2




3
Предисловие

4
Введение. Экономика как объект математического моделирования

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14
ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧ
ЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОЭ
КОНОМИКИ

15
Глава 1. Статические модели макроэкономики

16
1.1. Макроэкономические производственные функции

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28
1.2. Модель Леонтьева

29

30

31

32

33

34

35
Глава 2. Линейные динамические модели макроэкономики с дискретным временем

36
2.1
. Экономика как динамическая система

37

38
Динамическая модель Кейнса

39

40
Модель Самуэльсона
—
Хикса

41

42

43

44
2.2. Динамическая модель Леонтьева

45

46
2.3. Модель Неймана

47

48

49

50

51

52
Глава 3. Линейные динамические модели макроэкономики с непре
рывным временем

53
3.1. Математические методы исследования экономических динамических систем

54
3.1.1. Линейный динамический элемент

55
3.1.2. Мультипликатор

56
3.1.3. Акселератор

57
3.1.4. Инерционное звено

58

59
3.1.5. Экономика в форме дина
мической модели Кейнса как инерционное звено

60
3.1.6. Передаточная функция

61

62
3.1. 7. Колебательное звено

63

64

65

66

67
3.1.8. Экономика в форме
модели Самуэлъсона
—
Хикса как линейное
динамическое звено второго
порядка

68
3.1.9. Характеристики динам
ического звена

69

70

71

72
3.2. Анализ и синтез динамических систем, переходные процессы в них

73

74
3.2.1. Передаточная функция последовательного соединения

75
3.2.2. Передаточная функция параллельного соединения

76
3.2.3. Передаточная функция замкнут
ого контура с обратной связью

77
3.2.4. Введение мультипликатора
в контур обратной связи с динамической моделью Кейнса

78

79

80
3.2.5. Введение акселератора
в контур положительной обратной связи
с динамической моделью
Кейнса

81

82
3.2.5. Устойчивость
линейных динамических систем

83

84
3.2. 7. Условия устойчивости экономики в форме модели Самуэльсона
—
Хикса

85
3.3. Линейные многосвязные динамические системы

86

87

88
Экономика в форме динамического межотраслевого баланса как многосвязная линейная
динам
ическая система

89

90
3.4. Нелинейные динамические системы. Конъюнктурные циклы в экономике

91

92
3.4.1. Нелинейная динамическая модель Кейнса

93

94
3.4.2. Конъюнктурные циклы в экономике

95

96

97

98
3.5. Оптимальное управление динамическими системами

99
3.5.1. Принцип максимума Понтрягина

100

101
3.5.2. Необходимые условия оптимальности (принцип максимума)

102

103
Глава 4.
Малосекторные нелинейные динамические модели макроэкономики

104

105
4.1. Модель Солоу

106

107

108
4.1.1. Переходный режим в модели С
олоу

109

110
4.1.2. Золотое правило накопления

111
4.1.3. Выигрыш, в текущем потреблении
—
проигрыш, в ближайшей перспективе

112
4.2. Учет запаздывания при вводе фондов

113

114

115

116
4.3. Односекторная модель оптимального экономического роста

117

118

119

120

121

122
4.4. Трехсекторная модель экономики
1

123

124

125

126
4.5. Производственные функции секторов экономики РФ

127

128

129

130
4.6. Моделирование стагнации и сбалансированного экономического роста
1

131
4.6.1. Стагнация

132

133

134
4.6.2. Сбалансированный экономически
й рост

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147
4.7. Исследование сбалансированных стационарных состояний
1

148

149
4.7.1. Золотое правило распределения труда и инвестиций между секторами

150

151

152

153

154

155

156

157
4.7.3. Альтернативный способ определения технологического опти
мума

158

159

160

161

162

163
ЧАСТЬ
II
.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛ
И МИКРОЭКОНОМИКИ

164
Глава 5. Модели поведения потребителей

165
5.1. Предпочтения потребителя и его функция полезности

166

167
Модель поведения потребителя

168
5.2. Уравнение Слуцкого

169
5.2.1. Из
менение спроса при увеличении цены с компенсацией

170
5.2.2. Изменение спроса при изменении дохода

171

172

173
Глава
6
. Модели поведения производителей

174
6.1. Модель фирмы

175

176

177

178

179

180
6.1.
1
Реакция производителя на изменение цены выпуска

181
61.2. Ре
акция производителя на изменение цен ресурсов

182

183

184

185
6.2. Поведение фирм на конкурентных рынках

18
6

187
6.2.1. Равновесие Курно

188

189

190

191
Глава 7. Модели взаимодействия потребителей и производителей

192
7.1. Модели установления равновесной цены

193
7.
1.1. Паутинообразная модель

194

195
7.1. 2. Модель Эванса

196

197
7.2. Модель Вальраса

198

199

200

201
ЧАСТЬ
III
. МОДЕЛИ АНАЛИЗА, ПР
ОГНОЗИРОВАНИЯ И РЕГУ
ЛИРОВАНИЯ
ЭКОНОМИКИ

202
Глава 8. Математические модели рыночной экономики

203
8.1. Классическая модель рын
очной экономики

204
8.1.1. Рынок рабочей силы

205

206
8.1.2. Рынок денег

207

208
8.2. Модель Кейнса

209

210

211

212
8.3. Математические модели финансового рынка

213
8.3.1. Финансовые операции

214

215

216

217
8.3.2. Финансовый риск

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230
8.3.3.
Равновесие на рынке ценных бумаг

231

232
8.4. Прогнозирование валютных кризисов и финансовых рисков

233
8.4.
1.
Модель прогнозирования финансовых рисков

234

235

236
8.4.2. Прогнозирование валютных кризисов

237

238

239
Глава 9. Моделирование инфляции

240
9.1. Су
щность инфляции

241

242

2
43

244
9.2. Исследование инфляции с помощью трехсекторной модели экономики
1

245

246
9.2.1. Первый полувиток инфляции

247
9.2.2. Второй полувиток инфляции

248

249
9.3. Условия возникновения и самоподдержания инфляции

250
9.4. Влия
ние инфляции на производство

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260
Глава 10. Математические модели государственного регулирования экономики

261
10.1. Роль и функции налогов в обществе

262

263

264

265

266
10.2. Налоги в трехсекторной экономике
1

267

268

269

270

271

272

273

274
10.3
. Влияние повышения налогов на производство и потребление

275

276

277

278

279

280
Глава 11. Моделирование внешней торговли
1

281
11.1. Модель открытой трехсекторной экономики

282

283

284

285
11.2. Условия возможности и целесообразности вхождения национальной экономик
и в мировой
рынок

286

287
11.2.1. Вхождение в мировой рынок при фиксации долей ресурсов, поступающих в
фондосоздающий сектор

288

289

290

291

292
11.3. Золотое правило внешней торговли

293

294

295
11.3.1. Золотое правило распределения ресурсов

296

297

298

299

300
11.4.
Влияние внешней торговли на национальную экономику

301
11.4.1. Перераспределение ресурсов между материальным и потребительским секторами

302

303

304

305
11.4.2. Перераспределение ресурсов между материальным и фондосоздающим
секторами

306

307

308
Глава
12
.
Моде
лирование цели общественного развития

309

310

311
12.1. Математическая теория общественного выбора

312

313

314

315

316

317

318

319

320

321

322

323

324

325

326

327
12.2. Модели сотрудничества и конкуренции

328
12.2.1. Кооперативные игры

329

330

331

332
12.2.2. Сотрудничество и конкуренция в
трехсекторной экономике*

333

334

335

336

337
12.3. Моделирование научно
-
технического прогресса

338
12.3.1. Эволюторные модели научно
-
технического прогресса

339
12.3.2. Модель смены технологического уклада
1

340

341

342

343

344
12.3.3. Модель перевооружения трехсекторн
ой экономики
1

345

346

347

348

349
ПРИЛОЖЕНИЯ

350
Приложение 1.
Свойства неразложимой матрицы прямых затрат

351

352

353
Приложение 2.
Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

354

355

356

357

358
Приложение 3
.
Исследование выражений, определяющих поведение трехсекторной
экономики в стационарном состоянии
1

359

360

361

362

363

364
Приложение 4.
Оптимальный сбалансированный рост в трехсекторной экономике
1

365

366

367

368

369

370

371

372

373

374

375

376

377

378

379

380

381

382
Приложение 5.
Условия Куна
—
Т
аккера

383

384

385

386
ЛИТЕРАТУРА

387

388

389
Содержание
Предисловие
................................
................................
................................
................................
................................
........................
3
Введение. Экономика как объект математического моделирования
................................
................................
.............................
4
ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ
................................
................................
...........................
14
Глава 1. Статические модели макроэкономики
................................
................................
................................
.............................
15
1.1. Макроэкономические производственные функции
................................
................................
................................
............
16
1.2. Модель Леонтьева
................................
................................
................................
................................
................................
..
28
Глава 2. Линейные динам
ические модели макроэкономики с дискретным временем
................................
...............................
35
2.1. Экономика как динамическая система
................................
................................
................................
................................
.
36
Динамическая модель Кейнса
................................
................................
................................
................................
......................
38
Модель Самуэльсона
—
Хикса
................................
................................
................................
................................
....................
40
2.2. Динамическая модель Леонтьева
................................
................................
................................
................................
.........
44
2.3. Модель Неймана
................................
................................
................................
................................
................................
....
46
Глава 3. Линейные динамические модели макроэкономики с непрерывным временем
................................
............................
52
3.1. Матема
тические методы исследования экономических динамических систем
................................
...............................
53
3.1.1. Линейный динамический элемент
................................
................................
................................
................................
.....
54
3.1.2. Мультипликатор
................................
................................
................................
................................
................................
..
55
3.1.3. Акселератор
................................
................................
................................
................................
................................
.........
56
3.1.4. Инерционное звено
................................
................................
................................
................................
.............................
57
3.1.5. Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено
................................
................................
.
59
3.1.6. Передаточная функция
................................
................................
................................
................................
.......................
60
3.1. 7. Колебательно
е звено
................................
................................
................................
................................
..........................
62
3.1.8. Экономика в форме
модели Самуэлъсона
—
Хикса как линейное
динамическое звено второго порядка
...................
67
3.1.9. Характеристики динамического звена
................................
................................
................................
..............................
68
3.2. Анализ
и синтез динамических систем, переходные процессы в них
................................
................................
...................
72
3.2.1. Передаточная функция последовательного соединения
................................
................................
................................
.
74
3.2.2. Передаточная функция параллельного соединения
................................
................................
................................
.........
75
3.2.3. Передаточная функция замкнутого контура с обратной связью
................................
................................
....................
76
3.2.4. Введение мультипликатора
в контур обратной связи с динамической моделью Кейнса
................................
............
77
3.2.5. Введение акселератора
в конт
ур положительной обратной связи
с динамической моделью Кейнса
........................
80
3.2.5. Устойчивость линейных динамических систем
................................
................................
................................
...............
82
3.2. 7. Условия устойчивости экономики в форме модели Самуэльсона
—
Хикса
................................
................................
..
84
3.3. Линейные многосвязные динамические системы
................................
................................
................................
...................
85
Экономика в форме динамического межотраслевого баланса как многосвязная линейная динамическая система
...........
88
3.4. Нелинейные дин
амические системы. Конъюнктурные циклы в экономике
................................
................................
........
90
3.4.1. Нелинейная динамическая модель Кейнса
................................
................................
................................
.......................
92
3.4.2. Конъюнктурные циклы в экономике
................................
................................
................................
................................
.
94
3.5. Оптимальное управлен
ие динамическими системами
................................
................................
................................
.......
98
3.5.1. Принцип максимума Понтрягина
................................
................................
................................
................................
......
99
3.5.2. Необходимые условия оптимальности (принцип максимума)
................................
................................
.....................
101
Глава 4. Малосекторные нелинейные ди
намические модели макроэкономики
................................
................................
.......
103
4.1. Модель Солоу
................................
................................
................................
................................
................................
...........
105
4.1.1. Переходный режим в модели Солоу
................................
................................
................................
...............................
108
4.1.2. Золотое правило накопления
................................
................................
................................
................................
...........
110
4.1.
3. Выигрыш, в текущем потреблении
—
проигрыш, в ближайшей перспективе
................................
...........................
111
4.2. Учет запаздывания при вводе фондов
................................
................................
................................
................................
....
112
4.3. Односекторная модель оптимального экономического роста
................................
................................
.............................
116
4.4. Трехсекторная модель экономики
1
................................
................................
................................
................................
.....
122
4.5. Производственные функции секторов экономики РФ
................................
................................
................................
.....
126
4.6. Моделирование стагнации и сбалансированного экономического роста
1
................................
................................
.....
130
4.6.1. Стагнация
................................
................................
................................
................................
................................
...........
131
4.6.2. Сбалансированный экономический рост
................................
................................
................................
........................
134
4.7. Исследование сбалансированных стационарных состояний
1
................................
................................
..........................
147
4.7.1. Золотое правило р
аспределения труда и инвестиций между секторами
................................
................................
.....
149
4.7.3. Альтернативный способ определения технологического оптимума
................................
................................
............
157
ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОЭКОНОМИКИ
................................
................................
........................
163
Глава 5. Модели поведения потребителей
................................
................................
................................
................................
....
164
5.1. Предпочтения потребителя и его функция полезности
................................
................................
................................
....
165
Модель поведения потребителя
................................
................................
................................
................................
.................
167
5.2. Уравнение Слуцкого
................................
................................
................................
................................
............................
168
5.2.1. Изменение спроса при увеличении цены с компенсацией
................................
................................
............................
169
5.2.2. Изменение спроса при изменении дохода
................................
................................
................................
......................
170
Глава 6. Модели поведения производителей
................................
................................
................................
................................
173
6.1. Модель фирмы
................................
................................
................................
................................
................................
.....
174
6.1. 1 Реакция производителя на изменение цены выпуска
................................
................................
................................
....
180

390
61.2. Реакция производителя на изменение цен ресурсов
................................
................................
................................
.......
181
6.2. Поведен
ие фирм на конкурентных рынках
................................
................................
................................
.......................
18
5
6.2.1. Равновесие Курно
................................
................................
................................
................................
.............................
187
Глава 7. Модели взаимодействия потребителей и производителей
................................
................................
...........................
191
7.1. Модели установления равновесной цены
................................
................................
................................
..........................
192
7.1.1. Паутинообразная модель
................................
................................
................................
................................
..................
193
7.1. 2. Модель Эванса
................................
................................
................................
................................
................................
.
195
7.2. Модель Вальраса
................................
................................
................................
................................
................................
..
197
ЧАСТЬ III. МОДЕЛИ АНАЛИЗА, ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И РЕГ
УЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ
................................
........
201
Глава 8. Математические модели рыночной экономики
................................
................................
................................
.............
202
8.1. Классическая модель рыночной экономики
................................
................................
................................
......................
203
8.1.1. Рынок рабочей силы
................................
................................
................................
................................
.........................
204
8.1.2. Рынок денег
................................
................................
................................
................................
................................
.......
206
8.2. Модель Кейнса
................................
................................
................................
................................
................................
.....
208
8.3. Математические модели финансового рынка
................................
................................
................................
...................
212
8.3.1. Финансовые операции
................................
................................
................................
................................
......................
213
8.3.2. Финансовый риск
................................
................................
................................
................................
..............................
217
8.3.3. Равновесие на рынке ценных бумаг
................................
................................
................................
................................
230
8.4. Прогнозирование валютных кризисов и финансовых рисков
................................
................................
.........................
232
8.4.1. Модель прогнозирования фи
нансовых рисков
................................
................................
................................
...............
233
8.4.2. Прогнозирование валютных кризисов
................................
................................
................................
............................
236
Глава 9. Моделирование инфляции
................................
................................
................................
................................
...............
239
9.1. Сущность инфляции
................................
................................
................................
................................
............................
240
9.2. Исследо
вание инфляции с помощью трехсекторной модели экономики
1
................................
................................
......
244
9.2.1. Первый полувиток инфляции
................................
................................
................................
................................
..........
246
9.2.2. Второй полувиток инфляции
................................
................................
................................
................................
...........
247
9.3. Условия возникновения и самоп
оддержания инфляции
................................
................................
................................
..
249
9.4. Влияние инфляции на производство
................................
................................
................................
................................
..
250
Глава 10. Математические модели государственного регулирования экономики
................................
................................
...
260
10.1. Роль и функции налог
ов в обществе
................................
................................
................................
................................
261
10.2. Налоги в трехсекторной экономике
1
................................
................................
................................
................................
266
10.3. Влияние повышения налогов на производство и потребление
................................
................................
......................
274
Глава 11. Моделирование внешней торговли
1
................................
................................
................................
.............................
280
11.1. Модель открытой трехсекторной экономики
................................
................................
................................
..................
281
11.2. Условия возможности и целесообразности вхождения национальной экономики в мировой рынок
.......................
285
11.2.1. Вхождени
е в мировой рынок при фиксации долей ресурсов, поступающих в фондосоздающий сектор
..............
287
11.3. Золотое правило внешней торговли
................................
................................
................................
................................
.
292
11.3.1. Золотое правило распределения ресурсов
................................
................................
................................
....................
295
11.4. Влияние внешней торговли на национальную экономику
................................
................................
.............................
300
11.4.1. Перераспределение ресурсов между материальным и потребительским секторами
................................
...............
301
11.4.2. Перераспределение ресурсов межд
у материальным и фондосоздающим секторами
................................
..............
305
Глава 12
.
Моделирование цели общественного развития
................................
................................
................................
...........
308
12.1. Математическая теория общественного выбора
................................
................................
................................
.............
311
12.2. Модели с
отрудничества и конкуренции
................................
................................
................................
..........................
327
12.2.1. Кооперативные игры
................................
................................
................................
................................
.......................
328
12.2.2. Сотрудничество и конкуренция в трехсекторной экономике*
................................
................................
...................
332
12.3. Моделирование научно
-
техническог
о прогресса
................................
................................
................................
............
337
12.3.1. Эволюторные модели научно
-
технического прогресса
................................
................................
...............................
338
12.3.2. Модель смены технологического уклада
1
................................
................................
................................
....................
339
12.3.3. Модель перевооружения трехсекторно
й экономики
1
................................
................................
................................
..
344
Приложения
................................
................................
................................
................................
................................
.........................
349
Приложение 1.
Свойства неразложимой матрицы прямых затрат
................................
................................
.............................
350
Приложение 2.
Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных диффер
енциальных уравнений с
постоянными коэффициентами
................................
................................
................................
................................
.....................
353
Приложение 3.
Исследование выражений, определяющих поведение трехсекторной экономики в стационарном состоянии
1
................................
................................
................................
................................
................................
................................
..........
358
Приложение 4.
Оптимальный сба
лансированный рост в трехсекторной экономике
1
................................
.............................
364
Приложение 5.
Условия Куна
—
Таккера
................................
................................
................................
................................
......
382
Литература
................................
................................
................................
................................
................................
...........................
386
Содержание
................................
................................
................................
................................
................................
.................
389