100 Jahre Mathematisches Seminar der Karl-Marx-Universitaet Leipzig - Beckert H., Schumann H.

Teil III. Das Wirken bedeutender Mathematiker an der Universität Leipzig — Mitte 19. bis Mitte 20. Jahrhundert

Die Direktoren des Mathematischen Instituts und der Sektion Mathematik seit 1881

Author: Beckert H. Schumann H.

Tags: geschichte mathematik forschung wissenschaft universität leipzig karl-marx-universität seminar jubiläum lehre deutsche mathematik hochschulgeschichte mathematikgeschichte

Year: 1981

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Text

100 JAHRE MATHEMATISCHES SEMINAR
DER KARL-MARX-UNIVERSITÄT LEIPZIG
Herausgegeben von
Herbert Beckert und Horst Schumann
Sektion Mathematik der
Karl-Marx-Universität Leipzig
VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
Berlin 1981

Autoren dieser Festschrift sind:
Prof. Dr. Herbert Beckert, Prof. Dr. Günther Eisenreich, Prof. Dr. Joachim Focke,
Prof. Dr. Hans-Joachim Girlich, Prof. Dr. Paul Günther, Prof. Dr. Rolf Klötzler,
Dipl.-Lehrer Fritz König, Doz. Dr. Reiner Kühnau, Dr. Roland Mildner,
Doz. Dr. Walter Purkert, Prof. Dr. Hans-Joachim Roßberg, Prof. Dr. Hans Salie (f),
Prof. Dr. Horst Schumann, Dr. Viktor Ziegler (t)
Wissenschaftliche Redaktion: Dr. Roland Mildner
Verlagslektor: Erika Arndt
Verlagshersteller: Ilona Hoff mann
Umschlaggestaltung: Kersti Arnold
© 1981 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, DDR-1080 Berlin, Postfach 12JO
Lizenz-Nr. 206 . 435/96/81
Printed in the German Democratic Republic
Gesamtherstellung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", 7400 Altenburg
LSV 1005
Bestellnummer 570 980 6
DDR 65,- M

Vorwort
Die Sektion Mathematik der Karl-Marx-Universität Leipzig — hervorgegangen aus
dem 1881 durch Felix Klein gegründeten ,,Mathematischen Seminar" und dem
späteren ,,Mathematischen Institut" — ist eine traditionsreiche Lehr- und
Forschungsstätte, an der viele bedeutende Mathematiker gewirkt haben. Nach der
demokratischen Neueröffnung der Universität im Jahre 1946 und insbesondere seit der
Sektionsgründung 1969 wurde diese Entwicklung erfolgreich fortgeführt.
Der Traditionspflege wird an der Sektion große Aufmerksamkeit geschenkt, ist
sie doch eine wesentliche Komponente der Bildungs- und Erziehungsarbeit. Nach
vielen Überlegungen wurde die Idee geboren, zum 100. Jahrestag der Gründung des
Mathematischen Seminars eine Festschrift herauszugeben, die die Entwicklung der
Mathematik an der Leipziger Universität schildert und das Wirken hervorragender
Mathematikerpersönlichkeiten in Leipzig würdigt.
Mit dem Fortschreiten der Arbeit an dem nun vorliegenden Gedenkband zeigten
sich zwar Schwierigkeiten — waren doch für die Beteiligten viele ungewohnte
Aufgaben zu lösen —, aber auch die Begeisterung an der Sache wuchs und half, alle
Klippen zu überwinden. Die Festschrift ist eine Gemeinschaftsarbeit von
Wissenschaftlern der Sektion, die dabei von vielen Kolleginnen und Kollegen, von
Wissenschaftlern anderer Institutionen, den Angestellten der Sektion, von Mitarbeitern
der Universitätsbibliothek, des Universitätsarchivs und der Hochschul-Film- und
-Bildstelle der KMU und vielen anderen tatkräftig unterstützt wurden und denen
dafür unser herzlicher Dank gilt. Besonders hervorheben möchten wir Herrn Dr.
Walter Purkert, Dozent am Institut für Geschichte der Medizin und
Naturwissenschaften der KMU, für seine außerordentlich wertvollen Beiträge und seine
engagierte Mitarbeit am gesamten Band, Herrn Dr. Roland Mildner, Lektor
an der Sektion Mathematik, für seine unermüdliche Arbeit als Redakteur des
Bandes, Frau Ina Letzel, Leiterin der Außenstelle Mathematik der
Universitätsbibliothek, für ihre beispielhafte Unterstützung der Autoren bei den zahlreichen
notwendigen Recherchen, sowie Frau Dipl.-Math. Erika Arndt,
Fachgebietsleiterin in der Abteilung Mathematik/Physik des VEB Deutscher Verlag der
Wissenschaften, Berlin, und Herrn Wolfgang Arnold, Leiter dieser Abteilung, für die

6 Vorwort
Unterstützung und gute Zusammenarbeit bei der Vorbereitung und Gestaltung
dieser Festschrift.
Wir hoffen, daß mit dem vorliegenden Gedenkband ein Beitrag geleistet wird,
die in der Vergangenheit, insbesondere während der letzten 35 Jahre sozialistischer
Entwicklung, von den in Leipzig wirkenden Mathematikergenerationen gesammelten
vielen Erfahrungen zu bewahren und für die Erfüllung unserer heutigen und
künftigen Aufgaben in Lehre und Forschung nutzbar zu machen.
Leipzig, im Frühjahr 1981
Herbert Beckert
Horst Schumann

Inhalt
Teil I. Die Mathematik an der Universität Leipzig von ihrer Gründung bis zum zweiten
Drittel des 19. Jahrhunderts (W. Purkert) 9
Teil II. Die Gründung des „Mathematischen Seminars" der Universität Leipzig
(F. König) 41
Teil III. Das Wirken bedeutender Mathematiker an der Universität Leipzig —
Mitte 19. bis Mitte 20. Jahrhundert 73
Einleitung (W. Purkert) 75
Felix Klein (F. König) 82
Carl Neumann (H. Salie f) 92
Adolph Mayer und die Variationsrechnung (R. Klötzler) 102
Sophus Lie (P. Günther) 111
Felix Hausdorff und die angewandte Mathematik (H.-J. Girlich) 134
Otto Holder (G. Eisenreich) 147
Karl Rohn — ein Geometer (V. Zieglerf) 169
Gustav Herglotz — Verbindung von reiner Mathematik und mathematischer
Physik (H.-J. Rossberg) 176
Paul Koebe und die Funktionentheorie (R. Kühnau) 183
Wilhelm Blaschke und seine Untersuchungen über Orbiformen (J. Focke) . . 195
Walter Schnee (H. Beckert) 202
Leon Lichtenstein (H. Beckert) 207
B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig (G. Eisenreich) 218
Ernst Holder und die mathematische Physik (H. Beckert) 245
Erich Kahler in Leipzig 1948 —1958 (H.Schumann) 253
Hans Salie (G. Eisenreich) 260
Teil IV. Mathematische Lehre und Forschung an der Universität Leipzig seit ihrer
demokratischen Neueröffnung im Jahre 1946 (R. Mildner, H. Schumann) .... 265
Die Direktoren des Mathematischen Instituts und der Sektion Mathematik seit 1881 . . . 335
Quellennachweis für Abbildungen 339

TEILI
DIE MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT LEIPZIG
VON IHRER GRÜNDUNG BIS ZUM ZWEITEN DRITTEL
DES 19. JAHRHUNDERTS1)
Walter Purkert (Leipzig)

Am 18. Januar des Jahres 1409 erließ der böhmische König Wenzel IV. das Dekret
von Kuttenberg. Es beinhaltete die Änderung des Stimmrechts an der Universität
Prag zugunsten der tschechischen Magister und Studenten. Dieses Dekret war
Ausdruck der nationalen Bewegung des tschechischen Volkes, die später in der Hussi-
tenbewegung ihren Höhepunkt hatte. Die Reaktion der deutschen Magister und
Studenten war ein feierlicher Eid, lieber Prag zu verlassen als auf ihre Privilegien zu
verzichten. Die Auseinandersetzung spitzte sich zu, als am 9. Mai 1409 der königliche
Kommissar Nikolaus die Universitätsinsignien beschlagnahmte und den vom König
neu ernannten tschechischen Rektor einsetzte. Mitte Mai begann der Auszug der
deutschen Magister und Studenten aus Prag.
In der Markgrafschaft Meißen, einem nördlichen Nachbarland von Böhmen,
herrschte zu dieser Zeit Friedrich der Streitbare. Er betrieb energisch die
Stärkung der Landesherrschaft und die Festigung der Macht der wettinischen
Markgrafen. Dazu benötigte er in steigendem Maße gut ausgebildete Räte, so daß die
Gründung einer Universität innerhalb seines Landes durchaus seinen Interessen
entsprach. Diese Tatsache sowie seine Gegnerschaft zu König Wenzel IV. lassen
es möglich erscheinen, daß seinerseits ein Angebot an die deutschen Magister und
Studenten in Prag vorlag, obwohl die Quellen darüber nichts aussagen. Jedenfalls
bemühte er sich bereits im Sommer 1409 um ein päpstliches Privileg für eine neu zu
gründende Universität, welches Papst Alexander V. am 9. September 1409 auch
ausstellte (Abb. 1). Als Ort war Leipzig gewählt worden, wofür besonders die Rolle
dieser Stadt als bedeutendes Handelszentrum sprach. Es war auch gelungen, fast
alle deutschen Magister der Prager Universität nach Leipzig zu ziehen, während von
den aus Prag kommenden Studenten höchstens ein Viertel nach Leipzig ging. Am
2. Dezember 1409 wurde die Universität Leipzig in Anwesenheit des Markgrafen im
Kloster St. Thomas offiziell eröffnet. Weit mehr als ein Jahrhundert stand sie —
bedingt durch ihre Gründungsgeschichte — dem geistigen und gesellschaftlichen
x) Der Chronologie dieses Artikels liegt die verdienstvolle Arbeit von M. Schwarzburger
[45], ehemals Bibliothekarin am Mathematischen Institut, zugrunde.

12 Teil I
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Abb. 1. Päpstliches Privileg Alexanders V. vom 9. September 1409 für die Universität
Leipzig

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 13
Fortschritt ablehnend gegenüber. Das zeigte sich in ihrer Haltung zur Reformation.
Das offenbarte sich auch darin, daß in Leipzig die unfruchtbare mittelalterliche
Scholastik noch gepflegt wurde, als an anderen deutschen Universitäten bereits neue
Ideen Fuß gefaßt hatten. Nicht zuletzt wurde die über mehrere Jahrhunderte
konservierte Universitätsverfassung bald zum Hemmschuh der Entwicklung.
Wie an jeder mittelalterlichen Universität bestanden an der Universität Leipzig
vier Fakultäten, die theologische, die juristische und die medizinische Fakultät und
als Vorstufe zu diesen drei ,,höheren Fakultäten'' die sogenannte Artistenfakultät,
an der die ,,sieben freien Künste" (artes liberales) Grammatik, Rhetorik, Dialektik,
Arithmetik, Geometrie, Musik und Sternkunde gelehrt wurden. Jeder
Universitätslehrer der Artistenfakultät mußte diese sieben Fächer abwechselnd nach Wahl oder
Losentscheid lesen (Prinzip der ,,walzenden Lektionen"). Mathematikprofessoren
im Sinne von Spezialisten für dieses Gebiet gab es nicht.
Das Einteilungsprinzip der Universität nach Fakultäten setzte sich an den
deutschen Universitäten außer Leipzig als alleiniges Einteilungsprinzip im Laufe des
15. Jahrhunderts durch. Die Leipziger Universitätsverfassung, die bis 1830 (!) galt,
beruhte wesentlich auf der Einteilung in sogenannte Nationen, z. B. die meißnische,
sächsische, polnische und bayrische Universitätsnation. Die wichtigen Ämter der
Universität wurden von den Vertretern der Nationen nach einem gewissen Schlüssel
besetzt. Da die Träger des Lehrbetriebes, die Fakultäten, im Rahmen dieser
Verfassung wenig Rechte hatten, war für Leipzig eine kleinliche Reglementierung des
Lehrbetriebes, die keinen Raum für eigene Ideen ließ, charakteristisch. Die Nationen
Verfassung führte zu Mißständen und Schwerfälligkeit im Verwaltungsapparat der
Universität. Hinzu kam das geringe Niveau bei den Prüfungen, da die Magister die
Prüfungsgebühren als wesentliche Einnahmequelle betrachteten und durch
übergroße Milde möglichst viele Prüflinge an sich zu ziehen suchten. So behaupten böse
Zungen im Jahre 1502 „daß wol eyn esel, so man den mit gelt in ir examen sendet,
von ine durch gelosen und nicht reycirt wurde ..." ([30], S. 29). Es ist deshalb nicht
verwunderlich, daß in dem von Abt Trithenius Ende des 15. Jahrhunderts
verfaßten Katalog der bedeutendsten zeitgenössischen Gelehrten kein einziger Magister
der Universität Leipzig verzeichnet war.
Es läßt sich für die ersten Jahrzehnte nach der Gründung der Universität nicht
feststellen, von wem in welchem Umfang mathematische Vorlesungen gehalten worden
sind. Der erste bedeutende Mathematiker, dem wir an der Universität Leipzig
begegnen, ist Johannes Müller aus Königsberg (Franken), genannt Regiomontantjs.
Er wurde 1436 geboren und bereits im Winter 1447 an der Leipziger Universität
immatrikuliert. Eine bedeutende Leistung, die er noch in Leipzig vollbrachte, ist
die Berechnung der Planetenörter für alle Tage. Er verbesserte damit einen Kalender
von Gutenberg ganz wesentlich, der die örter nur alle 15 Tage angab. Die Tatsache,
daß Regiomontantjs bereits 1450 Leipzig verließ, um bei G. Peurbach in Wien zu
studieren, deutet darauf hin, daß ihm die Leipziger Magister wenig bieten konnten.
Wir können seinen Weg hier nicht weiter verfolgen, da wir uns in diesem Bericht
auf diejenigen Personen konzentrieren wollen, die in Leipzig Mathematik gelehrt
haben. Ohne Zweifel ist Regiomontantjs einer der bedeutendsten Mathematiker des
15. Jahrhunderts gewesen.
Am Ende des 15. Jahrhunderts lehrte in Leipzig Johannes Widmann. Er stammte
aus Eger (Cheb), wo er vermutlich um 1460 geboren wurde. 1480 ist er an der Leip-

14 Teil I
ziger Universität immatrikuliert worden. Bereits zwei Jahre später war er Baccalau-
reus, 1485 wurde er Magister. Ab 1486 hat Widmann Vorlesungen gehalten, zunächst
über Algebra. Im Handschriftencodex 1470 der Universitätsbibliothek Leipzig,
fol. 479—493, findet sich hierüber ein Kollegienheft. Bekannt wurde Widmann
durch sein Rechenbuch ,,Behende und hübsche Rechenung auff allen ka uff
mannschafft", welches 1489 in Leipzig gedruckt wurde und mehrere Auflagen erlebte.
Zur Abfassung des Buches hat ihn der spätere Leipziger Rektor Sigmund Altmann
angeregt, der leichtverständliche Regeln wünschte, „solche Regeln, welche auch ein
Mensch mittlerer Vernunft noch begreift" ([33], S. 2). Widmann stellt sich das Ziel,
die Rechenkunst so darzulegen, daß ein anderer ,,sie allergewissest erkenne", daß
ihm ,,kein Zweifel mehr bestehe, sondern blanke Sicherheit, so große Sicherheit, daß
auch Gott dieselbe nicht zu brechen vermag, denn es liegt auch nicht in Gottes
Vermögen, daß zwei mal zwei nicht vier ist" ([33], S. 3). Berücksichtigt man die damals
vorherrschende Ideologie, so ist das eine bemerkenswerte Zielstellung.
Widmann behandelt zunächst das schriftliche Rechnen, oder wie man damals
sagte, das Rechnen „auff der federn". Das war besonders für den Handel von
Bedeutung, denn zu Widmanns Zeit herrschte noch das Rechnen „auff der linien",
d. h. im Grunde das Abakus-Rechnen, vor. Das Buch enthält die erste gedruckte
dreieckige 1 X 1-Tafel mit indisch-arabischen Ziffern. Auf die Auseinandersetzung
der Grundrechenarten folgen bei Widmann einfache arithmetische und geometrische
Reihen, z. B. werden die Summen von 1 + 2 + ••• + n und 1 + 2 + 4 + ••• + 2n
angegeben. Ausführlich werden Wurzelziehen und Bruchrechnung behandelt. Es
folgen Aufgaben, die in unserer heutigen Terminologie auf lineare oder quadratische
Gleichungen führen, z. B.: „Such mir eyn zal wan ich do von nym 1/5 1/7 1/9 vnd
das vbrig in sich selbst multiplicir das wider kum die selbige zal". ([33], S. 73.) Wir
(XXX \^
x 1 = x. Ausführlich werden Propor-
5 7 9/
tionen und Dreisatz mit ihren Anwendungen auf das kaufmännische Rechnen
behandelt, ferner Zins und Zinseszins und etwas Geometrie. In Widmanns Buch
kommen erstmalig im Druck die Zeichen + und — vor, die sich danach rasch
einbürgerten.
Widmann hat mit seinem Buch begonnen, mathematisches Wissen in breitere
Volksschichten zu tragen. An ihn konnten die zahlreichen Rechenmeister des 16.
Jahrhunderts, wie z. B. Adam Ries, anknüpfen. Widmann war jedoch nicht nur
Rechenmeister, sondern ein allgemeingebildeter Mathematiker, der mit dem Wissen seiner
Zeit vertraut war. Leider ist über seinen weiteren Lebensweg ab 1489 nichts mehr
bekannt.
In den ersten Jahren des 16. Jahrhunderts lehrten in Leipzig Udalrich Kalb
(etwa um 1500), Andreas Alexander (1502—1504) und Heinrich Stromer von
Auerbach (etwa um 1515). Sie hatten keinen nennenswerten Einfluß auf die weitere
Entwicklung.
Das erste Drittel des 16. Jahrhunderts brachte mit der Reformation und den
frühbürgerlichen revolutionären Bewegungen gesellschaftliche Erschütterungen, die auch
das Leben an den Universitäten beeinflußten. Die Stadt und besonders die
Universität Leipzig widersetzten sich den neuen Lehren. Mit den Leipziger Theologen lebte
Luther in erbitterter Feindschaft. Auch der Stadt Leipzig war er nicht gewogen:
,,Leibzig ist wie Sodama vnd Gomorrha mit hurerey vnd Wucher vberschuttet,

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 15
darumb kans ihnen nicht wol gehen" soll er geäußert haben ([51], S. 57). Als
Heinrich der Fromme 1539 an die Macht kam, wollte er die Universität und Stadt
Leipzig und davon ausgehend das albertinische Herzogtum reformieren. Zu Pfingsten
1539 erschien er in der Stadt und mit ihm auch Luther und die Wittenberger
Theologen. Der Erfolg war jedoch noch nicht so durchgreifend, wie man ihn gewünscht
hatte. Erst unter Herzog Moritz siegte der auf die fürstliche Macht orientierte
Protestantismus endgültig. Der Herzog besetzte fortan die Professuren und
besoldete ihre Inhaber, damit war die Universität ein „Werkzeug fürstlicher
Machtausübung geworden" ([51], S. 65). Die walzenden Lektionen wurden abgeschafft; das
allgemeine Niveau konnte gehoben werden. Große Verdienste bei der Umgestaltung
der Universität erwarben sich der im humanistischen Geist erzogene Caspar
Borner, der mehrere Semester Rektor war, und Joachim Camerarius, ein enger Freund
Melanchthons.
Die Universität bemühte sich nun auch mit Erfolg um einen begabten
Mathematiker: 1542 berief sie Georg Joachim Rhaetictjs nach Leipzig. Rhaetictjs wurde
1514 in Feldkirch im Vorarlberg geboren. Nach Studien in Zürich, Wittenberg,
Tübingen und Nürnberg wurde er 1536 auf Betreiben Melanchthons nach Wittenberg
berufen. Als das Gerücht von der neuen Lehre des Koperniktjs auch nach
Wittenberg drang, entschloß sich Rhaetictjs, ihn zu besuchen. 1539 reiste er nach
Frauenburg (Fromborgk) und wurde ein begeisterter Anhänger von Koperniktjs. Noch
im selben Jahr erschien in Danzig Rhaetictjs' Schrift „Narratio prima de libris
revolutionum", eine vorläufige, aber schon recht umfangreiche Mitteilung über das
in Vorbereitung befindliche Hauptwerk von Koperniktjs. 1541 hatte Koperniktjs
das Manuskript von „De revolutionibus" fertiggestellt und vertraute es Rhaetictjs
an, der es nach Nürnberg brachte. Dort überwachte er auch den Druck der ersten
Bogen. Leider übernahm diese Funktion dann Osiander, von dem jenes berüchtigte
Vorwort ohne Unterschrift stammt, welches das Kopernikanische System als reines
Denkmodell charakterisiert. 1542 war Rhaetictjs wieder in Wittenberg. Dort
erschien seine Schrift „De lateribus et angulis triangulorum libellus". Es handelt
sich dabei um die Darstellung derjenigen Kapitel des Werkes von Koperniktjs,
die die Trigonometrie enthalten, nebst einer von Rhaetictjs selbst berechneten
Sinustafel, welche in Winkeln von einer Minute fortschreitet und auf sieben
Dezimalen genau ist.
In Leipzig wurde Rhaetictjs sehr freundlich empfangen: Die Fakultät machte
ihm ein wertvolles Geschenk und seine Vorlesungen wurden außerordentlich gut
honoriert. Er begann hier die Berechnung einer Tafel der Sinus- und Tangens werte
für Winkel, die um 10 Bogensekunden fortschreiten. Die Genauigkeit betrug 10
Dezimalen. Für die Berechnung beschäftigte er 12 Jahre lang mehrere Rechner, was
ihn Tausende von Gulden gekostet haben soll. Die Berechnungen basierten auf den
Beziehungen
sin noc = 2 sin (n — 1) oc cos oc — sin (n — 2) oc,
cos not = 2 cos (n — 1) oc cos oc — cos (n — 2) oc.
Rhaetictjs war oft auf Reisen. Es gibt wiederholte Aufforderungen an ihn, seine
Verpflichtungen an der Universität wahrzunehmen. 1576 reiste er mit seinem Schüler
Valentintjs Otho nach Kaschau (Kosice) im damaligen Ungarn, wo er kurz nach

16 Teil I
seiner Ankunft verstarb. Otho gelang es erst 1596 unter großen Schwierigkeitei
die berechneten Tafeln gedruckt herauszubringen.
Über Astronomie und Mathematik lasen in Leipzig in der Zeit von etwa 155
bis Anfang des 17. Jahrhunderts die Magister Johann Hommel (1518—1562
ein Schwiegersohn von Camerakitjs, Valentin Thatj, Moritz Steinmetz (| 1584
und Christoph Metjrer (1558—1616). Von Hommel ist bekannt, daß er sich zu
Erhöhung der Genauigkeit von Messungen eines Transversal maß Stabes bediente
Diesen hat Tycho Brahe, der als 17jähriger Student in Leipzig weilte, später fü
seine Quadranten benutzt. Steinmetz hat 1577 die Euklid-Ausgabe von Cameraritj,
(Buch I—VI, aber ohne Beweise) neu herausgegeben.
Der Dreißigjährige Krieg hatte Deutschland in seiner ökonomischen, politischen
kulturellen und wissenschaftlichen Entwicklung weit hinter Frankreich, England
Italien und die Niederlande zurückgeworfen. Rund ein Drittel der deutschen Be
völkerung fiel dem Krieg zum Opfer. Die Universitäten, darunter auch Leipzig
führten ein kümmerliches Dasein. In dieser schweren Zeit lehrte in Leipzig ab 161(
bis zu seinem Tode Philipp Müller (1585—1659) Mathematik und Astronomie
Besonders las er über sphärische Trigonometrie und Bahnen von Himmelskörpern.
Dabei verwendete er Logarithmen sowie die Rudolfinischen Tafeln Keplers und
die Tafeln Regiomontans.
Nachfolger Müllers wurde der Magister Johann Kühn (1619—1676). Sein
Vorlesungsprogramm war sehr mannigfaltig (Geometrie nach Euklid, Arithmetik,
Ellipsenberechnung, Perspektive, Computus, Optik, Geodäsie, Astronomie,
Demonstrationen mathematischer Instrumente u. a.). Es dürfte jedoch nicht sehr in die
Tiefe gegangen sein. Wie sonst wäre es zu erklären, daß ein so begabter Student wie
Gottfried Wilhelm Leibniz (Abb. 2), der 1661 die Leipziger Universität bezogen
hatte und 1663 dort Baccalaureus der Philosophie wurde, im gleichen Jahr nach
Jena ging, um bei Erhard Weigel Mathematik zu studieren. Vermutlich auch dort
enttäuscht, setzte er, nach einem Semester bei Weigel, in Leipzig seine philosophischen
Studien fort und erwarb 1664 die Magisterwürde. Er studierte dann noch
Rechtswissenschaften und verließ 1666 seine Heimatstadt. Nie hätte er in der geistigen und
politischen Rückständigkeit Deutschlands nach dem Dreißigjährigen Krieg zu dem
Universalgelehrten werden können, der so viele Zweige der Wissenschaft
entscheidend bereicherte. Seine mathematische Bildung hat Leibniz vor allem in Paris
erworben.
Nachfolger Kuhns wurde Christoph Pfatjtz (1645—1711). Er las über Geometrie,
Geodäsie (einschließlich Feldübungen), Trigonometrie und Astronomie. Pfatjtz
erwarb sich große Verdienste auf wissenschaftsorganisatorischem Gebiet. Er war
1676 und 1678 Rektor der Universität. An der Gründung der ,,Acta Eruditorum
Lipsiensium", der ersten gelehrten Zeitschrift in Deutschland, war er maßgeblich
beteiligt. Um genügend Mitarbeiter zu gewinnen, hatte er Holland und England
bereist. Die Zeitschrift gewann schnell an Bedeutung; so sind z. B. die wesentlichen
mathematischen Arbeiten von Leibniz in den „Acta Eruditorum'' (vgl. Abb. 3)
erschienen. Von 1691 an bekleidete Pfatjtz auch die Stelle des Bibliothekars an
der Universitätsbibliothek.
Gegen Ende des 17. Jahrhunderts gab es zeitweise mehr als einen Vertreter der
Mathematik an der Leipziger Universität. So wirkte neben Pfatjtz von 1680 bis 1700
Gottfried Kirch (1639—1710) in Leipzig, der sich gemeinsam mit seiner zweiten

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 17
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Abb. 2. Leibniz-Denkmal vor dem neuen Hörsaalgebäude der Karl-Marx-Universität Leipzig

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Abb. 3. Titelseite der „Acta Eruditorum"

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 19
Frau hauptsächlich mit der Berechnung von Kalendern und mit astronomischen
Beobachtungen beschäftigte.
Im Jahre 1705, also noch zu Lebzeiten von Pfatjtz, wurde Ulrich Jtjnitjs (1660 bis
1726) zum Professor der Mathematik berufen. Er hat sich mit der Osterrechnung
und dem Verfertigen von Kalendern befaßt.
Bedeutender als Jtjnitjs war Christian August Hausen, der 1714
außerordentlicher Professor der Mathematik wurde. Er las über Logarithmen, Algebra,
Geometrie, Mechanik und Astronomie. In seiner 1726 in Leipzig erschienenen Schrift
„Theoria motus solis circa proprium axem" beschäftigte er sich mit der Drehung
der Sonne um ihre eigene Achse. Er hat 1734 ein Lehrbuch ,,Elementa matheseos"
verfaßt. Hausen erwarb sich auch Verdienste um die Experimentalphysik; so
verbesserte er z. B. die Elektrisiermaschine. Er war auch einige Zeit Dekan der
philosophischen Fakultät und setzte sich mit Erfolg für die Abschaffung der großen
Schlußfeste bei den Magisterpromotionen ein, was für die finanziell nicht so gut
dastehenden Kandidaten sicher eine große Erleichterung war.
Neben Hausen wirkten nacheinander noch Matthäus Honold (1696—1726)
und Georg Friedrich Richter (1691—1742), die keine größere Bedeutung erlangt
haben.
Die ordentliche Professur ging nach dem Tode von Hausen an seinen ehemaligen
Schüler Gottfried HeinsiuS (1709—1769) über. Heinsius studierte in Leipzig
und war von 1736 bis 1744 Professor der Astronomie an der Petersburger Akademie.
Von 1745 bis 1769 wirkte er in Leipzig. Heinsius war vor allem Astronom; sein
Schriftenverzeichnis enthält hauptsächlich Arbeiten über praktische Astronomie
und konkrete Beobachtungsergebnisse. Besonders bekannt wurde seine in deutscher
Sprache verfaßte Arbeit „Beschreibung des im Anfang 1744 erschienenen
Kometen".
Neben Heinsius lehrte von 1739 bis 1756 Abraham Gotthelf Kästner
Mathematik. Er wurde am 27. 9. 1719 in Leipzig als Sohn eines Rechtsgelehrten geboren.
Mit 12 Jahren wurde er an der Leipziger Universität immatrikuliert, als 18jähriger
war er bereits Magister. Mit seiner Habilitation im Jahre 1739 begann er eine recht
erfolgreiche Lehrtätigkeit. 1746 wurde er außerordentlicher Professor für
Mathematik. Im Falle, daß die Mathematik- oder Physikprofessur frei würde, versprach
man ihm ein Ordinariat. Da sich eine solche Möglichkeit jedoch nicht so bald
abzeichnete, folgte Kästner 1756 einem Ruf als ordentlicher Professor für Mathematik
an die Universität Göttingen. Dort entfaltete er eine rege und vielseitige Tätigkeit.
Er verstarb hochbetagt am 20. Juni 1800 in Göttingen.
Die Beurteilung Kästners unterlag großen Schwankungen. Den Zeitgenossen galt
Kästner als einer der berühmten deutschen Mathematiker. Diesen Ruf verdankte
er vor allem seinen Lehrerfolgen in Göttingen sowie seinen zahlreichen weit
verbreiteten Lehrbüchern: „Anfangsgründe der Mathematik" (1758, sechs Auflagen),
„Anfangsgründe der Analysis endlicher Größen" (1760, drei Auflagen),
„Anfangsgründe der Analysis des Unendlichen" (1760, drei Auflagen), „Anfangsgründe der
angewandten Mathematik" (1759, vier Auflagen), „Anfangsgründe der höheren
Mechanik" (1765, zwei Auflagen) und „Anfangsgründe der Hydrodynamik" (1769).
Freilich repräsentierten diese Bücher den noch zurückgebliebenen Stand der
Mathematik und Mechanik in Deutschland im Vergleich etwa zu Westeuropa oder Rußland.
Kästner schrieb außer über Mathematik auch über Physik, Markscheidekunst,

20 Teil I
Kristallographie, Geographie und andere Gebiete. Seine Forschungsergebnisse haben
jedoch keine Bedeutung erlangt. Bekannt ist Kästner auch als Verfasser geistreicher
Epigramme.
Von der Höhe, die die Mathematik in Deutschland — beginnend bei Gauss —
im vorigen Jahrhundert erreichte, erschien Kästner als ein dilettantischer
Vielschreiber. Dieses Bild mag auch etwas mit dem Urteil von Gauss zusammenhängen,
der 1845 rückblickend über Kästner äußerte: „Kästner hatte einen ganz eminenten
Mutterwitz, aber sonderbar genug, er hatte ihn bei allen Gegenständen außerhalb
der Mathematik; er hatte ihn sogar, wenn er über Mathematik (im allgemeinen)
sprach, aber er wurde oft ganz davon verlassen innerhalb der Mathematik." ([46],
S. 18.) Gauss hatte als junger Student bei Kästner Mathematik gehört und ver-
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Abb. 4. Titelseite von Kästners „Geschichte der Mathematik"

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 21
ständlicherweise aus diesen Vorlesungen nicht viel lernen können, zumal Kästner
zu diesem Zeitpunkt bereits ein Greis von 77 Jahren war.
Auf den mathematischen Hochschulunterricht in Deutschland in der zweiten
Hälfte des 18. Jahrhunderts hat Kästner mit seinen Büchern jedoch einen
bedeutenden Einfluß ausgeübt. Nicht wenige Vorlesungen in dieser Zeit wurden mit dem Zusatz
„duce Kaestnero" angekündigt.
Kästner hat auch eine vierbändige ,,Geschichte der Mathematik" (Göttingen
1796—1800) verfaßt (vgl. Abb. 4). Obwohl dieses Werk keinem Vergleich etwa mit
der Geschichte der Mathematik von Monttjcla standhält, ist doch das Urteil von
Nesselmann (1842) „... das Buch ist alles Mögliche, nur keine Geschichte der
Mathematik" ([36], S. 24) nicht gerecht. Wenn auch das bibliographische Element sehr
stark überwiegt, wenn auch Unwichtiges über Gebühr behandelt ist und der Stil
z. T. abstrus wirkt, sind doch z. B. die Kapitel über Trigonometrie, Kreisrechnung
oder über Kepler lesenswert. S. Günther, ein bedeutender Mathematikhistoriker
am Ende des 19. Jahrhunderts findet eine gerechtere Beurteilung, wenn er z. B. über
den 4. Band des Kästnerschen Werkes schreibt: ,,Auch dieser Band, von einem
gebrechlichen Manne im einundachtzigsten Jahre seines Lebens mit letzter Kraft
niedergeschrieben, leistet dem Geschichtsschreiber, der sich über gewisse Punkte
der großen Sturm- und Drangbewegung im Zeitalter eines Cartesius, Galilei, Kepler
zuverlässig unterrichten will, sehr nützliche Dienste, ..." ([7], Bd. IV, S. 12.)
Nach dem Tode von Heinsitjs übernahm Georg Heinrich Borz (1714—1799)
das Ordinariat für Mathematik. In seinen wenigen Schriften befaßt er sich mit der
Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf konkrete Kurven, mit
Astronomie und Mechanik. Borz ist es auch, der erstmalig in Leipzig Vorlesungen über
Infinitesimalrechnung hält. Seine übrigen Vorlesungen umfassen ein breites Spektrum:
Arithmetik, Algebra, Geometrie, Kegelschnitte, Trigonometrie, Mechanik, Optik,
Astronomie und Geodäsie.
Borz war auch wissenschaftsorganisatorisch vielseitig tätig: Er war Präsident
der „Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft", einer gelehrten Gesellschaft, die
durch Ausschreiben von Preisaufgaben die Wissenschaft zu fördern suchte; ferner
war er mehrmals Dekan der philosophischen Fakultät. Von Borz stammt auch der
Entwurf für den Umbau der Pleißenburg zu einer Universitätssternwarte, welche
1791 gegründet worden ist.
Neben Borz hielt auch der Professor für Physik Christlieb Benedikt Funk
(1736—1786) mathematische Vorlesungen. Er verfaßte Abhandlungen über die Lehre
vom Schall und Ton, über Kapillarität, ,,natürliche Magie", mathematische
Geographie sowie einige kleinere mathematische und astronomische Schriften.
Von 1777 bis 1786 las auch Johann Samuel Traugott Gehler (1751—1795)
über mathematische Gegenstände. Er verfaßte ein fünf bändiges physikalisches
Wörterbuch und war auch als Übersetzer bekannt. Er wurde später Ratsherr und
Beisitzer am Oberhofgericht.
Etwa um die gleiche Zeit kündigte Christian Ernst Wünsch (1744—1828)
als Privatdozent Vorlesungen über Mathematik an. Er wurde 1784 zum ordentlichen
Professor für Mathematik und Physik an die Universität Frankfurt/Oder berufen.
Die aktuelle Bedeutung, welche Fragen der Kombinatorik für die Entwicklung
der diskreten Mathematik erlangt haben, läßt das Interesse an einer Persönlichkeit
wieder reger werden, die an der Wende vom 18. zum 19. Jahrhundert an der Leipziger

22 Teil T
Universität das mathematische Leben beherrschte: Karl Friedrich Hindenburg.
Er wurde am 30. 7. 1739 in Dresden als Sohn eines Kaufmanns geboren. Nach
Absolvieren des Gymnasiums in Freiberg studierte er ab 1757 in Leipzig Medizin, Physik
und Mathematik. Durch Vermittlung Gellerts kam er als Erzieher in das Haus
des Herrn von Schönberg, dessen Sohn mathematisch begabt war. Mit diesem ging
er an die Universität Leipzig zurück und widmete sich hier, später in Göttingen bei
Kästner zunehmend der Mathematik. 1771 erfolgte seine Habilitation in Leipzig,
1781 wurde er zum außerordentlichen Professor der Philosophie berufen. Nach dem
Tode des Physikers Funk wurde Hindenburg 1786 ordentlicher Professor der Physik.
In dieser Stellung blieb er bis zu seinem Tode am 17. März 1808.
Obwohl für Physik berufen, hat Hindenburg fast ausschließlich über
mathematische Gegenstände publiziert. An physikalischen Schriften erschienen lediglich zwei
Abhandlungen über Wasserpumpen.
Hindenburg war der Begründer der deutschen kombinatorischen Schule. Er
und seine Schüler und Anhänger schrieben der Kombinatorik eine Schlüsselstellung
innerhalb der Mathematik zu. ,,Die combinatorische Methode ist eine der wenigen
wahrhaft allgemeinen: aus einer geringen Anzahl einfacher Voraussetzungen fließt
ein unerschöpflicher Reichtum nützlicher Folgen. Ihr Einfluß auf die Analysis ist
besonders wichtig und erweitert ihren Wirkungskreis ungemein" ([28], S. VII), so
lesen wir in der Vorrede zu einem von Hindenburg herausgegebenen Sammelband.
Hindenburg hatte 1778 mit kombinatorischen Arbeiten begonnen. Zunächst ging
es um die Potenzierung des sogenannten Infinitinoms, d. h. die Angabe des
Koeffizienten von zk in dem Ausdruck (1 + az + bz2 + czs + ••• )m. Diese Aufgabe führt
er über die Untersuchung von Kombinationen und Variationen zu fester Indexsumme
auf eine explizite Lösung. Ähnliche Überlegungen wurden von Hindenburg und
seiner Schule benutzt, um Probleme der Multiplikation von Reihen, der Substitution
von Reihen ineinander, der Umkehrung von Reihen, der Entwicklung transzendenter
Funktionen in Reihen u. a. zu behandeln. So gab Hindenburg eine explizite Lösung
des Problems der Reihenumkehrung, wofür Euler noch rekursive Entwicklungen
verwendet hatte.
Von diesen analytischen Problemen ausgehend, war es Hindenburgs Bestreben,
einfache Regeln für die Bildung sämtlicher Permutationen gegebener Elementezahl
bzw. sämtlicher Kombinationen oder Variationen gegebener Klasse aufzustellen.
Besonders stolz war er auf die Erfindung der sogenannten kombinatorischen
Involutionen. Das sind Tabellen, die es gestatten, aus den Komplexionen (Permutationen,
Kombinationen, Variationen) für n Elemente durch Hinzufügen nach einfachen
Regeln die Komplexionen für n + 1 Elemente zu finden. Am Beispiel derPernmtationen
sei eine solche Tabelle erläutert:
c b a
I3 I2 \±a
3 Li ib
2 3 1
2 1 3
1 3 2
1 2 3

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 23
Im Quadranten bb stehen die Permutationen von zwei Elementen. Um daraus die
für drei Elemente zu erhalten, schreibe man vor die Senkrechte von bb das neue
Element 3, darunter einen zweiten Komplex von ebensoviel Zeilen, der aus dem ersten
Komplex durch Vertauschen von 2 und 3 entsteht, darunter einen dritten, der aus
dem zweiten durch Vertauschung von 1 und 2 entsteht. So hat man mit cc alle
Permutationen von drei Elementen. Durch Vorsetzen einer 4 vor cc und weiteres
Abarbeiten des Algorithmus gewinnt man alle Permutationen von vier Elementen
usw.
Hindenbtjrg kommt auch das Verdienst zu, erste zusammenfassende
Darstellungen der Kombinatorik verfaßt zu haben ([26—28]). Allerdings ist seine
Bezeichnungsweise ungeschickt und schwerfällig. So bezeichnet er die Binominalkoeffizien-
ten I j, j ),( 1, ... mit m^, m%, mG, ... Das war ein Rückschritt gegenüber
Leibniz, der die Bezeichnung durch Buchstaben als ungünstig ansah. Die Hinden-
burgsche Schule krankte auch daran, im Formalen steckenzubleiben, im Grunde
bekannte Resultate mit ihren Methoden wiederzugewinnen und sich nicht an den
aktuellen Problemen, wie z. B. der Ausarbeitung der Determinantentheorie zu
beteiligen. Ihr Einfluß blieb auf Deutschland beschränkt.
Hindenbtjrg machte zudem den Fehler, seine Ergebnisse zu überschätzen und
Erwartungen zu wecken, die nicht erfüllt werden konnten. Wenn es um seine und
seiner Schüler Resultate ging, war er ein Mann der Superlative. So lautet z. B.
eine seiner Schriften: ,,Der polynomische Lehrsatz, das wichtigste Theorem der
Analysis." Nach seinem Tode schlug diese Euphorie bald in das Gegenteil um. So
beklagt Oettinger 1850 in seiner Schrift „Über den Begriff der Combinations-
lehre ..." ([38]) mit Blick auf Hindenbtjrg und seine Schule ,,die verschiedene
Benennung ihrer Grundbegriffe und Grundgebilde" und „die Verschiedenheit,
Zerfahrenheit und Unsicherheit in ihrer Zeichensprache, so daß kaum ein leitender
Gedanke zu erkennen ist" ([38], S. 242).
Als Universitätslehrer entfaltete Hindenbtjrg eine rege Tätigkeit. Seine
Vorlesungen erstrecken sich über einen Zeitraum von über 20 Jahren (1784—1807) und
betreffen Geometrie, Trigonometrie, Arithmetik, Anfangsgründe der Analysis,
Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Geographie, Astronomie und
besonders natürlich Kombinatorik. Die Vorlesungen über eigene Forschungsergebnisse —
ein Novum an der Leipziger Universität — mögen zur Herausbildung einer
wissenschaftlichen Schule beigetragen haben. Hindenbtjrg war mehrmals Dekan der
philosophischen Fakultät und bekleidete 1792 das Amt des Rektors. Gemeinsam mit
Borz erwarb er sich Verdienste um die Gründung der Universitätssternwarte.
Hindenbtjrg wurde auch als Herausgeber wissenschaftlicher Fachzeitschriften
bekannt. So gab er gemeinsam mit Funk und dem Ökonomen Leske das
„Leipziger Magazin für Naturkunde, Mathematik und Ökonomie" (5 Bände, 1781 — 1785),
gemeinsam mit Johann iii Bernotjlli das „Leipziger Magazin für reine und
angewandte Mathematik" (4 Hefte, 1786—1788) und allein das „Archiv der reinen und
angewandten Mathematik" (11 Hefte, 1795—1800) heraus. Leider war diesen ersten
mathematischen Fachzeitschriften in Deutschland kein durchgreifender und
dauerhafter Erfolg beschieden.
Auf ein Kuriosum sei noch hingewiesen: Ende des 18. Jahrhunderts entbrannte
ein heftiger Streit, wann man den Beginn des neuen Jahrhunderts zu feiern hätte,

24 Teil I
am 1. Januar 1800 oder am 1. Januar 1801. Die philosophische Fakultät bat Hin-
denbxjrg um ein Gutachten zu dieser Frage, in dem es nach umständlicher
Argumentation heißt: „Ebenso vollendet das Säkularjahr 1800 mit seinem Ablaufe den
31. Dezember nachts um 12 Uhr das 18. Jahrhundert und das neunzehnte fängt mit
dem 1. Januar 1801 an." ([29], S. 93.) Dieser Meinung schloß man sich an: Am
1. 1. 1801 wurde in Leipzig der Anfang des neuen Jahrhunderts festlich begangen.
Nach dem Tode von Borz wurde das mathematische Ordinariat Moritz von
Prasse (1769—1814) übertragen. Er kann als ein Anhänger der Hindenburgschen
Schule betrachtet werden. Bekannt wurde er durch sein Lehrbuch ,,Institutiones
analyticae" (Leipzig, 1813) sowie durch die Herausgabe von Logarithmentafeln
(Leipzig, 1810). Er war mehrfach Dekan der philosophischen Fakultät.
Ein weiterer Hindenburgschüler war Heinrich August Rothe (1773—1842),
der 1793 Dozent und 1796 außerordentlicher Professor wurde. Nachdem er von
1800 bis 1804 als Privatmann in Freiberg gelebt hatte, wurde er 1804 zum
ordentlichen Professor der Mathematik an die Universität Erlangen berufen. Rothe
verfaßte kombinatorische Schriften sowie Arbeiten über Pendelschwingungen und den
Eulerschen Polyedersatz. Er gab den ersten strengen Beweis des Hindenburgschen
Satzes über die Reihenumkehrung mittels vollständiger Induktion. Von ihm stammen
ein „Handbuch der reinen Mathematik" (2 Bände, Leipzig, 1804 und 1811) und ein
„Systematisches Handbuch der Arithmetik" (Leipzig, 1804).
Ende des 18. und Anfang des 19. Jahrhunderts wurden ferner mathematische
Vorlesungen von Christian Zwanziger, Caspar Eichler, Friedrich Carl
Hausmann, Christian Ludwig Sebass und Conrad Sigismund Ouvrier gehalten.
Nach Prasses Tod wurde 1814 Karl Brandan Mollweide zum ordentlichen
Professor der Mathematik berufen. Er wurde am 3. 2. 1774 in Wolfenbüttel geboren.
Nach Studien der Mathematik und Physik kam er im Jahre 1800 als Lehrer an das
Pädagogium in Halle. 1811 wurde er als Observator an die Sternwarte der Leipziger
Universität berufen und erhielt den Titel eines außerordenlichen Professors. Die
Observatorstelle behielt er nach seiner Berufung zum Mathematikprofessor noch
zwei Jahre, dann trat er sie an Möbius ab. 1820—1823 war Mollweide Dekan der
philosophischen Fakultät. Er starb am 10. 3. 1825.
Moll weide nahm sein Lehramt sehr ernst. Er las bis zu 16 Wochenstunden.
Seine Vorlesungen erstreckten sich über verschiedene astronomische Themen, über
Optik, Mechanik, Geographie, analytische Geometrie, höhere Analysis, ebene und
sphärische Trigonometrie, Algebra, Arithmetik, Geometrie und Elemente der
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie sollen klar, präzise und sehr anregend gewesen sein.
Mollweides Hauptverdienste in der Forschung liegen auf dem Gebiet der
theoretischen Astronomie. Er arbeitete auch über Kartenprojektionen und Geodäsie.
Seine Arbeiten erschienen vor allem in ,,Zachs Monatlicher Correspondenz zur
Beförderung der Erd- und Himmelskunde". Bemerkenswert sind seine Schriften gegen
Goethes Farbenlehre, in denen er Newton gegen Goethes Vorwürfe verteidigt.
1808 erschien seine Arbeit ,,Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie",
in denen die sogenannten Mollweideschen Gleichungen angegeben sind. Es handelt
sich um Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln eines ebenen Dreiecks von
folgender Art:
i . y a—ß / iv y • & — ß
(a + b) sin — = c cos , (a — b) cos — = c sin .
' 2 2 2 2

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 25
Diese Formeln stehen schon in der italienisch geschriebenen Trigonometrie von
Caglioni (1786), die Mollweide aber sicher nicht gekannt hat. Mollweide gab
auch analoge Formeln für sphärische Dreiecke an, die zur selben Zeit unabhängig
von ihm von Delambre gefunden wurden. Außer über Trigonometrie schrieb Moll-
wetde noch über Interpolation und magische Quadrate. Er gab Prasses
Logarithmentafeln in neuer Bearbeitung heraus und ergänzte das berühmte ,,Mathematische
Wörterbuch" von Klügel um einen vierten Band.
Im ersten Drittel des 19. Jahrhunderts hielt auch Heinrich Wilhelm Brandes
(1777—1834) Vorlesungen über Mathematik. Er war außerordentlicher Professor
und ab 1826 ordentlicher Professor für Physik. Brandes verfaßte eine stattliche
Anzahl von Lehrbüchern: „Lehrbuch der Arithmetik, Geometrie und Trigonometrie"
(2 Bände, Oldenburg 1808 und 1810), ,,Hauptlehren der Geometrie und
Trigonometrie" (Oldenburg 1816), „Vorbereitungen zur höheren Analysis" (Leipzig 1820),
„Lehrbuch der höheren Geometrie" (2 Bände, Leipzig 1822—1824) sowie Bücher
über Astronomie, Mechanik, Optik und Meteorologie. Die Themen seiner
Forschungen liegen vor allem auf astronomischem und meteorologischem Gebiet.
In den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts griff die industrielle Revolution
von England und Frankreich auf Deutschland über. Im Zusammenhang damit nahm
das Interesse an Mathematik und Naturwissenschaften rasch zu. Neue Universitäten
und vor allen Dingen technischen Bildungseinrichtungen wurden geschaffen.
Reformen an den Gymnasien räumten der Mathematik und den Naturwissenschaften einen
höheren Stellenwert ein. Auch an der Universität Leipzig kann ein Aufschwung
verzeichnet werden. Die alte längst überholte Universitätsverfassung wurde durch eine
neue ersetzt. Die materiellen Bedingungen verbesserten sich allmählich. Ein
fortschrittlicherer Geist begann sich an der Universität Bahn zu brechen. Leipzig gehörte
neben Göttingen, Berlin und Heidelberg zu den Universitäten, von denen die
bürgerlich-demokratische Progreßbewegung der deutschen Studentenschaft ihren
Ausgangspunkt nahm.
Die Entwicklung der Mathematik an der Leipziger Universität ist in dieser Zeit
sehr eng mit dem Namen von August Ferdinand Möbius verknüpft. Nach dem Tode
von Mollweide trat jedoch ein aus heutiger Sicht recht merkwürdiger Fall ein:
Zum Professor für Mathematik berief man nicht Möbius, der zu diesem Zeitpunkt
bereits ein Jahrzehnt als Observator an der Leipziger Universitätssternwarte wirkte,
sondern einen jungen Privatdozenten, der sich gerade erst habilitiert hatte, Moritz
Wilhelm Drobisch. Aus dem Entwurf eines Gutachtens vom 9. 4. 1825 ist
ersichtlich, daß sich die Fakultät von ganz pragmatischen Gründen leiten ließ und Möbius'
Tätigkeit bereits sehr hoch eingeschätzt wurde. Es heißt dort: ,,Vorläufig müssen
wir aber bemerken, daß wir bei dieser Denomination auf zwei Männer vor allen
anderen Rücksicht nehmen würden, wenn nicht der Eine, Heinrich Wilhelm Brandes
bereits früher von uns zur physikalischen Professur, um deren baldige
Wiederbesetzung wir allerunterthänigst bitten, denominirt worden wäre, und der Andere M.
August Ferdinand Möbius schon als außerordentlicher Professor der Astronomie und
Observator auf der hiesigen Sternwarte angestellt wäre und wir wünschen müßten,
daß diese Rolle, deren anderweitige Besetzung sehr schwierig sein würde, ihm
belassen werde, jedoch mit einer Vermehrung seines Gehaltes um einige Hundert Thaler
und mit Verwandlung seiner außerordentlichen Professur in eine ordentliche neuer
Richtung, da er diese Belohnung seiner Geschicklichkeit und seines Fleißes wohl

26 Teil I
verdient und es ihm außerdem sehr kränkend sein müßte, sich anderen nachgesetzt
zu sehen." ([1].) Dieser Wunsch der Fakultät wurde vom königlichen Ministerium
leider nicht erfüllt: Möbitjs mußte noch fast 20 Jahre auf eine ordentliche Professur
warten.
Wenden wir uns zunächst Drobisch zu. Moritz Wilhelm Drobisch wurde am
16. 8. 1802 in Leipzig als Sohn des Stadtschreibers geboren. Nach Besuch der
Nicolaischule und der Fürstenschule in Grimma studierte er ab 1820 an der Universität
Leipzig Mathematik und Philosophie. 1824 wurde er nach erfolgter Promotion und
Habilitation Privatdozent und Ende 1826 bereits ordentlicher Professor für
Mathematik. In dem erwähnten Gutachten wird Drobisch übrigens nicht vorgeschlagen,
sondern drei Lehrer höherer Schulen aus dem sächsischen Raum. Drobisch wird nur
am Schluß beiläufig erwähnt. Er ist später von der Fakultät empfohlen worden,
nachdem das Ministerium angefragt hatte, ob man mit seiner Ernennung
einverstanden sei. Drobisch hat bis zu seinem 84. Lebensjahr Vorlesungen gehalten. Er starb
94 jährig am 30. September 1896, wenige Wochen vor seinem 70. Professoren
Jubiläum.
Drobisch war ein gewissenhafter, bei den Studenten beliebter akademischer Lehrer.
Er hielt bis zu 16 Wochenstunden Vorlesungen und Übungen, die er alle sorgfältig
ausarbeitete. Gegenstände seiner Vorlesungen waren ebene und sphärische
Trigonometrie, Gebrauch der Logarithmen, analytische Geometrie, Einleitung in die Analysis,
Differential- und Integralrechnung, Algebra, Kombinatorik, Mathematische
Geographie und ,,Gesellschaftsmathematik". Drobisch schrieb zwei mathematische
Lehrbücher: ,,Grundzüge der ebenen und körperlichen Trigonometrie" (Leipzig 1825)
und ,,Grundzüge der Lehre von den höheren numerischen Gleichungen" (Leipzig
1834). Als mathematischer Forscher hat er keine Bedeutung erlangt. Die großen
Errungenschaften eines Gauss oder Abel sind an ihm vorübergegangen. So weiß
er z. B. in seinem Buch von 1834 über die Kreisteilungsgleichungen xm — 1 = 0
nicht mehr zu berichten als die komplexe Lösungsformel
2kn . . 2kn
xk = cos 1- i sin .
m m
Ab 1832 hat Drobisch — einer persönlichen Anregung Herbarts folgend — auch
philosophische Vorlesungen gehalten. Er wandte sich mehr und mehr der Philosophie
zu und wurde zu einem eifrigen Verfechter der Herbartschen Lehre. 1842 erhielt er
auch ein Ordinariat für Philosophie. Er schrieb ein Lehrbuch über formale Logik,
das fünf Auflagen erlebte. Über Logik hat Drobisch oft gelesen und dabei stets große
Hörerzahlen zu verzeichnen gehabt. Entsprechend dem Herbartschen Konzept, daß
,,die Gesetzmäßigkeit im Seelenleben der am Sternenhimmel vollkommen gleiche",
versuchte Drobisch, die Psychologie mathematisch-naturwissenschaftlich zu
begründen. Ausdruck dieser Bestrebungen sind seine Bücher „Empirische Psychologie
nach naturwissenschaftlicher Methode" (Leipzig 1842) und „Erste Grundlinien der
mathematischen Psychologie" (Leipzig 1850). Er hat damit in Leipzig eine Richtung
der Psychologie begründet, die in Wilhelm Wtjndt ihren hervorragendsten
Vertreter fand. Es verwundert deshalb nicht, daß Wtjndt am Sarge von Drobisch
die akademische Trauerrede hielt.
Ab 1868 hat Drobisch sich vollständig der Philosophie gewidmet, nachdem er auf
sein mathematisches Ordinariat zugunsten von Scheibner verzichtet hatte.

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 27
Drobisch leistete Bedeutendes als Wissenschaftsorganisator. Er war oft Dekan
der philosophischen Fakultät und 1841/42 Rektor der Universität. In der vom
sächsischen Kultusminister 1847 berufenen Kommission zur Revision des
Gymnasialunterrichts vertrat er die Mathematik. Drobisch hatte wesentlichen Anteil an der
Gründung der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, der späteren
Sächsischen Akademie der Wissenschaften, deren Mitglied er über 50 Jahre war.
Die Statuten der Gesellschaft hat er selbst entworfen. Ein Schlaglicht auf seine Art,
für das Wohl der Universität zu wirken, wirft vielleicht ein persönliches Schreiben
Drobischs an den Dekan der philosophischen Fakultät vom 20. Februar 1844. Dort
heißt es: ,,Soeben theilte mir unser Herr College Wilh. Weber mit, daß H. Prof. Mö-
bius einen Ruf als ordentlicher Professor der Physik und höheren Mathematik nach
Jena erhalten habe. Es wäre dies wol eine schickliche und willkommene Gelegenheit
für die Facultät sich unaufgefordert an das Ministerium mit der Bitte zu wenden,
daß der hochverdiente und berühmte Mann nicht nur unter vortheilhaften
Bedingungen der Universität erhalten und zum ordentlichen Professor befördert werde,
sondern auch eine Stellung bekomme, die ihn von Verpflichtungen enthebe, die ein
anderer Mann von weit geringeren Fähigkeiten ebenfalls erfüllen kann." ([2].)
Damit kommen wir zu einem schon mehrfach erwähnten Gelehrten, der den Ruf
Leipzigs als Stätte mathematischer Forschung begründen half, August Ferdinand
Möbius (Abb. 5). Er wurde am 17. November 1790 in Schulpforta geboren. Sein
Vater war Lehrer für Tanzkunst an der dortigen Fürstenschule. Er verstarb bereits
1793. Möbius wurde von seiner Mutter und einem Onkel erzogen; bis zu seinem
13. Lebensjahr wurde er zu Hause unterrichtet. Von 1803 bis 1809 besuchte er die
Fürstenschule in Schulpforta, wo er sich besonders für alte Sprachen und Mathematik
V
i
* . V. .
Abb. 5. August Ferdinand Möbius
(1790-1868)

28 Teil I
interessierte. 1809 bezog er die Universität Leipzig, um Rechtswissenschaften zu
studieren. Bereits im zweiten Semester wechselte Möbius zur Mathematik über. Er
hörte vor allem bei von Prasse, Mollweide und bei dem Physiker Gilbert.
Mollweide erkannte seine besonderen Fähigkeiten rasch und wählte ihn zum
Famulus. Über sein enges Verhältnis zu Mollweide schreibt Möbius in einem Brief vom
17. 8. 1811 an seine Mutter: ,,Mit Hrn. Prof. Mollweide stehe ich sehr gut. Ich bin
fast alle Tage bey ihm." ([6], S. 30.) Im Mai 1813 beendete er seine Studien in Leipzig
und ging — mit einem Reisestipendium versehen — nach Göttingen, um bei Gauss
Astronomie zu studieren. Gauss urteilte recht positiv über Möbius, er schrieb 1814
in einem Brief an Olbers: ,,Diesen Winter habe ich einen jungen Sachsen, Möbius,
hier gehabt, dessen Geschicklichkeit mir von vielem Werth gewesen ist." ([44],
S. 543.)
Nach dem Tode von Prasses und der Berufung Mollweides zum Professor für
Mathematik hoffte Möbius, die Stelle Mollweides als Observator einnehmen zu
können. Er kehrte deshalb im April 1814 nach Leipzig zurück und bemühte sich
darum. Einige Zeit hielt er sich in Halle auf, wo er bei Pfaff Vorlesungen hörte.
Nach seiner Habilitation im Jahre 1815 begann Möbius mit der Vorlesungstätigkeit
an der Leipziger Universität. Im Januar 1816 wurde er zum außerordentlichen
Professor der Astronomie und Observator auf der Sternwarte berufen. Mit der Berufung
erhielt er 150 Taler, verbunden mit der Auflage, sich auf verschiedenen Sternwarten,
u. a. auf dem Seeberg bei Gotha, in praktischer Astronomie zu vervollkommnen.
Er war einige Zeit in Gotha, wo er mit von Lindenau Freundschaft schloß. Die
Reise führte ihn weiter über Nürnberg, Stuttgart, München, Wien, Budapest, Prag
und Dresden wieder nach Leipzig, wobei er eine Reihe nützlicher Bekanntschaften
schließen konnte. Im Oktober 1816 bezog Möbius seine Amtswohnung auf der
Pleißenburg (Abb. 6). Im selben Jahr erreichte ihn ein Ruf als Ordinarius der
Astronomie an die Universität Greifswald, den er jedoch ablehnte. 1819 bemühte sich die
Universität Dorpat, Möbius als ordentlichen Professor für Mathematik zu gewinnen,
ebenfalls vergeblich. Möbius dachte in dieser Zeit an eine Eheschließung und war
nicht gewillt, seine Heimat zu verlassen.
Im Jahre 1820 heiratete Möbius die Tochter eines Chirurgen aus Gera. Aus der
Ehe gingen zwei Söhne und eine Tochter hervor. Der älteste Sohn wurde Professor
für nordische Sprachen in Kiel, die Tochter heiratete Möbius' späteren Mitarbeiter
d'Arrest, der 1857 als Professor der Astronomie nach Kopenhagen ging, der jüngste
Sohn wurde Schulrat in Gotha.
Möbius' weiteres Leben verlief ruhig und ohne überraschende Wendungen. Er
verkehrte in einem größeren Freundeskreis, zu dem u. a. der Anatom und Physiologe
E. H. Weber, der Physiker W. Weber, der Physiker G. Th. Fechner, der Philologe
B. G. Weiske und M. W. Drobisch gehörten. Mit Gelehrten außerhalb Leipzigs
korrespondierte er nur gelegentlich; hier sind vor allem Crelle, Gauss, Gerling
und Encke zu nennen. Möbius Leistungen wurden bereits 1829 mit der Wahl zum
korrespondierenden Mitglied der Königlichen Akademie der Wissenschaften in
Berlin gewürdigt. Auch die Königlich-Sächsische Gesellschaft der Wissenschaften sowie
die Göttinger und die Bayrische Akademie wählten ihn zum Mitglied.
Unbefriedigend indessen war viele Jahre lang Möbius finanzielle Situation. Das Gehalt als
außerordentlicher Professor war so gering, daß Möbius zeitweise Teile seiner Wohnung
vermieten m>ußte, um den Lebensunterhalt seiner Familie zu bestreiten. Erst 1844,

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 29
als ein Ruf der Universität Jena an ihn ergangen war, wurde er zum ordentlichen
Professor der höheren Mechanik und der Astronomie ernannt. Er blieb auch nach
dem Bau der neuen Sternwarte im Johannistal auf der Pleißenburg wohnen und
starb dort am 26. September 1868.
Möbius hat über 50 Jahre erfolgreich als akademischer Lehrer gewirkt. Den
Eintritt in sein einhundertstes Dozentensemester nahm die philosophische Fakultät
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Abb. 6. Die ehemalige Pleißenburg in Leipzig
zum Anlaß, um ihm zu diesem seltenen Jubiläum eine spezielle Festschrift zu
widmen. Möbius begann seine Tätigkeit mit Vorlesungen über Kegelschnitte,
Prinzipien der Mechanik und Elemente der höheren Analysis. Nach seiner Ernennung zum
Observator hat er viele Jahre vor allem astronomische Vorlesungen gehalten, wobei
er ein breites Spektrum der praktischen und theoretischen Astronomie bis hin zur
Theorie des Fernrohrs vertrat. Besonders beliebt waren seine populären
astronomischen Vorlesungen für Hörer aller Fakultäten. Zu diesen Vorlesungen verfaßte er
ein allgemeinverständliches Buch, welches sehr verbreitet war und sechs Auflagen
erlebte.
Nach und nach wählte Möbius auch mathematische Gegenstände zum Inhalt
seiner Vorlesungen, zunächst solche, die unmittelbare Beziehungen zur Astronomie
hatten, wie Methode der kleinsten Quadrate, Interpolation und mechanische
Quadratur, Kegelschnitte, sphärische Trigonometrie. Nach 1827 folgen Vorlesungen über
den baryzentrischen Kalkül, die Grundlehren der Geometrie, analytische Geometrie,

30 Teil I
Stereometrie, Trigonometrie, Algebra, Arithmetik, Zahlentheorie und
Infinitesimalrechnung. Auch über Statik, Mechanik, Optik und mathematische Geographie hat
Möbitjs gelesen.
Möbitjs nahm die Lehrtätigkeit sehr ernst. Außer durch Krankheit ist nie eine
Vorlesung ausgefallen. Selbst wenn in Spezialvorlesungen nur ein einziger Hörer
anwesend war, nahm er das Pensum durch. Über die Art seines Vortrags berichtet
Brtjhns: ,,Er sprach nur langsam und trug daher in einer Stunde nicht viel vor, aber
seine Vorlesungen zeichneten sich durch Klarheit und Schärfe der Entwicklung in
hohem Grade, ganz besonders aber durch die Eigenthümlichkeit in der Darstellung
aus. Selbst diejenigen, welche zum zweiten Male bei ihm hörten und denen der
materielle Inhalt im Wesentlichen bekannt war, lernten neue Gesichtspunkte und Ideen
kennen, und die Art und Weise wie er ein Problem von verschiedenen Seiten zur
Behandlung angriff, war originell und anregend." ([6], S. 66.)
Möbitjs wichtigste Leistungen als mathematischer Forscher liegen auf dem
Gebiet der Geometrie Sie sind jedoch zu seinen Lebzeiten nicht in ihrer ganzen
Tragweite erkannt und gewürdigt worden. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts hatte sich die
Geometrie stürmisch entwickelt. Es entstand eine Reihe geometrischer Richtungen,
über deren inneren Zusammenhang weitgehend Unklarheit herrschte. Erst die
Herausbildung des Begriffs der Transformationsgruppe ermöglichte es Felix Klein 1872
in seinem Erlanger Programm, eine Klassifizierung vorzunehmen und die
Zusammenhänge und logischen Abhängigkeiten verschiedener „Geometrien", wie metrischer,
affiner und projektiver Geometrie, klarzustellen. Klein war es auch, der bei der
Herausgabe der Werke von Möbitjs bemerkte, daß wesentliche Ideen seines Erlanger
Programms bereits von Möbitjs in seinem Werk über den baryzentrischen Kalkül
vorgezeichnet waren. Das 1827 in Leipzig erschienene Buch hieß „Der barycentrische
Calcul, ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie,
dargestellt und insbesondere auf die Bildung neuer Classen von Aufgaben und die
Entwicklung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet von August
Ferdinand Möbius". Wie aus einem Brief von Möbitjs an Lindenatj hervorgeht,
hat er ab 1818 daran gearbeitet. Die Grundidee ist die Beschreibung von Punkten
durch homogene Koordinaten, die sogenannten baryzentrischen Koordinaten. Um
z. B. Punkte in einer Ebene zu beschreiben, werden drei nicht auf einer Geraden
liegende Punkte A, B, (7, die sogenannten Fundamentalpunkte, vorgegeben. Die
baryzentrischen Koordinaten eines Punktes P bezüglich A, B, C sind gerade
diejenigen Koeffizienten a,b,c, die aA + bB + cC = (a + b + c) P erfüllen, d. h., P
ist der Schwerpunkt des mit den ,,Gewichten" a, by c versehenen Systems der
Fundamentalpunkte. Möbius zeigt, daß die Verhältnisse — und — den Punkt P
b c
eindeutig bestimmen, und er gibt geometrische Konstruktionen zur Bestimmung
dieser Verhältnisse an. Mit den baryzentrischen Koordinaten hat Möbius als einer
der ersten homogene Koordinaten in der analytischen Geometrie verwendet. Er
benutzt den baryzentrischen Kalkül, um die Theorie der Geraden und Ebenen, der
Kurven und Flächen zweiter Ordnung sowie einiges über höhere Kurven und Flächen
in eleganter Weise abzuleiten. Im zweiten Abschnitt seines Buches entwickelt er das
Programm einer Klassifizierung der sogenannten geometrischen Verwandtschaften,
das sind geometrische Transformationen, die den Übergang von einer geometrischen
Figur zur anderen vermitteln. Er betrachtet zunächst Gleichheit und Ähnlichkeit,

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 31
die er als nicht wesentlich verschieden erkennt. Eine allgemeinere Verwandtschaft
ist die Affinität; Gleichheit und Ähnlichkeit sind Spezialfälle davon. Dem entspricht
im Erlanger Programm die Feststellung, daß die Hauptgruppe in der affinen Gruppe
enthalten ist. Die allgemeinsten Verwandtschaften, die Möbitjs einführt, sind die
sogenannten Kollineationen. Er erkennt, daß sie durch die Invarianz des
Doppelverhältnisses charakterisiert sind. Möbitjs hat somit die Aussage vorweggenommen,
daß die projektive Gruppe, deren charakteristische Invariante das Doppel Verhältnis
ist, die affine Gruppe umfaßt. Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften
hält Möbitjs in der Vorrede zu seinem Werk mit Recht für „... die Grundlage der
ganzen Geometrie ..." ([35], Bd. I, S. 9), sie ist „... dasjenige in meinem Buche, was
ich der Beachtung des Lesers am meisten empfehlen möchte" ([35], Bd. I, S. 10).
Möbitjs ist in vielen Arbeiten auf das im ,,Barycentrischen Calcul" vorgezeichnete
Programm zurückgekommen. Besonders bemerkenswert ist eine Schrift, die aus
seiner Beteiligung an einer Preisaufgabe der Pariser Akademie zur Theorie der Polyeder
resultiert und die 1863 erschien: ,,Theorie der elementaren Verwandtschaft". Es
handelt sich bei den elementaren Verwandtschaften um stetige
Punkttransformationen; auch hier hat Möbitjs der Entwicklung — in diesem Falle der Topologie —
beträchtlich vorgegriffen.
Großes Interesse brachte Möbitjs der angewandten Mathematik entgegen. Er
behandelte Probleme optischer Systeme, der Mechanik, Astronomie und der
Kristallstruktur. Frucht dieser Bemühungen war u. a. sein ,,Lehrbuch der Statik" von
1837.
Die Beschäftigung mit der Mechanik hat Möbitjs zu Untersuchungen über die
„geometrische Addition von Strecken" geführt, die ihn zum Mitbegründer der
Vektorrechnung werden ließen. Erstmalig verwendet Möbitjs seine geometrische Addition
von Strecken in einer Vorlesung über Dynamik im Wintersemester 1841/42. Eine
einschlägige Abhandlung erschien 1844 unter dem Titel „Über die Zusammensetzung
gerader Linien und eine daraus entspringende neue Begründungsweise des bary-
centrischen Calculs" in Crelles Journal. Die grundlegende Definition lautet dort:
„Sind AB, CD, EF mehrere ihrer Größe und Richtung nach gegebene gerade Linien,
und setzt man, von einem beliebigen Puncte P ausgehend, diese Linien parallel
mit ihren Richtungen aneinander, macht also
PQ = AB, QR = CD, BS = EF,
und bildet somit die gebrochene Linie PQBS, so soll diese Operation die
Zusammensetzung oder die geometrische Addition der gegebenen Linien heissen, zum
Unterschiede von der arithmetischen, als wobei bloss die Grösse der Linien, nicht auch
ihre Richtung in Betracht kommt." ([35], Bd. I, S. 603/604.) Gleichzeitig
beschäftigte sich H. Grassmann mit derselben Problematik. Möbitjs und Grassmann
knüpften darüber einen engen wissenschaftlichen Meinungsaustausch an.
Eine weitere bedeutende geometrische Entdeckung von Möbitjs ist die des „Mö-
biusschen Bandes'4. Es handelt sich um das erste Beispiel einer einseitigen Fläche.
Aus Möbitjs' Nachlaß geht hervor, daß er diese 1858 entdeckte. Publiziert ist eine
Beschreibung dieser Fläche in der letzten Arbeit, die Möbitjs verfaßt hat: „Über die
Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders" (1865).
Bis heute spielt in der analytischen Zahlentheorie die Möbiussche Funktion

32 Teil I
/bi(n) eine entscheidende Rolle. Sie ist 0, wenn in n mindestens ein Primzahlquadrat
aufgeht, sie ist (—1)* im Fall n = V\Pr"Vk (aHe Vi verschieden). Möbitjs führte diese
Funktion bei seinen Untersuchungen über die Umkehrung von Reihen ein, welche
1831 in Crelles Journal erschienen. Es ist interessant, daß die Riemannsche Vermu-
( M
tung einer Aussage über ju(n) äquivalent ist: £ ju(n) = 0\x" J für jedes e > 0.
Auch der mit /u(n) verbundene Möbiussche Umkehrformalismus spielt in der
Zahlentheorie und der Algebra eine wichtige Rolle.
Möbitjs Leistungen in der Astronomie beziehen sich vor allem auf konkrete
Beobachtungen. Ihre Bedeutung wurde jedoch durch die ungenügende Ausstattung
der Leipziger Sternwarte begrenzt. Erst 1830 konnte er den Ankauf eines modernen
Refraktors aus der Werkstatt von Fraunhofer durchsetzen. Ab 1834 beteiligte sich
Möbitjs erfolgreich an den von Humboldt und Gauss weltweit ins Leben gerufenen
magnetischen Terminbeobachtungen. Es handelt sich dabei um Messungen des
Erdfeldes an verschiedenen Orten zu vereinbarten Terminen. Möbius astronomisches
Hauptwerk ist die Monographie „Die Elemente der Mechanik des Himmels, auf
neuem Wege ohne Hülfe höherer Rechnungsarten dargestellt", die 1843 in Leipzig
erschien.
Möbius hat in seiner relativ isolierten Stellung weitab von den Zentren
mathematischer Forschung Erstaunliches geschaffen. Er war außerordentlich produktiv.
Seine gesammelten Werke umfassen über 2500 Druckseiten, die
populärwissenschaftlichen Schriften nicht eingerechnet.
Nach dem Tode des Physikers Brandes hat auch Gotthard Oswald Marbach
(1810—1890) einführende Vorlesungen über Mathematik gehalten. Er war seit 1833
Dozent und wurde 1849 außerordentlicher Professor. Von ihm stammt ein populäres
physikalisches Lexikon in fünf Bänden. Er schrieb auch ein Buch über geometrische
Formenlehre (1846), welches er seinen Vorlesungen zugrunde legte. Marbach hielt
1853 das erste pädagogische Seminar für künftige Mathematiklehrer ab.
Der allgemeine Aufschwung der Mathematik und Naturwissenschaften in
Deutschland, der durch die industrielle Entwicklung bereits in den Jahren von 1830—1850
eingeleitet wurde, kam in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts voll zum Tragen.
In diese Zeit fällt die über 50 Jahre währende Tätigkeit von Wilhelm Scheibner
an der Universität Leipzig. Scheibner wußte die Zeichen der Zeit zu nutzen und
hat durch vielfältige Aktivitäten die Erweiterung des Lehrkörpers und die Berufung
hervorragender Persönlichkeiten nach Leipzig bewirkt. So schrieb er bereits 1867
in einem für das Ministerium angefertigten Gutachten zur außerordentlichen
Professur von H. Hankel u. a.: „Ich habe überhaupt jederzeit die Ansicht geltend zu
machen gesucht, dass seitdem die Ausdehnung der mathematischen Wissenschaften
sowohl extensiv wie intensiv in einem vor wenigen Jahrzehnten kaum geahnten
Maasse gewachsen ist, ihre Vertretung an unseren Universitäten gleichfalls vermehrte
Lehrkräfte in Anspruch zu nehmen hat. Denn man kann billigerweise nicht verlangen,
dass eine Wissenschaft, die an Umfang manchen Fachwissenschaften wie z. B. der
Jurisprudenz nicht mehr nachsteht, an einer grossen Universität wie die unsrige,
von zwei oder drei Professoren ausreichend vertreten sein solle. Wie auf anderen
Gebieten wird auch hier Arbeitstheilung erforderlich, und es würden sich leicht über
fünf bis sechs gesonderte mathematische Disciplinen aufzählen lassen, deren
eindringliche Beherrschung eine Manneskraft in Anspruch nimmt und deren Kenntniss

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 33
jedem Mathematiker unentbehrlich ist." ([4].) Über Scheibners Rolle bei der
Berufungspolitik wird im zweiten Kapitel eingehender berichtet.
Scheibner wurde am 8. Januar 1826 als Sohn eines Großherzoglichen Rates in
Gotha geboren. Nach Besuch des Gymnasiums in Gotha studierte er 1844—1845
in Bonn und 1845—1848 in Berlin, wo er besonders bei Jacobi, Dirichlet und
Steiner hörte. 1848 erfolgte seine Promotion in Halle. Er kehrte nach Gotha zurück
und trat bald darauf zu dem berühmten Astronomen Hansen von der Sternwarte
Gotha in nähere Beziehung. Bei Hansen arbeitete er bis 1853 vornehmlich über
astronomische Störungstheorie. Auf diesem Gebiet erfolgte auch seine Habilitation
an der Universität Leipzig im Jahre 1853. Möbius hat die Habilitationsschrift recht
positiv beurteilt, sie „... scheint mir ein vollgültiges Zeugniß von den tief gehenden
mathematischen Kenntnissen ihres Verfassers, von seiner Gewandtheit im Calcul
und seinem mathematischen Forschungsgeiste abzugeben ..." schreibt er in seinem
Gutachten ([3]). Zugleich rügt er recht heftig die übertriebene Kürze, eine Schwäche,
die Scheibner zeit seines Lebens nicht ablegen konnte und die dazu beitrug, daß
seine Arbeiten und Vorlesungen schwer verständlich waren.
Seit 1853 hielt Scheibner als Privatdozent Vorlesungen. Ihr Wert wurde in einem
Gutachten von 1855 zur außerordentlichen Professur dahingehend gewürdigt, daß
sie sich ,,in den abstractesten Theilen der höheren Mathematik" bewegten, die sonst
auf der Universität nicht vertreten waren ([3]). 1856 wurde Scheibner
außerordentlicher Professor, 1868 Ordinarius und Mitglied der Königlich-Sächsischen Gesellschaft
der Wissenschaften. Er war bis ins hohe Alter geistig rege. Vorlesungen hielt
er bis zu seinem 79. Lebensjahr, seine letzte Arbeit erschien 1907. Er starb am
8. 4. 1908.
Seine wissenschaftlichen Interessen waren weit gespannt. Sie reichten von der
theoretischen Astronomie über Mechanik und Optik bis hin zur Algebra,
Zahlentheorie, Potentialtheorie, zur Reihenlehre und zur Theorie der elliptischen Funktionen.
Ein Schwerpunkt war die theoretische Astronomie und hier besonders die
astronomische Störungstheorie: 20 von 51 Veröffentlichungen Scheibners sind der
theoretischen Astronomie gewidmet. Aus historischer Sicht dürfte aus diesem Gebiet
Scheibners Abhandlung „Über den Einfluss des Neumann'schen Exponentialgesetzes auf
die elliptische Bewegung" ([42]) besonderes Interesse beanspruchen. Um die Peri-
heldrehung des Merkur zu erklären, nimmt er einen Gedanken von C. Neumann
auf und ersetzt das Newtonsche Potential durch das Potential cp(r) = — e~ar.
r
a kann er nun so berechnen, daß sich die Periheldrehung der Merkurbahn richtig
ergibt. Aus diesem Ansatz und mit dem so berechneten <x folgt dann aber für die Venus
55", für die Erde 65" Periheldrehung pro Jahrhundert, Werte, die ,,... mit den
Beobachtungen nicht leicht in Einklang zu bringen sein" werden ([42], S. 25). Dieses
in gewissem Sinne negative Ergebnis Scheibners konnte als Hinweis dienen, daß
neue und tiefere theoretische Grundlagen erforderlich sind, um die Periheldrehung
beim Merkur zu erklären. Niemand ahnte freilich damals, daß dazu eine Theorie
erforderlich sein würde, die unser ganzes Weltbild grundlegend umgestalten sollte,
die Allgemeine Relativitätstheorie Albert Einsteins.
Die gleichzeitige Bearbeitung von Problemen aus gar zu verschiedenen Gebieten
mag dazu beigetragen haben, daß Scheibners mathematische Arbeiten keine tiefer
gehende Wirkung hinterließen. Erwähnenswert sind vielleicht seine Arbeiten über

34 Teil I
elliptische Integrale, in denen er effektive Methoden angibt, um diese Integrale auf
die Standardformen erster, zweiter und dritter Gattung zu reduzieren.
Scheibner war an der Herausgabe der Gesammelten Werke von Möbitjs
wesentlich beteiligt (Bd. IV). Von ihm stammt auch ein Lehrbuch über lineare
Transformationen ([43]).
Seine Vorlesungen erstreckten sich über alle Gebiete seiner wissenschaftlichen
Tätigkeit. Besondere Verdienste erwarb er sich um die Einführung eines
regelmäßigen Übungsbetriebes. Die Bibliothek des Mathematischen Instituts verdankt ihm
ein Vermächtnis von ca. 1100 Büchern und 300 Zeitschriftenbänden, welche heute
noch als „Scheibner-Bibliothek" ausgewiesen wird.
Am Ende der in diesem Abschnitt betrachteten Periode steht ein Mathematiker,
der in den wenigen Schaffensjahren, die ihm vergönnt waren, weit in die Zukunft
weisende Ideen konzipierte: Hermann Hankel (Abb. 7). Er wurde am 14. Februar
1839 in Halle geboren, wo sein Vater Physiklehrer an der Realschule und nebenbei
Dozent an der Universität war. 1849 wurde der Vater zum ordentlichen Professor
der Physik an die Universität Leipzig berufen; die Familie siedelte deshalb von Halle
nach Leipzig über. Hankel besuchte das Nicolai-Gymnasium in Leipzig, wo bereits
sein Hang zur Mathematik und sein großes mathematisches Talent zutage traten.
In den oberen Klassen las er die antiken griechischen Mathematiker im Original.
Im Sommersemester 1857 begann er das Studium in Leipzig. 1860 ging er nach
Göttingen, wo er vor allem unter dem Einfluß Riemanns stand. Wie schnell er dessen
Ideen aufnahm, zeigt die Arbeit „Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssig-
keiten" ([15]), mit der er den Preis der philosophischen Fakultät der Universität
Göttingen für das Jahr 1860 gewann. Die Preisaufgabe hatte darin bestanden, die
Bewegungsgleichungen einer Flüssigkeit, insbesondere die von Helmholtz
behandelte Wirbelbewegung, aus den Lagrangeschen Gleichungen abzuleiten. Im Herbst
1861 ging Hankel von Göttingen nach Berlin, wo er vor allem bei Weierstrass
und Kronecker Vorlesungen hörte. Vorher hatte er mit einer Arbeit über
symmetrische Determinanten ([16]) in Leipzig promoviert. 1862 kehrte er nach Leipzig
zurück, um sich zu habilitieren. Die Habilitation erfolgte 1863 mit einer Arbeit über
Eulersche Integrale ([17]); auch hier folgte Hankel Anregungen Riemanns.
Ab 1863 hielt Hankel als Privatdozent Vorlesungen an der Universität. Seine
Vorlesungen waren gut gegliedert und klar. Es war stets das Bemühen sichtbar, die
tragenden Gedankengänge deutlich hervortreten zu lassen. Zudem ging von Hankel
Begeisterungsfähigkeit und Ausstrahlungskraft aus. In den Gutachten zur
außerordentlichen Professur heben Möbitjs, Drobisch und Scheibner Hankels
Lehrtätigkeit als besonders erfolgreich hervor ([4]). Die Ernennung zum
außerordentlichen Professor an der Universität Leipzig erfolgte im Frühjahr 1867. Bereits im
Herbst desselben Jahres folgte er einem Ruf als Ordinarius und Nachfolger von
Statjdts nach Erlangen. 1869 wurde er nach Tübingen berufen. Im Sommer 1872
erkrankte Hankel lebensgefährlich an einer Hirnhautentzündung. Die Genesung
war nur unvollständig, auch schonte er sich danach nicht genügend. Auf einer
Erholungsreise in Schramberg im Schwarzwald erlitt Hankel einen Gehirnschlag, an
dem er am 29. 8. 1873 verstarb.
Auch in Erlangen und Tübingen erwarb sich Hankel große Verdienste um die
akademische Lehre. Sein Grundsatz, der heute genau so aktuell ist wie vor hundert
Jahren, lautete: ,,Will man gewiß sein, ein mittleres Ziel zu erreichen, so stelle man

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 35
sich das höchste, wer nur nach Mittelmäßigkeit strebt, wird auch diese nicht
erreichen." ([49], S. 586.)
Hankels wissenschaftliche Interessen konzentrierten sich auf drei Schwerpunkte:
hyperkomplexe Systeme, Funktionentheorie und Geschichte der Mathematik.
Hankel hatte vor, eine zweiteilige Funktionentheorie zu schreiben. Leider konnte
Abb. 7. Hermann Hankel
(1839-1873)
er nur den ersten Teil, die „Theorie der complexen Zahlensysteme" ([20])
fertigstellen. Dieses Buch behandelt die hyperkomplexen Systeme. Der Hauptgedanke
Hankels ist die formale Untersuchung von Verknüpfungsgesetzen zwischen
„Grössen", eine Idee, die für die Entwicklung abstrakter algebraischer Strukturen von
ausschlaggebender Bedeutung war (vgl. [47]). In diese allgemeinen Untersuchungen
etwa von Operationen, die allen Gesetzen der gewöhnlichen Arithmetik genügen,
oder von solchen, die zwar assoziativ, aber nicht mehr kommutativ sind, werden dann
die Zahlensysteme einschließlich der komplexen Zahlen, die Graßmannschen
Algebren und die Hamiltonschen Quaternionen eingeordnet. Dabei formuliert Hankel
als wichtiges Prinzip das sogenannte Permanenzprinzip der formalen Gesetze: „Wenn
zwei in allgemeinen Zeichen der arithmetica universalis ausgedrückte Formen
einander gleich sind, so sollen sie einander auch gleich bleiben, wenn die Zeichen
aufhören, einfache Grössen zu bezeichnen, und daher auch die Operationen einen irgend
welchen anderen Inhalt bekommen." [(20], S. 11.) Mit anderen Worten: Wenn ein
Bereich K, in dem Operationen definiert sind, die gewissen Regeln genügen, erweitert

36 Teil I
wird zu einem Bereich K'9 so müssen die Fortsetzungen der Operationen in K'
denselben Regeln genügen. Hankel macht dabei die Einschränkung, daß gegebenenfalls
die Kommutativität aufgegeben werden muß, z. B. bei den Quaternionen. Das
Permanenzprinzip hatte der Engländer G. Peacock bereits 1834 formuliert; man kann
aber sicher zu Recht sagen, daß es erst durch Hankel als heuristisches Prinzip
Allgemeingut der Mathematiker wurde. Höhepunkt von Hankels Buch ist der
Beweis des Satzes, daß es über die komplexen Zahlen hinaus kein hyperkomplexes
System geben kann, welches allen Gesetzen der gewöhnlichen Arithmetik genügt
([20], S. 106-108).
Durch seine formale Durchbildung ist es Hankel gelungen, die Theorie der
Quaternionen, für deren Darstellung Hamilton über 500 Seiten benötigt hatte, auf
knapp 60 Seiten abzuhandeln, worauf er berechtigt stolz ist ([20], S. 196). Überhaupt
hat Hankel durch sein Buch sehr viel dazu beigetragen, die für die Entwicklung
der modernen Algebra wichtigen Resultate der englischen algebraischen Schule in
Deutschland bekannt zu machen. Schließlich sei noch bemerkt, daß Hankel einer
der ersten war, der die Bedeutung Grassmanns richtig einzuschätzen und zu
würdigen wußte.
Bei seinen funktionentheoretischen Untersuchungen knüpfte Hankel unmittelbar
an Riemanns Arbeiten über die Darstellung von Funktionen durch Fourrierreihen
an. Sie sind im Gratulationsprogramm der Universität Tübingen 1870 publiziert
([19]) und 1882 in den „Mathematischen Annalen" nachgedruckt. Das Ziel der Arbeit
ist es unter anderem, den Funktionsbegriff genauer auszuschöpfen, indem etwa
Funktionen konstruiert werden, die an allen rationalen Punkten eine Singularität besitzen,
an allen irrationalen Punkten aber stetig sind. Dazu benutzt Hankel sein sogenanntes
Kondensationsprinzip der Singularitäten, welches in folgendem besteht: y(x) sei
eine in [— 1, 1] analytische Funktion mit Ausnahme des Punktes 0, wo sie eine
Singularität besitzt. Dann hat die Funktion
n=i n8
in allen rationalen Punkten eine Singularität desselben Typs. Hankel bezeichnet
Funktionen als linear unstetig, wenn sie in einer unendlichen Menge von Punkten
eines endlichen Intervalls unstetig sind. Er betrachtet dann im einzelnen die Fälle,
daß die Menge der Unstetigkeitspunkte überall dicht oder nirgends dicht ist, und
untersucht die Integrabilität solcher Funktionen mittels der von Riemann gegebenen
hinreichenden und notwendigen Integrabilitätskriterien.
Hankels Arbeit hat auf die weitere Entwicklung der Punktmengenlehre sowie
der Maß- und Integrationstheorie einen nicht unwesentlichen Einfluß ausgeübt. Den
Nachdruck der Arbeit in den Mathematischen Annalen motivierte die Redaktion
z. B. folgendermaßen: „Indem wir die letzte Arbeit von Hermann Hankel, welche
bisher durch die Art ihrer Veröffentlichung nur schwer zugänglich war, erneut zum
Abdruck bringen, rechnen wir auf den Dank des mathematischen Publikums; wird
doch auf dieselbe bei fast allen neueren Untersuchungen über den Funktionsbegriff
zurückgegangen!" ([19], WA Math. Ann., S. 63.) Unmittelbar an Hankel haben
U. Dini und A. Harnack angeknüpft. G. Cantor hat 1882 das Hankeische
Kondensationsprinzip wesentlich verallgemeinert und dabei die ihm noch anhaftenden

Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 37
Mängel beseitigen können, indem er mit einer Funktion 99, die an der Stelle x = 0
singulär ist,
00
f(x) =-- £ <>MX — (*>,)
v = l
bildet. <jüv durchläuft dabei die von Cantor 1873 als abzählbar erkannte Menge aller
algebraischen Zahlen; cv sind passend so zu wählen, daß die Reihe konvergiert.
Hankel hat sich auch mit Besselschen Funktionen beschäftigt ([23]). Die Bessel-
funktionen dritter Art werden heute nach ihm benannt.
Das Gebiet der Geschichte der Mathematik interessierte Hankel von seiner
Gymnasialzeit an. In vielen seiner mathematischen Abhandlungen sind profunde
historische Bemerkungen zum behandelten Gegenstand enthalten. Er hatte auch die
Absicht, eine zusammenfassende Darstellung der Geschichte der Mathematik zu
schreiben. In seinem Nachlaß fanden sich dazu eine Reihe von Ausarbeitungen, die unter
dem Titel „Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter" ([21]) von
seinem Vater als Buch herausgegeben wurden. Die Umstände des Erscheinens dieses
Buches erklären die zahlreichen Unzulänglichkeiten und Lücken, auf die bereits
M. Cantor hingewiesen hat. Einiges ist auch nicht gelungen, z. B. die Darstellung
der mittelalterlichen Mathematik. Insgesamt aber war dieses Buch eine wichtige
Zwischenstation zu den späteren großen zusammenfassenden Darstellungen etwa von
M. Cantor oder von J. Tropfke. J. E. Hofmann, ein bedeutender
Mathematikhistoriker unseres Jahrhunderts, beurteilt das im Vorwort zum Neudruck des
Hankeischen Werkes so: „Wer aber ernsthaft an der Entstehung der großen
wissenschaftlichen Zusammenfassungen auf mathematikgeschichtlichem Gebiet in der zweiten
Hälfte des 19. Jahrhunderts interessiert ist, wird — und wahrscheinlich nicht ohne
Erstaunen — feststellen müssen, daß Hankel der wichtigste Wegbereiter für diese
umfassenderen Darstellungen war." ([21], WA, S. XIV.)
Das Buch enthält auch interessante Rekonstruktionsversuche; erwähnt sei z. B.
der für den Beweis des Satzes über die Winkelsumme im Dreieck. Dieser
Rekonstruktionsversuch Hankels entspricht dem Bericht des Gemintjs von Rhodos,
der uns durch Proklos Diadochos überliefert ist, wonach die Alten (gemeint sind
die frühen ionischen Mathematiker) diesen Satz zunächst für das gleichseitige, dann
für das gleichschenklige, das rechtwinklige und schließlich für das allgemeine Dreieck
bewiesen haben, in sehr natürlicher Weise.
Zusammenfassend kann man sagen, daß Hankel ein Mathematiker war, der mit
genialem Blick in die Zukunft sah und gleichzeitig mit tiefem historischem
Verständnis die Vergangenheit überschaute.
Literaturverzeichnis
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Akte Drobisch.
[2] Ebenda. Nr. 752. Akte Möbius.
[3] Ebenda. Nr. 923. Akte Scheibner.
[4] Ebenda. Nr. 530. Akte Hankel.
[5] Baltzer, R.: Biographische Bemerkungen zu Möbius, in: Möbius, A. F.: Gesammelte
Werke, Bd. I, S. V-XX.

38
Teill
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Von der Gründung bis zum 2. Drittel des 19. Jahrhunderts 39
[35] Möbius, A. F.: Gesammelte Werke, Bd. I, Leipzig 1885; Bd. II, Leipzig 1886; Bd. III,
Leipzig 1886; Bd. IV, Leipzig 1887.
[36] Nesselmann, G. H. F.: Die Algebra der Griechen, Berlin 1842.
[37] Neumann, C.: Worte zum Gedächtnis an Wilhelm Scheibner, Ber. Verh. Kgl.-Sachs. Ges.
Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 60 (1908), 375-390.
[38] Oettinger, H.: Über den Begriff der Kombinationslehre und die Bezeichnungen
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[39] Poggendorff, J. C.: Biographisch-literarisches Handwörterbuch zur Geschichte der
exacten Wissenschaften, Bd. I, Leipzig 1863, bis Bd. VIIb, Leipzig 1970.
[40] Reinhardt, C.: Über die Entstehungszeit und den Zusammenhang der wichtigsten
Schriften von Möbius. In: Möbius, A. F.: Gesammelte Werke, Bd. IV, S. 699—728.
[41] Salie, H.: Zur Geschichte der Mathematik an der Universität Leipzig im 19. Jahrhundert.
In: Karl-Marx-Universität Leipzig 1409-1959, Leipzig 1959, S. 374-381.
[42] Scheibner, W.: Über den Einfluß des Neumannschen Exponentialgesetzes auf die
elliptische Bewegung, Ber. Verh. Kgl.-Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 50 (1898),
21-30.
[43] Scheibner, W.: Beiträge zur Theorie der linearen Transformationen, Leipzig 1907.
[44] Schilling, C. (ed): Briefwechsel zwischen Olbers und Gauß, 1. Abt. Berlin 1900; 2. Abt.
Berlin 1909.
[45] Schwarzburger, M.: Die Mathematikerpersönlichkeiten der Universität Leipzig 1409
bis 1945. In: Karl-Marx-Universität Leipzig 1409-1959, Leipzig 1959, S. 350-373.
[46] Wussing, H.: Carl Friedrich Gauß, Leipzig 1974.
[47] Wussing, H.: Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes, Berlin 1969.
[48] Wussing, H.: A. F. Möbius. In: Biographien bedeutender Mathematiker, Berlin 1975.
[49] von Zahn, W.: Einige Worte zum Andenken an Hermann Hankel, Math. Ann. 7 (1874),
583-590.
[50] Zarncke, F.: Die urkundlichen Quellen zur Geschichte der Universität in den ersten
Jahren ihres Bestehens, Leipzig 1857.
[51] Zschäbitz, G.: Staat und Universität Leipzig zur Zeit der Reformation. In: Karl-Marx-
Universität Leipzig 1409—1959, Leipzig 1959, S. 34—67.

TEIL II
DIE GRÜNDUNG DES
„MATHEMATISCHEN SEMINARS"1)
DER UNIVERSITÄT LEIPZIG2)
Fritz König (Leipzig)

Einleitung
Die Entfaltung des Industriekapitalismus mit all seinen wirtschaftlichen, politischen
und sozialen Folgen zeigte sich in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts besonders
deutlich am Beispiel Deutschlands. Grundlage dieser Entwicklung war eine ständig
fortschreitende Technisierung bei immer umfassenderer Ausnutzung der
Naturwissenschaft als Produktivkraft, selbstverständlich unter den gesellschaftspolitischen
Zielstellungen des sich entwickelnden Kapitalismus.
In engem Zusammenhang mit diesem historischen Prozeß vollzog sich zeitlich
parallel dazu eine grundlegende Reform des gesamten Schulwesens. Äußere
Kennzeichen dieser Veränderungen waren einerseits das Entstehen des Realschulwesens und
die Herausbildung technischer Schulen bzw. technischer Hochschulen, andererseits
die inneren Reformen an den traditionsreichen Gymnasien und Universitäten. Einen
besonderen Aufschwung nahm diese Entwicklung in den sechziger und siebziger
Jahren des 19. Jahrhunderts, also der Zeit des Übergangs ,,... vom fortschrittlichen,
*) Der Begriff ,,Seminar" wird hier als Bezeichnung für eine Institution verwendet. In den
folgenden Ausführungen wird dieser Begriff auch als Bezeichnung für die Unterrichtsform
„Seminar" benutzt. Die jeweilige Bedeutung geht aus dem inhaltlichen Zusammenhang
hervor.
2) Die folgende Abhandlung enthält wesentliche Teile der in Vorbereitung befindlichen
Dissertation A des Verfassers zum gleichen Thema. Für die Anregung zu dieser Arbeit und für
viele wertvolle Hinweise sei Herrn Prof. Dr. Hans Wussing (Karl-Sudhoff-Institut der Karl-
Marx-Universität) herzlich gedankt. Ebenso gebührt Herrn Prof. Dr. Rolf Klötzler und Herrn
Dr. Christian Heermann (beide Sektion Mathematik der Karl-Marx-Universität) Dank für
sehr nützliche Ratschläge und Unterstützung. Ferner bedankt sich der Autor bei den
Mitarbeitern der Archive in Dresden, Leipzig und Merseburg sowie bei der Deutschen Bücherei
und der Universitätsbibliothek in Leipzig für die Bereitstellung der erforderlichen Akten und
Literatur. Insbesondere sei Frau Ina Letzel (Bibliothekarin in der Außenstelle der
Universitätsbibliothek Leipzig an der Sektion Mathematik) und der ehemaligen Leiterin des Leipziger
Universitätsarchivs (bis 1977) Frau Prof. Dr. Renate Drucker, der jetzigen Leiterin Frau
Prof. Dr. Gerhild Schwendler und der Mitarbeiterin Fräulein Karen Gaukel für
bereitwillige Hilfe bei der Quellenbeschaffung gedankt.

44 Teil II
Tabelle 1. Die Anzahl der höheren Schulen und die Einwohnerzahlen für Sachsen (Sa.) und
Preußen (Pr.), dargestellt an vier ausgewählten Jahrgängen des 19. Jahrhunderts1)
1832/33
1850
1876/77
1885
Einwohnerzahl
in Mill.
Pr.
13,0
16,84)
25,76)
28,3
Sa.
1,6
2,05)
2,8
3,2
Anzahl der
Gymnasien2)
Pr.
136
143
273
297
Sa.
12
12 ± 1
13
17
Anzahl der Real-
lehranstalten3)
Pr.
11
50
196
225
Sa.
—
3
32
30
x) Zusammengestellt nach den Angaben bei:
Heinecke, F.: Der höhere Lehrer im Zeitalter der Entstehung seines Berufsstandes und die Einführung der
Abgangsprüfungen. Unter besonderer Berücksichtigung der Verhältnisse in Sachsen, Leipzig 1935, S. 7,
25 und 29.
Statistisches Jahrbuch für das Deutsche Reich, 1. Jg. 1880, S. 1, und 11. Jg. 1890, S. 1.
Wiese, L.: Das höhere Schulwesen in Preußen. Historisch statistische Darstellung, Bd. I, Berlin 1864,
S. 420, 421, 436 und 437; Bd. IV, Berlin 1902, S. 626-628.
Witting, A.: Der mathematische Unterricht im Königreich Sachsen. Leipzig und Berlin 1913. In:
Abhandlungen über den mathematischen Unterricht in Deutschland, Bd. II, Heft 2, S. 4, 21 und 76.
2) einschließlich der Progymnasien.
3) einschließlich der höheren Bürgerschulen.
4) Hier mußte die Zahl für 1853 angegebenen werden, da für 1850 kein Wert vorlag.
5) Dieser Wert ist geschätzt nach der Angabe 2,4 für 1867.
6) Das ist der für 1875 zutreffende Wert, da für 1876/77 kein Wert vorlag.
vormonopolistischen Kapitalismus der Jahre 1860 bis 1870 zum reaktionären,
monopolitischen Kapitalismus (den Imperialismus) ..."1).
Aus fast allen technischen Schulen und Gewerbeschulen, deren Entstehung sich
in Deutschland auf den Zeitraum von 1820 bis 1840 konzentriert, wurden zwischen
1860 und 1880 sogenannte „Technische Hochschulen"2). Ein erstes bedeutungsvolles
relatives Maximum der Gesamtfrequenz erreichten diese Hochschulen 1876/77 mit
6417 Studenten3).
*) W. I. Lenin; zitiert aus „Deutsche Geschichte", Bd. 2, Berlin 1965, S. 487.
2) Die Bezeichnung „Technische Hochschule" wurde erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts
eingeführt. Zuvor waren Begriffe wie „technische Hochschule", „Polytechnische Hochschule",
„Polytechnikum" und ähnliche üblich. Zu dem genannten Prozeß der Entstehung Technischer
Hochschulen vgl. etwa:
Bernal, J. D.: Die Wissenschaft in der Geschichte, Berlin 1967;
Manegold, K.-H.: Universität und technische Hochschule. Ein Beitrag zur Geschichte der
technischen Hochschulen unter besonderer Berücksichtigung der wissenschaftsorganisatori-
schen Bestrebungen Felix Kleins, Hannover 1967;
Zöller, E.: Technische Hochschule und Universität, Berlin 1891;
v. Dyck, W.: Die mathematische, naturwissenschaftliche und technische Hochschulausbildung,
Berlin-Leipzig 1912. In: Die Kultur der Gegenwart, Teil 1, Abt. 1. 2. Aufl.;
Lexis, W.: Das Unterrichtswesen im Deutschen Reich. Bd. IV: Das technische
Unterrichtswesen. Teil 1: Die Technischen Hochschulen. Berlin 1904.
3) Lexis, W., ebenda, S. 45.

Die Gründung des ,,Mathematischen Seminars" 45
Der überwiegende Teil dieser Studenten hatte das Reifezeugnis auf einer
Reallehranstalt erworben, und nur vereinzelt nahmen Gymnasiasten ein solches Studium
auf. Somit weist der starke Anstieg der Studentenzahlen an den Technischen
Hochschulen im Verlaufe des Jahrzehnts vor 1877 (1871/72 waren es 4710
Studierende1)) auf eine entsprechende Erweiterung des Realschulwesens hin. Die
Tabelle 1 belegt die Entwicklung im höheren Schulwesen (also den Gymnasien und
Realschulen) für Sachsen und Preußen an vier ausgewählten Jahrgängen des
19. Jahrhunderts unter Bezugnahme auf die in jenen Jahren enorm steigenden
Bevölkerungszahlen2) .
Beginnend 1810 in Preußen, wurde den Universitäten und speziell den
philosophischen Fakultäten die Ausbildung von Lehrern für die höheren Schulen übertragen.
Die damit angestrebte Fachlehrerausbildung setzte sich im Verlauf der ersten Hälfte
des 19. Jahrhunderts in allen deutschen Staaten durch. An die sich auf die sechziger
und siebziger Jahre konzentrierende beträchtliche Erhöhung der Zahl der
Reallehranstalten und Technischen Hochschulen, die einen stark
mathematisch-naturwissenschaftlich betonten Unterricht durchführten, war die Voraussetzung geknüpft, ein
entsprechendes Potential an Lehrkräften zu schaffen. So ergaben sich gerade in
dieser Zeit günstige Anstellungsmöglichkeiten für die sogenannten ,,Kandidaten des
höheren Lehramtes" sowohl an den höheren Schulen als auch indirekt (nach
wissenschaftlicher Qualifikation oder Erfahrung im Schuldienst) an den Technischen
Hochschulen. Weil Absolventen der Reallehranstalten an den Universitäten neben dem
Lehrerstudium kaum andere Möglichkeiten hatten, erhöhten sich die Frequenzen
der philosophischen Fakultäten enorm, ganz besonders für Mathematik und
Naturwissenschaften. Während im Durchschnitt der Jahre 1851/52 bis 1856 und aller
deutschen Universitäten auf die philosophische Fakultät 23,2% der Studierenden
entfielen, waren es 1876/77 bis 1881 beachtliche 41,5%.3) Die Zahl derjenigen
Studenten, die sich für Mathematik oder für Mathematik und ein bzw. mehrere weitere
Fächer einschrieben (künftig hier als Mathematikstudenten zusammengefaßt),
weist innerhalb jener Jahrzehnte ihren größten Anstieg zwischen 1870 und 1880 auf,
wie diesbezügliche Angaben für Göttingen4) und Leipzig — vgl. Abb. 8 (Abkürzungen,
auch künftig, für Sommersemester ,SS' und für Wintersemester ,WS') —
übereinstimmend bestätigen.5)
Betrachtet man die Mathematiklehrerausbildung an den Universitäten des
damaligen Deutschland, so wurden mit dem starken Anstieg der Frequenzen zwei
x) Ebenda.
2) Statistisches Jahrbuch für das Deutsche Reich, Jg. 11, 1890. Dort befinden sich auf S. 14
folgende Durchnittswerte (hier in Mill. angegeben): 34,3 für 1841/50; 36,4 für 1851/60; 39,5 für
1861/70; 42,9 für 1871/80; 46,6 für 1881/88.
3) Lexis, W.: Das Unterrichtswesen im Dautschen Reich, Bd. I: Die Universitäten, Berlin
1904, S. 126.
4) Klein, F., und R. Schimmack: Der mathematische Unterricht an den höheren Schulen.
Teil 1, Leipzig 1907, S. 167.
5) Ähnlich verhielt sich die Zahl der in Preußen bestandenen Prüfungen für das
mathematisch-naturwissenschaftliche Lehrfach, die 1882/83 ihren Maximalwert erreichte. Vgl. etwa:
L. Wiese: Das höhere Schulwesen in Preußen. Historisch statistische Darstellung, Bd. I,
Berlin 1864, S. 555; Bd. II, Berlin 1869, S. 616; Bd. III, Berlin 1874, S. 408; Bd. IV, Berlin
1902, S. 773/74.

46 Teil II
Probleme akut:
1. Es mußten spezielle, dem „großbetrieblichen Charakter" angepaßte,
Ausbildungsformen für Lehrer eingeführt werden (z. B. fester Vorlesungsplan, Bezugnahme
zum späteren Beruf).
2. Der ständig steigende Bedarf an Hochschullehrern, auch für die Technischen
Hochschulen1), war durch besondere Förderung eines wissenschaftlichen
Nachwuchses zu decken.
Mit der Einrichtung von Seminarinstitutionen, den sogenannten „mathematischen
Seminaren" oder „mathematisch-physikalischen Seminaren" oder
„mathematischnaturwissenschaftlichen Seminaren" (künftig hier kurz unter „mathematisches Semi-
obsolute
Häufigkeit
SS 1870
SS 75 SS 1880
SS85
SS1890
SS95
SS 1900 SS 05 Semesfer
Abb. 8. Die Frequenzen der für Mathematik eingeschriebenen Studenten an der Universität
Leipzig für den Zeitraum 1870 — 1905; ermittelt nach den Angaben im
Personalverzeichnis der Universität Leipzig
nar" zusammengefaßt), versuchte man beiden Notwendigkeiten gerecht zu werden.2)
Der Zusammenhang mit den Studentenzahlen ist dabei schon rein statistisch
gegeben, wie ein Vergleich der Darstellungen in Abb. 8 mit dem in Abb. 9
veranschaulichten Gründungsprozeß der mathematischen Seminare zeigt.
So wurden in der Zeit des starken Anstiegs der Studentenzahlen zwischen 1870
und 1880 allein 9 der 21 Seminarinstitutionen gegründet.3) Aber auch die Zielstel-
*) Das Promotionsrecht wurde von den Technischen Hochschulen erst um 1900 verliehen.
2) Die Institutionalisierung der Universitätswissenschaften ist eine typische Erscheinung des
19. Jahrhunderts. Vor 1880 wurden z. B. in Leipzig 27 und in Berlin 38 Institute bzw. Seminare
und Sammlungen gegründet. Von 1880 bis 1890 waren es in Leipzig 10 und in Berlin 17. Und
bis 1900 kamen in Leipzig noch weitere 18 und in Berlin 12 hinzu. (Angaben nach F. Lenz:
Beiträge zur Universitätsstatistik, Halle 1912, S. 5.)
3) Auf eine gründliche Diskussion der vorgelegten Statistiken muß an dieser Stelle verzichtet
werden.

Die Gründung des ,,Mathematischen Seminars" 47
lungen im einzelnen weisen deutlich auf die zwei genannten Schwerpunkte hin.
Besonders klar ist das im § 1 des Statutes des „mathematisch-physikalischen
Seminars" der Universität Göttingen formuliert worden. Es heißt dort:
„Das Seminar bezweckt zunächst die Ausbildung von Lehrern für den
mathematischen und physikalischen Unterricht an höheren Lehranstalten. Zugleich soll es den
Studierenden Gelegenheit bieten, sich mit solchen Theilen der Mathematik und
Physik bekannt zu machen, welche in den gewöhnlichen akademischen Vorträgen kurz
oder gar nicht behandelt werden. Auch soll die Anstalt überhaupt zur Hebung des
Studium der mathematisch-physikalischen Wissenschaft beitragen."1)
Leipzig -
Rostock -
Jena —
Kiel
Münster
Erlangen —
Straßburg -
Würzburg —
Greifswa/d -
Tübingen —
Heidelberg -
Bonn
Gießen
Breslau
Berlin
München
Göttingen —

Freiburg/B.Halle
Königsberg -
Marburg —
■W-
1810
1820 1830
18U0 1850
Jahr —
1860
J
1870
1880 1890 1900
Abb. 9. Das Bestehen mathematischer Seminare bzw. Institute im Deutschland des 19.
Jahrhunderts ; zusammengestellt nach den Angaben bei:
Lexis, W.: Das Unterrichtswesen im Deutschen Reich, Bd. I: Die Universitäten,
Berlin 1904, S. 313-603,
Lorey, W.: Das Studium der Mathematik an den deutschen Universitäten seit Anfang
des 19. Jahrhunderts, Leipzig und Berlin 1916.
In Münster existierte von 1818 bis 1902 anstelle der Universität eine Akademie, die
auch ein mathematisches Seminar einrichtete.
In einem Zeitschriftenartikel über die mathematischen und
naturwissenschaftlichen Universitätsseminare aus dem Jahre 1873 findet man im wesentlichen wieder,
was die Reglements2) der einzelnen Universitäten enthalten. Es heißt dort u.a.:
x) Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, Bd. 4, 1873,
S. 373.
2) Dem Autor lagen die Wortlaute der Reglements, die unmittelbar nach der
Seminargründung Gültigkeit hatten, von den Universitäten Bonn, Breslau — heute Wroclaw (VR Polen) —

48 Teil IT
„... daß in den Seminarien Kräfte geweckt und entfesselt werden, die sich durch
die einfachen Vorlesungen nicht frei machen lassen. In der That ist es nicht einerlei,
ob der Hörer an Hochschulen nur ein höheres allgemeines Wissen erwirbt oder ob er
sorgsam angeleitet wird, den Gegenstand zu ergründen, selbständig zu verarbeiten
und lehrend wiederzugeben. Und auf die letzten Punkte wird in einem Seminar mit
Recht der Ton gelegt.
Durch den öfteren und regeren Verkehr mit den Professoren des Faches und Leitern
des Seminars wird der Zögling mit den höheren Forderungen und gewichtigeren
Problemen der Wissenschaft bekannt und zu den Quellen der letzteren geführt; er lernt
die gediegensten und classischesten Schriften und Thaten auf dem Gebiet seines
zukünftigen Wirkens würdigen und wird selbst zu einem Nachstreben dieser Muster
angehalten; er wird zur literarischen Thätigkeit durch Preisfragen angeeifert; er
erhält Themen zum Ausarbeiten und muss auch selbst solche finden; er muss
Vorträge über gegebene Stoffe halten, die Kritik darüber von den Mitzöglingen anhören
und ihre Einwürfe gründlich zu widerlegen suchen. Hierdurch und wiederum durch
sein eigenes Urtheil über die Arbeiten der anderen Zöglinge wird sein Scharfsinn
geweckt und er überdies zum eingehendsten Studium seines Faches getrieben."1).
Oft unter der Leitung von bedeutenden Fachgelehrten wurde versucht, diese hohen
Anforderungen zu erfüllen. Es ist daher keineswegs eine unerwartete Entwicklung,
wenn diese Seminarinstitutionen bald rein wissenschaftlichen Charakter annahmen,
zumal daneben nach und nach eine fachbezogene pädagogische bzw.
pädagogischpraktische Ausbildung eingerichtet wurde2).
Es läßt sich also zusammenfassend feststellen, daß der Institutionalisierungsprozeß
der Mathematik an den Universitäten im Deutschland des 19. Jahrhunderts, so wie
ihn Abb. 9 widerspiegelt, eine Folge der anfangs erwähnten Reform im Schulwesen
war.
Das Histogramm in Abb. 10 zeigt im Vergleich mit den Abb. 8 und 9 deutlich, wie
sich mit der Zunahme der Anzahl der Seminare und der Studentenzahlen auch die
Dissertationshäufigkeit erhöhte. Dies alles weist auf eine stärkere Aktivierung des
mathematisch-wissenschaftlichen Lebens im damaligen Deutschland hin, die, wie man
zumindest der Abb. 10 entnehmen kann, mit dem starken Rückgang der
Studentenzahlen in den achtziger Jahren3) nicht wieder an Niveau verlor. Dieser
Qualitätssprung ist eine direkte Folge der Reformbewegung im höheren Schulwesen, und er
steht in erster Linie dadurch mit der ökonomischen Entwicklung der Gesellschaft im
kausalen Zusammenhang.
Schlüsselt man das Histogramm von Abb. 10 auf die einzelnen Universitäten auf
(vgl. Abb. 11) und vergleicht diese Histogramme mit den Zeitpunkten der ein-
Göttingen, Greifswald und Tübingen vor, abgedruckt in der Zeitschrift für den mathematischen
und naturwissenschaftlichen Unterricht, Bd. 4, 1873. Vgl. weiterhin W. Lorey: Das Studium
der Mathematik an den deutschen Universitäten seit Anfang des 19. Jahrhunderts, Leipzig
und Berlin 1916.
*) Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, a. a. O., S. 78.
2) So z. B. in Berlin und Breslau.
3) Die Anzahl der Lehramtskandidaten für Mathematik und Naturwissenschaften überstieg
inzwischen beträchtlich den bestehenden Bedarf.

Die Gründung des ,,Mathematischen Seminars" 49
zelnen Seminargründungen, so tritt kein einheitlicher Gesichtspunkt hervor. Im
einzelnen darf also weder die Implikation ,,Gründung eines mathematischen Seminars
-> starker Aufschwung des wissenschaftlichen Lebens" noch ihre Umkehrung
generalisiert werden. Vielmehr sind diesbezüglich die einzelnen Seminare sehr
differenziert zu beurteilen.
Das mathematische Seminar der Universität Leipzig, dessen Gründung am Ende
des in Abb. 9 veranschaulichten Prozesses liegt, war vorbildlich in seiner Zeit.
Auffallend ist die Übereinstimmung des Zeitpunktes seiner Gründung (April 1881)
mit einem unmittelbar folgenden starken Anstieg der Promotionshäufigkeit. Eine
Betrachtung der entsprechenden Verhältnisse, die um 1880 an der sächsischen
Universität herrschten, scheint also besonders interessant zu sein.
50
40
%30
I
%20
10
r-rH
III bd I I II I
L flj]Hi
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III rn r^ 1 M 1
1 H II111111111
1 1 l|M M l|l 1 1 1 l|l
1850 55
1860
65
1870
Jahr —
75
1880
85
1890
Abb. 10. Mathematische Dissertationen und Habilitationen an den deutschen Universitäten
von 1850 bis 1890 (die oberen Teile der Säulen veranschaulichen die jeweilige
Anzahl der Habilitationen; ermittelt nach: Verzeichnis der seit 1850 an den Deutschen
Universitäten erschienenen Doctor-Dissertationen und Habilitationsschriften aus
der reinen und angewandten Mathematik, München 1893)
Die Berufung Felix Kleins an die Leipziger Universität
Die Einwohnerzahl der Stadt Leipzig stieg von 78495 im Jahre 1861 auf 149081 im
Jahre 1880.1) Die Universität war zwischen 1872 und 1878 die am stärksten besuchte
in Deutschland.2) Seit der Universitätsreform von 1830 war eine Vielzahl attraktiver
x) Leipzig in acht Jahrhunderten, Leipzig 1965, S. 147.
2) Eulenburg, F.: Die Frequenzen der Deutschen Universitäten von ihrer Gründung bis
zur Gegenwart, Leipzig 1904, S. 304-307.

Berlin
Bonn
Breslau
Erlangen
Freiburg/B.
Gießen
Göttingen
Greifswald
Halle
Heidelberg
Jena
Kiel
Königsberg
Leipzig
Marburg
München
Münster
Rostock
Straßburg
Tübingen
Würzburg
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0
0 1^
■H
7550 55 7550 65 1870 75 1880 85 1890

Summe Hab'l'fat'onen
summe Dissertationen
Berlin
Bonn
Breslau
Erlangen
Freiburg/B.
Gießen
Göttingen
Greifswald
Halle
Heidelberg
Jena
Kiel
Königsberg
Leipzig
Marburg
München
Münster
Rostock
Straßburg
Tübingen
Würzburg
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Abb. 11. Mathematische Dissertationen und Habilitationen an den einzelnen Universitäten im Deutschland der Jahre von 1850 bis 1890;
a) Histogramm, b) Häufigkeitstabelle

52 Teil II
Universitätsbauten entstanden1). Gerhard Kowalewski (1876—1950) formulierte
für das Jahr 1896:
,,... in Leipzig, diesem Treibhaus der Wissenschaften, . ,."2).
In diesem Rahmen war es um die Mathematik an der Leipziger Universität
zunächst sehr schlecht bestellt, als im Jahre 1868 der Philosoph und Mathematiker
M. W. Drobisch (1802—1896) seine mathematische Professur aufgab und im gleichen
Jahr August Ferdinand Möbius (1790—1868) starb. Als einziger Professor der
Mathematik blieb der Ordinarius Wilhelm Scheibner (1826—1908). Wie Abb. 12
zu entnehmen ist, verbesserte sich diese Situation innerhalb der folgenden fünf Jahre
zwar beträchtlich, doch blieb trotzdem noch ein entscheidender Mangel bestehen.
W. Scheibner, C. Neumann (1832-1925), A. Mayer (1839-1908) und K. von
der Mühll (1841—1912) vertraten die Forschungsgebiete höhere Analysis bzw.
mathematische Physik, während die von A. F. Möbius vertretene und für die
mathematische Forschung des 19. Jahrhunderts ebenfalls sehr bedeutungsvolle höhere
Geometrie vakant blieb.
Das Hauptverdienst für den Ausbau des mathematischen Lehrkörpers der
Universität Leipzig von etwa 1865 bis 1880 kommt zweifellos W. Scheibner zu. Aber
auch direkt empfing der mathematische Unterricht an der Universität durch
W. Scheibner neue Impulse. Alexander Witting (1861 — 1946) stellte fest:
,,Einen frischen Zug brachte anscheinend Scheibner hinein; nicht nur werden die
Vorlesungen mannigfaltiger, es treten auch Übungen dazu. 1860 macht Möbius
den Anfang mit 2 Stunden geometrischer Übungen, vom nächsten Semester an ist
x) Vgl. etwa:
Friedberg, E.: Die Universität Leipzig in Vergangenheit und Gegenwart, Leipzig 1898;
Leipzig und seine Bauten. Herausgegeben von der Vereinigung Leipziger Ingenieure und
Architekten, Leipzig 1892, S. 178-237;
Leipziger Universitätsbauten. Die Neubauten der Karl-Marx-Universität seit 1945 und die
Geschichte der Universitätsgebäude, Leipzig 1961.
2) Kowalewski, G.: Bestand und Wandel, München 1950, S. 43.
Abb. 12. Die an der Leipziger Universität zwischen 1866 und 1900 wirkenden Mathematiker;
die Ortsnamen geben die jeweilige Stadt an, in welcher der Wissenschaftler nach
seiner Leipziger Wirkungszeit tätig war.
Zusammengestellt nach den Angaben in:
1. Universitätsarchiv Leipzig, Personalakten und Akten zum Promotionsvorgang;
2. Poggendorff, J. C.: Biographisch-litterarisches Handwörterbuch zur Geschichte
der exacten Wissenschaften, hrsg. seit 1863, Leipzig;
3. Verschiedene Nachrufe bzw. Nekrologe (eine Auswahl) zu H. Bruns, K. Rohn,
W. Scheibner in: Ber. Verh. Kgl.-Sächs. Ges. Wiss. Leipzig 71/72 (1919-1921), 60
(1908), weiterhin zu W. von Dyck, F. Schur, E. Study in: Jahresberichte der
Deutschen Mathematikervereinigung 45 (1935), 40 (1931), 43 (1934) sowie zu H. Hankel,
A. Harnack, A. Mayer in: Mathematische Annalen 7/8 (1874/75), 32 (1888), 64
(1908).

Die Gründung des „Mathematischen Seminars" 53
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54 Teil II
es Scheibner, der fast regelmäßig 10 Semester hindurch ein mathematisches Seminar
(hier im Sinne einer Lehrveranstaltung zu verstehen — Kö) leitete".1)
Der aus Gotha stammende Scheibner wurde am 6. Mai 1853 Privatdozent für
Mathematik an der Universität Leipzig. Er hatte 1844/45 in Bonn und von 1845 bis
1848 in Berlin studiert. Nach eigenen Aussagen verdankte Scheibner die Anregung
zur Beschäftigung mit der reinen Mathematik den Vorlesungen Carl Gustav
Jacob Jacobis (1804—1851) und Peter Gustav Lejeune Dirichlets (1805—1859)
aus seiner Berliner Studienzeit.2) Am 31. Juli 1856 wurde er außerordentlicher und
am 20. Dezember 1867 ordentlicher Professor für Mathematik in Leipzig, wo er bis
zu seinem Tode wirkte.3)
Hier in Leipzig war Scheibner der wohlwollende Förderer von später so
bedeutenden Mathematikern wie z.B. Hermann Hankel (1839—1873), Axel Harnack
(1851 — 1888) und Friedrich Schur (1856—1932). Eine Reihe ungünstiger Umstände
ließen 1867 seine Bemühungen scheitern, H. Hankel durch Berufung zum
außerordentlichen Professor an der Universität Leipzig zu halten.4) Ebenso war fast 10 Jahre
später eine entsprechende Initiative Scheibners bezüglich A. Harnack wiederum
durch die Haltung des zuständigen „Ministeriums des Kultus und öffentlichen
Unterrichts" in Dresden erfolglos. Das war besonders deshalb bedauerlich, weil Harnack
die damals moderne algebraisch-geometrische Schule vertrat und somit endlich ein
Nachfolger für Möbius gefunden gewesen wäre.
Harnack hatte von 1869 bis 1873 in Dorpat — heute Tartu (Estnische SSR) —
bei Ferdinand Minding (1806—1885) studiert. Nach dem Staatsexamen wechselte
er im Sommer 1873 an die Universität Erlangen, wo er Kontakte zu P. Gordan
(1837-1912) und F. Klein (1849-1925) knüpfte.5) Felix Klein war im Herbst
1872 mit seinem ,,Erlanger Programm" hervorgetreten. Die
algebraisch-geometrischen Untersuchungen Kleins lagen dem 22jährigen Harnack besonders. So
promovierte Axel Harnack auch 1875 bei dem zwei Jahre älteren Klein mit einer
Arbeit „Über die Verwerthung der elliptischen Funktionen für die Geometrie derCur-
ven dritten Grades"6). Schon am 6. November des gleichen Jahres richtete Harnack
ein Habilitationsgesuch an die philosophische Fakultät der Universität Leipzig.7)
Die von W. Scheibner und C. Neumann begutachtete Schrift trug den Titel
„Algebraische Differentiale in homogenen Coordinaten" und wurde in den
Mathematische Annalen (Math. Ann.) Bd. 9 veröffentlicht. Nach der am 26. Januar 1876
erfolgten Probevorlesung ,,Ueber die Grundformen der ebenen algebraischen Cur-
ven" war Axel Harnack Privatdozent an der Leipziger Universität geworden.
Wenn diese Vorlesung auch mehr eine Darlegung historischer Art war8), so ging doch
x) Witting, A.: Der mathematische Unterricht im Königreich Sachsen, Leipzig und Berlin
1913. In: Abhandlungen über den mathematischen Unterricht in Deutschland, Bd. II, Heft 2,
S. 40.
2) UAL — PA (= Universitätsarchiv — Personalakte) 923, Bl. (lies: Blatt bzw. Blätter) 179.
3) Neumann, C.: Worte zum Gedächtnis an Wilhelm Scheibner. In: Ber. Verh. Kgl.-Sachs.
Ges. Wiss. Leipzig 60 (1908).
4) UAL - PA 350, Bl. 146-154.
5) UAL - PA 537, Bl. 229-230.
6) Das war schon die sechste Dissertation, die unter der Anleitung Kleins entstand.
7) UAL - PA 537, Bl. 228.
8) Ebenda, Bl. 235.

Die Gründung des „Mathematischen Seminars" 55
aus ihr die noch 1876 in den Mathematischen Annalen Bd. 10 erschienene berühmte
Arbeit Harnacks über die ,,Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Kurven'4 hervor,
mit der er die Topologie der ebenen algebraischen Mannigfaltigkeiten begründete.1)
Harnack war ein pädagogisch talentierter Hochschullehrer. Zur Aufgabe jedes
Lehrbuches und jedes mathematischen Unterrichts fordert er ,,klare und
vollständige Auseinandersetzung der grundlegenden Begriffe, möglichste Beschränkung der
reinen Theorie nebst scharfer Formulierung der Lehrsätze innerhalb gegebener eng
gezogener Voraussetzungen, Reichhaltigkeit in der Anwendung auf gebotene
Probleme"2). In seinem einzigen Leipziger Semester (Sommersemester 1876) las er
„Geometrie der Ebene" mit 4 Wochenstunden und 2 Stunden Übungen. Obwohl
er durchaus den Willen hatte, in Leipzig zu bleiben, gab er doch einer Stellung als
außerordentlicher Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt den Vorzug,
was bei der damals sozial sehr schlechten Lage der Privatdozenten verständlich
war.
Scheibner bemühte sich sehr, um Harnack für die Leipziger Universität
zurückzugewinnen. In einem Bericht an den Dekan der philosophischen Fakultät vom August
1876 beschwerte er sich über die Ablehnung der außerordentlichen Professur für
Harnack und weist auf die Notwendigkeit einer Ausfüllung der „geometrischen
Lücke" hin. Es heißt dann:
,,Herr Geheimrath Schlömilch3) hatte schon vor mehr als Jahresfrist mit den
hiesigen Mathematikern darüber conferirt, u. wir befanden uns über die Nothwendig-
keit einer gesteigerten Vertretung der Geometrie an unserer Universität in vollster
Übereinstimmung, ... Um so freudiger begrüßten wir die Habilitation des Dr.
Harnack, dessen Vorträge die vorhandene Lücke in wünschenswerthesten Weise ergänzt
haben. ... Wenn ich mir die Persönlichkeiten vergegenwärtige, auf welche das
Augenmerk für eine Professur der Geometrie zu richten sein würde, so finde ich freilich,
daß die meisten nur für eine ordentliche Professur zu gewinnen sein dürften. Ich
müßte es aber als eine Zurücksetzung unserer verdienten Collegen Mayer u. Von
der Mühll ansehen, wenn beispielsweise Prof. Klein vom Polytechnicum zu München
oder Prof. Fiedler vom Polytechnicum zu Zürich als Ordinarien an unsere
Universität berufen würden, ohne daß gleichzeitig die genannten Collegen ordentliche
Professuren erhielten. ... Für einen außerordentlichen Professor dagegen wüßte ich
keinen geeigneteren vorzuschlagen, als den Professor Harnack am Polytechnicum
in Darmstadt, u. vermuthe, daß derselbe vielleicht von Ostern ab ... ehe seine
Stellung dort weiter verbessert wird, unter mäßigen Bedingungen zu gewinnen sein
möchte."4)
*) Vgl. etwa: Die Hilbertschen Probleme. In: Ostwalds Klassiker der exakten
Wissenschaften Nr. 252, Leipzig 1971, S. 62f. und S. 233-249.
2) Voss, A.: Zur Erinnerung an C. G. Axel Harnack, Math. Ann. 32 (1888), 164.
3) Es handelt sich hier um den bekannten Mathematiker Oskar Xaver Schlömilch (1823
bis 1901), der 1874 seine Tätigkeit als Hochschullehrer am Polytechnikum in Dresden aufgab
und als sogenannter ,,vortragender Rath" in das „Ministerium des Kultus und öffentlichen
Unterrichts" Sachsens berufen wurde. Dort setzte er bis zu seinem Ausscheiden im Jahre 1885
eine Vielzahl bedeutender Veränderungen für den mathematischen Unterricht in Sachsen
durch.
4) UAL - PA, 635, Bl. 475/76.

56 Teil II
Während Harnack im Herbst 1877 an das Polytechnikum in Dresden berufen
wurde, blieb in Leipzig eine Reaktion auf den Scheibnerschen Antrag aus.
Die Berufung eines Geometers wurde jedoch mit den steigenden Studentenzahlen
immer dringender. Am 17. Mai 1879 schreibt Scheibner erneut an den Dekan:
„Für eine Universität wie die unsrige muß dieser Mangel in der Vertretung eines
Hauptfaches geradezu als ein unerhörter bezeichnet werden: ... Wenn in der ersten
Kammer der Cultusminister einer Interpellation unseres Abgeordneten gegenüber
die Äußerung gethan hat, man dürfe von den außerordentlichen Professoren
erwarten, daß diese für die Ergänzung jenes Mangels thätig sein würden, so ist zu
bemerken, ... eine solche Zumuthung erscheine ebensowenig gerechtfertigt, wie das
Ansinnen etwa an unsere classischen Philologen, Sanskrit vorzutragen, oder an einen
Romanisten, über deutsches Privatrecht zu lesen."1)
Wieder verging ein reichliches halbes Jahr. In dem Schreiben vom 15. Dezember
1879 kündigte Scheibner dem Dekan für die nächste Fakultätssitzung einen Antrag
auf „Creirung einer Professur für höhere Geometrie" an.2) Beigefügt wurde eine
ausführliche Begründung, deren wesentliche Teile hier zitiert seien, denn sie zeigen
deutlich, wie die Mathematik innerhalb der Universität um Anerkennung neben den
Philologen, Juristen ect. zu ringen hatte. Scheibner schrieb u. a.:
,,Die kürzlich gedruckte Rede unseres hochverehrten Rector Magnificus besagt,
daß zu wahr die Mathematik den Verstand und die Vorstellungskraft auf dem Gebiete
der Zahlen u. der räumlichen Größen bilde, sie um so weniger geeignet sei Herz u.
Gemüth auszubilden, u. folglich in Bezug auf eine allseitige u. harmonische
Ausbildung mit den historisch-philologischen Fächern nicht concuriren könne.
Hiernach sollte man meinen, daß das Studium der Mathematik des idealen Hintergrundes
bar sei, den jede echte Wissenschaft besitzt, ... und das sie ,zur allseitigen und
harmonischen Ausbildung der im menschlichen Geiste schlummernden Kräfte'
eigentlich überflüssig sei. Denn wenn auch weiter von ,der nicht selten centrifugalen
Thätigkeit der mathematischen und anderen unentbehrlichen Fachlehrer' an den
Gymnasien die Rede ist, so wäre doch billigerweise anzuerkennen gewesen, daß
zur allseitigen und harmonischen Geistesbildung die Einsicht in das Zwingende der
exakten Schlußweise nicht mehr nothwendig ist als die Vertrautheit mit den
historischen Beweismethoden. ... Je fester meine Überzeugung ist, daß eine nur nach
einer der beiden Richtungen genommene Ausbildung eine einseitige,
nichtharmonische ist, desto mehr würde ich mir ein testimonium paupertatis zu erwerben
glauben, wollte ich etwa behaupten, daß das Auswendiglernen der Vocabeln und
Paradigmata zwar das Gedächtnis stärken, aber Herz und Gemüth veröden, oder das
die historische Beweiskraft, weil minder zwingend als die mathematische
Schlußweise, wertlos sei."
Vielerorts herrscht die Meinung vor, „daß die Mathematik auf den Universitäten
nur eine geduldete, keine vollberechtigte Wissenschaft seiu. ihren eigentlichen Platz
auf den Polytechnicen oder technischen Hochschulen' habe".3)
x) Ebenda, Bl. 470/71.
2) Ebenda, Bl. 472-474.
3) Ebenda.

Die Gründung des „Mathematischen Seminars" 57
Scheibners Schreiben enthält außer einem kurzen Vergleich mit der günstigen
Situation der Philologen einen Überblick über all seine Bemühungen bezüglich einer
Professur für Geometrie seit dem Tode von A. F. Möbius.
Nun hatte Scheibner endlich Erfolg. In der schon erwähnten Fakultätssitzung
„betreffs der Einrichtung einer Professur für Geometrie, Samstag, den 21. Dez.
1879, 11 1/2 Uhr Vormittags" wurde nach „längerer Diskussion" beschlossen,
„bei dem Ministerium den Antrag auf Errichtung einer ordentlichen Professur für
höhere Geometrie zu stellen und zwar unter Hervorhebung, 1) daß die Vertretung
dieses Faches unabweisliches Bedürfniss unserer Universität sei, 2) daß aus inneren
Tabelle 2. Der von Scheibner und Neumann vorgenommene Vergleich der Studentenzahlen
mit der Zahl der Professoren für Mathematik an den Universitäten Leipzig, Göttingen und
Berlin (UAL — PA, 635, Bl. 480; hier tabellarisch zusammengefaßt)
Herbst
1879
Leipzig
Ordinariate
für Mathematik
2: Scheibner
Neumann
Extraordinariate
2: A. Mayer
V. D. MÜHLL
Akademiemitglieder
ohne Professur
an der Universität
—
Zahl der

Mathematikstudenten
1861)
Göttingen 4: Stern 1:Enneper — 1172)
Schering
Schwarz
Listing
Berlin 3: Kummer 2: Bruns 2: Borchard
Weierstrass < Wangerin Kronecker 2933)
Kirchhoff4)
1) Im gleichen Semester waren 399 Studenten der Philologie in Leipzig eingeschrieben. Die Philologie
besaß jedoch 13 Ordinariate, 8 Extraordinariate und eine Honorarprofessur.
2) Nach den Angaben bei F. Klein und R. SCHIMMACK, Der mathematische Unterricht an den höheren
Schulen. Teil 1, Leipzig 1907, lag die Frequenz allerdings über 200. Vergleiche ferner die dort auf S. 165
angegebene Übersicht zu den Ordinariaten und Extraordinariaten in Göttingen.
3) Im erwähnten Bericht findet man die Frequenz für Berlin nicht. Sie wurde nach den Angaben im
Personalverzeichnis für die Universität Berlin vom Autor ergänzt.
4) Er hatte kein Ordinariat für Mathematik, las aber über mathematische Physik.
und äußeren Gründen die vorhandenen Kräfte für Mathematik nicht im Stande
seien, diese Lücke auszufüllen. Als geeignete Persönlichkeiten für Besetzung dieser
Professur sollen genannt werden Prof. Klein, Prof. Harnack, Prof. Lindemann"1).
Die Abfassung des Berichts für das Ministerium wurde Scheibner und Neumann
übertragen.
Nach kurzer Beratung Ende Januar 1880 unterzeichnete der Dekan schon am
5. Februar den fast 18 Seiten (handschriftlich, Größe etwa DIN A 4) umfassenden
historisch sehr interessanten Bericht an das Kultusministerium. Dieses Schreiben
enthält2) u.a. eine vollständige Übersicht der nach Meinung der Leipziger Mathema-
J) Ebenda, Bl. 478.
2) Ebenda, Bl. 480.

58 Teil II
tiker notwendigen allgemeinen Vorlesungen und Spezialvorlesungen, bringt
Vergleiche zwischen den Universitäten Leipzig, Göttingen und Berlin — siehe Tabelle 2
— und würdigt besonders die mathematische Schule von Alfred Clebsch (1833 bis
1872). Bezüglich Felix Kleins heißt es dann in diesem Bericht:
„Wir ... nennen ... in erster Linie einen der bedeutendsten Schüler des verstorbenen
Clebsch, den Dr. Felix Klein, Prof. ord. am Polytechnikum in München, der sich
sowohl durch seine zahlreichen wissenschaftlichen Arbeiten, als durch die Redaction
der mathematischen Annalen außerordentliche Verdienste erworben hat um die
weitere Ausbildung der neueren Geometrie, der namentlich in letzterer Zeit mittels
geometrischer Speculationen zu wichtigen Resultaten gelangt ist über die Theorie
der algebraischen Gleichungen und der Modulfunctionen, und der endlich sich
ausgezeichnet hat durch die Herausbildung tüchtiger Schüler."1)
Da A. Mayer, K. von der Mühll und C. Neumann ebenso wie F. Klein
persönlich eng mit A. Clebsch und der Gründung — 1869 durch Clebsch und C.
Neumann — bzw. Herausgabe der mathematischen Annalen verbunden waren und sich
dadurch gut kannten, ist die Wahl Kleins keineswegs überraschend.
Auch das Kultusministerium unter dem Kultusminister Carl von Gerber (1823
bis 1891), der seit 1871 in diesem Amt tätig war, zeigte nun Einsicht und richtete
ein Berufungsschreiben an Felix Klein. Aus Kleins Antwort vom 28. Mai 1880,
die auszugsweise in Abb. 13 wiedergegeben sei, geht deutlich hervor, daß sich der
Münchner Professor sehr über diesen Ruf an eine der damals größten Universitäten
freute.
Dieser Brief ging am 31. Mai in Dresden ein, und noch am gleichen Tage sandte
der Kultusminister die Mitteilung an die philosophische Fakultät in Leipzig, daß
Felix Klein durch seine ,,Königliche Majestät ... zum ordentlichen Professor für
Geometrie mit Sitz und Stimme in der philosophischen Fakultät ... ernannt" sei.2)
Dem Wunsch Kleins entsprechend wurde als Antrittstermin der 1. Oktober 1880
angegeben. Gleichzeitig informierte der Minister den akademischen Senat der
Universität den Regierungsbevollmächtigten in Leipzig und das Universitätsrentamt.
Dieses hatte einen Betrag von 7500,— Mark an jährlicher Besoldung und 1800,—
Mark Umzugskosten an Klein zu zahlen.3)
Auch die Leipziger Professoren der Mathematik drücken ihre Freude über diesen
Berufungserfolg in einem Dankschreiben vom 18. Juni 1880 an den Minister aus.4)
In den Mittagsstunden des 25. Oktober 1880 hielt Felix Klein (Abb. 14) seine
öffentliche Antrittsvorlesung an der Universität Leipzig zum Thema ,,Über die
Beziehungen der neueren Mathematik zu den Anwendungen" und leistete
anschließend den sogenannten „Pflichteid". Kleins interessante Antrittsrede analysierte
einige damals aktuelle Entwicklungsprobleme der mathematischen Wissenschaft.5)
x) Ebenda.
2) UAL - PA 635, Bl. 481.
3) SAD — MfV (= Staatsarchiv Leipzig — Ministerium für Volksbildung) Nr. 10281/184,
741 A 80.
4) Ebenda, ad. 521 A.
5) Die Rede ist abgedruckt in der Zeitschrift für den mathematischen und
naturwissenschaftlichen Unterricht, Bd. 26, 1895, S. 535—540.

Die Gründung des ,,Mathematischen Seminars" 59
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Abb. 13. Brief Felix Kleins vom 28. Mai 1880 an das Kultusministerium in Dresden (lies
in der Reihenfolge: links oben, rechts oben, links unten und rechts unten). — Aus
dem Staatsarchiv Dresden Ministerium für Volksbildung Nr. 10281/184, 521 ad.
398 A.

60 Teil II
Er konstatiert eine zu große Kluft zwischen der ,,neueren Mathematik'* und ihren
Anwendungen. Die Ursache sei ,,die durchgehend zu große Spezialisierung einseitiger
mathematischer Schulen". Am Beispiel der Geometrie begründet Klein diese
Auffassung. Zur Entwicklung der Geometrie von G. Monge (1746—1818) und J. V.
Poncelet (1788-1867) über A. F. Möbius bis zu J. Steiner (1796-1863),
J. Plücker (1801 — 1868) und A. Clebsch heißt es dann resümierend:
„Sie sehen, wie innerhalb der neueren Geometrie der Gegensätze eine Menge ist.
Die Vertreter des Faches verfolgen, je nach Beanlagung verschiedene aber durchweg
individuelle Ziele. Und ähnlich ist es im Gesamtgebiet der neueren Mathematik."1)
Abb. 14. Felix Klein in seiner
Leipziger Zeit
Bei Fortsetzung dieses Weges sagte Klein ein „baldiges Verkümmern" des
mathematischen Unterrichtes voraus. Weiter hob er den Mangel an Vorlesungen moderner
mathematischer Disziplinen für breitere Zuhörerkreise und das Lehrbuchproblem
hervor und forderte schließlich die Mathematiker auf:
,,Wir wünschen vor allen Dingen in uns selbst eine möglichst umfassende
Kenntnis der bestehenden mathematischen Disziplinen zu erzeugen; ,.."2) Dabei
verkannte er keineswegs die Gefahr, die Mathematik nur „enzyklopädisch" zu
vermitteln. Wesentlich sind auch Kleins Ansichten zu Sinn und Aufgabe mathematischer
x) Ebenda, S. 537.
2) Ebenda, S. 538.

Die Gründung des „Mathematischen Seminars" 61
Modelle. Sich auf die diesbezüglich vorwiegend in Erlangen und München
gesammelten Erfahrungen stützend, vermied er jede Einseitigkeit und formulierte:
„Wir halten uns nicht für zu vornehm, um beim Unterrichte und auch bei der
eigenen Forschung Zeichnungen und Modelle in ausgiebiger Zahl zu verwerten. ... Nur
eins mag man, von pädagogischem Standpunkte aus, der ausgiebigen Benutzung
solcher Hülfsmittel entgegensetzen. Es ist dies, daß wir dem Studierenden die Aufgabe
zu sehr erleichtern, daß wir ihm durch Vorführen konkreter Fälle das
Auffassungsvermögen für abstrakte Beziehungen beeinträchtigen. Ich kann dem gegenüber nur
sagen, daß wir etwas derartiges jedenfalls nicht beabsichtigen. Wir gehören nicht
zu denen, die dadurch die Mathematik zugänglicher machen wollen, daß sie ihre
höheren Teile abschneiden und bei Seite lassen. Bei uns soll die Veranschaulichung nur
ergänzend eingreifen; wir meinen, daß abstrakte Forschung durch Neuberührung
mit dem Boden, auf dem sie gewachsen, selbst neue Stärkung erhält!"1)
In den nun folgenden fast sechs Jahren seines Wirkens in Leipzig verwirklichte
er viele dieser Vorstellungen mit nicht geringem Erfolg.
Gründung und Einrichtungen des „Mathematischen Seminars"
Am 18. Oktober 1880 begann an der Leipziger Universität ein neues Semester. Schon
am 6. November genehmigte das Kultusministerium in Dresden auf einen zuvor
gestellten Antrag hin dem neuen Professor für Geometrie die Mittel zur Anschaffung
geometrischer Modelle und eines Glasschrankes zur Aufbewahrung.2) Einen Monat
später, am 5. Dezember, stellte der 31jährige Felix Klein einen Antrag auf
Einrichtung eines ,,mathematischen Seminars".3) Die in jener Zeit objektive Notwendigkeit
einer solchen Institution für das mathematische Studium erkennend, machte Klein
auch günstige Räumlichkeiten für diesen Zweck ausfindig. Er beantragte für das
Mathematische Seminar das sogenannte ,,Czermaksche Spektatorium". Der
Physiologe Prof. J. N. Czermak (1828—1873) hatte dieses Gebäude als Privatlaboratorium
in den Jahren 1870 bis 1872 durch einen gewissen Baurat Müller nach den
Vorbildern der Royal Institution und der Royal School of Mines im Czermakschen Garten
erbauen lassen.4) Durch diesen ehemaligen Garten geht heute die kleine Straße
„Czermaks Garten" (vgl. Abb. 15). Nach dem Tode Prof. Czermaks vererbte seine
Frau, getreu dem Willen ihres Mannes, das Gebäude der Universität, nicht aber den
Grund und Boden, auf dem es stand.5)
So wurde das Laboratorium um 1876/77 (?) in das sogenannte ,,akademische
Viertel" an der Liebigstraße transloziert, und zwar an die in Abb. 16 markierte Stelle.
Es stand allen Fakultäten zur Verfügung, wurde jedoch um 1880 kaum benutzt.
Innerhalb der Universität trat daher keinerlei Widerstand gegen Kleins Vorhaben
J) Ebenda, S. 539/40.
2) UAL — Rentamtsakte (künftig als ,RA' zitiert) 960, Bl. 1.
3) Ebenda, Bl. 3. Hier befindet sich jedoch lediglich ein Hinweis auf diesen Antrag.
4) Vgl. u. a. die bei Abb. 17 und Abb. 18 angegebenen Quellen.
5) Das Mathematische Institut. Sonderdruck aus der Festschrift zum 500jährigen Jubiläum
der Universität Leipzig. Von Otto Holder und Karl Rohn, Leipzig o. J.

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Abb. 15. Ausschnitt aus dem Stadtplan von Leipzig 1976.
1: Blick auf den Universitätskomplex an der Liebigstraße, 2: Vormals Standort des
sogenannten,,Kleinen Fürstenkollegs", 3: 1880—1885 dort Wohnung Felix Kleins,
4: Czermaks Garten.

Die Gründung des „Mathematischen Seminars" 63
auf. Auch der Kultusminister genehmigte den notwendigen Umbau der Innenräume.
Schon am 7. Dezember 1880 gab Klein dem Universitätsrentamt seine speziellen
Wünsche bekannt:1)
„1. Herstellung des Auditoriums
Tischplatten für 100 Zuhörer, über 150 Sitzplätze vertheilt,
Doppeltafel auf beweglichem Gerüst.
2. Möbilirung der Nebenräumlichkeiten
Sopha und einige Stühle, Wascheinrichtung für das Sprechzimmer.
Grosser Tisch, (wie in Nr. 25 des Augusteums) nebst zugehörigen Stühlen für
den Vorraum (der zur Abhaltung von Seminarübungen in Aussicht genommen
ist).
Einige kleinere Tische, Stühle, sowie ein Bibliotheksschrank für das
Bibliothekszimmer.
3. Heizung des Auditoriums und der Nebenräumlichkeiten.
4. Beleuchtung.
5. Anstellung eines Diener V
Grund- und Aufriß dieses Gebäudes zeigt Abb. 17. Eine Vorstellung von dem
großen Auditorium mit 409 Sitzplätzen und weiteren 100 Stehplätzen vor dem Umbau
vermittelt Abb. 18 aus dem Jahre 1873.
Am 17. März 1881 genehmigte das Kultusministerium die nach einem
Kostenanschlag vom Baurat Müller notwendigen 2214 Mark und auch 750 Mark
Jahreslohn für den Hausmeister.2) Am 8. April übergab der Professor der Anatomie
W. His (1831 — 1904) in Gegenwart des Rektors das Inventar des Institutes an
Prof. Klein.3)
Mit Semesterbeginn am 20. April 1881, fünf Tage vor Kleins 32. Geburtstag,
existierte dann in Leipzig ein Mathematisches Seminar mit Felix Klein als Direktor.
Adolph Mayer und der bedeutende Wilhelm Wundt (1832—1920, Psychologe,
Physiologe und Philosoph) werden als „Mitdirektoren" für das Czermaksche Spek-
tatorium genannt. Beim Mathematischen Seminar fungierte neben Klein und
Mayer noch von der Mühll als Mitdirektor.
Klein war gleichzeitig auch „Direktor der Modellsammlung". Der Glasschrank
mit den Modellen war im Auditorium untergebracht. Im Bibliothekszimmer fanden
die vorhandenen Bücher noch in einem einzigen mittelgroßen Schrank Platz. Der
Übungsraum faßte etwa 50 Studenten. Im WS 1881/82 hatten sich für die Übungen
in Darstellender Geometrie 54 Teilnehmer eingefunden. Klein beantragte beim
Ministerium sofort noch einige Stühle4) und im Frühjahr 1882 weitere Geldmittel zu
Prämienzwecken für Seminarmitglieder — gesondert im Mathematischen Seminar
eingeschriebene Studenten oder andere Mitglieder —, weitere Unterrichtsmittel und
x) UAL - RA 960, Bl. 1.
2) Ebenda, Bl. 13.
3) Ebenda, Bl. 30.
4) UAL - RA 960, Bl. 33.

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Die Gründung des „Mathematischen Seminars* * 65
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Abb. 17. Grund- und Aufriß des Czermakschen Laboratoriums (Aus Leipzig und seifi| Bauten,
hrsg. von der Vereinigung Leipziger Ingenieure und Architekten, Leipzig 1892,
S. 183.)
Abb. 16. Blick auf das sogenannte akademische Viertel von Leipzig aus dem Jahre 1885,
etwa von dem in Abb. 15 mit 1 markierten Standpunkt aus. 1: Czermaksches Spekta-
torium, 2: Brüderstraße (von der an der Pfeilspitze liegenden Biegung an hieß die
Straße bis 1884/85 Teichstraße), 3: Sternwartenstraße, 4: Talstraße, 5: Liebigstraße,
6: Physikalisches Institut, von 1905 bis 1971 Mathematisches Institut. — Die
Abbildung wurde dem Artikel ,,Das akademische Viertel" von Otto Moser entnommen,
in: Illustrirte Zeitung, Leipzig 28. 11. 1885. Die Bezeichnungen wurden ergänzt.

66 Teil II
das Bibliothekswesen.1) Er verwirklichte noch weit umfassender als in Erlangen und
München, was er schon 1872 in seiner Antrittsrede in Erlangen zur Verbesserung der
Lehre an den Universitäten und Hochschulen verlangte.
Man war in jener Zeit im Czermakschen Gebäude schon sehr beengt.2) Am 12.
Oktober 1882 begründet Klein in einem Schreiben an das Kultusministerium die
Notwendigkeit der Erweiterung der Räumlichkeiten für den mathematischen Unterricht
an der Universität Leipzig.3)
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Abb. 18. Auditorium des Czermakschen Institutes noch vor dem Umbau für die Mathematiker
(Aus: Ulustrirte Zeitung, Leipzig 26. 4. 1873, Nr. 1556).
Im Czermakschen Institut sollten die elementaren und die geometrischen Vor-
lesungeirgehalten werden, ebenso sollten auch die Modellsammlung und der
Modellierraum dort verbleiben. Auch diesmal erhielt Klein großzügige Unterstützung vom
Ministerium in Dresden, in dessen Auftrag das Universitätsrentamt für die
Mathematiker nun die zweite Etage im sogenannten ,,kleinen Eürsten-Collegium" in der
Ritterstraße Nr. 14 (vgl. Abb. 15) aussuchte.4) Klein schrieb am 27. Januar an das
Kultusministerium:
,,In meinem Briefe vom 22. November 1882 hatte ich mir erlaubt, jenen Antrag auf
Einrichtung einer besonderen Etage für Zwecke des mathematischen Seminars, den
x) Ebenda, Bl. 36.
2) An einen Ausbau des Gebäudes war aus testamentarischen Gründen vor 1886 nicht zu
denken. Es kam jedoch erst 1894 zum Umbau, obwohl F. Klein schon 1885 dazu die Anregung
gab. Im Jahre 1900 wurde das Spektatorium abgerissen.
3) UAL - RA 960, Bl. 42/43.
4) Ebenda, Bl. 45/46. 1885 wurde die Hausnummer auf 24 geändert.

Die Gründung des „Mathematischen Seminars" 67
ich in meiner Eingabe vom 12. Oktober 1882 formulirt hatte, aus
Gesundheitsrücksichten vorläufig zurückzuziehen, und ich würde auf denselben vielleicht heute
noch nicht zurückkommen, hätte mich nicht Hr. Hofrath Graf darauf aufmerksam
gemacht, daß eben nun eine geeignete Etage (im sog. kleinen Fürstencolleg,
Ritterstraße 14) disponibel ist.
Meine mathematischen Collegen sind mit mir der Ansicht, daß ein Erwerb jener
Etage für unsere Seminarzwecke außerordentlich günstig wäre, und ich möchte ...
meinen damaligen Antrag in Bezug auf die jetzt in Frage kommende Etage hiermit
wieder aufgenommen haben.
Was meine Gesundheit betrifft, so hoffe ich dieselbe in nicht zu ferner Zeit wieder
so weit gekräftigt zu haben, daß ich an meinem Theile an der Nutzbarmachung der
neuen Einrichtung kräftig mitarbeiten kann, — wie ich denn in der That meine
Vorlesungen wieder aufgenommen habe — ; übrigens bitte ich das Ministerium zu
berücksichtigen, daß es sich ja hier keineswegs um meine Person handelt, sondern um die
Weiterentwicklung des gesammten mathematischen Unterrichts am hiesigen Platze."1)
Klein erhielt eine Grundrißkopie der genannten Etage, um seine Wünsche danach
zu äußern2), die im Detail so aussahen: 1 Bibliothekszimmer (3 Schränke, 3 Stühle,
1 Tisch), 1 Lesezimmer (12 Stühle), 2 Arbeitsräume (4 Arbeitstische — 18 Plätze),
1 Garderobe (für 30 Besucher), 1 Raum für die Aufwartung, 1 Seminarzimmer
(30 Stühle), 1 Sprechzimmer (3 Stühle).
Am 9. Oktober 1883 schrieb Klein an den Hof rat Graf:
„Endlich von meiner Reise (Erholungsreise — Kö) zurück bin ich eben in der neuen
Seminaretage gewesen, die in der That sehr hübsch eingerichtet ist. Ich möchte
Freitag Nachmittag mit den Büchern ... umziehen ,..".3)
Schon drei Tage später findet die Übergabe der neuen Räumlichkeiten an den
Direktor Felix Klein statt,4) und mit Semesterbeginn am 15. Oktober setzt auch
hier der Studienbetrieb ein. Seit dem Wintersemester 1883/84 werden die beiden
getrennt liegenden Einrichtungen der Mathematiker als
„Mathematisches Institut: a) Mathematisches Seminar, Ritterstraße 14,
b) Modellsammlung im Czermakschen Spektatorium"
im Personal Verzeichnis angegeben. Auch schon zuvor (seit Sommer 1881) wurde die
Bezeichnung „Mathematisches Institut: a) Seminar b) Modellsammlung", beides im
Czermakschen Spektatorium, im Personalverzeichnis verwendet. Die Mathematiker
selbst bezeichneten vermutlich das Spektatorium bis 1883 als Mathematisches
Seminar und danach als Institut, die Etage in der Ritterstraße seit 1883 als Seminar.
Erst am 2. März 1886 wurde, noch auf Anregung Kleins, der schon für das
folgende Semester einen Ruf an die Universität Göttingen angenommen hatte, vom
Kultusminister verfügt „daß künftig zur Vermeidung von Verwechslungen und
Mißverständnissen die Lehr- und Arbeitsräume des mathematischen Seminars und die
x) Ebenda, Bl. 50.
2) Ebenda, Bl. 40 und 56 bis 58.
3) Ebenda, Bl. 88.
4) Ebenda, Bl. 89.

68 Teil II
mathematische Modellsammlung unter der Bezeichnung ,Mathematisches Institut
Abteilung I (im Czermakschen Spektatorium — Kö) bzw. Abteilung II' (in der
Ritterstraße — Kö) zusammengefaßt werden möchten, ...<<1)
Das mathematische Leben am Seminar (Überblick)
Wenn nicht anders hervorgehoben, so soll in den folgenden Ausführungen stets die
Zeit von 1880 bis 1886 gemeint sein.
Mit den im vorigen Abschnitt dargestellten Errungenschaften, mit der intensiven
Seminar- und Übungstätigkeit in elementaren und höheren mathematischen
Disziplinen und mit einer bedeutungsvollen Forschungstätigkeit gelangte das
Mathematische Seminar bzw. Mathematische Institut der Universität Leipzig in jener Zeit zu
Weltruhm. Vielerorts interessierte man sich für diese Leipziger Einrichtungen. Die
ausgezeichnete Präsenzbibliothek verfügte 10 Jahre nach ihrer Gründung im
Czermakschen Spektatorium schon über ca. 1600 Bände und 300 ungebundene
Abhandlungen und war auf 40 Zeitschriften abonniert.2) Felix Klein stellte 1885 bezüglich
der gesondert am Institut eingeschriebenen Seminarteilnehmer fest, daß sich ihre
Zahl ständig erhöhe, obwohl die Zahl der insgesamt an der Universität
eingeschriebenen .Mathematikstudenten stark zurückging, wie Abb. 8 zu entnehmen ist. 1885
zählte man 26 dieser Seminarteilnehmer,3) und auch um 1890 lagen diese
Teilnehmerzahlen zwischen 15 und 20.4)
Diese Zahlen wurden allerdings wesentlich mitbestimmt durch die ausländischen
Studenten. Letztere weisen im betrachteten Zeitraum zwei beachtliche relative
Maximal auf, im SS 1881 mit 8 und im WS 1884/85 mit 11 Studenten.5) Auch die
Zahl der Dissertationen (vgl. Abb. 11) ging nicht mit der Gesamtfrequenz der
Mathematikstudenten (vgl. Abb. 8) zurück, sondern hielt sich auch nach 1885 auf
einem hohen Niveau. Dabei geht der mit der Seminargründung 1881 einsetzende
Aufschwung in erster Linie auf Felix Klein zurück. Von 1873/74 bis 1879/80 waren
an der Universität Leipzig insgesamt 8 mathematische und eine astronomische
Promotion zu verzeichnen. Von 1880/81 bis 1887/88 waren es 39 mathematische und
7 astronomische Arbeiten.6) Selbst wenn man nur die von Klein angeregten und
direkt betreuten Arbeiten zählt, gehen von den genannten 39 allein 16 auf ihn
zurück.7)
Die Vorlesungstätigkeit8) gliederte sich in elementare und sogenannte „Spezial-
*) UAL - Akte ,Mathematisches Institut, 1886-1950', Bl. 49.
2) Scheffers, G.: Das mathematische Institut der Universität Leipzig, Zeitschrift für den
mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, Bd. 24, 1893.
3) UAL - RA 960, Bl. 98.
4) Scheffers, G., a. a. O.
5) Nach Personalverzeichnis der Universität Leipzig.
6) Ermittelt aus: UAL — Promotionsakten und Prokanzellariatsbuch.
7) Ebenda und Klein, F.: Gesammelte mathematische Abhandlungen (künftig mit ,GA
Klein' abgekürzt), Bd. 3, Berlin 1923, Anhang S. 11 ff.
8) Vgl. dazu: Personal- und Vorlesungsverzeichnisse der Universität Leipzig und die
Bemerkungen über die mathematischen Vorlesungen an der Universität Leipzig. Letzteres in:
Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, Bd. 13, 1882,
S. 247-250.

Die Gründung des ,,Mathematischen Seminars" 69
Vorlesungen". An elementaren Vorlesungen für die ersten Semester — im Sinne der
damals in Leipzig wirkenden Mathematiker — wurden regelmäßig gehalten:
1. Differential- und Integralrechnung lasen meistens Mayer und von der Mühll,
aber auch Scheibner, Karl Rohn (1855—1920) und F. Schur. Im SS wurde
meist eine Vorlesung zur Einleitung in die Analysis gelesen und im WS dann die
Differential- und Integralrechnung.
2. Die Vorlesungen zur analytischen und darstellenden Geometrie wurden von Klein
und seinen Schülern K. Rohn, Walter von Dyck (1856—1934) und insbesondere
F. Schur durchgeführt.
Mit Kleins Berufung nach Leipzig begann hier von nun an in jedem SS eine
Vorlesung zur Einleitung in die analytische Geometrie.
3. Analytische Mechanik wurde stets im WS entweder von Mayer oder von der
Mühll vorgetragen.1)
Vorlesungen über Determinanten und lineare Gleichungssysteme wurden in
unregelmäßigen Abständen von Mayer oder Scheibner gehalten.
All diese Vorlesungen, zu denen auch Übungen stattfanden, wurden allgemein
recht gut besucht, besonders wenn Scheibner, Mayer oder Klein vortrugen. Es
kamen oftmals über 60 bis 70 Zuhörer.2) Natürlich gingen diese Werte mit den
allgemein sinkenden Frequenzen zur Mitte der achtziger Jahre zurück.
C. Neumann beteiligte sich an den elementaren Vorlesungen fast gar nicht. Er
trug nur über Spezialgebiete vor, oft in Fortsetzung über drei Semester. Trotzdem
blieb die Zahl seiner Zuhörer auch bei den allgemein stark abnehmenden
Studentenzahlen relativ groß. Aber auch die anderen Professoren und Privatdozenten trugen,
oft sogar regelmäßig, über ihre Spezialgebiete in Vorlesungen vor. So las Mayer
über Differentialgleichungstheorie und Variationsrechnung,3) Scheibner über
Störungstheorie und Gammafunktionen (im Zusammenhang mit hypergeometrischen
Reihen), Klein über seine Spezialgebiete der Funktionentheorie, C. Neumann über
Potentialtheorie, Elektrostatik, Elektrodynamik und Hydromechanik,4) von der
Mühll über die mathematische Theorie des Lichtes, mechanische Wärmetheorie
und auch über die schon bei C. Neumann genannten Gebiete, Rohn über Geometrie
und Invariantentheorie,5) Dyck über Gruppentheorie und F. Schur über synthetische
Geometrie. Vorlesungen zur damals in bedeutungsvoller Entwicklung begriffenen
Zahlentheorie gab es in Leipzig kaum. Es ist allerdings möglich, daß diesbezüglich
die Vorlesungen von Scheibner im SS 1881 und 1884 und von F. Schur im SS 1883
eine gewisse Bedeutung haben.
Die Durchführung mathematischer Seminarveranstaltungen, auch zu den Spezial-
vorlesungen, war üblich. Felix Klein scheint aber der einzige gewesen zu sein, der
in jedem Semester Seminarveranstaltungen zu Forschungsproblemen durchführte.
*) Lediglich im WS 1885/86 trug C. Neumann vor.
2) Nach einer Durchsicht der Protokolle über Studien- und Sittenzeugnisse der Universität
Leipzig ermittelte Mindestwerte. Durchgesehen wurden die Jahrgänge 1880 bis 1886.
3) Zu Mayer vgl. den Beitrag von R. Klötzler in Teil III.
4) Zu C. Neumann vgl. den Beitrag von H. Salie in Teil III. Weiterhin sei noch verwiesen
auf Kowalewsky, G., a. a. O., S. 45/46, wo es bezüglich C. Neumann u. a. heißt: ,,Seine
Vorlesungen paßten sich gar zu sehr dem Durchschnittsniveau der Studenten an."
5) Zu Rohn vgl. den Beitrag von V. Ziegler in Teil III.

70 Teil II
Seine Spezialvorlesungen und die von C. NeUMANN, Mayer und von der Mühll
wurden besonders gut besucht.1) Klein schuf auch, beginnend mit dem SS 1881,
die Stelle eines planmäßigen Assistenten der Mathematik in der Universität Leipzig,
die mit einem staatlichen Honorar versehen war.2)
Felix Klein war die tragende Säule des pulsierenden wissenschaftlichen Lebens
am Mathematischen Seminar in Leipzig. Zu seiner Persönlichkeit und insbesondere
auch zu seiner mathematischen Schule in Leipzig vergleiche man den ihm speziell
gewidmeten Abschnitt in Teil III.
Schlußbemerkungen
Im Dezember 1883 erhielt Felix Klein einen Ruf an die John-Hopkins-Universität
in Baltimore (Nordamerika) als Nachfolger des seit 1877 dort wirkenden bedeutenden
englischen Mathematikers James Joseph Sylvester (1814—1897). Hierauf
reagierten die Leipziger Fachkollegen Kleins über einen Brief3) an das Kultusministerium
in Dresden mit der Bitte, Klein möglichst in Leipzig zu halten. Das wurde dann auch
erreicht, vermutlich durch Aufbesserung seines Gehaltes.
Als Klein aber im August 1885 eine Berufung4) an die Universität Göttingen
erhielt, da Moritz Abraham Stern (1807—1894) in den Ruhestand getreten war,
gab er nun doch die Stellung in Sachsen auf und wirkte seit dem SS 1886 in
Göttingen. Diese Zusage Kleins gründet sich zu einem beträchtlichen Teil auf die ihm
auch persönlich sehr verbundene bedeutsame mathematische Tradition Göttingens,
denn er war z. B. stets ein großer Verehrer von Gauss, Riemann und natürlich
Clebsch.
Der Sorge um den Zustand der mathematischen Wissenschaft in Leipzig gab
Klein in einem Brief vom 13. November 1885 an den sächsischen Kultusminister
mit den folgenden Worten Ausdruck:
„Ew. Excellenz wissen, dass mir der Entschluss, Leipzig zu verlassen, in keiner
Weise leicht geworden ist, und dass mich zu demselben nur solche Verhältnisse und
Misslichkeiten bewogen haben, welche durch keinerlei Verfügung seitens des K.
Ministeriums behoben werden können. In der That bitte ich, nicht vorausszusetzen,
dass ich für die vielfache Unterstützung, welche meine Pläne von Seiten Ex. Excellenz
gefunden haben, undankbar bin. Allerdings möchte ich auch betonen, dass ich bei
meinen zahlreichen Anträgen niemals für meine persönliche Bequemlichkeit sondern
immer nur für die Entwicklung des allgemeinen mathematischen Unterrichts an
hiesiger Universität eingetreten bin. In dieser Hinsicht wollen Sie mir bei der heutigen
Gelegenheit noch eine Bitte gestatten. Ich betrachte die hiesigen mathematischen
Institute wie meine Kinder, die ich wohl fremden Händen anvertrauen darf, die ich
aber nicht einfach verlassen und dem sicheren Untergange überweisen kann. Welche
Vorschläge unsere Facultät im Laufe der nächsten Woche zur Wiederbesetzung
meiner Stelle formuliren wird, ist zunächst noch unbestimmt und jedenfalls nicht von
*) Man vgl. dazu die Dissertation des Verfassers.
2) SAD - MfV Nr. 10281/184, 1137 A. Zur Person des Assistenten siehe Abb. 4.
3) SAD - MfV Nr. 10281/184, 1181 ad. 1150 A.
4) Vgl. die Akten U I Nr. 431—435 in: Zentrales Staatsarchiv Merseburg.

Die Gründung des „Mathematischen Seminars" 71
mir hier zu erörtern. Ich möchte aber schon heute Ew. Excellenz an's Herz legen,
die Entscheidung nur in solchem Sinne treffen zu wollen, dass Das, was im Laufe der
verflossenen fünf Jahre mit Mühe geschaffen wurde, auch weiterbestehe. In der That
ist mir kein Zweifel, dass die Entwicklung des mathematischen Unterrichts für die
nächsten Decennien mit der Entwicklung der Institute und der systematischen
Organisation der Vorlesungen zusammenfällt."*)
Die im vorstehenden Brief genannte Unterstützung seitens des Ministeriums geht
wohl vor allem auf O. Schlömilch zurück, der 1885 aus dem Staatsdienst ausschied.
Kleins begründete Sorge2) war sicherlich auch deshalb so groß. Schließlich wurde
der Norweger Sophus Lie (1842—1899), ein guter Freund F. Kleins und A. Mayers,
auf die in Leipzig freigewordene Professur berufen.
Gründe für den Erfolg Kleins beim Aufbau und bei der Führung seiner
mathematischen Schule, aus der bereits 1885 eine ganze Reihe bedeutender Mathematiker
und Lehrer hervorgegangen waren, könnte man viele nennen. Neben seinen rein
mathematischen Fähigkeiten waren es vor allem sein großes pädagogisches Geschick,
seine Beschäftigung mit unmittelbar zur Lösung anstehenden und populären
mathematischen Problemen bzw. Disziplinen und günstige äußere Umstände, die sich aus
der allgemeinen gesellschaftlichen Entwicklung und lokalen Verhältnissen ergaben.
Weiterhin trifft zu, was Wilhelm Ostwald (1853—1932) u.a. als eine wichtige
Eigenschaft solcher Gelehrter hervorhebt, die eine bedeutende wissenschaftliche
Schule hervorbringen: der starke Wille.3)
Wie hoch Felix Kleins Erfolge nicht nur in Deutschland eingeschätzt wurden,
beweist auch seine 1886 (März/April) erfolgte Wahl zum auswärtigen Mitglied der
Royal Society in London.4)
*) SAD - MfV Nr. 10281/184, 1117 ad. 902 A.
2) Vgl. auch den Brief Kleins in: Zentrales Staatsarchiv Merseburg, Rep. 92, Brief Nr. 41.
3) Rodnyj, N. L, und Ju. I. Solowjew: Wilhelm Ostwald. In: Biographien hervorragender
Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner, Bd. 30, Leipzig 1977, S. 281.
4) SAD - MfV Nr. 10281/184, 347 A.

TEIL III
DAS WIRKEN BEDEUTENDER MATHEMATIKER
AN DER UNIVERSITÄT LEIPZIG -
MITTE 19. BIS MITTE 20. JAHRHUNDERT

Einleitung
Walter Ptjrkert (Leipzig)
Im folgenden Teil III werden in Einzelbeiträgen Persönlichkeiten gewürdigt, die die
Arbeit des Mathematischen Instituts der Universität Leipzig durch ihr Wirken in
Lehre und Forschung wesentlich mitgestaltet haben. Der betrachtete Zeitraum
erstreckt sich von 1865 bis in die fünfziger Jahre unseres Jahrhunderts. Wir geben
zunächst zur Einführung einen vollständigen chronologischen Überblick über alle
Personen, die im Zeitraum von 1865 bis 1945 in Leipzig als Dozenten oder
Professoren eine Lehrtätigkeit auf dem Gebiet der Mathematik aufgenommen haben.
Im Jahre 1865 wurde Adolph Mayer (1839—1908) Privatdozent an der
Universität Leipzig. Über seinen Lebensweg und sein wissenschaftliches Werk informiert
der Beitrag von R. Klötzler.
1867 habilitierte sich Karl von der Mühll (1841—1912) für Mathematische
Physik in Leipzig. Ab 1868 war er Dozent, ab 1872 außerordentlicher Professor. Er
vertrat in der Lehre vor allem die Gebiete Hydrodynamik, Elektrodynamik,
Potentialtheorie und partielle Differentialgleichungen. In seinen nicht sehr zahlreichen
wissenschaftlichen Arbeiten widmete er sich zumeist Problemen der Optik und
Thermodynamik. 1889 folgte von der Mühll einem Ruf nach Basel.
1868 wurden beide mathematischen Lehrstühle frei: Möbitjs war gestorben, und
Drobisch wechselte gänzlich zur Philosophie über. Das Königlich-Sächsische
Ministerium ernannte den außerordentlichen Professor Wilhelm Scheibner zum
Ordinarius und berief als zweiten ordentlichen Professor Carl Neumann (1832—1925),
der an der Universität Tübingen bereits Ordinarius war. Für Neumanns Berufung
hatte sich besonders Scheibner eingesetzt. Bezüglich Leben und Werk C.
Neumanns sei auf den Beitrag von H. Salie verwiesen.
1876 habilitierte sich Axel Harnack (1851—1888) an der Universität Leipzig
und begann seine Tätigkeit als Privatdozent. Er folgte im gleichen Jahr einem Ruf
nach Darmstadt und wurde 1877 ordentlicher Professor am Polytechnikum in
Dresden. Harnack leistete bedeutende Beiträge zur Theorie der algebraischen Kurven
und Flächen. Aus seinen Untersuchungen über Fourierreihen gingen Resultate
hervor, die später in die allgemeine Maß- und Integrationstheorie und in die Theorie
der reellen Funktionen Eingang fanden.

76 Teil III
Nach seiner 1879 erfolgten Habilitation begann Karl Rohn (1855—1920) seine
Dozententätigkeit. Er wurde 1884 zum außerordentlichen Professor ernannt, ging
aber im selben Jahr nach Dresden, wo er 20 Jahre wirkte. Danach war er bis zu
seinem Tode Ordinarius in Leipzig. Der Beitrag von V. Ziegler informiert im
einzelnen über sein Leben und sein Werk.
Nachdem sich Scheibner lange und hartnäckig um einen Geometer für Leipzig
bemüht hatte, wurde 1880 Felix Klein (1849—1925) von München nach Leipzig
berufen. Er übte auf Lehre, Forschung und Organisation des wissenschaftlichen
Lebens einen nachhaltigen Einfluß aus, worüber F. König im Teil II und im Beitrag
über F. Klein eingehend berichtet.
Die erste Habilitation, die Klein in Leipzig zu begutachten hatte, war 1881 die
von Friedrich Schur (1856—1932). Sie behandelte ein Thema aus der synthetischen
Geometrie. 1885 wurde Schur zum außerordentlichen Professor ernannt. 1888
wurde er Ordinarius in Dorpat (Tartu). Sein Weg führte ihn über Aachen (1892),
Karlsruhe (1897), Straßburg (1909) nach Breslau (Wroclaw) (1919), wo er bis 1932
Vorlesungen hielt. Schur war vor allem Geometer. Hervorzuheben sind seine Beiträge
zur Riemannschen Geometrie, zur Theorie der Lieschen Gruppen und zu den
Grundlagen der Geometrie. Sein Buch „Grundlagen der Geometrie" erhielt den
Lobatschewski-Preis. Schur verfaßte vielgelesene Lehrbücher über analytische Geometrie
und graphische Statik. Es war zeitweise Vorsitzender der Deutschen Mathematiker-
Vereinigung.
Als unmittelbarer Schüler Kleins aus der Münchener Zeit kam Walter Dyck
(1856—1934) nach Leipzig, wo er 1881 — 1884 Kleins Assistent war. Er habilitierte
sich 1882 und wurde Privatdozent. Seine ersten Arbeiten befaßten sich mit Mono-
dromiegruppen auf Riemannschen Flächen. 1884 wurde er zum ordentlichen
Professor an die TH München berufen, wo er bis zu seinem Tode wirkte. Seine
„Gruppentheoretischen Studien" haben wesentlich zur Entwicklung der abstrakten
Gruppentheorie beigetragen. Er leistete auch Beiträge zur Topologie und zur Theorie der
gewöhnlichen Differentialgleichungen. Dyck war ein namhafter Kepler-Forscher.
Zusammen mit M. Caspar gab er eine zweibändige Sammlung von Kepler-Briefen
heraus. In 12 Jahren Tätigkeit als Direktor bzw. Rektor der TH München erwarb
er sich große Verdienste um den Ausbau dieser Hochschule und um die
Gleichberechtigung der Technischen Hochschulen mit den Universitäten. Er war
Gründungsmitglied und zeitweise Vorsitzender der Deutschen Mathematiker-Vereinigung und
hat nach Kleins Tod die ,,Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften" zu
einem gewissen Abschluß gebracht. Nicht zuletzt war Dyck ein hervorragender
akademischer Lehrer.
Im Jahre 1885 habilitierte sich Eduard Study (1862-1930). Er ging 1888 als
außerordentlicher Professor nach Marburg, 1894 nach Bonn, wurde 1897 Ordinarius
in Greifswald und schließlich 1904 Nachfolger von Lipschitz in Bonn. Er arbeitete
auf dem Gebiet der Invariantentheorie, wo er zu allgemeineren Gruppen als der
projektiven Gruppe die zugehörigen Invariantentheorien entwickelte. Er leistete ferner
Beiträge zur Differentialgeometrie, zur nichteuklidischen Geometrie und zur
Darstellungstheorie. Von ihm stammen Lehrbücher über ebene Kurven und über
konforme Abbildungen sowie einige mathematisch-philosophische Schriften. Study
war auch ein anerkannter Entomologe, dessen Schmetterlingssammlung weithin
bekannt war.

Einleitung 77
Als Nachfolger von Klein wurde im Jahre 1886 Sophtjs Lie (1842—1899) nach
Leipzig berufen. Besonders Klein hat sich für diese Berufung eingesetzt; in dem von
ihm entworfenen Gutachten der Fakultät heißt es im Hinblick auf Lie:
„Aufgefordert, für die Wiederbesetzung der demnächst zur Erledigung gelangenden Professur
der Geometrie Vorschläge zu machen, glauben wir in erster Linie einen Mann
nennen zu sollen, der vermöge der Selbständigkeit seiner Ideen, der Folgerichtigkeit
seiner Arbeiten und der Größe seiner Ziele unbedingt vor allen Anderen hervorragt."
Über die Persönlichkeit Lies und sein bis in unsere Tage hochaktuelles Werk
informiert der Beitrag von P. Günther.
Im Zusammenhang mit Lie ist ein Mann zu nennen, der einen großen Teil seiner
Arbeitskraft der Aufgabe widmete, die Ideen von Lie weiter auszuarbeiten und
bekannt zu machen: Friedrich Engel (1861 — 1941). Er weilte bereits als junger
Doktor 1884 in Christiania (Oslo), wo er Lie bei der Ausarbeitung einer
zusammenhängenden Darstellung über kontinuierliche Transformationsgruppen unterstützte.
1885 erfolgte seine Habilitation in Leipzig; bereits im Sommersemester 1886 hielt
er in Lies Auftrag eine vierstündige Vorlesung über Transformationsgruppen. Er
wurde 1890 zum außerordentlichen Professor und 1899 zum ordentlichen
Honorarprofessor in Leipzig ernannt. 1904 folgte er einem Ruf nach Greifswald, ab 1913 war
er Ordinarius in Gießen. Engel schrieb zahlreiche Arbeiten über
Transformationsgruppen und ihre Anwendungen auf Differentialgleichungen; bekannt ist seine
Monographie ,,Die Liesche Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung"
(1932). Unter aktiver Mithilfe Engels entstand das dreibändige Werk Lies „Theorie
der Transformationsgruppen" (1888—1893). Große Verdienste erwarb sich Engel
als Herausgeber der Gesammelten Abhandlungen von Lie (zusammen mit P. Hee-
gard). Er gab ferner die Gesammelten Werke von H. Grassmann heraus und
beteiligte sich (mit L. Schlesinger) an der Herausgabe der Werke Eulers. Als
Mathematikhistoriker machte sich Engel durch die gemeinsam mit P. Stäckel
herausgegebenen Quellenbände zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie (1895, 1913)
einen Namen. Von Engel stammt auch die Übersetzung wichtiger Schriften von
Lobatschewski mit Kommentaren und einer Biographie. In der Deutschen
Mathematiker-Vereinigung hatte Engel zeitweise das Amt des Vorsitzenden inne. Die
Universität Oslo ehrte 1929 seine großen Verdienste um das Werk Lies mit der
Verleihung der Ehrendoktorwürde.
Ein Schüler Lies war auch Georg Wilhelm Scheffers (1866—1945). Er wurde
nach seiner 1891 erfolgten Habilitation Privatdozent. Im Jahre 1896 folgte er einem
Ruf nach Darmstadt, zunächst als außerordentlicher Professor, ab 1900 als Ordinarius.
Ab 1907 war er ordentlicher Professor an der TH Charlottenburg. Scheffers wirkte
am Erscheinen folgender Werke von Lie wesentlich mit: ,,Vorlesungen über
Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen" (1891),
„Vorlesungen über continuierliche Gruppen mit geometrischen und anderen Anwendungen"
(1893) und „Geometrie der Berührungstransformationen" (1896). Scheffers
arbeitete über Transformationsgruppen und andere an Lies Ideen anschließende
Themen. Er verfaßte ferner eine Reihe geometrischer Arbeiten und schrieb ein
zweibändiges Werk „Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf
Geometrie". Scheffers war — wie schon Lie hervorhob — ein talentierter akademischer
Lehrer. Seine einführenden Lehrbücher waren beliebt und erreichten hohe Auflagen.
Im Jahre 1893 habilitierte sich, von C. Neumann unterstützt, Otto Fischer

78 Teil III
(1861-1916) mit einer Arbeit über die Bewegung starrer Körper, die durch Gelenke
verbunden sind. Fischer wurde 1896 außerordentlicher Professor an der
Medizinischen Fakultät, wo er bis zu seinem Tode wirkte. Er verfaßte zahlreiche Arbeiten über
die Mechanik des menschlichen Körpers.
Nach seiner Habilitation wurde 1895 Felix Hausdorff (1868—1942) Privatdozent
an der Universität Leipzig. Über seine Leipziger Zeit, die vor allem der angewandten
Mathematik gewidmet war, wird im Beitrag von H.-J. Girlich berichtet. 1910 ging
Hausdorff nach Greifswald, 1921 folgte er einem Ruf als ordentlicher Professor
an die Universität Bonn. Hausdorff leistete grundlegende Beiträge zur
Mengenlehre, Topologie, Maß- und Integrationstheorie. Er starb 1942 in Bonn als Opfer
des faschistischen Rassenwahns.
Als Schüler von S. Lie kann auch Gerhard Kowalewski (1876—1950) gelten,
der sich 1899 in Leipzig habilitierte. Er wurde 1901 außerordentlicher Professor
in Greifswald, 1904 ging er nach Bonn. 1909 wurde er Ordinarius in Prag. Sein Weg
führte ihn über Dresden (1920) wieder nach Prag (1939) und schließlich nach
München (ab 1946). Kowalewski verfaßte geometrische Arbeiten im Anschluß an Lie,
er arbeitete ferner über Liesche Gruppen, die Liesche Theorie der
Differentialgleichungen und über Differentialgeometrie. 1933 erschien seine Monographie
„Integrationsmethoden der Lieschen Theorie". Bekannt wurde Kowalewski vor allem
durch eine Reihe einführender Lehrbücher, die in hohen Auflagen erschienen, sowie
durch seine mathematikhistorischen Aktivitäten. Er gab Newtons Abhandlung
über die Quadratur der Kurven in deutscher Sprache heraus und besorgte Band X
der Euler-Ausgabe. 1938 erschien sein Buch ,,Große Mathematiker. Eine Wanderung
durch die Geschichte der Mathematik vom Altertum bis zur Neuzeit." Historisch
interessant ist auch seine Autobiographie „Bestand und Wandel" (1950).
Als die Rückkehr von Lie nach Norwegen feststand, wurde im Juni 1898 eine
Kommission gebildet, die Vorschläge für die Neubesetzung des Lehrstuhls machen
sollte. Die Mehrheit der Kommission sprach sich für H. Weber (Straßburg) und
D. Hilbert (Göttingen) aus. Da beide nicht für Leipzig zu gewinnen waren, einigte
man sich auf den Königsberger Ordinarius Otto Holder (1859—1937). Im Jahre
1899 erfolgte seine Berufung nach Leipzig, wo er fast 40 Jahre wirkte. Der Beitrag
von G. Eisenreich würdigt Persönlichkeit und Werk Otto Hölders.
Im Jahre 1899 habilitierte sich Heinrich Liebmann (1874—1939) mit einer
Arbeit über Verbiegung geschlossener Flächen. 1904 wurde er außerordentlicher
Professor. 1910 folgte er einem Ruf an die TH München. Von 1920 bis zu seiner
zwangsweisen Pensionierung durch das Naziregime wirkte er als Ordinarius in Heidelberg.
Sein Hauptarbeitsgebiet war die Differentialgeometrie. Von ihm stammen schöne
Untersuchungen über die Verbiegung von Flächen sowie — dem gruppentheoretischen
Programm Blaschkes folgend — über die Differentialgeometrie der affinen Möbius-
schen und der Laguerreschen Gruppen. Zahlreiche Arbeiten Liebmanns sind der
nichteuklidischen Geometrie gewidmet. Sein Buch „Nichteuklidische Geometrie"
(1907) erlebte mehrere Auflagen. Liebmann übersetzte die „Pangeometrie" und die
„Imaginäre Geometrie" Lobatschewskis sowie die „Wahrscheinlichkeitsrechnung"
von A. A. Markow ins Deutsche. Er verfaßte Lehrbücher über
Differentialgleichungen (1901) und über synthetische Geometrie (1934).
Nach dem Tode Scheibners schlug die Kommission der Fakultät für die
Neubesetzung des Lehrstuhls A. Kneser (Breslau), K. Hensel (Marburg), H. Burkhardt

Einleitung 79
(Zürich) und E. Study (Bonn) vor. Da alle Genannten den Ruf ablehnten, wurde am
12. 12. 1908 ein neuer Vorschlag verabschiedet, der an erster Stelle den jungen
Gustav Herglotz (1881 — 1953) aus Wien nannte. An zweiter Stelle war 0. Bolza
(Chicago) nominiert. 1909 wurde Herglotz als Ordinarius nach Leipzig berufen.
Über sein Leben und wichtige Aspekte seines vielseitigen Schaffens informiert
der Beitrag von H.-J. Rossberg. Ergänzend sei bemerkt, daß es Herglotz 1921
gelang, die von Gauss in der letzten Eintragung seines wissenschaftlichen Tagebuches
ausgesprochene Behauptung zu beweisen. Damit ist eine Entwicklung eingeleitet
worden, die über Herglotz' Schüler E. Artin sowie über H. Hasse und M. Deuring
die moderne algebraische Geometrie um schöne Methoden bereichert hat.
Nach dem Weggang von Hausdorff und Liebmann wurde Paul Koebe (1882 bis
1945), damals Privatdozent in Göttingen, zum außerordentlichen Professor nach
Leipzig berufen. 1914 folgte er einem Ruf als ordentlicher Professor nach Jena. Als
Herglotz 1925 ausschied, schlug eine Kommission der Fakultät für die Nachfolge
H. Weyl (Zürich) und E. Hecke (Hamburg) vor. Beide lehnten den Ruf ab. In
einem zweiten Schreiben an das Ministerium wurde Koebe vorgeschlagen, der am
1. Oktober 1926 als Ordinarius nach Leipzig berufen wurde. Bezüglich seines Lebens
und seines bedeutenden wissenschaftlichen Werkes sei auf den Beitrag von
R. Kühn au verwiesen.
Im Jahre 1911 wurde nach seiner Habilitation Robert König (1885—1979)
Assistent und Privatdozent am Leipziger Mathematischen Institut. Er ging 1914 als
außerordentlicher Professor nach Tübingen, 1922 als ordentlicher Professor nach Münster.
Von 1927 bis 1945 war er Ordinarius und Direktor des Mathematischen Instituts in
Jena. Seit 1947 wirkte er in München. Er verfaßte eine Reihe von Arbeiten über
algebraische Funktionenkörper, in denen er die analytische Richtung von Weier-
strass mit der arithmetisch-algebraischen von Dedekind, Weber und Hensel
zu verbinden wußte. Von König stammt ein Lehrbuch über elliptische Funktionen.
Besonders bekannt wurde er durch sein Buch ,,Mathematische Grundlagen der
höheren Geodäsie und Kartographie" (1951).
Nach dem Weggang Koebes nach Jena erhielt 1915 Wilhelm Blaschke (1885
bis 1962) das planmäßige Extraordinariat in Leipzig. Seinen Lebensweg, die
Umstände seiner Berufung nach Leipzig und sein wissenschaftliches Wirken in seiner
Leipziger Zeit schildert der Beitrag von J. Focke. Blaschke gilt als einer der
bedeutendsten Geometer der neueren Zeit. Er war in Hamburg der Initiator einer
weltbekannten wissenschaftlichen Schule, der er mit den „Abhandlungen aus dem
Mathematischen Seminar der Universität Hamburg" eine eigene Zeitschrift schuf. Er
entwickelte in zahlreichen Abhandlungen für die Differentialgeometrie ein
gruppentheoretisches Programm analog dem Erlanger Programm von Felix Klein. Eine
zusammenfassende Darstellung gibt sein dreibändiges Werk „Vorlesungen zur
Differentialgeometrie" (1921 — 1929). Mit seinen Büchern „Geometrie der Gewebe" (1938)
und „Einführung in die Geometrie der Waben" (1955) begründete er die topologische
Differentialgeometrie. Durch klassische Probleme über geometrische
Wahrscheinlichkeiten inspiriert, leistete Blaschke bedeutende Beiträge zur Integralgeometrie.
Nachfolger Blaschkes wurde Walter Schnee (1885—1958). Seine
Persönlichkeit und sein fast 40 Jahre währendes Wirken an unserer Universität würdigt
H. Beckert in seinem Beitrag.
Im Jahre 1919 habilitierte sich in Leipzig Friedrich Wilhelm Levi (1888—1966)

80 Teil III
mit einer Arbeit über abelsche Gruppen mit abzählbar vielen Elementen. Er wurde
Assistent am Mathematischen Institut und erhielt 1923 den Titel eines
außerordentlichen Professors. Die Nazis entzogen ihm 1935 die Lehrbefugnis. Levi emigrierte
nach Indien, wo er 1936—1948 in Calcutta und 1948—1952 in Bombay Professor
war. An zahlreichen anderen indischen Universitäten hielt er Gastvorlesungen.
Levi hat das mathematische Leben in Indien wesentlich mitgestaltet. Er war
Präsident der Indian Mathematical Society und Mitglied mehrerer Kommissionen zur
Verbesserung des indischen Universitätsunterrichts. 1952 kehrte er zurück und
übernahm einen Lehrstuhl an der Universität in Westberlin. Nach seiner 1956 erfolgten
Emeritierung übernahm er als Gastprofessor Vorlesungen an der Universität
Freiburg i. Br. Levi leistete bedeutende Beiträge zur Algebra und zur Topologie.
Besonders hervorzuheben sind seine gemeinsam mit R. Baer publizierten Arbeiten über
Gruppenaxiomatik, über Untergruppen freier Gruppen sowie über freie Produkte.
Er verfaßte ein Lehrbuch über Algebra, welches besonders für den indischen
Universitätsunterricht gedacht war.
Nach dem Tode von Karl Rohn wurde Leon Lichtenstein (1878—1933) im
Jahre 1922 auf das freie Ordinariat berufen. Der Beitrag von H. Beckert informiert
über seinen Lebensweg und würdigt sein bedeutendes wissenschaftliches Werk.
Assistent von Lichtenstein war Ludwig Neder (1890—1960). Er hatte sich
in Göttingen habilitiert und kam 1922 nach Leipzig. 1924 wurde er zum
außerordentlichen Professor ernannt. 1926 ging er nach Tübingen. Im gleichen Jahr erhielt er
einen Ruf als ordentlicher Professor nach Münster, wo er bis zu seiner Emeritierung
im Jahre 1943 wirkte. Er arbeitete vorwiegend über unendliche Reihen, insbesondere
über Konvergenzprobleme bei Dirichletreihen.
In den dreißiger Jahren hielt auch der Physiker Harry Schmidt (1894—1951)
Vorlesungen über angewandte Mathematik. Er hatte sich 1926 mit Lichtensteins
Unterstützung habilitiert und wurde 1933 außerordentlicher Professor für Physik.
1937 wurde er ordentlicher Professor bei den Forschungsinstituten der Deutschen
Luftfahrt in Adlershof. Von 1947 bis 1951 war er ordentlicher Professor an der
Universität Halle. Er arbeitete auf den Gebieten Schwingungstheorie elastischer
Systeme, Hydro- und Aerodynamik. Von ihm stammt ein Lehrbuch über Vektor- und
Tensorrechnung (1935).
Im Jahre 1929 erfolgte die Habilitation von Ernst Holder (geb. 1901). Er war
danach Assistent und Privatdozent am Mathematischen Institut. 1936 beantragten
Koebe und van der Waerden für ihn eine außerordentliche Professur, die aber
vom faschistischen Unterrichtsministerium abgelehnt wurde, da Holder keinerlei
Konzessionen machte und sich offen zu seinem Lehrer Lichtenstein bekannte.
Über Hölders bedeutendes wissenschaftliches Werk und seinen nachhaltigen
Einfluß auf die Entwicklung des Mathematischen Instituts der Universität Leipzig
berichtet der Beitrag von H. Beckert.
Als Nachfolger Otto Hölders wurde 1931 Bartel Leendert van der Waerden
(geb. 1903) zum ordentlichen Professor nach Leipzig berufen. Seinen Lebensweg
und sein äußerst vielseitiges und bedeutungsvolles Wirken in Leipzig schildert der
Beitrag von G. Eisenreich.
Nach Lichtensteins Tod blieb das Ordinariat einige Jahre unbesetzt. Im Jahre
1937 wurde Eberhard Hopf (geb. 1902) zum ordentlichen Professor nach Leipzig
berufen. Hopf war seit 1932 Assistent-Professor am Massachusetts Institute of Tech-

Einleitung 81
nology gewesen. 1942 wurde er an die Deutsche Forschungsanstalt für Segelflug
beurlaubt. 1944 folgte er einem Ruf nach München. Ab 1948 wirkte er in den USA
(Indiana University Bloomington). Hopf ist ein sehr produktiver und vielseitiger
Mathematiker. Er leistete bedeutende Beiträge zur Theorie der elliptischen
Differentialgleichungen, insbesondere zur Regularitätstheorie elliptischer Systeme. Eine
Reihe von Ergebnissen erzielte er zur Hydro- und Aerodynamik, insbesondere zum
Turbulenzproblem. Hopf trug wesentlich zur Entwicklung der Ergodentheorie bei;
seine „Ergodentheorie" in der Reihe „Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete" gilt bereits als klassisches Werk. Bekannt ist er auch durch seine vor allem
mit Wiener durchgeführten Untersuchungen über gewisse Typen von
Integralgleichungen (Wiener-Hopf -Gleichungen).
Im Jahre 1939 habilitierte sich Hans Reichardt (geb. 1908) in Leipzig. 1940
wurde er Dozent. Von 1945 bis 1952 arbeitete er als Spezialist in der Sowjetunion.
Von 1952 bis zu seiner Emeritierung 1973 wirkte er an der Humboldt-Universität
und an der Akademie der Wissenschaften in Berlin. Reichardt arbeitete vor allem
auf den Gebieten Zahlentheorie und Differentialgeometrie. Er schrieb ein beliebtes
Lehrbuch über Vektor- und Tensorrechnung (1957). Er ist Herausgeber des zum
100. Todestag von Gauss erschienenen Gedenkbandes. Zum Gauß-Jubiläum 1977
erschien seine schöne Monographie ,,Gauß und die nicht-euklidische Geometrie".

Felix Klein
Fritz König (Leipzig)
%
Felix Klein
(1849-1925)
Die besonderen Verdienste Felix Kleins für die Entwicklung des mathematischen
Unterrichtes an der Universität Leipzig wurden bereits in Teil II dieser Festschrift
dargelegt. Als Fortsetzung sollen die folgenden Ausführungen die Tätigkeit Kleins
in Leipzig in die Gesamtheit seines Wirkens einordnen, wobei schon allein auf Grund
des für diesen Beitrag vorgegebenen Umfanges die schwierige Aufgabe einer allen
Seiten seiner Persönlichkeit umfassend gerecht werdenden Würdigung natürlich
unerledigt bleiben muß. Aus gleichem Grunde mußte auf viele interessante
biographische und mathematische Details (das betrifft auch seine Leipziger Zeit) verzichtet
werden.
Die in Teil II eingeführten Abkürzungen werden ohne erneute Erklärung weiterhin
benutzt. Ebenso werden die Lebensdaten der einzelnen Persönlichkeiten nur einmal
angegeben. Auch die Fußnoten sind unter diesem einheitlichen Gesichtspunkt zu
betrachten.
Kleins Verdienste für die Entwicklung der Mathematik im weitesten Sinne sind
unbestritten und von überragender Bedeutung. Sein vielseitiges Schaffen erstreckte
sich neben der reinen Mathematik auch auf die mathematische Physik, die Geschichte
der Mathematik, die Schulmathematik und die Wissenschaftsorganisation. Unter
dem letzteren Begriff seien seine Mitarbeit in einer Vielzahl nationaler und
internationaler Vereinigungen, seine Verdienste um die Entwicklung des technischen
Hochschulwesens und die Verbindung von Mathematik und Technik, seine umfangreiche
herausgeberische Tätigkeit und nicht zuletzt seine großen Erfolge beim Auf- und Ausbau
mathematischer Institute und Schulen zusammengefaßt. Alle Komponenten des
Kleinschen Schaffens bilden in höherem Sinne eine Einheit. Sie umfassen im Prinzip
alle möglichen Betätigungsfelder, auf denen man für eine Wissenschaft wirken
kann. Richard Courant (1888—1972) formulierte in seiner glänzenden
Gedächtnisrede auf Klein aus dem Jahre 1925:
,,... seine Wirksamkeit und Bedeutung ist längst nicht mit der Summe seiner
Leistungen erschöpft. Nein, er ist darüber hinaus die machtvolle, überlegene, umfassende
Persönlichkeit, welche durch die Reinheit und Kraft ihrer Lebensführung und das

Felix Klein 83
Gleichgewicht zwischen bewußter Gestaltung des Lebens und naiver völliger
Hingabe an die Aufgabe des Augenblicks berufen war, auf breiter Front zu führen und
die Bahnen der Entwicklung zu bestimmen".1)
Neben großem Fleiß waren ausgezeichnete pädagogische Begabung, starke
wissenschaftliche Interessen und organisatorisches Talent die wichtigsten Voraussetzungen
für Kleins bedeutende Leistungen. Diese Voraussetzungen brachte er aus seinem
Elternhause mit. Ein Bruder Felix Kleins schrieb in einer Familiengeschichte:
,,Mein Vater war ein kerniger Westfale, ein organisatorisches Talent, fleißig und streng
gegen sich selbst. Meine Mutter stellte die Güte und Milde im Hause dar, sie besaß
ausgeprägte pädagogische und spekulativ-wissenschaftliche Interessen."2)
Der am 25. April 1849 in Düsseldorf geborene Felix Klein erhielt den ersten
Unterricht in Lesen, Schreiben und Rechnen von seiner Mutter, ging mit sechs Jahren
in eine Privatschule, und seit dem Herbst 1857 besuchte er ein humanistisches
Gymnasium, das den Naturwissenschaften nur wenig Raum gab. Schon mit 16 Jahren
wurde er an der Universität Bonn immatrikuliert.
Entscheidend für Kleins Hinwendung zur Mathematik war die Tatsache, daß er
1866 in Bonn Assistent bei J. Plücker wurde. Das Hauptinteresse Felix Kleins
galt damals jedoch noch der Physik. Plücker, der zu jener Zeit in Bonn als Physiker
lehrte, hatte den jungen Studenten Klein als Assistenten für seine Vorlesungen zur
Experimentalphysik auserwählt, und nur nebenbei half Klein dem berühmten
Geometer Plücker bei den Untersuchungen zur Liniengeometrie. Als Plücker
1868 starb, wurde der kaum 19jährige Klein mit der Aufgabe betraut, den
geometrischen Nachlaß herauszugeben. Daher lag es für ihn nahe, über ein
liniengeometrisches Thema zu promovieren. Noch 1868 verteidigte Felix Klein in Bonn seine
Dissertation über ein selbstgewähltes Thema zur Liniengeometrie. Diese erste
wissenschaftliche Schrift Kleins entstand unter Anleitung von Rudolf Lipschitz (1832
bis 1903). Klein beschäftigte sich schon in jener Zeit mit dem Problem der
Reformierung des Mathematikunterrichts an den Gymnasien, wie man der fünften These
zu seiner Dissertation entnehmen kann.
Im Jahre 1869 verließ Felix Klein Bonn und schloß sich der
algebraisch-geometrischen Schule von A. ClebSCh, der ihn auch mit der Bearbeitung des Plückerschen
Werkes beauftragt hatte und im Winter 1868 von Gießen nach Göttingen berufen
worden war, an. Im Verlauf von etwa einem Jahr studierte Klein die Arbeiten der
englischen und italienischen Geometer und Algebraiker, weilte zu
Studienaufenthalten in Berlin und Paris, wo er insbesondere mit der nichteuklidischen Geometrie und
der bedeutenden Entwicklung der Algebra und der Geometrie in Frankreich bekannt
wurde. Dabei trat er in engen Kontakt mit SoPHUsLiEund u.a. auch in Verbindung
mit Gaston Darboux (1842—1917). Nach seiner Habilitation bei Clebsch (1871)
lehrte Klein dann bis zum SS 1872 als Privatdozent an der Göttinger Universität.
Es ist interessant, daß er damals hauptsächlich physikalische Vorlesungen hielt.
Erst als der durch Vermittlung von Clebsch im Herbst 1872 eine ordentliche
Professur für Mathematik an der Universität Erlangen erhielt, fiel in Klein endgültig
2) Courant, R.: Gedächtnisrede für Felix Klein, gehalten am 31. 7. 1925 in Göttingen,
Die Naturwissenschaften, Jg. 13 (1925), 765.
2) Fricke, R.: Felix Klein zum 25. April 1919, seinem siebzigsten Geburtstag, Die
Naturwissenschaften, Jg. 7 (1919), S. 275 (dort zitiert).

84 Teil III
die Entscheidung für die mathematische Wissenschaft. Zu diesem Zeitpunkt kannte
er bereits die bedeutendsten mathematischen Zentren und ihre Forschungen. Was
ihm dabei besonders auffiel und inspirierte, beschrieb er 1921 mit den Worten:
,,Mein Interesse war schon von meiner Bonner Zeit her darauf gerichtet, im
Widerstreit der sich befehdenden mathematischen Schulen das gegenseitige Verhältnis
der nebeneinander herlaufenden, äußerlich einander unähnlicher und doch ihrem
Wesen nach verwandter Arbeitsrichtungen zu verstehen und ihre Gegensätze durch
eine einheitliche Gesamtauffassung zu umspannen. Innerhalb der Geometrie gab es
in dieser Hinsicht noch viel für mich zu tun. Ich habe im Herbst 1871 insbesondere
daran gearbeitet, die konsequente projektive Denkweise, wie ich sie bei Salmon-
Fiedler kennengelernt habe und Clebsch sie glänzend vertrat, wie sie sich dann
wieder in der nichteuklidischen Geometrie bewährt hatte, mit den Entwicklungen
von Möbius' baryzentrischen Kalkül und den Grundauffassungen von Hamiltons
Quaternionen (WilliamRowan Hamilton (1805—1865) — Kö) in klare gegenseitige
Beziehung zu setzen. So ist im November 1871 der Grundgedanke meines im Oktober
1872 ausgearbeiteten Erlanger Programms entstanden."1)
Die ,,Vergleichende(n) Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen",
das sogenannte „Erlanger Programm11, war der Inhalt der obligaten Antrittsvorlesung,
die Klein aus Anlaß seiner ordentlichen Professur in Erlangen zu halten hatte.
Das Hauptproblem seines Programms formulierte Klein wie folgt:
,,Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe gegeben;
man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde hinsichtlich solcher
Eigenschaften untersuchen, die durch die Transformation der Gruppe nicht geändert
werden."2)
Es ist also eine Invariantentheorie bezüglich einer gegebenen Gruppe zu entwickeln.
Durch Heranziehung des Begriffs der Untergruppe gelangte Klein zu einer
vollständigen Systematisierung der damals bekannten Geometrien, das heißt u. a. auch der
nichteuklidischen Geometrie und der damals noch relativ unbekannten Topologie
(damals „Analysis situs" genannt). Der im Erlanger Programm erreichte
Abstraktionsgrad in der Entwicklung der Geometrie kommt deutlich im § 5 zum Ausdruck:
,,Als Element der geraden Linie, der Ebene, des Raumes, überhaupt einer zu
untersuchenden Mannigfaltigkeit kann statt des Punktes jedes in der Mannigfaltigkeit
enthaltene Gebilde: die Punktgruppe, event. die Kurve, die Fläche usw. verwandt
werden. Indem über die Zahl willkürlicher Parameter, von denen man diese Gebilde
abhängig setzen will, von vornherein gar nichts feststeht, erscheinen Linie, Ebene,
Raum usw. je nach der Wahl des Elementes mit beliebig vielen Dimensionen behaftet.
Aber solange wir der geometrischen Untersuchung dieselbe Gruppe von Änderungen
zugrundelegen, bleibt der Inhalt der Geometrie unverändert, das heißt, jeder Satz, der
bei einer Annahme des Raumelementes sich ergab, ist auch ein Satz bei beliebiger
anderer Annahme, nur die Anordnung und Verknüpfung der Sätze ist geändert."3)
!) GA Klein, a. a. O., Bd. 1, S. 52.
2) Ebenda, S. 463.
3) Ebenda, S. 470/471.

Felix Klein 85
Vorwiegend zwei Aspekte machen das Erlanger Programm zu einem Markstein
in der Geschichte der Mathematik. Einerseits hat Klein mit dem Programm dem
für die Mathematik des 20. Jahrhunderts so fundamentalen Strukturdenken am
Beginn der Entwicklung zu einem entscheidenden Durchbruch verholfen, denn er
zeigte die Nützlichkeit des aus der Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen
hervorgegangenen Gruppenbegriffs auch in anderen Gebieten der Mathematik.
Andererseits hatte er das seit Beginn des 19. Jahrhunderts entstandene und damals hoch
aktuelle Problem des scheinbaren Zerfallens der Geometrie in einander fremde
Theorien mit einem Schlage und auf fast elementare Weise zu einer positiven Lösung
geführt.
Der nichteuklidischen Geometrie hatte Klein zum Teil schon vor dem
Erscheinen des Erlanger Programms einige überaus bedeutende Abhandlungen gewidmet —
insbesondere MA Bd. 4 (1871) und MA Bd. 6 (1873) — wodurch, wie Arthur Schoen-
flies (1853—1928) es ausdrückte, das ,,nichteuklidische Denken wissenschaftliches
Gemeingut der Forschung"1) wurde. Es ist interessant festzustellen, daß auch in
diesen Schriften Kleins eine Synthese verschiedener Auffassungen vorgenommen
wurde. Auf Klein geht so die bekannte Einteilung der Geometrie in elliptische,
parabolische und hyperbolische zurück. Besonders populär ist das Kleinsche Modell zur
hyperbolischen nichteuklidischen Geometrie geworden, das sich auf eine
verallgemeinerte Fassung des Maßbegriffs stützt. Die Grundidee der Entdeckungen zur
nichteuklidischen Geometrie war Klein schon 1870 während des Studienaufenthaltes in
Berlin gekommen, wo er in einem Vortrag im ,,Mathematischen Seminar" bei Karl
Weierstrass (1815—1897) einen, von Weierstrass nicht akzeptierten,
Zusammenhang vermutete zwischen der auf formentheoretischer Basis stehenden Cayley-
schen Maßbestimmung (Arthur Cayley (1821 — 1895)) und der nichteuklidischen
Geometrie, die Klein gerade durch seinen Berliner Kommilitonen, den Österreicher
Otto Stolz (1842—1905), genauer kennengelernt hatte.
Der sich in dieser Art mathematischer Forschung, wie eben beim Erlanger
Programm und zur nichteuklidischen Geometrie, zeigende Blick für das Ganze, für
größere Zusammenhänge, ist ebenso wie das gruppentheoretische und das vor allem
in der Schule von Clebsch besonders gepflegte invariantentheoretische Denken,
gepaart mit geometrisch-physikalischer Anschaulichkeit, charakteristisch für Felix
Klein. Im Anschluß an das Erlanger Programm wurde die anschauliche Geometrie
Forschungsschwerpunkt Kleins. Die Arbeiten hierzu entstanden noch vorwiegend
in seiner Erlanger Zeit, die mit der Berufung Kleins an die Technische Hochschule
in München zum SS 1875 endete. Für diesen Forschungskomplex lassen sich etwa
folgende drei Gesichtspunkte als wesentlich hervorheben:
1. die mathematischen Modelle,
2. die Topologie,
3. die geometrische Deutung der Abelschen Integrale.
Diese drei Aspekte, auf deren ausführliche Diskussion hier verzichtet werden muß,
treten bei Klein eng miteinander verknüpft in Erscheinung.
Ebenfalls schon in Erlangen begann Klein mit den Arbeiten zu „Substitutions-
Y) Schoenflies, A.: Klein und die nichteuklidische Geometrie, Die Naturwissenschaften,
Jg. 7 (1919), 290.

86 Teil III
gruppen und Gleichungstheorie", die er dann in München fortführte und mit den
elliptischen Funktionen und elliptischen Modulfunktionen verband. Von diesen
Untersuchungen gelangte er direkt zu dem Höhepunkt seines Schaffens im Bereich
der reinen Mathematik, der Riemannschen Funktionentheorie bzw. den automorphen
Funktionen. Klein selbst äußerte, „daß er in seinen Münchner Jahren den Grund
zu den meisten seiner späteren Untersuchungen gelegt habe."1) Die anschauliche
Geometrie ist dabei entsprechend der Kleinschen Natur nicht nur Hilfsmittel.
Rückblickend schrieb er bezüglich 1876/77:
„Wir (Paul Gordan (1837—1912) und Klein — Kö) erfaßten den Umkehrgedanken:
diese Theorie (der Gleichungen fünften Grades — Kö) nicht bloß äußerlich mit der
Lehre vom Ikosaeder in Verbindung zu bringen, sondern letztere geradezu zur
Grundlage der Theorie zu machen."2)
Klein erkannte die Isomorphie zwischen der Galoisgruppe der Ikosaedergleichung
und der Gruppe der Ikosaederdrehungen, wobei er die Ikosaedergleichung auf
Resolventen fünften Grades transformieren konnte, die er dann mittels elliptischer
Modulfunktionen löste. In dem mit dem 24. Mai 1884 datierten bedeutenden Buch
„Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade"
(künftig als Jkosaederbuch' bezeichnet), liegt eine unter algebraischem Aspekt
erfolgte Zusammenfassung der aus diesem Ansatz hervorgegangenen vielen glänzenden
mathematischen Arbeiten Kleins zu Substitutionsgruppen und Gleichungstheorie
und zu den elliptischen Modulfunktionen vor. Es kann festgestellt werden, daß ihm
mit diesen Forschungen für die sogenannte „Theorie der regulären Körper", also
der Polyeder, etwa das gelang, was Carl Friedrich Gauss (1777—1855) im Jahre
1796 bezüglich der regelmäßigen Vielecke leistete. Klein stützte sich dabei vor allem
auf die Arbeiten von Lazarus Fuchs (1833—1902), Hermann Amandus Schwarz
(1843—1921) und P. Gordan. Tragender Gedanke dieser Gleichungstheorie ist das
sogenannte „Kleinsche Formenproblem". Diese Theorie ist später von Richard
Dagobert Brauer (geb. 1901) in eine moderne Darstellung (mittels der
Algebrentheorie) gebracht worden.3) Ein solches Formenproblem stellt allgemein die Aufgabe,
bei einer gegebenen Gruppe G von Kollineationen4) die Koordinaten eines w-dimen-
sionalen Punktes allein aus den in G existierenden Invarianten zu berechnen. Bei
Klein stellt sich die Theorie der Auflösung algebraischer Gleichungen danach so dar,
daß die vorgelegte Gleichung auf ein Formenproblem zu einer gegebenen Gruppe G
zurückzuführen ist, also auf eine gewisse Normalgleichung. Diese Reduktion ist aber
ein zutiefst algebraisches Problem, dessen Klärung nicht nur den Begriff der
Galoisgruppe, sondern ganz wesentlich auch den algebraischen Körperbegriff erfordert.
Dementsprechend findet man in den Arbeiten Kleins eine teilweise starke
Bezugnahme auf den um die Entwicklung der algebraischen Körpertheorie verdienstvollen
Leopold Kronecker (1823—1891) — schon während seines Berliner Studienaufent-
*) Courant, R., a. a. O., S. 767. 2) GA Klein, a. a. O., Bd. 2, S. 257.
3) Hier sei nur die diesbezüglich bedeutende Arbeit von R. Brauer aus dem Jahre 1933
genannt: Über die Kleinsche Theorie der algebraischen Gleichungen, Math. Ann. 110 (1935),
473-500.
4) Klein benutzte den Begriff „Formenproblem" nur dann, wenn die Transformationen
linear, ganz und homogen waren. Im allgemeinen Fall der Kollineation sprach er von einem
,,Funktionenproblem". Siehe hierzu u. a. die Fußnote 1 auf S. 87.

Felix Klein 87
haltes hörte Klein bei Kronecker eine Vorlesung über die Theorie der
quadratischen Formen. Gruppen- und Körperbegriff befanden sich um 1880 gerade in der
Phase der Entstehung ihrer abstrakten axiomatischen Fassung im heutigen Sinne.
Und so leisteten diese Kleinschen Forschungen auch einen wichtigen Beitrag zur
Entwicklung der Algebra in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Diese
Feststellung wird dadurch besonders bekräftigt, daß von den vielen jungen Mathematikern,
die er während seiner gesamten Wirkungszeit als Professor stets um sich scharte
und eng in seine Forschungen einbezog, einige gerade diese Entwicklung
entscheidend förderten.
Zu den Schülern, die Felix Klein ab Herbst 1880 nach Leipzig folgten, gehörten
so bekannte Mathematiker wie W. von Dyck (er nahm als erster die schon erwähnte
Assistentenstelle ein; vgl. Abb. 12), Adolf Hurwitz (1859—1919, war
zwischenzeitlich noch in Berlin), K. Rohn (er kam schon 1879 von München nach Leipzig) und
die weniger bekannten wie Joseph Gierster (1854—1893) und Ernst Julius
Martin Lange (1858 — ?). Ihre durch Klein noch in München angeregten
Habilitationsschriften (Rohn 1879 abgeschlossen, Dyck 1881/82) bzw. Dissertationen (Hurwitz
1881 abgeschlossen, Gierster 1881, Lange 1882) reichten sie dann bei der
philosophischen Fakultät der Universität Leipzig ein. Sie leisteten unmittelbar (so
insbesondere Dyck mit den „Gruppentheoretischen Studien" — MA Bd. 20 und 22)
und auch später (wie Hurwitz z. B. mit der Arbeit ,,Über die Erzeugung der
Invarianten durch Integration" — Göttinger Nachrichten 1897) ebenfalls wichtige
Beiträge zur Entwicklung der Algebra. Das trifft auch für viele der Schüler zu, die
zwischen 1880 und 1886 zu Klein nach Leipzig kamen. Da eine vollständige Auflistung,
so interessant sie auch ist, hier zu weit führen würde, seien nur beispielsweise Fedor
Eduardovic Molin (1861 — 1941, er schrieb seinen Namen damals in Deutschland
,Theodor Mollen', in Leipzig vom SS 1884 bis SS 1885)1), Eduard Study (1862 bis
1930, mit vielen Unterbrechungen von etwa 1881 bis 1888 in Leipzig)2) und Robert
Fricke (1861-1930, in Leipzig vom WS 1883/84 bis SS 1885) hervorgehoben. Über
Gleichungstheorie und Funktionentheorie trug Klein 1883 bis 1885 in Leipzig vor
und ging dann (1885/86) in seinen Spezialseminaren zur Behandlung der
hyperelliptischen und Abelschen Funktionen mittels der Formen- bzw. Invariantentheorie
über. Auf die hyperelliptischen und Abelschen Funktionen war er allerdings schon im
WS 1882/83 eingegangen. Dabei trifft auch für die Leipziger Zeit zu, was Aurel
Voss (1845—1931) 1919 u. a. über Klein sagte:
„Er besaß die Gabe, jeden seiner Schüler auf das Thema hinzuweisen, das dessen
besonderer Begabung und Entwicklung entsprach. ... Im persönlichen Verkehr aber
mit seinen Schülern streute er die Goldkörner seines reichen Talentes aus,
unbekümmert um den Gebrauch, den sie später davon machen könnten, denn er war nicht der
engherzigen Ansicht solcher, die in ihren Schülern nur spätere Konkurrenten zu
sehen geneigt waren."3)
x) Besonders wichtig waren in diesem Zusammenhang seine Arbeiten: 1. Über Systeme
höherer complexer Zahlen, Math. Ann. 41 (1893), 83 — 156.
2. Über Invarianten der linearen Substitutionsgruppen, Sitzungsber. Kgl.-Preuß. Akad. Wiss.
1897, 1152-1156.
2) Siehe E. A. Weiss: E. Studys mathematische Schriften, Jahresber. DMV 48 (1933), 108
bis 124,211-225.
3) Voss, A.: Felix Klein als junger Doktor, Die Naturwissenschaften, Jg. 7 (1919), 286.

88 Teil III
Kehren wir nun jedoch zurück zu den in der zweiten Hälfte der siebziger Jahre
durchgeführten Untersuchungen Kleins. Obwohl, wie R. Brauer auch für Klein
formulierte, ,,teilweise mit komplizierten geometrischen Methoden"1) gearbeitet
wurde, so lag aber eben gerade darin für Klein selbst eine nicht zu unterschätzende
direkte Vorbereitung für die von ihm 1881/82 entdeckten wichtigen Theoreme zur
Uniformisierungstheorie, also zur Theorie der Darstellung beliebiger analytischer
Funktionen w = f(z) durch zwei meromorphe — eindeutig und im Endlichen ohne
wesentliche Singularitäten — Funktionen z = gx(t) und w = g2(t) = f(gi(t)\ eines
schlichten Gebietes der komplexen £-Ebene für jeden Punkt der Riemannschen Fläche
von w = f(z). Die diesbezüglichen Veröffentlichungen Kleins findet man in den MA
Bd. 19/20 und die zusammenfassende Darstellung im Bd. 21 (datiert vom 2. Oktober
1882). Welche Bedeutung bei diesen Entdeckungen seine vorangegangenen Arbeiten
hatten, kommt auch in den Worten zum Ausdruck, mit denen er die näheren
Umstände schilderte, unter denen er die beiden zentralen Theoreme, das
Rückkehrschnitttheorem und das Grenzkreistheorem, fand:
,,Das Theorem im Bd. 19 der Math. Annalen ..., d.i. das allgemeine
Rückkehrschnitttheorem, habe ich in Borkum im September 1881, als ich an meiner Schrift
über Riemann (,,Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer
Integrale", datiert vom 7. Oktober 1881 — Kö) ... arbeitete, während eines Spazierganges
gefunden, ohne daß ich eigentlich nach einem Satz in der Richtung gesucht hätte.
... Ostern 1882 war ich zur Erholung meiner Gesundheit an die Nordsee gereist,
und zwar nach Norderney. Ich wollte in Ruhe einen zweiten Teil meiner Schrift
über Riemann schreiben, nämlich die Existenzbeweise für die algebraischen
Funktionen auf gegebenen Riemannschen Flächen in neuer Form ausarbeiten. Ich habe
es dort aber nur acht Tage lang ausgehalten, denn die Existenz war zu kümmerlich,
da heftige Stürme jedes Ausgehen unmöglich machten und sich bei mir starkes Asthma
einstellte. Ich beschloß, schleunigst in meine Heimat Düsseldorf überzusiedeln.
In der letzten Nacht vom 22. zum 23. März, die ich wegen Asthma auf dem Sofa
sitzend zubrachte, stand plötzlich um 21/2 Uhr das Grenzkreistheorem, wie es durch
die Figur des Vierzehnecks in Bd. 14 der Math. Annalen (1879, „Über die
Transformationen siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen" — Kö) ... ja eigentlich
schon vorgebildet war, vor mir. Am folgenden Vormittag in dem Postwagen, der
damals von Norden bis Emden fuhr, durchdachte ich das, was ich gefunden hatte,
noch einmal bis in alle Einzelheiten. Jetzt wußte ich, daß ich ein großes Theorem
hatte. In Düsseldorf angekommen, schrieb ich es gleich zusammen, datierte es vom
27. März, schickte es an Teubner und ließ Abzüge der Korrekturen an Poincare
(Henri Poincare (1854—1912) — Kö) und Schwarz und beispielsweise an Hurwitz
gehen."2)
In diesen Intuitionen kulminieren Kleins intensive mathematische Studien
algebraischer, geometrischer und funktionentheoretischer Natur der vorausgegangenen
10 bis 15 Jahre. Auch er selbst bezeichnete diese Entdeckungen, die auf Bernhard
Riemann (1826—1866) zurückgehen und zur geometrischen Funktionentheorie
gerechnet werden, als die ,,besten Resultate" seiner ,,mathematischen Produktivität."3)
Ein wichtiger direkter Anlaß zur Beschäftigung mit der Funktionentheorie von
J) Brauer, R., a. a. O.. S. 474. 2) GA Klein, a. a. O., Bd. 3, S. 584. 3) Ebenda.

Felix Klein 89
geometrischer Seite war für Felix Klein die Berufung zum ordentlichen Professor
für Geometrie an die Universität Leipzig zum WS 1880. Dazu äußerte er sich wie
folgt:
„Ich habe ... das Wort Geometrie nicht einseitig ... allein als Lehre von den
räumlichen Objekten, sondern als eine Denkweise aufgefaßt, ... Ich habe dementsprechend
meine Leipziger Professur trotz mannigfachen Widerspruchs mit einer Vorlesung über
geometrische Funktionentheorie begonnen, in der ich die Gedanken, die mich in
München bewegt hatten, weiterführte. Ich lebte dabei in dem glücklichen Gefühl,
daß ich Riemann's funktionentheoretische Vorstellungen, deren Tragweite sich mir
immer mehr erschloß, weiterbilden durfte. An diesen Arbeiten nahmen allmählich
immer mehr und mehr begabte junge Mathematiker teil, die aus dem In- und
Auslande nach Leipzig gekommen waren. (So außer den schon genannten u. a. Georges
Brunel (1856-1900) und Guiseppe Veronese (1854-1917). Später (1882/83
bis 1885/86) zog die Kleinsche Schule in Leipzig noch so bedeutende
Mathematikerpersönlichkeiten an wie Henry B. Fine (1858-1928), David Hilbert (1862-1943),
Otto Holder (1859-1937), Erwin Papperitz (1857-1938) und Georg Pick
(1859—1943?, ermordet im KZ Theresienstadt), um nur einige zu nennen. — Kö)
Das Interesse an unserer gemeinsamen Arbeit wuchs noch stärker, als H. Poincare
(damals noch ein relativ unbekannter Mathematiker, der in sehr kurzer Zeit die
Riemannsche Mathematik erfaßte — Kö) in Paris, mit dem ich bald in Korrespondenz
trat, vom Februar 1881 an parallellaufende Untersuchungen veröffentlichte."1)
Deutlich zeigt sich hier die enge Verbindung von Lehre und Forschung bei Klein.
Die genannte Vorlesung trug den Titel ,,Functionentheorie in geometrischer Behand-
1 ungsweise für Studierende mittlerer Semester''. Den ersten Teil (WS 1880/81) besucht en
mehr als 74 Zuhörer und den zweiten Teil (SS 1881) mehr als 34.2) Diese Vorlesung
ist inhaltlich-methodisch wie historisch von hervorragender Bedeutung. Vom ersten
Teil fertigte E. Lange handschriftlich ein sogenanntes ,,Normalheft" in zwei Teilen
an, das in der Bibliothek des Mathematischen Seminars zur Benutzung auslag. Diese
zwei Hefte befinden sich noch heute im Besitz der Universitätsbibliothek
(Zweigstelle an der Sektion Mathematik der Karl-Marx-Universität) in Leipzig. 1892 hatte
Paul Epstein (1871—1939) nach Langes Heften eine Autographie des ersten
Teiles der Vorlesung angefertigt, die jedoch niemals in den Buchhandel gelangte.
Der Inhalt des zweiten Teiles (SS 1881) der Vorlesung ist übergegangen in die bereits
erwähnte Schrift Kleins, bei deren Ausarbeitung er das, nicht in dieser Schrift
enthaltene, Rückkehrschnitttheorem entdeckte und die mit ihrem vollständigen Titel
lautet: „Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale.
Eine Ergänzung der gewöhnlichen Darstellungen." Unter „Ergänzung der
gewöhnlichen Darstellungen" verstand Klein die umfassende Zuhilfenahme des
physikalischen Modells einer stationären Strömung, das er, ähnlich dem Ikosaeder bei den
Gleichungen fünf ten Grades, zur Grundlage seiner Theorie machte. R. Cotjrant würdigte
dieses Vorgehen mit den Worten:
„Es ist nun Kleins erstes Verdienst, daß er die bei Riemann unsichtbar, ja vielleicht
unbewußt zugrunde liegenden physikalischen Vorstellungen aus sich heraus erfaßte
*) Klein, F.: Selbstbiographie. In: Göttinger Professoren (Lebensbilder aus eigener Hand),
Mitteilungen des Universitätsbundes Göttingen, Göttingen 1923, Jg. 5, Heft 1, S. 20/21.
2) Siehe die Fußnote 2 auf S. 69 .

90 Teil III
und souverän handhaben und weiterführen lernte. Er zog sie aus dem Dunkel
hervor und hatte den Mut, sie bei seinen Veröffentlichungen geradezu zum Leitgedanken
zu machen. So schuf er etwas, was man gelegentlich ... als physikalische Mathematik
bezeichnet hat. Klein erzeugte sich seine Funktionen, indem er ein Stück der Ebene
oder einer beliebigen Fläche mit einer leitenden Schicht bedeckt denkt und an
einzelnen Stellen Pole elektrischer Batterien aufsetzt bzw. andere elektromotorische
Kräfte anbringt. Der Strömungszustand, der sich einstellt, repräsentiert dann eine
ganz bestimmte Funktion eines komplexen Argumentes. ... Schon bei den
elliptischen Funktionen und vor allem bei den elliptischen Modulfunktionen hatte Klein,
wie seine Vorgänger, erkannt, daß die geometrischen Symmetrieeigenschaften der
Gebiete, welche Träger der betrachteten Strömungen sind, sich in ähnlichen
Symmetrieeigenschaften der zugehörigen analytischen Funktionen widerspiegeln. Der
Ausdruck einer solchen Symmetrie ist aber immer eine Gruppe, und so ist die Brücke
zur Gruppentheorie geschlagen. Man braucht nur geometrische Gebiete mit neuen
Symmetrieeigenschaften aufzusuchen und die zugehörigen Strömungen oder
Funktionen zu betrachten, und hat die großartige Theorie der automorphen Funktionen
in den Händen"1), also derjenigen Funktionen, die der Funktionalgleichung
\cz + d]
(a, b, c, d konstant) genügen2) und als Verallgemeinerung der elliptischen
(doppeltperiodischen) Funktionen aufgefaßt werden können. So gelangte Klein zu einem der
schönsten Ergebnisse in der geometrischen Funktionentheorie, nämlich der Tatsache,
daß sich jede algebraische Funktion mittels automorpher Funktionen uniformisieren
läßt. Und damit ist der Bogen geschlagen von der ersten Vorlesung Kleins in Leipzig
zu den Arbeiten — MA Bd. 19/20/21 —, die die berühmten Uniformisierungstheoreme
enthalten.
Neben Paul Koebe (1882—1945)3), der um 1910/12 vollständige Beweise der Klein-
schen Uniformisierungstheoreme angab, waren es besonders Ltjitzen Egberttjs
Jan Brotjwer (1881 — 1966), Ludwig Bieberbach (geb. 1886) und Emil Hilb
(1862—1943), die die Kleinsche Richtung der Riemannschen Funktionentheorie
weiterführten.4) Klein selbst brach während seiner angestrengten Forschungsarbeit
1882/83 unter der Last der ihn in Leipzig so stark in Anspruch nehmenden
studienorganisatorischen Aufgaben und Lehrverpflichtungen gesundheitlich zusammen.
Zwar war Klein dem mit ihm wetteifernden Poincare bezüglich der genannten
Uniformisierungstheoreme noch zuvor gekommen, doch von nun an hatte der geniale
Poincare freies Feld, und so fügte er diesen Untersuchungen noch eine ganze Reihe
wertvoller Resultate hinzu.
In dem auf das Jahr 1882 folgenden Schaffenszeitraum bis zu seinem Tode fand
*) Courant, R., a. a. O., S. 768.
2) Die Bezeichnung dieser Funktionen mit dem Begriff „automorphe Funktionen" ist erst
1890 von Klein eingeführt worden (GA Klein, a. a. O., Bd. 3, S. 577).
3) Zu Koebe vgl. den Beitrag von R. Kühnau.
4) Neben den Arbeiten der genannten Mathematiker vgl. hierzu auch: Zu den Verhandlungen
betreffend automorphe Funktionen, Karlsruhe am 27. September 1911, Jahresber. DMV
21 (1912).

Felix Klein 91
Klein zu einer beispiellosen Wirksamkeit als Organisator, Lehrer und Forscher, auf
deren Darstellung im hier vorgegebenen Rahmen vollständig verzichtet werden
muß.1)
Von 1921 bis 1923 erschienen in drei Bänden Felix Kleins „Gesammelte
mathematische Abhandlungen", an deren Fertigstellung (seit 1918) Klein selbst mitwirkte.
Durch die umfassenden Kommentare und Anmerkungen, die Klein hinzufügte, ist
dieses in sich abgeschlossene Werk wesentlich mehr als die Summe der vielen
einzelnen Arbeiten geworden. Klein sah in der Herausgabe dieses für alle Zeiten
beeindruckenden Zeugnisses unermüdlichen Schaffens sein Lebenswerk vollendet. Es
wird jedem Mathematiker, Mathematikhistoriker und Mathematiklehrer stets eine
reiche Quelle seines wissenschaftlichen Arbeitens sein.
Nach längerer Krankheit verstarb Felix Klein am späten Abend des 22. Juni
1925 in Göttingen.
Der ihm nahestehende Richard Cotjrant in der Gedächtnisrede auf Klein :
„Was war das Geheimnis dieser Persönlichkeit und ihrer Wirkung? Er hat die große
Macht über die Menschen besessen, weil er geistige Überlegenheit verband mit einer
dienenden Sachlichkeit, weil er nie etwas für sich selbst, stets alles für seine Ziele
tat, weil man in der majestätischen Würde seines Wesens nie eine Spur von
Eitelkeit und Selbstüberhebung herausfühlen konnte. Es fehlte ihm nicht an echtem
Humor, dem Anzeichen wahrer geistiger Freiheit. Aber alles dies wird überstrahlt
von dem Zauber seines Wesens, der magnetischen Kraft, mit der er jeden, auch
Widerstrebende, zwang, ihm Mitarbeiter zu werden und Gefolgschaft zu leisten.
Sein Leben war erfüllt von der Kraft des Denkens und dem Willen zur Tat, beide
beflügelt durch eine geniale Phantasie, welche immer neue und neue Entwürfe
gestaltete. ... Er war eine Künstlernatur, weniger ein Zeichner mit scharf
umreißendem Stift, mehr wie ein großer Baumeister oder Plastiker, erfüllt von der Leidenschaft
des Handelns, des Gestaltens.
Die letzte Quelle seiner wunderbaren Kraft aber blieb die Liebe und Treue zu der
Wissenschaft, auf der er sein Leben aufgebaut hat."2)
*) Diesbezüglich sei insbesondere verwiesen auf die Würdigungen Kleins in: Die
Naturwissenschaften, Jg. 7 (1919), und auf R. Tobies und F. König: Felix Klein. In: Biographien
hervorragender Naturwissenschaftler, Technikerund Mediziner. Bd. 50, Leipzig 1981.
2) Courant, R., a. a. O., S. 771/772.

Carl Neumann*)
Hans Salie (f)
Carl Neumann
(1832-1925)
Der Mathematiker Carl Gottfried Neumann, der vier Jahrzehnte als ordentlicher
Professor an der Universität Leipzig lehrte, war ein bedeutender Forscher auf dem
Gebiete der Potentialtheorie. Sein fast hundertjähriges Leben umspannt eine Zeit,
in der die Mathematik einen großen Aufschwung nahm.
Er wurde am 7. Mai 1832 in Königsberg geboren als Sohn1) des Professors für
Physik und Mineralogie Franz Ernst Neumann (1798—1895), des Begründers
der mathematischen Physik in Deutschland. In seiner Vaterstadt erhielt er die
Schulbildung, besuchte die Universität und bestand 1855 das Oberlehrerexamen.
Am 29. Mai 1856 erfolgte an der Albertina die Promotion zum Dr. phil. auf Grund
einer Dissertation2) über ein Problem der Mechanik, das mit hyperelliptischen
Integralen gelöst wird. Seine akademischen Lehrer in Mathematik waren der Analytiker
Friedrich Richelot (1808—1875), ein Schüler von Carl Gustav Jacob Jacobi
(1804—1851) und der Geometer Otto Hesse (1811 — 1874). Der Vater gab ihm die
Ausbildung in Physik und Mineralogie und wohl auch die Zuneigung zu
physikalischmathematischem Denken. 1858 habilitierte er sich für Mathematik an der
Universität Halle mit einer Arbeit aus der mathematischen Physik, die eine Theorie der
magnetischen Drehung der Polarisationsebene des Lichtes zu geben versuchte.3) Im
Jahre 1863 zum außerordentlichen Professor befördert, wird er im gleichen Jahr als
ordentlicher Professor nach Basel berufen und 1865 nach Tübingen. Von hier kam
er an die Universität Leipzig. Die Ernennung erfolgte am 17. Oktober 1868 mit der
jährlich festen Besoldung von 1800 Talern.4) Am 3. November 1869 hielt er in der
Aula der Universität seine Antrittsrede „Über die Prinzipien der Galilei-Newton -
schen Theorie". Nach langjähriger fruchtbarer Tätigkeit als Lehrer und Forscher
*) In „Bedeutende Gelehrte in Leipzig", Band II, Leipzig, KMU (1965). — Anm. d. Red.
x) Seine Mutter Florentine geb. Hagen ist eine Schwägerin des Astronomen F. W. Bessel.
2) De problemate quodam mechanico, quod ad primam integralium ultraellipticorum classem
revocatur. Regiomonti 1856.
3) Explicare tentatur, quomodo fiat, ut lucis planum polarisationis per vires electricas vel
magneticas declinetur. Halis Sax. 1858.
4) Archiv der Universität Leipzig. Personalakte C. Neumann.

Cabl Neumann 93
wurde er auf seinen Antrag zum 1. Januar 1911 in den Ruhestand versetzt. Im Alter
von fast 93 Jahren ist er am 27. März 1925 in Leipzig1) gestorben, wo er auf dem
Johannisfriedhof2) begraben liegt. Während seines langen Lebens wurden ihm hohe
wissenschaftliche Auszeichnungen zuteil. Er war Mitglied bedeutender gelehrter
Gesellschaften, der Sächsischen Gesellschaft (jetzt Akademie) der Wissenschaften zu
Leipzig (seit 22. März 1869) und der Preußischen Akademie der Wissenschaften
(korrespondierendes Mitglied seit 4. Mai 1893). Er gehörte auch den Gesellschaften
der Wissenschaften zu Göttingen und München an.
Das Dozentenzimmer des Mathematischen Instituts ziert ein großes Bild
Neumanns. Aus den Geldern, die zu seinem 70. Geburtstag im Jahre 1902 gestiftet worden
waren, wurde zur Ausleihe an Studenten eine noch heute bestehende
Ferienbibliothek gegründet.
Carl Neumann führte ein stilles zurückgezogenes Gelehrtenleben, besonders
nachdem seine Frau3) nach der elfjährigen Ehe 1875 gestorben war. Die letzte Zeit seines
Lebens versorgte ihn seine Schwester Luise Neumann, die Biographin des Vaters4),
den Haushalt und schuf ihm wieder ein Heim, in dem es auch Geselligkeit gab. Wenn
er auch nie ein Ehrenamt an der Universität bekleidet hat, nahm er doch Anteil an
wichtigen Angelegenheiten der Fakultät. Wie aus Briefen5) an den bekannten
Leipziger Experimentalphysiker Otto Wiener (1862—1927) hervorgeht, zeigte er
lebhaftes Interesse an der Besetzung des Lehrstuhls für Theoretische Physik im Jahre
1902. Man erfährt, daß damals die Berufung von Arnold Sommerfeld (1868—1951)
nach Leipzig erwogen wurde. Interessant sind die Meinungen, die bei dieser
Gelegenheit über die zukünftige Entwicklung der theoretischen Physik ausgetauscht
wurden. Wiener nimmt an (1902), daß in der theoretischen Physik sehr bald wesentliche
Fortschritte zu erwarten seien durch Zusammenfassen der schon vorliegenden
Ergebnisse, etwa durch einen plötzlichen guten Einfall, durch geeignete Kombination
des schon vorliegenden Materials. „Ich [Neumann] dagegen glaube, daß wesentliche
Fortschritte nur in sehr langer Zeit zu erwarten sind, und daß dazu in erster Linie
eine genaue Durcharbeitung des schon Vorhandenen erforderlich ist. Zu einer solchen
wirklich exakten Durcharbeitung sind aber nach meiner Meinung gründliche
mathematische Ausbildung und wirkliche mathematische Klarheit unumgänglich."6)
Neumann gehörte jener Generation von Professoren an, die sich hauptsächlich
ihrer wissenschaftlichen Arbeit widmen konnte. Er schreibt einmal7): ,,Mögen Sie
mich in geschäftlichen Dingen möglichst bei Seite lassen. Ich bin zu wenig praktisch."
Der hervorragende Gelehrte war über den engen Kreis der Mathematiker und
Physiker wenig bekannt. Seine Vorlesungen zeichneten sich durch Klarheit des Vortrages
aus. Heinrich Liebmann8) berichtet etwas überschwenglich: ,,In der Tat, wenn er
x) Im Hause Querstr. 12, in dem er 40 Jahre wohnte.
2) Das Grab ist noch vorhanden.
3) Hermine Mathilde Elise Kloss (geb. 1844 in Berlin) lernte er im Hause des
Mathematikers Eduard Heine in Halle kennen.
4) Franz Neumann. Erinnerungsblätter von seiner Tochter. Tübingen, Leipzig 1904.
5) Archiv der Universitätsbibliothek KMU. Brief an O. Wiener vom 24. 11. 1902.
6) Ebenda, Brief vom 29. 11. 1902.
7) Ebenda, Brief vom 7. 6. 1903.
8) Zur Erinnerung an Carl Neumann. Jahresbericht Deutsche Mathematiker Vereinigung 36,
175, 1927.

94 Teil III
im mystischen Halbdunkel, das das Oberlicht in der Arena des amphitheatralischen
Czermakianums, des damaligen mathematischen Auditoriums in der Brüderstraße,
spendete, eindringlich, oft weihevoll seine tiefe Bruststimme erhob, wenn seine
tiefliegenden hellen Augen aus dem von Denkerfalten durchfurchten, von wallendem
Haar umrahmten würdevollen Antlitz bald in visionäre Fernen blickten, bald die
Zuhörer zu voller ernster Mitarbeit zu mahnen schienen und dann wieder in stolzer
Freude über einen eleganten Beweis lächelten — da erschien er schwärmerischer
Jugend wohl als ein Priester hohen Wahrheitsdienstes, berufen wie keiner, zu den
Pforten höchster Erkenntnis sicheres Geleit zu geben." Neumann selbst schreibt
in einem Dankschreiben1) an den Dekan für die Glückwünsche anläßlich des 80.
Geburtstages: „Zurückblickend auf meine nun abgeschlossene Lehrtätigkeit, erinnere
ich mich gerne an die mühsamen und beschwerlichen Vorbereitungen, denen ich mich
zu Anfang eines jeden Semesters (wider Willen aus meinen eigenen Arbeiten
herausgerissen) für meine Vorlesungen zu unterziehen hatte, an die mehr und mehr
zunehmende Spannung, mit welcher ich dem wirklichen Beginn der Vorlesungen
entgegensah, und an die lebhafte Freude, die in mir entstand, wenn ich sah, daß die in meiner
Vorlesung eingeschlagene Richtung sich als eine gute und erfolgreiche erwies, welche
das Interesse meiner Schüler zu fesseln vermochte." Zwei Generationen von Lehrern
waren zum größten Teil Schüler Neumanns. Spezialvorlesungen las er selten. Die
heute üblichen Vortragsseminare, in denen Referate gegeben werden, schätzte er
nicht.
Vielleicht ist der Vorwurf der Einseitigkeit in der Ausbildung der Studenten, die
sich vorwiegend Neumann anschlössen, nicht ganz unzutreffend. Hervorgerufen
durch die Zurückgezogenheit, in der er arbeitete, hatte er auch nur wenige Schüler
auf seinem Spezialgebiete, der Potentialtheorie. Unter ihnen ragen Arthur Korn
(1870-1945)2) und Neumanns Neffe Ernst Richard Neumann3) (1875-1955)
hervor.
Neumann stand bereits vor seiner Berufung an die Universität mit Leipzig in
enger Verbindung durch seine Beziehungen zur Firma B. G. Teubner, dem bekannten
seit 1811 bis heute bestehenden Leipziger graphischen Betrieb. 1864 wird er durch
seinen Königsberger Jugend- und Studienfreund Alfred Clebsch (1833—1872)4)
auf diesen Verlag aufmerksam gemacht, und schon 1865 erscheint dort sein Buch
,,Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale", das eine große
Wirkung gehabt hat, da es zum ersten Male die neuen Ideen von Bernhard Riemann
(1826—1866) über mehrdeutige Funktionen einer komplexen Variablen ausführlich
erläuterte und damit einem größeren Kreise von Mathematikern zugänglich machte.
Neumann erweist sich hier wie in allen seinen Schriften als ein Meister anschaulicher
Darstellung. Erst in einer erweiterten zweiten Auflage (1884) der ,,Vorlesungen",
die als solche von ihm nie gehalten wurden, behandelt er die allgemeinen Abelschen
Integrale und nicht nur die hyperelliptischen, das zugehörige Abelsche Theorem und
die Lösung des Umkehrproblems. Von den 25 selbständig erschienenen Schriften und
Büchern Neumanns sind nach 1868 alle bei Teubner erschienen. Außerdem war er
x) Archiv der Universität Leipzig, Personalakte C. Neumann.
2) Seit 1914 o. Prof., Technische Hochschule Berlin.
3) 1908-1946 o. Prof., Universität Marburg.
4) Seit 1868 o. Prof. Universität Göttingen, vorher Universität Gießen.

Carl Neumann 95
an der Begründung einer neuen mathematischen Zeitschrift, den heute noch
erscheinenden „Mathematischen Annalen", entscheidend beteiligt. Am 22. Dezember 1868
wurde von B. G. Teubner das erste Heft unter der Redaktion von A. Clebsch und
C. Neumann ausgeliefert. In einem Brief1) vom 10. Juni 1868 hatte Neumann
vorgeschlagen, von den beiden deutschen mathematischen Zeitschriften, dem „Journal
für die reine und angewandte Mathematik"2) und der „Zeitschrift für Mathematik
und Physik"3), die letztere umzugestalten oder eine neue Zeitschrift ins Leben zu
rufen. Der Verlag ging den zweiten Weg. „Mancher ist gegenwärtig unwillig über die
mangelhafte, langsame und schleppende Art, in welcher die den beiden Journalen
übersendeten Artikel zur Publication gelangen.. ."Neumann hatte aus diesem Grunde
bisher Veröffentlichungen in Gestalt von Monographien und Lehrbüchern
bevorzugt. Er schreibt weiter an den Verlag: „Von dem Augenblicke an, wo Clebschs
Name auf dem Titel Ihres Journales steht, werden die Schleusen geöffnet sein, welche
der drängenden Flut bis jetzt sich entgegenstellen ..." Er erkannte, daß Clebsch
als Wissenschaftler und Organisator der ideale neue Herausgeber sein würde. Er selbst
trat bescheiden in den Hintergrund. Durch den frühzeitigen Tod von Clebsch wurde
1872 Neumann alleiniger Redakteur. Da ihm diese Aufgabe wenig zusagte, zog er
sich bereits nach vier Jahren von der Redaktion ganz zurück. Auch die Zahl der
von ihm in den „Mathematischen Annalen" veröffentlichten Arbeiten, die wichtige
Beiträge enthalten, nahm nunmehr ständig ab. Die Mehrzahl seiner
Zeitschriftenaufsätze erschien fortan in den Sitzungsberichten der Sächsischen Akademie der
Wissenschaften.
Während seiner langen Tätigkeit wirkten bedeutende Mathematiker mit ihm am
Mathematischen Institut in Leipzig.4) Viele junge Gelehrte begannen innerhalb dieser
Zeit hier ihre akademische Laufbahn. Als Neumann nach Leipzig kam, war gerade
A. F. Möbius (1790—1868) gestorben. Gleichzeitig mit ihm wurde von der
Philosophischen Fakultät der bisherige außerordentliche Professor Wilhelm Scheibner
(1826—1908)5) zum ordentlichen Professor berufen, da im Jahr zuvor Moritz Dro-
bisch (1802—1896) seine Professur für Mathematik mit einer für Philosophie
vertauscht hatte. Von Scheibner wird berichtet, daß er seinen Zuhörern eine Fülle von
Rechnungen gab und daß sein Vortrag nicht sehr fesselnd war. Dagegen führte
Adolph Mayer (1839—1908), der von 1866 bis 1907 am Institut lehrte und durch
wichtige Untersuchungen auf dem Gebiete der Differentialgleichungen und der
Variationsrechnung bekannt ist, die Studenten in formvollendeten Vorlesungen an
die neueste Literatur heran. Mehr als zwanzig Jahre gehörte dem Lehrkörper auch
Karl von der Mühll6) (1841 — 1912) an, der nach seiner Habilitation 1868 von
!) Friedrich Schulze, B. G. Teubner 1811-1911. Geschichte der Firma. Leipzig 1910.
Faksimilie des Briefes S. 300, 301.
2) Begründet 1826 durch A. L. Crelle (1780—1855), seit 1855 bis zu seinem Tode durch
K. W. Borchardt redigiert. Z. Z. erscheint der 217. Band.
3) Begründet 1856 und fortgeführt bis 1898 durch O. Schlömilch (1823 — 1901). Die
Zeitschrift ist eingegangen.
4) Näheres bei M. Schwarzburger, Die Mathematikerpersönlichkeiten der Universität
Leipzig 1409 bis 1945, in: Karl-Marx-Universität Leipzig, 1409 — 1959, Leipzig 1959, 1. Band,
S. 350-373.
5) Bereits 1853 Privatdozent in Leipzig.
6) Seit 1889 o. Prof., Universität Basel.

96 Teil III
1872 bis 1889 als außerordentlicher Professor der mathematischen Physik in Leipzig
verblieb. Nur kurz, von 1880 bis 1886, war Felix Klein (1849-1925)1) Ordinarius
in Leipzig; es waren glanzvolle Jahre eigenen fruchtbaren Schaffens und
segensreichen Wirkens im mathematischen Seminar. Während dieser Zeit erwarben
Friedrich Schur^) (1856-1932), Walther Dyck (1856-1934)2b) und Eduard Sttjdy2c)
(1862—1930) die Dozentur für Mathematik. Kleins Nachfolger als Professor der
Geometrie wurde der geniale Norweger Sophtjs Lie (1842—1899), der auch in seinen
Vorlesungen auf die Entwicklung seines wissenschaftlichen Programms Wert legte.
Von seinen Schülern habilitierten sich in Leipzig Friedrich Engel (1861 —1941)3),
der sich um das Lebenswerk von Lie besondere Verdienste erwarb, Georg Scheffers
(1866-1945)4a) und Gerhard Kowalewski (1876-1950)4b). Nachdem Sophtjs
Lie in seine Heimat zurückgekehrt war, wurde 1899 Otto Holder (1859—1937)
berufen, ein namhafter Forscher in der Funktionentheorie, Analysis, Algebra und
den Grundlagen der Mathematik. Er las mit großem pädagogischem Geschick über
alle Gebiete der Mathematik. Die Studenten erzog er zu strengem logischem Denken.
Seit 1905 vertrat Karl Rohn (1855—1920)5) die reine und angewandte Mathematik.
Besonders hervorzuheben sind seine ausgezeichneten geometrischen Vorlesungen und
seine Bücher über darstellende Geometrie. Schließlich lehrten noch Heinrich
Liebmann (1874-1939)6a) und Felix Hatjsdorff (1868-1942)6b) als
Privatdozenten und später als außerordentliche Professoren während Neumanns Amtszeit am
Institut.
Carl Neumann hat in Büchern und Nekrologen mehrfach seine Einstellung zur
Mathematik und ihren Methoden gegeben. Die Gedanken lassen die Begeisterung
erkennen, mit der jeder Mathematiker für seine Wissenschaft eintritt. Sie verdienen
auch hier festgehalten zu werden. „Es ist ein Unglück des Mathematikers oder
vielleicht auch sein Glück, daß jenes unbekannte Land (welches wir kurzweg als
Wissenschaft bezeichnen) sich ins Unendliche auszudehnen scheint, und daß die ihm
vorschwebenden Aufgaben, je weiter er fortschreitet, immer mehr an Umfang und
Schwierigkeit zunehmen, so daß er von fortdauernder Unruhe erfüllt ist."7) ,,Bei
wissenschaftlichen Forschungen pflegen spezielle Untersuchungen und allgemeine
Überlegungen miteinander Hand in Hand zu gehen, indem jede spezielle Untersuchung
allgemeine Überlegungen erweckt, und umgekehrt jede allgemeine Überlegung zu
neuen Spezialuntersuchungen Veranlassung gibt. Auch scheint diese alternierende
Methode — ich möchte sagen: diese bald mikroskopische, bald makroskopische
Betrachtung des Gegenstandes — eine durchaus notwendige zu sein. Denn wer nur
mit speziellen Untersuchungen beschäftigt ist, ohne zur rechten Zeit zu
verallgemeinern und zu höheren Gesichtspunkten sich zu erheben, wird bald die
erforderliche Orientierung verlieren, und dem Zufall preisgegeben sein; und wer umgekehrt
das Spezielle verschmäht und nur im allgemeinen sich bewegen will, wird bald die
Mittel zum weiteren Fortschritt sich entschwinden sehen, und von unübersteiglichen
*) Dann in Göttingen.
2) Zuletzt o. Prof., a) in Breslau, b) Technische Hochschule München, c) Universität Bonn.
3) Bis 1904 in Leipzig, seit 1914 o. Prof., Universität Gießen.
4) a) von 1891 bis 1896, b) von 1899 bis 1901 in Leipzig.
5) Bereits 1879-1884 in Leipzig.
6) a) 1899-1910, b) 1895-1910 in Leipzig.
7) Archiv der Universität Leipzig. Brief an den Dekan 1912.

Carl Neumann 97
Schwierigkeiten zu erzählen haben."1) Man kann geradezu den Schlüssel zu den
großen Erfolgen Neumanns in seiner Gabe erblicken, sich solche Spezialaufgaben zu
stellen, deren Lösung der Ausgangspunkt zur Behandlung allgemeinerer Probleme
wird. „... im Laufe der Zeit ist der Prozeß der Arbeitsteilung leider so weit
fortgeschritten, daß man vom Mathematiker eigentlich nur noch mathematische und vom
Physiker nur noch physikalische erwartet. Das war früher anders. Newton, Euler,
die Bernoullis, Lagrange, Fourier, Cauchy, Green, Gauß, Jacobi, Dirichlet, Riemann
haben nicht nur rein mathematische Arbeiten geliefert, sondern gleichzeitig auch
in astronomische und optische, überhaupt in physikalische, Untersuchungen sich
vertieft. Betrachtet man irgendeine Pflanze oder irgendeinen Baum, z. B. die Birke
oder Eiche — so kann man sagen, die Eiche sei eine Welt für sich, sie entwickle sich
nach ihren eigenen Gesetzen. — Gewiß, aber der äußerlichen Anregungen bedarf sie.
Sie bedarf des nährenden Bodens, sie bedarf der sie umspülenden Luft, sie bedarf des
Regens und Sonnenscheins. Ähnlich verhält es sich mit der Mathematik. Auch die
Mathematik ist eine Welt für sich; auch sie entwickelt sich nach ihren eigenen
Gesetzen. Aber auch sie bedarf gewisser äußerer Anregungen. Sie würde ohne solche
Anregungen recht bald verflachen und verkümmern ... Die Mathematik wird von
Vielen als trocken und unerquicklich angesehen. Auch wird man in der Tat nicht
behaupten dürfen, daß sie zur Ergötzung müßiger Menschen angetan sei. Aber ebenso,
wie der sprudelnde Quell und die wehende Luft uns Lebensbedürfnis sind, ebenso ist
auch das Nachdenken über diejenigen Dinge, die wir in ihrer Gesamtheit als
Mathematik zu bezeichnen pflegen, ein Lebensbedürfnis des Menschen. Dafür spricht schon
das hohe Alter der mathematischen Wissenschaft, welches nach Jahrtausenden
rechnet ... Dafür spricht ferner der Umstand, daß in der mathematischen
Wissenschaft, wenigstens in ihren wesentlichen Teilen, kein Veralten, kein Beiseitewerfen,
sondern nur größere Vertiefung und feine Durchbildung wahrzunehmen sind. Dafür
spricht endlich, daß auch ihr Umfang in fortdauerndem Wachsen begriffen ist."2)
Eine ausführliche Würdigung der wissenschaftlichen Leistungen Neumanns ist
in dem von Otto Holder verfaßten Nachruf3) enthalten. Die Arbeiten Neumanns
haben fast ausschließlich die mathematische Physik zum Inhalt. Mit den
grundlegenden Fragen der Mechanik hat er sich sehr eingehend beschäftigt. Er sagt einmal, daß
die analytische Mechanik eine seiner Hauptvorlesungen war, auf die er seit Beginn
seiner Lehrtätigkeit die allergrößte Mühe und Sorgfalt verwendet habe.4)
Schriftliche Prüfungsthemen hat er ihr gern entnommen. Schon 1869 gab er einen einfachen
geometrischen Beweis für den Satz der Kinematik, daß ein starrer Körper durch eine
Schraubenbewegung aus einer beliebigen Anfangslage in eine beliebige andere Lage
übergeführt werden kann.5) Später setzt er sich mit dem Prinzip der virtuellen
Verrückungen und dem Hamiltonschen Prinzip6) auseinander. In seinen „Hydro-
*) Untersuchungen über das Logarithmische und Newtonsche Potential. Leipzig 1877, S. V.
2) Nekrolog Wilhelm Scheibner, Ber. Verh. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Klasse 60, 378,
1908 (im folgenden kurz zitiert: Ber. Leipzig).
3) Beachte Fußnote 2. Ber. Leipzig 77, 154—180, 1925. Das Schriftenverzeichnis Neumanns
enthält 176 Nummern.
4) Siehe die Fußnote 5 auf S. 93, Brief vom 24. 11. 1902.
5) Math. Ann. 1, 195, 1869.
6) Beachte die Fußnote 2. Ber. Leipzig 39, 1887; 40, 1888.

98 Teil III
dynamischen Untersuchungen"1) behandelt er vor allem die Anwendungen der
mechanischen Prinzipien, wenn der von der Flüssigkeit eingeschlossene Raum mehrfach
zusammenhängend ist. Bereits in seiner Leipziger Antrittsrede2) sind ihm die
Grundfragen der Galilei-Newtonschen Theorie ein zentrales Problem. Es sei hier nur
hervorgehoben die Ausdehnung des Newtonschen Gravitationsgesetzes auf den unendlichen
Raum, wenn er unendlich viel Masse enthält. Neumann hat als erster3) 1874 auf die
hier auftretenden Schwierigkeiten aufmerksam gemacht und nachgewiesen, daß sich
unter diesen Voraussetzungen für das Gesamtpotential und die gesamte Kraft sowie
für den Unterschied der Kräfte in zwei unendlich nahen Punkten unendliche oder
unbestimmte Werte ergeben. Will man die Unbestimmtheiten im Euklidischen Räume
beseitigen, muß man die Form des Gesetzes ändern. Neumann4) schlägt 1896 für
e~ar
das Potential P = f • mxm^ vor.
r
Der Ansatz P = f • m1m2r"1-£ mit kleinem e > 0 behebt die Schwierigkeiten nicht.
Die „Vorlesungen über die mechanische Theorie der Wärme" (1875), die
wiederholt von ihm in Tübingen und Leipzig gehalten wurden, beruhen auf den
Originalarbeiten von Carnot, Clausius, Mayer, Kirchhoff u. a. und namentlich auf den
Vorträgen seines Vaters an der Königsberger Universität. Die ,,Haupt- und
Brennpunkte eines Linsensystems" behandelt er 1866 in einer elementaren Darstellung,
die die durch Gauss, Möbius und Bessel begründete Theorie gibt.
In der Elektrodynamik setzt er sich in einer großen Zahl von Arbeiten mit dem
Weberschen Gesetz auseinander. Gegenwärtig treten diese Schriften, die sich mit
der Fernwirkungstheorie befassen, an Bedeutung zurück. Zur Faraday-Maxwell-
schen Theorie des elektromagnetischen Feldes nimmt er eine kritische Stellung ein.
Er meint: ,,Allerdings die Kräfte in distans fallen fort. Aber an Stelle dieser treten
andere Grund Vorstellungen von noch viel höherer Transzendenz".5) Es steht
natürlich dahin, ob Gedanken auch aus diesen Arbeiten in Zukunft wirksam werden
können. „Eine befriedigende Theorie der elektrischen Erscheinungen zu finden, ist
vielleicht eine Aufgabe für Jahrhunderte."6)
Die bedeutendsten Leistungen Neumanns gehören der Potentialtheorie an, in
der er bahnbrechende Untersuchungen über Randwertaufgaben gab. Es ist hier nicht
möglich, einen genaueren Überblick über die überaus große Zahl von Abhandlungen
zu geben. Daher soll vornehmlich über die Probleme und Entwicklungen auf diesem
Gebiete berichtet werden, die heute mit Neumanns Namen verknüpft sind.
Bekanntlich genügt das Newtonsche Potential U(x, y, z) im Auf punkte P(x, y, z),
u-fftt<-
T
x) Leipzig, Teubner 1883.
2) Leipzig, Teubner 1870.
3) Beachte die Fußnote 2 auf S. 97. Ber. Leipzig 26, 97, 1874.
4) Allgemeine Untersuchungen über das Newtonsche Prinzip der Fernwirkungen. Leipzig,
Teubner1896.
5) Beachte die Fußnote 2 auf S. 97. Ber. Leipzig 49, 612, 1897.
6) Die elektrischen Kräfte, 1. Teil, Leipzig, Teubner 1873, S. XI.

Carl Neumann 99
erstreckt über ein beschränktes räumliches Gebiet T mit kontinuierlich
ausgebreiteter Masse, dessen Begrenzung eine geschlossene Jordansche Fläche ist, der
Differentialgleichung
.TJ d2U d2U , d2U _
A U = 1 [- = 0 oder —4mq,
dx2 dy2 dz2
je nachdem der Aufpunkt P außerhalb oder innerhalb T liegt. Dabei ist q die
Dichtefunktion, r = ]/(# — |)2 + (y — rj)2 + (z — C)2 und dr = dtjdrjdt das Raumelement.
Neumann1) hat 1861 der Funktion
■IM-
q da)
den Namen Logarithmisches Potential gegeben. T bezeichnet jetzt ein beschränktes
ebenes Gebiet, das kontinuierlich mit Masse belegt ist, mit einer Jordankurve als
Begrenzung, dco ist das Flächenelement, q die Dichte. Es gilt
&V d2V
1 = 0 oder —2tzq.
dx2 dy2
Aus der theoretischen Physik sind nun Randwertaufgaben hervorgegangen. Die
erste, auch Dirichletsches Problem genannt, verlangt, eine in T reguläre, in T
einschließlich 8 stetige Lösung u von Au = 0 zu bestimmen, welche auf 8 die vorgeschriebenen
stetigen Werte / annimmt. Unter T soll wieder ein beschränktes räumliches Gebiet
und unter der Begrenzung 8 eine geschlossene Fläche mit im allgemeinen stetiger
Normale verstanden werden. Die zweite Randwertaufgabe, die heute Neumannsches
Problem heißt, lautet: Es ist eine in T reguläre, bei Annäherung an 8 nebst ihrer
Normalableitung stetige Lösung u von Au = 0 zu bestimmen, deren Normalableitung
du
— auf 8 die vorgeschriebenen Werte / annimmt. In der Theorie des logarithmischen
dn
Potentials bestehen entsprechende Randwertaufgaben.
Für die Lösung der Randwertprobleme verwendete Neumann die von ihm erson-
nene sogenannte Methode des arithmetischen Mittels, die er zuerst ohne
Konvergenzbeweis im Jahre 1870 skizzierte.2) In den „Untersuchungen über das Logarithmische
und Newtonsche Potential" legte er 1877 ein Buch vor, in dem er seine Methode
ausführlich darstellte. Wir müssen bedenken, daß damals ,,die Theorie des Potentials
als eine im Werden und Wachsen begriffene Disziplin anzusehen ist"3). ,,Mein
Bestreben in dem ganzen Werk ist weniger darauf gerichtet gewesen, einen möglichst
hohen Grad von Strenge wirklich zu erreichen, als vielmehr darauf, diejenigen Wege
einzuschlagen, auf denen man, bei Hinzufügung geeigneter Einschränkungen, einen
möglichst hohen Grad von Strenge zu erreichen im Stande ist."4) Die Methode ging
hervor aus dem Studium der Theorie der Doppelbelegungen und liefert sowohl eine
J) J. reine u. angew. Math. 59, 335, 1861.
2) Beachte die Fußnote 2 auf S. 97. Ber. Leipzig 22, 49f., 264f., 1870.
3) Siehe Fußnote 1 auf S. 97: S. VII.
4) Siehe Fußnote 1 auf S. 97: S. X. Derselbe Gedanke ist auch im Vorwort der 2. Aufl.
(1884) der „Vorlesungen über die Riemannsche Theorie der Abelschen Integrale"
ausgesprochen worden.

100 Teil III
Lösung der ersten als auch der zweiten Randwertaufgabe. Der Begriff des Potentials W
einer Doppelschicht stammt von H. Helmholtz.1) Ohne auf die physikalische
Bedeutung einzugehen, werde W durch
s s
eingeführt. Dabei heißt ju das Moment der Doppelschicht. Integriert wird über eine
überall mit stetiger Normale versehene Flächet. 1/r wird in Richtung der Normalen n
abgeleitet, und (r, n) ist der Winkel, den die Richtung r mit der positiven Normalen
bildet. Neumann hat nun in seinem Buch eine neue gründliche Untersuchung von W
gegeben und gezeigt, daß W als Funktion der rechtwinkligen Koordinaten von P
der Laplaceschen Differentialgleichung genügt und daß W beim Durchgange des
Aufpunktes P durch S eine sprunghafte Unstetigkeit, nämlich ±4^//, aufweist.
Die Methode des arithmetischen Mittels, die für konvexe und nicht „zweisternige"
(nicht aus zwei Kegelmänteln zusammengesetzte) Bereiche gültig sind, kann hier
nicht formelmäßig dargestellt werden. Sie liefert einen konvergenten Prozeß, in den
eine nur vom Bereich abhängige Konfigurationskonstante eingeht, die notwendig
< 1 sein muß.
Der Vorteil der Lösung der Randwertprobleme durch die Neumannsche Methode
besteht darin, daß sie weitgehende Schlüsse über das Verhalten partieller Ableitungen
der Lösung am Rande zuläßt.2) Neumann glaubte aber zu Unrecht, daß sie „einen
Ersatz gewährt für das so schöne und dereinst so viel benutzte, jetzt aber wohl für
immer dahingesunkene Dirichletsche Prinzip".3) Es hat einer langen Reihe von
Untersuchungen bedurft, bis die Konvergenz der bei Neumann auftretenden Reihen
und damit die Anwendbarkeit der Methode für Bereiche von hinreichend allgemeiner
Natur sichergestellt war.
Bekanntlich ist das Neumannsche Problem durch H. Poincare verallgemeinert
worden, der dabei auf eine Reihe nach Potenzen eines Parameters kam, die heute
allgemein als Neumannsche Reihe bezeichnet wird, bei Neumann aber gar nicht auftritt.
Letztlich ist diese Namensgebung ebensowenig berechtigt wie die Bezeichnung
Neumannsche Reihe einer Matrix A für E + A + A2 + ^43 + • • • • Bemerkenswert ist,
daß die Neumann-Poincaresche Verallgemeinerung I. Fredholm zu seiner berühmten
Theorie der Integralgleichungen führte.
Neumann hat seine Methode auch auf die Gleichung Afp = oc2<p übertragen4)
und in sehr vielen Abhandlungen weitere spezielle und allgemeine Aufgaben der
Potentialtheorie behandelt, u. zw. sowohl im Dreidimensionalen als auch im
Zweidimensionalen bei Gegenüberstellung der entsprechenden Sätze.5)
!) Ann. Physik Chem. 89, 1853.
2) Über die Methode des arithmetischen Mittels I, II. Abh. Sachs. Ges. Wiss. XIII, 1887;
XIV, 1888.
3) Siehe Fußnote 2: XIII, 707, 1887.
4) Siehe Fußnote 4 auf S. 98.
5) Bei der Lösung des Neumannschen Problems tritt eine Funktion auf, die oft als
Neumannsche Funktion bezeichnet wird. Sie spielt dieselbe Rolle wie die Greensche Funktion beim
Dirichletschen Problem.

Carl Neumann 101
Mit der Potentialtheorie in engem Zusammenhang stehen Reihenentwicklungen
nach Kreis-, Kugel- und Zylinderfunktionen. Neumann hat sich eingehend mit ihnen
beschäftigt. 1867 liegt bereits eine Monographie „Theorie der Besselschen Funktionen,
ein Analogon zur Theorie der Kugelfunktionen" vor, die den Cauchyschen
Integralsatz zum Ausgangspunkt nahm. Ihr läßt er seine Schrift1) folgen, in der die bisher
vernachlässigten Konvergenzuntersuchungen aller der genannten
Reihenentwicklungen mit Hilfe des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung geführt werden.
Die bei ihm auftretenden Polynome On(z) und ün(z) heißen heute Neumannsche
Polynome. Die On(z) entstehen, wenn man (z — C)-1 nach den Besselschen Funktionen
Jn(C) entwickelt. Sie sind in z'1 vom Grade n + 1- Es gilt für |f | > \z\
oo
(z-~0-1=UenOn(z)Jn(t:), (1)
n = 0
in der die Koeffizienten en = 1 oder 2 sind, je nachdem n = 0 oder n > 0 ist. Die
en werden allgemein Neumannsche Zahlen genannt. Mit ün(z) bezeichnet Neumann
die Polynome in z-1, die in
1 °°
-r = E e.ß.(«) («UO)2. Ifl < 1*1
2 — C n = 0
entstehen. Die Entwicklung (1) ordnet sich den Reihen der allgemeineren Gestalt
oo
U anJk+n(t)
n = 0
unter, die als sogenannte Neumannsche Reihen in der Literatur eingehend untersucht
wurden.
Carl Neumann schuf durch Fleiß und Ideenreichtum ein eindrucksvolles
wissenschaftliches Lebenswerk, das Ergebnisse von dauerndem Wert enthält. Unsere
Universität hat Anlaß, der großen wissenschaftlichen und pädagogischen Verdienste
dieses ausgezeichneten Gelehrten dankbar zu gedenken.
x) Über die nach Kreis-, Kugel- und Zylinderfunktionen fortschreitenden Entwicklungen.
Leipzig, Teubner 1881.

Adolph Mayer
und die Variationsrechnung
Rolf Klötzler (Leipzig)
Adolph Mayer
(1839-1908)
Der Rückblick auf die 100jährige Geschichte des Mathematischen Seminars an der
Universität Leipzig lenkt unsere Aufmerksamkeit auf jene Persönlichkeiten, die an
der Gründung und Leitung desselben wesentlichen Anteil hatten: die Professoren
Wilhelm Scheibner, Carl Neumann, Felix Klein und Adolph Mayer. Sie
haben durch ihre Lehr- und Forschungstätigkeit Schwerpunkte in der mathematischen
Arbeit der Leipziger Universität gesetzt, die noch heute neben einer Vielzahl neu
hinzugekommener „moderner" mathematischer Disziplinen profilbestimmend sind.
Zu diesen Schwerpunkten zählt die Variationsrechnung, deren Pflege an diesem Ort
in erster Linie mit dem Wirken Christian Gustav Adolph Mayers ihren Anfang
nahm. Dieser hatte als gebürtiger Leipziger (geb. 15. 2. 1839) und Sohn einer
Kaufmannsfamilie 1857 ein Studium der Mathematik und Naturwissenschaften zunächst
an der Universität Heidelberg begonnen, 1858 in Göttingen ^fortgesetzt und 1859
bis 1861 in Heidelberg beendet mit einer Promotion unter Otto Hesse. Unter dem
Einfluß dieses analytischen Geometers und exzellenten Hochschullehrers wandte sich
A. Mayer nunmehr ganz der Mathematik und speziell analytischen Methoden zu.
Er verblieb nach einem Zwischensemester an der Leipziger Universität ein weiteres
Jahr bei seinem Lehrer in Heidelberg, dessen mathematische Sorgfalt und
meisterhafte Vortragsweise er sich zu eigen machte. Von ihm erwarb A. Mayer erste
Anregungen zur Variationsrechnung, indem O. Hesse beispielgebend die Aufmerksamkeit
auf eine sorgfältige Fundierung und Ausarbeitung grundlegender Ergebnisse von
C. G. Jacobi richtete. Weitere Anregungen zu einer intensiven Beschäftigung mit
der Variationsrechnung und analytischen Mechanik erfuhr A. Mayer bei einem
Zusatzstudium (1862—65) an der Universität Königsberg durch Vorlesungen und
Seminare von Franz Neumann und Friedrich Richelot. Letzterer, ein Schüler
C. G. Jacobis, hielt im Wintersemester 1864/65 eine zum Teil schwierige Vorlesung
über Variationsrechnung, die gerade wegen ihres unvollkommenen Charakters
A. Mayer zur Erarbeitung einer einschlägigen Habilitationsschrift veranlaßte. Mit ihr
erwarb er sich unter dem Titel „Theorie der Maxima und Minima der einfachen
Integrale " 1866 an der Universität Leipzig die venia legendi. Bereits ab 1865 wirkte er
hier als junger Privatdozent, bis er 1872 zum außerordentlichen Professor ernannt
:. ^

Adolph Mayer und die Variationsrechnung 103
wurde. Mit der Gründung des Mathematischen Seminars wurde A. Mayer an der
gleichen Universität 1881 zum ordentlichen Honorarprofessor berufen und ein Jahr
später zum Mitdirektor ernannt. Er hielt trotz auswärtiger Berufungsangebote
bis zu seinem Lebensende der Leipziger Universität die Treue. 1890 wurde er hier
Ordinarius; im gleichen Jahre mußte er sich jedoch aus gesundheitlichen Gründen
von seinen Funktionen beurlauben lassen. Seine wissenschaftlichen Arbeiten hat
A. Mayer dennoch weitergeführt, ebenso seine Vorlesungstätigkeit. Am 11. 4. 1908
erlag er während eines Genesungsaufenthaltes in Gries bei Bozen seiner Krankheit.
Er war Mitglied der Gesellschaft der Wissenschaften in Leipzig und in Göttingen,
der Turiner Akademie und der Leopoldinisch-Carolinischen Akademie der
Naturforscher. Große Verdienste erwarb sich A. Mayer auch als Mitherausgeber der 1868
von A. Clebsch und Carl Neumann gegründeten „Mathematischen Annalen".
Die Grundzüge seines wissenschaftlichen Wesens wollen wir uns aus berufenem
Munde von Fachkollegen A. Mayers aus seiner Zeit in einigen Zitaten wiedergeben
lassen.
In einer Rede vor der Gesellschaft der Wissenschaften in Leipzig [10] sagte Otto
Holder in Würdigung A. Mayers:
„Es lag in seiner Natur, daß er nur bei der gewissenhaftesten Durchführung seiner
Arbeit Befriedigung empfand, und so hat er von Anfang an nach Exaktheit und
Vollständigkeit gestrebt und stets nach den Ausnahmen der ,im allgemeinen' geltenden
Sätze gesucht. War er von einer mehr formal eleganten analytischen Richtung
ausgegangen, so entwickelte er sich nach der strengeren Seite hin, indem er mehr und
mehr dazu kam, Annahmen, die er früher ohne weiteres zugelassen hatte, zu beweisen.
Er war aber nicht geneigt, durch solche Anforderungen der Strenge sich zu sehr
aufhalten zu lassen; nicht überall ging er auf die Grundlagen der Analysis zurück, und
er hat es öfters ausgesprochen, daß Annahmen nichts schaden, wenn sie nicht
stillschweigend gemacht werden. Fand er an einer seiner Arbeiten etwas zu verbessern,
so hob er ausdrücklich hervor, was ihm an seinem früheren Standpunkte nicht mehr
genügte. Seinem aufrichtigen und bescheidenen Charakter wurde dieses
Zugeständnis nicht schwer."
Von der Mühll, Basel, schreibt als Mitherausgeber der Mathematischen Annalen
über A. Mayer:1)
„Seine Zuhörer hat er gefördert, wie er konnte, sie zu weiterem Forschen angeregt
und ihnen auch für auswärtige Studien den Weg geöffnet. Seinen Kollegen war er
der treuste Freund; für die Vertretung der Mathematik an der Leipziger Universität
hat er in der uneigennützigsten Weise gewirkt, und wenn es galt, eine auswärtige
Kraft zu gewinnen, so war ihm keine Mühe und kein persönliches Opfer zu groß.
Mit der vollendeten Liebenswürdigkeit, die ihm eigen war, hat er die Herberufenen
in seinem Hause2) aufgenommen, sie in die Leipziger Kreise eingeführt und alles
aufgeboten, ihnen die neue Heimat lieb zu machen. Er fühlte sich reich belohnt, wenn
es gelang, den neuen Kollegen ganz für Leipzig zu gewinnen; er hat auch in schweren
Tagen treulich beigestanden."
*) Vgl. [25].
2) Bis 1900 Leipzig, Königstraße 1, danach Roßplatz 14.

104 Teil III
Hauptgegenstand des 56 Veröffentlichungen umfassenden wissenschaftlichen
Werkes von A. Mayer sind für ihn zeitlebens die Variationsrechnung und verwandte
Probleme zur Mechanik und zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster
Ordnung gewesen. Innerhalb der Variationsrechnung hat A. Mayer in kritischer
Sichtung klassischer Resultate von Euler, Lagrange, Jacobi u. a. grundlegende
Beiträge geleistet, die sich auf folgende drei Themenkreise konzentrieren:
I. Die Reduktion der zweiten Variation von Lagrange-Problemen einfacher
Integrale auf eine möglichst einfache Normalform nebst Herleitung notwendiger
und hinreichender Optimalitätskriterien nach dem Vorbilde von C. G. Jacobi.
IL Die Rechtfertigung der Euler-Lagrangeschen Multiplikatorenmethode zu
Variationsproblemen einfacher Integrale unter Nebenbedingungen in der Gestalt von
Differentialgleichungen.
III. Die Erweiterung des Hilbertschen Unabhängigkeitssatzes auf Lagrange-Pro-
bleme.
Themenkreis I
A. Mayers Hauptwerk zu diesem Gegenstand ist seine schon oben erwähnte
Habilitationsschrift [15] von 1866, ihr schließen sich in Nachfolge Jahren mehrere
Ergänzungsveröffentlichungen [16, 17] an. In enger wissenschaftlicher Beziehung stehend
zu dem in Göttingen wirkenden und früh verstorbenen A. Clebsch, behandelt
A. Mayer in dieser Habilitationsschrift Variationsprobleme des Typs
f F(xy y(x), y'{x)} dx -> Min (la)
bezüglich aller Vektorfunktionen y = (ylf ..., yn) auf [x0, xj, die den
Festrandbedingungen
y(zo) = <*> y(*i) = & (lb)
und m < n Differentialgleichungen
<Px(x, y(x), */») = 0 (* = 1, ..., m) (1 c)
genügen.
Mayer stellt sich hier noch auf den verbreiteten Standpunkt seiner Zeit,
stillschweigend alle im Problem (1) auftretenden Funktionen als „genügend oft"
differenzierbar vorauszusetzen und für eine Lösung y° des sogenannten Lagrange-Pro-
blems (1) die Gültigkeit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel allgemein
anzuerkennen. Danach existieren zu y° Lagrangesche Multiplikatoren Äx(x) (x = 1, ..., m),
mit denen y° unter Verwendung von Q(x, y, y', X) := F(x, y, y') + Ax<px(x, y, y') als
Lagrange-Funktion dem System der Lagrange-Gleichungen
—*L = Q (t = l,...,n) auf [x0fXl] (2)
dx
nebst (lb) und (lc) genügt.
Daran knüpft A. Mayer umgekehrt die zentrale Fragestellung an, wann eine
Lösung y° von (2), (lb), (lc) — eine sogenannte Extremale — in der Tat Lösung von

Adolph Mayer und die Variationsrechnung 105
(1) oder keine Lösung dieses Variationsproblems ist. Nach dem Vorbild der
Extremwertaufgaben der Differentialrechnung diskutiert A. Mayer dazu die Eigenschaften
der zugeordneten zweiten Variation
ö*J(yQ;z,ju) := j Q2 dx
mit Xo
d2ü(x, y° + ezy y°f + ez'9 X + e/i)
Q*
de2
(3a)
bezüglich aller stetig differenzierbaren Vektorfunktionen z = (zl9 ..., zn) und
fjL = (/jlu ..., jum) auf [x0, xx\ die die Randbedingungen
z(x0) = z(xx) = 0 (3b)
und Nebenbedingungen
tp^(x, y», y»') Z} = 0 (* = 1, ..., m) (3c)
befriedigen. In kluger Verallgemeinerung einer Transformationsmethode von A.
Clebsch und Verwendung einer Idee von R. Lipschitz formt Mayer d2J um mittels
beliebiger vollständiger Integrale y = r)(x, clf ..., c2n), X = %{x9 clf ..., c2n) des Systems
(2), (lc), deren „Vollständigkeit" darin besteht, daß sich die 2n unabhängigen
Parameter cl9 ..., c2n eindeutig mittels der Randbedingungen (lb) durch die parametrisch
aufgefaßten Randwerte a und b ausdrücken lassen. Das Resultat dieser Umformung
lautet in etwas freier Wiedergabe
Ö*J = 1 f ü2y.y.(x, y<>, y<", A) U, dx (4)
mittels geeigneter mittelbarer Funktionen £i(x, z, z', //), welche für alle zulässigen
z und [jl von (3) selber den Nebenbedingungen (3c) genügen, sofern für alle x € (x0, xt]
die May ersehe Determinante
^ 3(?h(so,c), ...,r)n(x0, c); rj^x, c), ...9rjn(x9c))
4= 0 (5)
c=c°
d(cl9 ..., c2n)
ist.1)
Durch die glückliche Idee der Einführung dieser Determinante vermochte Mayer
nunmehr sehr leicht ein klassisches Resultat von Jacobi zu verallgemeinern, das
dieser für Problem (1) nur im Spezialfall n = 1 und ohne Nebenbedingungen (lc)
bewies. Es lautet:
Satz 1 (Hinreichendes Jacobisches Kriterium). Ist längs einer Lösung y°, X von
(2), (lb), (lc) die Bedingung (5) und die verschärfte L,ege?idre-Clebsch-Bedingung der
positiven Definitheit der quadratischen Form
Q^y^y»'^)^ l (6)
für alle f <E Bn mit yxyj{x, y°, y0') f;- = 0 (* = 1, ..., m) j
erfüllt, so ist die zweite Variation (3 a) für alle zulässigen z ^ 0 und /u von (3) stets positiv.
x) Dabei ist c° durch die Bedingung y° = r?(-, c°) festgelegt.

106 Teil III
Andererseits zeigte A. Mayer den nachfolgenden
Satz 2. Besitzt die May ersehe Determinante A(x0, x) in (x0, xj eine isolierte
Nullstelle, so kann der Wert der zweiten Variation (3a) mit geeigneten zulässigen z =\=0
und n von (3) zu Null gemacht werden.
Die erste Nullstelle der Mayerschen Determinante rechts von x0 aus gesehen nennt
man heute nach Weierstrass den (rechten) konjugierten Punkt von x0, so daß
A. Mayer mit den Sätzen 1 und 2 über die ersten Anfänge von C. G. Jacobi hinaus
eigentlich die Theorie der konjugierten Punkte begründet hat, welche später (1897)
von A. Kneser durch eine geometrische Interpretation bereichert wurde (vgl. dazu
insbesondere [12]). Bemerkenswert ist jedoch, daß in vielen neueren Darstellungen
der Variationsrechnung die Mayersche Determinante ungerechtfertigt kaum noch
Erwähnung findet, indem in den Sätzen 1 und 2 ganz spezielle „ausgezeichnete"
Extremalscharen r)(x, cl9 ..., c2n) mit
rj(x0,cl9 ...,c2n) = ci+n (i = 1, ...,w)
zum Einsatz kommen, für die sich die Mayersche Determinante /1 (x0, x) auf
D(Xy c0) = 8(m(*,c),...,yn(x,c)) I
d(cl9...,cn) \c=c»
reduziert.
Freilich sind aus heutiger Sicht Mayers damalige weiterführende Schlüsse aus
den Sätzen 1 und 2 als unstreng anzusehen. So folgerte er (wie viele seiner
Zeitgenossen) aus der Gültigkeit von Satz 1, daß y° unter den Bedingungen dieses Satzes das
Minimum von (1) liefert. Aus dem Satz 2 schloß Mayer, daß y° kein Minimum zu
(1) liefert, wenn die Mayersche Determinante (5) in (x0, xx) eine isolierte Nullstelle
besitzt. — Beide Aussagen sind erst einige Jahre später durch L. Scheeffer,
K. Weierstrass und A. Kneser bzw. durch A. Kneser und L. Tonelli korrekt
begründet worden über eine Einschränkung des Minimumbegriffs im Sinne eines
relativen Minimums in der Metrik des O1^, xx] (d. h. im Sinne eines „schwachen"
Minimums).
Offen ließ A. Mayer auch die Frage, wie über die Minimaleigenschaft von y°
zu entscheiden ist, wenn A(x0, x) identisch Null ist. Dieses Problem wurde erst in
späteren Arbeiten besonders von C. Caratheodory 1932 durch Einführung des
Klassenbegriffs von Lagrange-Problemen geklärt (vgl. [4]); er gestattet, die Sätze 1 und
2 über Ranguntersuchungen zur Matrix der Mayerschen Determinante abzuwandeln.
Nach einer Phase intensiver Beschäftigung mit der Integrationstheorie partieller
Differentialgleichungen erster Ordnung, aus der sich bis in unsere heutige Zeit der
Begriff der Mayerschen Integrationstheorie eines Systems totaler
Differentialgleichungen erhalten hat, griff A. Mayer nach einem Jahrzehnt erneut diesen Themenkreis I
auf, indem er ihn 1878 mit [17] auf eine sehr allgemeine Klasse von
Variationsproblemen erweiterte. Die Anregungen dazu stammen letztlich sogar noch aus Mayers
Königsberger Studienzeit, den Typus dieser Problemklassen bezeichnen wir heute als
Mayersche Probleme. Wir verstehen darunter folgende Fragestellung:
Bestimme n Funktionen ylf ...,yn auf [#o> xi] so> daß sie unter den
Nebenbedingungen
<px(x, y, y') = 0 (x = 1, ...,m < n) (7)

Adolph Mayer und die Variationsrechnung 107
und Randbedingungen
yi(x0) = ai (t = 1, ...,w), Vf(x1) = bj (j = 2, ...,w)
der Optimalitätsf orderung yi{xx) -> Jfm genügen.
A. Mayer hat mit diesen Untersuchungen zugleich ein Vorbild zur heutigen
Steuerungstheorie geschaffen, wenngleich auch seine Beweismethoden noch an dem
Lagrangeschen Variationsbegriff festhalten (im Gegensatz zu den heute üblichen
,,Nadelvariationen") und bedenkenlos an der Gültigkeit der Lagrangeschen
Multiplikatorenregel. Diese verwendend, erkennt Mayer die auffallende Symmetrie zugeordneter
notwendiger Optimalitätsbedingungen, die sich für eine optimale Lösung y° mit
zugeordneten Lagrangeschen Multiplikatoren Xx(x) in Gestalt der Mayerschen
Differentialgleichungen
K{x) ?„,(*, y°, y°f) - £ (K(x) cp^ix, y«, y«')) = 0 (j= 1, ..., n) (8)
äußern. Aus ihnen wird unmittelbar der allgemeine Mayer sehe Reziprozitätssatz
erkennbar, daß die gleichen notwendigen Bedingungen (8) gelten müssen, wenn man
in der Aufgabenstellung (7) die zu minimierende Funktion yx (an der Stelle xx)
durch irgendeine andere der Funktionen y2i ..., yn ersetzt.
Schließlich verdienen in diesem Zusammenhang auch jene Bemühungen Mayers
eine Würdigung, die sich auf Variationsprobleme (1) mit freien oder teilweise freien
Randwerten der y beziehen. Mayer erkannte mit der Arbeit [18] die Zweckmäßigkeit,
Variationsprobleme mit freien Randwerten zunächst als Variationsprobleme mit
parametrisch festen Randwerten zu studieren und anschließend durch Variieren der
Randwerte weitere Diskussionen über die Integralwertfunktion mittels Methoden
der Differentialrechnung zu führen. In einer zweiten Arbeit dazu [22] hat Mayer
gegenüber einer Kritik von Erdmann seine Herangehensweise durch
Vergleichsrechnungen voll gerechtfertigt.
Themenkreis II
Im Jahre 1885 hat sich A. Mayer mit der Publikation [19] kritisch zu eigenen
Schlüssen und zu Beweisen von Lagrange hinsichtlich der Lagrangeschen
Multiplikatorenregel geäußert. Mayer erkannte, daß die Notwendigkeit der Bedingung
(2) als Optimalitätsbedingung für eine Lösung y° von Problem (1) ernstlich in Frage
zu stellen ist, da die bislang als Beweisgrundlage akzeptierten Vorlagen von Lagrange
mittels Störungen („Variationen") von y° operierten, die gar nicht mehr die
Randbedingungen (lb) erfüllen. Aus Diskussionen mit L. Scheeffer heraus und
Anknüpfungen an dessen Untersuchungen über isoperimetrische Probleme entwickelte Mayer
einen neuen Beweis der Lagrangeschen Multiplikatorenregel (2), den er nachfolgend
auch auf die oben erwähnten Mayerschen Probleme in Gestalt der Bedingungen (8)
erweiterte. Dieser Beweis überwindet in der Tat den oben erwähnten Fehlschluß
von Lagrange, unterläßt jedoch die notwendige Erörterung der weiteren Frage,
ob die verwendeten Variationen tatsächlich existieren. Deshalb ist eine endgültige
korrekte Beweisführung der Lagrangeschen Multiplikatorenregel zu (1) erst A.
Kneser 1900 [12], D. Hilbert 1905 [8], 0. Bolza 1907 [2] und G. A. Bliss 1930
[1] in verschiedenen Graden der Verallgemeinerung zuzuschreiben.
A. Mayer hat seine Vorlesungen über Variationsrechnung in der Regel mit einem

108 Teil III
Kapitel über ,,die Theorie des gewöhnlichen Maximums und Minimums" — gemeint
sind Extrema von Funktionen — eingeleitet. Dazu gehörte auch die Fundierung der
Lagrangeschen Multiplikatorenregel für Extrema von Funktionen mehrerer
Variabler unter Nebenbedingungen. Historisch verdient dabei die Tatsache besondere
Erwähnung, daß Mayer auch Nebenbedingungen in der Gestalt von
Ungleichungsrestriktionen
y>i(xlf ..., xn) ^ 0 (i = 1, ..., m < n) (9)
in seine Untersuchungen einbezog (vgl. etwa [20]). Er bediente sich dabei des Tricks
(der später 1936 von F. A. Valentine für Lagrange-Probleme wieder aufgegriffen
wurde [26]), die Restriktionen (9) durch die äquivalenten Gleichungsrestriktionen
z? — y>i(xi> • • • > xn) = 0 (i = 1, ..., m) mittels Einführung zusätzlicher reeller
Variablen z-t zu ersetzen. Resultat seiner Untersuchungen sind notwendige Optimalitäts-
bedingungen, die erst Mitte des 20. Jahrhunderts unter dem Namen „Kuhn-Tucker-
Bedingungen" eine zentrale Rolle in der Optimierungstheorie gewonnen haben.
Themenkreis III
A. Mayer hat sich stets bemüht, auf seinem Interessengebiet grundlegende Ideen
anderer Mathematiker kennenzulernen und in sein engeres Schaffen einzubeziehen.
Gerade deshalb hat Mayer sein großes Bedauern häufig darüber zum Ausdruck
gebracht, die Ergebnisse und Methoden des Berliners Karl Weierstrass zur
Variationsrechnung nicht in gedruckter Form einsehen zu können. Lediglich für 24 Stunden
stand A. Mayer einmal eine Nachschrift zu Weierstrass' Vorlesungen zur
Verfügung; diese flüchtigen Kontakte haben freilich nicht Mayers Arbeiten enger mit
denen von Weierstrass verbinden können, wenn man davon absieht, daß Mayer
in späteren Jahren recht wohl die Weierstraßsche (S-Funktion einzusetzen wußte.
Als jedoch 1900 David Hilbert seinen grundlegenden Vortrag über
„Mathematische Probleme" veröffentlichte [7], erkannte A. Mayer sofort die hohe Bedeutung
dieses Beitrags für unser Wissenschaftsgebiet. Trotz seines angegriffenen
Gesundheitszustandes entwickelte A. Mayer in zwei Arbeiten [23] und [24] der Jahre 1903 und
1905 zwei ergänzende Untersuchungen zum 23. Problem von D. Hilbert. Zu deren
Erläuterung sei vorausgeschickt, daß D. Hilbert mit dem 23. Problem für den
einfachsten Fall der Aufgabe (1) zu einer abhängigen Variablen ohne Nebenbedingungen
(1 c) folgende Aufgabe gestellt und konstruktiv gelöst hatte:
Wie ist die Funktion p(x, y) zu wählen, damit
dco := [F(x, y, p) - pFy\x, y, p)] dx + Fy,(x, y, p) dy (10)
ein totales Differential darstellt, so daß also das Integral über die Differentialform (10)
wegunabhängig ist?
A. Mayer erweiterte diese Fragestellung in Anlehnung an (1) auf die Aufgabe:
Wie sind den Nebenbedingungen (px(x, y, p) = 0 (x = 1, ..., m) genügende
Funktionen Pi(x, y) (i = 1, ..., n) und Xx(x, y) (x = 1, ..., m) zu wählen, damit
dco := [ü(x, y, p, X) — Pi&yi>(x, y, p, X)] dx + Qyi>(x, y, p, X) dy{ (11)
ein totales Differential darstellt ?

Adolph Mayer und die Variationsrechnung 109
Die Beantwortung dieser Frage führt A. Mayer in der ersten Arbeit [23] über
„ausgezeichnete" Extremalenscharen (im Sinne der Nachfolgebemerkungen zu Satz 2)
aus bei festgehaltenen ci+n = c°+n (i = 1, ..., n). Unter der Voraussetzung, daß die
so erzeugte w-parametrige Extremalenschar innerhalb eines gewissen Gebietes G
die Bedingung D(x, c) 4= 0 erfüllt, also ein sogenanntes Extremalenfeld bildet, löst
A. Mayer die Gleichungen
y{ = rjiix.c) (i= 1, ...,w)
nach den verbliebenen freien Parametern cl9 ..., c„ auf in der Gestalt c;- = gfa, y)
(j = 1, ...,/&). Mayer zeigt, daß sich damit innerhalb eines gewissen
Existenzgebietes 93 die gesuchten Funktionen fpl und Xx durch
Pi(z, y) := *?«*(*, gip> y)), Kfa y) := %*[x> g(*> y))
angeben lassen; das zugeordnete Gebiet 93 wird besonders in der englischen Literatur
oft als ein Mayer-Feld bezeichnet (vgl. beispielsweise M. R. Hestenes [6], S. 136
und 295).
In einer weiteren Arbeit [24] hat Mayer die Lösung der obigen Aufgabe in
unmittelbare Beziehung zur allgemeinen Hamilton-Jacobischen Theorie gebracht. Mayer
zeigte hier, daß obige Konstruktion von Pi(x, y) und ?>x(x, y) genau dann mit beliebigen
w-parametrigen Lösungsscharen y = rj(x,c), X = %(x, c) von (2), (lc) der
Eigenschaft D(x, c) =|= 0 zu einem totalen Differential in (11) führt, wenn diese Scharen
in der Bezeichnung von 0. Bolza May ersehe Extremalscharen sind oder in der
Bezeichnung von C. Caratheodory [3] ein Extremalenfeld bilden; d. h., wenn unter
Benutzung der kanonischen Größen
rji(x9 c), m(x, c) := üVi\x, ly, r\x, %) (* = 1, ..., ro)
sämtliche Lagrangeschen Klammerausdrücke
[c„ cj := rjicv7iiC(i — ?]iC(i7TiCv = 0
sind.
In dieser letzten Publikation von A. Mayer zeigt sich auch, daß Mayer die
Bedeutung seiner Untersuchungen für einen feldtheoretischen Aufbau der
Variationsrechnung im Sinne von Weierstrass voll erkannt hat. In höchster Eleganz sind diese
Ideen aber erst dreißig Jahre später durch C. Caratheodorys Zugang zur
Variationsrechnung [3] ausformuliert worden, in dem konsequent kanonische Koordinaten
Verwendung finden. Die Erweiterung des Hilbertschen Unabhängigkeitssatzes auf
May ersehe Probleme erfolgte bereits 1906 durch D. Egorow [5].
Wenn wir heute die klassische Variationsrechnung einfacher Integrale im
wesentlichen als abgeschlossen ansehen und damit Fragestellungen vom Typ (1) oder (7)
meinen, bei denen keine zusätzlichen Gebietsbeschränkungen y(x) € G1 und
Steuerbeschränkungen y'(x) € G2 auftreten, so hat A. Mayer an diesem Gesamtresultat
einen beachtlichen Anteil gehabt. Über C. Caratheodory und G. Herglotz sind
seine Arbeiten an der Leipziger Universität besonders von Ernst Holder und
Schülern wieder aufgegriffen worden mit der Zielstellung, auch für Variationsprobleme
mehrfacher Integrale zu ähnlichen oder verwandten Ergebnissen zu gelangen.
Erfolge dieser Bemühungen widerspiegeln sich z. B. in den Publikationen [9] und [11]
von E. Holder bzw. R. Klötzler.

110 Teil III
Quellen- und Literaturverzeichnis
[1] Bliss, G. A.: The problem of Lagrange in the calculus of variations, Amer. J. Math. 52
(1930), 693-744.
[2] Bolza, O.: Vorlesungen über Variationsrechnung, 1. Aufl.1) Leipzig 1909.
[3] Caratheodory, C: Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster
Ordnung, Leipzig —Berlin 1935.
[4] Caratheodory, C.: Gesammelte mathematische Schriften I, München 1954.
[5] Egorow, D.: Die hinreichenden Bedingungen des Extremums in der Theorie des Mayer-
schen Problems, Math. Ann. 62 (1906), 371-380.
[6] Hestenes, M. R.: Calculus of Variations and Optimal Control Theory, New York —
London—Sidney 1966.
[7] Hilbert, D.: Mathematische Probleme, Göttinger Nachr. 1900, 253—297.
[8] Hilbert, D.: Zur Variationsrechnung, Göttinger Nachr. 1905, 159 — 180.
[9] Holder, E.: Die infinitesimalen Berührungstransformationen der Variationsrechnung,
Jahresber. DMV 49 (1939), 162-178.
[10] Holder, O.: Adolph Mayer, Nekrolog, Ber. Verh. Ges. Wiss. Leipzig 60 (1908), 355-373.
[11] Klötzler, R.: Mehrdimensionale Variationsrechnung, Berlin 1969.
[12] Kneser, A.: Lehrbuch der Variationsrechnung, Braunschweig 1900.
[13] Kneser, A.: Variationsrechnung, Enzyklopädie der Math. Wiss. II A. 8, Berlin.
[14] Liebmann, H.: Adolph Mayer, Jahresber. DMV 17 (1908), 355-362.
[15] Mayer, A.: Beiträge zur Theorie der Maxima und Minima der einfachen Integrale,
Habilitationsschrift Leipzig 1866.
[16] Mayer, A. Die Kriterien des Maximums und des Minimums der einfachen Integrale in
dem isoperimetrischen Problem, Ber. Verh. Ges. Wiss. Leipzig 29 (1877), 114—132.
[17] Mayer, A.: Über das allgemeinste Problem der Variationsrechnung bei einer einzigen
unabhängigen Variablen, Ber. Verh. Ges. Wiss. Leipzig 30 (1878), 16—32.
[18] Mayer, A.: Zur Aufstellung des Kriteriums des Maximums und Minimums der einfachen
Integrale bei variablen Grenzwerten. Ber. Verh. Ges. Wiss. Leipzig 36 (1884), 99 — 127.
[19] Mayer, A.: Begründung der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode in der
Variationsrechnung, Ber. Verh. Ges. Wiss. Leipzig 37 (1885), 7 — 14.
[20] Mayer, A.: Zur Theorie des gewöhnlichen Maximums und Minimums, Ber. Verh. Ges.
Wiss. Leipzig 41 (1889), 122-144.
[21] Mayer, A.: Die Lagrangesche Multiplikatorenmethode und das allgemeinste Problem
der Variationsrechnung bei einer unabhängigen Variablen, Ber. Verh. Ges. Wiss.
Leipzig 47 (1895), 129-144.
[22] Mayer, A.: Die Kriterien des Minimums einfacher Integrale bei variablen Grenzwerten,
Ber. Verh. Ges. Wiss. Leipzig 48 (1896), 436-465.
[23] Mayer, A.: Über den Hilbertschen Unabhängigkeitssatz in der Theorie des Maximums
und Minimums der einfachen Integrale, Ber. Verh. Ges. Wiss. Leipzig 55 (1903), 131 — 145.
[24] Mayer, A.: ..., zweite Mitteilung, Ber. Verh. Ges. Wiss. Leipzig 57 (1905), 49—67.
[25] von der Mühll, K.: Zum Andenken an Adolph Mayer, Math. Ann. 65 (1908), 433—434.
[26] Valentine, F. A.: The problem of Lagrange with differential inequalities as added side
conditions, Contributions to the Calculus of Variations 1933—37, Chicago 1937, pp. 403
to 447.
x) Das Zustandekommen dieser erweiterten deutschen Fassung der Lehrbuchvorlage von
O. Bolza ,,Lectures on the Calculus of Variations", Chicago 1904, geht in hohem Maße noch
auf Initiativen von A. Mayer zurück.

Sophus Lie*)
Paul Günther (Leipzig)
V
Sophus Lie
(1842-1899)
Unter den Mathematikern, die im Laufe der Jahrhunderte an der Leipziger
Universität wirkten, gebührt dem Norweger Sophus Lie ein besonderer Ehrenplatz.
I
Marius Sophus Lie wurde am 17. 12. 1842 in Nordfjordeide am Eidsfjord, einem
Zweige des Nordfjords, als Sohn eines Pfarrers und als jüngstes von sechs
Geschwistern geboren.1) Er besuchte von 1857 an eine Lateinschule in Kristiania, dem heutigen
Oslo, und studierte danach von 1859—65 an der dortigen Universität die
,,Realfächer", ohne daß dabei eine besondere Neigung für Mathematik zutage getreten wäre.
Lie berichtet später,2) daß er 1862 bei seinem Landsmann L. Sylow (1832—1918)
eine kurze Vorlesung über die Galoissche Theorie gehört habe, die damals anter den
Mathematikern ganz allmählich bekannt wurde. Als Lie 1865 seine Studien mit
dem Lehrerexamen abschließt, ist er noch recht im Zweifel, welchem Beruf er sich
zuwenden soll; er versucht sich zwar nicht ohne Erfolg in öffentlichen Vorträgen
über Astronomie, doch gewährt ihm dies, ebenso wie das Erteilen von mathematischem
Privatunterricht keine rechte Befriedigung.
Aber im Jahre 1868 erwacht der Drang zum Schöpferischen; angeregt insbesondere
durch die geometrischen Werke von I. V. Poncelet (1788—1867) und I. Plücker
(1801—1868), faßt er den Gedanken, „in der Mathematik als Schriftsteller
aufzutreten",3) — und dies führt er 30 Jahre lang mit seltener Intensität durch. Seine
*) Der nachfolgende Artikel ist bereits abgedruckt in ACTA UNIVERSITATIS PALACKIA-
NAE OLOMUCENSIS, FACULTAS RERUM NATURALIUM, 27 (1968), 5-26. - Anm. d.
Red.
x) Wir stützen uns vielfach auf die folgenden beiden Nachrufe auf S. Lie: F. Engel, Lsipzi-
ger Berichte 51, XI-LX1 (1899); M. Noether, Math. Ann. 53, 1-41 (1900).
2) S. Lie, Theorie der Transformationsgruppen, Band 3, Leipzig 1893, S. XXIII. — Dieses
Werk zitieren wir im folgenden unter der Abkürzung ,,TG".
3) Siehe Fußnote 2).

112 Teil III
ersten Arbeiten sind geometrischer Natur und zeichnen sich bereits durch eine reiche
Gedankenvielfalt aus.
1869 erhält Lie ein Reisestipendium und verbringt den Winter in Berlin, wo er
an den Seminaren von Weierstrass und Kummer teilnimmt, aber doch wohl mehr
seinen eigenen Arbeiten nachhängt. Hier lernt er auch Felix Klein1) (1849—1925)
kennen, mit dem er sogleich in regen Gedankenaustausch tritt, der sich in späterem
Briefwechsel fortsetzt. Im Frühjahr 1870 setzt Lie seine Reise über Göttingen nach
Paris fort, wo er mit G. Darbotjx und C. Jordan, später mit dem nachgereisten
F. Klein zusammentrifft. Als dieser wegen des inzwischen ausgebrochenen Krieges
nach Deutschland zurückkehrt, faßt Lie — zeit seines Lebens ein rüstiger
Fußwanderer — den Plan, zu Fuß nach Italien zu gelangen, er wird allerdings schon in
Fontainebleau als angeblicher deutscher Spion einen Monat im Gefängnis festgehalten,
kommt aber schließlich doch nach Italien und kehrt über die Schweiz und
Deutschland nach Kristiania zurück. Während dieser Reise arbeitet Lie unentwegt, er findet
den allgemeinen Begriff der Berührungstransformation und seine berühmte Geraden-
Kugeltransformation; beides wendet er auf Differentialgleichungen an. Als
Universität sstipendiat in Kristiania erwirbt Lie 1871 den philosophischen Doktorgrad, der
gleichzeitig die Habilitation beinhaltete. Im folgenden Winter bewirbt sich Lie
um eine erledigte Professur in Lund (Schweden), was ihm als patriotischem
Norweger nicht leicht fiel. Norwegen war ja damals, nachdem es 1814 seine Unabhängigkeit
von Dänemark erlangt hatte, durch Personalunion mit Schweden verbunden, doch
war das gegenseitige Verhältnis recht spannungsreich, und die Norweger strebten
nach völliger Selbständigkeit, die sie schließlich 1905 erlangten. Die Absicht Lies,
nach Lund zu gehen, weckte Bestrebungen zu seinen Gunsten, und am 26. 3. 1872
beschloß der Storthing (norwegisches Parlament) eine persönliche Professur für Lie
in Kristiania einzurichten. Diese Stellung empfand Lie ,,als sehr angenehm", seine
Vorlesungen konnte er nach Belieben einrichten, er klagte lediglich über die vielen
Prüfungen. Weihnachten darauf verlobt sich Lie mit Anna Birch; der 1874
geschlossenen Ehe entstammten zwei Töchter und ein Sohn.
1872 findet Lie seine neue Integrationsmethode für partielle
Differentialgleichungen 1. Ordnung. Im Spätherbst trifft er wieder mit Klein, diesmal in Erlangen
zusammen; auf dieser Reise lernt er auch Adolph Mayer2) (1839—1908) in Leipzig
kennen, dessen Arbeiten über Differentialgleichungen mit den seinen eng
zusammenhängen und mit dem er auch später Briefe wechselt. Schließlich gelangt er 1873 zu
den Anfängen seiner Theorie der Transformationsgruppen. Damit hat Lie in dem
knappen Zeitraum von nur 5 Jahren fast alle seine späteren Theorien und
grundlegenden Ideen wenigstens im Ansatz erarbeitet. Ihrer Ausarbeitung und ständigen
Ausdehnung widmet er sich fortan mit gewaltiger Arbeitskraft, immer auf die tragenden
Ideen und Gedanken konzentriert.
Gemeinsam mit Worm Müller und G. 0. Sars gründet Lie 1876 eine eigene, noch
heute bestehende Zeitschrift, das ,,Archiv for Mathematik og Naturvidenskab"; er
brauchte so nicht mehr auf den langsam vonstatten gehenden Druck seiner Arbeiten
in den Verhandlungen der Kristianiaer Gesellschaft der Wissenschaften zu warten.
x) Von 1880 bis 1886 ord. Professor in Leipzig.
2) Ab 1871 a. o. Prof., ab 1890 ord. Prof. in Leipzig.

Sophus Lie 113
Auch arbeitet er 8 Jahre lang zusammen mit L. Sylow an der Neuausgabe von Abels
Werken.
Erwähnt sei noch die Reise von 1882, auf der Lie in Paris mit G. Halphen (1844 bis
1889) wissenschaftlichen Kontakt gewinnt und dadurch zur weiteren Ausarbeitung
seiner Theorie der Differentialinvarianten der Gruppen der Ebene und der Theorie
eines vollständigen Systems mit bekannter Gruppe veranlaßt wird. Leider fanden
damals die Lieschen Arbeiten nocht nicht die rechte Beachtung, die sie verdient
hätten. „Wenn ich nur wüßte, wie ich die Mathematiker dazu bringen könnte, sich für
die Trans formationsgruppen und daraufbegründete Behandlung der
Differentialgleichungen zu interessieren. Ich bin so gewiß, absolut gewiß, daß diese Theorien einmal
in der Zukunft als fundamental anerkannt werden. Wenn ich wünschte, bald eine solche
Auffassung zu schaffen, so ist es u. a., weil ich dann zehnmal mehr machen könnte"1)
Lies Pläne, seine Theorien durch eine lehrbuchmäßige Darstellung bekannter zu
machen, blieben zunächst liegen. 1884 jedoch kam Friedrich Engel2) (1861—1941)
auf Anregung von F. Klein, seit 1880 ord. Professor für Geometrie in Leipzig, und
A. Mayer nach Kristiania, um Lie bei der Ausarbeitung eines Werkes über
Transformationsgruppen zu helfen. Die Mittel zu dieser Reise entstammten Stipendien der
Leipziger philosophischen Fakultät und der Kgl. Sächsischen Gesellschaft der
Wissenschaften.3) In dem Dreivierteljahr, das Engel in Kristiania verbrachte, wurde der
erste Teil des dreibändigen Werkes konzipiert, die Vollendung des Ganzen zog sich
freilich noch acht Jahre lang hin.
Zu Ostern 1886 folgt F. Klein einem Ruf nach Göttingen und Lie erhält an seiner
Stelle vom sächsischen Kultusminister eine Berufung als ord. Professor für
Geometrie nach Leipzig, die er auch nach kurzem Zögern annimmt. Am 29. 3. 1886 hält
er in der Aula der Universität seine Antrittsvorlesung: „Über den Einfluß der
Geometrie auf die Entwicklung der Mathematik."*)
Seine Mathematikerkollegen in Leipzig waren W. Scheibner5) (1826—1908) und
C. Neumann6) (1832—1925) als Ordinarien, dann der schon erwähnte A.Mayer
(ab 1890 ord. Prof.); ferner sind F. Schur7) (1856-1932) und E. Study*) (1862 bis
1930) zu erwähnen; auch F. Engel hatte sich 1885 in Leipzig habilitiert.
Hier in Leipzig hoffte Lie ganz anders als in dem engeren Rahmen von Kristiania
für die Verbreitung seiner Ideen wirken zu können, besonders auch durch die
Gewinnung von Schülern. In den seinen eigenen Theorien gewidmeten Vorlesungen hatte
er stets eine befriedigende Zahl von Hörern. Er findet Mitarbeiter, die ihm bei
der Abfassung größerer Werke zur Hand gehen: allen voran Engel bei der schweren
Arbeit an der „Theorie der Trans formationsgruppen"', deren letzter Band 1892
erscheint, dann aber auch G. Scheffers (1866—1945), der die „Geometrie der Berüh-
x) Brief von Lie an A. Mayer, abgedruckt in dem Nekrolog von Engel, Fußnote 1, S. XLIX.
2) Ab 1885 Privatdozent, von 1889 — 1904 Prof. extr. in Leipzig, später in Greifswald und
Gießen.
3) Jetzt: Sächsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig.
4) S. Lie, Gesammelte Abhandlungen, Band VII, Nr. XXXV. — Dieses Werk zitieren wir
im folgenden unter der Abkürzung ,,GA".
5) Ab 1868 ord. Prof. in Leipzig.
6) Von 1868 bis 1911 ord. Prof. in Leipzig.
7) Ab 1881 Privatdozent, von 1885 bis 1888 Prof. extr. in Leipzig.
8) Von 1885 bis 1893 Privatdozent in Leipzig.

114 Teil III
rungstransformationen, 1. Band"1) redigiert, und auch die Bearbeitung der
„Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen"2)
und der „Vorlesungen über continuierliche Gruppen"3) übernimmt. Alle diese Bücher
erscheinen im Verlag von B. G. Teubner in Leipzig. Unter den deutschen Schülern
ist noch G. Kowalewski (1876-1950) zu nennen. W. Killing (1847-1923),
F. Schur, E. Study und später auch L. Maurer (1859—1927) greifen in ihren
Arbeiten Liesche Gedanken auf. Schließlich kommen auch eine ganze Reihe
ausländischer Studenten nach Leipzig, um bei Lie zu studieren, unter anderem auf
Veranlassung Picards (1856—1941) von der berühmten Pariser ficole Normale, — dieser
Schule widmet Lie dann auch den dritten Band seiner „Transformationsgruppen."
Seit 1886 ist Lie auch Mitglied der Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften,
nachdem er schon seit 1872 Mitglied der Gesellschaften von Kristiania und
Göttingen (in dieser als korrespondierendes Mitglied) war. In den „Leipziger Berichten"
und „Leipziger Abhandlungen", die damals auf einem gerade in mathematischer
Hinsicht hohen Niveau standen, publiziert Lie zahlreiche bedeutende Arbeiten, (38),
unter anderem seine Untersuchungen über die Grundlagen der Geometrie. Später
wurde Lie Mitglied aller bedeutenden Akademien und erhielt 1897 bei der erstmaligen
Verleihung den Lobatschefskijpreis zuerkannt.
Im Winter 1889/90 erlitt Lie infolge der unerhörten Willensanspannung, mit der
er jahrzehntelang gearbeitet hatte, einen Nervenzusammenbruch. Wenn er auch
wieder genas und ein Jahr später seine Vorlesungen und Arbeiten wieder aufnehmen
konnte, so blieb doch ein Mißtrauen zurück, das ihm früher nicht eigen gewesen war,
und das die Verstimmungen erklärt, die sich allmählich zwischen ihm und seinen
Freunden einschlichen.
Seit 1896 bemühte man sich in Norwegen ernstlich, Lie durch ein glänzendes
Angebot wieder nach Kristiania zu ziehen. Er sollte eine Professur für
Transformationsgruppen erhalten, die ihm kaum amtliche Verpflichtungen auferlegte. Diesmal
zögerte Lie lange und nimmt erst im Frühjahr 1898 seine Entlassung in Leipzig. Als
ein todkranker Mann kehrt er in seine Heimat zurück, deren Schönheit er in Leipzig
so vermißt hatte. Am 18. 2. 1899 erliegt er einer perniciösen Anämie.
Die „Gesammelten Abhandlungen" von Lie (6 Bände und ein Nachlaßband)
begannen 1922 zu erscheinen, der letzte (Nachlaßband) erschien 1960. Sie wurden
vom norwegischen mathematischen Verein (unterstützt durch den norwegischen
Forschungsfonds, die Kristianiaer Gesellschaft und die Akademie zu Leipzig) durch
F. Engel und Paul Heegaard herausgegeben.4)
II
Durch sein gedankenreiches mathematisches Werk hat Lie eine ganze Reihe neuer
Forschungsgebiete und -methoden erschlossen und einen nachhaltigen Einfluß auf
die Entwicklung der Mathematik in unserem Jahrhundert ausgeübt. Von einigen
x) erschienen 1896; vom geplanten 2. Band sind drei Kapitel in GA, Bd. II, 2 abgedruckt.
Dieses Buch zitieren wir im folgenden unter der Abkürzung ,,GB".
2) erschienen 1891. 3) erschienen 1893.
4) Über den Gang der Herausgabe berichtet F. Engel in der Einleitung zu GA, Bd. III. —
Zu den ersten sechs Bänden existieren höchst wertvolle und umfangreiche Anmerkungen der
Herausgeber.

Sophus Lie 115
relativ einfachen Grundbegriffen ausgehend, entwickelte Lie grundlegende
Gedanken, denen sich alle seine Arbeiten unterordnen und an denen er unbeirrbar festhielt,
während er an ihrem ständigen Ausbau arbeitete.
Im folgenden wird versucht, auch einem mit Lies Gedankenwelt nicht vertrauten
Leser einen gewissen Eindruck davon zu geben; freilich muß man sich dabei im
klaren sein, daß die Betrachtung der Pfeiler nur eine unvollständige Kenntnis des
von ihnen getragenen Baues liefern kann.
§ 1. Berührungstransformationen
„Der Begriff der Transformation ist aus der Geometrie hervorgegangen. ... Auch mir
ist die Bedeutung des Begriffs der Transformation zuerst in der Geometrie klar geworden.
Indem ich Plückers Ideen über den Wechsel des Raumelementes weiter verfolgte, gelangte
ich schon 1868 zu dem allgemeinen Begriffe der Berührungstransformation.611)
Unter einer Transformation cp versteht man eine eineindeutige Abbildung einer
Menge 3R auf sich selbst. Sind cp und tp zwei solche Transformationen von 9R, so
wird durch Hintereinanderausführung eine neue Transformation yxp gewonnen. Diese
Zusammensetzung genügt stets dem Assoziativgesetz. Eine Menge E von
Transformationen der gleichen Menge SR bildet eine Gruppe, wenn mit 99, xp auch stets qnp'1
zu E gehört.
Es muß bemerkt werden, daß der Begriff Transformation aber auch im Sinne einer
bloßen Abbildung einer Menge (^R1 in bzw. auf eine zweite Menge 9R2 gebraucht wird.2)
Bei Lie kommen Transformationen i. a. in folgendem Sinne vor: Die Menge der
Urbilder wird durch Angabe von n Koordinaten (xl9 ..., xn) charakterisiert, ebenso die
Menge der Bildelemente durch (#/, ..., xn') und es gilt
*\ = fi(xl9 ...,xn), i = 1, 2, ..., n,
wo die ft meist analytische Funktionen in einem gewissen Bereich sind.
Unter einem Flächenelement des (n + l)-dimensionalen euklidischen Raumes
Bn+1 mit den rechtwinkligen Koordinaten (xl9 ... 9 xn9 z) versteht Lie eine Figur,
die aus einem Punkt P und einer w-dimensionalen Hyperebene E durch P besteht.
Sind die Richtungskosinus der Normalen von E proportional zu
Pl> ~-,Pn,—l,
so wird jedes der oo2n+1 Flächenelemente durch die (2n + 1) Zahlen (xl9 ...9xn,z>
Pi>--->Pn) charakterisiert. Ein Elementverein3) 9#r ist eine von r Parametern
%,..., ur abhängige Schar von Flächenelementen, für die identisch in den u{ und du-x
gilt:
dz — px dx1 — ••• — pn dxn = 0. (1)
Dies ist eine sinnvolle Verallgemeinerung des Flächenbegriffes, denn eine Fläche
J) TG, Bd. 3, S. XV.
2) besonders in der älteren Literatur.
3) Der Ausdruck ,,Verein" stammt von Engel, Lie spricht von einer
Elementmannigfaltigkeit.

116 Teil III
z = f(xlf ...,xn) bildet mit ihren Punkten und Tangentialebenen, p% = —, stets
dxi
einen w-dimensionalen Elementverein (man kann hierbei u1 = x{ wählen!).
Zwei infinitesimal benachbarte Flächenelemente1) (x, z, p) und (x -f- dx, z -f- dz,
p + dp) nennt Lie „vereinigt", wenn der Punkt des einen Elements in der Ebene des
anderen liegt. Die Bedingung dafür ist (1). Ein Elementverein ist demnach eine Schar
von Elementen, bei der jedes Element mit allen infinitesimal benachbarten Elementen
der Schar vereinigt liegt. Ein Verein werde durch 9Rr*, 0 <J k ^ r, bezeichnet, wenn
die Punkte der beteiligten Flächenelemente eine &-dimensionale Fläche bilden. Es ist
stets r fg n. Ein Wln° besteht aus allen Elementen durch einen Punkt, ein 9K,,1 aus
den Punkten einer Kurve mit sämtlichen Ebenen tangential an die Kurve, usw. Lie
deutet die Elemente des Rn+1 auch als Punkte eines R2n+i mit den Koordinaten
(x, z, p). Element vereine sind dann Mannigfaltigkeiten des 7?2n+i> die der Pf äff sehen
Gleichung (1) genügen.
Eine Transformation
x{ = Xi(x, z, p), z' = Z{x, z, p), p/ = Pi(x, z,p), i = 1, 2, ..., n,
(2)
heißt nach Lie eine Berührungstransformation, wenn sie die Gleichung (1) invariant
läßt, d. h., wenn aus (1) stets
dz' - px' dx1' pn' dxn' = 0 (3)
folgt. Dies kann nur eintreten, wenn vermöge (2) stets
dz' — pi dx1' — -" — Pn dxn' = g{dz — p± dx1 — ••• — pn dxn} (4)
gilt mit einer Funktion q 4= 0. Begrifflich kann man dies so deuten: (2) liefert eine
Berührungstransformation, wenn jeder Elementverein wieder in einen
Elementverein übergeht.
Unter diesen Begriff der Berührungstransformation fällt die Polarverwandtschaft
bei Flächen zweiter Ordnung (Dualität), die natürlich schon vor Lie bekannt war
(Poncelet, Gergonne), ferner die sogenannte Legendretransformation, die auch
schon bei Euler vorkommt, aber rein analytisch gehandhabt wurde. Schließlich
benutzte Jacobi — ebenfalls rein analytisch — allgemeine kanonische
Transformationen, die mit den Berührungstransformationen ganz eng zusammenhängen. Lie
kommt neben der Verknüpfung des Geometrischen mit dem Analytischen das
Verdienst der systematischen Untersuchung der Berührungstransformationen zu.
Geht bei der Transformation (2) ein 9Jtn° in einen Verein $Jlnn+1~q über, so lassen
sich aus den Gleichungen (2) durch Elimination der ps und p{ gerade q unabhängige
Gleichungen zwischen xif z und x{, z' herleiten:
Qx(x, z; x\ z') = 0, ..., Qq(x, z; x', z') = 0 (5)
(Direktrixgleichungen). Für q — n + 1 ergeben sich die auf die Flächenelemente
erweiterten Punkttransformationen. Umgekehrt kann man aus gegebenen
Gleichungen (5) unter gewissen Rangbedingungen auch eine Berührungstransformation ge-
x) (x, z, p) steht für (xl9 ..., xn, z, p19 ..., pn).

Sophus Lie 117
winnen. Im übrigen verzichten wir darauf, die Gleichungen explizit aufzuschreiben,
denen die in (2) vorkommenden Funktionen Xh Z, Pt und q genügen müssen, damit
sie eine Berührungstransformation bilden.1) Wir bemerken lediglich, daß die Menge
aller Berührungstransformationen des Rn+1 natürlich eine Gruppe bildet.
Lie studierte ausführlich die Berührungstransformationen; er wandte sie für
geometrische Zwecke an, ganz besonders aber auch zur Umformung von
Differentialgleichungsproblemen, in die er auf diese Weise geometrische Gesichtspunkte
hineintrug.
§ 2. Geraden-Kugel-Transformation
„Ich entdeckte eine merkwürdige Berührungstransformation, die gerade Linien in
Kugeln umwandelte und transformierte hierdurch mit einem Schlage die Plückersche
Liniengeometrie in eine neue Kugelgeometrie. Hierbei ergab sich unter anderem, daß
die Gruppe aller projektivischen Transformationen des Raumes sich in die Gruppe aller
derjenigen Berührungstransformationen, die Kugeln in Kugeln überführen,
umwandeln läßt."2)
Diese berühmte Liesche Geraden-Kugel-Transformation ist eine
Berührungstransformation des Rs. Sind x, y, z rechtwinklige Koordinaten, so lassen sich ihre
Direktrixgleichungen in die Gestalt setzen3):
x' + iy' + xz' + z = 0,
(1)
x(x' - iy') -z' + y = 0; i2 = -1.
Halten wir (x,y,z) fest, so liefert (1) in den laufenden Koordinaten x',y',z' eine
(imaginäre) Gerade; diese hat die Eigenschaft, daß irgendzwei ihrer Punkte die
Entfernung Null voneinander haben; solche Geraden nennt man Minimalgeraden.
Man erkennt dies aus den durch Differentiation entstehenden Gleichungen
dx' + i dy' + x dz' = 0, x(dx' — i dy') — dz' = 0,
aus denen
x(dx'2 + dy'2 + dz'2) = 0
folgt. Die Bilder der Flächenelemente durch den festen Punkt (x, y, z) sind also die
Flächenelemente durch eine Minimalgerade. Betrachtet man jetzt die Elemente, deren
Trägerpunkte auf einer Geraden © liegen, so müssen die Trägerpunkte der
Bildelemente eine einparametrige Schar © von Minimalgeraden durchlaufen. © habe die
Parameterdarstellung
x = rz + q, y = sz + a, —oo<z<oo. (2)
!) Siehe etwa: GA, Bd. III, Nr. IX.
2) GA, Bd. IV, Nr. II, S. 99. Lie wurde auf diese Berührungstransformation durch seine
Untersuchungen über den tetraedalen (Reye'schen) Komplex geführt; dieser besteht aus der
Menge aller Geraden, welche die Seiten eines Tetraeders unter dem gleichen Doppelverhältnis
schneiden.
3) Vgl. GB, Kap. 10.

118 Teil III
Eliminiert man x, y, z aus (1) und (2), so erhält man
mit r\ = sq — ra.
Aus dieser Rechnung erkennt man, daß die Schar © auf einer Kugel 9t liegt. Demnach
kann man der Geraden © die Kugel 9t zuordnen. Auf 9t verläuft noch eine zweite
Schar ©' von Minimalgeraden, es gibt dann eine weitere Gerade ©', die vermittels
©' auf 9t abgebildet wird. © und ©' sind übrigens bezüglich eines bestimmten
linearen Geradenkomplexes konjugiert. Die Abbildung der Geraden auf die Kugeln ist
also ein-zweideutig. Aus den Eigenschaften einer Berührungstransformation folgt,
daß zwei sich schneidende Geraden auf zwei sich berührende Kugeln abgebildet
werden.
Demnach kann man jeden Satz der Geradengeometrie umdeuten in einen Satz
über Kugeln. So erhält man die Liesche Kugelgeometrie.
Heutzutage pflegt man die Liesche Kugelgeometrie unter Benutzung des von
E. Lagtjerre (1834—1886) herrührenden Begriffs der „orientierten Kugel"
darzustellen.1) Die Menge der orientierten Kugeln und Ebenen (einschließlich der nicht -
orientierten Punkte und eines uneigentlichen Punktes) lassen sich mittels hexasphäri-
scher homogener Koordinaten auf eine nichtausgeartete Fläche zweiter Ordnung
des Ödimensionalen projektiven Raumes P5 abbilden. Das gleiche gilt von der Menge
der Geraden des P3, falls man die homogenen Geradenkoordinaten benutzt. Beide
Flächen desP5 gehen durch eine (nichtreelle) Projektivität ineinander über, die sich
im Dreidimensionalen als die Liesche Transformation umdeutet.
Lie hatte sogleich die schöne differentialgeometrische Eigenschaft seiner Geraden-
Kugel-Transformation erkannt, die Asymptotenlinien einer Fläche auf die
Krümmungslinien der Bildfläche abzubilden. Sein Gedankengang kann etwa wie folgt
wiedergegeben werden: Beim Fortschreiten in einer Asymptotenrichtung dreht sich die
Tangentialebene der Fläche um eben diese Richtung, während sie sich beim
Fortschreiten in einer Hauptkrümmungsrichtung um die orthogonale Richtung dreht.
Zwei infinitesimal benachbarte Elemente einer Asymptotenlinie gehören also zum
Elementverein einer Geraden, während sie bei einer Krümmungslinie dem Verein
einer Kugel angehören. Da nun beide Kurvenklassen durch diese Eigenschaften auch
charakterisiert werden, so müssen sie bei der Geraden-Kugel-Transformation
ineinander übergeführt werden. Unter Ausnutzung dieses Zusammenhangs konnte Lte
z. B. aus den bekannten Krümmungslinien der damals viel untersuchten Kummer-
schen Fläche (vierter Ordnung und vierter Klasse) die Asymptotenlinien bestimmen.
§ 3. Infinitesimale Transformationen
Der Begriff „infinitesimale Transformation" stammt zwar nicht von Lie selbst, ist
aber dennoch ein wichtiger Baustein in seinem Werk; erstaunlich, was er alles damit
erreichte.
x) Siehe: F. Klein, Vorlesungen über höhere Geometrie. 3. Aufl. Berlin 1929; W. Blaschke,
Vorlesungen über Differentialgeometrie, Band 3, Berlin 1929.

Sophus Lie 119
Ein simultanes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen
nx nx1^
— = |1(*1 .f),...,— =*"(*!,...,*") (1)
dt dt
deutet Lie als eine infinitesimale Transformation, bei der ein Punkt (sc1, ..., xn) auf
den Punkt (x1 + &e\ ..., xn + dxn) abgebildet wird, wobei
dxi = iji(x1,...,xn)dt (2)
mit einem Differential dt ist. Verschwinden die |* für einen Punkt nicht alle, so geht
durch diesen Punkt eine bestimmte Integralkurve von (1) — eine Bahnkurve. Der
betreffende Punkt wird bei der infinitesimalen Transformation auf dieser Bahnkurve
infinitesimal verschoben.
Die allgemeine Lösung von (1) hat die Gestalt
xi = fHt;fr9 ...,£w) mit /'(0;*1, ...,xn) = x\
die Funktionen /* bestimmen eine von t abhängige Schar St von (endlichen)
Transformationen :
x'i = fi(t\xl9 ...,o:n), i = 1,2, ...,n. (3)
Die Punkte, die man aus einem festen Punkt durch Anwendung aller St erhält, bilden
gerade eine Bahnkurve von (1). Im übrigen besitzt die Schar St die
Gruppeneigenschaft, denn es ist
Dies folgt aus dem Eindeutigkeitssatz für das System (1). St ist eine „eingliedrige
Gruppe von Transformationen", die von der infinitesimalen Transformation (2)
„erzeugt" wird.
Ist fix1, ..., xn) eine gegebene Funktion, so sei df der Zuwachs der Funktion / bei
der infinitesimalen Transformation (2), definiert durch1)
df = fix1 + dx\ ...,xn + öxn) - fix1, ..., xn) = 27 — f* dt.
i dXi
Lie setzt nun X(f) = 2J £*— und bezeichnet X(f) als das Symbol der inf. Trans-
• dXi
formation, demnach öf = X(f) dt. Ist X(f) = 0, so bleibt / bei der inf.
Transformation ungeändert (und nur dann), aber dann auch bei allen endlichen
Transformationen der eingliedrigen Gruppe; / hat längs einer jeden Bahnkurve einen festen
Wert. Sind n — 1 unabhängige Lösungen q>l9 ...,<^n_1 von X(f) = 0 bekannt, so
stellen die Gleichungen
9^1 = ci — const, ..., (pn_x = cn_x = const
die sämtlichen Bahnkurven dar.
*) Es werden stets nur die in dt linearen Glieder betrachtet! Im übrigen wird im folgenden
„infinitesimal" durch „inf." abgekürzt.

120 Teil III
Sind X(f), Y(f) Symbole zweier inf. Transformationen, so ist
X(Y(f)) - Y{X(f)) = (X, Y) (f) (4)
wieder Symbol einer inf. Transformation, da sich in (4) die zweiten Ableitungen von /
wegheben. (4) ist das Jacobische Klammersymbol. Sei
öxi = f*(&) dt
die zu X(f) gehörige inf. Transformation, so kann man rechts und links auf x{ die zu
Y(f) gehörige inf. Transformation
ö'x* = rf(x) ö'r
anwenden und erhält eine neue inf. Transformation mit dem Symbol
X(f) + d'r-(Y,X)(f).
In dieser Lieschen Auffassung ist (Y, X) der Zuwachs der Transformation X bei der
Transformation Y. Ist (Y, X) = 0, so bleibt X bei Anwendung von Y ungeändert;
dann und nur dann sind die endlichen Transformationen der beiden eingliedrigen
Gruppen miteinander vertauschbar.
In der neueren Auffassung betrachtet man die Vektorfelder |* und if. Das zu
(y, X) gehörige Vektorfeld
wird als Liesche Ableitung S7?(^*) von |* bezüglich rf bezeichnet. Eine solche Liesche
Ableitung läßt sich auch für Tensorfelder und allgemeinere geometrische Objekte wie
Übertragungsparameter oder dgl. definieren. Immer ist das Verschwinden der
Lieschen Ableitung notwendig und hinreichend dafür, daß das betreffende Objekt bei
den endlichen Transformationen der eingliedrigen Gruppe ungeändert bleibt.1)
In Lies Arbeiten kommen immer wieder vollständige Systeme von linearen
partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung vor, sei es als Hilfsmittel, sei es als
Gegenstand der Untersuchung selbst. Sind Xx(f), ..., Xr(f) die Symbole von r inf.
Transformationen, so werden die Gleichungen
Z1(/) = 0,...,Xr(/) = 0 (5)
betrachtet. Jede Lösung / von (5) erfüllt auch die Gleichungen
(XhXlc)(f) = 0, i,k=l,2,...,r. (6)
Das System (5) heißt (nach Clebsch) vollständig, wenn die linken Seiten von (6)
Linearkombinationen von X^f), ...,Xr(f) sind. (Dies sind die Integrabilitätsbedin-
gungen.)
Durch einfache Umformungen kann man dann (Xiy Xk) = 0 erreichen (Jacobische
Systeme). Ein vollständiges System (5) in n Variablen besitzt (n — r) unabhängige
Lösungen. Nach Lie zerlegen diese n — r Lösungen den w-dimensionalen Raum in
x) Siehe: J. A. Schouten, Ricci-Calculus, 2nd ed., Berlin—Göttingen —Heidelberg, 1954,
p. 102ff.; K. Yano, The Theory of Lie derivative and applications. Amsterdam —Groningen,
1955.

Sophus Lie 121
oon_r r-dimensionale Mannigfaltigkeiten, von denen jede durch oor_1 Bahnkurven
einer inf. Transformation der Gestalt
WlXl(f) + ''' + VrXrii) > Wi = V>i(xl> • • • >*n) >
erzeugt wird.1)
Durch das sogenannte Mayersche Theorem, das von Lie immer sehr hoch geschätzt
wurde und dessen Inhalt er mit einer gewissen Einschränkung auch selbst gefunden
hatte, wird die Auffindung einer Lösung von (5) zurückgeführt auf die Auffindung
einer Lösung einer einzigen bestimmten linearen Differentialgleichung erster
Ordnung mit n — r -\- 1 unabhängigen Variablen.
Eine inf. Transformation
Jfl^^ + C^+i^f (7)
i cx% dz i dpi
im (2n + l)-dimensionalen Raum der (xl9 ..., xn, z, plf ..., pn) kann als eine inf.
Transformation der Flächenelemente desi£n+1 gedeutet werden. Wann ist dies eine inf.
Berührungstransformation? Lie findet2): Zu jeder inf. Berührungstransformation
gibt es genau eine Funktion F(x, z, p), so daß:
s{ = —, £ = £&—-*: ^ = -(-t- + pi:t-)- (8)
dPi i dpi
IdF 3F\
\dXi dz)'
Umgekehrt gewinnt man aus jeder Funktion F auf diese Weise eine inf. Berührungs-
transformation. Sind 0, ü^zwei Funktionen von (x, z, p), so führt man den Poisson-
schen Klammerausdruck [0, W] ein durch:
i dpiydXi dz) i dpi \dXi 'dz)'
Damit läßt sich das Symbol einer inf. Berührungstransformation schreiben:
X(f) = [F,f]-F?L.
dz
Mit Hilfe der inf. Berührungstransformation und der zugehörigen eingliedrigen
Gruppe gibt Lie eine schöne Deutung der Cauchyschen Charakteristikentheorie der
partiellen Differentialgleichung erster Ordnung F(x, z, p) = 0. Lie erweitert das
Integrationsproblem zu der Frage nach allen w-dimensionalen Elementvereinen, die
der Gleichung F = 0 genügen, während die übliche Auffassung nur die Vereine der
Gestalt:
z = z(xl9...,xn)9 Pi = —
dx(
betrachtet.
Die inf. Berührungstransformation (7), (8) führt nun jedes Flächenelement (x, z, p)
mit F(x, z, p) = 0 in ein benachbartes, mit ihm vereinigtes Flächenelement über,
!) TG Bd. 1, Kap. 6.
2) TG Bd. 2, Kap. 14.

122 Teil III
das ebenfalls der Gleichung F = 0 genügt. Denn erstens ist
dz-£Pi dx* =(£-£ V&) « = 0
für
F = 0,
und zweitens ist der Zuwachs von F durch
{dF\ dF
[F, F]-F —l dt = -F — dt
dz] dz
gegeben und demnach 6F = 0 für F = 0. Längs einer Bahnkurve, die durch ein
Element mit F = 0 geht, ist also ständig F = 0; im übrigen bildet diese Bahnkurve
einen eindimensionalen Element verein des Rn+i, „Charakteristischer Streifen"
genannt. Um also w-dimensionale Vereine mit F = 0 zu erhalten, hat man auf (n — 1)-
dimensionale Vereine mit F = 0 die endlichen Berührungstransformationen der zu
F gehörigen eingliedrigen Gruppe auszuüben. Die Bestimmung der (n — l)-dimen-
sionalen Vereine mit F = 0 ist aber kein Integrationsproblem. Im übrigen sind die
„singulären Elemente11 auszuschließen, für diese ist |* = f = n1 = 0, so daß es keine
Bahnkurve gibt, die durch ein solches singuläres Element geht.1)
Mit den vorstehenden Bemerkungen sind wir schon bei Lies Untersuchungen über
partielle Differentialgleichungen angelangt.
§ 4. Differentialgleichungen
„Unter allen Disziplinen der Mathematik ist die Theorie der Differentialgleichungen die
wichtigste. Alle Zweige der Physik stellen uns Probleme, die auf die Integration von
Differentialgleichungen hinauskommen. Es gibt ja überhaupt die Theorie der
Differentialgleichungen den Weg zur Erklärung aller elementaren Naturphänomene, die Zeit
brauchen. Hat somit die Theorie der Differentialgleichungen eine unendliche praktische
Bedeutung, so hat sie auf der anderen Seite dadurch eine entsprechende theoretische
Wichtigkeit, daß sie in rationeller Weise zum Studium neuer wichtiger Funktionen,
beziehungsweise Funktionenklassen leitet."2)
Man entnimmt hieraus, welche große Bedeutung Lie der Theorie der
Differentialgleichungen beimaß. In seinen Arbeiten gibt er immer wieder darauf bezügliche
Fragestellungen und Methoden zu deren Lösung an; bei vielen schon bekannten
Verfahren deckt er die inneren Gründe für den Erfolg des Verfahrens auf und stellt
vielfach Verstreutes unter einheitliche Gesichtspunkte. Aus der Fülle des Materials
kann nur wenig herausgegriffen werden.
Im Jahre 1872 fand Lie seine Integrationsmethode für partielle
Differentialgleichungen erster Ordnung. Ein simultanes System von m Differentialgleichungen
erster Ordnung für eine gesuchte Funktion z von n Unabhängigen xx, ...,xn der
x) Über eingliedrige Gruppen von Berührungstransformationen in der Variationsrechnung
vgl. E. Holder, Jahresber. DMV 49 (1939), 162-178.
2) GA, Bd. VI, Nr. XX, S. 540.

Sophus Lie 123
Gestalt1)
Fx(xl9 ...9xH;pl9 ...,pn) = 09...9Fm(xl9...9xn'9pl9...9pn) = 0,
=d^ (1)
dXi
läßt sich stets auf den Fall eines .Jnvolutionssystems" zurückführen, bei dem die F
paarweise in Involution liegen, d. h. die Gleichungen2)
{FbFl)=zl°*i°*l-°Jl°*L\=0 (2)
/ \dpi dxt dpi dxtj
erfüllen. Auf ein solches Involutionssystem konnte Lie die Cauchysche
Charakteristikentheorie für eine Gleichung erweitern, wobei an Stelle der früher betrachteten
eindimensionalen charakteristischen Streifen jetzt m-dimensionale charakteristische
Vereine treten. Ferner entdeckte Lie, daß sich die Integration eines m-gliedrigen
Involutionssystems (1) auf die Integration einer einzigen partiellen
Differentialgleichung erster Ordnung in n — m -\- 1 unabhängigen Variablen zurückführen läßt.
Falls das System (1) linear ist, ist dies gerade das May ersehe Theorem.
Die Liesche Integrationsmethode für die Gleichung F(x9 p) = 0 verläuft nun so:
Man sucht zunächst eine Lösung / = fx(x9 p) der linearen partiellen
Differentialgleichung erster Ordnung
(F, /) = 0. (3)
/x ist dann längs jedes charakteristischen Streifens konstant. Nun ist F = 0, jx = a
= const ein zweigliedriges Involutionssystem, das sich auf eine partielle
Differentialgleichung Fx = 0 in n — 1 Variablen zurückführen läßt. Diese behandelt man analog,
bis man nach n — 1 Schritten zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung kommt.
Bei jedem Schritt erhält man eine lineare partielle Differentialgleichung, von der
man eine Lösung kennt und eine weitere bestimmen muß. (/ = F ist ja Lösung von
(3).) Bei der sogenannten Jacobischen Methode, die von Mayer wesentlich verbessert
wurde, sind gleichartige Integrationsoperationen nötig. Das Liesche Verfahren
erlaubt aber, zufällig eintretende Umstände besser zu nutzen.
a) Hat man mehrere, paarweise in Involution liegende Lösungen von (3) gefunden,
so kann man auch entsprechend viele Integrationsschritte gleichzeitig ausführen.
b) Hat man mehrere, nicht in Involution liegende Lösungen von (3) gefunden, so
kann man mittels des Poissonschen Theorems neue Lösungen von (3) finden. Das
genannte Theorem besagt: Mit fl9 f2 ist auch (fl9 /2) eine Lösung von (3). Man kommt
so zu r Funktionen fl9 ...,/r, bei denen die Klammerbildung nichts Neues liefert,
d. h., es ist
(/*>//) = Wij(fl> ~-,fr)-
Alle Funktionen der Gestalt w(fl9 ..., fr) bilden eine Funktionengruppe. Die Theorie
solcher Funktionenmengen ist ebenfalls eine bedeutende Leistung Lies.3) Hier
*) Wir betrachten nur den Fall, daß z explizit in den Gleichungen nicht auftritt.
2) Die hier benutzte runde Klammer stimmt mit der in § 3 benutzten eckigen Klammer
überein, falls z in den betrachteten Funktionen nicht vorkommt.
3) TG, Bd. 2, Kap. 6-13.

124 Teil III
möge die Bemerkung genügen, daß man durch Lösen von vollständigen Systemen eine
maximale, involutorische Untergruppe finden kann; diese werde etwa von fl9 ...,/p
erzeugt. Irgend 2 Funktionen der Gestalt w(flf ..., fp) liegen dann in Involution. Mit
diesen Funktionen fl9 ..., fp kann man dann nach a) verfahren. Die geschilderte
Methode b) ist die sogenannte letzte Integrationsmethode von Lie.1)
Lie fand seine Integrationsmethoden auf begrifflich-geometrischem Weg und
formulierte sie zuerst auch so, wodurch er seinen Zeitgenossen unverständlich blieb,
die bei der Behandlung von Differentialgleichungen aufs Rechnerisch-Analytische
eingestellt waren. Integrationsprobleme wurden von Lie immer als
Transformationsprobleme aufgefaßt. Er ging von der Frage aus, ob man eine gegebene
Differentialgleichung oder ein System von Differentialgleichungen durch eine geeignete
Punktoder Berührungstransformation auf eine besonders einfache (kanonische) Form
bringen kann und wie man diese Transformationen gegebenenfalls findet. So läßt
sich z. B. jede partielle Differentialgleichung erster Ordnung durch
Berührungstransformationen auf die Form p1 = 0 und jedes m-gliedrige Involutionssystem auf die
Form px = 0,..., pm = 0 bringen. Bei dieser transformationstheoretischen Auffassung
stellt sich die Frage ein, ob es Transformationen gibt, welche die vorgelegten
Differentialgleichungen in sich überführen; solche Transformationen müssen dann
notwendig eine Gruppe bilden. Nur wenn man die zu zwei Differentialgleichungen (oder
Systemen) gehörigen Gruppen ineinander überführen kann, darf man hoffen, die
Differentialgleichungen selbst ineinander transformieren zu können. Unter diesen
von Lie selbst ausgesprochenen Gesichtspunkten2) hat man seine zahlreichen
Arbeiten zu betrachten, die sich mit Differentialgleichungen befassen, welche eine Gruppe
von Transformationen gestatten. Auch die Analogie der dabei entstehenden Theorie
mit der Galoisschen Theorie der algebraischen Gleichungen ist von Lie hervorgehoben
worden, worauf wir in § 7 noch kurz zurückkommen werden. Doch wenden wir uns
zunächst derjenigen Lieschen Schöpfung zu, die in der Folge die meiste Beachtung
gefunden hat, seiner Gruppentheorie.
§ 5. Transformationsgruppen
„Andererseits entwickelte ich in den Jahren 1870—74 den Begriff der endlichen
kontinuierlichen Gruppe und erkannte seine weitreichende Bedeutung für die Geometrie und
für die Theorie der Differentialgleichungen ...So traten für mich die Begriffe
Transformation und Transformationsgruppe immer mehr in den Vordergrund und ich entwickelte
nach und nach eine allgemeine Transformationstheorie"?)
Obwohl sich Lie im Fortgang seiner Untersuchungen auch mit sogenannten
unendlichen kontinuierlichen Gruppen beschäftigte, beschränken wir uns im folgenden
x) Vgl.: Engel/Faber, Die Liesche Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1.
Ordnung, Leipzig —Berlin 1932; C. Caratheodory, Variationsrechnung und partielle
Differentialgleichungen 1. Ord., Leipzig 1935. — Es sei noch auf den heute vielfach verwandten Kalkül
der alternierenden Differentialformen hingewiesen, in den auch Liesche Gedanken mit
eingeflossen sind, der aber auch in den Arbeiten anderer Mathematiker wurzelt.
2) TG, Bd. 3, S. XX-XXI; siehe auch den bei F. Engel, Leipziger Berichte 51 (1899),
S. XLII, auszugsweise abgedruckten Brief an A. Mayer.
3) TG, Bd. 3, S. XVI.

Sophus Lie 125
auf die eben genannten endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen (Liesche
Gruppen). Sie sind zu unterscheiden von den Transformationsgruppen1) endlicher
Mengen (Permutationsgruppen), die in der Galoisschen Theorie vorkommen und
deren Theorie zu Lies Zeiten schon recht weit entwickelt war; C. Jordans „Traue des
svbstitutions" war 1870 erschienen.
Lies Arbeiten wurden in seinem schon zitierten großen Werk „Theorie der
Transformationsgruppen" zusammenfassend dargestellt. Es sei
•< = fi(xi> --.^n; ai> •••>«!•)> i = 1. 2, ...,w, (!)
eine Schar von Transformationen des w-dimensionalen Zahlenraumes; jedes Element
der Schar wird durch Angabe von (al9 ..., ar) festgelegt und transformiert den Punkt
(xl9 ..., xn) in den Punkt (xx',..., xn'). Für a{ = 0, i = 1,..., r, möge (1) die identische
Transformation liefern, im übrigen seien die Transformationen (1) auch für alle
genügend kleinen a% erklärt. Besitzt die Schar nun noch die Gruppeneigenschaft, so
sagt man, die Transformationen (1) bilden eine endliche (r-gliedrige) kontinuierliche
Transformationsgruppe. Die von inf. Transformationen erzeugten eingliedrigen
Gruppen besprachen wir schon. Eine r-gliedrige Gruppe wird nun auch in bestimmter
Weise von inf. Transformationen erzeugt. Dies ergibt sich aus den von Lie
aufgestellten drei Fundamentalsätzen der Theorie der endlichen kontinuierlichen
Gruppen.2)
I. Bilden die Transformationen (1) eine Gruppe, so genügen die x' als Funktionen der
a den Differentialgleichungen
dx{ '
= 27 V/*(«l» • • • > ar) £ji(Xl> • • • > xn ),
dak y=1 (2)
i = 1, ..., n, k = 1, ..., r,
mit gewissen Funktionen \p^k und |^, wobei y^(0,..., 0) = dß. Die inf. Transformationen
Xk(f) = £ £ki(xl9 ...,xn)^-, k= l,...,r, (3)
i dx(
sind (bei konstanten Koeffizienten) linear unabhängig. Besitzt umgekehrt ein System
der Form (2) Lösungen fl(xly ...,xn;aly ...,ar) mit den Anfangsbedingungen f{(xlf ...,
xn; 0, ..., 0) = Xi bei beliebigen xu so bilden diese eine r-gliedrige
Transformationsgruppe. Jedes Element dieser Gruppe gehört genau einer derjenigen eingliedrigen
Gruppen an, deren zugehörige inf. Transformationen die Gestalt
elX1(f) + -+erXr(f) (4)
mit konstanten e* haben.
Man erhält also die Xk(f), indem man —- (xlf ..., xn; 0, ..., 0) bildet. (4) liefert
die inf. Transformationen der Gruppe. a
*) Jede Gruppe kann als Transformationsgruppe aufgefaßt werden.
2) Vgl. die Zusammenfassung in TG, Bd. 3, Kap. 25.

126 Teil III
II. r linear unabhängige Transformationen Xx(/), ..., Xr(f) erzeugen dann und nur
dann auf die in I. beschriebene Weise eine r-gliedrige Gruppe, wenn gilt:
(Xu*i)(f)=i:cl1kXk(f), (5)
k = l
wo die ciik Konstante sind.
M. a. W.: Die Jacobische Klammer zweier Elemente (4) muß wieder ein solches
Element sein.
III. Sind Xx(f), ..., Xr(f) linear unabhängige inf. Transformationen einer Gruppe,
so gilt für die in II. vorkommenden Konstanten
Cijk + cjik = 0, (6)
U {CijiCihk + CjhiCnk + chilclik] = 0. (7)
Sind umgekehrt r3 Konstanten cijk bekannt, die (6) und (7) erfüllen, so lassen sich in
einem Raum von genügend vielen Dimensionen r linear unabhängige
Transformationen Xl9 ..., Xr finden, die (5) erfüllen und demnach eine r-gliedrige Gruppe erzeugen.
Beispiele für diesen Gruppenbegriff bieten sich in Hülle und Fülle an. Wir
erwähnen etwa die Gruppe der Translationen des 3dimensionalen euklidischen Raumes
mit den inf. Transformationen
Pl> P2, P*
(Hierbei steht p% für — — Die Umrahmung pflegte Lie stets vorzunehmen:
„wir machen für die Gruppe ein Haus."1). Die Gruppe der euklidischen Bewegungen
hat 6 Parameter und die inf. Transformationen
Pu P2, Pz, X2P3 — x*P2> ^P\ — XiPz, X1P2 — X2P1
Die Gruppe aller zentralaffinen Abbildungen des En hat n2 Parameter und die inf.
Transformationen:
XiPi> i,j = l,...,n.
Sind für 2 Gruppen die Zahlen r gleich und kann man die Parameter at so
transformieren, daß die c^, die „Strukturkonstanten", gleich werden, so heißen die Gruppen
gleichzusammengesetzt (isomorph). Kann man 2 Gruppen durch Transformation der
x% und durch gleichzeitige gleiche Transformation der x{ ineinander überführen, so
heißen sie ähnlich. Ähnliche Gruppen sind gleichzusammengesetzt, aber nicht
umgekehrt.
Von diesen Resultaten ausgehend, konnte Lie viele Begriffe aus der Theorie der
Substitutionsgruppen (endliche Permutationsgruppen) auf endliche kontinuierliche
Gruppen ausdehnen. So die Begriffe: Untergruppe, invariante Untergruppe (Normal-
Y) G. Kowalewski, Bestand und Wandel, München 1950, S. 74.

Sophus Lie 127
teuer), Transitivität, Intransitivität, Primitivität und Imprimitivität. In den
zugehörigen Sätzen wurde gezeigt, wie man die entsprechenden Eigenschaften der Gruppe
an ihren inf. Transformationen bzw. an den Strukturkonstanten ablesen kann. Aber
auch neue Begriffe kamen hinzu. So die Begriffe der adjungierten und der
Parametergruppe.
Lie hat sich vielfach damit beschäftigt, alle Transformationsgruppen mit
bestimmten Eigenschaften anzugeben und hat auch seinen Schülern immer wieder solche
Aufgaben gestellt.1) Das letzte, in der Ferne liegende Ziel war dabei natürlich, einen
möglichst umfassenden Überblick über alle Transformationsgruppen zu bekommen.
Sehr einfach ist es, alle Transformationsgruppen eines eindimensionalen Raumes zu
bestimmen. Diese sind mit den Untergruppen der projektiven Gruppe
ax -\-b _
x = , ad — bc 4= 0,
ex + d
ähnlich. Auch alle Gruppen eines zweidimensionalen Raumes hat Lie schon 1874
bestimmt, später auch des dreidimensionalen Raumes, sowie die sämtlichen
Untergruppen der projektiven Gruppe dieses Raumes.2) Diese Untersuchungen sind mit
oft recht umfangreichen Rechnungen verbunden.
Mit seiner Theorie der endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen hatte
Lie ein Gebiet eröffnet, das ihm immer wieder neue und tiefliegende Fragestellungen
schenkte, die er unermüdlich bearbeitete und die er durch zahlreiche Anwendungen
auf Geometrie und Analysis den Mathematikern seiner Zeit nahezubringen versuchte.
§ 6. Invariantentheorie
Die Invariantentheorie liefert das Bindeglied zwischen der Gruppentheorie und ihrer
Anwendung in der Geometrie. Dies wurde besonders in dem bekannten Erlanger
Programm von F. Klein aus dem Jahre 1872 betont, wonach zu jeder Art von
Geometrie eine für diese Geometrie charakteristische Transformationsgruppe gehört,
als deren Invariantentheorie sie aufgefaßt werden kann.3) Wir gehen kurz auf Lies
Invariantentheorie der endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen ein.
Es sei
Xi = fiiPu ...,&»;«*!, ...,ar), i = 1, 2, ...,w, (1)
eine r-gliedrige Transformationsgruppe in n Veränderlichen. Eine Funktion Q(xl9 ...,
xn) heißt eine (absolute) Invariante von (1), wenn die Gleichung
Q(x1'9...,xn') = Q(x1,...,xn) (2)
stets richtig ist, falls man links die x{ mittels (1) durch die xt ersetzt. Denken wir uns
eine eingliedrige Untergruppe g von (1), so muß ü längs jeder Bahnkurve von g
x) Vgl. die Besprechung ,,gruppentheoretischer Arbeiten Anderer4' in TG, Bd. 3, Kap. 29.
2) Vgl. TB, Bd. 3, S. V, VI.
3) F. Klein, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen,
abgedruckt in Math. Ann. 43 (1893) — Lie betont die Unabhängigkeit seiner Invariantentheorie
gegenüber Klein, z. B. in TG, Bd. 3, S. XVII.

128 Teil III
konstant sein, also X(ü) = 0, falls X(f) die zu g gehörige inf. Transformation ist.
Wird demnach (1) von Xx(f), ..., Xr(f) erzeugt, so muß sein:
XX(Q) = 0,...,Xr(Q) = 0. (3)
Diese Gleichungen sind aber auch hinreichend dafür, daß ü eine Invariante von (1)
ist. Die Bestimmung aller Invarianten läuft somit auf die Lösung der
Differentialgleichungen (3) hinaus, die wegen § 5, IL, ein vollständiges System bilden.
Möglicherweise gibt es nur die triviale Lösung Q = const. Falls man die endlichen Gleichungen
(1) der Gruppe kennt, kann man auch durch Elimination der at aus (1) zu den
Invarianten gelangen, doch muß dieser Weg nicht unbedingt vorteilhafter sein.
Die Gruppe (1) läßt sich nun auf vielfache Weise „erweitern". Man kann z. B. noch
ein weiteres w-Tupel x% betrachten, das durch (1) in x{ transformiert werden möge.
Dann lassen sich die Gleichungen
xi == ti\xl> '' ' 9 %n> aly " - y ar) >
%i = J i\%l> • • • > %n > &i> • • • • > #/■) >
als eine r-gliedrige Transformationsgruppe in den 2n Variablen xl9 ..., xn, xlf ..., xn
auffassen, die mit (1) gleichzusammengesetzt ist. Eine Invariante dieser Gruppe
beschreibt eine Eigenschaft der von zwei Punkten gebildeten Figur, die bei allen
Transformationen (1) ungeändert bleibt (z. B. die Entfernung zweier Punkte bei der
Gruppe der Bewegungen des euklidischen Raumes). Natürlich kann man auch noch
weitere Punkte hinzunehmen oder auch andere geometrische Gebilde, die sich durch
Koordinaten festlegen lassen. Hat man nur genügend viele, so ist in dem
entstehenden vollständigen System für die Invarianten die Anzahl N der Variablen größer als
die Anzahl q der unabhängigen Gleichungen, so daß die Existenz nichttrivialer
Invarianten gesichert ist (z. B. das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden).
Auch die Differentialgeometrie ordnet sich dem invariantentheoretischen
Gesichtspunkt unter. Wir fassen in (1) q der Variablen, etwa xl9 ...,xq, als unabhängige,
die restlichen als abhängige Veränderliche auf und setzen:
xq+l = Vl> - • - y %n == Vn-q'
Dann kann man (1) erweitern, indem man noch die Transformationsformeln für die
Ableitungen (bis zur /z-ten Ordnung) der y nach den x hinzufügt. Man erhält wieder
eine Gruppe in N Variablen, die mit (1) gleichzusammengesetzt ist. Ihre Invarianten
sind die Differentialinvarianten ju-ter Ordnung von (1). Jede endliche kontinuierliche
Gruppe besitzt unendlich viele Differentialinvarianten, die durch Integration von
vollständigen Systemen gefunden werden können. Die Anwendung auf die
Differentialgeometrie ergibt sich daraus, daß im Raum der x, y jede g-dimensionale Fläche
durch Vorgabe der y als Funktionen der x beschrieben wird. Krümmung und
Windung einer Raumkurve, Gaußsche und mittlere Krümmung einer Fläche sind die
einfachsten Beispiele solcher Differentialinvarianten. Je nachdem, welche Gruppe
man zugrunde legt, bekommt man in Übereinstimmung mit dem Erlanger Programm
die Differentialgeometrie der verschiedenen Geometrien: z. B. affine oder projektive
Differentialgeometrie. Man ersieht hieraus die Bedeutung der Lieschen
Invariantentheorie.1)
x) Neben ihr behauptet die algebraische Invariantentheorie ein selbständiges Interesse.
1,2,
■ n,
(4)

Sophus Lie 129
Doch auch für die Theorie der Differentialgleichungen hat Lie seine
invariantentheoretischen Untersuchungen fruchtbar gemacht. Setzt man eine Differential-
invariante von (1) gleich Null, so erhält man eine Differentialgleichung, welche die
Gruppe (1) gestattet. Davon war schon in § 4 die Rede. In dem einfachen Fall einer
Differentialinvariante erster Ordnung für eine eingliedrige Gruppe in zwei Variablen
x und y erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung F(x, y, y')
= 0. Aus der bloßen Kenntnis der Gruppe kann man ohne Integration die
Differentialgleichung auf eine Form bringen, in der sie durch Quadraturen lösbar ist. Ja, es
genügt schon die Kenntnis der zugehörigen inf. Transformation, um einen (Euler-
schen) Multiplikator zu gewinnen. So erklären sich die meisten der sogenannten
elementaren Integrationsmethoden.
Es sei schließlich noch bemerkt, daß Lie die Theorie der in § 4 erwähnten
Funktionengruppen als Invariantentheorie der Berührungstransformationen auffaßte.
§ 7. Vollständige Systeme mit bekannten Transformationen
Aus dem großen Reichtum der von Lie aufgedeckten und untersuchten Beziehungen
zwischen Gruppentheorie, Invariantentheorie und Differentialgleichungen sei noch
auf die Frage eingegangen, welchen Nutzen man für die Integration eines
vollständigen Systems von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung
X1(/) = 0,...,Xr(/)=0 (1)
ziehen kann, wenn man gewisse endliche oder inf. Transformationen kennt, welche
das System (1) in sich überführen. Eine inf. Transformation B(f) führt dabei (1) in
sich über, falls (Xh B) (/) = 0 eine Folge der Gleichungen (1) ist; man sagt: Das
System (1) gestattet die inf. Transformation B(f). Kennt man mehrere inf.
Transformationen B^f), ..., Bt(f), die von (1) gestattet werden, so kann Lie durch
verschiedene vorbereitende Operationen immer den Fall herstellen, daß die Bi(f) eine Gruppe
im Sinne von § 5, II., erzeugen. Wir begnügen uns mit dem folgenden
„Normalproblem".
Es sei die Differentialgleichung
dt n dt
Mi) =-r + Z «*(*> *i> •••> **) t1 = o
CX k=l OXje
gegeben. Sie gestatte die n inf. Transformationen
BAf)=£ßik(x9xu...9xn)^L.
k=l CXk
n
Dabei mögen die Bt(j) keine nichttriviale Relation der Gestalt 2J yßiif) — 0 erfüllen,
und es sei ,=1
(A,Bi) = 0, (Bh B,) = £ cijkBk
k
mit konstanten c^. Es sei © die von den B% erzeugte w-gliedrige Gruppe, deren
endliche Transformationen bekannt seien. Das Problem, die Gleichung A(f) =0 unter
den gegebenen Umständen zu integrieren, bezeichnen wir mit (Pn).

130 Teil III
Hat nun die Gruppe © eine invariante, m^gliedrige Untergruppe Gblf so kann Lie
die Lösung von (Pn) auf die Lösung zweier gleichartiger Probleme (P„_TOl) und (Pmi)
zurückführen. Zum Problem (Pn_mi) gehört die Gruppe ®/©i> während ©x zum
Problem (Pmi) gehört. Kennt man eine invariante Untergruppe von ®l9 so kann man
(Pmi) weiter zerlegen. Besitzt schließlich © eine Reihe von Untergruppen
© = ©o=) ©1=) ©2=3 '•• => ®/,
wo jedes ©i+1 invariant in der mrgliedrigen Gruppe ©i ist (Normalreihe), so ist (Pn)
zurückführbar auf eine Reihe von Problemen
(Pmt).
Ist die Gruppe © speziell auflösbar (Lie sagt „integrabel"), d. h., ist stets ml+1 = mt
— 1, ml = 1, so hat man (Pn) auf eine Reihe von Problemen (Px) zurückgeführt.
Ein Problem (Px) ist aber in Wahrheit eine gewöhnliche Differentialgleichung, die
eine bekannte inf. Transformation gestattet (§6), also durch Quadraturen zu lösen
ist. Demnach ist für auflösbare Gruppen © das Problem (Pn) durch Quadraturen
lösbar.
Man wird leicht die Analogie zur Galoisschen Gleichungstheorie bemerken. Eine
solche Analogie wird auch in den Untersuchungen von Picard und E. Vessiot
(1865—1952) über lineare gewöhnliche Differentialgleichungen im Komplexen
erreicht.1)
§ 8. Riemann-Helmholtz-Liesches Raumproblem
Die Arbeiten Lies über die Grundlagen der Geometrie knüpfen an die
Untersuchungen von Riemann und Helmholtz an und stellen auch eine Anwendung seiner
Gruppentheorie dar, deren Nützlichkeit er dabei besonders eindrucksvoll zu
demonstrieren hoffte.
In seinem 1854 gehaltenen HabilitationsVortrag2) begründete Riemann die heute
nach ihm benannte Geometrie, in der durch eine quadratische Differentialform in
einer w-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine Metrik festgelegt wird. Mit deren Hilfe
konnte Riemann eine Krümmungstheorie entwickeln, und die Räume konstanter
Krümmung erwiesen sich als mit den nichteuklidischen identisch. Diese Riemannsche
Begründung der Geometrie wurde von Helmholtz3) verworfen (zu Unrecht übrigens);
er selbst ging von einer Mannigfaltigkeit (ohne Differentialform!) aus, in der eine
,,/reie Beweglichkeit" für die starren Körper möglich ist. Dies läuft etwa darauf hinaus,
daß eine Gruppe von Transformationen der Mannigfaltigkeit gegeben ist, die gewisse
Forderungen erfüllen. Freilich kommt der Gruppenbegriff explizit bei Helmholtz
gar nicht vor; überhaupt sind die Helmholtzschen Formulierungen recht undeutlich.
Lie unterzieht zunächst die Arbeit von Helmholtz einer eingehenden Kritik und
*) Siehe: Enz. math. Wiss. II, A, 4b: E. Vessiot, Gewöhnliche Differentialgleichungen;
elementare Integrationsmethoden.
2) B. Riemann, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen. Ges. Werke,
Leipzig 1876, S. 254-269.
3) H. v. Helmholtz, Über die Tatsachen, die der Geometrie zugrunde liegen, Wiss. Abh. II,
(1883), S. 618-639.

Sophus Lie 131
zeigt, daß Helmholtz die „freie Beweglichkeit im Infinitesimalen" benutzt. Sodann
gibt Lie zwei verschiedene Lösungen des Problems an. Die erste sieht etwa so aus:
Der Raum ist eine dreidimensionale Zahlenmannigfaltigkeit, in der eine Gruppe G
von Transformationen — Bewegungen — gegeben ist. Diese ist eine der
nichteuklidischen Bewegungsgruppen, falls sie „in einem festen Punkt P von allgemeiner Lage"
die freie Beweglichkeit im Infinitesimalen besitzt. Diese definiert Lie aber wie folgt:
„Hält man den Punkt P und ein beliebiges hindurchgehendes reelles Linienelement fest,
so soll stets noch kontinuierliche Bewegung möglich sein, hält man dagegen außer P und
jenem Linienelement noch ein beliebiges reelles Flächenelement fest, das durch beide geht,
so soll keine kontinuierliche Bewegung mehr möglich sein." Diese erste Lösung hat Lie
auch für beliebige Dimensionen formuliert.
Die zweite Lösung ist problematischer. Sie benutzt die freie Beweglichkeit im
Endlichen. Lie setzt die Existenz von „Pseudokugeln" voraus und fordert, daß nach
Festhaltung des Mittelpunkts ein weiterer Punkt noch auf der durch ihn gehenden
Pseudokugel frei beweglich ist.
Wie groß auch der Fortschritt eingeschätzt werden mag, den Lies Arbeiten zum
Raumproblem gegenüber Helmholtz darstellen, so waren seine Sätze doch noch
nicht recht befriedigend; so werden z. B. die topologischen Schwierigkeiten kaum
beachtet. Dies bedeutet keine Einschränkung der Leistung Lies, sondern zeigt nur
die Schwierigkeit des Problems, die schon bei seiner Formulierung anfängt. Es haben
in der Folge viele Mathematiker an diesem heute nach Riemann, Helmholtz und
Lie genannten Problem gearbeitet, wobei einige der klangvollsten Namen zu nennen
wären.1) Die erzielten Resultate liefern eine wirkliche Lösung des Problems.
§ 9. Ausblick
Sophus Lie hat vornehmlich durch seinen Ideenreichtum auf die Mathematik
unseres Jahrhunderts eingewirkt. Ob seine Resultate im einzelnen noch den heutigen
Anforderungen an die Strenge der Beweise genügen, ist eine andere Frage. Hier
bleibt, namentlich im Hinblick auf Lies Arbeiten über Differentialgleichungen, noch
viel zu tun für die heutigen Mathematiker. Mächtig weiterentwickelt und in aller
begrifflichen Schärfe ausgebaut wurde indessen die Liesche Gruppentheorie,2)
worauf hier noch in aller Kürze eingegangen werden soll.
Eine Liesche Gruppe G definiert man heute als eine Gruppe, die gleichzeitig auch
eine analytische Mannigfaltigkeit ist, so daß die Abbildung (a, r) -> ax~1 von G xG
auf G analytisch ist. Dabei sieht man zunächst davon ab, daß die Elemente von G
eventuell Transformationen einer anderen Mannigfaltigkeit sind.3) Beschränkt man
*) Eine Zusammenfassung der Entwicklung des Problems findet sich bei H. Freudenthal,
Neuere Fassung des Riemann-Helmholtz-Lieschen Raumproblems, in J. Naas u. K. Schröder,
Der Begriff des Raumes in der Geometrie, Berlin 1957, S. 92 — 97.
2) An neueren Darstellungen seien genannt: L. S. Pontrjagin, Topologische Gruppen,
Teil 2, Leipzig 1958 (Übersetzung aus dem Russischen); C. Chevalley, Theory of Lie groups I,
Princeton 1946; S. Helgasson, Differential geometry and Symmetrie Spaces, New York —
London 1962.
3) Man betrachtet also die Parametergruppe (n). Das Studium transitiver Transformations-
gruppen läuft dann auf das Studium der Paare (G, H) hinaus, wo H Untergruppe von G ist.

132 Teil III
sich auf eine Umgebung des Einselementes, so erhält man eine lokale Gruppe G^.1)
Die inf. Transformationen, die Gx im Sinne von Lie erzeugen, faßt man zu einem rein
algebraischen Objekt, der „Lieschen Algebra11 © zusammen. © ist ein endlichdimen-
sionaler Vektorraum, dim © = dim G, in dem eine bilineare Verknüpfung zweier
Vektoren X und Y zu (X, Y) gegeben ist, so daß
(X, Y) =, -(7, X), (X, (F, Z)) + (r, (Z, X)) + (Z, (X, Y)) = 0.
Die Struktur der lokalen Gruppe Gx wird dann durch © vollständig beschrieben.
Lokal isomorphe Gruppen haben gleiche Liesche Algebra und umgekehrt. Alle
untereinander lokal isomorphen (zusammenhängenden) Lieschen Gruppen kann man aus
der zugehörigen universellen Überlagerungsgruppe durch Faktorengruppenbildung2)
nach einem diskreten Normalteiler gewinnen.
Der dritte Liesche Fundamentalsatz beinhaltet die Existenz einer lokalen Lieschen
Gruppe zu gegebener Liescher Algebra. Aber auch eine vollständige Liesche Gruppe
läßt sich stets zu gegebener Liescher Algebra konstruieren. Für Algebren ohne Zentrum
ist dies mit Hilfe der adjungierten Gruppe besonders einfach.
Bei der Untersuchung der Lieschen Algebren spielen die Begriffe der auflösbaren
und der halbeinfachen Algebra eine besondere Rolle. Jede Liesche Algebra kann
gewissermaßen in eine auflösbare und eine halbeinfache Liesche Algebra zerlegt
werden.3) Jede halbeinfache Liesche Algebra zerlegt sich in einfache, und diese sind
vollständig klassifiziert worden, und zwar zuerst durch Killing, dessen Beweise und
Resultate von E. Cartan (1869—1951) verbessert wurden. Beider Arbeiten wurden
noch von Lie selbst gewürdigt.4) Eine besondere Schwierigkeit ergab sich dabei durch
den notwendigen Übergang ins Komplexe, da nämlich rückwärts eine komplexe
Algebra verschiedene reelle Formen haben kann. Hier ist wieder E. Cartan zu nennen,
der überhaupt in vieler Hinsicht als der Nachfolger Lies gelten kann.
Im Jahre 1900 stellt D. Hilbert (1862-1943) eine Reihe von Problemen5) auf,
deren Lösung er für den Fortschritt der mathematischen Wissenschaften besonders
wünschenswert hielt. Das fünfte dieser Probleme bezieht sich auf Liesche Gruppen
und läuft auf die Frage hinaus, ob man in der obigen Definition einer Lieschen Gruppe
das Wort „analytisch11 durch „stetig11 ersetzen kann. Diese Frage ist auch im Hinblick
auf das Raumproblem von Bedeutung und hat viele Mathematiker in der ersten
Hälfte unseres Jahrhunderts beschäftigt. Es ist heute in bejahendem Sinne gelöst.
Es gibt noch eine Vielzahl von Theorien, die sich auf Liesche Gruppen beziehen
und in den letzten Jahrzehnten entstanden sind: Darstellungstheorie, Theorie der
invarianten Übertragungen auf Lieschen Gruppen, invarianten Differentialformen,
Theorie von Hodge für Liesche Gruppen, die Bestimmung der Betti-Zahlen und
Poincar6-Polynome kompakter Liescher Gruppen, symmetrische und homogene
*) Durch die genaue Fassung dieser Begriffe, insbesondere auch in topologischer Hinsicht,
wird eine weit größere Strenge als bei Lie erreicht.
2) Den Begriff der Faktorgruppe verdankt man übrigens Lies Nachfolger in Leipzig, Otto
Holder (1859-1937), von 1899 bis 1928 ord. Prof. in Leipzig.
3) Allerdings nicht im Sinne einer direkten Zerlegung.
*) TG, Bd. 3, Kap. 29.
5) D. Hilbert, Ges. Abh., Bd. III, S. 290—329. — Hilbert begründet die Wichtigkeit des
Problems gerade auch im Hinblick auf Lies Arbeiten über die Grundlagen der Geometrie.

Sophus Lie 133
Räume usw. Die Erwähnung dieser Dinge kann hier nur den Sinn haben, die
Lebenskraft der Lieschen Gruppentheorie bis in unsere Tage zu zeigen.
Wir schließen, indem wir F. Engel zitieren, der ja Zeit seines Lebens in seltener
Treue bemüht war, den Mathematikern Lies Werk zu erschließen:
„Wenn die Erfinderkraft der wahre Maßstab für die Größe eines Mathematikers ist,
so muß Sophus Lie unter die ersten Mathematiker aller Zeiten gerechnet werden. ... Die
Anregungen aber, die er in verschwenderischer Fülle ausgestreut hat, werden auf noch
viel länger hinaus wirken, und niemand vermag abzusehen, wann einmal ihre
Fruchtbarkeit erschöpft sein wird, wenn das überhaupt möglich ist."1)
x) Leipziger Berichte 51 (1899), S. XI.

Felix Hausdorff
und die
angewandte Mathematik
%
Hans-Joachim Girlich (Leipzig)
Felix Hausdorff
(1868-1942)
1. Einleitung
Felix Hausdorff ist in die Annalen der Mathematik als Begründer der
mengentheoretischen Topologie eingegangen, als Verfasser der berühmten „Grundzüge der
Mengenlehre", worin vor allem die folgende, nun schon über 65 Jahre alte, wahrlich
epochale Definition geprägt wurde, die wir hier explizit wiedergeben wollen:
„Unter einem topologischen Baum verstehen wir eine Menge E, worin den
Elementen (Punkten) x gewisse Teilmengen Ux zugeordnet sind, die wir Umgehungen von x
nennen, und zwar nach Maßgabe der folgenden Umgebungsaxiome:
(A) Jedem Punkt x entspricht mindestens eine Umgebung Ux; jede Umgebung Ur
enthält den Punkt x.
(B) Sind Ux, Vx zwei Umgebungen desselben Punktes x, so gibt es eine Umgebung
Wx, die Teilmenge von beiden ist.
(C) Liegt der Punkt y in Ux, so gibt es eine Umgebung Uy, die Teilmenge von Ux
ist.
(D) Für zwei verschiedene Punkte x, y gibt es zwei Umgebungen UXi Uv ohne
gemeinsamen Punkt."
Heute ist diese Schöpfung der unbestritten ,,reinen" Mathematik unter der
Bezeichnung Hausdorffscher Raum mathematisches Allgemeingut geworden und selbst in
Handbüchern der angewandten Mathematik zu finden.1) Wir könnten fortfahren,
Hausdorffsche Begriffe aufzuführen und zu diesen abstrakten Konstruktionen
Anwendungen in der Gegenwart anzugeben, so etwa die Hausdorffsche Dimension, das
Hausdorffsche Maß, die Hausdorffsche Metrik und ihr Einsatz in der
Informationstheorie bzw. in der modernen Entscheidungstheorie.2) Es wäre bestimmt reizvoll, den
großen Mathematiker Felix Hausdorff auf diese Weise zu würdigen.
!) Vgl. z. B. [63].
2) Vgl. [41], [40] sowie [61], [62], [16], [58].

Felix Hausdorff und die angewandte Mathematik 135
Unser Anliegen ist aber weitaus bescheidener. Wir wollen die Aufmerksamkeit auf
die weniger bekannte Tatsache lenken, daß der geniale Theoretiker Felix Hausdorff
sich während seines Studiums, bei seiner Promotion und Habilitation selbst noch als
junger Privatdozent im wesentlichen der angewandten Mathematik verschrieben
hatte. Wir werden Hausdorffs Werdegang an der Leipziger Universität von 1887
bis 1910 verfolgen und zu zeigen suchen, daß Leipzig und sein Mathematisches
Institut, dessen wissenschaftliches Profil von seiner Gründung bis zur Gegenwart durch
die Einheit von reiner und angewandter Mathematik geprägt ist, auch Felix
Hausdorff geformt und zu seinen hervorragenden mathematischen Leistungen befähigt
hat.
Wir können uns hier ohne Nachteil für den geneigten Leser auf Hausdorffs
Leipziger Jahre beschränken, da Hausdorffs Wirken an den Universitäten in
Greifswald und Bonn bereits von F. v. Krbek (1956), M. Dierkesmann (1967) und
W. Krull (1970) vorzüglich beschrieben worden ist. In den beiden erstgenannten
Lebensbildern konnten die Autoren auch über ihre persönlichen Begegnungen, ihren
direkten Kontakt zu Felix Hausdorff als Kollege, als Lehrer — als Mensch
beeindruckend berichten.1) Wir sind dagegen allein auf schriftliche Zeugnisse aus der
Hand von Felix Hausdorff oder von Amtspersonen seiner Zeit angewiesen. Dabei
wurden wir in besonderem Maße von Mitarbeitern der Universitätsarchive in Leipzig
und Berlin, des Stadtarchivs und der Urkundenstelle in Leipzig in dankenswerter
Weise unterstützt. Des weiteren sei Herrn Prof. Dr. G. Bergmann aus Münster
gedankt, der mir die Einsichtnahme in eine Vorlesungsskripte aus dem Hausdorff-
schen Nachlaß ermöglichte.
2. Studienzeit
Felix Hausdorff wurde am 8. November 1868 in Breslau als Sohn des Kaufmanns
Louis Hausdorff geboren, der seit 1871 auf dem Leipziger Brühl mit „Leinen und
ßaumwollwaaren en gros" handelte und 1875 die sächsische Staatsangehörigkeit
sowie das Bürgerrecht der Stadt Leipzig erwarb. Nach dreijährigem Besuch der
zweiten Bürgerschule zu Leipzig bezog Felix Hausdorff ebendaselbst Ostern 1878
das Nicolai-Gymnasium, das er — seit Untersecunda als Klassenprimus — mit
bestandener Reifeprüfung im März 1887 verließ.2)
Am 18. April 1887 schrieb sich Felix Hausdorff in die Matrikellisten der
Leipziger Universität ein, um Naturwissenschaften und Mathematik zu studieren. In seinem
ersten Studienjahr wählte er ein Ausbildungsprogramm, das hinsichtlich Inhalt und
Umfang im wesentlichen dem entsprach, das noch 70 Jahre später in Leipzig von den
angehenden Mathematikern und Physikern absolviert wurde. Er belegte
Experimentalphysik bei G. Wiedemann, analytische und projektive Geometrie bei S. Lie nebst
den von F. Schur geleiteten Übungen dazu, Algebra und Determinanten sowie
Differential- und Integralrechnung mit Übungen bei A. Mayer. Schließlich hörte er
mathematische Geographie bei H. Bruns und Theorie der algebraischen Gleichungen
bei F. Engel. Des weiteren besuchte er Vorlesungen zu verschiedenartigen histori-
*) Vgl. auch [3], [43], [4], [52].
2) Vgl. [22], [60], [2].

136 Teil III
sehen und philosophischen Themen, u. a. zur ,,Geschichte des Socialismus" bei
0. Warschauer und zur Arbeiterfrage bei K. Walcker.1)
Das Sommerhalbjahr 1888 verbrachte Felix Hausdorff an der
Großherzoglichen Badischen Albert-Ludwig-Universität zu Freiburg im Breisgau. Er studierte
die Geschichte der neueren Philosophie bei H. Münsterberg, anorganische Experi-
nientalchemie unter Anleitung von E. Baumann sowie Integralrechnung bei L. Stik-
kelberger. Nach diesem geruhsamen Semester im idyllisch an den Westhängen des
südlichen Schwarzwalds gelegenen Freiburg stürzte sich Felix Hausdorff in den
hauptstädtischen Trubel an der Spree. Er ließ sich am 25. Oktober für das
Winterhalbjahr 1888/89 an der Königlichen Friedrich-Wilhelm-Universität zu Berlin
immatrikulieren und nutzte weidlich das Angebot an dieser Hochburg der Wissenschaften.
Hier in Berlin fiel die Entscheidung zugunsten der angewandten Mathematik; die
Direktoren der Königlichen Sternwarte, des Astronomischen Rechen-Instituts und
des Geodätischen Instituts waren maßgeblich daran beteiligt.
So hörte er bei W. Foerster allgemeine Astronomie und Astrophysik sowie
Fehlertheorie und Kritik von Messungsergebnissen, Mechanik des Himmels bei F. Tietjen
und die Methode der kleinsten Quadrate bei F. Helmert. Die Theorie der elliptischen
Funktionen und analytische Mechanik lernte Hausdorff bei L. Fuchs kennen, der
neben Weierstrass und Kronecker das Mathematische Seminar der Universität
leitete. Auch in Berlin betrieb Hausdorff philosophische Studien und besuchte
jeden Donnerstag um 18 Uhr ein unentgeltliches Kolleg von Dr. K. Moeli über
„Beziehungen zwischen Geistesstörung und Verbrechen und über die Beurtheilung des
Geisteszustandes vor Gericht mit Demonstrationen".2)
Vom 26. April 1889 bis zum Ende des Sommersemesters 1891 studierte Felix
Hausdorff wieder in Leipzig. Dabei bevorzugte er durchweg die Vorlesungen und
Seminare von H. Bruns (allgemeine und praktische Astronomie, Himmelsmechanik,
Bahnbestimmung und spezielle Störungen, Wahrscheinlichkeitsrechnung) und A.
Mayer (gewöhnliche, dynamische, partielle Differentialgleichungen,
Variationsrechnung, analytische Mechanik). Er hörte bei S. Lie 1889 dessen Theorie der
Transformationsgruppen nebst Anwendung auf Geometrie und Mechanik und bei C.
Neumann analytische Mechanik sowie mechanische Wärmetheorie. Schließlich absolvierte
er bei G. Wiedemann ein physikalisches Praktikum. Über den Gegenstand seiner
Studien wurde er am 30. 7. 1891 im Rahmen des Promotionsverfahrens von einer
Kommission geprüft, die aus G. Wiedemann, H. Bruns und A. Mayer bestand
und die die Leistung des Kandidaten mit summa cum laude bewertete.3)
3. Heinrich Bruns
Felix Hausdorffs akademischer Lehrer im engeren Sinne, der ihn zur eigenen
Forschungsarbeit außerordentlich weitgehend anregte und unterstützte, war
Heinrich Bruns, seit 1882 Direktor der Sternwarte und ordentlicher Professor der
Astronomie an der Universität Leipzig. H. Bruns verkörperte seinerzeit in Leipzig den
*) Vgl. [64], [68].
2) Vgl. [22], [66], [1], [67].
3) Vgl. [65], [60].

Felix Hausdorff und die angewandte Mathematik 137
angewandten Mthematiker par excellence. Der ehemalige Berliner
Mathematikprofessor förderte nicht nur die Himmelsmechanik, die Herleitung und Integration der
ßewegungsgleichungen von Himmelskörpern, sondern beschäftigte sich — eingedenk
seiner Pulkower und Dorpater Erfahrungen — gleichermaßen mit theoretischen
Problemen der Beobachtung von Gestirnen, den astronomischen Instrumenten und der
Datenverarbeitung. Dabei war mit dem Auswerten der Beobachtungsergebnisse das
Aufstellen datenverdichtender Tafeln und Näherungsformeln ebenso verbunden wie
das fachgerechte Beurteilen der auftretenden Fehler. Mit derartigen Fragestellungen
hat sich Felix Hausdorff in seinen ersten Untersuchungen erfolgreich
auseinandergesetzt. So entstanden in den Jahren 1890 bis 1896 fünf Arbeiten zur
Strahlenoptik und von 1897 bis 1901 zwei Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Auf
diese werden wir in den nächsten beiden Abschnitten im Detail zu sprechen kommen.
Aus heutiger Sicht sei zuvor noch die Pionierrolle von H. Brtjns auf dem Gebiet
der praktischen Mathematik in Leipzig hervorgehoben, wobei neben den
Vorlesungen über Fehler- und Ausgleichsrechnung sowie Kollektivmaßlehre vor allem auf
sein ständiges Seminar über „wissenschaftliches Rechnen" hinzuweisen ist, in denen
die Studierenden spezielle Aufgaben zu lösen hatten. Die dazu erforderlichen
mathematischen Verfahren, wie z. B. zur Interpolation und zur numerischen Integration,
wurden den Teilnehmern in autographierter Form ausgehändigt. Diese
Aufzeichnungen erschienen 1903 in Buchform als „Grundlinien des wissenschaftlichen Rechnens"
im Verlag B. G. Teubner und gehören zu den ersten Büchern der praktischen
Mathematik überhaupt. Derselbe Verlag brachte dann 1906 auch Brtjns
„Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivmaßlehre" heraus. Die von H. Brtjns besonders
geförderte praktische Seite der Mathematikausbildung wurde in Leipzig von einem
seiner letzten Schüler, Felix Btjrkhardt, weitergeführt, bis sie Ende der fünfziger
Jahre in dem Übungssystem der durch die moderne Rechentechnik sprunghaft
entwickelten numerischen Analysis und der mathematischen Statistik vollends aufging.1)
4. Strahlenoptik und Astronomie
Das wissenschaftliche Leben am Mathematischen Institut in Leipzig wurde vor der
Jahrhundertwende wesentlich durch die Königliche Sächsische Gesellschaft der
Wissenschaften zu Leipzig geprägt, deren „mathematisch-physischen Classe" die
Ordinarien Brtjns, Lie, Mayer, Neumann und Scheibner als ordentliche Mitglieder
angehörten. Auf den turnusmäßigen Sitzungen trugen die Mitglieder ihre
Forschungsergebnisse vor und referierten über ihnen vorgelegte Arbeiten anderer zum Zweck
des Abdrucks in den seit 1848 bei B. G. Teubner erscheinenden „Leipziger Berichten"
In der Sitzung vom 23. 4. 1891 legte H. Brtjns die Arbeit „Zur Theorie des
astronomischen Strahlenbrechung" vor, in der er eine neue Methode zur Gewinnung von
Refraktionsformeln angibt. Die bisher verwendete Methode hatte den Nachteil,
daß der über das Prinzip von Matjperttjis gefundene Ausdruck für die Refraktion
eines Lichtstrahls beim Durchgang durch die Atmosphäre praktisch nur auswertbar
war, wenn ein Gesetz über die vertikale Temperaturänderung zur Verfügung stand.
Da zu dieser Zeit die Meteorologie erst in den Anfängen steckte und beträchtliche
x) Vgl. auch [221, [59], [44].

138 Teil III
Schwierigkeiten bestanden, den Temperaturverlauf bis in große Höhen durch
Messungen zu erfassen, wurde auf gut Glück extrapoliert, ohne natürlich dabei die
erforderliche Genauigkeit erreichen zu können. Um diesen bedenklichen Umweg zu
vermeiden, benutzt H. Brtjns gleich für den Brechungsexponenten einen
hypothetischen Ansatz, wobei die unbekannten Parameter mittels Ausgleichung der
beobachteten Refraktionswerte zu verschiedenen Zenitdistanzen zu schätzen sind. Im
nachhinein können nun aus den Refraktionen die mittleren vertikalen Temperatur-
änderungen in der freien Atmosphäre ermittelt werden.
Die Brunssche Konzeption wurde von F. Hatjsdorff in dessen am 9. 7. 1891
eingereichten Dissertation „Zur Theorie der astronomischen Refraktion" für
verschiedene Ansatzklassen systematisch durchgearbeitet und ausgearbeitet, so daß sie
die für die praktischen Anwendungen erforderliche Geschmeidigkeit gewinnt. Nach
Annahme der Arbeit auf Grund des von H. Brtjns und A. Mayer am 14. 7. 1891
erteilten und mit „egregia" bewerteten Gutachtens wird die Arbeit in den Leipziger
Berichten (Sitzung vom 3. August 1891) veröffentlicht, wobei
bemerkenswerterweise im Titel „Refraktion" durch „Strahlenbrechung" ersetzt wurde, so daß die
Hausdorffsche Arbeit unter demselben Titel erscheint wie die vorangegangene von
H. Brtjns.
Nach Ableisten eines einjährigen Militärdienstes beim Infanterie-Regiment Nr.
106 in Möckern liefert er zu Beginn des Jahres 1893 einen Nachtrag zur Dissertation,
worin der Nachweis geführt wird, daß die nach der Brunsschen Methode über
beobachtete Refraktionswerte bestimmte mittlere Temperaturabnahme in der freien
Atmosphäre genauer und bequemer folgt als durch die bisherigen meteorologischen
Hilfsmittel. Allerdings fügt Hatjsdorff bedauernd hinzu: „Zu einer wirklichen
Anwendung des Verfahrens fehlt, nachdem seine Anwendbarkeit an reinen
Rechenbeispielen gezeigt ist, nur noch das Material, dessen Beschaffung hoffentlich in nicht zu
ferner Zeit von einer der günstiger gelegenen Sternwarten in ihren Arbeitsplan
aufgenommen wird."1)
Dieser Appell des jungen Hochschulabsolventen, dem es Ernst ist um die
Anwendung seiner Wissenschaft, ist mit einer persönlichen Konsequenz verbunden. Felix
Hausdorff nimmt das Brunssche Angebot, an der Universitätssternwarte im Jo-
hannistal — unweit des Mathematischen Instituts — als Rechner zu arbeiten, im
Februar 1893 an. Am Ende des Jahres schließt er seine Untersuchungen über die
astronomische Refraktion durch eine dritte Arbeit ab, in der der Einfluß der
Erdabplattung mittels Störungsrechnung analysiert wird. Dabei erweist sich die
Berücksichtigung der Erdabplattung nur bei Refraktionsbeobachtungen in der Nähe des
Horizonts für die Ableitung mittlerer Lufttemperaturen als erforderlich.
Im April 1895 reicht F. Hausdorff die Schrift: „Über die Absorption des Lichtes
in der Atmosphäre" mit dem Antrag auf Erteilung der venia legendi für Astronomie
und Mathematik bei der Philosophischen Fakultät der Universität Leipzig ein. In
dieser Arbeit wird zwischen Refraktion und Extinktion eine hinsichtlich der
mathematischen Beschreibung bestehende Analogie aufgedeckt, so daß die Brunssche
Methode auch hierbei anwendbar ist. Es gelingt Hausdorff, den für astronomische
Helligkeitsmessungen benötigten Extinktions verlauf erschöpfend darzustellen. Für
Beobachtungsmaterial aus Potsdam und vom Säntis (Schweiz) zeigt sich inter-
i) Vgl. [24].

Felix Hausdorff und die angewandte Mathematik 139
essanterweise mit wachsender Höhe ein überraschend ungleichmäßiger Abfall der
Absorption.
Nachdem die Habilitationsschrift von der Fakultät angenommen und das Collo-
quium am 18. 6. 95 „zur vollen Zufriedenheit der Commission ausgefallen" war,
fand am 25. 7. 95 im Saale des Czermakschen Instituts die Probevorlesung über
„Das Gauss'sche Fehlergesetz" statt. Am gleichen Tag unterschrieb F. Hausdorff
eine Erklärung, daß er mit der venia legendi „weder auf Unterstützung durch Grati-
fication noch auf irgend eine feste Besoldung einen Anspruch erhalte".1)
Hausdorffs Start als Privatdozent war wenig verheißungsvoll. Zu seinen im
Winterhalbjahr 1895/96 gehaltenen beiden Vorlesungen, die im gedruckten
Verzeichnis nicht mehr aufgezeigt werden konnten, fanden sich kaum Hörer ein. Zur
Vorlesung „Figur und Rotation der Himmelskörper" kam nur einer, zur „Karten-
projection" (obwohl publice) auch nur zwei. In diesem Semester entstand dafür eine
Arbeit, in der Hausdorff nochmals ganz unmittelbar an eine Veröffentlichung
seines Lehrers anknüpft. Es handelt sich hierbei um die für die Entwicklung der
geometrischen Optik fundamentale Brunssche Abhandlung: „Das Eikonal", in der eine
Theorie der optischen Instrumente auf der Grundlage des Malusschen Satzes
aufgebaut wird, wonach flächennormale Büschel bei jeder Brechung in flächennormale
übergehen. Die entsprechende Strahlenabbildung ist nichts anderes als eine
Berührungstransformation, deren erzeugende Funktion im wesentlichen dem Eikonal
entspricht, für das H. Bruns eine äußerst geschickt gewählte Darstellung einführte.
F. Hausdorff untersucht in seiner Arbeit speziell „Infinitesimale Abbildungen der
Optik", wodurch sich die Rechnungen wesentlich vereinfachen. Er konnte für diesen
Fall der stetig zusammengesetzten optischen Abbildungen die Unmöglichkeit zeigen,
strenge Aplanasie bei einem teleskopischen System zu erreichen, d. h., es existiert
kein ideales Fernrohrobjektiv.
Nachdem H. Bruns am 13. 1. 1896 in der Sitzung der math.-phys. Classe die
Hausdorff sehe Arbeit vorgelegt hatte, ergriff S. Lie das Wort zu seiner kurzen Rede über
„Die infinitesimalen Berührungstransformationen der Optik", in der er daran
erinnerte, daß er in seinen Vorlesungen seit 1872 die Zuhörer darauf hingewiesen habe,
„dass verschiedene Gebiete der Mechanik und Physik (insbesondere der Optik) in
schönster Weise die Begriffe eingliedrige Gruppe von Punkt- bzw.
Berührungstransformationen illustrieren und gleichzeitig durch explicite Einführung dieser Begriffe
gefördert werden".
Erst in der von K. Schwarzschild 1905 aufgestellten Theorie der Bildfehler
höherer Ordnung und deren Anwendung zur Berechnung effektiver Linsensysteme
wurde das Brunssche Eikonal praxiswirksam. Diese in Leipzig entstandene Richtung
der geometrischen Optik wurde in den fünfziger Jahren in Leipzig durch J. Focke
wiederbelebt und in gewisser Weise vollendet.2)
5. Wahrscheinlichkeitsrechnung
Während der Prosperität der Gründer jähre entwickelte sich die Handelsstadt Leipzig
zur sächsischen Wirtschaftsmetropole mit einem bedeutenden Finanzsektor. In
diesem Zusammenhang ist wohl die Anregung des Königlichen Ministeriums zu
i) Vgl. [60]. «) vgl. [8], [26], [50], [14], [20].

140 Teil III
sehen, an der Leipziger Universität Versicherungstechniker ausbilden zu lassen. Die
Philosophische Fakultät beauftragte den Privatdozenten Felix Hausdorff, den
theoretischen Teil der Ausbildung zu übernehmen. Er begann im Sommerhalbjahr
1896 mit einer Vorlesung über Versicherungsmathematik, die er mit „Politischer
Arithmetik" (Lotterien, Staatsanleihen, Finanzwesen) und „Mathematischer
Statistik" in den folgenden beiden Semestern fortsetzte. Nicht zuletzt wegen der
positiven Resonanz dieses Kurses, der an der Universität zweimal wiederholt werden mußte,
übernahm F. Hausdorff auch einen festen Lehrauftrag von der im Jahre 1898
gegründeten Handelshochschule Leipzig, übrigens der ersten Schule ihrer Art in
Deutschland.1)
Die reizvolle Aufgabe bei der Gestaltung dieser Vorlesungen bestand für den
angewandten Mathematiker darin, aus dem umfangreichen Schrifttum, das im
wesentlichen eine Sammlung mehr oder weniger begründeter Einzelfaktoren im zum Teil
widersprüchlichen Kontext darstellte, den mathematischen Kern herauszuschälen
und die Begriffe und Aussagen entsprechend zu präzisieren. Diese Arbeit findet auch
in der Schrift „Das Risico bei Zufallsspielen" ihren Ausdruck. Darin entwickelte
Hausdorff (1897) ein einfaches stochastisches Modell, auf das die Probleme einer
Lotterie, von Anleihen (Tilgungsraten) und der Lebensversicherung zurückgeführt
werden können. In heutiger Sprechweise handelt es sich bei dem eingeführten
„gerechten Zufallsspiel" um eine Zufallsgröße mit verschwindender mathematischer
Erwartung, deren Standardabweichung als mittleres Risiko bezeichnet wird. Die
Beziehungen zu anderen Risikobegriffen werden hergestellt und Fehler in der Literatur
nachgewiesen, die vor allem durch sorglosen Umgang mit dem Begriff der
Unabhängigkeit zufälliger Ereignisse entstanden sind. Allerdings waren damals diese
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung allgemein noch nicht entsprechend scharf
gefaßt, und die von D. Hilbert (1900) in seinem berühmten Pariser Vortrag
erhobene Forderung nach deren Axiomatisierung war Ausdruck dieses unbefriedigenden
Zustands.
Im Winterhalbjahr 1900/01 hielt F. Hausdorff „ein wundervolles Kolleg über
Wahrscheinlichkeitsrechnung", wie G. Kowalewski in seinen
Lebenserinnerungen schreibt, der mit H. Liebmann unter den neun Hörern dieser Vorlesung weilte.
Vielleicht dadurch angeregt, übersetzte H. Liebmann das bedeutsame Lehrbuch
„Wahrscheinlichkeitsrechnung" von A. Markov aus dem Russischen und brachte
es 1912 bei B. G. Teubner heraus. In einem Anhang wurden noch einige neuere
Arbeiten von A. Markov aufgenommen, die abhängigen Folgen gewidmet sind. Aus
Leipziger Sicht ist insbesondere eine Arbeit von 1911 interessant, in der A. Markov
die von H. Bruns (1906) in „Das Gruppenschema für zufällige Ereignisse"
eingeführten zufälligen Folgen analysiert und zu den sogenannten Markov-Bruns-Ketten
erweitert. Ein weiteres Ergebnis der obengenannten Vorlesung bilden Hausdorffs
„Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung", die in der Sitzung der math.-phys.
Classe vom 6. 5. 1901 vorgelegt wurden.
Im ersten Teil wird auf der Grundlage der Laplaceschen
Wahrscheinlichkeitsdefinition der Begriff der „relativen Wahrscheinlichkeit" erklärt, die wir heute
bedingte Wahrscheinlichkeit nennen. Damit wird gezeigt, daß die Bayessche Formel
in elementarer Weise aus dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit gefolgert
') Vgl. [60].

Felix Hausdorff und die angewandte Mathematik 141
werden kann und keinerlei kausale und zeitliche Hilfsvorstellungen oder Prinzipien
erfordert. Weiterhin wird hierbei erstmalig der Begriff der Unabhängigkeit von
Ereignissen und Ereignissystemen über den Begriff der bedingten
Wahrscheinlichkeit eingeführt.
Im zweiten Teil untersucht Hausdorff eine Klasse von Schätzungen des „Prä-
cisionsmaasses des Gauss'schen Gesetzes" und bestimmt darunter die optimale. Der
entsprechende Schätzwert kann im konkreten Fall sehr einfach ermittelt werden
(er ist rund das Reziproke desjenigen Wertes, der von 16% der Beobachtungen
überschritten wird). Allerdings geht dieser Vorteil zu Lasten der Güte der Schätzung.
Die entsprechende Maximum-Likelihood-Schätzung besitzt eine geringere Streuung.
Der dritte Teil ist von tieferer Bedeutung für die Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Dieser Beitrag knüpft an die Arbeit von H. Bruns (1897) ,,Über die Darstellung von
Fehlergesetzen" an, in der ein Verteilungsgesetz nach einem Funktionensystem
entwickelt wird, das aus der Normalverteilung und ihren Ableitungen besteht, wobei
H. Bruns wohl als erster die Beziehung der Entwicklungskoeffizienten zu den
Momenten der Verteilung aufgedeckt hat. F. Hausdorff leitet auf elegante Weise die
Brunssche Reihe her, die heute meist Gram-Charlier-Reihe genannt wird, dabei
verwendet er bereits Semiinvarianten anstelle von Momenten. Dieses Ergebnis ist
aber nicht das Ziel, sondern nur ein Beiprodukt der Hausdorffschen Untersuchung,
in der es um Bedingungen geht für die Gültigkeit des schon von C. F. Gauss
erkannten und die Basis seiner Fehlertheorie bildenden zentralen Grenzwertsatzes für
unabhängige, aber nicht notwendig identisch verteilte Zufallsgrößen. Dabei wird
prinzipiell angenommen, daß die Zufallsgrößen stetig sind, das erste Moment verschwindet,
die Momente beliebig hoher Ordnung endlich bleiben, die momenterzeugenden
Funktionen existieren und dazu eine Umkehrformel gilt. Die
Entwicklungskoeffizienten des natürlichen Logarithmus einer momenterzeugenden Funktion — die
sogenannten Semiinvarianten — bezeichnet Hausdorff als kanonische Parameter,
denn er stellt fest: ,,ihre Wichtigkeit beruht A) auf ihrem additiven Verhalten bei
Entstehung eines Totalfehlers aus unabhängigen Einzelfehlern ... B) darauf, daß
beim Gauss'schen Gesetz alle kanonischen Parameter bis auf den zweiten
verschwinden." Falls die Einzelfehler von nicht allzu verschiedener Größenordnung sind —
diese Forderung wird von Hausdorff mittels der kanonischen Parameter präzisiert
— gilt der zentrale Grenzwertsatz. Beinahe gleichzeitig veröffentlicht A. M. Lja-
punow in St. Petersburg weit schwächere Bedingungen, unter denen der zentrale
Grenzwertsatz gültig ist. Interessanterweise benutzen beide die Methode der
Integraltransformationen, wobei Ljapunow die günstigeren charakteristischen
Funktionen verwendet. Wenn auch der Hausdorffsche zentrale Grenzwertsatz vom Ljapu-
nowschen gemeinhin übertroffen wird, hinsichtlich der Einführung der
Semiinvarianten, ihrer wesentlichsten Eigenschaften und ihres Einsatzes in den sogenannten
Gram-Charlier-Reihen vom Typ A gebührt F. Hausdorff eindeutig die Priorität
gegenüber T. N. Thiele (1903) und C. V. L. Charlier (1905).1)
Hausdorff schließt seine Arbeit mit einem Ausblick auf momenterzeugende
Funktionen und die kanonischen Parameter bei mehrdimensionalen Verteilungen,
die erst in den dreißiger Jahren aufgegriffen und behandelt werden.
Auf Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung kommt F. Hausdorff auch nach
*) Vgl. [45], [15].

142 Teil III
seiner Leipziger Zeit gelegentlich wieder zurück. So gibt er z. B. in seinen
„Grundzügen der Mengenlehre" zu dem von E. Borel (1909) formulierten und bestätigten
starken Gesetz der großen Zahlen einen einfachen Beweis an, der sogar eine Aussage
über die Konvergenzgeschwindigkeit liefert und damit eine Untersuchungsrichtung
eröffnet, die im Gesetz vom iterierten Logarithmus gipfelt.
Im Laufe einer Untersuchung über Summationsmethoden und Momentfolgen wurde
Hausdorff „indirekt auf das Momentproblem für das Intervall [0, 1] geführt und
bemerkte, daß dieses zwar durch Stieltjes mitgelöste Problem sich auch ohne jeden
umfänglichen algebraischen und funktionentheoretischen Apparat in fast elementarer
Weise behandeln läßt". Wegen der in der Arbeit „Momentprobleme für ein endliches
Intervall" gegebenen eleganten Lösung spricht man seitdem vom Hausdorff sehen
Momentenproblem. Dabei zeigte Hausdorff (1923), daß eine vorgegebene Folge von
Zahlen juk genau dann eine Folge von Momenten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
mit dem Träger [0, 1] bildet, wenn die Zahlenfolge vollmonoton ist, d. h. die
Ungleichungen
(-l)mAmjun ^0
für n, m = 0, 1, 2, ... gelten, wobei Amjun die m-te Differenz der Zahlenfolge {/zn}
bezeichnet.
6. Paul Mongre
In Felix Hausdorffs Leipziger Zeit fällt eine Periode überaus produktiver
literarischer Tätigkeit auf schöngeistigem Gebiet, die ihm am Ende sogar die Aufnahme
in Brummers „Lexikon der deutschen Dichter und Prosaisten" brachte. Ausgelöst
wurden diese Aktivitäten durch einen längeren Kuraufenthalt in Italien, da eine
Erkrankung der Atmungsorgane ihn zwang, das Wintersemester 1896/97 in einem
wärmeren Klima zu verbringen. In S. Ilario bei Genua, am Tage S. Ilario 1897
vollendet er sein Erstlingswerk „Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras",
das noch im gleichen Jahr in Leipzig unter dem Pseudonym Paul Mongre erscheint.
Das Hausdorff sehe „ä mon gre" mit betontem Possessivpronomen wird zur Devise
für alle weiteren, vornehmlich feuilletonistischen Arbeiten, deren relativierter
Anspruch in dem durchaus noch lesenswerten Artikel „Das unreinliche Jahrhundert"
erkannt und artikuliert wird. In „Max Klingers Beethoven" bringt Hausdorff
seine tiefe Verehrung für den bedeutendsten Leipziger Bildhauer zum Ausdruck und
erleichtert zugleich meisterhaft den Nachfahren das Werksverständnis des nackt-
trohnenden Beethovens. Schließlich sei noch die Komödie „Der Arzt seiner Ehre"
erwähnt, die neben Dichtungen von Hermann Hesse und Selma Lagerlöf in der
„Neuen Rundschau" 1904 erstmalig abgedruckt wurde. Wer heute diese derbe Satire
auf das Duellunwesen liest, vermeint ein Stück von Curt Goetz vor sich zu haben.
Tatsächlich besteht eine gewisse Beziehung, wenn auch in umgekehrter Richtung.
Während „Der Arzt seiner Ehre" bei seiner Uraufführung im Hamburger
Schauspielhaus und im Berliner Lessingtheater nicht ungeteilten Beifall fand, wurde die von
Victor Barnowsky besorgte Inszenierung am Kleinen Theater in Berlin Unter den
Linden 44 ein großartiger Erfolg. In über hundert Aufführungen vor aus verkauf-

Felix Hausdorff und die angewandte Mathematik 143
tem Haus spielte den Architekten Adelung — der dreiundzwanzigjährige Ctjrt
Goetz.1)
Der an weiteren Veröffentlichungen von P. Mongre interessierte Leser sei auf die
schöne Übersicht von W. Krtjll (1970) verwiesen. Wir wollen hier stattdessen kurz
auf Felix Hatjsdorffs weitere außerwissenschaftliche Tätigkeit als
Verlagsbuchhändler zu sprechen kommen. Sein Vater, der Kattun-Kaufmann Louis Hausdorff
übernahm 1886 die 1883 gegründete Textil-Zeitschrift „Der Spinner und der Weber"
in den Verlag Hausdorff u. Co. Im September 1896 wurde F. Hausdorff Teilhaber
dieses Verlages und baute die Zeitschrift zu einer führenden Maschinen- und
Rohstoff-Zeitung der Textilindustrie in Europa aus (u. a. spanische Exportausgabe
1921—1929). Erst nachdem F. Hausdorff in den Freitod getrieben worden war,
wurde „Der Spinner und der Weber" in der „Allgemeinen Textil-Zeitschrift,
Pössneck" fusioniert.2)
7. Professor an der Universität Leipzig
Die Philosophische Fakultät der Universität Leipzig beantragte am 5. November
1901 beim Königlich Sächsischen Ministerium des Kultus und öffentlichen
Unterrichts, „dasselbe wolle dem Privatdocenten Dr. Hausdorff den Titel eines
außerordentlichen Professors verleihen". Im Antrag heißt es an anderer Stelle: „Bei Dr. H. ist
in einer nicht gerade häufig vorkommenden Weise die Gewandtheit in der
rechnerischen Behandlung konkreter Vorgänge mit einer ausgesprochenen Befähigung
für die Probleme der reinen Mathematik und nicht minder auch für abstracte Specu-
lation vereinigt."2)
Unter der hier erwähnten reinen Mathematik ist vor allem die Geometrie zu
verstehen; denn seit 1896 las F. Hausdorff über „Analytische Geometrie",
„Winkeltreue Abbildungen", „Curven- und Flächentheorie", „Projective Geometrie" und
„Ausgewählte Capitel der höheren Geometrie". Dabei erzielte er u. a. neue Ergebnisse
über Kreisverwandtschaften in der Lobatschewskischen Ebene, die er als
„Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie" 1899 publizierte. Angeregt durch den
etwas älteren Kollegen G. Scheffers hielt F. Hausdorff im Sommer 1899 eine
kleine Vorlesung über „Complexe Zahlen und Vectoren", die unmittelbar zur
Veröffentlichung „Zur Theorie der Systeme complexer Zahlen" führte.
Am 6. Dezember 1901 wird Hausdorff zum außeretatmäßigen außerordentlichen
Professor in der Philosophischen Fakultät der Universität Leipzig ernannt. Erst am
4. Juli 1903 tritt er die angewiesene außerordentliche Professur durch öffentliche
Vorlesung in der Aula an und legt den Pflichteid vor dem Dekan ab. Als Thema der
Antrittsvorlesung wählt er „Das Raumproblem", das genau seinen damaligen, über
das rein Mathematische hinausgehenden, Physik und Philosophie berührenden
Interessen entsprach. So stellt Hausdorff zunächst dem „mathematischen Raum"
— einem System von Axiomen, das „keinem anderen Zwange als dem der Logik
unterworfen" ist — sowohl einen subjektiv-psychologischen „empirischen" Raum als auch
*) Vgl. [13], [21], [69].
2) Vgl. [4], [17], [18].
3) Vgl. [60].

144 Teil III
einen objektiv-naturwissenschaftlichen „absoluten Raum" gegenüber. Dadurch
findet er Gelegenheit, seine mathematisch-spekulative Methode zum Beweis der
Kantschen These von der Unerkennbarkeit der objektiven Realität hier
gleichnishaft vorzutragen, die er — als P. Mongre — in dem Buch „Das Chaos in kosmischer
Auslese" ausführlich dargelegt hat. Allerdings kommt er alsbald zur Forderung nach
empirischer Gültigkeit eines Systems und erläutert, „in welchem Sinne wir unseren
Raum als Raum verschwindender Krümmung, als Raum freier Beweglichkeit, als
Raum einfachen Zusammenhanges, als dreidimensionalen stetigen Raum
bezeichnen".
Als Leipziger Professor forschte F. Hatjsdorff fast ausschließlich auf dem Gebiet
der Mengenlehre. Ausnahmen bilden, wenn wir von Rezensionen absehen, die Arbeit
„Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie" im Anschluß an die
Vorlesung „Einführung in die Theorie der continuierlichen Transformationsgruppen"
aus dem Winterhalbjahr 1905/06 sowie die Note „Zur Hilbertschen Lösung des
Waringschen Problems". Zur Mengenlehre kam Hatjsdorff wohl durch die persönliche
Bekanntschaft mit Georg Cantor, den er schon als Privatdozent regelmäßig beim
gemeinsamen mathematischen Kränzchen der Mathematiker der Universitäten von
Halle und Leipzig traf, das nach G. Kowalewski „alle 14 Tage abwechselnd in
Leipzig und Halle stattfand".
Im Sommerhalbjahr 1901 las F. Hatjsdorff vor drei Hörern über „Mengenlehre".
Drei Monate später schließt er die Arbeit „Über eine gewisse Art geordneter Mengen"
ab. War es die geringe Resonanz auf seine Vorlesung, die ihn veranlaßte, niemals
wieder in Leipzig über sein Spezialgebiet vorzutragen? Ist dies der Grund, warum
man unter den Leipziger Promoventen keinen Hausdorff-Schüler findet? Und doch
waren es besonders produktive Jahre. Neben den Noten „Der Potenzbegriff in der
Mengenlehre" und „Über dichte Ordnungstypen" erschienen die bedeutsamen
„Untersuchungen über Ordnungstypen", die „Grundzüge einer Theorie der geordneten
Mengen" und die Abhandlung „Die Graduierung nach dem Endverlauf". Aus diesen
Arbeiten ist ersichtlich, daß Hatjsdorff durch die Analysis über die Cantorsche
Theorie wohlgeordneter Mengen hinaus zu einer Klassifikation geordneter Mengen
gelangen konnte, es war das alte Problem der Graduierung von Funktionen nach ihrem
Endverlauf, das wegen der Existenz infinitär unvergleichbarer Funktionen ihn zu
Halbordnungen führte. So wird auch der bekannte „Satz von Hausdorff" in der
Formulierung von Kuro§: „Jede Kette einer halbgeordneten Menge ist in einer
maximalen Kette enthalten", erstmalig von F. Hausdorff 1907 in Form eines
Existenzsatzes für Pantachien formuliert und bewiesen.
Am 4. April 1910 wird F. Hausdorff auf eigenen Wunsch aus dem Leipziger
Lehramt entlassen. Er folgte nun dem Ruf auf ein Extraordinariat an der Universität in
Bonn. Es war wohl kaum nur das jugendliche Alter oder der Ausbildungsgang des
Kandidaten, die bei der Wiederbesetzung des vakanten Scheibnerschen Lehrstuhls
in Leipzig für Gustav Herglotz den Ausschlag gaben, trotz der Brunsschen
Fürsprache für Felix Hausdorff. Es waren wohl eher die „anachronistischen
Überbleibsel des unreinlichen Jahrhunderts", die später auch im Rheinland den großen
Mathematiker ereilten.

Felix Hausdorff und die angewandte Mathematik 145
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146 Teil III
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[50] Lie, S.: Leipz. Ber. 48 (1896), 131-133.
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[52] Lorentz, G. G.: Jahresber. DMV 69 (1967), 54-62.
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[54] Mongre, P.: Neue Deutsche Rundschau 9 (1898), 443-452.
[55] Mongre, P.: Das Chaos in kosmischer Auslese. C. G. Naumann, Leipzig 1898, 213 S.
[56] Mongre, P.: Z. bildende Kunst 13 (1902), 183-189.
[57] Mongre, P.: Neue Rundschau 15 (1904), 989-1013.
[58] Parthasarathy, T.: Springer, LNM, Vol. 263, Berlin 1972.
[59] Personalakte Nr. 358, Universitätsarchiv Leipzig.
[60] Personalakte Nr. 547, Universitätsarchiv Leipzig.
[61] Renyi, A.: Acta Math. 10 (1959), 193-215.
[62] Rogers, C. A.: Hausdorff Measures. University Press, Cambridge 1970.
[63] Sneddon, I. N.: Enc*yclopaedic Dictionary of Mathematics for Engineers and Applied
Scientists, Pergamon-Press, Oxford 1976.
[64] Studien- und Sittenzeugnisse 1888, Univ. Leipzig.
[65] Studien- und Sittenzeugnisse 1891, Univ. Leipzig.
[66] Verzeichnis u. Ankündigung Vorl. SH 1888, Univ. Freiburg/Br.
[67] Verzeichnis d. Vorl. WS 1888/89, Univ. Berlin.
[68] Verzeichnisse d. Vorl. SH 1887 bis SH 1891, Univ. Leipzig.
[69] Vossische Zeitung, Berlin, 30. 5. 1912.

Otto Holder1)
Günther Eisenreich (Leipzig)
Otto Holder
(1859-1937)
Zahlreiche Begriffe und Sätze der Mathematik sind mit dem Namen Otto Hölders
verbunden, der über die Hälfte seines Lebens in Leipzig wirkte.
Zunächst einiges zu den Lebensdaten Hölders ! Ludwig Otto Holder wurde
am 22. Dezember 1859 in Stuttgart als Sohn des Professors Otto Holder geboren,
der am dortigen Polytechnikum Französisch lehrte. Er studierte zunächst (ab 1877)
in Stuttgart und ging dann nach Berlin, wo er von Weierstrass und Kronecker
nachhaltige Anregungen empfing, die später in funktionentheoretischen und
algebraischen Arbeiten ihren Niederschlag fanden. In Tübingen setzte er unter P. du Bois-
Reymond sein Studium fort und promovierte dort am 3. 8. 1882 mit der Arbeit
„Beiträge zur Potentialtheorie" zum Dr. scient. nat. Anschließend arbeitete er
zunächst bei Klein in Leipzig. Da sich die beiden Männer in ihrer Arbeitsweise und
mathematischen Auffassung zu sehr unterschieden, konnte es jedoch zu diesem
Zeitpunkt zu keiner fruchtbaren Zusammenarbeit kommen; erst später wurden sie durch
das gemeinsame Interesse an der Gruppentheorie wieder zusammengeführt.
Außerdem war für Holder in Leipzig keine Habilitation möglich, weil hierfür die
Absolvierung eines humanistischen Gymnasiums vorausgesetzt wurde, er aber ein
Realgymnasium besucht hatte. Er verließ daher Leipzig, promovierte am 23. Juli 1884
an der Philosophischen Fakultät Göttingen zum Dr. phil. und habilitierte sich dort
1884 mit der Arbeit [5] zum Privatdozenten. 1889 wurde er außerordentlicher
Professor in Göttingen und erhielt noch im gleichen Jahr in Tübingen ein
Extraordinariat. 1896 wurde er zum Nachfolger von Minkowski, der einen Ruf nach Zürich
angenommen hatte, nach Königsberg auf den vormals Hilbertschen Lehrstuhl
berufen und erhielt ab 1. April 1899 den inzwischen verwaisten Lieschen Lehrstuhl für
Mathematik an der Universität Leipzig.
Kurz vor der Übersiedlung nach Leipzig heiratete er Helene Lautenschläger
aus Stuttgart und lebte seitdem still und zurückgezogen im Kreise seiner Familie.
x) Bei der Abfassung dieser Arbeit war insbesondere der Nachruf von van der Waerden
(Math. Ann. 116 (1938), 157 — 165) von Nutzen; zusätzlich konnten noch dem Archiv der Karl-
Marx-Universität einige Informationen entnommen werden.

148 Teil III
1899 wurde er zum Mitglied der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu
Leipzig gewählt. Im Frühjahr 1909 verlieh ihm der König von Sachsen den Titel
,geheimer Hof rat". Von 1914 bis 1937 war er Mitglied der Fürstlich Jablonowskischen
Gesellschaft der Wissenschaften, der er von 1928 bis 1937 als Präsident vorstand.
Daneben gehörte er von 1908 bis 1928 dem Herausgeberstab der Mathematischen
Annalen an, die seiner Mitarbeit viel verdanken.
Bis in seine letzten Lebensjahre hinein (er starb am 29. 8. 1937 an den Folgen einer
Operation) war Holder unermüdlich im Interesse der Wissenschaft tätig. In Leipzig
hielt er Vorlesungen über die verschiedensten Gebiete, von Differential- und
Integralrechnung, Differentialgleichungen und Funktionentheorie über Algebra mit
Galoisscher Theorie und Gruppentheorie, Variationsrechnung, projektive Geometrie,
Differentialgeometrie, Mechanik, der sein besonderes Interesse galt, bis hin zu Vektor-
und Tensorrechnung und seiner geliebten Zahlentheorie, darunter auch zahlreiche
Spezialvorlesungen, etwa über konforme Abbildungen, elliptische Funktionen oder
Differentialgleichungen im Komplexen. Seine zahlreichen wissenschaftlichen
Leistungen schlugen sich auch in der Lehre nieder und kamen seinen vielen Schülern zugute;
ein großer Teil der vor dem Kriege tätigen Gymnasiallehrer Sachsens verdankt ihm
seine mathematische Ausbildung. Wissenschaftlicher Nachwuchs und
Lehramtkandidaten fanden bei ihm gleichermaßen Förderung. Hölders Arbeitsgebiet war
die gesamte Mathematik; sein umfangreiches Wissen wird treffend durch sein
Verlangen charakterisiert, daß auch seine Prüflinge in allen Disziplinen der Mathematik
eingehend Bescheid zu wissen haben.
Wie damals üblich, wechselten die Leipziger Ordinarien in der Leitung des
Instituts einander ab; so hat auch Holder viele Jahre hindurch die Geschicke des
Mathematischen Instituts gelenkt. Im Studienjahr 1918/19 hatte er das Rektorat an der
Universität Leipzig inne, 1903/04 war er Prokanzellar, 1912/13 Dekan. Selbst nach
seiner Emeritierung am 1. April 1928 hielt er noch jahrelang Vorlesungen, Übungen
und Seminare ab und verwaltete mehrere Jahre weiterhin das Direktorat des
Mathematischen Instituts und des Mathematischen Seminars, da noch kein geeigneter
Nachfolger gefunden war.
Holder war zurückhaltend und jeglicher bloßer Betriebsamkeit abhold;
Kongresse wurden von ihm fast nie besucht. Seine ruhige, immer freundliche Art, sein
hohes geistiges Niveau, sein aufrechter, makelloser Charakter und seine menschliche
Liebenswürdigkeit wurden von allen, die ihn näher kannten, hochgeschätzt. Er wird
als ein vorzüglicher und ungemein beliebter Dozent beschrieben, der auch in seinen
Übungen einen höchst anregenden Einfluß auf seine Schüler ausübte.
Die wissenschaftlichen Arbeiten Hölders sind durch logisch-sauberes Schließen,
Sachlichkeit und Ehrlichkeit sowie durch die Feinheit ihrer Untersuchungsmethode
gekennzeichnet; man merkt es ihnen an, daß es ihm Freude bereitet haben muß,
mathematischen Fragestellungen nachzugehen und gelegentlich auch Beweislücken
aufzuspüren und zu schließen. Dabei war er in keiner Weise einseitig. Nicht nur auf
den verschiedensten Gebieten der Analysis, sondern auch in der Algebra und
Zahlentheorie, Geometrie, Mengenlehre und Mechanik sowie zu den Grundlagen der
Mathematik hat Holder bedeutsame Beiträge geleistet. Mit diesen wollen wir uns im
folgenden näher beschäftigen, wobei unser Hauptaugenmerk denen gelten soll, die in
der Leipziger Zeit entstanden sind.

Otto Holder 149
Die meisten seiner algebraischen Arbeiten stammen noch aus der Göttinger und
Tübinger Zeit. Bis auf die Arbeit [4] zur Invariantentheorie, in der Holder (unter
Benutzung des Hilbertschen Nullstellensatzes, wie wir heute sagen würden) zeigt,
daß sowohl Zähler und Nenner in unkürzbarer Form geschriebener rationaler
Invarianten als auch jeder Faktor wieder eine Invariante darstellt, sowie auf zwei
kurze Noten zur Theorie hyperkomplexer Systeme ([7, 12]) beziehen sich alle diese
Arbeiten auf die Galoissche Theorie und, wohl hierdurch wesentlich veranlaßt, auf
die Gruppentheorie. Durch die Tatsache, daß die Auflösbarkeit einer algebraischen
Gleichung mit Hilfe von Radikalen gerade bedeutet, daß die zugehörige Galoissche
Gruppe auflösbar ist, kommt Holder in natürlicher Weise dazu, die
Kompositionsreihen der Galoisschen Gruppen (oder allgemeiner überhaupt von abstrakten
endlichen Gruppen) näher zu untersuchen. Während bereits Jordan bewiesen hatte,
daß in einer Kompositionsreihe einer endlichen Gruppe die Indizes (definiert als die
Quotienten der Ordnungen in der Kompositionsreihe aufeinanderfolgender Gruppen)
durch die gegebene Gruppe bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind, führt
Holder in [11] den seither für die Gruppentheorie grundlegenden Begriff der
Faktorgruppe ein und beweist den stärkeren Satz, daß sogar die Kompositionsfaktoren
(d. h. die Faktorgruppen in der Kompositionsreihe aufeinanderfolgender Gruppen,
damals noch Faktoren der Zusammensetzung genannt) bis auf die Reihenfolge und
bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind. Dieser Satz ist als „Satz von Jordan-
Holder" in die Begiffsbildungen der allgemeinen Gruppentheorie eingegangen.
Auch die Unmöglichkeit der Auflösung einer Gleichung dritten Grades durch
Radikale im Casus irreducibilis hat Holder zuerst bewiesen [15]. Der zusammenfassende
Enzyklopädiebericht über ,,Galoissche Theorie mit Anwendungen" [25] stammt aus
seiner Feder.
Im Anschluß an die obigen Untersuchungen wird systematisch die Struktur der
endlichen Gruppen gegebener Ordnung erforscht. Da sich alle Gruppen in gewissem
Sinne auf die einfachen zurückführen lassen, werden zuerst diese betrachtet [16]. Von
den zusammengesetzten bieten diejenigen der Ordnungen p2 und pq, wobei p und q
verschiedene Primzahlen sind, keine Schwierigkeiten; als nächstschwierigeren
Fällen widmet er sich daher in [17] den Gruppen der Ordnungen p2, pq2, pqr und p*.
Um umgekehrt — von den einfachen Gruppen ausgehend — zu zusammengesetzten
gelangen zu können, muß man wissen, wie man eine zusammengesetzte Gruppe
konstruieren kann, die eine abstrakt gegebene Gruppe als Normalteiler enthält, so daß
die zugehörige Faktorgruppe zu einer zweiten abstrakt vorgegebenen Gruppe
isomorph ist. Das führt auf die sogenannte Erweiterungstheorie von Gruppen, die in der
großen Abhandlung [19] (wenn auch nicht unter diesem Namen) eingehend behandelt
wird. In der Schreierschen Erweiterungstheorie läuft diese Frage auf die Betrachtung
der sogenannten Faktorensysteme hinaus, d. h., die zu gegebenem Normal teuer und
gegebener Faktorgruppe gehörigen zusammengesetzten Gruppen werden, in der
modernen Kohomologietheorie von Gruppen ausgedrückt, bis auf eine gewisse Äquivalenz
genommen, durch die Struktur der zweiten Kohomologiegruppe bestimmt. Um die
Ergebnisse dieser Untersuchungen im konkreten Fall anwenden zu können, müssen
die Automorphismen des abstrakt gegebenen Normalteilers bekannt sein. Daher
werden in derselben Abhandlung die Automorphismengruppen einer Reihe von
wichtigen Gruppen durchdiskutiert. Dabei ergibt sich u. a. der Satz, daß die
symmetrische Gruppe für n 4= 6 vollkommen ist, d. h., kein (nichttriviales) Zentrum besitzt

150 Teil III
und ihre eigene Automorphismengruppe darstellt. Die Ergebnisse dieser
Untersuchungen gestatten die Aufstellung aller nicht auflösbaren Gruppen der Ordnungen
^479.
Auch die Struktur der Gruppen von quadratfreier Ordnung hat Holder
vollständig bestimmt, indem er beweist [20], daß jede solche Gruppe einen zyklischen
Normalteiler mit zyklischer Faktorgruppe besitzt.
Fragen der Grundlegung der Geometrie galt das besondere Interesse von Otto
Holder. Das kommt schon in der Antrittsvorlesung ,,Anschauung und Denken in
der Geometrie" [26] zum Ausdruck, die leicht philosophisch gefärbt ist. Er geht hierin
der Frage nach, inwieweit die Axiome aus der Erfahrung stammen, und setzt sich
mit den Auffassungen Kants auseinander. Holder zeigt, wie man die Definitionen
der Grundbegriffe bei Euklid, wie etwa die der Geraden, die im Grunde genommen
nichtssagend sind und auch in Wahrheit an keiner Stelle im Aufbau der Geometrie
nach Euklid gebraucht werden, auf real wahrnehmbare Charakteristika wie das der
Homogenität zurückführen kann. Der Gleichheitsbegriff für Strecken und Winkel
läßt sich mit dem Tastsinn und den Muskelempfindungen in Zusammenhang bringen,
womit Ideen anklingen, wie man sie auch bei Poincare findet. Es läßt sich dadurch
der Zusammenhang zwischen der Gleichheitsdefinition von Strecken mit dem Begriff
des starren Körpers herstellen, ohne in einen circulus vitiosus zu verfallen.
Als Beispiel betrachtet er den Beweis des Satzes von der Winkelsumme im Dreieck
und zeigt, daß die hier benutzten Schlüsse nicht in das System der klassischen Syllo-
gistik hineinpassen. Diesem Gedanken begegnen wir noch an verschiedenen anderen
Stellen seiner mathematischen Arbeiten. Er betont, daß durch den heutzutage üblich
gewordenen axiomatischen Aufbau der Geometrie, bei dem nur noch durch die Axiome
der Bezug auf die anschaulichen Voraussetzungen hergestellt wird, aus denen alle
Sätze rein deduktiv gewonnen werden, eine volle Sicherheit des Schließens garantiert
wird. Zugleich wird es dadurch möglich, die Schlüsse kalkülmäßig durchzuführen.
Eingehend beschäftigt sich Holder bereits hier mit dem Problem des Messens,
das ihm sehr am Herzen liegt. Schon der Längenvergleich kommensurabler Strecken
ist nicht unproblematisch, denn man kann zum Vergleich verschiedene Strecken als
Maßstab heranziehen, und es ist nicht selbstverständlich, daß die Umrechnung jeweils
dasselbe ergibt; man braucht also Axiome. Ausführlich wird auf die
Proportionenlehre sowie auf die Exhaustionsmethode zur Auswertung des Inhalts krummlinig
begrenzter Figuren eingegangen. Was hierbei immer wieder zum Tragen kommt, ist
die Anwendung des Archimedischen Axioms. Eine ähnliche Behandlung wie die
Geometrie kann auch die Mechanik erfahren.
Den Axiomen des Messens ist auch die Arbeit [27] gewidmet. In ihr wird zunächst
untersucht, unter welchen Bedingungen ein System von der Größe nach
vergleichbaren und addierbaren Größen durch Zahlen gemessen werden kann. Es wird
hervorgehoben, daß das Archimedische Axiom als Folgerung erscheint, wenn man das
Stetigkeitsaxiom in der Fassung von Dedekind voraussetzt, und es wird gezeigt,
daß unter Annahme des Archimedischen Axioms das Kommutativgesetz der
Addition gilt. (Da man im Fall angeordneter Gruppen ebenso schließen kann, ergibt sich
so der nach Holder oder H. Cartan benannte Satz, daß eine archimedisch angeordnete
Gruppe kommutativ und zu einer Untergruppe der angeordneten Gruppe aller reellen
Zahlen ordnungsisomorph ist.) Ferner wird die Existenz aliquoter Teiler bewiesen
und die Proportionenlehre begründet. Die rationalen Zahlen werden durch formale

Otto Holder 151
Brüche eingeführt, die Irrationalzahlen durch Dedekindsche Schnitte, und es wird
die Eindeutigkeit der Multiplikation begründet.
Dies alles wird auf die Messung der Strecken einer Geraden angewendet. Dabei
braucht jedoch die Maßzahl der Strecke AB nicht gleich der von BA zu sein. Fordert
man aber, daß für die Längen aus \AB\ = \CD\ stets \BA\ = \DC\ folgt, wenn A
links von B und C rechts von D liegt, so ist notwendig \AB\ = \BA\.
Die große Arbeit [28] hat zum Ziel, auf der projektiven Geraden ohne Bezugnahme
auf den umgebenden Raum und ohne Verwendung von Kongruenzaxiomen eine
Zahlenskala einzuführen. Nach Annahme von zwei Anordnungsaxiomen für die Strek-
ken auf einer projektiven Geraden kann man für Punkte eines endlichen
Punktesystems den Begriff des Nachbarn prägen. In einem System von wenigstens drei
Punkten besitzt dann jeder Punkt genau zwei Nachbarpunkte. Damit läßt sich leicht
nachweisen, daß die Punkte eines endlichen Punktesystems zyklisch angeordnet sind.
Nach Wahl eines Fluchtpunkts (was natürlich darauf hinausläuft, eine Teilmenge der
projektiven Geraden als affine Gerade auszuzeichnen) ist dann die Einführung eines
,,zwischen"-Begriffs möglich. Durch Postulate wird der Begriff der harmonischen
Lage gefaßt. Danach soll es zu drei Punkten A, B, C stets einen eindeutig bestimmten
Punkt D geben, so daß AC und BD harmonisch zueinander sind. Neben einigen
Forderungen bezüglich der Lage der einzelnen Punkte wird hierbei insbesondere der
folgende Schließungssatz postuliert :
Spiegelt man vier harmonische Punkte bezüglich derselben beiden verschiedenen Punkte
M und N harmonisch, so erhält man wieder vier harmonische Punkte.
Damit kann man den Begriff der harmonischen Punktreihe bezüglich des
Fluchtpunkts F definieren. Das soll eine sich nach beiden Richtungen erstreckende
(möglicherweise abbrechende) Folge von Punkten ..., A_lf A0, Alf ... sein, in der es zwei
voneinander und von F verschiedene aufeinanderfolgende Punkte gibt und für die
allgemein Ak harmonischer Mittelpunkt von Ak_x und A k+1 bezügliche ist. Eine derartige
Folge ist dann durch F und zwei aufeinanderfolgende Punkte eindeutig bestimmt, und
es ist stets Ak harmonischer Mittelpunkt von Ak_x und Ak+1. Harmonische /^-Teilung
einer Strecke A0AX bezüglich des Fluchtpunkts F bedeutet, n—\ Punkte B\ ..., 2?(n_1)
so zu bestimmen, daß A0, B', B", ..., 2^n-1\ A1 harmonisch bezüglich F ist; sie ist
eindeutig bestimmt. Mittels einer projektiven Fassung des Dedekindschen
Stetigkeitsaxioms wird der folgende Satz vom Fluchtpunkt bewiesen:
Eine sich auf den Fluchtpunkt F beziehende, ohne Ende fortgesetzte harmonische
Folge A0, Alf hat in einer Strecke FM, in der alle Punkte der Folge liegen, den
Punkt F selbst zum Grenzpunkt.
Gibt man sich drei verschiedene Punkte vor, bestimmt hierzu (bei irgendeiner
Reihenfolge) einen vierten als harmonischen Punkt, wählt hiervon wiederum drei
aus, mit denen man genauso verfährt, usw., so bilden alle die auf diese Weise zu
erhaltenden Punkte ein sogenanntes harmonisches Punktesystem. Ein derartiges System
besitzt in jeder Strecke mindestens einen Punkt, es ist daher überall dicht. Ein dyadi-
sches harmonisches Punktesystem entsteht analog, indem man von zwei Punkten Alf
A2 und einem ausgezeichneten Punkt F ausgeht, hierzu den vierten harmonischen
Punkt konstruiert und in derselben Weise fortfährt wie eben, wobei aber immer der
Punkt F unter den jeweils gewählten drei Punkten vorkommen soll; auch ein solches
System ist überall dicht.

152 Teil III
Die Konstruktion der Zahlenskala erfolgt nun auf Grund fortgesetzter
harmonischer Zweiteilung: Man geht von drei Punkten A0, Alf F aus, bezeichnet A0 mit 0,
Ax mit 1 und konstruiert aus A0 und Ax in bezug auf F eine harmonische Punktfolge
mit dem allgemeinen Glied Ak (k). Der harmonische Mittelpunkt von k und k + 1
werde mit bezeichnet. Auf diese Weise gelangt man zu der neuen harmoni-
2 1 1
sehen Punktfolge ..., — 1, , 0, —, 1,... Setzt man das Verfahren mit den Punk-
Z Z
ten dieser Folge fort und iteriert diese Prozedur, so erhält man schließlich alle Punkte
k
der Form —. Mittels des Stetigkeitsaxioms kann man dann eine eineindeutige
zv
Zuordnung zwischen den reellen Zahlen einschließlich oo und den Punkten der
projektiven Geraden herstellen, so daß den obigen dyadischen Punkten gerade die
dyadischen Zahlen entsprechen. Diese Zuordnung ist eindeutig bestimmt, wenn man
die Punkte festgelegt hat, die 0, 1 und oo zuzuordnen sind; die zu den Punkten
gehörigen Zahlen heißen die Koordinaten dieser Punkte. Der Übergang zu anderen Punkten
0, 1 läuft auf eine lineare Transformation, der Übergang zu beliebigen anderen
Grundpunkten auf eine gebrochen lineare Transformation hinaus. Es wird bewiesen, daß
das auf Grund der Koordinaten der Punkte berechenbare Doppelverhältnis von vier
Punkten genau dann — 1 ist, wenn sich diese Punkte in harmonischer Lage befinden.
Die auf diese Weise erhaltene Zahlenverteilung auf den Punkten der projektiven
Geraden genügt der Bedingung, daß beliebig viele von oo verschiedene Punkte in
bezug auf diese ihnen zugeordneten Zahlen entsprechend geordnet sind. Außerdem ist
für jeden Punkt, der von oo durch zwei andere Punkte harmonisch getrennt wird, die
zugeordnete Zahl das arithmetische Mittel der den anderen beiden Punkten
zugeordneten Zahlen. Es wird gezeigt, daß durch diese beiden Forderungen umgekehrt die
Zahlenverteilung eindeutig bestimmt ist.
Analog kann man die Zahlenskala allgemein durch harmonische /^-Teilung
gewinnen, wodurch sich unmittelbar nicht nur die dyadischen, sondern gleich alle
rationalen Punkte ergeben.
Indem man eine eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten zweier Geraden
projektiv nennt, wenn dabei vier harmonischen Punkten wiederum vier harmonische
Punkte entsprechen, gelangt man zum Fundamentalsatz der projektiven Geometrie.
In [30] schließlich wird nur unter Verwendung der Verknüpfungs- und
Anordnungsaxiome, des Parallelenpostulats sowie des Pascalschen Satzes für ein beliebiges
Geradenpaar, also ohne Stetigkeitsaxiome und ohne Archimedisches Postulat, die
Koordinatenrechnung in einer affinen oder projektiven Desarguesschen Geometrie
neu begründet. Dazu wird zunächst die Vektoraddition und eine Theorie der
Verhältnisse paralleler Strecken hergeleitet. Diese läßt sich ohne weiteres projektiv
erweitern, indem man statt der unendlich fernen Ebene irgendeine Ebene als Fluchtebene
annimmt. Man erhält so die Theorie der perspektivischen Verhältnisse. Damit kann
man dann leicht das Doppelverhältnis für eine bestimmte Fluchtebene einführen und
mittels des Pascalschen Satzes zeigen, daß die Definition unabhängig von der Wahl
der Fluchtebene ist. Für eine bestimmte Fluchtebene läßt sich die Addition und
Multiplikation der v.-Staudtschen Würfe durch die Addition und Multiplikation der zu
den Würfen gehörigen Doppel Verhältnisse definieren und zeigen, daß diese
Operationen den üblichen Gesetzen gehorchen; auch diese Verknüpfungen sind von der

Otto Holder 153
Wahl der Fluchtebene unabhängig. Das Ganze läßt sich anwenden auf eine analytische
Geometrie der rein projektiven Dreieckskoordinaten und Möbiusschen Netze.
Einer gänzlich anderen Fragestellung ist die Arbeit [42] gewidmet; in ihr wird
der Volumenbegriff im Fall einer Riemannschen Mannigfaltigkeit untersucht. Es
werden zwei verschiedene Einführungen gegeben. Zunächst wird von einer
Erklärung des Inhalts eines unendlich kleinen rechtwinkligen Parallelepipeds durch das
Produkt der Kanten ausgegangen. Um diese Definition auf das Volumen eines Teils
einer w-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit zu übertragen, muß man ihn
in unendlich viele unendlich kleine Parallelepipede zerlegen und über deren Volumina
summieren. Es ist also einerseits zu zeigen, daß eine solche Zerlegung möglich ist,
was durch einen Induktionsbeweis geschieht, sowie andererseits die Unabhängigkeit
des Ergebnisses von der Art der Teilung nachzuweisen. Die zweite Begründung
besteht darin, zur Volumendefinition das Integral \\gdxl-"dxn heranzuziehen. Es
wird gezeigt, daß das so definierte Volumen für ein unendlich kleines rechtwinkliges
Parallelepiped gleich dem Kantenprodukt ist. Die verschiedenen Arbeiten der
Volumenbestimmung von Lobatschefskij und anderen in der hyperbolischen
Geometrie ordnen sich diesem allgemeinen Volumenbegriff unter.
In einer Reihe von Arbeiten, vor allem aus den späteren Jahren, widmet sich
Holder zahlentheoretischen Fragestellungen, denen von jeher sein besonderes
Interesse galt. In den meisten dieser Arbeiten befaßt er sich mit Beziehungen zwischen
verschiedenen zahlentheoretischen Funktionen und mit der Aufstellung
asymptotischer Ausdrücke. So bestimmt er in Verallgemeinerung eines Dirichlet-Lipschitz-
X
sehen Teilerproblems in der Arbeit [56] die Summe 2J '/jm(0> wobei fktl die Anzahl
derjenigen Teiler von t ist, die selbst k-te Potenzen und deren Komplementärteiler
l-te Potenzen sind. Dazu überträgt er Schritt für Schritt die Lipschitzschen
Überlegungen auf die größten ganzen Zahlen
/*\1/r| d \(±Ylk'
\mkf J \\nl I
Allgemeinere
Ergebnisse erzielt er dadurch, daß er die k-ten bzw. l-ten Potenzen der natürlichen
Zahlen durch arithmetische Progressionen erster Ordnung ersetzt. Darüber hinaus
\ n.
und 2J pty)
werden die nur über spezielle Indizes erstreckten Summen JT*
berechnet. n
Überlegungen von Lipschitz zum Dirichletschen Teilerproblem nimmt Holder
noch einmal in der Arbeit [60] auf und verallgemeinert sie. Es wird hierin bewiesen:
Sind f(n) und g(n) beliebige zahlentheoretische Funktionen und F(n) und G(n) ihre
summatorischen Funktionen, so gilt für beliebige x ^ 0 und beliebige positive k
und l
Als Spezialfälle ergeben sich hieraus die folgenden Beispiele:
Zm(?\=Z fi(n)
m \m f „

154 Teil III
m \m2J n
m \rrbj n
(M summatorische Funktion zu //),
(L summatorische Funktion zu X),
und mit g(n)
f(m
1,*= 1,
wird
flog?»
10 sons
wenn m Potenz der Primzahl p ist,
X
—
pl
+
X
p2
+ \-.\ + \-.\ +
■l-f'fö-
Die Arbeit [57] geht von der von Dirichlet in erster Näherung bestimmten asym-
X
ptotischen Funktion der Summe 2J <pM = &(x) aus, wobei <p(n) die Eulersche Funk-
» = 1
tion ist. Diese Summe wird aufgespalten in die Summe über die nicht durch p (p
Primzahl), die einmal, zweimal und mehrmals durch p teilbaren Argumente. Für
die über die nicht durch p teilbaren Argumente erstreckte Summe X(x) bekommt man
die Funktionalgleichung
X(x) - x(-\= 0(x) - p0 (-\ .
Unter Ausnutzung der asymptotischen Darstellung von 0(x) wird hieraus auf eine
asymptotische Abschätzung geschlossen.
Ähnliche Fragen werden in der Arbeit [61] behandelt. Ist tk(n) die Anzahl
derjenigen Teiler von n, die nicht durch die k-te Potenz einer Primzahl teilbar sind, so
wird für k J> 2 und x -> oo die asymptotische Darstellung
(2(7-1) C(i) - kC'(k)
{C(k)Y
X + 0(xr*)
hergeleitet, wobei y2 = —, y3 = —, yk
2i o
33
für k > 4 und f die Riemannsche Zeta-
100 -
funktion ist. Der Beweis benutzt wesentlich eine van-der-Corputsche
Restabschätzung beim Dirichletschen Teilerproblem.
In [59] leitet Holder aus der bekannten Formel
<£>(»)
{I
für x ^ 1,
für x < 1
dadurch, daß er die Fälle unterscheidet, daß
Identitäten ab. So ergibt sich beispielsweise
gerade oder ungerade ist, weitere
E An) = \
— simod2
-1 für 2^x,
1 für \^x<2,
0 für 0 <'x < 1.

Otto Holder 155
Bezeichnet man die Summenfunktion der Möbiusfunktion mit M:
M(x)=ZiA(n),
n<^x
so bedeutet das gerade:
M
(t)-"(*M7)
-1 für 2 ^ x,
1 für l^x<2,
0 für 0 ^ x < 1.
Ein zweiter Beweis hiervon läuft über Bilanzbetrachtungen bei stetiger Bewegung
der Variablen.
Durch kombinatorische Überlegungen wird die Gleichung
JJ fi(d) log d = log [Jd^d)
d\n d\n
bewiesen. Das kann angewendet werden, um durch Bilanzbetrachtungen bei stetiger
Bewegung der Variablen x die Gleichung
2>(»)
» = l
log n = —ip(ri)
herzuleiten, wobei die Tschebyscheffsche Funktion \p durch
V(*) = E Ä(n)
n = l
definiert ist. Diese Gleichung läßt sich noch in die Form
x oo I x\
2J fi(n) log n = — JT ju(n) \p l —) für ganzes x ^ 1
n = l n = l \nj
umschreiben.
Ähnliche Überlegungen liegen der Arbeit [63] zugrunde, in der die sogenannte
Hermitesche Formel
2'
n
X
n
m
= 22;
n = \
X
n
- - m
dadurch verallgemeinert wird, daß sowohl bei n als auch bei [x/n] zwischen Zahlen
von ungerader und solchen von gerader Zusammensetzung unterschieden wird (d. h.
Zahlen, die Produkt aus einer ungeraden bzw. geraden Anzahl gleicher oder
verschiedener Primzahlen sind). Bezeichnet man mit n' die Zahlen von ungerader, mit n"
die von gerader Zusammensetzung und versteht entsprechend unter [x\ bzw. [x]"
die Anzahl der n' bzw. n", die > 0 und fg x sind, so spaltet die obige Summe in vier
Summen auf. Auf diese Weise ergeben sich fünf unabhängige Relationen,
beispielsweise
27_
27.
n"-^\x l
X
-[fx\ [fx]"

156 Teil III
und
E
'•>ix L
- E_
n'^l/x
= -WM".
Ein allgemeines Prinzip zur Herleitung von Umkehr formein für zahlentheoretische
Funktionen wird in [62] gewonnen. Da das Rechnen mit formalen Dirichletschen
Reihen gut geeignet ist, um z. B. Summen über Teiler in den Griff zu bekommen,
geht Holder dazu von der Dirichletschen Multiplikation von Zahlenfolgen aus und
zeigt, daß die Division durch eine Folge mit nichtverschwindendem Anfangsglied
(eine sogenannte eigentliche Folge) möglich und eindeutig ist. Bilden jetzt g(\),
g(2), ... eine eigentliche Folge und g(l), g(2), ... die dazu reziproke, so gilt also
£g(n)g(n') =
{:
für m = 1,
für m > 1.
Es sei nun F(x) eine Funktion, die entweder für alle reellen nichtnegativen x oder für
0 ^ x < a eindeutig definiert ist, aber für 0 rg x < b mit 0 < b < a gleich 0 sein soll.
Mit ihr und der zahlentheoretischen Funktion g(n) wird eine zweite Funktion
F(x) = £ g(n) F fe\
gebildet. Diese Gleichung läßt sich gemäß
F(x) = Z Sin) F (?-\
auflösen. In diesen beiden Gleichungen sind die bekannten zahlentheoretischen
Umkehrformeln enthalten. Schließlich werden noch eine Reihe neuer
zahlentheoretischer Funktionen eingeführt und Beispiele für Produkte von Folgen betrachtet.
Sowohl in [64] als auch in [67] leitet Holder gewisse Reziprozitätsformeln her.
In [67] wird eine Parallelformel von Hacks zu einer Formel von Dirichlet
verallgemeinert. Es sei z = f(y) eine streng monoton wachsende stetige Funktion für
a rg y ^ <%', y = g(z) ihre Umkehrfunktion. al9 a2, ... und bl9 b2, ... seien zwei
beständig wachsende reelle Zahlenfolgen, die gegen oo divergieren. Den Gliedern der
Folgen werden gewisse Werte q?(a) und \p(b) zugeordnet; 0 und W seien die
entsprechenden summatorischen Funktionen:
*(*)=2>(«), n*)=Ev«>)-
a<^x bf^x
Dann gilt
X y(a) ¥*(/(«*)) 4- X V(&) *(?(&))
<x<a^<x' A«)<b^f(a)
= 0(*') V(f(oc')) - 0(a) <?(/(*)) + Z ?(") Y>(&)-
b=f(a)
a<a<,cc'
Die in [64] betrachtete Fragestellung ist analog, nur soll dort / monoton fallend sein;
man erhält dann eine ähnliche Endformel. Als Spezialfall ergibt sich u. a. eine
Formel von Dirichlet.

Otto Holder 157
Fragen in Zusammenhang mit quadratischen Resten und Nichtresten sind die
Arbeiten [66] und [68] gewidmet. In [66] wird eine einfache Methode zur
Wertbestimmung der Gaußschen Summen dargeboten, ohne freilich auf das heikle Problem der
Vorzeichenbestimmung einzugehen. Als Anwendung resultieren neue Beweise für
bekannte Sätze über die Anzahl der quadratischen Reste und Nichtreste in den
Folgen der Form
ä + «i, ä + «2, •••>
b + a1? b + «2> •••>
ä + &i, ä + b2, ...,
ft + &i, ft + ft2» •••»
wobei p eine Primzahl, a1? ...,ap_1 die quadratischen Reste mod p, blt ...,bp_1
2 ~~2~
die Nichtreste und a und & beliebige Reste bzw. Nichtreste bezüglich des Moduls
p sind.
In [68] gibt Holder einfache Beweise für bekannte Sätze über die Verteilung der
quadratischen Reste und Nichtreste. Er geht dabei von folgender Überlegung aus.
Nach dem Wilsonschen Satz ist
1 • 2 ••• (p — 1)= —1 niod p (p Primzahl),
also, indem man jeweils das erste und letzte Glied zusammenfaßt,
IL 22... (£1—- .(-1) ^ =_lf
d.h.
1 = 0 mod p.
Einer der beiden Faktoren muß demnach durch p teilbar sein. Für den Fall, daß
p = 4m + 3 ist (anderenfalls ist die Frage trivial) warf bereits Dirichlet die Frage auf,
p — 1
ob es ein Gesetz gibt, für welche Primzahlen p von dieser Form 1 • 2 ••• = + 1
und für welche dieses Produkt = — 1 ist. Allgemeiner kann man nach der Anzahl
der in der Folge der Faktoren enthaltenen Nichtreste fragen. Diese Frage wird in
der vorliegenden Arbeit zwar nicht allgemein gelöst, es wird aber wenigstens
folgendes gezeigt:
Wenn p = Hk -\- 1 oder Hk -\- 5 ist, so sind im Intervall 0 ... —; wenn p = 8k + 3,
p . p p
so im Intervall 0 ... —; wenn p = 8k + 7, so im Intervall — ... —die Anzahlen der
4 ^ 4 2
quadratischen Reste und der Nichtreste des Moduls p einander gleich.
[69] schließlich behandelt analytisch-zahlentheoretische Aspekte der
Kreisteilungstheorie ; die Arbeit schließt an Ergebnisse von Ramanujan an. Insbesondere wird
hierin ein einfacher Ausdruck für die Summe der n-ten Potenzen der primitiven

158 Teil III
Einheitswurzeln hergeleitet:
(p(m) \ d I
Der Ausgangspunkt für die mathematischen Untersuchungen Hölders liegt
jedoch auf dem Gebiet der Analysis. Seine noch in Tübingen entstandene Dissertation
ist der sauberen Darlegung der Potentialtheorie gewidmet. Er führt hierin die
heutzutage allgemein geläufige Hölderbedingung
\x(a, b, c) - x(x, y, z)| ^ Ar" (// > 0),
worin r der Abstand der beiden Argumentpunkte ist, an eine Massenbelegung x
ein, damit für das Potential dieser Belegung die Laplacesche Gleichung
AV = —4:7ix
gilt. Nach einer Erörterung der Begriffe der Fläche und des Flächeninhalts wird
ferner das Potential einer stetigen Flächenbelegung untersucht, die Existenz der
inneren und äußeren Normalableitung und des Potentials in einem Punkt der Fläche
bewiesen und der Sprung in der Normalableitung berechnet. Neu sind seine Ergebnisse
über das Verhalten des Potentials am Rande des mit Masse belegten Flächenstücks.
In späteren Jahren kehrt Holder noch einmal zu potentialtheoretischen
Fragestellungen zurück. In der Arbeit [32] leitet er notwendige und hinreichende Bedin-
3u
gungen dafür ab, daß die Cauchysche Randwertaufgabe, bei der u und — auf einer
dn
Kreislinie gegeben sind und die Funktion u in einem Kreisring gesucht wird, der den
gegebenen Kreis als äußere oder innere Begrenzung aufweist, lösbar ist. Die Beweise
werden durch Laurentreihenentwicklung geführt.
In den Arbeiten [43] und [47] wird die Schlußweise, nach der aus dem
Maximumprinzip für eine Potentialfunktion in einem ganz im Endlichen gelegenen
zusammenhängenden Gebiet G folgt, daß sie an jeder Stelle der Grenze in einen bestimmten
Randwert stetig übergeht, auf den Fall ausgedehnt, daß an der Grenze eine Unstetigkeit
der Funktion auftritt. Dazu soll der Rand aus endlich vielen regulär-analytischen
Bögen bestehen und in einer etwaigen Ecke des Randes der dem Inneren von G
entsprechende Winkel a der Randtangenten =j= 0 sein. Unter diesen Voraussetzungen
wird gezeigt: Ist u ein in G reguläres, im Inneren einer Ecke von G beschränktes
Potential, so geht u in einer Umgebung des Eckpunktes^ stetig in bestimmte
Randwerte über. In genügender Nachbarschaft von A im Inneren der Ecke ist dann u
beliebig wenig größer als [gx((x — ß) + g2ß) '> oc; dabei bezeichnen gx und g2 die oberen
Limites der Randwerte in A auf den in A zusammenstoßenden Bögen, ferner ß
den Winkel der Tangente des linken Bogens in A mit der Verbindungsstrecke des
Aufpunkts mit A. Neben Folgerungen aus diesem Satz wird die Bedeutung für die
Begründung des alternierenden Verfahrens auseinandergesetzt.
In der Physik ist es üblich, hinreichend kleine Glieder in einer Differentialgleichung
zu vernachlässigen. Die Arbeit [37] dient der Rechtfertigung dieses Vorgehens. Es
wird dazu die Differenz der zu gleichen Anfangsbedingungen gehörenden Lösungen
zweier Differentialgleichungen abgeschätzt, deren rechte Seiten sich etwas
unterscheiden. Der Beweis benutzt die Lipschitzbedingung und läuft ähnlich dem Cau-

Otto Holder 159
chyschen (und von Lipschitz präzisierten) Verfahren ab, bei dem die
Differentialgleichung durch eine Differenzengleichung ersetzt wird. Behandelt werden auch
Systeme von Differentialgleichungen. Es kann gezeigt werden, daß von der rechten
Seite <p(x, y) keine Stetigkeit vorausgesetzt zu werden braucht, sondern lediglich,
daß sie in einem Gebiet der Lipschitzbedingung genügt (weil nämlich die
Eindeutigkeit der Lösung für den Beweisgang wesentlich ist).
In der Arbeit [34] leitet Holder auf einem neuen Wege ohne Lagrangesche
Multiplikatoren die Bedingungen erster Ordnung für ein Extremum des Integrals I
= fG(t, x, y, x', y') dt unter der Nebenbedingung H(t, x,y, x',y') = 0 her. Die
Überlegungen sind von der Art, wie sie auf das du-Bois-Reymondsche Lemma der
Variationsrechnung führen. Man gewinnt die gesuchte Bedingung erster Ordnung in Form
einer Differentialgleichung mit einer willkürlichen Konstanten, sie sieht also etwas
anders aus als die Bedingung, wie man sie durch die Lagrangesche Multiplikatoren-
methode erhält.
Eine Reihe wichtiger Arbeiten sind funktionentheoretischen Problemstellungen
gewidmet. Der bekannte Satz, daß eine analytische Funktion in der Nähe einer
isolierten wesentlichen Singularität jedem Wert beliebig nahekommt, wird von ihm noch in
der Tübinger Zeit bewiesen [2]. Während Weierstrass nur den Fall einer in der
ganzen Ebene meromorphen Funktion mit Hilfe seiner Produktdarstellung behandelt
hatte, gibt Holder hierin erstmalig einen direkten Beweis in voller Allgemeinheit.
In der Arbeit [3] führt er die als Höldersche Summation bekanntgewordene Summa-
tionsmethode für divergente Reihen ein und zeigt, daß für alle H-summierbaren
Reihen der Abelsche Grenzwertsatz gilt. In [8] untersucht er die durch die
Differentialgleichung
dy , x
= X7Z COt (X7T) • y
dx
definierte transzendente Funktion, die an der Stelle x = 0 den Wert 1 annimmt.
In [51] betrachtet er die transzendente Funktion
x2 xz xn
v ; 22 32 n2
die ursprünglich im Einheitskreis definiert ist, durch die Integraldarstellung
X
W{x) = - I -^ dx
J x
o
aber analytisch fortgesetzt werden kann. Er konstruiert hieraus zunächst durch den
Ansatz
w(x) = eln%
eine eindeutige Funktion, setzt
1 • 2
F(z) = e2 w{\ — e~27ttz)

160 Teil III
und erhält hierfür die Funktionalgleichung
F(z + 1) = — 2(ainnz)F(z)
und die Differentialgleichung
F'(z)
= nz cot 7iz,
F(z)
aus der sich die Produktdarstellung
?f-;H
F(z) = e'fj'
v
ergibt. Aus der bereits von Abel aufgestellten Funktionalgleichung
/_* y_\ = yl_]L_\ + yl_±_\
\l-xl-y) \\-X) \l-y)
- ¥<j,) - ty(x) - log (1 - y) log (1 - x)
bekommt er für F die neue Funktionalgleichung
m _ * _ ri) = >+«■-«*-<■> F(C-g)f(C-,y)
Jf(f)f(i?)
Wie man, von der Cauchyschen Formel ausgehend, die elliptischen Funktionen
auf wenig aufwendige Weise direkt bilden und hiermit die additiven und multipli-
kativen Darstellungen herleiten kann, wird in der Arbeit [24] ausgeführt. Mit der
Arbeit [48] schließt er eine Beweislücke, die in einem zur Herleitung analytischer
Darstellungen der elliptischen Funktionen benötigten Grenzübergang bei Abel
und Jacobi noch bestand, bei der modernen Behandlung der elliptischen Funktionen
jedoch nicht mehr empfunden wurde, da diese andere Wege beschreitet.
In [31] werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür aufgestellt, daß
erstens eine 27r-periodische reelle Funktion / einer Variablen, zweitens eine nichtperio-
oo
dische, auf der reellen Achse stetige reelle Funktion / mit endlichem Integral /
— oo
eine analytische Funktion darstellt, die in einem Streifen der Breite i\
beiderseits der reellen Achse regulär und im ersten Fall gleichfalls 27r-periodisch ist. Als
dritter Fall wird hierin die Fortsetzbarkeit einer für — n < oc < +n stetigen reellen
n
Funktion f(oc) mit endlichem Integral f \f(oc)\ da zu einer im Gebiet der u = a. + iß
— 71
fortsetzbaren analytischen Funktion untersucht, das durch die Kurvenbögen ß
= ±<x(oc + 7r)2 (n — oc)2 abgegrenzt wird. Diese Kriterien werden dadurch gewonnen,
daß die betreffenden Gebiete so konform abgebildet werden, daß dabei das a-Inter-
vall in den Einheitskreis übergeht, und die Potenzreihenentwicklung des Poisson-
schen Integrals betrachtet wird.
Die Höldersche Ungleichung geht auf die Arbeit [13] zurück, in der sie als
Spezialfall eines allgemeineren Satzes enthalten ist. In [52] wird der zweite Mittelwertsatz
der Integralrechnung, der im Reellen aussagt, daß für eine auf [a, b] monotone und

Otto Holder 161
beschränkte Funktion / sowie eine Riemann-integrable Funktion y
b b
j f(x) <p(x) dx = (f(a + 0) - f(b - 0)) Mx + f(b - 0) j <p{x) dx
a a
b
= f(a + 0) / <p(x) dx + (f(b - 0) - f(a + 0)) M2
a
x 0
ist, wobei Mx ein Mittelwert aus den Werten f cp(t) dt, M2 ein solcher aus f cp(t) dt
o x
ist, auf den Fall verallgemeinert, daß cp komplex ist. Als Mittelwerte sind dann Werte
aus der jeweiligen konvexen Hülle zu nehmen. Zu diesem Zweck wird in der Arbeit
der Begriff der konvexen Hülle eingeführt und durch verschiedene Konstruktionen
charakterisiert. Der Satz liefert mehr, als die Anwendung des reellen
Mittelwertsatzes auf das in Real- und Imaginärteil aufgespaltene Integral ergeben würde, wie
man an einem Beispiel sieht.
Reihenentwicklungen, insbesondere Fourierreihen, haben mehrere Arbeiten Höl-
ders zum Gegenstand. Auf die Arbeit [31] haben wir bereits hingewiesen. In der
Habilitationsschrift [5] untersucht Holder im Anschluß an du Bois-Reymond die
Frage, unter welchen Bedingungen die Koeffizienten einer Fourierreihe, die eine
nicht notwendig stetige Funktion darstellt, in der bekannten Weise als Integral
gewonnen werden können. Um diese Frage auch für nichtbeschränkte Funktionen
beantworten zu können, definiert Holder zunächst sauber das (uneigentliche)
Integral über eine solche Funktion. Daran anschließend stellt er in [6] die folgende neue
hinreichende Bedingung für die Darstellbarkeit einer stetigen Funktion durch eine
Fourierreihe auf: Teilt man das Intervall in Teilintervalle und approximiert die
Funktion f(x) in jedem Teilintervall durch eine lineare Funktion g(x), so soll die
Summe der Quotienten der Integrale f \f(x) — g(x)\ dx durch die jeweiligen
Intervalllängen bei Verfeinerung der Teilung gegen Null streben.
Einer anderen trigonometrische Reihen betreffenden Frage ist die zeitlich viel
spätere Arbeit [49] gewidmet. Der Reihe
log
sin ■
-log 2
cos x cos 2x
1
wird eine entsprechende Reihe der Form
log sin — = cx sin x + c2 sin 2x + • • •
für
0 < x < n
zugeordnet. Zwecks einer neuen Herleitung der Kummerschen Reihe bestimmt Holder
den Grenzwert
lim <!
£->0
oo
. COS X _
log c -f / dx
X
-C
für die Eulersche Konstante C durch Integration von —■ um eine Viertelebene und
Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes. Dieser im Komplexen verlaufende

162 Teil III
Beweis wird später noch in [72] durch einen rein reellen Beweis ergänzt. Die Kum-
mersche Reihe ergibt sich, indem man log r(x) für 0 < x < 1 in eine Sinus-Cosinus-
Reihe entwickelt, zu
log r(x) = (1 — x) log n + C I x J log sin nx
1 ~ log 2n .
-\ 2j Sin 2/i7TX .
n „=i n
In der Arbeit [50] gibt Holder eine einfache Herleitung für die Formel
x sin x sin 2x sin 3x
~2=~1 2~~ ~~3 h '"'
die auch bereits in der Anfängervorlesung gebracht werden kann.
Lange Zeit hat sich Holder vergeblich bemüht, eine algebraische
Differentialgleichung für die Gammajunktion zu finden, bis ihm schließlich in der berühmten
Arbeit [9] der Nachweis dafür gelang, daß es keine solche Differentialgleichung geben
kann. Dieser Satz hat die Untersuchung weiterer Klassen von Funktionen angeregt,
die keiner algebraischen Differentialgleichung genügen. Ein kürzerer Beweis hierfür
wurde später insbesondere von Ostrowski erbracht. Als Gegenstück hierzu zeigt
X
C ex — 1
Holder in der Arbeit [10], daß die Funktion / dx keiner algebraischen
o
Funktionalgleichung genügt, obgleich sie übrigens sogar eine algebraische und zugleich
lineare Differentialgleichung befriedigt.
In [70] leitet Holder folgende Verallgemeinerung des binomischen Satzes her, die
dem Abelschen verallgemeinerten binomischen Satz analog ist:
y (r\ (« - «)«-! (y + «rw = (« + y + rd) {* + *)r2>
«=o W *(y + rd)
wobei r eine natürliche Zahl, <x, y> ö beliebig sind. Der Beweis erfolgt hierbei analytisch
mittels eines Eisensteinschen Satzes mit Hilfe spezieller Bruwierscher Reihen. In
[71] gibt er hierfür noch einen elementar-arithmetischen Beweis. Weitere
Verallgemeinerungen stammen von einer Reihe anderer Autoren. Eine spätere
Verallgemeinerung auf anderem Wege, aus der sich insbesondere der Höldersche Satz durch
Spezialisierung ergibt, hat Salie gegeben.1)
Die Arbeit [33] ist aus dem Wunsch entstanden, zu einem Satz von Caratheodory
und Fejer Beispiele zu bilden. Als Verallgemeinerung einiger spezieller
Determinanten wird allgemein von der Determinante
a a... a a
a2 a ... a a
b b ...b an
Dn(au ...,oH;a,b)
*) Über Abels Verallgemeinerung der binomischen Formel, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig, Math.-naturwiss. Kl., 98, H. 4 (1951), 17-22.

Otto Holder 163
bewiesen, daß sie gleich
1 f n n )
7 \a ff K - b) - b n (av - a) \
a — o [ v=i v=1 J
ist. Zur Behandlung des Spezialfalls ox = ••• = an = a leitet Holder für die sich
ergebenden Determinanten An(a) bei festem a und b eine rekurrente
Differentialgleichung her, die zur Koeffizientenbestimmung führt. Der Wert von An(a) läßt sich
außerdem durch ein anderes, mehr direktes Verfahren entwickeln, durch das man auch
gleich den Wert der allgemeinen Determinante Dn(al9 ..., an\ a,b) erhält. Unter
Anwendung einer Idee von Hurwitz, nach welcher allgemein für die Determinante
det (aij + t) gilt:
Addiert man zu allen Elementen einer bestimmten Determinante das eine Mal tl9
das andere Mal t2, so verhalten sich die dabei hervorgebrachten Wertänderungen der
Determinante wie tx : t2,
wird in [35] ein neuer Beweis für den Wert Dn(alf ..., on\ a,b) gegeben sowie
allgemeiner die Determinante
I o*! a ... a on' I
\b °2 ••• O'n-l a
\<y\' b ... b on
berechnet.
In der noch aus der Tübinger Zeit stammenden Arbeit [22] über die Prinzipien
der Mechanik zeigt Holder, wie das Hamiltonsche Prinzip zu formulieren ist, damit
auch der nichtholonome Fall erfaßt wird, und klärt damit die Unstimmigkeiten, auf
die Hertz hingewiesen hat.
Holder stand dem Operieren mit unendlichen Mengen immer skeptisch gegenüber.
Daher muß man die einzige Arbeit [54], die sich mit mengentheoretischen Fragen
befaßt, als eine Ausnahme ansehen. Er leitet hierin zunächst die Addition,
Multiplikation und Potenzierung von Mächtigkeiten bis hin zu c, der Mächtigkeit des Kon-
tinuums, nochmals her und betrachtet die Folge a0, CL\> ..., in der a0 die Mächtigkeit
der natürlichen Zahlen bedeutet und av+1 = 2a* ist. Für das Rechnen hiermit beweist
er die dem heutigen Mathematiker wohlbekannten Rechenregeln. Dagegen knüpft
er kritische Bemerkungen an die Verwendung einer unendlichen Belegungsmenge
bei der Einführung der Potenzierung, da eine Untermenge nach seiner Auffassung
nur durch ein Gesetz gegeben werden kann.
In einer Reihe von Arbeiten hat sich Holder mit logisch-philosophischen
Untersuchungen zur Grundlegung der Mathematik beschäftigt, und auch in einer Reihe
anderer Arbeiten klingen derartige Überlegungen an. So betont er schon in der als
Ergänzung für Studierende höherer Semester gedachten Programmschrift [36] „Die
Arithmetik in strenger Begründung", in der die ganzen, negativen, rationalen und
reellen Zahlen eingeführt werden, daß die Arithmetik im eigentlichen Sinne (d. h.
also nicht etwa die Theorie abstrakter Ringe oder Körper) keiner Rechtfertigung
durch besondere arithmetische Axiome bedarf. Holder betont vielmehr hier und

164 Teil III
noch eindringlicher später in [41] im Gegensatz zu Hilbert den synthetischen
Standpunkt (genetischen Aufbau). Eine anschauliche Begründung der Arithmetik kann
etwa durch Gewichte gegeben werden. Zur strengen Einführung der natürlichen
Zahlen werden hierin zwei Wege beschritten. Einmal werden sie als sogenannte
Stellenzeichen, d. h. im Grunde genommen als Ordnungszahlen, betrachtet. Man kann
dann zum Beweis der Rechenregeln Induktionsschlüsse heranziehen, wie sie sich im
Anschluß an die Peanoschen Axiome anbieten; bei dieser Gelegenheit wird auch das
Schubkastenprinzip eingeführt. Der zweite Weg verläuft über die Deutung als
Anzahlen von äquivalenten Aggregaten (Mengen), d. h., sie werden als Kardinalzahlen
behandelt.
Zur Einführung der rationalen Zahlen wird zunächst das Verfahren von Weier-
strass geschildert: Man verwendet unendlich viele Einheiten elf e2, ... und
betrachtet Aggregate aus endlich vielen Einheiten, wobei eine Einheit auch mehrmals
auftreten kann. Dabei soll zugelassen sein, jeweils n Einheiten en durch eine Einheit e1
zu ersetzen und umgekehrt. Diese mehr anschauliche Einführung, die man sich etwa
an der Teilung eines Kuchens vorstellen kann, motiviert die moderne mehr formale
Auffassung durch formale Brüche mit den üblichen Gleichheitsdefinitionen und
Rechenregeln. Zu den irrationalen Zahlen gelangt man durch Dedekindsche Schnitte.
In dem großen Werk über die mathematische Methode [41] werden systematisch
Logik, Arithmetik, Geometrie, Mechanik und ein Teil der Physik durchforscht und
ihre eigentümlichen Schluß weisen und Voraussetzungen aufgedeckt. Im ersten Teil
davon führt Holder zahlreiche Beispiele für Beweise und Konstruktionen an,
namentlich aus der Geometrie. In der Mechanik analysiert er beispielsweise den
Archimedischen Beweis für das Hebelgesetz und zeigt, wie dies aus einfachen
Grundannahmen hergeleitet werden kann. Damit klingt bereits die Synthese des Maßbegriffs an.
Näher geht er auf Fragen der Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit der
geometrischen Axiome und die Einführung der höherdimensionalen Geometrie ein und
behandelt ähnlich wie schon in der Programmabhandlung [36] die Arithmetik der
natürlichen und reellen Zahlen.
Im zweiten Teil nimmt er eine logische Analyse der Methoden vor. Er betont hier,
wie auch anderswo, daß für die Mathematik die Schlußweisen der klassischen Logik
eigentlich nichts nützen, und hebt im Gegensatz dazu die Bedeutung des Begriffs
der Relation für die Mathematik hervor. Eine besondere Problematik bietet der
Begriff des Kontinuums. Da er auf Grund logischer Überlegungen über die
Definition von Teilmengen einer gegebenen Menge (eine Teilmenge muß durch ein Gesetz
gegeben sein) den Begriff der Potenzmenge ablehnt, bricht auch die auf dem Dede-
kindschen Schnitt begründete Theorie des Kontinuums zusammen. Holder sieht
sich daher gezwungen, um trotzdem auf den Begriff des Kontinuums nicht verzichten
zu müssen, die Existenz des Kontinuums durch besondere Axiome zu postulieren.
Näher geht er auf Konstruktionsverfahren ein, die sich auf das gründen, was man
heutzutage als Abstraktionsprinzip bezeichnet. In Zusammenhang mit der
Abhängigkeit von Urteilen wird insbesondere die Rolle des indirekten Beweises in der
Mathematik hervorgehoben, ein Thema, das er später in den Arbeiten [53] und [55] wieder
aufnimmt. WTie schon in [36] und später in [58] betont wird, bedarf die Arithmetik
im Gegensatz zur Geometrie keiner Axiome. Allgemein besteht nämlich nach
Holder einer der wesentlichen Züge der mathematischen Methode darin, daß Begriffe
immer wieder durch neue Begriffe höherer Ordnung überbaut werden in dem Sinne,

Otto Holder 165
daß die Begriffe und Schlußweisen einer Stufe auf der nächsthöheren selbst zum
Objekt der mathematischen Betrachtung genommen werden, indem man z. B. zuerst
ein Beweis verfahren entwickelt und nachher die Schritte des Beweis Verfahrens
abzählt oder sie anderen Objekten zuordnet oder durch Relationen miteinander
verknüpft. Daraus folgt, daß man niemals die ganze Mathematik durch einen logischen
Formalismus erfassen kann, weil nämlich die logischen Betrachtungen, die man über
die Formeln des Formalismus selber anstellt, mit Notwendigkeit über den Formalismus
hinausführen und dennoch auch zur Mathematik gehören. Nach [58] ist daher
insbesondere ein Widerspruchsfreiheitsbeweis der Arithmetik nicht möglich, die
Arithmetik kann vielmehr nur durch den folgerichtigen Aufbau ihrer Begriffe begründet
werden. Damit klingen Gedanken an, wie sie später von Gödel in seinem
Unmöglichkeitsbeweis genau ausgeführt worden sind.
Im dritten Teil befaßt sich Holder mit dem Zusammenhang mit der Erfahrung.
Die Grundbegriffe und Axiome der Geometrie werden nach Hölders Auffassung, die
sich an die Helmholtzsche anschließt, ebenso wie die der Mechanik und Physik aus
der Erfahrung abstrahiert.
In der Arbeit [46] setzt sich Holder mit der Auffassung von Weyl auseinander,
die Definition des Begriffs der oberen Grenze enthalte einen circulus vitiosus und
mißachte die Russeische Stufenbildung der Begriffe. Er zeigt, daß die Definition der
oberen Grenze, richtig aufgefaßt, nicht zirkelhaft ist, sondern auf einer Anwendung
des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten auf unendlich viele Fälle beruht, der ja
von Weyl (im Gegensatz allerdings zu Brotjwer) anerkannt wird. Holder betont
aber auch hier, daß eine Menge von Zahlen nur durch ein Gesetz gegeben werden kann,
wobei es freilich ungeklärt bleibt, was unter dem Begriff eines Gesetzes
genaugenommen eigentlich zu verstehen ist. Nicht eingegangen wird allerdings auf den Einwand
zum Russeischen Stufungsprinzip.
Nach Bolzano kann jeder indirekte Beweis in einen direkten Beweis gewendet
werden. Gegen diese Ansicht wendet sich Holder in [53] und gibt, wenngleich ohne
strengen Beweis, Gegenbeispiele aus der Mathematik an, in denen seiner Meinung nach
kein direkter Beweis möglich ist:
a) Das Archimedische Axiom folgt aus dem Dedekindschen Stetigkeitsaxiom.
b) Wenn die Primzahl p Teiler von a • b, aber nicht von a ist, so ist p Teiler von b.
In [55] kommt er abschließend noch einmal auf diese Frage zurück und weist darauf
hin, daß es aber zumindest offenbar möglich ist, einen indirekten Beweis stets so
zu führen, daß nur zum Schluß der modus tollens angewendet wird.
Es war natürlich unmöglich, im hier gesteckten Rahmen auf alle von Holder
erzielten Resultate detailliert einzugehen; manche Arbeiten konnten nur gestreift
werden. Trotzdem dürfte aber aus dem Obigen klargeworden sein, daß mit Otto
Holder ein außerordentlich vielseitiger Mathematiker an der Leipziger Universität
gewirkt hat, ein Klassiker der Mathematik, dem die mathematische Wissenschaft
bahnbrechende Ergebnisse verdankt. Größte Gewissenhaftigkeit und Gründlichkeit
prägten alle seine Handlungen und offenbaren sich selbst in seinen ausführlichen
und sachkundigen Buchrezensionen. Er hat in seinen Arbeiten stets nach letzter
Klarheit und Vollendung gestrebt.

166 Teil III
Verzeichnis der Veröffentlichungen von Otto Holder
Beiträge zur Potentialtheorie, Dissertation, Tübingen 1882.
Beweis des Satzes, daß eine eindeutige analytische Function in unendlicher Nähe einer
wesentlich singulären Stelle jedem Werth beliebig nahe kommt, Math. Ann. 20 (1882),
138 — 143; nachträgliche Berichtigung, S. 549.
Grenzwerthe von Reihen an der Konvergenzgrenze, Math. Ann. 20 (1882), 535 — 549.
Zum Invariantenbegriff, Math.-naturwiss. Mitteilungen 1 (1884), 59—65.
Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, Math. Ann. 24 (1884), 181—216.
Über eine neue hinreichende Bedingung für die Darstellbarkeit einer Function durch die
Fourier'sche Reihe, Ber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin 1885, S. 419-434.
Bemerkung zu der Mittheilung des Herrn Weierstraß: Zur Theorie der aus n
Haupteinheiten gebildeten complexen Größen, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1886, S. 241 — 244.
Ueber eine transcendente Function, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1886, S. 514 — 522.
Über die Eigenschaft der Gammafunction, keiner algebraischen Differentialgleichung zu
genügen, Math. Ann. 28 (1886), 1-13.
Ueber eine Function, welche keiner algebraischen Functionalgleichung genügt, Nachr.
Ges. Wiss. Göttingen 1887, S. 662-676.
Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen,
Math. Ann. 34 (1889), 26-56.
Bemerkungen zur Quaternionentheorie, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1889, S. 34 — 38.
Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1889, S. 38—47.
Ueber den Söderberg'schen Beweis des Galois'schen Fundamentalsatzes, Math. Ann. 34
(1889), 454-462.
Ueber den Casus Irreducibilis bei der Gleichung dritten Grades, Math. Ann. 38 (1891),
307-312.
Die einfachen Gruppen im ersten und zweiten Hundert der Ordnungszahlen, Math. Ann.
40 (1892), 55-88.
Die Gruppen der Ordnungen p3, pq2y pqr, #>4, Math. Ann. 43 (1893), 301—412.
Stolz, Otto, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung. Erster Teil, Göttingische
gelehrte Anzeigen 1894, S. 504-522.
Bildung zusammengesetzter Gruppen, Math. Ann. 46 (1895), 321—422.
Die Gruppen mit quadratfreier Ordnungszahl, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys.
Kl., 1895, S. 211-229.
Weierstrass, Karl, Mathematische Werke. Erster Band, Abhandlungen I, Göttingische
gelehrte Anzeigen 1895, S. 362-370.
Ueber die Principien von Hamilton und Maupertuis, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-
phys. Kl., 1896, S. 122-157.
Weierstraß, Mathematische Werke. Zweiter Band, Göttingische gelehrte Anzeigen 1896,
S. 769-773.
Ueber eine einfache Herleitung der elliptischen Funktionen, Schriften phys.-ökon. Ges.
Königsberg 38 (1897), 53-57.
Galois'sche Theorie mit Anwendungen, Beitrag IB3c, d in: Encykl. d. math. Wiss. 1,
1899, S. 480-520.
Anschauung und Denken in der Geometrie. Akademische Antrittsvorlesung gehalten
am 22. Juli 1899. Mit Zusätzen, Anmerkungen und einem Register, B. G. Teubner, Leipzig
1900.
Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass, Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. Kl., 53 (1901), 1-64.
Die Zahlenskala auf der projektiven Geraden und die independente Geometrie dieser
Geraden, Math. Ann. 65 (1908), 161-260.

Otto Holder 167
[29] Adolf Mayer, Nekrolog, gesprochen in der öffentlichen Gesamtsitzung beider Klassen am
14. Nov. 1908, Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 60 (1908), 353-373.
[30] Streckenrechnung und projektive Geometrie, Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-
phys. Kl., 63 (1911), 65-183.
[31] Bedingungen des analytischen Charakters für reelle Funktionen reellen Arguments, Ber.
Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 63 (1911), 388-401.
[32] Die Cauchysche Randwertaufgabe für den Kreis in der Potentialtheorie, Ber. Verh.
Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 63 (1911), 477-500.
[33] Über einige Determinanten, Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 65
(1913), 110-120.
[34] Neues Verfahren zur Herleitung der Differentialgleichung für das relative Extremum eines
Integrals, Ann. Mat. Pura Appl. (3) 20 (1913), 171-184.
[35] Über einige Determinanten. Zweite Mitteilung, Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. Kl., 66 (1914), 98-102.
[36] Die Arithmetik in strenger Begründung, Programmabh. Phil. Fakultät Leipzig 1914;
2. Aufl. 1929.
[37] Abschätzungen in der Theorie der Differentialgleichungen, in: Mathematische
Abhandlungen HERMANN AMANDUS SCHWARZ zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum
am 6. August 1914 gewidmet von Freunden und Schülern. Springer, Berlin 1914, S. 116
bis 132.
[38] Die Mathematik im Verhältnis zu den anderen Wissenschaften (Rede des antretenden
Rektors), in: Rektoratswechsel an der Universität Leipzig am 31. Oktober 1918, S. 21—37.
[39] Karl Rohn, Nekrolog, gesprochen am 13. November 1920 in der öffentlichen Sitzung beider
Klassen, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 72 (1921), 107-127.
[40] Carl Neumann zum 90. Geburtstag, Math. Ann. 86 (1922), 161-162.
[41] Die mathematische Methode. Logisch erkenntnistheoretische Untersuchungen im
Gebiete der Mathematik, Mechanik und Physik, Springer, Berlin 1924.
[42] Das Volumen in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit und seine Invarianteneigenschaft,
Math. Z. 20 (1924), 7-20.
[43] Über gewisse Hilfssätze der Potentialtheorie und das alternierende Verfahren von Schwarz,
Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 77 (1925), 61-73.
[44] C. Neumann, Nachruf, gesprochen am 14. November 1925 in der öffentlichen Sitzung
beider Klassen, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 77 (1925), 154
bis 180.
[45] Carl Neumann, Math. Ann. 96 (1926), 1-25.
[46] Der angebliche circulus vitiosus und die sogenannte Grundlagenkrise in der Analysis,
Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 78 (1926), 243-250.
[47] Bemerkungen zu meinem Aufsatz: Über gewisse Hilfssätze der Potentialtheorie, Ber.
Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 78 (1926), 240-242.
[48] Über einen Grenzübergang in Abels Recherches sur les Functions Elliptiques, J. Reine
Angew. Math. 157 (1927), 171-188.
[49] Über einige trigonometrische Reihen, Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss. München, Math.-
naturwiss. Abh., 1928, S. 83-96.
[50] Bemerkungen über die Herleitung einiger elementarer Formeln, Ber. Verh. Sachs. Akad.
Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 80, 117-121.
[51] Über eine von Abel untersuchte Transzendente und eine merkwürdige
Funktionalbeziehung, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 80 (1928), 312-325.
[52] Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung für komplexe Größen, Math. Ann. 100
(1928), 438-444.
[53] Der indirekte Beweis in der Mathematik, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-
phys. Kl., 81 (1929), 201-216.

168 Teil III
[54] Ein Versuch im Gebiet der höheren Mächtigkeiten, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. Kl., 82 (1930), 83-96.
[55] Nachtrag zu meinem Aufsatz über den indirekten Beweis, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig, Math.-phys. Kl., 82 (1930), 97-104.
[56] Einige Sätze über die größten Ganzen, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-
phys. Kl., 82 (1930), 159-170.
[57] Über gewisse Teilsummen von £ (p(ri), Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-
phys. Kl., 83 (1931), 175-178.
[58] Axiome, empirische Gesetze und mathematische Konstruktionen, Scientia 49 (1931),
317-326.
[59] Zur Theorie der zahlentheoretischen Funktion [i(ri)y Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. Kl., 83 (1932), 321-328.
[60] Über eine Art von Reziprozität bei summatorischen Funktionen, Ber. Verh. Sachs. Akad.
Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 83 (1932), 329-332.
[61] Über einen asymptotischen Ausdruck, Acta Math. 59 (1932), 89—97.
[62] Über gewisse der Möbiusschen Funktion ju(n) verwandte zahlentheoretische Funktionen,
die Dirichletsche Multiplikation und eine Verallgemeinerung der Umkehrformeln, Ber.
Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 85 (1933), 3-28.
[63] Zusätzliche Gleichungen zur Hermiteschen Formel, Math. Ann. 108 (1933), 605 — 614.
[64] Verallgemeinerung einer Dirichletschen Summenumformung, Math. Z. 38 (1934), 476
bis 482.
[65] Leon Lichtenstein, Nachruf, gehalten in der öffentlichen Sitzung der Sächsischen Akademie
der Wissenschaften am 30. Juni 1934, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys.
Kl., 86 (1934), 307-314.
[66] Zur Theorie der Gaußschen Summen, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys.
Kl., 87 (1935), 27-36.
[67] Verallgemeinerung einer Formel von Hacks, Math. Z. 40 (1935), 463—468.
[68] Bemerkungen zu einer Dirichletschen Frage, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. Kl., 87 (1935), 81-84.
[69] Zur Theorie der Kreisteilungsgleichung Km(x) = 0, Prace mat.-fiz. 43 (1936), 14-23.
[70] Über eine Verallgemeinerung der binomischen Formel, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig, Math.-phys. KL, 88 (1936), 61-66.
[71] Elementare Herleitung einer dem binomischen Satz verwandten Formel, Ber. Verh.
Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 88 (1936), 133-134.
[72] Über eine Darstellung der Eulerschen Konstanten, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. KL, 89 (1937), 167-170.

Karl Rohn — ein Geometer
Viktor Ziegler (f)
\
Karl Rohn
(1855-1920)
Zu den Mathematikern, die durch ihre zum Teil jahrzehntelange Tätigkeit das
wissenschaftliche Gesicht des ehemaligen Mathematischen Instituts unserer alma mater
seinerzeit mit bestimmt haben, die aber aus irgendwelchen Gründen, oft sehr zu
Unrecht, in Vergessenheit geraten sind, gehört zweifellos u. a. Karl Friedrich
Wilhelm Rohn, ein Geometer von echtem Schrot und Korn, wie man einem solchen
auch schon zu Rohns Zeiten nicht mehr allzu häufig begegnete. Die
Mathematikstudentenjahrgänge der letzten 15 Jahre haben kaum jemals seinen Namen gehört.
Früheren Studentengenerationen war Rohn aber hauptsächlich als Schöpfer eines
Standardwerkes über darstellende Geometrie bekannt, das er gemeinsam mit dem
Freiberger Mathematiker Joh. Erwin Papperitz (1857—1938) verfaßt hatte.
Allerdings ist dieses dreibändige Werk bereits seit der Mitte der zwanziger Jahre nur
noch in Bibliotheken zu finden.
Würdigungen des Rohnschen Lebenswerkes gibt es bereits durch seine
Zeitgenossen, die ihn persönlich kannten und die seine Arbeiten in die mathematische Forschung
seiner Zeit wohl am besten einordnen und einstufen konnten. Es existiert ein
Nachruf auf Karl Rohn von Friedrich Schur (1856—1932) im Band 32 der
Jahresberichte der ,,Deutschen Mathematikervereinigung" (Leipzig 1923) und ein
Nekrolog, der am 13. November 1920 in der öffentlichen Plenarsitzung der Sächsischen
Akademie der Wissenschaften von keinem Geringeren als Otto Holder (1859—1937)
vorgetragen wurde. Einen Abdruck dieses Nekrologs finden wir in den Berichten über
die Verhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig,
Mathematisch-physische Klasse, Bd. 72, 1920, S. 107—127. Beide Nachrufe enthalten eine
ausführliche Würdigung der Arbeiten Karl Rohns, vornehmlich aus der Sicht jener
Zeit, wobei Holder in seinem erheblich umfangreicheren Nekrolog sehr ausführlich
auch auf die Vorgeschichte der Rohnschen Arbeiten eingeht und insbesondere auch
die Anregungen • analysiert, die Rohn von seinen Lehrern (insbesondere auch von
Felix Klein (1849—1925)) empfangen hatte.
Es erscheint daher durchaus angebracht, hier längere Passagen aus den beiden
genannten Arbeiten im Wortlaut zu zitieren. Andererseits sind wohl einige
Bemerkungen über das Werk Rohns auch aus der heutigen Sicht angebracht. Den weiteren

170 Teil III
Betrachtungen seien zunächst die wichtigsten Lebensdaten Karl Friedrich
Wilhelm Rohns vorangestellt, wobei wir ihn über die ersten vierundzwanzig Jahre seines
Lebens am besten selbst zu Wort kommen lassen.
In einer Anlage (die er lakonisch mit „Vita" überschreibt) zu seinem „Gesuch um
Zulassung zur Habilitation an der Universität zu Leipzig" heißt es:
„Geboren wurde ich den 28. Januar 1855 zu Schwanheim1) in Hessen, woselbst
meine Eltern auch heute noch wohnen. Hier genoss ich den ersten Schulunterricht,
der im Herbste 1865 am Gymnasium zu Bensheim fortgesetzt wurde. Nach 7 Jahren
hatte ich die Unterprima dieser Anstalt absolvirt und begab im gleichen Herbste
1872 nach Darmstadt, um mich am dortigen Polytechnikum dem Studium der
Ingenieurwissenschaften zu widmen. Aber schon im Herbste 1873, nachdem ich hier mein
Maturitätsexamen beendet hatte, das ich später2) am Gymnasium zu Bensheim noch
vervollständigte, verliess ich das genannte Studium, um mich der Mathematik
zuzuwenden. Ich verblieb zunächst noch ein Jahr in Darmstadt am Polytechnikum,
bezog im Herbste 1874 die Universität in Leipzig und im folgenden Herbste die
Universität zu München, wo ich jedoch hauptsächlich bei den Professoren des dortigen
Polytechnikums meine Kenntnisse erweiterte. Hier in München machte ich im Herbste
1877 mein Staatsexamen und im folgenden mein Doctorexamen3). Meine
wissenschaftliche Ausbildung verdanke ich in Darmstadt den Herren Professoren: Kohlrausch,
Dölp, Sturm, Brill, Neil und Büchner, in Leipzig den Herren Professoren: Neumann,
Scheibner, Mayer, Von der Mühll und Zöllner, in München den Herren Professoren:
Seidel, Bauer, Klein, Brill und Nägeli; ich schliesse damit, dass diese Gelegenheit
benutze, diesen hochgeehrten Herren abermals meinen Dank abzustatten.
Leipzig, den 30.en Januar 1879
gez. Dr. Karl Rohn"
Bereits 1879 finden wir also Rohn wieder in Leipzig, wo er sich noch im selben
Jahr mit der unmittelbar an seine Dissertation anschließenden Arbeit
„Transformationen der hyperelliptischen Funktionen p = 2 und ihre Bedeutung für die Kura-
mersche Fläche" habilitierte.
Zur Dissertation und zur Habilitationsschrift Rohns bemerkt 0. Holder in
seinem oben erwähnten Nekrolog:
„Bereits in diesen ersten Arbeiten zeigte er eine besondere Begabung für die
Erforschung der höheren, durch algebraische Gleichungen definierten Gebilde der
Geometrie und seine hervorragende Fähigkeit, diese Gebilde mit allen Hilfsmitteln der
Algebra und der höheren Funktionenlehre zu durchdringen und darzustellen."
Am 22. Dezember 1884 wurde Rohn in Leipzig durch das Kultusministerium zum
außerordentlichen Professor ernannt, ging aber noch in demselben Jahr an die
Technische Hochschule Dresden (als Vertreter des erkrankten Harnack), wurde dann als
*) Nicht zu verwechseln mit dem heute zum Stadtgebiet von Frankfurt/Main gehörenden
Schwanheim.
2) Bleistiftnotiz auf dem Rand: Herbst 1874.
3) Der Titel der Dissertation lautete: ,,Betrachtungen über die Kummersche Fläche und
ihren Zusammenhang mit den hyperelliptischen Funktionen p = 2".

Karl Rohn — ein Geometer 171
außerordentlicher Professor Nachfolger von Voss und übernahm schließlich 1887
als Ordinarius Burmesters Lehrstuhl für darstellende Geometrie.
Hier begann er gemeinsam mit Papperitz die Arbeit am ,,Lehrbuch der
darstellenden Geometrie" in zwei Bänden, deren erster Band 1893 in erster und 1901 in
zweiter Auflage erschien. Der zweite Band folgte 1896. An der Vervollkommnung
dieses Werkes hat er bis zu seinem Lebensende gearbeitet. Im Jahre 1906 erschien
die dritte, nunmehr auf drei Bände erweiterte Auflage des Werkes, der noch eine
vierte folgte (Band 1: 1913, Bd. 2: 1916 und Bd. 3: 1921).
Im Jahre 1889 wurde Rohn Mitglied der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der
Wissenschaften in Leipzig (seit 1919 Sächsische Akademie der Wissenschaften). In
den Jahren 1900 und 1901 war er Rektor der Technischen Hochschule in Dresden.
Im Jahre 1904 folgte er schließlich einem Ruf an die Universität Leipzig als
Vertreter der Geometrie. Hier bekleidete er in der Zeit von 1904 bis 1920 zusammen
mit Otto Holder und zeitweise auch gemeinsam mit Gustav Herglotz das Amt des
Direktors des Königlich-Sächsischen Mathematischen Seminars und des
Mathematischen Instituts der Universität.
Seit der Gründung der Deutschen Mathematikervereinigung im Jahre 1890
gehörte Rohn ihr als Mitglied an und war 1913 ihr Vorsitzender.
Auch in Leipzig setzte er seine rege wissenschaftliche Tätigkeit fort, die ihren
äußeren Niederschlag in über 70 wissenschaftlichen Publikationen findet (die
Lehrbücher und Lehrmodelle mit eingerechnet), zu denen auch preisgekrönte Arbeiten
gehören.
Das Erscheinen seines letzten Werkes — ,,Stereometrie, ein Handbuch für
Studierende und Lehrer" (erschienen 1922 mit einem Geleitwort von Felix Klein) —
hat er nicht mehr erlebt, denn er starb am 4. August 1920.
Doch wenden wir uns nun dem wissenschaftlichen Werk Karl Rohns zu. Otto
Holder schreibt hierzu:
,,In seiner wissenschaftlichen Richtung ist Rohn zu bezeichnen als ein im wahrsten
Sinne des Worts anschaulich arbeitender Geometer. Seine Geometrie bestand nicht
in erster Linie in algebraischen und analytischen Umformungen der Gleichungen,
die zur Beschreibung der geometrischen Gebilde dienen; er hat es selbst ausgesprochen,
daß bei ihm jeder neue Gedanke zuerst in bildhafter Form auftrete, daß auch jede
Umformung einer Gleichung aus ihrer geometrischen Bedeutung erwachse und erst
von da aus in den formalen Apparat sich umsetze. Anschauungskraft besaß Rohn
in außerordentlichem Maße, sie befähigte ihn zu seinen Arbeiten, und
Anschauungskraft suchte er auch bei seinen Schülern zu entwickeln. Die Grundsätze, die ihn dabei
geleitet haben, erkennt man in der Festrede, die er im Jahre 1900 als Rektor der
Technischen Hochschule: ,Über Entwicklung der Raumanschauung im Unterricht'
gehalten hat, ebenso sind sie in seinem Unterrichtswerk, dem Lehrbuch der
darstellenden Geometrie, ersichtlich, das er zusammen mit Papperitz in erster Auflage
1893/6 hat erscheinen lassen.
Rohns besondere Richtung erklärt auch die außerordentliche Einheitlichkeit,
die seine wissenschaftliche Arbeit bei aller Mannigfaltigkeit aufweist. Alle seine
Abhandlungen sind geometrisch; dabei könnte man etwa zwei Perioden unterscheiden,
die durch den Anfang der Arbeit an der ,darstellenden Geometrie' voneinander
getrennt sind. In der ersten Zeit beschäftigen ihn ausschließlich die höheren algebra-

172 Teil III
ischen Kurven und Flächen; hier sind es sehr verwickelte Probleme, die er, zwar immer
anschaulich, aber mit aller Kunst algebraischer und auch funktionentheoretischer
Theorie der glücklichen Lösung zuführt. Später hat ihn natürlich teilweise das
Lehrbuch beschäftigt; daneben hat er aber außer der Fortsetzung der Erforschung
höherer Kurven und Flächen in zahlreichen Arbeiten Aufgaben behandelt, welche die
Kurven und Flächen zweiter Ordnung, überhaupt verhältnismäßig elementarerer
Gegenstände betreffen. In diesen Arbeiten zeigt sich gerade besonders die Fähigkeit
Rohns, durch einen glücklichen, spezifisch geometrischen Gedanken zu einer neuen,
einfacheren und eleganteren Lösung des vielfach schon behandelten Problems zu
gelangen. Ohne Zweifel sind diese Problemstellungen zum Teil durch
Unterrichtsbedürfnisse angeregt worden."
Wie aus dieser ersten globalen Einschätzung des Rohnschen Werkes ersichtlich
ist, mißt 0. Holder dem ,,Lehrbuch der darstellenden Geometrie" sowie Rohns
Wirken auf dem Lehrstuhl der darstellenden Geometrie an der Technischen
Hochschule in Dresden keineswegs die zentrale Bedeutung im Schaffen dieses Geometers
bei, die man heute zu vermuten geneigt ist, wenn man bedenkt, daß es eben dieses
Buch ist, mit dem der Name Rohns heutzutage fast ausschließlich verknüpft wird. In
der Arbeit an diesem Lehrbuch sieht Holder vielmehr eine Zäsur, die zwei
verschiedene Perioden in Rohns mathematischer Forschung ausweist, wobei die
Beschäftigung mit der darstellenden Geometrie durchaus einen Einfluß auf das spätere
Schaffen Rohns ausgeübt hat. Mußte er doch den Stoff fast ausschließlich für Nicht-
mathematiker, für spätere Anwender aufbereiten. Darin ist wohl nicht zuletzt die
Ursache für die immer stärker wachsende Rolle der unmittelbaren geometrischen
Anschauung zu suchen, die Rohn ihr bei seiner mathematischen Erkenntnisfindung
zuwies. Vom unmittelbaren geometrischen Anschauen zum
arithmetisch-algebraischen oder analytischen Zusammenfassen — diesen Weg ist Rohn in seinen späteren
Jahren fast ausschließlich gegangen.1)
In seinen weiteren Ausführungen im Nekrolog geht 0. Holder recht ausführlich
auf die Vorgeschichte der Rohnschen Arbeiten ein; er führt gleichsam alle
wissenschaftlichen Vorgänger Rohns auf. Und hier lesen wir Namen wie Descartes,
Plücker, Riemann, Klein, Kummer, Cayley, Borchardt, Harnack, Hilbert,
die wohl jedem geläufig sind, der sich jemals ernsthaft mit der Mathematik
auseinandergesetzt hat. Ihre Forschungsergebnisse, auf denen Rohn aufgebaut hat,
werden einerseits recht ausführlich, z. T. unter Angabe wichtiger Formeln geschildert,
andererseits in ihrer Bedeutung für die gesamte Mathematik gewürdigt. Er tut dies,
wie er selbst sagt, um deutlich zu machen, an welcher Stelle Rohn in die
Untersuchungen über die algebraischen Kurven und Flächen eingegriffen hat.
Es ist leider nicht möglich, im Rahmen dieses Beitrages in der Ausführlichkeit
auf die einzelnen Forschungsrichtungen bzw. sogar einzelne Arbeiten einzugehen,
wie dies 0. Holder getan hat. Der interessierte Leser sei daher auf den genannten
Nekrolog verwiesen.
*) Im Gutachten von Scheibner, Klein und Neumann (am 2. August 1884) zum Antrag
von Friedrich Schur und Karl Rohn auf Verleihung des Titels eines a. o. Professors heißt
es allerdings, daß Schur mehr die synthetischen, Rohn mehr die analytischen Methoden
bevorzuge, ohne jedoch dabei die geometrisch-anschaulichen Fragen zu vernachlässigen.

Karl Rohn — ein Geometer 173
Rohns geometrischer Mitstreiter, Friedrich Schur, gibt die nachstehende
Klassifikation der Rohnschen Arbeiten1):
,,Wenn wir über R.s wissenschaftliche Schriften berichten wollen, so können wir sie
in fünf Gruppen einteilen. Die erste Gruppe betrifft den Zusammenhang der Kummer-
schen Fläche 4. Ordnung mit 16 Knotenpunkten mit den hyperelliptischen
Funktionen, die zweite gestaltliche Untersuchungen hauptsächlich über Flächen 4.
Ordnung, die dritte umfaßt kleinere geometrische Schriften vermischten Inhalts, die vierte
behandelt Punktgruppen auf algebraischen Raumkurven, und die fünfte enthält
R.s Lehrbücher, ihnen sind noch Modelle und ein Ellipsenzirkel hinzuzufügen. Wir
wollen nun versuchen, ein allgemeines Bild von jeder dieser Gruppen zu geben, ohne
den Leser durch die Berichterstattung über jede einzelne der zahlreichen R.sehen
Abhandlungen zu ermüden.
Nach dem übereinstimmenden Urteile von Kennern müssen wir die beiden
Schriften der ersten Gruppe (1 und 2) als die hervorragendsten von R. bezeichnen. Es ist
hierdurch ein damals im Vordergrunde des Interesses stehendes Problem zu einem
gewissen Abschlüsse gebracht worden. Nachdem F. Klein schon 1872 (Ann. Bd. 5)
bei Bestimmung von Integralflächen des allgemeinen Strahlenkomplexes 2. Grades
auf die Möglichkeit der Verknüpfung der Kummerschen Fläche mit den
hyperelliptischen Integralen des Falles p = 2 hingewiesen hatte, haben 1877 (Crelle Bd. 83)
gleichzeitig Cayley und Borchardt und sodann H.Weber (Bd. 84)
Parameterdarstellungen der Koordinaten eines Punktes der Kummerschen Fläche durch Theta-
funktionen von 2 Veränderlichen angegeben. Aber die Übereinstimmung dieser
Darstellungen miteinander und ihr Zusammenhang war nicht unmittelbar zu sehen, und
dies hat R. in seinen Abhandlungen so gut erledigt, daß später Wesentliches nicht
hinzuzufügen war."
Auch hier müssen wir auf die Wiedergabe der Einschätzung der Arbeiten aus den
anderen vier der von Schur klassifizierten Gruppen verzichten und auf den genannten
Nachruf verweisen, doch ein Satz, und zwar der abschließende aus der Einschätzung
der dritten Gruppe sei noch zitiert:
,,In allen diesen Arbeiten sind die Virtuosität und Schärfe hervorzuheben, durch die
rein geometrische Betrachtungen und analvtische Entwicklungen miteinander
verbunden werden."2)
Ein abgerundetes Urteil über Karl Friedrich Wilhelm Rohn wird man sich
kaum bilden können, ohne Rohns wohl berühmtesten Lehrer, Felix Klein, zu Wort
kommen zu lassen, der seinen Schüler um fünf Jahre überlebt hat.
In seinem Geleitwort zu Rohns Stereometrie, die erst zwei Jahre nach dem Tode
ihres Verfassers erschien, schreibt Felix Klein:
,,Ich entspreche gern der Aufforderung, dem Andenken meines einstigen Schülers
Karl Rohn einige Zeilen zu widmen und zugleich dem Werke, welches hier aus
seinem Nachlaß herausgegeben wird, ein Geleitwort auf den Weg zu geben. Seitens der
J) Jahresber. DMV 32 (1923), 202.
2) Ebenda, S. 205.

174 Teil III
jüngeren Generation wird die Geometrie mit Vorliebe ausschließlich als eine
Wissenschaft hingestellt, welche die Beziehungen der räumlichen Gebilde aus gegebenen,
sozusagen von außen bezogenen Vordersätzen rein logisch entwickelt; es tritt also
zurück, was Clebsch in seiner Gedächtnisrede auf Plücker so eindringlich sagt: ,daß
die Freude an der Gestalt in höherem Sinne es ist, die den Geometer macht'. Rohn hat
sich von dieser Einseitigkeit immer freigehalten: schon als er 1878 in München
promovierte, hat er es verstanden, seine tiefgreifenden theoretischen Untersuchungen mit
räumlichen Vorstellungen größter Einfachheit zu begleiten und durch Modelle von
besonderer Schönheit und Übersichtlichkeit zu erläutern. So war er nicht nur der
Mann der wissenschaftlichen Forschung, sondern zugleich der gegebene Lehrer
der Geometrie für die nachwachsende Generation, an der Hochschule wie an den
allgemein bildenden Schulen überhaupt. In der Tat hat er sich in den späteren Jahren
seines Lebens immer mehr der pädagogischen Aufgabe gewidmet. Sein mit E.
Papperitz bearbeitetes Lehrbuch der darstellenden Geometrie ist in aller Händen. Und
in seinem Nachlaß hat sich die fertige Ausarbeitung des stereometrischen Lehrgangs
gefunden, welcher hiermit der Öffentlichkeit unterbreitet wird. Kenner des ungeheuer
umfangreichen Stoffes, den die geometrische Forschung je länger je mehr zutage
gefördert hat, werden auf jeder Seite die weise Beschränkung erkennen, welche sich
Rohn bei seiner Darstellung auferlegt hat. Keine übertriebene Abstraktion oder
Allgemeinheit, sondern ein Herausarbeiten nur solcher Methoden und Auffassungen, welche
man billigerweise als Gemeingut aller Mathematiklehrer sollte ansprechen können.
Dabei überall in der Weise gegliedert, daß dem Leser die wirkliche Erfassung der in
Betracht kommenden räumlichen Figuren nicht erspart wird. Also ein für ausgedehnte
Kreise überaus nützliches Buch, dem weiteste Verbreitung zu wünschen ist.
Göttingen, Pfingsten 1922
F. Klein"
Dieser Wunsch Felix Kleins ist nicht ganz in Erfüllung gegangen, denn eine
weitere Auflage hat das Buch nicht mehr erlebt, obwohl eine solche offenbar bereits
geplant war, wie aus den redaktionellen Randnotizen des einzigen mir zur Verfügung
stehenden Exemplars hervorgeht, das anscheinend dem Archiv des früheren Verlages
Robert Noske in Borna, Bezirk Leipzig, entstammt.
Die moderne Mathematik ist Wege gegangen, in denen man die geometrische
Richtung, wie sie Rohn eingeschlagen hat, kaum noch wiederzuerkennen glaubt. Doch
haben verschiedene Arbeiten Rohns auch bis in die Gegenwart ihre Bedeutung
keineswegs verloren. So sei daran erinnert, daß David Hilbert in seinem berühmten
Vortrag ,,Mathematische Probleme" bei der Formulierung seines sechzehnten Problems,
des Problems der Topologie algebraischer Kurven und Flächen, sich nicht nur auf
Harnack, sondern auch auf Karl Rohn beruft. Es ist sicherlich nicht uninteressant,
daß in dem unter der Regie von P. S. Aleksandrov 1969 herausgegebenen Buch
„IlpoÖJieMbi TmiböepTa", deutsch 1971 (2. Aufl. 1979) unter dem Titel „Die Hil-
bertschen Probleme" in ,,Ostwalds Klassiker" Nr. 252, erschienen, die sowjetische
Mathematikerin 0. A. Olejnik bei ihrer Einschätzung über den gegenwärtigen
Stand der Arbeiten zum sechzehnten Hilbertschen Problem mehrfach auch auf die
Arbeiten Rohns eingeht. Unter den 25 von O.A. Olejnik als hierzu besonders wichtig
eingeschätzten und bis 1969 erschienenen Arbeiten tritt der Name Rohns immerhin

Karl Rohn — ein Geometer 175
viermal als Verfasser auf. Es handelt sich hier im einzelnen um die folgenden
Arbeiten:
1. Die Flächen vierter Ordnung hinsichtlich ihrer Knotenpunkte und ihrer Gestaltung.
Preisschriften, gekrönt und herausgegeben von der Fürstl. Jablonowskischen Gesellschaft zu
Leipzig. XXCI. 1886.
2. Die Maximalzahl von Ovalen bei einer Fläche 4. Ordnung. Ebenda Bd. 63, S. 423. 1911.
3. Die ebene Kurve 6. Ordnung mit elf Ovalen. Ebenda S. 540. 1911.
4. Die Maximalzahl und Anordnung der Ovale bei der ebenen Kurve 6. Ordnung und bei
der Fläche 4. Ordnung. Math. Ann. Bd. 73, S. 177. 1913.
Ein ausführliches Verzeichnis der Arbeiten Rohns ist in [2] und [3] des
Quellenverzeichnisses zu finden.
Und wie viele verschiedene Begriffe der modernen Mathematik gibt es, bei denen
auch die synthetische Richtung der Geometrie Pate gestanden hat und die in
Anlehnung an geometrische Raum Vorstellungen entstanden sind. Ihre Aufzählung allein
dürfte wohl mehr Raum in Anspruch nehmen als diese Abhandlung.
Abschließend sei noch einmal Friedrich Schur das Wort erteilt:
„Überblicken wir das gesamte wissenschaftliche Lebenswerk R.s, so müssen wir
es als ein für die Geometrie ungemein fruchtbares bezeichnen und unserem Schmerze
Ausdruck geben, daß wieder einer jener, wie es scheint, unersetzlichen Geometer
hingegangen ist, die der Blütezeit der Geometrie in den siebziger und achtziger
Jahren des vorigen Jahrhunderts entstammten. Auch können wir die Bedeutung R.s
nur voll erfassen, wenn wir sie im Rahmen jener Zeit betrachten, die durch A.
Clebsch und F. Klein inauguriert wurde."1)
Quellenverzeichnis
[1] Lorey, W.: Das Studium der Mathematik an den deutschen Universitäten seit Anfang
des 19. Jh., Leipzig 1916.
[2] Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-naturw. KL, 72 (1921), 109 — 127.
[3] Jahresber. DMV 32 (1923), 201-211.
[4] Klein, F.: Geleitwort zu: Rohn, Karl: Stereometrie. Ein Handbuch für Studierende und
Lehrer. Borna, Leipzig 1922, S. V und VI.
[5] Verzeichnis der auf der Universität zu Leipzig zu haltenden Vorlesungen 1849 — 1891.
[6] Universität Leipzig, Verzeichnis der Vorlesungen 1891 — 1945.
[7] Personalverzeichnis der Universität Leipzig 1885 — 1915.
[8] Personalakten der Philosophischen Fakultät der Universität Leipzig.
[9] Poggendorff, J. Chr. : Literarisch-biogr. Handwörterbuch für Mathematik, Physik,
Chemie und verwandte Wissensgebiete.
[10] Die Hilbertschen Probleme. Herausgegeben von P. S. Aleksandrov. Ostwalds Klassiker
der exakten Wissenschaften, Bd. 252, Leipzig 1971; 2. Aufl. 1979 (Übersetzung aus dem
Russischen).
!) Ebenda, S. 208.

Gustav Herglotz — Verbindung
von reiner Mathematik
und mathematischer Physik
Hans-Joachim Rossberg (Leipzig)
Gustav Herglotz
(1881-1953)
Gustav Herglotz war ein ungemein vielseitiger wissenschaftlicher Denker, der
großen Anteil an den Problemen nahm, die einerseits in der angewandten Mathematik
und Physik wie andererseits auch in der reinen Mathematik seiner Zeit aktuell waren.
Seine Veröffentlichungen betreffen daher sehr verschiedene Gebiete.
Er wurde am 2. Februar 1881 in Wallern im Böhmerwald geboren. Sein Vater war
dort Notar und verstarb früh. So umsorgte die Mutter den Einzigen. Mit mancherlei
Entbehrungen ermöglichte sie es ihm, indem sie als Kastellanin im Wiener Coburg-
schen Palais tätig war, ein Wiener Gymnasium zu besuchen und sodann (von 1899
an) an der Universität Wien zu studieren.
Bereits in der Wiener Gymnasialzeit eignete sich Herglotz autodidaktisch ein
mathematisches Grundwissen an, das weit über den üblichen Schulstoff hinausging.
Schon hier zeigte sich auch sein Interesse für Physik und theoretische Astronomie.
Dadurch war er in der Lage, schon im ersten Semester eine Vorlesung von L. Boltz-
mann über theoretische Physik zu hören. Im zweiten Semester trat er in Boltz-
manns Oberseminar, das von Assistenten, Doktoren und Privatdozenten besucht
wurde, mit einem Vortrag hervor, der die volle Beherrschung des Gegenstandes
erkennen ließ. In dieser Zeit studierte er auch die Werke von Laplace und Tisserand
über Himmelsmechanik.
Im Jahre 1900 ging Herglotz zu Seeliger nach München, wo er auch mathematische
Vorlesungen von Lindemann und Pringsheim hörte. Jedoch wandte er sich hier
stärker der Astronomie zu und nahm auch an praktischen Übungen im Beobachten
teil. 1902 promovierte er summa cum laude mit einer von Seeliger angeregten Arbeit.
Im Jahre 1898 war nämlich der kleine Planet Eros entdeckt worden, der auffällige
Helligkeitsschwankungen aufweist. Ihre Entstehung zu deuten, hatten sich schon mehrere
Fachgelehrte bemüht, und auch Seeliger hatte in die Diskussion eingegriffen. Das
Dissertationsthema lautete daher ,,Über die scheinbaren Helligkeits Verhältnisse eines
planetarischen Körpers mit drei ungleichen Hauptträgheitsachsen" (vgl. [1]). Der
Kandidat erklärte den zu untersuchenden Effekt, indem er eine Rotation und
unregelmäßige Gestalt des Körpers annahm. Neu war dabei auch seine Behandlung des
Rotationsproblems, das seit Euler und Lagrange schon viel durchforscht worden war.

Gustav Herglotz — Reine Mathematik und mathematische Physik 177
Damit war der Anfang zu einer langen Reihe von Publikationen gemacht, die
wesentlich zur Untersuchung von Problemen beitrugen, die ganz besonders die
führenden Gelehrten der Zeit bewegte. Zum Beispiel gab Herglotz (vgl. [2]) erstmals
eine exakte Herleitung der H. A.-Lorentzschen Bewegungsgleichungen der
Elektronentheorie aus dem Hamiltonschen Variationsprinzip; dabei wurden auch Rotation
und kleine Schwingungen des Elektrons berücksichtigt (vgl. [2]). Es folgte eine neue
Herleitung von Sommerfeldschen Formeln für das Feld eines Elektrons und die an
ihm angreifenden Kräfte mit funktionentheoretischen Hilfsmitteln (vgl. [3]).
In den Jahren 1903 und 1904 verbrachte Herglotz zwei Semester in Göttingen.
Dort kam es zur Zusammenarbeit mit H. Hahn und K. Schwarzschild, die zu einer
gemeinsamen Note ,,Über das Strömen des Wassers in Röhren und Kanälen"
(vgl. [4]) führte. Den Anstoß hierzu gab ein Seminar, das F. Klein in dieser Zeit in
Göttingen gehalten hatte und das der Hydrodynamik und Hydraulik gewidmet
war.
Klein schlug damals Herglotz vor, sich in Göttingen zu habilitieren. Herglotz
folgte dieser Aufforderung und habilitierte sich 1904 mit einem Probevortrag ,,Über
die periodischen und asymptotischen Lösungen des Dreikörperproblems" für die
Fächer Mathematik und Astronomie. Er erhielt dort 1907 eine a. o. Professur für
theoretische Astronomie.
In diesen Göttinger Jahren interessierte sich Herglotz u. a. für die Theorie des
elastischen Erdkörpers (vgl. [5]), die Fortpflanzung von Erdbebenwellen (vgl. [6])
und löste zwei Integralgleichungen, die aus der Elektronentheorie stammen (vgl. [7]).
Auf rein mathematischem Gebiet widmete er sich den Dirichletschen Reihen, die
damals einen aktuellen Forschungsgegenstand darstellten. Er studierte die schwierige
und bedeutungsvolle Frage nach den Bedingungen, unter denen sie sich analytisch
fortsetzen lassen (vgl. [8]). Eine weitere Arbeit ist den Differentialgleichungen zweiter
Ordnung gewidmet, die auf algebraischen Kurven nirgends singulär sind (vgl. [9]).
In ihr wird eine Vermutung von F. Klein bewiesen.
Im Jahre 1908 folgte Herglotz schließlich einem Ruf an die TH Wien, wo er a. o.
Professor für Mathematik wurde.
In Leipzig sah man sich im Sommer 1908 durch den Tod Scheibners und Adolph
Mayers veranlaßt, nach einem neuen Ordinarius Ausschau zu halten. Da Herglotz
noch sehr jung war, kann es nicht verwundern, daß die Wahl nicht sogleich auf ihn
fiel. Aber da mehrere andere Gelehrte eine Berufung ablehnten, entschloß man sich,
Herglotz zu berufen. In dem entsprechenden Antrag der Fakultät an das
Ministerium — Seeliger war damals Dekan — wird „außergewöhnliches Talent,
umfassendes Wissen und zugleich entschiedene Gründlichkeit" hervorgehoben, ferner
die „große Originalität und Vielseitigkeit" des Kandidaten betont.
So wurde Herglotz 1909 zum o. Professor für Mathematik nach Leipzig berufen;
damit war zugleich die Ernennung zum Mitdirektor des Mathematischen Seminars
und des Mathematischen Instituts der Universität Leipzig — neben 0. Holder und
K. Rohn — verbunden. Nach einer kurzen Übergangszeit wohnte er in Leipzig-
Gohlis in dem heute nicht mehr vorhandenen Haus Erfurter Straße 7. Die
akademische Antrittsrede „Über die Versuche einer Umgestaltung der Mechanik" fand erst
am 30. Juli 1910 statt.
Von dem Humor des 28jährigen Ordinarius zeugt die folgende Episode. Als
Herglotz dem König Friedrich August von Sachsen vorgestellt wurde, wunderte sich

178 Teil III
dieser über die ungewöhnliche Jugend des neuen Professors. Darauf erwiderte
Herglotz, dies sei glücklicherweise ein Übel, das sich von Jahr zu Jahr verringere,
wodurch er allgemeine Heiterkeit erregte.
Auch in Leipzig widmete sich Herglotz sehr vielfältigen Themen. Durch die
damals ganz neue Einsteinsche spezielle Relativitätstheorie war der Begriff des
starren Körpers problematisch geworden, und die klassische Mechanik des
deformierbaren Körpers bedurfte einer Modifizierung. Angeregt durch M. Born und
M.Laue, leistete Herglotz hierzu einen Beitrag (vgl. [10] und [11]). Aber auch der
Einsteinschen Gravitationstheorie widmete er eine Arbeit (vgl. [12]); sie enthält
eine geometrische Deutung der Einsteinschen Feldgleichungen.
Auf dem Gebiet der Riemannschen Geometrie schloß sich Herglotz an eine frühere
Untersuchung von F. Schur an. Er betrachtete in [13] einen w-dimensionalen
Riemannschen Raum mit der metrischen Fundamentalform
G(dx) = gllvdxlldxv (1 ^ //, v fg n)
und gab eine hinreichende Bedingung dafür an, daß er eine konstante Krümmung
besitzt.
Ferner befaßte sich Herglotz mit der Frage, wie man ein Linienelement in
Normalkoordinaten aus dem Riemannschen Krümmungstensor bestimmen kann (vgl.
[14]). Es wird hier ein neuer Weg beschritten, wobei der Krümmungstensor nur für
diejenigen Flächenrichtungen benutzt wird, die eine vom Ursprung ausgehende
geodätische Linie enthalten. Die Matrix dieses speziellen Krümmungstensors ist mit
der Matrix des in Rede stehenden Linienelements durch eine elegante
Differentialrelation verknüpft, die mit den Jacobischen Differentialgleichungen des zugehörigen
Variationsproblems eng zusammenhängt. Sie gestattet es, in sehr durchsichtiger
Weise die Ableitungen des metrischen Fundamentaltensors im Ursprung durch den
Krümmungstensor und seine Ableitungen auszudrücken. Im analytischen Fall läßt
die Methode sogar einen durchsichtigen Beweis dafür zu, daß die Potenzreihe für den
metrischen Tensor konvergiert.
Zur Enzyklopädie der Mathematik steuerte Herglotz einen Übersichtsartikel
,,Bahnbestimmung der Planeten und Kometen" (vgl. [15]) bei, in dem er die Fülle
des vorhandenen Materials übersichtlich darstellte.
Besonders weitreichende Wirkung hatte die Arbeit am folgenden
funktionentheoretischen Thema (vgl. [16]). Von C. Caratheodory und 0. Toeplitz war die Frage
nach den Bedingungen für die Koeffizienten c0, clf ... untersucht worden, unter denen
die Potenzreihe
F(z) = — c0 + cxz + c2z2 + •••
im Einheitskreis konvergiert und Re F(z) > 0 ist. Es hatte sich schon eine deutliche
Verwandtschaft mit dem Stielt jesschen Momentenproblem gezeigt. Herglotz
führte diese Untersuchungen mit einer einfachen Methode weiter. Als notwendige
und hinreichende Bedingung fand er, daß die Folge c0, cl9 ... positiv definit ist. Dies
wiederum ist genau dann der Fall, wenn eine monotone Funktion m existiert, so daß

Gustav Herglotz — Reine Mathematik und mathematische Physik 179
man die Darstellungen
ch= — / e~ihu dm(u) (h = 0, 1, ...)
77 J
o
hat.
Dieses Resultat wird in der Literatur oft als „Satz von Herglotz" bezeichnet.
Er steht in enger Beziehung zum Satz von Bochner und hat, ebenso wie dieser,
beträchtliche Bedeutung in der Analysis und analytischen
Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Verallgemeinerung hat K. Maurin in [17] angegeben; dort wird der
Satz auch auf topologische Gruppen übertragen.
Die Poisson-Stieltjessche Integraldarstellung einer beschränktartigen Funktion
(vgl. [18]) geht ebenfalls teilweise auf Ideen aus dieser Arbeit zurück.
Der Potentialtheorie war die Preisschrift von 1913 gewidmet (vgl. [19]). Im Jahre
1774 hatte der in Leipzig wohnende polnische Fürst Joseph Alexander Jablo-
nowski die „Fürstlich Jablonowskische Gesellschaft" gestiftet. Ihr Ziel war die
„Beförderung wissenschaftlicher Forschungen" auf dem Gebiet der Mathematik,
Physik, Geschichte und Ökonomie und die „Verbesserung der Landeskultur". Zu
diesem Zweck stellte sie wissenschaftliche Preisaufgaben, prämiierte sie und ließ sie
drucken. Der Preis von 1913 betrug 1500,— M.
Die Gesellschaft hatte damals die folgende Aufgabe gestellt:
„Eine gegebene Ellipse wird durch die Methode der reziproken Radien in ein gewisses
Oval verwandelt, und eine von diesem Oval umgrenzte homogene materielle ebene
Fläche wird, unter Zugrundelegung der Theorie des logarithmischen Potentials, was
ihre Einwirkung auf äußere Punkte anbelangt, ersetzbar sein durch eine von zwei
Massenpunkten begrenzte materielle Linie.
Es dürfte nun wohl von Interesse sein, diesen von C. Neumann in den
Abhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften im Jahre 1909
aufgestellten Satz zu übertragen auf die Theorie des Newtonschen Potentials. Die
Gesellschaft stellt daher folgende Frage: Wie lautet in der Theorie des Newtonschen
Potentials, für das durch die Methode der reziproken Radien aus dem Ellipsoid
entstehende Ovaloid derjenige Satz, der jenem C. Neumannschen Satze analog ist?"
Ohne die Frage direkt zu beantworten, knüpfte Herglotz allgemeine
Betrachtungen daran an, deren leitender Gesichtspunkt sich im Titel der Preisschrift „Über
die analytische Fortsetzung des Potentials ins Innere der anziehenden Massen"
widerspiegelt. Für die Frage, ob sich das Potential U eines Körpers durch das eines
anderen ersetzen läßt, kommt es nämlich auf die Fortsetzung von U in das Innere
des Körpers und deren Singularitäten an.
Diese Grundidee wird zunächst für das logarithmische Potential eines homogenen
Flächenstücks durchgeführt, das von einer geschlossenen algebraischen Kurve
begrenzt wird. Es ergeben sich Resultate, die den o. a. und andere Sätze von C.
Neumann enthalten. Der Verfasser geht sodann auf den Raum über und wendet seine
allgemeinen Ergebnisse insbesondere auf gewisse Rotationskörper an; es zeigt sich
dabei, durch welche anderen Potentiale man ihre Potentiale darstellen kann.
Das Thema der Festschrift ist später auch von A. Wangerin mit einer anderen
Methode behandelt worden (Leop. Nova Acta 100 (1915)).

180 Teil III
Im Jahre 1918 gründete L. Lichtenstein in Zusammenarbeit mit K. Knopp,
E. Schmidt und I. Schur in Berlin die „Mathematische Zeitschrift"; Gustav
Herglotz gehörte von Anfang an zu ihrem Wissenschaftlichen Beirat. Diese Mitarbeit
mag noch intensiver geworden sein, als Lichtenstein 1922 nach Leipzig kam.
Nachdem Herglotz Berufungen nach Berlin und München abgelehnt hatte, nahm
er schließlich 1925 den Ruf als o. Professor für reine und angewandte Mathematik
und Nachfolger C. Runges nach Göttingen an.
Er war damals mit einer dreiteiligen Abhandlung von weitreichender Bedeutung
beschäftigt (vgl. [20] und [21]). Sie betraf zwei verschiedene Probleme.
1. Es sei /J(li, ...,lp) eine ganzrationale reelle homogene Form von geradem Grad
n = 2m ^ p, wobei gl9 ..., |p rechtwinklige Koordinaten in Rp bedeuten. Die Fläche
A(SU ...,lP_i, 1) = 0
möge aus m Ovalen bestehen, die den Nullpunkt umschließen und einander nicht
schneiden. Es ist die hyperbolische Differentialgleichung
a(± _2_,±\, = 0
\dxx dXp-i dt I
mit den Anfangsbedingungen
/d"F\ /anli^\
(l4=o=0 (" = 0"-n"'2)' («=r)M=^--^>
zu integrieren.
2. Es sei An(£lf ..., £p_i) eine reelle homogene Form von geradem Grad n = 2m ^ p,
und sie sei positiv definit. Gesucht ist ein Integral der elliptischen
Differentialgleichung
An 17" ' •"' 1 ) F = f(xi> •••' XP-^'
\dXi dxv_x I
Es gelang Herglotz im ersten Problem, den lösenden Kernen eine besonders
günstige Gestalt zu geben. Der Zusammenhang mit dem zweiten Problem läßt sich
folgendermaßen beschreiben: Bildet man mit der Lösung F des ersten Problems
t
das Integral f F dt, so läßt es sich durch zwei Summanden darstellen, deren erster von t
o
unabhängig ist und deren zweiter der Differentialgleichung des ersten Problems
genügt. Der (geeignet normierte) erste Summand ist dann eine Lösung des zweiten
Problems, für deren Kern verschiedene Integraldarstellungen angegeben werden.
Dies wird zunächst für p = 3, 4 durchgeführt; charakteristisch für die Methode
ist die Anwendung Abelscher Integrale. Mit einem anderen Verfahren, das Fourier-
sche Integrale benutzt, gelingt es sodann, den allgemeinen Fall zu behandeln, wobei
sich weitere Integraldarstellungen für die lösenden Kerne ergeben. Im hyperbolischen
Fall betrachtet der Verfasser die Aufgabe in Verbindung mit den geometrischen
Eigenschaften der Wellen- und Strahlenflächen. Das Verfahren gestattet
Anwendungen auf Differentialgleichungen, die in der Mechanik der Kontinua und in der
Kristalloptik vorkommen. Die Abhandlung war der Ansatzpunkt zur Theorie der Lücken-

Gustav Herglotz — Reine Mathematik und mathematische Physik 181
gebiete (lacunas) bei hyperbolischen Gleichungen, die besonders von Petrowski,
Leray und Gärding gefördert wurde.
Über die genannten Themen hinaus haben tiefe Probleme der Algebra und
Zahlentheorie Gustav Herglotz immer wieder angezogen. Auch Fragen der
Differentialgeometrie haben ihn, z. T. mit W. Blaschke, beschäftigt.
Es muß noch Herglotz' Rolle als Hochschullehrer gedacht werden. Augenzeugen
sind sich einig darüber, daß seine Vorlesungen in Inhalt und Aufbau von besonderer
Vollendung waren. Er trug sie in ruhiger, eindrucksvoller Weise und mit einem
leichten wienerischen Dialekt vor; das Konzept hatte er stets bei sich, jedoch benutzte er
es selten. Sein Gedankenreichtum gestattete es ihm oft, besonders elegante
Beweisführungen zu finden, was sich natürlich auch in seinen Schriften niedergeschlagen
hat. Viele seiner Ideen sind leider nur in Vorlesungen vorgetragen oder in Gesprächen
weitergegeben worden; in seiner Bescheidenheit legte er keinen Wert darauf, alle
seine Resultate drucken zu lassen.
Gern war er auch bereit, sich mit Problemen zu befassen, die ein Kollege an ihn
herantrug; sein vielseitiges Wissen gestattete es ihm oft, zu helfen oder Anregungen
zu vermitteln. Im einzelnen kann man die Nachwirkungen dieser Aktivitäten nicht
verfolgen.
Gustav Herglotz war seit 1914 Mitglied der Sächsischen Akademie der
Wissenschaften, seit 1925 Mitglied der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften, seit 1942
korrespondierendes Mitglied der Bayerischen Akademie der Wissenschaften.
Gustav Herglotz wurde nach einem Schlaganfall im Jahre 1947 emeritiert. Nach
mehreren Jahren der Vereinsamung und des Leidens ist er am 22. März 1953 in
Göttingen still entschlafen. Sein Studienfreund H. Tietze hat ihm einen ausführlichen
Nachruf gewidmet (vgl. [22]). Um das hier gezeichnete Bild von Herglotz'
Persönlichkeit abzurunden, zitieren wir aus ihm:
,,Unvergeßlich bleibt allen, die Herglotz näherzutreten das Glück hatten, der
Zauber seiner warmherzigen Persönlichkeit, sein lebendiger Sinn für Humor, sein
natürliches, allem Konventionellen abholdes Wesen, dem dabei jedes Hinwenden
zu Überzeugungen und Wiederabwenden, je nach der herrschenden Strömung und zu
persönlichen Zwecken, tief widerstrebte. Er war von reicher Allgemeinbildung und in
der Literatur wie in kulturhistorischen Werken überaus belesen. Die üblichen
Formen größerer gesellschaftlicher Veranstaltungen oder Feierlichkeiten lagen ihm nicht.
Er selbst ging auch Fachkongressen aus dem Wege, war es nun die große
Naturforschertagung und Versammlung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1922 in
Leipzig, vor der er, der Leipziger Professor, in einen fernen Ferienort flüchtete, oder
die Innsbrucker Tagung 1924, wo er nur zufällig von Wirtinger auf einem Abstecher
nach Seefeld entdeckt wurde und sich sonst jeder Berührung mit dem Kongreß
ferngehalten hatte. Und von seinem Standpunkt aus tat er recht daran. Denn was ihn
interessierte, konnte er nachher aus Publikationen oder gelegentlichen mündlichen
Unterhaltungen rascher entnehmen und dem ausgereiften Bilde einordnen, das er
sich von dem einschlägigen Fragenkreis geformt hatte. Auf einsamen Wanderungen
in den von ihm geliebten Bergen Nord- und später Südtirol, und nachmals in den
Waldbergen in Göttingens Umgebung, hat er manchem Problem tiefere Einsicht
abgewonnen, als es der Besuch einer ganzen Kette von Kongreß vortragen vermocht
hätte."

182 Teil III
Literaturverzeichnis
[1] Herglotz, G.: Über die scheinbaren Helligkeitsverhältnisse eines planetarischen Körpers
mit drei ungleichen Hauptträgheitsachsen, Wiener Ber. 111 (1902), 1331 — 1391.
Herglotz, G.: Zur Elektronentheorie, Gott. Nachr. 1903, S. 357-382.
Herglotz, G.: Über die Berechnung retardierter Potentiale, Gott. Nachr. 1904. S. 549
bis 556.
Hahn, H., G. Herglotz und K. Schwarzschild: Über das Strömen des Wassers in
Röhren und Kanälen, Z. Math. Phys. 51 (1904), 411-426.
Herglotz, G.: Über die Elastizität der Erde bei Berücksichtigung ihrer variablen Dichte,
Z. Math. Phys. 52 (1905), 275-299.
Herglotz, G.: Über das Benndorfsche Problem der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der
Erdbebenstrahlen, Phys. Z. 8 (1907), 145-147.
Herglotz, G.: Über die Integralgleichungen der Elektronentheorie, Math. Ann. 05 (1907),
87-106.
Herglotz, G.: Über die analytische Fortsetzung gewisser Dirichletscher Reihen, Math.
Ann. 61 (1906), 551-560.
Herglotz, G.: Über die Gestalt der auf algebraischen Kurven nirgends singulären
linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung, Math. Ann. 62 (1906), 329—334.
Herglotz, G.: Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips als ,,starr" zu
bezeichnenden Körper, Ann. Phys. 31 (1910), 393-415.
Herglotz, G.: Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der
Relativitätstheorie, Ann. Phys. 36 (4) (1911), 493-533.
Herglotz, G.: Zur Einsteinschen Gravitationstheorie, Leipz. Ber. 68 (1916), 199—203.
Herglotz, G.: Zur Riemannschen Metrik, Leipz. Ber. 73 (1921), 215—225.
Herglotz, G.: Über die Bestimmung eines Linienelementes in Normalkoordinaten aus
dem Riemannschen Krümmungstensor, Math. Ann. 93 (1924), 46 — 53.
Herglotz, G.: Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Enzyklop. d. math. Wis-
sensch. VI 2, 1910, S. 379-426.
Herglotz, G.: Über Potenzreihen mit positivem reellem Teil im Einheitskreis, Leipz.
Ber. 63 (1911), 501-511.
Maurin, K.: Methods in Hubert Spaces, Warschau 1967.
Nevanlinna, R.: Eindeutige analytische Funktionen, 2. Aufl., Berlin 1953.
Herglotz, G.: Über die analytische Fortsetzung des Potentials ins Innere der anziehenden
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Herglotz, G.: Über die Integration linearer partieller Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten I, II, Leipz. Ber. 78 (1926), 93-126, 287-318.
Herglotz, G.: Über die Integration linearer partieller Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten III, Leipz. Ber. 80 (1928), 69 — 114.
Tietze, H.: Jahrbuch Bayer. Akad. Wiss., 1953, S. 188-194.

Paul Koebe
und die Funktionentheorie
Reiner Kühnau (Halle an der Saale)
Paul Koebe
(1882-1945)
Paul Koebe wurde am 15. Februar 1882 in Luckenwalde bei Berlin geboren. Nach
der Reifeprüfung am Joachimsthalschen Gymnasium in Berlin studierte er im
Sommersemester 1900 in Kiel, dann von 1900 bis 1905 in Berlin, daneben 1904 bis 1905
auch an der TH Berlin-Charlottenburg. 1903/04 war er dabei Mathematik-Stipendiat
der Gustav-Magnus-Stiftung, was mit einem für die damalige Zeit namhaften Betrag
verbunden war ([70], S. 92). Am 24. Juni 1905 promovierte er bei H. A. Schwarz
mit der von diesem angeregten Dissertation [1]. Diese wurde später, nochmals
umgearbeitet, in der Schwarz-Festschrift abgedruckt ([34]). Promotionsgutachten und
-protokoll sind in [70], S. 216/17 wiedergegeben. 1907 habilitierte sich P. Koebe in
Göttingen, wo er dann 1907 bis 1910 Privatdozent war. 1910 wurde er dort
außerplanmäßiger a. o. Professor. 1911 kam er als planmäßiger a. o. Professor nach
Leipzig. Schließlich wurde er 1914 ordentlicher Professor und Direktor des
Mathematischen Seminars in Jena.
Im Jahre 1917 war Koebe als Nachfolger von H. A. Schwarz in Berlin mit im
Gespräch, an dritter Stelle nach E. Schmidt (welcher die Stelle dann antrat) und
I. Schur. In dem Gutachten heißt es schon damals treffend: ,,Allerdings gehen seine
Gedanken alle nach einer Richtung, aber es sind wichtige Probleme, die in dieser
Richtung liegen" ([70], S. 225 und 142/43).
Im Jahre 1926 begann die letzte Phase in der Laufbahn P. Koebes, als er als
ordentlicher Professor nach Leipzig berufen wurde (Abb. 19). 1927 wurde er noch
ordentliches Mitglied der Math.-phys. Klasse der Sächsischen Akademie der
Wissenschaften zu Leipzig. Hier in Leipzig ist er am 6. August 1945 gestorben. Durch die
ungünstigen Zeitumstände ist es wohl zu einer angemessenen Behandlung des
Nachlasses nicht gekommen. So findet sich z. B. in den Sitzungsberichten der Math.-phys.
Klasse der Sächsischen Akademie der Wissenschaften im Bande 93 (1941) zur Sitzung
am 12. Mai 1941 die Notiz: „Herr Koebe hält einen Vortrag: Bemerkungen über
das Verhalten räumlicher Potentiale und Geschwindigkeitsfelder im Unendlichen
mit einer Anwendung auf das Dirichletsche Paradoxon der Hydrodynamik, der
für die Berichte angenommen wird". Zu einem Abdruck ist es aber nicht
gekommen. Oder in [64] findet sich auf Seite 162 eine Fußnote, in der zur

184 Teil III
Frage der Kreiskontaktbereiche eine Arbeit angekündigt wird, die nicht mehr
erschienen ist.
Einige persönliche Erinnerungen an Paul Koebe sind von H. Cremer in [71]
niedergeschrieben.
Fast das gesamte mathematische Schaffen Paul Koebes steht im Zusammenhang
mit dem Uniformisierungsproblem, das er gleichzeitig mit H. Poincare löste
(daneben noch der weniger bekannte Lösungsansatz von S. Johansson). Die Lösung
Abb. 19. Paul Koebe während der Vorlesung
dieses LTniformisierungsproblems wurde von D. Hilbert 1900 in seinem bekannten
Vortrag auf dem Internationalen Mathematiker-Kongreß in Paris als ,,äußerst
wünschenswert" bezeichnet — vgl. die Wiedergabe und neuere Komnientierung
dieses „Hilbert-Problems Nr. 22" durch B. V. Sabat in [81]. Schon 1907 gelang dem
damals erst 25jährigen Koebe der Durchbruch. Die damit verbundene frühe
Anerkennung hat ihn wohl zeitlebens geprägt. Man kann das fast aus jeder von ihm
geschriebenen Zeile herausfühlen bzw. schon an seiner souveränen stets in sich
ruhenden Darstellungsweise erkennen.

Paul Koebe und die Funktionentheorie 185
Das Uniformisierungsproblem läuft bekanntlich im wesentlichen darauf hinaus,
eine beliebige einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche schlicht konform auf
ein schlichtes Gebiet abzubilden. Dies erheischt beträchtliche beweistechnische Zu-
rüstungen, die auch für sich interessant sind. Es wird heute einem Leser, der etwa
nur an „papers" gewöhnt ist, die rasch zugängliche Problemchen behandeln und aus
einer Aufeinanderfolge von theorems, proofs, corollaries, lemmas etc. bestehen, wohl
ziemlich schwer fallen, sich anhand der Vielzahl der zum Teil recht umfangreichen
und einen anderen mathematischen Zeitgeist atmenden Koebeschen Arbeiten einen
Überblick über die Uniformisierungstheorie zu verschaffen. Wohl auch aus solchem
Gefühl heraus hat schon B. L. van der Waerden in [89] eine knappe und
übersichtliche Darstellung geschrieben, die er P. Koebe zum 60. Geburtstag gewidmet hat.
Lehrbuchmäßige Darstellungen zum Uniformisierungsproblem findet man in den
bekannten Büchern zur Funktionentheorie, zur Theorie der Riemannschen Flächen
usw. von L. V. Ahlfors und L. Sario, H. Behnke und F. Sommer, L. Bieberbach,
C. Caratheodory, L. R. Ford, A. Hurwitz und R. Cotjrant, R. Nevanlinna,
A. Pfluger, G. Springer, H. Weyl.
Die historischen Hintergründe und Zusammenhänge zum
Uniformisierungsproblem sind von berufener Hand in dem späten Nachruf [69] von L. Bieberbach
dargestellt worden, so daß hier auf eine Wiederholung verzichtet werden kann. Statt
dessen sollen die folgenden Zeilen versuchen, an Beispielen aufzuzeigen, wie die
Koebeschen Ideen und Methoden Ausgangspunkt neuer Fragestellungen wurden
bzw. weiterentwickelt worden sind, direkt oder indirekt unter seinem Einfluß.
In unmittelbarem Zusammenhang mit der Uniformisierungstheorie untersuchte
P. Koebe die Frage der schlichten konformen Abbildung schlichter Gebiete auf
kanonische Gebiete. Er ging dabei in seinen Ergebnissen und auch in den benutzten
Methoden weit über seine Vorgänger hinaus (Riemann, Schottky, Hilbert u. a.).
Zuerst ist hier das mit Recht nach ihm benannte Kreisnormierungstheorem zu
nennen. Danach läßt sich jedes endlich vielfach zusammenhängende Gebiet — bis auf
anschließende lineare Transformation in eindeutig bestimmter Weise — auf ein von
Vollkreisen berandetes Gebiet schlicht konform abbilden. Ob der entsprechende
Sachverhalt auch für unendlich vielfach zusammenhängende Gebiete richtig bleibt,
ist bis heute nicht bekannt bzw. nur in gewissen Fällen geklärt. Am Beispiel dieses
Kreisnormierungstheorems demonstrierte Koebe die Kraft der Kontinuitätsmethode.
Er gab für dieses noch zwei andere konstruktive Beweise durch sein „Iterationsver-
fahren" und sein „iterierendes Verfahren" (vgl. [10, 19, 50, 72].) Dabei wird die
gesuchte Abbildung durch eine unendliche Folge von konformen Abbildungen jeweils
einfach zusammenhängender Gebiete gewonnen. Für die konforme Abbildung einfach
zusammenhängender Gebiete auf eine Kreisscheibe entsprechend dem Riemannschen
Abbildungssatz gab Koebe übrigens auch einen konstruktiven Beweis durch ein
Iterationsverfahren („Koebesches Schmiegungsverfahren"), ein Gedanke, der auch
von Caratheodory und Lindelöf betrachtet wurde. Dabei wird die Riemannsche
Abbildungsfunktion über eine unendliche Folge elementar und explizit angebbarer
Abbildungen gewonnen [37, 72]. Dieser Gedanke spielt (in modifizierter Form) heute
bei numerischen Verfahren naturgemäß eine große Rolle, wenn sich auch
Integralgleichungsverfahren oft als vorteilhafter erwiesen haben [72].
Von Koebe wurde noch die Existenz zahlreicher anderer konformer
Normalabbildungen mehrfach zusammenhängender Gebiete bewiesen, so z. B. der Radial- und

186 Teil III
Kreisbogenschlitzabbildung sowie der allgemeinen Geradenschlitzabbildung in
Verallgemeinerung der Parallelschlitzabbildung — vgl. z. B. [45, 46]. In den Arbeiten
von H. Grötzsch wurden später (vgl. z. B. [79]) die Möglichkeiten der Koebeschen
Kontinuitätsmethode zum Beweis von Abbildungssätzen endlich vielfach
zusammenhängender Gebiete weitgehend ausgeschöpft. Sätze verwandter Art, bei denen für die
geometrische Gestalt der Bildrandkomponenten gewisse Vorgaben gefordert werden,
wurden später unabhängig und andersartig auch von R. Cotjrant, B. Manel und
M. Shiffman bewiesen. H. Grötzsch formulierte in [79] noch allgemeiner die Frage,
für auf einer fest vorgegebenen Riemannschen Fläche bzw. Mannigfaltigkeit gegebene
Gebiete konforme Normalabbildungen anzugeben. In neuerer Zeit sind hierzu von
U. Pirl und Mitarbeitern Untersuchungen begonnen worden.
Von P. Koebe stammen auch die ersten entscheidenden Beiträge zur Theorie der
konformen Normalabbildungen unendlich vielfach zusammenhängender Gebiete ©.
Liegt © in der komplexen z-Ebene und enthält z — oo als inneren Punkt, so existiert
eine durch
Mz) = z + —+ - (1)
z
,,hydrodynamisch normierte" schlichte konforme Abbildung von © auf ein Gebiet,
dessen Randkomponenten Strecken parallel zur reellen Achse bzw. Punkte sind. Im
Fall endlich vieler Randkomponenten des Gebietes © ist diese Abbildung eindeutig
bestimmt. Schon in [14] erkannte Koebe jedoch, daß diese Abbildung nicht notwendig
eindeutig bestimmt ist, falls © unendlich viele Randkomponenten besitzt. Später
konstruierte er in [44] explizit ein Beispiel eines solchen Gebietes © mit zwei
verschiedenen zugehörigen normierten Parallelschlitzabbildungen. Es wurde
merkwürdigerweise erst in [85] durch E. Reich bemerkt, daß Koebe hierbei eine Lücke in der
Konstruktion von © übersehen hatte; jedoch konnte das Wesentliche der Koebeschen
Konstruktion in [83] gerettet werden. Koebe konnte noch nachweisen, daß unter den
Parallelschlitzabbildungen von © sich immerhin genau eine besonders hervorheben
läßt durch eine mit Hilfe des Dirichletschen Integrals angeschriebene Minimalbedin-
gung. Für diese ,,minimale Schlitzabbildung" gab er noch als notwendige Bedingung
das Verschwinden des äußeren Flächeninhaltes der Gesamtbegrenzung und als
hinreichende Bedingung das Verschwinden des äußeren linearen Inhaltes der
Projektion der Gesamtbegrenzung auf die imaginäre Achse an [44]. Die von ihm geäußerte
Vermutung [44], daß letztere Bedingung möglicherweise auch notwendig sei, wurde
von H. Grötzsch [78] durch ein Beispiel widerlegt. H. Grötzsch konnte noch eine
andere Charakterisierung der ,,minimalen Schlitzabbildungen" mit Hilfe seiner
Streifenmethode angeben. Diese Charakterisierung wurde später noch von J. A. Jenkins
mit Hilfe der Methode der extremalen Länge umformuliert — vgl. [82], S. 81 ff.
H. Grötzsch gab noch zahlreiche andere Beiträge zur Theorie der konformen
Abbildung unendlich vielfach zusammenhängender Gebiete, und man kann wohl
überhaupt sagen, daß die nach Koebe hierzu geleisteten Beiträge im wesentlichen auf
Ideen von H. Grötzsch fußen — vgl. die zusammenfassende Darstellung [86].
Als ein weiteres wichtiges Gebiet der Funktionentheorie wurde von P. Koebe
praktisch die Theorie der Extremalprobleme bei Klassen schlichter konformer
Abbildungen begründet. Dies geschah durch die Entdeckung [7] des heute sogenannten
Koebeschen Viertelsatzes, den er als wesentliches Hilfsmittel zum Beweis des Haupt-

Paul Koebe und die Funktionentheorie 187
satzes der Uniformisierungstheorie benötigte. Der Viertelsatz lautet in heutiger
Sprechweise so ([73, 82]): Für alle schlichten konformen Abbildungen von \z\ < 1
mit regulärer Abbildungsfunktion w = w(z), die in z = 0 durch
w(z) = z + A2z* + A^ + ... (2)
„Koebe-normiert" sind, ist der Abstand des Bildrandes von w = 0 stets J> 1/4,
wobei das Gleichheitszeichen genau dann steht, wenn eine „Koebe-Funktion"
w(z) = 2.(1+ eiaz)'2 (3)
vorliegt. Durch diesen Satz wurde im Anschluß an Sätze von Landau und Schottky
bzw. das Schwarzsehe Lemma für nichtschlichte Abbildungen eine erste Abschätzung
für ein Funktional in einer Klasse schlichter Funktionen gegeben. Koebe bewies
diesen Satz ursprünglich [7] nur in einer — für seine Zwecke genügenden —
qualitativen Form, d. h. ohne explizite Angabe des minimalen Wertes 1/4 für das Funktional.
Das gleiche gilt auch für seinen sogenannten Verzerrungssatz, der allerdings in dieser
qualitativen Form sehr allgemein, d. h. auch für mehrfach zusammenhängende
Gebiete formuliert werden kann. Die genauen Schranken der Funktionale der
einfachsten und wichtigsten Extremalprobleme bei Abbildungen der Einheitskreisscheibe
wurden bald danach von L. Bieberbach, G. Faber, T. H. Gronwall u. a. angegeben.
In diesem Zusammenhang ergab sich auch die — bis heute nicht allgemein erledigte
— Bieberbachsche Vermutung \An\ rg n für die Entwicklungskoeffizienten An in (2).
Schon in Arbeiten von P. Koebe spielte mancherorts (vgl. z. B. [5], S. 117/18,
[11] sowie mehrfache Hinweise in den Arbeiten von H. Grötzsch auf nichtveröffent-
lichte Koebesche Untersuchungen in dieser Richtung) die Betrachtung des konformen
Moduls zweifach zusammenhängender Gebiete eine wesentliche Rolle. Aber es war
H. Grötzsch vorbehalten, inspiriert durch G. Fabers Behandlung der
Ränderzuordnung bei konformer Abbildung, in einer Serie von ab 1928 in Leipzig in den Berichten
der Sächsischen Akademie erschienenen und von Koebe vorgelegten Arbeiten seine
„Flächenstreifenmethode" zu entwickeln, die es gestattet, Extremalprobleme für
Gebiete beliebigen Zusammenhangs zu lösen, d. h., die Extremalfunktionen
vollständig geometrisch-funktionentheoretisch zu charakterisieren, nachdem K. Löwner
seine allgemeine Methode der Parameterdarstellung für Extremalprobleme bei
schlichten konformen Abbildungen speziell des Einheitskreises geliefert hatte, die
über die Gronwall-Bieberbachsche Methode des Flächensatzes hinausging. Die
Extremalfunktionen erweisen sich nach H. Grötzsch in einer großen Klasse von
Fällen als Schlitzabbildungen, wobei die Schlitze auf einer isothermen Kurvenschar
liegen, welche O. Teichmüller später noch formal als Trajektorien eines gewissen
quadratischen Differentials charakterisieren konnte. Übrigens stammt — wenn auch
noch nicht in dieser direkten Form, d. h. mehr implizit — der erste Hinweis auf diese
analytische Beschreibung der Extremalgebiete durch quadratische Differentiale von
P. Koebe (vgl. S. 262/63 in [76]).
Im Zuge der von Grötzsch durchgeführten Betrachtungen solcher
Extremalprobleme ergab sich eine Rückkopplung zur oben genannten Abbildungstheorie bei
mehrfach zusammenhängenden Gebieten, d. h., Parallelschlitzabbildungen u. ä.
Schlitzabbildungen mehrfach zusammenhängender Gebiete erwiesen sich als
Extremalfunktionen zu gewissen einfachen Extremalproblemen. Allerdings fehlte lange Zeit eine
solche Extrenialcharakterisierung der allereinfachsten Normalabbildung, nämlich

188 Teil III
der Koebeschen Vollkreisabbildung. Diese wurde erst 1962 in [88] durch M. Schiffer
und N. S. Hawley gegeben.
Durch die Betrachtung zugehöriger Extremalprobleme konnte H. Grötzsch auch
(zuerst am Beispiel der Lemniskatenschlitzabbildung) aufzeigen, daß bei
Schlitzabbildungen bezüglich Kurvenscharen mit singulären Punkten nicht immer der
Unitätssatz gilt, sondern unter Umständen ein ganzes Kontinuum von Abbildungen
auftritt („Verzweigungserscheinung"). Durch die Grötzschsche Extremalcharakteri-
sierung gewisser Normalabbildungen mehrfach zusammenhängender Gebiete ergab
sich ferner die Möglichkeit, den Koebeschen Gedanken wieder neuartig aufzugreifen
und weiterzuführen, konstruktive Existenzbeweise durch Iterationsverfahren mit
effektiven Konvergenzabschätzungen für diese zu liefern — vgl. [77] sowie [72].
Falls keine solche Extremaleigenschaft — wie z.B. für die Koebesche
Geradenschlitzabbildung — bekannt ist, versagt diese Betrachtungsweise, und tatsächlich ist die
— von H. Grötzsch in [79] auch noch allgemeiner formulierte — Frage der
Konvergenz des Iterationsverfahrens für die Geradenschlitzabbildung bis heute im
allgemeinen Fall offen bzw. nur unter einschränkenden Bedingungen an die
Randkomponenten positiv beantwortet worden — vgl. [84] (daselbst auch Berichtigung eines von
R. Courant bemerkten kleinen Versehens von P. Koebe in [48]). Allerdings läßt sich
mit Hilfe einer Integralgleichung von V. Krylov (vgl. [72]) in andersartiger Weise
allgemein für diese Geradenschlitzabbildung ein konstruktiver Existenzbeweis
führen.
Die Grötzschsche Flächenstreifenmethode erfuhr später durch L. V. Ahlfors und
A. Beurling mit Hilfe des Begriffs der extremalen Länge einer Kurvenschar eine
elegante Neuformulierung. Eine zusammenfassende Darstellung der wesentlichen
durch die Grötzschsche Methodik gefundenen Resultate wurde durch J. A. Jenkins
[82]gegeben.
Die Theorie der Extremalprobleme wurde später methodisch wesentlich bereichert
durch die Grunskysche Methode der Randintegration sowie insbesondere durch die
allgemeinen Variationsmethoden von M. Schiffer, welch letztere intensiv vor allem
durch G. M. Golusin angewandt wurden — vgl. [73, 80, 87] sowie die vorzügliche
geschichtliche Darstellung in der Einleitung von [82].
Durch Betrachtung passender Randintegrationen konnte noch von P. R. Garabe-
dian und M. Schiffer ein umfangreiches System von Beziehungen zwischen einigen
Koebeschen Normalabbildungen sowie zwischen diesen und bekannten anderen
Gebietsfunktionen (Greensche Funktion, Neumannsche Funktion u. ä.) festgestellt
werden — vgl. [73]. Zuvor hatte St. Bergmann Darstellungen dieser
Abbildungsfunktionen durch seine Kernfunktion und damit durch vollständige Orthonormal-
systeme gefunden — vgl. [73, 87].
Nach mündlicher Überlieferung zeichnete sich Koebes höhere Vorlesung zur
Funktionentheorie, die sich über mehrere Semester erstreckte, durch große Originalität
aus, auch in der Beweisführung zu klassischen Resultaten. Man vergleiche z. B. die
auf Koebe zurückgehende Behandlung des Umkehrproblems in der Theorie der
elliptischen Funktionen in [74], S. 116ff. Bei dem Begriff der konformen Abbildung
spielte der historische Hintergrund durch die Kartographie eine große Rolle. So war
es natürlich, daß auch allgemeiner ,,differentialgeometrische" Abbildungen, d. h.
stetig differenzierbare Abbildungen mit positiver Funktionaldeterminante, mit
betrachtet wurden. Im Falle, die „Näherungsaffinität" war eine Ähnlichkeit, hatte

Paul Koebe und die Funktionentheorie 189
man es speziell mit konformen Abbildungen zu tun. Für H. Grötzsch ergab sich so
die Frage, ob sich seine Flächenstreifenmethode auch auf derartige allgemeinere
Abbildungen übertragen läßt. Er erkannte, daß dies ohne erhebliche Modifikationen
möglich ist, wenn man von den Abbildungen nur die Beschränktheit des
Dilatationsquotienten verlangt. Damit war der Grundstein zur Theorie der später von L. V.
Ahlfors sogenannten ,,quasikonformen Abbildungen" gelegt. In der ersten Arbeit
[75] zu diesem Fragenkreis, die von P. Koebe der Sächsischen Akademie für die
Berichte gegen gewisse Bedenken vorgelegt wurde, konnten sofort wesentliche
Probleme geklärt werden im Anschluß an die einfache Ausgangsfrage, wie stark sich die
einfachsten konformen Invarianten, die Moduln von Vierecken bzw. Ringgebieten,
bei quasikonformen Abbildungen ändern können. Die Theorie der Ränderzuordnung
übertrug sich unmittelbar auf derartige Abbildungen, z. B. auch die Tatsache, daß
ein isolierter Randpunkt nicht in ein ganzes Randkontinuum übergeht, also z. B.
eine quasikonforme Abbildung der ganzen Ebene auf die Einheitskreisscheibe
unmöglich ist. Letzterer Umstand war der Anlaß dafür, quasikonforme Abbildungen
heranzuziehen zur Lösung des Typenproblems für große Klassen einfach
zusammenhängender Riemannscher Flächen. Dabei geht es um die Frage, ob eine vorgelegte
offene einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche zur ganzen Ebene oder zur
Einheitskreisscheibe (parabolischer bzw. hyperbolischer Fall) konform äquivalent
ist; einer der beiden Fälle liegt nach der Uniformisierungstheorie vor.
Ferner erwiesen sich die quasikonformen Abbildungen als wichtiges Hilfsmittel
beim Studium der Abbildungen ebener Gebiete durch elliptische
Differentialgleichungssysteme. Diese Theorie wurde wesentlich gefördert durch Arbeiten von
M. A. Lavrent'ev, L. Bers u. a. Dabei konnten der Riemannsche Abbildungssatz
und allgemeiner z. B. die Koebeschen Abbildungssätze bei mehrfach
zusammenhängenden Gebieten sozusagen von den Cauchy-Riemannschen
Differentialgleichungen verallgemeinert werden auf allgemeinere elliptische Systeme.
In einer anderen — ebenfalls von Koebe vorgelegten — Arbeit stellte und
beantwortete H. Grötzsch an den einfachsten nichttrivialen Beispielen die folgende Frage.
Gegeben seien zwei Gebiete, die sich bei Hinzunahme gewisser Nebenbedingungen
nicht konform aufeinander abbilden lassen. Gesucht sind dann die ,,möglichst
konformen" Abbildungen, für die die Maximaldilatation (als Maß für die Abweichung
von der Konformität aufgefaßt) möglichst klein ausfällt. Die möglichst konformen
Abbildungen sind später — bei im Prinzip gleicher Methodik wie in den Arbeiten von
H. Grötzsch — für wesentlich allgemeinere Fälle von 0. Teichmüller betrachtet
und von ihm ,,extremal quasikonform" genannt worden. Diese Fragestellung ist
dann in die bis in die Gegenwart intensiv untersuchte und die Theorie der Riemann-
schen Flächen bereichernde Problematik der ,,Teichmüllerschen Räume" mit hinein-
und hinübergewachsen.
Es schlummert noch manches in den Koebeschen Arbeiten, was bis heute nicht
entsprechende Beachtung und Würdigung erfahren hat. Hier ist vor allem seine große
Abhandlungsserie „Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische
Raumformen" ([54, 56—62]) zu nennen, in der offensichtlich eine immense Arbeit steckt
und die den Zusammenhang der Uniformisierungstheorie mit der nichteuklidischen
Geometrie zum Gegenstand hat, im Anschluß an das Clifford-Kleinsche
Raumproblem.

190 Teil III
Verzeichnis der Veröffentlichungen von Paul Koebe
[1] Über diejenigen analytischen Funktionen eines Arguments, welche ein algebraisches
Additionstheorem besitzen, Dissertation Berlin 1905, 32 S.
[2] Über konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Bereiche, insbesondere
solcher Bereiche, deren Begrenzung von Kreisen gebildet wird, Jahresber. DMV 15 (1906),
142-153.
[3] Herleitung der partiellen Differentialgleichung der Potentialfunktion aus deren
Integraleigenschaft, Arch. Math. Phys. 10 (1906), Anhang S. 39—42; auch in Sitzungsber. Berl.
Math. Ges. 5 (1906), 39-42.
[4] Untersuchung der birationalen Transformationen, durch welche ein algebraisches Gebilde
vom Range Eins in sich selbst übergeht, inbezug auf ihr Verhalten bei der Iteration. Arch.
Math. Phys. 10 (1906), Anhang S. 57 — 64; auch in Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 5 (1906),
57-64.
[5] Über konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Bereiche, Jahresber.
DMV 16 (1907), 116-130.
[6] Über die Uniformisierung reeller algebraischer Kurven, Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen,
Math.-phys. Kl., 1907, 177-190.
[7] Ueber die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven, Nachr. Kgl. Ges. Wiss.
Göttingen, Math.-phys. Kl., 1907, 191-210.
[8] Zur Uniformisierung der algebraischen Kurven, Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-
phys. Kl., 1907, 410-414.
[9] Ueber die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (2. Mitt.), Nachr. Kgl. Ges. Wiss.
Göttingen, Math.-phys. Kl., 1907, 633-669.
[10] Ueber die Uniformisierung der algebraischen Kurven (Imaginäre Substitutionsgruppen).
(Voranzeige). Mitteilung eines Grenzübergangs durch iterierendes Verfahren, Nachr.
Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. KL, 1908, 112-116.
[11] Ueber die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (3. Mitt.), Nachr. Kgl. Ges. Wiss.
Göttingen, Math.-phys. KL, 1908, 337 — 358.
[12] Konforme Abbildung der Oberfläche einer von endlich vielen regulären analytischen
Flächenstücken gebildeten körperlichen Ecke auf die schlichte ebene Fläche eines Kreises,
Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. KL, 1908, 359 — 360.
[13] Ueber die Uniformisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen mit
imaginärer Substitutionsgruppe, Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. KL, 1909,
68-76.
[14] Ueber die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (4. Mitt.), Nachr. Kgl. Ges.
Wiss. Göttingen, Math.-phys. KL, 1909, 324-361.
[15] Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven I, Math. Ann. 67 (1909), 145—224.
[16] Ueber ein allgemeines Uniformisierungsprinzip, Atti Congr. Intern. Mat. Roma 1908 (1909),
25-30.
[17] Sur un principe general d'uniformisation, C. R. Acad. Sei. Paris 148 (1909), 824—828.
[18] Fonction potentielle et fonetion analytique ayant un domaine d'existence donne ä un
nombre quelconque (fini ou infini) de feuillets, C. R. Acad. Sei. Paris 148 (1909), 1446
bis 1448.
[19] Über die konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Bereiche, Jahresber. DMV
19 (1910), 339-348.
[20] Ueber die Hilbertsche Uniformisierungsmethode, Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-
phys. KL, 1910, 59-74.
[21] Ueber die Uniformisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen mit
imaginärer Substitutionsgruppe (Fortsetzung und Schluß), Nachr. Kgl. Ges. Wiss.
Göttingen, Math.-phys. KL, 1910, 180-189.

Paul Koebe und die Funktionentheorie 191
[22] Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven II, Math. Ann. 69 (1910), 1 — 81.
[23] Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. I. Das allgemeine Uniformi-
sierungsprinzip, J. reine angew. Math. 138 (1910), 192—253.
[24] Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. II. Die zentralen Uniformisie-
rungsprobleme, J. reine angew. Math. 139 (1911), 251—292.
[25] Referat über automorphe Funktionen und Uniformisierung, Jahresber. DMV 21 (1912),
157-163.
[26] Ueber eine neue Methode der konformen Abbildung und Uniformisierung, Nachr. Kgl. Ges.
Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl., 1912, 844-848.
[27] Begründung der Kontinuitätsmethode im Gebiete der konformen Abbildung und
Uniformisierung (Voranzeige), Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl., 1912,
879-886.
[28] Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven III (Erster Beweis der allgemeinen
Kleinschen Fundamentaltheoreme. Das iterierende Verfahren), Math. Ann. 72 (1912),
437-516.
[29] Zur Begründung der Kontinuitätsmethode, Ber. Kgl. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-
phys. Kl., 64 (1912), 59-62.
[30] Diskussion im Anschluß an den Vortrag von D. Hilbert: „Begründung der elementaren
Strahlungstheorie", Phys. Z. 13 (1912), 1064.
[31] Ränderzuordnung bei konformer Abbildung, Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-
phys. KL, 1913, 286-288.
[32] Lösung der Randwertaufgabe der Potentialtheorie für Kreisring, Ellipse und Rechteck
mittels des Poissonschen Integrals, Ber. Kgl. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL,
65 (1913), 210-213.
[33] Das Uniformisierungstheorem und seine Bedeutung für Funktionentheorie und
nichteuklidische Geometrie, Ann. mat. Brioschi, Ser. 3, 21 (1913), 57—64.
[34] Über diejenigen analytischen Funktionen eines Arguments, welche ein algebraisches
Additionstheorem besitzen, und die endlich-vieldeutig umkehrbaren Abelschen Integrale,
Math. Abh., H. A. Schwarz zu seinem fünfzig]'. Doktorjub. am 6. Aug. 1914 gew. v.
Freunden u. Schülern, Berlin 1914, hier S. 192-214.
[35] Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven IV (Zweiter Existenzbeweis der
allgemeinen kanonischen uniformisierenden Variablen: Kontinuitätsmethode), Math. Ann.
75 (1914), 42-129.
[36] Zur Theorie der konformen Abbildung und Uniformisierung (Voranzeige), Ber. Kgl.
Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 66 (1914), 67-75.
[37] Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. I. Die Kreisabbildung des
allgemeinsten einfach und zweifach zusammenhängenden schlichten Bereichs und die
Ränderzuordnung bei konformer Abbildung, J. reine angew. Math. 145 (1915), 177
bis 223.
[38] Begründung der Kontinuitätsmethode im Gebiete der konformen Abbildung und
Uniformisierung (Voranzeige, 2. Mitt.), Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. KL,
1916, 266-269.
[39] Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. IL Die Fundamentalabbildung
beliebiger mehrfach zusammenhängender schlichter Bereiche nebst einer Anwendung auf
die Bestimmung algebraischer Funktionen zu gegebener Riemannscher Fläche, Acta math.
40 (1916), 251-290.
[40] Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. III. Der allgemeine
Fundamentalsatz der konformen Abbildung nebst einer Anwendung auf die konforme Abbildung der
Oberfläche einer körperlichen Ecke, J. reine angew. Math. 147 (1917), 67 — 104.
[41] Kontinuitätsbeweis des Fundamentalsatzes der Algebra, Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen,
Math.-phys. KL, 1918, 45-53.

192 Teil III
[42] Zur Geometrie der automorphen Fundamentalgruppen, Nachr. Kgl. Ges. Wisss. Göttingen,
Math.-phys. KL, 1918, 54-56.
[43] Begründung der Kontinuitätsmethode im Gebiet der konformen Abbildung und Unifor-
misierung (Voranzeige, 3. Mitt.), Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl.,
1918,57-59.
[44] Zur konformen Abbildung unendlich-vielfach zusammenhängender schlichter Bereiche
auf Schlitzbereiche, Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl., 1918, 60—71.
[45] Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. IV. Abbildung mehrfach
zusammenhängender schlichter Bereiche auf Schlitzbereiche, Acta math. 41 (1918), 305—344.
[46] Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. V. Abbildung mehrfach
zusammenhängender schlichter Bereiche auf Schlitzbereiche (Fortsetzung), Math. Z. 2 (1918), 198
bis 236.
[47] Über die Strömungspotentiale und die zugehörigen konformen Abbildungen
Riemannscher Flächen, Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. KL, 1919, 1—46.
[48] Über das Schwarzsehe Lemma und einige damit zusammenhängende
Ungleichheitsbeziehungen der Potentialtheorie und Funktionentheorie, Math. Z. 6 (1920), 52—84.
[49] Zum Verzerrungssatze der konformen Abbildung, Math. Z. 6 (1920), 311—313.
[50] Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. VI. Abbildung mehrfach
zusammenhängender schlichter Bereiche auf Kreisbereiche. Uniformisierung hyperelliptischer
Kurven (Iterationsmethoden), Math. Z. 7 (1920), 235 — 301.
[51] Über die konforme Abbildung endlich- und unendlich-vielfach zusammenhängender
symmetrischer Bereiche, Acta math. 43 (1922), 263—287.
[52] Fundamentalabbildung und Potentialbestimmung gegebener Riemannscher Flächen,
Math. Z. 12 (1922), 248-254.
[53] Allgemeine Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Konforme Abbildung und
Uniformisierung). Preisgekrönt von S. M. König Gustav V. am 27. 12. 1920, Acta math.
50 (1927), 27-157.
[54] Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen (Erste Mitt.).
Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin, phys.-math. KL, 1927, 164-196.
[55] Methoden der konformen Abbildung und Uniformisierung, Atti Congr. Intern. Mat.
Bologna 1928, Tomo III, Sez. I D, (1930), 195-203.
[56] Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen. (Zweite Mitt.):
Allgemeines und niedere Raumformen, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin, phys.-
math. KL, 1928, 345-384.
[57] Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen. (Dritte Mitt.):
Elementarsynthese aller hyperbolischen Raumformen; Besondere Behandlung einiger
wichtigen Typen; Elementarmodelle und Konformmodelle, Sitzungsber. Preuß. Akad.
Wiss. Berlin, phys.-math. KL, 1928, 385-442.
[58] Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen. (Vierte Mitt.):
Verlauf geodätischer Linien, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin, phys.-math. KL,
1929, 414-457.
[59] Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen. (Fünfte Mitt.):
Uniformisable singularitätenbehaftete Raumformen; Verlauf geodätischer Linien; Quasi-
homotopie, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin, phys.-math. KL, 1930, 304—364.
[60] Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen. (Sechste Mitt.):
Elementarsynthese der allgemeinen singularitätenbehafteten Raumformen endlicher
Signatur, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin, phys.-math. KL, 1930, 505—541.
[61] Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen. (Siebente Mitt.):
Singularitätenbehaftete Absolutmessung Riemannscher Mannigfaltigkeiten;
Kontinuitätsmethode, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin, phys.-math. KL, 1931, 506—534.
[62] Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen. (Achte Mitt.):

Paul Koebe und die Funktionentheorie 193
Erweiterung der Auf bautheorie und der Metrisierungstheorie. Konvexformen und
Konkavformen, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin, phys.-math. KL, 1932, 249—284.
[63] Hydrodynamische Potentialströmungen in mehrfach zusammenhängenden ebenen
Bereichen im Zusammenhang mit der konformen Abbildung solcher Bereiche (N-Decker-
Strömung, N-Schaufel-Strömung, N-Gitter-Strömung), Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. KL, 87 (1935), 287-318.
[64] Kontaktprobleme der konformen Abbildung, Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-
phys. KL, 88 (1936), 141-164.
[65] Wesen der Kontinuitätsmethode, Deutsche Math. 1 (1936), 859-879.
[66] Iterationstheorie der niederen Uniformisierungsgrößen, Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. KL, 89 (1937), 173-204.
[67] Iterationstheorie der hyperbolischen Uniformisierungsgrößen vom Geschlecht Null,
Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 91 (1939), 135-192.
[68] Zur allgemeinen Iterationstheorie der Uniformisierung algebraischer Funktionen, Ber.
Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 93 (1941), 43-66.
Weitere Literatur
[69] Bieberbach, L.: Das Werk Paul Koebes, Jahresber. DMV 70 (1968), 148 — 158.
[70] Biermann, K.-R.: Die Mathematik und ihre Dozenten an der Berliner Universität 1810
bis 1920, Akademie-Verlag, Berlin 1973.
[71] Cremer, H.: Erinnerungen an Paul Koebe, Jahresber. DMV 70 (1968), 158 — 161.
[72] Gaier, D.: Konstruktive Methoden der konformen Abbildung, Springer-Verlag, Berlin —
Gott ingen—Heidelberg 1964.
[73] Golusin, G. M.: Geometrische Funktionentheorie, VEB Deutscher Verlag der
Wissenschaften, Berlin 1957 (Übersetzung aus dem Russischen).
[74] Graeser, E.: Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen und deren
Anwendungen, Oldenbourg-Verlag, München 1950. (Vgl. hierzu Ref. v. W. Brodel im Zentralbl.
f. Math. 41).
[75] Grötzsch, H.: Über die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen Abbildungen und über
eine damit zusammenhängende Erweiterung des Picardschen Satzes, Ber. Sachs. Akad.
Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 80 (1928), 503-507.
[76] Grötzsch, H.: Über ein Variationsproblem der konformen Abbildung, Ber. Sachs. Akad.
Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 82 (1930), 251-263.
[77] Grötzsch, H.: Zur konformen Abbildung mehrfach zusammenhängender schlichter
Bereiche (Iterationsverfahren), Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 83
(1931), 67-76.
[78] Grötzsch, H.: Zum Parallelschlitztheorem der konformen Abbildung schlichter
unendlich-vielfach zusammenhängender Bereiche, Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys.
KL, 83 (1931), 185-200.
[79] Grötzsch, H.: Zur Theorie der konformen Abbildung schlichter Bereiche (1. und 2. Mitt.),
Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 87 (1935), 145-158, 159-167.
[80] Grunsky, H.: Lectures on Theory of Functions in Multiply Connected Domains, Vanden-
hoeck & Ruprecht, Göttingen 1978.
[81] Die Hilbertschen Probleme, erläutert von einem Autorenkollektiv unter der Red. von
P. S. Aleksandrov, 2. Aufl., Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig
1979 (Übersetzung der Erläuterungen aus dem Russischen).
[82] Jenkins, J. A.: Univalent Functions and Conformal Mapping, Springer-Verlag, Berlin—
Göttingen—Heidelberg 1958.
[83] Kühnau, R.: Über ein Koebesches Beispiel zur Theorie der minimalen Schlitzbereiche,
Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle—Wittenberg, Math.-Naturwiss. Reihe, 14 (1965),
319-321.

194 Teil III
[84] Maskus, R.: Anwendung eines Iterationsverfahrens auf das Koebesche Geradenschi itz-
theorem, Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle—Wittenberg, Math.-Naturwiss. Reihe, 14
(1965), 323-332.
[85] Reich, E.: A counterexample of Koebe's for slit mappings, Proc. Amer. Math. Soc. 11
(1960), 970-975.
[86] Sario, L., and K. Oikawa: Capacity Functions, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg —
New York 1969.
[87] Schiffer, M.: Some recent developments in the theory of conformal mapping. Appendix
zu: R. Courant, Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces, Inter-
science Publ., New York—London 1950.
[88] Schiffer, M. and N. S. Hawley: Connections and conformal mapping, Acta math. 107
(1962), 175-274.
[89] van der Waerden, B. L.: Topologie und Uniformisierung der Riemannschen Flächen,
Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 93 (1941), 147-160.

Wilhelm Blaschke
und seine Untersuchungen
über Orbiformen
Joachim Focke (Leipzig)
i
Wilhelm Blaschke
(1885-1962)
Während seiner „Wanderjahre" wirkte Wilhelm Blaschke auch zwei Jahre am
Mathematischen Institut der Universität Leipzig. Zuvor hatte er schon an zahlreichen
berühmten Orten der mathematischen Wissenschaft gearbeitet und die
verschiedensten großen Mathematiker seiner Zeit kennengelernt. Nach seiner Promotion 1908
in Wien bei W. Wirtinger ermöglichte ihm zunächst ein Stipendium, seine starke
Zuneigung zur Geometrie durch verschiedene Studienaufenthalte zu vertiefen. So
konnte er in Bonn von E. Study, in Pisa von L. Bianchi und in Göttingen von dem
glänzenden Mathematikerkreis um David Hilbert und Felix Klein die
nachhaltigsten Eindrücke gewinnen. Er habilitierte sich dann im Oktober 1910 in Bonn
und wurde ,,bei einer Flasche guten Moselweins zum Privatdozenten erhoben".
Aber schon nach einem Semester erhielt der junge Dozent einen Lehrauftrag in
Greifswald, wo damals F. Engel, der engste Mitarbeiter und Schüler des großen
nordischen Mathematikers Sophus Lie, wirkte. Im Jahre 1913 erreichte den
nunmehr 28jährigen W. Blaschke sein erster Ruf auf ein Extraordinariat an die Deutsche
Technische Hochschule in Prag.
Solche „Wanderjahre" waren in der damaligen Zeit zu Beginn einer
wissenschaftlichen Laufbahn durchaus üblich. Sie brachten dem jungen Wissenschaftler viele
fachliche und kulturelle Eindrücke; er hatte Gelegenheit, die verschiedensten
Strömungen seiner Wissenschaft kennenzulernen und sich mit ihnen auseinanderzusetzen,
und er konnte sich in der wissenschaftlichen Welt durch seine Arbeiten und seine
Vortragstätigkeit bekanntmachen. Die dann an-einen jungen Wissenschaftler
ergehenden Rufe waren ein sicheres Barometer für seine wissenschaftliche Wertschätzung,
und sie wurden in Fachkreisen genau registriert. Umgekehrt ergab sich aus ihrer
Annahme bzw. Ablehnung auch ein interessanter Vergleich zwischen dem Ansehen
der einzelnen Hochschulen im jeweiligen Fachgebiet. So war seit Gauss' Zeiten
damals noch Göttingen das Mekka der Mathematiker.
W. Blaschke hatte bis 1914 schon 22 Arbeiten publiziert und durch seine
wissenschaftlichen Leistungen allgemeine Anerkennung erlangt. Als deshalb in Leipzig im
Jahre 1914 nach dem Weggang von P. Koebe nach Jena das etatmäßige
Extraordinariat frei wurde, setzten ihn die Direktoren des Mathematischen Instituts,

196 Teil III
0. Holder, K. Rohn und G. Herglotz, an die erste Stelle in ihrem
Berufungsvorschlag. In dem von Otto Holder handschriftlich verfaßten, noch im
Universitätsarchiv aufbewahrten Manuskript wird Blaschke wie folgt charakterisiert:
,,Seine Arbeiten sind sehr ideenreich, und in jeder von ihnen ist eine wesentliche Frage
zum Abschluß gebracht. Sein Vortrag wird als glänzend geschildert; von seiner
Persönlichkeit läßt sich nur das Günstigste berichten. Es wäre sehr wünschenswert,
wenn Blaschke für die hiesige Stelle gewonnen werden könnte. Der Fakultät ist
bekannt, daß er gern die Technische Hochschule mit der Universität und Österreich
mit Deutschland, wo er seine Laufbahn als Privatdozent begonnen hat, vertauschen
würde, wenn ihm entsprechende Bedingungen gewährt werden könnten."
An zweiter Stelle in diesem Vorschlag standen R. König und L. Lichtenstein
und an dritter Stelle W. Schnee. W. Blaschke nahm die Berufung nach Leipzig für
den 1. April 1915 an, welche ihm in einem Schreiben des sächsischen
Kultusministeriums vom 8. 1. 1915 ausgesprochen wurde. Dieses Schreiben enthält auch die
folgende Mitteilung, welche die sozialen Aspekte solcher akademischer „Wanderjahre"
in interessanter Weise beleuchtet:
„Die Kosten des Umzugs von Prag nach Leipzig werden Ihnen nach den für sächsische
Staatsbeamte geltenden Grundsätzen auf Grund hierher einzureichender Rechnungen
vergütet werden, sind aber zurückzuerstatten, wenn Sie binnen fünf Jahren nach
Antritt des Leipziger Lehramtes eine Stellung außerhalb Sachsens annehmen sollten."
Da Blaschke 1917 nach Königsberg gegangen ist, mußte er wohl sicherlich das
erhaltene Umzugsgeld an das Land Sachsen wieder zurückerstatten. W. Blaschke
siedelte im März 1915 nach Leipzig über und wohnte im sogenannten Süd viertel in der
Fockestraße 51, einer ruhigen und vornehmen, damals von höheren Beamten
bevorzugten Wohnlage. Er nahm hier sofort seine wissenschaftliche Arbeit auf und hielt
bereits am 15. Mai 1915 in der Aula der Universität seine Antrittsvorlesung zum
Thema „Kreis und Kugel" und legte anschließend im Rektoratsamtszimmer vor dem
derzeitigen Dekan der Philosophischen Fakultät, dem Geheimen Hofrat Prof. Dr.
A. Fischer, den Pflichteid ab und erhielt von diesem sein Anstellungsdekret
ausgehändigt. Das hierüber im Universitätsarchiv aufbewahrte Protokoll ist auch von
0. Holder und K. Rohn absigniert. Bereits mit dem Thema seiner Antrittsvorlesung
umriß Blaschke sein Arbeitsprogramm für die Leipziger Zeit, in welcher er dann ein
Buch geschrieben und etwa zehn Arbeiten publiziert hat, worüber noch genauer
gesprochen werden soll. Anfang 1917 erhielt Blaschke einen Ruf als Ordinarius an
die Universität Königsberg. Obwohl die hiesige Fakultät sich sehr um seinen
Verbleib in Leipzig bemühte und ihm auch gewisse Angebote machte, nahm Blaschke
den ergangenen Ruf an. Sicherlich hatte hierbei die sich im Laufe der Kriegsjahre
ständig verschlechternde Lebenslage in Leipzig eine nicht unwesentliche Rolle
gespielt. So wurde ihm für den 31. März 1917 vom sächsischen Kultusministerium die
erbetene Entlassung aus seinem Lehramt ausgesprochen.
Im Jahre 1919 ging W. Blaschke an die neu gegründete Universität Hamburg
und entwickelte dort unter Heranziehung weiterer hervorragender Fachleute die
Mathematik zu hoher Blüte. Er blieb dann in Hamburg bis zu seinem Tode im Jahre
1962, trotz verlockender Angebote von anderen Hochschulen. So lehnte er auch 1928
einen Ruf an die Universität Leipzig als Nachfolger von Otto Holder ab. Seine

Wilhelm Blaschke und seine Untersuchungen über Orbiformen 197
wissenschaftlichen Reisen führten W. Blaschke jedoch auch weiterhin in viele Teile
der Welt, und er war im Jahre 1959 auch Gast der Karl-Marx-Universität Leipzig zu
ihrem 550jährigen Jubiläum.
W. Blaschke übte in Leipzig eine sehr vielseitige Lehrtätigkeit aus. Er hielt in
diesen zwei Jahren Vorlesungen über gewöhnliche Differentialgleichungen (mit
Übungen), partielle Differentialgleichungen, konforme Abbildung, Funktionentheorie
(mit Übungen), Differential- und Integralrechnung und Potentialtheorie. Dazu führte
er gemeinsam mit G. Herglotz über mehrere Semester ein mathematisches Seminar
zu ausgewählten Gegenständen der Geometrie durch. An den nur vier Jahre älteren
Gustav Herglotz, „der ausgezeichnete Vorlesungen hielt und, künstlerisch
veranlagt, sehr anregend wirkte", schloß sich Blaschke auch persönlich sehr eng an, und
es bestand zwischen ihnen eine lebenslange Freundschaft. Beide Wissenschaftler
liebten den freimütigen Gedankenaustausch, und Blaschke konnte von Herglotz,
der sich damals gerade mit globalen Fragen der Differentialgeometrie befaßte, sehr
wesentliche Anregungen erhalten, wie er noch 1955 im Vorwort zu seiner
„Integralgeometrie" bemerkt. Aus diesem Seminar ist 1916 sein erstes Buch „Kreis und Kugel"
hervorgegangen. Es wurde 1949 in New York nachgedruckt und erschien 1956 in
einer zweiten Auflage, was seine Bedeutung auch für die heutige Zeit unterstreicht.
Der bescheidene Titel entspricht dem Ausgangspunkt des Buches, den in den ersten
beiden Kapiteln behandelten isoperimetrischen Eigenschaften von Kreis und Kugel.
An Hand dieser klassischen Probleme demonstriert Blaschke in überzeugender
Weise die originellen geometrischen Lösungsmethoden von Jakob Steiner und bildet
diese soweit durch, daß er in ihrem Rahmen auch die von Steiner nicht beachteten
Existenzfragen mit erledigen kann. Dazu macht Blaschke im Sinne der sich damals
schnell entwickelnden Funktionalanalysis die Gesamtheit der konvexen Bereiche der
Ebene bzw. des Raumes zu einem metrischen Raum und bedient sich des jetzt nach
ihm benannten Auswahlsatzes, nach dem sich aus einer unendlichen Menge
gleichmäßig beschränkter konvexer Körper stets eine Folge herausgreifen läßt, die gegen
einen konvexen Körper konvergiert. Mit diesen so bereitgestellten Hilfsmittteln
gelingt es dem Autor, in den folgenden Kapiteln eine einheitliche Darstellung der
damals noch jungen Theorie der konvexen Körper zu geben und damit die Arbeiten
von Schwarz, Brunn und Minkowski fortzusetzen. Insbesondere wendet er sich
sehr interessanten neueren Extremalaufgaben bei konvexen Körpern zu, wie solche,
die durch Krümmungsbeschränkungen der Oberfläche entstehen, und behandelt in
einem Ausblick konvexe Körper mit gewissen charakteristischen Eigenschaften, wie
die Körper konstanter Helligkeit von Herglotz und die Körper konstanter Breite
von Minkowski.
Um diesen Themenkreis gruppieren sich auch die meisten von Blaschke in seiner
Leipziger Zeit verfaßten Originalarbeiten. Wir wollen hier besonders die Arbeiten
herausgreifen, die sich mit sogenannten Orbiformen, den konvexen Bereichen
konstanter Breite befassen, weil über diese in neuerer Zeit hier in Leipzig wieder
interessante Untersuchungen durchgeführt worden sind. Die wichtigste Arbeit von
Blaschke über Orbiformen ist der in den Mathematischen Annalen 76 (1915), 504
bis 513, erschienene Artikel ,,Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und
kleinsten Inhalts". Das darin behandelte Problem stellt in gewisser Weise ein
Gegenstück zur isoperimetrischen Aufgabe dar, und es gelingt Blaschke, dieses ebenfalls
durch eine sehr geschickte Anwendung der Steinerschen Methode vollständig zu

198 Teil III
lösen. Konvexe Bereiche der konstanten Breite d sind dabei solche, deren parallele
Stützgeraden in jeder Richtung denselben Abstand d haben. Sie besitzen damit die
charakteristische kinematische Eigenschaft, daß sie sich in einem Quadrat der
Seitenlänge d allseitig berührend drehen lassen. Die einfachsten Beispiele hierzu sind der
Kreis mit Durchmesser d und das Reuleaux-Dreieck mit Kreisbögen vom Radius d
(vgl. Abb. 20). Da alle diese Bereiche denselben Umfang nd haben, besitzt unter ihnen
nach dem isoperimetrischen Satz der Kreis den größten Inhalt. Im Gegensatz hierzu
wird nun nach dem Bereich konstanter Breite mit dem kleinsten Inhalt gefragt.
Abb. 20. Kreis und Reuleaux-
Dreieck
Blaschke betrachtet zur Behandlung dieses Problems zunächst speziell die Menge
aller Reuleaux-Polygone der Breite d. Darunter versteht man in Verallgemeinerung
des Reuleaux-Dreiecks Kreisbogenpolygone R aus Kreisbögen vom Radius d, deren
Mittelpunkte in den Ecken eines geschlossenen Stern-Polygons D mit ungerader
Eckenzahl N und gleicher Seitenlänge d liegen. (Für N = 1 vgl. Abb. 21.) D ist
dann seinerseits das Diagonaleck des Reuleaux-Polygons R. Zwischen den
Flächeninhalten FR von R und FD von D erhält Blaschke den wichtigen Zusammenhang
FR + 2FD = 7id2/2.
I Abb. 21. Reuleaux-Siebeneck mit Diagonaleck
Er führt nun auf Grund dieser Formel das Reuleaux-Polygon R in ein solches mit
kleinerem Flächeninhalt über, indem er das zugehörige Diagonaleck D in ein solches
mit größerem Flächeninhalt überführt, und zwar mit dem Steinerschen
Viergelenkverfahren. Halten wir dazu beispielweise in dem Siebeneck (vgl. Abb. 22) die
Eckpunkte Plf P4, P5, P6, P7 fest und zerlegen den Flächeninhalt FD gemäß
FD = Fläche (P1P2PsP4*>5JVV>i)
= Fläche (P&PsPtPi) + Fläche (P^P^P.P^.
Dann bleibt auch der Flächeninhalt des Fünfecks P1PAP5P6P7 fest, und FD kann
dadurch vergrößert werden, daß man das „Gelenkviereck" PXP2P^PA durch geeignete

Wilhelm Blaschke und seine Untersuchungen über Orbiformen 199
Bewegung der Eckpunkte P3 und P2 flächenmäßig vergrößert; und zwar bewegen
wir den Eckpunkt P3 auf der Verlängerung des Bogens P5P3, bis er auf die rückwärtige
Verlängerung des Bogens PXP^ in P3' zu liegen kommt. Da die Ecken Px und P4
des Gelenkvierecks fest bleiben sollen, ist dann P2 zwangsläufig nach P7 gewandert,
und die neue Lage des Gelenkvierecks ist bestimmt (vgl. Abb. 23). Mittels einer
kinematischen Betrachtung an dem in unserem Fall „durchschlagenden" Gelenkviereck
Abb. 22. Reuleaux-Siebeneck mit Gelenkviereck
läßt sich auch zeigen, daß sein Flächeninhalt tatsächlich größer geworden ist. Das
zugehörige Reuleaux-Polygon R' hat also einen kleineren Flächeninhalt als R. Da
die Ecken P2 und P7 zusammengefallen sind und damit die Bögen P^'Pi und PXP^
auf einem Kreisbogen liegen, hat R' nur noch die fünf Ecken P3', P6, P4, P7, P5.
Im allgemeinen kann man so jedes Reuleaux-Polygon der Eckenzahl N in ein solches
mit N—2 Ecken und kleinerem Flächeninhalt überführen. Durch sukzessive
Wiederholung dieses Schrittes erweist sich somit das Reuleaux-Dreieck (Abb. 20) als das
Abb. 23. Gelenkviereck in neuer Lage
Reuleaux-Polygon der Breite d mit dem kleinsten Flächeninhalt. Durch eine geeignete
Approximation beliebiger konvexer Bereiche der konstanten Breite d durch Reuleaux-
Polygone gelingt es Blaschke, diese Resultate auf beliebige Orbiformen zu
übertragen :
Unter allen Orbiformen hat das Reuleaux-Dreieck den kleinsten Flächeninhalt.
Blaschke gibt auch in einer Fußnote eine analytische Formulierung des gestellten
Problems an. Danach wird der Flächeninhalt der Orbiform durch eine quadratische
Integralform im Krümmungsradius ausgedrückt und soll unter Einhaltung der
Schließbedingung und einer Krümmungsbeschränkung minimiert werden. Es handelt
sich also in heutiger Sprechweise um ein restringiertes quadratisches
Optimierungsproblem in einem Funktionenraum.

200 Teil III
In noch drei weiteren Arbeiten befaßt sich Blaschke mit Untersuchungen zu
Orbiformen. Am Ende seiner Prager Zeit erschien in den Leipziger Berichten 66
(1914), 171—177, ein Artikel „Über Raumkurven von konstanter Breite", welcher
der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften auf der Sitzung der
Mathematisch-Physikalischen Klasse am 7. Dezember 1914 von dem Geheimen
Hofrat Karl Rohn vorgelegt worden war. Die betrachteten Raumkurven der konstanten
Breite d sind dabei geschlossene Raumkurven mit der Eigenschaft, daß die Normal-
ebene in jedem Kurvenpunkt P die Kurve in genau einem weiteren Punkt Q schneidet
und der Abstand PQ konstant gleich d ist. Blaschke zeigt nun insbesondere, daß
jede Raumkurve konstanter Breite auf der Oberfläche eines Körpers konstanter
Breite verläuft. Ein interessanter Satz über den Inkreis einer Orbiform ist in der
Arbeit „Über den größten Kreis in einer konvexen Punktmenge", Jahresber. DMV
23 (1914), 369-374, enthalten. Durch Anwendung des Satzes von H. Jung kann
Blaschke für den Inkreisdurchmesser d{ einer Orbiform der Breite d die Abschätzung
2 (l ~ -^-\d ^di^d
\ PI
zeigen. Dabei wird das linke Gleichheitszeichen genau für das Reuleaux-Dreieck und
das rechte für den Kreis angenommen.
Schließlich befaßt sich Blaschke in einer Arbeit „Einige Bemerkungen über
Kurven und Flächen von konstanter Breite", Leipz. Ber. 67 (1915), 290—297, mit
sphärischen Kurven konstanter Breite und zeigt im Anschluß an seine Annalen-
Arbeit, daß auch auf der Kugel das sphärische Reuleaux-Dreieck bzw. eine äußere
Parallelkurve unter diesen den kleinsten Flächeninhalt hat.
?k
L_l I 1 1 I l_J 1 L_l 1 l*.
0 %j2 u 3rt/2 2it
Abb. 24. Fujiwara-Viereck
Die hier besprochenen Arbeiten von Wilhelm Blaschke aus seinen Leipziger
Jahren haben in neuerer Zeit in Leipzig eine interessante Fortführung erfahren.
In einer mathematisch-technischen Untersuchung von J. Focke, „Über die
Entstehung von Formfehlern beim spitzenlosen Außenrundschleifen",
Maschinenbautechnik 17 (1968), 7—10, hatte es sich gezeigt, daß die bei diesem Schleifverfahren
auftretenden Querschnittsformen die Gestalt von sogenannten /^-Orbiformen
annehmen. Darunter versteht man einen ebenen konvexen Bereich, der sich allseitig
berührend in einem regulären w-Eck drehen läßt, so daß also die Seiten des w-Ecks
stets Stützgeraden des konvexen Bereichs sind. Die /^-Orbiformen bilden damit eine
direkte Verallgemeinerung der Bereiche konstanter Breite, welche sich hier als 4-Orbi-
formen einordnen. Es lag nun nahe, allgemein nach den /^-Orbiformen kleinsten

Wilhelm Blaschke und seine Untersuchungen über Orbiformen 201
Inhalts zu fragen. Der geometrische Beweisgedanke von Blaschke dürfte jetzt
allerdings nicht mehr anwendbar sein, da es für n > 4 keine /^-Orbiformen in Gestalt
von Reuleaux-Polygonen gibt. Das Problem konnte jedoch wieder als ein restringiertes
quadratisches Minimierungsproblem in einem Funktionenraum formuliert werden.
Da das quadratische Zielfunktional aber negativ definit auf dem zulässigen Bereich
ist, liegt der schwierige Fall der Minimierung eines konkaven Funktionais unter
konvexen Restriktionen vor. Für /^-Orbiformen mit gewisser Drehsymmetrie konnte
dieses Problem von J. Focke, Acta Math. Hung. 20 (1969), 39—68, durch direkte
scharfe Abschätzung des Zielfunktionals gelöst werden und allgemein von R.
Klötzler, ZAMM 55 (1975), 557—570, nach Umformulierung in ein Problem der optimalen
Steuerung durch eine tiefgründige Auswertung der Bedingungen des Pontrjaginschen
Maximumprinzips. Für n = 5 ergibt sich beispielsweise als /fc-Orbiform kleinsten
Inhalts das mit ihrem Randkrümmungsradius in Abb. 24 dargestellte Fujiwara-
Viereck. Von verschiedenen weiteren, auch technisch interessanten Extremalproble-
men für w-Orbiformen, welche in Leipzig behandelt wurden, sei noch die Arbeit von
J. Focke, „Die beste Ausbohrung eines regulären w-Ecks4', ZAMM 49 (1969), 235
bis 248, genannt.

Walter Schnee
Herbert Beckert (Leipzig) n
*
Walter Schnee
(1885-1958)
Als wir am 13. 6. 1958 Prof. Dr. Walter Schnee zu Grabe trugen, nahmen wir von
einem Kollegen Abschied, der nahezu vierzig Jahre am Mathematischen Institut
der Universität Leipzig wirkte und hier eine der markantesten Persönlichkeiten in
der Lehre gewesen war. Schnee wurde am 8. August 1885 in Rawitsch (Provinz
Posen) als Sohn des Gymnasialprofessors Karl Schnee und dessen Frau Klara
Schnee geboren. Nach dem Besuch des Gymnasiums in Gnesen von 1895 bis 1904
beginnt er das Studium der Mathematik an der Universität Berlin und hört
Vorlesungen bei Schottky, Frobenius und vor allem bei E. Landau, der von 1901 bis
zur Berufung 1909 nach Göttingen als Nachfolger Minkowskis in Berlin war. Schon
am Ende seiner Schülerzeit muß in dem Schüler Walter Schnee die Liebe zur
Mathematik und hier besonders zum Reich der Zahlentheorie entflammt sein, davon zeugt
das Buch über die berühmten Vorlesungen Dirichlets zur Zahlentheorie, das dem
Primaner des „Königlichen Gymnasiums Gnesen" Walter Schnee 1904 als
Ehrengabe verliehen wurde. Kein Wunder also, daß die auf Reihenlehre und analytische
Zahlentheorie gerichteten Forschungen Landaus dem jungen Schnee besonders
beeindrucken, nicht minder dessen nicht zu überbietender Fleiß und dessen mit der
Präzision eines Uhrwerks ablaufende Forschungsarbeit. Schnee erzählte uns, Landau
habe sich vorher in seinem Notizbuch stets den Tagesablauf in Abschnitte fest
vorgezeichnet für die Lösung einzelner mathematischer Probleme, wie für die
Mahlzeiten, die Entspannung bei der Familie, die Beschäftigung mit der
Briefmarken- und Schmetterlingssammlung und die wissenschaftliche Kommunikation.
Diese Abschnitte hielt Landau nach den Worten Schnees rigoros ein, selbst
wenn er dabei die Mahlzeiten vorzeitig abbrechen oder sogar auf sie verzichten
mußte.
Bereits im vierten Jahre seines Studiums in Berlin konnte Schnee ein schwieriges
mathematisches Problem von fundamentaler Bedeutung vollständig aufklären und
dessen Lösung druckfertig an die Redaktion der Mathematischen Annalen einreichen.
Es handelt sich hierbei um den Nachweis der Identität des Cesäroschen und Hölder-
schen Grenzwertes bei den betreffenden Limitierungsverfahren divergenter Reihen
in dem Sinn, daß aus der Existenz des einen die des anderen folgt. Bezeichnet beim

Walter Schnee 203
Hölderschen Verfahren (an) eine beliebige Zahlenfolge,
«o 4- «i 4- ••• + an
n + 1
die gemittelte Folge, fn" die erneut gemittelte Folge
/o' + /i' + -+/.'
/." =
n + 1
und gilt lim fn" = S im klassischen Sinn, so heißt (an) H2-Uinitierbar, allgemeiner
Hp-summierbar, falls die nach p aufeinanderfolgenden Mittelungen entstehende Folge
im klassischen Sinn konvergiert. Bei der Cesäroschen oder Ck-8ummierung setzt man
zunächst an = Sn(°> und dann weiter für k ^ 1
iSf0<*"1) + S^-v 4- ••• 4- iSf„<*-1> = Snk, n = 0, 1, 2, ...,
und untersucht für ein festes k die Folge
C.<*>
CD
Strebt die Folge Cn<*> gegen #, so heißt (an) Ck-limitierbar zum Wert S.
Durch die genannte scharfsinnige Arbeit wurde Schnee rasch in der
mathematischen Welt bekannt. Da gleichzeitig auch K. Knopp in seiner Dissertation mit
anderen Methoden im wesentlichen zu dem gleichen Ergebnis gelangt war, ist das
genannte Resultat in der mathematischen Literatur als Äquivalenzsatz von W. Schnee
und K. Knopp für das C- und H-Verfahren der Reihenlimitierung bekannt geworden.
Im Jahre 1908 promovierte Schnee an der Philosophischen Fakultät der Universität
Berlin zum Dr. phil. mit der von E. Landau angeregten Arbeit „Über irreguläre
Potenzreihen und Dirichletsche Reihen". Schnee verallgemeinert hierin unter
anderem den Abelschen Stetigkeitssatz bei Ck- bzw. //^-Summierbarkeit der
Koeffizientenreihe und leitet interessante grundlegende Ergebnisse über das Konvergenzverhalten
von Dirichletschen Reihen her.
Nach seiner Promotion und dem Staatsexamen war Schnee von Ostern 1909 bis
1910 als Lehrer an einem Berliner Gymnasium tätig und bereitete in dieser Zeit seine
Habilitationsschrift „Über Mittel wertformein in der Theorie der Dirichletschen
Reihen" vor, die unter dem gleichen Titel in den Sitzungsberichten der Akad. d. Wiss.
Wien 118 (1909), 1439-1512, veröffentlicht ist. Er erwarb schon 1910 hiermit die
venia legendi an der Philosophischen Fakultät der Universität Breslau, nachdem er
zuvor noch zwei Arbeiten über das Konvergenzverhalten Dirichletscher Reihen
veröffentlichte, wo unter anderem die Singularitäten längs der Konvergenzgrenzgeraden
charakterisiert werden:
Über Dirichletsche Reihen, Rend. Circolo mat. Palermo 27 (1909), 87 — 116.
Zum Konvergenzproblem der Dirichletschen Reihen, Math. Ann. 66 (1908), 337—349.
Diese vier größeren mathematischen Arbeiten, welche Schnee noch vor dem
Abschluß seines vierjährigen Studiums druckreif fertigstellte, stellen eine
außergewöhnlich hohe wissenschaftliche Leistung dar, wie sie unter entsprechenden Umständen

204 Teil III
nur selten erreicht wird. Die durch sie gewonnenen neuen Einsichten in das
Konvergenzverhalten unendlicher Reihen, speziell der Dirichletschen Reihen, sind
beträchtlich und erregten internationales Aufsehen. In der genannten
Habilitationsschrift geht Schnee von einer interessanten von Hadamard entdeckten
Mittelwertformel für das Quadrat des absoluten Betrags des Reihenwerts einer
Dirichletschen Reihe längs vertikaler Geraden in der komplexen Ebene aus und gelangt zu
einer sehr bemerkenswerten Darstellungsformel für die Koeffizienten der
Dirichletschen Reihe selbst, sogar im Bereich nur bedingter Konvergenz. Es ergeben sich
hieraus wichtige asymptotische Abschätzungen und interessante Anwendungen auf
die Riemannsche Zetafunktion.
Schnee hielt nach seiner Habilitation als Privatdozent an der Universität Breslau
bis 1917 Vorlesungen und war gleichzeitig planmäßiger Assistent an der Technischen
Hochschule Breslau bei Caratheodory bis zu dessen Wegberufung 1913 als
Nachfolger von Felix Klein nach Göttingen. Es war köstlich, Schnee im hohen Alter
zuzuhören, wenn er über diese Breslauer Zeit sprach, von Adolf Kneser, der ihm
über die Vorlesungen von Karl Weierstrass manches Interessante erzählen konnte,
von dem Physiker Clemens Schäfer und vor allem von Caratheodory selbst,
seiner Weltoffenheit und geistreichen Persönlichkeit, aber auch von dessen
prächtiger teils im europäischen teils im orientalischen Stil eingerichteten Wohnung, was
Schnee offenbar stark beeindruckt hat. Schnee muß sich in diesen Jahren, da er
zwischen der Technischen Hochschule und Universität hin- und herpendelte, oft
mit einem Übermaß an Vorlesungen und Praktika überlastet haben; denn er erzählte
uns, daß er einmal an einem besonders arbeitsreichen Tag eine Studentin, die ein
Testat von ihm haben wollte, mit einer Ausrede habe wegschicken müssen, da er
seinen eigenen Namen vergessen hatte. ,,Später", sagte er in der ihm eignen
köstlichen, spöttischen Tonart, ,,fiel mir dann mein Name wieder ein!" Während seiner
Breslauer Tätigkeit entstand 1911 Schnees Arbeit in den Acta Math.
„Zusammenhang zwischen den Summabilitätseigenschaften Dirichletscher Reihen und ihrem
funktionentheoretischen Charakter". Es gelingt dem Verfasser u. a. hierin,
weitreichende Summierbarkeitseigenschaften der Ordnung r einer Dirichletschen Reihe
aus dem asymptotischen Verhalten der durch die Reihe dargestellten Funktion entlang
der Vertikalen zur reellen Achse herzuleiten.
Im Jahre 1917 wurde durch den Weggang von W. Blaschke nach Tübingen eine
Professur an der Universität Leipzig frei. 0. Holder setzte sich entscheidend für
deren Besetzung durch Prof. Schnee, der inzwischen 1916 den Professorentitel
erhalten hatte, ein. In seinem Berufungsantrag weist u. a. 0. Holder auf die
Wichtigkeit der Schneeschen Untersuchungen hin und rühmt dessen scharfsinnige
Handhabung neuerer funktionentheoretischer Methoden und deren mustergültige
Darstellung. Schnees bisherige Lehrerfolge werden als hervorragend bezeichnet, auch
seine Fähigkeit, Studierende zur selbständigen Arbeit zu begeistern. Er sei
außerordentlich zuverlässig, sein Auftreten sachlich und sehr bescheiden. So kam Schnee
1917 als planmäßiger außerordentlicher Professor an das Mathematische Institut der
Universität Leipzig. Stets pädagogischen Aufgaben aufgeschlossen, entfaltete er hier
bis zu seiner Emeritierung eine umfangreiche Lehrtätigkeit, die sich nahezu auf alle
mathematischen Gebiete erstreckte. Stets war er gut vorbereitet. Er trug frei ohne
Konzept vor. Nur manchmal bei Zusammenfassungen des Lehrstoffs zog er zum Spaß
der Zuhörer einen vergilbten Zettel aus der Seitentasche, um zu diktieren. Schnee

Walter Schnee 205
besaß ein vortreffliches mathematisches Gedächtnis. Er entwickelte jede Vorlesung
immer wieder neu und hielt wenig von fremden Vorbildern. Das kostete natürlich
viel Zeit und Arbeitskraft. Der strenge, eigenwillige Aufbau seiner Vorlesungen war
nicht auf eine pragmatische Wissensvermittlung angelegt, vielmehr darauf, dem
Hörer möglichst alle logischen Details der mathematischen Gegenstände klar
aufzuschließen und ihm dabei zugleich den hohen ästhetischen Wert der mathematischen
Schluß weisen nahezubringen. Dabei waren diese Vorlesungen keinesfalls langweilig.
Mit viel pädagogischem Geschick verstand er es — der im Erscheinungsbild so
gebrechlich wirkende Mann mit den wachen, seine Zuhörer messenden Augen und dem
herzerfrischenden Humor - -, die Studenten zum Mitdenken anzuregen. Die Verdienste
Prof. Schnees um die mathematische Ausbildung vieler Studiengenerationen an der
Universität Leipzig müssen sehr hoch eingeschätzt werden. Besonders stark war sein
erzieherischer Einfluß auf die späteren Lehrer der Mathematik, die durch seine Schule
gingen.
Die weiteren Forschungen Schnees stehen unter einem ungünstigen Stern und sind
nicht frei von einer gewissen Tragik. Er konzentrierte nämlich die folgenden
Jahrzehnte alle seine Kräfte auf die Lösung des Hauptproblems der analytischen
Zahlentheorie, den Beweis der sogenannten Riemannschen Vermutung, wonach die
sämtlichen nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion den Realteil 1/2
haben; ein in der Mathematikgeschichte bedeutungsvolles Problem, welches bis heute
allen Lösungsversuchen widerstanden hat. Diese Zielstellung lag im Hinblick auf seine
erfolgreichen Konvergenzuntersuchungen über Dirichletsche Reihen nahe. Leider
hat Schnee über seine jahrzehntelangen mit großer Zähigkeit geführten — am Ende
erfolglosen — Untersuchungen keine Aufzeichnungen hinterlassen. Er glaubte auch
noch im hohen Alter an eine funktionentheoretische Aufklärung und Lösung des
Problems.
In den zwanziger Jahren erkrankte Schnee schwer. Eine Totalexstirpation des
Magens führte ihn schließlich an den Rand des Existenzminimums. Dessen
ungeachtet gelang es ihm in den folgenden Jahren mit der ihm eigenen Energie und
Beharrlichkeit, seinen Gesundheitszustand weitgehend wieder zu stabilisieren und in der
genannten, verdienstvollen Weise alle Aufgaben als Hochschullehrer voll
wahrzunehmen. Nach einer kleinen Arbeit 1927 in der Mathematischen Zeitschrift über die
Regularität reeller Funktionen griff Schnee 1929 in einer weiteren Arbeit in dieser
Zeitschrift die Konvergenzproblematik Dirichletscher Reihen wieder auf und leitete
in sehr einfacher Weise die Funktionalgleichung für die Zetafunktion auf einem neuen
durchsichtigen Weg her.
In der Zeit des Hitlerregimes machte Schnee keinerlei Konzessionen. Durch den
Luftangriff auf Leipzig wurde seine Wohnung 1943 schwer beschädigt, so daß er
nach Memleben an der Unstrut übersiedeln mußte, ohne seine Lehraufgaben an der
Universität zu unterbrechen. Als nach dem Zusammenbruch 1945 die Universität
Leipzig wieder eröffnet wurde, bestand der Lehrkörper des berühmten Mathematischen
Instituts noch aus den beiden Professoren Holder und Schnee — Koebe war 1945
verstorben und van der Waerden war in seine Heimat zurückgekehrt.
Trotz seines angegriffenen Gesundheitszustandes übernahm Schnee in den
folgenden Jahren ein ausgedehntes Programm an Lehraufgaben, mehrmals die
Anfangsvorlesungen im Bereich der mathematischen Grundausbildung, er hielt aber auch
Vorlesungen über Differentialgeometrie und Algebra. Besondere Ausstrahlungskraft

206 Teil III
entfaltete er in der Lehrerausbildung. Aus seinem Kreis von Schülern dieser Jahre,
die bei ihm promovierten, gingen die jetzigen Professoren Wussing und Reissig
hervor.
Durch einen Zufall war Schnee mit dem Buch von W. Ahrens ,,Mathematische
Unterhaltungen und Spiele" (Teubner, Leipzig) bekannt geworden. Hierdurch
angeregt, veröffentlichte er 1951 in den Berichten über die Verhandl. d. Sächsischen
Akademie der Wiss., Bd. 98, Heft 1, die Arbeit „Über magische Quadrate und lineare
Gitterpunktprobleme". Es gelingt ihm eine erschöpfende Behandlung der Angabe
aller dreizeiligen Matrizen mit beliebig ganzzahligen Koeffizienten und beliebig
vorgegebener gemeinsamer Zeilen-, Spalten- und Diagonalsumme. Nach zweimaliger
Aussetzung auf eigenen Wunsch wurde Prof. Schnee 1954 emeritiert, und am 10. 6. 1958
verließ er uns für immer.

Leon Lichtenstein
Herbert Beckert (Leipzig)
Leon Lichtenstein
(1878-1933)
Im Jahre 1978 ehrten wir an der Sektion Mathematik der KMU Leipzig in einem
.Festkolloquium die hundertste Wiederkehr des Geburtstages von Leon Lichtenstein,
einem Mathematiker von großer internationaler Ausstrahlungskraft auf den folgenden
Gebieten der Analysis: Potentialtheorie, Integralgleichungen, Variationsrechnung,
Differentialgleichungen und Hydrodynamik. In ihm vereinigen sich in glänzender
Weise das Vermögen zu richtungweisenden mathematischen Forschungsleistungen
mit dem Scharfblick für deren Anwendung in den Naturwissenschaften.
Gerade in der heutigen Zeit, in welcher die mathematische Forschung auf vielen
Gebieten an den zentralen Problemen vorbeizieht und statt dessen oder gerade
deswegen durch eine Kette von Verallgemeinerungen in eine unübersehbare Fülle von
unbedeutenden Seitenkanälen sich zu verästeln droht, ist die Rückbesinnung auf den
Gleichklang der zwischen Theorie und Anwendung beruhenden Forschungen
Lichten steins besonders aktuell und wohltuend. Während im vorigen Jahrhundert und
Anfang dieses Jahrhunderts die Arbeiten der größten Mathematiker wie Gauss, Cauchy,
Riemann, Dirichlet, Jacobi, Poincare und Hilbert u. a. in großem Umfang
direkt mit naturwissenschaftlichen Anwendungen verknüpft waren, trifft dies in der
heutigen Zeit nicht mehr zu. Denn große Teile der Mathematik, denen man einen hohen
Stellenwert zuerkennt, entwickeln sich ohne Bezug zu irgendwelchen Anwendungen.
Lichtenstein wurde am 16. Mai 1878 in Warschau geboren. Mit 16 Jahren kam
er nach Deutschland und studierte an der Technischen Hochschule
Berlin-Charlottenburg Maschinenbau und danach Elektrotechnik, wobei er — eng mit der Mathematik
verbunden — noch gleichzeitig an der Universität Berlin mathematische Vorlesungen
bei H. A. Schwarz, Frobenius, Schottky und Landau hörte. Stets hat
Lichtenstein betont, von H. A. Schwarz, von dem er immer voll Bewunderung sprach,
vielseitige Anregungen empfangen zu haben. Schon 1902 trat Lichtenstein als
Elektroingenieur in die Firma Siemens und Halske ein, noch bis 1923, als er längst
ein Mathematiker von Weltruf geworden war, ist er, natürlich in sehr beschränktem
Umfang, in dieser Firma tätig gewesen. Wie 0. Holder in seinem treffenden Nachruf
auf Leon Lichtenstein in der Sitzung der Sächsischen Akademie am 30. Juni 1934
sagt, waren die Berliner Jahre für Lichtenstein Jahre rastloser aufreibender Arbeit,

208 Teil III
in denen er neben seinem technischen Beruf eine große Zahl bedeutender rein
mathematischer Arbeiten veröffentlicht hat, die seinen Namen schon damals rühmlichst
bekannt machten. Man kann wohl sagen, daß Lichtenstein am Tage seinem äußeren
Beruf nachging und in den Nächten seine mathematischen Abhandlungen
geschrieben hat. 1907 erwarb Lichtenstein an der TH Berlin den Titel eines Dr. Ing. und
1909 den Dr. phil. an der Universität Berlin. 1910 habilitierte er sich an der TH
Berlin mit der Arbeit: ,,Beweis des Satzes, daß jedes hinreichend kleine im
wesentlich stetig gekrümmte singularitätsfreie Flächenstück auf einen Teil einer Ebene
zusammenhängend und in den kleinsten Teilen ähnlich abgebildet werden kann".
Lichtenstein hat 15 Jahre später als erster diesen Satz auf die konforme Abbildung
beliebiger großer Flächenstücke in die Ebene übertragen können, anläßlich der
Herleitung der Normalform für die allgemeine lineare elliptische Differentialgleichung
zweiter Ordnung in der Ebene. Dies ist lange unbeachtet geblieben. Neben einer Reihe
industrieller Arbeiten für die Kabelindustrie und Luftfahrt, hier arbeitete er bei
Prandtl am Institut für Aerodynamik, entfaltete Lichtenstein in der Folgezeit
eine äußerst fruchtbare Forschungstätigkeit in der Potentialtheorie,
Variationsrechnung, im Bereich Differentialgleichungen und der konformen Abbildungen.
Der systematische Ausbau der auf die Fredholmsche Integralgleichungstheorie
gegründeten Lösungstheorien für die klassischen und allgemeineren Randwertaufgaben
der Potentialtheorie und linearen partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen
Typus wurde von Lichtenstein in einer Fülle von richtungweisenden
Abhandlungen stark gefördert. Dabei wurden die vorher wenig beachteten Singularitäten der
Kerne der Integralgleichungen einer genauen Untersuchung unterzogen, um die
Anwendung der Fredholmschen Theorie zu sichern. Bereits 1912 und 1913 hat
Lichtenstein als erster logarithmische Potentiale bei lediglich quadratisch integrablen
Dichten — die moderne Entwicklung vorausahnend — eingeführt und u. a. die
quadratische Integrabilität der zweiten Ableitung der Lösung der Poissonschen
Differentialgleichung bei quadratisch integrierbarer rechter Seite bewiesen, ferner
u. a. die Gültigkeit der Hilbertschen Umkehrformeln für den Kotangens-Kern bei
lediglich quadratisch integrierbaren Randwerten. Als erster erkannte er, daß man zur
Lösung von Randwertaufgaben elliptische Differentialgleichungen in der Ebene mit
Hilfe der Integralgleichungstheorie auch Randkurven mit Ecken und Spitzen
zulassen darf, indem er die entstehenden singulären Integralgleichungen studierte.
In derselben Zeit baute Ltchtenstein in mehreren Arbeiten die Hilbertsche Theorie
vollstetiger quadratischer Formen mit unendlich vielen Veränderlichen weiter aus
und behandelte erstmals vollständig mit diesen Methoden ohne Rückgriff auf die
Integralgleichungstheorie allgemeine Eigenwertprobleme gewöhnlicher und partieller
elliptischer Differentialgleichungen einschließlich der Entwicklungssätze. Die hier
verwendete Hilbertsche Methode der unendlich vielen Veränderlichen ist von Lich-
tensteins Schüler Aurel Wintner weiterentwickelt worden. Durch den modernen
Aufbau der Funktionalanalysis durch John von Neumann sind diese Methoden
bekanntlich in eine neue richtungweisende Bahn gelenkt worden. Ebenfalls 1913
bewies Lichtenstein für die zweimal stetig differenzierbaren Lösungen allgemeiner
regulärer nichtlinearer Variationsprobleme in der Ebene
/ / fl*> y> u, ^,-^\dxdy-+Min (1)

Leon Lichtenstein 209
deren dreimal stetige Differenzierbarkeit und damit nach S. Bernstein deren
Analytizität. Dabei wird sein Abbildungssatz von nichtanalytischen Flächenstücken
auf die Ebene entscheidend verwendet. In den Lichtensteinschen Untersuchungen
in der Variationsrechnung werden während seiner gesamten Schaffensperiode
Variationsprobleme als Randwertprobleme aufgefaßt. Daher beschäftigte er sich auch
intensiv mit der Herleitung von hinreichenden Kriterien für das Eintreten des
Minimums gleich für das genannte reguläre nichtlineare Variationsproblem (1) im Sinne
der dritten Jacobischen Bedingung. Sind die Eigenwerte des linearen Eigen wert-
problems der zweiten Variation positiv bzw. größer als 1 beim sinngemäß
verschobenen Problem im Sinne von H. A. Schwarz, dann bettet Lichten stein die
Ausgangslösung in ein Feld von Extremalen ein und kann den Totalzuwachs des Extremal-
integrals unter zulässigen Variationen aus einer Reihenentwicklung der zweiten
Variation nach Eigenlösungen beurteilen. Er hat seine Methoden auch auf
eindimensionale Variationsprobleme, insbesondere auf das isoperimetrische Problem
übertragen. Wie E. Holder in seiner dem Andenken Lichtensteins gewidmeten Arbeit
1935: „Die Lichtensteinsche Methode für die Entwicklung der zweiten Variation,
angewandt auf das Problem von Lagrange" bemerkt, plante Lichtenstein nach
seinem wissenschaftlichen Nachlaß noch die Übertragung seiner Methode auf das
zweidimensionale isoperimetrische Problem. In einem umfassenderen Zusammenhang
sind die Lichtensteinschen Methoden in die Theorie von Morse eingegangen.
Im Jahre 1919 wurde Lichtenstein zum ordentlichen Honorarprofessor ernannt,
und 1920 folgte er einem Ruf zum ordentlichen Professor für Mathematik an die
Universität Münster. Er gründete 1918 die Mathematische Zeitschrift, deren
Herausgeber er bis zu seinem Tode blieb. Da sich bald diese Zeitschrift zu den bedeutendsten
deutschen Zeitschriften der Mathematik entwickelte, hat Lichtenstein durch diese
brillante organisatorische Aktivität in einer so schwierigen Zeit der Mathematik
einen bleibenden Dienst erwiesen. Noch höher sind die zwei Enzyklopädieartikel der
Mathematischen Wissenschaften einzuschätzen: ,,Neuere Entwicklung der
Potentialtheorie, Konforme Abbildungen" und ,,Theorie der partiellen Differentialgleichungen
vom elliptischen Typus". Mit diesen ausgezeichneten Artikeln wurde Lichtenstein
zum Mentor einer ganzen Forschergeneration für das Gebiet der partiellen
Differentialgleichungen und die Potentialtheorie. Es gibt kaum einen Enzyklopädieartikel
aus dieser Zeit von ähnlicher Ausstrahlungskraft. Natürlich ist dies nicht allein der
gelungenen, alle wesentlichen Details erfassenden Darstellung zu danken, sondern
auch dem Umstand, daß diese Monographie gerade zur rechten Zeit erschien, als
man auf breiter Front begann, die tieferen Abschätzungsergebnisse der
Potentialtheorie auf Existenzprobleme partieller Differentialgleichungen auszurichten.
Durch den Tod von Karl Rohn 1920 wurde am Mathematischen Institut der
Universität Leipzig eine Professur frei. Otto Holder setzte sich energisch für die
Berufung von Lichtenstein aus Münster ein und fand nach anfänglicher
Zurückhaltung die Zustimmung der Fakultät. So kam Lichtenstein 1922 als Ordinarius
für Mathematik und Mitdirektor des Mathematischen Seminars an das Mathematische
Institut der Universität Leipzig (vgl. auch Abb. 25). Seine Gattin Dr. phil. Stephanja
Lichtenstein, mit der er seit 1908 verheiratet war, fand als Physiologin Anstellung
an der Leipziger Universität. In seiner programmatischen Antrittsvorlesung, welche,
bedeutend erweitert, 1923 unter dem Titel ,,Astronomie und Mathematik in ihrer
Wechselwirkung" als Monographie erschien, entwickelte Lichtenstein, der inzwi-

210 Teil III
sehen das Schwergewicht seiner Untersuchungen auf die Anwendung seiner früheren
Arbeiten auf die Hydromechanik verlegt hatte, ein großes Forschungsprogramm,
welches in den letzten 15 Jahren seines Lebens von ihm und seinen Schülern zum Teil
verwirklicht werden konnte. Er äußert hierin mit Recht die Überzeugung, daß die
theoretische Astronomie bzw. allgemeiner die Mechanik, die einen entscheidenden
Faktor in der Entwicklung der Mathematik des 18. Jahrhunderts bildete, ihre
Bedeutung als Quelle zur Befruchtung der mathematischen Forschung nicht eingebüßt hat.
Das erste Kapitel dieser Monographie enthält einen Überblick über die Arbeiten zum
Drei- und Vielkörperproblem im vergangenen Jahrhundert und wirft die Problema-
s
Abb. 25. Leon Lichtenstein während der Vorlesung
tik der genauen Bahnbestimmung der Erde und des Mondes unter Berücksichtigung
der Nutationen und sogenannten wahren Librationen des Mondes auf. Aurel Wint-
ner hat nach 1925 sich dieser Problematik gewidmet und u. a. erstmals strenge
Konvergenzbeweise zu den umfangreichen Hillschen Rechnungen für die Lösungen des
restringierten Bewegungsproblems des Mondes gegeben. Die folgenden Kapitel
handeln von der Gestalt der Himmelskörper und führen unmittelbar auf das Problem
der Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten, welches für mehrere Jahre eine
Hauptproblematik der Lichtensteinschen Forschungen bildete und für die er auch
mehrere seiner Schüler wie Ernst Holder, Karl Maruhn, V. Garten und E.
Kahler begeistern konnte. Bekanntlich ist für das Gleichgewicht einer etwa um die
z-Achse mit der Winkelgeschwindigkeit co rotierenden Flüssigkeitsmasse T
notwendig, daß das Gesamtpotential der Einheitskräfte U(x, y, z) auf dem Rand S von T

Leon Lichtenstein 211
konstant ist:
U(x, y, z) = xV(x, y, z) + co2(x2 + y2) = const; (2)
V(x, y, z) = Newtonsches Potential von T, x = Gravitationskonstante.
Als Lösung von (2) fanden bereits Maclaurin Rotationsellipsoide, die sich stetig
mit co ändern, und Jacobi später dreiachsige Ellipsoide in stetiger Abhängigkeit
von co. Nach Poincare, der die Theorie rotierender Flüssigkeiten stark gefördert hat,
muß die Winkelgeschwindigkeit der Beziehung
co2 < 2nfx, f = Dichte der Flüssigkeit, (3)
genügen, damit die Resultierende aus der Anziehungs- und der Zentrifugalkraft nach
innen gerichtet ist bei verschwindendem Außendruck. Nach Lichtenstein ist (3)
auch für beliebige konstante Außendrücke notwendig. Poincare hatte, auf mehr
heuristische Schlußweisen gestützt, die Existenz von neuen Gleichgewichtsfiguren
in Nachbarschaft der oben genanngen Flüssigkeitsellipsoide postuliert. Der russische
Mathematiker Ljapounoff, der bereits 1884 auf Grund von umfangreichen
Näherungsrechnungen zu ähnlichen Vermutungen gelangt war, konnte auf Grund der
Diskussion einer Integrodifferentialgleichung 1903 eine Reihe derartiger Sätze streng
begründen. Da die Theorie der linearen Integralgleichungen nicht benutzt wird,
erweisen sich die fundamentalen Untersuchungen von Ljapounoff, die auch wichtige
Stabilitätsbetrachtungen einschließen, leider als sehr schwer lesbar und
unübersichtlich. Dies mag Lichtenstein bewogen haben, den genannten Problemkreis neu
aufzugreifen. Er hat in einer ganzen Reihe von größeren Abhandlungen neue Existenz-
und Stabilitätssätze für die Verzweigung homogener oder auch heterogener,
rotierender Flüssigkeiten sowie für die Dynamik inkohärenter Medien aufgestellt. Unter den
zahlreichen Lösungsbeispielen befindet sich der Nachweis von ringförmigen
Gleichgewichtsfiguren mit oder ohne Zentralkörper, ferner flüssige Doppel- und
Mehrfachsternsysteme. Die Untersuchung eines nichthomogenen Flüssigkeitskörpers führte ihn
zur Existenz einer Gleichgewichtsfigur, die aus zwei Einzelmassen besteht, welche
nur einen Punkt gemeinsam haben. Des weiteren konnte er im Rahmen dieser
erweiterten Theorie eine strenge Begründung für die schon ältere auf Clatraut
zurückgehende Theorie des Erdkörpers geben, wenn man annimmt, daß dieser aus
konzentrischen Schichten verschiedener Dichte besteht. Lichtenstein veröffentlichte noch
1933 kurz vor seinem Tode die Monographie ,,Gleichgewichtsfiguren rotierender
Flüssigkeiten". Hierin faßt er in vereinfachter Form seine Arbeiten und die seiner
Schüler einheitlich zusammen und behandelt darüber hinaus eine Reihe neuartiger
Probleme. Es sei Tx eine Gleichgewichtsfigur in Nachbarschaft einer bekannten
Figur T mit den Rändern
S1:x1 = x0 + a£, yx = y0 + 6f, zx = z0 + c£,
S2-ßo = 3o(f, V), Vo = Vo(£, y), Zo = z0(£ V)-
f, 7] sind Gaußsche Koordinaten; a, &, c die Richtungscosinus der Flächennormalen v
an S und f = C(|, rj) die Verschiebung längs dieser. Zur Bestimmung von Tx wird
die Differenz der Gesamtpotentiale U1 — U = s nach Potenzen von f entwickelt.
Lichtenstein erhält über eine Kette kunstvoller Rechnungen über das Komplexe hin-

212 Teil III
weg die fundamentale Integrodifferentialgleichung des Problems:
y£ + P- £' da' = s + R*k + ^- (a2 + &2) C2
Je 2*
s
- 2Rt?l£ - (a2 + &2) AC2 - — {F(2> + F<3) + ».,; (4)
hierbei sind 7?2 = #02 + y02, X = —^ ; \p ist eine negative, nur von den Daten
2x
von 8 abhängige Funktion. V<2\ F<3>,... sind die Entwicklungsglieder für das Newton-
sche Potential und r = cos(i>, l), l = Lot vom Flächenpunkt (|, rj) auf die
Rotationsachse. Der für die Lösbarkeit von (4) wesentliche lineare Teil, die homogene lineare
Integralgleichung
K+ r^C'Ar' = 0, (5)
s
geht durch die Substitution Z = f y~y; ]// in eine Integralgleichung mit
symmetrischem Kern über. Neben zwei trivialen können weitere Nullösungen auftreten. Die
Anwendung der von Lichtenstein weiterentwickelten Schmidtschen Lösungstheorie
nichtlinearer Integralgleichungen auf (4) führt auf das bekannte Diskussionsproblem
der Verzweigungsgleichungen. In allen Fällen, in denen dieses Diskussionsproblem zu
durchsichtigen Ergebnissen führt, kann man offensichtlich Gleichgewichtslösungen T1
in Nachbarschaft von T nachweisen. Die soeben genannten Erweiterungen der
nichtlinearen Integralgleichungen hat Lichtenstein 1931 in seiner wertvollen
Monographie ,,Vorlesungen über einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integro-
Differentialgleichungen" zusammengefaßt, die die Forschungen vieler Mathematiker
außerordentlich befruchtet hat. Besonders verdienstvoll erweist sich hierin die
durchsichtige Darstellung des Diskussionsproblems der Verzweigungsgleichungen, illustriert
an einer Vielzahl interessanter Anwendungen, wie dem Existenzbeweis für
permanente Oberflächen wellen längs eines Kanals unendlicher Tiefe, ferner dem
nichtlinearen Randwertproblem
3u
Au = 0 über G a B*, — = ku\ (6)
dn
allgemeiner —■ = f(u), /(0) fg 0, f'(u) > 0, f(u) -> oo für u -> oo, in der Theorie
dn
der Wärmestrahlung — zuerst von Carlemann behandelt — und weiteren
Beispielen aus den bereits genannten Problemkreisen der Lichtensteinschen Arbeiten.
Wie in allen Lichtensteinschen Existenzbeweisen werden stets sukzessive
Approximationen angewandt. Bekanntlich darf man nicht ungestraft sukzessive
Approximationen mit Auswahlverfahren kombinieren, ein Versehen, das sich mehrfach in der
mathematischen Literatur findet. Wie mir E. Holder erzählte, entdeckte
Lichtenstein dieses Versehen in einer eigenen Untersuchung rechtzeitig. Seitdem habe er
sich vorgenommen, nie wieder einen Auswahlsatz anzuwenden.
C. Maxwell hat schon in Arbeiten zu einer Theorie der Ringe des Planeten Saturn
ein dynamisches Modell betrachtet, welches aus einem Zentralkörper und einer
endlichen Anzahl gleicher äquidistanter, punktförmiger Massen besteht, die längs eines

Leon Lichtenstein 213
Kreises um diesen angeordnet, dem Newtonschen Anziehungsgesetz unterworfen
sind und rotieren. Lichtenstein verallgemeinert dieses Problem in einer Reihe
interessanter Arbeiten und stellt u. a. eine strenge Theorie kleiner, aber endlicher
periodischer Bewegungen in einem mit einer kontinuierlichen Teilchendichte belegten, um
einen Zentralkörper rotierenden Ring, auch bei Anwesenheit eines Störkörpers, auf.
Diese Probleme führen auf die Bestimmung von periodischen Lösungen eines
Systems gewöhnlicher Integrodifferentialgleichungen. Hierbei ist es sehr interessant,
wie es bei Vorliegen von drei linear unabhängigen Nullösungen Lichtenstein in
enger Anlehnung an die physikalischen und geometrischen Gegebenheiten gelingt,
das System der Verzweigungsgleichung erfolgreich zu diskutieren. Diese Methoden
haben nichts an Aktualität eingebüßt trotz großer Fortschritte in den freilich mehr
qualitativen statt quantitativen Verfahren zur Bifurkationstheorie.
In drei großen Abhandlungen über Existenzprobleme der Hydrodynamik löste
Lichtenstein erstmalig das Anfangswertproblem für die instationären
Bewegungsgleichungen homogener und heterogener, inkompressibler, idealer Flüssigkeiten für
ein hinreichend kleines Xeitintervall. Dabei kann sich die Flüssigkeit in einem
abgeschlossenen deformierbaren Gefäß befinden, in dem hinreichend reguläre Körper
eingetaucht sind, oder sie kann den Außenraum derartiger Gefäße ausfüllen.
Weiterhin konnte Lichtenstein die Helmholtzschen und Kirchhoffschen Wirbelsätze über
Wirbelfäden unendlich kleinen Querschnitts auf den physikalisch realisierbaren Fall
geeignet gestalteten Querschnitts übertragen, indem er allgemein das instationäre
Anfangswertproblem für die Bewegung der Flüssigkeit bei Vorgabe von
geschlossenen, unendlich langen oder an Gefäßwänden endigenden Wirbeln endlichen
Querschnitts T löste. Lichtenstein geht hier von der Lagrangeschen Form der
Bewegungsgleichungen für x(t, a, b, c), y(t, a, b, c), z(t, a, b, c) und den Cauchyschen
Relationen
dx dx dx
da cb de
c
dz dz
Hc
Co
(?)
für Wirbelkomponenten:
1 Idw
u(x, y, z, t)
dv\ _ 1 Idv du\
~~ Hz~l " ' ~'~2 \~dx~ ~~ ~dyj '
dx dz
, ..., W{X, V, Z,t) =
dt - dt
bei konservativen Kräften aus und setzt diese in die Darstellungsformeln bei
Voraussetzung der Inkompressibilität
2n dz J r 2n dy J r
T T
2n dy J r 2n dx J r
(8)

214 Teil III
ein. Die Integration nach der Zeit ergibt das System von Integrodifferentialgleichun-
gen (9) für x(t, a, b, c), ..., z(t, a, b, c)
t
x = a + / dt) —ifdr'-i / — C'cZt'L
^ J \ 2n dz J r ^ 2n dy J r \*
t0 ( T T )
Z = C +
J ] 2n dy J r 2n dx J r \\
t0 { T T ) )
nach Einsetzen der Relation (7), welches für kleine Zeiten durch sukzessive
Approximationen gelöst werden kann. Mit dem gleichen Ansatz gelangt Lichtenstein auch
zur Lösung des Anfangswertproblems für instationäre Strömungen inkompressibler,
idealer Flüssigkeiten. Bei nicht konstanter Dichte kann man den Druck nicht mehr
eliminieren und gewissermaßen hinterher berechnen. Lichtenstein mußte daher seine
berühmt gewordene elliptische, nichtlineare Differentialgleichung für den Druck in
einer heterogenen Flüssigkeit herleiten:
dx q dx dy q dy dz q dz dx dy dz
_ j/M* + /iüY , /M1 - 2— — + 2^d— + 2 — d^\ (10)
\\dxj \dyj \dz) dy dx dz dx dz dy\
An Stelle der Cauchyschen Formeln (7) treten im heterogenen Fall wie auch bei
nicht mehr konservativen Kräften die analogen, aber wesentlich komplizierteren
Formeln von Fbiedmann, in welche noch die ersten Ableitungen des Drucks und der
Kraftkomponenten nach den Lagrangeschen Variablen auftreten. Diese Formeln
an Stelle von (7), kombiniert mit (9) und der genannten Druckgleichung, ergeben
schließlich einen vollständigen Satz von Funktionalgleichungen für die Lösung des
instationären Anfangswertproblems für heterogene, inkompressible, ideale
Strömungen. Wieder führen sukzessive Approximationen zum Ziel. Freilich gestaltet sich
der Konvergenzbeweis sehr verwickelt wegen der sich notwendig machenden Umtrans-
formationen. Diese Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise für die genannten
Flüssigkeitsströmungen in mehrfach zusammenhängenden Gebieten mit auch vorgebbar
veränderlichen Grenzen stellen eine Meisterleistung dar; nur wer diese Arbeit
durchstudiert hat, wird ermessen, welche Schwierigkeiten sich Lichtenstein während
diesen Untersuchungen entgegenstellten. 1933, kurz vor Lichtensteins Tod, haben
W. Wolibner und Ernst Holder unabhängig voneinander in der Mathematischen
Zeitschrift 37 (1933) Beweise für die unbeschränkte zeitliche Fortsetzbarkeit der von
Lichtenstein nur für ein kleines Zeitintervall konstruierten Lösungen des
Anfangswertproblems einer stetigen, ebenen Bewegung einer inkompressiblen, homogenen
Flüssigkeit veröffentlicht.
Mit dieser knappen Charakterisierung der Lichtensteinschen Originalarbeiten ist
der Umfang bei weitem noch nicht vollständig umrissen. Ich denke etwa an die
Arbeiten im Jahre 1928 über einen Existenzbeweis für das Anfangswertproblem
stationärer zäher Strömungen einer inkompressiblen Flüssigkeit bei hinreichend kleinen

Leon Lichtenstein 215
Geschwindigkeiten, in der Lichtenstein mit Hilfe der bereits genannten elliptischen
Differentialgleichung für den Druck ein System von Integrodifferentialgleichungen
gewinnt, welches seiner Standardmethode, sukzessive Approximationen, zugänglich
wird. Dank der Arbeiten von J. Leray, R. Finn, 0. Ladyschenskaya und anderer
hat man heutzutage bekanntlich auch für große Reynoldssche Zahlen weitreichende
Existenzsätze. Ich denke weiter noch an die hübsche Arbeit von 1924, in der
Lichtenstein die erste Randwertaufgabe der linearen Elastizitätstheorie auf die
Lösbarkeit einer Fredholmschen Integralgleichung für die Divergenz des
Deformationstensors zurückführen kann, und noch weiter an das bemerkenswerte auf der
Integralgleichungstheorie basierende kombinatorische Verfahren zur Lösung von
Randwertaufgaben linearer elliptischer Differentialgleichungen. Eine breite Grundlage für die
mathematischen Forschungen in der Hydrodynamik schuf 1929 das Lehrbuch von
Lichtenstein „Grundlagen der Hydrodynamik", das 1968 neu aufgelegt wurde.
Das Buch enthält die in den genannten Arbeiten gewonnenen Lichtensteinschen
Forschungsergebnisse zur Theorie der Gleichgewichtsfiguren rotierender
Flüssigkeiten, die Existenz- und Eindeutigkeitssätze für die Bewegung inkompressibler,
inhomogener Flüssigkeiten und unter anderem eine originelle Einführung in die
Hydrostatik durch Verwendung der Variationsrechnung. Das Buch schuf eine sichere
Grundlage für eine strenge Mathematisierung wesentlicher Gebiete der
Hydromechanik auf einem höheren mathematischen Niveau, als es bei der theoretisch
physikalischen Behandlung aktueller hydrodynamischer Probleme üblich war und auch noch
heute ist. Wenngleich die rasante Entwicklung der Strömungsmechanik rasch an dem
Inhalt des Buches vorbeizog in Richtung auf die Theorie zäher
Flüssigkeitsströmungen, der theoretischen Gasdynamik und der freien Strahlprobleme, so bildete es doch
einen wichtigen Meilenstein in der geschichtlichen Entwicklung der theoretischen
Hydrodynamik. Es nimmt nicht wunder, daß Lichtensteins Buch unterschiedliche
Kritiken erfuhr, wie die sehr positive von N. J. Muschelisvili und die einschränkende
Kritik von R. von Mises. Die Einführung moderner, strenger, mathematischer
Lösungsmethoden in ein Anwendungsgebiet der Mathematik wie die Kontinuums-
mechanik wird, selbst wenn diese konstruktiv sind, von der breiten Masse der auf
diesem Gebiet mehr an aktuellen Problemen Arbeitenden gern übersehen oder mit
äußerster Zurückhaltung zur Kenntnis genommen. Und doch müßte auf lange Sicht
der Entwicklungsstrom der Kontinuumsmechanik oder der jedes anderen Zweiges der
Naturwissenschaften versiegen, wenn er allein durch die vorhandene Mathematik und
nicht auch durch deren Fortschritte gespeist würde. Lichtenstein hat in den elf
Jahren seiner Leipziger Tätigkeit eine sehr erfolgreiche, sich beinahe auf alle
mathematischen Disziplinen erstreckende Lehrtätigkeit entfaltet und erfreute sich bei den
Studenten großer Beliebtheit. Er hat viele Schüler zur Mitarbeit anregen können,
wie Ernst Holder, Karl Maruhn, Aurel Winter, Erich Kahler und V. Garten.
Der unvergeßliche J. Schauder weilte 1931/32 in Leipzig anläßlich eines
Studienaufenthaltes bei Lichtenstein.
Leon Lichtenstein starb am 21. August 1933 auf einer kurzen Urlaubsreise in
Zakopane an einem Herzversagen im Alter von 55 Jahren. Wie 0. Holder in seinem
Nachruf sagte: ,,Überblicken wir die lange Reihe seiner Publikationen, ..., so
erkennen wir, wie Lichtenstein zu immer schwierigeren und umfassenderen Problemen
fortgeschritten ist. Wenn wir ihn nicht so früh verloren hätten, würde er uns noch
viele schöne Arbeiten, vielleicht noch bedeutenderer Art geschenkt haben."

216 Teil III
Lichtensteins früher Tod muß in ursächlichem Zusammenhang mit der Ende
Januar 1933 erfolgten Errichtung des faschistischen Regimes in Deutschland gesehen
werden, das untrüglich sein menschenverachtendes Geschrei gleich am Anfang seiner
Machtergreifung auch gegen ihn erhob.
Ernst Holder, ein treuer Schüler Lichtensteins, der auch in den 30iger Jahren
ungeachtet persönlicher Nachteile bei jeder Gelegenheit auf die großen Verdienste
seines Lehrers hinwies, hat die Lichtensteinsche Forschungstradition an unserer
Universität aufrechterhalten und sie an seine Schüler weitergegeben.
Literaturverzeichnis1)
[1] Lichtenstein, L.: Grundlagen der Hydromechanik, Springer, Berlin 1929.
[2] Lichtenstein, L.: Astronomie und Mathematik in ihrer Wechselwirkung, Verlag S. Hirzel,
Leipzig 1923.
[3] Lichtenstein, L.: Vorlesungen über einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und
Integro-Differentialgleichungen nebst Anwendungen, Berlin 1931, S. 1—42.
[4] Lichtenstein, L.: Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten, Springer, Berlin
1933, S. 1-174.
[5] Lichtenstein, L.: Über den analytischen Charakter der Lösungen regulärer
zweidimensionaler Variationsprobleme, Bull. Acad. Sc. Cracovie (1912), 915—941.
[6] Lichtenstein, L.: Über eine Integro-Differentialgleichung und die Entwicklung
willkürlicher Funktionen, Math. Abh. Hermann Amandus Schwarz, Springer, Berlin 1914,
S. 274-285.
[7] Lichtenstein, L.: Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren rotierender
Flüssigkeiten, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze anziehen, Math. Z. 1
(1918), 229-284; 3 (1919), 172-174; 7 (1920), 126-231.
[8] Lichtenstein, L.: Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren rotierender
Flüssigkeiten, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze anziehen. 3. Abh.:
Nichthomogene Flüssigkeiten, Figur der Erde, Math. Z. 36 (1933), 481-562.
[9] Lichtenstein, L.: Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. 1. Abh.: Die
Laplacesche Theorie des Erdmondes, Math. Z. 10 (1921), 130-159.
[10] Lichtenstein, L.: Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. 2. Abh.: Eine
aus zwei getrennten Massen bestehende Gleichgewichtsfigur rotierender Flüssigkeit,
Math. Z. 12 (1922), 201-218.
[11] Lichtenstein, L.: Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. 3. Abh.:
Ringförmige Gleichgewichtsfiguren ohne Zentralkörper, Math. Z. 13 (1922), 82—118.
[12] Lichtenstein, L.: Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. 4. Abh.: Zur
Maxwellschen Theorie der Saturnringe, Math. Z. 17 (1923), 62—110.
[13] Lichtenstein, L.: Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. 5. Abh.: Neue
Beiträge zur Maxwellschen Theorie der Saturnringe, Festschrift für V. Seeliger, Berlin
1924, S. 200-227.
[14] Lichtenstein, L.: Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. 6. Abh.:
Weitere Beiträge zur Maxwellschen Theorie der Saturnringe, Ann. Scuola. Norm. Pisa (2) 1
(1932), 173-213.
[15] Lichtenstein, L.: Über einige Existenzprobleme der Hydrodynamik. Abh. 3.:
Permanente Bewegungen einer homogenen inkompressiblen zähen Flüssigkeit, Math. Z. 28
(1928), 387-415.
1) In diesem Literaturverzeichnis sind nur diejenigen Arbeiten Lichtensteins angegeben,
auf welche im Text eingegangen wird.

Leon Lichtenstein 217
[16] Lichtenstein, L.: Über die erste Randwertaufgabe der Elastizitätstheorie, Math. Z. 20
(1924), 21-28.
[17] Lichtenstein, L.: Neue Beiträge zur Theorie der linearen partiellen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, Math. Z. 20 (1924), 194—212.
[18] Lichtenstein, L.: Über einige Existenzprobleme der Hydrodynamik homogener, unzu-
sammendrückbarer, reibungsloser Flüssigkeiten und die Helmholtzschen Wirbelsätze,
Math. Z. 23 (1925), 89-154.
[19] Lichtenstein, L.: Über einige Existenzprobleme der Hydrodynamik. 2. Abh.:
Nichthomogene, unzusammendrückbare, reibungslose Flüssigkeiten, Math. Z. 26 (1927), 196
bis 323.
[20] Ljapounoff, A.: Sur un probleme de Tschebycheff, Mem. Acad. Sei. Petersbourg 17,
Nr. 3(1905), 1-31.
[21] Ljapounoff, A.: Sur les figures d'equilibre peu differentes des ellipsoides d'une masse
liquide homogene dou£e d'un mouvement de rotation, Mem. Acad. Sei. Petersbourg (1906),
1-225.
[22] Holder, E.: Die Lichtensteinsche Methode für die Entwicklung der zweiten Variation,
angewandt auf das Problem von Lagrange, Prace mat.-fiz. 43 (1936), 307 — 346.
[23] Wintner, A.: Über die Existenz der Hillschen Mondbahn of maximum lunation und der
Poincareschen Schlingbahnen, Math. Z. 28 (1928), 430-450.

B. L. van der Waerdens Wirken
von 1931 bis 1945 in Leipzig1*
Günther Eisenreich (Leipzig)
Bartel Leendert
van der Waerden (geb. 1903)
Als es nach der Emeritierung von Otto Holder im Jahre 1928 notwendig wurde, den
vakanten Lehrstuhl neu zu besetzen, war das keine leichte Aufgabe, ging es doch
nicht nur darum, einen würdigen Nachfolger Hölders zu finden, sondern zugleich
darum, die von ihm vertretene geometrisch-algebraische Forschungsrichtung
fortzusetzen. Blaschke und Tietze, die zunächst in Aussicht genommen waren, lehnten
ab; ein zweiter Berufungsvorschlag mit Artin und Radon war gleichfalls erfolglos.
Da entschloß sich im Mai 1930 die Kommission zur Wiederbesetzung der ordentlichen
Professur für Mathematik, der neben dem Dekan die Professoren 0. Holder, Le
Blanc, Bauschinger, Lichtenstein, Weidemann und Koebe angehörten, keinen
Deutschen, sondern — und zwar als einzigen — den jungen niederländischen
Mathematiker Bartel Leendert van der Waerden vorzuschlagen. Van der Waerden,
geb. am 2. Februar 1903 in Amsterdam, hatte nach einem Mathematikstudium an
den Universitäten Amsterdam und Göttingen von 1919 bis 1925 am 24. 3. 1926 an
der Amsterdamer Universität als Schüler von de Vries mit der Arbeit „De algebraiese
grondslagen der meetkunde van het aantal" zum Dr. phil. promoviert und sich am
26. 2. 1927 in Göttingen habilitiert, war 1926/27 an der Universität Hamburg, 1927/28
Assistent und Privatdozent an der Universität Göttingen, erhielt Anfang 1928 einen
Ruf nach Rostock und wurde am 6. Mai 1928 als Ordinarius nach Groningen berufen.
In ihrem Berufungsantrag hebt die Kommission die große Anzahl sehr wertvoller
Arbeiten auf dem Gebiet der Algebra, der algebraischen Geometrie, Zahlentheorie und
Topologie hervor. Sie schreibt weiter wörtlich:
„Ein zentrales Problem der Algebra und der algebraischen Geometrie, die Theorie der
Elimination ist es vor allem, dem die Bemühungen van der Waerdens gelten. Mit
dem Problem der Elimination, mit dem aufs innigste die Begründung der abzählenden
Geometrie zusammenhängt, haben sich die Algebraiker seit 200 Jahren intensiv
beschäftigt, ohne dass es gelang, zu vollkommen befriedigenden, abschliessenden
x) Bei der Abfassung dieses Artikels konnten einige Angaben aus dem Archiv der Karl-Marx-
Universität herangezogen werden.

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 219
Ergebnissen zu kommen. Wie unangenehm die hier noch vorhandenen Lücken
empfunden wurden, erhellt unter anderem daraus, daß Hilbert in seinem berühmten
Vortrag »Mathematische Probleme' (1900) unter den Aufgaben, deren Lösung ihm
als dringend erwünscht erschien, die Begründung der abzählenden Geometrie nennt.
Unter Zuhilfenahme funktionen-, zahlen- und mengentheoretischer Methoden sind
zwar seit 1900 auf dem in Betracht kommenden Gebiete durch Hensel und
Landsberg, Steinitz und namentlich E. Noether wichtige Einzelfortschritte gemacht
worden, doch blieben die wesentlichen Aufgaben im ganzen noch ungelöst. In einer
Reihe von Abhandlungen, die zumeist in den Mathematischen Annalen erschienen
sind, gelang es nun van der Waerden, gestützt auf die Resultate seiner Vorgänger,
unter Verwendung neuer geistreicher Hilfsmittel sowohl algebraischer als auch mehr
topologischer Natur den Problemen eine neue Wendung zu geben und entscheidende
Fortschritte zu erzielen. Es ist zu erwarten, dass namentlich die abzählende
Geometrie, deren Ergebnissen man bis jetzt mit nicht unberechtigter Skepsis gegenüberstand,
von den Methoden und Resultaten von van der Waerden den grössten Nutzen ziehen
wird.
Neben der Theorie der Elimination und im Zusammenhang mit dieser beschäftigte
sich van der Waerden mit grossem Erfolg in mehreren Abhandlungen mit der
Idealtheorie sowohl im engeren, zahlentheoretischen Sinne, als auch mit der Idealtheorie
der Po'ynome, mit der Invariantentheorie sowohl in der Algebra als auch in der
Riemannschen Geometrie, mit speziellen topologischen Fragen mehrdimensionaler
Mannigfaltigkeiten, in einigen kleineren Arbeiten schliesslich mit Problemen der
Theorie algebraischer Zahlkörper und der Mengenlehre.
Van der Waerden ist ein sehr starkes, vorwiegend algebraisch und algebraisch-
geometrisch orientiertes Talent voll von jugendlichem Schwung und voll Frische.
Schon jetzt zählt er zu den bedeutenden Mathematikern dieser Richtung in der jungen
Generation, und es wird zweifellos manches heute noch ungelöste Problem durch ihn
der Lösung zugeführt werden. Es mag in diesem Zusammenhang noch einmal darauf
hingewiesen werden, dass gerade die Algebra und Geometrie, insbesondere ihre mehr
algebraisch gefärbten Kapitel, es sind, die früher in Leipzig durch Holder, Rohn und
Herglotz mit Erfolg gepflegt wurden; eine Tradition, deren Fortführung durch van
der Waerden als besonders willkommen bezeichnet werden müsste.
Van der Waerden, der die deutsche Sprache in vollendeter Weise beherrscht, ist
auch ein vorzüglicher Lehrer."
Mit Wirkung vom 1. Mai 1931 wurde van der Waerden zum ordentlichen
Professor der Mathematik an der Philosophischen Fakultät der Universität Leipzig ernannt
und vom gleichen Zeitpunkt an zum Mitdirektor des Mathematischen Seminars und
des Mathematischen Instituts bestellt. Am 27. Juni 1931 — mittags 12 Uhr — hielt
er in der Aula seine Antrittsvorlesung über „Die Gruppentheorie als ordnendes
Prinzip".
Van der Waerden hat an der Leipziger Universität, an der er bis 1945 gewirkt
hat, zahlreiche Vorlesungen auf den verschiedensten mathematischen Gebieten
gehalten, nicht nur über Algebra einschließlich Galoisscher Theorie, algebraische
Kurven und Funktionen, Gruppentheorie mit Anwendungen in der
Quantenmechanik; über Zahlentheorie, Topologie, Geometrie (analytische, projektive, darstellende,
nichteuklidische) und über Differential- und Integralrechnung und Vektoranalysis,

220 Teil III
sondern auch über mathematische Physik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik (auch für Mediziner und Biologen), Geschichte der Mathematik
sowie über numerische und graphische Methoden. (Vgl. Abb. 26.)
Viele der wissenschaftlichen Arbeiten van der Waerdens stammen aus der
Leipziger Zeit.1) Er hatte in Göttingen bei Emmy Noether Algebra gehört und war daher
in scharfem begrifflichem algebraischem Denken geschult; in seinem warmherzigen
C
• l ' >
v
Abb. 26. B. L. van der Waerden
während der Vorlesung
Nachruf [52] auf Emmy Noether würdigt er ihre Bedeutung für die Herausbildung
der modernen abstrakten Algebra. Was nimmt es daher wunder, daß er, der sich in
besonderem Maße für die algebraische Geometrie interessierte, sich daran machte,
die algebraische Geometrie in ihren algebraischen Grundlagen neu zu durchdenken.
Namentlich die italienische Schule hatte in Anschluß an Max Noether ein
bewundernswürdiges Gebäude der algebraischen Geometrie errichtet, in seinen logischen
Grundlagen stand es aber auf tönernen Füßen, und viele grundlegende Begriffe
bereits waren nur unscharf definiert.2) (Man erinnere sich daran, daß es zu Zeiten
x) Auf die späteren der über 250 Veröffentlichungen van der Waerdens können wir hier
nur hinweisen.
2) Einen guten Eindruck von einigen Hauptlinien der Entwicklung der algebraischen
Geometrie und von dem Beitrag van der Waerdens hierzu gibt sein Vortrag „The foundation
of algebraic geometry from Severi to Andre Weil", Arch. Hist. Exact Sei. 7 (1970/71), 171 —180.
Außerdem ist in dieser Hinsicht die Lsktüre der Arbeit „The foundation of algebraic geometry",
Rendiconti Semin. mat. fis. Milano 39 (1969), 3 — 11, zu empfehlen.

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 221
Eulers ähnlich beispielsweise mit dem Begriff der unendlichen Reihe aussah; auch
hier wurden die Klassiker in der Regel nur durch ihren mathematischen Instinkt
davor bewahrt, falsche Resultate zu erzielen; eine systematische Untersuchung war
aber erst mit der Schaffung eines sauberen Konvergenzbegriffs möglich.) Mit seinen
Veröffentlichungen zur algebraischen Geometrie, in denen er herausarbeitet, daß
zahlreiche Begriffsbildungen der Geometrie ihrem eigentlichen Wesen nach algebraisch
sind und nur mit algebraischen Methoden scharf erfaßt werden können, hat van der
Waerden deren Entwicklung maßgeblich mitbestimmt und die Notwendigkeit einer
strengen Begründung bewußt gemacht.
Während Kronecker durch sukzessive Elimination alle Lösungen eines Systems
algebraischer Gleichungen zu gewinnen lehrt und auf diese Weise dartun kann, daß
jede algebraische Mannigfaltigkeit im w-dimensionalen Raum Vereinigung irreduzibler
Mannigfaltigkeiten ist, zeigt van der Waerden in der Arbeit [5], wie man dasselbe
Ziel einfacher ohne Eliminationstheorie erreichen kann, indem man sich auf die
Körper- und Idealtheorie stützt. Die Menge der Polynome in n Unbestimmten
die verschwinden, wenn man die Koordinaten eines beliebigen Punktes unserer
algebraischen Mannigfaltigkeit einsetzt, bildet ein Ideal im Polynomring R über dem
betreffenden Grundkörper (etwa (C), und zwar ein Primideal p, wenn es sich um eine
irreduzible Mannigfaltigkeit handelt, und umgekehrt definiert jedes Primideal in
R eine irreduzible Mannigfaltigkeit. Bezeichnet man mit £lf ..., £n die kanonischen
Bilder von xl9 ...,#„ im Restklassenring R/p, so können wir £lf ..., |n als algebraische
Funktionen einer gewissen Anzahl unabhängiger Elemente hiervon auffassen und
gelangen auf diese Weise zu einer Parameterdarstellung unserer Mannigfaltigkeit.
Der Primärzerlegung eines Nichtprimideals entspricht die Darstellung einer
algebraischen Mannigfaltigkeit als Vereinigung endlich vieler irreduzibler, und die Dimension
einer Mannigfaltigkeit ist gleich der Dimension des entsprechenden Ideals, d. h.
dem Maximum der Dimensionen der zugehörigen Primideale, wobei die Dimension
eines Primideals etwa durch die maximale Länge einer aufsteigenden Primidealkette
gegeben wird (Krulldimension).
Auf diese Weise gelang es van der Waerden zugleich, den von den italienischen
Geometern so gern gebrauchten Begriff des allgemeinen Punktes (punto generico)
auf einer algebraischen Mannigfaltigkeit sauber algebraisch zu fassen. Das sollte ein
Punkt sein, der — grob gesprochen — keine Eigenschaften besitzt, die nicht jedem
Punkt zukommen, so daß man nur den allgemeinen Punkt zu betrachten brauchte,
wenn man sich für irgendwelche Eigenschaften der betreffenden Mannigfaltigkeit
interessiert. So einen Punkt konnte es natürlich strenggenommen nicht auf der
Mannigfaltigkeit geben, denn jeder spezielle Punkt auf der Mannigfaltigkeit hat eine
bestimmte Lage, es gibt durch ihn gegebenenfalls eine bestimmte Tangentialebene und
dergleichen mehr. Da es sich aber um algebraische Geometrie handelt, sind in
Wahrheit nur die algebraischen Eigenschaften von Belang; in diesem Sinne heißt also ein
Punkt allgemein, wenn jedes System algebraischer Gleichungen, das für den
allgemeinen Punkt erfüllt wird, auch für einen beliebigen Punkt der Mannigfaltigkeit gilt.
Es ist hier in gewissem Sinne ähnlich wie mit dem Begriff der allgemeinen Lage
eines Systems von Punkten im w-dimensionalen euklidischen Raum. Hier verlangt
man, daß für m fg n keine m + 1 Punkte einer linearen Teilmannigfaltigkeit der
Dimension < m angehören, und das heißt gerade, die Punkte sollen allgemein in
bezug auf lineare Relationen (affine Abhängigkeit) sein.

222 Teil III
Mit den obigen Bezeichnungen ist nun in der Tat der Punkt mit den Koordinaten
(fi>--->ln) allgemeiner Punkt unserer Mannigfaltigkeit. (Natürlich erfordert das
vorher eine entsprechende allgemeinere Fassung des Punktbegriffs; man darf nicht
mehr verlangen, daß die Koordinaten eines Punktes dem Grundkörper angehören.)
In mehr geometrischer Auffassung können wir also auch sagen, daß ein Punkt dadurch
zum allgemeinen Punkt wird, daß wir ihn von so vielen allgemeinen (unbestimmten)
Parametern abhängig ansehen, wie die Dimension der Mannigfaltigkeit angibt.
Ein weiterer kritikwürdiger Begriff der alten algebraischen Geometrie war der der
Vielfachheit oder Multiplizität y beispielsweise von Punkten, die etwa einem Punkt
in einer algebraischen Korrespondenz entsprechen, oder von Schnittpunkten
algebraischer Mannigfaltigkeiten und damit in Zusammenhang das auf H. Schubert
zurückgehende Prinzip der Erhaltung der Anzahl. Die strenge Begründung des Schu-
bertschen Abzählungskalküls hatte schon Hilbert in seinem 15. Problem gefordert.
Zu diesem Zweck definiert van der Waerden in [8], gestützt auf Sätze über
homogene Gleichungssysteme [6], den Begriff der Multiplizität für Normalprobleme, d. h.
für geometrische Probleme, deren Lösung auf die Lösung eines homogenen
Gleichungssystems zurückgeführt werden kann. Die Gleichungen sollen nur endlich viele
Lösungen besitzen. Hätte man wie im Fall des Körpers der komplexen Zahlen einen
Limesbegriff zur Hand, so könnte man zeigen, daß bei einem Grenzübergang der
eingehenden Parameter die Lösungen X& in Lösungen Y<?) übergehen, wobei als
Multiplizität einer Lösung Y(*> die Anzahl der Lösungen X& zu nehmen ist, die Y^
als Limes haben; völlig neu auftretende Lösungen wären also mit der Vielfachheit
Null zu zählen. Dann gilt offenbar das Prinzip der Erhaltung der Anzahl: Die Anzahl
der Lösungen, jeweils genommen mit ihrer Vielfachheit, bleibt konstant. Im
allgemeinen Fall, in dem kein Limesbegriff zur Verfügung steht, setzt van der
Waerden an dessen Stelle den Begriff der relationstreuen Spezialisierung: Man betrachtet
zunächst das Gleichungssystem mit unbestimmten Parametern und verlangt, daß
alle homogenen algebraischen Relationen zwischen den Lösungen X^ und den
Parametern bei der Ersetzung der X({) durch die Lösungen YM des spezialisierten
Problems und den Spezialisierungen der Parameter erhalten bleiben. Es gibt im
wesentlichen nur eine relationstreue Spezialisierung. In [46] wird später gezeigt, daß
diese Aussage auch dann gilt, wenn die Koordinaten |j nicht algebraisch unabhängig
sind (was dem Fall des ganzen affinen oder projektiven Raums entspricht), sondern
die Koordinaten eines einfachen Punktes einer algebraischen Mannigfaltigkeit bilden.
Wichtig ist aber die Feststellung, daß der Begriff der Multiplizität nur Sinn in bezug
auf eine Parameterspezialisierung aus einem allgemeinen Problem hat.
In relativ einfacher Weise kann man beispielsweise die Multiplizität der
Schnittpunkte von n Hyperflächen von den Graden m,- im w-dimensionalen projektiven
Raum ]Pn einführen. Man muß dazu die sogenannte u-Resultante der die Hyperflächen
definierenden Formen bilden, d. h. die Resultante der n + 1 Formen, die man erhält,
wenn man noch eine allgemeine Linearform JJ ukxk (uk Unbestimmte) hinzunimmt;
diese hat den Grad fj nij in den ux. Die Exponenten in der Faktorzerlegung der u-
Resultante in einem passenden Erweiterungskörper sind dann die gewünschten
Multiplizitäten, und man erhält hierfür (natürlich unter der Voraussetzung, daß es
nur endlich viele Schnittpunkte gibt) den (speziellen) Bezoutschen Satz: Die Anzahl
der Schnittpunkte, genommen mit ihrer Vielfachheit, ist gleich dem Produkt der
Gradzahlen der betreffenden Hyperflächen.

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 223
Allgemeiner versteht man unter „Bezoutscher Satz" die Aussage, daß im n-dimen-
sionalen projektiven Raum die Summe der Multiplizitäten der Schnittpunkte einer
r-dimensionalen und einer (n — r)-dimensionalen algebraischen Mannigfaltigkeit
gleich dem Produkt der Ordnungen dieser Mannigfaltigkeiten ist. Dabei kann man die
Ordnung einer r-dimensionalen Mannigfaltigkeit Mr geometrisch als Anzahl der
Schnittpunkte definieren, die Mr mit einem (etwa durch r lineare Gleichungen mit
Unbestimmten als Koeffizienten gegebenen) allgemeinen (n — r)-dimensionalen
linearen Raum hat, oder algebraisch durch den Koeffizienten h0 = h0(a) in der
Darstellung der Hilbertschen charakteristischen Funktion des Mr beschreibenden
Radikalideals a
H(t,a) = h0lt\ +h(t_ \ + ••• +hr. (*)
Das wird unter anderem von van der Waerden in [16] gezeigt, und zwar mit
gegenüber Lasker moderneren Methoden ohne Syzygientheorie und ohne
Eliminationstheorie ; er behandelt dort sogar gleich den Fall von Mannigfaltigkeiten in mehrfach
(etwa zweifach) projektiven Räumen, in denen an die Stelle von (*) eine Doppelsumme
X(°> <*'> <*) = 27 ««/
mit Koeffizienten a%) für die analog gebildete charakteristische Funktion tritt, von
denen für die sogenannten Grade, d. h. die a^ mit i + j = Dimension d der
Mannigfaltigkeit, ähnliche Aussagen wie für unser obiges h0 gelten. Für ein beliebiges Ideal a
ist danach insbesondere
Ao(a) = 27V<?)-*o(P)>
P
wobei die Summation über alle zu a gehörigen höchstdimensionalen Primideale p
erfolgt, q das jeweils zu p in der Primärzerlegung von a gehörige Primärideal und l^(q)
seine idealtheoretische Multiplizität oder Länge, d. h. die Länge einer
Kompositionsreihe zwischen q und p, bedeutet.
Damit nun der Bezoutsche Satz einen Sinn hat, benötigt man natürlich eine
geeignete Multiplizitätsdefinition, an der es in der älteren algebraischen Geometrie
mangelte.
Von Hensel und Landsberg stammt eine funktionentheoretische Fassung des
Multiplizitätsbegriffs; sie definieren nämlich die Multiplizität durch die Ordnung des
Verschwindens eines gewissen Divisors auf der zu der einen Mannigfaltigkeit
gehörigen Riemannschen Fläche. Abgesehen davon, daß diese Definition zunächst auf den
Körper (C der komplexen Zahlen zugeschnitten ist (eine Verallgemeinerung auf
beliebige Körper ist mit der arithmetischen Theorie von Dedekind-Weber möglich),
funktioniert sie natürlich nur — und das wiegt schwerer — in dem Fall, daß die
Dimension r der einen Mannigfaltigkeit gleich 1 ist, denn im Fall der
Funktionentheorie mehrerer Variabler läßt sich nun mal keine sinnvolle Verschwindungsordnung
erklären.
x) Wir haben hier die originale Bezeichnungsweise gewählt, in der die Zählung gerade in
umgekehrter Richtung gegenüber (*) erfolgt.

224 Teil III
Der Vorschlag von Lasker, für die Multiplizität die Ideallänge zu nehmen, führt
zwar in dem Fall zum Ziel, daß es sich um den Schnitt einer irreduziblen
Mannigfaltigkeit mit einer Hyperfläche handelt (vgl. [16]1)), gilt aber sonst nicht allgemein [17].
Wie neuere Untersuchungen ergeben haben, hängt das Versagen dieser Multiplizi-
tätsdefinition wesentlich damit zusammen, daß die definierenden Ideale unserer
Mannigfaltigkeiten nicht notwendig in den Schnittpunkten lokal perfekt sind; eine
Hyperfläche wird jedoch durch eine algebraische Gleichung beschrieben, zu ihr gehört also
ein Hauptideal, das (als Hauptklassenideal) automatisch perfekt ist, und ein
eindimensionales Primideal (oder allgemeiner ein eindimensionales ungemischtes Ideal)
ist gleichfalls perfekt.
In dem Versagen des idealtheoretischen Multiplizitätsbegriffs ist wesentlich der
Grund zu suchen, daß sich van der Waerden in [17] und den späteren Arbeiten von
der ideal theoretischen Auffassung der Multiplizität gelöst hat und sich im allgemeinen
auf seine Spezialisierungsmultiplizität bezieht, in der Severischen Sprechweise also
keinen statischen, sondern — wie insbesondere auch A. Weil und Serre — einen
dynamischen Multiplizitätsbegriff wählt.2)
Um nun den Bezoutschen Satz für den Fall des Schnitts einer r-dimensionalen und
einer (n — r)-dimensionalen Mannigfaltigkeit im ]PM zu erhalten [17], transformiert
van der Waerden die eine Mannigfaltigkeit durch eine ausgeartete lineare
Transformation mittels einer möglichst allgemeinen Matrix vom Rang n — r + 1 in eine
Mannigfaltigkeit, die in so viele lineare Räume zerfällt, wie ihr Grad beträgt. Ein
wesentlich vereinfachter Beweis hierfür unter Vermeidung der Idealtheorie wird
später in [71] gegeben.
Wenn als Grundkörper der Körper der komplexen Zahlen dient, bietet es sich an,
statt des algebraisch definierten Multiplizitätsbegriffs den topologischen Schnittindex
zu verwenden; es zeigt sich nicht nur, daß man hierfür dasselbe erhält [23], sondern
man kann die topologische Methode z. B. auch dann einsetzen, wenn man es nicht mit
Gebilden zu tun hat, die wie der projektive Raum eine transitive Gruppe von
Transformationen in sich gestatten. Der Beweis der hierfür benötigten Tatsache, daß eine
irreduzible algebraische Mannigfaltigkeit im Komplexen einen rein 2r-dimensionalen
Komplex bildet, wird in [41] nachgetragen.
Mit der Reihe seiner Arbeiten ,,Zur algebraischen Geometrie" (ZAG) nimmt van
der Waerden eine systematische strenge Neubegründung der algebraischen
Geometrie vor, verbunden mit der Anwendung der neuen algebraischen Methoden auf
konkrete Probleme. Während er den Schnitt einer algebraischen Mannigfaltigkeit
beliebiger Dimension mit einer Hyperfläche in [16] unter Heranziehung der Hilbert-
funktion und von Kompositionsreihen von Idealen behandelt hatte, geht er hier in
x) Hier braucht also nicht einmal vorausgesetzt zu werden, daß die Dimensionen
komplementär sind, ihre Summe also gleich der Dimension des Gesamtraumes ist. Idealtheoretisch
bedeutet das gerade die Aussage
h0(a + (F)) = h0(a) ■ h0((F))
(a Primideal [oder Primärideal], F zu a prime Form).
2) Das Problem eines statischen Multiplizitätsbegriffs in Zusammenhang mit dem
Bezoutschen Satz ist inzwischen vor allem durch die Arbeiten von Budach,. Gröbner, Herrmann,
Keller, Renschuch, Serre, Stückrad und Vogel weitgehend abgeklärt worden.

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 225
[39] mit minimalem idealtheoretischem Aufwand vor und führt das Problem durch
Hinzunahme weiterer allgemeiner linearer Gleichungen auf die Bestimmung der
Schnittpunktzahl mittels der Methode der relationstreuen Spezialisierung zurück.
(Ein in [39] nicht ausgeführter Beweis für das Primbleiben eines Primideals bei
Adjunktion von Unbestimmten wird in [571 nachgetragen.) Es ergibt sich so, daß
eine r-dimensionale Mannigfaltigkeit l-ten Grades in ]Pn mit r allgemeinen Hyper-
flachen Fx = 0, ..., Fr = 0 der Grade mu ..., mr endlich viele Schnittpunkte besitzt,
deren Anzahl gleich dem Produkt der Gradzahlen lm1 ••• mr ist. Daraus folgt, daß eine
irreduzible Mannigfaltigkeit Mr vom Grade l von s Hyperflachen der Grade mlf ..., m8
in einer Mannigfaltigkeit MT_8 geschnitten wird, deren h irreduzible Bestandteile
Gradzahlen gf und Multiplizitäten //,- haben mit
Mi + — + Vh9h = lmx ••• m8,
es sei denn, die Dimensionszahl des Schnitts ist größer als r — s. Das Ergebnis läßt
sich auf Schnitte von Mannigfaltigkeiten in mehrfach projektiven Räumen
verallgemeinern. Auf diese Weise kann man die Gradzahl der Mannigfaltigkeit bestimmen,
die durch Nullsetzen der s-reihigen Unterdeterminanten einer r X s-reihigen Matrix
definiert wird, deren Elemente Formen Jc-ten Grades in x0, ..., xn sind.
Gestützt auf [39], wird in der zweiten Arbeit dieser Reihe [40] die bekannte
Aussage, daß auf einer kubischen Fläche im allgemeinen 27 Geraden liegen, auf einer
quadratischen Fläche ool, auf einer allgemeinen Fläche höheren Grades dagegen
keine, auf allgemeine algebraische Hyperflächen m-ten Grades des ]Pn
verallgemeinert: Fürm fg 2n — 3 gibt es hierauf oo(2n_3)~m Geraden, für m > 2n — 3 keine und
für m = 2n — 3 endlich viele. Alle diese sind windschief, kein Tripel liegt in einem ]P3,
kein Quadrupel hat eine gemeinsame Transversale usw. Zur Bestimmung dieser
Anzahl geht van der Waerden von 2n — 2 homogenen Gleichungen in zwei Raihen
von n + 1 Unbekannten aus, den Koordinaten von je zwei Punkten, die die gesuchte
Gerade festlegen, und wendet eine Ausschließungsmethode ähnlich [15] an, um jede
Gerade nur einmal zu zählen und ,,falsche" Lösungen auszusondern.
Nach [5] konnte man über die Koordinaten des allgemeinen Punktes zu einer
Parameterdarstellung einer irreduziblen algebraischen Mannigfaltigkeit gelangen.
Diese ist jedoch nur für die Werte der Unbestimmten erklärt, für die ein gewisses
Nennerpolynom V(£lf ..., I„) nicht verschwindet. Daher wird in ZAG III [41]
gezeigt, wie man durch eine Art Normbildung eine irreduzible Mannigfaltigkeit auf
Grund einer vorgegebenen Parameterdarstellung konstruieren kann. Hieraus ergibt
sich ein Beweis eines Satzes von J. F. Ritt: Verschwindet das Polynom g(xly ..., xn)
€ C[#i,..., xn] nicht in allen Punkten der irreduziblen Mannigfaltigkeit M, so sind alle
Punkte von M mit g = 0 Limespunkte von Punkten von M mit g 4= 0; man kann
also im funktionentheoretischen Fall aus den Punkten, für die die
Parameterdarstellung erklärt ist, durch Limesbildung zu allen Punkten der Mannigfaltigkeit
gelangen. Aus diesem Satz folgt in Verallgemeinerung einer aus der Funktionentheorie für
Riemannsche Flächen bekannten Tatsache, daß eine irreduzible Mannigfaltigkeit
in der üblichen Topologie des (Cn zusammenhängend ist.
Da sich die Berechnung der Anzahl der gemeinsamen Punkte zweier beliebiger
Teilmannigfaltigkeiten einer singularitätenfreien algebraischen Mannigfaltigkeit
M auf die Bestimmung der Homologiegruppen von M als topologische
Mannigfaltigkeit zurückführen läßt [23], werden diese in ZAG IV [43] für reguläre Quadriken M

226 Teil III
des projektiven Raumes berechnet; wenn M die Mannigfaltigkeit der Geraden des
dreidimensionalen Raums ist, ergeben sich auf diese Weise die Halphenschen
Formeln für die Anzahlen der gemeinsamen Strahlen zweier Strahlensysteme. Mit einer
Verallgemeinerung der dabei verwendeten Projektionsmethode, wie sie O.-H. Keller
durchgeführt hat, ist auch die Berechnung der Homologiegruppen der
singularitätenbehafteten Quadriken möglich.
Gestützt auf die Schnittpunktmultiplizitätsdefinition in [39], werden in ZAG V
[45] Aussagen über Einfachheit von Schnittpunkten bewiesen. So haben z. B., wenn man
eine irreduzible d-dimensionale Mannigfaltigkeit des TPn mit d Hyperflächen
schneidet, die je eine lineare Schar durchlaufen, für unbestimmte Scharparameter
diejenigen Schnittpunkte, die nicht Basispunkte einer der linearen Scharen sind, stets die
Multiplizität 1. Es genügt dazu zu zeigen, daß für unbestimmte Büschelparameter
diejenigen Schnittpunkte eines Hyperflächenbüschels mit einer irreduziblen Kurve,
die nicht Basispunkte des Büschels sind, stets einfach sind. Die zum Beweis von den
Italienern angewendete differentialgeometrische Überlegung, daß die allgemeine
Hyperflache des Büschels die Kurve nicht berühren kann, muß hierzu durch eine
Überlegung mit der Spezialisierungsmultiplizität ersetzt werden. Als Folgerung
erhält man insbesondere eine Verallgemeinerung eines Satzes von Bertini durch
Enriques : Eine allgemeine Hyperfläche eines Büschels schneidet aus einer algebraischen
Fläche eine Kurve aus, die außerhalb der Basispunkte des Büschels und außerhalb
der Doppelpunkte der Fläche keine mehrfachen Punkte besitzt. (Ein in diesem
Zusammenhang notwendiger Beweis wird in [57] genauer ausgeführt.)
Die Multiplizitätsdefinition wird in ZAG VI [46] auf den Fall algebraischer
Korrespondenzen angewendet. Eine derartige Korrespondenz wird durch eine algebraische
Mannigfaltigkeit von Punktepaaren zweier affiner bzw. projektiver Räume gegeben,
die etwa im projektiven Fall durch ein System homogener Gleichungen
definiert ist. Durch Elimination erhält man hieraus ein Resultantensystem Gx(£o'9 •..,
£m) = 0, das die Urmannigfaltigkeit 3R, und ein Resultantensystem H^tjq, ..., r)n')
= 0, das die Bildmannigfaltigkeit 31 definiert. Wenn 3R und 31 irreduzibel sind,
entsprechen jedem allgemeinen Punkt £ von 3R oc Punkte von 31 und jedem allgemeinen
Punkt rj von 31 ß Punkte von 3R. Die Koordinaten des allgemeinen Punktepaares
(£, rj) sind algebraische Funktionen von q Parametern (q = Dimension der
Korrespondenz); setzen wir etwa £0 = iy0 = 1, so ist somit q = Anzahl der algebraisch
unabhängigen unter den ljl9 ..., £m, rjl9 ...,iyn. Wenn a die Anzahl der algebraisch
unabhängigen unter den fy, b die der rfs über K(£lf ..., fTO) (K Grundkörper) ist,
so muß demnach q = a + b sein. Mit vertauschten Rollen gilt analog q = c + d:
dabei ist
a = dim 3R, c = dim 31,
b = Dimension der Mannigfaltigkeit 31$, die dem allgemeinen Punkt f
von 3R in der Korrespondenz entspricht,
d = Dimension der Mannigfaltigkeit 93^, die dem allgemeinen Punkt r\
von 31 entspricht.
In der Gleichung a + b = c + d wird das Prinzip der Konstantenzählung ausgedrückt.
(Eine kleine Beweislücke im Dimensionssatz für irreduzible Korrespondenzen wird
in [57] ausgefüllt.)

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 227
Dies wird in ZAG VIII [58] angewendet, um den Grad der Graßmannschen
Mannigfaltigkeit der m-dimensionalen linearen Teilräume des TPn zu bestimmen. Ein
elementarer Zugang hierzu mittels der Theorie der algebraischen Systeme algebraischer
Mannigfaltigkeiten wird in [68] gegeben. Damit wird gleichzeitig bewiesen, daß der
Durchschnitt zweier Mannigfaltigkeiten der Dimensionen r und s im ]Pn keine irredu-
ziblen Bestandteile einer Dimension < r + s — n besitzt.
In [32] hatte van der Waerden eine Lücke in der Begründung des Brill-Noether-
schen Restsatzes ausgefüllt. In [54] zeigt er, wie der Restsatz aus dem folgenden Satz
vom Doppelpunktdivisor, den er hier beweist, folgt:
Wenn alle Schnittpunkte der Kurven / = 0 und y = 0 gewöhnliche Punkte oder
gewöhnliche Singularitäten der Kurve / = 0 sind und wenn jeder Zweig eines solchen,
etwa s-fachen Punktes, der von der Kurve (p = 0 etwa //-fach geschnitten wird, mit
einer weiteren Kurve F = 0 mindestens die Schnittmultiplizität ju -\- s ~ 1 hat, so
gilt für die ternären Formen F, 99, / eine Identität
F = Af + BT;
überdies hat die Kurve B = 0 in jedem solchen Schnittpunkt einen mindestens (s — 1)-
fachen Punkt. In M. Noethers Beweis des Restsatzes war eine kleine Lücke, die
von Severi durch die Einführung der virtuellen Multiplizitäten überspielt wurde. Das
wird hier vermieden.
In der Arbeit [62], die van der Waerden zusammen mit einem seiner
bedeutendsten Schüler, Wei-Liang Chow, geschrieben hat, werden die r-dimensionalen
Mannigfaltigkeiten M festen Grades g durch Koordinaten beschrieben. Die Bedingung dafür,
daß r + 1 Hyperebenen ul°\ ..., uW einen Punkt mit M gemein haben, wird durch
eine Gleichung F(u) vom Grade g in jeder der Variablenreihen u^\ ..., uW gegeben,
die in so viele irreduzible Faktoren zerfällt, wie M irreduzible Bestandteile besitzt.
F(u) ist die zugeordnete Form oder Cayley-Form, ihr Grad heißt Grad von M, ihre
Koordinaten werden als Koordinaten (Chow-Koordinaten) von M genommen. Die
Gesamtheit aller M vom Grade g und der Dimension r bildet im Koordinatenraum
eine algebraische Mannigfaltigkeit.
Ist eine Mannigfaltigkeit aus mehreren irreduziblen Mannigfaltigkeiten
zusammengesetzt, so ergibt sich die zugeordnete Form als Produkt der zu den irreduziblen
Mannigfaltigkeiten gehörigen Formen.
Eine gegebene Form kann genau dann als eine zugeordnete Form aufgefaßt werden,
wenn sie ein gewisses System homogener Bedingungsgleichungen an die Koeffizienten
erfüllt.
Mittels der zugeordneten Form gelingt es, den Begriff eines algebraischen Systems
von Mannigfaltigkeiten (Mannigfaltigkeit von Zyklen in der Terminologie von A.
Weil) zu fassen. Das soll nämlich gegeben werden durch eine algebraische
Mannigfaltigkeit in den Koordinaten der zugeordneten Form. Damit wird der Begriff des
linearen Systems verallgemeinert (für den Spezialfall von Geraden im
dreidimensionalen Raum war das Vorgehen schon früher klar, man hat dann einfach homogene
Gleichungen in den Plückerschen Koordinaten zu betrachten). Man kann dann z. B.
sagen, daß alle Mannigfaltigkeiten gegebener Dimension und gegebenen Grades ein
algebraisches System bilden, ebenso etwa diejenigen, die auf einer gegebenen
Mannigfaltigkeit liegen.

228 Teil III
Unter Verwendung der zugeordneten Form beweist van der Waerden in [63]
(ZAG X): Hängt eine reduzible algebraische Kurve rational von Parametern ab,
so sind ihre irreduziblen Bestandteile von diesen Parametern algebraisch abhängig.
Diese Aussage wird nämlich gebraucht, um folgenden Satz von Bertini-Enriques zu
gewinnen: Die Kurven einer linearen Schar auf einer algebraischen Fläche, deren
allgemeine Kurve (d. h. deren sämtliche Kurven) irreduzibel ist, enthalten eine feste
Kurve als Bestandteil, oder die Schar ist aus Kurven eines Büschels zusammengesetzt.
Die obige Aussage läßt sich auf lineare Scharen (d — l)-dimensionaler
Mannigfaltigkeiten auf einer d-dimensionalen Mannigfaltigkeit verallgemeinern.
In [65] (ZAG XI) wird die projektive und die birationale Äquivalenz ebener
algebraischer Kurven untersucht. Diese drückt sich nicht durch algebraische Gleichungen
in den Koordinaten aus, stellt also insofern keine algebraische Eigenschaft dar. Es
wird die kleinste algebraische Mannigfaltigkeit von Kurvenpaaren bestimmt, die
alle projektiv äquivalenten enthält; das ist eine irreduzible Mannigfaltigkeit, deren
allgemeines Element ein projektiv äquivalentes Kurvenpaar bildet. Als Grenzfälle
projektiv äquivalenter Kurvenpaare existieren ,,uneigentlich projektive"
Kurvenpaare, die nicht projektiv äquivalent sind. Man kann auch nicht die birationale
Äquivalenz durch ,,Moduln" beschreiben. Es wird dazu gezeigt, daß es keine algebraische
Korrespondenz gibt, die jeder ebenen Kurve vom Geschlecht p einen Punkt einer
gewissen „Modulmannigfaltigkeit" derart zuordnet, daß zwei Kurven genau dann dem
gleichen Punkt entsprechen, wenn sie birational äquivalent sind. Das ist aber
möglich, wenn man sich auf Kurven von genügend hohem Grad beschränkt, die nur
gewöhnliche Knotenpunkte als Singularitäten besitzen (,,reguläre Kurven"); für
diese gibt es eine rationale Abbildung auf eine (3p — 3 + £p)-dimensionale
Mannigfaltigkeit mit q0 = 3, gt = 1, gp = 0 für p > 1. Die Kurven mit einer gegebenen Anzahl
von Knotenpunkten verteilen sich auf endlich viele irreduzible Mannigfaltigkeiten
der Dimension 3n + p — 1, die zu einer gegebenen Kurve birational äquivalenten
Kurven gehören einer irreduziblen Mannigfaltigkeit der Dimension 3n — 2p + 2 an.
Unter Benutzung der Ergebnisse über algebraische Systeme algebraischer
Mannigfaltigkeiten in [62] folgt, daß die Gesamtheit der regulären Kurven vom Geschlecht
p mit einem algebraischen System von algebraischen Mannigfaltigkeiten, deren jede
nur birational äquivalente enthält, einfach überdeckt werden kann und daß sich diese
Mannigfaltigkeiten auf Punkte einer Bildmannigfaltigkeit der Dimension 3p — 3 + qp
eineindeutig abbilden lassen.
In ZAG XIII [69] nimmt van der Waerden eine erheblich vereinfachte
Neudarstellung der Grundlagen der algebraischen Geometrie vor. Es werden hier die Zerlegung
einer algebraischen Mannigfaltigkeit in irreduzible Mannigfaltigkeiten, der Begriff
des allgemeinen Punktes und seine Existenz genau für irreduzible Mannigfaltigkeiten
sowie der Zusammenhang zwischen allgemeinem Punkt und Transzendenzgrad, der
Begriff der relationstreuen Spezialisierung mit Existenz-, Erweiterungs- und
Eindeutigkeitssatz und in Zusammenhang damit der Multiplizitätsbegriff dargestellt,
algebraische Korrespondenzen und das Prinzip der Konstantenzählung sowie Schnitte
von Mannigfaltigkeiten mit allgemeinen Hyperflächen, die Schnittmultiplizität und
der Satz von Bezout behandelt.
Neben einer Vereinfachung des Beweises des Satzes von Bezout für den Schnitt
einer d- und einer (n — d)-dimensionalen Mannigfaltigkeit (vgl. S.224) beweist er in
[71] (ZAG XIV), daß die Schnittmannigfaltigkeit Mt+d_x einer d-dimensionalen alge-

ß. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 229
braischen Mannigfaltigkeit Md, die ein algebraisches System von Mannigfaltigkeiten
durchläuft, mit einer festen Mannigfaltigkeit Mt ihrerseits ein algebraisches System
durchläuft. Das läßt sich auf den Fall verallgemeinern, daß Md und Mt in einer
singularitätenfreien Mannigfaltigkeit Mn liegen. Damit wird eine algebraische
Begründung des Schubertschen Kalküls der abzählenden Geometrie und der Severischen
Theorie der Äquivalenzscharen auf algebraischen Mannigfaltigkeiten ermöglicht.
Mit den Methoden der Arbeit [46] beweist van der Waerden in [73] die Chas-
lessche Schnittformel für ein System von oo1 und ein System von oo4 vollständigen
Kegelschnitten (d. h. von Grenzgebilden, die aus je einer nichtzerfallenden Kurve
zweiter Ordnung und deren Tangenten gebildet werden) und bestimmt nach [71]
die Anzahl der gemeinsamen Elemente eines Systems aus oo2 und eines aus oo3
Kegelschnitten. Damit erhält er die Cremonasche Charakteristikenformel.
Der Begriff der Vollschar, einer linearen Schar, die in keiner umfassenderen
linearen Schar enthalten ist, ist leider nicht birational invariant. Um möglichst doch noch
eine Invarianz zu retten, ist von den italienischen Geometern der Begriff der linearen
Schar mit vorgegebenen Basispunkten und der effektiven und virtuellen Multipli-
zitäten eingeführt worden; nur solche Systeme sind dann zugelassen, deren Kurven
in diesen Punkten mindestens die vorgegebene Multiplizität haben. Einen einfachen
Zugang, der eine Verallgemeinerung auf mehr als zwei Dimensionen gestattet und
unendlich benachbarte Basispunkte vermeiden läßt, ermöglicht, wie van der
Waerden in [97] und in der Arbeit ,,Birationale Transformationen von linearen Scharen"
in Math. Z. 51 (1948), 502—523, zeigt, die Heranziehung des Bewertungsbegriffs.
Auf die Bedeutung des Bewertungsbegriffs für die algebraische Geometrie, den er
auch in späteren Arbeiten heranzieht, geht van der Waerden auch in dem Bericht
[89] zu amerikanischen Untersuchungen über lokale Uniformisierung der
algebraischen Mannigfaltigkeiten und ihre birationalen Transformationen in
singularitätenfreie ein. Am klassischen Beispiel der algebraischen Funktionen in einer
Veränderlichen, der Zuordnung zwischen algebraischer Kurve und algebraischem
Funktionenkörper sowie im komplexen Fall der Riemannschen Fläche wird als algebraisches
Äquivalent des Stellenbegriffs der Begriff des Orts nach Dedekind-Weber und in
moderner Auffassung der Bewertungsbegriff vorgestellt. Daran schließt sich eine
Behandlung der algebraischen Funktionen in mehreren Variablen mit den
verschiedenen Arten von Prinidivisoren und das Problem der Auflösung der Singularitäten an.
Vieles aus den Arbeiten zur ZAG-Reihe ist in die „Einführung in die algebraische
Geometrie" [77] van der Waerdens eingeflossen, die 1939 in der Reihe „Grundlehren
der Mathematischen Wissenschaften" erschienen und inzwischen 1973 in einer
Neuauflage herausgegeben worden ist. Mit großem didaktischen Geschick werden hierin
dem Anfänger zunächst an Hand von viel konkretem Anschauungsmaterial Beispiele
aus der algebraischen Geometrie nahegebracht, ehe auf allgemeinere Dinge wie
algebraische Mannigfaltigkeiten und Korrespondenzen, zugeordnete Form, lineare
Scharen, Noetherscher Fundamentalsatz und Singularitäten sowie ihre Auflösung
vorgestoßen wird, ein Verfahren, das sicher dem Verständnis mehr dient als der
heutzutage so beliebte Aufbau von oben herab. Van der Waerden hat hierin den
Methoden der italienischen Schule den Vorzug vor der Idealtheorie gegeben.
Algebraische Geometrie, Algebra und Zahlentheorie hängen engstens miteinander
zusammen und befruchten sich mit ihren Methoden und Ergebnissen gegenseitig.

230 Teil III
Hervorgegangen aus der Zusammenarbeit im Kreis um Emmy Noether, sind 1930
und 1931 Band I [29] und II [30] der „Modernen Algebra" van der Waerdens in
der gelben Sammlung erschienen, die in der Leipziger Zeit ihre zweite Auflage
erlebten und inzwischen in vielen Auflagen neu herausgegeben und in mehrere Sprachen
übersetzt worden sind, meisterhaft geschriebene Bände, die seitdem zahlreichen
Mathematikern als Einführung in die Algebra gedient haben und auch heute noch
(nachdem inzwischen der Titel nur noch ,,Algebra" lautet) jedem wärmstens empfohlen
werden können, der Algebra lernen will. In ihnen finden neben dem Wichtigsten
aus der Gruppentheorie allgemeine Ring- und Körpertheorie einschließlich
Bewertungstheorie, die allgemeine Idealtheorie und insbesondere die (vor allem für die
algebraische Geometrie bedeutungsvolle) Theorie der Polynomideale sowie die
Theorie der hyperkomplexen Systeme und die Darstellungstheorie eine adäquate
Darstellung. Was für einen bedeutenden Einfluß diese beiden Monographien auf die
jungen Mathematiker der 30er Jahre ausgeübt und in welchem Maße sie bei der
Abfassung der „Elements de Mathematique" von Botjrbaki als Vorbild gedient haben,
beschreibt eindrucksvoll J. A. Dietjdonne in seinem Vortrag „The work of Nicho-
las Bourbaki" in Amer. Math. Monthly 77 (1970), 134-145.
E. Noether hatte durch gewisse Axiome diejenigen Ringe (ZPI-Ringe)
charakterisiert, in denen der Satz von der eindeutigen multiplikativen Zerlegung der Ideale
gilt. In [24] verallgemeinert van der Waerden diesen Satz, indem er nur gewisse
Klassen von Idealen betrachtet, statt der Gleichheit von Idealen eine Äquivalenz
(„bis auf niedere Ideale") und entsprechend statt Teilbarkeit den schwächeren
Begriff Quasiteilbarkeit einführt. Im Anschluß daran zeigt er in [25], daß es bei
Hauptidealen keine niederen Primkomponenten gibt und daher Äquivalenz mit Gleichheit,
Quasiteilbarkeit und Teilbarkeit zusammenfällt. Wenn in einem Ring mit
Einselement der Teilerkettensatz gilt, jedes Hauptideal einem Produkt von höheren
Primidealen äquivalent ist und für Hauptideale Quasiteilbarkeit mit
Teilbarkeit gleichbedeutend ist, dann ist der Ring in seinem Quotientenring ganz
abgeschlossen.
Die Arbeiten [37] und [60] befassen sich mit Häufigkeitseigenschaften in
Zusammenhang mit der Galoisschen Gruppe algebraischer Gleichungen. In [37] wird gezeigt,
Zaß asymptotisch 100% aller ganzzahligen Gleichungen in bezug auf den rationalen
dahlkörper ohne Affekt sind, d. h., als Galoissche Gruppe die symmetrische Gruppe
haben. Während die bisherigen Beweise transzendente Mittel erforderten, beruht
der hier gegebene Beweis auf der Verwendung der Dedekind-Brauerschen Methode
zur Bildung affektloser Gleichungen mittels Zerlegung modulo verschiedener
Primzahlen. Es gilt nämlich die Aussage: Wenn ein ganzzahliges Polynom f(x) vom Grade
n modulo der Primzahlen plf p2, p^ folgendermaßen zerfällt: modulo px in irreduzible
Faktoren der Grade n — 1 und 1, modulo p2 in einen quadratischen Faktor und einen
oder zwei Faktoren ungeraden Grades, während es modulo p3 irreduzibel ist, dann
hat seine Gleichung keinen Affekt. Genauer wird das Verhalten der Häufigkeit in
[60] abgeschätzt; die Häufigkeit der Gleichungen mit Affekt, deren Koeffizienten
absolut die Schranke N nicht überschreiten, geht wie NlfklnlnN gegen 0.
Die Wirkung der Zerlegungs- und Trägheitsgruppe eines zu einer galoisschen
Erweiterung K über dem Zahl- oder Funktionenkörper P mit der definierenden
Gleichung f(x) = 0 gehörigen Primideals ^J als Permutationsgruppe der Wurzeln
von f(x) läßt sich in Verallgemeinerung eines Satzes von Artin folgendermaßen

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 231
präzisieren: Ist *ß Primteiler des zu P gehörigen Primideals p und zerfällt p in K
in r Primideale pv von den Graden fv und mit den Exponenten ev:
P = Pi€l-prer,
so schließen sich die Wurzeln zu r Transitivitätsgebieten zu je evfv Elementen
gegenüber der Zerlegungsgruppe von *ß zusammen, die gegenüber der Trägheitsgruppe in
je fv Transitivitätsgebiete zu je ev Wurzeln aufspalten.
Als Anwendung ergibt sich: Wenn in der Diskriminante des ganzzahligen
Polynoms
f(x) = anxn + ••• + a0
eine Primzahl p genau in der ersten Potenz vorkommt, dann ist die Galoissche Gruppe
der Gleichung f(x) = 0 in bezug auf den rationalen Grundkörper P entweder die
symmetrische, oder sie ist intransitiv oder imprimitiv. (Den Spezialfall n = 3 hatte
van der Waerden in den Jahresberichten der Deutschen Mathematikervereinigung
44 (1934), Aufgabe 171, S. 41 ala Aufgabe gestellt [Lösung in Bd. 45, S. 38].)
Ferner beweist er in [13] den Einheitensatz der algebraischen Zahlentheorie ohne
transzendente Mittel mit Hilfe der Bewertungstheorie und in [46] auf elementarem
Wege einen zahlentheoretischen Existenzsatz, von dem ein Spezialfall zum Beweis des
Reziprozitätsgesetzes der Klassenkörpertheorie benötigt wird (und zwar auch noch
im Rahmen des modernen kohomologietheoretischen Aufbaues der
Klassenkörpertheorie in der Sprache der Ideles): Es gibt bei gegebenen al9 ...,ar und k eine
zyklische Kongruenzklasseneinteilung der rationalen Zahlen, bei der die Exponenten von
al9 ...,ar durch k teilbar sind und — 1 den Exponenten 2 hat.
Um algebraische Aspekte für analytische Funktionen geht es in der
Verallgemeinerung eines Satzes von Kronecker [31]: Wenn ßl9 ...,ßr; yi9 ...,ya Systeme linear
unabhängiger Funktionen von y; bl9 ..., br9 cl9 ..., c8 Unbestimmte sind sowie
(Mi + '•• + Kßr) (ciYi + ••• + c8y8) = {alocl + ••• + anocn)
gilt, wo die a's eine linear unabhängige Menge von Produkten ßtfj bilden, durch die
sich alle solchen Produkte ausdrücken lassen, und die a's Linearkombinationen der
biCj sind, so genügt jedes bfi; einer Gleichung
Z* + A1Z*-^+ ••• +At = 0,
worin die Ak homogene Ausdrücke &-ten Grades in al9 ..., an mit konstanten
Koeffizienten darstellen.
Eine Reihe von Veröffentlichungen ist der Gruppentheorie gewidmet. Abgesehen
von der Arbeit [34], in der für Gruppen mit endlich vielen Erzeugenden al9 ..., an
und den definierenden Relationen am = 1 für den Fall m = 3 die Ordnung der Gruppe
als Funktion von n bestimmt und die Struktur der Gruppe untersucht sowie die
charakteristischen Untergruppen aufgezählt werden, und dem Bericht über die
Arbeit von Fitting [80] befassen sich diese im allgemeinen mit linearen Gruppen bzw.
Lieschen Gruppen. Hier ist vor allem auch der heute noch aktuelle Ergebnisbericht
von 1935 über „Gruppen von linearen Transformationen" [48] zu nennen1), in dem
lineare Gruppen über beliebigen Körpern und Darstellungen von Ringen (Algebren)
x) Es ist 1948 in Chelsea nachgedruckt worden.

232 Teil III
und Gruppen, insbesondere beschränkte Darstellungen beliebiger Gruppen und
fastperiodische Funktionen, behandelt werden.
In [18] untersucht van der Waerden in geometrischer Sprechweise die projektive
Gruppe $n über einem beliebigen Körper K, also die Gruppe der projektiven
Transformationen des w-dimensionalen projektiven Raums über K (die homogenen
Koordinaten seiner Punkte sind (n + 1)-Tupel von Elementen aus K) und die „unimodu-
lare projektive Gruppe" ^n{K) als ihre Untergruppe, deren Elemente (durch ihre
Transformationsmatrizen dargestellt) dadurch ausgezeichnet sind, daß ihre
Determinante die (n + l)-te Potenz eines Elements von K, also auch gleich 1 wählbar ist.
Es ergibt sich, daß jeder Automorphismus von ?ßn(K) durch Transformation mit einer
Kollineation erhalten werden kann; daß zwei Gruppen yßn(K), die zu verschiedenen
Dimensionszahlen n oder zu nichtisomorphen Körpern gehören, niemals isomorph
sind, außer in den Fällen
¥i(4)s*i(5). ¥,(7)=;&(2),i)
und daß die alternierende Gruppe von n Objekten nur für n = 4, 5, 6 und 8 mit einer
unimodularen projektiven Gruppe isomorph ist.
In [27] gibt van der Waerden eine Vereinfachung eines Beweises von Weyl
für den Zusammenhang zwischen den irreduziblen Darstellungen der symmetrischen
Permutationsgruppe und den irreduziblen ganzrationalen Darstellungen der linearen
Transformationsgruppen.
Für kompakte halbeinfache Liesche Gruppen kann in [35] allein auf Grund der
Gruppenaxiome ein den topologischen Raum definierendes Umgebungssystem
angegeben werden. Daraus folgt, daß Automorphismen und Isomorphismen zwischen
solchen Gruppen stets stetig sind. Alle in einer Umgebung der Eins beschränkten
Darstellungen der halbeinfachen Gruppen sind stetig (und damit nach J. v.
Neumann durch infinitesimale Transformationen erzeugbar2)), also analytisch. Einfache
Liesche Gruppen besitzen überhaupt keine Normalteiler außer sich selbst und
diskreten Zentrumsteilern.
In [36] führt van der Waerden nach einer Vereinfachung der Weylschen
Behandlung der halbeinfachen Lieschen Gruppen die durch die Weylsche Auffassung
nahegelegte geometrische Methode (mittels der Wurzel Vektoren) zur Klassifikation
der einfachen Lieschen Gruppen vollständig durch und gibt in [49] zusammen mit H.
Casimir den ersten algebraischen Beweis der vollständigen Reduzibilität jeder
infinitesimalen linearen Darstellung einer halbeinfachen Lieschen Gruppe, ohne wie Weyl
den Umweg über eine neue kompakte Gruppe zu gehen. (Spätere algebraische
Beweise stammen von R. Brauer und von J. H. C. Whitehead.)
Gleich die ersten Arbeiten van der Waerdens befassen sich mit
invariantentheoretischen Fragestellungen. So stellt er in [3] ein Fundamentalsystem von
algebraischen Identitäten zwischen den ,,Klammerfaktoren" (Determinanten) und
„Linearfaktoren" (Skalarprodukten) auf. In [56] gibt er dann eine umfassende Darstellung
der Grundbegriffe und Hauptsätze der Invariantentheorie mit vielen Beispielen und
zeigt, wie die der Invariantentheorie eigentümlichen Begriffsbildungen (Größen,
Reihenentwicklung usw.) in die Darstellungstheorie einzuordnen sind; im quater-
x) In Klammern steht jeweils das Galoisfeld entsprechender Ordnung.
2) Ein einfacherer Beweis hierfür wird gleichfalls in [35] gegeben.

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 233
nären Gebiet werden die Überlegungen genau ausgeführt. [97] hängt mit
invariantentheoretischen Fragestellungen der algebraischen Geometrie zusammen (vgl. S. 229).
Auf die Invariantentheorie der Differentialgeometrie bezieht sich die Arbeit [9],
in der van der Waerden ein vollständiges System von Differentialko Varianten
aufstellt, aus dem sich alle möglichen Differentialko Varianten rational ausdrücken lassen.
Dazu erweitert er den Tensorbegriff auf gemischte w-är-m-äre Tensoren, führt
für diese Tensoren eine kovariante Differentiation ein und reduziert alles auf ein
rein w-äres Problem.
Geometrische Fragen haben die Arbeiten [74, 53, 67] sowie Arbeiten aus späterer
Zeit zum Inhalt. In [74] zeigt van der Waerden, daß das Problem der Bestimmung
eines Dreiecks aus gegebenen Winkelhalbierenden auf eine Gleichung zehnten
Grades führt, deren Gruppe bezüglich des von den Koeffizienten erzeugten Körpers die
symmetrische Gruppe ©i0 ist. In [53] behandelt er die Geometrie der Kreise in der
„inversen Ebene" und auf der Kugel und stellt eine Axiomatik analog zu der der
Speere und Zykeln auf. In dem vom Mathematischen Seminar und Physikalischen
Institut der Universität Münster am 11. Dezember 1937 veranstalteten Vortrag,
der in den Semesterberichten [67] erschienen ist, behandelt er vor einem breiten
Hörerkreis allgemeinverständlich die Geometrographie von Lemoine. Es geht dabei um
geometrische Konstruktionen mit einer minimalen Anzahl von
Elementarkonstruktionen. Darunter sind folgende Operationen zu verstehen: Lineal durch einen Punkt
legen, eine Gerade am Lineal entlang ziehen, eine der beiden Zirkelspitzen in einen
gegebenen Punkt oder einen Punkt einer gegebenen Linie stellen, einen Kreis ziehen.
Was das im einzelnen bedeutet, wird an Hand von Beispielen wie dem Ziehen einer
Parallelen durch einen gegebenen Punkt, dem Lösen quadratischer Gleichungen, der
Konstruktion des regulären Fünfecks u. a. erläutert.
Auch mit topologischen Fragen hat sich van der Waerden befaßt. Ein homogen
metrisierbarer Raum ist ein topologischer Raum, für den bei passender Metrisierung
die Gruppe aller isometrischen Transformationen des Raumes in sich über dem
Raum transitiv ist. In der zusammen mit van Dantzig geschriebenen Arbeit [14]
wird gezeigt, daß nicht alle w-dimensionalen Mannigfaltigkeiten homogen metrisier-
bar sind und daß Flächen vom Geschlecht p > 1 keine nichteuklidische Metrik mit
einer über der Fläche transitiven Gruppe von isometrischen Transformationen in sich
zulassen. Daher ist eine geschlossene Fläche nur dann homogen metrisierbar, wenn
ihr Geschlecht 0 oder 1 ist. In [28] erstattet er auf der DMV-Versammlung in Prag
1929 Bericht über die Hauptmethoden und -ergebnisse der kombinatorischen Topolo-
gie. Daß er topologische Methoden in der algebraischen Geometrie angewendet hat,
haben wir bereits gesehen. Eine spätere Arbeit in den fünfziger Jahren befaßt sich
mit der Cohomologietheorie der Polyeder.
Von jeher hat sich van der Waerden für Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik interessiert, wobei er weniger rein theoretische Fragen im
Auge hatte, sondern vielmehr anwendungsbezogene Tests. Bei biologischen
Untersuchungen hat man im allgemeinen nicht die Menge an Versuchsmaterial zur
Verfügung, die es gestatten würde, die für große Zahlen geltenden Sätze anzuwenden, so
daß man sich häufig mit kleinen Stichproben bescheiden muß. Es kommt daher gerade
darauf an, Tests zu entwickeln, die bei kleinen Versuchszahlen funktionieren und

234 Teil III
auch rechnerisch gut handhabbar sind. In dieser Hinsicht hat van der Waerden
viel getan und hat sich auch darum bemüht, diese Methoden den
Naturwissenschaftlern und Medizinern durch mit viel Anschauungsmaterial versehene
Veröffentlichungen, auch in medizinischen Zeitschriften, nahezubringen.
Vielfach geht es um die Bestimmung unbekannter Wahrscheinlichkeiten ([55, 59,
61]). Wenn man die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ermitteln will,
das in n Versuchen A-mal eingetreten, also in k = n — h Fällen nicht eingetreten ist,
so darf man als Schätzwert im Fall kleiner Versuchzahlen nicht — nehmen, sondern
n
muß, um den richtigen Erwartungswert zu erhalten, die Zahl der günstigen und die
der ungünstigen Fälle je um 1 erhöhen, so daß sich m = ergibt. Als
Schätzwert für den mittleren Fehler hat man dann n ~^~
a = 1 1 /(* + !)(*+ 1)
n + 2 ]/ 7i + 3
zu verwenden. Dann kann man bis zu ziemlich kleinen Versuchszahlen mit der
bekannten 3(T-Regel arbeiten; sollte dagegen m sehr klein oder groß sein (< 10% oder
> 90%), so wähle man besser 4c, um auf der sicheren Seite zu bleiben. Will man zwei
(annähernd gaußverteilte) Wahrscheinlichkeiten vergleichen, so kann man
ausnutzen, daß ihre Differenz annähernd gauß verteilt mit dem Streuungsquadrat
a2 = öi2 + a22 ist. Um einen solchen Vergleich mit dem theoretisch günstigeren
/2-Kriterium durchführen zu können, wird in [80] und [93] das %2-Kriterium für
kleine Versuchszahlen behandelt; in [93] werden zahlreiche praktisch
durchgerechnete Beispiele dargestellt, aus denen hervorgeht, daß das Arbeiten mit dem nach
H. v. Schelling modifizierten Xi2 (die Zahl N der Freiheitsgrade ist durch N — 1
zu ersetzen), das auch theoretisch gut begründet ist, eine echte Verbesserung der %2-
Methode bedeutet. Der Bestimmung von Vertrauensgrenzen für unbekannte
Wahrscheinlichkeiten ohne irgendwelche Gleichverteilungsannahme nach dem #2-Kriterium
ist die Arbeit [76] gewidmet.
Mit der Wirksamkeitsbestimmung durch Tierversuche, etwa der Bestimmung der
Dosis, bei der die Mortalität 50% beträgt, befassen sich die Arbeiten [82] und [81].
Es empfiehlt sich hier, indem man vorher durch einen Vorversuch mit nur grober
Stufung und wenig Tieren die ungefähre Lage der gesuchten Dosis ermittelt, die
Anzahl der Tiere um so größer zu wählen, je näher man an der fraglichen Dosis liegt,
um mit möglichst geringem Tiermaterial auszukommen. Es zeigt sich, daß die
sogenannte Flächenmethode (hierbei sollte man besser mit den Logarithmen der Dosen
statt mit den Dosen selbst arbeiten) im Vergleich zur Maximum-Likelihood-Methode
einen nur unerheblich größeren Fehler aufweist, dafür aber rechnerisch viel einfacher
ist.
Van der Waerden, der durchaus praktisch mit statistischen Fragen konfrontiert
worden ist, hat auch später noch auf diesem Gebiet gearbeitet, so insbesondere zu
parameterfreien Tests. Hier ist vor allem der X-Test — auch als van-der-Waerden-
Test bezeichnet — zu nennen, der sich gegenüber dem Wilcoxontest durch größere
Effizienz auszeichnet und zu dem van der Waerden auch Tabellenmaterial
herausgegeben hat. Seine reichen Erfahrungen sind seinem 1957 erschienenen ausgezeichneten
Buch „Mathematische Statistik" zugute gekommen, das auch den nicht aus der Sta-

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 235
tistik kommenden Leser zu begeistern vermag, indem es ihn ohne übertriebenen
maßtheoretischen Ballast, an dem so manche moderne Darstellung oder Vorlesung
krankt, aber dennoch mathematisch sauber und schnell an die wichtigsten praktischen
Probleme der mathematischen Statistik und ihre Lösungsmethoden heranführt.
Daneben hat sich van der Waerden auch mit Problemen aus der Analysis befaßt.
In [26] behandelt er ein einfaches Beispiel einer überall stetigen, aber nirgends
differenzierbaren Funktion. In [88] gibt er einen zusammenfassenden einfachen Beweis
des Uniformisierungssatzes der Funktionentheorie und in [51] eine einfache
Herleitung der Fourierschen Reihe. Er bemerkt hier, wie man beim Beweise der
Konvergenz der Fourierreihe einer Funktion beschränkter Schwankung die meist übliche
.2/1 + 1
sin u
2 1
Ersetzung des Nenners des Dirichletschen Kerns durch — u vermei-
sin — u
2
den kann. In [42] leitet er die Stirlingsche Formel n\ r^nne~n \2nn auf eine Weise
her, die besonders für eine Vorlesung über Wahrscheinlichkeitsrechnung geeignet
ist, da nur einfache Formeln aus der Differential- und Integralrechnung gebraucht
werden, und gibt eine genaue Fehlerabschätzung (der Fehler im Logarithmus ist
< ). Auf eine Matrixidentität von T. Banachiewicz bezieht sich die kurze
\2n
Bemerkung zur numerischen Berechnung von Determinanten und Inversen von
Matrizen [70].
Als eine kombinatorische Fragestellung entpuppt sich in [10] ein Satz von G. A.
Miller, nach dem die rechtsseitigen und die linksseitigen Nebenklassen zu jeder
Untergruppe in einer endlichen Gruppe ein gemeinsames Repräsentantensystem besitzen.
Van der Waerden zeigt, daß es sich hierbei in Wahrheit um einen
mengentheoretischen Satz handelt, den er durch Induktion beweist. Es seien zwei
Klasseneinteilungen einer endlichen Menge 9JI gegeben, durch die die Menge in // fremde Klassen
3lx, ..., 31^ bzw. SBj, ..., 33^ zerlegt wird. Dann gibt es ein beiden Klasseneinteilungen
gemeinsames Repräsentantensystem rly ...,xM. Wie van der Waerden erkannte,
ist der Satz zu einem Satz von König über reguläre Graphen (jeder paare reguläre
Graph besitzt einen Faktor ersten Grades) äquivalent. Er wurde von Konig und
Valko auf unendliche Graphen endlichen Grades verallgemeinert und gilt daher auch
für unendlich viele Klassen zu je n Elementen, ist dagegen für unendliche Klassen
falsch. Ein kurzer Beweis in den Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 (1927), 232,
stammt von E. Sperner.
Zu einer ausgedehnten Literatur hat die Aufgabe 45 von van der Waerden in
den Jahresberichten der Deutschen Mathematikervereinigung 35 (1926), S. 117,
geführt, für alle doppeltstochastischen Matrizen vom Format n X n das Minimum der
zugehörigen Permanente zu ermitteln. (Die Permanente ist ähnlich wie die
Determinante gebildet, nur daß in der Summendefinition der Determinante die
alternierenden Vorzeichen stets durch Pluszeichen zu ersetzen sind.) Die van-der-Waerdensche
Vermutung, an der sich gerade in neuerer Zeit das Interesse wieder sehr entflammt
hat, besagt, daß die Permanente einer derartigen Matrix S nicht kleiner als n\/nn

236 Teil III
ist und daß Gleichheit genau dann besteht, wenn alle Elemente von S gleich —
n
sind. Sie konnte bis jetzt nur in Spezialfällen bewiesen werden. Über den derzeitigen
Wissensstand zu dieser Frage berichten M. Marcus und W. Minc in ihrem
Übersichtsartikel „Permanents" in Amer. Math. Monthly 72 (1965), 577-691 und H. Minc
in Band 6 ,,Permanents" der Encyclopedia of Mathematics and Its Applications,
Addison-Wesley, Reading/Mass. 1978.
Bis in die neuere Zeit strahlt auch die Arbeit [12] (die erste „Perle der
Zahlentheorie" nach Chintschin1)) aus, in der van der Waerden in Verallgemeinerung
einer Vermutung des niederländischen Mathematikers Baudet zeigt: Es gibt eine nur
von l und k abhängige natürliche Zahl n, so daß für jede in k disjunkte Klassen
eingeteilte endliche Zahlenfolge 1, 2, ..., n in einer der Klassen eine arithmetische
Progression von l Zahlen liegt. Der Satz hat Anwendungen und Verallgemeinerungen in
der Kombinatorik und Zahlentheorie gefunden, so Abschätzungen von n,
Dichteaussagen, Verallgemeinerungen auf Sequenzen von Potenzresten bzw. Nichtresten
sowie auf sogenannte reguläre lineare Gleichungssysteme2). Eine interessante
geometrische Verallgemeinerung hinsichtlich der Existenz nomothetischer Figuren
stammt von E. Witt3).
Van der Waerden hat eine Reihe von Arbeiten zu physikalischen Problemen
geschrieben, vornehmlich aus dem Gebiet der Quantenmechanik. Bereits die Arbeit
[22] über Spinoranalysis ist (auf eine Anregung von Ehrenhaft hin) zur Behandlung
der Quantentheorie des Spinning Electron entstanden. Van der Waerden nutzt
hierbei für die Invariantentheorie der Spinoren die zweistufige Homomorphie zwischen
der Lorentzgruppe und der binären unimodularen Gruppe aus und behandelt neben
den Darstellungen der Lorentzgruppe und der Einordnung der Weltvektoren und
-tensoren auch die Diracsche Wellengleichung und mögliche lorentzinVariante
Wellengleichungen.
Wer sich für die Theorie der Spinoren — so, wie sie in der Physik wirklich gebraucht
werden —, für die Darstellungstheorie, insbesondere der Drehungs- und
Lorentzgruppe interessiert, kann mit reichem Gewinn ,,Die gruppentheoretische Methode in
der Quantenmechnik" van der Waerdens [33] aus dem Jahre 1932 zu Rate ziehen,
in der insbesondere die Theorie des Spinning Electron, der Zusammenhang zwischen
Permutationsgruppe und Pauliverbot und die Theorie der Molekülspektren
dargestellt werden; da ein einleitendes Kapitel in die Schrödingersche Quantenmechanik
einführt und hier auch das Wichtigste aus der Theorie der linearen Operatoren im
Hilbertraum bereitgestellt wird, ist das Buch auch für denjenigen zugänglich, der
nicht speziell quantenmechanisch und funktionalanalytisch vorgebildet ist.
In der Arbeit [38] geht es darum, die Diracsche Theorie des Elektrons in die
allgemeine Relativitätstheorie einzubauen, ohne einen Fernparallelismus und ohne n-
x) A. J. Chintschin, Drei Perlen der Zahlentheorie, Berlin 1951 (Übersetzung aus dem
Russischen). Der dort dargestellte Beweis des van-der-Waerdenschen Satzes, der auf M. A. Lu-
komskaja zurückgeht, ist jedoch weder einfacher noch kürzer als der ursprüngliche, den er
inhaltlich in Wahrheit weitgehend kopiert, aber in viel komplizierterer Bezeichnungsweise.
2) Vgl. hierzu den Beitrag über H. Salie, S. 260ff.
3) E. Witt, Ein kombinatorischer Satz der Elementargeometrie, Math. Nachr. 6 (1951),
261-262.

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 237
Bein-Rechnung. Hierzu werden neben Weltvektoren zweikomponentige Spin Vektoren
herangezogen. Dieser Formalismus ist inzwischen von Penrose und Pirani
weiterentwickelt worden. Weitere Arbeiten zur Wellenmechanik stammen aus späterer Zeit.
Um eine gänzlich andere physikalische Fragestellung handelt es sich in [84].
Gewisse Mischkristalle vom Typus AB (A und B sind in gleicher Konzentration
vorhanden) zeigen unterhalb einer gewissen kritischen Temperatur eine lang reichweitige
Ordnung. Van der Waerden beweist mit den Hilfsmitteln in der Thermodynamik
streng, daß es eine derartige Ordnung geben muß, indem er die Wahrscheinlichkeit
für gewisse Polygondiagramme abschätzt, die nur gleiche Atomarten enthalten.
Von jeher hat sich van der Waerden für die Geschichte der Mathematik und
Astronomie interessiert; in späteren Jahren ist sogar ein recht beträchtlicher Teil seiner
Veröffentlichungen der Wissenschaftsgeschichte gewidmet. Er stützt sich hierbei
auf eigenes Quellenstudium an Hand von Übersetzungen (z. B. von
Keilschrifttexten), die in einer gängigen Sprache vorliegen, und gibt Argumente für seine z. T.
von herrschenden Lehrmeinungen abweichenden Ansichten. Wie O.-H. Keller
in seiner Laudatio anläßlich der Verleihung der Cotheniusmedaille hervorhebt, hat
van der Waerden in ungewöhnlichem Maße die Fähigkeit, das neuzeitliche Denken
beiseite zu schieben und so zu denken, wie die Alten es taten. Dadurch konnte er viele
Begriffe zurechtrücken und viele Textstellen neu und überraschend einfach deuten.
Der ägyptischen Rechentechnik sind die Arbeit [66] und die ausführliche
quellenkritische Darstellung [72] gewidmet. Den Ägyptern war eine multiplikative
Denkweise fremd, sie dachten wesentlich additiv, und ihre Bruchrechnung beruhte auf der
additiven Zerlegung in Stammbrüche, d. h. in Brüche der Form — (n natürliche
2 n
Zahl). Eine Ausnahme macht da lediglich der Bruch —. Van der Waerden hat
als Ziel eine hypothesenfreie Rekonstruktion der einzelnen Phasen der zeitlichen
Entwicklung der ägyptischen Bruchrechnung. Die Ausführung der
Rechenoperationen ist völlig geklärt: Die Multiplikation wird hauptsächlich auf wiederholte
Verdopplung und Verzehnfachung und Addition, die Division auf Multiplikation zurückgeführt.
2
Daher muß man insbesondere wissen, wie sich — als Summe von Stammbrüchen
n
darstellen läßt, wobei natürlich nur der Fall eines ungeraden n interessiert.
Problematisch ist die Entstehung einer entsprechenden (2:n)-Tabelle des Papyrus Rhind.
Für die durch 3 teilbaren Nenner nimmt van der Waerden an, daß die
entsprechenden Identitäten durch 3-Teilung, 5-Teilung usw. aus der seit sehr langer Zeit
bekannten Formel
1 = 1 + 1
3 2 6
erhalten wurden. Die übrigen sind wohl durch ein Divisionsverfahren nach ägyptischem
Muster durch wiederholte Halbierung oder Dreiteilung und Halbierung oder durch
einen Hilfszahlenalgorithmus entstanden, indem man einen passend gewählten
Stammbruch als neue Einheit nimmt. Den Ausschlag bei der Wahl zwischen verschiedenen
möglichen Zerlegungen gibt offenbar ein Minimumprinzip, insbesondere hinsichtlich
des kleinsten Schlußnenners.

238 Teil III
Gestützt auf Keilschrifttexte, begründet van der Waerden in [85] seine Ansicht
zur Genesis der Probleme der Einschiebung von mittleren Proportionalen, der
Flächenanpassung und Würfel Verdopplung. Er vertritt die Meinung, daß die Frage nach
Quadrat- und Kubikwurzeln wahrscheinlich nicht aus der Geometrie herrührt,
geschweige denn aus der Musiktheorie, obgleich dort die Teilung eines Intervalls in gleich
große Teilintervalle eine Rolle spielt (mit Fragen der Musiktheorie befaßt er sich in
[92]), da hierfür das geometrische Mittel nur indirekt von Bedeutung ist, sondern
aus algebraischen Fragestellungen, geometrisch verkleidet.
Nach landläufiger Meinung wollte Zenon mit seinen Paradoxien die Möglichkeit
der Bewegung widerlegen. Dagegen ist Zenon nach Tannery kein Skeptiker, er
will vielmehr die phythagoreische These widerlegen, daß Körper, Flächen und Linien
Vielheiten von Punkten sind. Während die Philologen aus philologischen Gründen
hiervon wieder abgekommen sind, haben nach der Meinung einiger Mathematiker
die Pythagoreer die durch die Existenz irrationaler Verhältnisse gefährdete These
,,Alles ist Zahl" durch die Auffassung einer Strecke als Aggregat von unendlich vielen
unendlich kleinen Teilstrecken retten wollen. Van der Waerden begründet in [78]
seine Ansicht, daß Zenon und die Infinitesimalmathematik nichts miteinander zu
tun haben, damit, daß sich die Zenonschen Absichten von der eleatischen Philosophie
her viel besser als von der Infinitesimalhypothese aus verstehen lassen und daß es
vor 450 keine Nachricht über eine Infinitesimalmathematik gibt. Er meint, daß
Zenon, um die Thesen seines Lehrers Plato allseitig zu stützen, seinen vielen
Beweisgründen gegen die Vielheit noch vier gegen die Möglichkeit der Bewegung
hinzufügt.
Eine ganze Reihe von Arbeiten aus der Leipziger und aus späterer Zeit sind der
antiken Astronomie gewidmet. Zur Berechnung späterer Mondfinsternisse [79]
dienen zwei Perioden babylonischen Ursprungs, der Saros und der Exelingmos. Es wird
hier die Entstehung der Sarosperiode untersucht und nachgewiesen, daß der Saros
als Finsternisperiode im 2. und 3. vorchristlichen Jahrhundert gebraucht worden ist.
Für die Benutzung einer weiteren Periode, nämlich eines 47-Monatszyklus (bereits
im 7. vorchristlichen Jahrhundert) werden drei Argumente vorgebracht (ein
weiteres, das sich auf einen Brief des Hofastrologen Assurbanipals, Mär-I§tar, stützte,
mußte später aufgegeben werden [86]).
In [84] zeigt van der Waerden, daß die babylonische Berechnung der
Planetenbewegung einer mathematischen Theorie entspricht. Er weist nach, daß die Chaldäer
in den Jupitertafeln den synodischen Monat als Zeiteinheit gewählt und dafür
künstliche Tage von — Monat eingeführt haben. Er konnte insbesondere für mehrere
Planetentafeln das Anfangsdatum feststellen, von dem aus die Rechnungen begonnen
wurden.
Auf Grund der (durch Abschreibefehler jedoch entstellten) altbabylonischen
Venustafeln läßt sich die Regierungszeit des Ammisadxjqa ermitteln, des zehnten Königs
der Hammirapidynastie, die je nach den zugrunde gelegten Zahlenwerten aber
erheblich abweichende Daten ergeben. Zur Nachprüfung der Datierungen muß man das
Erscheinen und Verschwinden der Venus während der betreffenden Perioden berechnen
und in den babylonischen Kalender umrechnen. Da dieser mit dem Neulicht anfängt,
muß man das erste Erscheinen des Mondes berechnen. Dafür gibt es die sog. Oxford-

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 239
tafeln von Schoch, von denen sich die Neulichttafeln gut bewährt haben, während
die Planeten tafeln ganz unzuverlässig sind, weil 1. die Zahlen werte des Sehungs-
bogens (arcus visionis), d. h. der für die Sichtbarkeit des Planeten erforderlichen
Höhe der Sonne unter dem Horizont im Moment des Auf- oder Untergangs des
Planeten, nicht ganz exakt definiert sind und 2. Schoch falsch gerechnet hat, worauf schon
Netjgebatjer (von den Orientalisten meist unbeachtet) aufmerksam gemacht hat.
Da auch die verbesserten Tafeln von Netjgebatjer nicht ganz exakt sind, führt
van der Waerden in [91] eine neue Berechnung für die Venus mit dem von Schoch
angenommenen Sehungsbogen durch. Es werden nicht nur die Ergebnisse der
Berechnungen tabellarisch mitgeteilt, sondern auch die theoretischen Grundlagen der
Rechnungen dargestellt. In Teil I der für einen breiteren Leserkreis bestimmten
„Plaudereien zur babylonischen Astronomie" ([94, 95]) geht van der Waerden
ausführlich auf diese Fragen ein.
In der Arbeit [96] werden die astronomischen Lehren von Herakleides Pontikos
behandelt, eines Forschers aus dem Kreis der Platonischen Akademie, der das
Weltbild der Pythagoreer in bemerkenswerter Weise modifiziert und vervollkommnet
hat. Wie die Pythagoreer und Etjdoxtjs bemühte er sich, durch Hypothesen über die
Bewegung der Himmelskörper, ,,die Erscheinungen zu retten". Er lehrte die
Achsendrehung der Erde und vertrat die Meinung, daß sich die Erde im Kreis bewegte
(schon aus sprachlichen Gründen ist im Gegensatz zu einer häufig vertretenen
Ansicht nicht anzunehmen, daß hiermit die Achsendrehung gemeint war). Van der
Waerden gibt hier eine Deutung der Abbildungen der Planetenbewegung. In der
allgemein verständlichen Arbeit [83] zeigt er auf Grund des Studiums von Keil-
Schrifttexten und zeitgenössischen griechischen Zeugnissen, daß die Entwicklung
viel geradliniger und astronomisch vernünftiger erfolgt ist, als bisher angenommen
wurde, und zeichnet in großen Zügen das Bild der Geschichte der antiken Astronomie.
Die historischen Untersuchungen van der Waerdens haben auch die später
herausgegebenen beiden Bände ,,Erwachende Wissenschaft" befruchtet, die 1956
bzw. 1968 bei Birkhäuser in Deutsch erschienen sind. In diesem Zusammenhang
muß auch das 1967 veröffentlichte Buch „Sources of Quantum Mechanics" genannt
werden.
Das Interesse van der Waerdens erschöpft sich nicht in der Mathematik und
Physik, Fragen der Biologie und Informationstheorie, der Logik und Philosophie
bewegen ihn gleichermaßen. Sein immer wacher Verstand läßt ihn auf jedes offene
Problem anspringen, das irgendwo — sei es in der Diskussion oder in
Veröffentlichungen — angesprochen wird, auch wenn es nicht zu seinem ureigensten
Forschungsgebiet gehört. Besonders schön kann man das etwa auf den Leopoldina-Tagungen
erleben. Es wird von ihm aus der Leipziger Zeit berichtet, daß es vorkam, daß er
plötzlich mitten auf der Straße stehenblieb, sein Notizbuch zückte und etwas
hineinschrieb. Seine logisch sauberen und klar aufgebauten, stets mit dem Blick auf das
Wesentliche gerichteten Arbeiten zu lesen, bereitet immer wieder großen Genuß.
Er ist darin nicht wie so mancher andere bemüht, die Wege zu verdecken, auf denen
die Sätze gewonnen wurden, und legt stets größten Wert auf Motivierungen. Hierzu
paßt sicher auch seine sozusagen mehr finite Auffassung in der algebraischen
Geometrie, indem er dort nämlich — im Gegensatz zu A. Weil mit seinem
Universalkörper — stets mit einem von Fall zu Fall konstruierten Erweiterungskörper aus-

240 Teil III
kommt und daher nur endlich erzeugte Körpererweiterungen benötigt.1) Besonders
eindrucksvoll schildert er uns den Weg zur wissenschaftlichen Erkenntnis in seinem
Vortrag am 19. Dezember 1963 in der Universität Hamburg anläßlich des
Todestages von Emil Artin ,,Wie der Beweis der Vermutung von Baudet gefunden wurde"
(Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 28 (1965), 6—15) und in seiner Antrittsrede am
2. Februar 1952 an der Universität Zürich „Einfall und Überlegung in der
Mathematik"; der erste dieser Vorträge stützt sich auf den Beitrag „Der Beweis der
Vermutung von Baudet" in seinem 1954 in erster Auflage bei Birkhäuser erschienenen
Büchlein „Einfall und Überlegung", während der zweite darin wörtlich enthalten ist.
Trotz zahlreicher Anfeindungen, denen van der Waerden während der Zeit
des Naziregimes ausgesetzt war, nicht nur als Ausländer, sondern auch seiner
aufrechten Haltung wegen, hat er der Leipziger Universität bis zum Kriegsende die
Treue gehalten. Danach war er 1947 Gastprofessor an der John Hopkins University
in Baltimore, 1948 — 51 Professor an der Universität Amsterdam, und seit 1951
wirkt er (inzwischen im Ruhestand, aber wissenschaftlich immer noch aktiv) in
Zürich. Er ist seit 1934 Mitglied der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu
Leipzig, seit 1960 Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina
in Halle, ferner korrespondierendes Mitglied der Bayerischen Akademie der
Wissenschaften in München, der Akademie der Wissenschaften in Göttingen und der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften sowie auswärtiges Mitglied der Koninklijke
Nederlandse Akademie van Wetenschappen in Amsterdam. 1961 wurde ihm auf
Grund seiner Forschungen über die Mathematik und Astronomie der alten Griechen
die Ehrendoktorwürde der Universität Athen verliehen, und anläßlich der
Jahresversammlung im Oktober 1969 erhielt er die Goldene Cothenius-Medaille der Deutschen
Akademie der Naturforscher Leopoldina.
Seit 1934 ist van der Waerden einer der Herausgeber der „Grundlehren der
Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen" und war von 1934 bis 1968
auch Mitherausgeber der Mathematischen Annalen.
Van der Waerden ist nicht nur ein außerordentlich vielseitiger, ideenreicher,
fruchtbarer und exakter Forscher, sondern auch ein enorm geschickter Dozent und
hervorragender Vortragender, der die Studenten begeistern konnte, und nicht zuletzt
ein wunderbarer, verständnisvoller, hilfsbereiter und gewissenhafter Mensch.
Verzeichnis der Veröffentlichungen von Bartel Leendert van der
Waerden bis zum Jahre 19462)
[1] Über Determinanten aus Formenkoeffizienten, Proc. Roy. Acad. Amsterdam 25 (1923),
354-358.
[2] Über das Konkomitantensystem zweier und dreier ternärer quadratischer Formen, Proc.
Roy. Acad. Amsterdam 26 (1923), 2 — 11.
*) Den Aufbau der algebraischen Geometrie nach Weil hat er in dem Aufsatz „Über Andre
Weils Neubegründung der algebraischen Geometrie" (Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 22
(1958), 158-170) gewürdigt.
2) Rezensionen sowie die zahlreichen Aufgaben und Lösungen, die van der Waerden in
den Jahresberichten der Deutschen Mathematikervereinigung veröffentlicht hat, sind in

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 241
[3] Über die fundamentalen Identitäten der Invariantentheorie, Math. Ann. 95 (1926),
706-735.
[4] (mit E. Artin). Die Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen
Körpererweiterungen, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. KL, 1926, S. 23—27.
[5] Zur Nullstellentheorie der Polynomideale, Math. Ann. 96 (1926), 183—208.
[6] Ein algebraisches Kriterium für die Lösbarkeit eines Systems homogener Gleichungen,
Proc. Roy. Acad. Amsterdam 29 (1926), 142 — 149.
[7] De algebraiese grondslagen der meetkunde van het aantal, Dissertation, Amsterdam 1926.
[8] Der Multiplizitätsbegriff der algebraischen Geometrie, Math. Ann. 97 (1927), 756—774.
[9] Differentialkovarianten von n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in Riemannschen m-
dimensionalen Räumen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 (1927), 153 — 160.
[10] Ein Satz über Klasseneinteilungen von endlichen Mengen, Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg 5 (1927), 185-188.
[11] Neue Begründung der Eliminations- und Resultantentheorie, Nieuw Arch. Wisk. (2)
15 (1928), 302-320.
[12] Beweis einer Baudet'schen Vermutung, Nieuw Arch. Wisk. (2) 15 (1928), 212—216.
[13] Ein logarithmenfreier Beweis des Dirichletschen Einheitensatzes, Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg 6 (1928), 259-262.
[14] (mit D. van Dantzig). Über metrisch homogene Räume, Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg 6 (1928), 367-376.
[15] Die Alternative bei nichtlinearen Gleichungen, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys.
Kl., 1928, S. 77-78.
[16] On Hubert's function, series of composition of ideals and a generalisation of the theorem
of Bezout, Proc. Roy. Acad. Amsterdam 31 (1928), 749—770.
[17] Eine Verallgemeinerung des Bezoutschen Theorems, Math. Ann. 99 (1928), 497—541.
Berichtigung dazu Bd. 100 (1928), 752.
[18] (mit O. Schreier). Die Automorphismen der projektiven Gruppen, Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg 6 (1928), 303-322.
[19] De strijd om de abstraktie, Antrittsrede, P. Noordhoff, Groningen 1928.
[20] Algebraische Theorie der Differentiation, Nieuw Arch. Wisk. (2) 15 (1928), 111-120.
[21] Over een klasse von Transformaties, die punten in lineare ruimten overvoeren, Nieuw
Arch. Wisk. (2) 15 (1928), 154-157.
[22] Spinoranalyse, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. KL, 1929, S. 100—109.
[23] Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie, Math. Ann. 102
(1929), 337-362.
[24] Zur Produktzerlegung der Ideale in ganz-abgeschlossenen Ringen, Math. Ann. 101 (1929),
293-308.
[25] Zur Idealtheorie der ganz-abgeschlossenen Ringe, Math. Ann. 101 (1929), 309—311.
[26] Ein einfaches Beispiel einer nicht-differenzierbaren stetigen Funktion, Math. Z. 32 (1930),
474-475.
[27] Der Zusammenhang zwischen den Darstellungen der symmetrischen und der linearen
Gruppe, Math. Ann. 104 (1930), 92-95; Nachtrag dazu im gleichen Band (1931) S. 800.
[28] Kombinatorische Topologie, Jahresber. DMV 39 (1930), S. 121-139.
[29] Moderne Algebra I, Springer, Berlin 1930.
[30] Moderne Algebra II, Springer, Berlin 1931.
dieses Verzeichnis nicht aufgenommen worden. Hinsichtlich späterer Veröffentlichungen van
der Waerdens vgl. die der Würdigung durch H. Gross „Herr Professor B. L. van der Waer-
den feierte seinen siebzigsten Geburtstag" (Elem. Math. 28 (1973), 25—32) beigegebene
Bibliographie. Man beachte aber, daß diese in Wahrheit nicht vollständig ist und auch die Titel
nicht immer korrekt verzeichnet sind.

242 Teil III
[31] Generalization of a theorem of Kronecker, Bull. Amer. Math. Soc. 37 (1931), 427—428.
[32] Zur Begründung des Restsatzes mit dem Noetherschen Fundamentalsatz, Math. Ann.
104 (1931), 472-475.
[33] Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik, Springer, Berlin 1932.
[34] (mit F. Levi). Über eine besondere Klasse von Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg
9 (1932), 154-158.
[35] Stetigkeitssätze für halbeinfache Liesche Gruppen, Math. Z. 36 (1933), 780—786.
[36] Die Klassifikation der einfachen Lieschen Gruppen, Math. Z. 37 (1933), 446—462.
[37] Die Seltenheit der Gleichungen mit Affekt, Math. Ann. 109 (1933), 13-16.
[38] (mit L. Infeld). Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen
Relativitätstheorie, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. KL, 1933, S. 380—401;
Berichtigung dazu S. 474.
[39] Zur algebraischen Geometrie, I. Gradbestimmung von Schnittmannigfaltigkeiten einer
beliebigen Mannigfaltigkeit mit Hyperflächen, Math. Ann. 108 (1933), 113 — 125.
[40] Zur algebraischen Geometrie, II. Die geraden Linien auf den Hyperflächen des Pn, Math.
Ann. 108 (1933), 253-259.
[41] Zur algebraischen Geometrie, III. Über irreduzible algebraische Mannigfaltigkeiten,
Math. Ann. 108 (1933), 694-698.
[42] Eine einfache Herleitung der Stirlingschen Formel n\ ~ nne~n y2nn, Nieuw Arch. Wisk.
(1933), H. 4, 40-45.
[43] Zur algebraischen Geometrie, IV. Die Homologiezahlen der Quadriken und die Formeln
von Halphen der Liniengeometrie, Math. Ann. 109 (1933), 7 — 12.
[44] Noch eine Bemerkung zu der Arbeit ,,Zur Arithmetik der Polynome" von U. Wegner in
Math. Ann. 105, S. 628-631, Math. Ann. 109 (1934), 679-680.
[45] Zur algebraischen Geometrie, V. Ein Kriterium für die Einfachheit von Schnittpunkten,
Math. Ann. 110 (1934), 128-133.
[46] Zur algebraischen Geometrie, VI. Algebraische Korrespondenzen und rationale
Abbildungen, Math. Ann. 110 (1934), 134-160.
[47] Elementarer Beweis eines zahlentheoretischen Existenztheorems, J. Reine Angew. Math.
171 (1934), 1-3.
[48] Gruppen von linearen Transformationen, Ergeb. Math. 4, H. 2, Springer, Berlin 1935.
[49] (mit H. Casimir). Algebraischer Beweis der vollständigen Reduzibilität der Darstellungen
halbeinfacher Liescher Gruppen, Math. Ann. 111 (1935), 1 — 12.
[50] Die Zerlegungs- und Trägheitsgruppe als Permutationsgruppen, Math. Ann. 111 (1935),
731-733.
[51] Eine einfache Herleitung der Fourierschen Reihe, Prace mat.-fiz. 44 (1935), 1 — 5.
[52] Nachruf auf Emmy Noether, Math. Ann. 111 (1935), 469-476.
[53] (mit L. J. Smid). Eine Axiomatik der Kreisgeometrie und der Laguerregeometrie, Math.
Ann. 110 (1935), 753-776.
[54] Zur algebraischen Geometrie, VII. Ein neuer Beweis des Restsatzes, Math. Ann. 111
(1935), 432-437.
[55] Empirische Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten und physiologische Konzentrations-
auswertung, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 87 (1936), 353—364.
[56] Reihenentwicklungen und Überschiebungen in der Invariantentheorie, insbesondere im
quaternären Gebiet, Math. Ann. 113 (1936), 14-35.
[57] Zur algebraischen Geometrie. Berichtigung und Ergänzungen, Math. Ann. 113 (1936),
36-39.
[58] Zur algebraischen Geometrie, VIII. Der Grad der Graßmannschen Mannigfaltigkeit der
linearen Räume Sm in Sn, Math. Ann. 113 (1936), 199—205.
[59] Messung von Wahrscheinlichkeiten, insbesondere Mortalität von Krankheiten,
Operationen usw., Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 88 (1936), 21—30.

B. L. van der Waerdens Wirken von 1931 bis 1945 in Leipzig 24$
[60] Die Seltenheit der reduziblen Gleichungen und der Gleichungen mit Affekt, Monatsh.
Math. Phys. 43 (1936), 133-147.
[61] Über die richtige Auswertung von Erfolgsstatistiken, Klin. Wschr. 15 (1936), 1718—1719.
[62] (mit Wei-Lian Chow). Zur algebraischen Geometrie, IX. Über zugeordnete Formen und
algebraische Systeme von algebraischen Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 113 (1937),
692-704.
[63] Zur algebraischen Geometrie, X. Über lineare Scharen von reduziblen Mannigfaltigkeiten,.
Math. Ann. 113 (1937), 705-712.
[64] De logische grondslagen van de Euklidische Meetkunde, Noordhoff, Groningen 1937.
[65] Zur algebraischen Geometrie, XI. Projektive und birationale Äquivalenz und Moduln von
ebenen Kurven, Math. Ann. 114 (1937), 683-699.
[66] Arithmetik und Rechentechnik der Ägypter, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig,.
Math.-phys. Kl. 89, (1937), 171-172.
[67] Geometrische Konstruktionen. (Die Geometrographie von Lemoine). Semester-Berichte
zur Pflege des Zusammenhangs von Universität und Schule. Math. Seminar Münster,
11. Semester, Winter 1937/38, S. 86-93.
[68] Zur algebraischen Geometrie, XII. Ein Satz über Korrespondenzen und die Dimension
einer Schnittmannigfaltigkeit, Math. Ann. 115 (1938), 330—332.
[69] Zur algebraischen Geometrie, XIII. Vereinfachte Grundlagen der algebraischen
Geometrie, Math. Ann. 115 (1938), 359-378.
[70] Eine Bemerkung zur numerischen Berechnung von Determinanten und Inversen von
Matrizen, Jahresber. DMV 48 (1938), 29-30.
[71] Zur algebraischen Geometrie, XIV. Schnittpunktszahlen von algebraischen
Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 115 (1938), 619-642.
[72] Die Entstehungsgeschichte der ägyptischen Bruchrechnung, Quellen u. Studien zur Gesch.
d. Math. Abt. B, 4 (1938), 359-382.
[73] Zur algebraischen Geometrie, XV. Lösung des Charakteristikenproblems für Kegelschnitte,
Math. Ann. 115 (1938), 645-655.
[74] Über die Bestimmung eines Dreiecks aus seinen Winkelhalbierenden, J. Reine Angew.
Math. 179 (1938), 65-68.
[75] Nachruf auf Otto Holder, Math. Ann. 116 (1938), 157-165.
[76] Vertrauensgrenzen für unbekannte Wahrscheinlichkeiten, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig, Math.-phys. Kl., 91 (1939), 213-228.
[77] Einführung in die algebraische Geometrie, Springer, Berlin 1939.
[78] Zenon und die Grundlagenkrise der griechischen Mathematik, Math. Ann. 117 (1940/41),
141-161.
[79] Die Voraussage von Finsternissen bei den Babyloniern, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig, Math.-phys. KL, 92 (1940), 106-114.
[80] Bericht über die Arbeit von H. Fitting, Beiträge zur Theorie der Gruppen endlicher
Ordnung, J. Reine Angew. Math. 182 (1940), 215.
[81] Biologische Konzentrationsauswertung, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-
phys. Kl., 92 (1940), 41-44.
[82] Wirksamkeits- und Konzentrationsbestimmung durch Tierversuche, Naunyn-Schmiede-
bergs Arch. experiment. Path. u. Pharmakol. 195 (1940), 389—412.
[83] Die Astronomie der Pythagoreer und die Entstehung des geozentrischen Weltbildes,
Die Himmelswelt 51 (1941), 97-103, 113-119.
[84] Zur babylonischen Planetenrechnung, Eudemus 1 (1941), 23—48.
[85] Zur pythagoreischen Algebra: Quadratwurzel und Kubikwurzel, Math. Ann. 118 (1941),
286-288.
[86] Nachtrag zur Note ,,Die Voraussage von Finsternissen bei den Babyloniern", Ber. Verh.
Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 93 (1941), 19-20.

244 Teil III
[87] Die lange Reichweite der regelmäßigen Atomanordnung in Mischkristallen, Z. Phys. 118
(1941), 483-488.
[88] Topologie und Uniformisierung der Riemannschen Flächen, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig, Math.-phys. Kl., 93 (1941), 147-160.
[89] Die Bedeutung des Bewertungsbegriffs für die algebraische Geometrie, Jahresber. DMV
62 (1942), 161-172.
[90] Das ^-Kriterium in der mathematischen Statistik, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. Kl., 95 (1943), 91-110.
[91] Die Berechnung der ersten und letzten Sichtbarkeit von Mond und Planeten und die
Venustafeln des Ammisaduqa, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl.,
94 (1943), 23-56.
[92] Die Harmonielehre der Pythagoreer, Hermes 78 (1943), 163-199.
[93] (mit M. Gildemeister). Die Zulässigkeit des ^2-Kriteriums für kleine Versuchszahlen,
Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 95 (1943), 145-150.
[94] Plaudereien zur babylonischen Astronomie, I. Die Venusbeobachtungen unter Ammisa-
duga, Die Himmelswelt 53 (1943), 61 — 67.
[95] Plaudereien zur babylonischen Astronomie, II. Der Kalender von Nippur und die
Zwölfmal drei Sterne, Die Himmelswelt 54 (1944), 22, 28—31.
[96] Die Astronomie des Heraklides von Pontos, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-
phys. KL, 96 (1944), 47-56.
[97] The Foundation of the Invariant Theory of Linear Systems of Curves on an Algebraic
Surface, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 8 (1946), 223-226.

Ernst Holder
und die mathematische Physik
Herbert Beckert (Leipzig)
Ernst Holder
(geb. 1901)
Zu den markantesten Persönlichkeiten, die richtungweisend der mathematischen
Forschung an der Universität Leipzig nach der Wiedereröffnung 1945 das Gepräge
gegeben haben, gehört Prof. Dr. Ernst Holder, der während des Krieges als
wissenschaftlicher Mitarbeiter an die Anstalt für Luftfahrtforschung in Braunschweig
dienstverpflichtet worden war und auf Betreiben von Prof. Dr. Hund wieder nach
Leipzig kam.
Ernst Holder, Sohn von Otto Holder, geboren am 2. April 1901, studierte von
1920—1926 Mathematik und Physik an der Universität Leipzig und Göttingen. Wie
der junge Holder bereits als Schüler neben den Anregungen, die Schule und
besonders das Elternhaus boten, für ein Mathematikstudium begeistert wurde, schildert
er selbst in seinem in meisterhafter Diktion geschriebenen Aufsatz ,,Hermann
Weyl zum 70. Geburtstag" [54]:
„Ich werde nicht den grauen Herbstnachmittag vergessen, an dem ich als Schüler
mir das Buch ,Raum, Zeit, Materie', Berlin 1918, von Hermann Weyl kaufte.
Natürlich war mein Vater skeptisch: Das Buch sei für mich noch viel zu hoch, und es
überschätze wohl das Neue, die Einsteinsche Relativitätstheorie. Trotzdem, es war
wirklich, ,als wäre plötzlich eine Wand zusammengebrochen, die uns von der Wahrheit
trennte4. Mein Mathematikstudium war eigentlich nur auf das Verstehen dieses
wunderbaren Buches gerichtet; vieles wurde in ihm ja ab ovo entwickelt, und manches
wurde mir noch besonders erklärt von meinem Vater und F. W. Levi. Nachher hörte
ich dann das Herglotz-Kolleg über Riemannsche Mannigfaltigkeiten."
Die originellen und glänzenden Vorlesungen von Gustav Herglotz u. a. über
Himmelsmechanik, Mechanik der Kontinua, Riemannsche Geometrie und
Differentialgleichungen haben später unverkennbare Spuren in zahlreichen Arbeiten von
Ernst Holder hinterlassen. Das starke Interesse für die Physik führte Ernst
Holder im Verlauf seines Studiums an der Universität Leipzig rasch zu Leon Lichten-
stein, seinem Lehrer, der in seiner programmatischen Antrittsvorlesung
„Astronomie und Mathematik in ihrer Wechselwirkung" [55] ein Forschungsprogramm über
die Gestalt und Bewegungen der Himmelskörper aufgestellt hatte und damals eine

246 Teil III
Integralgleichungstheorie zur Behandlung von Verzweigungs- und
Stabilitätsproblemen für rotierende Flüssigkeiten der verschiedenen Strukturen auf breiter Front
entwickelte. In seinen ersten Arbeiten geht Ernst Holder von den nichtlinearen
Integralgleichungen für die Richtungscosinus der Flächennormalen bzw. für die
Stützfunktion der Oberfläche einer im Gleichgewicht befindlichen rotierenden
Flüssigkeit aus, die vor ihm bereits von A. Collet benutzt wurden, und kann in [2]
die von Lichtenstein ermittelten Stabilitätsbedingungen explizieren und mittels
der Sätze aus der stetigen Störungstheorie von Hermann Weyl verschärfen. In
seiner Dissertation [1] wird mit der Stützfunktion als Unbekannte das
Verzweigungsproblem für Gleichgewichtsfiguren in Nachbarschaft der ruhenden Kugel bei
Berücksichtigung der Oberflächenspannung gelöst. Ernst Holder konnte in weiteren
Untersuchungen über Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten unter anderem
den wichtigen Satz beweisen, daß sich der Verzweigungsfall beim Vorliegen von m
Nullösungen stets auf die Auflösung von nur m — 2 statt m Verzweigungsgleichungen
zurückführen läßt. In seiner Habilitationsschrift 1929 „Mathematische
Untersuchungen zur Himmelsmechanik" [5] studiert er im ersten Teil die aus den
Lagrangeschen Dreieckslösungen des Dreikörperproblems abgeleiteten Gleichgewichtsfiguren
auch im Fall schwacher Unsymmetrien, diskutiert das entstehende
Verzweigungsproblem und beweist auf diesem Weg erstmalig die Existenz von
Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten mit nur einer nicht durch die Rotationsachse
gehenden Symmetrieebene. Im zweiten Teil werden periodische Lösungen des n-
Körperproblems in Nachbarschaft einer periodischen Ausgangslösung konstruiert,
welche durch die periodische Bewegung von n — 1 Massenpunkten um eine
Zentralmasse im Mittelpunkt längs konzentrischer Kreise gegeben ist. Über die explizite
Konstruktion des Greenschen Tensors im erweiterten Sinn zu dem System der
Lagrangeschen Gleichungen gewinnt Ernst Holder für die gestörte Bewegung ein
System von nichtlinearen Integrodifferentialgleichungen, auf welches die Lichten-
steinsche Verzweigungstheorie angewendet wird. Ernst Holder hat in der
Folgezeit in mehreren interessanten Arbeiten zur Himmelsmechanik diese Theorie auf die
explizite Bestimmung von periodischen Bahnen des restringierten
Dreikörperproblems in der Nachbarschaft eines kritischen Keplerkreises ([14, 6]) übertragen.
In einer Reihe grundlegender Abhandlungen hatte L. Lichtenstein das
Anfangswertproblem der instationären Bewegungsgleichungen inkompressibler
reibungsloser Flüssigkeiten in der Form von Lagrange für kleinere Zeiten gelöst.
Gleichzeitig mit W. Wolibner, der im ebenen Fall einen Existenzbeweis für diese Strömungen
im Großen erbrachte, veröffentlichte Ernst Holder 1933 [9] eine sehr schöne
Untersuchung, in der er die unbeschränkte zeitliche Fortsetzbarkeit der Lichtensteinschen
Lösungen im Fall vorgegebener Anfangswirbelgeschwindigkeit auf einem eleganten
potentialtheoretischen Wege zeigen konnte. Zwischen dem zwei- und
mehrdimensionalen Fall türmen sich in den globalen Existenztheorien bekanntlich auch bei zähen
Strömungen große Schwierigkeiten auf, die in der Natur der Sache zu liegen scheinen.
Der plötzliche Tod Leon Lichtensteins 1933 muß unter den obwaltenden
Umständen Ernst Holder schwer getroffen haben, verbanden ihn doch mit seinem
hochgeschätzten Lehrer engste wissenschaftliche und freundschaftliche Beziehungen.
Stets hat Ernst Holder das Andenken an Leon Lichtenstein wachgehalten.
Im Jahre 1935 veröffentlichte er eine Widmungsarbeit ,,Die Lichtensteinsche
Methode für die Entwicklung der zweiten Variation, angewandt auf das Problem von

Ernst Holder und die mathematische Physik 247
Lagrange" in der polnischen Zeitschrift Prace Matematyczno-Fizyczne im Rahmen
seiner neuen Forschungsthematik: ,, Eigen Werttheorie kanonischer
Differentialgleichungssysteme" ([10, 15, 18, 23]). In der quadratischen Hamiltonfunktion
n
2H(t, Xj, yi) = £ aiixixj + 2bijxiyj + c{)yiy)
«.7 = 1
mit stetigen Koeffizienten längs (t0, tx) wird die quadratische Form
n
1,7 = 1
positiv semidefinit vom Rang n — p, 0 <^ p < n; dies führt beim Eigenwertproblem
zur Unterscheidung zwischen „normalen" und ,,singulären" Eigen Wertfunktionen.
In [15] wird diese Eigen Werttheorie unter allgemeinen Randbedingungen durchgeführt,
wo die Endpunkte von x-t(t) auf r-dimensionalen Endmannigfaltigkeiten liegen
(Normalform von Morse). Für die behandelten Problemklassen wurden die Greenschen
Tensoren konstruiert und die Entwicklungssätze über die Schmidtsche Theorie
adjungierter Integralgleichungen gewonnen. Die Entwicklung der zweiten Variation
sehr allgemeiner eindimensionaler Variationsprobleme nach den Eigenlösungen führt
dann nach Lichtenstein auf die bekannten Eigenwertkriterien für ein lokales Ex-
tremum. Ernst Holder ist in jüngster Zeit in weiteren Arbeiten [33, 40] sowohl auf
den Fall zweidimensionaler nichtlinearer Integranden mit beliebig vielen gesuchten
Funktionen wie auf den entsprechenden w-dimensionalen Fall eingegangen. Die
Eigen Werttheorie von E. Kamke über selbstadjungierte Eigenwertprobleme einer
gewöhnlichen linearen Differentialgleichung 2m-ter Ordnung erweist sich als
Spezialfall der allgemeinen Eigenwerttheorie kanonischer Systeme. Eine hübsche Anwendung
seiner Theorie veröffentlichte Ernst Holder in [19]. Hier behandelt er vollständig
das bekannte Problem der Stabknickung bei beliebig verteilten Längs- und kleinen
Querkräften sowie bei Berücksichtigung der Längsdilatation.
Bei eindimensionalen Extremalintegralen sind die Beziehungen zur Geometrie
der Gruppe der Berührungstransformationen schon in Hamiltons optischen
Arbeiten erkennbar. Wie Ernst Holder in [17] zeigte, kann man über die Einführung
der Lieschen charakteristischen Funktion als Erzeugende einer eingliedrigen Gruppe
von Berührungstransformationen hinweg deren Deutung als Bahnkurven der
kanonischen Differentialgleichungen und Extremalen des zugehörigen Lagrangeschen
Variationsproblems zu einem einzigartig schönen Überblick über die Bezirke der
Jacobi-Hamiltonschen Theorie und deren Anwendungen gelangen. In dieser schönen
Untersuchung geht Ernst Holder auch auf die Caratheodorysche Feldtheorie für
mehrdimensionale Variationsprobleme ein, welche die Charakterisierung einer
starken Extremalen ebei positiver Weierstraßscher ^-Funktion auf deren Einbettung
in ein sogenanntes geodätisches Feld, das e transversal schneidet, überführt und
skizziert eine Feldkonstruktion im Kleinen im Anschluß an die von H. Boerner. In
seinen Leipziger Vorlesungen und Seminaren über partielle Differentialgleichungen
erster Ordnung und Geometrische Optik ist er immer wieder auf den Gegenstand
dieser Arbeit ausführlich eingegangen. Aus diesen Anregungen entstand die
Leipziger Dissertation von Herrn J. Focke, die Ausgangspunkt einer Reihe weiterer
wertvoller Arbeiten zur Geometrischen Optik geworden ist. Ähnliches gilt auch für die

248 Teil III
Untersuchungen von Herrn R. Klötzler zur Feldtheorie in der Variationsrechnung,
die von dem soeben genannten Ideenkreis ausgehen [57].
Auf die Problematik der Gültigkeit des Huygensschen Prinzips bei normal
hyperbolischen Gleichungen geht Ernst Holder 1938 in der Arbeit [13] ein, worin er
explizit eine zur Poissonschen analoge Wellenformel für die Lösungen u(t}
der skalaren Wellengleichung bezüglich der Metrik ds2 = ds02 — c2 dt2 ableitet, wenn
die Metrik ds02 einen Raum konstanter Krümmung definiert. Für die Gültigkeit
des Huygensschen Prinzips erweist sich, wie in der Arbeit unter anderem weiter
gezeigt wird, das Verschwinden der skalaren Krümmung als notwendig. Die Frage
nach der Richtigkeit der sogenannten Vermutung von Hadamard, wonach unter den
normal hyperbolischen Differentialgleichungen gerader Raum-Zeit-Dimension die
Wellengleichung bis auf sogenannte triviale Transformationen die einzige sei, für
welche das Huygenssche Prinzip im strengen Sinn zutrifft, bildete die
Hauptproblematik der Dissertation von P. Günther [56], welche durch Ernst Holder angeregt
wurde. Dieser Forschungsbereich ist in den letzten 30 Jahren durch P. Günther
und weitere Mitarbeiter in einer größeren Zahl wertvoller Abhandlungen aufgehellt
worden, in besonderem Maße mit der expliziten Angabe eines Gegenbeispiels zur
Vermutung von Hadamard.
Im Anschluß an K. Hetjn leitet Ernst Holder in [16] in einer schönen Arbeit
die dynamischen Gleichungen eines starren Körpers, bezogen auf ein allgemein
bewegtes Bezugssystem, unter Verwendung von Summen Plückerscher Koordinaten
her und erhält so einen vollständigen invarianten Satz von Differentialgleichungen
erster Ordnung für die absolute Schraubengeschwindigkeit und die Elemente der
Trägheitsmatrix, der je nach Wahl des Bezugssystems auf die R.-Misessche oder M.-
Winkelmann-R.-Grammeische Theorie führt. Eine Verallgemeinerung dieser Theorie
auf die Dynamik eines starren Körpers in einem nichteuklidischen Raum wird in
[37] behandelt.
In den folgenden Arbeiten von Ernst Holder vollzieht sich bis auf wenige
Beispiele, wie etwa in der unveröffentlichten Lilienthal-Preisarbeit aus dem Jahre 1943,
in welcher er, wie er in [41] skizziert, die isentropische drehungsfreie ebene
Unterschallströmung1) in einem ringförmigen Kanal um ein Profil bis zur kritischen
Geschwindigkeit unter Benutzung der Sätze von I. Schauder und S. Bernstein
fortsetzen kann, ein unverkennbarer Übergang von der konstruktiven zur beschreibenden
Mathematik im Bereich der mathematischen Physik. Dabei fördert er für die von
ihm so geliebte Variationsrechnung und deren Begriffsbildungen wie Figuratrix
und Indikatrix immer neue Anwendungsmöglichkeiten ans Licht im Bereich der
Hydro- und Aerodynamik wie neuerdings der Magneto-Gasdynamik und Supraleitung.
Immer wieder schlägt er Brücken zu anschaulich-geometrischen Begriffsbildungen.
Bei stationären rotationssymmetrischen und ebenen Strömungen eines Gases gelingt
ihm die Deutung desBusemannschen Druckberges — analytisch die thermodynamische
Druck-Entropie-Enthalpierelation des Mollier-Diagramms, wenn man letztere durch
die Bernoullische Gleichung eliminiert — als Figuratrix eines nichtlinearen
Variationsproblems, welches er explizit berechnen kann [30]. In [42, 52] wird diese Theorie
*) Dieses Problem wurde 1952 von Max Shiffman in der Arbeit: On the existence of sub-
sonie flows of a compressible fluid, J. Rat. Mech. Analysis 1 (1952), 605—652, gelöst, weiter
von Bers, Bojabski und Beyer.

Ernst Holder und die mathematische Physik 249
auf stationäre, rotationssymmetrische Strömungen eines leitenden Plasmas auf die
Magneto-Gasdynamik übertragen. Es ist sehr interessant, daß diese Interpretation
des Busemannschen Druckberges über eine Doppeltangentenkonstruktion auf eine
sehr anschauliche Darstellung der Sprungrelationen an einem Verdichtungsstoß
führt. Das Hamiltonsche Prinzip kann bei festgehaltenen Randwerten auch als
Variationsproblem für die Lagrangeschen Teilchenkoordinaten als Funktion der Zeit
und Eulerschen Ortskoordinaten formuliert werden. Dies zeigt Ernst Holder in
eleganter Weise in [28] sogar für instationäre kompressible Strömungen und erhält
auf diese Weise auch für stationäre Strömungen eines Gases durch Einführung von
zwei im wesentlichen mit den Lagrangeschen Koordinatenfunktionen identischen
Stromfunktionen das bemerkenswerte vorhin genannte Variationsproblem, das in
den bereits erwähnten wie weiteren Anwendungen zugrunde gelegt wurde.
Ernst Holder hat in mehreren Arbeiten, insbesondere in [24], [21] und in seinem
Anfangsseminar am Mathematischen Institut der Universität Leipzig 1946 auf die
Lewy-Friedrichschen Untersuchungen über das Differenzenverfahren bei
hyperbolischen Differentialgleichungen in Hinblick auf dessen Anwendungen auf die
Gasdynamik hingewiesen. Hiervon erhielt der Verfasser wertvolle Anregungen zu seiner
Dissertation [58, 59] und seinen Untersuchungen über quasilineare Systeme erster
Ordnung.
Zumindest seit dem Erscheinen des Buches von E. Kahler [61] bedient sich Ernst
Holder mit Vorliebe des Kalküls der alternierenden Differentialformen. So
behandelt er in der Arbeit [24] unter Verwendung dieses Kalküls das Cauchysche
Anfangswertproblem für die Monge-Amperesche Differentialgleichung mit Hilfe der
Charakteristikentheorie und stellt hiermit Querverbindungen zu den älteren Theorien von
Engel und Lagtjerre her. In zahlreichen weiteren Arbeiten, wie in [40], aber
besonders bei seiner Untersuchung der Differentialgleichungen der Supraleitung, wo
er die Beziehungen zu den Maxwellschen Gleichungen bespricht, macht er sich mit
Vorteil diese Technik zunutze.
Neben seiner wertvollen Forschungsarbeit, auf die der Verfasser hier nur kurz
und unvollständig eingehen konnte, war Ernst Holder sehr erfolgreich bei der
Auswahl und Anleitung seiner Schüler, von denen hier genannt werden: Herbert
Beckert, Paul Günther, Joachim Focke, Rolf Klötzler, Helmut Schäfer,
Stefan Hildebrandt und Ulrich Staude. Seine Förderung war uneigennützig,
nie hat er seine Schüler, die er unmerklich, aber desto wirkungsvoller lenkte,
überfordert. Seine Liebenswürdigkeit und außerordentliche Hilfsbereitschaft und die
Ruhe, welche er ausstrahlte, bildeten die Grundlage einer ausgeglichenen, effektiven
Arbeitsatmosphäre. Neben seiner Potenz als Mathematiker auf dem Gebiet der
Analysis ist Ernst Holder auch Physiker par excellence auf einem breiten
Spektrum. In seinen Vorlesungen und Seminaren lehrte er, wie man die Mathematik an
Hand ihrer physikalischen Anwendungen erlernen kann. Stets dem Andenken seines
Lehrers Leon Lichtenstein verpflichtet, hat Ernst Holder dessen
Forschungstradition am Mathematischen Institut der Universität Leipzig, dessen Direktor er
von 1946—1957 war, wachgehalten und hier einen großen Schülerkreis für die
Mathematik begeistern können.

250 Teil III
Verzeichnis der Veröffentlichungen von Ernst Holder
[1] Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten mit Oberflächenspannung (Dissertation),
Math. Z. 25 (1926), 188-208.
[2] Über einige Integralgleichungen aus der Theorie der Gleichgewichtsfiguren rotierender
Flüssigkeiten mit Anwendung auf Stabilitätsbetrachtungen, Leipz. Ber. 78 (1926), 3—20.
[3] Beiträge zur mathematischen Theorie der Gestalt des Erdmondes, Leipz. Ber. 78 (1926),
21-36.
[4] Bemerkungen zu der vorstehenden Arbeit (von Herrn Mazurkiewics), Math. Z. 25 (1926),
754.
[5] Mathematische Untersuchungen zur Himmelsmechanik (Habilitationsschrift), Math. Z.
31 (1929), 197-257.
[6] Die Verzweigungsgleichungen für die kritischen Kreise des restringierten
Dreikörperproblems, Leipz. Ber. 83 (1931), 179-184.
[7] Über eine potentialtheoretische Eigenschaft der Ellipse, Math. Z. 35 (1932), 632-643.
[8] Zur Theorie inhomogener Gleichgewichtsfiguren, 1. Mitteilung. Homogene
Ausgangsfiguren, Math. Z. 36 (1933), 563-580.
[9] Über die unbeschränkte Fortsetzbarkeit einer stetigen ebenen Bewegung in einer
unbegrenzten inkompressiblen Flüssigkeit, Math. Z. 37 (1933/34), 727-738.
[10] Die Lichtensteinsche Methode für die Entwicklung der zweiten Variation angewandt auf
das Problem von Lagrange, Prace mat.-fiz. 43 (1935), 307 — 346.
[11] Zur Theorie der Randwertaufgaben für lineare kanonische Systeme, Jahresber. DMV 45
(1935), 126-128.
[12] Über die Vielfachheiten gestörter Eigenwerte, Math. Ann. 113 (1936), 620-628.
[13] Poissonsche Wellenformel in nichteuklidischen Räumen, Leipz. Ber. 90 (1938), 55 — 66.
[14] Die symmetrischen periodischen Bahnen des restringierten Dreikörperproblems in der
Nachbarschaft eines kritischen Keplerkreises, Amer. J. Math. 60 (1928), 801—814.
[15] Entwicklungssätze aus der Theorie der zweiten Variation. Allgemeine Randbedingungen,
Acta Math. 70 (1939), 193-242.
[16] Über die explizite Form der dynamischen Gleichungen für die Bewegung eines starren
Körpers relativ zu einem geführten Bezugssystem, ZAMM 19 (1939), 166 — 176.
[17] Die infinitesimalen Berührungstransformationen der Variationsrechnung, Jahresber.
DMV 49 (1939), 162-178.
[18] Reihenentwicklung aus der Theorie der zweiten Variation, Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg 13 (1939), 273-283.
[19] Stabknickung als funktionale Verzweigung und Stabilitätsproblem, Jahrbuch 1940 der
deutschen Luftforschung (1940), 1799 — 1819.
[20] (mit H. Bilharz). Zur Berechnung der Druckverteilung an Rotationskörpern in
achsensymmetrischer Unterschallströmung eines Gases, Jahrbuch 1941 der deutschen
Luftforschung (1941), III 198-III 204.
[21] Bemerkungen zu Riemanns Abhandlung: ,,Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von
endlicher Schwingungsweite", Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 14 (1941), 338-350.
[22] Beiträge zur mathematischen Behandlung des Umströmungsproblems der Gasdynamik
(Lilienthal-Preisschrift, Preisausschreiben Aerodynamik 1942), Interner Bericht DFVLR
IB FZ BS - 72/1, Braunschweig 1972, S. 1-98.
[23] Einordnung besonderer Eigenwertprobleme in die Eigenwerttheorie kanonischer
Differentialgleichungssysteme, Math. Ann. 119 (1943), 21—66.
[24] Symmetrische Behandlung des Cauchyschen Anfangswertproblems bei einer Monge-
Ampereschen Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ, Ber. Verh. Sachs. Akad.
Wiss. Leipzig, Math.-naturwiss. Kl., 94 (1942), 57-70.
[25] Die Differentialgleichungen für die Stromfunktion der stationären rotationssymmetrischen

Ernst Holder und die mathematische Physik 251
Zirkulation einer adiabatischen veränderlichen reibungsfreien Atmosphäre über der Erde,
Meteorol. Rundsch., 1. Jg., 15./16. Heft (1948), 449-450.
[26] Probleme der partiellen Differentialgleichungen der Mechanik der Kontinua, ZAMM 29
(1949), 22-23.
[27] Zusätzliche Stabilitätsbetrachtung betreffend: ,,Die symmetrischen periodischen Bahnen
des restringierten Dreikörperproblems in der Nachbarschaft eines kritischen Kepler-
kreises", Amer. J. Math. 72, No. 1 (1950), 157-160.
[28] Über die Variationsprinzipe der Mechanik der Kontinua, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig, Math.-naturwiss. KL, 97, H. 2 (1950), 3-13.
[29] Constantin Caratheodory. Sein Beitrag zur Axiomatik der mathematischen Physik,
Forschungen u. Fortschritte 26, Nr. 21/22 (1950), 290-293.
[30] Klassische und relativistische Gasdynamik als Variationsproblem, Math. Nachr. 4 (1950/
1951), 366-381.
[31] Über die Drehfrequenzbereiche mit instabilen periodischen Torsionsschwingungen bei
Kurbelwellen, ZAMM 32 (1952), 258-259.
[32] Über den Aufbau eines erweiterten Greenschen Tensors kanonischer
Differentialgleichungen aus assozierten Lösungssystemen, Ann. Soc. Polon. Math. 25 (1952), 115 — 121.
[33] Das Eigenwertkriterium der Variationsrechnung zweifacher Extremalintegrale, Bericht
über die Mathematikertagung in Berlin v. 14. —18. 1. 1953, VEB Deutscher Verlag
der Wissenschaften, Berlin 1953, S. 291-302.
[34] Charakteristikentheorie des überkritischen stationären ebenen Fließens eines
plastischelastischen Materials mit Verfestigung, Kolloid-Zeitschrift 138 (1954), 19.
[35] Über die Differentialgleichungen der Supraleitung, Proc. Int. Congr. Math. 1954 2
(Amsterdam 1954), p. 352.
[36] Aufbau einer Extremalfläche hyperbolischen Typs aus ihren Charakteristiken (mittels des
euklidischen Zusammenhangs des Cartanschen Raumes), Arch. Math. 5 (1954), 510 bis
521.
[37] Die Dynamik des starren Körpers in einem nichteuklidischen Raum, Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg 20 (1956), 242-252.
[38] Über die auf Extremalintegrale gegründeten metrischen Räume, Inst. Math. Dtsch. Akad.
Wiss. Berlin Heft 1 (1957), 178-193.
[39] Fortsetzung Abelscher Differentiale 1. Gattung ins Nichtlineare, Ann. Acad. Sei. Fenn.,
Ser. A I, Math. 250, 15 (1958).
[40] Über die partiellen Differentialgleichungssysteme der mehrdimensionalen
Variationsrechnung, Jahresber. DMV 62 (1959), 34-52.
[41] Extremale geschlossene Differentialformen, Unterschallströmungen im Großen, Math. Z.
72 (1960), 235-258.
[42] Zur Kontinuum-Magneto-Gasdynamik. Stationäre rotationssymmetrische Strömung eines
vollkommen leitenden Plasmas, ZAMP 12 (1961), 516—526.
[43] Beweis einiger Ergebnisse aus der Theorie der 2. Variation mehrfacher Extremalintegrale,
Math. Ann. 148 (1962), 214-225.
[44] Mit harmonischen Feldern verwandte Differentialformen unter Rand- und
Anfangswertbedingungen, Ann. Acad. Sei. Fenn., Ser. A I, Math. 336, 7 (1963), 3—24.
[45] (mit R. Klötzer, S. Gähler, S. Hildebrandt). Entwicklungslinien der
Variationsrechnung seit Weierstraß. Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes
Nordrhein-Westfalen, Wiss. Abh. 33 (1966), 183-240.
[46] Stationäre rotationssymmetrische perfekte Plasmafreistrahlen. In Schultz-Grunow
(Ed.): Elektro- und Magnetohydrodynamik, BI Mannheim 1968, S. 92 — 112.
[47] Navigationsformel zu A. Busemanns Variationsproblem der Raumfahrt, Celest. Mech.
2 (1970), 435-445.
[48] Die dreispitzige Hypozykloide als Einhüllende der in erster kompressibler Näherung be-

252 Teil III
rechneten Auftriebskraft auf ein symmetrisches Profil in einer Strömung gegebener
Machzahl und variabler Anströmungsrichtung, Jahrbuch 1971 der DGLR (1971), 237—243.
[49] Zu Rotation und Apsidalbewegung von Sternmodellen nach der Clairot-Liapunoff-Lich-
tensteinschen Theorie der Figur der Erde, Mitt. Math. Sem. Gießen 123 (1977), 195-227.
[50] Treibstoffoptimale Störungen von Satellitenbahnen im Raum eines anziehenden
Zentrums. Erster Teil: Zur Variationsrechnung und Himmelsmechanik, Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg 47 (1978), 128-149.
[51] Treibstoffoptimale Störungen von Satellitenbahnen im Raum eines anziehenden Zentrums.
Zweiter Teil: Störungsdifferentialgleichungen bei Raketenschub als Indikatrix eines
Variationsproblems, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 48 (1979), 264-278.
[52] Zum Druckberg in der Magneto-Gasdynainik, ZAMM 59 (1979), 337-347.
[53] Lichtensteins wissenschaftliche Wirksamkeit. Zum 100. Geburtstag von Leon
Lichtenstein. SFB 72 Preprint no. 253, Bonn 1979, Wiadomosci Mat.
[54] Hermann Weyl zum 70. Geburtstag, Forschungen und Fortschritte 29, H. 11 (1955).
Weitere Literatur
[55] Lichtenstein, L.: Astronomie und Mathematik in ihrer Wechselwirkung, Hirzel-Verlag,
Leipzig 1923.
[56] Günther, P.: Zur Gültigkeit des Huygensschen Prinzips bei partiellen
Differentialgleichungen vom normalen hyperbolischem Typus, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig,
Math.-naturwiss. KL, 100, H. 2 (1952), 1-43.
[57] Klötzler, R.: Die Konstruktion geodätischer Felder im Großen in der
Variationsrechnung mehrfacher Integrale, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-naturwiss. Kl.,
104, H. 6 (1961), 1-83.
[58] Beckert, H.: Existenz und Eindeutigkeitsbeweise für das Differenzen verfahren zur
Lösung des Anfangswertproblems, des gemischten Anfangs-Randwert- und des
charakteristischen Problems einer hyperbolischen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei
unabhängigen Variablen, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-naturwiss. KL,
97, H. 4 (1950), 1-42.
[59] Beckert, H.: Über quasilineare hyperbolische Systeme partieller Differentialgleichungen
erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen. Das Anfangswertproblem, die gemischte
Anfangs-Randwertaufgabe, das charakteristische Problem, Ber. Verh. Sachs. Akad.
Wiss. Leipzig, Math.-natmwiss. Kl., 97, H. 5 (1950), 1-68.
[60] Wolibner, W.: Un theoreme sur l'existence du mouvement plan d'un fluid parfait,
homogene, incompressible, pendant un temps infiniment long, Math. Z. 37 (1933), 698—726.
[61] Kahler, E.: Einführung in die Theorie der Systeme von Differentialgleichungen, Teubner,
Leipzig—Berlin 1934.

Erich Kahler in Leipzig
1948-1958
Horst Schumann (Leipzig)
Erich Kahler
(geb. 1906)
„Das waren schöne und erfolgreiche Jahre", sagte Kahler bei einem Besuch in
seiner Geburtsstadt Leipzig im Frühjahr 1980 und meinte damit die Zeit seines
Wirkens als ordentlicher Professor an der Leipziger Universität in den Jahren 1948
bis 1958.
Obwohl Kahler viele Bindungen zu Leipzig besaß — er wurde am 16. Januar
1906 in dieser Stadt geboren, erhielt 1924 an der Leipziger Leibnizoberrealschule das
Zeugnis der Reife, studierte von 1924—1928 an der Leipziger Universität
Mathematik, Astronomie und Physik und promovierte im Mai 1928 bei Lichtenstein zum
Dr. phil. mit der Arbeit „Über die Existenz von Gleichgewichtsfiguren rotierender
Flüssigkeiten, die sich aus gewissen Lösungen des n-Körperproblems ableiten" —,
war es doch den intensiven Bemühungen des derzeitigen Dekans der
mathematischnaturwissenschaftlichen Abteilung der Philosophischen Fakultät und Direktors des
Mathematischen Instituts der Universität Leipzig, E. Holder, zu verdanken, daß
Kahler bei mindestens drei sich bietenden Möglichkeiten ehrenvoller Berufungen
dem Ruf an die Universität Leipzig folgte. Im Oktober 1948 begann er hier mit der
ihm eigenen, unverwechselbaren Energie eine außerordentlich umfangreiche Lehr-
und Forschungstätigkeit, und schon nach kurzer Zeit war spürbar, daß das Leipziger
Mathematische Institut eine Mathematikerpersönlichkeit von großer
Ausstrahlungskraft und hoher wissenschaftlicher Produktivität gewonnen hatte.
In seinem Antrag an die Landesregierung Sachsen vom 7. 10. 1947, die dritte im
Stellenplan vorgesehene planmäßige Professur für Mathematik in Leipzig durch
Kahler zu besetzen, war E. Holder u. a. davon ausgegangen, daß die
funktionentheoretischen Arbeiten Kählers, die stets zum algebraischen Kern der analytischen
Verhältnisse vordringen, ihn als den gegebenen Nachfolger Koebes erscheinen ließen,
der nach langem erfolgreichem Wirken am Leipziger Mathematischen Institut 1945
verstorben war. In der Tat hatte Kahler bereits als junger Mathematiker in den
Jahren 1928/29 in der Theorie der algebraischen Funktionen zweier Variabler (vgl.
[3, 5, 6]) eine Reihe grundlegender Ergebnisse erzielt, die starke Beachtung fanden
und Anlaß zu zahlreichen weiteren Untersuchungen gaben. Bereits im Februar 1930
erlangte Kahler mit seiner Habilitationsschrift ,,Über die Integrale algebraischer

254 Teil III
Differentialgleichungen" die venia legendi. In dieser Arbeit zeigt er für die Integrale
algebraischer Differentialgleichungen erster Ordnung, daß ihre Singularitäten stets
ganze Integralkurven bilden, und gibt für jedes Paar hyperabelscher Funktionen die
zugehörige algebraische Differentialgleichung an. Weitere Untersuchungen Käh-
lers auf dem Gebiet der Funktionen mehrerer Variabler befassen sich mit den
Metriken der automorphen Funktionen sowie den Doppelintegralen erster Gattung.
Einen wesentlichen Teil seiner fruchtbaren mathematischen Schaffensperiode in
den 30er Jahren nimmt die Beschäftigung mit dem Kalkül der Differentialformen ein.
In [11] zeichnet Kahler die Klasse der Metriken aus, für welche die metrische
Differentialform o) = gijdzidz^ geschlossen ist: dco = 0. Räume mit dieser Eigenschaft
wurden später von vielen Mathematikern als Kahl ersehe Räume untersucht. Eine
systematische Behandlung von Differentialgleichungssystemen in der Sprache der
alternierenden Differentialformen stellt [13] dar. Dieses Buch, in dem Systeme
betrachtet werden, die durch Annullieren von Differentialformen beliebigen Grades
entstehen, besticht durch seine präzise Darstellung. Die von Kahler eingeführte
Bezeichnung dco für die äußere Ableitung einer Differentialform co hat später auch
E. Cartan übernommen. Auch die Maxwellschen Differentialgleichungen behandelt
Kahler in [14] in der Sprache der Differentialformen, wobei er ein Analogon der
Kirchhoff sehen Lösung der Wellengleichung aufstellt.
Kahler begann sehr frühzeitig zu publizieren. Seine ersten Arbeiten (vgl. [1, 2])
erschienen 1926. In diesen befaßt sich Kahler mit dem Dreikörperproblem. Von
diesen Arbeiten spannt sich ein weiter Bogen, gekennzeichnet durch eine ganze Reihe
von Veröffentlichungen und zahlreichen Vorträgen, über einen Zeitraum von
54 Jahren bis zum Erscheinen der Monadologie, Teil III 1980, der Kählers Verhältnis
zur Physik, zu den Naturwissenschaften insgesamt und auch zur Philosophie,
insbesondere zu Fragen der Erkenntnistheorie verdeutlicht. Vor allem in seiner Arbeit
,,Über die Beziehungen der Mathematik zur Astronomie und Physik" [15], die einen
im Februar 1939 in Königsberg gehaltenen Vortrag wiedergibt, entwickelt er ein
Programm, das in Ansätzen die tragenden Ideen seines gesamten weiteren
wissenschaftlichen Lebenswerkes enthält. Ich möchte die Auffassung vertreten, daß es nur
möglich ist, Kahler als Mathematiker richtig zu verstehen, wenn man ihn auch als
Physiker, Astronom und Philosoph begreift. Es sei mir deshalb gestattet, aus der
genannten Arbeit ein Zitat anzuführen: „Die Mathematik ist ein Organ der
Erkenntnis und eine unendliche Verfeinerung der Sprache. Sie erhebt sich aus der
gewöhnlichen Sprache und Vorstellungswelt wie eine Pflanze aus dem Erdreich, und ihre
Wurzeln sind Zahlen und einfache räumliche Vorstellungen. Wir wissen nicht, welcher
Inhalt die Mathematik als die ihm allein angemessene Sprache verlangt, wir können
nicht ahnen, in welche Ferne und Tiefe dieses geistige Auge Mathematik den
Menschen noch blicken läßt." In seiner dem 100. Todestag von C. F. Gauss gewidmeten
Abhandlung [24], die den gleichen Titel wie die genannte Arbeit [15] trägt und diese
als Teil I enthält, führt Kahler 18 Jahre später diese Gedanken konsequent weiter.
Er sieht es dabei als eine Aufgabe für die Mathematiker an, hinzuweisen „auf
Möglichkeiten der reinen Mathematik, denen eine philosophische und damit auch für die
Physik bedeutsame Sprachgewalt innezuwohnen scheint". In dieser Arbeit begründet
Kahler auch die zentrale Stellung des Begriffes Körper in der Mathematik und
kennzeichnet ihn in seinem Verhältnis zum Raumbegriff als diesem überlegen und
doch zugleich ausgeliefert ,,wie die Schnecke dem Schneckenhaus".

Erich Kahler in Leipzig 1948 — 1958 255
Die Gedanken, die den Gauß-Artikel durchziehen und denen nachzuspüren man
immer wieder angeregt und dabei zu neuen tieferen Aspekten geführt wird, lassen die
Nähe zu Kählers größtem Werk erkennen, seinem mathematischen Lebenswerk,
der ,,Geometria aritmetica", anderen Endfassung er zu dieser Zeit mit aller Energie
arbeitete und deren Abschluß zweifellos für ihn und seine Schüler den Höhepunkt
in seiner Leipziger Schaffensperiode darstellt, über die zu berichten sich der
Verfasser dieses Artikels als Aufgabe gestellt hat. Zuvor aber sei noch eine Bemerkung
zum vorläufigen Endpunkt des weiten Bogens gestattet, zu Kählers Monadologie;
sie erschien ja etwa 20 Jahre nach Beendigung von Kählers Tätigkeit in Leipzig
(er nahm 1958 eine Berufung an die Technische Universität in Berlin (West) an und
war danach von 1964 bis zu seiner Emeritierung 1974 ordentlicher Professor in
Hamburg), knüpfte aber an eine in Leipzig 1950 von ihm gehaltene Vorlesung für Hörer
aller Fakultäten „Die Mathematik als Sprache und Schrift" an, der eine schriftliche
Ausarbeitung gleichen Titels (vgl. [16]) zugrunde lag. Im Vorwort zum I. Teil dieser
Arbeit, die von allen, die sich mit den tiefliegenden Fragen des Erkenntnisprozesses
beschäftigen, den größten Respekt abverlangt, auch von denen, die zur
wissenschaftlichen Fundierung ihres Weltbildes von anderen Axiomen ausgehen, stellt sich
Kahler die Aufgabe ,,die Leibnizsche Monadologie mathematisch zu formulieren, was
zur Zeit von Leibniz noch nicht gelingen konnte, weil erst die mathematischen
Entdeckungen des 19. Jahrhunderts die Voraussetzungen dafür geschaffen haben".
Nach Kählers Auffassung stellt die Monadenlehre nicht nur die Verbindung zur
großen Tradition der Philosophie her, sondern auch für alle Einzelwissenschaften
eine Herausforderung dar. Als Voraussetzung für den vorgelegten Versuch einer
mathematischen Monadologie bezeichnet er die Deutbarkeit der abstrakten Algebra
als Ontologie. In dieser Arbeit haben der Stellenring (als Monade), der
Restklassenkörper S/U eines Stellenringes S nach dem maximalen Ideal U (als das Ich einer
Monade S) und der durch das maximale Ideal U von 8 bestimmte C7-adische Ring
(als das Dasein der Monade 8) eine zentrale Bedeutung. Im III. Teil der Monadologie
ist — mit Kählers Worten — im Gegensatz zu den beiden ersten Teilen
hemmungsloser Einsatz der Mathematik der rechte Stil, der über den Wahrheitsgehalt und die
ideologische Tragweite der Monadologie entscheiden soll. Ausgehend von der
Überlegung, daß ,,das auffälligste Phänomen der reinen Mathematik ... die Theorie der
elliptischen Funktionen und der Modulfunktionen sowie deren Überhöhung in der
Theorie der Abelschen Funktionen und der Siegeischen Modulfunktionen" ist, umfaßt
dieser III. Teil den Versuch, Raum, Zeit und Materie in der Sprache der elliptischen
Funktionen zu verstehen.
Kahler hatte — wie bereits eingangs erwähnt — seine erste mathematische
Ausbildung in der Lichtensteinschen Schule in Leipzig erhalten; in einem sehr kurzen
Zeitraum verstand er es, durch die Aufnahme anderer starker mathematischer
Einflüsse, so der differentialgeometrischen und der arithmetischen Richtung in Hamburg,
vor allem aber der italienischen algebraisch-geometrischen Schule seine Ausbildung
umfassend zu erweitern und zu vertiefen, diese sich rasch entwickelnden
mathematischen Strömungen schöpferisch zu verarbeiten, was entscheidend und bestimmend
für sein mathematisches Schaffen war. Ein Stipendium der Notgemeinschaft der
Deutschen Wissenschaft half ihm nach dem Studium, bis er im Sommersemester
1929 eine Assistentenstelle an der Universität Königsberg vertretungsweise bekam.
Vom Herbst 1929 bis 1935 war er dann Assistent am Hamburger Mathematischen

256 Teil III
Seminar, von 1930 an Privatdozent. Diese Tätigkeit in Hamburg unterbrach er fast
ein Jahr lang für einen Aufenthalt an der Universität Rom 1931/32, der durch ein
Rockefellerstipendium ermöglicht wurde. Die Arbeit in Rom an der Quelle der
italienischen algebraischen Geometrie prägte in starkem Maße Kählers mathematisches
Profil. Von 1935 bis 1936 vertrat er in Königsberg eine Professur und wurde im Juli
1936 als ordentlicher Professor an die Universität Königsberg berufen. Krieg und
Kriegsgefangenschaft unterbrachen seine schöpferische Arbeit als Forscher und Lehrer
fast 8 Jahre lang. Glücklich mit seiner Familie wieder vereint, kam Kahler nach
einer vorübergehenden Tätigkeit als Diätendozent an der Universität Hamburg nach
Leipzig.
Die erste Vorlesung hielt Kahler am Leipziger Mathematischen Institut am 17.
Oktober 1948 im Großen Hörsaal vor den Studenten des 1. Semesters, unter denen
sich auch der Verfasser befand. Neben einer Vorlesung über Projektive Geometrie
hatte Kahler im Wintersemester 1948/49 die Vorlesung über Differential- und
Integralrechnung und die dazu gehörenden Übungen übernommen. Es herrschte eine
regelrechte Spannung im Hörsaal. Außer den Studenten des 1. Semesters waren auch
zahlreiche Studenten höherer Semester gekommen. Diese Vorlesung war für mich und
die meisten Anwesenden ein unvergeßliches Erlebnis. Wenn ich heute meine
Nachschrift dieser ersten Vorlesung ansehe, dann ist mir klar, warum der Funke der
Begeisterung so schnell auf die Zuhörer übersprang: Diese Vorlesung war im
wesentlichen der Inhalt von Kählers Arbeit „Über die Beziehungen der Mathematik zur
Astronomie und Physik". Ich habe während meines Studiums bei Kahler viele
Vorlesungen gehört, jede für sich genommen war ein Erlebnis. Kahler trug stets
frei vor, sehr konzentriert, voll engagiert, mit starker Ausstrahlungskraft,
beeindruckend in der Beweisführung und durch die Klarheit des Wortes; jeder gesprochene
Satz hatte einen gewichtigen Inhalt. Seine Vorlesungen erzogen zu aktiver
Mitarbeit, sie verbreiteten Ehrfurcht vor der Mathematik. Kahler zeigte seinen Hörern
die Schönheit der Mathematik und machte die ihr innewohnende Kraft sichtbar.
Eine ganze Reihe von Vorlesungen, die Kahler in Leipzig gehalten hat, waren
Originalvorlesungen. Hier war es besonders beeindruckend, wie er — auch gemeinsam
mit seinen Hörern — um manchen Beweisschritt rang. Die schöpferische, anregende
und manchmal auch aufregende Atmosphäre, die dabei herrschte, war von
unverwechselbarer Kählerscher Art. Er forderte viel von seinen Hörern, er scheute aber
auch keine Mühe und verwandte sehr viel Zeit, ihnen zur Klarheit zu verhelfen;
die Vermittlung mathematischen Wissens war ihm höchste Aufgabe. Dabei ging er
oft ungewöhnliche Wege, die ihresgleichen suchen. Für das Sommersemester 1949
hatte Kahler eine vierstündige Vorlesung über Algebraische Geometrie angekündigt,
die auch viele Interessenten fand. Sie reichte aber trotz großen Bemühens „nur"
zur Darlegung idealtheoretischer und körpertheoretischer Grundlagen aus, da an ihr
ja auch Studenten des 2. Semesters teilnahmen. Kahler nannte sie nachträglich
in Mathematik I um und setzte sie im Wintersemester 1949/50 als Mathematik II
fort, und zwar zehnstündig pro Woche. Seine Hörer absolvierten bei ihm allein in
jener Vorlesung in diesem Semester 78 zweistündige Vorlesungen, wobei er oft auch
noch die Vorlesungszeit stark überzog. Da blieb natürlich mancher der Hörer auf
der Strecke. Kahler führte diese Vorlesungsreihe im Sommersemester 1950, im
Wintersemester 1950/51 und im Sommersemester 1951 als Mathematik III, IV und V
weiter. Den Inhalt dieses gewaltigen Vorlesungszyklus zu umreißen ist hier nicht

Erich Kahler in Leipzig 1948 — 1958 257
möglich. Er spiegelt sich in etwa in Kählers Arbeit [20] und vor allem aber in seiner
bedeutendsten und umfassendsten Arbeit ,,Geometria aritmetica" wider. Mit dieser
Vorlesungsreihe legte Kahler den Grundstein für die Bildung seines Leipziger
Schülerkreises: Es waren diejenigen, die von Mathematik I bis Mathematik V
durchgehalten und aktiv mitgearbeitet hatten. Dazu gehörten G. Häuslein, G. Lustig, J.
Mehner, S. Pilz, K.-H. Schuhler, H. Schumann und A. Uhlmann. Später kamen
noch G. Eisenreich, G. Grosche und G. Kettwig hinzu. Neben den bereits
genannten hielt Kahler noch eine Vielzahl weiterer Vorlesungen, so über
Funktionentheorie einer und mehrerer Variabler, Zahlentheorie, Algebraische Funktionen,
gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Topologische Gruppen, Liesche
Gruppen und Kombinatorische Topologie. Besondere Hervorhebung verdient das Kähler-
sche Seminar, das er mit seinen Schülern im Dozentenzimmer des Mathematischen
Instituts bzw. in seinem Arbeitszimmer in seiner Wohnung abhielt. Hier wurde den
Schülern von ihrem „Meister", wie sie Kahler nannten, alles abverlangt; keiner
konnte riskieren, unvorbereitet zum Seminar zu erscheinen, das sich mitunter über
viele Stunden erstreckte. Hier wurden sowohl Ergebnisse der Teilnehmer vorgestellt,
diskutiert und zur Veröffentlichung vorbereitet als auch der Inhalt bedeutender
Originalarbeiten, insbesondere der italienischen algebraischen Geometer gemeinsam
erschlossen. Diese jahrelange gemeinsame Arbeit hat allen Beteiligten viel gegeben
und ihr Verhältnis zur Mathematik stark geprägt.
Natürlich stand auch im Kählerschen Seminar sein großes Vorhaben ,,Geometria
aritmetica" über lange Zeit im Mittelpunkt. Kahler hatte ja seine Mitarbeiter und
Mitstreiter über Jahre in diese Gedankenwelt eingeführt. Viele Stunden wurde über
manche der in der Endfassung 500 Abschnitte der Arbeit diskutiert. Alle Schüler
Kählers nahmen an dieser Arbeit regen Anteil, einige halfen ihrem Meister direkt
beim Durcharbeiten der Texte, der Beweise, beim Lesen der Korrekturen, beim
Abfassen des Sachverzeichnisses. Man könnte natürlich sehr viel sagen und schreiben
über diese in Form und Inhalt einzigartige Arbeit — ein ganzes Buch beispielsweise;
aber ich bin der Meinung, daß Kahler selbst in seinem Vorwort alles Erforderliche
gesagt hat, allerdings in der Muttersprache der großen italienischen Meister der
algebraischen Geometrie, denen er sein Werk gewidmet hat. Die Synthese der
italienischen Richtung der algebraischen Geometrie und der deutschen arithmetischen
Richtung, die Kahler in seiner Arbeit gelungen ist und die ihm eine umfassende
Darstellung der algebraischen Geometrie auf arithmetischer Grundlage ermöglichte, ist
eine große weltweit anerkannte Leistung; sie birgt viele Ansätze in sich, die trotz
der weiteren stürmischen Entwicklung der algebraischen Geometrie in den letzten
Jahrzehnten noch der Bearbeitung bzw. Interpretation harren, um ihre ganze
Tragweite zu offenbaren. Die Gedanken, die in der „Geometria aritmetica" ausgereift
und vollendet vorliegen, sind die Frucht jahrzehntelangen Bemühens, Analysierens,
Vergleichens, Zusammenschauens. Die tragenden Ideen verarbeitete Kahler ja
über einen langen Zeitraum, verdichtete sie ständig und goß sie schließlich in jene
Form, in der sie als einzelne Abschnitte der Arbeit vorliegen, wobei jeder seine
eigenständige Bedeutung hat. Eine solche Arbeit zu vollenden war nur einem Mathematiker
wie Kahler möglich, der seine Aufgabe als Auftrag ansah und auch weiter
ansieht.
Kahler genießt in der wissenschaftlichen Welt große Verehrung und Anerkennung.
So ist er Mitglied der Sächsischen Akademie der Wissenschaften seit 1949, der Deut-

258 Teil III
sehen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (seit 1972 Akademie der
Wissenschaften der DDR) seit 1955, der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina in
Halle seit 1962, der Accademia Nazionale dei Lincei in Rom seit 1962.
Die hier vorgelegten Ausführungen können in keiner Weise den Anspruch erheben,
eine Würdigung der Persönlichkeit Kählers zu sein, eines Wissenschaftlers, der
zu den bedeutendsten Mathematikern des 20. Jahrhunderts gehört. Sie dienen dazu,
denjenigen, der sie liest, anzuregen, sich mit Kahler, seiner Mathematik und seinen
wissenschaftlichen Leistungen insgesamt zu beschäftigen, dem großen geistigen
Potential nachzuspüren, das von ihm in mehr als 50jähriger Arbeit aufgebaut wurde mit
einer Arbeitsweise, die höchsten Respekt abverlangt. Eine solche gewaltige geistige
Leistung kann nur ein Mensch vollbringen, der erfaßt ist von einer Idee und überzeugt
von ihrer Tragkraft zur Erkennung dessen, was die Welt im Innersten zusammenhält.
Jede Zeile, die Kahler in seinem voll der Forschung und Lehre, der Wissenschaft
gewidmeten Leben, in seinem ständigen Streben nach Vollkommenheit aufgeschrieben
hat, ist ein Mosaikstein einer beeindruckenden Gesamtheit. Und Zeilen, die andere
kommentierend hinzufügen, stören möglicherweise die erreichte Harmonie.
Verzeichnis der Veröffentlichungen von Erich Kahler1)
[1] Transformation der Differentialgleichungen des Dreikörperproblems, Math. Z. 24 (1926),
743-758.
[2] Die Reduktion des Dreikörperproblems in geometrischer Form dargestellt, Ber. Verh.
Sachs. Akad. Wiss. 78 (1926), 251-255.
[3] Über ein geometrisches Kennzeichen der analytischen Abbildungen im Gebiete zweier
Veränderlichen, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. 80 (1928), 286-290.
[4] Über die Existenz von Gleichgewichtsfiguren, die sich aus gewissen Lösungen des w-Körper-
problems ableiten (Dissertation), Math. Z. 28 (1928), 220—237.
[5] Zur Theorie der algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen, Math. Z. 31 (1929),
258-269.
[6] Über die Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlicher in der
Umgebung einer singulären Stelle, Math. Z. 30 (1929), 188-204.
[7] Über die Integrale algebraischer Differentialgleichungen (Habilitationsschrift),
Hamburger Abh. 7 (1930), 355-385.
[8] Über den topologischen Sinn der Periodenrelation bei einfach periodischen Funktionen,
Hamburger Abh. 7 (1930), 125-131.
[9] Zur Invariantentheorie von Differentialoperatoren, Hamburger Abh. 9 (1932), 64—71.
[10] Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik, Hamburger Abh. 9 (1932), 173—186.
[11] Sui periodi degli integrali multipli sopra una varieta algebrica, Rendiconti Circolo Mat.
Palermo 56 (1932), 1-7.
[12] Forme differenziali a funzioni algebriche, Mem. Accad. Italia 3, Nr. 3 (1932), 1 — 19.
[13] Einführung in die Theorie der Systeme von Differentialgleichungen, Hamburger
Mathematische Einzelschrift (Teubner 1934), 80 S.
[14] Bemerkungen über die Maxwellschen Gleichungen, Hamburger Abh. 12 (1938), 1—28.
[15] Über die Beziehungen der Mathematik zu Astronomie und Physik, Jahresber. DMV 51
(1941), 52-63.
[16] Die Mathematik als Sprache und Schrift, Maschinenschriftlich vervielfältigt, Leipzig
1950, S. 1-113.
2) Es wird kein Anspruch auf Vollständigkeit erhoben.

Erich Kahler in Leipzig 1948 — 1958 259
[17] Über rein algebraische Körper, Math. Nachr. 5 (1951), 69—92.
[18] Sur la theorie des Corps purement algebriques, Deuxieme colloque de geometrie algebri-
que, Liege 1952, p. 69-82.
[19] Riemanniana, Maschinenschriftlich vervielfältigt, Leipzig 1952, S. 1—86 (unvollständig).
[20] Algebra und Differentialrechnung, Bericht über die Mathematikertagung in Berlin v.
14.-18. 1. 1953, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1953, S. 58—163.
[21] Osservazioni a proposito della dinamica, Convegno internazionale di geometria differen-
ziale, Roma 1953, 1954, p. 82-98.
[22] Tensori razionali di la specie sopra un avarietä algebrica, Rendiconti Atti Accad. Naz.
Lincei 18 (1955), 151-154.
[23] Zum 70. Geburtstag von Wilhelm Blaschke, Forsch. Fortschr. 29 (1955), 286—287.
[24] Über die Beziehungen der Mathematik zu Astronomie und Physik, C.-F.-Gauß-Gedenk-
band anläßlich des 100. Todestages am 23. Februar 1955, Leipzig 1957, S. 1 — 13.
[25] Geometria aritmetica, Ann. Mat. pura appl. Serie IV, Tomo XLV (1958), 1—399.
[26] Innerer und äußerer Differentialkalkül, Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin, Klasse für
Math., Physik und Technik, 1960, Nr. 4.
[27] Die Dirac-Gleichung, Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin, Klasse für Math., Physik und
Technik, 1961, Nr. 1.
[28] Der innere Differentialkalkül, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 25 (1962), 192—205.
[29] Der innere Differentialkalkül, Rend. Mat. e Appl., V. Ser. 21 (1963), 425—523; C. I. M. E.
Forme differenziali e loro integrali (1963), 160—258.
[30] Infinitesimal-Arithmetik, Univ. Politec. Torino, Rend. Sem. Mat. 21 (1963), 5—29.
[31] Wesen und Erscheinung als mathematische Prinzipien der Philosophie, Nova Acta
Leopoldina, Neue Folge Nr. 173, Bd. 30 (1965), 9-21.
[32] Mathematik. Eine Reihe von Einzelheften, beginnend S. S. 1973 Hamburg, S. 1 — 118
(3 Hefte); W. S. 1973/74 Hamburg, S. 119-346 (5 Hefte), Hamburg 1974, S. 347-591
(3 Hefte), Berlin 1975, S. 592-719 (2 Hefte).
[33] II regno delle idee, Atti del convegno internazionale di geometria a celebrazione del
centenario della nascita di Federigo Enriques, Milano 1971, 1973, p. 157 — 163.
[34] Saggio di una dinamica della vita, Atti del convegno internazionale sul tema: Storia,
pedagogia e filosofia della scienza, Pisa, Bologna e Roma 1971, 1973, p. 275—287.
[35] Mathesis universalis. Maschinenschriftl. Vervielfältigung Berlin 1975.
[36] Monadologie, I. Teil (S. 1—54) und IL Teil (S. 56-147) in einem Band, Hamburg 1978.
[37] Monadologie, III. Teil, Hamburg 1980, S. 1-47.

Hans Salie
Günther Eisenreich (Leipzig)
Hans Salie
(1902-1978)
Oscar Hans Emil Salie wurde am 6. April 1902 als Sohn des kaufmännischen
Angestellten Emil Salie in Leipzig geboren. Nach Ablegung der Reifeprüfung an der
Leibnizschule zu Leipzig studierte er bis 1925 an der Universität Leipzig Mathematik
und Physik. Besonders viel in seiner mathematischen Ausbildung verdankte er
seinen akademischen Lehrern Otto Holder und Leon Lichtenstein. Im November
1925 legte er die Prüfung für das höhere Lehramt ab und ging danach in den
Schuldienst. Seit 1930 war er als Studienrat an der Gaudigschule in Leipzig tätig. 1932
promovierte er an der Universität Leipzig mit der Arbeit „Zur Abschätzung der
Fourierkoeffizienten ganzer Modulformen" zum Dr. phil.
Nach seiner Rückkehr aus dem zweiten Weltkrieg arbeitete Salie zunächst in
Bohlen als Maschinenwart. Durch Vermittlung von Ernst Holder kam er im August
1949 als wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Sächsischen Akademie der
Wissenschaften in die Poggendorfredaktion, die er seit 1956 leitete. Die damit übernommenen
Verpflichtungen nahm er bis zuletzt außerordentlich ernst, und als er wenige Jahre
vor seinem Tode (er starb am 1. 8. 1978) die aktive Mitarbeit am Poggendorf aus
Altersgründen aufgeben mußte, hatte er bereits Vorarbeiten für die weiteren geplanten
Mathematikbände geleistet.
Im Jahre 1952 erhielt Salie einen Lehrauftrag und wurde 1955 nach seiner
Habilitation im Jahre 1954 zum Professor mit Lehrauftrag, 1959 zum Professor mit
vollem Lehrauftrag für Mathematik an die Karl-Marx-Universität berufen, wo er
bis zu seiner Emeritierung im Jahre 1967 Vorlesungen hielt.
Das Interesse und die Begabung Salies für Mathematik traten bereits während
seiner Schulzeit klar zutage. An Hand von Büchern, die er sich aus der Comenius-
bücherei auslieh, beschäftigte er sich, über den Schulstoff hinausgehend, schon damals
mit Mathematik. Da sein Vater bereits 1918 an den Kriegsfolgen gestorben war,
mußte er sein Studium selbst finanzieren; dazu nahm er eine Tätigkeit an einer Bank
auf. Abends hörte er dann noch Vorlesungen, wie es damals möglich und üblich war,
so etwa bei Herglotz über Minimalflächen. Um sich mathematische Fachbücher
kaufen zu können, gab er Nachhilfestunden und führte auch sonst ein bescheidenes
Leben. Selbst an der Front nutzte er jede freie Minute und jeden Zeitungsrand, um

Hans Salie 261
mathematischen Forschungen nachzugehen. Dabei hatten es ihm insbesondere
zahlentheoretische Fragestellungen, vor allem solche aus der additiven und analytischen
Zahlentheorie, angetan. Er reiste daher auch während seines Studiums extra nach
Göttingen, um mit Landau sprechen zu können. Demgemäß hat er später auch vor
allem solche Vorlesungen gehalten, die zahlentheoretisch orientiert oder für die
analytische Zahlentheorie von besonderer Bedeutung sind, so über Zahlentheorie, Algebra,
Differenzenrechnung und Funktionentheorie.
Unter den wissenschaftlichen Veröffentlichungen Salies ist besonders die Arbeit
[2] über die Kloostermanschen Summen zu nennen, die noch heute viel Beachtung
erfährt. Die Kloostermansche Summe S(u, v; q) ist definiert durch
S{u,v; q) = 2J euh+vJi;
(M) = l
dabei sind u, v ganze Zahlen, e = e2ni,q ist eine q-te Einheitswurzel, (A, q) = 1,
und h ist die durch h ^ 1 eindeutig bestimmte ganze Zahl mit hh = 1 mod q und
0 < h ^ q. Derartige Summen wurden erstmalig 1926 von Kloosterman bei der
zum Waringschen Problemkreis gehörenden Untersuchung der Darstellungen ganzer
Zahlen durch die Form ax2 + by2 + cz2 + dw2 eingeführt und von ihm zu 0(g3/4)
abgeschätzt. Sie spielen allgemein in der additiven Zahlentheorie bei der Bestimmung
der Anzahlen von Zerfällungen ganzer Zahlen eine besondere Rolle, haben
entscheidende Bedeutung bei der Abschätzung der Fourierkoeffizienten ganzer
Modulformen und hängen mit der Theorie der Verteilung quadratischer Reste zusammen.
Salie gewinnt eine verschärfte Abschätzung dieser Summen, indem er sie unter
Benutzung der Primfaktorzerlegung von q in ein Produkt zerlegt und anwendet, daß
sie sich für Primzahlpotenzen q mit einem Exponenten ^ 2 durch Gaußsche Summen
ausdrücken und für Primzahlen selbst wenigstens noch in Zusammenhang mit Gau
fischen Summen bringen lassen. Durch asymptotische Abschätzung der
Kloostermanschen Summen gelingt es ihm in [3], eine von Kloosterman selbst herrührende
Abschätzung der Koeffizienten an einer ganzen Modulform
oo
Mk{r) = £ ane2*in'lN
n = l
iV-ter Stufe der Dimension — k (k ^ 1), die in allen rationalen Spitzen des
Fundamentalbereichs verschwindet, in der Form 0(q(kl2)~(ll6)+e) zu verbessern, wobei e eine
beliebig kleine positive Zahl ist (Kloosterman hatte nur die Abschätzung mit —
1 8
statt — hergeleitet).
Mehrere Arbeiten befassen sich mit quadratischen Resten. In [4] wird die Anzahl der
Zeichenwechsel in der Reihe der Legendreschen Symbole (—), (—),..., (—)
\PJ \Pj \Pj
(x ^ p — 1) durch Kloostermansche Summen ausgedrückt und durch eine hierfür
früher [3] bewiesene Ungleichung abgeschätzt. Damit ergibt sich eine Verschärfung
eines gleichzeitig von Davenport bewiesenen Resultats. Im zweiten Teil dieser
Arbeit wird die Dichte der Argumente x abgeschwächt, für die zwei nichtproportionale
quadratische Polynome vorgegebene Legendresche Symbole haben. Gestützt auf
einen Satz von Linnik, nach dem in jeder arithmetischen Progression {dx + e} mit

262 Teil III
(d, e) = 1 eine Primzahl q < dk existiert (k unabhängig von d), und auf eine
Ungleichung von Winogradow, beweist Salie in [5] für den kleinsten positiven
quadratischen Nichtrest n(p) für eine Primzahl p ^ 3 die Aussage lim n(p) (log p)~l ^ c > 0.
Im Beweis wird die Menge Qh der Primzahlen q mit n(q) = ph (h-te Primzahl)
verwendet ; wenn qh die kleinste Zahl in Qn bedeutet, so ist, wie in [18] gezeigt wird, die Folge
ql9 q2, ... nicht monoton wachsend, und nicht für alle h ^ 2 gilt qh = — 1 mod 8.
Abundante Zahlen haben bereits das Interesse der Mathematiker des Altertums
erregt. Eine natürliche Zahl m heißt abundant, wenn ihre Teilersumme a(m) mindestens
gleich m ist; sie ist X-abundant, wenn das Verhältnis sogar ^ X ist. Salie
m
schätzt den kleinsten Primfaktor einer A-abundanten Zahl m in Abhängigkeit von X
und von der Anzahl n der verschiedenen Primfaktoren von m ab [8] und beweist für
A(x X)
die Dichte D(X) = lim — (A(x, X) = Anzahl der A-abundanten Zahlen 5j x)
x—>oo X
eine Verbesserung einer von F.Behrend hergeleiteten unteren Schranke von D(X) [10].
Auch bei zunächst rein analytischen Fragestellungen befaßt sich Salie mit den
zahlentheoretischen Aspekten. In den Arbeiten [11] und [16] untersucht er die
arithmetischen Eigenschaften von gewissen Potenzreihen, so in [11] die von Blasitjs
erhaltene Potenzreihenentwicklung der Lösungen der nichtlinearen Differentialgleichung
n-ter Ordnung yW = Xyy(n~l) (n ^ 1, X 4= 0) im Fall n = 3, die bei
Grenzschichtproblemen eine Rolle spielt. Von den Koeffizienten S2n, die in der Entwicklung
cosh x °° x^n
= 2J £>2n auftreten, hat Carlitz bewiesen, daß sie durch 2n teilbar
cosx n=o (2w)!
sind und der Kongruenz S'2n = S.lnl2n = ( — l)»(n_1)/2 mod 4 genügen. In [16] gibt
Salie hierfür einen einfacheren und elementaren Beweis, der gleichzeitig zu einer
Verschärfung der Aussage führt.
Eine Fragestellung der additiven Zahlentheorie hat die Arbeit [20] zum
Gegenstand. Es seien a ^ 2, b > a natürliche Zahlen. Die Reichweite der Menge 3t = [0, 1,
a, b] ist die größte natürliche Zahl R, für welche die Schnirelmannsche Summe h%
(die im Sinne der Komplexaddition von h Exemplaren 91 zu verstehen ist) das
Intervall [0, R] enthält; dabei ist die Ordnung h die kleinste natürliche Zahl mit h%
zd [0, b]. Die Reichweite wird in gewissen Fällen explizit angegeben und das größte
R für Mengen gegebener Ordnung h nach unten abgeschätzt.
In [6] leitet Salie auf elementarem Wege eine Identität her, die als Spezialfälle
die Verallgemeinerungen der binomischen Formel von Abel, J. L. W. V. Jensen,
O. Holder und anderen enthält.
Das Anliegen der Arbeit [9] geht auf ein Ergebnis von van der Waerden
zurück.1) Es sei t)k eine Verteilung aller natürlichen Zahlen auf k elenientfremde
Klassen. © sei ein lineares Gleichungssystem
n
2J a(iVxv = 0 (ju = 1, ..., n; n > m)
v = l
aus m Gleichungen für n Unbekannte mit rationalen Koeffizienten. © heißt nach
Rado k-fach regulär, wenn bei jeder Verteilung \)k eine Lösung existiert, so daß alle
x) Vgl. hierzu im Beitrag über B. L. van der Waerden in Teil III die Ausführungen zur
Baudetsohen Vermutung (S. 236).

Hans Salie 263
xv derselben Klasse angehören; © heißt regulär, wenn es für jedes k &-fach regulär
ist. Es wird hier unter anderem für eine große Klasse nichtregulärer Gleichungen mit
drei Unbekannten bewiesen, daß der Regularitätsgrad K (das Maximum aller k,
für die &-fache Regularität vorliegt) gleich 2 oder 3 ist. Damit wird die Vermutung
von R. Rado gestützt, daß K für nichtreguläre Systeme stets unterhalb einer nur
von n abhängigen Schranke bleibt.
In [13] charakterisiert Salie ohne explizite Heranziehung der Summendarstellung
den Wertevorrat der Dedekindschen Summen; sie gehören insbesondere den fünf
Restklassen 0, ±2, ±6 mod 18 an, und zwar liegen in diesen jeweils unendlich viele Werte.
Die Arbeit [7] knüpft an eine Fragestellung von A. Moessner an. Geht man von
einer beliebigen Zahlenfolge al9 a2, ... aus, streicht hierin jede k-te Zahl (k ^ 2),
bildet von der verbleibenden Folge die Summenfolge, streicht jede (k — l)-te Zahl
usw., streicht schließlich beim (k — l)-ten Schritt jede zweite Zahl und bildet die
Summenfolge hiervon, so entsteht a^k\ a^k\ ... Im Fall der Ausgangsfolge 1, 2, 3, ...
ergibt sich nach Moessner gerade die Folge der &-ten Potenzen. Nimmt man die av
als Unbestimmte an, so werden die a^ lineare Polynome hierin, deren Koeffizienten
Salie berechnet.
Die Arbeit [1] schließlich gibt eine kurze elementare Verifizierung der von W.
Meissner gefundenen Kongruenz 21092 = 1 mod 10932.
Dazu kommen noch einige wissenschaftshistorische Arbeiten, zu denen Salie
durch seine profunden historischen Kenntnisse und sein zahlentheoretisches Interesse
besonders berufen war, die Mitarbeit an der Kleinen Enzyklopädie Mathematik sowie
die Herausgabe ins Deutsche übersetzter Monographien auf zahlentheoretischem Gebiet.
Als Hauptinhalt des Lebens von Salie kann man wohl aber mit Fug und Recht
seine Arbeit am „Poggendorff" ansehen, dem Biographisch-literarischen
Handwörterbuch der exakten Naturwissenschaften (vgl. [17, 22, 21].) Wer Lebensdaten,
Zusammenstellungen der wissenschaftlichen Arbeiten und Würdigungen von Mathematikern,
Physikern und Chemikern sucht, der ist gut beraten, erst einmal im „Poggendorff"
nachzuschlagen; er kann sich damit viel Zeit und Aufwand sparen. Die Mühe, die in
einem solchen Werk steckt, und die Liebe und Hingabe, die sein Zustandekommen
erfordert, kann wohl nur derjenige voll ermessen, der einmal an einem ähnlichen
Unternehmen beteiligt war. Gerade durch die Korrektheit, die Salie stets
ausgezeichnet hat, war er zur Arbeit an diesem wichtigen Unternehmen in besonderem Maße
prädestiniert, kommt es doch gerade bei einem Werk dieser Art auf größte Sorgfalt
und Gewissenhaftigkeit an. Unter welchen Schwierigkeiten die Wiederaufnahme der
Arbeit am Poggendorff erfolgen mußte, nachdem im Verlaufe des zweiten Weltkrieges
sämtliche Arbeitsunterlagen vernichtet worden waren, hat Salie eindringlich in
einem Vortrag vor der Sächsischen Akademie der Wissenschaften geschildert [22];
er spricht in diesem Vortrag auch über die Geschichte dieses Werkes (vgl. auch [17])
und über die weiteren Pläne zur Neugestaltung der zukünftigen Poggendorff bände.
Er hat sich manchmal darüber beklagt, daß ihm die Mitwirkung am Poggendorff zu
wenig Zeit lasse, um sich seinen eigenen mathematischen Problemen widmen zu können.
Salie hat sich sein ganzes Leben lang mit leidenschaftlichem Interesse
zahlentheoretischen Problemstellungen gewidmet. Wenn er auch keine Schüler im eigentlichen
Sinne des Wortes gehabt hat, so hat er doch durch seine Vorlesungen eine ganze
Reihe von Diplommathematikern und Lehrern in Mathematik ausgebildet und dabei
vor allem in die zahlentheoretisch-algebraische und funktionentheoretische Denkweise

264 Teil III
eingeführt. Seine Vorlesungen, die er frei zu halten pflegte, waren stets bis zur letzten
Kleinigkeit genau durchdacht und ausformuliert, und in den Prüfungen hatte er für
die Schwierigkeiten der Studenten wohlwollendes Verständnis.
Wie kaum ein anderer hat Salie Bücher über alles geschätzt — hatte er doch selbst
in früheren Jahren schwer kämpfen müssen, um sich Fachliteratur kaufen zu
können. Gerade für die Belange der Bibliothek des Mathematischen Instituts hat er sich
bei jeder sich bietenden Gelegenheit leidenschaftlich eingesetzt.
Als Ausgleich zu seiner geistigen Tätigkeit ist Salie stets gern gewandert und war
ein regelmäßiger Teilnehmer an den Institutsfahrten.
Verzeichnis der Veröffentlichungen von Hans Salie
[1] Über die Kongruenz 21092 = 1 mod 10932, Jahresber. DMV 34 (1925), 248.
[2] Über die Kloostermanschen Summen S(u, v; g), Math. Z. 34 (1931), 91 — 109.
[3] Zur Abschätzung der Fourierkoeffizienten ganzer Modulformen, Math. Z. 36 (1932),
263-278 (Dissertation).
[4] Über die Verteilung der quadratischen Reste, Math. Z. 37 (1933), 594—602.
[5] Über den kleinsten positiven quadratischen Nichtrest nach einer Primzahl, Math. Nachr.
3 (1949), 7-8.
[6] Über Abels Verallgemeinerung der binomischen Formel, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig, Math.-naturwiss. Kl., 98, H. 4 (1951), 17-22.
[7] Bemerkung zu einem Satz von A. Moessner, Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss., Math.-
naturwiss. Kl., 1952, Nr. 2, S. 7-11.
[8] Über abundante Zahlen, Math. Nachr. 9 (1953), 217-220.
[9] Zur Verteilung natürlicher Zahlen auf elementfremde Klassen, Ber. Verh. Sachs. Akad.
Wiss. Leipzig, Math.-naturwiss. Kl., 101, H. 4 (1954), 1-26.
[10] Über die Dichte abundanter Zahlen, Math. Nachr. 14 (1955), 39-46.
[11] Über die Koeffizienten der Blasiusschen Reihen, Math. Nachr. 14 (1956), 241—248.
[12] Daten aus dem Leben und Wirken von Carl Friedrich Gauß, in: C. F. Gauß — Gedenkband
anläßlich des 100. Todestages am 23. Februar 1955, hrsg. v. Hans Reichardt, B. G.
Teubner, Leipzig 1957, S. 15-36.
[13] Zum Wertevorrat der Dedekindschen Summen, Math. Z. 72 (1959), 61-75.
[14] Zur Geschichte der Mathematik an der Universität Leipzig im 19. Jahrhundert, in: Karl-
Marx-Universität Leipzig 1409 — 1959, Beiträge zur Universitätsgeschichte, Verlag
Enzyklopädie, Leipzig 1959, S. 374-381.
[15] Eulersche Zahlen, in: Sammelband zu Ehren des 250. Geburtstages Leonhard Eulers,
Akademie-Verlag, Berlin 1959, S. 293-310.
[16] Arithmetische Eigenschaften der Koeffizienten einer speziellen Hurwitzschen Potenzreihe,
Wiss. Z. Karl-Marx-Univ. Leipzig, Math.-Naturwiss. Reihe. 12, H. 3 (1963), 617-618.
[17] Ein Standardwerk zur Geschichte der Naturwissenschaften. Hundert Jahre „Poggendorf",
Forsch. Fortschr. 37 (1963), 202-205.
[18] Über die kleinste Primzahl, die eine gegebene Primzahl als kleinsten positiven
quadratischen Nichtrest hat, Math. Nachr. 29 (1965), 113-114.
[19] Carl Neumann (1832—1925), in: Bedeutende Gelehrte in Leipzig. 800-Jahr-Feier der
Stadt Leipzig, im Auftrag der Karl-Marx-Universität hrsg. v. Gerhard Harig, 2, Leipzig
1965, S. 13-23.
[20] Reichweite von Mengen aus drei natürlichen Zahlen, Math. Ann. 165 (1966), 196—203.
[21] Poggendorff and Poggendorff, Isis 57, 3 Nr. 189 (1966), 389-392.
[22] Der ,,Poggendorf", ein Standardwerk zur Geschichte der Naturwissenschaften, in: Im
Dienste produktiven Schaffens, öffentliche Sitzung der Sächsischen Akademie der
Wissenschaften zu Leipzig am 9. November 1974, hrsg. v. Kurt Schwabe, Berlin 1977, S.45—54.

TEIL IV
MATHEMATISCHE LEHRE UND FORSCHUNG
AN DER UNIVERSITÄT LEIPZIG
SEIT IHRER DEMOKRATISCHEN NEUERÖFFNUNG
IM JAHRE 1946
Roland Mildner und Horst Schumann (Leipzig)

In der Zeit nach 1945 — insbesondere seit der Gründung der Deutschen
Demokratischen Republik im Jahre 1949 — nahmen am Mathematischen Institut und der
späteren Sektion Mathematik der Karl-Marx-Universität Leipzig die mathematische
Grundlagen- und Anwendungsforschung und die Ausbildung von Mathematikern
und Lehrern für die Fächer Mathematik und Physik sowie die
Mathematikausbildung in den Studienrichtungen Physik, Chemie, Biowissenschaften,
Agraringenieurwesen und Wirtschaftswissenschaften einen stetigen Aufschwung. Heute ist die
Sektion Mathematik der KMU Leipzig eine der größten mathematischen Lehr- und
Forschungseinrichtungen der DDR, deren Wissenschaftler anerkannte
Forschungsleistungen erbringen, deren Studenten in modernen Lehrstätten eine auf hohem
theoretischen Niveau stehende und praxisbezogene Ausbildung erhalten und deren
Absolventen in vielen Bereichen unserer Volkswirtschaft sowie in den Einrichtungen
der Volksbildung, des Hoch- und Fachschulwesens und der Akademien einen guten
Ruf erworben haben.
Wenn im folgenden der Versuch unternommen wird, die Entwicklung des
Leipziger Mathematischen Instituts und der 1969 daraus hervorgegangenen Sektion
Mathematik während der letzten 35 Jahre darzustellen, so soll — natürlich in der
notwendigen Kürze — auch der Zusammenhang mit der Entwicklung der Karl-
Marx-Universität Leipzig und mit den Entwicklungsetappen des Hochschulwesens
der DDR Beachtung finden.
Die erste Etappe der Entwicklung unseres Hochschulwesens von 1945 — 1951, die
heute kurz als 1. Hochschulreform charakterisiert wird, war gekennzeichnet durch
die antifaschistisch-demokratische Neugestaltung des gesamten Bildungswesens auf
dem Territorium der damaligen Sowjetischen Besatzungszone Deutschlands und der
späteren Deutschen Demokratischen Republik.
An der Leipziger Universität waren nach der Zerschlagung des Hitlerfaschismus
im Jahre 1945 fast 64 Prozent aller Gebäude, Einrichtungen und Bibliotheken
zerstört sowie viele wissenschaftliche Geräte unbrauchbar. Die Ruine des Augusteums1),
*) Heute befindet sich an gleicher Stelle der Neubaukomplex der Karl-Marx-Universität.

268 Teil [V
des ehemaligen Hauptgebäudes der Leipziger Universität (Abb. 27), stellte ein
trauriges Wahrzeichen des von der faschistischen Clique heraufbeschworenen geistigen
und materiellen Niedergangs dar. Durch Kriegseinwirkung, Emigration und
Verschleppung in Konzentrationslager war der Lehrkörper der Universität stark
dezimiert worden. Hinzu kam der Abtransport von 46 Wissenschaftlern durch die
Amerikaner während der Besatzungszeit von April bis Juli 1945. Darüber hinaus konnten
einige der verbliebenen Hochschullehrer auf Grund ihres Verhaltens während der
Naziherrschaft nicht an eine demokratische Hochschule übernommen werden.
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Abb. 27. Das Augusteum vor der Zerstörung im 2. Weltkrieg
Am 5. Februar 1946 wurde die Leipziger Universität wiedereröffnet auf der
Grundlage des Befehls der Sowjetischen Militäradministration Deutschland (SMAD) vom
15. 9. 1945 über die Neuaufnahme der Lehr- und Forschungstätigkeit an den
Universitäten und Hochschulen. Erster Rektor der Leipziger Universität nach der
Neueröffnung war Prof. Dr. phil. Hans-Georg Gadamer. Geistige und materielle Hilfe
erhielt die Leipziger Universität in dieser Zeit vor allem durch den Leiter der
Abteilung Volksbildung der SMAD, Prof. Solotuchin, und den Stadtkommandanten von
Leipzig, Generalleutnant Trufanov. Zur demokratischen Neueröffnung der
Universität Leipzig sagte Prof. Solotuchin1) :
„Ich wende mich an Sie, meine Herren Professoren. Es ist dringend notwendig, die
Tragödie der Jugend noch tiefer zu erkennen und der Jugend zu helfen, rascher auf
den richtigen Weg zu gelangen. Durch angestrengte Arbeit und ohne ihre Kräfte
i) Vgl. [14].

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 269
zu schonen, müssen Sie der Jugend die Liebe zum Menschen und zur Menschlichkeit
einflößen, um aus ihnen nicht nur wahre Träger des Humanismus und des Fortschritts,
sondern auch unversöhnliche Kämpfer gegen Faschismus und reaktionäre Theorien
heranzubilden."
Eingedenk dieser Worte haben die Angehörigen der Leipziger Universität seit der
demokratischen Neueröffnung stets daran gearbeitet, die Wissenschaft in den Dienst
der großen humanistischen Aufgabe zu stellen, dem Wohle des werktätigen Volkes
zu dienen und am Aufbau der sozialistischen Gesellschaft in der Deutschen
Demokratischen Republik tatkräftig mitzuwirken.
Die antifaschistisch-demokratische Umgestaltung erforderte insbesondere, an der
Universität die Ideologie des Faschismus, Militarismus und Antikommunismus
auszumerzen, das Bildungsmonopol der einst herrschenden Klasse zu brechen und die
Pforten der Universität auch den Kindern der Arbeiter und Bauern zu öffnen. Zu
deren Vorbereitung auf ein Studium wurde 1946 eine Vorstudienanstalt eingerichtet,
die 1948 in die Arbeiter-und-Bauern-Fakultät überging. Waren unter den 767
Studenten der ersten Matrikel vom Februar 1946 nur 27 Arbeiter- und Bauernkinder,
so wuchs ihre Zahl bis zu Beginn des Wintersemesters 1950/51 auf rund 50 Prozent
von 6000 Studierenden an1). So bekam die Leipziger Universität zunehmend den
Charakter einer wahren Volksuniversität. Auch durch die Eröffnung mehrerer
Wohnheime, die Gewährung von Stipendien und anderer sozialer Unterstützung wurde den
Studenten — den damaligen Möglichkeiten entsprechend — von Anfang an eine
gesicherte materielle Basis für ihr Studium gegeben.
Wie sah es nun in dieser Zeit am Mathematischen Institut aus? Das Mathematische
Institut war 1946 — neben dem Geophysikalischen und dem
Geologisch-Paläontologischen Institut, dem Institut für Mineralogie und Petrographie sowie dem
Anatomischen Institut — zusammen mit dem Physikalischen Institut (Theoretische und
Experimentalphysik) im Institutsgebäude in der Talstraße 35 untergebracht (Abb.
28 und 29). Als kommissarischer Direktor fungierte der Physiker Prof. Dr. phil.
Friedrich Hund. Er war gleichzeitig von 1946 bis 1947 Prorektor der Universität.
Das Institut gehörte zur naturwissenschaftlich-landwirtschaftlichen Abteilung der
Philosophischen Fakultät.
Das Institutsgebäude in der Talstraße ist eines der wenigen des Universitätsviertels,
auf das während der Terrorangriffe anglo-amerikanischer Flieger in den Jahren 1943
bis 1945 keine Brandbomben gefallen waren. Bombeneinschläge in der Umgebung
hatten Schäden am Dach und den Außenwänden hervorgerufen. Durch ihre Umsicht
und ihren unermüdlichen Einsatz hat Frau Martha Riedel2) unter schwierigen
Bedingungen mitgeholfen, weitere Folgeschäden zu verhindern, und sich bei der
schrittweisen Instandsetzung des Gebäudes besondere Verdienste erworben.
Das Verdienst, das wissenschaftliche Leben am Mathematischen Institut wieder
in Gang gebracht zu haben, gebührt in erster Linie Ernst Holder, der bereits von
1929 bis 1939 am Mathematischen Institut tätig war und 1946 zum ordentlichen
*) Vgl. Personal- und Vorlesungsverzeichnis der Universität Leipzig, Herbstsemester 1951/
52, S. 7.
2) Sie begann ihre Tätigkeit am Mathematischen Institut 1944 als Institutsgehilfin und
zugleich als Hausmeister und arbeitet noch heute als Sachbearbeiterin in der Studienabteilung
der Sektion.

270 Teil IV
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Abb. 28. Das Mathematische Institut in der Talstraße 35, Institutseingang
Professor und zum Direktor des Instituts berufen wurde, Walter Schnee, der
bereits seit 1917 als Extraordinarius am Mathematischen Institut lehrte, Erich
Kahler, der 1948 — von der Universität Hamburg kommend — einer Berufung zum
Professor mit Lehrstuhl nach Leipzig folgte,1) und Herbert Beckert — seit 1947
wissenschaftlicher Assistent am Institut —, der 1949 zum Dozenten und 1951 zum
Professor mit vollem Lehrauftrag berufen wurde.
Die damaligen Studenten Paul Günther, Horst Schumann, Rolf Klötzler und
x) Das Wirken dieser Mathematiker in Leipzig wird in Teil III in gesonderten Beiträgen
gewürdigt.

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Abb. 30. Prof. Walter Schnee während der Vorlesung

272 Teil IV
Armin Uhlmann, die später an der Karl-Marx-Universität zu Professoren berufen
wurden, waren zu dieser Zeit als Hilfsassistenten am Institut tätig.
Im Februar 1946 hielt Prof. W. Schnee die erste mathematische Vorlesung nach
der demokratischen Neueröffnung der Universität (Abb. 30), und zwar über
Differential- und Integralrechnung. Einen Einblick in den Lehrbetrieb am Institut gibt
die Zusammenstellung der Vorlesungen und Übungen im Sommersemester 1946
(vom 12. Juni bis 31. August):
1. Vorkurs in Mathematik — Ergänzung der Schulbildung (4stündig): Dr.
Schubert i. A. des Institutsdirektors.
2. Einführung in die mathematische Behandlung physikalischer Probleme (2stündig):
Dr. Ilberg i. A. des Institutsdirektors.
3. Analytische Geometrie mit Übungen (4stündig): Prof. Holder.
4. Differential- und Integralrechnung II (4stündig): Prof. Schnee.
5. Praktikum der Differential- und Integralrechnung (2stündig): Prof. Schnee.
6. Darstellende Geometrie (2stündig): Dr. Meyrich.
7. Übungen zur Darstellenden Geometrie (4stündig): Dr. Meyrich.
8. Differentialgeometrie II — Flächentheorie (4stündig): Prof. Schnee.
9. Partielle Differentialgleichungen mit Übungen (4stündig): Prof. Holder.
Mit bewundernswertem Enthusiasmus gingen die Professoren Holder (Abb. 31) und
Schnee 1946 an die Neuformierung des Instituts und die Aufnahme des Lehr- und
Forschungsbetriebes. Ihr Optimismus und ihre Energie gaben den Mitarbeitern und
Studenten Kraft und Ansporn. Einen Eindruck von den Bedingungen für Lehrende
und Studierende in den ersten Nachkriegsjahren vermittelt ein Bericht von Viktor
Ziegler1) über die Vorlesung bei Prof. Schnee im strengen Winter 1947/48: ,,Der
große Hörsaal des Mathematischen Instituts war voll besetzt. Die Grund Vorlesung
von Prof. Schnee über Differential- und Integralrechnung hörten Studenten der
Mathematik, aber auch die der Physik und der Chemie. Die Fenster des Hörsaales
waren teilweise mit Pappe und Igelit abgedichtet. Die Heizung im Institut brach
während des strengen Winters zeitweise völlig zusammen, so daß im Hörsaal
manchmal Minusgrade herrschten. Prof. Schnee las dann in Mantel, Hut und Handschuhen.
Seine Vorlesungen zeigten einen logisch-strengen Aufbau. Durch manch humorvollen
Vergleich machte er schwierige Gedankengänge verständlich und durchschaubar.
Vielen, die bei ihm Vorlesungen gehört haben, sind die heute sprichwörtlichen ,Schnee-
witze' noch in guter Erinnerung."
Am Mathematischen Institut der Leipziger Universität wurden in den ersten
Nachkriegsjahren zunächst Oberstufenlehrer für die demokratische Schule für das
Fach Mathematik ausgebildet, die in der Regel nach 4jähriger Studienzeit mit dem
Staatsexamen abschlössen. Bis zur Einführung zentraler Studienpläne im Jahre 1951
bestand überdies die Möglichkeit, das Diplom in Mathematik zu erwerben, indem man
nach dem 5. Semester ein Vordiplom ablegte und dann bei einem der Professoren
eine Diplomarbeit schrieb. Man konnte auch beide Abschlüsse, das Staatsexamen und
*) Student der 3. Matrikel vom Herbstsemester 1947, von 1971 — 1980 als Lektor an der
Sektion Mathematik tätig. Er hat mehr als 35 mathematische Fachbücher aus der russischen,
englischen und polnischen in die deutsche Sprache übersetzt.

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 273
das Diplom, erlangen. Jährlich wurden damals etwa 30 bis 50 Studenten für die Fach-
richtung Mathematik immatrikuliert. Studien- und Prüfungspläne wurden durch die
Fakultät in Absprache mit den Lesenden festgelegt und den Studenten durch
Aushänge bekanntgemacht. So konnte man z. B. im September 1947 am „schwarzen
Brett/' folgende Vorankündigung1) lesen:
„Vorbehaltlich der Genehmigung derSMAD beabsichtige ich im kommenden
Studienjahr im Wintersemester über Analytische Geometrie der Ebene und im
Sommersemester2) über Analytische Geometrie des Raumes zu lesen.
Studienrat Dr. Stucke."3)
\
Abb. 31. Prof. Ernst Holder während der Vorlesung
*) Nach einer Information von V. Ziegler.
2) Das Wintersemester 1947/48 erstreckte sich vom 1. 10. 1947 bis 15. 2. 1948; das
Sommersemester 1948 vom 1. 4. bis 15. 8. 1948.
3) Dr. Stucke konnte diese Vorlesung nicht zu Ende führen, da er zu Beginn des Jahres
1948 verstarb. Ihre Fortführung übernahm der damalige wissenschaftliche Assistent Herbert
Beckert.

274 Teil IV
In der Regel erhielten die Studenten in den ersten Semestern eine fundierte
Grundausbildung in Mathematik, welche im wesentlichen die wöchentlich 4stündigen
Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, gewöhnliche und partielle
Differentialgleichungen, Funktionen theorie, Analytische Geometrie und Algebra mit
dazugehörigen 2stündigen Übungen beinhaltete. Hinzu kam die Ausbildung in
Physik (4stündige Experimentalphysikvorlesung1) und ein Praktikum mit 90 bis
100 Versuchen) und in Chemie (je ein Semester anorganische und organische Chemie).
In den höheren Semestern vertieften die Studenten ihre Kenntnisse in bestimmten
mathematischen Spezialdisziplinen und hörten einen 4semestrigen Vorlesungszyklus
über Theoretische Physik (Mechanik, Wärmelehre, Elektrodynamik und Optik,
Quantentheorie)2). Wer kein Diplom bzw. beide Abschlüsse erwerben wollte, eignete
sich darüber hinaus das nötige Wissen in Pädagogik, Psychologie und Methodik an
und absolvierte eine schulpraktische Tätigkeit.
Abb. 32. Prof. Erich Kahler während der Vorlesung
Die Professoren des Instituts lasen über eine größere Anzahl mathematischer
Gebiete, hielten selbst die Übungen dazu ab und leiteten ein mathematisches
Seminar. So lasen in den Jahren 1946—19503) Prof. Ernst Holder über Analytische
Geometrie, Differentialgleichungen, Differential- und Integralrechnung, Mechanik,
Integralgleichungen und Eigen Wertprobleme, Differentialgleichungen der
mathematischen Physik und Variationsrechnung, Riemannsche Geometrie sowie
Analytische Mechanik und Himmelsmechanik; Prof. Walter Schnee über Differential-
und Integralrechnung, Differentialgeometrie, Differentialgleichungen, Algebra,
Gruppentheorie und Zahlentheorie und Prof. Erich Kahler (Abb. 32) seit dem
Wintersemester 1948 über Projektive und Algebraische Geometrie, Differential- und
Integralrechnung, Differentialgleichungen und Funktionentheorie4).
*) Gehalten von Prof. Dr. Waldemab Ilberg.
2) Gehalten von Prof. Dr. Bernhard Kockel.
3) Angabe der Gebiete in der zeitlichen Reihenfolge, in der die Vorlesungen gehalten wurden.
4) Prof. Kahler las von 1950 bis 1952 auch über Algebra, Zahlentheorie, Liesche Gruppen
und Topologie.

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 275
Die Herausbildung einer neuen, politisch bewußten Jugend hing nach Beendigung
des zweiten Weltkrieges eng zusammen mit der Entstehung und der Aktivität des
demokratischen Jugendverbandes, der Freien Deutschen Jugend. Wie an anderen
Einrichtungen auch, gewann der Jugendverband an der Philosophischen Fakultät
der Leipziger Universität im Laufe der Jahre zunehmend an Einfluß und Bedeutung
und wurde zum festen Bestandteil des studentischen Lebens. Im Jahre 1950 war die
übergroße Mehrheit der Studierenden in diesem Verband organisiert. Die Losung der
FDJ zum ,,Feldzug zur Aneignung von Wissenschaft und Kultur" vom Frühjahr
1950 wurde auch von den Mathematikstudenten aufgegriffen. Lerneifer und
Studiendisziplin wuchsen, und die Mehrzahl der Studenten schloß sich der
Studiengruppenbewegung der FDJ an. Der damalige Mathematikstudent und heutige
Sektionsdirektor, Prof. Dr. Horst Schumann, hatte 1950/51 in seiner Funktion als Sekretär für
wissenschaftliche Arbeit der FDJ-Fakultätsleitung bei der Durchsetzung der FDJ-
Studiengruppenbewegung an der Philosophischen Fakultät einen großen Anteil.
Die nachfolgend genannten, heute an der Sektion Mathematik tätigen
Wissenschaftler haben in den ersten Jahren nach Wiederbeginn am Mathematischen Institut in
Leipzig studiert:
1946 Staatsexamen: NPT Prof. Dr. sc. phil. Herbert Beckert ;
Immatrikulation Frühjahr 1946: Prof. Dr. sc. phil. Paul Günther;
Immatrikulation Herbst 1946: Prof. Dr. sc. phil. Joachim Focke, Prof. Dr. rer. nat.
habil. Hans-Joachim Rossberg;
Immatrikulation Herbst 1947: Doz. Dr. rer. nat. Günter Grosche, Studienrat
Dr. paed. Gerlinde Wussing, Dr. rer. nat. Viktor Ziegler ;
Immatrikulation Herbst 1948: Prof. Dr. rer. nat. Horst Schumann;
Immatrikulation Herbst 1949: Prof. Dr. rer. nat. habil. Rolf Klötzler.
Die Etappe der antifaschistisch-demokratischen Neugestaltung des
Hochschulwesens fand ihren zeitlichen Abschluß etwa ein Jahr nach der historischen Gründung
der DDR mit der I. Funktionärskonferenz der Freien Deutschen Jugend am 26. 11.
1950 in Berlin. Die wirtschaftlichen und politischen Erfolge des jungen Arbeiter-und-
Bauern-Staates ermöglichten einerseits und forderten aber auch andererseits
energisch eine den veränderten gesellschaftlichen Bedingungen angepaßte
Weiterentwicklung des Hochschulwesens. Auf der I. Funktionärskonferenz legte das ZK der SED
durch seinen damaligen Ersten Sekretär, Walter Ulbricht, die sich nach dem III.
Parteitag der SED (20.—24. 7. 1950 in Berlin) ergebenden politischen,
wirtschaftlichen und kulturellen Aufgaben dar und erläuterte der Jugend die Grundsätze für
die weitere Hochschulpolitik.
Im Februar 1951 faßte das ZK der SED auf seinem 4. Plenum den Beschluß über
,,die nächsten Aufgaben an den Universitäten und Hochschulen". Damit begann die
zweite Etappe der Entwicklung des Hochschulwesens in der DDR, die sich von
1951 bis etwa 1967 erstreckte und deren Ergebnisse als die 2. Hochschulreform
bezeichnet werden. Sichtbarer Ausdruck des Beginns dieser Etappe war die durch die
Bildung des Staatssekretariats für Hochschulwesen der DDR am 1. 3. 1951
vollzogene Zentralisierung. Erster Staatssekretär für Hochschulwesen wurde Prof.
Dr. Gerhard Harig (1902—1966), dessen Namen die FDJ-Grundorganisation der
Sektion Mathematik seit 1970 trägt (Abb. 33). Die Hauptaufgabe des Hochschul-

276 Teil IV
wesens in dieser Zeit war es, eine umfassende Studienreform einzuleiten mit dem Ziel,
die planmäßige Ausbildung und Erziehung hochqualifizierter, wissenschaftlich
ausgebildeter Fachkräfte für die Erfüllung der Volkswirtschaftspläne zu sichern. Die
wesentlichsten Ergebnisse der Studienreform von 1951 waren die Einführung eines
festliegenden zweisemestrigen 10-Monate-Studienjahres (Herbst- und
Frühjahrssemester), die Schaffung von für die DDR einheitlichen und für Hochschullehrer und
Studenten verbindlichen Studien- und Prüfungsplänen, die Einführung des
obligatorischen gesellschaftswissenschaftlichen Grundstudiums, des Russisch- und
Sportunterrichts, eines Berufspraktikums sowie eines gesonderten Prüfungsabschnittes.
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Abb. 33. Prof. Dr. Gerhard Harig
(1902-1966)
Die Einführung der verbindlichen Studienpläne schuf erstmalig die Möglichkeit einer
engen Verbindung der fach wissenschaftlichen mit einer breiten
allgemeinwissenschaftlichen sowie der theoretischen mit einer praktischen Ausbildung.
Die Zeit von 1951 bis 1967 war im Hochschulwesen neben dem Übergang zum
planmäßigen Studium vor allem gekennzeichnet durch eine umfangreiche
Bautätigkeit an den Universitäten und Hochschulen — es wurden viele Institute neu bzw.
wieder aufgebaut und neue Hochschulen gegründet —, eine umfassende materielle
Fürsorge der DDR-Regierung für die Hochschullehrer und Studierenden, die weitere
Entfaltung des wissenschaftlichen Lebens an den Instituten, die planmäßige
Entwicklung der Studienrichtungen entsprechend dem gesellschaftlichen Bedarf sowie
die Entwicklung neuer Studienmethoden.
Neben den Universitäten in Berlin, Halle, Jena, Greifswald und Rostock wurde
auch die Leipziger Universität dem am 1. 3. 1951 gebildeten Staatssekretariat für
Hochschulwesen direkt unterstellt. Am 10. 4. 1951 wurde an der Leipziger
Universität das historisch gewachsene Mammutgebilde der Philosophischen Fakultät in die

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 277
Philosophische, Mathematisch-Naturwissenschaftliche und
Landwirtschaftlich-Gärtnerische Fakultät aufgeteilt. In Würdigung ihrer Verdienste bei der Verwirklichung
der Ziele der 2. Hochschulreform — insbesondere bei der Einführung des
gesellschaftswissenschaftlichen Grundstudiums — wurde der Leipziger Universität am 5. Mai
1953 — dem 135. Geburtstag des Begründers des wissenschaftlichen Kommunismus
— der verpflichtende Name „Karl-Marx-Universität" verliehen. Rektor der
Leipziger Universität war zu dieser Zeit Prof. Dr. rer. pol. Georg Mayer, der in seiner
13jährigen unermüdlichen Tätigkeit in diesem hohen Amt das Vertrauen aller
Universitätsangehörigen erwarb und durch seinen persönlichen Einsatz für den gesell-
«1 L
Abb. 34. Prof. Herbert Beckert während der Vorlesung im Jahre 1952
schaftlichen Fortschritt und seinen wissenschaftlichen Weitblick einen wesentlichen
Anteil an der erfolgreichen Entwicklung der Alma mater lipsiensis zu einer
sozialistischen Universität hatte.
Das Mathematische Institut wurde 1951 der neugebildeten
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät eingegliedert. Das Amt des Direktors übte bis zum
Jahre 1958 weiterhin Prof. Dr. Ernst Holder aus. Nach ihm übernahm es bis zur
Gründung der Sektion 1969 Prof. Dr. Herbert Beckert, der 1951 zum Professor
mit vollem Lehrauftrag und 1958 zum Professor mit Lehrstuhl berufen worden war
(Abb. 34).
Nach der Einführung der zentral verbindlichen Studienpläne im Jahre 1951
wurden bis zu Beginn der 70er Jahre am Mathematischen Institut Diplom-Mathematiker
in Öjähriger und Lehrer für die Fächer Mathematik und Physik in wechselnder 5- bzw.
4jähriger Studienzeit ausgebildet. Am Institut für Mathematische Statistik der Karl-

278 Teil IV
Marx-Universität, das von Prof. Dr. Felix Burkhardt geleitet wurde und bis zum
Jahre 1966 zur Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät gehörte1), erfolgte
im engen Zusammenwirken mit dem Mathematischen Institut die Ausbildung von
Diplom-Wirtschaftsmathematikern. Die nachfolgende Übersicht zeigt die
Entwicklung der Studentenzahlen in dieser Periode:
Studienrichtung
Diplom -Mathematiker
Lehrer
1953
98
127
1958
157
111
1963
100
180
1968
229
82
Die Erfüllung der gestiegenen Lehraufgaben am Mathematischen Institut erforderte
eine Vergrößerung des Lehrkörpers. So war die Zahl der am Institut tätigen
Wissenschaftler Ende 1967 auf 5 Professoren, 7 Oberassistenten und 10 Wissenschaftliche
Assistenten bzw. Mitarbeiter angewachsen.
Die Professoren Holder, Kahler und Schnee haben sich in den Jahren nach dem
Wiederbeginn der Arbeit am Mathematischen Institut in beispielhafter Weise für die
Heranbildung des wissenschaftlichen Nachwuchses eingesetzt und sich dadurch für
die Entwicklung der Mathematik an der Karl-Marx-Universität und darüber hinaus
große Verdienste erworben. Nach dem Tode von Prof. Schnee 1958 (er hatte von
1917 bis 1956 Vorlesungen am Mathematischen Institut gehalten) und dem
Weggang der Professoren Holder und Kahler im gleichen Jahr führten deren Schüler
unter der Leitung von Prof. Herbert Beckert die erfolgreich begonnene Arbeit in
Lehre und Forschung weiter. Dazu gehörten Joachim Focke2), Paul Günther3),
Günter Grosche4), Horst Schumann5) und Günther Eisenreich6). Sie wurden
unterstützt von den Mathematikern der älteren Generation Hans Salie7) (Abb. 35)
und Walter Heymann8) und bald auch schon von den Schülern Prof. Beckerts:
Dietrich Göhde, Alfred Göpfert, Harald Hilbig, Lothar Jentsch und Hans-
Joachim Girlich, die heute alle als Professoren bzw. Dozenten an Universitäten und
Hochschulen der DDR arbeiten. Der hohen Einsatzbereitschaft dieses
verhältnismäßig jungen Kollektivs, seinem verantwortungsbewußten Herangehen an die
Aufgaben in Bildung, Erziehung und Forschung ist es zu danken, daß von 1958 bis 1968
mehr als 1000 fachlich qualifizierte und politisch engagierte Mathematiker und
Mathematiklehrer die Karl-Marx-Universität absolvieren und in ihrer beruflichen Praxis
*) Danach wurde es der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät angeschlossen.
2) Berufung zum Dozenten 1954, zum Professor mit Lehrauftrag 1958 und zum Professor
mit vollem Lehrauftrag 1966.
3) Berufung zum Dozenten 1957, zum Professor mit Lehrauftrag 1960, zum Professor mit
vollem Lehrauftrag 1966.
4) Assistent seit 1952, 1964 Wissenschaftlicher Mitarbeiter.
5) Assistent seit 1956 nach Studienaufenthalt in Leningrad und Moskau, 1958 Oberassistent.
6) Assistent seit 1959, 1967 Oberassistent.
7) Berufung zum Professor mit Lehrauftrag 1955, zum Professor mit vollem Lehrauftrag
1961. Siehe auch den Beitrag über Hans Salie in Teil III, S. 260ff.
8) Seit 1951 Lehrbeauftragter, 1953 Assistent, 1954 Oberassistent, 1962 mit der
Wahrnehmung einer Dozentur beauftragt, 1964 verstorben.

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 279
einen aktiven Beitrag zum Aufbau der sozialistischen Gesellschaft in der DDR leisten
konnten.
Der 1951 eingeführte Studienplan wurde 1954 weiter präzisiert, wobei auch genaue
zeitliche Festlegungen für die einzelnen Studienjahre getroffen wurden. Im
„Studienplan für die Fachrichtung Mathematik" vom 1. 9. 1954 wurde als das Ziel des
Studiums der Mathematik „die wissenschaftliche Ausbildung von Mathematikern für
die Industrie und wissenschaftlichen Forschungsinstitute sowie für die Tätigkeit als
Fachlehrer für die Oberstufe der deutschen demokratischen Schule"1) fixiert. Er sah
\
Abb. 35. Die Professoren Paul Günther, Herbert Beckert, Joachim Focke und Hans
Salie (v. 1. n. r.) im Jahre 1965
für das erste und zweite Studienjahr eine gemeinsame Ausbildung für Studenten mit
dem Ziel „Diplom-Mathematiker" und „Oberstufenlehrer an der demokratischen
Schule" vor. Der Inhalt dieser gemeinsamen Ausbildung sowie die Verteilung der
Wochenstunden geht aus der Übersicht2) auf S. 280 hervor.
Mit dem dritten Studienjahr begann dann eine Aufteilung in Diplom-Mathematiker
(gemäß Studienplan Nr. 11) und Oberstufenlehrer (gemäß Studienplan Nr. IIA).
Dabei spezialisierten sich Diplomstudenten u. a. entsprechend den örtlichen
Möglichkeiten und Traditionen der Institute in bestimmten mathematischen
Teildisziplinen — in Leipzig war es vor allem die Analysis —, während die Lehrerstudenten
*) Vgl. [5], S. 2.
2) Vgl. [5], S. 3 und 4. Die Abkürzungen haben folgende Bedeutung: HS = Herbstsemester,
FS = Frühjahrssemester, PR = Prüfungen, P = Zwischenprüfung, V = Vorlesungen, Ü
= Seminaristische Übungen bzw. Praktika.

280 Teil IV
neben einer weiteren vertiefenden mathematischen Ausbildung
pädagogisch-methodische Vorlesungen hörten und an schulpraktischen Übungen teilnahmen.
Die im Studienplan vorgesehenen Betriebspraktika für Mathematikstudenten
und Schulpraktika für Lehrerstudenten, die entsprechend den gesonderten
Richtlinien des Staatssekretariats für Hochschulwesen durchgeführt wurden, sowie eine
Lehrfach
1. Grundlagen des Marxismus-
Leninismus
2. Russische Sprache
3. Sprachunterricht (fakultativ)
4. Körpererziehung
5. Einführung in die höhere
Mathematik
6. Einführung in die modernen
mathematischen Methoden
7. Differential- und
Integralrechnung I und II
8. Lineare Algebra
9. Analytische Geometrie I und II
10. Experimentalphysik
11. Systematische Pädagogik
I, II und III
12. Einführung in die
Entwicklungspsychologie I und II
13. Algebra I und II
14. Darstellende Geometrie
15. Vektoranalysis (fakultativ)
16. Funktionentheorie I
17. Differentialgleichungen
18. Physikalisches Praktikum
19. Physik (fakultativ)
Wochenstunden
Gesamt
Wochenstunden
1. Studienjahr
HS
V/Ü
2/1
-/2
-/2
-/2
4/2
4/-
4/2
4/-
2/-
2/-
22/9
31
FS
V/Ü
2/1
-/2
-/2
-/2
4/2
4/2
4/1
4/-
2/-
2/-
22/10
32
PR
P
P
P
P
P
2. Studienjahr
HS
V/Ü
2/1
-/2
-/2
-/2
4/2
2/-
4/2
2/2
2/-
-/3
2/-
14/14
28
FS
V/Ü
2/1
-/2
-/2
-/2
4/1
4/2
4/2
~/3
14/13
27
PR
P
P
P
P
P
P
Reihe neu konzipierter Vorlesungen — als Beispiel sei der Numerik-Zyklus von Prof.
Focke genannt — verstärkten die Praxisbezogenheit der Mathematikausbildung.
Als Studiendauer waren in diesem Studienplan für Diplomstudenten fünf Jahre und
für Lehrerstudenten vier Jahre festgelegt.
Die große Zahl der in den Jahren von 1951 bis 1968 erschienenen
wissenschaftlichen Publikationen unterstreicht die erfolgreiche Forschungstätigkeit am Institut
während dieser Zeit. Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf die Beiträge über

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 281
E. Holder, E. Kahler und H. Saue in Teil III sowie auf die Ausführungen auf
S. 303ff. Ein Ausdruck besonderer Wertschätzung war die Verleihung des
Nationalpreises der DDR an Prof. Dr. Beckert im Jahre 1965 für seine wissenschaftlichen
Arbeiten auf dem Gebiet der partiellen Differentialgleichungen. Auch die
Durchführung der Wissenschaftlichen Jahrestagung der Mathematischen Gesellschaft der
DDR vom 1.2. bis 11. 2. 1966 in Leipzig bedeutete eine Anerkennung der Arbeit
der Wissenschaftler des Mathematischen Instituts der Karl-Marx-Universität. Rund
800 Teilnehmer aus dem In- und Ausland hörten im Plenum und in 12 Sektionen etwa
140 Übersichts- und Kurzvorträge und führten einen regen wissenschaftlichen
Meinungsaustausch. Die Leipziger Mathematiker spielten dabei eine aktive Rolle.
Ein Schatz besonderer Art, der von den Leipziger Mathematikern stets behütet
und ständig vermehrt wurde, ist die Mathematische Bibliothek. Besucher aus aller
Welt bewundern immer wieder ihre Kostbarkeiten, aber auch ihre umfangreichen
Bestände. Die während der Kriegsjahre entstandenen Lücken konnten im
wesentlichen wieder geschlossen werden, nicht zuletzt dank der Arbeit einer Fotolaborantin
am Institut1), vor allem aber durch die umsichtige und engagierte Arbeit von Frau
Ina Letzel, die seit 1964 die Bibliothek leitet und die Wissenschaftler und
Studenten vorbildlich unterstützt. Eine großzügige staatliche Förderung ermöglichte die
ständige zielgerichtete Erweiterung der Bibliothek als wichtigstes Arbeitsmittel vor
allem für die mathematische Forschung. Die Entwicklung der Bestände in den Jahren
bis 1968 zeigt die folgende Übersicht:
1962 1964 1966 1968
Bände 15800 16340 17246 18043
Laufende Zeitschriften 86 98 97 110
1979 umfaßte die Bibliothek ca. 27000 Bände und 149 laufende Zeitschriften. Einen
Blick in den Lesesaal der Sektion Mathematik im Neubaukomplex zeigt Abb. 36.
Nach dem Sieg der sozialistischen Produktionsverhältnisse in der DDR Anfang
der 60er Jahre wurde entsprechend den Beschlüssen des VI. Parteitages der SED,
der im Januar 1963 stattfand, der umfassende Aufbau des Sozialismus in der DDR
zur strategischen Hauptaufgabe. Für das Hochschulwesen ergab sich die
Notwendigkeit, den Beitrag für die Erfüllung dieser Aufgaben klar zu umreißen und weiter zu
erhöhen. So setzte etwa 1967 eine umfassende Diskussion zur weiteren Ausgestaltung
von Lehre und Forschung an den Universitäten und Hochschulen der DDR ein. Mit
Recht stellte der VII. Parteitag der SED, der im April 1967 stattfand, fest, daß es
gilt, Inhalt und Methoden der Lehre und Forschung an den Universitäten, Hoch-
und Fachschulen entsprechend den Erfordernissen der weiteren Entwicklung der
sozialistischen Gesellschaft und der wissenschaftlich-technischen Revolution
umzugestalten.2) Die im Ergebnis dieser breiten, alle Angehörigen des Hochschulwesens
erfassenden und sich über mehrere Jahre erstreckenden Diskussionen eingeleiteten
*) Im Jahre 1954 wurde am Mathematischen Institut ein Fotolabor eingerichtet, das die
Arbeit in Lehre und Forschung gut unterstützt. Seit 1959 wird es von Frau Sonja Bruchholz
geleitet.
2) Vgl. [9], Abschnitt XIV.

282 Teil IV
und durchgeführten Maßnahmen werden als 3. Hochschulreform bezeichnet. Die
wesentlichsten Ergebnisse dieser Reform waren die engere Verflechtung des
Hochschulwesens mit der sozialistischen Praxis, die aktivere Einbeziehung der Studenten
in die Forschung und damit verbunden die engere Zusammenarbeit von
Wissenschaftlern und Studenten (der Begriff „wissenschaftlich-produktives Studium"
entstand), die Gliederung des Studiums in Grund-, Fach- und Forschungsstudium,
die auf die Forderungen der Praxis ausgerichtete Verbindung von Aus- und
Weiterbildung und zur Verbesserung der Leitungstätigkeit die Abschaffung der bisherigen
Leitungsstruktur Universität — Fakultät — Institut durch die Bildung von
Sektionen zur schnellen und umfassenden Realisierung der genannten Maßnahmen
verbunden mit der Durchsetzung des Prinzips des demokratischen Zentralismus im
Hochschulwesen.
1
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Abb. 36. Im Lesesaal der Sektion Mathematik
Und so entstanden an der Karl-Marx-Universität Leipzig, wie an den anderen
Universitäten und Hochschulen auch, Sektionen, unter ihnen die Sektion Mathematik,
die im wesentlichen aus dem ehemaligen Mathematischen Institut hervorging. Die
Sektion Mathematik der Karl-Marx-Universität Leipzig wurde in einer
beeindruckenden Veranstaltung am 24. Januar 1969 im Großen Hörsaal des bisherigen
Institutsgebäudes in der Talstraße 35 gegründet. Die vom Minister für das Hoch- und
Fachschulwesen unterzeichnete Gründungsurkunde wurde vom damaligen 1. Prorektor
der KMU, Prof. Dr. Horst Möhle, mit den besten Wünschen für eine erfolgreiche
Arbeit an den ersten Direktor der Sektion Mathematik, Prof. Dr. Paul Günther,
übergeben. Zum stellvertretenden Direktor für Forschung wurde NPT Prof. Dr.
Herbert Beckert ernannt, der von 1958 bis zum Zeitpunkt der Sektionsgründung
das Mathematische Institut geleitet hatte; das Amt des stellvertetenden Direktors
für Erziehung und Ausbildung wurde Dr. Horst Schumann übertragen.

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 283
Die Entwicklung der neu gebildeten wissenschaftlichen Institution, der Sektion
Mathematik der Karl-Marx-Universität, von der nun berichtet werden soll, verlief
natürlich in enger Wechselwirkung mit der allgemeinen gesellschaftlichen
Entwicklung in der DDR.
Die Zeit seit 1969 war wesentlich gekennzeichnet durch das weitere Erstarken des
Sozialismus im Weltmaßstab auf ökonomischem, politischem, geistig-kulturellem
und militärischem Gebiet, im Gegensatz dazu vollzog sich die Verschärfung der
allgemeinen Krisenerscheinungen in den Ländern des Kapitals. Durch den erreichten
Entwicklungsstand der Länder der sozialistischen Staatengemeinschaft und der
Vertiefung ihrer Integrationsbeziehungen waren neue Bedingungen für den
sozialistischen Aufbau auch in der Deutschen Demokratischen Republik herangereift. Im
Juni 1971 hatte der VIII. Parteitag der SED die Strategie und Taktik zur weiteren
Gestaltung der entwickelten sozialistischen Gesellschaft in der DDR beschlossen
und damit einen neuen Entwicklungsabschnitt unseres Landes eingeleitet. Mit der
Formulierung der Hauptaufgabe des Fünfjahrplanes von 1971 — 75 durch den
Parteitag, nämlich der „weiteren Erhöhung des materiellen und kulturellen
Lebensniveaus des Volkes auf der Grundlage eines hohen Entwicklungstempos der
sozialistischen Produktion, der Erhöhung der Effektivität, des wissenschaftlich-technischen
Fortschritts und des Wachstums der Arbeitsproduktivität"1), waren auch der
Wissenschaft in der DDR Aufgaben neuer Dimension gestellt. Im Mai 1976 beschloß der
IX. Parteitag der SED, ,,in der Deutschen Demokratischen Republik weiterhin die
entwickelte sozialistische Gesellschaft zu gestalten und so grundlegende
Voraussetzungen für den allmählichen Übergang zum Kommunismus zu schaffen"2). Im
Bericht des ZK der SED an den IX. Parteitag führte der Generalsekretär der SED,
Erich Honecker, aus: ,,Die vor uns stehenden Aufgaben zwingen zu einem noch
tieferen Eindringen in die wissenschaftlichen, gesellschaftlichen und sozialen
Prozesse. Diese Notwendigkeit und die zunehmende Integration der
Wissenschaftsgebiete erfordern das immer engere Zusammenwirken aller Wissenschaftsdisziplinen.
In der mathematisch-naturwissenschaftlichen und technischen Forschung ist
verstärkt an den Grundlagen und an komplexen Lösungen im Interesse eines
langfristigen wissenschaftlichen Vorlaufs zu arbeiten, der gleichzeitig auf die volkswirtschaftlich
und gesellschaftlich entscheidenden Prozesse konzentriert ist."3) An anderer Stelle
heißt es: „Um hohe wissenschaftliche Leistungen zu sichern, ist die Intensivierung der
wissenschaftlichen Arbeitsprozesse zu beschleunigen."4)
Dank der großzügigen Förderung der Wissenschaft durch Partei und Regierung
erhielt die Karl-Marx-Universität Leipzig in den 70er Jahren ein völlig neues Gesicht
und entwickelte sich zu einer der modernsten Universitäten in unserer Republik.
Zwischen Universitätsstraße und Karl-Marx-Platz entstand Ende der 60er und
Anfang der 70er Jahre der etwa 105000 Quadratmeter umfassende Neubaukomplex
der Karl-Marx-Universität, der heute neben den Gebäuden zwischen der Liebig-
straße und Philipp-Rosenthal-Straße das Zentrum des Universitätslebens bildet
(Abb. 37).
*) Vgl. [10], S. 48/49.
2) Vgl. [12], S. 9.
3) Vgl. [11], S. 92.
4) Vgl. [11], S. 93.

284 Teil IV
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Abb. 37. Hauptgebäude und Universitätshochhaus: Die Sektion Mathematik ist im 3. und
4. Stockwerk des Hauptgebäudes untergebracht

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 285
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Abb. 38. Mathematikstudenten während eines Seminars
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Abb. 39. Moderner Hörsaal im neuen Hörsaalgebäude

286 Teil IV
Die Sektion Mathematik war eine der ersten Institutionen der Universität,
deren Angehörige ihre Arbeit im zuerst fertiggestellten Teil des Neubaukomplexes,
dem fünfgeschossigen Hauptgebäude, aufnahmen, und zwar am 3. 9. 1971. In diesem
Gebäude, das sich am Karl-Marx-Platz befindet und über dessen Eingang ein
Hochrelief die weltverändernde Kraft des Marxismus symbolisiert, haben die Organe der
Universitätsleitung ihren Sitz. Auch die vorwiegend theoretisch orientierten
Forschungsgruppen der Sektionen Physik und Chemie haben hier gute
Arbeitsbedingungen gefunden. Weithin sichtbar erhebt sich das 28 Stockwerke umfassende und 1974
eröffnete Universitätshochhaus, das die Form eines aufgeschlagenen Buches andeutet
und im Volksmund „Weisheitszahn" genannt wird. Es beherbergt in erster Linie
die gesellschaftswissenschaftlichen Sektionen. Der Neubaukomplex umfaßt aber auch
moderne Ausbildungsstätten, nämlich das seit 1973 genutzte Seminargebäude (Abb. 38)
sowie das — an der Universitätsstraße, Ecke Schillerstraße gelegene —
Hörsaalgebäude, das im März 1978 seiner Bestimmung übergeben wurde. In diesem Gebäude
befinden sich 22 Hörsäle verschiedener Größe, entsprechende Zubehörräume und die
Gesellschaftswissenschaftliche Bibliothek (eine Zweigstelle der Universitätsbibliothek).
Alle Hörsäle sind mit Fernsehtechnik, Diaprojektor, Lichtschreiber und
Lautsprecheranlage ausgerüstet (Abb. 39). Zwischen Hauptgebäude und Seminargebäude
befindet sich die moderne Zentralmensa mit einer Kapazität von etwa 6000 Portionen
Mittagessen täglich. In diesen Jahren erhielten auch die Studenten der Universität
moderne Wohnunterkünfte, die ihre Lebens- und Studienbedingungen wesentlich
verbesserten. Die Studenten der Sektion Mathematik sind im Haus 3 des
Internatskomplexes in der Tarostraße untergebracht (Abb. 40 und 41).
Mit der Sektionsgründung wurde dem Wissenschaftlerkollektiv eine ganze Reihe
neuer Aufgaben übertragen. Prof. Dr. Paul Günther — seine große Erfahrung als
Hochschullehrer und Forscher nutzend — engagierte sich voll für das Neue, setzte
wohlüberlegt die Akzente und orientierte konsequent auf die vom neugebildeten
Rat der Sektion gefaßten Beschlüsse, und dies in enger und vertrauensvoller
Zusammenarbeit mit seinen beiden Stellvertretern, der Sektionsparteileitung und den
Leitungen der gesellschaftlichen Massenorganisationen. So hatte die Sektion Mathematik
einen guten Start, der sich immerhin unter der Nebenbedingung vollzog, daß sich
die Zahl der pro Jahr immatrikulierten Studenten innerhalb von zwei Jahren
verfünffachte.
Grundlage für die Arbeit der Sektion in Erziehung, Ausbildung und Forschung
waren die Beschlüsse des VII. und später die des VIII. und IX. Parteitages der SED.
Die Leitung der Grundorganisation der Partei am Mathematischen Institut und
danach an der Sektion hat es stets verstanden, den Wissenschaftlern, Studenten und
Angestellten das Wesen dieser Beschlüsse zu erläutern, Schlußfolgerungen für die
eigene Arbeit zu ziehen und die ideologischen Grundfragen der
Entwicklungsprobleme in Erziehung, Ausbildung und Forschung zur Diskussion zu stellen. Besonders
deutlich wurde die führende Rolle der Partei während der Vorbereitung der
Sektionsgründung, war doch damit die Klärung einer ganzen Reihe ideologischer, inhaltlicher
und organisatorischer Fragen verbunden. Bereits am 2. 10. 1967 legte die Leitung
der Parteiorganisation des Institutes einen Beschluß ,,Zur Bildung einer Sektion
Mathematik an der KMU" vor, in dem die gesellschaftliche Notwendigkeit der
Sektionsbildung begründet, die politische Situation eingeschätzt sowie Maßnahmen
für die ideologische Vorbereitung von Schritten zur Sektionsbildung vorgeschlagen

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 287
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Abb. 40. Studenteninternate in der Tarostraße
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Abb. 41. Im Studentenwohnheim

288 Teil IV
wurden. In breiter demokratischer Diskussion, in zahlreichen Aussprachen und
Beratungen, auf Partei-, Gewerkschafts- und FDJ-Versammlungen und in vielen
Einzelgesprächen wurden allen Wissenschaftlern und Studenten Sinn und Zweck einer
Sektionsbildung erläutert. Dabei waren auch Vorbehalte auszuräumen, manche seit
Jahrzehnten eingebürgerten Gewohnheiten in Frage zu stellen und damit der Blick
auf das Wesentliche zu richten, d. h. auf die aus der gesellschaftlichen Entwicklung
abgeleiteten Anforderungen an eine wissenschaftliche Institution. Die entscheidende
Orientierung für diese Arbeit waren die in Auswertung der Beschlüsse des VII.
Parteitages der SED unter breiter Mitarbeit vieler Institutsangehöriger
ausgearbeiteten Thesen der Parteileitung vom 14. 2. 1968. Diese Thesen gaben u. a. durch die
Formulierung von „Sechs Bewährungsproben für eine Sektion Mathematik" Antwort
auf die Frage, welche Aufgaben in dieser Situation zuerst in Angriff zu nehmen waren.
In diesen Thesen heißt es u. a.:1)
1. Es kommt darauf an, daß alle Institutsangehörigen besonders ihrer Verantwortung
für die klassenmäßige Erziehung gerecht werden, indem sie selbst um eine
klassenmäßige Haltung kämpfen und sie den Studenten vorleben.
2. Es kommt darauf an, daß die Erfüllung aller Aufgaben zeitgemäß geleitet wird,
d. h. Verantwortung klar fixiert, Befugnis- und Weisungsrecht konkret abgegrenzt,
ohne Abwarten und Rückversicherung entschieden und danach gehandelt wird;
kurz, daß die Prinzipien des demokratischen Zentralismus konsequent durchgesetzt
werden.
3. Es kommt darauf an, ein von Zufälligkeiten freies, auf hohem Niveau stehendes
Fachstudium in engem Zusammenhang mit der mathematischen Forschung zu
schaffen.
4. Es kommt darauf an, die zu gründende Sektion zu einem führenden
mathematischen Zentrum mit starker internationaler Ausstrahlungskraft zu entwickeln.
Das bedeutet die Herausbildung leistungsfähiger Forschungskollektive unter
Leitung erfahrener Hochschullehrer, die potenzierte und geschlossene
Bearbeitung bestimmter tragfähiger und praxisorientierter Forschungsschwerpunkte.
5. Es kommt darauf an, eine wesentliche Verbesserung auf dem Gebiet der
planmäßigen Heranbildung des wissenschaftlichen Nachwuchses zu erreichen.
6. Es kommt darauf an, den Einfluß der Partei im Bereich weiter zu erhöhen.
Seit der Sektionsgründung ist die Zahl der Hochschullehrer, der wissenschaftlichen
Mitarbeiter und Angestellten an der Sektion Mathematik erheblich angewachsen.
Zu Beginn des Jahres 1969 waren am damaligen Mathematischen Institut 20
Wissenschaftler (darunter 4 Professoren) sowie 5 Verwaltungs- und technische Kräfte tätig.
Ihre Zahl erhöhte sich bis zum 1. 2. 1980 auf 120 Wissenschaftler — darunter 14
Professoren und 11 Dozenten —, die von 10 Verwaltungs- und technischen Kräften
unterstützt werden.
Diese bemerkenswerte Entwicklung stellte an die Arbeit mit dem wissenschaftlichen
Nachwuchs der Sektion hohe Anforderungen, kam es doch darauf an, bei dieser sich
in relativ kurzer Zeit vollziehenden zahlenmäßigen Vergrößerung ständig den Quali-
') Vgl. [16].

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 289
tätszuwachs in Lehre und Forschung zu sichern und dabei immer die
Persönlichkeitsentwicklung der Sektionsangehörigen zu berücksichtigen. Diese schwierige
Aufgabe wurde seit der Sektionsgründung durch eine konsequente, auf lange Sicht
angelegte, gemeinsam von der Sektionsleitung und den Leitungen der
gesellschaftlichen Organisationen getragene Arbeit mit den wissenschaftlichen Kadern gelöst.
Nach der Bildung der Sektion wurden bis zum 1. 2. 1980 folgende Berufungen
ausgesprochen :
Gerd Lassner : 1969 zum ordentlichen Professor für Analysis,
Hans-Joachim Rossberg: 1969 zum ordentlichen Professor für Mathematische
Methoden der Operationsforschung,
Günther Eisenreich: 1969 zum Hochschuldozenten für Theoretische Mathematik;
1970 zum ordentlichen Professor für Theoretische Mathematik,
Hans-Joachim Girlich: 1969 zum Hochschuldozenten und 1975 zum ordentlichen
Professor für Mathematische Methoden der Operationsforschung,
Dietrich Göhde: 1969 zum Hochschuldozenten für Analysis; 1975 zum
ordentlichen Professor für Mathematik an die Ingenieurhochschule Zwickau,
Alfred Göpfert: 1969 zum Hochschuldozenten für Mathematische Grundlagen
der Operationsforschung; 1974 zum ordentlichen Professor für Analysis an die
Technische Hochschule Leuna-Merseburg,
Harald Hilbig : 1969 zum Hochschuldozenten für Analysis,
Lothar Jentsch : 1969 zum Hochschuldozenten für Analysis; 1975 zum ordentlichen
Professor für Analysis an die Technische Hochschule Karl-Marx-Stadt,
Horst Schumann: 1969 zum Hochschuldozenten für Theoretische Mathematik;
1970 zum ordentlichen Professor für Theoretische Mathematik,
Günter Grosche: 1969 zum Hochschuldozenten für Mathematische Kybernetik
und Rechentechnik an der Sektion Rechentechnik und Datenverarbeitung,
Siegmar Gerber : 1969 zum Hochschuldozenten für Mathematische Kybernetik und
Rechentechnik an der Sektion Rechentechnik und Datenverarbeitung,
Hans Bock: 1970 zum ordentlichen Professor für Methodik des
Mathematikunterrichts,
Reinhard Hofmann : 1970 zum Hochschuldozenten für Numerische Mathematik,
Klaus Beyer: 1970 zum Hochschuldozenten für Analysis; 1976 zum ordentlichen
Professor für Numerische Mathematik an der Wilhelm-Pieck-Universität Rostock,
Eberhard Zeidler: 1970 zum Hochschuldozenten für Analysis; 1974 zum
ordentlichen Professor für Analysis,
Rolf Klötzler : 1972 Umberufung von der Martin-Luther-Universität
Halle—Wittenberg zum ordentlichen Professor für Mathematische Methoden der
Operationsforschung,
Karl-Heinz Bachmann: 1976 zum ordentlichen Professor für Mathematische
Kybernetik und Rechentechnik,
Günther Dewess: 1977 zum Hochschuldozenten für Mathematische Methoden der
Operationsforschung,
Volkmar Wünsch: 1977 zum Hochschuldozenten für Analysis,
Konrad Schmüdgen : 1977 zum Hochschuldozenten für Analysis,
Erich Miersemann : 1979 zum Hochschuldozenten für Analysis,
Werner Timmermann : 1979 zum Hochschuldozenten für Analysis,

290 Teil IV
Karl-Udo Jahn : 1980 zum Hochschuldozenten für Mathematische Kybernetik und
Rechentechnik,
Johannes Maul : 1980 zum Hochschuldozenten für Analysis.
Am 1. 4. 1971 übernahm Prof. Dr. Horst Schumann, der bis zu diesem Zeitpunkt
das Amt des stellvertretenden Sektionsdirektors für Erziehung und Ausbildung
innehatte, planmäßig die Leitung der Sektion Mathematik (Abb. 42). Zum neuen
Stellvertreter für Erziehung und Ausbildung wurde Prof. Dr. Hans Bock ernannt.
Die Nachfolger von Prof. Bock in diesem Amt sind Prof. Dr. Hans-Joachim Girlich
(von 1973 bis 1977) und Doz. Dr. Günter Grosche (seit 1977). NPT Prof. Dr.
Herbert Beckert ist seit der Sektionsgründung 1969 stellvertretender
Sektionsdirektor für Forschung.
Abb. 42. Die Professoren Horst Schumann (links) und Paul Günther
im Jahre 1971 während der Amtsübergabe
Als eines der wesentlichsten Ergebnisse der Entwicklung der Sektion Mathematik
seit ihrer Gründung kann die Formierung, Festigung und Profilierung
leistungsfähiger, von erfahrenen Hochschullehrern geleiteter Forschungskollektive sowie die
Herausbildung eines regen wissenschaftlichen Lebens an der Sektion angesehen werden.
Heute arbeiten an der Sektion acht Forschungskollektive; diese Kollektive bilden
zugleich die Grundstruktur der Sektion.
Die gesamte Forschungstätigkeit an der Sektion Mathematik erfolgt im Rahmen
einer langfristigen Planung auf der Grundlage vertraglicher Festlegungen. Dabei
arbeiten Wissenschaftler der Sektion in fünf der sechs innerhalb des Zentralen
Forschungsprogramms „Mathematik, Mechanik, Kybernetik und
Informationsverarbeitung" bestehenden mathematischen Hauptforschungsrichtungen mit; es sind dies
die Hauptforschungsrichtungen „Analysis", „Stochastik", „Optimierung",
„Mathematische Grundlagen der Informationsverarbeitung" und „Theoretische Mathe-

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 291
niatik". Seit 1975 kam eine neue Form der vertraglich gebundenen Forschung hinzu,
die vor allem für die anwendungsorientierte mathematische Forschung von
wachsender Bedeutung ist, nämlich der Abschluß von Forschungsvertragen mit
Praxispartnern aus der Industrie; genannt seien das Braunkohlenkombinat Espenhain, das
Zentralinstitut für Metallurgie Leipzig, der VEB Mikrosa Leipzig und der VEB
Chemische Werke Buna.
Wie einige Beiträge in Teil III verdeutlichen, hat die Leipziger Universität
besonders auf dem Gebiete der Analysis große Traditionen. Daß diese fortgeführt wurden
und dabei viele stark beachtete Ergebnisse erzielt werden konnten, ist das
wesentliche Verdienst der drei seit 1969 auf dem Gebiet der Analysis arbeitenden
Forschungskollektive der Sektion. So entwickelte sich die Sektion Mathematik der KMU Leipzig
zu einem der führenden Zentren der Analysis, was auch darin zum Ausdruck kommt,
daß der Sektion im Jahre 1974 durch den Minister für Hoch- und Fachschulwesen
die Leitung der Hauptforschungsrichtung Analysis übertragen wurde. Im folgenden
werden die an der Sektion arbeitenden Forschungskollektive kurz vorgestellt', eine
ausführliche Darlegung ihrer Forschungsergebnisse erfolgt auf S. 303ff.
Das Forschungskollektiv „Analysis 7" untersucht vor allem Rand-, Anfangs- und
Eigenwertaufgaben vorwiegend nichtlinearer partieller und gewöhnlicher
Differentialgleichungen mit Hilfe der modernen Methoden der Variationsrechnung sowie der
nichtlinearen Funktionalanalysis. Es wird geleitet von NPT Prof. Dr. Herbert
Beckert. Zahlreiche seiner Schüler arbeiten heute an der Sektion Mathematik der
KMU sowie an anderen wissenschaftlichen Einrichtungen der DDR. Dem
Kollektiv gehören unter anderen die Hochschullehrer Prof. Dr. Eberhard Zeidler,
Doz. Dr. Harald Hilbig, Doz. Dr. Reinhard Hofmann, Doz. Dr. Erich
Miersemann und Doz. Dr. Johannes Maul an.
Das Forschungskollektiv „Analysis II" befaßt sich mit der mathematischen
Untersuchung von Wirkungsausbreitungen, die durch hyperbolische
Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssysteme beschrieben werden können. Sein Leiter ist
Prof. Dr. Paul Günther, der erste Direktor der Sektion Mathematik nach ihrer
Gründung. Dem Kollektiv gehört u. a. Doz. Dr. Volkmar Wünsch an.
Das Forschungskollektiv „Analysis III" untersucht topologische Algebren und
ähnliche Hilfsmittel der Quantentheorie; dabei wird auch an konkreten Methoden des
algebraischen Zugangs zur Quantenstatistik gearbeitet. Sein Leiter ist der 1969 im
Alter von 29 Jahren berufene Prof. Dr. Gerd Lassner, der seit dieser Zeit bereits
zweimal zu längeren Arbeitsaufenthalten am Vereinigten Institut für Kernforschung
Dubna weilte und dort als Leiter eines Sektors tätig war. Dem Kollektiv gehören u. a.
die Hochschullehrer Doz. Dr. Konrad Schmüdgen und Doz. Dr. Werner
Timmermann an.
Ergebnisse von Wissenschaftlern dieser drei Forschungskollektive wurden in den
letzten zehn Jahren mehrfach als „hervorragende wissenschaftliche Leistungen"
vom Wissenschaftlichen Beirat für Mathematik beim MHF anerkannt.
Den Anforderungen der sozialistischen Praxis in der DDR Rechnung tragend,
wurde 1969 mit dem Aufbau einer Forschungsrichtung „Mathematische Methoden
der Operationsforschung" an der Sektion Mathematik der KMU begonnen. Dabei
bildeten sich drei Forschungskollektive:
Prof. Dr. Joachim Focke baute als erste Gruppe dieser Richtung das
Forschungskollektiv „Mathematische Optimierung" auf. Durch Umberufung von der Martin-

292 Teil IV
Luther-Universität Halle—Wittenberg kam im Jahre 1972 Prof. Dr. Rolf Klötzler
in dieses Kollektiv und übernahm 1974 turnusgemäß dessen Leitung. Dem Kollektiv,
das der anwendungsorientierten Forschung von Anfang an große Beachtung schenkt,
gehört u. a. Doz. Dr. Günther Dewess an.
Eine zweite Gruppe, das Forschungskollektiv „Stochastik", wird seit ihrer
Gründung durch den 1969 nach Leipzig berufenen Prof. Dr. Hans-Joachim Rossberg
geleitet. Die Wissenschaftler dieses Kollektivs, dem auch Prof. Dr. Hans-Joachim
Girlich angehört, befassen sich mit Qualitätsuntersuchungen bei stochastischen
Modellen, mit der Statistik stochastischer Prozesse, mit Optimierungsproblemen der
Lagerhaltungs- und Zuverlässigkeitstheorie und beschäftigen sich mit analytischen
Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Als dritte Gruppe dieser Richtung arbeitete von 1969 bis 1975 das
Forschungskollektiv „Mathematische Methoden der Ökonomie", das von Prof. Dr. Siegbert Fröhlich
geleitet wurde, der 1969 im Verlauf der Bildung der Sektion von der ehemaligen
Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der KMU zur Sektion Mathematik gekommen war.
Das Forschungskollektiv „Theoretische Mathematik" befaßt sich mit der
Untersuchung kommutativ-algebraischer, arithmetischer, algebraisch-topologischer und
kategorientheoietischer Methoden in der Algebraischen Geometrie. Diese Forschungen
werden getragen von Prof. Dr. Günther Eisenreich, dem Leiter des Kollektivs,
und Prof. Dr. Horst Schumann, dem Direktor der Sektion.
Im Jahre 1962 wurde an der KMU ein „Institut für maschinelle Rechentechnik"
gegründet, aus dem 1969 die „Sektion Rechentechnik und Datenverarbeitung"
hervorging. Beide Einrichtungen leitete Prof. Dr. Hans Rohleder. Mit der Bildung
des „Organisation- und Rechenzentrums der KMU" 1973 wurde diese Sektion
aufgelöst. Prof. Rohleder kam mit mehreren Wissenschaftlern zur Sektion Mathematik,
an der das Forschungskollektiv „Mathematische Grundlagen der
Informationsverarbeitung" gebildet wurde, dessen Leitung er übernahm. Zu diesem Kollektiv gehören
unter anderen die Dozenten Dr. Günter Grosche, Dr. Siegmar Gerber, Dr. Karl-
Udo Jahn und seit seiner Berufung an die KMU 1976 auch Prof. Dr. Karl-Heinz
Bachmann, der 1979 die Leitung des Forschungskollektivs übernahm. Die
Wissenschaftler des Kollektivs untersuchen vor allem die jer igen theoretischen Grundlagen
und Methoden, die beim Aufbau von künstlichen Sprachen einzusetzen sind mit dem
Ziel, die Ergebnisse auf die vielseitigen Probleme anzuwenden, die in der Ökonomie,
Biologie, Medizin, Steuerungstechnik sowie in der Informationsverarbeitung selbst
auftreten.
Im Zuge der Gründung der Sektionen an der KMU in den Jahren 1968/69 wurden
die am ehemaligen Pädagogischen Institut zusammengefaßten
Unterrichtsmethodiker den jeweiligen Fachsektionen eingegliedert. Das hat sich günstig ausgewirkt bei
der Ausbildung von Mathematiklehrern, einer wichtigen Aufgabe der Sektion
Mathematik. So entstand an der Sektion das Forschungskollektiv „Methodik des
Mathematikunterrichts", das von Prof. Dr. Hans Bock geleitet wird. Die
Forschungsarbeiten, die im Auftrag der Akademie der Pädagogischen Wissenschaften der DDR
erfolgen, beinhalten vor allem die Entwicklung geistiger Fähigkeiten und Fertigkeiten
bei Schülern im Mathematikunterricht der Oberschulen.
Seit Beginn der Planung und Verteidigung der Forschungsleistungen im Rahmen
der mathematischen Hauptforschungsrichtungen (vorher Wissenschaftskonzeptionen)
Ende der sechziger Jahre wurden von den Wissenschaftlern der Sektion alle geplanten

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 293
Arbeiten im vorgesehenen Zeitraum erfolgreich abgeschlossen. Diese beachtenswerten
Forschungsergebnisse fanden im Zeitraum von 1969 bis 1979 ihren Ausdruck in mehr
als 600 wissenschaftlichen Arbeiten, die in anerkannten in- und ausländischen
Fachzeitschriften veröffentlicht wurden. Darüber hinaus wurden von Wissenschaftlern
der Sektion eine Reihe von Monographien, Lehrwerken und Lehrbüchern verfaßt,
die in Forschung und Lehre national und international Anerkennung erhielten. So
z. B. die vierbändige Monographie „Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanaly-
sis und deren Anwendungen" von Prof. Dr. Eberhard Zeidler, der von einem
Wissenschaftlerkollektiv der Sektion unter Leitung von Prof. Dr. Paul Günther
erarbeitete vierbändige „Grundkurs Analysis", das als gemeinsames Vorhaben von
Mathematikern aus Moskau, Berlin, Leipzig und Freiberg entstandene „Handbuch
der Bedienungstheorie", das Lehrbuch „Vorlesungen über Vektor- und
Tensorrechnung" von Prof. Dr. Günther Eisenreich. Die Neufassung des „Taschenbuches
der Mathematik" von Bronstein/Semendjajew ist ein Beispiel für die erfolgreiche
Gemeinschaftsarbeit von über 20 Mathematikern der Sektion unter der Leitung der
Herausgeber Doz. Dr. Günter Grosche und Dr. Viktor Ziegler mit den
sowjetischen Autoren der ursprünglichen Fassung.
In die Forschungsvorhaben sinnvoll einbezogen sind an der Sektion die Arbeiten
zur Qualifizierung des wissenschaftlichen Nachwuchses. Seit Gründung der Sektion
1969 ist die Anzahl der erfolgreich durchgeführten Verfahren zur Erlangung der
wissenschaftlichen Grade Dr. rer. nat. und Dr. sc. nat. ständig gewachsen. In dieser
Zeit promovierten mehr als 60 Assistenten und Forschungsstudenten der Sektion
an der Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften der KMU zum Dr. rer. nat.
und über 20 — vorwiegend wissenschaftliche Oberassistenten — zum Dr. sc. nat.,
die etwa zu gleichen Teilen an unserer Sektion bzw. an anderen wissenschaftlichen
Einrichtungen der DDR zu Hochschullehrern berufen wurden.
Die von den Wissenschaftlern der Sektion erzielten Forschungsergebnisse
widerspiegeln die an der Sektion bestehende Atmosphäre des Dranges der
Hochschullehrer und wissenschaftlichen Mitarbeiter nach hohen Leistungen und nützlichen
Resultaten, der gegenseitigen Anregung und Unterstützung, des
Gedankenaustausches und Meinungsstreites sowie der Anleitung der weniger Erfahrenen durch die
führenden Wissenschaftler. Diese Atmosphäre wird geprägt durch die Arbeitsweise
der stabilen und aufgabenorientierten Forschungskollektive, die — alle von
Professoren geleitet — sich als geeeignete Organisationsform der wissenschaftlichen
Arbeit erwiesen haben. Von starker Ausstrahlungskraft sind dabei die zum festen
Bestandteil des wissenschaftlichen Lebens der Sektion gehörenden, regelmäßig
stattfindenden Forschungsseminare der einzelnen Forschungskollektive. Sie sind eine
ausgezeichnete Form der wissenschaftlichen Kommunikation für ihre Mitglieder,
aber auch für die Studenten der höheren Studienjahre. In einer kollegialen und
kritischen Atmosphäre werden hier eigene wissenschaftliche Arbeiten vorgestellt und
diskutiert, bevor sie zum Druck eingereicht werden. Daneben werden auch
Publikationen der internationalen Forschungsliteratur vorgetragen und für die Arbeit des
Forschungskollektivs bzw. für die Lehre nutzbar gemacht. Die von einigen
Forschungskollektiven regelmäßig veranstalteten Frühjahrs- bzw. Herbstschulen sind eine
konzentrierte Form der Forschungsseminare; sie üben, da die Wissenschaftler eine Woche
lang gemeinsam leben, arbeiten und diskutieren, einen positiven Einfluß auf die
Festigung der Kollektive und die Stärkung der Gemeinschaftsarbeit aus.

294 Teil IV
Eine wertvolle Bereicherung der wissenschaftlichen Kommunikation der
Forschungskollektive untereinander ist das Sektionskolloquium, das im In- und Ausland
einen guten Ruf genießt. Von April 1973 bis Januar 1979 fanden 103
Veranstaltungen statt, auf denen u. a. 48 namhafte Wissenschaftler aus den sozialistischen
Bruderländern und 19 aus anderen Staaten inhaltsreiche und anregende Vorträge
hielten.
Die Beziehungen der Sektion zu wissenschaftlichen Einrichtungen des In- und
Auslandes wurden insbesondere während der letzten zehn Jahre weiter ausgebaut bzw.
vertieft; sie haben auf einigen Gebieten zu einer engen Zusammenarbeit geführt.
Im Vordergrund stehen dabei die Beziehungen zu führenden mathematischen
Institutionen der Sowjetunion, der ÖSSR und der Volksrepublik Polen, so zu den
Mathematischen Instituten der Akademie der Wissenschaften der UdSSR in Moskau,
Leningrad und Nowosibirsk, dem VIK Dubna, dem Institut für Theoretische Physik
der Ukrainischen Akademie der Wissenschaften, den Mathematischen Instituten
der Akademien der Wissenschaften der ÖSSR und der VR Polen, den Mathematischen
Fakultäten bzw. Instituten der Universitäten Moskau, Leningrad, Kiew, Tbilissi,
Charkow, Warschau, Wroclaw, Torun, Katowice, Sofia, Prag und Olomouc. Auch zu
mathematischen Instituten und Forschungszentren entwickelter kapitalistischer
Länder wurden die wissenschaftlichen Beziehungen weiterentwickelt, vor allem mit
wissenschaftlichen Einrichtungen in den USA, Frankreich, Großbritannien, Japan,
der Schweiz, Österreich und der BRD.
Ein Höhepunkt im wissenschaftlichen Leben an der Sektion war die Internationale
Konferenz über „Operatorenalgebren, Ideale und ihre Anwendungen in der Theoretischen
Physik" im September 1977 an der Karl-Marx-Universität Leipzig. Sie wurde
gemeinsam von den mathematischen Sektionen der Karl-Marx-Universität Leipzig und
der Friedrich-Schiller-Universität Jena und vom Zentralinstitut für Mathematik und
Mechanik der Akademie der Wissenschaften der DDR veranstaltet. An ihr nahmen
224 Mathematiker aus 22 Ländern Europas, Amerikas, Asiens und Afrikas teil.
Diese Konferenz war die erste wissenschaftliche Veranstaltung in der DDR unter
der Schirmherrschaft der Internationalen Mathematiker-Union; sie fand weltweit
ein positives Echo. Dem internationalen Organisationskomitee gehörten die
Professoren H. Baumgärtel (Berlin), G. Lassner (Leipzig), K. Maurin (Warschau),
A. Pelczynski (Warschau), A. Pietsch (Jena), M. K. Polivanov (Moskau), L.
Schwartz (Paris), H.Schumann (Leipzig), A. Uhlmann (Leipzig) und V. S. Vladi-
mirov (Moskau) an.
Aus Anlaß des 100. Geburtstages von Leon Lichtenstein, dessen erfolgreiches
Wirken am Mathematischen Institut der Leipziger Universität in einem gesonderten
Beitrag in Teil III gewürdigt ist, wurde vom 7. bis 9. Dezember 1978 von der Sektion
ein wissenschaftliches Kolloquium veranstaltet. Namhafte Mathematiker aus der
UdSSR, der ÖSSR und der VR Polen nahmen daran teil. Die gehaltenen Vorträge
fanden starke Beachtung, insbesondere der Festvortrag von NPT Prof. Dr. Herbert
Beckert. Im Heft 1/80 der Wissenschaftlichen Zeitschrift der KMU, Mathematisch-
Naturwissenschaftliche Reihe, sind sie veröffentlicht.
Der Aufbau der entwickelten sozialistischen Gesellschaft in der DDR bedingt eine
größere gesellschaftliche Wirksamkeit der Wissenschaft. In der derzeitigen Phase der
gesellschaftlichen Entwicklung muß der erforderliche Zuwachs an
Nationaleinkommen in erster Linie durch die ökonomische Verwertung der Ergebnisse von Wissen-

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 295
Schaft und Technik erreicht werden; die Wissenschaft als unmittelbare
Produktivkraft gewinnt daher zunehmend an Bedeutung. Das gilt auch für die Mathematik.
Die Leitung der Sektion und die gesellschaftlichen Organisationen haben es ständig
als ihre Aufgabe gesehen, diesem Sachverhalt in wachsendem Maße Rechnung zu
tragen und die Arbeit der Forschungskollektive stärker auf die Erfordernisse der
Volkswirtschaft und anderer gesellschaftlicher Bereiche sowie der Natur- und
Gesellschaftswissenschaften zu lenken. Der Erörterung damit zusammenhängender Fragen
diente auch die von der Sektion am 27. und 28. September 1974 durchgeführte
Konferenz „Mathematik und Praxis1', Sie fand eine große Resonanz. Über 200
Teilnehmer — Wissenschaftler aus mathematischen Sektionen von Universitäten und
Hochschulen der DDR, Vertreter aus den verschiedensten Bereichen der
Volkswirtschaft, darunter auch Absolventen unserer Sektion, Wissenschaftler aus anderen
Sektionen der KMU und Gäste aus dem Partei- und Staatsapparat — nutzten die
Veranstaltung zu einem regen Erfahrungsaustausch über die Notwendigkeit und die
Möglichkeiten der Anwendung der Mathematik in der gesellschaftlichen Praxis,
vermittelten in zahlreichen Vorträgen wertvolle Anregungen und diskutierten über die
Stellung der Mathematik in der sozialistischen Gesellschaft.
Grundlegende Ausführungen dazu waren in dem EinführungsVortrag der
Konferenz vom Direktor der Sektion, Prof. Dr. Horst Schumann, gemacht worden.1)
Die darin enthaltenen Orientierungen lösten in der Folgezeit an der Sektion eine
ganze Reihe von Aktivitäten aus, die alle auf eine höhere gesellschaftliche
Wirksamkeit der mathematischen Forschung zielten, und zwar sowohl im Hinblick auf die
direkte Anwendung mathematischer Methoden und Ergebnisse in verschiedenen
Zweigen der Volkswirtschaft als auch in Richtung einer verstärkten Zusammenarbeit
mit Forschungsgruppen an naturwissenschaftlichen Sektionen. Diese Bestrebungen
führten zum Abschluß von Forschungsverträgen der Sektion mit Kombinaten der
Braunkohlen-, chemischen und metallurgischen Industrie und zur Bildung einer
Applikationsgruppe, einem Kollektiv von Wissenschaftlern der Sektion, die
vorwiegend an der Lösung von Aufgaben arbeiten, die direkt von den Vertragspartnern
aus der Industrie an die Sektion herangetragen werden bzw. die sich bei der
Aufbereitung von mathematischen Forschungsergebnissen für deren Anwendung in der
Praxis ergeben. Die ursprüngliche Idee zur Bildung einer solchen Gruppe wurde geboren
in der Diskussion an der Sektion über einen effektiveren Einsatz der Absolventen mit
dem Ziel, sie nicht einzeln in einer größeren Zahl von Betrieben einzusetzen, sondern
gezielt in kleineren Gruppen in volkswirtschaftlich wichtigen Bereichen der Industrie,
wobei sie bei der Lösung ihrer Aufgaben von den Forschungskollektiven der Sektion
Unterstützung erhalten sollten. Die Diskussion an den mathematischen Sektionen
der Universitäten und Hochschulen der DDR zu diesen Fragen führte zu einer
Verfügung des Ministers für das Hoch- und Fachschulwesen der DDR zur Bildung von
Applikationsgruppen an einer Reihe von mathematischen Sektionen, darunter auch
an der KMU. Den Gruppen wurden dabei spezifische Aufgaben erteilt, die die
volkswirtschaftliche Struktur des jeweiligen Territoriums berücksichtigen. Die im
September 1977 an der Sektion gebildete Gruppe arbeitet vorrangig bei der Lösung von
Aufgaben aus den Bereichen Kohle und Energie sowie aus der chemischen Industrie.
Sie hat in Prof. Dr. Karl-Heinz Bachmann einen wissenschaftlichen Leiter, der über
*) Vgl. [17].

296 Teil IV
große Erfahrungen in der Anwendung der Mathematik verfügt. Die
Applikationsgruppe ist ein organischer Bestandteil der Sektion, und ihre Arbeit ist Ausdruck der
verstärkten Orientierung der Forschungskollektive der Sektion auf die Fragen der
Anwendung der Mathematik in der sozialistischen Volkswirtschaft.
Die Tradition der Zusammenarbeit der Mathematiker und Physiker an der
Leipziger Universität fand ihre Fortsetzung nach der demokratischen Neueröffnung der
Universität 1946. Eine wesentliche Erweiterung erfuhr die gemeinsame Arbeit von
Mathematikern und Naturwissenschaftlern nach der Gründung der Sektionen zu
Beginn der siebziger Jahre. Wissenschaftler der Forschungskollektive Analysis der
Sektion begannen in wachsendem Maße die gemeinsame Bearbeitung von Forschungs-
*
Abb. 43. Die Professoren Gerd Lassner und Armin Uhlmann
themen mit Kollegen aus Forschungsgruppen der "Sektionen Physik und Chemie.
Sie legten damit den Grundstein für die Bildung des
Naturwissenschaftlich-Theoretischen Zentrums (NTZ) der Karl-Marx-Universität, die im Mai 1973 durch den Rektor
vollzogen wurde. Die Sektion Mathematik übernahm dabei eine „federführende Rolle'4.
Zum ersten Leiter des NTZ wurde Prof. Dr. Gerd Lassner, der Leiter des
Forschungskollektivs „Analysis III" der Sektion, berufen, der sich für die Gründung dieses
Arbeitskreises ebenso wie der Physiker Prof. Dr. Armin Uhlmann große Verdienste
erwarb (Abb. 43). Das NTZ wirkte beispielgebend für die Intensivierung der
interdisziplinären Arbeit an der Karl-Marx-Universität und entwickelt sich zu einem
Zentrum der Zusammenarbeit von Mathematikern und Physikern in der DDR und
darüber hinaus.
Seit über 500 Jahren werden an der Leipziger Universität mathematische
Vorlesungen gehalten; doch erst in den letzten drei Jahrzehnten, seit sich die Tore der
Universität für junge Menschen aus allen Klassen und Schichten der Bevölkerung
öffneten, wurden auch die Plätze in den Hörsälen des Mathematischen Instituts von

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 297
Studenten belegt, denen die Brechung des Bildungsprivilegs den Weg zur höchsten
Stätte von Forschung und Lehre ermöglichte. Heute kommen mehr als die Hälfte
der Studenten der Sektion aus Arbeiter- und Bauernfamilien, und viele von ihnen
haben sich nach erfolgreichem Studium an verantwortungsvollen Stellen in der
Wissenschaft, der Volkswirtschaft und in anderen Bereichen bewährt.
Mit der fortschreitenden gesellschaftlichen Entwicklung in der DDR durchdringen
Wissenschaft und Bildung in wachsendem Maße alle Bereiche der Gesellschaft.
Das stellt hohe Anforderungen an die grundlegende Aufgabe der Universitäten und
Hochschulen, die Ausbildung und Erziehung der Studenten; denn in keiner anderen
Form als über die Absolventen der höchsten Bildungsstätten wirkt die Wissenschaft
so direkt und vielschichtig auf die gesellschaftliche Praxis ein. Das trifft in vollem
Maße auch für die Mathematiker zu. Die Durchsetzung dieser Erkenntnis bei den
Wissenschaftlern der Sektion Mathematik wurde gefördert durch die konsequente
und zielgerichtete Arbeit der Leitung der Grundorganisation der SED an der Sektion.
Die Absolventen der Sektion — Diplommathematiker und Diplomlehrer für
Mathematik und Physik — so zu bilden und zu erziehen, daß sie an den Brennpunkten des
gesellschaftlichen Fortschritts, ausgerüstet mit hohem Wissen, mit Leidenschaft
und hoher Bewußtheit ihre Aufgaben erfüllen, das ist das Anliegen aller
Wissenschaftler der Sektion. Durch die Vorbildwirkung der Hochschullehrer und
wissenschaftlichen Mitarbeiter wird das Profil der Absolventen der Sektion immer stärker geprägt
durch hohe Arbeitsmoral, Einsatzbereitschaft, Begeisterung für die Wissenschaft
und das Bestreben, als Propagandist der Mathematik nicht nur die Schönheit dieser
Wissenschaft, sondern auch ihre Nutzbarkeit zu demonstrieren und dabei vor
Schwierigkeiten und Widersprüchen nicht zurückzuschrecken, sondern sich als Kämpfer für
den wissenschaftlich-technischen und den gesellschaftlichen Fortschritt zu bewähren.
Die ersten Jahre nach der Bildung der Sektion waren für ihren am Anfang noch
relativ kleinen Lehrkörper eine Zeit der Bewährung, die den Einsatz aller Kräfte
forderte. Die Aufgaben in der Ausbildung wuchsen stark an: einerseits durch die
Übernahme der Mathematikausbildung der Studenten der Physik, Chemie,
Biowissenschaften, Wirtschaftswissenschäften sowie der landwirtschaftswissenschaftlichen
Disziplinen (für jede dieser Studienrichtungen waren spezielle Kurse zu konzipieren
und zu halten), andererseits durch die rasch steigende Zahl der an der Sektion
Mathematik selbst immatrikulierten Studenten (diese wuchs von 360 im Jahre 1969 über
539 im Jahre 1970 und 680 im Jahre 1971 auf 800 im Jahre 1972 an und erreichte
damit ihren höchsten Stand). Über die Aufgaben im Direktstudium hinaus wurden
dem Lehrkörper der Sektion weitere Ausbildungsverpflichtungen übertragen. Das
betrifft einmal den im Jahre 1969 begonnenen Vorkurs der KMU zur Vorbereitung
von Absolventen der zehnklassigen polytechnischen Oberschule auf ein
Lehrerstudium in den Kombinationen Mathematik/Physik und Physik/Mathematik sowie die
Mathematikausbildung im technischen, ökonomischen und agrarwissenschaftlichen
Hochschulfernstudium. Diese Lehrveranstaltungen werden zum überwiegenden Teil
von Lektoren und Lehrern im Hochschuldienst gehalten, die im Kollektiv ,,Vorkurs/
Fernstudium" zusammengefaßt sind. Gleichzeitig traten im Zusammenhang mit der
bereits erwähnten Gliederung des Studiums in Grund-, Fach- und Forschungsstudium
und der Einführung von Fachrichtungen eine Reihe von inhaltlichen und
organisatorischen Veränderungen im Studienablauf der Mathematiker in Kraft (u.a. wurde die
Studienzeit von fünf auf vier Jahre verkürzt), deren Verwirklichung in Verhältnis-

298 Teil IV
mäßig kurzer Zeit dem Verantwortungsbewußtsein und der hohen
Einsatzbereitschaft der Hochschullehrer, wissenschaftlichen Mitarbeiter, Angestellten und
Studenten der Sektion zu danken ist. Im neugebildeten Rat der Sektion, in der
Sektionsleitung, in Versammlungen der gesellschaftlichen Organisationen — insbesondere in
den FDJ-Gruppenversammlungen — gab es zu den Fragen des Inhalts der neu zu
konzipierenden Vorlesungen, ihrer methodischen Gestaltung, der Rolle der Übungen
und Praktika (das Berufspraktikum wurde an der Sektion trotz Verkürzung der
Studienzeit beibehalten), der Bedeutung des Selbststudiums, insbesondere der
Verbesserung der selbständigen wissenschaftlichen Arbeit der Studenten, der
Studienhaltung, der Auffassung des Studiums als gesellschaftlichen Auftrag und anderen
viele nützliche Diskussionen. Es wurden zahlreiche Vorschläge gemacht,
Konzeptionen und Modelle entworfen, alle mit dem Ziel, eine auf gewohnt hohem Niveau
stehende Ausbildung in der vorgegebenen Studienzeit zu sichern. Vorlesungsskripten
wurden ausgearbeitet, Übungskarteien zusammengestellt, Pläne für eine effektivere
Gestaltung der Seminare und Übungen entworfen und zur Diskussion gestellt und
vieles andere mehr. Alle diese Aktivitäten wurden durch eine Arbeitsgruppe des
Sektionsrates koordiniert, die seitdem wertvolle Unterstützung für die Verbesserung
der Lehr- und Erziehungstätigkeit an der Sektion leistet. Auf diese Weise wurden
viele Sektionsangehörige in die Lösung der Ausbildungsaufgaben einbezogen,
wirksamere Lehr- und Lernmethoden setzten sich durch, das Verhältnis von Lehrenden
und Lernenden wurde trotz der erhöhten Studentenzahl enger, die sozialistische
Demokratie an der Sektion wurde vertieft.
Die Einführung der Fachrichtungen, die unter anderem auf einen gezielten Einsatz
der Absolventen in bestimmten Zweigen der Volkswirtschaft gerichtet war,1) hatte
besonders im Hinblick auf die vierjährige Ausbildungszeit eine relativ starke
Spezialisierung zur Folge. Diese Tatsache, aber auch die Einschränkung der
Physikausbildung machten deutlich, daß im Rahmen der getroffenen Regelungen die Problematik
eines ausgewogenen Verhältnisses von notwendiger Spezialisierung und hinreichender
Allgemeinbildung der Mathematikstudenten nicht zur Zufriedenheit gelöst werden
konnte. Diese Auffassung wurde bestärkt durch die Ergebnisse einer von
Wissenschaftlern der Sektion angefertigten Studie über die Ausbildung von Mathematikern
in der Sowjetunion. Die vom Ministerium für Hoch- und Fachschulwesen der DDR
Ende 1972 gegebene Orientierung für eine Präzisierung des Studienplanes Mathematik
wurde deshalb an der Sektion begrüßt, und im Verlauf der nun einsetzenden
Diskussion über die Ausarbeitung des präzisierten Plans leisteten Angehörige der Sektion
wertvolle Beiträge. Im Mai 1974 wurden der „Studienplan für die
Grundstudienrichtung Mathematik zur Ausbildung an Universitäten und Hochschulen der DDR"2)
und die Lehrprogramme der einzelnen Lehrgebiete vom Minister für Hoch- und
Fachschulwesen bestätigt und ab 1. September 1974 in Kraft gesetzt. Nach einer nunmehr
wieder fünfjährigen Studienzeit verließ im August 1979 der erste, auf der Grundlage
dieser präzisierten Studiendokumente ausgebildete Studenten-Jahrgang die Sektion,
x) Von den fünf Fachrichtungen Analysis, Mathematische Methoden der
Operationsforschung, Mathematische Kybernetik und Rechentechnik, Numerische Mathematik,
Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik sind die drei erstgenannten an der Sektion
vertreten.
2) Vgl. [6].

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 299
und man sah bei der Übergabe der Diplome sowohl bei den an der Ausbildung
beteiligten Hochschullehrern als auch bei den Absolventen, die in der Mehrzahl gute und
sehr gute Leistungen erzielt hatten, im allgemeinen zufriedene Gesichter. Die
vielfältigen Bemühungen der Wissenschaftler und Studenten während ihrer fünfjährigen
gemeinsamen Erziehungs- und Bildungsarbeit waren darauf gerichtet, die
Möglichkeiten, die der neue Studienplan für die Vermittlung einer niveauvollen breiten
mathematischen Allgemeinbildung und die Befähigung der Studenten zu selbständiger
wissenschaftlicher Arbeit bietet, weitgehend auszuschöpfen. Man kann natürlich
zum gegenwärtigen Zeitpunkt noch keine voll gültige Einschätzung des präzisierten
Studienplanes bezüglich seiner Bewährung für einen erfolgreichen Einsatz der
Absolventen in der Praxis geben. Eine Reihe positiver Merkmale treten aber bereits jetzt
deutlich hervor, z. B. eine solide, auf den späteren Einsatz orientierte
Grundausbildung, die neben den klassischen Gebieten auch Mathematische Kybernetik und
Rechentechnik, Numerische Mathematik, Optimierung sowie
Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik umfaßt, wobei der Übungsanteil in diesen
Lehrgebieten beträchtlich erhöht wurde; die Verlängerung des Betriebspraktikums im
3. Studienjahr auf 12 Wochen; die Einführung einer Jahresarbeit im 4. Studienjahr
mit der Möglichkeit der weiteren selbständigen Bearbeitung eines Themas, oft im
Anschluß an die Praktikumsarbeit; das im Studienplan ausgewiesene mathematische
Seminar durchgehend vom 3. bis zum 10. Semester; die Ausbildung in
nichtmathematischen bzw. nicht zur Fachrichtung gehörenden Disziplinen (Physik, Nebenfach
und andere) zur Entwicklung der Kommunikationsfähigkeit und einer breiten
Allgemeinbildung sowie als Grundlage für die Befähigung zur mathematischen
Modellierung praktischer Probleme; die Einführung einer zusammenfassenden
geschichtlichen Darstellung der Entwicklung der Mathematik. Diese hier genannten, den
neuen Studienplan kennzeichnenden Ausbildungsteile schaffen gute Voraussetzungen
für das Erreichen einer hohen Disponibilität der Absolventen, die ja in sehr
unterschiedlichen Bereichen der Volkswirtschaft zum Einsatz kommen, und geben viele
Anregungen zur eigenen schöpferischen Arbeit der Studenten. Gerade auf diesen
Aspekt legen die Angehörigen des Lehrkörpers der Sektion in ihrer Erziehungs- und
Bildungsarbeit großen Wert und bieten dafür den Studenten viele Möglichkeiten,
von denen an anderer Stelle noch die Rede sein wird.
In diesem Zusammenhang sei auch auf die vielfältigen Bemühungen der
Hochschullehrer der Sektion verwiesen, das für eine Universität charakteristische Wechselspiel
von Forschung und Lehre, das die Basis für die erfolgreiche Heranbildung der
wissenschaftlichen Nachwuchskräfte darstellt, auch für die Ausbildung der Studenten stärker
zu nutzen. So sind in den letzten Jahren eine ganze Reihe von Vorlesungen für die
Mathematikstudenten der höheren Studienjahre von Hochschullehrern ausgearbeitet
worden, in denen sie ihre eigenen Forschungsergebnisse vorstellen, wodurch es den
Studenten möglich wird, den Vorstoß in mathematisches Neuland mitzuerleben und
anschließend durch Übernahme von Themen daraus für ihre Diplomarbeit selbst
aktiv daran teilzunehmen. So wird in der Vorlesung ,,Partielle
Differentialgleichungen" von Prof. Beckert die moderne Theorie elliptischer Systeme dargestellt, die in
den letzten Jahren entstand und eine große Bedeutung für die Anwendung besitzt.
In dieser Vorlesung werden auch die für die Praxis wichtige Theorie der Thermo-
spannungen mit unstetigen Materialkonstanten sowie eine von Prof. Beckert
entwickelte Methode behandelt, die es erlaubt, auf numerische Weise elliptische Rand-

300 Teil IV
Wertprobleme zu lösen. Ähnlichen Charakter haben die Vorlesungen ,,Nichtlineare
Funktionalanalysis", „Riemannsche Geometrie", „Relativitätstheorie", „Konvexe
Optimierung", „Dynamische Optimierung", „Angewandte Logik" und andere.
Für ein erfolgreiches und modernes Mathematikstudium ist die weitere Gestaltung
von Ausbildungsbestandteilen wichtig, die auf hohem Niveau und verbunden mit
wesentlichen Bildungseffekten auf die Erfordernisse und Probleme des
Praxiseinsatzes von Mathematikern orientieren. Auch in dieser Hinsicht ist der präzisierte
Studienplan eine geeignete Grundlage. Eine besondere Rolle spielt dabei das zwölf-
wöchige Betriebspraktikum. Diesem Ausbildungsabschnitt wird von den Leipziger
Mathematikern schon seit Jahrzehnten große Aufmerksamkeit geschenkt. Prof.
Dr. Focke hat sich bei seiner Einführung 1954 und der Durchführung in den Jahren
danach große Verdienste für eine sinnvolle Gestaltung erworben. Seit 1966 wird die
Vorbereitung, Durchführung und Auswertung des Praktikums von Doz. Dr. Dewess
mit viel Umsicht und hohem Einsatz geleitet. Allein von 1969 bis 1978 haben 1052
Mathematikstudenten der Sektion in 130 Bereichen insgesamt 715 Themen bearbeitet.
In zahlreichen Fällen ergab sich dabei ein meßbarer Nutzen für den Betrieb, fast
immer aber ein Zuwachs an Wissen und Erfahrung für die Studenten. Die Themen
sind in der Regel den Plänen für Wissenschaft und Technik der Betriebe entnommen.
Bei der weitgehend selbständigen Lösung der ihnen übertragenen Aufgaben werden
die Studenten von Wissenschaftlern der Sektion und Angehörigen der Betriebe
angeleitet. In den letzten Jahren erfolgte die Themenvergabe in wachsendem Maße im
Rahmen der vertraglichen Praxisbeziehungen der Sektion. Oft wird die im
Betriebspraktikum von den Studenten begonnene Arbeit in der Jahres- und in der
Diplomarbeit erfolgreich fortgesetzt. Diese längerfristige Beschäftigung mit einem Thema
ist eine geeignete Form der selbständigen und schöpferischen Arbeit der
Mathematikstudenten und hat sich an der Sektion in den letzten Jahren bewährt.
Der Ausbildung von Lehrern für den Mathematikunterricht in der Schule wurde von
den Mathematikern der Leipziger Universität stets größte Aufmerksamkeit geschenkt.
Erinnert sei hier an das beispielhafte Wirken Felix Kleins, des Gründers des
Leipziger Mathematischen Seminars, und vieler anderer. Besonders aber in den letzten
30 Jahren, als in der DDR das einheitliche sozialistische Bildungssystem auf- und
ausgebaut wurde, bemühten sich die Angehörigen des Lehrkörpers des
Mathematischen Instituts und später der Sektion Mathematik um gute Ergebnisse in der
Ausbildung von Mathematiklehrern, die den hohen Anforderungen, die die
Bildungsund Erziehungsarbeit in der sozialistischen Schule stellt, gerecht werden. Sind es
doch die Mathematiklehrer in den allgemeinbildenden polytechnischen Oberschulen,
die durch die Vermittlung mathematischer Grundkenntnisse an alle Schülerinnen
und Schüler bei vielen von ihnen das Interesse an der Beschäftigung mit der
Mathematik und damit auch an der Ergreifung eines für den wissenschaftlich-technischen
Fortschritt wichtigen Berufes wecken, die die mathematischen Talente entdecken
und fördern und auf diese Weise bei der Sicherung des wissenschaftlichen
Nachwuchses in der Mathematik und in anderen Disziplinen mithelfen.
Die Ausbildung von Mathematiklehrern war in den letzten Jahrzehnten, wie bereits
erwähnt, manchen Veränderungen unterworfen. Seit 1969 wird den Absolventen
dieser Studienrichtung der akademische Grad „Diplomlehrer für Mathematik/Physik"
verliehen; Wissenschaftler des Mathematischen Instituts hatten sich dafür schon in
den fünfziger Jahren eingesetzt.

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 301
Der 1975 in Kraft gesetzte präzisierte Studienplan für Lehrerstudenten1) umreißt
klar die Erziehungs- und Bildungsziele sowie den Inhalt der einzelnen Lehrgebiete.
Die Bemühungen bei der Gestaltung der Ausbildung in dem durch den Plan
vorgegebenen Rahmen sind vor allem auf eine optimale Koordinierung der Vielzahl der
Studienfächer gerichtet, um dadurch gewisse Konzentrationsphasen im
Studienablauf zu schaffen. So wurden in Auswertung der vielfältigen Erfahrungen der
Hochschullehrer und wissenschaftlichen Mitarbeiter der Sektion bei der Ausbildung von
Mathematiklehrern die im Plan in den beiden ersten Studienjahren vorgesehenen
mathematischen Lehrgebiete zu Kursen und Übungspraktika zusammengefaßt,
wodurch einerseits dieser Studienabschnitt übersichtlicher wurde und sich andererseits
für die inhaltlich-methodische Gestaltung neue Aspekte ergaben. So gelang es bei
der Konzipierung dieser Kurse, sowohl die tragenden Ideen der einzelnen
mathematischen Disziplinen als auch die Bezüge zur Schulmathematik deutlicher zu machen.
Auf die Aneignung der mathematischen Denkweise, das sichere Beherrschen gewisser
festumrissener Stoffgebiete und die Kenntnis wesentlicher Zusammenhänge wird
dabei in den Vorlesungen, Übungen und Prüfungen besonderer Wert gelegt. Auch
für den Zeitraum vom 5. bis 7. Semester (im 8. Semester findet das große
Schulpraktikum statt) wurde ein von ähnlichen Gesichtspunkten ausgehender Plan für die
mathematische Ausbildung entworfen, vom Rat der Sektion bestätigt und erfolgreich
praktiziert; die darin vorgesehenen obligatorischen Lehrveranstaltungen sichern
eine fundierte mathematische Allgemeinbildung, während der wahlweise-obligatori-
sche Teil der Vertiefung in einem ausgewählten Gebiet und der Vorbereitung auf die
Diplomarbeit dient.
Für die Erlangung der Fähigkeit, einen wissenschaftlich fundierten Unterricht in
den gewählten Fächern zu erteilen, ist die Ausbildung der Lehrerstudenten in den
pädagogischen, psychologischen und methodischen Disziplinen von gleichrangiger
Bedeutung. Die enge Verbindung zur Schulpraxis ist kennzeichnend für das gesamte
Ausbildungsprogramm, und zwar für alle daran beteiligten Disziplinen. Besonders
das Ferienlagerpraktikum, die schulpraktischen Übungen, das
pädagogisch-psychologische Praktikum und vor allem das einsemestrige große Schulpraktikum bieten
viele Möglichkeiten, die Lehrerstudenten auf ihren verantwortungsvollen Beruf
vorzubereiten. Die Wissenschaftler des nach der Sektionsgründung 1969 gebildeten
Forschungskollektivs „Methodik des Mathematikunterrichts", die alle reiche
Erfahrungen im Mathematikunterricht der Oberschulen besitzen, widmen sich mit großem
Engagement der Bildung und Erziehung der künftigen Mathematiklehrer und tragen
die Verantwortung für deren mathematik-methodische und schulpraktische
Ausbildung.
Als rnne Aufgabe von grundlegender Bedeutung betrachten die Angehörigen des
Lehrkörpers der Sektion die weitere Ausprägung des Studiums als eine für die
Studenten aktive und produktive Phase. Es geht dabei nicht nur um die besondere
Förderung von durch ihre Leistungen herausragenden Studenten, sondern auch
darum, im Rahmen des Ausbildungsprogramms alle Möglichkeiten für eine
produktive Betätigung der Studenten auszuschöpfen. Neben den im Studienplan
vorgesehenen Aktivitäten (Betriebspraktikum, Jahres- und Diplomarbeit) hat sich besonders
die Mitarbeit der Studenten in den Jugendobjekten der FDJ-Grundorganisation der
*) Vgl. [7].^

302 Teil IV
Sektion1) als geeignete Form der selbständigen wissenschaftlichen Arbeit erwiesen.
Das Jugendobjekt „Mathematik und Praxis" ist schon über die Grenzen der Sektion
hinaus bekannt geworden. Von 1974 bis 1979 wurden innerhalb dieser
Aufgabenstellungen von den Studenten der Sektion 89 Arbeiten mit zum Teil erheblichem
Nutzeffekt geschrieben; hohe Anerkennung fand diese produktive Tätigkeit der
Studenten durch die Verleihung des „Ehrenpreises des Ministers für das Hoch- und
Fachschulwesen für hervorragende wissenschaftliche Leistungen" im Jahre 1975.
Das Jugendobjekt „Studienvorbereitung", das 1973 übergeben wurde, setzt eine
langjährige Tradition der FDJ-Grundorganisation der Mathematikstudenten fort; es
geht dabei vor allem um die Unterstützung bei der fachlichen Vorbereitung auf das
Studium und bei der Überwindung von Schwierigkeiten beim Übergang von der
Oberschule zur Universität. Aufgaben für die Lehrerstudenten der Sektion beinhaltet
das Jugendobjekt „Lehrerstudenten arbeiten mit Schülern". Es ist eine dem
Lehrerstudium angepaßte Form der selbständigen studentischen Arbeit in enger Verbindung
zum späteren Berufseinsatz.
Auch der seit 1977 jährlich an der Sektion stattfindende Studentenwettstreit dient
der Förderung der selbständigen wissenschaftlichen Arbeit der Studenten. Dabei
werden zu Ehren bedeutender Mathematiker und Naturwissenschaftler jeweils zwei
Preisaufgaben von verschiedenem Schwierigkeitsgrad gestellt. Eine Gruppe von
Professoren arbeitet die Aufgaben aus und fungiert als Jury. Die Preisträger stellen dann
ihre Lösungen auf einer Studentenkonferenz vor. Im Jahre 1977 fand aus Anlaß des
200. Geburtstages von C. F. Gauss dieser Wettstreit als „Gauß-Wettstreit" statt,
1978 aus Anlaß des 100. Geburtstages von Leon Lichtenstein als „Lichtenstein-
Wettbewerb", 1979 aus Anlaß des 100. Geburtstages von Albert Einstein als
„Einstein-Wettbewerb" und 1980 aus Anlaß des 350. Todestages von Johannes
Kepler als „Kepler-Wettbewerb".
Seit der Sektionsgründung gibt es im Hinblick auf eine planmäßige allseitige
Förderung der besten Studenten, die von entscheidender Bedeutung für die
Heranbildung des wissenschaftlichen Nachwuchses ist, eine ganze Reihe von Aktivitäten
der Hochschullehrer und der gesellschaftlichen Organisationen an der Sektion.
Bewährt hat sich dabei hinsichtlich eines möglichst frühzeitigen Beginns der
Förderung die Übernahme der Haupt Vorlesungen im 1. Studienjahr durch die erfahrensten
Hochschullehrer der Sektion. Am Ende des 1. Semesters sind dann im allgemeinen
die besten Studenten dem Lehrkollektiv bekannt, und ab 2. Semester nehmen sie an
einem besonderen Seminar, dem sogenannten Oberseminar teil, wo in einem
ausgewählten Gebiet unter der Betreuung eines Hochschullehrers der Stoff vertieft wird.
Die Anforderungen an die selbständige Arbeit der Studenten liegen dabei weit höher
als in den im Studienplan vorgesehenen Übungsseminaren. Vom 3. Studienjahr an
erfolgt dann in der Regel eine individuelle Betreuung der Studenten durch einen
Hochschullehrer und möglichst frühzeitig ihre aktive Einbeziehung in die Arbeit eines
Forschungskollektivs.
Diese Mitarbeit ist gleichzeitig eine gute Vorbereitung für ein Forschungsstudium
an der Sektion, das eine besonders intensive Form der Bestenförderung darstellt.
Es führt planmäßig nach drei Jahren zur Promotion zum Dr. rer. nat. Die Aufnahme
x) Im Rahmen eines Jugendobjektes übergibt die Sektionsleitung Aufgaben aus den
Forschungsplänen oder andere Planaufgaben den Studenten zur Lösung in eigener Verantwortung.

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 303
als Forschungsstudent bedeutet eine Anerkennung für herausragende fachliche
Leistungen und beispielhafte gesellschaftliche Arbeit während des Studiums.
Von 1969 bis 1979 haben 26 Studenten und 12 Studentinnen ein Forschungsstudium
an der Sektion absolviert; 24 von ihnen arbeiten heute an der Sektion, von denen 4
bereits den akademischen Grad Dr. sc. nat. erworben haben und zu
Hochschuldozenten berufen wurden: Konrad Schmüdgen, Erich Miersemann, Werner
Timmermann und Johannes Maul.
Entscheidenden Einfluß auf die Persönlichkeitsentwicklung der Studenten mit
guten und sehr guten Leistungen, auf die Ausprägung solcher Eigenschaften, wie
Liebe zur Wissenschaft und Drang zur Erzielung neuer Resultate, übt die an der
Sektion und in den Studenten- und Forschungskollektiven herrschende Atmosphäre
aus, ebenso die Vielfalt des wissenschaftlichen Lebens und die sich dabei bietenden
Möglichkeiten der aktiven Mitarbeit. Auch die an der Sektion vergebenen
Auszeichnungen für herausragende Leistungen im Studium sind bewährte Formen der
Förderung und der Anregung zur selbständigen wissenschaftlichen Arbeit. So wird jedes
Jahr das Prädikat,,Beste Diplomarbeit der Fachrichtung" und ,,Beste Diplomarbeit
der Sektion" verliehen. Eine sehr hoch einzuschätzende Auszeichnung für einen
Studenten der Sektion Mathematik ist die Verleihung des Titels ,,Beststudent der
Sektion Mathematik", die von 1969 bis 1979 20mal — und zwar jeweils in einer
Sektionsvollversammlung — vorgenommen wurde.
Diese Sektionsvollversammlungen sind Höhepunkte im Leben der Sektion. Auf
ihnen wird Rechenschaft gegeben über die geleistete Arbeit, werden Grundfragen
der Entwicklung der Sektion zur Diskussion gestellt, besondere Ereignisse im
gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Leben gewürdigt sowie Auszeichnungen an
Sektionsangehörige überreicht. Einen besonders festlichen Charakter trug die
Veranstaltung zum 10. Jahrestag der Gründung der Sektion Mathematik am 31. Januar
1979, an der zahlreiche Gäste teilnahmen. Auf ihr wurde eine stolze Bilanz der Arbeit
in Lehre, Erziehung und Forschung an der Sektion während der ersten zehn Jahre
ihres Bestehens gezogen.1)
Wie bereits angekündigt, soll nun zum Abschluß dieses Kapitels über die
Ergebnisse der mathematischen Forschung an der Universität Leipzig seit ihrer
demokratischen Neueröffnung im Jahre 1946 berichtet werden. Ein solcher Bericht über eine
mehr als dreißigjährige intensive Forschungsarbeit kann deren Hauptkonturen in
dem vorgegebenen Rahmen nur in skizzenhaften Zügen nachzeichnen.2)
Die Forschungsarbeiten am Mathematischen Institut Ende der vierziger und
während der fünfziger Jahre betrafen im Bereich der Analysis überwiegend die Gebiete
Differentialgleichungen und Variationsrechnung und hieraus ableitbare
Anwendungen im Sinne der Leipziger Lichtenstein-Hölderschen Forschungstraditionen. Sie
tendierten dabei nach verschiedenen Richtungen, wie Hydrodynamik, Gasdynamik
und Elastizitätstheorie (E. Holder, H. Beckert), Analytische Bildfehlertheorie und
Geometrische Optik (J. Focke), Wellenausbreitung in Riemannschen Räumen und
Huygenssches Prinzip (P. Günther) und Variationsrechnung (H. Beckert, R.
Klötzler).
i) Vgl. [13].
2) Seit 1971 sind die Resultate der Forschung in ausführlicher Darstellung in dem am Ende
jedes Jahres verfaßten ,,Forschungsbericht der Sektion" festgehalten.

304 Teil IV
Die Leipziger algebraische Forschungstradition wurde während dieser Zeit durch
E. Kahler vor allem auf dem Gebiet der Algebraischen Geometrie weitergeführt.
Das Wirken von E. Holder und E. Kahler in Leipzig und ihre wissenschaftlichen
Arbeiten wurden in Teil III in gesonderten Beiträgen gewürdigt.
Die Forschungstätigkeit in den sechziger Jahren erstreckte sich im wesentlichen
auf die oben genannten Gebiete. Ihre Ergebnisse sind in den nachfolgenden
Einzeldarstellungen enthalten. Von entscheidendem Einfluß auf die Entwicklung der
Forschung am Mathematischen Institut und später an der Sektion Mathematik auf
dem Gebiet der Analysis war die Bildung des Schülerkreises von H. Beckert in dieser
Zeit, der heute nach zwei Jahrzehnten außerordentlich produktiver
wissenschaftlicher Arbeit eine anerkannte mathematische Schule verkörpert.
Die nach der Sektionsgründung 1969 gebildeten, aufgabenorientierten
Forschungskollektive, die auf den Seiten 291—292 bereits kurz vorgestellt wurden, sind seitdem
die Träger der mathematischen Forschung an der Sektion, die sich auf folgende
Gebiete — vertreten durch die jeweils genannten Hochschullehrer — erstreckt:
Analysis
— Operatorengleichungen der Mathematischen Physik, Elastizitätstheorie und freie
Strahlprobleme, Variationsrechnung: H. Beckert, E. Zeidler, H. Hilbig, R.
Hofmann, J. Maul, E. Miersemann
— Globale Analysis: P. Günther, V. Wünsch
— Operatorenalgebren der Mathematischen Physik: G. Lassner, K. Schmüdgen,
W. Timmermann
Mathematische Optimierung:
J. Focke, R. Klötzler, G. Dewess
Stochastik:
H.-J. Rossberg, H.-J. Girlich
Mathematische Grundlagen der Informationsverarbeitung:
K.-H. Bachmann, H. Rohleder, G. Grosche, S. Gerber, K.-U. Jahn
Algebraische Geometrie:
G. Eisenreich, H. Schumann
Methodik des Mathematikunterrichts:
H. Bock
Aus der Sicht der Forschungskollektive sollen nun die wesentlichen Ergebnisse der
Forschungsarbeit auf diesen Gebieten vorgestellt werden:

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 305
Operatorengleichungen der mathematischen Physik
Unter den in diesen Bericht fallenden Forschungsarbeiten der fünfziger Jahre sei
zunächst auf die Untersuchungen über quasilineare hyperbolische Systeme mit
beliebig vielen gesuchten Funktionen verwiesen, in denen mit Hilfe des
Differenzenverfahrens von Lewy-Friedrichs erstmals konstruktive Existenz- und Unitäts-
beweise für das Anfangswertproblem, das charakteristische Problem und das
allgemeine gemischte Anfangs-Randwertproblem aufgestellt wurden (H. Beckert 1951).
Abb. 44. NPT Prof. Dr. Herbert Beckert
Die Lösung dieser für die Gasdynamik im Überschallbereich und die Gleittheorie
sandartiger Medien wichtigen Probleme führte wenig später zur strengen
mathematischen Beschreibung der stetigen Verbiegung von Flächenstücken negativer
Krümmung und auf Hinweise für die Starrheit solcher Flächenstücke, welche durch
das topologische Verhalten der Asymptotenlinien im Großen verursacht werden
(H. Beckert 1952).
In einer größeren Reihe von Arbeiten von H. Beckert (Abb. 44) wurden im
Anschluß hieran sehr allgemeine Randwertprobleme zu linearen elliptischen Systemen
erster Ordnung für n gesuchte Funktionen auf die Lösungstheorie stark singulärer
Integralgleichungen zurückgeführt. Weiter konnten für die Lösungen dieser Systeme
die Schauderschen und Nirenbergschen Abschätzungen hergeleitet und weitreichende
Regularitätssätze aufgestellt werden (H. Beckert 1953/56). Diese Untersuchungen
führten weiter auf interessante Kerndarstellungen einer Funktion durch ihre
partiellen Ableitungen und auf eine Verschärfung des Haarschen Lemmas und dessen
Umkehr durch J. Schauder.
Eine in diesem Rahmen aufgestellte lokale Existenztheorie allgemeiner quasi-

306 Teil IV
linearer elliptischer Systeme erster Ordnung lieferte unter anderem den analytischen
Apparat, um die stetige Verbiegung elliptischer Flächenstücke zu beschreiben und die
Liebmannsche Vermutung (Verbiegbarkeit gelöcherter Eiflachen) zu beweisen
(H. Beckert 1954).
Eine Reihe interessanter Ergebnisse ergeben sich in einer Arbeit von H. Beckert
aus dem Jahre 1960, in welcher am Beispiel der ersten Randwertaufgabe linearer
elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung und der Plattengleichung
gezeigt wurde, daß man die Lösungen im Gebietsinneren in der L2-Norm bzw. C*-Norm
von einem beliebig kleinen Randstück aus regulieren kann. Am Beispiel der Platte
wurde so nachgewiesen, daß man beliebig vorgegebene zulässige
SpannungsVerteilungen über einem Innengebiet der Platte allein durch geeignete Steuerung der
Randkräfte entlang eines beliebig kleinen Randfensters beliebig genau approximieren
kann. In der Dissertation von A. Göpfert (1962) wurden diese Resultate unter
anderem auf die klassischen Randwertaufgaben der linearen Elastizitätstheorie
übertragen, ebenso gelang dies sinngerecht für Anfangs-Randwertprobleme linearer
parabolischer Differentialgleichungen (A. Göpfert 1969). Diese Approximationssätze
erlauben unter anderem die Übertragung einer Näherungstheorie für die Lösungen
der Randwertaufgaben der ebenen Potentialtheorie über kreisähnlichen Gebieten
von E. Trefftz auf beliebige lineare elliptische Randwertaufgaben über dem Rn,
n J> 2 (H. Beckert, Chr. Brodel 1979).
G. Berger untersuchte die asymptotische Eigen wert Verteilung singulärer
elliptischer Differentialoperatoren (1973) und erhielt interessante Restgliedabschätzungen
für die Eigenwertverteilung des allgemeinen Legendreschen Differentialoperators
bei Dirichletschen Randbedingungen (1977).
Zur Lösungstheorie stark elliptischer Systeme über dem Gesamtraum leitete
H. Beckert (1971) die Gärdingsche Ungleichung über Hnu2{Rn) her und konstruierte
in einer weiteren Untersuchung (1975) den Greenschen Tensor zu allgemeinen linearen
Randwertproblemen im klassischen und erweiterten Sinn für stark elliptische Systeme
2m-ter Ordnung. Dabei wurde die zusätzlich auftretende Singularitätsordnung bei
Annäherung an den Rand mit Hilfe der Einbettungssätze abgeschätzt. Die analog
über endlichdimensionalen Ritz-Räumen konstruierten Tensoren definieren über
die klassische Darstellungsformel die Ritz-Lösung. Dies ist für die numerische
Mathematik von Bedeutung, indem man hier diesen Tensor nur in passend ausgewählten
interessanten Punkten zu berechnen braucht. Wertvolle Untersuchungen über
Anwendungen der beiden Trefftzschen Verfahren in der numerischen Mathematik
wurden unter anderem in den Dissertationen von R. Hofmann (1966) und N. Moussa
(1970) vorgenommen. In weiteren Arbeiten zur numerischen Mathematik leitete
R. Hofmann verschärfte Eigenwertabschätzungen für Matrizenprobleme her (1977)
und untersuchte allgemeine Koordinaten-Relaxationsverfahren zur Berechnung
größter und kleinster Eigenwerte nicht linearer Eigenwertaufgaben (1980).
Im Bereich topologischer Methoden übertrug D. Göhde in seiner durch H. Beckert
angeregten Dissertation den Schauderschen Fixpunktsatz u. a. auf gelöcherte
Bereiche (1960), später (1969) auf nichtlineare Operatoren mit vollstetiger Iterierten.
Er leitete weiter den oft zitierten Fixpunktsatz für nichtexpansive Operatoren her
(1969). E. Zeidler schlug einen durchsichtigen Aufbau für die axiomatische Theorie
des Abbildungsgrades vor (1974). In seiner Dissertation B behandelte D. Göhde
stark singulär gestörte Randwertprobleme für elliptische Differentialoperatoren

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 307
2m-ter Ordnung im Fall unterschiedlicher Störungsordnung in den
Koordinatenrichtungen und leitete die entsprechenden asymptotischen Entwicklungen für die
Lösungen her (1971).
Im Rahmen seiner Untersuchungen über die Ausbeulung von Platten entwickelte
E. Miersemann eine interessante Methode zur Charakterisierung der Einfachheit
eines Eigenwerts (1978).
Angeregt durch H. Beckert, begannen sich eine Reihe von Kollegen in den letzten
Jahren verstärkt mit Problemen der nichtlinearen Funktionalanalysis und ihren
Anwendungen zu beschäftigen. Dabei entstanden durch E. Zeidler (Abb. 45) eine
Monographie über freie Randwertprobleme (1971) und eine hervorragende vierbändige
Abb. 45. Prof. Dr. Eberhard Zeidler
Gesamtdarstellung der nichtlinearen Funktionalanalysis (Teil I: Fixpunktsätze,
Teil II: Monotone Operatoren, Teil III: Variationsaufgaben und Optimierung,
Teil IV: Anwendungen in der Mathematischen Physik). In diese Monographien
flössen die weitreichenden Ergebnisse des Verfassers über Bifurkationstheorie, freie
Randwertaufgaben, Navier-Stokessche Differentialgleichungen, positive Operatoren,
axiomatische Theorie des Abbildungsgrades, Variationsungleichungen, Ljusternik-
Schnirelman-Theorie und numerische Funktionalanalysis ein. R. Schumann bewies
in seiner Dissertation (1980) einen allgemeinen Satz der numerischen
Funktionalanalysis und wendete ihn auf das Differenzen verfahren für quasilineare
Differentialgleichungen 2m-ter Ordnung an. W. Bernd bewies in seiner Dissertation (1980)
die Existenz und Konvergenz von Näherungsverfahren für ein entartetes elliptisches
Problem, das an der Sektion Physik im Zusammenhang mit Molekül-Spektren
entstand, und S. Ackermann behandelte in seiner Dissertation axiomatische Fragen
der Bifurkationstheorie mit Anwendungen auf die Beulung von Platten. V.
Friedrich beschäftigte sich in seiner Dissertation (1980) in Zusammenarbeit mit der
Sektion Chemie mit parabolischen Differentialgleichungen und zugehörigen inversen
Problemen.
In ihrer Dissertation B (1978) und weiteren Arbeiten gaben W. Purkert und J. v.
Scheidt eine präzise Definition schwach korrelierter stochastischer Prozesse und

308 Teil IV
berechneten über die Rellichsche Störungstheorie explizit die asymptotischen
Grenzverteilungen der Eigenwerte und Eigenfunktionen bei selbstadjungierten
Eigenwertproblemen linearer gewöhnlicher Differentialoperatoren 2m-ter Ordnung im Fall
beliebig schwach korrelierter stochastischer Koeffizientenfunktionen. Diese
weitreichende Theorie gestattet vielschichtige Anwendungen in der Quantentheorie und
Kontinuumsmechanik.
Elastizitätstheorie und freie Strahlprobleme
Eine Vertragsforschungsarbeit von L. Jentsch zur Berechnung der Ausmauerung
stählerner Gefäße, die für den Ingenieur brauchbare Berechnungsgrundlagen zur
Projektierung von Zellstoffkochern enthält, bildet den Ausgangspunkt für eine
mathematische Behandlung von Wärmespannungsproblemen in Körpern, die aus
Materialien mit verschiedenen thermoelastischen Konstanten zusammengesetzt sind. In der
Dissertation A von L. Jentsch konnten Existenz- und Eindeutigkeitssätze der Ther-
moelastostatik stückweise homogener Körper mit Integralgleichungs- und
Variationsmethoden bewiesen und Lösungsdarstellungen durch elastostatische Greensche
Tensoren gegeben werden, und zwar explizit für den Hubraum. In der Dissertation
B von L. Jentsch (1969) wurde die potentialtheoretische Methode zur Behandlung
von gekoppelten Randwertproblemen der Elastostatik weiter ausgebaut, die
gekoppelte Grundlösungsmatrix für zwei miteinander verheftete Halbräume mit
unterschiedlichen Lameschen Moduln berechnet und zur expliziten Lösung gewisser
Wärmespannungsprobleme angewandt. Die Untersuchungen von L. Jentsch sind inhaltlich und
methodisch verwandt mit Arbeiten der Schule von Kupradze (Tbilissi). Die jüngsten
Arbeiten von L. Jentsch befassen sich mit thermoelastischen Schwingungen in
stückweise homogenen Körpern.
Im Bereich der ebenen linearen Elastizitätstheorie und Thermospannungstheorie
baute J. Maul mit Hilfe eindimensionaler singulärer Integralgleichungen durch den
Ansatz eines Einfachschichtpotentials eine einheitliche Methode zur Lösung ebener
Kontaktprobleme aus (1973), die weiter auf entsprechende Probleme der
mikropolaren Elastizitätstheorie einschließlich stationärer Schwingungen verallgemeinert
wurde (1978/79). Gleichzeitig wurde von J. Maul eine allgemeine Theorie zur
Behandlung gemischter Randwert-Kontakt-Aufgaben aufgestellt. Explizite Resultate
wurden außerdem für sogenannte Zerreißprobleme der Elastostatik vom Poincare-Typ
erhalten (1978).
Durch H. Beckert wurden die Variationsprobleme zu den drei Randwertaufgaben
der Thermospannungstheorie im allgemeinen Fall inhomogener Einschlüsse bei
Verheftung, Gleitung und Ablösung der Materialien gelöst und Regularitätsbeweise
bei Verheftung und Ablösung längs der Trennfläche sowie bei ebener Gleitung
gegeben (1970). H. Beckert warf weiter das wichtige Problem auf, Stabilität eines
nichtlinearen Systems von einem kleinen Randfenster optimal zu steuern. Er
behandelt dies am Beispiel der Platte (1971). Diese Methode wurde von G. Schmidt
(1976) in seiner Dissertation auf das analoge Problem der Steuerung der Stabilität
von Schalen übertragen. In einer Reihe von Arbeiten stellte H. Beckert für die erste,
zweite und dritte Randwertaufgabe eine neue konstruktive Lösungstheorie für
die nichtlineare Elastizitätstheorie auf (1975, 1976, 1977). Diese geht nur von einem

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 309
im lokalen Sinn eindeutigen analytischen Ausdruck für das elastische Potential aus
und basiert auf dem von E. Trefftz abgeleiteten Ausdruck für die zweite Variation.
Es gelingt, die Deformation sehr allgemeiner, nichtlinearer Strukturen (etwa „fa-
ding memory Modelle") streng zu beschreiben und die genannte Steuerungstheorie
der Stabilität mit in die Theorie einzubauen. Die genannte Theorie ist eine natürliche
Extrapolation der linearen Elastizitätstheorie ins Nichtlineare. Eine allgemeine
Analyse der Stabilitätstheorien bei naturwissenschaftlichen Anwendungen gibt H.
Beckert in der Arbeit „Bemerkungen zur Theorie der Stabilität" (1978).
Viele wichtige hydrodynamische Probleme führen auf nichtlineare
Randwertaufgaben. In den zwanziger und dreißiger Jahren wurden am Leipziger Mathematischen
Institut durch Lichtenstein und seine Schüler im Rahmen der Untersuchung von
Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten mit Hilfe von nichtlinearen
Integralgleichungen bedeutsame Ergebnisse erzielt.
Zu Beginn der sechziger Jahre knüpfte H. Beckert mit einer Reihe von wichtigen
Arbeiten an diese Tradition an und regte zugleich einige seiner Schüler zur
Beschäftigung mit diesem Gegenstand an. Die Untersuchungen konzentrierten sich auf drei
Schwerpunkte: Permanente Wellen (H. Beckert, K. Beyer, H. Hilbig, E. Zeid-
ler), Totwasserprobleme (H. Hilbig), Numerische Behandlung dreidimensionaler
Ausflußprobleme (R.-P. Mühlig).
Ausgangspunkt für den Komplex „Permanente Wellen" bildet eine Arbeit von H.
Beckert aus dem Jahre 1962 über permanente Schwere wellen, in der er — gestützt
auf den Fixpunktsatz von Schauder — für diese Aufgabe eine neuartige Methode
entwickelte. Diese Methode gestattet es ihm, erstmalig topologische Existenzbeweise
für Kapillar-Schwere wellen endlicher und unendlicher Tiefe und für Gezeitenwellen
zu geben. Diese Methode erlaubt es ferner, die Existenz von Kapillar-Schwere wellen
mit welliger Sohle (H. Hilbig) und von Gasblasen in stationären Strömungen sowie
von Wirbel wellen nachzuweisen (K. Beyer). In einer im Akademie-Verlag 1971
erschienenen Monographie (E. Zeidler) konnte für diesen Problemkreis eine
einheitliche Theorie aufgebaut werden, die auch die effektive Berechnung der Lösung
erlaubt. Dabei ergaben sich für eine Reihe weiterer Probleme erstmalig
Existenzbeweise (z. B. cnoidal waves mit Berücksichtigung der Oberflächenspannung,
wirbelhafte cnoidal waves, Kapillar-Schwere wellen mit allgemeiner Wirbel Verteilung,
Kapillar-Schwere wellen in kreisförmigen Kanälen, Kotschin-Wellen unter
Berücksichtigung der Oberflächenspannung). E. Zeidler gab weiter einen durchsichtigen Beweis
des Benard-Problems in der Verzweigungs- und Stabilitätstheorie der Navier-Sto-
kesschen Differentialgleichungen (1972), der die Eindeutigkeit der Lösung mit
einschließt.
Totwasseraufgaben beschäftigen sich mit der Untersuchung der
Strömungsverhältnisse hinter einem Hindernis. H. Hilbig bewies mit Hilfe der Leray-Schauder-
Theorie die Existenz von Totwasserzonen, wenn neben dem Hindernis noch
zusätzlich eine Wand vorhanden ist (1964), und in jüngster Zeit übertrug er diese Theorie
auf die Beschreibung von Tot wassergebieten bei zwei Hindernissen.
Das ebene stationäre Umströmungsmodell der Gasdynamik im Unterschallbereich
wurde in jüngster Zeit durch K. Beyer im Anschluß an Bers und Bojarski auf
einem neuen eleganten Weg gelöst (1974). K. Beyer gelang es ferner, erstmals den
Nachweis für die Existenz permanenter, längs eines Kanals fortschreitender ebener
Wellen eines kompressiblen Mediums zu führen (1976).

310 Teil IV
Variationsrechnung
Aus der von L. Lichtenstein begründeten und von E. Holder weitergeführten
Schule auf dem Gebiet der Variationsrechnung erwuchs in den fünfziger Jahren am
Mathematischen Institut ein Forschungskreis, aus dem viele junge Mathematiker
der DDR und eine große Anzahl von bedeutsamen wissenschaftlichen
Veröffentlichungen hervorgegangen sind. Vor allem die wichtigen Forschungsarbeiten von H.
Beckert und seinen Schülern haben entscheidend dazu beigetragen, daß die Sektion
Mathematik der Karl-Marx-Universität zu einem national und international
geschätzten Forschungs- und Bildungszentrum auf dem Gebiete der Variationsrechnung
und ihrer Anwendung wurde. Eine bedeutende Verstärkung erfuhr dieses
Forschungspotential durch die Berufung von R. Klötzler an die Sektion (1972), der aus dem
obengenannten Forschungskreis hervorging. Im folgenden werden die Ergebnisse der
wichtigsten Arbeitsrichtungen vorgestellt.
Direkte Methoden der Variationsrechnung
Einschlägige Arbeiten zu regulären Variationsproblemen stehen in engem
Zusammenhang mit der Existenztheorie zu Randwertproblemen elliptischer
Differentialgleichungssysteme. Auf der Basis Sobolevscher Räume hat H. Beckert in
zahlreichen Veröffentlichungen eine allgemeine Existenztheorie regulärer
Variationsprobleme zu n gesuchten Funktionen x{(t) und m-fachem Integral I(x) aufgebaut
(1967).
Zunächst wurde das allgemeine quadratische Variationsproblem für n gesuchte
Funktionen bei schwachen Koeffizientenvoraussetzungen nebst besonders einfachen
Regularitätsbeweisen behandelt (H. Beckert 1956), ferner Randwertprobleme zu
Jacobischen quasilinearen Gleichungen bei Wachstumsvoraussetzungen bezüglich
der Eigenwerte. Weiterhin wurden singulare Rand Variationsprobleme mit
parabolischen Randteilen gelöst (1960). Hierbei ergaben sich interessante notwendige und
hinreichende Bedingungen für die Existenz regulärer Lösungen im Übergangsgebiet,
d. h. beim Typuswechsel vom Elliptischen ins Hyperbolische. In anderen
Untersuchungen wurden dann mehrere neue Lösungsmethoden in die allgemeine
Existenztheorie der nichtlinearen Variationsrechnung eingeführt, von denen eine nur die
dritte Jacobische Bedingung benutzt und den Übergang vom Linearen zum
Nichtlinearen bemerkenswert einfach gestaltet (1956). Allgemeine reguläre ebene
Variationsprobleme mit beliebig vielen Funktionen wurden bei festem und völlig freiem
Rand gelöst und Regularitätsbeweise gegeben (1957). Eine weitere neue Methode
enthält einen konstruktiven Existenz-Regularitätsbeweis für eine bisher noch nicht
untersuchte Klasse gemischtfreier Variationsprobleme mit beliebig vielen gesuchten
Funktionen und beliebig hoher Ordnung im En (1966). Das allgemeinste
Variationsproblem beliebig hoher Ordnung und Variablenzahl in nichtparametrischer Form
erscheint hier als singuläres Problem dieser Klasse. Es gelingt so, eine einfache
schwache Lösungstheorie zu entwickeln und nichtlineare Verzweigungen bei nichtlinearen
Eigenwertproblemen global zu studieren (1968). Diese Arbeit bildet zugleich eine
Grundlage weiterführender Untersuchungen über nichtlineare singulare Störungen
bezüglich der Lösungsnorm (H. Beckert 1971), die von D. Sosna (1974) und E.
Miersemann (1975) fortgesetzt wurden. Auf Anregung von H. Beckert entwickelte
E. Miersemann auf Grund dieser Untersuchung eine aussagekräftige Existenz- und

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 311
Verzweigungstheorie zu nichtlinearen Eigenwertproblemen bei
Variationsungleichungen. In seinen ersten Arbeiten (1972—1976) hat E. Miersemann vorrangig
kleinste Eigenwerte studiert und deren Anwendung auf Beulprobleme von gestützten
Platten und Balken. In späteren Arbeiten sind diese Untersuchungen auf höhere
Eigenwerte ausgedehnt worden (E. Miersemann 1978/79). In funktionalanalytischer
Verallgemeinerung unter wesentlicher Anwendung der Theorie der monotonen
Operatoren haben diese Entwicklungen zu einer Erweiterung der Ljusternik-Schnirel-
man-Theorie über nichtlineare Eigenwertprobleme geführt (E. Zeidler 1978).
Die formulierten Resultate für den nichtlinearen Fall sind in einem gewissen Sinn
maximal verglichen mit dem linearen Fall. In seiner Untersuchung
„Variationsrechnung und Stabilitätstheorie" ordnet H. Beckert die Trefftzsche Stabilitätstheorie
in die mehrdimensionale Variationsrechnung beliebig hoher Ordnung mit indefiniter
zweiter Variation ein und diskutiert die Grundlagen einer Fortsetzungstheorie der nicht
mehr eindeutig bestimmten Lösungen des Lagrangeschen Gleichungssystems im
Großen (1976). Die Übertragung direkter Methoden der Variationsrechnung auf
irreguläre Variationsprobleme durch Ausnutzung gewisser Beziehungen zu
zugeordneten quasiregulären Variationsproblemen gelang R. Klötzler 1973. Diese Arbeiten
wurden von Schülern fortgesetzt. Auch der Einsatz der Theorie monotoner
Operatoren auf irreguläre Variationsprobleme hat sich als erfolgreich erwiesen (R.
Klötzler 1977).
Erweiterung der klassischen Methoden der Variationsrechnung und ihrer Feldtheorie
Diese Arbeitsrichtung steht unter der Zielstellung der Vervollkommnung der
klassischen Theorien der Variationsrechnung auf Lagrange-Probleme, mehrfache
Integrale und letztlich allgemeine Steuerungsprobleme. Im Vordergrund steht dabei neben
Existenzfragen der Gesichtspunkt der Schaffung praktikabler notwendiger und
hinreichender Optimalitätskriterien. In Verallgemeinerung diesbezüglicher
Untersuchungen von L. Lichtenstein hat vor allem E. Holder entscheidenden Anteil am
Aufbau allgemeiner Eigenwertkriterien zur schwachen Optimalität von Extremalen
regulärer Variationsprobleme. Für Variationsprobleme beliebig hoher Ordnung und
mehrfachem Integral wurden ähnliche Kriterien von R. Klötzler (1958) entwickelt.
Mit ihnen und der Grundidee des geodätischen Feldes von C. Caratheodory
wurden durch R. Klötzler (1960) und Schüler (K. Beckert 1971, D. Schmidt 1971)
Konstruktionsprinzipien und Kriterien für die Existenztheorie geodätischer Felder
im Großen entwickelt, aus denen unmittelbar Optimalitätskriterien für starke und
globale Extrema resultieren. Für reguläre Variationsprobleme mehrfacher Integrale
haben diese wichtigen Untersuchungen in einem Lehrbuch „Mehrdimensionale
Variationsrechnung" (R. Klötzler 1969) ihren Niederschlag gefunden. Die Übertragung
dieser Ideen auf Steuerungsprobleme zu einfachem und mehrfachem Integral gelang
R. Klötzler 1976. Sie zeigt zugleich neue Zugänge zum Pontrjaginschen
Maximumprinzip bei mehrfachen Integralen auf. Mit dieser Theorie hat D. Schmidt 1977 neue
Kriterien aufbauen können, unter denen das Pontrjaginsche Maximumprinzip
zugleich ein hinreichendes Optimalitätskriterium ist. Letztlich hat sich gezeigt (R.
Klötzler 1976), daß diese allgemeine Feldtheorie eingebettet werden kann in eine
verallgemeinerte Dualitätstheorie bei Steuerungsproblemen. Aus dieser Erkenntnis
ergeben sich neue Berechnungsgrundlagen für optimale Steuerungen (R. Klötzler
1979).

312 Teil IV
Bildfehlertheorie
Auf der Grundlage der Variationsprinzipien der geometrischen Optik und angeregt
durch die Arbeiten von Caratheodory und Herzberger und die Vorlesungen von
E. Holder über geometrische Optik entstanden in den Jahren von 1951 bis 1960
eine Reihe von Arbeiten zur Bildfehlertheorie in geometrisch-optischer wie auch
wellenoptischer Behandlung. Dabei wurde die klassische Seideische Theorie der Bildfehler
dritter Ordnung auf die fünfter Ordnung hinsichtlich Objektivöffnung und
Bildfeld erweitert (J. Focke 1951) und für den Öffnungs- und Komafehler auch
Vorrechnungsformeln höherer Ordnung für optische Systeme aufgestellt (J. Focke 1953).
Diese Resultate haben unter anderem in der japanischen industriellen Optik starke
Beachtung gefunden und sind dort später in verschiedenen Arbeiten weiterentwickelt
worden.
Nach Ausarbeitung der Methode der stationären Phase zur asymptotischen
Entwicklung von Gebietsintegralen (J. Focke 1954) konnten auch die beugungsoptischen
Effekte der Bildfelder untersucht werden (J. Focke 1956/58). Durch die Benutzung
der asymptotischen Entwicklung ergab sich dabei eine auch praktisch sehr interessante
Zerlegung dieser Effekte in geometrisch-optische und wellen-optische Anteile. Die
ausführlich durchgerechneten Beispiele zeigten eine sehr gute Übereinstimmung mit
den im VEB Carl Zeiss Jena durchgeführten Experimenten. Einen gewissen Abschluß
haben diese Untersuchungen zur Bildfeldtheorie in einer Arbeit in ,,Progress in
Optics" (J. Focke 1965) erfahren, in welcher durch Einführung einer mittleren
Eikonalfunktion die verschiedenen Theorien von Schwarzschild, Herzberger und
Smith in Zusammenhang gebracht werden konnten.
Globale Analysis
In diesen Forschungskomplex, der eng mit der Theorie partieller
Differentialgleichungen verbunden ist, aber zusätzlich die Anwendung differentialgeometrischer
Methoden erfordert, gehört die Fortsetzung der Untersuchungen von Hadamard
über die Gültigkeit des Huygensschen Prinzips im engeren Sinne bei hyperbolischen
Differentialgleichungssystemen.
Durch invariante Reihenentwicklungen der Hadamard-Koeffizienten der nicht
auf dem charakteristischen Konoid lokalisierten Anteile der Grundlösungen wurden
im physikalisch wichtigen Fall n = 4 notwendige Bedingungen für die Gültigkeit
des Huygensschen Prinzips bei einer Reihe konforminvarianter
Differentialgleichungen in einer gekrümmten Raum-Zeit, wie der skalaren Wellengleichung (P. Günther
1952, V. Wünsch 1969), den Maxwellschen Gleichungen (P. Günther 1965, V.
Wünsch 1976), der Weyl-Gleichung (V. Wünsch 1976) und bei hyperbolischen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung für allgemeine Felder (R. Schimming
1977), hergeleitet, aus denen sich interessante Folgerungen ziehen lassen. Hierzu seien
erwähnt: Im Fall eines statischen Gravitationsfeldes zeigte P. Günther (Abb. 46)
unter Annahme von topologischen Zusatzbedingungen, wie Kompaktheit oder Eukli-
dizität im Unendlichen, für den zugrunde liegenden dreidimensionalen Raum F3,
daß das Huygenssche Prinzip genau dann gilt, wenn der F3 konstante Krümmung
K besitzt. Beim Studium der Lösungen im Großen zeigt sich, daß im Fall K > 0
jedes Anfangswertproblem zu einer zeitlich periodischen Lösung führt, dagegen im

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 313
Fall K < 0 Rückkehreffekte der Huygensschen Wellenfronten auftreten (P.
Günther 1966). Auch für einige weitere in der Physik wichtige Klassen von Raum-Zeiten
konnte das Hadamardsche Problem der Bestimmung aller Metriken, für die das Huy-
genssche Prinzip gilt, gelöst werden. So wurde von P. Günther und V. Wünsch
das Resultat von McLenaghan, daß im Fall E^ = 0 die Metriken ebener
Gravitationswellen („plane wave"-Metriken) die einzigen Metriken sind, für die bei der ska-
laren Wellenausbreitung das Huygenssche Prinzip gilt, auf die Maxwellschen
Gleichungen übertragen (1972). Unter den konform-rekurrenten, den (2x2)-zerlegbaren,
den zentralsymmetrischen Metriken und den Metriken mit V fi^ = 0 gibt es nur
die konformflachen und die „plane-wave"-Metriken, für die die skalare Wellenglei-
Abb. 46. Prof. Dr. Paul Günther
chung, die Maxwellschen Gleichungen und die Weyl-Gleichung huygenssch sind
(V. Wünsch 1976). Des weiteren konnten alle selbstadjungierten huygensschen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung für beliebige nichtskalare Spintensorfelder
bestimmt werden (V. Wünsch 1979).
Die „plane wave "-Metriken sind gerade die von P. Günther (1965) gefundenen
Gegenbeispiele zur Hadamardschen Vermutung, daß nämlich alle huygensschen ska-
laren Gleichungen trivial seien, d. h., sich durch Koordinaten-, Eich- und konforme
Transformationen auf die gewöhnliche Wellengleichung transformieren lassen. Für
diese Metriken gilt auch bei den Maxwellschen Gleichungen (R. Schimming 1970)
und der Weyl-Gleichung (V. Wünsch 1976) das Huygenssche Prinzip. Die „plane
wave "-Metriken sind bei diesen Gleichungen die einzigen bisher bekannten
nichttrivialen huygensschen Metriken. Dagegen gab R. Schimming für hyperbolische Systeme
zweiter Ordnung weitere nichttriviale Beispiele huygensscher Gleichungen an (1976).
Es liegt nahe, einer in der allgemeinen Relativitätstheorie üblichen Methode
folgend, Raum-Zeiten zu betrachten, deren Fundamentaltensor g^ nach einem kleinen
Parameter e entwickelt wird, und die Wellenausbreitung nur bis zu einer bestimmten
Ordnung bezüglich e zu studieren. Geht man dabei etwa für e = 0 von einer Minkowski-
Metrik und der gewöhnlichen Wellengleichung bzw. den klassischen Maxwellschen

314 Teil IV
Gleichungen aus, so läßt sich die Frage nach der Gültigkeit des Huygensschen
Prinzips in erster Ordnung vollständig behandeln (P. Günther 1965). Der skalare Fall
wurde von V. Wünsch (1969) auch in zweiter Ordnung behandelt.
Darüber hinaus ist für n = 4 das Cauchy-Problem und die Frage nach dem
Abhängigkeitsgebiet auch für einige Klassen spinorieller Feldgleichungen erster Ordnung,
die z. B. die in der allgemein-relativistischen Feldtheorie wichtigen Dirac- und
Proca-Gleichungen als Spezialfälle enthalten, behandelt und das Problem der
Bestimmung aller huygensschen Metriken im Fall der Dirac- und Proca-Gleichungen
vollständig gelöst worden: Für diese Gleichungen gilt genau dann das Huygenssche
Prinzip, wenn die Raum-Zeit konstante, durch die Teilchenmasse festgelegte Krümmung
besitzt (V. Wünsch 1976).
Bei den Untersuchungen zum Huygensschen Prinzip gibt es interessante
Querverbindungen zur lokalen und globalen Differentialgeometrie. So führen die von V.
Wünsch (1975) hergeleiteten vollständigen Systeme konforminvarianter Tensoren
bei der Herleitung notwendiger Bedingungen für die Gültigkeit des Huygensschen
Prinzips im Fall konforminvarianter Differentialgleichungen zu wesentlichen
Vereinfachungen. Ferner wurde durch Modifikation des Newman-Penrose-Formalismus
eine Methode zur Auswertung von Spintensorgleichungen entwickelt, mit deren Hilfe
sich z. B. die ,,plane wave"-Metriken allein durch Relationen zwischen den
koVarianten Ableitungen des Krümmungstensors charakterisieren lassen (V. Wünsch 1979).
Eine wichtige Rolle bei den Fragen des Huygensschen Prinzips spielen die
sogenannten Bachschen Feldgleichungen als notwendige Bedingungen. Für das zugehörige
Cauchysche Anfangswertproblem, bei dem die Gravitationspotentiale und der Ricci-
Tensor sowie deren erste Ableitungen auf einer raumartigen Anfangsfläche
vorgegeben sind, konnten Existenz- und Eindeutigkeitssätze bewiesen werden; auch die
Charakteristikentheorie und die Transportgleichungen für die Sprunggrößen der
Lösungen lassen sich aufstellen (P. Günther 1973, R. Schimming 1979). B. Fiedler
bestimmte alle (2x2)-zerlegbaren und zentralsymmetrischen Lösungen der
Bachschen Feldgleichungen und verheftete diese zu globalen Lösungen (1978).
Die oben erwähnten Hadamard-Koeffizienten haben im letzten Jahrzehnt eine große
Bedeutung erlangt für die rein analytischen Beweise grundlegender Integralsätze der
globalen Analysis. Sind E, F Vektorbündel mit hermitescher Struktur über einer
kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit M und ist D: Sec(E) -> Sec(i^) ein
elliptischer Differentialoperator, so läßt sich der Index von D vermöge einer Spurformel
durch die Grundlösungen der zu A+ = D*D, A ~ = DD* gehörenden
Wärmeleitungsgleichungen darstellen. Die asymptotische Entwicklung dieser Grundlösungen enthält
die Hadamard-Koeffizienten, und man kann so letztlich den Index von D durch Ha-
damard-Koeffizienten ausdrücken (vgl. I. Singer, Atiyah, Bott, Patodi (1973)).
Um auf diese Weise z. B. die Integralsätze über die Euler-Charakteristik, die Signatur
oder das arithmetische Geschlecht zu beweisen, hat man als letzten, kalkülmäßig
schwierigsten Schritt die Beziehungen zwischen den Hadamard-Koeffizienten und
den Krümmungsgrößen herzustellen, was erstmalig von Patodi und Gilkey getan
wurde. Von P. Günther und R. Schimming wurde dazu eine besonders einfache
und durchsichtige Methode ausgearbeitet, ,,Entwicklung nach Transportformen"
genannt. Mit ihrer Hilfe konnten über den ursprünglichen Zweck hinaus eine ganze
Reihe interessanter Relationen zwischen Hadamard-Koeffizienten und Krümmung
bzw. Chernklassen beim de-Rham- und beim Dolbeault-Komplex aufgefunden und

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 315
in Zusammenhang mit Spektralinvarianten gebracht werden (P. Günther/R. Schim-
ming 1977, P. Günther 1979).
Sphärische Mittel Wertoperatoren und die zugehörigen Euler-Poisson-Darboux-
schen Differentialgleichungen wurden in mehreren Arbeiten von P. Günther studiert.
So wurden in Riemannschen Räumen konstanter Schnittkrümmung mittels
sogenannter geodätischer Formen sphärische Mittelwertoperatoren für p-Differentialformen
definiert und untersucht und dabei Mittelwertsätze für die Eigenformen des Laplace-
Beltrami-Operators im de-Rham-Komplex bewiesen. Mittels dieser
Mittelwertoperatoren lassen sich auch die Lösungen des Cauchy-Problems der verallgemeinerten
Maxwellschen Gleichungen für p-Differentialformen explizit darstellen (P. Günther
1960, 1965, 1968/69, 1971).
Diese Theorie der sphärischen Mittelwerte und der Euler-Poisson-Darbouxschen
Differentialgleichungen konnte auch auf Gitterpunktprobleme in euklidischen und
hyperbolischen Räumen angewandt werden, wobei eine beliebige diskontinuierliche
Gruppe mit kompaktem Fundamentalbereich zur Erzeugung des Gitters zugrunde
gelegt wird. Es wurde die Entwicklung der Anzahl von äquivalenten Punkten in
geodätischen Kugeln vom Radius t nach zonalen Funktionen gegeben; die
Funktionalgleichung der zonalen Funktionen liefert Funktionalgleichungen für den Gitterrest,
welche zur Gewinnung von Abschätzungen des Gitterrestes für t -> oo benutzt
wurden. Dabei können auch Gitterpunktprobleme mit ,,Gewichten", die sich aus
einer harmonischen 1-Form herleiten, betrachtet werden. Unter Benutzung der
Selbergschen Spurformel kann man den Zusammenhang zwischen den
Anzahlfunktionen des Gitters und dem von H. Huber eingeführten Längenspektrum
hyperbolischer Raumformen herstellen. Schließlich führt die Anwendung des
„Korrespondenzprinzips" für die Euler-Poisson-Darbouxsche Differentialgleichung zur
Gewinnung einer Poisson-Formel, welche die Beziehung zwischen dem Längenspektrum und
dem Spektrum des Laplace-Operators explizit vermittelt. Auch für das
Längenspektrum wurden asymptotische Restabschätzungen gegeben (P. Günther 1977, 1978r
1979).
Operatorenalgebren der Mathematischen Physik
Durch Arbeiten von G. Lassner (Abb. 47) wurde an der Sektion Mathematik 1969
in Leipzig mit der Untersuchung von topologischen *-Algebren, ihren Darstellungen
und Zuständen sowie ihren Anwendungen in der Quantenphysik begonnen. Die
ersten Arbeiten betrafen die Topologisierung unbeschränkter Operatorenalgebren auf
einem dichten invarianten Bereich im Hilbertraum (Op*-Algebren) und die Stetigkeit
von Darstellungen topologischer *-Algebren. Unter den verschiedenen möglichen
natürlichen Verallgemeinerungen der Operatornormtopologie wurde für
Op*-Algebren die sogenannte gleichmäßige Topologie r^ als grundlegend herausgearbeitet.
Diese wird durch das Halbnormensystem \\A\\jp = sup \(0, AW)\ definiert, wobei
Jt alle Teilmengen des Definitionsbereiches Q) durchläuft, für die \\A\\j^ endlich ist
für alle Operatoren A der Op*-Algebra s#'. Der Positivitätskegel einer Op*-Algebra
ist stets Tqj -normal, und umgekehrt ist jede tonnelierte topologische *-Algebra mit
Eins und mit normalem Positivitätskegel einer Op*-Algebra $0\rg\ algebraisch und
topologisch isomorph (K. Schmüdgen 1972).

316 Teil IV
Unbeschränkte Operatorenalgebren sind wesentlich durch die Eigenschaften ihrer
Definitionsbereiche bestimmt. Daher wurden Untersuchungen aus früheren Arbeiten
von Dixmier zur Struktur von Definitionsbereichen abgeschlossener Operatoren
wieder aufgenommen und zu einer vollständigen Klassifikation solcher Bereiche
geführt. Die Betrachtungen wurden auf Definitionsbereiche von Algebren unbeschränkter
Operatoren ausgedehnt, wobei eine vollständige Klassifikation der
Definitionsbereiche vom Typ Q) = n & (Tn), T* = T, gelang (G. Lassner, W. Ttmmermann 1972,
1977). n^°
Im algebraischen Zugang zur Quantentheorie betrachtet man die Observablen
als hermitesche Elemente einer gewissen *-Algebra srf und die Zustände / als positive
Funktionale auf ja/. Von besonderem Interesse sind dabei Zustände, die durch eine
Dichtematrix beschrieben werden können, d. h. die von der Form f(A) = Tr qA sind,
wobei q ein geeigneter nuklearer Operator ist. Dabei gibt es einen Zusammenhang
Sp
Abb. 47. Prof. Dr. Gerd Lassner
zwischen der strengen Positivität und der gleichmäßigen Stetigkeit solcher
Funktionale (G. Lassner, W. Timmermann 1972). Ein im gewissen Sinne abschließendes
Resultat der Untersuchungen solcher Zustände auf unbeschränkten
Operatorenalgebren läßt sich etwas vereinfacht folgendermaßen formulieren (K. Schmüdgen
1978): Für einen Frechet-Bereich lassen sich genau dann alle streng positiven
linearen Funktionale auf Op*-Algebren dieses Bereiches durch Dichtematrizen geben, wenn
der Bereich die Montel-Eigenschaft besitzt. Für die Algebra der Kommutatorrela-
tionen endlich vieler Freiheitsgrade auf dem Schwartz-Raum konnte beispielsweise
darüber hinausgehend gezeigt werden, daß alle linearen Funktionale auf dieser
Algebra sich in der Form f(A) = Tr qA darstellen lassen.
Bei der Beschreibung konkreter Klassen nichtnormierbarer topologischer
^Algebren spielen die LMC*-Algebren und die GC*-Algebren eine wichtige Rolle. So fällt
etwa in einer GC*-Algebra die stärkste GC*-Topologie auf dem hermiteschen Teil
mit der Ordnungstopologie zusammen (W. Kunze 1976).

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 317
Unter solchen Gesichtspunkten wurde auch die noch umfassendere Klasse der ab-
sorbierend-konvexen topologischen Algebren untersucht, wobei Stetigkeitsfragen
der algebraischen Operationen und der Darstellungen im Mittelpunkt standen (R.
Mildner 1975).
In LMC*-Algebren erhält man bei der Untersuchung der Idealstruktur unter
anderem eine vollständige Charakterisierung abgeschlossener Ideale durch abgeschlossene
Extremalmengen des positiven Kegels der Algebra (M. Fritzsche 1977). Ausgehend
von den bekannten symmetrischen normierten Idealen im beschränkten Fall,
wurden in Algebren unbeschränkter Operatoren verschiedene Klassen von Idealen
konstruiert, topologisiert und eine Reihe Dualitätsaussagen zwischen ihnen aufgezeigt
(W. Timmermann 1977).
Im Mittelpunkt weiterer Forschungen standen konkrete Klassen von Algebren
und ihrer Darstellungen, wie Tensoralgebren über lokalkonvexen Räumen, die
Algebra der Kommutatorrelationen und Envelopingalgebren endlichdimensionaler Lie-
Algebren. Für die Polynomalgebra und die Algebra der Kommutatorrelationen
wurden Bedingungen angeben, unter denen die gleichmäßige und die starke Operatoren-
topologie mit der stärksten lokalkonvexen Topologie übereinstimmen (K. Schmüd-
gen, B. Timmermann 1976). Bei den Darstellungen der Kommutatorrelationen in
unendlich vielen Freiheitsgraden spielen die ergodischen quasiinvarianten Maße
eine zentrale Rolle. Ergebnisse über solche Maße, speziell die Konstruktion von
Maßen dieses Typs, die keine Produktmaße sind, sind ein weiterer Schritt bei der
Untersuchung dieser Algebra (P. Senf 1978). Ein Ergebnis, das die explizite Beschreibung
der Topologie t^ in einigen Fällen ermöglicht und einige der genannten Resultate
über die Polynomalgebra, die Weyl-Algebra und Envelopingalgebren verallgemeinert,
ist der folgende Satz: Auf einer abzählbar erzeugten Op*-Algebra srf ist t^ gleich
der stärksten lokalkonvexen Topologie genau dann, wenn alle Räume
Jfx = {a e s/:\(a0, 0)\ ^ Ca,x \\x0\\2 für alle & € ®\
endlichdimensional sind (K. Schmüdgen 1977).
Neben der Untersuchung von Operatorenalgebren in Hilbert-Räumen wurden
auch Forschungen über die Struktur von Operatoren und Operatorensystemen in
Banach-Räumen und allgemeineren Klassen halbgeordneter Vektorräume
durchgeführt, speziell auch über die Struktur von Integraloperatoren und
Fastintegraloperatoren (J. Synnatzschke 1977/79). Wichtige Resultate liegen vor über endlich-
dimensionale Räume und Operatoren im Zusammenhang mit s-Zahlen von
Operatoren. Eines der wichtigsten Resultate ist die endliche Darstellbarkeit des Dualen
vom Ultraprodukt im Ultraprodukt der dualen Räume (K. Kürsten 1976).
Die Untersuchungen der Tensoralgebren wurden besonders in Hinblick auf die
Bedeutung dieser Algebren für die Quantenfeldtheorie geführt. Jedes Quantenfeld
steht im eineindeutigen Zusammenhang mit dem Wightman-Funktional, einem
positiven Funktional über einer Testfunktionenalgebra oder einer ihrer Faktoralgebren.
Das gibt die Möglichkeit zum Existenz beweis von Quantenfeldern mit gewünschten
Eigenschaften auf dem Weg geeigneter positiver Funktionale. In Fortführung früherer
Resultate über die Existenz von positiven Funktionalen auf der
Testfunktionenalgebra über dem Schwartz-Raum <? (G. Lassner, A. Uhlmann 1967) konnte die
Existenz wightmanartiger Funktionale, die nicht auf das freie Feld führen, bewiesen
werden (G. Lassner, G. Hofmann 1973). Eine detailliertere Untersuchung des Posi-

318 Teil IV
tivitätskegels der Testfunktionenalgebra hat in jüngster Zeit auch zur Konstruktion
nicht tri vialer positiver Funktionale geführt, die allen Wightman-Axiomen genügen
(G. Hofmann 1976/78). In diesem Zusammenhang sind Resultate über die Zerlegung
von positiven Funktionalen sowie von Darstellungen, besonders auch verallgemeinerte
EigenfunktionsentWicklungen von großem Interesse (P. Richter 1979).
Die Bearbeitung mathematischer Fragestellungen der Quantenfeldtheorie wird
in enger Zusammenarbeit mit der Sektion Physik im Rahmen des
Naturwissenschaftlich-Theoretischen Zentrums der Karl-Marx-Universität durchgeführt.
Untersuchungen werden geführt zu Renormierungsfragen sowie zur Struktur von Greenschen
Funktionen, speziell zu ihrem Lichtkegelverhalten. Wichtige Beiträge wurden zur
massiven euklidischen i^^-Quantenfeldtheorie erzielt. Es konnten weite Klassen
von Potenzreihen F(x) angegeben werden, zu denen sich das Quantenfeld in zwei
Dimensionen konstruieren läßt (H. Englisch 1978).
Im Rahmen des algebraischen Zugangs zur statistischen Physik hat der Einsatz
nichtnormierbarer topologischer Algebren zu bemerkenswerten Resultaten bei der
Beschreibung der Dynamik im thermodynamischen Limes geführt. Für das BCS-
Bogoljubov-Modell des Supraleiters gelang die Beschreibung der Dynamik durch eine
einparametrige Automorphismengruppe auf einer geeigneten topologischen
Vervollständigung der Algebra der lokalen Observablen (G. Lassner 1978). Die
Gleichgewichtszustände sind dann verallgemeinerte KMS-Zustände.
Mathematische Optimierung
Seit der Gründung der Sektion Mathematik und der Bildung eines
Forschungskollektivs „Mathematische Optimierung" setzte eine verstärkte Forschung auf diesem
Gebiet ein. Diese erstreckte sich einmal auf die Untersuchung und Neuentwicklung von
Optimierungsverfahren sowie auf den Ausbau der Optimierungstheorie, zum anderen
auf die Behandlung von Optimierungsproblemen aus der Praxis und aus anderen
mathematischen Disziplinen.
In endlichdimensionalen Räumen wurde das Zoutendijksche Gradientenverfahren
untersucht (J. Focke 1971; Abb. 48), insbesondere auch sein Konvergenz verhalten
(S. Winkelmann 1972); in weiterführenden Studien haben methodische und
beweistechnische Aspekte dieses Verfahrens und gewisser Versionen eine abschließende
Einschätzung und Ausarbeitung erfahren (R. Schulze 1978). Für konvexe Probleme
wurde ein modifiziertes reduziertes Gradienten verfahren entwickelt (J. Focke 1973)
und numerisch erprobt (G. Qtjeck 1976, H. Kleinmichel 1977). Eingehende
Untersuchungen wurden auch zu Abstiegsverfahren bei Zielfunktionen mit isolierten
Singularitäten unter besonderer Berücksichtigung des Standortproblems vorgenommen
(A. Illgen 1977), durch die Aufstellung einer bemerkenswerten diametrischen
Ungleichung (J. Focke 1978) konnten dazu a-priori-Abschätzungen für die
Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens gefunden werden. Zu pseudolinearen Problemen wurde
ein simplexartiges Optimierungsverfahren begründet, das neben Eckenübergängen
noch Strahl- (bzw. Kanten-)Übergänge zuläßt (H. Hartwig 1973). Diese Idee wurde
zugleich für eine Erweiterung des Lemke-Algorithmus zur Lösung linearer Komple-
mentaritätsprobleme ausgebaut (R. Werner 1978), welche in engem Zusammenhang
zu Optimierungsproblemen stehen (A. Göpfert/H. Rudolph 1973). Andere ein-

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 319
schlägige Untersuchungen zielten auf das Studium solcher spezieller
Optimierungsprobleme und Funktionenklassen hin, die eine Anwendung simplexartiger
Lösungsmethoden gestatten (H. Hartwig/J. Focke 1978). Beziehungen zur Theorie linearer
Ungleichungen, zu klassischen Alternativsätzen und eine Theorie strenger linearer
Ungleichungen bezüglich Kegelhalbordnungen konnten wesentlich ausgebaut
werden (J. Focke/A. Göpfert 1975, J. Focke 1975).
Auf dem Gebiet der Optimierung in allgemeinen Vektorräumen wurde eine
umfangreiche Arbeit geleistet. Dieser gesamte Themenkreis hat erstmals in Buchform seinen
Niederschlag gefunden auf der Grundlage allgemeiner Kegelhalbordnungen (A.
Abb. 48. Prof. Dr. Joachim Focke
Göpfert 1973). Darüber hinaus wurden freie Gradienten verfahren für verschiedene
Relaxationsformen in allgemeinen Banach-Räumen behandelt (J. Focke/A. Göpfert/
H. Rudolph 1973). In Ergänzung dazu steht das Resultat, daß jede beschränkt
konvexe Funktion einen lipschitzstetigen Gradienten besitzt (J. Focke 1977).
Spezielle Optimierungsprobleme zu unendlichdimensionalen Vektorräumen
wurden im Zusammenhang mit geometrischen Fragestellungen über w-Orbiformen
behandelt. Sie wurden durch Untersuchungen über Formfehler beim spitzenlosen
Außenrundschleifen (J. Focke 1968) angeregt, ebenso wie die darauf aufbauenden
Studien über minimale Formfehler unterschiedlicher Qualität (J. Focke 1969, J.
Focke/B. Gensel 1971). Ein Teil dieser Aufgaben läßt sich in die Typenklasse der
kapazitierten linearen Probleme sachlich und methodisch einordnen (H. Rudolph
1973). Auch der Einsatz des Pontrjaginschen Maximumprinzips auf obige Fragen
zu optimalen w-Orbiformen war erfolgreich (R. Klötzler 1976; Abb. 49). Methoden
der Straf funktionale fanden Verwendung zum Aufbau hinreichender (lokaler) Opti-
malitätsbedingungen in Banach-Räumen und speziell zu Steuerungsproblemen
(E. Schuster 1976). Zu semi-infiniten Problemen wurden einerseits
Approximationsverfahren entwickelt, die auf simplexartigen Lösungsalgorithmen beruhen (H.
Rudolph 1978), zum anderen ist dazu eine vollständige Dualitätstheorie aufgebaut
worden (H. Voigt 1978).

320 Teil IV
Weiterhin wurden Fragen der vektorwertigen Optimierung (J. Focke 1973) und
die auch in dieser Hinsicht wichtige Problematik der Präferenzrelationen in der
Spieltheorie untersucht (D. Fink 1973). Durch die explizite Lösung einer parametrischen
Norm-Minimierung gelang die Realisierung eines neuen statistischen Schätzprinzips,
welches bei der Ausgleichung betrieblicher Bilanzgleichungen eine wesentliche Rolle
spielt (G. Dewess 1970, J. Focke/G. Dewess 1972). Durch ähnliche Methoden
wurde später ein Beitrag zur Entwicklung eines adaptiven Vorhersagemodells
geleistet in Zusammenarbeit mit dem Zentralen Ingenieurbetrieb der Metallurgie (ZIM).
Abb. 49. Prof. Dr. Rolf Klötzler
Die Theorie der dynamischen Optimierung wurde erstmalig auf vektorwertige
Zielfunktionen übertragen (R. Klötzler/A. Knobloch 1975 und R. Klötzler/S.
Ladmann 1976). Auch Untersuchungen zum Pontrjaginschen Maximumprinzip für
stetige vektorwertige Steuerungsprobleme wurden vorgenommen (A. Engelmann
1977).
Zur Grundkonzeption der diskreten dynamischen Optimierung wurde ein Beitrag
geleistet, der sich in Präzisierung des Politikbegriffs der logischen Stellung des
Bellmanschen OptimaHtätsprinzips zuwendet (J. Focke/R. Klötzler 1978). Darüber
hinaus wurde in dieser Arbeit ein neues Dualitätsprinzip der dynamischen
Optimierung formuliert, das ohne jegliche Konvexitätsforderungen starke Dualität
garantiert und auf eine verallgemeinerte notwendige und hinreichende Fassung des
diskreten Maximumprinzips führt. Diese Dualität ist eine der diskreten dynamischen
Optimierung angepaßte Realisierung einer allgemeinen funktionalanalytischen
Dualitätskonzeption (R. Klötzler 1978). Mit ihr wurde auch für stetige
Steuerungsprobleme eine allgemeine Dualitätstheorie aufgebaut (R. Klötzler 1976); sie hat
sich in dieser Form als Grundlage neuer numerischer Lösungsmethoden bewährt
(R. Klötzler 1979).

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 321
Seit 1970 wird (auch durch Probleme aus dem Bauwesen und der polygraphischen
Industrie angeregt) die Optimierung von Ablaufplänen unter Reihenfolge- und
Ressourcenbeschränkungen untersucht. Heuristische Verschiebeverfahren wurden durch
Kopplung mit dem branch-and-bound-Prinzip zu exakten Optimierungsverfahren
weiterentwickelt, die auch die Lösung nichtklassischer Maschinenbelegungsprobleme
gestatten (G. Dewess 1974, 1977). Durch Darstellung der Ablauf plane als Folgen
echter Schnitte im Netzplan wurde ein neuer Zugang zu ihrer Optimierung eröffnet,
wobei auch die sachgemäße Verallgemeinerung des Begriffs „kritischer Bogen"
gelang (G. Dewess 1973, 1976, 1978). Erstmals möglich wird so die Behandlung
stetig unterbrechbarer Vorgänge und von Vorgängen, für die es mehrere Technologien
gibt. Das Modell wurde algorithmisch durchgearbeitet und für mittelgroße Aufgaben
vollständig rechentechnisch realisiert (I. Crell 1979, 1980). Als Nebenergebnis
entstand eine allgemeine Betrachtung über konvexe Graphen und konvexe
Knotenbewertungen in Graphen (G. Dewess 1976).
Bereits 1972 hatten J. Focke und A. Göpfert den Zusammenhang zwischen
klassischer Netzplantechnik und Dynamischer Optimierung herausgearbeitet; daran
anknüpfend liegen erste wichtige Resultate über die dynamische Methode im
ressourcenbeschränkten Fall vor (G. Dewess 1979).
Stochastik
Seit seiner Berufung im Jahre 1969 vertritt H.-J. Rossberg (Abb. 50) zusammen
mit seinen Schülern die analytischen Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Dabei wurde das Ziel verfolgt, aktuelle Aufgaben der Bedienungstheorie und der
mathematischen Statistik zu lösen. Funktionentheoretische Überlegungen,
insbesondere die Theorie von Phragmen-Lindelöf, spielten methodisch eine
wesentliche Rolle. Später ergaben sich auch Anwendungen auf Grenzwertsätze für Summen
von Zufallsgrößen. Viele Anregungen sowjetischer Kollegen wurden verarbeitet.
\>
Abb. 50. Prof. Dr. Hans-Joachim Rossberg

322 Teil IV
Ein weiteres Aufgabenfeld für die Stochastik besteht in der mathematischen
Modellierung ökonomischer Prozesse bei Unsicherheit. 1968 begann H.-J. Girlich
(Abb. 51) die Untersuchung von stochastischen Lagerhaltungsmodellen. Die später von
seinen Schülern und Mitarbeitern fortgeführten Studien betreffen einerseits gewisse
Klassen stochastischer Prozesse, andererseits verallgemeinerte Markovsche
Entscheidungsmodelle.
Bedienungstheorie
Dieses Gebiet ist infolge der jahrzehntelangen internationalen Forschung, die durch
die Bedürfnisse der Praxis immer wieder angeregt wurde, fast unübersehbar
geworden. Deshalb hatte das Akademiemitglied B. V. Gnedenko (Moskau) die Idee,
die wichtigsten Resultate in einem ,,Handbuch der Bedienungstheorie" übersichtlich
darzustellen. Dazu war eine große Zahl von Fachleuten für die verschiedenen
Teilgebiete erforderlich. In Leipzig hat auf Vorschlag von Prof. Gnedenko die
Arbeitsgruppe H.-J. Rossberg, P. Langrock, G. Siegel mehrere Artikel verfaßt.
Natürlich war in Leipzig schon vorher auf dem Gebiet der Bedienungstheorie
gearbeitet worden. H.-J. Rossberg hatte sich mit dem Grundmodell GI/G/1 der
Wartesysteme befaßt, bei dem ein rekurrenter Eingangsstrom von Kunden (mit
Pausen Verteilung A) auf ein Bedienungsgerät gelangt und die Bedienungszeiten
unabhängig und identisch (nach der Verteilung B) verteilt sind. Von besonderem
Interesse sind hier die Wartezeiten der aufeinanderfolgenden Kunden. Im stationären
Fall ist ihre Verteilung W die Lösung der Wiener-Hopf sehen Integralgleichung,
oo
W(x) = f K(x — u) dW(u), x > 0, (1)
0
wobei der Kern K sich durch eine Faltung aus A und B zusammensetzt. Es gelang
durch analytische Fortsetzung, ein vereinfachtes Lösungsverfahren zu entwickeln
und damit alle Fälle abschließend zu behandeln, in denen entweder A oder B eine
rationale charakteristische Funktion besitzt. Es sind dies gerade diejenigen Fälle,
die für die Anwendung besonderes Interesse verdienen. Das Verfahren zeigt auch
qualitative Eigenschaften des Bedienungsmodells, insbesondere wann es (für die
Kunden oder für den Betrieb des Geräts) optimal ist. Ferner übertragen sich gewisse
Eigenschaften von B auf W.
Dem letzteren Effekt gingen M. Dewess, G. Laue und I. Müller anhand der
Wiener-Hopf-Faktorisierung genauer nach, die zur Theorie der Gleichung (1) gehört.
Manche Bedienungsgeräte sind z. B. nicht sofort nach dem Einschalten
gebrauchsfähig, sondern benötigen eine zufällige Erwärmungszeit. Wie G. Siegel zeigte, lassen
sich die oben genannten Überlegungen auch auf solche Fälle übertragen, obwohl die
Gleichung (1) dann inhomogen wird.
I. Müller und S. Schönherr untersuchten den Warteprozeß in dem viel
komplizierteren Fall, wenn der Eingangsstrom der Forderungen aus der Überlagerung von
zwei rekurrenten Strömen gebildet wird.
In der Produktion und in anderen Anwendungsgebieten sind oft die Verteilungen
A und B nicht genau bekannt. In solchen Fällen braucht man Abschätzungen der
interessierenden Verteilungen und ihrer Kenngrößen. Einen Beitrag zu diesem
Gebiet leistete R. Bergmann seit 1974 in einer größeren Reihe von Arbeiten.

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 323
Vom Standpunkt der Anwendungen gibt es noch einen weiteren Grund, nach
approximativen Methoden zu suchen; oft sind nämlich die exakten Lösungen für die
Praxis zu kompliziert. Daher haben H.-J. Rossberg und G. Siegel (1974) die Lösung W
durch sukzessive Approximation von oben und unten erhalten. Dieselbe Methode
haben G. Siegel und W. Wünsche (1979) auf die Erneuerungsgleichung angewendet.
Lagerhaltungstheorie
Angeregt durch die IG Lagerhaltungsmodelle der Mathematischen Gesellschaft,
wurden von H.-J. Girlich (1971) auf erneuerungstheoretischer Grundlage
Näherungsverfahren zur approximativen Berechnung optimaler Bestellstrategien entwickelt und
%
)
•\
Abb. 51. Prof. Dr. Hans-Joachim Girlich
erprobt. Danach wurde ein allgemeines Mehrprodukt-Lagerhaltungsmodell bei
unabhängigem stochastischem Bedarf aufgestellt und das Grenzverhalten, insbesondere
die Ergodizität von Sekundärprozessen sowie Systemcharakteristiken (Momente,
Servicegrad) untersucht. Von M. Miethe (1976) wurden insbesondere abschließende
Ergebnisse für Erlangsche Bedarfsprozesse erzielt, die zu einem explizit
auswertbaren Formelapparat führten. Entsprechende Resultate für Einproduktmodelle
wurden zum Teil in die beiden Lehrbücher von 0. Beyer/H.-J. Girlich/H.-U.
Zschiesche (1978): „Stochastische Prozesse und Modelle" und P. Langrock/W.
Jahn (1979): „Einführung in die Theorie der Markovschen Ketten und ihre
Anwendungen" aufgenommen; letzteres informiert auch über Bedienungssysteme und die
Statistik Markovscher Ketten.

324 Teil IV
Wahrscheinlichkeitsrechnung
In den Jahren 1972 und 1974 war V. M. Zolotarev (Moskau) Gast der Sektion.
Er äußerte eine Vermutung zum einfachsten Fall des zentralen Grenzwertsatzes
der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der Summen
#„ = Xx + ••• +Xn
mit identisch verteilten unabhängigen Summanden betrifft. Hiernach hat die
schwache Konvergenz der Verteilungen
Fn(x) = P(SnBn~i -Än<x)
gegen die Gaußsche Normalverteilung auf der negativen Halbachse — die sogenannte
eingeschränkte Konvergenz — bereits die vollständige Konvergenz
X
Fn(x) ->0(x) = -= / e~u2l2 du
1/2ttJ
— oo
zur Folge. Diese Vermutung wurde von H.-J. Rossberg und G. Siegel (1975) in
vollem Umfang bestätigt.
In diesem Zusammenhang wurde auch ein älteres Problem von A. N. Kolmogorov
gelöst, wonach eine unbeschränkt teilbare Verteilung F, die die Eigenschaft F(x)
= &(x), x < 0, besitzt, sich eindeutig auf die ganze Achse fortsetzen läßt, so daß
man F = <£ erhält (H.-J. Rossberg (1974)).
Diese beiden Resultate führten zu einer schnellen Entwicklung, so daß jetzt acht
sowjetische Arbeiten und insgesamt 23 Leipziger Arbeiten von Chtj Duc, B. Jesiak,
M. Riedel, H.-J. Rossberg und G. Siegel zu diesen Themen vorliegen. Es
entwickelte sich damit eine neue Version der Theorie der Summen von Zufallsgrößen.
Durch sie wird die Struktur klassischer Grenzwertsätze besser durchschaubar; man
kann nämlich genau angeben, welche der klassischen Voraussetzungen man weglassen
kann, wenn man statt dessen eingeschränkte Konvergenz annimmt. Es ergeben sich
auf diese Weise unter anderem drei wesentlich verschiedene Fassungen des Theorems
von Lindeberg-Feller und der Lindeberg-Bedingung. Erste Anwendung fand diese
neue Theorie in der Sowjetunion; sie betrifft große Abweichungen beim zentralen
Grenz wertsatz.
Ein eingehendes Studium widmete G. Siegel seit 1977 auch den Summen von
Zufallsgrößen mit einer zufälligen Anzahl von Summanden.
Bei stochastischen Modellen spielen positive Zufallsgrößen eine hervorragende
Rolle. Ihre charakteristischen Funktionen sind in einer Halbebene analytisch. Im
Mittelpunkt der Leipziger Untersuchungen dieses Gebietes standen im Anschluß an
eine Arbeit von H.-J. Rossberg (1968) verschiedene Varianten der Poissonschen
Formel für die Halbebene. H.-J. Girlich und H.-J. Rossberg fanden hiermit neue
Existenzbedingungen für Momente. Abschließende Ergebnisse über Momente, die auch
beliebige Zufallsgrößen betreffen, erhielt später G. Laue (1980). Ferner leitete sie
neue Umkehrformeln für charakteristische Funktionen positiver Zufallsgrößen her.
Eine der oben genannten Poissonschen Formeln war auch der Ausgangspunkt zur
Weiterentwicklung und systematischen Verwendung der Theorie von Phragmen-

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 325
Lindelöf in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hieran beteiligten sich H.-J.
Rossberg, I. Lehmann und M. Riedel.
Das Wachstum von ganzen charakteristischen Funktionen wurde schon früher
von E. Lukacs, B. Ramachandran und H.-J. Rossberg mit Eigenschaften ihrer
Verteilungsfunktionen in Verbindung gebracht. Diese Untersuchungen wurden von
M. Dewess und M. Riedel fortgesetzt.
Mathematische Statistik
Das Lehrbuch von H.-J. Girlich (1973): „Diskrete stochastische Entscheidungspro-
zesse" ist der entscheidungstheoretischen Fundierung stochastischer
Lagerhaltungsmodelle gewidmet. Daran schließen sich Untersuchungen über die Existenz und die
Struktur optimaler Bestellstrategien in Mehrprodukt-Lagerhaltungsmodellen an.
H.-U. Küenle (1976) hat Ergebnisse der Marko vschen Entscheidungstheorie auf
Fälle mit unbeschränkten Kosten verallgemeinert und daraufhin unter gewissen
Stetigkeitsbedingungen die Optimalität von (er, $)-Strategien gezeigt.
Wichtig ist ein besseres Anpassen der üblichen Modellbedingungen an die realen
Lagerhaltungssituationen. Zum Beispiel liegt oft nur eine unvollständige Information
über die Verteilungsgesetze der Eingangsgrößen vor. Dann muß man statistische
Fragestellungen mit den Steuerproblemen der Lagerhaltung unmittelbar verbinden;
dadurch wird eine Verbesserung der Strategien gegenüber denen erreicht, die bei der
bisherigen getrennten Behandlungsweise erhalten werden. So hat beispielsweise V.
Dietzsch (1977) ein instationäres Entscheidungsmodell unter dem Minimaxkriterium
für ein Lagerhaltungssystem bei Unsicherheit aufgestellt und die Optimalität einer
(s, #)-Strategie gezeigt. Dieses Modell wurde von H.-U. Küenle in ein allgemeines
Entscheidungsmodell eingebettet, für das er die Existenz (p, e)-optimaler Markov-
scher Strategien zeigen konnte.
Semi-Markovsche Entscheidungsmodelle eignen sich zur Modellierung der Steuerung
von Lagerhaltungs- und Bedienungsprozessen. Es gelang P. Langrock durch optimale
Auswahl der Bedienungsintensitäten, den Warteschlangenprozeß im Modell M/M/l/
N—1 zu steuern.
Ein weitverzweigtes Teilgebiet der mathematischen Statistik ist auch die
Charakterisierungstheorie für Verteilungsfunktionen. Sie benutzt statistische Eigenschaften
von Zufallsgrößen, die man empirisch nachprüfen kann, um die zugrunde liegenden
Verteilungsfunktionen — eventuell bis auf gewisse Parameter — zu bestimmen.
Die in Leipzig weiterentwickelte Theorie der charakteristischen Funktionen
positiver Zufallsgrößen legte es nahe, insbesondere Eigenschaften positiver Zufallsgrößen
zu diesem Zweck heranzuziehen. Zum Beispiel führte die Theorie von Phragmen-
Lindelöf auf mehrere Möglichkeiten, um die ExponentialVerteilung durch
Eigenschaften von positiven Ranggrößen zu charakterisieren (H.-J. Rossberg 1972); dabei
spielte eine abgewandelte Wiener-Hopf-Methode eine wesentliche Rolle. Auch I.
Seiffert und M. Riedel (1979) gelang eine Charakterisierung der Exponential-
verteüung; dabei lösten sie zugleich eine äußerlich völlig anders geartete Aufgabe
von A. A. Borovkov, die die Eindeutigkeit von Wiener-Hopf-Faktorisierungen
betrifft.
Andere Charakterisierungsprobleme studierte M. Riedel seit 1975, wobei auch er
moderne Resultate aus der Theorie von Phragmen-Lindelöf benutzte. Es gelang

326 Teil IV
ihm auf diese Weise unter anderem, eine Methode von Ju. V. Linnik wesentlich zu
vereinfachen, so daß sich ein bekannter Charakterisierungssatz für die Gaußsche
Normal Verteilung verallgemeinern ließ. Mit denselben Grundideen war es ferner
möglich, gewisse stochastische Prozesse durch Eigenschaften linearer Funktionale dieser
Prozesse zu charakterisieren. Die Methode erlaubte es auch, ein
bedienungstheoretisches Problem von A. A. Borovkov zu lösen; es betrifft die Darstellung der
charakteristischen Funktion der Lösung W von (1) mit Hilfe von rationalen Funktionen
(M. Riedel 1980).
Eine Arbeitsgruppe unter der Leitung von W. Jahn führt umfangreiche
Untersuchungen auf den Gebieten der multivarianten Regressionsanalyse (unter
besonderer Beachtung singulärer oder fast singulärer Kovarianzmatrizen), der
Klassifikation von Beobachtungsdaten und der Statistik stochastischer Prozesse, wie z. B. der
Spektralzerlegung der Kovarianzfunktion stationärer Prozesse, durch.
Eine weitere Aufgabenstellung dieser Gruppe ist die Anwendung mathematischer
Methoden in der Bodenmechanik, insbesondere die statistische Aufbereitung
bodenphysikalischer Parameter. Die Bücher von W. Jahn und H. Vahle (1970) „Die
Faktoranalyse und ihre Anwendung" und von W. Jahn, P. Kühne, H. Vahle
(1972) „Analyse und statistische Prozeßmodellierung für die Prozeßsteuerung"
enthalten theoretische Hilfsmittel zur Behandlung dieser Aufgaben.
Mathematische Grundlagen der Informationsverarbeitung
Im Jahre 1962 wurde an der Karl-Marx-Universität neben dem bestehenden
Mathematischen Institut als selbständige Einrichtung ein Rechenzentrum gegründet,
welches 1964 zum Institut für Maschinelle Rechentechnik und 1969 zur Sektion
Rechentechnik und Datenverarbeitung umgebildet wurde. Die Aufgabe dieser Institution,
deren Mitarbeiterzahl Anfang der siebziger Jahre auf ca. 150 angewachsen war,
einschließlich der technischen Kräfte, bestand vor allem darin, den Rechenbetrieb für
die an der Universität vorhandene Rechentechnik (zunächst im wesentlichen ZRA 1
und ENDIM 2000, später R 300 und MEDA T 40) zu organisieren und den
Mitarbeitern anderer Institute der Universität und der volkseigenen Industrie, die damals nur
in sehr geringem Umfang über Programmierkenntnisse verfügten, bei der Program*
mierung Hilfestellung zu gewähren. Ihr oblag aber auch die EDV-Ausbildung für
die gesamte Universität und die Weiterbildung auf diesem Gebiet, für die neben einer
Vielzahl von Programmierkursen eigens ein postgraduales Studium eingerichtet
wurde, welches mit der Vergabe eines Zusatzdiploms abschloß. Die Forschungskapazität
des Rechenzentrums und seiner Nachfolgeeinrichtungen wurde zu einem großen Teil
darauf verwendet, EDV-Projekte für Institute und Betriebe zu entwickeln, die zu
dieser Zeit noch nicht über die erforderlichen Kapazitäten verfügten. Dabei wurde
eine größere Anzahl von Projekten geschaffen, die als Keimzelle für weitere
umfangreichere selbständige Arbeiten an den entsprechenden Einrichtungen dienten und die,
abgesehen von ihrer Modellwirkung, teilweise auch direkt von erheblicher
volkswirtschaftlicher Bedeutung waren. Besonders hervorzuheben wäre in diesem
Zusammenhang das an der Sektion Rechentechnik und Datenverarbeitung erstellte
Programmsystem zur Automatisierung des Drucksatzes, durch welches die maschinelle
Herstellung der Steuerstreifen für Lichtsetzmaschinen ermöglicht wird. Diese zunächst

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 327
für die VOB ZENTRAG erarbeiteten Programme, die jetzt durch
Forschungsgruppen verschiedener Betriebe laufend ergänzt und erweitert werden, waren die
Grundlage für die damals beginnende Umgestaltung eines ganzen Industriezweiges. Neben
dieser vorwiegend anwendungsorientierten Forschung entstand aber auch ein
Forschungskollektiv, welches sich mit den mathematischen Grundlagen der
Informationsverarbeitung beschäftigte. Ausgehend von Untersuchungen zur Beschreibung der
hard-ware von Rechenanlagen, welche auch die Simulation des R 300-Rechenwerkes
auf dem ZRA 1 für das Kombinat Robotron ermöglichten, wurden die
Forschungstätigkeit später auf die Theorie formalisierter Sprachen ausgedehnt und dadurch gute
Voraussetzungen für die ständige Verbesserung der Lehrtätigkeit, die vor allem von
Mitarbeitern dieser Forschungsgruppe getragen wurde, geschaffen.
V
Abb. 52. Prof. Dr. Hans Rohleder
Seit der Umgestaltung der Sektion Rechentechnik und Datenverarbeitung zu
einem dem Rektor der Universität direkt unterstellten Organisations- und
Rechenzentrum im Jahre 1973 gehört das Forschungskollektiv „Mathematische Grundlagen
der Informationsverarbeitung" zur Sektion Mathematik und bestreitet hier neben der
EDV-Grundausbildung für Mathematiker und Physiker den überwiegenden Teil der
Lehrveranstaltungen der Fachrichtung Mathematische Kybernetik und
Rechentechnik.
Die in der Sektion Rechentechnik und Datenverarbeitung begonnenen
Forschungsarbeiten zu den theoretischen Grundlagen der Informationsverarbeitung wurden seit
der Eingliederung dieser Forschungsgruppe in die Sektion Mathematik unter der
Leitung von H. Rohleder (Abb. 52) weitergeführt. Dabei wurde eine an der Sektion

328 Teil IV
Mathematik bereits bestehende Arbeitsgruppe, die Probleme der mathematischen
Logik und der Mengenlehre bearbeitete, in das neugebildete Forschungskollektiv
integriert. In dieser Arbeitsgruppe waren, aufbauend auf Arbeiten von D. Klatja1),
Untersuchungen zur Anwendung der mehrwertigen Mengenlehre und zur Problematik
unscharfer Mengen begonnen worden. Hierzu konnten von K.-U. Jahn Resultate
zur Intervallarithmetik und einer Grundlegung der Intervallanalysis erzieh werden,
die für Anwendungen in der Numerischen Mathematik bedeutsam sind. Eine Reihe
von Arbeiten von S. Gottwald war den Beziehungen zwischen mehrwertigen
Logiken und unscharfen Mengen gewidmet und gipfelte in einer Untersuchung über ein
kumulatives System verallgemeinerter Mengen. Da diese Thematik eng mit dem
*>.'
Abb. 53. Prof. Dr. Karl-Heinz Bachmann
Berechenbarkeitsbegriff verbunden ist, der in der Theorie der
Informationsverarbeitung eine zentrale Rolle spielt, ergaben sich mannigfache Berührungspunkte mit den
im Forschungskollektiv verstärkt betriebenen Arbeiten zu grundlegenden Fragen
der Informationsverarbeitung, die sich mit der sprachlichen Formulierung von
Algorithmen und für die Rechentechnik wesentlichen Präzisierungen des
Algorithmenbegriffs befassen. So wurde von R. Hartwig eine Sprache zur Programmierung für
Analog- und Hybridrechner entwickelt und ein von G. Grosche eingeführter Quasi-
äquivalenzbegriff weiter untersucht. S. Gerber behandelte Ansätze zu einer
Strukturtheorie endlicher Automaten Durch Erweiterung des klassischen Aussagenkalküls
zu einem gemischten logisch-arithmetischen Kalkül konnten O-1-Optimierungspro-
bleme durch G. Bär erfolgreich bearbeitet werden. Mit der Symmetrie von Ausdrücken
der Schaltalgebra zusammenhängende Untersuchungen führte B. Schulze durch.
Auf dem Gebiet der formalen Sprachen erarbeitete J. Loose hinreichende Kriterien
x) Professor mit Lehrauftrag an der KMU Leipzig von 1965 bis 1972.

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 329
zur Entscheidung der eindeutigen syntaktischen Abbaubarkeit in kontextfreien
Sprachen. Eine Arbeit von M. Meiler war der Präzisierung von Aufgabenstellungen
bei der Optimierung von Programmen gewidmet.
Diese und andere Arbeiten trugen zu einer Klärung wichtiger Grundbegriffe der
Informationsverarbeitung bei. Weitere Resultate zur mathematischen Modellierung
von Datenverarbeitungsprozessen erzielte K.-H. Haubold mit der Aufstellung eines
Kalküls, der als Hilfsmittel zur Beschreibung digitaler Schaltungen dienen kann.
Insbesondere sind auch neuere Arbeiten von S. Gerber zur Modellierung von
Rechner -und Steueralgorithmen unter Einbeziehung nichtdeterministischer und paralleler
Prozesse zu erwähnen. Nach Einführung von Äquivalenz- und Pseudoäquivalenz-
relationen werden dabei syntaktische Umformungen von Programmen unter
Berücksichtigung ihrer Semantik möglich. Die 1976 erfolgte Berufung von K.-H.
Bachmann (Abb. 53) als ordentlicher Professor für Mathematische Kybernetik und
Rechentechnik an die Sektion Mathematik war eine wesentliche Verstärkung des
Forschungskollektivs, in dem danach auch Arbeiten zur Definition und Übersetzung von
Programmierungssprachen mittels eines universellen Sprachverarbeitungssystems
aufgenommen wurden. 1979 übernahm Prof. Dr. Bachmann die Leitung des
Kollektivs.
Das Forschungskollektiv hat vielfältige Beziehungen zur Praxis, die einerseits
zur Anfertigung von Diplomarbeiten zu speziellen, von Industriebetrieben oder
Forschungsinstituten gestellten Themen führen, andererseits auch in Arbeitsgruppen sowie
durch gemeinsame Kolloquien und Konsultationen gepflegt werden.
Algebraische Geometrie
In den fünfziger Jahren wurde von E. Kahler eine allgemeine Theorie algebraischer
Mannigfaltigkeiten auf arithmetischer Grundlage aufgestellt. Im Anschluß an die
hierin gegebene Definition der Zetafunktion von Gebilden auf algebraischen
Mannigfaltigkeiten wurden der Verband der Ideale in einem noetherschen Stellenring näher
untersucht und die Ideale durch zwei Invarianten charakterisiert; im Fall eines
regulären lokalen Rings der Dimension 2 konnte eine Rekursionsformel zur Bestimmung
aller Ideale endlicher Idealkettenlänge gegeben werden. Diese Fragestellung führte
für Dimensionen größer 2 in natürlicher Weise auf die Syzygientheorie. Die
Beobachtung, daß die Syzygienketten nulldimensionaler Ideale regulärer Stellenringe
umkehrbar sind, ließ sich verallgemeinern zur Charakterisierung perfekter Ideale
und Vektormoduln, womit eine lang gehegte Vermutung von Gröbner bestätigt
wurde. Außerdem wurde neben zahlreichen Einzelresultaten ein Zusammenhang
mit der Theorie des inversen Systems hergestellt, durch den sich Beziehungen zur
Theorie von Systemen partieller Differentialgleichungen ergeben. Eine
Verallgemeinerung über den Rahmen der Cohen-Macaulay-Ringe hinaus war durch die Benutzung
des von Rees eingeführten Gradbegriffs möglich (G. Eisenreich, Abb. 54).
Um auch nichtkommutierende Differentialoperatoren erfassen zu können, machte
es sich erforderlich, auch nichtkommutative Ringe in die Betrachtungen einzubezie-
hen. In dieser Hinsicht konnten in einer Dissertation (P. Beckmann) erste Ergebnisse
zur Syzygientheorie von Hüllalgebren Liescher Algebren erzielt werden.
In Verallgemeinerung der Begriffs der Ideale der Hauptklasse wurde der Begriff

330 Teil IV
der Hauptklassenmoduln eingeführt und durch eine Verallgemeinerung eines Satzes
von Lasker charakterisiert. Die bereits hier verwendete symbolische Methode zur
Bestimmung der homologischen Dimension ließ sich insbesondere verwenden, um
Moduln von ^-Vektoren auf ihre Perfektheit zu untersuchen. Im Anschluß an einen
Beweis von Northcott für die Ungleichung zwischen Höhe und Minimalbasislänge
eines Ideals wurde unter anderem ein für einen beliebigen kommutativen noetherschen
Ring mit Einselement gültiger Beweis der Macaulayschen Ungleichung für einen
Vektormodul bzw. das ihm zugeordnete Determinantenideal gegeben. Es konnte gezeigt
werden, daß die rekursive Perfektheitsdefinition nach Gröbner nicht abgeschwächt
werden kann. Schließlich konnte für die Perfektheit der von den p-reihigen
Unterdeterminanten einer Matrix mit lauter Unbestimmten als Elemente über einem Körper
Abb. 54. Prof. Dr. Günther Eisenreich
erzeugten Ideale ein einfacher und durchsichtiger Beweis geliefert werden, der nur
von der Form der ersten Syzygien Gebrauch macht und der sich auf Hyperdetermi-
nantenideale verallgemeinern läßt. Mit ihm kann man auch für eine größere Klasse
von Idealen ihre Perfektheit nachweisen (G. Eisenreich).
Weitere Arbeiten befassen sich mit der Flachheit von Moduln, flachen
Erweiterungen lokaler Ringe, lokaler Auflösung exzellenter lokaler Ringe und mit lokalen
Ringen mit minimaler Hilbert-Funktion. Jeder lokale Ring läßt sich durch quadratische
Transformationen in einen mit minimaler Hilbert-Funktion überführen. Lokale Ringe
R mit mininaler Hilbert-Funktion besitzen absolute Oberflächensequenzen der Länge
dim R, sie sind insbesondere Macaulaysch (B. Herzog). In einer Dissertation wurden
die homologischen Eigenschaften lokaler Erweiterungen und das Verhalten der
Hilbert-Funktion untersucht (B. Herzog).
Im Rahmen von Untersuchungen zur Auflösung von Singularitäten algebraischer
Mannigfaltigkeiten wurden im Anschluß an Arbeiten von E. Kahler1) ein Verfahren
x) E. Kahler: Geometria aritmetica, Annali di Matematica pura et applicata. Serie IV,
Tomo XLV (1958), insbesondere die Abschnitte 63 bis 425.

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 331
zur Bestimmung der ganzen Differentiale rein algebraischer Körper weiter entwickelt
(H. Schumann, Abb. 55) und für eine Reihe spezieller elliptischer Funktionenkörper
die ganzen Differentiale bestimmt (H. Schumann, C.-P. Helmholtz, W. Reutter).
Eine Reihe von Arbeiten — oft in Zusammenarbeit mit der von W. Vogel
geleiteten Forschungsgruppe algebraischer Geometer der Sektion Mathematik der Martin-
Luther-Universität Halle — haben Fragen in Zusammenhang mit der Multiplizitäts-
theorie zum Gegenstand (J. Stückrad). Im Anschluß an eine Vermutung von D.
Buchsbaum, daß für lokale Ringe A und jedes Parameterideal q von A die Differenz
aus Länge und Multiplizität von q nur von A abhängig, nämlich dim A — depth A
ist, wurde eine Klasse von Ringen herausgestellt („Buchsbaum-Ringe"), für die
diese Vermutung richtig ist; eine zusammenfassende Darstellung wurde in einer
Dissertation B (J. Stückrad) gegeben.
\
\
t
(f*
Abb. 55. Prof. Dr. Horst Schumann
Methodik des Mathematikunterrichts
In den letzten zehn Jahren erfolgte unter der Leitung von H. Bock (Abb. 56) eine
Profilierung der Forschungsthematik auf dem Gebiet der Methodik des
Mathematikunterrichts in Richtung Könnens- und Fähigkeitsentwicklung im Unterricht. Die
Arbeiten konzentrieren sich dabei auf Probleme der Entwicklung geistiger Tätigkeiten
der Schüler im Unterrichtsprozeß.
Eine zentrale Stellung in der Aneignungstätigkeit im Mathematikunterricht nimmt
das Arbeiten mit Aufgaben ein. Anknüpfend an Untersuchungen von G. Wussing
(1971), wurden von H. Bock, Ch. Riehl und G. Wussing für tragende Stoffgebiete
des Mathematikunterrichts Aufgabenkomplexe entwickelt, die aus Aufgabentypen
der Grundstruktur „gegeben —gesucht" bestehen und die die Grundlage für die
Zusammenstellunggeeigneter Aufgabenmaterialien — insbesondere unter dem
Gesichtspunkt der allseitigen Aneignung des Unterrichtsstoffes durch die Schüler — bilden.

332 Teil IV
Dabei wurde auch der Gedanke der Förderung der geistigen Beweglichkeit der
Schüler bei der Bewältigung von Leistungsanforderungen im Fach Mathematik verfolgt.
H. Bock und G. Wussing (1978) arbeiteten in diesem Zusammenhang Ansatzpunkte
bezüglich des Beachtens mehrerer Aspekte, des Aspektwechsels, einschließlich der
Reversibilität heraus. Für das umfangreiche Gebiet des Lösens von Sach- und
Textaufgaben liegen Ergebnisse von P. Borneleit vor.
A
V
1
N
Abb. 56. Prof. Dr. Hans Bock
Eine Reihe von Untersuchungen wurden zu Problemen der Entwicklung
sprachlich-logischer Tätigkeiten, insbesondere zum Definieren bzw. zum Arbeiten mit
Definitionen durchgeführt. Diese Untersuchungen sind im Zusammenhang zu sehen mit
Arbeiten des Forschungskollektivs „Methodik des Mathematikunterrichts" der
Martin-Luther-Universität Halle, dem H. Bock bis 1968 angehörte. Am Beispiel logischer
Fähigkeiten wurde bestätigt (H. Bock, W. Walsch 1965/66), daß der
Mathematikunterricht schlechthin nicht notwendigerweise zur Ausprägung von Fähigkeiten führt,
sondern daß vielmehr ein planmäßiges zielgerichtetes Arbeiten hinsichtlich der zu
erreichenden Ergebnisse erforderlich ist. Über den Rahmen der sprachlich-logischen
Schulung hinaus wurden Untersuchungen zur Nutzung der mathematischen
Fachsprache im Unterricht unter dem Gesichtspunkt allgemeiner Sprachnormen
durchgeführt (P. Borneleit, P. Göthner, Ch. Riehl). Hinsichtlich der Entwicklung
allgemeiner geistiger Tätigkeiten im Prozeß des Mathematiklernens liegen Untersuchungs-
ergebnisse von P. Borneleit und H. Hunecke (1975) vor. Es wurde unter anderem
die Methode des immanenten Ubens derartiger Tätigkeiten im Mathematikunterricht
erprobt. Ein Mittel der Erkenntnisgewinnung als auch der Festigung des Gelernten
stellen sogenannte funktionale Betrachtungen dar. Von C.-P. Helmholtz wurden

Mathematische Lehre und Forschung seit der demokratischen Neueröffnung 333
Zusammenhänge zwischen dem funktionalen Denken und der Schülertätigkeit im
Mathematikunterricht herausgearbeitet. In die Thematik der Entwicklung geistiger
Tätigkeiten ordnen sich auch die Untersuchungen ein, die von P. Göthner (1976) zur
Heranführung von Schülern an die strukturtheoretische Denkweise, insbesondere
im Mathematikunterricht der Abiturstufe, durchgeführt wurden.
Die angestrengte und erfolgreiche Arbeit in Lehre und Forschung am
Mathematischen Institut der Universität Leipzig und an der daraus 1969 hervorgegangenen
Sektion Mathematik der Karl-Marx-Universität während der zurückliegenden 35 Jahre
seit der demokratischen Neueröffnung der Universität erlebt einen Höhepunkt im
Herbst 1981 mit dem 1. Mathematikerkongreß der DDR, der aus Anlaß des 100.
Jahrestages der Gründung des Mathematischen Seminars in Leipzig durch Felix
Klein von der Mathematischen Gesellschaft der DDR nach Leipzig vergeben wurde
und von ihr gemeinsam mit der Sektion Mathematik der Karl-Marx-Universität
veranstaltet wird. Die Ausrichtung eines wissenschaftlichen Kongresss von solch
hohem Rang bedeutet für die Angehörigen der Sektion Mathematik der Karl-Marx-
Universität eine große Ehre und Verpflichtung.
In den vergangenen 35 Jahren wurde von den Mathematikern der Universität
Leipzig manches Bewährte in Forschung und Lehre mit Erfolg weitergeführt; es
wurde aber auch vieles Neue geschaffen, das Profil der Forschung und das der
Absolventen ausgeprägt. Die beachtlichen Ergebnisse während dieser Zeit in Lehre,
Erziehung und Forschung fanden mehrfach hohe Anerkennung.1)
Für die junge Mathematikergeneration ist es eine lohnende Aufgabe, diese
Entwicklung unter den günstigen, die Wissenschaft fördernden Bedingungen der
sozialistischen Gesellschaftsordnung der DDR erfolgreich fortzusetzen.
Quellen- und Literaturverzeichnis
[1] Personal- und Vorlesungsverzeichnisse der Universität Leipzig, Sommersemester 1945
bis Frühjahrssemester 1952/53.
[2] Personal- und Vorlesungsverzeichnisse der Karl-Marx-Universität Leipzig,
Herbstsemester 1953/54 bis Frühjahrssemester 1969.
[3] Personalverzeichnisse der Karl-Marx-Universität Leipzig 1970—1979.
[4] Studien- und Hochschulführer 1954/55, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,
Berlin 1954.
[5] Studienplan für die Fachrichtung Mathematik vom 1. September 1954, Studienpläne
Nr. 11 und IIA, Hochschulbestimmungen, Staatssekretariat für Hochschulwesen.
[6] Studienplan für die Grundstudienrichtung Mathematik zur Ausbildung an Universitäten
und Hochschulen der DDR, Berlin, Mai 1974.
[7] Studienplan für die Ausbildung von Diplomlehrern der allgemeinbildenden
polytechnischen Oberschulen an Universitäten und Hochschulen der DDR, Berlin, April 1975.
[8] Die Weiterführung der 3. Hochschulreform und die Entwicklung des Hochschulwesens
bis 1975, Schriftenreihe des Staatsrates der DDR, Heft 8, 3. Wahlperiode, Berlin 1969.
[9] VII. Parteitag der SED, Referat von Walter Ulbricht: Die gesellschaftliche Entwick-
x) Im Jahre 1978 wurden Prof. Dr. Horst Schumann mit dem „Vaterländischen
Verdienstorden in Gold" und NPTProf. Dr. Herbert Beckert mit dem Ehrentitel „Verdienter
Hochschullehrer der DDR" ausgezeichnet.

334 Teil IV
lung in der Deutschen Demokratischen Republik bis zur Vollendung des Sozialismus,
Dietz-Verlag, Berlin 1967.
[10] Dokumente des VIII. Parteitages der SED, Dietz-Verlag, Berlin 1971.
[11] IX. Parteitag der SED, Erich Honecker : Bericht des Zentralkomitees der Sozialistischen
Einheitspartei Deutschlands an den IX. Parteitag der SED, Dietz-Verlag, Berlin 1976.
[12] IX. Parteitag der SED: Programm der Sozialistischen Einheitspartei Deutschlands,
Dietz-Verlag, Berlin 1976.
[13] Referat zum 10. Jahrestag der Gründung der Sektion Mathematik; Referent Prof. Dr.
Horst Schumann, Leipzig, 31. Januar 1979.
[14] Dia Vortrag „Geschichte der Mathematik in Leipzig", ausgearbeitet von einer
Arbeitsgruppe der Sektion Mathematik der KMU Leipzig unter Leitung von Doz. Dr. Reinhard
Hofmann.
[15] Materialien aus dem ,,Traditionskabinett der Sektion Mathematik" (der KMU Leipzig),
ausgearbeitet von einer Arbeitsgruppe der Parteileitung der Sektion Mathematik unter
Leitung von Doz. Dr. Günther Dewess.
[16] Thesen der Parteileitung Mathematik der Karl-Marx-Universität, KMU Leipzig, Sektion
Mathematik, 14. 2. 1968.
[17] Referat zur Konferenz „Mathematik und Praxis", Referent Prof. Dr. Horst Schumann,
Leipzig, 27./28. September 1974.

Die Direktoren des Mathematischen Instituts
und der Sektion Mathematik seit 1881
Die in Klammern beigefügten Zahlenangaben bezeichnen die Zeitdauer, innerhalb der die
genannten Professoren das Amt eines Direktors bzw. Mitdirektors innehatten.

336 Direktoren des Mathematischen Instituts und der Sektion Mathematik seit 1881
Felix Klein Adolph Mayer Karl von der Mühll-His
(1881 -1886) (1881 -1900) (1881 -1889)
\
Sophus Lie Otto Holder Karl Rohn
(1886-1898) (1899-1930) (1905-1920)
Gustav Herglotz Leon Lichtenstein Paul Koebe
(1909-1925) (1922-1933) (1926-1945)

Direktoren des Mathematischen Instituts und der Sektion Mathematik seit 1881 337
V*t
\
B. L. VAN DER WAERDEN EBERHARD HOPF FRIEDRICH HUND
(1931-1945) (1937-1944) (1945-1946)
Ernst Holder Herbert Beckert
(1946-1958) (1958-1969)
(Paul Günther (1969-1971) Horst Schumann (seit 1971)
Stellv. f. Forschung: Stellv. f. Forschung: Herbert Beckert
Herbert Beckert Stellv. f. Erz./Ausb.: Hans Bock (1971 — 1973)
Stellv. f. Erz./Ausb.: Hans-Joachim Girlich (1973 — 1977)
Horst Schumann Günter Grosche (seit 1977)

Quellennachweis für Abbildungen
Fotografen und Archive
— Archiv der Poggendorfredaktion der Sachs. Akad. d. Wiss. Leipzig (Porträts S. 207, 253)
— Sonja Bruchholz, Sektion Mathematik der KMU Leipzig (Abb. 53—56, Porträt
H. Schumann S. 337)
— Hochschul-Film- und Bildstelle der KMU Leipzig (Abb. 2, 37-39, 51, 52)
— Sektion Mathematik der KMU Leipzig (Porträt S. 92, Abb. 33)
— Universitätsarchiv der KMU Leipzig (Porträts S. 134, 147, 169, 183, Porträt G. Herglotz
S. 336)
— Dipl.-Math. Kurt Voigt, Sektion Mathematik der KMU Leipzig (Abb. 28, 29, 36, 40, 41, 43
45-50, Porträt P. Günther S. 337)
Aus Privatbeständen stellten Fotos zur Verfügung
— Prof. Dr. Herbert Beckert (Porträt S. 202, Abb. 34, 44, Porträts O. Holder S. 336,
H. Beckert S. 337)
— Prof. Dr. Rolf Klötzler (Porträt S. 245, Abb. 31, Porträt E. Holder S. 337)
— Dr. Helmar Lehmann (Abb. 25, 26)
— Martha Riedel (Abb. 19, 32, 35)
— Philomena Salie (Porträt S. 260)
— Prof. Dr. Horst Schumann (Abb. 42)
— Studienrat Dr. Gerlinde Wussing (Abb. 30)
Bücher und Zeitschriften
— Acta Eruditorum, Leipzig MDCCXL (Abb. 3)
— Bayerische Akad. d. Wiss., Jahrbuch 1953, München 1954 (Porträt S. 176)
— Die Naturwissenschaften, Jg. 7 (1919) (Porträt S. 82)
— Friedberg, E.: Die Universität Leipzig in Vergangenheit und Gegenwart, Leipzig 1898
(Abb. 27)
— Indiana University, Mathematics Journal, Vol. 22, No 12 (1973) (Porträt E. Hopf S. 337)
— Karl-Marx-Universität Leipzig 1409—1959. Beiträge zur Universitätsgeschichte, Bd. 1,
Leipzig 1959 (Abb. 1)

340 Quellennachweis für Abbildungen
— Kästner, A. G.: Geschichte der Mathematik, Göttingen 1796 — 1799 (Abb. 4)
— Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1970 (Porträt S. 111)
— Jahresber. DMV 17 (1908), B. G. Teubner, Leipzig (Porträt S. 102)
— Reichshandbuch der Deutschen Gesellschaft, Berlin 1930 (Porträt S. 195, Porträt P.
Koebe S. 336)
— Reid, C: Hubert, Berlin-Heidelberg-New York 1970 (Abb. 14)
— Verh. d. Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 95 (1912) (Porträt K. v. D. Mühll
S. 336)
— Von der Pferdebahn zum Gelenkzug (Betriebsgeschichte der Verkehrsbetriebe Leipzig),
Leipzig 1965 (Abb. 6)
— van der Waerden, B. L.: Erwachende Wissenschaft, Bd. 1, 2. Aufl., Birkhäuser Verlag,
Basel 1956 (Porträt S. 218)
— Wussing, H., und W. Arnold: Biographien bedeutender Mathematiker, Volk und Wissen
Volkseigener Verlag, Berlin 1975 (Abb. 5, 7)
— Zeitschrift für Physik 144 (1956) (Porträt F. Hund S. 337)