/
Text
АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
А.М. ЖУРАВСКИЙ
СПРАВОЧНИК
ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ
ФУНКЦИЯМ
А К Л ДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
' ОТДЕЛЕНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК — ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ ‘
А. М. ЖУРАВСКИЙ
СПРАВОЧНИК
ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ
функциям
.ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СОЮЗА ССР
МОСКВА 1941 ЛЕНИНГРАД
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современная теория эллиптических функций создалась в результате
совместной работы выдающихся математиков XIX в. Систематическое
исследование эллиптических интегралов было начато Лежандром еще
в конце XVIII в. Полученные результаты были им объединены в замеча-
тельной работе „Traite des fonctions elliptiques et des integrates Eulegriens“.
Здесь мы находим как полную теорию эллиптических интегралов, так
и практические методы их вычисления. Здесь же содержатся и таблицы
интегралов 1-го и 2-го рода, которые являются основными для вычислений
и в настоящее время.
Работы Лежандра послужили отправным пунктом исследований Абеля
и Якоби (Abel, Jacobi). Их идея рассматривать вместо эллиптического ин-
теграла обратную функцию привела к открытию эллиптических функций
и их двоякой периодичности. Абель рассматривает область эллиптиче-
ских интегралов и задачу их обращения как частный случай аналогичной
задачи для любой алгебраической функции.
Говоря о первых исследованиях по теории эллиптических функций,
нельзя умолчать о Гауссе (Gauss). Гаусс был первым математиком, рас-
сматривавшим эллиптические функции. Однако своих исследований он
не опубликовывал при жизни, и лишь много лет спустя после смерти
его исследования увидели свет. Развитие теории функций комплексного
переменного заставило в дальнейшем пересмотреть построения Абеля и
Якоби. Громадная роль выпала в этом деле Вейерштрассу. В его работах
теория эллиптических функций принимает ту законченную и совершенную
форму, в какой мы ее видим сейчас.
Вместе с ростом теории росла и расширялась область приложений.
Первоначальные приложения эллиптических функций к задаче колебаний
маятника распространились затем на задачи динамики твердого тела,
закрепленного в неподвижной точке, нашли себе место в теории гиро-
скопа идругих задачах механики. С развитием теории упругости эллип-
тические функции нашли себе применение к ее задачам. Максвелл исполь-
зовал эллиптические интегралы в своих работах по электричеству и
магнетизму. Изучение электрических плоских полей, встречающихся в ряде
задач электротехники, например в расчете электромашин, вопросы пло-
ского движения жидкости, ряд задач аэродинамики при их решении
нуждаются теперь в теории эллиптических функций. В настоящее время
теория эллиптических функций крепко внедрилась, в практику, и поле ее
приложений все расширяется.
Цель книги помочь инженеру использовать мощный аппарат теории
эллиптических функций и применить его на практике. В книге собраны
формулы и предложения, относящиеся к эллиптическим функциям, с крат-
кими пояснениями и примерами вычислений. Вычисления проводились по
возможности детально с тем, чтобы были видны все подробности вычис-
лительных операций.
В книге довольно значительное место отведено графическому материалу.
Здесь нами широко использован материал справочника Jahnke und Emde
„Funktionentafeln mit Furmelen und Kurven" (1933 г.). Графические изобра-
жения снабжены пояснениями. Графическое представление функций ком-
плексного переменного дает возможность наглядно проследить общий
характер их изменения.
В книге рассмотрен ряд задач, где находят свое приложение эллипти-
ческие функции. Этим ни в какой мере не исчерпываются огромные воз-
можности приложений эллиптических функций к задачам технического
характера, и приведенные задачи лишь служат примерами. В этих при-
мерах нашли свое отражение, между прочим, исследования акад. Б. Г. Га-
леркина и акад. А. Н. Крылова.
Много помог мне своими советами и указаниями акад. А. Н. Крылов,
за что я приношу ему мою глубокую благодарность.
А. Журавский
ГЛАВА I
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Эллиптический ий№Сграл. Эллиптическим интегралом называется
интеграл вида
(х,/Р(хГ)</х, (1)
где 7?(х, у) есть рациональная функция от х и у, а Р(х)—многочлен
третьей или четвертой степени.
Интегралы такого вида не могут быть, за исключением отдельных слу-
чаев, выражены через элементарные функции.
ДлЯ вычисления отдельных значений интеграла
h
р? (х, V~P(xj)dx (2)
а
приходится пользоваться таблицами, произведя предварительно преоб-
разование эллиптического интеграла к канонической форме.
§ 2. Эллиптический интеграл 1-го рода в канонической форме Лежандра.
Эллиптическим интегралом 1-го рода в канонической форме Лежандра
называется интеграл
С 7—....- (3)
Jy (1—%2)(1 — к2х2)
Величина к называется модулем интеграла.
Вычисление интеграла (3) не может быть произведено путем приведе-
ния его к простейшим функциям, так как он через них не выражается.
Определение значения интеграла
L-------1х.------ (4)
J У (1—х2)(1-/с2х2)
а
приводится к вычислению интеграла
I—............... (5)
J У (1 — X2)(l -/W)
о
так как
Ь ь а '
f dx Г dx . /• dx
I -.......... - I ,----------| .. . (6)
J V (1 — Х2)( 1 — к*х2) J У (1 — Х2)(1 - А2х2) J у (1 — х2)(1 — A=xs)
О
о
6 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
Подстановкой
х= sin ф
интеграл (5) приводится к виду
<р
F(y, k)= (7)
J у 1 — /с1 2 sm2 <Р
о
Верхний предел <р носит название амплитуды интеграла.
Интеграл
п f d(p
2 ) J — /с2 sin2 <р
(7')
называется полным эллиптическим интегралом 1-го рода.
Для краткости письма принято обозначение
Для различных значений амплитуды от Одо 90' и для значений модуля
7.<И составлены таблицы. В этих таблицах модуль к представляется
в виде
fc=sina ’ (8)
(угол а называют модулярным углом) и значения
Р (ф, а) =
(9)
даются для ряда значений а и $ в пределах от 0 до 90°.
Первые таблицы функции F(<p, а) были составлены Лежандром. В них'
даются значения F(<p, а) с десятью знаками после запятой для а и для <р
через 1°. Эти таблицы содержатся в сочинении Лежандра „Traite des Fonc-
tions elliptiques“, изданном в 1825 г. В виду чрезвычайной редкости этого
издания Пирсоном были изданы в 1934 г. таблицы (Tables of the complete
and incomplete elliptic integrals), представляющие фотографическое воспро-
изведение таблиц Лежандра. .
В распространенном справочнике Jahnke und Emde1 таблицы интёгралд
F(<p, а) дают значения интеграла с пятью значащими цифрами для значе-
ний ф от 1 до 90° через 1° и значений а от 5 до 90° через 5°.
Таблицы значений F(<p, а) даны также в книге В. П. Ветчипкина2
с шестью знаками после запятой.
Пользуясь этими таблицами, легко вычислить значение эллиптиче-
ского интеграла для данных значений а и <р. При этом, если значение д>
или а не содержится в таблице, приходится прибегать к интерполирова-
нию. Для различных таблиц это интерполирование приходится произво-
дить с тем или иным количеством разностей в зависимости от характера
таблиц.
1 Jahnke und Emde. Functionen-Tafeln, 1УЗЗ.
2 В. П. Ветч инкин. Новые формулы и таблицы эллиптических интегралов и функций.
Издание Военной Воздушной Акааемии РККА, 1935.
8
эллиптические интегралы
[гл. I
Таб ица 2
43° 44° 45° 46е
14° 0.75422 0.77192 0.78963 0.80735
15° 0.75477 0.77251 0.79025 0.80801
16° 0.75535 0.77313 0.79092 0.80872
17° 0.75597 0.77379 0.79162 0.80947
При вычислении значения F(<p, а) нам приходится интерполировать
по у и по а. Для этой цели укажем формулу с третьими разностями»
Так как разности не содержатся в нашей таблице, дадим выражение для t
искомого значения через табличные значения функции, что позволяет
обойти вычисление разностей. Пусть U0,0 есть ближайшее значение в таб-
лице (табл. 3) к вычисляемому значению U = F(g>, а).
Таблица 3
U1.-1 Ф~1 <?0 <Р1 <^2
а-1 1>—1 ( -по u-ia и-112
«0 и»,-1 ^0,0 Ч.! ч>2
«1 ^по иъг у„2
«2
Положим
т х' = 1 — т; (10)
О1 — «О
/ в .У-Уо , /' = 1 — / . (11)
-- <Ро
В таком случае U следует вычислять гю формуле
и = (1 + (t'U0,0+ tUOli) + т (Ги1Л + Шы)] -
-Ттт' 1(1 + т')(гад+ + (1 + т)(Г1)2,0 + /ад -
о
-1/Г[(1 + /')(г'ад + т[71,_1)4-(1+/)(тад + тад. (12)
О
В нашем случае имеем
т=— + -^-=0.3563889/ т'= 0.6436111 ,
. 60 602
«= — + — = 0.5866667, Г = 0.4133333.
60 602
Произведя вычисления согласно формуле (12), где Uo,o = 0.77251, остальные значения
берем из табл. 2 и находим 17 = 0.78313.
§ 4. Вычисление интеграла 1-го рода с помощью рядов. Если значе-
ние модуля то для вычисления интеграла можно пользоваться
разложением в ряд
F fc) = До + -1A2fc* + Д8к.., (13)
Ап = fsin2nф d<p (л = 0, 1, 2,...). (14)
8
эллиптические интегралы
[гл. I
Таб ица 2
43° 44° 45° 46е
14° 0.75422 0.77192 0.78963 0.80735
15° 0.75477 0.77251 0.79025 0.80801
16° 0.75535 0.77313 0.79092 0.80872
17° 0.75597 0.77379 0.79162 0.80947
При вычислении значения F(gc, а) нам приходится интерполировать
по gt> и по а. Для этой цели укажем формулу с третьими разностями*
Так как разности- не содержатся в нашей таблице, дадим выражение для f
искомого значения через табличные значения функции, что позволяет
обойти вычисление разностей. Пусть U0,0 есть ближайшее значение в таб-
лице (табл. 3) к вычисляемому значению U = F(g>, а).
Таблица 3
<Л.-1 <?-1 <Ро <Р1 <Р2
а-1 1 —1>0 и-г.
«0 "о.О Чы
«1 "г,-г иъг
«2
Положим
т х' = 1 — т; (10)
О1 — «О
f = ,У~Уо > (Ц)
В таком случае U следует вычислять гю формуле
и = (1-+--^-+гт/)^(Г[/0,0+ Ш0Л) + т(Ги1Л+ tubt)]_
-Ттт' 1(1 + г')(ГП_1Л+ Ш_1Л) + (1+ т)(Г1)2,0 + /ад -
о
-Iff [(1 + + (1+ t)(T'U0,2 + гад. (12)
о
В нашем случае имеем
т=— + -^-=0.3563889/ т'= 0.6436111 ,
. 60 602
«= — + — = 0.5866667, Г = 0.4133333.
60 602
Произведя вычисления согласно формуле (12), где Uo,o = 0.77251, остальные значения
берем из табл. 2 и находим 17 = 0.78313.
§ 4. Вычисление интеграла 1-го рода с помощью рядов. Если значе-
ние модуля fc<l, то для вычисления интеграла можно пользоваться
разложением в ряд
Е(ф, к) = Ао + ±4F + A2V + ’-4^ Д3к.., (13)
Ап = fsin2nф d<p (л = 0, 1, 2,...). (14)
§ * 1
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 1-го РОДА С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Вычисление коэффициентов Д2, • • • «можно производить, поль-
зуясь рекуррентной формулой
— ~ cosy sin2”-1 у. (15>
2П
Пример 1. Вычислить интеграл
<р
. ,____. f* dtp
F (<р ,/0.11) = I , > .------- , ч> = 15° 1Г ,
J у 1— 0.11 sina9?
о
с четырьмя знаками после запятой.
Поежде всего имеем Ао» 0.2650. Для вычисления следующих коэффициентов перепишем.
формул^гЧ'*'^***,. '
' . . . . А»-1 + COS у Sin8"-1 у
" Д/Г—1 Дп—1 о 9
2П
где положено
Ди — Д»—1 “Ь Д Дп—1 •
Самые вычисления располагаем в виде таблицы (табл. 4).
Таблица 4
п . 2П— 1 Sin (р cos^sin2” \ До—1+cos99sin2n гср ^Дп—1 Ди
1 0.2619 . 0.2528 0.5178 ’ —0.2589 0.0061
2 0.018Э 0.0174 0.0235 -0.0059 0.0002
Получив Ао, Д2> легко находим
Г(15’11', /бТГ) = 0.2650 +0,0030x0.11+0.0001 (0.11)2,
ИЛИ
+ (15°1Г; ГблГ)~ 0.2653.
Вычисление элпиитического интеграла можно производить и иначе,,
пользуясь разложением
F(y, к) = До ф — Ах sin 2у + AjSin 4у — AJ sin бу + ... (16)
Коэффициенты Аа определяются по формуле
д 1 \1 (s + l)(s + 2).. .(s + п) ( 1*3... (2s + 2n — 1) |’'s+in (17}
n~ n ^4 (s + n + l)...(s + 2n) ( 2 • 4... (2s + 2n) / ' '
s=o •
или
д = J_ 2 1 • 3...(2s —1) 1 • 3.. .(2s + 2n — 1) ps+n .
M nl+k’^4 2-4...2s 2 • 4...(2s + 2n) ’ f
s=0
где _____
k’ = ]/rl — №, k=l—!t.
14-fc'
Формулами (17) и (17') удобно пользоваться для вычисления коэффициен-
тов при небольших значениях к.
Заметим, что вычисление коэффициентов можно производить, пользуясь
рекуррентными формулами
_ (2и —2)2 1 + Г2 . _ (и —2)(2и —3) д
п(2п — 1) к2 n~l п(2п — 1) п-2’
(18)
(18'>
г-.1,
3 к2
10
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Однако этими формулами выгодно пользоваться лишь при значениях к,
близких к единице.
Пример 2. Вычислить интеграл
F(<p; F'O.ll ) = 177==== , <Р= 15°1Г.
J]/ 1 — 0.11 sin2 ф
0
^рассмотренный в предыдущем примере с пятью десятичными знаками.
Определяем коэффициенты, пользуясь формулой (17)* Вычисления даны в табл. 5.
Таблица 5
S Л25 /г 3^1) у s V 2.4...2S J v=u 5 ^+1 $4-2 w=v £±1 5 54-1 §4-4 s4-l W5+1-7- S-f-6
0 1.000000 1.000000 0.013750 ' 0.000284 0.000006
1 0.11 0.027500 0.001135 0.000039 0.000001
2 0.0121 0.001702 0.000О98 0.000005
3 0.001331 0.000130 0.000009
4 0.000146 0.000U11 0.000001
5 0.000016 0.000001
6 0.000002
4=1.029344 4=9.014993 2 A »=0.G00328 ЗЛ 3=0.000007
A 2=0.000164 A 3=0.000002
Произведя вычисления по формуле (16) и имея в виду; что Ао — 0.2650, находим
F(15°ll/, ИмТ) = 0.26534 = 0.2653.
Для вычисления эллиптического интеграла 1-го рода при малых зна-
чениях Тс и <р можно пользоваться рядом
F (<р, к) — А0<р — sin д> cos g> (а0 + — aL sin2 <р -f- а2 sin4 + ... ). (19)
\ 3 3-5 /
Величина А.о вычисляется как сумма ряда
До = 1 + + У к* ± к6 + ..., (20)
0 \2/ \2 • 4/ \2 • 4 • 6 / V
а коэффициенты а0, 4,..., ап, ... определяются последовательно по фор-
мулам
й0=Д0—1, (21)
Если к близко к единице, то вычисление следует вести по формуле
F(<p, к) = A'olntgf-^ + ^-V
- 1 *’ ** » +Н "'=1б* ” -Н4 *«• ”+••) <23>
где
а/ =1 + (|Ya'2 + (У^'4 + Q-HHrY *'в+• • • > • <24>
\ & J • 4/ • 4 • О /
я коэффициенты а0', ап’,... находятся по формулам
— Ао' 1, (25)
<=fl,H-i-{L'23r4(2”~n}^2n» (26)
^5 * тг • • »tilT )
‘«§•5 1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАНДЕНА
It
В том случае, когда <р близко к —, выгоднее вести вычисление
2
’ F{q>,k), исходя из равенства
Я
V
F(y, = , А— . (27)
\ 2 ) J У 1 — Л2 sin2 9?
v
Пользуясь заменой переменного
. cos . cos 9? /ПО\
sin == —, sm ф! = /.................?.-= , (28)
У1—/с2 sina д?! ' У1 — A:2sinag>
1ШроС-« -вычислению интеграла
к
J У 1— к2 sin2 9\
о
При у близком к л/2 переменная ф2 имеет небольшую величину.
§ 5- Преобразование Ландена. Эллиптический интеграл 1-го рода
удовлетворяет соотношению
<р vt
f____У__________1 4- Г_____d 9?!___ (29)
JET—/;-sin2<p 2 j J/j_ fc2sin2?J]
о и
при условии, что
к' = г^’ k'-Vx~k2 (30)
И
tg(g>i—<р) = &'tgg> (31)
(// есть модуль, дополнительный для модуля к).
Это замечательное преобразование эллиптического интеграла было
указано Ланденом.
Если положить
к = sin a, kt = sin аъ
то преобразование Ландена представится в виде
V Vi
( -------4^=^ - — Ц- f , (32)
J У 1 —- sin2 a sm2 9? 2cos2— 1У1— sin2^ sin2^
о 2 о -
причем
sinai = tg2JT (33)
A
tg^x —ф) = cosatgp. (34)
Пользуясь преобразованием Ландена, можно вычислять эллиптиче-
ский интеграл 1-го. рода, определяя последовательно по формулам
sin ctn+i = tg2 , (35)
tgfan+i—g>„)==cosantgg>„ (36)
серию значений ab а2,..., dn,... и g>lt <р2,..., <ра,..
12
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Г гл. t
Величина а„ стремится при этом к нулю.
Когда а, окажется достаточно малым, будем иметь
*п
Г ф
I , / . = ~~ 'Рп >
J у 1 — sin2 aw sin2 <рп
4 о
и вычисляемый интеграл представится в^виде
<р
С dtp _________1____________
) V1 — Sin2 a sin2 <р cosa — C0S2 . cos2 2°
и 2 2 2
При вычислениях формула (38) может быть заменена формулой
V /---------------------
Г & <Р У COS al cos ao • • • C0S <Pn
J Kl - sin2 a sin2 <p У cos a 2”
о
П p и ме p 1. Вычислить интеграл
л
T"
/ 1 \ Г d <p
F[3(F,-^=] = \ =-•
\ V2 J J у i — o,5 sin2 <p
о
Полагаем
sin2 a = 0.5,, a = 45°.
Получим табл. 6:
(39>
Таблица б
n а O OJ S° OX) a lg cos - а ig tg г lg cos а
0 45° O' 0" _1.61722 1.96562 J. 23445 7.84949
1 9°52z45z/ 2.93665 _1.99838 _4.87330 J. 99351
2 0°25z40zz 3.57228 1.99999 5.14455 J. 99999
3 0° 0z 3" 0.00000
lg г LUb qi LOb q2 аз == o 07201
|/ cos a
Находим теперь последовательные значения <plt у», <р3-.
<Р = 30° ’ ^ = 52° 12'28"
Igtg <?=_£. 76144 lg cos q = 1.84948 IgtgT’i = 0.11044 lg cos a2 = 1.99351
lgtg(^-<p)=T61092 " Pi —^ = 22°12z28zz ^i==52°12z28'z lg tg (<Pa — fl’ll = 0.10395 ?-2 — <P! = 51°47'32" <p2 == 104°0'0"
<Рг — 104°0'0"
lg |tg % 1 = 0.60323
lgcoso2 = 1.99999
lgtg(% —%) = 0.60322
•Рз ~ <Pa = 104°0'0"
•Рз = 208°0'0"
g?3
23
208°
8
93600".
45]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАНДЕНА 13
Выражая в радианах, делим на 206265.
1g 93600 =4.97128
1g 206264 = 5.31443
lg— = 1.65685
cos cti cos q2cosa?_ =0 07201
у cos a___________________
lg F Гз0°, -4=) = L72886
5 \ V2)
Окончательно получаем
F ^30% “=) = 0.53562.
Частный случай ср = заслуживает особого внимания.
В этом случае имеем
я ' JL
Т 2
dtp = (1 + Jq) С . dch--------------• (40)
— к2, sin2 <р J у 1 — к * sin2 <рг
Вычисление полного эллиптического интеграла 1-го рода можно про-
изводить по формуле
2
К = f г d* МП- *1)(1 + у. • .(1 + К) 7 (41)
J у 1 — к2 sin2 <р
о
или, пользуясь тригонометрическим представлением модуля, по формуле
л
2 -------------------
С______d (р____ V cos cos а* ... cos ап п
J 1 — к2 sin2 Vcos а 2
о
Пример 2. Вычислить интеграл
Полагая
п
sin2 а = 0.5,
а =
4 ’
и пользуясь данными табл. 7, получим:
Таблица- 7
п а а lgtgT Igtg2--- Ci lg cos а
0 45° О' 0" ”1.61722 7.23445 1.84949
- - -
1 9° 52' 45" 2.93665 3.87330 1.99351
2 0° 25' 40" 3.57228 5.14455 1.99999
3 0° 0' 3" • 0 • • .... 0.00000
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
f ГЛ. I
1/ cos a, cos а, cos а3
1g 1-----5==--------- = 0.07201
V cos а
Ig у = 0.19612
' 1g К =0.26813.
К = 1.85407.
Очень интересная форма преобразования Ландена для полного эллипти-
ческого интеграла 1-го рода указана Гауссом:
п л
V V
Г ------dcp...... = f ; (43)
J ya2 cos2 у 4- b2 sin2^ J 1/ a2 cos2 (f\ + b^ sin2
и 0 F
в этой формуле
= Ь1 = УаЬ . (44)
Вычисляя последовательно ряд чисел а1г а2, ..., ап, ..., bL, Ь2, ... , Ьп, ..
по формулам
a'i+i “ ’ ^n+i = аг^п > (45)
останавливаемся на таком значении п, когда ап Ьа в пределах точности
вычислений. Тогда имеем
2
С d <р__________ л л
J У^п2 cos2 <р 4- b2 sin2 у 2ап 2Ьп
о
(46)
§ 6. Вычисление интеграла 1-го рода при помощи номограмм. При
вычислении эллиптическою интеграла 1-го рода можно пользоваться
номограммами. Приводим здесь две номограммы, которые могут, служить
для вычисления интеграла. На первой из них (фиг. 1) нанесены линии
а=const, на второй (фиг. 2) даются линии ср = const. Эти номограммы дают
возможность определять первую значащую цифру значения функции
F
§ 7]
НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 1-го РОДА
15>
Для вычисления отношения F(<p к): К можно пользоваться номо-
граммой, изображенной на фиг. 3. По горизонтальной оси отмечены
! F (ф к)
значения амплитуды. По вертикали даются значения д> — 90° <. Зна-
чение модуля дается в виде
отметки на кривой. Поль-
зуясь этой номограммой,
находим для /с2=0.8 и <р™40°
у — 90э F(y' -- = ю°,
К
Т‘ e?W,
Номограмма, изображен-
ная на фиг. 4, служит для
определения величины ам-
плитуды по заданному зна-
чениюотношения/7^, к):К.
По горизонтальной оси
даются значения функции
QQ° ty,
К 9
по вертикальной оси указы-
ваются значения функции
у — 90° - (у’ ^.
у К
Отметки, поставленные
вдоль отдельных кривых,
дают значения модулярного
угла а модуля к = sin а.
Так, пользуясь номо-
граммой фиг. 4, для значе-
ния <р', соответствующего F(g>,*) = y, при а = 85°, найдем соотношение
90’^^А- = зо°
К
откуда <р=75°. ‘
§ 7. Некоторые случаи вычисления интеграла 1-го рода. Если модуль
эллиптического интеграла больше единицы, то вычисление его легко
приводится к тому случаю, когда модуль меньше единицы. Для этой
цели следует в интеграле
X
С т
J V^d—x2)(i-A2X2) ’
о
произвести замену переменных, положив
х = (48)
после чего интеграл представится в виде
X у
Г_______dx_________Г___________dy_______
]у"(1 — х2)(1 — fc2x2) 1 J у (1 — у2)(1 — Afy2) ’ (49^
и и
16
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ ГЛ, I
где
(50)
При вычислении эллиптического интеграла
ь «
, fc < 1
V (1 — х2)(1 — *2ха)
может оказаться, что оба предела интегрирования одного знака и по
абсолютной величине больше —.
Положим, что Вычисление
к
приведено к таблицам подстановкой
1
х =----
ку
такого интеграла может быть
(51)
(52)
В этом случае интеграл представится в виде
Ь Ь1
________dx __________ Г dy
V(1 — х»)(1 —/с2х2) J V (1 — У2)(1 - fc2ya)
а а,
7 J НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 1-го РОДА 17
где
(53)
. „ 1 1 1 1
Если хоть одно из чисел--------, -—1, I,— лежит в интервале интегри-
к к
рования (а, Ь), то интеграл выражается числом комплексным; при этом те
части интервала интегрирования, которые лежат в промежутках
» те, которые находятся
✓ 1 X / 'гх
в промежутках Г----—1) и f 1, —), дают мнимую часть его.
\ /с J \ к j
Покажем, как найти вещественную и мнимую части значения интеграла
с помощью таблиц. Положим, например, что 0 <^а < 1 <,b < — „ В та-
ком случае имеем равенство
Ь 1
С dx
V (1 — х2Х1 - Л2х4) J V (1 — х2)(1— к‘хг)
а - а
। Г ____________dx_________
J V (1 — х2;(1 — fc2x2)
1
Первый из интегралов легко вычисляется с помощью таблиц. Второй
интеграл есть число мнимое, ибо многочлен, стоящий под знаком квад-
ратного корня, отрицателен в промежутке (1, V). Поэтому можно напи-
сать равенство
ь ь
С________dx__________ | . С_______dx
J V (1—х2)(1—А2х2) ~ J / (X2— 1)(1-/с2х2) ’ ‘ (54)
Знак + в правой части равенства (54) зависит от значения корня
в левой части равенства. Значение корня в правой части равенства поло-
жительное. Интеграл, стоящий в правой части равенства (54), путем под-
становки
х_ 1 I Ц-|/Т+ (l —’/Т) Z
к 1 + |/fc— (1—/7)?
приводится к виду, удобному для вычисления по таблицам:
( ______dx____________ 2к Г ______dz________
J /(х2- 1) (1 - k2x2) (1 + /7)2 J /(l-z2)(l-ft^2) ’
где .
(55)
(56)
(57)
(58)
1 +/к Ь]/к — 1
1 — УТ &/Т+1
2 Справочник по эллиптическим функциям
18
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Г гл.1
К той же цели приводит подстановка к2х2 + fc'2x'2 = 1, fc2 4- к'2 ==s 1,
х;>0, х':>0, преобразующая интеграл, стоящий в правой части равен-
ства (54), следующим Образом
ь 1
Р__________dx______' _ J* dx'___________
J]/ (х2 — 1) (1 —/<2х2) J-/ (1 —х'2)(1 —k'2x'2)
1 b'
где
k'2b'2 + k2b2 = l, b'>0<
Пример. Вычислить интеграл
24.2294
С _________________dx___________
J У (1 — х2)(1 — 0.02962 х2) ’
беря значение корня с положительной мнимой частью. Верхний предел интеграла больше 1,
но меньше -—>33 (где к = 0.0296). Поэтому, принимая во внимание условие выбора
к
значения квадратного корня, согласно (54), имеем:
24.2294 24.2294
Г ______________dx_______________. Г ________________ dx ________
J ]/ (1 — х2)(1 — 0.02962х2) ’ J / (х2 — 1) (1 — 0.0292х2)
Произведя вычисления по формулам (57) и (58), находим
/сх = 0.5000, п1== 0.8660.
Пользуясь этими данными, находим для синуса амплитуды преобразованного интеграла
значение
sin 92 = 0.8660, откуда <р =; 60°.
Представив модуль кг в тригонометрической форме,, получим
кг = sin 30°.
Интеграл, подлежащий вычислению, находится по таблицам.
' п
' 24.2294 "Т
С dx Г d<p
I .....; = — 0.0429/ \ , - =
J у (1 — х2) (1 — 0.02962»2) J У 1 — sin2 30° sin2 <р
1 ___2_
2
= — 0.0429 X (1.0896 + 1.6858) / = — 01191/
§ 8. Эллиптический интеграл 1-го рода как функция комплексного
переменного. Будем рассматривать интеграл
<р
F (д>, к) = f , А<Р (59)
J у 1 — /с2 sin2 93
о
как функцию верхнего предела ф, придавая ф как вещественные, fan и
комплексные значения. Подинтегральная функция будет (двузначной)
функцией комплексного переменного. Обозначим для краткости письма
J (к, ф) = ]/” 1 — к2 sin2 ф . (60)
§ 8 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 1-го РОДА КАК ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСН. ПЕРЕМЕННОГО 19
Функция %=>—----— имеет на плоскости комплексного переменного
Л(К, ?>)
особые точки, соответствующие значениям
<р — (2п+—\л + 1 arch — .
\ 2/ . к
На фиг. 5 дается изображение поверхности, апликаты которой равны
значению модуля функции Z в соответствующих точках плоскости ком-
плексной -переменной <р — д>1 + i<pt.
Это построение выполнено при. к = 0.8 для той ветви функции Z, ко-
торая при ф = 0 имеет значение 1.
На поверхности нанесены две системы линий. Одна система линий ха-
рактеризуется условием
mod Z = | Z | = const.
Другая система линий отвечает условию
argZ = const.
Соответствующие числовые значения модуля и отметки значений аргу-
мента в градусах указаны непосредственно на фиг. 5. Построение выпол-
нено только для полосы—так как далее картина повторяется
в силу периодичности. На фигуре резко выделяются особые точки функ-
ции, где она обращается в бесконечность. На фигуре видно, что при об-
ходе вокруг критической точки функция Z изменяет свой знак, и одна ветвь
Zj = *
1 — к2 sin2 <р
переходит в другую
Z2=_ ---!.----
у 1 — к2 sin2 <р
(см. линию +90°).1
1 В дальнейшем иногда, для краткости речи, мы будем позволять себе такую поверхность
с нанесенными семействами изолиний модуля и аргумента называть изображением функций.
20
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ'
|ГЛ. I
Обратимся к интегралу (59). Если на плоскости комплексного пере-
менного сделать разрезы по линиям, проходящим через критические точки,
параллельно мнимой оси, так как это показано на фиг. 6, то интеграл (59)
будет однозначной функцией ф. При этом
значение его
плоскости не
вания.
Для этой
поверхность
делалось для
изображение такой поверхности для функ-
ции F (ф, к) в предположении, что при
выходе из начальной точки значение
Л(ф,к) подинтегральной функции берется
равным 1.
Как и на фиг. 5, числовые отметки
соответствуют кривым
| F(<p, к) | = const,
а градусные отметки—кривым
arg F (у, к) = const.
в любой точке разрезанной
зависит от пути интегриро-
функции можно построить
аналогично тому, как это I
функции Z. На фиг. 7 дается |
Из вида поверхности
вых разрезов функция F (ср, к) получает разные значения.
Если производить интегрирование по кривой Г, пересекающей разрез,
то интеграл
можно усмотреть, что в точках на краях сделан-
<р
о
в точке М на другой стороне разреза приобретает иное значение, чем то,
которое он получает в этой точке, когда мы проходим в М, не пере-
секая разреза.
, Значения интеграла, получаемые в результате перехода через разрез,
изображены на фиг. 8.
Если мы заставим совпасть координатные оси на той и на другой
»»} ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 1-го РОДА КАК ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСН. ПЕРЕМЕННОГО 21
фигурах, то разорванные вдоль линии разреза края одной,поверхности
сомкнутся с краями другой,и мы получим картину того, что происходит
с интегралом при переходе через разрез.
Фиг. 8
Пользуясь изображением этой поверхности, легко видеть, что интеграл,
взятый вдоль замкнутого контура, не содержащего внутри себя критиче-
ских точек, равен нулю, так как из какой точки поверхности, изображаю-
щей функцию F(cpyk'), мы вышли, в ту и вернемся.
Другая картина получается при обходе вокруг критической точкй.
Положим, что, выйдя из точки О, мы в нее вернемся, обойдя Ах одну из
критических точек. Путем непрерывной д
деформации контура можно привести его /л
к виду, указанному на фиг. 9. При обходе Чц/
1
вокруг точки функция----------- изменя- II
<Я>, к} | |
ет свой знак. Ее аргумент, как видно на
фиг. 5, изменяется на 180°. Линию ОВ мы j
проходим дважды в противоположных на- |
правлениях, но при этом подинтегральная _ j |
функция имеет разные знаки. То же самое ________________________fj!
можно сказать и относительно пути, про-
ходимого вдоль линии БА Интеграл по ф g
окружности обратится в нуль при умень- иг’
шении радиуса окружности до нуля. Таким образом для интеграла, взятого
по замкнутому контуру, получаем выражение
~~ *= 2К + 2iK,
Л (<Г, к)
(61)
где
Г_________dtp________
J — к2 sin2 <р
(62)
22* ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ' [гл. I
л . 1
—-Наг ch —
fK' = f -7=JL=r. (62а)
J У 1 — к2 sin2 ср
л
~2~
Посредством замены
sin<jp = — 1 — fc'2 sin2 <f>', (63)
к
где
к’=-У 1 —fc2 ,
преобразуем интеграл в правой части равенства (62а) и получаем
л
V
С d'p'
К' = " ..•- t (64)
J у 1—к'2 sin2 93'
о
Подобный же результат получается и при обходе других критиче-
ских точек.
Интеграл по замкнутому контуру Г, окружающему одну из критиче-"
ских точек, оказывается, таким образом, равным
=±2К + 2/К'. (65)
J J (fc, ?>)
г
Если понимать под F(cp, к) то значение интеграла
<Р '
Г йч>
J Л (к, у>) ’
о
которое мы получаем, интегрируя по линии, не пересекающей разрезов,
то любое значение', которое может получить интеграл при переходе из
точки О в точку ф, выражается равенством
• f —=± F (ф, к) + 2тК + 2inK', (66)
J (.к, <р)
и
где тип суть произвольные целые числа и притом одинаковой чет-
ности. Знак + перед F (<р, к) соответствует тому случаю, когда .т и п
представляют четные числа. Знак — соответствует тому, случаю, когда
тип числа—нечетные.
Отметим свойства интеграла F(<p, k), непосредственно вытекающие из
его представления:
F (— д>, к) = —F(<p,k), (67)
F (ф 4- л, к) = F (ф, к) + 2Х. (68)
Эти свойства могут быть выражены одной формулой
F (+ф + /и я, A) — 2mK + F((p, к), (69)
где т—целое число.
Произведем замену переменной, положив
х = sin ф.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 2-го РОДА В КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ ЛЕЖАНДРА
23
В силу предыдущего можно сказать, что интеграл
х
Г dx
.1 V (1 — Х2)(1 —/С2Х2)
0
есть многозначная функция переменной х. Все возможные-значения ин-
теграла, соответствующие различным путям перехода из точки О в точку х,
получаются из одного,—скажем, из интеграла, взятого по прямолинейному
пути, й все могут быть представлены в виде
X
+'[ ..:.- + 2тК + i 2пК',.............(70)
J У(1 - х’)(1 — кгхг) '
О ? •
где интеграл берется по прямой, ат и п суть числа целые»
к = С —============ (71)
J К(1—X2) (1 —/с2х2) 0
И
Xх = ( ~~ •
J /(1 — х2) (1 — к'2х2) ’
О
Следует отметить, что знак 4- получается в том случае, когда т есть
число четное, и —, когда т число нечетное.
§ 9. Эллиптический интеграл 2-го рода в канонической форме Ле-
жандра. Эллиптическим интегралом 2-го рода в канонической форме Ле-
жандра называется интеграл
<73>
Этот интеграл, как и интеграл 1-го рода, не выражается в общем виде
через простейшие функции.
Вычисление интеграла
0
подстановкой
х = sin (75)
приводится к вычислению интеграла
v _____________________________________________
Е (<р, к) = J)/" 1 — к2 sin2 у dtp. . . (76)
О , .....
Величина к называется модулем эллиптического интеграла, а <р—его
амплитудой.
Для положительных значений модуля, меньших' единицы, и для ампли-
туды в пределах от 0 до 90° Лежандр построил таблицы, где даются
значения интеграла 2-го рода с 10 знаками после запятой. Модуль пред-
ставлен в тригонометрической форме
к = sin «.
24
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
(ГЛ. 1
Значения
Е (<р, а) = j jX 1 — sin2 a sin2 <р d<p (77)
о
даются для значений а и д> через Г.
Таблицы значений Е(<р, а) даются обычно вместе с таблицами зна-
чений F(g>, а).
Пользоваться таблицами значений Е (<р, а) следует совершенно так же,
как и таблицами значений F (<р, а) (см. §§ 2 и 3).
Пример 1. Вычислить интеграл
0.5 _________
j /xix-
и
Находим амплитуду <р из уравнения
sin (р = 0.52
по таблице натуральных тригонометрических величин:
9? = 31°20'.
Представим модуль в тригонометрической форме
/< =----— sin а.
2
откуда
а = 60°.
Пользуясь табл. 8, которую мы выписываем йз четырехзначных таблиц функции
Е (?>, а) Для а == 60°,
Таблица 8
т 29° 30° 31° 1 ( 32° 33°
а = 60° 0.4903 0.5060 05218 0.5373 0.5528
мы видим, что разности табличных значений 0.0158, 0.0157, 0.0155, 0.0155 остаются
примерно постоянными, а потому интерполирование можно произвести, ограничиваясь
первыми разностями. Таким образом получаем
20
Е (31°,19',56", 60°) = 0.5218 + 0.0155 ~~ = 0.5218 + 0.0155x0.3333==: 0.5270.
Пример 2. Вычислить интеграл
J 1 — sin2 a sin2 <р d(pt <р = 39°2Г30",
о
где
а = 52°1Г31"«
Выпишем соответствующее место из таблиц Лежандра (табл. 9). Значения Е (<р, а) берем
с пятью знаками после запятой. «
Таблцца 9
1 38° 39° 1 40° 41°
а = 51° 52° 53° 54° 0.63530 0*63448 0.63367 0.63286 0.65057 1 0.64969 0.64881 0.64794 0.66575 0.66479 0.66384 0.66290 0.68081 0.67979 0.67877 0.67775
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 2-го РОДА С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Интерполирование производим с третьими разностями по формуле (12);
11 31
т = — + — = 0.1919444,
60 602
т'= 1 — 7 = 0.8080566,
21 30
t = — Ч- — = 0.3583333.
60 602
Г = 1 — t = 0.6416667.
Принимаем -
= 0.64969.
Произведя вычисления, получаем окончательно.
Е(39°2Г30,/, 52°1ГЗГ,) = 0.65545.
§ 10. Вычисление интеграла 2-го рода с помощью рядов. Если зна-
чения модуля к меньше единицы, то для вычислений интеграла можно
пользоваться разложением в ряд
Е (<р, к)=А„ -11 А2к* - -L Дак* - А Atks -
4 о 10 1Zo
—- А6к™—... — ДВА2И—..; (78)
258 2’4. ..2л -
Коэффициенты Д1( Д2, А3,..., А„,... вычисляются последовательно с по-
мощью равенств
А„= ~ ^n-i — cos <р sin2n-1 <р, (79)
До = <P- (80)
Пример 1. Вычислить интеграл
п
~1Г
£ (1р о>2) ~i—°-°4sin2?d<?
о
с точностью до 0.0001.
В рассматриваемом случае
к = 0.2, ^ = --^ 1.04720.
Вычисления располагаем в табл. 10.
Таблица 10
п sin2W— г(р cos <р sin2”—1^ Дя_ cos 9? sin2”—1 <р ЛАИ_1 Ап
1 0.8665 0.4332 1.4804 -0.7402 0.3070
2 J 0.6499 0.3250 0.6320 —0.1580 0.1490
До« 1.04720
— — 4^2 = —0.00614
2
— —Д21с4 = —0.00003
8
/ п \
Е\У’ °-2^ Ь0410.
25
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ гл.-1
Эллиптический интеграл второго рода может быть представлен, в виде
тригонометрического ряда
Е(<р, fc) = Воу+'sin2д> — B2sta49> + B3sin6<jD —... (81)
Коэффициенты Во, Вг,..'. ,Вп,... определяются по формулам
/_1_\2 кг _ /1 • з\2 / 1 • з • 5 \2 _/Л
\ 2) 1 \2 • 4/ 3 \ 2 • 4 • 6 ) 5
1 (s+!)...($ +и) ( 1 • 3. .(2s + 2п — 1) 1 2 k2s+2n
fl (s + и + 1)... (s + 2n) ( 2 • 4. ..(2s 4-2a) J 2s-|-2n — 1
s=o
(82)
(83)
ИЛИ
в _ 1 1 +fc/ yil -3...(2s-l) 1 3...X2n + 2s-l) fc2s+n (84)
“ n 2 Xj 2.4...2s 2 • 4...(2n-|-2s) (2s — 1) (2n + 2s - 1) ’
s=o -
где _____
к' = У 1—k2, k='-^-.
r 1 + k'
Заметим, что коэффициенты Blt B2, ...9Bn легко могут быть вычислены
по рекуррентным формулам
_ 2
2 ~ 5
1 + /Л2
к2 .
Bl Bq,
(85)
в (2а —2)2
п п(2п + 1)
Bn~i
(п — 2) <2п —5)
п (2п + 1)
Вп—2»
(85')
В
1 + к'*
№
если найдены коэффициенты BQ и В1Л Однако последние формулы удобны,
когда значения к не очень малы.
Пример 2. Вычислить 0.2^ с точностью до 0.0001.
Вычисления даются в табл. 11.
Таблица 11
S /с28 и. = 1 /1.3...(2s - 1)у к28 2.4...2S) 7 2s — 1 VS=U s+1 s S+1 S + 2 S + 1 Ws = Vs+1 s 4-4
0 1.00000 1.00000 0.00500 0.00301
1 0.04000 — 0.01000 7 0.00005
2 0.00160 — 0.00008
3 0.00006 — 0.00000 1
Во == 0.98992, Bi = 0.00505, 2Ва = 0.00001.
Согласно формуле (81), получаем
/ п \ * 2п
Е (—, 0.2 )= 0.98992 X 1.04720 + 0.00505 sin —,
• \ «3 / ~ ,- . . , ♦ . ..... о
. Е (-3-. 0.2) = 1.04102=1.0410.
\ ЛЛ J
§ и ]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 2-ГО РОДА ПРИ ПОМОЩИ НОМОГРАММ
27
При небольших значениях к и <р для вычисления эллиптического ин-
теграла 2-го рода можно пользоваться рядом
Е (9, к)=Вйд> -f- sin д> cos <р (l>0 4- — bx sin2 у + b2 sin4
\ 3 3*5
Величина Ва есть сумма ряда
£\2 к2/1 «зу к*/ 1 • 3 • 5 \2 ке
2 / 1 \2 • 4/ 3 \ 2 • 4 ♦ 6 / 5
а коэффициенты b0, blt b2,. . .Ь^ ... определяются последовательно по фор-
мулам
- - - (88)
(89)
(86)
Во
(87)
d(J — 1 - Вд,
ь (1 • 3... (2л—J)] 2 /сгя
Д, Оп—1 < ------Г—- > —-----.
” t 2 *4;..2п [ 2п — 1
Если значение к близко к единице, то при небольших значениях у
предпочтительнее пользоваться рядом
Е (у, к)=В0' In tg № + (b0' — ^ bx’ tg2<jp + b2' tg4g> — ... +
\ 2 4 / cos 9^ \ 3 «3*5
+ (-1)” 2'4---2”
V 3 -5...(2п + 1)
(90)
где
в0' = 1
1 -ЗУ к'* /1-3.5 \*к'*
2-4/ 3 \ 2 • 4 • 6 / 5
а коэффициенты Ьо', находятся по формулам
„ — 1 Bq3,
ь'п =^-к, =
I 2-4...2Л I 2л-1’ г
(91)
/с2.
(92)
В том случае, когда д> близко к —, выгодно вести вычисление Е (<р, к),
2
пользуясь равенством
л
~2 _____________
Е(<р, fc) = E(-y,fc)-Jj/r 1 — £2sin2g> dg>. (93)
<р
С помощью подстановки
COS о?! . COS ф /плч
sin др = —-- , sin дрг =...=- (94)
У 1 — к2 sin2 срг У 1 — к2 sin2 (р
получаем
_________________________ <Р1 ___________
Cl/” 1 — к2sin2q> dq> = fj/” 1 — k2sin2d<pt-—fcjin_g_cgsy_,
J J У 1 — к2 sin« q>
V 0
так что
E(p, к) = E (у, к) — E(фх, k) + k2 sin <p sin g>x. (95)
§ 11. Вычисление интеграла 2~го рода при помощи номограмм. Если
требуемая точность подсчета невелика, то для вычисления эллиптического
интеграла 2-гб рода Е(<р,к), где к = sin а, можно пользоваться номо-
28
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
] ГЛ. I
граммами. Мы приводим здесь две такие номограммы (фиг. 10 и И). На
первой из них нанесены линии а = const. По горизонтальной оси даются
значения амплитуды <р в градусах, а по вертикальной оси—значения Е (ф, а).
На второй номограмме нанесены линии ф = const. Значения а в градусах
отмечены по горизонтальной оси, значения Е(ф,к) — по вертикальной.
Фиг. 12
Для вычисления отношения Е (ф, к}: Е, где
Е = У‘|/Г 1 — fc2sin2qp dy,
о .
можно пользоваться номограммой *фиг. 12. На этой номограмме значения
амплитуды ф указываются по горизонтали. По вертикали даются значения
функции 90° — у. Значения модуля указаны в виде отметок, по*
S'12 1 НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 2-го РОДА 29
ставленных (около соответствующих кривых. Так, пользуясь этой номо-
граммой, отношение Е(<р,к):Е приф = 40° и к2 = 0.8 определяется из со-
отношения
90е- (у. fc) _ 40о = 10<.
Е
или
Е (ф,/с): Е 0.56.
Для вычисления амплитуды д> по данному значению отношения Е(у, к): Е
приводим номограмму, изображенную на фиг. 13. По горизонтальной оси
этой номограммы дается отношение Е(д>гк):Е, по вертикальной указаны
кривых по номограмме ука-
зывают значения-квадрата модуля к2. Пользуясь этой номограммой для
к2 = 0.8, находим, что значению Е (<р, к.): Е = 0.56 отвечает соотношение
90° X 0.56 — ф = 10', откуда д> = 50° — 10’ = 40°.
§ 12. Некоторые случаи вычисления интеграла 2-го рода. Если мо-
дуль интеграла больше единицы, то вычисления можно привести к случаю,,
когда модуль меньше единицы. Для этой цели следует в интеграле
Е(ф, Z:) = J 1—£2sin2<pdg), к^>1
О
произвести замену переменных, положив
Формула для вычислений имеет вид
Е(ф,^) = ЛЕ<ф1,Д + ^е(ф1,^, (97)
\ к / к \ kJ
где
к'2 + к2=\.
Может оказаться, что при вычислении эллиптического интеграла
2-го рода;
ь
оба предела интегрирования одного знака и по абсолютной величине
л 1
больше — .
к
Пусть
Подстановка
» = ТГ (98)
30
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ ГЛ 1
позволяет привести вычисление к интегралу с пределами, меньшими еди-
ницы. В самом деле, выполняя подстановку, получаем
Ь 6, ь
, (99)
a cti а
причем
1 fc& 1 ка
Если один из пределов интегрирования а или b лежит в одном ин-
тервалов / —у,—и Г1, -—} > то значение интеграла
ь
будет выражаться числом комплексным. Те части интервала интегриро
вания,
которые лежат в промежутках
(—со, --£)>(— М)>
1
к ’
дадут вещественную часть числа, а те, которые принадлежат промежуткам
(—Ч-,— 1)-, ДаДУт мнимую часть. Вычисление вещественной части
производится, как только что было указано. Остановимся на вычислении
мнимой части. Для этого рассмотрим интеграл
в предположении
/с<1,
Интеграл имеет чисто мнимое значение, причем
ь ______________________________ ь
fe (100)
a * a
Выбор знака + в правой части равенства (100) зависит от выбора
значения корня в левой части равенства. Подстановкой
= |/1 = — к2 (101)
интеграл приводится к виду:
где
dx'—
Ь'
I ____________dx'_________,
J V (1 - X'2) (I - k'W)
a' = -L]A — k2a2t
к' к'
(102)
(ЮЗ)
* 13 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 2-го РОДА КАК ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСН. ПЕРЕМЕНИ. 31
§ 13. Эллиптический интеграл 2-го рода как функция комплексного
переменного. "Будем рассматривать интеграл
ф
£(<р, *)=jV
О
1 — к2 sin2 <р dtp
как функцию верхнего предела интегрирования. При этом будем прида-
вать ф как вещественные, так и комплексные значения.
Прдинтегральная ф)нкция
Л(ф, 1—к2 sin2 ф ,
будучимногозначной' (двузначной?) функцией ф,имеет точки разветвления
значеяияй J
Ф = (2п + —л + i arg ch —.
\ 2 j /с
При обходе вокруг этих точек она изменяет свой знак. На фиг. 14
дается изображение поверхности, построенной для той ветви функции,
которая при ф—0 принимает значение 1. Величина к принята равной 0.8.
Фиг. 14
Числовыми отметками 1, 2,... снабжены линии одинакового модуля, ко-
торый изображается апликатой поверхности.
Отметками 0°, +15°,.+45°,... снабжены линии, соответствующие
точкам одинакового аргумента. Поверхность симметрична относительно
осей ф1 = 0 и ф2 = 0. На фигуре дано изображение поверхности при ф2>0
для значений—180°<С фх<; 90°. Сделано это с целью показать вид поверх-
ности около точки разветвления. Представление о поверхности в интер-
вале 90°С фг С180° легко составить, рассматривая соответствующий уча-
сток, симметричный участку —180°-<ф1<;— 90°. Если на плоскости ком-
плексного переменного ф = Ф1 + 1ф2 провести разрезы, как показано на
фиг. 6, то на противоположных краях этих- разрезов аргумент рассматри-
ваемой ветви функции получает значения, разнящиеся друг от друга
на 180°, как это видно на фиг. 14. Другими словами, значения функции
4£ф, Л) на противоположных краях разреза отличаются только знаком.
32
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. I
Полная поверхность значений функции Л (у, А) представляет собой пе-
риодическое повторение участка ее, соответствующего интервалу—180°
<9>1<180э.
Если рассматривать значения интеграла
E(g),A) = J]/r 1—A2sin2^d^,
о
получаемые в результате интегрирования той ветви функции Л (Я, к),.
которая при 2 = 0 принимает значение 1, по пути, не пересекающему
разрезов, то значение получающегося интеграла не будет зависеть От пути
интегрирования, а лишь от конечной точки пути. '
Фиг. 15
На фиг. 15 дается изображение поверхности,
значению модуля ] Е к) | в соответствующих
мепной
9> = + 1<Рг-
апликаты которой равны
точках плоскости пере-
Это построение выполнено при к = 0.8. Числовые отметки 0.2,0.4, 0.6,...
соответствуют линиям равного модуля, а градусные 0°, 45°,., .—линиям
одного и того же аргумента функции E(tp, к). Поверхность симметрична
относительно оси = 0. Из фигуры видно, что значения Е(<р,к), полу-
чающиеся на противоположных краях разреза, оказываются различными.
Точки, соответствующие значениям функция Е(<р/к) на противоположных ;
краях разреза, разделены на фиг. 15 участком, заштрихованным черными
и белыми полосами во внутренней части модели. Если при интегрировании
допустить переход через разрез, то на противоположном краю разреза
мы будем получать значения, отличные от тех, которые изображены на
фиг. 15. Эти значения показаны на фиг. 16. Если мы совместим мысленно
оси на обеих фигурах, то разорванные вдоль линии разреза края одной
поверхности соединятся с соответствующими краями другой, и мы по-
лучим ясную картину того, что происходит с интегралом при переходе
через разрез.
Пользуясь изображением этой поверхности, мы видим, что интеграл,.
взятый по замкнутому контуру, не содержащему внутри себя критиче-
ских точек, равен нулю, ибо никакого изменения функции Е(ср,к) в ре-
зультате обхода контура не получается,
§13 ] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 2-го РОДА КАК ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСЫ. ПЕРЕМЕНИ. 33
Иная картина полуМает'ся при обходе критической точки. Так, на-
пример, значение интеграла, соответствующего обходу, указанному на
фиг. 6 вокруг критической точки по кривой Г, выражается равенством
Последний интеграл посредством замены
sin <р = ]/" 1 — fc'2 sin2 <pf,
где
к' = У 1 — кг,
приводится к виду
п п
~2~ __________ Т"
Е1 = — СК1 -&'2sin2g/ dp’ + С .......(106)
j J V 1 — k'2 sin2 /
о о
Интеграл (105) называется полным эллиптическим интегралом второго
рода.
Аналогичный результат получается и при обходе других критических
точек.
Интеграл по замкнутому контуру Г, окружающему одну из критических
точек, равен
^]/~ l—k2sin2g)dg) = +2E+2iE1. (107)
/*
Если понимать под Е(д>,к) то значение интеграла
J у 1 — &2 sin2 2 (Ц,
о
3 Справочник по эллиптическим функциям
34
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ ГЛ. I
которое мы получаем, интегрируя по линии, не пересекающей разрезы,
то любое значение, которое может получить интеграл при интегриро-
вании от 0 до ф по любому пути, выражается равенством
J 1 — к2 sin2 Я dX == + Е fc) + 2тЕ + 2niEu (108)
и
где тип суть произвольные целые числа одинаковой четности. Знак
плюс перед Е(<р, к) соответствует тому случаю, когда числа тип четные.
Знак минус соответствует тому случаю, когда т и п—числа нечетные.
Отметим свойства интеграла Е(д>, к), непосредственно вытекающие из
его определения:
Е(—<р,к) — — Е (ср, к), (109)
Е(ср + л, к) = Е(<р,к) + 2Е. (ПО)
Оба эти свойства могут быть выражены одной' формулой:
Е(тл + д>, к) = 2тЕ+ Е(д>, к), (Ш)
где т—число целое.
Если рассматривать интеграл
и
то можно сказать, что он является многозначной функцией верхнего
предела х. Все возможные значения интеграла, соответствующие различ-
ным путям интегрирования от точки 0 до х, получаются из одного,—ска-
жем, из интеграла, взятого по прямолинейному пути, и могут быть пред-
ставлены в виде
±jj/" dx +2тЕ + i2nEi'
и
где интеграл берется по прямолинейному пути, т и п—числа целые и
о
р- (-. / 1 ~ k'W d : dx
1- JJ/ 1-x2 + ’
Знак плюс перед интегралом получается в том случае, когда число т
оказывается четным, а знак минус—в том случае, когда т оказывается
нечетным.
§ 14. Эллиптический интеграл 3-го рода. Эллиптическим интегралом
3-го рода в канонической форме Лежандра называется интеграл
f--------- dx ----------; (112)
J (1 + их2) у (1 — X2) (1 — fc2x2)
Этот интеграл, подобно интегралам 1-го и 2-го рода, не выражается
в общем виде через элементарные функции.
§14 ]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 3-ГО РОДА
35
Вычисление интеграла
X
Г___________dx_____________
J (1 + ПХ2, (1 — х2) (1 — Л2Х®>
подстановкой
х = siny
приводится к вычислению интеграла
<р
П (п, к, ф) = С----------. (112')
J (1 4-nsin2(р) у 1 — A:2 sin2*?
и
fe настоящее время мы не имеем таблиц для вычисления интегралов
3-го рода, подобных таблицам Лежандра. По этой причине для вычисления
интегралов 3-го рода приходится пользоваться разложением в ряд.
Если к<\, то для вычисления П(п,к,<р) может служить ряд
П (п, к, ф) = Со + 1 С3к* +... +
1 -3...(2s-l) с 2S j3)
2-4..,2s 8
Особенно удобно пользоваться этим рядом при небольших значениях ф.
Коэффициенты Со, С1}..., С„,... вычисляются последовательно с помощью
равенств
C0 = -F=L=arctg(]An +И§ф), (114)
V п+1
Св+1 = -1-(Д,-С,). (115)
Коэффициенты Ао, Дь Аг,... ,Аа,... находятся при помощи равенств
(79) и (80).
Пример. Вычислить интеграл
я
V
п (’• °-3-т)= f------------~
\ § ' J (1 + 8 sin2 ср) у 1 — 0.09 sin2 <р
t точностью до 0.0001*
Находим сначала Ао и Со:
= ~ = 0.5236,
о
Со = 4 arc tg (з tg = 0.3491.
3 \ о /
Дальнейшее вычисление располагаем по схеме, приведенной в табл. 12.
____________________________________________________Таблица 12
$ С8 Af As С8 sin tp sin2S+x (p cos (p As+ sin у cos25*1^ | Л
0 0.3491 0.5236 0.1745 0.5 0.4330 0.9566 0.4783
1 0.0218 0.0453 0.0235
2 0.0027 *
3*
36
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ ГЛ. I
С = 0.3491
0.0010
2
~С2к* = 0.0000
8 2
П (в, 0.3, -у)=0.3501.
При вычислении интегралов 3-го рода можно пользоваться и дру-
гими разложениями. Однако выгоднее всего пользоваться для этой цели
функциями тэта. Как это следует делать, показано в разделе, относя-
щемся к функциям тэта.
В том случае, когда модуль к больше единицы, вычисление интеграла
H(ti,k, (р) сводится подстановкой
к нахождению эллиптического .интеграла, имеющего модуль меньше
единицы:
Я (л, &, <р) =
(116)
Может оказаться, что при вычислении интеграла
ъ
dx
U-I- г-------— -
J (1 + лх2) У (1 — X2) (1 - /<2Х2)
а
оба предела интегрирования одного знака и по абсолютной величине
больше у. Пусть
Подстановка
х = —
ку
(117)
позволяет свести все вычисления
единицы:
к интегралу с пределами меньше
dy
Ьг
dy
y2)U -к*,*)
(1 + П1У2)/ (1 — у2) (1 —/с2у2)
(118)
а.
к2
П
1 kb 1 ка
было отмечено в отношении интегралов
Может оказаться, как это уже ( _
1-го и 2-го рода, что в интервале интегрирования подинтегральная функ-
ция изменяет свой знак. В
вания, которые приходятся на промежутки (—
дают вещественную часть
вания, которые падают на
таком случае те части интервала интегриро-
-£),(-1,1), (1, +оо),
интеграла, а те части интервала интегриро-
/ 1
промежутки ( — у,
, дают мни-
— <«<&.
к
ьг
1
к ’
мую часть интеграла.
§ 15] НЕКОТ. ЧАСТИ. ЭЛЛИПТИЧ. ИНТЕГР., ВЫРАЖАЮЩ. ЧЕРЕЗ ИНТЕГР. 1-го и 2-го РОДА 37
Пусть В таком
случае, выполняя
в правой
части
равенства
(1 Н-пл2)|Л (1— х2)(1 — к2х2)
_____________dx
(1 + ПХ2)}/ (х2— 1)(1
/с2х2)
подстановку
к г
приведем его к виду
Ь Ъ'
Г_______ dx________________ ± k2i Г*_________dx___________19)
J (1 + пх2)У (1—х2)(1 —fc2x2) fe2 + п J (1 + п'х'2)У(1 -х'2)(1 -к'2х'2) ’
а а’
где
п'=_Л*2_, а' = ±1/1 _ №Ь2, b' = J1 /1 _ fc2U2 .
.%2 + п к' * к' *
Знак в правой части равенства (119) зависит от значения корня в левой
части равенства. Значение корня в правой части равенства положительное.
§ 15. Некоторые частные эллиптические интегралы, выражающиеся
-через интегралы 1-го и 2-го рода.
9>
Г sin2 ср dcp _F(cp, к) — Е(<р, к) (120)
J [/ 1 — Л2 sin2 ср к*
О
' (121)
J У 1 — к2 sin2 <р k
О
<р
Г tg2tpd<p l — k2sin2g>—~E(<f>, k). (122)
J ]А — к2 sin2 tp 0 <р
Г sec2 -k,2tg<p]/ 1 ^2ып2ф ^z2 E (g>, k) + F (<p, fc). (123)
J / 1 — fc2 Sin2 <р 0 л
С cosec2 У dfP ___ = ctg9)]/’ 1—/c2sin2<p — E + E(cpJ<) + K — F(cj>, fc). (124)
j j/" 1 — к2 sin2 <р <р п ~2
Г ctg2 <р dtp ) 1 — к2 sin2 <р <р <р f йф = 1 — k2 sin2 <p — E + E (<j>, k). E (tp, k) k2 sin tp cos tp (125) (126) (127)
J У\1—A:2sin29?)3 0 P sin2 <p dtp k'2 к'г /1 —fc2sin2<?> =_L E (cd k) - —F(<d k}- sinycosy
J )/(l—A:2sin29?)3 0 . k к k k'2yi — fc2sin2?>
38
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ ГЛ. I
V
Г cos2ffdff ________ F (у, к) Е (<р, к) , sin <р cos ср
J У(1—/с2 sin2 у)3 fc2 fc2 ' У 1 — fc2 sin2 <p ’
о
tg2^}^ 1—/c2sin2$p d<p = tgg>]/r 1—k2sin2<p + F(<p, k)— 2E(<p, k).
(128)
(129)
<p___________________'_____________________________
Jcos2g>]/" 1—Zc2 sin2 cp dtp = у sin ф cos ф]/" 1—к2 sin2 tp +
v
1 _L />2 b'2
+ w E^kf-E-F^.k'). (130)
kJ ib Oft
ф____________________
J sin2#)]/" 1 — fc2sin2g) d<p =—ysing)cos 1 —-fc2sin2g) +
0
, 2/C2 — 1 r-, , 74 i ^Z2o/ 7\ /1П14
fc) + V>- (131)
ok£ . 3K£
Ф ___________ ______________________
Jsec^]/^ 1—к2 sin2 ф dtp = tg ф j/" 1 — Ь281п’ф-|-Г(ф, A) — E(tp, fc). (132)
§ 16. Формулы сложения эллиптических интегралов. Интеграл
1-го рода. Если амплитуды а, 0, у связаны между собою соотношением
cos у = cos a cos— sin a sin 0]/~ 1 — fc2sin2y, (133)
то
F (а, к) + F {0, k) = F(у, к). (134)
В частном случае, когда у =-у» амплитуды а и 0 связаны
шением
ctgactg0 = k'
и
F (a, k) + F(0, к) = К.
соотно-
(135)
(126)
Интеграл 2-го рода. Если амплитуды а, 0, у связаны между собою
соотношением (133), то
Е (а, К) + Е (0, к) = Е (у, к) + к2 sin a sin 0 У 1— к2 sin2 у. (137)
В частном случае, когда > амплитуды а и 0 связаны между собою
соотношением (135), и
E(a,k) + E(0,k) = E + k2k'sinasin0. (’38
Интеграл 3-го рода. Если амплитуды а, 0, у связаны между собою
соотношением (133), то
П (п, к, а) + П (п, к, 0)= П (п, к, у) +
или
+ (1+п) 2(1 + —2arctg
\ n J
л (и + 1) (и + ft2) sin q sin /? sin у
n 4- 1 — n cos a cos p cos у
П (/?, к, a) + П (п, к)р) = П(п, к, у) -|-
1__________arc th V —n(n+1)(л + /с2) sin a sin ff sin у
/ д-2 \ n + 1 — n cos a cos p cos у
(139)
(140)
§ 17 ]
ПОЛНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 1-го РОДА
39
Первая формула соответствует случаю, когда
(и +1)(1 +—)
\ п /
положительное количество. Вторая форма отвечает случаю, когда это
количество отрицательно.
В частном случае, когда у = амплитуды а и Р связаны, между
собою соотношением (135), и
П (п, к, а)+П(п, к, Р)=
= П (п, к, + 1 ------arc tg| ]/"-^^sin a sin (141)
У c + i>(i + v)
ИЛИ . '
П(л, к, а) + П(п, к, Р) =
= ° (п, К, + —' rgth{|/-^yasinc,sln.«|.(142)
у -<» + i>(i + T)
Первая форма соответствует случаю, когда
(И + 1)(1 +-у)
положительно, вторая отвечает случаю, когда это количество отрица-
тельно.
§ 17. Полный эллиптический интеграл 1-го рода. Если рассматривать
полный эллиптический интеграл 1-го рода
к__ С **
J ]/ 1 — к2 sin2 <р
О
как функцию модуля fc2 = -|- Л2( то для изображения будет служить по-
верхность, представленная на фиг. 17.
40
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ординаты этой поверхности равны значениям модуля функции \к\ в
соответствующих точках. Изображение полного эллиптического интег-
рала (фиг. 17) показывает, что К обращается в бесконечность при fc2^l.
Вертикальной стрелкой на фигуре отмечено положение начала координат.
Фиг. 17 изображает ту
ветвь функции, которая при
fc2=0 обращается; в-у-. Раз-
рез плоскости fc2=A1+^
произведен вдоль вещест-
венной оси от точки1 до оо.
Отметки линии равного
аргумента даны в сотых
долях прямого угла.
Если линии одинаковой
высоты и линии наиболь-
шего ската на поверхности
фиг. 17 спроектировать на
плоскость, то мы получим
серию изолиний модуля и
аргумента функции К. По-
следние изображены на
фиг. 18.
Для вычисления полно-
го эллиптического инте-
грала 1-го рода можно поль-
зоваться таблицами Ле-
жандра. Отметим, что на
ряду с таблицами, дающими
значения —, fcYjIe-
k 2 J
жандром были составлены таблицы значений 1g К для различных значений
fc — sin а
через О.Г с четырнадцатью десятичными знаками после запятой. Этими
таблицами удобно пользоваться в тех случаях, когда вычисления произ-
водятся с помощью логарифмов/
Для вычисления полного эллиптического интеграла можно также поль-
зоваться разложениями в ряды. В этом случае разложение (13) прини-
мает вид
K = — h. +f-Vfc2+ + • • • + • (2n ~ ° 2fc2w+... I. (143)
ж 2 I \27 \2 • 4/ \ 2-4...2n / J v 7
Если значение fc близко к единице, то выгоднее пользоваться разло-
жением К в ряд по степеням к'=у" 1 — к2 :
• +(НУ^4 + (тттУаз/< 6 ь • • • (144>
\ 2 / \2 • 4/ X 2 • 4 • О /
Коэффициенты а0, ах, а2,...,аи..определяются равенствами
, 4 , ,Z I
«о = 1п —» «i=.go—h • • ian = an-i—~- ~ .
к' (2п —1)п
Наконец, вычисление полнога эллиптического интеграла 1-го рода
можно производить, пользуясь преобразованием Ландена, как указано
в § 5, по формуле (41).
§18 J
ПОЛНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 2-го РОДА
41
Согласимся обозначать полный эллиптический интеграл 1-го рода как
функцию fc знаком К (fc).
Введем обозначение
K(fc') ==/<'(&). (145)
Если окажется, что | к |> 1, то вычисление К (к) сведется согласно
равенству
кК(к) = к(^\ + 1К'(^ (146)
\к / \ к /
к вычислению полного эллиптического интеграла, модуль которого меньше
единицы.
В этом случае можно пользоваться разложением
K(fc) = ^{!
1 1 /1 » 3\2 1
22 к* \2 • 4/ /i4
1-3-5
2-4-6
+ i • — (In 4fc + (-У (In 4fc — 1) — + (—Y(ln 4fc — +
— к I • ' \ 2 J V k* \2 • 4/ 6 J fc4 —
+
1-3-5
2-4-6
In 4fc —
(147)
§ 18. Полный эллиптический интеграл 2-го рода. Полный эллиптиче-
ский интеграл 2-го рода
п
Е
J 1 — к2 sin2 (р dg>
О
как функция модуля к обозначается знаком Е(к). Изображение Е(к) как
функции комплексной переменной к2 — + м2 дано на фиг. 19. На этой
Фиг. 19
фигуре, как и на фиг. 17, стрелкой отмечено положение fc2 = 0. Апли-
каты поверхности изображают модули значений функции. На поверхно-
сти отмечены изолинии уровня и линии наибольшего ската. .
42
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ, I
На фиг. 20 изображены изолинии модулей значений функции Е(к)
и ортогональные к ним изолинии аргументов.
Вычисление значений Е(к) можно производить по таблицам значений
эллиптического интеграла 2-го рода. На ряду с этими таблицами вычисле-
ны таблицы значений lgE(k)c
четырнадцатью знаками после
запятой. Значения lg Е (sin а)
даются через Г по а в про-
межутке от 0 до 90°. Эти
таблицы удобны при вычисле-
ниях с логарифмами.
При отсутствии таблиц
полный эллиптический инте-
грал 2-го рода можно вычис-
лять с помощью ряда
_/1 /1 • 3\2fc*
2 [ 22 VFl/ 3
/ 1 • з • 5 у fc8 _
\ 2-4*6/ 5
1 • 3. ,(2n — 1)у fc2" _ 1
2 - 4...2п J 2п — \ " J ‘
(148)
Если значение к близко к
единице, то выгоднее пользо-
ваться разложением Е в ряд
по степеням fc':
Е= 1 + -|М'2 + (у) 7М'4 + (НЯ + ’ (149)
причем —к2,
A = 'nF“iT5’ A = ......Л =
«Ь 1 • ы 1 * «J • “Г 1 у
8 = 1
Будем обозначать
Е(к’) = Е'(к). (150)
В том случае, когда | к 1, вычисление Е (к) с помощью равенства
kE{k).= k2E(—\ + k'2K(—\ + ilK'(—}—k2E'(—}\ (151)
\ к ) \ к / ( \ к ) \ к / J
приводится к вычислению полных эллиптических интегралов 1-го и 2-го
рода при условии, что |fc|< 1.
В этом случае, можно пользоваться разложением
E(fc)=—/1 +—+ ^-—+--.J +
4к ( 8/с2 64 /с4 I —
-н7—fc +-Vln 4fc + —+ —fin 4fc —— 4-
“ I 2 \ 2J к 16 \ 4j k3
+ (152)
1X0 It )
§ 19 ] ПОЛНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 3-го РОДА 43
§ 19. Полный эллиптический интеграл 3-го рода.
Полный эллиптический интеграл 3-го рода
п
П (п, к) = \--------d<Pr - — • = (153)
’ J (1 + и sin2 у) 1/1 — fc2 sin2 у v 7
О
есть функция двух величин: п и fc.
Вычисление полного эллиптического интеграла 3-го рода приводится
к вычислению эллиптических интегралов 1-то и 2-го рода согласно
равенству
я л
“Т 2
n(n,4 = -i-f------------“У” , (Ш)
n + 1 J <1 + n sin2 <р)У 1 — к2 sin2 <р n + 1 J V 1 — к2 sin2 <р'
причем
п
Г cos2 ср dtp _
J (1 4- л sin2 <р) 1 — к2 sin2 <р
о
Т п - К (к) Е (со, к') — Е (к) F (со,к') + К (к) F (со, к')
= -------------------------------------------, (155)
sin со cos со У 1 — к'1 sin2 со
где
ctg2ca=n. (156)
Интегралы 3-го рода можно также вычислять при помрщи разложенит
в ряд, как показано в § 14.
§ 20. Разложение некоторых полных эллиптических интегралов
в ряды. Интеграл
л
т
D (к) = С (157)
J У 1 — к2 sin2 9?
о
при ] 7с | < 1 представляется рядом
Г>(7с) = —/1 +(Ту~Л2+ ...
4 I \ 2 J 2 \2 • 4/ 3
+ ... + f —2-(2п ~-1-У к2” + (158)
\ 2 • 4.. 2n J n + 1 ) ’
при значении \к\, близком к единице, выгоднее пользоваться разложе-
нием в ряд по степеням к':
О(/с) = 1п-—1+ + +... (159)
к' 4\ к' 4/ Ъ4\ к' 30/
Когда JA|>1, вычисление D(к) можно вести, пользуясь рядом
£>(£) = —(1 + — + —+ •••!> +
v 4к3 I 8/с2 64/с4 / —
+ +1<1п4/с —lV + -fln4fc—-^1 + —fln4/c — -V + ... [. (160)
~ 2 \ 2/к2 16 \ 12/Л4 128 5/к2 I
44
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ ГЛ. 1
Интеграл
2
Г cos2 w у
) 1^1 — к2 sin2 ср
при |fc|<J может быть вычислен с помощью ряда
2
icos2 (р d <р
У1 — к2 sin2 (р
о
-р +(-Y-fc2 +
4 | \ 2/ 2
Ч • 3\2 к*
к2-4/ 3 +
2... (2/? — 1)\2 к2П
2 • 4.. .2п J п 4- 1
(161)
Для значений к, близких к единице, выгоднее пользоваться разло-
жением
2
[= 1 --Lfln A-3__U'2_ 9 /InА_12\Г4
J У 1 — к2 sin2 (р 2 \ к' 2 ' 16 \ к' 12/
о
(162)
ряда
Если то вычисление интеграла можно производить с помощью
cos2 7 d <р
У1 — к2 sin2 У
л г_________1____2. J________L JL
2к 1 4/с2 64 к4 256 к6
। i Ь At 1 in4/c 1
Н— < In 4А — 1 —
к I
3/, 5\ 1 5
— (In 4А:----)---------
4 к2 64 \ б J к4 /56
. (163)
Отметим еще разложение в ряд полн го эллиптического интеграла
---------- ------------7 arc cos -7 \
( у 1 — /с2 sin2 (р J ф = У>2 — /Д2 I __-{-/?),
J 1 - л2 sin2 Р и?у72-1 J
о ' '
(163')
где
к'2 /4 1 \
/? = М1пА + _1
2 \ к' 2/
— + — Г— 1 +71П
Г3 16 \
причем /с2 + к’2= 1 и А2-|-^'2=1.
§ 21. Некоторые интегралы от функций К (к), Е(к), D(k). В дальней-
шем Ф(/с) и Ф(?с) обозначают произвольные функции модуля к.
Ф(к)^
= Ф{к)кК(.к) + -(Р(к)Е(к) . (164)
к
к }
§ 21 ]
НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ E(fe), D(k),
45
f i к'2Ф" (fc) — (к + —W (fc) + - Ф (fc) I К (fc) dk =
JI \ kJ k‘~ )
= к'2 Ф' (fc) К (fc) — - Ф (k)E (fc).
к
(165)
-±- Ф (fc)) E (fc) dk = к Ф (fc) К (fc) + fc2 Ф' (fc) E Jk). (166)
(fc)A krK (fc)'+ (Ф’ (fc) - y Ф (fcA D (fc)l dk =
j к К • J К I
= Ф(к)к'К(к) + <P(k)~D(k).
к
(fc>+ + ^7 Ф (fc)) kk’K (fc) dfc =
= - Ф (fc) D (fc) + fcfc' Ф' (fc) К (к).
к'
J(fc'2 Ф" (к)—?¥±1ф’ (к) + ~Ф (fc)) kk'D (fc) dk =
= — к'Ф (fc) К (fc) + fcfc'3 Ф' (fc) D (fc).
J{(0/ (fc) + v* ф (fc))E +(ф/ (fc) -1 ф
= Ф(к)Е(к) + >P(k)k2D(k).
(fc) + 1 ф' (fc) + JL<p (fc)) kE (fc) dk = к2Ф (fc) D (fc) + fc Ф' (fc) E (fc),
J^fc'2 Ф" (fc) —Ф'(fc) + Ф (fc)) fcD (fc) dfe =
= — Ф (fcj E (fc) + fcfc'2 Ф' (fc) D (fc).
||ф (fc) К (fc) к + к2Ф' (fc)( К (fc) — D (fc))| dk = к2 Ф (k){(K(fcj — D (fc)) .
Отметим, что
dk =
(167)
(168)
(169)
(170)
(17 1)
♦
(172)
(173)
f/<(fc)dfc=2('j-4 + l-^-b^-...) = 2G, (174)
J \ o2 52 J
где 0 = 0.915965594... есть постоянная Каталана.
i
p(fc)dfc = 1+0=1 +±-± + ±-1 + ... (175)
J 1* о2 52
о
§ 22. Некоторые дифференциальные уравнения, которым удовле-
творяют полные эллиптические интегралы. Полные эллиптические инте-
гралы К(х), Е(х) и Z)(x) удовлетворяют следующим, системам уравнений:
(1 — х2) х — = z — (1 — х2) у,
dx
x^ = Z-y, (176)
dx
где у = К (х), 2 = Е (х);
х2(1—х2) = Х2+ (х2 —х2 — 2х(1—«2))у,
(1—X2) —= Х2 — ху, (177)
dx
где у = D(x), 2 = /С(х);
46
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
£гл»|
dy
~ — XZ
dx
X2 (1 — х2) — = ху — ZX (1 — X2) Z,
dx
(178)
где у = Е(х), z = D(x).
Полный эллиптический интеграл К(х\ удовлетворяет уравнению;
7~у = 0’ (179)
ох2 х dx
где у == К (х); которое можно представить в виде
dx\ х dx / х2
Полный эллиптический интеграл Е(х) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
dx2 х dx 1 — х2 ’
где у = £(х); которое можно представить в виде
dx \ dxj 1 — л2
Полный эллиптический интеграл D(x) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
(180)
(180s)
s л '
(181)
где^у = D (х); которое можно представить в виде
dx \ х dx )
(181')
Наконец, функции К(х), Е(х), D(x) удовлетворяют системе уравнений
(1 —х2) —= (1—2х2) w + ^-v, /
v 'dx2 v 1—x2 ’
(1 — X2) — = w — и,
v dx2
Й /С Я7 9 3 — 5x2
(1 — x2) x2--= (6 — 7x2> w-----------v ,
dx2 1 — x2
где
и = К (х), v = Е (х), w — D (х).
§ 23. Приведение эллиптического интеграла
K (1—ад—W) )dx
jc яяивеэаяапл 1-го, 2-го или 3-го рода.
Эллиптический интеграл
может быть представлен в виде
J ' r ' Jpj(x) + P3(x) У (1 —X2)(l —k2x2)
ИЗ ] ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА К ИНТЕГРАЛАМ 1-го, 2-го или 3-го РОДА 47
где Р0(х), Рх(х), Рц(х), Рз(х) суть полиномы, или в виде
\r(x,V (1-№)(!-№№) ) dx = fJ7?!(x) 4- R*® dx, (184)
J JI V (1 — x2Xi-*2*2) J
где 7?i(x) и /?2(х) суть рациональные функции.
Вычисление интеграла
С • ₽2(х) -......- dx
JJ/ (1—Х2)(1—/С2Х2)
приводится к вычислению эллиптического интеграла вида:
Г ' ?
ДМ этой цели следует представить ₽2(х) в виде:
(х) = Qo (*2) + х Q1 (*2)
2 ' Qa (X2) + X Qs (X2) ’
где Qo (х2), Qi(x2), ф2(х2), (?3(х2) суть многочлены от х2.
Умножив числитель
(185)
(186)
приведем ₽2(x) к виду
и знаменатель дроби на
Qt(x2) — х(?3(№),
А(х) = /?.(х8) + х7?4(№)>
рациональные функции от х2.
где 7?з(х) и 7?4(х2) суть
Вычисление интеграла (185) согласно равенству
Г ^2 (х) dx _ Г 7?з (х2) dx Г х Rj (х2) dx
J V (1-Х2)(1 —/С2Х2) J V (1 — Х2Х1 — *2Х2) J К (1 - Х2)(1 - fc2X2)
(187)
приводится к вычислению двух интегралов. При этом второй из них
подстановкой
х2 — у
приводится к виду
С_______х/?« (х2) dx _ Г #«(уМу р gg^
' J V (1 — х2)(1 —к2х2) J V (1—У)(1 —Л2у)
и выражается через элементарные функции.
Таким образом вычисление интеграла (185) сведено к вычислению
интеграла
. (189)
Пользуясь разложением функции 7?s(x2) на простейшие дроби, легко
свести вычисление интеграла (189) к вычислению интегралов вида
Х,==?177"2"Х <190>
J У (1 — Х2)(1 — *2Х2) ' '
и
Ур j (1 пх^Р у (У-Х2)(1 - fc2x2) <19Л>
Равенство
(2s — 1) fc2X, — (2s — 2) (fc2 + 1) X8_x + (2s — 3) X_2 =
= x2S-3/(l-№)(l-№x2) (192>
48
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
показывает, что вычисление Ха приводится к вычислению интегралов
Xj_s и Х^. В результате последовательного использования равенства”(192)
вычисление интеграла Ха приведется к вычислению интегралов:
*0 =
и
X1 = j У'(1-х*)(1-Л*х’) " { J ~ j ]/"dX}' (194)
Интеграл (190) выражается через интегралы Хо и Xv равенством вида
Хг = АХо + ВХх + Р2з_3 (х) У (1-х2)(1-^х2) , (195)
dx
V (1 — Х2)(1 — /£2x2)
(193)
где А и В суть постоянные, a P2s_3 есть нечетный полинсм степени
2s —3.
Равенство (195) показывает, что
С = аХ0 + + х Р,г_2(х2)У (l-x2)(l-fc2x2) . (196) 1
J 1/ (1 — Х2)(1 —/с2х2)
В этом равенстве Pw(x2) и Рт~Лх2) суть полиномы степени, т и т — 2 |
от х2, а а и р постоянные.
Равенство (196) позволяет легко выделить алгебраическую часть инте-
грала.
Пример. Привести вычисление интеграла
г .
I —
к простейшим.
Согласно равенству (196)
1—х4
dx = а Хо + Р + у х/1 - X4 .
У 1 -х4
Дифференцируя, получаем /
1 4- х4 _ а Р х2 >---------2у х4
У1 -X4 1 — X4 /1 —X4 +у * 1 " х4— У 1 — X4
Освободившись от знаменателя, находим
1 4- х4 «= а 4- у + Р х2 — Зу х4.
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенств?!:
откуда
и
а4-у=1, 0 = 0, — Зу=1,
Интеграл Ур (191) в силу равенства
(2^2)Г1+1^+^Гр_(2р^3)|,+ушз+?ии +
L п л2 J - L п п2 J
+ (2р - 4) - (2р _ 5)^ =
приводится к интегралам У^, Ур-з-
(197)
§ 23 ] ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА К ИНТЕГРАЛАМ 1-го, 2-го ИЛИ 3-го РОДА 49 *
Последовательное применение равенства (197) позволяет выразить
интеграл Yp через интегралы
Yt= С dX
(1 + их2) V (1 - х2)(1 — /С2Х2)
dx v
Y_± = [ . dx—= Xo + nX1.
J V (1 - x2)(l - A2x2)
Интеграл Yv выражается через интегралы Ylt Xo и Xt равенством
Ок + »f+ I3R+ . (198)
где^А, В, С суть постоянные, a Pg_2(x2)— многочлен степени s — 2 от x2.
Из равенства (198) вытекает, что интеграл
С______________________________Р (х2 ) dx
(199)
J Q (х2)У(1- х2)(1 — /с2х2)
где степень многочлена Р(х2), стоящего в числителе, меньше степени
многочлена Q(x2), стоящего в знаменателе, выражается через интегралы
Xe/Xj и УУ .
Если разложение Q(x?) на множители имеет вид
Q (х2) = (1 + ах2)а (1 + Ьх2У .. .(1 + /х2)я,
ТО
Г P(x2)dx _ хР1(х‘)У (1 —х2)(1 — fc2x2)
J Q (х2) У (I - х2)(1 —/с2х2) (1 + ах2)“-1. • .(1 — /х2)^1
-1- f----------p^ldx . = + а Хо + р Хх, (2°0)
J (1 + ах2)...(1 +/х2)]/ (1-х2)(1 —/с2х2)
где Р} (х2) и PJx2) суть многочлены от х2, причем степени их меньше
степеней многочленов, стоящих в знаменателях.
Пользуясь этой формулой, можно легко приводить вычисление инте-
грала вида (200) к вычислению интегралов Хо, Хх и Yv
Пример. Привести вычисление интеграла .
* С - (l-f-x*)dx
J (1 + X2)3 (1 + 2х2)3У1 - х4
к вычислению простейших интегралов.
Согласно равенству (200) имеем
Г(1 4-х4) dx_________________ X (ах4 4- &х2 4- с) _Х4
J (1 + х2)3 (1 + 2х2)2 У 1 — х1 (1 4-х2)2 (1+2х2)
-h С (е*а 4-f) dx___________+ а Г dx + р Г x*dx
J 0 + х2Х1 + 2х2)У 1-х2, J К1 -х4 J У1-х4 '
Поступая совершенно так же, как и в предыдущем примере, получаем
1 + х4 = (ах4 4-&х2 4-,с)(1 — х4)(1 + х2)(1 + 2х2)+
+ (Дах4 4- 26х2)(1 — х4)(1 4х2)(1 + 2х2) 4- х (ах4 + ftx2 4- с)(- 4х)(1 + 2х2)(1 — х4) +
+ х (axi 4- &х2 + с)(— 4х)(1 + х2)(1 — х4) - 2х4 (ах* 4- Ьхг 4- с)(1 4- х2)(1 4- 2х2) 4-
+ (ех24- )(1 4-2х*)(1 4-х2)2 — (а 4-/?х2)(1 4-2х2)2 (1 4-х3)3.
•
4 Справочник по эллиптическим функциям ' ’ *
50 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ { ГЛ. 1
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему уравнений:
— 2а+ 49=0,
— 13а + 2Ь + 4а + 163 = 0 ,
_да _ 7& + 8с + 16а + 25(8 = 0 ,
7а—116 — с + 5е + 2/+ 25а + 193 = 0,
5а + 6 — 13с + 4е + 5/+ 19а + 7? =±= 1,
36 — 5с + е + 4/ + 7а + 3 — 0 ,
с + / + а = 1.
Решив эту систему уравнений, получаем
а = 8.6, 6=17.9, е = 8.3, е = 7.3, /= — 9.1, а =1.8, ₽ = 4.3.
Окончательно получаем следующий результат:
Г_______(1 + х4) dx________8.6х5 + 17.9х3 + 8.3х +
J (1 + х2)3 (1 + 2х2)2 К1 — X4 (1 + X2)2 (1 + 2х2)
f (7.3х2— 9.1) dx Г dx , С x2dx
4- I _у - + 1*8 1 г —- + 4а3 । у-------,
J (1 4-х2)(1 4-2х2) У 1-х4 J И 1 — х4 jyi— х4.
причем . ’ .
С П-Зх2 — 9,1) dx e 16 f 4 dx _ _ 25 5 f dx _
J (1 + х2)(1 +2х2)У 1 - х4 ’ J (1+х2)У1 —х4 J (1+ 2х?)]А —х4 ’
§ 24. Приведение эллиптического интеграла к канонической форие
Лежандра в том случае, когда под знаком корня находится многочлен
четвертой степени. Эллиптический интеграл
]/7(x))dx, (201)
где 7?(х, у) есть рациональная функция х и у, а
Р(х) = оох4 + OjX3 + а2х2 + а3х 4- а4, (202)
при помощи надлежащего преобразования может быть приведен к кано-
нической форме Лежандра
J 7?1 (х, У (1 — х2)(1—fc*x8) ) dx. (203)
При этом преобразование всегда может быть выбрано так, чтобы
модуль fc оказался меньше единицы.
В дальнейшем будем полагать
Р(х) = а0 *х — q)(x — с2)(х — с3)(х — с4). (204)
Рассмотрим отдельные случаи.
Случай 1а. Все корни вещественны (с4 < са <4 с3 < с4) и а0>0.
Положим для простоты письма
\ = (i=l, 2,3,4; /= 1,2,3,4). (205)
Если ввести обозначения
п' = У с12с13, п" = ]/ с24с34, (206)
то подстановка, при помощи которой интеграл (201) приводится к форме
(203), может быть написана в виде
х с‘1 + С4 Q - с4 (п"~ п') z + n" + n' (207)
2 2 (n" + n')z + n" — п'
нахождения модуля следует вычислить величины
т' = Ус13с24, т"-=У с12с34. (208)
j 24} ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТ. ИНТЕГРАЛА К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 5]
Тогда модуль определится из равенства
- и = - п”..
т' + т"
(209)
Легко видеть, что к есть положительное число, меньшее единицы,
ибо С1з>гг2> 4м и, стало быть, т"<тп'.
К этой же величине модуля приходим посредством подстановки.
где
_ С3 + с2 сг — с3 (Г + I") z + Г — I" ,
2^2 (Г—/")? + /' + /"
Г'— £12^24 »
— ]/” С13С34 •
(2Ю)
(211)
Пример. Приведем к каноническому виду эллиптический интеграл
• ______dx
Ух4 —6х3 + Их2 — 6х
В нашем случае многочлен
Р (х) — х4 — 6х3 + 11х2 — 6х
разлагается на множители
Р(х) = х(х — 1 )(х — 2)(х — 3)
и имеет все корни вещественные.
Вычисляя согласно указанной схеме, находим
Сй — 1, £1з = 2
и' =
п
Подстановка (207) в данном случае имеет вид
3 _ 3 2У2 _3г —3
2 2 2^23 2г
Определяем значения величин (208):
т' =1^2x2 — 2,
ш" = У 1x1 = 1;
после этого модуль fc определится из равенства (209):
2 — 1 1
к " 2 + 1 ~ 3 ’
Произведя замену, получаем
. 34(1 — z2)f 1 — —- г2)
\ У / 6
^== . dx==-^Fdz-
Заданный интеграл представляется в виде
SP 2dz
dx______ I----------~~~ • —
У х4 —6xs + 11х2 — б.х J 31/ (! — г21 Т у)
Приведем рассматриваемый - интеграл к каноническому виду посредством другой из
подстановок. Составляем
zr= УТх2 = V 2? У2X1 = у~2.
Подстановка (210) в данном случае имеет вид
14-2 2—1 2V~2z
Х~ 2 2 2У2 ’
г. е. х == 1.5 — 0.5г. .
52
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
{ гл. I
.л-
Произведя замену, получаем
З2 / z2\
Р(х) = -(1-г2)(1--),
Данный интеграл представляется в виде
dx________
'V х4 — 6х34-11х2— 6х
Случай 16. Все корни вещественны (q < с2 < с3 < с4) и а0 <0.
Если ввести обозначения
П ~ ]Z 4 > п G3G1 ,
(212)
то подстановка, которая приводит интеграл к канонической форме, может
быть написана в виде
х == -£2_±_£1 . С2 —ci (nz/ + n')z + n' — п" . (213)
2 2 (л' — п") z + n' + n" ’ k 7
При этом модуль к определяется, если введем обозначения
т' = ]/ с13с24, m" = Y с14с23 . 1214)
из равенства
= (215)
т' + tn"
Нетрудно убедиться, что
^14С23»
откуда следует, что
0 < к < 1.
Можно также привести интеграл к каноническому
подстановки.
f4 + сз . с4 — са (к + к') Z + Г — I"
2 2 (к — I") z+.l' +1"
виду при помощи
(216)
где _____ __________________
/' = У/~ Ci3C23 , I =*= jZ" £14^24 • (217)
При этом модуль преобразованного интеграла будет иметь ту же
величину.
Пример. Приведем к каноническому виду интеграл
JK 1 — 2х — 8х2 + 6х3 — х4 dx.
Многочлен
Р (х) = 1 — 2х — 8х2 4-бх3 — х4
разлагается на множители
Р (х) = — (х 4- 0.4142)(х — 0.2679)(х — 2.4142)(х — 3.7321),
Вопроса о разыскании корней мы здесь не касаемся. Способы приближенного вычисле-
ния корней ложно найти в различных курсах приближенных вычислений. Укажем на пре-
красный курс акад. А« Н« Крылова, где изложены различные методы для приближенного
вычисления корней.
Выполняя вычисления, получим:
с14== 4.1463, , схз = 2.8284,
п' = у 2.8284 x 4.1463‘ = 3.4245,
п' 4- п" = 6.1511,
с23 = 2.1463, с24 = 3.4642;
п" = К 2.1463 X 3.4642 = 2.7266,
п' — п" = 0.6979.
§ 24 ) ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧ. ИНТЕГРАЛА К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ $3
Подстановка, приводящая интеграл к канонической форме, имеет в данном случае вид
*0.2679 — 0.4142 0.2679 + 04142 6.151 lz — 0.6979
Х~~ 2 2 O.C979z + 6.1511*
или
Вычислив
х = —0.0732 + 0.3412
6. 1511 2—0.6979
0.6979 2 + 6.1511
rn' = У 2.8284 X 3.4642 = 3.1302, т" = V 4.1463 X 2.1463 = 2.9831,
находим
, 3.1302 — 2.9831 . 0.1471
++ д 0.0240.
3.1302+2.9831 6.1133
Произведя замену, получаем:
14.7400 (1 — 22) (1 —0.0240* Z*)
Р (х) = “-------------------------—
(0.6979 z + 6.1511/
12.6690 dz
(0.6979?+6.1511/ ’
Данный интеграл приводится к виду
f, J----- СК (1 — z2)(l — 0.02402г3)
1 У р (x)dx =48.6317 V-—5-----------------------— dz.
J r W . . J (0.6979z+.6.1511)*
Совершенно таким же способом можно привести данный интеграл к каноническому
виду с помощью второй из указанных подстановок.
Случай 2а, Два корня сг и с2—вещественные числа (q <с2), а Два другие
корня q и с4—числа комплексные сопряженные, а0>0.
Определяем величины
ь = j/~ С23С24, п =^/~ г13с14. (218)
Подстановка
Х У1 + С2 ^1—— п') COS + + п") z21gx
2 2 (п" + п') cos 92 + (п" — п')
дает нужное преобразование. Выполняя подстановку, получаем
dx 1 dqp (220)
V Р(х) т V 1 — к2 sin2 99
где
2 у 2~И т' т" у (221)
а величины т\ т" и т определяются равенствами
^' = ^14» ^,,==^24 (222)
и
т — аа2гп'т" . (223)
Величины т' и tn”—числа комплексные сопряженные. В результате- подстановки (219) имеем преобразование, выражаемое
равенством
f f Re (cos dv (224)
J V P (X) ,) ]/ 1 —fc2 sin?y
При этом значениям х<вне интервала (q, с2) соответствуют значения ф
в интервале от ‘0 до п. Когда ф увеличивается от 0 до л, то х убывает
от q до —оо и затем от '+оо убывает до с2. Таким образом при тех
значениях х, при которых выражение 1 — k2sm2cp^>0. Веще-
51
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
(ГЛ Ц
/? (х)
ственным значениям подинтегральной функции .................... соответствуют
]/р(х) .
вещественные значения функции —^£2^1— ,
У 1 — к2 sin 2ip
Интеграл, стоящий в правой части равенства, разбивается на два
интеграла
Г /?0 (cos у) dy _____ Г Ri (sin3 у) dy С /?2 (sin2 у) cos у dy (225)
J V1 — к2 sin2 у j У 1 — к2 sin2 у J ]/” 1 — № sin2 у
Второй из них подстановкой z — sincp приводится к виду
Г /?2 (sin2 у) cos у dtp _ Г /?2 (z2) dz
J V 1 — к2 sin2 у J V 1 — k2z2
и интегрируется в элементарных функциях.
Пример. Преобразовать интеграл
Г (1 "b x) dx
J У" х4 н- х
к канонической форме Лежандра.
Имеем
х* + х = х (х 4- 1) (х2 — х + 1),
откуда
1 . 1 Vт.
сг----1, с21— 0, с3 — » I; Ci-*- .j
Выполняя соответствующие вычисления, получаем
Подстановкой
1 _1_ (У 3—1 )cosy+ У 3 -j- 1
2 • 2 (|/г з 1) Cos ср 4- ]/" 3 — 1
или
§ 24 ] ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТ.ИЧ. ИНТЕГРАЛА К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 55
приводим интеграл к виду
Г О х) ________Г________УЗ (cos ф 4- 1)________dg>_____________
J у х* + х J (У~3+ 1 ) cos? + СУз — 1) |/7]/ 1 — /с2 sin8 <Р
___|/T С 2 — (1 + У~7) sin2 у________________d<p_________
2 у 3- (2 + У~3) sin2? 7 2 +УТ
) 1/ 1——--------sin2?
г 4
(2 у 3 — (2 + У~з) sin2 9?)
d sin <р
Второй интеграл выражается через элементарные функции.
Случай 26. Два корня многочлена сг<^с2 числа вещественные, два
другие корня с3, q числа комплексные сопряженные, aQ <,0.
Составляем величины
п’= У с28см, п" = ]/сис14. (226)
Подстановка
х — ci +сг + ci—4-«") cos ? + п' — к" (227)
2 2 (п' — п") cos <р 4- п' 4- п"
дает
--Д=- = 1--*^... , (228)
У Р (х) т У 1 — к2 sin2 <р
где
fc2 = - Л — t—jrrx. (229)
2 у 2^т'т"J
Величины т', т” и т определяются равенствами
/Л = ^23^14» --^13^24» ’ (230).
т — а^т’т". (231)
Величины ги7 и т^суть числа комплексные.сопряженные.
В рассматриваемом случае подинтегральная функция имеет веще*
ственные значения при х, заключенном в промежутке (сп с^).
Подстановка (227) преобразует промежуток (0, л) в промежуток (ср с,),
сохраняя вещественность подинтегральной функции.
Пример. Вычислить интеграл
-1
Г dx
J У^х — х4
о
Имеем
Р (х) = X — х4 = — X (х — 1) (х2 4- X 4* 1).
В рассматриваемом случае
56
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
{ ГЛ Л
Вычисляем
Подстановка (227) имеет в данном случае вид
1 . 1 Г/Т+1) cos <р 4- V 3 — 1 1
2 2 (У~7— 0 cos <р 4- V 3 4-1 VTctg2 — 4- 1
Вычисляем т', т", к2 и тл:
Окончательно получаем
Заметив, что
находим по таблицам
= sin 15°,
Р(90°, 15°) = 1.5981,
= 2.4285.
Случай 3. Все корни cv с2, с4 мнимые, п0>*0.
Пусть ct=a—bi и c2=a+bi представляют собой одну пару сопряженных
мнимых корней и с3=с—di, c^c+di другую пару. При этом коэффициенты
мнимых частей у с2 и с4 положительные.
Вычисляем величины
п' = у cuc2i = fi + vi и л" = у с13с23 = м — ri-
При извлечении корня берем те значения, у которых .вещественная
часть положительна.
Подстановка
х = с + d + (232)
— v tg <р
приводит интеграл к канонической форме, причем
• _____________ 1 ______‘
]/ Р (х) т У 1 — /с2 sin2 (р
Модуль к находится по формуле.
—- 2У/п/н1/<
т' 4- т" 9
где '
т’ = К си с23 , т'1 = У с13 см
(233)
(234) ’
(235)
§24] . привел, эллиптич. интеграла к канонической, форме 57
т = ^Уа0(т'+т").
Таким образом, выполняя подстановку (232), имеем.
Г R (x)dx _ Г _ /?0 (tg <р)
J У Р (х) J У1 — к2 sin2 у
Разбивая последний интеграл на два, получаем:
Г R (х) dx _ Г /?1 (tg2 у) dq> + drfi
J У Р (х) J У 1 — к2 sin2 <р J У1 — к2 sin2 <р ’
ИЛИ
Г R (Зс) dx . р 7?3 (sin* у) j Г /?4(sln2y)dsin2y
J У Р{х) J У1 —Тс» Sin» у I У1 — k2sin2V
(236)
(237),
Второй интеграл выражается через элементарные функции.
Пример. Привести к каноническому виду интеграл
В рассматриваемом случае
Находим __4________
п'=V (1+г)у т/I=у2(i+i),
Л'= {'j/a + VT + i]/2—V2 и п" ~ {]У2 + У2 — z Vz — V2 ) :]/г;
Подстановка _______ ______________
1 '1 ]/г +УТ igy + J/"2—КТ
У2 ' У 2 ]/’2 + УТ—j/'a-yTtgy’ '
или __ •
л_1 + (У~2- i)tgy
1—(У’2— l)tgy
приводит интеграл к канонической форме.
Для модуля получаем выражение 1
2 + У 2
После преобразования получаем
f ______ г-г г— v Г У/"1 — 4 (з Уг — 4) sin2 у
I У 1 + хМх = 2У 2 (У 2 — 1) \ ----—J= --------гг d<f>
J J (соБф—(у 2 — 1) sin92)
1 + <16— 12У 2) sin2 у
(t _ (4 — 2 У 2 ) sin2 у)4
j/"l 4 (З У 2 — 4) sin2 у dy +
1
+ (l2 У 2 — 1б) (j 1 +/2Sm~ 1 — 4(3 Уг —4) sin2 у dsin2yt
J(l_J4_2y 2) siti2 (jp)
Последний интеграл выражается в элементарных функциях-
38
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
( гл. 1
§ 25. Приведение к каноническому виду эллиптического интеграла
в случае, когда под знаком корня находится многочлен третьей степени.
Случай 1а. Все корни многочлена
Р (х) = а0х3 + а±х2 + а2х + а3 = а0 (х — q) (х — Cj) (х — с8)
вещественны, (с1<сг<с3) и а0>0.
Составляем выражения
= т'^Усзз. (238)
Подстановка
х==£1+^2 (т' + т") sin <р + т’ — т" $239)
2 2 т' + т" 4- (т' — т") sin <р
преобразует интеграл к каноническому виду: При этом
-7d-x- - = — - . , (240)
у Р (х) m У 1 - sin2 <р
где
(241)
т' + т"
И
m 4~ m -| /~ “ /л а
т — ---V а0. (242)
При изменении х в интервале (q, q) величина <р изменяется от —Д-’
Пример. Преобразовать интеграл
* * 1
У___________dx________
J V х (1 — х)(1 - Й2Х) ’
о
1 > h > 0.
В рассматриваемом случае
/|А—й2
й
h'
h '
Преобразование
1 1 (1 4- h') sin g? 4-1 — //
Х 2 2 1 4- h' 4- (1 — h') sin <p
или • .
1 4~ sin (p
X 1 4- h' 4-(l — h' )sin?2
приводит интеграл к виду
Г________dx________
J V х(1 — х)(1- й2х)
п
Т
1 Г Ач>
т J Ух - /casing ’
где.
1.+ Й'
«я
1 +й.'
2й
2
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА
59
В результате подстановки имеем
1
__________dx__________
V х(1 — х)(1 — й2х)
о
2
4 С dg>
1 4- /f J |/ 1 —. к2 sin2 (р
о
«ли, в силу преобразования Ландена,
п
1 ~
С dx 2 Г dy
J V x (1 — x)(l — йгх) J Kl—ft2sin2?>
0 0
В тех случаях, когда приходится рассматривать подинтегрдльную функ-
цию при значениях х>>с3, выгоднее пользоваться преобразованием:
х=с3 + т'т" 1 + sin9>-. (243)
1 — sin ф
Преобразование (243) переводит промежуток (с3, оо) в промежуток
При этом соотношение (240) остается в силе. Многочлен Р(х)
у 2 2 /
•остается отрицательным в промежутках (—оо, cj и (с2, с3).
Случай 76. Все корни Р(х) вещественны и а0<0.
Составляем выражения
т' = ]/~с^з, т" = ]^. (244)
Подстановка
, ,, 1 — Sin т?
х = с, — т'т -------- (245)
1 1 4- sin*? '
приводит интеграл к каноническому виду. При этом значениям х в про-
межутке (—оо, соответствуют значения 99 в промежутке •
Преобразование дает
d' __ 1 ___
V Р(х) т —k2sin2<?
где
т' — га"
т' 4- га"
т
V—йо-
(246)
(247)
Приведение интеграла к канонической форме может быть произведено
и иначе, с помощью подстановки:
х == + (т' + т") sin ф + т” — т' &л$\
2 2 т' 4- т” 4- (т' — га") sin 9? '
^Ждётановка (248) преобразует интервал (с2, с3) в интервал Г — —,™).
. Значения модуля fc и множителя т остаются теми же, что и в случае
. преобразования (245).
Пример. Привести к каноническому виду интеграл
f dx
J Ух — X3
—оо
60 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ ГЛ.
Произведя вычисления, получаем:
т' = У 2, т" = 1,
, Уг-i 1ЛГ+1
к = ——-----, т =-------------.
У 2+ 1 2
Берем подстановку (245):
УТ+ 1 — (У 2— 1) sin у
1 + sin у .
Получаем
л
—1 V
С dx ________ 2 Г __________d(p_____
J Ух — х3 X 2 + 1 J "Kl—Zc2 sin2 <Р 9 л
—сю ~ п
2
или, принимая во внимание преобразование Ландена,
имеем окончательно
л
Случай 2а. Один корень вещественный и два мнимых сопряженных,
а0>0. Пусть сх имеет вещественное значение, а с2 и с3 суть числа ком-
плексные сопряженные. Находим величины
(249)
т' и т" суть числа комплексные сопряженные.
Пусть
т’ = д 4- vz,, 0.
В таком случае подстановка
х = С1 + + 1-cosy. (250)
1 H-cosg?
приводит интеграл к каноническому виду. При этом
dx = J___________________________________, (251)
V Р (х) т V1 — к2 sin2 у
где
. _1_..г- (252)
у р,2 4- г2 .
И
т = ]/"«(> (м2 + I2). , (253)
4®]
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА
61
Пример* У простить интеграл
dx
приведя его к
Имеем
каноническому виду.
Ci — 1, с2 —
1 У з
с —-------------------
2 2
2
2
«ли
Находим
т'
71 П
cos — + I sin —
б б
4 /—1 / Л • я \ 4 ( V3 + 1
m' = ±]<3 (cos — +isin— J = ±l/3
/3~+ 1
2/2
а/=у 3 ——
2/2 (
- /~3~— 1
2/T
Подстановка
приводит интеграл
. — 1 —cos <р У~з +1 — (V з — 1) COS (р
х == 1 4- у 3 . — '
1 + cos (р 14- cos (р
к каноническому виду. При этом имеем
4 /— ]/~3— 1
к = у 3-----7=^-
г 2^2
3 =---7=
2/2
Таким образом
dcp________
- 2-/Т ~
1 —--------sin2 <р
4
Случай 26.
сопряженные, аа<0.
Определяем величины
с13, т"
Один . корень вещественный и два корня комплексные.
(254)
Пусть
zn'=^ + rf,. т>0.
Величины т' и т" суть числа комплексные сопряженные.
Подстановка
Х=С1— {/X2
4 + cos у
1 —cos<p
(255)
дает
dx
d<p
2
т уТ 1 —к2 sin2 ср
2 2
3 — 1
V
4 /-
т — у 3 .
где
V
]/"/42 4" v2
(256)
62
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
I ГЛ. |
m = j/" | я0 j (^а + г2;. (257)
Пример. Привести к каноническому виду интеграл
х dx
/1-х3 ’
В рассматриваемом случае
1 _ = — (х — 1)(х2 + х + 1) .
Находим
Получаем
Подстановка
„ г— 14- cos (р (V 3 4-1) cos 9? 4- ]/~з"— 1
х = 1 — |/ 3 —--------—--------------------------: -
1—COST? 1—COS <р
приводит интеграл к каноническому виду. При этом имеем
т = j/ 3.
Окончательно получаем
dqp —
d sin у
sin2 т?
>/3 4-1
2 КТ
Второй интеграл выражается через элементарные функции.
§ 26. Частные случаи приведения эллиптического интеграла к нано*
ническому виду Лежандра.
Отметим некоторые частные случаи интегралов и соответствующие
подстановки, приводящие их к нормальной форме Лежандра:
'7 (.<->»
J V («2 + х2)(62 + х2)’ а 4 а /
X = b tgg?;
«} ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСК. ИНТЕГРАЛА К КАНОНИЧ. ВИДУ 63
„ ,<** ..^=_Lr (у,ЗСа_
V (а2 + х2) (&2 + х2) а V а /
х = a ctgg>;
dx -----------= - У - F (<р, a
У (а2 — x2)(&2 + x2) Уа2 +&2 \ У а2 + b2
О
ab sin ф
* = 77-------=^=»
V а2 cos2 <р + Ь2
У (а2 — x’Xfr’ + x*) • Уй»+&» 1/’Ув2 + »2
* х ’ .
х = acosgr,
X
__________dx__________
У (х2 + а2)(х2 — Ь2)
ь
1
У а2 + Ь2
х = b s&c $>;
в* •
f____________dx _ i
J У (X2 + а2)(х2 — b2) У а2 + Ь2
x = ]/rb2 + (a2 + Ь2) ctg2 <р;
Г 1 г? ( а\
1 -у^:. . = — F ф, —
JV (а2-х2)(^~х2) * \ bj
о
х == а sin ф;
а
С i с* ( \
\ --,г= — Г О),.— )
JV (а2 — х2)(£2 — а2) b \ b J
а
Abcos^p
1КЬ2 — a2 sin2 у
(Ъ>а\
(Ь>а),
dx 1 / Уа2 — Ь2\
77=-- - =— F\ q>,----------
V (х2 —Ь2)(а2 —X2) а \ a J
У-- аЬ ;
у a2 cos2<p + b2 sin2 9?
dx 1 У а2 — ь2 \
Zf-----—7==r =— F g>, -------------
V (x2-b2)(a2~x2) a \ . a J
x = ]/"a2 cos2 + b2 sin2 g>;
(fl>b\
(a>b\
(259>
(260>
(261>
(262>
(263);
(264>
(265>
(266)
(267>
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНУЕГР4ДЫ ;
[ГЛ. I
х
Г dx 1 с, / а \
\ 7-...................= = — F (ф, — )
J ]/ <х2 — а2)(х2 — &2) 6 ' ь'
(а<Ь),
(268)
х= ]Уь2 + (ь2—«2)tg29>;
Г___________dx__________
J V (х2 — а2)(х2 — &’)
(a<b),
(269)
х = b cosec <р,
X
Г / x2Ja2 dx = а_ Е I
J I' (,х2 + &2)3 62 \
О
(а> V,
X = b tg су;
(270)
X2 + 62 , 1 „ f у а2 — »2
—— dx = — Е \ <р,
(х2 + а2)3 a v
а
(а >6),
dx
х — a ctg ф;
1
J V (а2 — х2)(х2 + &*)« Ь2 У а2 + Ь2
О
г, / а
Е । Ф,
(272J
%____ ab sin 99
]/~ a2 cos2 (р + Ь2
,-------- ( ____а___\
dx = у а\+ b2 Е' (7 у 777 ],
(273)
х =r a cosg?;
X
х2 4- a2 dx "У а2 + &2 „ ( , а \
х2 — &2 х2 &2 7 У a2+ b2 J
х== Ь sec д>;
со
У У =v a2+i‘E (» гТУ
X
х = ]/й2 + (а2 + 62)ctg2<p;
(274)
(275)
dx=aE(<p, —
' \ л
(а>Ь),
(276)
х = b sin <р;
§ 26 ] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСК. ИНТЕГРАЛА К КАНОНИЧ. ВИДУ 65
Г_________dx________
J V(а2 -X2)3 (&2 —х2)
X
(277)
(a>b).
_____ab cos
]/" д2 __ ^2 Sjn2 fp
X
Г____________dx_______
J X2 )/(a2 — x2)(x2 —62)
(a>b),
(278)
Уa2 cos2 <j> + b2 sin2 <p
a ________
X2dX ]/d2 — £2
, - ...= a E[ у, —--------------------
•У (я2 — x2)(x2 - 62) \ a
b
(279)
x = ]/"й2 cos2 g) + b2 sin2
x
Г dx a „ ( b \
i —r'~......— — - ....- =------E ( <p, —)
J]/ (Х2-Д2)(х'2-.&2)3 a2—62 \ a/
a
(280)
x = a2 + (a2 — t2) tg2 <p;
fl/
J у x2 — a2
X
dx 1 j?
— — ~E
x2 a
(«>£),
(281)
x = a cosec
y^ZTi Sin 15°)’ sinl5°=y^y^-^ 0.258819,
(282)
x= 1 + }/3 ctg2 —, cos <f> — ——-—;
2 x - 1 +]/a
X
(-~=r=T-^F(g>. sin 15°), i/3s= 1.316198,
J Ух3— 1 уз
(283)
X = 1 + ]Лз tg2 , cos 9> =г -УХ-+ 1 ~ X ;
2 Уз -1 + x
r^=- = F(<P> sin 75°), t-U 0.759836,
x = 1 — |//tg2^, cosy = У-1Д'-1- + х;
2 У 3 + 1-X
5 Справочник по эллиптическим функциям
(284)
бб
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
х
I dx_________
1 "И1 — х»
^F(<p, sin 75°),
УЗ
/2 + /7
sin 75° = --------0.965926,
n 7
1 -x — v 3
cos g> =----r—-
1— х + Уз
1
dx
У~Х*+ 1
X
х — 1 — j/" 3ctg3 —,
2
xV 2
2/2 (]Л2— 1) =50.985171,
cosy
X = l/1^+ cos2 99 — sin q>
f V 1 4- cos2 у 4- sin g>
oo
[ -7-rfx- — =- F (g>, -U\, -L-«=• 0.707107,
J/x‘+ 1 2 у 2 у 2
X x 7
X2 — 1 , (p
cosg)=-------, x=ctg —;
x2 4- 1 2
X
cosy
1 — X2
1 4-x*
x = tg2f-;
X
f dx — 1 F
J/F-i K7
(’w)-
x=sec <p’,
i
x=cos<p.
(285)
(286)
(287)
ЭВ8)
(289)
(290)
ГЛАВА II
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
§ 1. Амплитуда. Если рассматривают верхний предел интеграла
J 1/" 1 — Л2 sin2 а>
о
как функцию от и, то пользуются обозначением
Ф = ат и . (2)
Величина и называется аргументом и обозначается
и = arg . (3)
Амплитуда является бесконечно многозначной функцией аргумента.
Точки разветвления амплитуды соответствуют значениям аргумента
u = 2mK + (2n + Y)iK' , (4)
где т и п — произвольные целые числа, а К и К' — полные эллиптические
интегралы первого рода:
л л
т т
С d со _ f* d со
J ]/" 1 — к2 sin2 со J — Л'2 sin2 со
о о
причем
fc2 + fc'2=l.
На фиг. 21 дано изображение поверхности для той ветви функции
Ф = g>i + i ф2, которая при и = 0 обращается в нуль и имеет положитель-
Фиг. 21
5*
68
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
{ ГЛ II
ные значения при положительном и. На фигуре показаны изолинии модуля
ат и и линии одинакового значения аргумента, при значении модуля
fc = 0.8.
Места поверхности, соответствующие разрезам, которые соединяют
точки разветвления, показаны четырьмя зачерненными поверхностями
в левой части фигуры.
На фиг. 22 дается изображение изолиний вещественной и мнимой частей
той же ветви функции д> — ат и при значении модуля fc = 0.8. Изолинии
вещественной и мнимой частей функции <р = 94 + z снабжены число-
Фиг. 22
выми отметками. Значения вещественной части для большего удобства
рассмотрения фигуры выражены в градусной мере.
На фигуре отмечены разрезы, соединяющие точки разветвления.
В этом случае К — 2.00, /<' = 1.75.
Для ветви амплитуды, принимающей вещественные значения для
вещественных значений аргумента и обращающейся в нуль при и = 0,
имеют место соотношения
ат (— и) = — ат и, (5)
ат (и + 2/<) = йт «-]-я, (б)
ат (zz + 2/C'z) = я — ат и. (7)
Равенства (5) и (6) следуют непосредственно из равенства (67) и (68)
главы I. Равенство (7) получается из равенства (66) при т = 1, л = 1
и равенств (5) и (6).
§ 2 ]
СИНУС АМПЛИТУДЫ
69
Из соотношения (7) следует, что
ат (п 4- 4/C'z) — ат и.
Амплитуда есть периодическая функция и с периодом 4К'1.
Для небольших значений и имеет место приближенное равенство
ат [/ (А' — u)] = z In —. (9)
ки
(8)
§ 2. Синус амплитуды. Функция
sn и = sin д> = sin am и (10)
называется синусом амплитуды или, иногда, эллиптическим синусом.
Аргумент эллиптического синуса выражается интегралом
Z
dt
и = I . ... -.............
jy (1 — Z2X1 — кЧг)
о
(11)
где
z = snzz. (12)
Эллиптический синус есть функция, обратная эллиптическому инте-
гралу первого рода (11).
Величина fc называется модулем функции snzz. В некоторых случаях,
когда бывает необходимо отметить значение модуля, пишут:
sntz=sn(zz, fc). (13)
Эллиптический синус sn и есть функция двояко периодическая. Основ-
ные периоды функции snzz равны 4К и 2A'z, где К и К'_суть полные
эллиптические интегралы,
является любая величина
соответствующие модулю к. Периодом sn и
а> = 4тК + 2п1К',
(14)
где т и « — произвольные
целые числа:
sn (и + 4тК + 2ш/С) = sn zz. (15)
Построим на плоскости параллелограммную сеть (фиг. 23), приняв
за основной параллелограмм тот, который построен на сторонах 4К
и 2K'i, Значения, принимаемые функ-
цией snzz в отдельных параллелограммах,
воспроизводят значения, принимаемые ею
в основном параллелограмме. На фиг. 23
этот параллелограмм заштрихован. Когда
к вещественное, основной параллелограмм
имеет форму прямоугольника.
Функция sn zz имеет нули в точках
и — 2тК 4- 2nK'i
и полюсы 1-го порядка в точках
и = 2тК 4- (2« 4- 1) K'i,
где тип суть целые числа. На
а полюсы крестиками. Вычет, соответствующий полюсу функции sn и,
равен
(16)
о-
(17)
фиг. 23
(- 1)"‘
к
6-
I2
2П
Т
-ZK'
Фиг. 23
О
-6
нули обозначены кружками,
(18)
70
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
( ГЛ. и
О распределении значений функции snu в основном параллелограмме
периодов можно составить представление с помощью поверхности, изо-
браженной на фиг. 24. На этой фигуре, соответствующей значению
к = 0.8, отмечены линии одинаковых значений модуля j sn и [ и равным
образом изолинии аргумента.
В табл. 13 даны значения sn^ + uj) в основном параллелограмме.
Отметим соотношение.
sn — К = 7------.
2 /1 + fc'
Функция sn и есть функция нечетная:
sn (— и) = — snu.
(19)
(20)
При вещественных значениях к, удовлетворяющих неравенствам
— для вещественных'значений и имеют место соотношения
s — 1 sn и < 1.
§ 3. Косинус амплитуды. Косинусом амплитуды или эллиптическим
косинусом называется функция
cn u = cos д> = cos am и . (21)
Аргументом эллиптического косинуса служит интеграл (11). Его можно
представить в виде .
Z
П = I -7.......—•... ...,
J у 1 — t2 и /с'2 4- Л2«2
dt
(22)
где
z = сп и.
S3 ]
КОСИНУС АМПЛИТУДЫ
71
Эллиптический косинус является функцией, обратной интегралу (22).
Величина к называется модулем функции сп и. В тех случаях, когда
значение модуля должно быть отмечено, пишут
сп и = сп (и, к). (23)
Эллиптический косинус есть функция двояко периодическая с основными
периодами 4К и 2К + 2К'1. Периодом спи является любое число вида
(о = 4тК + (2К. -f- 2/C'z) п, (24)
где т и п — целые числа:
сп [л + 4тК 4- (2К 4- 2K'i) л] = сп и. (25)
Если построить сеть из параллелограммов (фиг. 25), приняв за основ-
ной параллелограмм тот, который построен на векторах 4К и 2К 4- 2/C'z,
то значения спи в основном параллелограмме будут повторяться в осталь-
ных параллелограммах сети. На фиг. 25
основной параллелограмм за-
изображенной на фиг. 26
сп и в основном параллелограмме можно
составить представление с помощью поверхности,
(для значения модуля к = 0.8), на которой нанесены кривые одинаковых
значений модуля и аргумента сп и.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[ ГЛ. II
В табл. 14 даны значения сп (ux + ц2?) в основном параллелограмме. Таблица 14
и2 \ 0 К 2К зк 4К
0 1 0 — 1 0 1
К' оо оо X/ к оо
Отметим соотношение сп^К = -Й£=-. 2 Vl+k' (28)
Функция спи есть функция четная:
сп (— и) = сп'и. (29)
Для вещественного значения к, удовлетворяющего неравенствам
— 1<й<1»для вещественных значений и имеет место соотношение
— 1 С сп и С 1 •
§ 4. Дельта амплитуды. Дельтой амплитуды называется функция
dn и = А(р = j/" 1 — к2 sin2 д>, (30)
или
dn и = ]/" 1 — к2 sin2 am и .
Аргумент и определяется величиной интеграла (11). Функцию dn и
можно рассматривать как функцию, обратную интегралу
Z
0=?v—dt (31)
J V (1 — <2)(/2— /с'2)
1
где
z = dn и.
Дельта амплитуды есть функция двояко периодическая с основными
периодами 2К и 4K'i. Периодом dnu является любое число
со = 2mK + 4nK'i, (32)
где т и п — числа целые:
dn (и 4- 2тК + 4nK'i) = dn и.
(33)
Основной параллелограмм периодов функции dn и изображен на фиг. 27.
При к вещественном и по модулю меньшем единицы он представляет
собой прямоугольник. На фиг. 27 этот параллелограмм .заштрихован.
Фиг. 27
Функция dn и имеет нули в точках
« = (2от +1)К + (2п+1)К'/ (34)
и полюсы в точках
и = 2тК + (2п + 1)К'1, (35)
где т ип — целые числа. Порядок полюса
равен единице. Вычет, соответствующий
полюсу, равен.
(— I)”-1/.
(35')
|И
НОМОГРАММЫ ФУНКЦИЙ
73
О распределении значений dn и в основном параллелограмме можно
составить представление с помощью поверхности, изображенной на
фиг. 28 для значений модуля к = 0.8. На этой фигуре указаны линии
одинаковых значений модуля и аргумента dn (ux + и2г).
Фиг. 28
В табл. 12 дано распределение значений dn(ur 4- u2i) в основном парал-
лелограмме.
Таблица 15
0 К' | 2К' ЗК'
0 1 1 11 1 03 1 1 со
К 1 к' 1 0 | — к' \ 0
Отметим, что _
dn = (36)
Функция dn и есть четная функция аргумента
dn (— и) = dn и. (37)
При вещественных значениях к, удовлетворяющих неравенствам
1 <^к < 1, и для вещественных значений и имеем
к' < dn и < 1.
§ 5. Номограммы функций sna, спя, dnu. Введем новое переменное
74
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Г ГЛ. П
На фиг. 29, 30, 31 даются номограммы функций
sh(2Kt'), сп(2/Со) и dn(2/<x»)
Фиг. 30
Фиг. 31
соответствующих функций указаны на вертикальной шкале. Значения
модуля fc2<l поставлены в виде отметок на отдельных линиях.
Пользуясь этими номограммами, можно определить значения sn(2Kf),
cn (2Kv), dn(2Kv) при любых вещественных значениях -и для 0<fc2<l.
$6 1
ТАНГЕНС АМПЛИТУДЫ
75
§ 6. Тангенс амплитуды. Тангенсом амплитуды называется функция
tn и = tg д> = tg am и.
(39)
Аргументом тангенса амплитуды служит эллиптический интеграл (И).
Тангенс амплитуды или эллиптический тангенс получается в резуль-
тате обращения интеграла
at
(40)
“ = 1^===’
J V (1 + p)(i + fc/2P)
где z = tn а.
Эллиптический тангенс есть двояко, периодическая функция аргу-
мента и с основными периодами 2К и 41К'. Всякое число
<о = 2тК + 4niK',
(41)
где т и п— целые числа, является периодом эллиптического тангенса:
tn (u + 2тК + 4nK'i) = tn и. (42)
Основной параллелограмм периодов такой же, как и у дельты ампли-
туды. Нули функции tn и находятся в точках
и — 2тК 4- 2пКЧ, (43)
а полюсы в точках
« = (2т+ l)K + 2nK'i, (44)
где т и п — целые числа. Порядок полюса равен единице. Вычет, соот-
ветствующий полюсу, равен
В табл. 16 даются значения функции tn (ut + u2f) в основном парал-
лелограмме.
Таблица 16
Я / to I 0 1 К' | 2K' 3K'
0 0 i 0 —i
к co i k' co i ~~k'
Отметим, что
Эллиптический тангенс есть функция нечетная:
tn (— ц) — — tn и. (47)
Для вещественных значений к, удовлетворяющих неравенствам
— 1 < Zc <; 1, при вещественном и эллиптический тангенс принимает
все вещественные значения.
§ 7. Формулы сложения для функций впя, спя, йпя, tn я. Для эллип-
тических функций sn и, сп и, dn и, tn и имеют место формулы сложения,
которые выражают функции sn (« + »), cn(u + ©), dn(u + t»), tn(u+t/)
76
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
( ГЛ. II
в виде рациональных функций snn, спи, dnn, tn zz, sn^, cn-u, dn^, tnu
Формулы сложения функций sn и, cn п, dnzz, tn и могут быть легко полу-
чены из формул сложения эллиптических интеграловЦ(133), (134); глава I].
Формулы сложения имеют следующий вид:
z r 4 sn u cn v dn v ± sn v cn и dn и sn (« + -»)- , 1 — k2 sn2 и sn2 v (48)
, . x cn и cn v =F sn и sn v dn и dn v cn (tz + v) = , 1 — k2 sn2 и sn2 v (49)
< z । x dn и dn v =F k2 sn и sn v cn и cn v dn (u + v) = ! , — 1 — k2 sn2 и sn2 v (50)
tn (и + г?) ==
tn и dn v ± tn v dn и
1 ЯР tn и tn я dn и dn v
(51)
Из основных формул вытекают, как следствия, соотношения:
U V U — V U — V
sn U + sn V = i. Sil Lil Ull 2 2 2
„ U + V u — v 1 — k2 sn2 sn2 2 2
и -\-v U — V
cn и + СП V = 2 cn cn 2 2
и 4- v u — v 1 1 — k2 sn2 sn2 2 2
dn и + dn v = „ J и 4- v u — v 2 dn dn 2 2
и 4- v u—v 9 1 — k2 sn2 sn2 2 2
и — V п + V и + V
2 sn - сп —— dn——
sn U — sn v =---------------:,
и + V и — V
1 — к2 sn2 —~— sn2 —-—
2 2
ll+V v—u . п + v t u — v
2 sn----sn-----dn-----dn —-—
2 2 2 2
cn a — cn v =----—----------------------—
и + V U — V
1 — к2 sn2--sn2 —-—
2 2
(52)
(53)
(54)
(55)
dn a — dn =
«4-v v — u . u + v , n—u
2 k2 sn----sn------dn------dn------
2 2 2 2
и 4- v и — v
1 — к2 sn2--------sn2---------
2 2
a 4- v и + v u — v
2 sn-------cn-------dn-------
. , . 2 2 2
tn a + tn v =---------------------------------------
> / «4-0 u — v\
{ 1 — k2 sn2-----sn2------- спи cn v
\ 2 2 J
u — v u — v J и + v
2 sn --------cn---------dn---------
. . 2 2 2
tn U — tn V --------------------------------------------------
i tn U + V u — v\
I 1 — k2 sn2--------sn2---------i cn и cn v
2
2
(56)
(57)
(58)
(59)
§ 8 ]
ФОРМУЛЫ сложения для ФУНКЦИЙ
77
sn(u + v)sn(и-®) = ^n°a-sna” , 1 — k2 sn2 и sn2 v (60)
sn (U + v) cn(u -v) = ..s^cnndn. + snvcn.dna 1 — k2 sn2 и sn2 v sn (» + V) dn (u -V) = -^--^n^ + sn^dn^cn^ f 1 — k2 sn2 и sn2 v л x - ч sn и сп и dn v — sn v cn v dn и сп (и + sn (tz — V) , 1 — k2 sn2 и sn2 v л , x x cn2 и — dn2 и sn2 v cn (u + v) cn (u — v) , 1 — k2 sn2 и sn2 v СП (u -H)dn(u-®) = } 1 — k2sn2usn2v dn (U 4- v) Sn (u - v) = ,?n«dn«cng-Sn invent, ' 1 — k2 sn2 rzsn2 v (61) (62) (63) (64) (65) (66)
dn (U + «) cn (u - V) = -£?.ad.na.c"^n2> + ^snasnp 1 — k2 sn2 и sn2 v dn (U + t>) dn (u - V) = ^,-^u^v . 1 — k2 sn2 и sn2 v (67) (68)
§ 8. Формулы для функций sn2u, сп2и, dn2u, tn2.
„„ ~ 2 snucnudnu
sn 2ll = -------------:
1 •— fc2 sn4 и
п сп2 и — sn2 и dn2 и
СП 2 И =----------------- ,
1 — к2 sn4 и
< n dn2 и —- к2 sn2 и сп2 и
ап 2и =---------------------,
1 — к2 sn4 и
а п 2 tn и dn и
tn 2u =---------------.
1 — tn2 и dn2 и
(69)
(70)
(71)
(72)
§ 9. Формулы ДЛЯ фуНКЦИ! а и и и t и й sn —, сп—, dn —, tn—. 2 2 2 2
2 1 sn2— и = (73)
2 1 + dn и
2 1 СП2— и « dn n 4- cng /ул\
2 1 4- dn и ’
dn2~ и = к'2 + dn п + fe2 сп п
2 1 4- dn и
tn2 — и = 1~спгг (76)
2 dn и 4- сп и
§10. Соотношения между функциями sn», спи, Дни. Между функ-
циями snu, спи, dnu имеют место соотношения
sn2u + cri2u=l, dn2u 4- fc2sn2u = 1, dn2u — k2сп2и — 1c'2. (77)
§ 11. Производные от функций спи, спи, dn», tn и. Производные от
функций sn и, сп и, dn и, tn и характеризуются равенствами.
d sn и • j d сп и
—г— = сп и dn и, -----= — sn и dn и,
du du /7Яч
§ 8 ]
ФОРМУЛЫ сложения для ФУНКЦИЙ
77
sn(u + v)sn(и-®) = ^n°a-sna” , 1 — k2 sn2 и sn2 v (60)
sn (u + v) cn (u-v) = ^"«cnndn^ + sn^n^dnn 1 — k2 sn2 и sn2 v sn (U + V) dn (u -V) = -^--^n^ + sn^dn^cn^ f 1 — k2 sn2 и sn2 v „ , . v x sn и сп и dn v — sn v cn v dn и СП (и + sn (U — V) = , 1 — к2 sn2 и sn2 v л , х х сп2 и — dn2 и sn2 v СП (и + «) СП (и — V) = , 1 — к2 sn2 и sn2 у сп (и -Н)dn(и-я) = } 1 — k2sn2usn2v dn (и 4- v) Sn (и - v) = ,?n«dn«cng-Sn invent, ' 1 — к2 sn2 nsn2 у (61) (62) (63) (64) (65) (66)
dn (U + «) cn (u - V) = —"ad."a.cn vdnp.+ ^snnsnp 1 — k2 sn2 и sn2 v dn (U + t>) dn (u - V) = ^,-^u^v . 1 — k2 sn2 и sn2 v (67) (68)
§ 8. Формулы для функций sn2u, сп2и, йп2н, tn2.
„„ ~ 2 snucnudnu
sn 2ll = -------------:
1 •— fc2 sn4 и
п сп2 и — sn2 и dn2 и
СП 2 И =----------------- ,
1 — к2 sn4 и
< n dn2 и —- к2 sn2 и сп2 и
ап 2и =---------------------,
1 — к2 sn4 и
а п 2 tn и dn и
tn 2u =---------------.
1 — tn2 и dn2 и
(69)
(70)
(71)
(72)
§ 9. Формулы ДЛЯ фуНКЦИ! а и и * и t и й sn —, сп—, dn —, tn—. 2 2 2 2
2 1 sn2— и = (73)
2 1 + dn и
2 1 СП2— и = dn n 4- cng /ул\
2 1 4- dn и ’
dn2~ и = к'2 + dn п + fe2 сп п
2 1 4- dn и
tn2 — и = 1~спгг (76)
2 dn и 4- сп и
§10. Соотношения между функциями sn», спи, Дни. Между функ-
циями snu, спи, dnu имеют место соотношения
sn2u + cri2u=l, dn2u 4- fc2sn2u = 1, dn2u — k2сп2и — 1c'2. (77)
§ 11. Производные от функций спи, спи, йпи, tn и. Производные от
функций sn и, сп и, dn и, tn и характеризуются равенствами.
d sn и • j d сп и
—г— = сп и dn и, -----= — sn и dn и,
du du /7Яч
§1з1
ИЗМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ sn щ СП Щ dn и ПРИ ИЗМЕНЕНИИ МОДУЛЯ
79
Таблица 18
sn cn (U,/C1) dn(tz,/c1)
1 к /п X к sn { —tk ) \ к J / и X d” t' /и X cn —> к ] \к J
к' —i tn (uijc) 1 cn (tii,k) dn (ui,k) cn (ui,k)
1 к' /iu X —ik'tn (77» к ) V / s . /fa \ dn (—» к ) \k J cn & 0 1 /*« r \ “fc'")
ik к' О. СЛ* И a i r f 11 \ cn —» к ) \k' J t и \ ая(?‘) 1 / и x dn G?’")
tr к sn к / \ dn ( —> к ) \k J 1 /tn \ dn ( —> к ) \/c / /ZU X cn| 7“> к ) \k J fiu \ dn ( —» к )
Таблица 19
кг sn (u,k) cu(u,k) dn (ти,к)
2 к 1 Л* A —sn ku — к \ kJ dnf ku~\ \ kJ cnfku,— \ kJ
1 cn (ui>k') dn (uitk') cn {iiitk')
1 к' z sn(ik'u^\ к к'J k'dn( ik'u,—} \ k'/ 1 dnfik'u,— j \ k' J cn (ik'u,— \ k' J dn( ik'u,-~ \ k' J
ik к' fir ik\ snlfc'u,— ) \ k') / ik\ fi f ik A cn( k'ut \ k'J . ik X dn k'u, — \ k' J 1 . Л, ik\ dn к и, 77 ) \ к 'J
ik' к /. ik'\ i sn{ tuk. — ) \ _ к J I ik'\ к cn iukf~ \ kJ /. ik'\ dn( iukt — ) • \ kJ (• i ik'\ cn iukf— ) \ к J 1 f ч ik'\ cn iku, —~ t \ к J 1
80
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
cn(iz, ik) —
сп (и 1^1 + к2, ——
\ И 1 + к2 ,
dn( и 1-4-/С2, ——
к Vi +к2
dn (и, Гк) =
Отметим еще два преобразования модуля.
Модуль ~~~
сп (и, Ю=-4т
1 “Г rv
§ 14 ] ВЫРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ sn м, cn и, и dn и ОТ КОМПЛЕКСНЫХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА 81
СП
U.
1—к'\
1 + к')
dn (и,
1 — к'\
1 + к'J
1-(14-И§П2(—— , к
{ и \
dn (-------, к ]
U 4- к' 9 >
f и '
.dn (—— , к)
\1 + к' J
(89)
(90)
§ 14. Выражение функций sn«, спи, dna от комплексных значений
аргумента через функции аргумента вещественного.
sn(m, (91)
сп (и, к')
СП (iu, к)= 1 - -, (92)
сп(и, к')
dn(/u, fc) = (93)
k cn(u, к)
Равенства (91), (92), (93), получающиеся из формул второй строки
таблицы 16 предыдущего параграфа заметой и на iu, сводят вычисления
значений функций snа, спи, dnu при чисто мнимых значениях аргумента
к- вычислению §тит функций при вещественных значениях
аргумента.
, , . sn (v, к) dn (w, к') + i cn (v, к) dn (v, к) sn (w, k') cn (w, k') /n..
4 7 cn2 (w, к') + к2 sn2(w, k')en2 (v, k)
, . . s cn(t>, fc)cn(w, k') — i sn(v, k)dn(v, k)sn(w, k'}dn (ги, к')
cn2(w, k') 4- k2 sn2 (v, /c)sn2(w, k') ’ °
| fw)~ dn СП k') — sn (v, k) cn (^> &) ch (w, k')
cn2 (w, k') 4- k2 sn2 (v, k) sn2 < w, k')
Равенства (94), (95), (96) получаются из равенств (91), (92), (93) и формул
сложения.
§ 15. Разложение эллиптических функций sn#, спя, dn« в степенные
ряды» Функции snu, спн, dnw разлагаются в ряды по степеням и.
sn и =и — (1 + fc2) — + (1 + 14fc2 ф fc4) — — (1 + 135fc2 + 135fc4 + fc’)4-
J d 120 5040
-02281?+ 5478fc4+ 1228fc’ + ft’)+ t \u\<\K'\, (97)
r»2 r/4 iiQ
cn и = 1 - 4- + (1 + 4fc2) 4- - (1 + 44fc2 + 16fc4)4- +
+ (1 + 408fca + 912fc44- 64fc«)- -(98)
dnи = 1 — fc2-y +fc2( fc2 + 4)-^- — fc2(fc4 + 44fc2+ 16)^4-
+ fc2(fc® + 408fc4.+ 912fc2 + 64)-——|u|<|K'| (99)
40 320
Отметим также ряды для произведений cnudni/, sn«dn« и snucnu
cnudn«=l—(1 + fc2) ^-+(1 4- 14fc24-fc4)-^—
- (1 4- 135fc2 + 135fc4 4- fc6) ~ 4- • • •, I«I < | KI (100)
/ aV
(5 321 Справочник по эллиптическим функциям
132
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[ ГЛ. и
sn и dn и — и — (1 + 4к2) + (1 + 44к2 + Юк4)^ —
_(1 +408^ + 912^ + 64^ —%- +..., |и|<|К'|, (101)
□U4U
snu спи = u —(4+ к2)-^- + (16 + 44к2 + к4)^-
— (64 + 912к2 + 408к4 + к8)—^—+..., |u|<|K'|. (102)
5 040
Укажем еще степенные ряды
ат и = и — к2-у + к2 (4 + к2)-^ — к2(16 + 44к2 + к4) +...,
|и|<|/С|, (ЮЗ)
_J_ = J_ + (i+fc2)_L + (7_22k2+7k4)^- +
sn « и 6 • - 30U
+ (31 — 15к2 —15к* + 31к8)—^—+... ,0 < [и [ <min (j 2К' |, 12К |). (104)
ID 1 4&U
§ 16. Представление функций sn«, спи и dn« в виде отношения
целых трансцендентных функций. Функции snu, спи, dnu могут быть
выражены как отношения рядов, сходящихся при всех значениях и:
sn — °1И3 + — а3ц2 +..« (105)
d0 — <5iU* + й2и4 — <58а« +... ’
сп и— - /5 о* 4- &о4 —Д,о6 +... <50 — dju2 + 6ги* — <53о6 +... ’ (106)
dnu— Уо — У1»2 + У2и4 — УзИ6 + • • • + <52н4 — . (Ю7)
Коэффициенты рядов определяются равенствами:
«o=h
а1=^г(1+к2),
а2 = -±-(1+4к2 + к4).
«з = -^-(1 +9к2 + 9к4ч к8).
а4 = J_(i + 16к2 —6к4+ 16к8 + к8),
аБ = J- (1 + 25k2 — 494к4 — 494к8 + 25к8 + к10),
а6 = — (1 + 36k2 — 5781k4 — 12184k8 — 5781k8 + 36k10 + к12),.
/?о= 1,
И7 ] . РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 83
02 = ^(1 + 2к2),
^=4-o+6fc2 + 8fc4)>
о!
04 = — (1 + 12fc2 + 60k4 + 32k®),
8!
0S = _L_(1 -I- 20k2 + 348k4 + 448k® + 128k8),
0e = _2_(i _|_ 30fc2 + 2372k4 + 4600k® + 2880k8 + 512k10),
07=~-(l I- 42k2 + 19 308k4 4- 51 816k® 4- 45 024k8 + 16896k10 4-2048k12).
7o=l,
У1 = — k2,
У2 = J_(2fc2 + k4),
y3>»4-<8fe2+6&4+fee)’
Ol
П = -“ (327c2 + 60fc4 4- 12k® 4- k8),-
n = -L (128 fc2 + 448k4 + 348k® 4- 20k8 + fc1?),
y6 = _L (512k2 + 2880k4 + 4600k® + 2372k8 + 30k1® + k12),
12! (
y7 = —(2048k2+ 16^96k4+ 45024k® + 51 816k8 + 19308fcr + 42k12 4-k14),
14!
03 = -^(8 + 17k2 4-8k4),
d4 = 7^- (4 4- 15k2 4- 15k4 4- 4k®),
d5 = (64 4- 376fc2 4- 675k4 4- 376k« 4- 64k8),
12!
06 ^r(64 4- 544k2 + 1549k4 4- 1549k® 4- 544k8 4- 64k10).
141
§ 17. Разложение эллиптических функций в тригонометрические
ряды. Положим для краткости письма
К'
Я ” к .
Эллиптические функции snu, спа и dnu могут быть представлены
тригонометрическими .рядами:
6*
84
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Г ГЛ. gj:
snu=—\ -
кК\ 1-9
3
, пи , q 2
sin-----h —— sin
2К 1 — 9s
5
„ 2 5nU
^L + A—sin —
2К 1 — q5
СП
Положив
Г2
sln-<2s+l>"
2К
3 5
о ли . а2 _ _ Зли . q 2
— COS-------F - COS------------F - —
q 2К ‘ ---
1 + 93
2К 1 + 95
1 + q2s+l
ТТН Л %
(108)
Зли
COS----
2К
(109)
и введя новое переменное
в несколько ином виде:
2К
2К К \1 + я2
qi
4------COS
1 + 9*
;COS • к 4 COS — F
1+9* К
Зли +. SM1 , - COS F .
К 1 + 928 к
1.1 пК
Q =-In —
2
g 2К
(110)
(111)
х__ пи
~ 2К
можно представить эти разложения
л 1 сп 11 — } r sin х j sin 3x sin5x . 1
ъп и — < ~r tF • • • ? «
kK 1 [ sh Q sh 3q sh 5g J
л | f COS X , cos3x , cos 5x , |
СП и— J J 1-.. • ь
kK 1 I ch Q ch 3g ch 5o f
. л 2 cos 2x , 2 cos 4x , 2 cos 6x .
dn и = — < [1 +- 1- 1 ь...
2К ch 2g ch 4g ch 6g
(112)
(ИЗ)
(П4)
9
2
Отметим одновременно разложения в тригонометрические ряды
функций: •
am и = X 4- sin2x [ ' 1 sin 4х 1 sin 6х । ch*2g 2 ch 4g 3 ch 6g ’ (115)
tnu = Л ' sin 2x . sin 4x o » Sin6x . ) |lgz-2, -1-2,* .-2,» (H6)
2k'K
1 _ л {-i~+ 2? ’jfj + Z.r-”- +2'A +•..) 1 sin x v . sh 3g . sh 5g / J (117)
sn и 2K
1 ___ л Д cos x ch g ch 3g ch 5g j (118)
cn и 2k'K
1 ‘ dn и л 2k'K 11 2 cos2x j g cos4x 2 CQS6* j 1 1 ch 2g ch 4g ch 6g » ’ (119)
1 л I . o sin2r п о sin4x Ozw3 sin6x . .1 1 ch 2g . ch 4g ch 6g f (120)
tn и1 2К
sn и л J sin * sin3Y । sin5x 1 (121)
dn и kk'K I ch g ch 3g * ch 5g J ’
спи л ( cos x cos 3x । cos 5x ) (122)
dn и kK I sh g sh 3g ’ sh6 g f
| 18] РАЗЛОЖЕН. ЭЛЛИПТИЧ, ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ПО ГИПЕРБОЛ. ФУНКЦИЯМ 83
dn и __ я
sn и 2К
dn и __ я
сп и 2К
1 -2 _2Д 5 пд~ sin 5x
sin х ch Q ch Зе ch 5q
1 3 5
1 + 2q~2 S212L h2
COS X sh Q sh 3e sh5@
(123)
(124)
§ 18. Разложение эллиптических функций в ряды по гиперболиче-
ским функциям. На ряду с указанными разложениями эллиптических
функций в тригонометрические ряды можно пользоваться и другими.
Положим
С'=—К, х' = —.
2К' 2К'
q'=e
Г.К
К' ’
Для функций sn u, cnu, dnu имеем разложения:
sn a= Я ( 2kK' I thx'- n , sh 2x' . — 2 fl Ь * sh2/ 9/2 sh4xz ! ) sh4£>' sh6e' + (125)
cn u— Я 1 1 n ,-y ch xz — 2a 2 ch/ 4- 2q'~ -ch 3y __2q'~ ch 5x? _. ch 3/ ch 5/ }, (126)
2/c К'I ch x'
dnu= Я 1 2K' I 1 ch x' + 2o'T-chx? 4 sh e' — 2q'~ —— 4- 2o'v--5x< —... sh 3/ sh 5/ j. (127)
Отметим ещё раэЛоженйяг
1 я 1 ( I л. 2q'+ 2q’2 + 2q's + I ch2/ 7 ch4/ 4 ch 6/ } (128)
sn и 2K' I th x'
1 71 1 [ ch x' ch 3xz ch 5x' , I (129)
СП и k'K' I I ch/ 1 1 "j"" * • • / Э ch 3/ ch 5/ 1
1 _ n ( chxz ch 3xz ch 5xz ♦ (130)
dn и k'K' I sn/ sh 3/ sh 5/ / ’
tn u= — n k'K' | shxz 1 sh/ । sh 3xz j sh 5vz i ) sh 3/ sh 5/ / ’ (131)
1 __ 71 J i —2q’~ 2q'~* - - sh e' sh 3q' _2fl'2 . ), sh5/ J (132)
tn и 2KZ 1 l sh xz
sn и _ n ( sh xz sh Зх7 , sh 5xz ) (133)
. dnu kk'K' I che ch 3/ ch 5@z /9
dnu ~ 2kK' ‘ (1 — 2 Q 2 ch г ch 2/ ch 4/ ch 6/ ♦ • • (134)
dn и 71 1 1 1 . . з # । гл f o sh x . z-x f.) sh 3x . + 2/2 +2q 2 , + ch e ch 3^' 5 \ +...}, ch 5/ J (135)
sn u - 2K' 1 sh xz
dn u cn u — n 2K' [1 + 2 ch 2x' n ch4x' I o ch fix' , 4- 2 •+* 2 -r ch 2/ ch 4/ ch 6/ . . . |‘ (136)
Прц —-1 < & <Ч ряды сходятся для всех значений и, удовлетворяющих
условию J/?u|<K.
§ 19. Приближенные формулы для sn», сп», dn».
sn и 14fl2COS2X ^Sinx , (137) 1 — 4/(1 — 2/cos2x
sn u sinx(l + 4^cos2x), (138)
cnu - 1 — 4tf2 sin2 x /1 QA\ cosx , (lo9) 1 + 4g (1 + 2g) sin2 x
86
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Г гл. ।
СП и ~ = cos х (1 — 4q sin2 х), (140)
dn и = 1 — (1 — 2q) sin2 x (141)
1 4- 4q (1 4- 2q) sin2 x ’
dnu = d — 8/7 sin2 X, (142)
tn и ~ - tg x 1 + ~M2 (J ~ 4 COS2 X) (143):
1 — 2q 4- q2 (1 — 4 sin2 ’
tn и = = (i+4g)tgx. (144)
Этими формулами удобно пользоваться при вещественных значениях х.
§ 20. Представление эллиптических функций в виде бесконечных
произведений. Эллиптические функции snw, спи и dnw могут быть пред-
ставлены в виде бесконечных произведений
s„ „ = sin x n + (145)
у к в=11 — 2q2S~1 cos 2x 4- q*s—z ’
2^k'Vq 1 + 2q2S cos 2x + qts “““ /7 СО5\?11-2-Д*,211 + Х-’ (146)
dnu = П + . r S=1 1 — 2q2S~~1 cos 2x 4- g4S~2 (147)
§ 21. Функция zn(e). Если рассматривать интеграл второго ч> г» рода
Е(ф) = j J/ 1 —к2sin2<p d<P * и
Ф rci/ fhVHVTTMIO flnrVMAUTfl //. ГЛА U = F (fl)) = 1 TO мы прихо-
Гхцгх VI/ j П1\ЦП1М GUI j к <1 Ы-, к /Д^ w- л 1 t , IV/
J ]/ 1 — к2 sin2 (p 0
дим к выражению
E (am “1=J dn2 u du. 0 (148)
Функция znu определяется равенством
znu = E(amu)—— и (149)
и выражается интегралом’ u
zn и = J ^dn2 и —du. 0 (150)
Функция zn u является нечетной функцией и
zn (— u) = — zn и. (151)
Она имеет период 2К:
zn (u + 2К) = zn и. (152)
При увеличении аргумента и на величину 2iK’ функция изменяйся на
постоянное слагаемое:
zn (и + 21К') = zn и . (153)
Вообще
zn (а + 2тК + 2niK') = znu — f (154)
где т и л—целые числа.
§22]
ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ
87
Представление об изменении этой функции при вещественных значе
ниях модуля к и аргумента и дает номограмма на фиг. 32. По горизон
тальной оси даны значения аргумента 2» = —. По вертикали указаны зна
чения zn и. Значения, принимаемые
модулем, указаны как отметки соот-
ветствующих кривых. Аргумент 2«
изменяется в пределах от 0 до 1.
При дальнейшем его изменении
получаются кривые, расположен-
ные симметрично с кривыми фиг. 32
относительно точки (1.0), а дальше
все повторяется периодически.
Функция zn а имеет полюсы
первого порядка в точках
и = 2тК + (2п + 1)#'/, (155)
где т и л—целые числа. Вычет,
соответствующий полюсу, равен
.единице.
Функция zn(u + ») выражается
через функции zn л и znw равен-
ством
в частности
zn(u 4- v)=zn и 4- zn v — fc2sn и sn v sn (u 4-. «)>
zn 2u = 2 zn и — к2 sn2 и sn 2u.
(156)
(157)
Функция zn и разлагается в ряд по степеням и:
znn = fl -~-^\и-2к^ + 8к\к^+ 1)-^-1б/с2(2Л44- 13/сг4-2)-^4-
4- 128fc2(/ce + 30/c44-30fc24- 1)-—4-... (158)
Функция zn и может быть представлена также в виде
_________________ л 4q sin 2х —8fl4sin 4х + 12<?9 sin6x —..
- 2К 1 — 2j eos 2х + 2q* cos 4х — 2дЙ cos 6х + ... ’
Для вычисления функции znn можно пользоваться формулой
4q sin 2х
znu ------------------------------------.
1 4- 2q (2 — cos 2х) 4- 4^2 (1 — 2 cos 2х)
§ 22. Простейшие интегралы от функций Якоби
J sn и du = In (dn и — к сп и) 4- С,
f сп и du = —arc cos (dn u)4~ C = — In (dn и — ik sn u) 4- C,
J к . к
J dn и du = arc sin (sn u) 4- C = i In (cn и — i sn u) 4- C,
= -------------+ C, .
J sn и cn u 4- dn u
f _________JL Jn ( Sn « + dntt \ q
J cn и к' \ cn и J
(159)
(160)
(161)
(162)
(163)
(164)
(165)
88
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
С du 1 ' к' sn и — сп и + c. (166>
1 U1C. Ш ' J dn и к' к' sn и 4- сп и
р sn и J спи j 1 1 к' 4- dn и . „ - du = In —i 1- С, 2к' к' ~ dn и (167)
Г сп« J snu . 1 < dnu — 1 , „ - du = — In h С, 2 dn и 4- 1 (168)
С sn и J dnu -du = —arcctg k-n-u 4-C, kk1' & k' (169)
Г dn и J snu Г сп и J dnu f dn и J СП и .du = llnlz^JL+C, 2 1 4- cn и .dtz = ±lnL±^+C, 2k 1 — к sn и .du = linl+^L+C, 2 1 — sn и (170) (171) (172)
Г sn и J сп2и .du^JLJ™_+c, K* cnu (173)
С СП И J sn2 и , dn u . - du— 1- C, sn и (174)
С sn и J dn2 и , 1 СП 11 I n - du= 1- C, k'2 dn и (175)
Г dn и J sn2 и -du — c-^~ + c, sn и (176)
Г спи J dn2 и J snu , „ du = — J-C, dnu (177)
Г dn и J СП2 и -du = -^- + C, cn и (178)
спи dnu sn и du = In sn и 4- C, (179)
shu dnu сп и du = \n—— +C, cn и (180)
sn u сп и dn и du =—•—-indnu + C, (181)
sn и спи dnu , 1 , dn a , n du — —>- In p C, к'* cn и (182)
сп и snu dnu du=ln-^- + C, dnu .(183)
dn и sn И СП и du = ln_!L_+C, cn (184)
сп и 1 4- dn и du = — \f 1-60 ° + c, t л 1 4- dn и (185)
f sn“ du _ ~ 1 ]п dn (g -Р и) — А: сп (а 4- и) J 1—fc2sn2asn2u 2к сп a dn a dn (а — и) 4- к сп (а — и) (186)
f sn2 и du = fl — J \ kJ k2 — zn и 4- C, k2 (187)
[cn2 и du=— zn и 4—— J к* /с2 (к И“ + с; (188)
ГЛАВА III
ФУНКЦИИ ТЕТА
§ 1. Определение и основные свойства функций тета. Функции тета
можно определить следующими разложениями:
(X) = 1 — 2^ cos 2л х 4- 2?4 cos 4 л х — 2q9 cos бл х 4- ... 4-
+ (— 1)” qn* cos 2п л х + .... (1>
1_ , 9 25
(х) = 2q 4 sin л х — 2q 4 sin Зл х 4- 2<?4 sin 5л х — ... 4-
4 (— l),l<7 " + sin(2n 4- 1)л х ..., (2)
. 1 9 25 •
^2 (X) = 2? * cos л х 4- 2?4 cos Зл х 4- 2^ cos 5л х 4-... 4-
4- 2q 2 . cos (2л 4- 1) л х 4- .... (3)
&3(х) = 1 4- 2<? cos 2л х 4- 2qi cos 4л х 4- 2q9 cos 6л х 4- • . 4-
4- 2qn’ cos 2п лх 4- ... (4)’
Ряды, стоящие в правой части равенств (1), (2), (3) и (4), сходятся
при условии для рсех значений х, как вещественных, так и ком-
плексных. Функции &0(х), ^(х), >>2(х), А(х) являются, таким образом,
целыми трансцендентными функциями х.
Функции тета суть периодические функции х. Последнее видно из
равенств .
#дх+ 1) = ^0(х), 4- 1) = - ^(х),
^2(х4- 1) = —#2(х), »,(х+ 1)=Л(х). (5>
Период функций &0(х) и ^3(х, равен 1, период ^(х) и $2(х) равен 2.
Функции тета. обладают замечательным свойством, благодаря кото-
рому играют важную роль в теории эллиптических функций. Положим,,
= е = —In —.
л q
При увеличении аргумента на- величину Iq каждая из функций тети
приобретает некоторый множитель:
^o(x4-ie) = —4-е-2лиМх), ^2(х4-/р) = -е-2я”/>2(х),
.1 • ? (6>
(х 4- г'е) =--« 2л (х), #3 (х 4- i q) = — е-2я xi&3 (х).
9 . ’ <7
Формулы (5) и (6) позволяют установить, что
(х + т 4- п q i) = (— l)nq-n2e-2n пxi&0 (х),
(х 4- т 4- п q 1) = (— l)m+ng- п’е~2пя (х), (7>
(х 4- т 4- п q 0 = (— Y)mq-n‘e-2n л xi&3 (х),
#3 (х 4- я? 4-' л о /) = q—'l2er '2nnxi (х).
"90
ФУНКЦИИ ТЕТА
[ ГЛ. III
Легко видеть, что функции &0(х), ^2(х), #3(х) суть функций четные
и что #i(x) есть функция нечетная:
(- х) = &0 (х), (—х) = - (х), (— х) = (х), &3 (— х) = &3 (х). (8)
Функции тета могут быть представлены в виде бесконечных произ-
ведений:
(х) = П (l— 2<72n-1 cos 2лг х + (74”-2)(1 — q2n),
п = 1
(х) = 2 q sinпх (1 — 2#2” cos 2л: х + q*”)(1 — <72“),
”“1 (9)
#2(х) = 2 yf q cos лх П (1 + 2^2“cos 2л с + д4И)(1 — q2'\ ,
п = 1
^3 (X) = п 0 + 2<72n-1 cos 2л х + <7te-2)(l — q^).
n-1 *
Из этих разложений видно, что корнями функций тета являются зна-
чения, приведенные в табл. 20.
Таблица 20
(X) (X) h (X) (X)
Корни 2п-Н m+ 2 Qi гл + пр/ 2т+1 ... .. +пд1 > 2rrt 4- Г 2л+1 2 fT~ei
Числа тип — целые положительные, отрицательные или равные нулю.
Отметим, что 'функции тета удовлетворяют дифференциальному урав-
нению
= 4^^a(x, е) (п = 0, 1, 2, 3). (10)
д*х dg
Якоби в своей работе „Fundamenta Nova Theoriae Functionum Elliptica-
Tum“ (1829) употребляет несколько иные обозначения для функций тета,
которые мы и приведем здесь. Введем новое переменное
и — 2Кх.
Положим.
Величины q и q являются функциями модуля й, определяющего вели-
чины К и К'.
Рассмотрим функции
с / \ 2/\ /
Н(й) = ^) = Ш ^(u) = ^2^) = ^(x). (11)
Функции тета Якоби зависят от аргумента и и модуля fc, поскольку
последний определяет величины q. и q, входящие в выражения этих
ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧ. ФУНКЦИЙ ЯКОБИ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИИ ТЕТА
91
функций. Эти функции при увеличении аргумента на 2К изменяются
согласно формулам
е (и + 2К) = 6 (и), е1(и + 2К) = 61(и),
И (и+ 2К) =—Н (и), Н1(и + 2К) = —Н1(и). <12>
При увеличении аргумента и на величину 2К'1 функции тета Якоби
изменяются согласно формулам
e(u+2K'i)= — — 61(u + 2K'i) = ~e~"‘ilie(u),
Я я
а и . п и . (13)
H(u+ 2K'i)= — H1(u+2K'i) = -e^^ ’ Н^и,.
я я
Функции в (и) и ©Ди) имеют периот, равный 2К. функции Н(и) и Я^ц)
имеют период 4К. Функции 0 (и), 01(и)и Н^и)—чётные, функция Н(и) —
нечетная.
Аналитическое представление’ функций б (u), Н(и), вх(и) и Нг(и) со-
гласно равенствам (11) дается рядами (1), (2), (4) и (3) или бесконечными
произведениями (9). Все корни функций 0(u), Н(и), б^и), Нх(и) простые.
В табл. 21 даны корни этих функций, где тип суть произвольные
целые числа.
Таблица 21
в(«) 1 н (и) е, (и) | Нг (и)
Корни 2тК+ (2n+l)K'i 2mK+2nK'i ^2m+l)K+(2n+l)K'z * (2т4-1)К+2лК'(
§ 2. Выражение эллиптических функций Якоби через функции тета.
Эллиптические функции snu, спи и dnu выражаются через функции
тета при помощи формул:
$1 —)
_ 1 Н(ц) 1 \2К/
°\2К/
(14)
спи
к' НХ(Ц}
к е (и)
(15)
—
dn и — Т/ к' = 1/ к'------. (16)
F е(«) V «- '
&0 2К .
Пользуясь формулами (14), (15), (16), можно вычислить значения эллип-
тических функций snu, cnufdnu, если известны значения функций 0о(х),
Мх)> 02(х), 03(л). .
Для. функций 0о(х), ^2(х)> Мх) составлены таблицы.
При пользовании таблицами функций тета следует иметь в виду, что
между, функциями тета имеют место соотношения
МХ) = Щ^Х)> Mx)=*i(|-x)- (7)
e2
ФУНКЦИИ ТЕТА
[ ГЛ. Ill
Значения
х 1 == -— х
2
обычно вычислены и даются в крайнем столбце справа в тех же таблицах.
П р и м е р. Вычислить значения sn п, сп ц, dn и при и = 0.3708 для к2 = 0 5.
Прежде всего находим по таблицам эллиптического интеграла 2-го рода величину
/ п л \
K = F(—, sin —)= 1.8541.
\2 ’ 4/
Далее определяем аргумент
и 0.3708 л
2х = — =------------= 0.2 ,
К 1.8541
2х' = 1 — 2х = 0.8.
Из таблиц функций тета заимствуем значения
&0 (0.1) = 0.9300, (0.1) = 0.2804,
02 (0.1) = (0.4) = 0.8682, (0.1) = (0.4) = 1.070 .
Для искомых значений эллиптических функций получаем, пользуясь равенствами (14)
(15) и (16),
4/-0.2804 0.8682 1 1.070
sn и = у 2 ——- = 0.3585, сп и = —- = 0.9338, dn и = - = 0.9680.
0.9300 0.9300 f 2 0-9300
Заметим, что вычисление эллиптических функций snu, спи, dnu может
быть произведено по таблицам L. М. Miln-Thomson, £>ze elliptischen
Functionen Jacobi (Berlin. 1931).
Эти таблицы дают значения функций snu, Спи и dniZ с пятью деся-
тичными знаками через 0.01 по аргументу для значений' fc2 через 0.1.
В заключение приводим номограммы функций &0(х), (\(х), &2(х), #3(х).
9iv)-i
Фиг. зз
Фиг. 34
На фиг. 33 даны графики функции &-0(v) для различных значений
модуля к —sin а. Соответствующие значения угла а указаны в сотых
долях (значок [__) прямого угла. Значения аргумента 2v даются по гори-
зонталям. По вертикальному направлению справа указаны значения функ-
ции &0(v). Те же кривые будут служить графиками функции &3(®), если
положить 2v -j- 2vL = 1.
5 з ] ИЗМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТЕТА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АРГУМЕНТА
На фиг. 34 даны графики функции ^(f). Значения угла а на графи-
ках выражены в сотых долях прямого угла. Значения аргумента даны на
горизонтальной шкале, значения функции—на вертикальной шкале справа.
Те же графики служат и изображением функции ^2(w) в силу соотно-
шения
#2 («) = («1),
если
2v 4- 2vt = 1.
§ 3. Изменение функций тета при изменении аргумента. Функции
тета от аргументов х + у» Х+~(М> х + у + выражаются через
функции тета от аргумента х.
Соответствующие формулы преобразования могут быть сведены в таб-
лицу (табл. 22).
Таблица 22
• *1 #0(Vl) #1 (Х1) (Xi) #3 (Х1)
х+т ^з(х) д,(х) — (х) А>(х)
2 1/ q -Д= е~ях Ч(х) V q Л— е-ях^3(х) 1/ g е~ях*&3(х) у g
Х+ 2 Л— e~”xi 02(х) у q ~ri== е ~ях'&3(х) у « V q -^—е-^^х) у 9
§ 4. Изменение функций тета при изменении величины q. Функции
тета зависят как от аргумента х, так и от величины q или
Отметим формулы»характеризующие изменение функций тета при
нз'йенёнШл?. формулы сведены в табл. 23.
Таблица 23
eij A>(x,ei) (х, ei) ^2(x, ex) #3 (x, ex)
1 -Я; У е е~пех> Uqx, q) —iV~se-nex‘&l(isx,e) У q e~”ext (iQX, e) УУ e~nex‘&3(iex,Q)
Мх>е) • У~Т^1(х, e) &o(x, e)
Любое преобразование величины q вида
a i Q Р
у ie + d ’*
ад —fly = ]
94
ФУНКЦИИ ТЕТА
[ ГЛ IIJ
сводится к ряду последовательных преобразований указанного в табл. 20
вида, и соответствующие значения функций тета могут быть получены
с. помощью формул, указанных в этой таблице.
Пример. Преобразование вида
распадается на три
Qi = e — i> ^2 = т~> е' = е2 —»
Последовательное использование указанных преобразований дает
Л>(х, е') = Уе — i е ’)х #о«1 + <>),
#i(x,<»') = }/?-je ”<е ')Х ^i((l + ig)x, q),
(х, е') = Vег + 1 е л1<? ,)х#з((1 + iе)х, е),
#з (х, е') = Ve i + Ге л(в г)х ((1 +1 е) х, е).
Из формул, отмеченных в первой строке тцбл.* 23, легко получить
формулы, дающие возможность свести вычисление значений функций
тета при мнимых значениях аргумента к вычислению значений функций
тета от вещественного аргумента.
Эти формулы имеют вид:
.14 ЛХ2
»0^Q) = -^eV»2(-, М*х, = 1),
У О \ 0 0/ У Q /
ЛХ2 ЛХ2 , (18) (
?2 (г'х, ₽) = е~#о > -Ч > р) = -U &3 , -Ц.
, У Q ' Q @ ' У Q ' $ Q '
Пользуясь формулами преобразований функций тета, можно получить
разложения, которыми удобно пользоваться, когда величина е мала, т. е,
когда q близко к единице. Положим для простоты письма.
(>'= — , qf = e~nQ'
e
и вместо х введем переменное х', удовлетворяющее равенству
х' == ^
е
.Для функций тета имеют место разложения:
х'2 / 1 9 25
»0(х) = 2 ]/Уе яе \5'4chx'+ q' 4ch3x' + ^'4ch5x' + .. .J-
- (2n^- А ЛСП
+ q' i ch (2n + l)x' +.. J, ' }
__ 1 Л
^1(x) = 2|/rg'e ^ v^shx' — 9,4sh3x'+ ^'4sh5x' — ...4- •
(2n4-l)a \
. ' . +(-l)”g' 4 sh(2n 4-1)х'ф .?J, (20)
x/2
#a(x) = ]Ле'e ch + 2?'4 ch 4x' 2?'9 ch 6x' -b • • • +
. +(—l)n2?'»ch2nx' +(21)
^3(x)= Kp'e яв’(1 + Iq' ch2x' 4-2?'4ch4x' + 2q'9 ch6x' 4-. • • +
4-2?'Bch2/7X'4- ...). (22)
J5 ]
ФУНКЦИИ ТЕТА ПРИ ЗНАЧЕНИИ АРГУМЕНТА, РАВНОМ НУЛЮ
95;
§ 5. Функции тета при значении аргумента, равном нулю. Если
положить х = 0, то будут иметь место равенства:
= К (0) = 1 - 2<? + 2? 4 - 2?9 + ... + (- 1)” W + •. •, (23)
#1==^(0)= 0, (24).
1 9 25 (2п + 1)2
#2 = #а(0) = 2? 4 4- 2?4 4-2?4 4-..-4-2? 4 (25)
&8 = &3(0) = 1 4-2? + 2?4 + 2<?9+...+ 2г'.+ .... (26>
На ряду с этими разложениями имеют место
^О==2]/0'(Ч<?'Т + ?'4+?'44 4-..J, (27>
= /7 (1 - 2?' + 2?'4 - 2q'9 4-... 4- —1)” 2?'«! 4-...), (28>
^.3 = ]/7(1.4-2?'+ 2?'4 -Ь 2?'9 4- • • + 2?'п’4--• •) • . (29)
Отметим, что
’:=]/Т" <зо>
Между значениями функций тета при значении аргумента, равном
нулю, имеет место замечательная зависимость
^<4-^4 = ^з4- (31)-
Обозначим
, (31),
\ dx
Тогда имеет место также соотношение:
• (32)
§ 6*. Логарифмы функций тета. Логарифмы функций тета могут быть
представлены разложениями:
In #o(x) #o(O) __ 2 sin2 лх । sh ло 2^п22лх , т* 2 sh 2aq 2 sin2 Злх . . 4-. . . “г 3 sh Зл? 2 sin2 n ях । t i • • • > nshnnq (33>
In = In sin лх — 2 cos2 лх л —t Q Sh 7LQ 2соз23лх q3 3 , . 2 cos2 2лх ff2
M) sh 2ло 2 4- • • • 4-(-D" - 2 cos2 плх qn . • !“•••> sh л л? n (34
= IjlCOSXX — 2sin2#x । 2 sin? 2лх q2
»2 (0) sh ng 2 sin2 Злх q3 sh 3л x 3 вЬ2л? 2 4-... 4-(-1)’1- sin2 n nx qn . sh пл? n (35>
In *S(x) 2 sin2 лх 2 sin2 2лх 2 sin2 Злх . 1 • • 3 sh 3л? , t n2 sin2 плх . . • Tk M . 1 * • n sh пл? (36>
MO) sh Л£ 1 2 sh 2tiq
Из этих формул следует, что
1 #0 (х + у) sin 2лх sin 2пу sin 4лх sin 4лу
2 #0 (* — у) sh лд 2 sh 2лд
, 'sin6n;x sinfwy . , sin 2плх sin 2птту . •
> H-------------------— + ... 4-------1----------—!-•••>
3 sh Зл? n sh n ng •
-Цп 1 in sin (x + У)
2 (x — y) 2 sin n (x — y)
sin Anx sin 4лу q2
sh 2лд 2
(37>
(38>
8ш2лх5ш2лу .
—7---------~<1 +
sh TtQ
j sin 2л лх sin 2ллу qn
sh n7lQ n
4-
ТО
ФУНКЦИЯ ТЕТА
Г гл. ш
1 1гЛ<х + у)
2 #2 (х — у)
1 cos я (х 4- у) sin 2ях sin 2пу sin 4лх sin 4яу д2
2 cos я (х,— у) sh яд sh 2яд 2
j ____Уу sin 2пях sin 2плу дп
sh пяд п
J |п ^э.(х + у) _
2 А(*~ у)
• • ♦ 4“
(39)
(40)
sin 2ях sin 2яу sin 4лх sin 4лу
sh яд 2 sh 2яд
sin блх sin блу . . z - 4ft sin 2пях sin 2пяV
-----*——-------h • • • + (— 1) •*“--------------
3 sh Зяд n sh пяд
§ 7. Логарифмические производные от функций тета. Логарифми-
ческие производные от функций тета могут быть представлены рядами:
?1п<Мх)=2я, dx d In 9j (x) _ j dx 1 f sin 2nx , sin 4ях , sin блх , , sin2n^x . 1 /4<4 < 1 1 r . •. 4 b • • • } , (41) I sh яд sh 2яд sh Зяд sh пяд J [ , ~ sin2nx . o 2 sin4^x . ctg^x + 2<?— f-2g2 [ sh яд sh 2ле
। । 2gn sin 2n nx
sh ПЯ^
л I — tg лх — 2q S-X - + 2?2
I sh яд
__ । (__2^w sin 2илх
sh n яо
d In (x)___ 2Я f sin ?nx sin 4ях sin 6л x
dx I sh яд sh 2яд sh Зяд
_ /__j xn-i sin2/fttx
sh пяд
d In fl2 (х)
dx
sin 4лх
sh Пттд
(42)
(43)
(44)
Для значений q, близких к единице по модулю, выгоднее пользоваться
зпри вычислениях разложениями:
dln-°^ =— 2х' 4- л$' /th х' + 2?' ---2/2 sh 4х' +
dx I sh яд' sh 2яд
+ ... (— l)”“i 2q'n sh 2nx' + ... I, (45)
sh яд' I
^nMx)=_2x' + *gU dx , I cth x'^2q's^-2q^^L- sh^g' $Ъ2яд' _ ,—2о'и-— (4&) sh 2л?' )
-in&Ax} = —2x, — 2^' dx = — 2x' + 2щ'< dx f sh 2x' [ sh,4x' । sh 2 x’ j • | [share' T sh2fl#' * ’’ shrnrg' J f sh 2x' sh 4xz, । (shttp' sh2^x' * 4-... + (—I)”"1 sh2nx'-4- .,. 1. (48) sh n яд' • J
Логарифмические производные от функций тета удовлетворяют соот
ношениям: d In (x + m + n g i) _ d In »B (x) л i (49) . dx dx 9 <г1п#г’(х + т4-и?1) _ d Iri (x) _ (5Q) dx dx
§ В ] ПРИЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТЕТА К ИНТЕГРИРОВАНИЮ ЭЛЛИПГ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ 97
dln#a(x 4-m riQi) _ din #2 (х) _ 2п jr /, (51)
dx dx
d In #3 (x + m + n g f) d In &3 (x) 2n % f (52)
dx du ...
Из этих формул видно, что: 1). логарифмические производные от
функций тета суть периодические функции с периодом, равным единице;
2) при увеличении аргумента на величину, равную Qi они уменьшаются
на 2л/.
Отметим, что
= 2/<dln = 2К zn (u),. (53)
dx du
Таблицы значений логарифмических производных от функций тета
даются обычно вместе с таблицами этих функций. Трафики логарифми-
ческих производных функций &0(2v) и #1(21),) приведены на фиг. 35 и 36.
§ 8. Приложение функций тета к интегрированию эллиптических
функций Якоби. Отметим некоторые интегралы от функций Якоби, выра-
жающиеся через функции тета:
Г* dx _ 1 JJ-ln <а + х) #0 (а)/ (а>н)> (54)
J sn2 а — sn2 и sn a cn a dn а (2 (а — х)
) здесь (и в дальнейшем) и X = —, а = 2К а 2К *
Р. snau d# ___ snа ( 1 । (а 4- х) __ Jsn2fl —sn2u cn^dntzl2 d1(a1 —х) о • f cn2u du cn a f 1 (a -fr x) J sn2 a — sn2 и sn a dn at 1 2 11 (a — x) 0 f . 4д2п du dna /X in #i(q + *) J sn2 a — sn2 и sn a cn a \ 2 * 'a — x) 0 . , 7 321 Справочник по эллиптическим функциям <:<%’} . (“>“)’ (5s> <.('>’} <“>"’• <56’
98
ФУНКЦИИ ТЕТА
[ ГЛ III
К
К
и
о
и
и
К
и
К
dfl __ sn2 U — sn2 fl , 1 sn fl cn fl dn fl p ln (X + О) /1 I 2 ^(x—a) \2 y \ (a)
sn2n du sn fl fl. f1 -Y> (a))
sn2 и — sn2 a < ~ ~ in cn fl dn fl I 2 Mx-a) \2 J i (a) /
cn?zz du _^J±ln sn fl dn fl (2 &1 (X + °) . (X ^8 («) I
sn2 и — sn2 fl (x — a) \ 2 J ^2 (“, J
dn2iz du dn a ( 1 jn fi (x 4-a) , (x — a) f 1 \ ( * \2 J ^з(д)!
sn2 и — sn2 a sn a cn а I 2 #3(“) /
du sn fl 1 x ^a) 1 ln^<a + ^l
1 — k2 sn2 fl sn2 и cn a dn a i I Ma) 2 ^0(a -x)J
sn2zz *du __ 1 ( V Z X — (a) 11пМ«+хП
(а)
&'з («)
2 £0 (q —
О
и
О
и
1 — k2 sn2 a sn2 и /c2sn fl cn fl dn a
cn2u du dn a .
1 — k2 sn2 fl cn2 и k2 sn a cn a 1
dn2/? du = £l£_Jx
x- з У-/ _ ± In #o(q + *)
Mq) 2 а0(а-х).
J 1 — &2sn2asn2zz
о
^2Z (q)____L ]n + X)
sn a dn a I &2 (a) 2 &0(« — x)
(u > a\ (58)
(u>a), (59)
(60)
(«>a); (61)
(«<a), (62)
(«<a), (63)
(u<a), (64)
(u<a). (65)
Некоторые интегралы очень удобно выражается через тета-функции
от комплексного аргумента.
Для удобства письма положим:
sn (u, fc') = snx u , cn (п, fc') = спх п, . dn (п, fc') = dnrn,
ai = l? —а, аа = /(' —а.
В таком случае будем иметь соотношения:
Г du = dni a Jxi (Q1 ________________________L. in ^3(x — ai 0 1
J 1 — dnx2fl sn2u k'2 snx a cn a ( #2 (ai0 2i (x 4- «i 0 J ’
о
f sn2zz du ___ 1_________ (x- #3' (ql 0_1 jn ^3 (x —Z) 1
J 1 — dn12flsn2fl k'2 snx a cnx a dnx a j #3(ai0 2i #3(x + qiZ)/L
о ’
f cn2 udu = •_ sni a JXl V 0_________________Lln <х~~а1г))
Jl — dn^flsn2^ cnjfldnitfl #o(«iO 2z &3 (* + ai 0 J ’
0
f du _ cni a ((ax Q _ 1 jn #3 (x — ax z) ) .
J 1 - dnx2 fl sn2 и snx a dnx a ( #x (ax z) 2z #3 (x -b ax z) J
о
f du dni fxi ^2Z (q0_________L Jn M*—-q0 1
J 1 — dn12fl1sn2zz /^8sn1a1cn1fl1 ( #a(a0 2i 0*(x + «O ) *'
(65)
(67)
(68)
(69)
(66z)
§ 9 ] ПРИЛОЖ. ФУНКЦИЙ ТЕТА К ВЫЧИСЛЕНИЮ ЭЛЛИПТИЧ. ИНТЕГРАЛОВ 99
и 0 sn2zz du 1— dnx2 a sn2Ui . 1 k2 snx ar cnx аг dn: (xl #з' («0 iflj V &8(ai) l_jn ^3 (X ~ g0 2 (x + ai)
V cn2zz du sn, flx f xi !_ |n &з(Х~Ы) )
0 1— dnx2 a± sn2u спх аг dnx 1 (“0 2i $з (x + ai) f ’
V dn2zz du __ __ cn, ax ( . —-— I XI Lin &3(x —ai) )
0 1 — diV sn2zz snx ax dnx ax I (az) 2z &3 (x + ai) J ’
и du _ Silt Д CHi a ( . ^z(°0 +-Ljn 0e(x + aQ |
0 1 + /с2 tnx2 a sn2zz dnx a t #i(ai) 2i 0o(x — ai) f’
и sn2zz du — cn2 и {xi ®0' (аГ> । 1 In ^"(x + ai)
! 1 + k2 tnx2 a sn2 и к2 dn аг tnx a \ #0 (a0 2i #0(x — ai)
JU, cn2u du cnx a dnx a ( . #3' (az) 1 #0(x+ai) )
-Г+ k2 tn?asn»ii k2 snt d 1 (az) 2i 9-e (x — ai) J ’
и dn2 и du = cnlfl Ixl (ai) 1 . —!_2—L 1 In (x + ai) 1
1 + k2 tn^a sn2 и snx a dn^ | Я2 (ai) 2i (x — ai) J ‘
(67')
(68')
(69')
(70)
(71)
(72)
(73)
§ 9. Приложение функций тета к вычислению эллиптических интег-
ралов 3-го рода. Вычисление эллиптического интеграла 3-го рода
л(9, к, ri) = f • Л- J (1 4- n sin2 (p)y 1 — k2 sin2 <p 0
подстановкой cp = amu
приводится к вычислецию интеграла л (<p, к, n)= f — . (74) J l + nsn2zz v f , 0
Рассмотрим отдельные случаи сообразно величине параметра п.
1. — 1. В этом случае можно найти такое значение аргумента а, что
sn2 а — —и
п
и
л (<р, к, п) = sn2 a f--------------—--------
J sn2 а — sn2 и
о
Интеграл вычисляется по формуле (54). Зная величину модуля,
находим сначала К. Затем по амплитуде <р находим аргумент и.
По величине п находим аргумент а и по нему определяем а. Вели-
чина х находится по аргументу и. Все дальнейшие вычисления по фор-
муле (54) производятся с помощью таблиц эллиптических функций Якоби
и .функций тета.
7*
100
ФУНКЦИИ ТЕТА
2. — 1<п<—Л2> Определяем аргумент а по формуле
dn2(a, fc') = — п.
Интеграл
С___________du____________
J 1—dn® (a, fc')sn® и
может быть вычислен по формуле (66).
3. —&2<л<;0. Определяем аргумент а по формуле
fc2 sn2 а = — п. .
Интеграл
может быть вычислен по формуле (62).
4. 0<^л. Определяем аргумент по формуле:
A:2 tn2 (а, к') = п.
Интеграл
J 1 + к2 tn® (а, Л') sn* а
вычисляется по формуле (70).
ГЛАВА IV
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
§ 1. Эллиптический интеграл 1-го рода в канонической форме Вейер-
штрасса. Эллиптический интеграл 1-го рода
С
J V Р(х) ’
где
Р(х) = oqx4. + 4а1х3 + 6а2х2 + 4«3х 4- а4,
может быть преобразован к виду
dz
"И 4z* — g2Z - g3
(1)
посредством подстановки
6Р' (С*)
х = ск Н-------—------,
к 24z - Р" (ск)
где ск один из корней многочлена Р(х).
Величины g3 и g3 вычисляются по формулам
Я2=«оа4 + За22 — 4a1fls,-
(2)
(3)
«о
g3= ai
<г3
аг
аъ аз •
аз а4
(4)
и =
Интеграл
где-
dx
V Plx). ’
Р (х) = (IqX3 + 3ajX2 4- За2х 4- а3,
приводится к виду (1) посредством подстановки
х = — — + —г,
при ЭТОМ
«о р> ( _ ЯП
4 \ а0 /
(5)
(б)
(7)
Форма (1) для интеграла 1-го рода была введена Вейерштрассом и
носит название канонической формы ВейерштрасСа. .Величины g2 и g3
называются инвариантами.
102
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ ГЛ. IV
ПоЛОЖИхМ, что
4z3 — g2z — g3 = 4(z — eL) (z — e2)(z — e3).
(8)
Относительно корней еь e^, e3, условимся, что в том случае, когда
все они вещественны е1^>е2^>е3, в- том же случае, когда только один
корень вещественный, будем считать его равным
Функция У4г3 — g2z— g3 есть двузначная функция. При обходе одной
из точек ег, е2, е3 она изменяет свой знак. Если плоскость комплексной
переменной разрезать от точки е2 до точки е3 и от точки до оо,
то на разрезанной плоскости функция будет оставаться однозначной.
S
На плоскости с разрезами интеграл
и =
J V 4Z3 — g2Z — g3
s
есть однозначная функция комплексной
переменной $. Если при переходе из оо
в точку $ допускать переход разрезов,
то интеграл становится бесконечно
многозначной функцией $ совершенно
так же, как это было отмечено выше
для интеграла в нормальной форме
Лежандра (глава I, § 8). Все различные
значения, получаемые интегралом при
различных выборах пути интегрирования Г, ведущего из бесконечности в
точку д, получаются из интеграла, взятого по определенному пути Го
(фиг. 37), не пересекающему разрезы, согласно формуле
f 1 = = Ч~ f у — + 2и1Ф 4* 2ло>',
JV 4z3 — g2z — g3 J У 4z3 —g2z —g,
Г
где т и п—целые числа, а
оо е2
m = (-7=^‘г—-=f -г—
J V 4S3 — — gs J V 4г3 - gsz — ga
е,-** е8
И
ея %
, . f dz t Г dz
(О ' =1 1 .......= I I f ......—---.
J У—4z3 + g2z + g3 J У ~ 4Z3 + g2z + g3
—oo ea
Отметим, что
оо
, , Г dz
О) + (О = \ -г------.
jy 4z3 —g2Z —g3 .
б2
(9)
(10)
(И)
При этом значение радикала выбирается так, чтобы в случае веще-
ственных g2 и g3 при z>ex он имел положительный знак.
§ 2. Функции (ц). Функция (и) получается в результате обращения
интеграла
J у 4z3 — g2z- g3
8
S 2 ] функции J? (u) 103
где интегрирование производится по какому-либо пути из данной точки s
до бесконечности:
s=S>(n). (13)
Основные свойства функции $ (у) вытекают из равенства (9). Действи-
тельно, из равенства (9) следует, что:
(+ и + 2mco -|- 2n<o')=s 'и (у = s,
т. е.
#> (+у-|-2тса 4-2псо') = #> (у). (14)
Если в этом равенстве положить т = п = 0, то окажется, что
#>(— и) ==£>(«), (15)
т. е. функция & (а) есть функция четная.
Далее, из равенства (14) видно, что величины 2со и 2сУ служат основ-
ными периодами функции ^(у):
(и + 2а>) = (и), (16)
(Р (У + 2со') — !£>(ц). (17)
Таким образом, функция (и) есть функция двояко периодическая.
При s^*oo возможные значения и стремятся к 2mct> + 2п<о'. Одно из
них стремится к нулю. Таким образом при и=2та> + 2по>' функция s=$> (и)
обращается в бесконечность. Полюсами функции ^>(и) служат значения
ит. п = 2та> + 2па>'. (18)
При больших значениях $ подинтегральная функция разлагается в ряд
по убывающим значениям хи
оо
и = С ( + +••• V2 = т7^ -----+ • • • ^ •
Иги z8 . 16г2 J у s 40s У s у s
8
Таким образом при малых значениях и имеем
S=^(y)==-L. ' (19)
Полюсы функции #’(и) второго порядка. Вычет, соответствующий по-
люсу, ра1вен нулю. ;
Отметим, что
#> (®) = elt #> (оУ) = е3, #> (со 4- со') == е2. (20)
О распределении значений функции #*(y) можно составить представ-
ление по фиг. 38. Фигура соответствует значениям инвариантов g2= 1.026
и g3 = 0.092; при этом 2со = 4.00 и 2co' = 1.50i.
Функцию #>(п) можно представить в виде двойного ряда
u2 [(и— 2та>—2па>')2 (2та>+2па>')2 f
т, п
Знак обозначает, что суммирование распространяется на все целые
т.п . а •
числа т и п за исключением случая, когда тип одновременно равны нулю.
104 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА [ ГЛ. IV
Инварианты g2 и g3 выражаются рядами
g = 60 V'-----------!------, (22)
ъ2 (2mw + 2ne>')4
m, n
g3 = 140 У'----------J------. (23)
s (.тш+ 2n<o'}*
Ш, II
Фиг. 38
Функция $ (it) может быть разложена также в ряд по
^ (“) = -jy + агиг + а2и* 4- а3ив +...
Коэффициенты ряда (24) определяются последовательно по формуле
п—2
8=f=2
(n^2)(2n+3)fl„
степеням и
(24)
(25)
Отметим, что
""i’
a c* —
3 1200
n _ gt?gs
6 184Й0
Z, 3g2gs
ид -- ------•
4 6160
§ 3. Производная от функции ф (и). Производная от функции IP (и)
представляется в виде суммы двойного ряда.
' (ц) = — 2 У1, ----!-------, (26)
(и—2т<о—2л<а')3
т, п
где суммирование распространяется на все .целые значения, т, п положи-
тельные, отрицательные и. равные нулю. Функция (и) есть функция
§ 4 ]
ФОРМУЛА СЛбЖЕНИЯ ОТ ФУНКЦИИ $ (и)
105
нечетная с периодами 2® и 2®'. Полюсы ее те же, что и функции ^(и).
В окрестности полюса и = 0 функция $*'(«) разлагается в ряд.
^<(u)==_A+&E+^+j^+a^u7+
V u8 10 7 200 770
+ — (~&2 + — )«9+ (27)
104\49б 150/ 1540 •
Полюсы %>'(и) третьего порядка и вычеты равны нулю.
Значения и, равные
(2т + 1)а> + 2псо', 2тоэ 4- (2п 4- 1).®', (2т 4- 1)® 4- (2п 4- 1)®',
где т и п—целые числа, служат нулями функции $>’ (и).
Все нули ^'(Ц) первой кратности.
Между функциями %>'(и) и ^(и) существует зависимость
!И(и) = 4&>3(u) — g2& (u) — g3.- (28)
Отметим также, что
Г'(«) = 6^2(«)-~g2, (29)
Г"(и)=12Г(и)Г(и), (30)
!?‘lV)(u) = 12 fl0^3(u)-l-g^(u)-g3\ (31)
§ 4. Формула сложения для функции, S5 (а). Для функции S® (и) имеет
место формула сложения
(Ц + -) ° v( - Ш-f (-) (32)
Из этой формулы следует, что
$ (и - ^) = 1 (^О+М-У- ^ («) _ ^ (1>),
4 \ ₽(«)- 4P<t»> ) ’ 4 h
Отметим частные случаи формулы сложения:
»<«.+«)-«,4-
(и 4- ®') = е3 4- .
^»(и)-е3
Формула
Z-fau) & (v) - у gA^ (и) +& (v))- g3
(и 4-«) 4- $ (и — ®) = ------------------------------
(33)
(34>
(35)
(36)
(37)
(38) .
вытекающая -из равенств (32) и (33), позволяет установить соотношение
I? (па) 4-((п — 2)и) =
2 ((я-1)«) 8>(«) - у g2 j [s?> .((л—1 > и )4- (u)] - g3
[£>((» -1)Ц) _-§»(«)]»
(39)
105 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА [ ГЛ. IV
пользуясь которым можно последовательно вычислять функции
8>(3н), 4Р(4и),...
В частности имеем
/ 1 \2
6^ (u)--gs)
fW- <r.(n)---------------------------------: 2 vw- т
Соотношение (40) может быть представлено в ином виде: •
з 1
- З^1 (u) + -gsF (и) + 3g £>а (н) +— g?
----------- r.w---------:—— • W)
§ 5. Функция $ (и). Функция £(и) выражается бесконечным рядом
5 (и) = — + V - J!------------+-------5----+ —— --------1, (42)
и ( п — 2тпи) — 2по' ^Ш(о+2па)' (2ты 4- 2лю')2 J
m, п • .
где сумма распространяется на все целые значения чисел m и п за исклю-
чением случая, когда тип одновременно равны нулю.
Функция £(«) есть функция нечетная:
£(-«) = -£(«). (43)
При увеличении аргумента и на величину, равную периоду функции $ (и),
функция £(п) увеличивается на постоянное слагаемое:
S(u + 2(o) = 5W + 2ti, ... (44)
f(u + 2®') = f(u) + 2i?', (45)
где
V = 5 (w)> »?' = S (<»')•
Равенства (44) и (45) представляют собой частные случаи соотношения
$ (и + 2mco + 2пю') =£(«) + 2тт) 4- 2п?/. (46)
Между числами ш, &>', т] и rf существует соотношение
7]й)' — rfO) = --- зс1,
если
Re — >0. (47)
1(0
Функция £(п) связана с функцией & (и) соотношением
^- = _^(и). (48),
ИЛИ
J^(u)du) = — £(ц). (49)
Функция £(u) имеет полюсы первого порядка в точках
' ит, п — 2та> + 2поз', (50)
гте т и п—целые числа. Вычет, соответствующий каждому полюсу, равен
единице. : .
В окрестности пслюса п = 0 функция-£ (и) разлагается в ряд по сте-.
пеням и: ,
= (51)
. и 60 140 8400 18 430
ФУНКЦИЯ СИГМА
107
Для функции g(u) имеет место формула сложения
$(ц + о) = $(и)+$(»)+ (52)
’ V ) > 2 g>(u)_£>(V) 4
Из формулы (52) следует, что
s (ю + ®')=£ (® +s («') = »?+’?'. (52')
Последнее в соединении с равенством (46) показывает, что
£ (рю + qa>’) = pt] + (53)
где р и q—целые числа.
Назовем числа 2rj и 2rf периодами второго рода. Из соотношения (53)
следует, что в том случае, когда основные периоды 2а> и 2а>' заменяются
периодами _ _
2со=2а® 4- 2/?®', 2а>' — 2уа> 4- 2<fcu', (аЗ — fly = 1),
периоды второго рода изменяются на периоды 2 t] и 2 rf согласно той же
подстановке
2r] = 2at] 4- 2{h]', 2»f = 2y?j + 2сЬ/.
§ 6. Функция с (и). Функция о (и) представляется в виде бесконечного
произведения.
п(п) = нП71 ц \g ^4-2п^+2(2тЮ4-2ПЮТ
т, п\ 2т<о 4- 2па>' )
Знак П обозначает, что произведение.распространяется на все целые
значения т и п за исключением того случая, когда тип одновременно
обращаются в нуль.
Из равенства (54) ясно видно, что значения
' ит, п = 2m® 4- 2пй)' (55)
являются нулями функции о(и). Все нули функции с(и) первого порядка.
Функция о (и) есть функция нечетная:
ст (— и) = — ст (ц). " (56)
При увеличении аргумента и на величину, равную периоду функции № (и),
функция ст.(ц) приобретает множитель:
о и 4-2<о) = — е2,>(«+®) ст(ц), • (57)
о (и + 2®') = — +‘“') ° («)• (58)
Равенства (57) и (58) представляют собой частные случаи соотношения
СТ (Ц 4- 2та> 4- 2лсо') = (— 1)’»+»+л1» g&w+Znn'Xu+mm+na’yg <д). (59)
Функция ст (и) связана с функцией g(u) соотношением
=g(u). (60)
du
Функцию ст(ц) можно также представить в виде бесконечного ряда
• CT(U) = U ——^.... (61)
' 240 840 161280
сходящегося при всех значениях и. ♦
Между функциями (и) и ст (а) существует зависимость
= + , (62)
a2u o2v
103
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ ГЛ.
из которой следует, что
и + у) д' (и) | д' (v) (и) -- $>' (у)
g(u+v) д(и) а (у) 2 $ (и) — $> (у)
о' (и —у} = д' (и) д' (у) । 1 fflz {и) 4- ffiz (у)
а (и —у) о (и) о (у) 2 $ (и) — О)
(63)
(64)
В заключение отметим, что функция о (и) может быть представлена
в виде
ли
sin2 —
2со
пи* ОС /
о(ц) = е2ш — sin — П 1-
п 2(0 I п П(о'
w=i I sin2-----------
\ (О
(65)
Введя обозначение
е^ = —» q = e-”B (е>’о),
2о> (о
можно представить разложение (65) в виде
б (u) = sin« П + .
47 л 1 * (1 — tf2”)2
(66)
Величина 2^со может быть представлена в виде ряда
?2”
(1 - <?2’’)2
(67)
§ 7. Частный случай g2=0, g3=l. В этом частном случае между №'(и)
и № («) имеет место соотношение
!?'2(ц, 0, 1) = 4!£>3(и, 0, 1)—1.
Значения ,е1г е2, е3 определяются равенствами
= %> (ф) = = 016300,
(68)
(69)
^2 =
е3~ з /—
21/4
(70)
2^® — л2
з
Один из периодов, как это следует из равенства (10) настоящей главы,
вещественный. Величина половины вещественного периода
со = 1.52995.
(71)
В рассматриваемом случае делят вещественный период 2а> на 360 ча-
стей, называя полученную долю градусом. Вместо аргумента и, рассмат-
ривают величину
180н
со
г =
выражающуюся в градусах.
ФУНКЦИИ СИГМА
109
На фиг. 39 даны графики функций f? (и), —(и), $ (и) для г, изменяю-
щегося от 0 до 150°.
На фиг. 40 даны графики функций 6(и), $(u), ^(и), для значений
г от 0 до 250°. Масштаб ординат на второй фигуре в 50 раз больше,
чем на первой.
В рассматриваемом случае вычислены таблицы значений функций
i? (u), S3' (а), £(и)иб(п) для значений г через Г в интервале от 0 до 240°,
Такие таблицы можно найти в справочнике lahake-Emde, Fuhctionentafeln.
Значения функций $ (и), &>'(и), £(и), н(и)' приведены с четырьмя знаками
после запятой.
§ 8. Функции 01(a), б?(а), a3(a). Функции (a), a3(u) и <j3(u) опреде-
ляются разложениями:
1 и ( и2
1 т,Д (2m -}-1) со + 2пы')
и , и2
и\ ^(2m+l)co + (2n4-l)co,+ 2(2та>4-(2п+1)со/)2
(2т + 1)о + (2п + 1)о'/
(72)
, (73)
о3(ц) = Л*й,“,П71
т,
2та) + (2п + 1) (*>' /
и2
. 2(2пгсо-|-(2п+1)а)^2
(74)
где произведение П распространяется на все- целые (положительные, от-
рицательные или равные нулю) значения т и л. Из-разложений (72), (73),
(74) видно, что нулями для функции 04(a) служат значения
ит, п = (2т'+ 1) w + 2псо',
для функций ff2(a)—значения
Нт, п — (2т -|- 1) (О -J- 1) со',
и для функции б3 (а)—значения
и.т, п = 2тсо + (2п + 1)<о'. '
Функции Ojfa), б2(п),. б3(и) суть функции четные:.
б1(—«) = °1(«)> ба(— ч)- о2(и),. о3(—и) = б3(11). (75)
по
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
( ГЛ. IV
Введем для краткости письма обозначения
®” = ® + ©', ч" — Ч + ч'*
Заметим, что ??" = £(<»"), как то следует из равенства (52);
Из равенства (47) следует, что
,, и ян ... ... ni
rjoo—rf ® =—, т) со—т] со ——.
2 2
При увеличении аргумента а на значения
о2(л), бз(и) изменяются согласно формулам
2а>, 2®', 2®" фуйкции о^а),
ok (u 4- 2® ) = — +“) ^i(«), (76)
c2 (u 4- 2® ) = e24tu+m) o2(«), (76')
63(u4-2® )= e2^u+<°> 63 (u), (76”)
бг(и4-2®')= ^'(и+шо 6X(«), (77)
a2(u4-2®')= e^i'cu+o'-) O2(«)> (77')
<r3 (u 4- 2®*) = — e2”'<«+<»'> *з(и),, (77”)
(и 4- 2®") = е2ч"(и+»") бх(л), (78)
o2 (u 4- 2®") = — e’1’,"<-u+a") g2(4), (78')
63(«4-2®")= e2r>"<-u+a,"> o3 (u). (78”)
Отмеченные формулы являются частными случаями соотношений
<тх (и 4- 2m® + 2л®') = (— 1)’"»+’» e2(mr>+nr>rKu+2m«i+2n^') (ц), (79)
О2 (U + 2m® + 2Л®') = (— 1)т* е^тч+п^^тш+гпа,') (Ujf
о8 (и + 2m® + 2л®') = (— 1 )тп+п Оз (79")
Функции <5x(u), н2(и), бз(л) разлагаются в ряды
аж(ц) - 1 — ±-еки2 --!-(&*—ёк)и*—..., (80)
£ 4о
сходящиеся при всех значениях и.
В заключение заметим, что функции вх(ц), в2(и) и о3(и) могут быть
представлены в виде бесконечных произведений
«. W - cos «П ца" cosj”+1-, (81>
п=1 \ ~Т~ Ч J
о2 (и) = 1±2^соз2лх + <?^
(1.+ 92'1-1)2
о3 (И) = П-"~ 2<?2”~1 C0S 2nX + qin~2 , (83)
„=1 (1—$2п-1)2
где • •
х = ^> р/ = ‘7Г’ Q = (е>0).
Из этих разложений можно вывести, что
2уш = — 2exft2 -f- лг2
(84)
(85)
1 , ул 4g8”
2 ^J(l +g2”)2
*
2ria> =
и 1
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ СИГМА
111
= — 2е3со2—л2
4<?2п—1
(1-?2"-1)2
(86)
§ 9. Соотношения между функциями nL (и), а, (и), б3 (и) и функцией <? (и).
Функции Ох (и), о2(и), <т3(и) связаны с функцией о (и) соотношениями:
б (ц) = е-чи = , (87)
о2(н) = е-^а{со" + и'>= (88)
а (со") or (со")
a3(zz) = (89)
ст (ей') а (со')
Из формулы (62), если в ней положить последовательно и равным со,
со" и со', и равенств (87), (88), (89) следует, что
(90)
(91)
(92 >
Из соотношений (90)„ (91) и (92) вытекают следующие формулы:
1/ Р _ р — — е ” ю g (ю') 1/ VI Со • G (СО) (7 (СО) (7 (СО") (93)
v ‘7Л'“Ъ а (со") а (со) а (со") (94)
1/ Р —р — 01 (<а0 — е ° (»”> (95)
1/ Со Ci “ - « <7(60') а (со) ст (со')
1/ „ „ _ Мр>) _ g ’,“>а(со") (7 (СО) СТ (СО) (7 (СО' ) (96)
1/ р р _ °з (*>") _ ff(w) о (со") а (со') <7 (со") (97)
р _р _ Д2 (О') _ е4 " g(o) (98)
а(со') а (со') о (со")
Эти соотношеиия однозначно определяют значения корней У ех 1
”J/ С 2 Гд ,..., с3 .
При условии Re(-^y^>0 имеем из этих формул
У е3 — е2= — zj/ е2 — е3, |/ ^8 —/}/ eL.— e3,
V *2 — ^1 = — iV — • (99)
Из соотношений (93), (94), (95), (96), (97), (98) следует, что
о(со)^
—-ч«>
е 2.
(ЮО)
<5(ф")=
Vе! — £»V£1 — £2
faVei —
112
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ ГЛ. IV
<7(6)9 = , ^Л_4-7=^.
V е2— e3yex — es
Необходимо при этом заметить, что три корня
(102)
могут принимать лишь такие значения, квадраты которых равняются
соответственно
V ч — ез, К е1 —^3> V — е2 . .
Последние значения однозначно определяются равенствами (93)7 (94),
(95), (96), (97), (98). Таким образом корни четвертой степени могут по-
лучить не четыре, а только два значения. Если выбрать произвольно
значение одного из корней, то возможные значения двух прочих одно-
значно определяются согласно равенствам (100), (101), (102).
Отметим еще, что из соотношений (90), (91), (92) вытекают соотно-
шения между б (и), о1(и), ба(и), бз(и):
*22 («) - «з2 («) + (е2 - е3) в* (и) = 0, (103)
б32 (и) — бх2 (и) + (е3 — ej о2 (и) = 0, (104)
б? (и) — б22 (и) + (^ — е2) б* (и) = 0, (105)
(е2 — *з) °? (и) + (е3 — 4) о22 (и) + fa — ё2) б32 (а) = 0, (106)
и
<т(2и)=2<7(и)б1(и)<72<и)в8(и). (107)
Укажем еще на одно соотношение между №'(и) и функциями сигма:
(«)= — 2 . (108)
g3 (U)
§ 10. Дифференциальные уравнения для отношений функций сигма.
Между отношениями функций сигма существуют следующие зависимости:
d । du i f о (u) ] l <71 («) / _ <72(a)a3(a) <7i3(a) ’ (Ю9)
d i [ <7 (a)) . g»(g)gi(a) (110)
du I l oa(a) J g22(«)
d । f <7 (a) 1 __ gi(a)°2(«) (111)
du l o3 (a)) g32 («)
Таким образом отношения
<7i (a) __ g(a) , _ <7(a) J o2(a) ’ o3 (a) (112)
являются решениями системы дифференциальных уравнений
dx x2 du yz dy у2 dz __ z2 du zx 9 du xy (113)
Кроме того имеем соотношения:
— 1 du 1 " Qi(a)) I <7 (a) J _ ' o2(a)g3(a) g3 (a) ’ (114)
d j [ Qi(a)) । •g3(a)g1(u) (115)
du 1 1 о (a) J 1 ' o3 u) ’
d j f g3 (P)) 1 O1 («) o2 (a)_ . (116)
du । 1 о (a) J [ О3 (Ц).
§ 10 ] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОТНОШЕНИЙ ФУНКЦИЙ СИГМА Ш
Отношения
< X = - 71 (Ц) _ O2 (Ц) z _ qa(H) (117)
o(u) ’ У c(u) a(u)
являются решениями системы дифференциальных уравнений
dx • yz, = — ZX, = — xy. (118)
du du du
Отметим соотношения:
d (119)
du I 02 (u) i a22 («)
d f 02 (И) 1 _/>_„! q(H)°l(H) (120)
du 1 <Ез(«)7 (3 °32(«) ’
d du 1 03 (a) 1 _ (e _e) а(и)ог(и) UiCu)/ в?(и) ’ (121)
d du f (h) 1 _/£__£) q(H)°3(n) ( Oj (u) i 1 2 a? (u) (122)
d 1 °з (Ц) 1 _ e ) g(n) °1(») (123)
du 1 o2 (и) / g22 («)
d (124)
du v3(o)i’ (з 1 v(h) ’
f d ( du f "(Ц) \<h(u)Ji <> (125)
( d t du M (и) \ 1 \ог(и)л (126)
f d ( du ( W \1 M3(U)/J ‘H1 (127)
( d I du Ml ('0 >) \ Ш Ji != (1 _ аЦ-’Ш -f, + (e,-- EJirm, 1 3 М22(и)Г (128)
f d ( du t<h(u) \ ff3 («) / / Ч’-гзь (129)
( d { du /д»(ц) M Mi («) Ji •Ч1 (130)
( d 1 du Ms (H)M W«)ZjI (131)
( du мЛд> Vi m2 («)./) Ч1 (132)
f d ( du M100\l \ 0»(H) J i (133)
( d ( du Mi (и) \] U(«) Ji (134)
( d j du Ms(u)\) k ®U0 Ji (135)
I du J °3 (u) \ 1 \ °(H) Ji (136)
Из соотношений (125), (129), (132), (134) следует, что дифференциальное
уравнение
{1 ~(е*~ ^Н1 -(гз-<И (137)
8 321 Справочник по эллиптическим функциям
114
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ ГЛ. IV
имеет решения
х = _ о («) Oj(«) ’ х== _ 1 («) X = - > Оз (а) (138)
V\— е3 М«) ’ / еа — е3 (“)
и У- _ J 01 (а) ,
У е2 — е,у е3 — ех о(и) ’ (139)
Из соотношений (126), (130), (133) и (135) следует, что дифференциальное
уравнение
(^~f= п — (гз — ^)*2}U — (^ — е3)х2} (140)
имеет решения
Y- V______1___ °з(и) х_ 1 М«) .....
°* (а) °i(“) 1 7
И
Из соотношений (127), (131), (134), (136) следует, что дифференциальное
уравнение
(fl Y \ 2 »
—) ={1— (е3 — е3)х2}{1— (е2~е3)х2} ' (143)
du J 4 7
имеет решения
о(а) } х _ 1 ot (а) 1 V — <Т2(п)
Оз («) ’ Уе3-е3 °Ли)’ А У е3— е3 01(a) (144;
и
г=— 1 _ - Уе3— <?зУ е2— е3 о3 (а) о(а) (145)
§ 11. Изменения функций о («), ^(а), <?2 (а), б3(и) при изменении
аргумента на величину со, со', со”. При изменении аргумента и на вели-
чину^ функции б (и), о1(и), <т2(н), с3(ц) изменяются следующим образом:
g(a+<») =+ et’?“6(g)) gi (») = + 47=--4 /——е 6i(u)> (146)
у «1 —«з у е3 — е3
o1(u + w) = + ‘|/r е1 — е2 У е1 — е3е^ б(со)о(и)=2
= + У —е2 У е1 — е3е ' 7 о (и), (147)
<72(и±®) = 1/ е1 — е3е^^о(со)б3(и) = 2“<J3(u), (148)
]/ei— е3
б3(и+®) = }/’ e3 — e3e±w 6(®)ff2(u) = 2 \(ц). (149)
уех— ег
Во всех этих формулах, равно как и в дальнейших, следует брать
либо комбинацию верхних, либо комбинацию нижних знаков.
§ и ]
ИЗМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ СИГМА ПРИ ИЗМЕН. АРГУМЕНТА ' 115
При изменении аргумента и на величину со' происходят следующие
изменения функций с (и), ^(п), о2(ц), <J3(u):
б (и + со') — + е±ч и б (со') о3 (и) = + . 4 ~ “ Vei-езУе,- ± У (и±-|-о/) - е б3(и), ез (150)
±^'(«±4“') е tfa(u),
^(ц±со')— У е3 ег е±чиб(со')о2(и) — ' 1 ! V е* — е3 (151)
, 4 / ±1' (u±4®') е ^(ц),
<?2 (« + <»') = И ез — e^'ua(co')at(u) = И — е3 (152)
<73 (и + со') = + ]/"е3— ег е3 — е2 е±”'“б (со ) в (и) —
, 4/--------4/---->-- ±ч(«±4<В'1
= +«/ е, —е3 у е2 — е3 е б (и). (153)
При изменении аргумента и на величину со” функции б (и), бг(и), а2(и)
и о3(и) меняются согласно формулам: .
1/ t ±ч" fwi-^4®")
й (« + <»') = ± (со")б2(и) = ±------L =г е o2(u)f (154)
--€2 V ^2“*^3
о-х(и±со") =У е2 — е±^’иб (<о'')сДи) — —2 \(«), (155)
. . Vi \/е3 — е3
б2 (« + ю") = + ]А2 — V\~ е3 e^"u б (со") о (и) =
= TL.g..x-^-^ е \ 2 ^(ц), (156)
V i
о3(и+ю") — — ез е±”"иб(со")б1(ц) = 1Л i Уе*~^ге 2. ^(и). (157)
УЧ- е3
На основании формул изменения функций о (и), ог(и), б2(и), б3(ц) при
изменении, аргумента на величину св, со', со" легко построить формулы,
дающие изменение отношений функций сигма при изменениях аргумента и
на те же величины. Формулы эти имеют более простой вид.
ст (и ~4~ <w) • _ — 1 01 (Ц) (158)
<7Х (U ± <й) V «1 — е2 у ех — е3 а (и)
(7 (U СО") _ i ^2 (И) (159)
^i. (и ± со") 1V ег—е3 аз (и)
а (и ± со') i q3(«) . (160)
<Х1(П± (О') У ei — ea аз(и)
а (и ± со) _ । 1 Мп) (161)
i со) ~V е^еь °з(и) ’
б (и ± со") — 1 Qj(u) (162)
°2 (ц ± ш") Vei — е3 У е3 — е3 0(И)
а (и ± со') __ I а3 (и) (163)
,°2 ± СО') а1 (и)
8*
116
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ ГЛ. IV
(и ± со) р 1 (и)
<т3 (и ± о) — у ег _ ез а2 (и) ’ (164)
о(и± Ср") __ _|_ 1 о2 (и) /1 Pr*\
о3 (и ± “") ~ У е2 — е3 ot (и) ’ (165)
со') 1 <та /IRRA
М“±®') Уei-esVе3-е3 ° («) ’ (166)
<Ji (и zb со) _ -г- -j/ а (и) o2(u±<u) е* ез о3(и) П67)
Qi (и ± to") _ 1 <Т3 (и) (168)
о2(и±а>") 1 ]/е2—е3 о (и)
Qi(u ±со') _ Уе! — е3 о, (и) . <т2(« ± *>') ]/е2—е3 °i(“) ’ (169)
. О1(И±Ю} = туе о3(«±<а) 1 ' 2 М«) (И0)
Qi (и ± со") V <т3(а) (171)
g3 (« ± “") У e3 — e3 °i (“) ’
Oi (U zE co') -p i n2 u) . (171')
o3(u±io') ~rye2 — e3 c(u)
Qn(u ± ы) __ V ei—e2 a3 (u) (172)
a3 (и ± co) у e*- ез a2 (u)* ’
O3 (u ± co") 01 (u) (173)
Qj (U ± co') _ — i 01 (u) (174)
<J3(u±6)') Уex — ° («)
При изменении аргумента на величину 2co, 2co" или 2co' получаем co-
отношения <j(u ± 2cofc) __ a (n) ал(п±2и*) ak(u) ' (175)
o(u ±2com) _ o(u) o/e(u±2tom) ck(u) (176)
Oh (u ± 2com) _ (u) Oi(u ± 2com) б1 (и) ’ (J77)
Ок(ч ± 2cot) _ _ ak (ч) OiiU^icOk) ai(u) ’ (178)
В последних равенствах fc, /, tn обозначают целые числа, принимающие
значения Г, 2, 3, при этом среди значений fc, /, т не должно быть равных
между собой; в этих обозначениях принято:
— со, со2 = со", со3 = со'. (179)
§ 12. Изменения функций (п), £(п), а(п), tf2(w), бз(а) при изме-
нении периодов. Положим, что вместо пары основных периодов 2 со, 2со'
берется пара периодов 2со, 2со', эквивалентных первоначальным,
со == та) ’-р па)', со' «= т'со + п'о)\ (180)
§13 1
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
117
где числа тип целые, причем
; тп'— пт' = 1.
При такой замене функции (u), £(и), б(ц) не изменяются:
СО, со') = $? (и | со, со'), (181)
со, со') = g(u со, со'), (182)
б (и СО, со') 1 = б (и со, со'). (183)
Неизменными остаются и инварианты g2 и gs. Величины
(со) = еъ & (т") = е2, № (<»') = е3
превращаются в
$>(со)=еа, $(<о")=ед и fp (&>')=
Функции 6lf б2, б3 переходят в функции ба
согласно равенствам .
(184)
(ц | со, со') = ба (ц | со, со’\ б2 (ц | со, О>') = бр(п\ со, со'),
б3 (и | со, со') = б7 (и ] со, со').
Таблица 24 показывает, как изменяются функции бДп), о2(п\ б3(и) и
числа е19 е2, е3 при замене основных периодов и какие значения прини-
мают числа а, р, у, когда числа т, п, т', п* принимают определенные
значения.
Пример. Положим, что
ft) = 8со + 3ft)', со' = 5ft) + 2 со'.
В этом случае т и и'—четные числа, а т' и
п—нечетные. В строке пятой таблицы находим
а —3, /5=2, у= 1.
Отметим, что при рассматриваемом пре-
образовании числа г], г)' и г]" переходят в
’7=s(®), =
»2 "=>? + »/ = S (со ). (185)
Табалца 24
т п т' п' а Р У
I 1 0 0 1 1 2 3
II 1 0 1 1 1 3 2
III 1 1 0 1 2 1 3
IV 1 1 1 0 2 3 1
1 V 0 1 1 0 3 2 1
IV 0 1 V 1 3 1 2
§ 13. Общие свойства эллиптических функций. Выражение эллипти-
ческих функций черезфункцйю а(ц). Двояко периодическая функция /(и)
с периодами 2® и 2со' вполне определяется, если оказываются известными
ее значения
и == u0 -j- 2/со ~{~2t'co'
для всех вещественных значений t и заключенных между 0 и 1. Вели-
чина а0 может быть выбрана произвольно. Очень часто принимают ио=О.
Совокупность точек, отвечающих этим зна-
чениям и,- принадлежит параллелограмму
(фиг. 41), построенному на векторах, изо-
бражающих числа 2со и 2со'. Этот парал-
лелограмм называется параллелограммом
периодов. 2® - '
На каждой из двух параллельных сторон фиг 41
параллелограмма лишь точки одной отно-
сятся, к параллелограмму периодов, а из четырех вершин только одна
принадлежит параллелограмму периодов.
UB
118
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ ГЛ. IV
Какие стороны и какую вершину относить к параллелограмму пе-
риодов,—дело условия. Можно, например, взять вершину, соответствующую
точке и0, и стороны, на которых она находится.
Внутри параллелограмма периодов функция /(и) должна иметь осо-
бые точки.
Однозначная двояко периодическая функция, обладающая только по-
люсами в параллелограмме периодов, называется эллиптической. От-
метим общие ее свойства.
1. Эллиптическая функция имеет в параллелограмме периодов конечное
число полюсов. Пусть at, а2,... ,ак будут полюсы порядка ар а2,...,а4.
Величина
у = ctj + а2 4- ... + а4
называется порядком эллиптической функции.
2. Сумма вычетов, соответствующих отдельным полюсам, принадле-
жащим к параллелограмму периодов, равняется нулю. Отсюда следует,
что не может существовать эллиптическая функция 1-го порядка. При-
мером эллиптических функций 2-го порядка могут служить функции (и),
snu, спи, dnu, tn и. Эллиптическая функция 83 (и) имеет в параллело-
грамме периодов один полюс 2-го порядка,'функции snu, спи dnu и tn.u
имеют в параллеграмме периодов два полюса 1-го порядка.
3. Пусть />!, Ь2,...,Ьг обозначают корни функции f(u), принадлежащие
параллелограмму периодов. Кратность корней пусть будет соответственно
равна Plt Р2....Рг. Эллиптическая функция порядка у имеет у корней
в параллеграмме периодов. Каждый корень при этом считается столько
раз, сколько единиц в его кратности.
Р\ + Ръ + • • • 4- Pi = ai + а2 + •,. 4- ак — у- г (186)
4. Между корнями и полюсами функции существует зависимость . -
ai + °а 4- • • • + ak=^i + ^2 + • • • + , (187)
Следствие: эллиптическая функция порядка у принимает в параллело-
грамме периодов любое значение и при этом у раз.
5. Эллиптическая функция f(u) может быть выражена через функ-
цию б (и) следующим образом:
/ = С . (188)
о (и — а^о (и — а2)а*.. .а
6. Выражение функции f (и) через функцию б (и) может быть. дано
в иной фдрме. Пусть в окрестности полюса at функция /(и) предста-
вляется в виде ряда
/ (ц)= — -----1------т~. 4- • • • 4———I- ч>{ (и),
(и — а4)°‘ (и—ар» 1 и—°i
где функция (и) разлагается в ряд Тэйлора по степеням и — ае Сумма
вычетов удовлетворяет условию
А + А + ...+4 = о. (189)
Эллиптическая функция f(u) выражается через функцию о (и) и ее
производные различных порядков следующим образом:
k k
о (и.—
4=1
(— I)8 д(»У ds ( а' (и — ар
s! ’ dus\ а (и —ар
8 = 1
k h ai 1
f (и) = До + 2 А- ~'а^ 4- S А8>(8-п (и- ар. (190')
4=1 * 4=1 S=1
ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
119
Равенство (190) оказывается весьма полезным при интегрировании
эллиптических функций.
§ 14. Интегралы от эллиптических функций. Интегрирование эллип-
тических функций удобно производить, пользуясь выражением их через
функции £(п), $>(п) и производные от функции (и). Равенство (190') дает
& k
/ (и) du = Аои А 0 (« — Яг) — У] (ц — ai) +
»=i ' «=1
ft °i~1
+ V 2 -(~ (s-2) (« — ^) + С. (191)
1=1 8=2
Пример. В- качестве примера вычислим интеграл .
Функция (ц) имеет в параллелограмме периодов один полюс И=0 восьмого по-
рядка. Разложение функции $>" (и) в окрестности полюса имеет вид
£>"(«) = — + — + — g3U2 + — 11* + ...
° 1 ’ и* 10 7 63 40
Отсюда следует, что
36 , б 1 , 36 g3
^'2<“)=V + Tg2F+T1F+-
Функция $>"2 (и) согласно равенству (190х) выражается через (и) так:
83",2 (И) = “ (6)(И) + 4г g2 (и) + g8^(a) + До-
/I Э о! t
Интегрируя обе части равенства, получаем
С Г'2 (И) du = 4? А5М + -7- Г (П) - V- g3 С (и) + Айи + С.
J 140 о ,7
Величина постоянной Ао может быть определена, если в равенстве, дающем выра-
жение ^"2 (п) через (п) и ее производные, положить и равным какому-либо частному
значению.
Положим, и = о. В.таком случае, замечая, что
^(«) = е1( F(®) = 0,
получаем путем последовательного дифференцирования уравнения
^'2(u) = 4^(«)-g2m-g3
выражения производных $>" (и),... ,$> W (Ц) и их значения при и=а>:
JP"(«) = 6F(a)----£><4>(U) = 12$>'2(u)4- (и),
(U) = 12 («) <§>' (II), (5) (й) = 36 ф' („) рг, (Ц) + \2.$>(и) (и),
8>(6) (и) = 36 Г'2 (а) + 48 (и) Г” (и) + W (и) (и);
(ф) = бе? - g2. S? W («) = 6 (2g3Ci + 3g3),
^'" (й)=0, А5) (®) = 0.
S* (6) (co) = 9(28g2e12+60g3e1+ga2).
Внося эти значения в равенство, дающее выражение ^''2 (п) через функцию (п) и ее
производные, получаем
(6ei2-4-g2Y = 4- 9(28g3e12 + 60g3ei + g?) + ^(6e12-4-g2') + ’?&ei + A>.
\ * 2 J 14U . □ \ Z / 7
откуда находим
2
л0 = —g?.
120
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
[ ГЛ. TV
Приведем некоторые простейшие интегралы, связанные с функцией (и):
^2(u) da = -^^'(u) + -7^u + C, о 12 (192)
^3(tz) da - ,1s""fu)'-c (193)
1 du • =--rMu + _J_ln > + c, (a) &'(a) a(u + a) (194)
WO-WO
’ д^>(и) + & с $ (u) + d da = ^+£d^(2^a + ^n^^\ + c. с с2 ( $>' (a) i?'(a) g (u + a) J (195)
Величина аргумента а находится из условия
& (а) =----— .
С
_--------=02) in -------------L_ , (u + a)-
(WO - SW- r s(«) o' (и - a) r 2(a)
----L_ g (tf _ a) _ f + -(Q) С(аП и + C.
F’(<0 1Гг(а) r3(«) /
(196)
§ 15. Выражение функции Якоби через функции Вейерштрасса. Эл-
липтические функции Якоби выражаются через функции сигма или через
функцию (и), как это следует ожидать в соответствии со сказанным
в § 12. ' • .
Выражения функций Якоби через функции Вейерштрасса имеют сле-
дующий вид:
sn (и \ f ел — e J = 1/ ел - ^.e ° Ю — У gl—g3 (1 07}
Г ex '-'j} Г 1 аз (a) (n) —
cn V^(u-)~ ea ’ (198)
dn| 1 -.r ,\ CT2(«) ^Vei— es)- аз{и} К^*(И)— e3 (1>9)
Модуль к и дополнительный модуль к’ выражаются при помощи
формул
^1 — ^2
JT2 __ — е3
— е3
к'2 =
(200)
*1 —*3
Условимся делать выбор корней elt е2, е3 таким образом, чтобы в том
случае, когда изображения чисел elt е2, вз лежат на одной прямой, корень е2
соответствовал средней точке. Так, в случае вещественных корней будем
считать с1>е2>с3. При таком условии выбора корней величины к2 и к'2
не могут получить отрицательных значений или положительных значений,
больших единицы.
Между величинами К и К' и периодами 2<в, 2®' имеют место соот-
ношения
К = «>)/е1— е3> K'i = со,’|/е1 —с3. (201)
Функция Е(и) выражается через функцию <?3(и) равенством
(202)
• V ^1 ----^3 ' °3 'и’ '
16]
ВЫРОЖДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
12Г
Величины Е и Е' выражаются равенствами:
Е = (»? + ехю), Е' = -?=4= + е3 со'),
V — е3 V ег — е3
Функция zn (к) выражается через о3(ц) равенством
zn(lz)=i
УЧ—<?3 ’ аз (“) ® )
(202')
(203)
Отметим, что в том случае, когда к2—число вещественное и при этом
0<fc2<l, основной параллелограмм периодов является прямоугольником.
Если величина к2 обладает положительной мнимой частью, то основ-
ной параллелограмм периодов имеет острый угол при вершине О. Если
же мнимая часть величины к2 отрицательна, то угол при вершине О
тупой. •
§ 16. Вырождение эллиптических функций. При некоторых частных
значениях модуля к и инвариантов gs и g3 происходит вырождение эллип-
тических функций. Они обращаются в функции однопериодические. Это
происходит тогда, когда один из периодов обращается в бесконечность.
Отметим такие случаи.
Случай 1. к = 0, к' = 1.
В этом случае имеем
. ” ’ К== —, Я' = оо. (204)
2
На оснЪвании формулы (29') главы III имеем
9 = 0.
Функции Якоби вырождаются в тригонометрические функции:
sn и = sin и, сп и = co,s и, 'dn и = 1. (205)
Функции тета обращаются в постоянные количества
#0(х) = 1, ^(х) = 0, *8(х) = 0, 08(х)=1. (206)
Функция Вейерштрасса $ (и) переходит в периодическую функцию
с периодом 2ю, где
w = , (207)
период <о' обращается в бесконечность; функция (и) становится проста
периодической?
/ л \2
<2°8>
sin2 I —
\2со J
Далее имеем в этом случае
Г(д)~ п*и , л . ли L. птгт (209)
2со & 2о>
1 /Шт 2 a(«) = ^sin^V Ы , п 2(0 (210)
1 /пи. 2 1 /тли8 б1(ц)=е8 cos|^, а2(п) = о3(п) = г(^, (211)
Г) = -------, rf — оо
7 12а> '
(212)
122
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
Между величинами е2, е3 и инвариантами g2 и g3 имеют место соот-
ношения
^2 = е3 = — ^2 = 3^, g3 = el3. (213)
Л
В рассматриваемом случае
^3-27я32 = 0-
Отметим в заключение, что
lim —= —.
№ 16
Случай. 2. к = 1, к' = 0.
В этом случае
К = оэ,
• 2
Величина q обращается в единицу:
<7 = 1.
Функции Якоби вырождаются в гиперболические:
sn и = th и, сп и = —-, dn и = ——.
ch и ch и
(214)
(215)
(216)
(217)
Функции тета теряют смысл. Функция (ц) становится периодической
функцией с мнимым периодом
си = ——7=г ' (СО = оо)
2 УХ }
и обращается в гиперболическую:
^(u) = e1 + —г%=г.’ (218)
вЬ’ОУХ)
Функции g(u) и а (и)' вырождаются. Имеем
'£(и) = —е1и + ]/Г3^coth (и]/"Зег) (219)
И _ CiU2
e(u) = ^—sh(uj/'3e1)e 2. (220)
Функции ^(u), <j2(u) и о3(п) принимают вид
еэиа e3u8 / ,----
(«) = °2(«) = е o3(u) = el ch \иУ ЗеJ, (221)
Величина
<п 2
’=,« <222)
Между величинами еи е2, е3 и инвариантами g^, g3 имеют место соот-
ношения
€1 = е2 = _|, g2 = 3e32, g3 = e33. (223)
Наконец, имеем
lim —=—.
fe'->0 А'2 16
§ 17 ] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В ФУНКЦИИ (ад) 123
Случай 3. Оба периода а> и со' обращаются в бесконечность, однако
так, что отношение их имеет конечный предел.
В этом случае имеем
?! = е2 = = 0, g2 = 0, g3 = 0. (224)
Функция (и) обращается в рациональную дробь
К«)=Ц- (225)
Функции g(u) и п(ц) превращаются в рациональные функции:
g(u) = ~, с(и) = и; (226)
и
функции 6r(u), п2(ц), Од (и) вырождаются В постоянные:
= М«)== <*3 («)==! • (227)
§ 17. Дифференциальные уравнения, интегрируемые в функции $ (и).
Функция у=83(х4-с) является общим интегралом уравнения
(ХУ =4у3 ~~ё2У ~ (228>
Уравнение вида
= —«ХУ —W —с) (229)
\dxj . t
подстановкой
4v ,
у = - + т
приводится к уравнению вида
если положить ’
а + b + с
ГП = —:-— ,
3
Его общее решение дается равенством-
У = -у (х + С) + tn, (230)
где С — произвольное постоянное.
Уравнение вида
f-Y I (У - а'Ау — b)(y - с)(у - d) (231)
\dx/
подстановкой
у = а4-~
V
приводится к уравнению типа уравнения (229). Его общее решение имеет
вид
у = а н------1 (а ~ fe)(a ------ (232)
483(х + С) + ml(a — b)(a — с)(а-d)
где С — произвольное постоянное.
Величина т определяется равенством
о 1 , 1 , 1
3m = ------1------.
• Ь — а с — a d — а
Уравнение
^У = /(У-с)2(У-&)2 (233)
\dx/
124 , ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА { ГЛ. IV
интегрируется путем приведения к уравнению (228). Его общий интеграл
имеет вид
У = ^ + “Г(х + С;0,&), (234)
/л £1
где С — произвольное постоянное, и инвариант g3 определяется равенством
(235)
Дифференциальное уравнение
= — а)2 (у — Ь)2(у — с)2 (236)
\dx /
«подстановкой
V
приводится к уравнению (233).
Уравнение
у^=1(у — а)2 (у — Ь)3 (237)
интегрируется путем приведения его к уравнению (228). Его общий инте-
грал имеет вид
у = b + ^>2(х 4- С; g2, 0), (238)
где С — произвольное постоянное.
Инвариант g2 определяется равенством
<239>
Уравнение
= 1 (У ~~ аУ (У — Ь)3(У~ с)8 (240)
\dx/ о
подстановкой
. 1
У = с + —
V %
приводится к уравнению типа уравнения (237).
Дифференциальное уравнение
(^)4 = /(У-W-03 (241)
подстановкой вида
приводится к уравнению типа (240).
Дифференциальное уравнение
(^У = /(у —а)3(у —i’)4 • (242)
имеет общий интеграл вида
У= Ь.+ 8»3(х 4» С; 0, g3) i (243)-
где С — произвольное постоянное.
tl J ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В ФУНКЦИИ jP ftp 425
Инвариант g3 определяется равенством
= <244>
Дифференциальное уравнение
(*У\6 = I (у — а/ л, _ Ьу _ С)« (245)
\dx/
подстановкой
У = —4-с
V
приводится к уравнению (242).
Дифференциальное уравнение
— 1<У — аУ (У—W (246)
\ах/
подстановкой
приводится к уравнению (245).
Дифференциальное уравнение
= /(у—о)4(У ЬУ (247)
подстановкой
1
у =----
V — С
приводится уравнению .(245)
Дифференциальные уравнения, отмеченные в настоящем параграфе,
суть единственные уравнения вида
(В—
где Р (у) — многочлен относительно у, допускающие однозначный общий
интеграл.'
ГЛАВА V
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
§ 1. Общие замечания. Эллиптическая функция /(«) с периодами 2<о
и 2со' принимает в параллелограмме периодов все возможные значения.
При этом каждое значение функция f (и) принимает столько раз, сколько
она имеет полюсов в параллелограмме периодов. Каждый полюс счи-
тается столько раз, сколько единиц в его кратности. Иначе говоря,
число корней уравнения
* = /(«) (1)
в параллелограмме периодов равно порядку эллиптической функции /(и).
Каждый корень уравнения (1 считается при этом столько раз, сколько
единиц в его кратности. Отображение параллелограмма периодов пло-
скости и на плоскость комплексной переменной z, доставляемое равенством
(1) , не является, таким образом, взаимно однозначным. Плоскость z
взаимно однозначно отображается лишь на часть параллелограмма перио-
дов. Точки параллелограмма периодов функции/(«) с периодами 2йГ1Г2(о'
могут быть охарактеризованы равенством
и = и0 + t со + V (o’,
где t и V принимают вещественные значения, ограниченные неравенствами
— 1 < t < 1, —1 </'<], а и0 есть некоторое определенное значение,
которое может быть взято произвольно. Можно, например, положить
wo=O-
При рассмотрении распределения значений функции z = /(u) в парал-
лелограмме периодов и выделении той части параллелограмма периодов,
на которую плоскость комплексной переменной z отображается взаимно
однозначно, мы будем опи-
раться на общие свойства кон-
формного отображения. Эти
свойства мы здесь отметим?
1. Положим, что..некото-
рый замкнутый контур С на
плоскости и нигде сам себя не
пересекает (фиг. 42) и огра-
. z, ничивает область Т. Положим,
\ j* I что контур С состоит из кус-
\ / ков правильных линий. Пусть
Фиг‘42 '' функция ?=/(и), голоморфная
в области Т и на контуре С,
отображает контур С взаимно однозначно на контур Сх плоскости z. При
этих условиях область 7\, ограниченная контуром Q, является взаимно
однозначным отображением области Т,"
ФУНКЦИЯ sn и
127
Высказанное предложение остается справедливым при выполнении
помянутых условий и для неограниченных областей.
у 2. Положим, что один из кусков контура С, ограничивающего область Т,
Является отрезком прямой линии. Положим, что этот отрезок отобра-.
ается на некоторый участок действительной оси на плоское! и z.
Функция дающая конформное отображение области Т на об-
ласть 7\, дает одновременно конформное отображение области Т, сим-
метричной области Т относительно прямолинейной границы, на область Tx*t
- шметричную области 7\ относительно действительной оси. При этом
. очками и и и' плоскости iz, симметричным относительно прямолиней-
ного участка контура С, отвечают точки z и z, симметричные относи-
тельно действительной оси плоскости z.
Мы рассмотрим в дальнейшем детально конформные отображения,
эставляемые эллиптическими функциями Якоби и функциями Вейер-
трасса. При этом ограничимся случаем вещественного модуля (0< к < 1)
вещественными значениями инвариантов у2 и Гз-
Обратная функция, выражающаяся эллиптическим интегралом, осуще-
-'вляет конформное отображение плоскости z с соответствующими
оазрезами на участок основного параллелограмма на плоскости п, являю-
щиеся частным случаем преобразования полуплоскости на многоуголь-
ник по формуле Шварца-Кристофеля.
§ 2. Функция snn. Основной параллелограмм периодов имеет форму
прямоугольника со сторонами 4К и 2/С* Центр основного параллело-
грамма поместим в начале координат. Совокупность значений п, принад-
\-ижащих основному параллелограмму, определяется равенством
u==2iK + t'K'i (—!</<!, — (2)
основной параллелограмм периодов изображен на фиг. 43.
Рассмотрим распределение значений функции
z = sn и,
когда и принимает значения в основном параллелограмме.
При изменении
до К функция
u = uL + и21
от О
z = Zj + z2i.
рсзраста^т рт О до J/flpsизменении
от К дб + КЧ функция z изме-
лется от 1 до -Т. При изменении
/с
к от К + Ki до Kt величина z изме-
няется от— до оо. Наконец, при из-
менении jx от Ki до 0 величина z
изменяется от оо до 0, оставаясь чисто мнимой.
Окружности весьма малого радиуса, описанной
около точки K'z, от
вечает некоторая кривая плоскости z, весьма удаленная от начала коор-
динат.
При переходе со стороны прямоугольника, соединяющей точку К + Ki
и точку Ki, на мнимую ось по этой малой окружности точка z перехо-
да? с вещественной оси на мнимую ось по линии, весьма удаленной от
точки О.
128
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
( ГЛ. V
При достаточно малом радиусе окружности с центром в точке K'i
любая точка z0 первого квадранта плоскости ^ попадет внутрь области,
ограниченной весьма удаленной кривой и осями.
При обходе контура прямоугольника с вершинами О, К, К + iK\ 1К\
причем последний угол срезан малой окружностью в направлении, ука-
занном на фиг. 43 стрелками, точка z описывает в положительном направ-
лении указанный выше контур. Отсюда следует, что уравнение
sn и = zQ
имеет только одно решение, изображаемое точкой внутри рассматривае-
мого прямоугольника.
Уменьшая радиус проведенной окружности до нуля, приходим к такому
заключению.
Часть параллелограмма периодов, отмеченная цифрой I, конформно
отображается на первый квадрант плоскости z (фиг. 44). Часть паралле-
лограмма периодов, отмеченная цифрой П, отображается на второй квад-
рант плоскости 2. .
:• что точкам
и и и', симметричным относительно^
вертикальной (мнимой) оси, соот-
ветствуют точки z и z', тоже сим-
метричные. относительно мнимой
оси.
Части параллелограмма перио-
дов, отмеченные цифрами III и IV,
соответствуют третьему и четвер-
тому квадрантам плоскости z.
В точках, симметричных отно-
сительно вещественной оси, функ-
ция snu принимает комплексные
сопряженные значения. Этим точкам отвечают точки плоскости г, тоже
симметричные относительно вещественной оси.
В частях параллелограмма периодов, отмеченных цифрами 1', II', III',
IV', функция snu повторяёт значения, принимаемые в частях, отмечен-
ных соответственно /, II, III, IV.
Прямоугольник с вершинами в точках К, K + K'i, —K ~К
отображается на верхнюю полуплоскость переменной z.
Обратное отображение полуплоскости переменной z на прямоуголь-
ник со сторонами 2К и К' осуществляется эллиптическим интегралом
__________dx__________
К (1 — х2)( 1 - &2х2)
(3)
Этот же интеграл осуществляет отображение плоскости z на прямо-
угольник плоскости и с вершинами в точках К + K'i, —К + K'i, —К —K'i
и К — K'i. При этом плоскость z предполагается разрезанной вдоль
вещественной оси от точки + 1 до + оо и от точки —1 до —оо.
Верхний край первого разреза от точки +1 до точки + отобра-
• *
жается на стороне К, К 4- K'i прямоугольника (фиг. 44). Нижний край'
первого разреза на том же .участке отображается стороной К, К—К'Г
прямоугольника. Верхний и нижний края первого разреза на участке от
S2 ]
ФУНКЦИЯ sn и
129
точки 4- — до +оо отображаются на сторонах прямоугольника от точки
fc •
К + K'i до точки K'i и от точки К — K'i до точки — K'i соответственно.
Аналогичную картину имеем для второго разреза, Основной парал-
лелограмм периодов функции sn и дает конформное отображение двух-
листной римановой поверхности, соответствующей функции
4 (z, fc) — (1 — Z3)(l — 7с222) .
Отображения четырех квадрантов верхнего листа помечены на фиг. 43
цифрами I, II, III, IV, а аналогичных квадрантов нижнего листа—циф-
рами 1Г, ПГ, IV.
В решении задачи конформного отображения полуплоскости на данный
пэямоугольник с помощью функции sn й встрт. вопрос о выборе модуля к.
Положим, что требуется отобразить конформно; полуплоскость., распо-
ложенную выше вещественной оси, на прямоугольник со сторонами 2а
и Ь, причем начало, координат соответствует середине стороны прямо-
угольника, длина которой равна 2а.
Длины сторон прямоугольника связаны с величиной соотношениями
1
f* dx
2а = 2ЛК = 21. .г...... 1 -=^, (4)
J V (I — х2)(1 — Л’х*)
. о
1
Ъ = Л К' = л (......... dX—~ -=, (5)
J У(1 -х2)(1 /с,2х2)
о
где Я — некоторый множитель. Для данного случая имеем
v е = —=-. (6)
К a v '
По величине
qе~ле (7)
находим модуль к с помощью соотношения
к = (V = 4J 1 W'2+q2,3+<?3-4 + --.+ gn(n+1) V
I МО)./ ( 1 + 2? + 2д* + 2д»+...+ 2qnI . J
Найдя величину к ^определяем значения К согласно формуле
= = +2? + 2^ +2?9 + ...}2. (9)
Величина К может быть найдена и с помощью таблицы значений
эллиптического интеграла 1-го рода.
Отметим, что при небольших значениях q определение величин к и К
можно производить с помощью приближенных формул:
К^у(Ц-40. (11)
Зная величину К, можно определить Л из равенства (4).
Функция
г-5п(т’ "О
(12)
9 Справочник по эллиптическим функциям
133
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[ ГЛ. V
дает требуемое конформное отображение прямоугольника со сторонами
2п, b на полуплоскость, а функция
, ____________dx__________
И — -----------------------------
jy (1 — х2)(1 — kV)
о
(13)
отображает полуплоскость на прямоугольник.
Те же формулы решают вопрос о конформном отображении квадранта
на прямоугольник со сторонами а и Ь.
Пример. Отобразить верхнюю полуплоскость z конформно на квадрат в., плоскости и
со стороной, равной 1, так, чтобы одна сторона квадрата лежала на вещественной оси,
а середина стороны квадрата приходилась в начале координат плоскости и и чтобы она
отвечала началу координат на плоскости z.
В рассматриваемом случае имеем:
2я = 1 & = 1.
Величины о и q получают значения
р = 2, q = 0.0018675.
Пользуясь приближенными формулами.(10) и (11), находим
2x0.043214
к == 1 . 4vnnni'^-0J72856 0 - 0.007469 + 0.000056) % 0.172856x0.992587 0.17157
1 + 4 XU.UUloD/O
И
К = 1.57030 (1 + 4x0.0318675)^ 1.58253.
Величина множителя Я определяется равенством
Я~ 2x1 58253 "°'31595-
Функция С dx H=0-3159J Vd-xw-fc’^ ’ 0
где к = 0.17037, доставляет требуемое конформное отображение.
§ 3. Функция спи. Основной параллелограмм периодов функции
сп и может быть представлен аналитически как совокупность значений
и = ц0 + 4Ю+ (К+ —1<Г<1,)
где и0— произвольно взятая точка плоскости ц.
Для дальнейшего будет, однако, более удобно взять в качестве основ-
ных периодов 2 (К + 1К') п2(К — iK') и положить и0 — 0. В таком случае
основной параллелограмм будет иметь форму ромба, как это показано на
фиг. 45. Совокупность значений и, отвечающих точкам основного парал-
лелограмма, определяется равенством
u = (K + iKV + (К —
где
— 1</<1, — 1<Г<1.
Рассмотрим распределение значений функции
z== спи (14)
в основном параллелограмме. В точке О значение функции спи обра-
щается в единицу. При изменении аргумента и от 0 до К функция z
меняется от 1 до 0 (фиг. 46).
При изменении и вдоль прямой, соединяющей точки К и K+Ki',
функция спи, как то следует из формулы
сп (К + й2,‘ fc) = — кЧ
sn (иа, fc)
dn (u2, fc')
§3 ]
ФУНКЦИЯ СП и
131
к'
изменяется от 0 до-----i, оставаясь чисто мнимой величиной, модуль
к
которой все время возрастает. При изменении и от К + K'i до K’i зна-
чения спи, как то следует из равенства
сп (ur + IK', k') = —i —п-^1’ ,
к sn («!, к)
k'i
изменяются от-------до.— ooz, оставаясь мнимыми и возрастая по модулю.
к
Рассмотрим значения, принимаемые функцией спина вертикальной
диагонали ромба. Из соотношения
cn (iu2, к) =-1—-
4 2 7 сп (и,, к')
видно, что когда величина и = + u2i принимает значения, соответ-
ствующие точкам на мнимой оси между 0 и K'i, функция спи изменяется
от 1 до сю. При перемещении переменной и из точки. K’i в точку О
переменная z переходит от со до 1, оставаясь вещественной.
Если вырезать окружностью весьма малого радиуса вершину K’i
в прямоугольнике с вершинами О, К, К + K'i, K'i и отметить на плоскости
переменной z соответствующую линию, то при обходе контура прямо-
угольника с вырезом около точки K'i в положительном направлении точка z
описывает положительную полуось вещественных чисел, отрицательную
полуось мнимых чисел и вспомогательную линию, по которой переходит
с мнимой полуоси на вещественную полуось. Уравнение
• сп и = z0,
где z0 — точка, взятая в IV квадранте, имеет одно решение внутри рас-
сматриваемого прямоугольника плоскости и. Рассматриваемый прямо-
угольник однозначно отображается на IV квадрант плоскости.
Пользуясь четностью функции сп и и принимая во внимание, что для
сопряженных значений и функция спи получает сопряженные значения,
легко установить конформное отображение прямоугольников, симметрич-
ных прямоугольнику с вершинами в точках О, К, К + K'i, K'i, на плоскость z.
Каждый из этих прямоугольников отображается квадрантом пло-
скости z. Номера квадран-
тов отмечены на соответ-
ствующих прямоугольниках
(фиг. 45 п 461. Прямоугрль-
нвг’-б'
— K'i, К —K'i, К + K'i,K'i
отображается полуплоско-
стью z, расположенной спра-
ва от мнимой оси и разре-
занной от точки +1 до -|-оо
по вещественной оси. Верх-
ний край разреза отобра-
жает отрезок от точки О
до—K'i плоскости и, ниж-
ний край разреза отобра-
жает отрезок от точки О
до точки +K'i-
Из соотношения сп (К + «) = — сп (К — и) следует, что в точкйх прямо-
угольников с вершинами в О, К, К — K'i, —K'i ‘и К, 2К, 2К 4- K'i,
К + K'i,' симметричных относительно точки К, функция принимает значе-
ния, одинаковые по величине и противоположные по знаку.
9*
132 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ( ГЛ. V
Прямоугольник с вершинами К, 2К, 2К + K'i, К + K'i отображается
на квадрант /// плоскости z. Таким же образом прямоугольник с вер-
шинами К, 2К, 2K — K'i, К — K'i отображается на квадрант II пло-
скости z. На плоскости z сделаны разрезы от точки +1 до + оо и от
точки — 1 до —оо вдоль вещественной оси и равным образом от точки
. к' . . к' . . „
+ — i до -j- cot и от точки--I до —оог вдоль мнимои оси.
к к
Противоположные края разрезов вещественной оси изображаются
отрезками О, K'i и О, —K'i и 2К, К + К'1 и 2К — K'i соответственно.
Правый и левый края разреза от
к' . . -
точек-----1 до —ico изображаются ли-
к
ниями, соединяющими точки К 4- K'i,
K'i и точки К 4- K'i, 2К 4- K'i соответ-
ственно.
kf
Точкам на краях разреза от — t до
к
оо/ отвечают точки линии —K'i, %К —K'i.
Точкам треугольника 2/<, 2К + K'i,
К + K'i, выходящего за пределы парал-
лелограма периодов, эквивалентны точки
треугольника — K'i, —К — K'i, —2K'i*
Участки паралеллограма периодов, отоб-
ражающиеся на квадрант III плоскости
z, отмечены цифрой III. Точно так же.
периодов, отображающиеся на квадрант IV
участки параллелограмма
Плоскости z, отмечены цифрой IV.
Из сказанного видно, что внутри основного параллелограмма функ-
ция спи принимает любое значение дважды.
Обратная функция
dx
и = \ —.......................••••.........-.....-=
J У (1 - х2) (к'1 + /с2х2)
z
(15)
дает отображение на соответствующие участки основного параллело-
грамма квадрантов плоскости z с разрезами вдоль вещественной оси от
точки 1 до оо и от точки —1 до —оо и с разрезами вдоль мнимой оси
к' . к' .
от точки —/ ДО ICO и от точки —-—z до точки —ZOO.
к к
Решая задачу конформного отображения квадранта на данный прямо-
угольник со сторонами а и Ь, приходится определять Модуль к функции спи
из уравнений
1 .
Г dx
а = ЛК == А —-............, (16)
J У (1 — х2)(1 — к2Х2)
о
1
A f
b = ЛК' = А —........ (17)
J У (1 — х2)(1 ~/с'2х2)
о
Определение величин к* и Л производится сЪвершенно таким же об-
разом, как и в случае преобразования, производимого при помощи функ-
ции sn (и, к). •
ФУНКЦИЯ dn и
133
Величина Q определяется равенством
е = —. (18)
а
Величины д, к, К определяются по формулам (7), (8), (9). Их вычис-
ление при небольших значениях q можно производить по формулам (10)
и (11). Значение Я находится из уравнения (16).
Функция
z = cn(у-, к^ (19)
дает отображение соответствующих частей основного параллелограмма
периодов на отдельные квадранты. Обратная функция
1
Г dx
и = Л \ Лг = (20)
J У (1 — х2)(/с'2 + /с2х2)
преобразует квадранты плоскости в соответствующие части основного
паралеллограмма.
§ 4. Функция dna. Функция dntz имеет основной параллелограмм
в форме прямоугольника со сторонами 2/С и 4К'. Совокупность значений и,
принадлежащих к основному параллелограмму, определяется равенством
u = Kt + 2K't'i; -1</<1, —(21)
Распределение значений функции
z = dn и (22)
в основном параллелограмме указано на фиг. 47. Цифрами I, II, III, IV
отмечены части прямоугольника периодов, соответствующие /, II, III, IV
квадрантам плоскости г (фиг. 48). При выбранном значении z уравнение (22)
имеет^ только одно решение в соответствующей части прямоугольника
периодов. Другими словами, части, отмеченные цифрами 1, II, III, IV,
однозначно* отображают квадранты плоскости г, изображенные на фиг. 48.
Цифрами Г, 1Г, ПГ, IV' отмечены части прямоугольника периодов, также
однозначно отображающие квадранты плоскости z.
. Таким образом уравнение (22) при всяком z имеет два корня в прямо-
угольнике периодов.
При изменении и от 0 до К величина z меняется от 1 до к', убывая.
При .изменении и от К до К 4- 1К' величина z убывает от к' до 0.
При изменении и от К + до К + 2/7С величина z убывает от 0 до к’.
134
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
( ГЛ. V
Аналогичную картину распределения значений z мы имеем на отрезке
от К до К— 2iK'. При изменении и по мнимой оси от точки О до iK’ вели-
чина z возрастает от 1 до со и при дальнейшем изменении и от iK'
до 2iK' возрастает от —со до —1. Такую же картину изменения z мы
имеем при изменении и по мнимой оси от точки О до — 21К'.
При изменении и от К 4- iK' до iK' по прямой величина z возрастает
по модулю от 0 до со, оставаясь чисто мнимой, причем коэффициент при i
имеет отрицательный знак.
При дальнейшем изменении и от iK’ до —К + iK' величина z, оста-
ваясь чисто мнимой, изменяется от оо/ до 0, причем коэффициент при i
имеет положительный знак. Аналогичную картину мы имеем при изме-
нении и от —K — iK' до + K — iK'.
Таким образом обходу контура прямоугольника О, —K'i, К — iK', К по-
следовательно через точки —K'i, К — K'i, К, О до точки —K'i соот-
ветствует перемещение z из точки 4- /оо до О по мнимой оси и дальнейшее
перемещение по вещественной оси из точки О .до 4- оо. Стороне —K'i,
К — K'i отвечает мнимая ось, стороне К—K'i, К отвечает верхний край
разреза вещественной оси от точки О до точки fc', сторойе К, О отвечает
отрезок оси от точки fc' до тонки 1, стороне О, —K'i отвечает верхний
край разреза от точки 7 до + оо.
Прямоугольник — K'i, К — K'i, К + K'i, K'i отображается на правой по
отношению к мнимой оси полуплоскости z с разрезом вдоль вещественной
оси от точки О до точки fc' и от точки 4- 1 до 4- оо.
Прямоугольник —K'i, K'i, —К + K'i, —К — K’i отображается на левой
полуплоскости z с разрезом от точки Одо —fc' и от —1 до —оо. Со-
ответствие краев разрезов сторонам прямоугольников непосредственно
ясно из предыдущего.
Обратная функция
и = ।,/--------------- izo;
J V (1 - х2)(х2 — V2)
доставляет конформное отображение квадрантов плоскости с разрезами
вдоль вещественной оси'от точки 1 до со, от точки —fc' до fc' и от
точки — 7 до — со на соответствующие участки прямоугольника периодов.
В том случае, когда конформное отображение квадранта осуществляется
с помощью интеграла (23) или функции dn и и стороны а и Ъ прямоуголь-
ника заданы, приходится определять величину модуля fc и множитель Л
из условия
а = ХК, b = ЛК'. (24)
Определение этих величин производится по формулам (6), (7), (8), (9)
или (10) и (11) и равенству (24).
Функция
z = dn (-у-, kj (25)
дает конформное отображение прямоугольника на соответствующий квад-
рант, а функция
1
и = Я f г dX =- (26)
J у (1—x2)(x2-fc'2)
2
доставляет конформное отображение квадранта плоскости z на данный
прямоугольник.
S s]
ФУНКЦИЯ tn и
Г5
§ 5. Функция tn». Функция tn и имеет основными периодами вели-
чины 2К и 41К'. Основной параллелограмм имеет форму прямоугольника.
Совокупность значений аргумента и, принадлежащих основному паралле-
лограмму, определяется формулой
и =Kt + 2t'iK’, — — 1<Г<1. (27)
Распределение значений функции
z — tn и (28)
в основном параллелограмме видно на фиг. 49.
На этой фигуре цифрами I, II, ИЬ
IV отмечены отдельные части, конформ*
но отображающиеся на I, II, III и IV
квадранты плоскости z. При этом раз-
личным значениям и в каждом из рас-
сматриваемых участков соответствуют
различные значения z. Отображение
каждого из участков основного парал-
лелограмма на соответствующий квад-
рант плоскости z однозначно. Части
основного параллелограмма, отмечен-
ные цифрами Г, 1Г, ПГ, IV однозначно
отображаются на квадранты /, II, III и
IV плоскости z.
Таким образом в основном параллелограмме уравнение (28) при вся-
ком z имеет два корня.
Рассмотрим (фиг. 50), как распределяются значения z на контурах
отдельных частей основного параллелограмма. При
до К величина z возрастает от 0 до со.
При изменении и от —К до 0 величина z растет
от —оо до 0. Когда и переходит по мнимой оси
от 0 до /К', величина z, оставаясь чисто мнимой и
возрастая по модулю, изменяется от 0 до i. При
дальнейшем перемещении и по мнимой оси вели-
чина 2, оставаясь попрежнему чисто мнимой, убы-
вает по модулю и переходит от значения i к 0.
При iior О до 2iK' вдоль мнимой оси
величина г от 0 переходит к —i и затем от —i к 0.
Когда и переходит из точки К в точку К + iK'
и далее в точку К +2iK', величина z, оставаясь
чисто мнимой и убывая по модулю, переходит
i
от гео к —, а затем, вновь возрастая по модулю,
обращается в гео.
При изменении и по прямой от К до К — 21К'
величина z переходит от —гоо к
опять к —гоо.
При изменении гг по прямой от —K + K'i до K'i
величина z, оставаясь чисто .мнимой, от переходит к г, а потом от i
_ *' * у/
, а затем
. К
изменении
и от О
П
и
к
I
О
*2,
ш
и
г
к‘
Фиг. 50
далее до К + K'i
к
136 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ ГЛ. V
При изменении z вдоль прямой, соединяющей точки —K — K'i, —K'i>
+ К— K'i, величина z меняется от---— до — i и далее от — i до---— •
к' к'
Таким образом, при обходе контура прямоугольника О, К, К + K'i,
K'i в положительном направлении точка z перемещается сначала по ве-
щественной оси из точки О до оо, а потом по мнимой из точки + zoo
до 0. Стороне К, К+ K'i соответствует правый край разреза мнимой оси
от до —у. Стороне К + K'i, K'i соответствует участок мнимой оси
к
от - у до г и стороне K'i, О отвечает правый край разреза от точки I до 0»
кг
Правая полуплоскость z служит отображением прямоугольника с вер-
шинами в точках— K'i, К — K'i, К + K'i, K'i. Соответствие сторон прямо-
угольника и краев разреза ясно из сказанного.
Функция
J G 4- 4- *
о
осуществляет конформное отображение квадрантов плоскости z с раз*
z . .
резами вдоль мнимои оси от точки — до zoo, от точки z до —z и от
точки----до —оо на соответствующие части основного прямоугольника
к
на плоскости и.
„ В случае необходимости произвести конформное отображение квад-
ранта плоскости z на данный прямоугольник плоскости z, приходитсй
находить модуль к и множитель Я. по уравнениям вида (24). Решение
этого вопроса указано в предыдущих параграфах.
Функция
z = tn(—, Й (30)
\ Я J
осуществляет конформное преобразование данного прямоугольника в квад-
рант плоскости z. Функция
3
_________dx____________
/ (1 + х2)(1 + к'*х2)
01)
дает отображение квадранта на прямоугольник.
§ 6. Функция S? («). При рассмотрении конформного преобразования,
доставляемого функцией (и), ограничимся лишь случаем вещественных
значений инвариантов g2 и g3. При этом будем различать два предпо-
ложения.
1. Корни еи е2, е3 вещественны (^> г2> е3).
Функция (а) имеет основные периоды 2а> и 2а>', где
оо
f dx
СО = I -у-- ...-...—,
JV 4х8 — g,x — g3-
61
ж е»
f dx
со' | ...;------— •
J У— 4x3 + g2x + gs
—оо
(32)
(33)
§ в ]
ФУНКЦИЯ (u>
137
Первый период вещественный, второй чисто мнимый. Основной парал-
лелограмм периодов имеет форму прямоугольника то сторонами длиной
12а> | и | 2со' |.
Совокупность значений и, принадлежащих основному параллелограмму,
определяется равенством
и — cotсо't', —1</<1, — 1<Г<1, (34)
параллелограмм этот изображен на фиг. 51.
Распределение значений функции
z== zt + iz2 — & (ц) (35)
в прямоугольнике периодов видно на фиг.. 51, где цифрами I, Г отме-
чены части, конформно отображающиеся на верхнюю полуплоскость z
(фиг. 52), а цифрами II и 1Г отмечены часй-и, конформно отображающиеся
на нижнюю полуплоскость. При этом каждая из частей прямоугольника
периодов однозначно отображается на соответствующую полуплоскость.
Уравнение (35) имеет в ос-
новном прямоугольнике пе-
риодов два корня. На контуре
каждой из областей значения z
распределяются следующим
образом. Когда величина и
возрастает от 0 до со, сохра-
няя вещественное значение,
величина z убывает от оо до e.t.
При изменении и от со до
со -|- со’ величина z убывает от
до е2. Когда точка и пере-
мещается от со 4- со' до со',
величина z, оставаясь вещест-
венной, убывает от с2 до е3.
Наконец при изменении и от
со' до 0 величина z убывает
от е3 до —оо, оставаясь ве-
щественной. Прямоугольник
О, со, со (- со', со’ отображается
на нижнюю полуплоскость z.
При изменении а от со до
от до е2. При изменении и
от со — со' до —со' величина z
убывает от е2 до е3. Наконец,
при изменении и от —со' до
О величина z убывает от е3
до —оо.
Прямоугольник О, со,
со — со',— со'отображается на
Фиг. 52
верхнюю полуплоскость z.
На плоскость г с разрезом вдоль вещественной оси от —оо до et
отображается прямоугольник —со', со — со', со + со’, со’. Отображение от-
дельных частей контура прямоугольника на участки верхнего и нижнего
краев разреза ясно из сказанного.
О распределении значений z на контуре и внутри двух остальных частей
прямоугольника периодов можно судить по распределению значений z
на контуре и внутри двух первых частей, приняв во внимание, что
138
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ ГЛ. V
(а)—четная функция аргумента и и, стало быть, в точках, симметричных
относительно центра • прямоугольника, принимает одинаковые значения.
Точкам
и — tco + — со', О С t 1
— 2
отвечает на плоскости z окружность с центром в точке е3. и радиусом,
равным VXet — е3)(е2 — е3). При этом точкам средней линии прямоуголь-
ника I соответствует верхняя полуокружность.
Точкам
п = — + t'oi', 0 t 1
2 —
соответствует на плоскости z окружность с центром в точке е3 и с ра-
диусом, равным — ^з)(е1 -- £2) < При этом средней линии , верхнего
прямоугольника соответствует нижняя полуокружность, а средней линии
нижнего прямоугольника отвечает вер-хняя полуокружность.
Центрам прямоугольников соответствуют точки
Р ("Г ± v)= С2 + ' («1 “ЛХ<?2 — «в)
\ Л At/
пересечения окружностей.
Функция
оо
и = f (36)
J V 4x3-gax-g3
Z
осуществляет конформное отображение полуплоскостей плоскости z
с разрезом вдоль вещественной оси от —со до еа и от точки е2 до точки
на прямоугольники 1 и 11 основной области.
В случае необходимости отобразить полуплоскость г на данный прямо-
угольник со сторонами а и b с помощью функции (и) приходится опре-
делять величину инвариантов g3 и g3 по условию
а — Лео, b = Я | со' (37)
Отношение периодов определяется равенством
T = ^ = z^- = ei. (38)
ш К
Из соотношений (37) получаем
е = —. (39)
а
Зная величину q, определяем q по формуле (7) и, пользуясь соотно-
шением (8) или приближенным равенством (10), находим модуль к.
Значения инвариантов определяются равенствами
12^(fc*-F+1), (40)
g3 — 4/z3 (2fc« — 3/с4 — 3fca + 2), (41)
где ц—произвольный положительный множитель.
Величины е2, е3 даются равенствами
(I (2 -F), (42)
е3 = ^(2*2—1), (43)
(44)
Множителю ц можно придать такое значение, чтобы один из корней
стал равен наперед заданной величине.
58]
ФУНКЦИЯ № (U)
139
Значения периодов находятся из равенств
со
С dx
(0 = I _ /- — — -----.....- - --- -. - -- ---- (45)
J у 4и {х3 — 3(А:4 —А:24~ 1)х — (2А:6 — ЗА:4 — ЗА:2 + 2)} ’ 4 7
2—fea
—~(&2Ч-1)
Г dx
С£>' = I I — — —...... =“".............. (46)
J V 4/г {x3 — 3 (/c4 — A:2 4-1) x — (2A:6 — ЗА:4 — ЗА:2 4-2)}
—co
Значения множителя Я находится из равенств (37).
Функция
г (-р) (47)
доставляй? конформное отображение прямоугольника на нижнюю полу-
плоскость z, а интеграл
со
. Г dx
и = Я 7=—= (48)
J V 4х3 - g2x — g3
3
дает конформное отображение нижней полуплоскости на данный прямо-
угольник.
Заметим, что вычисление Величины Я можно произвести иначе, не при-
бегай к вычислению интегралов (45), (46). Находим для этой цели зна-
чение К по формуле (9) или с помощью приближенного равенства
Из соотношения
определится значение Я.
Соотношения (47) и (4^) могут быть представлены в виде
z = )W—12(fc4 — к2 + 1), 4(2^6 —3/^1 — 3^24-24
\ а У 3 /
И
оо
ц = 3 \ dX
К ^К4{х3— 3(/с4 — к2 + 1)х — (Дс6 — Зк* — З/с2 4-2)} ’
г
Выбор значения множителя ц регулирует распределение значений z
на контуре прямоугольника, позволяя взять наперед заданное значение
в наперед фиксированной точке контура.
Отметим еще, что модуль функции
У^ («1 — «зХ^ —
°i (а)
остается меньшим единицы внутри полосы, ограниченной средними вер-
тикальными линиями прямоугольников /, II, Г и 1Г. Вне этой полосы
модуль функции больше единицы. На средних линиях он равен единице.
Модуль функции ____________
V («1 —е8)(е3 —ез)-2^-
03 (и)
остается меньшим единицы внутри полосы, ограниченной горизонталь-
ными средними линиями прямоугольников I, II, Г и 1Г. Вне этой полосы
модуль больше единицы. На средних линиях он равен единице.
(И).
(49)
(50)
(51)
140 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ ГЛ. V
Отметим еще, что в основном прямоугольнике как вещественные
части функций
а (и) а (и) о (и)
°i («) ’ Он («) ’ °з (“)
с одной стороны, так и мнимые их части, с другой, при одинаковых зна-
чениях и имеют значения одинакового зга^а, того именно, который имеет
вещественная или мнимая часть и соответственно.
°д(“)
Вещественная часть каждого из шести отношений остается поло-
жительной в основном прямоугольнике периодов. Мнимая часть'каждого
из этих отношений будет положительной, если ^>2, и отрицательной
при {L <2 внутри прямоугольника II.
Вещественная часть функций &0(х), ^(х), ^>(х), &-(х), где.а = 2сох,
остается положительной внутри прямоугольника II и на нижней гори-
зонтальной его стороне.
Внутри того же прямоугольника мнимые части функций &0(х) и ^i(x)
положительны, а мнимые части функций #2(х) и #3(х) отрицательны.
В прямоугольнике / рассмотренные функции получают значения комп-
лексные сопряженные с теми, которые они принимают в точках прямо-
угольника II, симметричных с точками прямоугольника I относительно
вещественной оси.
2. Предположим, что е2—число вещественное, а е± и е3—числа комп-
лексные сопряженные. Мнимую часть е1 будем считать положительной.
В этом случае периоды 2а> и 2со' будут числа комплексные сопряженные:
со' = а + fit, w — а — fli.
Величины а и Д определяются равенствами:
dx
2а = со + со — \ -----------
J ]/ 4х3 — g2x — g3
е,
е,
(52)
dx
25 = 2^2^,= . .________
Р i J V— 4x3+g2x+gs ’
(53)
$риг. 53
Основной параллелограмм перио-
дов имеет форму ромба (фиг! 53),
На диагоналях ромба функция $ (и)
имеет вещественные значения. Когда
и изменяется от 0 до со" = а> + &',
функция (и) убывает от -фоодо е^
При дальнейшем изменении и от
со" до 2<о" функция (и) возрастает
от еа до + оо. При изменении и вдоль
второй диагонали от со" до 2со'
/функция &э (и), оставаясь веществен-
ной, убывает от е2 до —оо.
При изменении и от со" до 2со
функция (и) убывает от е2 до —оо.
Точке со плоскости и отвечает точка плоскости г. Точкам плоскости Ц,
лежащим на гипотенузе треугольника О, 2со,со" между точками О и®
соответствует на плоскости z точки- нижнего края разреза, идущего
от до оо. Точкам, расположенным на^гипотенузе того же треугольника
между точками со и 2со, отвечают точки верхнего края разреза, идущего
от до оо.
s 6 I
ФУНКЦИЯ 'и)
141
Точке co' плоскости и отвечает точка е3 плоскости z. Точкам пло-
скости и, расположенным на гипотенузе треугольника О, со", 2со' между
точками О и со', соответствуют на плоскости z точки верхнего края раз-
реза, идущего из точки е3 до сю. Точкам гипотенузы того же треуголь-
ника, расположенным между со' и 2со', соответствуют точки нижнего края
разреза, идущего на плоскости z от е3 до оо. При перемещении точки и
в положительном направлении по контуру треугольника II точка z про-
ходит ось вещественных чисел от оо до е2, нижний край разреза веще-
ственной оси от точки е2 до —оо и последовательно оба края разреза,
проведенного, от точки е3 до сю.
Треугольник О, со", 2со' отображается на нижнюю полуплоскость z.
При перемещении и по контуру треугольника I в отрицательном н •
правлении точка z проходит вещественную ось от оо до e2i верхний край
разреза вещественной оси от е2 до — оо и последовательно верхний и
нижний края разреза от е± до со. ТреугольникО, 2^ со" отображается
на верхнюю полуплоскость z.
В точках, симметричных относительно центра ромба, функция ^(п)
имеет одинаковые значения. В точках, симметричных относительно диа-
гоналей ромба, функция $(и) принимает комплексные сопряженные зна-
чения. Внутри каждого из треугольников I, II, Г и 1Г функция № (ti)
принимает каждое значение только один раз. Треугольник I служит кон-
формным отображением верхней полуплоскости с разрезами, отмечен-
ными на фиг. *54.’Треугольник // является конформным отображением
нижней полуплоскости с разрезами.
Сторонам прямоугольника с верши-
нами в точках со', со, со + ю", со’ + со"
соответствуют дуги окружности, про-
ходящей через точки е± и е3, с центром
в точке е2 и радиусом, райным
]А*2 — еЖ — ез)‘
Стороне, соединяющей точки со',
, . а>" - , 1 „
со Н--и точки со, -----сосоответ-
2 2
ствует дуга окружности, пересекающая
разрез вещественной оси. Стороне,
соединяющей точки а> и со', отвечает
ЖуА,
Отображение плоскости с разрезами
интеграл:
на треугольники I и II дает
со
(54)
В том случае, когда представляется необходимым отобразить полу-
плоскость на прямоугольный треугольник с данными катетами а и Ь,
приходится определять периоды 2со и 2со' и инварианты g2 и g3 из условия
Я (со + со') = а, Л (со' — со) == bi. (55)
В этом*случае значение е определяется равенством
2аЪ , Ь2 — а2 .
Q----------------------------------)--------
а2 + &2 а2 + 62
(56)
142 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ 'Л. V
Дальнейшее вычисление может быть выполнено по формулам, ука-
занным в предыдущем параграфе.
Отметим, что в точках треугольников I и II внутри прямоугольника
с вершинами в серединах сторон основного параллелограмма модуль
функции ______________
(57)
(U)
меньше единицы, на сторонах его равен единице, а вне его в остальных
точках треугольников 1 и II больше единицы.
Вещественная и мнимая части этой функции имеют в треугольниках I
и II те же знаки, что и вещественная и мнимая части и.
§ 7. Отображение прямоугольника на
круг радиуса 1. Возьмем прямоугольник,
точки которого определяются равенством
Фиг. 55
n = fw + ft»', 0<Г<1, (58)
где со и а>’ суть периоды "эллиптической
функции f? (и).
Пусть, еъ е2, е3 — числа вещественные и
> с.,> е3. Конформное отображение прямо-
угольника (фиг. 55) на круг радиуса 1 осу-
ществляется функцией.
z = /(a) =
/Уе3 — е3 + г Уех — ег. (и) — ег + » У(е3 — е,)(е3 — с3)
]/\ — е3 — i Уег — е2 8? (и) — е3 — i У— е2)(г2 — е3)
(59)
При этом отображении центру прямоугольника соответствует центр
круга. Вершинам прямоугольника соответствуют точки
±Уе3—е3 ±iV et —е2
Уег — е3
Средние линии прямоугольника превращаются в диаметры окруж-
ности. В том случае, когда длины сторон заданы, значения периодов и
инвариантов функции (и) находятся по формулам, указанным в § 6.
Отображающая функция имеет вид
z = f(-r\ (60)
где Я находится по формуле (49).
§ 8. Конформное отображение, доставляемое эллиптическими интег-
ралами. Отметим конформные отображения, доставляемые эллиптиче-
скими интегралами.
1. Интеграл первого рода в канонической форме Лежандра
и ~
Г _________dx,________
J У(1 — x2)(l —fc2x2)
и
О <fc<l
(61)
доставляет отображение полуплоскости на прямоугольник. При этом вер-
' • ,1 i .
шинам прямоугольника соответствуют точки: 1, —»------—, —1 на веще-
к к
ственной оси. Преобразование (61) было подробно разобрано в § 2 этой
главы.
| 8 1< КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ДОСГАВЛЯМОЕ ЭЛЛИПТИЧ. ИНТЕГРАЛАМИ 143
Может представиться интересным отобразить полуплоскость на прямо-
угольник так, чтобы вершины прямоугольника соответствовали заданным
точкам вещественной оси.
Интеграл первого рода
оо
Г___________________dx___________________
J V (X — Сх)(Х - с2)(х — с3)(х - с4)
Z
(6-)
(где Ci < с, < с3 < е4) дает отображение плоскости z (фиг. 56) на прямо-
угольник (фиг. 57). Бесконечнр далекой точке плоскости z отвечает на
плоскости и точка О. При перемещении z из со в с4 по вещественной
оси соответствующая точка и перемещается в положительном направлении
по оси Out. При дальнейшем перемещении z по верхнему краю разреза (с3,с4)
соответствующая точка и описывает сторону прямоугольника от точки а
до точки а—со'. Верхнему краю разреза (с2, с3) отвечает сторона прямо-
угольника от точки а — со' до точки —/3— со'. Наконец, верхнему краю
разреза (с3, с4) соответствует сторона прямоугольника от точки —/3— со'
до точки —р. При перемещении точки z из точки с4 до сю по веще-
ственной оси соответствующая точка и переходит из точки —/3 в точку О.
Верхняя полуплоскость z отображается на прямоугольник / (фиг. 57).
Нижняя полуплоскость отображается на прямоугольник II.
Нижние края разрезов отображаются в соответствующих сторонах
прямоугольника.
Фиг. 56
В
Плоскость z с разрезами отображается на прямоугольник с вершинами
точках ф' + а, а>'——св'— Д —а>' + а.
Величины а, и а/ определяются равенствами
во
_____________dx___________-
V (Х —Q)(X —Cg)(X —С3)(х —С4) ’
______________dx______________
V (x —c4)(x —ca)(x —c3>(x —c4)
c4
(* dx
co' = i 1 -/.-..... .
J V (X —C1)(X —c2)(x —c3)(c4-x)
C3
2. Интеграл второго рода в канонической форме Лежандра
г *
и = Е (г, к) = С р/"J ~ fc2x2. rfx, 0 < к < 1
(64)
(65)
(66)
144 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ ГЛ; V
дает преобразование плоскости z с разрезами по вещественной оси от
точки + 1 до +оо и от точки — 1 до — оо (фиг. 58) на область, ука-
занную на фиг. (59). Отрезок вещественной оси плоскости z от точки О
до точки 1 переходит в отрезок от точки О до точки Е на плоскости и.
Фиг. 58
Отрезок, соответствующий верх-
нему краю разреза от точки 4 1
до Ч——, переходит в отрезок,
/с
соединяющей точки Е и Е + iE'.
Верхнему Краю разреза от точ-
ки + 1 до + со отвечает прямая,
параллельная вещественной оси
и идущая из точки Е 4- iE' в
бесконечность. Верхний край
разреза отрицательной половины
вещественной оси отображается
линией, симметричной указанной
t относительно мнимой оси Ои2.
1 Нижние края разреза отобража-
ются линией, симметричной отно-
сительно вещественной оси
линии, отображающей верхний
край разрезов. Мнимая ось плос-
кости а отображается на мни-
мую ось'плоскости z. Квадрантам
7, II, III, Гу плоскости z отвечают области I, II, III, IV плоскости и.
Отображенйе однозначно.
3. Конформное отображение, доставляемое интегралом 3-го рода. Ин-
теграл вида
и —
Г _______________dx ._____________
J (I + ПХ2) V (I — x2j(l — Л2.№)
о
0<fc<l,
(67)
где п—число вещественное, отображает плоскость комплексной « пере-
менной z с разрезами на области, имеющие вид, указанный ниже.
а) Случай п>0. Плоскость z с разрезами (фиг. 60) отображается, на
область, изображенную на фиг. 61. При этом квадрантам /, II, III, IV плос-
кости z соответствуют области I, II, III, IV на плоскости и. Отрезок
на плоскости z от точки О до 1 отображается отрезком на плоско-
сти и от точки О до со. Верхний край разреза на плоскости, z от.-1до
£
к
точки
переходит в отрезок от точки <а до точки о + со' на пло-
скости и. Верхний край разреза от точки — до со на плоскости z пе-
к
реходит в отрезок, соединяющий точки со + го' и со + со' — со" на пло-
скости и. Правый край разреза мнимой оси от точки /оо до на пло-
У п
скости z отображается прямой, параллельной мнимой оси, идущей из
точки го4~го'—со" в бесконечность kd плоскости и. Отрезок мнимой оси
плоскости z от точки—у=- до О отображается на мнимой оси плоскости а.
Г п
J в] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ДОСТАВЛЯЕМОЕ ЭЛЛИПТИЧ. ИНТЕГРАЛАМИ 145
Границы области II плоскости и соответствуют отрезкам веществен-
ной отрицательной полуоси и мнимой положительной полуоси. При
этом отрезки на плоскости z, симметричные относительно мнимой оси,
получают симметричное отображение на плоскости и.
Границы областей III и IV плоскости и являются отображением
нижних краев разрезов вещественной оси и мнимой отрицательной
полуоси плоскости z.
Величины а?, <&' определяются равенствами:
1
dx
ю J (1 + их2) V (1 — х2)(1 — Л2х2) ’
о
(68)
где
1
= кЧ f _____________________
~ п 4- k2 J (1 + п'х2} — X2) (1 - /С'2Х2) ’
о
dx
(69)
(70)
10 Справочник по эллиптическим функциям
f пк 2
п -------------
' п + к*
146 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ- [ ГЛ. V
Величина со" дается равенством
1
(* к2х2 dx
со" = । ---------г-....." .. э
J(nj-/C2X2)K (1 ~-ха)(1 — А2х2)
о .*
(71)
Ь) Случай п = — т, т^>1. Плоскость с разрезом вдоль веще-
ственной оси от точки +-7= ДО + оо и от точки-----4= до—оо(фиг. 62)
у т у т
отображается на площадь, изображенную на фиг. 63. Квадрантам I, II,
Фиг. 62
///, IV плоскости z отвечают части фиг. 61, отмеченные цифрами /, //,
ИЦ IV. Границы каждой из этих областей отображают отрезки веще-
ственной оси и мнимую ось плоскости г.
Отрезок от О j\q —плоскости z отображается положительной
У m
вещестренной полуосью плоскости и.
Верхний край разреза от точки
точки О.
до точки + 1 на плоскости z
у т
отображается отрезком от точки
оо + со' + щ" до точки — со + со' 4-
+ со" на плоскости и. Верхний край
разреза от точки 1 до точки
1 .
на плоскости z отображается
отрезком от точки —со + со'+ со"
до точки—со+со' на плоскости и.
Верхний край разреза от точки
— до +оо на плоскости z отобра-
к
жается отрезком от точки —® +
4-со' до точки со- на плоскости и.
Мнимая положительная полуось
на плоскости z отображается от-
резком мнимой оси от точки со' до
Нижние края разреза положительной вещественной полуоси и отри-
цательная мнимая полуось плоскости г отображаются соответствующими
границами области IV.
Подобным же образом можно установить соответствие границ обла-
стей II и III на плоскости и верхнему и нижнему краям разреза отрица-
тельной вещественной полуоси и. мнимой оси на плоскости z. Из сказан-
ного следует, что области I и' II частично налегают одна на другую.
Точно так же частично налегают одна на другую области III и IV.
S 8 1
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ДОСТАВЛЯЕМОЕ ЭЛЛИПТИЧ. ИНТЕГРАЛАМИ
147
Величины со и со' определяются равенствами
1
k2x2dx
03 J (/Л—fc2X2) ]/(1—X2)(l —fc2X2)
о
(72)
dx
О)' - I 1 у-----------------
J (1 + тих2) у (I + х2) (1 + к2х2)
о
Величина 4»" дается равенством
(73)
k2i
dx
Ю т — к* J (1 — т'х^1/(1— *’)(1 — к'гхг)
О
(74)
где
t тк'2
т =--------
с) Случай п = — г
венной оси от точки
< т < 1.
ДО + оо
т — к2
Плоскость Z
И ОТ — 1 ДО
(75)
с разрезами вдоль вещест -
— со (фиг. 64) переходит
U
к
Vm
-1
7
i
Vm
1
к
ш
ZF
Фиг. 64
в область, изображенную ни фиг. 65. Квадранты I, 1Ц III, IV плоскости z
отображаются соответственно на ч^сти фиг. 65, отмеченные ^цифрами Ц
1Ц IIЦ IV. Границам каждой из этих
областей отвечают отрезки разрезов ве-
щественной
Так, для
сти z отрезку
ствует отрезок
Верхнему краю
оси и
первого
от
от
разреза от 1
мнимые
квадранта
о до 1
О до '
полуоси.
1 плоско-
соответ-
точки со.
I
ДО —7=-
соответствует
полупря-
на плоскости z
мая, параллельная мнимой оси, идущая
от точки со в точку со + zoo на плоско-
сти и. Верхнему краю разреза от точки,
—до точки — на плоскости z отвечает
1/ т к
полупрямая, параллельная мнимой оси и
идущая из точки — со" + i оо в точку со' —
— со" на плоскости и. * Верхнему . краю
разреза от’ точки Д° 00 на плоскости z
соответствует прямая, соединяющая точки
со' — со" и со'. Наконец, мнимой положительной полуоси отвечает
. отрезок от со' до О.
10*
148 КОНФОРМНОР ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ f ГЛ. У
Границы областей II, III и IV представляют собой отображения соот-
ветствующих отрезков верхних и нижних краев разрезов вещественной
оси и мнимых полуосей плоскости г. Из сказанного относительно границ
области I легко видеть, как соответствуют границы областей отрезкам
разрезов и мнимой оси на плоскости z. Отметим, что область I частично
налегает на область II й область III частично налегает на область IV.
Величины оэ, а>' и а>" определяются равенствами
w = f---------• — -= , (76)
J (1 — ТИХ2) у (1 — х2)(1 — fc2x2)
о
Ф' = i f —------------------------, (77)
J (1 + mx2)V (1 + х2)(Г+ /с2х»)
о
СО =К-1 -------г г ........ ,-'"7 , I/OI
J (rri—к»х*) V (1 — х*Х1 -
О
d) Случай п = —т, 0</n<fc2. Плоскость z с разрезами вдоль веще-
ственной оси от точки +1 до 4-оо и от точки —1 до точки —оо
(фиг. 66) отображается на часть плоскости и, указанную на фиг. 67. Квад-
рантам /, II, III, IV плоскости z соответствуют части фиг. 67, отме-
Фиг. 66
ценные цифрами /, /I,' III, IV. Границы части I соответствуют границам
квадранта I. Отрезку плоскости 7 от 0 до 1 соответствует отрезок веще-
ственной оси от точки О до точки ш плоскости и.
-to* со*
02" /
-ш 02У п 0 02
ш -02' Z7
1 •
' -02-02" -02" -02** 02 ‘
Фиг. 67
и а)'. Соответствие границ областей
верхнего и нижнего краев разрезов
Верхнему краю разреза от
точки 1 до точки — плоскости
к
z отвечает отрезок, соединяю-
щий точки а> и (о + со" на плос-
кости и. Верхнему краю разреза
от точки — до точки —|=г отве-
к ................ Vm‘
чает полупрямая, идущая от точ-
ки со + со" до ср -j- а>" — сю. Верх-
нему краю разреза от точки
-Т_ до оо отвечает прлупря-
г т
мая, ‘соединяющая со' с а' — со.
Наконец, отображением положи-
тельной мнимой полуоси служит
отрезок с концами в точках О
II, III, /V на плоскости и отрезкам
вещественной оси и положительной
5 8 I коЙФОРМЙОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ тРеугольнйка йа полуплоскость 149
(79)
(80)
(81)
(82)
и отрицательной мнимой полуоси плоскости z лёЕко установйть из ска*
занного. Области I и II отчасти налегают одна на другуй. Также нале-
гают одна на другую области III и IV.
Величины а>, а>' и а>" определяются равенствами
1
rfx______________________________________________
(I — mx2) V (1 — х2)(1 — /с2х2)
О
___________ dx____________
(1 + тхг)У (1 + х2)(1 + kV)
О
1
______________dx___________
(1 4- n'x2) V (1 — х2)( 1 — Л'2х2) ’
где
к2 — т
„ кЧ
СО =------
к2—т
Отметим в заключение, что правая полуплоскость z с разрезом от
4- 1 до + оо отображается на многоугольную фигуру с вершинами
— ОО + со") , . (—со — со') ,
, со , —со , J , — СО + <о.
— СО + со ) (—оо — со)
Левая полуплоскость z с разрезом от со до —1 отображается на
многоугольную фигуру, симметричную указанной относительно оси-Оп2.
Эти фигуры частично налегают одна на другую. Совместно они дают
отображения плоскости z с разрезами.
§ 9. Конформное отображение треугольника на полуплоскость при
помощи эллиптических функций. Конформное отображение полупло-
скости z на треугольник АВС с углами ал, flit, ул при вершинах А, В, С,
расположенный в плоскости п, дается формулой
а = I
dx
(х—а)1 а(х — Ь)1 ^(х—с)1 7
+ л?,
(83)
где а, Ь, с—вещественные числа, являющиеся абсциссами точек, которые
отображаются вершинами треугольника А, В, С. Значение z0 может быть
задано произвольно. Значения постоянных I и т зависят от выбора zQ и
определяются размерами треугольника АВС и его положением на пло-
скости а. Примем во внимание, что конформное отображение полупло-
скости z на треугольник АВС всегда может быть осуществлено таким
образом, чтобы три выбранные точки действительной оси отобразились
в вершинах треугольника АВС.
Выберем преобразование таким образом, чтобы точкам А, В, С соот-
ветствовали точки 0,1 и со на плоскости z, и положим z0 =.0. Равенство (83)
представится в виде
г
Г d* , ,
а = Г \ ——-------ГТ + т (81)
J X1-0 (1 - х)1^
Заметим, Что треугольник АВС можно расположить на плоскости и
так, чтобы вершина А приходилась в начале координат, а точка В ле-
жала на действительной оси. При таком положении треугольника АВС
150
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(85)
на плоскости и величина т' равна нулю, а I'—вещественное число, зави-
сящее от размеров стороны АВ. Обозначим длину стороны АВ' треуголь-
ника АВС через L. Множитель I', входящий в формулу (84), определяется
равенством
1 = в (а, $)’
где
1
в (а, /?) = J (1 — хУ*-1 X0-1 dx.
о
Равенство (84) принимает вид
Z
и = —-— f ха-1 (1 — х/-1 dx.
В(а,Р) J
О
(86)
Обратная функция’2=/(п), осуществляющая конформное отображение
треугольника АВС на полуплоскость, будет эллиптической в следующих
случаях (глава IV, § 16).
Случай 1. а = —, Р =—. В этом случае треугольник АВС будет равно-
3 3
сторонним.
Отображающая функция имеет вид
1 27 L3
2 = -------------
2 2 3 / 1 j
£> ( “~~ , "
Le 3 ;
(87)
где
ёз
729L6
(88)
Случай 2. а = -|~, = В этом случае треугольник АВС будет
прямоугольным и равнобедренным. Отображающая функция имеет вид
г = 1 + , 238 , L*»’ (и - Le^, о), (89)
где
Случай 3. а = Д-, /? = -Д. В этом случае треугольник АВС будет пря-
моугольным и один из .катетов, именно АВ, вдвое меньше гипотенузы АС.
Отображающая функция имеет вид
2=1+ _(ц — iL У 3”; 0, &) > (91)
"(т’т) '
ГЛАВА VI
МОДУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Инварианты g2, g3 как функции отношения периодов. Функция
g»(«), если рассматривать ее как функцию аргумента а и периодов 2®
и 2®', является однородной функцией этих переменных величин:
$ (Я щ Я®, Я®') = — (u; со, ®'). (1)
Л2 4 7
Инварианты g2 и g3 суть однородные функции периодов 2® и 2®':
^2(Я®, Я®') = ±g2(®, ®% (2)
g3(2a>, Я®') = ^3(®, со'). (3)
Если положить
Я = Х
СО
и обозначить
Т = -==Т14-/Г2, (4)
со
то инварианты g2 и g3 представятся в виде
g2 (®, ®') — & О» т) == V -7—7—— (5)
со4 4а)4 '
т, п
И
g3 (со, со') = -й g3 (1, т) = ?---- /А')
S3V ) 16й)в^ (И2 + ПК-)’ W
т, п
где двойное суммирование распространяется на все целые значения тип
за исключением т и п, одновременно равных нулю. Ряды, стоящие
в правых частях равенств (5) и (6), сходятся при всех значениях т, для
которых т2>0.
Отметим, что
& = 0 при т = / (7)
И
& = 0 при т = —+г|/5~ . (8)
А 4
При замене основных периодов 2® и 2®' периодами 2® и 2®' согласно
равенствам
со' =й со' -р Ьсо, «о ох с со' 4- dсо, (9)
,<де а, &, с, 4—целые числа, связанные соотношением
ad— bc=l, (1ф
152
МОДУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Т гл. VI
Функция (£> (и; со, со') и инварианты g2(a>, со') и £3(®, ®') остаются неиз-
менными:
$>(ц; СО, w')=$>(U; со, со'), (11)
&(<•>, ю') = g2(a), (О'), (12)
&(Ю, (O') = g3(a>, (О'), (13)
Величины сг=^(®; со, со'), е2 = ф (о> 4- со'; со, со') и е3 = (со'; со, со')
переходят одни в другие. Как. происходит этот переход, зависит от зна-
чений, принимаемых числами a, b, с, d. Соответствующее правило для
определения получаемых при этом значений
еа =± (со; со, со'), е$ = (со + со'; со, со'), еу — $> (со'; со, со')
было дано в § И.
Отношение периодов
. , о/
т =-----------------------------------•
со
получается из отношения г дробнолинёйнбй подстановкой
f ат + b j 1 -
т —---:— t ad — ьс — ] (
ст 4- d
(U)
(15)
называемой унимодулярной. Следует отметить, что в силу условия (10)
мнимая часть т' положительна, когда мнимая часть т положительна.
§ 2. Абсолютный инвариант. Абсолютным инвариантом называется
величина, определяемая равенством
{ _g23
g?- 27g32
Если рассматривать величину / как’функцию периодов 2® и 2<в', то
оказывается, что 1 зависит только от отношения периодов:
/(т) =-------'
g23(l, r)-27g?(l, т)
(16)
(17)
Абсолютный инвариан-т как функция отношения периодов т опреде-
ляется равёнством (17) для всех значений т, для которых мнимая часть
положительна.
Замечательное свойство абсолютного инварианта выражается равен-
ством:
'Р~т) = К*), (18)
\ СТ + d /
где а, Ь, с, d—целые числа, удовлетворяющие соотношению ad —
Это равенство показывает, что для двух значений т и т', связанных со-
отношением (15), значение абсолютного инварианта одинаково.
Свойство абсолютного инварианта, выражаемое равенством (18), в из-
вестном смысле аналог двоякой периодичности функции $ (и). В то время
как функция (и) принимает одинаковые значения в точках и и и', свя-
занных соотношением
и'= и + 2m а> + 2псо'. (19)
где m и п — целые числа, абсолютный инвариант получает одинаковые
значения для значений т и т', связанных соотношением (15).
Назовем точки гит' плоскости переменного т, связанные соотноше-
нием (15), конгру.ентнЫми. Основной, или фундаментальной, областью
абсолютного инварианта называется область плоскости переменного
т = тх ф- t2z, обладающая следующими свойствами.
J
52 1
АБСОЛЮТНЫЙ ЙНВАРИАНТ
<53
1. Каждая точка верхней полуплосйостй т имеет конгруентпую точку т0,
Принадлежащую фундаментальной области.
2. Среди точек фундаментальной области нет конгруентных. •
Основную область можно выбйрать различно. Обычно основную область
выбирают так, как показано на фиг. 68. Основная область абсолютного
инварианта является аналогом
параллелограмма периодов элли-
птической функции. На фиг. 68
отмечена основная область абсо-
лютного инварианта. Границами
области елужат прямые Ti = ~
1
и тх = — у, параллельные мни-
мой оси, и окружность радиуса
единицы с центром в начале
координат. На границах основ-
ной области абсолютный инва-
риант I (т) принимает вещест-
венные значения. Когда т изме-
няется, принимая значения вдоль
прямой, параллельной мнимой-
оси, от —- + i оо До е2, абсо-
п
Фиг. 69
лютный инвариант 1(т) возрас-
тает от — оо до 0. При изменении
т по дуге окружности от е2 до I
абсолютный инвариант возрас-
тает от 0 до 1. Наконец, при
изменении т от I до i op по
мнимой оси абсолютный инва-
риант возрастает от 1 до оо. Об-
ласть I служит конформным
отображением верхней полу-
плоскости переменного /. Вся
плоскость с разрезом вдоль ве-
щественной оси от точки 1
до —оо отображается на всю
основную область абсолФтндт'О
инварианта (фиг. 69).
Нижняя полуплоскость отоб- фиг- 70
ражается при этом областью II.
Границ^ области //, симметричные границам области / относительно
мнимой оси, отображают нижние края тех же частей разреза вещест-
венной оси плоскости /. ‘
Отображение взаимно однозначно. Каждой точке плоскости I отвечает
одна и только одна точка основной области на плоскости т. У ни модуляр-
ные подстановки (15) переводят основную область в области, ограничен-
ные прямыми линиями и дугами кругов, ортогональных к вещественной
оси. На фиг. 70 дано изображение этих областей. Точки каждой из
областей конгруентны соответствующим точкам основной области.
В каждой из областей уравнение
/ = /(*)
(20)
154
МОДУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ ГЛ. VI
при данном значении I имеет только один корень. На границах отдель-
ных областей I (т) принимает вещественные значения. Бесконечно дале-
кой точке плоскости т, где I (т) обращается в бесконечность, конгруентны
рациональные точки вещественной оси. При приближении к ним 11 (г) |
возрастает беспредельно.
В смежности с бесконечно далекой точкой абсолютный инвариант
представляется рядом
/(т) = -±-(1 +744^ + 196844^ + ..,), (21)
ГДс
q = с™ (т = z р).
Зная отношение периодов, легко найти величину q.
Отметим в заключение, что для значений т, симметричных относительно
мнимой оси, абсолютный инвариант принимает сопряженные значения.
Величина абсолютного инварианта связана со значением модуля
J.2 _ g2 ~ g3
соотношением gi —g3
j в А П ~ fc2fc>2)3 - - 4(l-fc^ + fc«)3
1 27 (к*к'*)* . 27 (к1 — к*)* ' ' “
§ 3. Модуль к2 как функция отношения периодов. Величина модуля
к2, если рассматривать ее как функцию к2 (т) отношения периодов, обла-
дает многими замечательными свойствами, аналогичными свойствам
абсолютного инварианта.
Прежде всего величина к2(т) не изменяется при замене т на т', когда
, ат 4- b j , -
т =------— , ad — bc= I,
ст 4- d
и числа a, d нечетные, в то время как числа b и с четные:
А (23)
Основная область функции к2 определяется .тем ее свойством, что
каждой точке т верхней полуплоскости т соответствует одна и только
одна точка т0 основной области, ей конгруентная. Основная область функ-
точка т0 основной области, ей конгруентная. Основная область функ-
ции /с2(т) изображена на фиг. 71.
Она ограничена прямыми + =— 1
и ?!=!, параллельными мнимой
оси, и окружностями
В области / функция 7с2(т) при-
нимает значения с положительной
.мнимой частью.
В области II значения, прини-
маемые функцией fc2(r), имеют
отрицательную мнимую часть. На
границах областей I и II функция
4>иг. 71 к2(т) принимает вещественные зна-
чения.
В точках, симметричных относительно мнимой оси, функция &2(т)
получает комплексные сопряженные значения.
Изменение значений к2(т) на границе основной области происходит
следующим образом. '
При переходе вдоль прямой тг = 1 от точки 1 + ico в точку 1 функ-
ция fc2(r) от 0 убывает до —оо. В точке 7 +i имеем
/<2(1 + 0 = — 1.
(24)
53 ]
МОДУЛЬ fe« КАК ФУНКЦИЯ ОТНОШЕНИЯ ПЕРИОДОВ
155
(I \ 2
— — \ -|~т22=1 от точки 7 к точке О
функция &2(т) убывает от оо до 1. В точке у(1 + z) имеем
(25>
При переходе вдоль мнимой оси из точки О в точку i оо функция
&2(т) уменьшается от 1 до 0. Отметим, что
fc2(z) = l.
(26)
На участках границ областей I и II, симметричных относительно
мнимой оси, функция /с2(т) принимает одинаковые значения. Основная
область функции 7с2(т) служи* .конформным отображением плоскости пере-
менного
fc2 (Т) = ,
разрезанной по вещественной оси от точки 7 до точки со и от точки О
до точки —оо (фиг. 72). Распределение значений функции fc2 (т) показано
на фиг. 73 и 74. Модуль функции | fc2 (т) | пред-
ставлен как ордината поверхности. На по- &2..
верхности отмечены линии одинаковых высот
и одинаковых значений аргумента. (Модель
поверхности показана в друх видах.)
На фиг. 73 вещественная ось находится
сзади и мнимая ось направлена вперед. На
фиг. 74 мнимая ось .обращена назад, а
вещественная ось находится впереди.
Фиг. 75 дает изображение поверхности
|fc2(r)| на плоскости. Одна система линий
показывает высоты поверхности. Каждая из линий этой системы есть
линия одинаковых значений модуля функции. Каждая из линий другой
системы есть линия одинакового значения аргумента функции fc2(r). Она
рвляется проекцией линии кратчайшего спуска поверхности.
U
Фиг. 72
Фиг. 73
§ 3 J МОДУЛЬ ft2 КАК ФУНКЦИЯ ОТНОШЕНИЯ ПЕРИОДОВ 157
Величина fc2(r) выражается через т следующим образом:
fc2(т)= 1 Qq L±_f£----, (27)
#34(О) 4 1+8?+ 24^
где
q = e”iT, (т = i р).
Эта формула вместе с другими, удобными для вычисления к2 по дан-
ному отношению периодов, была указана в главе Ш.
Из равенства (27) легко получается формула, служащая для вычисле-
ния т при заданном значении fc2.
Если положить fc = sin а и
(28)
2 1 4- V cos а
то
q = 2 + 225 + 1529 + 150213 + 17012” +... (29)
В частности при небольшом 2 имеем
(30)
? 14* V.cos а
и
? =—Ling. (31)
п
Когда угол а больше 45°, выгоднее вычислить величину
q' == е-”в' — е~~ё = е~~,
пользуясь равенством
Я' = 2' + 2№ + 152'? + 15Q2'13 + 17012'” 4-..(32)
где
у___ 1 1 — У sin а
2 1+ sin а
и затем уже определить т по формуле
т = — xi:In д'. (33)
ГЛАВА VII
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Вычисление значений функций Якоби. Вычисление значений
функций Якоби может быть произведено по специальным таблицам этих
функций. Однако такие таблицы нельзя считать распространенными. По
этой причине в. настоящей главе показывается, каким образом могут
быть производимы вычисления значений эллиптических функций с помощью
таблиц эллиптических интегралов Лежандра, сравнительно довольно рас-
пространенных.
Положим, что требуется определить значение эллиптических функций
snz«, 7с), сп (ц, к) и dn(«, к) при заданном вещественном значении аргу-
мента и и модуля fc<l.
Вычисление начинаем с определения значения К. по данному значе-
нию к из таблиц Лежандра. Определив значение К, производим при-
ведение аргумента. Для этой цели отнимаем от аргумента и или при-
бавляем к нему целое кратное К с таким расчетом, чтобы получилось
значение ц0, удовлетворяющее соотношениям
0<цо<К, и = и0+тК, (1)
где т — целое число.
По значениям аргумента и0 и модуля к определяем значение амплитуды
<р0 из таблиц Лежандра.
Значения функции sn (u0, к) и сп (u0, fc) находятся с помощью таблиц
натуральных тригонометрических величин, так как
sn (u0, к')= sin сп(и0, к) = cos ф0. (2)
Значение функции dn (и0, к) определяется равенством
dn (w0, к) — j/” 1 — к2 sin2 <рд .
(3)
Значения
указанной в
dn(w0, к).
Пример
sn(u, к), сп (и. к) и dn(y, к) находятся с помощью таблицы,
§ 12 главы II, по вычисленным значениям sn(u0, к), сп (и0, к),
1. Вычислить значения sn (п, /с), сп (и, к), dn (и, к) при и = 1, /< —~
2
с точностью до 0.001.
Значение модулярного угла а находится по данной величине /с:
а = 30°.
Величина К получается из таблиц Лежандра по найденной величине сг.
Я == 1.6858.
Данное значение и удовлетворяет неравенству 0<^п<Ж, поэтому приведения аргу-
мента делать не приходится.
Из таблиц Лежандра определяем значение амплитуды.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ
159
Ближайшее значение <р, дающее аргумент, меньший единицы, есть <рг — 55°. Аргумент
равен 0.9933. Ближайшее большее значение амплитуды 56° соответствует значению аргу-
мента, равному 1.0125.
С помощью простого интерполирования находим
1 —0.9933 _ ф —55°
1.0125 — 0.9933 ~55° — 55° ’
Отсюда следует, что
Ф^55°2Г,
Простое интерполирование при данной точности допустимо по той причине,’что таб-
лицы Лежандра, как это видно из приводимой табл. 25, дают постоянную первую разность,
равную 0.191 или 0.092.
а == Зэ° Таблица 25
ф 53° 54° 55° 56° 57°
Р(Ч>) 0.9551 0.9742 0.9933 1.0125 1.0317
Величины sn(n, к) и сп (п, к) находим по таблицам тригонометрических величин:
sn fl, = sin 55°2Г = 0.8226, cnf 1, — = cos 55°21' = 0.5685.
\ 2) \ 2J
Величина dn(w, к) находится из равенства •
dnfl, —^=1/ I—— sin255°21' =0.9114.
\ 2/ у 4
Пример 2. Вычислить значения sn (п, Zc), сп(п, к) и dn(n, к) при и = 6.3883,
‘4-
Для угла а находим значение 45° из условия
Значение К определяется по таблицам Лежандра:
К « 1.8541.
Производим приведение аргумента
п0 = 6.3883 — Зх 1.8541 = 0.8260.
По таблицам Лежандра находим для амплитуды значение
Фе «45°.
Значения sn (н0, &) и сп (и0. к) имеем непосредственно:
sn (и0, к) = sin 45° = 0.7071, сп («о, /с> = cos 45° == 0.7071.
Значение dnzn0, к) находится из равенства
1 — --sin2 45° =0.8660.
2
Для определения значений sn(n, /с), сп(н, /с), dn(u, к) воспользуемся формулами при-
ведения (глава II, § 12)
sn (и, к) = sn (uQ 4- ЗК, к) = sn (п0 — К> к)
dn (и0, fc) =
и далее
Таким же образом
сп (и0, к)
sn (и, /с) = — ——---------—
dn (п0, к)
0.7071
0.8660
0 8165.
к' sn (uQ, к)
сп (и, к) = сп (п0 + ЗК, /с) = сп(п0—К, /г) = —
ОП (Пу, К.)
160
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ ГЛ. VII
и, стало быть»
сп (и, к)
Наконец
0.7071 X0.7071
0.8660
0.5773
к'
dn (п, к) == dn (п0 + ЗК, к) = dn (zz0 + К, к) = ——--------—
dn (п0. к)
Отсюда получаем
0.7071
dn (п, к) = ——г 0.8165 .
v J 0.8660
Вычисление значений функций sn(n, fc), cn(a, fc), dn(u, fc) для чисто
мнимых значений аргумента с помощью формул (91), (92), (93) глары II
приводится к вычислению значений тех же функций при вещественном
значении аргумента.
Пример. Вычислить значения функций sn (п, k)t cn (u, k)t dn (н, к) при и = 7.3147/,
к = 0.8191.
Отмечаем прежде всего, что
. sn (7.3147, И
СП (7.3147/, 0.8191) = --
сп (7.3147, к')
dn(7.3147, к')
dn (7.3147 z, 0.8191)== -———7-,
v сп (7.3147, к')
Для вычисления значений эллиптических функций, стоящих в правых частях написан-
ных здесь равенств, нет нужды вычислять к'.
Находим угол а, соответствующий модулю kz
sin а = 0.8191, а =±55°.
Угол а', соответствующий модулю к', дополняет а до 90°, а потому
а* = 35°.
Из таблицы Лежандра находим
К' = 1.7312.
Производим приведение аргумента.
и К'
73147 = 4XL7312 + 0.3899.
«о
Отсюда следует, что
sn (7.3147, к') «= sn (0.3899, к'),
сп (7.3147, к') = сп (0.3899, к'),
dn (7.3147, к') = dn (0.3899, к').
Обращаемся к разысканию амплитуды
= am 0.3899
по таблицам Лежандра.
Выписка из этих таблиц (табл. 26) показывает, что пр# вычислении мождО ограничиться
а = 35°
Таблица 26
<р 21° 22° 23° 24° 25°
Н(у) 0.3692 0.3870 0.4049 0.4229 0.4408
линейным интерполированием. Табличная разность равняемся 0.0179.
Для определения v7 получаем пропорцию
у —Й2° _ 0.3899 —0.3870
23° — 22° — 0.0179 *
откуда
<р == 22°10'.
§1J ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ 161:
Значения эллиптических функций даются равенствами
sn (0.33Й9, sin 35°) = sin 22°10' = 0.3773, сп (0.3899, sin 35°) = cos 22°10' = 0.9261а
dn (0.3899, sin 35°) = ]/ 1 — k'2 sin2 22°10' = 0.9763.
Вычисление этих значений производится по таблицам Лежандра, как показано выше.
В силу отмеченных выше соотношений имеем:
sn(7.3147, sin 35°) = 0.3773, сп (7.3147, sin35°) = 0.9261, dn(7.3147, shi35°) = 0.9763.
Отсюда заключаем, что
. 0.3773
sn (7.3147/, 0.8191) = /——^0.4074,
0.9261
сп (7.3147 i, 0.8191)= -2—я= 1.0798,
0.9261
0'9763
dn (7 3147 i, 0.8191) = —— = 1.0542.
У.жЫ
Вычисление значений функций sn (и, К)г сп(и, к), dn (и, к) при комплекс-
ных значениях аргумента согласно формулам (94), (95), (96) главы II при-
водится к вычислению значений тех же функций при вещественных зна-
чениях аргумента.
Пример. Вычислить значения функций sn(w, /с), сп(п, к), dn(tz, к) при
и = 1.1424 + 0.5356 i и А2 = j.
Для этой пели следует подсчиШб Значения /функций sn (1.1424; к), сп (1.1424; к\
dn( 1.1424; к) й функций sn (0.5356; к'), сп (0.5356, к')> dn (0.5356, к').
В рассматриваемом примере
к =2к' =-^= = sin 45°, К = К' == 1.8541 .
Приведение аргумента производить не приходится.
По таблицам Лежандра находим
Ф = am ^1.1424, ^^ = 60®.
Отсюда следует; что
sn (1.1424, -^) aisln 6(F=< “yr3‘=Ba8660 ,
сп (1.1424, = cos 60° = ~ = 0.5,
\ г 2 / 2
/ 1 \ / 13 1 /—
/ У Ш, 1 ~ 1/ 1 - “ х - —У 10 0.7906,
5 * F2 / г 2 4 4
Те же таблицы Лежандра дают
Ч>' = am ^0.5356; ^0=30°.
Отсюда имеем
sn ^0.5356; » sin 30® ==0.5, •
СП (о,5356; р=) = cos 30° = 0.8660,.
dn (о.5356; —) = у V14 =» 0.9354.
\ Г Л / ТР
(Определяем значение знаменателя в правой части равенств (94), (95), (96) главы П:
/ 1 \ 1 / IX/ 1\ 3.1 1 3 3,3 27
<п<(053И, ;Т)+?-(м«.;?)»’(м«,>г)₽7 + тх7х7-7 + й-5.
Ц Справочник по эллиптическим функциям
162
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ ГЛ. VI/
Z 1 \
Числитель дроби, представляющей sn ^1.1424 4- 0.5356 i, , имеет вещественную
wacib, равную
dn f0.5356, ^ = 7-^3 XvK14= -
\ Vi) 2 4 8
sn
42.
Коэффициент при мнимой его части равен
СП (1.1424, pU) dn (1.1424, sn (о.5356, ,
1 1 1 1 тЛГ ^30
-Х-]/10х-Х-]/3 =—.
/5 4 л /5
cn
Таким образом
sn (1.1424 + 0.5356 I, У42 + ~Узо I = 0.9601 + 0.20281.
Числитель дроби, выражающей спИ.1424 + 0.5356/,. , имеет вещественную часть,
равную
Л 1 V Л 1 \ 1 УТ 1 г~
criQ.1424, ^^(0.5358, р=)=-ХТ = Ту7.
Мнимая часть числителя равняется
sn 1.1424,
sn (0.5356,
или
№ xi/iox-i-
Получаем,' что
cn(1.1424 + 0.5356 i, = ^Уз —/=0.5131—0.3794/
Вещественная часть числителя дроби, выражающей
dn (1.1424 + 0.5356 /; -У),
\ Г 4 /
равняется
dn (1.1424, сп (0.5356, -УЛ dn (о.5356, ДА=ЛУю X — х — =
\ 1'2/ \ . Vi) \ Vi) 4 2 4 18
Мнимая часть числителя равна
— sn 1.1424, -7=) сп ( 1.1424, ^=) sn (0.5356, ~j= ) = — х — х — X — = —— .
2 \ V2) \ V2) \ -\2) 2 2 2 2 16
Отсюда получаем
dn (1.1424 + 0.5356/, -У
\ Г А
2/105 2ИЗ . .
— -------—/== 0.7588 - 0.1283 Л
27 27
В заключение отметим, что при помощи таблицы 19 главы II можно
свести вычисление функций sn(u, к), сп(п, к) и dn(u, к) при любом веще-
ственном значений модуля к случаю, когда fc<l.
Наконец, формулы (79), (80), (81) главы II приводят вычисление зна-
чений функций sn(u, к), сп (и, к), dn(ii, к) при мнимом значении модуля к
к вычислению значений функций Якоби при модуле
0 <= г Ul .' < 1.
у 1+|.Л«]
$2] ВЫЧИСЛ. АРГУМЕНТА и, КОГДА ЗАДАНО ЗНАЧЕНИЕ ОДНОЙ ИЗ ЭЛЛИПТИЧ. ФУНКЦИЙ 163
§ 2. Вычисление аргумента и, когда задано значение одной из эллип-
тических функций sn(u, к), СП (и, к), dn(u, к) и значение модуля к. Нач-
нем с рассмотрения вопроса о вычислении значений аргумента функции
sn(u, к).
Пусть
sn (и, к) = а.
При этом будем различать следующие случаи, отмеченные в даль-
нейшем.
1. Заданное значение а вещественное и 0<а < 1. Представим модуль к,
который мы считаем положительным и меньшим единицы, в тригономет-
рической форме
к — sin а.
Определяем угол
По углам а и /? находим с помощью таблиц Лежандра значения К и Кг*
По данному значению а определяем значение амплитуды у из равенства
sin <р = а.
Определив значение амплитуды <р из таблиц Лежандра по данным а и <р,
находим простейшее значение аргумента и&.
Общее решение дается равенством
и = (— 1Г + 2тК + 2nK'i,
где щ и п — целые числа.
Пример. Найти аргумент эллиптической функции по условию
sn (п, 0.4384) = 0.7891.
Находим угол а по условию
. sn а =0.4384.
Отсюда следует, что
а = 26°,
0==64°.
По данным углам а и & находим
К = 1.6557,
К'= 2.2754.
Амплитуду <р находим из условия
sin (р = 0.7894,
Обращаясь к таблицам Лежандра, имеем при а = 26° (табл. 27).
Таблица 27
<р 50° 51° 52° 53° 54°
и == F (ф ,Ц) 0.8919 0.9105 . 0.9291 0.9477 0.9663
Первая разность остается постоянной и равна 0.0186.
Произведя интерполирование, получаем
. 52°8Z —52° п —0.9291
53° - 52° 0.0186
откуда
п0 = 0.9291 4- 0.0025 = 0.9316.
11*
164
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ ГЛ. VII
2. Заданное значение а вещественное и 1<п<Г —.
к
Из сказанного в главе V о распределении значений Sftn в паралле-
лограмме периодов и на его контуре следует, что простейшие значения
аргумента, при которых а остается вещественным и лежит в промежутке
— имеют вид
к
u0=iv + K>
где v—вещественное положительное число.
Пользуясь равенством sn(n0, к) = а, получаем
sn(i. + K, Ц=^-^=о.
dn (iv, к)
В силу равенств (92) и (93) главы II получаем
cn (vi, к)_______________________ 1___
dn(W,/t) dn(v, A') ’
Аргумент v находится из условия
sn(v, fc') = ~~ *.
4 k'a
где для корня следует брать положительное значение.
Пример. Вычислить значение аргумента и из условия
sn (м, 0.6133) = 1.5312.
Заданное значение функции заключается в пределах между 1 и как это следует
из неравенства к
. 1 < 1.5312 < Ц- = 1.630.
0.6133
Находим сначала угол а по условию
sin а = 0.6133,
откуда следует, что
а = 37°5О', 0==52°1О'.
Для определения значений К и К' обращаемся к таблицам Лежандра. Имеем табл. 28.
Таблица 28
а 35° | 36° 1 37° | 38° | ЗЭ°
К 1.7312 1.7415 1.7522 11.7633'1.7748
4 К 0 0103 0.0107 0.0111 0.0115
Первая разность, как это видно из таблицы, не остается постоянной. Постоянное зна-
чение сохраняет вторая разность. Для определения значения К воспользуемся интерполя-
ционной формулой Ньютона со вторыми разностями
гле через~й обозначена величина интервала по аргументу. Пользуясь этой формулой, полу-
чаем, положив а = 38°, х = ^7°50/, ft = — 1°;
10' 1 10' / 50'\
/<=1.7633 — 0.0111 X + 0.0004 Х — Х X ( ~~ )=? 1-7614.
Ov 4 Ov \ OU /
Последний член суммы столь мал, что можно было ограничиться при вычислении К
линейным интерполированием.
$ 2 ] ВЫЧИСЛ. АРГУМЕНТА it, КОГДА ЗАДАНО ЗНАЧЕНИЕ ОДНОЙ ИЗ ЭЛЛИПТ. ФУНКЦИЙ 165
Переходим к определению К'. Из таблицы Лежандра имеем табл. 29.
Таблица 29
50° 51° 1 52° 53° 54°
К' 1.9356 1 9539 1 1.9729 1.9927 2.0133
ЛК' 0.0183 0.0190 0.0198 0.0206
Вторая разность остается постоянной. Интерполируя со вторыми разностями, находим
10' 1 10' / 50'
К' = 1.9729 + 0.0198 X 4- 0.0008 X ~ X---------- X (--------
60' 2 60' \ 60'
Величина третьего слагаемого оказывается незначительной.
Обращаемся к определению аргумента v. Имеем
1g — = 1.8150 = 1g sin 49°46'30",
a
откуда следует, что
lgsn(i/, //) = lg cos 40°46'30" — 1g sin 52°10' = 1.98174
и
am (v, &') == 73°30'.
Обратимся теперь к таблицам Лежандра. Имеем табл. 30.
Таблица 30
а 51° 52° 53° . 54°
72° 1.4662 1.4752 1.4844 1.4939
73° 1.4922 1.5017 1.5114 1.5213
74° 1.5184 1.5283 1.5385 1.5490
75° 1.5447 1.5551 1.5658 1.5769
Первые разности таблицы не остаются постоянными. Однако их изменение незначи-
тельно. Поэтому производим интерполирование, ограничиваясь первыми разностями;
30' 10'
V = 1 5017 + (1.5283 — 1.5017) + (1.5114 — 1.5017) ,
30 60
v -1.SOW+ 0.0266 X -у + 0.0097 X -у = 1,5166.
Искомое значение аргумента дается равенством
u0= 1.7614+ 1.5166/.
Общее решение получаем в виде
v = 1.7614 {(- 1)т + 2т] + {1.5166 (— 1)т + 2п 1.9762} I.
3. Заданное значение а вещественное и — <а. Простейшее значе-
к
ние и0, удовлетворяющее уравнению
имеет вид
где
sn (tz0> =
u0= ”+ IK',
16Й
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ гл. vn
Аргумент v определяется равенством
sn(® + iK'; к) = -...........................J= а,
ksn(v,k)
ИЛИ
sn(v, fc) = -L.
ак
Пример. Вычислить аргумент функций sn (п, 0.4067) из условия
sn (ц, 0.4067) =3.1725.
Находим сначала угол а по условию
sin а = 0.4067,
откуда следует, что
а = 24°, р == 66°,
Из таблицы Лежандра находим '
К ==1.6426, К' =2.3439.
Далее
lg sn (v, к) = lg sin <р = — lg 0.4067 — lg 3.1725 =1.8893,
откуда
am(v, fc) = p = 50°48'.
Из таблиц Лежандра ймеем табл. 31
а = -24°
Таблица 37
49° 50° 51° 52°
F (?', к) 0.8708 0.8892 0.9075 0.9260
Линейное интерполирование дает
12'
v = 0.9075 — 0.0183 X —- = 0.9038.
60
Простейшее значение аргумента дается равенством
п0 = 0.9038+ 2.3439 7.
Общее решение имеет вид
и0 = 0.9038 (— 1 )т+ 3.2852 т + 2.3439 {(- 1)т + 2л} I.
Числа fh и п—произвольные целые.
4. Значение а—вещественное и отрицательное. В силу нечетности функ-
ции sn(u, fc) определение простейшего значения аргумента и0 может быть
произведено следующим образом. Находим простейшее решение v0 урав-
нения , ,
sn (v,- к) = |.
Простейшее значение аргумента и0 дается равенством
«о = —«о-
5. Значение а—чисто мнимое: а = bi; b—вещественное. Функция sn (и, к)
принимает чисто мнимые значения при чисто мнимых значениях аргу-
мента. Положив
и = vi,
определяем v из соотношения
, . ,. .sn (v, к') ..
sn (vi, к) = I ——---= bi.
4 7 cn(v,k')
Отсюда следует, что
sn(v, к') = .
V 1 4-
$ 3 J ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИОДОВ ФУНКЦИЙ (u; g!t g.) 167
Решение вопроса приводится к одному из рассмотренных случаев.
Определив ®, находим простейшее значение аргумента и по нему строим
общее решение.
Пример. Определить аргумент функции sn(и, - * | из условия
\ 2 /
/ 1 \
sn | и, | = I.
\ ^2 /
Определяем сначала угол а по условию
1
sin. а — —.
V2 '
Имеем
а = 45°, 0^43°.
Из таблиц Лежандра, находим
К = К'== 1.8541.
Обращаемся к определению аргумента v
sin = sn (vt к') == •
У 2
Отсюда получаем
am (v, к') = <р — 45°.
Из таблиц Лежандра находим
v = 0.8260.
Простейшее значение аргумента дается равенством
ил = 0.8260;.
Общее решение задачи имеет вид
и = 3.7082 т + {0.8260 (— 1)” + 3.7082 л) I.
Числа т и л—целые.
Вычисление значения аргумента и по условию
сп(ц, к)= а
приводится к определению простейшего значения аргумента .из равенства
sn (u0, к) = 1 — а2.
Общее решение дается равенством
и = + и0 + 4тК + 2л (К -ь K'i),
где т и п—произвольные целые числа.
Вычисление значения и по условию
. dn (и, к) = а
приводится к определению простейшего значения аргумента из равенства
. sn(u0, к) = -i- ]/ 1 — аа.
Общее решение дается равенством
и = + «о + ^тК + 4п/С',
где т и п — произвольные целые числа.
§ 3. Вычисление периодов функции !£> (u; g2> &)• Вычисление периодов
2<» и 2со' эллиптической функции (и; g2, gs), когда заданы инварианты,
может быть произведено по таблицам Лежандра.
IBS
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(ГЛ. VI
Различаем два случая.
Случай 7. А ~ g23— 27g32>0. В этом случае числа ег, е2, е3—вещественные»
<1 > е2 > ез- Вычисляем их по уравнению
4z3 — g2Z — & = 0.
Найдя корни elt е2, е3 уравнения, определяем модули
fc2 = , fc'2 = 4 (4)
. е1 с3 £3
По таблицам Лежандра вычисляем соответствующие значения
Периоды эллиптической функции (и) находятся из равенств
n 2К „ , 2K'i ze\
2® = , 2d) =-—=-. (5)
е» У?! —«з
Пример. Вычислить периоды функции $ (и; 13,-6).
Корни уравнения
4z3 - 13z + б = О
выражаются числами
3 1
е1 = т- е2=Т’ '3 = “2-
Значение модулей кик' дается равенствами
5 2
*««—, Г2=—.
7 7
Находим модулярные углы а и
lg sin а =-у 1g/с2 = (Ig5~lg7) ~Е9269,
а = 57°4Г, 8 = 90° — а = 32°19'.
По таблицам Лежандра отыскиваем К и К'.
Из таблиц Лежандра имеем табл. 32.
Таблица 32
6 г 31° 32° 33° 34°
•К' 1.6941 L7028 . 1.7119 1.7214
Интерполируем со вторыми разностями, получаем
19 1 19 41
К (32°19') = 1.7028 + 0.0091 х-------0.0004 х ~~ X — 1.7057-
60 2 60 60
По таблицам Лежандра имеем табл. 33.
Таблица 33
а 56° 57° 58° 59°
К 2.0571 2.0804 2.1047 2.1300
-J3]
ВЫЧИСЛЕНИЙ ПЕРИОДОВ ФУНКЦИЙ 8Р (u; g2, g8)
169
Интерполируем со вторыми разностями:
К (57’41') = 2.1047 - 0.0243 X -------~Х 0.0010 — х ~,
60 2 60 60
К (57’41') = 2.1131.
Ды периодов 2со и 2 со' получаем значения
2со'= 3.4114: 1.8234/,
2<в =
4.2262
3.5
2.2590.
Случай 2. &=g*— 27f32<0. В этом случае один корень ^—вещественный,
а два другие ег и е3—комплексные сопряженные: — т + til, е3 — т — niy
Период 2а>"—вещественный, а периоды 2© и2со'—комплексные сопряженные.
Вычисление периодов 2со и 2<э' в этом?случае тем же приемом, что и
в случае Л>0, затруднительно. Поэтому вместо периодов 2® и 2®' вы-
числим период 2со" и величину со, определяемую равенством
2® = 2®'— 2®.
Периоды 2® и 2®' выражаются через со" и со:
г"*
2® = ®"— со, 2ш'= со"со. (6)
Величина со" представляется интегралом
eq со
в С dz = С dz ....... , .
Ю J Y 4z3 — g2z — g3 J 4(z-e2)[(z — m)2 + zi2l
e3 ea
Последний интеграл подстановкой
z=,e2+ Hctg2-J-,
i «
где _________
H = .]/' 9tn2 + n2 ,
приводится к канонической форме Лежандра
л
~2
« , (о
у Н J 1/ 1 — к2 sin2 9? уН.
о
причем
__ _j________________________________
2 4Н ’
Величина со выражается -интегралом
еа еа
______dz________ . __________dz_________
W— J ]/—4z3 + g2z-b g3 J ]A((>2 — z) {(z-m)2 + n2}
—co —CO
ч Подстановкой
- = e2-Hctg2^-
170
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ ГЛ. VII
этот интеграл приводится к канонической форме Лежандра.
я
i С d(p iK'
CD = I • Т ;=» = — ,
V н J vi — /У2 sin2 <р у Н
где
к'2= — + ^-.
2 4Н
Таким .образом получаем окончательно,
о К — iK' о , К + iK'
2со =--------------------——, 2со = €
Ун Ун
(9)
(Ю)
Пример. Вычислить периоды эллиптической функции
8*(п;-1, +5),
Находим сначала корни уравнения
4z3 4- z — 5 = 0.
Корни этого уравнения Суть
1 1
«2=1, '«3= ——
Определяем величину Н:
Угз = -i-x 3.6056 ~ 1.8028.
Затем находим модуль к2:
3x1
2 4х-уфГ13
3
= 0.5---------7=- ~~ 0.0840.
2 У 13
Модулярный угол а определяем по 1g к:
lg sin а = ~~ 1g 0 0840 = ~Х 2-9243 =7.4621;
откуда
а = 16°51'«
Угол
£ = 73°09\
Из таблиц Лежандра, лающих логарифм полного эллиптического интеграла, имеем
табл. 34
Таблица 34
а 16°42г 16°48' 16°54' 17 W
1g К . 0.2054 0.2055 0.2056 0.2057
я, стало быть,
1g К ~ 0.2056.
Таким же образом получаем табл. 35.
______________________________________ Таблица 35
73° 73°6' 73°12/ 73°В'
1g К' . 0.4236 0.4245 0.4254 0.4263
Интерполируя, находим
' 3'
1g К' = 0.4245 4- 0.0009 X—= 0.4249.
. * К'
§ 4 ]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ (и)
171 .
Определив логарифм
lg Vh =-у х 0.2559 = 0.1280,
имеем
1g —=0.0776, 1g —7=- = 0.2969,
VH V Н
откуда следует, что
2ю = 1.196—1.9811, 2«/ = 1.196+ 1.981/.
§ 4. Вычисление значений функции У (а). При вычислении зна-
чений. функции f? (и) при заданном значении и будем различать отдель-
ные случаи.
1. Дискриминант d>0. В этом случае воспользуемся формулой
причем
Р (и) = е3 4-
~ ез
sn* (и Vе, — к)
J.2 __ в3
(12)
Ш)
*1 —*3
Пример 1. Вычислить значение функции (а; 1, 0) при и * 1.
Определяем корни уравнения
4z3 — z = 0.
Корни уравнения имеют значения
ех —0.5, еа = 0, е3 = —0.5,
откуда следует, что _____ ____________
— е3 = )/0.5 + 0.5 = 1,
Модуль к определяется равенством
0.54-0.5 2 *
Модулярный угол имеет величину а = 45°.
Из таблицы Лежандра имеем табл. 36.
Таблица 35
52° 53° 54° 55° •
F(<P, 45°) 0.9701 • 0.9912 1.0124 1.0337.
Интерполируя с первыми разностями получаем
1—0.9912
w = 53° 4- 60'------~53°25-
1.0124 — 0.9912 •
Отсюда заключаем, что
1
Пример 2. Вычислить значение функции 1.75, 0.375) при и— 1+L
Находим корни уравнения
423 —1.752- 0.375 =0.
Корни имеют значения
ег = 0.75, е2 = — 0.25, е3 == — 0.5,
откуда следует, что
. . —е3=]Л.25=1.1180.
Модуль к определяется равенством
0.25
1.25
= 0.2.
fc2 =
. 172 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ ГЛ. V11-
Модулярные 5глы
а = 25°ЗГ, /? = 63°26'.
Теперь следует подсчитать
sn [1.1180(1+/),
Необходимые вычисления Производятся, как указано в § 1 йастоящей главы. Сначала
определяем по таблицам Лежандра амплитуду
= ат (1.1180; Ко.2) .
Интерполируя с первыми разностями, находим по таблицам Лежандра
62° = ат (1.1183, Ko/i), 61° = ат (1.0993, УШ) .
Отсюда получаем
= 62° — 60' X -3~~61°59'
г 190
и
lg sn (1.1180, ]/о.2.) =lg sin 6l°59'=1.9459,
1g cn (1.1180; К0-2) =lg cos 61°59 = 7.6718.
Далее инеем
lgdn (1.1180; }/0Л) «=у lg(l— 0.2x0.7794) =7.9632.
Пользуясь таблицами Лежандра, имеем
<р' = ат (1.1180; l^O.s).
Интерполируя с первыми разностями, находим
55° = ат (1.09(58, Ко.8.), 56° = ат (1.1227;/о.в) .
Отсюда получаем .
д/ = 55° + 60'
Г.1180—1.0968
1.1227—1.0963
и
lgsn (1.1180; Кол) = lg sin 55°49'=Т.9176,
lg сп (1.1180; Ко.в) = lgcos55°49' =7.7493,
lgdn (1 1180; Ко.в) =-|-lg(l—0.8 x 0.6843) =7'8278.
А
Вычисляем сначала знаменатель дроби, дающий искомое значение
sn [1.1180(1 + 0; К0.2].
сп2 (1.П80; КОЛ) + 0.2sna (1.1180; Ко?2) sn2 (1.1180; Кол) =0.4223.
Пользуясь найденными - значениями логарифмов множителей, входящих в слагаемые
числителя, получаем’‘ .
sn[(l + I) 1.1180; К+2] = 1.406 + 0.475/.
Искомое значение функций определяется равенством
1 25
8.(1 1.7S. 0.37S)—о.»+ (, 106 + 0 475(), = 0.494-0.7=8.-.
В случае отрицательного дискриминанта Л корни уравнения
4z3 —&Z —£3=0
комплексные и модуль к2 есть тоже комплексное число. •
С целью привести вычисления к таблицам Лежандра, можно поступить
следующим образом.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА ФУНКЦИИ (и)
173
Функция (и) получается в результате обращения интеграла
оо оо
С _______dz ______Г___________dz__________
U J 1/ 4z3 —g2z —g3 J 4(z — e2){(z—m)2 + a2}
г г
где положено
el — m + ni, es = m — ni.
Производим замену переменных по формуле
z = e2 + //ctg2-^-,
где _________
Н = ]/” 9m2 4- п2.
Интеграл представляется в виде
1 Г______d<p_____
U~ 2]/Hj /7 — к2 sin2 у
о
(13)
где
Таким образом
^2 __ J__511
2 4Н *
<р = ат (2и]/~Н; fc),
и мы имеем, заменяя z на ^(н),
(«5 g2» £з) = ^2 + W
1 + сп(2а]/~Н; к)
1 — сп (гиУ#; к)
(14)
Вычисление функции S5 (а) приведено к вычислению значения функ-
ции сп (и У Н; к) при вещественном значении модуля к. Легко при этом
видеть, что 1» так как
Зг2 Г Злт > 1
4Н 2|/9m2 + n2 2
Пример. Вычислить значение функции $>(«; —13, 17) при и = 0.1. .
Корни уравнения
• 4z3 + 131 —17 =5 0
комплексные. Имеем
ei = __L + 2j, е2 = 1, е3 = ——2/.
£ £
Величина Н получает значение
Модуль к определяется равенством
3 х 1
./<2 = 0.5-—— = 0.2.
4 х 2.5
Модулярный угол
а == 26°34'.
Ьеличина аргумента 2и Н дается равенством
2а -/н = 2 X 0.1 }Л2.5 = 03162.
174
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
( ГЛ. VII
По таблицам Лежандра имеем табл. 37.
Таблица 37
<р а 25° 26° 27° 28°
18° 0.3151 0.3151 0.3152 0.3153
19° 0.3327 0.3328 0.3329 0.3329
Интерполируя с первыми разностями, находим
34z
F (18°; 26°34/) = 0.3151 + —— 0.0001 0.3152
60'
34'
F (19°; 26°34') = 0.3328 + —г 0.0001 0.3329.
60'
Определяем амплитуду, соответствующую аргументу 0.3162 при модулярном угле 26°34':
0.3162—-0.3152 ,
ср = 18° + 60'------------— 18 34 .
т 0.3329 — 0.3152
Значение функции к) дается равенством
СП (о.3162; Ио.2) = cos 18°34' == 0.9479.
Искомое значение функции определяется равенством
1 +0.9479
& (0.1; - 13. 17) = I + 2.5 — = 94.47
1 — 0.9479
В случае, когда величина и получает комплексное значение, пользуемся
той же формулой (14).
§ 5. Вычисление значений аргумента функции & (и) по заданному зна-
чению самой функции. Вычисляя значения аргумента функции (и) по
заданному ее значению а, находим сначала простейшее решение уравнения
₽ («5 &) = <*•
Назовем его и0. Общее решение задачи доставляется формулой
и = + и0 + 2/лсо 4- 2п<»',
где т и и—произвольные целые числа.
Отыскивая простейшее значение аргумента, будем различать дугудаи.
положительного и отрицательного значений дискриминанта Л,
1. J>0. Заданное значение Из соотношения
S’ (и) = г3 +
*3
sn2 (и V е3 — е3) •
получаем для вычисления ц0 формулу
sn (и0 Уех — ; Хг)=] / . (J5)
' ' у а — е3
Вычисление располагаем^ как показано в нижеследующем примере.
Пример. Вычислить аргумент функции Вейерштрасса по условию
^(п; 84, 80) =14.
Находим сначала корни уравнения
‘4z3 — 84z —80=0.
Эти корни суть
«1 = 5, сг = — 1, ^= — 4»
§5 ]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА ФУНКЦИИ $ (й)
175^
Определяем модуль
Модулярный угол а определяется по условию
21g sin а = — 1g 3 — 1.52283,
откуда
а = 35°16', 0 = 90° — а = 54°44'.
Амплитуду <р находим из уравнения
Г 5 ( 4) ]
откуда следует, что
<р == 45°.
Для определения аргумента к0 из условия ат )/ 5 — (— 4); , — 45е \ "iZ 3 / обращаемся к таблицам Лежандра. Из таблиц имеем табл. 38. Таблица 33
0L 34° 35° 36° 37° ? = 45°
F (<р, а.) 0.8095 0.8109 08123 0.8137
Интерполируя, получаем
16
Зп0 = F (45°; 35°16') = 0.8109 + — X 0.0014 0*8113, п0 = 0.2704.
60
Для получения всех значений аргумента остается вычислить периоды функции 84,80).
Для этой цели находим периоды функции sn [ и; —у=- ].Из таблиц Лежандра имеем
А V 3 /
табл. 39*
Таблица 39
а 34° 35° 36° 37° ^ = 90°
F (<р, а) 1.7214 1.7312 1.7415 •1.7,522
Интерполируя, Получаем *
16 “ . i Гб (-—44)
К - Г(9э°; 35°16Э = 1.7312 + — х 0.0103 + — X X —~ х 0.0005 « 1.7339.
60 2 60 60
Точно так же из таблиц Лежандра Имеем табл. 40.
Таблица 40
53° 54° 55° 56° ^=90»
F 1.9927 2.0133 2.0347 2.0571
Интерполируя, получаем
К' = F (90°; 54°44') = 2.0347 - х 0.0214 X х х 0.0003 = 2.0290.
.60 2 60 60
Периоды функции $>(п; 84, 80) равны
2 х 1.7339
У5-(- 4)
= 1.1559,
2 X 2.0290
V5-(-4)
I - 1.3527 i.
173 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ ГЛ. VII
Общее решение задачи представляется в виде
и = ± 0.2704 + 1.1559 т + 1.3527 гй,
где т и и—произвольные целые числа.
2. л>0 и ei>fl>e2- В этом случае простейшее значение аргумента
имеет вид
п0 = со + vl, | со' | > v > 0.
Величина определяется из условия
8» («о) = ^ + -1~^(е1~'з) = а.
(Vt) — g,
которое дает
ег — а
Заменяя & (vi) его выражением через эллиптические функции Якоби,
получаем равенство, из которого удобно определять аргумент v с по-
мощью таблиц Лежандра:
ез. fc') = 1/ (16)
' - у «1—7
Модуль к' дается равенством.
= (17)
Пример. Вычислить значение аргумента и, отвечающее условию
^(н; 84, 80) = 0.
Значения* принимаемые величинами elt е3 в данном примере, суть
е± = 5, е2 == — 1, е3 = — 4.
Находим прежде всего величину /с'3:
/с'2 =.
5-(-1)^ 2
5 — (—4) 3
Отсюда определяем значение модулярного угла /?.* Самое вычисление производить не
будем, так как значение угла р уже дано в предыдущем примере:
0 = 54°44'.
Далее вычисляем значение амплитуды = ащ (~-е3^ -lO согласно равенству (16)
sin у \/~ 5~° =-|/~— .
Р 5 — (—1) |/ 6
Получаем
== 65°54'.
Для определения значения v из условия
ат
^У5-(-4); j/
= 65°54'
обращаемся к таблицам Лежандра (габл. 41).
Таблца 41
''х. а _2__ 53» 54° * 55® 56°
64° 1.2767 1.2828 1.2890 1.2952
65° 1.3319 1.3084 1.3149 1.3215
60е • 1.3273 1.3341 1.3411 1.3481
67° \ 1.3530 ’ 1.3602 Т.3675 1.3750
§5 1
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА ФУНКЦИИ (а)
177
Интерполируя с первыми разностями, находим
F (65°; 54°44') = 1.3149 — X 0.0065 = 1.3132,
60
16
F (66°; 54°44') = 1.3411 — — X 0.0070 = 1.3392.
Просмотр таблицы показывает, что при нахождении значения v можно ограничиться
первыми разностями, ибо вторые разности незначительны. Находим
6
3v = 1.3392 — — X 0.0260 = 1.3366.
60
Искомое значение v дается равенством
v = 0.4455.
Пользуясь результатами предыдущего примера, находим
и0 = + 0.4455 i — 0.5780 + 0.44551.
Общее решение имеет вид
и == 0.5780 (2т + 1) ± 0.4455 i + 1.3527 ni,
где т и п — целые числа.
3. Л>0, е2>а>е3. В этом случае простейшее значение аргумента
имеет вид:
ц0 = » + со', 0 < v < w.
Из равенства
S5 + «>') = е3 + - = а
® (V) - е3
следует, что
gw_f, + -<a-.«.)fc-«.) .
а — е3
Выражая $>(0 через функции Якоби, получаем формулу, удобную для
определения v с помощью таблиц Лежандра:
sn(p)/’ е1 — е3 ;fc) = l/^—(18)
Г е2 ^3
Модуль fc находится по формуле
fc2==^^. (19)
£i— е3
Пример. Вычислить значение аргумента н, удовлетворяющее условию
$ (и; 84, 80) = - 3.25.
Вычисление следует начинать с нахождения модуля к:
Значение модулярного угла а было определено ранее:
а = 35°16'-
Определяем амплитуду ср = am G? — e3, к) согласно равенству (18):
, i /" — 3.25 - (-4)
Соответствующее значение амплитуды сбудет
<Р = 30°.
Для определения аргумента v получаем уравнение
12 Справочник по эллиптическим функциям
178
Вычисление значений эллиптических функций
! ГЛ. ¥11
Обращаемся к таблицам Лежандра (табл. 42).
Табица 42
а 1 34° | 35° | 36° 37°
F <Г.«) | 0.5309 | 0.5313 | 0.5317 0.5322 9? = 30°
Интерполируя, находим
16
3v = F (30°; 35°16') = 0.5313 4- ~ X 0.0004 = 0.5314, =* 0.1771.
60
Простейшее решение имеет вид
п0 = 0.1771 4-0.6763/.
Общее решение представляется равенством:
п = ± 0.1771 4- Г. 1559 m 4-0.6763 (2л 4- 1)/;
где m и п — произвольные целые числа.
4. и a<Ze3- В этом случае простейшее значение аргумента
имеет вид
и0 = vi, 0 < v < | а>' |)
и определяется из равенства'
83 (w) = 4------.
sn2 [vi у— е3, к)
Выражая функцию sn [vi У eL — e3, к) через значения функции Якоби
от вещественного аргумента, получаем равенство
sn (»У (20)
удобное для вычисления аргумента с помощью таблиц Лежандра.
Пример. Найти значение аргумента и по условию
&(и; 84, — 80) = — 14.
Корни уравнения
4z3 — 842 4-80 = 0
суть
ci = 4, е2=1, е3 = —5.
Находим модуль к из уравнения (19)
fci = LzH=5)=2.
4-(-5) 3
Модулярные углы а и Р даются равенствами -
а = 54°44', Д = 35° 16z<
Находим амплитуду у = am (v Vег — е3, к') из уравнения (20).
. 1 /~4— (—5) 1
sin <р = I/ --------= ~~
V 4—(—14) J/2
Значение амплитуды дается равенством
ср =. 45°.
Значение аргумента v находится из уравнения
атГи’Кд—(—5), -~=А==45°.
\ г О /
Для опр’еделения v следует обратиться к таблицам Лежандра. Мы 9T0F0 делать не будем
потому, что соответствующее значение было найдено нами в примере, относящемся к слу-
чаю 1. Пользуясь найденным результатом, имеем
v 0.2701.
<ts]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА ФУНКЦИИ $ (а)
179
Простейшее значение аргумента имеет вид
н0 = 0.27041.
Воспользуемся результатами того же примера и представим общее решение в виде
п == ± 0.2704 i + 1.3527 т + 1.1559 ni.
5. Л<0 и а>е2 (ег = т + ni, e3 = m—ni). Определяя простейшее зна-
чение аргумента, будем исходить из равенства:
1 — cn (2и0 V Н; к)
где _________ .
Н = У 9т2 + п2 . (21)
Это равенство может быть приведено к виду
с„(2«,/77, (22)
откуда уже легко определить значение аргумента tz0 по
жандра. Модуль к определяется из равенства
^2 J_____Зв2
2 4Н
таблицам Ле-
(23)
Пример. Вычислить значение аргумента и из условия
—52, 136)= 17.
Корни уравнения
• 4z3+ 52 z—136 = 0.
суть
^1 — 1 4/, ^2 '==: 2, в3 = — 1-|“ 4i.
Находим значение Н по формуле (21):
Н =’К9хР+42 = 5
и определяем модуль к по формуле (23);
1 3x2 „„
к 2 = —— —-=0.2.
2 4x5
Из этого равенства имеем
lg sin а = 1g к хТ.30103=^1 *6505.
Л
Таким образом для а и fi получаем значения
а = 26°34'г 0 = 63’26'.
Значение амплитуды ? = ат (ги/У^Н, к) определяем из равенства (22)
17—2—5 1
C0S’’ = 7^T?=T’ ’’ = 60°-
Для определения значения аргумента и0 из условия
ат (2и0 У~5, ]ЛЁг) = 60°
обращаемся к таблицам Лежандра (табл. 43).
Таблица 43
а 25° 26° 27° 28° Ф = 60°
F (<р, а) 1.0766 1.0790 1.0815 1.0841
Интерполируя, получаем
2и0У~5 =1.0790 + |~ X 0.0025 = 1.0804, по = +^=0.24161
60 2 к 5
12’
ISO
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ ГЛ. VII
С целью получить общее решение, вычисляем периоды.
Из таблиц Лежандра имеем табл. 44.
Таблица 44
а 25° 26° 27° 28°
K=F (90°,а) 1.6490 1.6557 1.6627 1.6701
Интерполируя, получаем
К = 1.6557 + ~Х 0.0070 1.6597.
Из таблиц Лежандра имеем табл. 45.
Таблица 45
62° 63° 64° 65°
K'=F (90°,|8) 2.2132 2.2435 2.2754 2.3038
Интерполируя, получаем
/<' = 2.2435 + 26Х 0.0319 +~ Х~ х (~-3-0.0015 == 2.2572.
60 2 60 60
Периоды функции (и; —52, 136) даются равенствами
1.6597 — 2.2572/
0.7423 - 1.0095 i;
1.6597 + 2.2572 i
0.7423 + 1.0095 i .
Общее решение имеет вид.
и = ± 0.2416 + 0,7423 (т + п) + 1.0095 (п — т) i,
где т и п — произвольные целые числа.
6. J<0 и а<е2 (e1=m+ni, е3 = m — ni). В том случае, когда задан-
ное значение а функции & (и; g2, ga) оказывается меньше е2, простейшее
значение аргумента имеет вид
ц0=й)" + ®1, 0 <Z v <Z | w | (® = co' — to).
Для- определения v следует воспользоваться формулой
& (®" 4- vi) = е2 + .
8* О) - еч.
которая дает
(w; g* gs} = е2 + .
а —
Выражая функцию № (yr, g2, g3) через функции Якоби, получаем ра-
венство __
cn<2vУ Н; k'} = H + a~g* , (24)
удобное для определения v по таблицам Лежандра. Значение модуля к'
дается равенством
к'2 = — + — . (25)
2 4Н
'Пример. Вычислить величину аргумента и по условию
(и; — 52,136) = ~.
§6 ]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ zn (и)
181
Значения модуля г ных углов были вычислены в предыдущем примере. Пользуясь зна-
чениями е2 и Н, найденными в предыдущем примере, определим значение амплитуды д? из
уравнения (24 :
5 — - + 2
3
Дня амплитуды получаем значение у = 60°. Значение аргумента и находится из условия
ага (2г>К5 ; Уо.8) = 60°,
Из таблиц Лежандра имеем табл. 46.
Таблица 46
1 р 62° 63° 64° 65°
1 F (<р,р) 1.2226 1.2276 1.2326 1.2376
Интерполируя, находим
26 1.2298
2v V 5 = 1.2276 + — X 0.0050 = 1.2298, v ~ — 0.2750,
Если вбспользоваться результатами предыдущего примера, то можно представить общее
решение в виде
и = ± (0.7423 + 0.27500 + 0.7423 (т + п) + 1.0095 (л — т) i.
§ 6. Вычисление значений функции zn (и). Вычисление значения функ-
ции zn(u, к) производится по формуле
zn(u, к) — Е(ат(а, к), к)——и. (26)
К
По данному значению аргумента и находим сначала амплитуду
д> = ат (и, к),
пользуясь таблицей значений интеграла F(<p, а). Затем находим по таб-
лицам значений Е(<р, а) значение функции E(am(u, fc)). Значения Ей к
определяем по таблицам Лежандра Расположение вычислений видно из
примера.
„ „ . f 1 \
П р и м е р. Вычислить-значение функции zn ( 1, —= }. Значение модулярного угла опре
деляется из условия
/Г- — sin2 а — —-
2
откуда слсдует, что модулярный угол а = 45°.
Из таблиц Лежандра имеем табл. 47.
Таблица 47
<р 52° 53° 54° 55°
F (<р; 45°) 0.9701 0.9912 1.0124 1.0337
Интерполируя, получаем
0.0038
<Р = 53° + 60' X -----53°25'.
0.U212
182
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
( ГЛ. VU
Из таблиц значений функции Е (<р, а) имеем табл. 48.
Таблица 48
52° 53° 54° 55°
Е (^; 45°) 0.8518 0.8653 0.8806 0.8949
Интерполируя, получаем
25
Е (53°25'; 45°) = 0.8663 4- — х 0.0143 0.8723.
По таблицам Лежандра находим
1g и — 0.0000,
lg Е = 0.1305,
1g к = 0.2681,
Е -
1g — и = 1.8624
К
Е
— и — 0.7285
К
Искомое значение функции будет
•zn
- 0.8723 — 0.7285 =0.1438 .
Вычисление значения функции zh(«JnpH чисто мнимом значении аргу-
мента и = vi требует предварительного преобразования равенства
г и
zn
dt,
о
которое может быть представлено в виде
V
Е [
zn(iv, к) —----vi + i I
о
Производя интегрирование по частям
венство
сп2(т, к')
в правой
части, получаем ра-
d т.
zn (iv, к) = — — vi + i tn (v, &') dn (v, k') + k’2l J sn2 (v, k’) dv,
0
из которого легко получить формулу, пригодную для вьйисления zn(iv;k):
. (К—Е , sn (г, k')dn(v, «') г? , / , м тй!
zn(i®, k) = i{^-—v + —i---------р—\— Е ат », к’), к’)\.
I К СП (V, к') J
Пример. Вычислить значение функции zn . Величин! модуля к' определяется
равенством
1 1 ,1
и модулярный угол имеет значение
В рассматриваемом случае v —
<р = ат
выполняя вычисления, как было
значение
0 = 45°.
1. Начинаем с определения значения амплитуды
1 X
показано в предыдущем примере. Амплитуда имеет
- <р = 53°25'.
Найдя значение амплитуды, определяем
Е (53°25'; 45°) = 0.8723,
как показано в предыдущем примере.
4 7 ]ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ t (м; !83
Далее находим
- v = 1 — 0.7285 = 0.2715,
К
проводя вычисления, как было указано выше.
Обращаемся к вычислению значений sn (v, к'), cn(v,k') и dn (я, к'), входццих в ра*
венство (27).
Величины sn(t>, к'), сп (гл к') определяются равенствами
sn (v, к') = sin am (w fc') =• sin<p, cn (v, k') = cos am (r, fc') = cos <p.
Величина dn(i>, fc') находится с помощью равенства
dn2 (v, fc'j = 1 — fc'2 sin2 q>.
Проводим вычисления с помощью логарифмов:
lg sin 53®25' =1.904?
. lg sln253°25' =1.8094
+ 1 _
lg-= 1.6999
Igy sin2 53°25'= 1.5084
lg sn (1; =19047
Окончательно находим
sn (i, | 0.2715 + 1.109 — 0.8723 | i ~ 0.508.
Для вычисления значения функции zn(w, к) при комплексных значе-
ниях аргумента следует воспользоваться формулой сложения
zn (и 4- vi, к) = zn (и, к) 4- zn (yi, к) — к2 sn (и, к) sn (vi; к) sn (и 4- vi, к),
представив ее в виде
zn (и 4- vi, к) = Е (ат (и, к), к) —— и 4-
К
। •( К — Е , sn (v, kf) dn (v, к') )
+ I <-------v 4---LJ—-—“—- — Е (ат (^, к ), fc') у 4.
I К cn (V, fc') }
д2 sn fa’ СП (и, fc) dn (и, fc) sn2 (у. к'} сп (у, к') — i sn2 {и, к) sn (у, к') dn (у, к') ^g)
сп (у, к'){сп2 (у, к’) + fc2 sn2 (и, к) sn2 (v, fc')}
§. 7. Вычисление значений функции g(u; g2, g3). Вычисление значений
функции g (u; g2, g3) может быть произведено с помощью таблиц Лежандра.
Различим два случая, сообразно знаку инварианта Л.
Случай 1. В этом случае из равенства
5 (и + ®3) = ? («) 4- £ («з) + у
2 S3 (и) - е3
184
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ ГЛ. VII
имеем
$(и) = — fg> (и + со3) du —- .
J 2 S3 («) — е3
О
Выразив функцию S’ (« + <»3) через функции Якоби, получаем
и ________
^(u + (o3)du = e1u — yr гх —е3 Е (ат (и У ех — е3))
О
И _____
_ _1 (а} —if р р cn lujAi—г3)
Г1 3 sn и |/ё7-—ёз)
Отсюда следует
5(и) —Уех — <Je (am (и У et — г3)) + сп ~g3 dn _ eiU. ^9)
I sn (и У et — et) J
Модуль к определяется равенством
^2 —_ g2 *3
— ^3 ’
Пример. Вычислить значение функции С(0.2; 84, 80). Корни уравнения
4z3— 3lz — 80 = 0
суть
ех = 5, е2’= — 1, е3 = —4,
Из уравнения
3 1
Ь2 _- —
9 3
находим
а ~ 35° 16'.
Величина у ех — е3 д.ется равенством
Определяем амплитуду
/ е1-е3 = /5-(-4) = 3.
ат(0.2x3; 35°16') = р.
Из таблиц Лежандра имеем табл. 49.
Таблица 49
У а 34° 35° 36° | 37° 1 ,
32° 0.5674 0.5679 0 5684 0.5689
33° 0.5857 0.5862 0.5868 0.5873
34° 0.6040 0.6046 0.6052 0.6058
35° 0.6224 0.6231 0.6237 0.6244
Интерполируя с первыми разностями, получаем
16
F (33°, 35°1б') = 0.5862 + ~х0.0006 = 0.5864,
60
16
F (34°, 35°16') = 0.6046 + —Х0.0006 = 0.6048
60
и
0.6048 — 0.6
“ <«* 3s‘le'' -
§ 7 1
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ t (щ g2, g3)
185
Переходим к определению значения Е (33’44', 35’16'). Из таблиц Лежандра для инте-
гралов 2-го рода имеем табл. 50.
Таблица 50
а ч> 34’ 35° 36° . 37°
32° 0.5499 0.5494 0.5489 0.5485
33° 0.5665 0.5660 0.5655 0.5650
34° 0.5831 0 5826 0.5820 0.5314
35° 0.5997 1 1 , 0.5991 0.5985 0.5979
Интерполируя с первыми разностями, находим
16 16
Е (33’44', 35’16' = 0.5326 - — 0.0166 + — (— 0.0006) = 0.5780.
Приводим вычисление значений sn (и I'Ci — е3) , cn ( Vcj— е3) , dnCuj/e!— е3) .вхо-
дящих в правую часть равенства (29), по найденной величине амплитуды
<р = ат (и — е3) = 33’44':
lg sin 33’44' = Т.7445 lg cos 33’44' =Г.9199
lg sin2 33’44' =“ .4891 /
6 9 dn I 0.6; 1 / - - = 1 — 0.2056 = 0.7944
lg-=1.8239 \ Г 3/
2 —
lg — sin2 33’44' = 1.3130
Окончательно получаем
С(0.2; 84, 80) = 3 (0.5780 + 1.1896} - 5 X 0.2%4.3028.
При вычислении значения функции £(и; g2, g3), при чисто мнимом
значении аргумента можно воспользоваться формулой
gZl ёз) = — IК ei
^1 — ^3;
e1—es-, fc'
(30)
1(?3V.
sn
Вычисления по этой формуле проводятся совершенно так же, как по»
аналогичной формуле для действительного значения аргумента.
186 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ ГЛ. УП
При вычислении значений функции £(w; g2, gs) для комплексного зна-
чения аргумента приходится обращаться к формуле сложения. Формула
«сложения может быть представлена в следующей форме, удобной для
вычислений по таблицам Лежандра:
S(a + w; g2, g3) = j/\ — e3 {e(am (и]Л ег~е3 ; к); к) +
Вычисления проводятся совершенно также, как в приведенном ранее
примере. Отметим формулы, удобные для вычисления величин у, rf и г)"
(32)
V е3
, (е3 — еТ) Е'— е3К' •
’/ = -----I, (33)
V ei—e3
(34)
Пример. Вычислить т] и if для функции £ (и; 84, 80).
Вычисления начинаем с опреде ления значений величин elt е2, е3, мотуля к2 и к'* и мо-
дулярных углов а и р. В рассматриваемом случае имеем
ех = 5, е2= —1, е3 ——4, а==35°1б', £ = 54°44'.
Из таблиц Лежандра имеем табл. 51. ,
Таблица 51
а 34° 35° 36° | | ' 37°
В К I СЧ II 1.7214 1.7312 1.7415 1. 7522
, 71 \ 1. 4397 1. 4323 1.4248 1.4171
Интерполируя, получаем
К = 1.7312 + X 0.0103 = 1.7340. Е = 1.4323 + X (—0.0075) = 1.4303.
60 СО
Значение величины i] дается равенством
9X1.4303 — 5X1.7340
П =--------------------= 14009 е
Совершенно таким же образом из таблиц Лежандра имеем табл. 52
Таблица 52
0 53° 54° 55° 56°
if ю | а 1. 9927 2.0133 2. 0347 2.0571
1. 2776. 1. 2681 1. 2587 1. 2492
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ ТЕТА
187
Интерполируя, получаем
К' = 2.0347 — 0.0214 = 2.0290, Е’ = 1.2587 — (-0.0094) = 1.2612.
60 60
Значение величины rf дает равенство
—9x1.2612 + 4 X 2.0290 .
у =--------------------I = — 1 07831.
Случай 2. zf<0, е1=т ]- ni, е2 ——2т, e3—m — ni. Вычисление зна-
чений функции g(u; g2, £3) в случае вещественного значения аргумента
можно производить по формуле
ш , УнбпСгп/Н; fcHl + СП (2иУн; fc)) ,
£(«) = —(« + е2) и н------------------—— --------------h
sn \2и у И, к)
+ (35)
• где _______
Я=1/ 9т2 + п2, к2 = - + — .
* 2 2Н
Для вычисления значений £(u; g2, g^) при чисто мнимых значениях
аргумента можно указать формулу
I,. Ун,
sn \2v у Н; к')
— i]/~H Е (am fc'); fc') . (36)
Расположение вычислений такое же, как и в случае J>0.
Значения £ (u + z«; g2, g3) при комплексных значениях аргумента лучше
всего находить, пользуясь теоремой сложения.
§ 8. Вычисление значений функций тета. Вычисление значений функций
тета можно производить по таблицам, выполняя интерполирование. Таб-
лицы функций тета указаны в главе III, § 2. Так как операция интерпо-
лирования по таблицам не представляет никаких затруднений, мы здесь
на этом останавливаться не будем.
Вычисление значений функций тета можно также, производить, поль-
зуясь их разложением в тригонометрические ряды. По причине быстрой
сходимости рядов, представляющих функции тета, при этих вычислениях
можно ограничиться небольшим числом членов.
Остановимся сначала на вычислении величины
д — g—nQ — Cn^Tt
где
К'
,К ’
Вычисление q при значениях модуля fc==sina, соответствующих моду-
лярному углу, меньшему 45°, удобнее всего производить по формуле
1 1 — Vcos а
2 1 + у cos а
(37)
отмеченной в главе VI. В случае, когда а >45°, выгоднее определить
, 1
1 — ]/"sin а
1 + 1/sin a
(38)
188
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
( ГЛ. VIIs
и потом уже, в случае необходимости, q с помощью равенства
%21g2 е
•1g ч
или
lg 1g — + lg lg 4 =lg(7l2|g^)~ 0-26987. (39)
Я Q
Пример 1. Вычислить значение q при a = 36°.
Введем вспомогательный угол, положив
cos 36° — cos2 у.
Отсюда находим
lg cos у = ~- lg cos 36° = ~~ X Т. 90796 = Е95398, у = 25°54'50".
Величина q определяется по формуле
1 1 — у cos2 у 11
Ч = —------,Г——---------tg2 ~ V-
2 1 cos2 у 2 2
Производим необходимые вычисления. Имеем
2 lg tg 7= 2 lg tg 12°57'25" =2 X T.36187 = 2.72374,
(40>
откуда следует, что
Ч = X 0.052935 = 0.0264 )7.
Пример 2. Вычислить q при а = 60°. Воспользуемся формулой
,____1_ 1 — /sin 60°
2 1 + / sin 60°’
Вводя вспомогательный угол по формуле
cos2 у' = sin a = sin 60*,
будем иметь
lg cos у' = -у- lg sin 60° = -у хТ.937531 = L963765, . у' = 21°28'15".
Величина q' находится по формуле
Производим необходимые вычисления. Имеем
2 lg tg = 2 lg tg 10’44'7" =2 X Т.277815 = 2255563.
Получаем
— lg q' = 1.44437 + 0.30103 = 1.74540
и далее
1g (л2 lg2 г) = 0.26937
~ lg 1g= 0.24189
Q
lg lg — = 0.02798
Я
Опт следует, что
lg 1.0665, lg q = T.9335, q = 0.08580.
Поясним на нескольких примерах, как производить вычисление зна-
чений функций тета с помощью рядов.
$ 8] ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ ТЕТА 189
Пример 3. Вычислить значения функций #€.(х), ^(х), (*) и ' X) при условии,
что и ~ 0.3468 и а = 36°.
Находим сначала величину q. В примере 1 настоящего параграфа вычислено значение^,
соответствующее а = 36°:
q = 0.026467.
Определяем величину 2х из условия
Величина К находится по таблицам Лежандра для а = 36°:
К = 1.7415.
Подставляя вместо и и К их значения в равенство, определяющее х, получаем:
0.3468
2х =-------= 0.1 992 х = 0.0926.
1.7415
Гр|дусное выражение аргумента 2лх равно
180° х О.Ш2 =35°51<4
Вычисляем последовательно члены разложения
Яо (х) = 1 — 2q cos 2лх + 2#4cos 4лх — 2q9 соэблх +... (41)
Вычисления располагаем так:
lg cos 35°5Г = Т.90878 2q cos 2лх = 0.04290
1g 2</=1/72374
lg (2q соз2лх) '^= 2.63252
/
Следующие члены, как легко видеть, не оказывают влияния на пятую цифру по зле
запятой. Получаем
#о(0.0996> = 0.95710.
Для &з (х) из разложения
х) = 1 + 2q cos 2лх Ч- 2q* cos 4лх + 2q9 cos блх +... (42)
получаем
#3 (0.0996' = 1.04290.
Для вычисления (х) и #2 (х) воспользуемся разложениями:
1/ 9/д 251л
(x) = 2q 4 sin nx — 2q sin Зпх + 2q Sin 5лх — ..., (13'
1/ 9/ 25/л
&2 (х) = 2q cos 7jx 4- 2q 4cos3^x-f-2# cos5лх + ... (41)
Вычисления располагаем в следующем порядке:
lg sin 17°55' == 1.48803 — lg q = 1.60568 4 ______ lg q1^ sin nx = 1.09371 lg sin 53°46' =1.90667 5 - — lg q = 2.02840 lg q*1* sin 3nx =1.93507 q1^ sin лх = 0.12408 q sin Злх = 0.00861 — &J. (x)= 0.11547 0, (0.0991) =0 23094 lg cos 17°55' = 1.97841 + -i- lg q =7.60568 lg q cos лх = 1.58409 lg cos 53°46' = 1.77164 4- 5 — —lg <7=2.02840 4 lg q ^ cos 3tix — 3.80004 ] q1^ cos nx = 0.38379 qb^ cos Злх — 0.00631 у (x) = 039010 #2 (0.0991) = 0.78020
190 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ { ГЛ. VII
Вычисление значений функций тета при чисто мнимых значениях
аргумента приводится с помощью соотношений, указанных в главе Ш,
к вычислению значений функций тета для вещественных значений
аргумента.
Пример 4. Вычислить значение функции (а) при а = i, если а = 54°.
Согласно равенству
1 — / 1 \
(«х, е) =' л—~ е е (—» —)
/7 \е е/
„ / X 1 \
вычисление приводится к нахождению значения функции &31 —, — 1 при вещественном
\ е е J
значении аргумента х = 1.
п 1
Величие е = — соответствует величина = e которая определяется равенством
,_____1 1—1/710 54°
2 1 + у71п54°*
Пользуясь результатом примера 1 настоящего параграфа, можно написать
q' 0.026467 и 1g = 1.57729.
Q
Величина получает значение
1 1 , . 1.57729
q' = — ==lg -у : (л lg е) ==----1.15606.
е q *ig*
В градусной мере л/ равняется 208о5'28".
Производим необходимые вычисления, приведя величину 2л/ в ее градусном выра-
жении к простейшему виду
2 X 208°5'28" == 360° + 5б°10'56".
lg q' = 2 .42271
lg cos 2л/ = 1 .74551
lg (tf' cos 2ло) = 1 .16822
q' cos 2л/ = 0.014731
1 + 2q' cos 2л/ = l+0.029462=:l .02946.
Получаем
= 1.02946.
Далее имеем
Произведя окончательные вычисления, получаем
A 1g/= 0.03149
2
1g у = 1.57729 (/> е) — 41.821’,
lg Me') =0.01261
lg »3 (i, е) = 1.62139,
§ 9. Вычисление эллиптических функций с помощью функций тета.
Вычисление значений эллиптических функций Якоби и Вейерштрасса
может быть легко выполнено с помощью функций тета.
5» 1
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ ТЕТА
19>
Функции Якоби, как было отмечено в главе II, § 2, выражаются через
функции тета равенствами
(47>
Вычислив значения функций тета при заданном значении аргумента,,
определяем из этих равенств значения функций Якоби.
Пример на вычисление значений функций Якоби с помощью функций
тета был указан в главе III. Поэтому мы здесь этих вычислений повто-
рять не будем.
Если последнее вычислений производится с помощью логарифмов, то-
мбжно вычислять не самые функции тета, а их логарифмы с помощью
'разложений § 6 главы III.
•При вычислении функции Вейерштрасса следует различать случаи по-
ложительного и отрицательного дискриминанта J.
В случае Л>0 для вычисления значения (и) можно воспользоваться
одной из формул:
I и
----------------------
V (и) = ех + У (е2 — e2)(e, — е3)
& (и) = е2 +У (е2 — c.J(c2 — е3)
№ (и) = es + У (ег — г3)(с2 — е3)
1 ... u.)/<?1-e3 \
, 2К /
1 е8 \
. 2К /
и /ei —е3 \
. 2К J
1 Ц у £1 — е3
< 2К /
1 v( ' и у/е,—е3)\
( 2К )
(48>
(49>
(50)
Пример 1. Вычислить значение функции 39, 35) при п = 1.
Находим сначала корни уравнения
423 — 39z — 35 = 0.
Получаем
== 3.5, ^2 1, *з === 2.5} "j/~~ ^з)С^з *з) "
Модуль к имеет значение
модулярный угол а = 30е.
1 у 1
у ег — е3 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
I гл. уи
Для вычисления q обращаемся к формуле
1 1 — l/ cos 30°
q =------------------.
2 1 + V cos 30°
Произведя необходимые вычисления, получаем
1g # = 2.25460.
Вычисляем значение аргумента
2х =
Величина дуги 2лх в градусах равна 261°33' = 180° 4- 81°33'.
Вычисляем #о (0.72652):
+ | 1g? = 1.25460 .
______11g | cos 2 лх | = 1.16716
lg q | cos 2 nx | = 3.42176
Получаем
д cos 2лх = — 0.002641
2д cos 2 пх = — 0.005282
До (0.72652) = 1 - 2q cos 2 ax = 1.00528.
Вычисляем (0.72P552):
4- 1g 2 = 0.30103 4-,lg^ =756345 4 lg sin лх = 1.87926
lg 2q'!‘ sin лх = 1.74374
2q^* sin ax = 0.55429
lg 2 = 0.30103
9 -
+ ! —• lg 9=4.07105
I lg sin Злх — Г72813
lg 2q'lt sin Злх = 4.10021
2q“1, sin 3ax = 000013
(0.72652) 2q1^ sin лх — 2д^ sin Злх 0.55416.
Производим окончательное вычисление
$>(!; 39, 35) =
1.00528 V
------- ~ 7.3724.
0.55416 /
В случае Л<0 для вычисления значений (п) можно воспользоваться
формулой
® (и) = е2 + И 1+сп(2н^.,
1 — СП (2иу н)
представив ее в виде
V к <>0 ( - + V к'82 I——-
& (и) = ег + Н-----------------Т~г( •
./— 1иуН\ иУн\
V к &0 I —— — V к' —-—
\ К } \ К /
§ 10. Вычисление значений функции о(и). Вычисление значений функ-
ции б (и) у.ожно производить, пользуясь ее выражением через функцию (х).
(51)
— \ ----2К
а (и; 2а>, 2со') = 2 сое 2ю —-------
1 7 »i(0)
(52)
Аналогичные выражения имеют место для функций ^(ц), б2(и), б3(и)-.
ijus Да
(и) = е2ю —
и УЧ —
2К
^2(0)
(53)
S 1&1
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ а (и)
193
(54)
(55)
Этими выражениями удобно пользоваться для вычисления значений
функций a(u), ffi(u), о.2(и), Ц3(«) при данном значений аргумента.
Вычисление значения т] можно производить либо как было указано
в § 7 либо пользуясь разложением
= 1 »Г'(0) = 1-3V + 5V - 73<? 12 + ... (56)
' 12<о v;o) 12® f-3?*-f-5$e -7?»*+... ’ '
Пример 1. Вычислить значение функции <т(п; g2, g3) при и—1, если ga^=39, g3=35.
Находим корни уравнения
4z3 — 39z — 35 = 0.
Эти корни суть
ei = 3.5, е2 = — 1, е3 =— 2.5.
Значение модуля дается равенством
к = =—= sin 30°.
У 6 2
Для К по таблицам Лежандра имеем
К = 1.68575.
Величина периода со получает значение
со =
1.68575
V 6
= 0.688205.
Значение аргумента х определяется равенством
'У 6 .
• 2х = -—= 1.45305 или х = 0.72652.-
К
Градусное выражение для дуги 2пх равно 26ГЗЗ'.
Находим, как показано в § 8, значение q, соответствующее к=в~. Получаем
lg q = Z25460 и q = 0.017972.
Определяем адачения суммы бесконечных рядов
1 — 3?2 + 5?в 7?12 +.. .= 0.99903, 1 — З3?2 + 5V — 73?12 +... = 0.99128.
Находим, пользуясь равенством (56), что
щ Л = — - — 1-38?2+5У~... =
2о2 12 1 —Зд2+5?6 —...
n2(et — е,) 1—3V + 5V—... я2 0.99128
4 х___. - — ___* в _________Л QftlKQ
24№ 1—З?2+5?6-... 4№ ’ 0.99903 ’
(п — е3 1
----------I «^1 (0)> заметим, что
(а)__1 sin лх—q2 sin Злх + qQ sin 5% <—... _
#/(0) я 1 — 3q2 + 5qQ — ...
= [sin лх + (3 sin лх — sin Зях) q2 —...] =
л
slnnx , - 4sin3nx sin лх
--------1_ --------- . __ ------------ (1 + 4sin2^X(/2).
• 13 Слр»воч1гик по эллиптическим функциям
194
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ ГЛ. VII
Пользуясь полученными значениями q и х, находим
(0.72652)
J V (0)
= 0.24106
и получаем, производя окончательные вычисления,
а (а) = 2а>»0-86153 0.24103 = 0.78528.
Указанные для вычисления значений ^(и), tfx(«’, <г2(и), о3(и) выражения
(52), (53), (54), (55) могут быть представлены в несколько иной форме:
е2 — е3<52 (и)
I/------
У et — e.2os(u)
(57)
(58)
(59)
(60)
В случае отрицательного значения Л для вычисления значений функ-
ций п(ц), бх(ц), <та(ц) и а3(и) следует взять другие формулы:
_ /---i .
У £л W---------------\ А у
-_____ /----------Ч"и*
A-e1o.W = J/ (^7, г).
. г ... / z х
‘О-
ч
Величина д’ определяется равенством
(61)
(62)
(63)
(64)
е* =
со'
Вычисление значений функций тета удобно производить с помощью
рядов
/ и —X о *Л . । о ’/« • Зяя п«мЛ • бла /скч
е /8 #i(---,pi = 2o,/4sin--------Ь2g sin--------2g '*sin-------v30)
1 \2a>" j 2a>" 2w" ’ 2<o"
§ 10 1
ВЫЧИСЛЕНИЕ -ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ а (и)
195
—*/ая» л / и ~\ п V1 ЯЯ г> 9Л Зли о 25/4 5ли , /скч
е /8 &. (-----, o) = 2tfZ4cos------2<?'4cos-------2q '4cos------I00/
a\2co" J 2<o" 2co" 2a>"
т [* ’)+ ’)] -1 +2?! cos +2’“cos - •(67)
4- 2i (’cos cos • (68)
Величина q дается равенством
„ 1 1 I о/ Л \5 I 1 К ( * V , 1Кл/ * У* L
9= Я-+2(—) +15 —) + 150 —) +...,
где Я определяется по формуле
A = tg-^
S 4
причем
е2 — г3 = г (cos <р + i sin ip), 0 < tp < л.
Для вычисления величины г/" следует пользоваться формулой
„ „_л2 1 + 33?2 —5V —73g12+...
~ 12 1 + З?2 — 5?3 — 7?12 + ... ’
(69)
(70)
(71)
(72)
Вычисления проводятся совершенно так же, как и в случае положи-
тельного Л.
ГЛАВА VIIT
ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ
Приложения эллиптических функций к различным задачам общей ме-
ханики, теории упругости, гидро- и аэродинамики, электротехники весьма
разнообразны.
В настоящей главе рассмотрены в качестве примеров некоторые за-
дачи прикладного характера. Их цель—иллюстрировать применение эл-
липтических функций к конкретным вопросам. По характеру использо*
вания аппарата эллиптических функций рассматриваемые примеры можно
разделить на две категории.
Вопросы первой категории приводятся к интегрированию дифферен-
циальных уравнений в эллиптических функциях или решаются с помощью
эллиптических интегралов. Такова задача о коэффициенте магнитной ин-
дукции двух круговых токов*, вопрос о постоянной гальванометра, задача
о колебании маятника, вопрос о движении кривошипа, регуляторе Уатта,
движении тяжелой точки в среде с сопротивлением.
Вопросы второй категории связаны по преимуществу с конформным
отображением при помощи эллиптических функций. В качестве примеров
задач второго рода рассмотрены некоторые вопросы Плоского движения
жидкости и разобран случай расчета плоского электрического поля.
§ 1. Маятник. Классическим примером приложения эллиптических
функций может служить задача о колебаниях маятника.
Положим, что тяжелое тело, масса которого равняется М, может вра-
щаться около горизонтальной оси. Такое тёло называют физическим
маятником.
Пусть С обозначает положение центра тяжести маятника. ЬбОзнаоЖ
расстояние от центра тяжести С до оси О через /0. Пусть Ма2 обозначает
момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей
через центр тяжести С. Момент инерции маятника относительно оси вра-
щения, проходящей через точку О, равен М (а2 -ф /02;.
Обозначим^ через 9 угол отклонения маятника от вертикального на-
правления в момент t. Время отсчитывается от момента начала колебаний.
Величина угла отклонения 0 меняется с течением времени. Ее зависи-
мость от времени определяется дифференциальным уравнением
(fl2+/o2)5=-^osin0’ W
выражающим равенстк о скорости изменения момента количеств движения
маятника около горизонтальной оси и момента относительно той же оси
силы тяжести, действующей на маятник.
Уравнение (1) может быть представлено в виде
I _ g sin Q (2)
dt*
S1 ]
МАЯТНИК
197
где
Уравнение (2) показывает, что колебания физического маятника про-
исходят совершенно так же, как если бы вся его масса была сосредото-
чена в одной точке, закрепленной на невесомом стержне на расстоянии I
от оси вращения. Назовем этот маятник
Отметим его конец, точку О', на фиг. 76.
Расстояние /0' точки О' от центра
тяжести равно
/' = —
0 /о ‘
Соотношение 1010' = а2 показывает,
что в том случае, когда ра9сматривае-
мый физический маятник будет коле-
баться около горизонтальной оси, про-
ходящей через точку О', его колебания
будут синхронны с колебаниями матема-
тического маятника длины I', равной I,
а потому синхронным с колебаниями
данного физического маятника около оси
О. В самом деле,
а2
математическим маятником".
Обратимся к уравнению (2). Умножая обе части на и интегрируя,
получаем
gcosO + С.
(3)
Пусть 0о' обозначает начальную угловую скорость, сообщенную
нику, когда он находился в положении равновесия. Уравнение (3)
ставится в виде
маят*
пред-
Положив
I ( d0\s I о , о г, . о fl
— (— =—6о -- 2g sin2—.
2 \dt J 2 ° ь 2
перепишем. его так
•4g
2 \dtj I \ 2 J
случая сообразно с возможной величиной к.
случае можно положить
1 . а
к — sin -—.
2
Когда угол G достигнет значения а, угловая скорость обратится
и направление движения изменятся на обратное. Маятник будет
шать колебания между точками А
Из уравнения (4) следует, что
в
Рассмотрим три
1. к <Z 1. В этом
на обратное. Маятник будет
А'.
fl
d—
2
(4)
в нуль
совер-
If) ' 2
J.2 __
и
— = t.
О
а
sin2 — — sin2 —
2
(5)
2
198
ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ ( ГЛ. VII1
Введя новое переменное <р, определяемое соотношением
. а .9
Sin — sin а> = sin — ,
2 2
получаем из уравнения (5)
(6)
(7)
Из уравнений (6) и (7) видно, что
sin ~ = sin sn |//Г-у-.
Для cos—получаем
coSA = d„((j/x).
Прямоугольные координаты точки О' относительно осей ОХ и ОУ вы-
ражаются следующими функциями времени:
/(cos2-^---sin2
I,
х — 21 sin — cos — = 21 sin — sn
2 2 2
('/тМ'/f)-
О)
У =
Период колебания Т определяется равенством
d<p
— к,2 sin2 92
(10)
Если воспользоваться разложением полного эллиптического интеграла
в ряд по степеням к, то для периода Т получаем формулу
т -2я/'Л1+(ЛНт ЛЛЛ" т+
При небольших значениях а имеем
(И)
или более точно __
7'=2='/т(,+Л)- (12)
2. k>l. В этом случае уравнению (4) выгоднее дать вид
J_/r^.Y=^2_ri_fc12sin2—"I, (13)
4 \dt J 4 L 2 J
положив
Z0o'a
Так как величина кг меньше единицы, то отсюда следует, что угловая
скорость вращения никогда не обратится в нуль, и вращение будет про-
исходить все время в одном и том же направлении.
«11.
МАЯТНИК
199
Интегрируя уравнение (13), получаем
f = —60Х (14)
J У 1 — /сх2 sin2 ср 2
о
где
Ф = у. (13)
Таким образом
е = 2аш-^-. (16)
Координаты точки Р суть
у — I (cos2—-sin2—= I/сп2 (~^\—sn2f-^-Y\, (17)
х = 2Z sn сп (~у-) • (18)
- Время полного оборота Т точки О' по окружности определяется ра-
венством
л
d4> (19)
J У 1 — к у2 sin2 (р
и
Отсюда имеем приближенную формулу
у__
О.'
или более точную
Т^= — fl
<V \ 4 J
для небольших значений kv т. е. при большой начальной угловой ско-
рости 0о'.
3. к — 1. Уравнение (4) в этом случае имеет вид
1 f <№\2 g а в
---I 1 = —cos2 .
4 \dt / I 2
Этот случай • можно рассматривать как предельный по отношению
к предыдущим, когда к —♦ 1 и kt—>1.
Непосредственным интегрированием или предельным переходом
получаем
/•i/Z=sintg(,A+^.\ (20)
Г I \ 4 4 7
1 — sha l/—t
y^l--------7=?—, (21)
ch2]/-j-t
Sh/T,
х = 2/-----
ch2j/-|-t
(22)
200 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ [ ГЛ. VIII
При беспредельном возрастании t угол 9 стремится к л, у стремится
к—Z, а х приближается к 0, точка О' стремится к наивысшему вертикаль-
ному положению. Период Т обращается в этом случае в бесконечность.
§ 2. Сферический маятник. При известных начальных условиях коле-
бания математическсго маятника могут оказаться неплоскими. Это про-
изойдет в том случае, когда маятнику, выведенному из положения равно-
весия в некоторой вертикальной
плоскости, будет сообщена начальная
скорость в направлении, выводящем
его из этой плоскости. Конечная
точка маятника длины I будет опи-
сывать некоторую кривую на сфере
радиуса I. Вопрос приводится к изу-
чению движения материальной точки
на сфере радиуса I под действием
силы тяжести.
Примем центр сферы за начало
координат (фиг. 77). Ось OZ направим
вертикально ввё^х.’ На движущуюся
точку М действуют сила тяжести и
реакция связи. Эта реакция направ-
лена по нормали к поверхности. Обо-
ф,,г 77 значим ее составляющие по коорди-
натным осям через Rx, Ry, Re.
Дифференциальные уравнения движения точки М имеют вид
"’~=-'”g+R.- та
Для этой системы уравнений имеет место интеграл живой силы
(24)
ибо работа реакции связи равна нулю, так как направление ее перпенди-
кулярно к перемещению.
Пусть М0(х0, у0, z0) есть начальное положение точки, a v0—начальная
скорость. Выразив С через начальные данное задачи получаем
\at / \ dt J \dt J
Кроме того, для системы (23) имеет место интеграл площадей в
плоскости ху
x^y_y^L==C’,. (26)
dt 7 dt
ибо реакция связи имеет направление по линии ОМ. Величина С’ опре-
деляется начальными условиями задачи.
Для большей простоты дальнейших преобразований заменим прямо-
угольные координаты точки М цилиндрическими, положив
x = rcosO, y=rsinO, z = z.
Уравнения (25) и (26) принимают вид
(F’+FF’+FF2^-^
И
г2^£=с\ (28)
$ 2 ] - СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 201
Последнее уравнение показывает, что производная — все время со-
храняет знак. Вертикальная плоскость, проходящая через ось OZ и
точку М, вращается все время в одном и том же направлении. При этом,
когда г становится меньше, угловая скорость вращения плоскости уве-
личивается, а при увеличении г убывает. Учитывая зависимость
г2 + Z2 = /2,
можно сказать, что при удалении точки М от плоскости X0Y скорость
вращения плоскости становится больше.
Из равенств (27) и (28) следует, что
(29>
Из соотношения, связывающего величину гиг, получаем
Заменив в уравнении (29) — его выражением через получаем
(z2 + г2) f-^Y = [2 g(z0 - z) + v02] г2 - С'2
или
/2 (-JY = [2g (*o - Z) + «02] (/2 - z2) - С'2. (30)
\ dt J
Обозначая для удобства письма правую часть последнего равенства
через /(г), можем написать
/ (z) = 2gz3 - (2gz0 + V) z2 - 2g/2z + (2gz„ + «о2) /2 - C'2. (31)
Обозначим корни многочлена /(z). через clt c2, c3.
Тогда
/ (*) = 2g (z — cx) (z — c2) (z — c3).
Корни этого полинома вещественные. В самом деле, в начальный
момент движения оказывается, как это видно из уравнения (30), что
/(zo)>0.
Кроме того, непосредственной подстановкой убеждаемся, что
/( — ОСО, /(ОСО, /( + оо)>0.
Принимая во внимание, что — приходим к заключению
о том, что функция/(z) три раза изменяет свой знак: первый раз в проме-
жутке (—/, z0), второй раз в промежутке (z0, /) и третий раз в проме-
жутке (/, + оо). Каждый из этих промежутков содержит корень функции.
Все корни функции /(z) вещественные и удовлетворяют неравенствам
I С2 > го Сз
Легко «идеть, что f3<0. Действительно, из соотношения
(с1 + с2)с3+с1с2 = — 2g/2
следует, что корни с1я с2, с3 не могут быть все положительными. Значит,
один из них, по крайней мере, т. е. корень с3, отрицателен.
' Равенство
= 2£ & ~ c^z ~~ Сг) ~ Сз)
\ UI /
показывает, что функция /(z) положительна во все время движения.
Функция /(z) может иметь положительное значение либо при z>cx, либо
202
ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ
[ ГЛ. VIII
при c2>z>c3. Величина z не может принимать значений, больших I.
Из этого следует, что во время движения z остается заключенной
между с2 и с3. Интегрируя, получаем
J 2g (z — Ci) (z — с2) (z — с3)
20
Перепишем равенство (32) в виде
где
____________dz___________
]/ 2g (z —Cj) (z — с2) (z—с3)
Произведем замену переменных, положив
z = w + — ( z0 .
3 k 2g J
Равенство (33) примет вид
/--- W
и + 0) - Г ; ,
24 з V 4w3 — g2w - g3
где
ft=41!+A(Zo + ^)’,
27 к Z° + 2g / 3 \
I =с 1 / ~ . ®ог\
з к 2.
Из равенства (36) следует, что
р dw t ]/2g ,, . ч
—/ ' = СО — ~(t + а),
J у 4w3 — g.w — gs 21 .
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
g
где
J ]/ 4z3 — g2z - g3
l3
Равенство (37) показывает, что
W = $> [(O'— (t -p a); g2, .g3) \ = _ (O' - (t + 0); g3, g3
или, в силу четности функции $ (и), что
(f4-a)-|-(»'; g3,
52]
СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
'203"
Таким образом
z=s> (-^-(/ + <*) + ©'; git &|+4-(го + тг) • (38)
12/ J О \ *5 /
Величина г определяется по величине z. Равенство (28) дает возмож-
ность выразить 0 в функции времени. В самом деле
де ~ с' _ с' / 1_____1_\
dt ~l* — z2 21 \z — l z + l/
Положим для удобства письма
т = (t + а) + а>'
и определим значения аргумента т, удовлетворяющие уравнениям
*к*1)+4-( 2«+^=/,
(39)
(40)
— I.
(41)
Таких значений аргумента, как мы знаем, имеется бесчисленное
жество. При этих значениях вфГумента т величина z становится
ноюЧН» и функция /(z) принимает значение
/(±0 = —С'2.
Производная
dz Vj (z)
dt
принимает значение + — С7. Таким
мно-
рав-
(41),
(42)
i
образом имеем
Выберем из значений и т2, определяемых условиями (40) и
такие, чтобы оказалось
V (TJ = -Д=С'ь г (га) = -Д= сч.
У 2g У 2g
„ de
Внося в правую часть равенства, выражающего производную —, вме-
сто— I, I, и z’ их представления через функцию ^(и), получаем
de У~2? ( г (п)8>'(т8) |
Выражение для производной—имеет вид
dr
de _ 2t de _ _ц_______________%>'(т2) 1
dr у 2g” dt 21 l^(r) — (Л) ^(т)—^(T2)J ’
Выражая правую часть последнего равенства через функцию дзета,
Получаем
2/~+ тх) + £~ Ti) + 2£+ £(* + *2) - И* -*0-2£(т2).
204 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ ( ГЛ. VIII
Интегрируя, имеем
е00» = А Т2> g ~~ г) е2т [с (rj - с (т3)].
сг (т 4- тх) (У (т - т2)
Значение А находится по начальным условиям.
Пусть 0о обозначает начальное значение 0 и
/2Г . ,
а = -—- а + со'.
21
В таком случае имеем
е2 (e-ea)i £ (а g (q + Tj) а (т 4- т2) а (т — тх) е2(т-а)[С(т1)->с(та)] (43ч
о (а — tJ о (а 4- т2; а (т + тх) а (т — т2)
И
: A- yi = ]/ I2 — z2 eei, (44)
или
x + yi = |/" {(Tj) — (T)} {& (t) — & (t2)} eei. (45)
Сделаем выводы из полученных равенств. Из равенства (38) видно,
что с изменением времени аргумент функции (т; g2, g3) все время со-
храняет вида + ®'> где и есть вещественное число. Отсюда следует, что
значения функции
8* + + Ю ‘' ^3)
остаются заключенными между /3 и 12.
Так как и возрастает вместе с t, то значения, принимаемые функцией
$ (u + со'; g2, g3), периодически возрастают от /3 до /2 и затем убывают
от /2 до 13.
Величина z увеличивается от с3 до с2 и затем от с2 уменьшается до с3.
Движущаяся точка описывает кривую, изображенную на фиг. 76,
заключенную между двумя параллелями. у
Время перевода от одной параллели, соответствующей значению
z = c3, до параллели, соответствующей z = c2, равно
j = 1 Г__________dz____________ 21 Г . dw____________
1 J V <g(z-q) (z-c2)(z-c3) g»
иначе говоря,
В моменты времени, соответствующие значениям т вида 2mct> + ®',
точка М достигает нижней параллели. В моменты времени, соответствую-
щие значениям т = 2тсо + со + со', движущаяся точка достигает верхней
параллели. Z
Из уравнений (38), (43) и (44) следует, что в моменты времени, оди-
наково отстоящие от моментов прохождения через нижние или верхние
точки траектории, движущаяся точка М занимает положение, симмет-
ричное относительно вертикальной плоскости, проходящей через центр
шара и соответствующую нижнюю или верхнюю точку траектории.
Интересно отметить, что в том случае, когда начальная скорость
направлена в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара и
начальное положение движущейся точки, постоянная площадей С равна 0,
угол 6 остается постоянным, и колебания маятника происходят в одной
плоскости.
§ 3]
ИЗГИБ И СЖАТИЕ
205
В этом случае, как то видно из уравнения (31), корни сх и са много-
члена / (z) становятся соответственно равными величинам 4- 1ч —
с3 = — I. Нижняя окружность превращается в точку. Корень с2 стано-
вится равным
Период со становится равным
«о2
2g
«=4U
V 21
(47)
где
dtp
1 — к2 sin2 (р
при
— ^oa + 2o)
4g/
Если вертикальное положение равновесия принять за
z0 = —I и равенство (48) дает
£2 _ 3? д. V2
4g/ 4g/
Время перехода 7\ из низшего положения в высшее,
формулой (46), дает четверть периода Т, получаемого из
г‘=/тк-
Равенство (38) может быть представлено в виде
2/ -°-
,______________2g__________
(48)
начальное, то
(49)
доставляемое
равенства (10)
(50)
/; g2. g3 + vz + — -
J 3 6g
Выразив функцию Вейерштрасса через функции Якоби, получим
+ sn2 (]/ к
или
Z ~ — 11 — 2fc2sn2
-s-f; к — 1 . (51)
Величина к определяется из равенства (49). Равенство (51) обращается
в равенство (8). Разница в знаке зависит от выбора направления осей.
§ 3. Изгиб и сжатие. Рассмотрим общий случай плоского изгиба
балки, заделанной одним концом. Пусть изгибающая сила R приложена
эксцентрично, т. е. не в точке нейтральной оси, и направлена под
углом у к нейтральной оси в ее первоначальном положении.
Под действием силы балка изогнется, и ее нейтральная ось примет
форму кривой линии. Отнесем эту кривую к системе координатных
осей, выбрав начало координат в точке нейтральной оси на том конце
балки, который заделан.
206 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ [ ГЛ. VIII
Ось ОХ направим параллельно направлению силы R под углом у к пер-
воначальному направлению нейтральной оси (фиг. 78). Направление
оси ОХ противоположно направлению силы R.
Возьмем на изогнутой оси точку L (х, у).
Обозначим радиус кривизны в точке L
через q и угол наклона касательной
через со. Изгибающий момент обозначим
через М. Момент инерции поперечного
сечения назовем 1 и будем его считать
величиной постоянной. Через Е обозна-
чим модуль Юнга.
В точках нейтральной оси имеет место
равенство
где
Изгибающий
равенством
/?(щ+ух—у),
nt — d cos
^- = М.
Q
момент М определяется
(52)
(53)
(54)
Через d обозначено расстояние точки приложения силы R от центра
тяжести сечения. •
Радиус кривизны Q дается равенством
1 _ doo
q ds
где s обозначает длину дуги, отсчитываемую от точки О.
Уравнение (52) перепишется в виде
“ = а2("1 + У1 —У),
«$
где для краткости письма положено
—= а2.
Е I
(55)
(56)
Заметим, что
dx dy
---- = COS CO, = Sin CD.
ds ds
(57)
Уравнения (57) совместно с уравнением (56) дают систему дифферен-
циальных уравнений, интегрирование которой доставляет уравнение оси
в конечной форме.
Из уравнений (56) и (57) получаем
sin о) da> = a2 (m + yL—у) dy
и, интегрируя, находим
С + 2 coseo = о2(т + у1—у)2
(58)
или
a(m + yt — у)= С + 2 cos а>.
Из уравнения (56) и (59) следует, что
(59)
= а 1Л С + 2 cos оо,
ds у
(60)
§ 3 ] ИЗГИБ И СЖАТИЕ 207
as
(63)
(64)
(65)
откуда получаем
=^=. (61)
С + 2 cos со
о
Наконец, первое из уравнений (57) совместно с уравнением (60)
дает
. COS ft) . .
dx = —r аш
a У С + 2 cos со
и после интегрирования
X + С" = — С COS(od<H _ . (62)
а J у С + 2 cos <а
о
Определим значения произвольных постоянных, входящих в уравне-
ния (58), (61), (62). В точке О угол со = у и кроме того имеем х = у =
= s=0. Равенства (58) и (62) дают возможность определить постоян-
ные С, С' и С". Полагая со — у, х — у = s = 0, получаем
С = а2 (т + ух)2 — 2 cos у,
V
7.. ...... ,
J у С 4- 2 cos со
о
V
q,,__ 1 С cos со dco
а J С + 2 cos со
о
Уравнения (59) и (62) дают уравнение кривой в параметрической
форме. Из них видно, что параметру со можно придавать лишь такие
значения, при которых С -у 2 cos со остается положительной величиной.
Преобразуем сумму С 4-2 cos со. Получаем
С -J- 2 cos со = а2(т +у^2— 2 cos у + 2 cos со
= а2 (т + уг)2 + 4 sin2 — 4 sin2 —;
положив для краткости письма
4А2 = а2 (ш + ух)2 4- 4 sin2 , (66)
получим
С 4- 2 cos ы = 4 ( к2 — sin2 —,
и равенство (58) представится в виде
4 ( к2 — sin2 -у) = а2 (т 4- ух — у)2. (67)
Введем новое переменное ф, определяя его равенством
к sin g> = sin —.
2
Координаты точки L и длина дуги s представляются в виде
ф ______________ ф
х 1 — A:2sin2у —-Ц—=_________~ , (68)
a J а J У 1 — sin2
208 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ В'ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ [ ГЛ. VIII
у = (cos <р0 — cos у), (69)
а
<р
* = 4^7-------~’ (70)
“ J V 1 — fc2 sin2 <р
V»
где угол ср0 определяется из условия
к sin <р0 = sin-y- у. (71)
Пусть
Vo
Ь = — С —. (72)
a J у 1 — 1? sin2 <р
о
Из равенства (70) следует, что
Ф =? am a (s + b), (73)
и уравнения изогнутой оси представляются 'ri виде
х = — | zn a (s + b) — zn ab + — as j — s (74)
или
х = s 4—— zn a (s -f- b)-zn ab (75)
К a a
и
у ={cn ab—cn a ($ + &)}. (76)
Уравнение (75) можно написать несколько иначе:
(75n
К aK\»t(v + l3) &„(.&) J '
где
~ as о ab
a= — , p zzz — .
2K 2K
Величина угла co определяется равенствами
sin — =/с sn a (s + 6), cos — — dna(s + &). (77)
2 2
Постоянные величины, входящие в уравнения (75), (75'), (76), (77), оп-
ределяются условиями задачи: величиной силы' R, ее направлением у и
эксцентриситетом d, равно как упругими свойствами и формой изгибае-
мой балки, определяющими значение коэффициента а. .
Для определения постоянных в уравнениях (75), (75'), (76) необходимо
определить значение модуля к по условиям задачи. Для этой цели обра-
тимся к равенству (67) и положим в нем оз = сог Тогда будем иметь
У = у1 и s=l. Мы получаем
4 ( к2 — sin2 = а2т2. (78)
Заменим т его выражением через эксцентриситет d согласно равен-
ству (54) и представим последнее равенство в виде
4 ( к2 — sin2 —А = a2d2 fl — 2 sin2 —¥.
\ 2 J \ 2 J
S3]
ИЗГИБ И СЖАТИЕ
209
С помощью равенств (77) получаем отсюда, что
4к2 cn2 а (/ + ft) = a2d2 [ 1 — 2к2 sn2 а (I + ft)]2;
после очевидных преобразований приходим к равенству
2adk2 cn2 а (I + ft) ± 2к cn a (Z + ft) + (к'2 — к2) ad = 0. (79)
Уравнение (79) служит для определения к. В тех случаях, когда (Г=0,
уравнение для определения к принимает вид
cna(l + ft) = 0.
Это равенство может быть заменено равносильным
71
*2
a(l + ft) = (2л + 1)К = (2л + 1) ......, (80)
J У 1 — к2 sin3 <р
о
где п — произвольное целое число.
Особенно простой вид равенство (80) получает в том случае, когда
d = 0 и у = 0, т. е. в случае продольного изгиба. В этом случае
71
~2
al = (2л + 1) ( .. d*-----’
jy 1 —/c2sin2<p
о (ol)
и отыскание значения к сводится к интерполированию по таблицам
Лежандра. Различным значениям т отвечают различные формы изогну-
той оси.
Отметим некоторые частные случаи.
1. Продольный изгиб: d=0, у = 0. В этом случае ft = 0 и уравнения
изогнутой оси (75) и (76) принимают вид
х = — Ъп (as) + 2Е ~ К s, (82)
а К
у = — (1 —СП as). (83)
• а
Значение модуля находится из равенства (81). Угол наклона касатель-
ной к оси ОХ определяется равенствами
cos = dn as, sin = к sn as. (84)
Стрела прогиба определяется равенством
2к
У=~Т-
2. Внецентренное сжатие: у == 0. В этом случае ft = 0. Уравнения изо-
гнутой оси имеют вид:
х = s + —zn(as), (85)
К a
y = 2L(i — cnflS). (86)
a
Значение модуля к определяется из уравнения (79). Наклон касатель-
ной к оси ОХ определяется равенствами
cos = dn as, sin -у- = к sn as. (87)
14 Справочник по эллиптическим функциям
210 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ [ гл. уи
Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае уравнение изогнутой
оси такое же, как и в случае плоского изгиба. Результат этот можно
было предвидеть. Действительно, если продолжить ось до длины Г и
приложить к ее концу ту же силу /?, как показано на фиг. 79, то
в точке L изогнутой оси ОД значение изгибающего момента будет то же,
1 что ц в точке L изогнутой оси ОВ.
Стрела прогиба определяется равен-
Y „ R ^R п ством
7°' ж
\\ / У1 = —(1 — сп al).
\ \ / а
/
Изгибающий момент в точке О дается
равенством
M1 = R(yi + m) = ~R = 4k V EIR.
J ------• а л
ф 79 Отношение стрелы прогиба к началь-
на ному эксцентриситету характеризуется
равенством
Д- - 1-е? ^.(2 daM 1).
d сп al
Из последнего видно, что при d^Q имеем у^О.
3. Изгиб и сжатие: d = 0. В этом случае уравнения изогнутой оси
имеют вид
х == 2E~K-s 4- — zn a (s + b)-— zn ab, (88)
К а а 4
y = -^-{cnab — сп a (s+ />)}. (89)
Величина b выражается равенством
нения (80), которое можно записать в
(72). Модуль находится
виде
изурав-
2
al = (2n+l) С d<p
J У 1 — /с2 sin2 <р
<Ро
(90
где
Л
sin gp0 «в
К
Угол наклона касательной к
оси ОХ дается равенствами
cos — = dna(s + b),
I (91)'
sin — = к sn a (s 4- b).
Если перенести начало коор-
динат в точку О'(фиг. 80), коор-
динаты которой в старой системе
определяются равенствами
„ 2Е —к . 2 .
хп ----------b-----zn ab,
0 К а
у s_a_(l_cnQ&),
а
и от этой точки производить отсчет длины дуги, положив
5'=з4-й,
S * J
РЕГУЛЯТОР-УАТТА
211
то уравнения изогнутой оси представятся в виде
х' = 2Е~— s' + ~ zn аз', (92)
у* « {1 — cn as'}. (93)
а
Уравнения (92) и (93) показывают, что в рассматриваемом случае
кривая изогнутой оси та же, что и в случае продольного изгиба балки
длины Г = I -f- b. Координаты точки А в старой системе суть:
х.=--------I-------znab, уА==—СП ab.
А К а л а
При ЭТОМ
ab==K — al.
Стрела прогиба определяется равенством
<5 = уА cosy.— хА sin у,
или
д = — /сп а& (2 dn2 a(> — J) — sna&dna& Г 2Е~К а/ — 2zna& 11. (94)
а ( L К JJ
Остановимся в -заключение на вопросе об определении критической
силы. В случае продольного изгиба модуль к определяется по уравне-
нию (81), из которого видно, что
п п
~2 . ~2
al - (2л + 1) С drp = > (2л +1) f = (2п -Н) v .
J у 1 — k2 sin2 <р J 2
о о
Чтобы уравнение (81) имело решение <4, необходимо, чтобы зна-
чение силы R удовлетворяло условию
-£12> (2и + 1)2 4.
Е/ 4
Сила
носит жэвди^аи»1ВДй^ебкбй. Если В < Ro, то явление продольного изгиба
не имеет места. Положим
= (96)
Если R^R^R» то имеет место простой изгиб. При условии
Яи<В</?п+1 на изогнутой оси будет п точек перегиба.
§ 4. Регулятор Уатта. Регулятор Уатта представляет собой насажен-
ный на'вертикальный вал шарнирный четырехугольник (фиг. 81). На кон-
цах .стержней ОА и ОВ этого четырехугольника насажены массивные
шары. В точках О, А, В, С и С имеются шарниры. Муфта СС свободно
скользит вдоль вала. Она регулирует впуск пара в паровой цилиндр.
При изменении угловой скорости вращения вертикального вала ме-
няется величина центробежной силы. Изменяется угол отклонения 9.
Стержни О А и О В приближаются к вертикальному валу или от него
удаляются. Когда при дальнейшем движении установится вновь постоян-
ная скорость вращения вертикального вала, стержни ОА и ОВ будут
испытывать некоторые колебания около горизонтальной оси.
14*
2J2’ приложения эллиптических функций в Технических вопросах [ гл, vin
Рассмотрим ближе это колебательное движение. Назовем постоянную
угловую скорость вращения вертикального вала через «о. Рассмотрим
отдельно стержень О А. Пусть М обозначает его массу, h — рассто-
яние его центра тяжести от точки О.
от точки О.
Определим направление главных осей
эллипсоида инерции стержня О А в точке О.
Из соображений симметрии следует, что
эллипсоид инерции есть эллипсоид вра-
щения вокруг оси стержня ОА. Обозначим
момент инерции стержня ОА относитель-
но этой оси через G. Моменты инер-
ции относительно осей, перпендикуляр-
ных к направлению О А, обозначим через//.
Выберем систему координатных осей
так, чтЬбы начало помещалось в точке О,
ось ОХ лежала в вертикальной плоскости,
проходящей через ось стержня АО, и ось
OZ' была направлена вертийально вниз.
Эта система перемещается вместе со
стержнем ОА. В вертикальной плоско- -
сти ZOX отметим ось OQ, перпендикуляр-
ную к направлению ОР, и проведем ось
OR, перпендикулярную к осям ОР и OQ. Ось OR совпадает с осью 0Y.
Движение стержня ОА является результатом сложения двух враще-
ний—Вращения около неподвижной вертикальной оси OZ с угловой ско-
ростью со и вращения около подвижной горизонтальной оси OY с угло-
ав
вой скоростью — .
Проекции мгновенной скорости вращения стержня ОА на оси ОР,
OQ и OR равны соответственно со cos 8, — eosin 6,-^-. Главный момент ко-
личества движения изобразится вектором, составляющие которого по
осям OP, OQ,OR равны соответственно Geo cos 9,—И со sin 8, Н~ . Со-
dt
ставляющие главного момента количества движения по осям ОХ, OY, OZ
равняются соответственно
(G — Н) со sin 0 cos О, И — , (G cos2 6 -f- //sin2 8) со.
dt
Составим выражение проекции на ось 0Y скорости перемещения конца,
вектора, представляющего главный момент количеств движения. Абсолют-
ная скорости перемещения конца вектора, представляющего главный момент
количеств движения, можно рассматривать как сумму .относительной
скорости по отношению к системе осей OX, OY, OZ и переносной ско-
рости, связанной с перемещением системы осей OX, OY, 0Z. Проекция
на ось OY относительной скорости перемещения конца вектора, пред-
ставляющего главный момент количества движения, получается диффе-
ренцированием проекции этого вектора на ось 0Y. Она равняется
dt2
Переносная скорость перемещения конца вектора, представляющего
главный момецт количества движения, связана с угловой скоростью со
вращения вокруг оси 0Z.
М]
РЕГУЛЯТОР УАТТА
213
Проекция на ось 0Y переносной скорости перемещения конца век-
тора, представляющего главный момент количества движения, опреде-
ляется по проекциям этого вектора на оси OX, OY, 0Z и проекциям
вектора угловой скорости вращения на те же оси. Она равняется
а>2 (G — Н) sin 0 cos 0.
Проекция на ось OY абсолютной скорости перемещения конца век-
тора, представляющего главный момент количеств движения, равняется
Н + co2(G— Я) sin 0 cos 0.
dt2
Абсолютная скорость . перемещения конца вектора, ‘представляющего
главный момент количества движения стержня ОА с насаженным на нем
шаром Р, равна главному моменту активных сил и реакций, действую-
щих на стержень ОА. На стержень О А действуют реакция в точке О,
вес Mg стержня с насаженным шаром Р, вес стержня АС и муфты,
а также трение в шарнирах.
Так как вес стержня АС и'муфты незначителен по сравнению с ве-
сом стержня ОА и насаженным на нем грузом, то в дальнейшем мы бу-
дем пренебрегать весом стержня АС и муфты. Равным образом оставим
без учета и трение в шарнирах. Момент реакции в точке О равен нулю.
Величина проекции момента веса стержня ОА с насаженным на нем ша-
ром на ось OY равна — Afgft sinO.
Пользуясь теоремой моментов количества движения, получаем урав-
нение
H-^-4-(G — Я)со2sin9cosG = — Mghsin 0. (97)
dt2
Проинтегрируем получившееся уравнение, предполагая, что величина
угла 9 колеблется в интервале (а, /?).
Интегрируя, получаем
/7(^y = (G —H)<o2cos20 + 2Mgftcos0+С. (98)
Замечая, что при 9 — а угловая скорость — обращается в нуль,
dt
получаем
С = — (G — Н) со2 cos2a — 2Mgh cos a.
Уравнение (98) представляется в виде
Я (—Y = (G —- Я) со2 (cos2 0 — cos2 а) + 2Mg h (cos 0 — cos a). (99)
X dt)
При 0 = /? угловая скорость тоже ооращается в нуль. Поэтому имеет
место равенство
(G — Я) со2 (cos/? cos a) + 2Mgh = 0. (100)
Подставляя в равенство (99) выражение 2Mgh из равенства (100),
получаем
Я(-^|у = (G — Я) со2 (cos 0 — cos a) (cos 0— cos/?). (101)
Извлекая корень и производя интегрирование, находим
е
(Ю2)
У (cos a — со§ в) (cos в — COS /?) ’
214 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ [ гл. vnt
где
Подстановка
ctg2 -у- = ctg2 -у- cos2 + сtg2 -у- sin2 ф
Преобразует интеграл, Стоящий в правой части равенства (102), и дает
Г d<P
рЛ = I ,
J V 1 — fc2sin2^
о .
где
а а . Р
u = zcos—sin—,
2 2
И
ctg2 .-V — ct8s sin ~г (а + fl) Sin ф — а)
ft* Х3£ *- - .. „ .а.,о. ——ЧиЖ-*-о*.»**'удмг tw **т
ctg2— e6S2—sitl2 —
2 2 2
(ЮЗ)
104)
.(105)
Величина угла 0 представляется в виде
ctg-^- = ctg-J-dn(/d, к).
A Z
Период одного колебания Т равен
7 = —, Й.
(Ю5)
§ 5. Движение шатуна кривошипа. С помощью эллиптических функ-
ций очень удобно представляются координаты кривой, описываемой точ-
кой шатуна кривошипа.
Пусть х, у обозначают координаты точки М, жестко связанной с ша-
туном АВ (фиг. 82), относительно неподвижных осей ОХ и OY. Положим,
что и и ® являются координа-
т ^Жтчэ^кв/Иотйесятедьнр осей
BU и BV, связанных т^ -ШЙу-
ном АВ.
Между координатами х, у и
и, v существует зависимость
х = R cos a-f-u ces 0 4- v sin /3, (107)
у == R sin а-^и sin /3 4- ® cos j8. (108)
Углы а и /? меняются
нием времени, оставаясь связанными между собой зависимостью
sin/? = -у sin а.
Введем в рассмотрение вспомогательный параметр т, полагая
а
т=С^-11’’=
J 1/ 1 — k2 sin2
c
Tew
1.
(Ю9)
(HO)
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
215
Тогда равенства (107), (108) представляются в виде
x=/?cnr + tfdnr4-b)snT, (111)
у = (/?— ки) snr + dnr. (112)
Из них очень просто находятся, координаты мгновенного центра ша-
туна, характеризуемые условиями
К = 0. У/ = 0.
Дифференцируя почленно равенства (111), (112), получаем
— R sn т dn т — иек2 sn т сп г 4- kve сп т dn т = 0, (113)
(7? — кис) сп т dn т — k2ve sn т сп т = 0, (114)
Решив полученные уравнения относительно ие и «е, найдем
« ==J(сп Tdn т — Asn2r), (115)
»с = / Sn Т dn Т (dn т -j- A: sn т). (116)
Координаты мгновенного центра относительно неподвижных осей по-
лучаются непосредственно из равенств (ИЗ) и (114), если их преобразо-
вать с помощью равенств (111) и (112), приведя к виду
— R sn т dn т 4- к сп т (ус — R sn т) = 0,
R епт dn т — к сп т (хе — R сп т) = 0.
Последние равенства дают
хе=(Нпт4-Аспт), (117)
у =/^-(dnr4-/сспт). (П8)
СП Т v '
Пользуясь этими уравнениями, легко исследовать вид кривой центров
я произвести ее построение. Е
6. Плоское движение жидкости. В плоскопараллельном движении
частицы жидкости движутся параллельно неподвижной плоскости. При
этом скорости частиц, расположенных на одной .прямой, перпендикуляр-
ной к неподвижной плоскости, одинаковы. Картина распределения ско-
ростей движущейся жидкости полностью определяется полем скоростей
в плоскости, параллельной отмеченной неподвижной плоскости.
Обозначим через в вектор скорости движения точки М [х, у) в мо-
мент времени t. Пусть и (х, у, t) и v (х, у, t) обозначают проекции ско-
рости на координатные оси. Условие неразрывности
dx
показывает, что существует такая
dy
dy
функция ч>(х, у, Г), для которой
dtp
V ==-----— e
дх
Функция у (х, у, f) называется функцией тока.
Если поле скоростей имеет потенциал <р (х, у, I), то
dq> dtp
U = —— , ,
dx dy
и движение жидкости носит название потенциального.
216 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ [ ГЛ. VHI
При изучении плоскопараллельного потенциального движения жидко-
сти удобно пользоваться комплексным переменным
z = х + yi.
Рассмотрим функцию
w (г) == (х, у) + hp (х, у), (119)
удовлетворяющую условиям Коши— Риманна:
д<р _ ду dip
дх dy ' бу dx
Функция w(z) называется комплексным потенциалом. Она, как и функ-
ции <р(х, у) и ф(х, у), определяется с точностью до постоянного. Произ-
водная
dtv д(р , . dw
~ = — + i~ = li — iv (120)
dz дх . дх ' '
тесно связана с вектором скорости о в точке Л4(х, у).
Комплексная сопряженная величина
tfw”. ., . .
—- -« + It)
dz
изображается вектором скорости в. Производная-’’’- дает зеркальное
изображение вектора скорости относительно вещественной оси. Она
называется комплексной скоростью.
Интеграл
r = Judx + vdy (121)
С
называется циркуляцией по контуру С. В том случае, когда скорость
имеет потенциал, справедливо соотношение
г ф (хп ух) — ф (х0, у0) = фМ1 — фМо,
где точки MjfXi, yj, М0(х0, у0) служат концами линии С. В случае замк-
нутой кривой С имеет место равенство Г = 0, если функция ф(х, у)
однозначна.
Интеграл
Q= ^udy-v dx= гр'xlt yj —ф(х0, Уо) = ^М1-V’m, (122)
с
называется расходом жидкости через контур С. Он дает количество
жидкости, протекающей через контур С, рассчитанное на единицу
времени.
Когда контур С замкнутый, имеет место равенство Q = 0, если функ-
ция ф (х, .у), однозначна.
Из равенств (121) и (122) и (120) следует, что
Г-f-zQ = $w'(z)dz. (123)
с
Значение интеграла, взятого по замкнутому контуру, может ока-
заться отличным от нуля, когда область, ограниченная контуром С,
многосвязна, либо в том случае, когда в односвязной области, ограни-
ченной контуром С, содержатся особые точки функции w'(z).
Полюсу функции w'(z) соответствует источник, сток или вихрь.
§7]
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
217
Если замкнутый контур С есть линия тока, то Q — 0 и
Г = J w' (z) dz.
с
Если движение жидкости представляет собой обтекание ряда конту-
ров С1? С2, ..., Сп при отсутствии вихрей, стоков и источников, то ин-
теграл от w'(z), взятый по контуру С, заключающему внутри себя кон-
туры Съ С2, ... , Сп, выражается через циркуляции Гь Г2, ... , Гте вдоль
этих контуров:
J w'(z)dz-=r1 + r2 + ,..., + r„.
с
Давление р внутри и на границе движущейся жидкости определяется по
формуле Лагранжа
,,, д<р us + Vs
р = Po(t) — e-^-—e —1— »
01 2
где Q обозначает плотность жидкости, а p0(t)— некоторая функция вре-
мени. В случае установившегося движения
Выделим в жидкости некоторый замкнутый контур С. Возьмем на кон-
туре С элемент dz и обозначим проекции на оси координат давления
жидкости на элемент dz через dX и dY. Давление направлено по нор-
мали к контуру С и равно по абсолютной величине p\dz\.
Таким образом
dX -}- i dY = ip dz
или _
dX + i dY = i {p0---(u+iv) (u — zu)j dz = ip0 dz —dz =
h 0 2 \ dz ) 2 1 ' dz
== iPj 'z + -7- \ dz + Q (« + iv) d<P-
& \ UZ J
Интегрируя по контуру С, получаем
X -f- iY =--iQ fw' 2(z) dz -f- q j* (u + iv) dtp. (124)
0 c
Величины X и Y выражают проекции на оси ОХ и OY равнодействую-
щей давления жидкости на контур С. Величину X + iY называют комп-
лексным давлением. Если контур С является линией тока, то dtp = Q
вдоль контура С и равенство (124) упрощается:
X + iY = — iQ [w'\z)dz (125)
2 j
С
ИЛИ
Y + iX =-----Q J w' 2(z) dz. (126')
c
Момент dT относительно точки О силы давления на элемент dt кон-
тура С дается равенством
dT = xdY-ydX = R {zi(dX+ idY}, (127)
где знаком Rm обозначается вещественная часть числа т.
218 ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ Т ГЛ. Vttt
Интегрируя вдоль контура С, получаем -
Т = R [ —7- Q Cz w'2 (z) dz -f-e f zi (и + iv) dip I. (128)
GO
В том случае, когда контур С является линией тока, имеем
Т = — -у- qR Cz wn (z) dz.
(129')
Определение величины и момента давления сводится равенствами (125)
и (128) к установлению комплексного потенциала или комплексной
скорости.
§ 7. Течение жидкости в двухсвязных областях. Рассмотрим более
подробно вопрос о движении жидкости, обтекающей замкнутые жесткие
контуры Cj и Са и занимающей внешнее по отношению к этим контурам
пространство.
Произведем разрез плоскости, как показано на фиг. 83. Внешняя
по отношению к контурам и Св часть плоскости z.c разрезом может быть
конформно ртр$|й|с1Ш W 'Ш&йф•*»
переменного чтобы контур С, перешел во
внешнюю окружность радиуса г,, контур С2 пе-
решел во внутреннюю окружность радиуса г2 и
стороны разреза отобразились на участке ве-
щественной оси плоскости £, заключенном между
окружностями (фиг. 84). Бесконечно удаленная
точка плоскости z отобразится точкой веществен-
ной оси плоскости £. Пусть функция z=/(£)
выражает это преобразование. Кольцо в плос-
кости $ может быть конформно отображено на
прямоугольник в плоскости U
мощью подстановки вида
m’u
6 = г^.
(фиг. 85) с по-
где 2со—длина одной из сторон прямоугольника. Длина другой его сто-
роны определяется из условия
ло/г
— = е ш .
Г1
Внешняя окружность переходит в сторону AtA2 прямоугольника,
внутренняя—в сторону ВХВ2. Точка « соответствует бесконечно удален-
ной точке Плоскости z. Прямоугольник АуА^В^^ отображает конформно
область плоскости г, занятую движущейся жидкостью. Движение жидко-
сти на плоскости z отображается движением жидкости внутри прямо-
угольника.
Функция
J situ .
z = t{r1 e^~) = F(u)
доставляет конформное отображение внешней части плоскости z с раз-
резами на прямоугольник.
Построим выражение для комплексного потенциала и комплексной
скорости на плоскости и. Отметим прежде всего, что скорость w' (и) оп-
ределена только внутри и на границах прямоугольника. В точках сто-
|»1
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ДВУХСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ
219
рон А1В1 и Д2Ва, приходящихся на одной горизонтальной прямой и со-
ответствующих противоположным краям разреза плоскости z, величина
комплексной скорости удовлетворяет равенству
го' (а 4- 2со) =’ го' (и).
Это дает возможность продолжить го' (и) за пределы прямоугольника
как периодическую функцию и. Стороны AjA^ и ВХВ2 служат изобра-
жением контуров Сх и С2, являющихся линиями тока. Они являются ли-
ниями тока на плоскости и, и скорость го'(и) будет иметь вещественное
значение на А}А„ и BjB2.
Фиг. 84
Фиг. 85
Функция го'(и) может быть продолжена по принципу симметрии на
прямоуголник AxB/B/Aj. В точках, симметричных относительно вещест-
венной оси, функции го'(и) придадим сопряженные значения. При таком
продолжении функция w'(u) будет иметь на стороне В/В/ вещественные
значения, и для значений и, соответствующих точкам на стороне B'jB/,
имеет место равенство
го' (u -f- 2а»') = w' (и).
Последнее соотношение дает возможность продолжить w' (и) за пре-
делы прямоугольника В1ВаВа'В1' как периодическую функцию с перио-
дом 2а>'. Таким образом комплексная скорость го' (и) является двояко
периодической функцией от и, с периодами 2® и 2а>'. Прямоугольник
B}B2BiB2' служит для нее прямоугольником периодов.
В точках а и—а функция го' (и) имеет полюсы. В самом деле, окрест-
ность точки а взаимно однозначно отображает область бесконечно уда-
ленной точки плоскости z.
Отсюда следует, что в окрестности точки а имеет место разложение
z = + ао +ai(u~ а) + а2(а — а)2+ ... (130)
и
77 = ~ (Ы-а)2 +а1 + 2аа(«-«) + -.. (131)
На бесконечности в плоскости z комплексная скорость предполагается
имеющей конечную величину. Она представляется рядом
w'(z) = Co + -^- + -^-+... . (132)
где с0 = У— значение комплексной скорости в бесконечности.
220 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ [ ГЛ. VI1I
Коэффициент q определяется равенством
2т J 2т
где С — контур, содержащий обтекаемые контуры Сх и С2, а Гх и Г2—цир-
куляции по этим контурам.
Из равенств (131) и (132) следует, что
w'(и) “ + -~а + +^(«-«) + • • •, (133)
причем
/>-2 = — aV, b-1 = —cLa. (134)
Из принципа симметрии следует, что в смежности с точкой а= — а
изложение (133) имеет вид
w' (tz) = —b~2 ... + 6 ~ 1 + b0 4- (а + а) + ... (135)
(и + а)2 и + а 4 /
Во всех прочих точках параллелограмма периодов w'(«) остаемся ре-
гулярной.
В силу известных свойств эллиптических функций имеем выражение
для комплексной скорости
w'(«)= b_2 8>(и-а)-+ b_2$(u + а) + b£(u— a) + 'b1$ (и -f- а) 4- С (136)
и комплексного потенциала
«?(.:=» — Ь_2^(и — а) — Ь_2С, (и + а) 4- &1lntf(u — a)4-
+ У11пб(а+а)+Са 4-Сг. (137)
Равенства (136) и (137) могут быть представлены в виде
w' (и) = — aV& (ц — а) — aV^> (и 4-а)
---{$(«-«)-а)} + С (138)
£П1
. W(u)= aVS (U - а) + aV$ (и + а)- -^ + Г» In -р Cu-f- Сг. (139)
2м а (и + а)
Так как комплексный потенциал определяется с точностью до по-
стоянной, то величину Су можно положить равной нулю. Для определе-
ния С интегрируем равенство (136) вдоль прямой ДхД2. Имеем
2ю 2со
J w' (и) du = — aV J (и — a) du — dy J & (a 4- a) da —
AjA2 0 U
2(0
- Г11+ Г2- f К (« — «) — S (u + a)] du 4- 2C®,
2ni J
о
откуда следует, что
C wf (a) du == (aV + aV) 2rj-Ei+Jk. । _4^a 2m} + 2Сю.
J 2л1
ЛАа
§ 7 ]
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ДВУХСВЯЗАННЫХ ОБЛАСТЯХ
251
Величина интеграла в левой части равенства определяется циркуля-
цией Гх
J w' (u) du = — j* w' (z) dz = — Гх
A,A3 *0
и для С получается выражение
С = — Г— Г2 — -Г1 + Гг- г)а — RaV у .
со | 2 ni
(140)
Равенство (138) совместно с равенством, дающим конформное отобра-
жение внешности контуров Сх и С2 на прямоугольник, решают задачу
об обтекании контуров. Эта задача весьма
важна в теории биплана. В зависимости от
формы контуров Сх и С2 получается реше-
ние, большей или меньшей сложности.
Пусть контуры Сх и С2 изображают кры-
лья биплана с заостренными задними кром-
ками (фиг. 86). Точки sx и е2 переходят в
точки Ях и Я2 на сторонах прямоугольника
AXA2S2BX. В этих точках производная
обращается в бесконечность. Для того чтобы
комплексная скорость
w (z) = w (U) —-
dz
у задней кромки оставалась конечной (условие Жуковского), необходимо,
чтобы w' (и) обращалось в нуль при и — Ях и и ~ Я2. Это дает возмож-
ность определить величину циркуляции Гх и Г2 из уравнений
(Лх — а) — <а £ (Яхфа) ф 2т?а } Гх ф {а> ~(Ях — а) — w f (Яхфа) ф 2 г)а — т} Г2 ф
ф 4xr]iRaV ф 2лсо1 (ф— а) ф aV$> (ЯХФ а)} =0,
{ю$(Л2 —а)—©$(Л2фа) ф2т?а}Гхф {<(Л2 —а) — ю£(Я2фа)ф 2??а —я/} Г2 ф
ф AnrjiRaУф 2лаи {аV(Л2 — а) ф аV(Л2 ф а)} — 0.
Отметим частный случай, когда контуры Сх и С2 являются окружно-
стями с центрами в точках сх и с2 и радиусами Rt и /?2.
Преобразование
£ = (141)
z — а2
где аг и о2 суть корни квадратного уравнения
Z2 _ L ф с2 — Z ф(СаС2 с1~ (£1С1 —/??) = о, (142)
I ^2--^11 ^2
переводит внешнюю по отношению к кругам область плоскости z в кольцо
на плоскости Бесконечно удаленная точка плоскости z переходит
в точку £ = 1 на плоскости
Радиусы гх и г2 кругов, ограничивающих кольцо, определяются ра-
венствами
„ 2_____________________ С1 - »- 2_
г J , f 2 — .
Cj — (Jg ^"2 ^2
222 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ [ ГЛ. VHI
При решении уравнения (142) возникает вопрос, какой из корней
уравнения следует принять за ах? Будем за (?х принимать тот из корней
уравнения, для которого
ki — а2|. (И4)
В таком случае
гх>1 и г,<1.
Функция
niu
5 = i\e “
преобразует кольцо в прямоугольник со сторонами 2со и со';
Величина со может быть взята произвольно. Величина со' определяется
равенством
, со/ , г,
со'= —In—.
я г2
Преобразование внешности двух кругов на прямоугольник реали-
зуется функцией
ЯШ
z==.."ЖГ*'*..У 045)
Г]£ °> — 1
При этом бесконечно далекой точке плоскости z отвечает на плос-
кости и точка
а = — lnrv (146)
Л
, Решение задачи об обтекании двух кругов дают формулы (138) и (145).
В том случае, когда обтекаемые контуры симметричны относительно
оси, параллельной направлению скорости в бесконечно далекой точке,
решение задачи получается в более простой форме. Примем ось сим-
метрии на ось ОХ. Комплексная скорость V на бесконечности имеет дей-
ствительное значение, и легко видеть, что Гх = — Г2. Из соображений
симметрии следует, что точка а, изображающая бесконечно далекую
точку плоскости z, находится на середине стороны AtBt. В этом случае
1 ,
а = — ы.
2
Величина Сп как это следует из равенства (1.40), имеет вещественно’ё
значение.
Из тех же соображений симметрии следует, что ось ОХ изобразится
средней линией прямоугольника А^В^, и в точках, симметричных от-
носительно средней линии, комплексная скорость го'(и) имеет сопряжен-
ные значения. Функция го' (и) есть эллиптическая функция с периодами
2® и ш' и полюсом второго порядка в точке—:
w'(u) = — aV®( и — —} +С. (147)
х 2 /
Интегрируя по стороне прямоугольника от точки Аг до А2, по-
лучаем r1 — 2aVt] + 2C<o, откуда следует, что
С =-±{Т\ + 2аУч}.
Комплексная скорость представляется в виде
w' (и) = - nV pL + р ( и _ _ ± Г1. (148)
1ft) \ 2 /> 2g>
J 8 ]
ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНОК
223
В точках Я1= Л и Л2 = Л + а/ комплексная скорость равняется нулю.
Это дает возможность определить величину циркуляции
Гх = - 2aV (а>& (л, - ).
Если внесем выражение циркуляции в равенство (148), то получим
w' (a) = aV J ( Л — — \ — & (и — —I .
( \ 2/ \ 2/)
К рассмотренному случаю приводится задача об обтекании крыла
аэроплана вблизи земли.
§ 8. Обтекание пластинок. Решение вопроса об обтекании крыльев
биплана распадается на две части. Первая дает конформное отображе-
ние внешности обтекаемых контуров на прямоугольник. Вторая
решает
вопрос о виде комплексного потенциала и
комплексной скорости для прямоугольной
области. Вторая" часть подробно рассматри-
валась в предыдущем параграфе. Не входя
в детали, укажем решение первой части
для некоторых контуров сцециального вида.
К этим контурам мы приходим, пренебрегая
толщиной крыльев биплана. ‘ *
1. Два параллельных отрезка. Выберем
ось ОХ параллельно отрезкам АА' и ВВ'
(фиг. 87). Отображение плоскости z с раз-
резами вдоль АА' и ВВ' на область прямо-
угольника плоскости и дается функцией
z = (а + Ы) 5 (u — ai) 4- е
+ (a— bi) £(и — ai) — 2art — + С. (149)
СО
Постоянные а, Ь, а и отношение периодов
fl
\0
d_
Фиг. 87
Z
д'
В'
±4
h
/
<о'
находятся по данным,
характеризующим размеры и взаимное положение отрезков АА' и ВВ', .
равно как и их положение относительно системы осей ОХ и 0Y.
Так, например, имеем
ha>
а =------.
2. Для от^рзкд под углом. Примем за ось ОХ прямую, на которой
находится один из отрезков. Начало координат О возьмем в точке пере-
сечения прямых, на которых находятся от-
резки (фиг. 88). Угол между прямыми обо-
значим через 9.
Бесконечно удаленная точка плоскости z
отображается, как отмечено ранее, точкой
ai плоскости и. Положим, что начало коор-
динат плоскости z отображается точкой .
и = & + &L
Конформное отображение плоскости z с
разрезами на прямоугольник дается функцией
O(g—а—+ Q50)
' ' а {и — ai) о (и + ai)
Постоянные Д, a, /?2 и отношение
<в'
периодов — определяются
размерами отрезков и их взаимным расположением.
224
ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ
[ гл vin
Так, например
а О®
Pi^ —
я
Если отрезки расположены симметрично относительно биссектриссы
угла 0, т. е. ОД1 = ОВ1, ОД2 = ОВ2, то функция, реализующая конформ-
ное отображение, может быть представлена в виде
Фиг. 89
z = Аг—
(151)
Величина At и отношение перио-
0)'
дов —, определяющее величину q,
О)
определяются размерами отрезков и их
расстотгием От waчалг.
3. Две дуги концентрических кругов;
Начало координат возьмем в общем
центре. Радиус внутреннего круга обоз-
начим через /?2, радиус внешнего круга
через Rt (фиг. 89). Сохраняя те же обо-
значения, что и в предыдущем случае,
можем представить функцию, осуществляющую конформное отображение
плоскости z с разрезами на плоскость и, в виде
(p+— In -
z = Rxe
o(u—^i—^i)a(u + oii)
o(u —P1 + P2i)a(u - ai)
(152)
Постоянные ф, /32, а и отношение периодов — определяются раз-
мерами и взаимным расположением дуг НН' и СС и их положением
относительно координатной системы.
§ 9. Коэффициент взаимной индукции двух круговых токов. Обоз-
начим через М коэффициент взаимной индукции двух круговых токов.
Пусть радиусы окружностей, по которым текут токи, равняются а и а'
(фиг. 90). Окружности‘расположены в параллельных плоскостях и центры
их лежат на одной вертикальной прямой. Расстояние между центрами.,
окружностей равно Ь. Обозначим через А и А' две точки окружностей',
лежащих в одной вертикальной'полуплоскости, проходящей через центры
окружностей. От них будем по каждой окружности производить отсчет
дуг и соответствующих им углов оз и оз' в одинаковом направлении.
Коэффициент взаимной индукции определяется равенством
(153)
С'С
где интегрирование производится по контурам С и С' обеих окружно-
стей. Это равенство может быть представлено в виде
2п2п
г f аа'cos (чг— #) а® а*0'
(154)
о о
I»)
где
КОЭФФИЦИЕНТ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ ДВУХ КРУГОВЫХ ТОКОВ 225
r = ]/" P'Q24-QP2=y< аъа'2 —2аа'cos (а/— а>) 4-&2.
Произведем замену переменных, положив со’ = со 4- 0 —л.
Фиг. Й
Тогда коэффициент взаимной индукции представится в более про-
стом виде
Л
л / С COS (л — O)dO /1ГГЧ
М = 4лаа' . ' v----------'-- =^=, (155)
J]/ а8 + а'а + Ь2 + 2аа' cos0
откуда следует с помощью подстановки 6 = 2ф, что
п
~2
аж о г С (sin2 Ф — cos2 /л
М = 8лаа г ........—=-^ ..-У у. . (156)
J у [(а + а')2 + 6s] cos2 ч> + [(а — а')2 4- d2] sin2 у
Если положить , •
(157)
V (а + аф + Р
’•Иго окончательно получим
п
• _____________________________________ ~2 _____________
М = — 4 л j/ (а 4- а')2 4- fc2 J]Z I — к2 sin2 д> d<p 4-
О
л
“2
4-4л-^ + ^ + ^ . {158)
У (а + а')2 + b2J У 1 — к2 sin2 <р
ИЛИ
М = 4л /(а 4- а’? + Ь2 К - Е ) . (159)
Из выражения (159) очень легко получить величину AM изменения
коэффициента взаимной индукции при небольших изменениях zkz и Аа!
радиусов окружностей и небольшом изменении АЬ расстояния ОО'»
15 Справочник по, эллиптическим функциям
226 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ [ гл. Уш
В силу приближенного равенства
ДМ = — Ла 4- — Ла’ + — ЛЬ
да да' дЬ
определение изменения ДМ
дМ
ВОДНЫХ —
да
дм
— и
да'
дМ
дЬ ’
приводится к нахождению выражения произ-
Находим производную
дМ А ,, С cos OdO
— = 4лаа'Ь I . . .
dt> J (У а2 + а'2 + ft2 + 2аа' cos в )
Опа может быть представлена в виде
2
дМ___ fyiaa'b Г cos2 (р — sin2 <р
<>Ь (V (а + а’У + ft2)3 J (/1- к2 sin2 <р)8
Произведя замену переменных с помощью подстановки
и - Г -...-........,
q И 1 — sin2 9*
получим
дМ_________8лд I 'Ь______Г сп2 и — sn2 н
00 ("К (а + а')2 + &2 )3 J dn*и
Интегрируя по частям, находим
fcn2a-sn2nrfu = (1 + fc'2) sn а cn ц S + Г/ en2а--L СП2U \du =
J ‘ dn2u /c'2dntz о J\ к'2 J
о о
(160)
(161)
... ==_y±JLLf srl2udu—L/< = —К- (162)
fc'2 J k'2 k2 k2k>2
0
Подставляя полученное значенйе иятег^Н^а
ства (161) и приняв во Внимание выражение для к, получаем окййта
тельно
......... 2пЬ fox—1±_*2_е\. (163)
.00 у (а + а')2 + b2 I f
Далее находим
дМ М , . , С cos е(а +’a'cos6) ja
da a J (д2 д'2 -|- b2 + 2aa' cos 6) 'a
ИЛИ
^=Л£ + _а_дМ+4% Г____________•___aa^cos2^----- (164)
da a b Ob J (a2 + a'2 + 2aa' cos ff)’1.
Интеграл'
Л
Я "2
С аа'8 cos2 6 й? = 2аа'2_______Г (cos2 у — sin2 у)2
J (а2 + а’2 + 2аа' cos 0)'/* (’И (а + а')2 + b2 )2 J (V1 — к2 sin2 у)8
< to]
ПОСТОЯННАЯ ГАЛЬВАНОМЕТРА
227
легко находится с помощью подстановки
<р
d<p____________
1 — /<2 sin2 (р
В самом деле, имеем
я
1 к
Г (cos2 ср — sin2 у)2 Г (сп2 — sn2 и)2 __
J ("j/" 1 — /c2sin2<jp)3 J dn2 и
Q О
к к
2 Г , , , х , 1+ fc'2 fen8 it — sn«a . .
=— I (cn2«— sn2 it) du--------------—и——-----------dli
k?J Л2 J dn2u
о о
и
f (сп2 и — sn2 u) du =± — Е — - /С
J ’ к* /с2 .
О
Согласно формулы, (162), мы получаем
2 —- ~
У 1—Л2 sin2 (р)3
d<p = ( 4Е + (1 + 7)3 - Е - 4 (1 + к'*)К ).
/С4 ( К )
Внося полученный результат в равенство (164) и принимая во вни-
мание ранее полученное выражение для магнитной индукции, устанав-
ливаем окончательно, что
,^2 ft2£ (165)
да Ь db 2ak'*v v ’
Таким же образом получаем
+ у , 8, Ь^Е (166)
да' b db 2a'k,!tV ‘
Отметим равенство
а а’ + b —=М. (167)
да 1 да' db v
§ 10. Постоянная гальванометра. Величина постоянной
метра Кмкя; как известно, интегралом
G гальвано-
q___2пп f Г ха dx dy
S J J (X2 + y*F ’
s
где S обозначает поперечное сечение обмотки
оборотов проволоки.
(168)
гальванометра, и—число
Положение координатных осей относительно поперечного сечения
обмотки указано на фиг. 91.
228 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ [ ГЛ. VIII
В том случае, когда поперечное сечение кольца представляет крУ®,
интеграл (168) может быть представлен в следующем виде:
2п С Г х2 dx dy • ______2п Г у dx
о U
(169)
В последнем интеграле интегрирование производится в направлений по
часовой стрелке по окружности С.
Таким образом постоянная гальванометра G определяется равенством
2л л
О = — С fl2 sin2 =4п С_________________sin2 _______ Л 701
a2 J У а2 + b2 + 2ab cos 6 J У а2 + b2 + 2ab cos9 ’
о о
или, положив 0 = 2<р,
2
q _ gon Г sin8 у cosa v d<p
J У (a + b)2 cos2 <p + (a — b)2 sin2 у
о
Обозначим
J. = .
b + a
Тогда последнее выражение постоянной гальванометра G может быть
представлено в виде
Л
~2~
q___ 32л Г sin8 у cos2 (pd<p (171)
n + d J ]/"l — k2 sin2 <p
о
Произведем замену переменных, положив
J V 1 — к2 sin2 <Р
О
Имеем
2 К
Г sin2 у COS2 у fsn2HCn2UdU.
J у 1 — к2 sin2 ф J
о о
Интегрируя по частям, получим
к к .
Jsn2n cn2Hdu = — J dn2n {1 —2сп2п} du —
о о
К К К
= —— f dn2 и du + — f сп2 и du — 2 С sn2 acn2 udu.
к2 J Л2 J J
ООО
Отсюда следует, что
.к
[sn2 U СП2 и du = — -i; Е 4- (Е — fc,2K).
О
Таким образом окончательно имеем
Q = —32л----,(1 fc,2) Е —2V2K}. (172)
Зк1(Ь + а) 14 ’
Л
Ill 1
СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
229
§ 11. Стационарное электрическое поле. Рассмотрим стационарное
электрическое поле, создаваемое зарядами, расположенными на электри-
ческих проводниках, которые представляют собой’цилиндры с образую-
щими, перпендикулярными к одной и той же плоскости. В точках элек-
трицеского поля этих бесконечно простирающихся проводников, располо-
женных на .прямой, перпендикулярной той же плоскости, напряжение
поля одинаково. Его направление перпендикулярно к указанной прямой.
В плоскостях, перпендикулярных к образующим цилиндрических провод-
ников, создается одинаковое плоское электрическое поле. Это плоское
поле и характеризует поле бесконечных электрических проводников.
Возьмем одну из плоскостей. Обозначим составляющие электрической
силы пдоского поля через X и У. Пусть U (х, у) обозначает потенциальную
функцию электрического поля. Тогда
Х=—— y=——
дх ’. ду ’
Составляющие электрической силы удовлетворяют уравнению
дХ ЗУ __ Z<W д*Ц\ = 0
дх ду . \ дх* ду*)
Из этого следует^,чя»: существует функция Т такая, что
х = —— ¥ = -Т-
ду ’ дх'
Функция Т (х, у) называется функцией тока. Для изучения стационар-
но плоского ноля удобно ввести функцию комплексного переменного
w(z) = CJ(x,y) + iT(x,y).
Эта функция называется комплексным потенциалом поля. Ее произ-
водная w'(z)= —(X— iY), взятая с обратным знаком, дает количество,
сопряженное с X + IY. Последнюю величину называют комплексным напря-
жением поля. Определение элек- у.
трического поля сводится к на- -а+М м a+bi д
хождению функции комплексной
переменной, вещественная часть
которой принимает данные по- ________________0_____________
проводников) на заданной си-
стеме линий. В плоскости пере- . .L——
менного w система проводников. _ -а-Ы a-bi
изобразится системой прямых, Фиг. 92
параллельных мнимой оси.
таким образом задача о комплексном потенциале поля эквивалентна
BogpocyL о . конформном отображении, при котором заданные контуры
вЧ^горажаются прямыми, параллельными мнимой оси.
. Рассмотрим в 'качестве примера поле между двумя прямоугольными
полюсами (фиг. 92). Будем сначала искать отображение внешней областй
полюсов на плоскость с разрезами так, чтобы начало координат пере-
шло в начало j, а оси координат перешли в оси новой системы.
Это преобразование доставляет эллиптический интеграл 2-го рода
с _____________________________________
<173>
О
230 ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ
Разрезы плоскости показаны на фиг. 93.
Преобразование
Г
п2 + W1 , «2 — «1 f
W = —£_!--L_ _J-*---I - ......
2 .2 j ]Л _ p
0
Г йедц
- (174)
переводит плоскость £ с разрезами в
параллельными прямыми (фиг. 94).
полосу, заключенную между двумя
Фиг. 93
Первая из них отвечает правому проводнику (фиг. 92),, вторай—
левому. Определим постоянные указанных преобразований. Из сравнения
с данными п. 2 § 8 главы V следует, что величины к -и Я определяются
равенствами
1 _______
( / 1 _ Ь2>*2
а = Л\У ±-^-К=НЦк),
О
С г___« ,,=
J И J/(l-nd-^c2)
(175)
(176)
Для определения модуля к имеем уравнение
ь = - е (к') + К (к') . , j 77)
а Е (fc) v 1
После того как величина модуля к будет найдена, множитель Я опре-
делится из равенства (175) или (176). Уравнения (173) и (174) дают выра-
жение комплексного потенциала поля в параметрической форме.
При и2=1 и «х = — 1
z — Л^У 1 — k2sin2wdw.
и
ЛИТЕРАТУРА
Таблицы и справочники
В е т ч и я к и п В. П. Новые формулы и таблицы эллиптических интегралов и функций.
Глазенап С. П. Математические и астрономические таблицы 1932,
Самойлова-Яхонтова Н. С. Таблицы эллиптических интегралов. 1935.
111 п и л ь р е й н Я. Н. Таблицы специальных функций. 1934.
Эм де Ф. Таблиц! функций з формулами ,и кривыми. 1934.
Jahnke Е. und Em de F. Funktionentafeln mit Formein and Kurven. 1933.
Hayashi K. Fiinfstellige Funktionentafeln. Kreiszyklometrische,exponential-, hyperbeL, kugeL,
besselsche, elliptische Funktionen, Theta-Nulwerte, natiirlicher Logarithmus, Gamma-
Funktion. 1930.
Hou el J. Recneil des formules et des tables numeriques. 1901.
La ska W. Sammlung von Formein der reinen und angewandten Mathematik. 1894.
Legendre. Traite des fonctions elliptiques et des integrates eu!6riennes. T, II. 1826,
M i 1 n - T h о m s о n.'Die elliptischen Functionen. 1937.
Palin. Formules et tables num6riques relatives aux fonctions circulaires-, hyperboliques
et elliptiques. 1925.
Smithonian. Mathematical Formulae and Tables of Elliptic Functions. 1922.
Schwarz H. A. Formein und Lehrsatze zum Gebrauch der elliptischen Functionen. 1893.
Руководства
Бетти Г. Теория эллиптических функций и ее приложения. 1861.
Г урвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций. 1933.
Покровский П. Л. Теория эллиптических функций. 1886.
Сикорский Ю. Элементы теории эллиптических функций с приложениями к механике.
1936.
Сотов И. Основания теории эллиптических функций. 1850.
Тихомандрицкий М. Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций.
1895.
Уиттекер Е. Г. и Ватсон Г. Н. Курс современного анализа. 1934.
Appel Р. et Lacour Е. Principesde latheorie des fonctions elliptiques et applications. 1922.
Bianchi L. Lezioni sulla teoria della funzioni di variabile complessa e delle funzioni, ellittiche.
1930.
Bobek K- Einleitung in die Theorie der elliptischen Funktionen. 1881.
Briot Ch. et Bouqet J. Theorie des fonctions dpublement periodiques et en particulier des
fonctions elliptiques. 1859.
Briot Ch. et Bouqet J. Thgorie des fonctions elliptiques. 1875.
Burchardt H. Elliptische Funktionen. 1889.
D u г ё g e H. Theorie der elliptischen Funktionen. 1887.
En neper A. Elliptische Funktionen. 1890.
Fricke R. Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. 1916.
Greenhill. A G. The applications of elliptic functions. 1892.
Hal phen G. Traite des fonctions elliptiques et de leprs applications. 1886—1801.
L£vy. Hdcis ^mentaire de la theorie des fonctions elliptiques avec tables numSriques et appll-
R. de Montessus de Ballore. Lemons sur les fonctions elliptiques en vue de leurs appli-
cations. 1917.
Tannery I. et Molk I. Elements de la thdorie des fonctions elliptiques. 1893—1902.
Weierstrass K- Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen Funktionen. 1915.
Weierstrass K- Vorlesungen fiber Anwendungen der elliptischen Funktionen. 1915.
Whitteker E. T. and Watson G. N. A Course of Modern Analysis. 1920.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр
Предисловие ............................... . ............... 3
Глава 1
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Эллиптический интеграл.................;.................................. 5
§ 2. Эллиптический интеграл 1-го рода в канонической форме Лежандра............ 5
$ 3. Примеры вычисления интеграла 1-го рода по таблицам........................ 7
§ 4. Вычисление интеграла 1-То рода с помощью рядов.............; . • • . 8
§ 5. Преобразование Ландена...................................... . . . • 11
§ б. Вычисление интеграла 1-го рода при помощи номограмм...................... 14
ф 7. Некоторые’случаи вычисления интеграла 1-го рода . . . ;................. 15
§ 8. Эллиптический интеграл 1-го рода как функция комплексного переменного ... 18
§ 9. Эллиптический интеграл 2-го рода в канонической форме Лежандра........... 23
§ 10. Вычисление интеграла 2-го рода с помощью рядов.................; . • 25 >
§ 11. Вычисление интеграла 2-го рода при помощи номограмм.......•............. 27
§ 12. Некоторые случаи вычисления интеграла 2-го рода . . ; . ?.........; 29
§ 13. Эллиптический интеграл 2-го рода как функция комплексного переменного ; . . 31
§ 14. Эллиптический интеграл 3-го рода . . . s.................................34
§ 15. Некоторые частные эллиптические интегралы, выражающиеся через интег- .
ралы 1-го и 2-го рода.................................................... 37
§ 16. Формулы сложения эллиптических интегралов............................... 33
§ 17. Полный эллиптический интеграл 1-го рода ................................ 39
§ 18. Полный эллиптический интеграл 2-го рода................................. 41
§ 19. Полный эллиптический интеграл 3-го рода................................. 43
§ 20. Разложение некоторых полных эллиптических интегралов в ряды........ . 43
§ 21. Некоторые интегралы от функций К(к), Е(к), D(k).................... 41
§ 22. Некоторые дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют полные эл-
липтические интегралы ................................................. 45
§ 23. Приведение эллиптического интеграла вида J# (х? j/(7—х2) (1—k2x2))dx к ин-
тегралам 1-го, 2-го и 3-го рода ........ ............... 46
§ 24. Приведение эллиптического интеграла к канонической форме Лежандра в том
случае, когда под знаком корня находится многочлен четвертой степени . . 50
§ 25. Приведение к каноническому виду эллиптического интеграла в случае, когда
под знаком корня стоит многочлен третьей степени ........................... 58
§ 26, Частные случай приведения элдинтического интеграла к каноническому виду
Лежандра ................................................................. 62
Глава II
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
§ 1. Амплитуда .........67
§ 2. Синус амплитуды ............................................... . 69
§ 3. Косинус амплитуды . . .....................;.......................... 70
§ 4. Дельта амплитуды ; . ................................................ 72
§ 5. Номограммы функций sn и, сп ut dn и . ................................ 73
§ 6. Тангенс амплитуды.................................................... 75
|'7. Формулы сложения для функций sn п, сп и, dn и, tn и....• . ............ 75
§ 8. Формулы для функций sn 2п, СП 2«, dn 2w, tn 2«........................ 77
§ 9. Формулы для функций sn сп dn-тр tn у ; . . . ......................... 77
234
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
§ 10. Соотношения между функциями sn w, сп и, dn и .......................... 77
§11. Производные от функций sn и, сп и, dn iz, tn и......................... 77
§ 12. Формулы приведения для функций sn «, сп ц, dn и......................... 73
§ 13. Изменение функций sn п, сп ц, dn и при изменении модуля 78
§ 14. Выражение функций sn ut сп и, dn и от комплексных значений аргумента через
функции аргумента вещественного. ..................................... 81
§ 15. Разложение функций sn ut сп и, dn и в степенные ряды . ;................ 81
§ 16. Представление функций sn и, cn w, dn и в виде отношения целых трансцен-
дентных функций ........................................... • .... 82
§ 17. Разложение эллиптических функций в тригонометрические ряды...* . . 83
§ 18. Разложение эллиптических функций в ряды по гиперболическим функциям. . . 85
§ 19. Приближенные формулы для sn u, cn u, dn и .............................. 85
§ 20. Представление эллиптических функций в виде бесконечных произведений ... 86
§ 21. Функции zn и ................. . •................................. 86
§ 22. Простейшие интегралы от функции Якоби....................................87
Глава III
ФУНКЦИИ ТЕТА.
§ 1. Определение’и основные свойства функций тета. . . ;..................... 89
§ 2. Выражение1 эллиптических функций Якоби через функции тета ............... 91
§ 3. Изменение.функций тета’при изменении аргумента ..... . ... . „ ... w 93
§ 4. Изменение функций тета при измененийе величины q................• . . « 93
§. 5 . Функции тега при значении аргумента, равном нулю ...................... 95
§ б. Логарифмы функций тета .............................................. 95
§ 7. Логарифмические производные от функций тета . . . . .. . . « . .. . . . . . . .9&*
§ 8. Приложение функций тета к интегрированию эллиптических функций Якоби • . . 97
§ 9. Приложение функций тета к вычислению эллиптических интегралов 3-го
род 1 ................................... . •.......................... 99i
Глава IV
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
§ 1. Эллиптический интеграл 1-го рода в канонической форме Вейерштрасса . .
§ 2. Функции 1. ................ .................................... . ...
§ 3. Производная от функции (и).................................
§ 4. Формула сложения для функции ^(п)................................
§ 5, Функция ..............•..........................................
§ б. Функция o(w) . . •..............................................
§ 7. Частный «случай g2=0, g3=l ......................................
§ 8. Функция Oi(n), 02(и), ^(и) ..................................-. .
§ 9. Соотношения между функциями пДн), <т2(п), ст3(ц) л функцией . .
§ 10. Дифференциальные- уравнения ддя отношений функций сигМа .... .
§11- Изменение функций о(и) йДи), о/п), cr3(w) при изменении аргумента на ве-
личину о, со', со". . . . ............... ....... .........«...
§ 12. Изменение функций (и), £(п), о(ц), сгДи), а2(и\ о3(п) при изменении периодов
13. Выражение эллиптических функций через функцию а(п). Общие свойства, . . .
§ 14. Интегралы от эллиптических функций ..........................
§ 15. Выражение функций Якоби через функции Вейерштрасса....... . . . .
§ 16. Вырождение эллиптических функций . ..................... • . .
§ 17. Дифференциа тьные уравнения, интегрируемые в функции.ц.кц) .......
101
202
104
105
106
107
108
109
111
212
114
116
117
119
120
121
123
Глава V
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Общие замечания ... ................................................ 126
§ *2. Функция sn и...........................-............................ 127
§ 3. Функция сп и .......' . • •........................................ 130
§ 4. Функция dn и . . •............................................... 133
§ 5. Функция tn и ....................................................... 135
§ 6. Функция ..................-............• ... 136
§ 7. Отображение прямоугольника на круг радиуса 1........................ 142
§ 8. Конформное отображение, доставляемое эллиптическими интегралами...... 142
§ 9. Конформное отображение треугольника на полуплоскость при помощи эллипти-
ческих функций ............................... • ...................... • • Н9
СОДЕРЖАНИЕ
235
Стр.
Глава VI
МОДУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Инварианты g2, g3 как функции отношения периодов.
§ 2Ч ^ЯЯЙ&тный инвариант....... '....................
Модуль к2 как функция отношения периодов..........
151
152
154
Глава VII
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Вычисление значений функций Якоби.............................. . . . 153
§ 2. Вычисдемлё аргумента. п, когда задано значение одной из эллиптических
|^й^йй sn (и, к), сп (и,к), dn (и, к) и значение модуля к .......... . 163
Вычисление периодов функции $>(п; g2, £з)..........‘................ 167
§ 4. Вычисление значений функции $>(п).................................. 171
§ 5. Вычисление значений аргумента функции $(и) по заданному значению самой
функции................................................................ 174
6* Вычисление значений функции zn и............................ • . . 181
§ 7. Вычисление значений функции С (ft; &)...................•.......... 183
§ 8. Вычисление значений функций тета.................................. 187
§ 9. Вычисление эллиптических функций с помощью функций тета ; ....... . 190
§ 10. Вычисление значений функции сг (и) ........ ...................... 192
Глава VIII
ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ
§ 1. Маятник ............................................................... 196
8 2. Сферический маятник .................................................... 200
§ 3. Изгиб и сжатие . •...................................................... 205
§ 4. Регулятор Уатта ............................................ ; . . • . . 211
§ 5. Движение шатуна кривошипа ;............................................ 214
§ 6. Плоское движение жидкости ............................................... 215
§ 7. Течение жидкости в двухсвязных областях............................ . . 218
f S. Обтекай ie пластинок..................................................... 223
§ 9. Коэффициент взаимной индукции двух круговых токов......................... 224
§ 10. Постоянная гальванометра ........... ......... ...... 227
§11. Стационарное электрическое поле ......................................... 229
Литература ........ ........... ........ • • • 231
Редактор издательства Н, А. Талицких Подписано к печати 12/Ш 1941 г. Рисо №
А—№ 36469, Объем 148/,печ. л., Уч-изд. л. 20.4. Тираж 1000 экз. Цена книги 18 р» 50 к.
5-я тип. Трансжеддориздата НКПС. Москва, Каланчевский тупик, дом 3/5, Заказ 231