МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БИЛЕТЫ ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В МФТИ (2001 г.)
МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ ПО ФИЗИКЕ И МАТЕМАТИКЕ
МОСКВА 2001
УДК 53 (075)
ББК 22 3
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (2001 г) Методические разработки по физике и математике - М МФТИ, 2001 - 63 с
Приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаме-
нах абитуриентам Московского физико-технического института в
2001 году Все задачи снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые — основными указаниями к решению На выполнение каждой экзаменационной работы давалось 4,5 часа
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также
преподавателей школ с углубленным изучением физики и матема-
тики
Авторы задач по физике по математике
доценты Чешев Ю В , Можаев В В , Шеронов А А , Чивилев В И проф Шабунин М И ,
доценты Бунаков А Э , Трушин В Б , к ф м н Балашов М В ,
к ф м н Константинов Р В
© Московский физико-технический институт (государственный университет), 2001
© Коллектив авторов, 2001
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билех 1
ФИЗИКА
к задаче 1
БИЛЕТ 1
1.	Ящик с шайбой удерживают в покое на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а — 30° (см рис ) Ящик и шайбу одновременно отпускают и ящик начинает скользить по наклонной плоскости,
а шайба — по дну ящика Через время t = 1 с шайба ударяется о нижнюю стенку ящика Коэффициент трения скольжения между шайбой и ящиком щ = 0,23, а между ящиком и наклонной плоскостью Ц2 = 0,27 Масса ящика вдвое больше массы шайбы 1) Определить ускорение шайбы относительно наклонной плоскости при скольжении шайбы по ящику 2) На каком расстоянии L от нижней стенки ящика находилась шайба до начала движения7
2.	В цилиндре под поршнем находятся 0,5 моля воды и 0,5 моля пара Жидкость и пар медленно нагревают в изобарическом процессе, так что в конечном состоянии температура пара увеличивается на ДТ градусов Сколько тепла было подведено к системе «жидкость-пар» в этом процессе7 Молярная теплота испарения жидкости в заданном процессе равна Л Внутренняя энергия и молей пара равна U = и 3RT (R - газовая постоянная)
3.	Батарея с ЭДС £ подключена к удерживаемым неподвижно пластинам 1 и 3 плоского конденсатора Площадь пластин S, расстояние между ними d Посредине между этими пластинами расположена закрепленная неподвижно металлическая пластина 2, на которой
находится заряд Q Пластину 1 отпускают Какую работу совершит батарея к моменту соударения пластин 1 и 2? Силой тяжести и внутренним сопротивлением батареи пренебречь
к задаче 3
ФИЗИКА, ♦ ЗАДАЧИ ♦ Виле1 2
4. При замкнутом ключе К в LC контуре (см рис ) происходят незатухающие свободные колебания тока В тот момент,
к задаче 4
когда напряжение на конденсаторе Ct максимально и равно Ui, ключ размыкают Определить максимальное значение тока в контуре после размыкания ключа Параметры элементов схемы указаны на рисунке
5. Из стеклянной пластинки с показателем преломления п — 1,5
вырезали толстую линзу в форме полушара радиусом R = 10 см Через такую линзу рассматривается точечный источник света S, расположенный на расстоянии а = R/2 от плоской поверхности
к задаче 5	полушара На каком расстоянии
от этой поверхности наблюдатель видит изображение источ-
ника света?
Указание Для малых углов a tg а ып а « а
БИЛЕТ 2
к задаче 1
1. Систему из груза массой т, бруска массой 2т и доски массой 3m удерживают в покое (см рис ) Брусок находится на расстоянии S = 49 см от края доски Систему отпускают и брусок движется по доске, а доска — по горизонтальной поверхности стола Коэффициент трения скольжения между бруском и дос-
кой = 0,35, а между доской и столом дд = 0,10 1) Определить ускорение бруска относительно стола при движении бруска по доске 2) Через какое время брусок достигнет края доски7 Считать, что за время опыта доска не достигает блока
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билех 2
Массу нити, блока и трение в оси блока не учитывать
2. В цилиндре под поршнем находится один моль ненасыщенного пара при температуре Т Пар сжимают в изотермическом процессе, так что в конечном состоянии половина его массы сконденсировалась, а объем пара уменьшился в к = 4 раза Найти молярную теплоту конденсации пара, если в указанном процессе от системы «жидкость-пар» пришлось отвести количество теплоты Q (Q > 0)
Указание пар можно считать идеальным газом Работа, совершаемая в изотермическом процессе v молями пара при расширении от объема Vi до V% равна i/RT1n(V2/Vi)
3. Одну из пластин плоского конден-сатора, заряженную положитель-ным зарядом gi, удерживают на i расстоянии d от другой закреплен- ""'Л.... -	
ной пластины с отрицательным	к задаче 3
зарядом §2 Площадь каждой пластины S Верхнюю пластину массой М отпускают Чему будет равна ее скорость после абсолютно упру 1 ого отскока на прежнее расстояние
4. При разомкнутом ключе К в _______________________
LC-контуре (см рис ) происходят ____ ________________
незатухающие свободные колеба-	I—-------oorxJ
ния тока В тот момент, когда ток	^2
в цепи максимален и равен /о, за- |________II_______|
мыкают ключ К Определить мак-	IIС
симальное напряжение на конден-	к задаче 4
саторе после замыкания ключа Параметры схемы указаны на
рисунке
5. В стеклянной пластине толщиной а = 2R вырезана половина шара радиуса Л = 10 см Показатель преломления стекла п=1,5 Наблюдатель рассматривает через получившуюся толстую линзу точечный источник света S, распо-
к задаче 5
ФИЗИК А ♦ ЗАДАЧИ ♦ Виле1 3
ложенный на расстоянии 5Л/2 от плоской поверхности АВ (см рис ) На каком расстоянии от поверхности АВ он видит изображение источника7
Указание для малых углов a tg а ~ sina » а
БИЛЕТ 3
1. Доску с находящимся
на ней бруском удерживают в покое
на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а = 60° (см рис ) Расстояние от бруска до края доски S = 49 см Доску и брусок одновременно отпускают, и доска начинает скользить по наклонной плоскости, а брусок по доске Коэффициент трения скольжения между бруском и
к задаче 1
доской /т, = 0,30, а между доской и наклонной плоскостью Р2 — 0,40 Масса доски в три раза больше массы бруска 1) Определить ускорение бруска относительно наклонной плоскости при скольжении бруска по доске 2) Через какое время брусок достигнет края доски7
2.	В цилиндре под поршнем находится половина моля ненасыщенного пара Содержимое цилиндра медленно охлаждают в изобарическом процессе, так что часть пара конденсируеюя (?зж = 1/3), а температура внутри цилиндра уменьшается на ДТ (ДТ > 0) Определить молярную теплоту конденсации пара, если в этом процес се пришлось отвести от содержимого цилиндра количество тепла Q (Q > 0) Пар можно считать идеальным газом с внутренней энергией v молей U = v “3RT
3.	К неподвижным пластинам 1 и 2 плоского конденсатора подключена батарея с ЭДС £ К пластине 1 прижата проводящая пластина 3 Пластину 3 отпускают, и она начинает двигаться к пластине 2 Какую работу совершит батарея за время перемещения пластины 3 от пластины 1 к пластине 2, если п ющадь каждой пластины равна S, а начальное расстояние
ФИЗИКА, ♦ ЗАДАЧИ ♦ Вю.ег 4
между пластинами 2 и 3 равно (Р Силой тяжести пренебречь
4.	В колебательном контуре, изображенном на рисунке, происходят свободные колебания при замкнутом ключе К В тот момент, когда напряжение на конденсаторе С} достигает
к задаче 3
максимального значения и равно Vo, ключ размыкают Определить величину тока в контуре в тот момент, когда напряжение на конденсаторе Ci будет равно нулю при условии, ЧТО (?2 > Ci
5. Из стеклянной пластинки с по-
к задаче 4
казателем преломления п = 1,5 вырезали толстую линзу в форме полушара радиусом R = 10 см Через такую линзу рассматривается точечный источник света S, расположенный на расстоянии а = 2R от плоской поверхности полушара На каком расстоянии от
этой поверхности наблюдатель	к задаче 5
видит источник света7
Указание для малых у глов a tg а к sin а а
БИЛЕТ 4
1.	Систему из доски массой т, бруска массой 5т и груза массой 3m удерживают в покое (см рис ) Затем систему отпускают, и доска движется по горизонтальной поверхно
сти стола, а брусок движется по доске Через время 1 = 1,4 с
к задаче 1
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билес 4
брусок достигает края доски, а доска еще не доходит до блока Коэффициент трения скольжения бруска о доску /ц = 0,10, а доски о стол = 0,30 1) Определить ускорение бруска относительно стола при движении бруска по доске 2) На каком расстоянии от края доски находился брусок до начала движения7 Массу нити, блока и трение в оси блока не учитывать
2.	В цилиндре под поршнем находятся один моль воды и один моль пара при температуре Т К содержимому цилиндра подводится тепло в изотермическом процессе, так что объем, занимаемый паром в конечном состоянии увеличивается в к — — 3 раза Найти количество теплоты, подведенной в этом процессе Молярная теплота испарения жидкости при указанной температуре равна Л Газовая постоянная - R Объемом, занимаемым жидкостью вначале, пренебречь Пар можно считать идеальным газом
Указание Работа, совершаемая и молями пара в изотермическом процессе при расширении от объема Ц до объема V2, равна 1/ЛТ1п(К2/К1)
3.	Одна из пластин плоского конденсатора, на которой находится заряд д, неподвижно закреплена на непроводящей плите Вторая пластина с зарядом q и массой М удерживается на расстоянии d от нее Площадь каждой пластины S Верхней пластине сообщают такую начальную скорость и, что она долетает до нижней пластины и после абсолютно упругого удара отскакивает от нее Чему будет равна скорость этой пластины, когда она снова будет находиться на расстоянии d от нижней пластины7
к задаче 3
к задаче 4
к задаче 5
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Виле1 5 9
4.	В колебательном контуре, изображенном на рисунке, происходят свободные колебания при разомкнутом ключе К В тот момент, когда ток в катушке индуктивностью L достигает максимального значения, равного /о, ключ размыкают Определить величину напряжения на конденсаторе в тот момент, когда ток через катушку L будет равен нулю при условии, что Lz > L]
5.	В стеклянной пластине толщиной а = 2R вырезана половина шара радиуса R = 10 см Показатель преломления стекла п = = 1,5 Наблюдатель рассматривает через получившуюся толстую линзу точечный источник Света S,
расположенный на расстоянии R от плоской поверхности АВ (см рис ) На каком расстоянии от поверхности АВ он видит изображение источника7
Указание для малых углов a tg а ~ sm а ~ а
БИЛЕТ 5
1. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка, упирающаяся в гладкую вертикальную стенку (см рис) Участок АВ профиля горки — дуга окружности радиусом R По направле-
нию к горке движется со	к задаче 1
скоростью U небольшая по сравнению с размерами горки монета массой m Монета въезжает на горку, движется по горке без трения, не отрываясь от йее, и достигает точки К, продолжая движение Радиус ОК составляет с вертикалью угол
ФИЗИКА, ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билех 5
/3 (cos 7 = 5/7) 1) Найти скорость монеты в точке К 2) Найти силу давления горки на стенку в момент прохождения монетой точки К
2. Температура гелия увеличивается в к = 1,5 раза в процессе PV2 = const (Р — давление газа, V — его объем) При этом внутренняя энергия газа изменилась на ДИ = 300 Дж Найти 1) минимальное давление Рт|П, 2) начальный объем газа Ц Максимальное давление, которое было у газа в этом процессе, составило Ртах = 9 105 Па
3. В электрической цепи, представленной на рисунке, диоды Dj
к задаче 3
и Z>2 идеальные Считая параметры элементов цепи известными, определить 1) ток через батарею сразу после замыкания ключа К, 2) количество теплоты, выделившееся в схеме после замыкания ключа К Внутренним сопротивлением батареи пренебречь
4. Проводник массой М и длиной I подвешен к непроводящему
потолку за концы с помощью двух одинаковых проводящих
пружин, каждая жесткостью к К верхним концам пружин подсоединен конденсатор емкостью С Вся конструкция висит в однородном магнитном поле с индукцией В, пер-
пендикулярной плоскости кон-к задаче 4	_
струкции Проводник сместили и отпустили При прохождении положения равновесия скорость проводника оказалась равной v0 Определить макси-
мальную высоту подъема проводника от положения равновесия Сопротивлением и самоиндукцией проводников пренебречь
5. Точечный источник света находится на главной оптической
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билы 6
оси на расстоянии а = 40 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F — 8 см Источник сместили вверх на расстояние h = 5 см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси На сколько и куда надо сместить линзу, чтобы изображение источника вернулось в старое положение7
БИЛЕТ 6
1. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка массой М, упирающаяся в гладкую вертикальную стенку (см рис) Участок АВ профиля горки — дуга окружности радиусом R По направлению к горке движется со скоростью U
к задаче 1
небольшой по сравнению с размерами горки брусок массой m Брусок въезжает на горку и движется по горке без трения, не отрываясь от нее, и достигает точки D на высоте Н = R/2, продолжая движение Радиус OD составляет с вертикалью угол 7 (cos 7 = 3/4) 1) Найти скорость бруска в точке D 2) Найти силу давления горки на стол в момент прохождения бруском точки D
2.	Температура гелия уменьшается в к = 2 раза в процессе P2V — const (Р — давление, V — объем газа) Найти 1) начальный объем газа Vj, 2) изменение его внутренней энергии в процессе охлаждения Начальное давление газа Pi = = 10 Па, а минимальный объем, который он занимал в процессе охлаждения, составил Рт1П = 1 л
3.	В электрической цепи, представленной на рисунке, диоды
к задаче 3
ФИЗИКА, ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 7
Di и £>2 идеальные Известные параметры элементов цепи указаны на рисунке 1) Определить ЭДС батареи, если ток через нее сразу после замыкания ключа К равен Iq 2) Определить количество теплоты, выделившейся в схеме после замыкания ключа К Внутренним сопротивлением батареи пренебречь
4.	На горизонтальной поверхности стола закреплена тонкая неподвижная проводящая квадратная рамка со стороной а
На рамке симметрично лежит стержень (параллельно боковым сторонам рамки на расстоянии b = а/4 Рамка и стержень изготовлены из одного куска про-<£)В а вода, омическое сопротивление единицы длины которого равно р В некоторый момент включается однородное |с а	магнитное поле, вектор индукции кото-
а аче 4 рого перпендикулярен плоскости рамки Какую скорость приобретет стер жень за время установления магнитного поля, еспи установившееся значение индукции равно Во? Смещением стержня за время установления магнитного поля пренебречь Трение не учитывать Масса стержня М
5. Точечный источник света находится на главной оптической оси на расстоянии d — 40 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F — 10 см Источник сместили вверх на расстояние h = 5 см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси На сколько и куда надо сместить линзу, чтобы изображение источника вернулось в старое положение7
БИЛЕТ 7
1. На горизонтальной поверхности стола покоится чаша с небольшой по сравнению с размерами чаши шайбой массой т (см рис ) Нижняя часть АВ внутренней поверхности чаши есть часть сферы радиусом R Глубина чаши Н = 3R/5, ее внутренняя поверхность гладкая Шайба начинает скользить
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Биле1 7
без начальной скорости и при движении не отрывается от чаши, а чаша остается в покое Шайба достигает точки С, для которой угол между ради-
усом ОС и вертикалью	к задаче 1
равен a (cos а = 4/5) 1) Найти скорость шайбы в точке С 2) Найти силу трения между чашей и столом при прохождении шайбой точки С
2. Температура гелия уменьшается в к = 3 раза в процессе PV2 = const (F — давление газа, V — его объем) При этом его внутренняя энергия изменилась на величину, равную 50 Дж Найти 1) максимальное давление газа Fmdx, 2) величину объема газа VK в конечном состоянии Минимальное давление газа в этом процессе составило Pmln = 105 Па
3. В электрической цепи, представленной на рисунке, диоды Z>1 и Z>2 идеальные Считая параметры элементов цепи известными, определить 1) ток через батарею сразу после замыкания ключа К, 2) найти количество теплоты, выделившейся в схеме после замыкания ключа К Вну-
к задаче 3
тренним сопротивлением батареи пренебречь
4. Проводник массой М и длиной I подвешен к непроводящему потолку за концы с помощью двух одинаковых проводящих пружин, каждая жесткостью к К верх-
ЖЖ
ним концам пружин подсоединен конденсатор емко-
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 8
стью С Вся конструкция висит в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости конструкции Проводник смещают вниз на расстояние h от положения равновесия, а затем отпускают Определить скорость проводника, когда он снова окажется в положении равновесия Сопротивлением и самоиндукцией проводников пренебречь
5. Точечный источник света находится на главной оптической оси на расстоянии а = 8 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см Источник сместили вниз на расстояние h = 4 см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси На сколько и куда надо сместить линзу, чтобы изображениё"источника вернулось в старое положение7
БИЛЕТ 8
1. Полушар радиусом R покоится на горизонтальной поверхности стола В точку А на полушаре помещают небольшую по
2. Температура гелия увеличилась в k = 3 раза в процессе P2 3 *V = const (Р - давление V обьем газа), а его внутренняя энергия изменилась на 100 Дж Найти 1) начальный объем Vi газа, 2) начальное давление Pj газа Максимальный объем, который занимал газ в процессе нагрева, равнялся Vmax = 3 л
3. В электрической цепи, представленной на рисунке, диоды
и D2 идеальные Известные параметры элементов электрической цепи указаны на рисунке 1) Определить ЭДС батареи,
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Вилех 9
если ток через нее сразу после замыкания ключа К равен Jo 2) Определить количество теплоты, выделившейся в схеме, после замыкания ключа К Внутренним сопротивлением батареи пренебречь
к задаче 3
4. На горизонтальной поверхности стола закреплена тонкая проводящая рамка в виде равностороннего треугольника со стороной а На рамке лежит стержень, который параллелен основанию треугольника, а середина стержня находится на середине высоты АС Рамка и стержень изготовлены из одного куска
к задаче 4
провода, омическое сопротивление еди-
ницы длины которого равно р В некоторый момент включа-
ется однородное магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости рамки Какую скорость приобретает стержень за время установления магнитного поля, если установившееся значение индукции равно Во5 * 7 Смещением стержня за время установления магнитного поля пренебречь Трение не учитывать Масса стержня М
5. Точечный источник света находится на главной оптической оси на расстоянии а = 60 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F = —15 см Линзу сместили вверх на расстояние L = 2 см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси На сколько и куда надо сместить источник, чтобы его изображение вернулось в старое положение7
БИЛЕТ 9
1. Во время града автомобиль едет со скоростью и = 25 км/час по горизонтальной дороге Одна из градин ударяется о переднее (ветровое) стекло автомобиля, наклоненное под углом
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Виле. 9
а — .30° к вертикали, и отскакивает горизонтально в направлении движения автомобиля (см рис) Считая, что удар градины о стекло абсолютно упругий и что скорость градины непосредственно перед ударом вертикальна, найти скорость градины 1) до удара, 2) после удара
к задаче 1
2. Легкий подвижный теплонепроводящий поршень делит объем вертикально расположенного замкнутого цилиндра на две части В нижней части под поршнем находятся в равновесии жидкость и ее пар, температура которых поддерживается постоянной и равной То В верхней части цилиндра над поршнем находится газообразный гелий К гелию квазистатически подводится некоторое количество теплоты, и он совершает работу А При этом часть пара сконденсировалась, и от пара с водой пришлось отвести количество теплоты Q 1) Какое количество теплоты было подведено к гелию7 2) Найти удельную теплоту испарения жидкости Молярная масса пара д Трением и теплоемкостью поршня пренебречь Считать, что объем жидкости значительно меньше объема образовавшегося из нее пара
3. В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент ключ
к задаче 3
К разомкнут, а конденсаторы не заряжены Какой заряд протечет через перемычку АВ после замыкания ключа К7 Сопротивлением перемычки пренебречь Параметры схемы указаны на рисунке
4. С помощью рассеивающей линзы получено изображение спички расположенной перпендикулярно 1лавной оптической оси линзы, с увеличением Гх = 1/2 По другую сторону линзы на
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Биле. 10
расстоянии а = 9 см от нее перпендикулярно главной оптической оси линзы установили плоское зеркало Изображение спички в системе «линза-зеркало» получилось с увеличением Г = 1/4 Определить фокусное расстояние тинзы
5. На деталь космического аппарата в форме прямого кругового конуса с радиусом основания Й - 20 см и образующей L = ~ 25 см падает солнечный свет параллельно оси конуса (см рис ) Интенсивность света (мощность, проходящая через единицу площади плоской поверхности, ориентированной перпендикулярно световым лучам)
I = 1,4 кВт/м2 С какой силой свет действует на деталь7 Считать, что деталь отражает свег зеркально и полностью
БИЛЕТ 10
1. Массивная плита поднимается вверх с постоянной скоростью Мяч, брошенный вертикально вверх, нагоняет плиту, ударяется абсолютно упруго о боковую поверхность плиты, наклоненную под углом 7 = 30° к,горизонту, и отскакивает в горизонтальном
направлении со скоростью Н2 =	к задаче 1
= 1,7 м/с (см рис ) 1) Найти скорость плиты Vq 2) Найти скорость Vj мяча непосредственно перед ударом Масса плиты намного больше массы мяча
2. Легкий подвижный теплонепроницаемый поршень делит объем вертикально расположенного замкнутого цилиндра на две части В нижней части под поршнем находятся в равновесии пар и вода, температура которых поддерживается постоянной и равной То Над поршнем находится и молей газообразного гелия К гелию подвели квазистатически количество теплоты Q В результате его температура увеличилась, а часть па-
ФИЗИКА, ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 11
ра сконденсировалась 1) Найти изменение температуры гелия 2) Сколько теплоты необходимо при этом отвести от пара и воды7 Удельная теплота испарения воды А, молярная масса пара д Трением и теплоемкостью поршня пренебречь Считать, что объем сконденсировавшегося пара значительно больше объема образовавшейся из него воды
3. В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент ключ 1 К разомкнут Катушка с индуктивно-д	д	стью L обладает омическим сопротивле-
_____________Мд нием г Какой заряд протечет через пе-Е _)	П	ремычку АВ после замыкания ключа7
^'г <	’	Внутренним сопротивлением батареи и
-----£---J	сопротивлением перемычки пренебречь к задаче 3 Параметры схемы указаны на рисунке
4. С помощью положительной линзы с фокусным расстоянием F — 15 см получено мнимое изображение иголки, расположенной перпендикулярно главной оптической оси линзы, с увеличением Г] = 2 По другую сторону линзы перпендикулярно ее главной оптической оси установили плоское зеркало Изображение иголки в системе «линза-зеркало» получилось с увеличением Г2 = 3 Определить расстояние от линзы до
зеркала
5. На полупрозрачное зеркало площадью S = 100 см2, находящееся на орбите искусственного спутника Земли, падают солнечные лучи перпендикулярно поверхности зеркала Зеркало отражает в обратном направлении 30% и пропускает в прямом направлении 20% энергии падающего света, а остальную энергию поглощает Найги силу, действующую на зеркало со стороны света Расстояние от Земли (зеркала) до Солнца R = = 150 106 км Мощность излучения Солнца N = 3,9102е В г
БИЛЕТ 11
1.	Идет град, и автомобиль едет со скоростью U = 29 км/час по горизонтальной дороге Одна из градин ударяется о стекло заднего окна автомобиля, наклоненное под углом р = 30° к
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Виде. 11
горизонту, и отскакивает горизонтально в направлении, противоположном движению автомо-
биля (см рис ) Считая, что удар	(	]
градины о стекло абсолютно Г________________<|
упругий и что ее скорость непо-
средственно перед ударом верти-
к задаче 1 калька, наити скорость градины
1) до удара, 2) после удара
2.	Легкий неподвижный теплонепроводящий поршень делит объем вертикально расположенного замкнутого цилиндра на две части Под поршнем находятся в равновесии жидкость и ее пар, температура которых поддерживается постоянной и равной То Над поршнем находится газообразный хелий К жидкости и пару подводится квазистатически количество теплоты Q При этом часть жидкости испаряется, и пар совершает механическую работу А 1) Найти удельную теплоту испарения жидкости 2) Сколько теплоты пришлось о iвести от гелия9 Молярная масса пара д Теплоемкостью поршня и трением пренебречь Считать, что объем жидкости значительно меньше объема образовавшегося из нее пара
3.	В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент ключ К разомкнут, а конденсаторы не заряжены Какой заряд протечет через перемычку АВ после замыкания ключа К7 Сопротивлением перемычки пренебречь Параметры схемы указаны на рисунке
к задаче 3
к задаче 5
ФИЗИКА, ♦ ЗАДАЧИ ♦ Биххех 12
4.	С помощью рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см получено изображение гвоздика, расположенною перпендикулярно главной оптической оси линзы, с увеличением Г1 = 1/3 По другую сторону линзы перпендикулярно ее главной оптической оси установили плоское зеркало Изображение гвоздика в системе «линза-зеркало» получилось с увеличением Г = 1/6 Определить расстояние от линзы до зеркала
5.	Призма (см рис ) отклоняет параллельный пучок света на угол а (сова = 7/9) Мощность пучка N = 30 Вт Найти сипу, с которой свех действует на призму Отражением и not лощением свещ призмой пренебречь
БИЛЕТ 12
1. Кабина подъемника движется вертикально вниз с постоянной скоростью В боковую стенку кабины, наклоненную под углом <д = 30° к вертикали, попадает брошенный вертикально вверх мяч (см рис) После абсолкнно \ пру того удара мяч отскакивает в горизонтальном направлении со скоростью Гз = 3,4 м/с 1) Найти скорость кабины Vq 2) Найти скорость мяча V непосредственно перед ударом Масса кабины намного больше массы мя-к задаче 1	ча
2. Легкий неподвижный теплонепроводящий поршень делит объем вертикально расположенного замкнутого цилиндра на две части Под поршнем в нижней части цилиндра находях-ся в равновесии вода и пар, температура которых поддерживается постоянной и равной То В верхней части цитиндра над поршнем находихся хазообразный гели 1) Какое количество теплоты надо подвести квазистатически к пару и воде чтобы часть воды массой Am испарилась? 2) Сколько тепла необходимо при этом отвести от гелия'1 Удельная теплота
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билех 12
испарения воды А, молярная масса пара ц Трением и теплоемкостью поршня пренебречь Считать, что объем пара значительно больше объема воды, из которой он образовался
3. В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент ключ К разомкнут Катушка с индуктивностью L обладает омическим сопротивлением г Какой заряд протечет через перемычку АВ после замыкания ключа5 * 7 Внутренним сопротивлением батареи и сопротивлением перемычки пренебречь Параметры
к задаче 3
схемы указаны на рисунке
4. С помощью положительной линзы на экране получено изображение булавки, расположенной перпендикулярно главной оптической оси линзы, с увеличением Ti = 1 Между линзой и экраном на расстоянии а = 10 см от линзы перпендикулярно ее главной оптической оси установили плоское зеркало Изображение булавки в системе «линза-зеркало» получилось с увеличением Г = 2 Определить фокусное расстояние лин-
5. Лампочка излучает изотропно световую энергию мощностью N = 40 Вт На расстоянии R = 1 м от лампочки, перпендикулярно световым лучам, расположено небольшое полупро-
зрачное зеркальце площадью S = 1 см Зеркальце отражает
в обратном направлении 20% и поглощает 30% энергии падающего света, а остальную энергию пропускает в прямом направлении С какой силой свет действует на зеркальце7
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ * Биле1 1
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
1.	Решить систему уравнений
Г gx+v+i + 7 3v-2 = 8;
1 уА + у2 = X + у
2.	Решить уравнение
cos3 х sin За, 2	п	2
----------F sin х cos Зх = 6 cos 2.r cos x
sin®
3.	Решить неравенство
1 1
2 - у/a2 - ж - 2 " у/ж2 + 3
4.	Через точку А проведены две прямые одна из них касается окружности в точке В, а другая пересекает эту окружность в точках С и D так, что D лежит на отрезке АС Найти АВ CD и радиус окружности, если ВС = 4, BD = 3, ABAC — = arccos |
5.	Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами поставлено гранью АВС на плоскость Точка F — середина ребра CD, точка S лежит,на прямой АВ, S / А, АВ = BS В точку S сажают муравья Как должен муравей ползти в точку F чтобы пройденный им путь был минимальным2
6.	Сторона основания АВС правильной пирамиды ABCD равна 4у/3, ADAB = aictg Точки Bi Ci - середины ребер AD, BD, CD соответственно
Найти 1) угол между прямыми BAi и ACi,
2)	расстояние между прямыми BAi и AClt
3)	радиус сферы, касающейся плоскости АВС и отрезков ACj, В Ai и CBi
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 3
БИЛЕТ 2
1. Решить систему уравнений
2. Решить уравнение cos3 х sm Зх cos 2х
= 3 sm 2x cos x
sm3 х cos 3® cog 2x
3.	Решить неравенство
1 1
2 — х/г2 — Зг х/г2 — 2® + 4
4.	Через точку А проведены две прямые одна из них касается окружности в точке В, а другая пересекает эту окружность в точках С и D так, что точка С лежит на отрезке AD Найти АС, ВС и радиус окружности, если BD — 5, ABAC —
= arcsm	АВ DC = arccos
5.	Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами поставлено гранью АВС на плоскость Точка F — середина ребра CD, точка S лежит на прямой АВ, 2АВ = BS и точка В лежит между А и S В точку S сажают муравья Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным2
6.	Сторона основания АВС правильной пирамиды ABCD равна 8х/3, высота пирамиды DO = 6 Точки Aj, Bi, Ci - середины ребер AD, BD, CD соответственно
Найти 1) угол между прямыми ВА^ и АС±,
. 2) расстояние между прямыми ВА, и АС,
3) радиус сферы, касающейся плоскости АВС и отрезков АСт, В Ат и СВт
БИЛЕТ 3
1.	Решить систему уравнений 5x+v+i + 16 5v-2 = 10
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Биле1 4
2.	Решить уравнение
sin3 х cos Зт 2	2
-----------I- cos х sm Ax з= 6 cos 2a, sm j cos x
3.	Решить неравенство
4 - Vx2 - 2т - 8 " x/z2 + 12
4.	Через точку А проведены две прямые одна из них касается окружности в точке В, а другая пересекает эту окружность в точках С и D так, что D лежит на отрезке АС Найти AD, CD и радиус окружности, если АВ = 3^/11, ВС = 8 и AABD — = arcsm |
5.	Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами поставлено гранью АВС на плоскость Точка F - середина ребра CD, точка S лежит на прямой АВ, АВ = 2BS, точка В лежит между А и S В точку S сажают муравья Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным ?
6.	Боковое ребро правильной пирамиды ABCD с основанием АВС равно 8а/10, AADB — arcsm Точки Ai, BIt С\ — середины ребер AD, BD, CD соответственно Найти 1) угол между пря“мыми BAj и ACi,
2)	расстояние между прямыми ВА± и ACi,
3)	радиус сферы, касающейся плоскости АВС и отрезков ACi ВАг и СВг
БИЛЕТ 4
1. Решить систему уравнений
? 3‘t+v+1 + 16 Av~3 = 10,
I /2.7. + у2 = а + у
2. Решить уравнение
sm3х cos Ах 9	.
-------------Ь cos х sm Зж + 6 cos 2ж sm г = 0
cos I
3. Решить неравенство
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 5 25
4.	Через точку А проведены две прямые одна из них касается окружности в точке В, а другая пересекает эту окружность в точках С и D так, что С лежит на отрезке AD Найти АВ, ВС и радиус окружности, если CD = 1, ABAC — arcsm-^, ABCD = arccos
5.	Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами поставлено гранью АВС на плоскость Точка F лежит на ребре CD и 2DF = FC, точка S лежит на прямой АВ, АВ = 3BS и точка В лежит между А и S В точку S сажают муравья Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным7
6.	Боковое ребро правильной пирамиды ABCD с основанием АВС равно 20, ADAB = arcsmXp Точки Ay, Bi, Су — середины ребер AD, BD, CD соответственно Найти 1) угол между прямыми ВАу и АСу,
2)	расстояние между прямыми ВАу и АСу,
3)	радиус сферы, касающейся плоскости АВС и отрезков АСу, BAi и СВу
БИЛЕТ 5
1.	Решиаь уравнение
у/2х^ + 4а; - 23 - у/х* + 2а; - 8 = 1
2.	Решить уравнение
tga; + tg Зх = 4| sina;|
3.	Решить неравенство
log(2a:+9) (24 + 2х - а;2) + log^^, (2а; + 9) $ 3
4.	В треугольнике АВС таком, что АВ = ВС = 4 и АС = 2, проведены биссектриса ААу, медиана ВВ, и высота С Су Найти площадь треугольника, образованного пересечением прямых 1) AC, ААу и ССу, 2) ААу, В By и ССу
26 МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 7
5,	Решить систему неравенств
Г х2 + 9у2 - 18у С О,
[ 2х + 3 — 2ху сА О
6.	Три шара радиуса г касаются друг друга и шара радиуса R внешним образом При каком соотношении между г и R это возможно7 Считая, что R > г, найти радиус шара, касающегося всех четырех шаров внешним образом
БИЛЕТ 6
1.	Решить уравнение	\/2х2 — 8ж + 25 - у/х2 - 4а- + 13 = 2
2.	Решить уравнение ctg х + ctg Зт = у/1 + ctg2 х
3.	Решить неравенство
loS(20-2z) (" - 2г - х2) +	(20 - 2х) $ 3
4.	В треугольнике АВС таком, что АВ = ВС = 6 и АС = 2, проведены медиана AAi, высота BBi и биссектриса СС± Найти площадь треугольника, образованного пересечением прямых 1) В В., ССг и ВС, 2) AAj, ВВГ и ССГ
5.	Решить систему неравенств
Г у2 + Зху + 1	0,
9г2 — 12а, — 8у 0
6.	Три шара радиуса г касается друг друга внешним образом и каждый шар касается внутренним образом сферы радиуса R При каком соотношении между i и R это возможно? Найти радихс наименьшего из шаров касающихся трех шаров радиус а г внешним образом, а сферы радиуса R внутренним образом
БИЛЕТ 7
1.	Решить уравнение
у/2ж2 - 12ж + 46 - \/х2 - 6д + 22 = 3
2.	Решить уравнение
ctg х + ctg Зх = 4| cos а:|
3.	Решить неравенство
log(;,43) (6 + л - г2) + log^/g^y^ (г + ЗК 3
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Биле1 8 27
4.	В треугольнике АВС таком, что АВ = ВС = 4 и АС — 2, проведены медиана AAi, биссектриса ВВу и высота CCj Найти площадь треугольника образованного пересечением прямых 1) АВ, AAi и ВВи 2) ААХ, ВВу и ССГ
5.	Решить систему неравенств
( 4х2 + у2 + 8г О,
[ ху + у + 1 О
6.	Три шара радиуса г касаются друг друга и шара радиуса R внешним образом При каком соотношении между г и Я это возможно7 Считая, что R > г, найти радиус сферы, такой, что все четыре шара касаются ее внутренним образом
БИЛЕТ 8
1.	Решить уравнение
у/2х2 - 8т + 49 - \/х2 - 4т + 21 = 4
2.	Решить уравнение
tgx + tg3a. = у/1 + tg2 г
3.	Решить неравенство
10g(¥-) (т - х - *2) + (у “	3
4.	В треугольнике АВС таком, что АВ = ВС = 6 и АС — 2, проведены биссектриса AAi, высота ВВ> и высота CCi Найти площадь треугольника, образованного пересечением прямых 1) АВ, ААх и BBlt 2) AAi, ВВ} и ССХ
5.	Решить систему неравенств
( Зх2 + 2ху + 3^0, t .7 2 + бу + 18г С 0
6.	Три шара радиуса г касаются друг друга внешним образом и каждый шар касается внутренним образом сферы радиуса R При каком соотношении между г и R это возможно7 Найти радиус наибольшего из шаров, касающихся трех шаров радиуса г внешним образом, а сферы радиуса R внутренним образом
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 9
БИЛЕТ 9
1. Решить неравенство
у/ж2 3 4 5 6 + 5ж + 6 < 1 + у/#2 + 2 + 1
2. Решить уравнение
cos 4х + cos За, + cos 2т -cost у/2|1 — 2sm2 т|
sm 4т + sm Зт — sin 2т — sm ж smzsin^ _
3. Окружность Cj радиуса 2у/б с центром Oi и окружность радиуса у/б с центром расположены так, что O1O2 = у/70 Прямая /1 касается окружностей в точках А> и А2, а прямая I2 — в точках В\ и В2 Окружности С\ и лежат по одну сторону от прямой h и по разные стороны от прямой /2, Ai & g Ci, Bi g Ci, A2 6 C2, B2 6 C2, точки Ai и Bi нежат по разные стороны относительно прямой O1Q2 Через точку В, проведена прямая /3, перпендикулярная прямой !2 Прямая I] пересекает прямую I2 в точке А, а прямую I3 — в ючке В Найти А1А2, В1В2 и стороны треугольника АВВ2
4. Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2, боковое ребро образует с основанием ABCD угол равный arctg Точки Е, F К выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и
АЕ AF SK 1 тт „
5С так что = -pp = ^=7 = 2 Наити 1) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK, 2) расстояние от точки D до плоскости EFK, 3) угол между прямой SD и плоскостью EFK
5. Найти все а, при которых уравнение
logs О + у/2 - а) + log1/5(a - 1 - х) = log25 9 имев! решение
6. Решить систему уравнений
{5х — бу + 4г + ху = О, Зя — 5у + z — у2 = О .с — 4у - 2г — yz = О
МАТЕМАТИКА, ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билег 10 29
БИЛЕТ 10
1.	Решить неравенство
-\/г2 + 4г + 3 < 1 + -\/г2 - 2г + 2
2.	Решить уравнение
З1п4г + зшЗг — зш2г - зшг _ |соз2г|
cosх + cos2г + cosЗг + cos4г “ ^sinssm (г +
3.	Окружность Ci радиуса 2\/3 с центром Oi и окружность Сг радиуса \/3 с центром Oi расположены так, что Oi<?2 = 2\/13 Прямая li касается окружностей в точках 41 и А2, а прямая /2 — в точках Bi и Окружности С\ и С'ч лежат по одну сторону от прямой li и по разные стороны от прямой li, Ai 6 6 Ci, Bi & Ci, € Ci, Bi 6 Ci, точки Ai и Bi лежат no разные стороны относительно прямой О](?2 Через точку Bi проведена прямая I3, перпендикулярная прямой li Прямая Ц пересекает прямую li в точке А, а прямую 1з - в точке В Найти А1А2, BiBi и стороны треугольника ABBi
4.	Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 1, боковое ребро образует с основанием угол, равный arctg4 Точки Е, F, К выбраны соответственно на ребрах АВ
л п	АЕ AF SK 2 тт „	>,
AD и SC так, что	Наити 1) площадь
сечения пирамиды плоскостью EFK, 2) расстояние от точки D до плоскости EFK, 3) угол между прямой SD и плоскостью EFJK
5.	Найти все а, при которых уравнение
log3(T + ч/б-а) + log1/3(a - 2 - г) = log94 имеет решение
6.	Решить систему уравнений
{Зг — у — 5z — '2yz = 0, г — 5у — z — 2z2 = 0, х + 9у — 3z + 2xz = 0
30 МАТЕМАТИКА- ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет И
БИЛЕТ 11
1.	Решить неравенство
у/ж2 - 5т + 6 < 1 + у/ж2 - ж + 1
2.	Решить уравнение
cos4т — cos Зж + cos2т - cost _ y/2|2cos2a. - 1| зш4т - smЗт - sin2т + smх 8Штс08^т + ^
3.	Окружность С\ радиуса 2у/б с центром О\ и окружность Cz радиуса л/б с центром Oz расположены так, что Oi<?2 = у/70 Прямая I] касается окружностей в точках А] и Az, а прямая lz ~ в точках В\ и Bz Окружности С\ и Cz лежат по одну сторону от прямой li и по разные стороны от прямой I2, Aj € 6 Ci, Bi 6 Ci, А? 6 C2, Bz 6 C2, точки Az и Bz лежат no разные стороны относительно прямой O1O2 Через точку Bi проведена прямая 13, перпендикулярная прямой /2 Прямая li пересекает прямую /2 в точке А, а прямую 1> - в точке В Найти AiAz, BiBz и стороны ipeyсольника ABBi
4.	Высота правильной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 3, угол между соседними боковыми ребрами равен g
arccos уд Точки Е, F, К выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC так, что	= i Найти 1) пло-
щадь сечения пирамиды плоскостью EFK, 2) расстояние от точки D до плоскости EFK, 3) угол между прямой SD и плоскостью EFK
5.	Найти все а, при которых уравнение
log2(j; + i/З -а) + log1/2(a + 1 - ж) -= log4 9 имеет решение
6.	Решить систему уравнений
Зж + у + 2г — ж2 = 0, Юж - Зу - 3z + xz = 0, Юж — у + z — ху -- С)
МАТЕМАТИКА * ЗАДАЧИ ♦ Билет 12 31
БИЛЕТ 12
1. Решить неравенство
/г2 3 4 5 6 - 4г + 3 < 1 + а/®2 + 2® + 2
2. Решить уравнение
sin 4г — sm Зг — sm 2г + sin х _ |соз2г|
cos 4г - cos Зг + cos 2г - cos г y/2smx cos (х -
3. Окружность Ci радиуса 2\/3 с центром Oi и окружность С2 радиуса \/3 с центром О2 расположены так, что OiO2 = 2\/13 Прямая 1[ касается окружностей в точках Ai и А%, а прямая I2 -- в точках Bi и В2 Окружности Ci и С2 лежат по одну сторону от прямой li и по разные стороны от прямой I?, Ai 6 € Ci, Bi € Ci, А2 € С2, В2 & Сг, точки Д2 и В2 лежат по разные стороны относительно прямой O1O2 Через точку В2 проведена прямая l;i, перпендикулярная прямой /2 Прямая I] пересекает прямую Z2 в точке А, а прямую /3 - в точке В Найти Л1Л2, В1В2 и стороны треугольника АВВ2
4. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2, боковая грань образует с основанием угол, равный arctg 2 Точки Е, F, К выбраны соответственно на ребрах АВ, л	АЕ AF СЕ о тт 1 \
AD и SC так, что = gp =	= 2 Наити 1) площадь
сечения пирамиды плоскостью EFK, 2) расстояние от точки D до плоскости EFK, 3) угол между прямой SD и плоскостью EFK
5. Найти все в, при которых уравнение
log4(2r + \/4-а) + log1/4(a + 2 - х) = log16 9 имеет решение
6. Решить систему уравнений
{6г - 5у + 9z - 2У2 = О, г — 2у + 4z — 2ху = О, 4г - у + z — 2yz = О
ФИЗИК 4 ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 2
ФИЗИКА
БИЛЕТ 1
1. 1) О] = g(sma - /ijcosa) w 2,1 — nijgi? cos a = 25 см
2. Qi3 = J + 47?AT
j'\/l(cT+c2)
Rn2 _ . „
БИЛЕТ 2
1. ai = 9/10 ~ 0,98 м/с2, t^3 = 1,7 c
Решение На брусок co стороны доски действует сила трения скольжения Fi = 2/j.mg, направленная вправо Применяя второй закон Ньютона к грузу и к бруску, найдем их ускорение
ai = (Z — 2m)g/3 = g/10 = 0,98 м/с2
Заметим, что движение доски не влияет на ускорение at Это связано с тем что при движущейся и закрепленной доске си та трения Fi между доской и бруском одна и та же Рассмотрим движение доски На нее действуют две горизонтальные силы направленная влево сила трения Fi со стороны бруска и направленная вправо сила трения Е2 = bp^ing со стороны с юна Ускорение доски
02 = (Fi - F2)/3m = (2/zr - 5/x2)g/3 = g/15 < ar Ускорение бруска относительно доски
а =	- a2 = (I - 4/1! + 5/i2)g/3 = g/30
С этим ускорением брусок пройде! относительно доски п\ть S за время
t = (25/a)1/2 = (6S/(Z - 4/7! + S/^g)1/2 = УЗ с = 1,7с
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 2
2. Л = 2(<Э - ЛТ1п2)
Решение При изотермиче-
к задаче 2
(см рис ) В процессе
ском сжатии ненасыщенного пара его давление растет, пока не станет равным давлению насыщенного пара Р„ При дальнейшем сжатии давление и температура пара не меняются Изменение объема происходит за счет конденсации массы пара Дт изменения давления на участке 1-2 над паром была совершена работа величиной i/RTh^Vi/V^) В процессе конденсации 2-3 от пара необходимо отвести теплоту конденсации Л^/2 По условию Q = vRT\n(Vi/Vz) + Ai//2, где Л — молярная теплота конденсации Чтобы найти отношение объемов V1/V2, заметим что при конденсации в процессе 2-3 давление и температура постоянны Объем изменится в два раза так, что половина пара сконденсировалась V2/V3 = 2 = fr/2 По условию V1/V3 = к, следовательно, V1/V2 = к/2 Итак,
Q = pnTln(fc/2)+At//2,
Л = 2/3(Q - icR74n(fc/2)) = 2(Q - ЛТ1п2)
Носле отскока верхней пластины от нижней заряд на каждой пластине будет равен q = (<?i — <72)/2 Работа электрическою попя до столкновения пластин Ai = = q^q-zd/ievS Работа поля за время подъема верхней пластины до прежнего уровня А2 = (</i — qz^d/fteoS По закону сохранения энергии суммарная работа поля равна кинетической энерз ии верхней пластины после отскока на прежнее рассто-
Ar + А2 = W/2
После подстановки выражений для Ai и Az получим, что v = (qi + Q2)y/d/soAfS/2
4. Hmax - /о У ctL^+^LT)
34 ФИЗИКА * ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билег 2
Решение Сразу после замыкания ключа К напряжение на конденсаторе остается равным нулю Сохраняются и токи в катушках через катушку Li течет ток Iq, а в катушке Ь2 ток равен нулю Затем начинает нарастать ток через катушку L? Пусть в некоторый момент ток через катушк\ Zq равен li, а через катушку L2 ток равен р Пусть токи в катушках текут по часовой стрелке Запишем закон Ома для контура, охватывающего обе катушки
LIdJi/dt + L2dJ2/dt = 0
Отсюда следует, что Lip + L2I2 = const Очевидно, что константа равна Lilo, поэтому
Lili + L2I2 = L1I0
В тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально и равно Птлх ток через конденсатор равен нулю, а через катушки будет течь ток, который обозначим через 1т Тогда
(Li + L2)Im = Lilo
Отсюда
Im = LiI0/(Li + L2)
В момент замыкания ключа энергия контура сосредоточена в катушке Li и равна
>Wi=LiI%/2
А в тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально, энергия, запасенная в контуре, равна
W2 = (Li+L2)I^/2 + Cu^x/2
По закону сохранения энергии
Wi = W2
LiI20/2 = {Li + L2)I2m/2 + Cu2m^
Отсюда
Um^ = I0y/LiL2/C(Li+L2)
5. L = 75--7— = 15 cm
(3n - l)n
Решение Определим положение изображения источника S', даваемое преломляющей поверхностью AAi Ввиду
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билег 3
малости преломляющих углов имеем
(см рис ) Из теоремы синусов для треугольника OS'D (b - 2R)//3 = R/tp
Аналогично для треугольника OSD
R/2a = R/ф, откуда ip = 2а или
(р = ip — а — З/Зп — /3
Решая второе уравнение относительно 6, получаем
b = (6п - 1)Л/(Зп - 1)
Определим положение изображения источника S" при преломлении на границе ВВ' Очевидно, что S"C = b/n Окончательно
S"C = (6п - 1)7?/(Зп - 1)п = 15 см
БИЛЕТ 3
1. 1) ai = g(sma — ц, cos a) = 7 м/с2
2) t =	« 1,2 c
' у 2(/x2 -/Ii)gcosa
2. A - 3Q - 6ЛДТ
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билег 6
„ . _ eqSE.2
6-а-~тг~
4 г „ /Ci (G-G)
4. I-vOyJт
е	2 Я пс „
5. у — —775----г = 26.7 см
*	п(2 - п) ’
БИЛЕТ 4
1. 1) ai = Mig = 0,98 м/с2 2) L = | (1 - 3М1 - 2M2)gi2 «
2. (5 = А1/ж + 2ЛТ1п|
к = ко
Д , (<71 - 92р7 у 4со5'ЛТг/
4. v —
БИЛЕТ 5
2. 1) Р, = Ртт =	= 4 105 Па 2) И = j
^{7=^1^^-!))
3.1) J = A 2)Q = ^
БИЛЕТ 6
1.	2)К>М8+А(1г-У)
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ ♦ Биле! 6 37
Решение По закону сохранения энергии
mu2/2 = mv2/2 + mgh
Отсюда с учетом того, что Н = R/2 находим скорость шайбы в точке D	_______
v = л/и2 — gR
Для ответа на второй вопрос найдем сначала силу давления шайбы на горку в точке D Запишем уравнение движения шайбы в проекции на направление DO
mg cost — N = mv2/R
Отсюда с учетом полученного выражения для v
N - m(7/ig - u2/R)
По третьему закону Ньютона шайба давит на горку с такой же силой N в направлении DO На юрку еще действует направленная вертикально вниз сила гяжесли Mg, горизонтально направленная сила давления со стороны стенки и вертикально направленная сила F со стороны с юла Горка ь покое и поэтому
F = Mg + N cost
С у четом полученного ранее выражения для N имеем
F = Mg + 3/4m(7/4g - u2/R)
По третьему закону Ньютона горка давит на стол с такой же силой F, по направленной вертикально вниз
2.	1) V, -1л 2) Ли =	Дж
Решение Изу равнения процесса PV = const и уравнения состояния PV = RT находим, что в указанном процессе имеет место TV = const По условию температура уменьшается (газ охлаждается), значит объем V газа растет Следовательно, минимальный объем у газа был в начальном состоянии, г е Vi = Vmin = 1 л Изменение внутренней энергии газа
Ли = их-и2 = vCv(T2 - ТД,
где по условию Т2 = Tf/k Начальную температуру газа Т2 можно найти из уравнения состояния
PiVi - 1/Л71
ФИЗИКА * ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 6
Таким образом,
ДП = uCvT^/k - 1) = PiVtC^l - k)/kR = -75 Дж
3.	1) £ = /0(7?! + R2) 2)Q=
Решение В момент замыкания ключа К разность потенциалов на конденсаторах С\ и С> равна нулю, а диод D2 заперт Следовательно, батарея замкнута на два последовательно соединенных резистора сопротивлением Ri + R2 Таким образом, согласно закону Ома ЭДС батареи равна
£ = Iq(Ri + R2)
В установившемся режиме разности потенциалов на резисторах равны нулю, диод 7Д открыт, а диод D2 закрыт Разность потенциалов на конденсаторе Ci равна нулю Поэтому напряжение на конденсаторе C2Uc, = £ Заряд конденсатора С2 равен
q = С2£ = C2I0(Rl + R2)
Работа, совершенная батареей в процессе зарядки конденсаторов, равна
А = д£ = C2I2{RY + 7?2)2
Энергия, полученная электрической системой, равна
РИ = 92/2С2 = С272(Л1 + Л2)/2
Из закона сохранения*энергии
A = W + Q, где Q — выделившееся тепло Очевидно, что (? = СД2(Л1+Л2)2/2 л - а2в1 4-v - 31рМ
Решение Рассмотрим произвольный момент времени в процессе установления магнитного поля В этот момент в рамке и стержне зекут токи, которые изображены на рис Из условия непрерывности тока следует, что
72 =7 + 71
Закон Ома для контура ACDFA имеет вид a2I^BIAt = 3/2pa7i - pal
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 6 39
Аналогичный закон для контура FDNMF позволяет записать
3/4а2ДВ/А£ = bTlpal^ + pal Из совместного решения предыдущих трех уравнении получим, что
I = 2a/31pAB/Ai
л	л	п г, к задаче 4
Сила Ампера, действующая на стержень DF,
Fa = 1аВ = 1а.2/31рВАВ/Ы
Импульс силы, подействовавший на стержень за время установления индукции магнитного поля, очевидно, равен импульсу стержня, который он приобрел за это время
Fadt = a2/31pd(B2) = а2В1/Пр = Mv Отсюда
v = a2B^/31pM
Решение До смещения источника S' по формуле линзы найдем расстояние b от изображения источника до линзы
l/d + Z/6= -1/F О гсюда
b = dF/(d + F) = 8 см
Источник, его изображение и оптический центр линзы всегда лежат на одной прямой Поэтому проведем прямую через смещенный источник S" и его изображение (точка В) На рис это прямая S"B Точка О' является новым, оптическим центром линзы Следовательно, линзу надо сместить вниз на расстояние ОО', которое обозначим через L Расстояние L найдем из подобия треугольников S'S"B и ВОО'
L/h = b/(d- b)
40________ФИЗИК 4 ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билех 9
01 сюда
L = bh/(d -b) = hF/d = 1,25 см
БИЛЕТ 7
1.	1) v =	2) FTp = mg(2^ —2 + 3cosa) sma = || mg
2.	1) Ртлх = k2Pmin — 9 105 Па 2) V2 = |	= 0,17 л
3-	J =	2) Q = 2 C^+Ci £2
, I 2k
n\J M + {Biyc kF _ „
БИЛЕТ 8
i. 1) v =	2) Flp = mg^
2.1)V1 = ^F = P 2) a = I	= 105 na
3. 1) £ = JoFi 2) Q = (C| +
= a2ViB0
112pM
БИЛЕТ 9
1. 1) V! = uy/3 ~ 12 м/с 2) v2 = 3u w 21 м/с
2.1) Qr = |A 2)X = ^RT0
3.Q = ~
4.F = 2a---= 36 cm
Г1 —|r
5. F = Зтг^ I «7,5 10~7Я
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Биле, 10
БИЛЕТ 10
1. 1) v0 =	= 1 м/с 2) Vi = v2\/3 = 3 м/с
Решение Перейдем в систе-
му отсчета, связанную с плитой В VZ- Vg 1 этой системе отсчета скорость мяча	\
v — vi—vg и направлена вертикально вверх (см рис ), составляя угол 7 с нор-малью к поверхности плиты (угол паде-	7 '
ния) Относительно плиты мяч отскочит
,	к задаче 1
со скоростью v — v под углом отраже-
ния, равным углу падения 7 Векторное сложение относительной скорости v' и скорости плиты «о даст скорость v2 мяча относительно Земли (см рис ) Имеем
vo = v2/ tg27 = v2/\/3 = 1 м/с, v — v2/sin 27,
vi = v + vo = v2/tg7 = v2\/3 = 3 м/с
Решение Давление насыщенного пара зависит только от температуры, которая по условию в нижней части поддерживается постоянной Следовательно, давление пара и давление гелия остается в процессе постоянным (гелий отделен от пара подвижной перегородкой) При увеличении температуры гелия в процессе с постоянным давлением подведенное тепло Q идет на увеличение внутренней энергии и совершение работы гелием против силы давления пара
Q = vCv(T2 - Т\) + Р(У2 - У0 = v(Cv + Л)(Т2 - Тх)
Итак, для гелия
ДР = Q/v(Cv + R) = 2Q/51/P
При конденсации пара массой Дтп при постоянном давлении выделяется тепло в количестве АДт, которое и нужно отвести Чтобы найти массу Am сконденсировавшегося пара, надо приравнять величину работы, совершенной гелием
Д. = 1/Л(Т2 - Ti) = QR/(CV + R)
42 ФИЗИК 4 ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билс, 10
к вс шчине работы пара Лп при постоянном давлении и температуре
Лп = Р(И2 - И) = (т2 - mi)RT0/nu - AmRT0/pn
Таким образом,
QRI(Cy + R) = AmRTo/цп, Ат = Qp.n/(CV + R)T0
Окончательно тепло, которое необходимо отвести от пара Qi ~ АДт — ApnQ/(C7v 4- R)Tq = 2рпА<3/§RTq
3’	= 2т(7? + г)
Решение На рисунке изображены токи в участках цепи в произвольный момент после замыкания ключа К Токи через резисторы R всегда равны Из непрерывности тока ток через катушку
Л = 1-1п,
а Ток через резистор г
Ir^I + In
Закон Ома для контура, содержащего катушку и резистор г, имеет вид
LML/bt = (I + Ia)r-Iir
После подстановки первых двух уравнений в третье получим LbhJM = (/ + Ь)г - {I - /п)г - 2г/п
Из последнего уравнения следу ет, что = 2г/пД£
Учитывая, что начальный ток через катушку равен нулю, а конечный равен установившемуся току /ytT, находим заряд, протекший через перемычку АВ
LIycr = 2rQ,
Q = Ыу^/2г
Поскольку установившийся ток через катушку /уст = £/(Л + г),
к задаче 3
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Би чет 10
то заряд равен
Q = ££/2r(P + r)
к задаче 4
Решение Из формулы линзы (см рис )
1/а — 1/6 = 1/F
при условии что 6/а = Гх следует, что 6 = F Общее увеличение, даваемое системой «линза-зеркало» равно Г2 = ГхГ'р где
Используя формулу линзы для предметов S> и S3 (S> — изображение предмета Si в зеркале), получаем
Расстояние ог линзы до изображения предмета S3 даваемого системой
d=F(P'1 + l) = (6+2c)r'1,
Р(Г2/Г1 + 1) = (6 + 2с)Г2/Г1
Отсюда для искомою расстояния с находим
с = F/3 = 5 см
WS
Решение Мощность излучения, падающего на зеркало, jV3 = WS/(4ttB2)
Импульс фотона Рф и его энергия Еф связаны соотношением
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билес 12
Рф = Еф/с Здесь с = 3 108 м/с — скорость света Поэтому импульс Р падающею на зеркало света в единицу времени и мощность Аг3 (энергия в единицу времени) связаны аналогич-
Р = Лг3/с
В единицу времени импульс отраженного света Рогр = 0,ЗР, импульс прошедшего света Рпр = 0,2Р, импульс зеркала Рз = = Р + Ротр — Рпр = 1,1Р, поскольку по закону сохранения р	Р Р р импульса
к задаче 5	(см рИС ) дила на зеркало F — Р
С учетом полученных выражений для Р3, Р и Лг3 находим
F = l,lNS/4irR* 1 2 * 4 *c
БИЛЕТ 11
1. 1) vi = и\/3 ~ 14 м/с 2) V2 = v (c3~s~2д — 1) = а ~ 8 м/с
2_1)A = ^og
4. а — 2 см
5. F =	д/2(1 - cos а) = 0,67 ЮГ7 Л
БИЛЕТ *2
1- !) «о =	= 2 м/с 2) Ci = v2tgip =	« 2 м/с
2. DQ- AAm 2) Qr = | RT0
з о —
4. F = и 5,7 см
5-Р=^^^0,74 10-12Я
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
1.	(0,1«6зЙ), (lo6sg,M)
Решение Возводя в квадрат обе части второго уравнения системы, получаем х + у2 - х2 + 2ху + у2 или
х(х + r2y - 1) = 0,	(1)
откуда следует, что либо х = 0, либо i = 1 — 2у
Уравнение (1) равносильно второму уравнению исходной системы, если
х + у^О	(2)
а)	Пусть х = 0, тогда из первого уравнения получаем
„v 36	36
3 -	, откуда у = log3 —
Пара чисел ^0, log3 удовлетворяет условию (2) и является решением исходной системы
б)	Пусть х = 1—2?/, тогда из первого уравнения системы получаем 32-v + 73w-2 = 8 или t+y = 8, где t = З2-^, Уравнение t2 — 8t + 7 = 0 имеет корни И = 1,	= 7
Если t = 1, то 32-w = 1, откуда у = 2, а = — 3 Пара чисет (—3,2) не удовлетворяет условию (2)
Если t - 7, ю 32-у = 7, 3* = у = log, у, х = 1 -21og3 | =
,	49
=108з 27
Пара чисел (log3 , log3 у) удовлетворяет условию (2) и является решением исходной системы
2ТГ	7Г 7ГА1	I 7Г . п	и
. I = 2 + 7ГТг’ х = 4“ + "з-’ х ”	3 + п €
Решение Из формул для cos За, и sm3x следует, что
cos3 х = - (cos Зх + 3 cos х), sm3 х = - (3 sm х — sm За)
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Биле1 1
Поэтому
cos3 х sin Зх + sm3 х cos Зх = - (sm Зх cos х + sm a cos Зх) = 3
= - sm 4а, = 3 sm х cos х cos 2т,
и исходное уравнение при условии sm х ф О равносильно каждому из уравнений
3 sm a cos х cos 2а = 6 sin a cos* 2 a. cos 2а, cos х cos 2х ^cos х — — =0
3. х < —2, х = —1, х > 3
Решение Область Е допустимых значений неравенства определяется условиями т2 — х — 2 = (т — 2)(т + 1) Ои у/а,2 — д — 2 0, 1 е Е объединение промежутков х < — —2 — 2 < х —1, 2 т < 3, х > 3 Следовательно Е — внешнее!ь интервала (—1,2) с выброшенными точками -2 и 3 (см рис )
к задаче 3
Рассмотрим два возможных случая 2 — у/а,2 — г — 2
2 < Ут2 - а - 2	(3)
На множестве Е неравенство (3) равносильно каждому из неравенств 4 < х2 — х — 2, (х + 2)(х — 3) >0 Поэтому числа из промежутков х< — 2 и а>3 — решения исходного неравенства, так как левая часть исходного неравенства отрицательна при условии (3), а правая положительна при всех а б) Пусть
2 > у/а,2 — а: — 2	(4)
Множество Е\ решений неравенства (4) — это множество ре-
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билег 1 47
шений системы
Следовательно, Е\ — объединение промежутков (—2,1] и [2,3) На множества Е\ исходное неравенство равносильно каждому из неравенств 2 — у/х2 — х - 2 у/х2 + 3,
2 - у<г2 + 3 у/х2 -х-2	(5)
На множестве Ех левая часть (5) отрицательна при х — 1 и равна нулю при х = -1 Правая часть (5) положительна при х е Ei, х ф -1 и равна нулю при х = — 1 Следовательно х — — 1 -- единственное решение исходного неравенства при выполнении условия (4)
к задаче 3
Решение Обозначим АВ = х, AD = у, ABAD = а, ААСВ = <р Тогда AABD = tp Из подобия треугольников АВС и ABD (см рис ) АВ AD 3 следует, что	от-
куда АС = х Из треугольника
АВС по теореме косинусов получаем
ВС2 = АВ2 + AC2- 2АВ AC cos а,
2 , 16 2	4	1	17 2
те 16 — х Ч-----х — 1х —х - = —г ,
9	3	3	9’
л о	12
откуда АВ = х =
По свойству касательной и секущей АВ2 — AD АС, те х2 = у х, откуда AD = -^= DC = АС — AD = -^= —
9 _ 7
^7Т7~7Т7
rr d	г, BD 3
Пусть R — радиус окружности, тогда R =	= 2 sini/?
Из треугольника ABD по теореме синусов имеем —— =	,
J	J	sm ip sm a ’
48_____МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Бине! 1____
2л/2	Л£> sin а „ /Т „	3/L7
где smo = —, sin^=----з--= R =
5. Минимальный путь состоит из отрезков SP и PF, где Р е ВС, ВР=±ВС
Решение При решении задачи следует иметь в виду что 1) кратчайший путь между двумя точками — отрезок, соединяющий эти точки, 2) для нахождения кратчайшего пути муравей должен сначала ползти в плоскости АВС по прямой до некоторой точки М ребра ВС (см рис ) а затем -в плоскости BDC по прямой из точки к задаче 5	М в точку F
Задача сводится к нахождению такой точки Р на ребре ВС, чтобы для любой точки М е ВС выполнялось неравенство
SM -u MF SP + PF
Для нахождения точки Р развернем грань В DC так, чтобы отрезок ВС остался на месте, а вершина D совпала с точкой А Так как MF = МК, где К — середина АС, то длина пу-1И муравья равна SM + МК Этот путь будет минимальным, если точки S, М и К лежат на одной прямой Точка Р, в которой пересекаются отрезки ВС и ЯК, есть точка пересечения тедиан треугольника ASC и поэтому ВР = ВС
6. Ioccos И 2)-^ 3)2
Решение 1) Пусть ADAB = ADCB = а, тогда tgn = — соьа = Если Сд - середина отрезка DC\, то А[С> || ACi и поэтому угол между прямыми BAi и АС\ равен углу между прямыми ВАг и AiC>
Так как DC =	= 4 Лё, СС2 = |DC = 3Лё, то из
АВСС> по теореме косинусов имеем
ВС; = СС% + ВС2 - 2 СС> ВС cosa=102
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Bmiei 1
49
Пусть АС^А^В = fl Тогда из AAtC^B по теореме косинусов находим
ВС22 = А1В2 + Л1С'22-2Л1В ArChcosfl, где Л1С’2 = |ЛС’1 = |Л1В
Отрезок А]В можно	&
найти либо по теоре-	Лч
ме косинусов из AAAi В,	/ 1 \ С2
либо с помощью равен-	/ Д \ q
ства 4AiB2 + AD2 =	/ '' I	X. 1
= 2(АВ2 + ОВ2), где	Л1/' А- \
АВ2 = 48, AD2 =	/\ , 'И X
= BD2 = DC2 = 160	/ X °',
Следовательно, АХВ2 =	/ ,	\_--rT	/
= 64, ЛВ = 8, AiC2 =	"Л ' ; 1	/
= 4 и 102 = 64 + 16 -	F Уе|	/
— 2 8 4 cos fl, cos^ - -g и между прямыми ACi равен arccos
32	к задаче 6
2) Пусть х — расстояние между прямыми BAi и ACi Тогда х = где Vi - объем пирамиды ABAiC Но V = | V, где V — объем пирамиды ABCD
откуда угол <р ВА, и
Если Е — центр основания ABCD, то DE — высота пирамиды ABCD, причем DE = у/DC2 - ЕС2, где ЕС -	= 4
v3
Следовательно, DE - л/160 - 16 = 12, V = | (АВ)2 х xDE — 48д/3, Vi = 12\/3, х =	X где simp =
о о sm ip	г
3) Пусть О — центр сферы, касающейся плоскости АВС и
50
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билеч 3
отрезков ACi, BAi и СВ\ Сфера касается основания пирамиды в точке Е, а ее центр лежит на высоте DE пирамиды
Если F — точка касания сферы с отрезком то OF ± ± BAi и BF = BE (касательные, проведенные к сфере из одной точки равны) Так как BF = BE = ЕС = 4, a BAi — = 8, то F - середина BAi Пусть г — радиус сферы, тогда ОЕ = OF = г,
ОА2 = AiF2 + г2 = 16 + г2
С другой стороны, по теореме косинусов из A.DOA{ имеем О А2 = DAl + DO2 - 2£»Ai DO cos 7, где 7 = AADE, DAi = 2\/10, DO = DE-г = 12-r и . AE 1	3
Ho tg7 = -g-g = 3, cos 7 = Следовательно,
16+г2 = 40+(12-г)2-2 2\/10 (12 - г)-|= , откуда 1—2
БИЛЕТ 2
1.	(О, log2 , (2 log2 7-6,4- log2 7)
2.	а = т = ± ^ + 2Л-П, п е Z
3.	х < -1, х = 0, х > 4
4.	ЛС = 32Д,ВС = 4^|,К = З^Т
5.	Минимальный путь состоит из отрезков SP и PF, где РеВС РВ-^ВС
6.1)агссо8^,2)--^,3)|
БИЛЕТ 3
1-	(°-l°g5 jg), (21og5 8 — 3,2 — log5 8)
2.	I = 7ГП, X = J + Д, X = ( — 1)"	+ 1ГП, n e Z
3.	r < —4, X = —2, X > 6
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Биле1 5 51
5. Минимальный путь состоит из отрезков SP и PF, где Р ЕВС,ВР=^~-
6. 1) arccosji, 2) -J==, 3) 4
БИЛЕТ 4
1. (o,log3^), (21og3 8 — 4, 3 — log3 8)
2ТГ 7Г71	/	-| \n_L-1 7Г	ryj
. х = тт, х =	х = (—1)"+1 g- + тгп, п € Z
3.	х < —4, х = —3, х > 1
4.	АВ = ^,ВС= R = 1^/3
5.	Минимальный путь состоит из отрезков SP и PF где Р е ВС, ВР = у2
6.	1) arccosjji, 2)	3) у
БИЛЕТ 5
1.	2,1 = -6, ад = 4
Решение Пусть t = \/г2 + 2ж — 8, тогда 2х2 + 4а — 23 = = 2t2 — 7, и уравнение можно записать в виде
д/212 - 7 = t + 1
Возводя обе части полеченного уравнения в квадрад имеем 2/2 -7 = t2 + 2/ + 1, или «2 — 2/— 8 = О,
откуда И = —2, t2 = i____
Так как t 0, то Vx2 + 2з -ft = 4, х2 + 2х - 24 = 0, хг = = —6, Х2 = 4 Числа Xi и х% являются корнями ИСХОДНО1 о уравнения
о	2тг ,	4тг	„
2.	х — тгп, х = у + тгп, х = у + тт, п
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Биле-1 5
Решение Допустимые значения х определяются усло-
вием
cos За, О,
(6)
так как все корни уравнения cos х = 0 являются корнями уравнения cos 3 г = О
Функции tga, tg За и |sma| — периодические функции с
периодом /г и поэтому достаточно найти решения исходного уравнения на промежутке [О,тг)
Если 0 $ а < л- и выполняется условие (6), то исходное
уравнение равносильно каждому из уравнений sin 4х
sm a sm За cos a cos За
sm(cos2a — cos За) = О,
ьш I sm -
sin — = О
(7)
Все корпи уравнения sin| = 0 удовлетворяют уравнению sm I = 0, а решения уравнения (7) задаются формулами 2тгА:
а = тгА:, а = —“ , к 6 Z	(8)
Из множества чисел (8) промегкутку [О,тг) принадлежат числа О, у иу Поэтому множество решений исходного уравнения .1	2тг ,	4тг ,	™
задается формулами т = тг/г, а = -у + 7гп,г = -Е- + тгп,
3.	-4 < а < 1 - 2 х/б, - а/15 а <£ - у, -3 sj a sj л/15,
1 +2х/б < а < 6
Решение Область Е допустимых значений неравенства определяесся условиями 2г + 9 > 0, 2а + 9 £ 1, 24 + 2а — а“ = = (а + 4)(6 - з) > 0, 24 + 2а - а2 £ 1 Отсюда следует, что Е — интервал (—4,6) с выброшенными точками ai = 1 — 2х/б, аг = 1 + 2\/б, где Х[ кз —3,8, аг « 4,8
Обозначим t = log2c+g(24 + 2a —а2), тогда неравенство при-. , 2 . , (t —l)(t-2) , „
мет вид t + - $ 3 и пи 1---------L С 0, откуда следует, что
либо t < 0 либо 1 t 2
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5 53
а)	Пусть t < 0, т е
log2j:+9(24 + 2л — л2) <0	(9)
Если х € Е, то “2х + 9 > 1 и неравенство (9) на множестве Е равносильно неравенству 24 + 2л — л2 < 1 или
(л-лх)(л-л2) > 0
Поэтому множество решений неравенства (9) — объединение интервалов (-4,2^ и (лг,6)
б)	Пусть 1 < t < 2, т е
1	l°g2.+9(24 + 2х - л2)	2	(10)
Так как 2х + 9 > 1 на множестве Е, то неравенство (10) равносильно неравенству
2х + 9	24 + 2х - х2 < (2х + 9)2,
которое равносильно системе неравенств
Г 5х2 + 34л + 57 = 5(1+ 3) (х + у) 0,	С11)
1л2 ^15	(12)
Множество решений неравенства (11) - объединение промежутков л < —Зил	а множество решений неравенства (12) — отрезок [-х/15,х/15], где лх < -\/15 < -	< -3
\/15 < Л2 (см рис ) Следовательно, множество решений нера-
к задаче 3
венства (10) состоит из отрезков | — л/15, - и [-3,л/15]
4. 1)	2)
Решение Пусть А2В2С2 - треуюльник, образованный пересечением прямых AAi, BBi и CCi (см рис ), ABAAi = = ACAAi = a, AABBi = fi Тогда ABiBC = ACiCA = fi
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
sm/3 = cos 2а — cos а
= , sin а =
'Тб
AC1=AC ^p=^AA2 = ^ = y/l
1) Если Si - площадь треугольника AA2C, to Si = | AA2-AC sin a =
2) Если S2 — площадь треугольника A2B2C2, to S2 = 2 A2B2 A2C2 sintp, где <p- AB2A2C2 = /.CiA2A = ^-a, и
поэтому sm 99 = cos а = Так как
Л2В2 = ав2 - аа2 - — -	-
= CCi - С1А2 - сс2 =
= ACcos/3- AA2sina —
с У15
то S2 = w
Решение Складывая первое неравенство со вторым, х множенным на 2, находим т2 — бху + 9?/2 + 6(х — Зу) +9^0, или [(а: — Зу) + З]2 $ 0, откуда х — Зу + 3 = 0 Подставляя х = Зу — 3 в исходную систему, получаем систему неравенств (9у2 - 18г/ + 9 + 9г/2 - 18г/ о, [ бу - 6 + з - 2(3?/ - з)г/ с о, которую можно записать в виде
(2г/2 - 4т/ +1 о,
12г/2 - 4г/ +1 о, откуда следует, что г2у'2 — 4г/ + 1 =0 Решив систему уравнений
\ 2г/2 - 4г/ + 1 = О, найдем два ее решения, которые являются решениями исходной системы неравенств
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Виле-х 6
Решение Пусть Ok — центр к-го шара радиуса г (к = 1,2,3), А — центр треугольника O1O2O3, В — точка ка-
сания шара радиуса R с одним из трех одинаковых шаров г (например, с первым), С — центр шара радиуса R, О — центр шара, касающегося всех четырех шаров (см рис ), а, — его радиус Тогда (?! А = ^=, О\С — r + R, ОС = R+x, OOi — г + х Точки С и О должны лежать на перпендикуляре к плоскости О|О2О3, проведенном чедмдмгочку А
Чтобы шар радиуса R касался трех равных шаров радиуса г, должно выполняться условие OtC ОгА, те R + г или R2 + 2Rr — у О
Обозначим а = ZOiCA, то-
27
гда sin а = 7=-- — , cos а =
V31K + г)
Применяя теорему косинусов в треугольнике О]СО, полу-
чаем
OiO2 = COl + СО2 - 2 COi СО cos а, те
(г + х)2 = (R + г)2 + (R + х)2 - 2(R + r)(R + х) ,
R(R + r-b)
откуда х = ь— д L
БИЛЕТ 6
1.	Xi ~ 6, х2 = -2 Г»	7Г	Зтг .	5тг ,	гт,
2.	X = у + 7ГП, X =	+ 7ГП, X =	п € Z
56 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 8
3.	-11 < я < -1 - Зх/П, -х/79 х ^7, х х/79, -1 +
+ 3\/1Т < х < 9 . 3\/35 4х/35 7 ’ 105
БИЛЕТ 7
1. Z.J = -3, 12 = 9
2 7Г .	ЗтГ	7Г	— га
.7 = 2+ 7ГП, X = —	+ 7ГП, X = 1Q + 7ГП, П 6 Z
БИЛЕТ 8
1. Xi = —6, х% = 10
2	3тг ,	7Г ,	5тг .	_ „
. х — — -Ji + 7ГП, а — 11 + 7ГП, X = J1 + 7ГП, п 6 Z
+ 2Уб<1 < |
4 3у/35 4735
7 ’ 105
_____МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билег 9_57
5. (-1 + У2, —Зх/2), (-1 - у/2, Зу/2)
бдгг/ у +
г+ R+ ^R2 - 2Ят - у
БИЛЕТ 9
Решение Область допустимых значений неравенства определяется условием х2 + Ьх + 6	0, откуда
х -3, х -2	(13)
На множестве (13) исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
х1 + 5х + 6 < 1 + 2\/12 + 1 + 1 + х2 + х + 1,
2(1 + 1) < \/i2 + i + 1	(14)
Если х + — 1 и выполняются условия (13), то неравенство (14) является верным, и поэтому значения х из промежутков 1 -Зи —2 <С х + — 1 — решения исходного неравенства
Если левая часть (14) положительна и выполняются условия (13), те х > —1, то неравенство (14) равносильно каждому из неравенств 4(х2 -г 2х + 1) < х2 + х + 1,
312 + 71 + 3 < 0	(15)
Так как уравнение 3х2 + 7х+3 — 0 имеет корни xi = 7- 6, -7+У13	,	.
12 = g , где xi<— 1,12 > — 1, то решения неравенства (15), удовлетворяющие условию х > —1, образуют интервал -1 < х < хг
2. х — — arctg 2 + ТТН, х = — arctg | + тгп, п € Z
Решение Преобразуем левую часть уравнения, пользуясь тем, что
cos 41 + cos 2i = 2 cos 31 cos i, cos 31 + cos i = 2 cos 2i cos i, sm 4i - sm 2i = 2 cos 31 sm i, sm 3x — sm i = 2 cos 2i sm i
58 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Биле1 9
Получим
2 cos z (cos Зх + cos 2х)
2 sm x(cos Зх + cos 2x)
При преобразовании правой части уравнения воспользуемся формулами
1 - 2 sm2 х = cos 2х — (cos х + sm ж) (cos х — sm х),
Область допустимых значений уравнения определяется условиями
X Зх
cos Зх 4- cos 2х = 2 cos - cos — О, / (16) ыпа у- 0, sm J £ О
а)	Если cos2а 0 и выполняются условия (16), то исходное уравнение равносильно уравнению
cos х = 2 cos х + 2 sm х, откуда tg х = — - ,
х = - arctg - + тгп, neN	(17)
Значения х, определяемые формулой (17), удовлетворяют условию cos 2т >0и являются решениями исходного уравнения
б)	Если cos 2а, < 0 и выполняются условия (16), то исходное уравнение равносильно уравнению
cos./, = —2(cosa: + sin г), откуда tgx = — | , 3
х = — arctg - + тгп, п Е Z
Эти значения т также являются решениями исходного уравнения
3. Л1П2 = 8, BYB2 = 4, АВ2 = 2, АВ = 10, ВВ2 = 4 Уб Решение Пусть Е и F — проекции точки О2 на прямые OMi и OiBi соответственно (см рис), OiAi = OiBt = Л, О2А2 = О2В2 = г, ОгО2 = I Тогда OiE = R-r, O]F = = R + г и из прямоугольных треугольников О\ЕО2 и OiFO2
находим AiA2 = У/2 - (Я - г)2 = ^70- (v^)2 = 8, В| Bj = = \/l2 — (R + г)2 = л/?0 — (3-\/б)2 = 4 Обозначим ВВ2 = а, АВ2 = Ь, АВ = с По свойству касательных имеем АА[ = = ABi, АВ2 = АА2, откуда Л>А2 —b = BiB2 + b, 8 — b = 4+ Ь, b = 2 Из подобия треугольников А2ВО2 и В2АВ следует что
О2А2 _ АВ2
ВА2 ВВ2 ’ 1 е
, „ а>/б откуда с + 2 = ——
По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности С2 из точки В, имеем
а(а + 2г) = (с + 2)2 = |а2, откуда а = 4л/б, с = 10
4-г> ¥ Д2) 5V5’3)arcsm5
Решение Пусть О — центр основания ABCD, Q и Т — проекции точек S и О на плоскоеib EFK, L - проекция точки К на плоскость ABCD (см рис ) Так как EF || BD то плоскость EFK пересечет плоскость SBD по прямой MN (М g SB, N 6 SD), параллельной BD, а в сечении образует ся пятиугольник EMKNF, составленный из равнобедренной трапеции EMNF (ЕМ = NF) и равнобедренного треуголь-
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
ника MKN {МК = KN) Пусть АВ = a, SO = h, AS АО = а, тогда АО = -^=, h = tg or, где tga = y^j, sina = y^|, h =
пиков PGO и PKL
следует, что GO =
= | KL где KL = | h Поэтому GO = \/3
Пусть AOPG = p, тогда tg p =	= y^|, sin/3 = y^f,
=ДpG=GK=^PG=SКроме гою MN = I BD = EF = | BD = Следователь-но площадь сечения
a=\{EF + MN)PG+1-MN lpG^~^-
2) Пусть <p -- угол между боковым ребром пирамиды и SQ
плоское 1ью EFK. тогда sin^> = где = cos Р (AGSQ = AOPG = р), SN = SG Следовательно, ып<^> = cos/3sma = |, ip = aicsm|
3) Пусть d — расстояние от точки D до плоскости EFK
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Виле. 9
Так как прямая BD параллельна плоскости EFK, то ОТ = d. где ОТ = OP sin Р =
5. Ц^<о$2
Решение Исходное уравнение равносильно уравнению logger + \/2-а) =log5(a - 1 -я) + log5 3,	(18)
а уравнение (18) равносильно системе
(	л + у/2 ~ а = 3(a — 1 — а),
(	а — 1 > х, откуда следует неравенство
1 - a < УГЛС	(19)
Для решения неравенства
(19)	построим графики \
функций	а/2
у = 1— а и у — у/2 — а	\	-----
(см рис) Из рисунка
видно, что множество ре-	'у
шений неравенства (19) -_____________\_______у
промежуток (а-1,2], где си	0	\	v
- корень уравнения
1 — a = а/2 —~а	(20)	к задаче 5
такой, что aj < 0
Из (20) следует, что (1 — а)2 = 2 — а или а2 - а - 1 — 0, 1 - л/5 откуда ai = —г,—
6. (0,0,0), (| ,-5,-	(7,-7,-7)
Решение Вычитая из второго уравнения умноженного на два, первое и третье, получаем
y(z-x-2y)^0	(21)
Уравнение (21) вместе с первыми двумя уравнениями данной системы образует систему, равносильную данной Из (21) следует, что либо у — 0, либо
z = х + 2у	(22)
62 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Вилех 11
Если у = 0, гох = 0, z = 0 и (0,0,0) - решение исходной системы
Если справедливо равенство (22), то из первых двух уравнений исходной системы получаем
( 9а + 2у + ху - 0,	(23)
t 4а - Зу - у2 3 = 0	(24)
Вычитая из уравнения (23), умноженного на 4, уравнение (24), умноженное на 9, находим
35</ + 4ат/ + 9у2 = </(4а + 9у + 35) — 0, откуда
4а = —9у- 35	(25)
Из (24) и (25) следует, что у2 + 12у + 35 = 0, откуда
У1 = -5, У2 = —7
Если у = —5, то из (25) и (22) находим а = z = — а если у = —7, то а = 7, z — —7
БИЛЕТ 10
2.	I. = arctg 2 + тгп, п е Z
3.	А1А2 = 7, BiB2 = 5, АВГ = 6, АВ — 12, BBi = 6у/3 л п 25	2^2	12
4.	!) ^,2)	3) arcsm^
БИЛЕТ 11
2. а = - arctg i + тгп, а = — arctg | + тгп, п е Z
3. АгА2 = 8, BjB2 = 4, ABi = 2, АВ = ВВг =
63
_____МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Виле! 12
4.1)	|, 2) |, 3) arcsm^
5.	- —+/17 < а 3
6.	(0,0,0), (4,12,-4), (1,6,-4)
БИЛЕТ 12
1.	-—< х 1, х 3
2.	х = | arctg 2 + тгп, п £ 1
3.	ЛМ2 = 7, BiB2 = 5, ВВ2 = АВ = АВ2 = 6
4’	“7ч’ 2) ч4ч’ 3) arcsin^F
уо эуо	J
5. -5 < а 4
в. (0,0,0), (-4, -2, |), (1,1,1)