Text
                    А. М. Половко, С. В. ГуровОСНОВЫТЕОРИИНАДЕЖНОСТИКритерии и показатели
надежности технических
и информационных системМетоды анализа и синтеза
сложных системСпособы обеспечения
и повышения надежности,
оценка их эффективностиНаучные методы эксплуатации
технических системНадежность и рискАбсолютно надежные системы

А. М. Половко
С. В. ГуровосновыТЕОРИИ
НАДЕЖНОСТИИздание 2-е, переработанное и дополненноеРекомендовано УМО вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки 230100 (654600)
«Информатика и вычислительная техника»Санкт-Петербург«БХВ-Петербург»2006
УДК 681.3.06+519.6(075.8)
ББК 32.973я73
П52Половко А. М., Гуров С. В.П52 Основы теории надежности. — 2-е изд., перераб. и доп. — СПб.:
БХВ-Петербург, 2006. — 704 с.: ил.ISBN 5-94157-541-6Теория надежности излагается как наука и учебная дисциплина. Содержатся
критерии, методы анализа и синтеза технических и информационных систем,
методы обеспечения и повышения их надежности, научные методы эксплуата¬
ции. Рассматриваются невосстанавливаемые и восстанавливаемые, нерезерви¬
рованные и резервированные системы длительного и короткого времени суще¬
ствования. Описаны методы анализа надежности технических и информацион¬
ных систем при произвольных законах распределения времени отказа и
восстановления. Предлагается ряд методов, неизвестных ранее в теории надеж¬
ности. Практическая реализация методов приводится в пособии "Основы теории
надежности. Практикум", дополняющем данную книгу.Для ученых, инженеров, аспирантов и студентов технических вузовУДК 681.3.06+519.6(075.8)
ББК 32.973я73Группа подготовки издания:Главный редактор Екатерина КондуковаЗам. главного редактора Людмила ЕремеевскаяЗав. редакцией Григорий ДобинРедактор Нина СедыхКомпьютерная верстка Ольги СергиенкоКорректор Зинаида ДмитриеваДизайн обложки Инны ТачинойЗав. производством Николай ТверскихРецензенты:Смагин В. А., заслуженный деятель науки РФ, д. т. н.,
профессор кафедры "Эксплуатация автоматизированных систем управления"
Военно-космической академии имени А. Ф. Можайского
Богатырев В. А., д. т. н., профессор кафедры вычислительной техники Санкт-Петербургского
государственного университета информационных технологий, механики и оптики
Андреев А. М., к. т. н., доцент кафедры "Компьютерные системы и сети”МГТУ им. Н. Э. БауманаЛицензия ИД Г* 02429 от 24.07.00. Подписано в печать 15.02.06.
Формат 70х 100’/,9. Печать офсетная. Уел. Печ. л. 56,76.Тираж 3000 экз. Заказ Nt 3094
"БХВ-Петербург", 194354, Санкт-Петербург, ул. Есенина, 55.Санитарно-эпидемиологическое заключение на продукцию
Ng 77.99.02.953.Д.006421.11.04 от 11.11.2004 г. выдано Федеральной службой
по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека.Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГУП "Типография "Наука"199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12ISBN 5-94157-541-6О Половко А. М., Гуров С. В., 2006О Оформление, издательство "БХВ-Петербург”. 2006
ОГЛАВЛЕНИЕВВЕДЕНИЕ 13Надежность техники и ее теория 13Особенности книги 14Для кого эта книга..... 15ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ И ЕЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ
ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 171.1. Теория надежности как наука и научная дисциплина 171.2. Определение понятия "надежность" 191.3. Понятие "отказ". Классификация и характеристики отказов 201.4. Надежность и сохраняемость 221.5. Терминология теории надежности 221.6. Классификация технических систем ' 26ГЛАВА 2. КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ. ЗАКОНЫРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ДО ОТКАЗА 292.1. Что такое критерий и показатель надежности 292.2. Критерии надежности невосстанавливаемых систем 302.2.1. Вероятность безотказной работы 312.2.2. Плотность распределения времени безотказной работы (частота отказов).... 322.2.3. Интенсивность отказов 322.2.4. Среднее время безотказной работы 342.3. Критерии надежности восстанавливаемых систем 372.3.1. Среднее время работы между отказами и среднее время восстановления 382.3.2. Параметр потока отказов 382.3.3^ Функция готовности и функция простоя .....402.4. Законы распределения времени до отказа, наиболее часто используемыев теории надежности л 412.5. Преобразование Лапласа .....502.6. Специальные показатели надежности элементов и систем 522.6.1. Показатели надежности элемента 522.6.2. Стационарные значения показателей надежности элемента 612.6.3. Показатели надежности невосстанавливаемой и восстанавливаемой
техники 632.6.4. Основное уравнение функционирования системы 64
ОглавлениеГЛАВА 3. ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА НАДЕЖНОСТИСЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 683.1. Научное обоснование критериев и показателей надежности 693.2. Разработка моделей функционирования сложной системы 713.3. Методы анализа надежности технических систем 733.3.1. Обзор существующих методов расчета надежности сложных систем 733.3.2. Причины неэкспоненциальности случайных параметров, отказов и
восстановлений технических систем 773.3.3. Зависимость показателей надежности от законов распределения и
дисциплины восстановления элементов 803.3.4. Критичное влияние произвольных распределений отказов и
восстановлений на нестационарные показатели надежности 843.3.5. Методы и проблемы расчета надежности систем с большим числом
состояний . 883.3.6. Проблемы расчета надежности реконфигурируемых систем 893.4. Проблемы создания высоконадежных систем 913.4.1. Основная проблема надежности технических систем 913.4.2. Технические проблемы обеспечения надежности сложных систем 933.5. Краткие замечания, касающиеся проблем анализа надежности систем 96ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
И СИСТЕМ В СМЫСЛЕ ИХ НАДЕЖНОСТИ 984.1. Общая модель надежности технического элемента 984.2. Общая модель надежности систем в терминах интегральных уравнений 1034.2.1. Основные обозначения и допущения 1034.2.2. Матрица состояний 1044.2.3. Матрица переходов 1064.2.4. Выражения для вероятностей состояний и параметров переходов между
состояниями : 1104.2.5. Правило составления системы интегральных уравнений 1144.3. Общая модель функционирования системы в смысле надежности в терминах
дифференциальных уравнений в частных производных 1164.4. Модель надежности стационарного режима ' 1194.5. Модели надежности невосстанавливаемых систем 1224.6. Модели надежности систем при экспоненциальных законах распределения
отказов и восстановлений элементов 125ГЛАВА 5. МЕТОДЫ АНАЛИЗА НАДЕЖНОСТИТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1325.1. Способы описания функционирования технических систем ^смысле
их надежности 1325.1.1. Структурная схема системы 1335.1.2. Функции алгебры логики 1345.1.3. Матрица состояний системы. 136
Оглавление55.1.4. Граф состояний системы 1365.1.5. Формализованный способ построения графа состояний системы 1415.1.6. Описание функционирования системы с помощью уравненийтипа
массового обслуживания 1455.1.7. Описание функционирования системы с помощью интегральных
уравнений 1495.2. Методы анализа надежности технических систем, основанныена применении теорем теории вероятностей 1545.2.1. Метод перебора гипотез 1545.2.2. Метод, основанный на применении классических теорем теории
вероятностей 1555.2.3. Метод минимальных путей и минимальных сечений 1585.3. Логико-вероятностные методы анализа надежности 1615.3.1. Сущность логико-вероятностных методов 1615.3.2. Метод кратчайших путей и минимальных сечений л 1645.3.3. Алгоритм разрезания 1675.3.4. Алгоритм ортогонализации 1705.4. Топологические методы анализа надежности 1735.4.1. Определение вероятностей состояний системы 1745.4.2. Определение финальных вероятностей состояний системы 1815.4.3. Определение вероятности попадания системы в г'-е состояниев течение времени t 1845.4.4. Определение количественных характеристик надежности по графу
состояний 1865.4.5. Определение количественных характеристик надежности систем,
описываемых многосвязными графами 195Разложение графа на деревья 195Преобразование сложного многосвязного графа в совокупностьпростых графов 195Вычисление вероятностей состояний, соответствующих узлам простыхграфов 196Вычисление вероятностей состояний исходной системы 197Непосредственное вычисление стационарных показателей надежности 2015.5. Методы, основанные на теории марковских процессов 2065.5.1. Однородный марковский процесс 2065.5.2. Инженерная методика расчета показателей надежности 2105.5.3. Пример расчета показателей надежности методом марковскихпроцессов 2135.5.4. Особенности анализа надежности систем при законах распределения
отказов и восстановлений, отличных от экспоненциального 2165.6. Метод статистического моделирования „ 2175.6.1. Сущность и обоснование метода статистического моделирования 2185.6.2. Разыгрывание случайных величин 220Разыгрывание дискретной случайной величины 222Разыгрывание непрерывной случайной величины 223
6ОглавлениеРазыгрывание равномерно распределенной случайной величины
на многомерном симплексе..., 2265.6.3. Сравнение метода статистического моделирования с аналитическимиметодами расчета надежности 228ГЛАВА 6. АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ ^ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
СИСТЕМ 2416.1. Надежность нерезервированной системы 2416.2. Надежность простейших резервированных систем 2446.2.1. Постоянно включенный резерв 2446.2.2. Резервирование с дробной кратностью 2476.2.3. Резерв замещением 2516.2.4. Скользящее резервирование 2536.3. Надежность систем при общем и раздельном резервировании 2566.4. Надежность резервированных систем, защищенных от одного отказа 261ГЛАВА 7. АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
СИСТЕМ 2727.1. Анализ надежности восстанавливаемых систем с основным соединением
элементов . 2727.2. Расчет надежности восстанавливаемых систем с основным соединением
элементов и произвольных законах распределения отказов и восстановлений 2767.2.1. Стационарные показатели надежности неизбыточных систем v 2767.2.2. Нестационарные показатели надежности неизбыточных систем 2797.3. Расчет резервированных восстанавливаемых систем при экспоненциальных
законах распределения отказов и восстановлений 2867.3.1. Общее постоянное резервирование 2867.3.2. Общее резервирование замещением 2897.4. Расчет резервированных восстанавливаемых систем при произвольных
законах распределения отказов и восстановлений 1 2937.4.1. Дублированная система с постоянно включенным резервом 293Прямой приоритет 294Обратный приоритет 298Назначенный приоритет 299Неограниченное восстановление .'...3017.4.2. Дублированная система с ненагруженным резервом 303Прямой приоритет 303Обратный приоритет 306Назначенный приоритет 307Неограниченное восстановление 308ГЛАВА 8. АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
С УЧЕТОМ ИХ ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ 3108.1. Приближенные методы анализа надежности 3108.2. Описание функционирования системы графом типа дерева 313
Оглавление78.3. Анализ надежности восстанавливаемой системы по усеченномуграфу состояний 3188.4. Метод эквивалентных схем 3228.5. Системы с дробной кратностью резервирования 3258.5.1. Системы т/п с нагруженным резервом и неограниченным
восстановлением 328Модель функционирования системы 329Расчетные соотношения для характеристик надежности 332Исследование конкретных схем 3338.5.2. Системы т/п с нагруженным и ненагруженным резервоми произвольным восстановлением 336Модели функционирования для нагруженного и ненагруженного резерва(идентичные элементы) 336Приближенное решение и оценка погрешности 338Исследование конкретных схем 339Свойства систем с дробной кратностью резервирования 3418.5.3. Надежность систем т/п при отказе группы смежных элементов 342Модель функционирования для системы 1/4 343Быстрый алгоритм расчета функции готовности 3468.6. Системы с автоматом контроля и коммутации 3498.6.1. Невосстанавливаемая система с абсолютно надежным переключателем 3508.6.2. Невосстанавливаемая система с ненадежным переключателем 3558.6.3. Анализ восстанавливаемой системы с переключателем 3578.7. Системы с последействием отказов 3618.7.1. Система с переменными законами распределения времени безотказной
работы 3618.7.2. Дублированная система с последействием отказов 3638.7.3. Сравнительный анализ надежности систем с последействием при
отсутствии и наличии "памяти" 3658.7.4. Обобщение результатов на случай любого числа элементов 3668.8. Анализ надежности системы с учетом неодновременности работы.ее
элементов 367ГЛАВА 9. МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ
НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ 3719.1. Классификация методов 3719.2. Методы обеспечения и повышения надежности техникив процессе проектирования ; 3739.3. Обеспечение надежности техники в процессе производства и эксплуатации 3779.4. Свойства структурного резервирования 3779.4.1. Выигрыш надежности по вероятности отказа 3789.4.2. Выигрыш надежности по среднему времени безотказной работы 3799.4.3. Выигрыш надежности по интенсивности отказов 3799.4.4. Выигрыш надежности по коэффициенту простоя 3819.4.5. Выигрыш надежности по наработке на отказ 382
8Оглавление9.5. Инвариантность надежности одного класса технических систем к законам
распределения отказов и восстановлений 3829.5.1. Математическое описание системы . ,3839.5.2. Оценка надежности восстанавливаемых мажоритарных систем
последовательно-параллельной структуры 3859.6. Влияние резервирования на интенсивность отказов системы 3889.7. Эффективность восстановления при различных законах распределения 3939.8. Сравнение надежности системы при общем и раздельном резервированиях 3969.9. Сравнительный анализ нагрузочного и структурного резервирований 3999.10. Надежность систем с временной избыточностью 4029.10.1. Описание функционирования системы с произвольным распределением
временной избыточности в терминах интегральных уравнений 4029.10.2. Распределение суммарных наработок 4099.10.3. Обесценивающие отказы 4119.11. Определение функции оперативной готовности системы 4129.12. Надежность систем из элементов с несколькими состояниями 415ГЛАВА 10. НАУЧНЫЕ МЕТОДЫ ЭКСПЛУАТАЦИИ ТЕХНИКИ 41710.1. Два вида эксплуатации техники. 41710.2. Способы поддержания надежности техники в процессе ее технической
эксплуатации 42110.2.1. Свойства и показатели критичности элементов системы 42110.2.2. Анализ данных по критичным элементам 42310.2.3. Планирование восстановления элементов системы 42410.3. Профилактика и ее эффективность 42510.4. Анализ надежности техники при наличии системы контроля 43310.4.1. Надежность аппаратуры контроля с двумя типами отказов 43310.4.2. Модель надежности системы с периодическим контролем 43810.4.3. Надежность системы с контролем во время хранения 44010.5. Оптимизация резервных элементов и ремонтных органов 44110.5.1. Проблемы оптимального резервирования и ремонта 44110.5.2. Математическая модель и решение 44510.5.3. Численные результаты 448ГЛАВА И. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИКИ ПО ОПЫТНЫМ
ДАННЫМ И ДАННЫМ ЭКСПЛУАТАЦИИ 45311.1. Оценка надежности техники по опытным данным 45311.2. Сбор и обработка данных об отказах техники в процессе эксплуатации 45511.3. Методика анализа надежности систем и их элементовпо данным эксплуатации 456ГЛАВА 12. НАДЕЖНОСТЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ 46412.1. Фундаментальные понятия теории надежности информационных систем 46412.2. Критерии надежности информационных систем 466
Оглавление912.3. Методы анализа надежности информационных систем 46712.4. Анализ многоканальной системы массового обслуживания с отказами 46812.5. Готовность многоканальной системы массового обслуживания 47912.6. Надежность диспетчерского пункта системы управлениявоздушным движением : 48312.7. Методы расчета моментов распределений в задачах надежности 48612.7.1. Поглощающие состояния отказа 48812.7.2. Отражающие состояния отказа 48912.7.3. Алгоритмы определения моментов распределений для процесса"гибели и размножения" 4931217.4. Численная оценка временных показателей надежности процессов
"гибели и размножения" 49712.8. Распределение работ по этапам в дискретных системах 49912.8.1. Постановка задачи 49912.8.2. Описание системы графом состояний 50112.8.3. Математическая модель 50212.8.4. Распределение времени выполнения работы 50312.8.5. Среднее время выполнения работы 50512.9. Расчет надежности систем от программных ошибок на основе
двухверсионного программирования 50712.9.1. Постановка задачи ; 50712.9.2. Модель функционирования вычислительной системы с двухверсионным
прикладным программным обеспечением 50812.9.3. Алгоритм решения и показатели надежности ПО 51112.9.4. Численные результаты 51712.10. Анализ надежности многофункциональных систем 51912.10.1. Формулировка задачи 51912.10.2. Описание работы двухфункциональной системы 52212.10.3. Решение системы уравнений и оценка коэффициента готовности 52512.10.4. Численный пример 52712.11. Анализ эффективности систем управления при многофазном режиме
функционирования - 52912.11.1. Модель функционирования системы 53012.11.2. Критерий эффективности 53112.11.3. Описание функционирования системы в нормальном режиме
эксплуатации 53312.11.4. Описание модели функционирования системы при возникновении
аварийной ситуации ., 53612.11.5. Оценка готовности объекта 54112.11.6. Вопросы технического обслуживания 54412.11.7. Модель функционирования системы на одном периоде жизненного
цикла 54512.11.8. Анализ системы управления в течение всего жизненного цикла 54812.11.9. Установление оптимальных сроков проведения профилактическихработ и длительности жизненного цикла 549
10ОглавлениеГЛАВА 13. НАДЕЖНОСТЬ И РИСК 55313.1. Определение понятия "риск" 55313.2. Оценка техногенного риска 55413.2.1. Риск системы с двумя состояниями 55413.2.2. Формула техногенного риска 55713.2.3. Кумулятивный техногенный риск 56113.2.4. Непосредственное вычисление техногенного риска 562Нерезервированная неремонтируемая система 1 563Нерезервированная ремонтируемая система : 56513.2.5. Асимптотическое поведение функции риска 572Неремонтируемая система 572Ремонтируемая система 57413.3. Полезность системы 57613.4. Зависимость риска от частоты неблагоприятных событий 58013.5. Методы снижения риска 583ГЛАВА 14. АБСОЛЮТНО НАДЕЖНЫЕ СИСТЕМЫ 58814.1. Понятие "абсолютно надежная система" 58814.2. Качественные критерии надежности '. 59514.2.1. Кратность резервирования системы при общем резервированиис постоянно включенным резервом 59814.2.2. Кратность резервирования абсолютно надежной системы при общем
резервировании замещением 59814.3. Способы создания абсолютно надежных систем 59914.3.1. Разработка качественных критериев и их выбор из условий реализации ... 60014.3.2. Разработка структурной схемы системы 60014.4. Анализ абсолютно надежных технических систем .". 601ГЛАВА 15. ГРАНИЧНЫЕ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ЗАКОНАХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ ЭЛЕМЕНТОВ 60515.1. Класс непараметрических распределений H(r, s) 60615.2. Свойства распределений из класса H(r, s) ^..60915.3. Принадлежность классу H[r, s) некоторых параметрических распределений... 61415.4. Двусторонние ограничения для показателей надежностиневосстанавливаемых систем в классе H(r, s) 61615.4.1. Интервальные оценки среднего времени безотказной работы
нерезервированной и резервированной систем 61615.4.2. Интервальные оценки среднего времени безотказной работы для системс монотонной структурой и элементами из класса H(r, s) 61815.5. Граничные оценки среднего времени безотказной работы монотонных
систем для независимых и однотипных по надежности элементовс функциями распределения из класса H{r, s) 62115.5.1. Интервальные оценки среднего времени безотказной работы 62115.5.2. Нерезервированная система 623
Оглавление1115.5.3. Резервированная система с постоянно включенным резервом 62415.5.4. Мажоритарная система т/п 62515.5.5. Мостиковая система 62615.5.6. Последовательно-параллельная система 62715.6. Некоторые экстремальные задачи при оценке показателей надежностисистем 62815.7. Интервальные средние наработки на отказ восстанавливаемой
дублированной системы 63215.7.1. Резерв замещением : 63215.7.2. Постоянно включенный резерв 63715.7.3. Сравнительная характеристика интервальных средних наработокна отказ дублированной системы с различными типами резервирования 63915.7.4. Интервальные оценки в классе систем с быстрым восстановлением
элементов 64215.8. Функция готовности элемента при неполной информации о законах
распределения 64615.9. Двусторонние оценки коэффициента оперативной готовности в классе
функций ограниченного роста Н{г, 5) ; 64815.10. Определение параметров г и s по статистическим данным об отказах 650ГЛАВА 16. АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ ПРОГРАММНОГО
ОБЕСПЕЧЕНИЯ .....65316.1. Модель работы программы с изменяющимся распределением временидо проявления ошибки 65516.1.1. Режимы функционирования ПО и их математическое описание 655Отсутствие "памяти" 657Наличие "памяти" : 65916.1.2. Временные характеристики эффективности программных средств 66216.1.3. Вероятностные характеристики эффективности ПО 66516.2. Модель чередования интервалов решения задачи и интервалов контроля 66616.2.1. Описание работы системы 66716.2.2. Закон распределения случайной величины ст 66816.2.3. Математическая модель функционирования 66916.2.4. Оценка надежности ПО для стационарного режима 67116.3. Анализ эффективности ПО как системы массового обслуживания 67416.3.1. Описание работы системы 67416.3.2. Отсутствие очереди на обслуживание 677Граф состояний 677Система интегральных уравнений 678Критерий качества системы 67916.3.3. Независимость от предыстории моментов начала решения задачи 68016.4. Учет других особенностей функционирования ПО 684СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .689ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 699
ВВЕДЕНИЕНадежность техники и ее теорияНадежность является одним из самых важных показателей современной тех¬
ники. От нее зависят такие показатели, как качество, эффективность, безо¬
пасность, риск, готовность, живучесть. Техника может быть эффективной
только при условии, если она имеет высокую надежность.Надежность техники определяется при ее проектировании и производстве.
Чтобы создать техническую систему, удовлетворяющую требованиям надеж¬
ности, необходимо уметь рассчитать ее надежность в процессе проектирова¬
ния, знать методы обеспечения высокой надежности и способы их техниче¬
ской реализации. Необходимо также доказать экспериментально, что показа¬
тели надежности спроектированной системы не ниже заданных. И это еще не
все. Нужно также разработать методы, обеспечивающие высокую безотказ¬
ность техники в процессе ее эксплуатации. Все это невозможно реализовать,
если не владеть основами теории надежности. Ее должен знать инженер, про¬
ектирующий технику, инженер-технолог, инженер-эксплуатационщик.Необходимость знания теории надежности широкому кругу специалистов —
одна из особенностей теории надежности как науки и научной дисциплины.Теория надежности — это наука, изучающая закономерности отказов техни¬
ческих объектов. Она изучает:□ критерии и показатели надежности различных видов технических объ¬
ектов;□ методы анализа и синтеза техники по критериям надежности;□ методы обеспечения и повышения надежности техники;□ научные методы эксплуатации, обеспечивающие ее эксплуатационную
надежность.Теория надежности является научной дисциплиной, относящейся к числу
общетехнических дисциплин. Она изучается во всех технических вузах стра¬
ны под разными названиями. На основании теории надежности в специаль¬
14Введениеных технических дисциплинах изучаются вопросы надежности конкретных
технических объектов.Один из законов развития науки гласит: для обеспечения роста производства
необходимо, чтобы скорость роста научных исследований опережала ско¬
рость роста техники, а скорость роста техники опережала скорость роста
производства. Если же роста научных исследований нет, наука о надежности
не будет востребована, то техника не будет высоконадежной. Это мы наблю¬
даем в нашей действительности.Теория надежности как наука и техническая дисциплина имеет ряд особен¬
ностей:□ теория надежности — трудный для изучения, предмет. Это объясняется
широким использованием математики при изучении теории надежности, в
частности таких дисциплин, как теория вероятностей и математическая
статистика, решение интегральных, алгебраических и дифференциальных
уравнений (с постоянными и переменными коэффициентами, линейных и
нелинейных), математическая логика, теория систем массового обслужи¬
вания, элементы теории графов, методы статистического моделирования,
методы оптимизации и многое другое;□ необходимость применения компьютерных технологий решения практи¬
ческих задач;□ случайный характер отказов и восстановлений. Эта особенность приводит
к тому, что любые решения задач надежности имеют вероятностный ха¬
рактер;□ трудность математического моделирования объектов из-за отсутствия дос¬
товерных данных о надежности элементов системы, в частности, данных о
законах распределения отказов и восстановлений;□ трудность, а во многих случаях невозможность статистических испытаний
из-за технических и экономических ограничений;□ сложность современных систем и, как результат, большие размерности
уравнений, решение которых во многих случаях невозможно даже при ис¬
пользовании компьютерных технологий.Эти особенности требуют глубокого изучения теории надежности и серьез¬
ных научных исследований в этой области знаний.Особенности книгиУникальность книги определяется ее научным содержанием, объемом и ме¬
тодикой изложения теории. Далее излагаются основные особенности книги.
Введение15□ Основное внимание уделяется вопросам анализа надежности техники при
законах распределения отказов и восстановления, отличных от экспонен¬
циального, с использованием математического аппарата интегральных
уравнений.□ Наличие большого числа примеров, в которых четко ставится задача и
приводятся результаты ее решения. Само решение отсутствует, т. к. оно
реализуется с помощью компьютерных технологий по программам авто¬
ров, которые в книге не приводятся. Этот недостаток методов расчетов
только кажущийся. Вместе с этой книгой издательство "БХВ-Петербург"
выпустило вторую нашу книгу "Основы теории надежности. Практикум",
в которой описаны компьютерные технологии решения задач надежности.□ Значительное внимание уделяется проблемным вопросам теории и прак¬
тики надежности, а также изложению методов, которые не публиковались
в широкой печати. К таким вопросам относятся следующие:• анализ надежности информационных систем (глава 12);• надежность и риск (глава 13);• абсолютно надежные системы (глава 14);• сравнительный анализ эффективности различных методов введения из¬
быточности (структурной, нагрузочной, временной);• интервальные оценки показателей надежности систем при неполной
информации о законах распределения отказов (глава 15);• топологические методы анализа надежности;• надежность программного обеспечения (глава 16).Для кого эта книгаКнига конкретного адресата не имеет. Это не учебник для студентов, не
сборник инженерных методов расчета показателей надежности в процессе
проектирования техники, не набор инструкций по научным методам эксплуа¬
тации техники с целью поддержания ее высокой надежности.Эта книга для всех, кому нужна теория надежности как наука и научная дис¬
циплина.Ученый в ней найдет проблемы и задачи, решение которых требует серьез¬
ных научных исследований. Научный руководитель и аспирант найдут тема¬
тику диссертационных исследований.Инженер, проектирующий и создающий высоконадежные технические сис¬
темы, изучит методы обеспечения и повышения надежности, их свойства и
16Введениесравнительный анализ, области применения. Инженер по эксплуатации най¬
дет советы по научным методам, обеспечивающим высокую эксплуатацион¬
ную надежность техники.Преподаватель и студент получит пособие по теории надежности.Книга будет полезной также лицам, занимающимся изучением показателей
техники, в которых надежность — лишь один из параметров более общего
показателя. К таким показателям относятся: качество и эффективность, безо¬
пасность и риск, готовность, живучесть и сохраняемость.Надеемся, что книга будет способствовать созданию высоконадежных объек¬
тов техники.
ГЛАВА 1ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ
И ЕЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ
ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ1.1. Теория надежности как наука
и научная дисциплинаТеория надежности— наука, изучающая закономерности отказов техниче¬
ских систем. Основными объектами ее изучения являются:□ критерии надежности технических систем различного назначения;□ методы анализа надежности в процессе проектирования и эксплуатации
технических систем;□ методы синтеза технических систем;□ пути обеспечения и повышения надежности техники;□ научные методы эксплуатации техники, обеспечивающие ее высокую на¬
дежность.Особенности этой дисциплины таковы:□ теория надежности — общетехническая дисциплина;А математическое моделирование — основа изучения дисциплины;□ комплексный характер;□ высокая значимость и глубокая связь с другими техническими пред¬
метами;□ трудность моделирования и изучения процессов, протекающих в сложных
технических системах (в смысле их надежности).Рассмотрим более подробно эти особенности.Процессы, протекающие в сложных технических системах, в смысле их на¬
дежности, закономерны и не зависят от вида техники. Это дает возможность
18Глава 1их изучения общими для любых технических средств методами. Разработан¬
ные в теории надежности методы анализа, синтеза, способы повышения на¬
дежности и научные методы эксплуатации техники являются общими для
любых технических систем. Этим определяется общетехнический характер
теории надежности и ее научность. Особенности отдельных видов техники
изучаются в специальных технических дисциплинах, в которых на основании
общей теории решаются конкретные задачи надежности.Математическое моделирование является основой изучения функционирова¬
ния сложных систем в смысле их надежности. При этом у исследователя воз¬
никают значительные трудности в связи со следующими особенностями ре¬
шаемых задач:П случайный характер явлений;□ многокритериальность;□ высокая размерность уравнений;□ многовариантность;□ необходимость обеспечения высокой точности.Эти особенности требуют применения в процессе моделирования объемного
математического аппарата: теории вероятностей и математической статисти¬
ки, решения алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений,
теории графов, интегральных преобразований, вычислительной математики,
методов оптимизации, статистического моделирования и др.Надежность является важнейшим параметром любой технической системы.
Она во многом определяет такие характеристики системы, как качество, эф¬
фективность, безопасность, живучесть, риск, которые изучаются в специаль¬
ных предметах. Глубокая связь с этими предметами — еще одна особенность
теории надежности как науки.Теория надежности — дисциплина комплексная. В ее разделы входят пред¬
меты, которые могут быть самостоятельными дисциплинами. К ним относят¬
ся:О математическая теория надежности;□ физическая теория надежности ("физика отказов");□ прогнозирование;□ диагностика;□ теория контроля;□ теория восстановления (управление запасами).Надежность техники зависит от многих факторов; критерии и показатели на¬
дежности устанавливаются в зависимости от вида техники и ее применения;
Теория надежности и ее фундаментальные понятий и определения19обеспечение надежности в процессе эксплуатации определяется дисциплиной
обслуживания, квалификацией обслуживающего персонала, экономическими
соображениями. Отсюда ясно, что техника с позиции надежности — это объ¬
ект системного анализа.Любая наука развивается из основных понятий и определений. В теории на¬
дежности такими понятиями являются "надежность" и "отказ". Сформулиру¬
ем эти понятия и дадим им научные определения.1.2. Определение понятия "надежность"Надежностью называется свойство технического объекта сохранять свои
характеристики (параметры) в определенных пределах при данных условиях
эксплуатации.Из этого определения следует, что надежность — понятие объективное, неза¬
висимое от нашего сознания.В природе все, что имеет начало, имеет и конец. В течение жизни объект рас¬
ходует свои ресурсы и, наконец, погибает. Так же происходит и с надеж¬
ностью. Создается техническое средство с определенным ресурсом. В про¬
цессе эксплуатации оно приносит человеку пользу за счет потери этого ре¬
сурса. Оно отказывает (болеет), его ремонтируют (лечат). Этот процесс длит¬
ся до тех пор, пока эксплуатация технического средства целесообразна.Этот процесс и все, что с ним связано (применительно к техническим средст¬
вам), и изучает теория надежности.В литературе и даже в некоторых стандартах приводятся определения поня¬
тия "надежность", существенно отличающиеся по смыслу от сформулирован¬
ного ранее. Иногда это понятие отождествляется с его численной оценкой:
"надежностью называется вероятность безотказной работы системы в течение
времени /". Численные показатели не могут быть определениями физических
явлений, подобные определения ошибочны.Часто понятие "надежность" связывают со временем работы технического
объекта. Следует иметь в виду, что время — лишь аргумент показателей на¬
дежности, такой же, как число элементов системы п, интенсивность отказов
элементов. Манипулируя временем, можно прийти к ложным выводам. Вот
типичный пример. Имеются две системы, их вероятности безотказной работы
имеют значения Рх(100) = 0,95, Р2(200) = 0,92. Какая из систем более надеж¬
на? Очевидный ответ, что первая, т. к. Р{> Р2, ошибочен. В ответе не учтено,
что системы работают разное время. Правильный ответ здесь неизвестен.
Ошибочны также определения, в которых понятие "надежность" трактуется
как совокупность свойств безотказности, ремонтопригодности, сохраняемо¬
20Глава 1сти, долговечности. В подобных определениях содержатся две принципиаль¬
ные ошибки. Во-первых, безотказность, ремонтопригодность и долговечность
не являются физическими свойствами техники. Во-вторых, физическое свой¬
ство не может быть совокупностью других физических свойств. Приведен¬
ные нами определения понятия "надежность" не научны, их часто называют
монтерскими.1.3. Понятие "отказ".
Классификация и характеристики отказовОтказом называется событие, после возникновения которого характеристики
технического объекта (параметры) выходят за допустимые пределы.Это Понятие субъективно, т. к. допуск на параметры объекта устанавливает
пользователь. Вот один из примеров. Математическая система Maple имеет в
своем составе около 3000 функций. Предположим, что перестала функциони¬
ровать одна из них, например функция вычисления логарифма действитель¬
ного числа. Является это отказом компьютера или, вернее, системы Maple
или нет? Ответ здесь не однозначный, субъективный.Отказ— фундаментальное понятие теории надежности. Критерий отказа —
отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым ус¬
танавливается факт возникновения отказа.По типу отказы подразделяются на:□ отказы функционирования, при которых прекращается выполнение объек¬
том основных функций (например, поломка зубьев шестерни);□ отказы параметрические, при которых параметры объекта изменяются в
недопустимых пределах (например, потеря точности измерения напряже¬
ния вольтметром).По своей природе отказы могут быть:□ случайные, обусловленные непредусмотренными перегрузками, дефектами
материала, ошибками персонала, сбоями системы управления и т. п.;□ систематические, обусловленные закономерными явлениями, вызываю¬
щими постепенное накопление повреждений: усталость, износ, старение,
коррозия материалов и т. п.Основными признаками классификации отказов являются:□ характер возникновения;□ причина возникновения;□ последствия отказов;
Теория надежности и ее фундаментальные понятия и определения21□ дальнейшее использование объекта;□ легкость обнаружения;□ время возникновения.Рассмотрим подробнее каждый из классификационных признаков.По характеру возникновения отказы могут быть внезапные, постепенные и
перемежающиеся. Внезапный отказ— это отказ, проявляющийся в резком
(мгновенном) изменении характеристик объекта. Постепенный отказ— от¬
каз, происходящий в результате медленного, постепенного ухудшения харак¬
теристик объекта из-за износа и старения материалов. Внезапные отказы
обычно проявляются в виде механических повреждений элементов (поломки,
пробои изоляции, обрывы и т. п.) и не сопровождаются предварительными
видимыми признаками их приближения. Внезапный отказ характеризуется
независимостью момента наступления от времени предыдущей работы. Пе¬
ремежающимся называется отказ самоустраняющийся (возникающий/исче-
зающий). Типичным примером перемежающегося отказа является сбой ком¬
пьютера.По причине возникновения отказы могут быть конструкционные, производст¬
венные и эксплуатационные. Конструкционный отказ появляется в результа¬
те недостатков и неудачной конструкции объекта. Производственный отказ
связан с ошибками при изготовлении объекта по причине несовершенства
или нарушения технологии. Эксплуатационный отказ вызывается нарушени¬
ем правил эксплуатации объекта.По признаку дальнейшего использования объекта отказы могут быть полные
или частичные. Полный отказ исключает возможность работы объекта до его
устранения. При возникновении частичного отказа объект может частично
использоваться.По признаку легкости обнаружения отказы бывают очевидные (явные) и
скрытые (неявные).По времени возникновения отказы подразделяются на приработочные, возни¬
кающие в начальный период эксплуатации, отказы при нормальной эксплуа¬
тации, износовые отказы, вызванные необратимыми процессами износа де¬
талей, старения материалов и т. п.Анализ сведений об отказах оборудования при эксплуатации сложных систем
показывает, что с течением времени происходит старение элементов и увели¬
чение их отказов, что приводит к значительному росту затрат (материальных,
временных, финансовых) ресурсов. Многолетняя практика эксплуатации
сложных систем показывает, что важной задачей при поддержании объектов
в состоянии работоспособности является организация и проведение техниче¬
ского обслуживания и различных видов ремонтов (восстановлений) элемен¬
22Глава 1тов систем. Исключительно важна проблема продления ресурса стареющих
систем с учетом критериев надежности и уменьшения техногенного риска.1.4. Надежность и сохраняемостьСуществуют технические объекты, основным режимом функционирования
которых является хранение. К таким объектам относятся системы разового
использования, например: системы вооружения, системы с малым коэффици¬
ентом использования, запасные элементы, приборы, устройства, хранящиеся
на складе, и т. п.Понятие "надежность", сформулированное ранее, в полной мере относится и
к таким объектам. Вводится только новое название "сохраняемость".Сохраняемостью называется свойство технического объекта сохранять свои
характеристики (параметры) в процессе хранения.Из этого определения следует, что понятия "надежность" и "сохраняемость"
тождественны. Их отличие лишь в условиях эксплуатации.Критериями и показателями сохраняемости могут быть все критерии и пока¬
затели, применяемые для оценки надежности техники в процессе ее работы.
Однако методы анализа надежности и сохраняемости по этим показателям
существенно различны.В процессе хранения техника не работает. В связи с этим основным видом ее
отказа является отказ постепенный, возникающий вследствие старения мате¬
риалов. Время возникновения такого отказа— величина случайная. Полу¬
чить экспериментальным путем ее распределения чрезвычайно трудно. В свя¬
зи с этим прогнозировать показатели сохраняемости в процессе проектирова¬
ния и создания техники вряд ли возможно.1.5. Терминология теории надежностиНадежность — один из самых важных параметров техники. Ее показатели
необходимы для оценки качества техники, ее эффективности, безотказности,
живучести, риска. Надежность зависит от многих внешних и внутренних
факторов и оценивается многими критериями и показателями. Все это приве¬
ло к появлению в теории надежности большого числа различных терминов и
их определений. Далее приводятся некоторые из них, часто применяемые на
практике и в теории.Элемент — объект (материальный, энергетический, информационный), об¬
ладающий рядом свойств, внутреннее строение (содержание) которого значе¬
ния не имеет.
Теория надежности и ее фундаментальные понятия и определения23В теории надежности под элементом понимают элемент, узел, блок, имею¬
щий показатель надежности, самостоятельно учитываемый при расчете пока¬
зателей надежности системы. Понятия элемента и системы трансформируют¬
ся в зависимости от решаемой задачи. Например, станок при оценке его на¬
дежности рассматривается как система, состоящая из элементов — деталей,
механизмов, узлов и т. п. При оценке надежности технологической линии
станок является элементом системы.Система— совокупность связанных между собой элементов, обладающая
свойством (назначением, функцией), отличным от свойств отдельных ее эле¬
ментов.Практически любой объект с определенной точки зрения может рассматри¬
ваться как система. Системой с точки зрения механики являются, например,
собранная из стержней стрела крана или труба газопровода. Элементами по¬
следней будут ее участки между сварными швами или опорами. Связи в дан¬
ном случае имеют силовой (энергетический) характер— каждый элемент
действует на соседний.Структура системы — взаимосвязи и взаиморасположение составных час¬
тей системы, ее устройство. Расчленение системы на группы элементов мо¬
жет иметь материальную (вещественную), функциональную, алгоритмиче¬
скую и другую основу. Структура сборного моста состоит из его отдельных,
собираемых на месте секций. Грубая структурная схема укажет только эти
секции и порядок их соединения. Последнее и есть связи, которые здесь но¬
сят силовой характер. Пример функциональной структуры — это деление
двигателя внутреннего сгорания на подсистемы питания, смазки, охлажде¬
ния, передачи силового момента.Обычно понятие структура связывают с ее графическим отображением.
В зависимости от связей между элементами различают следующие виды
структур: последовательные, параллельные, с обратной связью, сетевые и
иерархические.Процесс — это набор состояний системы, соответствующий упорядоченному
(непрерывному или дискретному) изменению некоторого параметра, опреде¬
ляющего характеристики (свойства) системы.Процесс изменения системы во времени называется динамикой системы. Па¬
раметрами процесса могут также выступать температура, давление, линейные
и угловые координаты и другие физические величины, которые, однако, сами
зависят от времени.Технический объект в процессе функционирования может находиться в раз¬
личных состояниях, оцениваемых численными показателями. Приведем тер¬
мины состояния объекта и их оценки.
24Глава 1Исправность — состояние объекта, при котором он соответствует всем тре¬
бованиям, установленным нормативно-технической документацией (НТД).Работоспособность — состояние объекта, при котором он способен выпол¬
нять заданные функции, сохраняя значения основных параметров, установ¬
ленных НТД.Основные параметры характеризуют функционирование объекта при выпол¬
нении поставленных задач.Понятие исправности шире, чем понятие работоспособности. Работоспособ¬
ный объект обязан удовлетворять лишь тем требованиям НТД, выполнение
которых обеспечивает нормальное применение объекта по назначению. Та¬
ким образом, если объект неработоспособен, то это свидетельствует о его не¬
исправности. С другой стороны, если объект неисправен, то это не означает,
что он Неработоспособен.Предельное состояние — состояние объекта, при котором его применение по
назначению недопустимо или нецелесообразно. Применение (использование)
объекта по назначению прекращается в следующих случаях:□ при неустранимом нарушении безопасности;□ при неустранимом отклонении величин заданных параметров;□ при недопустимом увеличении эксплуатационных расходов.Для некоторых объектов предельное состояние является последним в его
функционировании, т. е. объект снимается с эксплуатации, для других объек¬
тов — определенной фазой в эксплуатационном графике, требующей прове¬
дения ремонтно-восстановительных работ.В связи с этим, объекты могут быть:□ невосстанавливаемые, для которых работоспособность в случае возник¬
новения отказа не подлежит восстановлению;□ восстанавливаемые, работоспособность которых может быть восстанов¬
лена, в том числе и путем замены.К числу невосстанавливаемых объектов можно отнести, например, подшип¬
ники качения, полупроводниковые изделия, зубчатые колеса и т. п. Объекты,
состоящие из многих элементов, например станок, автомобиль, электронная
аппаратура, являются восстанавливаемыми, поскольку их отказы связаны с
повреждениями одного или немногих элементов, которые могут быть заме¬
нены.В ряде случаев один и тот же объект в зависимости от особенностей, этапов
эксплуатации или назначения может считаться восстанавливаемым или не-
восстанавливаемым.
Теория надежности и ее фундаментальные понятия и определения25Восстановление может быть полностью ограниченным, когда обслуживание
системы производится одной ремонтной единицей, ограниченным, если име¬
ется более одной ремонтной единицы, но при этом может образоваться оче¬
редь на обслуживание вследствие нехватки ремонтных единиц. Восстановле¬
ние может быть неограниченным, если ремонтных единиц достаточно для
одновременного обслуживания всех отказавших элементов.Наработка — продолжительность или объем работы объекта, измеряемые
единицами времени, числом циклов нагружения, километрами пробега и т. п.Наработка до 'отказа — наработка объекта от начала его эксплуатации до
возникновения первого отказа.Наработка между отказами — наработка объекта от окончания восстанов¬
ления его работоспособного состояния после отказа до возникновения сле¬
дующего отказа.Технический ресурс — наработка объекта от начала его эксплуатации (или ее
возобновления после ремонта) до перехода в предельное состояние. Техниче¬
ский ресурс может быть также регламентирован, например, от начала экс¬
плуатации до среднего или капитального ремонта, или от среднего до капи¬
тального ремонта, после которого требуется продление технического ресурса.
Если регламентация отсутствует, то имеется в виду ресурс от начала эксплуа¬
тации до достижения предельного состояния после всех видов ремонтов.Для невосстанавливаемых объектов понятия технического ресурса и наработ¬
ки до отказа совпадают.Назначенный ресурс — суммарная наработка объекта, при достижении кото¬
рой эксплуатация должна быть прекращена независимо от его состояния.Срок службы — календарная продолжительность эксплуатации (в том числе
хранение, ремонт и т. п.) от ее начала до наступления предельного состояния.Для большинства объектов электромеханики в качестве критерия долговеч¬
ности чаще всего используется технический ресурс.Время восстановления работоспособного состояния — продолжительность
восстановления работоспособного состояния объекта.В теории надежности важную роль играют такие понятия, как безотказность,
долговечность, ремонтопригодность, сохраняемость. Часто ошибочно счита¬
ют эти понятия — составляющие надежности и определяют их как физиче¬
ские двойства. Уточним эти понятия.Безотказность — это способность объекта непрерывно сохранять работо¬
способность в течение некоторого времени или некоторой наработки.Часто безотказность отождествляют с понятием "надежность" и характери¬
зуют теми же показателями: вероятностью безотказной работы, средней на¬
26Глава 1работкой до отказа, средней наработкой на отказ, интенсивностью отказов,
параметром потока отказов,Долговечность — способность объекта сохранять работоспособное состояние
до наступления предельного состояния при установленной системе техниче¬
ского обслуживания и ремонта.Долговечность определяется следующими показателями:□ средний ресурс — математическое ожидание технического ресурса;□ гамма-процентный ресурс — наработка, в течение которой объект не дос¬
тигнет предельного состояния с заданной вероятностью у, выраженной
в процентах;П средний срок службы — математическое ожидание срока службы;□ гамма-процентный срок службы — календарная продолжительности от
начала эксплуатации объекта, в течение которой он не достигнет предель¬
ного состояния с заданной вероятностью у, выраженной в процентах.Ремонтопригодность — способность объекта, заключающаяся в его приспо¬
собленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отка¬
зов, поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем про¬
ведения ремонтов и технического обслуживания.К показателям ремонтопригодности относятся вероятность восстановления
работоспособного состояния в течение заданного времени и среднее время
восстановления работоспособного состояния.1.6. Классификация технических системТехнические системы могут быть невоестанавливаемыми и восстанавливае¬
мыми, длительного и короткого времени работы, резервированными и нере¬
зервированными.Техническая система называется невосстанавливаемой (перемонтируемой),
если ее отказ приводит к неустранимым последствиям и систему нельзя ис¬
пользовать по своему назначению. Работа после отказа невосстанавливаемой
системы считается невозможной или нецелесообразной. Типичными приме¬
рами не восстанавливаемых систем являются полупроводниковые приборы,
управляемые снаряды, система управления воздушным судном в процессе
полета и т. п.Под восстанавливаемой (ремонтируемой) понимается система, которая мо¬
жет продолжать выполнение своих функций после устранения отказа, вы¬
звавшего прекращение ее функционирования. Работа восстанавливаемой сис¬
темы после отказа может быть возобновлена в результате проведения необ¬
Теория надежности и ее фундаментальные понятия и определения27ходимых восстановительных работ. При этом под восстановлением системы
понимается не только ремонт тех или иных элементов системы, а также пол¬
ная замена отказавших элементов на новые.Существуют системы смешанного типа, у которых часть элементов может
восстанавливаться, а другая — нет.В зависимости от выполняемых функций различаются системы длительного
существования и системы короткого существования.Резервированием называют способ повышения надежности путем включения
резервных единиц, способных в случае отказа основного устройства выпол¬
нять его функции. Этот метод обладает большими возможностями получения
заданных уровней надежности и имеет широкое практическое применение.Разнообразные методы резервирования и способы включения резерва могут
быть сведены к трем методам: общему, раздельному (поэлементному) и ком¬
бинированному (смешанному) резервированию. Общим называется такое ре¬
зервирование системы, при котором параллельно включаются идентичные
системы. Раздельным называется резервирование системы путем использова¬
ния отдельных резервных устройств. При комбинированном резервировании
в одной и той же системе применяется общее и раздельное резервирование.Отношение числа резервных устройств к числу основных называется крат¬
ностью резервирования. Если это отношение — число целое, то такое резер¬
вирование называется резервированием с целой кратностью, иначе — с дроб¬
ной кратностью.Резервирование может быть с восстановлением, если основные и резервные
элементы ремонтируются в процессе эксплуатации, и без восстановления
в противном случае. Классификация методов резервирования показана на
рис. 1.1.Главными^способами включения резервных устройств при отказах основных
являются следующие:□ постоянное, при котором резервные объекты соединены с основными в
течение всего времени работы;□ замещением, при котором резервные объекты замещают основные только
после отказа последних.При этом в обоих случаях резервные объекты могут находиться в трех режи¬
мах работы:□ нагруженном, при котором резервные объекты находятся в тех же услови¬
ях, что и основные;□ непогруженном, при котором резервные объекты не включены и не могут
отказывать;
28Глава 1Рис. 1.1. Классификация методов резервирования□ облегченном, при котором резервные объекты включены, но работают не
на полную нагрузку, т. е. их надежность в резервном состоянии выше, чем
в рабочем. Однако отказ элементов возможен.
ГЛАВА 2КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ.
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВРЕМЕНИ ДО ОТКАЗА2.1. Что такое критерий
и показатель надежностиКритерием называется признак (мерило), по которому оценивается надеж¬
ность. Например, вероятность безотказной работы P{t), интенсивность отка¬
зов X(t), средняя наработка на отказ Т .Основными характеристиками критериев являются:□ научность;П полнота оценки надежности технического объекта;□ вычисляемость;□ наглядность;□ непротиворечивость иным критериям качества объекта;□ возможность применения для оценки других, более общих показателей
технического объекта (например, эффективность, безопасность, живу¬
честь, риск).Показателем надежности называется численное значение критерия. Напри¬
мер, вероятность безотказной работы в течение 1000 часов равна 0,95, т. е.
Р(1000) = 0,95, или средняя наработка на отказ равна 687 часов, Т = 687 час.Показатели задаются в технических требованиях на изделие, рассчитываются
в процессе проектирования, оцениваются в процессе испытания и эксплуата¬
ции технического объекта.Разработка критериев, методов анализа техники по критериям надежности,
методов испытания и обработки их результатов — это задачи глубоко науч¬
30Гпава 2ные. Расчеты показателей надежности, способы их обеспечения в процессе
проектирования и создания, сбор данных об отказах техники в процессе ис¬
пытания и эксплуатации — это инженерное дело.Надежность является сложным физическим свойством, поэтому не существу¬
ет одного обобщенного критерия и показателя, который бы достаточно полно
характеризовал надежность техники. Только семейство критериев позволяет
оценить надежность сложной технической системы. Выбор критериев зави¬
сит от типа технического объекта, его назначения и требуемой полноты
оценки надежности.Между показателями надежности существуют однозначные математические
зависимости в виде формул. Поэтому при разработке семейства показателей
надежности нельзя их задавать в виде равенств. Например, нельзя формули¬
ровать требования на надежность в таком виде: вероятность безотказной ра¬
боты в течение 150 часов должна быть равна 0,97, а среднее время безотказ¬
ной работы Т = 650 час. Такие требования могут оказаться противоречивыми.Рассмотрим критерии надежности невосстанавливаемых и восстанавливае¬
мых систем.2.2. Критерии надежности
невосстанавливаемых системОтказ элемента является событием случайным, а время Ь, до его возникнове¬
ния — случайной величиной. Основной характеристикой надежности эле¬
мента является функция распределения продолжительности его безотказной
работы F(t) = Р(£, < t) , определенная при t > 0. На ее основе могут быть по¬
лучены следующие показатели надежности невосстанавливаемого элемента:□ P(t) — вероятность его безотказной работы в течение времени t;□ Q(t) = 1 - P(t) — вероятность отказа в течение времени t;□ 7] — среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа);□ /(0 — плотность распределения времени безотказной работы;□ \{t) — интенсивность отказа в момент времени t;□ А(0 — функция ресурса;□ ty — у-процентный ресурс— наработка, в течение которой элемент неУдостигает состояния отказа с вероятностью .
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа31Рассмотрим эти показатели более подробно. Дадим вероятностные и стати¬
стические определения, укажем на их свойства, достоинства и недостатки.Вероятностью-безотказной работы называется вероятность того, что техниче¬
ский объект не откажет в течение времени t или что время £ работы до отка¬
за технического объекта больше времени его функционирования t:Вероятность безотказной работы является убывающей функцией времени,
имеющей следующие свойства:По статистическим данным об отказах, полученным из опыта или эксплуата¬
ции, P(t) определяется следующей статистической оценкой:где N0 — общее число образцов, находящихся на испытании, N(t) — число
исправно работающих образцов в момент времени t, n{t) — число отказав¬
ших образцов в течение времени t. Здесь и далее звездочкой обозначаются
величины, полученные по статистическим данным.Вероятность безотказной работы имеет следующие достоинства:О характеризует надежность во времени, являясь интервальной оценкой;.□ определяет многие важные показатели техники, например эффективность,
безопасность, живучесть, риск;□ сравнительно просто вычисляется и определяется по статистическим дан¬
ным об отказах техники;□ достаточно полно характеризует надежность невосстанавливаемой тех¬
ники.Основной недостаток этого критерия— ограниченность применения. Веро¬
ятность безотказной работы характеризует надежность невосстанавливаемой
техники или восстанавливаемой до первого ее отказа.2.2.1. Вероятность безотказной работы(2.1)О < P(t) < 1, />(0) = 1, Р(+оо) = 0.(2.2)
32Глава 22.2.2. Плотность распределения времени
безотказной работы (частота отказов)*Плотность распределения времени безотказной работы /(/) — это плотность
распределения случайной величины £,. Она наиболее полно характеризует
надежности техники в данный момент (точечная характеристика). По ней
можно определить любой показатель надежности невосстанавливаемой сис¬
темы. В этом основное достоинство плотности распределения времени безот¬
казной работы.Статистически /(/) определяется отношением числа отказавших образцов
техники в единицу времени к числу испытуемых образцов при условии, что
отказавшие образцы не восполняются исправными:где n{t, t + ДО — число отказавших образцов за промежуток времени
[/, t + Аг], N0 — число образцов, первоначально поставленных на испытания.Действительно, т. к. /(/) = Q'{t) = -P'(t), то для малых значений At имеемПусть N(/) — число исправно работающих образцов к моменту времени t,
N(t + At) — число образцов, исправно работающих к моменту 1 + At. По¬
сколькучто совпадает с выражением (2.3), т. к. N(t) - N(t + At) = n(t, t + At).2.2.3. Интенсивность отказовИнтенсивностью отказов называется отношение плотности распределения
к вероятности безотказной работы объекта:, л(М + Д0
N0At(2.3), P{t) - P{t + At)то♦ N{t)-Nit + At)
N0At(2-4)
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа33Статистически интенсивность отказов есть отношение числа отказавших об¬
разцов техники в единицу времени к среднему числу образцов, исправно ра¬
ботающих на интервале [/, t + А/]:где Ncp(t) = ——— — среднее число исправно работающих образ-N(t) + N(t + At)2цов на интервале [/, t + А/]. Соотношение (2.5) для малых At следует непо¬
средственно из (2.2) и (2.3).На основе определения интенсивности отказов (2.4) имеет место равенство= (2.6)
Р{ ОИнтегрируя (2.6), получимt\\(t)dt = -\nP{t),оилиArndtP(t) = e 0Интенсивность отказов X(t) является основным показателем надежности
элементов сложных систем. Это объясняется следующими обстоятельствами:□ надежность многих элементов можно оценить одним числом, т. к. интен¬
сивность отказа элементов — величина постоянная;□ по известной интенсивности X(t) наиболее просто оценить остальные по¬
казатели надежности как элементов, так и сложных систем;□ k(t) обладает хорошей наглядностью;□ интенсивность отказов нетрудно получить экспериментально.Опыт эксплуатации сложных систем показывает, что изменение интенсивно¬
сти отказов k(t) большого количества объектов описывается {У-образной
кривой (рис. 2.1).Время можно условно разделить на три характерных участка:1. Период приработки.2. Период нормальной эксплуатации.3. Период старения объекта.2 Зак. 3094
34Гпава 2X(t), время 1УПериод Период нормальной Периодприработки' эксплуатации старенияОРис. 2.1. (7-образный вид кривой интенсивности отказовПериод приработки объекта имеет повышенную интенсивность отказов, вы¬
званную приработочными отказами, обусловленными дефектами производст¬
ва, монтажа и наладки. Иногда с окончанием этого периода связывают гаран¬
тийное обслуживание объекта, когда устранение отказов производится изго¬
товителем. В период нормальной эксплуатации интенсивность отказов
практически остается постоянной, при этом отказы носят случайный характер
и появляются внезапно, прежде всего из-за случайных изменений нагрузки,
несоблюдения условий эксплуатации, неблагоприятных внешних факторов и
т. п. Именно этот период соответствует основному времени эксплуатации
объекта. Возрастание интенсивности отказов относится к периоду старения
объекта и вызвано увеличением числа отказов из-за износа, старения и дру¬
гих причин, связанных с длительной эксплуатацией.Средним временем безотказной работы 7J называется математическое ожи¬
дание времени безотказной работы технического объекта:По статистическим данным об отказах 7] определяется следующей зависи¬
мостью:2.2.4. Среднее время безотказной работыТХ=М(£).(2.7)(2.8)где N0 — число испытуемых образцов техники, — время безотказной ра¬
боты /-го образца.
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа35Как математическое ожидание случайной величины с плотностью f(t),
среднее время безотказной работы вычисляется по формуле:Т\ = °\tf{t)dt. (2.9)оИнтегрируя (2.9) по частям, получимГ, = \f(l)dt = -\tP\t)dt = ~tP(t)\™ + ]p(t)dt.0 0 оПервое слагаемое равно нулю, т. к. Р(0) = 1, Р(+оо) = 0, и тогда выражениедля 7} будет иметь вид:007] = \P(t)dt. (2.10)оСреднее время безотказной работы является интегральным показателем на¬
дежности. Его основное достоинство— высокая наглядность. Недостаток
этого показателя в том, что он, будучи интегральным, характеризует надеж¬
ность техники длительного времени работы.Итак, между показателями надежности существуют следующие зависимости:p{t)=m=\-F{t), (2.11)
-}мо<*P(t) = e 0 =<ГЛ(/), (2.12)f{t) = -P\t), (2.13)P{t)^\f{t)dt^\f{x + t)dx, (2.14)t оЦ() = 1Ш (2.15)P(t)Т\ = °\P(t)dt = °^tf(t)dt, (2.16)о оtЛ(0 = - In P(t) = jk(x)dx, (2.17)оP(ty) = Т~. (2-18)100
36Гпава 2ПРИМЕР 2.1. На испытании находилось jV0 = 100 образцов техники. Данные
об их отказах приведены в первых трех строках табл. 2.1.Таблица 2.1. Исходные данные об отказахИнтервал, час0—100100—
200200—300300—400400—500500—600600—700700—800Длина At, час100100100100100100100100Число
отказавших
образцов
n(t, t + At)12132213P{t)0,990,970,960,930,910,890,880,85ДО-КГ4, час'112132213Я#)'КГ4, час-11,012,031,043,172,202,221,123,47Необходимо вычислить показатели надежности: P(t), f(t), М0> Тх.Решение. Вычислим P(t). Будем иметь в виду, что нам достоверно неизвес¬
тен момент отказа на промежутке длины At. Поэтому будем предполагать,
что отказы происходят в середине этого промежутка, т. е. в моменты време¬
ни: t = 50, 150, 250 и т. д. На первом интервале произошел один отказ. Тогда
согласно (2.2) вероятность безотказной работы будет:На втором участке произошло 2 отказа, а всего за два периода длины At —
3 отказа. ТогдаРезультаты расчетов приведены в четвертой строке табл. 2.1.
Вычисления значений /(t) выполним по формуле (2.3):
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа37и т. д. В данном случае число отказов на промежутке длины At не суммиру¬
ется с числом отказов на предыдущих участках, т. к. функция /(/) является
точечной. Результаты расчетов приведены в пятой строке табл. 2.1.Вычислим значения X(t), воспользовавшись выражением (2.5). На первом
участке произошел один отказ, при этом в начале участка число исправных
образцов Щ0) = N0= 100, а в конце участка N(100) = N0 -1 =99. Тогда2Аналогично на втором участке^150>= = 2,03 10-* час'1- - • 1002и т. д. Значения X(t) приведены в последней строке табл. 2.1.Вычислим среднее время безотказной работы по формуле (2.8):„ 1 £ 1-50 + 2-150 + 1- 250 + 3 • 350 + 2 ■ 450 + 2 • 550 +1 • 650 + 3 • 750' 'Nh‘‘ 15 == 437 час.В данном случае испытания закончены при отказе 15 из 100 образцов.Очевидно, что полученный результат существенно ниже действительного
значения среднего времени безотказной работы как математического ожида¬
ния случайной величины.2.3. Критерии надежности
восстанавливаемых системПоказателями надежности восстанавливаемых элементов и систем могут
быть также показатели надежности невосстанавливаемых элементов. Это
имеет место в тех случаях, когда система, в состав которой входит элемент,
является неремонтируемой по условиям ее работы (необитаемый космиче¬
ский аппарат, аппаратура, работающая в агрессивных средах, самолет в про¬
цессе полета, отсутствие запчастей для ремонта и т. п.). Надежность восста¬
навливаемых объектов оценивают следующими показателями:ПТ — среднее время работы между отказами (средняя наработка на отказ);□ Гв — среднее время восстановления;
38Глава 2□ со(0 — параметр потока отказов;□ Kr(t) — функция готовности — вероятность того, что система исправна в
момент t;□ Кп (/) — функция простоя— вероятность того, что в момент t система
неисправна и восстанавливается;□ Кг — коэффициент готовности— вероятность того, что система будет
исправной при длительной эксплуатации (стационарный режим);□ Кп — коэффициент простоя — вероятность того, что система будет неис¬
правной при длительной эксплуатации.Рассмотрим эти показатели несколько подробнее.2.3.1. Среднее время работы между отказами
и среднее время восстановленияСреднее время между отказами Т определяется отношением средней сум¬
марной наработки к среднему числу отказов при длительной работе объекта.
Среднее время восстановления Тв определяется отношением среднего сум¬
марного времени восстановления к среднему числу восстановлений при дли¬
тельной работе объекта. Данные определения обсуждаются далее в разд. 2.6.По статистическим данным среднее время между отказами вычисляется по
формуле:* 1 N°Г= —ЕЛ, (2-19)/=1где — время между отказами /-го образца, полученное при условии, что
испытания ведутся с восстановлением отказавших образцов техники или их
заменой. В этом случае число испытуемых образцов техники N0 остается
постоянным.2.3.2. Параметр потока отказовПараметром потока отказов со(() называется производная (скорость измене¬
ния) среднего числа отказов объекта в момент t.Статистически параметр потока отказов определяется как отношение числа
отказавших образцов техники в единицу времени к числу образцов, постав¬
ленных на испытание при условии, что отказавшие образцы заменяются ис¬
правными или отремонтированными:
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа39(2.20)где n(t, t + АО — число отказавших образцов за промежуток времени
[/, t + А/], Лц — число образцов, первоначально поставленных на испытания.Параметр потока отказов обладает следующими свойствами:□ в случае экспоненциального закона времени работы объекта (см. разд. 2.4)
с параметром X и мгновенного восстановления со(/) = А,;□ при мгновенном восстановлении предел, к которому стремится параметр
потока отказов при t -> оо, равен величине, обратной среднему временибезотказной работы, т. е. lim со(/) = — ;/-*00 Т□ при мгновенном восстановлении параметр потока отказов и плотность
распределения времени до отказа связаны следующим интегральным
уравнением Вольтерра второго рода:Это уравнение устанавливает зависимость между показателями надежно¬
сти восстанавливаемой и невосстанавливаемой техники. Оно позволяет
определить по статистическим данным об отказах восстанавливаемой тех¬
ники в процессе ее эксплуатации показатели надежности невосстанавли¬
ваемой техники (см. гл. 11).ПРИМЕР 2.2. Время до отказа объекта имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием Т = 1000 час и средним квадратическим откло¬
нением о = 300 час. Привести графическую иллюстрацию плотности распре¬
деления /(0 и параметра потока отказов сo(t).Решение. Графики функций изображены на рис. 2.2. Параметр потока отка¬
зов co(t) получен путем численного решения уравнения Вольтерра.Для относительно небольшого времени функционирования объекта параметр
потока отказов близок к плотности распределения, но при длительной работе
плотность распределения стремится к нулю, тогда как параметр потока отка¬
зов приближается к своему стационарному значению, равному — = 0,001 час-1./ю(0 = /(0 + /со(т)/(/ - x)dx.оТ
40Глава 2Рис. 2.2. Графики плотности распределения ДО и параметра потока отказов <а(/)2.3.3. Функция готовности и функция простояФункцией готовности Kr(t) называется вероятность того, что восстанавли¬
ваемая система исправна в момент времени t.Функцией простоя Kn(t) называется вероятность того, что в момент времени
t система находится в отказовом состоянии (в ремонте).Приведем основные зависимости между введенными показателями:Кг(0 + Кп(0 = \, (2.21)г Т v - Т"г гг . гг 9 Л-пТ + Т1 " т + твв в (2.22)Кг = lim Kr(t), Кп = lim Kn(t)./-+00 /->00Данные показатели являются наиболее важными для восстанавливаемых
элементов и систем. Другие, более специфические показатели, их определе¬
ния и расчетные соотношения будут приведены в разд. 2.6.
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа412.4. Законы распределения
времени до отказа, наиболее часто
используемые в теории надежностиПриведем наиболее часто используемые в теории надежности параметриче¬
ские семейства распределений случайной величины т. е. распределений,
зависящих от одного или нескольких параметров.ФункцияF(t) = 1 - e~kt при t > Озадает экспоненциальное (или показательное) распределение. Экспоненци¬
альным законом распределения можно аппроксимировать время безотказной
работы большого числа элементов. В первую очередь это относится к эле¬
ментам радиоэлектронной аппаратуры, а также к машинам, эксплуатируемым
в период после окончания приработки и до существенного проявления посте¬
пенных отказов. Экспоненциальное распределение применяется в областях,
связанных с "временем жизни": в медицине— продолжительность жизни
больных, в надежности — продолжительность безотказной работы устройст¬
ва, в психологии — время, затраченное на выполнение тестовых задач. Оно
используется в задачах массового обслуживания, в которых речь идет об ин¬
тервалах времени между телефонными звонками, или между моментами по¬
ступления техники в ремонтную мастерскую, или между моментами обраще¬
ния клиентов.Это распределение имеет один параметр X-—, где Тх — средняя наработкат\элемента до отказа. Таким образом, параметр X характеризует число отказов
элемента в единицу времени и называется интенсивностью отказов, он имеет
размерность (время)-1, например, час"1 или лет-1. Плотность экспоненциаль¬
ного распределения задается как:m=xe~xt.Функция надежностиP(t) = е~Х1определяет вероятность безотказной работы за время t (рис. 2.3).В данном случае интенсивность отказов есть величина постоянная X(t) - X.
Функция ресурса для экспоненциального распределения является линейной
Л(/) = Xt.
42Глава 2Величина у-процентного ресурса определяется по формулет
10,8
0,6
0,4
0,2
00 20 40 60 80 t, часРис. 2.3. Функция надежности при А. = 0,02 час'1ПРИМЕР 2.3. Время безотказной работы элемента подчинено экспоненци¬
альному распределению с параметром к = 0,02 час"’. Найти вероятность того,
что элемент проработает безотказно в течение 10 часов и в течение 50 часов.Решение. Используя функцию надежности P(t) = e~fd, получимР(10) = е~0’02'10 = е~0'2 = 0,8187,Р( 50) = е-0’02'50 = е~\ - 0,3679.Экспоненциальное распределение выделяется среди других распределений
свойством "отсутствия памяти". Пусть X — время службы некоторого из¬
делия с экспоненциальным законом распределения. "Отсутствие памяти" оз¬
начает, что изделие, проработавшее время t, имеет такое же распределение,
что и новое, только что начавшее работу. Математически это свойство выра¬
жается в виде следующего равенства:Р(Х > t + х/Х > 0 = Р(Х > х)Iдля любых t, х > 0. Данное свойство как бы исключает износ и старение из¬
делия.t =~ In- -
у Я. 100
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа43Числовые характеристики экспоненциального распределения выражаютсячерез его параметр: математическое ожидание М(Х) = —, дисперсияА,D{X) = Дг, среднее квадратическое отклонение о(Х) = — .X А.Итак, при экспоненциальном законе отказов, на основании формул (2.11)—
(2.18), между показателями надежности невосстанавливаемых систем суще¬
ствуют следующие зависимости:P{t) = e~Xt, Г = |, f{t) = Xe~u.КДля характеристики постепенных отказов обычно используют другие законы
распределения.Нормальное распределение (распределение Гаусса) определяется плотностьюI ('-"О2f(t) = —т=е 2°2 , -со <t <+оо
а\/2пи зависит от двух параметров m и ст, которые являются соответственно ма¬
тематическим ожиданием и средним квадратическим отклонением времени
безотказной работы элемента. График плотности нормального распределения
(кривая Гаусса) изображена на рис. 2.4.Рис. 2.4. Плотность нормального распределения с параметрами m = 80 час, ст = 20 час
44Гпава 2Согласно закону больших чисел, распределение всегда подчиняется нор¬
мальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние
многие примерно равнозначные факторы. Нормальному распределению под¬
чиняются ошибки измерения деталей, дальность полета снарядов и т. п. При
большом времени работы элемента и наличии восстановления среднее число
отказов имеет асимптотически нормальное распределение.Для нормального распределения функция надежности вычисляется по фор¬
муле:' t — mСО J (*-"0 /,P(0=J—-j=e 2°2 dx = 0,5-Ф0
, ctv 2 яI _5где Ф0(/) = —т= fe 2 dx— функция Лапласа, значения которой сведеныV 2п оов таблицы.ПРИМЕР 2.4. Время безотказной работы элемента подчинено нормальному
распределению с параметрами т = 80 час и ст = 20 час. Найти вероятность
того, что элемент проработает безотказно в течение 60 часов.Решение. Так как для нормального распределения функция надежности
равнаР(/) = 0,5-Ф0тоР{Щ = 0,5 -Ф0 = 0,5 -Ф0(-1) = 0,5 + Ф0(1) = 0,8413 .Отметим важное свойство нормального распределения: сумма независимых
случайных величин, имеющих нормальное распределение, также распределе¬
на по нормальному закону. При этом параметры суммы выражаются через
параметры слагаемых, а именно: математическое ожидание суммы равно
сумме математических ожиданий, дисперсия суммы равна сумме дисперсий.На рис. 2.5 представлены графики интенсивности отказов X(t) для следую¬
щих параметров нормального распределения:От- 200 час и ст = 100 час (кривая 1);□ т = 200 час и ст = 80 час (кривая 2).
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа45Рис. 2.5. Интенсивность отказов для нормального распределения при разных параметрахУсеченное нормальное распределение получается из нормального при огра¬
ничении интервала изменения случайной величины на промежуток [0, + оо).
Плотность распределения записывается так же, как для нормального распре¬
деления, но с коэффициентом пропорциональности с :(t-mо)2С/(0 =сУо"^2тгУсеченное нормальное распределение зависит от двух параметров т0 и ст0,
где т0 — значение случайной величины, соответствующее максимальному
значению fit) и называемое модой. Коэффициент с определяется из усло¬
вия нормировки:откудас = ■10,5 + Ф0Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение усеченного
нормального распределения определяются через параметры т0 и ст0 по
формулам:
46Глава 2где к--т=-те 2а°
ы2пВ логарифмически нормальном распределении логарифм случайной величи¬
ны подчиняется нормальному закону с плотностью:где ц и j — параметры распределения. Математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение определяются в соответствии с формулами:Логарифмически нормальное распределение применяют, например, для опи¬
сания наработки подшипников качения. Вообще, оно удобно для описания
случайных величин, представляющих собой произведение достаточно боль¬
шого числа случайных величин, подобно тому, как нормальное распределе¬
ние описывает сумму большого числа случайных величин.Распределение Вейбулла является достаточно универсальным, благодаря воз¬
можности варьирования двух его параметров. Оно характеризуется плот¬
ностью распределения вероятностей:с параметром формы а и параметром масштаба р. Математическое ожида¬
ние и среднее квадратическое отклонение выражаются через эти параметры
следующим образом:Вейбулла объясняется следующим: при а = 1 распределение превращается в
экспоненциальное; при а<1 функции плотности и интенсивности отказов
убывающие; при а > 1 интенсивность отказов возрастающая; при а = 2гдеm = РГ(1 + 1/а) , а = Р^/Г(1 + 2/а) -Г2(1 + 1/а) ,1 „е dx — гамма-функция. Универсальность распределенияо
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа47функция А.(О линейная и распределение Вейбулла превращается в распреде¬
ление Рэлея с плотностью:m = 2-kte-xt\при а = 3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному. Наряду с лога¬
рифмически нормальным распределением, оно хорошо описывает наработку
деталей по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников, а
также используется для оценки надежности деталей и узлов машин, в част¬
ности автомобилей, подъемно-транспортных и других машин.Зависимости между показателями надежности в случае распределения Вей¬
булла имеют вид:/>(0 = Лр) , 7i=pr|l + ij, X = pta~l.На рис. 2.6 представлены графики интенсивности отказов X(t) для следую¬
щих параметров распределения Вейбулла:□ а = 2 и Р = 200 час (кривая 1);□ а = 3 и Р = 200 час (кривая 2).Рис. 2.6. Интенсивность отказов для распределения Вейбулла при разных параметрах
Галша-распределение имеет плотность:
48Глава 2с параметрами аир. Математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение связаны с этими параметрами соотношениями:т = ар, ст = >/ар.Вероятность безотказной работы элемента, имеющего гамма-распределение,
выражается через интеграл® а-1 _£P(t) = Г— е рdx.i Р“Г(а)Параметр а, характеризующий асимметрию гамма-распределения, опреде¬
ляет вид характеристик надежности. При а > 1 интенсивность отказа возрас¬
тает, при а < 1 убывает, а при а = 1 становится постоянной, т. е. гамма-
распределение превращается в экспоненциальное.При целом а гамма-распределение называется распределением Эрланга по¬
рядка а . Сумма а случайных величин, имеющих экспоненциальное распре¬
деление с параметром X, имеет распределение Эрланга с параметрами а иР = —. Вероятность безотказной работы элемента, имеющего распределение
XЭрланга, равнаа-1 #' ~/=0/!РЗависимости между показателями надежности в случае гамма-распределения
имеют вид:-i-d-1 А .а-1Р(0 = е —, Т = ар, Х = W "о/.ч’ а-1nR'/l а-1.=°Pl. par(a)£_L_/=оР'/!Смесь распределений определяется как линейная комбинация других распре¬
делений, например распределение с плотностью" -ht/(0 = Zc,Vv,/=1где Xе/ =Ь образует смесь и экспоненциальных распределений. Такое рас-<=1пределение называется гиперэкспоненциальным.
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа49Смесь гамма-распределенийn fa/-l яДО - I с, — е р' при условии X с,,=1 р,Т(а,) ,=1= 1образует плотность обобщенного гамма-распределения и т. п.Перечень полезных параметрических распределений можно продолжить. На¬
пример, если параметр А экспоненциального распределения является слу¬
чайной величиной, имеющей гамма-распределение с параметрами а и (3, то
в результате получается семейство распределений Парето с плотностью:/(0 =—-—•0 + Р0“При расчете надежности ряда изделий (рессор, подшипников и т. п.) приме¬
няют семейства распределений с дополнительным параметром сдвига или
смещения. Так обобщением распределения Вейбулла является трехпарамет¬
рическое семейство распределений с плотностью:Д0 =a-lt-t0РР“, при t>t0;О,при t<t0.Параметр сдвига t0 интерпретируется как гарантированное время безотказ¬
ной работы.Если элемент имеет перерывы в работе, то закон распределения времени до
его отказа изменяется. Пусть F0(t) — вероятность безотказной работы эле¬
мента, если бы он работал непрерывно. Предположим далее, что на непересе-
кающихся интервалах \ak; А* ], k = 1, 2,..., п элемент простаивает, причемвремя простоя не влияет на его надежность. Тогда вероятность безотказной
работы элемента при наличии интервалов простоя характеризуется парамет¬
рами смещения и выражается равенством:F{t) =к-1 *-1
1=1 /=1V
(кпри bk_\ <t <ak, к = \, 2,..., и+ 1;к-11чс=1 (=i
Здесь принято, что Ь0 = О , а„+1 = со .при ak<t<bk, к = 1,2,, п.
50Глава 2ПРИМЕР 2.5. Предположим, что график вероятности безотказной работы
элемента у = F0(t) имеет вид, изображенный на рис. 2.4. Пусть этот элемент
работает только на временных интервалах [0; 10], [30; 40], [60; 70],..., а на
остальных интервалах элемент простаивает. Требуется определить вероят¬
ность безотказной работы элемента у = F(t) с учетом простоя.Решение. График искомой функции y = F(t) изображен на рис. 2.7. На ин¬
тервалах простоя вероятность безотказной работы не уменьшается (функция
постоянна), а на интервалах простоя график у = F0 (/) смещается вправо на
величину, равную суммарному времени простоя элемента.Рис. 2.7. Закон распределения времени до отказа при наличии перерывов в работеЗаметим, что интервалы простоя могут быть как детерминированными, так и
случайными. В последнем случае необходима информация о законах распре¬
деления ак и Ьк. Учет перерывов в работе элементов может существенно
повлиять на надежность системы, образованной этими элементами.2.5. Преобразование ЛапласаМногие числовые показатели надежности элементов и систем выражаются
через функции типа свертки или бесконечными рядами, члены которых яв¬
ляются свертками функций. Для исследования таких показателей большую
помощь может оказать преобразование Лапласа. Оно удобно также при рас¬
четах предельных значений функций, лежит в основе операционного метода
решения дифференциальных уравнений и систем. Преобразование Лапласа
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа51позволяет преобразовать любую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений в систему линейных алгебраических уравнений.Пусть функция /(/) кусочно-непрерывна при ^0 и имеет ограниченный
рост, т. е.\т\йСем,где С и а — некоторые постоянные. Тогда она называется оригиналом, а
функция+0°/(*)= J f(t)e~zldtо— ее изображением. Переход от оригинала к изображению называется пре¬
образованием Лапласа, а переход от изображения к соответствующему ори¬
гиналу — обратным преобразованием Лапласа. В дальнейшем вместо f(z)
будем иногда писать f(s).Перечислим некоторые полезные свойства преобразования Лапласа.1. Изображение линейной комбинации функций равно линейной комбинацииП А Пизображений: если f(t) = (/), то /(г) = Y*ciMz) •/=1 ; = 12. Изображением производной /'(/) является функция zf(z)-f(0).3. Изображение свертки функций равно произведению изображений сомно-А Ажителей: если h(t) = то h(z) = f(z)g(z).4. При вычислении предельных значений функций можно использовать ра-Авенство lim /(/) = lim zf(z). Заметим, что данное свойство не всегда вер-/->оо г->0но. Так, например, если /(/) представляет собой сумму 5-функций, т. е.00/(/) = Y, &кт(0 > т0 предел вообще не существует. Однако:к=0lim zf (z) = lim —7-=- = —.
z_»0 o\-e~Tz T5. Если f(t) — плотность распределения вероятностей неотрицательнойслучайной величины X, то ее изображение f(z) удовлетворяет соотно¬
шениям:
52Глава 2/<*>(0)= \{-t)kf(t)dt.В частности, /(0) = 1, /'(0) = -Т, /"(0) = а2 , где Т — математическое
ожидание, а а2 — второй начальный момент случайной величины X .Решение системы алгебраических уравнений, полученной по системе линей¬
ных дифференциальных уравнений, образуют дробно-рациональные функции
вида2.6. Специальные показатели надежности
элементов и систем2.6.1. Показатели надежности элементаРаботу восстанавливаемого элемента с двумя состояниями можно предста¬
вить в виде последовательности интервалов исправной работы %к и интерва¬
лов восстановления щ, чередующихся друг за другом, как показано на
рис. 2.8.причем т<п. Если знаменатель дроби N{z) имеет только простые корни
2,,Zi,..., z„, то оригинал определяется равенствомЕсли знаменатель дроби N(z) имеет кратные корни: zx кратности rx, z2
кратности г2,..., zk кратности гк (гх +г2 + ... + гк =п), то оригинал определя¬
ется равенствомгде коэффициенты Ау находятся по формулам:
Критерии надежности, Законы распределения времени до отказа53Рис. 2.8. Временная диаграмма восстанавливаемого элементаПредположим, что случайные величины Ъ,к и г\к независимы и имеют плот¬
ности fk(t) и gk(t) соответственно. Обозначим через Fk(t) и Gk(t) функ-к кции распределения сумм и ^ Г|, соответственно, а через Fk г(() —/=1 <=1к Iфункцию распределения суммы случайных величин V ^ + ]Г Г|#. Предполо-(=1 /=1жим также, что F0(f) = G0(t) = 1.Рассмотрим следующие случайные процессы C,(t) и С,Я(1), равные соответст¬
венно числу отказов и числу восстановлений элемента за время [0; /]. Это
дискретные случайные процессы с непрерывным временем. Обозначим через
M{t) = М(^(/)) и Мв (t) = M(ClB (t)) их математические ожидания (в предпо¬
ложении, что они существуют). Функции M(t) и Ma(t) характеризуют сред¬
нее число отказов и среднее число восстановлений элемента за время [0; t\.
Если в момент времени t = О элемент был исправен, то очевидно, что
M(t) > Мв (/) для любого t.Определим скорости изменения среднего числа отказов со(/) = М'Щ и сред¬
него числа восстановлений (x>B(t) = . Функции со(/) и сов(0 называются
параметрами потоков отказов и восстановлений соответственно. Принимая во
внимание, что М(0) = Мв(0) = 0, получимМ(?) = |<о(т>/т , Мв(0 = JcoB(x)cft; .
о оРассмотрим случайный процесс х(0> как суммарное время работы (наработ¬
ка) элемента, и случайный процесс у_в(/), как суммарное время восстановле¬
ния элемента за время [0; /]. Это есть непрерывные случайные процессы с
непрерывным временем (на самом деле функции распределения в одной точ¬
ке терпят разрыв). Обозначим через m(t) = и mh(t) = —ма¬
54Гmm 2тематические ожидания этих случайных процессов. Функции m{t) и mB(t)
показывают среднюю наработку и среднее суммарное время восстановления
элемента в течение времени [0; /]. Функция готовности Kr(t) и функция
простоя K„(t) элемента определяются как вероятности того, что в момент t
элемент находится в состоянии работоспособности и в состоянии восстанов¬
ления. Далее в этом разделе будет показано, что Kr(t) = m'(t), Kn(t) = m's{t).Разделив среднюю наработку на среднее число отказов элемента за время
j 0; /], получим среднее время работы элемента между отказами, или нара¬
ботку на отказ. Тогда среднее время работы элемента между отказами в тече¬
ние времени [0;/] определится отношением:Г(/)=т<')M(t)Аналогично определяется среднее время восстановления элемента в течение
времени [0; г], как отношение среднего суммарного времени восстановления
элемента на среднее число восстановлений:М,«)Интенсивности потоков отказов и восстановлений в момент t определим ра¬
венствами®(0 1|ГЛ ®в(0т~КЛ,У АГ„(0’Получим представление введенных характеристик через плотности и функ¬
ции распределения случайных величин и г\к .Любое сечение случайного процесса £,(t) есть случайная величина дискрет¬
ного типа с возможными значениями к = 0,1,2,... и вероятностями рк(t).
Поскольку РкО) — вероятность того, что за время [0; l] произошло ровно к
отказов, тогPk(t)=pк *~1 &+1 к
y/=i i=i /=1 ;=1- ^к,к~\ (0 - Fk+l,k (0 •
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа55Поэтому математическое ожидание случайной величины C,(t) равнооткуда(2.23)Параметры потоков со(t) и coB(t) были определены как производные от ма¬
тематических ожиданий числа отказов и числа восстановлений элемента за
промежуток времени [0; I j. Дадим теперь иное, локальное в некотором смыс¬
ле, но эквивалентное первоначальному, определение этих параметров.Пусть p(t, t + At) — вероятность отказа элемента за время [/; t + А?], а
pb(t, t + ДО — вероятность того, что за промежуток времени [/; t + А/] эле¬
мент будет восстановлен. Тогдат. е. параметры потоков отказов и восстановлений равны соответственно ве¬
роятностям отказа и восстановления за малый промежуток времени, отнесен¬
ным к длине этого промежутка. Эквивалентность определений видна из сле¬
дующих соотношений:Аналогично для случайного процесса (0 математическое ожидание равно(2.24)
56Гпава 2Из этих формул следует, что интенсивность потока отказов есть вероятность
отказа за малый промежуток времени [/; / + Д/] при условии, что в момент tэлемент находится в исправном состоянии, отнесенная к длине этого проме¬
жутка. Интенсивность потока восстановлений есть вероятность восстановле¬
ния в течение времени [/; t + А/] при условии, что в момент t элемент нахо¬
дится в состоянии восстановления, отнесенная к длине этого промежутка.
Перейдем к изучению случайных процессов х(0 и Хв(0 • Рассмотрим слу¬
чайный процесс х(0 > равный суммарному времени работы элемента в тече¬
ние времени [0; /]. Зафиксируем момент времени t0 и найдем закон распре¬
деления случайной величины х(Уо ) •Пусть F(t) — функция распределения случайной величины x(t0) ■ Очевидно,
что F(t) = О при t < 0 и F(t) = 1 при t>t0. Из временной диаграммы, изо¬
браженной на рис. 2.8, следует, что при 0 < t < t0Используя (2.12), получим:что и доказывает равносильность двух определений функции со(t). Подобные
рассуждения справедливы и для функции сов (/).Из определения интенсивностей потоков отказов и восстановлений, а также
из равенств (2.24) получаются следующие выражения для Х(() и со(t) :
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа57График функции F(() представлен на рис. 2.9.Рис. 2.9. Закон распределения случайной величины x(h)Функция F(t) имеет в точке /0 разрыв, поскольку F(t0 -0) = Fl(t0), и вели¬
чина скачка равна 1 - F| (;0). Вычислим математическое ожидание случайной
величины х(/о) ■ Д™ случайной величины смешанного типаИз принятых ранее обозначений следует, чтоПреобразуя эти выражения, получимТаким образом, средняя суммарная наработка системы за время [0; / ] равна(2.25)
58Глава 2Рассмотрим случайный процесс хв(0> равный суммарному времени восста¬
новления элемента в течение времени [0; /]. Можно показать, что при
0</</0 закон распределения случайной величины Хв(*о) характеризуется
функцией распределенияРис. 2.10. Закон распределения случайной величины х»(*о)Математическое ожидание случайной величины %в(/0) равноСкладывая ряды (2.25) и (2.26), убеждаемся в том, что m(t) + mB(t) = t.
Вычислим функции готовности и простоя. Очевидно, что(2.26)Полученная зависимость иллюстрируется графиком на рис. 2.10.и, значит, среднее суммарное время восстановления элемента за время [0; /]
составляет
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа59где Pk{t) — вероятность того, что момент времени t приходится на к-й ин¬
тервал исправной работы элемента. ПосколькуТО(2.27)— вероятность безотказной работы элемента в течение(2.31)(2.30)(2.29)(2.28)Для функций готовности и простоя из (2.27) и (2.28) будем иметьоткуда следуют зависимостиВ частности, если законы распределения времени исправной работы на каж¬
дом интервале одинаковы и имеют плотность /(/), а законы распределения
времени восстановления имеют плотность g(t), то соотношения для введен¬
ных характеристик можно записать в более компактном виде. Будем обозна¬
чать через f*{K} ^-кратную свертку функции / . Тогда из (2.23) получим сле¬
дующие выражения для параметров потоков:Дифференцируя функции m(t) и тв ({) и сравнивая производные с выраже¬
ниями (2.27) и (2.28), видим, чтоТаким же образом доказывается формулагдевремени i, ане будет восстановлен.— вероятность того, что за время t элемент
60Глава 2Из (2.31) следует, чтоКг(/) = F(t) + сов * F{t), Kn(t) = a>* G(t).(2.32)ПРИМЕР 2.6. Время до отказа элемента имеет нормальное распределение с
параметрами а = 1000 час, 5 = 300 час. Время восстановления имеет нор¬
мальное распределение с параметрами 6 = 10 час, г = 30 час. Требуется оп¬
ределить функцию готовности.Решение. Вычислим функцию готовности по формуле (2.27). По свойству
нормального распределения функции Fkk(t) и Fk+l, k{t) также являютсяфункциями нормального распределения с параметрами mk = k(a + b),Расчеты, выполненные по этой формуле, позволяют построить график функ
ции готовности (рис. 2.11).соответственно. Поэтому, используяфункцию Лапласа, получим0,9980,9960,9940,9920,990,9880,9860,9840 120 240 360 480 600 720 840 /.часРис. 2.11. Функция готовности для нормальных (кривая 1)
и экспоненциальных (кривая 2) распределенийДля сравнения на этом же рисунке изображен график функции готовности,
если время до отказа и время восстановления элемента имеют экспоненци¬
альные распределения со средними а и Ъ соответственно.
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа61Различие двух кривых очевидно. Функция готовности для случая нормально¬
го распределения имеет колебательный характер, отсутствующий у системы
с экспоненциальным законом распределения отказов и восстановлений. Ста¬
ционарный режим в первом случае долго не наступает, во втором он наступа¬
ет практически мгновенно.2.6.2. Стационарные значения показателей
надежности элементаПолучим предельные значения для показателей надежности восстанавливае¬
мого элемента, предполагая, что с течением времени процесс функциониро¬
вания элемента устанавливается и приобретает стационарный характер. Бу¬
дем считать в дальнейшем, что fk = /, gk= g, k = 1, 2,... с математическими
ожиданиями Т и Гв соответственно.Наиболее удобным способом вычисления предельных соотношений является
представление характеристик в виде преобразования Лапласа.Из равенств (2.29) следует, что параметры потоков отказов и восстановлений
в изображениях имеют вид:Ш-, <ш=. /(z)*w1-/(*)£(*) 1 -/(z)g(z)Следовательно, по свойствам (4) и (5) преобразования Лапласа (см. разд. 2.5)
получим:V г • -v ч г zf(z) г z(l - 7z) 1(о = lim со(/) - Ijiti zco(z) = lim = lim- -f~»«> z-> о z-»o i - f (z)g(z) z~>° 1 - (1 - Tz)( 1 - TBz) T + TBАналогичноюв = lim со. (t) = —-—.
t->=0 BW T + TbТаким образом, стационарные значения параметров потоков отказов и вос¬
становлений одинаковы и равны1со = со. = .в Т + ТъИз (2.32) следует, что4(2) = Ь/Ё(1 + йв(:)), Ka(z)*^Q&(z).
62Глава 2Коэффициент готовности определяется только средним временем работы
элемента до отказа и средним временем восстановления вне зависимости от
законов распределения. Это означает, что Кг нельзя применять для оценки
надежности технических систем кратковременного использования. Более
полная информация о работе такой системы содержится в функции готовно¬
сти (см. рис. 2.11).Получим предельные соотношения для среднего числа отказов и восстанов-Применяя свойство (5) преобразования Лапласа, получимгде а2 и Р2 — вторые начальные моменты случайных величин с плотностя¬
ми /(/) и g(t) соответственно. Отсюда следует асимптотическая оценка
среднего суммарного числа отказов:Аналогично при / -» оо имеет место асимптотическая оценка среднего сум¬
марного числа восстановлений:Похожие рассуждения позволяют найти асимптотические оценки для средней
суммарной наработки и среднего суммарного времени восстановления эле¬
мента:Следовательно, коэффициенты готовности и простоя равны соответственнолений. Вычислим предел разности
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа63Как и следует ожидать, для стационарного режима средняя наработка между
отказами равна среднему времени безотказной работы элемента.2.6.3. Показатели надежностиневосстанавливаемой и восстанавливаемой техникиВ разд. 2.6.1 были введены показатели надежности элементов. Определим
теперь показатели надежности системы. Пусть Е — множество состояний
системы, к,1 еЕ — любые два состояния множества Е . Введем в рассмот¬
рение следующие случайные процессы и свяжем с ними определенные функ¬
ции.О Са,/(0 — число переходов системы из состояния к в состояние / в тече¬
ние времени [0;Л, — математическое ожидание С,к /(7) ,
со^ ДО = — параметр перехода системы в момент времени t из со¬
стояния к в состояние /;О Хк(0 — суммарное время пребывания системы в состоянии к в течение
времени [0;/], mk(t)—математическое ожидание х*(0» Рк(О~т'к(0 —
вероятность пребывания системы в момент времени t в состоянии к ,Определим теперь случайные процессы и некоторые производные от их
функции для подмножеств состояний множества Е, где ей/ — любые
непересекающиеся подмножества множества состояний Е :Теперь легко найти предельные соотношения для интенсивностей потоков
отказов и восстановлений:Вычислим стационарные значения средней наработки межцу отказами и
среднего времени восстановления:
64Глава 2□ С,е j-(t) — число переходов системы из состояний множества е в состоя¬
ния множества / в течение времени [0;?], Ме j-(t) — математическое
ожидание C,ej(t), a>ej{t) = M'ej(t) — параметр перехода в момент вре¬
мени t из множества состояний е в множество состояний / ;□ Хе(0 — суммарное время пребывания системы в состояниях множества е
в течение времени [0; /], me(t)— математическое ожидание %e{t),
pe{t)-m’e(t) — вероятность пребывания в момент времени t в каком-
либо состоянии множества е .Случайные процессы Се,/(О и Хе(0 являются базовыми, поскольку черезних может быть получена вся информация о работе системы с позиции тео¬
рии надежности. Так, например, математические ожидания этих процессов
позволяют определить среднее время Tej(t) пребывания системы в множе¬
стве е до перехода в множество / в течение времени [0; /]:me(t)Те,А‘) =Интенсивность перехода системы в момент времени t из множества е в
множество / определяется отношением:РАО ■Укажем формулы связи между показателями, характеризующими множества
состояний из Е и отдельные состояния множества Е :MeJ(t)= 2 Mkj{t), юе>/(0= I <М0,кее,1е / кее,1е /me{t) = Е тк(*)» А (О =1Л (0 ■кее кее2.6.4. Основное уравнение
функционирования системыПредположим, что процесс функционирования системы состоит из случай¬
ных времен пребывания в некоторых состояниях и мгновенных переходов из
одного состояния в другое. Случайное время пребывания в состоянии г ха¬
рактеризуется вероятностью а переход из состояния / в состояние j
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа65характеризуется параметром перехода а>,;У(0- Тогда имеет место система
уравнений:Л'(0 = -£ со,.у(0+ £ со,, до, ieE. (2.33)Уе£ _/е£Для доказательства обозначим через v*(f) число входов в состояние i излюбого другого состояния, а через v~(t) — число выходов из состояния i влюбое другое состояние в течение времени [0; t]. При фиксированном I этослучайные величины, принимающие целочисленные значения. Рассмотрим2 случая.Случай 1. Состояние г не является начальным состоянием процесса функ¬
ционирования.Процесс не может выйти из состояния /, если он не оказался в этом состоя¬
нии, поэтому vj (0 < v+ (0 ■ После пребывания процесса в состоянии i в это
состояние нельзя войти вновь до тех пор, пока процесс не выйдет из этого
состояния, поэтому vt(t) < v~(t) +1. Отсюда следует, что случайная величина
v+(/)-v-(0 принимает только два значения: 0 или 1. При этом
V/40~V~(0 = 1, если процесс пребывает в состоянии /. Вероятность этогособытия равна p,(t). Аналогично v*(t) - v~(t) - 0, если процесс вышел из
состояния /, но вновь еще не вошел в это состояние. Вероятность этого со¬
бытия равна 1 - pt(t). Следовательно, математическое ожидание случайнойвеличины v+(/)-vT(0 равно P/(t).Так какv+(0 = £ Су.,(О и v“(/) = £ С,)7(0>jeE jeETO£ - £ Mij(0=MO • (2-34)jeE jeEСлучай 2. Состояние i является начальным состоянием процесса функцио¬
нирования.Очевидно, что здесь выполняется неравенство v*(0 ^ v” (t) < v* (t) +1, поэто¬
му случайная величина v~(t)-v*(t) может принимать только два значения О3 Зак. 3094
66Гпава 2и 1 с вероятностями pt(jt) и 1 - pt(t) соответственно. Математическое ожи¬
дание этой случайной величины равно 1 - /?, (/), следовательно,I S М;. i(t) = \-pi(t). (2.35)jeE jeEВыражения (2.34) и (2.35), а также определения параметров переходов дока¬
зывают требуемое утверждение (2.33).Из уравнений (2.33) и значений интенсивностей переходов получаем сле¬
дующую систему уравненийp'i (0 = ~ X Чу (О А(0 + X ^j,i(t)Pj(t), г е /1. (2.36)уе£ уе£Система уравнений (2.36), полученная в самом общем виде, является обоб¬
щением системы дифференциальных уравнений Колмогорова [7, 28] для слу¬
чая, когда интенсивности переходов из состояния в состояние постоянные.Расчленим множество всех состояний системы Е на два непересекающихся
подмножества: Е+ — множество работоспособных и Е_ — множество отка-
зовых состояний. Тогда функционирование системы можно рассматривать
как функционирование одного (укрупненного) элемента, для которого в
разд. 2.6.2 уже получены соотношения для показателей надежности. Так, ис¬
пользуя обозначения разд. 2.6.3, получим:□ M(t) - МE+(t), MB(t)~ME_(t) — среднее число отказов и среднее число
восстановлений системы в течение времени [0; ?];□ со(/) = (оЕ+ (J), (ов(1)-(йЕ■ (t) — параметр отказа и параметр восстановле¬
ния системы в момент времени t;□ m(f) = mE (0, — средняя суммарная наработка и среднее
суммарное время восстановления системы в течение времени [0; /];□ Kr(t) = рЕ (t), Kn(t) = рЕ (t) — функция готовности и функция простоя
системы в момент t;□ T(t) = ТЕ■ (/), TB(t) = ТЕ (t) — средняя наработка на отказ и среднее время
восстановления системы в течение времени [0; /],□ X(t) = Х£ (/), ц(Г) = \iE (t) — интенсивность отказов и интенсивность вос¬
становления системы в момент t.
Критерии надежности. Законы распределения времени до отказа67Суммируя равенства (2.33) по всем состояниям ie Е+, получимZ P'i(0 = ~ Z Z Z ®«,/0 + Z Z»/,/W+Z Z ®y./(0 =ieE+ ieE+jeE+ ieE+j<=E_ ieE+jeE+ ieE+jeE_=-Z Z®u(0+Z Z wy,/(0-ieE+jeE_ ieE+jeE_Воспользовавшись формулами связи различных показателей, содержащихся в
разд. 2.6.3, получим соотношениеед=-со(0+сов(0,устанавливающее зависимость между параметрами потоков отказов и восста¬
новлений и функцией готовности системы.В теории надежности обычно предполагается, что каждый элемент системы
может находиться только в двух возможных состояниях: состоянии работо¬
способности и состоянии отказа. Однако на практике это не всегда справед¬
ливо. Подобно тому, как это было сделано в настоящей главе, можно опреде¬
лить характеристики надежности для случая разбиения множества всех
состояний на три и большее число подмножеств, а полученные здесь теоре¬
тические результаты естественным путем могут быть распространены на сис¬
темы, элементы которых имеют несколько возможных состояний.
ГЛАВА 3ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА
НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМСовременные технические и информационные системы являются системами
человеко-машинными, в состав которых входят технические средства, сред¬
ства математического обеспечения и люди, занимающиеся их созданием,
технической эксплуатацией и эксплуатацией по назначению. Такие системы
относятся к классу сложных систем, обладающих следующими свойствами:□ большое количество элементов, функционально связанных между собой;□ наличие естественной и искусственной избыточности;□ многофункциональность;□ восстанавливаемость;□ неоднозначность понятия "отказ";□ неодновременность работы элементов.Характеристиками таких систем являются: качество, эффективность, безо¬
пасность, живучесть, риск, готовность и долговечность. Все эти характери¬
стики в той или иной степени зависят от надежности системы.Практика эксплуатации сложных технических систем ставит перед теорией
надежности такие задачи, решение которых— сложная научная проблема.
К таким задачам можно отнести следующие:□ научное обоснование критериев и показателей надежности сложных сис¬
тем;□ разработка математических моделей функционирования сложных систем
(в смысле надежности) и алгоритмов их практической реализации;□ разработка инженерных методов анализа надежности систем на всех эта¬
пах их жизненного цикла;□ способы практического решения проблем надежности.Рассмотрим эти задачи более подробно.
Проблемы анализа надежности сложных технических систем693.1. Научное обоснование критериев
и показателей надежностиНе существует единственного критерия, достаточно полно характеризующего
надежность сложной системы. Это объясняется ее многофункциональностью.
От надежности сложной системы зависят такие ее показатели, как качество,
эффективность, долговечность, готовность, безопасность, живучесть и риск.
При этом для обеспечения высоких показателей необходимо, чтобы сложная
система была высоконадежной и удовлетворяла требованиям по множеству
критериев, таких как вероятность безотказной работы, среднее время безот¬
казной работы, наработка на отказ, функция и коэффициент готовности и др.Так, например, для достижения заданной эффективности системы необходи¬
мо гарантировать определенное значение вероятности безотказной работы,
для обеспечения долговечности— среднее время безотказной работы, для
обеспечения готовности — коэффициент готовности.Между тем, все критерии надежности связаны между собой однозначными
математическими зависимостями. Поэтому, задавая требования на множество
критериев, в большинстве случаев обнаруживается их противоречивость и
физическая нереализуемость. Например, для обеспечения эффективности
сложной системы задается требование на вероятность безотказной работы
P(t) = 0,97 в течение 300 часов, а для обеспечения долговечности— нара¬
ботка на отказ Т = 2200 час. Эти критерии связаны зависимостьюООТ - | P(t)dt, т. е. при задании требований на P(t) наработка на отказ уже бу-одет однозначно определена. Например, если время до отказа системы имеет
экспоненциальное распределение, то наработка на отказ не будет удовлетво¬
рять требуемому значению. Если время до отказа системы подчинено распре¬
делению Рэлея, то наработка на отказ соответствует заданному требованию
на долговечность (рис. 3.1).Техногенный риск системы R(t) вычисляется по формуле:Я(0=Е^(0,с=1где rt — риск при возникновении отказа /-го типа, — вероятность отка¬
за /-го типа.Из формулы видно, что для обеспечения заданного риска не обязательно
иметь систему с высокой вероятностью безотказной работы P{t). Достаточ¬
но, чтобы система имела высокую вероятность того, что не возникнут такие
70Гпава 3отказы, которые приводят к большому риску. Снова возникли противоречия в
выборе показателей надежности с точки зрения эффективности и риска.Рис. 3.1. P(t) экспоненциального распределения (кривая 1)
и распределения Рэлея (кривая 2)Следует также иметь в виду, что способы обеспечения надежности сущест¬
венно зависят от критерия. Например, для обеспечения вероятности безот¬
казной работы эффективным методом является структурное резервирование,
а для обеспечения среднего времени безотказной работы системы длительно¬
го существования — нагрузочное резервирование. Какое же из них выбрать,
если требования задаются одновременно на два критерия P(t) и Т ? Приме¬
нение одновременно нескольких методов может привести к излишней избы¬
точности, а значит, к повышению стоимости, веса и габаритов системы.
Можно продолжать приводить примеры, однако сказанного достаточно, что¬
бы убедиться в противоречивости требований, задаваемых на показатели на¬
дежности с разных позиций.Задачу выбора критериев и показателей надежности сложных систем можно
сформулировать так: дана сложная система и требования на ее надежность в
виде семейства критериев. Требуется определить набор критериев, который
бы обеспечил все требования и одновременно не содержал противоречивых
критериев. Решая эту проблему, исследователю придется во многих случаях
формулировать новые критерии, т. к. задача в такой постановке является не¬
корректной из-за однозначных зависимостей между существующими крите¬
риями. Такими обобщенными могут быть критерии вида:z = Z CjRj,<=i
Проблемы анализа надежности сложных технических систем71где Z — обобщенный критерий надежности; Л, — /-й критерий; С, — ко¬
эффициент значимости z'-го критерия; к — число критериев, полностью ха¬
рактеризующих систему с точки зрения ее надежности.3.2. Разработка моделей функционирования
сложной системыРазработанные в теории надежности модели функционирования сложных
систем часто являются слишком абстрактными, а поэтому не адекватны ори¬
гиналам. Они не учитывают неодновременность работы элементов, наличие
последействия отказов и естественной избыточности, физической реализуе¬
мости структурного резервирования, а также не обеспечивают требуемой
точности расчетов.Элементы сложной системы, являющейся многофункциональной, работают
не одновременно. При этом набор элементов, одновременно функционирую¬
щих, существенно зависит от внешних факторов, а поэтому является величи¬
ной случайной. В моделях, реализованных на практике, в большинстве случа¬
ев не учитывается человек как активный элемент информационной системы.
Анализ надежности таких систем требует моделирования собственного вре¬
мени функционирования системы. В большинстве практических случаев вы¬
числение показателей надежности осуществляется по формулам:P(t) = e~X‘<, Гс=-Ь.При этом интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отка-пзов ее элементов, т. е. Хс = . Здесь не учитывается то обстоятельство, что»=1число одновременно работающих элементов является функцией времени:
« = /(0-В резервированных структурах имеют место последействия отказов, т. к. от¬
каз резервных элементов неизбежно приводит к увеличению интенсивностей
отказов исправных элементов. Последействия имеют место также в ремонти¬
руемых системах, потому что после-ремонта показатели надежности элемен¬
тов, подвергшихся ремонту, иные, чем до ремонта.Применение резервирования на практике требует учета его физической реа¬
лизуемости: наличия автоматов контроля и коммутации при резервировании
замещением, наличия двух характеров отказов элементов электроники, изме¬
нения параметров элементов при раздельном резервировании с постоянно
включенным резервом и т. д.
72Гпава 3Неодновременность работы элементов и наличие последействия отказов яв¬
ляются основанием утверждать, что интенсивность отказов сложной системы
не может быть величиной постоянной, если даже интенсивности отказов эле¬
ментов постоянны. Отсюда вытекает важный вывод: экспоненциальный закон
надежности к сложным системам не применим.В сложных системах могут возникать внезапные, постепенные и переме¬
жающиеся отказы. Существующие модели предполагают независимость этих
отказов. Это допущение для случая сложных систем сомнительно. Изменение
параметров системы по причине ее старения изменяет коэффициенты нагруз¬
ки, а значит, и вероятность возникновения внезапных отказов и сбоев.К сложным системам предъявляются высокие требования надежности. Необ¬
ходимо, например, чтобы вероятность безотказной работы или коэффициент
готовности имели значение несколько девяток после запятой. Между тем,
интенсивности отказов элементов, получаемые из эксплуатации, содержат,
как правило, только одну или две значащие цифры. Тогда расчеты показате¬
лей надежности, выполняемые в процессе проектирования, принципиально
не могут иметь значения большие, чем одна или две цифры после запятой. Из
сказанного ранее можно сделать следующий важный вывод: разработка ма¬
тематических моделей функционирования сложных систем является матема¬
тической и технической проблемой; ее решение следует искать в разработке
приближенных моделей и методов их реализации, учитывающих необходи¬
мость моделирования собственного времени системы, наличие последействия
отказов, физическую реализуемость системы, обеспечение погрешностей
расчета.Существующие модели, в частности экспоненциальная, позволяют выпол¬
нить лишь сравнительную оценку надежности различных схемных решений и
выбрать наилучшую. Они практически не дают возможности с необходимой
для практики точностью получить ответ в виде числа.Проблема анализа надежности столь сложна, что возникает мысль отказаться
от численных показателей надежности и разработать показатели качествен¬
ные. При наличии качественных показателей расчеты не требуются. Такие
показатели должны быть научно обоснованны, при этом они будут уникаль¬
ными для данной системы. Эта проблема будет обсуждаться в гл. 14.В следующих пунктах настоящей главы подробно рассматриваются пробле¬
мы анализа надежности технических систем. Дается обзор существующих
методов, их возможности, достоинства и недостатки. Главное внимание уде¬
ляется вопросам анализа надежности сложных систем при неэкспоненциаль¬
ных законах распределения отказов и восстановлений.
Проблемы анализа надежности сложных технических систем733.3. Методы анализа
надежности технических систем3.3.1. Обзор существующих методов расчета
надежности сложных системАнализ надежности технических систем производится, как правило, на осно¬
ве известных методов с привлечением данных об отказах и восстановлениях
элементов, полученных в результате эксплуатации или испытаний систем и
их элементов. На практике обычно используют аналитические методы, а так¬
же методы имитационного и статистического моделирования. Математиче¬
ский аппарат теории надежности сложных систем состоит из большого числа
аналитических методов. Прежде всего, это логико-вероятностные методы,
методы, основанные на теории случайных процессов, декомпозиции, асимп¬
тотические и эвристические, аналитико-статистические.Основой аналитических методов для решения задач надежности служит тео¬
рия случайных процессов (марковских, полумарковских, многомерных мар¬
ковских). При помощи однородных марковских процессов с конечным или
счетным множеством состояний [20, 26, 28, 45] описывается эволюция сис¬
тем при максимальных ограничениях: время безотказной работы, восстанов¬
ления и подключения резервных элементов, временной резерв, время между
сеансами контроля, проведения контроля, существования скрытых отказов
и т. д. Они не должны зависеть от предшествующей истории, а значит, имеют
экспоненциальные распределения. Экспоненциальные законы распределения
можно использовать только в том случае, когда потоки отказов и восстанов¬
лений являются простейшими, т. е. обладают свойствами ординарности, ста¬
ционарности и отсутствия последействия. Вообще говоря, потоки отказов
элементов технических систем можно считать ординарными. Потоки восста¬
новлений могут быть неординарными, когда одновременно восстанавливают¬
ся несколько элементов. Свойство стационарности должно быть подвергнуто
сомнению, т. к. в системе возможно старение или омоложение элементов, и
за равные промежутки времени вероятности появления тех или иных собы¬
тий могут быть различны. Наличие последействия проявляется постоянно,
например, после любого ремонта или любого отказа резервированного эле¬
мента.Случайные процессы, с которыми приходится встречаться в теории надежно¬
сти, далеко выходят за пределы марковских процессов. Попытка отказаться
от предположения об "экспоненциальности" отказа или восстановления хотя
бы одного элемента приводит к появлению значительных трудностей в связи
с необходимостью составлять системы интегродифференциальных уравне¬
ний. Эти уравнения в теории массового обслуживания впервые рассматрива¬
74Гпава 3лись Р. Форте, Д. Коксом, Б. А. Севастьяновым [102] для простейшего вхо¬
дящего потока и произвольного распределения длительности обслуживания
заявок. Ю. К. Беляев [13] ввел в рассмотрение класс линейчатых марковских
процессов, составил для них интегродифференциальные уравнения и исполь¬
зовал их для решения некоторых задач теории надежности.Математическое описание функционирования системы с произвольными
распределениями (Эрланга, нормальное и т. д.) часто удается получить с по¬
мощью теории полумарковских процессов, когда процессы исправной работы
и обслуживания рассматриваются в специально подобранные моменты вре¬
мени [13, 34, 41, 59, 60, 64] или марковскими процессами восстановления со
специально построенным фазовым пространством [55, 56, 93]. Эти приемы
использовал еще А. Я. Хинчин, а позднее Д. ,Кендалл. Однако поведение
сложной системы с восстановлением лишь в нескольких исключительных и
довольно тривиальных случаях удается описать полумарковским процессом.
Для расширения круга решаемых задач применяются процессы с вложенны¬
ми точками, которые также используются для оценки надежности достаточно
простых восстанавливаемых систем. Методы, основанные на полумарковских
процессах, применяются в тех случаях, когда только некоторые распределе¬
ния (часто одно или небольшое их количество) являются произвольными, а
остальные — экспоненциальными. Кроме того, эти методы, как правило, по¬
зволяют определять лишь стационарные значения показателей надежности, а
для исследования переходных процессов функционирования системы здесь
возникают непреодолимые трудности. Возможности применения методов
ограничены, поскольку в общем виде на их основе не удается разработать
математическую модель восстанавливаемой технической системы с учетом
структурной избыточности и любой дисциплины ремонта.Известно [25], что любой случайный процесс может быть дополнен до мар¬
ковского соответствующим расширением фазового пространства. Следуя
этому теоретическому положению, в настоящее время выполнен анализ на¬
дежности класса систем, описываемых суперпозицией независимых полу¬
марковских процессов [65, 105]. Основные недостатки этих работ— невоз¬
можность исследования более сложных зависимых процессов и известные
трудности в исследовании нестационарных характеристик.В более общих ситуациях приходится рассматривать марковские процессы с
континуальным множеством состояний, т. е. многомерные марковские про¬
цессы [45, 53, 56]. На их основе удается описать эволюцию технической сис¬
темы при произвольных распределениях времен безотказной работы и вос¬
становления элементов с учетом структурной и временной избыточности, с
учетом контроля технических средств, с учетом нескольких видов отказов
и т. д. Инженерная реализация метода многомерных марковских процессов в
простейших случаях осуществляется с помощью статистического моделиро¬
Проблемы анализа надежности сложных технических систем75вания на ЭВМ, требующего колоссальных затрат машинного времени и па¬
мяти. Даже ускоренные методы статистических испытаний часто не позво¬
ляют произвести расчет надежности с требуемой точностью в реальном мас¬
штабе времени.Среднее время восстановления элементов технических систем обычно в
несколько раз меньше среднего времени между соседними отказами. Это об¬
стоятельство позволяет использовать для оценки их надежности асимптоти¬
ческие методы. Исследование надежности систем с помощью асимптотиче¬
ских методов является важной задачей, т. к. точные формулы для характери¬
стик надежности удается получить лишь в редких случаях, и они, как
правило, сложны для практического использования. Распределения исходных
характеристик элементов обычно заранее не известны, а их оценка требует
большего труда, чем оценка некоторых числовых параметров.В практическом плане интерес представляют результаты, в которых доказы¬
вается асимптотическая независимость показателей надежности от исходных
распределений. Примером могут служить исследования А. Д. Соловьева и
Б. В. Гнеденко [7], в которых установлено, что распределение длительности
безотказной работы резервированных систем в условиях "быстрого" восста¬
новления асимптотически экспоненциально. Асимптотический анализ слож¬
ных систем, основанных на сочетании аналитического метода и метода
статистического моделирования, проводился в работах И. Н. Коваленко,
В. А. Ивницкого, Н. М. Акулиничева [52, 53, 54].В настоящее время работы, посвященные изучению свойств восстанавливае¬
мых систем на основе асимптотического метода, носят в основном теорети¬
ческий характер и могут использоваться для систем с малым числом состоя¬
ний. Эти методы не определяют предельное значение параметра, начиная с
которого можно использовать асимптотические формулы. С помощью этих
методов затруднен также анализ переходных процессов. И, наконец, погреш¬
ность характеристик надежности может быть достаточно высокой.Перечисленные методы имеют наибольшее распространение в практике ин¬
женерных расчетов. Тем не менее для анализа надежности систем с неэкспо¬
ненциальными распределениями иногда применяются и другие методы. Это
прежде всего методы логико-вероятностные, графовые, укрупнения состоя¬
ний, эвристические, аналитико-статистические, декомпозиции, метод разло¬
жения на фазы, диффузионных процессов, Кендалла и метод аппроксимации
интенсивностей.Логико-вероятностные методы основаны на непосредственном применении
теорем теории вероятностей для анализа надежности технических систем.
Дифференциальный метод разложения на фазы, а также метод Кендалла,
применяемый в задачах массового обслуживания с одним пуассоновским
76Гпава 3случайным процессом, позволяют сводить немарковскую модель к марков¬
ской. Практически эти методы позволяют использовать лишь распределения
Эрланга и приводят к значительному увеличению числа состояний. Подоб¬
ные трудности встречаются при оценке надежности систем с большим чис¬
лом равнонадежных элементов методом диффузионных процессов, как не¬
прерывного аналога уравнений Колмогорова. Эти методы могут использо¬
ваться для расчета стационарных характеристик надежности и вероятности
безотказной работы для систем кратковременного действия. При этом "не¬
экспоненциальные" компоненты, как правило, состоят из нескольких фаз и
имеют распределение Эрланга. С помощью введения промежуточных со¬
стояний, соответствующих моментам окончания фаз, модель сводится к мар¬
ковской. Методы ступенчатой аппроксимации интенсивностей отказов и вос¬
становлений элементов можно применять для оценки надежности систем,
имеющих незначительное число состояний и медленно изменяющиеся интен¬
сивности. Определение погрешностей расчетов на основе этих методов —
сложная задача.Более общей для описания технической системы является графовая модель,
учитывающая влияние практически любых факторов, влияющих на систему,
например средств контроля и системы обслуживания. Существенным недос¬
татком описания системы графом состояний является сложность ввода дан¬
ных и методов определения характеристик надежности, если количество
состояний системы велико. Здесь могут использоваться методы укрупнения
состояний [59] с недостатками, присущими методам полумарковских про¬
цессов.Сущность эвристического метода оценки надежности восстанавливаемых
систем состоит в объединении групп элементов этой системы в один эквива¬
лентный элемент, который характеризуется альтернирующим процессом вос¬
становления. Тем самым происходит уменьшение числа элементов в системе.
Метод применяется исключительно для случая высоконадежных элементов и
систем и не позволяет установить погрешность вычислений.Метод декомпозиции сложных систем основан на построении оценочных ма¬
тематических моделей, позволяющих получать простые и достаточно точные
верхнюю и нижнюю границы для оцениваемого показателя надежности. Ос¬
новные сложности метода связаны с его точностью.Методы машинного моделирования в целом являются универсальными
и допускают рассмотрение систем с большим количеством элементов
[21,29,53, 144]. Однако их использование в качестве метода исследования
задач надежности целесообразно лишь тогда, когда трудно или невозможно
получить аналитическое решение. Основными этапами такого исследования
являются: построение формальной модели, разработка программ имитации
траекторий модели, проведение имитационных экспериментов.
Проблемы анализа надежности сложных технических систем77При анализе высоконадежных систем с помощью имитационной модели воз¬
никают проблемы, связанные с очень большими затратами машинного вре¬
мени, необходимого для вычислений с требуемой точностью. Для увеличения
скорости расчетов применяются методы ускоренного моделирования, искус¬
ственного введения моментов регенерации, "взвешенного" моделирования,
в частности метод малого параметра, а также комбинированные методы ана¬
лиза с приложениями методов статистического моделирования. С увеличени¬
ем надежности элементов эффективность моделирования уменьшается
[52, 54], и оно становится практически не реализуемым. Часто используется
методика уменьшения дисперсии, которая базируется на применении допол¬
нительной информации относительно системы [132, 144]. Однако этот метод
не может быть использован для разработки универсальных прикладных про¬
грамм оценки надежности. Здесь проявляется противоречие между основны¬
ми требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, а именно: с
требованиями адекватности и универсальности с одной стороны и высокой
экономичности с другой. Методы статистического и имитационного модели¬
рования не позволяют в полном объеме определять надежность системы, если
учесть большое количество сопутствующих факторов, влияющих на ее функ¬
ционирование. Поэтому следует подчеркнуть исключительную важность про¬
ведения исследований по надежности систем аналитическими методами [7].3.3.2. Причины неэкспоненциальности
случайных параметров, отказов и восстановлений
технических системВ настоящее время большинство практических расчетов в области надежно¬
сти предполагает использование экспоненциального закона распределения
времени между отказами элементов и параметров функционирования систе¬
мы, таких как время принятия решения, время перерыва в работе элементов,
время существования скрытого отказа и т. д. Это обусловлено, с одной сто¬
роны, известным положением о сходимости суммарных независимых пото¬
ков отказов к пуассоновскому потоку и, с другой стороны, сравнительной
простотой аналитических расчетов. Известно, однако, что использование
экспоненциального закона, как правило, приводит к существенному расхож¬
дению аналитических и экспериментальных данных о надежности сложных
систем.Если не учитывать неэкспоненциальность распределений времени безотказ¬
ной работы и времени восстановления элементов сложной системы, то это
может привести к чрезвычайно большим ошибкам [97, 108, 109].Элементы электроники, как правило, имеют экспоненциальное распределе¬
ние времени безотказной работы. Однако устройства, содержащие непосле¬
78Гпава 3довательно соединенные в смысле надежности элементы, уже не обладают
экспоненциальными распределениями. Поэтому включение этих устройств в
систему в качестве ее элементов приводит к необходимости исследовать на¬
дежность системы при неэкспоненциальных распределениях.Покажем, что при нагруженном резерве вероятность безотказной работы уст¬
ройства подчиняется гиперэкспоненциальному распределению, а при нена-
груженном или смешанном резервировании— обобщенному гамма-распре¬
делению.Экспоненциальное распределение обладает следующим свойством: свертка
(см. разд. 2.5) плотностей = есть плотность, подчиненная обоб¬щенному гамма-распределению, причем если все А,, различны, то свертка
указанных плотностей дает гиперэкспоненциальное распределение. Действи¬
тельно, свертка всех плотностей ft(t) с одинаковыми параметрами А,, обра¬
зует плотность гамма-распределения, а свертка гамма-распределений с раз¬
ными параметрами, как известно, приводит к плотности обобщенного гамма-
распределения. В частности, если все различны, то имеем линейную ком¬
бинацию плотностей экспоненциальных распределений:
л И n g~VП /(О^П^Етг гт “ — —/=1 /•=1 »=l(A,i-А,,-).../ -A.JФункционирование невосстанавливаемого устройства, элементы которого
имеют экспоненциальные распределения, описывается графом состояний, в
ветви которого проставлены параметры этих распределений. На рис. 3.2 при¬
веден фрагмент графа, содержащий вершину /0, предшествующую ей верши¬
ну /_] и вершины i\, i2,..., , следующие из данной вершины за один пере¬
ход.Рис. 3.2. Фрагмент графа, включающий вход и выходы для состояния /0
Проблемы анализа надежности сложных технических систем79Тогда для вероятности р,г) (?) состояния г0 справедливо равенствоPio (0 = К^Рц (0 * е_(Ч'/| +Чл +"+Х'0'")Г •Это значит, что вероятность пребывания системы в любом состоянии равна
свертке экспоненциальных функций, и, в силу сделанного ранее замечания,
она представляет собой линейную комбинацию гамма-распределений. Отсю¬
да следует, что вероятность безотказной работы также равна линейной ком¬
бинации гамма-распределений.Заметим, что эта линейная комбинация гамма-распределений превращается в
линейную комбинацию экспоненциальных распределений, если все суммар¬
ные интенсивности переходов для любого пути графа различны. Поскольку
для основного соединения и нагруженного резерва суммарная интенсивность
при переходе на более низкий уровень графа убывает, то плотность распре¬
деления времени безотказной работы всей системы имеет гиперэкспоненци-
альное распределение. Ненагруженное и скользящее резервирование отме¬
ченным свойством не обладает, а поэтому плотность распределения времени
безотказной работы системы имеет обобщенное гамма-распределение. По¬
добные заключения можно сделать и для элемента с экспоненциально рас¬
пределенным резервом времени, и для элементов, обладающих экспоненци¬
альным распределением, но в которых учитываются дополнительные свойст¬
ва, такие как возможность накопления нарушений, встроенный контроль, два
вида отказов и др. Еще в большей степени это относится к механическим
элементам, которые принципиально являются стареющими. Как показывают
проводимые исследования [8, 105], время безотказной работы механических
элементов имеет распределение Вейбулла или усеченное нормальное распре¬
деление. Значит, экспоненциальная модель не адекватна физическим процес¬
сам, протекающим в системе. Для ремонтируемых систем время восстанов¬
ления практически никогда не является экспоненциальным, т. к. оно склады¬
вается из времени обнаружения, времени локализации и времени устранения
неисправности, т. е. равно сумме (зависимых или независимых) обычно не-
экспоненциапьных распределений случайных величин. Причинами неэкспо¬
ненциальных распределений также могут быть: неодновременность работы
элементов, наличие восстановления большого числа механических устройств,
наличие искусственной и естественной избыточности.Таким образом, проблема анализа надежности восстанавливаемых систем с
произвольными распределениями отказов и восстановления является не толь¬
ко научной, но главным образом технической проблемой, вытекающей из
свойств сложных систем.
80Гпава 33.3.3. Зависимость показателей надежности
от законов распределения и дисциплины
восстановления элементовВ теории надежности важное место отводится нахождению простых прибли¬
женных расчетных формул для показателей надежности. В то же время эти
формулы должны иметь достаточно высокую точность, удовлетворяющую
инженера-практика. Как показывают исследования, даже в случае простей¬
ших резервированных систем не удается найти простых аналитических соот¬
ношений для вычисления показателей надежности с требуемой точностью.
Исключение составляют некоторые системы специального вида, показатели
надежности которых зависят только от математических ожиданий времени
безотказной работы и времени восстановления элементов и не зависят от за¬
конов распределения. Так бывает, например, в следующих случаях:□ элементы системы независимы по отказам и восстановлению (параллель¬
ное соединение с неограниченным восстановлением);□ при вычислении стационарных показателей надежности, когда отсутствует
очередь на работу исправных элементов и очередь на восстановление от¬
казавших элементов системы.Однако при вычислении показателей надежности, как правило, недостаточно
знать лишь первые моменты соответствующих распределений. Если даже
предположить, что среднее время восстановления элементов значительно
меньше среднего времени их исправной работы, то и в этом случае сущест¬
вующие расчетные формулы дают весьма грубые приближения к истинным
значениям показателей надежности. При надлежащем выборе законов рас¬
пределения относительная погрешность может быть очень высокой и даже
неограниченной. Кроме того, эти формулы не учитывают приоритета обслу¬
живания отказавших элементов. Как известно, для экспоненциальных рас¬
пределений дисциплина восстановления элементов незначительно влияет на
показатели надежности всей системы, особенно если ее функционирование
протекает при дополнительном условии "быстрого" восстановления. Однако
если законы распределения неэкспоненциальны, то дисциплина восстановле¬
ния может оказать существенное влияние на надежность системы. В этом
можно убедиться на примерах некоторых резервированных систем.ПРИМЕР 3.1. Дано: восстанавливаемая дублированная система, составлен¬
ная из равнонадежных элементов с ограниченным восстановлением. Оценить
влияние дисциплины восстановления элементов на среднюю наработку на
отказ системы.
Проблемы анализа надежности сложных технических систем81Решение. Предположим, что время безотказной работы элементов экспонен¬
циальное с параметром X, а время восстановления имеет произвольное рас¬
пределение с плотностью g(t) .В гл. 7 будет показано, что средняя наработка
на отказ для прямого, обратного и назначенного приоритетов выражается
формулами:уЧпр) _ 2 - g(X) ^(обр) _ Т2 + ^(наз) _ (2 — g(A.))(l + ХТЪ)2Х{\ -g{X)Y 2Тв ’ ^(l-i(^)) + A.2(2- g(X))rB 'Здесь и далее g(X) — преобразование Лапласа (см. разд. 2.5) функции g(t),
Тв — среднее время восстановления элементов. Предположим, что
g(t) = сце~^‘ +(1 -c)ve~vl и имеет место "быстрое" восстановление элемен--1 (V —1)цтов, например: Т = 100 час, Тв =1 час. Тогда X = 0,01 час , с = . Пу-v-цтем простых преобразований легко показать, что Г<пр) -> оо, если ja —> 0 ,V—>оо, тогда как Г(обр) =5100 час. Например, полагая ц = 0,001 час-1,v = 10, получим Г(пр)= 27 577 час,Т(наз) =8565 час. Таким образом, средняя
наработка на отказ системы существенно зависит от приоритета обслужива¬
ния элементов. Сопоставим полученные результаты с асимптотической фор-мулой 7^ас) = , справедливой при условии "быстрого" восстановления2ТВэлементов и любой дисциплины восстановления. Видим, что Г(ас) = 5000 час
и существенно отличается от ее точного значения. Следовательно, простота
асимптотических формул не может служить основанием для возможности их
применения при оценке надежности резервированных систем.ПРИМЕР 3.2. Дано: восстанавливаемая дублированная система из равнона¬
дежных элементов, обслуживаемая одним ремонтным органом с прямым
приоритетом. Установить зависимость среднего времени восстановления сис¬
темы от закона распределения времени восстановления ее элементов.Решение. Пусть распределение времени безотказной работы каждого эле¬
мента экспоненциальное с параметром X, а время восстановления имеет^a-l -Lгамма-распределение с плотностью g(t) = ^ац' ^е ^ ’ сРедним = оф и ве- : 00роятностью невосстановления G(t)= Jg(;t)c£t.
82Гпава 3Тогда среднее время восстановления системы может быть найдено по форму¬
ле (см. гл. 7)г _ Тв -G(X)и, значит,XG(X)JBCт■L О/XT1+1ЦВа у*а ХТаИсследуя это отношение в зависимости от а, получим графики, представлен¬
ные на рис. 3.3.ГВСГ.Рис. 3.3. Зависимость — от а при значениях ХГ = 0,001 (кривая 1),
Тв0,1 (кривая 2), 1 (кривая 3)Таким образом, в зависимости от параметра а, а в общем случае — от закона
распределения, можно получить характеристики надежности системы, изме¬
няющиеся в достаточно широком диапазоне. При а = 1 имеем экспоненци¬
альный случай, при котором Твс - Тъ.Для неэкспоненциальных распределений некоторые показатели надежности
не полно характеризуют систему и нечувствительны к ее изменениям.
Проблемы анализа надежности сложных технических систем83ПРИМЕР 3.3. Дано: невосстанавливаемая резервированная система при об¬
щем резервировании с кратностью m -1. Определить выигрыш в надежности
ТGT = — для распределений: экспоненциальное, Вейбулла, вырожденное,
Торавномерное.Решение. Пусть F(t) — вероятность безотказной работы, а Т0 — наработка
до отказа одного элемента. Тогда для системы вероятность безотказной рабо¬
ты и средняя наработка до отказа вычисляются соответственно по формуламFC(0=1-(1-F(/))"; тс = J(i-(1 -mr)dt.оДля вырожденного распределения очевидно, что Тс = Т0 для любых значений_ -UJm . Для распределения Вейбулла F(t) = e имеемТ m . -
-'О / = 1В частности, при а = 1 получаем экспоненциальное распределение, для кото¬
рогоm /_ lV-l f'i m 1Gr = iL-Ь-Хт-
,=i i ы \lДля равномерного распределения с параметрами а и b^ Тс 2{mb + о)\JT — — 1г Г0 {m + \\a + b)2mВ частности, при a = 0 получим GT = . Результаты расчетов по приве-m +1денным формулам сведем в табл. 3.1.Как следует из таблицы, для вырожденного распределения наработка до от¬
каза Тс совершенно не чувствительна к числу резервных элементов. Для рав¬
номерного распределения резервирование также дйет незначительный выиг¬
рыш (не более чем вдвое). Распределение Вейбулла при достаточно большом
значении параметра а не оказывает существенного влияния с ростом m на
изменение наработки до отказа. В то же время для распределения Вейбулла
при молодеющем распределении можно получить любой сколь угодно боль-
84Гпава 3той выигрыш. Заметим, что для ненагруженного резерва GT есть величина
постоянная, равная т.Таблица 3.1. Выигрыш в надежности Gj для различных распределенийmВырожд.распред.Распределение ВейбуллаЭкспон.распред.Равном.распред.а « 0а = 0,5а = 211,001,001,001,001,001,0021,002,001,751,291,501,3331,003,002,361,461,831,5041,004,002,881,572,081,6051,005,003,341,652,281,67со1,00оооо2,00Приведенные примерь! доказывают необходимость количественной оценки
надежности систем при распределениях, отличных от экспоненциальных: она
продиктована существенной зависимостью показателей надежности от зако¬
нов распределения и дисциплины восстановления отказавших элементов,3.3.4. Критичное влияние произвольных
распределений отказов и восстановлений
на нестационарные показатели надежностиПрактические задачи, возникающие в теории надежности, показывают важ¬
ность расчета и анализа нестационарных характеристик, которые часто не
принимаются во внимание, хотя, как показывают вычислительные экспери¬
менты, продолжительность переходного процесса может быть довольно
большой. Более того, существуют системы, стационарное состояние которых
вообще не наступает.Пусть /(t) и g(t) — плотности распределения времени безотказной работы
и времени восстановления элемента. Как было показано в разд. 2.6.1, функ¬
ция готовности системы удовлетворяет уравнениюKr(t) = F(t) + J{db(t)F(> - x)dx,
о
Проблемы анализа надежности сложных технических систем85Численное решение этих уравнений для многих распределений не представ¬
ляет затруднений. Получим аналитические выражения функции готовности
для некоторых часто встречающихся распределений.В преобразовании Лапласа выражение функции готовности имеет вид:(3.1)Случай 1. Если законы распределения экспоненциальные с параметрами X и
и, то, как известно,Случай 2. Закон распределения времени безотказной работы экспоненциаль¬
ный, а времени восстановления — Эрланга 2-го порядка с параметром ц. Из(3.1) следует, чтоТочки экстремума Ьк получаются в результатерешения уравнения:Тем самыми функция Kr(t) имеет бесконечное число точек экстремума, а это соответ¬
ствует колебательному процессу. Для значения А, имееми функция готовности находится в явном виде:где функция юв находится из уравнения
86Гпава 3т. е. 6] — точка минимума, в которой график функции готовности лежит ни¬
же стационарного значения Кг. Значения ak , в которых график функции го¬
товности пересекает линию Kr(t) = Кг, определяются из уравненияЭто доказывает, что для произвольных распределений могут наблюдаться
провалы функции готовности ниже ее стационарного значения. Графики
функций готовности для 1-го и 2-го случаев приведены на рис. 3.4.Для равномерного распределения с параметрами а и Ъ преобразование Лап¬
ласа функции готовности имеет вид:В этом случае в явном виде найти функцию готовности не удается. Тем не
менее расчеты, выполненные на ЭВМ, показывают достаточную близость
функций готовности для равномерного распределения и распределения Эр¬
ланга. Таким образом, в отличие от экспоненциального случая, когда функ¬
ция готовности всегда является монотонно убывающей, в общем случае
функция готовности часто имеет колебательный характер. Поэтому может
оказаться, что готовность системы для небольшого времени эксплуатацииI, часРис. 3.4. Графики функции готовности для различных распределений
Проблемы анализа надежности сложных технических систем87меньше, чем при ее длительной эксплуатации. Этот факт часто игнорируется
на практике, что может привести к нежелательным результатам.Можно показать, что с уменьшением дисперсии времен безотказной работы
элементов усиливается колебательный характер функции Kr(t) и значитель¬
но увеличивается время наступления стационарного режима системы.Случай 3. Законы распределения вырожденные со средними Т и Тв соответ¬
ственно. В этом случае из (3.1) получим:Из этого выражения следует, что функция Kr(t) тождественно равна единице
на интервалах [к(Т + ГВ), к(Т + ГВ) + Г], к = 0,1, 2,..., и равна нулю вне этих
интервалов, т. е.Стационарный режим здесь вообще не наступает, и коэффициент готовности
не существует.1 оо1~е e~k(T+Te)z =2 к=ОКг«)Ооt, час20Рис. 3.5. Г рафик функции готовности для вырожденных распределений
88Гпава 33.3.5. Методы и проблемы расчета
надежности систем с большим числом состоянийПри разработке математической модели технической системы с большим
числом состояний, как правило, сталкиваются со следующими препятствия¬
ми, существенно затрудняющими анализ ее надежности:□ неоднозначность понятия отказа системы;□ взаимовлияние отказов элементов и частей системы;□ неопределенность исходных данных;□ многокритериальность;□ восстанавливаемость;□ наличие избыточности (естественной или искусственной, введенной с
целью повышения надежности);□ наличие контроля состояний;□ возможность перестройки структуры системы.Одной из центральных проблем теории надежности больших систем следует
считать разработку математического аппарата для ее расчета, анализа и про¬
гнозирования. Сложность технической системы и большое число состояний
ее функционирования приводит к необходимости решения систем уравнений
весьма больших размерностей. Так, например, в системе из п элементов раз¬
личной надежности с нагруженным резервом, обслуживаемой одним ремонт-П .ником, насчитывается N - ^ А'п >п\ состояний, где А‘п — число размеще¬
ноний из п по /. Даже для простейших схем (типа дублированной системы
элементов) могут быть сотни состояний, если учитывать контроль состояний,
переключение на резерв и другие особенности реальной системы.В настоящее время для анализа надежности больших систем, как правило,
используется общеизвестный математический аппарат, основанный на мето¬
дах имитационного моделирования, асимптотического анализа, случайных
процессов и связанных с ними интегродифференциальных уравнений. На ос¬
нове этих методов расчеты характеристик надежности больших систем, обла¬
дающих значительной сложностью, достаточно редко могут быть доведены
до численных результатов с требуемой точностью. Таким образом, отсутст¬
вие традиционных методов для анализа сложных технических систем с
большим числом возможных состояний (порядка сотен тысяч и более) требу¬
ет разработки нестандартных подходов к оценке их надежности и эффектив¬
ности. При рассмотрении надежности технических устройств обычно пред¬
полагается, что они могут пребывать в двух возможных состояниях: работо¬
Проблемы анализа надежности сложных технических систем89способном и отказовом. Значение любого показателя надежности зависит от
того смысла, которое вкладывается в понятие "отказовое" состояние. Иссле¬
дование сложных систем ставит перед теорией надежности новые задачи. Ес¬
ли для исследуемой сложной системы определено понятие отказа, то прин¬
ципиально можно найти требуемые характеристики надежности. Однако да¬
леко не всегда очевидно, какое состояние системы можно считать отказовым.
При появлении отказов отдельных частей лишь частично ухудшаются харак¬
теристики системы, но она продолжает выполнять свои функции. Возникает
вопрос об оценке меры целесообразности применения данной системы.В существующих методах расчета надежности технических систем обычно
предполагается, что отказы элементов независимыми система попадает в со¬
стояние отказа при отказе определенного числа элементов. Для сложных сис¬
тем эти допущения часто бывают неприемлемыми. Между характеристиками
отдельных частей системы имеется тесная взаимосвязь, и отказы отдельных
частей системы являются зависимыми событиями. Возникает проблема изу¬
чения суммарных потоков отказов элементов большой системы и учета их
влияния на надежность системы в целом.В вопросах анализа надежности сложных систем с большим числом состоя¬
ний существенным препятствием служит неопределенность начальных ис¬
ходных данных по надежности и ремонтопригодности элементов. Как прави¬
ло, характеристики времен безотказной работы и восстановления элементов
являются случайными величинами, имеющими некоторые распределения ве¬
роятностей. Одной из особенностей моделирования сложной системы являет¬
ся также учет неопределенности данных.3.3.6. Проблемы расчета надежности
реконфигурируемых системОсобой спецификой обладают системы с переменной структурой. В общем
случае к ним можно отнести системы, характеристики надежности которых
изменяются, например, из-за изменения нагрузки на систему или ее элемен¬
ты, модификации структуры системы, наличия временных интервалов про¬
стоя элементов системы, изменения условий функционирования системы
и т. д.Указанные технические системы относятся к системам с реконфигурацией их
структуры. Модификации в системе могут происходить как через постоян¬
ные, так и через переменные промежутки времени; они могут быть детерми¬
нированными или случайными, периодическими и непериодическими.
Структура системы может изменяться потому, что меняются функции, вы¬
полняемые системой, а также с целью повышения ее надежности. Большое
90Гпава 3количество технических систем может быть интерпретировано как системы
с модификациями или с переменной структурой [139].Например, многопроцессорные системы могут изменять свою структуру в
зависимости от исходных данных. То же относится и к производственным
линиям, узлы которых могут выполнять различные операции в зависимости
от условий их применения. Анализ подобных систем показывает, что, как
правило, их модификации являются периодическими. Например, период для
производственных линий может быть равен 24 часам или продолжительности
производства цикла. Все модификации происходят в фиксированные момен¬
ты времени, между которыми характеристики надежности не меняются.Анализ надежности систем со статической и динамической реконфигурацией
структуры представляет собой новое направление в теории надежности
сложных технических систем. Различаются системы, когда в момент измене¬
ния структуры информация о времени работы или восстановления элементов
"забывается", и после момента реконфигурации система с измененной струк¬
турой начинает функционировать как новая. Это условие может быть вполне
естественным для системы типа "черного ящика", о которой лишь известно,
что она имеет два состояния и определены законы распределения вероятно¬
стей перехода между состояниями. Для таких систем предполагается, что до¬
пустимыми являются лишь переходы между исправными состояниями и ме¬
жду отказовыми состояниями. Иначе обстоит дело с системой, имеющей не¬
сколько уровней возможных состояний, а в процессе перестройки структуры
системы имеются переходы между состояниями одного уровня. При этом
может оказаться, что из исправного состояния система переходит в отказовоеи, наоборот, из отказового — в исправное. Таким свойством как раз обладают
системы типа /и/и с нагруженным и ненагруженным резервом.Сложная техническая система с позиций надежности характеризуется такой
специфической особенностью функционирования, как многофункциональ¬
ность. Количество выполняемых системой функций может достигать не¬
скольких десятков. При этом в реализации одной функции может участвовать
большое число модулей (элементов). Один и тот же модуль может быть за¬
действован в выполнении нескольких функций. Поэтому модули, образую¬
щие систему, имеют различную длительность эксплуатации. Так, некоторые
из них работают непрерывно, поскольку участвуют в выполнении всех функ¬
ций, а некоторые модули включаются только на время выполнения какой-
либо одной или нескольких функций. Многофункциональность накладывает
определенный отпечаток на саму постановку задачи анализа надежности та¬
кой системы.При изучении надежности систем, выполняющих несколько функций, как
правило, применяется функциональный подход, при котором описание на¬
Проблемы анализа надежности сложных технических систем91дежности производится по каждой функции в отдельности, а поэтому надеж¬
ность системы характеризуется вектором показателей надежности всех ее
функций. Таким образом, сравнительная оценка различных систем одного и
того же назначения часто является затруднительной, а то и вовсе невыполни¬
мой. Основной сложностью в исследовании многофункциональных систем,
на наш взгляд, является то обстоятельство, что исследования проводятся без
учета потока задач, поступающих в систему. В этом случае анализ надежно¬
сти системы, функционирующей по нескольким функциям, неоднозначен, а
возникающая при этом неопределенность без какой-либо дополнительной
информации не поддается измерению. Выходом из этой тупиковой ситуации
может служить исследование системы вместе с потоком задач, поступающих
на обслуживание. Без учета потока задач можно говорить о временах исполь¬
зования системы по каждой функции и исследовать ее надежность с учетом
времени выполнения системой всех ее функций.Основным вопросом анализа систем с переменной структурой является раз¬
работка моделей и методов расчета характеристик их надежности, а также
управление процессом модификаций с целью получения наибольшей надеж¬
ности систем в соответствии с выбранными критериями.3.4. Проблемы создания
высоконадежных систем3.4.1. Основная проблема надежности
технических системСложные технические системы должны длительное время работать безотказ¬
но. Это требование диктуется необходимостью обеспечения высокой их эф¬
фективности, безопасности, живучести, готовности и других показателей ка¬
чества.Сложные системы состоят из десятков и сотен тысяч элементов, а время их
работы исчисляется тысячами часов.К таким системам предъявляются высокие требования по надежности. На¬
пример, вероятность безотказной работы P(t)> 0,99, коэффициент готовно¬
сти Кг > 0,98.Удовлетворяют ли таким требованиям современные технические системы?Пусть система состоит из и = 1000 элементов, длительность ее работы —
2000 час, элементы, из которых состоит система, высоконадежны, имеют по¬
стоянную интенсивность отказов, среднее значение которой X = 0,2 • 10-6 час 1,
92Гпава 3Вероятность безотказной работы такой системы будет:Pc(2000) = e~nXl =e'°A =0,67.Такая система эксплуатироваться не может по причине низкой надежности:
вероятность ее отказа превосходит требуемую ((7 = 0,01) в 33 раза. Для по¬
вышения ее надежности применим структурное резервирование. Расчеты по¬
казывают, что для обеспечения вероятности безотказной работы системы
Рс(2000) = 0,99 необходимо иметь 5 резервных систем в случае резервирова¬
ния с постоянно включенным резервом и две резервные системы в случае ре¬
зервирования замещением при условии, что автомат контроля и коммутации,
обеспечивающий подключение резервной системы при отказе основной, иде¬
альный в смысле надежности.Существенно повысить работоспособность системы может восстановление
резервированной системы при условии, что ремонт осуществляется без вы¬
ключения системы. Расчеты показывают, что вероятность безотказной рабо¬
ты системы Рс (2000) = 0,99 можно обеспечить при восстановлении дублиро¬
ванной системы со средним временем восстановления Гв<100 час. При
Гв=100 час Рс(2000) = 0,993.Однако такой метод не всегда возможен. Нельзя ремонтировать двигатель
или систему управления самолета в полете, спутника связи на орбите, океан¬
ский лайнер в плавании. Нельзя осуществлять ремонт техники в ее рабочем
состоянии, если ремонт должен осуществляться в специальных мастерских.
Следует также иметь в виду, что техническая реализация этого способа тре¬
бует наличия системы диагностики отказов, что может привести к пониже¬
нию надежности резервированной системы. Не следует также забывать, что
резервирование существенно повышает стоимость системы, ее вес и габари¬
ты. В нашем случае при применении резервирования стоимость системы воз¬
растет в 6 раз при общем резервировании и в 3 раза при резервировании за¬
мещением. На практике резервирование с восстановлением применяется ред¬
ко. Причин для этого достаточно.Надежность элементов непрерывно увеличивается. Появление материалов
высокой прочности, защищенных от коррозии, твердых схем, не требующих
большой энергии для их питания, существенно уменьшили интенсивность
отказов элементов. Однако сложность технических систем и требования к
показателям их надежности растут с такой же скоростью, как и надежность
элементов. Поэтому надежность многих сложных технических систем прак¬
тически не растет. В этом основная проблема надежности техники.
Проблемы анализа надежности сложных технических систем933.4.2. Технические проблемы обеспечения
надежности сложных системОсновным способом повышения надежности является структурное резерви¬
рование. При этом наиболее эффективным считается раздельное (поэлемент¬
ное) резервирование. Такой вывод следует из теории. Он безусловно верен,
но без учета практической реализуемости раздельного резервирования.Пусть необходимо защитить систему управления от отказа дифференцирую¬
щей цепи, обеспечивающей устойчивость системы. Схема цепи приведена на
рис. 3.6.С, ,RРис. 3.6. Дифференцирующая цепьПередаточная функция дифференцирующей цепи имеет вид:W(z) = -^- (3.2)Tz + \где Т = RC —постоянная времени цепи.Применим поэлементное резервирование для повышения надежности цепи.
Резистор наиболее часто отказывает из-за обрыва. Тогда для повышения на¬
дежности необходимо включить параллельно еще один (резервный) резистор.
Какой же величины должно быть сопротивление резервного резистора? Если
его сопротивление равно R (резистор такой же, как и основной), то общее
сопротивление цепи с двумя параллельно включенными резисторами будет
R/2, т. е. постоянная времени дифференцирующей цепи уменьшится вдвое и
не обеспечит устойчивости системы. Если же оба резистора будут иметь со¬
противление 2R, то цепочка будет иметь общее сопротивление R, но при
отказе одного из резисторов (основного или резервного) сопротивление воз¬
растет в 2 раза и вновь постоянная времени цепи выйдет за допустимые пре¬
делы. Наступит отказ системы управления. Таким образом, дублирование
резистора привело к понижению надежности. В подобных случаях применя¬
ется резервирование с дробной кратностью.Предположим, что устойчивость системы управления будет обеспечена, если
сопротивление резистора изменится не более чем на 1/3. При таком условии
защитить систему от одного отказа можно, включив параллельно 3 резистора,
94Гпава 3каждый из которых имеет сопротивление 3R. Кратность резервирования бу¬
дет т = 1/2.Конденсатор имеет два вида отказов — обрыв и короткое замыкание (про¬
бой). Поэтому его резервирование можно осуществить только путем после¬
довательно-параллельной схемы (рис. 3.7).Рис. 3.7. Резервирование конденсатораТаким образом, дифференцирующая цепь повышенной надежности будет
иметь вид, показанный на рис. 3.8.С, , Cj , 3R 3R 3RРис. 3.8. Резервированная схема цепи обратной связи системы управленияОбратим внимание на то, что схема защищена только от одного отказа. При
отказе любых двух элементов постоянная времени Т может измениться на
недопустимую величину, и устойчивость системы не будет обеспечена. Более
того, эта схема не защищена от короткого замыкания конденсатора. Действи¬
тельно, при коротком замыкании любого конденсатора емкость цепи увели¬
чивается вдвое, т. е. вдвое увеличится постоянная времени Т .Таким образом, мы создали схему, которая защищена лишь от одного отка¬
за— типа обрыв, увеличив число элементов в 3,5 раза. При этом надежность
схемы от короткого замыкания уменьшилась.Подобные эффекты имеют место при резервировании любого электротехни¬
ческого элемента и даже схемы, например: фильтра, реле, предохранителяит. д.Применить здесь общее резервирование (всей дифференцирующей цепи)
вряд ли возможно, т. к. для этого потребуется автомат контроля и коммута¬
ции, который будет более сложным, чем цепочка RC, а значит, менее надеж¬
ным, чем дифференцирующая цепь.
Проблемы анализа надежности сложных технических систем95Приведем еще один пример. Для повышения надежности энергетической
системы решено использовать дублирование генераторов. Пусть основной
генератор имеет мощность W . Если резервный генератор будет иметь такую
же мощность, то постоянное резервирование приведет к большому избытку
мощности. Поэтому генераторы (основной и резервный) берут меньшей
мощности, но тогда при отказе одного из них другой будет работать с пере¬
грузкой. Экономически является более целесообразным применить резерви¬
рование с дробной кратностью пг = 1/2, т. е. использовать три генератора,
каждый из которых имеет мощность W/2. Тогда при отказе одного из них
энергетическая система будет исправной, т. к. ее общая мощность станет рав¬
ной W . При отказе двух генераторов наступит отказ системы, возникший из-
за перегрузки системы. Однако такое резервирование приведет к снижению
надежности энергетической системы длительной непрерывной работы, т. к.
ее среднее время безотказной работы Т = 5/6 ■ Т0, где Т0 — среднее время
безотказной работы нерезервированного генератора. Такая схема позволяет
повысить надежность энергетической системы короткого времени работы.
Система может иметь большой выигрыш в надежности при возможности ее
ремонта без выключения из работы на период ремонта отказавшего генерато¬
ра. Заметим, что в данном случае существенным является наличие последей¬
ствия отказов, которое мы не учли при расчете среднего времени безотказной
работы.Из приведенных примеров следует, что методы анализа надежности сложных
систем должны учитывать:□ наличие последействия отказов энергетических систем и систем с восста¬
новлением;□ два характера отказа электротехнических элементов;□ изменение основного параметра электрической схемы при отказе элемен¬
тов структурно резервированной системы;□ структуру сложной системы при ее физической реализуемости (наличие
системы контроля, автоматов коммутации и т. д.);□ неодновременность работы элементов.Математические модели функционирования сложных систем, в смысле их
надежности, полученные без учета перечисленных выше факторов, не могут
быть адекватными реальным системам.Методы анализа надежности сложных систем с учетом их физической реали¬
зуемости будут рассматриваться в гл. 8.
96Гпава 33.5. Краткие замечания, касающиеся проблем
анализа надежности систем1. Существующие в настоящее время аналитические методы расчета и ана¬
лиза надежности технических систем с произвольными распределениями
отказов, случайных параметров и восстановлений элементов обладают
следующими недостатками:• методы сложные, не доведены до машинных алгоритмов и программ;• позволяют анализировать системы только простой структуры;• отсутствует единая математическая модель надежности функциониро¬
вания систем;• невозможность исследования зависимых процессов;• трудности исследования нестационарных характеристик надежности;• сложность, а часто и невозможность учета таких особенностей функ¬
ционирования систем, как наличие структурной и временной избыточ¬
ности, контроль состояния элементов, наличие нескольких видов отка¬
зов, существование скрытых отказов и т. д.;• невозможность анализа систем с переменной структурой.В связи с указанными обстоятельствами оценка надежности и эффектив¬
ности функционирования сложных систем требует разработки новых под¬
ходов и методов анализа, учитывающих сложность системы и все много¬
образие ее отличительных особенностей.2. Известные в настоящее время методы расчета надежности технических
средств не позволяют оценить погрешности вычисления показателей на¬
дежности с необходимой для практики точностью. Более того, при надле¬
жащем выборе законов распределения показатели надежности, получен¬
ные асимптотическими методами, могут совершенно исказить истинное
значение показателей даже при дополнительном условии "быстрого" вос¬
становления элементов.3. Аналитические методы являются исключительно важными для исследова¬
ния надежности реальных технических систем, поскольку для большого
количества факторов, влияющих на надежность систем, высокая досто¬
верность имитационного моделирования практически не достижима.4. Использование экспоненциальных законов при анализе надежности реаль¬
ных технических систем длительного функционирования в принципе не¬
правомерно, т. к. исходные посылки в моделях не адекватны физическим
процессам, протекающим в системах. При решении практических задач
Проблемы анализа надежности сложных технических систем97указанная идеализация реальных процессов отказов и восстановлений мо¬
жет приводить к существенным ошибкам.5. При разработке математической модели функционирования сложной тех¬
нической системы и методов ее анализа, как правило, сталкиваются с не¬
обходимостью учета важных особенностей ее функционирования, таких
как контроль состояния элементов, последействие отказов, переключение
на резерв, возможность реконфигурации системы во время ее эксплуата¬
ции, введение различных видов резервирования, наличие интервалов про¬
стоя элементов и т. д. Случайные параметры, характеризующие указанные
особенности, обычно являются "неэкспоненциальными".6. Традиционные методы ограничены возможностью анализировать надеж¬
ность и эффективность функционирования технических систем с малым
числом состояний (несколько десятков). Решение задач в случае систем с
большим числом состояний (порядка сотен тысяч и более) требует разра¬
ботки нестандартных подходов.7. В настоящее время отсутствуют не только инженерные методы, но и тео¬
ретические разработки анализа надежности технических систем с пере¬
менной структурой, обусловленной ее многофункциональностью. Анализ
надежности систем со статической и динамической реконфигурацией
структуры представляет собой новое направление в теории надежности
сложных технических систем.8. Отсутствие инженерных методов анализа надежности сложных систем,
учитывающих их свойства и особенности функционирования, объясняется
следующими причинами: неадекватностью моделей физическим процес¬
сам, математическими трудностями, отсутствием статистических данных
по надежности элементов.4 Зак. 3094
ГЛАВА 4МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
ТЕХНИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
И СИСТЕМ В СМЫСЛЕ
ИХ НАДЕЖНОСТИРасчет надежности сложных технических систем часто базируется на пред¬
положении о том, что время безотказной работы и время восстановления
элементов имеют экспоненциальные распределения вероятностей. Как было
показано в гл. 3, это допущение приводит к существенным ошибкам при вы¬
числении показателей надежности. Более реальным является анализ надеж¬
ности технических систем, если снять ограничения об экспоненциальности
распределений времени до отказа, восстановления и случайных параметров,
сопутствующих функционированию системы. К таким параметрам относятся:
время между очередными сеансами контроля и время его проведения, момент
подключения в работу резервных элементов, время между очередными про-
филактиками и время их проведения и т. п.4.1. Общая модель надежности
технического элементаНапомним, что под элементом в теории надежности понимается любой тех-'
нический объект, имеющий показатель надежности, самостоятельно учиты-'
ваемый при расчетах.Элемент с восстановлением имеет два возможных состояния:□ (0) — элемент работает;□ (1) — элемент восстанавливается.
Математические модели функционирования технических элементов и систем99Пусть Y0(s,t) — вероятность того, что на интервале [?; t + s] элемент нахо¬
дится в исправном состоянии, a Yx{x,t) — вероятность того, что на интервале
[f; t + т] элемент восстанавливается. Продифференцируем эти функции:яМ~Я£!>.OS отФункция yo(s,t) представляет собой плотность распределения вероятностей
исправной работы элемента на интервале [r;/ + i], а функция ^(т,/) —
плотность распределения вероятностей времени восстановления элемента на
интервале [?; t + т].Предположим, что в начальный момент времени t = О элемент находится в
исправном состоянии, тогдаr0(J,O) = F(j), Yx(т,0) = 0,и потому>>о(5>0) = /(*)> л('с»°) = °-Момент перехода из состояния восстановления в состояние исправной рабо¬
ты показан на рис. 4.1.О t — х t t + s tРис. 4.1. Фрагмент диаграммы, поясняющий образование интегральных уравненийНа рис. 4.1 приняты следующие обозначения:□ 4 — случайное время исправной работы элемента;□ — случайное время восстановления элемента;□ / — момент времени, при котором элемент исправен;□ х — произвольный момент времени, взятый на промежутке от 0 до t;□ t — х —момент окончания восстановления отказавшего элемента;□ 5 — время, в течение которого элемент исправен.Вероятность того, что элемент исправно работал в течение времени x + s при
условии, что в момент времени t-x произошло его восстановление, равна
>>,((),/-x)/(x + s).
100Гпава 4Так как х — любой момент времени из интервала [0; (], то в результате ин¬
тегрирования этой функции от 0 до t получим уравнениеIУ о (з>0= \/{х + s)_y, (0 ,t- x)dx + f(t + s),
ов котором слагаемое f(t + s) обусловлено началом процесса функциониро¬
вания и означает, что при отсутствии отказа до момента t элемент работает
безотказно в течение времени (t + s). Аналогичное уравнение имеет место и
для второй функции но уже без свободного члена. Это позволяет за¬писать следующую систему интегральных уравнений относительно функций
Уо и У\ '■tу о (■*> 0 = J/C*+•у)>;1 (°> * - +fit+5);° (4-1)JVl('t,0= Jg(* + 1)Уо (0 ,t- x)dx.
оСистема уравнений (4.1) связывает между собой две функции, содержащие
предысторию процесса функционирования элемента. Это обусловлено нали¬
чием в аргументах функций jv0 (^,/) и У|(т,/) дополнительных переменных
s и х , которые соответствуют остаточному времени работы и восстановле¬
ния элемента.Если остаточное время работы и восстановления равно нулю, то функции
ю(0 = Уо(0,0 и сов(/) = v, (0,0 являются параметрами потока отказов и вос¬
становления соответственно. Обозначая cps(t) = cp(t + s), получим:yQ(s,t) = (0B*fs(t) + fs(t), ^i(T,0 = co*gT(0, (4.2)r0(s,/) = coB * Fs(t) + Fs(t), Yt(T,t) = co*Gt(/).Последние формулы дают возможность выразить вероятности Y0 при малых
5 и Yx при малых х через важнейшие характеристики элемента: функции
готовности и простоя и параметры потока отказов и восстановлений. Выра¬
жения имеют вид:Г0 (5,0 = Кг (0 - a(t)s + o(s2), Ц(т,0 = Кп (0 - сов (От + о(х2 ).ТогдаKr(t) = F0(0,O = ]y0(s,t)ds, Ka(t) = 7,(0,0 = Ь(T,t)dx.
о о
Математические модели функционирования технических элементов и систем 101Полагая в (4.2) s = 0 и х = 0, получимсо(0 = сов * ДО + ДО, со„ (0 = ® * g(0 • (4.3)Отсюда следует, чтою(0 = ДО + / * / * giO +f*f*f*g* gif) + ..;=£ /*(*+1) * g{k) (О,k=0“в (О=/ * g(o+f*f*g* gif)+... = z /*(4) * g*w(o ■*=1Вероятности /?0 (/) и (0 пребывания элемента в исправном и отказовом
состояниях, очевидно, совпадают соответственно с функциями готовности и
простоя. Нетрудно показать, что эти вероятности удовлетворяют уравнениям,
аналогичным уравнениям Эрлангаj р'о (О=-40 Ро (0+ц(0 ру (0; м 4)\р{ (0 = 40Ро (0 - Ц(0Pi (О-Здесь X(t) и ц(0 — интенсивности потоков отказов и восстановлений, опре¬
деленные в разд. 2.6. Отсюда следует, что работу элемента можно описать
простейшим графом состояний (рис. 4.2), в ветвях которого находятся функ¬
ции А.(О и р(0. Этому графу соответствует система обыкновенных диффе¬
ренциальных уравнений (4.4).©п И(0
v МО□Рис. 4.2. Граф состояний восстанавливаемого элементаСогласно принятому ранее допущению вероятности p0(t) и Р\(0 удовле¬
творяют начальным условиям: /?0(О) = 1> Р\ (0)= 0 > означающим, что в мо¬
мент времени t = 0 элемент исправен.Следует иметь в виду, что решить систему уравнений (4.1) проще, чем внача¬
ле определять интенсивности X(t) и ц(0, а затем решать систему дифферен¬
циальных уравнений (4.4). Наоборот, указанные интенсивности могут быть
определены в результате решения системы (4.1).
102Глава 4Аналогичные рассуждения позволяют записать для оценки надежности мате¬
матическую модель функционирования любой сложной системы. В следую¬
щем разделе мы получим такую модель в достаточно общей ситуации, однако
для ее составления применим несколько иной способ.ПРИМЕР 4.1. Предположим, что время безотказной работы и время восста¬
новления элемента имеют экспоненциальные распределения с параметрами
X и ц соответственно. Требуется получить выражения для параметров пото¬
ков отказов и восстановлений, среднего суммарного числа отказов и восста¬
новлений в течение времени [0; /], функций готовности и простоя, средней
суммарной наработки и суммарного времени восстановления элемента в те¬
чение времени [0; /].Решение. Из соотношений (4.3) на основании разд. 2.5 параметры потоков
отказов и восстановлений в преобразовании Лапласа имеют вид:_Л£>—= , &.U). ДеШ- А!-/0)£00 z(z + n + X) 1 -f(z)g(z) z(z + ii + X)отсюдаю(/)=JfL+JL-e-(n+xx 5 Юв(0=J^ \Л_е-ЫХ)<ц +А, ц + А- р, + X- |д. + А,На основе формул разд. 2.6 определим среднее суммарное число отказов и
среднее суммарное число восстановлений в течение времени [0; f]:0J ц + Х (ц + ^V /Мв (0 = JcoB (x)dx = ^(l - ) •0 (j. + А, (ц + X,)Из соотношений (2.32) и (4.3) функции готовности и простоя в преобразова¬
нии Лапласа имеют вид:ад _ - IzM . (£±м) , (г).. Ml- iML z[\-f(z)g{zj) z(z + [L + X)’ " z(l-/(z)g(z>) z(z + ^l + X)Отсюда
Математические модели функционирования технических элементов и систем103На основе формул разд. 2.6 определим среднее суммарное время безотказной
работы и среднее суммарное время восстановления в течение времени [0; /]:m(t) = )кт (x)dx = -V-t + —- е-(^+Х)'),
о li + A' (Ц + Л.) VmB(0 = )Kn(x)dx = -e_("+X)<) •0 V + ^ (Ц + ^) V ’Приведенные соотношения будут часто использоваться в дальнейшем. Для
распределений, отличных от экспоненциального (за редким исключением), не
удается получить явных соотношений для рассмотренных показателей на¬
дежности.4.2. Общая модель надежности систем
в терминах интегральных уравнений4.2.1. Основные обозначения и допущенияПредположим, что техническая система состоит из m элементов с известны¬
ми распределениями времени безотказной работы и времени восстановления,
а ее функционирование осуществляется в соответствии с заданной схемой
расчета надежности. Все элементы условно разделим на рабочие и резервные.
К первому классу отнесем также все элементы нагруженного и облегченного
резерва, а ко второму— только элементы, находящиеся в ненагруженном
состоянии. При отказе рабочего элемента и при наличии резервного он заме¬
няется резервным, причем эта замена осуществляется мгновенно и абсолютно
надежным устройством. Как будет показано в гл. 8, ограничение о мгновен¬
ной замене можно снять. При наличии нескольких резервных элементов по¬
рядок замены отказавшего рабочего элемента резервным будем считать из¬
вестным. Контроль состояния элементов является непрерывным, и отказ лю¬
бого элемента обнаруживается немедленно после его возникновения. Это
условие также может быть снято (см. гл. 10). Предполагается, что число ре¬
монтных бригад и порядок восстановления отказавших элементов известны,
т. е. имеется указание о том, какие элементы и в какой последовательности
будут приняты на обслуживание. Разумеется, этот порядок необходимо знать
только в том случае, когда речь идет об ограниченном восстановлении и мо¬
жет появиться очередь на восстановление. Восстановление элемента начина¬
ется сразу же после его отказа или после обнаружения отказа контролирую¬
щим устройством при наличии свободной бригады или по очереди, согласно
принятому приоритету обслуживания. В процессе ремонта элементов проис¬
ходит полное восстановление их надежности.
104Гпава 4На функционирование и на ремонт каждого элемента могут оказывать влия¬
ние остальные элементы системы. В связи с этим, любой элемент может пре¬
бывать в нескольких возможных состояниях: в состоянии работоспособности,
в состоянии восстановления или в состоянии простоя. Причем состояние
простоя элемента может быть обусловлено следующими причинами:□ произошло прерывание работы элемента, что может быть в том случае,
если данный элемент находится в составе узла, соединенного последова¬
тельно с отказавшим элементом или узлом;□ произошло прерывание восстановления элемента, что может быть в том
случае, когда дисциплина обслуживания системы такова, что ремонтные
органы, восстанавливающие данный элемент, прекращают его восстанов¬
ление и приступают к ремонту некоторого другого элемента (восстановле¬
ние с приоритетом);□ элемент исправен, но по условиям функционирования он находится в оче¬
реди на работу, что может произойти, например, в случае ненагруженного
резервирования;□ элемент находится в отказовом состоянии, но по условиям обслуживания
он не ремонтируется и находится в очереди на восстановление, что воз¬
можно, например, в случае ограниченного восстановления с прямым или
назначенным приоритетом.Указание возможных состояний каждого элемента системы существенно при
описании ее функционирования в целом. Будем считать, что переход каждого
элемента из одного состояния в другое осуществляется мгновенно вследствие
отказа или восстановления данного элемента или какого-либо другого эле¬
мента системы. Дополнительно предложим, что отказ или восстановление
любого элемента не влияет на законы распределения остальных элементов и
время простоя элемента (если не оговорено особо) не сказывается на его ха¬
рактеристиках надежности, т. е., находясь в состоянии простоя, элемент со¬
храняет эти характеристики такими же, как и в момент прерывания работы
или восстановления.4.2.2. Матрица состоянийМножество всех состояний системы обозначим через Е , а через п — число
этих состояний. В соответствии с заданным понятием отказа все состояния
системы разбиваются на два класса: множество работоспособных состояний
Е+ и множество отказовых состояний Е_. В каждый фиксированный момент
времени t и для каждого к-го состояния определяются шесть подмножеств
множества всех элементов:
Математические модели функционирования технических элементов и систем 105□ Rk — множество номеров работающих элементов;□ Wk — множество номеров ремонтируемых элементов;□ R'k — множество номеров элементов, находящихся в состоянии простоя
вследствие прерывания их функционирования;□ W'k — множество номеров элементов, находящихся в состоянии простоя
вследствие прерывания их восстановления;□ — множество номеров элементов, образующих очередь на работу;□ Wk — множество номеров элементов, образующих очередь на восстанов¬
ление.С каждым к-м состоянием (к е Е) свяжем вектор Ак = (alk, a2k,..., amk), ха¬
рактеризующий состояния всех элементов системы в момент времени t.Компоненты вектора Ак предполагаются равными:«Л =S,, если isRkuRk;
х,, если ieWku Wk;
О, если ieRk u Wk .Если /е R’k (ieWk), то соответствующую компоненту будем иногда снаб¬
жать штрихом и писать s' ( х ■). Если ajk = 0, то соответствующую компонен¬
ту будем называть "нулевой" и для различия состояний будем писать
alk = OR, если г-й элемент находится в очереди на работу, или aik = OW, ес¬
ли /-й элемент находится в очереди на восстановление. "Нулевая" компонента
должна содержать также четкое указание о порядковом номере очереди на
работу или очереди на восстановление, если таких компонентов более одной.
В некоторых случаях, когда это не может вызвать недоразумений, "нулевые"
компоненты мы будем опускать.Таким образом, функционирование любой восстанавливаемой системы пол¬
ностью определяется матрицей состояний S размерности m х п, столбцами
которой служат векторы Ак .Для удобства матрица состояний дополняется верхней строкой, содержащей
коды (или номера) соответствующих состояний, например совокупностью
(упорядоченной или неупорядоченной) отказавших элементов, и нижней
строкой, показывающей, к какому классу ( Е+ или Е_ ) относится состояние с
номером к : 1, если кеЕ+, или 0, если к<вЕ_.
106Глава 44.2.3. Матрица переходовПри изучении процесса функционирования систем часто бывает удобно ис¬
пользовать понятия теории графов. Введем некоторые определения.Графом [96] называется тройка (E,D,T), где Е и D — конечные множест¬
ва, а Г — отображение из множества D в декартово произведение ЕхЕ.
Элементы множества Е называются узлами (вершинами) графа, а элементы
множества D — ветвями (дугами) графа. Отображение Т каждой ветви гра¬
фа deD сопоставляет упорядоченную пару его узлов (кх,к2), кх,к2& Е,
первый из которых называется началом ветви d, а второй — концом ветви
d . Граф может быть изображен с помощью рисунка, на котором узлам соот¬
ветствуют точки, а ветвям — линии со стрелками, идущими от начала к кон¬
цу. Пусть заданы последовательность узлов к0, кх, к2,..., кг графа и последо¬
вательность ветвей dx,d2,..., dr. Будем называть эту пару последовательно¬
стей путем, если узел kj_x является началом, а узел kj является концом
ветви dj, j -1, 2,..., г. Узел к0 называется началом пути, а узел кг — кон¬
цом пути, число г называется длиной пути.Функционирование восстанавливаемой (и невосстанавливаемой) системы
может быть описано графом состояний. Множество всех состояний системы
Е отождествим с множеством узлов графа. Возможным переходам системы
из одного состояния в другое сопоставим множество всех ветвей графа D.
Будем считать, что все переходы системы за один шаг вызваны или отказом,
или восстановлением некоторого элемента системы. Тем самым исключается
возможность одновременного отказа или восстановления более чем одного
элемента системы.Информация о всевозможных переходах системы за один шаг содержится в
матрице переходов Р размерности тхп . Каждый элемент bjk этой матрицы
представляет собой код состояния, в которое имеется непосредственный пе¬
реход из состояния с номером к вследствие изменения состояния (отказа или
восстановления) /-го элемента. Если из состояния к отсутствует переход,
вызванный изменением состояния /-го элемента, то соответствующее место
матрицы Р не заполняется. Таким образом, элементам матрицы Р соответ¬
ствуют ветви графа с началом в узле с кодом, соответствующим состоянию с
номером к и с концом в узле с кодом bik . При этом в силу принятой нумера¬
ции состояний в матрице Р дается указание о номере элемента, отказ или
восстановление которого вызвало данный переход.При изучении свойств технической системы с точки зрения надежности нет
необходимости задавать множество всевозможных переходов, т. к. они пол¬
Математические модели функционирования технических элементов и систем107ностью определяются состояниями системы и списком аргументов, связан¬
ных с этими состояниями. Тем самым матрица Р может быть построена по
матрице S программно. Для построения матрицы переходов надо определить
допустимые переходы для каждого элемента. Допустимыми являются пере¬
ходы вида:s-+s,s', x,OW ;x->5,x,t',OR ;s's,s';x'->x,x';OR —> s,OR jOW —> x,OW .Значения s,s',t,t', OR,OW представляют собой характеристики состояния
каждого элемента системы (см. разд. 4.2.2). При этом переходы s-»x или
s -> OW будем называть отказовыми, а переходы х -> s или х -» OR — вос¬
станавливающими.Чтобы определить существование перехода из состояния к в состояние /,
надо сопоставить между собой компоненты векторов Ак = (alk, а2к,..., атк)
и Ai =(au, a2i,..., cimi). Непосредственный переход к ->/ существует вслед¬
ствие отказа или восстановления элемента /0, если переход а^к —> аи явля¬
ется отказовым или восстанавливающим, а остальные поэлементные перехо¬
ды aik -* afl допустимы, но не являются отказовыми или восстанавливающи¬
ми. В этом случае Ь^к равен коду состояния с номером /. Таким путемможет быть сформирована матрица Р. Если переход к -»/ не существует, то
соответствующий элемент матрицы Р не заполняется.ПРИМЕР 4.2. Составить матрицу и граф состояний для основного соедине¬
ния трех элементов в предположении, что при отказе 1 -го или 2-го элемента
остальные элементы выключаются, а при отказе 3-го элемента остальные
продолжают функционировать. Восстановление отказавших элементов про¬
изводится одной ремонтной бригадой с обратным приоритетом.Решение. Система имеет следующие состояния и соответствующие им век¬
тора:□ (0) — все элементы исправны, Aq = (5],52,^з);□ (1)— отказал и восстанавливается 1-й элемент, другие элементы про¬
стаивают вследствие прерывания их работы, Aj = (xt,s2,s^);
108Гпава 4□ (2) — отказал и восстанавливается 2-й элемент, другие элементы простаи¬
вают вследствие прерывания их работы, Л2 = (, т2, Л’з);□ (3) — отказал и восстанавливается 3-й элемент, другие элементы продол¬
жают работать, Ai = (sj, s2, т3);П (31) — отказали 3-й, а затем 1-й элементы, восстанавливается 1-й элемент,
2-й простаивает вследствие прерывания работы, 3-й простаивает вследст¬
вие прерывания восстановления, Л4 = (Tj,4»^3);□ (32) — отказали 3-й, а затем 2-й элементы, восстанавливается 2-й элемент,
1-й простаивает вследствие прерывания работы, 3-й простаивает вследст¬
вие прерывания восстановления, Л5 = (s{,t2,x3) •Таким образом, матрица состояний имеет вид:01233132*1*14*1*1s{s2s2*2s2s2Ъs3s34bx3*3100000Граф состояний представлен на рис. 4.3. Он имеет нумерацию узлов, приня¬
тую ранее.Рис. 4.3. Граф состояний системы из примера 4.2В соответствии с общими принципами построения матрицы переходов она
имеет вид:
Математические модели функционирования технических элементов и систем10901 233132103132032330ПРИМЕР 4.3. Составить матрицу и граф состояний резервированной систе¬
мы при общем постоянном резервировании кратности т = 2. Обслуживание
отказавших элементов осуществляют два ремонтных органа с прямым при¬
оритетом.Решение. Система имеет следующие состояния:□ (0) — все элементы исправны;□ (к) — отказал и восстанавливается к-й элемент, другие элементы рабо¬
тают;□ (kl) — отказали и восстанавливаются элементы с номерами к и /, ос¬
тавшийся элемент работает;□ (klm) — отказали и восстанавливаются элементы с номерами к и /, ос¬
тавшийся элемент находится в очереди на восстановление.Матрица состояний имеет вид:Граф состояний представлен на рис. 4.4.По графу легко составляется следующая матрица переходов:01231213231231322311012132323123232122311323113313231231211212
110Гпава 4Рис. 4.4. Граф состояний системы из примера 4.34.2.4. Выражения для вероятностей состояний
и параметров переходов между состояниямиФункционирование технической системы с произвольными законами распре¬
деления элементов может быть описано системой интегральных уравнений
или эквивалентной системой дифференциальных уравнений в частных произ¬
водных. Эти системы уравнений строятся непосредственно по матрице со¬
стояний S и матрице переходов Р.Сначала получим явные соотношения для вероятностей состояний системы
pk(t) и параметров перехода из состояния в состояние со^Дг), k,l е Е. Пустьк0 — начальное состояние процесса функционирования технической систе¬
мы. Обозначим через множество всех путей графа состояний длины г сначалом в узле к0 и концом в узле к . Двигаясь по пути у е , можно по¬
пасть из состояния к0 в состояние к за г шагов (некоторые ветви при этом
могут повторяться). Напомним, что за один шаг принимается переход, обу¬
словленный или отказом, или восстановлением какого-либо одного элемента
системы. Предположим, что путь у проходит через состояния с номерамиkQ, кх, к2,..., кг =к . Обозначим через х, время пребывания системы в со¬
стоянии kj, а через л: = (л0, хх, ..., хг) — вектор с компонентами X:.
Математические модели функционирования технических элементов и систем111Рассмотрим изменение состояний /-го элемента на пути у и определим
функции ф^(х) = ф^(л:0, х1з..., *,), характеризующие плотность распреде¬
ления вероятностей пребывания /-го элемента в состоянии kj в течение вре¬
мени Xj, 7 = 0,1, 2,..., г. Каждому узлу kj отвечает значение /-й компонен¬
ты aik , равной одной из величин: s,j',t,t',OR,OW , при этом указанные ве¬
личины чередуются в следующем порядке: OR (очередь на работу), s или
s' (работа или прерывание работы), OW (очередь на восстановление), т или
х' (восстановление или прерывание восстановления). Некоторые из приве¬
денных величин могут быть опущены. Множество индексов {0,1, 2,..., г}
представимо в виде объединения непересекающихся подмножеств, состоя¬
щих из индексов, следующих в порядке возрастания:«о{0,1, 2,..., г} - U eal uea2 u еа3 иea4,а=1где= {у •• a,kj = or} , ea2 = {у: aikj = s или aikj = sj, eal = {у e ea2 : aikj = s j,
ea3 = {У: aikj =Ow}, ea4= jy : aikj = x или aikj = xj , e'a4= {; e ea4 : aik. = xj.
Тогда функция ф^ определяется равенством“о40'а = 1ф5,'ЧДС6,л„...,хг)= Y\fiIхjKj-ea2^e'ail )gi\J е<гЛ 'еа4 Jгде f(t) и gj(t) — плотности распределения времени безотказной работы и
времени восстановления /-го элемента. С точностью до бесконечно малой
величины Ax0Axj ...Ахг функция ф^ равна, очевидно, мгновенной вероятно¬
сти того, что /-й элемент пребывает в состоянии kj время х},
j = 0,1, 2,..., г .Предположим, что последнее состояние к = кг является состоянием работы
или восстановления /-го элемента. Тогда имеет смысл говорить о мгновенной
вероятности того, что /-й элемент в каждом состоянии к}, кроме последнего,пребывает время х^, а в последнем состоянии — время, не меньше хг.
112Гпава 4Совершенно ясно, что эта вероятность равна00Фу Оо> Х1> •" > Хг) ~ /фу (Х0’ х1> ••• > xr ^ik )dQjk •ПРИМЕР 4.4. Пусть /-й элемент системы пребывает в состояниях s, х, OR ,
s, х, х', х, s, как показано на временной диаграмме (рис. 4.5). Требуетсясоставить выражения для функций <р^ и <р^ .О Л| А 2 Л3 Лу *Рис. 4.5. Временная диаграмма функционирования /'-го элементаРешение. На рис. 4.5 х0, хх, х2, х3, х4, х5, х6, х7 — времена пребывания г'-го
элемента в соответствующих состояниях. Из диаграммы следует, чтоФ?} = fi (*0)Si (х\ )fi Оз )Si (х4 + *6 )/(*7) ,Фу ' = /г(>0)2, (*1 )fi(*3)Si(*4 +Хб)Ц(х7) •Вероятность pk(t) пребывания системы в момент времени t в состоянии к
находится по формуле полной вероятности. Пусть Hy(t) — событие, со¬
стоящее в том, что в момент t система достигла состояния к, двигаясь из
начального состояния к0 по пути у е . Вероятность этого события равна/ \ т
р(ну(о)= J...J Yltf\x)dx,or(X)=t <=1Ггде cr(X) = t обозначает гиперплоскость ]>] = / в (г + 1)-мерном эвклидо¬
вовом пространстве. Искомая вероятность равна сумме вероятностей событий
Hy(t), вычисленной по всем путям у, ведущим из состояния к0 в состоя¬
ние к, т. е.00 т
Рк( 0=1 I J...J Пф?даг- (4-5)г=0 or(X)=t i=i
Математические модели функционирования технических элементов и систем113Рассмотрим переход системы из состояния к в состояние /. Пусть этот пе¬
реход вызван отказом или восстановлением элемента с номером /0 = /0 (&,/).
Параметр перехода со* /(0 представляет собой мгновенную вероятность пе¬
рехода в момент t из состояния к в состояние /, отнесенную к единице вре¬
мени, т. е.col ,(t) = lim —2 .*■' At-*o AtПоэтому для получения параметра перехода необходимо в формуле (4.5) все
функции при / * /0 оставить без изменения, а функцию ф^ — заменить
на выражениеj А/Hm-Jcp^o)(x0, ДС|, , xr + ak>k)daiok =$°\х0, хи ..., хг).Таким образом,со m®*,/(0=S S Н Пф?)(^)ф?о)(^)^' (4-6)
гв0 у<\к <-!Выражения (4.5) и (4.6) похожи по форме записи, поэтому их можно рассмат¬
ривать совместно. С этой целью обозначим через Yk(Ak,t) =
= Yk(alk, a2k,..., amk, t) вероятность пребывания системы в момент времени
t в состоянии к в предположении, что после момента t »‘-й элемент системы
сохранит свое состояние работоспособности или восстановления в течение
времени aik (i = 1, 2,..., m ). Предположим, что функции Yk имеют частные
производные по всем переменным вида s и т . Обозначим через ук смешан¬
ную производную по этим переменным порядка a = |i?*. ^Wk\ со знаком "+"
или определяемую формулойук(Ак,0 = (-1)а^2*(у.П daikieRkvWkФункции ук представляют собой плотности распределения вероятностей и
являются неизвестными в системе интегральных уравнений.Посколькуо° mYk(Ak>0=Ё Е f -1Пф?\xQ, хь , xr + aik)dX, (4.7)
Г=°Г6Г%\kor(X)=t Ы1
114Гпава 4то00 т
Ук(Ак>0='Ё, Z J -Щфу)(x0,xu...,xr+aik)dX. (4.8)r=0y6 dlro>kar(X)=t /=1Вероятности состояний и параметры переходов находятся по функциям ^ с
помощью единообразных соотношений. Действительно, как следует из (4.8),
а также из (4.5) и (4.6), имеют место равенства:00Pk(0= jyk(Ak’OdAk, (4.9)оt»kJ(0 = ]yk(Akiio\t)dAk(i°\ (4.10)Огде /0 =i0(k,l) — номер элемента, вызвавшего переход к —*1, а вектор Ак0^
получается из Ак , если положить в нем компоненту с номером /0 равной ну¬
лю, т. е. Ако) =(alk,..., Ojok,..., amk). Интегрирование в (4.9) и (4.10) распро¬
страняется на все "ненулевые" значения переменных aik . В некоторых случа¬
ях удобно вычислять неизвестные функции прямо через вероятности Yk в
соответствии с формулами:pk(t) = Yk(0,t), cokl(t) = Yk(О,/),8%кгде 0 = (0, 0,..., 0) — нулевой вектор. Отсюда, в частности, следует, что при
малых значениях параметров aik справедливо разложениеYk(Ak,t) = pk(t)~ £ (£>kj(t)ai k +о(Ак).
к->1Суммирование в правой части распространяется на все состояния к и /, ме¬
жду которыми имеются переходы & -»/.4.2.5. Правило составления
системы интегральных уравненийДля каждого состояния к е Е интегральное уравнение составляется следую¬
щим образом. Определяются все состояния, из которых имеется одношаго¬
вый переход в состояние к . Пусть j — одно из таких состояний, и переход
из j в к вызван отказом или восстановлением элемента с номеромI
Математические модели функционирования технических элементов и систем 115i0 =i0(j,k) . Обозначим через Xjk = (jcb х2,..., xm) вектор, в котором компо¬
ненты Xj принимают два значения: х (переменная интегрирования) или 0.
Если в состоянии к элемент с номером /' работает или восстанавливается, то
xj=x. Если в состоянии к элемент с номером i находится в состоянии про¬
стоя, то х, = 0.Пусть для /-го элемента А, есть плотность распределения времени безотказ¬
ной работы f,, если aik = s,, или плотность распределения времени восста¬
новления g,, если aik = Т;. Тогда справедливо уравнение:У к (Ак >•0 = £ /П + aik )У] (xjk + Aj° ]’t-x)dx. (4.11)j-*k o iСуммирование в правой части производится по всем состояниям j, из кото¬
рых имеется непосредственный переход в состояние к. Произведение под
знаком интеграла распространяется на все индексы i, для которых векторАк \ имеет "ненулевые" компоненты. Для начального состояния к0 кправой части соответствующего интегрального уравнения (4.11) добавляется
слагаемое£>к0(\>0= П h,(t+“ik0)>ieRk^Wkoобусловленное началом функционирования системы.В справедливости системы (4.11) можно убедиться путем подстановки в нее
функций (4.8). Эта система описывает функционирование технической сис¬
темы с произвольными законами распределения времени безотказной работы
и времени восстановления элементов при заданных плотностях распределе¬
ния вероятностей. Она содержит в себе всю вероятностную информацию о
работе и восстановлении технической системы.Решение системы (4.11) позволяет определить по формулам (4.9) и (4.10) со¬
ответственно вероятности пребывания системы во всех состояниях и пара¬
метры переходов из состояния в состояние. Далее по известным соотношени¬
ям рассчитываются любые характеристики надежности.Описание с помощью системы интегральных уравнений является универ¬
сальным и при сделанных ранее допущениях может служить математической
моделью функционирования любого сложного устройства с конечным или
счетным множеством состояний. В частности, эта система пригодна для опи¬
сания невосстанавливаемых и восстанавливаемых устройств при любом виде
резервирования. Она может быть использована для описания стационарного
116Гпава 4и нестационарного режимов эксплуатации. Кроме того, в ряде случаев систе¬
ма (4.11) позволяет получить некоторые качественные свойства функциони¬
рования системы.4.3. Общая модель функционирования
системы в смысле надежности
в терминах дифференциальных уравнений
в частных производныхСистема (4.11) может быть представлена также в виде эквивалентной систе¬
мы дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из кото¬
рых является уравнением первого порядка. Для доказательства этого утвер¬
ждения рассмотрим соотношение/у(А, 0 = \и(Х + A,t- x)dx + 9(А + Т), (4.12)огде А - (о,, а2,..., am), X = (х, х,..., х), Т = (/, t,..., t) — /w-мерные векторы,
у и и — дифференцируемые функции, зависящие от (m +1) аргумента, 0 —
дифференцируемая функция т аргументов. Применяя к обеим частям (4.12)т д доператор дифференцирования L = + —, получим:,=1<Эа, dt' d т ЯLy(A, t) = - f— и(Х + A, t - x)dx + и(Т + А, 0) - У— в(А + Т) +
о cbc i=\dajm л+X 0(Л + T) = и(А, Т) - и(Т + А, 0) + и(Т + А, 0) = и(А, Г).,=|3а,Таким образом, из равенства (4.12) следует, чтоy(A,t) = u(A,t). (4.13)Очевидно также, что из (4.12) при t = 0 определяется начальное условие:ХЛ,0) = е(Л). (4.14)Верно и обратное. Из соотношений (4.13) и (4.14) следует (4.12).
Математические модели функционирования технических элементов и систем117Действительно, для этого достаточно от обеих частей равенства (4.13) вычис¬
лить криволинейный интеграл вдоль прямой, определяемой параметрически¬
ми уравнениями:(0:В результате будем иметь\А' = А + Х;
[t' = t-x,где 0<хй(.(/)Г-У—i—] dat dty{A,t)dl= J u(A,t)dl<0Произведя замену переменных, получим>( м д эЛили| — + — у(А + X,t-x)dx = \u{A + X,t -x)dx
o\ dtJ оt d 1
- f—y{A + X,t-x)dx= [u(A + X,t-x)dx.
JQdx 0JОтсюда следует, чтоy(A,t)~ y(A + T,0)= fu(A + X,t- x)dx,Используя начальное условие (4.14), получим (4.12).Из равносильности соотношений (4.12) и (4.13)—(4.14) следует эквивалент¬
ность системы интегральных уравнений (4.11) и следующей системы диффе¬
ренциальных уравнений:г- XieRkuWk daik dtд д
+ —с дополнительными начальными условиямиЛ(Л>0= I (4.15)J-*k iУк0(Ак0> °)= П hi(aik0), л (Л. °)=0(4.16)Произведение в правой части (4.15) распространяется на те множества индек¬
сов /, что и в (4.11), а суммирование производится по всем номерам состоя¬
ний j, из которых существует одношаговый переход в состояние к .
118Гпава 4ПРИМЕР 4.5. Составить систему интегральных и дифференциальных урав¬
нений для описания функционирования основного соединения 3-х элементов
из разд. 4.2.3.Решение. Поскольку устройство имеет 6 возможных состояний, то неизвест¬
ными в системах уравнений являются 6 функций, аргументами которых слу¬
жат столбцы матрицы состояний S и время t: ^0(л1952,Яз,/), y\{t\,s'2,s'2,t),y2(s[,T2,53,0» Уз(лг1>52»тз>0» ^3i(Ti’J2>T3>0> Система инте¬гральных уравнений составляется в соответствии с общей методикой по фор¬
муле (4.11), считая, что в момент времени t = О все элементы исправны:tyb(sx,s2,s-i,t)=\f(x + s\)y^,x + s2,x + s2,t-x)dx +0t i
+ \f2(.x + s2)y2(x + sx,0,x + STt,t-x)dx + \fi(x + s3i)yT)(x + sx,x + s2,0,t-x)dx +о 0
+/l (t + 5| )/2 (l + s2 )/з 0 + s3 XIyx (Tj, s2,53,.t) = Jg, (x + x, )y0 (0, s2,s3,t- x)dx,01y2 (Sj', t2 ,s'3,t) = jg2(x + t2 )^0 (J,, 0, S3, / - x)dx-
0t>3(j1,s2,t3,0= Jg3(^ + 'c3)^0(x + s1,x4-52,0,f-jc)£6: +0t t
+ J/i(jc + j1)^31(0,x + s2,^ + t3,/-j:)<ix+ \f2{x + s2)yi2{x + sx,0,x + ^,t-x)dx,
о 0tУз 1 (*1»■*2 >T3 >0 = J#i О + T, )>>3 (0,s2,t3,,t - x)dx,0tУ32 (S1 >T2>T3 »0 = jg2(x + *2 )Уз 0s!. 0,t3,f - x)dx.0Система дифференциальных уравнений составляется исходя из равенств
(4.15):f д д д длds} ds2 ds3 dtyQ(sx,s2,s2,t) = fx(sx)yx(0,s2,si,t) +
+/2(^2 )Уг (*i ,0,53,O + /3 («3 ХУз^МгД 0.
Математические модели функционирования технических элементов и систем 119У\ (*i»s2 ,,s3,,t) = g, (t i )>'0 (0, s2, s3, t),\У 2 O'l ,t2,53,0 = g2 (x2 )л (J2 ’ °> S3 ’ 0,V%(*1>Я2»*Э>0 = ft(T3)^0(sl>s2!°»O +/dsx ds2 dx3 dt+f\ (Ji )Уг l (0, , x3, /) + /2 02 ).y32 C*i, 0, x3, / ),'_J_+^ dtj Э/a s•4- —^3 l(tl,s2^3>0 = gl(^l )Уз (°. *2»■T3»0.JV32 (*1 ,*2 > T3 > 0 = &2 (x2 )^3 (S1 >°> T3 ’ 0,dx2 dtа начальные условия — исходя из равенств (4.16):У о (s],s2,s3,0) = fi(sl )/2 (s2 )/з (Л'з).Остальные функции при t - 0 равны нулю.4.4. Модель надежности
стационарного режимаВ процессе эксплуатации технической системы ее многие временные харак¬
теристики стремятся к некоторым постоянным значениям. В этом случае го¬
ворят, что система работает в установившемся или стационарном режиме.
Предположим, что функции yk(Ak,t), описывающие функционирование сис¬
темы, имеют предельные значения, и yk(Ak) = lim yk(Ak,t). Тогда формаль-ный переход к пределу в уравнениях (4.11) показывает, что относительно
функций yk(Ak), k е Е имеет место следующая система интегральных урав¬
нений:+00Ук(Ак)= Z Ш¥*+a&)yj(xjk+ Aj )<&•j-*k 0 i(4.17)Система уравнений (4.17) описывает стационарный режим восстанавливае¬
мой системы. В ней приняты те же обозначения, что и в уравнениях (4.11).
Заметим, что добавочное слагаемое Qk(j(Aka,t), характеризующее начальное
120Глава 4распределение вероятностей, стремится к нулю при и система (4.17)его не содержит. Поэтому система уравнений (4.17) является однородной и
всегда имеет тривиальное решение ук = 0. Таким образом, если ук — какое-
либо ненулевое решение системы (4.17), то функции сук (с = const) также
образуют решение этой системы. Поэтому решение системы (4.17) обычно
определяется при дополнительном нормировочном условии: сумма вероятно¬
стей всех состояний равна единице.Система дифференциальных уравнений (4.15) также может быть формально
преобразована для описания стационарного режима, а именно предельный
переход при t -> со приводит к следующей системе уравнений:" I "Л(4)=1П^КЖ4'о))' (4-18)i€RkuWk 0aik j-*k iСистема (4.18) эквивалентна системе (4,17). Решение систем для установив¬
шегося режима обычно проще, чем решение аналогичных систем, описы¬
вающих нестационарный режим, и в некоторых случаях оно может быть по¬
лучено в конечном виде. Решение приведенных систем уравнений дает воз¬
можность найти вероятности состояний в установившемся режиме, а также
параметры перехода из состояния к в состояние / (k,l е Е):ооРк = к&Е, (4.19)о®*./ = b(4/0V4/0)> (4-20)Огде i0=i0(k,l) -— номер того элемента, отказ или восстановление которого
вызвал данный переход.ПРИМЕР 4.6. Составить систему интегральных уравнений, описывающую
стационарный режим функционирования основного соединения 3-х элемен¬
тов из разд. 4.2.3.Решение. В примере 4.5 приведена математическая модель функционирова¬
ния рассматриваемой системы для любого момента времени t. Предельный
переход при со дает математическую модель функционирования в ста¬
ционарном режиме:ооy0(sl,s2,s3)= J/] (* + 5, )>>,((), x + s2,x +53)й?Х +0со 00+ I flix + s2)y2(x + su0,x + s2)dx + J/з (x + -s3 )уъ (x + s,, x + s2, Q)dx,
о о
Математические модели функционирования технических элементов и систем12100Л(*1.Л2»дз)= J #10 + Т1 Х^О (0, ^2 ,s3)dx = G, (т, )у0 (0,S2, *3 )>
о00у2 (s(, х2, s3 ) = J g2 (х + х2 )у0 (st, 0,53 )dx = G2 (т2 )у0 (5,, 0,53 ),
о00-V3 (^1. »тз) = fg3(* + T3)>,o(* + si>-x + s2>())£& +000 00
+ J/i (х + s, )у3, (О, X + s2,X + х3 )dx + { /2 (х + s2 )у32 (х + 5,, 0, * + х3 )dx,
о о00•У31(Т1>52>Т3)= J^l(^ + 'Cl)j3(0»-s2>T3)^ = A('tl)>'3(0»-s2»T3)>
о00^32 (51 Лг. ■тз) = \ё2 (х + Ь )Уз (S1>°> тз уь = G2 (х2 )Уз (Л1»°> тз )•оНепосредственной подстановкой легко проверить, что данная система имеет
следующее решение:У о (•*! ,s2 ,S3 ) = Fi О, )F2 (s2 )F3 (s3 ),= ^1 (^1 )^*2 (s2 )-^3 (s3 ) >y2 (j,, x2, s3 ) = F, (s, )G2(x2)F3 (s3 ),Уз (51 >s2 > Ъ > = ^1 (s\ )*2 (s2 )G3 (b) »
y3, (Tj, s2, x3 ) = Gj (Tj )F2 (s2 )G3 (x3 ),>'32(51’х2’тз) = -^1 (^l )^2 (T2 )^3 (T3 ) •Теперь не представляет труда определить стационарные вероятности состоя¬
ний и параметры перехода из состояния в состояние с точностью до постоян¬
ного множителя С :Ро - стхт2т3, рх = СТъХТ2Т3, р2 = СТ{Гй2Т3, р3 = ст{т2тв3,Рз 1 - СТъ\Т2ТъЗ» Р32 = СТ{Гъ2Т,3 ,Ю01 =со10 =с^2^3> ю02 = со20 ~с^1^3’ ^03 “ ®30 = с^1^2 ’®3,31 = “31,3 = сТ2ТъЗ > ®3,32 = ®32,3 = сТ\ТъЗ ■
122Гпава 4Постоянное число С находится из условия нормировки:Ро + Pi + Рг + Рз + + Ръг =1»откудаС = + Тв1Т2Т3 + 7’,Гв2Г3 + г,г2гвз + гв1г27;з + 717;2гвз )~1.На основе полученных базовых показателей определяются основные показа¬
тели надежности, например средняя наработка на отказj Ро та©01 + ®02 + ш03 ^2^3 + Щ +
и среднее время восстановленият Р\ + Рг + Рг + Рз1 + Ръ2 тв\т2тз + + + ТъХТ2Тй, + Г|Гв2Гв3
®10 + ©20 + ©ЗО ^2^3 +Т{Г3+ТТ24.5. Модели надежности
невосстанавливаемых системОценка надежности технической системы без восстановления является зна¬
чительно более простой задачей по сравнению с оценкой восстанавливаемой
системы. Описание функционирования такой системы представляет собой
частный случай математической модели системы при наличии восстанов¬
ления.Пусть Е — множество состояний невосстанавливаемой системы. Тогда для
любого состояния к е Е естественным образом определяются множества Rk,R'k, R®, характеризующие соответственно номера работающих элементов,
элементов, находящихся в состоянии простоя по причинам прерывания их
функционирования, и элементов, образующих очередь на работу. При этом
условно будем считать, что отказавшие элементы становятся в очередь навосстановление, и номера этих элементов образуют множество W£ . Множе¬
ства Wk и W[, характеризующие процесс восстановления элементов, являют¬
ся пустыми. Таким образом, аргументы искомых функций ук равны s,, либо
s'j, либо нулю. В графе состояний отсутствуют все переходы, соответствую¬
щие восстановлению, и все пути графа имеют конечную длину, не превы¬
шающую количество уровней графа. Соотношения (4.9) и (4.10) для вероят¬
ностей состояний и параметров переходов, а также правила составления сис¬
тем интегральных и дифференциальных уравнений при этом сохраняются, но
по своей форме они значительно упрощаются.
Математические модели функционирования технических элементов и систем123ПРИМЕР 4.7. Описать функционирование невосстанавливаемой системы
для основного соединения 3-х элементов из разд. 4.2.3.Решение. Как и прежде, устройство имеет 6 возможных состояний и 6 неиз¬
вестных функций: 70(^,52,53,0, л(°>52^3>0, Jb(s{>0,3$,0, 7з(5,,52Д0,
^31 (0,^2 >0)0 > ^32 (^[, 0,0,0. Считая, что в момент времени t = 0 все элементы
исправны, будем иметь следующую систему интегральных уравнений:y0{sx,s2,s3,t) = fx{t + sx)f2(t + s2)f3(t + s3),
tyx (0, s’2, S3, it) = jy0 (0, s2, s3 ,t - x)dx,0ty2 (s(, 0, S3,0 = JVo (^l >10.'*3 - x)dx>0ty3 (s,, s2,0,0 = jy0 (x + > •* + s2 > °>' - x)dx,0ty3, (0, s'2,0,0 = jy3 (0,S2,0,t - x)dx,0tУ32 0[>0,0,0 - j)>3 (^1,0,0,t - x)dx.0Все неизвестные функции определяются последовательной подстановкой:•Vo(s\ >s2 >'*3>0 = Л 0 + sl )fl (t + s2 )/з (t + s3 )>
ty, (0, s2, s3,0 = Jfi (x)f2 (X + S2)f3(x + S3 )dx,0ty2 (Si, 0,s3,0 - J/i (X + Ji )/2 (x)fi (X + s3 )dx,0Уз Ol > s2,0,t) = f](t + s] )f2 (t + s2 )F3 (0,
tУз 1 (0» 52 A 0 = J/i (x)ft(x + S2 )F3 (x)dx,0tУ32 О!> °»°> 0 = ]f\ (x + Si )f2 (x)F3 (x)dx .0
124Гпава 4Далее находим вероятности состояний:ро (о=Ц (0^2 (о^з (о > Pi (о= !л о)^> (хщ (*>& >ор2(0 = jF,(х)/2(x)F3(x)dx, р3(О = Ц(t)F2(t)F3(t),
оP3iO)=\fx(x)F2(x)F3(x)dx, Рзг(0= р1М/2М^(Л'>&-
о оНетрудно видеть, что сумма вероятностей равна единице, что может служить
контролем правильности вычислений.ПРИМЕР 4.8. Описать функционирование невосстанавливаемой резервиро¬
ванной системы при постоянном резервировании кратности т = 2 из разд. 4.2.3.Решение. В графе состояний невосстанавливаемой системы отсутствуют все
переходы с нижнего уровня на верхний. Мы не будем выписывать полностью
систему интегральных уравнений, приведем только те уравнения, которые
отвечают состояниям: 0, 1, 12, 123. Остальные уравнения составляются ана¬
логично.~Mt + sx)f2(t + s2)f3(t + s3),Iyx(0,s2,s3,t) = ly0(0,x + s2,x + s3,t-x)dx,
оt t
J12(0,0,s3,0= jj1(0,0,x + s3,/-x)c&+ ^(ОДх + ^з,
о 0tym (0,0,0,0 = jyl2 (0,0,0,t - x)dx.
оНепосредственной подстановкой найдем решение этой системы:д>0 О, ,s2,s3,t) = fx(t + sx)f2{t + s2 )/3 (t + s3),У\ (0, s2,s3,t) = Fx (0/2 (t + s2 )/3 (t + s3 ),t t
У12 (0,0, S3,t)= jF, (x)f2 (x)dxf3 (t + s3) + J/j (x)F2 (x)dxf3 (t + s3) =
о 0= Fx(t)F2(t )f3 (t + s3 ),
Математические модели функционирования технических элементов и систем125*ш(0,0,0,о = jFl(x)F2(x)f3(x)dx.
оОпределим вероятности соответствующих состояний:Po(t) = Ft(t)F2(t)F3(0, Pl(t) = F,(t)F2(t)F3(t),
Pn{t) = Fx(t)F2(t)F3{t), pm(0 = \Fx{x)F2{x)f^x)dx .оВыписывая вероятности остальных состояний, можно показать, что сумма
вероятностей всех состояний равна единице.Вычислим вероятность отказа системы:Q(t) = /7] 23 (0 + Р132 (0 + Р2Ъ1 (0 >ИЛИQ(t) - ‘\F{{x)F2{x)Ux)dx + J'Fi(x)f2(x)F3(x)dx + )fx(x)F2(x)F3(x)dx =О 0 0= F[(t)F2(t)F3(t).Следовательно, вероятность безотказной работыР(0 = 1 - ^1(0^2 (О^з (0 •4.6. Модели надежности систем
при экспоненциальных законах
распределения отказов
и восстановлений элементовРассмотрим частный случай системы уравнений (4.15), когда времена безот¬
казной работы и восстановления элементов имеют экспоненциальные законыраспределения вероятностей. Пусть h, (0 = Aie~A‘t, где А, — интенсивность
отказа или восстановления /-го элемента в зависимости от того, какой смысл
вкладывается в плотность распределения /г, (время безотказной работы или
время восстановления). Будем искать решение системы дифференциальных
уравнений (4.15) в видеЛ(4>0 = ПА<(%)Л(0. к&Е, (4.21)
126Гпава 4где произведение распространяется на все индексы i е Rk u RkuWk и Wk, а
pk(t) — некоторые функции времени. Подставляя это решение в левую часть
(4.15) и используя равенство -hj(x) = ЛД(д), получим:S Л< № (aik )Рк (О+П h, (atk )Рк (О=Пи> (aik)ieRk'uWk i i iZ AiPk(.o+p'kioieRkuWkПреобразуем теперь правую часть уравнения (4.15). Так как(^У° \о=т («у )л/0 pj (о»iгде произведение вычисляется для всех i е i?? и и и , i * /0» то пРа‘
вая часть (4.15) принимает видX П hi (aik )П hi (aij Pj СО./' iпричем первое произведение распространяется на все индексы Mi, для кото¬
рых вектор Л* \Aij°) имеет "ненулевые" компоненты, поэтому оба произве¬
дения под знаком суммы дополняют друг друга, и после их объединения по¬
лучим [ JЛ, (ajk), в котором индексы / являются номерами "ненулевых" ком-
iпонент вектора Ак, т. е. i<=RkuR'kuWkuWk. Тем самым правая часть
дифференциального уравнения равнаШ(%) X \Pj(О-
/ jf->ArПриравнивая левую и правую части, получим:X Л,л (0+^(0= X AioPj(t)ieRkvWk j~*kилиРк(0 = - X Л/Л(0+ X \Р/(0- (4.22)ieRkufVk j->kВ соотношении (4.22) i = i(j,k) — номер элемента, вызвавшего переход из
состояния j в состояние к. Это уравнение показывает, что функции pk(t)
удовлетворяют уравнениям Колмогорова, справедливым для экспоненциаль¬
ных распределений, и, следовательно, pk(t) есть вероятность пребывания
системы в момент t в состоянии к . Таким образом, функции (4.21), в кото¬
рых вероятности pk(t) определяются системой (4.22), являются искомым
Математические модели функционирования технических элементов и систем127решением системы дифференциальных (и интегральных) уравнений, описы¬
вающих функционирование технической системы с экспоненциальными рас¬
пределениями.Заметим также, что если какой-либо компоненте вектора Ак с номером ц
соответствует плотность hj экспоненциального распределения, а остальные
плотности А, произвольные, то число аргументов функций ук уменьшается,
т. к.00Ук(Ак,0 = \ (aiok )\ук{Ак, t)daiok.
оЭто значит, что необходимость введения дополнительной компоненты в
функции ук отпадает. Этим фактом можно пользоваться для уменьшения
количества неизвестных, если время до отказа или время восстановления не¬
которых элементов системы имеет экспоненциальное распределение.Предположим, что техническая система состоит только из элементов элек¬
троники, имеющих экспоненциальные распределения времени безотказной
работы и любые распределения времени восстановления. Тогда математиче¬
ская модель в виде системы интегральных уравнений значительно упрощает¬
ся. Наибольшее упрощение системы уравнений происходит при полностью
ограниченном восстановлении, когда неизвестные функции содержат лишь
одну дополнительную компоненту.ПРИМЕР 4.9. Описать функционирование восстанавливаемой системы из
примера 4.2 при следующих условиях: время до отказа элемента имеет экс¬
поненциальное распределение с параметром Я,, / = 1, 2, 3, а восстановление
отказавших элементов производится одной ремонтной бригадой с прямым
приоритетом.В примере будет показано принципиальное отличие анализа надежности сис¬
темы в общей ситуации от случая, когда все законы распределения времени
до отказа и времени восстановления элементов являются экспоненциальны¬
ми. Так, например, количество состояний системы зависит от приоритета
восстановления отказавших элементов. Для прямого приоритета количество
возможных состояний увеличивается по сравнению с рассмотренным ранее
случаем обратного приоритета обслуживания, поскольку каждое из состоя¬
ний (1) и (2) приходится разбивать на два состояния.Решение. Перечислим все состояния системы:□ (0) — все элементы исправны, Aq = (sl,s2,s3);□ (1)— отказал и восстанавливается 1-й элемент, другие элементы про¬
стаивают вследствие прерывания их работы, Ах -;
128Глава 4П (1) — восстанавливается 1-й элемент, 2-й элемент простаивает из-за пре¬
рывания его работы, 3-й элемент исправен, но не включен в работу,
Лг=(т1,4,0);□ (2) — отказал и восстанавливается 2-й элемент, другие элементы простаи¬
вают вследствие прерывания их работы, Л2 = (s{,T2,.s3);□ (2) — восстанавливается 2-й элемент, 1-й элемент простаивает из-за пре¬
рывания его работы, 3-й элемент исправен, но не включен в работу,
A2=(s'l,x2,0);□ (3) — отказал и восстанавливается 3-й элемйнт, другие элементы продол¬
жают работать, А3 = (sus2,x3); *'*'□ (31) — отказал 3-й, а затем 1-й элементы, 1-й элемент находится в очереди
на восстановление, 2-й элемент простаивает из-за прерывания работы, 3-й
элемент восстанавливается, Л4 = (0,s2,x3);□ (32) — отказал 3-й, а затем 2-й элемент, 1-й элемент простаивает вследст¬
вие прерывания работы, 2-й элемент находится в очереди на восстановле¬
ние, 3-й элемент восстанавливается, Л5 = (jf, 0,т3 ) .В связи с принятой дисциплиной обслуживания, когда при наличии очереди
сначала восстанавливается первый отказавший элемент, граф состояний
(рис. 4.6) будет другим по сравнению с графом, изображенным на рис. 4.3 для
обратного приоритета.Рис. 4.6. Граф состояний системы из примера 4.9Система интегральных уравнений также изменяется и приобретает следую¬
щий вид:
Математические модели функционирования технических элементов и систем129y0(sl,s2,s3,t) =
t t
= j/i (х + sx )yl (0,x + s2 ,x + s3 ,t - x),dx + J/i О + sx )/3 (x + s3 )y^ (0,x + s2 0,t - x)dx +
о 0t t
+1/2 (x + s2 )y2 (x + sx,0,x + s3,t- x)dx + J/2 (x + s2 )f3(x + 53 )yj (x + Л|, 0,0, / - x)dx +
о 0I+ J/3 (x + s3 )>-3 (x + s,,jc + s2,(U- x)dx +f(t + Sj )f2(t + s2 )/3 {t + s3 ),0}>i(T,,S2,s3,0= JgiO + ь )y0 (0, S2,s3,t- x)dx,0t>T(xi, s'2,0,t)= jg\(x + xx)y3l(0,s2,0,t-x)dx,0ty2(s[,x2,s3,t)= jg2(x + x2)y0(s,,0,s3,t- x)dx,
0
tj^(j(,t2,0,0 = \g2(x + x2)y32(sx,0,0,t ~ x)dx,
0ty3(sx,s2,x3,t) = Jg3 (x +13)^0 + +0ty3 J (0, s2, т3, /) = \y3 (0, s2, x + x3, / - x)dx,y32 (s(, 0, x3,0 = \y3 (s 1,0, x + x3, t - x)dx.0Согласно принятому допущению об экспоненциальное™ времен до отказа
элементов, искомые функции можно представить в виде:у0 о, ,s2,s3,t) = V~Vl Уо (0,ух (т,, s2, s'3, /) = \2е~Хл X3e~hS3 yx(xx,t),yr(xj,S2,0,O = he~klS2У~\ (Ti»0»
y2(s'x,x2,s'3,t) = 'kxe~x's' Я.3е“ ^ У2 (x2>0»5 Зак. 3094
130Глава 4yj (s{ ,т2,0,/) = V~Vl Уг (T2.0»Уз 0] ,s2,x3,t) = V“V| Л,2е_хл J73 (x3,0,>>31 (0, s'2, x3, /) = Х2е~х**2 y3 , (x3,/),732(5,',0,t3,0 = V~Vl РзгСМХ
где функции у получены из функций у путем интегрирования по всем ком¬
понентам, соответствующим экспоненциальным распределениям, например:ОООООО ' СО 00Уо(0= J J J(si>^2»>Ods\ds2ds3, 7,(т,,0= J lyl(TUs2,s3,t)ds2ds3ООО 00ИТ. д.С учетом этого замечания получим следующую систему уравнений:5Ш == |е-(х1+х2+А-з)^^](о,г-х) + 7Г(0,/-х) + 72(0,Г-х) + >^(0,/-х) + y3(Q,t-x))dx +
оtУ\ (Х1,0 = h Jgi (X + т, )У0 (t - x)dx,
оtУ\ (* 1 ><0 = \g\(х + Xi)у31 (О,/-x)dx,
оIу2 (т2,0 = Х2 J82 (X + т2 )у0 (t - x)dx,
оtУг (х2 .■О = jg2 (х + х2 )?32 (0,г - x)dx,
оУз (т3,0 = Хз +kz)xg3 (х + т3 )у0(г - x)dx,о/Уз iCM) = (Л + *з>' - x)dx,У32(хз,0 = ^2 jy3(x + T3,t-X)dx
о
Математические модели функционирования технических элементов и систем131Если ограничиться стационарным режимом, то получим_ у, (0) + уг(0)+МП + ^(°>+У0 1 *1 *1 >A.J Ч* Л.2 А*^л (xi)=ЗД (xi )7о» Ут (Ti) = G\ (Ti )Ъ 1 (°)>У2(х2) = ^2 (х2 )7о > Уг (х2) = &2 (х2)Рз2(0),.Уз(тз)= ^з£з,т3 (^i + ^-г)Уо»00 оо3731('С3) = ^1 \ЫХ+Хз)^^ Д'з2(тз) = ^2 j%(* + T3)*-
О оВыразим все искомые функции через у0 :Ji(xi) = >>r(xi) = ^i^'3^i(Ti)^:3(^i +^г)Уо’Уг(х2) = ^2^2{хг)Уо ’ >^(Х2) = ^2^-3^2(Х2)^3(^1 + ^-2)>’о»Уз (х3 ) = ^3&3,Тз (^1 + ^2)*0 >А А*з 1 (хз)= ^*i^з^з.тз(^i +^г)Уо> Узг(тз)= ^2^-з^з,х}(^1 + ^-г)Уо-Выразим теперь вероятности всех состояний через вероятность р0 = у0 на¬
чального состояния:Р\ =^i^biPo> Pi =^\hTB\G3(h +^г)Ро’Ар2 =к2ТЪ2Ро> Рг =^2^з7в2<^з(^1 + ^2)Ро>Рз ~+ ^2)Ро ’Р31 = ^ ^ |^вЗ-адц +^2)|р0> Р32 = jJT+x”(^в3 +^2))р0 •Используя условие нормировки, найдем вероятность начального состояния,
являющегося в данном случае коэффициентом готовности системы:Ро =(l + (№ +^2^в2)^ + ^3^з(^1 +^2)| + ^З^вЗ j •Таким образом, показатели надежности зависят не только от моментов перво¬
го порядка, но и от закона распределения времени восстановления элементов.
ГЛАВА 5МЕТОДЫ АНАЛИЗА НАДЕЖНОСТИ
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМРассчитать надежность сложной системы — это значит определить ее по¬
казатели надежности по известным показателям надежности элементов.Существует большое количество методов расчета надежности. Основными из
них являются:□ метод, основанный на применении классических теорем теории вероят¬
ностей;□ логико-вероятностные методы;□ топологические методы;□ методы, основанные на теории марковских процессов;□ методы интегральных уравнений;□ методы статистического моделирования.Опишем эти методы, укажем их достоинства и недостатки.5.1. Способы описания функционирования
технических систем в смысле их надежностиСуществуют следующие способы описания функционирования технической
системы в смысле ее надежности:□ структурная схема;□ функции алгебры логики;□ граф состояний;□ дифференциальные и алгебраические уравнения;□ интегральные уравнения.Опишем эти способы и приведем примеры их использования.
Методы анализа надежности технических систем1335.1.1. Структурная схема системыКаждый элемент сложной системы изображается в виде геометрической фи¬
гуры, чаще всего прямоугольника. Прямоугольники соединяют линиями та¬
ким образом, чтобы полученная структурная схема отображала условия рабо¬
тоспособности. В качестве примера на рис. 5.1 приведены соответственно
структурные схемы нерезервированной системы, состоящей из п элементов,
и системы с раздельным (поэлементным) резервированием.2яm = 1/2бРис. 5.1. Структурные схемы нерезервированной (а) и резервированной (б) системРезервирование элементов осуществляется методами постоянно включенного
резерва, замещением и с дробной кратностью m = 1/2 .Из структурных схем наглядно видны условия работоспособности. Система
на рис. 5.1, а работоспособна, если все ее элементы исправны. Отказ любого
элемента нарушаем работоспособность системы, наступает ее отказ. Система
на рис. 5.1,6 работоспособна, если исправным является элемент 1 и любой
один элемент дублированных пар, а также два любых элемента из трех резер¬
вированных с дробной кратностью m = 1/2 .Высокая наглядность— основное достоинство этого метода. Его недостат¬
ком является далеко не полная информация о функционировании системы.
Например, из рис. 5.1 не ясно: ремонтируемая или неремонтируемая система,
дублирование осуществлено равнонадежными элементами или нет, какова
дисциплина обслуживания системы, если она ремонтируемая (количество
ремонтных бригад, приоритетность обслуживания), какова кратность резер¬
вирования в случае резервирования с дробной кратностью.Эти и ряд других недостатков требуют дополнительных описаний условий
работоспособности системы. Только при этих условиях можно выполнить
134Глава 5анализ системы по критериям надежности. Следует также иметь в виду, что
структурная схема не является математической моделью функционирования
системы.5.1.2. Функции алгебры логикиЗакодируем состояния каждого из элементов структурной схемы двоичными
переменными: 1 (элемент исправный), 0 (элемент в отказовом состоянии).Тогда функционирование системы можно описать с помощью функций ал¬
гебры логики (ФАЛ), используя операции конъюнкции, дизъюнкции и инвер¬
сии. В качестве примера составим ФАЛ, соответствующую работоспособно¬
сти системы с последовательным соединением элементов. Система находится
в работоспособном состоянии при условии, что все ее элементы исправны.
Обозначим Xj — исправное состояние i-го элемента, xt — отказовое состоя¬
ние, /' = 1, 2,... ,п. Тогда ФАЛ будет иметь вид:у(х1,х2,...,хп) = ххх2...х„.Приведем еще один пример. Структурная схема системы имеет вид, пред¬
ставленный на рис. 5.2.*3Рис. 5.2. Структурная схема системы с неравнонадежными элементамиСистема будет в работоспособном состоянии в следующих случаях: все эле¬
менты исправны, исправными являются элементы 1 и 2 или 1 и 3. Тогда
ФАЛ, соответствующая функции работоспособности, будет иметь вид:у(хх,x2,xi) = xlx2x3v ххх2хъ vххх2хг .Процедура получения ФАЛ может быть формализована. Одним из способов
формализации является получение совершенной дизъюнктивной нормальной
формы (СДНФ), получаемой из таблицы истинности, соответствующей рабо¬
тоспособному состоянию системы.Пусть, например, структурная схема системы имеет вид, показанный на
рис. 5.3.Таблица истинности приведена в табл. 5.1.
Методы анализа надежности технических систем135х2Рис. 5.3. Структурная схема системы со смешанным соединением элементовТаблица 5.1. Таблица истинностиXI*2*3ХА,У00000000100010000110010000101001100011111 ’00001001о101001011111000110101110011111Функция y(xl,x2,xi,x4) имеет значение 1 лишь на трех наборах двоичных
аргументов:□ 0111 (исправными являются элементы х2, х3, х4);□ 1011 (исправными являются элементы xt, jc3, jc4);□ 1111 (все элементы исправны).
136Гпава 5Тогда следующая СДНФ будет функцией алгебры логики, описывающей ра¬
ботоспособное состояние системы:у(хх,х2,хт1,х^) = ХгХ2Х}Х4 V ХХХ2Х$Х4 V X1X2X3JC4 .Функция алгебры логики может быть математической моделью функциони¬
рования системы в смысле ее надежности.Способы получения ФАЛ, достоинства и недостатки метода более подробно
описаны в разд. 5.3.5.1.3. Матрица состояний системыВ матрице состояний содержится вся информация о функционировании сис¬
темы в смысле ее надежности. Каждая строка матрицы представляет собой
вектор, компонентами которого служат признаки о том, в каком состоянии
пребывает каждый элемент, когда сама система находится в состоянии i,
ieE, где Е — множество всех состояний системы. Элемент может нахо¬
диться не только в двух состояниях: работает или восстанавливается. Эле¬
мент системы может находиться в состоянии простоя, которое вызвано раз¬
личными причинами. Для дальнейшей работы системы необходимо знание
того, вызван ли указанный простой элемента очередью на восстановление
или отказом других элементов, или элемент является резервным и находится
в ненагруженном состоянии и т. д. Задание матрицы состояний системы было
подробно описано в гл. 4. Вместо матрицы состояний информация о функ¬
ционировании системы может находиться в аргументах функций, являющих¬
ся неизвестными в системе интегральных уравнений. Достоинством описания
системы с помощью матрицы состояний является удобство ее хранения в па¬
мяти ЭВМ или на внешнем носителе информации. При этом матрица может
иметь практически любую размерность. Другое дело — использование этой
матрицы для построения системы интегральных уравнений. Данный вопрос
достаточно сложный и требует серьезного изучения.5.1.4. Граф состояний системыВосстанавливаемая система, состоящая из п элементов, может находить¬
ся в большом числе состояний. Например, z-e устройство отказало
(/' = 1, 2,..., п), а остальные исправны; z-e и j-e устройства отказали, а осталь¬
ные исправны, и т. д. Из-за отказов и восстановлений система в дискретные
моменты времени переходит из одного состояния в другое. В процессе дли¬
тельной эксплуатации она может побывать в каждом из возможных состоя¬
ний многократно. Тогда ее функционирование может быть описано графом,
узлам которого приписываются состояния системы, а ветвям — возможные
Методы анализа надежности технических систем137переходы из состояния в состояние. Если в графе имеется п узлов, то среди
них будет к узлов, соответствующих отказовым состояниям, и (п-к) —
исправным.Если оценивать функционирование системы до некоторого /'-го состояния,
например до первого ее отказа, то /-е состояние считается поглощающим.
Система, попавшая в /-е состояние, уже не может перейти в другое, и в графе
отсутствуют ветви переходов из этого состояния (говорят, что в такие ветви
ставится жран).Вид графа зависит от структуры системы (схемы расчета надежности), числа
обслуживающих бригад и дисциплины обслуживания. Обычно узлы графа
нумеруются и отмечаются (например, крестом) те, которые соответствуют
отказовым состояниям системы. На графе также указываются все интенсив¬
ности переходов.Рассмотрим примеры графов, описывающих функционирование системы в
смысле ее надежности.ПРИМЕР 5.1. Схема расчета надежности нерезервированной системы при¬
ведена на рис. 5.4, где приняты обозначения:□ п — число элементов системы;□ Х' — интенсивность отказа /-го элемента;□ ц, — интенсивность восстановления /-го элемента, / = 1, 2,..., п .Рис. 5.4. Структурная схема нерезервированной восстанавливаемой системыГраф состояний рассматриваемой нерезервированной восстанавливаемой
системы приведен на рис. 5.5.(Л12пРис. 5.5. Граф состояний нерезервированной восстанавливаемой системы
138Гпава 5Исправное состояние обозначено (0), а отказовые пронумерованы от 1 до и
и изображены квадратами. В любом i-м отказовом состоянии система не ра¬
ботает, а /-й элемент находится в ремонте. Очевидно, что система в г-е отка-
зовое состояние может попасть с интенсивностью отказа г-ro элемента, т. е.
Xj, и может быть восстановлена (возвращена в состояние (0)) с интенсив¬
ностью Ц; .Указанные интенсивности приведены на графе. В рассматриваемом случае
вид графа и интенсивности переходов не зависят от числа обслуживающих
бригад, т. к. предполагается, что после возникновения отказа одного элемента
вся система не работает и отказы элементов в процессе ее восстановления не
возникают.Если необходимо проанализировать поведение системы до первого отказа, то
следует считать, что состояния (1), (2),..., (п) являются поглощающими
(система, попав в эти состояния, больше не возвращается в исправное со¬
стояние (0), экран на графе состояний).ПРИМЕР 5.2. Необходимо описать графом функционирование дублирован¬
ной системы, схема расчета надежности которой приведена на рис. 5.6.Рассмотреть следующие случаи:а) систему обслуживают две бригады;б) обслуживание осуществляется одной бригадой с прямым приоритетом;в) обслуживание осуществляется одной бригадой с обратным приоритетом;г) обслуживание осуществляется одной бригадой, причем первый элемент
имеет высший приоритет по сравнению со вторым.^•1»^2> ^2Рис. 5.6. Структурная схема дублированной системы с неравнонадежными элементамиРешение. Из рис. 5.6 видно, что дублированные устройства неравнонадежны
и обладают различной ремонтопригодностью. Предполагается также, что по¬
следействие отказов отсутствует.Графы состояний системы для всех случаев приведены на рис. 5.7.
Методы анализа надежности технических систем139Рис. 5.7. Граф состояний дублированной системы при различных дисциплинах обслуживанияСистема может находиться в следующих состояниях:□ (0) — состояние, когда оба устройства исправны;□ (1) — состояние, когда первое устройство отказало и находится в ремонте,
а второе исправно;□ (2) — состояние, когда второе устройство отказало и находится в ремонте,
а первое исправно;□ (3)— отказовое состояние системы, когда оба устройства неисправны;
при этом в случае (а) ремонтируются и первое, и второе устройства; в слу¬
чае (б) и (г) ремонтируется первое, а второе находится в очереди на ре¬
монт; в случае (в) ремонтируется второе, а первое находится в очереди;□ (4)— отказовое состояние, когда оба устройства неисправны, при этом
в случае (б) ремонтируется второе устройство, а в случаях (в) и (г) —
первое.Рассмотрим первоначально случай (о) (рис. 5.7, а). В дублированной системеможет отказать либо первое, либо второе устройство. Поэтому из исходного
140Гпава 5состояния (0) возможны два перехода: в состояние (1) с интенсивностью А,] и
в состояние (2) с интенсивностью Х2 . Отказавшее устройство может быть
восстановлено до отказа системы, т. е. система из состояний (1) и (2) может
возвратиться в исходное нулевое состояние. Может также оказаться, что до
восстановления отказавшего устройства откажет еще одно, и система перей¬
дет в отказовое состояние (3), показанное на графе квадратом. В это состоя¬
ние она может попасть либо из состояния (1) с интенсивностью к2 (второе
устройство отказало), либо из состояния (2) с интенсивностью А, (первое
устройство отказало). Так как восстановлением системы занимаются две об¬
служивающие бригады, то в состоянии (3) оба устройства ремонтируются
независимо от того, какое из них отказало первым. Если в состоянии (3) пер¬
воначально будет отремонтировано первое устройство, то система перейдет с
интенсивностью ц, в состояние (2), а если второе — то с интенсивностью \х2
в состояние (1).Случаи (б), (в), (г) отличаются от рассмотренного тем, что ремонтом дубли¬
рованной системы занимается лишь одна обслуживающая бригада. При та¬
ком обслуживании в отказовом состоянии дублированной системы ремонти¬
руется только одно из отказавших устройств, а второе находится в очереди на
ремонт. А это значит, что дублированная восстанавливаемая система имеет
два разных отказовых состояния, которые объединить в одно в общем случае
невозможно. На рис. 5.7, б—г эти состояния обозначены (3) и (4) и показаны
квадратами.При обслуживании дублированной системы с прямым приоритетом (случай
(б)) в отказовом состоянии (3) ремонтируется первое устройство, а в состоя¬
нии (4) — второе. Если будет отремонтировано первое устройство, то систе¬
ма перейдет в исправное состояние, когда первое устройство работает, а вто¬
рое находится в ремонте, т. е. в состояние (2). Интенсивность перехода будет
равна интенсивности восстановления Ц| первого устройства. Если будет от¬
ремонтировано второе устройство, то система перейдет в исправное состоя¬
ние, когда второе устройство работает, а первое находится в ремонте, т. е. в
состояние (1). Интенсивность перехода будет равна интенсивности восста¬
новления \х2 второго устройства.При обслуживании системы с обратным приоритетом (случай (в)) в состоя¬
нии (3) ремонтируется второе устройство, а в состоянии (4) — первое, поэто¬
му из отказовых состояний (3) и (4) возможны переходы соответственно в
состояние (1) с интенсивностью \12 и в состояние (2) с интенсивностью р.].В случае (г) первое устройство имеет приоритет в обслуживании, поэтому в
отказовых состояниях (3) и (4) оно ремонтируется первым. А это означает,
Методы анализа надежности технических систем141что переход системы из отказовых состояний (3) и (4) возможен лишь в ис¬
правное состояние (2), когда первое устройство работает; а второе находится
в ремонте. Интенсивность перехода равна интенсивности восстановления Ц}
первого устройства.Из примера следует, что вид графа зависит не только от структуры системы,
но также от числа обслуживающих бригад и дисциплины обслуживания.Из приведенных примеров видно, что граф состояний восстанавливаемой
системы полностью определяется ее структурой (схемой расчета надежно¬
сти), надежностью устройств, их ремонтопригодностью, числом ремонтных
бригад, дисциплиной обслуживания и видом восстановления. В нем содер¬
жится вся информация о функционировании системы. Поэтому граф состоя¬
ний можно рассматривать как один из способов описания поведения^ системы
в смысле ее надежности. Основным преимуществом такого описания являет¬
ся наглядность и сравнительная простота.Граф состояний сложной системы может иметь большое число узлов. В этом
случае при построении графа приходится просматривать большое число воз¬
можных сочетаний отказавших элементов. Это можно выполнить при усло¬
вии формализации построения графа.5.1.5. Формализованный способ
построения графа состояний системыКаждому узлу графа соответствует определенное состояние системы. Сово¬
купность состояний, когда в системе отказало / устройств, будем называть
i-м уровнем графа. Тогда при / = 0 (нулевой уровень) все устройства исправ¬
ны, при / = 1 (первый уровень) одно любое устройство отказало, а остальные
исправны, при / = 2 (второй уровень) два любых устройства отказали, а ос¬
тальные исправны, и т. д.Исходными данными по построению графа являются: структурная схема сис¬
темы, интенсивности отказов и восстановления, дисциплина обслуживания,
вид восстановления. Для удобства построения графа целесообразно элементы
структурной схемы нумеровать и указывать значения их интенсивностей от¬
казов и восстановления.Сущность формализованного способа построения графа состояний системы
заключается в следующем.Проводятся горизонтальные линии, которым присваиваются номера О,1, 2,...
Линия с номером / соответствует /-му уровню графа. Их целесообразно рас¬
142Глава 5полагать в последовательности возрастания номеров. Первой из них присваи¬
вается номер 0 (нулевой уровень системы).Далее строится граф состояний с переходами от верхних к нижним уровням.
Назовем их ^.-переходами. Для этого на нулевой горизонтальной линии отме¬
чается точкой или кружком нулевой узел графа, соответствующий состоянию
системы, когда все устройства исправны. Затем на линии с номером 1 обо¬
значаются все узлы, соответствующие первому уровню графа. Число узлов
первого уровня всегда равно числу устройств (элементов) структурной схе¬
мы. Соединяя узел нулевого уровня со всеми узлами первого уровня и отме¬
чая стрелками направление переходов, получим неполный граф состояний
системы, который назовем графом первого уровня с ^-переходами. Все узлы
первого уровня нумеруются в соответствии с номерами элементов (уст¬
ройств) структурной схемы, а возле ветвей записываются соответствующие
интенсивности переходов. Все узлы первого уровня, которые соответствуют
отказовым состояниям системы, необходимо отметить (например, квадратом
или крестом). Из этих узлов ^-переходы в узлы более высокого уровня графа
отсутствуют.Для построения графа состояний второго уровня с л-переходами на линии с
номером 2 наносятся узлы графа, соответствующие всем возможным состоя¬
ниям системы, когда отказали два ее устройства. Все узлы нумеруются двух¬
разрядными числами. Двухразрядное число показывает номера отказавших
элементов структурной схемы и последовательность их отказов. Например,
если узел второго уровня имеет номер 31, то это значит, что в данном состоя¬
нии система оказалась в результате отказа первого и третьего элементов
структурной схемы, причем первым отказал третий элемент, а вторым —
первый. Соединяя ветвями соответствующие узлы первого и второго уровня
и отмечая стрелками направления переходов, получим граф состояний систе¬
мы, который называется графом второго уровня с ^.-переходами.Узлы, соответствующие отказовым состояниям системы отмечаются квадра¬
тами или крестами. Из этих узлов переходы в узлы более высокого уровня
отсутствуют. Возле ветвей графа записываются соответствующие интенсив¬
ности переходов.Построение графа состояний с Х-переходами заканчивается тогда, когда все
узлы в данном уровне будут соответствовать отказовым состояниям системы.ПРИМЕР 5.3. Необходимо построить граф состояний системы, схема расче¬
та надежности которой приведена на рис. 5.8. Предполагается, что восста¬
новление неограниченно, последействие отказов элементов отсутствует, а
элемент 5 находится в ненагруженном резерве и до отказа элемента 4 его ин¬
тенсивность отказа равна нулю.
Методы анализа надежности технических систем143Х.5> ц5Рис. 5.8. Структурная схема резервированной восстанавливаемой системы
с неравнонадежными элементами1,4,2 1,4,3 1,4,5 2,4,1 2,4,3 2,4,5 4,1,2 4,1,3 4,1,5 4,2,1 4,2,3 4,2,5
Рис. 5.9. Граф состояний системы, изображенной на рис. 5.8Решение. Граф состояний системы приведен на рис. 5.9.Граф имеет четыре уровня. В исходном нулевом состоянии система исправна
и ни один из ее элементов не отказал. Все состояния последнего третьего
уровня соответствуют отказовым состояниям системы. При простейшем по¬
токе отказов, удовлетворяющем условиям ординарности, система может пе¬
рейти из начального нулевого состояния в состояния, когда отказал один лю¬
бой ее элемент. Эти состояния отмечены на линии уровня 1 цифрами 1, 2, 3,4
в соответствии с отказавшими элементами структурной схемы. На линии
первого уровня отсутствует узел с номером 5. Это объясняется тем, что пя¬
тый элемент находится в ненагруженном резерве и по условию задачи отка¬
зать до замещения основного четвертого элемента не может. Из структурной
схемы видно, что отказ элемента 3 приводит к отказу всей системы. Поэтому
узел 3 первого уровня помечен крестом и из этого узла отсутствуют переходы
144Гпава 5в узлы второго уровня. Отказ одного из элементов 1, 2, 4 не ведет к отказу
системы, поэтому из узлов 1, 2, 4 первого уровня имеются переходы в узлы
второго уровня.Из состояния (1) первого уровня возможны переходы в состояния, когда
вслед за отказом элемента 1 отказывает либо элемент 2, либо элемент 3, либо
элемент 4. Эти состояния на линии второго уровня отмечены соответственно(1.2), (1,3), (1,4), Так как отказ элементов 1, 2 или 1, 3 ведет к отказу системы,
то состояния (1,2) и (1,3) отмечены крестами и из этих состояний отсутству¬
ют переходы в состояния уровня 3. При отказе элементов 1 и 4 отказ системы
не наступает, поэтому из состояния (1,4) возможны переходы в состояния
третьего уровня. Вслед за отказами элементов 1 и 4 могут отказать элементы
либо 2, либо 3, либо 5. Соответствующие состояния расположены на линии
уровня 3 и обозначены (1,4,2), (1,4,3), (1,4,5). Так как отказ элементов 1, 4, 2,
или 1, 4, 3, или 1, 4, 5 ведет к отказу системы, то все узлы отмечены крестами.
Остальная часть графа строится аналогично.Для окончательного построения графа необходимо на графе состояний
с ^-переходами изобразить ветви переходов из узлов нижних уровней в узлы
верхних уровней. Эти переходы возникают из-за восстановления отказавших
элементов. Узлы, соединенные между собой ветвями ц-переходов, легко оп¬
ределить, если известен приоритет в обслуживании отказавших элементов.Пусть, например, система попала в состояние, отмеченное на линии уровня 3
графа состояний как (1,4,3). И пусть установлен прямой приоритет в обслу¬
живании отказавших элементов (обслуживание элементов осуществляется в
порядке их отказов). Тогда первым будет восстановлен элемент 1 и система с
интенсивностью р.] перейдет в состояние (4,3) второго уровня. Состояние(4.3) является отказовым, поэтому, пока ремонтируется элемент 4, новых от¬
казов не возникает. После ремонта элемента 4 система перейдет с интенсив¬
ностью р4 в состояние (3) первого уровня, затем с интенсивностью ц3 в ну¬
левое состояние. Указанные переходы показаны на рис. 5.9.Пусть теперь отказавшие элементы обслуживаются с обратным приоритетом,
т. е. восстановление элементов осуществляется в порядке, обратном очеред¬
ности поступления их в ремонт. Тогда из состояния (1,4,3) возможен переход
с интенсивностью Х,3 в состояние (1,4), потом с интенсивностью Х4 — в со¬
стояние (1) и затем с интенсивностью — в нулевое состояние.Описание функционирования системы с помощью графов позволяет сформу¬
лировать ряд важных общих свойств графов состояний.1. Граф состояний полностью описывает функционирование восстанавли¬
ваемой системы, как системы массового обслуживания. Вид графа зависит
от структурной схемы системы, надежности и ремонтопригодности эле¬
Методы анализа надежности технических систем145ментов, а также от дисциплины обслуживания. На основании этого свой¬
ства можно утверждать, что все количественные характеристики надежно¬
сти восстанавливаемой системы могут быть определены непосредственно
из графа состояний системы.2. Число узлов графа может быть больше или меньше возможного числа со¬
стояний восстанавливаемой системы. Это объясняется тем, что граф опи¬
сывает поведение системы совместно с функционированием обслужи¬
вающего органа, т. е. он описывает функционирование системы массового
обслуживания.3. Граф, не содержащий поглощающих состояний, описывает поведение вос¬
станавливаемой системы при неограниченном ремонте, т. е. описывает по¬
ведение системы, функционирующей бесконечно долго.4. Функционирование восстанавливаемой системы с одним ремонтным орга¬
ном и обратным приоритетом в обслуживании отказавших элементов опи¬
сывается графом типа дерева.Составить систему дифференциальных уравнений типа массового обслужи¬
вания для определения количественных характеристик надежности восста¬
навливаемой системы можно по виду графа состояний системы.Сформулируем первоначально правило составления уравнений для определе¬
ния вероятности пребывания системы в /-м состоянии в момент времени t.Часть произвольного графа с состояниями / —1, /, i +1 показана на рис. 5.10.Дифференциальное уравнение для вероятности pt(t) пребывания системы в
г'-м состоянии в момент времени t будет иметь вид:Из уравнения видно, что слева пишется производная по времени от вероятно¬
сти пребывания системы в i-м состоянии в момент времени /, а справа —5.1.6. Описание функционирования системы
с помощью уравнений типа массового
обслуживанияРис. 5.10. Фрагмент графа состояний= k,-iA-i(0-(^ + Ц/)#(0 + H,+iA+i(0 •at
146Глава 5сумма произведении интенсивностей переходов из всех соседних состоянии в
/-е состояние и из /-го во все состояния на соответствующие вероятности со¬
стояний. Знаки в правой части уравнения определяются по направлению
стрелок в ветвях графа. Если стрелка направлена в /-е состояние, то при соот¬
ветствующей интенсивности перехода ставится знак "+", в противном слу¬
чае — знак Это правило справедливо при любом числе соседних с i-м
состояний.ПРИМЕР 5.4. Составить систему дифференциальных уравнений, описы¬
вающих функционирование системы, граф состояний которой приведен на
рис. 5.7, г.Решение. На основании сформулированного правила и в соответствии с гра¬
фом состояний система дифференциальных уравнений будет иметь вид:Фо(0dt
dpi (t)dtФ2(0dt= ~{\x + k2 )p0 (о+ц, pi (о+ц2р2 (0;= A,,p0-(^2+Hi)/7i(0;
= x2p0 -04 +Ц2>Р2(0+Ц1Рз(0+Ц1А(0; (5-1)~^- = k2pi(t)-[Lip3(t);at)=>'lP2(0-^lP4(0-dtНаписанные ранее уравнения позволяют найти вероятность того, что система
в данный момент времени находится в i-м состоянии.На практике часто приходится определять вероятность того, что в течение
времени t система попадает в /-е состояние. Для определения этой вероятно¬
сти необходимо считать z'-e состояние поглощающим и запретить, путем по¬
становки экранов, переходы из /-го состояния во все остальные. Преобразовав
таким образом граф состояний, записываются дифференциальные уравнения
по сформулированному выше правилу.Для нашего случая состояния (3) и (4) являются отказовыми. Для определе¬
ния вероятности безотказной работы дублированной системы запретим пере¬
ход из состояния (3) в состояние (1), а также из состояния (4) в состояние (2).
Тогда система (5.1) преобразуется в следующую систему дифференциальных
уравнений:
Методы анализа надежности технических систем147dp°}^ = ~(h + ^2 )Ро (О+Hi Pi (О+М2Р2 (О;
at^р- = \Ро (О - (Ч + Hi )Р\ (О;at- ”3” - ^-гРо (О - (^i +Цг)л(0;
а/(5.2)^М!atУкажем на одно важное свойство уравнений функционирования системы. Так
как сумма всех вероятностей состояний системы равна единице, т. е.А это значит, что сумма правых частей системы уравнений всегда равна
нулю.Это свойство полезно иметь в виду при проверке правильности составления
уравнений функционирования системы.Дифференциальные уравнения типа массового обслуживания позволяют оп¬
ределить вероятности состояний системы или вероятности попадания в эти
состояния в Течение времени t. По известным вероятностям pf(t) можно
найти любую другую количественную характеристику надежности системы.
А это означает, что система уравнений достаточно полно описывает функ¬
ционирование восстанавливаемой системы.В установившемся режиме функционирования вероятности состояний явля¬
ются величинами постоянными. Тогда все производные равны нулю и систе¬
ма дифференциальных уравнений превращается в систему линейных алгеб¬
раических уравнений.Для случая, рассмотренного в примере 5.4, система дифференциальных урав¬
нений (5.1) превращается в следующую систему алгебраических уравнений:-(X, + Х2)р0 + + ц2р2 = 0;
^■lPo(0~(^2 + Hl)/’l = Ф
■ hPo - (h + v-i)P2+И1Р3 + HiA = о;
^гР\-У*-\Рг=Ь
Л^2-Н1/?4=0-(5.3)
148Глава 5Эта система является однородной (ноль в правой части каждого уравнения) и
имеет бесконечное множество решений. Для получения однозначного реше¬
ния системы следует использовать нормировочное уравнениеРо (0 + Р\ (0 + Рг (0 + Ръ (0 + Ра (0 =1»
которым заменяется одно любое уравнение системы (5.3).Анализ способов описания функционирования технических систем позволяет
сделать ряд важных выводов.Существуют, по крайней мере, следующие три способа описания функциони¬
рования восстанавливаемых систем:□ схема расчета надежности (структура системы);□ граф состояний;□ система дифференциальных уравнений типа массового обслуживания.Схема расчета надежности не позволяет в полной мере описать функциони¬
рование восстанавливаемой системы, т. к. она не дает возможности учесть
дисциплину обслуживания отказавших элементов. Однако она является ис¬
ходной для построения графа и для составления дифференциальных уравне¬
ний функционирования системы.Описание функционирования восстанавливаемой системы с помощью графа
состояний обладает высокой наглядностью. В этом основное преимущество
данного способа перед всеми остальными. Граф состояний в ряде случаев
дает возможность качественно сравнить различные схемные решения, вы¬
брать наиболее приемлемую дисциплину обслуживания, наметить пути по¬
вышения надежности систем. Он существенно облегчает процедуру записи
дифференциальных уравнений функционирования системы.Граф состояний достаточно полно описывает функционирование восстанав¬
ливаемой системы. По графу состояний наиболее просто найти финальные
вероятности пребывания системы в любом /-м состоянии, а также интеграль¬
ные показатели надежности — наработку на отказ и среднее время восста¬
новления системы. Он позволяет определить также показатели надежности
невосстанавливаемых систем.Функционирование восстанавливаемой системы можно наиболее полно опи¬
сать системой дифференциальных уравнений. Решая уравнения известными в
классической математике методами, можно вычислить любую количествен¬
ную характеристику надежности. Наличие программ решения системы диф¬
ференциальных уравнений на ЭВМ существенно расширяет возможности
метода. Однако описание функционирования восстанавливаемой системы с
помощью дифференциальных уравнений имеет существенные недостатки.
Методы анализа надежности технических систем149Метод не обладает наглядностью и требует громоздких вычислений при оп¬
ределении количественных характеристик надежности даже сравнительно
простых систем.Сложные системы имеют большое число состояний (сотни и тысячи). Анализ
надежности таких систем путем решения уравнений типа массового обслу¬
живания практически невозможен.Интенсивности отказов элементов в большинстве практических случаев не
являются величинами постоянными. Имеет место старение элементов и, как
следствие, ХД/)^const. В таких случаях описание функционирования систе¬
мы с помощью дифференциальных уравнений типа массового обслуживания
невозможно. В этом основной недостаток метода дифференциальных уравне¬
ний. На смену им приходит метод, который в теории надежности называется
методом интегральных уравнений.5.1.7. Описание функционирования системы
с помощью интегральных уравненийОписание функционирования системы с произвольными законами распреде¬
ления времени до отказа и времени восстановления элементов состоит в сле¬
дующем:□ определяются все состояния системы и переходы между состояниями;□ для каждого состояния определяется вектор состояний элементов сис¬
темы;□ вводится неизвестная функция, соответствующая каждому состоянию сис¬
темы;□ составляется система интегральных уравнений.ПРИМЕР 5.5. Составить систему интегральных уравнений, описывающую
функционирование системы, граф состояний которой приведен на рис. 5.7, г.
Плотность распределения времени до отказа i-ro элемента равна аплотность распределения времени восстановления /-го элемента— gt(t).
В момент времени t = О система считается полностью исправной.Решение. Состояния системы и переходы между состояниями показаны на
графе на рис. 5.7, г. Рассмотрим каждое состояние системы. В состоянии (0)
оба элемента являются исправными, и этому состоянию соответствует вектор
>4о = (л1,, ) - Аргументы Sj и s2 означают, что, когда система пребывает в
состоянии (0), оба элемента являются работоспособными. В состоянии (1)
первый элемент восстанавливается, а второй работает. Этому состоянию со¬
150Глава 5ответствует вектор Ах = (xx,s2), в котором аргумент xt соответствует восста¬
новлению первого элемента, В состоянии (2) второй элемент восстанавлива¬
ется, а первый работает. Этому состоянию соответствует вектор Л2 = (sx,x2),
в котором аргумент т2 соответствует восстановлению второго элемента.
В состоянии (3) оба элемента являются не рабочими, причем согласно приня¬
той дисциплине обслуживания первый элемент восстанавливается, а второй
находится в очереди на восстановление. Этому состоянию соответствует век¬
тор А3 =(Т|,0). Нулевой аргумент означает простой второго элемента в ожи¬
дании, пока не освободится ремонтная бригада, занятая восстановлением пер¬
вого элемента. В состоянии (4) оба элемента также являются не рабочими.
В силу принятой дисциплины обслуживания восстанавливается первый эле¬
мент, но при этом не было закончено восстановление второго элемента, и ре¬
монтная бригада переключилась на восстановление первого элемента. Этому
состоянию соответствует вектор Л4 = (xj,x2). Аргумент х2 означает, что вто¬
рой элемент восстанавливался, однако восстановление было прервано отка¬
зом первого элемента.Указанные векторы поместим в матрицу состояний:01234sx*1s\Ч*2s2х20т211100Верхняя строка матрицы содержит номера состояний системы, а нижняя
строка состоит из нулей и единиц. Значение нижней строки равно 1, если со¬
ответствующее состояние системы является работоспособным, и 0, если со¬
стояние системы является отказовым.Каждому и му состоянию системы сопоставим неизвестную функцию у,, ар¬
гументами которой служат компоненты z'-го столбца матрицы S и время t:
Ы*1»*2>0» _У4(Х15Х2,0, Уз (X) ,0,0, У4(Х1,Х2,0- функцияyo(si>s2>0 есть плотность распределения вероятностей времени пребывания
системы в момент t в состоянии (0) при условии, что после момента t пер¬
вый элемент будет работать время ^, а второй элемент — время s2. Функция
yx(x{,s2,t) есть плотность распределения вероятностей времени пребывания
системы в момент t в состоянии (1) при условии, что после момента t пер¬
вый элемент будет восстанавливаться время х,, а второй элемент будет рабо¬
тать в течение времени s2. Функция y2(sx,x2,t) есть плотность распределе¬
Методы анализа надежности технических систем151ния вероятностей времени пребывания системы в момент t в состоянии (2)
при условии, что после момента t первый элемент будет работать время 5], а
второй элемент будет восстанавливаться в течение времени х2. Функция
.УзС^ДО есть плотность распределения вероятностей времени пребывания
системы в момент t в состоянии (3) при условии, что после момента t пер¬
вый элемент будет восстанавливаться время х,. Функция y^{xx,x'2,t) есть
плотность распределения вероятностей времени пребывания системы в мо¬
мент t в состоянии (4) при условии, что после момента t первый элемент
будет восстанавливаться время т,, а остаточное время восстановления второ¬
го элемента равно х2 . Таким образом, аргументы функций у, характеризуют
остаточные времена работы или восстановления элементов.На основании формулы (4.11) система интегральных уравнений будет иметь
вид:1y0(sus2,t)^ jfi(x + s,)yl(0,x + s2,t-x)dx +0I+ \f2(x + s2 )y2 (x + 5,,0,/-x)dx + /,(/ + sx )f2 (t + s2 );
оiyl(xl,s2,t)= Jgi(x + T,)jHo(0;x + ^2,/- x)dx;
о
t- y2(sx,x2,t)= \g2(x + x2)y0(x + sxAt-x)dx+ (5.4)+ fe (* + Ъ )f\(x + s\ )Уг (0,0,/—x)dx + J/, (x + 5, )y4 (0, x + x2 , t - x)dx;о оt/y3 (x, , 0,0 = Jy, (x + X,, 0,/-x)dx;
оiy4 (Tl. Ь у0 = jg\ (x + Tl )У2 x)dx.0При составлении системы надо учитывать следующее: если аргумент s, или
xt не содержит "штрих", то в правой части под знаком интеграла к такому
аргументу добавляется переменная интегрирования; если в аргументах s, или
х, имеется "штрих", то к данному аргументу переменная интегрирования не
152Гпава 5добавляется. После этого "штрихи" над аргументами могут быть опущены,
как это сделано в последнем уравнении.Решение данной системы уравнений позволяет найти вероятности пребыва¬
ния системы в каждом состоянии, которые определяются интегрированием
соответствующих функций по всем "ненулевым" аргументам:0000 00 00
А)(0= { \yQ(sx,s2,t)dsxds2 , pi(t)= j jyx(xx,s2>t)dxxds2 ,0 0 0 0
00 00 00
Рг(0= | \yi(sx,x2,t)dsxdx2 , /?3(/)= \yj,{xx,Q,t)dxx,0 0 0
00 00p4(t)= J jy4(xx,x2,t)dxxdx2 .о 0Решение системы интегральных уравнений позволяет найти также параметры
перехода из одного состояния в другое. Чтобы найти параметр перехода из
состояния / в состояние j, в функции yt надо положить нулю аргумент, со¬
ответствующий элементу, который вызвал данный переход, и проинтегриро¬
вать функцию yt по остальным аргументам. Например, параметр перехода из00состояния (0) в состояние (1) равен со01(7) = ^yQ(0,s2,t)ds2 , а параметр пере-охода из состояния (3) в состояние (2) равен a>32(t) = y3(0,0,t).Здесь указан способ получения вероятностей pt (/) того, что в момент време¬
ни t система будет находиться в состоянии i. Если нас интересует вероят¬
ность первого попадания системы в состояние i, то это состояние надо сде¬
лать поглощающим. Например, чтобы найти вероятность безотказной работы
системы, запретим выходы из состояний (3) и (4). Тогда изменяются аргу¬
менты функций уj и у4: уз(т',,0,г), y4(x\,x'2,t), а система интегральных
уравнений преобразуется к виду:
tУо (5, ,S2,t)= j/]0 + Si )>>] (0 ,x + s2,t- x)dx +
о
t+ \f2(x + s2 )y2 (x + sx, 0, t — x)dx + f(t + sx )f2 (t + s2 );
оyx (t, , s2,0 = Jgi (*+ Ti )y0 (0, д; + s2,t- x)dx;о (5.5)
Методы анализа надежности технических систем153у2 (л,, т2,0 = fg2 (х + т2 )yQ (x + sx,0,t-x)dx;
оtУз (t,, 0,0= [yx(ixt0,t-x)±biУ4 (*1. х2.0 = 8\ (Х1) \У2 (°> Ъ >t - x)dx-
ОВ результате решения данной системы и интегрирования функций yt полу¬
чим вероятности исправных состояний и вероятность безотказной работы
системы в течение времени t:P(t) = Ро(0 + Pi(0 + Р2(?) ■По известным вероятностям p^t) и параметрам переходов соу(/) можно най¬
ти любую другую количественную характеристику надежности системы. Это
значит, что система интегральных уравнений полностью описывает функ¬
ционирование восстанавливаемой системы с произвольными законами рас¬
пределения.В установившемся режиме функционирования система уравнений (5.4) уп¬
рощается незначительно и по-прежнему остается системой интегральных
уравнений:ОО 00J/iU + ^i)Ji(0^ + ^2)^+ \f2(x + s2)y2(x + s{,0)dx\о о00О00 00
|.т2>“ Jft(;,t + 'I2)>'ot* + sl’0)* + Js2<-t + x2)/l(;t + sl)73(0.0)‘* +° 0 (5.6)00+ J/1(jc + j1)^4(0,jt + x2>&;осоУз('с1’°)= /л(дс+т1,°>&;.оООУ4 (Т1»■*2 ) = Jgl (х + Т1 )У2 (О, Ъ )dx-О
154Глава 5Вероятности состояний и параметры переходов вычисляются так же, как для
нестационарного режима.Система (5.6) имеет бесконечно много решений, и ее следует решать вместе с
условием нормировки:Р0+Р1+Р2+Рз+Р4=1-5.2. Методы анализа надежности
технических систем, основанные
на применении теорем теории вероятностей5.2.1. Метод перебора гипотезПусть невосстанавливаемая система состоит из п элементов и имеет произ¬
вольную структуру. Предположим, что каждый элемент может находиться в
двух состояниях: состоянии работоспособности и состоянии отказа. Пусть
Pj — вероятность работоспособного, a qi — вероятность отказового состоя¬
ния i-го элемента, р{ + #, =1. Тогда система может находиться в 2" состоя¬
ниях:□ Н0 — все п элементов работоспособны;□ Ht — отказал /-Й элемент, остальные работоспособны;□ Hj j — отказали /-й иу'-й элементы, остальные работоспособны;□ Я, 2 „ — отказали все элементы.Предполагая, что отказы элементов события независимые, можно найти ве¬
роятность каждой гипотезы:P(HQ) = pxp2...p„,P(Hi)=P\P2-q<-Pn’P(Hu) = p1p2...qi...qj...pn,Р(Н\,2 п) = Я\Я2-Чп-Вероятность безотказной работы системы определяется суммированием ве¬
роятностей тех гипотез, которые соответствуют работоспособным состояни¬
ям системы, т. е.
Методы анализа надежности технических систем155Р= Z РШо).as Е+Последняя запись означает, что суммирование производится по всем гипоте¬
зам, соответствующим работоспособным состояниям системы.В силу очень большого числа состояний системы метод прямого перебора
гипотез является достаточно трудоемким и редко применяется на практике.ЗамечаниеОбычно системы обладают свойством монотонности, которое заключается в том, что
если Яа — состояние отказа системы и (3 => a, то Hf — также состояние отказа. Длямонотонных систем после достижения некоторого состояния отказа На перебор гипо¬
тез с большим количеством индексов прекращается. Часто это приводит к существен¬
ному сокращению вычислений.5.2.2. Метод, основанный на применении
классических теорем теории вероятностейМетод удобно применять для расчета надежности последовательных, парал¬
лельных, последовательно-параллельных и других систем в предположении
взаимной независимости длительностей безотказной работы элементов сис¬
темы. В этом случае, основываясь на теоремах сложения и умножения теории
вероятностей, а таюке на формуле полной вероятности легко найти явные
выражения для вероятности безотказной работы системы.ПРИМЕР 5.6. Требуется оценить надежность систем, структурные схемы
которых изображены на рис. 5.11. Вероятности безотказной работы элемен¬
тов соответственно равны pt, i = 1, 2,3, 4.aбРис. 5.11. Структурные схемы для раздельного (я) и общего (5) резервирования
156Гпава 5Решение. Обозначим через А, — событие, состоящее в том, что /-Й элемент
исправен. Тогда At — событие, состоящее в том, что й элемент отказал. Ве¬
роятности этих событий соответственно равны P(Aj) = pj, P(Ai) = qi,i = 1, 2,3,4.Для схемы на рис. 5.11, а вероятность отказа узла 1—2 равна Р(А1А2), а ве¬
роятность отказа узла 3—4 равна Р(А3А4). По теореме умножения вероят¬
ностейР(А,А2) = Р(А)Р(А2) = q,q2, Р(А3А4) = Р(А3)Р(А4) = q3q4.Отсюда следует, что вероятности безотказной работы этих узлов соответст¬
венно равны\~P(AlA2) = \~qiq2, 1 - Р(А3А4) =1 - q3q4 .Вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей
этих узлов, т. е.Р = (У-Ч\Ч2)(1~ЬЯа)-Рассмотрим схему на рис. 5.11, б. Вероятность безотказной работы узла 1—3
равна Р(А\А3) = р\р3, а вероятность безотказной работы узла 2—4 равна
Р(А2А4) - р2р4. Вероятности отказов этих узлов равны соответственно1 - р\р3 и 1 - P2P4 , а вероятность отказа системы равна произведению веро¬
ятностей этих узлов, т. е.£?=0-лаХ1-лл)-Вероятность безотказной работы системы определяется как вероятность до¬
полнительного события Р -1 - Q, отсюдаР = \-{\-рхр3)(\-р2р4).Довольно часто при расчете надежности используется формула полной веро¬
ятности. Пусть события Hj образуют полную группу попарно несовместных
событий (гипотезы), а А — любое событие. Тогда имеет место формула пол¬
ной вероятностиР(Л) = ХР(Я,.)Р(Л/Я,.),iгде Р(А/Н{) — вероятность события А, вычисленная при условии, что гипо¬
теза Я, осуществилась.
Методы анализа надежности технических систем157ПРИМЕР 5.7. Требуется оценить надежность мостиковой системы, струк¬
турная схема которой изображена на рис. 5.12. Вероятности безотказной ра¬
боты элементов соответственно равны Pj, / = 1, 2, 3, 4, 5 .Решение. Пусть //, — гипотеза, состоящая в том, что элемент 3 является
работоспособным, а Н2—- гипотеза, что элемент 3 отказал, Р(Нх)-р3,Пн2) = яз-Определим вероятность безотказной работы системы при условии, что 3-й
элемент работоспособен. В этом случае мостиковая схема имеет структуру
раздельного резервирования, как показано на рис. 5.11, а, а поэтомуP(A/Hx) = (\-qiq2)(\-q4q5).Определим теперь вероятность безотказной работы системы при условии, что
3-й элемент находится в состоянии отказа. При этом мостиковая схема имеет
структуру общего резервирования, как показано на рис. 5.11, б, а поэтомуP(A/H2) = \~(l-Plp4)(l-p2p5).По формуле полной вероятностиР(А) = Р{НХ)Р{А/НХ) + Р(Н2)Р(Л/Н2).Следовательно, вероятность безотказной работы системы равнар = Рзо - Я\<12X1 - Я4Я5) + Чз 0 - 0 - Р\Р\X1 - PiPs)) •Рассмотренный метод называется методом разложения относительно особого
элемента.
158Глава 55.2.3. Метод минимальных путей
и минимальных сеченийВведем два необходимых понятия.Минимальный путь — такой набор элементов в структуре, при котором сис¬
тема исправна, если исправны все элементы этого набора; отказ любого из
элементов ведет к отказу системы.Минимальное сечение— такой набор элементов в структуре, при котором
система неисправна, если неисправны все элементы этого набора; исключе¬
ние любого элемента из набора переводит систему в исправное состояние.У систем с произвольной структурой может быть несколько минимальных
путей и минимальных сечений. Последовательное соединение из п элемен¬
тов имеет один минимальный путь и п минимальных сечений, проходящих
через каждый элемент. Параллельное соединение из п элементов имеет п
минимальных путей, проходящих через каждый элемент, и одно минималь¬
ное сечение.Пусть Ах, А2,..., Аг — множество всех минимальных путей. Событие, со¬
стоящее в том, что все элементы пути At исправны, будем также обозначать
Aj. Можно показать, что объединение событий At совпадает с множествомГвсех исправных состояний системы jj At = Е+, и поэтому для вероятности/=1безотказной работы справедливо равенствоР = Рг \и 4
1=1= I P(A,AjAt)-...+; = 1 к j i<j<k \?-')+ (-1 )r~xP(AxA2...Ar).Пусть Вх, В2,..., Bs — множество всех минимальных сечений. Событие, со¬
стоящее в том, что все элементы сечения 2?, неисправны» обозначим также
через Bj. Можно показать, что объединение событий Bt совпадает с множе-Sством всех отказовых состояний системы (J Bt = Е_, и поэтому для вероят-/=1ности отказа системы справедливо равенствоQ = Pv/=iых UJ j i<j<k J (5.8)+ (-1 rx P(BXB2...BS).
Методы анализа надежности технических систем159Каждая из вероятностей, стоящих в правой части (5.7) и (5.8), легко вычисля¬
ется. Однако если число путей или число сечений велико, то вычисление по
этим формулам становится весьма сложной задачей.ПРИМЕР 5.8. Методом минимальных путей и минимальных сечений требу¬
ется рассчитать надежность системы, структурная схема которой изображена
на рис. 5,11, а.Решение. Найдем минимальные пути: 1—3, 1—4, 2—3, 2—4. По форму¬
ле (5.7)Р = рхрг + р{рЛ + р2р3 + р2р4 - р{р3р4 - Р\Р2Ръ - РхРгРл ~-Р2Р3Р4 + Р\РгРъР\-
Найдем минимальные сечения: 1—2, 3—4. По формуле (5.8)Q = 4\Я2 + ЯгЯ4~Я\ЯгЯъЯА-Нетрудно показать, что эти выражения равносильны выражению, полученно¬
му ранее:р = (}-Я\Я2)([-ЯзЯ4)-Формулы (5.7) и (5.8), применяемые непосредственно для вычисления пока¬
зателей надежности, все-таки достаточно громоздки и неудобны для расче¬
тов. Тем не менее на них базируются приближенные оценки вероятности без¬
отказной работы.Верхняя оценка вероятности безотказной работы определяется как вероят¬
ность безотказной работы параллельного соединения минимальных путей.Верхняя оценка вероятности отказа системы определяется как вероятность
отказа последовательного соединения минимальных сечений.Отсюда получаются двусторонние оценки вероятности безотказной работы:П(1 - P(Bt)) < Р < 1 - П(1 - Р(Л,)) . (5.9)/=1 (=1ПРИМЕР 5.9. Требуется оценить надежность мостиковой системы, струк¬
турная схема которой изображена на рис. 5.12.Решение. Найдем все минимальные пути и соответствующие им вероят¬
ности:
160Гпава 5Ах: 1—4, Р(Ах)-рхр4;А2: 2—5, Р(А2) = р2р5 -
А3: 1—3—5, Р(Л3) = рхр3р5;Аа : 2—3—4, Р(А4) = р2р3р4 .Найдем все минимальные сечения и соответствующие им вероятности:Вх: 1—2, P(Bx) = qxq2; 'В2 : 4—5, Р(В2) = q4q5;В3 : 1—3—5, P(B3) = qvq3q5;В4 : 2—3—4, Р(В4) = q2q3q4 ■В соответствии с неравенствами (5.9) получим нижнюю и верхнюю оценки
вероятности безотказной работы:Р > (1 - qxq2)(1 - q4q5 )0 - X1 ~ ЯгЯгЯ*)»Р < 1 - (1 - рхр4 )(1 - р2р5 )(1 - P\PiPs XI - Р2Р3Р4) •Если все элементы равнонадежны, то оценки приобретают вид:1-(1-92)2(1-93)2 <Р<1-(1-р2)2(1-р3)2.Графическая иллюстрация этих оценок, когда р изменяется от 0 до 1 с ша¬
гом 0,1, приведена на рис. 5.13.Рис. 5.13. Оценки вероятности безотказной работы мостиковой системы
Методы анализа надежности технических систем1615.3. Логико-вероятностные методы
анализа надежности5.3.1. Сущность логико-вероятностных методовЛюбой метод анализа надежности требует описания условий работоспособ¬
ности системы. Такие условия могут быть сформулированы на основании:□ структурной схемы функционирования системы (схемы расчета надеж¬
ности);□ словесного описания функционирования системы;□ граф-схемы;□ функции алгебры логики.Логико-вероятностный метод анализа надежности позволяет формализовать
определение и смысл благоприятных гипотез. Сущность этого метода состо¬
ит в следующем.□ Состояние каждого элемента кодируется нулем и единицей:{О, если элемент в отказовом состоянии;1, если элемент в исправном состоянии.В функциях алгебры логики состояния элементов представляются в сле¬
дующем виде:• х( — исправное состояние элемента, соответствующее коду 1;• х. — отказовое состояние элемента, соответствующее коду 0.□ Записывается с помощью функций алгебры логики условие работоспособ¬
ности системы через работоспособность (состояние) ее элементов. Полу¬
ченная функция работоспособности системы является двоичной функцией
двоичных аргументов.П Долученная ФАЛ преобразуется таким образом, чтобы в ней содержались
члены, соответствующие благоприятным гипотезам исправной работы
системы.□ В ФАЛ вместо двоичных переменных jc, и х,- подставляются вероятности
соответственно безотказной работы /?, и вероятности отказа q,. Знаки
конъюнкции и дизъюнкции заменяются алгебраическими умножением и
сложением.Полученное выражение и есть вероятность безотказной работы системыад.6 Зак. 3094
162Гпава 5Рассмотрим логико-вероятностный метод на примерах.ПРИМЕР 5.10. Структурная схема системы представляет собой основное
(последовательное) соединение элементов (рис. 5.14).*1 *2 Х„2Рис. 5.14. Структурная схема системы с основным соединением элементовНа структурной схеме х,, i = 1, 2,..., п — состояние /-го элемента системы,
кодируемое 0, если элемент находится в отказовом состоянии, и 1, если он
исправный. В данном случае система исправна, если исправны все ее элемен¬
ты. Тогда ФАЛ является конъюнкцией логических переменных, т. е.
у = Х\Х2-..хп, представляющей собой совершенную дизъюнктивно нормаль¬
ную форму системы.Подставляя вместо логических переменных вероятности исправных состоя¬
ний элементов и заменяя конъюнкцию на алгебраическое умножение, по¬
лучим:РЛО = Р\0)Р2(.0-Рп(1)-ПРИМЕР 5.11. Структурная схема системы представляет собой дублирован¬
ную систему с неравнонадежными, постоянно включенными подсистемами
(рис. 5.15).На рис. 5.15 Х\ и х2 — состояния элементов системы. Составим таблицу ис¬
тинности двух двоичных переменных (табл. 5.2).Таблица 5.2. Таблица истинности двух двоичных переменныхх,*2У000011101111В таблице 0 — отказовое состояние элемента, 1 — исправное состояние эле¬
мента. В данном случае система исправна, если исправны оба элемента (1,1)
Методы анализа надежности технических систем163или один из них ((0,1) или (1,0)). Тогда работоспособное состояние системы
описывается следующей функцией алгебры логики:у = х{х2 V х{х2 V х{х2.Эта функция является совершенной дизъюнктивной нормальной формой.*iх2Рис. 5.15. Структурная схема дублированной системыЗаменяя операции дизъюнкции и конъюнкции на алгебраические операции
умножения и сложения, а логические переменные— на соответствующие
вероятности состояния элементов, получим вероятность безотказной работы
системы:Рс (0 = Я\ (0Р2 (0 + Р\ (0Я2 (0 + Pi (ОРг (0 ■ПРИМЕР 5.12. Структурная схема системы имеет вид, показанный на
рис. 5.16.*2*3Рис. 5.16. Структурная схема системыСоставим таблицу истинности (табл. 5.3).В данном примере система исправна, если исправны все ее элементы или ис¬
правным является элемент х, и один из элементов дублированной пары
(х2, л:3) . На основании таблицы истинности СДНФ будет иметь вид:у = ххх2х3 v X\X2X3 v ххх2х3.
164Гпава 5Таблица 5.3. Таблица истинности*1*2•*3У00000010010001101000101111011111Подставляя вместо двоичных переменных соответствующие вероятности, а
вместо конъюнкций и дизъюнкций— алгебраические умножение и сложе¬
ние, получим вероятность безотказной работы системы:ад = Р\ 0)<72 (Орз (0 + Р\ (t)P2 (О^з (0 + A (Opi (Орз (0 •Функцию алгебры логики можно представить в минимальной форме, если
воспользоваться следующими преобразованиями:□ вынос за скобки: у - ххх2 + *]*3 = хх (х2 + х3);□ поглощение: у = jcj + ххх2 = ;□ склеивание: у-ххх2 +х1х2 =лг,.Операции поглощения и склеивания в алгебре не применимы. В связи с этим
нельзя полученную ФАЛ минимизировать, а затем вместо логических пере¬
менных подставлять значения вероятностей. Вероятности состояний элемен¬
тов следует подставлять в СДНФ, а упрощать по правилам алгебры.Недостатком описанного метода является необходимость составления табли¬
цы истинности, что требует перебора всех работоспособных состояний сис¬
темы.5.3.2. Метод кратчайших путей
и минимальных сеченийЭтот метод был рассмотрен ранее в разд. 5.2.3. Изложим его с позиции алгеб¬
ры логики.
Методы анализа надежности технических систем165Функцию работоспособности можно описать с помощью кратчайших путей
успешного функционирования системы и минимальных сечений ее отказа.Кратчайшим путем называется минимальная конъюнкция работоспособных
состояний элементов, образующих работоспособную систему.Минимальным сечением называется минимальная конъюнкция неработоспо¬
собных состояний элементов, образующих неработоспособное состояние
системы.ПРИМЕР 5.13. Необходимо образовать функцию работоспособности систе¬
мы, структурная схема которой приведена на рис. 5.17, используя метод крат¬
чайших путей и минимальных сечений.*3 *4Рис. 5.17. Структурная схема системы с неравнонадежными элементамиРешение. В данном случае кратчайшими путями, образующими работоспо¬
собную систему, будут: ххх2 , х3х4 , ххх5х4, х3х5х2 ■ Тогда функция работо¬
способности запишется в виде следующей функции алгебры логики:У = х{х2 V XjX4 V X]Х5Х4 V х3х5х2 .В соответствии с этой ФАЛ структурная схема системы рис. 5.17 может быть
представлена структурной схемой рис. 5.18.Минимальными сечениями, образующими неработоспособную систему, бу¬
дут: Х|Х3, х2х4, ххх5х4, хъх5х2. Тогда функция неработоспособности запи¬
шется в виде следующей функции алгебры логики:у - ХхХг V *2*4 V ДГ,JC5JC4 V Х3Х5Х2 .В соответствии с этой ФАЛ структурная схема системы будет представлена в
виде, показанном на рис. 5.19.
166Гпава 5х, х2Рис. 5.18. Структурная схема работоспособной системы, соответствующая ФАЛх\ *з*2Рис. 5.19. Структурная схема неработоспособного состояния системыСледует иметь в виду, что структурные схемы рис. 5.18 и рис. 5.19 не явля¬
ются схемами расчета надежности, а выражения для ФАЛ работоспособного
и неработоспособного состояний не являются выражениями для определения
вероятности безотказной работы и вероятности отказа:Pc(t) * P\Pi + Р3Р4 + Р1Р5Р4 + Р3Р5Р2 (ФАЛ для кратчайших путей),Qc(t) * PiP3 + P2P4 + PiР5Ра + Р3Р5Р2 (ФАЛ метода минимальных сечений).Основные достоинства ФАЛ в том, что они позволяют получить формально,
не составляя таблицы истинности, СДНФ и СКНФ (совершенная конъюнк¬
тивная нормальная форма), которые дают возможность получить вероятность
безотказной работы (вероятность отказа) системы путем подстановки в ФАЛ
вместо логических переменных соответствующих значений вероятностей
безотказной работы, заменив операции конъюнкции и дизъюнкции на алгеб¬
раические операции умножения и сложения.Для получения СДНФ необходимо каждый дизъюнктивный член ФАЛ умно¬
жить на (X/ vx)), где xt — недостающий аргумент, и раскрыть скобки. Отве¬
том будет СДНФ. Рассмотрим этот способ на примере.
Методы анализа надежности технических систем167ПРИМЕР 5.14. Необходимо определить вероятность безотказной работы
системы, структурная схема которой приведена на рис. 5.17. Вероятности
безотказной работы элементов равны рх, р2, р3, р4, р$.Решение. Воспользуемся методом кратчайших путей. Функция алгебры ло¬
гики, полученная методом кратчайших путей, имеет вид:у - ХхХг v х3х4 V Х1Х5Х4 V *3*5*2 •Получим СДНФ системы. Для этого умножим дизъюнктивные члены на не¬
достающие (х, v Xj):у = ХХХ2 Оз V *3 )(х4 V Х4 )(х5 V *5 ) V *з*4 (х, V X, )(х2 V Х2 )(х5 V Х5 ) V
VX]XjX4(х2 V х2 )(х3 V х3) V Х3Х5Х2 (X! V Xj )(х4 V Х4 ).Раскрывая скобки и выполняя преобразования по правилам алгебры логики,
получим СДНФ:У - Х[Х2*3X4X5 V Х|Х2Х3Х4Х5 V XiX2X3X4X5 V Х]Х2ХзХ4Х5 V Х]Х2Х3Х4Х5 V
VХ[Х2Х3Х4Х5 V Х1Х2Х3Х4Х5 V Х1Х2Х3Х4Х5 V Х1Х2ХзХ4Х5 V Х1Х2Х3Х4Х5 V
V*lX2X3X4X5 V xix2x3x4x5 V xjx2x3x4x5 V Х,Х2ХзХ4Х5 V Х!Х2Х3Х4Х5 Vvxjx2x3x4x5.Подставляя в СДНФ вместо ^ , х2, х3, х4, х5 вероятности безотказной ра¬
боты р^, р2, р3, р4, р$ и используя соотношения qi = 1 - р\,, получим сле¬
дующее выражение для вероятности безотказной работы системы.Pc(t) = 2p\p2p3p4p5-
-(PiPiPiPs + Р1Р3Р4Р5 + Р1Р2Р3Р4 + Р2Р1Р4Р5 + PxPiPaPs ) ++Р2Р3Р5 + P\PaPs + P1P2 + РзРл-Из приведенного примера видно, что метод кратчайших путей освободил нас
от определения благоприятных гипотез. Тот же результат можно получить,
если воспользоваться методом минимальных сечений.5.3.3. Алгоритм разрезанияАлгоритм разрезания позволяет получить ФАЛ, подставляя в которую вместо
логических переменных вероятности безотказной работы (вероятности отка¬
за) элементов можно найти вероятность безотказной работы системы. Полу¬
чения для этой цели СДНФ не требуется.
168Гпава 5Алгоритм разрезания основан на следующей теореме алгебры логики: функ¬
ция алгебры логики }>(*), х2, ..., *„) может быть представлена в следующей
форме:у(*1, х2,..., *,-,..., х„) = х,у(хих2,..., 1,..., x„)v^„ х2,..., 0,..., хп).
Покажем применимость этой теоремы на трех примерах:1. у = *] V х2 V*3 =*1(1 V х2 V*3) V*,(0 V х2 V*3) = *i V*i(*2 V*3) .Применяя второй распределительный закон алгебры логики, получим:У = *] V *](*2 V *3) = (*j V V х2 V *3) = JCj V х2 V *3 .2. у- *1*2*3 = х\ (1*2*3 ) v *1 (0*2*3 ) = *1*2*3 •3. у-Х !*2 V *3*4 = *] (1*2 V *3*4 ) V *! (0*2 V*3*4) = *]*2 V *1*3*4 V ^*3*4 == *1*2 V *3*4 (*, V *]) = *1*2 V *3*4 .ПРИМЕР 5.15. Определить вероятность безотказной работы системы, струк¬
турная схема которой представлена на рис. 5.16, воспользовавшись алгорит¬
мом разрезания.Решение. Используя метод кратчайших путей, получим следующую ФАЛ:у = *,*2 v *!*3 .Применим алгоритм разрезания:у-Х1*2 V*1*3 = *2 (*j 1 V *1*3 ) V *2 (*10 V *1*3 ) = *1*2 V *i*2*3 V *i*2*3 == *1*2(1 V *з) V *1*2*3 = *1*2 v *1*2*3■Подставляя теперь вместо логических переменных вероятности и заменяя
операции конъюнкции и дизъюнкции на алгебраические умножение и сложе¬
ние, получим:Ро =Р\Р2+Р\ЯгРъ = P\Pi+ Р\Ръ(У~Рг) = Р\Рг+ Р\Ръ ~РхРгРъ-ПРИМЕР 5.16. Определить вероятность безотказной работы системы, струк¬
турная схема которой приведена на рис. 5.17. Воспользоваться алгоритмом
разрезания.Решение. Функция алгебры логики, полученная методом минимальных сече¬
ний, имеет вид:у - *1*2 V *3*4 V *1*5*4 V *3*5*2 .
Методы анализа надежности технических систем169Реализуем алгоритм разрезаний относительно *5:у = JC5 {Х\Х2 V *3*4 V *, 1*4 V *31*2 ) V *5 (*)*2 V *3*4 V *[ 0*4 V *3 0*2 ) == *5 (*!*2 V *3*4 V *,*4 V *3*2 ) V *5 (*]*2 V *3*4).Упростим полученное выражение, пользуясь правилами алгебры логики. Вы¬
ражение в первых скобках упростим, используя правило выноса за скобки:*]*2 V *3*4 V *,*4 V *з*2 = *i (*2 V *4 ) V *3 (*2 V *4 ) = (*, V *3 )(*2 V *4 ).Тогда ФАЛ будет иметь вид:у = *5 (*! V *3)(*2 V *4 ) V *5 (*,*2 V *3*4 ).Этому выражению соответствует структурная схема рис. 5.20.х\*2 *4Рис. 5.20. Структурная схема иллюстрации алгоритма разрезанияПолученная схема является также схемой расчета надежности, если логиче¬
ские переменные заменить вероятностями безотказной работы р{, р2, р3,
р4, р5, а переменную *5 — вероятностью отказа q$. Из рис. 5.20 видно, что
структурная схема системы сведена к последовательно-параллельной схеме.
Вероятность безотказной работы вычисляется по следующей формуле:ре=1-(1-(1-(1-АлХ1-ЛА)Х1-л))-(1-(1-(1-лХ1-л))-•(l-(l-ftXl-A))ft)-Формула в объяснении не нуждается, она записана непосредственно по
структурной схеме.
170Гпава 55.3.4. Алгоритм ортогонализацииАлгоритм ортогонализации, как и алгоритм разрезания, позволяет формаль¬
ными процедурами образовать функцию алгебры логики, подставляя в кото¬
рую вместо логических переменных вероятности, а вместо дизъюнкции и
конъюнкции — алгебраические сложение и умножение, получить вероят¬
ность безотказной работы системы. Алгоритм основан на преобразовании
функций алгебры логики в ортогональную дизъюнктивную нормальную
форму (ОДНФ), которая существенно короче СДНФ. Прежде чем излагать
методику, сформулируем ряд определений и приведем примеры.Дее конъюнкции называются ортогональными, если их произведение тожде¬
ственно ноль. Дизъюнктивная нормальная форма называется ортогональной,
если все ее члены попарно ортогональны. СДНФ является ортогональной, но
самой длинной из всех ортогональных функций.Ортогональную ДНФ можно получить с помощью следующих формул:□ если >-(*,,*2,..., *„) = *,*2...*„, тоу =■ хх vххх2 v*,*2X} v ...v ххх2хъ...хп_{хп', (5.10)□ если у(хх,х2* ••• > хп) = х1 v х2 v•••vхп, т0Я*1>*2> ..., *„) = *! v *,*2 V*,*2*3 v-v *1*2 "ХП-1ХП- (5Л ОЭти формулы легко доказать, если воспользоваться вторым распределитель¬
ным законом алгебры логики и теоремой де-Моргана. Алгоритмом получения
ортогональной дизъюнктивной нормальной формы является следующая про¬
цедура преобразования функции у(хих2,..., хп) в ОДНФ:□ функция у(хьх2, ...,*„) преобразуется в ДНФ с помощью метода крат¬
чайших путей или минимальных сечений;□ находится ортогональная дизъюнктивно-нормальная форма с помощью
формул (5.10) и (5.11);□ минимизируется функция путем приравнивания к нулю ортогональных
членов ОДНФ;□ логические переменные заменяются вероятностями безотказной работы
(вероятностями отказов) элементов системы;□ окончательное решение получается после упрощения выражения, полу¬
ченного на предыдущем шаге.Рассмотрим методику на примере.
Методы анализа надежности технических систем171ПРИМЕР 5.17. Определить вероятность безотказной работы системы, струк¬
турная схема которой приведена на рис. 5,17. Применить метод ортогонали¬
зации.Решение. В данном случае функционирование системы описывается сле¬
дующей функцией алгебры логики (метод минимальных сечений):у = *,*2 V х3х4 V *,*5*4 V *3*5*2 .Обозначим К\ =*|*2, К2 = *3*4, К3=ххх5х4, К4 = х3х5х2. Тогда ОДНФ за¬
пишется в следующем виде:y = Kxw КХК2 v КхК2Кг v КХК2КЪК4 . (5.12)Значения Кп / = 1, 2, 3, на основании формулы (5.10) будут иметь вид:Кх = *| V *1*2 , К2 - *3 V *з*4 , К3 = *, V *!*5 V *,*5*4 .ТогдаКХК2 = (*, V *,*2)*з*4 = *]*з*4 V *,*2*3*4,, КХК2К3 = (*, V *,*2)(*з V *3*4) = *,*2*з*4*5,KxK2KjK4 = (*, V *,*2Х*3 v *3*4Х*1 V *,*5 V *,*5*4)*2*з*5 = *,*2*з*4*5 .
Подставляя эти выражения в (5.12), получим:у = *,*2 V *1*3*4 V *,*2*з*4 V *,*2*з*4*5 V *,*2*з*4*5 .Заменяя в этом выражении логические переменные соответствующими веро¬
ятностями и выполняя алгебраические операции сложения и умножения, по¬
лучим вероятность безотказной работы системы:Рс = 2Р\Р2РзР*Р5 - (Р\РгРъР* + Р1Р2Р3Р5 + РхРгРьРь + РхРъРаРъ +
+ЛЛЛЛ) + Р\РаРь + РгРъРь + Р\Рг + РзР4-
Ответ совпадает с полученным в примере 5.14.Из примера видно, что алгоритм ортогонализации более производительный,
чем способы, рассмотренные ранее. Более подробно логико-вероятностные
методы анализа надежности изложены в [72, 99]. Логико-вероятностный ме¬
тод, как и любой другой, имеет свои достоинства и недостатки. О его досто¬
инствах было сказано ранее. Укажем его недостатки.Исходными данными в логико-вероятностном методе являются вероятности
безотказной работы элементов структурной схемы системы. Однако во мно¬
гих случаях эти данные не могут быть получены. И не потому, что надеж¬
ность элементов неизвестна, а потому, что время функционирования элемен¬
172Гпава 5та является случайной величиной. Это имеет место в случае резервирования
замещением, наличия последействия отказов, неодновременности работы
элементов, наличия восстановления с различной дисциплиной обслуживания
и во многих других случаях.Приведем примеры, иллюстрирующие эти недостатки. Структурная схема
системы имеет вид, показанный на рис. 5.21, где приняты следующие обозна¬
чения: Xj — логические переменные, имеющие значения 0 и 1, соответст¬
вующие отказу и исправной работе элемента, i = 1, 2, 3 .*1 *2*3Рис. 5.21. Структурная схема системы с резервированием замещениемВ данном случае логическая переменная х3 является 0 до момента времени т
отказа основного элемента и 1 в течение времени (/ - т), где t — время,
в течение которого определяется вероятность безотказной работы системы.
Время т является величиной случайной, поэтому значение р(т) неизвестно.
В данном случае составить ФАЛ и тем более СДНФ невозможно. Ни один из
рассмотренных нами логико-вероятностных методов не позволяет найти ве¬
роятность безотказной работы системы.Вот еще один типичный пример. Энергетическая система состоит из регуля¬
тора напряжения RH и двух параллельно работающих генераторов Г, и Г2.
Структурная схема системы показана на рис. 5.22.Г,Рис. 5.22. Структурная схема энергетической системыПри отказе одного из генераторов оставшийся исправным работает один на
общую нагрузку. Его интенсивность отказов увеличивается. Если до момента
Методы анализа надежности технических систем173х отказа одного из генераторов интенсивность его отказа была равна X, то
после отказа Я] > А,. Так как время х является величиной случайной, то Р(т)
неизвестно. Здесь, как и в случае резервирования замещением, логико¬
вероятностные методы бессильны. Таким образом, указанные недостатки ло-
гико-вероятностных методов снижают их практическое применение при рас¬
чете надежности сложных систем.5.4. Топологические методы
анализа надежностиТопологическими будем называть методы, которые позволяют определить
показатели надежности либо по графу состояний, либо по структурной схеме
системы, не составляя и не решая уравнений. Топологическим методам по¬
священ ряд работ [84, 147], в которых описаны различные способы их прак¬
тической реализации. В настоящем разделе излагаются методы, позволяющие <
определить показатели надежности по графу состояний.Топологические методы дают возможность вычислять следующие показатели
надежности:□ P(t) — вероятность безотказной работы в течение времени t;□ 7] — среднее время безотказной работы;□ KT(t) — функцию готовности (вероятность того, что система исправна в
любой произвольный момент времени t);□ Кг = lim Kr(t) — коэффициент готовности;/->00ПТ — наработку на отказ восстанавливаемой системы.Топологические методы имеют следующие особенности:□ простота вычислительных алгоритмов;О высокая наглядность процедур определения количественных характери¬
стик надежности;□ возможность приближенных оценок;□ отсутствие ограничений на вид структурной схемы (системы восстанавли¬
ваемые и невосстанавливаемые, нерезервированные и резервированные с
любым видом резервирования и любой кратностью).В настоящей главе будут рассматриваться ограничения топологических ме¬
тодов:□ интенсивности отказов и восстановления элементов сложной системы яв¬
ляются величинами постоянными;
174Гпава 5□ временные показатели надежности, такие как вероятность безотказной
работы и функция готовности, определяются в преобразованиях Лапласа;D трудности, в ряде случаев непреодолимые, при анализе надежности слож¬
ных систем, описываемых многосвязным графом состояний.Идея топологических методов состоит в следующем.Граф состояний является одним из способов описания функционирования
системы. Он определяет вид дифференциальных уравнений и их количество.
Интенсивности переходов, характеризующие надежность элементов и их вос¬
станавливаемость, определяют коэффициенты дифференциальных уравне¬
ний. Начальные условия выбираются кодированием узлов графа.В графе состояний содержится вся информация о надежности системы. А это
является основанием считать, что показатели надежности могут быть вычис¬
лены непосредственно по графу состояний.5.4.1. Определение вероятностей
состояний системыВероятность застать восстанавливаемую систему в состоянии i в фиксиро¬
ванный момент времени t в преобразовании Лапласа может быть записана в
следующем виде:Д Д(*) s [Л» s""1 + A s”~2 + -+Л-i 1 ’где A(s) — главный определитель системы дифференциальных уравнений,
записанной в преобразованиях Лапласа; Д, (s) — частный определитель сис¬
темы.Из выражения (5.13) видно, что P,(s) будет определена, если из графа со¬
стояний будут найдены степени тип полиномов числителя и знаменателя,
а также коэффициенты 5,, ( j = 0,1, 2,..., т ) и Л, (/ = 0,1, 2,..., п -1).Первоначально рассмотрим методику определения Pj(s) графа состояний
только таких систем, в графе состояний которых отсутствуют переходы через
состояния. К ним относятся все неизбыточные системы, резервированные
системы при общем резервировании с целой и дробной кратностью, резерви¬
рованные системы любой структуры с обслуживанием отказавших устройств
в последовательности, обратной их поступлению в ремонт. К указанному
классу систем относятся также некоторые резервированные системы с равно¬
надежными устройствами при различной дисциплине их обслуживания.
Методы анализа надежности технических систем175Функционирование системы описывается дифференциальными уравнениями,
число которых равно числу узлов графа. Это значит, что главный определи¬
тель системы A(s) в общем случае будет полиномом п-й степени, где п —
число узлов графа состоянии. Легко показать, что полином знаменателя не
содержит свободного члена. Действительно, т.к. lim^Cs) =;= const, тоS-* Ознаменатель функции Pt(s) должен содержать s в качестве сомножителя,
в противном случае финальная вероятность Pt(оо) будет равна нулю. Исклю¬
чением являются случаи, когда число ремонтов ограничено.Степень полинома числителя А, находится из выражения:mi=n-\-ii, (5.14)где п — число узлов графа состояний; — число переходов из начального
состояния системы, определенного начальными условиями ее функциониро¬
вания, в состояние г по кратчайшему пути.Если начальным состоянием системы является состояние, когда все устрой¬
ства исправны, то — номер уровня состояния /', т. е. равно минималь¬
ному числу отказавших устройств системы в состоянии /. Таким образом,
степень полинома числителя вероятности Pt(s) пребывания системы в /-м
состоянии зависит от номера состояния / и от начальных условий. Так какчисло переходов £j может быть 0,1, 2 п-1, то степень полинома A,(s)на основании (5.14) также может принимать значения т,, = 0,1, 2,..., п -1.Коэффициенты А,■ и Bj, зависящие от интенсивностей переходов, определя¬
ются из графа состояний по следующим правилам.Коэффициент при s"-1 всегда равен единице, т. е. А$ = 1. Коэффициент Ах
равен сумме всех интенсивностей переходов в графе состояний. Коэффици¬
ент А2 равен сумме всех попарных произведений интенсивностей переходов,
за исключением членов вида а, у • cij t и -ai k. Интенсивности переходов
atj и djj находятся в ветвях, образующих контуры, а интенсивности а,; и
at k — в ветвях, исходящих из /'-го узла. Коэффициент At (/' = 3, 4,..., и-1)равен сумме произведений интенсивностей переходов, взятых по /', за ис¬
ключением тех произведений, в которые входят одновременно интенсивно¬
сти переходов ветвей, образующих контуры и исходящих из одного и того же
узла. Такие члены легко определить по графу состояний.Следует иметь в виду, что главный определитель системы A(s) не зависит от
начальных условий, а поэтому сформулированное правило определения ко¬
176Гпава 5эффициентов Aj полинома знаменателя справедливо при любых начальных
условиях решения задачи.Коэффициенты полинома числителя В7 (у = 0,1,, т) находятся из выра¬
жений для коэффициентов А, полинома знаменателя при соответствующих
степенях s. Коэффициент BJt при sm~J равен сумме только тех слагаемых
коэффициента А{ при s той же степени, у которых:□ содержатся произведения всех интенсивностей переходов из начального
состояния системы, определенного начальными условиями решения зада¬
чи, в состояние / по кратчайшему пути;□ отсутствуют интенсивности переходов из /-го состояния.ПРИМЕР 5.18. Необходимо определить вероятности всех состояний системы
(рис. 5.23). Систему обслуживают две бригады. Предполагается также, что
начальными условиями функционирования системы являются: Р0(0) = 1,
?,(()) = Р2(0) = Р3(0) = 0.К цК |ДРис. 5.23. Структурная схема системыРешение. Граф состояний системы изображен на рис. 5.24.Рис. 5.24. Граф состояний системы, изображенной на рис. 5.23
Методы анализа надежности технических систем177Определим сначала полином знаменателя вероятностей Pi (s) (/ = О,1, 2, 3 ),
т. к. он является общим и не зависит от i.Из графа рис. 5.24 видно, что система может находиться в четырех состояни¬
ях, поэтому п - 4 . ТогдаA (s) = s(AqS3 + Ах s2 + A2s + А3).На основании сформулированного выше правила находим коэффициенты
полинома.Коэффициент Aq = 1. Коэффициент А1 равен сумме всех интенсивностей пе¬
реходов, указанных на рис. 5.24, поэтому Ах = 5А. + 4ц .В выражении для коэффициента А2 будут отсутствовать члены a02a20,
а01а10, ciua3l, т.к. они являются произведениями интенсивностей, находя¬
щихся в ветвях, образующих контуры. Не будет также членов вида ci02a0],
al0a 13, являющихся произведениями интенсивностей переходов из одного и
того же узла (0 или 1). ТогдаА2 - a02al0 + a02a]3 + a02a3l + a01a20 + a01al3 + a0ia3i + a\3a20 ++a31a10 + a31a20 + al0a20 = 6X2 +1 lAp + 5(I2.В выражении для коэффициента А3 будут отсутствовать слагаемые вида
a02a20, a(nal0, a]3a3j, a02a0x, al0aX3,... Перебор всех возможных комбина¬
ций интенсивностей переходов по три показывает, что коэффициент А3 име¬
ет лишь четыре слагаемых:А3 = сгзха10а02 + a20aX0a3X + a20aQXa3l + <^20^01^13 = 2Х3 + 6Ац2 + 4Х2ц.
Найдем теперь полиномы Д,.Степень полинома Д0 будет: m0=n-1 — = 4 — 1 — 0 = 3.Т ЛТогда A0(s) = B00s + Bl0s + B20s + B30. Так как степень полинома A0(s)совпадает со степенью полинома , то коэффициент В(М определяется изsкоэффициента Aq, В10 — из Ах, В20 — из А2, В30 — из А3. На основании
сформулированного выше правила коэффициенты Ву0 не должны содержатьслагаемых, в которые входят в качестве сомножителей интенсивности пере¬
ходов из состояния 0, т. е. интенсивности а01 и а02. Исключая эти слагаемые
из выражений для А,, получим:
178Гпава 5*оо ~ А) ~ 1 > *ю - ^20 + °ю +а\г+аз\ - 2Л. + 4ц;*20 = ai3°20 + аъ\а\й + a3ia20 + ^ю^го = 5ц2 + 2Ац; В30 = я2оаюа31 = ^М3 •Подставляя значения коэффициентов в выражение для определителей, по¬
лучим:р лл AqQs) 53 + (2Х + 4ц)д2 + (5р.2 + 2Я,ц)5 + 2ц3 ■° Л(л') 5[j3+(5Х + 4р)52+(6Х2+11Хц + 5р2)5 + (2ц3+6Л.Ц2+4А.2(х)]ЛСтепень полинома А, будет тх =п-\ = 4-1 -1 = 2, т. е. А1=50,^ +
+j5u5 + В2[. Тогда коэффициент Вох определяется из коэффициента Ах,
Вх! — из А2, S21 — из А3.Коэффициенты BjX не должны содержать слагаемых, в которые входят в ка¬
честве сомножителей интенсивности переходов из состояния (1), т. е. интен¬
сивности а10 , ахз. Коэффициенты В]Х должны содержать только те слагае¬
мые, соответствующие At, которые содержат в качестве сомножителя интен¬
сивность перехода из начального состояния (0) в состояние (1), т. е.
интенсивность <з01. Исключая указанные слагаемые из выражений для At, по¬
лучим:*oi=aoi=2X, Вхх =a0i<ar2o +аъ\аъ\ =6Хц, В2Х=а0Ха2оа31=4Хц.2.ТогдаА[ (д) _ 2As2 + бцАл + 4Хц21 Ms) 5[л3+(5Я. +4ц)л2+(6Л,2 +11А.ц. + 5|а2)5+ (2ц3 + 6ц2Х+ 4Я,2р.)]•уСтепень полинома Д2С0 будет т2=п-1-£ 2 = 4 -1 -1 = 2, т. е. А2 = B02s +
+B]2s + В22 . В данном случае коэффициенты BJ2 не должны содержать сла¬
гаемых, в которые входит интенсивность перехода из состояния (2), т. е. ин¬
тенсивность а2о, кроме того, Bj2 должны содержать только те слагаемыекоэффициентов Ап которые содержат в качестве сомножителя интенсив¬
ность а02. Исключая из As указанные слагаемые, получим:*02=а02=^> *12 =а02а10+а02°13+а02а31 + ЗХц ,*22 = °31а10а02 = 2Хц2 .Тогдар (л _ Аг(s) Ал2 + (2Х2 + 3 цХ).? + 2Х-ц2 2 5 ~ А(л) _5[53+(5Х + 4|л>2+(6Х2+1ац + 5|а2> + (2ц3+6Яц2+4Х2|х)]'
Методы анализа надежности технических систем179Степень полинома A3(j) будет шъ = п-\-£3 =4 — 1 — 2 = 1, т. е. A3(j) =
= B03s + В13- Коэффициенты 503 и 2?13 не должны содержать слагаемых, в
которые входит интенсивность перехода из состояния (3) в состояние (1), т. е.
интенсивность а31, кроме того, они должны иметь только те слагаемые ко¬
эффициентов А/, которые содержат в качестве сомножителя произведение
интенсивностей перехода из состояния (0) в состояние (3) по кратчайшему
пути, т. е. произведение a0ial3 .Исключая указанные слагаемые из А/, получим:*03 = а01а13 = 4Х2 , 513 = «20°01°13 = 4Х2Ц .Тогдар.. А3(д)_ 4X2s + 4\2\l 3 A (s) 5[л3+(5Х + 4ц)52+(6Х2+1ац + 5ц2)5 + (2ц3+6Хц2+4Х2ц)]'ПРИМЕР 5.19. Необходимо определить вероятности всех состояний системы
(рис. 5.23). Предполагается, что начальными условиями функционирования
системы являются:Р](0) = 1, />0(0) = />2(0) = Р3(0) = 0.Отличие примера 5.19 от примера 5.18 состоит в том, что здесь изучаются
закономерности функционирования системы с момента, когда отказал один
из резервных элементов, т. е. с момента, когда система находится в состоя¬
нии 1.Решение. Так как главный определитель системы не зависит от начальных
условий, то полином знаменателя будет тем же, как и в примере 5.18. Опре¬
делим полиномы A ,(s). Степень полинома A0(s) будет
т0 =п-\-£0 =4-1-1 = 2. Здесь £0 =1 потому, что из состояния (1), в кото¬
ром находится система в начале функционирования, в состояние (0) она пе¬
реходит в результате однократного изменения состояния. ТогдаА0(5) = 5о0^2+*10^*20-Коэффициенты Bj0 здесь не должны содержать слагаемых, в которые в видесомножителя входят интенсивности перехода из состояния (0), т. е. интен¬
сивности а01 и а02, кроме того, они должны иметь только те слагаемые ко¬
эффициентов А/, в которые входит в качестве сомножителя интенсивность
перехода из состояния (1) в состояние (0), т. е. интенсивность а10 .
180Глава 5Исключая указанные сомножители из соответствующих коэффициентов At,
получим:Тогда*00 - °10 - М- 5 *10 “ al0a20 + а10а31 ~ Зр2» *20 ~ а20а31а10 ~ ^Ц3 .A0(s) = рл2 + 3|А + 2ц3,Л«Степени остальных полиномов будут:ml =п-1-£1 = 4 — 1 — 0 = 3;
т2 — п — \ — (.2 = 4 — 1 — 2 = 1;
т3=и-1-^3=4-1-1 = 2.ТогдаA](5) = *01£3 + *i i^2 + *21, АгС^) = *02s + *12 ’ A3(s) - B03s2 + Bi3s + В23.
Коэффициенты BjX полинома А| (s) не должны содержать слагаемых, в ко¬
торые в качестве сомножителя входят интенсивности а10, а]3.Коэффициенты Bj2 полинома Л2(^') не должны содержать слагаемых, в ко¬
торые в качестве сомножителя входит интенсивность а20 • Кроме того, коэф¬
фициенты Bj2 должны содержать только те слагаемые соответствующих ко¬
эффициентов , в которые входит произведение интенсивностей а10а02.
Коэффициенты Bj3 полинома A3(s) не должны содержать слагаемых, в ко¬
торые в качестве сомножителей входят интенсивности a3J. Кроме того, ко¬
эффициенты Bj3 должны содержать только те слагаемые коэффициентов Ai,
в которые входит в качестве сомножителя интенсивность а13.Выполнив очевидные преобразования над коэффициентами полинома знаме¬
нателя функции Pj(s) и элементарные вычисления, получим:п/ ч 53 + (ЗХ, + Зц)^2 +(8Хц + 2ц2)5 + 4Я.ц2mW" 7ГТ »ДО)^ + 2Хц2*2\s) ~ 7ТТ >A (s)
Методы анализа надежности технических систем181„/ч 2Ъ2 +(2Х(д + 6Х2)5 + 4?12ц
з W - 77Т •Д($)5.4.2. Определение финальных вероятностей
состояний системыФинальные вероятности пребывания системы в i-м состоянии можно вычис¬
лить, воспользовавшись соотношениемPj = Y\msPi(s). (5.15)i->0Подставляя в это выражение вероятность Pj(s) из (5.13), получим:Р,= (5.16)Ап-1Таким образом, для вычисления финальных вероятностей достаточно опре¬
делить свободные коэффициенты полиномов A(-(s) и A(s) по приведенным
выше правилам. Однако коэффициенты Bmj и А„_х можно получить значи¬
тельно проще непосредственно из графа состояний, если предположить, что в
графе отсутствуют переходы через состояния.Вероятность Рг является величиной безразмерной, поэтому каждое из сла¬
гаемых коэффициентов Bmi и Ап_х имеет одно и то же число сомножителей,
равное (и-1). Так как слагаемые не должны содержать сомножителей вида
djjdjj, то для графа типа дерева в каждое из них должна входить только одна
из этих интенсивностей перехода.На основании сформулированных выше правил коэффициент Bmi не имеет
интенсивностей переходов из /-го состояния и содержит только такие члены,
в которые входят произведения интенсивностей переходов из начального со¬
стояния в i-e по кратчайшему пути.Все это позволяет сделать следующий вывод: коэффициент Bmi имеет только
один член, который представляет собой произведение всех интенсивностей
переходов из крайних свободных узлов графа в i-e состояние.л-1 л-1Так как 2] /) = 1, то ^ Вш = Ап_х, а это означает, что коэффициент Ап_х
1=0 1=0имеет столько членов, сколько узлов в графе состояний. Каждое из слагаемых
равно соответствующему коэффициенту Bmi и определяется по сформулиро¬
ванному выше правилу определения коэффициента Bmi для /-го состояния.
182Гпава 5Таким образом, финальную вероятность пребывания системы в /-м состоянии
по графу типа дерева можно определить по формуле:(5|7>IX,1=0где п — число узлов графа, Bmi — произведение интенсивностей переходов
из всех крайних свободных узлов в узел, соответствующий i-му состоянию
системы, при перемещении по кратчайшему пути в направлении стрелок.ПРИМЕР 5.20. Необходимо определить финальные вероятности пребыва¬
ния системы во всех возможных состояниях, схема расчета надежности
которой приведена на рис. 5.25. Восстанавливает систему одна бригада об¬
служивания.X, ц X, цX, ц X, цРис. 5.25. Структурная схемапоэлементно-резервированной системыРешение. Из графа на рис. 5.26 видно, что система может находиться в пяти
состояниях в соответствии с числом узлов графа, причем узлы 0, 2 и 4 явля¬
ются крайними.Рис. 5.26. Граф состояний системы, изображенной на рис. 5.25
Методы анализа надежности технических систем183Перемещаясь из узлов 2 и 4 в узел 0 по направлению стрелок и перемножая
все встречающиеся интенсивности переходов, получим:Bm0 ~ a2)a\Qa43ai\ ~ М4 •Перемещаясь в узел 1 из крайних узлов 0, 2 и 4, получим:Вт1 = а01а21Л43а31 =4Я.Ц3 .Аналогично,АиЗ = a01°!3a21a43 = 8Х,2Ц2 ,*/я2 = a01a12a43a3I = 4Х,2Ц2 ,Вт4 ~ £*01<а13<аг34<я21 = 1 ■Тогда£ Bmi = ц4 + 4Хц3 + Ш2\х2 + 16Х3ц1=0и на основании (5.17) получим:Р = £ ° ц4 + 4А.Ц3 +1 2Х2\х2 +16Я.3ц ’р= 4^ ‘ ц4+4Хц3+12Х2ц2+16?13ц’4Х2ц22 ц4 + 4Х|а3+12Х2ц2+16Х3|д’___8ХУ__3 ц4 + 4 А,ц3 +12Х2ц2 +16Х,3ц ’р = 16*-3Ц4 ц4 + 4Хц3 +12Х.2ц2 +16Х3ц.Из описания способа вычисления и приведенного примера видно, что оп¬
ределение финальных вероятностей по графу состояний значительно проще,
чем путем решения уравнений функционирования системы.
184Глава 55.4.3. Определение вероятности попадания системы
в he состояние в течение времени tДля определения преобразования Лапласа искомой вероятности по графу со¬
стояний достаточно во всех ветвях, выходящих из состояния /, поставить
экраны и выполнить те же действия, что и в случае определения вероятности
пребывания системы в г-м состоянии в данный момент времени.Вероятность попадания системы в состояние г в течение времени t в преоб¬
разовании Лапласа может быть представлена в следующем виде:, (5,8)А (■*) S [A^jS + AiS +-.+ А„_ 1 Лгде A(s) — главный определитель системы дифференциальных уравнений,
записанной в преобразовании Лапласа; АДл) — частный определитель сис¬
темы.Выражения (5.18) и (5.13) принципиально отличаются друг от друга, несмот¬
ря на их внешнее сходство. Основные их отличия состоят в следующем:□ полином знаменателя выражения (5.13) не зависит от начальных условий и
состояния i, в то время как коэффициенты полинома знаменателя выра¬
жения (5.18) зависят от состояния i, вероятность попадания в которое вы¬
числяется по формуле (5.18);В□ в отличие от (5.13), Pt = lim sP^s) = —mL- = 1, т. e. Bmi = A ,,.*->° 4ri,iДействительно, какова бы ни была структура системы и дисциплина обслу¬
живания при / ->оо (j -» 0 ), система обязательно попадет в состояние /.ПРИМЕР 5.21. Необходимо определить вероятность попадания во все воз¬
можные состояния в течение времени t системы, схема расчета надежности
которой и граф состояний приведены на рис. 5.23 и 5.24 соответственно. Ус¬
ловия функционирования системы те же, что и в примере 5.18.Решение. Из графа видно, что система может находиться в четырех состоя¬
ниях, поэтому п = 4, и на основании (5.18)+ Aus2 + A2is + A3i]
Методы анализа надежности технических систем185Сначала найдем вероятность попадания системы в состояние (0), для чего
запретим переходы из состояния (0) в состояния (1) и (2), т. е. будем считать,
что а0! = я02 =0.Вычисляя коэффициенты Ар по описанной ранее методике, получим:4)0 =1 ,4 о - аю + а20 + «13 + a3i = 2А, + 4ц,420 = а\За20 + а31а10 + а31а20 + а10°20 = + ^Ц2 ,4?0 ~ а20а10а31 = .Степень полинома числителя на основании (5.14) будет иметь значение:т0=я-1-^0=4 — 1 — 0 = 3.Тогда коэффициент В00 можно вычислить из коэффициента А00, В10 — из
А10, В20 — из А20 и В30 — из А30. На основании сформулированного в
разд. 5.4.1 правила коэффициенты BJ0, вычисляемые из соответствующих
коэффициентов Aj0, не должны содержать в качестве сомножителей интен¬
сивности переходов из состояния (0). Однако в данном случае коэффициенты
Aj0 не содержат этих интенсивностей, т. к. состояние (0) является погло¬
щающим. Тогда В00 = Aq0 , В10 = А10, В20 = А20, В30 = А30, а значит P0(s) = -,sт. е. B0(t) = 1, что и следовало ожидать, т. к. по условию задачи при t = 0 сис¬
тема находится в состоянии (0) с вероятностью, равной единице.Определим вероятность попадания системы в состояние (1), полагая, что это
состояние является поглощающим и а10 = ai3 - 0. При этом условии коэффи¬
циенты Ajl будут иметь значения:4)1 =1* 4l =а02+а20+ай\+аЪ\ =ЗА. + Зц,^21 ~ а02а31 + «01«31 + °01°20 + °31°20 ~ ,^31 = а20а01а31 = 4А,Ц^ .Степень полинома числителя будет:гпу=п-1-^1=4-1-1 = 2.Тогда Aj(s) = BQls2 + Bus + В21, т. e. коэффициент B0l вычисляется из коэф¬
фициента Ап, Вп — из А21 и В2] — из А31. Коэффициенты BJt должны
186Гпава 5содержать только те слагаемые, у которых в качестве сомножителя имеется
интенсивность перехода из начального состояния (0) в состояние (1), т. е.
а01. Исключая из коэффициентов Ajf члены, не содержащие интенсивностьа01, получим:*01 =CtQ\=2X, = «01°31 + й01а20 = , *21 = а20°01а31 = ,Подставляя значения коэффициентов в полиномы числителя и знаменателя
искомой вероятности, получим:р. ч 2Xs2 + бцАл + 4Х]л2 2X(s + ц) 1 s [s3 + (ЗХ + 3p.)s2 + (8Я.ц + 2ц2 )s + 4Яц2 ] s[.s2+(ЗХ + р.).я-2Я,ц]Вычисления -P|(s) можно было бы упростить, рассматривая граф рис. 5.24 без
состояния (3). Действительно, если состояние (1) является поглощающим, то
при начальных условиях Р0(0) = 1, Р{ (0) = Р2 (0) = Р3 (0) = 0 система в состоя¬
ние (3) перейти не может, а значит, это состояние является лишним.Выполнив аналогичные вычисления, можно получить следующие выражения
для вероятностей попадания системы в состояния (2) и (3):р ^ ч _ Xs2 + (2Х2 + ЗЛ.ц)л + 2А,ц2 2 s|>3 + (5Х + Зц)52 + (6А? +1X\x + 2\x2)s + 2X\i2}p(s) = 4А.25 + 4Я2ц 3 5[^3 + (5Х + 2\x)s2 + (6Х2 + 5Х(д. + ц2)5 + 4Х2ц]Из полученных выражений видно, что полиномы знаменателей /•($) различ¬
ны, a Pj; = lim sPt(s) = 1 для каждого состояния,о5.4.4. Определение количественных характеристик
надежности по графу состоянийВ предыдущих разделах были описаны правила, позволяющие из графа со¬
стояний найти в преобразованиях Лапласа вероятности пребывания восста¬
навливаемой системы в данный момент времени в любом состоянии и веро¬
ятности попасть в любое состояние в течение времени t. Эти вероятности
позволяют найти основные количественные характеристики надежности сис¬
темы, например: функцию и коэффициент готовности, вероятность безотказ¬
ной работы, среднее время безотказной работы, наработку на отказ, а также
среднее время восстановления. Рассмотрим особенности определения основ¬
ных характеристик.
Методы анализа надежности технических систем187□ Вычисление функции готовностиФункция готовности Kr(t) является вероятностью застать систему в ис¬
правном состоянии в любой момент времени, поэтому для ее определения
необходимо найти сумму вероятностей всех исправных состояний систе¬
мы. Для определения Kv(t) из графа состояний по методике, изложенной
в разд. 5.4.1, находятся преобразования Лапласа вероятностей всех ис¬
правных или всех отказовых состояний и определяется преобразование
Лапласа функции готовности по одной из следующих формул:(5-19)г=0вд=--1ад, (5-2°)s i=kгде Pj(s) — преобразование Лапласа вероятности пребывания системы в
данный момент времени в исправном (или отказовом) состоянии, соответ¬
ствующем /-му узлу графа;и — общее число узлов графа, равное числу всех возможных состояний
системы;к — число узлов графа, соответствующих исправным состояниям сис¬
темы.Если число отказовых состояний системы меньше числа исправных, то
следует пользоваться формулой (5.20), в противном случае— форму¬
лой (5.19).Знаменатели функций Pt(s) одинаковы, поэтому целесообразно искать
оригинал Kr(t), осуществив предварительно все возможные преобразова¬
ния суммы слагаемых.□ Вычисление коэффициента готовностиКоэффициент готовности является финальной вероятностью пребывания
системы в исправном состоянии, поэтому его можно найти из (5.19), вы¬
числив один из следующих пределов:k-1КГ = Urn sKJs) = Т limsR(s), (5.21)s~»0 j=os~* 0AV=1-S limsP,(s). (5.22)i=ks~>°
188Гпава 5Наиболее просто можно вычислить коэффициент готовности для графа
типа дерева непосредственно по графу состояний, если просуммировать
выражение (5.17) по всем /, соответствующим исправным состояниям
системы. В результате суммирования получим:где п — общее число узлов графа;к — число узлов графа, равных числу исправных состояний системы;Вmj — произведение всех интенсивностей переходов графа, которые
встречаются при движении по стрелкам из крайних свободных состояний
в состояние i по кратчайшему пути.□ Вычисление вероятности безотказной работыВероятность безотказной работы является вероятностью того, что восста¬
навливаемая система в течение времени / не попадет ни в одно из ее отка¬
зовых состояний. Поэтому искомая вероятность может быть вычислена по
формулегде Pj(t) — вероятность того, что система в течение времени t попадет
в i-e исправное состояние;к — число узлов графа, соответствующих числу исправных состояний
системы.Для вычисления Pt(t) необходимо все отказовые состояния считать по¬
глощающими и запретить все переходы из этих состояний в предотказо-
вые. Только после постановки экранов следует вычислять по графу со¬
стояний преобразования Лапласа функций Pt{t) в соответствии с методи¬
кой, изложенной в разд. 5.4.3.Следует иметь в виду, что вероятность безотказной работы резервирован¬
ной системы зависит от начальных условий ее функционирования. В зада¬
чах надежности вероятность безотказной работы обычно вычисляется в
предположении, что при t = О все элементы системы исправны.к-1(5.23)к-\рс(о=тт,(5.24)
Методы анализа надежности технических систем189□ Вычисление среднего времени безотказной работыСреднее время безотказной работы системы вычисляется по формуле:где Pc(s) — преобразование Лапласа вероятности безотказной работы,
вычисленной в предположении, что при / = О все элементы системы ис¬
правны.где Tj — среднее время пребывания системы в /-м исправном состоянии.□ Вычисление наработки на отказНаработка на отказ может быть вычислена по формулегде Тв — среднее время восстановления системы. Этой формулой целесо¬
образно пользоваться тогда, когда среднее время восстановления системы
известно из опыта или может быть легко вычислено. Тогда задача сводит¬
ся к определению КГ из графа состояний одним из описанных ранее спо¬
собов.При неизвестном Гв следует использовать формулу:При вычислениях по этой формуле необходимо определять по графу фи¬
нальные вероятности пребывания системы во всех возможных состояниях.
Формула является наиболее общей, т. к. позволяет вычислять Т при лю¬
бом числе отказовых состояний и при любой дисциплине обслужива¬
ния [57].(5.25)Так как Pc(s) = £ Pt(s), то*-1i=0или/с-1(5.26)i=0(5.27)Т -ieE+(5.28)£ pi £ v-ij 'ie.E^ JeE+
190Гпава 5ПРИМЕР 5.22. Необходимо найти основные количественные характеристики
надежности энергетической системы, схема расчета надежности которой
приведена на рис. 5.27. Определить функцию и коэффициент готовности,
вероятность безотказной работы, среднее время безотказной работы, нара¬
ботку на отказ и среднее время восстановления системы при следующихисходных данных: Я = 1-1(Г2 час-1, X,1=2-10’i час-1, Х2 =0,01 -10 час-1,ц = 0,1 час-1, ц2 = 1 час-1.Рис. 5.27. Структурная схема энергетической системыРешение. Предполагается, что схема функционирует следующим образом.
Три генератора Г j, Г2 и Г3, каждый из которых работает с интенсивностью
отказов X, питают нагрузку мощностью несколько меньшей, чем суммарная
мощность трех параллельно работающих генераторов. При отказе одного из
генераторов каждый из двух оставшихся исправных работает с небольшой
перегрузкой с интенсивностью Я, > X. Если откажут два любых генератора
из трех, то наступает отказ энергетической системы. Регулирующая аппара¬
тура (РА) работает с интенсивностью Х2, ее отказ ведет к отказу системы.
Предполагается, что систему обслуживает одна бригада, причем обслужива¬
ние происходит с приоритетом, обратным поступлению заявок (в данном
случае это означает, что регулирующая аппаратура имеет более высокий
приоритет обслуживания, чем генераторы).При указанных условиях функционирования граф состояний системы имеет
вид, приведенный на рис. 5.28.Из графа состояний наиболее просто определить коэффициент готовности и
наработку на отказ. Состояния (0) и (1) являются исправными, поэтому
КГ=Р0 + Р1, На основании формулы (5.23) и в соответствии с методикой
разд. 5.4.2, получим:JT а20аЮа31а41 +а20а01а31а4) а20а10а31а41 + а20°0!а31°41 + а02а10а31а41 + а20а01а13а41 + а20а01а31а14
Методы анализа надежности технических систем191Рис. 5.28. Граф состояний энергетической системы
Подставляя значения интенсивностей переходов, получим:Кг =Ц2Ц2+ЗХ|Л|Д2+^2^2^2+3^2№2+6^1^2 1 + 3 - + ^ + ^hh, + 6MlЦ Р-2 ^ И2 Н-
1 + 0,3 1,31 + 0,3 + 0,001+ 0,3 0,001+ 0,6-0,2 1,4213= 0,915 .Наработку на отказ вычислим по формуле (5.28). В нашем случае в область
исправных состояний Е+ входят состояния (0) и (1). В область отказовых
состояний входят состояния (2), (3) и (4). Тогдаpo+piPlV-2 +Р^2 + />Подставляя в это выражение значения финальных вероятностей, которые мо¬
гут быть записаны непосредственно из выражения для Кг, получим:т = Ц2Иг +ЗЛ.ЦЦ2 Ц + ЗХХ2ц2ц2 + ЗХХ,2р.р2 + 6ХХ,]|лр.2 + 3^2 + ^^10,1 + 3-Ю’2 Q7_- =97,7 час.0,1-Ю-2 -0,1 + 3-Ю-2 -0,1-10“2 +6-10-2 -2-10-2По известным коэффициенту готовности и наработке на отказ легко найти
среднее время восстановления системы, воспользовавшись формулой:1-Кг 1-0,915
192Гпава 5Из трех оставшихся характеристик надежности (функция готовности, ве¬
роятность безотказной работы и среднее время безотказной работы) пер¬
вой необходимо вычислять функцию готовности. Это объясняется тем
обстоятельством, что вероятность безотказной работы может быть полу¬
чена формально из выражения для функции готовности. Будем предполагать,
что система начинает эксплуатироваться, когда все устройства исправны.
Тогда Kr(t) и Pc(t) будем находить при начальных условиях Р0(0) = 1,
Р,(0) = Р2(0) = ,Р3(0) = Р4(0) = 0.Так как число исправных состояний системы меньше, чем число отказовых,
то для вычисления Кг($) целесообразно воспользоваться формулой (5.19).
Тогда*r(j)= Ё pi(s)=W+р\ (s)=Ар(^ f1 ^ ■,'=0 ЛС0В графе состояний имеются пять состояний, поэтомуA(s) = + Axs3 + A2s2 + A3s + A4).Коэффициенты этого полинома получим из графа состояний по методике,
изложенной в разд. 5.4.1. Из графа видно, что в выражениях для коэффици¬
ентов будут отсутствовать слагаемые, в которые входят произведения интен¬
сивностей вида: а01й(|0, aQ2a2о> ai3a3i’ а\4а4\> a02a0i > аюа13 ■> aioai4 » а\за14 ■В эти произведения входят интенсивности переходов, находящиеся в ветвях,
образующих контуры или исходящих из одного и того же узла. Записывая
выражения коэффициентов через интенсивности переходов и производя вы¬
числения в соответствии с исходными данными, получим:Aq=1,Ах = а02 + а01 + а20 + а10 + а!3 + а31 + а14 + о41 == ЗА. + 2A.J + Тк2 + 2ц + 2ц2 — 2,272,-а02(а14 +а4! +а31 +а\3 +a10) + £i!0l(a14 +°41 + а3\ + а\3 + а2о) +
+а14(а31 + а2о) + a4l(a31 + а\3 + а\0 + а2о) + а3\(а\0 + а2С>) + а13а20 + а10а20 == Я,2(2А.| + Х2 + 2ц + ц2) + ЗА.(2А,1 + Х2 + ц + 2ц2) + 4Я.]Ц2 + ц(А-2 2ц2)+ц2(А,2 + 2ц + ц2) = 1,557,Ay = «02a14a31 +fl02a14(a31 +af10 +fif13) + a02a31a10 +а01а14(а31 +а2<)) +
+a01a4l(°31 +a13 +a20) + a0la31a20 +а01а13а20 +а14а31а20 + a41a3l(a10 + а2о) +
+a4Ia13°20 + a41«10a20 + «31аЮа20 = 2Х.,Я.2Ц2 + Я2Ц(Ц2 + Ц + ^2) + ^2^2 + 12АД.,Ц2 +
+ЗА,ц(2ц2 + Я,2) + ЗХц2 + ЗАХ2Ц2 + 2Х]Ц2 + цц2(ц + ц2) + цХ2ц2 + ц ц2 + Ц2Ц = 0,3,S
Методы анализа надежности технических систем193А4 - Д02а31а10а41 + а20а\0аЪ\а4\ +а20а01й31а41 + а20а01°13а41 + а20а01а31о14 ~= ц2ц2^2 +М-2|^2 +ЗХ.ЦЦ2 + ЗЯ-Х2Р.Р-2 +6ХХ]Ц2 =0,0142.Степень полинома AqCs) будет:пг0 = п-1 — ^0 = 5 — 1 — 0 = 4,поэтому A0(s) - B00s4 + 5,0s3 + B20s2 + B30s + B40. Коэффициенты Bi0 не
должны содержать интенсивностей перехода из состояния (0), т. е. интенсив¬
ностей а0] и а02. Исключая слагаемые, содержащие указанные интенсивно¬
сти, из коэффициентов At при соответствующих степенях s получим:% = 1 j 510 — д?2о + О]q + + й]4 + Я41 = 2/Ц + Х,2 + 2ц + 2jll2 = 2,242,^20 =au(a31 +a2o) + a4l(fl3! +а13 + а10 + а2о) + °3l(a10 +а20) + а13а20 +а10°20 == 4А.,ц2 +Ц(2Ц2 +^2 +M-) + li2(^'2 + 2Ц + Ц2) = 1,49,*30 “а14а31а20 +°41a3l(a10 +а20) + а41а13°20 +а41й10а20 + °31°10а20 ~= 2Х, ц2 + цц2 (ц + Ц2)+ ^2^2 + V^V-i + М-21-1 = 0,:26,*40 = = 0» 01 •Степень полинома А] (я) будет:mx=n — l — ^i = 5-1-1 = 3,
поэтому A! (i) = 50153 + вх 1 52 + B2\S + ВЪ\ .Коэффициенты Вп не должны содержать интенсивностей перехода из со¬
стояния (1), т. е. интенсивностей а10 , а13, а14 , Кроме того, каждое слагаемое
должно содержать сомножителем интенсивность перехода из начального со¬
стояния (0) в состояние (1), т, е. ci0!. Исключая соответствующие слагаемые в
коэффициентах Ai, получим:*oi ~aoi = ЗА, = 0,03, ВХ] =aoi(a4j +a3i + а2о) = ЗА,(ц + 2ц2) = 0,063,*21 =a01a4l(a31 + af20) + a01a31a20 = 6А,ЦЦ2 + ЗА,Ц2 = 0,036,*31 = a20a01a31a41 =ЗА.ЦЦ2 =0,003.Подставляя полученные значения коэффициентов полиномов в выражения
для вероятностей состояний (0) и (1), получим:AqOQ + A^) И+2,272s3 +1,553s2 +0,2965 + 0,013
г 5 ~ A(s) s(s4 + 2,27s3 +1,56лг2 + 0,35 + 0,014)’7 Зак. 3094
194Глава 5Найдем преобразование Лапласа вероятности безотказной работы системы
Pe(s), для чего запретим переходы из поглощающих состояний (2), (3) и (4)
(экраны в виде пунктирных линий на рис. 5.28), и вычислим значения коэф¬
фициентов полиномов Д(s), A0(s), Д](s), полагая, что а20 = <я3! = а41 = 0.Исключая слагаемые, в которых содержатся интенсивности йг2о> «31 * «41 >
получим следующие выражения для коэффициентов А( и BJ::Aq = 1, А] — 0q2 «oi «ю «13 «14 = ЗА. + 2Х] + ц = 0,172,А2 = «02 («14 + «13 + «10) + «0l(°l4 +«1з) == к2 (2 Ц + Х2 + й) + Щ2Хх + Х2 ) = 1.37 • 10'3,А3 = 0, А4=0, Bqq = 1, Лю =Ojo +0)3 +Я|4 = ц + А,2 +2Х| =0,141,*20 =*зо =*40 =0» *oi = ЗА, = 0,03, В1Х = B2i = B3j =0.Подставляя значения коэффициентов в выражение для Kr(s) и выполняя
очевидные преобразования, получим преобразование Лапласа вероятности
безотказной работы:р = 54 + (ц + А.2 + 2А-! )53 + ЗА^3 =5 [5** + (ЗА. + 2А.| + 2А,2 + ц)53 + Х2 (2A.J + А,2 + ц)52 +3A,(2Xj + А,2)52]
s + ЗА. + 2A.j + X2 + ц
s + (ЗА, + 2 А,, + 2А,2 + ц)5 + А>2 (2X.j + А.2 + ц) + ЗА,(2А.[ + Х2 )£+ 0,171 5 + 0,171 1,05 0,05” s2 +0,1725 + 0,137-10~2 ~(s + 0,0085)(s + 0,1635)” 5 + 0,0085 5 + 0,1635' ,Вероятность безотказной работы системы в течение времени t, являясь ори¬
гиналом функции Pc(s), имеет вид [57]:Рс(0 = 1,05е~°'т51 - 0,05е"°’1635'.Среднее время безотказной работы наиболее просто вычислить, воспользо¬
вавшись формулой (5.25):Г,=РС(5)| = U + 2-!+-2 + ^ = —------7 = 125 час.и=0 Х2(2А.1+А,2+|л) + ЗА,(2Х1+Х2) 0,137-10Из приведенного примера видно, что методика определения количественных
характеристик надежности по графу состояний сравнительно проста. Наибо¬
лее просто вычисляются коэффициент готовности, наработка на отказ и сред¬
нее время восстановления. Наибольшие трудности возникают при о пределе-
Методы анализа надежности технических систем195НИИ функции готовности. Если Kr(s) получено, то вычислить преобра¬
зование Лапласа вероятности безотказной работы Pc(s) и среднее время без¬
отказной работы можно путем формальных преобразований функции Kr(s).5.4.5. Определение количественных характеристик
надежности систем, описываемых
многосвязными графамиРазложение графа на деревьяФункционирование восстанавливаемых систем часто описывается много¬
связными графами, в которых имеются переходы через состояния. Такими
являются системы с приоритетным обслуживанием, многие резервированные
системы с неравнонадежными элементами, избыточные системы, которые
ремонтируются после отказов нескольких элементов и др. В этих случаях в
графе может быть большое число кратчайших путей в i-e состояние из на¬
чального и конечных отказовых состояний. Поэтому методика определения
количественных характеристик надежности по графу состояний, приведенная
в предыдущих разделах, непосредственно не может быть применена.Излагаемая здесь методика анализа надежности восстанавливаемых систем,
описываемых многосвязным графом, состоит из следующих этапов:О преобразование сложного многосвязного графа в совокупность простых
графов типа дерева;О вычисление вероятностей состояний, соответствующих узлам простых
графов;□ вычисление вероятностей пребывания исходной системы во всех возмож-- ных ее состояниях;□ вычисление количественных характеристик надежности исходной сис¬
темы.Рассмотрим методику по этапам.Преобразование сложного многосвязного графа
в совокупность простых графовСовокупность ветвей из X- и ц-переходов между двумя соседними узлами на¬
зовем (обобщенным) ребром или ветвью графа. Тогда в графе типа дерева
ребра не образуют контуров. Контуры образуются из ребер только тогда, ко¬
гда система описывается многосвязным графом. При этом может оказаться,
что ребро будет образовано лишь X- или ц-переходом. Пусть в графе состоя¬
ний имеется А, В,..., Н контуров. Причем контур А образован ребрами
4, А2,..., АпХ, контур В — ребрами Вх, В2,..., Вп2,..., контур Н — реб¬
196Гпава 5рами Нх, Н2,..., Нпт. Тогда для образования графов типа дерева необхо¬
димо в каждом из контуров исключить одно ребро. Из контура А можно ис¬
ключить либо ребро А}, либо Аг,..., либо Ani; из контура В — либо ребро
2?], либо В2 ,..., либо Вп2; из контура Н —либо ребро Нх, либо Н2,...,
либо Нпт . Тогда число простых графов типа дерева и их вид можно опреде¬
лить следующим образом. Ребрам графа, обозначенным буквенными симво¬
лами, приписываются свойства двоичных переменных. Образуется дизъюнк¬
ция из буквенных символов ребер, принадлежащих контуру. Записывается
конъюнкция из дизъюнкций буквенных символов ребер выбранных контуров,
и раскрываются скобки. Число простых графов, содержащихся в сложном
исходном, будет равно числу конъюнктивных членов в полученном выраже¬
нии. Причем каждый из буквенных символов конъюнктивного члена соответ¬
ствует тем ребрам, которые должны быть исключены одновременно из ис¬
ходного графа для получения соответствующего простого графа типа дерева.В сложных многосвязных графах контуры могут иметь общие ребра. Тогда в
выражении для дизъюнкции конъюнкций после раскрытия скобок необходи¬
мо исключить конъюнктивные члены, содержащие два и более одинаковых
буквенных символа, а также члены с разными буквенными символами, но
встречающиеся в конечном выражении несколько раз.Вычисление вероятностей состояний,
соответствующих узлам простых графовВероятности состояний, соответствующих узлам простых графов, можно вы¬
числять любым из известных способов, однако наиболее просто их получить
непосредственно по графу состояний в соответствии с методикой, изложен¬
ной ранее.Обозначим за Р\к^ финальную вероятность пребывания системы в состоянии
/ при условии, что ее функционирование описывается простым ^-графом.
Тогда на основании соотношения (5.14) имеем:д(*)(5-29)Л-iгде В^} — произведение интенсивностей переходов из всех конечных узлов
к-то простого графа в г'-й узел при перемещении в направлении стрелок по
кратчайшему пути; п — число узлов графа;Лк) _ у1 в(к)
лп-1 - Zj mi ■/=0
Методы анализа надежности технических систем197Вычисление вероятностей состояний исходной системыФинальная вероятность пребывания системы в г'-м состоянии равна взвешен¬
ной сумме финальных вероятностей пребывания системы в каждом из г-х уз¬
лов всех простых графов, причем весами служат вероятности того, что функ¬
ционирование системы описывается к-м простым графом:Если в исходном графе имеются ребра, состоящие только из X- или
ц-переходов, то в совокупности простых графов, полученных указанным ра¬
нее способом, будут такие, которые не используются при вычислении данной
i-й финальной вероятности. Эти графы легко распознать, т. к. в них невозмо¬
жен переход в i-e состояние из свободных узлов по направлению стрелок. По
этой причине некоторые простые графы вообще не используются при вычис¬
лении финальных вероятностей, а некоторые используются при вычислении
всех или только некоторых вероятностей.Из выражения (5.31) видно, что задача определения финальных вероятностей
исходной системы, описываемой сложным многосвязным графом, свелась
к определению финальных вероятностей множества простых графов типа
дерева.По известным финальным вероятностям вычисляются коэффициент готовно¬
сти, наработка на отказ и среднее время восстановления. Методика их опре¬
деления не отличается от описанной ранее для случая графов типа дерева.ПРИМЕР 5.23. Необходимо определить коэффициент готовности и наработ¬
ку на отказ дублированной системы, схема расчета надежности которой при¬
ведена на рис. 5.29. Предполагается, что обслуживает систему одна бригада, а
ремонт отказавших элементов осуществляется в последовательности их отка¬
зов (прямой приоритет).(5.30)кОтсюда и из (5.29) получим(5.31)Решение. Из графа состояний, приведенного на рис. 5.30, видно, что состоя¬
ния (0), (1) и (2) являются исправными, а состояния (3) и (4) отказовыми.
^2» Иг3 4Рис. 5.29. Структурная схема дублированной
системы с неравнонадежными устройствамиРис. 5.30. Граф состояний системы,
изображенной на рис. 5.29Pq + Pi+P2и задача сводится к вычислениюфинальных вероятностей всех возможных состояний системы.Преобразуем исходный граф в совокупность простых графов типа дерева. На
рис. 5.31 приведен граф, составленный из ребер, образованных ветвями из
X- и ц-переходов исходного графа. Ребро А образовано из переходов а0],
а10; ребро В — из переходов а02, а20; ребро С — из перехода <я13; ребро
D — из перехода <я32; ребро Е — из перехода ан ; ребро F — из перехода
о42. Образуем конъюнкцию от дизъюнкции ребер контуров (0, 2, 3, 1) и
(1, 3, 2,4) и раскроем скобки. Получим:® = (Av BvCv D)(Cv Dv Ev F) = AC v BC v CC v DC v AD v BD v
v CD v DD v AE v BE v CE v DE v AF v BF v CF v DF.Рис. 5.31. Граф состояний системы, образованной из ветвей графа, приведенного на рис. 5.30Конъюнкции СС и DD образованы одинаковыми буквенными символами, а
CD — символами, входящими одновременно как в первый, так и во второй
контур, поэтому они должны быть исключены из выражения для ©.024
Методы анализа надежности технических систем199Тогда0 = AC v ВС v AD v BD v АЕ v BE v СЕ v DE v AF v 2?F v CF v DF.Исключая из графа рис. 5.31 ребра, соответствующие конъюнктивным чле¬
нам этого выражения, получим совокупность простых графов типа дерева,
эквивалентных исходному графу. Семейство простых графов показано на
рис. 5.32.00'2K/fХ>21 ОСТ JD 21 CL 'Э 2\'''4sL2 /Ч /\‘13 ® -43^ 4ВСAD6в00BDАЕBEгде000J V А<2^7 2\ 723 ®Ъ® 43 (Е> ® 4СЕDEAFж3иРис. 5.32. Семейство простых графов (а—и) (см. продолжение)
200Гпава 5ООО3 >су чу 4 3 ^ 4 3 ^ 42BFCFDFклРис. 5.32. Семейство простых графов (к—м)мВычислим теперь по совокупности простых графов финальные вероятности
состояний исходной системы. Так как в исходном и во всех простых графах
содержатся пять узлов, то числители и знаменатели финальных вероятностей
будут состоять из суммы слагаемых, каждое из которых состоит из четырех
сомножителей. Каждое слагаемое представляет собой произведение интен¬
сивностей переходов из свободных узлов в узел, соответствующий состоя¬
нию дублированной системы при перемещении по кратчайшему пути в на¬
правлении стрелок. Для их определения необходимо всякий раз перемножать
четыре интенсивности перехода, расположенные в четырех разных ветвях
соответствующего графа. Выберем из семейства простых графов такие, кото¬
рые необходимо взять для определения финальных вероятностей PQ, Рх, Р2,
Р3, Р4. Для определения финальной вероятности Р0 необходимо взять графы
ВС, AF и CF, т. к. только в этих графах возможен переход из свободных
узлов в узел 0 по четырем ветвям в направлении стрелок.По этому же признаку определение вероятности Рх необходимо осуществить
по графам АС, ВС, CF ; вероятности Р2 — по графам AF, BF, CF ; веро¬
ятности Р3 — по графам AD, BD, DF; вероятности РА — по графам АЕ,
BE, СЕ. Тогда на основании формулы (5.31) по методике, изложенной ра¬
нее, получим:к 1=0к 1=0
Методы анализа надежности технических систем201*32 + -®}2^ + ^32^ ^1^-2 Ml М-2 + ^2MlM2 + ^2М?М2
2 “ “к С=Ок 1 = 0п ^23 + -®23D) + ^2^F) ^1^2М-2 + ^-?^2М-2 + ^АгМг
_ _ .к » = О* г = 0„ B[f> + 5<f > + s££) х^ц, + XjVi + Х,Х2ц?г4 - “А ( = 0А 1=0Так как знаменатель финальных вероятностей равен сумме всех их числите¬
лей, то финальные вероятности всех возможных состояний дублированной
системы определены.Заметим, что при определении финальных вероятностей граф CF использо¬
вался трижды (при определении вероятностей Р0, Рх и Р2), графы ВС и
AF — дважды, а граф DE вообще не использован. В графе DE свободные
узлы 3 и 4 являются поглощающими состояниями, а поэтому не существует
такого узла, в который возможен переход из свободных узлов в направлении
стрелок по четырем ветвям.Подставляя полученные выражения вероятностей в формулы для Кт и Т,
получим искомые коэффициент готовности и наработку на отказ.Непосредственное вычисление
стационарных показателей надежностиПриведем теоретические основы топологического метода для расчета ста¬
ционарных показателей надежности восстанавливаемой системы, описывае¬
мой произвольным графом. Метод позволяет рассчитывать показатели на¬
дежности, не используя разложение графа на подграфы типа дерева. Так как
все стационарные показатели надежности системы выражаются через ста¬
ционарные вероятности, то для расчета искомых показателей достаточно оп¬
ределить лишь вероятности пребывания системы в каждом состоянии.Вероятность пребывания системы в состоянии S',, i- 0,1, 2,... ,п, определя¬
ется по формуле(5.32)
202Главз$где Д, — сумма всех возможных произведений п интенсивностей переходовиз каждого состояния Sj, j * i графа в соседнее состояние, за исключениемтех произведений, в которые входят интенсивности ветвей, образующих на
графе элементарные контуры,Д=£а,.. (5.33)/=ОПРИМЕР 5.24. Требуется определить стационарные показатели надежности
системы, структурная схема которой изображена на рис. 5.33. Интенсивности
отказов и восстановлений дублированной подсистемы равны соответственно
А-! и р.,. Интенсивности отказов и восстановлений элемента 2 равны соответ¬
ственно Х2 и (J-2 • Обслуживает систему одна ремонтная бригада, приоритет
обслуживания — прямой, т. е. восстановление отказавших элементов осуще¬
ствляется в порядке их отказов.*■!> И|Рис. 5.33. Структурная схема системыРешение. Граф состояний системы изображен на рис. 5.34. Узлам поставле¬
ны в соответствие следующие состояния:□ (0) — все элементы исправны;□ (1) — отказал и восстанавливается один из элементов дублированной под¬
системы, остальные элементы исправны;□ (2)— отказал и восстанавливается элемент 2, остальные элементы ис¬
правны;□ (3) — отказали оба элемента дублированной подсистемы, причем первый
отказавший элемент находится в ремонте, второй — в очереди на обслу¬
живание, элемент 2 исправный;□ (4) — отказал и восстанавливается один из элементов дублированной под¬
системы, отказал и находится в очереди на обслуживание элемент 2.В данном случае граф не является графом типа дерева.
Методы анализа надежности технических систем20302V13®Рис. 5.34. Граф состояний системы, изображенной на рис. 5.33Узлы 0 и 1 соответствуют исправным, а узлы 2, 3 и 4 — отказовым состояни¬
ям. Дугам графа приписаны интенсивности отказов и восстановлений atj,с которыми происходят переходы из состояния в состояние.Определим стационарные вероятности состояний системы по формуле (5.32).
Для этого предварительно составим табл. 5.4.Таблица 5.4. Таблица переходовСостояния системыПереходы из данного состояния
во все другие состоянияСуммарная интенсивность
выхода(0)«01 ~ 2^1 > «02 = ^2«01 + «02О)«ю = И| > аи = X,, а14 = А.г«10 + «13 + «14(2)«20 = Н-2«20(3)«31 “Ц|«31(4)«42 = И|«42Для вычисления Д, надо составить произведение суммарных интенсивностей
выхода из всех состояний, кроме состояния 5,. Затем в полученном произве¬
дении раскрыть скобки и выкинуть все слагаемые, содержащие интенсивно¬
сти ветвей, образующих на графе контуры.Для состояния S0 получим произведение(°10 +а13 +аи)а20а31а42 =а10а20а31а42 + а!3а20а31а42 + а14а20а31а42 •
204Гпава 5Поскольку во второе слагаемое входит произведение а13а31 интенсивностей
ветвей, образующих контур, то такое слагаемое следует опустить, и тогдаА0 = a\0a20a3\aA2 + а14а20а31а42 = М-?Р-2 + ^2Hl М-2 •Для состояния «S'] получим произведение(а01 + °02)а20а31а42 ~ а01а20а31°42 + а02а20а31а42 •Во второе слагаемое входит произведение a02a20 интенсивностей ветвей, об¬
разующих контур, поэтомуД} = <3oia20a31a42 = •Для состояния S2 получим произведение(°01 +а02)(а10 + а\3 +й,и)а31а42 =“ aQ\a\0a3\aA2 + а01а13°31а42 + a01a14a31a42 + а02°10й31а42 +
+а02а13а31а42+а02а14а31а42-
Контуры образуются в первом (а01а10), втором (а13а31) и пятом (а13а31) сла¬
гаемых, поэтому эти слагаемые исключаются из рассмотрения:2 3 2 2^2 = aQ\a\Aa3\aA2 + a02a\0a3\aA2 + а02а14а3!а42 = ?^1^2Ml + ^2Ml + ^-гМ-1 •Для состояния 53 получим произведение(а01 + а02)(а10 + а13 + °14)а20а42 == а01а10°20а42 + a0\ana20aA2 + а01а14а20а42 + a02al0a20aA2 ++°02а13°20а42 + a02alAa20aA2-Контуры образуются во всех слагаемых, за исключением второго, следова¬
тельно,2Д3 = aoiai3a20a42 - 2Хх \хх\х2 ■Для состояния S4 получим произведение(а01 + «02 )(«ю +а13 +ан)а20а31 == a0\a\0a20a3\ +О01а13а20а31 + а01а14а20°31 + О02°10°20а31 ++a02a\3a20a3\ + a02alAa20a3\-Контуры образуются во всех слагаемых, за исключением третьего, следова¬
тельно,Д4 = «01а14°20а31 = 2X.JA.2M-lM-2 ■
Методы анализа надежности технических систем205По формуле (5.33) получимА — Ag + Aj + А2 + А3 + А4 =- Ц?Ц2 + + 2Х[Ц^ц2 + 2A.tX2nf +Х2ц^+Х2ц^ + 2А.^ц1ц2 +2А.1Х2р.||л,2-Следовательно,И-?f-^2 +^2Р-?М-2 _ 2A.1|4.fn2 „ _ 2Х,Х2Ц^ + Х2Ц^ +РО- - . Р\ д . й- д .2A,fpjp2 2Я.1А.2Ц|р.2Рг ——, Л- д •Определяем показатели надежности системы:□ коэффициент готовности:*r=Po+Pi = (М-i +2Х.] + Л,2)ц^ц2 (д.]Ц2 +Х2ц^ц2 +2Х[Ц^Ц2 +2Л,,Х2ц^ +Х2ц^ +А,2р.? + 2Х{г|л.1ц2 + 2А,1А.2ц1ц2□ наработка на отказ:■г _ Ро + Р\ 0*1 + 2Хх + Я.2)ц^ц2 _^-гРо +(^-1 + ^-г)Р\ Х2(Ц[ + Х2)ц^(Д.2 -t-(A.J + Л,2)2Я.1(д.^(Д2
_ (И-! +2Xt +X2)PjX2 + X2 + 2A,j* + 2XjX2□ среднее время восстановления:j _ Рг + Рг + Pa _ + ^2M? + + 2А,1А,2ц1ц2 _^-гРо +(^-l + ^”2 )iPl ^2(^1 +^"2)M'12M'2 + (^-1 ^-2)2Я-1 ц.22 . л 2„ , ,,2.2Х,Х.2ц1 + А,2 jutj + Х2|Д| + 2Х| ц2 + 2Х}Х2ц2
(p,jX2 + Я-2 + 2Xj *+■ 2XjA*2 )Ц.|Ц2Как следует из рассмотренных примеров, топологический метод целесооб¬
разно использовать лишь для расчета стационарных характеристик надежно¬
сти систем с небольшим числом возможных состояний. В силу трудоемкости
поиска контуров на графе, что представляет собой сложную комбинаторную
задачу, предпочтительнее использовать методы, основанные на теории мар¬
ковских процессов. Эти методы годятся для расчета надежности невосста-
навливаемых и восстанавливаемых систем. Так для расчета стационарных
206Глава 5характеристик лучшим методом является составление и решение системы
алгебраических уравнений, а для нестационарных характеристик — системы
обыкновенных дифференциальных уравнений.5.5. Методы, основанные на теории
марковских процессов5.5.1. Однородный марковский процессСлучайный процесс X{t) называется марковским или процессом без после¬
действия, если для любых двух моментов t0 и t{, где t0<tx, распределение
вероятностей ^(/]) при условии, что заданы все значения X(t) при t^t0,
зависит только от X(t0).Марковские процессы являются математической схемой, пригодной для опи¬
сания эволюции физической системы, которая после любого заданного мо¬
мента времени /0 не зависит от эволюции, предшествовавшей /0 при усло¬
вии, что значение процесса в этот момент фиксировано.Рассмотрим три последовательных момента времени т < t0 < tx. Пусть
X(t0) = i — значение, фактически принятое процессом для данной реализа¬
ции. Тогда можно считать известным закон распределения процесса, соответ¬
ствующего моменту ; при этом совсем не обязательно знать, какое значение
имел процесс в момент х . Для марковского процесса зависимыми являются
только два соседних сечения. Если под моментом /0 понимать настоящее
время, под х — прошедшее и под tx — будущее, то можно сказать, что для
марковского процесса прошедшее не влияет на будущее, если известно на¬
стоящее (рис. 5.35).Рис. 5.35. К определению марковского случайного процессаМарковские процессы могут быть процессами как с дискретным, так и с не¬
прерывным временем. Приведем примеры марковских процессов.1. X(t) — число частиц радиоактивного вещества в данном объеме. Знаяскорость распада вещества и зная, что в момент /0 имеется N частиц
Методы анализа надежности технических систем207(X(t0) = N), можно вычислить вероятность того, что в момент tx, близкий
к t0, в объеме будет (N + S) частиц.2. X{t) — число живых бактерий в данном объеме. Если известно
X(t0) = N, то, зная скорость деления и продолжительность жизни бакте¬
рии, можно сделать прогноз о количестве бактерий в момент tx = t0 + At.
Знать состояние процесса до момента t0 не нужно.3. X(t) — число вызовов, поступивших на телефонную станцию за время t.
Зная вероятности поступления вызовов за время At и число N вызовов в
данный момент t0, можно вычислить вероятность того, что в момент
t0 + At на станции число вызовов будет больше N. Очевидно, что при
этом не нужно знать, сколько вызовов было до момента t0 .Важным частным случаем марковского процесса является процесс Пуассона.
Процессом Пуассона называется процесс X(t) с непрерывным временем,
удовлетворяющий условиям:1. Каждое сечение процесса имеет возможные значения: 0, 1,2,....2. С течением времени состояние процесса может только увеличиваться:
X(t + At)ZX(t).3. Р(АХ(/) = 1) = ХАt + о(Д0. Здесь АХ(t) = X(t + At) - X(/) — приращение
процесса за время At; At — бесконечно малая величина; X — постоянное
для данного процесса число; o(At) — сумма всех членов, имеющих поря¬
док малости выше чем At.4. Р(АХ(0 = 5) = о(А/), где s £ 2.Третье условие означает, что вероятность изменения состояния на единицу за
бесконечно малое время At есть бесконечно малая величина того же порядка,
что и At. Четвертое условие означает, что вероятность изменения состояния
за At на две единицы и больше есть величина более высокого порядка мало¬
сти, чем At. Из 3-го и 4-го условий следует, что процесс Пуассона является
марковским.Можно доказать, что каждое сечение процесса Пуассона есть случайная ве¬
личина, распределенная по закону Пуассона с параметром Xt:P(X(t) = m) = ^^-e~x‘, m = 0,1,2,...
m\Математическое ожидание сечения при любом фиксированном t будетM(X(t)) = Xt.
208Гпава 5Если положить t = 1, то М(Х( 1)) = X — среднее число событий потока в еди¬
ницу времени.Выделение марковских процессов вызвано рядом причин, важнейшими из
которых являются относительная простота случайного процесса, описываю¬
щего эволюцию системы, наличие возможности использовать хорошо разра¬
ботанный математический аппарат для аналитического исследования марков¬
ских процессов, возможность получения аналитических выражений для пока¬
зателей качества систем и, наконец, возможность сведения к указанным
моделям более общих моделей.Марковский процесс называется однородным, если для любых возможных
значений г и к и произвольного т>0 вероятность события X(t + x) = k при
условии X(t) = / не зависит от t. Условная вероятностьpik{x) = P(X(t + x) = klX(t) = i)называется вероятностью перехода из состояния i в состояние j за время х .
Для любых состояний / и j вероятности перехода обладают свойствами:Pik (О ^ °> Z Pik ОО = 1. Pik (*1 + Ъ ) = Е Pij (Т1 )Pjk (*2 > ’
к jПоследнее соотношение, называемое иногда уравнением Чэпмана — Колмо¬
горова, лежит в основании всех исследований о марковских процессах.В теории надежности обычно исследуются случайные процессы двух видов:
моментов отказов и моментов окончания ремонтов системы. Если предполо¬
жить, что все распределения времени безотказной работы и времени восста¬
новления отдельных элементов системы являются экспоненциальными и все
состояния системы пронумерованы, то случайный процесс X(t), равный но¬
меру состояния в момент времени t, является однородным марковским про¬
цессом. Если процесс X(t) характеризует число отказов или число произве¬
денных ремонтов в течение времени /, то он также является однородным
марковским процессом.Однородный марковский процесс X(t) с дискретным множеством состояний
S0, S\, S2,..., Sm определяется постоянными интенсивностями переходаv.hWlMSH,J Д/-+0 Д tиз состояния Sj в состояние Sj, а также начальным вектором распределения
вероятностейPi(0) = P(X(0) = i), / = 0,1, 2,..., т.
Методы анализа надежности технических систем209Событие X(t) = i означает, что в момент времени t процесс X(t) находится
в состоянии Sj. Если переход из состояния S,■ в состояние Sj отсутствует, тоЧ/ = 0-Обозначим через Pi(t) вероятность пребывания системы в момент времени t
в состоянии Sj, i = 0,1,2,..., m . Эти вероятности удовлетворяют системе
обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова:Р\(0 = KjPi(О + Z\jPj(*)’ * = 0,1, 2,..., да. (5.34)J jСистема уравнений составляется по следующему правилу: для каждого со¬
стояния Sj записывается уравнение, в левой части которого стоит производ¬
ная от Pj(t), а в правой — сумма произведений вероятностей всех состояний,
умноженных на интенсивности перехода из этих состояний в состояние St,
причем произведения, соответствующие выходам из состояния S,•, берутся со
знаком а произведения, соответствующие входам в состояние S,, берутся
со знаком "+".Из системы уравнений Колмогорова можно получить модель функциониро¬
вания системы при длительной ее эксплуатации, т. е. при / -> со. В этом слу¬
чае p,(t) —> р, и /?'(/)-> 0. Вероятности pt называются стационарными или
финальными вероятностями. Относительно этих вероятностей имеет место
система линейных алгебраических уравнений:\jPi + £ KjPj = °» * = °Л 2,..., да, (5.35)j Jткоторая должна решаться вместе с условием £ р, = 1 •с=оПРИМЕР 5.25. На рис. 5.36 представлен граф состояний системы, ветвям
которого приписаны постоянные интенсивности перехода из состояния в со¬
стояние. В момент времени t = 0 система находилась в состоянии S0. Требу¬
ется составить математическую модель для нестационарного и стационарного
режима функционирования системы.Решение. Приведенное ранее правило позволяет записать следующую систе¬
му дифференциальных уравнений:Po(0 = ~(hi + ^-02)Ро(0 + ^ioPi(0'>■ Pi (0 = hiPo(0 - hoPi(0 + 4iPi(0;(0 = ^02 A)(0“^2lft(0-
210Глава 5^•oiЯ-21Рис. 5.36. Граф состояний системыТак как при t = 0 система находилась в состоянии S0, то />0(0) = 1,
Р\ (0) = (0) = 0. Решение системы при заданных начальных условиях по¬
зволяет найти вероятности pt(t) пребывания системы в каждом состоянии,
/ = 0,1,2.При длительной эксплуатации системы вероятности состояний становятся
постоянными, а их производные равны нулю. Тогда математическая модель
функционирования системы будет иметь вид:-(Л,01 + Х02)Р0 + XjoPj = 0;• ^oiPo _^ioPi +^2\Р2 =0;Л02Р0 ~^2lP2 = 0-Полученная система является неопределенной и должна решаться при допол¬
нительном условии: р0 + р{ + р2 -1, которое заменяет одно любое уравнение
системы.5.5.2. Инженерная методика
расчета показателей надежностиОсновными допущениями метода, основанного на теории марковских про¬
цессов, являются:□ время безотказной работы и время восстановления каждого элемента, вхо¬
дящего в систему, имеют экспоненциальное распределение вероятностей;□ функционирование системы контролируется непрерывно, т. е. момент от¬
каза обнаруживается немедленно после его возникновения;□ восстановление элемента начинается сразу после его отказа при наличии
свободной бригады, обслуживающей данный элемент; при отсутствии
свободной ремонтной бригады отказавший элемент становится в очередь
на обслуживание.
Методы анализа надежности технических систем211Метод позволяет рассчитать надежность невосстанавливаемых и восстанав¬
ливаемых, нерезервированных и структурно-резервированных технических
систем при любом состоянии резерва (ненагруженном, облегченном, нагру¬
женном), при любом количестве ремонтных бригад и произвольной дисцип¬
лине обслуживания с учетом сделанных ранее допущений. Метод позволяет
вычислять следующие характеристики надежности систем: вероятность без¬
отказной работы, среднее время безотказной работы, функцию и коэффици¬
ент готовности, наработку на отказ, среднее время восстановления.Инженерная методика анализа надежности технической системы, осно¬
ванная на теории марковских процессов, состоит из следующих этапов:1. Формулировка понятия "отказ" и представление исходных данных.Отказ является понятием субъективным, поэтому его определение для
конкретной системы согласуется с заказчиком. Исходными данными для
расчета показателей надежности являются: структурная схема системы
(схема расчета надежности), интенсивности отказов и восстановлений
каждого элемента, количество ремонтных бригад, приоритет обслужива¬
ния, время непрерывной работы, начальное состояние процесса функцио¬
нирования системы.2. Построение графа состояний.Порядок построения графа состояний приведен в разд. 5.1. В соответствии
с принятым понятием отказа множество всех состояний Е разбивается на
множество работоспособных состояний Е+ и множество отказовых со¬
стояний Е_. Если система работает только до первого отказа и вычисля¬
ются показатели P{t) и 7j, то в графе отсутствуют ветви из всех отказо¬
вых состояний.3. Составление по графу системы линейных дифференциальных и/или алгеб¬
раических уравнений.По виду графа формально записывается система линейных дифференци¬
альных уравнений (5.34) для вероятностей /?,(/) пребывания системы в
момент времени t в состоянии /. Проверяется правильность составления
системы дифференциальных уравнений: если сумма правых частей равна
нулю, то считается, что система составлена правильно.Для определения вероятности безотказной работы следует ограничиться
составлением уравнений только для исправных состояний системы.4. Решение систем уравнений и определение вероятностей состояний сис¬
темы.Вероятности состояний р,(/) определяются путем решения системы (5.34)
любым из известных математических методов. Часто бывает удобно
212Гпава 5использовать метод преобразования Лапласа (см. разд. 2.5). Для этого
в уравнениях (5.34) вместо вероятностей />Д0 необходимо поставить
их изображения Pi(z), а вместо производных p\(t) — выражения
(zp^z)-pj(0)). Тогда система дифференциальных уравнений (5.34) в пре¬
образовании Лапласа записывается в виде системы алгебраических урав¬
нений:zpi (z) - Pi (0) - -]Г Xjjp; (z) + Xijpj (z), / = 0,1, 2,...,m. (5.36)j jtВероятности pt(0) определяются начальными условиями функциониро¬
вания системы. В большинстве случаев при / = 0 все элементы системы
находятся в исправном состоянии, тогда /;0(0) = 1, Р\(0) =... = рт{0) = 0.В результате решения системы алгебраических уравнений (5.36) опреде¬
ляются Pj(z). Оригиналы Pj(t) находятся по любому известному методу.5. Вычисление требуемых показателей надежности системы.Решение систем уравнений (5.34) и (5.35) позволяет определить любые
показатели надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых сис¬
тем.Рассмотрим случаи невосстанавливаемой и восстанавливаемой систем.Случай 1. Система работает только до первого отказа. Вероятность безотказ¬
ной работы технической системы за время t вычисляется по формуле:т=2>«(о-/е£+Среднее время безотказной работы вычисляется по одной из следующих
формул:ООТх= \P(t)dt или ТХ=Р{0).оПервой формулой целесообразно пользоваться в том случае, когда вероят¬
ность безотказной работы представлена в явном виде, а второй — когда веро¬
ятность безотказной работы вычислена с помощью преобразования Лапласа.
Для определения среднего времени безотказной работы 7] при неизвестныхвыражениях для P(t) или P(z) составляется система линейных алгебраиче¬
ских уравнений относительно среднего времени пребывания технической
системы в исправных состояниях:" Z Чут« + £ Ч'ту = “A(0)> i е Е+ .jeE jeE
Методы анализа надежности технических систем213Последняя система формально получается из системы (5.36) при z-0 и с
использованием очевидных равенств:QOт( = jPi(t)dt, i<=E+.
оТогда среднее время безотказной работы находится суммированием средних
времен пребывания системы в исправных состояниях:ieE+Случай 2. Система восстанавливается после наступления отказа. Функция
готовности системы вычисляется по формуле:ад=Ей(0. (5-37)ieE+Решение системы алгебраических уравнений (5.35) позволяет определитьстационарные значения вероятностей pt = lim Pj(t), ieE, а по ним— сред-/->00нюю наработку на отказ, среднее время восстановления и коэффициент го¬
товности системы:£ Pi Z Pirrt гг* ^ /€/£_" I Pi I Чу ’ B=bIV/e£+ ys£_ ieE+ je E_Существенным недостатком метода, основанного на теории марковских про¬
цессов, является ограниченность его применения. Он применим только в слу¬
чае экспоненциальных распределений времени безотказной работы и восста¬
новления элементов.5.5.3. Пример расчета показателей надежности
методом марковских процессовПРИМЕР 5.26. Вычислить показатели надежности системы, структурная
схема которой представлена на рис. 5.33. Элементы дублированной подсис¬
темы равнонадежны с интенсивностью отказов Х]=0,02 час-1 и интенсив¬
ностью восстановления ц, =0,5 час-1. Интенсивности отказов и восстанов¬
лений нерезервированного элемента равны соответственно Х2 =0,01 час”1 и
ц.2=1 час'1. Обслуживает систему одна ремонтная бригада с прямым при¬
оритетом. В начале функционирования все три элемента находятся в исправ¬
ном состоянии. Время непрерывной работы системы t = 10 час.*г=ЕРг/е£+т+та(5.38)
214Глава 5Решение. Будем следовать приведенному ранее алгоритму.Отказ системы наступает в том случае, когда откажут оба элемента, входя¬
щие в дублированную подсистему, или произойдет отказ нерезервированного
элемента. Граф состояний изображен на рис. 5.34. Дугам графа приписаны
интенсивности переходов, равные интенсивностям отказов и восстановлений
тех элементов, из-за которых происходят эти переходы.Состояния (0) и (1) являются состояниями работоспособности, а состояния
(2), (3), (4) — отказовыми.Система дифференциальных уравнений для определения P(t) имеет вид:| Ро (0 = —(2Я., + Х2 )р0 (/) + ц,/?, (/);I Р\ (О = 2Х,а>(0 - (X, + Х2 + ц, )рх (/).Вычислим вероятности исправных состояний p0(t) и px(t) при условии, что
все элементы при / = 0 исправны, т. е. />0(0) = 1, /7, (0) = 0 . В преобразовании
Лапласа система уравнений имеет вид:f zp0 (z) -1 = -(2Х, + Х2 )р0 (z) + (z);[Pi (*) = 2Xxp0(z) - (X, + \2 + ц, )рх (z).Решая эту систему алгебраических уравнений, получим:Ро ^ z + + Х2 + ц, z + (ЗА.| + 2"К2 + Ц] )z + 2X.J + ЪХхХ2 + Х2 + Х2Ц12Ххpx(z) = — ^ .z + (3Xj + 2Я<2 + Ц] )z + 2Хх + 3 А.|\2 + \2 +Вероятность безотказной работы в преобразовании Лапласа имеет вид:P(z) = p0(z) + px (z) = -s L+2hlh..+ Mi .z + (3Xl + 2X2 "Ь + 2A#j И- 3A.jA/2 + ^2 ^2MiПодставляя числовые значения интенсивностей, получим:P(Z)=— Z-1^- .z2 + 0,58z+ 0,0065Переходя от изображения к оригиналу, определим вероятность безотказной
работы как функцию времени:Р(0 = 1,002е~°'°1 и - 0,002е-0’569'.Для / = 10 час Р(10) = 0,898.
Методы анализа надежности технических систем215Найдем среднее время безотказной работы:Тх = Р(0) = 87,69 час.Система дифференциальных уравнений для определения функции готовности
имеет вид:>0 (0 = —(2Л., + Х2 )Ро (0 + Mi Pi (0 + V2P2 (0;
p\(t) = 2Xxp0(t) - (Хх + Х2 + ц, )рх (0 + ц,/?3(0;' P2(0 = ^2Po(0-M2/J2(0 + MlP4(0;/>з(0=Ча(0-шл(0;
p\(t) = X2px(t)-\xxp4(t).Так как по условию задачи при / = 0 все элементы исправны, тор0(0) = 1, Р\(0) = р2(0) = /73(0) = />4(0) = 0.Запишем систему уравнений в преобразовании Лапласа:zp0(z)-\ = -(2Xx +X2)p0(z) + nxpx(z) + n2p2(z);
zpx(z) = 2Xxp0(z)-(Xl+X2+Lil )Р\ (z) + р, рг (z);< zp2(z) = X2p0(z)-\x2p2(z) + iixp4(z);
zpi(z) = Xxpi(z)-ixxp3(z);
zp4(z) = X2px(z)-iixp4(z).Решая эту систему для заданных значений интенсивностей переходов, по¬
лучим:. , ч z4 + 2,53z3 + 2,3z2 + 0,8975z + 0,1275Pa (Z) — z г ,z(z + 2,58z + 2,3965z + 0,9572z + 0,139475)
0,04z3+0,08z2+0,05z + 0,01p\ (Z) — * : г г .z(z4 + 2,58z3 + 2,3965z2 + 0,9572z +0,139475)Найдем изображение функции готовности:^ z4 + 2,57z3 + 2,38z2 + 0,9475z + 0,1375r Z ~~ z(z4 + 2,58z3 +2,3965z2 +0,9572z + 0,139475)Чтобы перейти от изображения Kr(z) к оригиналу, найдем корни знамена¬
теля:z,=0, z2 =-0,436, z3=-0,5, z4 =-0,632, z5 =-1,012.
216Гпава 5Тогда оригинал имеет вид:Kr(t) = 0,986 + 0,017е“°'436' -0,014е“°’632' +0,011<Г!’012'.
Для 1 = 10 час АГг(10) = 0,98619.Определим коэффициент готовности системы:*г = Шп/:г(О = 0,986.
<->00Определим стационарные вероятности исправных состояний:Ро = I™ РоО) = Hm zpQ (z) = = 0,914,t-yco z-> о 0,139475р, = lim Рх (0 = lim zpx (z) = - °’01 = 0,072 ./-><» z-> о 0,139475Наработку на отказ и среднее время восстановления определим по формулам
(5.38):т = Ро±Р} _ 0,072 = 87,26 час,^Po+iK+^Pi 0,01-0,914 + 0,03-0,072т _ 1 -iPo + Pi) _ 1-(0,914+ 0,072) . 24 час
в Х2р0+(Х1+Х2)р1 0,01-0,914 + 0,03 0,072 ’Поскольку коэффициент готовности, наработка на отказ и среднее время вос¬
становления связаны между собой соотношениемгК=-Т + Твто это равенство может служить проверкой правильности расчетов.5.5.4. Особенности анализа надежности систем
при законах распределения отказов
и восстановлений, отличных от экспоненциальногоКак известно, экспоненциальные распределения обладают свойством "отсут¬
ствия памяти". Поэтому для прогнозирования развития процесса в будущем
достаточно знать поведение системы лишь в данный момент времени и не
важно, как протекал процесс до этого. Если хотя бы одна случайная величи¬
на, входящая в процесс функционирования системы, имеет неэкспоненциаль¬
ный закон распределения, то для описания эволюции системы уже необходи¬
мы знания о всей предыстории системы. В этом и состои