение хроматической разности увеличений может быть
получено только путем тригонометрических расчетов хода глав-
ных лучей. Зависимость между точным значением разности Lf — Lc
н величиной Г может быть представлена в виде ряда
lf — Lc = al' + ы'3 + + • • •. (11.225)
где коэффициент а соответствует формуле (11.195) для паракси-
альных лучей, а коэффициенты Ь, с определяют аберрации того же
названия, но более высоких порядков. На практике бывает до-
статочно ограничиться вторым членом Ы'3-, третий член с1'ь на-
столько мал, что им всегда можно пренебречь. Знание члена ЬГ3
имеет существенное значение, так как он меняет (часто в благо-
приятную сторону) ожидаемые на основании формулы (11.195)
результаты; но воздействовать на него в большинстве известных
случаев ие оказывается возможным.
Существует еще одна аберрация, родственная предыдущей,
но отличающаяся от нее тем, что величина разности L'p — L'c
зависит от выбора луча, для которого она вычисляется. Может
быть такой случай, что для главного луча (м1 = 0) L’F — L'c = 0,
но для лучей с тх 0 разность L'F — L'c отлична от нуля и изо-
бражение точки окрашено. Эта окраска пропадает при диафрагми-
ровании зрачка. Она особенно заметна в светосильных фотографи-
ческих объективах и в биноклях галилеевского типа; в последнем
случае достаточно чуть-чуть изменить положение глаза относи-
тельно бинокля, чтобы заметить резкое изменение цветной каймы,
наблюдаемой на краях поля зрения бинокля. С указанной абер-
рацией, аналитическое выражение которой никем еще ие вычи-
слялось, обычно нет возможности бороться.
Зависимость хроматических аберраций от положения предмета
и входного зрачка
Хроматические аберрации как положения, так и увеличений
зависят от расстояний до системы плоскостей объекта и входного
зрачка. Этот вопрос изучен А. И. Тудоровским [1] на основании
инвариантов Аббе Q5 и Qx; мы его здесь решим с помощью формул
Ньютона, относящихся к кардинальным точкам оптической
системы.
Хроматическая аберрация положения. Пусть Н' н F' — главная
точка и фокус в пространстве изображений. Расстояние от послед-
ней поверхности системы до задней главной плоскости обозначим
через о'; от фокуса до изображения Д' — через V; соответствующие
величины в пространстве предметов — через о и t (рис. 11.46).
Формула Ньютона дает
/г = //' = -
205
Дифференцируя, получаем
df df _ 2df' , dn dn'
t + V f n n' ’
Обозначим для краткости выражение -------— через д. Тогда
а. (п.226)
Но
i = s — о —/;
откуда
f = s' — о' — f',
dt — ds — do — df; 1
df = ds' — do' — df. |
(11.227)
С другой стороны, i и С могут быть выражены через фокусное
расстояние и ~
чину т -=
увеличение системы. Введем по-прежнему вели-
где у — угловое
было
Y ’
увеличение системы. На стр. 80
показано, что
откуда получаем для I и f
t=-L.1
х (П.228)
/' = /т. ]
Подставив в уравнение (П.226) выражения (П.227), используя
(11.228) и учитывая зависимость f от f', получаем после приведе-
ния подобных членов
ds' — ads — de' -ada-\~df'(^ nx -|- f'd ?T-. (П.229)
Здесь а означает продольное увеличение, т. e. a =
Вводя линейное увеличение p = , можно (II.229) написать
в виде
ds' — ads = da' — ado + (1 — p)2df -J- f' (1 — p)pd. (11.230)
Как и следовало ожидать, хроматическая аберрация положе-
ния зависит от четырех величин: хроматических аберраций двух
206
главных плоскостей do и do' и хроматических аберраций фоку-
сов Д/' и Д/ (или df' н д).
В частном случае, когда п = п' н ds = 0, имеем
ds' = d<f' — ado~h (1 — 0)2#'. (П.230*)
В еще более частном случае бесконечно тонких систем do и
do' обращаются в нуль и получаем формулу
ds' = (1 — P)2d/' = dr, (П.230**)
которая для простой линзы легко приводится к формуле (11.184*).
Хроматическая разность увеличений. Рассмотрим сначала
хроматическую разность увеличений в виде
Очевидно, что от положения входного зрачка она не зависит.
Из формулы параксиальной оптики —
ференцированием
получаем диф-
dl _ dt' dj' ___ ds'—da' — df' di' moon
"r Г-—' г Ц1ДЯ)
Переходим к более важной для практических целей хромати-
ческой разности увеличений 6L', отнесенной к одной общей пло-
скости установки. Как это было показано на стр. 182, переход
от dl' к dLr происходит по формуле
dL = dl 4- ds wb
или
<п-232)
Заметим, что здесь, во избежание недоразумений, величина 0'
заменена величиной w’D.
Из (11.231) и (11.232) получаем
dL' __ dl , ds' — du' — df df' , ds'
I' ~ T t ~x. ~sr —
I 1 \ /Т ‘ X — s' J ft I'
На стр. 82 было показано, что
где т' =
— величина, обратная увеличению в зрачках.
207
Переход к величине х' — s' с помощью инвариантной формулы
J = п.'1'и' = nlu — п' (х' —s') w'u' = п(х— s)wu
дает
—s' = -£ (х —s)rr'=f(T'—т).
1 1 1т'
Множитель при ds' равен ---г->--г-
г Е fx п / (т' — 1) f т (т' — т)
Заменяя ds его значением из (П.230), производя приведение
подобных членов и полагая dl ds 0, получаем для
, , v dL'
ft — *)—=
= -^L(i-₽)(i-₽') + (l3_i)ra + -^+^. (и.233)
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Система в воздухе (л — п'):
(т' - г) 41 = - (1 - ₽) (1 -₽') + 1. (da' -₽₽' da).
2. Бесконечно тонкая система в воздухе (Jo = do' == 0):
(V - т) 4^- = —(1 - ₽) (1 - ₽-).
3. Симметричная система в воздухе (da — da'; |3' — т' = 1;
д = 0):
(1-Р)4^=4(1-₽);
dL' do1
I' / *
Любопытно, что хроматическая разность увеличений ие зави-
сит от положения предмета.
Если симметричная система бесконечно тонка, то do' = 0,
dL' n
а следовательно, —р— = 0.
Таким образом, хроматические аберрации параксиальной оп-
тики в самом общем случае зависят от четырех параметров (df,
> • , dn' dn \ ,
do, do , -----—}, для систем в воздухе —- от трех (отпадает
-----у-у для бесконечно тонких систем в воздухе аберрации
зависят от одного лишь параметра df.
Можно лн получить систему, у которой исправлены обе хро-
матические аберрации параксиальных лучей для любого поло-
жевня предмета? Из формулы (11.230) видно, что на поставленный
вопрос можно ответить утвердительно лишь в том случае, когда
208
д = -----= 0. Тогда при da = da' = df = 0 аберра-
ция ds' равна нулю для любого положения предмета. Если же
показатели крайних сред не одинаковы, аберрация не может
быть исправлена для любого положения предмета.
То же заключение можно сделать относительно второй хрома-
тической аберрации параксиальных лучей, как это видно из фор-
мулы (11.233). Впрочем, при т' = 0, когда входной зрачок нахо-
дится на бесконечности, хроматическая разность увеличений
может быть исправлена при любом положении предмета даже для
различных показателей крайних сред, если df — 0, do' = 0.
Это вытекает из элементарных геометрических соображений.
Вычисление хроматических аберраций кардинальных точек
Как было показано выше, хроматические аберрации паракси-
альных лучей могут быть получены для любого положения пред-
мета и входного зрачка, если известны величины 6s', 6f, бо'
и д = -----—. Последняя может быть вычислена непосред-
ственно. Первые три могут быть вычислены либо с помощью
тригонометрического расчета хода двух параксиальных лучей,
например лучей, падающих на систему параллельно оси в прямом
и обратном ходе, либо на основании сумм £лс и
I. Вычисление 6/', до' и бег иа основании тригонометрического
расчета хода параксиальных лучей. Разность величин s'F — s'c =
= 6s', как вытекает из формулы s' = о' f, равна
6s' =6o' + 6f.
Величина 6f равна разности — 1-^~\ • Зная 6/'
\ ар )f \ “р /с
и 6s', получаем бо' = 6s' — 6/'.
В обратном ходе можно получить соответственные величины 6/
и бо; контролем может служить зависимость
_L =
п п’ ’
откуда
б/' _ 6/ _ Snf__ Sn _ д
~Г~Т~
2. Вычисление 6/' и бо' на основании сумм £/iC и Jf/C.
Для продольной хроматической аберрации 6s' имеем:
прн ар 1, hi = 1
6s' = -iSftC; (11.234)
14 г, Г. Слюсарев
209
при ар — 1, h\ = f или hp = s„
6s’ = — ~ S he.
Для аберрации фокусов при yv = хх можно использовать
формулу (11.192)
д- (4-235)
Замечая, что J = np<xplp = п f при ар — 1 и pi = 1 и что
Г — /pi при рх = 1, получаем 6Г = 6/; следовательно,
6Г _ 6/
I' ~ f '
Кроме того,
f г
с другой стороны,
Подставляя полученные выражения в формулу (11.235), получаем
ntf' = ± £ TiC - S уС (11.236)
при ар = 1, h\ = f , yi ~ Xi, hp = sp.
Вычисление 6a' производится на основании формулы
ба' — 6s' — 6f'.
Подставляя вместо 6s' и 6f' их выражения из (11.234) и (11.236),
получаем
и-ба’ = < 2 УС - (1 -t- S ЙС. (11.237)
Величина
f nr' 4- _______/' пт' -j- п
п т' ~ п' т'
представляет собой расстояние от передней главной точки системы
до центра входного зрачка или, точнее, до точки пересечения
с осью вспомогательного луча. В случае, когда п = п' = I, имеем
6a' = S?C —(1+т)£бС. (11.238)
210
3. ВЫЧИСЛЕНИЕ АБЕРРАЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ ПУТЕМ
И ИХ ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
При расчете оптической системы часто бывает необходимо
исследовать более или менее подробно некоторые из промежуточ-
ных вариантов как с целью оценки качества, так и с целью срав-
нения фактических результатов с ожидаемыми. При этом для об-
легчения сравнения и оценки очень широко пользуются графиче-
ским представлением аберраций. Полное и всестороннее исследо-
вание качества изображения оптической системы требует расчета
такого количества лучей, которое позволило бы вычислить откло-
нения 6g' и 6G' для луча с любыми заранее заданными коорди-
натами /1, т\ и Afi (или 1Р, тр и Мр). Для некоторых оптических
систем с малыми относительными отверстиями отдельных линз
и с малыми углами поля бывает достаточно знать только зейде-
левы суммы и коэффициенты хроматических аберраций, чтобы
с достаточной точностью, не имея ни одного расчета хода луча
через систему, вычислять отклонения 6g' и 6G'. Чаще всего при
наличии небольших аберраций пятого порядка можно ограничиться
расчетом хода нескольких лучей; наконец, в современных свето-
сильных и широкоугольных системах только очень большое число
лучей позволяет решить поставленную задачу.
В дальнейших главах о расчете конкретных систем будет
указано, как обычно поступают в различных случаях; здесь же
будет рассматриваться решение задачи в общем виде. Пусть
2^1 — угол поля зрения системы и соj — ее апертурный угол.
Качество оптической системы характеризуют, оценивая изобра-
жение нескольких точек, отстоящих от оси на расстояниях,
соответствующих различным углам поля. Число этих точек зави-
сит от требований, предъявляемых к системе, и от характера
изменения аберрации с углом поля. Обычно берут, кроме на-
клона w = 0, еще два наклона, например w = и Wj. Если
аберрации системы для различных значений углов и> сильно отли-
чаются по величине, берут помимо w = 0 еще трн, а иногда и
четыре значения угла w.
Из каждой точки пространства предметов, соответствующей
определенному значению w, проводят несколько лучей через
различные точки входного зрачка в меридиональной плоскости
(М — 0) и несколько косых (2И ф 0) лучей. Число лучей должно
быть такое, чтобы возможно было вычислять путем интерполи-
рования величины 6g' и 6G' для любого значения тх и М е Обычно
ограничиваются тем, что удовлетворяют этому условию при
М — 0, так как расчеты хода лучей в меридиональной плоскости
сравнительно просты. При М 0 рассчитывают ход нескольких
лучей, выбранных обычно так, чтобы их точки пересечения с вход-
ным (или выходным) зрачком находились на окружностях
14‘
21J
с центрами на оси системы. В случае виньетирования системой
можно брать точки на входном зрачке по краям работающей для
данного поля части зрачка; остальные точки подбираются
таким образом, чтобы на основании возможно ограниченного их
числа получить представление о зависимости 6g'и 6G'от и Л4Х.
Графическое представление аберраций ие только дает весьма
наглядную картину искомых зависимостей между отдельными
отклонениями и координатами лучей, но позволяет также обна-
ружить ошибки вычислений.
Аберрации для точки на оси (w = 0)
В случае, когда точка-предмет находится иа оси, аберрации
системы могут быть вычислены, если даны расстояние р от оси
до точки пересечения луча с входным зрачком и длина волны X
или цветлуча.Таккаквэтом случае картина аберраций симметрична
относительно оси, можно принять,
что р /пх. Рассчитываются триго-
нометрически ход параксиального
луча /и, = 0 и нескольких лучей (от
одного до трех в зависимости от
сложности кривой), пересекающих
входной зрачок иа разных расстоя-
ниях тх и обычно выбранных так,
чтобы их квадраты составляли ариф-
метическую прогрессию. Если ра-
диус зрачка р, то берут равным
либо р ~|Z~ и р, либо р ,
р jZи р и изображают графически
зависимость’ величины 6$' от тг при постоянном X. Принято
откладывать 6s' по оси абсцисс, а тх — по оси ординат. Такие
кривые (сплошные линии на рис. 11.47) вычерчиваются обычно
для трех цветов — С, D, F или С, е, F для «визуальных» систем;
для фотографических объективов — в зависимости от их назна-
чения. До 30-х годов нашего столетия, когда преобладали камеры,
снабженные матовым стеклом для наводки на фокус, наибольший
интерес представляли лучи D, F и G'. Фокусы для цветов D и G'
должны были совпадать; коррекция аберраций производилась для
цвета D или лучше — F. Для телеобъективов, работающих обычно
со светофильтрами (оранжевыми и красными), рассчитывают абер-
рации для цветов D, С, А'. Дополнительную характеристику
дает кривая отступления от отношения синусов, если она нано-
сится на тот же график, что и сферическая аберрация, и в опре-
деленном масштабе (штриховая линия иа рис. 11.47).
В случаях, когда величина ц = 6S sin и' -]--,$Sp , как функ-
X — S„
р р
212
ция от sin и' (или Л1, или тх) быстро меняется, можно ожидать
больших значений комы даже при малых углах поля. Необходимо
построить график функции
— / ds' \
Ч = I Ss sm и' + tg W )
' Х0р S0p * '
при аргументе sin и', как это было указано на стр. 117 и 152; произ-
— . , dn
водная от г| по sin и , равная si 1 ц, , пропорциональна коме
согласно формуле
.. d / С г . , , &s’ tg и'
К = Г —г~.—г / 6. sin и 4---, т-
d sin и' I s 1 х _ $'
Если s =: оо, имеем
, . 6s' tg и'
— sm и ------------, ,
П р и м е р. Один из вариантов расчета телеобъектива дал
/Л, . , .
для величины г] — ~ — sm п ±
приведенные в табл. 11.14.
Можно графически опреде-
df
ЛИТЬ производную ' ц,
(рис. 11.48). В точках ht ~ 33,30
и ht = 28,84 она равна 0,004
и 0,000. Тригонометрический рас-
чет комы для лучей, пересека-
Л1 sin и' 10е/ (sin и')
16,65 0,0578 7
23,55 0,0818 3
28,84 0,1002 1
33,30 0,1155 15
35,30 0,1224 54
ющих входной зрачок на высотах ±33,30 н ±28,84, дает соответ-
ственно следующие результаты: dg’K = 0,0180 и 6g'K = 0,0001.
Умножая угловой коэффициент касательной на V = 5 мм,
получаем для комы при тх = ±33,30 6g' = 0,020, а при mj —
= 28,84 6g' -- 0,0. Совпадение в пределах точности чертежа.
213
Техника вычисления производной от / (sin и')
Вычисление комы с помощью вычерчивания кривой и построе-
ния касательной не всегда удобно; во многих случаях, когда
функция / (sin и') изменяется достаточно медленно, можно исполь-
зовать вычисления функции / для нескольких заранее определяе-
мых значений. Например, можно условиться о вычислении f
для значений mlt убывающих по закону т, т -у, т "|Л-у ,
откуда следует, что и sin и' будет меняться по такому же закону
(с достаточной для определения комы точностью).
Зная эти значения /, можно определить производную этой
функции следующим образом.
Разложим / (sin и’) в ряд по степеням sin и':
f (sin и') = a sin3 и' b sin5 и' -f- с sin7 и'.
„ . , sin и' . >.
Вместо sin и введем отношение -------— = s(u), где и —
sin ик 4 2
угол крайнего луча с осью в пространстве изображения. Тогда
= 3as3(“') + 56s4(u') + 7cs6(u').
Зная величину / (sin и') для трех вышеупомянутых лучей,
можно определить коэффициенты а, b и с. Обозначим для крат-
кости s (1), s (2/3) и 5 (х/3) величину s (и') в случаях, когда отно-
шение s:n9 и, принимает соответственно значения 1, 2/3 и х/3.
sin2 ик
•Не приводя промежуточных вычислений, получаем
3111 Ик —7~7—-ZX- —-7. Н1 Т"
к L d (sin и') J i/з 3 г 1 г
' rd /' (sin и') ] 4 „ . г, . .
SIH Uk ----т?- — Pl “b 3p2 — 4p3)
K L d (sin и') J 2/3 3 ri 1 r r
sin“44BFrL=12P‘-18^+9^
(11.239)
где
Pi = f (sin u();
Формулами (11.239) следует пользоваться только прн плавном
ходе функции f (sin и').
214
Степень применяемости упрощенной формулы для комы
Эта формула имеет вид
ки = з/'(б! + 7Лг).
Оценить ее погрешность можно следующим образом. Разла-
гаем в ряд величины 6s' и 65, удерживая два члена в разложении:
—>•^—7- — A sin2 и' -|- В sin4 и';
6S — Л1 sin2 м' + sin4 и'.
Составим / (и') = tg и' + 6S sin и'). Подставляя вместо
6s' t
t __ s, и os их значения, получаем
/(&') — (Л -|- Л]) sin3 и' 4- 4- Bj 4- -^-(Л — Л^ j sin5 w';
Кт = I' (з (Л + Л,) sin2 и' + 5 [в + В, + 4 И — sin4 4 =
= Ф + fis) + 2 [в + в, + 4 И - л,)] sin4 и' j;
Кт - Кт = 21' [В + В, + 4 (Л - Л,)] sin4 и'. (11.240)
Из последней формулы следует, что приближенная формула,
выведенная без учета влияния членов высшего порядка, учиты-
вает большую часть — примерно 3/5 — этих членов. Тем ие менее
пользоваться ею можно только в тех случаях, когда по виду кри-
вой можно судить о том, что производная от функции / (sin и')
не может принять больших значений. Приведенный в качестве
иллюстрации пример выбран специально потому, что в нем явно
заметна тенденция функции к быстрому изменению на краю от-
верстия. Системы, обладающие такими свойствами, имеют боль-
шую кому высших порядков по отверстию.
Рассмотрим в качестве иллюстрации к графическому изобра-
жению аберраций для точки на оси пример одного из промежуточ-
ных расчетов фотообъектива с f = 100; 1 : 2; х' — s' = 107,5.
Цифровой материал приведен в табл. 11.15.
График, соответствующий таблице, представлен на рис. 11.49.
На нем изображены сплошными линиями две кривые продольной
сферической аберрации для лучей D и G' (началом считается пара-
ксиальное изображение для D) н штриховой линией — кривая 6f
для линии D,
215
Таблица 11.15
ГП! SD fis' sin «' t>r к» 100 X — s П в % SG'
0 62,102 0 100,363 0 0 0 0 62,236
12,55 61,988 —0,114 100,185 —0,178 —0,178 —0,106 —0,072 62,180
17.7 62,241 +0,139 100,365 +0,002 +0,002 +0,130 —0,128 62,496
26,1 62,504 +0,402 100,885 +0,522 +0,522 -1-0,374 +0,148 62,188
Из графика можно сделать следующие выводы.
I. Для желтых лучей (D), а также для фиолетовых (О') кривые
сферической аберрации имеют две точки перегиба; следовательно,
коэффициенты при членах различных поряд-
ков сферической аберрации имеют различные
знаки.
2. Хроматическая аберрация положительна,
или, как принято иногда говорить, она переис-
правлена, так как простые линзы всегда дают
отрицательную аберрацию. Хроматическая раз-
ность сферических аберраций отрицательна,
что является большой редкостью, так как эта
аберрация обычно положительна.
Для контроля хроматической аберрации
увеличений полезно применить формул у (11.198):
_ dnt _ dn'p . 6sp _ da'p
‘‘ ~ " "p x'p-s'p “p ’
•/ о которая позволяет на основании результатов
Рис. 11.49 тригонометрического расчета параксиальных
лучей С и F или других цветов, рассчитанных
для точки на оси, вычислить хроматическую разность увели-
чений, не рассчитывая главных лучей.
Аберрации для точки вне оси (w =/= 0)
Для графического представления степени сходимости лучей,
излучаемых точкой, находящейся на некотором линейном или
угловом расстоянии от оси, можно использовать прием, аналогич-
ный тому, который применялся в этой же главе для характери-
стики отдельных аберраций. Делим плоскость входного зрачка
на кольца одинаковой площади, описывая несколько окружно-
стей с центром О иа оси (рис. 11.50). Квадраты их радиусов 0Clt
0Въ Ообразуют геометрическую прогрессию. Из центра про-
водим несколько прямых OAlt 0А2, 0А3, . . ., 0Ак, образующих
между собой равные углы,’ например^ 15, 30 или 45°, и разделя-
216
ющих полуокружность на целое число частей, и через все точки
пересечения прямых с окружностями Alf А 2, . . ., Лк; Вх, Ва, . . .
. . ., BkJ.Cj, С2, . . >, Ск проводим лучи из точки объекта. Вычи-
сляем ход этих лучей через систему и находим отклонения 6g’
P»c. lj.50
и 6GP для каждого луча. Выбрав си-
стему декартовых координат, откла-
дываем в условном масштабе 6g' по
осн ординат, 6G' — по оси абсцисс.
Соединяя кривой все точки, соответ-
ствующие одной окружности в пло-
скости входного зрачка, при обяза-
тельном соблюдении порядка номеров
получаем несколько кривых, распо-
ложение которых дает некоторое
представление о характере распреде-
ления лучей: места, где точки рас-
полагаются гуще, указывают на те
области в плоскости изображения,
где освещенность будет наибольшая.
К сожалению, описанное графическое представление требует
громадной работы вследствие большого числа косых лучей (на
рис. 11.50 их девять) и потому иа практике может быть осуще-
ствлено только в весьма редких случаях; однако оно весьма жела-
тельно для изучения качества изображения точек, близких к краю
Рис. 11.51
поля зрения, в системах с большими апертурными углами, где
могут встретиться непредвиденно большие аберрации.
В качестве примера иа рис. II.51 изображены точки пересе-
чения шестнадцати лучей (четырех меридиональных и двенадцати
косых) с плоскостью изображения, даваемого фотографическим
объективом с относительным отверстием 1 : 4,5 и фокусным рас-
стоянием 210 мм, для объекта-точки, расположенного в меридио-
нальной плоскости на угловом расстоянии = —15° от осн.
217
В правой части рисунка нанесены те ^очки входного зрачка, черёЗ
которые проходят лучи. Точки соединены кривыми, одна из
которых проходит через край действующей части входного зрачка,
вторая подобна первой с коэффициентом подобия 0,7. В левой части
т рисунка даны кривые в плоскости
изображения. Эти кривые сложны
по очертаниям вследствие замет-
да --------ного влияния аберраций высших
.s порядков.
I / Чаще всего работу ограничи-
1 / вают, изучая подробно отклоне-
J— \~Y ния 6g' меридиональных лучей,
|/ пересекающих плоскость входного
у зрачка в определенных точках,
I , которые рационально располо-
---- —4-------------жить по закону корней квадрат-
/--------------------ных (например, точки Alt В1г
/) Clt . . ., ЛБ на рис. П.50). Число
/1 точек выбирается таким, чтобы
। можно было чертить с уверенно-
> | стью кривую зависимости 6g' от
Обычно требуется от трех до
/ I Рис. Н.52 семи точек: трн точки в обычных
_________’ телескопических системах, пять —
в фотографических объективах
средних и больших апертур, семь — в микроскопах большой
апертуры. Пример такого графического изображения зависимо-
сти величины 6g' (или Г) от тл показан на рис. 11.52. Можно
на тот же рисунок нанести такие же кривые 6g' для тех же лучей,
но с другой длиной волны, что даст представление о хроматиче-
ской разности увеличений в зависимости от т{.
Аберрации главных лучей и бесконечно тонких пучков,
направленных вдоль этих лучей
Существует группа аберраций, зависящих только от угла
поля зрения и не зависящих от апертуры системы: это астигматизм
бесконечно тонких пучков и кривизна изображений этнмн пуч-
ками, дисторсия и хроматическая разность увеличений.
Следует представлять графически в виде кривых зависимость
каждой из этих четырех аберраций от угла поля или от расстоя-
ния предмета (или изображения) от оси, откладывая аберрации
по оси абсцисс н углы поля — по оси ординат. Для всех углов w,
для которых уже сделаны тригонометрические расчеты хода глав-
ных лучей, рассчитывают положения фокусов бесконечно тонких
астигматических пучков, осью которых служат главные лучи
(fflj = = 0).
218
Расстояния х?т и х' этих двух фокусов (меридионального и
сагиттального) от гауссовой плоскости наносятся на координат-
ную сетку как функции от аУ1, 1\ или 1Р. На рис. 11.53 даны кри-
вые, полученные таким образом для анастигмата типа триплет.
Расстояние между кривыми, обозначенными сплошной и штрих-
пунктирной линиями, отсчитываемое параллельно оси абсцисс,
дает астигматическую разность, а кривая (на чертеже — штрихо-
вая линия), проходящая посередине между
ними, — так называемую среднюю кри-
визну изображения.
Пользуясь этими кривыми, можно ис-
следовать аберрации высших порядков,
. определив несколько коэффициентов в раз-
ложениях поперечных аберраций — из
числа тех коэффициентов, которые со-
держат одну из величин т или М в пер-
вой степени, например коэффициенты $ш
и S|V аберраций третьего порядка в фор-
муле (11.58), by и 67— аберраций пятого
порядка в формуле (11.163). Характер
кривых, приведенных на рис. 11.53, ука-
зывает на наличие в разложении величины
x's членов высших порядков с положитель-
ными коэффициентами, обусловливающих
быстрое приращение величин x’s в поло-
жительную сторону прн возрастании угла
w. Еще сложнее обстоит дело с кривой
х’т: два перегиба показывают, что среди коэффициентов разложе-
ния имеется не менее двух со знаком минус и одного — со зна-
ком плюс.
Таким же образом можно изображать графически поперечную
dgD
дисторсию figp или относительную дисторсию Л = 100—т—, выра-
1р
женную в процентах, как функцию от w\ или 1Р (сплошная линия
иа рис. 11.54). На тот же чертеж можно наносить и хроматическую
e s*-₽
разность увеличении которую можно также выражать в про-
центах (штриховая линия на рис. 11.54).
До сих пор не существует единообразия в выборе величины,
откладываемой по оси ординат. В большинстве случаев этот
выбор безразличен. Если предмет на бесконечности, откладывают
обычно Лд, которое совпадает с тх; иногда откладывают и', выра-
женное в радианах и помноженное на 100, Более рационально
откладывать sin и', так как с этой величиной связано значение
219
потока, прошедшего через систему. Известно, что для точки на
оси поток Ф, прошедший через систему с круглым входным зрач-
ком и падающий на некоторый элемент поверхности ds, равен
п,
•(?,/ О
Рис. 11.54
Ф = nBkds sin2 и',
где В — яркость источника; k — коэффи-
циент прозрачности; и' — апертурный
угол со стороны изображения.
Аргумент sin и' имеет еще то удобство,
что он не связан с фокусным расстоянием
системы; кроме того, если откладывать
величину г] (см. стр. 213), определяющую
кому при аргументе sin и’, значение про-
изводной позволяет точно вычислить кому
для любого малого угла поля.
Аргумент sin и' может применяться и
в том случае, когда предмет находится иа
конечном расстоянии. Однако, как будет
j Г показанов следующем параграфе, аргумент
tg и' также имеет преимущества и в неко-
торых случаях должен быть предпочтен.
Выбор плоскости наилучшего изображения
Продольные аберрации обычно отсчитываются от гауссовой
плоскости изображения. Однако во многих случаях наименьший
кружок рассеяния поперечной аберрации оказывается не в гаус-
совой плоскости. Выше рассматривалось изменение величины
аберрационного кружка с изменением плоскости установки в том
случае, когда сферическая аберрация определяется исклю-
чительно членом третьего порядка; наименьший кружок рассея-
ния тогда получается в плоскости, находящейся от гауссовой иа
расстоянии 3/4Л$', где As' — величина продольной сферической
аберрации крайнего луча пучка.
В общем случае, когда помимо члена третьего порядка имеются
еще и члены пятого, седьмого и более высоких порядков, вопрос
о нахождении наилучшей плоскости установки уже не может быть
решен аналитически, но графически решается просто.
Пусть 6g' — поперечная сферическая аберрация для опреде-
ленного луча, составляющего с осью угол и' после выхода из
системы; А — расстояние от гауссовой плоскости до некоторой
плоскости установки. Ясно, что в новой плоскости установки
высота 6gA точки пересечения луча с плоскостью равна
6gk = 6g' — A tg и.
Если величина 6g' нанесена иа график (рис. 11.55) как функция
от tg и', то, проводя на этом графике прямую, уравнение которой
220
у — —A tg и', и измеряя по горизонтали расстояние между кри-
вой $g' и прямой, равное получаем картину изменения bg’^
от угла и’. Подбирая наклон прямой 0D таким образом, чтобы
расстояние между кривой и прямой оказалось минимальным,
что легко выполнить на глаз, получаем как
положение наилучшей плоскости установ-
ки, так и значение остаточной поперечной
аберрации в этой плоскости. На рис. 11.55
наилучшая плоскость установки соответ-
ствует прямой 0D.
Контроль результатов расчетов
При расчете хода лучей часто встре-
чаются ошибки, не настолько грубые,
чтобы сразу обратить на себя внимание,
но все-таки несколько изменяющие карти-
ну аберраций и потому направляющие
конструктора на неверный путь; поэтому
ни одна из аберраций, полученных в ре-
зультате расчета хода лучей, не должна остаться без контроля,
многих возможных способов контроля остановимся только
Из
на
интерполяционных способах и способах, основанных на приме-
нении теории аберраций.
Интерполяционные способы основаны на изучении при помощи
графиков изменений функции при малых изменениях аргумента;
все графики аберраций должны давать достаточно плавные кри-
вые. При всей произвольности понятия о «плавности» этот способ
в опытных руках является одним из более надежных. Для начи-
нающего этот метод мало пригоден, так как он ие исключает
ошибок, в особенности систематических, и мало поучителен.
Но в сомнительных случаях добавление одной «точки», т. е.
результата расчета нового луча, может оказаться весьма полез-
ным.
Применение теории аберраций для контроля результатов
тригонометрических расчетов может быть удобным и весьма
полезным во многих случаях. Для примера рассмотрим несколько
приемов.
1. Зная первую сумму Sh определяющую сферическую абер-
рацию третьего порядка, можно проверить ход кривой продоль-
ной сферической аберрации 6s' как функции от координаты на
входном зрачке или от угла падающего луча с осью сох в области,
близкой к оси. Пользуясь формулой для продольной сферической
аберрации третьего порядка
6s' = —
w'2
s„
(11.241)
221
следует произвести вычисления для нескольких лучей, пересека-
ющих входной зрачок иа небольших высотах, и построить кривую
зависимости 6s' от Oj. Сравнивая ее с кривой, построенной на
основании тригонометрических расчетов, можно судить о правиль-
ности последних.
2. Расчет положения фокуса бесконечно тонкого меридиональ-
ного пучка может быть проверен, если имеются кривые, дающие
зависимость между величиной меридионального отклонения 6g',
ха луча через оптическую систему,
и ординатой т1 точки пересече-
ния луча с плоскостью входного
зрачка.
Предположим, что график со-
ставлен таким образом (см. рис.
11.52), что по оси абсцисс от-
ложены 6g' (или ординаты Г
точек пересечения луча с гаус-
совой плоскостью изображения),
а по оси ординат — величины
__ /Пр Для составления такого
графика требуется расчет хода
от трех до пяти лучей.
Угловой коэффициент / каса-
тельной к кривой в точке (см. рис.
вен t = . С другой стороны,
линии пересечения меридиональной
полученной путем расчета
Рис. И.56
11.52), для которой тг = 0, pai
пусть (рис. 1L56) P'P', S'S' —
плоскости с плоскостями выходного зрачка и изображения;
Дш — расстояние от плоскости изображения до фокуса беско-
нечно тонкого меридионального пучка; P'S' = s' —х'. Рассмо-
трим два бесконечно близких меридиональных луча и
M3tf2, пересекающихся в фокусе F бесконечно тонкого меридио-
нального пучка; du' — угол между лучами и
d (6g) = — приращение Г при изменении угла и иа du;
dm' — 2 — приращение величины т' при том же измене-
нии угла и'. Тогда из свойств подобия получаем
S’H Л\Д'а
Р’Н ~ мгм3»
нли
Am _ d(bg')
s — х Д/л dfn
Пренебрегая Дш по сравнению с s' — х', можно написать
Р х) dm' •
222
С другой стороны, полагая dm' = dmt где ----------------увели-
чение в зрачках, имеем с достаточной степенью точности
т 4 ’ dtnl т'
т j d, (dg') , , ,
Но так как — I — угловой коэффициент касатель-
ной, то
Рис. 11.57
^ = (S'~x')t^. (11.242)
Все величины: Am, s'—х', i, ------известны. Если равен-
ство (11.242) не удовлетворяется, имеется ошибка либо в вычи-
слении меридионального пучка, либо в вы-
числении хода одного из лучей, служивших
для вычерчивания кривой 6g' — f (mJ.
Указанная проверка необходима, когда
изучается новая система. Практика показы-
вает, что ошибки в вычислениях положения
фокусов меридиональных лучей встречаются
п у d(6g')
сравнительно часто. Величину /, т. е. - ,
определяют следующим образом. Проводится
касательная к кривой 6g' в точке тг = О
(рис. 11.57), и определяются две точки пере-
сечения этой касательной с двумя горизонтальными линиями, раз-
ность ординат которых равна круглому числу для Ат. Измеряют
соответствующею разность абсцисс, учитывая, конечно, масштаб.
Отношение * представляет собой величину t.
3. Кому можно проверить, пользуясь формулой (11.92), при-
веденной на стр. 117. В наиболее часто встречающихся слу-
чаях, когда величина г] мала и мало меняется, удобнее поль-
зоваться более простой формулой
К = 31 f
ds,
Напоминаем, что под Д’ понимается величина
+т-.2 -1’0,
где /о — высота, на которой луч с координатой т.\ — 0 пересекает
плоскость изображения; 1^.т и 1_т — такие же высоты для двух
других лучей. Эту формулу можно написать еще и так:
V &S—т с- '
К =---^—9----------Ogo,
(11.243)
2
223
поскольку
^+т = ^0 + Sg-i-mJ l—m ~ ^0 4* ^g—m-
Величину комы можно также проверить, используя второй
член формулы (П.58), из которого получаем
= («₽=!)• (П.244)
Ч. .
4. Те же приемы сравнения аберраций, полученных тригоно-
метрическим путем, с теми, которые вычисляются на основании
сумм Зейделя, применимы для дисторсии, для хроматических
аберраций положения и увеличений. К этому вопросу вернемся
в гл. VI.
Все перечисленные способы контроля должны обязательно при-
меняться при исследовании новых типов оптических систем, осо-
бенности которых еще мало известны. Только всестороннее их
применение позволяет с достаточной степенью вероятности судить
о правильности результатов тригонометрического расчета хода
лучей, обнаруживать малейшие ошибки в этих расчетах. Начи-
нающему конструктору необходимо приобрести привычку ие ис-
пользовать ни одного расчета хода лучей, не проверив так или
иначе правильность результатов. Если перечисленные методы
окажутся в каком-нибудь случае недостаточными, следует выра-
ботать иной способ контроля, отдавая предпочтение тем способам,
которые основаны на теории аберраций, так как они являются
наилучшими для изучении свойств системы. Наиболее популяр-
ный и часто применяемый, вследствие своей простоты, интерполя-
ционный метод (расчет хода добавочных лучей) часто менее на-
дежен и, во всяком случае, мало поучителен.
4. СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ФОРМУЛ
Формулы, связывающие координаты
двух произвольных параксиальных лучей,
проходящих через одну и ту же оптическую систему
Координаты первого луча: s и s' — абсциссы точек пересече-
ния луча с осью до и после преломления, отсчитываемые от вер-
шины соответствующей поверхности; h — высота пересечения луча
с поверхностью; х, х' и у — те же координаты для второго луча;
аир — углы первого и второго луча с осью до преломления;
^(4-4)-'(4-4);
J — nla; J = пт^; nKlKaK =
224
при любых к и р;
hKyK(QXK~QSK) = J = -J (11.50)
при любом к.
Величины h и у связаны формулами
= = У т ; (11.52)
Лк Л1 Av_,Avnv ’ 4 '
2
по аналогии
— = —+ 7о«; = У --—1 ;
У* У1 Z-l yv-iyvnv ’
2
J~=
В системах без отражающих поверхностей или с четным числом
таковых
J = flpCX-plр — ZlpCZpPp (Хр — Sp) = П1(хф1 (Xj Si).
Если предмет на бесконечности, то при а = l-п = 1; / = —1;
Pi = 1
J = —1 (так как lp — /ft, J = np/0i).
Если в оптической системе имеется нечетное число отражающих
поверхностей, то для предмета на бесконечности при ар — 1;
% = 1; ₽! = 1
Л= +1 (так как /р>0).
Формулы для проекций поперечных аберраций третьего
порядка в переменных х и s
Формулы имеют следующий вид:
n'p6g'pa'p
Л,
+ mJ
(xt _ s jr
^iSjXiSh 4~
+ Si*? (3sni + sIV) — —/i—5-x?sv;
(Xl —Sl)3 V ' (Xi — st)3
^l(m? + ^) ,3q
U1 “ Si)3 1 1
(Xi — Si)3 11 1
M./? 9 - 4
"Ь /у _ s p’5!*! (^III + >Slv)>
\Л1
15 Г Г. Слюсарев
(11.48)
225
при этом
Si = S(^)4&a»^=
s» = S (^z)
S(xHfF^;
5-*=-£(£ЖУ^-^>ЧА«4-;
s-SGr)(f)3^><
x [ (Q,, - QSJ ~ Д, 4 + A* 4 ] •
(11.49)
В этих формулах Sg' и 6G' проекции на меридиональную и
экваториальную плоскости отклонения точки, пересечения луча
с плоскостью изображения, определяемого координатами mlt
Мх, от положения, соответствующего гауссовой оптике. Величина
в числителе левой части инвариантна (она представляет собой
инвариант Лагранжа—Гельмгольца) и позволяет перебросить
аберрацию в любую среду. В случае, если переброска не нужна,
лучше написать левую часть формул (11.48) в виде
2»PdgpKP 2»p&gp hp
Ai s' At
p
и аналогично для 6GP.
Аберрации в переменных а
Переход от переменных х и s к переменным аир производится
с помощью формул
Да ,А 1 а' а h n'a’ — па
= — ~ = п'-п
д—
п
[ Если принять условно otj = 1, а следовательно, hx = sf, уг —
= Xi, т. е. Pi = 1, откуда вытекает J = пг (Xj — Sj), и помнить, что
получаем
—2np6gpOtp = Ю1 (wi + Й?) S[ j- (Зсо? + И?) ^15 и +
4- coi^i (3Sin + J2Siv) + “’i-Sv!
—2tip&Gp&p = (ioi -J- ^i) Si 4" StoiQi^iSj i 4~
4- Qi(Snj 4~ ^Siv);
(П.47)
226
прн этом
s, = Sw>; Sn = %yp-J%w-, SIV = 54:
зш = £4р-2./£1 т+?^тдь
sv=S4p-3'zS^lF+
+ J22i(3Av + n)-J3S^A^’
(11.57)
Да .а г» / Да \2 . а п Лап
—г- л -г; ? = I —г“ И —; п = -—7-
Разложение аберраций по координатам иа выходном зрачке
В некоторых случаях, например, если предмет находится на
бесконечности, а изображение на конечном расстоянии, удобнее
пользоваться величинами т', ЛГ.
При этом полагаема^ = I; h = sp; ух J = n1al (xt — =
= Пр {хр ~ Sp).
Тогда получаем
—2tip$gp = сор (о)р2 + ^р2) 4“ (3<0р2 4" Фр2) вд£ц +
+ WpWi (35ц[ + J Sjv) + 0У15у
и аналогично для 6G'.
В случае, когда Sj = оо, J = — npF', где F' —заднее фокус-
ное расстояние системы. Рассмотрим наиболее часто встречаю-
щийся случай, когда п.' ~ 1.
Удобно принять за единицу длины F' — 1. Тогда имеем
—26^Р = о)р (сор2 £2р2) 4~ (ЗсОр2 4“ ^р2) 4-
4- G)pWi (3Sni 4~ 5IV) 4* wiSv>
—26GP = Qp (o)p -J- S2p‘) 4* 2o)p£2pU>iSn 4~
4- Sapien (Sin 4- 5iv).
(П.45)
В данном случае точка-объект лежит в меридиональной плоскости,
причем
s.v=-S>4(-siv=£-l-); (IL44)
при ap — 1; Pi — 1; Mi — xi-
Величины h вычисляются по формуле
Л«+1 = Л« — Л а«+1,
FK
причем ht = 1.
Если меридиональная плоскость повернута на угол ф , то
формулы (11.45) принимают вид
—2n'pbgp = сор (юр2 Йр) Si + (ЗюрСОр 4- ШрЙр 4-
4-2l^pWpQp)Sn 4-(З^р2^ + WpU^p2 4~ 2wpI^’pQp)Sin 4-
+ а; (ш;2 + и?;2) s,v+(®Р2 + ) sv;
-2n;sGp = я; (и,;2 + <i;?) s,+(з^х2 + ®>;,2 +
4" SuipWpQp) Sn 4- (3IV4 --р 4- 4-
4- 2wpWp<3>p) Shi 4" (®p + Wp) Stv 4*
(11.46)
4-U^(®? + ll^)Sv,
™e К -
Если аЛ+1 = ак, вычисление Sni и 5V может быть упрощено.
В этом случае соответствующий член 5ГПк равен 4--/2 Д и
SV(( — — J (рк+i — £к).
Влияние асферичности поверхностей
При наличии в системе асферических поверхностей вычисление
сумм производится по обычным формулам с добавлением к вели-
чине Р члена В, зависящего от деформации поверхности:
е = й(п^)3(„,_п).
228
где b — коэффициент деформации; для асферических поверх-
ностей второго порядка
b = — е2.
Выражения для сумм и поперечных аберраций имеют вид
s» = ’LyAP. + BK)-J'LwK-.
s‘-=Л 4 +в«> -27 Г, t +
+ Р Zj ’ (П.7
s-v=Sin«;
s"v=S +в«> ~3j S 4 r“+
+72^t(3A^+n")-/3iA^;
—2n 8g = S[Co (w 2 4- Q 2) j- SH (3w 2 - j- Q 2) Lt1 -j-
4- (35UI 4- JSjv) co да2 -{- SyUJ3;
—2n'6G' = SjQ (co'2 4- Q'2) 4- 2Suw'Q'u> 4- (Sjn + /SIV) QcZ
Телескопические системы
В телескопических системах нельзя применить ни одну из при-
веденных формул, так как нельзя принять за единицу ни cq = О,
ииар = 0. В этом случае единице нужно приравнять какой-нибудь
из промежуточных углов — лучше всего тот, который первый
вспомогательный луч (т. е. луч, идущий из точки предмета на оси
системы) образует с осью перед окуляром — или угол после объек-
тива (если в системе имеется еще оборачивающая часть).
Изменение сумм при перемещении предмета
и входного зрачка
Определим коэффициенты 6.,; Ьо; Ь^, 6г; Ь3\ Ь4.
Рассмотрим случай, когда предмет находится на бесконеч-
ности, а входной зрачок совпадает с передним фокусом системы.
Вычисляем суммы Sj; SM; £щ; SfV; Sv при условии, что а' = 1
229
и == 1, и сумму Sj для параксиального луча, рассчитанного
в обратном ходе из бесконечности.
Тогда (см. стр. 83) имеем
— —j-Sj; Ь-i = —
“ 2~ Su; bt = —g- Sv —2" f'tv,
b2— 2~ + -g- S!v^ ; b0 = —2“ $!•
(П.34)
Суммы Sv при любом положении предмета и входного
зрачка выражаются с помощью формул II.31:
----s, = bt 4й3т 662та + 4&1т3 + й„т4 + 4- та);
- S„ = bt + З63т + 362та + й,тя + г' (63 + 3V + 36,t> + 6„т3) +
+ 4-/'гет<1 +тт');
— -j- + i- SIV) = bi 4- 263т 4- М2 + 2т' (68 4- 262т 4- Ь^) 4-
4- т'2 (*2 + 26,т + й„т2) + f'rn (1 4- т'а);
2~ = ^4 4~ bat 4- Зт' (Ь3 4“ ^ат) 4* Зт'а (62 4- 61Т) 4-
4-T'a(6l4-M4-4f'OT (’ 4-
1 г з»-1
2 Л1У = •
Вычисление комы на основании отступления от отношения
синусов
Для бесконечно малых углов поля и больших относительных
отверстий имеем формулы:
для сагиттальной комы /<s
(п-94)
для меридиональной комы Кт
<п-92>
230
Величину Кт следует понимать так:
+2 ~ ~f0’
причем величины Г+, Го, Г_ соответствуют трем лучам, которые
после выхода из системы образуют с осью системы углы и'+, и0 и
определяемые соотношениями
sin «4. « sin <о -f-sinuo;
sin U— = — sin co -|- sin Uq.
_ ‘ c sin и — т sin u'
При плавных изменениях величины os ---------------TskTi?--
можно считать, что в системе преобладают аберрации третьего
порядка, а в этом случае
К„ = 3/'(«, + -Лг). (11.96)
Если предмет на бесконечности,
Приводим несколько полезных соотношений, верных для об-
ласти третьих порядков:
d, _ si~T'sn = si ~ T’sn . т . т, = ± .
о»'2 2п' (х'— s') 2n'f (т — т') ’ а' ’ fV ’
В случае, когда а - 0 (т -= 0),
с 2n2f - , ds'
sn =-^n = -’i = 6.f7—>-•
xp SP
Приведенные соотношения могут быть получены из формул (11.120)
и последующих путем простых преобразований.
Аберрации третьего порядка простой бесконечно тонкой
линзы
1. Случай, когда предмет на бесконечности (ах — 0; аа = 1).
Суммы S{, . . ., Sv определяются формулой (П.156)
231
Sj = P; Sn = yP +
Sin — + 2//IF 4- 1; SIV — v;
Sv = ^3P4-3z/W + ^(3 4-v),
где
? = (T^p [1-(2+v)a2 +(2v+1)0^];
W = [1-(1 +v)a2J;
У = ^-; v = X.
* f ’ n
2. Случай, когда предмет на конечном расстоянии (at + 0).
В этом случае пользуются формулами (11.57); формулы принимают
вид
S, = SjP; Sn ^х.Р — (хг — sjr;
Зш = р - 2 (х, - s,) i W + (а, - 1);
Siv = ~j~:
Sv =^-/>-3(x1-s1)(^-)2W' + (z1-S1)2 X
(11.156)
(11.143)
xi(3 + v)(a,-I),
где
P = (тЕ^р 1“з + “3 + 1 -(2 + V) (a3 + 1) a2 + (2v+ 1)<<
^ = -t=t1“3+1-<1+v)“21;
при этом
1 S1 1
a, = 1 as = a, 4-: v = — .
1 3 1 s' ’ "
Для продольной, сферической аберрации линзы при конечном
расстоянии до предмета имеем
-ц-2у)Т- [1+ “1 + “1 — (2 + V) (1 + aj) a2 +
+ (2v+
Здесь положено a3 = 1.
Поперечные аберрации 6g' получаются умножением сумм Sj,
Sn, . . Sy, рассчитанных при ax = 1, на соответствующие
коэффициенты:
232
для сферической аберрации
1 3 Q '
10151'
для комы
для астигматизма
-
для кривизны
— 2а7 «/ = (xi — Si);
для дисторсии
--2^1SV.
3. Предмет и изображение находятся на близком расстоянии
друг от друга. Пусть линейное увеличение р=-у=-^- = 14-е.
Предположим, что е малая величина. Тогда, пользуясь форму-
лами (П.149) и (П.150) н полагая, что входной зрачок находится
далеко от линзы (xt = оо; у = /'), получаем
Sj = (3 + 2л) e2f;
5ц = —(1 + л) в/';
6’ш = (1 4-2W)e/';
J2SjV =
з¥ = (^-1)Г-
(11.151)
В разложениях удержан член, содержащий е в низшей степени.
4. Предмет и изображение совпадают (0,5=0^= 1). Формулы
для сумм принимают вид Sj = 0; SH = 0; SIH = 0; SJV = v;
^gducrn
I A [(l+n)fe-P,-M
2 l/if n—1
(11.148*)
5. Линза дает изображение при увеличении—1. Полагая
а, = 1, а3 — —1, s = —2/ и используя формулу (11.153), имеем
S,=-2fP;
SII = x1P-(2f—х,)»';
233
SIlI = ~£p+ *.(У+*.) w + ;
siv •= -p*;
4f '2SV = x^P — 3X1 (xi + 2/') IF — 2X1 (2/' + x,)’ (3 + v),
где Р —— +(2V+ 1 2 (И. 152) lF = -T4v(l + v)a2. J
Если х ! = 0, т. е. отверстие линзы служит входным зрачком, то
s, =7r4r^[1 + (2v+i)^l;
Sn ~ ~ (I (1 + v) a2<
Sm = 4f';
(11.154)
e — JL.
°iv — f- ,
Sv = 0.
Для вычисления аберраций третьего порядка необходимо знать
следующее правило: если параметрами луча являются коорди-
наты на входном зрачке, то единице следует приравнять а^ если
координаты на выходном зрачке, за единицу следует брать
ctp. Если система телескопическая, координаты следует брать
в среде перед окуляром, и за единицу принимать угол, образуе-
мый лучом с осью перед падением на первую поверхность окуляра.
За единицу р нужно всегда принимать pt = 1. Но если р, = О
(телецентрическая система), можно использовать общие формулы,
принимая за единицу любой из рк, ио вместо Wi надо в формуле
писать wK. Следует помнить, что величина J зависит от выбора
единиц н она равна произведению па/ = па (х — s) р, которое
можно вычислить в любой среде, принимая во внимание выбор
единиц. Удобнее всего вычислить J в той среде, в которой вели-
чина а принята за единицу.
Определение коэффициентов сферической аберрации
высших порядков на основании тригонометрического расчета
хода лучей
Нахождение двух коэффициентов по двум лучам ие представ-
ляет затруднений. Для нахождения трех коэффициентов по фор-
муле
6s' = a sinV + Ь sin4w' 4- с sin* и'
234
определяют по чертежу кривой сферической аберрации значе-
ния 6s', соответствующие углам и{ и а'. Угол и\ определяется
sin2«i' 1 , sin2 Uq 2
-g- ,
зоне
, . , sin Un
ИЗ УСЛОВИЯ S—. = -х- И угол — ИЗ условия -—п—,' =
siir«3 d 2 $пг«3
где «з — угол, соответствующий какой-нибудь определенной
выходного зрачка (чаще всего краю его).
Пусть 8s'2 и 6s3 — соответствующие аберрации,
значая для краткости
dSj
—V = W
Обо-
b =
(ПЛ 75)
d$2 ds3
. 2 ~ = Уч* ~~2 r =
sm «g sm «.j
получаем для коэффициентов a, b, и с следующие уравнения:
9 , п
а = Уз ~ Уч +
9 . .о 45
— “2" Уз 4- МУг — ~2 У1
sin2«3
9 27 , 27
“2“ У9--2~ У*
Sin4Ug
Коэффициент а связан с первой суммой Зейделя Sj. Если эта
сумма рассчитана в предположении, что а* = 1, hp — s'p, ух = хи
J ~ п1а1 (%! — sj, то
а = -Л.
ч
Если сумма Sj вычислена для случая s> = оо при ар — 1,
А = 1, Уг = , то
„ F'Si
а —-----—.
Ч
Последние формулы служат для контроля, и их применение
обязательно, так как вычисления по формуле (11.175) могут очень
легко привести если не к ошибкам, то к большим погрешностям.
Хроматические аберрации
1. Хроматическая аберрация положения. Продольная хрома-
тическая аберрация положения определяется по формуле
6s'p
д-L *
Пк
(11.183)
235
пригодной для любой системы единиц, в которых выражена вели-
чина а, при соблюдении условия, связывающего Лиа (т. е. —
= s^J.
В этой формуле — разность показателей, соответствующих
двум длинам волн, выбранным для определения хроматической
аберрации; а и п берутся для некоторой средней длины волны,
лучше всего — для средней арифметической.
Для простой бесконечно тонкой линзы имеем
6s'(11.184*)
где v = 1 — коэффициент дисперсии Аббе.
Для бесконечно тонкой системы получаем
(11.185)
где Ф< — оптическая сила линзы с номером i.
2. Хроматическая разность увеличений. Эта аберрация, опре-
деляемая разностью расстояний точек пересечения лучей двух
цветов с одной и тон же плоскостью установки (6Z. = L? — Lc),
выражается формулой
Если П] = пр, то
(И.196)
где Г — высота пересечения с плоскостью установки для луча
среднего цвета; у и J = прар^р = n^aJi выражены в одних и
тех же единицах.
Если Si = оо, то
У1 *= J
Для бесконечно тонкой линзы
dL' s'x' 1 ___ sx 1
Г ~ х'—s' fv~— x — sfv'
(И.199)
Если система состоит из нескольких простых линз, то
6L' _ _ s'x' уч ф£
V ~ х' — s' Ad v( ’
1
(11.200)
236
Условие ахроматизма для системы из двух простых бесконечно
тонких линз, расположенных на бесконечно близком расстоянии:
Ф1 [ . Ф2 „ Q.
Vi V2 *
<Р1 + <р2 Ф,
где Ф — оптическая сила системы.
3. Вторичный спектр. Величина вторичного спектра для двух-
линзовой бесконечно тонкой системы, ахроматнзованной в отно-
шении лучей двух длин волн С и F, определяется расстоянием
плоскости изображения для лучен третьего цвета е от плоскости,
соответствующей лучам С и F, и вычисляется по формуле
mSs.F = , (||.204)
/ V2 - Vj
где pef — частная относительная дисперсия, равная отношению
D nF — ne
* eF n,- nc '
Индексы I и 2 указывают порядковый номер линзы.
Определим остаточный хроматизм двухлинзового объектива (при
условии применения обычных сортов стекла).
Пусть s\ — расстояние точки пересечения параксиального луча
с осью от объектива для длины волны X; $о — то же для длины
волны Хо, для которой имеет минимальное значение. Полагаем
. 1000 ,, ,
1 = -Г=мо- в «")•
Тогда
si = s» + y-0,00120(/x —/о)2. (11.206)
Определим хроматическую аберрацию двухлинзового объек-
тива для линий С и F, если лучи для линий К и L создают хрома-
s'3
тическую аберрацию
s'F—sc=?l [о,ОО89 — 0,00156 (}ц + lL) 4- 1,303 .
(11.208*)
Случай, когда CLK = 0, приведен на рис. 11.43.
Вторичный спектр систем, состоящих из нескольких бесконечно
тонких линз, выражается формулой
^6sBf = -^Al-|(p<-Po), (П.210)
пр — по по — 1
где Pi = — п ’ Р® — произвольное число; v - ~z_ Пс ♦
237
4. Зависимость хроматических аберраций параксиальных лу-
чей от положения предмета и входного зрачка. Пусть ds’ — про-
дольная хроматическая аберрация изображения; 6 о' — продоль-
ная хроматическая аберрация задней главной точки; 6о — про-
дольная хроматическая аберрация передней главной точки; df' —
продольная хроматическая аберрация фокусного расстояния; а —
9 п 6п' дп
= — продольное увеличение; о = ------
Имеем для 6s' следующее выражение:
ds’ — ads = So' — ada + (1 — p)26f' + f (I — p) pd, (11.230)
Хроматическая разность увеличений , где dLr — разность
высот пересечения цветных лучей с одной и той же плоскостью
установки (для луча со средней длиной волны), определяется из
формулы
(т'-г)^ = -^(1-₽)(1-₽') + (₽-1)г5*
+ , (П.233)
О» Т'П
где ₽'=—•
Если крайние среды одинаковы, получаем
Г (т' — т) •— = рр'ба — 6а' — (1 — P)(I — p-)6f.
Если система симметрична и бесконечно тонка, то
Вычисление 6s' производится по известной формуле
6s' в= -4- S лс
%
при «1 = 0, (Хр=1, ftp = Sp ИЛИ hl ® f
Вычисление 6о' производится следующим образом:
6о' = 6s' — df'
илн
ш=4 S уС ~ -44^ Sйс- <IL237)
Г-, f пт' д- п' f пт14- п' ~
Величина -----------= -----— представляет собой
расстояние от передней главной точки до центра входного зрачка
(или до точки пересечения с осью вспомогательного луча).
238
Если п = п' — 1, то
6о'= s»c —(1+ у)2ЛС. (11.238)
Вычисление б/* производится по формуле
’ n6f = — hyC + ^rhC (11.236)
прн у\ = Хь hp = sp, ар 1 или, с исключением величины у,
<-=('Ц--оЛ2ЙС+ SaAC,
f k I 2
где
ор =
dy
«v+l/tvftvn
Первая формула более удобна, но требует расчета вспомога-
тельного’луча, впрочем, произвольного. Рассчитывая параксиаль-
ные лучи в обратном ходе, можно получить соответственные ве-
личины б/ и ба.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тудоровский А. И. Теория оптических приборов. Т. 1. Изд. 2-е.
М.—Л., АН СССР, 1948.
2. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. Л.— М.,
Гостехиздат, 1937.
3. Слюсарев Г. Г. Труды ГОИ. Т. 8. Вып, 130, 1947.
4. Conrady А. Е. Applied Optics. London, Milford, 1929.
5. Kohlschhtter A. Die BHdfeher ffinfter Ordnung Optischer Systems
auf Grund des Eikonal — begriffes. Dissert. Gottingen, 1908.
6. Von Rohr M. Die Theorie d. optischen Instrumente. Berlin, Springer,
1904.
7. Рабинович Г-Д. Опт.-мех. пром. Т. 2, 1934.
8. Герцбергер М. Современная геометрическая оптика. М., Изд.
иностр, лит., 1962.
9. С л ю с а р е в Г. Г. Изв. АН СССР, Сер. матем. и естест. наук, 1937, №6.
10. Слюсарев Г. Г. Труды ГОИ. Т. 14, 1941.
11. Гальперн Д. Ю. ЖТФ. Т. 15. Вып. 6, 1945.
12. Гальперн Д. Ю. Опт.-мех. пром., 1946, № 5 и 6.
13. Schwarzschild К. Untersuchungen fOr geometrichen Optik. 1,
Berlin, 1905.
14. Сл юс a p ев Г. Г. Труды ГОИ, Т. 8. Вып. 7, 1932.
15. Czapski S.,Eppenstein О. Grundziige d. Theorie der Optischen
Instrumenie. Leipzig, Barth, 1924.
ГЛАВА HI
АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СИСТЕМ
ИЗ БЕСКОНЕЧНО ТОНКИХ ЛИНЗ
Большинство оптических систем, встречающихся на практике,
в особенности телескопических, состоит из нескольких отдельных
компонентов, каждый из которых обладает толщиной, составляю-
щей небольшую часть (обычно меньше 1/10) его фокусного расстоя-
ния. Такие компоненты в отношении аберраций третьего порядка
очень мало отличаются от бесконечно тонких систем и могут быть
с достаточно хорошим приближением заменены последними. Эта
замена очень удобна, так как бесконечно тонкие системы рассчи-
тываются значительно проще, чем системы конечной толщины.
Главная причина, обусловливающая упрощение вычислений, за-
ключается в том, что все аберрации третьего порядка бесконечно
тонкой системы линз зависят от трех параметров, в то время как
для систем конечной толщины аберрации зависят от шести пара-
метров. Такое уменьшение от шести до трех дает возможность подо-
брать параметры таким образом, чтобы один из них оказался
практически постоянным.
1. АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА БЕСКОНЕЧНО ТОНКОГО
КОМПОНЕНТА
Выше было изложено, что аберрации третьего порядка центри-
рованной системы, вообще говоря, зависят от шести коэффициен-
тов bi, b9, . . bo, Покажем, что это число коэффициентов
уменьшается до трех, когда толщины линз и воздушных проме-
жутков уменьшаются до нуля.
Рассмотрим формулу (11.37) для оптического пути соот-
ветствующего главным плоскостям:
W« = [(«>' - n®)2 - (е + s' - 26)2] .
где
e = + v2;
e' = p'2 4- v'a;
6 = pp' 4“ w',
э p, v, p', v' — направляющие косинусы луча до и после прелом-
ления через систему.
240
Преобразуем выражение в квадратных скобках, представляю-
щее собой разность двух квадратов А2 — В2 — (Л + В) (Л — В).
Приведя его к виду произведения, получаем
= 8(/f —пр[(п'2— 2/г/г') е' + (п2— 2пп') е + 2пп'6] х
X (/г'2е' -f- /г2е — 2nn'ty.
Преобразуем выражение, стоящее во втором множителе:
/г'аЕ' + п2е — 2пп'Ь — (п’[л.' — /гр)2 + (п'у' — nv)2 = — ,
так как Н представляет собой высоту точки пересечения луча
с поверхностью преломления.
Поэтому
WH = '8 (п'И- п) Г Ип’2 “ 2/г/г')е' + (п~ — 2пп')8 “Н 2/г/г'б].
Переходим к вычислению эйконала для системы р поверхно-
стей с общей вершиной; при этом все толщины и воздушные про-
межутки равны нулю. Он является суммой всех эйконалов, от-
носящихся к отдельным поверхностям. Начало отсчета общее
для всех поверхностей, и высота Н точки пересечения луча со
всеми поверхностями с точностью, достаточной для вычисления
аберраций третьего порядка, одна и та же. Вынесем ее за знак
суммы, получим
Н2 \ (п«2 — 2пкпк) 4 Г (ЛК — 2пл) + 2,!кл^к
Wh = Ь ( >
Из этой формулы вытекает, что бесконечно тонкая система опре-
деляется лишь тремя коэффициентами.
Действительно, если заменим величины ек, ек и находя-
щиеся под знаком суммы, их выражениями через р и р', то полу-
чим выражения второй степени относительно этих величин. Но,
согласно правилу для расчета углового эйконала, нужно исклю-
чить промежуточные рк и рк, ук и vK и оставить лишь р, v, отно-
сящиеся к первой среде, и р' и v', относящиеся к последней среде.
Так как соотношения, связывающие последующие значения р.к
и рк+1 или ук и vK+1, линейны, а именно:
Н /
^К-иНк-H Лкр,к - (Дк+1 ^к)»
Пк+1Ук+1 — ПКУК = — (Пк+1 — Пк),
16 Г. Г. Слюсарев
241
то после исключения промежуточных величии выражение для
представит собой функцию, содержащую р и v, р' и v' во второй
степени, вида
S =^i(H2 + v3) + B1(1x'2 + v'2) + С\ (iaij.’ +«'), (III.2)
вытекающего из симметричности оптической системы.
Окончательно выражение для WH может быть представлено
в виде
Гн=-^-(Яв + Ве' + С6)
и зависит от трех коэффициентов А, В, С.
Из приведенного вывода становится ясной причина уменьше-
ния числа параметров с шести до трех. Она заключается в том,
что в бесконечно тонкой системе высота Н точки пересечения луча
с системой является общей для всех поверхностей.
Рассмотрим формулы (11.42) и (11.57):
-- 2n'6g‘/ = Srco' (и'2 4- ^'2) + Зц (Зсо'а + Q'a) w 4-
Ь (33, п 4- </2SIV) co'w2 4- Svtt»3;
— 2n'6G' = S,Q' (to'2 4- Q'a) 4- 2$п(0'О'ау +
4“ (Зщ 4- &'ws>
где
3,1 = E УкРк — J S
s»=- 27E t +j2Xi *д > •
^E^-^EI^Et*
x(34,£+n,py±4±
“к пк
Напоминаем, что
р _ / «к», — я» У ( акц _ я« \ _
' ( ।____1_ I \ «К», Пк ) ’
\ Пк-Ц Пк /
ОЕк+irtK+i — ДкЯк
ПкПк+1
242
Для краткости обозначим сумму выражений Рк н WK, отно-
сящуюся ко всем поверхностям z-го компонента, через Pt и
высоты h и у точек пересечения обоих вспомогательных лучей
с компонентом i обозначим через й,- и yt.
Покажем, что сумма выражений Пк, относящаяся ко всем
поверхностям компонента i, может быть написана в более удобном
для дальнейших вычислений виде
п а’п' — an h п' — п
2j *_ Zu пп’ ~ ~
= S4(v-^)- <ш-3)
Для простой тонкой линзы, находящейся в воздухе, имеем
<IIL4>
где Ф — оптическая сила линзы.
Всякий компонент i состоит из t бесконечно тонких линз, раз-
деленных между собой бесконечно малыми промежутками. По-
этому для компонента i имеем
Величина Ф имеет размерность обратной длины Д"1.
Удобно ввести величины нулевой размерности. С этой целью
Ф
вводим величину ф — , причем ф представляет собой при-
веденную оптическую силу. Это дает возможность писать
Обозначим безразмерное выражение: через я. Тогда для
компонента i
Jj П« =
где
(Ш.5)
И=1
В дальнейшем будет показано, что величина щ в большинстве
систем, встречающихся на практике, мало отличается от 0,6—0,7.
Поэтому во многих случаях, когда не требуется большой точ-
ности, можно принять я = 0,65.
16*
243
Член ^-^2 Д-^-, входящий в выражение для пятой суммы,
пропадает, так как крайние среды, в которые погружен компо-
нент, одинаковы.
Выражение -^-Д~, ввиду сокращения внутренних значе-
ний , принимает вид (а,- —а/), где а,- — угол а в среде
перед компонентом; а/ — тот же угол в среде после компонента. Но
А-(а;-а,)=Ф;. (III.6)
Выражения для пяти сумм Зейделя теперь принимают вид
s, = Е й,Р(;
S„, = У 4 Р‘ ~ 2J 2 "V Г' + л 2 ф,;
Sv=£ 4Pi -3J Ё 4Wi+j? £ tф'(з+
(III.7)
Рассмотрим три частных случая.
1. Плоскость изображения на конечном расстоянии (ар =}= 0).
В этом случае полагаем ар = 1, hv = Sjoq, уг = хх при конечном
расстоянии от предмета до системы и hy — F' при бесконечно уда-
ленной плоскости предметов.
Тогда
— 26g = top (top2 4- Qp2) Si 4- (3top2 4- ^p2) илЗи 4-
4- topWi (3Sjii + J23jv) -p a’l-Svi fill 7*)
— 26G' = Qp (®p2 4- Qp2) Si 4- 2topfl>iSn +
+ HpW2 (SjП 4- J2Siv)-
При этом, если st = oo, J = —F'; если oo, J = V =
- Gtj (j^ — S,) = (x' — S') P'.
2. Плоскость изображения на бесконечности (а'р ~ 0). В этом
случае поперечные аберрации становятся бесконечно большими
и их выражения теряют смысл. Кроме того, вычисление сумм не
может быть выполнено, поскольку ар — 0 и не может быть при-
ведено к единице. Проще всего систему перевернуть или выпол-
нить расчет сумм в обратном ходе.
3. Телескопические системы. В этом случае одновременно aj =-
= 0 исср = 0. Можно поступить следующим образом: поперечные
244
аберрации заменить угловыми [6g'], представляющими собой пре-
6й' -
дел, к которому стремится отношение —; этот предел взят с об-
ратным знаком для соблюдения принятых правил знаков в случае,
когда з' стремится к бесконечности.
Пусть
— fc] =
— [SGp] = lims-=oa
За единицу нельзя принять ни а15 ни ар, так как они равны
нулю. Можно принять в качестве единицы один из углов aq, где
q — номер среды (обязательно воздух), разделяющей два компо-
нента системы. Удобнее всего, если система имеет окуляр, считать
за единицу угол с осью первого вспомогательного луча в среде,
отделяющей окуляр от всей части системы, стоящей впереди.
Обозначая через F' заднее фокусное расстояние этой последней
системы, через f — заднее фокусное расстояние окуляра, через
F-
у =----р----увеличение телескопической системы, получаем для
[6gp] и |6G^| следующие формулы:
4- — [6gp] = (i)q -|- fiq) Si (Зю» + ) WiSii +
+ (oqtiyi (3Sin +<Siv) + twSvJ j 8)
4—— [6GP] = (ti)q -|- Si —|— 2(DqQqtenSn H-
+ ЙдьУ1 (Sin + <Siv)-
При этом
aq= 1; Ai = 1; gi = p-; J = — 1.
При раскрытии выражений сумм необходимо обратить внима-
ние наследующее: величины и Wt, относящиеся к компонентам,
следующим за средой с номером q, должны быть вычислены в об-
ратном ходе. При этом следует брать = 0, = I, последнее а
в среде q равным единице, если вторая часть собирательна. В про-
тивоположном случае, если система после </-й среды обладает
отрицательной силой, например прн оборачивающем окуляре,
следует брать = —1 для того, чтобы последнее а в обратном
ходе было равным единице. Подставляя полученные значения Pt
и W{ в выражения для сумм, надо менять их знаки на обратные.
Величины и Фо имеющие вполне определенный смысл не-
зависимо от направления света, подставляются в эти выражения
без изменения знака.
245
Высоты hi и yt вычисляются по обычным правилам в прямом
ходе независимо от того, относятся ли они к первой нли второй
части телескопической системы.
Практически формулой (Ш.8) приходится мало пользоваться,
так как расчет обычно разбивается на две или больше частей,
которые выполняются независимо друг от друга, и лишь в конеч-
ной стадии расчета производится окончательная подгонка аберра-
ций таким образом, чтобы аберрации всей системы были мини-
мальны. Однако формула (III.8) представляет интерес для выясне-
ния ряда вопросов, связанных с ианлучшими условиями расчета
телескопических систем, например вопроса о расчете труб Галилея
с малым увеличением, где разделение на части нерационально.
Применение этой формулы требует большой осторожности ввиду
необычных условий, при которых вычисляются коэффициенты
третьего порядка для второй части оптической системы.
2. ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
Хроматическая аберрация положения
Обозначая по-прежнему через 6sp расстояние между гауссо-
выми плоскостями изображения для лучей двух цветов, условно
названных буквами С и F, получаем для определения величины 6sp
формулу, выведенную в гл. II:
n'pa^s'p = V h -р-Д .
Введем для краткости обозначение
С = -^-Д-®5-.
Тогда можно написать эту формулу в виде
npap 6sp = £(Ш.9)
Для бесконечно тонкого компонента с номером i выражение
под знаком суммы принимает вид:
Для одной линзы имеем
246
где v — показатель дисперсии; а на' — углы первого параксиаль-
ного луча с осью до и после преломления;
а' — а = /гФ,
где Ф — оптическая сила линзы.
Итак, для бесконечно тонкой линзы
= (ШЛО)
Пусть оптическая сила компонента с номером i равна Фр Если
компонент составлен нз I линз с оптическими силами, равными
t
соответственно Фп Ф2, . . Фг, то £ф = Фр Обозначим отно-
1
шение-^ через срр Тогда коэффициент С, для компонента i может
быть иапнсан в виде
С< = -h, У * ул.
Безразмерную величину — , РаспРостРаненнУю на все линзы
компонента /, обозначим через С/. Эта величина не зависит ни от
положения предмета, ни от положения зрачка. Для хроматиче-
ской аберрации всей системы из бесконечно тонких компонентов
имеем
afos'p = (Ш.11)
Хроматическая разность увеличений
В гл. 11 (стр. 180) была приведена следующая формула для
хроматической разности увеличений:
' ,1 П1 Пр
Для случая, когда крайние среды одинаковы и, в частности,
когда = пр — 1, имеем:
Воспользуемся только что выполненными для бесконечно тон-
кой системы преобразованиями, в результате которых было по-
лучено
Ct = hf&tCh
где
« — К-
247
Применяя эти формулы для хроматической разности увеличений,
получаем
Н‘У‘Ф‘С‘< (111.12)
где суммирование распространяется на все элементы системы.
Напомним, что J — nal имеет ту же размерность, что Л^Ф/.
Для вычислений удобно принимать ар = 1; — xt (т. е. = I);
й-1 = Зхсц. Тогда
J = «I (*1 — S1) = (4 — Sp) ₽„.
Можно, введя величину т = , написать
аР
T(x,'-s,) ЕМАСл (111.13)
При этом hx = s,t; ух — л1; ар = 1. Если предмет на бесконеч-
ности (т = 0; ар — I; hx = F'\ J = — I), получаем
— 7 LC = (111.14)
Величина Ci в простейших компонентах
Рассмотрим два случая.
1. Бесконечно тонкая простая линза. Как было показано выше,
в бесконечно тонкой линзе
_ а. — а, ЛФ, Л 1
С,- =--------•- =-----£ • С( = — —.
V/ Vi ’ Vt-
2. Бесконечно тонкая двухлинзовая склеенная система. Рас-
смотрим общий случай, когда otj * о. Фокусное расстояние Ф и
высоту h принимаем равными единице. Тогда ЛФ — а4 — ах = 1.
Вычислим С = — V-) ПРИ ’Pi Ф* = 1- Имеем
Ф1 = («а— 1)(Р1 — Рг);
Фа = 1 — фг
Но
__ a2na — __ gan2 — gt t
P* n2 — пг n2 — 1 *
_ п9^3 —
Pa “ n3 — n8
248
После подстановки
а8лг (лэ — 1) — сс3”з (л8 — 1)
Л-з — па
Г«2лг (п3 — 1) — a3n3(na — 1) ..1s,
----I --------------------------—----- О] I А
L пз — 1J
(III.15)
Если не делать предположения о том, что а4 — cq = 1, то для
С получаем следующее выражение:
1 j ________ а4 ___ / 1______1_ \
а4 — at | Vj v2 \ v8 Vj )
Г а3л3 (n2 — 1) — а2ла (л3— 1)
А L Л3 —л2
В часто встречающемся случае, когда = 0 и a4 — 1, полу-
чаем
(111.15*)
С =
J______1\ Г О8Пз(л8— 1) — а2л2(л3— I)
V2 Vj ) L Л3 - п.2
3. ТЕОРИЯ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Из формул (III.7) вытекает, что коэффициенты S всех пяти
аберраций третьего порядка монохроматического луча для системы
из бесконечно тонких компонентов могут быть написаны в таком
виде:
S = Е (т1Р1 + Л,Г; + Р(Я, + qf), (III. 16)
причем коэффициенты mti п{, р{, qt зависят только от yh hif Ф,,
т. е. от величин, связанных исключительно с внешними элемен-
тами системы — фокусными расстояниями отдельных компонен-
тов, от их взаимного' расположения, от положения плоскости
объекта и входного зрачка. Действительно, если все перечислен-
ные элементы даны, то можно рассчитать ход обоих вспомогатель-
ных лучей на основании формул гауссовой оптики (подробнее
см. гл. V) и получить последовательно все hi и Существует ка-
тегория оптических систем, к которым, в частности, относится
большинство телескопических систем, для которых величины ht
и у{ могут быть заранее определены (например, из требований
габарита). В этом случае они непригодны в качестве переменных,
с помощью которых можно исправлять аберрации, и поэтому по
характеру своему они совершенно отличны от величин Ph W{.
Последние являются функциями а и п, т. е. углов первого
вспомогательного луча с осью и показателей преломления всех
249
сред компонента. В свою очередь, величины а зависят от радиусов
кривизны системы, от ее показателей и от положения точки пере-
сечения вспомогательного луча с осью, как это видно из рекур-
рентных формул, определяющих последовательно все значения а:
+ ту- — «/);
и п — п ft I А ( П**1 ni I ”‘+3 П*+1 \ .
П/+2а/+2 — П&1 "Г П1 у ' г.-------1-----~,
(III.17)
'+' Дп
«1+<«1+/ = вд + hi ъ ~
i
Величины зависят только от радиусов кривизны н
показателей преломления.
Таким образом, величины Plf зависят от «внутренних»
конструктивных элементов системы — радиусов кривизны по-
верхностей и показателей преломления — и еще от положения
точки пересечения первого вспомогательного луча с осью опти-
ческой системы до преломления через компонент. Последняя за-
висимость значительно затрудняет систематическое изучение
свойств бесконечно тонких компонентов, так как она вводит еще
одну лишнюю переменную, также влияющую на свойства указан-
ных величин. Одиако 1 можно исключить последнюю переменную
и получить величины Ph в виде функций следующего вида
Р = гР + sW -j- |
= +$'W-HX f
(III.18)
где P, W и л зависят только от внутренних элементов, а г, s, t за-
висят от положения точки пересечения с осью первого вспомога-
тельного луча. Такой процесс разделения параметров, входящих
в выражение для аберраций третьего порядка оптической системы,
с одной стороны, на параметры, зависящие только от внешних
элементов, и, с другой стороны, на параметры, зависящие только
от внутренних элементов, возможен только в системах из беско-
нечно тонких компонентов и в высокой степени упрощает расчеты.
Это вытекает из формул, данных в гл. II (см. стр. 83), связываю-
щих значения коэффициентов аберраций третьего порядка с по-
ложением предмета. Для бесконечно тонких компонентов зави-
симости величии Р и W от положения предмета могут быть полу-
чены непосредственно гораздо проще, чем в результате применения
формул гл. II для частного случая, когда толщины обращаются
в нуль. Приводим здесь вывод этих формул.
1 Г. Г. Слюсарев. Труды ГОИ, Т. 8. Вып. 76, 1932.
250
Основные параметры бесконечно тонкого компонента
Задача преобразования выражений Р и W к виду (111.18)
может быть решена следующим образом.
Рассмотрим частный случай, когда бесконечно тонкий ком-
понент изображает предмет, находящийся на бесконечности. Вы-
числим первую сумму Р и вторую W, приняв величину as, где
s — номер последней поверхности компонента, за единицу. Далее
вычислим выражения Р и W в общем случае, когда плоскость изо-
бражаемого предмета находится на конечном расстоянии. Заметим,
что величины а для второго случая связаны линейно с величи-
нами а, соответствующими первому случаю. Чтобы различить
углы а в обоих случаях, условимся обозначать величины а, соот-
ветствующие бесконечно большому удалению предмета, той же
буквой а, но с черточкой наверху.
Выражения Р и U7 являются однородными функциями третьей
и второй степени относительно переменных а. Но и выражения Р,
W и л являются также однородными полиномами относительно
переменных а соответственно третьей, второй и первой степени.
Поэтому должно существовать соотношение вида (III.18). Опре-
делим теперь коэффициенты г, s, t, s и t'.
Имеем исходные полиномы
(Ш.19)
где суммирование распространяется на все s поверхностей ком-
понента ; так как плоскость предмета на бесконечности, ах = 0;
по условию as = 1. Высоту падения луча на компонент примем
за единицу, если фокусное расстояние системы положительное,
и за —1, если оно отрицательное.
Параксиальный луч AM (рис. III.1), проходящий параллельно
оси на высоте h, после преломления пересекает ось в точке F.
Рассмотрим другой параксиальный луч AtMFr, пересекающий
компонент в той же точке М. Он пересекает ось в точке S до прелом-
ления и в точке Ft после преломления. Если угол MF0 принят
251
за единицу и угол А^МА обозначен буквой ап то угол MFKO
равен 1 + ах.
OS
Определим положение плоскости предмета отношением :
OS _ 1 + gx 1
OFX ~ <zt ’
л 1
которое обозначим через —.
Тогда получим
__ е
‘ Vi (III.20)
“S = 1 —Е ’
где as — угол, образованный лучом с осью после преломления;
as — a j = 1.
Вычислим теперь Р и W. Если выразить величину радиуса
поверхности с номером v двумя способами через а и а, придем
к соотношению
®v+l^v+l — Wv == ^V+l^V+1 ’
ИЛИ
O^v+l^v+1 —~ Q^v+l^v+i ~~
Таким образом, разность avnv — avnv является инвариантом,
сохраняющим свою величину для дайной пары лучей при всех
значениях v. Для первой поверхности v = l иа,=О; поэтому
для поверхности с номером к можно написать
= (111.2!)
Пк
Выражение для Р и W составляются из множителей:
252
После подстановки вместо ак и ак+1 их выражений через
и ак+1 получаем
Г а*+| _ -4- а,п, f _1_______L_\ ]
[n«- U+i d]
(Ш.22)
Если эти выражения подставим в формулы для Р и W, про-
изведем все выкладки и сокращения, введя, где это окажется
возможным, величины Р и W, заменим пх его значением, равным
1, и ах— его выражением , то получим
(Р) = Р + (4W - 1) + (3 4- 2л);
(r)_L-W + -r47(2 4-^).
(Ш.23)
Индекс । 2_s означает, что величины Р и W вычислены при
значении as равном ; 2_е •
Формулы (III.23) выведены в предположении, что луч AaMS
преломляется сложной линзой с номером i в точке М на той же
высоте, что и луч AM. Проведем через точки S и Рх параксиаль-
ный луч, преломляющийся через компонент с номером i не в М,
а в какой-нибудь другой точке и являющийся первым вспомога-
тельным параксиальным лучом системы. Обозначим буквами а и а'
углы этого параксиального луча с осью до и после преломления
у исследуемого компонента. Очевидно, что
Заменяя 8 в формулах (111.23) его выражением через а и а',
получаем для (Р) i и (IF) i
1—8 1—8
= Р + A- (4W — 1) + (3 + 2л);
W^ = W+^(2 + «).
1—е
(Ш.24)
Чтобы получить значения величин Рх и 1ГХ, соответствующие
параксиальному лучу, для которого а' равно а', нужно умножить
полученные выражения соответственно на a's (1 — 8)3 н на
а'2 (1 — е)2 или, что то же самое, на (а' — а)3 и (а' — а)2. Это
253
следует из того, что каждый угол а указанного параксиаль-
ного луча больше соответственного угла луча, проходящего через
точку Л1, в раз, т. е, в (1 — е) а' раз.
“з
В результате получаем окончательно
Р = (а1— а)3 Р 4-4а (а'— a)2W-,!- j
4- а (а' — а) [2а (2 4- л) — а']; j (111.25)
IF = (а' — а)2 W - а (а' — а) (2 4 я). )
В некоторых случаях желательно иметь выражение Р и W через
Р н W. Из формул (111.25) получаем
Р ° fa' 1 al3 4аГ + а(а'~«) «4 + 2л)« + «']}; ]
(ct ~a) . (111.25*)
В более общем случае, когда nt и п не равны, формулы для Р,
IF и л принимают вид
п’*Р — (п'а' — na)3 Р 4- пп'а (п'а' — па)2 (4W — 1)4’
4- п2п'*а2(п'а' — па) ------2Л У =
= (п'а' — ла)3 Р 4- 4пп'а (п'а' — ла)2 W +
4- пп'а(п'а' — па) ^2па ^2 — n'h — n'a'J =
= Л3ф3Р 4- 4nn'aft2(p2W 4- nn'ahy х (П1.25 *)
X [2па (2 4- п'л) — п'а'];
n’*W ~ (п'а' — naf'W 4 апп' (п'а' — па) 4" ;
я = л£(-^-)=
При этом aj = 0; а' = 1.
Формула (111.25) позволяет, зная Р4, Wf и л< получить вели-
чины Pt, Wi и nt н обратно.
Таким образом, величины Р, W и л, зависящие только от вну-
тренних элементов компонента (от радиусов поверхностей и от
показателей преломления стекол), являются параметрами, пол-
ностью определяющими все аберрации третьего порядка монохро-
матического луча при любом положении предмета и любом поло-
жении входного зрачка. В дальнейшем мы будем называть эти
величины основными параметрами оптической системы; они опре-
деляют, как показывают вычисления, ие только аберрации третьего
264
порядка, но в значительной степени и аберрации более высокого
порядка.
Зависимость всех аберраций третьего порядка от трех'величин
характерна для бесконечно тонких систем, состоящих из един-
ственного сложного компонента, и является их главным отличием
от систем с конечной толщиной линз, у которых аберрации зависят
от пяти параметров Slt . . ., Sv, совершенно друг от друга не
зависящих. Другими словами, у бесконечно тонких систем, не
имеющих конечных расстояний между линзами, пять аберраций
зависят только от трех величин так, как будто они связаны между
собой двумя соотношениями, т. е. две из пяти аберраций вполне
определены и не могут быть по произволу изменены, если только
заданы остальные три.
То же самое происходит с хроматическими аберрациями поло-
жения и увеличений. В то время как у системы конечной толщины
эти две аберрации независимы друг от друга, у бесконечно тонких
компонентов они зависят от одной и той же величины С£-; поэтому
если одна из них задана, то вторая тем самым определена.
Естественно, что переход от свойств бесконечно тонкой системы
к свойствам системы с конечными толщинами при непрерывном
увеличении толщин происходит не скачком, а постепенно. Если
в первой системе две любые аберрации Зейделя вполне опреде-
ляются заданием остальных трех, то у систем сравнительно тонких
линз существует некоторая, уже не такая тесная, но все же вполне
ощутимая, связь между двумя заданными аберрациями и тремя
остальными — связь, выражающаяся обычно в том, что при за-
данных трех суммах остальные две могут изменяться только в уз-
ких границах. По мере увеличения толщины системы эти границы
все более и более расширяются, и при достаточно больших толщи-
нах может наступить полная независимость сумм друг от друга.
Это обстоятельство чрезвычайно важно и всегда должно быть при-
нято во внимание при расчете; в противном случае желание при-
дать во что бы то ни стало некоторым аберрациям определенные
значения, удерживая и остальные в узких границах, приводит
к многочисленным попыткам, заранее обреченным на неудачу.
Еще раз подчеркиваем, что эта взаимная зависимость аберра-
ций третьего порядка существует только у бесконечно тонких
систем, состоящих из одного компонента. Наличие нескольких
компонентов совершенно меняет дело, если только параметры h
и у, зависящие от взаимного расположения и оптических сил от-
дельных компонентов, могут быть изменяемы в достаточно боль-
ших пределах и могут служить добавочными параметрами. Но
если эти величины связаны какими-нибудь добавочными усло-
виями, например габаритными требованиями, что часто встре-
чается на практике, то общий закон о зависимости двух аберраций
от остальных трех (для монохроматического луча) и второй хро-
матической аберрации от первой остается в силе.
255
Ниже даны численные примеры применения формул (Ш.25).
Пример 1. Рассмотрим случай плоско-выпуклой простой
линзы, обращенной плоскостью к предмету. Пусть ее показатель
преломления равен 1,5. Определим величины Р и W при увеличе-
нии — 1. С этой целью можно сначала найти величины Р и W и
затем перейти при помощи формулы (III.25) к величинам Р и W.
Когда предмет на бесконечности, ах = 0, а2 = 0 вследствие
того, что первая поверхность линзы плоская, и а3 равно единице
по условию. Имеем следующие значения для Р, W ия:
w=ttxi=3;
п
л = — = 4 = 0,67.
п 3 ’
Для перехода к величинам W и Р надо сначала условиться
относительно выбора формул для вычислений аберраций, так как
в нашем распоряжении имеются две формулы (II.45) и (11.47)
гл. II. В данном случае воспользуемся формулой (11.45), в которой
а,' принимается равным единице. Так как увеличение нашей
линзы — 1, то величина а = равна — 1, а величина а' — а3
равна .
Итак, в формуле (III.25) а = —1; а' = 4-1; а' —а =2.
Тогда
р — 23Р — 4-22W— 1-2 [—2(2,67) — 1] -
= 8Р— I6W4- 12,67;
Г = 4W — 2 2,67 - 4W — 5,33.
Подставляя вместо Р и W их значения 9 и 3, получаем
Р - 72 — 48 4- 12,67 = 36,67; Г - 12 — 5,33 - 6,67.
Для контроля вычислим непосредственно Р и W через вели-
чины а и п. Для этого надо определить величину а2; вследствие
того, что первая поверхность плоская, а2 — ~ = — 0,667.
Результаты, приведенные в табл. III.1, совпадают с ранее по-
лученными.
Пример 2. Вычислить сферическую аберрацию сложной
линзы, апланатической для бесконечно удаленного предмета, в том
случае, когда источник находится на расстоянии тройного фокус-
ного расстояния от линзы. У этой линзы Р и W должны равняться
нулю, так как она должна быть апланатической, т. е. не иметь ни
256
Таблица Ш.1
а а п да 1 п д — п Да д — п л" п г
—1,000 -0,667 4 1.000 -1,000 —0,444 4-1,000 +0,333 1 1,667 1,000 0,667 1,000 -0,333 +0,333 —1,0 1 5,0 4-0,556 + 1,444 -0,556 + 7,222 +0,556 4-36,111
4-6,666 -1-36,667
сферической аберрации, ни комы при бесконечно удаленном пред-
мете. Третий основной параметр л для большинства тонких линз
равен 0,70. Из условия, что предмет находится на расстоянии
— 3F' от лннзы, можно определить а и а'. Формула
J_____1 _ 1
s' s — F'
дает
1_____2__
s' ~ 3F' '
При этом s' = 1,5F'; s = —3F'; = —2; следовательно,
а s' 1
a' s 2
Принимая а' = 1, получаем а = —0,5; а' —а = 1,5. Тогда
Р = — 0,5 1,5 (— 5,4 -0,5 — 1) = + 2,78;
W = — 0,5 1,5 2,7 = — 2,02.
Поперечную сферическую аберрацию вычисляем по фор-
муле (11.45):
— 26gp = (о?- Sf,
S1 = hP = 1,5F' • 2,78 = 4,17F'.
Таким образом,
6gp — — 2,08F ы .
Пример 3. Вычислить основные параметры бесконечно тон-
кой системы, апланатической для увеличения —1. Из условий S] =
— S]] = 0 вытекает, что величины Р н W данной системы должны
равняться нулю. Но при увеличении —1 имеем а = —1, а' = + 1,
а следовательно (см. пример 1),
Р = 8Р — 16W+12,67 = 0;
W = 4W — 5,33 = 0.
17 г. Г. Слюсарев
257
Отсюда
W= 1,33;
P = -^-(16W— 12,67)= 1,08.
Ввиду важности формулы (111,25) рассмотрим еще ряд ее
применений.
Некоторые свойства бесконечно тонких компонентов,
вытекающие из теории основных параметров
Устранение сферической аберрации бесконечно тонкой си-
стемы для нескольких ноложеннй нредмета. Продольная сфери-
ческая аберрация 6s' для точки на осн системы связана с попе-
речной аберрацией &g' формулой
6s'=^,
%
где Wp — угол луча в пространстве изображений с осью.
Поперечную аберрацию 6g' вычисляем по формуле (11.45),
полагая, что п = 1; t =0; = 0; сумму Sj определяем по
первой нз формул (Ш.7), причем для бесконечно тонкой системы
все hi равны между собой.
Положим, что угол а' первого параксиального луча с осью
после .преломления через систему равен единице; тогда в выра-
жении для Р все ht равны s' — расстоянию от системы до пло-
скости изображения. Так как
где h — расстояние от оси до точки пересечения луча с систе-
мой, то по выполнении всех подстановок для продольной сфери-
ческой аберрации бесконечно тонкой системы получим
6s'=----^^-Р- (Ш.26)
Как нетрудно проверить,
где F' — фокусное расстояние системы. Подставляя в форму-
лу (П1.26) вместо Р его выражение из формулы (111.25) и помня,
что а' = +1, получаем
6s' = - ~“)2Р + 4а(! -C0W +
4- а [2а(2 4- я) — HI-
258
Располагая выражение в фигурных скобках по степеням а,
получаем
6s' = - 4- [Р ~ (2Р —4W 4- 1)а +
4- (Р _ 4W + 4 4- 2л) а3]. (Ш.27)
Требование уничтожения сферической аберрации для любого
расстояния предмета, т. е. для любого а15 приводит к уравнениям
Р = 0;
2Р —4W-f-l=0;
Р —4W + 4-j-2n = 0.
Решая эти уравнения, получаем
Р = 0; W — 0,25; л = — 1,5. (Ш.28)
Третье из этих условий практически невыполнимо, так как
у всех известных тонких систем величина л колеблется между 0,3
и 0,8. Однако, если ограничиться условием, чтобы сферическая
аберрация была достаточно мала при расстояниях предмета, не
превосходящих 10-кратного фокусного расстояния, то условия Р —
= 0 и W = 0,25 решают задачу достаточно удовлетворительно.
Действительно, а2 меньше 0,01, так что третьим членом форму-
лы (111.27) можно пренебречь. Сдругой стороны, условие W = 0,25
сравнительно мало отличается от условия W = 0, выполнение ко-
торого необходимо для устранения аберрации комы в рассматри-
ваемой системе.
Обращение хода луча в бесконечно топкой системе. Аберрации
третьего порядка прн обращении хода. Если перевернуть бес-
конечно тонкую систему таким образом, чтобы первая поверхность
ее оказалась последней, то значения параметров Р и W в новом
положении и при прежнем направлении луча, вообще говоря, не
совпадают.
Чтобы получить новые значения, выраженные через старые,
поступим следующим образом. Оставив систему в первоначальном
положении, рассмотрим луч, проходящий через передний фокус
системы и выходящий из нее параллельно оси; при этом примем,
что а — 1; тогда а' будет равняться 0. Применив формулы (111.25)
для этого случая, получнм для Р и W следующие выражения:
р = _ р 4W — 4 — 2я; 1
W = W —2 —я. J ' '
Когда система переворачивается, нетрудно видеть, что вели-
чины Р и W для перевернутой системы равны соответственно
только что вычисленным величинам Р и W, ио с обратным знаком.
17* 259
Таким образом, если обозначить параметры Р и W переверну-
той системы буквами Р и W, то будем иметь
Р — Р 4W 4-4 4-2л; |
W = — W 4-2 4-я. J
Для того чтобы система не изменяла аберрации третьего по-
рядка при переворачиванин, мы должны, очевидно, иметь Р -- Р
и W = W, следовательно,
Р — произвольное. (III.31)
Это приводит к любопытному свойству бесконечно тонких си-
стем. Все бесконечно тонкие системы, у которых W =s 1 -J- -у
(т. е. примерно 1,35), не меняют своих аберраций, когда их пере-
ворачивают. Что же касается величины Р, то, оказывается, она
никакой роли не играет, так что достаточно только одного условия
(а не трех, как следовало бы ожидать) для достижения указанного
результата. Отсюда вытекает другое свойство бесконечно тонких
симметричных систем: каково бы ии было число линз, их радиусы
и сорта стекол, из которых они изготовлены, величина W, отно-
сящаяся к ним, всегда равна 1 + -у, т. е. приближенно 1,35.
Это свойство действительно оправдывается в случаях простой сим-
метричной и тройной симметричной лиизы.
Таким образом, бесконечно тонкий симметричный объектив
(или практически достаточно тонкий объектив) имеет всегда зна-
чительную кому, если входной зрачок совпадает с ним.
Случай, когда л и л' не равны единице. Рассмотрим важ-
ный для ряда приложений (зеркально-линзовые системы, гидро-
перископы и др.) случай, когда показатели крайних сред не равны
единице, а равны соответственно п и п'.
С помощью выкладок, аналогичных тем, которые были при-
ведены на стр. 252, получаем для Р следующее выражение:
п'*Р — {п'а’ — ла)3Р 4- пп'а{п'а' — na)2(4W — 1) +
+ а2 (п'а' — ла)
или еще
п' Р = {п’а' — па)3 Р + 4пп'а (п'а' — па)9 W +
+ пп'а (п'а' — па)
п’а' .
260
Если заметить, что п'а'— па представляет собой произведе-
ние Лф, то можно написать для п' Р
п'* Р = Л3ф3Р + 4/m'a/;2qrW 4-
4- лл'аЛф[2ла(2 4- л'л) — п'а'].
Аналогично для л и W получаем следующие формулы:
n'*W = (п'а' — па)2 W 4- апп' (п'а' — па) 4- ,
причем а ~ 0; а' = 1.
Коэффициенты С{, от которых зависят хроматические аберра-
ции положения и увеличений, ие зависят ни от положения пред-
мета, ин от положения входного зрачка. Поэтому С{ можно рас-
сматривать как основной параметр компонента i.
4. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ В ПРОСТЕЙШИХ ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ
Возвращаясь к формулам (III.7) и (III.25), замечаем, что
можно при помощи формул (III.25) исключить величины Р н W
из выражений сумм (III.7) и после исключения получить новые
выражения для сумм в таком виде:
S, = S (т,. ,Р, -н п,, ,V/t + р,. ,л,), (111.32)
где S{ обозначает какую-нибудь из пяти сумм третьего порядка
с порядковым номером /. Коэффициенты т, п и р зависят только
от внешних элементов компонентов (фокусные расстояния линз,
расстояния между ними, положение плоскости предмета и вход-
ного зрачка); основные параметры Рь W{- и л,- зависят только
от радиусов кривизны н показателей преломления стекол отдель-
ных компонентов. Таким образом, произошло разделение пере-
менных иа две группы, позволяющие делить расчет системы иа две
независимые части; в первой части вычисляют все внешние эле-
менты системы, основываясь на габаритных требованиях. В боль-
шинстве телескопических систем требования габарита определяют
внешние элементы системы однозначно. Зная все коэффициенты т,
пир, можно составить для всех аберраций, подлежащих исправ-
лению, ряд выражений для сумм Зейделя н, подставив вместо
левых частей уравнения (III.32) нуль нлн определенные числа,
связанные с условиями исправлений,1 получить уравнения,
1 Вопрос об определении численных значений величин Sj будет рассмотрен
в гл. V,
261
которым должны удовлетворять значения конструктивных эле-
ментов системы.
Пусть исправлению подлежат г аберраций. Составляются
уравнения вида (III.32), содержащие 3s неизвестных Рь и
где s — число компонентов; однако, вследствие того, что вели-
чина я колеблется всегда в очень узких пределах и практически
постоянна, число независимых переменных равно всегда только 2s;
поэтому рационально брать г — 2s.
Решая систему г линейных уравнений с г неизвестными, по-
лучаем для параметров Pt- и Wt- всех компонентов определенные
значения. Следующей задачей является расчет компонента, удов-
летворяющего полученным для его параметров Р и W значениям.
Для этого надо изучить связь между основными параметрами си-
стемы и ее внутренними элементами. Эта связь в большой степени
зависит от сложности компонента. В дальнейшем она будет изучена
для случая простой линзы, потом для случая двух и трех склеен-
ных линз.
В бесконечно тонкой простой линзе величины Р и W зависят
только от одного параметра, например а2 — угла с осью системы
первого параксиального луча во второй среде (в стекле); а3 примем,
как было условлено ранее, за единицу. Таким образом, а2 вполне
определяет форму линзы при условии, что показатель стекла из-
вестен.
Выражая W н Р как функции ота2, получаем
Р =
(III.33)
Укажем иа одно важное соотношение, связывающее вели-
чины Р и W. Напишем Р в виде:
Р = Ро + </(а2 - а„)2, (111.34)
где а0 — то значение а2, при котором величина Р достигает своего
минимального значения'. При этом
2л + 1 1
— п + 2 2 ’
> __ (4 л — 1) л
0 — 4 (2 +л) (л— I)2 .’
(III.35)
_ л (2 4- П)
7 - (л - 1)2 •
262
Из уравнения, связывающего W и а2, находим а2; это дает
исключая аа из выражения для Р, получаем
Р = Р« + [l — (п+ i;a ] [W — 2(2 + ».)] ’
(Ш.36)
Численное значение коэффициента перед вторыми квадратными
скобками и значение W, при котором Р достигает минимума,
т. е- —г > практически 2 (2 + rt) табл. IU.2. постоянны, как показывает * Таблица III.2
п 1 (л+1) = 1 ₽0 п 1 <» + 1>' 1 2 (2+rt) Ро
2 (2+п)
1,50 0,840 0,143 2,14 1,80 0,872 0,132 1,15
1,55 0,846 0,141 1,88 1,85 0,877 0,130 1,06
1,60 0,852 0,139 1,67 1,90 0,881 0,128 0,99
1,65 0,858 0,137 1,50 1,95 0,885 0,127 0,93
1,70 0,863 0,135 1,36 2,0 0,889 0,125 0,87
1,75 0,868 0,133 1,24
Из таблицы видно, что величина Ро меняется значительно н
потому ие может считаться постоянной. Таким образом, можно
для Р иапнсать следующую формулу, являющуюся достаточно
точной в широкой области изменения величии Р н W:
Р = Ро + 0,85 (W — 0,14)2. (III.37)
Это соотношение имеет чрезвычайно важное значение, и потому
на нем следует остановиться, тем более что, как будет доказано
впоследствии, оио сохраняет значение для всех бесконечно тонких
склеенных линз, но только оио становится менее точным. Из
формул (Ш.35)—(111.37) можно сделать следующие выводы:
1. Величина Р принимает минимальное значение, когда W
равно числу 0,14.
2. Минимальное значение Р всегда положительно и меняется
в пределах от 1,3 до 2.
3. Форма кривой и ее расположение относительно оси W — 0
ие зависят от значения показателя преломления. Это следствие
того, что коэффициенты й-тД—г и 1------. 1 г практически по-
2 (2 -f- П) и Тп)
стоянны.
263
График зависимости Р от W для различных показателей пре-
ломления стекол представлен на рис. III.2.
Для предварительного подсчета аберраций тонких линз часто
бывает полезным знать, как меняются основные параметры Р и W
при изменении формы линзы (показатель преломления линзы
принят п = 1,5):
Л низа W Р
Плоско выпуклая с первой поверхностью пло-
ской ............................................. 3,00 9,00
Равносторонняя.................................... 1,33 3,33
Плоско-выпуклая с первой поверхностью выпуклин —0,33 2.33
Принимая во внимание уравнения (III.33) и замечая, что от-
рицательным значения^ параметра а3 соответствуют отрицатель-
ные кривизны поверхностей
линзы, приходим к заключе-
нию, что менискам с отрица-
тельными радиусами кривизны
соответствуют большие положи-
тельные значения W и Р.
Для плоско-выпуклой линзы
с плоскостью, обращенной к
предмету, основные параметры
принимают значения W = 3 и
Р = 9. Когда линза становится
двояковыпуклой и переходит
к выпукло-плоской форме, вели-
чины Р и W продолжают умень-
шаться. Оин достигают мини-
мума, когда первый радиус
кривизны приблизительно в 6
раз больше второго (при противоположных знаках); при этом
W = 0,14; Р = 2,14. Дальше W принимает отрицательные значения
с увеличивающейся абсолютной величиной, а Р снова возрастает.
Параметр л практически постоянен, меняясь от 0,60 до 0,67.
В общем случае, т, е. когда а =А 0 и а' 4= 1, связь между W и Р
выражается с помощью соотношений, которым в целях облегчения
вычислений придан такой же вид, как в формуле (JIJ.36). Эту
формулу можно написать в таком же виде, как при а -= 0, а именно:
Р = а(№-№0)2 + Р0,
где
' п(2ч-п) . w _ (1 —р2)а'2 .
(л+ 1)а (1 -р)а' ’ 2 (2-j-n) ’
264
265
Если а' = 1,0, то
л___ п (2 + n) . tty _ 0 — Ра) ,
(п+ 1)2(1 ~₽) ’ ° 2(2+л)’
П =—Л_______(1 —В) ГН'|-1)(1+Р)а пб1
‘ ч (л— Г)2 Р-1 L 4 (2 + n) Г •
В табл. III.3 показана зависимость Ро от £ для различных зна-
чений л. На рнс. III.3 и III.4 даны кривые зависимости Ро от р
(на рис. HI.4 показана центральная часть кривых рис. III.3 в бо-
лее крупном масштабе).
Таблица I1I.3
р Показатель преломления
1,5 1,6 1,7 2,0
—10,0 1943 1673 1495 1224
—5,0 372,7 309,3 268,2 204,5
—2,0 57,2 45,7 38,3 26,6
—1,0 18,0 14,2 11,8 9,76
—0,6 8,91 7,09 5,90 4,06
—0,4 5,59 4,48 3,78 2,69
—0,2 2,98 2,47 2,45 1,63
0 1,07 1,0 0,95 0,88
0,2 —0,21 0,02 0,15 0,38
0,4 —0,90 -0,53 -0,30 0,07
0,6 -1,06 —0,68 -0,44 —0,06
1,0 0 kz 0 0
2,0 8,37 5,22 3,25 0,08
5,0 25,9 -1,80 —18,80 —46,72
10,0 —355,2 —449,1 -503,6 —598,3
5. АФОКАЛЬНЫЕ БЕСКОНЕЧНО ТОНКИЕ КОМПОНЕНТЫ
В ряде оптических систем, главным образом зеркальных н
зеркально-линзовых, в которых из-за малого числа параметров
оказывается затруднительным исправлять достаточное количество
аберраций, применяются для коррекции оставшихся неисправлен-
ных аберраций афокальиые компоненты малой толщины, не имею-
щие общего хода лучей в системе. Наиболее простыми являются
однолннзовые (менисковые) компенсаторы, предложенные Габором
и Максутовым соответственно в 1940 и 1941 годах (а может быть,
266
и еще ранее Бауерсом). Однако, поскольку коррекционные свой-
ства менисковых компенсаторов обусловливаются нх толщиной
совместно с радиусами кривизны, онн в этой главе рассматриваться
не будут.
Двухлиизовые бесконечно тонкие компоненты
Эти компенсаторы, предложенные еще Ценгером в XIX в.,
бывают двух родов: для линз применяется один и тот же материал
либо разные. В первом случае афокальный компенсатор идеально
исправлен в отношении хроматических аберраций положения и
увеличения, во втором появляется возможность исправлять одну
Рис. III.5
из хроматических аберраций системы, но при этом появляется вто-
ричный спектр.
Рассмотрим двухлиизовые афокальные компенсаторы из одного
материала, поскольку оии значительно чаще применяются. Вы-
числим значения основных параметров бесконечно тонкого афо-
кального компенсатора UZ, Р, л и С. Положим аг — а6 (рис. III.5);
л, п3 =-- пь = 1; п2 =* = «.
Тогда
F = (а4 — а2) (а, — а,);
Р = Ti " I ? <“* — <“3 ” “*> К2п + 1) (“з + “1) —
\'1 1I
— (2+ «)(«,+ «,)];
л — 0;
С-0.
Отмечая, что
4 = К2" + |)(«з + “1)-(2 + л)(а4 + а2)].
267
и решая предыдущие уравнения
относительно а2 и <х4, получаем
'« 2 4-л1з+ *' п (2-1- п) W (п + 1)(аг-а,) ’
„ 2л + I , . , n' l Р . п - I №'
2“‘ ~ 2 + п (“3 + “>) л (2 + л) ТГ + 7Г+Т а, — а,
(1П.38)
В частном случае, когда п -• 1,5163 (стекло К8 для Л -• 589,3),
а2 = 4 0,573(0,4-0,) — 0,1215 4^ — 0,1025--------—•
IV ССд —- СС| ’
Р w/ (111.38*)
а = -|-о,573(а3 + а1) —0,1215 4,- 4-0,1025---“---. 7
» ССз — СС|
Заметим, что ах может равняться любой величине, в том числе
и нулю. В этом случае компенсатор находится в параллельном
пучке, например перед объективом. Если компенсатор находится
между объективом и изображением, то ах = а5 обычно равно
единице.
Любопытно, что Р содержит вторые степени от а4 и а2, a W —
лишь первые степени, в то время как у обычных бесконечно тонких
компонентов (иеафокальных) Р есть функция третьей степени,
a 1F — второй степени относительно а2 и а4. Отсутствие оптиче-
ской силы (а8 = а4) понизило степень уравнений иа единицу,
в результате этого прн заданных Р, W н а3 решение для а2 и а4
получается единственным. Параметр а3—аь характеризующий
оптическую силу каждой составляющей, теоретически может при-
нимать любые значения.
Из предыдущих формул ясно, что с помощью афокального
двухлинзового компенсатора можно исправить две аберрации мо-
нохроматических лучей, поскольку можно придать параметрам Р
и W любые значения, кроме W — 0 при Р =j= 0; л равно нулю.
Обычно при применении компенсатора в параллельных пучках
исправляют сферическую аберрацию и кому всего объектива.
Когда компенсатор находится недалеко от плоскости изображений,
рационально его использовать для исправления астигматизма и
кривизны или одной из этих аберраций и дисторсии.
Замена двух линз тремя, четырьмя и более не увеличивает
коррекционных возможностей компонента, но позволяет до-
биться меньших остаточных аберраций, поскольку путем приме-
нения нескольких двухлинзовых компенсаторов можно распре-
делить между ними величины Р и UZ. Например, с помощью двух
двухлнизовых компенсаторов можно добиться того, чтобы каждый
из них обладал значениями Р н W в два раза меньшими, чем в слу-
чае одного компенсатора, а это приводит к заметному уменьшению
кривизны поверхностей (но не вдвое ).
Параметр <х3 ие увеличивает коррекционных возможностей
компенсатора в области зейделевых аберраций, ио может заметно
268
влиять на аберрации высших порядков. Если величина а3 близка
к <хх, оптические силы обеих линз малы и для получения зна-
чительных Р и W приходится давать поверхностям линз боль-
шие кривизны: линзы принимают вид сильных менисков, что
приводит к большим аберрациям высших порядиов. Если, наобо-
рот, брать <х3 далеким от cclt оптические силы линз велики; это
приводит к появлению крутых поверхностей, а следовательно,
и больших высших порядков. Нанлучшее решение получается
в промежуточной области, которую следует искать путем проб.
Как правило, лучшие результаты сопутствуют наименьшим кри-
визнам; поэтому при выборе а3 следует довести вычисления до
расчета радиусов кривизны и в первом приближении выбрать то а3,
при котором все поверхности обладают достаточно малой кривиз-
ной. Далее нужно вычислять суммы Зейделя на всех поверхностях
и более точный выбор произвести на основании частичных значе-
ний этих сумм, обращая главное внимание на те аберрации, ко-
торые надлежит исправить с помощью компенсатора. Опыт пока-
зывает, что при ах = а5 — 1 надо брать а3 около 0,5—0,3 (отрица-
тельная линза впереди) или 1,5—2 (положительная линза впереди).
Прн = <х5 = 0 следует брать а3 в области 0,5—1. Однако многое
зависит от значений Р и W.
Двухлинзовые афокальные компенсаторы из различных мате-
риалов в принципе позволяют исправить три аберрации в моно-
хроматических лучах и одну хроматическую, поскольку выбором
параметров а можно добиться получения любых значений Р, IV',
я и С. Практика показывает, что величина я мало отличается от
нуля; по этой причине имеет смысл использовать такие афокаль-
ные компенсаторы лишь в том случае, когда нужно исправить
одну из хроматических аберраций.
Предел коррекционных возможностей афокальных
бесконечно тонких компенсаторов и способы
их расширения
Коррекционные возможности двухлинзовых афокальных ком-
пенсаторов невелики, хотя значительно больше, чем однолннзовых
менисковых. Эти возможности ограничены появлением аберраций
высших порядков, обязательно сопутствующих аберрациям треть-
его порядка. Чем больше значения параметров Р и W, тем круче
поверхности и тем сильнее сказываются аберрации высших по-
рядков.
В светосильных зеркально-линзовых системах допустимы зна-
чения Р, ие выходящие из пределов — 1 -ь + 1, a W не должно пре-
вышать 0,2—0,5, но при этом следует отметить, что одновременное
требование малого W (меньше 0,1—0,2) и даже не очень большого
значения Р приводит к большим кривизнам, так как в выражения
Р Р
для а2 и а4 входит отношение а большие отношения
2G9
приводят к крутым поверхностям. В каждом частном случае не-
обходимо «играть» указанным отношением, изменяя значения
параметров Р н W иа других поверхностях системы.
Для сравнения можно указать, что менисковые компенсаторы
не выдерживают значений Р, превосходящих по абсолютной вели-
чине 0,2, т. е. оказываются в несколько раз хуже двухлинзовых.
Коррекционные возможности афокальных компенсаторов могут
быть усилены следующими способами:
I) увеличением числа компонентов, так как при этом каждый
компонент может иметь меиьшне значения Р и W, что приводит
к уменьшению кривизны поверхностей и остаточных аберраций;
р
2) умелым подбором параметра <х3 и отношения (путем
перераспределения аберраций между компонентами оптической
системы);
3) применением асферических поверхностей, позволяющих при
тех же кривизнах в параксиальной области получать меиьшне
значения аберраций высших порядков.
Эти способы применимы одинаково к компенсаторам, работаю-
щим в параллельных пучках (до первой отражающей поверхности)
и в сходящихся пучках (после отражающих поверхностей), ио
в первом случае преследуется цель исправления сферической
аберрации и комы (иногда и хроматической аберрации), а во вто-
ром — исправления аберраций наклонных пучков. Во втором
случае требуются обычно большие значения параметров Р и W,
что приводит к большим кривизнам, затрудняющим получение
больших значений углов поля зрения; отсюда — уместность при-
менения указанных способов, особенно последнего, основанного
на применении асферических поверхностей.
Поскольку коррекционные возможности афокальиых компен-
саторов сильно ограничены, следует принять необходимые меры
к тому, чтобы основная система была наилучшнм образом неправ-
лена и требования к компенсатору в отношении значений пара-
метров Р и W были сведены к минимальным.
6. СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
Аберрации третьего порядка бесконечно тонкого компонента
В телескопической системе поперечные аберрации можно заме-
нить угловыми, представляющими собой предел, к которому стре-
мится отношение —-—г при s', стремящемся к бесконечности:
-fe]
— [6О;] = lims,=„ .
270
За единицу принимают угол в среде, отделяющей окуляр от впе-
реди стоящей системы. Если F' — заднее фокусное расстояние
этой системы, [’ — заднее фокусное расстояние окуляра, у =
F' я.
= —j-r-----увеличение телескопической системы, то получаем для
(6g' ] и 16G' 1 следующие формулы:
Н—у- = (w7 4" й?) Si 4- (Зю/ + Q?2) +
+ (3Sf11 + Siv) + wlSy‘,
-j—(a)/ + Ц/) Si + 2a)(?£2<?te/iSii 4~
-f- (Sin Siv).
При этом
= 1; yi—^7-, J = —1.
(HL8)
Основные параметры бесконечно тонкого компонента
Выражения для Р и соответствующие произвольному положе-
нию предмета, через основные параметры Р и W имеют следую-
щий вид:
Р = (а' — а)3 Р + 4а (а' — а)2 W +
4-а (а'—а)[2а(2 4-л)— а']; (Ш.25)
U7 = (а7 — а)3 W + а (а' — а) (2 + л) .
Если /ц и пр не равны единице, то формулы принимают вид
п'3Р = (п'а' —па)3Р + пп'а(п'а' — na)2(4W — 1) -|-
4- пЧ'^а^п'а' — па) -------2h У) =
~ (п'а' — па)3 Р 4- 4пп'а (п'а' — па)2 W 4-
+ пп'а (п'а' — па) рЗпа ^2— п— п'а'] = ,
= ft3ip3P -|- 4nn'a/t2<p2W пп'а/кр [2па(2 -Ь п'л) — п'а'];
n’2W — (п'а' — па)2 W 4- апл' (п'а' — па) + л);
При этом aj = 0; а' = 1.
271
Выражение для сферической аберрации третьего порядка при
произвольном положении предмета, определяемом отношением
а/а' (а' = 1), имеет вид
6s'= — — (2Р — 4W+ 1)а + (Р —4W + 4 + 2п)а2].
(111.27)
Основные параметры
бесконечно тонкой простой линзы
Зависимость Р от а2
P-Po + ^(«2-«o)2. (III.34)
где а0 — то значение а2, при котором величина Р имеет мини-
мальное значение. При этом
2n-:-l 1
п + 2 2 ’
р - (4п —1)п
0 “ 4 (2-4- п) (п— 1)- ’
” (2 + п)
7 (п-1)2’
(III.35)
Если исключить а2 из выражения для Р, то
Р = ₽о+ [*-<mp] (Ч!-36)
Приближенная формула для Р имеет вид:
Р = Ро -И 0,85 (W — 0,14)2. (111.37)
Афокальные бесконечно тонкие компоненты
Для двухлиизового афокального компенсатора из одного стекла,
полагая а( — а5; пг = п3 = n5 = I; п2 — п4 — п, имеем
2а -2п+1/д I аЧ 1 Р (n-D^ .
2 2 + n(a3 + «i) „(2 + „) (п+1):
2„ -2в+На , n^l Р (n-l)W Ч"-3»)
Z 2 +л №+“11 л (2 +n) F + (л + !)(«,-«!)•
В частном случае, когда п = 1,5163 (К8), уравнение принимает
следующий вид:
<х2 = + 0,573 (as + а,) - 0,1215 ~ - 0,1025 —;
р 3 w * (1П.38*)
а, = +0,573(а3 + а1) —0,1215+- + 0,1025^^.
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
НА ИЗОБРАЖЕНИЕ, ДАВАЕМОЕ ОПТИЧЕСКИМИ
СИСТЕМАМИ
1. ВВЕДЕНИЕ
Вопрос о влиянии температуры, или, точнее, изменений тем-
пературы, на качество изображения, даваемого оптическими си-
стемами, стал в последнее время предметом ряда исследований как
теоретического, так и экспериментального характера. Среди раб&т
теоретического характера следует отметить статьи А. Крюгера [1 ],
А. Зоннефельда [21, Д. Д. Максутова [31 ив особенности
Ж. Перри [41 и Д. С. Волосова 15], в которых рассматривается
влияние на координаты изображения точки-объекта изменения
температуры в предположении, что в каждый момент температура
всех элементов оптической системы (стекла и оправ) является
одинаковой. Эти вычисления производятся для параксиальной
области с помощью приемов, весьма близких к тем, которыми поль-
зуются при определении хроматических аберраций положения и
увеличения. В частном случае двухлинзового объектива Д. Д. Мак-
сутов вывел формулу изменения положения фокуса при изменении
температуры. Д. С. Волосов 151 развил работу Перри н рассчитал
ряд объективов, исправленных в отношении термооптических абер-
раций.
При повышении температуры показатель преломления опти-
ческих сред, как правило, растет; растут и линейные размеры
оптической системы, а именно: радиусы кривизны и толщины линз
и зеркал. Растут также размеры оправ линз и труб, соединяющих
отдельные оптические детали. В результате всех перечисленных
изменений перемещается плоскость изображения оптической си-
стемы, изменяется ее фокусное расстояние, а следовательно, и
увеличение системы, или масштаб изображения, изменяются
также и аберрации. Если система короткофокусная или если коле-
бания температуры невелики, можно пренебречь этими измене-
ниями, так как они не влияют на качество изображения. Если
оптическая система предназначена для визуальных наблюдений
(зрительные и астрономические трубы), этн изменения могут быть
скомпенсированы соответствующим перемещением окуляра при
условии, что в оптических средах не появляется заметного гра-
диента температуры.
Если рассматриваемая система представляет собой фотографи-
ческий объектив с фиксированным положением пленки или
18 г. Г. Слюсарев 273
пластинки, то здесь компенсация ие всегда возможна, и необходимо
принимать специальные меры, чтобы изображение попадало на
светочувствительный слой при любой температуре и чтобы при
этом размер изображения оставался постоянным.
С этой целью необходимо исследовать изменение положения
изображения и увеличения системы при изменении температуры.
В дальнейшем рассмотрим два случая.
В первом случае будем полагать, что температура всех сред
одинакова, ио отличается от той, для которой выполнен расчет
оптической системы.
Во втором случае будем считать, что температура отдельных
элементов различна, т. е. существует градиент температуры.
2. ТЕРМООПТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
ПРИ ОТСУТСТВИИ ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ
Прн изменении температуры показатель преломления опти-
ческой среды меняется по закону
n = n„ + (3 (/-/„), (IV.1)
где м0 — показатель преломления при температуре /0, а — коэф-
фициент приращения показателя преломления.
Эта формула справедлива лишь прн небольших изменениях
температуры, ие превышающих нескольких десятков градусов
Цельсия. Линейные параметры оптических деталей (толщины,
радиусы кривизны) меняются по закону
d = d,[l + a(t - Z„)l; I
r= r„[l+«(/ — /„)], j
где d0 и r0 — значения толщины и радиуса кривизны при темпера-
туре а— коэффициент расширения материала линзы.
Эти формулы верны также только при небольших изменениях /,
не превышающих одного-двух десятков градусов. Для больших
интервалов (50—60е) коэффициенты аир принимают равными
некоторой средней величине, но при этом в значениях п, г и d
возникают погрешности, достигающие нескольких единиц ше-
стого знака для п и нескольких процентов для d и г. Изменения
воздушных промежутков вызываются изменением температуры
оправ линз и труб, соединяющих оптические детали. Если кон-
струкция оправы сложна и определение этого изменения пред-
ставляет известные трудности, а воздушные промежутки малы
(по абсолютной величине), можно пренебречь нх изменениями.
При больших величинах этих промежутков оправы выполняются
обычно из одного материала (медь, сталь, инвар и др.) и темпера-
турные изменения могут быть определены, более того, они могут
быть использованы для компенсации температурных изменений
оптических деталей. Ко всем перечисленным выше причинам по-
274
грешностей при определении температурного эффекта можно до-
бавить еще следующие:
I) условие постоянства температуры на всех элементах опти-
ческих деталей никогда строго не соблюдается, так как прн из-
менении температуры наружных сред оптические детали нагре-
ваются неравномерно и лишь особые меры предосторожности (на-
пример, применение изоляционных футляров) могут в какой-то
степени устранить эту неравномерность;
2) когда две нли более линз, обладающих разными значениями
коэффициента расширения а, склеены, изменение радиуса кри-
визны склейки не может быть вычислено по приведенным выше
формулам, так как слой клея препятствует свободному расширению.
Таким образом, не представляется возможным без специаль-
ных экспериментальных исследований определить точные значения
температурного эффекта. Правда, наличие слоя клея, соединяю-
щего две соседние поверхности, приводит к тому, что влияние
изменения радиусов кривизны невелико и в нервом приближении
можно им пренебречь.
Вследствие всех указанных причин, расчеты изменения поло-
жения плоскости установки н масштаба изображения носят лишь
приближенный характер и нет смысла применять излишне сложные
формулы, получающиеся прн строгом учете влияния толщин линз,
тем более что исследование термооптических свойств оптических
систем оправдано лишь для длиннофокусных объективов, в ко-
d гт
торых отношение -р всегда мало. Поэтому при выводе основных
формул, характеризующих влияние температуры на положение
и величину изображения, можно всегда считать линзы бесконечно
тонкими; в большинстве случаев можно считать и объектив в целом
бесконечно тонким, за исключением систем, в которых расстояния
между компонентами сравнимы с фокусным расстоянием, что имеет
место в телеобъективах. Естественно, что выполненные при таких
предположениях расчеты лишь приближенны. Для получения точ-
ных величин смещения и масштаба нужно произвести расчет хода
лучей с помощью точных тригонометрических формул, после чего
можно ввести необходимые поправки в конструктивные элементы
согласно обычно принятым приемам (см. гл. II).
Изменение фокусного расстояния
бесконечно товкой линзы
Из формулы-X- = (л — 1)(—-------—'j дифференцированием по
I \ r1 r2 /
df ( 1 1 \ . , 1Ч / dr. drt\
п, и г2 получаем = an (--------) + (п — 1) ( —j------V).
/ \'з 11 / I /j ^2 }
Заменяя dn, через рД/, drx через г&Ы и dr2 через г2аД/
18'
275
1 1 1
и помня, что------= ту-,--- , получаем
Г( гг f (п — I) ’ ’
Х(“-ХтХ (IV-3)
где Д/ = t — t0 — разность температур.
Напомним, что хроматическая аберрация простой бесконечно
тонкой линзы определяется формулой
df' = _ X
Г V ’
где v — коэффициент Аббе — равен а Д/г — разность по-
казателей, соответствующих спектральным линиям С и F.
Таким образом, величина
XXh
иа изменение фокусного расстояния при изменении температуры
иа Д/ оказывает то же влияние, что величина Д- на хроматиче-
скую аберрацию линзы. Поэтому для расчета изменения df, вы-
званного изменением температуры Д/, можно использовать уже
известные для сложных, но бесконечно тонких оптических систем
формулы для хроматической аберрации положения и увеличения,
заменив в них v через —ъ— --— тД-: и обозначив через V
(Л-Х 1Л/
величину п ---а.
Рассмотрим случай, когда компонент в воздухе. Поступая, как
было указано выше, получаем для бесконечно тонкого компонента
в воздухе
As' = — s'2AZ^<p,- (—£l_ — а,); (IV.4)
A? = (1V-5)
где Да' — смещение плоскости изображения, вызываемое изме-
нением температуры Д/; i — номер линзы в компоненте; AZ' —
смещение точки пересечения главного луча с плоскостью изобра-
жения, вызываемое изменением температуры Д/; у — высота пере-
сечения главного луча с бесконечно тонким компонентом (вели-
чина у выражается в тех же единицах, что и величина V — высота
пересечения главного луча с плоскостью изображения).
276
Системы с большими воздушными промежутками
Пусть а, — коэффициент расширения материала оправы
(трубы), соединяющей два последующих бесконечно тонких ком-
понента i — I и i рассматриваемой оптической системы, разделен-
ных воздушным промежутком d( (рис. IV.1). Если изменение тем-
пературы равно At, то изменение промежутка dt равно d^At;
обозначим через [З.- линейное увеличение всей системы, стоящей за
промежутком Смещение плоскости изображения относительно
компонента i — 1 будет равно
Смещение относительно плоскости изображения, соответствую-
щее температуре /0, может быть определено только в том случае,
если известна конструкция всей опра- . .
вы оптической системы, причем каждый f А______________I \
конкретный вариант должен быть рас- "Т 7 ( у
считан особо, с учетом влияния темпе-
ратуры на все последующие компонен- Рис. IV.1
ты. Поэтому не существует общей
формулы, которая может быть применена
в любом случае, а целесообразно поступать следующим образом.
1. Вычислить аберрации положения и увеличения в предпо-
ложении, что при изменении температуры воздушные промежутки
остаются постоянными. С этой целью применяются формулы,
аналогичные известным формулам для хроматических аберраций
положения и увеличения системы бесконечно тонких компонентов,
а именно:
-2 М
Asp = — s„ At 2
„ ' (1V.6)
где I’ — расстояние от оптической оси точки пересечения луча
с плоскостью изображения (при начальной температуре); hp —
высота пересечения первого параксиального (апертурного) луча
с последним компонентом; — высота пересечения второго па-
раксиального (полевого) луча с компонентом i.
Во второй из приведенных формул в знаменатели с обеих
сторон введена величина 1'р, что приводит к следующим преимуще-
ствам: а) в левой части термическая аберрация увеличения вы-
ражена в процентах, т. е. в том виде, в котором принято ее опре-
делять; б) в правой части появляется отношение у- ; это дает воз-
р
можиость углы второго параксиального луча с осью выбрать
произвольно.
277
2. После того, как вычислены величины &s'p и Д/^, зависящие
только от параметров отдельных линз (или зеркал), следует
принять во внимание изменение положения плоскости изображе-
ния из-за действия температуры иа воздушные промежутки, учи-
тывая, что каждый воздушный промежуток с номером i претерпе-
вает изменение d/ty Д/. Пусть pt- — увеличение всей части системы,
стоящей за компонентом i. Смещение компонента i вызывает сме-
щение изображения относительно этого компонента на величину
р2 d.aAt и иа (0? — 1) </1.а(Дг' относительно предыдущего компо-
нента । — 1. Если имеется несколько компонентов, то смещение
изображения относительно его первоначального положения равно
сумме отдельных перемещений, т. е. Д/£ (0^ — 1) dify.
3. Принять во внимание смещение плоскости приемника свето-
вой энергии, равное некоторой величине 6 Д/, вызываемое изме-
нением температуры Д/; величина 6 может быть определена из
конструкции прибора. Общее смещение изображения, вызываемое
всеми рассмотренными выше причинами, равно
As' = [ — s? V, q>.V( + у1, (₽?- 1) dKH + б] Ы. (IV.7)
Рассмотрим теперь аберрацию увеличения. Для простоты огра-
ничимся случаем двух бесконечно тонких компонентов, разделен-
ных воздушным пространством d.
Перепишем выражение для части этой аберрации, не связанной
с изменением воздушного расстояния:
В нашем частном случае двух компонентов получим
= (Af <p,v1 + ^<p2v2').
Теперь следует добавить к величине Д/' величину Д/', причиной
появления которой является косвенный температурный эффект,
а именно изменение хода главного луча вследствие изменения рас-
стояния d, а следовательно, и изменение величины V — высоты
точки пересечения этого луча с плоскостью изображения и с пло-
скостью слоя. Вычислим изменение V в предположении, что при-
емник световой энергии связан с последним компонентом системы
трубой, изготовленной из материала с коэффициентом расшире-
ния а3. Пусть /2 — изображение предмета, полученное после пер-
вой лннзы; — его расстояние от компонента £2 (рис. IV.2).
Последний под влиянием-температуры смещается на величину
б = da2 Д£ где а2 — коэффициент расширения материала трубы,
соединяющей компоненты L и £2. Тогда изображение объекта,
278
т. е. Z2 = A'A'i, смещается иа величину (J2 da2 Д/ по отношению
к линзе Д2. Величина /' до изменения температуры была равна
Sn Aso Sn ——
Z2B = h— . после изменения — l2 —-—«- = /2---------------*- • Счи-
$2 • о sz — о
тая б малым по сравнению с s2 и $' н произведя некоторые преоб-
разования, получим
(А|г)2 = _ бр (Р — 1) = _ — 1) Д/
I2 Sg s2
Выраженная этой формулой величина (Д/2)2 относится к новой,
смещенной плоскости изображения, но еще ие к светочувствитель-
ной поверхности приемника.
Последняя тоже перемещается
под влиянием изменения темпе-
ратуры и уходит от второго
компонента на величину $^а3 Д/.
Таким образом, расстояние б2от
новой плоскости изображения
до нового положения слоя
б2 = S2«3 Д/ — р2 d(X,2 = Д/ X
X (S'Xl— </«2₽2).
Точка пересечения главного луча при переходе от одной пло-
скости к другой изменяет свое положение иа величину — де'62,
где w' — угол главного луча с осью в пространстве изображений
(изменением угла w', вызванным перемещением линзы Lz, можно
пренебречь, так как оно вводит погрешность не ниже второго
L— у2
порядка). Угол w равен отношению------------, следовательно,
S2
изменение 1'2, вызываемое последней причиной, равно
(Д/2)з = (s2<%3 — Д/ ~.
S2
Складывая все три полученных выше приращения получаем
<p2V2') —
<2 \ "2 <2 Ч /
_ _ 2) 1у 8)
s2 s2
Обобщить полученные формулы не представляет никакой труд-
ности, но поскольку исправление указанных температурных абер-
раций необходимо лишь для длиннофокусных систем, работающих
1V.2
Рис.
279
в условиях значительных изменений температуры и по этой
причине требующих простой конструкции, в этом обобщении
надобности нет.
К причинам, вызывающим изменение положения изображения,
относится также изменение диаметров оправ линз, косвенно влия-
ющее на воздушные расстояния.
Помимо двух рассмотренных термооптических аберраций по-
ложения и увеличения, аналогичных хроматическим аберрациям
тех же названий и относящихся к параксиальной области, суще-
ствуют и температурные изменения всех аберраций третьего и бо-
лее высокого порядков; но они настолько малы, что ими можно
пренебречь. Впрочем, выражения для этих аберраций настолько
сложны, что если все же возникает необходимость в их исправле-
нии, то оно выполняется на основании исследования результатов
тригонометрических расчетов хода лучен; этот вопрос здесь рас-
сматриваться ие будет.
Исправление термооптических аберраций гауссовой области
достигается путем подбора, с одной стороны, сортов стекла, обла-
дающих необходимыми значениями коэффициентов V, а с дру-
гой — подбором материалов для оправ оптической системы с ис-
пользованием широких возможностей выбора коэффициентов рас-
ширения а (в том числе и отрицательных — при специальных
конструкциях оправ, напоминающих по идее схемы компенсиро-
ванных маятников часов).
Коэффициент И оптических стекол
На рис. IV.3 приведен график значений коэффициентов V
для наиболее применяемых сортов оптического стекла. Коэффи-
циенты V заимствованы из ГОСТа 3514—57 (см. табл. IV. 1). На
графике по оси абсцисс отложены значения коэффициентов дис-
персии —-—— = v, по осн ординат — усредненные величины V,
относящиеся к области —6O4-+4O0, для основной длины волны
589 нм (линия £)). Поскольку коэффициент V зависит довольно
заметно от длины волны, то при расчетах, выполняемых для
спектральных областей, отличных от видимой, необходимо об-
ратиться к указанной выше нормали или иным справочникам.
Наиболее употребительные кристаллы приведены в табл. IV.2.
График показывает большое разнообразие значений V у оп-
тических стекол, выпускаемых нашей промышленностью, что,
несомненно, является благоприятным обстоятельством, облегча-
ющим расчет оптических систем, ие расстраивающихся при из-
менениях температуры. Особенно достойно внимания наличие
как положительных, так и отрицательных значений коэффици-
ента V; у многих сортов этот коэффициейт близок к нулю, как,
например, у ТФЗ, Ф2, ОФЗ, ОФ1, БФ7, КФ1, ТК8, БФ1, БКЮ,
280
№28
281
Таблица fV. I
Сорт стекла 1 й Сорт стекла S её а-10* (—60-г-+20°) в
ЛКЗ -0,9 8,6 -10,7 70 ТК13 2,5 6,1 —2,3 60,6
ЛК4 3,9 5,0 2.8 65.1 ТК14 2,1 6.3 —3,0 60.6
ЛК5 6,5 3,3 97 65.6 TKI6 2.1 6.8 -3,5 58,3
ЛК6 —0,2 8,0 -8.6 66,8 ТК20 2.3 6,8 —3,4 56,7
ЛК7 5,4 4,0 7,0 66,3 ТК21 3,4 7,4 —2,7 51,1
KI 2,2 6,2 -2,0 65,1 КФ1 3,5 6,3 0,1 54,5
К2 3,4 5,8 0,6 66,0 КФЗ 3,4 8,3 —2,2 51,0
кз 2,2 7,4 —3,3 63,4 КФ4 3,7 6,4 0,6 58,9
К5 2.8 6,7 —1,4 64,3 КФ5 3,3 5,9 0,5 62,1
К8 2,8 7,2 -2,2 64,1 КФ6 4,3 6,3 1,9 57,2
К14 4,2 6,5 1,5 —2,6 60,6 55,5 КФ8 3,2 7,3 —1,7 52,0
К15 3,1 8,1 БФ1 3,6 6,6 —0,1 54,9
К18 3,6 6,4 0,4 60,4
KI9 БФ4 2,9 7.1 —2,1 53,9
2,6 7,4 —2,8 61,7
БФ6 2,8 7,6 —3,2 49,4
К20 4,0 6,9 0,2 60,1 БФ7
4,1 6,8 0,0 53,9
БК4 2,1 7,4 -3,8 60,5 БФ8 2,9 7.8 —3,3 46,5
БК6 1,8 7,4' —4,4 59,7 БФ11 4,5 6.4 0,5 53,1
БК8 3,6 5.6 0,6 62,8 БФ12 . 3,1 8,3 —4,0 39,1
БК9 3,3 6,8 -1,3 55,8 БФ13 4,6 6.1 0,7 48.3
БКЮ 3,9 6,5 0,0 56,0 БФ16 2,5 7,8 -4,5 47,3
БКИ 2,8 6,0 —1,1 63,3 БФ18 3,5 7.2 — 1,3 50,9
БК12 2,5 7,1 —3,0 58,3 БФ19 3,7 7,1 — 1,1 51,1
БК13 2,7 6,2 -1,7 61,1 БФ21 4,9 7,2 0,3 40,0
ТК1 3,0 5,9 -0,7 60,8 БФ23 2.8 7,0 -2,4 52,4
ТК2 3,3 6.4 -1,0 57,5 БФ24 5,4 7,4 0,5 36,8
ТКЗ 3,5 5.4 0,2 61,2 БФ25 5,0 6,9 0,7 46,1
ТК4 4,8 5,9 1,7 55,8 БФ26 6.7 6,4 3,5 38,5
ТК7 2,9 6,7 —2,3 56,3 БФ27 4,2 7,5 —1,2 44,0
ТК8 4,0 6,2 0.2 55,1 БФ28 8,6 6,0 6,3 35,4
ТК9 3,7 ’ 7,1 -1,4 54,0 ЛФ1 1,7 8,0 —5,4 47,2
ТК12 2,9 5,8 -0,9 62,9 ЛФ5 4,4 6,6 0,6 41,3
282
Продолжение табл. IV. 1
Сорт стекла Q Я 4- И 8 Л Сорт стекла £ 4- Ь8 U
ЛФ7 4.3 7,1 -0.4 41.1 ТФ1 3,4 8,3 -3,8 33,9
ЛФ10 2.6 7,2 -3,0 45,9 ТФ2 6,2 7,9 0.7 32.2
ЛФ11 3,5 7,1 -1,2 46,8 ТФЗ 6,8 7,8 0,4 29,5
ТФ4 8 0 1 6 28 9
Ф1 5,2 7,1 0,9 36,9 ТФ5 8,0 7.9 1.6 27,5
Ф2 4,9 7,4 0.0 36.6 ТФ7 4,9 9,3 -3,5 28,3
Ф4 5,4 7,4 0.7 35,9 ТФ8 6.4 7,7 0.6 31,1
Ф6 4,1 7,1 — 1,1 37,9 ТФ10 9,7 8,1 2,8 25,4
Ф7 5,0 7,1 0,3 36,9
Ф8 1,2 9,5 -8,4 35,6 ОФ1 3.5 5.9 0,4 51,8
Ф13 5,5 7,1 1,0 36,3 ОФ2 2,6 7,2 -3,0 48,6
ОФЗ 3.1 4,9 —0,3 44,1
Таблица IV.2
Кристалл ^10* а-10‘ V-10* V nD
Фтористый натрий NaF -16 (—79^3-Р250°) -82 85 1,32549
Фтористый литий LiF —12,7 31 (—604-4-20°) —64 99 1,39205
Фтористый кальций (флюорит) CaF3 —10,4 17,8 (-604-4-20°) -42 95 1,43384
Фтористый барий BaFa -15,5 17,8 (—60-ь 4-20°) -51 82 1,47443
Йодистый цезий CsJ —99,2 48,6 (224-36°) -176 24 1,78694
Кварц кристалли- ческий SiOa (для обыкновенного луча) —5,3 7,0 (-304-4-70°) 17 70 1,54421
Кварц плавленый SiO2 9,8 0,2 (-60-ь 4- 20°) 22 68 1,45860
Сапфир А1аО3 (для обыкновенного луча) 13,1 6,7 оси (204-50°) 5,0±оси (50°) 10 51 1,76825
Примечание. Содержащиеся в таблице величины взяты из различных источников и должны рассматриваться как приближенные. Следует обратить вни- мание на весьма большие значения коэффициентов аир кристаллических сред — обстоятельство, затрудняющее применение их в приборах, подвергающихся зна- чительным изменениям температуры.
283
К20, ТКЗ, К2. Все эти стекла весьма значительно отличаются
друг от друга в отношении коэффициентов частных дисперсий,
а следовательно, можно из комбинаций этих сортов рассчитать
ахроматическую систему с независящим от температуры положе-
нием фокуса. Впрочем, в большинстве случаев следует учесть
расширение оправы и трубы, и целесообразнее так подобрать сорта
стекол, чтобы изображение не смещалось с плоскости прием-
ника, прикрепленной к концу трубы.
Пример. Рассмотрим двухлинзовын астрономический объек-
тив с фокусным расстоянием [' — 1000 мм. Требуется добиться
совпадения изображения бесконечно удаленного объекта с плос-
костью приемника при изменении температуры иа 30°.
Сначала, с целью определения порядка величины смещения
фокуса, целесообразно исходить из наиболее часто употребляемых
сортов стекла К8 и Ф2. Оптические и термооптические свойства
этих стекол приведены в табл. IV.3.
Т а б л и ц a IV.3
Сорт стекла nD пР пР ~ пс а &D V
К8 1,5163 64,1 7,2-10-® 2,8-10"® —2,10-®
Ф2 1,6164 36,6 7,4.10“6 4,9-10-6 0
Из условия исправления хроматической аберрации имеем
<fx= W^w = 2'30-
Для бесконечно тонкого компонента при объекте на бесконечно-
сти смещение фокуса при изменении температуры на 1° равно
6s' = — Г S = - 1000(— 2,30-2- 10"е) 0,0046 мм/град.
Нужно найти материал для корпуса объектива, который дал
бы такое же смещение приемника. Длину трубы прибора можно
принять равной 1000 мм. Если в качестве материала трубы взять
латунь, то при коэффициенте расширения а = 10-10"6 смещение
приемника окажется равным 0,010 мм!град, т. е. примерно в два
раза больше, чем нужно; изображение будет отставать от плоско-
сти приемника на 0,0054 мм!град. При изменеиии температуры
на 30* величина дефокусировки достигнет 0,16 мм. Если эта ве-
личина слишком велика, можно искать или другую комбинацию
стекол, для которой смещение будет больше (например, комбина-
цию КЗ—Ф1), или другие материалы для трубы (например, сплав
стали с никелем). Можно еще составить трубу из двух частей —-
284
одну из латуни, вторую на основе инварных стержней, — причем
длину каждой части подобрать так, чтобы получить общий коэф-
фициент расширения необходимой величины. В астрономическом
объективе, являющимся входным зрачком системы (а следова-
тельно, у — 0), влияние температуры иа термооптнческую абер-
рацию увеличения отсутствует.
Один из приемов, предназначенных для исправления термо-
оптических аберраций (в том случае, когда приемник не меняет
своего положения при изменении температуры), заключается в сле-
дующем: сорта стекол подбираются так, чтобы их коэффициенты V
были пропорциональны коэффициентам v. Очевидно, что прн со-
блюдении этого условия исправление хроматических аберраций
автоматически сопровождается исправлением термооптических.
Поскольку разброс величин V велик, то при наличии большого
количества сортов стекла можно почти всегда удовлетворить ука-
занному условию, если не точно, то по крайней мере приближенно;
даже приближенное выполнение условия пропорциональности
сильно помогает исправлению термооптических аберраций. К со-
жалению, этот прием хорош тогда, когда приемник энергии ос-
тается на месте, что требует применения инварных трубок или
весьма сложных компенсационных устройств.
Влияние изменения температуры на аберрации третьего по-
рядка, как уже было указано выше, ничтожно мало, и в боль-
шинстве случаев им можно пренебречь. Если все же коррекция
этих аберраций необходима, то приходится применять обычную
методику исправления аберраций высших порядков монохрома-
тических лучей, т. е. изучать влияние отдельных параметров,
например конструктивных элементов системы, и главным образом
влияние термооптических характеристик сортов стекол.
3. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ГРАДИЕНТА СТЕКЛА
НА КАЧЕСТВО ИЗОБРАЖЕНИЯ
В оптических системах больших размеров, как астрономиче-
ские рефракторы, рефлекторы, зеркально-линзовые системы, не-
возможно добиться того, чтобы температура всех частей оптики,
оправ и труб была одна и та же. Температура среды, в которую
погружены оптические детали астрономических и других боль-
ших инструментов, неравномерна. Эти неравномерности вызывают
внутри материала линз и зеркал особое распределение темпера-
туры, иногда весьма сильно отличающееся от идеально равномер-
ного.
Вопрос о влиянии неравномерного распределения температуры
внутри линз очень мало освещен в литературе, и то только с точки
зрения эксперимента.
Неравномерный нагрев оптической детали приводит к двум по-
следствиям: 1) изменению формы оптической детали, что вызывает
285
отклонение луча на некоторый угол е; 2) появлению градиента
показателя преломления в материале детали, что, в свою очередь,
вызывает искривление траектории луча и отклонение хода луча.
Эти два весьма малых отклонения складываются согласно закону
сложения дифференциалов.
Изменение формы оптической детали
и вызванное им отклонение луча
Для упрощения расчетов делаем следующие предположения.
1. В оптической детали установился определенный температур-
ный режим, не меияющийся со временем.
2. При достижении определенного температурного режима от-
сутствуют упругие натяжения в материале оптических деталей;
поэтому деформация оптической детали вычисляется единственно
на основании линейного закона рас-
, ширения.
'' Эго предположение не может выз-
вать серьезных возражений для боль-
шинства оптических деталей, как
линзы и зеркала, толщина которых
невелика по сравнению с диаметром,
о1 в особенности если приняты меры,
рис. iv.4 чтобы расширение детали происхо-
дило свободно.
3. Градиент температуры направлен перпендикулярно оси
симметрии оптической детали, если у последней имеется таковая.
Если осн симметрии нет, направление градиента будет каждый
раз оговорено.
4. Луч распространяется таким образом, что угол и, образуе-
мый им с осью, невелик и косинус этого угла можно принять рав-
ным единице.
’ Пусть АВ = е (ft) (рис. 1V.4) — толщина детали иа расстоя-
нии ft от оси (нли от выбранной прямой, которая при нагревании
не подвергается смещению). Условно будем считать, что иа уровне
осн 00' температура равна нулю. На высоте ft температура равна
t (h). Удлинение de отрезка АВ будет
de = ae(ft)/(ft).
Одновременно с этим отрезок АВ перемещается по высоте.
Каждый отрезок .dh удлиняется на величину a dht (ft). Общее
л
перемещение Aft равно Aft = a J t (ft) dh. Таким образом, эле-
o
мент АВ одновременно расширяется на величину de = ае (ft) t (ft)
л
и смещается вверх на величину Aft — a J* t (ft) dh.
о
286
Луч, падающий на оптическую деталь на определенной вы-
соте й, который при отсутствии нагревания упал бы иа элемент
АВ, на самом деле через этот элемент не пройдет, так как из-за
изменения температуры элемент АВ занял положение AiBlf
и кроме того, изменил свою толщину. Разность толщин е (й), вы-
зываемая разностью высот Дй, равна
e(h)
an ’
где Дй - а i (й) dh, поэтому изменение толщины Де следует
6
считать равным
л г л
&е = ае (h) t (Л) - a A J , (Л) dh = а L(л) t (Л) _ j t (Kj dh
0 L 0
Отклонение луча от своего первоначального направления может
быть вычислено следующим
образом.
Пусть е — толщина оптиче-
ского элемента (рис. IV.5). Соот-
ветствующее изменение положе-
ния фронта волиы, вызываемое
этим элементом, равно (п— 1)е
и направлено влево. Предполо-
жим, что при переходе от высоты
й к высоте й 4- dh толщина эле-
мента изменяется на de. Тогда
Рис. 1V.5
поверхность волны изменяет
свои наклон на (п — 1) , причем луч отклоняется вверх.
Таким образом, отклонение луча вверх е, определяется фор-
мулой
/ 1 \ de
откуда
[л "1
Производим дифференцирование выражения в квадратных скоб-
ках
О
- И)
287
Окончательно получаем
8i =(л-1)а jt(h)dh
L о
Отклонение луча под влиянием градиента
в предположении, что форма поверхности ие изменилась
Рассмотрим элемент объема изотропной, но неоднородной среды,
показатель которой изменяется от точки к точке. Если элемент
достаточно мал, можно считать, что изменение показателя по коор-
динатам происходит по линейному закону, т. е. можно считать
# градиент показателя постоянным. В рассматри-
ваемом случае, когда показатель меняется мало
и плавно, градиент можно считать постоянным
даже на больших протяжениях объема среды,
---L если луч распространяется почти параллельно
---L оси и градиент показателя расположен перпен-
---2 дикулярно оси.
. Покажем, как изменение хода луча в среде
\ связано с величиной градиента показателя.
Если среда, в которой распространяется
\ луч, неоднородна, то луч отклоняется от пря-
мой линий’ и искривляется. Кривизна луча
Рис. 1V.6 обычно определяется исходя из принципа
Ферма, на основании вариациоииого исчисле-
ния. Укажем здесь вполне элементарный вывод формулы для
кривизны луча. Рассмотрим (рис. IV.6). три бесконечно тонких
слоя толщины dh с показателями преломления п— dn, п,
п + dn. Не нарушая общности [рассуждений, предположим,
что нормаль ОН к поверхностям раздела находится в пло-
скости чертежа и что падающий луч, или, точнее, бесконечно
малый отрезок падающего луча, также находится в этой плоскости
и образует угол i с нормалью.
При переходе через вторую границу луч преломляется по за-
кону (п — dn) sin i = п sin (/ — di), откуда di = tg i. Луч
повернулся на угол di, равный tg i.
Достигнув третьей границы, луч претерпевает опять такое же
отклонение. Прн переходе от слоя, к слою луч отклоняется иа
величину di — tg i. Напомним, что радиус кривизны кривой
R = где ds — приращение дуги; da — приращение угла,
образуемого нормалью с постоянным направлением.
288
Если слой имеет толщину dh, то соответствующая этому слою
Л/-. dh п ds dh
длина дуги ВС равна ; поэтому R - = cos . =
dh dh, п п
= ———r. Для кривизны траектории имеем
COSi —tgi n 1
n
i = ^sln(’ (IV.9)
Но -Гт — отношение изменения n к изменению h, отсчитываемому
по нормали к поверхностям равных значений
диент п. Таким образом, получаем
-L = п sin i — grad (Ign) sin i. (IV.9*)
Отметим, что если i = 0, т. е. луч падает
нормально к поверхностям равных значений
п, то он не претерпевает отклонения. На- А
оборот, когда луч падает параллельно этим
поверхностям, он отклоняется максимально
и кривизна равна
i = 4 gradn. (IV.10)
G
Рис. IV.7
Пусть ABCD (рис. IV.7) — сечеиие малого элемента объема
меридианной плоскостью; GG' — градиент, который будем счи-
тать постоянным; i — угол падающего луча LM с градиентом.
Если градиент параллелен оси ft, то grad п = , поэтому
1 sin i dn ,z ,
-д- = Как было указано выше, мы будем рассматри-
вать лишь такие лучи, угол которых с осью невелик; это значит,
что углы i будут близки к л/2 и можно положить sin i = 1.
Следовательно,
I _ 1 dn
Я п dh ‘
Если луч пробегает путь е, то он поворачивается на угол б
(рис. IV.8), равный ~ , т. е. . Этот поворот происходит
в стекле лиизы. При переходе в воздух угол отклонения 6 уве-
личивается в п раз согласно закону преломления и угол отклоне-
ния е2, вызываемого непостоянством показателя преломления,
определяется формулой
Отношение можно написать в виде
dn _ dn dt
dh ~ di dh'
19 Г. Г. Слюсарев
289
В силу соотношения
п = «о+ ₽(/—/„)>
где £ — коэффициент, определяющий зависимость изменения по-
казателя преломления от температуры, имеем
а следовательно,
е, = г(й)₽-^. (IV.11)
Отклонение происходит в сторону высоких показателей. Об-
щее отклонение луча е равно сумме gj + е2.
Если градиент температур направлен
вверх, а коэффициенты аир положительны,
как это имеет место для обычных сортов
оптического стекла, оба отклонения имеют
один и тот же знак: луч отклоняется вверх.
Условимся такое отклонение считать отри-
цательным, поскольку в построениях геоме-
трической оптнки принято считать положи-
тельным поворот по часовой стрелке (т. е.
отклонение, направленное вниз; при этом
считается, что свет распространяется слева
направо).
Поэтому для е = -J- 82 получаем
е = _ (Я - 1)а [е(й) j t (й) dh I — e(h)p-^-.
L nJ
Обозначим для краткости буквой g, помня, что эта ве-
личина является функцией от ft; вместо е (ft) и t (ft) напишем
просто е и t. Тогда имеем
8 = —(п— 1)а
или еще
л
е _eg[(n 1)а + ₽] (п— f tdh. (IV.12)
о
290
Некоторые частные случаи
Несимметричное распределение градиента. Рассмотрим два
случая.
1. Случай, когда деталь ограничена плоскими поверхностями
(параллельная пластинка и призма с малым преломляющим углом,
расположенные так, чтобы их грани образовали с градиентом
небольшие углы, косинусы которых можно принять равными
единице).
В этом случае е" = 0 и формула (IV.12) принимает вид
е = ——1)ос-Нр], (IV.13)
Если соблюдено соотношение (п—1)а-|-р = 0, что примерно
имеет место для некоторых специальных оптических материалов,
отклонение е равно нулю и деталь можно назвать «нерасстраи-
ваемой», так как отклонение отсутствует не только при постоян-
ном (кривизны равны нулю), но и при любом градиенте темпе-
ратур.
Если величина (п — 1) а + р отлична от нуля, то отклоне-
ние е пропорционально произведению egy, где для краткости
положено у — (n + 1) а + р.
Если оптическая деталь представляет собой плоскопараллель-
ную пластинку, е постоянно и отклонение пропорционально гра-
диенту; если последний постоянен, отклонение также постоянно
и плоскопараллельная пластинка действует как клии.
Если оптическая деталь является клииом, отклонение растет
пропорционально толщине. Происходит расфокусировка пучка;
если ои был параллельным, то становится сходящимся, когда
градиент направлен вверх.
Пример 1. Плоскопараллельная пластинка толщиной
в 100 мм из стекла К8. Примем, что градиент температуры со-
ставляет 1° на 1 см. Для стекла К8 коэффициент а равен 70 X
X 10"7 град'1', коэффициент р равен 28-10~7 град'1. Имеем е =
= —100.0,1.70 ДО-7-206 000 = —14".
Пример 2. ’ Клин диаметром ;20О мм из стекла К8. Тол-
щина у верхнего края 0, у нижнего — 50 мм. Градиент состав-
ляет 1° на 1 см. Пользуясь вычислениями примера 1, получаем:
отклонение иа верхнем крае равно 0, на нижнем — 7". При диа-
метре 200 мм такая разность отклонений соответствует радиусу
кривизны поверхности выходящей волны
2. Случай, когда деталь ограничена неплоскими поверхно-
стями. Рассмотрим наиболее важный для практики случай лиизы.
Предположим, что при нагревании температура осевой части
линзы не меняется.
119*
291
Зависимость толщины е от высоты h имеет вид
ft2 I
е~е0 2(п- 1) г ’
где г о — толщина линзы в центре; —фокусное расстояние
линзы.
Предположим, что градиент g постоянен и направлен перпен-
дикулярно оси. Согласно формуле (IV. 12) получим
6 = - [*• - 2(п—-!)/>-] К” — 1)« + ₽] — (л — 1)<х 2(ni\)f-•
После сокращений, производимых вследствие того, что дефор-
мация линзы при постоянном градиенте сводится к нулю, полу-
чаем
е = -е0[(п_1)а + ₽1 + ₽5К^л7. (IV.14)
Первый член постоянен и очень мал. Практически остается
только второй, зависящий лишь от 0.
Поскольку е пропорционально ft2, изображение отягчено ко-
мой.
Пусть диаметр линзы 500 мм, f = 5000, стекло — К.8; разность
температур по краям 10°, g = поперечная кома в фокаль-
ной плоскости равна 0,004 мм, т. е. очень мала.
Хотя кома, вызываемая постоянным градиентом температуры,
мала, но в некоторых случаях ее желательно исправить. Это можно
сделать подбором сортов стекла. Рассмотрим, иапрямер, случай
двухлинзового объектива. Кома К, вызываемая системой двух
лннз, находящихся на бесконечно близком расстоянии друг от
друга, определяется величиной
ft? ft?
к=’
где индексы 1 и 2 соответствуют номерам линз. Если ft, — ft2, то
условие отсутствия комы выражается уравнением
______г J___Ё?__. = 0.
("l-lpl («2—0^2
Ввиду того, что в двухлинзовых объективах осуществляется
также условие ахроматизма
-7- + ~7- = °>
Vifi v2f2
292
где vl и v8 — коэффициенты дисперсии стекол, то должно быть
соблюдено условие
Mi _ М»
«1—1 пг — 1 ’
или
Р. =
Дп, Дгц ’
где Ля — дисперсия стекла.
Обычно применяемые для астрономических объективов сорта
стекол удовлетворяют этому условию: отношение дисперсии для
стекол К8 и Ф1 около 0,5, а отношение р также близко к 0,5.
Происходит автоматическая компенсация искажения изображения.
Распределение градиента, симметричное вокруг оптической
оси. Большая теплопроводность металлических оправ по срав-
нению с теплопроводностью стекла приводит к тому, что оправы
быстро воспринимают температуру окружающего воздуха и соз-
дают около края стеклянных линз определенную, одинаковую для
всего контура температуру, отличную от температуры стекла,
вследствие чего внутри последнего образуется более или менее
симметричное распределение температур. Этому распределению
можно в первом приближении придать вид t = Ah2, где А — не-
которая постоянная, а Л — расстояние рассматриваемого элемента
оптической детали от оптической оси.
Градиент g = -^ определяется формулой
g — 2Ah.
Рассмотрим сначала случай деталей, ограниченных плоскими
поверхностями (плоскопараллельные пластинки, клинья), нор-
маль к которым образует с градиентом углы, близкие к 90°.
Из общей формулы (IV. 12) вытекает
в = —eglfn— 1)<* + ₽1 = —2Ahe[(n — 1)а + р]. (IV. 15)
Для плоскопараллельной пластинки е постоянно и е пропор-
ционально h. Это соответствует расфокусировке или смещению
плоскости изображения.
Для клина е (й) меняется по линейному закону, а е — по
квадратичному. Поэтому на оси появляется кома. Рассмотрим
численный пример для клина, где е максимальное равно 100 мм,
10е
Л = 250 jhjh, А — (т- е- разность температур в центре
н на краю равна 10°); стекло — К8.
Для вычисления угловой комы надо составить величину
К = е(250) + е(-250) _ g ,Q)
293
При этом
откуда
е(250)=0, так как е = 0;
е(0) = 0, так как h — 0,
__ & (—250) ___ gw
Как было отмечено выше, применение материала, для которого
(п — 1) а + р = 0, устраняет все последствия неравномерного
л нагрева.
Рис. IV,9 Если пренебречь толщиной линзы
в центре, получаем отклонение е,
пропорциональное ft3; следовательно, в результате неравномер-
ного нагревания, вызывающего параболическое распределение
температур, симметричное около оси, возникает сферическая
аберрация.
Пусть (рис. IV.9) луч АВ отклоняется в точке А на угол 8.
Если луч образует с осью угол и', расстояние OB = s', расстоя-
ние ОА = h, то легко получить при малом е
ВВг = 6s' = —
/ie
sin3 u'
Итак, продольная сферическая аберрация, вызываемая тем-
пературным распределением параболического типа, определяется
формулой
4 Л* ( ft .2 \
f sin2 и' \ п — 1 ' 3 ; '
6s'
(IV. 16)
Отметим, что продольная сферическая аберрация пропорцио-
нальна 4-й степени ft, как и следовало ожидать.
Предположим, что у линзы диаметром 500 мм с фокусным
расстоянием 5 м разность температур иа краю и на оси состав-
ляет 10°, стекло — К8. Сферическая аберрация (продольная) на
краю согласно выведенной формуле равна 0,5 мм.
Формулу (IV. 16) можно написать в более кратком виде, если
задается разность температур между краем и осью. Пусть Д^
~ . А/ - f h
есть эта разность. Тогда Л = и, ввиду того, что sin и = -р-,
294
формула (IV. 16) принимает вид
6S- = f Ы (-L- + 4- а), (IV. 16*)
т. е. сферическая продольная аберрация на краю отверстия зави-
сит только от Д/ и от термооптической характеристики стекла.
Этими примерами исчерпаны наиболее простые и. интересные
на практике случаи распределения температуры в оптических
деталях. Влияние более сложных случаев распределения тем-
пературы может быть определено с помощью выведенной в этой
главе общей формулы (IV. 12).
4. СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
Случай, когда градиент температуры отсутствует
Условимся обозначать через V величину
_р______________________________
где р — коэффициент температурного приращения показателя
преломления; а — коэффициент расширения материала детали.
Изменение фокусного расстояния бесконечно тонкой линзы
при изменении температуры Д/ определяется формулой
У- = -УМ. (IV.3)
Если бесконечно тонкий компонент находится в воздухе, то
As1 - - s'2 At S <р£Гг; (1V.4)
Д/' — s'у At £ cpjVf, (IV.5)
где As’ — смещение плоскостей изображения, вызываемое изме-
нением температуры At; АГ — смещение точки пересечения глав-
ного луча с плоскостью изображения при изменении темпера-
туры At.
В системах, состоящих из нескольких бесконечно тонких ком-
понентов, величины As' и АГ складываются нз нескольких со-
ставляющих, зависящих от влияния изменения температуры иа
параметры отдельных компонентов, на воздушные промежутки
между ними, на положение плоскости приемника. Для измене-
ния $' — положения изображения при любом числе компонентов —
имеем
As' [-S? У, <р,-V, + У (₽? - 1) dtat + б] М. (IV.7)
295
Для изменения /2 в плоскости изображения при двух компо-
нентах имеем
= -i ы (ф,ух + f +
^2 \ 2 ^2 Ч / s2
+ (S2<x3 — da$2) <2~/2 Д/. (IV.8)
®2
Здесь p — линейное увеличение второго компонента; а{ — коэф-
фициент расширения материала оправы (трубы), соединяющей
два последующих бесконечно тонких компонента, разделенных
воздушным промежутком d; — смещение приемника.
Влияние температурного градиента
Изменение толщины е оптической детали определяется фор-
мулой
\е — а (ft) t (й)-J t (h) dh^ ,
где е — толщина на высоте й; t (й) — температура на высоте й.
Отклонение луча е от первоначального (до изменения темпе-
ратуры) направления равно
h
е = — eg[(n — 1)а 4- р] 4- (п — 1)ае" р dh, (IV. 12)
б
dt „ d2e
Радиус кривизны траектории луча определяется формулой
Приведем два частных случая.
1. Несимметричное распределение градиента. Градиент по-
стоянен и направлен перпендикулярно оси. Если деталь ограни-
чена плоскими поверхностями, перпендикулярными осн, то
е = — eg[(n — 1)а + р]. (IV.13)
Если деталь ограничена сферическими поверхностями, облада-
ющими общей осью, то
1,9
г = -е0[(л— 1)а4-р] + р——(IV.14)
где е0 — толщина линзы в центре; f — ее фокусное расстояние.
296
2. Симметричное распределение градиента около оптической
оси. Для деталей, ограниченных плоскими поверхностями, имеем
8 = —1)а + Р] = —2ЛЛе[(п—l)a + pi, (IV. 15)
где g = -35- = 2ЛЙ.
Для лиизы продольная сферическая аберрация, вызываемая
температурным распределением параболического типа, опреде-
ляется формулой
6s' = ,,Ah\ (—L. + 4-«) • (iv. 16)
f sin8u \ n— 1 n 3 ) ' ’
ЛИТЕРАТУРА
1. К г й g е г A. Astr. Nachr., В. 60, N 1421, 1863.
2. Sonnefeld A. Centr. z. Optik и. Meeh., 54, 3, 1933.
3. Максутов Д. Д. Циркуляры ГАО в Пулкове, 1936, № 20.
4. Р е г г у J. W. Proc. Phys. Soc., 55, 1943.
5. В о л о с о в Д. С. Опт. и спектр. Т. 4, 1958.
ГЛАВА V
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. ВВЕДЕНИЕ
Всякий процесс вычисления рационально разделить на отдель-
ные» по возможности не зависящие друг от друга, этапы. Такое
разделение значительно упрощает расчет главным образом по-
тому, что в каждом этапе число подлежащих определению неиз-
вестных параметров меньше, чем в общей задаче, а следовательно,
и решение каждого этапа может быть получено проще.
Расчет оптических систем также может быть разбит на не-
сколько этапов. На первом этапе устанавливают общую схему
оптической системы, т. е. число отдельных узлов (компонентов),
решающих ту или другую задачу, их взаимное расположение,
примерные размеры — поперечные и продольные — и фокусные
расстояния отдельных компонентов. Эта первоначальная стадия
расчета называется обычно габаритным расчетом. После него кон-
структор может приступить к предварительному конструированию,
так как ему известны с достаточной точностью все размеры и взаим-
ное расположение отдельных частей, их примерный вес и другие
необходимые для конструирования сведения.
Габаритный расчет конструкции оптических систем приобре-
тает особое значение в том случае, когда система сложна, состоит
нз ряда отдельных сравнительно далеко расставленных компонен-
тов, работающих каждый с не слишком большим значением апер-
туры. Углы поля могут быть и большими.
Примером оптических систем, для которых габаритный рас-
чет может быть выполнен особенно четко н однозначно, могут слу-
жить телескопические системы, особенно типа перископов, геоде-
зических труб, оптических систем для наблюдения внутренних
поверхностей полых тел, медицинских инструментов (гастроскопы,
цистоскопы и др.), сложные проекционные системы, системы типа
микроскопов вместе с осветительной частью и т. д.
2. ОСНОВАНИЯ ДЛЯ ГАБАРИТНОГО РАСЧЕТА
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Каждая оптическая система выполняет определенную задачу
и должна удовлетворять различным требованиям сообразно с теми
условиями, в которых она применяется. Всех их нельзя перечнс-
298
лить исчерпывающим образом, так как они иосят самый разно-
образный, подчас неожиданный, характер.
Первая группа требований относится к апертуре или относи-
тельному отверстию системы, к величине входного или выход-
ного зрачка, к разрешающей силе инструмента, к полю зрения.
Вторая группа требований относится к «габариту» системы, т. е.
к ее внешним размерам и к форме; в последнее время, в связи
с развитием военной техники, эти требования приобретают все
большее и большее значение.
Третья группа касается качества изображения; эти требования
также весьма разнообразны в зависимости от назначения системы.
Например, в наблюдательных инструментах (бинокли, прицель-
ные трубы, дальномеры) важно иметь очень хорошее качество изо-
бражения в центре поля зрения; иа краях допускаются довольно
значительные искажения, так как изображение рассматриваемого
предмета можно всегда привести в центр поля. От фотографиче-
ских объективов для точных съемок требуется очень хорошее ка-
чество изображения по всему полю зрения; в некоторых регистра-
ционных объективах, дающих изображение в определенной не-
большой части поля, требуется исправление аберраций только
для данной части поля зрения. От некоторых оптических систем
требуют, наоборот, того или иного искажения изображения.
Например, фотографические объективы — анаморфоты — должны
давать различные увеличения в различных направлениях; от объ-
ективов для художественной съемки требуется некоторое смягче-
ние контуров изображения. Наконец, встречаются еще трудно
поддающиеся классификации требования, относящиеся, например,
к «бриллиантностн» изображения, т. е. отсутствию фона, умень-
шающего контрастность изображения, повышенной прозрачности
для некоторых областей спектра и т. д.
3. ПАРАМЕТРЫ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Конструктор и вычислитель оптических систем, поставленные
перед задачей выполнения тех или иных требований, в качестве
материала могут использовать все сорта оптических стекол, из-
готовляемых оптическими заводами, и очень ограниченное число
прозрачных минералов, как кварц, флюорит, каменная соль
и др., часто по гем или иным соображениям мало пригодных.
В отношении «геометрии» оптической системы, т. е. выбора формы
н положения поверхностей, ограничивающих среды, неограни-
ченное число теоретически мыслимых возможностей на практике
весьма ограничено. Первое нз встречающихся ограничений — тре-
бование применения центрированных систем, хотя невозможно
строго доказать, чтобы они представляли какое-нибудь преимуще-
ство (с чисто теоретической точки зрения) по сравнению с нецеи-
трированными; но теория иецентрированных систем еще не создана,
299
а изготовление их с достаточной точностью весьма затруд-
нительно. Второе очень существенное ограничение — применение
преимущественно сферических поверхностей. Применяются также
н асферические поверхности, но эти случаи редки. Можно наде-
яться, что с развитием техники производства это ограничение по-
степенно отпадет и перед конструкторами откроются новые,
многообещающие возможности, о которых подробнее будет ска-
зано в гл. IX.
Еще одно ограничение, постепенно исчезающее для целых
групп оптических систем, например для фотографических объек-
тивов, заключается в том, что оптические системы разделены
иа отдельные составляющие компоненты, толщины которых малы
по сравнению с фокусными расстояниями и с воздушными расстоя-
ниями, их разделяющими. Такое разделение особенно часто встре-
чается в телескопических системах (астрономические, геодезиче-
ские трубы, бинокли, перископы и т. д.) и в старых типах фото-
графических систем; оно возникло исторически как результат
стремления к простоте и оправдано практикой. По мере того, как
требования к оптическим системам растут, усложняется их кон-
струкция и компоненты, в свою очередь, разбиваются на отдель-
ные составляющие; нх толщина становится значительной (совре-
менные светосильные фотообъективы, объективы микроскопов);
это усложнение начинает появляться и в конструкции телеско-
пических систем (особенно в окулярах).
4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВНЕШНИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТРЕБОВАНИЯМИ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫМИ
К ОПТИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ СИСТЕМЫ
Нельзя дать в общем виде каких-нибудь определенных соот-
ношений, связывающих фокусные расстояния, отверстия компо-
нентов системы, расстояния между компонентами и требования
к характеристикам (увеличение, апертура, поле зрения, качество
изображения), которым должна удовлетворять оптическая система.
Для большинства оптических систем очень недалекого прошлого
едва ли приходилось даже ставить этот вопрос; у всех систем
были прообразы, нз которых оии получались путем постепенных
изменений и улучшений. Это подгверждает история развития астро-
номических и геодезических труб, призменных биноклей. С по-
явлением ряда новых оптических приборов, главным образом
военного назначения, произошли значительные сдвиги в рассма-
триваемом направлении; к этим приборам предъявляются жесткие
требования в отношении размеров, как поперечных, так и про-
дольных, и оптических характеристик, которым эти приборы
должны удовлетворять, давая при этом изображение хорошего
качества.
300
Изложим некоторые общие соображения, лежащие в основе
определения внешних элементов оптической системы по заданным
ее оптическим характеристикам.
Предположим для простоты, что оптическая система состоит
из бесконечно тонких компонентов. Это предположение не нару-
шает общности рассуждений, так как для системы, состоящей из
компонентов конечной толщины, остаются в силе все вычисления,
выполненные для бесконечно тонких компонентов, но фокусные
расстояния отсчитываются от соответствующих главных плоско-
стей, которые заменяют слившиеся поверхности бесконечно тон-
кого компонента. Общая длина «реальной» оптической системы
отличается от длины системы с бесконечно тонкими компонентами
на величину суммы расстояний между главными плоскостями от-
дельных компонентов. К этому вопросу мы вернемся в следующей
главе.
Допустим, что известны все фокусные расстояния отдельных
компонентов, все расстояния между ними; заданы положения пло-
скостей предмета и входного зрачка. Даны также величина поля
зрения (например, поле зрения полного освещения) и диаметр
входного зрачка. Требуется определить действующие диаметры
линз.
Пусть Ьг, L3, . . ., Ln (рис. V.1) — данная система линз;
ВВ' — сечение плоскостью входного зрачка плоскости чертежа.
Плоскость предмета предполагается здесь на большом расстоянии,
так что лучи, идущие из точек предмета, почти параллельны
(последнее обстоятельство не ограничивает общность выводов).
Рассмотрим сначала пучок лучей, идущих из точки иа оси пред-
мета. Сечение этого пучка меридиональной плоскостью ограничи-
вается двумя крайними, можно назвать нх апертурными, лучами
АВС и А'В'С, проходящими через края ВВ' входного зрачка.
Пересечения этих двух лучей с поверхностями отдельных линз
(СС', ЕЕ', GG') позволяют определить действующие отверстия
линз, когда объектом является одна точка в плоскости предмета.
Диаметры этих отверстий, очевидно, равны соответственным от-
резкам СС', ЕЕ' и 66' для первых трех компонентов системы.
Высоты пересечения одного из апертурных лучей с последующими
301
поверхностями могут быть определены на основании расчета
хода луча через систему; такой расчет удобнее всего производить
по формулам
а«+1 —а« = Л«Ф*’ (V-1)
— hK— (V .2)
где ак — угол луча с осью до преломления через А-й компонент;
hK —• высота пересечения луча с k-м компонентом; срк — оптиче-
ская сила компонента к; dK — расстояние между компонентами к
и к + 1. Формулы (V.1) и (V.2) применяются последовательно ко
— xlt расстояние точки S от того же
видно, что
всем поверхностям.
Для определеиня выЛ>
ты точки пересечения
апертурного луча с первой
поверхностью обратимся
к рис. V.2, на котором S—
точка предмета на оси;
SC — луч, пересекающий
плоскость входного зрачка
Р в точке с высотой
расстояние плоскости
входного зрачка от перво-
го компонента 0х равно
компонента равно—sx. Оче-
Угол ах принимается равным ах == —х^ s ‘ Если предмет
на бесконечности, то ах = 0 и = т,.
Рассмотрим теперь (рис. V.1) пучок лучей, исходящих из
точки предмета, расположенного на конечном расстоянии от оси
(а если предмет на бесконечности, то рассмотрим точку на конеч-
ном угловом расстоянии от оси системы). Этот пучок в меридио-
нальной плоскости ограничивается теми же крайними точками В
н В' входного зрачка, как и предыдущий пучок; он имеет ту же
апертуру, т. е. зрачок вндеи из любой точки плоскости предмета
под тем же углом; при этом, как это обычно делается прн расчетах
в параксиальной области, пренебрегаем влиянием наклона пучка.
Таким образом, все сечения световым пучком отдельных ком-
понентов имеют одинаковые размеры независимо от положения све-
тящейся точки в плоскости объекта. Например, пучок с централь-
ным (главным) лучом АВС имеет диаметр сечения CiCj, равный
диаметру сечения СС ; точно так же E^Ei = ЕЕ и т. д. Вместе
с тем второй пучок смещен по отношению к первому. Величина
этого смещения переменная; нетрудно видеть, что это смещение
302
для каждой линзы равно расстоянию от оси до точки пересечения
с компонентом главного луча наклонного пучка. Чем дальше от
оси расположена точка в плоскости предмета, тем дальше н точки
С, Е, . . . пересечения главного луча соответствующего пучка
с поверхностями компонентов. Так как главные лучи крайних
пучков определяют поле зрения системы, т. е. пределы изображае-
мой части пространства, то эти лучи можно назвать полевыми.
Назовем буквой ук расстояние от оси точки пересечения поле-
вого луча с поверхностями компонентов.
Если исходить из величины поля зрения полного освещения,
действующие отверстия каждой линзы (2L]Ci, 2£,г£1, 2L3Gi и т. Д.)
получаются как удвоенная сумма абсолютных величин высот
пересечения h и у с отдельными компонентами двух лучей: глав-
ного луча пучка на краю поля зрения, т. е. полевого луча, и апер-
турного луча из точки предмета на оси. Например, для первой
лннзы диаметр отверстия 2L\C\ = D определяется из уравнения
Цс; = 4- = г^ + иг‘ = ^1! + |Л1|. (V.3)
Эта формула правильна и для всех других компонентов. Вели-
чина ук вычисляется аналогично величине hK на основании расчета
хода полевого луча, который удобнее всего производить по фор-
мулам, подобным (V.1) и (V.2).
Итак, если известен ход обоих главных лучей, т. е. апертур-
ного и полевого, через систему, легко вычислить размеры линз
системы, и наоборот, если известны размеры линз, можно знать,
какая часть поля зрения видна с полным освещением. Все то, что
сказано о поле зрения полного освещения, может быть обобщена
на случай поля с неполным освещением. Для этого достаточно
построить чертеж, подобный рис. V.1, но вместо лучей BCi, В Съ
проходящих через края входного зрачка, нужно рассматривать
лучи с тем же наклоном, но проходящие через другие точки вход-
ного зрачка и проследить их ход через всю систему.
Аналитические выражения зависимости между отверстиями
линз и другими гауссовыми элементами (фокусные расстояния,
расстояния между линзами, положение входного зрачка и окна)
вытекают из сказанного выше.
Полученные таким образом соотношения только приближенны,
так как предположение о бесконечно малых толщинах компонен-
тов не соответствует действительности. Однако они в большинстве
случаев достаточно точны для практических целей, поскольку
определение действующих отверстий линз не требует большой точ-
ности. Более конкретные указания о соотношениях «габаритного»
характера, имеющих место в оптических системах, можно сделать
только при разделении систем на отдельные группы, отличающиеся
друг от друга числом н расположением составляющих их компо-
нентов.
303
5. РАЗЛИЧНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ,
СОСТОЯЩИХ из тонких компонентов
И ОБОРАЧИВАЮЩИХ ПРИЗМ
В зависимости от конструкции оптические системы, состоящие
из отдельных достаточно тонких компонентов, могут быть разде-
лены на три группы:
1. Оптические системы из двух частей — объектива и окуляра
(считая последний за одну часть, хотя обычно окуляры состоят из
двух компонентов), к числу которых можно отнести астрономи-
ческие и геодезические трубы, бинокли Галилея, микроскопы сла-
бого увеличения, всякого рода визиры.
2. Оптические системы из двух частей (объектива и окуляра)
с добавочной оборачивающей системой призм: призменные бинокли,
стереотрубы, дальномеры, ряд прицельных труб и т. д. Сюда же
можно отнести несколько систем с качающимися или вращающи-
мися призмами (буссоли, нанорамы).
3. Оптические системы с оборачивающими линзами: зритель-
ные трубы, перископы, прицельные трубки.
Оптические системы из двух компонентов
Для систем первой группы предварительный расчет конструк-
ции и габаритов линз чрезвычайно прост.
Основным требованием для них является обеспечение опреде-
ленной минимальной разрешающей способности, т. е. возможно-
сти для наблюдателя отличить друг от друга изображения двух
точек или двух объектов определенного вида, находящихся друг
от друга на некотором заданном линейном илн угловом расстоя-
нии. Одно это требование уже определяет все. Из дифракционной
теории изображения известно, что разрешающая сила связана
с отверстием объектива и пропорциональна его диаметру; следо-
вательно, диаметр оказывается известным. Длина трубы является
функцией отверстия объектива и зависит от сложности его кон-
струкции. На этом простом примере выясняется, что для опреде-
ления длины нужно знать величины, связанные со второй частью
расчета, имеющей целью исправление аберраций системы. Чем
сложнее, вообще говоря, конструкция объектива, тем большее
относительное отверстие он может иметь и тем короче может быть
длина оптической системы.
Опыт и теория показывают, что простые линзы, применявшиеся
до открытия Доллондом (1753 г.) способа устранения хроматиче-
ской аберрации объективов, дают достаточно хорошие изображе-
ния только при относительных отверстиях, ие превосходящих
1 : 50—1 : 70 (в зависимости от диаметра лннз); объективы из
двух линз из крона и флинта обычных сортов работают хорошо
при относительных отверстиях 1 : 18—1 : 12; появившиеся в по-
304
следние годы более сложные трех- или четырехлинзовые объек-
тивы, применяемые в астрофотографии, позволяют увеличить
относительные отверстия до 1 : 9 и 1:6 при тех же диаметрах
(порядка 20—40 еле). Аналогичную картину дает история разви-
тия геодезических труб, продольные размеры которых умень-
шаются благодаря применению лучших типов объективов и оку-
ляров.
Таким образом, выбор типа объектива уже предопределяет длину
трубы н все размеры системы, так как окуляр представляет собой
в отношении длины слишком малую величину, чтобы принимать
ее во внимание.
Оборачивающие призмы
При расчете второй группы оптических систем с отражатель-
ными призмами возникает ряд вопросов, связанных с вы&эром типа
призм, с наименьшими возможными размерами последних, с их
нанвыгоднейшим положением в системе и т. д.; в случае, когда
призмы качаются, решение этих вопросов еще более усложняется.
Все вопросы, связанные с определением размеров призм, очень
просто решаются, когда отражательная призма заменяется экви-
валентной ей по своему преломляющему действию плоскопарал-
лельной пластинкой, имеющей тот же ход луча, как и отражатель-
ная призма; при этом явление отражения вовсе исключается из
рассмотрения. Последнее обстоятельство облегчает все вычисле-
ния, так как лучи проходят через пластинку по прямым без тех из-
ломов, которые происходят иа отражающих поверхностях. Такое
выпрямление хода лучей через отражательную призму называется
иногда развертыванием призмы. Несколько примеров разверты-
вания показано на рис. V.31. Наверху начерчены сечения отра-
жательных призм; отражающие поверхности заштрихованы;
внизу — сечения развернутых призм. Изломленный ход лучей
на верхних чертежах заменяется прямым ходом на нижних, т. е.
призма заменена плоскопараллельной пластинкой, которая пре-
ломляет лучи совершенно так же, как и призма, но не имеет ни-
какого отражающего действия. Такая эквивалентная пластинка,
где все отражения исключены, иногца называется разверткой
призмы. Она получается следующим образом: около каждой от-
ражающей поверхности строится даваемое ею изображение гра-
ней призмы и отраженного луча; после построения отражающие
поверхности можно на чертеже стереть, так как они не оказывают
влияния иа ход выпрямленных лучей. Очевидно, что с помощью
нижних чертежей нетрудно вычислить положение точек пересе-
чения луча с любой поверхностью призмы. Такие вычисления
1 Здесь показаны основные типы призм. Более подробная таблица отражатель-
ных призм будет дана во второй части книги.
20 Г. Г. Слюсарев 305
имеют большое значение, так как в призменных биноклях оправы
призм могут виньетировать пучки и даже до некоторой степени
ограничивать поле зрения.
Вычисления могут быть упрощены в одном частном, практиче-
ски наиболее часто встречающемся случае, когда преломляющие
граин призмы перпендикулярны оптической осн системы. В этом
случае можно избежать рассмотрения преломления на гранях
призм, если заменить уже развернутую призму эквивалентной
м - Ч. J d
«воздушной» пластиной, т. е. слоем воздуха толщиной аг = —,
равной геометрическому ходу лучей в призме d, деленному на
показатель преломления призмы п.
Нужно заметить, что между первым приемом развертывания
и вторым приемом замены стекла воздухом имеется одно принци-
пиальное различие. Первый прием остается законным для любых
рассматриваемых лучей, в то время как второй пригоден только
в параксиальной области; отражающие призмы на пути сходя-
щихся или расходящихся пучков дают, вообще говоря, аберра-
ции, которые не учитываются при замене стекла воздухом. Второй
прием имеет значение только при определении конструктивных
элементов призм, степени виньетирования пучков призмами
и т. д.
В качестве иллюстрации рассмотрим расчет внешних элемен-
тов призменного бинокля со следующими характеристиками:
увеличение 8х, поле зрения 6°; диаметр выходного зрачка 4 мм.
Зиая, что объектив служит входным зрачком бинокля и что в те-
лескопических системах отношение диаметров входного и выход-
ного зрачков равно увеличению системы, можно получить для
диаметра отверстия объектива величину 4 8 = 32 мм.
306
Выбор типа окуляра определяется требованиями, предъяв-
ленными к нему в отношении поля зрения и положения зрачка
выхода относительно последней поверхности окуляра. При объек-
тивном поле зрения в 6° получаем для поля зрения окуляра ве-
личину 2w', определяемую из условия
tg w' = 8 tg = 8 tg 3° 8 0,0524 = 0,419;
s'=22'4.7; 2®'= 45'30'.
Такое поле зрения (см. стр. 332) может быть получено при
использовании окуляра Кельнера.
При определении фокусных расстояний объектива и окуляра
возникает некоторая неопределенность, так как решений может
оказаться несколько в зависимости от выбора типа объектива.
Наиболее естественным н традиционным является использование
двухлинзового склеенного объектива. При отверстиях порядка
32 мм наименьшее возможное фокусное расстояние, обеспечива-
ющее хорошее качество изображения, равно 32-4 = 128 мм. При
этом фокусное расстояние окуляра должно равняться величине
—= 16 лис. У окуляра Кельиера, как правило, выходной зра-
чок находится на расстоянии х' от последней поверхности, со-
ставляющей около 0,5—0,6 фокусного расстояния окуляра; в дан-
ном случае х' = (8 4-10) мм, в то время как обычно требуется не
менее 10 мм. При расчете окуляра в данном случае необходимо
небольшое увеличение величины х' по сравнению с обычными зна-
чениями этой величины.
Определим теперь размеры отражающих призм, применив наи-
более часто встречающуюся систему призм Порро.
Для определения размеров необходимо сначала иайтн границы
всех пучков, проходящих через систему. Решим задачу в двух
приближениях. В первом приближении, согласно изложенному
в начале главы, вычислим высоту пересечения с объективом и
коллективом окуляра двух лучей — апертурного и полевого.
Для определенности предположим, что коллектив отстоит от фо-
кальной плоскости объектива на расстоянии, равном -g- фокус-
ного расстояния окуляра, — обычная величина для окуляров
типа Кельнера.
Апертурный луч MtM2 (рис. V.4) пересекает объектив на вы-
соте OjAfa ~ h = 16 мм и после преломления пересекает ось
в фокусе F на расстоянии f ~ 128 мм от центра Ot объектива.
Угол сс2 = <M2/7Oi = Высота пересечения йа =
= Оа/ с коллективом окуляра равна
й2 = FO2a2 - 5,3 = 0,7 мм. (V.4)
20*
307
Полевой луч tfxOx образует угол = 3й с осью системы
и проходит через центр входного зрачка, совпадающего в данном
случае с центром объектива Высота О2Я пересечения луча
с коллективом равна ОхОа tg 3° = (128 + 5,3)0,0524 = 7,0 мм.
Обе высоты пересечения 02Н и Ог1 ие меняются после введения
системы призм. Предположим, что призмы приняты во внимание
н что они заменены в системе некоторым воздушным слоем, вы-
сота и толщина которого подлежат определению. Предположим
сначала, что поле в 6° должно быть равномерно освещенным, т. е.
что в системе не должно быть диафрагмирования. Тогда действую-
щее отверстие коллектива равно удвоенной сумме высот 02Н +
+ О2/, т. е. 2(7,0 + 0,7) = 15,4 мм. Для определения действую-
щего отверстия призм рассмотрим развертку одной из призм
Порро (второй рисунок вверху на рнс. V.3). Ход луча DEFG
в призме должен быть равен по крайней мере удвоенной ширине
пучка НВ, проходящего через систему, так как развертка представ-
ляет собой часть квадрата, сторона которого равна удвоенной
ширине НВ падающего пучка. Таким образом, призмы выгодно
поместить в самой узкой части пучка, насколько позволяет кон-
струкция. В данном случае наиболее узкая часть пучка находится
в фокальной плоскости объектива, где диаметр сечения пучка
равен 2-FG = 2-128-tg3° = 13,4 мм. Но, имея здесь дело с не-
параллельными пучками, необходимо принять во внимание угол
расхождения пучков, что можно выполнить следующим образом.
Пусть А'В', А"В" (рис. V.5) — сечения пучка крайними гра-
нями воздушной пластинки, эквивалентной одной из призм Порро.
Пусть длина хода луча в призме равна d\ тогда АВ = DE — длина
d
пути в воздушной пластине — равна —.
Лучи, проходящие через развертку призмы ниже точки С,
относятся к нижней половине призмы. Следует отметить, что если
угол у вершины С не равен точно 90°, то для лучей, отражаю-
щихся сначала от грани НС, а потом от грани СА', существует
308
другая развертка. При этом, если отступление угла С от прямого
равно а, то для развертки «в стекле», т. е. не приведенной к воз-
духу, угол менаду крайними гранями равен +2а для одной из
разверток, н —2а — для другой. Это приводит к раздвоёнию изо-
бражения при наличии в падающем на призму пучке лучей,
проходящих по обеим сторонам от точки С. Это раздвоение, отне-
сенное к воздушному пространству, равно в угловой мере 4 ап,
так как при переходе от стекла к воздуху эквивалентная пластинка
сжимается в п раз.
Обозначим через максимальный раз- чк—------------
мер А'Ап сечения, через О2 — минимальный /
размер B'B". Пусть а = ^НА’В’ —угол, \ ^>4^
образуемый крайними лучами А'В' и А "В" а —Д-—4-—
со средним лучом АВ. Между АВ, Dx и О2 В'
существуют очевидные соотношения - ^ух —'
___ _____ _
D1 = 4'O + DX” = 4 + ^tga = 4 + / \
+ ^“ = 40+ V); <v-5> J ----------------------Ч
O2 = O1-2ABiga = D1-4tga = 4(l-^). (V.6)
Удобнее выражать неизвестную величину d через одну из из-
вестных величин О, или О2,
d= -
т. е.
2D1
I
(V.7)
4 =
2^2____
з 1g ос •
(V.8)
Тангенс угла а — угла расхождения или, вернее, схождения
пучка — получается как разность между абсолютными значениями
тангенсов апертурного и полевого углов а2 и как это видно
из рис. V.4. Ввиду того, что угол а невелик, можно принять,
что в нашем случае
а = Д — tg3° = 0,125 — 0,052 = 0,073.
Тогда формула (V.8) дает
d = Tfffe = 2’34D2-
п
309
С помощью последней формулы легко вычислить размеры призм.
Пусть а — расстояние от фокальной плоскости до последней по-
верхности призмы (рнс. V.4). Из конструктивных соображений
величина а не может быть меньше определенной минимальной
величины а,п (порядка 10 мм). Возьмем в нашем примере а =
— 13лш; ширина пучка D2 в плоскости В'В" (рис. V.5) будет
равна
D2=W = 2(FG + G7X') = 2(/tgu’1 + atga) =
= 2(6,7 + 0,95)= 15,3.
Таким образом, ход луча в ближайшей к окуляру призме Порро
Рис. V.6
равен
15,3-2,34 = 36,0 мм.
Вторую призму Порро
можно поставить так, чтобы
промежуток между призмами
был не меиее 5 мм. Тогда
величина а2 для второй приз-
мы будет
13 + уу + 5 = 42 мм.
В этом месте ширина пучка D2 определяется следующим расчетом:
D2 = 13,4 + 42-2 tg а = 13,4 + 84-0,073 =
= 13,4 + 6,1 = 19,5 мм.
Ход луча во второй призме Порро
19,5-2,34=45,6 мм.
Таким образом, получены следующие длины хода луча через
обе призмы Порро: для первой — 36 мм, для второй — 45,6 мм.
На рис. V.6 изображены воздушные пластинки PiPi, Р2Р2,
заменяющие обе призмы.
Рассмотрим теперь другой случай, когда допускается винье-
тирование наклонных пучков. Недавно еще считалось, что на
краю поля зрения уменьшение действующей части выходного зрач-
ка не должно превышать 50%. В последние годы, стремясь умень-
шить размеры и вес приборов, пошли гораздо дальше в отноше-
нии допустимого виньетирования; так, например, в некоторых
биноклях одной из первоклассных фирм площадь сечения пучков
лучей из точек на краю поля зрения не превышает 15—10% пло-
щади сечения центральных пучков; опыт показывает, что такое
виньетирование особо вредных последствий не вызывает.
310
Любопытно, что в случае призменного бинокля и вообще
всяких призменных систем существует возможность путем удач-
ного подбора величин отверстий призм и коллектива менять по
произволу не только общую величину виньетирования, но еще
и положение центрального луча краевого пучка.
Рассмотрим рис. V.7, на котором Oj —центр объектива;
О2 и О3 — края действующего отверстия; F — фокус объектива;
Сх — центр коллектива. Пусть
L — изображение точки на краю
поля зрения; угол LO2F будет
полевым углом системы (в дан-
ном случае он равен 3°). Пусть
£>! и —две диафрагмы, стоя-
щие одна — в плоскости между
объективом и коллективом, дру-
гая — в плоскости коллектива.
В действительности в качестве
таковых служат одна нз оправ
прнзм и оправа коллектива. Из
рисунка видно, что можно по-
добрать размеры действующих частей диафрагм таким образом,
чтобы по произволу закрывать и сверху и снизу любую часть
пучка вокруг главного луча. Этим достигается двоякого рода
преимущество: с одной стороны, можно уменьшить размеры
призм и весь бинокль может быть сделан более компактным и
легким, а с другой стороны, качество изображения, благодаря
симметричному расположению пучка относительно главного луча,
улучшается, ио прн этом уменьшается освещенность.
Качающиеся призмы
Такие призмы ставятся почти всегда впереди объектива. Их
оправы имеют ось, перпендикулярную оптической оси объектива;
поворотом призмы вокруг этой оси на некоторый угол можно на-
править в объектив пучки, образующие с его осью те или иные
углы. Как и в случае неподвижных прнзм, можно забыть об отра-
жении и рассматривать только преломления через стеклянную
пластинку, получаемую разверткой призмы, вращая при этом
пространство предметов на удвоенный угол поворота нормали
к отражающей поверхности призмы. Замена стеклянной пластинки
воздушной здесь невозможна, так как гауссова оптика неприме-
нима при больших значениях углов наклона призмы, н потому
необходим точный расчет хода преломленных лучей. Стеклянный
параллелепипед ABCD с центром вращения в точке О (рис. V.8),
заменяющий призму, при повороте действует отчасти как трубка
и виньетирует пучкн, проходящие через призму, даже в центре
311
поля зрения, если только размеры призмы не взяты специально
такими, чтобы пропустить пучки целиком, без ограничения.
Для точного подсчета виньетирования прн различных на-
клонах призмы и для различных углов поля зрения необходимо
для каждого наклона призмы начер-
тить положение ее развертки и рас-
считать границы пучка. Этн границы
определяются положением ребер раз-
верток (иа рнс. V.8 ребра А н С
ограничивают центральный пучок).
Кроме того, происходит смещение
центрального луча пучка (EFGH на
5 рис. V.8).
Оптические системы
с оборачивающими системами линз
Земные зрительные трубы с одной
оборачивающей системой. Оптиче-
ская система трубы состоит из четы-
рех частей: объектива Оъ коллектива
О 2, оборачивающей линзы Os и оку-
ляра О4О6 (рис. V.9).
Назначение коллектива О2 состоит в том, что он направляет
в центр оборачивающей линзы главные лучи наклонных пучков,
позволяя тем самым уменьшить до минимума отверстие лннзы; это
ставит ее в нанлучшне условия работы в отношении таких абер-
раций, как дисторсия, хроматическая разность увеличений и
аберрации высших порядков. Коллективная линза О2 ставится
обычно в фокальной плоскости объектива Оь так что она ие ока-
зывает никакого влияния на аберрации системы, за исключением
некоторой добавочной кривизны поля н дисторсии (см. гл. IJ,
стр. 130—132).
Оборачивающая лииза О3 дает обычно увеличение—1, но
можно иметь и другие увеличения, от---- до —2, —3. Окуляр
не отличается от обычных, применяемых в телескопических си-
стемах. Иногда систему оборачивающая линза — окуляр назы-
312
вают земным окуляром. Пусть у — увеличение системы в пред-
положении, что она телескопическая; 2т'— диаметр выходного
зрачка; 2wt— поле зрения объектива; fit /3, — фокусные
расстояния объектива, коллектива, оборачивающей лннзы и оку-
ляра. Определим габаритные размеры системы.
Считая, что объектив является входным зрачком системы,
находим диаметр его отверстия; ои должен равняться 2тх =
= 2ут'. Фокусное расстояние объектива зависит от выбранного
типа и требуемого качества изображения. Для получения резкого
изображения в случае двухлинзового склеенного объектива нужно
взять фокусное расстояние его по крайней мере в 5 раз больше его
отверстия (в призменных биноклях — 4); это необходимо, так как
по сравнению с призменными биноклями земная труба имеет более
сложную систему, а следовательно, и большее накопление абер-
раций. Таким образом, имеем — 10ym'. Внешние элементы
объектива полностью определены.
Размеры коллективной лиизы определяются величиной поля
зрения объектива; ясно из рнсуика, что величина у2 равна fx tg
Фокусное расстояние этой лиизы определяется из условия, что
объектив должен изображаться коллективом на оборачивающей
лннзе. Предположим, что увеличение последней принято рав-
ным —1. В таком случае, если — ее фокусное расстояние,
коллективная лннза должна быть иа расстоянии 2f3 от оборачи-
вающей лиизы. Тогда фокусное расстояние /2 удовлетворяет урав-
нению
+ <v-9)
Оборачивающая линза должна иметь отверстие, определяемое
из подобия треугольников 0i024Jf О2О3Д3, т. е. й3 =
Фокусное расстояние f3 определяется из условия, чтобы поле зре-
ния оборачивающей линзы было не больше, чем у объектива:
2/3 fv
Из пяти уравнений ht = /и у; 10Ах (вытекает из условия
хорошего исправления при простой конструкции объектива);
2/3 5s Л; 4- == 4- + -от-; Л3 — hi получаем все габарит-
/2 /1 */з /1.
ные элементы первой части системы.
Остается определить конструктивные элементы окуляра; оии
зависят от его типа, на выбор которого влияют величины поля зре-
ния и расстояние выходного зрачка от последней линзы окуляра.
Пример. Пусть у = +12; 2т' = 2 мм; поле 3° 30'. Нор-
мальные условия работы для глаза обеспечиваются, если расстоя-
ние выходного зрачка от окуляра ие меиее 10 мм. Диаметр объек-
тива 2-12 = 24 мм; фокусное расстояние его 24-5 = 120 лмс.
313
Тогда
/2 = -|“/i = 90 мм; f3 ~ 1,5/i — 180 мм;
h2 = tg 1°45' = 120 0,0306 - 3,7 мм;
h3 = 0,15/jl = 18 мм.
Фокусное расстояние окуляра = = Ю мм; отношение
расстояния от окуляра до зрачка х' к фокусному расстоянию
окуляра достигает здесь 1; поле окуляра, определяемое уравне-
нием tg ay' = tg у = 0,0306-12 = 0,37, равно 2ау' = 40°.
Таким условиям удовлетворяют как ортоскопический, так
н симметричный окуляры.
Длина трубы получается весьма значительной. Она равна
fi + 4/3 = 120 + 4-180 = 840 мм, не считая окуляра, впрочем,
мало влияющего на длину. Этот расчет показывает, насколько
подзорные трубы с оборачивающими линзами длиннее труб би-
ноклей с тем же увеличением.
Перископы (с одной или несколькими оборачивающими си-
стемами). Существенным отличием перископов от всех остальных
оптических систем является их значительная длина, позволяющая
наблюдать из-за укрытий, прн сравнительно малом диаметре.
Условие малого диаметра вытекает либо из тактических сооб-
ражений (малая видимость), либо из требований габарита. Уве-
личение перископов обычно бывает небольшое (1,5—6х), за исклю-
чением некоторых типов, увеличение которых доводится до 10.
В настоящее время от перископов требуется несколько уве-
личений в пределах 1,5—10х; в ряде случаев желательно, чтобы
увеличение изменялось плавно, для чего следует применять объек-
тив с переменным фокусным расстоянием. Однако в большинстве
случаев фокусное расстояние объектива невелико.
Основная задача оптики перископов — передавать изображе-
ние на сравнительно большое расстояние (1—10 м) пучками, оста-
ющимися все время внутри узкой трубки. Эта задача решается
с помощью системы коллективов и оборачивающих линз. Послед-
ние передают изображение (обычно в натуральную величину)
на некоторое расстояние, а коллективы направляют путь пучков
таким образом, чтобы они оставались достаточно близкими от
оси.
Схема одного узла системы, состоящего нз двух коллективов
и оборачивающей двухлинзовой системы, представлена иа
рнс. V.10. Изображение КхМх проектируется оборачивающей
системой LiL2 на плоскость К2, где получается следующее изоб-
ражение /С2.М2. Как первое изображение KiMlt так н второе
находятся в плоскости коллективов KiKi н КзКг, направляющих
пучки в середину S следующих за инмн оборачивающих систем.
314
Присоединяя друг к другу ряд таких узлов, можно теорети-
чески сколь угодно далеко передавать изображение. Если в си-
стеме нет никаких иных оборачивающих систем, например приз-
менных, то число узлов должно быть обязательно нечетное: чаще
всего один, в более длинных перископах — трн. Узлы могут быть
неодинаковы. Например, в перископах подводных лодок, высту-
пающих над поверхностью воды, головка должна быть тоньше
Рис. V.10
остальной части перископа; узел или узлы внутри нее всегда
значительно меньше по своим размерам, чем находящиеся внутри
толстой части трубы. Обычно оптика перископов должна удовле-
творять следующим требованиям:
1) длина трубы, соответствующая с достаточной точностью
расстоянию от входного зрачка до окуляра, равна некоторой
заданной величине I;
2) максимальный диаметр линз не должен превышать 2R
(иногда это условие усложняется тем, что в верхней части задается
иная максимальная величина, чем в нижней);
3) увеличение системы равно у;
4) диаметр выходного зрачка равен 2т';
5) поле зрения равно 2^1-
Рассмотрим перископ с одной оборачивающей системой.
Пусть иа рис. V.ll Lx—объектив, £2— коллектив, £3
и Ьц — лнизы оборачивающей системы, £8 и £8 — коллектив
и глазная линза окуляра; — центр входного зр^ка; Ра,
• • • — его изображение, даваемое линзами Lt; Lx и £2;
£1, £а н £3 и т. д.; Р7 — центр выходного зрачка системы.
315
Расстояние от центра до центра входного зрачка равно Xj (на
рнс. V.11 оно отрицательное); от центра £6 до Р7 равно х'6 (поло-
жительное).
Предмет О на бесконечности; Оа> О8, . . . — его изображения;
О7 — изображение через всю систему — бесконечно удалено.
Пусть коллективная линза L2 стоит в фокусе первой линзы;
такое положение весьма рационально по ряду причин. Оно обя-
зательно, если прибор предназначен для наводки и в поле зрения
должен быть крест нитей илн иная фигура для прицела.
Допустим, что апертурный луч идет параллельно оси между £3
н L4, т. е. что в отдельности система £,, L2, L3 н система £4, £5
и L9 телескопические; это дает некоторые преимущества в смысле
простоты расчета, не ухудшая при этом качества системы.
Пусть Flt F3t F3, . . F6 — фокусные расстояния линз £ь
Д2, £з> • • м f — фокусное расстояние окуляра; d — расстоя-
ние между линзами £3 и L4; hs — высота пересечения апертурного
луча с линзой, порядковый номер которой s; ys — высота пере-
сечения полевого луча с той же линзой.
Апертурный луч дает следующие соотношения (рнс. V.11):
= h3 = h.he = K. (V.10)
(V.H)
Для полевого луча имеем соотношения
yt= xr tgo»j; 1
у2= —fjtgWl- )
Второе уравнение следует из основного уравнения для беско-
нечно тонких линз, если применить его для определения зависи-
мости между расстояниями сопряженных точек Рх иР2 и принять
во внимание, что коллектив находится в фокусе линзы Lt.
Величина у3 зависит от Fif которое не входило до сих пор
ни в какое уравнение и пока произвольно. Поставим условие,
чтобы обе оборачивающие линзы имели одинаковое отверстие, что
выгодно в конструктивном отношении. Тогда наиболее рацио-
нальное положение для зрачка Р4 — середина между линзами £3
и £4, так как при всяком другом положении Р4 будет диафрагми-
роваться пучок оправой одной лиизы либо будет не использована
часть поверхности другой лиизы. Определим Р2 из условия,
чтобы точка Р4 находилась посередине между £3 и L4.
Точка Pi изображается линзой h в точке Р2, причем
= (V.12)
центр зцачка Р4 есть изображение точки Р3 линзой L, при этом
^'=27^ (V.13)
316
Замечая, что О2О3 = F3 н = Flt после некоторых вы-
числений находим
-L = —‘—_____*. . — i_J l _£1________/V 14)
Ft О3Р9 ОгРъ Pi Рз * f} 2f| * ' ' '
Величины у вычисляются по формуле
»з= — уа= +4-tgu>a,
где wa — угол полевого луча с осью. Но на основании свойства
телескопических систем имеем
tg®4 = — tg
Окончательно находим
У,= -у4 = —^-tgWp (V.15)
Величина изображения /5 перед окуляром равна
4 = (V.16)
Предположим, что окуляр состоит из двух бесконечно тонких
линз.
Обозначая рабочее расстояние окуляра O5S6 через %, имеем
= $5«5.
где а5 — угол апертурного луча с осью.
Ввиду того, чго —а5 = ~, получаем
A6=-s6-y- (V.17)
Определим теперь высоты пересечения полевого луча с лин-
зами окуляров. В дальнейшем придется использовать углы и их
тангенсы. Так как все вычисления производятся в гауссрвой
области, то можно тангенсы заменять углами и наоборот.
Высота пересечения полевого луча с первым компонентом
окуляра уь может быть определена из уравнения
ft = 4 + s6tgws. (V.18)
Применяя формулы преломления (с заменой углов тангенсами)
для линзы £&, находим
lgw6 —tgw4 = -^-.
317
Заменяя у4 и tg их выражениями из формул (V.15) и (V. 16),
получаем
dF, F dF,
tg ®5 = tg tg Ш1 = - -pMg + 2^ tg =
= -^1^,(1-^). (V.19)
Поэтому
J/5 = /5-S5^-tg ®1('~ж) =
= рз tg — S6 tg ( 1 — -^г- ) =
= ^tgffll[F4-s5(l-^)]. (V.20)
Высота yQ в пространстве изображений вычисляется по фор-
муле
У& = Хе tg ы7 = х6 tg Wiy. (V.21)
Все перечисленные формулы связывают величины F 1? F2, • ;
f, xlt s6 и d с отверстиями линз. Напомним, что для получения
действующих отверстий линз нужно сложить удвоенные абсо-
лютные значения высот h и у на каждой линзе. Прн этом полевой
угол берется для поля зрения полной яркости.
Определим теперь неизвестные F1} F2, F3, F4, flt xx, d из
поставленных выше условий.
1. Для определенности будем считать (условно), что длина
прибора I равна расстоянию между входным зрачком и передним
фокусом окуляра.
‘ Тогда
I ——хх + Fj + F8-Ь d + (V.22)
2. Согласно заданию диаметр первой линзы не должен пре-
вышать 2R; поэтому
I tg Wj | + 2 | /п'у | < 2R. (V.23)
Это неравенство устанавливает предел для | xt |.
3. Диаметр второй линзы также должен быть меньше 2R;
поэтому
2^ | tg Wj )<2Я. (V.24)
Это условие определяет верхнюю границу для Ft. По некото-
рым соображениям, связанным с качеством изображения, жела-
тельно Fi взять равным верхнему пределу, т. е.
F1 = R|ctgWi|.
318
Для того чтобы отверстия третьей линзы н диафрагмы поля 2/5
не были больше 2R, нужно удовлетворить следующим неравен-
ствам:
2 (I ft | + I Л, |) = -df 1 + 2! 1 f'3 < 27?; (V.25)
IIrM. (V.26)
Соединяя последнее условие, написанное в виде равенства,
что приводит к лучшим результатам, с условием F] ^IctgWil,
получаем
Fg-Л, (V.27)
т. е. фокусные расстояния оборачивающих линз Fs и F4 равны,-
так как и отверстия линз равны, то естественно делать нх одина-
ковыми, но с симметрично расположенными радиусами и толщи-
нами.
Уравнение (V.22) принимает вид
l = 2F3 + d-X1 + Fv (V.28)
Отбрасывая знак неравенства в выражении (V-23) и решая
полученное уравнение, находим
— Xjl — 7? — j tn'y | ctgtt»!. (V.29)
Фокусное расстояние третьей лнизы F3 и расстояние d могут
быть определены нз уравнения (V.28) и неравенства (V.25). Пере-
пишем неравенство (V.25) в таком виде:
dR J 2 | п/у | F3 2g
F3 Fi ’
или
dflF, + 2 |m'v |Fj — 2RFtF„ < 0.
Введем для краткости обозначения |m'y| = т н I + xt — Ft —
= 2а; тогда выражения (V.25) и (V.28) примут вид
dRF1 + 2mFl — 2RFlF, =S 0;
d = 2(a — F„).
Подставляя значение d в первое неравенство, получаем
(а — Fa) RFt + mF] — RFiF3 <0,
нли
mFi - 2RF1F3 + aRF,0.
Фокусное расстояние F3 должно находиться в пределах между
F' н FJ, которые являются корнями уравнения
mFl — 2RFtF3 + aRFr = 0;
319
их значения таковы:
Fз = - /«FJSF.-am)]; 1
” ____________ (V.3O)
Fl = ~ + V RFt(RFt—ат)\. J
Фокусные расстояния всех линз, положение входного зрачка
и расстояние между оборачивающими линзами определяются
в следующем порядке:
F, = /? Ictgw, |;
-L- [RFt - VRF^RF.-am)] 7 F3 <
<-i- [ЯЛ + VRFi(RFl—am)];
d = 2(a —F3);
Г2 <4 ГЗ
(V.31)
d
2Fl ;
при этом
a=-^-(Z + X! —Fj); m = \m'y\.
Пример. Рассмотрим перископ co следующими характе-
ристиками:
I = 1800 мм; 27? = 50 мм; 2т' = 4 мм;
у = 6; 2оуг = 8°.
На основании приведенных выше формул получаем
/•\ = 25 ctg 4° 360 мм;
Хх = — (25— 12 ctg 4°) = 148 мм;
Fz = [25 • 360 — V 9000 (9000 — 630.12)] = 450;
Fl = ~ <9000 + 360°) = 1050 мм-
Берем F3 — 450 мм; тогда d = 2 (794 — 450) = 688 мм.
Для определения фокусного расстояния коллектива исполь-
зуем уравнение
1 I , 1 , 148 688
F8 ~ 360 "Г 450 (360)2 2 (450)2
= 0,00278 + 0,00222 + 0,00114 — 0,00170 = 0,00444.
Получаем
F2 = 225 мм.
320
Систему уравнений (V.31) нельзя применять механически,
так как это может привести к нелепым результатам. Нужно пом-
нить, что некоторые из уравнений получены заменой неравенства
равенствами (например, уравнения для Ft и Знак равенства
в указанных уравнениях пригоден для тех случаев, когда длина
перископа очень велика по сравнению с диаметром и желательно
уменьшить длину с помощью всех элементов, влияющих на иее.
При сравнительно коротких перископах, наоборот, желательно
подобрать xt и так, чтобы F3 получилось по возможности боль-
шим; это обеспечивает у оборачивающих линз малое относитель-
ное отверстие н малый угол поля зрения, а следовательно, и хо-
рошее качество изображения.
Следует отметить, что если увеличение у перископа мало, то
можно решить задачу постепенными приближениями. В первом
приближении можно пренебречь длиной объектива и окуляра и
считать, что длина перископа определяется оборачивающей си-
стемой. Величине хг (расстояние от зрачка до объектива) можно
дать любое отрицательное значение, ие превышающее по абсо-
лютной величине |Xj[ < R ctg Фокусное расстояние Ft можно
также брать любым, ие превышающим по абсолютному значению
R ctg оц. Величины X] и в указанных пределах выбираются
так, чтобы исправление аберраций системы достигалось возможно
простыми средствами н было достаточно хорошим. Во втором
приближении, при определении фокусных расстояний F3 и F4,
учитывается длина, занимаемая объективом и окуляром. Впрочем,
наличие отражающих призм и дополнительных приспособлений
может ввести значительные коррективы в полученные в первом
приближении величины.
После подбора всех фокусных расстояний линз и расстояний
между ними необходимо проверить все действующие отверстия
линз. Прн расчете внешних элементов более сложных типов пери-
скопа аналитический метод решения настолько усложняется, что
становится практически неприменимым. Кроме того, этот метод
не обладает достаточной гибкостью; используя его, трудно учесть
ряд важных свойств оптических систем, относящихся уже не
к внешним элементам системы, а к внутренним, а именно к пре-
делам апертурных и полевых углов отдельных компонентов си-
стемы, внутри которых можно получить достаточно малые абер-
рации и хорошее качество изображений.
Для иллюстрации трудностей, с которыми можно встретиться
при решении рассматриваемых задач, вернемся к примеру габарит-
ного расчета перископа. Фокусное расстояние объектива было
принято равным его верхней границе — 360 мм. Однако его вполне
можно уменьшить, например до 250 мм. При этом растет отно-
сительное отверстие, не делаясь, однако, чрезмерным, и можно
полагать, что и при такой увеличенной апертуре аберрации
объектива будут достаточно малыми. Кроме того, уменьшится
21 г. г. Слюсарев
321
размер изображения, так как он пропорционален tg wk. Фо-
кусные расстояния обеих оборачивающих линз несколько уве-
личатся за счет укорочения фокусного расстояния объектива,
так как вся длина прибора должна остаться без изменения; уве-
личится значительно апертурный угол оборачивающих линз,
так как этот угол имеет одно и то же значение для оборачиваю-
щих линз и для объектива; будет иметь место некоторое ухуд-
шение качества изображения на оси, уже более значительное,
чем для объектива, так как фокусные расстояния оборачивающих
линз больше, чем у объектива. С другой стороны, полевой угол
оборачивающей системы уменьшится как. из-за уменьшения диа-
метра изображения в фокальной плоскости объектива, так и
вследствие увеличения фокусных расстояний оборачивающих
линз. Качество изображения на краю поля может улучшиться,
в то время как в центре поля оио ухудшается. Только подробный
численный анализ на основе теории аберраций может указать,
в каком направлении следует менять те или иные параметры си-
стемы для получения наилучшего результата.
6. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ,
НЕ ВХОДЯЩИЕ В ПЕРЕЧИСЛЕННЫЕ ГРУППЫ
Сюда можно отнести довольно многочисленные оптические
системы, компоненты которых нельзя считать бесконечно тонкими,
расположенными далеко друг от друга. К этой категории относятся
большинство фотографических объективов, в особенности свето-
сильных, объективы микроскопов с большой апертурой, широко-
угольные окуляры и др. При расчете таких систем пред-
варительное вычисление расположения отдельных частей и раз-
меров внешних элементов становится второстепенным, так как
требования в этих случаях предъявляются к разрешающей силе
и полю зрения прн том нли ином качестве изображения. Габариты
отходят здесь на второй план; размеры системы являются резуль-
татом решения задачи получения изображения требуемого ка-
чества.
Все реальные оптические системы находятся между указан-
ными крайними категориями. В случае, когда оптическая система
приближается к категории систем, состоящих из бесконечно
тонких, относительно далеко расположенных компонентов, расчет
делится на две независимые части. В первой части вычисляют внеш-
ние элементы по уже указанным правилам и находят фокусные
расстояния отдельных компонентов и расстояния между ними.
Во второй части, пользуясь методами, изложенными в гл. III,
определяют внутренние элементы, т. е. сорта стекол и радиусы
кривизны поверхностей, отделяющих среды. Введение конечных
толщин, а также наличие остаточных аберраций высших порядков
несколько меняют картину, и приходится вводить поправки в пер-
воначально полученные конструктивные элементы.
322
к системам промежуточного характера можно отнести оку-
ляры, объективы микроскопов среднего увеличения и фотогра-
фические объективы малой н средней светосилы со средними зна-
ченннмн углов поля — так называемые универсальные объективы.
В этих случаях можно пользоваться для ориентировки приемами
расчета систем с бесконечно тонкими компонентами; главная
задача расчета состоит в получении достаточно малых аберраций,
а вопросы о внешних размерах н об относительном положении
линз отходят иа второй план.
7. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ОБ АБЕРРАЦИЯХ
НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ПРИМЕНЯЕМЫХ КОМПОНЕНТОВ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Имея в виду прежде всего оптические системы, относящиеся
к первой рассмотренной выше категории, можно сказать, что уже
в стадии определения внешних элементов систем, т. е. в первой
части расчета, встречаются затруднения прн выборе фокусных
расстояний компонентов и их отверстий. Часто требования,
предъявленные к габариту системы, приводят к очень большим
относительным отверстиям или к очень большим углам поля
зрения некоторых компонентов системы. Возникают трудности
в выборе типа компонентов, соответствующих условиям, при
которых они применяются в системе.
Теоретически всегда можно рассчитать сложную систему
с достаточно большим количеством поверхностей, уменьшив все
аберрации системы для любого относительного отверстия и лю-
бого угла поля до достаточно малых величин; но часто такие
комбинации не представляют практического интереса вследствие
трудности их расчета, изготовления и сборки, а следовательно,
и дороговизны.
Поэтому в оптических системах применяют компоненты,
состоящие из небольшого количества линз. В качестве объективов,
коллективов и оборачивающих систем используют почти исклю-
чительно либо простые линзы, либо двухлиизовые склеенные
компоненты, либо, в очень редких случаях, тройные склеенные
или двухлиизовые несклеенные объективы (астрономические объек-.
тивы). Если и встречаются более сложные системы, то только
в микроскопах и фотографических объективах, которые будут
рассматриваться отдельно.
В окулярах с большим углом поля зрения, достигающим в так
называемых широкоугольных окулярах 70—90*, встречаются и
сложные компоненты. Окуляры будут подробно исследованы во II
части книги; здесь ограничимся общими свойствами наиболее
часто употребляемых компонентов.
21* 323
Простые линзы
Однолинзовые компоненты, как правило, обладают довольно
большими значениями основных параметров, и поэтому области
их применения ограничены. Они применимы в случаях, когда
вследствие благоприятных условий в отношении их размеров или
положения аберрации не достигают больших величин.
Во-первых, простые линзы часто употребляют в качестве
коллективов в непосредственной близости от плоскости изобра-
жения. В этом случае (см. стр. 130) при sx = 0, т. е. когда плоскость
предметов совпадает с плоскостью простой линзы, все аберрации
ее равны нулю за исключением кривизны поля и дисторсии, ко-
торые имеют сравнительно небольшое значение. В данном случае
применение более сложных систем ие привело бы к существенному
улучшению.
Во-вторых, простые линзы дают хорошее изображение, если
1 {
они имеют очень малые относительные отверстия, порядка-yg- — -эд
и меньше; в этом случае аберрации малы вследствие малости
множителя, содержащего апертурный угол в квадрате или в кубе.
Примеры применения: простые мениски в качестве дешевых фото-
объективов: очень длиннофокусные коллиматоры (при условии
работы в монохроматическом свете).
Наконец, простыми линзами можно пользоваться в условиях,
когда сферическая н хроматическая аберрации играют второсте-
пенную роль, а комбинацией двух простых линз на конечном
(сравнительно большом) расстоянии друг от друга можно добиться
уничтожения остальных аберраций (комы, астигматизма, дистор-
сии, хроматической разности увеличений). Пример такого рода
систем: окуляры типа Рамсдеиа и Гюйгенса.
Для грубой оценки продольной сферической аберрации про-
стой линзы прн бесконечно удаленном предмете можно пользо-
ваться следующей формулой:
где h — высота падения луча на линзу; f — ее фокусное расстоя-
ние. Эта формула дает минимальную аберрацию в случае плоско-
выпуклой линзы с плоскостью, обращенной в сторону изобра-
жения.
Для вычисления хроматической аберрации служит формула
s'* 1
Sp —SC =-----Г V,
где v — коэффициент дисперсии Аббе; $' — расстояние от линзы
до изображения.
324
Двухлинзовые
склеенные системы
Обладая достаточным числом параметров (два радиуса кри-
визны, два показателя преломления и отношение дисперсий
стекол), двухлинзовые склеенные системы могут быть исправлены
в отношении любых аберраций третьего порядка, за исключением
кривизны поля н иногда астигматизма, если только имеется доста-
точный набор стекол, из которых можно выбирать нужные сорта.
Чаще всего исправляются сферическая аберрация н кома прн
одновременном исправлении хроматической аберрации. Одиако
вследствие наличия аберраций высших порядков двухлинзовые
склеенные объективы не могут иметь относительные отверстия
больше 1 : 4 при фокусных расстояниях менее 150 мм, 1 : 5 прн
фокусных расстояниях до 300 мм, 1 : 6 —до 500 мм, 1:8 —
1 : 10 — до 1000 мм.
Поле зрения этих систем не должно превышать 10—12° при
малых фокусных расстояниях, 7—10° — при больших. Двух-
лннзовые склеенные системы особенно пригодны в качестве объек-
тивов и оборачивающих систем, когда падающие пучки парал-
лельны. Гораздо худшие результаты получаются при увеличениях
близких к —1; в этом случае выгодно применять два близко
расположенных объектива с параллельным ходом лучей между
ними.
Двухлинзовые склеенные системы могут быть довольно хо-
рошо исправлены в отношении астигматизма, если только входной
зрачок не совпадает с оправой системы; в этом случае они могут
применяться как половинки симметричных фотографических
объективов, как, например, объективы типа апланат; половинки
апланатов плохо исправлены в отношении сферической аберрации
н кривизны поля.
Трехлинзовые
склеенные комбинации
Несмотря на наличие новых параметров, трехлинзовые склеен-
ные системы не только не открывают новых перспектив, но даже
не расширяют пределов областей применения двухлнизовых
склеенных объективов. Это объясняется следующими причинами.
Во-первых, у двухлинзовых объективов можно исправить все
аберрации третьих порядков, за исключением тех аберраций,
которые связаны с пецвалевой величиной л, но в отношении
последней величины тройные системы особых выгод не дают.
Во-вторых, аберрации высших порядков, от которых главным
образом и зависят пределы апертуры н угла поля зрения объек-
тивов, практически одинаковы в тройных и в двойных склеенных
системах.
325
Поэтому замена двойных склеенных объективов тройными,
вообще говоря, бесполезна, если исключить тот случай, когда
отсутствие выбора стекол не дает возможности с помощью двой-
ного объектива добиться нужных сумм Зейделя. В этом един-
ственном случае проявляется преимущество тройной системы —
лишний «полноценный» параметр, т. е. лишний радиус кривизны,—
перед двойной.
Несколько иначе обстоит дело, когда такая комбинация ис-
пользуется в качестве окуляра. Она может быть применена как
отрицательный окуляр в системе галилеевского типа и дает там
возможность уничтожить неустранимые в простой лнизе хрома-
тические аберрации. В этом случае двухлннзовая комбинация
могла бы дать тот же результат, но при условии применения
крутой поверхности склейки, что является неудобным для изго-
товления. Трехлинзовая склеенная комбинация с успехом может
быть применена и в окуляре «ортоскопического» типа, где она
приводит к более удобной конструкции (симметричность системы),
чем в случае двойной склеенной системы. Впрочем, и здесь пре-
имущество ь смысле оптических качеств трехлинзовой комбинации
перед двухлннзовон достаточно спорное.
Несклеенные
двухлиизовые системы
Двухлиизовые несклеенные объективы, обладающие одним
лишним параметром по сравнению со склеенными, могут быть
лучше исправлены в отношении сферической аберрации и комы.
Однако их широкому применению мешали дополнительные потери
вследствие отражения света от двух внутренних поверхностей.
В настоящее время, после широкого внедрения просветления, этот
недостаток отпадает и двухлинзовые несклеенные объективы
используются в качестве астрономических, геодезических, объек-
тивов биноклей и других подзорных труб.
При соответствующем выборе стекол можно получить настолько
хорошее исправление сферической аберрации, что относительное
отверстие несклееиных двухлиизовых систем может быть доведено
до 1 : 2,5; к сожалению, хроматическая разность сферических
аберраций довольно велика, что ставит предел дальнейшему
увеличению апертуры. Аберрация комы этих систем может быть
исправлена.
На основании изучения существующих оптических систем
можно прийти к выводу, что преимущества тройной склеенной
системы обычно переоцениваются, а двухлиизовые несклеенные
системы, наоборот, недооценены по достоинству. Однако вопрос
о сравнительных достоинствах обоих ТИПОВ объективов не может
до сих пор считаться решенным.
32В
Несколько бесконечно тонких линз, разделенных
бесконечно малыми воздушными
промежутками
В тех случаях, когда двухлинзовый склеенный объектив не
может быть применен из-за требования слишком большого отно-
сительного отверстия, его можно заменить системой из несколь-
ких линз, разделенных воздушными прослойками.Если все лннзы
имеют одинаковые фокусные расстояния, то каждая из них имеет
значительно меньшее^относительное отверстие, чем вся система
в целом, так как фокусное расстояние каждой отдельной лннзы
в несколько раз больше, чем фокусное расстояние всего компо-
нента. Благодаря этому такой компонент может иметь значительно
большие апертуры, чем одна сколь угодно сложная лннза. Напри-
мер, система из двух, для удобства одинаковых, двухлинзовых
склеенных компонентов может давать вполне удовлетворитель-
ные результаты прн относительном отверстии, доходящем до
1 : 2,5—1 : 3.
Однако в наклонных пучках такие сложные компоненты не
дают преимущества перед простыми, так как некоторые аберра-
ции третьего порядка (кривизна, астигматизм, иногда дисторсия)
остаются неустранимыми.
В качестве компонентов можно использовать и сложные объек-
тивы, применяемые для фотографии, проекции. Это необходимо
в тех случаях, когда компоненты должны обладать хорошим
качеством изображения для больших углов поля зреиня. Фото-
графические объективы обладают углами поля, доходящими до
120—140° (и до 200—210°), при относительных отверстиях, до-
стигающих 1 : 6—1 : 2; при меньших углах поля относительное
отверстие растет по эмпирическому закону, согласно которому
прн постоянном фокусном расстоянии произведение линейного
поля на синус апертурного угла есть величина постоянная.
Д. С. Волосовым в его докторской диссертации была предло-
жена эмпирическая формула типа У/ tg wi sin о’ = с, где f —
фокусное расстояние объектива; — угол поля зрения в про-
странстве предметов; <о' — апертурный угол в пространстве
изображения (предмет предполагается на бесконечности). Коэф-
фициент с, зависящий в какой-то степени от сложности объектива
и от некоторых его свойств, например отношения величины
заднего отрезка к фокусному расстоянию, дисторсии систем и т. д.,
равен приблизительно 0,8. При этом качество изображения соот-
ветствует разрешающий силе наиболее часто применяемых свето-
чувствительных слоев, т. е. порядка 70—100 линий на миллиметр.
При малых углах поля зрения, не превышающих 2—4°, можно
применять системы типа одиокомпонентных, толщина которых
мала по сравнению с фокусным расстоянием. У таких систем,
как правило, третья сумма близка к единице, а четвертая —
327
к 0,7. Относительное отверстие их может быть велико, достигая
1:2—1: 1,5.
При углах в пределах 3—10° пригодны двухкомпонентные
системы типа телеобъективов, в которых второй компонент, рас-
положенный приблизительно посередине между первым компо-
нентом и фокусом, обладает отрицательной силой и большой
толщиной, благодаря чему исправляет 51И и SIV всего объектива.
У таких объективов относительное отверстие, даже при сложном
многолинзовом первом компоненте, не превышает 1 : 2. Эта за-
дача также может быть решена с помощью двух положительных
компонентов, расставленных на сравнительно большое расстояние
друг от друга. Весь объектив может быть неправлен в отношении
первых трех сумм, но сумма SIV велика и превышает обычно
единицу. Поэтому для уменьшения кривизны придают 5Ш отри-
цательное значение (до —0,3); из-за астигматизма угол поля
не может превысить 8—10°, а относительное отверстие может
быть близким 1:1. Этот тип объектива был предложен Пецвалем
более ста лет назад; его конструкция позволяла прн относитель-
ном отверстии 1 : 3,5 добиться угла поля, близкого к 25° (при
посредственном качестве изображения на краю поля).
Углы поля, превышающие 20—25°, требуют применения уже
трех компонентов; в простейшем случае в качестве компонентов
могут служить простые лиизы (триплет). Этот объектив дает
относительные отверстия до 1 : 3 при угле поля зрения 45—50°.
Для больших углов существует бесчисленное количество кон-
струкций, в основном исходящих из триплета с отдельными
усложненными компонентами, и существенным параметром виих
является толщина. Такие объективы («Юпитеры») позволяют прн
относительных отверстиях 1 : 2—1 : 1,5 добиться углов поля
до 40—45°.
Такие же результаты можно получить с конструкциями типа
Планар — почти симметричные комбинации, каждая половина
которых состоит из одной простой линзы и двухлинзового склеен-
ного компонента.
При углах поля, превышающих 60°, применяются почти исклю-
чительно симметричные и близкие к симметричным конструкции.
Существует большое разнообразие широкоугольных объекти-
вов с различными значениями угла поля и относительного отвер-
стия (от 60 до 120—140°, причем относительное отверстие падает
от 1 :4 до 1 :30. Среди них отметим объективы М. М. Русинова
с далеко расставленными отрицательными компонентами
по краям. Объективы этого типа обладают тем свойством, что
падение освещенности плоскости изображения происходит мед-
леннее, чем по классическому закону cos4 wt.
Если исправление дисторсии не требуется, можно использо-
вать конструкцию, предложенную Гиллем для исследования неба,
состоящую нз большого и сильного отрицательного компонента,
328
на сравнительно большом расстоянии от которого стоит положи-
тельный сложный компонент, собирающий световые пучки в пло-
скости изображения. Эти объективы позволяют получить углы
поля до 200° при значительном относительном отверстии (до
1 : 6), но дисторсия очень велика. Расстояние изображения точки
от осн определяется законом у' -= //ш1 (вместо обычного у' =
= Г tg wj.
При необходимости наблюдать или фотографировать область,
угол поля зрения которой превышает л, можно использовать
схему, показанную на рнс. V-12, ,
согласно которой выпуклое сфе- f / /
рическое зеркало Oi перехва- / / /
тывает лучи, идущие из правой ч\/ /
части поля, и передает их на
положительный компонент
образующий действительное —irj--------------~—
изображение неба. Такие систе- * 1 q
мы могут обладать громадной у
светосилой (до 1 :2 и 1 : 1), но у
масштаб изображения, т. е. фо- у Рис' V12
кусное расстояние объектива,
весьма мал (десяток миллиметров), несмотря на значительные диа-
метр зеркала (50 см и более) и длину системы (1 м и более). Комби-
нации, состоящие нз двух компонентов — одного отрицательного
и другого положительного (иногда их называют «обратными»
телеобъективами), —обладают значительным свободным расстоя-
нием, что может представить большой интерес; но при этом намного
увеличивается длина объектива.
В тех случаях, когда нужно получить большой масштаб изоб-
ражения при небольших размерах (длине) системы, можно исполь-
зовать телеобъективы, состоящие из двух компонентов — поло-
жительного и отрицательного — разделенных воздушным про-
межутком. Прн такой схеме длина системы, отсчитанная от первой
линзы объектива до фокуса, короче фокусного расстояния. Однако
полученное укорочение не может быть доведено до значительных
величин. Этому препятствуют вторичный спектр системы и пец-
валева кривизна, принимающая отрицательное значение; при
хорошем исправлении аберраций общая длина системы (до изоб-
ражения) составляет около 0,8/. При большем укорочении при-
ходится жертвовать относительным отверстием и углом поля
зрения.
Окуляры
Обязательным завершением любой зрительной трубы является
окуляр. Условия работы окуляров значительно отличаются от
таковых для других частей зрительной трубы, по крайней мере,
329
в большинстве встречающихся на практике случаев. При общем
с объективом относительном отверстии окуляры обладают значи-
тельно большим углом поля зрения, лежащим в пределах 50—
100°. С другой стороны, малые значения фокусных расстояний
окуляров позволяют не обращать внимания на некоторые абер-
рации, например сферическую н хроматическую (положения),
если в фокальной плоскости окуляра нет сетки. В противном слу-
чае обе эти аберрации должны быть исправлены.
Окуляр типа Галилея применяется либо с выходным зрачком
за окуляром (бинокли, некоторые трубы морских инструментов),
либо с выходным зрачком между объективом и окуляром (случай
добавочных телескопических систем с небольшим увеличением
или уменьшением, которые можно включить перед основной сн-
Рис. V.13 Рис. V.14
стемой для изменения ее увеличения). В первом случае поле
зрения окуляра весьма мало; если оно не превосходит 15—20°,
то вполне применима простая линза. Во втором случае угол
поля может быть больше, но хроматическая аберрация увеличе-
ний принимает слишком заметное значение, и окуляр приходится
составлять из двух или лучше трех склеенных линз.
Средн окуляров с положительным фокусным расстоянием
одним из самых простых является окуляр Рамсдена, состоящий
из двух плоско-выпуклых линз (рис. V.13), обращенных друг
к другу выпуклыми поверхностями. Передний фюкус находится
впереди первой лиизы коллектива. Так как линзы простые, оку-
ляр практически не обладает аберрациями высших порядков
и его аберрации с большой точностью могут быть определены
на основании формул Зейделя для третьего порядка. У него
могут быть вполне исправлены кома и астигматизм; кривизна
поля в.общем не хуже, чем у более сложных окуляров, но до-
вольно большая хроматическая разность увеличений (порядка 1 %
для лучей, соответствующих длинам воли 656 и 486 мкм) огра-
ничивает поле зрения, которое не может превышать 40°.
Окуляр Гюйгенса (рис. V.14) состоит из двух плоско-выпуклых
лннз, обращенных плоскостями к глазу. Передняя фокальная
плоскость находится между линзами; как и для окуляра Рамсдена,
аберрации могут быть определены прн помощи формул для третьего
порядка. По сравнению с окуляром Рамсдена этот окуляр не-
сколько лучше в отношении хроматизма увеличений, но имеет
в 2—3 раза большую сферическую аберрацию. Недостаток обоих
330
окуляров — близость выходного зрачка к глазной лиизе; рас-
стояние х' • L'P (рис. V.13 и V.14) равно приблизительно ’/з
фокусного расстояния окуляра, если в нем хорошо исправлены
кома н астигматизм. Так как глаз не может быть помещен ближе
8—10 мм от последней поверхности окуляра, то нельзя применять
окуляры Гюйгенса и Рамсдена с малыми фокусными расстояниями.
При фокусном расстоянии меньше 15—20 мм наблюдения затруд-
няются, так как глаз не охватывает одновременно всего поля
зрения.
Рис. V.15 Рис. V.16
Окуляр симметричный (рнс. V.15) состоит из двух одинаковых
двухлннзовых склеенных компонентов. Присутствие склеенных
линз позволяет значительно улучшить аберрации на оси (хрома-
тическую и сферическую). Хроматизм увеличений может быть
совершенно устранен. Для поля не более 40° изображение до-
вольно плоско и анастигматнчно, но наличие поверхностей склейки
с крутыми радиусами вызывает появление аберраций высших
порядков в наклонных пучках, вследствие чего качество изобра-
жения, даваемого окуляром при полях бо-
лее 40°, весьма быстро ухудшается. Преи- I ГТ"**—
муществом этого типа окуляра является —I I
большое расстояние выходного зрачка от F \Т—р -
последней поверхности (немногим меньше V
фокусного расстояния окуляра). Кроме Рис. V.17
того, аберрация в зрачках, т. е. изменение
положения точки Р (пересечения луча с осью при различных углах
поля зрения), очень мала. Этот тип окуляра наиболее применим
при малых фокусных расстояниях (до 7—5 мм).
Окуляр «ортоскопический» (рис. V.16) состоит из двух частей:
тройного склеенного компонента и стоящей вплотную к неМУ
простой плоско-выпуклой линзы, обращенной плоскостью к глазУ-
По своим свойствам этот окуляр весьма близок к симметричному;
поЛе зрения его не превышает 40°. От других окуляров он отли-
чается тем, что дисторсия его может быть неправлена в несколько
большей степени, что дало повод назвать его ортоскопическиМ-
Окуляр Кельнера (рнс.V.17) отличается от окуляра Рамсдена
тем, что первая поверхность коллектива у него ие обязательно
плоская, а глазная лннза состоит нз двух склеенных стекол.
Благодаря этому аберрации на оси исправлены лучше, чем у окУ-
ляра Рамсдеиа; хроматическая разность увеличений меныие»
хотя все-таки достигает 0,5%. Выходной зрачок окуляр3
331
Кельнера может отстоять от последней поверхности на V2 фокус-
ного расстояния, т. е. дальше, чем у окуляра Рамсдена, но ближе,
чем у симметричного и ортоскопического окуляров. Поле зрения
окуляра Кельнера достигает 50°.
Рис. V.18
Рис. V.19
L,
Окуляры широкоугольные составлены из трех линз, нз кото-
рых одна простая, а две—двойные, благодаря чему высшие
порядки аберраций наклонных пучков уменьшены. Существует
Рис. V.20
несколько вариантов широкоугольных окуляров, из которых наи-
более удачными нужно считать типы, предложенные Эрфле.
Первый тип Эрфле (рис. V.18) является усложнением окуляра
Кельнера путем раздвоения глазной лннзы оба компо-
naDa6unouitafiQnasi
Рис. V.21
нента L2 и L3 одинаковы. Поле зрения достигает 60—65°; при
увеличении поля дисторсия и хроматическая разность увеличений
превышают допустимые значения (8—10% для дисторсии).
332
Расстояние зрачка от последней лннзы 0,5—0,6 фокусного рас-
стояния, как и в окуляре Кельнера. Второй тип Эрфле (рис. V. 19)
можно рассматривать как симметричный окуляр с прибавлением
третьей линзы в середине, цель которой — уменьшить аберрации
высших порядков. Поле зрения не превышает 60°, но расстояние
до зрачка достигает фокусного расстояния.
Существуют еще и другие типы окуляров, впрочем, мало при-
меняемые, например окуляры с далеко вынесенным выходным
зрачком (бинокли, прицелы и т. д.). Простейшим способом удале-
ния выходного зрачка является введение отрицательного ком-
понента на небольшом расстоянии от переднего фокуса окуляра.
Нужно, однако, иметь в виду, что чем дальше отстоит выходной
зрачок, тем меньше поле зрения (при одном и том же типе окуляра).
На рнс. V.20 н V.21 приведены схемы двух особо широко-
угольных окуляров, обладающих углами поля 85°. У первого
из них (/' =15, 1 : 4,3, 2р = 86°) выходной зрачок находится
на расстоянии, равном фокусному. У второго (/' = 30, 1 : 5,
2р = 85°) расстояние до зрачка равно 1,6 фокусного расстояния,
что достигнуто применением параболоидальной поверхности.
Несмотря на необычно большие значения угла поля зрения и уда-
ления зрачка выхода, качество исправления аберраций хорошее.
Сообщенные краткие сведения дают возможность составить
предварительный проект оптической системы. Однако могут
представиться случаи, когда из-за каких-нибудь условий, чаще
всего габаритного характера, представляется необходимым перейти
через указанные здесь пределы; тогда расчет системы, удовлет-
воряющий необычным требованиям, делается очень трудным и
сложным.
ГЛАВА VI
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассчитать оптическую систему — это значит определить кон-
структивные элементы (радиусы кривизны или профили сечений
преломляющих и отражающих поверхностей, толщины линз,
расстояния между оптическими элементами, световые диаметры
линз и зеркал, сорта применяемых стекол н т. д.), допустимые
отклонения от величин этих элементов и отступления от идеальной
центрировки. Могут быть еще и другие элементы расчета в зависи-
мости от назначения и действия прибора, для которого рассчиты-
вается оптика.
Существует несколько основных методов расчета, на выбор
которых влияют многие обстоятельства — от личных вкусов
конструктора-вычислителя до характеристик оптических систем
(например, их относительные отверстия и величина угла поля
зрения). Немалую роль играет и наличие или отсутствие тех
нли иных вспомогательных средств вычисления: арифмометров,
быстродействующих электронных машин и т. д.
После довольно длительного периода использования эмпири-
ческих методов изготовления первых нашедших применение опти-
ческих приборов: луп, очковых стекол, зрительных труб и микро-
скопов — начались попытки перехода к более обоснованным
методам, опирающимся иа знание законов преломления н отра-
жения. Неудивительно, что Декарт, сформулировавший впервые
точные законы преломления н отражения, стал первым оптиком-
конструктором, указавшим на наличие сферической аберрации
линз н показавшим, как ее исправлять. Ньютон, открывший
дисперсию и хроматическую аберрацию линз, дал и формулы для
оценки последней, которые значительно позже позволили Дол-
лонду создать первые ахроматы. Эйлер написал большой трактат
о расчете оптических систем («Диоптрика»), в котором была
приведена целеустремленная методика расчета, не нашедшая
впоследствии применения только потому, что она опиралась на
неверную гипотезу о значении дисперсии материалов и не при-
нимала во внимание одну из главнейших аберраций оптических
систем — кому, о существовании которой во времена Эйлера
никто не знал.
334
Следующий шаг в направлении разработки методики расчета
был сделан австрийским математиком Пецвалем. После того как
он получил путем весьма трудоемкого разложения в ряд выраже-
ния для аберраций третьего и пятого порядка (а может быть
и дальше — все его работы пропали при пожаре), он убедился
в невозможности использования плодов своих трудов из-за их
слишком большой сложности и создал метод проб, основанный
на изучении связи между аберрациями системы, вычисленными
с помощью расчета хода лучен, и некоторыми ее конструктивными
элементами. С помощью этого метода Пецваль рассчитал первый
светосильный фотографический объектив (1840 г.), названный его
именем. Впрочем, этот объектив любопытен тем, что в нем так
называемое условие Пецваля, т. е. условие отсутствия кривизны
изображения, не только не выполнено, но, наоборот, кривизна
больше, чем у всех ранее известных объективов.
Несколько позже (1856 г.) Зейделем были выведены н опубли-
кованы формулы для коэффициентов аберраций третьего порядка,
но Зейдель, как н Пецваль, пришел к выводу о невозможности
использования этих формул для практических вычислений из-за
их крайней сложности. Лишь в начале XX в. непрекращающиеся
попытки найти применение формулам Зейделя привели к успеху
в простейшем случае двухлинзового объектива, который пред-
ставлял весьма значительный практический интерес, так как
являлся основным компонентом подзорных труб любого рода,
а также микроскопов слабого увеличения. Двухлиизовые объек-
тивы, наиболее часто встречающиеся на практике, обладают
малым относительным отверстием, обычно меньше чем 1 : 4—
1 : 5; вследствие этого толщины линз малы по сравнению с фо-
кусным расстоянием и аберрации высших порядков намного
меньше, чем аберрации третьего порядка; наконец, угол поля
зрения мал, а следовательно, для получения хорошего качества
изображения достаточно исправить две аберрации — сферическую
н хроматическую. Благодаря этому оказалось возможным получить
довольно простые формулы для радиусов кривизны поверхностей
при известных характеристиках применяемых оптических стекол.
Задача расчета двухлинзовых объективов решалась неодно-
кратно многими исследователями, пользовавшимися различными
переменными и принимавшими во внимание большее или меньшее
количество дополнительных условий. Более того, решение этой
задачи стало своеобразным критерием, позволяющим оценить
возможности того или другого предложенного метода. Прошло
более 60 лет после опубликования первых работ, посвященных
этой задаче, но и в настоящее время поступают в печать новые
и новые работы на эту же тему.
Подобные исследования положили начало второму методу
расчета оптических систем, который получил у иас название
алгебраического метода — в противовес описанному ранее
335
тригонометрическому, основанному на изучении результатов вычи-
сления с помощью таблиц тригонометрических величин с после-
дующим интерполированием (или экстраполированием).
В этой главе будет рассматриваться лишь алгебраический метод,
а метод проб, получивший большое развитие после появления
и освоения ЭВМ, будет изложен в гл. VH.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МЕТОДА
Как было изложено выше, алгебраический метод возник после
того, как на примере двухлинзового объектива выяснилась пол-
ная возможность расчета оптической системы, исходя из формул
для коэффициентов аберраций третьего порядка. Нетрудно было
распространить этот метод на расчет простых лннз, двухлинзовых
несклеенных и трехлинзовых склеенных объективов и вообще
бесконечно тонких компонентов, хотя при увеличении числа
лннз растет число неизвестных н простота решения исчезает.
Более того, методика алгебраического расчета могла быть без
труда распространена на тот случай, когда оптическая система
состоит из нескольких компонентов (например, объектива и оку-
ляра или объектива, оборачивающей системы линз и окуляра)
или представляет собой зеркальную или зеркально-линзовую
систему из нескольких зеркал и линз. Как было показано в гл. III,
все поперечные аберрации третьего порядка монохроматических
лучей, а также обе хроматические аберрации параксиальных
лучей (хроматические аберрации положения и увеличения) цен-
трированной оптической системы могут быть представлены как
сумма произведений вида
6g’ = БmtPi + + SPi^i + Eq<> I
+ + Ы I
для аберраций монохроматических лучей и
s'F — s'c =
‘D
для хроматических аберраций. При этом величины rtii, nii, п i,
пг . . ., г., г\ зависят только от оптических сил компонентов,
расстояний между ними, апертуры системы и расстояния точкн-
объекта от оси, а величины Р{, я,, qt, Ct связаны с конструк-
цией элемента i, т. е. с его радиусами кривизны, показателями
преломления н коэффициентами дисперсии (для СО, а также
с положением объекта относительно компонента i. Однако в гл. Ш
336
(VI.2)
было показано, что параметры Pt и Wh зависящие от положения
предмета, можно заменить теми же параметрами, связанными
только с конструктивными элементами; при этом зависимость Р{
и от Pz и W(-линейная, и вид уравнений (VI.1) и (VI.2) остается
без изменения, но переход от старых Pt и Wt к новым н
позволяет осуществить полностью разделение параметров иа две
группы. В первую группу входят внешние величины, связанные
с габаритными характеристиками системы, силы отдельных ком-
понентов, расстояния между последними, диаметры их, завися-
щие от апертурных и полевых углов, как это было показано
в гл. V. Поэтому эти величины можно считать известными. Пара-
метры второй группы Р, W, ли С получаются из решения системы
уравнений (VI.1) и (VI.2), если правые части этих уравнений
известны. Определение этих правых частей, а также числа урав-
нений систем (VI. 1) и (VI.2) будет рассмотрено ниже.
Составление уравнений, их решение
Напомним формулы (11.42*) для всех аберраций третьего по-
рядка оптических систем с осевой симметрией:
1) для сферической аберрации
— 2лp6g\ = ыр (шр2 - Qp ) Sp
— 2np6Gi = Qp (o)p 4- Qp ) Sp
2) для комы
— 2лрд/ц = (3tDp 4- Qp) WpSji;
— 2лрдСп = 2o)pQpW1SII;
3) для кривизны поля н астигматизма
— 2rtp6g'in+iv = WpK’i (3Sin J'SIV)j
— 2np6Gin+iv = (Зщ 4~ J SIV);
4) для дисторсии
— 2n'p6g\' = ^?SV; — 2«p6Gv = 0.
(VI.3)
В этих формулах 6g? и 6G'T — проекции на меридиональную
и экваториальную плоскости отрезка 6L, соединяющего точку
пересечения луча с гауссовой плоскостью изображения с точкой,
изображающей по законам гауссовой оптики рассматриваемую
точку-объект, в том предположении, что все аберрации, за исклю-
чением Г-й, уничтожены.
В особо важном случае, когда плоскость предмета находится
на бесконечности, удобнее всего пользоваться формулами (III.7*),
22 I . Г. Слюсарев $37
на основании которых можно написать
, , т, (mi -I- /и?)
— 2np6gt =--------------si;
, , зш, + mJ
— 2npSgn---------->--wtsn;
Fx
— 2rip6gni-iiv = miwl(3Sul -j- 5IV);
2np6gv ~ F w Sv;
-2nfiG,= л ',. 1J s,;
F
n ' ы' 2m,M, c
— 2Пр60ц = —uy>n;
— 2np6Gin_|. iv — (SHI -|- SIV);
— 2npbGv — 0.
Эти формулы отличаются от (VI.3) только несколько иной
системой единиц для выражения сумм Sb Sn, , . Sv. В первом
случае прн вычислении Р, W и я принимается, что а'р = 1, =
— Ми У\ = *1» J ai (*i — si)> во втором случае а = 1,
/ц = 1, J = —1, yi —. Множители при суммах разли-
чаются только наличием или отсутствием величины F', так как
прн бесконечно удаленной плоскости предмета
Наконец, если система телескопическая и ар = 0, то поперечные
аберрации не могут быть вычислены; вместо них необходимо
вводить угловые аберрации [dgp] и [6GP], равные пределу -—
Зр
и------А при sp—>оо. Обозначая увеличение телескопической
sp
системы буквой у, на основании формул (III.8) имеем
[6О;] = "(”?+"?) з
у 1- JJ F'* 1
н т. д. Эти формулы отличаются от (VI.4) только тем, что справа
все миожители сумм содержат лишнюю степевь F' в знаменателе;
338
F' в этом случае обозначает фокусное расстояние той части системы,
которая остается по исключения окуляра. При определении ве-
личин Р, W и л за единицу углов а берется угол в среде,
отделяющей окуляр от остальной части телескопической системы.
Две хроматические аберрации первого порядка для бесконечно
тонких систем могут быть представлены следующими формулами
[оии приведены в гл. Ш под номерами (111.11) и (111.14)1:
хроматическая аберрация положения 6.<
= (VI.5)
хроматическая аберрация увеличений
Lp~, Lc (VI.5*)
t=e
где C( — ® — число линз компонента <; q, — относитель-
/=1
ная сила лннф^Л т. е. отношение оптической силы линзы t к опти-
ческой силе Ф,- всего компонента I.
Для телескопических систем первая из этих аберраций должна
быть оценена в угловой мере; обозначим через 16g' предел
6s_ao , ,
отношения-------т-^-. Тогда, благодаря соотношению s а =• йр,
SP р
(VL6)
где tn — высота пересечения луча с плоскостью выходного
зрачка.
Для второй аберрации отношение ----у—- при переходе s'p
к бесконечности не теряет смысла и формула (VI.5*) остается
в силе.
Нужно помнить, что уу = —, — 1. Оптические силы Ф(-
определяются из условия, что = 1, причем суммирование
распространяется на все компоненты за исключением окуляра.
Предположим, что на основании тех условий, которым должны
удовлетворять оптические свойства (увеличение, апертура, поле
зрения) и габариты оптической системы, получены все фокусные
расстояния отдельных линз, расстояния между ними, положение
предмета и входного зрачка относительно системы.
Рассчитываем по любому изложенному в гл. II способу ход
двух вспомогательных лучей. Первый из них проходит через
точку предмета на оси под углом к ней сц, определяемым из условия,
что а' или в случае телескопической системы равняется еди-
нице. Второй луч проходит через центр входного зрачка под
22* 339
углом Pj ~ 1 в общем случае и-^т- в случае, когда s, = оо. Если
а, — 0, то удобно приводить все отрезки к фокусному расстоя-
нию F — 1. Далее вычисляем последовательно все углы а. и а'
до н после преломления у компонента с номером i, все высоты ht
н аналогично углы pi и pi и высоты у, для второго вспомогатель-
ного луча (примеры см. в дальнейших главах).
Для расчета хода луча служат следующие формулы, приме-
няемые последовательно ко всем компонентам:
а! — а, ft — ft- = г/,®,; 1
hi+i = ht — //, н — d<. <+ift J
где — оптическая сила компонента г; dL £-+i — расстояние
между компонентами с номерами i и i + 1.
Зная величины h, у, а, можно составить выражения всех
сумм Sj, . . ., Sv по формулам гл. II, а также и двух хромати-
ческих сумм S[P и Su-
Выбор аберраций, подлежащих исправлению
При расчете оптических систем одной из наиболее ответствен-
ных задач является выбор тех аберраций, которые подлежат
исправлению. Казалось бы, естественно стремиться устранить
все пять аберраций третьего порядка монохроматического луча
н две главные хроматические аберрации, т. е. составить семь
выражений аберраций и приравнять их нулю; на самом деле
такой способ решения задачи во многих случаях не может быть
применен. Некоторые аберрации третьего порядка не поддаются
исправлению простыми средствами, т. е. с малым количеством
лииз и с нормальными сортами оптических стекол. Применения
более сложных систем обычно избегают, так как это усложняет
и значительно удорожает изготовление прибора и часто приводит
к некоторым ухудшениям, как, например, к большей чувстви-
тельности прибора к внешним воздействиям и толчкам, легко рас-
страивающим сборку многочисленных деталей; с другой стороны,
применение особых сортов стекла, необходимых для устранения
аберраций, но мало устойчивых, приводит к порче линз, к умень-
шению прозрачности и т. д.
Вопрос о числе подлежащих исправлению аберраций связан
с назначением прибора, с его относительным отверстием, с тре-
буемым качеством изображения. Если оптическая система должна
обладать незначительным углом поля зрения (например, объектив
астрономической трубы с большим увеличением), то необходимо
обратить внимание на исправление сферической аберрации и хро-
матической аберрации положения. Для объектива зрительной
трубы средних увеличений нужно исправить кому или хотя бы
340
компенсировать ее остальной частью системы (например, обора-
чивающей системой и окуляром).
Если оптическая система обладает малой апертурой, но зна-
чительным углом поля (например, очковые линзы, широкоуголь-
ные фотографические объективы типа «Гипергон»), то главное вни-
мание уделяется исправлению астигматизма, а в фотографиче-
ских объективах исправляются также кривизна поля и дисторсия.
Объективы спектральных систем в ряде случаев могут не быть
исправленными в отношении хроматических аберраций и кри-
визны поля, так как поверхность изображения щели может и ие
быть плоской. Исправление дисторсии также необязательно,
поскольку измерение положения спектральных линий произво-
дится обычно сравнением двух спектров, образованных той же
оптической системой. Исправление астигматизма обязательно
только тогда, когда прибор должен давать резкое изображение
каждой точки щели, что не всегда необходимо.
Перечисленных примеров достаточно, чтобы показать, насколько
разнообразны могут быть условия, которым должна удовлетво-
рить оптическая система в зависимости от ее назначения.
Помимо требований, предъявляемых к системе в отношении
аберраций третьего порядка, может быть и ряд других (например,
к размерам, весу, числу линз и т. д.), приводящих к необходи-
мости идти на компромисс нли даже на отказ от слишком жестких
требований. В этом случае приходится идти на частичное удовлет-
ворение аберрационных требований, т. е. на приравнивание коэф-
фициентов ие нулю, а некоторым величинам, более или менее
отклоняющимся от нуля.
Можно привести и другие соображения, относящиеся к во-
просу о выборе подлежащих исправлению аберраций. Неодно-
кратно делались попытки исправления астигматизма в объективах
малой толщины. Естественно, все эти попытки терпели неудачу,
поскольку коэффициент астигматизма в бесконечно тонких объек-
тивах в наиболее распространенном случае, когда входной зра-
чок совпадает с оправой объектива, равен постоянной величине,
отличной от нуля, независимо от конструктивных элементов.
Это обстоятельство стало известным лишь после того, как фор-
мулы Зейделя научились применять в простых частных случаях.
Таким образом, бесполезно требовать от достаточно тонкого
объектива, чтобы его астигматизм был сколько-нибудь заметно
уменьшен; то же относится и к пецвалевой кривизне, так как
параметр л всегда близок к 0,7.
Остановимся более подробно на перечисленных и на некоторых
других трудностях.
К трудно исправляемым аберрациям третьего порядка отно-
сятся: кривизна поля, в некоторых случаях астигматизм и дистор-
сия; особенно трудно устранима хроматическая аберрация вто-
рого порядка (вторичный спектр).
341
Исправление кривизны изображения. Эта аберрация опре-
деляется суммой Зейделя SIV, имеющей особенно простой вид
•$iv =
Так как величины Ф, обычно бывают заданными, то для исправ-
ления кривизны можно использовать только величины л;-. Уже
ранее было указано, что эти величины практически постоянны
и не выходят из пределов 0,6—0,8. Рассмотрим более подробно
причины постоянства величины л, от которой зависят многие
свойства аберраций оптических систем. В случае однолинзовых
компонентов или в эквивалентном случае, когда все стекла ком-
понента имеют один и тот же средний показатель преломления п,
величина л для данного компонента равна просто —. Так как
на практике значение показателя преломления остается в пре-
делах 1,50—1,65, то л не выходит из границ, определяемых чис-
лами 0,61—0,66.
В наиболее часто встречающемся случае двухлинзовых ком-
понентов параметр л может быть представлен формулой
ЯФ‘+ Ф2, (VI.8)
«1 «2
где и п2 — показатели преломления первой н второй линз
компонента. Так как относительные оптические силы ф] и ф2
связаны соотношением ф, + ф2 — 1, то выражение для л может
еще быть написано в следующем виде:
(VL9>
нли при исключении ср,:
я= —4-------—'*^11(1+Cv.), (VI. 10)
n2 V, — V2 «jZtj XI-/ V /
Множитель --------не превышает 0,05; только очень боль-
шие значения фх, не менее 10, могут сколько-нибудь значительно
повлиять на численную величину л2, но такие необычные значе-
ния фх привели бы к очень большим кривизнам поверхностей
компонента, что, в свою очередь, повлекло бы за собой малые
поперечные размеры компонента, т. е. малое относительное отвер-
стие.
Устранению кривизны мешает еще одно обстоятельство, обна-
ружившееся в двухлинзовых склеенных компонентах. В боль-
шинстве случаев устранение кривизны должно быть выполнено
одновременно с уничтожением сферической н хроматической
аберраций, которое приводит к тому, что произведение ф! -
всегда положительно. Требование уничтожения сферической абер-
342
рацни приводит также к тому, что величина показателя прелом-
ления отрицательной линзы должна быть больше, чем у поло-
жительной. Если (pi>0, и тогда Ф1(-^ > 0;
если ф1 <0, то </1| и произведение (р/-------------опять
положительно. Поэтому в двухлиизовых склеенных компонентах,
исправленных в отношении сферической и хроматической абер-
раций, л всегда больше чем 0,65 н обычно лежит в пределах
0,68—0,72. Для компонентов из трех и большего количества линз
аналогичные рассуждения приводят к тем же выводам. В фото-
графических объективах встречаются компоненты, у которых л
не превышает 0,3 (половинки анастигматов типа «Дагор» и нм
подобные компоненты), но это достигается тем, что оптические
силы у отдельных лннз, входящих в состав этих половинок, до-
стигают громадных величин порядка 10. Эти половинки можно
употреблять в качестве фотообъективов с относительным отвер-
стием не больше 1 : 12—1 : 20, что совершенно недостаточно
для обычных телескопических систем.
В дальнейшем будем предполагать, что л постоянно и равно
0,70 в склеенных системах и 0,65 в простых линзах.
Условие, что SjV равно нулю, можно написать так:
ЕФ|Л, = 0 (VI. 11)
или, считая л постоянным,
£ф(=0. (VI. 12)
Нетрудно показать, что в телескопических системах из двух
компонентов условие (VI. 12) не может быть выполнено. Условие,
что система из двух бесконечно тонких компонентов с оптическими
силами <Х>! и Ф2 телескопическая, т. е. имеет бесконечно большое
фокусное расстояние, может быть написано в виде
-Ь = ©, + ф2 _ d®,©, = о, (vi.13)
где F — фокусное расстояние системы. Но условие Пецваля
при л постоянном дает
Ф1 + Ф2 = 0. (VI.14)
Из уравнений (VI. 12) и (VI. 13) получаем ^ФХФ2 = 0, что
невозможно, так как ни одна из трех величин не может быть при-
равненной нулю без нарушения свойств телескопичности.
Покажем, что и в системах с положительным фокусным рас-
стоянием, состоящих из двух положительных компонентов, усло-
вие отсутствия кривизны не может быть выполнено. Пусть Ф —
оптическая сила системы. Тогда уравнение масштаба дает
Ф = фх + Ф2 — йф^з.
343
Условие отсутствия кривизны записывается в виде
с£>! -Р Ф2 = о,
откуда
Ф = — с/О^Ф,, (VI.15)
что невозможно, так как все три величины d, Ф, и Ф2 положи-
тельны. В случае систем с положительным фокусным расстоянием
из трех или более положительных компонентов можно также
показать, что кривизна изображения не может быть уничтожена.
Системами, удовлетворяющими условию ^ф = 0» являются,
во-первых, положительные системы из двух компонентов, у ко-
торых один компонент положителен, другой отрицателен. К ним
принадлежат объективы типа «телеобъектив», если удовлетво-
ряется условие (VI.13). Во-вторых, более сложные системы из трех
илн более компонентов, из которых по крайней мере один отри-
цателей, могут быть построены так, чтобы удовлетворялось усло-
вие ^Ф = 0 (например, фотообъективы типа «триплет»).
Имеется еще одна, чисто теоретическая возможность дости-
жения того же результата: поставить в одной нз промежуточных
плоскостей изображения отрицательную линзу соответствующей
оптической силы, не влияющую на ход апертурных лучей, т. е.
лучей, идущих из точки предмета на оси. К сожалеиню, такие
линзы рассеивают пучки лучей, идущих из различных точек
поля зрения (вместо того чтобы их собирать, как это делает боль-
шинство положительных, так называемых коллективных линз).
Они не могут применяться за исключением того случая, когда
отрицательная линза ставится непосредственно перед изображе-
нием (линза Смита в фотографических системах). Есть еще один
случай, когда применение отрицательного компонента возможно
и даже полезно, а именно — в окулярах с большим удалением
выходного зрачка. Действительно, отрицательный компонент слу-
жит для удаления зрачка и одновременно уменьшает кривизну
изображения, даваемую системой объектив — окуляр.
Таким образом, исправление кривизны поля (не за счет астиг-
матизма) в телескопических системах простой конструкции не-
возможно, и при составлении системы уравнений, определяющих
систему, условие SIV — 0 не может иметь места.
Исправление астигматизма. На практике встречается ряд
случаев, когда астигматизм оптических систем не может быть
устранен; это обстоятельство также должно быть принято во
внимание при составлении уравнений. Например, астигматизм
бесконечно тонкого компонента, находящегося в плоскости одного
из зрачков системы, определяется исключительно его фокусным
расстоянием, как это следует из формулы (IH.7), которая может
344
быть представлена в таком виде:
= Xj 27 Xj +Xj ф“ (VL16)
Если у1 — 0, то сумма 5Ш, относящаяся к компоненту i,
равна
= J1 S Ф;
и не зависит совершенно от внутренних элементов компонента.
Этот случай встречается довольно часто (объективы телескопиче-
ских систем), и бесполезно пытаться влиять на значение астигма-
тизма иначе, как изменением положения входного зрачка, да
и то только тогда, когда объектив не исправлен одновременно
в отношении сферической аберрации и комы. Впрочем, астигма-
тизм всей оптической системы может быть исправлен, если у оку-
ляра третья сумма имеет такое значение, которое компенсирует
неустранимую в объективе величину той же суммы.
Исправление вторичного спектра было изучено в гл. II, и здесь
важно отметить только то, что его устранение возможно лишь прн
условии применения специальных сортов оптического стекла,
обладающих одинаковыми частными дисперсиями, или с помощью
оптических систем с одним или несколькими зеркальными отра-
жениями.
Исправление аберрации по отдельным компонентам. Различ-
ные компоненты оптической системы работают каждый в особых
условиях: на одни попадают широкие пучки, образующие малые
углы с оптической осью системы; другие, наоборот, пересекаются
тонкими пучками, сильно наклоненными к оси. В первом случае
такие аберрации, как сферическая н кома, зависящие от третьей
и второй степеней апертурного угла, могут иметь очень большие
значения и должны быть исправлены прежде всего. Во втором
случае главную роль играют дисторсия, кривизна и астигматизм,
зависящие от третьей и второй степени полевых углов и только
от нулевой н первой степени апертурных углов. Возьмем для
примера телескопическую систему, состоящую из объектива и
бесконечно тонкого окуляра. Предположим, что ее увеличение у
значительно,—случай, когда разделение аберрации происходит
особенно наглядно.
Положим, что входной зрачок совпадает с объективом. Вычис-
лим все суммы Sj, Sn, . . ., Sv, соответствующие пяти аберрациям
монохроматического луча. Определим величины h и у для обоих
компонентов. По условию Л, = 1; тогда по свойству телескопи-
ческих систем h2 = = 0. Для определения у2 заметим,
что у2 = —j32d, где — угол с осью второго вспомогательного
луча между объективом и окуляром; d — расстояние между
345
компонентами. Угол (Ц — -у, где F—фокусное расстояние
объектива. Так как ух = 0, то р3 == Pi ~С другой стороны,
откуда
Определим теперь суммы SIf Sn, Sni и Sv:
Si = A1/>1 + A2P2 = Pi + y^;
•Sil = У\Р\ + У?Р 2 + №1 + =
= -y^ + W'i + h7»;
51ц=4р‘+4Ра+^г'Г1+2ъГз+Ф1+Фг=
Sv = 4 з4^2 + ^-(3 + я«).
л2 п2 2
(VI.17)
Рассматривая формулы (VI. 17), легко заметить, что сферическая
аберрация зависит почти исключительно от первого компонента
------малая величина^; кома зависит в одинаковой степени от
первого и от второго компонентов; астигматизм уже зависит
только от второго компонента, и влияние первого сказывается
исключительно присутствием постоянной 1, представлющей отно-
сительную силу первого компонента. Что же касается дисторсии,
то последняя аберрация уже исключительно зависит от окуляра.
Если взять выражения для обеих хроматических аберрации
у телескопических систем из двух компонентов, то получим
S5" = hfa>tCi + Л?Ф2С2 = с, — — С2;
У
Sil = —
(VI. 18)
Таким образом, первая хроматическая аберрация зависит
только от объектива, вторая — от окуляра.
Возможностью распределять исправление аберраций па от-
дельные компоненты широко пользуются в практике расчета
346
оптических систем. В некоторых случаях можно рассчитывать
отдельные части оптических систем независимо друг от друга;
в частности, объективы н окуляры можно, хотя бы в первом
приближении, изучать независимо. Объективы исправляются
в отношении сферической и хроматической аберраций, окуляры —
в отношении комы, астигматизма, второй хроматической аберра-
ции и, поскольку возможно, дисторсии.
Итак, при составлении уравнений надо, с одной стороны,
считаться с невозможностью исправить некоторые аберрации и
исключать из рассмотрения уравнения, относящиеся к ним;
с другой стороны, при более детальном исследовании отдельных
частей оптической системы приходится обращать внимание на
исправление только тех аберраций, которые играют главную
роль в условиях работы этих частей. Например, было бы бес-
цельно стараться исправить сферическую аберрацию коротко-
фокусного окуляра, так как это помешало бы улучшению его
астигматизма и ортоскопии. В таких нерациональных и беспо-
лезных усилиях добиться хороших результатов в нсправленин
второстепенных аберраций заключается одна нз наиболее часто
встречающихся ошибок начинающих вычислителей.
Определение свободных членов аберрациоиных уравнеиий
После тщательного выбора аберраций, которые при данных
условиях работы системы должны быть исправлены, остается
невыясненным еще вопрос о тех числах, к которым должны быть
приравнены выражения зейделевых сумм, соответствующих ис-
правляемым аберрациям. В первом и самом грубом приближении
можно было бы полагать, что эти суммы должны быть равны нулю,
если только они выражают величины аберраций всей оптической
системы или какой-нибудь ее части, для которой такое исправ-
ление должно иметь место. Когда приступают к расчету какой-
нибудь новой, еще совсем неизвестной оптической системы, ничего
другого не остается, как ставить нуль в правой стороне урав-
нения, но для уже известных систем часто возможно заранее
знать то число, которому должна равняться левая часть уравне-
ния, выражающая одну из сумм Зейделя.
Рассмотрим, на основании чего определяются численные зна-
чения правых частей указанных уравнений. Замена бесконечно
тонких линз линзами конечной толщины всегда более или менее
изменяет численные значения аберраций третьего порядка си-
стемы. С другой стороны, влияние аберраций пятого и более
высокого порядка может быть отчасти компенсировано некоторым
изменением значений коэффициентов (сумм Зейделя) аберраций
третьего порядка. В некоторых случаях влияние аберраций выс-
шего порядка может быть определено заранее; мы увидим далее,
как можно учитывать влияние сферической аберрации пятого
347
порядка в двухлинзовых склеенных объективах, хроматическую
разность сферических аберраций в системах из двух линз н т. д.
В фотографических объективах численное значение третьей и
четвертой сумм заранее известно, если тип объектива задан.
Тригонометрический расчет хода лучей через оптическую систему
позволяет оценивать как влияние толщин, так и влияние аберра-
ций высших порядков и определять величины поправочных сво-
бодных членов. Вопрос о влиянии обоих факторов будет более
подробно разобран ниже.
Решение уравнений и определение конструктивных элементов
в первом приближении
Если правые части уравнений, получаемых приравниванием
выражений сумм Зейделя некоторым числам, известны, то реше-
ние этих уравнений не представляет никаких затруднений, так как
система уравнений линейна относительно неизвестных Pt и W(.
При решении системы уравнений, определяющих параметры Plt
Wi (и лг), могут встретиться различные случаи. Во-первых, может
оказаться, что число неизвестных меньше, чем число уравнений.
Ясно, что в таком случае приходится пренебречь исправлением
какой-нибудь нз аберраций, причем выбор отбрасываемых абер-
раций должен быть выполнен с большой осторожностью: необ-
ходимо принять во внимание условия применения оптической
системы н те цели, для которых она предназначена. Например,
при расчете биноклей обычной конструкции не хватает параметров
для устранения кривизны поля (см. стр. 342) и еще какой-нибудь
одной аберрации; поэтому обычно отказываются от исправления
дисторсии, так как небольшое искажение формы предметов и
отклонение от их правильного положения не имеют особого
значения для системы, ие предназначенной для измерительных
целей. В астрономических объективах не пытаются исправлять ни
астигматизма, ни дисторсии, так как в этом случае важно хорошее
качество изображения только на оптической оси системы и в не-
посредственной близости к центру поля зрения.
Второй возможный случай — это случай, когда число неиз-
вестных больше, чем число уравнений. Это часто бывает у слож-
ных систем, например у зрительных труб с оборачивающими
линзами, у перископов и т. д. В таких случаях можно добавить
несколько уравнений, частью относящихся к качеству изобра-
жения, т. е. выражающих условие уничтожения каких-либо
аберраций, частью служащих для облегчения конструкции си-
стемы. Можно добавить условие, чтобы промежуточные изображе-
ния, даваемые отдельными частями системы, были хорошо исправ-
лены в отношении каких-либо аберраций, например потребовать,
чтобы в системе перископа изображение, даваемое объективом,
было исправлено на сферическую и хроматическую аберрации;
348
это может оказаться необходимым, если в плоскости промежуточ-
ного изображения должна быть расположена сетка или иное
измерительное приспособление. В качестве условий, облегчающих
конструкцию, можно потребовать, чтобы оборачивающие линзы
были одинаковыми или чтобы отдельные компоненты имели
общие конструктивные элементы: сорта стекол, радиусы кривизны
и т. д.; наконец, можно идти на упрощение конструкции. Однако,
добавляя новые условия, нужно всегда иметь в виду их осуще-
ствимость; нельзя, например, в качестве добавочного условия
написать уравнение SIV = 0. Такое условие, как правило, при-
водит к неприемлемым результатам. Нужно помнить, что вели-
чинами л располагать нельзя; их всегда следует считать постоян-
ными числами, принимая л = 0,65 для простых линз и л = 0,70
для двухлинзовых склеенных компонентов.
Считая лг- постоянным, решают систему уравнений относи-
тельно неизвестных величии Р{ и W^, после этого остается решить
вопрос о выборе таких конструкций каждого компонента, при
которых функции Pi и Wt имеют полученные из уравнений зна-
чения. Величины Р[ и зависят не только от радиусов кривизны
и показателей преломления, но еще и от углов а. и а. первого
вспомогательного луча с осью. Пользуясь системой формул (111.18),
можно исключить влияние последних величин, н тогда задача
о нахождении нужных элементов компонента значительно упро-
щается.
Обозначим через Р, и величины, определяемые выра-
жениями
Дал
где i — номер бесконечно тонкого компонента, в предположении,
что cct- = 0 и а • = 1; суммирование распространяется на все поверх-
ности этого компонента. В гл. Ill были выведены формулы (III.25),
связывающие величины Pi и Wi с основными параметрами Р6 W, и
лг; снова выписываем эти формулы (с добавлением индекса 1):
Pi = («/ — а£)3 + 4at- (ocj — а{)2 Wz -f- at- (а — а,) х
X [(4 + 2rtf)af- — aj;
= — at)2 Wt 4- a, (at — а,) (2 + п().
(VI. 20)
349
Здесь все величины а4- и а. зависят только от внешних элемен-
тов системы и, вообще говоря, заранее известны.
Величины Р( и Wt могут быть исключены нз основной системы
выражений (111.7) с помощью формул (VI .20), и тогда получается
ряд выражений с новыми переменными основными параметрами Р/
и WP После исключения функций Pt и W{ выражения для сумм
Зейделя в случае бесконечно тонких компонентов принимают внд
Si = S + 4a/ft/(pfWz + a, [(4 -|- 2л^) a, — aj ];
Sn = 2 hi4i (1 + 4a^z) W/
+ «< [(1 + 2у,а,) (2 + л,) — улаЦ);
Sin = S <P< + 2y,-hirfi (1 + 2a,y,) W, -f- I +
+ 2a,y, (2 +- л,) + a/y< [a, (4 + 2л,) — a)]
Sv = Zj V ^3‘h^Pi + (3 + 4“<У<) ifihitpi'Wi +
+ УI (3 4- я/) + 3a,у? (2 I- Л1) + a,y) [(4 4- 2л,) a, — a^J ].
(VI.21)
Приравнивая S], Sn, . . ., Sv в формулах (VI.21) нулю или
каким-нибудь другим числам, получаем систему уравнений, из ко-
торых можно найти численные значения основных параметров Рг
и Wp На практике удобнее другой путь, а именно: для составле-
ния уравнений использовать основные выражения сумм (Ш.7),
определив из ннх 4ислеииые значения величин Pt и Для на-
хождения по этим значениям величин основных параметров Р;
и W, рассматриваем формулы (VI.21) как уравнения и решаем
их относительно Р, и Wp Это дает следующие выражения:
Р,
(«; - а,)3 *
Pi — 4- af (а — а;)
X [0 + 2лг) аг- + aj};
w' = 7^4 V ~ (2 + я')1
\а« а17
(VI .22)
X
Получением численных значений основных параметров Pt-
и Wz заканчивается первая часть поставленной задачи.
Вторая часть содержит выбор типов компонентов и вычисле-
ние их внутренних элементов. Зависимость основных параме-
тров Р< и W, от конструкции компонентов была рассмотрена
в гл. III для однолинзовых, двухлинзовых, трехлиизовых склеен-
ных и двухлиизовых несклеенных систем. Было показано, что прн
рациональном выборе оптических стекол двухлинзовый склеенный
350
компонент может дать с достаточной степенью точности любую
пару значений для и Wf при любом заданном значении чет-
вертого основного параметра Ci, определяющего хроматические
аберрации компонента. При заданных наперед сортах стекол
необходимо применять либо трехлинзовую склеенную систему,
либо двухлинзовую иесклеенную. Там же было показано, как при
заданных значениях Р, W и С вычислить все конструктивные эле-
менты компонента. В частном случае двухлннзового объектива
с помощью полуэмпирической формулы Р - РП11П 0,84 (W —
— 0,15)2 по заданным Р и W вычисляют значение Pmln, по кото-
рому при заданной величине С с помощью таблиц и чертежей
той же главы находят наиболее подходящую пару стекол, т. е.
пару, позволяющую с достаточной точностью получить нужные
значения Р, W и С. Прн заданных стеклах вычисление радиусов
не представляет никаких затруднений.
Второе приближение. Учет толщин и аберраций
высших порядков
Полученная в первом приближении оптическая система яв-
ляется лишь остовом для дальнейшей постройки. Конструктивные
элементы, т. е. радиусы кривизны поверхностей, рассчитаны для
бесконечно тонких линз, и потому при замене бесконечно тонких
линз линзами конечной толщины необходимо ввести поправки
в эти элементы. В этой главе будет рассмотрен только тот случай,
когда толщина линз мала по сравнению с их фокусными расстоя-
ниями и не превосходит этих последних, что почти всегда
имеет место в обширной категории телескопических систем, фото-
графических объективов с малыми относительными отверстиями
и микроскопов с малой апертурой.
Определение толщин лииз. Толщина линз задается почти
исключительно по конструктивным соображениям и только иногда,
но очень редко — с целью исправления той нли иной аберрации.
Соображения первого рода ограничивают численное значение
толщины с обеих сторон. Толщина должна быть такова, чтобы
в наиболее тонком месте, т. е. на краю отверстия для положитель-
ных и в центре — для отрицательных линз, она не была менее
определенной величины dmln, обеспечивающей линзе достаточную
прочность и облегчающей ее нзготовленне. Эта минимальная ве-
личина зависит от диаметра линз и отчасти от условий примене-
ния их. По нормали Госкомитета НО 4728—64 зависимость между
отверстием лннзы D и величиной dmln определяется таблицами
(см. табл. VI.1 для отрицательных лииз н табл. VI.2 — для по-
ложительных).
В некоторых случаях эти нормы недостаточны, чтобы обеспе-
чить достаточную прочность линзе, если ее радиусы кривизны
351
Таблица Vi.I
Диаметр линзы D в мм Наименьшая толщина линзы по осн d прн допуске A.V (местные ошибки)
До 0,5 полосы Св. 0,5 до 2 полос Сп. 2 полос
До 50 0.120 0,10 0,080
Св. 50 0.10 0,080 0.060
очень велики и по форме она мало отличается от плоскопарал-
лельной пластинки; тогда добавляется условие, чтобы максималь-
ная толщина линзы была бы не менее -----диаметра ее от-
верстия. Например, плоскопараллельная пластинка диаметром
в 100 мм должна иметь не меньше 10—12 мм толщины. Бывают
исключения из норм, приведенных в табл. VI.1 и VI.2. В очень
малых линзах в некоторых случаях толщина подбирается так,
чтобы на краю отверстия она сводилась на нет, т. е. получался бы
острый угол. При изготовлении единичных оптических систем
можно допустить отклонение от нормы как в сторону уменьшения,
так и в сторону увеличения толщины линзы. Если в этом нет необ-
ходимости, лучше придерживаться величин, приведенных в
табл. VI.1 и VI.2.
Таблица VI .2
Диаметр лннзы D Наименьшей толщина лннзы по краю d Диаметр линзы D Наименьшая толщина линзы по краю d
в мм в мм
До 6 0,6 Св. 6 до 10 1 0.8 » 10 » 18 1,0 » 18 » 30 | 1,2 Св. 30 до 50 » 50 » 80 » 80 » 120 » 120 1,6 2 2.5 3
На основании данных табл. VI. 1 можно вычислить толщину
линзы d в центре для случая положительных лииз по заданным
радиусам кривизны г и г' и диаметру отверстия D. Пусть L
(рнс. VI.1) — линза, толщина которой подлежит определению.
Обозначая через а н а' стрелки, т. е. высоты сегментов, соответ-
« u D
ствующие первой н второй поверхностям, для высоты -g- имеем
d = + a — а'.
352
Приближенно можно написать, что
о2 , D2
“ = -8г; ° =-8?
поэтому
d=d^+^_ -р-).
С другой стороны, обозначая через F фокусное расстояние
линзы, можно с такой же степенью приближения написать
где п — показатель преломления линзы.
Формула для d принимает вид
= + (VI.23)
Формула (VI.23) может быть еще упрощена, если
принять п ~~ 1,5, что вполне достаточно в обыч-
ных условиях. Тогда
d = d^+-^. (V1.24)
drrun
Рис. Vi.I
Формула (VI.24) обладает вполне достаточной точностью,
за исключением того случая, когда лннза имеет очень большое
относительное отверстие; она может быть применена для определе-
ния толщин только положительных линз.
Для отрицательных лннз толщина в центре определяется
из условия
(VI.25)
Толщина как средство исправления аберраций. В некоторых
случаях толщинами пользуются для исправления аберраций; это
имеет место' главным образом при расчете фотообъективов и
объективов микроскопов. Рассмотрим два наиболее важных слу-
чая, когда толщины могут иметь значение параметров, действу-
ющих на аберрации третьего порядка линз.
1. Влияние толщины на кривизну поля.
Для бесконечно тонкой линзы SIV = , где Ф — оптическая
сила линзы; п — показатель преломления ее стекла. Однако,
когда линза имеет вид менисков, этой формулой пользоваться
нельзя, так как даже небольшая толщина заметно влияет на зна-
чение Siv- Можно даже получить SIV равной нулю, сохраняя за-
данную заранее оптическую силу, хотя это явно противоречит
приведенной формуле. В самом деле, рассмотрим более подробно
выражение для оптической силы линзы конечной толщины,
23 г. Г. Слюсарсв 253
а именно:
ф= 0In Vs — /'i) + (n — l)d] =
ПГ1Г2
= («-1)(^--4-)+<24т7^- (VI.26)
\ • 1 ’ 2 / n' 1' 2
С другой стороны, имеем для четвертой суммы простой линзы
формулу
<V,-27>
Условие SIV = 0, принятое для формулы (VI.27), приводит
к соотношению rL = г2. Но уравнение (VI.26) показывает, что
равенство радиусов не противоречит возможности получить Ф, от-
личным от нуля. Вследствие соотношения гх ~ г2 в уравне-
нии (VI.26) исчезает член (л— 0 (у---------и оно прини-
мает вид
ф = {n~^d (VI.28)
При достаточно малых и г2 и не слишком большом d можно
получить для Ф любое значение, наперед заданное. Например,
прн Ф = 2U0 (половинка симметричного фотообъектива с фокус-
ным расстоянием 100) имеем прн Гд = г2 = 8 d = 1,92, т. е.
вполне приемлемую толщину для такой линзы.
В качестве другого примера использования толщины для
исправления кривизны можно указать на расчет широкоугольного
объектива ГОИ. Могут оказаться полезными иа практике следу-
ющие формулы. Обозначая через рк отношение , где f —
фокусное расстояние линзы, а к — номер поверхности, имеем
Р1Р2 —
Р1---р2 —
(VI.29)
(1 — nS[y) п .
(«-!)= у ’
Эти формулы позволяют определить радиусы кривизны линзы,
обладающей заданными значениями f и 5jV.
2. Применение полусферических линз
в объективах микроскопов. В гл. II было пока-
зано, что в случае преломления через сферическую поверхность
354
на оси сферы существуют две сопряженные точки, обладающие
тем свойством, что одна из них изображается другой аплана-
тнчно, т. е. малый элемент поверхности, перпендикулярный осн
и содержащий первую точку, изображается безаберрационно ма-
леньким элементом поверхности, проходящим через вторую точку.
Для случая, когда сферическая поверхность отделяет стекло с по-
казателем п от воздуха, точка-предмет находится на расстоянии
s = г п от вершины, а точка-нзображение — на расстоянии
s' = г (п + 1). Свойство апланатичности может быть использо-
вано следующим образом. Рассмотрим лин- -—
зу в виде шарового сегмента толщиной ।
г " + 1 , т. е. больше полусферы; пусть 5 g р
точка-предмет находится на оси в точке S " J
(рис. VI.2) на границе воздух —стекло на I
расстоянии г от вершины О. Эта точка рис Vj_2
изобразится апланатично в точке S', на-
ходящейся в воздухе на расстоянии г (п 4- 1) от той же точки О;
точка 5' может служить предметом для последующих линз микро-
скопа. На практике поступают несколько иначе, но принцип ис-
пользования свойства толстых линз давать апланатические изо-
бражения остается тем же спмым.
Можно было бы указать еще несколько случаев использования
толщин линз для исправления аберраций; они будут рассмотрены
при разборе частных задач.
К простым системам, представляющим интерес для коррекции
аберраций, относятся афокальные системы (см. гл. 111) н мениско-
образные лиизы.
Переход к системе с конечными толщинами линз. Определив
по формулам (VI.24) или (VI.25) толщины всех лииз оптической
системы, необходимо вычислить новые значения радиусов кри-
визны всех поверхностей таким образом, чтобы эти радиусы мало
отличались от первоначальных значений, чтобы оптические свой-
ства системы (увеличение, величины зрачков и поля зрения, длина
прибора и так далее) не изменились и, наконец, чтобы величины
аберраций остались достаточно малыми.
Можно указать несколько способов перехода от «тонкой»
к «толстой» системе — от самых элементарных и эмпирических
до очень сложных; каждый из них имеет свои преимущества н
свои недостатки; вопрос о рациональном переходе к толщинам
мало разработан.
В основе изложенного ниже метода перехода к толщинам лежит
требование сохранения значений фокусных расстояний всех ком-
понентов оптической системы и всех углов обоих вспомогательных
лучей с осью в воздушных промежутках между отдельными
23* 355
компонентами. Расстояние от входного зрачка до передней главной
плоскости первого компонента принимается тем же, что и рас-
стояние входного зрачка до первого бесконечно тонкого компо-
нента в первом приближении. Для соблюдения указанных усло-
вий необходимо выбрать воздушные расстояния таким образом,
чтобы расстояние между задней главной плоскостью любого ком-
понента и передней главной плоскостью следующего компонента
было таким же, как и расстояние между двумя соответствующими
бесконечно тонкими компонентами в первом приближении.
Главными преимуществами такого метода перехода являются,
во-первых, неизменность оптических характеристик системы: уве-
личения, диаметров зрачков и люков (длина системы меняется
при этом на сумму расстояний, отделяющих главные плоскости
каждого компонента); во-вторых, возможность исследования каж-
дого компонента независимо от других, так как все величины,
нужные для определения сумм Зейделя, относящиеся к одному
определенному компоненту, могут быть получены на основании
величин, относящихся только к этому компоненту; это свойство
будет дальше более подробно изучено.
Прн других способах перехода к конечным толщинам такая
независимость не имеет места. В частности, применяется иногда
способ перехода, при котором значения радиусов толстых систем
принимаются равными значениям тех же радиусов, рассчитанных
для тонкой системы; этот способ удобен, например, в случае линз
или компонентов симметричной конструкции или содержащих
одну отражающую поверхность (лннзы Манжена). Однако прн
сохранении радиусов изменяются фокусные расстояния и некото-
рые другие характеристики компонентов, причем эти изменения
оказывают влияние и на последующие компоненты. Недостатком
такого метода перехода является некоторая сложность формул;
впрочем, для большинства встречающихся на практике случаев
эта сложность исчезает, когда плоскость предмета находится иа
бесконечности по отношению к соответствующему компоненту.
Удовлетворение перечисленных требований еще не решает
задачу о переходе от тонких к толстым линзам, так как прн этом
еще нельзя получить правила для вычисления радиусов кривизны.
Добавим следующее условие, позволяющее вычислить радиусы
кривизны: все углы а с осью первого параксиального луча будем
оставлять без изменения. При этом ряд величин, уже вычислен-
ных для бесконечно тонкой системы, остается без изменения после
перехода к конечным толщинам. К числу таких величин отно-
сятся, во-первых, функции Р и W, зависящие только от углов а
н от показателей преломления и являющиеся основными вели-
чинами при вычислении сумм Зейделя для толстой системы;
во-вторых, величины ~ = n ” ~п” ’ необходимые при вычис-
лении радиусов кривизны толстой системы. Таким образом, опн-
356
санный способ позволяет использовать ряд величин, уже вычис-
ленных для бесконечно тонкой системы.
Однако неизменность функций Р и W еще не обеспечивает
неизменности сумм Зейделя, так как в их выражения входят вы-
соты h пересечения луча с поверхностями; эти высоты после
перехода к конечным толщинам получают новые значения, вычис-
ление которых производится на основании указанных условий
следующим образом. Пусть 00' (рис. VI.3) — линза, определяе-
мая углами а параксиального луча с осью и условием, что высоты h
пересечения этого луча с главными плоскостями линзы равны
высотам h пересечения того же луча с бе-
сконечно тонким компонентом, заменяю-
щим эту линзу в первом приближении.
Пусть Н н И’ —главные плоскости линзы
00'\ а—расстояние ОН от вершины первой
поверхности линзы до передней главной
плоскости; а' — расстояние О'Н' от вер-
шины последней поверхности линзы до
задней главной плоскости; а и а' — углы
с осью первого параксиального луча до
Рис. VI.3
и после преломления через линзу; а2 —
угол луча с осью в стекле; и hp — высоты пересечения луча
с первой н последней поверхностью лнизы.
Величины hlt hp и h связаны следующими соотношениями
(рис. VI.3);
ht ~ h 4- а<%;
h2 — h + У а'
(VI.30)
Эти формулы решают поставленную задачу, если а и У из-
вестны. Рассмотрим, как вычисляются величины а и У в наиболее
часто встречающихся случаях простой линзы и двухлинзовой
склеенной системы.
Из гауссовой теории лннз конечной толщины известны следу-
ющие формулы, связывающие величины а и У со значениями
радиусов гиг', с показателем преломления п и толщиной d линзы:
л (г' — г) + (п - - i)d *
r’d____________
«(''' — О -j- (п — 1)4 ‘
(VI.31)
Радиусы г н г' неизвестны. Учитывая малость толщин по сравне-
нию с радиусами, заменяем точные значения радиусов их значе-
ниями, полученными для бесконечно тонкой системы, а именно:
г = (VI.32)
лаа — а ’ а — агл '
357
Кроме того, можно в знаменателе пренебречь величиной
(п — 1) d по сравнению с произведением п (г' — г). Тогда фор-
мулы (VI,31) принимают вид
d а' — па..>
а =--------------7-------< -
° п а — а ’
(VI.33)
Значки 0 у величин оио' указывают на то, что в формулу вхо-
дят приближенные значения этих величин. Применяя далее фор-
мулы (VI.30) для определения и h2, получаем
Й! = А4-
d ос — па2
---------------- а;
п а — ос
(VI.34)
Если точность недостаточна, можно еще раз вычислить ра-
диусы толстой линзы по формулам
Подставив полученные значения в формулу (VI.31), на этот раз
со вторым членом в знаменателе, вычисляем более точно отрезки о
но'. В большинстве случаев можно ограничиться форму-
лами (VI.34). Если толщина линзы очень значительна, можно
вместо вышеизложенного способа постепенных приближений ре-
шить относительно hx следующее точное квадратное уравнение:
Л? — (Л + a2rf) Л, + а' = 0. (VI .36)
Это уравнение получается из известного соотношения для фокус-
ного расстояния
если заменить его значением — , -- , а г и г' — их выраже-
F п ’ г
ниями (VI.35) через а, а2 и а'. Впрочем, уравнение (VI .36) удобнее
всего решать способом итерации, т. е. постепенными приближе-
ниями.
Полагая hv — h — е — асе, получим
е2 + (Л —a2d)e + (паг ~ «') = °- (VI.37)
Рассмотрим случай двухлинзового склеенного объектива.
Пусть dx и d2 — толщины первой и второй линз; п2 и п3 — их по-
358
казатели преломления. Обозначим буквами срк оптические силы
пк “ пк
отдельных поверхностей, т. е. отношения----------, где к—номер
г к
поверхности. Рассчитаем ход двух параксиальных лучей из беско-
нечности на высоте F: первый — в прямом ходе, второй — в обрат-
ном. Обозначим углы этих параксиальных лучей с осью буквой и
для первого луча и v — для второго. Для первого луча вычисляем
последовательно
п2и2 = / <Рр /г2 = F - dtu2 = F — Fср, = F (1 — ~ ;
«2 \ '*•2 /
»з“з = п2и2 + h.<f.2 = Лр, 4- F ( 1 — 411) (р2 =
= F(<Pi + <Р2~4, Ti'Pi);
Л3 = й2-^з = Р(1 -4^)-^f(<fl + <P2-^-<P1q>3) =
Отрезок
<j' = s' — F = hs — F,
или
<vr-38)
Точно таким же образом можно получить отрезок о. Доста-
точно заметить, что при переворачивании системы ср2 превра-
щается в ср8; (р3 в <р2 не меняется.
Имея это в виду, получаем
— g F Г— 411 _ + 41 1 . (V1.39)
I. Пз п2 1 n2n3Y-V3J v '
Величины cpj, <р2 и <р3 могут быть заменены их выражениями
через а:
л., — 1 п2а.2 — ос .
=-^г = —г-’
(ра = пэ~п2 = ~ п2а2 . (VI.40)
Пренебрегая и здесь малыми величинами второго порядка,
т. е. произведениями <ff, dtd.2 и d|, можно положить, что Л2 =
= hz = F, заменить срп <р2 и Фз более простыми выражениями
Fqjj = п2а2 — a; Fcp2 = Fcp3 — а' — п3а3 (VI.41)
359
и подставить их в выражения (VI.38) и (VI.39) для а и и', прене-
брегая при этом последним членом, содержащим произведение dxd2;
это дает .
°' = — ~ - а) — А (п3а3 — а);
а = 77 <а' — пз«з) + “(«' —
(VI.42)
В частном случае, когда а = 0, а' = 1, первая из фор-
мул (VI.42) приобретает простой и известный вид
Q = ----------^2^3»
вторая формула дает
а = (* — "й) + 1 — W
(VI.43)
Любопытно, что расстояние НН' между главными плоскостями
для двухлинзового объектива определяется простым выражением
НН' = dj ± d.2 ± o' — а = d^. + d2 — (а' — а) (А + (VI.44)
\ п2 п3 /
и ие зависит от радиусов кривизны системы, а зависит только
от толщин и показателей преломления. Действительно, имея
в виду соотношения а' — а — hfo = 1, формулу (VI.44) можно
написать в таком виде:
Htf=d1 + ds-A_A = dl(1 + (VI.45)
Формула (VI.45), как и все предыдущие, лишь приближенная;
одиако она может быть полезна в качестве контрольной формулы.
Рассмотрим теперь общий случай сколь угодно сложного компо-
нента. Определение величии она' удобнее всего производить,
рассчитывая ход двух параксиальных лучей, падающих на ком-
понент параллельно осн в прямом и обратном ходе. Разности
s' — F дают искомые величины а' и а (вторая получается с обрат-
ным знаком); радиусы кривизны принимаются те же, что и для
бесконечно тонкой системы. Если есть необходимость, можно
произвести несколько приближений, как и для случая простой
линзы.
Вычисление конструктивных элементов системы. Определив,
как было указано выше, и hp для каждого компонента, можно
вычислить последовательно все остальные h по формуле Лх+1 ==
= hK — dKaK+1; значение hp, найденное таким образом, должно
совпасть с непосредственно вычисленным по второй формуле
(VI. 30); точность совпадения определяет и точность приближе-
ния. С помощью известных значений h вычисляют радиусы кри-
360
визны всех поверхностей по формуле
rK = h,_--. (VI .46)
к к пк+1ак+] — пкак v '
Толщины линз уже определены; расстояния между отдельными
компонентами определяются по формуле
dK = d0, K±(j‘K — ok+i, (VI.47)
где dK — расстояние между компонентами к и к 4- 1; d0. к — Рас'
стояние между бесконечно тонкими компонентами к и к + 1
в первом приближении.
Можно также определить dK по формуле
= h4-.h^ t (VI.48)
где h4 — высота пересечения параксиального луча с последней
поверхностью компонента к; — высота на первой поверх-
ности компонента к 4- 1.
Расстояния от предмета Si и от входного зрачка до первой
поверхности системы отличаются от принятых для первого при-
ближения sOtl и хол на величину согласно формулам
si ~ so.i 4- <4; xi = *о.1 4- <h- (VI.49)
3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ
После определения всех конструктивных элементов системы
можно приступить к ее исследованию с помощью тригонометриче-
ского расчета хода лучей. Целью этого расчета является, с одной
стороны, сравнение реальных аберраций, полученных путем рас-
чета хода лучей, с аберрациями, вычисленными иа основании
теории аберраций третьего порядка для системы из бесконечно
тонких компонентов, и с другой стороны — выявление всех осо-
бенностей системы, ее аберраций высших порядков, а также влия-
ния толщин на аберрации третьего порядка.
Тригонометрический контроль должен быть направлен глав-
ным образом на исследование тех именно аберраций, которые
по условиям работы оптической системы должны быть исправ-
лены. Поэтому нельзя установить общую для всех систем мето-
дику исследования; к каждому типу систем нужно подходить
особо.
В телескопических системах наблюдательного типа (бинокли,
стереотрубы и их разновидности) главное внимание обращается
на качество изображения в центре поля всей системы в целом;
361
край поля является здесь второстепенным, так как наблюдатель
всегда приводит интересующий его предмет в центр поля. Такие
аберрации, как кривизна поля, дисторсия, хроматическая раз-
ность увеличения и даже астигматизм, могут быть допущены,
если этим путем можно добиться улучшения качества изображения
на осн прибора.
В телескопических системах измерительного типа в поле зре-
ния наблюдателя всегда имеются шкала, штрихи или иной рису-
нок, рассматриваемый одновременно с изображением наблюдае-
мого объекта. Для избежания параллакса, т. е. перемещения
изображения рисунка относительно изображения далеких пред-
метов, не только необходимо совпадение обоих изображений в пре-
делах гауссовой оптики, но желательно также и отсутствие абер-
раций для обоих изображений. Таким образом, к требованию хо-
рошего качества изображения для системы в целом добавляется
требование хорошего качества изображения отдельных частей,
между которыми находится сетка или рисунок. Например, если
шкала нанесена на пластинку в общем фокусе объектива и оку-
ляра бинокля, то нужно в отдельности исправлять аберрации
объектива и окуляра. При этом часто повышаются требования
к резкости изображения объектов, находящихся уже не в центре
поля, а довольно далеко от оси. К оптическим системам микро-
скопа требования приблизительно те же, что и к телескопическим
системам наблюдательного типа; главное внимание обращается
на центр поля.
Для фотографических объективов, как правило, требуется
исправление всех аберраций, так как и края поля должны быть
резкими. Некоторые послабления могут быть допущены в тех
случаях, когда благодаря им можно добиться лучших результатов
в других, более важных, отношениях. Например, в телеобъективах
допускают некоторую дисторсию, благодаря чему можно умень-
шить расстояние от объектива до фокуса; в портретных объекти-
вах допускают несколько большие аберрации, увеличивая свето-
силу; в широкоугольных объективах можно допускать несколько
большие аберрации в центре поля, чем в объективах нормальных
типов, но требуется лучшее исправление аберраций в остальных
частях поля зрения.
В некоторых системах, работающих в монохроматическом свете
(спектрографы), можно не обращать внимания иа хроматические
аберрации.
В таких оптических системах, как конденсоры в проекционных
установках, исправление аберраций играет сравнительно второ-
степенную роль, так как от таких систем требуется не получение
каких-либо изображений, а только собирание лучей на площадку
определенной величины — обычно иа входной зрачок проекцион-
ного объектива.
Рассмотрим подробнее каждую аберрацию в отдельности.
362
Сферическая аберрация
Эта аберрация, вообще говоря, является наиболее важной
среди остальных: она единственная из всех (вместе с хроматиче-
ской аберрацией положения) не уменьшается по мере приближе-
ния изображения к оптической оси и понижает резкость системы
не только по краю поля зрения, но и в центре его. Поэтому на
исправление сферической аберрации следует во всех случаях
обратить самое серьезное внимание. Она определяется на осно-
вании расчета хода лучей, идущих из точки предмета на оси си-
стемы. Расстояние bs = sp — s'Q р между точкой пересечения
луча с осью н плоскостью изображения представляет меру про-
дольной сферической аберрации. Величина 6s' зависит от угла иг
падающего луча с осью; она может быть написана в виде ряда
6s' = ан? 4- but -I- cut + • • •, (VI.50)
который при малых значениях иг довольно хорошо сходится.
При больших значениях их сходимость ряда становится плохой
и с теоретической точки зрения сомнительной. Первый член
разложения может быть вычислен, если известна первая сумма
Зейделя Sp Чтобы найти соответствующую формулу, восполь-
зуемся соотношением между продольной сферической аберра-
цией 6sp на оси и поперечной сферической аберрацией 6g'p,
а именно
A ' &S'p
6SP = —A
где и — угол, образуемый данным лучом с осью по выходе из си-
стемы. Имея какую-нибудь из формул, определяющих сфериче-
скую аберрацию третьего порядка, находим 6зр. Результат был
приведен в гл. II в виде формулы (11.111)
2прир
В разложении аберрации 6s'p в ряд можно вместо переменной ut
взять любой другой параметр, связанный с иг соотношением,
линейным в пределах гауссовой области, например (высота
пересечения луча с первой поверхностью); /и, (ордината точки
пересечения луча с плоскостью входного зрачка); и — угол луча
с осью после преломления и т. д. Коэффициенты а, b и с при этой
подстановке конечно изменяются. В зависимости от типа и апер-
туры оптической системы изменяется также и то наименьшее
число членов разложения, которое позволяет с достаточной точ-
ностью представить 6s' как функцию от одной из величин иА,
sin Up tg и,, hv m{, и , . . . В большинстве телескопических
363
систем (оптика бииоклей, геодезических и астрономических труб
перископов и т. д.) можно ограничиться двумя членами; в свето-
сильных фотообъективах, в объективах микроскопов требуется
три илн четыре члена. Иногда удачный выбор переменной, отно-
сительно которой ведется разложение функции б$', позволяет
уменьшить число членов разложения. Предлагались еще новые
виды разложения функции 6s', например:
, aut
&’ = ГТЙ- (VL5,)
По этому пути можно идти очень далеко, так как имеется боль-
шой простор для всяких попыток аналогичного характера, но
едва ли можно надеяться на получение интересных результатов
такими чисто эмпирическими способами.
Правильно считать ряды (VI.50) или
формулы типа (VI.51) чисто интерполя-
ционными формулами, полезными, на-
пример, при вычислении волновых абер-
раций илн при вычерчивании кривых
сферической аберрации, хотя в послед-
нем случае графическое чутье может
иногда подсказать более правильное ре-
шение, чем применение разложения
в ряд.
Кома
Для определения комы оптической системы при помощи триго-
нометрического расчета хода лучей существует два различных
способа. Первый способ заключается в том, что вычисляется ме-
ридиональная кома, определенная формулой (П.125), т. е.
6g'K = К = ' \ - г;. (VI.52)
где l'_m и 1'6 — ординаты точек пересечения с гауссовой
плоскостью трех лучей, из которых первый пересекает плоскость
входного зрачка в точке с ординатой +mlt второй — в точке
с ординатой —mlt а третий луч — главный, т. е. проходит через
центр входного зрачка. Эти три луча представлены на рис. VI.4
тремя прямыми AtBlt А2В2 и А3В3, из которых Л2В2 — глав-
ный луч; следовательно,
= /0; BiS = Z-i-mJ B3S = l-m,-
Очевидно, что величина К равна отрезку BQB2 и является
мерой несимметрии хода лучей АГВ} и А3В3 по отношению к глав-
ному лучу А2^2» °ба луча в пространстве предметов симметричны
364
по отношению к главному лучу. Практически этот отрезок равен
отрезку CD — расстоянию между точкой пересечения двух край-
них лучей н главным лучом Л2В2-
Как было указано в гл. II, величина /С прн отсутствии аберра-
ций высшего порядка пропорциональна первой степени полевого
угла и второй степени апертурного угла <оР В присутствии
аберраций пятого порядка величина К приобретает более слож-
ный внд и может быть представлена следующей формулой:
/С --J-4-(VI.53)
где А, В, С — некоторые коэффициенты; в общем же случае кома
характеризуется комбинациями нечетных степеней Wi с четными
степенями со,.
Вычислив величину К. по формуле (VI.53) иа основании ре-
зультатов тригонометрического расчета хода трех указанных выше
лучей, следует сравнить эту величину с величиной, вычисленной
по второй из формул (11.129); эта формула была выведена из тео-
рии аберраций третьего порядка и дает зависимость межцу вели-
чиной К и суммой Sn при отсутствии аберраций высших порядков.
Как и в случае сферической аберрации, расхождения между вели-
чинами К, вычисленными по обеим формулам, объясняются от-
части присутствием толщин, отчасти аберрациями высших поряд-
ков. В системах с большой апертурой полезно рассчитать ход
не трех, а пяти лучей, пересекающих входной зрачок либо в равно-
отстоящих точках, либо в точках, ординаты которых равны сле-
дующим величинам:
7Т’
0;
т1
—т{.
Величина К для добавочных лучей прн сравнении с величи-
ной К, полученной для крайних лучей, дает возможность оценить
члены комы высшего порядка апертурного угла, для чего может
служить ряд (VI.53). Впрочем, в телескопических системах кома
высших порядков обычно ие достигает больших величин, так как
и апертурные углы, и полевые углы этих систем невелики.
Для того чтобы судить об изменении комы в зависимости от
угла поля, следует рассчитать ход еще трех или пяти лучей для
нескольких точек предмета — от двух до четырех; последнее
главным образом в случаях систем с большими углами поля; та-
ковы фотографические объективы «универсального» типа и широ-
коугольные. В системах с малыми углами поля ограничиваются
часто одним пучком. Влияние угла поля на кому может быть
также вычислено с помощью ряда (VI.53), к которому, если по-
явится необходимость, следует добавить члены более высокого
порядка. Расчет хода лучей в меридиональной плоскости не может
дать исчерпывающих сведений о коме оптической системы.
Кома сказывается также и для лучей, пересекающих входной
зрачок в точках с координатами /И,, отличными от нуля, и для
365
Подставляя в предыдущее уравнение вместо I его значение,
находим
—х = d — р (1 — 0 — *(I - р)2 =
= ; (IX.96)
заменяя р его выражением (IX.95), имеем
1—24 1
х = (/-111-=^.(1— . (IX.97)
С другой стороны, из условия синусов (IX.86) получаем
у = sin и' = 2 sin ~ jZ1 — sin2 ~ = 2 ]// (I - /). (IX.98)
Уравнения (IX.97) и (IX.98) определяют параметрически через t
форму большого зеркала.
Удобнее иметь уравнение кривых сечений малого и большого
зеркал в виде разложений в ряды. Для большого зеркала положим
х — А + Ву*+Су* + Оу« + Еу* -h ••• (IX.99)
Исключая параметр t из уравнений (IX.97) и (IX.98) получаем
для коэффициентов А, В, . . . следующие выражения:
А = т — d;
в = *-=^;
4J ’
г* _ 1 т
G — 8~ 4d ’
— 1 1 + 4d т
" — 96" d 'Id ’
1 2-J-IИ-f-30d2 т
1536 d* 4d "
(IX.99*)
Поступая аналогично для малого зеркала, получаем
.. _ ~ , /1 -т Т И2 I Г 1 1 -т । о (1 -m)21 yi ।
X-m+\~d {)4^+ [и - -2d~ + 2~4d^~l +
(IX. 100)
Система двух зеркал, определяемых уравнениями (IX.97) и
(IX.98) или (IX.99) и (IX. 100), исправлена точно в отношении
сферической аберрации и комы. Остаются два свободных (в не-
больших пределах) параметра d и т (расстояние между зеркалами
и расстояние фокуса от поверхности МА), которыми можно рас-
полагать для устранения еще двух аберраций — кривизны поля
и астигматизма. Для вычисления этих аберраций с точностью
только до третьего порядка малости можно воспользоваться фор-
мулами Зейделя для системы бесконечно тонких компонентов
в применении к отражательным поверхностям, но проще вычис-
лить положение фокусов бесконечно тонких сагиттальных и мери-
566
диональных пучков по формулам Аббе, разлагая в ряд тригоно-
метрические величины sin и cos и удерживая только два члена
в этих разложениях. Зная отклонения Лт и As фокусов обоих
пучков от плоскости изображения в зависимости от расстояния Г
точки пересечения луча с фокальной плоскостью системы от оси
системы, легко вычислить радиусы кривизны Rm и Rs геометри-
ческого места фокусов меридиональных и сагиттальных пуч-
ков по формуле 2Д/? = Г2. При этом можно использовать свойст-
во, доказанное на стр. 105, а именно: если сферическая абер-
рация и кома исправлены, величина астигматизма не зависит от
положения входного зрачка; кривизна поля, как это вытекает
из выражения для SiV, также не зависит от положения нходного
зрачка. Поэтому можно принять, что входной зрачок совпадает
с вершиной большого зеркала, что значительно облегчает выводы.
При выводе формул для Rs и Rm Шварцшильд не вполне законно
предположил, что вторая поверхность зеркальной системы имеет
сферическую форму. Небезынтересно было бы проверить, какая
прн этом вводится погрешность.
В результате вычислений Шварцшильд получил формулы
1 _ / / d d \
Rs ~ f-d \р 2 J’
(IX.101)
£=т^Лт-4-34 <1ХЛ02)
В уравнениях (IX.101) н (IX.102) по-прежнему F принято за
единицу, a f считается положительным, если зеркало вогнуто.
Поперечные размеры кружков рассеяния в фокальной пло-
скости системы при отсутствии сферической аберрации и комы
определяются из формул
W ~ 2^ “'l’
6G' = о/ tg2 wlt
(IX.ЮЗ)
которые выводятся так же как формулы гл. II, где 6g' и 6G' —
полуоси эллипсов рассеяния в гауссовой плоскости изображения,
6g' — в меридиональном и 6G' — в сагиттальном направлениях;
со' — апертурный выходной угол системы (половина относитель-
ного отверстия).
Заканчивая изложение методов расчета систем из асфериче-
ских поверхностей, имеющих ось симметрии, нужно указать, что
по всей вероятности можно предложить ряд иных способов реше-
ния той же задачи; к сожалению, литература по этому вопросу
крайне бедна и обычно ограничивается только соображениями
общего характера. В отношении формул расчета хода лучей через
567
полученных результатов вычерчивается кривая зависимости ве-
личии As и Лт от /j или Гр; полезно также разложить Д5 и Дт
в ряд по четным степеням величин /р или или Г например:
As == A SW\ 4~ -J- Csw, 1
о 4 fi ( (VI.56)
Дщ =• AfnWi + -j- • • • j
Первые члены разложений, зависящие от w\, могут быть вы-
числены на основании теории аберраций третьего порядка, как
это было сказано в гл. II; в соответственных формулах (см. стр. 72)
х'т и x’s имеют то же значение, что Дот и Д$ в формулах (VI.56),
а коэффициенты и должны быть выражены в зависимости
от Зейделевых сумм 5щ и Siv. Сравним выражения поперечных
аберраций в формулах (11.15) и (11.47); это дает
Cfimp =-------!-г- (3S|H 4- -/2Siv)>
О/Х = (Sill + J-Siv).
2n„
Подставим вместо ы’р и Q" их значения нз формул
т'п П' М’р
Ь)р ----:----И =-------------;-Ч- •
X — S X — S
р р лр р
Тогда формулы гл. II (стр. 88) дают следующие значения
первых членов разложений (VI.56):
х'з = =--------4- ®?(Sih 4-J’S1V).
(VI.57)
Формулы (VI.57) позволяют проверить, насколько суммы Зш
и Siv для системы с конечными толщинами близки к суммам беско-
нечно тонкой системы.
Дисторсия
Дисторсия определяется на основании тригонометрического
расчета хода главных лучей; она обычно измеряется величиной
/J, — /' р — разностью между ординатой точки пересечения глав-
ного луча с плоскостью изображения и величиной Го р = р/ь
где р — линейное увеличение системы. Если плоскость предмета
бесконечно удалена, то
Zo. Р =
368
Иногда дисторсию характеризуют отношением разности
/р — Го р к /' , т. е. величиной V, определяемой формулой
V = 7 го. , (VI.58)
1о. р
Эта величина может быть представлена в виде ряда, располо-
женного по четным степеням угла wJt т. е.
V = Awl + Ва>{ + СШ1 4- • • (VI.59)
Коэффициент А совпадает с коэффициентом дисторсии в раз-
ложении поперечной аберрации по Зейделю и должен быть сопо-
ставлен с коэффициентом Sv тонкой системы; если влияние тол-
щин достаточно мало, то должно иметь место соотношение,
легко получаемое из формулы (11.47):
Sv = —2/ip^o, рАр (VI.60)
Хроматическая аберрация положения
Эта аберрация определяется как разность Sf — sc, где s?
и sc — расстояния от вершины последней поверхности до точек
пересечения с осью параксиальных лучей, длины волн которых
условно характеризуются значками С н F; эти расстояния опреде-
ляются тригонометрическим расчетом хода двух параксиальных
лучей С и F из точки предмета на оси системы.
Рассчитывая ход нескольких пар лучей С и F с конечным зна-
чением координаты для той же точки предмета на оси, одно-
временно с хроматической аберрацией положения определяют и
хроматическую разность сферических аберраций [(sf — $c)m. —
— ($f — $с)о!» т. e- изменение хроматической аберрации при пе-
реходе от параксиальных лучей к лучам, пересекающим входной
зрачок на высоте ffij. Эта аберрация может быть представлена
графически кривой зависимости ее от высоты znj, однако такими
графиками обычно ие пользуются. Больше сведений о поведении
оптической системы в отношении хроматических аберраций можно
получить из кривых зависимости величины s' (расстояние пло-
скости установки от последней поверхности системы) от высоты тх
для различных длин воли. Такие кривые дают одновременно ха-
рактеристики хроматической аберрации положения, сферической
аберрации в различных длинах воли и хроматическую разность
сферических аберраций.
Хроматическая разность увеличений
Эта аберрация (как и кома, с которой она имеет много общего)
может быть определена двумя различными способами. По первому
способу для непосредственного определения разности увеличений
24 г. Г. Слгосарев 369
вычисляют для одной или двух точек предмета (обычно для тех
точек, для которых рассчитано положение фокусов меридиональ-
ного и сагиттального бесконечно тонких пучков) расстояния V
точек пересечения главных лучей, соответствующих двум различ-
ным длинам волн. Например, для визуальных систем рассчиты-
вают ход лучей для линий С и F; для фотообъективов добавляют
L - L-
к уже рассчитанному лучу D луч G . Отношение —.— , где L,
К, Л1 обозначают цвета, соответствующие трем длинам волн,
причем М лежит между К и L и служит мерой хроматической раз-
ности увеличения. Это отношение может быть написано в виде
такого ряда: *
= A + ---- (VI.61)
1м
Обычно двух членов бывает достаточно, чтобы данную аберра-
цию представить с достаточной точностью для всего поля зрения
системы. Коэффициенты Л и В, конечно, зависят от выбора цве-
тов L и К.
Второй способ определения хроматической разности увеличе-
ний ие требует расчета хода новых лучей. Для него достаточно
иметь расчеты тех двух параксиальных лучей для I — 0 (точка
на оси), которые послужили для определения первой хроматиче-
ской аберрации. Из соотношения Лагранжа—Гельмгольца
получаем
= «/1«1
(VI.62)
(VI.62*)
Дифференцируем уравнение (VI.62), считая /j и а, постоян-
ными, и получаем
dlP _ dni dnP daP
1'p n'P <
(VI.63)
Величины lp в формулах (VI.62) и (VI.63) отсчитываются в пло-
скости изображения для данного цвета.
Как уже было выяснено в гл. II, для суждения о влиянии хро-
матической разности увеличений имеют значение не разности 1Р
для различных лучей в различных плоскостях, а разность ординат
точек пересечения двух главных лучей с различной длиной волны
с какой-нибудь определенной плоскостью установки. Назовем
этн ординаты буквами Ll н Lk. Пользуясь формулой (II.194)
370
с несколько измененными индексами, имеем
Ll - LK - lL ~ lK + 6spup, (VI.64)
где vp — угол с осью главного луча с длиной волны М.
Обозначая разность 1-ь — 1% символом dlp, получаем
, dl’
Ll — Lr — dip -f- SspVp — lp —-7—^SpVp-
1p
Заменяя его выражением (VI.63) и помия, что v'p = , р
lp *P~SP
получаем
__ dn'„ .К,. 5)
lP "l "p *'p-s'p % '
Формула (VI.65) решает поставленную задачу. В ней dsp —
продольная хроматическая аберрация для цветов L н К, равная
st — sK; dap — разность углов с осью арь — <хрК параксиальных
лучей, рассчитанных для определения хроматической аберрации
положения. В наиболее часто встречающемся случае, когда край-
ние среды одинаковы, формула (VI.65) принимает вид
= isP (VI 66)
lP *'p~s'p <*p f' s'-*"
Правая часть уравнения (VI.66) должна дать то же самое чис-
ленное значение, что и коэффициент А формулы (VI.61). Фор-
мула (VI.66) не встречается в курсах геометрической оптики, мало
известна, хотя имеет очень большое прикладное значение и позво-
ляет обойтись без расчета хода наклонных цветных лучей, если
только хроматическая разность увеличений достаточно постоянна
и мало зависит от угла v.
4. ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ АБЕРРАЦИЙ НАИБОЛЕЕ
РАСПРОСТРАНЕННЫХ КАТЕГОРИЙ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Получив на основании тригонометрического расчета хода лу-
чей численные значения аберраций системы после перехода к ко-
нечным толщинам линз, вычислитель должен оценить, насколько
полученные значения допустимы н какие изменения системы
должны быть сделаны для получения удовлетворительных резуль-
татов. Решение этого вопроса представляет настолько серьезные
затруднения, что до сих пор нельзя встретить в литературе ни од-
ной статьи, где этот вопрос рассматривался бы с более или менее
общей точки зрения; существует несколько в достаточной степени
произвольных критериев качества изображения, причем боль-
шинство из них применимо только в частных случаях. Откладывая
24* 371
более подробный разбор этого вопроса до гл. X, в которой рас-
сматриваются вопросы о дифракционной теории изображения и
об оценке качества изображения, даваемого оптической системой,
ограничимся здесь указаниями, вытекающими нз результатов
испытаний известных систем как иностранного, так н отечествен-
ного производства.
В идеальной оптической системе все аберрации должны были бы
быть уничтожены, но полного исправления аберраций, даже
в сколь угодно сложных системах, получить невозможно, как
это может быть строго доказано на основании геометрической
оптики. Как правило, усложняя систему, увеличивая число линз,
применяя асферические поверхности н необычные сорта стекол
или минералы, можно улучшить качество системы, но далеко
в этом направлении идти нельзя, так как стоимость изготовления
ставит естественный предел усложнению.
Для каждой категории оптических приборов установился в по-
рядке постепенного улучшения некоторый компромисс между ка-
чеством изображения н сложностью системы оптики. Оптические
системы для визуального применения могут быть разделены на
две группы — телескопические и микроскопические, условия при-
менения которых весьма различны. У приборов первой группы
качество оптики в идеальном случае должно быть таким, чтобы
наблюдатель, вооруженный данным прибором с увеличением у,
мог различить все те подробности, которые он видел бы невоору-
женным глазом, находясь от рассматриваемого объекта на рас-
стоянии в у раз меиьшем, чем в действительности. На деле прихо-
дится смягчать требования, сводя нх к тому, чтобы качество
изображения в центре поля было практически неотличимо от
идеального в отношении резкости и разрешающей силы, и допу-
скать на краях поля зрения значительное ухудшение.
Приведем краткие сведения о величинах аберраций, выражен-
ных в угловой мере, которыми обычно обладают телескопические
системы (призменные бинокли, геодезические трубы и т. д.).
Эти аберрации достигают следующих значений: 1—2' сферической
аберрации для всего зрачка; все цветные лучи в пределах спектра
от линии С до линии F укладываются в конус с углом у вершины
не более 2—3'. При этом качество изображения в центре, при
условии идеального изготовления системы из совершенно одно-
родного стекла, настолько хорошее, что наиболее опытный глаз
не замечает никакого дефекта в изображении; разрешающая сила
прибора остается той же, как и в случае полного отсутствия
аберраций.
По мере усложнения системы — с удлинением фокусного рас-
стояния объективов, с прибавлением оборачивающих систем —
аберрации в центре поля растут. В морских перископах большой
длины и малого диаметра при сравнительно больших диаметрах
(4 лсм) выходного зрачка, вследствие необычайно тяжелых усло-
372
вий работы отдельных частей перископа, аберрации на оси дохо-
дят до 10—12' для лучей D и до 15—20' для лучей С и F\ вторич-
ный спектр на оси достигает величины нескольких диоптрий. Каче-
ство изображения на оси плохое, заметна сильная окраска, рез-
кость заметно понижена. Для средних частей поля зрения, т. е.
одинаково далеких от центра н от края, аберрации заметно больше,
чем в центре. В меридиональном сечении лучн одного и того же
пучка, выходящего через выходной зрачок призменного бинокля,
обычно отклоняются от параллельности в пределах 5—10', при-
чем кома не превышает 2—3'; остальная часть общей аберрации
в угловой мере зависит от астигматизма пучка и кривизны поверх-
ности изображения. Вместо угловой меры аберраций лучей одного
и того же пучка, выходящих из телескопической системы, иногда
определяют расходимость лучей в диоптриях. Так, например,
определив положение обоих фокусов астигматического пучка рас-
стояниями нх от плоскости выходного зрачка, вычисляют обрат-
ные величины этих расстояний и умножают найденные значения
на 1000, если расстояние определено в миллиметрах; полученные
таким образом числа характеризуют расходимость пучка. Раз-
ность диоптрийной меры расходимостей меридионального и сагит-
тального пучков дает меру астигматизма пучка.
На краю поля аберрации призменных бииоклей велики. Непа-
раллельность лучей в меридиональном сечеиии приближается
к 30—40', несмотря на значительное виньетирование; выраженные
в диоптрийной мере кривизна и астигматизм доходят до 3—4 дптр
для биноклей с нормальным полем зрения (окуляры Кельнера)
и до 5—6 дптр для биноклей с увеличенным полем зрения
или с удаленным зрачком выхода. Лишь в редких случаях удается
получить меньше.
Хроматическая разность увеличений обычно не превышает
0,5%, и хотя этот дефект хорошо обнаруживается на краю поля,
его исправление стоило бы больших усложнений. Также очень
заметна дисторсия, которая на краю поля в нормальных биноклях
доходит до 6—7%, а в широкоугольных — до 5—10%. Такне зна-
чения надо считать предельными, так как они производят неприят-
ное впечатление, хотя в сущности мало мешают наблюдению.
Такое плохое качество изображения на краю поля отражается
очень сильно на разрешающей силе оптической системы, которая
на краю поля в 10—15 раз меньше, чем в центре. В более сложных
системах, например в перископах, все перечисленные аберрации
еще больше, что ведет к значительному ухудшению изображений;
в данном случае приходится жертвовать качеством н резкостью
изображений, для того чтобы иметь возможность удовлетворить
более важным требованиям конструкции прибора.
Важно заметить, что одни величины аберраций, выраженные
в минутах или диоптриях, еще не могут дать достаточного основа-
ния для суждения о качестве системы.
373
Кроме всех перечисленных аберраций, существует еще одна
не входящая в число ранее рассмотренных аберраций Зейделя,
на которую необходимо обратить внимание, так как она может
все качества оптической системы свести на нет. Это так называемая
аберрация в зрачках или, точнее, сферическая аберрация выход-
ного зрачка. Лучи, вошедшие в систему через входной зрачок,
выходят через его изображение — выходной зрачок. Но главные
лучи, т. е. лучи, проходящие через центр входного зрачка, обла-
дают обычно большой сферической аберрацией, так как послед-
няя полностью не исправляется. Вследствие этой аберрации поло-
жение выходного зрачка не является постоянным, а меняется
в зависимости от угла поля зрения wt. Обычно пучки, идущие
под большими наклонами пересекают ось гораздо ближе к оку-
ляру, чем пучки, соответствующие центру поля (рис. VI.5). Если
диаметр зрачка глаза приблизительно равен диаметру выходного
зрачка, что обычно н бывает, то при наличии большой аберрации
в зрачках, как видно на рис. VI.5, нельзя найти такого положе-
ния для глазного зрачка, при котором в глаз могли бы попасть
все лучи всех пучков. Например, в положении О в глаз попадают
все лучи из края поля зрения (пучок PJ, но лучи из середины
поля (пучок Р2) в глаз вовсе не попадут, и только осевой пучок
(центр поля зрения) опять целиком заполняет глаз. В результате
наблюдатель увидит в поле зрения темное кольцо, соответству-
ющее какой-то средней зоне тюля. В положении в глаз попадут
лучи из пучков Р2 и Ps, но пучок Рг и близкие к нему либо вовсе
не попадут, либо попадут только частично. Наблюдатель не уви-
дит края поля. Какое бы место глаз ни занимал, всегда какая-либо
часть поля окажется либо вовсе темной, либо отчасти затем-
ненной.
Во избежание этого недостатка необходимо исправить аберра-
цию в зрачках до такой степени, чтобы ни один из пучков не ока-
зался заметно виньетированным, за исключением краевого пучка,
374
где виньетирование всегда имеет место и где его не удается избе-
жать в действительности.
В микроскопах, как правило, аберрации после выхода лучей
из окуляра значительно больше, чем в телескопических системах.
В центре поля зрения нередко можно встретить сферическую и
хроматическую аберрации порядка 10' и более; но именно в слу-
чае микроскопов обнаруживается, что для оценки качества си-
стемы недостаточно вычислить поперечные аберрация. Переход
к волновым аберрациям (см. гл. X) позволяет получить более
точный способ оценки.
Аберрации фотографических объективов должны рассматри-
ваться также с точки зрения дифракционной теории изображения,
и вопросы о разрешающей силе фотообъективов решаются исклю-
чительно на основании этой теории. Однако во многих случаях
картина геометрических (продольных и поперечных) аберраций
дает вполне достаточный для оценки качества системы материал.
Обычно считают, что если изображение точки, даваемое фотогра-
фическим объективом, не превышает по своим размерам 0,03—
0,05 мм для нормальных снимков, не подлежащих дальнейшему
увеличению, или 0,01—0,03 мм для снимков короткофокусными
объективами, подлежащих увеличению, то коррекция объектива
доведена до достаточной степени совершенства. Впрочем, весьма
малочисленны объективы, удовлетворяющие для всего поля этим
условиям. Чаще всего качество изображения быстро убывает
с удалением рассматриваемой точки от оси симметрии фотографи-
ческого объектива.
5. НАХОЖДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Как указывалось, результаты тригонометрического контроля
хода лучей через оптическую систему с конечными толщинами
обычно не удовлетворяют всем поставленным условиям: величины
аберраций получаются не те, которые задавались. Это вызывается
приближенностью методов решения аберрационных уравнений,
влиянием толщин и пренебрежением аберрациями высших по-
рядков. В каждом отдельном случае можно определить долю
каждой из этих причин в полученном расхождении; однако ради
экономии времени и труда целесообразно исправить все остаточные
аберрации независимо от причин, вызвавших нх появление. Усло-
вимся понимать под исправлением аберрации ие полное их уничто-
жение, чего достигнуть нельзя, а уменьшение до некоторых задан-
ных величин, вполне определенных для каждого типа системы;
всякие стремления к дальнейшему уменьшению приводят к бес-
полезной потере времени. Такне предельные значения для тех или
иных аберраций были отчасти указаны в предыдущем”параграфе;
более подробные сведения может дать только продолжительный
опыт. Исправление аберраций достигается небольшими измене-
ниями конструктивных элементов системы. Можно указать на
375
два основных метода изменения; кроме того, естественно приме-
нять н комбинированные приемы.
Наиболее рациональным нужно считать метод изменения основ-
ных параметров без изменения внешних элементов системы; этот
метод является естественным продолжением изложенного в гл. III
метода расчета. Для определения численных значений необходи-
мых изменений делается предположение, что при небольших изме-
нениях основных параметров (как, впрочем, н всяких других)
влияние аберраций высших порядков и толщин остается практи-
чески неизменным и что изменяются главным образом аберрации
третьего порядка. Сначала определяем разность Д (Sg') между
желаемым значением аберрации и тем значением, которое полу-
чено из тригонометрического расчета; далее применяем одну из
формул (VI.1), (VI.2) или (VI.3), имеющих общий вид
^=/(^1! -Мь (VI.67)
где к условно обозначает название аберрации; SK — сумма
Зейделя бесконечно тонкой системы, соответствующая данной
аберрации; /(wij, MJt Wj)— известная функция от координат
луча. Дифференцируя формулу (VI.67) и заменяя дифференциалы
конечными приращениями, на основании сделанного предполо-
жения получаем
A6gK = f ьУ1) ASK- (VI.68)
Поступая таким образом для всех аберраций, принятых во вни-
мание в первом приближении, находим все изменения сумм Sj,
Sj], . . ., Sv и хроматических сумм S'ip и «STf.
По новым значениям сумм с помощью формул (11.47) можно
вычислить новые значения основных параметров Р< и Wf, счи-
тая постоянным. Переход от основных параметров к конструк-
тивным элементам производится иа основании тех соотношений,
которые связывают радиусы и показатели преломления стекол
с основными параметрами и рассмотрены в гл. III для большин-
ства применяемых комбинаций: простых, двухлинзовых склеенных
и несклеенных н трехлинзовых склеенных систем. Например,
для двухлинзового склеенного объектива было доказано существо-
вание следующих приближенных соотношений:
Р = Pmm + 2’35 (Q —Qo)2; 1
W = o75-1.67(Q-Qo), I <VL69>
позволяющих по новым значениям Р и W получить новые значе-
ния Pmln н Qo. Если изменения, полученные для Pmtn, значи-
тельны, может оказаться необходимым изменить н сорта стекол.
Использование в качестве переменных, подлежащих измене-
нию, основных параметров, наряду с теоретическими преимуще-
ствами, обладает некоторыми недостатками, главным из которых
является необходимость заново рассчитывать конструктивные
элементы всей системы н производить заново тригонометрический
376
расчет по совершенно новым данным. Поэтому наравне с этим ме-
тодом рационально применять для нахождения элементов оконча-
тельной системы другой метод, аналогичный по своему характеру
упомянутому в начале главы методу проб и служащий естественно
его продолжением. Из параметров, определяющих конструктивные
элементы системы, подбирается некоторое число таких, которые,
с одиой стороны, оказывают заметное влияние на аберрации,
подлежащие изменению, и, с другой стороны, требуют минималь-
ной дополнительной работы по расчету хода лучей через изменен-
ную оптическую систему. Нельзя дать общих указаний относи-
тельно выбора этих параметров, так как в каждом отдельном слу-
чае требуется особый подход. Лишь большой опыт позволяет
с достаточной уверенностью остановиться на тех или иных пере-
менных, причем этот выбор должен по мере возможности опираться
на теорию основных параметров.
В качестве практически удобных переменных можно назвать
радиусы кривизны (или, лучше, обратные им величины, т. е.
кривизны поверхностей), воздушные расстояния, сорта стекол;
в случае, когда толщины линз заметно влияют на аберрации,
следует и их ввести в число переменных.
Можно, наконец, комбинировать оба метода нахождения окон-
чательной системы. Переменные, подлежащие изменению, делят
на две группы. К первой группе относят параметры, связь кото-
рых с аберрациями третьего порядка сохраняет простой вид
также и для оптических систем с конечными толщинами компо-
нентов, например оптические силы ср, действующие преимуще-
ственно на хроматические аберрации. Ко второй группе относят
параметры более или менее случайного характера, о влиянии
которых на аберрации известно на основании опыта или тригоно-
метрических расчетов хода лучей. Какой бы из трех указанных
методов ни был применен, ие всегда удается после первого же
изменения параметров получить достаточно хорошо исправленные
аберрации. Давая переменным новый ряд значений, рассчитывают
новые конструктивные элементы оптической системы и вычисляют
ее аберрации; сравнивая их с аберрациями первых двух систем,
путем интерполяции получают окончательные значения выбран-
ной системы переменных. Иногда приходится рассчитывать до-
вольно большое число промежуточных систем; в этой стадии ра-
боты особенно важную роль играют опыт, умение выделять влия-
ние отдельных параметров и комбинировать наилучшим образом
нх изменения.
Система, давшая удовлетворительные значения аберраций,
исследуется весьма подробно в отношении всех ее аберраций; со-
ставляется сводка аберраций, и чертятся графики последних
согласно общепринятым правилам.
Окончательная оценка может быть произведена только на осно-
вании дифракционной теории изображения.
ГЛАВА VH
МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. ВВЕДЕНИЕ
Использование электронных быстродействующих машин для
расчета оптических систем обусловило развитие новых методов
расчета, учитывающих специфику этих машин. Помимо высокой
скорости работы электронные вычислительные машины обладают
рядом особенностей, благодаря которым оказывается возможной
автоматизация сложнейших научных и инженерных расчетов,
в том числе расчетов оптических систем. Важнейшими из этих
особенностей являются следующие:
1. Управление машиной в процессе выполнения расчетов осу-
ществляется автоматически с помощью программы. Программа
представляет собой последовательность команд, определяющих
действия машины в течение некоторого времени.
2. Направление вычислительного процесса можно изменять
автоматически в зависимости от получаемых промежуточных ре-
зультатов.
3. В устройстве, называемом памятью машины, может хра-
ниться большой объем чисел, представляющих собой исходные
данные, программу и промежуточные результаты вычислений.
При выполнении расчетов хода лучей на современных элек-
тронных вычислительных машинах, вообще говоря, могут быть
использованы обычные тригонометрические формулы. Однако,
как правило, в этом случае на расчет затрачивается больше вре-
мени, чем при использовании нескольких преобразованных формул,
в которых переход от углов к тригонометрическим функциям и
обратно исключен путем введения радикалов. Это объясняется
тем, что на нахождение синуса и, главным образом, арксинуса
машины тратят больше времени, чем на извлечение квадратного
корня. В остальном расчет хода лучей, выполняемый на машине,
принципиально не отличается от обычного тригонометрического
расчета, выполняемого вручную. Но, несмотря на отсутствие
принципиальных трудностей, составление удобной в эксплуатации
программы для массового расчета хода лучей является трудоемким
и кропотливым делом. Однако затраты на составление программы
окупаются чрезвычайно быстро, так как одна и та же программа
используется годами и по ней выполняются тысячи расчетов.
Выполнение расчетов хода лучей с помощью машин позволяет
378
ускорить вычисления в сотни и тысячи раз и обеспечивает полу-
чение большой экономии. В качестве примера можно указать,
что даже обладающая относительно малой скоростью машина
«Урал-2» выполняет расчет хода луча через одну поверхность
в среднем за одну пятнадцатую долю секунды, в то время как
высококвалифицированный вычислитель затрачивает на это около
трех минут. Стоимость расчета луча через одну поверхность на
этой машине не превышает 0,15 коп., а при ручном выполнении
расчетов она составляет около 5 коп.
Передача машинам функций тригонометристов несколько уско-
ряет процесс разработки оптических систем, но в общем дает не-
значительный выигрыш во времени. Существенное ускорение
может быть достигнуто лишь в случае передачи машине хотя бы
части функций конструктора оптической системы, а именно функ-
ций по определению численных значений конструктивных пара-
метров системы, обладающей заданными свойствами.
Разработка любой оптической системы в общем случае со-
стоит по крайней мере нз двух этапов, первый из которых заклю-
чается в определении принципиальной конструкции оптической
системы, т. е. в выборе количества линз (зеркал), их формы,
взаимного расположения. Второй этап заключается в определении
численных значений конструктивных параметров, прн которых
выбранная на первом этапе система обладает заданными свой-
ствами. До настоящего времени не было сделано серьезных попы-
ток автоматизировать процесс выбора конструкции оптической
системы. Этот процесс плохо поддается формализации и пока еще
не может быть представлен в виде алгоритма, т. е. в виде системы
формальных правил, четко и однозначно определяющих выпол-
нение заданной работы.
Нахождение численных значений конструктивных параметров
для выбранной конструкции оптической системы как при неавто-
матическом, так и при автоматическом выполнении работы может
быть осуществлено двумя принципиально различными путями.
Во-первых, могут использоваться методы универсального харак-
тера, основанные на различных способах постепенных приближе-
ний и применимые к системам любого типа и любой степени слож-
ности. Такие методы, хорошо известные и при неавтоматическом
выполнении работы, носят название методов проб. При использо-
вании таких методов необходимо иметь некоторые числовые значе-
ния конструктивных параметров оптической системы, принимае-
мой за исходную. Эти значения могут быть выбраны более или
менее произвольно либо определены на основании предваритель-
ных расчетов, например расчетов в области аберраций третьего
порядка. Во-вторых, могут использоваться методы, основанные
на решении систем уравнений, связывающих конструктивные па-
раметры системы с аберрациями. Такого рода уравнения удается
составить, к сожалению, только для области третьих порядков
379
и далеко не для всех типов оптических систем. Поэтому такие
методы применимы только для сравнительно небольшого круга
задач. Однако по сравнению с методами, основанными на посте-
пенных приближениях, они обладают явным преимуществом,
поскольку дают все возможные решения, что практически исклю-
чено в первом случае. На практике чаще всего используется соче-
тание методов первой и второй групп. Среди автоматических мето-
дов расчета методы первой группы занимают ведущее место, однако
для некоторых часто встречающихся типов оптических систем
разработаны программы, основанные на решении уравнений,
связывающих конструктивные параметры системы с коэффи-
циентами аберраций третьего порядка.
В дальнейшем под автоматическим расчетом оптической си-
стемы будем понимать определение машиной без непосредственного
участия человека значений конструктивных параметров, при ко-
торых система обладает заданными свойствами. Степень автомати-
зации определяется той информацией, которая задается машине
перед началом расчета. В идеальном случае машине должно зада-
ваться только техническое задание. В настоящее время уровень
разработки методов автоматического расчета весьма далек от
идеального случая. Поэтому в современном понимании доста-
точно хорошим методом автоматического расчета можно считать
такой метод, который обеспечивает получение хотя бы одного ре-
шения в тех случаях, когда решения существуют, нли показывает,
что выбранный тип системы поставленную задачу не решает.
Очевидно, что методы, основанные на решении систем уравнений,
связывающих конструктивные параметры системы с коэффициен-
тами аберраций, обеспечивают более высокую степень автомати-
зации, чем итерационные методы, поскольку прн использовании
последних помимо типа оптической системы необходимо иметь
некоторые исходные значения конструктивных параметров.
В программах, которые предназначены для расчета определен-
ных типов оптических систем и которые могут быть названы
специализированными, используются те же формулы и методы,
которые применяются при неавтоматическом выполнении
работы.
В программах универсального характера, предназначенных
для расчета оптических систем любых типов, используются ме-
тоды, которые прн неавтоматическом выполнении работы не при-
меняются. Это объясняется тем, что действия конструктора, рас-
считывающего методом проб сложную оптическую систему, зача-
стую основываются на личном опыте н интуиции и поэтому не
поддаются формализации. Методы, используемые при автомати-
ческом выполнении аналогичной работы, требуют значительно
большего объема вычислений. Выигрыш от их применения дости-
гается только благодаря высокой скорости работы электронных
машин.
380
2. ПРОГРАММА ДЛЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА
ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ
При разработке зрительных труб, а также систем переменного
увеличения (фотографических объективов, оборачивающих си-
стем) широко используются элементы, состоящие из двух компо-
нентов малой толщины, разделенных малым воздушным промежут-
ком. В тех случаях, когда эти элементы имеют сравнительно
небольшие относительные диаметры (до 1 : 3), для их расчета
с успехом может быть применена теория аберраций третьего по-
рядка систем с бесконечно тонкими компонентами. Рассмотрим
в качестве примера специализированную программу для автома-
та Ш
Рис. VII.1
тического расчета четырех типов двухкомпонеитных систем, пред-
ставленных иа рис. VII. 1.
Будем полагать, что комбинация стекол задана. Углы первого
параксиального луча с осью в пространстве предметов и про-
странстве изображений и высота луча на первой поверхности также
заданы. Тогда для системы / (рис. VI 1.1) будем располагать тремя
свободными параметрами а2, а3 и а4 и, следовательно, можем
требовать выполнения трех условий, в качестве которых целе-
сообразно принять основные параметры бесконечно тонких си-
стем Р, W и С. Воспользуемся зависимостями, связывающими
значения основных параметров с углами первого параксиального
луча с осью:
/ — а£ у ( а,-4 1 _ а, .
(VII.1)
— «. ( «1.1 _ О!_ \ .
I_______1_ \ nltt nt ) ’
(VII.2)
Q ____ «/ч-l ---------------U-j ип
dnt- \
ni J
(VII.3)
tli t-i
381
Выражения (VII.1), (VII.2) и (VII.3) представляют собой
систему уравнений, которую необходимо решить относительно
неизвестных а2> аз> а4- Остальные величины, входящие в эти
уравнения, заданы. Путем элементарных преобразований полу-
чаем следующие зависимости:
л4о&2 4” “Ь D = О,
(V1I.4)
(VII.5)
где
(«3 — «1) (2-Hh) Пг J А2 («5 -- «з) (2 + л<) п4
(1-п3)2 (1-п4)а
. (и, — я3) (2 + л4) п, , («1 — аз) 0 + 2пз) п2 ,
‘ (1-я4)а (I- пг)2
, j (“t-«s)(1+2,!4)'!4
+ (1-п.)3
(VII.7)
п _ 12 (<Ч - <*») (2 + п4) п, , . («3 — gs) 0 + 2fi4)n4 ,
1 (1-Л4)2 (1- л4)2 +
+ (1-пг)‘ ' (I- п4)2
(VII.8)
_ (И1 — «з)(1 +п8)(1 — Па) . (а5 — а,)(1 — га2) (1 +п4) ’ (VII.9)
j 1 — 1 — nt (VII. 10)
1 («5 — Дз) ( 1 + П4) I — n4 Угол a4 находим из соотношения
a4 = a3d + j. (VII.1I)
При расчете систем типа II и III количество свободных пара-
метров возрастает до четырех. Поэтому один из углов первого па-
раксиального луча с осью внутри системы должен быть задан
конструктором-оптиком. Наиболее разумно задавать угол между
компонентами, т. е. а3 для системы II и а4 для системы III. Опыт
показывает, что в большинстве случаев решения с наименьшими
аберрациями высшнх порядков получаются тогда, когда общая
оптическая сила системы разделяется примерно поровну между
компонентами.
382
Произведя преобразования формул (VII.1), (VII.2), (VII.3) и
приняв во внимание условие равенства радиусов кривизны склеи-
ваемых поверхностей, задачу удается свести, как и в первом слу-
чае, к решению одного квадратного и двух линейных уравнений.
При расчете систем типа /V количество свободных параметров
составляет пять. В этом случае помимо угла между компонентами
следует задать еще одну величину. В качестве такой величины
в программе принято распределение параметра С между компо-
нентами, т. е. прн расчете системы типа IV конструктор задает
значения величины С для каждого компонента, принимая во вни-
мание, что С ~ Сг Я- С2) где Cj и С2 — хроматические пара-
метры первого и второго компонента. Произведя преобразования
формул (VII.1), (VII.2) и (VII.3), а также приняв во внимание
условия равенства радиусов склеиваемых поверхностей, и в этом
случае задачу удается свести к решению одного квадратного и
трех линейных уравнений. Приводить коэффициенты этих урав-
нений ввиду их громоздкости не имеет смысла.
В каждом из четырех случаев необходимо решить одно квадрат-
ное уравнение. Если при этом подкоренное выражение оказы-
вается отрицательным, то решение отсутствует и машина печатает
особый признак. Если подкоренное выражение положительное,
то машина выдает оба решения.
Программой предусмотрен переход к конечным толщинам линз
и конечным величинам воздушного промежутка. Этот переход
осуществляется следующим образом. Зададимся толщинами отри-
цательных линз d, толщинами по краю положительных линз dKp, а
также полными диаметрами линз D. Кроме того, зададим мини-
мальное значение воздушного промежутка между линзами dinln,
т. е. наименьшее расстояние между поверхностями, разделенными
воздушным промежутком, которое измерено в направлении, па-
раллельном оптической оси. Все перечисленные величины обо-
значены иа рис. VI 1.1. Радиусы кривизны оптических поверхностей
вычисляются сначала в первом приближении при толщинах линз
и величине воздушного промежутка, равных нулю. Затем для
каждой из поверхностей вычисляется стрелка и определяется
условно сила линзы.
Если толщина по краю у какой-либо линзы оказывается меньше
толщины по центру, то линза считается положительной и ее
толщина по центру определяется по формуле
d = dKp-t-a1~a2, (VII-12)
где Я1 и а2 — стрелки на первой и второй поверхностях линзы
соответственно. Формула (VI 1.12) справедлива в том случае, если
знак стрелки принимается совпадающим со знаком радиуса кри-
визны поверхности.
Если Ц| — а2 <0, т. е. толщина по краю оказывается больше
толщины по центру, то линза считается отрицательной и толщина
383
по центру принимается равной заданной величине. Аналогично
находится величина воздушного промежутка между вершинами
поверхностей.
Когда толщина линз и величина воздушного промежутка най-
дены, вычисляются значения радиусов кривизны поверхностей
во втором приближении по известным формулам
= Л —, (VII. 13)
где
Л/ = ht (VII.14)
Новые значения радиусов кривизны принимаются за оконча-
тельные, хотя, строго говоря, толщины по краю для положитель-
ных линз при этом будут несколько отличаться от заданных за счет
разности между точными значениями стрелок и значениями стре-
лок, вычисленными для радиусов в первом приближении. Опыт
показывает, что эти разности, как правило, незначительны. Учи-
тывая эту погрешность, следует задавать несколько завышенные
значения толщин по краю.
На этом заканчивается первый этап расчета. Естественно, что
за счет наличия конечных толщин значения коэффициентов абер-
раций третьего порядка в полученной системе будут несколько
отличаться от таковых, найденных с помощью формул, связы-
вающих значения основных параметров бесконечно тонких систем
с коэффициентами третьего порядка. Такое различие в большин-
стве случаев не является существенным, поскольку сами коэффи-
циенты третьего порядка позволяют вычислять значения аберра-
ций лишь приближенно. Больший интерес для конструктора
представляет получение заданных значений аберраций для точки
иа оси. Для этого в программе предусмотрена возможность выпол-
нения второго этапа расчета, заключающегося в автоматическом
получении заданных значений трех аберраций для осевой точки
предмета. В качестве таких аберраций принимаются: As' —
продольная сферическая аберрация для некоторого заданного
луча; ц — отступление от условия изопланатизма для того же
луча; s?vl — — продольная хроматическая аберрация для
любого луча.
На втором этапе выполняются расчет хода лучей и сравнение
полученных аберраций с заданными. Если абсолютные значения
разностей между полученными и заданными аберрациями больше
допусков, которые также задаются конструктором-оптиком, то
вычисляются поправки для основных параметров Р, W, С. Для рас-
чета поправок необходимо задать коэффициенты klt kz> k3, kit
384
связывающие изменения аберраций с изменениями основных
параметров:
6(As') = ДР; (VII.15)
6т] - А2 АР + А3 Л№; (VII. 16)
6(4-0 = *4 AC. (VII. 17)
Расчет поправок для величин Р, W и С выполняется по формулам
др=в^). (VII.I8)
AlV = -^---~-A2; (VII.19)
6 — Sj )
АС = (VII.20)
Я4
После этого повторяется первый этап расчета, причем заданные
значения основных параметров равны Р + АР, W + A IV, С +
+ АС. Расчет в изложенной последовательности продолжается
до тех пор, пока значения всех трех аберраций ие достигнут за-
данных интервалов значений.
Формулы для расчета двухкомпонентных систем и программа
для автоматического расчета разработаны М. Д. Серегиной под
руководством Д. Ю. Гальперна.
Рассмотрим пример расчета объектива, состоящего из дву-
склеенного компонента и простой линзы. Фокусное расстояние
объектива 100 мм, относительное отверстие 1 : 2. Предмет распо-
ложен иа бесконечности.
Задаемся комбинацией стекол. Пусть склеенный компонент
будет выполнен из стекол К8 и ТФ1, простая линза— из стек-
ла К8. Полагаем аг = 0; а4 — 0,5; ав = 1. Входной зрачок
совпадает с первой поверхностью объектива. Диаметры линз
полагаем равными 50 мм. Толщины положительных линз по краю
и отрицательной линзы по центру принимаем равными 5 мм, воз-
душный промежуток — 0,1 мм.
Продольная сферическая аберрация по краю отверстия должна
быть равна As' = 0 ± 0,01 леи; отступление от условия изопла-
натизма для края отверстия должно составлять ц = 0 ± 0,05%;
продольная хроматическая аберрация для лучей с т = 25j/"y
должиа равняться Sf — Sc = 0 ± 0,005 мм. Принимаем Р =
= w = С = 0.
Для автоматической подгонки заданных величин аберраций
необходимо рассчитать коэффициенты Аь Аа, А3 и А4, связываю-
щие изменения основных параметров с изменениями аберраций
25 Г. Г. Слюсарев 385
третьего порядка. Когда предмет расположен на бесконечности,
имеем
As'--=— ' (VII.21)
2 I
(SF-Sc)o = f'c. (VII.22)
Если при этом зрачок совпадает с бесконечно тонким компонентом,
то
(vn.23)
Подставляя в (VII.21), (VII.22) и (VII.23) f = 100, т — 25, по-
лучаем Дз' = —3,I3P; (sf — sc)o = 100 С; л = 0,03131Г; сле-
довательно, ki = —3,13; ki — 0; k3 0,0313; = 100. Резуль-
таты расчета на машине «Урал-2» представлены в табл. VII.1.
Нетрудно видеть, что решение, соответствующее первому корию,
является лучшим.
Таблица VII. 1
Решение, соответствующее первому корню
г, = 74,05 г8 = —59,03 г3 = —5814,98 г4 116,15 г6 = -488,45 i " ” 'll II Оо О сл — о ~ © Л щ СП т = 25 ™ = ж|/ -Ь
As' = -0,009 s'F — s^ = 0,194 0=0 As' = —0,238 sF — sc = — 0,001 г] = 0,07%
Решение, соответствующее второму корню
II II II II "| “ сл 1 1 1 3 й £ Р £ о ел Оо — со « II 11 II .00 о сл •— 8 - 'о g т = 25 m = 25j/-b
As' = —0,007 SF — sc — 0,755 П = -0,03% As' = —2,58 SF ~ SC = 0 r] = 0,35%
3. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА
Общие соображения
Существующие методы автоматического расчета являются по
сути дела развитием традиционного метода проб. Напомним сущ-
ность этого метода. В некоторую исходную оптическую систему,
заданную численными значениями конструктивных параметров,
последовательно вносятся некоторые изменения, в результате
чего либо находят значения параметров, при которых система
отвечает поставленным требованиям, либо устанавливают, что
данный тип оптической системы непригоден для решения задачи.
386
Изменения конструктивных параметров вносятся в оптиче-
скую систему иа основании изучения таблицы влияния изменений
параметров на аберрации и другие величины, характеризующие
свойства оптической системы. При ручном неавтоматическом вы-
полнении работы следят за некоторым по возможности мини-
мальным количеством лучей, ход которых определяет аберрации
системы. Так, например, при расчете систем с небольшими н сред-
ними значениями числовых апертур бывает достаточно для опре-
деления сферической аберрации выполнить расчет двух лучей
для осевой точки предмета. Один из этих лучей на выходе из си-
стемы образует с осью угол, равный апертурному углу, а другой
луч — угол, равный примерно 0,7 от апертурного угла. При этом
стремятся к тому, чтобы аберрации в выбранных точках поля
зрения и для выбранных лучей не превосходили определенных
величин.
Обычно предполагается, что между изменениями параметров
и изменениями аберраций существует линейная связь (хотя бы
при небольших изменениях параметров). В действительности, как
известно, эта зависимость далеко ие линейная, причем нелиней-
ность проявляется тем сильнее, чем выше порядок аберраций.
Поэтому в процессе расчета конструктор вынужден вносить, как
правило, незначительные изменения параметров и улучшать
исходную систему постепенно, периодически пересчитывая таб-
лицу влияния изменений параметров иа аберрации.
Универсальные методы автоматического расчета оптических
систем на электронных вычислительных машинах могут быть раз-
биты на две группы:
1. Методы, в которых, как и при обычном выполнении расче-
тов, система характеризуется несколькими величинами, причем
задача считается решенной, когда все величины получат заданные
значения с заданными допусками.
2. Методы, в которых для упрощения решения задачи система
характеризуется одной функцией, имеющей, как правило, сле-
дующий вид:
F = а, (Ф/ — Ф;)2, (VII.24)
где F — оценочная функция; а,- — некоторые весовые коэффи-
циенты; Фу —• значения некоторых величин, характеризующих
оптическую систему, в частности значения ее аберраций; Ф,- —
заданные значения тех же функций.
Задача сводится к нахождению конструктивных параметров
системы, при которых функция F имеет минимальное значение.
Введение в практику расчета оценочной функции, характеризую-
щей в некоторой мере качество изображения, является удобным
вспомогательным приемом, упрощающим вычисления и позволяю-
щим оперировать одной единственной величиной.
25* 387
Рассмотрим задачу расчета оптической системы с помощью
вычислительной машины в общем виде. Пусть некоторая исходная
оптическая система обладает N параметрами. В качестве пара-
метров примем радиусы оптических поверхностей rit расстояния
между вершинами поверхностей dt и оптические постоянные сте-
кол. Часть параметров, которые можно назвать коррекционными,
будет автоматически изменяться в процессе расчета. Пусть коли-
чество коррекционных параметров равно t. Какие параметры
будут использоваться в качестве коррекционных — решает кон-
структор, выдающий задание на машину.
Оптическая система характеризуется к функциями Фх,
Ф2, .. Фк. В качестве функций могут служить аберрации си-
стемы, найденные с помощью расчета хода лучей, фокусное расстоя-
ние, положение изображения относительно последней поверхности
системы и т. п. Какие именно функции будут вычисляться при
расчете конкретной системы, также решает конструктор. Задача
сводится к отысканию таких значений коррекционных параметров,
при которых либо все рассматриваемые функции будут иметь
заданные значения с заданными допусками, либо оценочная функ-
ция (VII.24) будет иметь минимальное значение. Методы, приме-
няемые прн решении, зависят от формы постановки задачи.. Если
предполагается,, что все функции принципиально могут иметь
заданные значения, то одновременно будет выполнено и второе
требование, т. е. получение минимума оценочной функции. В этом
случае оценочная функция обратится в нуль. Если же при по-
становке задачи заранее известно, что все функции одновременно
принципиально ие могут иметь заданных значений, то задача
решается методами миннминизации оценочной функции. Оче-
видно, что для выполнения к условий в общем случае необходимо
располагать не менее чем к параметрами. Поэтому, если коли-
чество коррекционных параметров равно количеству условий илн
превышает его, то можно предполагать, что все функции могут
получить заданные значения. В случае, когда количество функций
превышает количество^параметров, заведомо можно утверждать,
что все функции одновременно ие могут иметь заданные значения
и использование оценочной функции при этом является необхо-
димым. Отсюда вытекает, что соотношение между количеством
коррекционных параметров и количеством функций предопреде-
ляет использование тех или иных методов автоматического расчета.
Аберрации оптической системы могут быть представлены как
функции координат точек пересечения лучей с плоскостью пред-
мета Z и с плоскостью входного зрачка т и М. Поэтому при расчете
оптической системы важно установить необходимое и достаточное
число лучей, а также координаты их пересечения с указанными
плоскостями с тем, чтобы в пределах заданного поля зрения и
числовой апертуры аберрации системы не превосходили заданных
величин.
388
В случае монотонных зависимостей между аберрациями и
координатами точек /, т и М наибольшие значения аберраций
будут соответствовать предельным значениям апертуры и угла
поля зрения. В более сложных случаях количество лучей, а также
их координаты определяются количеством н положением точек
перегиба кривых, выражающих зависимость между аберрациями
и координатами пересечения лучей с плоскостями предмета и
входного зрачка.
В свою очередь, количество точек перегиба на некоторой кривой
ие может превосходить величины i—1, где i — количество членов
в разложении дайной аберрации в ряд по степеням одной из
координат I, т и М. Величины i на первой стадии расчета
оптической системы, строго говоря, неизвестны. Однако на
основании имеющегося опыта почти всегда можно сделать
правильное предположение относительно величин i и ориентиро-
вочно задать количество лучен и соответствующие координаты
I, т и М, для которых следует производить определение абер-
раций.
Количество коррекционных параметров в оптической системе
в основном определяется ее конструкцией, т. е. степенью ее слож-
ности. Количество корригируемых аберраций (функций) уста-
навливается оптиком-конструктором. Если при выборе количества
функций конструктор исходит из естественного предположения,
что для устранения каждой аберрации необходимо иметь по край-
ней мере один коррекционный параметр, то количество функций
ие должно превышать количество параметров. В этом случае,
очевидно, аберрации для некоторых точек поля зрения и неко-
торых значений числовых апертур остаются в процессе автомати-
ческого расчета вне контроля.
Средством воздействия на эти неконтролируемые аберрации
может служить перераспределение аберраций, т. е. изменение
заданных значений контролируемых аберраций с целью получения
оптимального качества изображения. Оптик-конструктор, обла-
дающий достаточным опытом, без особого труда получает таким
образом систему с наилучшим качеством изображения. Однако
для достижения цели процесс доводки иногда приходится повто-
рять несколько раз, изменяя задаваемые значения контролируе-
мых аберраций.
Введение в практику автоматических расчетов оценочной функ-
ции вида (VII.24) или какого-либо другого вида отражает попытки
избавиться от необходимости многократного повторения автома-
тических расчетов в процессе доводки системы. При использовании
оценочной функции количество составляющих функций Ф/ ие
зависит от количества коррекционных параметров н может быть
выбрано столь большим, что значения неконтролируемых абер-
раций заведомо будут лежать в пределах, не превышающих
значения контролируемых аберраций.
389
При использовании оценочной функции предполагается, что
ее минимум соответствует оптимальному коррекционному состоя-
нию системы. К сожалению, до настоящего времени не найдено
выражение для оценочной функции, удовлетворяющее этому усло-
вию. Поэтому введение в практику расчетов оценочной функции
не может быть оправдано с оптической точки зрения. Однако при
этом с математической точки зрения задача значительно упро-
щается, так как понижается в конечном счете порядок урав-
нения. Действительно, решение системы из к нелинейных урав-
нений, каждое из которых имеет порядок s, равносильно решению
одного уравнения с одним неизвестным, но имеющего порядок ks.
Причем составление такого уравнения в большинстве случаев
практически невыполнимо. При введении оценочной функции
вида (VII.24) задача упрощается и сводится к отысканию мини-
мума функции, которая имеет порядок не выше 2s.
При сравнении различных методов автоматического расчета
рационально использовать два следующих критерия:
1. Количество математических операций, необходимых для
решения определенной задачи. Поскольку подсчет операций
обычно затруднен из-за большого их количества, то сравнение
удобнее вести по машинному времени, затраченному на машинах
одного и того же типа при решении одной и той же задачи различ-
ными методами.
2. Зависимость времени расчета от начального приближения,
т. е. от значений функций в исходной оптической системе. В этом
отношении некоторые методы дают устойчивые результаты, мало
зависящие от параметров начальной точки. В то же время при
использовании других методов скорость расчета в значительной
степени зависит от значений функций в исходной системе.
Рассмотрим детально ряд методов автоматического расчета
оптических систем, нашедших практическое применение.
Метод Ньютона
Пусть оптическая система обладает к коррекционными пара-
метрами р.>, . . ., pi, . . ., рк. Численные значения коррек-
циоиных параметров в исходной оптической системе суть р\ ,
Р?0, • • •, р!0>, - • •, р£0). Требуется найти такие значения коррек-
ционных параметров, при которых к функций этих параметров
Ф1, Ф2, . • Ф/, • • ., Фк, определяемых с помощью заданного
алгоритма, будут иметь значения, заключенные внутри интерва-
лов Фг ± 6ФХ; Ф2±бФ2; . . ., Ф/ ± 6Ф/; . . Ф« ± 6ФК. От-
метим, что рассматривается случай, когда количество коррекцион-
ных параметров равно количеству функций.
Решить поставленную задачу можно с использованием извест-
ного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.
Приращения функций Фу могут быть представлены в виде разло-
390
жений в ряды Тейлора по степеням приращений р,. Ограничи-
ваясь в каждом ряду первым членом разложения, можно написать
(VII.25)
ф,_ф<«>= g^Ap.
где Фь Ф2) . . Ф/, . . Фк — текущие значения функций;
Ф1°’,Ф20), ...,Ф/0), ,..,Фк0)—значения функций в исходной опти-
ческой системе; Др,- = pi — р!0).
Подставив в (VI 1.25) вместо текущих значений функций задан-
ные значения, т. е. Фх = Фь Ф2 = Ф2, • . •> ФЛ — Фк, можно
рассматривать (VI 1.25) как систему к линейных уравнений с к
неизвестными. Обозначим неизвестные, удовлетворяющие системе
линейных уравнений, через АрР, АрР.......ApJ1*.
Тогда
§^ДрФ=ф2_ф<»>;
(VII.26)
391
Решим систему (VI 1.26) и найдем значения изменений коррек-
ционных параметров Др^. Внесем эти изменения в исходную
систему, произведем расчет значений функций, соответствующих
значениям коррекционных параметров, равным р|°> +
р<0) + ДрР’, • • .» р£0) + Дрр. Если значения всех функций ока-
жутся внутри заданных интервалов Фх ± 6ФЬ Ф2 ± ДФ2,
. . Фж ± 6ФХ, то решение задачи окончено. В противном слу-
чае система, полученная после первого приближения, прини-
мается за исходную для следующего приближения и процесс пов-
торяется вновь.
„ ЭФ/ А
Определение частных производных необходимых для
составления системы линейных уравнений (VII.26), может быть
произведено двумя принципиально различными способами. Один
способ основывается на применении точных формул для произ-
водных получаемых путем установления дифференциальных
соотношений между конструктивными элементами оптической си-
стемы и параметрами, определяющими положение лучей. Другой
способ нахождения производных -~L основывается па использо-
вании метода конечных разностей. Каждый из коррекционных
параметров системы поочередно изменяется иа некоторую малую
величину Spi, а затем по точным формулам производится вычисле-
ние новых значений функций, соответствующих нзмеиеииой си-
стеме.
С некоторой степенью точности можно принять, что частные
производные 4^- равны частным от деления приращений функций
на приращения соответствующих параметров:
ЗФ/ _ ф)-Ф;0)
dpi bp;
(VII.27)
где Ф^ — значение функции, соответствующее значениям] кор-
рекционных параметров, равным р(°>, р<0), . . p^i + 6рр p<^b
- рР-
Так как при разложении функций Фу в ряды были опущены
члены, содержащие производные выше первого порядка, область
применимости системы линейных уравнений (VII.26) ограничи-
вается малыми изменениями параметров. Однако при решении
системы линейных уравнений (VII.26) изменения параметров Др|1),
вообще говоря, могут получиться сколь угодно большими н их
введение в исходную систему приведет к абсурдным результатам.
Рассмотрим определитель системы уравнений (VII.26):
392
(ЭФ, оФ, оФ] (ЭФ,
dpt др2 dpt ’ ‘ ' дрк
<ЭФ2 <ЭФ2 t ♦ <ЭФ2 (Ж
др, дра dpi дрк
<ЭФ/ (ЭФ/ дФ/ <ЭФ/
<?рг др9 др^ * дрк
(VII.28)
<ЭФк (ЭФ/с <ЭФк <ЭФК
др\ др2 dpi dpK
Прн следующих условиях определитель может обратиться
в нуль:
1. В определителе D имеется хотя бы один столбец, элементы
которого представляют собой линейную комбинацию соответ-
ствующих элементов каких-либо других столбцов. В частном
случае элементы одного столбца пропорциональны элементам
другого столбца. Параметры, соответствующие этим столбцам,
могут быть названы эквивалентными, поскольку частные произ-
водные от функций Ф/ по этим параметрам связаны между собой
зависимостью
<ЭФ, е (Эф, <ЭФ2 . (ЭФ2
dpi ' dpm — dpi ‘ дрт
(VII.29)
dpi dpm ' ’
где Pi н рт — эквивалентные параметры.
2. В определителе D имеется хотя бы одна строка, элементы
которой представляют собой комбинацию соответствующих эле-
ментов каких-либо других строк. В частном случае элементы
одной строки пропорциональны элементам другой строки; тогда
функции, соответствующие указанным строкам, являются вза-
имно зависимыми.
3. В определителе D имеется хотя бы один столбец, элементы
которого равны нулю. В этом случае параметр, соответствующий
этому столбцу, не влияет на изменение функций.
4. В определителе D имеется хотя бы одна строка, элементы
которой равны нулю. В этом случае функция, соответствующая
этой строке, не зависит ни от одного из коррекционных пара-
метров.
На практике, поскольку мы имеем дело с численным методом,
ни одни из перечисленных случаев в чистом виде не встречается.
Однако приближенное выполнение всех, а в особенности первых
двух условий, встречается нередко. Это приводит к малым значе-
ниям определителя D н большим изменениям параметров
Поэтому метод Ньютона применим только в тех случаях, когда
исходная система близка к заданной. Кроме того, при использо-
вании метода Ньютона необходимо осуществлять контроль за
сходимостью итерационного процесса. Условия сходимости
393
исследованы математиками детально, но эти условия весьма
сложны, и для проверки их выполнения необходимо произвести
большие вычисления. Поэтому в программах, основанных на ме-
тоде Ньютона, проверка сходимости осуществляется после каждой
терации. Рассмотрим некоторые способы проверки сходимости.
Представим себе пространство функций Ф;-. В этом простран-
стве исходной оптической системе соответствует некоторая точка,
координатами которой являются значения функций Ф[0), Ф^0),
6фг 6Фг
Рис. VII.2
. ., Ф<.°>. Искомой оптической системе соответствует точка с коор-
динатами Ф1( Ф2, . . Фк, являющая-
ся центром многомерного параллелепи-
педа, грани которого равны удвоенным
значениям допусков на значения функ-
ций. Так как функции могут в принципе
иметь различную размерность, то ра-
ционально принять такую метрику про-
странства, в которой единицами изме-
рения по отдельным координатным осям
служат допуски на функции, т. е. ве-
личины 6Ф/. Тогда искомой оптической
системе в пространстве функций будет
соответствовать многомерный куб, каж-
дая грань которого равна двум едини-
цам. Для пояснения сказанного служит рис. VII. 2, где представ-
лено пространство, образованное двумя функциями Ф! и Ф2.
Расстояние между заданной и исходной точками может быть
вычислено по формуле
(VII.30)
Изменение этого расстояния после очередного шага постепенных
приближений может быть принято в качестве критерия сходимости.
Действительно, если с каждой итерацией это расстояние сокра-
щается, то можно утверждать, что процесс не расходится. Если
расстояние L начинает расти, то процесс следует прекратить,
так как это может означать появление расходимости. Таким
образом, после очередного шага постепенных приближений произ-
, 1 / V /Ф/-ф!'5) У
водится вычисление величины Ls — I/ ? । I—7 — I < ГДе
s — порядковый номер шага, и сравнение ее с величиной Ls_x. Если
£s <Ls_i, то процесс расчета можно продолжать. Если Ls
Ls_i, то расчет следует прекратить.
394
Другой способ контроля сходимости основывается на рас-
смотрении пространства коррекционных параметров. В этом про-
странстве, в отличие от пространства функций, координаты точки,
соответствующей искомой системе, заранее никогда неизвестны.
Поэтому контроль сходимости в этом пространстве может быть
осуществлен по изменению расстояния между точками, соответ-
ствующими двум последовательным итерациям. Это расстояние
может быть вычислено по формуле
P = ]/s(M1))2, (VII.31)
где Арр) — результаты решения системы линейных уравнений
(VII.26). Если Ps <PS_1 (где Ps и Ps_t— значения для ите-
рационных шагов с порядковыми номерами s и s — 1), то процесс
расчета следует продолжать. В противном случае процесс может
расходиться н его следует прекратить.
Изложенный метод был реализован в одной из программ,
предназначенных для автоматического расчета оптических систем
в области аберраций третьего порядка. Программа была соста-
влена В. А. Ефимовым под руководством Н. Н. Губеля. В таких
программах в качестве функций Фу рассматриваются коэффициенты
аберраций третьего порядка Si, 5ц, 5Ш, Slv> Sv, S*p, Sff и
такие параксиальные характеристики системы, как s'Q — расстоя-
ние изображения от последней поверхности — н xQ — расстояние
выходного зрачка от последней поверхности. Программы такого
рода находят в настоящее время широкое применение, что объяс-
няется двумя причинами. Во-первых, расчет коэффициентов абер-
раций третьего порядка занимает примерно в три раза меньше
времени, чем расчет минимально необходимого количества лучей,
с помощью которых могут быть установлены примерные значения
аберраций третьего порядка. Эго, с одной стороны, позволяет
использовать для расчета машины, обладающие невысокими ско-
ростями работы, а с другой стороны, дает возможность в сравни-
тельно короткие сроки и с малыми затратами машинного времени
произвести исследования большого количества различных вариан-
тов системы в области аберраций третьего порядка.
Во-вторых, зависимости между коэффициентами аберраций
третьего порядка и параметрами системы ближе к линейным, чем
зависимости между точными значениями аберраций и параметрами.
Поэтому при автоматической подгонке заданных коэффициентов
аберраций третьего порядка сходимость итерационного процесса,
как правило, оказывается лучшей, чем при использовании в ка-
честве функций точных значений аберраций.
Приведем два примера расчета по рассмотренной методике.
Расчеты выполнялись иа электронной вычислительной машине
395
«Урал-2», обладающей скоростью, равной примерно 5000 опера-
ций в секунду.
Первый пример представляет собой расчет апохроматического
объектива с небольшой числовой апертурой. Объектив состоит из
двух двусклеенных компонентов, разделенных значительным воз-
душным промежутком, т. е. выполнен по схеме Пецваля. Схема
объектива представлена на рис. VII.3. Задача состоит в том, чтобы
frri путем замены материалов, из которых выпол-
__________L к иеиы линзы в ранее рассчитанном ахроматиче-
СТ ском объективе, получить объектив с апохро-
матической коррекцией. Исправлению подлежат
Рис. V1I.3 сферическая аберрация (Sj), кома (Sn), астиг-
матизм (5Ш) и хроматизм положения (Sf₽).
В качестве коррекционных параметров используются углы первого
параксиального луча с осью а(-, а не радиусы оптических поверх-
ностей. Такой выбор параметров не случаен, так как позволяет
поддерживать постоянным в процессе расчета фокусное расстоя-
ние системы или ее увеличение. Конструктивные параметры исход-
ного ахроматического объектива приведены в табл. VI 1.2.
Для получения апохромати-
ческой коррекции заменим стек-
ла К8 и КФ4на флюорит. Стекла
БФ12 и ТФ1 заменим таким
образом, чтобы в каждом ком-
поненте примерно сохранилась
разность показателей преломле-
ния, а коэффициенты дисперсий
v удовлетворяли бы следующе-
му соотношению:
—~— = const, (VII.32)
Ук-Уф ’ 4 ’
vK — коэффициент диспер-
стекла положительной лин-
Уф — то же стекла отри-
Таблица VII.2
а- di ni Марки стекол
0 1,0
0,40412 3,5 1,5163 К8
0,30245 2,0 1,6259 БФ12
0,49124 14,0 1,0
0,66660 3,0 1,5181 КФ4
0,53645 1,5 1,6475 ТФ1
1.0 1,0
h = 20
где
сии
зы;
цательиой линзы.
Такое правило подбора стекол позволяет получить в каждом
компоненте при параметре С — 0 примерно такое же значение
параметра Ршп, какое было в исходной системе, и обеспечивает
большую вероятность успеха, чем произвольный выбор, поскольку
поставленная задача имеет решение отнюдь ие при любых комби-
нациях стекол.
В результате стекло БФ12 может быть заменено стеклом БФ4,
а стекло ТФ1 — стеклом БКЮ. Обратим внимание также н на то,
что стекла БФ4 и БКЮ имеют частные относительные дисперсии,
близкие к частной относительной дисперсии флюорита. Это поз-
396
волнт получить систему с небольшим вторичным спектром. Зададим
S, == 0 ± 0,1; S„ = 0 ± 0,1; Sni = 0 ± 0,1; SfP = 0 ± 0,005.
Коэффициенты аберраций будем вычислять при нормировке а'р =
— 1; Л, = /' = 20. В качестве коррекционных параметров исполь-
зуем а2, аэ, а5 и а6. Результаты расчета иа машине «Урал-2»
приведены в табл. VI 1.3.
Таблица V1I.3
Параметры и функции Исходные значения 1-я итерация 2-я итерация 3-я итерация
«2 0,40412 0,45957 0,47018 0,47019
аа 0,32245 0,33034 0,34254 0,34242
а4 0,49124 0,49124 0,49124 0,49124
“о 0,66660 0,77404 0,78078 0,78104
«в 0,53645 0,61142 0,61141 0,61194
S1 8,848 -0,245 0,002 0,000
S11 —4,996 —0,834 0,067 0,000
Sin 3,690 1,844 —0,146 0,000
Sfp —0,048 —0,002 0,000 0,000
£2 1,19-Ю4 4,15-102 2,58 0,00
В последней строке таблицы VII.3 даны значения величины L2
(VII.30), с помощью которой в программе контролируется сходи-
мость итерационного процесса. На решение задачи затрачено около
одной минуты машинного времени.
В качестве второго примера рассмотрим расчет фотографиче-
ского объектива типа триплет. Этот пример позволяет весьма
наглядно сравнивать между собой различные методы расчета и
поэтому неоднократно использовался в качестве теста при про-
верке программ.
Конструктивные параметры исходной системы выбраны произ-
вольно. Марки стекол и задаваемые значения коэффициентов
аберраций взяты из системы, расчет которой был произведен
в 30-х годах.
Как видно из табл. VII.4, итерационный процесс начинает
сразу же расходиться, несмотря на то, что решение существует.
Для наглядности в таблице приведены два итерационных шага.
Пример показывает, что метод Ньютона неприменим в тех случаях,
когда значения параметров в исходной системе существенно отли-
чаются от таковых в системе с заданными коэффициентами
397
Таблица VII.4
1X5 Заданные значения коэффициентов аберраций
St 1,9 ±0.1 S„ = 0,3 ± 0,05; З’ш —0,2 ± 0,02; S,v = 0,43 ±0,01; Sv - 0 ± 0,01; sp = 0 ± 0,001; Sff 0 ± 0,001
Расстояния между вершинами поверхностей в исходной системе dx = 0,05; da — 0,1; d3 0,02; rf4 = 0,l; dB=-0,05
Марки стекол TKI6; БФ12; TK16
Параметры и функции Исходные значения 1-я итерация 2-я итерация Система с заданными коэффициентами
“2 а3 а4 “5 «6 d< 1,0 1,5 0,6 0,4 0,7 0,1 0,1 1,7569 2,7186 0.4329 —1,2000 —3.1721 0,1434 —0,3528 — 12,0954 6,5111 14,4977 -1,4316 — 1,7104 0,1610 —0,1333 1,7273 2,3887 1,(962 —0.4120 —0,0182 0,0208 0.0579 .
Si Sn Snt sIV Sv Sir 1,074 — 1,737 0,233 0,566 0,635 —0,0103 0,0037 ' 61,355 —271,35 —401,70 —14,612 35247,8 —0,0079 —0,0057 4,2-10* —7,7-Ю5 1,4-10’ -3,7-10 —2,7-108 -0,316 -5,827 1,916 0,313 —0,200 0,429 —0,001 0 0
Я, = 0; Л,-1; ₽1 = 1; -^-^-0,03; «,= 1
Ро
398
аберраций. Для сопоставления в последнем столбце табл. VI 1.4
даны значения коррекционных параметров в системе, обладаю-
щей заданными коэффициентами аберраций. Расчет производился
на машине «Урал-2».
Первая модификация метода Ньютона
Для улучшения сходимости итерационного процесса при ис-
пользовании метода Ньютона были разработаны и нашли практи-
ческое применение несколько модификаций. Рассматриваемая здесь
модификация [6—8] была положена в основу одной из программ
для автоматического расчета оптических систем в области абер-
раций третьего порядка. Эта программа, составленная примени-
тельно к машине «Урал-2», с успехом эксплуатировалась в течение
нескольких лет рядом организаций. Попытки использовать ту же
методику для автоматического расчета оптических систем в обла-
сти точных значений аберраций оказались неудачными из-за
медленной сходимости итерационного процесса во многих случаях.
Основная цель модификаций метода Ньютона заключается в
предотвращении расходимости итерационного процесса. Сущность
этих методов состоит в том, что каждый шаг итерационного про-
цесса разбивается на два этапа, первый из которых представляет
собой выбор направления движения (определение соотношения
между изменениями параметров), а второй этап — выбор вели-
чины шага в этом направлении. Направление движения опреде-
ляется путем решения системы линейных уравнений (VII.26).
Выбор величины шага осуществляется путем анализа изменений
функций при движении в найденном направлении.
Введем понятие величины шага ф. Изменения параметров,
соответствующие величине шага ф, вычисляются путем умножения
изменений параметров Дрр, полученных в результате решения
системы линейных уравнений (VII.26), на ф, т. е.
Ар1 = фДрР, Др2 = фАр-Р, ..., Лрг-= фДрР, .... Дрк = фАрР.
После выбора направления движения функции Ф/ зависят лишь
от величины шага, т. е. от переменной ф. Во избежание расходи-
мости итерационного процесса условимся выбирать ф таким
образом, чтобы после выполнения очередной итерации с порядко-
вым номером s разности ф}5) —Ф/ убывали по абсолютной вели-
чине. В то же время для уменьшения количества итераций необ-
ходимо, чтобы каждая из функций Ф? прн каждой итерации макси-
мально приближалась к заданному значению.
Наиболее простой способ определения величины шага по этим
правилам заключается в следующем. Выбрав некоторое достаточно
малое значение ф<*> для величины ф, можно последовательно шаг
за шагом вносить в исходную систему измеиеиия параметров,
399
соответствующие сначала ф<!), затем 2ф<’>, затем Зф<’> и т. д., и
вычислять при этом по точным формулам значения функций ФЛ
В тот момент, когда одна из функций достигнет заданного интер-
вала значений от Ф/ — 6Ф/ до Ф, 4- 6Ф/ или когда какая-нибудь
из функций примет экстремальное значение, процесс подбора ф
следует прекратить. Полученная при этом система может исполь-
зоваться как исходная для следующего приближения.
В целях ускорения определения величины шага используется
следующий способ. Разложим приращения функций Фу—Ф(0)
в ряды по степеням ф и ограничимся первыми двумя членами раз-
ложения. Тогда получим
= + (VIL33)
/Ь гъ(°) дФк 4| . 1 <Э2Фк 2
выражения
разностей,
Очевидно, значения производных, входящих в
(VII.33), могут быть определены методом конечных
если известны значения функций Ф;-, соответствующие каким-либо
двум значениям ф. Заметим, что поскольку формулы (VII.33)
ег ЗФ/
являются приближенными, то при нахождении производных -~-
<э2Ф/
и следует пользоваться значениями ф, соответствующими
малым значениям приращений параметров. Один из возможных
способов выбора этих значений состоит в следующем.
Пусть 6рь 6р2, • • •> Spi.....$рк — некоторые достаточно
малые приращения параметров, например те, которые исполь-
зуются для определения частных производных от функций по
параметрам р{. Вычислим абсолютные значения отношений
<vlI-34>
и выберем из иих наименьшую величину, которую обозначим
через ф<:>. Очевидно, что если положить ф = ф<!>, то изменения
параметров Apt при этом ие превысят соответствующих вели-
чин брр
Вычислим по точным формулам (в частности, с помощью рас-
чета хода лучей) значения функций Фу, соответствующие ф = ф<’>,
т. е. для значений параметров р(°> + ф(1) Др{'); р£0) + Дрр,
400
• • •> Р!с0) + ф(1)ДрО), и обозначим их через Ф*1-1), Ф^Ф,. .., фб-1).
Вычислим также значения функций Ф/, соответствующие ф — 2фб),
и обозначим их через Ф{1-2>, Ф^1-2), . . Ф£1>2>. Тогда, восполь-
зовавшись (VI 1.33), находим, что
в®, _ 4ф<-1-'> — ф<‘-2> — ЗФ<°>
йф ~~ 2ф<1)
<?2ф; Ф{1,2> — 2Ф}1'11 + Ф<-0>
зфГ = (й‘1УУ
(VII.35)
(VII.36)
После замены в (VI 1.33) текущих значений функций Ф; на за-
данные значения Ф; каждый из к рядов можно рассматривать как
квадратное уравнение и решать относительно ф. Обозначим ф, най-
денное из /-го уравнения, через ф,. Тогда
ф/ =
д3ф/
chp2
(VII.37)
Для определения знака перед корнем в выражении (VII.37)
установим зависимость между величинами и Ф,-— Ф)о>.
Рассмотрим одно из уравнений системы (VI 1.26)
ф,. —Ф<°>= (VII.38)
Умножим обе части равенства (VII.38) на dty. Тогда
(Ф/ — Ф}0>) </ф = i/ф У —L Лр'1’ И (Ф,- — Ф'О>) i/ф = </Ф;,
откуда следует, что
(VII.39)
^ = ф;-ф<«>.
dip / '
Поскольку вычисление и производных осущест-
вляется с помощью приближенного метода конечных разностей,
то значения совпадут со значениями приращений Ф/ —ф}0>
лишь приближенно. Несмотря на это, выражение (VII.39) может
служить хорошим средством контроля правильности вычислений,
а также правильности выбора величин
26 Г. Г. Слюсарев
401
Итак, на основании (VII.39) выражение (VII.37) можно пре-
образовать к виду
дФ/ / / \
= _|±У 1+2> ’ (VII,40)
дф2 ' <?ф '
откуда видно, что знаку плюс перед квадратным корнем всегда
соответствует меньший по абсолютному значению корень квадрат-
ного уравнения. Так как ряды (VII.33) справедливы лишь прн
небольших значениях ф, то корень, соответствующий знаку минус
в выражении (VI 1.40), как имеющий большее абсолютное значе-
ние, вообще не следует принимать во внимание.
Покажем, что выбранный корень всегда положительный. Если
> 0, то подкоренное выражение в (VII.40) больше
единицы, а выражение в круглых скобках больше нуля. Следова-
, _ ~ дФ/ й2Ф/ п
тельно, фу-также больше нуля. Если < 0, то подкорен-
ное выражение меньше единицы, а выражение в круглых скобках
меньше нуля. Следовательно, ф,- снова больше нуля.
В случае отсутствия вещественных корней для какого-либо
. . о ^Ф/ дФ, . л
/-го уравнения, т. е. в том случае, когда 1 + 2 <_ 0,
следует найти величину extr, при которой значение функции Ф,
максимально приближается к заданному значению Фу. Из (VII.33)
нетрудно получить, что
_дФд
*/«<. = --Д-. (VII.41)
dip3
Очевидно, что и фу exir > 0.
Решив все к, квадратных уравнений, получим к значений ф/.
Выберем из них наименьшую величину, которую обозначим
через фяж. Нетрудно показать, что при ф = фкл< для всех функций
будет выполняться следующее соотношение:
фФ _ фФ
(VII.42)
где Ф(,) — значение функции Ф;- прн ф = фмж. Для доказатель-
ства преобразуем выражение (VII.40), приняв во внимание(VII.41):
Ф/ = 4>/«tr - 1 Z1 + • (VII.43)
|/ v/extr
2
Поскольку, как было показано, фу- > 0, то при 1 -Н -j-----------------> 0
ту extr
2
•ф/< Ч>/extr- Если 1 + 1----------< о, то ф/ = ф/extr- Отсюда еле-
т/ extr
402
дует, что ф/ ф/extr, а это означает, что в интервале от ф = 0 до
ф = ф/ функция Ф/ изменяется монотонно. Поэтому, поскольку
Ф/, то все функции в интервале от ф = 0 до ф = ф„Л изме-
няются монотонно. Следовательно, на основании (VII.43) можно
утверждать, что значение Ф}1) любой функции будет заключено
в интервале от Ф}0) до Ф/. Этим самым доказана справедливость
выражения (VII.42). Итак, при ф = ф„Л значения всех функций
с точностью, с которой справедливы ряды (VII.33), будут лежать
внутри интервалов отФ}0) до Ф/, т. е. при ф = ф;/.ч все функции при-
ближаются к заданным значе-
ниям. Внесем в исходную систе-
му изменения коррекционных
параметров, соответствующие
Ф™, т. е. Ар! Фид, Ар!1’, Др2 =
= '|>»я ДрР’..Дрк = ф„„Дрк
Рассчитаем по точным фор-
мулам значения функций в си-
стеме с измененными значениями
коррекционных параметров и
проверим, не находятся ли зна-
чения всех функций внутри за-
данных интервалов Фл ±
Ф2 ± 6Ф2, • , Фк ± 6ФК. Есл
чет прекращается. В противном
это условие выполнено, то рас-
случае система с измененными
значениями коррекционных параметров принимается за исходную
для следующего шага постепенных приближений. Новый шаг
<М>,- о
начинается с вычисления частных производных . Затем ре-
шается система линейных уравнений н повторяются все опера-
ции, выполнявшиеся на первом шаге итерационного процесса.
Расчет заканчивается тогда, когда все функции окажутся внутри
заданных интервалов значений.
Изложенный метод автоматического расчета в некоторых слу-
чаях не дает положительного результата. Это может означать,
что поставленная задача вообще не имеет решения или что решение
существует, однако из-за неудачного выбора исходной системы
этот метод оказывается неэффективным. Как в первом, так и
во втором случае наступает момент, когда приращения функ-
ций Ф;, получаемые за один итерационный шаг, начинают резко
уменьшаться по абсолютным величинам. Вычислительный процесс
при этом сходится не к заданным величинам Ф;, а к некото-
рым предельным значениям функций Ф/Яр, как это показано на
pHC.VII.4. Важно правильно установить момент, когда нужно пре-
кратить вычисления, с тем чтобы не загружать машину бесполезной
работой. Рассмотрим признак, который позволяет анализировать
целесообразность продолжения итерационного процесса.
26*
403
Обозначим
, v ф(8)Цф(«-П
= <Df—Ф^-Ч • <VIL44)
где Фр“1) — значение функции Ф/ перед началом выполнения
итерационного шага с порядковым номером s; Ф}$> — значение
функции Фу после выполнения итерационного шага с порядковым
номером s.
Нетрудно видеть, что если lim Ф/3) — Ф; Пр, то Пт = 0.
S->00
Найдем предел |}s) в том случае, когда решение может быть
найдено, т. е. тогда, когда lim Ф}8) = Ф/. В этом случае Нт (Ф}8) —
_____ 8->оо
.— ф/) = 0, т. е. правые части в системе линейных уравнений
(VII.26) стремятся к нулю и, следовательно, приращения коррек-
ционных параметров ДрР также стремятся к нулю. Зависимости
между изменениями функций и изменениями параметров в пределе
становятся линейными, и поэтому величина стремится к еди-
нице. Отсюда следует, что lim (Ф)8)— Ф}*’1))®Ф/ — Ф{8-1),
a lim = 1.
Таким образом, проследив за изменением величины для
какой-либо одной функции в течение нескольких итерационных
шагов, можно установить, удастся ли получить заданные значения
функций. Если величина непрерывно убывает, то получить
заданные значения функций невозможно. Процесс автоматиче-
ского расчета следует прекратить при выполнении следующего
условия для всех функций:
(VII .45)
где в — некоторая малая величина. В программах, используемых
иа практике, обычно принято 8 = 0,01.
Опыт использования программ автоматического расчета опти-
ческих систем в области аберраций третьего порядка показал, что
в большинстве случаев точность двучленных рядов (VII.33) оказы-
вается достаточной. Если же в качестве функций Ф/ рассматри-
ваются значения аберраций, найденные путем расчета хода лучей,
то точность этих рядов зачастую неудовлетворительна. Для повы-
шения точности экстраполяции разработан специальный прием,
сущность которого будет изложена ниже.
Перейдем к рассмотрению случая, когда количество коррек-
ционных параметров t превышает количество функций /с. Такое
соотношение часто встречается при автоматическом расчете опти-
ческих систем в области аберраций третьего порядка, поскольку
в системах со значительными числовыми апертурами илн полями
404
зрения общее количество параметров намного превышает коли-
чество коэффициентов аберраций третьего порядка, т. е. семь.
Наличие как бы избыточных параметров можно использовать для
ускорения расчета путем уменьшения количества циклов итераций.
Сущность рассматриваемого метода состоит в том, что избыточное
количество коррекционных параметров по сравнению с количе-
ством функций используется для получения минимальных зна-
чений приращений коррекционных параметров. Если для всех
функций Ф/ одновременно имеет место соотношение
|^Ф£|гг I |
I 1^1 Г
то функции Ф,- практически линейно зависят от ф и задача решается
за небольшое количество итерационных шагов.
Воспользуемся наличием избыточных параметров с целью
<Э2Ф/
максимального уменьшения значении вторых производных •
Сопоставим между собой два разложения в ряд приращения
функции ДФ/:
(VII.46)
Л(Т. дФ/ , . 1 <)гФ, .
АФ' = -Зф-1<’ + т ’
(VI 1.47)
На основании теоремы о единственности разложения в ряд
из (VII.47) следует, что
(VI 1.48)
(VII.49)
Запишем (VII.49) в виде
(VII.50)
где О; представляет собой сумму членов, содержащих смешанные
производные второго порядка. Учет величин 0/ требует значи-
тельного увеличения объема вычислений, связанного с нахожде-
Э2Ф/
нием производных вида ~^pidpi • Несколько нарушая строгость
вывода, допустим, что
(VII.51)
406
где b — некоторый положительный коэффициент. Тогда условие
(VI 1.46) наосновании(УП.48)и(УП.51) можно преобразовать к виду
IФ1 - ФГ i » ЬI (Др(р
|Ф2-ф$°’1»г>| (VH.52)
IФ. - ф£” !»ь I (Др,)2
Заменим абсолютные значения сумм, находящихся в правых
частях неравенств (VI 1.52), суммами абсолютных значений, до-
пуская при этом некоторое ужесточение условий (VII.51):
32®1 /Л 13 ч- (РФ, ,Л 13 -уг (Др2 2 Зр? + • • + 52ф1 /Л ^2 Т2 (Д^)2 др.
Ф1 — ф|0) Ф( — ф(0) ф]__ ф<°>
(Др,)2 ар; ^4(др2)2 <’Р5 Ч- • • + 3~Ф2 —1ДР') зр; «т;
Фа - Фао) ф, ф$"' ф2—ф>°>
'ТТ<ДР1> ар; + Э'Фк —у- (Лрз)2 ЗР2 З2®' >3 —г (ар<) ар2 «I-
®« - ®«’ —®!°) ®«- ®L"’
(VII.53)
Выберем из всех миожителей, стоящих при (Apx)8, наиболь-
ший и обозначим его через
01 нб —
(V1I.54)
Таким же образом выберем наибольшие множители н для осталь-
ных переменных:
ai нб —
(VI 1.55)
406
Тогда, очевидно, при соблюдении неравенства
£a<«6(W«-5- (VI 1.56)
будут одновременно удовлетворяться все неравенства системы
(VII.53) и, следовательно, все неравенства системы (VII.52).
Таким образом, условие (VII.46) приводится к неравенству
(VII.56). Условие (VII.56) можно трактовать следующим образом:
количество итерационных шагов сокращается, если левая часть
неравенства (VII.56) минимальна. Поэтому для случая к < /
система уравнений дополняется требованием минимизации
i—t
суммы S а;„б(Лр()2,
Воспользуемся методом Лагранжа для получения минимума
этой суммы. Образуем функцию
F = а‘«»(4P‘)2 + &Р‘ - ®i + Ф|°') +
+--'+41Хлр‘-з,“+Ф‘>
(VI 1.57)
Для соблюдения поставленного условия необходимо, чтобы
-7Г-=^-=---^-7Г- = 0- (VII.58)
Фг dpt dpt v '
Дифференцируя F поочередно по plt р2, . . ., pt и приравни-
вая результаты нулю в соответствии с (VII.58), получаем систему
уравнений, дополняющую систему (VII.26):
2а1нЛДР14- £ху^- = 0;
2йг нб &р2 -ф- У К; --r-i- = 0;
Орг
/-1
2<г,„бАрг + ^,^ = 0.
(VI 1.59)
407
Таким образом, в случае, когда к < t, система линейных уравне-
ний приобретает вид
^Др^-ф!”;
§-^Др( = Ф2-ф^;
1=1
§^дР( = Фй-ФГ;
/=1
2а1«,Др1+^;^- = 0;
2О2«бДр2 + У ^-l -g^ — Oi
(VII.60)
2й( Нб kpt 4- У КJ — 0.
/=1
Далее используется методика, разработанная для случая к = t.
Использование избыточных параметров не только позволяет уско-
рить процесс вычислений, но и дает большую вероятность получения
решения. Рассмотрим определитель системы уравнений (VI 1.60):
дФ1 дФ1 <M>t । q
'<Р, Ир7 ' ’ ' dpi I
РФд | Q
dpi dpi dpt ।
0
0
D =
дФк ЭФ* _ _ дФ* I g
ар, дрг dpt ।
ai«e 0* * •
0 й2 0 • • •
о азябо
0
дф,
ар,
ЭФк
dPt
(VII.61)
о 0
_ „ а®, дФ.
0 dpt др1
дФк
dpt
408
Нетрудно видеть, что определитель (VII.61) ие может обра-
титься в нуль из-за пропорциональности или линейной комби-
нации столбцов матрицы, помеченной штриховыми линиями.
Действительно, столбцы определителя (VII.61) с первого по
/-й, например с порядковыми номерами I и т, могут образовать
линейную комбинацию только в том случае, когда соответствую-
щие этим столбцам величины а1нб и атчб равны нулю. Последние
могут обратиться в нуль только прн условии, что
d2(Dt _ дгФ2 __ __ даФк _ п.
др2 др\ др2
^Ф, __ с?Ф2 = &ФК _ п
дРт дРт
Равенства (VII.62) могут иметь место только тогда, когда пара-
метры с порядковыми номерами I и т линейно связаны с измене-
ниями всех функций, что практически исключено.
Таким образом, если в матрице производных имеются
столбцы, образующие линейную комбинацию (иными словами,
имеются эквивалентные параметры), то рассмотренный метод
в отличне от метода Ньютона может дать решение. При наличии
взаимно зависимых функций (пропорциональных строк в матрице
этот метод, так же как и метод Ньютона, не дает решения.
Вторые производные — , входящие в (VII.60), без особых
dPi
трудностей вычисляются методом конечных разностей путем
поочередного изменения коррекционных параметров системы на
малые величины ± 6рь ±6р2, . . ., ±dpz и определения значе-
ний функций Ф/.
Обозначим функцию Ф/, вычисленную при значениях пара-
метров pi0>, р2°\ р!0) + бр», - . р!0), через Ф/+), а при
значениях параметров р!0), р20), . . ., р!0) — брь . . pz0)—через
Ф}-1). Тогда получим
дФ/ ф(+) — ф(-)
dpi ~~ 2Epi
^Фу Ф{+) + ф^~} — 2Ф{0)
др2 (bPi)2
(VII.63)
(VII.64)
Рассмотрим пример расчета по изложенной методике. Для
сопоставления с методом Ньютона выполним расчет фотографи-
ческого объектива типа триплет (см. стр. 398).
409
Таблица VII.5
-ш Заданные значения коэффициентов аберраций
St =1,9 ±0,1; Зц = 0,3 ± 0,05; Sn, =—0,2 ± 0,02; SIV= 0,43 ± 0,01; Sv =0 + 0,01; Sf’= 0 ± 0,001; S'f = 0 ± 0,001
Расстояние между вер- шинами поверхностей в исходной системе dj — 0,05; d2 — 0,1; d3 = 0,02; </4 = 0,1; </5 = 0,05
Марки стекол ТКИ5; БФ12; TK16
Параметры и функции Исходные значения 1-я итерация 6-я итерация 13-я итерация
«2 «3 а4 «5 «в с/2 1,0 1,5 0,6 0,4 0,7 0,1 0,1 1,0282 1,5455 0,5938 0,3404 0,5557 0,1016 0,0831 1,0751 1,6819 0,5146 —0,0872 0,0640 0.0980 0,0485 1,7273 2,3887 1,1962 —0,4120 -0,0182 0,0208 0,0579
Si Sn Shi 5iv sv SH 1,074 — 1,737 0,233 0.566 0,635 —0,0103 0,0037 1,200 -1,637 0,222 0,559 0,623 -0,0100 0,0036 1.998 —0,977 0,132 0,515 0.528 —0,0079 0,0030 1,916 0.313 —0,200 0,429 —0.001 0 0
dSj dip 0,826 2,037 —0,433 -0,136 -0,637 0,0103 -0,0037 0,700 1,937 —0,422 —0,129 —0,623 0,0100 -0,0036 —0,099 1,278 —0,332 -0,085 —0,528 0,0079 —0,0030 -
410
Продолжение табл. VII.5
Марки стекол ТК16; БФ12; TK16
Параметры и функции Исходные значения 1-я итерация 6«я итерация 13-я итерация
cFS, ch|r 125,8 35,83 8,03 —4,00 17,08 -0,051 0,054 37,54 16,44 0,49 -1,19 3,69 —0,014 0,011 4,48 5,54 0,43 —0,09 1,31 0,000 0,006
а, - 0; Л<=1; В, 1; -^.-—0.03; а7 1 Р5
dS . d2S . Примечание. Через и обозначены первые и вторые производные от соответствующих коэффициентов аберраций по ф. Значения первых dS : производных хорошо совпадают на каждом шаге со значениями заданных приращений коэффициентов аберрации.
Результаты расчета по этапам сведены в табл. VII.5. Из срав-
нения табл. VII.4 и VII.5 видно, что для решения по модифици-
рованному методу расчета требуется тринадцать итерационных
шагов, а при использовании метода Ньютона процесс не сходится.
Однако скорость сходимости итерационного процесса при расчете
изложенным методом в значительной степени зависит от выбора
начального приближения, т. е. от исходной системы. В табл. VII.6
приведены результаты расчета того же объектива триплет, но
исходная система имеет другие значения коррекционных пара-
метров. Эти коррекционные параметры были получены путем
автоматического расчета из исходной системы, приведенной
в табл. VII.5, причем в качестве функций рассматривались только
три величины, а именно Siv, S\p, Sff. Сравнение данных, приве-
денных в табл. VII.6 и VII.4, показывает, насколько резко может
замедлиться сходимость при неудачном выборе начального при-
ближения. Зависимость скорости сходимости от начального при-
ближения является существенным недостатком рассмотренного
метода.
411
Т а б л и ц а VII.6
Заданные значения коэффициентов аберраций
Sj = 1,9 ± 0,1; 5Ц = 0,3 ± 0,05; Зш = —0,2 ± 0,02; SIV = 0.43 ± 0,01; Sv=0±0,01; S*p = 0± 0.001; S*P®0± 0,001
Расстояния между верши- нами поверхностей в исходной системе dt — 0,05; d2 — 0,0445; dt = 0.02; dt = 0,0842; 4» — 0.05
Марки стекол TK16; БФ12; TK16
Параметры и функции Исходные значения 1-Я итерация 15-я итерация 80-я итерация 45-я итерация 60-я итерация 75-я итерация 82-я итерация
а2 а» а« а, «. dt 1,0184 2.3572 0,6522 — 0.5631 0,8442 0,0445 0,0842 1,4339 2,5947 1,1887 -0.2209 0,9591 0.0270 0,0979 1,5069 2,6379 1,2576 —0,1667 0,8961 0,0249 0,1002 1,5727 2,6916 1,3118 —0,1138 0,7873 0.0286 0,1030 1,6197 2,7439 1,3393 — 0,0761 0,6152 0,0234 0,1044 1,6472 2,7379 1,3335 — 0,0948 0.3844 0,0234 0,0969 1,6753 2.6218 1,2943 —0,2008 0,1615 ‘ 0,0225 0,0789 1,7212 2,4064 1,2062 —0.3911 —0,0072 0,0210 0,0590
<Л Со (Л C'S Со Со Со Г-н — н < 5 К = “ ‘-•е чз < - — -2,334 -5,359 1.400 0.430 0,290 0 0 2,206 — 3,207 0,893 0,421 0,207 0 0 2,182 —2,676 0,728 0,423 0,176 0 0 2,161 — 2,051 0,532 0,424 0,139 0 0 2,110 — 1.346 0,311 0,426 0,097 0 0 2,061 —0.663 0,099 0,427 0,057 0 0 2,008 —0,116 — 0,067 0.429 0,028 0 0 1,982 0,300 —0,189 0.430 0,004 0 0
Продолжение табл. VII.6
Марки стекол ТК16; БФ12; ТК16
Параметры н функция Исходные значения 1-я итерация 15-я итерация 30-я итерация 45-я итерация 60-я итерация 75-я итерация 82-я итерация
dSj 4.234 5.661 — 1,597 0 — 0,287 0 0 — 0,306 3,508 — 1,091 0,008 — 0,206 0 0 —0.282 2,977 — 0,927 0,007 —0,176 0 0 -0,251 2,351 — 0,732 0,006 —0,139 0 0 — 0,210 1.646 — 0,511 0,004 —0,097 0 0 — 0,161 0,963 — 0,299 0,003 — 0,057 0 0 —0,107 0.416 —0,132 0,001 -0,026 0 О
d*Sj 37,69 -0,236 1,277 — 0,103 0,274 0 0 28,89 — 1,213 0.253 —0,038 0.016 0 0 21,26 -1.292 0,008 —0,035 — 0.036 0 0 13,12 -1,156 —0,093 —0,037 —0,027 0 0 7,139 — 0,608 — 0,052 — 0,036 0.023 0 0 3,822 0,347 0,052 — 0,019 0,073 0 0 1,466 0,449 0,062 — 0,003 0,049 0 0 -
а, = 0; Ai = 1; ₽,==!; = —0,03; а, = 1
Р»
Время расчета около 30 мин
Вторая модификация метода Ньютона
Вторая модификация метода Ньютона [141 отличается от пер-
вой способом выбора величины шага. В первой модификации
метода Ньютона величина шага выбиралась таким образом, чтобы
разности Ф}5) — Ф,- непрерывно убывали по абсолютной величине.
Это требование гарантирует, что ни одна из аберраций в процессе
расчета не может ухудшиться по сравнению с исходной системой,
если даже задача ие решена до конца. Однако выполнение этого
требования, как показала практика многочисленных расчетов,
в ряде случаев резко замедляет сходимость итерационного про-
цесса.
Во второй модификации величина шага находится из условия
миниминизации вспомогательной оценочной функции, что позво-
ляет во многих случаях заметно ускорить сходимость итерацион-
ного процесса по сравнению с рассмотренными выше способами
автоматического расчета.
Для определения величины шага введем вспомогательную
функцию вида
(v,,-65)
/-=1
где бФ,- — допустимые отклонения от заданных значений функ-
ций Ф/. Пусть, как и раньше, переменная ф характеризует вели-
чину шага. Изменения параметров, соответствующие некоторому
значению ф, вычисляются путем умножения результатов решения
системы линейных уравнений (VII.26) или системы линейных урав-
нений (VII,60) ДрР на ф. Вспомогательная, функция F зависит,
очевидно, от ф. Можно найти такое значение величины шага ф —
фт1п, при котором функция F имеет минимум. Условимся
в качестве величины шага прн каждой итерации принимать фт1п.
Покажем, что если для каждой из функций Ф/ справедливо
соотношение (VI 1.33), то функция F обязательно имеет по крайней
мере один минимум. Продифференцируем F по ф и примем во вни-
мание, что, как было показано в (VII.39), = Ф, — ф}°\
Тогда получим
-^- = — 2Fm, (VI 1.66)
где Я0) — значение функции F перед началом очередной итера-
ции. Поскольку F > 0, то — < 0, т. е. при движении из исход-
ной точки, соответствующей ф — 0, в сторону положительных
значений ф функция F убывает. Кроме того, функция F непрерывна
и не может асимптотически приближаться к какому-либо значе-
414
иню, поскольку функции Фу- предполагаются непрерывными и
квадратичными. Следовательно, функция F обязательно должна
иметь минимум при положительном значении ф.
Для пояснения метода воспользуемся графическим представле-
нием. Рассмотрим, как и раньше, пространство функций Фг и Ф8
(рис. VII.5). Исходной системе на графике соответствует точка О,
искомой системе — точка А. Кривая ОЕ является траекторией
движения точки в пространстве функций при изменении перемен-
ной ф от нуля в сторону положительных значений. Иными словами,
кривая ОЕ представляет зависимость ф
между функциями Ф1 и Ф2 при одно- тф-
временном изменении всех коррек- ’
ционных параметров в соотношении,
найденном путем решения системы
линейных уравнений (VII.26) или
(VII.60). Точка Е на этой кривой
расположена на минимальном рас-
стоянии от точки Л. Расстояние между
этими точками равно где
^extr — минимальное значение функ-
ции F.
Для поиска минимума функции
F, т. е. для определения оптималь-
ного значения величины шага ф,
различные приемы. Рассмотрим некоторые из них.
Наиболее просто минимум может быть найден путем движения
с некоторым малым шагом ф{1). Внося в исходную систему изме-
нения коррекционных параметров, равные сначала Ар; =
= ф(,)ДрР\ затем — Др/ = 2Ф(1)Др-|), Apz = Зф(1) АрР* и т. д., и
вычисляя каждый раз значения функций Фу- путем расчета хода
лучей, а значения величины F— по формуле (VII.65), нетрудно
найти с точностью, не меньшей ± фФ, значение фт1п, соответ-
ствующее минимуму F. Такой способ поиска минимума надежей,
но требует значительных затрат времени.
Воспользуемся приемом экстраполяции значений приращений
функций с помощью двучленов, имеющих вид
<VH-67)
Подставим значения Ф/ из (VII.67) в (VII.65), продифференци-
руем F по ф и приравняем полученную производную нулю. Тогда
получим следующее кубическое уравнение:
A _f_ Вф + Сф2 + Оф3 = О,
(VII.68)
415
которое необходимо решить относительно ф. В этом уравнении
A = t ' ' <VII'69>
в = 2 ; (VI 1 -70>
,=« ЭФ/ <ЯР/
Z Г • (VII.71
2 Zj «ф2 ,
,=< (д’-ф/ у
<VI1'72)
Из вещественных корней уравиеиня (VII.68) в качестве фт1п
принимается наименьший положительный корень. Это объясняется
положением минимума функции F (стр. 415) и приближенным
характером двучленов (VII.67).
Решение уравнения (VII.68) проще всего может быть осуще-
ствлено путем последовательной подстановки в левую часть урав-
нения значений ф = ф<1>, ф = 2ф<1}, ф = Зф^1’ и т. д., где ф<1> —
некоторое малое число, например 0,01. То значение ф, при кото-
ром левая часть оказывается наиболее близкой к нулю, прини-
мается за фт1п. Внесем в исходную систему изменения коррекцион-
ных параметров, равные Apj = Фт1ПАр1 Арг = фтщАрР; • • •»
Арк = ФпппАрж1*, т. е. соответствующие ф = ф^. Затем рас-
считаем по точным формулам (в частности, путем расчета
хода лучей) значения функций в системе с измененными значе-
ниями коррекционных параметров и проверим, не находятся ли
значения всех функций внутри заданных интервалов Фх ± 6Ф1;
Ф8 ± 6Ф2; . . .; Ф« ± 6Ф«. Если это условие выполнено, то ра-
счет прекращается. В противном случае система с измененными
значениями коррекционных параметров принимается за исход-
ную для следующего шага постепенных приближений. Новый
шаг начинается с вычисления частных производных —L Затем
решается система линейных уравнений и повторяются все опе-
рации, выполнявшиеся на первом шаге. Расчет заканчивается
либо тогда, когда все функции окажутся внутри заданных интер-
валов значений, либо тогда, когда приращения функции F,
получаемые за одни итерационный шаг, начинают резко умень-
шаться по абсолютной величине.
J6
Как и в первой модификации метода Ньютона, расходимость
итерационного процесса в данном случае исключена. Действи-
тельно, поскольку на каждом шагу итерационного процесса про-
исходит уменьшение оценочной функции и F ие может принимать
отрицательных значений, то процесс сходится либо к F = О,
либо к какому-то значению Fnped, которое обязательно меньше
значения FW в исходной системе.
По аналогии с первой модификацией метода Ньютона введем
величину
... Г<8—1) __ p(s)
= (VII.73)
где F(s~^ — значение функции F перед началом выполнения
итерационного шага с порядковым номером s; F^ — значение
функции F после выполнения итерационного шага с порядковым
номером s. Как и ранее, прн lim F<8> = Fnped Нт = 0, а
8->оо 8-»со
при lim F<s> = 0 lim £(s) = 1. Проследив за изменением £ в течение
нескольких итерационных шагов, можно установить, удастся ли
получить заданные значения функций Ф,. Процесс автомати-
ческого расчета необходимо прекратить при выполнении следую-
щего условия:
^(s)<^s-i)<g( (VI 1.74)
где е обычно принимается равным 0,01.
Характерной особенностью второй модификации метода Нью-
тона в отличне от первой является возможность ухудшения неко-
торых аберраций на промежуточных стадиях расчета, когда реше-
ние удается найти, или возможность ухудшения некоторых аберра-
ций в окончательной системе по сравнению с исходной, если
требуемое решение ие найдено. Такое положение иногда вызывает
нарекания оптиков-конструкторов и жалобы на «ухудшение»
машиной качества исходной системы. Однако этот незначительный
недостаток метода полностью окупается большим выигрышем
в скорости сходимости. Этот метод с успехом используется не
только при расчете систем в области аберраций третьего порядка,
но и при расчете в области точных значений аберраций. В послед-
нем случае погрешность двучленных формул (VII.67) вызывает
иногда нежелательные последствия, например разрыв функций
при значениях коррекционных параметров, соответствующих
ф = Фтш- Разрыв функций проявляется физически как непро-
хождение некоторых лучей через систему в результате полного
внутреннего отражения нли отсутствия точки, в которой данный
луч пересекает поверхность.
Для автоматического устранения разрывов функций может
быть рекомендован следующий простой прием. Если разрыв про-
изошел при внесении в систему изменений коррекционных
27 Г. Г. Слюсарев
417
параметров, соответствующих ф фП1)п, то значение фтщ умень-
шается машиной, например, в два раза и вновь производится
расчет хода лучей. Если в этом случае вновь обнаруживается, что
некоторые лучи не проходят, то фп11п опять уменьшается в два
раза и т. д.
Повышение точности двучленных формул (VII.67) достигается
путем замены экстраполяции интерполяцией. Если значения про-
дф । д3Ф > -
изводных и были найдены при некотором малом значе-
нии ф0), а величина фт1п намного превысила ф<1>, то погрешность
экстраполяции при этом может быть сколь угодно большой.
В таком случае необходимо повторить вычисление производных
4^ и например при значении ф(1) — 0,75фтш , и вновь
определить значение ф^. С помощью новых значении и
ход всех функций на интервале от ф =0 до ф = фт1п будет
- п дФ; д2Ф, ЛЯЛ
представлен более точно. Пересчет производных и сле-
дует продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие
Ф^Ф^^фО), ' (VII.75)
где фб) — значение ф, при котором вычисляются производные
дФ/ д2Ф<
—L и Фтт — величина, найденная по этим величинам
производных.
Условие (VII.75) означает, что значение фт1п, которое опре-
деляет величину очередного итерационного шага, будет заклю-
чено между ф<’> и 2ф<] >. Тем самым экстраполяция значений функ-
ций Ф, сведена к интерполяции иа участке, ограниченном значе-
ниями ф<1> и 2ф<’>.
Рассмотренная модификация метода Ньютона с успехом при-
меняется иа практике. Приведем три примера автоматических рас-
четов, произведенных иа машине «Урал-2».
В качестве первого примера рассмотрим расчет фотографиче-
ского объектива типа триплет в области аберраций третьего
порядка. Исходной будем считать систему из табл. VII.6. Напом-
ним, что с помощью первой модификации метода Ньютона решение
было получено за 82 нтерацни. Результаты расчета с помощью вто-
рой модификации приведены в табл. VII.7. Пример наглядно по-
казывает высокую эффективность метода.
В качестве второго примера рассмотрим расчет двухлинзового
объектива со значительным воздушным промежутком. Фокусное
расстояние объектива f ~ 168,8, относительное отверстие 1 : 4,4.
Требуется исправить аберрации для точки на оси: сферическую,
сферохроматическую и хроматизм положения. Так как относи-
тельное отверстие объектива сравнительно невелико, то можно
418
Таблица. VI 1.7
m Заданные значения коэффициентов аберраций
Si ^1,9 ±0,1; 5ц 0,3 ± 0,05; Sin----0,2 ± 0,02; S1V --.0,43 ±0,01; Sv_0±0,01; S*p 0 + 0,001; SfP -= 0±0,001
Расстояния между вер- шинами поверхностей в исходной системе d{ _ 0,05; da = 0,0445; d3 0,02; dt — 0,0842; 4 - 0,05
Марки стекол TK16; БФ12; TK16
Параметры и функции Исходные значения 1-Я игерация 4-я итерация 7-я итерация
а2 а3 «4 «5 ав dt 1,0184 2,3572 0,6522 —0,5631 0,8442 0,0445 0,0842 1.6115 2,6962 1,4181 -0.0747 1,0082 0,0196 0.1037 1,6810 2,7248 1,3333 —0,1266 0,0903 0,0239 0,0814 1,7240 2,3817 1,1901 -0,4145 -0.0195 0,0210 0,0575
S\ <$11 Sill •Siv sv sfp SJ1₽ —2,334 —5,359 1,400 0,430 0,290 0 0 6,151 —2,259 0,739 0,412 0,193 0 0 4,194 0,313 —0,116 0,416 0,061 0 0 1,903 0,303 -0,199 0,430 0 0 0
«! •—0; Л, = 1; pi = I; --0,03; а71
Р5
Время расчета 2 мин
27’
419
Таблица VIГ.8
Заданные значения аберраций
-1 (s^ —Зс)о^°±О,О1; Ыр-Ы'с- - 0±0,01 и дГ = 0±0,01 при т =г. 20; 6/' = 0±0,1 при т 20 ~
Расстояния между вершинами поверхностей в исходной системе d{ 3,5; d2 7,885; d3 = 9,5
Марки стекол ТФ4 К2
Параметры fl и функции Исходные значения 1-я итерация 2-я итерация
<Г о” S’-о” 0,65412 — 1,22064 0,19420 7,885 0,81480 —0,82227 0,40690 10,300 0,84973 -0,84444 0,40994 12,283
(sF — sc)0 Ы' при т = 20 6Г при т —• &lp — blc при/в== = 20 1,270 —0,146 —0,045 0,162 -0,013 —0,088 —0,029 0,002 —0,003 0,000 0,001 0,001
дФ/ <3ф -1,270 0,146 0,045 —0,162 0,013 0,088 0,030 0,000 -
^Ф/ дф2 —0,060 -0,159 —0,054 0,018 —0,003 0,006 0,002 -0,002 -
а4 — 0; ht = 168,8; а5= 1,0
Время расчета около 30 сек
420
предполагать, что сферическая аберрация будет изменяться по
закону третьих и пятых порядков, а сферохроматическая аберра-
ция — по закону третьих порядков. Это означает, что для полу-
чения хорошо исправленной системы достаточно задать сфериче-
скую аберрацию для двух значений координаты т на зрачке, а для
исправления хроматизма положения и сферохроматической абер-
рации дстаточио задать хроматическую разность 6^ — Ыс на
краю отверстия при т — ттак = 20 и хроматизм положения
(sf — s'c)o- В качестве коррекционных параметров используем
а2, а3, а4 и d2. Исходная система для этого примера получена
следующим образом. Параметры an
и марка стекла первой линзы взяты из
системы, рассчитанной без применения
автоматических методов, а марка стекла
второй линзы КФ1 заменена маркой
К2. Этот пример используется в даль-
нейшем для сопоставления между собой
различных методов автоматического
расчета оптических систем в области
точных значений аберраций. Результаты
расчета с помощью второй модификации
метода Ньютона приведены втабл. VII.8.
Значения хорошо совпадают на каждом шаге со значе-
ниями заданных приращений аберраций. Интересно также от-
метить, что хроматизм положения и сферохроматическая аберра-
ция более линейно зависят от ф, чем сферическая аберрация,
тт ч - РФ/
Действительно, прн первой итерации производная для
сферической аберрации соизмерима с в то же время для
хроматизма положения и хроматической разности Ы'р — Ы'с на
I д9Ф/ I | ЗФ/ I
краю отверстия
Проверим предположение относительно закона изменения
сферической и сферохроматической аберраций, сделанное перед
началом расчета. Для этого выполним расчет хода лучей с коорди-
натой на зрачке, равной 20У3/4. Результаты расчета сведены
в табл. VII.9. Из таблицы видно, что аберрации системы, полу-
ченной в результате автоматического расчета, не превышают
заданные значения и выбранное перед началом расчета количе-
ство лучей и их координаты являются необходимыми и доста-
точными.
В качестве третьего примера приведем результаты расчета
объектива триплет по точным значениям аберраций. В качестве
исходной принята та же система, что и в табл. VII.6. Фокусное
расстояние объектива равно 100 мм, относительное отверстие —
421
1 : 4, поле зрения 20 = 44°. В табл. VII.10, где даны результаты
расчета, приняты следующие обозначения:
ы — поперечная сферическая аберрация на краю
отверстия;
Лкр — отступление от условия изопланатизма для края
отверстия;
(//? — Оз — поперечная хроматическая аберрация для точки
на оси при т — 8,82;
М ~ дисторсия на краю поля зрения;
(l'F — — поперечная хроматическая аберрация на краю
поля зрения:
— сагиттальная составляющая поперечной абер-
рации на краю поля зрения при т = 0; М —
----- 5,6;
Гн — Г — разность координат /' для края поля зрения
у луча с т = 5,6, М = 0 и главного луча.
На рис. VI 1.6 приведены графики аберраций рассчитанной
системы.
На рис. VII.7 представлена блок-схема программы для авто-
матического расчета оптических систем в области точных значе-
ний аберраций с помощью второй модификации метода Ньютона.
Блоки I к 2 схемы не требуют пояснений. Блок 3 осуществляет
перевод чисел из десятичной системы счисления, в которой они
записаны на бланке задания, в двоичную систему, в которой рабо-
тает машина. Блок 4 совместно с блоком 19 осуществляют расчет
хода лучей через исходную оптическую систему. Если луч не
проходит через какую либо поверхность (из-за полного внутрен-
него отражения или отсутствия точки встречи луча с поверх-
ностью), то машина обращается к блоку 5, который осуществляет
печать порядкового номера непрошедшего луча и печать поряд-
кового номера поверхности, через которую не смог пройти луч.
Эти сведения необходимы конструктору оптической системы для
устранения причины иепрохождения луча. Блок 6 осуществляет
печать значений функций и коррекционных параметров после
каждого приближения. Блок 7 служит для фиксации конца реше-
ния задачи.
Когда значения всех функций оказываются внутри заданных
интервалов Ф? ± 6Ф/, машина останавливается. В противном
случае управление передается блоку 8, который осуществляет
вычисление производных от функции по параметрам и
Это вычисление осуществляется с помощью формул (VII.63)
Ф;
и (VII.64). Если прн внесении в систему изменения, равного 8р1г
произошло иепрохождение луча, то это означает, что величина 8pit
42Z
423
Таблица VII.10
Исходные значения Порядковый номер шага Заданные
и функции 1 3 5 7 9
ы;, Г1кр В % (1р — 1с)3 Of- *с)кр 0,251 —5,47 0,00 0,65 0,00 —1,09 —4,87 0,980 0,41 0,06 1,20 0.06 -0,66 —1,72 —0,138 —0,21 0,00 —0,36 —0,04 —0,06 0,20 —0,001 0,01 —0,02 —0,08 —0.01 -0,09 0,07 —0,004 —0,01 • —0,013 —0,03 0,00 -0,09 0,09 0.000 —0.03 0.007 0,07 0,00 -0.10 0.09 0*0,01 0±0,05 0*0,01 Odz 1,00 0*0,01 —0,080±0,02 0.080*0,02
<4 «3 ®4 «5 а« dr. 1,0184 2,3572 0,6522 —0,5631 0,8442 4,45 8,42 0,5839 1,2627 0.0470 —1,9131 -0,1103 7,79 1,00 1,1253 1,8990 0,4782 —0,4600 —0,4049 2,93 5,92 1,0723 1,7900 0.4928 —0,4989 —0,2521 5.47 7,52 1,1385 1,9216 0,5916 -0,4191 —0,2493 4.75 7,18 1.7690 1,9667 0,6200 —0,4066 -0,2652 4.23 6,36 -
Время расчета около 10 мин
tg6
tg б'
№
Рис. VII.6
424
Решении
уравнения относи-
тельно фда1п
Рис.
VII.7
заданная конструктором, чрезмерно велика, В этом случае управ-
ление передается блоку 9, в котором производится уменьшение
величины 6pi в 10 раз. Затем продолжается вычисление производ-
ных от функций по параметрам с уменьшенным значением вели-
чины 6р(.
Если количество функции равно количеству параметров, то
формируется н решается система линейных уравнений вида
(VII.26). Если количество параметров превышает количество функ-
ций, то формируется и решается система линейных уравнений
вида (VII.60). Эти операции осуществляет блок 10. Затем управ-
ление передается блоку 11, с помощью которого находится зна-
чение ф(1) по формуле (VII.34). Найденное значение ф(1> исполь-
зуется при численном дифференцировании Ф, по ф. Это диффе-
ренцирование осуществляет блок 12 по формулам (VI 1.35) и
(VII.36). Если при обращении из блока 12 к стандартной про-
грамме расчета хода лучен (блок 19) возникает непрохождение
луча, то управление передается блоку 13, в котором происходит
уменьшение значения ф(1) в 4 раза, а затем управление вновь
передается блоку 12.
„ 5Ф/ д2Ф/ , ,
После нахождения и вычисляются коэффициенты
кубического уравнения (VII.68): А (VII.69), В (VII.70), С (VII.71)
н D (VII.72). Эти операции производятся в блоке 14. Решение
кубического уравнения относительно величины фт1я, соответ-
ствующей минимуму функции F, осуществляется блоком 15.
В блоке 16 осуществляется сравнение ф(1) с фш1п. Если значе-
ние фт1п окажется лежащим внутри интервала от ф(1) до 2ф(1),
то управление передается блоку 18, который вносит изменения
в систему. Если значение фт1п не лежит внутри указанного интер-
_ ЗФ/
вала, то необходимо уточнить значения производных и
для чего управление передается блоку 17, азатем блоку 12.
Новые значения производных вычисляются при ф(1) = 0,75фт|п.
Так как производные и рассчитываются по трем
значениям ф (ф = 0, ф = ф(1) и ф = 2ф(1)), то предварительно
найденное значение фт)п будет лежать точно посередине заданного
интервала от ф(1) до 2ф(1). При повторном вычислении значение фт1п
дФ/ д2Ф>
несколько изменится вследствие того, что значения и
будут несколько иными. Если прн этом условие, проверяемое бло-
ком 16, будет выполнено, то управление будет передано блоку 18.
В противном случае вновь производятся изменение величины фП)
дФ/ д2Ф:
и вычисление производных и
426
После внесения изменений в исходную систему осуществляются
расчет хода лучей (блок 19) и определение значений функций Ф/
(блок 20). Затем управление передается блоку 21, в котором
проверяется скорость сходимости итерационного процесса. Если
эта скорость достаточно велика, то управление передается блоку 6,
осуществляющему печать значений функций и коррекционных
параметров. Если скорость сходимости меньше некоторой заранее
установленной величины е, то на данном итерационном шаге
она запоминается. При выполнении операции блоком 21 на сле-
дующем итерационном шаге осуществляется сравнение скоростей
сходимости иа текущем шаге и предыдущем шаге. Если скорость
сходимости уменьшилась, то машина останавливается. После
выполнения операции блоком 6 повторяются все перечисленные
операции в прежней последовательности. Если решение найдено,
то машина выходит на остановку из блока 7. Если решение не
удается найти, то остановка осуществляется при выходе из
блока 21.
Рассмотрим, какую информацию должно содержать задание
для автоматического расчета оптических систем в области точных
значений аберраций, составляемое оптиком-конструктором. Зада-
ние записывается иа специальном бланке. Вид бланка определяется
типом применяемой машины. Однако независимо от типа машины
задание должно содержать вполне определенные величины.
Прежде всего задание должно содержать конструктивные
элементы исходной оптической системы. Исходная система может
быть задана либо радиусами кривизны поверхностей расстоя-
ниями между вершинами поверхностей dit показателями пре-
ломления для основной длины волны я* и показателями прелом-
ления ДЛЯ двух ДЛИН ВОЛН П* и «X,., Для которых производится
хроматическая коррекция; либо углами первого параксиального
луча с осью ае- и, как и в первом случае, di, п^., п^., . Пер-
вый способ задания исходной системы предпочтителен тогда,
когда в процессе автоматического расчета должны сохраниться
некоторые радиусы кривизны поверхностей. При этом в качестве
коррекционных параметров используются обратные значения
радиусов, т. е. кривизны поверхностей р, = Как показал
опыт, радиусы поверхностей rt- являются весьма нелинейными
параметрами и использование их в качестве коррекционных
параметров приводит к резкому замедлеиню сходимости.
Второй способ задания исходной оптической системы удобен
тем, что исходное фокусное расстояние /' или увеличение 0 могут
автоматически сохраняться в процессе расчета. Для этого доста-
точно не использовать в качестве коррекционных параметров а'р
и Лр когда предмет находится на бесконечности, и и а , когда
предмет находится на конечном расстоянии. При первом способе
427
задания для сохранения фокусного расстояния или увеличения
эти величины должны рассматриваться в качестве функций Фу.
Положение плоскостей предмета и входного зрачка следует
задавать через cq и для первого параксиального луча и через
и Нг для второго параксиального луча, где и рх — углы
этих лучей в пространстве предметов, a hx и Нг — высоты на
первой поверхности системы. Такой способ задания плоскостей
предмета и входного зрачка позволяет обойти трудности в тех
случаях, когда Sj = оо или = оо.
Для определения аберраций системы необходимо задать на-
чальные координаты для расчета лучей, а также указать, какие
именно величины должны быть найдены на основании расчета
данного луча, т. е. какие именно аберрации рассматриваются
в качестве функций. Опыт показывает, что при автоматическом
расчете могут быть использованы следующие аберрации:
I. Меридиальиая составляющая поперечной аберрации 8Г.
Если ЬГ вычисляется для осевого луча, то эта величина представ-
ляет собой поперечную сферическую аберрацию. Если дГ вы-
числяется для главного луча, то, очевидно, дГ в этом случае
соответствует дисторсии.
2. Сагиттальная составляющая поперечной£аберрации bL'.
3. Отступление от условия изопланатизма т] = - , -у -г
Р ‘
Величина т] имеет смысл только для осевых лучей и позво-
ляет ограничиться при расчете меньшим количеством лучей,
так как приближенно характеризует кому при небольших углах
поля зрения.
4. Хроматическая разность поперечных аберраций 1^2 —
Если вычисляется для осевого луча, то эта величина
характеризует сумму хроматизма положения и сферохроматиче-
ской аберрации. Если /%2 — вычисляется для главного луча,
то тогда эта величина характеризует хроматизм увеличения.
5. Разность l’_1гл между меридиональными координатами
точек пересечения данного и главного лучей с плоскостью Гаусса.
Среди перечисленных аберраций отсутствует астигматизм.
Опыт использования автоматических программ для расчета опти-
ческих систем показал, что коррекция систем по широким на-
клонным пучкам лучей без учета астигматизма не сказывается
отрицательно иа качестве изображения, а в некоторых случаях
были получены системы, обладающие хорошим качеством изобра-
жения при сравнительно большом астигматизме.
Перечисленные функции — аберрации действительных лу-
чей — целесообразно дополнить некоторыми величинами, опре-
деляемыми на основании расчета хода параксиальных лучей.
В качестве таких величин принимаются:
428
f' (p) — фокусное расстояние или увеличение системы;
s'q — расстояние плоскости Гаусса от последней
поверхности системы;
х' — расстояние плоскости выходного зрачка от
последней поверхности системы;
— s' )0 — хроматизм положения;
1 *
---величина, обратная расстоянию плоскости вы-
ходного зрачка системы от последней поверх-
ности.
При расчете окуляров, а также систем с телецентрическим ходом
лучей в пространстве изображения величина х' может стать
бесконечно большой, что приведет к прекращению итерационного
процесса. В таких случаях необходимо пользоваться обратной
величиной.
Начальные данные для расчета хода лучей на [электронных
вычислительных машинах задаются двумя способами: 1) коорди-
натами пересечения луча с двумя фиксированными плоскостями,
как правило, с плоскостью предмета и с плоскостью входного
зрачка; 2) координатами пересечения луча с одной плоскостью,
а также направляющими косинусами луча. Первый способ при-
меним только тогда, когда плоскость предмета расположена
на конечном расстоянии от системы. Второй способ универсален,
так как в случае, когда предмет расположен на бесконечности,
задаются координаты пересечения луча с плоскостью входного
зрачка и направляющие косинусы луча.
Если электронная вычислительная машина обладает доста-
точно большой памятью, то можно применить оба способа зада-
ния начальных данных для расчета хода лучей. В этом случае
на бланке задания должен быть особый признак, с помощью кото-
рого машина определяет, какие именно координаты ей заданы.
Прн первом способе задания машина должна рассчитать направ-
ляющие косинусы лучей. При втором способе в этом иет необ-
ходимости.
Если оперативная память машины недостаточно велика (на-
пример, такого порядка, как у машины «Урал-2»), то приходится
использовать только второй способ задания начальных данных.
Если при этом предмет находится иа конечном расстоянии от
системы, то направляющие косинусы приходится вычислять
оптику-конструктору.
При расчетах иа машине «Урал-2» для задания лучей исполь-
зуются следующие величины: |х — направляющий косинус луча
с осью OY, равный |х = —sin о, где о — угол луча с опти-
ческой осью; v — направляющий косинус луча с осью OZ, причем
за меридиональную плоскость принимается плоскость OXY;
у — координата точки пересечения луча с плоскостью предмета;
z — координата точки пересечения луча с плоскостью предмета
429
по оси OZ. Если предмет расположен на бесконечно большом
расстоянии от системы, то вместо у задается т — координата
точки пересечения луча с плоскостью входного зрачка, а вместо z
задается М — координата точки пересечения луча с плоскостью
входного зрачка по оси OZ.
В задании указываются величины функций Ф;-, которыми
должна обладать система, полученная в результате расчета,
а также допустимые отклонения функций от заданных значений.
Для расчета производных от функции по коррекционным
параметрам должны быть заданы величины приращений коррек-
ционных параметров Ьр,-.
Параметры системы, являющиеся коррекционными, должны
быть отмечены в задании. В программах, составленных для
машины «Урал-2», коррекционные параметры помечаются записью
на бланке задания номеров ячеек, в которых эти параметры хра-
нятся. В более совершенных машинах имеется возможность
с помощью особого признака отмечать числа. Этот признак может
быть использован для отметки коррекционных параметров.
Практика использования программ автоматического расчета
показала, что во избежание незамеченных ошибок прн перфора-
ции, а также для удобства оптиков-коиструкторов содержание
задания целесообразно выдавать на печать. Значения функций
и коррекционных параметров следует печатать после каждого
итерационного шага, в том числе и в исходной системе. По окон-
чании решения необходимо отпечатать значения радиусов оптиче-
ских поверхностей, поскольку в качестве коррекционных парамет-
ров используются либо р£ (кривизны поверхностей), либо а£
(углы первого параксиального луча с осью).
По окончании автоматического расчета в большинстве случаев
возникает необходимость получения более подробных сведений
о качестве изображения в системе. С этой целью приходится
производить расчет некоторых дополнительных лучей, которые
при автоматическом выполнении работы не рассчитывались.
Для экономии времени целесообразно предусмотреть в программе
автоматического расчета возможность задавать такие дополни-
тельные лучи и рассчитывать их ход по окончании последней
итерации.
В случаях, когда в качестве функций служат коэффициенты >
аберраций, блок-схема программы отличается от приведенной
на рис. V1I.7 только тем, что блок расчета хода лучей заменяется
блоком вычисления коэффициентов аберраций, а блок 5 исклю-
чается. Целесообразно, чтобы в полученной системе с заданными
коэффициентами аберраций расчет хода - лучей производился
с помощью той же программы. Это избавляет конструктора от
необходимости выписывать лишнее задание для расчета хода лу-
чей, что позволяет заметно сократить затраты времени на выпол-
нение работы и уменьшает вероятность возникновения ошибок.
430
Метод наименьших квадратов и его модификации
Каждому реальному лучу, прошедшему через оптическую
систему, соответствует некоторая геометрическая аберрация, пред-
ставляющая собой расстояние между точкой пересечения данного
луча с плоскостью изображения и той точкой, в которую должен
попасть такой же луч, распространяющийся по законам парак-
сиальной оптики. Поскольку через любую оптическую систему
проходит бесчисленное множество лучей, то количество аберра-
ций к, учитываемых прн расчете, может быть принято сколь угодно
большим, в частности, существенно превышающим количество
коррекционных параметров t. Прн к > t для решения задачи
автоматического расчета оптических систем может быть исполь-
зован известный математический метод, получивший название
метода наименьших квадратов. Естественно, что когда количество
функций к превышает количество коррекционных параметров /,
нельзя требовать, чтобы все рассматриваемые функции Ф; при-
няли заданные значения Ф.-. Задача считается решенной, когда
сумма квадратов разностей между полученными и заданными
значениями функций, взятыми с некоторыми весовыми коэффи-
циентами а7, минимальна. Иначе говоря, необходимо, чтобы
= = - = ~ = . = 4^ = о, (vii.76)
dpi dpi
где
F Да/(Ф;-Ф7)2. (VII.77)
Пусть, как й прежде, значения функций в исходной оптиче-
ской системе со значениями коррекционных параметров р}0),
рР______р?\ . . рР суть Фр, Фр..........Фр_______Ф<">. Пред-
ставим приращения функций в виде разложений в ряды Тейлора
по степеням приращений pit ограничившись в каждом ряду пер-
вым членом разложения:
/з=1
ф2_ф.р=2^-Др,.;
t=l
«=31
(VI1.78)
431
Подставим в (V1L78) вместо текущих значений функций задан-
ные значения Фь Ф2, . . Фк. Тогда получим так называемую
систему к условных уравнения^ I неизвестными, причем к > /:
i=l
(VII.79)
Z=1
Очевидно, что система условных уравнений несовместна.
Из (VII.77) нетрудно получить, что
<=2§аДф^Ф;)^. (V11.80)
Подставив в (VII.80) значение Ф,- из (VII.78) и приняв во внима-
ние (VII.76), находим
(VIL81)
/=1 \ /
нли
g (s Ч - Sа'(®' - ф)о,) (vn-82)
Таким образом, условие (VII.76) сводится к системе I линей-
ных уравнений с / неизвестными:
/=1 /=1
432
7-1 /-1
/-1 /=1
+^£°/(^)2=2«/^(ф/-^о>)-
Система уравнений (VII.83) носит название системы нормаль-
ных уравнений. Для получения t-го нормального уравнения необ-
ЭФ;
ходнмо каждое условное уравнение умножить на а,- и все
уравнения сложить.
В результате решения системы нормальных уравнений (VI 1.83)
получим некоторые изменения параметров Др!1}. Эти изменения
параметров в отличие от таковых, получаемых при решении
системы линейных уравнении по методу Ньютона, не могут при-
нимать бесконечно больших значений из-за наличия в матрице
производных строк или столбцов, образующих линейную
комбинацию. Действительно, ДрР> могут быть бесконечно велики
лишь в том случае, если определитель системы нормальных урав-
нении равен нулю, а все определители, получаемые путем замены
столбцов системы нормальных уравнений на столбец правых
частей ртой системы, не равны нулю. Рассмотрим определитель
системы нормальных уравнений
S' * / дФ/ \2 дФ: дф! дф; дФ]
2иа'Ж^--' Д|а;1рГ’^Г
/=i i=i /=1
V a.^L-^L V* a. (^L\2 V н <^ф/ дф/
ZJ i др9 dpi Zj f \ dpi ) Zj 1 dpi dpt
/=1 j-i
Sl K - дФг дФ{ V дФ/ ОФ, V „ / дф/ \2
1 dpt dpi ai dpt dp9 ' ' ’ 2j \ dp\ )
/=1 /*"1
28 Г. Г. Слюсарев
= D. (V11.84)
433
Пусть элементы строки с порядковым номером I пропорцио-
нальны соответствующим элементам строки с порядковым номе-
ром т, т. е.
/ = К j = K j=K
ЕдФ/ дф/ VT дФ/ дФ; у* дФ/ ОФ,
dpi dpi а’ dpi dp2 а‘ ~дрГ dpt
/=1 _ = ... = ________________________________________
j=K i=K j = K
ЕдФ/ дФ/ VX дФ/ дФ/ yi дФ/ ОФ,
dpm dpi Zj01 dpm dp2 Of dpm dpt
/=1 /=1 /=1
(VII.85)
Соотношение (VI 1.85) может иметь место только в том случае, если
дФ; . дФ| __________ дФ; , дФ-2 _ _ дФк . дФк _ /\7Г1
dpi ' dpllt dpi ' дрт ~~ “* dpi дрт ’ ' ' ‘
т. е. тогда, когда параметры с порядковыми номерами I и т
эквивалентны. При соблюдении соотношения (VII.86) свободные
члены нормальных уравнений с порядковыми номерами I я т
связаны между собой следующей зависимостью:
К----------------= “• (VII.87)
/=’
В то же время, в силу симметрии матрицы (VI 1.84), соотноше-
нию (VII.85) будут удовлетворять также и столбцы с порядко-
выми номерами I и т. Поэтому все определители, получаемые
путем поочередной замены столбцов определителя D на столбец
свободных членов, также будут равны нулю. Это означает, что
система нормальных уравнений в таком случае оказывается не-
полной и имеет бесчисленное множество решений. На практике,
где оперируют численными методами, определитель ие может
быть точно равен нулю. Однако малость определителя системы
нормальных уравнений приводит к потере точности прн решении
уравнений. Сопоставляя определитель системы нормальных урав-
нений и определитель системы при решении задачи методом Нью-
тона (VII.28), нетрудно видеть, что элементы определителя системы
нормальных уравнений, как правило, больше по абсолютным
значениям, чем элементы системы Ньютона. Поэтому при реше-
нии системы нормальных уравнений на электронных вычислитель-
ных машинах следует использовать методы, обеспечивающие мак-
симальную точность. В то же время решение системы линейных
уравнений при использовании метода Ньютона может произво-
диться любыми способами, даже обладающими сравнительно
невысокой точностью.
434
Внесем изменения коррекционных параметров Арр, получен-
ные в результате решения системы нормальных уравнений,
в исходную систему и произведем расчет значений функций,
соответствующих значениям коррекционных параметров, рав-
ным р<°> -f- Ap|l\ p.j0) 4- Арр>, . . pj0) + Ар(1>. Система, полу-
ченная после первого приближения, принимается за исходную
для следующего приближения, и процесс вычислений повто-
ряется. Контроль сходимости итерационного процесса может
осуществляться, как и в методе Ньютона, либо с помощью оценоч-
ной функции F по формуле (VII.65), либо с помощью функции,
связанной с изменениями параметров, вида
L = £ (Др!”)2- (VII.88)
1=1
Если процесс сходится, то значение F, а также и значение L
должны убывать от шага к шагу. Процесс вычислений следует
прекратить, когда относительное приращение функции F, полу-
ченное за один итерационный шаг, окажется по абсолютному
значению меньше некоторой малой величины е, т. е.
------------|<е- (V11.89)
Для улучшения сходимости итерационного процесса при рас-
чете методом наименьших квадратов разработаны две модифика-
ции этого метода. Цель обеих модификаций — ограничить изме-
нения коррекционных параметров на каждом итерационном шаге.
Первая модификация метода наименьших квадратов предло-
жена Левенбергом [9]. Для автоматического расчета оптических
систем эту модификацию впервые применил Жирар [I0J.
Сущность этой модификации состоит в том, что для ограниче-
ния изменений коррекционных параметров система нормальных
уравнений дополняется уравнениями вида
fei Ap-j = 0;
k.2 кр2 = 0;
kt &р( = 0,
где kt — некоторые коэффициенты. От выбора коэффициентов /г,
во многом зависит успех расчета. Однако до сего времени не пред-
ложен ни одни достаточно обоснованный способ выбора kt. Жнрар
осуществлял решение системы нормальных уравнений несколько
раз, меняя коэффициенты k( по геометрической прогрессии и
сравнивая между собой результаты по значению функции F.
28* 435
Вторая модификация метода наименьших квадратов заклю-
чается в том, что результат решения системы нормальных урав-
нений рассматривается как направление движения, а величина
шага в этом направлении определяется путем поиска минимума
функции F. Эта модификация имеет много общего со второй
модификацией метода Ньютона, и для определения величины
шага ф здесь используются те же приемы, т. е. движение с малым
шагом ф<1> и экстраполяция значений приращений функций
с помощью двучленов (VII.67). Следует отметить, что если число
коррекционных параметров принять равным числу функций, то
метод наименьших квадратов переходит автоматически в метод
Ньютона, а вторая модификация метода наименьших квадратов
переходит во вторую модификацию метода Ньютона. Действи-
тельно, результаты решения системы линейных уравнений Нью-
тона удовлетворяют равенству
g Ф,- + Ф}0) = 0. (VII.91)
»=1 1
В то же время при соблюдении (VII.91) обращаются в нуль и
производные , т. е. значения АрР удовлетворяют одновре-
менно и системе нормальных уравнений, что непосредственно
видно из (VII.81).
В качестве примера рассмотрим расчет двухлннзового объек-
тива с воздушным промежутком. Данные объектива те же, что
и в табл. VII.8. В качестве коррекционных параметров примем,
как и ранее, а2, а3, а4 и d2. Поскольку при использовании метода
наименьших квадратов количество функций должно превышать
количество параметров, то введем в качестве дополнительных
функций следующие поперечные аберрации для точки на оси:
6Г прн т = 20 j/-~, 6/р — 6/с при т = 20 и — 6/с
при m = 20 jZ-g- . Расчет выполнялся на машине «Урал-2» с по-
мощью второй модификации метода наименьших квадратов.
Результаты расчета приведены в табл. VII.12.
Сравним результаты расчета в табл. VII.12 с результатами
расчета того же объектива, полученными с помощью второй
модификации метода Ньютона и приведенными в табл. VII.8
н VII.9. Система в табл. VII.8 н VII.9 была рассчитана скорее,
чем система в табл. VII.11, и не уступает последней по качеству.
Этот пример показывает, что использование теории аберраций
для выбора необходимого и достаточного количества лучей в соче-
тании с автоматическим расчетом с помощью второй модификации
метода Ньютона позволяет получать нужные результаты с относи-
тельно малыми затратами машинного времени. Метод наименьших
436
Таблица VI 1.11
Заданные значения аберраций
(4 —sc)o = o±o>°i; 6Г = 0 ± 0,01 и ы'р — 6l'c = 0 ± 0,01 при m — 20 j/"; 6Г = 0±0,01 и 61р— 61с = 0+0,01 при т - 20 ; 6Г - 0 ± 0,01 и Ы'р — 6l'c — 0 ± 0,01 при т — 20
Расстояния между вершинами по- верхностей в исходной системе c/t=3,5; <4= 7.885; <4 = 9.5
Марки стекол ТФ4; К2
Параметры И функции Исходные значения 1-я итера- ция 2-я итера- ция 3-я итера- ция
«а “з а. 0,65412 -1,22064 0,19420 7,885 0.84509 ’ -0,74564 0,44610 10,882 0,83331 -0.87528 0,37760 14,007 0,79000 —0,86510 0,33653 14,819
(SF— 5с)о 6/р — &1с при т-20 /А Ыр — 61с при 61 р — 61 с при т 20 61' при т = 20 ~ 1,270 0,112 0,140 0,162 -0,045 -0.258 -0,020 —0,024 —0.028 -0,033 0,045 0,005 0,005 0.003 0,009 0,004 0,001 0.001 —0,001 —0,003
437
Продолжение табл. VI 1.11
Параметры и функции Исходные значения l-я итера- 2-я итера- ция 3-Я итера ция
М' при т — 20 —0,086 -0,061 0,016 —0,004
ЙГ при т — 20 -0,146 -0,096 0.021 —0.007
а - 0; /.<! - 168,8; 1.0
Время расчета около 2 мин
квадратов, предопределяющий превышение количества аберра-
ций над количеством параметров, может использоваться оптнком-
конструктором, не имеющим представления о характере аберра-
ций в рассчитываемой системе и даже не знакомым с теорией
аберраций вообще. Но при этом значительно возрастают затраты
машинного времени на расчет. Кроме того, качество изображения
системы зачастую оказывается заниженным из-за несоответствия
между ним н функцией (VII.77), используемой для его оценки.
Практика показывает, что метод наименьших квадратов можно
рекомендовать только для начальных стадий автоматического
расчета, когда исходная система весьма далека от требуемой.
Вторая модификация метода Ньютона применима как на началь-
ных стадиях расчета, так и для окончательной коррекции опти-
ческих систем.
Методы минимизации функции качества
В рассмотренных ранее методах автоматического расчета
оптических систем оценочная функция F имеет вспомогательное
значение. Так, во второй модификации метода Ньютона с помощью
этой функции определяется величина итерационного шага. При
использовании метода наименьших квадратов оценочная функция
играет большую роль, однако все операции производятся с функ-
циями Ф/, а функция F участвует в расчетах неявно.
Как уже отмечалось, существует иной подход к автоматиче-
скому расчету оптических систем. При этом подходе функция F
рассматривается как некоторая физическая характеристика ка-
чества изображения, даваемого системой. Задача автоматиче-
ского расчета сводится к нахождению значений коррекционных
параметров, при которых функция качества F принимает мини-
мальное значение. Чаще всего функция качества F связывается
438
с аберрациями системы следующей зависимостью:
1=к
(VII.92)
где Ы'. — поперечные аберрации системы; — некоторые весо-
вые коэффициенты, учитывающие влияние каждой из аберраций
на качество изображения, причем а-, > 0.
При такой постановке задачи соотношение между количе-
ством к аберраций dZj, входящих в функцию качества, и количе-
ством коррекционных параметров t, естественно, может быть
произвольным. .
Рассмотрим два метода мнниминнзации оценочной функции.
Первый метод весьма просто осуществим, поскольку он использует
простой математический аппарат и не требует прн составлении
программы большого объема оперативной памяти. Этот метод
может быть назван методом минимииизации по эффективнейшему
параметру. Сущность его состоит в следующем.
Предположим, что между изменением каждого коррекционного
параметра Др^ и изменением функции А/7 существует квадратич-
ная зависимость вида
ЛЛ = АР‘ + 4“ (Ар')2' (VI1.93)
Найдем путем численного дифференцирования производные
др д2Р
—и —т, для чего поочередно изменим коррекционные пара-
dpi dpi
метры на некоторые малые величины ±Spi, а затем путем расчета
хода лучей найдем новые значения аберраций 6/' н новые значе-
ния функции качества. Используя приближенные формулы чи-
сленного дифференцирования, получим
df _ F1+) — F(~>
dpi ~ 2bpi
(VI 1.94)
W = f<+)+f(->2f° (VII.95)
где Fi0)— значение функции F в исходной системе; F<+> — зна-
чение функции F при замене параметра в исходной системе
иа р}0) + /г<~)—значение функции F прн замене пара-
метра pj0) в исходной системе на — &р..
Из (VII.93) следует, что приращение параметра р/ех1г, соот-
ветствующее экстремуму функции FCKtn будет равно
др
= (VII.96)
439
а соответствующее приращение функции F составит
ДЛ
extr
( dF \8
1 k dPi )
2 d2F
д$
(VII.97)
Нетрудно видеть, что если соотношение (VII.93) фактически
имеет место, то Др; ех1г соответствует минимуму функции F. Дей-
ствительно, из (VII.92) следует, что F может принимать значения
от 0 до +оо, а из (VII.93) вытекает, что имеется по одному экстре-
муму от каждого параметра.
Йспользуем приращения функции (VII.97) для сравнения
отдельных параметров по их эффективности. Очевидно, что пара-
метр, способный вызвать максимальное уменьшение функции F,
является наиболее эффективным. Изменим этот параметр на
величину Др/extr- На этом заканчивается первый итерационный
цикл. Следующий итерационный цикл начинается с вычисления
функции F в системе с измененным значением самого эффективного
параметра. Затем выполняется расчет производных и -уу,
вновь находится самый эффективный параметр и т. д. Расчет
прекращается тогда, когда относительное приращение функции
качества за один итерационный шаг станет меньше по абсолютному
значению некоторой заданной величины б, т. е. когда
m
8
(VII.98)
или когда функция F станет меньше некоторой заданной вели-
чины F.
Для анализа возможностей этого метода воспользуемся гра-
фическим представлением. Пусть требуется миииминизировать
функцию качества, включающую всего две аберрации 6ZJ и 6/',
причем между изменениями параметров pf и изменениями аберра-
ций существует линейная связь, т. е. соотношение (VII.93) выпол-
няется точно. _ _
Отложим по координатным осям величины Уa^li и
(рис. VII.8). Исходной оптической системе на графике соответ-
ствует точка А с координатами У а^1\ (0); Уа^Ыцр). Значение
функции качества в исходной системе равняется квадрату рас-
стояния между точкой А и началом координат. При изменении
некоторого коррекционного параметра, например plt будут изме-
няться значения аберраций 6Z' н ЬГ2, а точки на графике, соот-
ветствующие системе с изменениями, будут располагаться на
некоторой прямой линии I—/, проходящей через точку А. Ми-
нимуму функции качества по параметру рг на графике соответ-
ствует точка Ау расположенная на минимальном расстоянии от
440
Рис. VII.8
начала координат. Параметр р2 на графике характеризуется пря-
мой //—II. Точка Яц соответствует минимуму функции качества
при изменении параметра р2. Пусть в нашем распоряжении
имеются лишь два коррекционных параметра рх и р2. Тогда,
поскольку < ЯПО, на первом итерационном шаге пара-
метр Pi оказывается наиболее эффективным и после выполнения
первого шага осуществляется переход в точку ЯР На втором
шаге наиболее эффективным оказывается второй параметр, и
поэтому после второго шага перейдем в точку Я2. При зигзаго-
образном движении по ломаной
Xi Я2Я3Я4Я5 происходит прибли-
жение к началу координат.
В рассматриваемом случае можно
приблизиться к началу коорди-
нат сколь угодно близко, причем
относительное приращение функ-
ции качества, начиная со вто-
рого шага, будет иметь постоян-
ное значение, равное cos2 <р — 1,
что видно из треугольников ОА{А2
н ОЯ2ЯЭ, где ср — угол между
ОА2 и ОЯ|, равный углу между
прямыми I—I н II—II.
Таким образом, скорость схо-
димости определяется в конечном
счете углом между прямыми I—I
и II—II. В том случае, когда
этот угол прямой, скорость сходимости будет максимальной и
решение будет достигнуто всего за два итерационных шага. Прак-
тически такое положение встречается крайне редко, и в большин-
стве случаев сходимость оказывается весьма медленной.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим пример расчета
двухлнизового объектива со значительным воздушным промежут-
ком. В качестве исходной возьмем ту же систему, что и втабл. VII.8.
Пусть, как и ранее, коррекционными параметрами являются а2,
а3, а4 и d2. Результаты расчета приведены в табл. VII.12. Оче-
видно, что после третьей итерации процесс сходится крайне
медленно и производить дальнейшие вычисления не имеет смысла.
Рассмотренный метод имеет лишь историческое значение и не
может быть рекомендован для выполнения ответственных рас-
четов.
Оригинальное усовершенствование этого метода было пред-
ложено Б. М. Цейтлиным и И. Ш. Пинскером 12, 3]. Из рнс. VII.8
видно, что после достижения точки Я8 можно попасть в требуемую
точку О, двигаясь в направлении Я^», т. е. одновременно меняя
оба параметра в определенном соотношении. Это соотношение
может быть получено -следующим образом. Пусть точке Я!
441
442
Т аблица VII.12
Заданные значения аберраций
($F— sc)0 — 0 ± 0,01; 6/ — 0 ± 0,01 и = 0 ± 0,01 при т = 20; 61' = 0 ± 0,01 при т = 20
Расстояния ? между вершинами поверхно- стей в исходной системе dx = 3,5; d2 = 7,885; d3 = 9.5
Марки стекол ТФ4; К2
Параметры и функции Исходные значения 1-я итерация 2-я итерация 3-я итера- ция 4-я итера- ция 5-я итера- ция
а2 0,65412 0,65412 0,67381 0,67381 0,67422 0,67422
«з — 1,22064 —0,80521 —0,80521 —0,80521 -0.80521 —0,80521
а4 0,19420 0,19420 0,19420 0,19420 0,19420 0,19420
d2 7,885 7,885 7,885 8,204 8,204 8,234
1,270 0,0079 0,0045 —0,0026 —0,0027 —0,0034
6Z' при т = 20 —0,146 —0,068 0,006 0,0016 0,0032 0,0028
ЬГ при т — 20 — —0,045 —0,036 -0,0121 0,0133 0,0129 0,0130
Ыр — Ыс при т = 20 0,162 0,019 0,021 0,020 0,0199 0,0197
«1 = 0; hx~ 168,8; аб = 1,0
соответствуют значения параметров р<°), точке А2 — значе-
ния параметров рр, р<2) н точке А3 — р{3), рр. Тогда, очевидно,
движению в направлении Л1Л3 соответствует следующее соотно-
шение между изменениями первого и второго параметров:
Л —н<’>
л - Р1
4
(VII.99)
Таким образом, после достижения точки А3 производится одно-
временное изменение двух параметров в соотношении (VII.99).
Более детальные сведения об этом методе можно найти в статье 13].
За рубежом неоднократно делались попытки использовать
известный метод градиента для автоматического расчета оптиче-
ских систем [И, 15]. Рассмотрим основы этого метода.
Пусть значение функции качества в исходной точке (для исход-
ной оптической системы) суть F<°). Значения коррекционных
параметров в исходной системе равны р[°>, р<0), . . pj°\ . . ., р<°>.
- Обозначим через Р расстояние в пространстве параметров меж-
ду исходной точкой и точкой с координатами р<°> -|- Дрр pf20) +
+ Др2, . . рр Ч- Др., . . р<°> + Дрр т. е.
р= уЛ£(Д/>1)г . (Vii.ioo)
Дадим коррекционным параметрам некоторые произвольные
бесконечно малые приращения dp{. Тогда дифференциал функции
качества будет равен
dF=^i^dp‘’ (VIJ.101)
i=l 1
а дифференциал расстояния Р составит
dP = . (VII.102)
Найдем направление в пространстве параметров (соотношение
между дифференциалами dpi), при котором скорость изменения
dF
функции F, т. е. величина -^р, максимальна. Для этого примем
величину dF постоянной и определим направление движения,
соответствующее минимуму dP. Решение задачи сводится, таким
образом, к нахождению относительного минимума функции dP
при условии, что dF = У dpt = const. Воспользуемся
443
методом Лагранжа н образуем функцию
L=y + (v11-103)
где A — коэффициент Лагранжа.
Относительный экстремум функции dP имеет место при
< = >=••• =^- = °- (VH-104)
Дифференцируя функцию L по ps, получим
(VII. 105)
откуда
dPs=-i
Таким образом, экстремум функции получается при сле-
дующем соотношении между дифференциалами:
dpx: dp,dpi:..dpt =
(VII. 106)
3f(0>
dp, ' dp,
dpi
(VII. 107)
Это соотношение может иметь место как при совпадении знаков
у всех величии dpi и —.—, так и при их несовпадении. Отсюда
dF
следует, что функция имеет всего два экстремума. Найдем
dF
экстремальные значения подставив в (VII.101) и (VII.102)
dp, нз (VII.107). Получим Если
вблизи исходной точки функция F непрерывна вместе со своими
dF
первыми производными по pit то также непрерывна и изме-
няется в ограниченных пределах. Таким образом, один нз экстре-
мумов функции -^-является максимумом, а другой — миниму-
мом, но обе экстремальные точки соответствуют максимальной
скорости изменения функции F по абсолютной величине. Вектор,
dF
равный по величине н направленный в сторону возрастания
444
функции F, называется градиентом. Движение в направлении,
противоположном градиенту, обеспечивает наибольшую скорость
уменьшения функции качества F. На основании (VII.107) изме-
нения параметров, соответствующие этому направлению, могут
быть представлены в виде
(VII,108)
' т dpt ’ j
где ф > 0. Величину ф следует выбрать таким образом, чтобы
= 0. В этом случае движение в направлении, противополож-
ном градиенту, осуществляется до достижения минимума функ-
ции F. Экстремальное значение феХ1г может быть найдено либо
путем движения с некоторым малым шагом фП>, либо путем эк-
страполяции изменения функции F с помощью двучлена
Л Г dFW 1 1 1 1,2
Af = ~лГ* + -Т-л?-^-
(VII.109)
Производные н —находятся без особых трудностей
с помощью приема, описанного на стр. 400. После вычисления
Фех1г по формуле
^=-^0)- (VII. НО)
дф2
в исходную систему вносятся изменения коррекционных параме-
тров, равные Др, = ФеХ(ГАрР- Полученная таким образом система
принимается за исходную для следующего итерационного шага.
Скорость сходимости процесса оценивается после каждого шага
по формуле
Если у <е, где е — некоторая заданная величина, то процесс
вычислений прекращается.
Сравним метод градиента с методом наименьших квадратов.
Напомним, что в методе наименьших квадратов движение осу-
ществляется'Т’в направлении, которое обеспечивает выполнение
dF dF dF л
условия — • • • = =0 в предположении, что
445
между параметрами р£ и функциями Ф, существует линейная
связь. В методе градиента движение осуществляется в направле-
нии, обеспечивающем максимальную скорость убывания функции
качества F. При этом не делается никаких предположений отно-
сительно характера зависимостей между параметрами н функцией,
качества. Нетрудно убедиться, что направления движения в этих
двух методах различны. Если между изменениями параметров
н функцией качества имеется зависимость, близкая к квадратичной,
то метод наименьших квадратов обладает, как правило, лучшей
сходимостью, чем градиентный метод. Действительно, если эта
зависимость точно квадратичная, т. е. между функцией F и пара-
метрами р( существует линейная связь, то метод наименьших
квадратов даст решение за одну итерацию. Метод градиента не
гарантирует получения решения за один шаг даже в этом случае.
Действительно, поскольку как в методе наименьших квадратов,
так и в методе градиента движение в течение одного шага осуще-
ствляется по прямой линии, то попасть из исходной точки в точку,
где = 0, можно только по одному направлению. Но направ-
ление движения в методе наименьших квадратов и направление,
противоположное градиенту, могут совпадать лишь в частных,
весьма редких случаях. Отсюда и следует, что в рассмотренном
случае градиентный метод дает худшую сходимость. Утверждать
категорически, что всегда метод градиента дает худшую сходи-
мость, чем метод наименьших квадратов, иет достаточных осно-
ваний, хотя в некоторых зарубежных работах 112, 131 высказы-
вается такое миеиие.
Важное усовершенствойанне метода градиента было предло-
жено И. М. Гельфандом и М. Л. Цетлиным [4!. Предложенный
ими метод носит название метода оврагов и позволяет во многих
случаях ие только найти минимум функции F, ближайший к ис-
ходной точке, но и отыскать минимум, в котором функция F
имеет наименьшее значение. Упоминание о попытке использова-
ния метода оврагов для автоматического расчета оптических
систем имеется в работе [5].
Некоторые трудности, связанные с использованием
метода Ньютона
При расчете оптических систем с помощью второй модификации
метода Ньютона нередки случаи, когда итерационный процесс
сходится недостаточно быстро. На примере расчета двусклеен-
ного объектива рассмотрим причины медленной сходимости про-
цесса.
Пусть требуется рассчитать двусклееиный объектив, состоя-
щий из двух бесконечно тонких лииз, выполненных из заданных
марок стекол. В качестве функций будем полагать величины Р
446
ис — основные параметры бесконечно топкого компонента.
В качестве коррекционных параметров используем углы первого
параксиального луча с осью а2 и а3.
Известно, что каждому значению С соответствует определен-
ное минимальное значение Р, обозначаемое Pmin. На рис. VI1.9
представлен примерный график зависимости Pmln от С в виде
кривой линии / —В то же время эта кривая разделяет на две
части пространство функций: в незаштрихованнон части про-
странства находится область существования решений, в заштри-
хованной — область отсутст- р
вия решений. Это означает,
что сочетания между Р н С,
соответствующие заштрихо-
ванной области, при задан-
ной комбинации стекол не
могут быть получены.
Рассмотрим, какими свой-
ствами обладает некоторая
точка А, лежащая на грани-
це /—I. Обозначим величины
Р н С в точке А через РА и
СА. Дифференциалы Р н С
могут быть представлены в
виде
Рис. VII.9
,п дР , , дР , 1
dp- S^da‘ + |
j/-, dC . . dC . I
dC = 3—da, 4- -3— da,.
oa2 ‘ oa3 •» )
(VII.112)
Выберем произвольно da2 и da3 и вычислим dP н dC. Значе-
ниям Р + dP и С 4- dC будет соответствовать новая точка А’.
Изменим знаки у величин da2 и da3 на обратные. При этом, оче-
видно, у величин dP и dC знаки также изменятся на обратные.
Значениям Р — dP и С — dC соответствует точка А". Точки А'
и А" обязательно должны лежать на касательной к границе 1—1
в точке А, поскольку точки А' и А" должны располагаться в не-
заштрихованной области симметрично, относительно точки А.
Отсюда вытекает важное свойство точек, лежащих на границе
области существования решений: любые бесконечно малые измене-
ния параметров для этих точек приводят в пространстве функций
к движению по касательной к границе. Это означает, что функции Р
и С для точки, лежащей на границе, оказываются зависимыми,
т. е. какому-то изменению функции Р — dP всегда соответствует
определенное изменение функции С — dC.
Зависимость между функциями имеет место только тогда,
когда якобиан — определитель, составленный из частных
447
производных от функций по коррекционным параметрам, —
равен нулю:
дР
da2
дС
da3
(VH.1I3)
da3
Пусть исходной оптической системе соответствует точка /(,
расположенная весьма близко от границы /—I. Требуется полу-
чить систему, соответствующую точке В (рис. VII.9). Решим
систему уравнений
г> п д? л । дР .
‘ V (V1L114)
св—ск = Да2 + Да3.
а Л daa 2 1 da3 3
Соотношение между изменениями коррекционных парамет-
ров Да2 и Да3, полученными в результате решения уравне-
ний (VII.114), определяет прямолинейную траекторию движения
в пространстве параметров. В пространстве функций траектория
движения, соответствующая указанному соотношению между
изменениями параметров, из-за нелинейной зависимости между
параметрами и функцией Р будет криволинейной. Представим
себе, как будет выглядеть эта траектория. Отметим прежде всего,
что прямая К_В должна быть касательной к траектории в точке К-
Действительно, на основании (VII.39) следует
^-=Рв-РЛ; (VII.115)
-^-=СВ-СЛ, (VII. 116)
откуда
dPl __ Рв~рк
dC Св — Ск
(VII.117)
Отметим также, что траектория не может пересекать границу I—I.
И, наконец, примем во внимание, что величина С линейно зави-
ла^
сит от параметров а2 и а3, т. е., что ~ 0. Тогда можно запи-
сать
= (VII.118)
dip т 2 dip2 Y v ’
dip r’
448
откуда на основании (VII.115) и (VII.116) получим
F 2 (VIU,9)
Из (VII. 119) следует, что с точностью, соответствующей раз-
ложению (VII.33), траектория представляет собой параболу,
ветви которой направлены в сторону положительных значений Р,
так как траектория не может пересекать границу /—/. Вели-
д*Р
чина должна быть весьма велика, поскольку касательная
к траектории в точке Л имеет направление КВ, а касательная
к границе, проходящей близко к точке К по условию, имеет
другое направление. На этом основании можно утверждать, что
траектория П—П имеет вид узкой параболы. Из рис. VII.9
видно, что, двигаясь по такой траектории, можно приблизиться
к точке В весьма незначительно, т. е. скорость сходимости в рас-
смотренном случае мала. При уменьшении расстояния между
исходной точкой К н границей происходит дальнейшее сужение
параболы. В пределе ее ветви сливаются, и траектория превра-
щается в геометрический луч, направленный в сторону положи-
тельных значений Р. Если угол между этим лучом и направле-
нием КВ больше 90°, то прн движении по такой траектории рас-
стояние до точки В будет возрастать н, следовательно, скорость
сходимости будет равна нулю. Если указанный угол меньше 90°,
то имеется возможность приблизиться к заданной точке.
Поясним сказанное иа численном примере. Требуется рассчи-
тать двусклеениый объектив нз стекол К.8 и ТФ1 с Р — — 2 ± 0,01
н С = 0,03 ± 0,0001. Предмет расположен на бесконечности.
Принимаем =0, а4 = 1, hx = 1. Выберем исходную точку
поблизости от границы существования решений, т. е. так, чтобы
в исходной системе Р Из таблицы, приведенной в ра-
боте (1], имеем: при С = 0,0025 Pmln = —1,41; Qo = 5,21;
срк = 2,302. Путем расчета на логарифмической лниейке нахо-
дим а8 = 0,528; а3 — 0,2544. Расчет на машине «Урал-2» дает
следующие результаты: в исходной системе Р = —1,379; С =
= 0,002508; = —0,466; = 365 583,9; = 0,0275;
’ ’dip ’ ’ dip2 ’ ’ dip ’ ’
= —0,0008; | 0,000002. Итак, действительно, в рассма-
триваемом случае скорость сходимости чрезвычайно мала. В то же
время достаточно выбрать исходную точку, расположенную
на некотором расстоянии от границы /—/, как скорость сходи-
мости становится достаточно большой и решение будет получено
быстро. Сказанное иллюстрируется табл. VII.13.
Функции, подобные Р и С, можно назвать локально зависи-
мыми. Действительно, зависимости между такими функциями
29 г. Г. Слюсарев 449
Таблица VII.13
, Параметры 1 и функции Исходные значения Итерации
1-я 2-я З-я 4-я 5-я
Р 1,501 1,459 -1,881 —2.440 —2.064 —2,000
С —0,0065 —0,0018 4-0,0202 0,0267 0,0304 0,0300
а2 0,528 0.3216 —0,5077 -0,8413 — 1,0567 —1,0340
а3 0,3544 0,0635 —1,1375 — 1,5940 —1,8838 —1,8530
Имеют место лишь в определенной области. В рассмотренном
примере такой области соответствует граница 1—1.
При расчете оптических систем встречаются функции, которые
зависят друг от друга во всей области существования решений.
Такие функции можно назвать абсолютно зависимыми. Приме-
ром таких функций могут служить, например, коэффициенты
аберраций третьего порядка Sn, <SnI для бесконечно тонкой
системы. Напомним, что если заданы значения каких-либо двух
коэффициентов из указанных трех, например Sj и SH, то зна-
чение $ш точно определено. В этом примере можно считать, что
5Ш зависит от Sj н Sn. Поэтому н
определитель матрицы производных (якобиан) будет равен нулю.
Следовательно, если, не зиая о существовании указанной зави-
симости, попытаться рассчитать методом Ньютона бесконечно
тонкую систему с заданными коэффициентами 5ц и Sin, то
при любом начальном приближении не удастся сделать ни одного
итерационного шага.
Из сказанного можно сделать вывод о неприменимости рас-
смотренных модификаций метода Ньютона прн наличии зависимых
функций. Для метода наименьших квадратов и градиентных мето-
дов наличие зависимых функций никакой опасности ие пред-
ставляет.
Ускорение сходимости итерационного процесса
путем вариации направления
В большинстве методов автоматического расчета каждый
итерационный шаг разбивается на два этапа. Первый этап заклю-
чается в выборе направления движения, т. е. соотношения между
изменениями параметров. Этот выбор производится в большин-
стве случаев в предположении, что между изменениями парамет-
ров и изменениями функций существует линейная связь. В дей-
ствительности такая зависимость имеет обычно весьма сложный
характер. Второй этап расчета заключается в выборе величины
450
шага в найденном направлении. Естественно, что величина шага
в общем случае зависит от направления движения. Поэтому
путем изменения направления движения можно воздействовать
на скорость сходимости с целью уменьшения количества итераций
и сокращения времени расчета.
Рассмотрим метод вариации направления движения в сочета-
нии со второй модификацией метода Ньютона. В таком случае,
если скорость сходимости итерационного процесса, оцениваемая
величиной (VII.73), достаточно велика, то расчет выполняется по
методике, описанной на стр. 414—430. Вариация направления
производится только в тех случаях, когда скорость сходимости
недостаточна.
Изменим иа некоторую величину ДФ! правую часть первого
уравнения системы (VII.26), если количество коррекционных
параметров равно числу функций, или первого уравнения си-
стемы (VII.60), если количество коррекционных параметров
превышает число функций. Тем самым осуществится изменение
направления движения в пространстве функций, причем одно-
временно произойдут поворот касательной к траектории движе-
ния и изменение вида самой траектории. При этом изменятся
величины Fmln, фт1п и £. Подберем величину AOj таким образом,
чтобы £ оказалось максимальным. Если скорость сходимости §
при этом стала достаточно большой, то выполняется итерационный
шаг. В противном случае следует перейти к поиску поправки
для правой части второго уравнения, причем правую часть первого
уравнения будем полагать равной Ф1 — Ф!0) + ДФь Процесс
подбора правых частей продолжается до тех пор, пока вели-
чина £ не станет достаточно большой. Если же после подбора
правых частей всех уравнений £ окажется меньше некоторой
заданной величины, то расчет следует прекратить.
Рассмотрим один из возможных методов подбора поправок
к правым частям уравнений. При внесении поправки ДФ8 в пра-
вую часть какого-либо s-го уравнения первые производные от
функций по переменной ф на основании (VII.39) будут равны
^- = Ф1-ф!0);
^. = Ф,,-Ф<«Д;
^- = ф,-_ф<»>+Дф5;
^ = Ф>+1-Ф%
=ф„ —ф<0).
29*
(VII.120)
451
Найдем зависимости вторых производных от поправки ДФ8.
Для этого запишем изменения параметров в виде
Др,= ЕЧ./($/-ФГ),
1-1
где Ьц / — элементы обратной матрицы по отношению к матрице,
составленной из коэффициентов системы линейных уравне-
ний (VII.26) или (VII.60). При изменении правой части s-ro урав-
нения на величину ДФ5 изменения параметров Др< окажутся
равными
Др. = ’ £ /(Ф/ — Ф/о)) + bit s (Ф5 — Ф£0) + ДФ8) +
+ S ^./(Ф/ —ФН- (VII.121)
/—s-M
i=t l=t
Поскольку по формуле (VII.49) X Лр‘Ар‘’
/=1
то иа основании (VII.121) легко получить, что
>=(^)о+А'- •+в''s(w’ <VII'122)
где ~ значение второй производной при ДФ3 - 0.
Для определения коэффициентов Аг я и В/, достаточно вычи-
&Фг
слить значения при двух значениях правых частей s-ro
уравнения, например при Ф8 — Ф$0) + 6ФЯ и Ф3 — Ф,0) — 6Ф8,
где 6Ф5 — допуски иа величины Ф5. Обозначим производные ,
соответствующие поправкам 6Ф8 и —6Ф5, через и соот-
ветственно. Тогда
>/..= W ; (VII. 123)
B,.s =
f}+>+i*_|
<e®s)s
(VII. 124)
где — значение при ДФ8 = 0.
Таким образом, если коэффициенты Л/18 и 5 [найдены, то
с помощью экстраполяционной формулы (VII. 122) легко вычи-
сляются значения вторых производных , соответствующие
452
определенной величине ДФ8. Значения первых производных -4^
находим по формулам (VII.120). На основании этих зависимостей
процесс подбора поправки к правой части s-ro уравнения, соот-
ветствующей максимуму скорости сходимости £, удается свести
к следующим операциям:
1. Изменим правую часть s-ro уравнения на величину 6Ф8,
т. е. примем ее равной Ф5 —Ф80) 4- 6Ф8. Решим систему линей-
ных уравнений (VI 1.26) или (VII.60) в зависимости от соотношения
между количеством функций и количеством коррекционных пара-
и . дф/ d2 3 4 5®/
метров. Найдем значения производных и , пользуясь
методом, изложенным на стр. 401. По формулам (VII.69)—(VII.72)
вычислим коэффициенты Л, В, С и D кубического уравне-
ния (VII.68) и решим его относительно фш1п. Значение функции F
(VII.65), соответствующее фш1п, определим по экстраполяционной
формуле, вытекающей из (VII.33):
F
* min
дФ/
(VII. 125)
Найдем скорость сходимости итерационного процесса по формуле
_ fW~Fm
(VII. 126)
2. Изменим правую часть того же уравнения на величину
—6ф8, т. е. примем ее равной Ф8 — Ф^0) — 6Ф8. Затем повторим
действия, изложенные в пункте 1.
3. Сравним скорости сходимости £, соответствующие поправ-
кам 4-6Ф8, —6Ф8, и начальную скорость сходимости, когда по-
правка равна нулю. На основании этого сравнения определим
знак поправки, обеспечивающей ускорение сходимости. В том
случае, если наибольшее значение скорости сходимости соответ-
ствует нулевой поправке, нужно перейти к подбору поправки
для правой части следующего уравнения.
4. По данным, полученным в результате выполнения пунктов 1
и 2, определим значения коэффициентов Af. 8(VI 1.123) и [Bfl s
(VII.124) экстраполяционной формулы (VII.122).
5. Положим ДФ8 = 26Ф$. При этом величине ДФ8 присваи-
вается знак в соответствии с пунктом 3. По формулам (VII.120)
и (VII.122) найдем значения производных и , а затем
повторим операции-, изложенные в пункте 1, т. е. сначала вычи-
слим коэффициенты кубического уравнения, решим его и т. д.
453
6. Проверим, продолжает ли возрастать скорость сходимости
при увеличении абсолютного значения поправки. Если скорость
продолжает возрастать, то положим ДФ8 = 36Ф5 и повторим
действия, изложенные в пункте 5. Процесс подбора продолжается
до тех пор, пока скорость £ возрастает. Поправка, соответствующая
максимальной скорости, вносится в правую часть s-ro уравнения,
а затем решается система линейных уравнений, путем численного
<ЭФ, <Э2Ф,
дифференцирования определяются производные и и
повторяются остальные действия, изложенные в пункте 1.
Если скорость сходимости, вычисленная по формуле (VI 1.126),
после внесения поправки в правую часть s-ro уравнения оказы-
вается достаточно большой, то выполняется итерационный шаг,
т. е. в систему вносятся изменения. В противном случае осуще-
ствляется поиск поправки для правой части следующего s -J- 1-го
уравнения.
Проиллюстрируем на примере, рассмотренном на стр. 449,
какие результаты может дать удачный выбор направления дви-
жения.
Исходная система — двусклеенный объектив — имеет Р =
=—1,379 я» РП11П при С = 0,0025. Требуется рассчитать объ-
ектив с Р = —2 ± 0,01 и С = 0,03 ± 0,0001. Частные производ-
ные от функций по параметрам равны
4^ = —51,61; -^ = 0,104; = 44,59; ¥- = — 0,090.
octg 0СС2 д&з иО-з
Таким образом, при изменении первого параметра а2 соот-
„ ~ АР 51,64
ношение между изменениями Р и С составляет = — о 104 =
тп АР 44,59
= —496. При изменении второго параметра а3 = — 0 --
= —494. Попытаемся осуществить шаг, двигаясь в направлении,
среднем между направлениями, которые соответствуют измене-
АР
ниям отдельных параметров, т. е. положим = —495. Задан-
ное приращение АС = 0,03 — 0,0025 = 0,0275. Заданное при-
ращение ДР составит ДР - —495 ДС = —13,61. В этом направ-
лении сделаем итерационный шаг, обеспечивающий получение
/ р__р /с_______с V
минимума оценочной функции F = I—бр“) “Ь I - I • Ре-
зультаты представлены в табл. VII.14. Очевидно, что в резуль-
тате первого шага удалось выйти из области локальной зави-
симости между функциями Р и С. Остальные итерации выпол-
нены с помощью второй модификации метода Ньютона без вариа-
ции первоначального направления.
454
Таблиц а VII.14
Функции и производные Исходные значения Итерации
1-я 2-я З-я 4-я 5-я 6-я
Р -1,379 -2.5588 —1,288 —0,930 -0,706 -2,149 — 1,995
С 0,0025 0.0047 0,0052 0,0089 0.0184 0,0288 0,030
дР дф -13,601 0.544 —0.708 -1,066 —1,291 0,150 -
д2Р дф2 —28.40 6282.0 40,55 6,803 0,573 0,020 -
дС дф 0,0275 0,0253 0,0248 0,0211 0,0116 0,0012 —
д2С дф2 0 0 0 0 0 0 -
Пример автоматического расчета объектива
для микроскопа
Рассмотрим пример расчета объектива для микроскопов с ис-
пользованием электронной вычислительной машины «Урал-2».
Требуется рассчитать ахроматический объектив с высокопре-
ломляющей йод-метиленовой иммерсией для рудного микроскопа.
Эта иммерсия имеет показатель преломления, близкий к показа-
телям преломления пленок окислов. покрывающих поверхностные
участки образцов руд. что позволяет значительно повысить кон-
траст изображения структуры. Объектив должен быть исправлен
для бесконечно удаленного изображения. За объективом поме-
щается ахроматическая линза с фокусным расстоянием 250 мм-
Фокусное расстояние объектива должно составлять 4 мм, число-
вая апертура — 0,85. Расстояние предмета от первой поверхности
объектива — рабочее расстояние — должно составлять не менее
0,6 мм. Линейное поле зрения в пространстве изображения,
т. е. в задней фокальной плоскости ахроматической линзы, должно
быть равным 21' = 18 мм. Хроматизм увеличения объектива
в относительной мере должен составлять 1,5—2%, поскольку
в комплект микроскопа входят компенсационные окуляры, име-
ющие хроматизм увеличения такого же порядка. С целью упро-
щения конструкции допускается наличие кривизны нзображеиия-
Из опыта расчета систем с подобными характеристиками
известно, что схема, представленная на рис. VII.10, может удов-
летворить поставленным требованиям. Конструкции такого типа
широко применяются в микроскопии, их свойства довольно
455
хорошо изучены, и поэтому нет необходимости в предварительной
подгонке коэффициентов аберраций третьего порядка. Целе-
сообразно с самого начала воспользоваться программой для авто-
матической подгонки точных значений аберраций.
Зададимся значениями конструктивных параметров в исход-
ной системе. Фронтальную линзу выполним из стекла СТК9,
показатель преломления которого для спектральной линии D
близок к показателю преломления йод-метиленовой иммерсии
(у СТК9 nD = 1,7424, у иммерсии nD — 1,74129). Тогда фронталь-
ная линза может быть выполнена апланатической независимо
от радиуса первой поверхности, которая в нашем случае для удоб-
ства чистки объектива должна быть плоской. Числовая апертура
после фронтальной линзы составит в та-
ком случае sin а = -1—1- — 0,28, что
«2
позволит получить незначительные
аберрации высших порядков в следую-
щих компонентах объектива.
Рис. VII.10
Полагаем угол первого параксиального луча с осью в про-
странстве предметов равным = 1. После преломления на пер-
вой поверхности а2 = сц = 0,99936. После фронтальной линзы
П2
а8 = = 0,574. Так как изображение после объектива должно
располагаться на бесконечности, то ап 0. Распределим вели-
чины Да равномерно между последними тремя компонентами
объектива. Поскольку <х3 = 0,574, а ап = 0, то
«3 — «5 = «5 — «8 = — «11 = 0, 192.
Отсюда находим сц = 0,192, а5 = 0,384. Угол а4 примем равным
а4 = аз +ал = 0,484. В качестве материалов для положитель-
ных линз принимаем стекло К8, для отрицательных линз —
стекло ТФ1. Пусть в исходной системе пятая и восьмая поверх-
ности объектива будут плоскими. Тогда а8 = —- = 0,232, а9 =
«= — =0,117. Остается выбрать исходные значения для а,
и а1а. Эти углы следует выбрать с учетом двух требований. Во-пер-
вых, в положительном склеенном компоненте отрицательная
линза должна быть выполнена из флинта, а положительная —
из крона, что обеспечивает исправление сферической аберрации
и хроматизма положения. В рассматриваемом случае это озна-
чает, что г6 и г9 должны быть положительными. Поскольку г =
— , a h <0 и Дп <0, то Дап > 0. Во-вторых, в исходной
системе обязательно должны проходить без полного внутреннего
456
отражения все лучи. В нашем случае поле зрения невелико и
опасность непрохождения существует для крайнего луча точки
на оси. Синус угла падения крайнего осевого луча на любую
поверхность может быть ориентировочно определен по формуле
5|п Л!^1, (VII. 127)
Пкч Пк
где iK — угол падения луча на поверхность с порядковым номе-
ром к; Oj — угол крайнего луча с осью в пространстве пред-
метов.
Положим а7 — 0,3, а10 = 0,2. Тогда по формуле (VII.127)
находим sin i9 = 0,456, sin i6 = 0,374. Такие углы падения вполне
допустимы.
Зададимся толщинами линз и величинами воздушных проме-
жутков. Толщины линз могут быть выбраны по аналогии с дру-
гими объективами, имеющими подобные характеристики. Воз-
душные промежутки d2 и d4 полагаем равными 0,1 мм. Толщины
линз принимаем следующими: d} = 2,8 мм, d3 = 1,5 мм, db =
= 1,2 мм, d6 = 2,5 мм, ds = 1,5 мм, d9 = 3 мм. Воздушный
промежуток d7 зададим таким образом, чтобы исходная система
имела требуемое фокусное расстояние, т. е. 4 мм. Для этого пред-
варительно найдем высоту первого параксиального луча иа
i=K
седьмой поверхности по формуле hK = sxai — Вычи-
сление с помощью логарифмической линейки дает h7 = 5,25.
Высота луча на последней поверхности h10 должна равняться
hl0 = —HjOj f == —6,965. Высота луча на восьмой поверхности
составит hs = h19 — " —6,189. Нетрудно найти те-
перь, что d7 = ~~ 4,89.
Перейдем к выбору функций. Расчет объектива будем вести
в прямом ходе лучей с дополнительной ахроматической линзой
с /' = 250 мм. Конструктивные элементы линзы заданы. Поэтому
для сохранения конструктивных элементов линзы в процессе рас-
чета необходимо не только сохранять неизменными соответству-
ющие углы но и выдерживать постоянным последний отрезок,
т. е. расстояние от последней поверхности ахроматической линзы
до плоскости Гаусса s0- Эта величина является первой функцией.
Для исправления сферической аберрации и комы на первом
этапе расчета достаточно задать равными нулю значения по-
перечной сферической аберрации 8Г и отступления от условия
изопланатизма на краю отверстия. Можно предполагать, что
значения этих величин для зоны отверстия будут находиться в до-
пустимых пределах, что гарантируется конструкцией объектива.
457
С целью исправления хроматизма положения зададим равным
нулю значение (l'F — icj для точки на оси для зоны отверстия,
т. е. при числовой апертуре 0,85 ф ’/г< Объектив выбранной
конструкции будет обладать значительной кривизной изображе-
ния, которая практически не будет изменяться в процессе расчета,
если конструктивные параметры фронтальной линзы будут со-
храняться постоянными, поскольку кривизна изображения опре-
деляется в основном фронтальной линзой. Для исправления
астигматизма достаточно задать значеине сагиттальной кри-
визны x’s для края поля зрения, равной кривизне Пецваля х'р.
Найдем примерное значение кривизны Пецваля. Определим ра-
диус кривизны второй поверхности фронтальной линзы. Для
апланатической поверхности имеем
(S, - = -(0,64- 2,8) = — 2,16.
' Д5Г
Таким образом, для фронтальной линзы Siv “-------------
I Г2
' I 7424
—0,195. Коэффициент Пецваля S1V для остальной
части объектива при нормировке /' -= 1 можно полагать примерно
равным SIV - 1- Такое значение коэффициента обычно имеют
анастигматы, выполненные из двух сравнительно тонких частей,
разделенных значительным воздушным промежутком. Фокусное
расстояние части объектива, расположенной за фронтальной
„ „ £, Л10 6,965
линзои, в исходной системе составляет f = — а = “oItT =
-- 12,1. Тогда коэффициент Пецваля для всего объектива при
[' = 4 мм составит SIV == + 0,195 = 0,278. Кривизна Пец-
валя в пространстве изображений составит примерно хр =
= — ^-Slvl’z = -Л- 0,278-92 = —11,3.
Как уже было отмечено, в программе для автоматической
подгонки аберраций на машине «Урал-2» не предусмотрен расчет
сагиттальной и меридиональной составляющих кривизны изобра-
жения. Поэтому вместо величины х' зададим сагиттальную со-
ставляющую поперечной аберрации 8L' для косого луча, идущего
из края поля зрения н образующего со своей проекцией на мери-
диональную плоскость угол, соответствующий апертуре объек-
тива. Величина д£' для косого луча, лежащего в сагиттальной
плоскости, представляет собой сумму трех аберраций: сфериче-
ской для точки на оси, полевой сферической аберрации и произ-
ведения xs tg д', где д' — угол в пространстве изображений между
лучом и его проекцией на меридиональную плоскость. В рас-
458
сматриваемом случае из-за малости поля зрения можно предпо-
лагать, что полевая сферическая аберрация будет незначительна.
Сферическая аберрация для края отверстия задана равной нулю.
Поэтому 6£' xs tg 6' = — 11,3 0,^q4 —0,15.
Хроматизм увеличения задан весьма широкими пределами,
и поэтому на первой стадии расчета можно не рассматривать его
в качестве функции. Таким образом, ограничимся всего лишь
пятью функциями.
В качестве коррекционных параметров будем использовать
величины а6, а., а8, а9, а10 и б/7. Толщины линз в такой конструк-
ции, как известно, не являются действенными параметрами.
Величины а4 и а5 менять нежелательно, так как существует опас-
ность возникновения рефлексов от поверхностей второй линзы,
поскольку освещение объекта производится через объектив.
При таком способе освещения наибольшие рефлексы возникают
от поверхностей, для которых Да 0. В исходной системе все
значения величин Да, включая и вторую линзу, выбраны доста-
точно большими.
Таким образом, в нашем случае количество коррекционных
параметров превышает количество функций. Для автоматиче-
ского расчета воспользуемся программой, основанной на второй
модификации метода Ньютона. Результаты расчета сведены
в табл. VII.15.
В табл. VII.16 приведены результаты расчета хода дополни-
тельных лучей в рассчитанной системе, полученные по тон же
программе и тому же заданию.
Таблица VII.15
Функции и пара- метры Исходные значения Окончательная си- стема Заданные значения
248,89 248,94 248.95± 0.01
«с 2,69 0.004 0± 0,005
Ч№ В % 13,02 0,03 0± 0,05
(‘е-1'с), 0,345 0,001 0± 0,001
2.53 -0,166 —0,15±0.02
ав 0,232 0.15149
а7 0.3 0.20986
а8 0,192 0,12660
а9 0,117 0,09589 —
«ю 0.2 0.15295
<1, 4,89 11,42
459
Таблица VII.16
Точка на оси Точка вне оси (/' = 9)
388 о' сГ о* 1 1 IIJ II 7 nt (sin — sin Uj гл)
0.85 °’85 V г -0.85 У —0,85 —0,036 -0,096 0,116 0,190
lF~lC * , с = 2,85% lD
В таблице Ыэ — поперечная сферическая аберрация для апер-
туры 0,85 У1/2; Лз — отступление от условия изопланатизма для
апертуры 0,85 Vf — ^с)кр — поперечная хроматическая
аберрация для предельного значения апертуры; /'___1'гл—раз-
ность координат Г для меридиональных лучей н 1гл для главного
‘луча;
— хроматизм увеличения в относительной мере
для края поля зрения.
Проанализируем полученные результаты. Сферическая абер-
рация и отступление от условия изопланатизма весьма незначи-
тельны. Аберрации меридиональных лучей иа краю поля зрения
не превосходят величин, допустимых для обычных ахроматов.
Сферохроматическая аберрация удовлетворительна и также не
превышает допустимых величин. Вопреки ожиданиям хроматизм
увеличения недопустимо велик. Поэтому следует повторить рас-
чет, добавив еще одну функцию — значение хроматизма увели-
чения. Увеличим одновременно количество коррекционных пара-
метров до семи, добавив к принимавшимся ранее а4.
Результаты расчета сведены в табл., VII.17. Значения аберра-
ций в окончательной системе весьма велики. На основании двух
попыток расчета можно сделать следующий вывод: хроматизм
увеличения в системе с предварительно выбранными марками
стекол не поддается исправлению. Обычно в системах такого
типа фронтальная линза выполняется из простого крона. Хрома-
тизм увеличения объектива в значительной мере определяется
460
Таблица VII.17
Функции и параметры Исходные значения Окончательная система Заданные значения
s0 248,89 249,86 248,95 + 0,01
2,69 —0,67 0± 0,005
Пхр в % 13,02 3,27 0+0,05
(*F — 1с)а 0,345 0,063 0± 0,001
Ы-'„р 2,53 —0,832 - 0,15±0,02
с В % 1,96 1,92 2±0,1
lD
а4 0,484 0,36070
а8 0,232 0,39369
а7 0,3 0,39767
«в 0,192 0,13425 —
«в 0,117 0,18186
0,2 0,27184
di 4,89 2,98
хроматизмом увеличения фронтальной линзы. В рассматриваемом
случае фронтальная линза выполнялась из стекла СТК9 с коэф-
фициентом дисперсии у == 50,2. Если фронтальную лннзу выпол-
нить из стекла К8 с коэффициентом дисперсии у = 64,1, то можно
ожидать, что хроматизм увеличения заметно уменьшится. Однако
при этом фронтальная лннза перестанет быть апланатичной,
поскольку первая поверхность линзы для удобства чистки де-
лается плоской. Можно предполагать, что в таком случае воз-
растут аберрации высших порядков для точки иа оси. Но из
табл. VII.16 видно, что в системе, где фронтальная лннза выпол-
нялась из стекла СТК9, высшие порядки сферической аберрации
и отступления от условия изопланатизма были весьма малы.
Поэтому можно допустить некоторое увеличение этих аберраций.
Выбор исходных значений а, произведем так же, как это было
сделано выше. Вторая поверхность фронтальной лиизы апла-
натическая. Поскольку увеличение фронтальной линзы при
использовании стекла с меньшим показателем преломлении за-
метно уменьшается, то приходится изменять значения всех углов
первого параксиального луча с осью. Марки стекол второй,
третьей, четвертой, пятой н шестой линз сохраняем прежними.
Конструктивные параметры исходной системы представлены
в табл. VII.18. В качестве коррекционных параметров используем
461
Таблица VII.18
Марка стекла
1,0 1,14838 0,757 0,62 0,5 0,304 0,35 0,25 0,152 0,25 0 2,8 0,1 1,5 0,1 1.2 2,5 4,89 1,5 3,0 100 К8 К8 ТФ1 К8 ТФ1 К8 Объектив
—0,0091379 —0.0037762 —0,027856 2,0 3,0 Ф4 КФ4 Ахроматическая линза
Таблица VII.19
Функции и параметры Исходные значения Окончательная система Заданные значения
so 297,31 248,93 248,95±0,01
«с 4,89 0,003 0± 0,005
в % —15,88 0,26 0±0.05
(lF — (с)а 0,238 —0,002 0±0,001
Кч> 4,68 -0,177 —0,15+0,02
lF-‘c „ С в % 1,53 1,95 2% ±0,1
lD
“4 0,62 0,53652
ав 0,304 0,26649
а7 0,35 0,32980
<*8 0,25 0,09807 —
«е 0,152 0,00382
«18 0,25 0,07993
4,89 8,44
462
а4, а8, а7, а8, а9, а^, d7; в качестве функций — so, 6/«p, 1]кр
(/f — 1с)з, bLKp, ? > C Результаты расчета представлены
в табл. VII.19 и VII.20. Все аберрации, за исключением комы,
в рассчитанной системе исправлены хорошо. Поскольку итераци-
онный процесс далее не идет, то следует предположить, что неко-
торые функции стали зависимыми. Уменьшим количество функций
на одну и повторим автоматический расчет, приняв окончатель-
ную систему из табл. VII.19 за исходную. Наиболее целесообразно
исключить из числа функций величину SLKp, требуемое значение
которой было найдено путем весьма приблизительного расчета.
В качестве коррекционных параметров используем те же вели-
чины, что и в табл. VII.19. Результаты расчета представлены
в табл. VII.21 н VII.22. Полученная система обладает хорошим
качеством изображения. Несмотря иа то, что величина 6LKp была
исключена из числа функций, ее значение практически не измени-
лось. Неудача предшествующего расчета объясняется, по-видн-
мому, тем, что заданное значение б£кр = —0,15 при выбранной
комбинации стекол принципиально недостижимо. Графики абер-
раций объектива представлены на рис. VII.II. Предмет распо-
лагается на поверхности наилучшей установки, т. е. для раз-
личных точек поля зрения аберрации рассчитаны при различных
положениях предмета, как это и имеет место прн наблюдении вне-
осевых точек объекта с помощью объектива микроскопа с неисправ-
ленной кривизной изображения. Переход от расчетных значений
радиусов кривизны оптических поверхностей к стандартным значе-
ниям производится обычным способом и не представляет интереса.
Рассмотренный пример дает представление о некоторых прие-
мах работы прн современном уровне автоматизации расчета опти-
ческих систем.
Таблица VII.20
Точка на оси Точка вне осн (/' =9)
о? О о = 82 1 о" о' Л II II г" £ « П] (sin — sin Oj 3jI)
1 1 о о О О Ос со СО СО СП Сл СП СП 0,041 —0,126 0,214 0,227
463
Таблица VII.21
Функции и параметры Исходные значения Окончательная система Заданные значения
248,93 248,95 248,95+ 0,01
0,003 0,00 0+0,005
в % 0,26 0,00 0±0,05
Of 1с)з —0,002 ’ 0,00 0+0,001
1,95 2,00 2+0,1
«4 0.53652 0,53712
“в 0,26649 0,24618
а7 0,32980 0,31088
а» 0,09807 0.10029 —
а» 0,00382 0,01065
“10 0,07993 0,08679
<*7 8,44 8,66
I а б л и ц a V11.22
Точка на оси Точка вне осн (/'=9)
Ы'э = -0,073 Пз = -0,03% — 1с)кр = °-14 nx (sin ох — sin м)
,, р р р р 00 со со со СП СП СП О1 XX '“1 ч ч -1 —0,022 -0,156 0,176 0,144
6L'= -0,187
464
30 Г. Г. Слюсарев
465
В большинстве случаев полный расчет какой-либо оптической
системы на машине представляет собой процесс, состоящий из
ряда этапов. Каждый этап характеризуется прежде всего различ-
ным набором условий, накладываемых на оптическую систему.
Как правило, первоначально конструктор задает относительно
небольшое количество условий, а затем постепенно его увеличи-
вает, доводя до требуемого. Причем после каждого этапа проис-
ходит обмен информацией между человеком и машиной.
Выбор набора аберраций и нх конкретных значений на каж-
дом этапе процесса расчета является творческим моментом дея-
тельности конструктора, активно влияющим на ход коррекции.
Поэтому квалификация оптнка-конструктора при использовании
вычислительных машин не снижается и его роль далеко не огра-
ничивается выбором типа и значений конструктивных параме-
тров исходной системы.
4. ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ АВТОМАТИЗАЦИИ РАСЧЕТОВ
В связи с широким внедрением полупроводниковых вычисли-
тельных машин, обладающих по сравнению с ламповыми маши-
нами значительно большей надежностью, перед автоматизацией
расчета оптических систем открываются новые возможности. Допу-
стимое количество математических операций, приходящихся на
одно задание, может быть резко увеличено благодаря повышению
скорости работы машин, увеличению объема памяти, а также уве-
личению времени между сбоями. При этом часть функций, в настоя-
щее время выполняемых конструктором оптической системы, будет
передана машине.
Трудно предвидеть заранее, как изменится методика расчета
оптических систем в ближайшие годы. Но некоторые проблемы,
которые предстоит решить, могут быть сформулированы сегодня.
1. Все известные методы автоматического расчета обладают
серьезным н принципиальным недостатком, который заключается
в том, что даже при наличии решения не всегда можно найти его
путем внесения постепенных улучшений качества изображения
исходной системы. Покажем это на простейшем примере. Пусть
требуется рассчитать двусклеенный объектив в области аберраций
третьего порядка, причем в качестве функций рассматриваются
основные параметры системы Р и С. На рис. VI 1.12 представлен
график зависимости величины Р^ от С. Заштрихованная часть
графика соответствует области отсутствия решений. Если исходной
оптической системе соответствует точка А, а искомой — точка 5,
то нельзя построить траекторию, при движении по которой от
точки А к точке В происходило бы непрерывное уменьшение рас-
стояния между ними. Если качество системы характеризуется
расстоянием L, то это утверждение справедливо. Если же каче-
ство характеризуется не одной вспомогательной функцией, а ве-
466
личниами Р и С по отдельности, то улучшение качества понимается
как одновременное ^уменьшение по абсолютным значениям раз-
ностей Р — Р(0) и С — С(0). Из рнс. VII. 12 видно, что переход
из точки точку В__при одновременном уменьшении модулей
разностей Р — Р(0) и С — С(0) т. кже невозможен. Для нахожде-
ния решения в этом примере необходимо каким-то образом обойти
заштрихованную область. Один из возможных путей решения про-
блемы состоит в том, что на некоторый период часть функций
исключается н машина оперирует с
функций. При этом следует исклю-
чать не произвольно выбранные
уменьшенным количеством
р
функции, а вполне определенные,
зависимые от других.
2. Существующие итерацион-
ные методы автоматического рас-
чета позволяют в лучшем случае
найти одно решение. Необходимо
приступить к разработке методов
поиска нескольких решений, что
позволило бы осуществлять отбор
лучшего решения нз возможных.
Для поиска нескольких решений
можно, например, учитывать вто-
рые производные от функций по
параметрам и тем самым свести
Рис. VII.12
задачу к решению систем квадрат-
ных уравнений. Однако последнее представляет собой также слож-
ную проблему. Может оказаться перспективным дальнейшее разви-
тие методов расчета в области аберраций третьего порядка, поз-
воляющих свести задачу к решению систем алгебраических урав-
нений.
3. Программы для автоматического расчета оптических систем,
существующие в настоящее время, не могут дать конструктору
ответ на вопрос, какие причины препятствуют получению системы
с заданным качеством изображения. Практика расчета показы-
вает, что в таких случаях некоторые функции (аберрации) оказы-
ваются взаимно зависимыми, причем знание этих зависимостей
позволило бы конструктору наметить пути дальнейшей работы.
Зависимости между функциями, как было показано выше, могут
быть либо локальными, т. е. присущими какой-то области значе-
ний параметров, либо абсолютными, определяемыми типом системы.
В первом случае решение может быть найдено путем выхода
из области, где функции зависимы друг от друга. Во втором слу-
чае, как правило, необходимо изменить тип системы.
4. Степень автоматизации может быть повышена в значитель-
ной мере в том случае, если выбор необходимого и достаточного
30*
467
количества функций, характеризующих систему, будет осуще-
ствляться машиной. Для пояснения сказанного представим себе
программу, работающую по следующему принципу. Конструктор
задает параметры исходной оптической системы, ее поле зрения,
числовую апертуру, а также требования к качеству изображения
в виде допусков на отдельные виды аберраций (например, допуск
на сферическую аберрацию для осевой точки, на хроматизм поло-
жения, на кому в пределах всего поля зрения и т. Д.). На первом
этапе ‘работы машина исследует качество исходной системы путем
расчета значительного количества лучей. На основании этого рас-
чета делается автоматический анализ зависимостей отдельных абер-
раций от числовой апертуры и угла поля зрения. Если эти зависи-
мости оказываются монотонными, то в качестве функций прини-
маются лишь аберрации, соответствующие предельным значениям
числовой апертуры н поля зрения. Если зависимости не монотон-
ные, то в качестве функций, кроме названных аберраций, прини-
маются еще и значения аберраций в точках перегиба. После вы-
бора функций машина выполняет первый шаг автоматического рас-
чета. Затем вновь производится анализ зависимостей аберраций
от числовой апертуры и угла поля зрения. Устанавливаются новые
функции, и выполняется второй шаг расчета.
Таким образом, машина в зависимости от достигнутого каче-
ства изображения сама определяет число функций и данные для
расчета лучей. Это, с одной стороны, гарантирует, что в рассчи-
танной системе значения всех аберраций ие будут превышать за-
данных пределов. С другой стороны, такая методика в значитель-
ной степени сократит объем вычислений, так как количество
функций увеличивается постепенно по мере улучшения качества
изображения.
5. Использование оптических констант стекол в качестве
коррекционных параметров представляет серьезную проблему.
Во-первых, оптические константы стекол, например показатель
преломления й средняя дисперсия, не являются абсолютно неза-
висимыми. Во-вторых, значения этих констант могут лежать в до-
вольно узких пределах. В-третьих, этн константы могут принимать
только дискретные значения. Отсюда вытекает, что использова-
ние констант стекол в качестве коррекционных параметров на
общих основаниях недопустимо.
6. Необходимо разработать методы, обеспечивающие контроль
конструктивной выполнимости рассчитываемой системы. На зна-
чения некоторых коррекционных параметров должны наклады-
ваться определенные ограничения, обеспечивающие, например,
достаточные толщины линз по краю или по центру.
7. Многолетняя практика расчета оптических систем показала
эффективность методов, основанных на взаимной компенсации
аберраций третьего и более высоких порядков. При таком подходе
к решению задачи предполагается, что аберрации высших поряд-
468
ков изменяются медленнее, чем аберрации третьего порядка.
Программа, реализующая метод взаимной компенсации абер-
раций, может быть построена по следующему принципу. Как и
обычно, задается исходная оптическая система. Если тип системы
более или меиее исследован, то конструктор может задать пример-
ные значения коэффициентов аберраций третьего порядка, необ-
ходимые для компенсации аберраций более высоких порядков.
В противном случае заданные значения коэффициентов аберраций
принимаются равными нулю. После нахождения итерационным
способом конструктивных параметров системы с заданными коэф-
фициентами аберраций производится расчет хода лучей и опреде-
ляются точные значения аберраций. После автоматического ана-
лиза аберраций вычисляются поправки для коэффициентов абер-
раций третьего порядка, обеспечивающие’ при неизменных абер-
рациях более высоких порядков оптимальную коррекцию системы.
Затем путем итераций определяются новые значения коррекцион-
ных параметров системы с измененными коэффициентами аберра-
ций третьего порядка и вновь производится расчет хода лучей и
анализ аберраций. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет
достигнута оптимальная взаимная компенсация аберраций третьего
и высших порядков.
8. В настоящее время при автоматическом расчете оптических
систем в области аберраций третьего порядка не принимается ни-
каких мер для мнннмннизации аберраций высших порядков. Когда
количество коррекционных параметров превышает количество
функций, вводится дополнительное условие миииминнзации ве-
личины Sa/Дрл Напомним, что это условие вытекает из требо-
вания уменьшения количества итерационных циклов и никак не
оправдано с оптической точки зрения. Целесообразно в дальней-
шем заменить указанное условие другим, в какой-то мере отражаю-
щим необходимость уменьшения аберраций высших порядков.
По известному эмпирическому правилу Берека для получения по
возможности малых аберраций высших порядков необходимо стре-
миться к тому, чтобы углы падения лучей на поверхностях были
невелики. Это правило может быть учтено, если в процессе авто-
матического расчета мнниминизировать сумму квадратов синусов
углов падения апертурного и главного лучей на поверхностях.
Прн этом нет необходимости рассчитывать ход указанных лучей,
поскольку между синусами углов падения лучей и параксиальными
значениями углов падения существует примерно линейная связь.
9. В настоящее время любая из известных программ для авто-
матического расчета оптических систем основывается на одном оп-
ределенном математическом методе, например методе Ньютона,
градиентном методе и т. п. Может оказаться перспективным со-
четание нескольких методов в одной программе. Прн этом в слу-
чае неудачи использования одного метода можно предусмотреть
автоматический переход к другому методу расчета.
469
10. Несмотря на то, что с применением вычислительных машин
скорость выполнения арифметических операций возросла в десятки
и сотни тысяч раз, расчеты оптических систем ускорились лишь
в несколько раз. Это обстоятельство наглядно показывает несовер-
шенство используемых алгоритмов. Разработка алгоритмов, прин-
ципиально отличных от существующих н обеспечивающих боль-
шую скорость расчета новых оптических систем, представляет
актуальную задачу будущего.
ЛИТЕРАТУРА
1. Слюсарев Г. Г. Таблицы для расчета двухлинзовых склеенных
объективов. Л.. ГОИ, 1949.
2. Пинскер И. Ш., Рябова И. А. и Цетлин Б. М. Опт.-мех.
пром., 1964, № 1.
3. Пинскер И. Ш. и Цетлин Б. М. Автоматика и телемеханика.
Т. 33, 1962, № 12.
4. Гельфанд И.М.иЦетлин М. Л. Успехи математических наук.
Т. 22. Вып. 1, 1962.
5. Ц е н о Н. В. Опт.-мех. пром., 1966, № 9.
6. Грамматик А. П. Опт.-мех. пром.. 1959, № 7.
7. Грамматик А. П. Опт.-мех. пром,, 1959, № 8.
8. Грамматин А. П. Опт.-мех. пром., 1965, № 1.
9. Levenberg К. Quart. Appl. Math., 2, 1944.
10. Girard A. Revue d'Optique, 37, 1958.
11. Feder D. Appl. Opt,, vol. 2, N 12, 1963.
12. H о p k 1 n s R. and Feder D. Appl. Opt., vol. 2, N 12, 1963.
13. M a t s u i J. and H i г о s e R. Japanese Journal of Applied Physics,
vol. 4, 1965.
14. Г p а м м а т и н А. П. Опт.-мех. пром., 1967, № 2.
15. M e i г о n J. and Loebenstein H. JOSA, 47, 1957.
ГЛАВА V1U
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ДОПУСКОВ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Расчет всякой оптической системы заканчивается вычислением
допустимых отклонений конструктивных элементов (радиусов кри-
визны, толщин линз, воздушных промежутков, коэффициентов,
определяющих форму несферических поверхностей, если таковые
имеются) от расчетных; допустимых децентрировок отдельных по-
верхностей и оптических узлов; отклонений значений показателей
преломления и дисперсий, требованиями к однородности оптиче-
ских материалов, из которых должна быть изготовлена оптиче-
ская система, и т. д.
Допустимые отклонения должны быть таковы, чтобы условия,
которым должна удовлетворить рассматриваемая оптическая си-
стема, не были нарушены. Среди этих условий наибольшее зна-
чение имеют: 1) габаритные размеры, например длина системы
в целом или отдельных ее узлов, положение плоскости установки
относительно первой или последней оптической детали, фокусное
расстояние системы н т. д.; 2) качество изображения, которое
должно оставаться в пределах, определяемых назначением системы
и указанных в технических условиях. Кроме того, в зависимости
от назначения оптической системы могут появиться добавочные
условия самого разнообразного характера, которые заранее не
могут быть предусмотрены.
Расчет допусков производится на основании предположения,
что каждое отклонение конструктивного элемента от расчетного
настолько мало, что его влияние на положение и величину изобра-
жения объекта, на любые другие оптические характеристики, а
также на любую аберрацию оптической системы пропорционально
этому отклонению. При одновременном изменении нескольких
элементов результаты их влияний складываются; другими сло-
вами, к общему изменению приложима формула дифференцирова-
ния по нескольким переменным
dY = 4^- dx, + '"dx, Н----+4^ dx..
дхг 1 1 дх2 21 дхр р
В этой формуле F обозначает величины, определяющие габарит-
ные и аберрационные условия; Y является функцией от конструк-
тивных элементов xlf х2> х3, . . хр.
471
Это правило хорошо выполняется для тех параметров, которые
не нарушают симметрии оптической системы; в остальных случаях
требуется осторожность (подробнее об этом см. п. 6).
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Существует два основных пути для определения частных про-
изводных. Первый путь — составление этих производных на ос-
новании соотношений между параметрами оптической системы и
положением изображения, фокусным расстоянием и другими га-
баритными элементами, выражаемых основными формулами парак-
„ п п' п' — п .
сиальнои оптики, например --------— = —-—. Аналогично
можно составить дифференциалы коэффициентов аберраций треть-
его порядка и хроматических аберраций по выбранным конструк-
тивным элементам или еще дифференциалы точек пересечения лу-
чей с плоскостью изображения в зависимости от параметров си-
стемы и т. д.
Второй путь — расчет хода лучей через оптическую систему,
каждый параметр которой последовательно меняется на некоторую
достаточно малую величину.
Зная изменение интересующих нас величин, например поло-
жения изображения, фокусного расстояния и других габаритных
элементов, а также различных аберраций системы, можно соста-
ДУ ДУ
вить отношения -т—, -т— и т. д. и принять, что эти отношения
дх, дхп
дУ дУ г-
равны искомым частным производным и т. д. 1 ромозд-
кость этого метода перестала быть препятствием после появления
ЭВМ.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНО ДОПУСТИМОГО ОТКЛОНЕНИЯ
ОТДЕЛЬНОГО ПАРАМЕТРА
После того как определено влияние каждого конструктивного
элемента на все габаритные и аберрационные свойства рассматри-
ваемой оптической системы, нетрудно определить максимально
допустимое отклонение величины каждого элемента (параметра)
от расчетной (в предположении, что все остальные параметры со-
храняют расчетное значение), исходя нз габаритных и аберрацион-
ных требований, предъявляемых к оптической системе. Обычно
требования к качеству выражаются либо в виде предельной вели-
чины диаметра кружка рассеяния, либо в виде минимального зна-
чения разрешающей способности, выраженной в линиях на милли-
метр, либо в виде величины частотно-контрастной характеристики.
472
С помощью общих соотношений, приведенных в гл. X, илн в ре-
зультате прямых вычислений ЧКХ, илн путем определения зави-
симости ЧКХ от конструктивных элементов в рассматриваемой
системе можно выяснить, каковы максимально возможные изме-
нения каждого в отдельности конструктивного элемента системы.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ДОПУСТИМЫХ ОТКЛОНЕНИЙ
ПРИ СОВОКУПНОМ ДЕЙСТВИИ ВСЕХ ПАРАМЕТРОВ
ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
После того как определено значение максимально допустимого
отклонения каждого в отдельности конструктивного параметра
системы в предположении, что он один подвергается изменению,
необходимо перейти к определению допуска на него в естественно
встречающихся условиях, когда все элементы одновременно от-
личны от расчетных значений. Простое деление допустимого откло-
нения каждого элемента на общее число п элементов дает гарантию
того, что в наихудшем случае, когда значения каждого элемента
отличаются от расчетного иа максимально возможную величину
и все изменения действуют в одну сторону на то свойство системы,
которое послужило источником для вычисления допуска, ие будут
нарушены технические условия. Однако при таком делении допу-
стимые изменения становятся настолько малыми, что их техноло-
гически осуществить невозможно или крайне трудно. С другой
сюроиы очевидно, что случай сложения абсолютных значений
всех отклонений в одну сторону практически весьма мало вероя-
тен. Поэтому при выборе допусков целесообразно опираться на
теорию вероятностей н принимать во внимание также технологию
изготовления изучаемой системы.
5. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ
НА АБЕРРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Как было сказано выше, существуют два пути вычисления част-
ных производных от интересующих иас величин по параметрам
системы: прямой расчет на основании формул, связывающих те и
другие, н вычисление на ЭВМ конечных приращений этих же вели-
чин при конечных, но весьма малых изменениях параметров. Пер-
вый метод, разработанный уже давно для отдельных частных слу-
чаев, например для определения производных от фокусного рас-
стояния по радиусам, описан ещеуМ.РораП 1. Наиболее полно этот
метод исследован в статье Н. Н. Губеля 12], формулы которого
приведены ниже.
473
Формулы, выведенные в гл. II для аберраций третьего порядка,
можно представить в следующем самом общем виде:
пЛбг; ю « (зи’ + й’)ш, «
-2т- = —
+ ^f3SIIl + ^IVU(iY'sv;
5>Р, 1 I ' Р« ' 1
п£.агво; йр(о2р+й2р) < йшш « £
—2 —тг.-------~з----?i + 2т
где
В = А-
Р’ х,’
р и q — номера двух произвольно выбранных сред.
Коэффициенты аберраций имеют следующий смысл:
г=1
1=1
/=1
474
причем Pi = (—(а 5г) -; иИваРиант (%i — .
\ V/,
В таком виде формулы обладают наибольшей общностью; каж-
дый из индексов р, q, s может означать любой номер поверхности
системы; сама величина hs может быть любой высотой первого
параксиального луча в системе; аберрации 6g'( и 6G’. могут быть вы-
числены в любом пространстве оптической системы; формулы
пригодны для случаев телескопической системы и для систем с теле-
центрическим ходом лучей.
При таких же условиях можно вычислять и хроматические
суммы:
/==1
1 = 1
В формулы для производных, кроме того, входит хроматиче-
ская сумма в плоскости зрачка
st? = § f
Z=1
и, наконец, первая сумма в плоскости зрачка
1=к
При расчете фотообъективов удобно положить h& = hx = f =
= 1, тогда формулы принимают более простой вид; при этом
р = к+1; <7=1; at = 0.
Для прочих систем (крометелескопических) приах 0 удобно
положить ак+1 - +1; ns = hK = 1 = s'K, a (J, ~ 4-1; = xv
Ниже приводятся все формулы для производных от пяти моно-
хроматических сумм Si, Sn, 5ш, Slv и Sv, двух хроматических сумм
Sf₽ и Sjf и, наконец, от фокусного расстояния или увеличения
любой оптической системы по параметрам di и pz.
Всего получится шестнадцать формул—восемь для производных
по di и восемь для производных по pt- = При выводе формул
предполагается, что действующая апертурная диафрагма нахо-
дится перед первой поверхностью системы.
Выражения производных no
1 1 д(Р) _ ,g, / Ркч P/+I
' Mi - IP1 к а,., а;.! ) ’
А- = з (-Ьи- - - -&11Л s + 4 A±l
. ddi \ ак+1 а/+1 ) 1 а,*г
— 4Sn —J
/4-1
а*+1 ~ д/+1 _
fy + l
3 1 _ о ( Р**1 _______ fy+i \ । ( fi<*i \2 о j.
d- b't V - 2 к аК+1 ) + U+1)
I Q JV*1 С ПС 19 I Q 70Л+1аК*1------------------ Рй1а/ + 1 .
2 __ г>п — б Ощ — </ т-—olV— J-------------г---------
a»*i Hi hi ЯМН1 rti’1
4. _L^i” = (Ail _ АиЛз +2('AiVs,I —
ddt \aKtt а>*1 Л ш . \“<»1/Ж
— 2S у — 7 A±lAli+l.
н-i fti»i
5.
i aslv = / pB<1 \ j
6' dd, \ a«,i ai4,/1iv’
(VIII.1)
7.
i аз? /р,., p
й' ddi \ак+1 а
+ 2 Анзг-г&Г
_ (dn);,,j .
1 ss" - - fAHV
т & -Д'-
Выражения производных по р,-:
1 J_ = ± AlPI 4 .□] f Ph I
' b, «Pi 6 <M< +1р1и,.,
8.
2 -L^! 1 ^Si
b{ fyi — b] ddt
\az+i
-F-) s>
Й/+1 / /4-1
— ^6
476
(VIII.2)
Более подробные исследования показали, что при расчете вто-
рого параксиального луча от бленды, т. е. прн условии, что дей-
ствующая апертурная диафрагма находится внутри системы, ча-
стичное суммирование отдельных коэффициентов выполняется не-
сколько иначе, а именно: для производных по поверхности и тол-
щинам линз, находящихся перед действующей диафрагмой, оно
выполняется от 1 до it а для линз, находящихся за диафрагмой,
сохраняется таким, как указано в тексте.
477
В этих формулах
At = a-t
Смысл остальных величин объяснен выше. Суммы, обозначеи-
к к
иые Si, Sn и т. д., представляют собой полные суммы всех слагав-
1 i
к к
мых для всех поверхностей системы (от 1 до к); суммы Sb Sn и т. д.
«+1 t-f-i
представляют собой суммы, относящиеся к части системы, состоя-
щей из поверхностей от {I + 1)-й до последней, /с-й; при определе-
нии производной, иапример по р3, указанные суммы нужно вы-
числить от 4-й до последней, «-й, поверхности.
В формулы (VIII.1) и (VIII.2) входит величина 1р]—ли-
нейное (или поперечное) увеличение системы, равное
о п d[61 df
В том случае, когда at = 0, можно показать, что
а также — откуда формулы (VIII.1 и VIII.2) прини-
мают вид
1 df = /ркн _ fr+i \ . _L^f_ =
b'. dd£ \ax+1 at+1 / * b£ dp{ \ abJ h£ J ’
Формулы (VIII.1) и (VIII.2) без большого труда поддаются
программированию на ЭВМ 1, поэтому, несмотря на кажущуюся
1 В частности, такая программа разработана в ГОИ для машин «Урал-2»
(программа № 14) и БСМ-4.
478
громоздкость, вычисления частных производных могут быть осу-
ществлены быстро. Метод непосредственного расчета частных про-
изводных позволяет получать более точные значения производных,
чем метод расчета конечных разностей, описанный ниже. Приве-
денные формулы дают возможность осмыслить влияние того илн
иного параметра отдельно и в случае необходимости повлиять
в нужную сторону на интересующую в данный момент производ-
ную. В качестве примера использования метода расчета частных
производных приводим результаты расчета частных производных
от всех сумм SIt . . Sy по третьей толщине d3 и кривизне р3
третьей поверхности трехлинзового объектива с фокусным рас-
стоянием f = 200 мм и следующими значениями конструктивных
элементов и сумм Зейделя (рис. VIII.I):
г 289,64 —104,28 -77,76 —140,32 -94,89 —85,40 = 200,0; d п 1,0 S, = 1,6307 6,0 1,57828 S»- —0,2247 12,0 1,0 Sin =—0,3369 4,0 1,57828 SIV = 0,62l 5 36,0 1,0 Sv = — 0,8841 6,0 1,57828 s' — 147,68 при Sj --= oo; f1 — h{ = l;«g = 1
J = — 1 A, = — 24,846
а3=^ 1,3127 B, = 24,398
С3 2,7530 D3 = — 23,652
Ь^=—0,01578 £'.,= 22,830
Гб3 = _ 0,4709
-^- = — 1,1375
ddz ’
-^- = —2,2952
odz
4г1 = 4,8485
ddz ’
= 0,0575
dd3
^=-7,5515
ddz
11,99
«Эра
- 13,47
0p3
^111=13,14
дрз
412. = 0,06406
Spa
-^ = — 12,66
фз
Второй метод, наиболеераспространенный, состоит в определе-
нии разностей аберраций, полученных в результате расчета хода
479
лучей (обычно с помощью ЭВМ), выполненного для слегка изме-
ненных (по отношению к расчетному) значений исследуемого кон-
структивного элемента. Обычно изменяют его значение в обе сто-
роны на равные величины со, что, с одной стороны, обеспечивает
контроль, а с другой, — позволяет определить и вторую производ-
ную по разности первых разностей. Напомним, что вторая произ-
водная [* (х), вычисленная для значения аргумента х = а, свя-
зана с разностями А/ (а) и А2/ (а) формулой
со2/" (а) = А2/(а)-А3/(а) ....
где со — величина интервала меж-
ду соседними значениями аргумен-
та, а А/ (а), А2/ (а), А3/ (а) —
разности первого, второго и третье-
Рис. VIII.1
го порядка соответственно.
Разности А/ (а) и А2/ (с) в этой формуле следует понимать,
как указано ниже.
Аргумент
а
а + со
а + 2со
Функция
На)
/(а + <о)
/(а + 2ш)
Первая разность
ДПа) = Af(a+ «)-/(«)
Д/(а + о») =
= д/ (а + 2<Л>) - f (а г <>)
Вторая разность
Л2Ж =
= Д/ (а 4- 2ш) —
— 2f(a + a>) + f(a)
Если имеется лишь три значения функции, рассчитанные для
трех значений аргумента, то А3 определить нельзя и приходится
положить его равным нулю. Тогда f (а) = А .
Что касается первой производной, то она вычисляется по фор-
муле
а>Г (а) = Af (а) - -1- Д^(а) + -у А'7 (а).
Очень существенно правильно выбрать величину со, т. е. при-
ращение рассматриваемого параметра. При слишком малом зна-
чении со приращение функции тоже мало, и разности А малы,
„ Ы (а)
следовательно, величина производной - - получается с боль-
шой погрешностью. Если приращение со слишком велико и вели-
чины А велики, то величина А3/ (а) тоже еще велика и прини-
мать ее равной нулю нельзя. Существует оптимальное значение со,
при котором получается наибольшая точность, но заранее пре-
дугадать его невозможно, поэтому приходится воспользоваться
методом проб.
Для уменьшения числа проб необходимо заботиться о том,
чтобы значение функции f (а) было известно с максимальной точ-
ностью; это зависит от числа верных знаков, которые может
дать используемая ЭВМ.
480
Надо отметить, что большая точность необходима только для
автоматического усовершенствования оптической системы по ме-
тодике, описанной в гл. VII. Для вычисления допусков можно
удовлетвориться и небольшой точностью, так как погрешность
в 20—30% в их величине не имеет практического значения.
Метод конечных разностей обладает рядом преимуществ. По-
скольку он основан иа расчете хода лучей, при котором осуще-
ствляется двухкратный контроль (см. гл. I, формулы Федера
для ЭВМ), то наличие ошибок практически исключено, тем более
что всякая даже небольшая ошибка не может пройти незамечен-
ной, так как приращения функции в ту и другую стороны должны
быть почти одинаковыми, но ‘с противоположными знаками.
6. де центрировка
При изготовлении оптических систем неизбежна децентрировка,
вызванная как неточным изготовлением отдельных деталей (линз,
зеркал), так и нестрогой сборкой, в результате которой центры
отдельных деталей не ложатся
точно иа одну прямую, а оказы-
ваются смещенными относительно
иее.
Рассмотрим подробнее влияние
децентрировки на изображение
объектов, создаваемое оптически-
ми системами.
Исследуем наиболее простой
случай: поворот одной поверх-
ности. Пусть центр кривизны пер-
вой поверхности K.DC линзы L
(рис. VIII.2) смещается вниз на
величину Н0г = если вторая
поверхность КРС при этом не
претерпевает изменения, то опти-
ческая ось линзы, ограниченной
этими поверхностями, поворачи-
вается, принимая новое положе-
ние 0г0ч. Объект АВ, который
стоял перпендикулярно оси в ее
первоначальном положении, ста-
новится наклонным относительно нового ее положения. Изобра-
жение А'В' также наклоняется, так как по правилам геометр^е-
ской оптики продолжения объекта АВ и его изображения А'В'
должны пересечь соответственные главные плоскости лиизы на
одинаковых высотах (при бесконечно тонкой линзе точка пересе-
чения этих продолжений находится на общей главной плоскости
линзы, совпадающей с перпендикуляром к оси 0j08, проходящим
31 г. Г. Слюсарев 481
через края линзы). Поскольку оптическая ось лннзы повернулась,
углы главного луча с осью изменяются, а вместе с ними изменяются
и аберрации. Точка А' изображения становится внеосевой, что
вызывает в первую очередь появление комы, пропорциональной
углу поворота а и квадрату относительного отверстия линзы.
Таким образом, главными следствиями децентрнровкн одной
поверхности являются кома точки иа осн и наклон изображения.
Последний сильнее всего сказывается на краю поля и проявляется
в виде поперечной аберрации, пропорциональной первой степени
апертуры и первой степени децеитрнровки bv Формально эта
аберрация напоминает комбинацию астигматизма и кривизны
поля, но поскольку она не третьего порядка малости, а второго, то
оказывает несимметричное действие на изображение точки н скла-
дывается с эффектом комы. По этой причине при вычислении влия-
ния децентрировки иа качество изображения необходимо прове-
рить изображение точки как на оси, так и для двух противополож-
ных крайних значений угла поля зрения.
Эта проверка может быть выполнена двумя способами. Можно
заменить точное определение аберраций с помощью расчета хода
лучей вычислением аберраций третьего порядка децентрнрован-
ной системы, считая величины децентрнровкн b бесконечно ма-
лыми. По этому пути пошли Конради [3] и Н. Н. Губель [4], фор-
мулы которого будут далее приведены. Можно также использовать
точный расчет хода лучей через децентрированную оптическую
систему.
Независимо от того, какой способ расчета будет применен, не-
обходимо договориться о том, как понимать децентрировку опти-
ческой системы. Трудность заключается в следующем. Пусть в рас-
сматриваемой системе определяется влияние децентрировки к-й
поверхности на аберрации. После «-й поверхности оптическая ось
системы ломается и параксиальный луч, совпадающий с оптиче-
ской осью до поверхности к, перестает быть параксиальным для
остальной части системы, начиная с /с-й поверхности (если условно
считать, что во всей системе лишь «-я поверхность децентрирована,
а все остальные остаются на месте). Поэтому параксиальные лучи,
идущие из точки, находящейся в центре поля зрения, после «-й по-
верхности пересекают плоскость изображения в точках, находя-
щихся на некотором, отличном от нуля, расстоянии от оси. Эти
точки, являющиеся предметами для последующей, центрирован-
ной, системы, начинающейся с к + 1-й поверхности, изображаются
этой системой уже не по законам параксиальной оптики, а обла-
дают аберрациями наклонных пучков, в первую очередь — комой.
Таким образом, приращение б аберрации dg’K, вызываемое де-
центрировкой, при переносе в пространство изображений всей
системы (от 1-й до р-й поверхности) состоит из двух частей: пер-
вой бп которая может быть вычислена на основании закона Лаг-
ранжа—Гельмгольца, и второй б2, представляющей собой кому,
482
вызываемую тем обстоятельством, что отрезок tig' находится на не-
котором расстоянии /' от оси (рис. VJII.3).
В то время как зависит только от параметров поверхности к
(радиус кривизны гк, показатели преломления пк и и вход-
ных данных (<ож, Ьк), 62 зависит от параметров всей системы, на-
чинающейся с к + 1-й поверхности.
Это обстоятельство усложняет вычисление аберраций, вызы-
ваемых децентрировкой, особенно в случае их определения путем
дифференцирования выражений для коэффициентов аберраций
третьего порядка по величине Ь. Тем не меиее, в отечественных
вычислительных отделах стало общепринятым определять вея-
ние децентрировок отдельных . £ т
поверхностей именно таким / \ I / \
образом, т. е. считая, что ( | \ | ]
центры всех поверхностей, за f 1 V I 1
исключением одного, лежат \ / к4 !р
иа оси. Сложность определе- '
иия влияния децеитрировки Рис- VIIL3
по описанной методике вызы-
вает иногда сомнение в законности алгебраического сложения
аберраций, создаваемых не одной децентрированной поверхностью,
а одновременной децентрировкон нескольких поверхностей; но
точное вычисление показывает, что оснований для подобных сом-
нений нет, если только не выходить из пределов величин первого
порядка малости.
При изготовлении оптической системы ошибки децентрировки,
естественно, носят случайный характер, иначе говоря, смещения Ьк
центров кривизны относительно осн произвольны как по абсолют-
ному значению, так н по направлению, т. е. Ьк представляет собой
вектор. Но для вычисления допустимых величин децентрировок
делается упрощающее предположение, что все Ьк лежат в мери-
диональной плоскости. При этом, как это легко доказать для слу-
чая аберраций третьего порядка, составляющая bg' аберрации,
вызываемой децентрировкой, принимает максимальное значение
по абсолютной величине. Поэтому определение допустимых зна-
чений децентрировок на основании величин $gD является право-
мерным (т. е. не может привести к большим аберрациям), если
при одновременной децентрировке нескольких поверхностей
общая аберрация равна алгебраической сумме составляю-
щих.
Рассмотрим сначала предложенные Н. Н. Губелем формулы
для определения влияния децентрировки b на коэффициенты
пяти аберраций третьего порядка и двух хроматических абер-
раций.
Децентрировка сопровождается смещением изображения А/.
Если точка-объект находится на оптической оси системы, то
31* 483
величина At/' определяется формулой
(VIII.3)
VP
Кроме смещения изображения децентрировка одной или не-
скольких поверхностен вызывает появление четырех монохрома-
тических аберраций, проекции которых определяются следующими
формулами:
- 2MS-;=a i (3<»;2 4- n?) (5n) i + 21»;®! [з ($„,) +
+ J2 (Siv)J -F (S,п)i + Ю1 [3 (Sy)z -h J2 (Sivh] +
+ ^?[(Sv)/+ ^(Siv);]!;
— 2zix6G = A {2<охЙх (5n)i + 2Qx®i [(5ni)j 4~
+ J1 (SIV)i] + 2a>>i (S,u)( + 2вдГ! (Sv)i|
или, полагая bt- = —Qrh
(Зю? + йх) r, (5n)i +
4- 2шх®1Г1 [з ($ш)i 4" J2 (5iv)J +
4- 2ItVXr, (Sih), + [3 (Sv), 4- A5IV)i] +
+r?n[(Sv)i+/(Sn-)<]|;
2»Ж = А |2а>Хп (Sn),- 4-
4~ 2ЙХ®1Г/ [(Siu); 4- J2 (Siv)i] 4*
4- 2aKWiri (Sin),- 4~ 2®ilVin (Sv)/})
(VIII.4)
(VIII.5)
где bi — малое поперечное смещение центра кривизны поверх-
ности с номером i в меридиональной плоскости; 0t- — малый угол
поворота поверхности с номером i вокруг оси, перпендикулярной
меридиональной плоскости, проходящей через вершину поверх-
ности t; 8gK — меридиональная составляющая аберраций второго
порядка; 6GK— сагиттальная составляющая аберраций второго
порядка.
484
Надчеркнутые коэффициенты S имеют следующий смысл:
(Sn)/ = (Рл)/ (Si)/ — (Д^л)/ S, - (ал)/ (Sn)/ + (Дал)/ Sn;
Ж ж
(Sin)/ = (pn)/ (Sn)z — (Арп)/ Sn — (ал)/ (Sni)/ 4~ (Дал)/ 5Ш-
z+l Z+1
(Siv)/ = —(ал)/ (Siv)/ 4~ (Дал),- SJV;
z+i
(Siv); = фл)/ (5ТУ)/- (Д^л)/ SIV;
Ж
(Sv)/ =- (pn)/ (Sin)/ — (ДРл)/ Sin — (ал)/ (sv)z 4~ (Дал), Sv,
Ж Ж }
(VIII.6)
если децентрнрованная поверхность расположена за апертурной
диафрагмой.
Коэффициенты S имеют иной вид, если апертурная диафрагма
расположена за децентрированиой поверхностью, а именно:
(Sn)f = (Af}n)pSi— (ал)/(Sn)(-4-(Дал)/ Sm
i z+i
(Sinh = (Арл)/5ц —(an)i (Sni)z + (Аал)/ Sm;
i ж
(S[v)i = — (an)/ (Siv). + (Дал), Siv ;
Ж
(Siv). = (AfJn)/SIV;
i
(Sv)/ = (Apn)/Sm —(ал)/ (Sv)z + (Аал)/ Sv.
i ж
Если в системе децентрирована только апертурная диафрагма,
т. е. ее центр смещен с оптической осн на величину Ьь то возни-
кающие при этом аберрации второго порядка нужно вычислять
по формулам (VIII.4), считая надчеркнугые коэффициенты S рав-
ными следующим выражениям:
(Sn) / = (лР)^_|_151;
(Sm)/ = (лр)ж*3ц;
(Siv)z ~ 0;
(Siv). — (л0)ж*$1У
(Sv)/ — (л₽)ж^нь
(VIII.7)
(VIII .8)
485
где q — номер поверхности, за которой расположена действую-
щая апертурная диафрагма.
Формулы (VIII.4) и (VIII.5) применимы для любой оптической
системы как при бесконечно удаленном объекте (фотообъективы,
астрономические объективы и т. п.), так н прн объекте, располо-
женном на конечном расстоянии от системы (объективы микроско-
па, проекционные объективы и т. п.).
Хроматическая разность смещений изображения нли хромати-
ческая аберрация увеличения, возникающая в центре поля при
децентрировке поверхности с номером I, вычисляются по формуле
= (vin.9)
арпр
При сборке и исследовании фотографических и астрономиче-
ских объективов большое значение имеют две аберрации второго
порядка, возникающие при децентрировке поверхности с номером i
на величину это меридиональная кома, определяемая коэффи-
циентом (Sn)j, н наклон плоскости изображений, почти всегда
сопровождающийся линейным по полю астигматизмом, которые
определяются соответственно коэффициентами (Siv)i и (SIH)t-. Из
формул (VIII.4) получаем для меридиональной комы
д^= 4- (VIII.10)
Пользуясь формулами (VIII.4) или (VIII.5), можно исследо-
вать аберрации, определяемые коэффициентами (Sni)t и (STV)f. Ис-
следование показывает, что астигматические фокальные линии
располагаются в двух наклонных плоскостях, проходящих через
центральную точку поля, перпендикулярных меридиональной
плоскости. Существует третья наклонная плоскость, проходящая
между указанными плоскостями, в которой фигуры рассеяния
имеют форму кружков н которую можно назвать «наилучшей»
наклонной плоскостью изображений; можно показать, что малый
угол фр наклона этой плоскости (относительно плоскости изобра-
жений в центрированной системе) определяется (в минутах) фор-
мулой
[<РРГ = 3438 +-(SIV),.|. (VIII.11)
Очевидно, что если в системе фотографического объектива де-
центрнроваи ряд поверхностей на одну и ту же величину Ь{, т. е.
целый компонент, состоящий из р поверхностей от i-й до (1-\-р—1)-н,
то нужно просто просуммировать коэффициенты, определяемые
формулами (V1II.6) нли (VIII.7), относящиеся к указанным по-
верхностям, т. е. в формулы (VI11.4) подставить вместо (5ц)ь (5щ)<
486
и т. д. соответствующие суммы этих коэффициентов, а именно:
Z+p—l 1 _ _
Sn = S (5п)и вместо (Sn),;
I Ц=/
i±P—1 n=t+p—1 _ _
Sm = S (5ш)|* вместо (SIU), и т. д.
Аналогичным образом можно использовать формулы (VIII.5)
для вычисления аберраций при малом наклоне какого-либо ком-
понента в системе; для простоты предположим, что поворот ком-
понента происходит вокруг вершины его первой поверхности.
Тогда, пользуясь формулой (VIII.3), имеем
Ц=/+Р—1
[6]' VT (Лап) Ц .
3438 fa “Л
(VIII.12)
где
(VIII.13)
и угол 0 выражен в угловых минутах.
Из формул (VIII.5) получаем для меридиональной комы
оЛ5")» (Vin.14)
н для наклона плоскости «наилучшего» изображения
[фр]' = --фЬ £ ru[2(Sni)u+.(Slv)uJ. (VIII.15)
(1=1
В формулах (VIII. 12), (VIII. 14) и (VI11.15) могут встретиться
плоские поверхности; тогда для соответствующего слагаемого
эти формулы не пригодны, так как ru —♦ <х>; в этом случае легко
487
найти пределы и подставить в суммы следующие выражения:
lim [ru (Дап)ц] = (Дп)и/';
lim [Гц(5п)ц]-/' — пА(5п)ц —
I
— Дзд Sj + ДпцЛц Sn ;
u+i и ц+1 J
(Su.W = Г рЛ(5п)и-лЛ(«ш),1- (VIIL16)
— Д^рУ^ 5ц + Д^цЛц S1U ;
И+1 н р+1 J
lim [гц (SIV)^1 = — f (•Siv')
Лц'*в0 V^T> p-f-l у
Формулы (VIII.4) и (VIII.5) позволяют вычислить аберрации
второго порядка, возникающие при децентрировке, для всех прак-
тически интересных случаев, в том числе и для телескопических
систем, если выразить аберрации Sg' и 6G' в угловой мере и соот-
ветствующим образом вычислить коэффициенты аберраций.
Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда си-
стема состоит из бесконечно тонких компонентов. Формулы
(V1IJ.4) и (VIII.5) можно применить к оптическим системам, со-
стоящим из любого числа бесконечно тонких компонентов, состав-
ленных из любого числа склеенных или несклеенных бесконечно
тонких линз, если компоненты отделены друг от друга конечными
воздушными промежутками.
Надчеркнутые коэффициенты S, определяемые формулами
(VIII.6) или (VIII.7), значительно упрощаются при суммировании
по всем поверхностям бесконечно тонкого компонента с номером i,
и для аберраций, возникающих при смещении компонента на ве-
личину Ь{, можно применить формулу (VIII.4), если вместо коэф-
фициентов (Sn)f, (Sin)/ и т. д., определяемых по формуле (VIII.6),
подставить следующие их выражения:
(^п); — — JP{ + -f- (а — а) 5ц — ф'—0) Sj I
Hi Hl
(Зш)< = -J JL P, + J2 -L-IT, +- а (J W, - ЛФ,) -
И Sn-Sin);
\ H’ Hl /
_ v=p
(Sivh = — a(Dzji£ + (a' — a) 2 JtyOv;
V-/+1 I
(VJI1.J7)
488
2 ($1Ц), + J1 (SIV)< = - 2 J-f P, + 2J»4 W, +
+ a ( 2 J -%- Wt — 2У2Ф, — /2л,Ф j —
— (v Ai — «ш — J2 % nv<Dv')>
\ n Ж <+1 j
где a — угол первого параксиального луча до преломления на ком-
поненте с номером 1\ а' — угол того же луча после преломления на
компоненте i\ Р(, и лг — параметры компонента с номером I;
эти параметры могут быть, очевидно, выражены и через основные
параметры компонента i по формулам (Ш.25); Ф»—оптическая
сила компонента I в системе; h, у — высоты первого и второго па-
раксиальных лучей на компоненте с номером i\ р — угол второго
параксиального луча до преломления на компоненте I; р' — угол
р р р
того же луча после преломления; SJt STl и Sin — суммы, относя-
z+l i+l £-+1
щиеся к компонентам, расположенным за децентрированным ком-
понентом с номером I, — от компонента с номером (I 4- 1) до по-
следнего, с номером р, т. е.
р v^p р у=р
Si= S ш s„= s (yypy-jwy)-,
Ц.1 V=l'+1 i+1 Vs=f-J-I
Еще проще выражаются коэффициенты аберраций децентри-
ровки при повороте компонента с номером i на малый угол 0/
вокруг вершины; в этом случае аберрации можно вычислить по
формулам (VIII.5), если вместо произведений rz (5И)/, (5ш)/ и
т. д. подставить суммы этих произведений, выполнив суммиро-
вание по всем поверхностям компонента с номером I, т. е.
S '„(Sn),, = •№№,;
Ц=1
s' '•ц (5ш)и = JyW, - (a' - а) Л
Ц=1
Е (ЗД„ = (a' — a)(I — я();
Н=1
2 “s Гц (Sni)g + j‘ ‘S (Siv),, = 2Ру^ -
11=1 11=1
— (а'—a) J2(I 4-jrf),
(VIII.18)
489
где t — число поверхностей в компоненте с номером i; Wi, —
параметры компонента с номером г, а, а', у, h — имеют смысл,
указанный выше.
Меридиональную кому при смещении компонента i на вели-
чину Ь{ можно вычислить по формуле (VIII. 10), подставив (5ц),
из формул (VIII.17), а смещение центральной точки поля легко
найти по формуле (VII 1.3), выполнив суммирование по всем по-
верхностям компонента i:
\ур = -ii-r- V (Дап) = -Ат-ЛФ,-. (VIII. 19)
«Л Z-I “рлр
ц==1
Наклон плоскости изображений определяется по-прежнему
формулой (VIII.11), если подставить выражение для 2 (5щ)/ +
+ J2 (^iv)z из формул (VIII.17).
При повороте компонента на угол меридиональная кома и
наклон плоскости изображений определяются соответственно по
формулам (VIII. 14) н (VIII. 15), если суммы подставить из формул
(VJIJ.18). Что касается смещения центральной точки поля при
повороте компонента, то из формулы (V1JJ.12) видим, что сумма
у. д =
Xj аР% XU
н=1 и=1
= -4-Т- V (Дп)ц = -Др- (П,^ - л,),
арПр XbJ Vp
т. е. равна нулю, если компонент i окружен воздухом н п/+1 =
= Пд = 1. Этот результат очевиден, поскольку бесконечно тон-
кий компонент i поворачивается вокруг вершины своей первой
поверхности, т. е. вокруг своей узловой точки, а такой поворот
не может вызвать изменение угла между падающим на компонент и
выходящим за компонентом i центральным лучом.
Все перечисленные формулы могут быть применены н для не-
сферических поверхностей. При этом под величиной г следует по-
нимать радиус кривизны в вершине поверхности, а за центр кри-
визны принимать точку, отстоящую от вершины на расстоянии г.
Приведем численный пример, заимствованный из статьи
Н. Н. Губеля [4]. В табл. VIII.1 приведены конструктивные эле-
менты объектива типа «Индустар» (f = 50; 1 : 3,5). Изменение
положения плоскости изображения и величины меридиональной
комы при смещении поверхностей и компонентов (линз) на Ь( =
= 4-0,10 мм показано в табл. VIII.2, то же при повороте линз
или компонентов на угол 0/ = —10*— в табл. VIII.3.
490
Сложность приведенных выше формул для производных абер-
раций по поперечному смещению центра кривизны поверхности
в какой-то степени лишает их нагляд- Таблица VIII.1
ности. Автором 15] был предложен более грубый, но простой способ оценки влия- ния децентрировки на качество изобра- жения, в большинстве случаев обеспе- ri di п
17,10 1.0
чивающий точность, достаточную для со 2,7 1,6126
определения допустимой децентрировки. —33,57 4,18 1,0
Предположим, что все поверхности 14,56 1,05 1,5749
оптической системы (рис. VI11.4) хорошо 346,7 5,05 1,0
центрированы, за исключением послед- ней О 01; ее центр находится на рас- стоянии Ьр от оси. Пусть гр—ее радиус; 15,0 1,20 1,5294
—23,55 4,70 1,6126 1,0
А'—изобр ажение точки на оси, даваемое всей системой, за исключением послед- Х1= _2,30; = = —2,75
ией поверхности. Для поверхности О Oi
Т а б л и ц а VII 1.2
№ децентриро- ванной по- верхности i № децентри- рованной линзы Смещение центра поля изображений Величина меридио- нальной комы в центре поля Угол наклона плоскости изображений
в рад в мин
(1) +0,1877 +0,0320 —0,0058 —20
(2) 0 0 0 0
(1+2) 1 +0,1877 +0,0320 —0,0058 —20
(3) —0,0709 —0,0231 —0,0080 —27,5
(4) —0,1604 —0,0401 +0,0129 +44,3
(3+4) II —0,2313 —0,0632 +0,0049 + 16,8
(5) +0,0065 +0,0004 +0,00005 +0,2
(6) +0,0239 +0,0087 —0,00252 -8,7
(7) +0,1132 +0,0273 +0,0083 +28,5
(5+6+7) III + 0,1436 +0,0364 + 0,00585 +20
Т а б л и ц а VIII.3
№ . поверхности № компо- нента Смещение центра поля изображений ч Величина меридио- нальной комы Угол наклона плоскости изображений <рр
в рад в мин
' (1+2) I +0,0056 +0,0016 —0,0139 —47,8
(3+4) 11 —0,0036 +0,0044 +0,0137 +47,1
(5+6+7) 111 +0,0191 —0,0059 .—0,0049 —17,1
491
точка Л' играет роль предмета; но она оказывается не на оси, а на
расстоянии от иее lp = sp где sp — расстояние от А' до вер-
шииы поверхности р. Угол wp == — очень мал, поэтому можно
считать, что изображение точки А’ вследствие децентрнровкн будет
обладать комой — аберрацией, пропорциональной первой сте-
пени угла wp и второй степени апертурного угла сор. Аберрациями
более высокой степени малости относительно w можно пренебречь.
Эта кома, происходящая от децентрировки, вычисляется со-
вершенно так же как кома внеосевых пучков для центрированных
оптических систем.
В гл. II была выведена фор-
мула для аберрации одной
поверхности. Применяя ее к на-
шему случаю и полагая Sj =
= 5Ш = S1V = 0, рассмотрим
лишь кому, обусловливаемую
коэффициентом Sn. Переходя от
величии а и 0 к более удобным
для данной цели величинам
—с помощью ранее дока-
о'
Рис. V1II.4
занных
Да
тт
соотношений
= -AQs;^-
А —
п
Д —
n
— yQx;
ns
получаем
2n,dg'(t/____________$mp
hi ~ (хр — Sp)3
^PxpQxQ^ ns •
В нашем случае (х„ = 0) = п (--------—) обращается
и \ гр хр /
в бесконечность, но произведение xpQx = 1) = — п
конечно.
$2 /
Ввидутого, что Хр = 0; тр = hp, = 1;
HpSgpOip = -g- riphpWp (- / , , j.
2 ' гр > \ Vp “A !
Возвращаясь к переменным а, после несложных преобразова-
ний получаем аберрацию децентрировкн £>gp, умноженную на пр(ор
с целью образования инварианта Лагранжа—Гельмгольца
^р^§р^р — —'WphptT.pWpfHp ,
492
причем индекс может быть любой. Произведение wpnp = wpnp
является инвариантным по отношению к рассматриваемой поверх-
ности. Величина h,p есть высота точки пересечения крайнего луча
пучка с поверхностью р; Wp рассчитывается в предположении,
что ар = 1; wp — наклон поверхности относительно ее первона-
чального положения (угол поворота ее).
Выполненный для р-й поверхности вывод применим для лю-
бой к-й поверхности с той только разницей, что аберрация 6g'
получается не в последней среде, а в среде с номером к. При пе-
реносе аберрации в последнюю среду возникают указанные ранее
препятствия: если принять, что последующая за «-й поверхностью
система центрирована относительно общей оси, то она, помимо
увеличения аберрации 6g' согласно формуле Лагранжа—Гельм-
гольца, вносит еще дополнительную кому вследствие того, что
изображение после поверхности к находится вне общей оси.
Чтобы избежать этого осложнения, систему поверхностей к + 1,
к + 2......р, рассматриваемую как самостоятельный центриро-
ванный компонент, вращаем вокруг точки пересечения ее первой
(т. е. к + 1 поверхности всей системы) поверхности с общей
осью предыдущей системы на такой угол, чтобы изображение
точки А' оказалось на оси предыдущей системы. При таком рас-
положении этой оси исчезает дополнительная кома 62, а кому 6gp
в пространстве изображений можно вычислить по формуле
6g'„ =
2 "Л
Такой прием может показаться условным, но, по существу, он
не более условен, чем общепринятый, согласно которому ось счи-
тается общей для всех поверхностей кроме децентрнрованных.
Простота формул, определяющих значение комы при децентри-
ровке, позволяет еще в стадии предварительных расчетов опреде-
лить чувствительность отдельных поверхностен, так как вели-
чины W известны уже на стадии вычисления коэффициентов абер-
раций третьего порядка. В некоторых случаях излишняя чувстви-
тельность недопустима (например, если прибор подвергается
вибрациям, толчкам и большим ускорениям), и система, в кото-
рой величины W превышают некоторую предельную, должны
быть забракованы.
Предложенный здесь упрощенный метод определения влияния
децентрировкн страдает одним недостатком: с его помощью невоз-
можно определить суммарное влияние децеитрировок нескольких
поверхностей, так как при этом методе оптическая ось терпит
разрывы н, следовательно, наклон каждой последующей за де-
центрированной поверхностью осн не произволен, а завнснт от
наклона предыдущей поверхности. Но при определении допусков
достаточно знать влияние децентрировки каждой поверхности
493
в отдельности, поэтому указанное отрицательное свойство ие
имеет практического значения. Другой недостаток упрощенного
метода состоит в том, что он может быть применен лишь для точки
на оси, следовательно, не может дать сведений о величине аберра-
ций децентрнровкн на краю поля зрения, а поэтому пригоден лишь
для систем, обладающих малым углом поля зрения.
Второй п наиболее распространенный метод вычисления допу-
сков на децентрнровку поверхностей опирается на расчет хода
лучей через систему, в которой одна из поверхностей (к) децентрн-
роваиа на определенную величину Ьк, и вычисление возникающих
м из-за децентрировки аберра-
ций. Вектор Ьк принимается
/ лежащим в меридиональной
/ плоскости, при этом аберра-
' / ция оказывается максималь-
I ной по абсолютному значе-
---------- * * нию- Обычно расчет хода
*---------рк * лучей выполняется на ЭВМ
1„ по формулам Федера, изло-
жениым в гл. I, с небольшим
Рис. VIII.5 добавлением, вызванным де-
центрнровкой.
Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай децентри-
ровки одной сферической поверхности. Пусть вершина Мк
(рис. VJ11.5) я-й поверхности поворачивается на угол 0К вокруг
некоторого центра вращения Ок, находящегося на осн на расстоя-
нии 4 от точки Мк. Центр С2 поверхности переходит в точку С1к,
причем изменения координат этой точки равны: по высоте — Ьк =
= HKClK — (1К — rK) sin 6К; по абсциссе — = (4 — rK) X
X (1 — cos 0К).
Вычислив эти величины, можно продолжить расчет по обычным
формулам.
При повороте целого компонента применяется аналогичный
прием, на котором нет необходимости останавливаться. Расчет
выполняется для ряда лучей (двух или четырех), исходящих из
одной и той же точки-объекта, симметричных относительно глав-
ного луча и соответствующих различным значениям координаты т
на входном зрачке (обычно берут те же значения, что и для расчета
сферической аберрации). Производится также расчет луча, слу-
жащего продолжением осевого, который после я-й поверхности
перестает быть параксиальным. Ордината точки пересечения этого
луча с плоскостью изображения дает величину перемещения изо-
бражения в направлении, перпендикулярном осн. Между ордина-
тами точек пересечения всех остальных лучей н ординатой глав-
ного луча составляются разности. Эти разности сравнивают с раз-
ностями, полученными для пучка лучей, рассчитанного через
центрированную систему, и изменения этих разностей, вызванные
494
Таблица VU1.4
Параметры основной системы Величина изменения 6 (’С-- ~‘с) Oi=03; Л=9,3
6Д8' бТ[ в % 6*5 Ms’
г.= 19,099 га =г 57,54 г3= —80,17 г4 = 16,106 г6 = 84,14 гй= 19,099 г = —40.46 +1,0 +5,0 +5,0 +0,5 + 5,0 + 1,0 +2,0 +4,80 —1,76 +0,87 —1,81 +0,76 + 0,88 —1,95 +5,74 —1,88 +0,88 —1,79 + 0,67 +0,76 —1,52 +0,145 —0,028 +0,024 —0,041 +0,019 —0,018 —0,029 +2,07 —0,29 +0,39 —0,79 + 0,05 + 0,30 —0,35 +0,413 +0,020 —0,128 —0,169 —0,020 +0,074 +0,163 —0,09 —0,06 + 0,06 —0,04 +0,04 + 0,05 —0,03 —0,43 —0,11 +0,12 —0,02 +0,09 + 0,14 —0,03 —0,04 +0,02 —0,01 +0,01 0.00 0,00 0,00
ю ш со со ю о II IIIIIIIIII +0,5 + 0,2 +0,2 +0,5 + 0,2 +0,5 —0,41 —0,05 + 0,02 —0,34 —0,02 + 0,07 —1,17 —0,43 —0,17 —0,08 0,00 —0,02 —0,047 —0,023 —0,005 —0,009 0,000 +0,003 —0,43 —0,21 —0,06 —0,10 —0,01 +0,02 —0,012 +0,020 —0,019 —0,107 —0,027 —0,046 +0,06 +0,04 +0,05 +0,03 +0,01 +0,04 +0,15 + 0.10 +0,13 + 0,04 +0,03 +0.12 +0,02 +0,01 0,00 —0,03 —0,0! —0,01
= 1,7468 п4 - 1,6242 па ~ 1,5800 п7 = 1,7468 (nG' — nc)l~ 0.02307 (по,_-пс)4 = 0,02796 (nQ. — пс^ ~ 0,02458 («О' —пс)7~ 0.02307 +0,0100 +0,0100 +0,0100 +0,0100 +0,00100 +0,00100 + 0,00100 +0,00100 —0,83 + 1.23 +0,83 — 1,53 —0.97 + 1,23 +0,71 —1,27 —0,098 +0,120 +0,070 —0,129 -0,15 +0,34 +0,15 —0,20 —0,065 —0.023 +0,022 + 0,038 +0,0! +0.03 + 0,04 —0,04 +0,02 +0,05 +0,1! -0,13 f г г 1 О ООО 1111
Таблица VIII.5
Вид [децентрировки Величина децентри- ровки о,=о0 at=-15° <Ti=0° <j, = —15’
ЛП, у' У'-Угл Л11 у' бу агл »(/ - -Чл) ч. б —
Основная система 9,3 0 ^9,3 —0,003 0 0,003 -0,003 0 0,003 6,5 0 -6,5 13,806 13,830 13,845 —0,024 0 0,015
Поперечное смещение центров кри- визны отдель- ных поверх- Ьк = 0,1 9,3 0 —9,3 0,267 0,203 0,266 0,064 0 0,063 6,5 0 —6,5 14,059 14,037 14,054 0,022 0 0,017 0,203 0,067 0 0,060 0,207 0,046 0 0,002
Ь2 - 0,5 9,3 0 —9,3 -0,325 —0,281 —0,316 -0,044 0 —0,035 6,5 0 —6,5 13,497 13,519 13,505 —0,022 0 —0,014 —0,281 —0,041 0 —0,038 —0,311 0,002 0 —0,029
Ь3 = 0,5 9,3 0 -9,3 —0,229 —0,160 —0,225 —0,069 0 —0,065 6,5 0 —6,5 13,637 13,647 13,582 —0,010 0 -0,065 —0,160 —0,066 0 -0,068 —0,183 0,014 0 —0.080
&4 = 0,1 9,3 0 —9,3 —0.227 —0,155 —0,223 —0,072 0 —0,068 6,5 0 -6,5 13,585 13,663 13,664 —0,078 0 4-0,001 -0,155 —0,069 0 -0,071 —0,167 —0,054 0 —0,014
= 0,5 9,3 0 —9,3 0,151 0,143 0,158 0,008 0 0,015 6,5 0 -6,5 13,972 13,994 14,022 —0,022 0 0,028 0,143 0,011 0 0,012 0,164 0,002 0 0,013
Слюсарев
костей на величину Ьк\
*«=о,1 9,3 0 —9,3 0,047 0,036 0,054 0,011 0 0,018 6,5 0 —6,5 13,863 13,872 13,890 —0,009 0 0,018 0,036 0,014 0 0,015 0,042 0,015 0 0,003
Ь? 0,5 9,3 0 -9,3 0,453 0,374 0,471 0,079 0 0,097 6,5 0 —6,5 14.191 14.248 14.413 —0.057 0 0,165 0,374 0,082 0 0,094 0,418 —0,033 0 0,150
Поперечное смещение линз = 1,0 9,3 0 -9,3 2,515 1,471 1,765 1,044 0 0,294 6,5 0 —6,5 15,694 15,275 15,239 0,419 0 —0,036 1,471 1,047 0 0,291 1,445 0,443 0 -0,051
*П = 0,1 9,3 0 —9,3 —0,272 —0,187 —0,269 —0,085 0 -0,082 6,5 0 -6,5 13,551 13,626 13,612 —0,075 0 —0,014 —0,187 —0,082 0 —0,085 —0,204 -0,051 0 —0,029
ЙШ+1V = = 0,1 9,3 0 -9,3 0,170 0,140 0,178 0,030 0 0,038 6,5 0 -6,5 13,973 13,998 14,038 —0,015 0 0,050 0,140 0,033 0 0,035 0,158 0,009 0 0,035
Поворот линз вокруг вер* шины первой поверхности денептрнруе- мой линзы Qi = 10' 9,3 0 —9,3 -0,024 —0,007 -0,017 -0,017 0 —0,010 6,5 0 -6,5 13,783 13.832 13,859 —0,049 0 0,027 —0,007 —0,014 0 —0,013 0,002 —0,025 0 0,012
.811 = Ю' 9,3 0 -9,3 0,007 0,005 0,013 0.002 0 0,008 6.5 0 —6,5 13.842 13,831 13,816 0,011 0 —0,015 0,005 0,005 0 0,005 0,001 0,035 0 —0,030
®Ш+1У = = 10' 9,3 0 —9,3 —0,023 —0,022 —0,017 —0,001 0 0,005 6.5 0 —6,5 13,762 13,801 13.836 —0.039 0 0,035 —0,022 0,002 0 0,002 —0,029 -0,015 0 0,020
децентрировкой, являются мерой влияния децентрировки. Эти
вычисления повторяют для всех поверхностей последовательно н
составляют сводку результатов. Такие сводки выполняются обычно
для точки на оси и для точки, лежащей близко к краю поля зре-
ния. Если оптическая система обладает малым углом поля, доста-
точно исследовать влияние децентрировки для осевой точки. Выбор
значения величин bt определяется опытным путем. Обычно угол по-
ворота ~~ берут порядка нескольких (1—10) минут (в зависимости
от качества изображения, даваемого системой). Для высококачест-
венных систем углы поворота должны быть малыми—порядка 1—2'.
Какие величины децентрировкн допустимы? Для точки на осн
можно исходить из следующего соображения. Если диаметр кружка
рассеяния, вызываемого сферической аберрацией, в наилучшей
плоскости установки равен 2г, то можно допустить меридиональ-
ную кому порядка 30—40% от z. Если оптическая система визуаль-
ная и обладает высоким качеством изображения, целесообразно
исходить из дифракционных критериев, например из волновой
аберрации или из значений ЧКХ, допуская в первом случае вол-
новую кому в 15—20% от волновой сферической аберрации (в иа-
илучшей плоскости установки), а во втором — ухудшение зна-
чения ЧКХ на 15—20% прн частотах, представляющих наиболь-
ший интерес для рассматриваемой оптической системы. Для
систем с высокой разрешающей способностью, применяемых
в астрономических н визуальных приборах, следует брать частоты,
близкие к предельным разрешаемым; для фотографических объек-
тивов нужно исходить из частот, соизмеримых с разрешаемыми
светочувствительным слоем частотами, которые обычно в десятки
раз меньше предельных.
Для точки вне осн можно руководствоваться такими же сооб-
ражениями, но допустить несколько большее ухудшение, например
до 30—40%, причем здесь ухудшение чаще всего относится не к ко-
ме, а к астигматизму и кривизне (из-за наклона плоскости изобра-
жения).
Практика показывает, что для большинства оптических систем,
за исключением широкоугольных с малой апертурой, основное зна-
чение имеет появление комы для осевой точки.
Приведем здесь в качестве иллюстрации сводку результатов
расчета влияния параметров на некоторые параксиальные и абер-
рационные величины фотографического объектива, рассчитанного
в ГОИ, с фокусным расстоянием 52 мм, относительным отверстием
1 : 2,8 и 20 = 46°. Объектив исправлен для лучей D, ахроматизи-
рован для С и G'. Расчет выполнен для двух значений параметров,
отличающихся друг от друга на величины, приведенные в
табл. VIII.4. В табл. VIII.5 дана сводка результатов влияния
децентрировкн отдельных поверхностей и целых компонентов на
аберрации объектива.
498
Обе таблицы могут служить основанием для составления си-
стемы допусков на конструктивные элементы изучаемого объек-
тива.
7. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
ПО ВОПРОСУ ДОПУСКОВ
Как правило, изменение каждого параметра х вызывает изме-
нение всех аберраций рассматриваемой оптической системы. До-
пустимому изменению каждой аберрации (и габаритных характе-
ристик) соответствует определенное для каждого параметра от-
клонение от расчетной величины. Наименьшее (по абсолютному
значению) из всех полученных отклонений параметра, соответст-
вующих допустимым отклонениям различных аберраций, берется
в качестве допуска. Однако при окончательном определении до-
пуска необходим анализ последствий, которые может вызвать та
нли другая аберрация; при этом анализе должны учитываться
в первую очередь назначение системы, свойства приемника света
н т. п.
Кроме того, нужно помнить, что число, характеризующее из-
менение каждой аберрации, само по себе еще ничего не говорит
об ухудшении качества изображения, так как это изменение в не-
которых случаях может быть компенсировано каким-нибудь -про-
стым способом. В качестве примера рассмотрим сферическую абер-
рацию. Пусть прн изменении некоторого параметра х поперечная
сферическая аберрация иа краю апертуры изменилась на A6g'.
Однако сама по себе эта величина не определяет ухудшения ка-
чества изображения, так как смещением плоскости установки
можно добиться возвращения к расчетной величине аберрации.
Для других зон зрачка, как правило, поперечная аберрация ста-
новится иной и изменение качества все же происходит, но оно зна-
чительно меньше, чем можно было бы ожидать иа основании вели-
чины изменения A6g'. Аналогичные соображения могут быть вы-
двинуты н в отношении других аберраций, например дисторсии,
которая выбором надлежащего значения фокусного расстояния
(нли увеличения) может быть уменьшена в несколько раз (в четыре
раза в случае дисторсии третьего порядка). Поэтому во избежание
возможных недоразумений рационально в качестве критерия ка-
чества изображения брать такой, как ЧКХ, соответствующая оп-
ределенной частоте; при расчете ЧКХ должно быть принято во вни-
мание н смещение плоскости установки. К сожалению, это тре-
бует весьма сложных вычислений и даже прн наличии ЭВМ не
всегда возможно.
Некоторые категории оптических приборов (астрономические
н астрофотографические объективы) из-за своих значительных фо-
кусных расстоянии очень чувствительны к хроматической аберра-
ции, вследствие чего при определении допустимых отклонений
32*
499
конструктивных элементов главное внимание следует обращать
на эти аберрации. Но при этом необходимо учесть спектральное
распределение яркостей в источнике света, спектральный коэффи-
циент отражения рассматриваемого объекта нли, если последний
является самосветящимся, его относительное или абсолютное
спектральное излучение и, наконец, спектральную чувствитель-
ность приемника световой энергии. Так как все коэффициенты,
определяющие указанные величины, перемножаются друг на друга,
то в результате обычно остается очень узкая спектральная область,
сильно сокращающая величину остаточной хроматической абер-
рации. Это в ряде случаев позволяет существенно увеличить до-
пустимую величину отклонений параметров от их расчетного зна-
чения. Действительно, может оказаться, что в результате совмест-
ного действия источника, объекта и приемника лишь весьма узкая
спектральная область участвует в образовании изображения.
При оценке качества изображения в широкой области спектра
большую пользу может принести расчет ЧКХ по описаииому
в гл. X способу.
8. ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДОПУСКА
Назовем условным допуском максимальное значение допусти-
мого отклонения Дх/ параметра xt оптической системы, вычислен-
ное в предположении, что все остальные параметры точно соответ-
ствуют расчетным величинам.
Условные допуски следует вычислять непосредственно на осно-
вании сводной таблицы влияния параметров на габаритные вели-
чины и аберрации, принимая во внимание соображения, изложен-
ные на стр. 473.
Теперь предстоит переход от условного допуска к реальному,
т. е. максимально допустимой величине изменения параметра X/
в том случае, когда все остальные параметры также претерпевают
изменения, не выходящие из границ рассчитанных для них до-
пусков.
При изготовлении оптической детали неизбежно возникают от-
ступления значений параметров от расчетных. Пусть Дх/ — от-
ступление параметра х£ от расчетного значения. Предположим,
что прибор выпускается в большом количестве. Среди N приборов
имеется таких, для которых Дхг лежит в пределах 0—
N 2 — для которых Дх/ лежит в пределах бх—б2, . . NK — Для
которых лежит в пределах Можио представить гра-
фически зависимость NK от положения промежутка 6^ —
(рис. VJIJ.6). Для каждого параметра X/ функция распределения
&N в зависимости от Дб может иметь свой вид. От вида функции
распределения зависит в конечном счете выбор допустимых откло-
нений. К сожалению, до настоящего времени серьезных исследо-
ваний по этому вопросу не проведено. Наиболее естественно пред-
500
положить, что это распределение имеет такой же характер, какой
принят в теории погрешностей Гаусса; из этого предположения вы-
текает следствие, что к определению допусков приложимы неко-
торые разделы теории вероятностей, в том числе метод наимень-
ших квадратов.
Один из выводов теории погрешностей заключается в следую-
щем. Пусть Xj, х2, . . хр — результаты измерения некоторой
величины х; хт = Х1 *а — _*р .. среднее арифметическое
всех значений х. Вероятная погрешность е величины хт равна -~-
Ур
вероятной погрешности одного
наблюдения; другими словами,
точность определения некоторой
измеряемой величины пропорцио-
нальна корню квадратному из
числа наблюдений. С большой
долей условности можно прове-
сти следующую аналогию. Сопо-
ставим число наблюдений нли
измерений величины х с числом
параметров оптической системы,
от которых зависят требуемые Рис. vin.6
габаритные условия и аберрации;
с другой стороны, сопоставим
вероятную погрешность среднего арифметического значения ве-
личины х с вероятным вкладом, вносимым каждым параметром
в изменение габаритных данных и аберраций системы. Можно
считать, что если прн изготовлении оптических систем действует
тот же закон распределения в отклонениях Дх, какой существует
в погрешностях наблюдаемых величин, то вклад каждого пара-
метра в значение изменения интересующих нас характеристик
оптической системы будет обратно пропорционален корню квад-
ратному из числа параметров р согласно формуле
(VIII.20)
В число параметров входят радиусы кривизны, толщины, ве-
личины децентрировкн отдельных поверхностей и узлов. Пока-
затели преломления и дисперсии можно ие учитывать, так как
обычно по получении плавок стекол, из которых будет изготов-
ляться система, делают пересчет последней, основываясь главным
образом на таблице влияния изменения значений показателей пре-
ломления и коэффициентов Аббе. Таким образом, число параметров
приблизительно в 3 раза больше, чем число поверхностей, если
в системе нет асферических поверхностей. Прн наличии таковых
число параметров увеличивается, так как добавляется число
501
коэффициентов, определяющих асферическую поверхность. Напри-
мер, для оптической системы, содержащей 10 поверхностей, число
параметров, подлежащих учету при вычислении допусков, дости-
гает 35. Для перехода от условных допусков к реальным нужно
уменьшить условный допуск в 6 раз.
На практике следует принимать во внимание ряд дополнитель-
ных соображений. Прежде всего, задавая те.илн другие допуски,
необходимо считаться с трудностями, возникающими в мастерских
и цехах при их выполнении. Например, воздушные промежутки,
как правило, могут быть выдержаны с очень большой точностью,
чаще всего намного превышающей определяемую из аберрацион-
ных условий. Если при расчете системы значения радиусов кри-
визны взяты нз каталога пробных стекол, то можно считать, что
при изготовлении погрешности в этих величинах равны нулю.
То же относится к показателям преломления; как было указано
выше, рационально делать пересчет системы с учетом показателей
преломления плавок, предназначенных для этих систем; при этом,
очевидно, необходимость определения допусков для показателей
преломления и дисперсии стекол отпадает.
. Изложенные обстоятельства приводят к значительному ослаб-
лению допусков, так как число переменных р сокращается в 2—3
раза и допуски могут быть увеличены в 1,5—1,7 раза. Но этим не
заканчивается работа по определению допустимых отклонений:
она завершается иногда вместе с представителями мастерских, тре-
бующими расширения допусков для некоторых параметров, на-
пример величин децентрнровкн. Всегда возможно ослабить до-
пуски для одной группы параметров при условии их ужесточения
для другой группы, исходя из положения, что общая сумма их
действия должна остаться постоянной.
9. УТОЧНЕНИЕ СИСТЕМЫ ДОПУСКОВ
При определении допусков изложенным выше методом не учи-
тывается экономический фактор. Его можно учесть следующим
образом. Некоторые конструктивные элементы, как радиусы кри-
визны сферических поверхностен (в том случае, когда подобраны
•пробные стекла), воздушные промежутки и т. д., могут быть осу-
ществлены прн изготовлении с очень большой точностью без осо-
бого труда. Очевидно, при определении окончательных допусков
можно задать их для указанных параметров значительно более
жесткими, чем это получается по формуле (VI11.20), н создавае-
мый таким путем резерв точности использовать для оставшихся
трудоемких параметров, расширяя соответственно допуски на
последние. Этот прием можно применять как приближенно с по-
мощью прикидок, так и более точно, придавая допускам некоторые
весовые коэффициенты подобно тому, как это делается при осу-
502
ществлении метода наименьших квадратов, причем весовой коэф-
фициент при параметре тем больше, чем выше точность, с которой
значение данного параметра может быть выдержано прн изго-
товлении.
10. ДОПУСТИМАЯ НЕОДНОРОДНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ СТЕКОЛ
Рассмотрим влияние плавной неоднородности показателя пре-
ломления на ход луча. Пусть MN—М'N' — бесконечно тонкий
слой среды с показателем преломления п, лежащий между двумя
слоями с показателями п—dn и п + dn (рис. VIII.7); пусть нор-
маль ко всем поверхностям в бесконечно малом объеме, jb ко-
тором происходит преломление, лежит в плоскости .чертежа. Пе-
реходя через границу между
двумя средами с показателями
преломления п и п + dn, луч
претерпевает изменение хода,
определяемое путем дифферен-
цирования формулы Декарта
п sin I = п' sin i' = С,
откуда
dn sin i -f- п cos i di = 0
или
.. dn . .
di — —tg i.
n b
Вычислим радиус кривизны R траектории луча ABCD. Этот
радиус определяется по формуле 7? = где ds — приращение
дуги, a da — приращение угла, образуемого нормалью с некоторым
постоянным направлением.
Если слой среды, через которую проходит луч, имеет толщину
dh, то соответствующая этому слою длина пути ВС равна ;
с другой стороны, da = di; поэтому
D___ ds ____ dh ____________ dh n
da , dn . dn sin I
cos i----tg i
n
Кривизна траектории определяется формулой
1 ___ dn
~R~~dh
1 . . ___ . sin i
— sin i = grad n-------.
n ° n
Таким образом, плавная неоднородность, т. е. такая неодно-
родность, при которой производная показателя преломления по
толщине слоя Л, или градиент показателя преломления
503
имеет конечное значение, так же как н вторая производная ,
вызывает плавное отклонение луча; в этом случае радиус траекто-
рии может быть определен по вышеприведенным формулам.
Неоднородность стекла изменяет фронт волны. Если поверх-
ность волны при отсутствии неоднородности сферическая, то при
наличии градиента показателя она деформируется; как правило,
появляются аберрации, иногда необычного вида, зависящего от
поля градиента. Неоднородность стекла может носить самый раз-
нообразный характер.
В массе стекла могут оказаться небольшие включения с пока-
зателем преломления, отличным от показателя основной массы
стекла. Такие неоднородности мало опасны, если объем включе-
ния невелик по сравнению с объемом рабочей части линзы (под
рабочей частью линзы следует понимать ие ту часть, которая огра-
ничивается оправой, а ту, которая заполняется пучком лучей,
идущим от светящейся точки). Значительно большую опасность
представляют неоднородности, простирающиеся на большие
объемы.
В первом приближении можно считать, что неоднородность
имеет линейный характер, т. е. что поверхности, на которых пока-
затель преломления п имеет постоянное значение, являются пло-
скостями, и зависимость п от координат рассматриваемой точки
можно представить уравнением
п = Ах 4- By + Cz 4- п„,
где х, у и z — декартовы координаты точки пространства, в кото-
рой определяется значение показателя преломления п. Если на
нормали к поверхностям равных значений п показатель изменяется
на Д/г на промежутке длины АЛГ, то отношение представляет
собой градиент показателя.
В гл. IV было доказано, что радиус кривизны 7? траектории
луча определяется по формуле
где i — угол, образуемый лучом с нормалью к поверхности рав-
ных п. Наибольшая кривизна получается при углах I, близких
к 90°, т. е. когда луч идет параллельно поверхности равных п.
В дальнейшем будем полагать, что главный луч пучка направ-
ляется параллельно поверхности равных п. Отметим, что если луч
отклоняется от этого направления на довольно большие углы
(до 15—20°), то радиус кривизны почти не меняет своего значения,
так как sin i остается близким к единице. Прн вычислении траек-
тории луча можно с вполне достаточной точностью считать 2?
постоянным вдоль очень значительных отрезков пути, так как во
504
всех встречающихся на практике случаях угол i меняется не более
чем на секунды дуги.
Рассмотрим сначала случай плоскопараллельной пластинки
толщиной d (рис. VIII.8). Пусть градиент = g. Кривизна
I 1 1
траектории луча равна = — g.
d d
4 = -R
Пример. Если n меняется на 10 6
на протяжении 1 см, отклонение луча пла-
стинкой с толщиной 100 мм равно
<р = -'”5'°0!1 206 000" = 13".
Плоскопараллельная пластинка из неод-
нородного стекла действует как клнн.
Если закон изменения показателя пара-
болический (n = AN2 * *), то плоскопараллель-
ная пластинка действует как лннза. Особенно
Отклонение луча
Рис. VIII.8
опасны скачки показателя, так как они вызывают отчетливо за-
метное двоение изображений.
Неоднородность линейного характера стекла линз вызывает
появление аберрации комы. Действительно, рассмотрим линзу,
показатель преломления стекла которой меняется от верхнего
к нижнему краю по линейному закону с градиентом g. Рассмотрим
пучок лучей, падающий на
эту лнизу из точки на оси.
Если принять, что углы,
образуемые с осью лучами
в стекле, невелики, то неод-
нородность стекла вызывает
отклонение лучей, пропор-
циональное толщине лиизы.
Если обозначить через 8g'
(рис. VIII.9) отклонение луча, через s'—расстояние от лиизы
до изображения, то величина отклонения 6g' = -^-gs'. Но
Рис. VIII.9
Л2 Л2 _ Л2 ( 1 1 \ ft2 1
2rx 2г8 2 \ гх гг ) ~ 2 (л —1)/' ’
поэтому
с , ft2 I s'
°s — 2 п(п— I) S f '
Кома пропорциональна квадрату диаметра лннзы и отноше-
нию -рг. Вследствие этого неоднородность стекла особенно опасна
в больших объективах, например в астрономических. Если
505
по-прежнему g 10 8 мм 1 (т. е. п меняется на единицу пятого
знака на протяжении 1 см), h — 500 мм, s' = п = 1,5, то
8£'=-~g-l°-6=°,17 мм,
что совершенно недопустимо. Допустимая неоднородность должна
быть по крайней мере в 20 раз меньше, т. е. должна быть равна
единице шестого знака иа 2 см. При такой неоднородности абер-
рация будет видна под углом в 2' при фокусном расстоянии оку-
ляра в 15 мм. В объективах микроскопа, диаметр которых не пре-
вышает нескольких миллиметров, требования к однородности зна-
чительно менее строги, так как величина h в сотни раз меньше,
и хотя отношение s'/f довольно велико (порядка десятка), но
при одинаковых значениях градиента показателя g величина 8g'
в тысячи раз меньше.
Градиент показателя редко бывает постоянным, и искажение,
вызываемое им, более сложно, чем описанное выше, но порядок
величины может быть определен по указанному упрощенному
способу.
Более подробно этот вопрос изложен в гл. IV.
II. ДОПУСТИМОЕ ОТКЛОНЕНИЕ УГЛОВ ОТРАЖАТЕЛЬНЫХ ПРИЗМ
За немногими исключениями все отражательные призмы (при
условии идеального изготовления) эквивалентны по своему дей-
ствию на пучки, проходящие через них, комбинации плоскопарал-
лельной пластинки с одним или двумя плоскими зеркалами (см.
гл. V). Прн изготовлении, вследствие неточного соблюдения зна-
чений углов, эквивалентная пластинка не является плоскопарал-
лельной, крайние грани призмы не параллельны между собой,
а образуют малый угол; ребро, образуемое пересечением этих гра-
ней, перпендикулярно оптической оси системы, но может образо-
вать любой угол с меридиональной плоскостью. Поэтому призма
оказывается эквивалентной комбинации трех элементов: одного
или двух плоских зеркал, плоскопараллельной пластинки н клина
с малым преломляющим углом. Вредное влияние такого клина
проявляется следующим образом: 1) он изменяет направление вы-
ходящего пучка; 2) вводит ряд аберраций в пучках; 3) вызывает
появление добавочных рефлексов. Первое действие — отклоне-
ние всего пучка на угол (л — 1) Л (где А — угол клнна) — вредно
в бинокулярных инструментах, так как оно нарушает параллель-
ность выходящих пучков, и это обстоятельство может послужить
основанием для расчета максимального допуска. При этом следует
учесть, что если клин расположен на расстоянии s' от фокальной
плоскости объектива и его угол у вершины равен А, то линейное
отклонение е равно (л — 1) Л$', а угол, под которым это отклоне-
ние видно в окуляре, равен где /' — фокусное расстоя-
506
ние окуляра. Как было отмечено выше (гл. V), непараллельность
выходящих пучков в бинокулярных трубах не должна превышать
30' в вертикальной плоскости и 1° в горизонтальной; из этого усло-
вия можно определить угол А. Впрочем, эффект клина может
быть компенсирован перемещением оси окуляра по отношению
к оси объектива. Если оптический прибор служит для измеритель-
ных целей, то отклонения пучков допустить нельзя, и оно должно
компенсироваться соответствующим образом. Но если даже дей-
ствие отклонения компенсируется каким-нибудь способом, клин
вносит трудно исправимые аберра-
ции. В частности, он вводит дистор-
сию, кому и хроматическую разность
увеличений.
Для определения дисторсии вычи-
слим угол отклонения призмой с ма-
лым углом у вершины А. Имеем ряд
Рис. VIII.10
формул:
sin А = ~ sinZi;
i’i — А -|-,
sin Z2 — п sin Z2 = п (sin A cos i\ + cos A sin Zj).
(VIII.21)
Ввиду малости А можно написать
sin Л = A ; cos Л — 1;
sin Z2 — sin i’i = nA cos Zi =
= 2 sin 2 1 cos 2 = (z2 — h) CosZt,
Отклонение призмой e = Z' — Z' — А равно
e=(n-^— 1]л=(п-1)Л + -^-Л/?. (VIII.22)
Клин отклоняет лучи неодинаково; если клин стоит в парал-
лельных пучках (т. е. предмет находится на бесконечности), то
лучи, образующие большие углы с нормалью к первой поверх-
ности клина, отклоняются сильнее, чем лучи, образующие меньшие
углы. Это вызывает дисторсию особого вида, непохожую на ту,
которая известна из теории аберраций симметричных систем.
Более подробное исследование показывает, что изображение
квадрата (левая часть рис. VIII.10) принимает вид, показанный
в правой части этого рисунка.
Если оптическая система предназначена для измерительных
целей (например, аэрофотограмметрическнй объектив), то нельзя
допускать отклонений от общего направления больших, чем 0,5—1'.
507
Если объектив обладает достаточно большим углом поля зрения,
например 60°, то нужно, чтобы п-^ - At2 *< 0,0003, т. е. прн
п = 1,5нг = 30° = 0,5 род получаем А 5'.
Кома, вызываемая клином, может быть определена расстоя-
нием НО (рнс. VIII. 11) между главным лучом М2Л2 и точкой пере-
сечения О двух симметричных по отношению к главному лучей,
образующих с ннм некоторый угол ±<о. Пусть С — мнимый
источник света, на который направляются лучи МХС, М2С, М3С,
причем углы МХСМ2, М3СМ2 равны ±to. После преломления
через призму А3РВ8 указанные " л
лучи занимают положение BjO,
В3О и В2Н.
Для определения ОН или,
что равносильно, отрезка ЛЛ
(продольная кома), нужно
I знать элементы треугольни-
ков В^^^ и В21ЭВ3. Для
этого определяем сначала раз-
ность Л1Л2 — Л2Л3. Вычи-
сление, выполненное с точ-
Рис. VIII.il
ностьюдо величин четвертого
порядка малости относительно апертуры, дает Л]Л2 — Л2Л3 =
= 2aa>2i, где а — расстояние предмета С до призмы. Считая —
малой величиной первого порядка и пренебрегая квадратом этого
отношения, легко получить, что — В3В2 = 2а<а2
Зная также разность углов ВХ1ХВ2 н В213В3, которая, согласно
формуле (VIII.22), равна 2 п ~ 1 Аы1х, легко получить из тре-
угольников ВХ1ХВ2 н В213В3 следующую формулу для от-
резка /х/8:
rj., = — ЗашЛ
Поперечная "кома ОН, равная с достаточной точностью произ-
ведению 1Х18 -у, определяется формулой
ОН = - 4 Аааг. (VIII.23)
В качестве примера рассмотрим призменный бинокль. Первая
отражательная призма расположена рядом с объективом, и можно
принять a — F, где F — фокусное расстояние объектива. Угол аь
под которым кома ОН видна через окуляр, равен —j-, где f —
фокусное расстояние окуляра. Таким образом, имеем для угла а
формулу
508
Возьмем нормальный восьмикратный бинокль, где о)=~,
п = 1,57, Л — 5а. Если допустить а = Г, то для Л получается 5'.
Если призма стоит в параллельном пучке, т. е. перед объекти-
вом в телескопических системах, например в стереотрубах, пано-
рамах, перископах и т. д., то клин комы не вызывает, но появляется
хроматическая разность увеличений, величина которой опреде-
ляется по формуле 6а = Лбп, где 6а — разность углов выхода
нз призмы для лучей двух цветов, разность показателей которых
равна 6п. Если, как обычно, цвета соответствуют линиям С и F,
то 6п = п у 1 и 6а А ~ = А, где Д — угол отклонения
клином для луча средней между С и F длины волны.
Нужно помнить, что если призма стоит перед объективом, то
угол дисперсии (6а)', вызываемый призмой в пространстве изобра-
жений, равен произведению 6а на увеличение системы. Например,
если головная призма стереотрубы обладает клнновидностью
в 5', а коэффициент v ее стекла равен 60 при п = 1,5, то получаем
для 6а величину 2,5", а для (6а)' — 25", т. е. еще незаметную
величину.
12. ДОПУСТИМОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ОТ ПЛОСКОСТИ ДЛЯ ПЛОСКИХ
ОТРАЖАЮЩИХ ЗЕРКАЛ, НОРМАЛЬ К КОТОРЫМ ОБРАЗУЕТ
С ОСЬЮ УГОЛ/
Для расчета исходим из предположения, что поверхность сфе-
рическая н что аберрация, вызываемая отступлением от плоскости,
есть астигматизм. Это вытекает из того, что угол I велик, а отно-
сительное отверстие мало.
Пусть t — расстояние по главному лучу от фокуса объекта О
до вершины зеркала Of, tm = О\От н ts = O\OS — то же для ме-
ридионального и сагиттального фокусов в пространстве объектов;
i — угол падения’луча; г = СОг — радиус кривизны поверхности.
Пусть tm — — — диаметр наименьшего кружка рассея-
ния, вызываемого астигматизмом.
Из формул Юнга—Аббе для фокусов бесконечно тонкого астиг-
матического фокуса имеем
1 , > = 2 -
t’ ~ t г cos / ’
7 1-2 сои <VIIL24)
7 ‘
Образуя разность и полагая Д/' малым, получаем
2/'а sin2/
cos i
(VIII.25)
509
Но, как известно из теории астигматических фокусов, поперечная
аберрация г' связана с Л/' соотношением
2г' == A/' sin<o'
(при небольших <о');.
г 3 , f Sin2 I /WTTT Л£\
2г = —у- sin со . (VIII.26)
Определим теперь число колец Ньютона, образуемых на поверх-
ности, прн сравнении ее с плоскостью. Пусть а — стрелка,
соответствующая высоте h (рис. VIII.12) — полуширине мери-
дионального пучка иа зерка-
Л*
ле. Имеем причем
. t' sin ш'
h = cc5i . откуда
Г3 sin3 (o'
0— 2гсиЧ ‘
Число N колец, отсчиты-
ваемое по рабочей части сфе-
ры в меридиональном сече-
нии, равно N = Ах" ~
2а
-у, откуда
। Л' = таг- (vin.27)
Сопоставляя уравнения (VIII.26) и (VIII.27), получаем
Д' = < sln“', (VIII.28)
X cost sin - I 4 '
"В частном случае, когда i = 45°, имеем
N = 2,8-г sin ®'. (VIII.28*)
Надо помнить, что число колец, определяемое форму-
лой (VIII.28), относится к рабочей части зеркала, ограничивае-
„ о, 2/' sin со'
мой апертурой системы, т. е. к диаметру зеркала 2п = —.
Если диаметр самого зеркала больше в k раз, число колец N
следует увеличить 6s раз.
13. УСТАНОВЛЕНИЕ ДОПУСКОВ НА ОШИБКИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ
УГЛОВ ПРИЗМ И НА ПИРАМИДАЛЬНОСТЬ
Вследствие неточного изготовления углы реальной призмы
отступают от заданных величин, а ее ребра, образованные пере-
сечением смежных рабочих граней, не параллельны друг другу,
510
т. е. имеется еще и так называемая пирамидальность. Поэтому
развертка призмы представляет собой комбинацию из плоскопарал-
лельной пластинки и весьма тонкого клина с малым прелом-
ляющим углом Э.
На рис. VIII. 13 в качестве примера представлена трехгранная
равнобедренная призма АВС, углы А и В которой в действитель-
ности не равны друг другу и несколько отклоняются от номиналь-
Рис. VIII.13
ной величины а. Пусть точка Со представляет собой пересечение
сторон АС и ВС в случае, когда углы А и В равны. На входную
грань АС призмы нормально падает осевой луч, далее он отра-
жается от грани АВ, образуя с нормалью к ней углы i = i', и
выходит через грань ВС. Клииовидность развертки ВСАС призмы
в плоскости главного сечения 6С, с учетом принятого в геометри-
ческой оптике правила знаков для углов, равна (рис. V1U,13, а)
О,- LB — LA. (VI11.29)
Таким образом, в данном случае клиновндйость в главном се-
чении призмы равна разности углов, прилежащих к отражающей
грани АВ.
. v Согласно ГОСТу 10732—64 на оформление рабочих чертежей
оптических деталей, узлов н схем, предельная допустимая разность
равных по номиналу углов призмы обозначается буквой 6а,
511
а в качестве индекса принимается номинальная величина этих
углов в градусах дуги, т. е. в рассматриваемом случае индексом
будет угол а.
Клнновндность 0Л в сечении, перпендикулярном главному,
возникает в результате пирамидальности, величина которой
в данном случае (рис. VIII.13, б) измеряется предельным допу-
стимым углом л, составляемым ребром угла С с противолежащей
отражающей гранью АВ призмы, т. е.
4 0Я — 2л cos a, (VIII.30)
\ откуда
_____А "=^--
л Xj/\ Наклон отражающей грани АВ
на Угол я вызовет, кроме того, от-
I \^\ / клонение выходящего осевого луча
\ \ * 0 из плоскости главного сечения вниз
l \ и а угол
X. \I = — 2пл cos a, (VIII.32)
а также поворот изображения вокруг
осевого луча на угол
Рис. VIII.14 J J
аи — 2л sin a. (V111.33)
В призмах с крышей пирамидальность развертки возникает
вследствие разворота ребра крыши иа угол лр> т. е. его иепер-
пендикулярности по отношению к ребру противолежащего угла С
призмы (рис. V111.I4). Этот разворот угла крыши вызовет откло-
нение осевого луча нз плоскости чертежа на угол
6Л — 2плрь'т1
(VIII.34)
и поворот изображения вокруг осевого луча на угол
аи = 2JtpCOsZ. (VIII.35)
Здесь i — угол падения осевого луча на ребро крыши.
В силу взаимоперпендикулярностн обеих составляющих кли-
новндности развертки прнзм ее суммарная величина равна
о = ]ЛёГПЙ.
В ГОСТе 10732—64 указанные составляющие клиновидностн 0с
и 6Я рассматриваются как самостоятельные ошибки, и на каждую
из них в отдельности следует устанавливать соответствующие
допуски. При изготовлении призм каждая из этих ошибок устра-
няется независимо и также независимо контролируется. Такого же
подхода удобно придерживаться и при расчете допусков иа ошибки
углов и на пирамидальность призм.
512
Призмы с клиновидной разверткой вызывают ряд дефектов,
а именно:
1) сдвиг изображения осевой точки предмета с центра поля
зрения, а также поворот изображения;
2) хроматизм увеличения;
3) кому.
В призмах с раздельным ходом частей пучка лучей ошибки
углов вызывают, кроме того, двоение изображения. Таковы призмы
с крышей, в которых пучок лучей падает одновременно на обе
грани крыши, а также кубпризмы, трипельпризмы.
Если призмы расположены вблизи плоскости предмета нли
плоскости изображения, то дефекты возникают в основном в пло-
скости зрачков системы, расположенной за призмой.
Подвижные призмы — поворотные или качающиеся вокруг
осей, как, например, головные призмы перископов или головные
и компенсационные призмы панорамических визиров, а также
призмы, смещаемые вдоль оси оптической системы, — вызывают
все перечисленные выше дефекты, но последние имеют переменную
величину. Сдвиг изображения и хроматизм возрастают с увели-
чением угла наклона клиновидной развертки призмы к осевому
лучу, а в случае, когда призма расположена в сходящемся ходе
лучей, также и с увеличением расстояния от призмы до плоскости
изображения.
Постоянное по величине отклонение осевого луча, а также
наклон изображения почти всегда можно полностью или частично
скомпенсировать прн сборке оптической системы соответствующим
поворотом или наклоном отражающей призмы. Такая же возмож-
ность имеется нередко при склейке составных призм, таких, как
призменные системы Аббе, Пехана, Малафеева — Порро 2-го
рода и др. В призмах, изготовляемых из одной цельной заготовки,
взанмокомпенсация ошибок может быть достигнута лишь соответ-
ствующей заключительной подгонкой углов между рабочими гра-
нями в процессе изготовления призм.
При расчете допусков на клиновидность разверток призм
удобны следующие приближенные формулы.
1. Для величины угла отклонения луча клином:
а) при ходе луча в главном сечении
6,= 0(Г'п2 (n2 — l)tg2 i — I) 0(а — 1) + 0 1 tg2<;
(VIII .36)
б) при ходе луча в сечении, перпендикулярном главному,
6, = б(. cost = 0cost (jZ/t2 -Т (л2 — 1) tg2i — 1); (VIII.37)
в) при нормальном падении луча на клнн
б0 = е(л-1). (Viii.38)
33 Г. Г Слюсарев 513
2. Для величины приращения угла отклонения луча клином
при повороте его от нормального положения (г = 0) иа угол г.
а) вокруг оси, параллельной ребру клина,
М = 6, - 8„ = 0 tg2i; (VXII.39)
б) вокруг оси, перпендикулярной ребру клина и параллельной
главному сечению,
Дб^ = 8,- — 6о = 0 "г~ * tgtsinf —20(n- l)sin24-- (VIII.40)
3. Для величины хроматизма, измеряемого в случае визуаль-
ных систем углом между преломленными лучами для линий F
и С и вызываемого:
а) наклонным клином при ходе луча в главном сечении
~ = 4 (V»2 + (n2-i)tg2f - 1); (vin.41)
б) наклонным клином при ходе луча в сечении, перпендику-
лярном главному,
Дбгс a " cosi(/n2 + (n2— l)tg2Z— 1); (VIII.42)
в) клином, нормальным к оси пучка лучей,
Д6ГО=-Ь- = А(„_1). (vni.43)
4. Для величины комы в линейной мере, вызываемой клином
в плоскости изображения,
Д/к = — А о я*~| a„2, (VIII.44)
где а — расстояние по осевому лучу от клина до плоскости изобра-
жения; и — апертурный угол пучка лучей.
Для величины комы в угловой мере, пересчитанной через опти-
ческую систему, которая расположена за клином н имеет угловое
увеличение у для точки пересечения осевого луча с выходной
гранью клина, из формулы (VIII.44) получим
Д6к = --|-в^-!-и2т. (VIII.45)
5. Для величины двоения изображения, вызываемого ошибкой
прямого угла крыши призмы, за оптической системой,
расположенной между призмой и наблюдателем,
© = Дкрщ4пу cos i, (VIII .46)
где i — угол падения осевого луча на ребро крыши; у — угловое
увеличение системы для точки пересечения осевого луча с ребром
крыши.
514
В формулах (VIII.36)—(VII 1.46) величины, не упомянутые
выше особо, обозначены следующим образом: п — показатель
преломления материала призмы; v — его коэффициент дисперсии;
0 — величина преломляющего угла клина; i — угол падения луча
на входную грань призмы.
При расчете допусков на отклонение углов призм и иа пирами-
дальность удобно пользоваться обратными передаточными отно-
шениями, каждое из которых равно
частному от деления допуска для данной
ошибки призмы на величину допускае-
мой аберрации. Все эти обратные отно-
шения легко найти из формул (VIII.36) —
(VIII.46). Конкретные величины допу-
сков получатся нз найденных отноше-
ний, если известны конструктивные
данные оптической системы прибора.
При этом получится ряд значений до-
пусков, которые могут значительно от-
личаться друг от друга по величине.
В качестве окончательного допуска
следует принять наименьшую из полу-
ченных величии. При установлении
допусков необходимо еще учитывать
технологические возможности изгото-
вления призм, а также некоторые другие
технические требования, например тре-
бования о взаимозаменяемости сменных
деталей.
Рассмотрим несколько типовых при-
меров.
Пример 1. Рассчитаем допуски на клиновидность защит-
ного стекла 1, а также на отклонение углов и на пирамидальность
головной призмы 2 и окулярных призм 3, 4 артиллерийской стерео-
трубы ACT 10x45 (рис. VIII.15). Все перечисленные детали изго-
товляются из оптического стекла К8.
Качество изображения трубы должно быть первоклассным,
так как она используется для визуального наблюдения. Допу-
стимый хроматизм каждой детали определяется из условия, что
А6ГС за окуляром ие больше 10".
Из формул (VIII.43) и (VIII.31) получим следующие величины
допусков.
Для защитного стекла 1 найдем
0 = 2'.
Защитные стекла являются сменными деталями, поэтому они
должны быть взаимозаменяемы; в частности, при замене повре-
жденных защитных стекол в стереотрубе не должна появляться
33* 515
непараллельность оптических осей труб. Допуская этот дефект
за окулярами ие более 7,5', т. е. не более половины всего при-
борного допуска на непараллельность выходящих пучков по вы-
соте, ужесточим допуск на клииовидиость защитных стекол до
0=1'.
Для головной призмы 2 найдем 0С = 0я = 2', откуда
645„ = 0с=2'; л = -^=1,5'.
Допуск на прямой угол следует задавать из других соображе-
ние. VIII .16
получим для обеих призм
6^ = 0. = 3,5';
нии, например нз конструк-
тивных.
Для окулярных призм 3
и 4, находящихся перед оку-
ляром под угловыми увели-
чениями уз^ 1,5х и у41х,
допуски на клииовидиость
по формуле (VIII.43) можно
было бы задать соответствен-
но в 7 и в 10 раз большими,
чем для головной призмы. Но
такие широкие допуски при-
вели бы к заметной угловой
децентрировке оптической
системы трубы. Допуская эту
децентрировку менее 10',
-• 3,5'. Для призмы 3 найдем
л = -^=- = 2,5'
/2
и соответственно для призмы 4
Л,, = ^=1,8'; л = ^=1,8'.
Для комы за окуляром по формуле (VI11.45) при рабочей апер-
туре объектива и — 0,04 получим
Дбк = 0,6",
т. е. пренебрежимо малую величину.
Пример 2. Рассчитаем допуск на клииовидиость пластинки
отражателя 1 коллиматорного визира (рнс. VIII.16).
Клииовидиость этой пластинки 9 в меридиональном сеченни
вызывает двоение изображения светящейся сетки коллиматора
на угол <о, а клииовидиость 6' в сагиттальном сеченни —двоение
на угол <о'. Из рис. V111.16 при угле падения i = 45° получим
со — 20 ]/2п2 — 1; ©' = 20 cos 45° V2n2 — 1.
516
Ограничивая допустимое двоение изображения углом со =
= со' = Г, прн п 1,5 для допустимой клиновидности пластинки
получим
0 = 20".
Пример 3. Рассчитаем допуски для защитного стекла 1
и для трех призм панорамы ПГ 4X16 — качающейся головной
призмы 2, вращающейся компен-
сационной призмы Дове 3 н оку-
лярной призмы с крышей 4
(рис. VIII.17). Все детали изгото-
влены из стекла К8.
Из допустимого хроматизма за
окуляром для каждой детали в 10"
получим для клиновидности дета-
лей 1 и 2 допуск 0=5'.
При качании головной призмы
по высоте на угол ±9° угол на-
клона визирного луча по отноше-
нию к защитному стеклу достигает
величины imax = ±18°. Ошибка
отсчета вертикального угла при
клиновидности 6=5' по формуле
(VIII.39) составит всего
Д6/ = 0,2'.
Поэтому можно сохранить допуск
иа защитное стекло /
0-5'.
Допуск на головную призму 2 можно задать такой же вели-
чины, поскольку угол наклона визирного луча по отношению
к этой призме ие превышает imax = ±9°. Поэтому получим
6«. = е, = 5'; л = -^- = 3'.
Отклонение визирного луча вследствие клиновидности призмы
Дове 3 в результате разности острых углов может быть скомпен-
сировано при юстировке самой призмы. Из допустимого хрома-
тизма для призмы Дове по формуле (VIII.41) получим
= 0с = 3'; л = -^- = 3'.
Однако отклонение луча вследствие пнрамидальности прн юсти-
ровке призмы Дове не может быть скомпенсировано. Ограничи-
вая это отклонение углом Дер -= 0,7' (менее одной пятой величины
допустимой угловой погрешности панорамы), для допуска на
517
пирамидальность из формул (VIII.37) и (VIII.31) получим окон-
чательно
л = 50".
Для призмы с крышей 4, находящейся под угловым увеличе-
нием у 2х, найдем 0С = 0„ = 10', откуда из формул (VII 1.29)
и (VIII.34) определим
««. = (•< =10'; = ^ = 2,3'.
Для ошибки угла крышн из формулы (VIII.46) получим допуск
= 2,5".
Пример. 4. Рассчи-
таем допуски для защит-
ного стекла 1 и качающей-
ся головной кубпризмы 2
зрительной трубы, приве-
денной на рис. VIII.18.
Для защитного стекла 1
прн допустимом хрома-
тизме A6fC =10" и при
максимальном угле падения визирного луча 1тм = 47° из фор-
мулы (VIII.41) получим
6 = Г.
Ошибка вертикального угла при этом составит
Д6/=0,4',
что допустимо, так как точность измерения углов трубой ие
выше 0,001 рад.
Для половинок кубпризмы 2 из допустимого хроматизма
той же величины Дб^с =10" получили бы:
для иижней половинки (Zmax = 60°)
0К = 0,5';
для верхней половинки (imax = 40°)
Однако из допустимого двоения изображения за окуляром
(о — 20" при увеличениях трубы порядка 6—12 получится весьма
строгий допуск для кубпризмы в целом: 2—3". Такой допуск можно
выдержать лишь индивидуальной пригонкой обеих половинок
кубпризмы.
Пример 5. Рассчитаем допуск для поворотной плоскопарал-
лельной пластинки /, используемой в качестве микрометра перед
объективом визирной трубы с фокусировкой при считывании
долей делений миллиметровой шкалы с точностью до Др =?
518
= ±0,05 мм. Расстояние от трубы до шкалы изменяется в преде-
лах I = 14-20 м. Увеличение трубы Г = 20х при диаметре вход-
ного зрачка dp = 40 мм (рис. V111.19).
Из допустимого значения хроматической аберрации при наи-
большем угле поворота пластинки imax = ±30° находим
0 = 50".
О 1
,30
Рис. VIII.19
Такая клиновидность вызовет иесимметрию сдвига изображе-
ния шкалы при повороте пластинки и ошибку отсчета, которая
в наихудшем случае равна
Д' ~ ~ 0 —2л ± 0,6 ММ.
Поскольку полученная величина в 12 раз превосходит допусти-
мую ошибку отсчета До, допуск на клиновидность пластиики в из-
мерительной плоскости окончательно зададим
0-5".
ЛИТЕРАТУРА
1. Von Rohr М. Die Bilderzeigung in Optischen Instrumente. Berlin, 1904.
2. Гу бел ь H. H. Опт. и спектр. Т. I. Вып. 6, 1956.
3. Conrady А. Е. Monthly Not. RAS. Vol. 79, 1919.
4. Гу бель Н. Н. Труды ГОИ. Т. 25. Вып. 149, 1956.
5. Слюсарев Г. Г. Геометрическая оптика. М. — Л.. АН СССР, 1946.
6. Пог а рев Г. В. Юстировка оптических приборов. Л., изд-во «Маши-
ностроение», 1968.
ГЛАВА IX
АСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
А. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ОБЛАДАЮЩИЕ
ОСЬЮ СИММЕТРИИ
1. ВВЕДЕНИЕ
Применение в оптических системах асферических поверхностей,
хотя и не влияет на принципиальную сторону методики расчета,
но вызывает ряд особенностей главным образом технического
характера, на которые необходимо обратить внимание читателя.
Прежде всего формулы для расчета хода лучей через асфе-
рические поверхности существенно отличаются от таковых для
сферических поверхностей. Эти формулы могут быть разбиты на
несколько групп в зависимости от ряда обстоятельств, трудно
поддающихся классификации, в том числе от того, какими вычис-
лительными средствами обладает конструктор: таблицами ло-
гарифмов, арифмометром или электронно-вычислительной маши-
ной. Однако главную роль при выборе методики расчета хода лучей
играет форма поверхности и способ ее определения. Для поверх-
ностей, мало отличных от сферических, применяются диффе-
ренциальные формулы или методы приведения к сферической
поверхности. Для поверхностей второго порядка расчеты произ-
водятся с помощью точных формул, а общий случай поверхностей
сложного вида, значительно отступающих от сферических, требует
более сложных и трудоемких методов, применение которых на
практике ие может быть осуществлено иначе, чем с помощью ЭВМ.
2. МАЛЫЕ ОТСТУПЛЕНИЯ ОТ СФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Расчет с помощью логарифмических таблиц
Пусть М —точка пересечения с меридианным сечением асфе-
рической поверхности падающего луча LS, образующего с осью ОХ
угол и (рис. IX.1); МС— нормаль к поверхности в точке М,
образующая угол <р с осью; h — у — расстояние точки М от оси;
OS = $. Обозначим длину нормали МС через rs, расстояние ОС
через г0, радиус кривизны сечения в точке О через г. Рассуждая
520
так же, как в случае сферической поверхности, имеем [см. фор-
мулы (1.1)—(1.5)1
sin L — sin и; sin V = -Д- sin 1;
rs П
, , i fg sin i
U = U 4- I — l\ Гл — 8 = —----------7
' ’o sin и
(IX.1)
Формула перехода имеет вид
^(И-Н ^к+1 — ^ОК-И Г0К 4" (Г0« $к)' (IX. 1 )
Величины и', I' и $ относятся к преломленному лучу. Таким
образом, вычисления производятся, так же как и для сфери-
ческих поверхностей, при условии
замены радиуса г величинами г0
и rs в формулах (IX.1).
Рассмотрим сначала случай
кривых второго порядка. Урав-
нение сечения, отнесенное ^к 'вер-
шине поверхности (к 'точке О),
имеет вид
у2 — 2гх — (1 — ez)x2. (1Х.2)
Отсюда уу' = г — (1 — а2) х, и,
поскольку h ctg <р = уу' = г —
— (1 — а2) х,
Рис. IX.1
г0 = х + ft ctg ф == х + г — (1 — е2)х — r + e2%. (IX.3)
Если решить уравнение (IX.2) относительно х, то получим
Следовательно,
'"=r+44+4(1-<!2^ 4-4(>-с2)2^+
+ + (IX.4)
Вычислим га = у cosec <р = у-----. Произведя
числения после замены х на f (у), получим
fs ~ г + 2 г 8 г’ ' 16
128 г’
все вы-
(IX.5)
521
Последний результат может быть получен проще на основании
формулы ra = г sec со, где tg со = -у-.
Рассмотрим общий случай. Меридианная кривая представ-
ляется рядом
х = ay2 -f- by* су6 4- dy* 4- • • •
Пользуясь формулами л(> = х + у ctg ср, ctg ср == ~~ — у',
получаем
г0 = г 4- +
а2 2а3
+ + yi + . .. (IX .6)
а4
г„ — г, = (а3 — ft) / — 2 (а5 — За2* i- с) у +
+ (5а7 — 20а4* + 12а»2 + 9а2с - 3d) /. (1Х.7)
В ряде случаев удобнее писать разложение для х в виде
*=4-4+-hi+»)^+4;(i+c)4 +
+ ife<i+d)£---
так как равенство нулю коэффициентов b, с, d означает, что рас-
сматриваемая кривая является окружностью. Если b ~ 0, ас
не равно нулю, аберрации третьего порядка не изменяются,
а меняются только аберрации высшего порядка. В общем случае,
когда коэффициенты b, ct d не равны нулю, выражения для г0
и rs имеют вид
г0 = г [1 - 4 ft (4)’ + 4 (5» + 2ft2—Зс) (4У +
+ -Х(1с + 6Ьс — Ж — Iff-- 5<Г) (—)’•••];
r»=r[1-v6(4) +4-(66+2й2-3сц4) +
+ 4(9с + —6ft2 —2ft3 —3ft —5d)(4)"- ••] •
Отметим, что с точностью до членов, содержащих (4) ’
r0 = rs, Таким образом, если можно пренебречь членами четвер-
того порядка малости относительно -у-, а также более высокого
порядка, можно считать r0 = rs при любом у н расчет хода лучей
производить по обычным схемам, изменяя лишь радиус у вершины
522
на величину Аг - — Погрешность, которая при этом вво-
2Ь — Ь2 у4
дится в величине rs — г9, порядка—
Для поверхностей второго порядка (эллипсоидов, параболоидов
н гиперболоидов) представляет большие удобства следующий ме-
тод расчета, позволяющий использовать обычную схему для рас-
чета меридиональных, а также косых лучей по формулам гл. I.
Напишем rs в виде
а г0 в виде
е2 уЩ_е2\ , е3 У2 У5 /, вч
Го = G + -8- = rs+ V (> ~е^
е2и2
Обозначим через е2 величину . Тогда
г5 = г(1 4-2е2); ]
'0 = ''s + e2|r(I—е2). ]
(IX.9)
Если будет составлена таблица, позволяющая по аргументу 82
получить 1g (1 + 2е2) = / (е2), то легко получить lg rs = Igr 4-
+ f (в2) и затем вычислить г9 по формуле r0 = rs + е2 (1 —е2),
где rs получается из lg rs, а е2 (1 — е2)— величина очень
малая, она определяется на логарифмической линейке.
Для удобства вычислений приводим табл. IX.1 для величины
Р = lg (1 + 2е2) в виде функции от е8 = . В этой таблице е2
меняется в пределах от 0 до 0,01 через промежутки 0,0001, обеспе-
чивающие удобное интерполирование. Точность таблицы — 6 зна-
ков (обычная точность вычислений).
Применение этих таблиц законно в пределах таких значе-
ний е2, при которых поправочные члены еще не влияют на шестые
1 е*и* г. , 1 е*у*
знаки. Это члены порядка —Д-. Если lg-g—меньше
0,000001, то вычисления совершенно точны. Указанное число
равно 2-10"6. Еслименьше, чем 16-Ю’8, или — меньше,
чем , поставленное условие удовлетворяется. На самом деле
практика показывает, что возможны значительно большие значе-
еи 11 2
ния величины , доходящие до -------; при величинах г,
меньших 0,01, погрешности в расчетах лучей, выполненных по
изложенной выше методике, не превышают обычных.
523
Таблица IX.1
8* io*p Д 8* io*p д 8* 10‘Р Л
0,0000 0 0,0030 2590 0,0060 5149
I 87 31 2676 61 5234
2 174 32 2762 62 5318
3 260 33 2847 63 5403
4 347 87 34 2933 86 64 5488 85
5 434 35 3019 65 5572
6 521 36 3104 66 5657
7 607 37 3190 67 5742
8 694 38 3276 68 5826
9 780 39 3361 69 5911
0,0010 867 0,0040 3447 0,0070 5995
11 953 41 3532 71 6079
12 1040 42 3617 72 6164
13 1126 43 3703 73 6248
14 1213 86 44 3788 85 74 6332 84
15 1299 45 3873 75 6417
16 1385 46 3959 76 6501
17 1472 47 4044 77 6585
18 1558 48 4129 78 6670
19 1644 49 4214 79 6754
0,0020 1730 0,0050 4300 0,0080 6839
21 1816 51 4385 81 6923
22 1902 52 4470 82 7007
23 1988 53 4555 83 7091
24 2075 54 4640 84 7175
25 2161 55 4725 85 7259
26 2247 56 4810 оО 86 7343 о4
27 2333 57 4895 87 7427
28 2418 58 4979 88 7511
29 2504 59 5064 89 7595
0,0030 2590 0,0060 5149 0,0090 7679
2
6
Р. Р.
87
86
8,7
17,4
26,1
34,8
43,5
52,2
60,9
69,6
78,3
8,6
25,8
34.4
43,0
51,6
60,2
68,8
77,4
85 81
1 8,5 8,4
2 17,0 16,8
3 25,5 2Ь,2
4 34,0 33,6
5 42,5 42,0
6 51,0 50,4
7 59,5 58,8
8 68,0 67,2
9 76,5 75,6
83
е2 Ю’р д е2 Ю’Р д
0,0090 7679 0,0095 8098
91 7763 96 8182
92 7847 84 97 8266 84
93 7931 98 8349
94 8014 99 8433
95 8098 100 8517
2
3
5
6
8
8,3
16,6
24,9
33,2
41,5
49,8
58,1
66,4
74,7
Примечание, lg -- lg г + 0; 1 g rm = 1 g т + Зр;
524
Необходимо знать разницу в высотах h (у) пересечения луча
со сферической и асферической поверхностями. Ее легко опреде-
лить из рнс. IX.2. Пусть луч LyL2 пересекает сферическую по-
верхность ОЛ1/И2 в точке Л12, асферическую — в точке Mt. На
высоте у разность абсцисс
ординатой у, равна
Угол /_М2М tM — и;
/^Л1гММ2 — 90° — <р; сто-
рона МгМ2 определяется
формулой
мЛУ = Дх —У541
1 2 COS (ff — и)
Л COS ®
— Лх-----у-.
COS I
двух точек AJAf обладающих общей
Разность высот Ду = М,М? sin и Дх sin и =
£ cos I
1 Z, о\ V4 COS® . z-'
— — (1 — е2) 7г -^-Т- sin и- С точностью, достаточной для расче-
тов, можно написать
A'/ = -^<1~e2)'7rsin“’
(IX.10)
так как погрешность, которая вытекает из предположения, что
cos ср и cos t равны единице, такого же порядка как та, которая
- У6
получается из-за пренебрежения членом порядка
Деформирование поверхности
Деформированной будем называть такую поверхность, которая
отличается от сферической тем, что в разложении г0 и rs как функ-
ции от — коэффициент при равен нулю (Ь = 0). Практиче-
ский интерес, вызываемый такими поверхностями, обусловлен тем,
что, во-первых, они, как правило, меньше отличаются от сфериче-
ских, чем поверхности второго порядка, а во-вторых, обладают
теми же коэффициентами аберраций третьего порядка. Таким обра-
зом, деформируя поверхность, можно влиять на аберрации высших
порядков, не меняя аберраций третьих, что является ценным прн
окончательной подгонке системы.
Формулы (IX.8) принимают вид
г„ = г[1-4-с4 + ^(7С-5-7)^+ 1
525
Достойно внимания то, что здесь, так же как и для поверхностей
второго порядка, первый член разложения одинаков для г0 и rs
и в первом приближении можно принять r0 = rs, иа этот раз
с точностью до членов, содержащих отношение в шестой сте-
пени. Следует отметить, что если 5d = 8с, то влияние члена,
у6
содержащего , становится минимальным и можно им прене-
у 1
бречь, пока ™ меньше —.
Разность высот Дг/ между точками пересечения луча со сфери-
ческой и деформированной поверхностями определяется формулой
. . cos Ф
Дм = Дх----4- sin w,
J cos г
А 1 У6
где Ах = -jg с .
Следовательно,
- Тб ’А sinw' (1Х12>
3. ТОЧНЫЙ РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ТАБЛИЦ ЛОГАРИФМОВ
Выведем формулы расчета хода лучей, лежащих в меридио-
нальной плоскости.
Как было показано ранее, уравнение поверхности, отнесен-
ное к ее вершине, имеет вид
r/2 = 2rx-(l-e2)x2. (IX.13)
Уравнение луча может быть написано в виде
f/ = (s —x)tgu. (IX.14)
Напомним, что для угла и мы придерживаемся правила знаков,
принятого для оптических вычислений (см. гл. I); этот знак не
совпадает с тем, который принят у математиков.
Совместное решение уравнений (IX.13) и (IX.14) при исклю-
чении у дает
(sec2// —е2)х2 —2(г 4-stg2«)x + s2tg2и = 0. (IX. 15)
Это уравнение удобнее" всего решить с помощью вспомогательного
угла. Положим для краткости
sec2 и — ez = af,
г + s tg2 и = а2; stgw = a3.
Если > 0, находят угол ф, удовлетворяющий условию
sin =,
526
и тогда
тЬ
2аа sin2-y-
х =-----(IX.16)
Если Gj < 0, полагают tg р = °3 ^а' , и тогда
а2
Правильность этих формул легко проверить. Применение
их по сравнению с обычным решением с помощью вычисления
квадратного корня имеет два существенных преимущества: во-
первых, точность вычислений повышается, тогда как решение с ра-
дикалом приводит к потере точности ввиду того, что вычитаются
друг из друга две почти равные величины (особенно это имеет
место при малых углах н); во-вторых, значительно повышается
скорость вычисления. Кроме того, получается только тот корень
уравнения, который обладает практическим значением. Впрочем,
для тех крайне редких случаев, когда требуется второй корень
с наибольшим абсолютным значением, удобнее всего вычислить
один корень по приведенным выше формулам, а второй получить
из известного соотношения, что произведение корней равно
Вычислив х указанным способом, находят у из уравнения
у = (s —x)tgw.
(IX.18)
Угол (р нормали с осью находят на основании уравнения ме-
ридианного сечения по формуле
л* у
(IX.19)
По углу (р находят угол i — и — ср. Дальнейшие вычисления углов
Г, и’ и отрезка г — s' выполняются по обычным формулам гл. I.
Рассмотрим еще частный случай расчета хода луча через пара-
болоидальную поверхность. В этом случае е = 1 и формулы упро-
щаются.
Величина ах = sec2 w — 1 всегда положительна, и можно на-
писать для х следующую формулу:
х = 2^-sin2= stg-j-,
Slg2U S , 9
причем sin ф = r + ;ig>a -= 7-c-tg2 ц + s . так как a^tg^w.
Замечая, что = г и = г ctg2 и + s, и полагая
527
(IX.20)
у- = rctg2 и s = а, получаем
sin ib = —
т а ’
х = 2 (rctg2 и + s)sin2 -g- = 2а sin2
Можно составить удобные таблицы для вычисления
1g ^2 sin2по lg sin i|), пользуясь тем обстоятельством, что
2sin=4 = 2(4pty+e,
где е величина малая, как это видно из разложения разности
_ sin ip = J)=
2 2 16 т ' ' '
Таблица IX,2
ф. uts 6 9 с и 6 Е Ъе 6 А lg sin ф б А с w Л А
6,0 9,61858 8,70 69925 8.90 69966 9.10 70070 8 9,30 70336
1 899 71 26 91 69 П 078 31 357
•2 900 72 27 92 72 12 087 32 379
3 01 73 28 93 76 13 0-6 33 402
4 04 74 30 94 80 14 105 34 426
5 08 75 31 95 84 15 115 35 452
52 09 76 33 96 88 16 126 11 36 478
54 10 77 35 97 92 17 137 37 505
5 11 30
56 12 78 37 98 97 18 148 38 536
58 13 79 38 99 70001 19 160 39 567 32
8,60 14 8.80 69940 9,00 6 9,20 70172 9,40 70599
61 15 81 42 01 11 21 185 41 633 36
62 16 82 45 02 16 о 22 199 42 669
15
63 17 83 47 03 22 6 23 2U 15 43 706 39
64 18 81 49 04 28 6 24 229 15 41 745 41
65 19 85 52 05 34 25 244 45 786
66 20 86 54 06 41 7 7 26 261 17 17 46 830 44 45
67 21 87 57 07 48 27 278 19 47 875 48
68 22 88 60 08 55 28 297 19 48 923 50
69 23 89 63 09 62 29 316 49 973 53
8 20
8,70 25 8,90 66 9.10 70070 9,30 70336 9.50 71026
Примечания: 1. Начиная сс второго столбца пропущена характеристи-
ка о, поскольку она постоянн и равна 9.
2. Таблица составлена для пятизначных логарифмов и ю-
жет служить только как образец.
528
откуда
2 sin2 = 2 + 1- ф* + ... = +
Следовательно,
Ig ^2 sin2 = 2 1g sin ф + 6.
Удобно пользоваться таблицей, дающей по аргументу 1g sin ф
величину 6 такую, что Ig 2 sin2 = 2 1g sin ф + 6 (см.
табл. IX.2).
Для параболоидальной поверхности полагаем а = s + г ctg2 w;
= sin ф. Тогда х = 2а sin2-— .
4. РЯДЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ МЕРИДИАННОЕ СЕЧЕНИЕ
АСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ, И ИХ ОБРАЩЕНИЕ
Уравнение меридианного сечения поверхностей второго по-
рядка имеет вид
2rx — (I — е2)х2.
Естественно использовать ряд такого же вида, но с дополни-
тельными членами, содержащими дальнейшие степени х, для опи-
сания общего случая асферических поверхностей (с осью симме-
трии), а именно:
у2 = 2г х — kx2 + ах* + Ьх* + с%5 - (I X .21)
Такое разложение удобно, когда асферическая поверхность
мало отличается от поверхностей второго порядка, так как в этом
случае коэффициенты а, Ь,с. . . малы и ряд для у2 быстро сходится.
Однако это разложение неприменимо для поверхностей, меридиан-
ное сеченне которых обладает одной или несколькими экстремаль-
ными точками, как это имеет место, например, на одной из поверх-
ностей коррекционной пластинки Шмидта. Действительно, прн
заданном значении х по формуле (IX.21) можно получить только
одну пару симметричных относительно осн точек, а не две или
более.
Второй способ представления меридианного сечения асфериче-
ской поверхности заключается в разложении стрелки х по четным
степеням у:
х = Ау2 + By* + Су* + Dy* 4- Еу*° + • • (IX.22)
Этот способ пригоден для всех встречающихся на практике
случаев, но не при любых апертурах (ряд может стать расходя-
щимся при апертурах, превышающих некоторую предельную
34 Г. Г. Слюсарев 529
величину). Другим недостатком этого разложения является то, что
для наиболее часто встречающихся случаев сферических и близких
к сферическим поверхностей число членов разложения очень
велико и при вычислениях с помощью ЭВМ требуется большое
число операций, что удлиняет время расчета; по этой причине
невыгодно использовать одни и те же формулы для расчетов через
сферические и асферические поверхности.
К преимуществам второго способа разложения в ряд отно-
сится возможность его применения (с небольшим дополнением)
для торических поверхностей, симметричных относительно оси х.
Этот вопрос будет рассмотрен ниже.
Практика показала, что для решения некоторых задач необ-
ходимо уметь переходить от рядов первого типа у* = f (х) к рядам
второго типа х = f (у2). Приведем здесь формулы, связывающие
коэффициенты обоих рядов.
Пусть имеем ряды
у2 = 2гх — Ах2 -f- ах3 + рх1 + ух5;
х - Ау2 + В/ + Ctf + Dtf + Еу1*,
представляющие одну и ту же меридианную кривую. Подстановка
разложения х из второго ряда в первый и сравнение коэффициентов
при одинаковых степенях у приводит к следующим результатам:
я 1 14В4— 21В-СА + бД’ВОД- ЗА2С2— А*Е
А = ~2г~'1 У----------------Д*--------------’
г> k 0 5ВСА—5В9— A2D
= -87»-; Р=——дг-—
п k2~ar 2В2 - СА
G “ 16г5 ’ а - Д5 ’
n _ 5fe3 — lOarfe — 4рл8 , В
U~ 128г7 ; Д8 ;
с 7k4 — 21arfe8 — 12prafe + 6aM — 4r3y n 1
С ~ 256г» ’ ~ A *
На практике вычисление ряда x по степеням у представляет
трудности из-за крайней малости коэффициентов В, С, D, Е,
особенно если система имеет большое отверстие, так как вели-
чины г/6, г/8, у10 становятся очень большими. Во избежание указан-
ных трудностей полезно вместо у вводить пропорциональные
ему переменные У = где ук — половина диаметра действу-
ющей части рассматриваемой поверхности, илн Y — где г —
радиус кривизны поверхности у вершины.
530
5. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ НА ЭВМ
Когда меридианная кривая асферической поверхности задается
одним из уравнений (IX.21), (IX.22), расчет хода лучей становится
настолько трудоемким, что лишь использование ЭВМ. позволяет
получить результат в достаточно короткий срок. Этот расчет
так же как в случае расчета хода лучей через сферические поверх-
ности, производится в два этапа для каждой поверхности: 1) опре-
деление точки пересечения падающего луча с поверхностью по
координатам этого луча и уравнению поверхности; 2) определение
координат преломленного (отраженного) луча по координатам
падающего луча и нормали к поверхности в точке пересечения
луча с поверхностью.
Отметим прежде всего, что в общем случае «косого» луча урав-
нение поверхности в пространстве имеет вид
у2 + z- = 2гх— kx2 4- ах3 4- йх4 + сх5 4- • • (IX.23)
нли
х — А (у2 4- z2) 4- В (У2 4- Z2)2 4- С(</2 4- 22)4 4 D (у2 4- г2)* 4- - • •
(IX.24)
При любом рациональном выборе координатных осей уравнение
луча пишется в следующем виде:
= .4 у (4 - х0);
Z = z0 4* (X — #о)>
где X, р. и v — направляющие косинусы падающего луча; х0,
У о, Zq — координаты некоторой известной точки на луче, иапрнмер
точки пересечения с предыдущей оптической поверхностью.
Решение системы уравнений (IX.25) и одного из уравнений
(IX.23) или (IX.24) находится итерационным путем. Для начала
можно полагать, что преломляющая (отражающая) поверхность
плоская н что в системе уравнений (IX.25) величина х0 известна
и из нее находят Y и Z.
Далее рассмотрим отдельно уравнения (IX.23) и (IX.24).
1. По найденным итерационным путем и Zo машина решает
уравнение (IX.23) относительно х и из уравнения луча для нового
значения х® 4- получаются во втором приближении и Zu
из которых по формуле (IX.23) находится второе приближение
для х. . ., затем третье и т. д., пока два последующих значения хк
и хк+1 не окажутся равными в пределах требуемой точности.
2. В первом приближении также предполагают поверхность
плоской, откуда получаются значения Y н Z в первом приближе-
нии. По формуле (IX.24) машина вычисляет первое (точнее —
второе, так как для первого оно принималось равным нулю)
(IX.25)
34*
531
приближение для хх, после чего, полагая в уравнении луча X =
= получают второе приближение для у и г и т. д.
Второй способ выгоднее первого, так как итерационный про-
цесс в два раза короче [решение уравнения (IX.24) не требует
. итерации, как решение уравнения
1\ (IX.23)].
I Прн изложенном выше способе вы-
| / числения машина выдает тот корень
i / у уравнений (IX.23) и (IX.24), который
|/ / соответствует наименьшей по абсолют-
0\ /\и иому значению величинех. Как правило,
Г Ту именно этот корень представляет прак-
]\ / тический интерес. Однако встречаются
I.X случаи (например, в параболоидальных
! отражателях с апертурным углом, пре-
I вышающим л/2), когда действительная
I точка пересечения /Ц луча ZjSAa
Pi с поверхностью МОМ' (рис. IX.3) ока-
рис 1х.з зывается дальше от касательной пло-
скости PPi, чем вторая точка Л2. Для
нахождения координат точки Л1 необходимо исходить из другого
приближения, которое можно получить, например, графическим
путем. Если поверхность второго порядка, то сначала можно
вычислить по описанной методике корень, соответствующий точке
А 2, а второй корень получить из известного соотношения между
суммой (или произведением) корней и коэффициентами уравнения
меридианного сечения поверхности.
6. РАСЧЕТ БЕСКОНЕЧНО ТОНКИХ АСТИГМАТИЧЕСКИХ ПУЧКОВ
В настоящее время, когда благодаря применению ЭВМ число
лучей, подлежащих расчету, как меридиональных, так и косых,
значительно увеличилось, в большинстве случаев уже отпадает
надобность в изучении бесконечно тонких астигматических пуч-
ков и все сведения, которые получались на основании их расчета,
могут полнее выясняться с помощью расчета хода достаточно
большого количества лучей. Тем не менее следует учесть, что в си-
стемах с очень малым относительным отверстием (очковые лнизы,
особо широкоугольные фотографические объективы и т. п.) основ-
ным недостатком, подлежащим исправлению, является астигма-
тизм, и для этого случая вопрос о расчете фокусов бесконечно
тонких астигматических пучков приобретает большое значение.
Этот расчет представляет интерес главным образом для пучков,
главный луч которых лежит в меридиональной плоскости. Для
более общего случая, когда главный луч не лежит в меридиональ-
ной плоскости, можно воспользоваться формулами Д. Ю. Галь-
перна [1 ].
532
Вернемся к более часто встречающемуся случаю, когда главный
луч астигматических пучков лежит в меридиональной плоскости.
Предположим, что поверхность задана меридианной кривой
х "f,
Нормаль MN к поверхности ОМ пересекает ось ОО в точке Cs
(рис. IX.4). Расстояние и является сагиттальным радиусом
кривизны, обозначаемым обычно буквой г5, который входит в фор-
мулы Юнга—Аббе и др. 1см., например, (1.52) и (1.55)1 для опре-
деления фокусов бесконечно тонких пучков сагиттальных лучей.
Напомним формулу Юнга—Аббе для этих пучков:
(IX.26)
п' п п cos Г — п cos i
Вывод этого уравнения производится точно так же, как и для
сферической поверхности, с той лишь разницей, что радиус сфери-
ческой поверхности г нужно заменить на сагиттальный радиус rs-
Из рис. IX.4 ясно, что
у tg ф х
rs~ bin ср ’ sm ф — t */2,
где х' — производная от координаты х по переменной у.
Окончательно
Рассмотрим теперь формулу Юнга—Аббе для бесконечно тон-
ких пучков меридиональных лучей
п' COS2 i' П COS2 I _ rt'CQSi'—ncost
/ tm rm
Величина rm в знаменателе правой части представляет собой
радиус кривизны МСт меридионального сечения поверхности
в точке М. Изложенный в гл. I вывод формулы Аббе для меридио-
нальных лучей в случае сферической поверхности можно повторить
и в данном общем случае, когда меридиональное сечение не
533
является окружностью; при выводе нужно принять, что точка С
есть центр кривизны меридионального сечения поверхности.
Определим величину r„t в случае, когда сечеиие поверхности
задано в виде х — f (у). Как известно, гт = —знак минус
появляется вследствие принятого нами правила знаков. Заменяя ds
и dtp их значениями, находим
з
r = _ Al (| + х'г)2 = _J__________ (IX.28)
т d<f х" xi' cos3 <р ’
Если, наоборот, величина у дана как функция от х, то, как
нетрудно проверить,
rs = 4- у'2 — у cosec <р; (IX.29)
з
Для конических сечений имеем общее уравнение
/ = 2гх~(1—е2)х2,
где е — эксцентриситет. Двукратное дифференцирование дает
(IX.3I)
Подставляя выражение для у' в формулу (IX.29), получаем
После некоторых преобразований, имея в виду уравнение кониче-
ских сечений, находим
= (IX.32)
Используя уравнение кривой, можно заменить выражение
в квадратных скобках более простым выражением-------после-
чего можно написать rs в виде
r. = r/l + -%. (XI.33)
Для меридионального фокуса из формулы (IX.30) после под-
становки выражения для у" получаем
гт= £(1 -4-у'2)2 -
534
Подставляя вместо у' выражение из формулы (IX.31), имеем
= [(1 -е»)-£—(IX.34)
Используя, как и прежде, соотношение между у н х нз урав-
нения кривой, получаем
rm = /-/(l+e‘4)1- (1Х.35)
Для параболоидальной поверхности имеем простые формулы
r5 — р sec <р; r,n = р sec3 ф,
где
v 1/”р2 4- у3
sinф = —- ... . ♦ sec ф = —-———
’ Р
1 Г р + 2х
или sec ф = у .
В общем случае для расчета астигматических пучков нужно
использовать формулы Юнга—Аббе. Входящие в эти формулы
величины rs, гт н косые толщины dK, отделяющие точки пересе-
чения луча с двумя следующими друг за другом поверхностями,
вычисляются на основании уравнений, описывающих меридиан-
ные сечеиия поверхности. Предположим, что эти поверхности
определены одной нз формул (IX.23) или (IX.24).
Напомним, что
Так как мы предположили, что главный луч лежит в меридио-
нальной плоскости, то координата г отпадает и остаются в обеих
формулах лишь координаты у и х.
Если поверхность задана в виде (IX.24), можно непосред-
ственно вычислить х’
х' = 2Ау 4- 4Ву3 4- 8Су7 + 12Dyn 4- • • (IX.37)
и подставить полученное значение х' в формулу для rs. Однако
следует указать, что если ряд для х сходится плохо, то может ока-
заться, что ряд для производной вовсе не сходится; об этом можно
догадаться по скорости уменьшения последующих членов. Если
отношение абсолютных величии последующего члена к предыду-
щему меньше 4$—можно пользоваться формулой (IX.37)
для х'.
535
Если уравнение поверхности представлено в виде (IX.23),
то уравнение меридиального сечения есть
у2 = 2rx — kx2-• •
Для получения г, следует найти у'; для этого необходимо диффе-
ренцировать последнее уравнение по х, что дает
2уу =2г — 2kx + Зах2 -j- 4&х3 5сх4 ,
откуда
о с
= + + + (XL38)
У У
Это выражение для у' подставляется в формулу для г&, а именно:
г, = у ТТ+75.
Следует отметить, что величина у' обычно уже известна, так
как если ход главного луча уже ранее вычислялся, то при его
расчете необходимо было определить направление нормали к по-
верхности в точке пересечения луча с нею; таким образом, tg ср =
= уже известен, так же как х и у. Это замечание относится
и к случаю, когда поверхность представлена в виде (IX.24).
Вычисление величины представляет некоторые дополнитель-
ные трудности, так как она требует вычисления второй производ-
ной у" нли х".
Действительно,
г - _ (‘ + _ 1
,п У /sm3(p '
Если уравнение меридианного сечения имеет вид
yi = f W.
то для вычисления у" нужно дважды дифференцировать это урав-
нение:
%уу' = Г W;
2yy’ + 2y'^f"(X),
откуда
у" = (1Х-39)
*У
Первая производная у' уже известна, так как она понадобилась
для вычисления г8. Необходимо отметить, что ряд для у" еще
слабее сходится, чем ряд для у'. Поэтому здесь надлежит пользо-
ваться теми же указаниями, что н для определения сходимости
ряда для у'. Все затруднения со сходимостью могут быть обой-
дены, если прн задании поверхностей ограничиться конечным.
числом членов (что не всегда возможно).
536
Если уравнение меридианного сечения имеет вид
то
* = №),
d+*'2)V ,
(IX.40)
где
х" =
&/(У)
ду2
Х ~ ду ’
Вычисления производятся аналогично тому, как они выпол-
нялись в предыдущем случае. __
Что касается косой толщины dK, то она тоже уже рассчитана,
если вычисления производились по формулам Федера (см. гл. I).
Если расчет хода велся по другим формулам, то достаточно вспом-
нить, что
= V(xM — х J2 + (ум — у,)2, (I X .41)
где хну — координаты точек пересечения луча с поверхностями к
и к+1.
Можно еще написать dK в виде
= + — x,)sec«K+1. (IX.42)
Приводим сводку формул для расчета положения фокусов
бесконечно тонких астигматических пучков:
п' п __ п’ cos i' — ncosi
2. п' cos2 i'______n cos2 i _ n’ cos i' — ncosi .
C r,n ’
3. r, = у УI + у'2 — у cosec <p = y x ;
3 _3
A . (1+/2P 1 (1+xV
** m “ у" ~~ у sin ф ' Xя
частные случаи для поверхностей второго порядка
(IX.43)
5. ^+i — dK',
6. 4= (4 + *к+1 —*k)s€CHk+1.
537
7. РАСЧЕТ АСТИГМАТИЧЕСКОГО ПУЧКА
ДЛЯ СЛЕГКА ДЕФОРМИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Наиболее удобными для вычислений являются также фор-
мулы Аббе; ниже приведены формулы, по которым вычисляются
радиусы кривизны rs и гт формул Аббе для сагиттальных и ме-
ридиональных бесконечно тонких пучков.
Для сагиттальных пучков из рис. IX.4 имеем
rs = у cosec ф = у cosec (<р0 4- Дф) =
/ Дф cos q> \ Дф
= у\ cosec фл--.> = г — у cos ф—,
Sln2Cp / УТ Sln2 ф »
или
г2
rs = г----— ДфСоБф, (IX.44)
где г—радиус кривизны недеформированной (сферической) по-
верхности; фо — угол с осью нормали к этой поверхности.
Для меридиональных пучков имеем
________________________________ ds
Гт ~~ ~dq ’
где
ds = dysectp.
С другой стороны,
Ф = ф0 <2ф = arc sin -у- 4- Дф.
Отсюда находим
dtp — d (arc sin 4" d (Дф) =
+ ^-dy. (IX.45)
Подставляя найденные значения ds и ckp в выражение для rm,
получаем
-_____________аУ sec-9L---------------------L_________, (IX 46)
т~ 1 dy , d(A<p) . , d(A<p) ’ МЛ.чи;
----------------T-12- dy 1 4 Г cos w------
r cos ф 1 dy dy
_ d (Дф)
Если произведение r cos ф—невелико по сравнению
с единицей, можно написать приближенную формулу
r„=r-r’cos<p^. (IX.46*)
Для вычисления'гт по формуле (IX.46) нужно взять производ-
ную от ряда Дф = at/3 + Ьуь +• • это дает
= Зау2 + 5Ьу* + - • •
538
d (Дф)
Подставляя вместо у его численное значение, вычисляем .
Нетрудно определить влияние малых деформаций сферических
поверхностей на положение фокусов бесконечно тонких сагит-
тальных и меридиональных пучков. Для этого можно использо-
вать формулы Аббе, дифференцируя их по величинам t, t' и г,
дифференциал dr должен быть заменен конечным изменением
величины г, т. е. разностью гт — г для меридионального пучка и
разностью rs — г для сагиттального пучка.
Для одной поверхности изменение положения сагиттального
фокуса Д/s на основании формулы (IX-44) определяется выра-
жением
п' п cos i'— п cos I г- *
7га<’ =-----------7-------Тд<р =
п' cos i' — п cos i
y -T- (1ХЛ7)
меридионального фокуса изменение положения &tm
Для . .. . .
согласно формуле (IX.46*), т. е. при пренебрежении членом
гД<р tg <р, имеет вид
Лу М‘т = — (п cosf — л cos i) costp (IX.48)
К сожалению, применение теоремы Лагранжа—Гельмгольца
для случая наклонных пучков вряд ли возможно. Однако эта тео-
рема может быть полезной при определении приблизительного
влияния деформации любой поверхности системы на положение
фокусов бесконечно тонких сагиттальных илн меридиональных
пучков. Для окончательного расчета необходимо применение точ-
ных формул Аббе со значениями радиусов кривизны (IX.44)
и (IX.46); вычисление выполняется по формулам (IX.43).
В заключение приведем несколько формул, которые могут
оказаться полезными прн расчетах систем, содержащих асфериче-
ские поверхности.
1. Расстояние N между асферической поверхностью и сфериче-
ской, соприкасающейся в ее вершине, отсчитываемое по нормали
к сферической поверхности, для поверхностей второго порядка
равно
W = -^cos<p = -^=j-Cosq>, (IX.49)
где ф— угол нормали с осью.
2. Точная формула для разности стрелок (отсчитываемой
параллельно осн) для поверхностей второго порядка
x^^sln’4-, (IX.50)
539
(IX.50*)
где sin 0 = — УI — е2, если е < 1;
• 2 Ф
9 г Sin2l
X — 2 -5--7 -----Г
е2 — 1 cos лр
где tg ф = — Уе2 — 1, если е > I.
3. Если х = ay2 + by* + су* -f- dy*, то
Го ~~ Г3 = (а3 — Ь) у* — 2 (а5 — За26 с) / -р
+ (5а7 — 20а46 + 12а62 4- 9а2с — 3d) t/8, (IX.5I)
причем
а3 — b о , 2а3Ь— Зас4-463 , , а4с—2a2d + 6abc — 4ЬЯ <
'(>='•+- —^г- у* н-------------у н------------5/
есть расстояние от вершины асферической поверхности до точки
пересечения с осью нормали к меридианной кривой; rs — расстоя-
ние от точки пересечения луча с меридианной кривой до точки
пересечения с осью нормали к меридианной кривой.
4. Поправка к ординате у при переходе от сферической к асфе-
рической поверхности, если луч образует с осью угол и, нормаль
к поверхности — угол ср и угол преломления равен i:
для поверхностей второго порядка
в общем случае
<1Х-52>
Значение коэффициента b определяется по формуле разложе-
ния х для случая 3.
8. ДЕЦЕНТРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим встречающийся иногда на практике случай, когда
ось симметрии поверхности вращения второго порядка не совпа-
даете оптической осью системы, а образуете ней угол ф (рис. IX.5).
Ограничимся частным случаем, когда обе оси пересекаются.
Рассмотрим только меридиональное сечение.
Пусть ОХ —большая ось поверхности вращения второго по-
рядка; О'Х' — оптическая ось, пересекающая сечение поверх-
ности в точке О'.
Пользуясь соотношениями для перехода от старой системы
координат (х, у) к новой (х', у')
х = х' cos ф — у’ sin ф 4- ха;
у = х' sin ф 4- у' cos ф 4- Уо
540
и подставляя их в уравнение кривой второго порядка
у2 — 2гх — (1— е2)х2, (IX.53)
получаем, помня, что точка с координатами уй находится иа
кривой:
х'2 (1 —e2cos2(p) у'2 (1 —e2sin2(p) 4- 2/r/'e2 sin <р cos <р 4-
+ 2y0(x' sin (p + у’ cos ф) 4- 2х0(1 — е2) х
X (Vcos ф — у' sin ф) = О
или
х'2(1 —e2cos2cp) 4- Z/'2(I —-е251п2ф) + 2х'у'е2 sin ф cos<р 4-
+ 2х \у0 sin ф + (Iе2) cos гр] 4- 2у' х
X [z/0cos(p — х0(1 — е2) sin ср] = 0.
(1Х.54)
Поставим условие, чтобы ось
О'Х' была нормалью к кривой
MOMi в точке О'. Тангенс угла
наклона равен
tg f = r _ (1Х.55)
После всех преобразований,
используя уравнения (IX.53) и
(IX.55), получаем уравнение кри-
вой в новой системе координат
(х| 4" т3Уо)х 2 4“ (Ло 4“ тУо) У 4“ 2/п (ш — 1) ХоУоХ у 4~
3
4- 2 ® 4- 2х = 0 (IX.56)
1 ~ г
при т = « х0 х0 — гт = х0 —
Уравнение кривой может еще быть написано в виде
[(1 - № + yl] х2 + (1 - [(1 - <6 xl + yl\ у2 +
3
+ 2е2 (1 - е2) ~хаУох'у’ + 2 [(1 - е2)2^ + у20\ 2х = 0. (IX.57)
Если поверхность параболоидальная, т. е. е2 = 1, а следова-
тельно, выражение _g2 бесконечно, то при переходе к пределу
легко получить, что уравнение сечеиия имеет вид
У&'2 4- г‘у"‘ — 2гу&У + 2 (г2 + уЭ 2 х = 0
ИЛИ
(уох' — гу')2 + 2 (г2 + и!)2 X' = 0.
(IX.58)
541
9. РАСЧЕТ ЦЕНТРИРОВАННЫХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ
НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ, В ОБЛАСТИ АБЕРРАЦИЙ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
В гл. II были выведены формулы (11.75) и (11.75*) для аберра-
ций третьего порядка центрированных систем, часть поверхностей
которых асферична. Напомним эти формулы:
— 2л'6g = ш' (o'2 4- й'2) Sj + (Зи2 + й'2) u/sji +•
4~ (3$ш 4" / Siv) о ш 4~ Sy^ >
— 2n'6G = й' (o'2 4- fi'2)s; + 2й>'й'ш5?1 4-
4-($ш+Л$,у)й'ш2,
причем
Si = У (Рк г- Вк)‘,
s‘-=+j'2 S ^Ak^;
s*v = У 4 +B,,} ~ 37У 4 +
где
„ hKbK (n'K ~ nK)
Вк — 3 1
'к
J = nal = ni«i (Xi — si) = tip (xp — sp)’ если <xp =1, pi — 1;
Пк = -^ Дк^- = ^.
K rK K n nn
Для бесконечно тонких компонентов, разделенных воздухом,
формулы для Sin» 5iv и Sv упрощаются:
s"‘= У. 4(л+в‘} -27 У. f +j2^
в iv — S
Sv=У 4(Pi+в‘} ~31У 4 +(з+л) ф'’
542
где
^-тпрн2ф=1-
Таким образом, коэффициенты аберраций третьего порядка
систем, содержащих иесферические поверхности, отличаются от
обычных только тем, что к величинам Р = (“Av") убав-
ляется член, связанный с деформацией поверхности, В =
=—(п —п), где b — коэффициент деформации, входящий
в множитель при у4 в разложении х:
Этот коэффициент b равен —e2, когда поверхность второго
порядка. Добавочный член ДР может быть иаписан в виде
(п — п)а
Его физический смысл виден нз приведенной выше формулы раз-
ложения для х; член-— Ь представляет собой разность стрелок
меридианных сечений асферической и сферической поверхностей.
Умножение ее на разность показателей п' — п дает изменение
положения волнового фронта вдоль луча.
Весьма важно отметить, что деформация поверхности влияет
только иа величину Р, оставляя без изменения функции Ц7, л
и тем более Дам, Aav, tp и другие, входящие в выражения коэффи-
циентов аберраций третьего порядка. Это обстоятельство очень
облегчает расчет, и из него вытекает ряд важных следствий.
Для наглядности рассмотрим случай бесконечно тонких компо-
нентов, для которого действительны формулы для коэффициентов
аберраций третьего порядка
SgN = S aNi?Ni 4- 4” 4“ ^Nh
i i I i
где N обозначает номер аберрации; I — номер компонента.
Вводя асферические поверхности, можно изменить значение Р,
при любом i на любую величину, так как b может принимать'
(теоретически) любое значение от —оо до 4-00» ио остальные члены
прн этом останутся без изменения. Изменить Р, в компоненте i
на определенную величину ДР, можно введением либо одной (без-
различно какой) асферической поверхности, либо нескольких —
543
результат в отношении аберраций третьего порядка будет один
и тот же, но влияние на аберрации высшнх порядков будет раз-
лично.
Таким образом, применение асферических поверхностей в об-
ласти аберраций третьего порядка позволяет получить новую сте-
пень свободы — по одной на каждый компонент, каковы бы ни
были число и форма асферических поверхностей. Это обстоятель-
ство очень важно, и необходимо помнить о ием. Этот новый кор-
рекционный параметр можно признать полноценным в том смысле,
что он может принять любое значение, ио при этом следует заме-
тить, что с точки зрения технологии не все значения нового пара-
метра, характеризуемого величиной Ь, равно хороши. Малые и
отрицательные значения b = —е2 соответствуют эллиптическим
поверхностям, которые сравнительно легко могут быть изготов-
лены; при больших отрицательных b поверхность гиперболическая
с большим отступлением от сферы. Положительные значения b
приводят к трудно осуществляемым иа практике поверхностям
(е — мнимая величина), меридианная кривая которых имеет вид
эллипса с большой осью, перпендикулярной к оптической оси.
По этой причине следует избегать асферических поверхностей,
для которых Ь положительно; это вполне возможно, так как
в большинстве случаев кривизна поверхностей линз (и зеркал)
слишком велнка на ее краях (из-за чего возникают аберрации)
и введение асферичности, уменьшающей ее, влияет на аберрации
в благоприятную сторону, При этом коэффициент b оказывается
отрицательным, е — вещественным.
Вследствие того, что число параметров для исправления абер-
раций третьего порядка у асферических поверхностей больше,
чем у сферических, их применение позволяет одновременно
исправлять аберрации и высших порядков, причем любых, так
как, по крайней мере теоретически, число коэффициентов, опреде-
ляющее форму поверхности, бесконечно велико. Одиако ие сле-
дует думать, что это число дополнительных параметров позволяет
исправлять несколько аберраций высшего порядка, так как
каждая аберрация также характеризуется бесконечно большим
числом коэффициентов. Например, полную поперечную сфериче-
скую аберрацию bg' надо писать в виде бесконечного ряда dg' ==
= аг sin3 и' Н- а2 sin6 и1 • • •+ ар sin2P+’ То же самое
можно сказать о коме и других аберрациях. Следует помнить, что
число коэффициентов аберраций высших порядков тоже бесконечно
велико. Иллюстрацией этого положения может служить известная
двухзеркальиая система Шварцшильда, в которой исправлены
полностью, т. е. до любого порядка, две аберрации — сферическая
и отступление от отношения синусов — с помощью двух асфери-
ческих поверхностей, определяемых бесконечно большим числом
коэффициентов. К этому примеру мы вернемся еще несколько раз
ввиду его поучительности.
544
10. ИСПРАВЛЕНИЕ АБЕРРАЦИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ДЕФОРМАЦИЕЙ ПРЕЛОМЛЯЮЩИХ (ОТРАЖАЮЩИХ) ПОВЕРХНОСТЕЙ
Предположим, что подбором конструктивных элементов (ра-
диусов кривизны, эксцентриситетов, толщин, показателей пре-
ломления) удалось получить оптическую систему, удовлетворя-
ющую всем поставленным условиям в отношении аберраций
третьего порядка; например, двухлиизовый склеенный объектив
со сферическими поверхностями, удовлетворяющий условиям
Si 0, Sip -- 0; двухлинзовый несклеенный объектив также
со сферическими поверхностями, удовлетворяющий условиям
Si =--• 0, Sn = 0, Sxip — 0, или двухлинзовый склеенный с одной
поверхностью второго порядка, удовлетворяющий тем же усло-
виям. Предположим еще, что полученное решение единственное,
отвечающее всем поставленным требованиям, например габаритам,
выбору сортов стекла и пр.
Исправление остаточных аберраций в таком случае возможно
единственным способом — деформированием одной или нескольких
п реломляющих (отражающих) поверхностей.
В этом случае возникает вопрос, каким образом изменить форму
сферических или асферических поверхностей, чтобы, ие влияя
на коэффициенты аберраций третьего порядка, изменить по своему
усмотрению оставшиеся неисправленными аберрации высшнх
порядков.
Эту же задачу можно несколько видоизменить и обобщить,
используя деформацию поверхностей не только для изменения
аберраций высших порядков, но и для улучшения аберраций
третьих порядков.
Аберрации, как известно, бывают продольными, поперечными
или волновыми. Удобнее всего исходить из волновых аберраций
по двум причинам: во-первых, волновые аберрации обладают свой-
ством сложения, т. е. волновая аберрация всей оптической системы
равна сумме волновых аберраций отдельных частей системы,
в то время как поперечные аберрации надо сначала умножить
на произведение п sin а (где а — угол апертурного луча с осью),
чтобы иметь возможность их складывать; во-вторых, волновая
аберрация простейшим образом зависит от формы преломляющих
(отражающих) поверхностей, а поэтому и деформация поверхности
непосредственно связана с изменением волновой аберрации.
11. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВОЛНОВЫХ АБЕРРАЦИЙ
Поскольку расчет хода лучей через оптическую систему закан-
чивается вычислением поперечных аберраций, необходимо перейти
от поперечных аберраций к волновым, что может быть выполнено
следующим образом.
35 г. Г, Слюсарев
545
Пусть OX — оптическая ось системы (рис. IX.6); О — начало
координат (обычно совпадающее с центром выходного зрачка);
YOX — меридиональная плоскость, содержащая гауссово изо-
бражение светящейся точки; С — некоторая точка плоско-
сти YOX, близкая к точке Со, по отношению к которой нужно
вычислить волновую аберрацию; часто в качестве точки С9 берут
пересечение главного луча с плоскостью установки. Пусть /о —
расстояние от точки Со до оси; S — идеальная волновая поверх-
ность с центром в точке С, а радиус R равен ОС. Пусть М — точка
этой поверхности; MN — нормаль к волновой поверхности в этой
точке; N — точка пересечения этой нормали с реальной волновой
поверхностью.
Уравнение идеальной волновой поверхности имеет следующий
вид:
(у-l'o)2 4- (х — d)2 — Z?2 = О,
где d — абсцисса точки пересечения плоскости установки
с осью ОХ. Можно написать уравнение реальной волновой поверх-
ности в таком виде:
/ (х, у, z) = ? + (y-if)2 4- (X - df — (/? 4- N)2 = О,
где X — отрезок MN — некоторая функция от х и от у. Урав-
нение нормали к реальной волне в точках х, у и z имеет вид
Х — х _ Y —у _ Z — z
дх ду дг
или, если пренебречь величиной N по сравнению с
Z~z _ Y —у _ Х — х
546
Полагая X = d, получаем значения координат Z = 6(7',
Y — Zo + 6g точки пересечения луча с плоскостью установки,
а именно:
iff =
дг *
- , п dN
(IX.59)
Уравнения (IX.59) связывают поперечные аберрации 6g'
и 6(?' с производными функции N по z и по у. Остается теперь
выразить эти координаты через известные т' н М'.
Если аберрации системы невелики, то можно принять, что
направление реального луча, проходящего через точку М идеаль-
ной волновой поверхности с координатами х, у, г, мало отличается
от направления нормали МС, т. е. можно принять, что реальный
луч проходит через точку С с координатами О, 10 и d. Положим,
что плоскость ZOY совпадает с плоскостью выходного зрачка и что
координаты точки пересечения луча с этой плоскостью суть Л<],
т' и 0; так как этн координаты должны удовлетворять уравнению
прямой, проходящей через точки М и С, то все указанные коорди-
наты связаны следующими соотношениями:
М' = г; т’ = ЦТ (IX.60)
d — х d — х ’ 4 '
при этом
х = d -
Эти приближенные уравнения дают достаточную точность для
всех случаев, встречающихся иа практике, так как нормали
в соответственных точках обеих волновых поверхностей — реаль-
ной и идеальной сферической — мало отличаются одна от другой.
Если угол расхождения выходящего пучка невелик и отноше-
ние диаметра выходного зрачка к расстоянию d (или /?) не превы-
шает 1 : 4 и даже 1 : 3, то формулы (IX.60) могут быть упрощены
следующим образом. Положим, что d = R; тогда обычным приемом
разложения корня квадратного в ряд по формуле бинома Ньютона
находим
Далее получаем приближенные формулы для М' и т' в таком
виде:
= и tn =у + —
35*
547
После замены х только что найденным приближенным значе-
нием находим
м1 +4-
, I
т = У —
z2 + y2- 2ylQ + l'2
d3 I г;
-Т у1 — 2yl0 + Zo2 .
------52------— \У~ 'oj
(IX.61)
Обратно г и у выражаются через М' и т! следующим образом:
М’2 + т’2 — 2т l'o , .
у=т'-------~
(IX.62)
Указанными формулами следует пользоваться только тогда,
когда нужна исключительная точность; во всех остальных слу-
чаях можно просто положить, что М' = г, т' — у, к тогда вместо
формулы (IX.59) имеем
(IX.63)
Ввиду того, что
у = R sin и 4- /о,
dy = Rd (sin а');
следовательно,
N — j dg' d(stau').
формулы (IX.63) применяются для вычисления величины вол-
новой аберрации /V. Если проекции 6g' и SG' поперечной аберрации
выражены в виде функций от т' и М', то волновая аберрация N
может быть получена интегрированием системы уравнений (IX.63);
задача сводится к нахождению такой функции N от т' н М', част-
ные производные которой по т' и М' дают и ЬС.
В случаях, когда нужна большая точность, но применение
формул (IX.61) и (IX.62) нежелательно из-за их громоздкости,
можно поступить иначе. Рассмотрим частный, но важный случай
определения волновой аберрации для меридионального сечеиия
пучка, исходящего из внеосевой точки. Как видно из рис. IX.6,
имеем у = l'Q + R sin и, откуда dy = Rd (sin и'); поэтому можно
написать
sin «
N = |“di/= [ 6g1 d (sin«'). (IX.64)
Sin Uq
548
Для каждого рассчитанного в меридиональной плоскости луча
известны fig' и sin и'.
Рассматривая 6g' как функцию от sin и', можно вычислить /V
либо графически (как площадь, заключенную между кривой 6g7,
ординатами sin w0 и sin и и осью х), либо с помощью одного из
способов механических квадратур. В качестве начала отсчетов
удобнее всего брать точку пересечения главного луча с сече-
нием АОВ.
Формула (IX.64) пригодна и в том случае, когда точка-объект
лежит иа оси I' — 0).
Вычисление волновой аберрации
для точки на оси
Для определения остаточной сферической аберрации оптиче-
ской системы вычисляют ход некоторого числа лучей через си-
стему, причем эти лучн обычно рассчитываются с соблюдением
определенной закономерности при выборе высот пересечения лу-
чей с входным зрачком. Когда система обладает малым относи-
тельным отверстием и малыми аберрациями высших порядков,
ограничиваются двумя лучами: крайним и некоторым средним,
для которого т равно тк Если система обладает более зна-
чительными аберрациями, берут три луча при закономерности
m t = тк j/"т2 — тк "j/"—, тк. Наконец, при больших оста-
точных аберрациях берут четыре луча, причем nii = tnK j/"-j-,
1 / 2 1 / з
/п2 — = /л* I/ т4 — тк. Поскольку расчет вол-
новых аберраций требуется только в системах с высоким каче-
ством изображения, для которых выполняется с достаточно боль-
шой точностью условий синусов, можно считать, что для всех
.j о sin и' т л т / 1 1
серии лучей отношения ——г равны отношениям —, т. е. I/ : 1
sin ик тк v £
в первом случае, j/"~ : j/": I во втором и j/": j/"-- :
: ~ : У1 в третьем.
Рассмотрим для примера первый случай. Пусть 6s'K —значе--
ине продольной сферической аберрации для крайнего луча и
6s' — для зоны. Можно написать общее выражение для 6s' как
функции от sin и':
6s' = 4stn2u' -j- В sin4tif, (IX.65)
549
Подставляя вместо sin и’ его значения для края и зоны, имеем
6s« — A sin2 и'к + В sin4 ик\
Ssj = Д 4 511,2 + Я 4“ sln4
где вместо и' подставлено 1/ -i~ sin и'
а Т 2 к‘
Обозначим через а величину A sin2 и', через b — В sin4 и'к.
Тогда
6sK — a 4* 6;
с ' G , Ь
6Ss = -t + t->
откуда
a = 46s j — 6sK;
b = 26s» — 46sj.
Если углы и1 не очень велики, можно написать
N = j 6g'd (sin и') = J 6s' sin u'd (sin «') = j” 6s' d*sl" “ * .
Подставляем вместо 6s' его значение из (IX.65). Тогда
N = ( (Д sin2и' Д- В sin4»')--*5” “ - =
= 4-sln4 и' 4- & sin’//. (IX.66)
Используя приведенные выше соотношения, получаем
Л/а = (-i-6sa — 4sin2»» =
= (0,16676s-.'. — 0,02086sL) sin2 и/,
nk=(4~&’+46s*)sin2
= (0,3336s,+ 0,08336s») sin2»».
(IX.67)
Поступая точно так же для случая трех лучей, находим
—1-rNi = 0,006956s» — 0,03476s ’2 + 0,13196s',;
sln “» Т Т Т
—i-7- N 2 = 0,05566s'2 + 0,22226s',;
sIn uk 3 3 3
(IX.68)
—~ Nt = 0,06256s» + 0,18756s'2 + 0,18756s',.
sln “K T
550
Для случая четырех лучей получаем
103 —~N 1 = — 3,306s» + 18,406s з — 45,836s'i +
si" ик т Т Т
4-112,15&2;
4
103 —N 2 = -1,396s« + 5,566s'3 + 33,36s'! +
Si" ик - - Y
+ 172,26s'i;
T
103 —~ N 3 = —4,696s» + 65,636s'3 + 112,66s'i +
sin2"» T 7 T
(IX.69)
+ 159,46s i;
~4
103 —NK = +38,886s' + 177,86s 3 + 66,76s'i +
sin “» ~4 ~2
+ I77,86s\.
4
В последней группе формул коэффициенты прн 6s' помножены
на 103, чтобы облегчить переход к длинам волн; длина волны Л
должна быть выражена в микрометрах, a 6s' — в миллиметрах.
Индексы прн величинах 6s' обозначают
sin2 и'
sin2 и'к
Напомним, что первая группа формул пригодна только при
малых аберрациях высшего порядка; прн ее применении предпо-
лагается, что можно пренебречь аберрациями седьмого и более
высокого порядка. Последняя группа пригодна практически во
всех случаях. Наличие нескольких групп формул дает надежный
способ контроля. В том случае, когда координаты точек пересе-
чения лучей с входным зрачком не соответствуют принятым для
расчета правилам, можно чертить график 6s' как функции от
sin и' н снять с графика необходимые значения 6s'. На графике
целесообразно по оси ординат откладывать не sin и', a sin2 «';
тогда промежутки между ординатами равны между собой. Кроме
того, при таком нанесении шкалы sin и’ влияние дефокусировки,
пропорциональное sin2 и', учитывается с наибольшей легкостью.
551
вычисление волновой аберрации
для точки вне оси
Для точки вие оси волновая аберрация зависит от двух пара-
метров у и г (или т и Л4) и может быть вычислена путем двойного
интегрирования по контуру согласно формуле
N = 4 У («О' dz -h fit' dy).
Практически такое интегрирование возможно только тогда, когда
ftg' и 6G' известны как функции у и
z или, в крайнем случае,
т' и М', для чего требует-
ся рассчитать очень боль-
шое число лучен, с помо-
щью которых можно было
бы построить чертеж кри-
вых равных значений N на
входном или выходном
зрачках.
Значительно быстрее
волновую аберрацию N
можно рассчитать с помо-
щью ЭВМ одновременно
с расчетом хода луча. Вол-
новая аберрация N может
быть представлена как разность оптических путей между двумя
сферами сравнения для ряда лучей. Пусть О (рис. IX.7)
точка-объект; О' — центр изображения; — оптическая
система; ss1 и s's) — две сферы с центрами в точках О и О'
соответственно. Пусть (ММ') — оптический путь, т. е. сумма зна-
чений У где I — длина отрезков, соединяющих точки пере-
сечения луча с двумя последующими поверхностями, отсчитанная
от точки М на одной сфере до соответствующей точки М' на второй
сфере. Оптический путь (MAI') есть функция от координат луча,
исходящего из точки О. Если из оптических путей, соответствую-
щих различным лучам, вычесть оптический путь для любого луча,
например для главного луча, то получим волновую аберрацию
этих лучей. Добавление одной и той же величины ко всем значе-
ниям оптических путей не влииет на результат.
Поэтому выбор радиуса сферы ss' не имеет значения; выбор же
радиуса сферы ss' в пространстве изображений влияет на резуль-
тат. Во избежание этого следует принимать, что сфера сравнения
находится иа бесконечности и ее радиус бесконечен.
Процесс вычисления волновой аберрации по изложенной ме-
тодике описан подробнее в гл. X.
552
Правило знаков для волновой аберращии
Во избежание ошибок при оценке волновой аберрации и для
определения деформации преломляющих (отражающих) поверх-
ностей необходимо установить правило знаков для волновой абер-
рации. С этой целью рассмотрим ряд лучей, принадлежащих пучку,
исходящему из некоторой точки-объекта О. Для простоты огра-
ничимся лучами, лежащими в меридиональной плоскости. Пусть
Л1оЛ4о (рис. IX.8) главный луч пуч-
ка; Fm — фокус бесконечно тонко-
го меридионального пучка; AfiAf?,
М2М2, М3М3 и т. д. — ряд лучей,
принадлежащих пучку. Пусть
s0SiS2s3 — кривая , ортогональная
всем лучам пучка. Она является
по определению меридиональным
сечением волновой поверхности.
Рис, IX.8
Из_точки Fm, как центра, через точку So проводим окружность
505; это сечение идеальной волны меридиональной плоскостью.
Точка S не совпадает с точкой 53, поскольку свет распростра-
няется в направлении слева направо (как показывают стрелки) и
оптическая длина пути, отсчитываемая от некоторой точки О (или
от любой сферы с центром в точке О) до точки 53, больше, чем
до точки 5, иа величину n’SS3.
Эту величину мы и называем волновой аберрацией N. На
рнс. IX.8 она положительна: положительному N соответствует
усиление кривизны реальной волны, или отрицательная продоль-
ная и поперечная аберрации. Следовательно, волновую. абер-
рацию N нужно писать в виде
sin а'
N =—и' j 6g'd (sin и").
sin Uq
(IX.70)
Рассмотрим теперь, как влияет деформация поверхности
иа величину волновой аберрации N. Пусть элемент преломляю-
щей поверхности передвигается при деформации по направлению
553
распространения света на величину I (рис. IX.9, а). Пусть п и
п' — показатели преломления до и после преломления на поверх-
уменьшается
Рис. IX.9
ностн к. Оптический путь увеличивается иа nl в первой среде, но
на п'1 во второй; таким образом, ^nl претерпевает
приращение (и — и’) I. Если
поверхность отделяет стекло
от воздуха, то приращение
равно (и—1) I н положи-
тельно; оно отрицательно в
противоположном случае.
Увеличение толщины линзы
увеличивает оптический путь.
Если поверхность отража-
ющая, причем свет в среде
изображений распространяет-
ся слева направо (рис. IX.9, б),
а следовательно, п'>0, то при сдвиге элемента поверхности вправо
дополнительный оптический путь равен (и — п') dl = —2n'dl и
является отрицательным; при сдвиге влево оптический путь и
волновая аберрация изменяются в положительную сторону.
12, ДЕФОРМИРОВАНИЕ ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Одна из наиболее часто встречающихся задач состоит в том,
чтобы изменением формы поверхности довести сферическую абер-
рацию системы до допустимой величины. При этом, если поле зре-
ния системы мало, то качество изображения улучшится не только
на оси, но и по всему полю зрения.
Если в системе имеется отражающая поверхность, то рацио-
нально подвергнуть деформации именно ее, так как при этом вели-
чина деформации окажется примерно в 4 раза меньше, чем для
преломляющей поверхности, и в 6 раз в случае, если отражающая
поверхность находится в стекле (линза Манжена).
Прежде всего по одному из описанных выше методов опреде-
ляется волновая аберрация для нескольких точек выходного
зрачка, например hK, Ьк^~, обозначим
эти аберрации через N4, N3, Nit Ne.
Соответствующая деформация на соответствующих высотах по-
верхности должна быть равна значениям ^г, например —,
если п' = 1, п = —I.
Пусть уравнение сечения поверхности имеет внд
//2 + г3 — 2гх — (IX.71)
где k = (1 —е*), и пусть у4 — то значение ординаты, которому
соответствует волновая аберрация N4. Необходимо так изменить
554
уравнение (IX.71), чтобы стрелки х иа высотах у±, у3, . . уу
Д/4 ~ о
изменились соответственно на------=-г , . . С этой целью
77 7? 71 71
обращаем уравнение (IX.71) с помощью формулы (IX.22) и полу-
чаем обращенное уравнение
х = £ + By* + Су* + Dj/8 + •..
(IX.72)
Задавая величинам у значения у4, . . ylt следует для х по-
лучить те же значения стрелок, которые получаются при решении
уравнения (IX.71) относительно х для значений ^равных ул,..., yt.
Это служит контролем правильного расчета коэффициентов В,
С, D. Задача заключается в том, чтобы придать коэффициентам г,
В, С, D такие значения, прн которых стрелки х для определенных
значений у приняли бы значения хл + Дхь х2 + Дх2, . . х4 +
I A A Ъ
+ Дх4, где &х, =
Полагая, что величины yt находятся друг к другу в отноше-
ниях У 4, У*3, У*2, У*1, что осуществляется всегда с достаточной
для рассматриваемой задачи точностью, поскольку величины
на зрачке также находятся в таком соотношении, можно написать
четыре уравнения -= Д-^r/J + АВу* + ДСу® 4- ДОу® для
четырех значений у-с. Благодаря простым соотношениям, связы-
вающим величины у^ прн различных значениях i, решение системы
четырех уравнений принимает простой вид
A -jL = 4Д1 — 2Д? + 1 ,зззд, — д};
Л/i - 8Д[ —8Д? +7,33д;‘;
дс= ю,б7д? — 16Д1;
AD = 10,67Дь
где Д1Д1Д1Д1 суть разности, получаемые из верхнего подчерк-
нутого ряда таблицы
Под fa следует понимать значение Дх<; в частиости7о*= 0, так как
первая точка соответствует значению у — 0.
Добавляя эти поправки к первоначальным значениям коэф-
фициентов-^—, ДВ и т. д.» получаем уравнение исправленной
555
поверхности. Обращая снова уравнение, получаем исправленную
поверхность в виде
f + z2 — 2rtx — /^х2 + ах3 + Ьх* -{- . . .
После замены первоначальной поверхности новой проводится
тригонометрический расчет хода тех же лучей через измененную
систему. Аберрации новой системы намного меньше, чем раньше,
и, как правило, они тем меиыпе, чем ближе деформированная
поверхность к концу системы. Действительно, если подлежащая
изменению формы поверхность последняя, то деформация, согласно
изложенной методике, приведет к полному уничтожению волновой
аберрации для четырех высот. Если же деформируется одна из
промежуточных поверхностей, лучи отклоняются от первоначаль-
ного хода сразу же после нее, отчего происходит дополнительное
и непредусмотренное изменение волновой аберрации, впрочем до-
вольно малое и намного меньшее, чем остаточные аберрации. Од-
нако это обстоятельство приводит к тому, что необходимо произ-
вести вторую деформацию по той же методике. Обычно двух
приближений бывает достаточно, чтобы получить необходимое
качество изображения.
Если уравнение меридионального сечения дано в виде х =
— / (У2), то решение поставленной задачи намного упрощается,
так как отпадает надобность в обращении функции у — f (х) н
во втором обращении после вычисления измененных коэффициен-
тов при степенях у.
13. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ДВУХ И БОЛЕЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Если подлежащая окончательной корректировке система обла-
дает не очень малым полем зрения, оказывается недостаточным
исправление одной только сферической аберрации, а требуется
учесть еще и аберрации наклонных пучков. Используя деформа-
цию двух поверхностей, можно, как правило, полностью исправить
две аберрации, например сферическую аберрацию и кому илн сфе-
рическую аберрацию и астигматизм (напомним, что кривизну
Пецваля деформацией изменить нельзя); неполностью можно ис-
править трн илн более аберраций. В качестве примера такого ком-
промисса можно привести задачу, где требуется получить высокое
качество изображений двух точек: одной — иа оси, а второй —
на некотором условно выбранном расстоянии от нее. Такая за-
дача, по-видимому, может быть решена на основании той же
методики, которая была применена для одной поверхности, но
с ее обобщением на два пучка вместо одного.
Однако легко показать, что решение рассматриваемой задачи
не всегда возможно; это становится очевидным при переходе к пре-
делу, когда обе поверхности сливаются в одну. Тогда каждый эле-
мент поверхности должен удовлетворить сразу двум условиям,
556
а это не может быть выполнено для всякой плавной поверхности,
так как каждый такой элемент обладает лишь одной степенью
свободы — направлением касательной. Очевидно, что единствен-
ный параметр, вообще говоря, не может удовлетворить двум раз-
личным условиям. Мы увидим дальше на частном примере, что при
иеплавной (типа Френеля) поверхности поставленная задача может
решаться, так как при отказе от плавности имеются две степени
свободы: направление касательной н положение элемента (отсут-
ствие связи с предыдущим п последующим элементами).
Возвращаясь к случаю двух поверхностей, отметим, что наи-
более благоприятные условия при решении задачи об исправлении
Рис. IX.10
двух аберраций возникают тогда, когда пучки, соответствующие
двум точкам поля зрения, например ABCDA1BXC1D1 и
EFCGE^F^C-fii, хотя бы на одной поверхности разделены как на
первой поверхности рис. IX. 10. Тогда исправление остаточной
сферической аберрации возможно на одной нз внутренних поверх-
ностей ММх или NNt, а исправление аберраций наклонного пучка
может быть достигнуто независимо от этого на первой поверх-
ности FBBU на которой пучки не имеют общих точек. Естественно,
что наличие таких общих точек может затруднить решение задачи,
так как в этих точках уравнение поверхности должно одновре-
менно удовлетворить двум различным условиим. Впрочем, это
затруднение во многих случаях может быть обойдено (см. дальше
описание апланатических, двухзеркальных систем Шварцшильда).
Удобство, присущее первому случаю разделенных пучков, яв-
ляется скорее практическим, чем принципиальным: оно дает воз-
можность удовлетворить обоим поставленным условиям порознь.
Можно, например, деформацией поверхности исправить сфе-
рическую аберрацию, а далее так подобрать форму первой поверх-
ности РВВг, чтобы при деформированной ММг свести в точку
пучок EE^FF,.
557
Решение задачи об исправлении аберраций дли двух пучков
путем деформации двух поверхностей при отсутствии ЭВМ в прин-
ципе не отличается от изложенного выше решения для одной по-
верхности, но обобщается на две поверхности. Вычисляются вол-
новые аберрации N, соответствующие pt точкам первой поверх-
ности и pi точкам второй, как дли первого пучка, так н для вто-
рого и составляются 2 (рх+р2) уравнений, выражающих зависимость
2 (Pi + рг) деформаций от поставленных 2 (pj -Ь р2) условий.
Если волновые аберрации, относящиеся к первому и второму
пучкам, для определенных лучей вычислены непосредственно с по-
мощью ЭВМ (нли каким-нибудь другим, способом), то расчет де-
Рис. IX. II
F
формации сводится к решению системы 2 (pi + р2) линейных
уравнений, в правых частях которых записываются желаемые
изменения ДМ волновых аберраций. Если нет каких-либо специаль-
ных соображений, можно принять &N(j = —ЛГ£/, т. е. обратить
в ноль остаточные волновые аберрации, соответствующие выбран-
ным лучам. Как и в случае одной поверхности, задача решается
в несколько приближений, тем более что вследствие большого рас-
стояния между асферическими поверхностями возможны заметные
изменения оптического пути.
Рассмотрим более подробно случай одновремеииого исправле-
ния сферической аберрации и комы одной несферической отра-
жающей поверхностью.
Решение такой задачи имеет большое прикладное значение,
так как искомая поверхность создает на расстоянии равномерное
освещение при небольшом размере источника. Как было указано
раньше, эту задачу нельзя решить применением плавной поверх-
ности, так как в этом случае можно удовлетворить только одному
из поставленных условий (и то только первому). Одновременное
выполнение обоих условий возможно (лишь приближенно) с по-
мощью разрывной поверхности.
Первое условие выполняется с помощью параболоидального зер-
кала или, в более общем случае, с помощью параболоидальных ко-
лецс общим фокусом. Второе условие требует постоянства величины
й .
sin ц , т. е. поверхность должна иметь вид сферы, но с центром
558
в фокусе, а не на двойном фокусном расстоянии, как это имеет
место в параксиальной области для любой отражающей поверх-
ности. Таким образом, поверхность состоит из ряда колец, рас-
положение которых может быть понято нз рнс. IX.11, где пока-
зано сечеиие поверхности меридиаииой плоскостью. Радиус кри-
визны параболоидальной поверхности в точке О, в 2 раза больше,
чем расстояние 0\F; далее все участки О|О2, О3О4, ОЬО9 и т. д.
располагаются так, чтобы их средние точки оказались на сфери-
ческой поверхности с центром F, а их фокусы совпали бы с точ-
кой F. Все параболоиды обладают разными значениями пара-
метров р.
Указанная поверхность, поскольку она удовлетворяет условию
синусов, не может обладать относительным отверстием более чем
1 : 0,5, что видно из рис. IX.11.
14. СЛУЧАЙ ТРЕХ И БОЛЕЕ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В связи с трудностями, связанными с изготовлением асфери-
ческих поверхностей, стараются не применять в системах более
чем одну, в крайнем случае, две поверхности сложного профиля.
Все же бывают очень светосильные системы простой конструкции
с углами поля зрения, превышающими 10—15°, где избежать на-
личия трех и даже более асферических поверхностей не удаетси.
Использование методики, описанной выше, становится мало эф-
фективным из-за большого числа уравнений, притом неточных.
Лучше переходить к методике, основанной на изучении влияния
каждого параметра (считая каждый коэффициент ряда, определя-
ющего несферическую поверхность, за параметр), для которой
существуют готовые программы, благодари чему расчеты произ-
водятся значительно быстрее и надежнее. Все же следует иметь
в виду, что часто бывают неудачи, так как поставленные условия
устранения аберраций приводят к противоречиям, а следова-
тельно, к отсутствию решений. Более подробно об этом см. гл. VI.
15. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ РАСЧЕТА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕСФЕРИЧЕСКИМИ
ПОВЕРХНОСТЯМИ
В системах из одной, максимум — двух асферических поверх"
ностей и произвольного числа сферических поверхностей большую
пользу могут оказать приемы, основанные на приложении теоремы
Ферма. Последняя обычно приводит либо к аналитическим соот-
ношениям алгебраического типа, либо к дифференциальным урав-
нениям первого порядка. Такне задачи, как расчеты линз, исправ-
ленных в отношении сферических аберраций при очень больших
апертурах, также приводят к дифференциальным уравнениям.
559
Случай одной отражающей поверхности
Принцип Ферма о равенстве всех оптических путей между
точкой-объектом на оси поверхности и изображением в этом слу-
чае вполне определяет форму поверхности. Это всегда поверх-
ности второго порядка: эллипсоид, если предмет и изображение
оба действительные или мнимые; гиперболоид, если одна из точек
вещественная, а другая мнимая; параболоид, если либо предмет,
либо изображение находятся на бесконечности. Перечисленные
формы поверхностей вытекают из известного свойства поверхно-
стей второго порядка — постоянства суммы (или разности) рас-
стояний от фокусов поверхностей до любой точки поверхности.
Преломляющая поверхность
Рассмотрим несколько более сложный случай оптической си-
стемы с последней асферической поверхностью. Пусть А
(рис. IX.12) — точка на оптической оси системы; А’ — ее изобра-
Рис. IX.12
жеиие, даваемое системой на расстоянии sp от последней поверх-
ности. Предположим, что вся система поверхностей ВВг, ССХ,. . .,
HHit за исключением последней КК\, задана; требуется опре-
делить форму поверхности так, чтобы все лучи после выхода из
системы проходили через точку А'. С помощью принципа Ферма
задача может быть решена следующим образом. Применим прин-
цип к двум лучам АВЪ ..., и АВ, . . КА'-, это дает
п^АВ п%ВС n3CD 4-... 4" п рНК Пр^КА' =
= n-iAB-t 4- -h ... -h пр+1КгА'-
Оптический путь от А до Н зависит только от угла луча
с осью обозначим для краткости этот путь через I («4; уравне-
ние, выражающее принцип Ферма, можно переписать в таком виде:
4«i) + nflK + пр+^А' = С, (IX.73)
где С — известная величина. Пусть х^ и у^ —• координаты
точки Н, удовлетворяющие уравнению сферы; обе зависят от
Uf, хр и ур — координаты точки К, удовлетворяющие уравнению
последней неизвестной поверхности
560
Уравнение (IX.73) можно написать в таком виде:
1М + »р — Хр-1)2 + (|/р — Ур^)г +
+ «Р+1 ]/ (4-^)2 + Й = с. (IX.74)
Напишем, кроме того, уравнение прямой НК
- (У - = (Х- V1) tg upt (IX.75)
где Xp_lt Ур-i и и„ — известные функции от uv
Уравнению (1л.75) удовлетворяют координаты хр, ур любой
точки меридианной кривой KKi* следовательно,
' (IX.76)
Из уравнений (IX.74) и (IX.76) можно найти хр н ур как функ-
ции от и получить для каждой из них
^=/1(«1); ^-/2(«1). (IX.77)
Уравнения (IX.77) суть параметрические уравнения искомой
кривой. Применение этого метода на практике наталкивается на
значительные трудности.
Этот же вопрос решается гораздо проще с технической стороны
путем механического интегрирования дифференциального уравне-
ния первого порядка. Пусть х = f (у) — уравнение сечеиия неиз-
вестной поверхности. Предположим, что положение некоторой
точки М этой кривой известно; пусть хр н ур — координаты этой
точки; известен также угол ир луча до преломления через опреде-
ляемую поверхность.
Вспомним, что
tg«; = ^L. (IX.78)
SP~XP
По углам Up и Up можно найти положение нормали к неизвест-
ной кривой. Для этого из уравнения «' = « + i' - i, в котором
для краткости опущены значки, получаем
i — i' —(u' — u);
далее
sln i — sin Г cos (u' — u) — cos Г sin (u' — u),
или
-^-•sini' = sin Г cos(u' — u)—cos Г sin (и' —u).
Разделив обе части этого уравнения на cos V, решаем его от-
носительно tg Г; это дает
= П5.П(Ц--Ц) (XI.79)
& п cos (и — и) — п v ’
561
36 Г, Г. Слюсарев
Уравнения (IX.78) и (IX.79) позволяют по известным хр и ур
получить ир и ip, после чего легко иайти
<Рр — ир — ip. (IX .80)
Производная от х по у, которую обозначим х', как раз равна
tg т. е,
= х’ = tg ф,. (IX.81)
Таким образом, если известна одна точка кривой, то можно
вычислить тангенс угла нормали в этой точке с осью по следую-
щим формулам:
. ’ Ур
пр<ж (и'р-ир) — п'р ’
dih, = Хр~ (“? — '(>)•
(IX.82)
Для механического интегрирования полученного уравнения
очень удобным является излагаемый ниже метод Адамса—Кры-
лова [2].
Предположим, что уже известны координаты хр трех-четырех
точек, ординаты которых отличаются друг от друга на постоян-
ную величину Да. Обозначим через а,, а2, а3, . . . значения пере-
менной у, через Ь2, Ь3, . . . — соответствующие значения пере-
менной х.
Составляем таблицу по следующему образцу:
хр Дх X' f—x' Sa A’f Д’/
а1 Х1 f, V, A2/. Д’/.
АЛ, х2 ft V, Л'71
аэ ^3 [мГ|
а4
В первом столбце записываются значения переменной у, во
втором столбце — соответствующие значения функции х. Третий
столбец оставляется для разностей Дх; в четвертом столбце запи-
сываются значения х', полученные по формулам (IX.82); в пятом —
произведения f = х'Да; в шестом, седьмом, восьмом столбцах —
562
разности первого, второго, третьего порядка функции f. Для вы-
числения Ь4, соответствующего значению ур — а4, прибавляем
к Ь3 разность Д63, полученную по формуле
(1Х-83)
где разности Д, Д2, . . . берутся по восходящей прямой (под-
черкнуты в таблице). Получив Ь4 = Ь3 + Д63, можно вычислить
х', н еще ряд разностей ДГ8, Д2/2, Д3/1 и т. д., после чего вычис-
ляют новую разность ДЬ4 по формуле {IX.83) с прибавлением еди-
ницы ко всем значкам этого уравнения.
Первые три-четыре значения ур и хр вычисляются в предпо-
ложении, что кривая практически не отличается от окружности
в области небольших у, что соответствует действительности. Зная
начальные координаты кривой, продолжают ее с помощью про-
цесса Адамса. Этот метод определения формы поверхностей с по-
мощью дифференциального уравнения, примененный в вычисли-
тельном бюро ГОИ, оказался очень удобным в вычислительном
отношении.
Апланатнческая система двух зеркал
Эта задача, решенная впервые (в 1905 г.) Шварцшильдом 13],
снова была дважды решена, независимо от него, Кретьеном [4]
в 1922 г. и Д. Максутовым
[5] в 1932 г.
Как известно, парабо-
лические рефлекторы, иде-
ально исправленные в
отношении сферической
аберрации, обладают очень
значительной комой. По-
следнюю можно устранить рис ix.13
применением двух асфери-
ческих зеркал; их форма определяется из условия апланатизма,
которое должно выполняться для всего отверстия пучка. Рас-
смотрим здесь наиболее изящный с математической точки
зрения прием Шварцшильда, который привел задачу к системе
дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть AM
(рис. IX. 13) — меридиональное сечение поверхности первого боль-
шого зеркала телескопа; ВМ' — меридиональное сечение поверх-
ности второго малого зеркала. Луч, падающий на систему парал-
лельно оси, проходит через точки С, А, В, S'. Если точка S'
лежит за первым зеркалом, в нем делается отверстие; можно также
еще отбросить лучи в сторону с помощью плоского зеркала, как
в телескопе Ньютона. Пусть f и f — фокусные расстояния боль-
шого и малого зеркал; d — расстояние между нх вершинами;
36*
563
F— фокусное расстояние всей системы; т — расстояние- MS';
по общей формуле имеем
4-=т+г-т- <1Х-84>
При отсутствии сферической аберрации, согласно принципу
Ферма, сумма оптических путей от любой плоскости, перпенди-
кулярной оси, до точки S' для всех лучей одинакова. Примем
ось системы за ось абсцисс и поместим начало координат в точку S'.
Обозначим через х расстояние от точки Л до плоскости SS' и
будем считать расстояние AS = х положительным, если SS' лежит
вправо от А. Поскольку луч С А до точки S не доходит, величину
AS - х при расчете оптического пути надо считать отрицательной.
Принцип Ферма дает
— x-J-AB-J-BS'^ — МУ + ЛШ7 + ЛГУ - 2J. (IX.85)
Обозначая через и' угол, образуемый с осью лучом после отра-
жения от обоих зеркал, можем написать условие синусов в виде
-J'-r=F, (IX.86)
sin и ’ ' ‘
где у — ордината точки А.
Совокупность уравнений (IX.85) и (IX.86) выражает условие
аплаиатизма; введем в эти уравнения параметры, определяющие
форму зеркал. Пусть i и Г — углы луча с нормалями к первой
и второй поверхностям. Из рис. IX. 13 видио, что
u' = 2i'—2Л (IX.87)
Обозначим через р и I отрезки BS' и АВ, считая их положи-
тельными. Координаты хну точки А большого зеркала опреде-
ляются уравиениями
x=pcosu' — /cos2t; ) ,,, Л
у - р sin и' +1 sin 21. J (IX.88)
Пусть р = р (и') — уравнение сечения малого зеркала в по-
лярных координатах. Направление иормали к нему определяется
углом i', для которого можно написать уравнение
= ,<IX-89>
Определим 2i из уравнения (IX.87) и у из уравнения (IX.86)
и подставим найденные значения во второе из уравнений (IX.88);
полагая, что F = I, находим
sinu' = рsinw' -Ь Zsin(2f* —и'). (IX.90)
Из уравнения (IX.85) и первого из уравнений (IX.88) исклю-
чаем х и получаем
2d = — р cos и’ 4-1 cos (2Г — «') -|- Z + Р.
564
илн
2J = р(1 —cosu') 4~/[1 4~cos(2t' —и')]- (IX.91)
Определяя / из уравнения (IX.90) и подставляя его значение
в уравнение (IX.91), получаем после простых преобразований
2d = p(I — cosu') -И (1 — р) sin и' ctg (i' — . (IX.92)
Решая это уравнение относительно tg i' и приравнивая полу-
ченное выражение правой части (IX.89), имеем
Дифференциальное уравнение (IX.93) определяет форму малого
зеркала, связывая полярные координаты точек кривой. Интеграл
уравнения (IX.93) может быть легко написан:
р-pH-cos2 4-
tgр = |---------tg-y du’. (1Х.94)
J d-sin=4-
Обозначая правую часть уравнения (IX.94) через /, (и’), имеем
Igp = /1 («') + С
или
р=Се'‘ <“’ .
Постоянная интегрирования определяется из того условия,
что р — d -f- т, когда и' — 0. Вводим новую переменную /,
определяя ее формулой
/ sin2 “ ;
выполняя интегрирование, находим
р d 1 т
(IX.95)
(I-/)1-*
Имея уравнение меридианной кривой малого зеркала, нетрудно
найти уравнение меридионального сечения большого зеркала.
Из уравнения (IX.85) имеем
х — р ф- / — 2d.
Исключая I' из уравнений (IX.90) и (IX.91), получаем
; = +20^)0-Р)а .
г 1 d~ pt
565
Подставляя в предыдущее уравнение вместо / его значение,
находим
-X = d - р (1 - /) - =
^d-(l-I) ; (IX.96)
заменяя р его выражением (IX.95), имеем
x = d - (IX.97)
С другой стороны, из условия синусов (IX.86) получаем
у = sm и' = 2 sin УI - sin2 У = 2 /1(1 -I). (IX.98)
Уравнения (IX.97) и (IX.98) определяют параметрически через t
форму большого зеркала.
Удобнее иметь уравнение кривых сечений малого и большого
зеркал в виде разложений в ряды. Для большого зеркала положим
х = А + By2 4- Су* + Dy6 + Eif --- (I X .99)
Исключая параметр t из уравнений (1Х.97) н (1Х.98) получаем
для коэффициентов А, В, . . . следующие выражения:
А = т — d\
В='-=^;
4d »
,_ I т
~ 8~~4d'
г} I I + 4d и
U~ 96 d 4d;
I 2 -j- 11 d + 30d2 m
1536 d2 4d ’
(IX.99*)
Поступая аналогично для малого зеркала, получаем
x_m | /1-т У- | Г 1 t-m (1 - т)2 1 у*
т + К d 1) 4т + [ 4d 2d + 2 4d2 J 8т3 +
(IX. 100)
Система двух зеркал, определяемых уравнениями (IX.97) и
(IX.98) или (IX.99) и (IX.100), исправлена точно в отношении
сферической аберрации и комы. Остаются два свободных (в не-
больших пределах) параметра d и т (расстояние между зеркалами
и расстояние фокуса от поверхности МА), которыми можно рас-
полагать для устранения еще двух аберраций — кривизны поля
и астигматизма. Для вычисления этих аберраций с точностью
только до третьего порядка малости можно воспользоваться фор-
мулами Зейделя для системы бесконечно тонких компонентов
в применении к отражательным поверхностям, ио проще вычис-
лить положение фокусов бесконечно тонких сагиттальных и мери-
566
диональных пучков по формулам Аббе, разлагая в ряд тригоно-
метрические величины sin и cos и удерживая только два члеиа
в этих разложениях. Зная отклонения Дот и As фокусов обоих
пучков от плоскости изображения в зависимости от расстояния V
точки пересечения луча с фокальной плоскостью системы от осн
системы, легко вычислить радиусы кривизны Rm и Rs геометри-
ческого места фокусов меридиональных и сагиттальных пуч-
ков по формуле 2 А/? = Г2. При этом можно использовать свойст-
во, доказанное на стр. 105, а именно: если сферическая абер-
рация и кома исправлены, величина астигматизма ие зависит от
положения входного зрачка; кривизна поля, как это вытекает
из выражения для SjV, также не зависит от положения входного
зрачка. Поэтому можно принять, что входной зрачок совпадает
с вершиной большого зеркала, что значительно облегчает выводы.
При выводе формул для Rs и Rm Шварцшильд не вполне законно
предположил, что вторая поверхность зеркальной системы имеет
сферическую форму. Небезынтересно было бы проверить, какая
прн этом вводится погрешность.
В результате вычислений Шварцшильд получил формулы
(IX.ЮЗ)
£=7^(т + 4-м)' <1Х-102>
В уравнениях (IX.101) и (IX.102) по-прежнему F принято за
единицу, a f считается положительным, если зеркало вогнуто.
Поперечные размеры кружков рассеяния в фокальной пло-
скости системы при отсутствии сферической аберрации и комы
определяются из формул
«О' = 2^- tg2 ®1,
которые выводятся так же как формулы гл. II, где bg' и 6G' —
полуоси эллипсов рассеяния в гауссовой плоскости изображения,
Sg' — в меридиональном и 6G' — в сагиттальном направлениях;
со' — апертурный выходной угол системы (половина относитель-
ного отверстия).
Заканчивая изложение методов расчета систем из асфериче-
ских поверхностей, имеющих ось симметрии, нужно указать, что
по всей вероятности можно предложить ряд иных способов реше-
ния той же задачи; к сожалению, литература по этому вопросу
крайне бедна и обычно ограничивается только соображениями
общего характера. В отношении формул расчета хода лучей через
567
асферические поверхности дело обстоит несколько лучше, но не-
сколько опубликованных работ по этому вопросу 16, 7, 8] не нашли
никакого отражения в современной литературе.
16. ПРИМЕНЕНИЕ ТОРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Наша оптическая промышленность до сих пор ие овладела пол-
ностью технологией изготовления несферических поверхностей,
за исключением тех поверхностей, которые чрезвычайно мало
отличаются от сферических и требуют нанесения лишь небольшой
ретуши (или напыления). Поэтому вычислителям приходится
искать всякие компромиссы и суррогаты иесфернческих поверх-
ностей, технология изготовления которых относительно проста
(по сравнению с иесферическими поверхностями, значительно от-
ступающими от сферических). К таким поверхностям относятся
торические, для которых уже существуют специальные станки,
позволяющие изготовить их с достаточно большой точностью. По
сравнению со сферическими поверхностями, торические обладают
одним лишним параметром, а следовательно, применение их вместо
сферических дает одно лишнее коррекционное средство, по силе
равнозначное эксцентриситету для поверхностей второго по-
рядка. Особенно рационально применение торических поверхно-
стей в тех случаях, когда рабочая поверхность имеет вид кольца,
т. е. когда ее центральная часть не работает, что имеет место в зер-
кально-линзовых системах.
Как известно, в зеркальных н зеркально-линзовых системах
большой светосилы, например с относительным отверстием, пре-
вышающим 1 : 0,8—1 : 0,75, не представляется возможным при-
менение сферических зеркал, если угловое поле системы достигает
нескольких градусов. Однако в ряде случаев торические поверх-
ности прн этих же условиях могут дать вполне удовлетворитель-
ные результаты в отношении качества изображения.
Здесь рассматривается вопрос о замене несферической поверх-
ности сложного профиля дорической, о подборе параметров по-
следней и о методике расчета хода лучей через торические поверх-
ности.
Предположим, что выполнен расчет оптической системы, в ко-
торой одна из поверхностей несферична, причем отступление от
сферы таково, что методами ретуши и напыления изготовление
такой поверхности невозможно.
Пусть OAtA3 (рис. IX.14) меридианная кривая поверхности.
Можно всегда представить эту поверхность в виде ряда х = f (у) =
= ay2 + by* + су9 4- ... Рассмотрим точку Л2, расположенную
на кривой между Аг и А3 ближе к последней, например на высоте
У —Ук¥31*> где ук — координата крайней точки Л3. Через точ-
ку А 2 проводим нормаль АгС к поверхности. Пусть координаты
центра кривизны кривой С суть ха и у0 (начало координат принято
у вершины поверхности), а радиус кривизны в меридиональной
плоскости равен
%о)2 + (У а, Уо)2’
Угол <р, образуемый нормалью с осью, определяется из уравнения
tg <Р = х = 2аул, + 4Ьу3л2 + • •
а радиус кривизны Rm вычисляется по формуле
Величины х0 и получаем из следующих уравнении: х0 -- Л'д, +
+ Rm cos <р; у„ = уАг — Rm sin ср,
когда вогнутость обращена вправо,
а знак угла нормали с осью опре-
деляется согласно правилам, при-
нятым в расчетной оптике.
Далее следует проверить, на-
сколько торическая поверхность
отличается от рассчитанной несфе-
рической. Для этого нужно вычи-
слить абсциссу х торическон
поверхности для ряда точек с орди-
натами уи у2, . . ., ур и сравнить
с абсциссами (стрелками) несфе-
рической поверхности, соответст-
вующими тем же ординатам и
вычисленными по приведенному выше ряду. Проще всего вычи-
слить стрелки для меридианной кривой торической поверхности
следующим образом:
х = х0 — УR* — (у — й)2 = х„— У~х„ + 2уу0~ у\
Умножая и деля выражение для х па сопряженную величину, по-
лучаем
У'- — ^УУа= у- — tyy»
(IX. 104)
Формула (IX.104) очень удобна для вычисления постепенными
приближенными, если положить сначала х в знаменателе равным
нулю. Если отклонения велики, можно попытаться их уменьшить
небольшими изменениями xQ и у0 и добиться наименьших воз-
можных отклонений. Когда последние не превышают нескольких
микрометров, можно считать, что замена несферической поверх-
ности в принципе возможна, однако для окончательного ответа
следует выяснить влияние отклонений на аберрации оптической
569
системы, после чего можно решить вопрос, следует ли торическую
поверхность еще подвергнуть дополнительной ретуши или можно
ее оставить без изменений. Для этого необходимо вывести фор-
мулы для тригонометрического расчета хода лучей через ториче-
скую поверхность. С этой целью можно использовать любую про-
грамму для вычисления хода лучей через поверхности, опреде-
ленные уравнением
х = а^у + а# + а3уэ + • -
на электронно-вычислительной машине, например программу № 2
для ЭВМ «Урал-2», ио необходимо предварительно определить
коэффициенты а1г а3 и т. д.
Примем за начало координат точку О, где окружность, враще-
ние которой вокруг оси образует торическую поверхность, пере-
секает ось. Формула Маклорена для области около начала коор-
динат дает
, . хГ , , х'п , .
* = хг/ + -гг/2 + -зГ!/3+---
где х', х" — производные функции х по переменной у. Но (х —
— х„)г + (у —ytf = R2m.
Дифференцируя последовательно эту формулу по аргументу у
и вводя обозначения
= х'\
х(п)
можно составить рекуррентные формулы
at = — m;
Й2 “ 2х„ ’
где т = -^-;
хо
х0а3 = а^;
= aYa3 +
^0^6 ~ “I- ^2^8’
ЗД = О& + а2а4 4- 4"(«з)2:
хойал — й1й2к-1 + а&а-гк-2 + • • + -^-(ак)2;
X(fl2K+l ~ &1&2К 4“ i + ' ’ * 4“ ®/Дс+1»
570
т. е. коэффициенты при четных степенях у отличаются от коэффи-
циентов при нечетных тем, что перед квадратом обстоит множитель
‘/2; при нечетных — квадратов нет. Как правило, коэффициенты при
нечетных степенях у малы, так как они содержатв качестве множи-
теля величину т, которая всегда мала. Для оценки порядка величи-
ны любого четного коэффициента (что нужно для определения числа
необходимых членов ряда) можно заметить, что приближенно
8 ’ следовательно, вклад 2к-го члена ряда приближенно
6
4
2
()
-2
-У
-6
-8
равен
1Q\__________i________i________I_________1________I--------1_________।--------1---------1----------
15 16 17 18 19 20 21 22 23 20 у
Рис. IX.15
Отсюда легко определить, начиная с какого к можно пренебречь
последующими членами ряда. Учитывая, что четные члены ряда
имеют всегда один и тот же знак, нужно быть осторожным в оценке
сходимости. Желательно, чтобы отношение — не превосходило
х0
V4—1/5. В таком случае каждый последующий четный член в 8—
10 раз меньше предыдущего и сходимость надежно обеспечена. Вычи-
слив на ЭВМ ход лучей через систему, содержащую торическую по-
верхность, и сравнив этот результат с’результатами, полученными
для асферической поверхности, можно узнать, насколько изме-
нились аберрации при замене сложной поверхности торической.
Можно предложить более простой способ оценки изменения
аберрации, вызываемого переходом от асферической поверхности
к торической; одиако для него требуется специальная операция,
позволяющая определить изменение аберрации, вызываемое откло-
нением луча от своего первоначального направления. Такая опе-
рация может быть осуществлена согласно той же программе
№ 2 ГОИ. Определив отступления Дх торической поверхности
от несфернческой для ряда ординат у, чертят кривую Дх как
функцию от у (рис. IX.15). Пусть tg а— угловой коэффициент
571
касательной в точке Мр кривой, соответствующей ординате ур.
Угловой коэффициент (тангенс) касательной в точке Мр с учетом
масштаба графика дает наклон Да нормали к торической поверх-
ности по отношению к нормали несферической поверхности. Зная
этот наклон, можно получить отклонение луча 2Да (в случае отра-
жения) и с помощью сведений, полученных в результате указанной
выше операции, определить изменение аберраций, вызываемое
неполным совпадением поверхностей. Для иллюстрации этого спо-
соба рассмотрим следующий пример.
Пусть поверхность первого зеркала зеркально-лиизовой си-
стемы типа Грегори с компенсатором перед фокальной плоскостью
определяется уравнением
z/24-z2 = —208,3x4- 1,592х24-0,2021х34-0,1654х4.
Торическая поверхность, наиболее приближающаяся к ней, опре-
деляется параметрами х0 127,63; = —3,09; R = 127,67; вы-
числение абсцисс х для меридианных кривых обеих поверхностей
дает значения, приведенные в табл. 3,
Таблица IX.3
У х для несфе рической поверхности х для тори- ческой поверхности Дх ig Дф в сек две'
15 1,0715 1,0714 —0,0001 -315 -0,029
16 1,2176 1,2186 0,0010 -130 —0,044
17 1,3726 1,3739 0,0013 -5 —
18 1,5364 1,5374 0,0010 НО —
19 1,7087 1.7090 0,0003 165 —
20 1,8893 1,8888 -0,0005 165 0,054
21 2,0779 2,0769 —0,0010 45 —
22 2,2740 2,2732 —0,0008 — 175 —
23 2,4774 2,4778 0,0004 -350 -0,096
где Дф = Да, а Д6#' — разность между значениями поперечной
аберрации торической и асферической поверхности, полученная
в результате расчета хода лучей.
Устранение остаточных аберраций может быть достигнуто до-
полнительной ретушью, величина которой ие превышает 1—2 нм.
17. СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
1. Ряды, определяющие меридианное сечение асферических по-
верхностей, можно представить двумя способами:
у2 = 2гх — кх2 4- ах3 4- дх4 4-сх5 + • • • (IX.21)
х = Ау2 4- By* + Сув + Dys + Еу™ + • • (IX.22)
572
Коэффициенты обоих рядов связаны следующими формулами:
„ 1 14В4 — 21В*СА + GA2BD + ЗА2С~ - А3£
Л ~ ~2Г ’ У- ~ А^-------------->
D к о 5BCA-5B3 — A-D
В = Р = “-------------А?--------’
п к? — ar 2В2 — СА
С-----16^* '• а ~ Л5 ;
п 5№—Юане—4рг2 _ В
U “ 1287* : К~ А3 ’
с 7к4—21аг№—12рг2к + 6аМ — 4гау п 1
С-----------------25бТэ ' ’ Z г ~ ~А ’
2. Сводка формул (IX.43) для расчета положения фокусов бес-
конечно тонких астигматических пучков приведена на стр. 537.
3. Если поверхность характеризуется разложением х = ш/а +
+ by* + су6 + dy9, то
r0 — rs = (а3 — Ь)у1 — 2 (а5 — За2/? + с) у9 4- (5а7 — 20а'1/? +
+ 12а/?2 + 9а2с —3d)/, (IX.51)
причем
, а‘л — b 9 , 2а3Ь — Зас •{- 4Ь- , .
г«= г+ —-i— уч------------2^5-^--у* +
. а*с — 2a2d -j- babe — 4b3 ft
+ ----------<?--------ye-
4. Поправка к ординате у при переходе от сферической поверх-
ности к асферической, если луч образует с осью угол и, нормаль
к поверхности — угол <р и угол преломления равен i:
для поверхностей второго порядка
в общем случае
<1Х-52>
5. Сводка формул для аберраций третьего порядка систем,
содержащих асферические поверхности, приведена в гл. II.
6. Сводка формул (IX.67)—(IX.69) для вычисления волновой
аберрации точки на оси на основании значений продольных асфе-
рических аберраций для двух, трех и четырех лучей дана на
стр. 550—551.
573
Б. АНАМОРФОТЫ
18. ВВЕДЕНИЕ
Оптические системы, обладающие осью симметрии, образуют
подобное объекту изображение: если объектом служит квадрат
(в плоскости, перпендикулярной оси), то его изображение будет
квадратом; если круг, то изображение имеет вид круга и т. д.;
другими словами, поперечное увеличение системы одинаково во
всех плоскостях, пересекающих ось. Однако для некоторых от-
раслей техники, главным образом кинематографии, оказались не-
обходимыми оптические системы, создающие искаженные опреде-
ленным образом изображения. Особенно это необходимо при
съемке высоких, но узких объектов (башни) нли, наоборот, очень
широких, но невысоких (ландшафты, панорамы). При съемках
таких объектов большая часть площади снимка остается неисполь-
зованной. С помощью анаморфота, т. е. оптической системы, со-
здающей изображение различных масштабов в двух взаимно пер-
пендикулярных направлениях, можно значительно увеличить ис-
пользуемую площадь, задавая такую деформацию изображения,
при которой последнее оказалось бы близким к квадрату или пря-
моугольнику согласно формату кадра. В дальнейшем при проек-
ции на экран можно использовать такой же анаморфот, но работаю-
щий в обратном направлении и восстанавливающий правильные
размеры картины. Возможны и другие применения анаморфотов,
например для поисков объектов, имеющих удлиненную форму, но
малозаметных из-за большого расстояния илн по другим причинам.
Кажущееся увеличение длины при сохранении ширины позволяет
намного быстрее обнаружить разыскиваемый объект.
Анаморфоты создаются из комбинаций поверхностей, обла-
дающих двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симме-
трии, например торических и цилиндрических. Поскольку изго-
товление более сложных поверхностей с достаточной точностью
оптической промышленностью не освоено, то в настоящее время
и в течение еще довольно продолжительного срока можно ожидать,
что никакие другие линзы, кроме цилиндрических, для изготов-
ления анаморфотов применяться не будут.
Плоскости симметрии анаморфота совпадают для всех поверх-
ностей, так как в противном случае свойство двойной симметрии
не может быть удовлетворено. На практике анаморфоты содержат
несколько компонентов, состоящих каждый из цилиндрических
линз с параллельными образующими, причем у одних компонен-
тов образующие параллельны одной из плоскостей симметрии,
у других они перпендикулярны последней. Простейшими при-
мерами аноморфота могут служить следующие комбинации.
1. Две цилиндрические линзы расположены как показано на
рис. IX.16, где вверху приведена вертикальная проекция системы,
574
а внизу — горизонтальная (обе проекции совпадают с плоско-
стями симметрии системы). Как видно из картины хода лучей на
обеих проекциях, приведенный на рисунке анаморфот в одном
сеченни дает увеличение в 2 раза, в то время как увеличение
во втором сечении равно */2; отношение этих двух увеличений,
характеризующее степень искажения, равно 4.
2. Две цилиндрические линзы имеют параллельные образую-
щие, расположенные как показано на рис. IX. 17.
В первом сечеинн, перпендикулярном образующим (верхняя
часть рисунка), лучи, падающие параллельно оси 00' пересечения
А. i ft А'
А \1
А'
А i ^2
Рис. 1Х.16
A At >2
Рис. IX.17
двух плоскостей симметрии, пересекаются в заднем фокусе F
первого компонента Llf совпадающем с передним фокусом второго
компонента Ьг, и, преломляясь вторым компонентом выходят
из системы параллельно оси, но на высоте h2, отличной от высоты
падения Если обозначить отношение Д1- через Г, то можно
считать, что система действует в рассматриваемом сечении как
галилеевская с увеличением Г.
Во втором сечении (нижняя часть рис. IX.17) лучи проходят
не преломляясь. Изображение получается на бесконечности с уве-
личением равным единице. Таким образом, рассматриваемая систе-
ма является телескопической и создает деформированное изобра-
жение, увеличенное в первом сечении в Г раз, во втором — в 1 раз.
Такие системы очень удобны в качестве приставок к обычным объ-
ективам, рассчитанным для съемки далеких объектов, и в комби-
нации с ними образуют анаморфоты с коэффициентом искаже-
ния Г.
Таким образом, анаморфот состоит из двух или более компо-
нентов, каждый из которых дает астигматическое изображение
(для точки иа оси включительно), но в комбинации этн компоненты,
будучи подобраны подобающим образом, образуют стигматическое
изображение (в пределах гауссовой области).
Все существующие анаморфоты (за исключением призменных,
которые будут рассмотрены особо) относятся к одной из двух
575
перечисленных категорий, хотя следует отметить, что могут быть
н другие группы анаморфотов, поверхности которых не цилинд-
рические, а торические.
19. ГАУССОВА ОПТИКА АНАМОРФОТОВ
Напомним формулы:
п'а' — па = ЛА;
л'Р' — пр — цА;
п'у' — пу = vA,
где А = п' cos i' — п cos i.
Подставляя вместо cos i и cos i' их значения
cos / = Ла + Рц + уу,
cos i' == Ла' + р'ц + y'v,
получаем следующие выражения:
(п'а' — па) (1 — Л2) = Л[р (п'Р' — п0) -F v (п'у’ — л?)]’»
(п'р’ — пр) (1 — ц2) = р [Л (п'а' — па) 4- v (п’у' — пу)];
(п'у' —пу) (1 —V2) - v [Л (п'а' — па) -j- р (п'р' — пр)],
(IX.105)
где Л, р, v — направляющие косинусы нормали в точке пере-
сечения луча с поверхностью преломления. Решая системы
двух последних уравнений относительно выражений п'Р' — пр
и п'у' — пу, получаем
п'р' — пр = -у- (п'а' — па); j
(IX. 106)
п'у' — пу = (п'а' — па). |
В параксиальной области эти два выражения принимают вид
л'Р' — пр ---------— (п' — п);
'у
п'у' — пу = —(п' — п),
(IX.107)
у
так как р --- —— и v
гу
— , где у и z — координаты точки
пересечения луча с поверхностью.
Следует отметить, что под р, Р', у и у' можно понимать углы
с осью проекций падающего и преломленного луча соответственно
на плоскости YOX, ZOX (рис. IX.18), причем эти углы положи-
тельны и по абсолютному значению меньше л/2, если проекции
лежат в первом квадранте, и отрицательны — в четвертом. Эти
знаки противоположны обычно принятым для углов и и и'. То же
имеет место для углов нормали с осями. Отсюда появляется-зиак
минус в приведенных формулах.
576
Формулы (IX. 107) совпадают с обычными формулами преломле-
ния в гауссовой области; они показывают, что каждый луч, пре-
ломляющийся на поверхности, может быть заменен двумя проек-
циями на взаимно перпендикулярные плоскости и каждая из этих
проекций ведет себя как обыкновенный луч, преломляющийся
по обычным законам геометрической оптики. Под гу и гг следует
понимать величины, входящие в разложение координаты х в виде
ряда х = —|- ~~ , изобража-
ющего уравнение поверхности
преломления, отнесенное к ее вер-
шине в начале координат.
Отсюда следует вывод, что в па-
раксиальной области, окружающей
ось анаморфота (т. е. пересечение
двух плоскостей симметрии), лучи
распространяются таким образом,
что можно следить за ними по
проекциям на двух плоскостях
симметрии, причем ход луча впол-
не определяется обычным законом
преломления, а радиусы гу и гг в
обеих плоскостях могут быть
получены из уравнения преломляющей поверхности, написанного
в виде
X = f (у. г).
Это положение облегчает расчет аноморфотов в приближении
Гаусса. Можно выполнить этот расчет отдельно для каждой проек-
ции, обращая внимание на следующее: точки пересечения каждой
поверхности (напомним, что в параксиальной области все поверх-
ности можно принимать за сферические) с осью в обоих сечениях
находятся иа равных расстояниях от некоторого начала, например
от точки пересечения с первой поверхностью. Проекции точки-
объекта находятся на одном и том же расстоянии от начала. То же
должно иметь место для ее изображения, иначе система не является
анаморфотом.
Для примера рассмотрим систему из двух компонентов, у ко-
торых плоскости симметрии попарно совпадают. Пусть sx — рас-
стояние от предмета до первой линзы; d — расстояние между лин-
зами; fi и — фокусные расстояния этих линз в экваториальном
сеченни; Д и /2 — фокусные расстояния в меридиональном сече-
нии; ss и sm — расстояния изображений точки-предмета в обоих
сечениях системы от второго компонента. Для экваториального
сечения легко выводим формулу
37 Г. Г. Слюсарев
577
где для краткости положено:
Ф = 'Г + Т"7Т-
it fa iiti
Аналогично для меридионального сечения находим
где
Условие, необходимое для того, чтобы исследуемая система
дала изображение, выражается следующим образом:
ss — sm>
что приводит к некоторому
соотношению между четырь-
мя величинами: fit fi, [2-
Если лиизы цилиндрические,
то в каждой линзе одна
из величин f или f равна
бесконечности и тогда должно
выполняться некоторое соот-
ношение между двумя остав-
шимися величинами.
В отличие от оптических систем, обладающих осью симметрии,
анаморфоты теряют свойство образования резкого (в области Га-
усса) изображения объекта, когда последний меняет свое положе-
ние вдоль оси. Это вытекает нз того, что фокусы отдельных компо-
нентов анаморфота в двух плоскостях симметрии не совпадают и
одно и то же изменение А положения предмета вызывает в про-
странстве изображений разные изменения в разных сечениях.
Щсть Нт, Нт, Fm, Fm —главные точки и главные фокусы
меридионального сечения; Hs, Hs, Fs, F$ — то же для экваториаль-
ного сечения (рнс. IX.19); О и О'— вершины первой и последней
поверхностей системы. Условия, которым должны удовлетворять
абсциссы sm и sm, ss и ss точки и ее изображения в двух главных
сечениях, следующие:
S/n — Sg, Sm — Sg.
Пусть ат, ат — расстояния от первой поверхности до перед-
него фокуса и от последней поверхности до заднего фокуса в мери-
578
диональном сечении; as и as — соответственные величины в эква-
ториальной плоскости. Из уравнения Ньютона получаем
(й/м — s) (am 5 ) = fmfm ’
(as —s) (as —s') = fsfst
или
SS a^jS f nif m — С1щ£1т — 0,
ss — ass —fsfs—asas = 0.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем линейную
связь между s и s'; выражая одну из неизвестных s нли s' через
другую с помощью этого линейного соотношения, получаем квад-
ратное уравнение относительно одной из неизвестных. Следова-
тельно, существуют две пары сопряженных точек, для которых
оптическая система является анаморфотом. Аббе показал, что ли-
нейные увеличения в этих двух парах сопряженных точек обратны.
Это можно объяснить следующим образом. Для обоих сечений
имеем
= (IX.108)
fm П
Пусть и р«, 0s и р’ — линейные увеличения в меридио-
нальной и экваториальной, плоскостях для первой и второй пары
сопряженных точек. Если А и А*, А' и А1* — сопряженные
точки, то из геометрических построений вытекает
= = (ix.Ю9)
следовательно,
Ут ___ Pm
Vs Ps* ’
Вследствие формул (IX. 108) и ру = —-L получаем
PmVm ~ PsTs>
откуда
4=- = Ь-. (ix.по)
При вращении анаморфота, обладающего в двух главных се-
чениях увеличениями разных знаков, изображение объекта вра-
щается вокруг оси с удвоенной по сравнению со скоростью враще-
ния системы угловой скоростью. Прн этом изображение иска-
жено, если отношение увеличений отлично от —1. Если это отно-
шение равно —1, то изображение является зеркальным. Таким
37* 579
образом, анаморфот с увеличением +1 в одном сечении и —1 в дру-
гом (типа трубы Кеплера с единичным увеличением) позволяет по-
ворачивать изображение, оказывая такое же действие, как си-
стема нечетного числа плоских зеркал.
20. АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА АНАМОРФОТОВ
Теория анаморфотов была разработана в конце XIX в. Аббе,
Кульмайном и др., но только в пределах параксиальной области.
Первые анаморфоты использовались в типографии для изготовле-
ния вставок и не требовали никакого аберрационного исправле-
ния. Первый ответственный анаморфот «Гипергонар» (приставка
к фотографическому объективу) был предложен Кретьеном в виде
галилеевской системы цилиндрических линз с параллельными
образующими, причем аберрации были исправлены лишь в одном
сечении; но при испытании оказалось, что качество изображения
плохое, главным образом из-за дисторсии непривычного характера.
Аберрации третьего порядка анаморфотов исследовались в раз-
личных частных случаях, иапрнмер подробно рассматривались
аберрации типа дисторсии 19]; кроме того, неоднократно изуча-
лись аберрации третьего порядка систем цилиндрических линз
с параллельными образующими [10, II].
Полное исследование аберраций третьего порядка было вы-
полнено Брудером в его докторской диссертации; последняя не
была опубликована из-за смерти автора, но ее результаты при-
ведены в статье Кёлера 112]. К сожалению, эти результаты сооб-
щены в незаконченном виде, вследствие чего их применение на
практике без существенных дополнений невозможно. Кроме того,
один из членов разложения в формулах Брудера может обратиться
в бесконечность при явной конечности аберраций, что свидетель-
ствует о какой-то ошибке в выводе.
Приведем здесь полный вывод выражений для коэффициентов
аберраций третьего порядка анаморфотов, исходя из свойств угло-
вого эйконала, изложенных в гл. II, следуя по тому пути, ко-
торый привел к формулам для коэффициентов аберраций третьего
порядка оптических систем с осевой симметрией.
Пусть 00' — оптическая система с поверхностями двоякой
кривизны, расположенная таким образом, чтобы ее главные сече-
ния совпали с координатными плоскостями XOY, X0Z (рис. IX.20).
Пусть LMM'L’ — луч, входящий в систему и преломляющийся
ею. Напомним, что проекции поперечной аберрации &gf и 6G' свя-
заны с производными углового эйконала W формулами
,s , dW , dW
-nbg
,Rr, dW . dW
— noG = -т-r 4- т -г— ,
dy' 1 dy ’
(IX.Ill)
580
где W — длина оптического пути НН' между основаниями пер-
пендикуляров SH и S'H', опущенных из сопряженных осевых то-
чек S и S’ плоскостей предмета и изображения. Величина W =
= ^ndl, распространенная на путь НН', должна быть выражена
только через направляющие косинусы р, у, Р' и у' луча до и после
преломления рассматриваемой оптической системой ОО' и кон-
Рис. IX.20
структивные элементы оптической системы. Величина т =
обратна угловому увеличению для сопряженных плоскостей.
Величину W удобно вычислять в три приема: сначала для част-
ного случая, когда плоскости объекта и изображения совпадают
с плоскостью, касательной к преломляющей поверхности. Далее
можно перейти к любому положению объекта при одной прелом-
ляющей поверхности.
Переход от одной поверхно-
сти к самому общему случаю
удобнее осуществить не по ве-
личине W, а после дифференци-
рования ее и получения выра-
жений для 6g' и 66'и затем,
используя формулу Лагранжа—
Гельмгольца n'&g'a' = const и
Рис. IX.21
свойства слагаемости аберраций
третьего порядка, составить формулу для 6g' всей системы.
Приведем вывод выражения для W при одной преломляющей
поверхности, когда плоскости предметов и изображений совпадают
(рис. IX.21). Это частное значение ^обозначим WH.
В этом случае т = -у, так как -у = 1. Расстояние WH =
= пМН + п'МН' = — п' (а'х + $'у + у’г) ф- п (ах ф- $у ф- ?*),
где х, у и г — координаты точки пересечения М луча с поверх-
ностью.
Можно переписать выражение для WH в виде
— WK = х(а'п' — ап) + у($'п' — рп) ф- г(у'п' — уп).
Как было доказано выше [см. (IX. 106)1
п'р' — пр ^-у-(п'а' па); п'у — пу = -^-(п'а' — па).
581
Используя эти формулы, можно написать для WH простое выра-
жение
1Г„ = - ап (Хх +- щ/ -J-vz), (IX.112)
где Л, р. н v — направляющие косинусы нормали к поверхности
в точке М. Заметим, что выражение в скобках Лх -f- pz/ + vz
имеет простой геометрический смысл: это расстояние от основа-
ния Т перпендикуляра ОТ, опущенного нз точки О на нормаль MN,
до точки М пересечения луча с поверхностью.
Напншем теперь уравнение поверхности в виде ряда
v.._ У2 । г3 , у* , 2(/3г3 z4 ПХ 1Т31
содержащего степени у и г до четвертого порядка, необходимые
и достаточные для вывода аберраций третьего порядка. В этой
формуле rL и г2 суть радиусы кривизны поверхности в двух глав:
ных сечениях; г3> г4 иг5 — некие коэффициенты, имеющие размер
длины; причем в том случае, когда сечения имеют вид окружно-
стей, г3 н г5 — г2. О коэффициенте г4 будет сказано ниже.
Из уравнения (IX.113) можно получить направляющие коси-
нусы нормали. Для определенности считаем положительное на-
правление нормали совпадающим с направлением хода луча, при-
чем за начало ее примем точку поверхности.
Написав уравнение в виде х — f (х) —0, находим частные
производные
—______у___1 ___L
'dx ’ dy 2 r3 2 \з »
df z 1 z3 1 Z(/a
dz - r3 2 r3 2 *
IL
Ввиду того, что к = ~ = имеем W = 1. Примем у D
знак плюс, откуда при D>0 X > 0. Тогда р =
- df
v = 2v-^-; следовательно,
р у । 1 у2 । 1 yz2 v z , * I z3 , 1 ztf
Ь “ г, + 2 + 2 ,3 ; Z - г, + 2 гз-Г 2 гз
(IX.114)
582
с необхо-
Составляем выражение —ИЬ' + w > входящее в формулу для
WH. Для этого нз последних уравнений получаем у и z
димой точностью:
1 p,v2
2 гз ’
I Г\Г<1 vp3
2 J А’ ;
г =
(IX.115)
из уравнения поверхности получаем
2
3 ^2 / V \4 з Г1Г2 { рУ \2
(IX.115*)
Подставляя эти выражения для х, у и z в формулу для WH и
заменяя отношения и -£• их выражениями
р _ п'Р' — nfi . у___п'у' — пу
к п’а' — па ’ к п'а' — па ’
получаем для WH искомое выражение через р, 0', у и у':
Cl ("Т — "Р)2 _ Га (п'у' — пу)» 1 Г1 (п'р- —
4___________________________________2 (п'а'—па) 2 (п'а' — па) 8 ^.з (п'а' — па)3
1 1 (п’у' — пу)* , 1 гМ (п'р' —пр)2 (п'у'—пу)2 Пу Hfi.
-t' 8 гз (п'а' —иа)3 1 4 г* (п'а' —па)3
Для вычисления 6g' и 6G' надо получить производные от ДОД
по р, Р', у и у', причем можно для сокращения записи заменить
отношения n Р ПР н п,\~пу на Д и ~ соответственно. Частные
па'—иа па —ла к к
производные от WH по р, р', у' и у равны
- т = ^(2<Л+и» - 4 4га -
Г4
- (2«'х+(•₽')+4- 4га' (4“'х+-
(IX.117)
583
Аналогичные выражения можно получить для и
заменив г, на г2, г3 на г&, {3 на у и 0' на у'. Далее с помощью фор-
мулы (IX.111) вычисляем 6g' н Ь6', полагая т = Помня, что
• произведения р{3, р,(Г второго порядка малости по сравнению
с «X, а'Х н что X, а и а' равны единице с точностью до величин
аторого порядка малости, получаем весьма простые выражения
® 2 2V \ а'
6G' = -
1 W1 (
2 2Х2 \ а'
4- тг (V - v),
(IX.118)
а /
верные с необходимой для аберраций третьего порядка точностью.
Любопытно, что эти аберрации не зависят от радиусов г3, г4 и г5,
т. е. от членов четвертого порядка в разложении X', другими сло-
вами, форма поверхности вне параксиальной области не оказывает
влияния на аберрации третьего порядка поверхности двоякой
кривизны в том случае, когда объект и изображение находятся
в одной плоскости.
21. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ЧЛЕНА WT-Wrt
Как было показано в гл. II при выводе выражения для коэф-
фициентов аберраций третьего порядка симметричных систем,
переход от эйконала 1Г для случая у = 1 к общему случаю лю-
бого т — выполняется по формуле
+ 4 (п'а/ - т) •
Но так как 4 (nx — п') = s', то
W = WH + s'п'а — sna, (IX.119)
что сразу вытекает из построения W.
Поперечную аберрацию можно написать в виде
6/ = у s'6p; (IX.120)
где 6|У — угловая аберрация рассматриваемого луча. Она может
быть получена как предел отношения прн s' —» оо. Этот предел
можно найти следующим образом. Примем W = WH + W — WH-
„ 'х • dW , dW dWH , d(W—WH) .
Тогда -n6g + = +
, iw« a(F-r„)
h L <?₽ r
584
Поскольку конечно при т —> оо, можно писать
d(W-W„) , <)WH
noS — <?p' "t-T dp T dp ’
Но т = . Поэтому
- J_ d(W-W„) J_
s' s' dp' s
р(Ц7- Ц^) d(Wlf) 'I
L dp T J •
(IX.121)
Дифференцируя выражение (IX.119), получаем
d(W~WH) _ , ,da'
dp' ~ b n <
£
d(W-WH) P
dp a
Подставляя в формулу (IX.121) полученные выражения для
частных производных от (№ — WH) по р и р' и полученное ранее
• д№н
выражение для , помня, что в рассматриваемом случае, когда
х и s’ бесконечны, — = ~П пг П, и отбрасывая члены пятого по-
рядка малости относительно величин {3, Р', p, v, X, у, у', получаем
дляотиошения—п'=—ч'бр' выражение
. A r2r2 1
- -g- 4 /и? —г «4 vV •
Г3 Г4 J
Ввиду того, что a = (1 — р2 — у2)1/2 и a' = (1 — Р'2 — у'2)1/2, то,
обозначая р2 4- у2 = tn, Р'2 + у'2 = т’, получаем
—п' — —п'р' + чр-------— (n'P'm' — п$т) —
_ X
s X 2 Г3 2 гз
\ Гз
Заменяя-------- = п fir-ri; —p,/-j = у; п'Р' — пр = (а'п' — ап) >
585
иапишем
—п' ~Г = -£ [n' (I — а') — п (1 — а)] — А- (n'fi'm1 — гфт) +
~ 2 I Г| ' г? Г J ’
-2л' = А \п' (₽'* + т'®) - п (₽» + TS)J - (n'P'm- - л₽т) +
+ (n-_ra)^ + ^+^.
= «'(-£-- ₽')1₽'2 + v'2-(₽2 + V2)I +
Разность ----P' сточиостьюдо величин третьего порядка можно
заменить углом преломления луча I, тогда ni = n'i'. Для сокра-
щения записи обозначим произведение п' -р') = « — р^
через (ni), помня, что I имеет значение и знак, соответствующий
стандарту геометрической оптики.
Окончательно
-2л' = (Л1) (р + - (₽? + Т’)] +
+(л'-л)^₽ + ^ +^. (1Х.122)
после чего можно написать для bg* при любом т или s
eg' = б&;=0+s'e₽'=- 4- (₽' - ₽) -
- {("О l₽'2 + v'a - (₽2 + t2)1 + («'-«)(' •
(IX.123)
Можно соединить два члена:
£(₽'-₽) + -£-(я'-'0^-₽ = -£ [р'-р+ S'(',,„r',) 4-] =
Образуем аберрационный инвариант Лагранжа—Гельмгольца
n'bg'u’, понимая под и' отношение -р-, где h — высота пересече-
586
ння первого параксиального луча с преломляющей поверхностью;
умножив его на —2, получим
—2n'6g'u' = h |(n' — п) (-£-)’ + (п' —п)^ +
+ (nl) [₽'а + /’ — № + Т2)1 j + (п'р'и' — /фи). (IX. 124)
Напомним, что (nZ) = п (р — 0).
Для удобства дальнейших выкладок введем новые обозначения,
а именно: у = р; z = q. Смысл величины у, встречающейся на
последующих страницах, объясняется на стр. 588.
Для сокращения выкладок ограничимся перекрестными чле-
нами, так как остальные коэффициенты, содержащие величины,
относящиеся лишь к одному из главных сечений, совпадают с теми,
которые выведены для осесимметричных систем и приведены
в гл. II; для удобства эти формулы будут повторены ниже.
Заметим, что добавочный член в формуле (IX.123) s'68', рав-
1 V2
иый —g- у-(0'—Р),ие относится к перекрестными при вычислении
перекрестных аберраций его нужно отбросить и исходить поэтому
из формулы (IX.122). Записываем эту формулу для двух проек-
ций 8g' и 8G', помня, что вторая получается нз первой путем за-
мены р на д, р на у и обратно, s' на s', (nl) на п1г. Получаем
2n'6g' = — Ь 2-^Р<72+—Y2)
2«бС = - +(П1)г (₽2 _ ₽2)
(IX.125)
Чтобы сложить аберрации третьего порядка по всем поверх-
ностям анаморфота, нужно умножить обе части уравнений
(IX.125) на и'—множитель, пропорциональный апертурному
углу о'. В левой части появляются тогда инварианты Лагранжа—
Гельмгольца. В правой части произведения s' на соответствую-
щие и' дают высоты h пересечения апертурного луча с поверх-
ностью, выраженные в соответствующих единицах:
2n’6g'B>;= —\
'•^-W + wH?'2-?2)
м
2n 8G (ог =• — fig
^р29 + (ш)г(₽'2-₽2)
(IX. 126)
Эти формулы можно считать окончательными, и они могут быть
приняты для расчета дополнительных (перекрестных) аберраций
для любого луча, заданного своими входными координатами /, L,
587
Si И X-l, из которых можно получить углы 0j, и отрезки р, q,
а далее по формулам гауссовой оптики вычислить все последую-
щие значения hK, 0К, ук, (ni)y, (ni)2, рк и qK.
Таков прием отличается от тригонометрического расчета луча
только тем, что осуществляется намного проще и быстрее, но дает
лишь приближенное значение аберраций. Для исправления си-
стемы необходимо представить аберрации в виде произведений не-
которых коэффициентов SiSn, . . -,SK, умноженных на произве-
дения различных комбинаций апертурных и полевых углов о>,
w, й и W, имеющих следующие зна-
чения:
1
(IX.127)
Знаки углов здесь приняты согласно
ГОСТу 7427—55 и правилам, изло-
женным в гл.II.Напомним, что пра-
вила знаков для углов со и w обратны
Рис. IX.22
тем, которые приняты в геометрии.
Найдем соотношения между величинами р, q, со, Й, w, W, 0,
у, 0', у' и т. д. Из рис. IX.22, помня правила знаков, получаем
Соотношение между р н высотами пересечения параксиальных
апертурного и полевого лучей h и у легко получить нз того же
рисунка:
1 о t т — I 1х — sm . . ,
р = Z —s0 = I — -у = х 5 = xw H-SW = у + Л.
Аналогичные формулы можно написать для второго сечения:
q = Y 4- Н и у = — й — W.
Остается еще выразить (nt)y и (ш)г как функции от со, Й, w,
W. Заметим, что i = — 0 и что I' — I - 0 — 0', откуда
и аналогично (n/)f —
Подставляя полученные выражения в формулу (IX.126), со-
единяем члены, содержащие одинаковые комбинации степеней
при величинах со и w. Помня, что h пропорционально со, Н про-
порционально Й, у и Y пропорциональны соотвественио w и W,
588
складываем по поверхностям и, обозначая для краткости ~ п
через т, получаем
2n't>gap = h + (Q'“ - £2*)] +
+ 2SA [к(й’г-ар) + Л1Ы/у] +
+SA (H7'2 - r2)+mhY"\ 4‘
+ SA [av(£2'2-a2)+ +
4-2^й [^(£2'1Г'-ЙГ) + т(/ГЯ] +
+ SA [av(»"г-»Г1) + тУу2]
(IX.128)
)
где о» и w — углы лучей, проходящих через точку-объект на оси
и центр зрачка на оси в первом сечении; Йи — то же во втором
сечении.
Согласно приему, примененному в гл. II при выводе выражений
для коэффициентов аберраций третьего порядка, вводим под
знаки 2 не реальные значения углов со, Й, w и W, а значения этих
углов в параксиальной области, полученные при расчетах апер-
турного и полевого параксиальных лучей в обоих главных сече-
ниях X0Y и X0Z.
Как известно, этот прием законен в пределах зейделевон обла-
сти. Далее следует перейти к системе обозначений ГОСТа 7427—55,
согласно которому углы первого вспомогательного (апертур-
ного) луча с осью обозначаются через а, а второго — через 0.
Напомним, что при выводе формул для аберраций третьего порядка
анаморфота буквы аир были использованы для обозначения на-
правляющих косинусов падающего иа поверхность луча. Теперь
эти же буквы приобретают свое обычное значение. Поскольку
мы теперь имеем дело с двумя главными сечениями, следует дого-
вориться об обозначении углов обоих вспомогательных лучей во
втором сечении. По аналогии с величинами со и й, w н W, усло-
вимся обозначать эти углы через буквы А и В греческого алфа-
вита.
Как в гл. 11 прн рассмотрении аберраций третьего порядка,
условимся нормировать углы Й’р = (Dp = 1, wt = = 1 (где
р — номер последней поверхности). Тогда выражения для коэффи-
циентов перекрестных аберраций принимают вид
589
2n’6ga =<оХ2^й [mftW2 + ^(A'=-A2)] +
- 2о/а'»-у/г [mM/Г + (A'B'— AB)] +
+ ®>2£/1 [тлг2+^-(в'2-в2)] +
+ wQ'^h [m</№ + ^(A'2-A2)] +
+ 2ЖЙ'Г [rnyHY ± ^(A'B'-AB)] +
+ ®1Г2У h 1т</Г2 + ^-(В'2 — B2)l
r \A -j (IX.129)
2n 6G A = Q,o>.,- У H...a2)] +
4 2o>'Q'au^// [mhHy + (“'₽'—“₽)] +
+ Q'pW2 H [mHy2 + (₽2 - ₽2)] +
-4- W^H [тГЙ2 + “(а'2-«2)] +
+ 2aW £ H |] mYhy +(a'p' — сф)] +
+ Ww^H pV4-^(₽'2-₽2)].
Рассмотренный выше самый общий случай оптической схемы
анаморфотов в настоящее время представляет малый практиче-
ский интерес, так как изготовление поверхностей, удовлетворяю-
щих уравнению (IX.113) с достаточной для обычных целей точ-
ностью, недостижимо для оптической промышленности.
Прежде всего член, содержащий произведение г/2г2, приводит
к весьма необычному профилю, о характере которого можно су-
дить, проводя рядсеченнй, перпендикулярных оси ОХ. Рассмотрим
уравнение упрощенного вида
На рис. IX.23 показаны кривые сечения поверхности рядом
плоскостей, соответствующих увеличивающимися значениям х, что
дает представление о форме поверхности. Коэффициент а вызывает
появление все увеличивающихся углублений. Естественно, что
осуществить такую форму поверхности имеющимся в настоящее
время средствами не представляется возможным. С другой сто-
роны, наличие этого члена сильно увеличивает коррекционные
возможности системы, поскольку он влияет на все аберрации
590
третьего и высших порядков. По этой причине в дальнейшем
коэффициент г4 будет принят равным бесконечности.
Как было указано выше, в настоящее время оптическая про-
мышленность изготовляет с достаточной точностью лишь цилин-
дрические поверхности. Остановимся подробнее на этом частном
случае, причем для увеличения числа корректирующих параметров
предположим, что направляющие цилиндрических поверхностей
могут отличаться от окружностей.
Рис. IX.23
В формулах(1Х.129)происходитрядупрощеиий. Предположим,
что в компоненте из / (рис. IX.24) бесконечно тонких цилиндри-
ческих линз все образующие параллельны оси Z, а следова-
Рис. IX.24
тельно, направляющие симметричны относительно плоскости
XOZ. При этом уравнение поверхностей имеет вид % = ,
8г3
так как г2 = г4 = гъ бесконечно велики. Направляющий косинус
v = 0. Формулы (IX. 106) принимают
вид (в прежних обозначениях)
п'р' — пр - -у- (п'а' — на);
п'-у' — пу — 0.
Посмотрим, какой вид принимает
формула (IX. 126) при этих соотно-
шениях. Ввиду того, что г4 = сю,
первый член в фигурных скобках
исчезает. Во втором члене вследствие второго из приве-
Z
денных уравнений у' следовательно, у'2 — у2™
='у2 [("^) — 1] • Если компонент можно считать состоящим
из бесконечно тонких линз с общими высотами р и q, а также hy
и Нг, то для каждой линзы будем иметь
= М2(! +
591
а так как -у в воздушных промежутках одна и та же величина, то
получаем для всего компонента
2n’6g'oj',. = ) <р;/, (IX.130)
Для второй составляющей SG', замечая, что ni одно и то же на
всех поверхностях н может быть вынесено за знак получаем
2n 6G С0г = — Л2 (Г)г (й — й)>
где Ли/ — индексы сред, отделяющих рассматриваемый компо-
нент от соседних. Помня, что (/2) = ------у [см. вывод фор-
у мул (IX.122)1, так как р = 0, получаем
окончательно
L_/ 2п6бХ = М(Й — Ю- (IX.!31)
Из формул (IX.130) и (IX.131) вы-
----------~7 у текает практическая невозможность
/ устранения перекрестных членов в ком-
—понентах, состоящих из цилиндрических
Рис. IX.25 линз. В первой из этих формул можно
воздействовать на правую часть уравне-
ния только выбором стекол, да и то в ничтожной степени, так как
множитель 1 4- меняется в очень малых пределах (1,59—1,67);
во второй формуле отпадает всякая возможность приравнять нулю
составляющую 6G', так как величины у и 0, зависящие только
от положения и оптических сил компонентов анаморфота, заранее
определены еще в стадии габаритных расчетов и практически не
могут быть изменены.
Если образующие цилиндрических линз компонента парал-
лельны оси Y (рис. IX.25), то, повторяя предыдущие рассуждения
применительно к новому направлению образующих, можно полу-
чить формулы для Sg' и 6G'
2n 'bga, = h„ (₽)„ (у, — уУ; I
2п'&в'аг= +4")фг- j (IX.131)
В общем случае, когда встречается ряд компонентов, у которых
образующие параллельны то оси Y, то оси Z, следует складывать
правые части уравнений (IX.130), (IX.131) и (IX.132) с учетом
направлений образующих.
Для иллюстрации использования полученных формул рас-
смотрим два' примера.
1. Анаморфот из двух бесконечно тонких компонентов для
объекта иа конечном расстоянии, создающий в одном сечении двух-
592
кратное увеличение, в другом — половинное с оборачиванием
изображения (рис. IX.26).
Оптические силы компонентов в сечениях:
I П
ху . . . . 0,015 0
xz . . . .0 0,015
Расстояние Sj = —100 мм. Воздушный промежуток d =
-- 100 мм. Расстояние s’2 = 100 мм.
Рассмотрим три точки-объекта: 1) координаты точки-объекта
I = 20, L — 0 входной зрачок совпадает с первой линзой;
лучи, излучаемые объектом, пересекают иа зрачке окружность
радиусом р = \0мм; 2) I = 14,14,
L = 14,14; р = 10мм; 3)1 = 0,
L = 20; р — 10 мм. На каждом
из графиков рис. IX.27 приве-
дены кривые пересечения ука-
занной совокупности лучей
с плоскостью изображений. Вы-
числения производились по фор-
мулам
2^' = 1ЙР (°’75Z£2“
— 3/р2 sin2 ср 4- 3,5p8cos ф sin2 ф 4-
Рис. IX.26
4-5,375L2p со5ф— 2*
— 10£р2со5ф5Шф);
26G' = (— 2,5/aL + 5/2р sin ф + 6,5/р2 sin ф cos ф 4-
4- 0,875р3 sin фcos2 ф — 0,25Lp3cos2 ф — 4L/рcos ф).
2. Телескопическая система из двух бесконечно тонких ком-
понентов; увеличение 2 в сечении ху, I — в сечеиии xz. Оптиче-
ские силы 0,01 и — 0,01 в сечеиии ху, 0 и 0 в сечении zx. Расстояние
между компонентами равно 50 лиг Система предполагается исправ-
ленной в отношении всех аберраций третьего порядка в сечении ху.
Рассмотрим три пучка лучей от бесконечно удаленного пред-
мета, опирающихся иа окружность с радиусом р = 10 мм и с цен-
тром в точке пересечения первого компонента с осью. Первый
пучок исходит из точки-объекта с угловыми координатами aij =
= —0,1, = 0; второй — из точки с координатами = 0;
W7! = —0,1; третий — из точки с координатами = —0,1;
Wi = —0,1. Вычисления производились по формулам
2n' [6g'] = — Г?‘<й d (Р, — ₽,<₽!) (I + v2);
2n'[6G'] =-Тр?(Г2- 1).
38 Г. Г. Слюсарев
593
1-20
L=0
$g’
Рис. IX.27
w,=0
№, = -0,1
0,001
1
8 2
j j[80 ]
0,001 0,001
f,
- -0,001
9
w,= -0,1 [8gJ
№,--0,1
8 ? 0,001
7 3
6 Ц
5
, [80'1
0 0,001
-0,001
0,002
Рис. IX.28
594
На рис. IX.28 изображены графики аберраций, выраженных
в угловой мере. Для первого пучка с координатами иц = —0,1,
W7! = 0 аберрации равны нулю, поэтому график ие дается.
В обоих приведенных примерах аберрации велики. Оин могут
быть уменьшены лишь при условии увеличения фокусных рас-
стояний компонентов, что приводит к уменьшению относительных
отверстий, а в первом случае — и к уменьшению полевых углов.
Как вытекает нз формул для аиаморфотов, состоящих из ци-
линдрических линз, коррекционные возможности этих систем для
перекрестных аберраций весьма ограничены.
Значительно более перспективны в отношении этих аберраций
системы, в которые введены торические поверхности вместо
цилиндрических, так как появляются новые коррекционные
параметры, влияющие на эти аберрации. То же самое относится
к введению поверхностей с некруглой направляющей; к сожа-
лению, такие поверхности очень трудно изготовить и нельзя
рассчитывать на возможность их использования в ближайшие
годы.
ЛИТЕРАТУРА
I. Гальперн Д. Ю. Труды ГОИ. Т. 26. Вып. 152, 1958.
2. К р ы л о в А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. Изд. 2-е, Л..
3. Schwarzchild К- Gottinger Nachr, N. F. 4, N 43, 1905.
4. Chr&tien H. Revue d'Optique. T. 1, 1922.
5. Максутов Д. Д. Труды ГОИ. T. 8, 1932.
6. Herschel Т. F. On the theory of light. London Encycl. Melrop, Poggen-
dorff, 1928.
7. Linnema nn M. Ober nicht spharische Objective. Diss. Gottinger.
1905.
8. Curie. Мёт. de 1'olf. du genie, 1876, 10.
9. Волосов Д. С. и Печати икова Ш. Я. Инф.-техн. бюллетень
ЦКБ Министерства культуры СССР, Л. 1957, № 4 (10).
Ю. В u г f о о t D. С. Proc. Phys. Soc., 67, 1954.
II. Wynne C. G. Proc. Phys. Soc., 67, 1954.
12. Kohler H. Optik. B. 13, H. 4, 1956.
38*
ГЛАВА X
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЯ
I. ВВЕДЕНИЕ
Расчет оптической системы заканчивается обычно составле-
нием сводки результатов расчета хода лучей через эту систему.
Первоначальная, предварительная оценка качества изображения,
даваемого рассматриваемой системой, вытекает из величины кружка
рассеяния, образуемого совокупностью лучей, излучаемых не-
сколькими точками-объектами на различных участках поля
зрения. Размеры этих кружков дают первое представление о ка-
честве изображения, так как очевидно, что разрешающая способ-
1
кость системы будет порядка — , где о— средний размер диа-
метров кружка. Однако такая оценка может быть признана доста-
точной лишь для малоответствеииых систем типа конденсоров,
осветителей, разных «собирателей» световой энергии, но она
совершенно неудовлетворительна для ответственных оптических
систем, предназначенных для получения максимально полной
информации о наблюдаемых предметах.
В последнем случае желательно дать характеристику качества
изображения, которая, во-первых, позволила бы легко пред-
сказать свойства изображений объектов сравнительно простой
структуры (двойные точки, периодические структуры тнпа мир
Фуко или синусоидального распределения яркости и т. д.); во-
вторых давала бы возможность предсказать качество изображения
не только самой оптической системы, но еще и в комбинации
с приемником — глазом или любым другим светочувствительным
слоем и, в-третьих, имела бы простой вид, характеризуемый
малым числом величин.
Еще со времен Релея и Аббе наиболее распространенным кри-
терием качества изображения считалась разрешающая способ-
ность (или сила) оптической системы; она выражалась числом
линий на миллиметр, еще разрешаемых глазом, в изображении
периодической структуры типа миры Фуко. Одиако определение
этой величины иа основании расчета хода лучей представляет
серьезные затруднения, вызываемые недостаточностью сведений
о свойствах приемника, и ие всегда приводит к однозначным ре-
зультатам; при этом оно требует громоздких вычислений, осо-
бенно в тех случаях, когда приходится принимать во внимание
596
волновую природу света. Кроме того, разрешающая сила сильно
зависит от контраста миры.
Во второй половине XX столетия понятие разрешающей силы
оптической системы было уточнено; были полностью отделены
друг от друга величины разрешающей силы объектива н прием-
ника. По аналогии с системами связи, передающими сигналы,
было введено понятие передающей функции, или частотно-кон-
трастной характеристики, описывающей свойства оптической
системы, рассматрнваемой как передатчик пространственных
частот. Как показал Дюффие, всякая оптическая система, даже
идеально исправленная, может передавать пространственные
частоты не выше какой-то определенной, предельной. Всякая
частота меньше предельной передается с уменьшением контраста.
Если в качестве тест-объекта брать линейную структуру с сину-
соидальным распределением яркости в направлении перпендику-
лярном линиям и условиться понимать контраст как отноше-
ние К = |||1ах~~ дП|111} где ВП1ах и В П11П — максимальное й ми-
ртах Т ОпНп
нимальное значение яркости тест-объекта, то можно показать,
что изображение этой структуры, даваемое оптической системой,
обладает также синусоидальным распределением, но с уменьшен-
ной величиной контраста /Сх.
Отношение зависящее от частоты и от угла поворота
тест-объекта по отношению к меридиональной плоскости оптичес-
кой системы, называется передающей функцией, или функцией
контраста, или частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ)
оптической системы.
Всеоптические системы по признаку качества изображения могут
быть разбиты на две группы. В первой группе качество очень высо-
кое, волновые аберрации не превышают нескольких волн. В этом слу-
чае дифракционные явления в высокой степени влияют на распреде-
ление энергии в изображении и при расчетах необходимо исходить
из принципа Гюйгенса—Френеля,изложение которого будет приве-
дено дальше. К этой группе относятся визуальные приборы:
телескопические системы, микроскопы при непрозрачных объек-
тах, фотографические объективы высокого класса исправления
И т. д.
Вторая группа приборов отличается худшим качеством изоб-
ражения; волновые аберрации превосходят 3—5 волн. Как по-
казала практика, распределение энергии в изображении светя-
щейся площадки (не точки!), величина которой превышает не-
сколько наименьших разрешаемых расстояний, практически не
зависит от того, учитываются дифракционные явления или нет;
другими словами, можно ограничиться тем приближением, которое
дает чисто геометрическая оптика. К этой группе приборов отно-
сится большинство фотографических и проекционных объективов,
597
а также приборов, приемниками которых служат светочувстви-
тельные слои (за исключением сетчатки).
Прежде чем перейти к изложению методов расчета ЧКХ,
необходимо напомнить основы дифракционной теории изображе-
ния и расчета распределения энергии в картине изображения
точки, даваемой оптической системой.
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ ЛУЧ
При решении большого количества задач по распределению
световой энергии можно опираться на понятие луча и законы
геометрической оптики. Согласно этому понятию, энергия пере-
носится по некоторой траектории (прямой — в случае однородной
среды, двоякой кривизны — в случае неоднородных сред), кото-
рая может рассматриваться как
предел, к которому стремится
s' / световая трубка при уменьшении
s' I Pi до нуля площадей прямых сечений
I гее. Очевидно, что понятие луча
чисто условно, поскольку энергия,
переносимая такой трубкой, равна
нулю. Поэтому с помощью законов
Рис. Х.1 геометрической оптики можно до-
статочно точно решить задачи о
расположении и размерах изображений любых предметов (не слиш-
ком малых), о приближенном распределении световой энергии при
достаточно больших источниках, но нельзя рассчитать это же рас-
пределение, когда размеры источника становятся малыми илн его
структура очень тонка.
В противоположность понятию луча волновая теория света
исходит из представления Гюйгенса, согласно которому нз све-
тящегося тела исходят волны, распространяющиеся по всем на-
правлениям; Френель предположил, что отдельные элементы вол-
новой поверхности интерферируют между собой и распределение
энергии в каком-нибудь сечении пучка (а в наиболее важном
случае—в плоскости изображения) является результатом этой
интерференции. Это предположение, подсказанное гениальной
интуицией, было многократно подтверждено опытом. В дальней-
шем принцип Гюйгенса—Френеля с небольшими изменениями был
получен Кирхгофом из общего волнового уравнения, вытекающего
из уравнений Максвелла при некоторых упрощающих предпо-
ложениях.
Пусть (рис. Х.1) 0 — источник световых колебаний. Колеба-
тельное состояние Е в некоторой точке М, находящейся иа рас-
стоянии от источника О, определяется формулой
£ = -?-cos 2л (-Г (X.I)
598
где i — время, в течение которого свет прошел расстояние г|}
от точки 0 до ЛТ; —--амплитуда колебания, причем а — коэф-
г«
фициент, зависящий только от свойств источника света; сила
света источника в данном направлении пропорциональна ква-
драту этого коэффициента, т. е. аг. Аргумент гр = 2л (-1-
называется фазой колебания; т — период колебания, А. — длина
волны луча.
Геометрическое место точек, в которых аргумент 2л
имеет одно и то же значение в момент /, называется поверхностью
волны. Поверхность волны ортогональна световым лучам, испу-
скаемым источником света; это свойство остается в силе и после
любого числа преломлений и отражений, как это вытекает из
теоремы Малюса. Переход от волновой теории света к «лучевой»,
т. е. к геометрической оптике, опирается на упомянутое соответ-
ствие между лучами и поверхностью волны. Для того чтобы со-
вершить этот переход и вывести из теории распространения волн
основные законы геометрической оптики (прямолинейность распро-
странения света, законы отражения и преломления света и т. д.),
а также вычислить распределение энергии в пятне рассеяния
даваемом реальной оптической системой вместо идеального, гео-
метрического изображения, иужио применить следующие поло-
жения принципа Гюйгеиса—Френеля.
Каждая точка светового поля, т. е. пространства, окружаю-
щего светящуюся точку О (рис. Х.1), в свою очередь, становится
источником световых колебаний. Колебание, возникающее в ка-
кой-нибудь точке Р поля, получается как результат сложения
всех колебаний, пришедших в эту точку от всех элементов по-
верхности S, построенной в световом поле.
Поверхность S может быть выбрана произвольно, но для
упрощения удобнее всего взять в качестве поверхности S одну
из волновых поверхностей; колебательное состояние всех точек
этой поверхности в момент времени t определяется формулой
(Х.1). Колебательное состояние в точке Р, определяемое величи-
ной Ер, можно вычислить, если по известной теореме о сложении
колебаний с одинаковыми периодами определить сумму всех
возмущений, пришедших в точку Р из всех точек поверхности S,
т. е. вычислить следующий двойной интеграл:
Ep=!jf^cos2n(4|--r5“-)dS. (Х.2)
где г — расстояние от некоторой точки М поверхности волны
до точки Р; dS — площадь элемента поверхности в точке М;
очевидно, что действие этого элемента в точке Р пропорционально
его площади. Интегрирование распространяется на всю ту часть
поверхности волны, которая существует в действительности;
599
Рис. Х.2
в частном случае оптической системы удобно взять ту поверхность
волны, которая ограничена выходным зрачком системы, так как
границы этой поверхности точно известны. Во многих случаях
вместо волновой поверхности можно взять плоскость выходного
зрачка системы.
Формула (Х.2) дает возможность иайти уравнение колебания
в точке Р. Если эту формулу применить в простейшем случае
сферической волны, свободно распространяющейся из точки О,
и сравнить результат с тем, который получается непосредственно
из уравнения луча (Х.1), то оказывается, что вычисление по
формуле (Х.2) дает неправильное значение фазы; это значение
отличается от фазы в формуле
(Х.1) на -^-л. В большинстве слу-
чаев принципом Гюйгенса—Фре-
неля пользуются для вычисления
освещенности, которая пропорцио-
нальна квадрату амплитуды; по-
этому неправильное значение фазы
обычно не имеет значения.
Имея в виду вычисление толь-
ко амплитуды сложного колеба-
ния, определяемого формулой (Х.2), можно упростить вычисление
интеграла в этой формуле, воспользовавшись следующими рас-
суждениями. Задача о сложении какого угодно числа колебаний
с одинаковыми периодами, но с различными амплитудами и фа-
зами легко решается графическим построением. Для простоты
ограничимся примером сложения трех колебаний, уравнения
которых имеют такой вид
ек = aKcos2n - -£-) = a,.coscp„,
где к — 1, 2, 3 ифх — фаза колебания. Представим каждое коле-
бание вектором, длина которого равна амплитуде ак, а направ-
ление образует с осью X на рис. Х.2 угол срк. Сложим полученные
три вектора 04,, AjA2 и 424s, как это показано на рнс. Х.2.
Их сумма 0А3 дает амплитуду составного колебания, а угол ф
между вектором 0А3 и осью X определяет фазу этого колебания.
Длина вектора О А 3 не зависит от значения переменной части фа-
зовых углов, т. е. не зависит от переменной /, а определяется
разностями фаз. При изменении значения переменной t много-
угольник ОАгА^А^ поворачивается в плоскости чертежа вокруг
точки 0, не изменяя своей формы. Уравнение составного коле-
бания Е представим в таком виде
Е == — cos2л ~4~У| ак cos-2^r— + sin 2л sin .
600
Если на рис. Х.2 углы срк приняты равными то каждый
член первой суммы представится на чертеже проекцией ампли-
туды на ось X (OPn PjP2 и Р2Рз)> а каждый член второй суммы —
проекцией амплитуды на ось Y (0Qlt 0Qz и 0Q3), Поэтому искомая
амплитуда а составного колебания может быть представлена
в таком виде
Формула (Х.2) отличается от только что приведенной тем,
что число слагаемых колебаний в ней бесконечно велико; пере-
пишем эту формулу следующим образом:
ЕР — [ [ cos 2л г cos dS т
F J J rrQ Л T 1
+ <x-3>
Ясно, что энергия E составного колебания может быть вычис-
лена по формуле
Е = С2 4- 52,
где
С = j J cos 2л r°+ г dS;
S- — Sin2nr’.l:f dS. (ХЛ)
J J V л
Во многих случаях преобразования и промежуточные вычис-
ления можно упростить, если вместо подынтегральной функции
в выражении С формул (Х.4) ввести комплексную функцию и
такого вида
а а 2л (г0 + г) .а . 2л (Гл 4- г)
и =---е > =---cos-----;--------1--sin----- 4 7 .
rr0 ror л ror Л
(X.5)
Очевидно, что вещественная часть интеграла
1ЕХ 1 dS
равна слагаемому амплитуды С; если обозначить этот интеграл
через Е*, то
Е*-—С- Si = JJudS. (Х.6)
Образуем сопряженную комплексную величину £*, опреде-
ляемую формулой _
Е* ~ С4-5Л (Х.7)
601
Для получения Е* нужно в интеграле Е* заменить i на —/.
Тогда искомую энергию Е колебания удобно вычислить по фор-
муле _
Е = Е*Ё* = (С—St)(C-pS0== C24-S2, (Х.8)
так как эта формула дает квадрат амплитуды.
Таким образом, формула (Х.2), выражающая в математической
форме принцип Гюйгенса — Френеля, может быть заменена более
удобной для вычислений формулой (Х.6), в которой функция и,
определяемая формулой (Х.5), называется комплексной ампли-
z—. тудой элементарного колебания.
/ Кирхгоф более точно формули-
/д ровал исходные положения прин-
I / V $ \ ципа Гюйгенса и дал строгую фор-
-д--------I-----------j— мулу для вычисления величины ир,
v\>e характеризующей колебательное
состояние в точке светового поля,
—X в соответствии с решением диффе-
Рис. Х.з ренциального волнового уравне-
ния. Не останавливаясь иа выводе
формулы Кирхгофа, приведем ее в упрощенном виде, дающем
комплексную амплитуду искомого колебания.
Построим (рис. Х.З) около данной точки Р, для которой вы-
числяется комплексная амплитуда ир, произвольную замкнутую
поверхность S, не содержащую источников света. Положим, что
во всех точках этой поверхности известны значения комплексной
амплитуды и, а также значения производной этой функции по
направлению нормали v, внешней по отношению к поверхности S.
Тогда по Кирхгофу
<х-9)
S
В этой формуле dS — элемент поверхности S; г — расстояние
от элемента dS до точки Р.
Применение формулы (Х.9) для вычисления амплитуды коле-
бания встречает затруднения, так как в большинстве случаев
да
нет возможности определить значение и и во всех точках
поверхности S. Часто можно устранить эти затруднения особым
выбором поверхности S: часть этой поверхности совмещают
с частью поверхности волны, на которой можно определить зна-
чения комплексной амплитуды и ее производной с достаточной
точностью. На остальной части волновой поверхности предпо-
ди
лагают величины и и равными нулю.
Исследованиями Пуанкаре было доказано, что такое пред-
положение неправомерно, так как оно противоречит уравнениям
602
Максвелла, но вытекающая из этого предположения ошибка,
как показала практика, настолько мала, что можно ею пренебречь.
Изложенный прием дает возможность вычислять энергию
колебания в различных точках пространства во многих случаях
дифракционных явлений и явлений, происходящих в оптических
приборах.
Применим указанный прием к простейшему случаю, уже
рассмотренному при формулировке принципа Гюйгенса—Фре-
неля, т. е. вычислим по формуле (Х.9) комплексную амплитуду
в точке Р (рис. Х.4), освещаемой лучами, исходящими из точеч-
ного источника О; С — поверхность волны с радиусом r0; МГМ2 —
диафрагма, ограничивающая распространение лучей из точки О;
в частном случае такой диафрагмой может служить входной или
выходной зрачок. Можно принять, что во всех точках части по-
верхности волны ЛТ1ЛТ2 комплексная амплитуда и имеет одно
и то же значение, а именно
и = '--(Г 1 (Х.10)
го
Примем этот участок поверхности за часть замкнутой поверх-
ности S, которую продолжим в темную часть пространства за
экран и замкнем на бесконечности; тогда для всех точек этой
поверхности можно считать, что и = 0 и = 0, кроме части
Из формулы (Х.10) находим
_ 2л,'го
ди ае / i . 2nt \ . .
о7 =--------— br + ^r)cos(v’r">-
Так как
cos(v, г0) = — 1,
то
603
д
dv
Вычисляем производную в первом члене подынтегральной
функции формулы (Х.9):
2л>>
. 2я1г \ 1 , , п ,
4е = (v + ~r')cos<v’ г')- <х-12)
Подставляя найденные значения обеих производных в формулу
(Х.9), находим
2x1 (Га+<)
(Х.13)
При достаточно больших значениях расстояний г и г0 можно
. 2nt
пренебречь их обратными значениями по сравнению с членом -у-,
в котором X — малое число; при малом отверстии МХМ2 и неболь-
ших удалениях точки Р от оси отверстия величина Л4ХЛ42 cos (v, г)
близка к единице; поэтому с достаточной точностью можно при-
нять, что
Сравнивая эту формулу с формулой (Х.6), являющейся мате-
матической формулировкой принципа Гюйгенса—Френеля, и
принимая во внимание формулу (Х.5), убеждаемся в том, что
правые части формул (Х.6) и (X. 14) различаются только постоян-
ным множителем Миожитель i перед комплексной амплитудой
означает, что фаза колебаний, определяемых формулами (Х.6)
и (Х.14), различается на л, так как вещественная часть фор-
мулы (Х.5) содержит множитель cos-2”^'1 , а вещественная
часть формулы (Х.14) —множитель sin 2л(г» + г) . Кроме того,
нз формулы (Х.14) вытекает важная зависимость амплитуды ко-
лебания от длины волны: она обратно пропорциональна длине
волны. Таким образом, формула (Х.14), выражающая принцип
Гюйгенса—Френеля более точно и более правильно, чем фор-
мула (Х.6), является следствием формулы (Х.9) Кирхгофа.
Преобразуем формулу (Х.14) следующим образом:
604
Kiir,
.. aie *
Множитель -------обозначим одной буквой а, меняя таким
го
образом значение этой буквы; это не вызовет затруднений в даль-
нейшем, так как амплитуда при всех вычислениях будет изме-
ряться в условных единицах. Тогда формула (Х.14) примет сле-
дующий вид:
И2Л1Г
±-2-dS = C + lS. (Х.16)
Энергию колебания Е в точке Р согласно формуле (Х.8) по-
лучим, умножив комплексную амплитуду ир на сопряженную
ей комплексную величину ир, т. е.
E = u^p = C* + S*f (Х.17)
ГДе Г> а Г 1 2пг jc.
C = xJ-c°s—dS;
„ а г 1 . 2лг (Х.17*)
s = irJ-Tsin“dS-
S
Выражения для С и S могут быть упрощены, когда апертура
выходящего пучка ие более Vg—*/3 н точка Р расположена доста-
точно близко к оптической оси. В таком случае величина г, стоя-
щая в знаменателе под знаком интеграла, мало меняется по своей
величине и может считаться постоянной; можно ее ввести в коэф-
фициент а и написать
С, S = -%- j cos, sin ~dS. (Х.18)
s
Следует отметить, что добавление любой постоянной к вели-
чине г, входящей в аргумент sin и cos в формуле (Х.18), не изме-
няет результата суммы С2 4- S2, так как такое добавление изме-
няет лишь фазы обеих составляющих С и S на одну и ту же вели-
чину. Такое добавление равносильно повороту результирующего
вектора ОА3(рис. Х.2) на некоторый угол: такой поворот не влияет
на длину вектора. По этой причине формулу (Х.18) можно написать
в виде
С, S-[ J cos, sln^-fidS, (Х.18*)
s
где под б можно понимать малую величину порядка нескольких
длин воли, представляющую переменную часть от г. За постоян-
ную часть г можно принять, например, расстояние от вершины
поверхности волны до точки пересечения с плоскостью изображе-
ния главного луча пучка или до изображения точки-объекта парак-
сиальными лучами. Этот вопрос будет подробнее рассмотрен
в следующем параграфе.
605
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ИЗОБРАЖЕНИИ ТОЧКИ
Пусть S (рнс. Х.5) — волновая поверхность пучка лучей после
выхода нз оптической системы; обозначим через О ее вершину
и примем эту точку за начало координат xyz. Пусть С (R, О, О) —
центр волновой поверхности, которая представляет собой сферу,
если оптическая система идеальна. Вычислим распределение
освещенности в некоторой плоскости, перпендикулярной оси,
пересекающей ось в точке Сп находящейся на расстоянии А от
центра волны С. Пусть (х'у'г') — координаты точки Р,для которой
вычисляется освещенность.
Имеемх'=7?+А,причем А,
/7! у' и z' предполагаем весьма
\/ // P/y'.z') малыми. Плоскость, содер-
(№U жащую оси ОХ и OY,
п[ / J/pI __ Д f / л назовем меридиональной.
✓ |л/ ' с Т сГ/ “ Рассмотрим иа поверхно-
/ / / сти S элемент М на рас-
\ I / \/ стоянии AM = р от оси;
\\ / V обозначим через ср угол,
образуемый AM с осью OY.
Рис. Х.5 Вычислим разность хода
между отрезками МР и ОР;
MP — OP = V(R — а)2 4- (р cos <р — у’)2 4- (р sin (р — г')2 —
-Ж4-А)2 + /24-г'2,
где а — ОА — стрелка, определяемая из уравнения сферы
a(2R — a)=pz.
Умножим разность радикалов на их сумму; это дает
МР — ОР = ~2 + Д) а 4-р2 — 2y'pcos <р — 2z'p sln (р 4- о2
МР+ ОР
Приняв во внимание предыдущее уравнение для р8 и выразив
сумму МР + ОР через 27?, получим
~Мр___op — — 2у'р cos <р — 2z'p sln <р
27?
Учитывая малость члена 2аА по сравнению с остальными,
р2
можно положить а = -п-, после чего имеем
zk
МР — ОР = — А — ₽-(#' cos tp + z' sln <р).
Следует отметить, что проекции вектора AM (р cos <р и р sin <р)
равны величинам 7?р' и 7?v', если V, р' и v' — направляющие
606
косинусы нормали СМ. Тогда разность хода
МР — ОР = — Ь — (у'р' + z'v').
Эта разность относится к идеальной — безаберрационной —
оптической системе. Если система имеет аберрации, то к этой раз-
ности надо добавить волновую аберрацию, соответствующую
лучу, проходящему через точку М\ пусть эта аберрация будет
N (р, ср). Тогда полная разность хода
S = N(p, <р)~— (у'р +zV). (Х.19)
Напомним, что величина А положительна, если плоскость
установки находится справа от гауссова изображения, a N при-
нимается положительной, если поверхность
реальной волны находится слева от идеаль- Реальная gowa
ной волны и реальный оптический путь, от- \
считываемый от поверхности к ее центру, /So^a
длиннее идеального (рис. Х.6). Для симмет- //
ричных относительно оси оптических систем L
можно ограничиться рассмотрением точек 4
изображения, лежащих в меридиональной |
плоскости, т. е. можно принять х' = 0, и рис х 6
тогда получим следующее выражение:
6 = yv(p, q>)— -^г — y'f1' = N (р, cosrf. (X.20)
Для вычисления величин С и S воспользуемся формулой (Х.18),
заменив г = МР суммой двух величин: постоянной ОР и перемен-
ной 6.
Предположим сначала, что А = 0, т. е. точка Р находится
в гауссовой плоскости установки. Тогда
C,S = -£-j cos, sin (V cosq>)dS. (X.21)
s
Знак минус при аргументе sin и cos отброшен, так как он ие влияет
на сумму С2 + 52. Дифференциал dS может быть написан в виде
dS — р dp dq.
Если поверхность S ограничена окружностью с диаметром plf то
Pi 2л
С, S = -у- j j cos, sin -^-cosqA dp.
о 0
Интеграл
2л
a f . / 2л , p \, ,
— J Sin y-y^y cos (p} dq
607
равен нулю, так как
sm [-^//'-tcos(n + <p)] =— sin cos <р).
Следовательно, каждому положительному элементу интегри-
рования соответствует элемент с тем же значением, но с противо-
положным знаком.
Для удобства вводим новую величину п = ар — р ~
Л J\
нулевой размерности, которую принято выражать в так называе-
мых оптических единицах. Эта величина играет важную роль
в исследовании дифракционных картин.
2л л
Интегралы вида j cos (л cos ср) dtp = 2 j cos (n cos <p) dtp ветре-
0 6
чаются в различных разделах астрономии н физики н хорошо
л
исследованы. Функция J cos (п cos <р) dtp обозначается сим-
о
волом J о (л) и называется функцией Бесселя нулевого порядка.
Эта функция обладает следующими свойствами.
1. Она разлагается в бесконечный ряд вида
Л(*)= + =
=(*-4+-Й--<х-22>
2. При больших значениях х можно, применять для вычис-
ления /(| (х) следующую приближенную формулу:
cos ( х —\
/0(х) =--7=^. (Х.23)
04-
3. Функция (х) связана с другой функцией (х), называе-
мой функцией Бесселя первого порядка, следующим соотноше-
нием:
j xJ0 (ах) dx — (ах). (X .24)
4. Функция di (х), определяемая по Бесселю соотношением
л
А (х) ~ j*cos(xsm<p— <р)dtp, (Х.25)
о
608
может быть вычислена с помощью ряда
А (•*) = "jf (1 ~ 2М?2 24Т2-2-3 2М.2-3.2-3.4 ' ' * ) ’
ИЛИ
X /. X2 X*_________X8 \ _L_ х3 I _____*' __
2 v 8 + 192 9216 / ~ 2 16 ’384 18432 ’
а при больших значениях х
5. Функция J1 (х) удовлетворяет следующему интегральному
соотношению:
П 2
= 1-[4(») + •/?(«)] (Х.28)
Для функций Jо н J t существуют таблицы (например, таблицы
Янке и Эмде, таблицы функций с формулами и кривыми), поль-
зование которыми упрощает в значительной степени вычисления
распределения энергии для круглых отверстий.
Найденное выше выражение для С
Pi 2л
C=-^j j cos(apcoS<p)d<pp dp,
A о о
2л у'
где а = —может быть приведено к следующему виду:
А
Pi
C = /0(ap)pdp.
Последняя формула с учетом формулы (Х.24) может быть
написана в виде
с 2алр, Л (ар,) = 2алр( 7, (ар,)
Ха X api ' ' '
Ддя освещенности ЕР в точке Р находим
4л2а2р? J? (п)
Ер = (? + S» = С‘ = ‘ПУ.
лар?
Отбрасывая постоянный множитель •—, получаем
Е 4J>(n)
Ср —-----Г5—
(Х.ЗО)
39 Г. Г. Слюсарев
609
В этой формуле коэффициент 4 сохранен, так как при п - О
а следовательно, £0 == 1. Таким образом, в фор-
муле (Х.ЗО). освещенность в центре дифракционного пятна принята
4J? (п)
за единицу; функция —— имеет вид, графически изобра-
женный на рис.
Ряс. Х.7
Х.7. В табл. Х.1 приведены значения этой
функции для различных п.
Функция Е обращается в нуль при
следующих значениях п: 3,83; 7,02;
10,17; 13,32; 16,47 и имеет максимум
при следующих значениях п:
п........ 5,13 8,42 11,62 14,80 17,96
Е (л) в % . . . 1,75 0,416 0,160 0,078 0,044
Изображение точки, даваемое в мо-
нохроматическом свете идеальной опти-
ческой системой, представляется в виде
светового пятна шириной в 2 х 3,83 опти-
=!=--».—ческих единиц, окруженного кольцами
s г попеременно темными и светлыми.
Интенсивность этих колец падает весь-
ма быстро в центре, медленно — при
удалении от центра, как показывают приведенные выше данные.
При больших п освещенность Е определяется по формуле
£= 4гsln2 f)- <х-31)
Максимумы Е убывают пропорционально Дифракцион-
ные кольца хорошо наблюдаются в лабораторной обстановке.
Таблица Х.1
п <"> —— «1 (П> в % п 4J? (»>
0,0 100 2,8 8,56 5,6 1,53
0,4 96,07 3,2 2,67 6,0 0,85
0.8 85.03 3,6 0,28 6,4 0,32
1,2 68.97 4,0 0.11 6,8 0,04
1,6 50,75 4,4 0,85 7,2 0,03
2,0 33,26 4,8 1,55 7,6 0,18
2,4 18,79 5,2 1,74 8.0 0,34
610
При наблюдении звезд в телескопы кольца почти никогда не
наблюдаются вследствие атмосферных помех.
Рассмотрим, как распределяется энергия по отдельным коль-
цам. Энергия dE, проходящая через бесконечно тонкое кольцо
с радиусом п (выраженным в оптических единицах) и шириной dn,
центр которого совпадает с центром дифракционного пятна,
пропорциональна величине
Е2пп dn = 8л —dn.
ti
Количество энергии, проходящей через кольцо конечной тол-
щины, у которого внутренний радиус равен п,, а внешний я2,
равно
E = 8a]'^Ldn.
Л,
Согласно формуле (Х.28)
Е — 4л \Jq (/i|) -|- J\ («1) — Jq («2) — («2)] >
это количество энергии выражено в произвольных единицах.
Введем коэффициент пропорциональности т и выберем его
значение таким образом, чтобы полная энергия, распределенная
по всему пятну рассеяния, была равна единице. Тогда
Е = 4ят [4 (0) + Л (0) - Jf (00) - J? (00)] = 1;
о
так как сумма в скобках согласно формулам (Х.22), (Х.23),
(Х.26) и (Х.27) равна единице, то т — .
Таким образом, Е нужно писать в виде
Е = Jq (rtj) -j- Ji (^i) — Jq (л2) — Jl (^2)- (X.32)
По формуле (Х.32) можно найти, что в центральном белом
пятне собирается 83,8% всей энергии, в первом светлом кольце —
7,2%, во втором кольце — 2,8%, в третьем — 1,4%, в четвер-
том— 0,9%; в остальных светлых кольцах собирается 3,9%
всей энергии.
Рассмотрим, как выглядят дифракционные кольца в белом
свете. Величина п = зависит от X, а следовательно, мак-
симумы освещенности Е для лучей с различными длинами волн X
наступают при различных у', т. е. при различных расстояниях
от оптической оси. Чем больше X, тем больше у', поэтому диаметры
колец в красном свете больше, чем в синем, и дифракционная
картина изображения точки представляется в виде белого пятна
с красной каймой, окруженной кольцами с цветнымй краями.
39*
611
4. ИЗОБРАЖЕНИЯ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
Когда пучок лучей, исходящий из точки, расположен симме-
трично относительно оси (например, при осевом положении точки
нли при отсутствии комы и астигматизма в оптической системе),
распределение интенсивностей симметрично относительно центра
пятна рассеяния и можно упростить выражение для распределе-
ния энергии в дифракционном изображении точки.
Напомним, что
где
С, S — ~ J j cos, sin (р) - cos ф] pdpzAp,
так как N зависит только от р.
Заметим, что
2л л
cos (п cos ф) dtp — 2 j" cos (n cos ф) dq = 2л (п).
6 6
Следовательно, величины С и S могут быть заменены пропор-
циональными им величинами Сх и$ь определяемыми формулами
Рк ,
cv s, = 4 fcos’sin NJ« Сттjp dp’ (x-33)
Рк q
где pK — полудиаметр входного зрачка.
Коэффициент при интеграле выбран таким образом, чтобы при
W = 0 и / = О Е = 1.
Дефокусировка идеальной оптической системы
с круглым зрачком
Вопрос о распределении энергии в изображении точки, давае-
мом идеальной системой при наличии дефокусировки, несмотря
на то, что он относится к весьма частному случаю, имеет большое
значение. Прежде всего дефокусировку можно считать простейшей
нз всех аберраций н вычисление распределения энергии при этом
может быть доведено до конца сравнительно простыми средствами.
Кроме того, дефокусировка является несложным и вместе с тем
действенным способом частичной компенсации таких аберраций,
как сферическая, астигматизм, кривизна изображения.
Изучая закономерности, свойственные кривым распределения
энергии в случае дефокусировки, нетрудно уловить некоторые
общие связи, которые могут быть использованы при решении
более сложных задач. Примером является переход от физического
(дифракционного) изображения объектов к геометрическому. За-
612
мена физического изображения геометрическим становится целе-
сообразной при наличии больших аберраций. В частности, иссле-
дование распределения энергии при дефокусировке позволяет
с наибольшей наглядностью убедиться в том, что это распределе,-
ние, вычисленное по дифракционной теории, становится все более
схожим с тем, которое соответствует полученному на основании
формул геометрической оптики. Сходство увеличивается по мере
того, как растет величина дефокусировки. Это свойство позволяет
значительно облегчить расчеты распределения энергии в изобра-
жении точки прн наличии хроматической аберрации н прн вычис-
лении ЧКХ в широкой спектральной области.
Вычисление распределения энергии в пятне
рассеяния, вызываемом дефокусировкой,
при круглом зрачке
В формуле (Х.18*) заменим 6 ее выражением
6 = — ^-COStp,
поскольку член /V, зависящий от аберраций системы, равен
нулю. Величина А — предельное смещение плоскости установки.
Следовательно,
С, S = ~ f f cos, sin ~ (4Й- — Tg- cos ср) pdpdq,
h J J A \ x /
так как dS = pdpd<p.
Ввиду того, что дефокусировка относится к симметричным
аберрациям, можно для вычисления С и S использовать фор-
мулы (Х.ЗЗ), согласно которым
= cos, slnp-pof* jHp.
О
где рк — полудиаметр выходного зрачка.
Коэффициент• а выбирается таким, чтобы С2 -Т S2 — 1 при
о Рк 2Х
Д ~ 0, у' = 0. Так как при этом С, S = -у то а - >
поэтому окончательно
Рк ,
С, S = -2Г j cos, sin -J JQ P dp- (X.34)
613
Заметим, что коэффициент Штреля, т. е. значение £ при у' -О,
вычисляемый по формулам (Х.34), получается равным
siu2 Д sin2 to'
Д sin2 ю’
(Х.35)
где <о' — апертурный угол со стороны изображения.
Из формулы (Х.35) вытекает, что распределение коэффициента
Штреля по оси при заданной дефокусировке примерно имеет вид,
показанный на рис. Х.7.
Распределение освещенности в плоскости установки при
дефокусировке может быть вычислено по формуле (Х.34), но такое
вычисление наталкивается на затруднения нз-за отсутствия
хороших программ для расчета J 0 (х) с помощью ЭВМ.
Автором [1 ] был предложен более удобный н хорошо поддаю-
щийся обработке на ЭВМ метод, заключающийся в следующем.
Напишем волновую аберрацию ДО в виде
ДО- АМг2, (Х.36)
где k = а величина А связана с дефокусировкой Д соот-
ношением
д = (х.36*)
Sin2 (О ’ 4 '
где sin о/ =
а.
Дифференцируя выражение (Х.34) для С и S по аргументу
—А = п н пользуясь соотношением между функциями Бес-
А К
селя Уо (х) н J х (х), а именно
j xJ0 (ах) dx — -^-JJax),
приходим к двум дифференциальным уравнениям первого порядка
/-. a Ji 00 4лД dS,
С, = 2 COS ф -----------------------7х- •
1 т п п dn ’
с о - Л (я) I 4лА dC,
S, = 2 sin ф 1 v ' 4----------------7х-,
1 v п п dn ’
(Х.37)
где ф = 2лА, а величины Сх и Sj отличаются от С и S лишь по-
стоянным миожителем.
Напомним, что п = sin = есТЬ та самая
величина, которая входит аргументом в формулу (X.30) и харак-
теризует ход распределения световой энергии в плоскости изо-
614
бражения точки и служит для определения разрешающей спо-
собности идеальной оптической системы.
Система дифференциальных уравнений (Х.37) решается чис-
ленно одним из методов интегрирования обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, например методом Штермера, изложение
которого можно найти в литературе по приближенным вычисле-
ниям [21.
При использовании метода Штермера необходимо знать чис-
ленные значения и Sj для п — 0 и для нескольких малых
значений п. При п = 0 уравнения (Х.34) дают
Г (С\\ — Sin 2лА
~ 2л'А ;
s (0) = l^cosbM
1 v ’ 2лА
Из этих же уравнений можно получить Сг (п) и (/г) путем
разложения в ряд функций sin, cos и Jo (ax).
Указанный метод очень удобен для применения ЭВМ, так как
формулы (Х.37) имеют очень простой вид, а вычисление разностей
первых двух-трех порядков величин и 5j занимает мало вре-
мени. Выбор промежутков для п тоже не представляет труда,
так как он обусловливается значениями разностей A3Cj и A3SV
К сожалению, метод приведения к системе дифференциальных
уравнений неприменим для решения более сложных видов абер-
рационных уравнений, в том числе для случая сферической
аберрации третьего порядка.
Распределение освещенности
при произвольных аберрациях
В общем случае следует применить ранее приведенные формулы
Е = С2 4- S2;
С, S = 4- [ COS, sin 4^- dS,
Л J Л
s
причем
6= Af (р, <p) —Д-^- —(у'ц'4-zV),
где N — волновая аберрация, соответствующая точке на сфере
с центром в гауссовом изображении точки; А — смещение пло-
скости установки (положительное, если плоскость установки
правее гауссового изображения); у', г* — координаты в плоскости
установки точки, для которой определяют освещенность; р/ и у’ —
направляющие косинусы нормали к сфере в точке, где луч ее
пересекает. Практически действующая часть сферы (которую
615
иногда заменяют плоскостью выходного зрачка, допуская прн
этом погрешность, подлежащую определению) разбивается на
большое число малых элементов одинаковой площади ds; для
каждого из них при заданных у' и г' вычисляются подынтеграль-
. 2л6 ГТ
иые величины sin и cos и результаты складываются. При
этом элементы ds должны быть так малы, чтобы замена бесконечно
Рис. Х.8
малых элементов элементами конечной величины не вызывала
заметной погрешности.
Поскольку такие громоздкие вычисления должны выполняться
для весьма большого числа точек у', г', так как распределение
энергии в изображении точки имеет всегда очень сложный и быстро
осциллирующий характер, то даже при расчетах на ЭВМ требуется
значительное время для получения достаточно ясной картины
распределения. По этой причине в литературе приведено весьма
ограниченное количество примеров.
На рис. Х.8 приведены графики освещенности для некоторых
симметричных распределений; кривые соответствуют дефокуси-
ровке и различным комбинациям дефокусировки и сферической
аберрации третьего порядка [3].
616
I. A — кривая дифракционного кружка Эри; В — дефокуси-
ровка в Х/4; С — дефокусировка в Х/2; D — дефокусировка в 3/4Х;
Е—дефокусировка в X; F — дефокусировка в 1,5Х; G — дефо-
кусировка в 2Х; И — дефокусировка в 4Х.
II. А —Х/4 сферической аберрации скомпенсировано Х/4 де-
фокусировкой; В — сферической аберрации; С — Х/4 сфери-
ческой аберрации скомпенсировано Х/2 дефокусировкой; D — Х/4
сферической аберрации скомпенсировано 6/4Х дефокусировкой;
Е— Х/4 сферической аберрации ском- f
пенсировано 3/4Х дефокусировкой;
F— 2Х сферической аберрации ском-
пенсировано ЗХ дефокусировкой.
III. А —X сферической аберра-
ции скомпенсировано X дефокусиров-
кой; В — X сферической аберрации
скомпенсировано 3/4Х дефокусиров-
кой; С — X сферической аберрации
скомпенсировано 6/4Х дефокусиров-
кой; D — X сферической аберрации
скомпенсировано ЗХ дефокусировкой
(шкала увеличена в 10 раз); Е — X сфе-
рической аберрации скомпенсирова-
но X дефокусировкой (шкала увели-
чена в 10 раз). Чтобы избежать нало-
жения кривых, каждая последующая
кривая смещена вниз по отношению
к предыдущей на величину, соответ-
ствующую 10%.
На рис. Х.9 приведены кривые распределения световой энер-
гии для таких комбинаций сферической аберрации третьих и
пятых порядков, при которых волновая аберрация на краю
отверстия равна нулю [41. Кривые даиы для шести значений
коэффициента А волновой аберрации S = —А (и4 — и6). Макси-
4 4
мальная аберрация S равна —А; при А = 1 она равна — X;
при А = 5 она достигает — X. 11о осн абсцисс отложены рас-
стояния п от центра изображения, выраженные в оптических
единицах, по осн ординат — освещенность Е в процентах, причем
за единицу взята освещенность в центре дифракционного пятна
для идеальной системы. Рис. Х.10 [51 показывает изофоты изоб-
ражения точки в присутствии комы третьего порядка, достигаю-
щей 0,48 длины волны.
Изучение опубликованного материала по этому вопросу при-
водит к следующим выводам. При некотором усреднении кривых,
соответствующем размерам объекта, превышающим в 2—3 раза
размеры центрального дифракционного пятна, распределение
GI7
освещенности, полученное согласно дифракционной теории, ста-
новится весьма близким к тому, которое дает геометрическая
оптика, и может быть вычислено с помощью подсчета числа точек
пересечения лучен с плоскостью установки, если выполнены сле-
дующие условия:
1) лучи попадают на волновую поверхность со стороны объекта
в точках, образующих правильную квадратную сетку, иначе
Рис. Х.Ю
говоря, каждый луч как бы является представителем одного
и того же светового потока;
2) число лучей настолько велико, чтобы обеспечить на изоб-
ражении достаточно подробную картину распределения; в боль-
шинстве случаев оно не должно быть меньше 200—300 на весь
зрачок.
5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Формула, выражающая зависимость распределения световой
энергии в дифракционном изображении точки от координат у' н г'
рассматриваемой точки Р изображения, как будет показано ниже,
представляет собой преобразование Фурье некоторой функции
F (р, <р) илн F1 (р'Х') на поверхности сферы с центром в точке С
и радиусом R.
Напомним некоторые определения и свойства рядов и пре-
образования Фурье, поскольку они в дальнейшем понадобятся.
Рассмотрим функции от одного аргумента.
1. Если функция f (х) периодическая (с периодом р) и удовле-
творяет некоторым довольно общим и почти всегда выполняемым
618
Рис. Х.1!
на практике условиям, она может быть представлена в виде
с / \ а0 । 2лх . 4лх . , 2плх ,
f (X) = -J- + OiCos + a2cos -у- + • • • + a„cos—----Н • •
, , . 2пх , , , 4лх , , , 2плх , ,,,
------F Z>i sin -j- b2 sin ——j- — 4- bn sin —---}-•••» (Х.38)
причем ряд с правой стороны при достаточном количестве членов
может представить / (х) с любой заранее заданной степенью
точности.
Коэффициенты ап и Ьп вычисля-
ются по формулам
а„, Ь„ = у J / W cos, sin dx.
(Х.39)
Можно представить величины ап и Ьп
в виде функций частоты ~, но удоб-
нее считать каждую пару величин ап
и Ьп проекциями на координатные
оси некоторого вектора ря, перпен-
дикулярногооси частот— (рис. Х.П). Угол (рл — arctg— есть
Р ______ ап
фаза, соответствующая этой частоте; р = |/а?п 4- Ь„—ее ампли-
туда. Совокупность этих векторов называется спектром функ-
ции f(x). Если функция f (х) четная относительно х, все Ьп равны
нулю и векторы ап образуют картину, действительно похожую иа
спектр химического элемента, рассматриваемого через спектро-
скоп.
2. Если функция / (х) не периодическая и удовлетворяет ука-
занным в пункте 1 общим условиям (главное из которых заклю-
чается в том, что функция имеет конечное число разрывов, доста-
точно плавный ход между ними и интегрируема), можно считать,
что она обладает бесконечно большим периодом и числостре-
мится к нулю, а следовательно, векторы (ап, Ьп) приближаются
вплотную друг к другу и их концы образуют сплошную кривую,
которая также является спектром функции f (х). Тогда формулы
(Х.38) и (Х.39) дают
cos 2пих J f (х) cos 2лих dx 4-
4- sin 2л«х f / (x) sin 2лнх dx du,
(X.40)
n J 1
где и - — du = -
619
Формулы для а и b теперь принимают вид
-1-ое
а (я), /;(и) — | f(x)cos, sin 2jiz/xdx; (X.4I)
тогда
f (%) = 2 | [а (и) cos 2 лих 4- b (и) sin 2 ш/х] du. (Х.42)
• 6
Введем теперь комплексные обозначения. Согласно формулам
Эйлера, cos х (е.^х‘ 4- e~xi); sin х = ~ (ех£ — e~xl). Для
удобства записи полагаем exi — h (х); e~xi = h (—х).
+«°
Введем функцию g (и) = J f (х) h (2 лих) dx = Т[(х), объеди-
няющую функции а (и) и b (я), н назовем ее преобразованием
Фурье функции /(х). Функция g(u) показывает долю участия
этой частоты в функции /(х), когда последняя разложена в ряд
по всем частотам. Из формулы .(Х.42) вытекает:
4-00
f(x) = j* g(u) h(—2лпх) du — T~lg(u). (Х.43)
Функция f (х) является преобразованием Фурье функции g (и)
с той только разницей, что перед аргументом функции h стоит
знак минус.
Преобразования Фурье обладают одним ценным и полезным
в теории изображений свойством, выраженным теоремой Парсе-
валя: если преобразования Фурье двух функций / (х) и F (х)
представляются функциями g (и) и G (и), то преобразование
Фурье произведения f (х) F (х) может быть написано в виде
T(JF) = J G (y)g(u — u)dv = J g(v)G (и — v)du. (X.44)
Выражения, стоящие справа от знака равенства, называются
свертками функций G и g. Примером свертки может служить
распределение световой энергии в изображении объекта одного
измерения, если g (t>) есть аппаратная функция, т. е. распределе-
ние энергии в изображении точки-объекта, a G (и) — распреде-
ление энергии в объекте, в предположении, что изображение изо-
планатнчно, т. е. что все точки объекта дают одну и ту же картину
изображения и что объект изображается в натуральную величину.
Большое значение имеет преобразование Фурье для квадрата
модуля f (х). Полагая F (х) = f* (х) сопряженной с f (х) и за-
620
мечая, что G (u) = g* (—и), получаем
Т | f (х) |2 = JI f (х) |2 h (2л«х) dx =
^\g*(v')g(u + v')dv' = J g (о) g* (о — и) do. (X.44*)
Преобразование Фурье функции от двух переменных записы-
вается следующим образом:
g(uy v)= у) h \2л. (их + vy)] dx dy, 1
CC (X.45)
f (%, y) = j J g («, y) h [—2n (их -p tv/)] du dv j
и обладает такими же свойствами, как и преобразование Фурье
функции одной переменной.
6. ПЕРЕДАЧА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
Обозначим через О (у, г) распределение яркостей на плоском
предмете О, расположенном перпендикулярно оптической оси
системы. Преобразование Фурье этого распределения представ-
ляется в виде наложения бесконечного числа синусоидальных
составляющих, характеризуемых направлением, пространствен-
ной частотой, амплитудой и фазой. Каждому заданному значению
частоты и направления соответствует своя амплитуда и своя
фаза. Например, если в качестве объекта рассматривается мира
Фуко, яркость которой в зависимости от координаты х, выбран-
ной перпендикулярно штрихам, определяется уравнением
\ 4 • / , 2лх ,1-0 2лх . 1 . г 2лх . \
°М = ^гл(.$1п — + ^sin3 — + tsu15~7~+
где р — период миры, А — яркость светлых полос, то она состоит
из множества частот, соответствующих периодам р, р/3, р/5 и т. д.;
направление — одно единственное, это направление перпендику-
лярное штрихам. Значения амплитуд изменяются как 1,1/3, х/в.
Обозначим теперь через А (у', аппаратную функцию, т. е.
распределение освещенности в изображении светящейся точки.
Распределение освещенности в изображении некогерентного
объекта О (у, г) определяется равенством
= г}А(у'— у, z' — z)dydz, (Х.46)
если увеличение равно единице и A (y'z')b изображении объекта
не изменяется.
Таким образом, как было уже показано выше, величина I
есть свертка функций О и А.
621
Некогерентное освещение
Из теоремы Парсеваля (которая может быть распространена
на случай двух и более переменных) вытекает, что преобразование
Фурье свертки I равно произведению преобразования Фурье
распределения яркости на объекте О и аппаратной функции А.
Для доказательства этого положения можно написать выражение
для преобразования I Фурье функции /
i(fl, v) = Jj I(у', г')Л [2Я(Ц1/' + хг")\ dy dz-, (Х.47)
обратное преобразование дает
Цу', z') = j*f/(И» v)h [—2л (p//' + v?')ldpdv, (X.47*)
где p и v — пространственные частоты с размерностью обратной
длины. Если в первой формуле подставить вместо величины
Цу', г') ее выражение из (Х.46) и произвести некоторые простые
преобразования, можно получить основную формулу
i(р, v) = o(p, v)o(p, v), (Х.48)
т. е. преобразование Фурье распределения освещенности на изоб-
ражении равно произведению преобразований Фурье распреде-
ления яркости на объекте и аппаратной функции. Отсюда выте-
кает, что оптическая система играет роль фильтра частот: при
заданных р и v, т. е. частоте н направлению штрихов, I — оа,
причем i передает о в ослабленном в а раз виде. Поэтому коэффи-
циент а, представляющий собой преобразование Фурье распре-
деления А освещенности в изображении точки, можно назвать фак-
тором контраста; его зовут также функцией передачи или частот-
но-контрастной характеристикой.
Вычислим контраст а (р', v') для случая некогерентного источ-
ника. Комплексная амплитуда точки (у'г') изображения, как было
показано выше, определяется формулой
Е (у’г’) = U J J F (₽'у') h \—k (₽'</' + у'г')] dy';
11 L 2Л
где и — постоянная, a k — -%-.
Но при иекогерентном источнике энергия на изображении
определяется квадратом модуля комплексной амплитуды Е (у', г'),
т. е. величиной \Е (y'z')\2, равной произведению Е (у', z') Е*
(у', г'), где Е*—функция, сопряженная с Е. Поэтому а (р', v') —
преобразование Фурье функции | Е (у'г') j2 — может быть напи-
сано в виде
а(р', v') = Jj*\E(y'z') |2 h [2л (р'г/' 4- v'z')l dy' dz’. (X.49)
622
Используя формулу (Х.44*) и произведя замены, а именно
g = F; g* = F*; и — получаем
а(р', v') = jf ^(Р'?')/7*^' — Ар'; у' —Av')dp'dy', (Х.50)
где Р' и у' — направляющие косинусы луча, проходящего через
рассматриваемый элемент зрачка r^dfi'dy'; Л. — длина волны;
р' и v' — составляющие пространственных частот в плоскости
изображений; р' равно нулю, когда штрихи параллельны оси Y',
a v' равно нулю, если штрихи перпендикулярны этому направле-
нию. Функция F — комплексная амплитуда на поверхности волны
в точке Р'у' — имеет внд F = Eoh где Л/ — волновая
аберрация в точке Р'у', которая может содержать и член дефоку-
сировки; Ео — постоянная.
Интегрирование распространяется на площадь, общую для
контура выходного зрачка и второго контура, воспроизводящего
первый, но смешенного относительно него иа величину, проекции
которой равны Ар' и Av'. Более подробное описание методики
вычисления величины а (р', v') для наиболее важного случая си-
нусоидальной миры будет изложено далее.
Рассмотрим безаберрационную систему с круглым зрачком;
в этом случае N -- О, F постоянно и а (р', v') пропорционально
площади S, общей для двух окружностей с радиусом г = а',
причем а' = Ур'2 + у'2 — сииус апертурного угла, выходящего
из системы пучка. Радиус г можно принять равным единице,
поскольку важны только относительные величины площадей S.
Смещение 00 г второго контура относительно первого равно
Хр' = -у, где р — период синусоидальной решетки; р' — число
штрихов на 1 мм. Величину — в дальнейшем назовем частотой
и обозначим через /?. Площадь S равна а'2 (0—sin 0 cos 0),
где 0 определяется из треугольника ОМН (рис. Х.12). Имеем
А ОН 00, X а
COS 0 — = 2^7- = 2^’5 отсюда видно, что cos 0 пропор-
, т- . . О — sin 0 cos О
ционален частоте р . График зависимости функции--------------
от частоты р' называется частотно-контрастной характеристи-
кой К (ЧКХ). Множитель обращает функцию в единицу
при 6 •= л (р' = 0). ЧКХ обращается в нуль, когда cos 0 = 1,
0 = 0, т. е. когда р = н р' = На рис. Х.13 приведен
график ЧКХ в безаберрационной системе с круглым зрачком.
Частотно-контрастная характеристика при наличии аберраций.
Наличие аберраций обычно уменьшает значение ЧКХ в начале
кривой (при малых частотах). Для частот Я, близких к предельным,
623
равным -jj—, значения ЧКХ стремятся к тем, которыми обла-
дает безаберрационная система, так как в этом случае рас-
стояние между центрами окружностей близко к радиусу, площадь S
близка к нулю, двойной интеграл формулы (Х.50) сводится к про-
изведению F (Р'у') F* (0' — Д-рЛ ds, модуль которого
не зависит от значения волновых аберраций. К этому вопросу
мы вернемся ниже. Приемы вычислений ЧКХ будут приведены
на стр. 634 н далее.
Отметим здесь одно важное свойство оптических систем, отно-
сящееся к изображению периодических структур прн некогерент-
ном освещении. Если объект обладает синусообразным распреде-
лением яркости, при котором можно записать закон изменения
яркости в виде
г / Г . 2л
/(i/) = У,
то изображение этого объекта также обладает синусообразной
структурой.
Действительно, согласно формуле (Х.46) и полагая /0=1,
имеем
I (у') = J J sln Л <л‘ -- »)(г' —г) c,v dz-
Положим у' — у — Y, г' — z = Z. Тогда
7(у')= jf sin (У-У) Л (У, Z)d/dZ =
= sinj J Л (У, Z)cos~- dY dl —
— cos~-jjX(y, Z)sln^dy, dl.
624
Обозначим С, S = || А (У, Z) cos, sin 2~~ dY dZ. Тогда
т/ /\ г с cos 2лу'
](у'\ = Csm —-------S -----—,
vy ’ р р
т. е. получается синусоидальное распределение со сдвигом
фазы ср, определяемым формулой
t S
— ~с-
Влияние малых аберраций на ЧКХ
Введем следующие обозначения: d —дефокусировка или кри-
визна поля, т. е. максимальное отклонение на краю зрачка (Ji ~ 1)
сферы сравнения от волновой поверхности (которая является
сферической, если эта аберрация единственная); Si — коэффи-
циент сферической аберрации третьего порядка; это максималь-
ное отклонение на краю зрачка деформированной волновой по-
верхности от сферы сравнения, имеющей центр в параксиальном
фокусе (острие геометрической каустики); S3 — коэффициент
сферической аберрации пятого порядка при тех же условиях;
q — параметр, соответствующий возможному покачиванию сферы
сравнения; — коэффициент комы третьего порядка, т. е. ма-
ксимальное отклонение на краю отверстия от сферы сравнения,
центр которой совпадает с параксиальным фокусом волновой
поверхности, соответствующей коме (если эта аберрация един-
ственная); Кз — коэффициент комы пятого порядка при тех же
условиях; а— коэффициент астигматизма, т. е. максимальное
отклонение астигматической волновой поверхности от сферы
сравнения, центр которой находится на середине расстояния,
разделяющего оба фокуса.
Пусть
X
to = cos 0 = -тг—- • е = sin 0,
2ра ’
где ю — пространственная частота; р — период решетки; а' =
= п sin и — численная апертура пучка в пространстве изоб-
ражений.
Полагая
Р1 :-3 (0-- sin 0 cos 0) = 3 (0 — е<о);
Р2 = РА — 2е3со;
Р3= Р2-----85со;
=
40 Г. Г. Слюсарев
625
Стил в 1952 г. получил следующее выражение для ЧКХ в пред-
_ / « X X \
положении, что аберрации малы (не более —---------2”) и Длина вол"
иы X принята за единицу длины:
^p' + {-rf24itM2 [(’+4м2) е’м] -
—2dSi по2 [(1 4 12<о2 + 12<о4) Р, — е’и (3 + 4и2)] -
—3? пи2 [(3 + 68ш2 4- 192(О4 + 96ш6) Р3 —
— е’ш (7 + 28ш2 + 16ш4)] -
—2dS3 гао2 [(3 4 72ш2 + 240ш4 + 128ш“) Pz —
- е’ш (21 4 104ш2 4- 64ы4)] -
—23,33 лш2 [(6 + 225(О2 4 1320о>4 + 2000о>» 4- 640ш8) Р3 —
- -у. е’ы(57 4- 497ш2 4- 920и4 4- 32Оо>и)] -
—Зз л<о'2 [(15 + 828<о2 4- 7960о>4 4- 24 000<о6 4 23 040<о8 4-
4- 5120<о‘») Р3 —1| е’ш (315 4 4578ш2 4 17 298ш4 +
4- 19 040ш6 4- 4480Ш’)] — ?2 cos2 Ф лш2Р, —
—2<?К, cos2 Ф Ц лш2 [(14- 4ш2) Р, — 8в3<о] —
—К? cos2® л<о2 [ (3 4- 34ш2 4 32м4) Р, — -1 е3ш (129 + 206и ) ] -
-К2, sin2 Ф « л»2 [ (1 4 би2) Pt - 4^ в’й] -
9 I. 35 J
— u2sin22<l) | жо2Р2}.
Здесь Ф обозначает азимут линии в плоскости объекта; Ф = О,
когда линия перпендикулярна осн симметрии пятна комы. Пер-
вый член относится к идеальной оптической системе.
626
Этим сложным^выражением можно легко пользоваться на
практике, если для разных значений приведенной пространствен-
ной частоты (о вычислить коэффициенты различных составляющих
аберраций. Коэффициенты аберраций в выражении для контраста
приведены в табл. Х.2. Влияние дефокусировки иа коэффициент
ЧКХ показано в табл. Х.З. Дефокусировка принята равной Х/4.
Для сравнения приведены значения ЧКХ для совершенного
прибора, а также относительная потеря контраста.
Переход к случаю больших волновых аберраций. В этом
случае вычисление ЧКХ из-за больших значений аргументов h
и быстрых изменений F н F* становится практически невыпол-
нимым. Вместе с тем теория и*вычисления показывают, что когда
волновая аберрация превышает несколько волн, то распределе-
ние энергии в изображении точки, полученное иа основании зако-
нов геометрической оптики, ие отличается от того, которое вы-
числено по вышеуказанным формулам.
Переход от дифракционного к геометрическому аспекту про-
исходит при стремлении длины волны Л к нулю, так как геометри-
ческая оптика является предельным случаем дифракционной,
соответствующим бесконечно малому значению X.
Рассмотрим, как изменится формула (Х.50) при стремлении Л
к нулю. С целью упрощения выводов ограничимся случаем, когда
одна из величин р/ нли у' равна нулю, так как это представляет
наибольший практический интерес. Рассмотрим сначала случай,
когда у' = 0.
Напомним формулу (Х.50), выражающую зависимость кон-
траста К от направления штрихов:
К = а(/, v') = yj’F(₽'/)F*(₽'-A.p.'; T'-W)d₽'d/,
где
F = E„h (^-) = Е„Г%~ = Eoeil,x (Р'’,
a Eq — некоторая постоянная, которая может быть отброшена
при последующих вычислениях.
Заметим, что
e+ikN (fi’)e~ikN (fr-Лц') — eik f-V (₽')—V .
Но когда Л стремится к нулю, можно писать
ЛИ')=
Из соотношений между волновыми и геометрическими аберра-
циями известно, что = 6g', где 6g' — поперечная аберрация
40*
627
Таблица Х.2
Аберрации Пространственная частота <o = cos 9
0.1 0,2 0,3 0.4 0,5 0.6 0.7 0,8 0.9
Постоянная 0.8729 0,7471 0,6238 0,5046 0,3910 0,2848 0,1881 0.1041 0.0374
—d2 0,5517 1,4761 2,1018 2,1995 1,8326 1,2196 0,61197 0,19508 0.02201
-2dSt 0,6272 1,4752 1,9358 1,9822 1,7224 1,2642 0,72892 0,27376 0,03682
-sf 0,8000 1,6395 1,9499 1,9108 1,6918 1.3435 0,87853 0,38583 0,06166
—2dS, 0,6089 1,3046 1,6459 1,6831 1.4941 1,1453 0,71166 0,29911 0,04659
—2S,S3 0,8279 1,5411 1,7512 1,6971 1,5165 1,2424 0,86685 0.42329 0.07809
_e2 —d3 0,8922 1,5049 1,6294 1,5552 1,3954 1,1706 0,86433 0,46627 0,09897
—Kjcos2© 0,2234 0,4773 0,5381 0,4467 0,3021 0,1726 0.0816 0,0275 0,00364
—rf sin2© 0,0854 0,2096 0,2691 0,2487 0,1778 0,09736 0,03767 0,00823 0,00049
—a2 sin2 2Ф 0,6562 2,1072 3,6476 4,7240 4,9974 4,3880 3,0918 1,5538 0,3678
Таблица Х.З
Наименование е> Пространственная частота а = cos 9
О.1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0.7 0.8 °-9 1
Совершенный прибор 1 0,8729 0,7471 0,6238 0,5046 0,3910 0,2848 0,1881 0,1041 0,0374 0
Дефокусировка (X/4) 1 0,8384 0,6548 0,4924 0,3671 0,2765 0,2086 0,1499 0,0919 0,0360 0
Относительная по- теря контраста 0 0,04 0,12 0,21 0,27 0,29 0,27 0,20 0,12 0,04 0
рассматриваемого луча. Поэтому
Fф’)^*(Р' — V) = -- =
= cos 2jip.'6g' + * s>n 2лр'б#'
и величина ЧКХ определяется формулой
K([i', 0) = “ П*cos2np'6g' dS +-^- JJ sin2jtp'6g' dS, (Х.51)
*s J s
где S — площадь выходного зрачка. Форма выходного зрачка
не имеет значения и может быть любой.
Аналогично можно показать, что
К (0, v') = “5- cos2nv'6G' dS + -у- f f sin 2nv'6G' dS, (X.51*)
Js s
где
dS = dp' dy'.
Фаза ЧКХ, как прежде, определяется формулами
Jj sin 2nfx'3g' rfS
1g<P = -7T------------ (X.52)
I I cos 2nn 6g’ dS
для случая, когда v' = 0;
J J sin 2aiv'dG'dS
tg q> = ------------ (X .52*)
I cos 2nv'6G' dS
J s
для случая, когда ц' — 0.
Можно еще поступить следующим образом.
Напомним, что К = а (р/, v') есть преобразование Фурье рас-
пределения яркости на изображении Э (у‘, г') некоторой точ-
ки (у, г). Эта величина Э(у', г') может быть определена на
основании расчета хода большого числа лучей. Тогда выраже-
ние для К (р/, v') имеет вид
а0К(р', v') = Jj3(/, z')/i[2n(u', у' 4-v', z'^dy'dz’,
где а0= Jj Э(у', z')dy'dzf — число лучей, пропускаемых через
выходной зрачок системы. Заметим, что интегрирование проис-
ходит здесь по площади аберрационного кружка рассеяния,
а не по площади выходного зрачка, как в предыдущем способе
(Х.51).
629
Рассмотрим случай, когда v' — О
апК([1, 0) — j [ Э(у', z')cos2it[/£<' dy' dz' -f-
4 * | S" /)sin2^|xV dyr dz'. (X.53)
Разбиваем площадь изображения (рис. Х.14) на п полос,
параллельных 02', настолько малой ширины dy', что у!у' можно
считать постоянным по всей ширине полосы. Обозначим через
Рис. Х.14
ЛЗ(у’) - I Э(у‘, г')di’
число точек пересечения лучей с по-
лосой q. Контраст К (р/, 0) вычисля-
ется по формуле
а,}К (ц , 0) = ( AS (y')cos2n.y’y'dy' +
•"i
-Н* | AS (у') sin 2 niCy'dy'. (X.53*)
и представляет собой гармонический анализ функции AS (у’).
Хотя формулы (Х.51) и (л.53*) для вычисления К(|Г, 0) внешне
заметно отличаются друг от друга, они приводят к одинаковым
процессам вычисления (см. стр. 646 и далее).
Вычисление ЧКХ для точки иа осн при малых y-Sg'
Для точек на оси симметрии ЧКХ не зависит от направле-
ния штрихов, и можно написать для ft выражение
ft ([1', 0) = j cos2np'6g' dS,
где S — площадь зрачка, dS — элемент площади выходного зрачка
(или волновой поверхности).
При дефокусировке Sg' — Ар cos ip, где А пропорционально
дефокусировке
i 2л
Sft(p/, 0) = f j cos2 лц' (Apcosip) р dp dip.
о о
630
При малом p.'6g' получаем
Х(|| , 0) = 1 - jр dp dlf = 1 _ _L „Y2D*, (Х.54)
где D — 26gmax — диаметр кружка рассеяния.
Если рассеяние в аберрационном кружке вызывается сфери-
ческой аберрацией третьего порядка, то для К (ц', 0) получается
выражение, аналогичное предыдущему, но коэффициент при
л2р.'2£)2 равен не */8, а х/1б. При увеличении порядка сферической
аберрации коэффициент уменьшается, что легко объясняется уси-
лением концентрации света в центре кружка рассеяния.
Например, при сферической аберрации третьего порядка
X ((Г, 0) = 1 — -1- n2n'2D2. (Х.55)
При сферической аберрации пятого порядка
Х(И', 0) = I - -Т-л^'Щ2. (Х.56)
Когерентное освещение
До сих пор рассматривалась зависимость ЧКХ от частоты при
некогерентном освещении. Однако в ряде оптических систем,
главным образом из группы микроскопов, наблюдению подвер-
гаются частично прозрачные объекты, освещаемые малым источ-
ником света; это создает когерентное освещение или, точнее,
смешанное освещение, где преобладает когерентное. Согласно
проведенным опытам, на долю когерентного света приходится 3/4
световой энергии и лишь J/4 — на долю иекогерентного света.
Оценка качества изображения, даваемого оптической системой
рассматриваемого типа, может производиться точно таким же
образом, как при некогерентном освещении, а именно путем
наблюдения периодических структур, наиболее простая из кото-
рых — синусоидальная мира.
Вычисление ЧКХ в этом случае производится намного проще,
чем при некогерентном освещении. Действительно, сннусообраз-
ная решетка, освещаемая параллельным пучком (а следовательно,
когерентным), дифрагирует свет в трех направлениях (рис. Х.15),
образующих с иаправленнем падающего пучка углы ±g>, сннусы
которых равны 0 и ± — . Это вытекает из того, что синусоидаль-
ная функция 1 + cos • может быть представлана в виде
0(г,,г)=1 + 4-[л(^) + л(-^)].
631
Зная распределение амплитуд на объекте, можно найти рас-
пределение амплитуд на зрачке (точнее — на сфере с центром на
объекте, который мы считаем бесконечно малым по сравнению
со зрачком), пользуясь тем, что оно является обратным преобра-
зованием Фурье амплитуд объекта. Это свойство вытекает из
второго уравнения (Х.45), если ввести в него обозначения, при-
нятые здесь для оптических приложений. Тогда получаем
F (Р'т') = j j Е (у'г’) h [* (₽'/ + у'г')1 dy' dz’. (Х.57)
Эта формула, очевидно, может быть применена также и в про-
странстве объектов. Из нее вытекает (при замене Е распределе-
Входной зра->о*
Рис. X.I5
нием О), что F (0V) представляется тремя составляющими:
F(₽Y)=1 при ₽' = 0; f(p'v') =4 прир' = —у; F (₽'?') =
=4 при ₽' = +4
При переходе от входного зрачка к выходному добавляется
аберрация изображения, после чего F = 1 при = 0; F —
-44М4 о)]при₽-=-4; ^=4л[м(-4о)]
при 0' = +4
Изображение миры, т. е. преобразование Фурье амплитуды
на выходном зрачке F (будем ее считать равной амплитуде на
входном зрачке в соответственных точках), можно определить
уравнением
/(</')=! +4 o)4-2«4)+F (-4 0)л(2л4)]
нли, подставив вместо F его значения, заменив h через синусы н
косинусы,
/ (у') — I Hexp tOcos (‘2.4^------, (Х.58)
632
где
X 2 ’ * "" X 2
Как и в случае некогероитиого освещения, изображение синусо-
идального распределения имеет синусоидальный характер с пе-
риодом, определяемым по законам геометрической оптики. Кон-
траст (ЧКХ) зависит от Ф, смещение изображения — от ср.
Если написать коэффициент при cos в формуле (Х.58) в виде
ехр/ф = cosO-f-ZsinO,
то можно считать, что ЧКХ при когерентном освещении равна
cos Ф. Заметим, что в случае симметричного (относительно
оси OZ) распределения аберраций (что всегда осуществляется,
если объект расположен в меридиональной плоскости — плоско-
сти OZ) = *(-£), ф-0 и Ф = 2*Л’(£).
Следует обратить внимание на то, что в отличие от случая пе-
когерентного освещения мы здесь сравниваем не интенсивности
(освещенности), а амплитуды. Только в этом случае синусо-
идальное распределение (амплитуд) на объекте превращается
в синусоидальное же распределение (амплитуд) иа изображении.
Любопытно отметить, что когда амплитуда на объекте изме-
няется по синусоидальному закону, то яркость, т. е. квадрат
амплитуды, изменяется по несколько более сложному закону,
а именно: если О (у) = 1 + cos~^-> то
[0(i/)\^^ + 2ms^- + ±cos^~ (Х.59)
* р z р
н кривая распределения кроме периода обладает еще гармо-
v 4зш
никои - .
р
Так же обстоит с изображением; распределение освещенности
в нем легко определить, умножая правую часть равенства (Х.58)
на сопряженную величину:
7(О2= [1 + А(Ф) cos --------х
X р + h(—Ф)со5 2л =
' - ~ 4- 2 созФсоз + 4“cos ("T" “ M * (x-60)
Таким образом, изображение характеризуется рядом такого же
вида, как и предмет,, с той только разницей, что член основного
633
периода умножен на cos Ф (как и в случае амплитуды); вторая же
гармоника по амплитуде остается без изменения, только смещается
на 2ср, т. е. кривая отражает не только уменьшение контраста,
но также и влияние второй гармоники.
7. методика численного определения чкх
Случай малых аберраций,
не превышающих нескольких длин воли
Рассмотрим в пространстве изображении выходящую из си-
стемы волну S', ортогональную лучам, излучаемым точечным
источником в пространстве объектов. Для определенности пред-
положим, что поверхность волны
Рис. X.I6
S проходит через центр выход-
ного зрачка Р' (рис. Х.16).
Рассмотрим также ближай-
шую сферическую поверх-
ность сравнения (идеальную
' поверхность волны) с центром
в точке О', где главный луч
пучка пересекает плоскость
изображений, и предполо-
жим, что эта поверхность
также проходит через точку
Р'. Луч Р'О' обычно назы-
вают главным лучом пучка.
Пусть У (у', г')— отступление истинной волны от идеальной;
у' иг' — координаты пересечения луча с идеальной волновой
поверхностью. Определим частотно-контрастную характеристику,
относящуюся к точке О'. Согласно формуле (Х.50)
К (|Л', v') = а(|л', v') == 1) j j ? (р , 7 ) F* (р — Х|л'Ду — Xv') dp' dy ,
где U — коэффициент нормировки.
Рассмотрим какую-нибудь точку М' волновой поверхности.
Положение точки М' определим с помощью направляющих ко-
синусов р' и у' прямой О’М’ по отношению к координатной си-
стеме P'Y'Z', причем ось P'Y' лежит в меридиональной плоско-
сти, a P'Z' перпендикулярна ей и главному лучу Р'О'. Комплекс-
ная величина F (р', у') представляет собой амплитуду иа элементе
поверхности волны S', находящемся на прямой О'М', и разность
фаз соответствует волновой аберрации этого элемента. Как обычно,
будем считать, что амплитуда по всей волновой поверхности
постоянна, фаза равна N (р', у'), где N — волновая аберра-
ция для направления Р', у'.
Положим
F(p', y') = e~ikN <₽'»?').
634
Обозначим через F* функцию, сопряженную с F.
Тогда
ч /ЛЛ’(₽'-Лм', v'-Av')
F (р — Ар. , у — Av ) = е ,
где k — ^-. Легко проверить, что
FF = cos [ДО (р , у ) — ДО (0 — Ар , у — Av )] —
— i sin [ДО (р , у ) — ДО (р — Ац , у — Av )].
Вычисление частотно-контрастной характеристики сводится к рас-
чету двух интегралов:
С = (j cos k [ДО (р , у ) — ДО (р — Ац , у — Av )] dp dy ;
Л , , .......................J (Х.61)
S = | J sin k [ДО (p , у ) — ДО (p — Ар, , у — Av )] dp dy .
о
Тогда
К(ц', v') = j J FF*d’$'dy' = C — iS.
'a
Частотно-контрастная характеристика обладает реальной ча-
стью С и чисто мнимой iS. Отношение = tg <р дает смещение
фазы изображения объекта, представляющегося в виде решетки
с синусоидальным распределением амплитуд.
Задачей данного параграфа является вычисление функций С
и S для оптических систем, конструктивные элементы которых
считаются известными. Большинство авторов, занимающихся этим
вопросом, заменяет сферу сравнения плоскостью выходного зрачка.
Такая замена далеко не всегда законна и, кроме того, приводит
к ряду затруднений, о которых будет сказано ниже.
Прежде всего установим, для каких систем требуется рассчи-
тать частотно-контрастную характеристику с учетом дифракции.
Как было указано выше, дифракция оказывает заметное влияние
в том случае, когда волновые аберрации не превышают двух-трех
воли, т. е. в системах в высокой степени корригированных. В та-
ких системах обращается особое внимание на исправление сфери-
ческой, хроматической аберраций и комы. Выполнение условия
апланатизма приводит к обязательному выполнению соотношения
синусов, а именно: если лучи в пространстве объектов пересекают
сферическую волновую поверхность в точках, соответствующих
значениям направляющих косинусов 0 и у, меняющихся на равные
величины Др = Ду, то в пространстве изображений величины р'
и у' будут меняться также иа равные величины. Это обеспечивает
отсутствие каких-нибудь сгущений и разрежений точек на сфере
сравнения, которые привели бы к неправильным значениям рас-
635
пределения энергии в изображении точки и к соответствующей
погрешности при вычислении - частотно-контрастной характери-
стики. Это свойство сохраняется и для точек вне оси, если опти-
ческая система достаточно хорошо исправлена для них (волновые
аберрации не более нескольких длин волн).
Отметим здесь, что для этих же систем указанное свойство не
распространяется иа плоскости входного н выходного зрачков.
Если лучи в пространстве предметов пересекают входной зрачок
по узлам квадратной сетки, то в пространстве изображений они
пересекают плоскость выходного зрачка по узлам сетки, располо-
женным по гиперболическим кривым [61. При больших относи-
тельных отверстиях, какие, встречаются, например, при расчете
объективов микроскопа, отступления от квадратной формы гро-
мадны. Это вызывает появление больших погрешностей в вычисле-
ниях интегралов С и S при замене дифференциалов rdp' и rdy'
дифференциалами dm' и dM'.
Чтобы избежать этих погрешностей, выбираем лучи, подле-
жащие расчету для определения волновых аберраций, так, чтобы
их выходные координаты 0' и у' составляли квадратную сетку,
изображенную на рис. Х.17, а именно: выбираем временную
систему координат, в которой ось РХ направлена от центра Р
входного зрачка (и вершины волновой поверхности) к точке Т
источника (рис. Х.18). Ось меридиональной плоскости, содержа-
щей Т, направлена перпендикулярно РХ', ось Z направлена
перпендикулярно меридиональной плоскости в сторону читателя.
В этой системе координат точки пересечения лучей со сферой
имеют координаты у = qs, z = q^, где q и qf — целые числа;
синусы апертурных углов рассматриваемых лучей меняются
через равные промежутки где г — радиус кривизны поверх-
ности волны.
Переходим к новой системе координат, в которой осью
служит оптическая ось системы, осью Yi — перпендикуляр
к оси лежащий в меридиональной плоскости; ось парал-
лельна оси Z. Начало координат, как обычно, берем у вершины
§36
первой поверхности. Переход от старых координат к новым про-
исходит по формулам
хх = х cos a?L -j- у sin wx 4- seJl; x = r — У r2 — (у2 -f- za);
yx = —X Sin -H у COS JDp zL = z,
где зед — расстояние от первой поверхности системы до входного
зрачка; а/, — угол главного луча с оптической осью (положитель-
ный, если луч идет сверху вниз).
Направляющие косинусы луча в новой системе координат
определяются по формулам
где Sj — расстояние от первой поверхности системы до объекта;
= ТА — расстояние объекта от оси. По известным llt sx и
направляющим косинусам выполняется на электронно-вычисли-
тельной машине расчет хода лучей.
Волновая аберрация У вычисляется как сумма оптических
путей от первой сферической волновой поверхности до последней.
В качестве поверхности волны в пространстве объектов принимаем
сферу с центром в точке-объекте; радиус этой сферы берем таким,
чтобы сфера проходила через центр входного зрачка Р. В часто
встречающемся случае, когда предмет находится иа бесконечности,
радиус волны становится бесконечно большим и волновая поверх-
ность плоская. Сфера сравнения в пространстве изображений
имеет центром точку Т' (параксиальное изображение точки Т
предмета). Впрочем, в качестве точки Т1, находящейся на рас-
стоянии /q от оси, можно взять любую другую точку при условии,
что Zo мало отличается от pZt, например за /о можно принять рас-
стояние от оси до точки пересечения главного луча с плоскостью
изображения. Радиус сферы сравнения в пространстве изображе-
ний можно выбрать таким, чтобы эта сфера проходила через
центр выходного зрачка, тогда под р следует понимать расстояние
от плоскости изображения до точки пересечения сферы сравнения
с осью. Для повышения точности вычислений могут быть при-
няты различные меры (например, при наличии больших воздуш-
ных промежутков последние можно исключить из оптического
пути и учесть лишь разность путей по лучу и по оси — небольшая
величина, которая может быть вычислена точно).
Наибольшую трудность представляет расчет разности пути
по лучу и оси от первой (последней) поверхности до сферы сравне-
ния. Формула расчета этой разности для системы, работающей
с конечного расстояния (рис. Х.19), в пространстве изображений
имеет вид
Л (I -р Л) Л
p + Vp2+
6
2/7+7
(Х.62)
637
где
М = u<5g' 4- v6G';
6 — dg'2 6G'2;
I’o =
p — расстояние от плоскости изображения до плоскости вы-
ходного зрачка, равное seA—$q.
Рис. Х.19 Рис. Х.20
В пространстве объектов аберрации отсутствуют и поэтому
формула для d принимает более простой вид
(Х.62*)
В случае, когда предмет (изображение) находится в бесконеч-
ности (рис. Х.20), г обращается в бесконечность, и для расстояния
(• М 2 = d получаем следующую формулу:
, X — ylgw,
d= X-Plggi + s*x
\/ х eg2 Mi —J1 ~ 'v! ~2)41 tg Mt (х 63)
V-" Х(1 + Х) ’
7 где X А. — р, tg Юр Точность, даваемая,
Рис- х-21 например, электронно-вычислительной ма-
шиной «Урал-2», вполне достаточна для
большинства оптических систем. Проделанные для нескольких
объективов численные расчеты показали, что при общей длине опти-
ческого пути порядка 50ллсошибки вопределении ЛГне превышали
1—2 единиц шестого знака после запятой (1—2 нм), т. е. примерно
полагая, что точность в ( ну достаточна, можно
считать, что она может быть получена даже при длине оптического
пути в 1 м. Следует отметить, что указанная точность выдержи-
вается при использовании схемы Федера.
Предположим, что ССХС2 (рис. Х.21) — контур рабочей части
поверхности волны после выхода из системы. Величины q и £?i
берутся такими, чтобы подлежащие расчету лучи проходили
638
в основном внутри контура, а небольшая часть лучей пересекала
поверхность волны и вне контура для облегчения дальнейших
операций. Число лучей, для которых проводится расчет, должно
быть таково, чтобы для любой точки поверхности путем простой
(линейной) интерполяции можно было определить N с точностью
до -н -ру) 1. Расположение точек по пересечениям взаимно
перпендикулярных прямых, разделенных разными промежутками,
намного упрощает интерполирование. Число -точек должно быть
порядка 50—100, что обеспечивает более чем достаточную точность.
Путем интерполирования на середину1 можно легко довести
число элементов до 200—400. При таком числе точность в X
для каждого элемента обеспечивается в большинстве случаев.
Прн этом условии вполне законно заменить истинную волновую
поверхность ячеистой, состоящей из большого числа (например,
400) квадратных элементов, каждый из которых имеет сферическую
поверхность с постоянной волновой аберрацией; заменяют истинное
переменное значение волновой аберрации в этом элементе постоян-
ным и округленным в ближайшую сторону до 0,05Х значением.
При этом разность между истинным значением аберрации У на
этом элементе и принятым округленным значением не превышает
(0,05-н0,1) X. Отклонения волновой аберрации от истинного зна-
чения в пределах 4- X не оказывают заметного влияния
на картину распределения освещенности в пятие рассеяния, а тем
более на частотно-контрастную характеристику, которая меиее
чувствительна к изменениям формы волны, чем аппаратная функ-
ция. Это положение было проверено на ряде конкретных примеров;
с этой целью на различных участках поверхности волны с опре-
деленным распределением волновых аберраций менялось значе-
ние последних на 0,1% и вычислялись заново координаты кривой
частотно-коитрастнон характеристики.
На основании этих соображений была выработана следующая
схема вычисления частотно-контрастной характеристики.
1 Напомним, что если имеется таблица значений функции / (х) для равноуда-
ленных значений аргумента a, a -j- б>, а -у 2б>, • • • и их разностей Д/ (а), А2/ (а)
а + со
а 2 со
/(»)
f (а + (0)
/(а+ 2ю)
Д/ (а)
Л/ (а + о)
Д2/ (а),
то значение функции для аргумента а
вычисляется по формуле
z (°+4)=; (°)+4-Л/(о) - 4“<“)
639
1. После того как предварительными вычислениями опре-
делены границы зрачка выхода, а следовательно, и поверхности
волны, вычисляется на электронно-вычислительной машине ход qqt
лучей (от 25 до 100 в зависимости от качества исправления),
точки пересечения которых с входной волновой поверхностью
располагаются на узлах квадратной сетки, охватывающей всю
рабочую часть зрачка. Определяются координаты точек пересе-
чения луча с выходной идеальной волновой поверхностью и вол-
новая аберрация N каждого луча. Машина запоминает значения
волновых аберраций и производит, если нужно, интерполяцию
па средние точки с целью увеличения числа их до 100—400.
gg По причинам, указанным выше, эти точки ложатся на квадрат-
ную сетку, подобную сетке входной поверхности волны. Одновре-
_,_! меныо с расчетом лучей электронно-вычислительная
------машина определяет границы пучка на основании
------IA' значений высот точек пересечения с отдельными
------LJ поверхностями и зрачками системы.
2. Машина округляет все значения волно-
~| вой аберрации до 0,05А. Представим себе сетку
Рис. Х.22 (см- Рис- Х.17), центры ячеек которой совпадают
с точками пересечения лучей с волновой поверхно-
стью (напомним, что из-за апланатичности системы эти точки распо-
ложены на равных расстояниях друг от друга). Каждая клетка
служит элементом интеграла г2 dfrdy'. Контур поверхности,
внутри которой производится интегрирование, определяется на
основании расчета хода лучей; если луч пересек хотя бы одну
из оправ или диафрагм, соответствующая клетка ие принимается
в расчет. Граница рабочей части зрачка имеет вид, показанный
на рис. Х.22. Внутри каждой клетки можно считать N постоян-
ным и округленным до ±0,05Х. Смещениям зрачка дают после-
довательно значения, соответствующие стороне одной, двух,
трех клеток и т. д., т. е. s, 2е, Зе, ... Смещению /Се соот-
ветствует частота -, причем п — показатель преломле-
ния последней среды, г — радиус волновой поверхности. На прак-
тике ограничиваются обычно двумя, в крайнем случае — четырьмя
направлениями штрихов: первое соответствует оси Z, второе —
оси Y, третье и четвертое, редко рассчитываемые, располагаются
под углом 45° к предыдущим.
Положим, что вычисление частотно-контрастиой характери-
стики производится для направления оси Z. Машина вычисляет
разности величин ^/.соответствующие двум горизонтальным
клеткам, смещенным последовательно иа 1, 2, . . ., р клеток.
Это вычитание происходит только в том случае, когда обе клетки
соответствуют определенным (существующим) значениям N; если
одна из двух клеток помечена крестиком, вычитание ие произво-
дится. При вычитании сохраняется лишь дробная часть, а целая
640
отбрасывается, так как отбрасывание целого числа длин волн
не оказывает влияния на результат; прн получении отрицательной
величины прибавляется одна волна. Тогда все разности имеют
одно из значений 0; 0,1; 0,2; . . 0,9. Положим, что имеется
клеток с разностью 0; /ц — с разностью 0,1; п9 — с разностью 0,9.
Тогда значение частотио-контрастной характеристики может быть
написано в виде
С = (п0 — п5) 4- cos 36° (rtj + п9 — пс — «4) +
+ cos 72° (п2 + п8 — п7 — п3);
S = sin 36° (пх 4- п4 — г19 — пв) + sin 72° (п2 4- п3 — п7 — ns)
или
С = п0 — п5 + 0,809 (мх 4- п9 — пе — п4) 4-
4- 0,309 («2 + «8 П7 Пз); у.
S - 0,588 (пх 4- п4 - п, — ив) 4- (Л'Ь4)
4- 0,951 (па 4- п3 — п7 — п8).
Далее все полученные результаты делятся на р — общее число
рабочих клеток. Заметим, что при изложенном приеме в вычисле-
ниях участвует лишь та часть площади, которая является общей
рабочей площадью поверхности волны с этой же площадью, сме-
щенной на величину RK.
Таким же способом вычисляется частотно-контрастная харак-
теристика в направлении осн Y, ио смещение производится по
вертикали. Если необходимо, можно использовать аналогичный
способ, производя вычисления в направлении диагоналей, и
получить частотно-контрастные характеристики для направлений,
составляющих угол в 45° с основными.
Для точки на оси вычисления значительно упрощаются. На
основании результатов расчета хода 4—6 лучен можно составить
интерполяционную формулу для значений N любой точки волно-
вой поверхности и вычислять величины N по этой формуле, ми-
нуя расчет хода лучей. Этот прием значительно сокращает
время расчета ЧКХ.
С целью проверки точности формул была рассчитана ча-
стотно-контрастная характеристика для дефокусированной без-
аберрационной оптической системы при квадратном зрачке
(значение дефокусировки бралось таким, что на концах диаго-
нали зрачка волновая аберрация имела значения 0,45; 0,9;
1,8; 5,4; 10,8 X) и были сравнены кривые частотно-контраст-
ных характеристик. Точная кривая получена с помощью формулы
sin аД (2 — Д)
Л<А>=~ 4^------- (Х.65)
X
41 Г. Г. Слюсарев
641
где 2а — волновая аберрация на концах диагонали пятна рассея-
ло
ния со стороной Д = —,------• R — частота (в периодах на 1 мм),
п sin ит
ит — апертурный угол для вписанного в каадрат круга; вторая
рассчитана на электронно-вычислн-
ив'. V
Л 6
№
0,2
О
тельной машине с помощью описанной
выше методики. Результаты вычисле-
ний на машине приведены в виде
кривых на рис. Х.23 и Х.24; точками
0,2
2 6' 22 2ч- 26
Рис. Х.23
обозначены величины, полученные на основании точной формулы.
Следует отметить, что вычисления в рассмотренных случаях
выполнялись на ЭВМ без интерполяции; последняя, практически
не влияя на продолжительность расчета (так как основное время
машины уходит на расчет хода лу-
чей и вычисление волновой абер-
рации), значительно увеличивает
точность.
Опыт работы по приведенной
a*S(Nrr,as1W) схеме с системами, обладающими
0,2
О
1 7 6 8 . ? _ У. !7А У
2^2^ 26
•0,2
Рис. Х.24
осью симметрии, показал, что сетку точек на поверхности волиы,
для которых вычисляются волновые аберрации, надо расположить
симметрично относительно меридиональной плоскости таким
образом, чтобы ближайшие точки справа и слева расположились
на полстороны клетки.
Наконец, следует отметить влияние значения радиуса сферы
сравнения в пространстве изображений на величину волновых
аберраций; это влияние особенно сильно сказывается при малых
радиусах сферы сравнения. Хотя вопрос о выборе радиуса г
642
в литературе не нашел отражения и не может считаться решенным,
по различным причинам следует его принять бесконечно большим.
При этом формула (VI 1.62), применяемая для вычисления раз-
ности оптических путей в последней среде, принимает вид
где х — абсцисса точки пересечения луча с последней поверх-
ностью системы.
Если предмет иа бесконечности, следует применить формулу
(VII.63); аналогичную формулу можно применить, если sb бес-
конечно велико.
Вычисление ЧКХ для очень малых частот
Такне оптические системы, как фотографические объективы,
особенно универсальные и светосильные, обладают довольно
большими волновыми аберрациями (доходящими до 5—10 длин
волн н более).
Для таких систем кривая ЧКХ около начала координат круто
спускается вниз. Так как первая выданная машиной точка ЧКХ
лежит относительно далеко от начала, трудно оценить значение
контраста, соответствующего малым частотам, которые обычно
представляют наибольший интерес. Укажем прием, дающий воз-
можность определить поведение кривой около начала координат,
что позволит дополнить участок кривой в наиболее важной для
практики области. Как следует из формулы (Х.51), контраст
прн весьма малых частотах выражается следующим образом:
К (н\ 0) = -у- JJ cos dS 4- J J sln 6S
для горизонтальных штрихов;
К(0, v') = ff cos 2nv'6G' dS 4- -у- j f sin 2jiv'6G'6S
для вертикальных штрихов.
Здесь S— площадь зрачка; So— общая часть площади двух
пересекающихся контуров зрачков, отстоящих друг от друга на
Хц' Xv'
sin для гоРизонтальных штрихов или на для вертикаль-
ных штрихов. (Если показатель преломления последней среды п'
отличен от единицы, следует величину sin со' заменить произве-
дением n'sin со'.)
Когда кон^р зрачка является окружностью или мало от нее
отличается, имеем
"У" = —sin 9 CoS ®)>
4Г
643
где cos 0 = 2 si^ , для горизонтальных штрихов или cos 0 =
Xv'
= 2 sjn , для вертикальных штрихов.
Но для 0 близкого к имеем
sin 0 — 1---cos2 0, 0 = --------cosQ,
откуда
•So _ । _ 2 Хц
5 — л sin <о'
для горизонтальных штрихов;
So __ j__2 kv'
S л sin to'
для вертикальных штрихов.
Когда произведения и v'6G' малы, что имеет место при
малых частотах, можно написать
cos 2np'6g' = 1 — 2n2p'26g'2;
sin2np'6g' = 2np'6g'
и аналогичные формулы для v'.
После указанных замечаний можно привести X (р/, 0) и X (0, v')
к виду
Ч». '> - I -
Для краткости обозначим
= If6g'4-= (6);
•S# so
jjSG's 4 = (62); JJ6G'4 = (6).
Sg So
Тогда
W. 0)= i
О 1м' - (X.66)
K(0, v') = 1 — — -?v , • - 2nV2 (62) — 2niv' (6).
\ / л sin® ' ’ v '
644
Удобно ввести вместо частот р' и v' относительные частоты
ц' у' '
Н- н —т, где ро — максимальная пропускаемая частота, опре-
Но Но
. „ 2 sin со'
деляемая формулой ро ——%—• Югда
W, 0)= 1-^-4
л Но
K(0,v')=l—^-Х-
я Но
8л2 sin3 <о' ,К2Ч
——<6>
8л2 sin2 ш'
№
Из этих выражений получаем для модуля К следующие значения:
ЧКХ = 0)| = 1-А/О_
\ Ио / \ Но I
[(62)_ (6)В] /О2.
\ 140 /
/< \ 4 / < \ (Х.67)
[(g2)^(5)2]
\ /
а смещение фаз получается по формуле
4л sin w' /fi. ц'
‘g<p =-----х—(6)-^.
Но
Применить для составления кривой ЧКХ фор м ул ы_ (Х.67)
можно следующим образом. Вычислив величины (62), (6), (62) н (6)
как средине по всем точкам на зрачке, для которых рассчитан
ход лучей, положим для краткости
8n2gn>'[(62)-m=b.
Тогда
| К (р', 0) I = 1 — 1,272 K — bl XV - (X .68)
Но \ Но /
Задавая X- два-три достаточно малых значения, например
Но
0,025 и 0,05, получаем две точки, через которые проходит кривая
ЧКХ. Помня, что эта кривая касается прямой | К | = 1 — 1,272-Х
Но
и, кроме того, в начале своего пути проходит через две рассчитан-
ные по формулам (Х.67) точки, а также через точку, вычисленную
645
с помощью ЭВМ, легко вычертить кривую. Следует отметить, что
для симметричных распределений (точка на оси) величины 6 и 6
равны нулю н выражения для ЧКХ упрощаются.
Вычисление ЧКХ в случае больших волновых аберраций
(геометрическое приближение)
(Х.69)
Как было показано ранее (стр. 627), ЧКХ для оптических
систем, обладающих большими значениями волновой аберрации
(от 2—За и выше), целесообразно вычислять по приему интегри-
рования по зрачку нли по поверхности идеальной волны (которое
может быть заменено интегрированием по площади кружка рас-
сеяния). Для двух основных направлений (ц', 0) и (0, v') ЧКХ
вычисляется по формулам
К (ц'> 0) — 11 cos 2njx'6g'dS Ц- J j sin 2rtp'6g'dS;
s s
K(0,V) = J J cos2nv'6G'dS -J- -y- j j sln}biv'6G'dS,
s s
где 5 — площадь, ограниченная конусом лучей, пропущенных
выходным зрачком; v', ц' — частота, т. е. число штрихов на 1 мм\
6g'—меридиональная составляющая поперечной аберрации;
6G' — сагиттальная составляющая поперечной аберрации.
Вычисления можно выполнять согласно применяемой для
предыдущего случая методике с соответствующими изменениями,
а именно: с помощью ЭВМ рассчитывается ход п лучей и опреде-
ляются поперечные аберрации 6g' каждого луча. Выбор лучей
осуществляется так же как в рассмотренном случае. Важно,
чтобы каждому лучу соответствовал одинаковый поток. Число п
лучей (клеток) должно быть не менее 100—200 на половину зрачка
(если оптическая система имеет ось симметрии). При такой гу-
стоте лучей возможна интерполяция величины 6g' на половину
интервала, что обеспечивает от 400 до 800 элементов. Все величины
6g' запоминаются машиной н так же как в случае малых волновых
аберраций, разбиваются на отдельные группы таким образом,
чтобы лежали в определенных пределах, например от 0
I ! 2
до от до — и т. д. В каждой группе аргумент прн cos
н sin колеблется в пределах т. е. 9 нлн ±4,5°, что дает в обыч-
ных условиях достаточную точность. Пусть nv\ пг; п3 — число
лучей, для которых \i'6gr лежит в пределах
0
2л Зл
к к
т. Д. ОТ
И
2к ( п л л
до — л (т. е. от 2л----------— до 2л
646
где к — число, на которое делится полуокружность л — 180 .
Если | | У> 2л, то нз этого значения следует вычесть целое
число q полных окружностей 2л с тем, чтобы | p'dg' | — 2дл ле-
жало между 0 и 2л. Обозначим через /ц число элементов, попа-
дающих в первый промежуток; через п2 — число, относящееся
ко второй группе, и т. д.
Заметим, что при достаточно большом к величины cos 2л (p'6g')
н sin 2л (р'б^') для всех элементов одной группы можно считать
одинаковыми и равными
2р — 1 . 2р— 1
COS ~2к~ Л’ 81П 2к Л"
Тогда ЧКХ можно написать в виде
К(н',0)= -i- [л, cos4-л2 cos ^4-л,cos'^ + • •
• • +/;Mcos(2n — [njsin + «2sin |y +
4-n3sln^+ • +n21tsin(2n —
или, поскольку
c°sA = cos(2jt-£); Sin^- = —sin(2n —
K(H'. 0) = 4" [(«1 + «2») C0S 2^ + («2 + «2К-1) COS1£+-’-
••+(«« 4- nwl) cos П] + [("1 — ”») sin 47 +
+ (n2 — n2K_i)sln-|y + • • • +(nK — nK+1)sin-^^yi^J .
Для К (0, v') получаем аналогичные формулы, отличающиеся
от предыдущих лишь тем, что вместо произведения в инх
входит произведение v'6G'. Число к следует брать не менее 20
н более, в зависимости от желаемой точности.
Если необходимо определить ЧКХ для большого числа ча-
стот р' или v', лучше применить метод, основанный на приеме
гармонического анализа, с помощью которого определяются сразу
все коэффициенты разложения функции п (8g') или п (ЬС) в ряд
Фурье.
Пусть Лий (рис. Х.25) — точки на контуре пятна рассеяния,
проекции которых на ось OZ (перпендикулярную выбранному
направлению штрихов) и Bt наиболее отдалены друг от друга.
Расстояние А^В^ делим на к полос равной ширины и отсчитываем
647
число точек пересечения лучей с плоскостью изображения, ле-
жащих внутри этих полос, Hi, п2; пк\ . . пр. Выполняем гра-
фик значений п как функции от координаты г, принимая за
начало. В случае необходимости сглаживаем кривую с целью
устранения случайных отклонений
величин п от точных значений.
Функцию п — f(z) подвергаем гар-
моиическомуанализудля нахожде-
ния значений ЧКХ, соответствую-
щих частотам R, 2R, 3R и т. д.,
где я =
Подробности о том, как прово-
дится этот анализ, можно найти
в курсах приближенных вычисле-
ний.
Вычисление на ЭВМ
Вычисление ЧКХ на ЭВМ выполняется по ранее описанной
методике с учетом особенностей ЭВМ. Кроме того, желательно
использовать, насколько это возможно, те приемы, которые были
применены прн вычислении ЧКХ в дифракционном варианте
(см. стр. 634), т. е. через оптическую систему направлять такое же
семейство лучей. На ЭВМ вычисляются составляющие аберраций
dg' и &G' (отсчитанные от точки пересечения главного луча с пло-
скостью установки).
Рассмотрим случай, когда штрихи параллельны меридиональ-
ной плоскости. Величины 66' группируют в зависимости от их
значений. К первой группе относят те лучи, для которых 66'
лежит в пределах от z0 до (г0 Д); ко второй — лучи, для кото-
рых 66' лежит в пределах (z0 4- Д) н- (г0 + 2Д) н т. д.; машина
считает число лучей пк, попадающих в указанные промежутки.
Далее производится гармонический анализ функции п (Д^'), т. е.
вычисляется на машине сумма величин пк cos 2nRzK, где zK =
= ZO + (к----1-) Д, т. е.
0,008 211/? (го + 4) + cos 2л/? (zo ~ +
+ и., cos 2л/? (г„ + “)+ • • -
Величине R можно дать либо одно основное значение, по кото-
рому оценивается качество изучаемой оптической системы, либо
ряд значений, позволяющий строить ЧКХ для большого диапазона
частот. В последнем случае может оказаться выгодным исполь-
зование приема, заимствованного нз гармонического анализа и
648
описанного выше, но желательно брать случай 24 ординат, так
как при 12 ординатах число достоверных амплитуд высших гар-
моник очень мало. Подробности о выборе промежутка Д и числа
лучей мы здесь опускаем; ограничимся указанием, что число лучей
ие должно быть менее 200—400 с тем расчетом, чтобы могла быть
осуществлена интерполяция значений 66'. Промежуток Д следует
брать не меньше двадцатой доли диаметра кружка рассеяния в рас-
сматриваемом направлении.
Поскольку для ЭВМ наибольшая часть времени тратится на
расчет хода лучей, а остальные операции занимают мало времени,
можно по одной и той же программе вычислить ЧКХ дифракцион-
ное и ЧКХ на основании геометрической оптики.
В тех случаях, когда необходима высокая точность результа-
тов, следует увеличить число точек, используя интерполяцию
на середину (например, с двумя разностями), согласно формуле
У (а + 4) = у(а) + ^д + '1) - 4Л2//,
где Д2«/ — вторая разность функции у (а), получаемая по значе-
ниям этой функции для значений аргумента а, а + ft, а + 2Л.
Такая интерполяция, выполненная по обоим направлениям &g'
и 66', позволяет учетверить число точек и намного повысить точ-
ность результатов.
Расчет ЧКХ для штрихов, параллельных экваториальной
плоскости, производится точно так же, только величины 66'
заменяются величинами 6g'.
Некоторые простейшие случаи вида кривой л = f (z)
1. В том случае, когда f (z) постоянна в пределах от нуля
до гтах (это происходит при коме третьего порядка, когда штрихи
перпендикулярны меридиональной плоскости), имеем
Л. (Х.71)
Zni^Zfn
Если мира обладает распределением яркости как в тесте Фуко,
т. е. состоит из равномерных светлых полос, разделенных тем-
ными полосами той же ширины, то контраст р™* ~ р™1п изобра-
ження определяется по формуле
<Х-72)
где 2z — ширина изображения бесконечно тонкой щели. Формула
действительна для тех значений R н г, прн которых ЧКХ не вы-
ходит из пределов 0—1.
2. В том случае, когда кривая / (г) представляет собой две
наклонные прямые, образующие с осью Z равнобедренный
649
треугольник вида___Л___, причем расстояние между точками пере-
сечения прямых с осью Z равно 2z (такой случай встречается прн
аберрации типа комы третьего порядка, когда штрихи направлены
параллельно меридиональной плоскости), выражение для ЧКХ
принимает вид
<х-73)
3. Для чистой комы третьего порядка / (?) при указанном на-
правлении штриха имеет вид
/(г) = Ig * 1 + ~ Л (Х.74)
что вытекает из выражения для освещенности Е в точках 6g', 6G',
а именно [4]:
£ — —___________1____________
“ d(t>g')d(6G') d(6g')d(6G') ’
dm" дМ' дМ‘ dm'
Если подстааить в эту формулу выражения для 6g' и 6G'
через т' и М', получаем для Е выражение, пропорциональное
'а ~~зЛ1’а ;заменяя обратно т' и М' через 6g' и 6G', оконча-
тельно получаем
Е (6g', 6G') 1 .
' —3«G'*
Переход от освещенности в точке к потоку вдоль вертикальной
полосы приводит к формуле (Х.74) для f (z).
Полученная для комы третьего порядка функция f (z) =
= Ig 1 ~ 2 может быть заменена с небольшой погрешностью
кривой в виде сторон равнобедренного треугольника, соответ-
ствующая Л (7?) может быть написана в виде , где zin —
абсолютное значение абсцисс точек пересечения прямых, наиболее
близких к кривой f (z).
4. Случай дефокусировки при квадратном зрачке представляет
особый интерес по той причине, что для него К (7?) может быть
рассчитана точно по простым формулам как для дифракционного
варианта, так и для геометрического. Как было показано иа стр. 641,
для дифракционного варианта ЧКХ определяется по формуле
sln ^-аА(2 —А)
—- <х-75)
650
где 2а — волновая аберрация на концах диагонали пятна рассея-
. bR
ния; Л = .
п sin ит
Эту формулу легко привести к виду
sin 2nzR (1--
К(Л) =---------; (х75*)
л г» г» 2n' sin и
где 2г —размер пятна рассеяния; R—частота; Rnped ~ ------j----’
Геометрический вариант относится, очевидно, к случаю,
когда / (г) постоянна в пределах от — zm до -rzm, и, следовательно,
можно воспользоваться приведенной на стр. 649 формулой
sin 2nRzm
2nRzni
Сравнивая формулы для обоих вариантов, мы видим, что они
отличаются лишь множителем — "rW который равен
единице для нулевой частоты и постепенно уменьшается прн
„ „ ~ 2л' sin и'
увеличении частоты R, достигая нуля прн R Rnpe^, т. е.-.
Этот простой пример не следует обобщать для любых случаев,
но он дает некоторое представление о том, насколько различаются
значения ЧКХ при дифракционном и геометрическом рассмотре-
нии. Чем дальше частота R от нуля, тем больше друг от друга
отличаются значения ЧКХ.
Вычисление ЧКХ аподизироваиных оптических систем
Аподизация оптических систем имеет целью изменение распре-
деления энергии в изображении точки, штриха или иной фигуры
либо для увеличения разрешающей силы системы, либо для умень-
шения фона вокруг изображения. Это достигается введением ампли-
тудных, нли фазовых, или даже фазово-амплитудных фильтров,
изменяющих коэффициент прозрачности и фазу колебаний на
входном зрачке по определенному закону.
Для оценки результатов аподизации удобно пользоваться
ЧКХ, так как она дает наглядную картину разрешающей силы,
точнее — яркости фона при различных частотах.
При вычислениях по первому методу (случай малых волновых
аберраций) аподизация вводится посредством множителя т (коэф-
фициентов прозрачности), зависящего от положения точки пере-
сечения луча на входном зрачке (или на сфере сравнения). Фаза
может быть учтена добавлением к волновой аберрации прираще-
ния оптического пути лб, вытекающего нз принятого для
651
аподизации закона изменения фазы. Таким образом, в отлнчие
от формулы (Х.61) нужно писать
С = j j т (pV) т (р — Лр', V — Xv) cos k [jV (pV) + n6 (p'v ) —
— Л/ (P - -/.|i , 7 — av ) — n6 (p — Лр , у — av ) dp dy ], (X.76)
где k = 2л, и аналогично для S (с заменой cos на sin).
При вычислениях по второму методу (случай больших волно-
вых аберраций, интегрирование по зрачку) достаточно применить
вышеуказанный прием введения для каждого элемента ds мно-
жителя т (р'у'), соответствующего этому элементу.
При вычислении по третьему методу (случай больших волновых
аберраций, интегрирование по изображению) при подсчете числа
точек п необходимо учесть «удельный вес» каждой точки, вводя
множитель т, соответствующий тому элементу площади зрачка
(илн идеальной сферы сравнения), через который проходит рас-
сматриваемый луч.
В заключение отметим, что предложенная здесь единообразная
методика расчета ЧКХ для всех трех рассматриваемых случаев
разработана специально с учетом свойств ЭВМ, позволяющих
свести работу к наиболее простым логическим схемам н привести
к минимальной продолжительности расчета. Вместе с тем, тре-
буется еще большая работа по доведению этой методики до опти-
мального состояния н по определению нанлучших условий (выбор
числа точек, определение ширины полос и т. д.) в связи с желаемой
степенью точности определения ЧКХ.
ЧКХ с учетом хроматической аберрации
До снх пор ЧКХ рассматривалась в предположении, что свет
монохроматичен. Однако дисперсия стекла, вызывающая появле-
ние хроматических аберраций, влияя на распределение световой
энергии в пятне рассеяния, тем самым влияет и на значение ЧКХ,
причем это влияние направлено в сторону ухудшения ее, поскольку
аберрации в системе, как правило, больше для лучей, длина
волны Л которых отличается от основной Ло.
При распространении понятия ЧКХ на широкую спектральную
область встает вопрос о законности этого обобщения. Следует
выяснить, является ли изображение синусоидальной решетки
также синусоидальным. Условие синусоидальности связано с усло-
вием изопланатизма; последнее требует неизменности картины
изображения точки при изменении положения объекта; это при-
водит к необходимости выполнения условия постоянства увеличе-
ния прн изменении длины волны, т. е. к необходимости исправле-
ния хроматической аберрации увеличения всех порядков.
В дальнейшем будем полагать, что это условие выполнено.
Как в разделе о монохроматическом источнике света, рационально
652
рассмотреть два случая: 1) волновые аберрации не превышают
одной-двух волн; 2) волновые аберрации превышают несколько
длин волн.
Случай, когда волновые аберрации не превышают нескольких
длин воли. Применить ранее изложенную методику с использо-
ванием формул (Х.61) здесь нельзя, так как она относится лишь
к монохроматическому излучению. Удобный прием расчета ЧКХ
с учетом хроматической аберрации был предложен Д. Ю. Галь-
перном [7].
Изложим основы метода Д. Ю. Гальперна и приведем чис-
ленный пример для случая, когда система идеально исправлена для
основной длины волны нв предположении, что входной зрачок
представляет собой квадрат.
Предположим, что распределение удельной спектральной
светности в плоскости предмета задано уравнением
El = Е„1 4- cos 2лRy, (X. 77)
где Ео^ — энергетическая освещенность равномерного фона, соот-
ветствующая длине волны X; — амплитуда колебания осве-
щенности в плоскости предмета вдоль оси 0Y, проходящей через
точку на оси; R — частота решетки, т. е. число периодов решетки,
укладывающихся на 1 мм длины; у — координата точки.
В плоскости изображения распределению светности, задавае-
мому равенством (Х.61), соответствует распределение
Ei = E^i + E^cos (2sR у' +
где — фаза, соответствующая смещению штрихов (равная
нулю, если поверхность волны симметрична относительно оси).
Напомним, что ЧКХ есть отношение контраста изображения
к контрасту объекта, причем под контрастом k подразумеваются
следующие величины:
контраст объекта
__ Е\ max — Efl. mln _ .
Ед. шах + Ед, min •Е'оХ ’
контраст изображения
Поскольку световые колебания, принадлежащие разным спек-
тральным областям, некогерентны между собой, освещенности на
изображении, соответствующие определенной частоте R', склады-
ваются и можно писать
а, х,
Ex = j ТхЕол dk J Tancos (2xRy + фа) dk,
653
D
где положено у' = yfi; Rf — -g- (р — линейное увеличение опти-
ческой системы); тх — спектральная чувствительность приемника.
Обозначим через Ео; тогда
л,
Е>. = Еоь 4- cos 2nR у' ( т>А cos <рл dl — sin 2nR у J тЛЕЛ sin <рк dK =
--= Ео 4- Е'к cos (2лЕ X 4- 0),
где
Ел = J (nExCostpxdX)2 4- J (rxExsln
Ла
j тл£л s>n *₽л^
= -------------
(Х.78)
Контраст в изображении равен k' (R) = С другой стороны,
Е0
как было указано выше, ЧКХ Кл (R) в монохроматическом свете
по определению равна
^(R) =
Е>. ЕЛ
ЪЛЯ) Ек е'л ’
откуда
Но освещенность изображения равномерного фона связана
с освещенностью фона в пространстве объектов соотношением
ЕОЛ __ s‘n ит ~ __ Тл
Еол “ sin2 ит ~ &2 п'2 *
" п2
где — коэффициент пропускания всех сред по лучу для данной
длины волны К.
Отсюда следует
654
Подставляя это выражение Е\ в формулу (Х.78) и переходя к фор-
муле для полихроматической ЧКХ, получаем
K(D\ - fe'W _ £*(/?) Ер _ _
k(R) ~ ^E(R) P
(Я) E^cos (рх dX + j (Я) Ex Sin <(^dK
. (X.79)
j
В этом выводе предполагалось, что п и п' для всех длин волн
постоянны, что справедливо, когда первая и последняя среды —
воздух.
В случае симметричных аберраций _последняя формула зна-
чительно упрощается; обозначим через произведение х^Ек&к,
тогда
х?*_
= ------- (Х.80)
j
£t
чрезвычайно простая формула, выражающая далеко не оче-
видный результат, что полихроматическая ЧКХ представляет
среднюю взвешенную от всех цветных ЧКХ. Весовой коэффициент
есть спектральный коэффициент чувствительности приемника.
Если приемник одинаково чувствителен ко всем длинам волны,
полихроматическая ЧКХ оказывается равной средней арифме-
тической от всех монохроматических.
Д. Ю. Гальперн 17] применяет предложенную им методику
к следующему примеру. Рассматриваются два длиннофокусных
(F = 500 .чл<) объектива с относительным отверстием 1 : 10; пер-
вый — обычный ахромат, второй — апохромат из специальных
сортов стекла. Оба объектива предполагаются идеально исправ-
ленными в отношении сферической аберрации для всех длин волн
(что при выбранном относительном отверстии весьма близко к дей-
ствительности). Входной зрачок объективов предполагается ква-
дратным, благодаря чему вычисление ЧКХ может быть выполнено
по простой формуле вида
гг i sin [ля (2 sin u'— AJ?) Д(Х)| /Y ян
КДЮ = -г----------Sin и'------------’ (Х-81)
где Д (А,) — продольная хроматическая аберрация лучей с длиной
волны X.
655
Частота R выбрана такая, что она соответствует пределу раз-
решения двух объективов прн круглом зрачке в 50 мм\ основная
длина волны принята равной = 0,580-10 "3 мм-, приемником
служит сетчатка глаза, поэтому — спектральная чувстви-
тельность глаза.
Величина К (R), т. е. ЧКХ безаберрацнонной системы с при-
емником, имеющим одинаковую спектральную чувствительность
для всех длин волн, равна 0,22. Для полуапохромата и
ахромата с хроматической аберрацией ДХ (табл. Х.4) К (R) равна
соответственно значениям 0,20 и 0,17. Если в качестве приемника
принять сетчатку человеческого глаза или любой приемник с та-
кой же спектральной чувствительностью, получаем для полу-
апохромата 0,20, для ахромата 0,16. Таким образом, все рассмо-
тренные здесь полихроматические ЧКХ очень мало отличаются
от ЧКХ идеального объектива и можно было бы сделать вывод,
что даже в таких длиннофокусных системах, какие рассматрива-
лись здесь, хроматическая аберрация, точнее — вторичный спектр,
практически не сказывается.
Таблица Х.4
ж Полуапо- хромат с Д (X) . Ахромат 1 с Д (X) * * А Полуапо- । хромат 1 с Д (X) । Ахромат j с Д w * к ж я Полуапо- хромат с Д(Х) Ахромат с Д (М
0,440 0,17 0,67 0,520 0,01 0,00 0,600 0,04 0,04
0,460 0,10 0,35 0,540 0,00 0,02 0,620 0,08 0,09
0,480 0,06 0,24 0,560 0,00 0,01 0,640 0,14 0,16
0,500 0,03 0,09 0,580 0,00 0,00 0,660 0,22 0,27
Однако следует учесть то обстоятельство, что в статье
Д. Ю. Гальперна [7] значения ЧКХ для различных объективов
и приемников рассчитаны для периода р, весьма близкого к пре-
дельно возможному. Как было отмечено выше, ЧКХ как для малых
частот, для которых она равна единице, так и для предельно
больших при наличии сколь угодно больших аберраций стре-
мится к одному и тому же пределу, и в этом отношении вывод
о малом влиянии хроматической аберрации не очень убедителен.
Было бы желательно повторить, проделанные в статье 171 вычис-
ления для периода р, примерно равного половине предельно
разрешаемого, так как именно здесь наблюдается наибольшее от-
ступление от того, что дает идеальная оптическая система.
Случай, когда аберрации великн. Прием, изложенный выше,
вполне пригоден для систем с большими аберрациями, поскольку
в выводах Д. ГО. Гальпериа не ставится никаких ограничитель-
ных условий относительно природы распространения света (можно
исходить и из дифракционной теории света, и из геометриче-
ской).
656
Однако в случае больших аберраций имеет смысл, главным
образом в целях контроля, применить прием, описанный выше
для случая больших аберраций в монохроматическом свете;
только нужно добавить расчет ряда пучков для различных спек-
тральных областей (не менее 5—8) с учетом коэффициентов удель-
ной спектральной светностн источника света, пропускания опти-
ческих сред и спектральной чувствительности приемника. Имея
картину общей освещенности Е от всех элементарных спектраль-
ных областей в виде точек разных весов, заполняющих плоскость
изображения, отсчитывают количество «взвешенных» точек по
полосам, делящим изображение, и производят гармонический
анализ кривой зависимости потока от положения полосы.
Некоторые полезные формулы для вычисления ЧКХ
в области геометрической оптики
Приводится ряд формул, вывод которых ие представляет за-
труднений. Зрачок предполагается круглым.
1. Случай дефокусировки:
fc’/px _ 2Л (2лгЯ)
Л W— 2лгЯ ’
где J х — функция Бесселя первого рода; г — радиус пятна рас-
сеяния L8).
2. Аксиально симметричная функция рассеяния типа ядро—
ореол (предполагается, что и ядро и фон равномерны):
А(К)—р 2л/,^ + (1 * Р) 2лгаЯ ’
где гг — радиус ядра; г2 — радиус ореола; р — доля всей энер-
гии, попадающая в пределы ядра [9].
3. Формула для перехода от ЧКХ к контрасту при мире Фуко
в случае симметричного распределения освещенности:
кп=4- w - 4-к <3/г> + 5 * —] •
8. О НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ СПОСОБАХ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
ИЗОБРАЖЕНИЯ, ДАВАЕМОГО ОПТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Из числа приемов, применяемых в научной фотографии для
оценки качества изображения, даваемого оптическими приборами,
довольно широко распространен метод, согласно которому опре-
деляется скорость падения освещенности изображения прямоли-
нейной границы светлого поля в направлении, перпендикулярном
этой границе. Эта скорость связана с распределением света в кар-
тине изображения следующим образом. Пусть граница поля
совпадает с осью Z; О (у, z) = 1, если у 0.
42 Г. Г. Слюсарев 657
Имеем
-j-oo -f-oo
I(y', z')= J J A(y' — y, z' — z)dydz = fS(y' — y)dy,
0 — 00 0
где
S(y')= j \E(y', z')|W = 44 Щ?', y’)\2dy',
причем
И/. </) = p(₽'. v')*(—WX
Более подробный вывод можно найти у Марешаля н Фран-
сона [10] на стр. 75—78. Напомним, что F — распределение
комплексной амплитуды по зрачку. Как видно из приведенных
формул, определеине контраста границы поля требует вычисления
двух простых интегралов и одного преобразования Фурье и пред-
ставляет большие вычислительные трудности.
Одним из наиболее распространенных является критерий
качества изображения, основанный на оценке отличия фактиче-
ского распределения световой энергии в изображении от идеаль-
ного. Пусть О (у, г) — распределение яркостей на объекте;
Г (0//, 0z) — распределение освещенности на изображении. При
идеальной оптической системе и отсутствии дифракции соблю-
дается точно равенство
I' (₽//. fc) = kO (у, г),
где k — некоторый постоянный множитель. Присутствие абер-
рации, дифракции и других возможных дефектов оптической
системы приводит к тому, что указанное равенство нарушается н
/'(to, ₽z) — kO(y, z) = e(fe, Pz).
Критерием качества изображения в некоторой области S,
ограниченной контуром f (у, z) = 0, является функция Д, пред-
ставляющая суммы квадратов указанных отступлений, а именно
A = ajJe8(P$/, fiz)dydz,
где а — некоторый множитель, подлежащий нормировке.
Применение этого критерия в общем случае практически не-
возможно, да и не представляет большой ценности, так как не
поддается простому толкованию; оно может принести пользу,
когда объект имеет простую форму: небольшое число линий, си-
стема клеток и т. д. Преимущество такого критерия заключается
в том, что он характеризует качество воспроизведения объекта
одним числом, что иногда бывает желательно; область распростра-
нения критерия произвольна, что также ценно. Однако вычисле-
ние значения этого критерия настолько трудоемко, что навряд ли
658
ои найдет место среди определяемых заранее (до изготовления
оптической системы) критериев качества.
Отметим еще одни простой н наглядный, хотя и имеющий лишь
ориентировочное значение, критерий, основанный на рассмотрении
кривых равных волновых аберраций, отнесенных к зрачку (кар-
тины, подобные тем, какие получаются с помощью интерферометра
Тваймана). Кривая, соответствующая волновой аберрация
дает довольно ясное представление о порядке величины разреша-
ющей способности системы в разных направлениях; предпола-
гается, что картина равных волновых аберраций вычислена для
наилучшей плоскости установки. Предположим, например, что
кривая ~ имеет внд эллипса с длиной осей 2а н 2Ь, причем боль-
шая ось перпендикулярна меридиональной плоскости. Пусть а>'а
и ы’ — углы, под которыми а и b видны из изображения точки.
Тогда можно считать, что наименьшее разрешаемое расстояние
в обоих направлениях равно соответственно
О.бХ О,6Л
Zj -= ——т-, .
sin (оа sm со&
Поскольку фон, возникающий от зон зрачка, находящихся
вне рассматриваемой кривой, учесть без серьезных вычислений
нельзя, его влияние трудно оценить; в большинстве случаев можно
считать этот фон равномерным, пропорциональным площади части
зрачка, на которой волновые аберрации больше 0,5—IX, и обратно
пропорциональным площади кружка рассеяния, вычисляемого
на основании расчета хода лучен.
Для определения площади зрачка, внутри которой волновая
аберрация N меньше ~, можно использовать то обстоятельство
что малые аберрации обычно вызываются членами третьего по-
рядка малости. Уточнение требуется лишь для астигматизма
(и кривизны) в случае, когда оптическая система широкоугольна;
тогда лучше заменить величины астигматизма и кривизны, полу-
ченные на основании коэффициентов 5ш н SIV, величинами,
вытекающими из расчета хода бесконечно тонких астигматических
пучков.
Для определения на зрачке контура, иа котором N =
следует использовать формулы, дающие значения /V как функции
от координат на зрачке и коэффициентов Зейделя Sb Sn, . . ., Sv
(для широкоугольных систем нужно учесть указанное выше за-
мечание). Эти формулы легко получить, исходя нз соотношений
6g' dN 6G' dN
= -у; —~ где у и z — координаты точки пере-
сечения луча со сферой сравнения, радиус которой равен г. Если
42* 659
относительное отверстие системы н наклон главного луча не
очень велики и сфера сравнения проходит через центр выходного
зрачка, т. е. г = s' — х', можно считать, что у' = т' н z' — АГ.
Переходя путем интегрирования от поперечных аберраций к вол-
новым, получаем
N(т', М’) = (и- +4™-'‘>г Si + (т'г + М'г)т' igWjSn +
+ *g2 ®i (38ш + SIV) + tg2 ш, (S„, 4- SIV) 4- m' tg3 aijSy.
Рис. X.27
Если известны коэффициенты Si, . . Sv, то для заданного угла
поля легко получить кривую / (m', ЛГ) = которая огра-
ничивает полезную область зрачка.
Для облегчения довольно трудоемкой работы по определению
контура f(mf, М') приводим четыре рисунка семейств кривых
постоянных волновых аберраций N (т', М') — С — 0 для сле-
дующих случаев:
1) прн наличии сферической аберрации третьего порядка
(рнс. Х.26);
2) прн наличии комы третьего порядка (рис. Х.27);
660
3) при наличии астигматизма третьего порядка (рис. Х.28);
4) при наличии комы, астигматизма третьего порядка и дефо-
кусировки (рис. Х.29).
ЛИТЕРАТУРА
1. Слюсарев Г. Г. Изд. АН СССР, Сер. матем. и естеств. наук, 1937,
Хе 6.
2. К р и л о в А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. Изд. 2-е. Л.,
АН СССР, 1933.
3. Buxton A. Monthly notices of the Royal Astronomical Society, vol. 81,
1921.
4. Слюсарев Г. Г. Геометрическая оптика. М. — Л., АН СССР, 1946.
5. Born М., Wolff Е. Principles of Optics. London, New Jork. Paris,
Los Angeles, Pergamon Press, 1959.
G. Тудоровский А. И. Теория оптических приборов. Т. 1. Изд.
2-е. М. — Л., АН СССР, 1948.
7. Гальперя Д. Ю. Опт.-мех. пром., 1964, № 9.
8. Н о р k i п s Н. Н. Proc. R. Soc., А231, 91, 1955.
9. J е п е s s J. R. Appl. Optics, 5, 421, 1966.
10. Мареш а ль А., Франсов M. Структура оптического изображе-
ния. M., изд-во «Мир», 1964.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................... 3
Глава I. Расчет хода лучей через центрированные оптические си-
стемы из сферических поверхностен ................................ 5
1. Введение .................................................. —
2. Расчет хода луча в меридиональной плоскости ............... 6
Обозначения и знаки.......................................... —
Формулы ..................................................... 7
Параксиальные лучи .......................................... 8
Основные формулы ......................................... —
Формулы для расчета хода параксиального луча через систему
бесконечно тонких соприкасающихся линз................... 10
Соотношения, связывающие координаты двух параксиальных
лучей .................................................... —
Определение кардинальных точек оптической системы по коорди-
натам двух произвольных параксиальных лучей.............. 11
Расчет хода лучей по Смиту.................................. 13
3. Расчет хода лучей в пространстве ......................... 17
Расчет хода лучей в пространстве с помощью формул аналитической
геометрии ................................................... —
Расчет косого луча через отражающую поверхность второго по-
рядка ...................................................... 22
Формулы Федера.............................................. 24
Расчет хода луча через сферическую поверхность............ —
Расчет хода луча через поверхность второго порядка....... 27
4. Бесконечно тонкие астигматические пучки .................. 30
Определения.................................................. —
Формулы Аббе—Юнга для определения положения астигмати-
ческих фокусов ............................................. 31
Случай одной преломляющей поверхности .................... —
Случай нескольких центрированных поверхностей............ 33
662
5. Разностные формулы......................................... 36
Разностные формулы для сферической аберрации.................. —
Разностные формулы для внеосевых пучков...................... 40
Разностные формулы для волновой аберрации.................... 43
6. Некоторые формулы преломления ............................. 45
7. Отражение от сферических поверхностей ...................... —
8. Техника вычислений. Ошибки и их нахождение................. 46
Глава П. Теория аберраций центрированной оптической системы 48
1. Аберрации монохроматических лучей........................ —-
Гауссова теория изображения и эйконалы........................ —
Общий вид выражений для аберраций третьего порядка........... 53
Уравнение поверхности волны ................................. 56
Каноническая форма уравнения поверхности волны............... 59
Изображение точек при наличии аберраций ..................... 61
Сферическая аберрация...................................... 63
Кома....................................................... 66
Астигматизм и кривизна поля ............................... 68
Дисторсия ................................................. 73
Комбинированные аберрации ................................. 75
Определение коэффициентов аберраций третьего порядка центри-
рованной оптической системы................................. 79
Выражения сумм S через коэффициенты b....................... —
Определение коэффициентов b_t, b0, blt bt. b9, b4.......... 83
Вычисление коэффициентов b для одной сферической поверх-
ности .................................................... 85
Выражения сумм S через радиус, показатели и увеличения тит' 87
Выражения сумм S через аир.................................. —
Выражения сумм S через s и х............................... 91
Две формулы Зейделя ....................................... 93
Выражения сумм S после исключения величины Qx.............. 96
Частные случаи............................................. 98
Пример вычисления сумм S для фотографического объектива 100
Выражения сумм S после исключения величин у............... 101
Влияние перемещения входного зрачка на аберрации третьего
порядка ................................................. 104
Влияние положения предмета на аберрации третьего порядка . 105
Аберрации третьего порядка центрированных систем с несфериче-
скими поверхностями ....................................... 106
Отступление от отношения синусов и кома..................... 112
663
Применение формул для аберраций третьего порядка к частным
случаям.................................................... 128
Простая, бесконечно тонкая линза.......................... —
Влияние формы простой лннзы иа величины Р и W........... 137
Апланатические точки преломляющей поверхности.......... 139
Афокальный мениск конечной толщины........................ —
Аберрации высших порядков.................................... 140
Приближенные способы вычисления аберраций пятого и более
высоких порядков .......................................... 146
Сферическая аберрация высших порядков тонких склеенных
систем ................................................... —
Сферическая аберрация высших порядков систем значительной
длины .................................................. 147
Интерполяционный метод вычисления коэффициентов аберра-
ций высших порядков..................................... 148
Аберрации высшего порядка для точек, ие лежащих на оси си-
стемы .................................................. 150
Сложение аберраций .......................................... 151
2. Хроматические аберрации.................................... 153
Зависимость показателя преломления от длины волны............. —
Классификация хроматических аберраций...................... 169
Хроматическая аберрация положения ........................... 170
Хроматическая аберрация увеличений .......................... 175
Хроматическая аберрация высших порядков...................... 184
Вторичный спектр илн остаточная хроматическая аберрация поло-
жения ....................................................... —
Двухлинзовые объективы ................................... 185
Вычисление величины вторичного спектра для любой спектраль-
ной области............................................. 188
Вторичный спектр сложных систем .......................... 193
Устранение вторичного спектра ............................ 194
Трехлинзовые системы ..................................... 196
Хроматическая разность сферических аберраций ............... 197
Хроматическая разность увеличений высших порядков........... 204
Зависимость хроматических аберраций от положения предмета и
входного зрачка .......................................... 205
Хроматическая аберрация положения ....................... —
Хроматическая разность увеличений ....................... 207
Вычисление хроматических аберраций кардинальных точек . . . 209
3. Вычисление аберраций тригонометрическим путем и их графиче-
ское представление ............................................ 211
Аберрации для точки на оси (о» = 0)....................... 212
664
Техника Вычисления производной от / (sin и')................. 214
Степень применяемости упрощенной формулы для комы........... 215
Аберрации для точки вне оси (ш =£ 0) ...................... 216
Аберрации главных лучей и бесконечно тонких пучков, направ-
ленных вдоль этих лучей...................................... 218
Выбор плоскости иаилучшего изображения ...................... 220
Контроль результатов расчетов ............................... 221
4, Сводка важнейших формул ................................... 224
Формулы, связывающие координаты двух произвольных паракси-
альных лучей, проходящих через одну и ту же оптическую систему —
Формулы для проекций поперечных аберраций третьего порядка в
переменных хн s.............................................. 225
Аберрации в переменных а.................................. 226
Разложение аберраций по координатам на выходном зрачке . . . 227
Влияние асферичности поверхностей ........................... 228
Телескопические системы ................................... 229
Изменение сумм при перемещении предмета и входного зрачка . . —
Вычисление комы на основании отступления от отношения синусов 230
Аберрации третьего порядка простой бесконечно тонкой линзы 231
Определение коэффициентов сферической аберрации высших
порядков на основании тригонометрического расчета хода лучей 234
Хроматические аберрации...................................... 235
Глава III. Аберрации третьего порядка систем из бесконечно тон-
ких линз........................................................... 240
I. Аберрации третьего порядка бесконечно тонкого компонента . . —
2. Хроматические аберрации..................................... 246
Хроматическая аберрация положения ............................. —
Хроматическая разность увеличений ............................. 247
Величина С/ в простейших компонентах .......................... 248
3. Теория основных параметров.................................. 249
Основные параметры бесконечно тонкого компонента............... 251
Некоторые свойства бесконечно тонких компонентов, вытекающие
из теории основных параметров ............................... 258
Устранение сферической аберрации бесконечно тонкой системы
для нескольких положений предмета .......................
Обращение хода луча в бесконечно тонкой системе. Аберрации
третьего порядка цри обращении хода .................. 259
Случай, когда л и л' ие равны единице.................. 260
4. Основные параметры в простейших оптических системах . . . 261
5. Афональные бесконечно тонкие компоненты ............... 266
Двухлинзовые бесконечно тонкие компоненты ................ 267
665
Предел коррекционных возможностей афокальных бесконечно
тонких компенсаторов и способы их расширения................ 269
б. Сводка основных формул.................................... 270
Аберрации третьего порядка бесконечно тонкого компонента ... —
Основные параметры бесконечно тонкого компонента............ 271
Основные параметры бесконечно тонкой простой линзы.......... 272
Афокальные бесконечно тонкие компоненты ...................... —
Глава IV. Влияние изменения температуры на изображение, даваемое
оптическими системами............................................. 273
1. Введение..................................................... —
2. Термооптические аберрации при отсутствии градиента температуры 274
Изменение фокусного расстояния бесконечно тонкой линзы . . . 275
Системы с большими воздушными промежутками.................... 277
Коэффициент V оптических стекол .............................. 280
3. Влияние температурного градиента стекла на качество изобра-
жения ......................................................... 285
Изменение формы оптической детали и вызванное им отклонение
луча........................................................ 286
Отклонение луча под влиянием градиента в предположении, что
форма поверхности не изменилась............................. 288
Некоторые частные случаи ................................... 291
Несимметричное распределение градиента..................... —
Распределение градиента, симметричное вокруг оптической оси 293
4. Сводка основных формул ................................... 295
Случай, когда градиент температуры отсутствует................ —
Влияние температурного градиента ........................... 296
Глава V. Предварительный расчет конструкций оптических систем 298
1. Введение..................................................... —
2. Основания для габаритного расчета оптических систем......... —
3. Параметры оптической системы ............................. 299
4. Соотношения между внешними элементами оптических систем
и требованиями, предъявляемыми к оптической характеристике
системы........................................................ 300
5. Различные конструкции оптических систем, состоящих из тонких
компонентов и оборачивающих призм......................... 304
Оптические системы из двух компонентов........................ —
Оборачивающие призмы ....................................... 305
Качающиеся призмы .......................................... 311
666
Оптические системы с обрачивающими системами линз.......... 312
Земные зрительные трубы с одной оборачивающей системой . . —
Перископы (с одной или несколькими оборачивающими систе-
мами) ................................................... 314
б. Оптические системы, не входящие в перечисленные группы . . . 322
7. Предварительные данные об аберрациях наиболее часто приме-
няемых компонентов оптических систем.......................... 323
Простые линзы.............................................. 324
Двухлинзовые склеенные системы ............................ 325
Трехлинзовые склеенные комбинации ........................... —
Несклеенные двухлинзовые системы........................... 326
Несколько бесконечно тонких линз, разделенных бесконечно ма-
лыми воздушными промежутками .............................. 327
Окуляры................................................... 329
Г л а в а VI. Методика расчета оптических систем ................ 334
1. Введение.................................................... —
2. Основные уравнения алгебраического метода ............... 336
Составление уравнений, их решение......................... 337
Выбор аберраций, подлежащих исправлению.................... 340
Исправление кривизны изображения ........................ 342
Исправление астигматизма ................................ 344
Исправление аберрации по отдельным компонентам.......... 345
Определение свободных членов аберрационных уравнений . . . 347
Решение уравнений и определение конструктивных элементов
в первом приближении....................................... 348
Второе приближение. Учет толщин и аберраций высших порядков 351
Определение толщин линз ...................................... —
Толщина как средство исправления аберраций .............. 353
Переход к системе с конечными толщинами линз............. 355
Вычисление конструктивных элементов системы.............. 360
3 Тригонометрический контроль .............................. 361
Сферическая аберрация...................................... 363
Кома ...................................................... 364
Астигматизм и кривизна изображения......................... 367
Дисторсия.................................................. 368
Хроматическая аберрации положения ......................... 369
Хроматическая разность увеличений ........................... —
4. Численные значения аберраций наиболее распространенных кате-
горий оптических систем.................................. . 371
5. Нахождение элементов окончательной системы ............. 375
667
Глава VII. Методы автоматического расчета оптических систем 378
1. Введение.................................................... —
2. Программа для автоматического расчета двухкомпонентиых систем 381
3. Универсальные методы автоматического расчета.............. 386
Общие соображения ............................................ —
Метод Ньютона .............................................. 390
Первая модификация метода Ньютона........................... 399
Вторая модификация метода Ньютона........................... 414
Метод наименьших квадратов и его модификации................ 431
Методы минимизации функции качества......................... 438
Некоторые трудности, связанные с использованием метода Ньютона 446
Ускорение сходимости итерационного процесса путем вариации
направления................................................. 450
Пример автоматического расчета объектива для микроскопа . . . 455
4. Проблемы и перспективы автоматизации расчетов............. 4бб
Глава VIII. Основы расчета допусков в оптических системах . . . 471
1. Общие соображения .................................. —
2. Определение частных производных .......................... 472
3. Определение максимально допустимого отклонения отдельного
параметра....................................................... —
4. Определение значений допустимых отклонений при совокупном
действии всех параметров оптической системы................... 473
5. Влияние изменения параметров системы на аберрационные ха-
рактеристики ................................................... —
6. Децентрировка............................................. 481
7. Некоторые дополнительные соображения по вопросу допусков 499
8. Окончательное значение допуска ........................... 500
9. Уточнение системы допусков ............................... 502
10. Допустимая неоднородность оптических стекол.............. 503
И. Допустимое отклонение углов отражательных призм............ 506
12. Допустимое отклонение от плоскости для плоских отражающих
зеркал, нормаль к которым образует с осью угол i............ 509
13. Установление допусков на ошибки изготовления углов призм
и на пирамидальиость ....................................... 510
Глава IX. Асферические поверхности ............................... 520
А. Оптические системы, обладающие осью симметрии.................. —
I. Введение.................................................... —
668
2. Малые отступления от сферических поверхностей............. 520
Расчет с помощью логарифмических таблиц....................... —
Деформирование поверхности.................................. 525
3. Точный расчет хода лучей через поверхности второго порядка
с помощью таблиц логарифмов ................................. 526
4. Ряды, определяющие меридианное сечение асферических поверх-
ностей, и их обращение ...................................... 529
5. Расчет хода лучей на ЭВМ.................................. 531
6. Расчет бесконечно тонких астигматических пучков........... 532
7. Расчет астигматического пучка для слегка деформированных
поверхностей ................................................ 538
8. Децентрированные поверхности второго порядка ............. 540
9. Расчет центрированных систем, содержащих несферические
поверхности, в области аберраций третьего порядка............ 542
10. Исправление аберраций высших порядков деформацией пре-
ломляющих (отражающих) поверхностей ......................... 545
11. Вычисление волновых аберраций ............................. —
Вычисление волновой аберрации для точки иа оси.............. 549
Вычисление волновой аберрации для точки вне оси............. 552
Правило знаков для волновой аберрации . .................... 553
12. Деформирование одной поверхности ........................ 554
13. Деформирование двух и более поверхностей................. 556
14. Случай трех и более деформированных поверхностей ....... 559
15. Применение дифференциальных уравнений для расчета оптиче-
ских систем с несферическими поверхностями .................... —
Случай одной отражающей поверхности........................... 560
Преломляющая поверхность ..................................... —
Апланатическая система двух зеркал. .......................... 563
16. Применение торических поверхностей в оптических системах . . 568
17. Сводка основных формул .................................... 572
Б. Аиаморфоты ................................................... 574
18. Введение.................................................... —
19. Гауссова оптика анаморфотов ............................... 576
20. Аберрации третьего порядка анаморфотов .................... 580
21. Вычисление дополнительного члена ........ 584
Глава X. Оценка качества изображения............................. 596
1. Введение.................................................... —
2. Геометрический и физический луч............................. 598
669
3. Распределение энергии в изображении точки.................. 606
4. Изображения, симметричные относительно оси................. 612
Дефокусировка идеальной оптической системы с круглым зрачком —
Вычисление распределения энергии в пятне рассеяния, вызывае-
мом дефокусировкой, при круглом зрачке...................... 613
Распределение освещенности при произвольных аберрациях . . . 615,
5. Преобразование Фурье и его основные свойства............... 618
6. Передача пространственных частот .......................... 621
Некогеремтное освещение...................................... 622
Частотно-контрастная характеристика при наличии аберраций 623
Влияние малых аберраций на ЧКХ .............................. 625
Переход к случаю больших волновых аберраций............... 627
Вычисление ЧКХ для точки на оси при малых pdg'............... 630
Когерентное освещение....................................... 631
7. Методика численного определения ЧКХ........................ 634
Случай малых аберраций, не превышающих нескольких длин волн —
Вычисление ЧКХ для очень малых частот........................ 643
Вычисление ЧКХ в случае больших волновых аберраций (геометри-
ческое приближение) ........................................ 646
Вычисление на ЭВМ ........................................... 648
Некоторые простейшие случаи вида кривой п = f (z)............ 649
Вычисление ЧКХ аподизированных оптических систем............. 661
ЧКХ с учетом хроматической аберрации......................... 652
Случай, когда волновые аберрации не превышают нескольких
длин волн........................................... 653
Случай, когда волновые аберрации велики .................. 656
Некоторые полезные формулы для вычисления ЧКХ в области
геометрической оптики ....................................... 657
8. О некоторых других способах оценки качества изображения,
даваемого оптическими системами.............................. —
Георгий Георгиевич Слюсарев
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Редактор издательства Т. С. Васильева
Переплет художника Б. П. Седова Техни-
ческий редактор А. А. Бардина. Коррек-
торы 3. П. Смоленцева и М. С. Шмуклер
Сдано в производство 7/1 ( 1969 г. Подпи-
сано к печати 19/IX 1969 г. Формат бу-
маги 60x90 Vie- Печ. л. 42 Уч,-изд. л. 37,2
Тираж 8000 экз. Заказ 108. Цена 2 р. 15 к.
М-15847.
Ленинградское отделение издательства
«МАШИНОСТРОЕНИЕ», Ленинград, Д-65,
ул. Дзержинского. 10
Ленинградская типография № 6 Главполи-
графпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР, Ленинград, С-144,
ул. Моисеенко, 10