БИЛЕТЫ
ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В МФТИ (2000 г.)
МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ
ПО ФИЗИКЕ И МАТЕМАТИКЕ
МОСКВА 2000
УДК 53(075)
ББК 22.3
Б61
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (2000 г.): Методические разработки по физике и математике. — М.: МФТИ, 2000. — 46 с.
ISBN 5-7417-0166-3
Приведены задания, предлагавшиеся иа вступительных экзаменах абитуриентам Московского физико-технического института в 2000 году. Все задачи снабЗкены ответами, часть — подробны-
ми решениями, некоторые — основными указаниями к решению.
На выполнение каждой экзаменационной
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также преподавателей школ с углубленным изучением физики и математики.
УДК 53(075)
ББК 223
ISBN-5-7417-0166-3
© Московский физико-технический институт (государственный университет), 2000
© Коллектив авторов, 2000
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 1
3
ФИЗИКА
БИЛЕТ
1.	Монета скользит по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а и имеет в точке С скорость vq (см. рис.). Через некоторое время монета оказалась в точке D наклонной плоскости, пройдя путь S и поднявшись по вертикали на
высоту Н. Коэффициент
трения скольжения между монетой и наклонной плоскостью //.
Найти скорость монеты в точке D.
2.	В вертикально расположенной тонкой трубке длиной 3L — 840 мм с открытым в атмосферу верхним концом, столбиком ртути длиной L — 280 мм заперт слой воздуха длиной L. Какой максимальной длины слой ртути можно долить сверху в трубку, чтобы она из трубки не выливалась? Внешнее давление Р$ = 770 мм рт. ст.
3.	Сложный .воздушный конденсатор состоит из четырех пластин, удерживаемых на равных расстояниях d друг от друга. Пластины 1 и 3 закорочены. Пластины 2 и 4 подсоединены к источнику с ЭДС £. Определить силу, действующую со стороны электрического поля на пластину 3. Площадь каждой пластины — S, а расстояние между ними
к задаче 3
много меньше размеров пластин.
4.	Плоскопараллельная пластина составлена из двух стеклянных клиньев с малым углом а = 5° Показатель преломления клиньев щ — 1.48, п,2 = 1.68. На пластину нормально ее поверхности падает параллельный
к задаче 4
собирающая линза с
пучок света.
За пластиной расположена
фокусным расстоянием F = 60 см. На экране, расположенном в фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая точка. На
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 2
сколько сместится эта точка на экране, если убрать пластинку?
У Казани е: для малых углов х справедливо sinr ~ х.
5.	Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с
малым затуханием, изображенном на рисунке, индуктивность
к задаче 5
катушки быстро (по сравнению с периодом колебаний в контуре) увеличивают на небольшую величину AL (ДЛ L) каждый раз, когда ток в цепи равен нулю, а через время, равное четверти периода колебаний, также быстро возвращают в исходное состояние. Опре-
делить величину ДЛ, если L = 0,15 Гн, С — 1,5 • 10 7 Ф, R =
- 20 Ом.
БИЛЕТ 2
1.	Небольшая шайба на нити длиной I может вращаться
вокруг неподвижной оси О, скользя по наклонной плоскости
к задаче 1
низкой точке траектории.
с углом наклона к горизонту /3. Шайбу поместили в точку А наклонной плоскости, соответствующую горизонтальному положению нити, и отпустили. Определить скорость шайбы в точке В — самой Коэффициент трения скольжения
шайбы о наклонную плоскость /1. Нить всегда параллельна на-
клонной плоскости и не задевает ее.
2.	Имеется Г-образная тонкая трубка постоянного внутрен-
него сечения и общей длиной 3L = 1260 мм. Между слоем
воздуха длиной L — 420 мм и атмосферой находится слой ртути той же длины L (см. рис.). Какой длины слой ртути останется в трубке, если вертикальное колено повернуть на 180°, расположив его открытым концом вниз? Внешнее давление Pq — 13Ь мм рт. ст.
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 3 5
о	4
3.	Четыре проводящие пластины удер-	  у —
живают напротив друг друга. Расстояние । — —А—-между соседними пластинами d. Пластины g2 Г»?, ! — gj 1 и 4 подсоединены к источнику с ЭДС £i, А— —« пластины 2 и 3 подсоединены к источнику к задаче 3 с ЭДС £2- Определить силу, действующую на пластину 2 со стороны электрического поля. Площадь каждой пластины S, а расстояние между ними много меньше размеров пластин.
экране, если
к задаче 5
4.	Стеклянный трапецеидаль- —► ный сосуд с малым углом а = 6°	**
заполнен водой с показателем пре-ломления п ~ 1,33. На сосуд па- __
дает параллельный пучок света. ___►
За сосудом расположена собираю-	к задаче 4
щая линза с фокусным расстоянием F — 50см. На экране, расположенном в фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая точка. На сколько сместится эта точка на убрать сосуд? У Казани е: для малых углов х справедливо sinT ~ х.
5.	Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с малым затуханием, изображенном на рисунке, емкость конденсатора быстро (по сравнению с периодом колебаний в
контуре) увеличивают на небольшую величину ДС (ДС < С) каждый раз, когда напряжение на нем равно нулю, а через время, равное четверти периода колебаний, также быстро возвращают в исходное состояние. Определить величину ДС, если L = 0,1 Гн, С = IO’7 Ф, R = 30 Ом.
БИЛЕТ
1.	Широкая доска наклонена под углом а к горизонту (см. рис.). Небольшой шайбе сообщили в точке А доски скорость и, направленную вдоль нее. Через некоторое
к задаче 1
6 ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 3
время шайба оказалась в точке В, сместившись по вертикали на Н вниз и имея скорость 2v. Какой путь прошла шайба между точками А и В7 Коэффициент трения скольжения шайбы о
доску /л.
2.	В вертикально расположенной трубке постоянного внутреннего сечения и длиной 3L = 1080 мм с открытым в атмосферу верхним концом, столбиком ртути длиной L = 360 мм заперт слой воздуха тоже длиной L. Какой длины столб ртути останется в трубке, если ее перевернуть открытым концом вниз? Внешнее давление Р$ ~ 774 мм рт. ст.
3.	Сложный воздушный конденсатор состоит из четы
рех пластин, удерживаемых неподвижно. Расстояние между
к задаче 3
соседними пластинами d. Пластины 2 и 4 закорочены. Пластины 1 и 3 подсоединены к источнику с ЭДС 8. Определить силу, действующую на пластину 3 со стороны электрического поля. Площадь каждой пластины S, а расстоя
ние между ними много меньше размеров пластин.
4.	Плоскопараллельная пластинка составлена из двух стек
лянных клиньев с малым углом а. Показатели преломления
к задаче 4
клиньев Til — 1,53, Ti2 — 1,73. На пластинку нормально ее поверхности падает параллельный пучок света. За пластинкой расположена собирающая линза с фокусным расстоянием F = = 50 см. На экране, расположенном в
к задаче 5
фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая точка. Если убрать пластинку, то эта точка смещается на экране на Н = — 10 мм. Определить величину угла а.
Указание: для малых углов х справедливо sinx ~ х.
5.	Для поддержания незатухающих колебаний тока в колебательном LCR контуре с периодом колебаний Т — 10~3с ин-
ФИЗИКА » ЗАДАЧИ » Билет 4
дуктивность L контура периодически изменяют во времени по закону, представленному на рисунке (ДЛ/Lo 1)- При каком максимальном значении сопротивления R колебания в контуре не будут затухать, если AL = 3 • 10~2 Гн?
Указание: уменьшение индуктивности происходит при максимальном токе в контуре.
БИЛЕТ 4
к задаче 1
1.	На нити длиной I вокруг неподвижной оси О может вращаться небольшой брусок, скользя по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 7 (см. рис.). Брусок поместили в самую низкую для него
точку К (нить наклонена под углом 7 к горизонту). Какую скорость надо сообщить бруску в точке К, вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно нити, чтобы он достиг точки Р (при горизонтальном положении нити), имея втрое меньшую скорость? Коэффициент трения скольжения бруска о наклонную плоскость д. Нить всегда параллельна наклонной плоскости и не задевает ее.
2.	U-образная тонкая трубка постоянного внутреннего сечения с вертикально расположенными коленами заполняется ртутью что в каждом из открытых колен остается воздуха длиной L = 320 мм (см. рис.), тем правое колено закрывается пробкой, кой максимальной длины слой ртути можно к задаче 2 долить в левое колено, чтобы она не выливалась из трубки?
так, слой За-Ка-
Внешнее давление Р$ = 720 мм рт. ст.
3.	Сложный воздушный конденсатор состоит из четырех пластин, удерживаемых неподвижно. Расстояние между соседними пластинами d. Пластины 1 и 4 закорочены. Пластины 2 и 3 подсоединены к источнику с ЭДС £. Опре-
4
к задаче 3
8
ФИЗИКА » ЗАДАЧИ » Билет 5
X.
делить силу, действующую на пластину 4 со стороны электрического поля. Площадь каждой пластины S, а расстояние между ними много меньше размеров пластин.
4.	На стеклянный трапецеидальный сосуд с углом наклона а = 6° падает параллельный пучок света. За сосудом расположена собирающая линза с фокусным расстоянием F = 45 см. На экране, находящемся в фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая точка. После запол-к задаче 4	нения сосуда глицерином светлая
точка смещается на экране на И = 44,3 мм. Определить показатель преломления глицерина.
Указание: для малых углов х справедливо sin х
5.	Для поддержания незатухающих колебаний в колебательном LCR контуре с периодом колебаний Т = 2 • 10-4с емкость С контура пе-j	риодически изменяют во
।	<	1	времени по закону, пред-
1 1
।	।	J	ставленному на рисунке
;	;	1	(ДС/С0 < !)• При ка-
——1—1	t ком максимальном зна-
2	чении сопротивления R
к задаче 5	колебания в контуре не
будут затухать, если L = 8 • 10~2 Гн, ДС/Cq = 8 • 10~2.
Указание: уменьшение емкости конденсатора происходит при максимальном заряде на конденсаторе.
Со
Со - ДС
О
БИЛЕТ 5
1.	Шары насажены на прямолинейную горизонтальную спицу и могут скользить по ней без трения (см. рис.). К шару v	массой т прикреплена легкая
пружина жесткостью К и он покоится. Шар массой 2т движется со скоростью V. Радиусы шаров
2т
к задаче 1
ФИЗИКА » ЗАДАЧИ » Билет 5
9
много меньше длины пружины. 1. Определить скорость шара массой 2т. после отрыва от пружины. 2. Определить время контакта шара массой 2т с пружиной.
2.	В цилиндрическом стакане с водой на нити висит проволока, вмороженная в кусок льда. Лед с проволокой целиком погружен в воду и не касается стенок и дна стакана (см. рис.). После того как лед растаял, проволока осталась висеть на нити, целиком погруженная в воду. Уровень воды в стакане
к задаче 2
за время таяния льда уменьшился на АН (Д/f > 0), а сила на-
тяжения нити увеличилась в К раз. Найти объем проволоки. Плотность воды рв, проволоки — р, площадь внутреннего сечения стакана S.
3.	Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным поршнем. Газ нагревают при постоянном давлении, переводя его из состояния 1 в состояние 2 (см. рис.). При этом газ совершает работу Д12- Затем газ сжимается в процессе 2-3, когда его давление Р прямо пропорцио-
к задаче 3
нально объему V. При этом над газом совершается работа Л 23
(Л 23 > 0). Наконец, газ сжимается в адиабатическом процессе
3-1, возвращаясь в первоначальное состояние. Найти работу
сжатия Л31, совершенную над газом в адиабатическом процессе.
4.	В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент ключ К разомкнут, а конденсатор емкостью С = = 100 мкФ не заряжен.
Вольтамперная характеристика диода D к задаче 4
изображена на следующем рисунке. ЭДС бата- I реи Е = б В, пороговое напряжение диода Z7q = = 1 В, R = 1 кОм. 1. Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа? 2. Какой заряд протечет через диод после замыкания ключа? ---

10 ФИЗИКА » ЗАДАЧИ » Билет 6
3. Какое количество теплоты выделится на резисторе R после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
5.	Точечный источник света расположен на главной оптической оси слева от линзы с фокусным расстоянием Fi = —10см. Расстояние от источника до рассеивающей линзы d = 40 см. На расстоянии L = 20 см слева от рассеивающей линзы расположена собирающая линза. Главные оптические осп линз совпадают. Найти фокусное расстояние собирающей линзы, если из системы линз выходит параллельный пучок света.
БИЛЕТ 6
1.
с постоянной скоростью
V	I----
По гладкой горизонтальной поверхности стола движутся v два бруска массами т и 3m, связанные нитью. Между брусками находится пружина жесткостью К, сжатая на величину Х$ (см. рис.). Пружина прикреплена т. Размеры брусков малы по срав
к задаче 1 только к бруску массой
нению с длиной нити, массой пружины пренебречь, скорость брусков направлена вдоль нити. Во время движения нить обрывается и бруски разъезжаются вдоль начального направления нити. 1. Найти скорость бруска массой 3m после его отделения от пружины. 2. Найти время соприкосновения пружины с
бруском массой 3m, считая от момента разрыва нити.
2.	Гайка, вмороженная в кусок льда, висит на нити. После
того как снизу поднесли цилиндрический стакан с водой, в ко
торую целиком погрузили лед с гайкой, сила натяжения нити уменьшилось на ДТ (ДТ > 0), а уровень воды в стакане повысился. Лед с гайкой при этом висит на нити в воде и не касается стенок и дна стакана. После того как лед растаял, гайка оста
лась висеть на нити, целиком погруженная в воду', а уровень воды в стакане за время таяния льда понизился на Д// (ДЛ > > 0). Чему равен объем гайки? Плотность воды />в, льда — рл, площадь внутреннего сечения стакана S, ускорение свободного
падения д.
ФИЗИКА » ЗАДАЧИ » Билет 6
11
3.	Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным поршнем. Газ сжимают в адиабатическом процессе, переводя его из состояния 1 в состояние 2 (см. рис.). Над газом
совершается при этом работа сжатия Д12 (Д12 > 0). Затем газ расширяется в изотермическом процессе 2-3, и, наконец, из состояния 3 газ переводят в состояние 1 в процессе, когда его давление Р прямо пропорционально объему V. Найти работу Л23, которую совершил газ в процессе изотермического расширения, если
к задаче 3
во всем замкнутом цикле 1—2—3—1 он совершил работу А.
4.	В схеме, изображенной на рисунке, конденсатор емкостью С = 100 мкФ, заряженный до напряжения U$ = 5 В, подключается через диод D к резистору с сопротивлением R = 100 Ом.
Вольтамперная характеристика диода изображена на следующем рисунке. В начальный момент ключ К разомкнут. Затем ключ замыкают. 1. Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа? 2. Чему равно напряжение на конденсаторе, когда ток в цепи будет равен 10 mA? 3. Какое количество
к задаче 4
30 -
20 -
к задаче 4
I ,шА
теплоты выделится на диоде после замыкания ключа?
5.	Точечный источник света находится на главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием Fi = —30 см слева от нее на расстоянии d = 70 см. На каком расстоянии от рассеивающей линзы надо поместить справа от нее тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием F% = = 50 см, чтобы из системы выходил параллельный пучок света? Главные оптические оси линз совпадают.
12
ФИЗИКА » ЗАДАЧИ » Билет 7
БИЛЕТ 7
1.	Вдоль прямолинейной горизонтальной спицы могут скользить без трения две муфты. Муфта массой тп с прикрепленной к ней легкой пружиной жесткостью К движется со v г.  скоростью v (см. рис.). Муфта массой 4т _______________ 4т покоится. Размеры муфт намного
 меньше длины пружины. 1. Определить к задаче 1	скорость муфты массой 4 m после отрыва
от пружины. 2. Определить время контакта муфты массой 4m
с пружиной.
2.	Деревянный шарик, вмороженный в кусок льда,
удерживается внутри цилиндрического стакана с водой
к задаче 2
воды в стакане
нитью, прикрепленной ко дну (см. рис.). Лед с шариком целиком погружен в воду и не касается стенок и дна стакана. После того как лед растаял, шарик остался плавать внутри стакана, целиком погруженный в воду. Сила натяжения нити за время таяния льда уменьшилось при этом в К раз (К > 1), а уровень уменьшился на ДЯ (ДЯ > 0). Чему равен
объем шарика, если плотность воды равна рв, дерева — р (р <
< рв), площадь внутреннего сечения стакана S.
3.	Газообразный гелий находится в цилиндре под подвиж-
к задаче 3
Газ
ную газом в процессе
охлаждают при постоянном давлении, переводя его из состояния 1 в состояние 2 (см. рис.). При этом от газа отводится количество теплоты Q (Q > 0). Затем газ расширяется в процессе 2-3, когда его давление Р прямо пропорционально объему V, совершая работу Л23. Наконец, газ расширяется в адиабатическом процессе 3-1. Найти работу Л31, совершен-адиабатического расширения.
4.	В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент ключ К разомкнут, а конденсатор С не заряжен. Вольт-
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ » Билет 8
13
амперная характеристика диода D изображена на следующем рисунке. ЭД С батареи 8 = 3 В, поро- --------1<^|-----
говое напряжение диода Uq — IB, R =£ = 2 кОм. Ключ К замыкают. В уста- Г@	Т
К R повившемся режиме ток в цепи равен -------____________
нулю. 1. Чему равен ток в цепи сразу	к задаче 4
после замыкания ключа? 2. Чему равна емкость конденсатора С, если известно, что после замыкания ключа через диод протек заряд <7 = 4- 10“4 Кл? 3. Какое количество теплоты выделится на резисторе R по-	-L—- :
еле замыкания ключа. Внутренним сопро--	к задаче 4
тивлением батареи пренебречь.
5.	На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием Fi = 20 см слева от линзы помещен точечный источник света на расстоянии d = 30 см от линзы. На каком расстоянии от собирающей линзы надо поместить справа от нее тонкую рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F2 = —10 см, чтобы из системы линз вышел параллельный пучок света? Главные оптические оси линз совпадают.
БИЛЕТ 8
1.	Бруски с массами т и 5m связаны нитью, длина которой много больше размеров брусков. Между брусками вста-
V
к задаче 1
влена сжатая на величину Xq и прикрепленная только к бруску
массой 5m легкая пружина жесткостью К (см. рис.). Система
движется по гладкой горизонтальной поверхности стола вдоль горизонтально натянутой нити со скоростью v. Нить разры
вается, и бруски разъезжаются вдоль начального направления нити. 1. Найти скорость бруска массой т после его отделения от пружины. 2. Найти время соприкосновения бруска массой т с пружиной, считая от момента разрыва нити.
2.	Болт, вмороженный в кусок льда, висит на нити. После того как снизу поднесли цилиндрический стакан с водой,
14
ФИЗИКА » ЗАДАЧИ » Билет 8
в которую целиком погрузили лед с болтом, сила натяжения нити уменьшилось на ДТ (ДТ > 0). При этом лед с болтом не касались дна и стенок стакана. Спустя некоторое время лед растаял, а болт остался висеть на нити, целиком погруженный в воду. При этом уровень воды в стакане увеличился на ДН по сравнению с уровнем воды в стакане до опускания в него льда с болтом. Найти объем болта. Плотность воды рв, льда — рл, площадь внутреннего сечения стакана S, ускорение свободного падения д.
3.	Газообразный гелий находится в цилиндре под подвиж-
расширяется в процессе 1-2, когда его давление Р прямо пропорционально объему V (см. рис.). Затем газ расширяется в адиабатическом процессе 2-3, совершая работу Л-23 • Наконец газ сжимается в изотермическом процессе 3—1, при этом от него отводится количество теплоты Q31 (Q3i > 0). Какую работу совершил газ во всем замкнутом цикле 1-2-3-1?
4.	В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент ключ К разомкнут, а конденсатор С заряжен до I—< —।---------- напряжения Uq = 6 В. Вольтамперная
Д	С + характеристика диода D изображена на
Hr	Uq ~ следующем рисунке. Сопротивление ре-
I— ----------— зистора R = 125 Ом. Ключ К замыкают.
к задаче 4
= 2,5 • 10-4 Дж?
1. Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа? 2. Чему равно напряжение на конденсаторе, когда ток в цепи равен Д = 8 mA? 3. Чему равна емкость конденсатора, если известно, что после замыкания ключа на диоде выделилось количество теплоты Q —
5. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F\ = 30 см слева от нее помещен
ФИЗИКА » ЗАДАЧИ ♦ Билет 8
15
точечный источник света на расстоянии d = 50 см от линзы. Между источником и собирающей линзой помещают рассеивающую линзу. Расстояние между линзами L = 20 см. Главные оптические оси линз совпадают. Найти фокусное расстояние рассеивающей линзы, если известно, что из системы линз вышел параллельный пучок света.
16
МАТЕМАТИКА » ЗАДАЧИ » Билет 2
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
1.	Решить систему уравнений
{х3
— -2ху = 16,
W3
%- + Зху = 25.
2.	Решить уравнение
sia2 7х „	4	2 . cos2 7т
---5— = 16cos 4rr(l + 2 cos 4т) Ч-=—.
sin х	cos2 х
3.	Решить неравенство
1 < 1
|Iog22z| -2	| log4 т2| - 1'
4.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке D. Найти радиус окружности, если CD = 4, BD = 5.
5.	Найти все значения а, при которых уравнение
log4l(l + ах) =
имеет единственное решение.
6.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС раина 12, AADB = 2arctg(3/4). В треугольнике ABD проведена биссектриса В А], а в треугольнике BCD проведены медиана ВС\ и высота СВ\. Найти:
1) объем пирамиды AiBiCiD,
2) площадь проекции треугольника AiBiCi на плоскость АВС.
БИЛЕТ 2
1.	Решить систему уравнений
{т4
-у + ху = 72, У
р- + ху = 9.
МАТЕМАТИКА » ЗАДАЧИ » Билет 3 Г7
2.	Решить уравнение
sin2 9х	„ . cos2 9т
---5— = 16 ctg 2х sin 10х Н-5—.
sin2 х	cos2 х
3.	Решить неравенство
1 < 1
| log2(i/2)| - 3	| log8 т3| - 2
4.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке D. Найти длину отрезка CD, если ААВС = 2arcsin(l/5), а радиус окружности R = 5.
5.	Найти все значения а, при которых уравнение
,	X 1
log2l(l - ах) = -
имеет единственное решение.
6.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС равна 6, угол между боковыми гранями равен arccos(l/10). В треугольнике ABD проведена биссектриса BAi, а в треугольнике BCD проведены медиана BCi и высота СВ^. Найти:
1) объем пирамиды A^BiCiD-
2) площадь проекции треугольника А^В^С^ на плоскость АВС.
БИЛЕТ 3
1.	Решить систему уравнений (	+ Зту = 25,
I	— 2ху = 16.
2.	Решить уравнение
. 9 sin X
COS2 X
18 МАТЕМАТИКА » ЗАДАЧИ » Билет 4
3.	Решить неравенство
1 1
|log39r| - 3	| log9 т2| - Г
4.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС вершины Д, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке D. Найти радиус окружности, если АС = 3, CD = 2.
5.	Найти все значения а, при которых уравнение
log9x(l + а.т) = ~
имеет единственное решение.
6.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС равна 3, угол между основанием и боковой гранью равен arccos(>/3/4). В треугольнике ABD проведена биссектриса BAi, а в треугольнике BCD проведены медиана BCi и высота С Bi. Найти:
1) объем пирамиды AiB^C^D-,
2) площадь проекции треугольника AiBiCi на плоскость АВС.
БИЛЕТ 4
1.	Решить систему уравнений
( г3 , Зу	_	„
I тг	4т	’
] 8у	6т	_
( т7	У	~
2.	Решить уравнение
sin2 З.г л cos2 З.т
---5— = 8 cos 4т -I--т—.
s'm х	cosz х
3.	Решить неравенство
1 1
I 10g27 l3| - 2	Hog3(^/3)l ~ 1
4.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС вершины А, В и точка пересечения высот треугольника 7. лежат на окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке D.
_____________МАТЕМАТИКА » ЗАДАЧИ » Билет 5_______________19 Найти радиус окружности, если ААВС = 2arctg(v/2/4), CD = = 8.
5.	Найти все значения а, при которых уравнение - а) = | имеет единственное решение.
6.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС равна 12, высота пирамиды DO = \/33. В треугольнике ABD проведена биссектриса ВА\, а в треугольнике BCD проведены медиана ВСу и высота С By. Найти:
1) объем пирамиды A1B1C1D;
2) площадь проекции треугольника AiBiQ на плоскость АВС.
БИЛЕТ 5
1.	Решить неравенство
У-Т2 + X + 6_______ >
|х2 — 7х + 6| — |х2 — х — х|
2.	Решить уравнение
sins	sin.T	. .	.
-------------1-------------- sin 4т — tg 2x. cos 2x cos 3т cos 3т cos 4x
3.	Решить систему уравнений
( 21oga(T + 2y) = logi(.r + 2y) logi (t - y) + log|(x - y), I t2 4- xy — 2y2 = 9.
4.	Окружности Ci и C2 внешне касаются в точке А. Прямая I касается окружности Ci в точке В, а окружности С? — в точке D. Через точку А проведены две прямые: одна проходит через точку В и пересекает окружность Сг в точке F, а другая касается окружностей Ci и Сг и пересекает прямую I в точке Е. Найти радиусы окружностей Ci и С?, если AF = 3>/2, BE = = а/5.
5.	Найти все значения а, при которых уравнение \/т — 9 = = ах + 7а — 3 имеет единственное решение.
20 МАТЕМАТИКА » ЗАДАЧИ » Билет 6
6.	В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADC равен 2arcsin сторона основания АВС равна 2. Точки К, М, N — середины ребер АВ, CD, АС соответственно. Точка Е лежит на отрезке КМ и ЗМЕ = КЕ. Через точку Е проходит плоскость Т перпендикулярно отрезку КМ. В каком отношении плоскость У делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью У и расстояние от точки N до плоскости Т.
БИЛЕТ 6
1.	Решить неравенство
\/-т2 + 7т — 6
|т2 — 6т + 5| — |т2 — 2т — 3|
2.	Решить уравнение
sin3x	sin3i
------------1----------- = sin 8т - tg 2т.
cos 2т cos 5т	cos 5т cos 8т
3.	Решить систему уравнений
( log^T + у) + log 1 (т + у) logi (т - 2у) = 21og^(.r - 2у). <	2	2
[ т2 — ту — 2у2 = 4.
4.	Окружности C*i и Сг внешне касаются в точке А. Прямая I касается окружности Ci в точке В, а окружности Сд — в точке D. Через точку А проведены две прямые: одна проходит через точку В и пересекает окружность С? в точке Е, а другая касается окружностей C'i и С% и пересекает I в точке F. Найти радиусы окружностей C'i и Сг, если АВ = 4, EF = С10-
5.	Найти все значения а, при которых уравнение \/т — 9 = — 3 — ат — 7а имеет единственное решение.
6.	В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADB равен 2 arcsin сторона основания АВС равна 2. Точки А, М, Аг — середины отрезков АВ, DK, АС соответственно. Точка Е лежит на отрезке СМ и ЗМЕ = СЕ. Через точку Е проходит плоскость Т перпендикулярно отрезку СМ. В каком отношении плоскость У делит ребра пирамиды9 Найти площадь сечения
МАТЕМАТИКА » ЗАДАЧИ » Билет 7 21
пирамиды плоскостью У и расстояние от точки N до плоскости У.
БИЛЕТ 7
1.	Решить неравенство
V—х2 — бх — 5	>
|Т2 + х — 2| — |х2 4- 7т + б|
2.	Решить уравнение
sinx	sinx . п „
-------------1----------= sin 8z — tgbx.
cos бх cos 7т cos7xcos8x
3.	Решить систему уравнений
Г bg2(x + 2у) + logi(z + 2y)logi(z - у) = 21og2(z - у), I х2 + ху — 2г/2 = 4.
4.	Окружности Ci и Сг внешне касаются в точке А. Прямая I касается окружности Ci в точке В, а окружности Сг — в точке D. Через точку А проведены две прямые: одна проходит через точку В и пересекает окружность С2 в точке F, а другая касается окружностей С\ и С2 и пересекает прямую I в точке Е. Найти радиусы окружностей С\ и С2, если АЕ = 3, AF = 4>/3.
5.	Найти все значения а, при которых уравнение \/х — 8 = — ах — За — 2 имеет единственное решение.
6.	В правильной треугольной пирамиде ABCD длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием АВС и боковой гранью равен arccos |	. Точки К, М, N — середины ребер
\ V105 /
АВ, CD, АС соответственно. Точка Е лежит на отрезке КМ и 2МЕ — КЕ. Через точку Е проходит плоскость У перпендикулярно отрезку КМ. В каком отношении плоскость У делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью У и расстояние от точки N др плоскости У.
22
МАТЕМАТИКА » ЗАДАЧИ » Билет 8
БИЛЕТ 8
1.
Решить неравенство
2.
3.
|х2 + 2х — 3| — |х2 + 6х + 5|
Решить уравнение
sinx	sinx
---л-----с- +----ё-----= sin ~	4т-
cos 4.x cos ox cos ox cos ox
Решить систему уравнений
21og^(z + у) = logi(z +' i/) log i (яг - 2у) + log|(x- 2i/), 2	2
x2 — ху — 2y2 = 9.
4.	Окружности Ci и Сг внешне касаются в точке А. Прямая I касается окружности Cj в, точке В, а окружности Сг — в точке D. Через точку .4 проведены две прямые: одна проходит через точку В и пересекает окружность Сг в точке Е, а другая касается окружностей Ci и Сг и пересекает I в точке F. Найти радиусы окружностей Ci и Сг, если АЕ = 1, EF = 3/\/2.
5.	Найти все значения а, при которых уравнение л/х — 8 = = —ах + За + 2 имеет единственное решение.
6.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС равна 4, угол между плоскостью основания и боковой гранью равен arccos	Точки К, М, N — сере-
дины отрезков АВ, DK, АС соответственно. Точка Е лежит на отрезке СМ и 5МЕ = СЕ. Через точку Е проходит плоскость СР перпендикулярно отрезку СМ. В каком отношении плоскость СР делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью СР и расстояние от точки N до плоскости СР.
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
23
ФИЗИКА
БИЛЕТ 1
1. Рассмотрим силы, действующие на монету при ее движении по наклонной плоскости. Это — сила тд, направленная вертикально вниз, N — сила реакции, перпендикулярная наклонной плоскости и FTp — сила трения, лежащая на этой плоскости и в любой момент времени направленная в сторону, противоположную скорости движения монеты v. Сила реакции
N = mg cos а
и работы не совершает. Запишем закон сохранения энергии 2	2
mv	mv^	е
---------- = —тдН — /г mg cos а  S.
2	2
Здесь А = д mg cos а - S — работа против силы трения. Отсюда v = ^Jvq~ 2д(Н + Р-S cos а).
2.	Ясно, что при доливании ртути сверху в пробирку столбик ртути сожмет запертый воздух на величину т. Тогда количество долитой в пробирку ртути равно L + х, а длина воздушного столбика равна L — х. Так как температура во время опыта не изменилась, то согласно закону Бойля-Мариотта
PMLS = PB1(L - t)S,
где Рво,1 — давления в воздушной пробке до и после эксперимента, aS — площадь сечения пробирки. Если Ро — внешнее атмосферное давление, то
Рво = Ро + pgL и PBi = Ро + pg(2L + т).
Будем решать полученное уравнение в мм рт. ст. Тогда Ро = = 11/4L, а
Рво = Ро + L и PBi = Ро + (2L + х). Подставляя Рво и Pbi в исходное уравнение, получим (Ро + L)L = (Ро +2L+ x)(L - т).
Отсюда
х = -L = 70 мм.
4
Окончательно для длины столбика ртути, долитой в пробирку
24
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
находим
L + х = 350 мм.
3.	Из закона сохранения заряда следует, что суммарный заряд пластин 1, 3 и пластин 2, 4 равен нулю:
<71 + <7з = 0;	<72 + <74 = 0.
Отсюда
<7з = —<71 и 41 = —<72-
Обозначим через £[ и Е2 — напряженности электрических полей, создаваемых зарядами пластин 1, 3 и 2, 4, которые равны р ___________________ 91	п' _ 92
Ei — -д—	и Ь2 — ——.
г>£о	*5^0
Разность потенциалов между пластинами 1, 3 равна нулю, а между пластинами 2, 4 — £ (£ — ЭДС батареи). Согласно принципу суперпозиции электрических полей
Eid + (Ei + E?)d = 0; d?2d + (Ei + E?)d — E
Решая систему уравнений, находим г. £	2£
Ь/1 —----1	—----.
3d’	3d
Заряд третьей пластины равен
£5г0
93 3d ‘ л	El
Этот заряд находится в поле пластины 1, равном и поле, создаваемом пластинами 2, 4 — £д- Таким образом, сила, действующая на пластину 3, равна /м	\	е2
Т = <7з ( дг- + #2 ) -\ 2	/	odz
4.	При нормальном падении лучей на границу 1 последние не изменяют своего направления. На границе 2 лучи преломляются так, что
sin о п2
sin$ тц
Принимая во внимание малость углов, имеем а ~ п'2 (3 ni ’
При выходе из пластины (поверхность 3)
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ » Билет 1
25
к задаче 4
sin 7	1	7	1
---- = — или — ~ — sine П2	£ П2
(см. рис.). Рассмотрим треугольник KLM. Ясно, что
а = 7 + р =---Н а—
П2 П2
Здесь е — угол выхода лучей из пластины, равный е = а(п2 — П1).
При наклонном падении на линзу параллельного пучка последний фокусируется в фокальной плоскости линзы в точке О' на расстоянии X от главной оптической оси линзы. Из геометрии рисунка видно, что
X — 00' = Ftge ~ Fz = Ра(п2 — ni) ~ 10,5 мм.
5.	Так как сопротивление контура мало, то колебания, возникающие в контуре, можно считать почти синусоидальными, так что за период колебаний потери энергии достаточно малы. Тогда период колебаний определяется по формуле Томсона (см. рис.):	___
Т = 2ttVLC.
Индуктивность изменяется через время t = Т/2 = тг\/LC. При изменении индуктивности на величину XL в силу сохранения магнитного потока
/TL = (£ + XL)I = Ф.
Здесь 1Т — амплитуда тока в контуре. Начальная энергия, за-
26
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
пасенная в контуре, равна
ф2 IV, = ---------,
1	2(Ь + ЛЬУ
где Ф — магнитный поток, пронизывающий катушку индуктивности. В момент уменьшения индуктивности на величину AL энергия, запасенная в катушке, увеличилась и равна
Ф2 w2 = —.
2	2L
Изменение энергии равно
L
L + &L
L
О т/4	Т 1Т t
к задаче 5
Ф2Д£
ДИ? = J^2 - Wr =
Ф2 Д£
Т L(L + &L) ~ 2£2 '
За время t = Т/2 в контуре происходят потери энергии, выделяющейся в виде тепла на резисторе с сопротивлением /?, равные
9 Т
тг/	_ г2 ту_
потерь — 1эфГ1' 2 '
Для поддержания в контуре незатухающих колебаний требу
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ » Билет 5
27
ется скомпенсировать эти потери за счет увеличения энергии,
запасенной в катушке индуктивности. Следовательно,
/2AL I^Rx^/LC
2	2
Д W ^ потерь ИЛИ
Откуда
AL > тгRVLC « 9,4 • 10-3Гн.
БИЛЕТ 2
1. v = 'V/<?Z(2sin/3 — ртг cos/3).
2. х = | L = 315 мм.
4
3.
4.
5.
тр _ (3£г — £i)(£i + £г) с-
* - '	8J2	5s°-
Ат = 2й(тг — 1) = 3,45 см.
АС = и 9,4 • 1(Г9 Ф. у/ Lj / Су
БИЛЕТ 3
1	5 —	~ 3v2
2д</соза
2.	х = ~ = 270 мм.
3.	F = 0.
4.	а = у--, р =0,1 рад.
(n2-ni)F
5.	R <	= 30 Ом.
БИЛЕТ 4
1-	v = | у у (2 sin 7 + ртгсозт).
2.	х = 80 мм, L + х = 400 мм. (х2 —	+ 2L^ х + L2 = 0).
3.
4.	п = 1 + ~ = 1,47.
2а?
5.	R ^LT^- = 32 Ом.
<^0
28
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 7
БИЛЕТ 5
1.
2.
3.
1 \	V 4- Т	Г^ГП
!) ^1 - 3; 2) t - 2 - тгу 3/<.
/с 1	рп рв
Аз1 = ЗАгз ~ 2 -^12-
4. 1) Zo = (£ - Uo)/R = 5 • 10~3 А; 2) Qc = С(£ - Uo) = = 5 10'4; 3) WR = Az~Wd-Wc =	= 12,5-10'4 Дж.
5. Fj = 12 см.
1.
2.
3.
БИЛЕТ 6
l)v2 = v+v2c = „+a Д 2)<=J Д-
V = — -Ул = —-------SA.H.
Рв9	Рь9 Ръ — Ря.
4
Агз = А + 3 А12-
4. 1) Io =	= U-°	= 40 mA; 2) UC1 = UD+I, R =
= 2 В; 3) WD = IVi + W2 = 4 • 10“4 Дж (V^ = UDC(U0 - UCi),
5- I = F2 -	= 29 см.
ri — a
БИЛЕТ 7
1. Для ответа на первый вопрос рассмотрим систему тел, состоящую и двух муфт. Вдоль горизонтальной оси на данную систему внешние силы не действуют, а по вертикали сумма внешних сил равна нулю. Это означает, что в любой момент времени у данной системы будут сохраняться энергия и импульс. Пусть после отрыва муфты 4т от пружины она имеет скорость ci, а муфта массой т — скорость го, и обе скорости направлены вдоль скорости v. Запишем законы сохранения
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 7
полной энергии и импульса наших муфт для двух моментов времени: когда муфта 4т неподвижна, а муфта массой т движется со скоростью v и после отрыва муфты 4т от пружины:
mv2	4mv? mv%	, ч
=	V + ¥	(1>
mv	=	4тщ + mv?.	(2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет найти гц,
равное
2 Г’1 = -V.
э
Для ответа на второй вопрос удобно перейти в систему координат, связанную с центром масс нашей системы. Очевидно, что эта система будет двигаться со скоростью "гцм = 1/5и. В этой системе координат в момент касания пружины с муфтой 4т ее скорость будет равна — l/5v, а скорость муфты массой т равна 4/5г. Обозначим длину недеформированной пружины через L. Тогда расстояние от муфты 4m до центра масс Ц = = 1/5L а аналогичное расстояние от муфты массой т до центра масс Z2 = 4/5L. После соприкосновения пружины с муфтой 4m в системе центра масс обе муфты будут двигаться по гармоническому закону с круговой частотой
/а? ДГ "'=V4^ = V^'
где К\ — жесткость пружины длиной li (A'i =	= 5А), а А'г
LK 5
— жесткость пружины длиной I2, (Аг =	= 4 К)- Частота
/|а
“ V 4m
Очевидно, что муфта 4т оторвется от пружины через время г, 2тг
равное половине периода колебаний Т (Т = —) муфт:
Натяжение нити до таяния льда равно разности вытал-
30 ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ » Билет 7
кивающей силы и силы тяжести шарика, вмороженного в лед: Т\ = рвд(Ул + 14ц) рлдУл рдУш = дУл(рв — рл) + дУщ^Рв ~~ р), где Рл — плотность льда, Ул — объем льда, а Уш — объем шарика. После того как лед растаял, новое натяжение нити
-^2 — РврРш рдУш = дУш(.Рв р)-
Условие уменьшения натяжения нити в К раз имеет вид
_ Г' _ Ул(Рв ~ Рл) ~н Иш(рв ~ Р)
Т2 ~	~ ~	( }
Уменьшение уровня воды в стакане после того как растаял лед, вызвана положительной разностью плотностей воды и льда рв — — рл > 0. Масса растаявшего льда тл = рлУл, объем воды растаявшего льда Ув =	= — Ул. Объем образовавшейся
Рв Рв
воды меньше объема льда на величину AV = Ул — Ув = Рл(1 — — рл/Рл)- Это приводит к уменьшению уровня воды в стакане:
АЛ-5 = АР = Ц,---—.	(4)
Рв
Исключая из уравнений (3) и (4) объем льда Рл, получим, что объем шарика
у S^HP*
3. На участке 1-2 согласно первого начала термодинамики отводимое тепло
Q = uCv(T\ -Г2) + Р1.2(Ц - V2), где I/ — число молей гелия, Су — молярная теплоемкость при постоянном объеме, Tj и Т2 — температуры в точках 1 и 2. Р\ 2 — давление при изобарическом процессе 1-2, Vi и Р2 — объемы в состояниях 1 и 2. Используя уравнение состояния для идеального газа, можно записать:
Q = vCv(T\ - Т2) + vRfr - Т2) = у(Су + Я)(Т1 - Т2). Отсюда
(5)
Ti - Т2 = Q/v(Cy + /?).
Работа, совершаемая газом на участке 2-3
л23 = А±А(Гз_1У = ^з-^
9
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ » Билет 7 31
Здесь индексы 2, 3 соответствуют состояниям в точках 2 и 3. Из этого уравнения следует, что
Т3 - Т2 = 2A23/uR.	(6)
На участке 3-1 газ расширяется в адиабатическом процессе, и работа, совершаемая газом
А33 = иСДТ3-ТД.
Для замкнутого цикла изменение внутренней энергии равно нулю. Это позволяет записать:
т3-т\ = (Т3 - ТД -	- Т2).
Используя соотношения (5) и (6), получим, что
Т - Г = 2^23 _	*2
3	1 ~ vR ~ ДСу + RY
-г	1 2C'v л Cv
Тогда Д31 = ——  Л23 - ——-
IL	C/V' т
з
• Q. Поскольку Су ~ R, то
R
Л31 = ЗЛ2з — F Q. О
4. 1) Поскольку ЭДС батареи больше порогового напряжения диода (£ > иД то начальный ток в цепи Iq > 0. По закону Ома для замкнутой цепи £ = Uq + IqR- Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе равно нулю. Найдем начальный ток	е тт
h = ДД = 10-3.4.
2) После замыкания ключа конденсатор начнет заряжаться. Он будет заряжаться до напряжения Е — Уо = 2 В. После этого ток в цепи будет равен нулю. Заряд, протекший через диод, очевидно, будет равен заряду на конденсаторе: q = С(£ — По). Отсюда емкость конденсатора С = q/(E — УД = 200 мкФ.
3) Работа, совершенная батареей А = qE. Тепло, которое выделится на диоде
И'д = УIUQ dt = У Uo dq = UQq.
Конденсатор приобретет энергию И’с = Q2I^C. Тепло, выделившееся на резисторе /?, будет равно
ты j ты тт- е г- чД-УД q^-Uo) . 4п Af{ = A~\\tr\Vc = qE~Coq---------- = -------- =4-10 Дж.
32
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 8
5. Для того чтобы из системы линз вышел параллельный пучок света, необходимо, чтобы изображение источника S
Отсюда
в собирающей линзе совпало с задним фокусом рассеивающей линзы (см. рис.).
В этом случае можно записать для собирающей линзы формулу для тонкой линзы:
1
d + :r + |F2| Fi
Fjd ,	,
----— - F2 = 50см.
а — Гх
БИЛЕТ 8
1	п	,	/ 5/г	,	7’ тс	/5т
1.	1)	с2 - и +	т0^/6ш;	2) t - 4	- 2	6А. .
2.	V = SAH -------—
Рв “ Рл Рв9 рв — Рл
3.	А = | л 23 - (?31-
4.	1) /0 = ^^-Р- = 40 mA; 2) FC1 =2 В;
3)	С =--------2------ = 50 мкФ.
U0UD - UDUC1 +
5.	F2 = -15 см.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
33
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
1.	(4; 2), (-4;-2).
Решение. Запишем систему в виде
{з
y = 16 + 2zy,	(1)
^ = 5°-6ту.	(2)
Перемножив почленно уравнения этой системы, получим уравнение
13(ху)2 — 4ху — 800 = 0,	(3)
которое вместе с одним из уравнений системы (1), (2) образует систему, равносильную системе (1), (2).
Из уравнения (3) находим
2 ± У4 + 10400	2 ±102	о	100
у	13	13	3
Если ху = 8, то из уравнения (1) следует, что х4 = 28, откуда Xi = 4, Х2 = — 4 и тогда yi = 2, у2 = —2.
„	’ 100	4	800 с
Если ху =---д-, то х = — jog. Это уравнение не имеет
действительных корней.
л	7Г 7ГП	1 7Г 7Г71	г»
2.	х = -о ± -г, х = ± ± -Q-, п G Z. 8	4 ’ о 2
Решение. Заметим, что
sin2x / 0	(
и воспользуемся равенствами
sin2 lx cos2 lx sin8xsin6x 16cos4zsin2zcos2zsin6z
sin2 х cos2 x sin2 x cos2 x	sin2 2x
cos 2zsin6x = -(sin 8x 4- sin 4x) = - sin4x(l ± 2 cos 4x) =
= sin2z cos 2z(l + 2 cos 4x).
Тогда исходное уравнение можно записать в виде
16cos4zsin2 2zcos 2z(l ± 2cos4z)	. 1л , „ л .
-------------->---------------- = 16cos4x(l±2cos4x). (5)
sin2 2х
(4)
34 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
Уравнение (5) при условии (4) равносильно уравнению
cos 4х(1 + 2 cos 4х) cos 2х — cos 4х(1 + 2 cos 4х),	(6)
а уравнение (6) равносильно совокупности уравнений
cos 4а: = 0,	(7)
cos 4х — — -,	(8)
cos2z = l.	(9)
Уравнения (7) и (8) имеют корни х =	п € Z и х =
 7Г . 7Г 71	гп
= ±~- + -x-,n6z& соответственно, и эти корни удовлетворяют О
условию (4), а из (9) следует, что sin 2а; - 0.
3.	i < х < i, х 1, х / 2. О
Решение. Полагая log2 х = t и учитывая, что х > 0, log4 х2 = log2 х (при х > 0), преобразуем исходное неравенство к виду
---- 	 < ——.	(10) |t+1|-2---------------------------|f| - 1
Рассмотрим три возможных случая: t С — 1, — 1 < t < 0, t 0.
1.	При t — 1 неравенство (10) равносильно каждому из не-
1.1	1	.	1	2	. л
равенств _t _ 3 < _t_r t + 3 f+1> (f + 3)(t+ 1) " °’ откуда — 3 < t < 1, т.е. —3 < log2 х < —1, g < х < i.
2.	Если — 1 < t < 0, то из (10) следует, что	или
2t
+	_ ^у С 0, откуда t < — 1 или 0 С t < 1. В этом
случае неравенство (10) не имеет решений.
3.	При t 0 из (10) следует, что f ' ^TO неРавен" ство является верным при всех t 0, кроме t = 1, т.е. при х 1 и х 2.
4	27Л
4.	8 .
Решение. Пусть В К и AF — высоты в треугольнике АВС (см. рис.) и пусть ААВК = АСВК = о, тогда Z.FАС =
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
35
= a, Z.DBE = Z.DAE = а (эти углы опираются на одну и ту
же дугу).
Из равенства прямоугольных треугольников DAF и САЕ
следует, что AD = АС. Найдем АС, пользуясь тем, что треугольники ADC л	л гг	ЯС ВС
и АВС подобны. Получим
откуда
- ^2
“ ВС
АС2 = 4 • 9, АС = 6, sino = Пусть R — AD окружности, тогда s-n =
1	2^/2
= g, cos а = —г*—
радиус
4\/2
где AD = 6, sin 2а = —, и поэтому
R =
27^2 8
5.	а < 0, а = 1.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
1 + ах = 2у/х	(И)
при условиях .
х > 0, х / -.	(12)
Полагая у/х = t, запишем уравнение (12) в виде
at2 - 2t + 1 = 0.	(13)
Если а = 0, то < = ж = 1
= 4 и не выполняется второе из условий (12).
Пусть а 0, тогда уравнение (13) является квадратным и имеет действительные корни тогда и только тогда, когда D =
— 4—4а 0, т.е. при а 5? 1.	к задаче 5
Если D = 0 (а = 1), то уравнение (13) имеет единственный положительный корень t = 1, а уравнение (11) имеет единственный
36 МАТЕМАТИКА » ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
корень х = 1, удовлетворяющий условиям (12).
Пусть D > 0 (а < 1), тогда уравнение (13) имеет два действительных и различных корня. Так как t = у/х 0, то задача в случае D > 0 сводится к нахождению тех значений а, при которых уравнение (13) имеет один положительный корень (другой корень отрицателен), т.е. имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда D > 0, - < 0, т.е. при а < 1 и а < 0. Итак, в этом случае а < 0.
Приведем другое решение этой задачи, используя графики функций у = 1 + ахиу = 2у/х при х 0 (см. рис.).
Требуется найти все значения а, при которых эти графики имеют единственную общую точку и при этом выполняются условия (12).
Если а < 0, то прямая у = 1+ах пересекает параболу у = 2у/х в единственной точке.
Если а = 0, то из уравнения (11) получаем х = (не выполняются условия (12)).
Пусть а > 0, тогда прямая у = 1 + ах имеет единственную общую точку с параболой только в том случае, когда она касается параболы. В этом случае уравнение (13) имеет единственный корень (D = 0, а = 1). При 0 < а < 1 прямая у = 1 + ах пересекает параболу у = 2у/х в двух точках, а при а > 1 прямая и парабола не имеют общих точек.
84ч/39 1632\/3
Решение. 1) Пусть Е — середина АВ, ABDE = /.ADE = = а (см. рис.), тогда tg о — |, cos о = sino — |, AD = BD =
BE гг - л	DAy BD 5
=	= 10. 11о свойству биссектрисы	= g, откуда
РАу _ _5_ DA 1Г
В В
Из подобия треугольников BCBi и DBE следует, что -g^- =
BE В Bi 6	do 36	14 DBr 7
= BD	или AT	= 10’ ОТКуда	BB1 = T’ DBl	= T’DB	= 25'
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
37
DC 1
По условию DC\ = CCi и поэтому = 2-
АВ
Найдем высоту DO пирамиды ABCD. Так как ВО = —= = 4ч/3, BD = 10, то DO = VBD2 - ВО2 = 2\/13, а объем пирамиды ABCD равен
V = -АВ2 — • DO = 24/39. 3	4
Пусть Ц — объем пирамиды А1В1С1В1, рд = р, рр = q, DCy	у/ (/	/хх 5	7 1 _ 84\/39
~DC = т' тогда V1 = Vpqr = 24v 39 ' П ' 25 ’ 2 - ~55~’
2) Вычислим площадь S проекции треугольника А1В1С1 на плоскость АВС. Пусть Аг, В2, С'2 — проекции точек Ai, Вг, С\ соответственно. Точки А2, В2, С2 лежат на соответствующих
,ПЛ. П	Ъ ОС2 DCr
высотах треугольника АВС. По теореме Фалеса	=
= г, откуда ОС2 = г • 4у/3. Аналогично, OAi = р  4-/3, ОВ± =~-
= <7 • 4х/З. Следовательно. S = х sin (<?Ai • ОВ] +ОВ[  OCi + о
+ ОС, • ОА1) = ~43 (4v'3)2 ( и  2^5 +	 1 + I  п)
1632 у/З
275
38
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
БИЛЕТ 2
1.	(4;2), ( — 4;—2).
2.	х =	х — к 5р, п G Z, к 6 Z, р € Z.
3.	О < х <	| < х 1, 4 < х < 16.
4’4	’
л 16^
25 '
с	!	. л
5. а = — 2> а > U.
R З/П 20%/3
°"	28 ’ 21 '
БИЛЕТ 3
1.	(2; 4), (-2; -4).
2.	i=~ + ^,nEl
3-	579 <X<i,l^X<3, х>3. 243	3 ’	’
л 27V2
16 '
5. а < 0, а =
21\/39 102ч/3
°’	880 ’ 275 '
БИЛЕТ 4
1.
2.	х = п 3£, п е z, к е z. О
3.	i < х < 1, х 3, х 7^ 9.
.	27х/2
4-	"Г"'
5.	а = — -г, а > 1. 4’
Я 6VT1 80УЗ
О. 7 ,	21 
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
39
БИЛЕТ 5
1. -2 х < 2 - \/2,	< х 3.
Решение. Так как неравенство |/(х)| > |<?(т)| равносильно каждому из неравенств /2(т) > д2(т), (/(х)+^(т))(/(т)-— <?(т)) > 0, то исходное неравенство равносильно системе неравенств	/
Г —т2 + т 4- 6 О,	.
( (2т2 - 8т + 4)(-6т + 8) > 0.	U
Квадратный трехчлен — т2 4- х 4- 6 имеет корни —2 и 3, корнями квадратного трехчлена х2 — 4х + 2 являются числа ад = 2 — \/2 и т2 = 2 + \/2, а система (1) равносильна системе
(т + 2)(т - 3) < 0,	(2)
(т - ад) (т - (т - т2) < о,	(3)
где — 2 < ху < J < 3 < т2 (см. рис.).
Множество Еу решений не-	~	о у
равенства (2) — отрезок — 2 С	~2	® 11 з	^а'2 х
х «С 3. Множество Е2 реше-	к задаче 1
ний неравенства (3), определяемое методом интервалов, явля-с	4
ется объединением интервалов х < Xi и < х < £2, а множество решений системы (2), (3) — пересечение множеств Е\ и Е2 (см. рис.).
2. Т = тгп, п G Z.
Решение. Используя формулу |^C0/J = tg о — tg/3, преобразуем исходное уравнение к виду
tg Зт - tg 2.т + tg 4.т — tg Зт = sin 4т — tg 2т.	(4)
Область допустимых значений х для уравнения (4) определяется условиями
cos 2т Z 0, cos Зт 0, cos 4т 0,	(5)
а при выполнении условий (5) исходное уравнение равносильно уравнению
tg4T = sin4.r.	(6)
3. (3;0), (
40 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
Уравнение (6) равносильно совокупности уравнений
sin 4т = 0,	(7)
cos 4т = 1,	(8)
причем все корни уравнения (8) содержатся среди корней уравнения (7). Из (7) следует, что либо sinz = 0, и тогда х = тт, п G Z, либо cos т = 0 (и тогда cos Зт = 0), либо cos 2т = 0.
1459 _ 728 27 ’	27
Решение. Исходную систему запишем в виде f [log3(z~y) - 1Оёз(г+2У)] [log3(x-у) + 21og3(T+2?/)] = 0,	(9)
Цт-у)(т + 2т/) = 9.	'	(10)
Из (1) следует, что либо т — у = х + 2-у,	(11)
либо
(т - у)(т + 2у)2 = 1.	(12)
Если выполнены условия
т — у > 0, т + 2г/ > 0,	(13)
то система (9), (10) равносильна совокупности систем (11), (10) и (12), (10). Первая из этих систем имеет единственное решение (3; 0), удовлетворяющее условиям (13), а вторая система, равносильная системе
г + 2?/ = ^ . т — у — 81, для которой выполняются условия (13), имеет решение /1459 _ 728\ к 27 ;	27 J'
л /10	/15
4- V з ’ V 2 ’
Решение. Заметим, что АЕ — BE и АЕ — DE. так как касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны. Поэтому BD — 2ВЕ = 2\/5 (см. рис.). Пусть Oi и О? — центры окружностей C'i и 6S, (_\В = О].4 = т. ~ О?А — у, АВ = t.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
41
т.е.
= 0, откуда ti = — 5-/2,
01
F
к задаче 4
По теореме о касательной и секущей АВ(АВ + AF) = BD2, t(t + За/2) = 20 или t2 + За/2* - 20 t2 = 2л/2, т.е. АВ = 2^2.
Из подобия треугольников 01 АВ и O2AF следует, что х у	2
t =зТ2’°ТКУДаТ= 3^'
Для получения еще одного уравнения, связывающего х и у, воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике OiO2K, где К — основание перпендикуляра, опущенного из точки Oi на прямую DO2. Получим 01К = BD = \/(х + у')2 - {у - т)2 = 2^/ху = 2\/5, откуда ху = 5, 2	„	2	15	/15	2 /15
где х = з у. Следовательно, у =	—
Замечай и.е. Можно показать, что точки D, О2 и F лежат на одной прямой и вместо теоремы о касательной и секущей применить теорему Пифагора к треугольнику BDF.
s о	3	_ 1
5. О < а < jg, а —
Решение. Полагая х + 7 = t, получим уравнение \/i — 16 = at — 3.	(14)
Требуется найти все значения а, при которых графики функций у = \/i — 16 и у = at — 3 имеют при t > 16 единственную общую точку (см. рис.).
Если а 0, то прямая у = at — 3 не имеет общих точек с параболой у = y/t — 16. Заметим, что угловой коэффициент прямой у =
42
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
= at—3 равен а. Найдем угловые коэффициенты а^ и аг прямых /1 и /г (обе задаются уравнением вида у = at — 3), первая из которых проходит через точку (16; 0), а вторая касается параболы у = y/t — 16- Подставляя в уравнение у = 3 — at значения t — 16, л	3
у = 0, находим ai = jg.
Число аг является тем значением а, при котором уравнение (14) имеет единственный корень t\ > 16. Возводя обе части (14) в квадрат, получаем уравнение а2^2 — (6а + l)i + 25 = 0, дискриминант которого D = (6а + I)2 — (10а)2. Уравнение D = 0 имеет единственный положительный корень а = |. Следовательно, 13	1
аг = у. Если уу / а < у,, то прямая у = at — 3 и парабола у = /t — 16 имеют две общих точки, а при а > | они не имеют общих точек.
ArD _ BiD = 7 CiD _ 21 49х/б5	13
AD ~ BD ~ 12’ CD ~ 32’ 576 ’ 2>/w’
Решение. Пусть AKDA =
= a, AKCD = (3, ADKM = 7,
АКМС = у (см. рис.). Так как sin а = g, АК = 1, то AD = = BD = CD = 6, DM = 3, KD = = ч/36 - 1 = \/35. Если О —
центр треугольника АВС, то ОС =
АВ 73
sin /3 =
>/26
3/3
2 а _ ОС _ 1
УЗ’ с03~ ВС ЗУЗ’
Применяя теорему косинусов в треугольниках КМС и К DM, по-
лучаем
1. КМ2 = KC2+MC2-2KCMC-cos3 = 3+9-2-3/3--U =
3 v 3
— 10, откуда КМ = /10, КЕ = у КМ —	=
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
43
= ±КМ = У'™ 4	4
2
cos tp =
КМ2 + МС2 - КС2 2КМ  МС
10 + 9-3	8
-?7То“ = 5710’ откуда
=
1 т _ 726 ------1 — ~а~-COS р-о
3. cos 7 =
KD2 + КМ2 - DM2
2KD  КМ
tg? =
713 9л/2'
35+10-9 = 9 /2 2735  716 ~ 5 у 7’
откуда
Пусть Ai, В\ — точки пересечения плоскости У с ребрами AD и BD. Так как КМ ± АВ (ВМ = AM} и КМ 1 АХВХ (КМ — перпендикуляр к плоскости СР), то AjBi || АВ. Если Ci — точка пересечения плоскости У и прямой DC, то A^B^Ci — равнобедренный треугольник (AiCi = BjCi). Покажем, что точка Ci лежит на ребре DC, а не на его продолжении за точку Ci, вычислив длину DC\. Пусть L — середина AiBi, тогда CiL ± КМ, так как КМ — перпендикуляр к плоскости У. Из прямоугольных треугольников LEK и MECi находим
- т	„ КЕ	3710	577	5735	5	rzn
1- LK = ------ = —5—  —v-f= = —75— = 75 КD, откуда DL =
cosy	4	972	12	12	J
7	ь-n	,	3716	713	765
= и KD, LE = КЕ  tg 7 = — •	= -12-;
о	ME 716 3716	15
2.	MCi = -----=	-----— = г?, откуда следует, что точка
cos<£ 4	8	16’
Ci лежит на ребре CD, причем DCi = 3 +=
- 21
~ 32-
Таким образом, в сечении пирамиды плоскостью У получается равнобедренный треугольник AiBiCi. Далее находим j-tл f it +	\/10 v^26	V65 т» £-
ЬС\ = ME  tg у? —	Из подобия треугольников
DLA\ и DK А следует, что
AXL _ DAr _ DL _ 7_
~АК ~ ~DA ~ DK ~ 12’
44
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 7
откуда AiL = у2-
Пусть S — площадь треугольника А1В1С1, тогда
,	, 7 (у/65 >/б5\ 49\/б5
S = Л, L LC, = А.ЦВЕ + ВС.) = -	J = — -
Найдем, наконец, расстояние d от точки N до плоскости У. Проведем через точку N прямую, параллельную АВ и пересекающую КСъ точке F (F — середина КС\ Так как NF || АВ, а АВ || А\В\, то расстояние от точки F до плоскости У равно d.
Заметим, что высота FG, проведенная из точки F в треугольнике FLCi, равна d (JFG ± LCX и FG ± AiBj).
Для нахождения d достаточно найти площадь So треугольника FLC\. Пусть Si, Вг, S3, S4 — площади треугольников К DC, LKF, FCC\ и DLC\ соответственно. Тогда
1	х/26	/—
Si = -DC  КС  sin/3 ~ 3  у/З —с= = V26.
2	3\/3
с _ 5	_ 5 с с _ 11	_ 11 с с _ „с
2	12 2	2451:	3	32 ’ 2	6451’	4 РЯ Ь
где р =	= i2> 1 = -jyj = 32> т е- 54 = 128 51- Следова-
с _ с Л	5	И	49 \ _ Q 13-7
тельно, So - 5Ц1 24 64	128/	51б4 -6’
= 2S0 = 13
LCX	2 \/10
БИЛЕТ 6
1.	1 т < 2, 2 + ч/3<х^6.
2.	х = п 2 + 4А;, п 4 + 8k, п G Z, к 6 Z.
3.	(2;0),
4.	2\/5,
_ п /	3	1
□ • (J Q y? 1	— — Т2* •
10	10
fi	AyD _ BrD _ 5 C^D _ 5 25v,'23 7
°'	AD ~ BD ~ 6’ CD ~ if 99 ’ 8'
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 8
45
БИЛЕТ 7
1.	— 5 х < —2 — х/2, — < х —1. О
2.	х = п ф 2 + 4fc, 4 + 8k, п G Z, к G Z.
3.	(2;0), (у;^)-
4.	3^/2-
к	1 п	2
э. а = 2> U < а <
AjD _ BjD _ 17 CrD _ 17 /17\2	34
°* AD ~ BD ~ 27’ CD 24’ \27j V ’ зУ10
БИЛЕТ 8
1.	-3 х < —2, -2+ >/3 < х 1.
2.	х — п 3 + 6А:, п G Z, к G 2!-
3.
10'
13 CiD _ 13 /26\2 л/23. 25
18’ CD ~ 33’ \ 9 ) И ’ 12’
4. ?3,^. '
С А ^2 о.	=
5 л AyD __ B±D _
~AD ~ 'BD ~
БИЛЕТЫ
ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В МФТИ (2000 г.)
Методические разработки по физике и математике
Авторы задач:
по физике: доценты Можаев В.В., Чешев Ю.В., Шеронов А.А.,
Чивилев В. И.
по математике: проф. Шабунин М.И.,
доценты Коновалов С П., Трушин В.Б.,
к.ф.-м.н. Балашов М В., к.ф.-м.н. Константинов Р.В.
Редактор И.А. Волкова
Корректор О.П. Котова Компьютерная верстка А.В. Полозов
Изд. лиц. № 040060 от 21.08.96. Подписано в печать 25.12.2000.
Формат 60 х 84 Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл печ. л. 2,8.
Уч.-изд. л, 2,5. Тираж 2000 экз. Заказ № 594.
Московский физико-технический институт (государственный университет)
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер,. 9
Отпечатано в типографии «Азбука-2000»
109544, г. Москва, Рабочая ул.. 84