Text
В. С М А И Т
ЭЛЕRТРОСТАТИRА
и
ЭЛЕRТРОДИНАlVIИRА
Перевод со втОрО20 aMepU1fallCJl,020 иадаllUЯ
А. В. r АПОНО
А и М. А. МИЛЛЕР А
И*Л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
И.Н:О:С
Т РАИНОй ЛИТЕРАТУРЫ
MOC1fea,1954
Б и б JI 11 О Т е к.
'.
профессора СаНОЧКИВI IO.В:
STATIC AND DYNAMIC
ELECTRICITY
Ьу
\\TILLIAM R. БМУ1;НЕ
SECOND EDITION
NEW YORK TORONTO LONDON
1 950
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИНОВ
Предлаrаемая вниманию cOBeTcHoro читателя нниrа Смайта «Элен
тростатина и элентродинаминю> содержит изложение основ нлассичесноЙ
манроснопичесной теории элентромаrнитноrо поля. В отличие от большин
ства подобных нурсов в нниrе наряду с последовательным освещением обще
теоретичесних вопросов значительное место отводится изложению основных
методов решения элентродинамичесних задач, а танже приводятся iзспомо
rательные математичесние сведения, необходимые для овладения этими
методами. С этой точRИ зрения нниrа Смайта занимает промежуточное по
ложение между учебнином, rде задачи, нан правило, приводятся лишь ДЛа
иллюстрации отдельных теоретичесних положений, и сборнином задач,
в нотором если и сообщаются неноторые результаты теории, то тольно в весьма
нонспентивной форме. Систематичесное изложение теоретичесноrо материала
и, что особенно существенно, большое ноличество задач, рассмотренных
непосредственно в тенсте, а танже задач, помещенных вместе с ответами
в нонце наждой из rлав, составляют несомненное достоинство нниrи и дe
лают ее не тольно ценным пособием для студентов и аспирантов, изучающих
теорию элентромаrнитноro поля, но и полезным справочнином для специа
листов, работающих в смежных областях.
Перевод этой нниrи на руссний язын был осуществлен блаrодаря ини
циативе понойноrо анадемина А. А. Андронова, считавшеrо издание TaHoro
пособия по теории элентромаrнитноrо поля весьма целесообразным. Вместе стем
А. А. Андронов отметил и не1шторые при сущие нниrе Смай та существенные
недостатни, в частности: отсутствие теории злентромеханичесних систем,
имеющих большое значение в приложениях (элентромашины), теории pac
пространения радиоволн, а танте до неноторой степени утилитарное изло
жение основ специальной теории относительности.
Не менее важным недостатном Rниrи яВляется танже иrнорированnе
автором достижений советсних ученых, что приводит, естественно, н HeHO
торому снижению общеrо уровня нниrи и особенно rлав, относящихся
н применению теории быстропеременных полей в современной радиотехнине.
В этой области нашим физинам и инженерам принадлежит ряд фундамен
тальных результатов, ПОЗВОЛЯЮЩI}Х подойти Н рассматриваемым вопросам
с неснольно иных и в научном и в педаrоrичесном отношении позиций.
Подробное номментИ}:ование соответствующих мест настольно бы отвленло
от ориrинальноro тенста, что мы сочли целесообразным оставить их вообще
4
Предисловие пе реllодчuков
без примечаний, отсылая читателя н ориrинальной литературе, списон
ноторой помещен в нонце 1шиrи. Сделанные нами примечания относятся
лишь н неноторым допущенным автором фантичесним ошибнам и неточно
стям. Ряд явных опечатон, замеченных при переnоде, был исправлен без
oroBopOH.
Всюду, rде математичесние преобразования не носят ПрИнципиальноro
харантера, в нниrе прантинуются ссышш на соответствующие формулы
из математичесних справочнинов Двайта (D w i g h t, Tables of Integrals and
Other Mathematical Data, МасmШап, 1934) и Пайерса (Р е i r с е, А 8hort
ТаЫе of IIltegrals, GiIln, 1929), первый из ноторых имеется на руссном
языне (С Б. Д в а й т, Таблицы интеrралов и друrие математичесние фор
мулы). При переводе ссылни на справочнин Пайерса сохранены тольно в тех
немноrих местах, rде ссылни на справочнин Двайта отсутствуют.
А. В. FапО1-l0в.
М. А. Миддер.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
НО BTOPOMV ИЗДАНИЮ
ПJИрОRое распространение праRтичеСRОЙ рационализированной системы
единиц, а таRже возросшее значение ВЫСОRочастотных Rолебаний заставило
в норне пересмотреть первое издание Rниrи. Во втором издании прежде
Bcero всюду изменена система единиц.
Н rлавам, посвященным элеRтростатичеСRИМ полям, добавлено еще 40 за .
дач по трудности выше средней. Они охватывают rлавным образом при
меры на таRие rраничные условия, ноторые не рассматривались в первом
издании. Волее подробное изложение вопросов, связанных с элеRтромаl'--
нитными волнами, заставило переписать заново неноторые части пятой
rлавы, Rасающиеся фУНRЦИЙ Весселя, и привело R введению венторных по
верхностных rаРМОНИR, что сильно упрощает ряд вычислений. Пере
писана таRже большая часть rл. ХI о вихревых тонах. 8леRтромаrнитным
волнам посвящены три rлавы, из ноторых две совершенно новые. И в самом
тенсте и в 150 задачах R этим rлавам содержатся не1юторые впервые публи
пуемые результаты и методы. Для приобретения навына в решении задач
на волновые поля по этой Rниrе обучались дВе rруппы аспирантов. Мпоrие
задачи ОRазались чересчур трудными для аспирантов первоro {'ода обучения.
но любая задача была решена, по нрайней мере, хотя бы одним аспирантом
старшеro пурса. Путь решения той или иной задачи либо непосредственно
вытепает из содержания Rниrи, либо требует HeHoToporo почти очевидноrо
ero обобщения. ПОСRОЛЬRУ в задачах приводится ряд весьма полезных CBe
дений, о них упоминается и в ".предметном уназателе это должно облеr
чить пользование Rниrой в начестве спраВОR при решении задач. Во втором
издании опущена rл. ХУ перво{'о издания, тан: нан приведение ее coдep
жания в соответствие с современными воззрениями потребовало бы СЛИШRОМ
MHoro места. '
Ни одна из новых тем BToporo издания не требует от читателя ДОПОJI
нительной математичеСRОЙ ПОДl'отовн:и по сравнению с предполаrавшейся
в первом издании. Опыт работы автора с первым изданием Rниrи ПОRазаJI,
что успешное решение элен:тричеСRИХ задач определяется в большей CTe
пени физичеСIЮЙ интуицией, чем математичесн:ой. Поэтому студенты, спе
циализировавшиеся при он:ончании в области матемаТИRИ, сильно уступают
в этом отношении тем, нто Rончал по физию? или элеRтротехнин:е.
375 студентов НаЛИфОРНИЙСRоrо технолоrичеСRОro института внима.
тельнО изучили первое издание Rниrи. Можно надеяться поэтому, что оста.
лось незамеченным лишь незначительное число ошиБОR, неясностей или
сомнительных утверждений.
Вильям Р. Смайт.
июль 1950
6
Предисловие автора к первому uадаuию
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Н ПЕРВОМV I13ДАНИЮ
Сре)l,НИЙ специалист, ОНОНЧИВШИЙ высшее учебное заведение, даже если
он достатuчно БЛИЗ1Ю ЗНaIШМ с современной теорией эле1,тромаrнетизма,
в большипстве случаев не в состоянии решать встречающиеся ему задачи,
требующие неноторых отступлений от стандарта и неноторой разработни
оснопных ИЗВеСТНЫХ ему положепиЙ. Настuящая нниrа пояпилась в pe
ЗУJlьтате дпенадцаТИ;ilетней работы автора по обучению аспирантов первоrо
J{урса фи3JПШВ, элентротеХНИ1ЮВ, rеОфИЗИ1ЮП и матемаТИ1ШВ, 1шторые
ДОШПШ,1 были обладать в области приложениЙ основных ПрИ1ЩИПОВ элer,три
'lества и маrнетизма знаниями в объеме требований, необходимых для полу
"юнин 1шндидаТСRоrо званин. hниrа может служить для справон"о методах
решения достаточно оБШИр1юrо нласса задач, не решаемых путем простоrо
JIрименения формул из спраUОЧНИRОП. Предпола"rается, что читатеJIЬ обла
дает математичесними ПО3I1аниямп в размере обычных требований по курсу
математичесноii физини, читаемому в высших учебных заведениях, а именно,
что он З1ra1ШМ с пенторным анализом, дифференциальным и интеrральным
исчислениями и с элементарными дифференциальньши уравнениями. Все
математичесние вычисления, выходящие за пределы У1шзанноrо нурса,
проводились ТaI,ИМ образом, чтобы читатель, имеющий требуемую подrо
TOВI{y, мот про следить за ними. Несмотря на непоторые трудности, автору
удалось избежать применения 1ЮНТУРНЫХ интеrралов на номпленсной пло
СН:()СТИ, однано ()н уперен, что при более rлубоном изучении предмета нужно
оп;:тадеТ1, этим моrучим математичеС1{ИМ инструментом.
Нан уже было упомянуто, эта 1шиrа написана снорсе для физиrюв энспе
римептаторов и инженеров, чем для теореТ1I1ЮП'. Поэтому в нее шшючены
лишь те разделы теории, ноторые имеют пепосредственное применение,
а изложенир- их сделано 1{ратпим и доступным читателю с уназанной выше
подrОТОВ1ЮЙ.
В книrе пет ни одной темы, представляющеЙ лишь чисто исто
РJlчеСRИЙ интерес. В самом тенсте разобрано мното задач больше, чем это
принято обычно. При их отборе принималась во внимание степень важносТИ
результата задачи в приложениях или то, наснолыш задача поясняет теорию,
дот{азыпает полезность тех или иных положений теО}JИИ. Помимо этоrо,
обширное собранио задач И1\юетсн n 1ШНЦе наждоЙ rлапы. Они охватывают
ПОЧТИ все положения теории, приведенные в тенсте. Мноrие из этих задач
взяты из Иэмбриджсних энзаменациониых вопросов и опублинованы в 1шиrе
Джииса [J е а n s J. Н., ТЬе MatllOmatical Theory ()f Electricity and Mag
netism, Camllridge, 1925]. НанБОJ1ее спосuбные асниранты решили все за
дачи, однано средниЙ аспирант это сделать бьш не в состоннии. Читатель,
занимаЮЩИl1СЯ самостоятельно, может, очеВИДНО, проверить себя на этих
задачах. Мноrие важные результаты помещены, за недостатном места,
не n тет{сте, а в задачах, поэтому они тан:же перечислены в предметном
уна;lателе.
, Порядок распuложения материала и само изложение неснольно отли
чаются от общепринятых.. Прежде всето все рассуждения основываются
посредстненно на макроснопичссних энспериментальных фактах, а не на
представленинх о минроснопической струнтуре проводшшов и диэлентринов.
91'0 вызвано двумя причинами: во первых, хотя :минроснопичесная теория
и Ijыдержала основпую проверну, а именно, дала (в пределах точности
энспериментов) наблюдаемые манроснопичесние заноны, ЭТО еще не roворит
за то, что она является единственноЙ теорией, или за то, что нерны и все
друrис BЫBOДI>! иR нее; BO BTOpЫX, изложение наиболее удовлетворительной
теuрии, опирающеЙся на'Iшантовую механину, требует таной математичесной
Предисловие автора.п первому uадаuию
7
технИI,И, наличие которой не предполаrаетсн у читателя в начале изучения
нниrи, но RОТОРОЙ он должен обладать по про хождении двух третей ее MaTe
риала. Поэтому изложение этой теории, 1,ратrше в силу необходимости,
приводится лишь в последней rлаве. Нторое отступление от общепринятоrо
состоит В рассмотрении теории маrнетизма на основе взаимодействия элer,
тричеСRИХ ТО1ЮВ и движущихся зарядов и в uтназе пользоваться понятием
одиночпоrо маrнитпоrо полюса. Это лоrичеСRИ неизбежно приводит 1, при
менениЮ не сналярноrо маrнитноrо потенциала, Iшн обычно, а маrнитноrо
веRтор потенциала, ШИрОRО (хотя и не ИСЮIIочителыIO) используемоrо во
всей теории маrнетпзма и элеRтромаrнетизма. Длн мпоrих читателей может
поназатьсн удивительныМ, что это иноril:а значительпо упрощает вынладни,
особенно при вычислении ноэффициентов саМОJIНДУКЦИИ и взаимнОЙ индуR
ции, а тar,же при изложении теории вихревых тонов и элентромаrнитпоrо
излучеиия.
Друrие не значительные отнлонения от обычпых нурсов заRлючаются
в более ШИрОRОМ использовании фУ1ШЦИИ Бесселя, нонформных пре
образований, а таюне методов специальной теории относительности при
нахождении, например, силы взаимодействия двух движущихся зарядоВ.
Последнее позволяет, опираясь на надежное энспериментальное подтвер
ждение, освободиться от необходимости делать те или иные rипотезы о форме
и размерах ЭЛeI,тричесних зарядов и отчетлиВО понимать пределы примени
мости обычных формул без привлечения ЭТJIХ rипотез./
Неноторые разделы, обычно внлючаемые в нпиrи по элентричеству
и маrнетинму, просто опущены. Тан, совершенно не затраrиваются ни элен
тролитичеСRан проводимость, ни фотоэлектричесние и термоэлентричесние
эффенты и т. д., хотя В общем и предполаrаются у читателя элементарные
познания в этих вопросах. Трантовна т:е их на том уровне, на нотором Ha
писана оr,тальная часть Rниrи, потребовала бы знаний ОСНОВ физиче
СRОЙ химии, термодинамини и нвантоВОЙ теории. ТаЮRе опущена теория
элеRтричесних машин и прибuров, ВRлючая и ваиуумные лампы, таи нан
представляется наиболее целесообразным излаrать эти разделы в непос
редственной свяRи . с лабораторными Rурсами. 3а недостатrЮ"1 места мы не
касались операТОРJlOrо метода Хевисаiiда и динамичеСRоrо метода анализа
IЮНТУРО в.
Перед тем, ию.. при ступить R чтению нниrи, читатель должен ознано
митьсн со всеми употребляемыми системами элеRтричеСRИХ единиц и отдать
предпочтение той или иной системе. Совершенно несущественно, каRая
система испольнуется в действительности, если толыю об этом ясно уRазано.
В Rаждом разделе курса автор выбирал ту систему единиц, с 1ЮТОРОЙ леrче
Bcero было работать. Тан, в rл. I V употреблялась элеRтростатичеСRая
истема CGSE, в rл. VII ХII элентромаrнитная система CGSM,
а в rл. XIII XV rayccoBa система. Во избежание недоразумений внизу Rаж
дой страницы уRазана употребляемая на ней система единиц. Кроме Toro, в
приложении даны достаточно полные таблицы перевода величин из одной си
.стемы в друrуIO, позволяющие результаты любых вычислений представлять
в любых единицах. Чтобы .увидеть, наС1ЮЛЬRО употребление рационализи
рованных единиц упрощает вычисления, были тщательно исследованы
все занумерованные формулы предварительноrо литоrрафичеС Rоrо изда
ния. При этом обнаружилось, что сложность 169 формул уменьшилась,
123 возросла, а 1196 формул по сложности остались неизменными. ТаRИМ
образом, существует очень мало данных в пользу рационализированных или
нерационализированных единиЦ. Ответы задач с этой ТОЧRИ зрения не
исследовались. .
При взнтии интеrралов или производстве математичеСRИХ преобразо
Баний всюду праRТИRовались ССЫЛRИ (при помощи номера) на соответствующие
8
Предисловие автора к, первому uвдаuию
формулы у Пайерса [Р е i r с е, А Short ТаЫе of Integrals, Ginn, 1929]
или у Двайта [D w i g h t, ТаЫе of Integrals and Other Mathematical
Data, Macmillan, 1934 (см. перевод: Д в а й т, Таблица интеrралов и друrие
математичесние формулы, М. Л., 1948)]. Поэтому желательно, чтобы чита
тель запасся хотя бы одной ИЗ этих нниr. Библиоrрафия, помещенная в Нонце
наждой rлавы, ни в ноей мере не является полной, но внлючает в себя
почти все те нниrи, ноторые, по мнению автора, содержат полезный дополни
тельный материал или поучительное изложение вопроса.
Автор принял Все меры, нание тольно знал, чтобы иснлючить ошибни,
одна1Ю он совершенно уверен, что они еще остались, поэтому он будет
блаrодарен всяному, уназавшему ИХ.
Вильям Р. Смайт.
/'
ABrVCT 1939
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Символы, напечатанные жирным шрифтом, применяются для обозначе
ния векторов (v, U, t@, ...) всюду, за исключением rл. Х, rде жирным
шрифтом обозначены 1юмплснсные амплитуды (1,8, ...) или сопряженные-
им величины (1*,8*, .. .). в последующих rлавах знаком отмечаются
комплексные амплитуды (1, i;, ...) и комплексные вен торы (1:, В, П, ...),
а знаком '" комплеRсно сопtJЯженные амплитуды (1, i. ...) и Rомплексно
сопряженные векторы СЕ,:8, П, ...). Величины векторов и СRаля
ры как зависящие, так и не зависящие от времени не отмечаются
никак.
А, А"" Ах и Т. д. вектор потеRциал.
АО НОРМИРОЕанный вектор потенциал.
а 1 , ах и Т. д. квазивеRТОР ПОТf)lщиал.
В, В"" Вх и Т. д. маrнитная индуКЦИЯ.
В реактивная проводимость.
ВО нормированная или . относительная реактивная
проводимость, BZ h .
C- eMKOCTЬ. Постоянная величина.
СО нормированная или относительная емкость.
C CKOpOCTЬ света. Длина.
сnn собственная емкость. В g 8 rл. IХ оператор.
Сmn взаимная емкость. в g 8 rл. IХ оператор.
D, п"" Dx и т. Д. элеRтрическая индукция.
ds дифференциальный элемент длины вдоль s.
dr дифференциальное изменение r.
Е, Е, В, Е и Т. д. напряженность электрическоrо поля.
Е (k) полный эллиптический интеrpал.
е заряд электрона; основание натуральноro лоra
рифма 2,71828.
8, , 8, и Т. д. электродвижущая сила.
е эффективное значение элеRтродвижущей силы.
F, Fх сила.
G аRтивная проводимость, :у == G + jB.
g ускорсние силы тяжести.
Н, Н, Н, й и Т. д. напряженность маrnитноrо поля.
Н I), н l) (v), H 2), H 2) (v) функции Ханкеля.
h постоянная Планка.
h 1 , h 2 , hз применяются в ортоrональных криволинейных.
координатах. Элементы длины при этом paBНbl:
h 1 dU 1t h 2 du 2 , h з du з .
10
Обоаноченuя
Il I), h I)(V). h 2), }l 2\v) сфеРИЧССЮIG фушщии Хашшля.
1,1, i, j и т. д. элентричеСЮ1Й тон.
Iв эффентивное значение си;rJЫ тона.
v iв ЭффОНТИШl()е значение плотнuсти тона.
i, i, l, lx И Т. Д. плотность тона. Тorс
i, j, k единичньш венторы по осям х, У, z.
J"" J n (v) фУНIщип Бессоля.
j == ( 1)Ч2.
1т in (и ) сферичеСЮJе фУ1ШЦИИ Бесселя .
К относитеJ1ьная диэлентричесная проницаемость,
Е/Е,;.
К (k) IЮJ1ПЫЙ эллиптичесниi:i интеrрал.
Кm относительная маrнитпая проницаемость !1/!1v'
Кn, К п (.v) модифтщированные Фуннции Бесселя.
k n , k n (и ) модифициропанные сфеРИЧGC1ше фуннции Бесселя .
k постоянная Больтцмана.
L, Lnn> Ln самоиндyRЦИЯ.
Lmп I3заимная ИНДУН:ЦИЯ.
LО нормирова1IlIая I.ЛИ относитольная саМОИНДУ1{
ция.
[, т, п направляющие носинусы (с осями х, У, z).
М, 111 памнrниченность_
111 пзаимоиндунцИЯ.
lllx' Ш, Ш, т, т и т. Д. MOMeHT диполя или петли.
т', т' нлассичесний маrнитный дипольный момент
(rл. ХН).
т Macca. Число (обычно цеЛ(10).
N потон элентричесной или маrнитной индунции.
п единичный вен тор в направлении нормали.
п IIOназатель преломлеНIJЯ. Число.
пп' п n (v) сферичесная фуннция Босселя.
2n!I==2.4.6...2n.
(2n+1)!1==1.3.5... (2п+1).
Р поляризация .
Р, Р l\IOЩIIOС1Ь.
Р средняя мощность.
РТ;:, РТ;: (!1) присоединенная Фуннция Летандра.
р, р IJМПУЛЬС. Количествu движения.
р число. Ш!11- ш.
Q элентричеСЮIЙ заряд. Добротность полоrо резо
lJaTopa.
Q нвадрупольный момент.
QТ;:, Q (f1) присоодиненпая фунrшия Ложандра.
q точечный или перемепный заряд.
R, R п , Rnn> R111n антивное сопротивление.
R, R (r) фуннция толыю r.
Rn, Rn(v) решение уравнения Босселя.
. R H , (v) решение модифицированноrо уравнения Бесселя.
R, R расстояяие между двумя точнами.
r, r расстояние от начала ноордипат.
S площадь поверхности.
Sc, Sо поперочное сечение полости.
S, Sn, S поверхностная rарм:онина.
ОБО8uачеuия
11
S, Sn> Smm Snn потенциаJIЬНЫЙ коэффициент.
snn собственный потенциальный l\оэффициент.
Sтn IJзаимный потенциальный l\оэффициент.
s раССТОЮ1ИО вполь кривой. Число.
Т, т мехаНIIЧеСЮIЙ момент.
т абсолютная температура. Период.
t Rремя.
т Е поперечно электричеСl\ое поле.
ТЛ! поперечно маrнитное ПОJ1е.
tе ин.rrен:с ДJШ величин, ОТJJОСЯЩИХСЯ к полям ТЕ.
tт индеl\С для величин, относящихся R полям Т М.
U фУНIщия потока, или потеНIIиаJ1ьная фУНRI1ИЯ.
[и] dU по кривой постоянноrо значения V.
и, и CHopOCTЬ.
u C')S Ь.
и 1 , и 2 , uз ортоrонаJlытеe ({риволинейные Rоординаты.
V потенциальная фУНI\ЦИЯ, или функция ПОТОНfI.
[V] dV по RРИВОЙ постоянноrо значения а.
v объем.
v, V СRОрость.
\У, T'V, W, W решения скалярноrо волновоrо уравнения.
W энерrия. U + jV.
Т'Vtе решения, описывающие волны ТЕ.
Wtm решеНI1Я, описывающие волны TJ1.
Х реантивное сопротивление.
х, у, z прямоуrОJ1ЬНЬЮ Rоординаты.
У n ' Уn(l') фУ1ШЦИИ Бесселя.
У, У полная нроводимuсть, С+ jB.
yo. нормированная или относительная полная про
водимость, YZ k .
Z, Z BeHTop repIIa.
i, Z, Z, Znn' Zn полное сопротивление.
Zh характеристичесное или волновое полное сопро
тивление.
ZО нормированное или относительное полное сопро
ТИВJ1еJJие, Z / Zh'
Z, Z (z) фУ1ШIIИЯ ТОЛЬRО Z.
Z 1юмплексная переменная, х + jy.
а, e ' " 8, . } часто ИСПОJ1ЬЗУЮТСЯ дЛЯ обозначения уrлов.
, ер, Х, 'f
отношение vfc. Отношение (\1 \1v)f(\1 + \1v).
волновое число для плосной волны, Ш(\1е)Ч2.
n волновое ЧИСJ10 в водноводе, ( 2 n)Ч2.
mn RритичеСRое водновое число.
mnр собственное волновое число полоrо рЕ!зонатор&.
r, r RОМПJ1еRсная постоянная распространения.
, элеRтрическая проводимость.
.6., Атв детеРМl1нант. Малая часть чеrо либо.
8 ТОЛЩ11На СRИН СЛОЯ. Разность фаз.
8 малая величина. Малая часть чеrо либо.
12
ОБО8uачеuuя
т и U
un СИМВОJI проненера, равныи НУJIЮ при т 4= n,
и единице при т == п.
E диэлентричесная проницаемость. МаJraя веJIичина
Е,, ДИЭJ1ентричесная проницаемость вануума.
Е, Е7t фаЗ0ВЫЙ уrол.
е, е (6) фуннция тольно 6.
е ШШЯРНЫЙ yrOJ1.
6 единичный Be TOp в направлении 6.
б, б', е" уrJIЫ падения, отражения и преЛОМJIепия.
it маrнитная восприимчивость, (1 2) Ч2.
л длина волны.
Лmn 1ЧJИтичесная длина волны.
Лg ДJIина волны в волноводе.
Лmnр реЗ0нансная ДJIина волны в ПОJIОМ реЗ0наторе.
!1 маrНllтная прuницаемостЬ, еоэ 6.
!1,, маrпитная проницаемость вануума, Q7C .10 7.
v частота в периодах в сенунду.
V mn нритичесная частота.
Vm11 реЗ0нансная частота ПОJIОСТИ.
8, 8 ( ) фУIПщия тодьно .
, С, <р СПЛIOспутые сфероидальные ноординаты.
, 'Yj, <р вытянутые сфероидальные ноординаты.
П, п, П вснтор Умова Пойнтинrа.
ff эффентивное значение вентора Умова Пойнтинrа.
р расстояние от осей z или 6. ПJIОТНОСТЬ заряда.
Рl единичный вентор в направлении р.
(j 1lOверхностная плотность элентричесноrо заряда.
площадь или удельное повеР:VНОСТIIое сопротив
ление.
'С удельное объемное СОПРОТИВJIение. ПJIОТНОСТЬ.
Время.
Ф(<р) фуннция тодьно <р.
ср единичнЫй вентор в направлении <р.
<р азимутаJIЬНЫЙ yrOJI. ФаЗ0ВЫЙ уrол.
W сналярный потенциаJI.
Q маrнитодвижущая сила. ТеJ1есныЙ уrол.
ro частота в радианах в сенунду.
V венторныЙ оператор, iB/Bx+jB/By+kB/Bz.
V2 двухмерныЙ вен торный оператор.
а. Ь снаJIярное произведение а и Ь.
а Х b BeHTopHoe произведение а и Ь.
V2 оператор ЛаПJIаса.
[v] запаздывающее значение v.
rлава 1
о с н о в н ы п о л о ж Е Н И Я Э л Е К Т Р О С Т А Т И [{ И
1. Электризация. Проводники и изоляторы. Слово «элентричество»
происходит от rречесноrо слова, 0значающеrо янтарь. Оноло 600 x rодов
до нашей эры Фалес МилеТСЮ1Й, повидимому;"' первый отнрыл, что янтарь,
если ero потереть, притяrивает н себе леrние тела. В настоящее время изве--
стно, что этим свойством в той ИЛИ иной степени обладает большинство веществ.
Если потереть нусном шелна СТeJШЯННУЮ паJЮЧНУ или металличесную па
лочну со стеюIЯННОЙ ручной, то обнаружится, что они притяrивают н себе
малеНЬЮ1е нусочни бумаrи. Поэтому их называют наэлеНТРИЗ0ванными.
В случае метаЛШ1чеС1ШЙ палочЮI состояние элентризации может быть уничто
жено приносновением пальца. Далее, держа в рунах нусни ра3Ш1ЧНЫХ Be
ществ и дотраrnваясь ими до наэлеНТРИЗ0ванной метаJIЛичеСi{ОЙ палочни,
можно обнаружить, что металлы и влажные предметы уничтожают элентри
.зацию, а тание вещества, нан стеНJЮ и шеJШ, не уничтожают. Вещества,
снимающие элентризацию, называются проводнинами, а вещества, не сни
мающие ее, ИЗ0ляторами. Существуют, однarю, и тание вещества,
HUTopble снимают элентризацию очень медленно и поэтому содинановым
правом MorYT быть названы ПJIOХИМИ проводнипами или плохими И30JIЯТО
рами. Таним обраЗ0М, нет определенной rраницы между этими двумя rруп
пами веществ. ..
э 2. Положительное и отрицательное элеI{тричество. Потрем стенлянную
палочну шеJШОМ и носнемся этой палочной или этим шелном наноrо нибудь леr
Jюrо проводящеrо тела, например позолоченноrо шаРИ1Ш, подвешенпоrо на
шелновой питне, оП онажется паэлеНТРИЗ0ванным. Два шарина притяrи
ваются, еСJ1И один И3 них наэле1{Т!Ш:З0ван стенлом, а друrой шелном, и оттал
ниваются. еСJ1И оба наэлеНТРИЗ0ваны стенлом или шелном. Отсюда следует,
что существуют два рода элентричества и что тела, одинаново наэлеНТРИЗ0
ванные, оттаШНIВаются, а противоположно IIаэлентриз0ваIIныeпритяrи
паются. Проводя опыты со мноrими веществами, мы приходим J{ выводу, что
существуют тольно два рода элентричества. Элентричество на стенлянной
палочне принято называть положительным, а на шелне ()трицательным.
э 3а. Закон Rулооа, единица заряда, диэлектрики. Далее оназывается,
что сила, действующая между шаринами, быстро уменьшается при удалении
их друr от друrа. Кулон при помощи нрутильных весов исследовал эти силы
и нашеJ1, что СИJIа взаимодействия двух наэлеНТРИЗ0ванных тел пропорцио
наJ1ьна произведению их зарядов, обратно пропорциональна нвадрату
расстояния между ними и направлена вдоль линии, соединяющей эти
тела. Этот занон известен под названием занона КУЛОН3.. Ero форму
лировна содержит в себе определение ноличества элентричества или
ЭJreНl'ричесноrо заряда: элентростатичесной единицей заряда является Ta
ное ноличество. элентричества, ноторое оттаJШ1шает равное ему ноличество
14
r лава 1
элеRтричества, находящееся в Банууме на расстоянии одноrо сантиметра.
с силой в одну дину. Прантичесной единицей элентричества является нулон.
равный 0,3.1010 элентростатичесних единиц.
Этот занон обратных нвадратов остается справедливым и в однородных
изотропных непровоДЯЩИХ средах, но там сила, действующая между оди
нановыми зарядами, меньше по величине, и ее в единицах MKS можно'
записать в виде
F == qq' r
'i1te:r2 l'
(1.1)
rде F СИJ1а, действующая на заряд q' нулонов со стороны заряда q, r
вентор, напраВJIeННЫЙ от q н q', r erO величина (в метрах), rl единичный
вентор вдоль r, е диэлентричесн:ая проницаемость, являющаяся постоян
ной харан:теристиной среды. Д.ля вак,уума эта величина (обозначим ее е,,)
численно равна 8,85 .10 12 фарад/м. Относительная диэлен:тричесн:ая проницае
мость К, равная отношению e/e v ' ЯВJшется величиной безразмерной и нес
зависящей от выбора системы единиц.
36. Пределы применимости закона Rулона. Точность измерений Кулона
значительно превзойдена современными методами, и, н:ан: недавно было под
тверждено, величина пон:азателя у r в формуле (1.1) равна 2 с точностью до
10 9. Однан:о нужно помнить, что занон Нулона можно применять с YBepeH
ностыо лишь Б пределах тех размеров, при н:оторых он подтверждается.
3ан:он cTporo применим тольн:о н: :заряженным телам, размеры ноторых
значитеJIЬНО меньше расстояния между ними. Форма же и состав этих тел
несущественпы. На протяжении всей н:ниrи мы постараемся избежать построе
ния н:ан:ой бы то ни было ман:роснопичесн:ой теории, основанной напреДПОJIО
жении применимости занона Нудона для атомных расстояний.
4. Электростатическая индукция. Элен:тричесюш заряды в проводни
н:ах MorYT свободно перемещаться. Поэтому при поднесении элентричесноrо
заряда н: незаряженному проводнин:у заряды ПРОТИВОПОJIожноrо знан:а пере
местятся в нем ближе н поднесенному заряду, а одинановоrо знан:а дальше
от Hero, хотя в целом проводнин: останется, н:онечно, незаряженным. Тан нан:
по занону Нулона сила взаимодействия тем больше, чем меньше расстояние
между зарядами, то в результате незаряженный проводнин: будет притяrи
ваться н: заряду. Появляющиеся при этом на проводнине заряды называются
индуцированными. ЕСJIИ заряд, индуцированный на удаленных частях про
воднияа, не снят (например, прин:основением руни), то при удалении инду
цирующеrо заряда проводния возвращается в нейтральное состояние.
Если же, оставляя индуцирующий заряд на месте, отделить друr от друrа
ближние и даJIьние части проводнина, следя за тем, чтобы они оставаJ1ИСЬ
И30JIированными, то обнаружится, н:ан: и СJIедовало ожидать, что обе части
несут на себе заряды противоположноrо знан:а.
ПРИНIIИП действия мноrих «элеl\тростатичесних машию) занлючается
Б автоматичесн:ом повторении этой операции и нанапливании разделенных
зарядов.
Используя значительно более чувствительные методы, можно обнаружить,
что заряд обладает небольшой притяrивающей силой тан:же и по отношению
н: незаряженным ИЗОJшторам 1 ). Это пон:азывает, что даже в изоляторах при
1) Нетрудно видеть, что для обнаружения силы взаимодействия между элеRтриче
сним зарядом и незаряженным изолятором нет необходимости в более чувствительных
методах. При относительной ДИЭ,ПСRтричеСRОЙ прошшаемости К, не СЛИШRОМ БЛИЗRОЙ R
единице, эта сила TorO же порядна, что и сила взаимодействия заряда с металлом.
См., в частности, задачу, приведенНУЮ в Э 5 rл. IV. При.м. перев.
Осиовиые поло;нсепия эл,еr.mросmаmиr.ll
15
сутствуют ::теRтричесние заряды и что они не являются абсолютно неподвиж
ными, а MorYT испытывать неноторые смещения. Мы не будем здесь обсуждать
rипотез, относящихся н действительному поведению зарядов в ПРОВОДНИRах
и ИЗОJIЯторах. Теории этих явлений еще несовершенны, хотя и значительно
продвинуты по сравнению с 1930 r.
5. Элементарные элеRтрические заряды. Нан было обнаружено, элеR
тричесний заряд не может быть беСRонечно делимым. Наименьшим извест
ным нам отрицательным зарядом обладают отрицательный элеБТРОН и
мезон. Впервые этот заряд с большой точностью был определен Миллине
ном. Принято е в настоящее время ero значение равно 1,60.10 19 нулонам.
Наименьшим известным нам положительным зарядом обладают позитрон
(или положительный ЭJ1ентрон) мезон и протон. С очень высоной степенью'
точности все элементарные заряды равны по величине. Масса элеRтрона,
а таRже, повидимому, и позитрона равняется 9, 1.10 31 h:e. Масса протона при
близительно в 1850 раз больше массы элеRтрона.
При рассмотрении ЭJIeRтричеСЮ1Х задач мы будем считать элеRтриче
сние заряды беСRонечно делимыми и пользоваться понятием плотности за
ряда. Ясно, что это справедливо лишь в том случае, если приходится иметь
дело с веШ1чинами зарядов, значительно превышающими 1,60.10 19 RУЛОН.
В пределах же атомных размеров, например, подобное рассмотрение, HO
нечно, становится бесполезным. Нан мы уже видели, элеRтричеСRие заряды
MorYT свободно перемещаться в ПрОВОДНИRе, и, ПОСRОЛЬRУ они оБJIадают
инерцией, естественно ожидать, что при уснорении тела заряды будут OTCTa
вать от Hero, создавая тем самым элеRтричеСRИЙ тон, RОТОРЫЙ можно обна
ружить по маrнитному полю. Этот эффент, ОRазавrШ1ЙСЯ очень незна
читель, ным был предсназан еще МаRсвеллом, но обнаружен и измерен лишь
Всноре после ero смерти Толменом, Барнетом и друrими. Результаты опытов
поназали, что подвижное элентричество в ПрОВОДНИRе отрицательное и что
отношение ЭJ1еRтричеСRоrо заряда R ero массе совпадает, в пределах поrреш
НОсти энсперимента, с соответствующим отношением у элеRтрона.
Почти все явления, с ноторыми нам придется иметь дело в этой Rниrе,
связаны с распределением или движением элеRТРОНОВ, а положительные
заряды проявляются лишь иан: недостатон элеRТРОНОВ, хотя с математиче
СRОЙ ТОЧRИ зрения совершенно безразлично, осуществляется ли переное
:шеRтричества отрицательными зарядами или положительными или зарядами
обоих знанов одновременно.
6. НапряжешlOСТЬ электрическоrо поля. Если на беснонечно малый
элентричеСЮ1Й заряд, помещенный в неRОТОРУЮ область пространства,
действует сила, то rоворят, что в этой области существует элентричеСRое поле.
Напряженность эле1причеСRоrо поля в нен:отороЙ точне определяется BeH
тором, равным силе, отнесенной R единице заряда и действующей на IlОЛО
жительный заряд, расположенныЙ в данной точне. Этот заряд должен быть.
;\остаточно MaJ1, чтобы ero присутствие не вызывало перераспределения дpy
rих зарядов. Последнее оrраничение необходимо из за ЯВJ1ения :шеRтроста
тичесНОй ИНДУRЦИИ.
Подобно тому, иан: действпе на TeJIO пеСRОЛЬRИХ механичеСRИХ сил
может быть сведено R действию одноЙ результирующей силы, ЯБляюшейся
их веRТОрНОЙ суммоЙ, результирующая напряженность элеRтричеСRоrо поля,
созданноrо неноторым распределением зарядов, может быть получена иан
венторная сумма напряженности полей, созданных отдельными элементами
этоrо распредеJ1ения. ТаRИМ образом, напряженность элеRтричеСRоrо поля
в roЧRе Р, созданноrо n зарядами, находящимися в беСRонечной однородной
16
r лава 1
.
среде с диэлентричесноЙ проницаемостыо е, равна
п
1 '" Ч"
Е р == 4 .L.i ri'
7O€ ' 1 Т'
(1.2)
l'де Ер напряженность элентричесноrо поля (в вольтах на метр), r i
вентор, равный по модулю r i и направленныЙ из точни Р Н заряду qio
7. ЭлентростаТИ'lеский потенциал. При перемещении заряда в элен-
-тричесном поле совершается работа. Потенцпалом (в вольтах) точни Р Э;J1ентрu-
статичесноrо поля называется работа (в джоулях на нудон) по перемещенИIO
заряда из точни нулевоrо потенциала в точну Р. Выбор ТОЧ1П1 нулевоrо
дотенциаJra " дело удобства. Очень часто, хотя и не всеrда, она выбирается
на беснонечности. Величина заряда долж
на быть достаточно маJЮЙ, чтобы не выз
вать перераспределения ЭJIентричества. Во
избежаиие явлениЙ неэле1<тростатичесноrо
хараптера перемещать заряд нуашо очень
медленно.
ВЫЧИСJIИМ потыщиал поля точечноrо
заряда q. Работа dV, необходимая для пе
ремещения единичноrо заряда на расстояние ds в поле Е, равна Е . ds
или ЕdsсоsВ, rде B yrOJ1 между Е и ds. В случае поля точечноrо заряда
сна равна
р
/ }
q r; O
Фие. 1.
dV== чсоsfl ds
47Ooor 2 '
{'де r вентор, напраВJ1енныЙ от заряда
между r и ds, нан поназано на фиr. 1.
для потенциала (в вольтах) ИTh'!еем
Ур Тр
\ dV == .!L r или
) 47O€) т 2
О То
q н элементу пути ds, и В уrол
ОчеВИJ(НО, что dr == ds cos В, поэтому
Ч ( l 1 )
Vp==
47O€ Тр То .
(1.3)
ЕСJIИ выбрать ro бесноиечным, то
Vp== .
47O€r p
(1.4)
Элентростатичесни:Й ПОТI;JНЦItaJ1 является сналярной фуинциеЙ точни и не
зависит от пути, по н:оторому заряд приносится в эту точну. Потснциал в
любой то ше элентростатичесноrо поля I\Ю}I<ет быть получен путем СJюжения
потенциалов отдельных зарядов, создающll..'{ поле; таним образом,
п
v "'
р 4708.L.i Т! '
' 1
rде r i расстояние между Р и qi (в метрах).
Поснольпу СНaJшрная сумма значительно проще вснтuрноЙ, то ясно,
почсму при I3ычпслениях предпочитают имсть дело с выражением (1.5), а не
с (1.2). Напряженность поля R точке Р можно найти из выражения (1.5)
Е== gradV== VV. (1.6)
(1.5)
в прямоуптьных ноординатах
av
Ех== дх '
номпопенты напряженности поля
JV JV
Еу== ду ' Ez== Jz .
равны
(1.7)
Осиовные nОЛО;Jlсенил ЭЛ е1.mросmаmики
17
[\омпоненты l'радиента в любой ДРУI'ОЙ филспрованной 1юординатной системр
можно получить, еСJ1И выразить V, х, у и z через н:оординаты этой сш:темы.
Методы перех()да от одной системы ноординат J{ друrой приведены в
g q и 5 rл. 111.
Если раССТОЯНllе между элементарными зарядами маJЮ по сравнению со
всеми остальными рассматриваемыми размерами (что обычно и имеет .место
на прантине), то распределение зарядов можи,) считать непрерывным и можно
rоворить об их объемноЙ плотности р (заряд на единицу объема) и о П(Jверх
ностноЙ плотности cr (заряд па единицу поверхности). Сумма (1.5) переходит
в этом случае в ПfJтеrрал
V ( р dv r !J dS
I' 4ПЕ) r + 4ТОЕ J r '
v S
(1.8)
!'де dv элемент объема, dS элемент 11Oверхности. Необходимо заметить,
что эти формулы применимы толы{О TorJIa, ноrда все онружаIOщеепростран
ство, а ты,же ваходящисся в нем материальные тела имеют диэлентричесную
проницаемость 8. В противном случае нужно применять методы, развитые
в rл. IV и V.
8а. 8лектричес;ие диполи и мультиполи. Слтн:им потенциалы поля,
создаваемоrо зарядом q, находящимся в ТОЧКI:J Х О ' уо, Zo, и поля, создава
eMoro зарядом -+ q. находящимся в точн:е хо + dx o , уо' Zo. TorJIa в НI:JН:ОТОРОЙ
точке Р с Н:ООР.1J,инатами х, у, z результирующий потенциал будет равен V
или
q д ( ч ) q
411:8V== + dx ==
" дх о r о r
ор ор ор
q dxo ar op q dxo (X Xo) q ахо aro p
r 2 дх о " дх .
r
ЕСJIИ устремить dxo О, а q со тан:, чтобы их произведение q dxo OCTa
валось н:он, ечным то пuлучится система, известная под названием элен:три
чеСIl:оrо диполя. Мощность или момент этоrо диполя определяется вен:торноЙ
величиной m == q dx o , направленноЙ от отрицатеЛЬН01'0 заряда н: положи
тельному. В полярных н:оординатах потенциал. в ТОЧ11:e r, в, созданный ди
по.лем, помеЩI:JННЫМ в начале н:оординат, paB H
V == m СОБ 6 ==
4тozr 2 4ПЕr 3 '
(1.9)
Очевидно, это выражение МGЖ<Л быть (]f)общено, тю, что, если потенциал
V р в точке Р, созданныЙ системой п зарядов, дается выражением (1.5), rде
r i радиус вer{тор из qi в Р. то IIотенциал Vj), созданный системоЙ п ди
полей, таких Жf' пu знану и по величине II расположенных в тех же точнах
пространства с осями, параллельными оси х, будет равен
n
, av р Ч;. (Х р Xi)
Vp
L11tzr '
р i 1 '
( 1.10)
Путем дифференцпрования выражения для потенциала единичноrо элен:
тричеен:оrо диполя, предстапленноrо в прямоуrольных' координатах, можно
получить потенциал единичноrо нвадруполя, размерность HOToporo QL2.
Таним образом, выражения
1 a 2 (1fr)
4ТОЕ ах 2
1 а 2 (1fr)
4..Е дх ду и т. д.
представ:шют потенциалы линейноrо нвадруполя (фиr. 2, а) и поверхност
Horo н:вадруполя (фит. 2, б). Дальнейшее дифференцирование привеДtJТ R по
2 в. Смант
Библиотека
профессора Саночки па Ю.Н.
18
r.flЛва 1
тенциn"ам 6СlJ1ее сложных МУЛЬТИПОЛЬНblХ систем, сумыарныii заl'НД которых
всшда равен нулю. Друrие СЛУ'JaИ будут рассмотрены в S 13.
Сила, деЙствующая на ДИПОЛЬ m в поло Е, равна ВРRТОРIЮЙ сумме
сил, деЙствующих на наждый из зарядов, обраЗУЮШIJХ ДИПОJIЬ. Так 1Ш1{
:шряды равны и противоположны, она СВОДI1ТСЯ J{ ве1\:ТОРНОЙ разности напрюш"Н
ностеЙ штей (ds . V) Е на двух концах диполя, умноженной на. ч; тюшм
о()разо.м,
l"'==q(ds. V)E==(m.. V) Е.
13 однородном поле эта сила равна нулю.
(1.11)
. dx [У dx . q. ;;q
+q 2q ..q 3: х
I +q. dx . q
I
а б
Фие.2.
13 однородном поле заряды находятся под действием сил + чЕ и чЕ,
приложенных на расстоянии dssin е (8 уrол между дБ и Е). Поэтому на
диполь деЙствует механическиЙ момент
Т== tEq dssin 8 == t mEsin 0== m Х Е,
( 1.12)
rде t е;rщничный вен:тор, нормальныЙ к m и Е.
8б. Взаимодействие ДИIIолей. ПотеНЦИaJ1ьнан энерrин диполя R IIpO
ИЗВОJIЬНОМ поле с потенциалом V равпа суммарпvи работе, совершаемuЙ прН
внесении в это ПОJIе каждоrо из зарядов в от},еJIЫIOСТИ. Если потенциал
поля в точне Р l' rде расположен зарЯД + ч, равен 1'1' а в ТОЧ1\:е Р 2' rде
paCIIOJIOJ-IЮН заряд Ч, равен 1'2' то .
av дТТ
lV==q(Vl V2)==qPIP2-д-; m os ; (1.13)
;-{десъ m ДИПОJJьныii момент, а s ОТСЧИТЫШШ'lТЯ в напраВJlerши оси ДИПОJIЯ.
В вен торных обозначеJJI1ЯХ это можн() записать в виде
W == (m . V) 1'.
(1.14)
Пусть m 1 11 m2 lVIOМeJПЫ двух диполеЙ А и В, аr 13ектор,направлепныЙ
из А в В. Тоrда потенция;;! в ТUЧIШ В, созданныЙ ДИПОJIСМ А, СО1'ласно
(1.9), равен
.стт llllсоsО llll.r .v ( )
17i: 1' r 2 1' m 1 r'
(1.15)
Подстar овка ЭТОl'О выражения для V в (1.14) дает
47i:sW == + m 2 . V (ml ' rjT3) == m 2 . (r 3Vml . l' Т m 1 . I'V r 3) ==
==m 2 . (mlr 3 ml' r3I'r 5)==ml' m2r 3 ?ml' rШ 2 ' rl. 5.
Если m 1 и m 2 образуют с r Уl'ЛЫ 8 И О', а ер уrол между ними, то
. Jll ll12
W == 4 1 3 (СОБ ер 3 СОБ О СОБ 01).
j"t€r
(1.16)
Обозначим черсз ljJ УI'ОЛ между ПЛОС1ЮСТЯМП, содержащими Ш 1 Il m 2 и пере
секающимися вдоль r; 'fоrда, беря r n llанраВJIении ох, а Ш 1 лежащим n
Осиовиые пОЛО[FlCеuил элекmросmатики
Н)
ПЛОС1ШСТИ ху, для направляюIЦПХ RОСИНУСОВ по.:тучим 11 == СОБ О,, l2'== СОБ Й',
т 1 == sin О, т 2 == Бiп О' еОБ , п 1 О. 'fаним образом,
СОБ ер == 11/2 + т 1 т 2 + п 1 п 2 == СОБ (J СОБ О' + Бiп О sin ()' СОБ ,
w == 1Y' ", . tm2 3 ( sin е sin е' ('ОБ ф 2 СОБ О СОБ е' ) .
''ЛЕР I
(1.17)
L:ила, действующая между двумя диполями, получается путем дифферен
цирования
F ==. a a W == 3 4 m'П: 2 (Бiп (J sin О' СОБ ,1, 2 СОБ е СОБ В').
r 1t€r i
( 1.18)
Она имеет маRСИМУМ при == о, (J == В' == О. Аналоrично определяется момент,
СТр МЯll ИЙСЯ ПОВtРНУТЬ диполь В направлении а,
aW
T== -д;'
( 1.19)
9. Силовые линии. Одним 110 наиболее полезных способов наrляДНО
1'0 представления элеRтричеСRоrо поля является изuбражение ero при по
мощи «силовых ЛИВИЙ» или «ЭRВИПllтеНЦlJaJJЬНЫХ пuверхностей». Силовая
линия Э;JеRтричесноrо поля это таRая направленная Rривая, Н'асательная
н: RСТОрUЙ в тобой ТОЧRО совпадает по напраВJrению с напряженнuстью
элеRтричеСRоrо поля в этоЙ ТОЧRе. Отсюда следует. что ОСJ1И дБ элемент
дуrи этой RрИВОЙ, ТО
(ls == лЕ,
(1.20)
"де л сналярный множитель. Выразив врнторы через их н:омпоненты
в прямuуrо.r.ьной системе Rоординат 11 ИСRЛЮЧИВ л, мы получим дифферен
ЦИaJ1ьное уравнение силовых JIИниii
dx dy dz
Еж Ву li z .
Аналоrичные уравнения можно написать Р. 13 .ируrих ноординатных систе
мах, eCJlI1 воспользоваться результатами 3 и 5 rл. 111. Существуют бuлее
простые методы получения уравнений СИJlОВЫХ линиi1:, не требующие ивтеr
рирования этих уравнений. Однано один ПРl1мер на их непuсредственное
ИIIтечшрuвание мы все же приведем здесь. Рассмотрим поле, созданное
двумл зарядами: + q в точне х == а и + q в ТОЧRе х == а. Поrн:uльн:у
13 силу симметрии поле ОД1IIJaRОnО в любом сечении, содержащем ось х, то,
JЗ частности, за это сечение можно ПРИБЯТЬ плосн:ость ху. Сумма x co
ставляющих напряжеНБОСТИ элен:тричеС1{ИХ полей, создаНБЫХ двумя этими
зарядами в любоЙ точн:е пространства, равна Еж, rДf>
(1.21)
4 .Е q (x a) + q (х+а)
'1tS х [у2+(х а)2]ЗJ2 [у2+(х'+а)2]ЗJ2 .
Или, произведн замену
х+а
Il==Т
и
X a
b==
у ,
(1.22)
получим
4'1tEE х qv зJ ::l: qи ЗJ
у2 (1 +и 2 ) 2 у2 ('1 +и 2 )
АнаЛОl'ИЧНО
4'1tsE q ::l q
у у2 (1+v2)ЗJ2 . у2 ('1+и2)8J2
2-
20
r лава 1
Уравнение (1.21) примет вид
d1J Ey (1+v2)З/2.1:: (1+и2)З/2
dX Ех и(1+v2)З/2:1::v(1+и2)З/2
.
Фие.3. Поле двух равных зарядов противоположноrо знана.
силовые линии изображены СПЛОШНЫМИ НРИВЫМИ, а энвипотенциальные линии пуннтирными
РеШИВ (1.22) относительно У и х и взяв отношение их дифференциалов.
получим
dy dv dи
dx иdv vdи .
Сравнивая эти два выражения для dyjdx, мы видим, что
dи == ( 1 l---и2 ) З/2
dv + 1+и 2
Разделяя переменные и интеrрируя, находиМ
и(1 +и2) Ч2 :1:: v (1 +V2) 1f2 ==С.
Осиовиые nоло;ж;еNия элекmросmаmики
21
Или, возвращаясь н х и у,
(х + а) [(х + а)2 + у2] Ч2 :1: (х а) [(х а)2 + у2] Ч2 С.
(1.23)
На фИl'. 3 и 4 поназаны СИJIOвые линии, описываемые этим уравнением;
на наждой IIЗ них уназаны соответствующие значения ВeJJИЧИН С. Бuлее
простой метод ПОJIучения этоrо уравнении при помощи теоремы raycca
о потоке элентричесной индунции прпводитси в Э [16.
0,5
/,5
х
',2.0
I
I
,
,
I
I
I
I
,
I
I
. .
;'
Фие. 4. Поле двух равных зарядов ОДJlоrо 3НaIШ.
СИЛОDые лииии И80бражrны силошными НРИDЫМИ, а 8НВIIпотенциальные ЛИНИИ ПУННТИРНLlМИ
JI вую часть уравнения (1.23) можно перепи('зть в виде
(х + а) r 1 (1 + 2ахс 2 + a2r 2) 1f2 (х а) r l (1 2aи 2 + а2,. 2) Ч2,
здесь r 2 0== х 2 + 712. Если устремить а........,. О и ПрСДС'1авить радин:алы в БИJl.С
рядов по степеням а (см. Двайт, 9.03), а затем пренсбречь членами порЯJ
ка а 2 и выше, то, введи' новую постоянную (" вместо Cj(2a), мы получим
уравнение
у2 '. sin 2 О
з с ,
r r
(1.24)
flвлнющееся уравнением ('иловых линиЙ эле1{ТРПЧС('J{оrо диполи, понззюшых
на фпr. 5.
1 О. 31шипотенциальпые поверхности. 81шипоте1щиальноii ПО];l' рх
ностью назьшаетси Т3I,аи пuверхнс,сть в элш,ТРИЧСС1ЮМ поле, все точн:п н:o
тороЙ имеют ОJl.инановый потенциал. Следовательно, :швrшотенциальнаи
22
r лава 1
поверхность описываете я уравнением
V==t,
(1.25)
rде С постоянная. В ПОСJIедующих I'Jшвах будут приведены l\артины раз
личных электрических полей с нанесенными на них ЭIшипотенциальными
II силовыми линиями. Заметим, что ПОСJ{ОЛЬНУ при движении заряда вдuль
энвипотенциальной поверхности не затрачивается нин:аной работы, силовью
ЛИНЮI должны быть н ним ортоrональны. В начестве примера использова
ния уравнении (1.25) возьмем толыш что рассмотренный случай. Точни,
потенциал 1ЮТОРЫХ равен С, определяются уравнением
Это уравнение юшипотенциальных поверхностей, сечение ноторых поназано
q [(х а)2 + y2] 1/2 + q [(х + а)2 + у2] Ч2 == 41tEC.
(1.26)
.
1
Фие. 5. Силовые линии ЭJIeJ{тричесRоrо диполя.
на фиr. 3 и 4 при помощи пуннтирных линий. Значения С даны )1ЛЯ
величины заряда q ==- 41tE.
В элентростатичесном поле часто мтнно отыснать тание точки или
линии, rде ЭIшипотенциальные ПОВf>I)ХНОСТИ имеют по нрайней мере двойное
пересечение и rде! следовательно, VV становится равным нулю. Их назы
вают нейтральными, равновесными или СИНl'улярными (особыми) ТО IНами
или ЛИНИЯ1\Ш. Таной точной является, наприме}), начало координат на
фиr. 4. J3 Э 24е rл. V nудут рассмотрены некоторые свойства этих точек.
11а. Теорема raycca о потоке электрической индукции 1). Мы
будем доназывать эт теорему, исходя из занона обратных квадратов II
предполаrая, что все пространство заполнено однородным )1ИЭЛI:JНТрrпюм.
Последнее преДПОЛОЖI:Jние будет в дальнейшем снято.
Рассмдтрим малый элемент dS замкнутой поверхности (фиr. 6), внешняя
нормаль н IЮТОРОЙ образует уroл (1. с радиус вектором из точни Р, В 1ЮТО
рой расположен точочный заряд q. Наждую тпчну rранrщы элемента dS
соединим прямой линией с точной Р, тан чтобы образовался малыЙ конус.
Этот нонус имеет сечение d со сферичеС1ЮЙ поверхностью, проходящеii
через точку Q и имеющеЙ центр в точке Р; поэтому d =-с= dS coS (1.. Нормаль
ная составляющая напряженности поля, созданноrо в ТОЧ1,О Q зарядом q,
1) Определение вш{тора электрической ИНДУJЩИИ будет дано D Э 14. В ОРИl'иналс
:lBTOp пользуетея понятием элентричеСJ{ОI'{) ПОТ(JJ{а (electl'ie fluх). П ри.м,. перев.
Основиые nОЛОЭlсеuия элекmросmатикu
23
находящимся в точке Р, равна
Е qr'l1 q СОБ а
n == 41tsr3 == 41tsr2 .
Нормальная 1юмпонента потона сквозь площадну dS опредеJrяется, нан
d "T == Е dS == q СОБа dS == qd
i v Е Jn 41tr2 4пl,2 .
Телесный уrол, под 1ЮТОРЫМ видна площаД1Ш dS Ш! точни Р, равен
dQ ==d r 2, так что
4яdN == qd 2 .
Если точна наХО)1ИТСЯ внутри З3.l\ШНУТОЙ поверхности, то 1ЮНУС пересенает
Фие. 6.
1I0перхностъ п раз. причем п число нечетное; yrOJ1 а оказывается
1 L .
2" (п + 1) раз острым и 2" (п 1) раз тупым, тш, что суммарнан величина
потока в конусе равна (qj4т:) dQ. ЕСJIИ же ТОЧ1,а находится пне поверх
ности, то п число четное, и HOJJWreCTBO отрицательных и ПОJJожительных
значений d 2 ОДI1наново; поэтому их суммарный внлад равен нулю. Чтобы
получить полный потон снвозь поверхность, or,ружающую заряд, нужно
проинтеrрировать по неЙ: нормальную номпонснту Еn, что дает
4'lt
47t dN == (1 \ d 2 или N == q.
s о
Добавляя сюда IЮТОН, обусловленный всеми зарядами, находнщимися
f!НУТРИ S, мы получаем теорему faycca, rласящую, что если на произволь
ноЙ ЗhМННУТОЙ поверхности задана напряженность элентрическоrо птrя Е, то
Е E.ndS==q,
s
(1.27)
24
r лава 1
"де n единичный вентор внсшней 1юрмалп [{ поверхностн, а иптеrрирова
ние производится по всей поверхности, охватываJOЩЕ:Й заряд q.
ЕСJIИ пространиrво вне рассматриваемой поверхности нвляется неодпо
ридным и СОД(JРЖИТ раЗ.пичные l ИЭJJeIСI'fJИ'Jе('IПlе и пронодящие тела, то
необходимо ввести определенные предполошеНИ;l отниситслыIO э.пектриче<:ких
свойств веществ в электростатических полях. Поэтому при рассмотрении
таних полей мы будем считать, что IТp'poдa всех тел ЧIIСТО электричсС'1ШЯ
и что ини l or,TlJHT из ПОJЮЖIIтельных Il отрлцатеJJЬНЫХ зарядов, поля HOTr,
рых подчиншотся за1ШНУ обратных 1шадратив. Нта пшотеза ПОЗВОJшет
объяснить ЭJJен:троrтатичесние явленин в JllOбом материальном теле путем
сложения полеЙ всех состаВJIЯIOЩИХ Ш'О зарядов. СлеJ{ователыы, уравиение
(1.27) остается в силе пезависимо от прир()ды ДИЭJlеlПРИЧССКИХ или прово
дящих веществ, находящихся вне рассматриваемой повсрхности, тан нан: оно
учитывает поля, Созданные внешними зарндами. Принятая нами rппоте:ш
еодержитсн в явном или псявном влде 13 бl)JlыIнстпеe нурсов по ЭJIeI,ТТЮ
rтатин:е.
11б. Силовые линии системы КОЛJIинеарных зарядов. ДЛЯ ИЛЛIO
и'рации применения этой теоремы воспользуемся ею прп нахождении уран
ненил СИJЮВЫХ линий систе
мы коллинеарных ЭJIентричс
('КIlХ зарядов ql' q2' qз"",
расположенпых в ТОЧ1ШХ X 1 '
Х 2 ' :х:з, . " оси Х. ИЗ симмет
рии системы ясно, что ни oд
х на СИ.повал линия не может
пересечь поверхноr,ть, образо
ванную вращением BOHpyr оси
Х силовой линии, J1ежащеi1
в IIлоености ху. П рименля
теорему raycea н объему, Qr
раниченному этой поверх
ностью вращенин и ПЛОСIШ
стями Х А и .Т с== В (фиr. 7),
мы получим, что полный поток lУ, ВХОJШЩИЙ через сечение А, равен полному
потor,у N, выхидящему через сечение В, тан нан потон: сквозь боковые етенни
равен пушо. Для ПОJIУЧСНIIil уравнения поверхности необходимо, таним образом,
приравнять N постоянной величине. Нан следует из (1.2), N равняется
сумме потоков от 1шждоrо из зарядов в отдельности, поэтому, ПО толыш
что доназанной теореме raycca, получаем
4т:N ql I + q2 !2 + qз з + . . . ;
lla
Фие. 7.
здес.;ь 2I. Q2' Ъ з,'" телсенью УI'ЛЫ, под ноторыми ВIIДНО сечение 113
X 1 , X z ' Х з , . ., Переходя н уrлам a 1 , 0:2, аз, . .. (<:м. фиr. 7), ПОJ1УЧИМ
п п
- 1 , 1'\,1
N 2qi(1 cosai) C 2 L.J qicos a i'
. 1 < 1
Объединив постоянные в JICBoi1 части ,Vравненип и ВLlра:шв носииусы чере:
координаты .Т, у ПJЮСНОСТИ ху, мы ПрIJХОДИМ Н уравнениIO силовых ЛllJшii.
n
с == qi (X X.) [(х ху+у21 Ч2.
i 1
Уравнение (1.23) ЯЕлнется ет частным случаем.
(1.28)
Осиовиые поло;исеuия DлекmросmаmиКlt
25-
* 11в. Силовые липии на беClюнечности. Введем r == [( х х)2 + у2] Ча
и будем пренебреrать значениями [(х x.J/r]n при x . Х ; 1: r и n>- 2, тоrда
мтнно написать
п
п
n
x x r x 1 rз х)2 ] х х
С == L.J qi + LJ qi СТ х;) == r LJ qj'
i. j i 1 i j
( 1.29)-
l'де х ноордината <щентра тяжести» зарядов. Таним образом) поле на
беС1юпечности совпщтает с полем заряда, помещенноrо в центрс тяжести
зарядов 11 paBHuro их алrебраичеС1ЮЙ сумме. 8'1'0 положение можно распrо
странить 11 1т неноллинеарные заРЛJ1Ы. Действительно, разбивая ПРОИ3ВО.Тlь
ную систему зарядов на пары п применяя R наждои пире формулу (1.29),
а затем rруппируя попарно центры Тf'жести предыдущих пар и т. д., мы
придем в 1юнце 1ЮНЦОВ 1 центру тяжести nсеи системы.
12. Мансимумы и МИНИlиумы потенциала. Теорема I1рншоу. P1tC
смотрим маленьнуlO сферичссную поверхность, охватывающую то шу Р
эле1,тричесlюrо поля. Среднее значение потенциала на этой поверхности
равно
"" 271'
1 \ 1 ) .
V == '2 T dS == 4 V sш (J df) d .
'11Cr . 1t
R о о
....
Беря ПрОИЗВОДIIую и применяя теорему raycca. получим
71' 271'
dV == (' (' dTl sin О d(J d == \ dTl dS ==
dr 4", J J d,' ер 4пr 2 .) dr 41C€r 2 ,
О О S
rде q заряд внутри сферы. После интеrрировапия приходим н результату
q
V== 4 +C'
1t'r
в случае q == о среднее значение потенциала на малой сфере, охватывающей
точну Р, таное же, нан и в точне Р. Отсюда вытенает тепрема о том, что'
потенциал не может иметь ни мar,симума, ни мпнимума в тех ТОЧ1ШХ про
странства, rде отсутствуют элентричеС1Пlе заряды. Нз определения пuтеII
циала спедует, что пля устойчивOI'О равновесия ПОJJожитеJJЫJЫИ заряд должен
нР.ходпться в точн:е минпмума потенциала, а отрицательный l3 точне, rде
потепциатr мar СI!мален; при ;:JTOM потенцпа.if caMoro наряда, очеви;ню, исн.;rю
чаетсп из рассмотренпя. [Iоснольну по ДО1НJ.занному пыше п :ШС1простати
чесном поле нет ни мансимумов, ни минимумов потенциала, то отсюда
следуот танже теорема Ирншоу, утверждаJ'Jщая, что заряд Б ЭЛlжтричесном
пuле не может уДеРЖ1шатьсн в равн.,вl'СНИ UДJJИМIJ элerпрлчесними СIlлами.
СледоватеJ1ЫIO, если мы считаем природу вешества чисто элентричесноЙ,
т. е. вее тела соетоящимп из ПUJJощитеJJЬНЫХ и отрицательных зарядов,
между нuторыми действуют элентричеение СК1Ы, то эти силы БзашvюдеЙс.твил
должны быть отличны от элентростатичеснпх.
13. ПотеlIциал двоiilIоrо :ШСНТРИЧСCIюrо СЛОЯ. В a IIJЫ БидеШI, '1'1'(..
потенциал ,DППОJlП мошно IIОJIУЧИТЬ из потенциа;rJН О,IПШОЧIlОrо заряда путем
дифференцированпя в направлении оси диполя. Подобпым же образом мы
получаем, что если потенциал ТОЧ1П1 Р, ('UЗДi:lIШЫЙ Э.1Iсиснтuм IIоверхносп1t;.
dS с. П.1Iотностыо заряда а, равен
dV ==о 4:Er dS,
'26 r лава 1
ПЮ r ра('стояние от d8 лО Р, то
4:Е d8 :п ( )
япляетсн потенциалом точки Р, созда нным диполем с моментом crd8, напрап
.пенным ПДtJЛЬ n. Итан, потенциал двойнOl'О элентрическоrо слон с моментом
'ф (Hd единицу плошали) равен
v ,,= \ ф ( '. d8 := \ ф n. r dS.
4",Е ,) дп r) 4hZ' r&
S . s
Но п. rr 3 d8 == d 2, l'ne dQ телесный уrол, под 1ЮТОРЫМ ВИJ(ен элемент
поверхности d8 из точки Р (см. На). Поэтому
V == 4 1 (' Ф dQ. (1.31)
ЛЕ
(1.30)
13 случае двойноrо с.поя с постоянным моментом qr это ...(ает
\"0
v==
4пЕ '
(1.32)
I'де Q полный телесный YI'OJ1, ПОJ( которым виден двойной слой из Р.
14. Вектор электрической индукции и силовые трубки. Очень
'Часто приходится иметь л.елu с ПООИ:iве1J:ением диэле-(тричесной проницаемости
на напряженность элентричеС1юrо поля. В слу
чае изотропных n:иэлентринов это прои;ше1Те
ние называют выпором элеНТРW1есной индук
ции D ИЛИ вен тором элентричеrноrо смещения;
таним образом,
D,,= ЕЕ.
(1.33)
в системе единrщ MKS ииду1ЩИЯ D измеряется
в нулонах на квадратный метр, а напряженrю
эле1,ТРПЧСС1юrо поля Е в вольтах на метр.
Лияии Э.ТIен:тричееноii индукцни аналOl'ИЧНЫ
Фие. 8. .ПИН1ШМ напряженности электрпчесноrо поля;
в изотропных диэлентриках они совпадают по
напраВJIению, но в силу TOI'O, ЧТО Е больше Ev' JIИВИИ электрической индунции
располткены плотнее. Взяв маJ1ЫЙ элеМf;:НТ площади, нормальный н ЛИНИИ
индукции, и JIрове)1Я линии индунции через вее то ши ero rраницы, мы
выделим 13 пространстве неноторую оБJJасть, называемую силовой трубной
(см. фиr. 8). Применпм теорему raycca о поток с нш,тора ЕЕ, т. е. о потоне
ле1{тричесной l1НДУН:ЦИИ, н свобод IOМУ от аарядов пространству, оrрани
чеююму двумя норма.ТlЬПЫМИ сечениями тан:оlI си:ювой трубки. Поско;;н,ну
интеrрал по боковоii поверхности равен нулю, поток, входяший В один
I\онец трубни, равен потону, выходящему из друrоrо 1ЮНЦ3. тан что если
.s 1 и 82 ПЛОПЩJ(И поперечных сечениЙ, то ПОТОН В трубне равен
N == 81DI == 8 2 D 2 .
в lIоследующих rлавах будет приведено l\1HOro Фш'уr, на ноторых поназаны
силовые rруб1Ш. Единичной силовоii трубкой называется трубнз, IЮТOI,
сююзь Jllобое сечение НОТОрОЙ равен единице. Сфера еДlJничноrо радиуеа,
онружающая заряд q, имеет площадь 4т: .м 2 , поэтому. на ней D==q/4",.
Следовательно, из заряда q выходит q единичных силовых трубон. Таним
-образом, заряд на нонце единичной силовой трубки равен одному 1{У,пону.
Основиые пОЛО f{;енил алекmросmаmш;u
27
15. Натяжения в электрическом поле 1). Понятие о силовых линиях
и силовых трубнах было введено нами ЛIfШЬ для более наrля,Пноrо пред
-<;тавления электричесшн'о поля. Во мошно, uднarш, следуя Фарадою, пойти
начительно дальше в развитии этих идей, а именно рассматривать трубни
нан средство передачи электричеСНIIХ сил. ПОС1{()ЛЬНУ при решении ряда
задач тarшя точна :зрения может быть
чрезвычайно полезной, посмотрим, нан:ую
систему натяжении падо ПОСТУЛllровать
для получения наблюдаемых электриче
.сних сил. Выясним, 1ШК должно зависеть
натяжение вдоль силовой труБЮI от Ha
-пряженности элентрическоrо ноля д.пн
Toro, чтобы сила взаимодействия между
двумя равными зарядами противополтн:
Horo знана, расположенными на расстоя
нии 2а npyr от друrа, выражалась бы законом Нулона. Обозначим эту
ависимость через Ф (Е). Нз формулы (1.2) напряженность поля в ПЛОСIЮСТИ
'Симметрии (см. фит. 9) равна
E 2aq
J S
4пЕ(а2+у2) 12
:fI. нольцевой элемент площади
dS 21са2 sin!J а е
СОБ 3 (j .
у
Фuе.9.
q C()S3 !J
2пЕа 2 '
Выписав силу l\улона в левои части, а наТiiiкевия в плосности yz В пра
iПОИ части уравнения и разделив обе части на 2т-а 2 , получим
'1t 12
2па 2 Ф (Е) а.') === Ф ( q2 2!J )
о
Положим х === q f(27tEa 2 ) И представлм Ф n виде степенноrо ряда по Е; тоrда
q2
32п 2 Еа 4
sin!Jd !J
СОБ 3 !J
(1.34)
ro '1t/2
Ех 2 == \' с EndS == с х n r С08 3 (п l) е 8in е ай
8 2м2.) L.J п LJ n , . .
. п O n o О
:Это равенство должно иметь место ДJШ любых 3lшчениЙ q и а п, следова
-тельно, для любых значении х. Поэтому псе Сп == О, за иенлroченпем n == 2.
Сонращая на х 2 , получаем
'1ti2
== С 2 \ С08 3 е 8in F) а6 === 2 .
О
И1'ан,
Ф(Е) == E '2 .
(1.35)
Зrо и есть то натнжени("вдоль силовой ЛИНИИ, которое требуетея для co
дания в соответствии с заноном l\улона ('илы притюнения ДВУХ зарядов
противоположноrо знана.
1) В аНrJlИЙСНОЙ JIИтературе различаются два термина: strеss напряженис и ten
siОП IШТfJжение. Во избежание путаницы с напрлженис ( эпектричсскоrо поля оба
слова всюду переведсны как натяжеНlю. Прим. перев.
28
r лава 1
Очевидно, что если бы в исследованном нами случае имели место>
толыш силы натяжения, деЙСТВУЮЩ];lе вдоль силовых трубон, ТО эти трубки
стремились бы, по ВОЗ1\ЮiIШОСТИ, У1ЮРОТИТЬСЯ И расположились бы в Iшнце
НОНЦОВ вдоль линии, соеДИlНlIощей заряды. Однан:о мы зпаем, что при'
равновесии силовые линии запоЛJШЮТ все прuстранство BOHpyr зарндов,
следовательно, мсжду ними должны существоватъ пекоторые силы оттаЛIi:И
ванин, препятствуЮJЦие их стнrИ13аниЮ. Для опредсления этоrо даШiения
Ч' (Е) рассмотрим силу, действующую между двуМН: зарядами одноrо знar{а.
Этот случаii: ()тличен от толы{о что paccMUTpeHHoro, потuму что теперь,
силовые линии О1{анчиваютс я на беС1шнечности. Натнжение, нриходпщееся
на единичную площадку сферы БО.lьuюrо ра;J.иуса, убывает с Р8сстоянием
обратно ПРОПОРЦ1lОнально четвертой степени радиуса, кю, это ясно из Bыpa
жения (1.35) 11 из закона обратных Н13адратов. Площадь поверхности сферы
возрастает ПРОПОРЦlIонально квадрату pa)lIiyca, тю, что по этому направле
нию не передастся Н1шarПiХ сил. Поэтому полную силу можно рассматри
вать нан результат отталюшания силовых линий в плоскости симметрии.
Из выражения (1.2) для напряженности поли в этой ПЛОСКОСТИ имеем
2чу q СОБ 2 IJ sin О
41tE (а2+ у2)В/2 21tEa 2
Е
(1.36)
Выполняя действия, аналоrичные предыдущИМ, вместо выражения (1.34)
получим
""f2
W ( Е) dS == W ( q С Б2 IJ sin IJ '\
, ,) 21tEa 2 )
О .
На том же основании, что и раньше, W (Е) можно представить в ВИДО
С 2 Е2 И тот же самый путь вычисления С 2 приводит н
ч2 1 \
321t 2 Ea 4 == 21ta 2 )
sin IJ dO
еОБ" (j
(1.37)
",,/2
i == С 2 \ sin 3 а СОБ е d6 == 2 .
О
Тar,ИlV! образом,
ЕЕ2
W(E)== .
( 1.38)
Эта величина представлнет собой силу отталr,ивания (на единицу площади)
между двумя соседнИМИ силовыми JIИНИНМИ, необходимую для получения
закона Кулона в случае двух зарядов одипановоrо знака. Эти результаты
можно записать в СЛfJДУЮЩИХ энвивалентных друr i1pyry формах:
ЕЕ2 E.D .02 3
2 2<; . ( 1 ., )
Тш к31{ Ф И чr нплНlOтся ФУН1П,иями толыШ е и Е, то они имеют олина
1швыii вид для любых полей нсза13ИСИМО от их источников.
16. Теорема J'aycca о ПОТOI.е злеRтричеClшii ИПДУI{ЦIIИ для псuд
породных сред 1). Теперь мы уже подrотuвлены для об()бщ€пня теоремы
raycea lJ потонс эле1,Т}жчееной индукции па случай ИЗlJ1'рОПНОЙ сr еды с Me
.
1) О,'таваяс}, в рамках мю,роснопичесноЙ элеJ\тродинаМИJШ, невозможно I\оказать
теорему l'aycca о потоне электричесноЙ ИНДУНЦТШ I\JШ неоднородной среды, исходя
TOJIbHO из закопа Нулона. В частноети, llРllВU;Н;ПНЫЙ З;Iесь ВЫВОД непоследопатеJ1ен,
так кан при применении теоремы rayc('a 1{ СИJlOIЮl<i трубне с переменноЙ ДИЭЛСJ{ТРИ
ческоЙ ПРОНИЩlCмостыо Е автор уже преД1l0лаrает, что ДJШ незаряженнurо ДИЭJJCIПРllка
V.D==O. Вывод теоремы raycca о потоне ЭJ1f'ктричесной ИНДУНЦИll можно найти в ЮПlrс-
И. Е. Т а м м а, ОеlЮВЫ теории элентричестпа, 1!)4G. Прu.u. перев.
Осиовиые поло:исеNил элекmросmаmики
29
"
lIяющейся от 1'0'11,.1 К точкс ДИЭ;IектричеС1ЮЙ проницаемосты.. Предположим,
'ЧТО в такой среде, внутрп замкпутоi'I поверхности S, в точне Р расположен
точечный заря,n: q. Онружим тuчку р столь малой сферой S', чтобы внутри
'СС величину Е' можно БЫJЮ бы считать постuянной. 3атем на поверхности
S выдслим элемент dS тоже наст(;лыю ма.ПЫЙ, чтобы величина Е на He
-оставалась постоянной, 11 рассмотрим силовую трубну, имеющую своими
сеченинми элементы dS на S и dS' на S' и ОКaII'lивающуюся на зарнде q.
Применим теорему raycca к свободному от
зарндов ДИЭJЮН:ТРИКУ внутри трубки между
dS и dS'. Тю, кан нормальная составлнIO
щая D на СТelшах равна НУJПо, то единст
венный вклад в поверхнuстНЫЙ интеrраJI
дадут dS и dS', поэтому
Е'Е' .n'dS' == EE.ndS.
Интеrpируя по двум поверхностнм, мы пмеем
Е' Е' .п' dS' === EE.ndS,
в' S
Фие. ]().
тан нан Е' одинанова для всех элементов
dS' . Но в Э 11а было доназано, что интеrрал, стонщий в левой части,
равен q, тан что
ЕЕ. n dS === ч,
S
1rne и Е И Е явлнются фуннциями ноординат. Это выражение, нан и раньше,
нетрудно обобщить на тот случай, 1юrда q ВНЛЮЧ'lет в себя все заряды
fЗнутри S.
Сложные поля MorYT быть суммой полей простых источнинов. Приме
нение выражения (1.4U) в таних случаях упрощаетсн, если сначала вычис
лить потони от uтдеЛЫIЫХ ИС, ТОЧНИIЮВ а затем просуммировать их:
(1.40)
(E 1 + Е 2 + . . . + Еn) . n dS ===
=== Е 1 . n dS + Е 2 . n dS + . . . + Е,,' n dS.
(1.41)
Иноrда этоrо бывает достаточно плп решенин задачи.
17. rраничные условия и натяжения на поверхности проводников.
Если зарЯД находится на проводнине в статичесном равновесии, то ни ВНУТРИ
проводнина, ни вдоль e1'U поверхностп не существует J:пшаких ПОJюii: n про
тивном случае, поснольну по определению зарнды в проводнине MurYT
-свuбодно неремещаться, возникло бы движение зарядов, что противоречило бы
постулированному СОСТОЯIIШО равновесия. ОТl;юда следует, что проводнин
целином находитсн под одним потенциалом и что силовые J1ИНИИ подходят
нормально н ero поверхноети и OI,знчиваroтся на ней.
Пусть cr плотность поверхностноrо заряда (в кулонах на нвадратный
метр). На' наждую едшпщу зарнда приходится одна единичная силuвая
[рубка, выходнщая при положительном значении cr И3 поверхности. Поэтому
D == ЕЕ =о а.
( 1.42)
Поснольку силовые линии выходят из проводящеi'I поверхности нормально
н ней, то они MorYT В3ЮIМlI0 перееенатьсн тольнu на беС1юнечно острых
((раях или остриях. Мы видели, что это происходит в математичесних точках
30
l'лава 1
или ребрах. ЯСНО, ЧТU имеет место Jf обратное утверждение. На дне V об
разноrо шеJlOб1{а или коничесноЙ ВlJадины, D и cr равны нулю.
Из 15 cJJeJlyeT, что вЛ,оль силовых линиii r:уществует натяжение
рашюе по величине
п2 а 2
P <!E == .
(1.43)
ОчеВИДlIО, это есть сила, действующая на н:вадратный метр заряженной
-' проводящеЙ поверхности. UHa направлена всеrда в сторону внещней HopMa
ли, независимо от знан:а поверхностноrо заряда.
Следует за'VJетить, что мы не рассматривали rидростатичесн:их сил
l\Юl'УЩИХ присутствовать в ДИЭJJен:трин:е БJIаrодаря 01'0 епособности расши
ряться ИJIИ он:иматься в электричесн:их ПОJIЯХ. Выражение учитывающе
тание СИJIЫ, будет получено позже в 10 I'Л. 1I.
18. rраНИЧlIые условия и натяжения на поверхности диэлектрика.
lIрименим теорему faycca о потон:е ЭJIен:тричеС1ЮЙ ИНДУН:ЦИП к мадому
дисн:ообразному объеll,У, ПJIОСJше поверхности
HoToporo имеют площадь dS и расположены
с двух ПРОТIJВОПОJJOЖНЫХ CTOpcJН l'раНIЩЫ раз
деда двух JlиэлеН:ТР1ШОВ 8' и 8" (фиr. 11).
Этот диек настольн:о СПЛЮСНУТ, что площадь.
ero боновой поверхности исчезающе мада по
сравнению с площадью основанпй. Ес.пи на
поверхности l'раницы раздела двух сред CBO
бодные заряды отсутствуют, то, обuзначив
нормаш,ные I\омпоненты элен:тричесн:оЙ ИНДУ1ЩИИ через Л и D , из 16
найдем
Фие. 11,
D dS == D dS ИJIИ D == D;;.
( 1.44)
Натяжение на rранице, созданное нормаJILНЫl\1И к мпонентами ИНДУНЦИИ,.
должно. равняться разrюс.ти натяжения по обе стороны от rраницы; поэтому,
пользуясь выражением (1.39), ПОJIучаl,JМ
r п;,2 п 2 п 2 (8' 8") JJ!n 2 К' K"
Т" == <!Е' L.S" 28'Е" === 2s v К' К"
( 1.45)<
Рассмотрим работу, совершаемую при перемещении единичноrо заряда
вдоль пути, поназаНIЮl'О на фиr. 12; участни этurо путп, перпенJПШУЛЯР
вые I{ rраFlпце, I'рertfюлar'аются ис':еЗ3.lOще-
маJIЫМИ. ПОСН:ОJIЫ У энерпIН сохrаннется,
то работа, совершаемая прп псремещении
еДШШЧllоrо заряда вдоль эты'О пути, paB
на нуJПО, И, СJIедоватеJIЫЮ, E ds === Е; ds
ИJIИ
12.
Е; === Е; .
( 1.46)
Давление на rраНfЩУ равно разности дa
влепий: по обе стороны от нее; ПОЭТUМУ из выражения (1.38) имеем
р === ' Е'2 "Е"2 == Е '2 ( , " ) == Е'2 ( К' К" )
п 2 8 t 2 8 t 2 t 8 8 2 t 8v .
(1.4 7}
Тан:им образом, можно. сформулировать следующее ПОJIошепие: на неза
ря.женной rранице раздеJIа двух диэлентрин:ов нормаJIЫJая составляющая
вентора ЭJIен:тричесной ИНДУНЦПI1 и танrеllциальная СоСТ8llJJЯющая напря
Основные nолозн;ения элептросmаmипи
31
женностд элентричесното поля lIeщ'ерывны. Эти rраНИЧIlые условия можно'
записать при помощи потеНЦllаJJOВ
iJV' iJV"
E/ == E'I
дп дп.
или
К' iJV' == К" uV"
дп дn '
(1.48)
(1.49)
V' ==V",
1'де V' и У" - потенциа.nЫ в средах Е' II Е". У сповие (1.49) означает, что
ну,ль потенциала в обеих чедах выбран
тан, чтобы в нен:отороЙ точне 1'рЮ-IИЦЫ co
блюпалось равенство V' == V". Далее, пу
тем интеrрирования соотношении (1. 4.6) беrI{
даемси в справеДJrивости условия (1.49) дли
всех точен rраницы раздела.
Пользуясь соотношениями (1.45)и (1.47),
можно выразить нормальные натяжепин, вuз
НИRающие на l'рarJJще раздела двух lII1элer{
тринов и направленные из Е' в Е", В виде Фuе. 13.
r К' K" { Л? п;,2 } e'- e" ( п;2 , п 2 )
Fп==Tп Pп== 'L-zvj{' J[i+ К" == . 71 .
(1.50)
При выводе этоЙ формулы не -бы,тJO Пр1ПlНТО во шпшапие, что IJeHQTo
рыо диэлеRТРИRИ обладают СIJосuБН<1C1ЫО СiIшматься или расширяться в при
СУТСТlJИИ элентричесноrо ПиЛЯ. В ТF"ютх средах на l'рапицу раздела будут
действовать дополнительные ('илы f'идростатичеС1шrо Пf,оисхождеllИЯ. Bыpa
жение, учитывающее эти сиды, булет ПОJJученu в 1U 1'Л. 11.
На l'ранице раздела двух изотропных I/иэлентrинон силовые линии
и линии элентрпчеС1ШЙ ИНДУ1ЩНIl преломляются одинановым образом. В cpe
де с Е 1 обозначим УI'ОЛ между Е 1 (или D 1 ) и нормалью н rранице через CX 1 ,
а соответствующий У1'ОЛ в среде 62 через СХ 2 (фш'. 13). TorlIa из COOTHO
шениЙ (1.44) и (1.46) получим
D 1 cos СХ 1 == 6 I E 1 cos СХ 1 == D 2 cos СХ 2 == Е 2 Е 2 cos СХ 2 ,
D1E 1 sin СХ 1 == ЕI siп СХ 1 == D 2 E 2 1 siп СХ 2 == Е 2 SiIi. СХ 2 .
Ра:щеJIИВ lIерnoе уравнение на второе, найдем
Е 1 cLg 0:1 == 102 ctg 0:2'
(1.51)
Это и есть занон преЛОМJЮНИЯ ненторон D и Е на rранице ра ДОЛа двух
изотропных среп с различными диэлентричссними ПРОН1щаемостями.
19. ЭлектричеClШЯ ИНДУКЦИЯ и напряженность ноля в твердых
ди;щектриках. .циэлеRтричеС1ШЯ ПРОНlщаемость была впервые введена нами
при формулироВIШ занона Кулона (1.1) IЗ н:ачсстве МПОЖИТСJIЯ, харантери
зующеrо СРt:ЩУ, R НОТОРОЙ пзмеlJЯlUТСЯ ЭJlO1прпчесние силы. На первыЙ
взrЛНJ[ трудно представить себе, н:аним образом Mor)'T быть выполнены эти
rипотетичесние измерения в твердых диэлентринах. OJТHaHO, используя
толыю что полученные l'раничные услошш, можно предложить метод опре
деления эле1{тричссноii инду1ЩИИ и напrнжerIНОСТИ IIОЛЯ, а следовательно,
и диэлентриче ной проницаемости n таних средах.
Для определения ЭJIeнтричеС1ЮЙ: ИНДУ1ЩИИ и напряжеFШОСТИ поля
в твердом диэле1{трине сделаем в нем маленьную безIЗОЗДУШНУЮ диснооfi
разную полость, толщина (шторой несоизмеримо MaJIa по сравнению с ради
усом. Напряженность поля внутри полоети вдали от ес нраев полностыо
.
::32
r лава 1
{jпределнетrн rраничпыми УСlJОПИЯМИ на плосной rраНllце раздела, 1\а1\ по
нааано на фИ1'. 14, а.
Для uпределения ИНДУ1ЩИИ ориентируем полоеть тан, чтобы напря
)н:eHHO( TЬ поли внутри нее была нормальна н: плосн:ости основания
(C'\I. фю'. 14, а). Из 18 известно, что элен:тричесн:ая JlН)(УIЩИЯ в диэле1\
трlПЮ и в полости n этом случае ОЛ,ИНaIЮВЫ; ПОЭТИ:ИУ, измеряя наf1ряжен
ность поля в ПOJЮСТIl И уМНОШ:Ю1 ее на Ev, МОЖНО найти эле1нричесн:ую
llНДУ1ЩШО II Л,иэлеl{трине.
Для определения напряженнuсти поля в твердом ДИЭ:Jен:трин:е надо
-ориентировать длинную ТОН1\УЮ цилиндричеСI,УЮ ПОJЮСТЬ тан:, чтuбы вен:тор
напрнженности поля внутри нее бьш параллелен оси (см. фш'. 14, б).
Но из равенства (1.46) следует, что напряженность поля внутри полости
-тан:ая же, н:ан и в твердом Л,иэле1\трин:е. Отношение индунции 1\ напряжен
WE8
.
а
6
Фие. 14.
:IЮСТИ поля дает диэлен:тричесн:ую проницаемость; при этом необходимо,
'Чтобы размеры ПОJlОСТИ были значительно меньше размеров он:ружающеr0
.диэлектрин:а и чтобы внешнее поле оставалось постоянным.
Найденные тан:и:м путем величины элен:тричеСIЮй индун:ции и напря
женности пиля, н:онечно, не представляют собоЙ истинных молен:улярных
полей внутри диэлен:трина, а являются результатом их усреднения. Всян:ие
.друrие значения средниХ величин будут находиться в противоречии с резуль
-татами' ман:росн:uпичесн:их наблюпений.
20. Rристаллические диэлектрики. При:меним теперь эн:сперимеи
тальный метод 19 н: нахождению отношения элен:тричесн:ой индун:ции D
И напряженности поля Е в однородном н:ристалличесном диэлен:трин:е.
сОт rpaHeii f)uльшOl'О диэлен:тричесноrо куба, ПЛОСIЮСТИ KOTOpOl'O перпенди
I{У,пярны 1{ осям Х, у и z, отрежем три плосн:опараJшеJIьные пластинн:и
-толщиной d. На пов(;рхности этих пластинон: нанесем проводящиЙ слой
'11 приложим 1{ наждой из пластинон: разность потенциалов V. Рассмотрим
участн:и плаСТИНО1\, достаточно дален:ие от н:раев. rраничные условия
ДJfЯ потенциалов на всех тан:их участн:ах дли всех пластинон: одинаН:ОВЫ,
следовательно, одинar{ово и распреllОление 1ютенциалов на центральных
участн:ах всех плаСТИНО1\. Тан:им оf)разом, Э1шипотенциальные поверхности
вблизи центра плаСТИНОI{ парал.пельны проводящим ПЛОСI{ОСТЯМ, и напряжен
ность элеI{тричесн:Ol'О поля Е, соrласно формуле (1.6), равна V/d. Проводя
далее ОПЫТЫ с ДИСI{ообразной полостью, размеры I{ОТ()РОЙ несоизмеримо
малы по сравнению с d (во избешание нарушения распределения зарядов
на ПРUВОJ1,ящих поверхностях), нахо,DИМ, что D пропорционально Е, но направ
.ления их различны. Поэтому дЛЯ Х, у и z плаСТИНGН соответственно имеем
(Dx)x 'с= ЕнЕ", (Dy)x == Е12Е", (Dz)x == Еlз Е х,
(Dx)y == Е21Еу, (Dy)/J == Е22Еу, (Dz)y == Е2зЕу, . (1.52)
(D,,}z == E31Ez, (пу), == E32Ez, (Dz)z =' E33Ez.
Даже если напряженность Е одинаI{ова во всех пластиннах, нормальная
<составляющая D, вообще rоворя, может быть различной. Однано, нан ПОI{а
Осиовиые nоло;жХ!uил элекmросmаmиКll
33
:ilывает эн:сперимент, в любом случае имеет место
(DЖ>уЕ х === (Dy)xEy, (DЖ>zЕ х === (Dz)xEz, (Dy):Ev == (Dz)vEz.
Из выражения (1.52) следует
Dx === 81l Е х + 821Еу + 831Ez,
Dv === 812 Е х + 822Еу + 832Ez,
Dz === 81з Е х + 82зЕу + 833Ez.
Сравнивая соотношения (1.53) и (1.52), мы видим, что
(1.53)
(1.54)
812 === 821'
813 === 831'
823 === 832'
(1.55)
Тан:им образом, если в изотропной среде величины D и Е свнзаны простым
множителем 8, то в н:ристаллах вместо Hero появляется величина, известная
под названием симметрпчноrо тензора, имеЮЩeI'О девять н:омпонент, шесть
из RОТОрЫХ различны между собой.
Посмотрим, нельзн ли тан: ориентировать оси, чтобы по ВОзможности
упростить вид соотношений (1.54). Про изведение E.D, будучи веШIЧИНОЙ
· сн:алнрной, не должно зависеть от выбора осей I\оординат. Представляя
ero через значения I\омпонент Е и используя соотношения (1.54) и (1.55),
имеем
E.D=== 8нЕ +822Е +8ззЕ +2812ЕхЕу+ 2813EXEz + 2823EyEz. (1.56)
Это уравнение поверхности BToporo порядн:а относительно Ех, Еу и Ez.
Поворотом осей н:оординат можно менять величины Ех, Еу, Ez, сохраняя
постоянным E +E +E . в частности, будем ориентировать оси таи, чтобы
исчезли все смешанные произведения ЕхЕу, ExEz и EyEz. Уравнение
1Ш11.дратичной формы uтносительно новых осей можно записать в виде
Е. D=== 81E +82E + 8зЕ , ('1.57)
8. н:омпоненты элеН:Т,t)ичеС1<ОЙ индун:ции относительно этих осей будут COOT
ветственно равны
Dx === 81 Е х, Dy === 82Еу, Dz === 83Ez. (1.58)
Направления н:оординатных осей в соотношениях (1.58) совпадают с направ
лониями ЭЛОI\тричеСI\ИХ осей I\ристалла. Если величины 81' 82 И 8з одинан:овы,
то среда изотропная. В случае равенства толыш двух величин н:ристалл
называется одпоосным. ЕСJIИ же все три величины различны, мы имеем
дело с двухосным н:ристаллом.
ЗАДАЧИ 1)
1. Два ТОIПШХ пар;шлельных ноансиальных проводищих нольца одипаНfшоrо
радиуса а находится па расстоfТНИИ Ь npyr от друrа. Работа, RОТОРУЮ необходимо
затратить при внесении точеЧlIоrо заря па q в центр наждоrо из нолец, равна COOTBeT
етвеНIЮ W] и W 2' Пошшать, что величины зарядов на НОJlьцах равны
Q1.2 4 a (a2+b2)1f2](a2+b2)1/:Wl,2 aW2,IJ,
2. Четыре одинановых параллельных линейных :Шряда раеПОJIожены вдопь ребер
нш\Дратной призмы, причем заряды, JIежащие па Rопцах одной диаrонали, положи
1) Здесь и в даJIьпейшем задачи, ОТ Jеченпые :шеЗДОЧRОЙ ("), заимствованы, кан
уназыuает автор, из энзаменационных вопросов КэмбриджснOJ"О униuерситета в том
виде, в ЮШОМ они были приведены в юшrе Джинса (J. Н. Jeans, The Mathemati
са! Theol'y of Elcctrieity and MagIlctism, Cambridge. 1925). При переводе этих задач мы
Пользовалиеь современной терминолопюй и прантичеСRОЙ системой единиц (J\lК8).
При.м. переа.
3 В. Смайт
34
r лава 1
тельные, а на концах друrой отрицательные. Найти часть полноrо потона ипдукции,
входшцую внутрь призмы.
3. 3аряд q находится в точке х==а, y o, z==O. Найти величину заряда. которы.
НУЖIlО поместить в точку х == а, у == о, z == О ДJIfJ TorO, чтобы поток индукции, прохо
ДЯЩИЙ в положнтельном шшраВJIении сюзозь I{pyr х == о, у2 + Z2 == а 2 , был равен N.
4. Два тонких концентричееких JЮЛЫШ JIeiШ\Т В ОДНОЙ ПJIОСКОСТИ. Радиусы колец
равны 1 и 2, а заряды еоответственно Q и + (27)1/2Q. llош'зать, что единственные
пейтраJIьные точки (точни равновесия) в поле находятся в х==О и :!:: 2 Ч2.
5. Показать, '11'0 уравнение силовых ЛИНИЙ двух параллеЛЬJJЫХ шшеiiных варп
дов q и q (па едипицу ДJIИНЫ), расположенных в x a и х== a, мuжно эаписатъ
через шпок индунции (нн единицу ДJJИНЫ) N между СИJЮВОЙ ЛИllией и осью х D Dиде
[ y a ctg ( 2:N ) ] 2 +х2==а2 eosec 2 ( 2:N ) ,
6*. Заряды +4q, q находятся в точках А и В, точна же С является точноi
равновесия. Доказать, что СИJIOваи линии, проходящая через точиу С, пересекает линию
АВ в ТО'1ке А ПОД уrлом 600, а в точие С rюд ПрНМЫМ уrлом. Найти уrол в точке .А
между линией АВ и той еиЛОВОЙ линией, которая выходит И3 ТО'1ки В под прямым
уrлом к АВ.
(Выписать выражение для потенциала в ПОJJЯРНЫХ координатах с центром в С ДЛII
малой оирестности точни С.)
7*. Два положительных заряда ql и q2 расположены соответственно в ТОЧRах .А
и В. Показать, ЧТf1 касательная Ш\ беf'конечноети и той СИJIOВОЙ JJИНИИ, которая выхо---
дИТ И3 q\ под Уf'лом а. 1{ ВА, образует с JJинией ВА уrол
2 arc sin ( q /2 (ql + q2) Ч2 sin )
nересеl{ает ее в точке С таной, что
АС: CB==q2: Ql'
8*. В точках А и В находнтся точечные заряды +q, q. Силовая линия, ПЫХО
дящая из А под уrлом а. К АВ, пересеиает ШlOекосТЬ, проходящую через еереДИНУ
отрезка АВ, перпеНДИКУJIЯрНО И нему, под прямым уrлом в точие Р. Показатъ, чт!'
sin == 2 Ч2 sin L РАВ.
9*. Показать, что на произвольной зю,шнутой поверхности S, не содержащей
внутри еебя заряженных тел, существует эамкнутая линия, в каждой точке RОТОрОЙ S
пересекается под прямым уrЛfJМ с эквипотенциаJJЬНОЙ поверхноетью, проходящей через
эту точку.
10*. i3аряды 3q, q, q распололшны соответствеюш в ТОЧIШХ А, В и С, причем
В наХОДИТCl1 в середине АС. Нарисовать при мерную картину силовых линий. ПОRа
зать, '11'0 сплоная .'lИIIИН, выходящая из точки А под уrлом а. К АВ, большим, чем
are cOs ( l/з), не l\!fJжет достиrнуть ни точки В, ни то1JКИ С. Показатъ, что асимптота
силовой липии, соответствую пей yrJlY а. == are еОБ ( 2/ з), перпеНДИКУJIНрна R АС.
11*. Па прямой линии имеютея три заряженные ТfJЧJШ А, В, С причем AC==I,
BC==a2/j; зарндЫ в этих точках равны соотвртственно q, qa/j, 41tEVa. ПоказатJ"
что в ПОJIC этих ЗflрЯДОВ всеrда существует (,Фf'риче,'IШЯ эквипотенциаJJьная поверхность.
Найти ноложение точни равновесия на липии АВС п СJIучае 41tE;V ==q (f + a)/и a)2
и в (,лучае 41tE;V==q(f a)/(f t a )2.
12*. СфеРl1че('ние проводнИJШ А И С несут на себе заряды. равные соответственно
(q + q') и q. ПШНlзать. что заJlИl'JJМО"ТИ от отно('итеJIЬНЫХ размероп и раСПОJJоже
иия сфер, а 1'аRже от отношения q' /q ,ущеl'твует .'lибо ТОЧl{а, либо линия равновесин.
Нари 'овать для Н<Jждоrо СJlучая картину '.И.ТlОВЫХ ;rтипий и сечений эквипотенциаJIЬНЫХ
повеРХIIОСТРЙ п.по, IШСТЫО, ПРОХОДЯlЦей черрз центры сферы.
13*. 3аряжР.нное теJЮ ра('по;южено вблизи проводпика, поверхност'Ь ноторО1'О
ИМf'ет непрf'рЫВНУЮ кривизну. Показать, что на любой силовой линии, проходящей
от тела к ПрОВОДНlп,у, II Тf1чне, rде ('ИJJа миtl1lмальна, f'лавные радиусы l'РИВИЗНЫ COOT
веТСТJlующей ЭIШИПОТf:нциалыJOЙ поверхности paНlJLI по веJJИЧИН8 и ПРОllШОПОЛОЖНЫ
ПО ЗlJaI,У.
14*. ЕСJ!И ДВР заряженные концентрическир проводящие сферы СОРДIШИТЬ проводом,
ТО внутренняя сфера I10ЛНО('ТЫО разрядит. я. Дш,азать, что если бы сила взаимодей
етвия :ШрЯДfJВ БЫJJа пропорционат,на r (2+p), то на внутреннем проводнике остаЛСl1
бы Роарнд В такой, что приБJlИжепно
2gB == Ap [(f g) lп (f + g) j 111/ + g lп g],
Основиые nоло:ж;еuuя эле1>mросmаmи1>и
35
rде А заряд на внешнем проподнике, а f и g соотп('тственно сумма и разность
радиусов сфер.
15*. Три бееконрчных параллельных провода, нссущих заряды (на единицу ДJППlЫ)
Ч, Ч, ч', пересенаlOТ нерпендинулярную н ним п.посность в точнах А, В. С, frвJШ
ющихея вершинами panHoCTopoHHero треуrОЛЫlИна. Дош\3ать, что Itрайняя еИJIОIШЯ
линия, идущая И3 А в С, образует с линией АС уrлы
(2ч 5ч') то (6ч) 1 И (2ч + ч') то (6ч) 1,
если TOJIbHO ч' :t> 2ч.
16*. ОтрицатеJIЬНЫЙ точечный заряд Ч2 лежит на л ИНlIИ , соединшощей дпа
ПОJюжитеJIЬНЫХ точечных заряда чl и qз, на расетоянии <1 и от наждоr{) из ЭТИХ
зарядов соотпетственно. Поназать, что если пе.1ИЧИПЫ зарядоп уДОВ;Jетворяют СООТlIO
шению
ql l == qз<1 l == q2Л3 (<1 + ) 1,
причем
1 < л 2 < (<1 + )2 (<1 ) 2,
то в поле сущеетпует таная онружность, в наждой точне ноторой сила равна нулю.
Найти (в общем виде) энвипотенциальную повррхноеть, на ноторой находится Э'l'а
онружность.
17*. Элентрические заряды Чн Ч2' qз (qз > чl) раСПОЛОЖP.lJЫ на ОДНОЙ прямой;
отрицательный заряд на середипе отрезна между ПОJюжительными. Поназать, чтQ
если
(q /3 q fs)з < 4Ч2 < (q /3+q /s)з,
то чиело единичных силовых трубон, приходящих И3 Чl в Ч2' равно
(Чl + Ч2 ЧЗ) + 3 (2Ч24) 1 (q;/S qi/з) (qi/s 21fSq /3+q;/s) Ч2.
18*. Точка Р находится на расстоянии 1 см от беснонечной плосности, поверх
ностная плотность заряда которой рапна а. Показать, ЧТ(1 половина ПОJIНОЙ напряжеlI
н()сти nOJIН 2тоа в точке Р оf)условлеш\ зарядами, расположенными в пределах 2 см
ОТ точки Р, а ПОЛОВИlIa всеми остаJIЬНЫМИ.
19*. Эбонитовый (Нf'проводнщий) диск радиусоМ 10 см заряжен при помощи Tpe
ния paBHOMf'pHO распределенным поверхностным зарядом. Найти напряженность элен
тричесноrо поля на оси диска на расстояниях 2, 6, 10, 14 см от ero поверхности.
20. Два параЛJIельных коаксиальных кольца раДllусами а и Ь несут на еебе paB
н()мерно раепределенные заряды Ql и Q2' Раеетояние между плоскостями колец равно с.
Ноказать, что между нольцами действует еила
F ck 3 Q,Q2 ( ) rде
16то2<; (аЬ)З/ 2 1 k2 '
11 Е полный эллиптичеений Интеrрал модуля k.
21. Поназать, что на больших раестояниях поле нольцевоrо заряда Q радиуеа Ь
11 концентрическоrо, ноштанарноrо с ним друrоrо кольцевоrо заряда Q радиуса с COB
падаст с полем JIИнейноrо нвадруполя, у HOToporo крайние IJaряды Q отеТОЯТ от
цеllтраJlьноrо 2Q на расстоянии а; при этом b2 c2==4a2.
k 2 == 4аЬ
с 2 + (а + Ь)2
л и Т Е Р А T}l Р!А
А Ь r а Ь а m М., В е с k е r Н., Klassische ElесtrizШit und Magnetisrnus, BerIin, 1932.
(См. перевод: А б р а r а м М., Б е н к ер Р., Теория электричества, 2 e изд..
М. Л., 1939.)
G е i g е r S с h е е 1, НапdЬuеh der Physik, Bd. ХН, Berlin, 1927.
J е а n s J. Н., ТЬе Mathematieal Theory of Electricity and Megnetism, Cambridge, 1925.
М а s о n М., W е а v е r W., ТЬе Electromagnetic Field, Uпivеrsitу of Chicago Pres!.
1929.
М а х w е 11 J. С., Eleetricity and Magnetisrn, v. 1, Oxford, 1881.
Р о о r V. С., Eleetricity and Magnetism, Wiley, 1931.
Н а rn s е у А. Б., Eleetricity and Magnetism, Cambridge, 1937.
S t r а t t о n J. А., Electromagnetie Theory, MeGraw Hill. 1941. (См. перевод: С т р э.,...
т о н ДЖ. А., Теория электромаrнетизма, М. Л., 1948.)
Т h о m s о n J. J., Mathematieal Theory of Electrieity and Magnetism, Cambridge, 19.:И_
т h о m s о n W., Papers оп Electrostatics and Magnetism, Macmillan, 1884.
Web s t е r А. G., Eleetrieity апd Magnetism, МаеmШап, 1897.
W i е n Н а r m s, НапdЬuсh der Experimentalphysik, Bd. Х, Leipzig, 1930.
3'"
rлава II
[\ ОНДЕНСА ТОРЫ, ДИЭЛЕН ТРИНИ,
СИСТЕМЫ ПРОВОДН ИНОВ
1. Теорема единственности. Прежде чем решать задачу о нахож
дении потенциалов в системе проводников с заданными зарядами или обрат
ную задачу о нахождении зарядов по заданным потенциалам, полезно убе
J]ИТЬСН в том, что обе они имеют единственное правильное решение.
Предположим сначала, что двум раЗЛИЧIiЫМ распределениям поверх
постной плотности заряда на проводниках а и а' соответствуют одинаковые
потенциалы. Тоrда потенциал точки Р на поверхности одноrо из провод
ников, обусловленный разностной плотностью поверхностных зарядов а а',
окажется, соrласно формуле (1.8), равным
Vp== a4п€ dS== 4 € dS 4 € а; dS,
s s s
rде r расстояние от Р до элемента поверхности dS и интеrрирование
производится по поверхности всех проводников. ТШ\ как стоящие в правой
части интеrралы по условию равны между собой, то Vp==O, т. е. все про
водники имеют нулевой потенциал. Но это означает, что в такой системе
вообще не существует электрическоro поля и а а' .== О. следователыi,,
а == а' и распределение одинаковое. Заданное распределение являет.ся, таким
образом, единственным.
Предположим теперь, что ОДIiОЙ и той же величине полноrо заряда Q
на прuводниках MorYT соответствовать различные П.тютности распределения
а И а'. В этом случае при разностной плотности а а' полный заряд любоrо
проподника будет равен нулю, а поэтому плотность заряда а а' может
или равняться нулю всюду, или же на одной части поверхности провод
ника быть положительной, а на друrой отрицательной. Последнее, однано,
невозможно, потому что при этом силовые трубки, оканчивающиеся на отри
цательно заряженных участках, должны были бы ИСХО)l,ить из точен с более
высоким потенциалом, а он:анчивающиеся на положительно заряженных
участн:ах из точен: с более НИЗН:ИJlil потенциалом. Это рассуждение приме
пимо к любому находящемуся в поле проводнин:у. Поэтому ни один из про
воднинов С поверхностной плотностыо заряда а а' не может быть pac
ПОJIOжен в точне мансимума или минимума потенциала. Следовательно],
их потенциалы просто равны, что опять приподит н: исчезновению поля
и к равенстпу а == а'. Итаи, если на каждом проводниие задаIi полный заряд,
то соответствующее ему распределение плотности поверхностноrо заряда
,е;ципственно.
э 2. ЕJlПЮСТЬ. Вследствие Toro, что эле1{тричесн:ие натяжения в среде
<зависят ( 15 rл. 1) от напряженности поля всюду одинаиопым образом,
равновесие системы не нарушаетr,н при изменении напряженности поля
:всюду n одно и то же, чщсло раз, Таи, при удвоении поверхностной плот
Ноиде1lсаторы, диэлекmрики, системы nроводии1>ов
37
ности заряда в наждои точне системы заряженных проводнтшов нонфиrу
рация поля остается неизменнuи, а напряженность увсличивается вдвое,
и, следовательно, возрастаст в дпа раза работа, совершаемая при Переме
щении малоrо заряда от одноrо проподнина н ДРУ1'ОМУ. Это постоянное
отношение заряда изолиропанноrо проподнина н ero потенциалу назыпается
емностным ноэффициентом или емностью, а обратное ему ОТIюшепис назы
вается потенциальным ноэффициентом. Если в поле находятся друrие про
воднини, то эти термины стаНОFЯТСЯ неточными, за иснлючением Toro случая,
ноrда все эти друrие проводнини заЗЕ:млены и незаряжены. Пусть С емность
(в фарадах), S поте1щиапьный ноэффтщиент (в фарадах l), V потенциал
(в вольтах), а Q заряд (п нулонах), тоrда, по определению,
Q == CV,
V == SQ.
(2.1)
Два бли3IЮ расположенных изоютрованных проподнИIШ образуют IlрО
стейший нонденсатор. Пусть uHH несут на себе рапные по величине и про
ТИВОПОJlOжные по знану заряды, тоrда еМ1ЮСТЬ 1шндеrrсатора есть отношение
заряда на одном из проводнIШОВ Н разно{;ти ПОТСНJщалов между ними.
(Отношснпе берется Bceп a таним, чтобы еМ1Ш('ТЬ БЬШ:l ПОЛОЖIIтеJ1ЫЮИ.)
Таким образом, для нонденсатора имеем
Q==C(Vl V2)'
V 1 V 2 ==SQ.
(2.2)
3. Последовательное и параллелыеe соединение l{OIlдеlIсаторов.
Возьмем п простых незаряженных нонденсаторов; одну из пла{;ТIIП Haт
noro из них подсоединим н 1тeMMe А, а друrие соедини.\! с 1{леммои В, нан
А
А 1 «1&1 r'''lr B
С, С С 4
2 Са
в
Фие. 15.
Фие. 16.
это поназано на фпr. 15, Приложнм теперь между А и В разность
потеIщиалuв 11, тоrда
Ql == C1V,
Q ==C2V, .. -,
Qn==CnV,
а QI' Q2'
.. -,
Qn заряды
rде С 1 - С 9 , ..., Сп емности нонденсаторов,
на них. П олный заряд, очевидно, равсн
Q == Ql + Q2 + . .. + Qn ----: V (С 1 + С 2 + . .. + сп),
Таним образом, эти нuндспсаторы (их принято называть соединенными
параллельно) ведут себя подобно одиночному Iюнденсатору, имеюще;,IУ
емность
С ==С 1 +С 2 +... +С n '
(2.3)
Рассмотрим теперь п простых незаряженных нонденсаторов, сое:1инен
ных тан, нан поназано на фиr. 16; одна пластина нонденсатира 1 попнлю
чена н А, а друrая соединена с первой пласппюй новдевсатора 2, вторая
пластина нонденсатора 2 соединена с первой пластиноЙ новдепсатора 3
и т. д. И нанонец, вторая пластина п ro НOIщенсатора ПОДНJIючена н B
Такое соединение нонденсаторов называется последовательным. Принладывая
38
rлава 11
разность потеНЦИaJТОВ между А иВ, имеем
V == V 1 + V 2 +... + V'I1 ==8 1 Ql + 8 2 Q2 + ... +8'11Q'I1'
Здесь V i разность потенциалов МС1I1ДУ пластинами i ro конденсатора.
Поскольну .пюfJая пара соединенных ПРОВОДНИIюв остается изолиропанной,
ее суммарный заряд равен нулю. ПО если все силопые трубни, выходящие
из одной пластины конденсатора, оканчиваются на друrой пластине Toro же
конденсатора, то
Ql==Q2=='" ==Q'I1==Q
и величину Q, явлтощуlOСЯ оf)щим множителем, можно вынести за скобки
в правой части равенства. Таким образом, конденсаторы, соединенные
последuвательно, ведут себя подобно одному нонденсатору, имеющему
смность С и потенциальныЙ коэффициент 8, соответственно равные
111 1
T +"'+
с С 1 С 2 Сп '
8==81 +82 +... +8 п .
(2.4)
Полученная формула ЯВJlНется приближенной, так как в общем случае
нельзя оrраничитьсн рассмотрением только полей подобноrо рода. Однако
если пластины конденсатора расположены близко друr к друrу и если
диэлектрическая проницаемость между пластинами знаЧИ1'ельно превышает
Щ:.оницаемость окружающеrо пространства, то дополнительной «распреде
JШНllОЙ» емкостыо, обусловленной полями рассеяния, можно пренебречь.
Формула (2.4), в частнuсти, теряет смысл в случае воздушноrо конденсатора
с далеко разведенными пластинами.
s 4. Сферическиii конденсатор. Рассмотрим две НOIщентрические про
водящие сферы: внутреннюю радиуса а, несущую на себе заряд +Q,
и пнешнюю радиуса Ь, несущую заряд . Q. Пространстпо между ними
бупем считать заполненным однородным изотропным диэлентрином с про
пицаемостью е. В силу симметрии вентор элентричеСl{ОЙ индунции ДОJlжен
быть направлен по радиусу, а ero величина может зависеть тольно от r.
Следовательно, применяя Tt;;OpeMY raycca о потоне элентричесной индунции
н 1юпцентричесн:ой сферичесной поверхности радиуса l' (Ь> r > а), получим
, еЕ. n d8 == 4ш. 2 еЕ == Q,
s
откуда
Е == av Q
ar 41ter 2 .
Поэтому разность потенциалов между сферами онажется равной
а
Q r dr Q ( 1 1 ) Ь а
V а V ь == 41te r2 == 41te а ь == 41teab Q,
ь
'ЧТО приподит к следующему значению для емности сферичоскоrо KOHдeH
.сатора
с 41teab
-Ь a .
(2.5)
Vстремляя b........:;.XJ, можно получить из формулы (2.5) емность одиночной
сферы радиуса а, помещенной в среду с диэлентрической проницаемостью е:
с ==4'1tea.
(2.6)
Нондеисаторы, диэлекmрипи, CllcmeMbt nроводииков
39
Следует заметить, что при выводе фОРМУJJLI (2.5) предшщаrалось, что
шrе радиуса Ь нет НJшаю\х зарядов. Это БыlJO неоБХО}JJJМО для Toro, чтобы
сфера с r == Ь была под нулевым потенrщалом. В противном случае нOt)бхо
дим о учитьшать дополнительную емкость между внешней поперхностыо
eE.Ы Р8!J,иуса Ь и бесшяючностыо, вычисленную по формуле (2.6) 1).
5. Цилиндрический конденсатор. Рассмотрим теперь 1ma нруrлыХ
нонцентрических проводящих цилинлра беснонечной длины: внешний
радиуса Ь с зарядом Q (на единицу длины) и внутренний радиуса а
с зарЯДИМ + Q (на единицу длины). Обозначим через s диэле1прическую
проницаемость uднородной изотропной среllД между цилиндрамИ. 1:3 СИJ1У
симметрии вектор электрической индукции должен быть направлен по радиусу
(в направлении внешней нормали) и лежать в плоскости, перпендинулнрной
к оси, причем величина ero дошнна зависеть только от r. Применяя TeupeMY
raycca к объему, оrраниченномуконцентрическим нруrлым ЦИJlИндромрадиуса r,
Ь > r > а, и двумя перпендикулярными к оси ПЛОС1ЮСТЯМИ, расположенными
на расстоянии одноrо метра друr от друrа, и учитьшая, что последние
не дадут никакоrо вклада в поверхностный интеrрал, получим
sE.n dS == 27CsrE == Q,
s
откуда
av Q
Е== ==
ar 2пEr '
(2.7)
.а разность потенциалов между цилиндрами рапна
Таким образом, для емности
!юнденсатора имеем
а
V V == !L r dr == !L ln
а IJ 2пЕ' r 2пЕ ь.
IJ
(на единицу длины) длипноrо цилиндрическоrо
(2.8)
с == 2пЕ ( 2 9 )
Ln (bja) .
Если теперь устремить Ь СХ), то С о. Следовательно, Iюнечный заряд
(на единицу' длины) на KpyroBoM цилиндре Iюнечноro радиуса и беснонеч
ной длины создает бесконечнуто разность потенциала между повеРХ1ЮСТЫО
этоrо цилиндра и беСRCшечностью. Тан нан в действительности мы имеем дело
только с цилиндрами нонечной длины, то эта тру;;.ность :и не вознинает;
однако это свидетельствует о том, что результаты настоящеro параrрафа
применимы лишь в тех случаях, коrда расстояние до поверхности цилиндра
мало по (;равнению с расстоянием до ero оснований.
6. Плоский конденсатор. Пусть две бесконечные параллельны€ про
Бодящие ПЛОСКОСТИ, несущие на себе заряды + Q и Q, расположены па
расстоянии а друr от друrа, а пространсrво между ними заполнено OДHO
родным изотропным диэлектриком. Тоrда из соображений симметрии поле
внутри должно быть однородным и нормальным н проводящим плосностям.
1) IЗ общем определении емкости (2.2) предполаrается, что два проводника, И3 KO
'Еорых состоит I онденсатор, имеют равные по величине и противоположные по знаку
.заряды. В ПРОТИВНОМ случае введение емкости, вообще rоворя, не имеет смысла, и сле
дует ПОЛЬЗ0ваТЬСR емкостными или потенциальными l оэффициентами (см. Э 16 18).
Однако если один И3 проводников полноетыо охватывает друrой, RaK это имеет место
в случае сферичесноrо нонденсатора, то емкость, определенная как отношение заряда
на внутреннем проводнине к разности потенциалов между проводниками, не зависит,
()чевиДно, от наличия зарядов во внешнем пространстве. При.м. перев.
40
rлава 11
Обозначим через а заряд, приходящийся на 1 .м 2 . Тоrда, иан следует ИЗ
1 Lj rл. 1, с наждоrо нвадратноrо метра провtJдящей поверхности должно
выходить а единичных силовых трубон. Тютм образом, для элен:тричесиuй
ИНДУ1ЩИИ и напряженности поля между ПЛОСИОСТЯМН мы получаем
aV
D == ЕЕ == Е дх == а,
а для разности потенциалов между плосиостями
а
V 2 - V 1 == \' dx == cra .
Е J Е
О
Поэтому еМ1ЮСТЬ (па единицу площади) равна Е/а, а IOМ1ЮСТЬ, соответствующая
площади А,
с == ЕА .
а
(2.1 О)
(2.11}
На прar,тиие поле может быть ОДНОрОДIЮ толыш вдали от ираев ионден
сатора. Поэтому формула (2.11) пр.=щставляет лишь приближение и дей
ствительпости и тем J1учшее, чем меньше а по сравнепию со всеми разме
рамп плосной поверхности и чем больпш проница(;мость диэлентрина между
пло\'иостями по срапнениIO с прщнщаемостью внешне1'О пространства.
s 7. Защитные Iюльца. При полученни формулы (2.9) для емиости
на еДИIIШ У длины ЦlJJIИндричееиоrо 1юнденсатора, а таюне формулы (2.11)
для е:vшости ПJ10скоrо иопден
сатора размеры ПРОВОДНИ1,ОВ
преДIlолаrались бесновечными.
V, Чтобы этн фОрМУJ1Ы можно бы
ло бы применить и реальным
ионденсаторам, ИСПИJ1ьзуется
/i7ттттштттштrп \ \\\\
Wиe. 17.
Фие. 18.
приспособление, известное под названием защитноrо н:ольпа. В цилИндриче
сних 1юнденсаторах, нан поиазано на фит. 17, нрайние участии одной И8
nJraCTIIH отделены от центральной части узним зазором, но поддерживают
ся пид ОДНИМ и тем же потенциалом. Иснаженное поле вблизи краев, Ta
ним образом, не онаЗLшает ВЛJIЯНИЯ на ПО.пе в центральной части, за исилlO
чением очень незначительноrо иснажения вблизи зазора, поэтому отноше
вие заряда центральной части нопдеllсатора I{ разности потенциалов будет
определяться формулой (2.8).
Аналоrичное устройство применяется и в случае плосиоrо нонденсатора:
в поверхности одной из пластин прорезается узная щель, отделяющая, нак
поназано на фиr. 18, центральную часть плзе-тины от ее нраев, причем по-
обе стороны от щели поддеРЖllвается один и тот же потенциал. Поле между
центральными участиами является однородным, если не учитьшать неэна
Нои8еисаторы, 8иэле1>mри1>и, системы nрово8ии1>ов
41
чительноro влияния УЗRОЙ щели, поэтому отношение заряда на цeHTpaдь
НОМ учаСТRе R разности потенциалов можно определять по формуле (2.10).
8. Энерl'ИЯ заряженноl'О конденсатора. Взаимную энерrиIO любой
системы зарндов можно вычислить непосредственно из определения потен
циала. Работа (в ДЖОУJIНХ), требуемая для помещения j ro заряда на ero
место, соrласно формуле (1.5), равна
n
W. == .V .== "5' дi..
} q}} 4п2 rij ,
i 1
I'де i =F j.
Полная работа, необходимая для TOro, чтобы все заряды разместились по
их местам, будет
n n
W 1 L qiqj
81tE rij
i 1 j 1
Введение множителя 1/2 оБУСЛОВJICНО тем, что при суммировании УЧИтJ,
вается не толыш работа, совершаеман при помещении i ro заряда на eru
место в поде j ro заряда, но и работа, совершаемая при помещении j ro.
заряда па ero место в поле i ro заряда, что, очевидно, есть fJДНО и то же.
Если через V i обозначить потенциал в точне, rne расположен i й заряд
то, соrласно формуле (1.5), выраЖШIИе (2.12) можно записать в виде
rце i *' j.
(2.12)
n
W== ; h qYi'
i 1
(2.13)
Иоrда все заряды расположены на одном
находятся под одним потенциалом. Поэтому,
получим
и том же ПрОВОДНИRе а, они
обозначив их сумму через Qa'
w 1 V a 1
а =="2 L.J qYi==T LJ qi =="2QaV",
по а по а
(2.14)
Введя емность ПрiJВОДНИRа С и пользуясь соитношениями
н СJJедующим ЭRвивалентным дру!' друrу вырю-н:ениям
}иенноrо ПрОВОДНИRа
(2.1), МЫ придем
для энерrии заря
1 1 Q2 1 2
ТУ 2 QV "2 c "2CV .
(2.15)
n нонденсаторе, пластины HOToporo несут на себе заряды Q и Q и имеют
потенциалы V 1 и V 2 соответственно, эта энер'ил равна
111
W =="2 QV 1 TQV 2 =="2 Q (V 1 V 2 ), (2.16)
ЧТИ можно, учитывая формулы (2.2), записать и в форме, аналоrИЧ1ЮЙ (2.15).
9а. Энерl'ИЯ электричеСliЮI'О поля. Выше было ПОRазано, что заноны
элснтростаТИRИ соrласуютсн с наrлядными прелставлеНИЯМII о перецаче
элеRтричеСRИХ сил посредствuм натяжений, имеющихсн всюду, rде есть поле.
Но rде существуют натяжения, там должна быть запасена потенциальная
энерrия, плотность ноторой мы сейчас и вычислим. Для этоrо рассмотрим
беснонечно малый диснообразный Э.немент объема с основаниями, совпадаю
щими с ЭIШ1шотенциальными пuверхностями. В силу достаточн(;й малости
объема эти основания можно считать ПЛОСRИМИ и параллельными дру!' друrу,
а поле между ними однородным полем беС1шнечно малоrо ПЛОСRоrо HOH
денсатора. Пусть ds толщина дисна, n единичный вентор нормали н el'()
42
rлава [[
поверхности (Е == Еп). Тоrда разность потшlЦИ?'ЛfШ между основаниtlМИ
будет равна (aV/as)ds Eds, а заряд на основании, имеющем площадь
dS, равен
D.E
D.ndS ==ji; dS.
"Учитывая, что объем ионденсатора dv ds dS, из формулы (2.15) для энер
тии получим
dW == D..E dv.
И для плотности ЭН рNТИ элентричесиоrо поля онончательно имеем
d V D.E
"(jV
:В изотропном диэлснтриие D. Е пЕ и
dW ЕЕ2 пЕ и2
dV 2 T==Z;'
В нристалличесиом диэлентриие, соrласно соотношению (1.56),
dd == (811E + 822E + 8 зз Е: + 28}2Е}Е2 + 28}з Е }Е з + 28 2з Е 2 Е в ),
(2.17)
(2.18)
(2.19)
. или, если оси ноординат совпадают с направлением элеитричесиих псей
нристалла [см. выражение (1.57)],
dW 1 ( Е 2 Е 2 Е 2 )
dV =="2 8} х + 82 у + 8з z.
(2.20)
96. Плоский конденсатор с кристаллическим диэлектриком. Bи
ислим еМIЮСТЬ плосиоrо нонденсатора, приходящуюся на 1.м 2 . площади
пластин; в иачестве диэлеитрииа в ионденсаторе служит иристалличесиая
пластинна ТОЛЩИНОЙ d. Диэлентричесиие проницаемости в направлении осей
нристалла .1:, у И Z обозначим соответственно через 81' 82 И 8з, а направля
ющие иосинусы уrлов, образуемых нормалью и пластинам ионденсатора и
этими осями, через l, m и n. Таи наи с элеитри:чесиой тuчии зрения один
участои HOH:J.eHcaTopa ничем не отличается от npyroro, то Э1шипотенциаль
ные поверхности должны быть параллельпы ПJIOСИОСТЯМ ионденсатора и
располаrаться' на одинаиовом расстоннии друr от друrа, а напряженность
элеитричесио ПОJIЯ должна быть направлена вдоль нормали. Таиим обраЗОIll,
, Е==(Х 2 + Y2+Z2)1J2 oo= ,
.rде V разность потенциалов, приложенная и нонденсатору. Отсюда
Х == lV У == mV z ' пУ ( 2.21 )
d ' d ' d .
Нодставив эти выражения в формулу (2.20), умнuжив на d объем ионлеи
сатора, приходящийся на 1 -и 2 поверхности пластины, и воспользовавшись
соотношениями (2.15), находим
С 1 Р == l 81l2( )2 + 82т2 ( J + 8зn2( У J
-Отиуда емность, приходящаяся на 1 .м 2 равна
С 1 == l2 E1 + m 2:: + п2Ез (2.22)
s 10. Натяжения в случае зависимости диэлектрической проницае
..мости от плотности среды. До сих пор при рассмотрении натяжений
Ноидеисаторы, диэлекmрики, системы nРО80дников
43
в диэлеитрике ( 17 и 18 rл. 1) мы не учитьшали Toro, что диэлеитриче
сиан ПрОIIlщаемость мтн:ет в J\ейстпитеЛЬНUСТII меняться при изменении
ПЛUТ1Юr.ти вещества 1:, т. е. что в среде MorYT существовюь еще и наТШRе
ния rип:ростатичеС1 оrо прuисхождения, стремящиеся сжать или растянуть
lJ;иэлектрии. Оперируя с элементом объема точно таной формы и ориен
rации, что и в 9 , мы можем упростить наши исследования, спел:я их
н изучению ма,пеньноrо ПЛОС1юrо I{( ,ндснсат()ра с зазором а и площадью пла
стин tlS. Номби:нируя фuрмулы (2.15) и (2.11) и пре,'шолаrая, что диэле1
трин: изотропный (проницаемость равпа е), для энерrИII ионденсатора будем
иметь
tl W о Q 2 m Q 2 т П 2 л s
2ElIS 2иllS 2E't LJ. ,
rде через т обозначена масса диэлентрииа, приходящанся на единицу пло
щади между пластинами ионденсатора, таи что т == 1:а. Если предполuжить,
что масса т постоянна, а проницаемость е является фуницией плотности 1:,
ТО сила, действующая на площадь пластины ионденсатора tlS, определится
спедующим образом:
!lF == a(lIW) == a(lIW) a't == D2 д (E't) S
до a't до 2Е 2 a't .
Итаи, натяжение или сила, действующая на единицу площадИ и стремя
щаяся растянуть поверхность диэлеитрииа, равна
== fE 22 д :'t) . (2.23)
Произведя дифференцирование и сравнив с выражением (1.43), мы опре
депим дополнительное rидростатичесиое натяжение
п2 дЕ Е2 дЕ EvE2 дК
2Е2 1: a't .== -Т 1: a't == 1:a:; . (2.24)
На rранице между двумя диэлентринюvш нарнду с теми натяжениями,
иоторые уже были рассмотрены нами, необходимо учитывать разность
I1IдростатичеСЮ1Х лавлений, что вместо соотношения (1.50) даст нам
ледующее выражение для полноrо натяжения, направленноrо от К' н К":
....!.. К' K" ( т 2 п;'2 ) D'2't' дК' D"2't" дК" ]
Fn 2Ev ! К' К' + К" К'2 W + К"2 a't" . (2.25)
На rраН1ще диэлентрина с пустотоЙ, положив К" == 1 и дК" /д1:" == О,
попучим
1 [ К' 1 ( пе2 '2 ) D'2't' дК' ]
Fn == 2E V F+Dn К'2 W ==
== E v E '2 l ( К' 1 ) 1:' дК' I Ev E ;'2 ( К' 1 ) 2
2 . a't' 2 '
(2.26)
['де
Е'2 == Е'2 + Е'2 == ( пе ) 2 + ( п ) 2
t n 6' 8'
3наи дК' /д1:' может быть либо положительным, либо отрицательным;
поэтому в тех случаях, иоrда этот член является преобладающим в Bыpa
женИII (2.26), диэлеитрии ПОД действием поля может сжиматься ИJIИ растя
rиваться. Это явление известно ПОД названием элентростринции, ero наблю
дап l{винне и друrие.
11.
ношение,
.зывающее
Электрострикция в жидких диэлектриках. Существует COOT
известное под названием форr.1улы Нлазиуса Мозотти, свя
плотность жидиости С ее относительной диэлентричесиой
44
Р.аава 11
проницаемостью
K 1 С
К+2 ==С 1:,
(2.27)
rде С неIюторал постоннная, харантеризующая ЖИД1ЮСТЬ.
Хотя теоретичесний вывод этоЙ' формулы основан на не1ЮТОРЫХ неточ
ных утвержденинх, тем не ме.н<'е во мноrих случаях она очень хорошо под
тверждается энспериментально 1). Дифференцируя ее, получим
дК == (К+2)2 с == (K+2)(K 1)
д-с 3 3-с
Подставляя в соотношение (2.24), мы находим rидростатичесное давление,
стремящееся сжать ЖИ1I,НОСТЬ
Р == 8"Е2 (K+2}(K 1)
2 3
(2.28)
(3аметим, что мы всюду жидность считали почти несжимаемой, т. е. 1: по
ЧТИ постоянной.) Таним образом, при поrружении, например, зарнженной
сферы в большом по объему ЖИДЮ1Й ДИЭЛCI{трин даВJIeние, определяемое
по формуле (2.28), будет меняться обратпо пропорционапьно четвертuй eTe
пени расстонния от центра сферы. В частности, если ДИЭЛCIприн слеrН8
сжимаем, то он будет иметь наиБOJIЬШУЮ плотность OIЮЛО поверхности
сферы (нонечно, без учета друrих явлений, та1ШХ, напрпмор, I\aH rрави
тация).
s 12. Силы, действующие на ИРОВОДIIИК в диэлеI{трике. При Haxo
жденпи силы, действующей на заряжонную rраницу раздела диэлентрина и
проводнина, предполаrалось, что заряд раСП{Jложен на диэлеIпричеСRОЙ CTO
роне rраницы, поэтому все поле находилссь внутри IJиэлентрrша 11 сила
(па единицу площади), без учета элентростриrщии, соrлаСI10 формуле (1.43),
равпялась D2f(2E). Рассмотрение энерrии зарШI\онноrо новденсатора под
тверждает правилыlOСТЬ этоrо результата. ИсслеДУЫvl теперь силу при пред
положении, что заряд расположен на проводящей стороне rраницы. Если
диэлентричеснуIO проницаемость ПРОВОДНIша обозначить через е:', то эта сила
будет равна D2f(2e:'). Но поверхность Щ1элеНТР1ша должна считатьсл теперь
нахоютщойся в элентричесном поле, поэтому па ней существует натяжоние,
определяемое формулой (2.25), ноторое стремитс"! сжать проводвин. Пре
пебреrая элеНТРОСТР1шцией и помнн, что поле всюду направлено нормалъНl
и поверхности, мы получаем суммарную силу .натяжения в виде
К K' 8 8'
F 2 0=0 2EvKK' п2 == 288' D2
Тоrда полная сила, действующая на проводнин, будlЛ равна
,K K+K' п2
F == F 1 } 2 == 2E v KK' D2 == 28 .
(2.29)
Итан, различные предположении относительно места нахождения заряда
приводят н одним И тем же результатам.
Если относительная диэшштричеснап проницаемость не претерпевает
сначна, а непрорывно, хотя и быстро, меняется n ненотором поrраничном
участие, то натяжения должны быть определены путем интеrрироваНИff.
ПОJшое результирующее натнжение получится таним же, нан и раньше.
однано распределение натюнения вблизи rрапицы может быть, вообще TO
воря, различным.
1) Geigef Scheel. Handbuch def Physik. Bd. ХН, 1927, S. 518.
Ноидеисаторы, диэлектри1>и, систе.М'ы nроводии1>ов
4!;
13. Теорема взаимности rрина. Донажем, что если проводнини при
.зарядах на них Ql' Q , '. - , Qn имеют потенциалы V 1 , V 2 , ... , V n , а при
зарядах Q , Q;, ... , Q потенциалы V , V;, ... , Y1 ' то справедливо сле.-
дующее соотношение:
n
n
] QiVi == ] QiVi.
i 1 i 1
(2.30)
Рассмотрим систему точечных зарядов и напишем для нее матрицу, co
стоящую из п 2 ЧЛI:JНОВ, наждый из ноторых представляет собой произведе
ние величины одноrо точечноrо заряда на потенциал друrorо точечноrо
.заряда. Воспользовавшись формулой (1.5), запишем СУ1\!Му Rаждоrо столбца
в нижнем ряду, а сумму наждой rоризонтальной СТрОRИ В Rрайнем правом
столбце. Тоrда
о + ч чl + ч чl +
41tEr21 41tEr31
Ч Ч2 + о + Ч;Ч2 +
41tEr12 41tEr32
q qз + q qз + о +
41tЕr 1 з 41tEr23
Ч Чn + Ч Чn + Ч Чn +
41tEr l71 41tEr2n 41tEr371
q Vl
q V2
q Vз
+ ч:'Чl == q V'
41tEr n1 1 l'
+ ч:'Ч2 == q V'
41tEr n 2 2 2'
+ q:'qз == q V'
41tEr n 2 3 3'
+ о == qn ':.,
q Vn .
Таи Ra1{ ПОрЯДОR суммирования произволен, то, СRладывая все члены
в нижнем ряду или СRладыван все члены в Rрайнем правом столбце, мы
Jt;ОШКНЫ получить одинаRовые результаты
n
n
] q Vs == qsV .
_ 1 B 1
(2.31 )
Следует заметить, что величина V s является потенциалом, создаваемым
в ТОЧRе расположения заряда qs всеми нештрихованными зарядами, за
ИСRлючением caMoro q.;. Все заряды, расположенные на одном ПрОВОДНИRе,
должны быть УМfюжены на один и тот же потенциал, что позволяет про
суммировать эти зарнды
qiV==V qi==-Q'V,
mRYJ,a и следует формула (2.30). Рассмотрим один важный частный слу
чай этой теоремы. Если в формуле (2.30) положить Q , Q , ". , Q:' == О,
Q2' Qз, . . . , Qn == О, а Ql == Q;. то V == V 2 . При помещении заряда Q на про
ВОДНИН В потенциал незарнженноrо проводнина А >'.lеняется точно на
таную же величину, на Rаную ИЗThIенился бы потенциал незаряженноrо про
водника В при помещении заряда Q на проводиик А. Кш{ будет доназапо
в 8 rл. III, эта TeCJpeMa остается в силе и при наличии rранrщ раздела
двух или нескольких диэлектриков с различными проницаемостями.
145Суперпозиция полей. Прибавим н обеим частям формулы (2.30)
QiVi . или QiVi и сравним результаты с первоначальным соотношением
(2.30). МЫ видим, что если зарRДЫ Ql' Q2' .., , Qn создают поте1щиаJ1Ы
V 1 . V 2 ,..., V N И т. д., то заряды Ql+Q , Q2+Q;,..., Qn+Q создают
потенциалы V 1 + V , V 2 + V;, ... , V n + V . Путем TaHoro сложения уже
46
rлава 11
известных решений можно решить большое ноличество НОВЫХ задач. Pae
смотrим в начестве примера п концентрических проводрщих сфер радиусов
r]> r 2 , '" , r n с зарядами Ql' Q2' ... , Qn. Пусть требуется найти nOTeH
циал наной нибудь, скажем, s й сферы. Для этоrо мтюю сложить потеJf
циаJIЫ, создаваемые на s й сфере наждой из сфер в отдельности,
4'1tEV =о (QI t Q2 + .'.. + QJ r 1 + QS+1 r +" + ... + Qnr;;l, (2.32)
rne учтено, что внутри заряженной проводящей сферы радиуса а потеl1
пиал равен Q (4'1tEa) \ а снаружи он не зависит от а и равен Q (4'1tEr) },
(r расстоянио до центра).
15. Индуцированные заряды на заземленных проводниках. При
помещении точечноrо заряда q в неноторую точну Р, находящуюся вБЛИЗJl
системы заземленных проводнин()в, на последних появляютсн индуциро
ванные заряды. Величину заряда Q, индуцированноrо на ОДном И3 провод
нинов, можно определить из формулы (2.30), если известен потенциал Vj,
точки Р в том случае, Horna заряд в ней отсутствует, а потенциал этоrо>
проводнина равен V'. Действительно, из формулы (2.30) имеем
QV' + qV p + ql'O+ q2'0+ '" == Q'.O +0. V p + q .0+ q;.O+
отнуда
V'
р
Q== V' q.
(2.33).
Например, пусть единственным ПРOlюднином в поле является проводящая.
сфера, а точка Р находится на расстоянии r от ее центра. Torna из фор
мулы (2.6) нахопим V' == ql (4'1tEa) 1 и Vp == ql (4'1tEr) \ и величина заРНД8.
индуцированноrо на сфере точечным зарядом q, расположенным в точке Р,
будет равна
aq
Q== .
r
(2.34)
Если теперь точна Р находитс» между двумя проводнинами, один ]13.
ноторых расположен внутри друrоrо, и известен ее потенциал V p в том
случае, ноrда потенциалы прово;{ников равны V и V;, то при заземлении
этих провод нинов заряды Ql и Q2' индуцированные на них точечным зарн
дом q, помещенным в точну Р, можно найти по формуле (2.30)
QIV + Q2V; + qV p == о.
Но так нан все силовые тру:бки, исходящие из q, должны нончаться на
проводниках, между зарядами имеет место соотношение QI + Q2 == q. Раз
решая относительно Ql и Q2' получим
, V V p V V p
Ql == V' у' q и Q2 V' V' q. (2.35)
1 2 2 1
Тан, например, если точна Р находится между двумя заземлеННЫМJl
сферами (см. 4), заряды, индуцированные на внутреннем и внешнем про
воднинах, соответственно равны
Q r1(1'2 1')
1== q
l' (1'2 1'l)
и
Q 1'2 (1' 1'1)
2 == q.
l' (1'2 1'1)
(2.3б)
Здесь r расстояние 'ст точни Р до центра (rl <' r <' r 2 ).
Если же точна Р находится между двумя заземленными цилиндрами
(см. 5), то заряды, индуцированные на внутреннем и внешнем провод
нинах, соответственно равны
ln (1'2/1') ln ("111') 37
Ql == ln (1'2/1'1) q и Q2 == ln (1'1/1'2) q. (2. )
Ко'Н,8еисаторы, 8иэлекmриr.и, системы пPOB08Hиr.oe
47
И, нанонсц, если точна Р находится между двумя заземленнымИ плосно
стями (см. 6) на расстоянии а от одноЙ и на РНl.:стоянии Ь от JlруrоЙ, то.
Ql=== ab b И Q2== a b ' (2.38)
16. Потенциальные коэффициенты. Рассмотрим п заряженных про
во,Uников, форма и расположение которых неизменны. Мы знаем, что зарн)\,
помещенныЙ на один из ПРОВОJ/НИКОВ, опреТ\еленным образом изменя('т
потенциалы всех друrих ПРОВОДНИКОll и что это изменение зависит толыш
от rеомстричесноЙ НОНфИI'урации системы и от се ДИDлснтрическоii проНИ
цаемости. Отношение изменения потенциала V r r ro проводника н заряп.у Q"
помещенному на s Й ПРОВОДНИН Il вызвавшему это изменение, называется
потенциальным ноэффициентом S,r' Из Te peMЫ взаимности rрина ( 13)
следует, что Ssr===Srs' Суперпозиция решений для зарядоВ Qr> Qs, Qt и т. Д.,
расположенных на проволниках r, s, [, дает
V 1 == Sl1Ql + S2lQ2 + . . . + Sn1 Qn,
V 2 === SI2Ql+ S22Q2 + . . . + Sn2Qn,
(2.39)
V N == S1nQl + S2nQ2 + .,. +SnnQn'
Таким образом, Ssr является потенциалом, приобретаемым r M прпводником
при помещении единичноrо заряда на s й проводник, если заряды на всех
друrих провопниках при этом равны нулю. ПомеЩf'ние положительноrо
заряда на проводнин псеrда повышает потенциал соседних изолированных
ПРОВОДНИНОВ, поэтому коэффициент Srs всеrл:а ппложителt:JН. ({оэффициент Srr
называется собственным потенциальным ноэффипиентом.
17. Собственная и взаимная емкости. Решив систему ураВIiениЙ(2.39),
мы получим выражение для зарядов на проводниках через их потенциалы.
Эти решения будут иметь вид
Ql === C II V 1 + C 21 V 2 +... + C n 1 V ",
Q2 === C l2 V 1 + C 22 V 2 + . . . + c n2 V,..
(2.40)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Qr> === C1H V l + C2 n V 2 + .., + cHHV H ,
rде
S22S32 . . . SH2
1 S23S33'" SпЗ
c ll === 71
S21S;1l . . . SH1
I S23S33'" SпЗ
С 12 === С 21 === 7s: ......
S2п S Зn '" snn
S2п S Зп . . . snr>
11
I SllS21 . . . Sn1
д==
S12S22' . Sn2
(2.41)
S1 " S 2n . .. sпn
таи что CT является минором Srs II t!., Jlеленным на д.
Величина С тт называе1 ся собственным емностным коэффициентпм, или
с()БСТllСННОЙ емкостью, и опредеJшет('я как отпошение зарЯ;lа к потенциалу
на r M проводнике при условии, что все друrие lIрОnОДНИКИ заземлены.
3нани потенциалов и зарядов всеrда совпадают, поэтому ноэффициент CTF
вееrда положителен.
48
rлава //
Величина C T называется еМI\ОСТНЫМ I\оэффициентом, I\оэффициентом
индуl\ЦИИ, или RЗ3ИМНОЙ еМI\ОСТЬЮ, и определяется I\аl\ отношение индуци
ponaHHoro заряда на r M ПрОВОДНИl\е н: ПОТf?нциалу 8 ro проводника при
УСJIOВИИ, ЧТО все ПРОВ(\ДНИЮI, кроме 8 ro, заземлены. 3наl\И индуцирующеro
и индуцированноrо зарпдов всеr.:щ противоположны, поэтому ноэффициент C rs
либо отрицателен, либо рапен нулю.
I
18. ЭлеRтростатичеСRая :жраНИРОВRа. Пре; ПОЛОЖИ1\I, что ПрОВОДНИI\ 1
окружен, I\аl\ это ПОl\азано на фиr. HJ, ПрОВОДНИI\ОМ .2. Все силовые трубl\И,
исхопящие из проводника 1, Оl\анчиваются на проводнин:е 2, поэтому если
потенциаJ1 V 2 == о, то заряд на ПрОВОДНИl\е 1 зависит толы\o от ero собствен
Horo потенциала. Это означает, что в уравнениях (2.40)
С З1 == С 41 == . . . == С п 1 == о. (2.42)
Таl\ИМ образом, между проводником 1 и любым ПРОВОДНИНОМ вне 2 не суще
{;твует НИl\акоrо взаимодействин. Эти ПрОВОДНИI\И, I\аl\ rоворят в таl\ОМ
случае, Эl\ранированы, т. е. защищены от
З проводника 1. 3аметим таl\же, что по
L/' СI\ОЛЬНу Q2 == Ql И все ПрОВОДНИI\И,
кроме ПРОВОДНИI{а 1, заземлены, то
Сп == С 12 .
0 4 Ввиду ПОЛНОI1 однотипности уравне---
ний (2.39) и (2.40) потенциaJIьные 1\0Эф
фициенты можно выразить через eMI\O
стные простой заменой 8 на с в форму
Фие. 19. лах (2.41). В интересующем нас случае
энранирования ПрОВОДНИl\а 1 проводииком
2, учитывая соотношение (2.42), получим
81т == 82r,
1<r.
"'
(2.43)
Заменяя в первом. уравнении (2.39) 81т на 82т и вычитая из Hero второе,
находим
V 1 V 2 == (8 п 812) Ql'
ЕСJ1И V 1 > V 2 , то силовые TPyr)HfI идут ОТ V 1 1\ V 2 И зарнд Ql положителен,
:но Torna sп 812 > О. Из соотиошения (2.4; ) следует SI2 == 822' поэтому
811"> 812 И 8п > 822.
(2.44)
э 19. Потенциальные и емкостные Rоэффициенты в случае двух
{)тдаленных ПРОВОДIIИRОВ. Пусть одиночный ПРОВОДННI{ 1 имеет е;vшость С 1 ,
а друruй О,!1,иночныЙ: ПРОВUДНИI\ 2 еi\ШОСТЬ С 2 . Считая прuводшш 1 незаря
женпым, поднесем 1\ нему ПрОВОДНИI\ 2, несущиЙ на себе заряд Q2' на HeHO
торое расстояние r, значительно ПРf'восходящеэ линейные размеры (ПОрЯД1{а а)
наждоrо из ПРОВОДНИНОВ. При этом потенциал проводнила 1 уве;шчится
па величину Q2 (41tsr) 1 [если пренебречь незиачителыIЫМ (ПОрЯДl\а a/4ocsr 2 )
изменением потенциала па учаСТl\е, занимаемым самим ПрОВОДНИI\ОМ 1].
Сопоставив это с первым уравнением (2.39), получим 821 == (47tsr) 1. На ближ
нел части проводнина 1 будет индуцироваться заряд, противоположный
по зшшу заряду Q? и равный по ПОрЯДI\У величины Q2a (4ocsr) 1. Таl\QЙ же
заряд, но толы\u Toro же знаl\а, что и Q2' будет нахuдиться на отдаленной
части ПРОВОДНИl\а 1. На больших расстояниях r поле этих двух одинаl\ОВЫХ
по величине и противоположных по знаl\У зарядов, отстонщих друr от друrа
не дальше, чем на а (а r), по существу является полем ДИПОЛЯ, пuтенциал
ROToporo на ПрОВОДНИl\е 2 [см. формулу (1.9)] по I\райнеп мере имеет
ПОрЯДОI\ величины Q2a2 (41tsrЗ) 1. Следовательно, с точностью до членов
Ноидеисаторы, диil,о/,еитрики, системы проводииков
49
этоrо порядка присутствие незаряженноrо прОВОДнина 1 не оназывает ВЛИЯНИЯ
на величину потенциала проводника 2, тан что из BToporo уравнения (2.39)
мы имеем 822 == V 2Q2 1 == С"2 1 И аналоrично 8 п == C 1 1 . Таким обршюм, в первом
приближении
1
811 == 7'У;'
1
812 == S21 == 4т.:Еr '
1
822 ==0; .
члены порядка r 3,
(2.45)
Решив детерминант (2.41) и опустив
и взаимных емкостей будем иметь
16т.: 2 Е 2 r 2 С 1 С]С 2
Сп == 16т.:2Е2r2 СIС2 ' С 12 == С 21 == 4т.:Еr '
для собственных
16т.: 2 Е 2 r 2 С 2
С 22 == 16 2 2 2 С С .
1tr:.r 12
(2.46)
20. Энерrия системы зарядов. Если извсстны напряженность поля
и элентричесная индукция во всех точках BOKpyr зарюненных проводнинов,
то энерrию всей системы можно ПОJIУЧИТЬ путем интеrрирования выраже
пия (2.17), а именно:
W == ; \ D.EdV,
v
rде интеrрирование распространнется на всю область вне проводнинов.
Часто, однако, известными явлшотся не ПОJiН во всех ТОЧIШХ, а заряды
н потенциалы ПрОВОДНИ1ШВ, а тан:же их собственные и взаимные еМ1ЮСТИ.
Для нахождения энерrии n этом случае предположим, что заряды Ql a ,
Q2a, . . ., Qua доставляютсЯ на ПРОВОДНИ1{И беС1ШНСЧНО малыми порциями
QI da, Q2 da, ..., Q" da, начиная от Toro состояния, 1шrда ПрОВОДНИ1ПI
не заряжены, т. е. а == О, и кончая значением а == 1. При зарядах Ql a ,
Q2a, ..., Qua Dотенциuлы проводников равны V lа, V 2а, ..., V па, поэтому
работа, совершаемая при внесении очередноiI IIОрЦИИ заряда, равна
dW == V lQla da + V 2Q 2 'J. da +.. . . . + V uQ,p da.
(2.47)
А энерrия сиетемы в нонечном состоянии будет
11 1 n
W == ViQ; ada== S ViQ;.
. i 1 U i 1
(2.48)
Или, заменяя Q; в соответствии с еоотношением (2.40), имеем
W V =="' (cIIV +2cI2VIV2+C22V;+ ...).
(2.49)
Аналоrичн:о, заменяя V i в соответствии с соотношенисм (2,3Н), получим
W Q == ; (811Q + 28 12 QIQ2 + 8 22 Q; + . ..). (2.50)
-
21. Силы и моменты сил, действующие на заряженные проводники.
Если известны наПРЮI\енность поля и электричесная 1ШДУНЦИЯ в каждой
точне поверхности прсводнина, то суммарную результирующую силу, дей
ствующую на ПрОВОЦllИН в направлении е;rиничноrо вектора р, можно
получить путем интеrрирования выражения (2.29) по всеи поверхности про
ВОДН1ша, что дает
\ ' О.Е S
Fp== p.nd,
s
rде n единичный всктор нормали R элементу поверхности dS.
Если ищзестны заряды и потенциальные 1шэффициенты системы провод
ников, то ее потенциальная энерrия определяется по формуле (2.50), rAe 811'
812 И т. Д. зависят от Rонфиrурации системьi. Точно тан же, нан и в Mexa
4 в. Смайт
(2.51)
50
r лава 11
нике, мы определим силу или момент, стремшциеСfI про извести изменения
какоrо либ() параметра, характеризующеrо эту конфиrурацию кан ПJ!ОИЗВОД
ную потенциальной энерrии по этому пара.метру, взятую со знаном минус:
дд == ; ( д; " Q + 2 д: 2 QIQ2 + . . . ) . (2.52)
В зависимости от Toro, является ли 1J длиноii или уrлом, это выражение
определяет соответствующую компоненту сиды или момента, стремящиХсН
увеличить значения 1J. В рассматриваемом случае заряды остаются неизмен
ными и изменение электрической энерrии равно совершаемой механическоii
работе. Если же ПОJlьзоваться выражением (2.49), поддерживая при помощи
батареи ИJlИ каким нибудь друrим путем потенциаJlЫ постоянными, то энер
rия системы увеличится. Сила же в обоих случаях должна быть одинаковой,
так как она зависит тольно от началыюrо состояния системы, которое
можно описать и при помощи заРЯД(JВ, и при помощи потенциалов.
Чтобы выразить силу череR потенциалы, объединим фОрМУJlЫ (2.48)
(2.50) в следуrпщее равенство:
W == W Q + Wv V;Qi ==- О, (2.53)
дифферerщпруя 1ШТОрое получим
n n
aw ij\]J' a\jJ"
dW == iJQ " dQ; + a v . dV; + д d1js == О.
I t
' 1 i 1
(2.54)
НО IIЗ соотношений (2.53), (2.50) и (2.39)
n
: i == д;; V i == S;jQj У; == О
i 1
И I[З соотношеНИJ1 (2.53), (2.49) и (2.40)
n
ij\]J" aw v ".,
iJVi == д l; Qi =00 C;jVj Q;==O.
j 1
Подстанопка n соотнощ!:'НIЮ (2.54) дает
"" д W
a1J!I d1js == О.
Поскольку сумма равна нулю для совершенно произвольных значсний dT 1o '
то каждый из членов этой суммы в отдельности должен равняться нулю.
Поэтому, заменив W через соответствующее выражение (2.53), ПОЛУЧI[М
alJ1' aw Q aw v
д d1Js == i) ' d1j. + d1Js == О. (2.55)
1Js YJs UYJs
Но нам известпо, что aW C/a1js есть сила (или момент), стремящаяся yBe
личить 1J s ' так что она выраЗИТСfi через потенциалы следующим образом:
iJW v 1 ( дсв V 2 2 дС'2 V V ) 2 56
+ d . == 2 д 1+ д . 12+'" . (. )
YJs YJs YJ.
Итак, при постоянных зарядах работа, совершаемая при малых перемеще
ниях, lщется выражением (2.52), а при ПОСТОЯНIIЫХ потьнциалах выраже
нием (2.56). Ра шость этих выражений состаВШleТ работу, соверщаемую тем
прибuром, который поддерживает потенциал постоянным:
( iJW V aWQ ) aWv
д d1Js==2 d . d1Js.
YJs YJs 1Js
(2.57)
Задачи
51
ЗАДАЧИ
1. Центры трех одинаковых сфер радиуса а рас,положепы Шl одной ПРЯМОЙ на pac
СТОIJШIЯХ rl и r2 друr от друrа. Сначала только центральная сфера 2 имела заряд Q.
.1а..ем ее соединили ео сферой 1, а потом, отсоединив от сферы 1, подсординили К сфере 3.
Поназать, что если расстояния между сферами значительно больше а, то заряд на
сфере 3 равен
Qз==!L [ ar +1 ]
4 rl(rl+r2)(r2 a) .
2. 9:етыре одинаковые незарюненные проводящие сферы раеположены по УJ'ла 1
Iшадрата. Заряд Q сообщается проводнику 1, затем при помощи тонной nРОВОЛОЧШf
ироводнпи 1 соединнется на МI'новение по очереди е llроводниками 2, 3 и -4 (нумераI\I'IЯ
I1рОВОДНИИОВ ЦИКЛllчесиая). Показать, что в результате
Q !L 8п 824 Q !L 81l 2814+824
4 8 81l 814' 1 8 811 814
3. Пусть сферы 1 и 2 (см. предыдущую задачу) сначаJШ несут на себе варяJ,Ы,
с(\ответетвенно равные +Q и Q, и пусть, нак и раньше, сфера 1 подклю'!ае'fея на
мrновение по очереди l\ еферам 3 и 4. Показать, что если сторона l\вадрата r значи
тельно больше радиуса сфер а, то сфера 4 онажется заряженной зарядом Q4, Dрибllf'l
жеНIlО равным
2 5/2Q [2lJ2r (25/2 3) а]
Q4 == (r a) .
Найти таиже заряды Qз и Ql'
4. Три (\ДJlнаковые еферы расположены по yrлам paBHocTopoHHero треуrОЛl>пвиа
на очень большом расстоянии друr от друrа. Сначала наждая сфера имела зарJlД Q.
Затем по очереди еферы на мrновение заземлялиеь. Поназать, что после Э'lоrо заряд
на сфере 3 стал равен
a2r 2 Q (з 2; )
11 найти также заряды на сферах 1 и 2.
5. Четыре ОДИlШI\ОВЫХ проводнина раеположены по уrлам правильноrо тетраЭJ,ра,
причем каждый из ПрОВОДНИRОВ совершеiшо симметричен по отношению R трем ДРJПШ.
Первоначально вее они не были заряжены. Затем один из llРОВОДНИНОВ приобреJI заряд Q
от батареи с напряжением V, которую от Hero тотчас же ОТКЛЮЧИJJИ. lJосле этоrо ero
на .Irновение по очереди ПОДRлючали к каждому из трех проводнинов, а потом зазеJ\l
лили. На ПрОВОДНИl\е осталея заряд QI' 110казать, что все взаимные емкости равны
56Q2Ql/[V (24Ql + 7Q) (8Ql 7Q)),
кроме Toro, найти потенциальные К03ффИЩIeНТЫ.
6. Два проводника, являющиеся зеркальными изображениями Дllуr Apyra, перIЮ
начально незарпжены. Сфера с зарядом Q сначала соединяется с неноторой точной Hll
одном из проводников, а затем с ее зеркальным отображением на друrом. В каждом
из этих елучаев заряд поrовну распредеЛ!1ется между ефероi'т и пров<'дником. llоназать,
что пос.ле nольшоrо числа таких попере1l1енпых llOдключеШ1Й заряд равномерно pa('
пределяется м!<жду тремя проводниками.
7. Три пдипановых изолирnванных ПРОВОДНИJ{а расположены так, что любой 113 }jf1X
еовершснно симметричен относительно двух друrих. Проволочной, подключенной J{ ба
тарее, напряжение которой неизвестн(\, по очереди насаются каждоrо проводника. Заряды
на первых двух оказываютсл после 31'01'0 равными Ql и Q2' Найти заряд на третьем.
8. И3 трех концентричеених проводящих еферичесних оболочш\ раДllУСОП а, Ь J[ с
внутренняя и внеШняя зазеМJlеJlЫ, а средняя разрезана на две половины и заряжеlIa.
Найти, еколь велик должен быть радиус а ta < Ь < с), чтобы воспрепятствовать OTдe
лению дрyr от друrа этих ппловин.
9. Три IIlJOВОДНИlШ соединены тонкой проволокой и заряжены. Определить, кш,
распредеJlЯЮТСЯ между ними заряды, если известнО, что
811 ==833 '*' 822' 8 1 2==,823'*' 813' 811 +81з==.812+822'
10. Два концентрических сфсричссних проводника, радиусы НО'l'орых равны" . Ь.
соединены ПРОВО.тJок()й. От внутреНIIШ'О проводника отде.пяетея точечный заряд q и Ави
жется радиально по направленпю к внешнрму с постоянной скоростыо v. Понззать,
что сНОрОСТЬ перемещения ИНДУЦИllOlшнноrо заряда с ннутренней сферы на внешиюю
равна
dd == qab(b a) lv(a+vt) 2.
4*
2
rлава //
11. Кольцо радиуса а, нееущес на себе полный зарлд Q, расположено ВНУТРИ
заземленной сферы радиуса Ь, так что ось КОJJьца еовпадает с диаметром сферы, а ero
ШJОСlюеть отстоит от центра сферы на расстоянии с. Найти потенциал в центре.
12. Точечный заряд q, помещенный на оеп TOHKoro заземленноrо проводящеrо
кольца радиуса а на расстоянии Ь от ero пснтра, индуцирует на нольце заряд Q.
lIонаЗ<lТЬ, что емкость НОJIЫЩ равна 1tEQq 1 (а 2 +Ь 2 )Ч2.
13. ПрОDодящая сфера радиуса а находится внутри I{онцентричеСlюrо с ней ди
элентричеекоrо шара радиуса Ь, относительная ДИЭJJектричсснан проницаемость HOToporo
рrшна К. Показать, что емкость ПрОDодящей сферы равна
41tE v Kab (Ка + b a) l.
14. Пусть (см. предыдущую задачу) про водящая сфера заземлена, а на расстоянии r
от ее центра (r> Ь > а) находится точечный заряд q. Показать, что на сфере будет
индуцирован заряд
Kabq
r[b+(K 1)a]
15. Сферичесний конденсатор, радиус BHYTpeHHero llрОВОДНИК11. Iютороrо а, а внеш
пеrо Ь, заполнен дпумл Iюнцентрическимн сферичесними слоями ДИЭЛCl{трина с прони
цае IOСТЯМИ 101 и 102' Радиус r их rраницы раздела 11авен ; (а+Ь). Найти отношенпе
€J/"-2' если известно, что точечный заряд, расположенный на этой rранице, индуцирует
одинаковые заряды ва внутренней и внешней проводящих сферах, ноrда они обе за
зсмлены.
16. Незаряженная проводящан сфеrа маесы .М илавает n диэлектричесной ЖlIk
IЮСТИ с проницаемостыо Е, поrрузившись в нее на одну четверть cBoero объема. ДО
юшоrо потенциала нужно зарядить сферу, чтобы она плавала поrруженной наполовину?
. 17*. Показать, что если аЛI'ебраичесная cYj\IMa зарядов системы ПРОВОДНИIюв
положительна, то поверхностная плотность заряда, по I{райней мере на одном из них,
I1СЮДУ ПОJlожитеJJьна.
18*. Пусть имеется несколы{о ИЗОЛИрОDанных нроводнинов, положенпе ноторых
задано н неизменно. Собственные емкоети двух КaJшх нибудь ПрОПОДНИНОD в этои
системе равны С 1 и С 2 , а взаимная емкость равна В. Доказать, что если эти ПрОDnДНIlJШ
соединить тонкой ИРОВОЛOlюй, то емность объединешюrо проводнина будет равна
С 1 +С 2 +2В.
19*. 13 системе изолированных НРОВОДНИlюв зарпжеиных произвольным образом,
заряды переносятся с одноrо проводнИlШ на друrо.й до тех пор, пона вее НРОВОДНIlJ{И
не онажутся под одним и тем же потенциалом V. Показать, что V ==Е/(8 1 +282)' rде 8] 11
'<'2 алrебраические суммы соответст[!Снпо собственных и взаимных е шостей ([юэффи
I\lreHTOB индукции), а E CYMMa всех зарядов.
20*. Доказать, что в результате операции, опнrаююй в предыдущей задаче,
элентростатичесн:ая энерrия сиетемы Уj\ЮIIЫШШТСЯ на величину, равную уменьшенmо
Эl!ерrии при нонижении потенциала [{аждоrо проводника на V.
21 *. Два ОДинаковых сферических конденсатора, радиусы внутренних и внепlIшх
проводников ноторых равны а и Ь, изолированы и находятся на БОJJЬШОМ расс,тоянии r
друr от друrа. Внутренним сферам сообщаются заряды е и е', а заТС l внешние сферы
с()единяются ПРОDОЛОНОЙ. Показать, что убыль энеРl'ИИ Прff этом приближенно будет
равна
(161tE) 1 (e e')2 (b ] r I).
22*. Конденсатор образован двумя тонкими J{онцентричеекими оболочками радиу
('ОВ а и Ь. Во внешней оБОJJOчке имеется небольшое отверстие, сквозь которое проходит
изолированный про вод, соединнющий внутреннюю сферу с третьим проводником, распо
ложенпым на большом -расстоянии r от конденсатора и имеющим емкость с. Внешняя
оболоч[{а нонденсатора иодключена к земле, а еуммарный заряд соединенных провод
ников равен Е. ДOJшзать, что сила, действующан на третий нроводник, приближенно
равна
ас 2 Е2 (41tEr3) 1 [41t"-ab (a b) 1+c] 2.
23*. ЗаМIшутая эквипотенциальная поверхность потенциала ТТ] содержит внутри
себя друrую за шнутую поверхность потенциала V o . Потенциал некоторой ТОЧI{И Р,
.'lежащей между этими поверхностями, равен V Р. Если в TO'IKY Р поместить заряд Б,
а обе эrшиriотепциальные поверхноrти заменить провоплщими сферами, соединеннЫМИ
с землей, то зарядЫ El и Ео, индуцированные на них, будут удовлетворять COOT
ношению
Е] (ТТ0 J7p) l == Ео (Vp J7]) 1== Е (V 1 VO) I.
Задачи
53
24*. Проводнин заряжается от электрофОllа путем ПОВТОIJНЮIЦИХСЯ подсоединений
н плаСТИНI{е, ноторая после RаЖДОI'О подсоединения снова заряжается От электрофора
до заряда Е. Пусть e заряд ШJ ПРОВОJ'.\НИRе после первой операции. ДOIшзfJ.ТЬ. что
нонечный заряд равен
Ее (E e) l.
25*. Четыре ОДIшаковых незаряженных заземлепных проводника расположены
симметричпо по уrлам правильноrо тетраэдра. При помощи подвижноrо заряженноrо
сферичесноrо проводника касаютея по очереди (шждоrо из них, дотраrиваясь лишь до
наиболее близко расположенных R центру тетраэдра точек. Показать, что получаемые при
ЭТОМ проводниками величины зарядов е}О е 2 . ез, е4 образуют rеометрическую нроrрессшо.
26*. Замепив в задаче 25* тетраэдр на квадрат, цоказать, что
(el e2) (еlез еЮ==еl (е2ез еlеl)'
27*. Два неподвижных изолированных проводнИ!ш несут на себе заряды Е 1 и Е 2
Н имеют некоторые заданные значения потенциалов. Их потенциальные коэффициенты
равны Sl1' S12' S22' Если эти проводники окружить сферичесним проводнИlЮМ, имею
щим очень большой радиус R и центр вблизи пих и находящимся под нулевым п
теНIlиалом. то для сохранения на проводнинах тех же значений потенциалов их пужно
зарядить зарядами E Jl Е 2 . Доказать, пренебрш'ая величиной R 2, что
(E . EJ) (E2 E2) 1 "(S22 S12) (811 S]2) 1.
28*. ПOJшзать. что J'еометричеекое место точек, из которых едИНИЧНЫЙ зарп;(
ш!дуцирует на некотором заземленном проводпике ПОСТОШJНый заряд, СОВП'lдает с ЭКВll
потенпиалыlOЙ поверхностью ПОJJЯ этоrо проводнИ1Ш в отсутствие точечпоrо заряда.
29*. Поназать 1) что еСJJИ изолированный ПРОВОДНИR, находпщийся JJ своБОДНО:\J
пространстве 11 имеющий единичный потенциал, создает n наНОЙ Iшбудь то'ше Р поте]!-
пиал (Р), то единичный заряп, помещенный в точну Р, будет ИНJ\упиронать на этом
llроВОДНИ1Ш (теперь заземленном) заряд (P); 2) что еСJJИ (PQ) потенциаJl, создапныii
л точне Q ипдуцированным зарядом, то (PQ) ШJШlCтея симметричной фуиющей попо
женин Р И Q.
30*. Две маJJеныше заземлснпые сферы раСПОJJожены рядом дрр' с друrом между
двумя большими параJJJJCЛЬНЫМИ пластинами, одна из ноторых заряжена, а npYI'aH
соединена с землей. Представить rрафичесни харантер вuзмущений, вносимых сферами
в однородпое поле В елучае, ноrда линия их центров 1) перпеНДИКУЛЛlша Ii плаСТlшам.
2) параJJлельпа пластинам.
31 *. Полый проводнин А находитсл под нулевым потенциалом и содержит ВНУЧ III
еебя еще два друrих изолировапных ПрОВОДНИIШ В И С один внутри друrоrо. Про
водник В положитеJJЬНО заряжен, а проводнИI{ С не зарлжсн. ПРОfJ.J!aJJИзировать раз
личные типы силовЫХ линий, которые MOI'YT существовать внутри ПОJ:ОСТИ, Rп(jССИфll
цируя их соrласно тому, на каком проводнине они начинаются и на наном онаllЧИ
ваютсл. Доназать нешшможность существования тех тииов линий, ноторые хоп! J'e
метричеСRИ и допустимы, но ИОЧС:VJу либ() отверraются. ДOIшзать, что потенциалы про
IJОДНИ]{ОВ В И С иоло/Ните;IЫIЫ и что потенциал С меньше В.
32*. От пролоднина, еМJЮСТЬ ]{OTOpOro равна N, отделена пснот()рпл: чаеть Р. На
боJТЬШ()М раестолнии от всех друrих пр()водюшов еМJШСТЬ этой отделенноii 'JaСТИ равна С.
Сам ироводпи]{ остается ИЗОJ1ированным, а часть ш'о Р на бопьшом рас стон нии от 1l!'1"()
заряжается зарядом е, и ей предоставляетсп возможно(;ть свободно ДВИl'аться Ho:t
действием сил взаИl\Iноrо притяжения вплоть до достижении проводнпка. Описать н
объяснить изменения, которые произоЙдут в ЭJ1ентрпчеСIЮЙ энерrии систсмы.
33*. lIроводНИК, несущий на себе зарнд Q), онружеп проводящей оБОЛОЧIюii
е зарядом Q2' Внутренний ПРОВОДНИR при НОlllОЩИ проволоки соединястся с очеиь
)\алеким незаряЛ\енным проводником. Затем проволона от{'()единяетея от BHYTpeHHero
нроводнина и нрисосдинлетея к внешней оБОJЮЧ]{С. ПOJшзать, что зарн; ы Q п Q CTa
Hyr равными
Q' тQ) пQ2
1 т+п+тп'
Q ' (m+п)Q2+тпQ
2 т+п '
['де С, С (1+т) собственные е шОСТПЫ(' ноэффициенты БЮI;)Ю1Х ПРОВОДJП!J{ОП, а Cп
удалснноrо проводпи]{а.
34*. Поназать, что еслн из общеrо числа п + 1 НРОВОДНИIюв один ПрОJJОДНJШ c()д('p
ЖИТ внутри себя п ДРУI'ИХ, то существует п соотношений между потеНЦИaJJЬНЫМII
ИJJИ емкостными ноэффициР.нтами. Поназать таЮI{(', что если Jlотенцнаа eaMoro
большOI'О ПрОВОДНIlIШ равен V o , а иотенциалы остальных равны ТТ н ТТ 2 , ..., V I1 , то
наиболее общее выражение дли энерrии будет равняться CYMl\Ie СVб и неноторой
54
rлава 1/
lшадратичной фУННЦИИ ТТ1 ТТ0' V2 J70' ..., J7n Vo, rдеС постоянная, не зависящая
от положении внутренних проводников.
35*. Внутренняя обклаДIШ сферическоrо ]{онденсатора (радиусы а, Ь) несет на себе
иоет()ннный заряд Е, а внешнян находится под нулевым потенциалом. Под действием
внутренних сил внешний пров()дНlШ сжимается от радиуеа Ь до радиуса Ь 1 - Дока:шть,
что совершаема н электрическими силами работа равна
E2(b bl) / (8п€"ЬЬ 1 ).
36*. Пусть (см. предыдущую задачу) потенциал J7 внутренпеrо ПРОВОДНИl{а noд
держиваетсн ПОСТОШlНым, а зарнд может меняться. Показать, что совершаемая работа
равна
21t€V 2 a 2 (b bl)/[(bl a) (b a)].
Найти величину энерrии, затраченной батареей.
37*. Пользуясь обычпыми обозначеНИfiМИ, ДOIщзать, что
(8I1 +823) > (812+813), 81]823> 812813'
38*. llо]{азать, что еСЛI' nOCJle пнссения в сиетему ироводнИ!щв HOBoro проводника
потенциальные коэффициенты 8 тт , 8rs, Sss становятся равными 8;т, 8;s, 8 s' то
(SrrSss S;r8 s) <t (8rs 8;s)2.
39*. Система состоит из р+ч+2 проводников Аl' А2' ..., Ар, Вl> В2' ..., Bq,
С, D. Доназать, что при известных зарядах iШ всех проводниках А и С и при извест
ных потенциалах на всех проподниках В и С не может существовать более oJIHoro
paBHoBeeHoro распределения зарндов, если только про водник С не ЭI{ранирован электри-
чески от проводника D.
40*. Имеются четыре проводника А, В, С и D, причем проводпи]{ В окружает
ПРОВОДf'IЩ А, а проводник D окружает ИРОВОДНII]{ С. Найти еобственные 11 взаимные
емн:остные коэффициенты 1) для А и В, если С и D удалены; 2) для С и D, если
А и В удалены; 3) длq В и D, если А и С удалены, и, наконец, определить эти
коэффициенты ДJJЛ полной системы из четырех ПрOlюдников.
41 *. Два одинаковых нр()воднюш А и В одинан()во заряжены и раСПOJJожены сим
метрично по отношению друr '{ npyry; третий, подпижный проводник С последовательно
занимает два положения: одно находится ПР3l{тичееЮi ЦСЛИJЮМ внутри проводника А,
npyroe B пределах ироводнИIШ В. Оба положения симметричны относительно APYl'
дрvrа, и в любом из них потенциальные ноэффициенты дЛЯ С, расположенные в по.
рЯДНе возрастания, равны р, Ч, r. В каждом I1З этих положений С по очереди СОIЩИ-
няется сначала с окружающим ero проводником, потом заземляется и, наконец, изо
.пируетс? Опредрлить заряды на ПРОВОДНIшах в результате произnольноrо числа таких
операций и показать, что нонечные ве.fШЧИНЫ зарядов будvт находиться в отношении
1 : : 2 1, ['де положительный норень уравнения rx2' qx+ p r==O.
42*. Собственная емн()сть одноrо проводнина равна С 1 , а друrоrо С 2 . Они пахо
днтся на большом расстоннии JIpyr от друrа и имеют потенциалы V 1 и J7 2. Дон:азатъ,
что сила отталкивания между ними определится пыражением
С 1 С 2 (41t8rVl C2J72) (41t€rTT2 CIVl)
4п€ (161t2e2r2, CIC2)2
С точностью до какой степени r 1 справедливо это выражение?
43*. Два одинаиовых изолированных проводника расположены симметрично ОТIю
сительно npyr npyra, причем один из них не заряжен. Нри помощи третьеrо изолиро
HaHHoro проводнина симметричным образом попеременно касаютсн каждоrо из этих двух
ПрОВОДНИНОВ, начиная с заряженноrо. Пусть еl и е2 зарнды lIa проnодниках после
nepHoro касания каждоrо из них. Поиазать, что ПОС.ле Toro, кю> произойдет r насаний,
эти заряды будут равны
. ei [ 1 +( el e2 ) 2r 1 ]
2е 1 e2 еl И
ei
2е 1 e2
[ 1 ( е] е 1 е 2 ) 2т ]
(Для задач 43* и 44* см. разностные уравнения 9б rл. V.)
44*. Имеютсн три проводнина Аl' А 2 и Аз, причем проводиик Аз прантичесн:и
находится внутри проводника А 2 . Проводнии А 1 при помощи тонкой проволони ПОllере
менно соединяется с проводниками А 2 и Аз, наЧИНIIЯ с Аз. Первоначально ПрОIJОДНИН
А 1 имрл заряд Е, а А 2 и Аз были не заряжены. Показать, что заvяд на проводнине А 1
ПОСJJе n соединений с Аз будет равен
l 1 а (. ) ( a+ ) n 1 ] '
а T + (а+.) а+.
п e через а, , "' обозначены соответственно 811 SI2' 822 812' 8зз 812'
Задачи
5;;
45*. Проетранство между оБIшаДJШМИ сферичеСJЮJ'О нонденсатора радиусов а и Ь
ааllолнено ВОЗДУХШI. На внутреннюю сферу наНОСИТСfJ слой краски постоянной тол
щины t И диэлектрическuй пропицаемоети К. Найти происшедшее при этом изменение
емиоети кондрнсатора.
46*. 3аряд проводнина равен е, а V 1 и V2 потенциалы двух полностью OHPY
жающих ero энвипотенциальных поверхноетей (V) > V 2 -:-" Пространство между этими
двумя поверхностями ЗaIJOJlНлется диэлектриком сотносительпой проницаемостыо К.
Поназать, что изменение энерrии системы равно
1
2 e(J71 J72) (K 1)/K.
)li'
47*. Воздушный нонденсатор образован двумя концентрическими сферами. Поло
нина пространства между сферами заполнена тпердым ДИЭЛСНТРИRОМ с относительной
диэлентрической проницаемостью к. rраница раздела между ним и воздухом есть
IIJЮСIЮСТЬ, проходящая через центр сфер. Поназать, что рмкость таиоrо Ш1Нденсатора
будет равна емности нонденсатора, все пространство между сфераии KOToporo запол
. 1
нено ДИЭЛЫ{ТРИIюм, имеющим относительную проницаемость '2 (1 +К).
48*. Радиусы внутренних и внешних оболочеI\ двух одинаковых сферических
Iюнденсаторов, удаленных один от дrУI'Ol'О и помещенных в беСI\онечную диэлектри
чесную среду проницаемости К, равны соответственно а и Ь, а относительная прони
цаемость диэлектрииа внутри II:ШJД()нсаторов равна К) и К 2 . Обе повеРХlJоеТIl первоrо
ионденсатора ИЗf\лированы и заряжены, а BToporO He зарпжены. Внутренняя поверх
lюеть IJTOpOrO Iюн;юнсатора заземляется, а внешннл при помощи проволони С пренебре
жимо малой. емкостыо еоединяется с внешней поверхностью первOl'О НОIlденеатора.
110казать, что убыль энерпlИ будет равна
Q2 [2(b a)K +аК 2 ]
81tb<.l(b a) К +аК 2 ] ,
l.де Q НOJlIlчество элыпричеетва, протеI{шеrо по проводу .
49*. Внешняя обкладка ДЛIlНIJOI'О цилиндричесноrо конденсатора представляет
собой тонкую оболочку радиуса а; диэлектрик между цилиндрами по одну сторону
от плоскости, проходнщей через псь, имеет пр()ницаемость К, а по друrую прони
цаемость К'. ПOl{азать, что если внутренний цплиндр заземлен, а внешний имеет
на единицу длины заряд Ч, результирующая сила, действующая на внешний цилиндр,
равна
ч2 (К K')
(на едипицу длины).
1t 2 a v a (К +К')2
50*. Неоднородная ДИЭЛ('Rтрическан среда соетоит из п концентрических (;фери
чесних слоев с относительными диэлш{трическими проница('мостлми К)' К2' ..., К п .
Первый слой имеет форму шара, а внешний, п й, простираетсл до бесконечности.
Радиусы rраниц раздеJJа диэлектринов равны соответственно а.. а 2 , ..., an l' ДОRазать,
что потенциал, создаваемый зарядом Q, расположенным в центре, будет на расстоянии
r от Hero (в среде с проницаемостью Ks) равен
[ !L ( ) + i ) + ]
41t<.v К. r а . KS+l \ а . ам) 1'" К п a" l .
51*. Конденсатор образован двумя НРЯМОУI'ОЛЬНЫМИ параллельными про водящими
пластинами, ширина ноторых Ь, а П.'lощадь А и которые рнспол()жены на расстонпии d
друr от друrа. Между шrастинами параллельно им помещена плитка из диэлектрина
толщиной t, П':lOщадь ноторой равна площади пластины. Эта ПЛИТRа ВЫдвиrаетсн
из конденсатора, так что между пластинами остается только часть ее, имеющая длину,
равную х. Доказать, что сила, стремящаясн возвратить плитку в иервонача.пыlо
положение, опррделяется по формуле
Е 2 аы' (d t')
2avIAtd t')+xbt'J2 '
!'де t'==t(K 1)/K, К относительная ДИЭJJентричеСRая проницаемость ПЛИТRИ, E
эаряд нонденсатора. При решении пренебречь влилнием нраев.
52*. Три замннутые поверхности 1, 2, 3 явлнются энвипотенциаJIЬНЫМИ поверх
>НОСТЯ'lfи элентрическоrо ПО;JЯ. Пространство между поверхностями 1 и 2 заПOJшено
диэлектриком с проницаемостью <., а между поверхностями 2 и 3 диэлектриком
проницаемостью <.'. Показать, что емкость конденсатора, образованноrо поверхностями
1 и 3, равна ве.rшчине С, определяемой выражением
1/С,== <'v/(<.A) + €v/(€' В),
.56
Fлава 11
rде А и В СМНОСТИ JJОЗДУШНЫХ I{ОНДШlеаторов, образованных СОответствеюю повер'l::
ностями 1, 2 и 2, 3.
53*. rраница раздела дпух дпэлентринов (K 1 , К 2 ) имеет шютность наряда (J
(на единицу штощзди). Напряженности элентричесноrо поля по разные СТОРОНЫ
от l'раницы раппы Fl' F 2 и образуют с общей нормалыо 1{ rранице уrJIЫ О]' 02' Vназать,
нан определить величину F2' и ДOl{азать, что
К 2 ctg 02 =ос К 1 ctg 01 [ 1 К F 'J ] .
1 1 СОБ 01
54*. Прострапство 1('ЖДУ двумн нонцентричесними сферами радиус оп а и Ь,
потенциалы ноторых поддержипаютсп равными А и В, заиолнено неоднородным дп
элеl{ТРИНОМ. Ero ДJIэлентричесная пропицнемость меняетеп, ЮН{ п я I:тепепь расстояшш
от общеrо центра сфер. 1I01{азать, что ПОТСJlцпал в любой точне между повеРХНОСТШIl1
равен
Aan+l BlJn.l
an+l hn"'l
( аЬ"\n 1 A B
r) aп+l Ъn l
55*. I\OHJIeHCaTop образован дпумя пара.т1JlС'.lЬНЫМII ппастrшаМII, lШХОДЯЩJJМИСЯ
на расстоянии !! J.\PYl' от JIpyra. Одна из пластин имеет нулепоi1 потенциал. Прострап
стпо между Шl3стинами заПОJШСnО диэлентрином, проницаемость HOToporo линейно
возрастает от одноЙ нлаеТJIНЫ н ДРУI'ОЙ. Ifоназать, что Сj\ШОСТЬ па единицу площаДн
Р:iВиа
2V (K2 K1)!l!z ln (K 2 fK 1 )],
rllC' К] и K2 зпаченпн лиэлентричеСНIIХ ПРОШПЩС J{)стеii па IIовеР'l::ПОСТJI пластин.
Пснажения n распределении поля на щшях пластин не учитыпаются.
56*. СферичеСЮIЙ проводнИi{ радиуса а онружеп l,онпентричесн:ой с ШJМ сфеrII
чесн:оii ИрОПОДfIщей оБО.1IОЧJ{ОЙ, rшутреннпй радиус lШТfJРОЙ Б. ПрОI'Тр'lнетво между
ними заПОJIНепо ДJIэлентршюм с пrЮIlИЩJемостью, мсюпощейсн по занону (о + r)/r, rдс
r paccToHHHC от центра. ДOlшзать, что СС,:Щ внутренняя сфера изолиропана II имеет
зарнд Е, а BHeHIНHH зазсм':юна, то потС'пциа;;J в ДJIэ.тrеI.трпн:е иа раССТОНJIИП r от HeHTrrl
бу;:{ет равС'н
1\' ( ь O ' r )
]ll
47tzo r о+Ь .
57". СфернчеПНlJ1 ПрОIlОДН1Ш радиуса а ОI,рушен J{ОJlIЮНТРИ'ЮСJюii е пим сф('ри
чесноii обопОЧJ{ОЙ радиуса Ь. Пространство между нимп нанопнено ДИЭЛРНТРIШО;\I, про-
2
:J.e p /т3. rlIc Р"'" ra l. Доназать.
ницаемость HOToporo на расстонJПШ r ОТ пентра равпа
что СМJ{Оt:ТЬ TaHoro НОIIЛеНt:атора будет
2 2
8т.z v р.а/(е Ь /а e).
58*. ПOl{азать, что CMFOCTb Iюнденсатора. СОСТОНIцеrо 113 двух про водящих сфер
l' == а и r == Ь, мешлу Е\ОТОРЫМII пахс.дитсн неодпородпыii ДПiJпШ,ТРJШ е ПрОНИlIае lOетью
[( == 1 (О, 9). равпа
z"ab (b a) ] 1 (О, tp) siJ1 О dO &1"
;);)*. Пусть !J НСIШТОРОЙ воображаемой нрпстаЛЛIlчееной среде МОЛCJ{улы lшеют
форму ДПСRОВ, расположенных паралТ!сльно ШЮСНОСТII ху. Ifоказать, что IшмпонеIlТЫ
напртнепности полн II ЭЛС!ПРИЧРСIюi1 ИlIДУШПШ СВЯ:J3НЫ между собоii уравнепищш
вида
41'1 == 8 11 Х + 821 У. 41tg = 8I2X + 822 У '
4тсТ! == 8зз2.
60*. Плитка rш диэлеI.трина проницаемостп К п толщины х помещеЩl BHy-rрh
ПЛОСJ{оrо J{опдепсатора. паrаJшепыIO ero п.ш.\СТИНЮI. 1I0казать, что патя,кение на поверх
пости диэ.тrеJ{ТРИIЩ равно
( :;2/ 2v ) [1 K I xcl(K I)/dx].
61*. Длн rаза К==1+0р, rде р плотность, а О мзлан велJ'IЧШIa. В l'аз ПQ:\ЮIЦеJl
ПРОВОлJПШ. Пренебреrан членамп ПОрЯДlШ ()2, поназюь, что мехаНIIчссная СIIла. деii
2
ствующан па едиНIЩУ поверхности ПРОВОДШШ3, равна 2 а / V' Дать ФИЗJIчесную ИIlтер
претацию этоrо результата.
62". Прп вращенип нривоi1
!Ja { ; а+х + a X } ==J..
16 [(х+а)2+у2]3/ 2 [(x a)2+y2]3/2 а
1
(х 2 +у2)1/2
Лиmераmура
57
Бонруr оси х образуетсн замннутан поверхность, ноторую принимают за rраницу
нроводнина. Поназать, что ero емность равна 47tE v a, а поверхностная плотность заряда
на ионце оси равна е/(3па 2 ), rде е полный заряд.
63. Отношения потенциалов Prs системы п ПРОВОДНИRОВ можно определить Bыpa
жениями
V 1 ==Р ll ТТ ! +Р 12 ТТ 2 +,.. + Р ш ТТ",
ТТ 2 ==Р 21 V 1 +Р 22 ТТ 2 +... +Р 2 " тт",
У" ==Р 11l V 1 +Р"2ТТ2 + ' . . +Р""ТТ ".
Поназать, что Prs выражаются через нотенциальные и е;\шостные [{Qэффициенты сш'дую
щим образом:
Prs == SrI C 1S + Sr2 C 2.g + ' . . + SrsCsr + . . . + Sr"C"r'
ЛИТЕРАТУРА
А h r а h а m М., В е с k е r п., Klassische Electrizitat und Magnetismus, Berlill, 1932.
(См. перевод: А б р а r а м :М., Б е J{ 1, е р Р., Теория элеI{тричества, 2 e изд.,
М. Л., 1939.)
G е i g е r S с h е е 1, Handbuch der PIlysik, Bd. ХН, Berlin, 1927.
G r а у А., Absolute Measurements in Electricity and 1\1аgпеtisш, MacmiJlal1, 1888.
J е а 11 s -'. Н., The Mathematical Theory of Electricity al1d l\1agl1etism, Cambridge, 1925.
1\1 а s 011 1\1., \-У е а v е r "'У., The Electromagnetic Field, Ul1iversity of Chicago Press,
1929.
М а х w е 11 -'. С., Electricity апd Magl1etism, v. 1, Oxford, 1881.
Р] а n с k М. К. Е. L., Theorie der Electrizit1it und Маgпеtisшus, Вш'lil1,1932.
R а m s е у А. Б., Electricity апd l\Iagl1etism, СашЬridgе, 1937.
R u s s е 11 А., Alternating Currel1ts, Cambridg'e, 1914.
Т h о m s о n -'. -'., MathematicaI Theory of Electricity and Magnetism, СашЬridgе, 1921.
Т h о m s о Il \-У., Papers 011 Еlесtrоstдtiсs and Маgl1еtisш, Масшillаl1, 1884.
\-У е Ь s t е r А. G" Electricity al1d Маgпеtisш, l\Iасшillаl1, 1897.
W i е 11 Н а r m Б, Hal1dbuch der ЕХРCJ'iшеlltаlрI1уsik, Bd. Х, Leipzig, HJ3U.
l' JI а в а III
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
э 1. Теорема ОстроrраДClюrо rаусса Приступим теперь '{ наХОЖАе
нию связи между интеrралом от нормальнuи Iюмпоненты HeHoToporo непре
рывноru в пространстве B HTopa А, взятым по заМIШУТОЙ поверхности S и
по (т 1) замннутым поверхностяМ, лежащим внутри S, и интеrралом ОТ
диверrенции вентора А, взятым по объему v между этими поверхностями.
Пусть номпоненты вентора А в прямоуrольных шюрдинатах равны Ах,
....... ', Ау, Az' тоrда диверrенцию
Z Y f "' А, 1ШТОРУЮ мы будем обоз
11 ,начать V. А, можно пред
?; T " / ; Н: ;А:И:СаА, + дА,
1<... , \ , /1 / '" дх д У OZ
, '....... \ ....... ...... / ,,/"
, ..........' ./"" // (3 1 )
" ........:: ..... ./ Х .
............................ .....
Предположим, 'ITO объем v
разделен на тонние призмы
с ПРЯМОУI'ОЛЬНЫМ попереч
lIЫМ сечением dydz. Одна из них (см. фЮ'. 20) вырезает из пuверх
IЮСТИ Sj элементы dSj, dSj', координаты ноторых равны соответственно х;
11 хУ, а единичные вен торы нормали п} и ПУ направлены наружу. В 1l0
верхностном интеrрале элементам dSj и dSj' будут соответствовать значения
подинтеrральной фУННЦИИ, равные
А . , dS ' -+- А . " dS "
x 1 . П; j, х'.' 1 . П; j .
] ]
Но из фиr. 20 следует, что i. njdSj== i. nj' dSj' ==dydz, поэтому общий
Бюraд всех сечениЙ призмы, составляющей часть объема v и пересенающей
(q р) поверхностей, равен
"
q q Х;
dydz(Axj Axj'):::O dYdz д ; dx.
p p
Фие. 20.
Теперь просуммируем по всем П}JИзмам, на ноторые разделен объем v,
m
Ax i . nJdS j == д:: dxdydz.
j 1 В; V
Сuставляя подобные выражения для""А у и Az и С1шадывая ИХ, после под
становни V . А из соотношения (3.1)...мы получим uнончательно
m
А. П; dS j == V .А dv, (3.2)
j 1 SJ V
Общие т opeMЫ
59
{'де dv === dx dy dz. Эта формула известна под названием теоремы Остроrрад
CKoro raycca
2. Теорема CTOI{Ca. Непос едственно пз теоремы ОстроrраДСRоrо
raycca можно получить друrую важную теорему. Применим формулу (3.2)
R беСRонечно малому прямому цилиндру, имеющему высоту h, площадь
uснования S, периметр основания s и площадь боковой поверхности S'.
Обозначим через n и n l единичные венторы нормали R основанию и R БОRО
вой поверхности, а через F неRОТОрУЮ веRТОРНУЮ фУНRЦИЮ и заменим А на
n Х F. ПОСRОЛЬRУ n постоянный вентор, то в выражении
V . n Х F===F. V х n n. V Х F
F . V Х n О, но на ПЛОСRИХ поверхностях и [n Х F] . n == О, поэтому поверх
постный интеrрал от этоrо выражения по S исчезает и формула (3. 2) при
пимает вид
\ n х F . n 1 dS' === F . n 1 Х n dS' === n . V Х F dv .
В' В' V
Н силу TOro, 'ITO dv === h dS и dS' === h ds, поверхностный и объемный инте
rралы превращаются соответственно в линейный и поверхностный
F . 111 Х 11 ds === n . V Х F dS.
s
Да.лее, n Х 111 === 111 Х n является единичным вен:тором, направленным вдоль
rраницы, поэтому, выбрав ero положительным для положительноrо направ
ления s, мы получим n 1 Х n ds == ds и после суммирования по всем бес
Rонечно малым цилиндрам, охватываемым поверхностью, будем иметь
F . дБ === 11 . V Х F dS.
S
При суммировании линейных интer'ралов обход всех внутренних нонтуров
совершается дважды в противоположных направ.пениях, и, следовательно,
интеrралы по ним взаимно уничтожаются. Остается ТОЛЬRО интеrрал по
наружному НОНТУРУ всей области. Сумма поверхностных интеrралов равна,
естественно, интеrралу по всей поверхности, таи что
F.ds==\n.VxFdS. (3.3)
s
Это и"'есть теорема Стонса. Она может быть сформулнрована следующим
образом: линейный интеrрал от вектора F по неноторому замкнутому HOH
TYJ)y равен поверхностному интеrралу от ротора вентора F по поверхности,
опирающейся на этот нонтур.
3. Уравнения Пуассона и Лапласа. Пусть в теореме Остроrрадскоrо
raycca вентор А будет вентором элеRтричеСRОЙ ИНДУRЦИИ D == ЕЕ. Если н
поверхностному интеrралу применить теорему raycca о ПОТОRе индуRЦИИ
(1.40), то
V . D dv === Q == р dv,
v v
{'де р плотность элеRтричеСRоrо заряда. ТаRИМ образом, для исчезающе
малоrо объема dv будем иметь
div D == V . D === === р. (3.4)
(Ю
Fлава ///
Обозначим D == еЕ == е grad V == е vv, тоrда
div(egrad T)==V. (eVV)== p.
(3.5)
Мы получили уравнение Пуассона для неоднородноrо диэле1{трина. В случае
однорuдноrо диэлентрина е постоянная величина и ее можпо вынести и:з
ПОД знана дифференцирования, что дает
div grad V ==' V . VV == V2V == L
е
(3.6)
При р == о это уравнение называется уравнением Лапласа. Для HeOДHOpoд
HOrO, но изотропноrо диэлентрина уравнение Лапласа можно записать в
прямоуrольных ноординатах следующим образом:
а ( aV ) а ( aV ) д ( dV )
дх е дх + ау е ау + пz е az == О.
(3.7)
Если диэлектрин однородный, но не изотропный, и если ноординатные оси
направлены в,'],оль rлавных осеЙ Rристl:tлла [t;M. соотношение (1.58)], то
a 2 v a 2 V a 2 V
е 1 ах2 + е 2 ау2 + е з az2 == О.
(3.8)
Если же диэле1ПРИН п изотропныЙ и однородныЙ, уравнение принимает вид
B 2 V a 2 v a 2 V
ёi"2 + ё>2 + ::\2 == О.
"х "у uz
(o. )
* 4. ОртоrОllальные 1{РИВОЛИllеЙllые Iшординаты. В большинстве ЭЛС1;:
тростатичеСRИХ задач заданнымп величинами являются: заряды или ПОТСIJ
циалы всех ИрОDОДНIШОВ системы, величины остальных зарядов и их pac
положение, а таRше ДИЭJЮRтричеС1ШЯ ПРOlпщаеыость среды нан фуннцин
ТОЧ1пr. Задача считается решенной, если опредеjюн потенциал во всех точ
нах. Д.тСя этоrо необходимо найти решение уравнения Пуассона, удовлетв()
ряющее заданным rраНИЧIIЫМ у( ловпям. Обычно t;уществует таная система
1юординат, в которой эти условия можно выразить наиболее просто и HOT()
рой естественно П(JЭТОМУ пользоваться при решении уравнения. НаиБО';IСР
употребительными являются НРИlЗолинсйные ортоrональныс систсмы 1шординат.
Рассмотрим три (',емейства взапмно ортоrональных иоверхностей тarшх,
что через наждую точну данноЙ области проходит одна 11З поверхностеii
.1шждоrо семейства. Любая из поверхностей первоrо семейства харантеризует
си определенным численным значением величины и 1 , а BToporo II третьеrо
семейств численными значениями величин и 2 и и з , Бескоиечно малый
прям()уrольный параллелепипед образуется шестью пuверхностями и 1 , и 1 +
+ du 1 , и 2 , и 2 + du 2 , и з , и з + dи з , ПОС1юльку лишь IЗ НСМIIOI'ИХ случаях веЛИЧШIЫ
и 1 , и 2 , 1),з непосредственно выражают расстоянпя, для получения истинных
длин ребер параллелепипеда необходимо, вообще rоворЯ, умножить dUl> dll 2
11 dи з соответственно на множитеJIИ Jt 1 , h 2 , h з 1 ).
Последние MorYT меняться от ТОЧRИ 1, точне, т. е. являтьсн фУНRЦИЯl\Ш
и 1 , и 2 и и з , ТаRИМ образом, длины ребер параллелеmшел.ов (см. фпr. 21)
равны
dS 1 == h 1 du 1 ,
dS 2 == /Z2 dU 2'
ds з == llз dи з,
(3.10)
1) Эти обозначения совпадают с обозначениями, НрllВОДИМЫМИ в lшиrах; 11 о t1 s
t о п, Principles of Mathematical Physics, А Ь r а h а m М., В е е k е r К, Klassisc Ье
Eleet,rizit5t und Magnetismus, Berlin, 1932. (См. перевод: А б Р а r а м М., Б е R к е р Р.,
Теория элентричества, 2 e изд., М. Л., 1939.) В спраnОЧНIшах Peirce и SmithsoniaJl
Tables, а танже в нниrе J е а n s J. Н., ТЬе Mathematical Thcory of Electricity 311d
Magnetism, Cambridge, 1925, чсрсз /11' 112' h з , обозначены обратные ве.iIИЧИНЫ.
Общие теоре.МЫ
61
Если V есть неноторая сн:алярная фУННЦ1Ш, то, по определению, HOM
понентами ее rрадиента будут
av av
aS 1 h I аиl '
av DV
DS 2 h 2 аи 2 '
av av
дs з h3 аиз .
(3.11)
Для вычисления диверrенции в этих [{оординатах нужно применить
теорему Остроrрадсноrо rаусса (3.2) н: беснонечно малому объему, пон:а
заНlЮМУ на фиr. 21. Нормальная со\;тавляющая. потона
вентора А, выходящеrо через rрани оссв и ADF Е,
равна
д д
д (Аl dS 2 ds з ) dS 1 == a (h2h3Al) du 1 du 2 du з ==
SI и 1
1 д
== / h h д (h2h3Al) dv.
l. 2 3 и 1
F
Добавляя соответствующие два слаrаемые для четырех
друrих rраней и сравнивая полученное выражение с
формулой (3.2), находим
А
о
Фие. 21.
. 1 [ д д а 1
dlV А == V . А == h h / д (h2h3Al) + д (h3h1A2) + д (lllh2A3) .
1 2 l3 и 1 и 2 из
(3.12)
Далее, заменяя А == sVV и подставляя в уравнение Пуассона (3.5), имеем
[ ( /l2/l3Z av ) +J! ( h3/l1E av "\ + ( hJ/l2Eav ) ] == p
hlh2h3 ди 1 /ll ди 1 ди2 h 2 аи2) аиз h3 диз '
V. (sVV)== p.
(3.13)
При р === u соотношение (3.13) дает уравнение Лапласа для пеоднородноrо
IIЗОТрОIllюrо диэлентрин:а. Если диэлентрин однородный и изотропный, то
Е постоянная величина и ее можно вынести из под знана дифференциро
вания.
5. Представление ротора в ортоrональных RривошшеЙIIЫХ IЮОр
Аинатах. Применим теорему Стонса н rрани ОАпс элементарноrо Нр1ШОЛИ
нейноrо нуба, изображенноrо на фит. 21. Пусть F 1 , F 2 И F3 являются HOM
IIонентами вен тора F вдоль и 1 , и 2 И U з , Тоrда из соотношения (3.11) линеЙ
!JЫЙ интеrрал вдоль ОА и пС онажется равным
(Jt 1 (U 1 , u 2 )F 1 (U 1 , U2) Jtl(Ul' u 2 +du 2 )F 1 (ul' u 2 +du 2 )]du 1 ==
== а (:11<\) dU 1 du 2 ,
"и2
а вдоль Ап и СО
(Jt 2 (u l +du 1 , u 2 )F 2 (u 1 +du 1 , U2) Jt2(Ul' u 2 )F 2 (U 1 , u 2 )]du 2 ==
а (/l2 F 2) d d
== а иl и 2 .
и 1
l;уммирование этих выражений дает линейный интеrрал вдоль ОАпсо, HOTO
рый по теореме Стонса равен интеrралу от нормальной номпоненты ротора
F по площади lllh 2 dU 1 dU 2 этой rрани. Сон:ращая на dU 1 du 2 , получим
(V х F)з == [ д (/l2 F 2)
h 1 h 2 аи 1
а (h.F 1 ) ]
ди2 .
(3.14)
62
r ,{/два III
Аналоrично и для друrих rраней
'(VXF)l == [ д (ll3F3) д (h 2 F 2 ) ] '
/l2/lз ди2 ди з
(VXF)2== [ a(h1F 1 ) д (h3F3) J
Il3hl диз ди 1
(3.15)
(3.16)
6. Представление оп ратора V' (EV) В различных системах HOOp
динат. В сферичеСRИХ Rоординатах, rде r == и 1 расстояние до начала I{OOp
у
dz
у
Q
I
' , : 'Z
:: l
-<dcp
б
х
Фие. 22.
динат, е == И 2 полярный уrол и rp == И 3 азимутальный уrол (см. фиr. 22,а),
мы имеем
dS 1 == /Zl dU 1 == dr,
dS 2 ==h 2 du 2 ==rd(J,
ds з == h3 dи з == r sin е drp,
h 1 == 1,
h 2 := r,
h3 == r sin е.
Соrласно соотношению (3.13), уравнение Лапласа принимает следующий
вид:
( 'Er 2 AV ) + 1 д ( ESine AV ) 1 ( EAV ) ==O (3.17)
r 2 Ar Ar r 2 sin {J дО A{J + r 2 sin 2 {J A'f A'f .
В цилиндричеСRИХ Rоординатах, rде р == И 1 l'асr.тояние от оси z,
cf'==u2 азимуталыIйй уrол, z==uз расстояние до ПЛОС.l\ости ху (см. фиr. 22,6),
имеем
dS 1 == h l dU 1 == dp, h 1 == 1,
dS 2 == h 2 dИ 2 == Р drp, h 2 == р,
ds з == h3 du з == dz, h3 == 1.
Уравнение Лапласа, соrласно формуле (3.13), в ::IТИХ [{ООРl1инатах можно
записать в виде
1 д ( aV ) 1 д ( AV ) д ( AV )
V'(EVV)== Ер + E + E ==0.
Р др др р2 a'f a'f пz az
(3.18)
Позже, в связи со специальными задачами, мы встретимся с неноторыми
друrими системами Rоординат, например с эллипсоидальной.
7. Теорема rрина. Положим в выражении (3.2) А == (Egrad Ф) W ==
== WЕVФ, rlle W и Ф СRалярные функции, ионечные и неирерывные в об
.пасти интеrрирования и дважды дифференцируемые, а Е дифференцируемая
сналярная величина, Rоторая может иметь разрывы на не1ЮТОРЫХ rраницах
внутри области. ИСRЛЮЧИМ эти rраницы, ОRрУЖИВ их УЗRИМИ областями,
Общие теоремы
63
тесно примынающими н ним с двух сторон. Пусть n и п;; единичные
венторы нормали с двух сторон р и rраницы, а A и А;; значения А по
обе стороны от нее. Если имеются q таних областей, внлючающих q разрывов
непрерывности, то интеrрал по ним равен
q
\ (A .n + А;; . n;;) dS p ,
p 1 S
rде dSр элемент повеРХНОt;ТИ разрыва. Прибавив эти члены н фuрмуле (3,2)
и подстаВIIВ А== W8VФ, получим
m q , "
\ 8\]J' д д dSj + \ ( 8 W дФ; + 8;;W;; дФ;, ) dSp ==
. J n} , дnр дnр
J 1 В; p 1 Вр
== 8VW.VФdv+ WV'(8VФ)dv. (3.19)
v v
НаПllшем теперь подобное же выражение, поменяв местами W и Ф, и ВЫЧТСМ
ОННО 113 .-pyroro. Тоrда
4
r 8' ( W' дФ ф' DW )+ 8" ( w" дФ;; ф" DIJ!';; ) ] dS +
LJ р Р д ' Р д ' Р Р д " Р д " р
t Пр Пр Пр Пр
'» 611
7ft
+ \ 8 (W ::. Ф ::. ) dS j == [WV '(8VФ) ФV '(8VW)] dv. (3.20)
1 ) } v
ЕСJIИ Е Iостоянна и непрерывна, то выражение (3.19) ПР1шимает вид
m
W ::. dS j == (VW, VФ+ W\,2ф) dv.
j 1 В; } V
И из выражения (3.20) имеем
(3.21)
m
( W ::. ф ::". ) dS j == (Wv 2 ф фV 2 W) dv. (3.22)
. 1 S 1 }
1 j V
Стрэттоном был предложен следующий полезныij венторный ашмО1'
этих формул. 3нменим в выражении (3.2) А на ЧJх(Vхф), rде ЧJ и
Ф конечные, непрерывные в области интеrрирования и дважды диффереII
цируемые венторы . Тоrда
m
s [ЧJх(vхФ)].пjdS j == v.[ЧJх(VХФ)]dv,
1 V
m
S'll,f(VХФ)ХП]dS j ==\ [(VхЧJ).(vхФ) ЧJ,vх(vхФ)]dv. (3.23)
1 V
Вычитая из выражения (3.23) аналоrичнuе выражение с переставленнfuМИ
ЧJ 11 ф, получим
m
\ [ЧJх(VхФ) Фх(VхЧJ)].пdSj==
j 1 Sj
== {ф. [VX(V Х ЧJ)] ЧJ. [V Х (V Х ф)]} dv.
.v
(3. 4)
64
Fлава III
8. Теорема взаимности rрина для дизлектричеСIШХ сред. Пусть
имеется два распределения элентричесних зарядов. Обозначим в выраже
нии (3.20) через W == V потенциал одноrо из них, через Ф == V' потенциаJI
)\pyruro, u через Е диэлектричесную проницаемость среды. Если поверхность
раздела двух сред с разными Е незаряжена, то на ней, соrласно' усло
nИ1О (1.48),
, дФ' " дФ'l " дФ'l
Ер == Ер == Ер
дпр дnр дnр
11 из условия (1.49)
w == w ' и Ф ==Ф;;.
Подобное же соотношение можно написать II для w, тан что llнтеrралы
п() поверхностям разрыва исчезают. При отсутствии объемных зарядов,
т. е. при V'(EV\}!l==O и V'(ЕVФ)==О, исчезает и объемный интеrрал,
поэтому
(" ( DV' , DV )
) VjE дn; V 1'10 дп; dS j == О,
j 1 8;
и;;rи
m
(V j о' dSj Vj odS) ) ==0,
j 1 8j 8j
JI,[И
m
m
Qj Vj == QjV j . (3.25)
j 1 j 1
Т ЮIМ образом, теорема взаимности rрина (2.3О) остается в силе и в при
сутствии диэлентринов.
9. Функция rрина. Пусть W потенциал, создаваемый единичным
зарядом, находящимся. в точне Р, а Ф потенциал, создаваемый индуци
рованным поверхностным зарядом плотности р, распuложенным на неноторой
заМ1ШУТОЙ заземленной поверхности S, онружающей точну Р. Единичный
заряд в точке Р можно рассматривать нан заряд, объемная плотность HOTO
rЮ1'U всюду равна нулю, за иснлючением беС1юнечно малоrо объема dv
вблизи Р, в нотором Ф можно считать величиной постоянной и равной Фр.
Учитывая, что ЧJ' == (47tEr) \ rде r расстояние от Р, и что у2ф == О всюду
внутри у, а у2\}! == Р/Е внутри dv, а вне dv равно нулю, и принимая во
внимание, что ЧJ'== ф на поверхности S, из выражения (3.22) получим
\' { д [Ф+(41tzr) l] } d S == Ф r d' == (1)
.) 41tr дn . р J Р '\ р,
s v
)'де, нан и в 1 и 7, за полuжительное направление n принято паправле
пие из объема у. Обозначим Ф + (47tEr) 1 через с. Тоrда
Ф ==..!.. (" DG dS== (" dS. ( 3.26 )
р 4п) r дn 4пЕ ) r
8 8
I\1ы будем называть фуннцию G фуннцией rрина, хотя мноrие авторы
именуют фуннциеЙ rрина фуннцию Ф. Очевидно, что G является решением
уравнения Лапласа, равным нулю на rранице S и имеющим простой полюс
n точне Р. с элентричесноЙ точни зрения это решение представляет потен
ци:ал, создаваемый единичным зарядом, нахuдящимся в непоторой точне Р
Общие mеоре.иы
б5
внутри заЗСМJЮ1ШОЙ ЩJOводящсЙ шшсрхпости S. Нан правило, по формуле
(3.26), совпадающеЙ с ф()рмулоЙ (1.8), нсльзя опроделить С, тю{ нан очень
редко плотность заряда па ПРОВОД1пше с OI{азьшастся извсстной. В ПGсле
дующих rJJaBaX будет приподоно MHuro методоп опродслсния фУ1ШЦИИ G для
систем с различными Фоrмами l'рашщ.
Силу Рl' деЙствующую В)1f)ЛЬ шшрашIOНИЯ и 1 на заряд q, находшциЙся
в ТОЧНО с ноордипатами и , и;, и (см. Э 4), можно выразить через фушщиlO
С(и 1 , и 2 , из) по формуло
lim { [ aG(иl' и , и;) ] + [ aG(иl'"и , и;) ] } ==!L. aG(и , и , и ) (327 )
2 b O Il 1 aи 1 и +b h1uul и o 2 hlaи ..
Порпоо выраЖOIше имест место в силу Toro, что при IaЛЫХ О создаваомыо
индуцироваШ1ЫМI1 зарядами поля в ТОЧ1ШХ и + а и и; а ОДIlнarювы, в то
время нан поля, СОЗ)1аваемые самим зарядом, равны по величине и ПрОТlI
вополuжны по направлению и, тarшм образом, уничтожаются. Второс Bыpa
женио следует из формулы (2.13), тан нан IIЗl\ЮНОШЮ и по пы;швает ию\ю
нения энорпш caMoro заряда, а ВJIИJ10Т тольно па энерrию индуцированных
зарядов.
э 10. Решение уравнения Пуассона. Потонциал ТОЧ1Ш Р, созданныЙ
в вакууме зарядом ПJJOТНОСТИ р, находНщимся в объеме dv, СOl'ласно фор
муло (1.4), равен dV == р (41tEr) 1 dv, rдо r расстояние от объема dv до
точни Р. ТаНIIМ образ()м, ПОТОflIlпал в ТОЧНО Р, созданныЙ вссми зарядами,
f)yneT равен
V == \ р dv
р 41tE J r .
V
(3.28)
Но из ф()рl\lУЛЫ (3.6) следует, что этот потенциал удовлетворяет уравнеНlIlО
Пуассона
PV == i... . (3.2 )
Е
Тarшм образом. выраженио (3.2 ) нв;шотся решением уравненин (3.29).
Однако уравнение (3.29) МОЖllO решить непосредственно при помоши
тооремы raycca. Применим ее к оБJJасти v, занлючонн()Й :мсжду двумя
1ЮIЩОПТРИЧНЫМИ сферами с центрами н точне Р, одна из КОТQРЫХ мала
JI ИvICет поворхноrть С, а друrая, большая, имеет поверXIЮс.ть II радиус R.
Пусть фУШЩl1Я qr В еООТНОlUСJШИ (3.22) раппа r \ а Ф == V, тоrда
(" [ aV V ( )J dS+ \ [ aV V ( )J dS==
r дп дп r J l' дп дп r
о I
== [ PV VP ( ) ] dv.
v
(3.30)
РаСОЮТрИl\1 порвыЁ из этих JlНтсrрашш. На малоЙ
" ТС.ТIесныЙ yroJl, под ноторым пидсн ЭJJоиент dS
dQ == r 2 dS. Поэтому в силу 1юпечности иV I (jr
r ( aV d (" 1Id 41tY р.
) дт . T O
сфере д/дп == a/ar
из Т()ЧI\И Р, равон
(3.31)
Ес.т[и весь зари Д Q, создающий потонциал 7, расположсн в 1;:онсчноii:
пri..lасти, то при R 00 V Q (4r.:ER) 1 и на поперXIIOСТИ оСа члена
в подпнтеrральном пырзжонии стремятся 1{ Q (41tЕRЗ) 1, n т() пр(' 1Н нан
площа;J:Ъ поверхности равна 41tR2. Слодова ТСJlЫЮ, второЙ ин Terpa..l cтpe
5 В, СмаЙт
66
Fлава ///
мится Н нулIO нан Q (ER) l. ПОСНОЛЫl:У r l является решением урашюния
Лапласа (Pr l == U), то, учитьrnая уравнение (3.29), выражение (3.30) можно
переписать в виде
\ y2V 1 ) Р
41tV p == dv== dv
.. r €,"'
у 'у
(3.32)
ошуда оппть следует решение (3.28) уравнения (3.29).
11. Теорема единственности при наличии ДПЭЛСII:ТРИЧСClШХ срсд.
Если уравнение Лапласа имело бы неснолыю р.ешениЙ, удовлетворяющих
одипarювым rраничным условиям, то нужное решение пришлось бы выби:
рать путем эисперимента и от Bcei:i теории потенциала было бы очеIlЬ мало
ПОJ1ЬЗЫ. Пусть в нсиоторой оБJlaСТИ :ШД<iНЫ величины и положения всех
фИRсированпых ::IарЯДDЕ и известеп тзнже потенциал ПО всеЙ rранице обла
сти, за ИСI{лючепием, может быть, пеиuторых ЗaJ\ПНlутых ПРОВОДНЩИХ по
верхностей, на 1ЮТОРЫХ заданы полные заряды. Дон:ажем, что в этом cдy
чае потенциал V определен однозпачно. I1редполошим, что существуют дпа
значения V и I T " удов.петвuршощпе rраничным УСJIOВИЯМ Il урапнению JIап
ласа. Тоrда и разность их таиже ДОЛrюra удовлетворнть уравнепию Лапла
са, Т. е., соrласно фuрмуле (3.5),
V '[EV (V V')] =----U,
что справедлпво, таи 1{31{ фиисированные заряды выпадают. Полошим в co
ОТНОШ!с:НИl1 (3.19) Ф \1! == V V'. Соrласпо S 8, ИIlтеrралы 110 rрапице раз
дела двух ДИЭJIеlПРИ1ЮВ исчезают, если на rрапицах нет поверхностных за
рндов. Подстановиа дает
m
Е (V V') a j (V V') dS j == Е [V (V V')]2 dv.
j 1 Sj у
(3.33)
Те поверхностные интеrралы в левой части, н:оторые соответствуют' l'рапи
цам с заданным потенциалом, исчезают в силу Toro, что V == V' в наждоii
ТОЧ1I:е. Поверхности же с ззланным заРН!lОМ явлнются, ПО услuвию, пропо
днщими, Т. е. па ппх V и V' постонпны I1 I\Юl'УТ быть вынесены за анзк
интеrрировапия. Поэтому ДJIЯ s ii: поверхности имеем
(V.. V ) Е д .. (V.. V ) dS.. == (V$ V ) (Q, Q ).
а..
П() предположсшпо, ПОЛIIыii зарнд на этоЙ поверхности фИl{снрсшаrr, T<i1{
что Qs Q == о и всн левая часть выражения (3.33) обращается в IIУ Ь,
ПОСНОЛЫl:У подинтеrралыюе выражение справа псоrда пол ожительпо , то
величина V (V V') всюду должна быть равпа нулю. Таиим образом, раз
ность V V' доллша быть постоннноii, но на l'рашще она равна пулю,
значит она равна нулю во всей области. Теорема доназана.
s 12. Внесен не IIoBoro проводНlНШ. Дсшажем, что еСJIИ при внесеНПIl
неаарнженпоrо пли зазеМЛGпноrо проводника в ЭJJCII:тричесиос поле, создап
ное неl{ОТОРОЙ системоЙ зарнженных прr;воднИlЮВ, величины зарядов всех
проводпиков остаются неизменными, то энорrия системы уменьшается. Of)()
значим энерrию поли в начаJIЬНОМ СUСТ()ЯНIIИ череа ТУ, напрнженность поля
через Е, а объем через у. Те же веJIИЧИНЫ после внесений проводнина
Общие теоремы
67
обозначим через HТI, Е', v'. Тurда имеем
Н' IР == Е2 dv Е'2 dv ==
у у'
; E 2 dv+ [(Е Е')2 2Е'.(Е' Б)]dv.
v v' v'
(3.34)
Подставляя теперь в соотношение (3.21) ЧJ' == V' и Ф == V V' п ПOl\ШЯ.
что во всем объеме у2ф == О, получим
ш
r VV'. V (V V') dv == \' Е'. (Е Е') dv == \' V' ( aV V' ' ) dS. ==
) iJпj anj }
v у } 1 Sj
'1n т.
== : Vj \ (a Ci')dSI== S 1f;(Qj Qj)==t),
j 1 Sj jl
тю{ НЮ{ Qj == Q j' Таним образом, lJТopoii ЧJleН в ПОСJlCднем ИНТCl'раJЮ (3.34)
равен нулю и, следонапшьно, y W' является величиноli положительной.
ПОС1ЮЛЬНУ при за;lеJlшении lIикarшй работы не совершается, то любое' возни
каlOщее при этом перераспределение зарндов должно ПРОИСХОДИТL за счет
электричеС1юrо поля и вызывать уменьшение e1'o энерrl1И.
13. Эюшвалентным. слuЙ rрина. Обозначим через V р потенциал
в ТОЧ1Ш Р. находящейся вне заминутой поверхности S, созданный зарядом,
распред<шеШfLlМ с ПЛОТIIОСТЫО Р (х, у, z) в объеме v, Ol'раНllченном этой П()
l3еРХIIО('ТЫ( S. Положим н соотношенrш (3.22) qr == r 1 и Ф == V, 1'Ю{ что,
соrлаr.по фОРl\1уле (3.6), V 2 ф == Р/8. ПС1ЮЛLЗУЯ формулу (1.8), l1Cшучаем
\ 1 дТТ , \ т iJ ( 1 ) 1 р dv
dS 1. dS== == 4Т;Vl'
r дп дп r е r '
s.s v
(3.35)
l'де r расстопние от ТОЧН:l1 Р до объема dv. Отсюда видно, что lIUПШ
циал V р в точне Р можно выразить либо в впде объеМНU1'О ПНТCl'рала от
плотности заряда 13 объеме v, J1ибо в виде двух интеrраJlOП по поверхности
S, Ol'РЮIичивающей объем v. Сравнение соотношения (3.35) с (1.8) и (1.30)
IIOIШЗЫВН()Т, что r T р пе ИЗJlЮIlИТ('Я, еСJШ убрать объемный зарЯД р и заме
нить ero ПОНI:)РХ/ЮСТIIЫМ слоем, совпадающим с S 11 нt)еУЩI1М заряд
8(aVJdп) (на еДИIIIЩУ поверхиоети) и, проме '1'01'0, НGIЮl'Ор(Ю распрсдслCllИС
ДИ1юлей с моментом EV (на единицу площади), ориеПТИРОЕЮlIlLlХ вдоль
liщ'шш li нормали н S.
Пусть S совпадает со экшшотепциаЛLIIОЙ поверхностью. Тоrда в eO()T
ветствии с фОрМУJIОЙ (3.2), выпося V за знан lIНТОJ'рала, второму I1HTerpa
лу мошно придать вид
V \ п. V ( : ) dS == V \ V 2 ( ) dv.
S v
Таи H31( 1., r явлнется поте1Щ1ШJJо r точеЧIЮl'О заряда 411:8, находящеl'UСЯ
в точне Р, то ИИ'fеrраJI (3.36) равен нушо, И, следователыlO, внутри v
V 2 (1/r) == О. в этом случае двойнOl'О (Jtиштьноrо) слоя не требуеТСJl. Следо
ватедьно, любой участOI{ энвипотенцпалыюй поверхности в элентричеС1ЮМ
поле можно заменить очень тонним незаряженным проводящим листом, тю{
1ЩИ последний можно рассматривать 1ШН две бесконечно близние ЭНВlшотен
циальные поверхности. Чтобы потенциал V р остался неизменным, эти
5*'
(3.36)
68
l'ласа 111
поверхности, нан ВИДIIО из соотношении (3.35), до;;:rжны иметь па внешних
своих сторонах равные по величине и противоположные пи знану ПJIOТНОСТll
зарядов.
s 14. Эllсрrия ДlПше1{тричеС1юrо тела в эле1{трИЧСCIЮl\l поле. Из пре
дыдущеrо параrрафа следует, чтu силы, действующие на неподвпжнью
пнешние заряды со стороны заданноrо объемноrо распределения или энви
валентноrо ему поворхностноrо слоя, одинановы. По занону Ньютона спра
педливо и обратное утверждение. Это упрощает вычисление работы, COBep
шаемой при перемещении незаряженноrо диэлентричесноrо тела II поле,
созданном неподвиЖНЫМИ источнинами в среде с проницаемостью 80' Если
слой ШIOсится В уже полностью сформированное поле, то энорrия элемен
та повеРХНОСТII dS n этом поле определяется выражением (1.14) с учетом
результатов 7 rл. 1, а именно:
dW 0== [oV + (т. V) V] dS,
(3:37)
еде о плотность заряда, т плотность дипольноrо момента, а V потен
циал, созданный внешними неПОДВИЖНЫl\IИ зарядами. Поляризация диэлен
ТРИ1Ш, а СJlедовательно, и величины о и т эквивалентноrо слоя пропор
циональны в этом случае наПРfiженности внешнеrо поля; они создаются
этим полем и равны нулю при ero отсутствии. Поэтому ПОJIная работа co
ставляет половину той, ноторая дается выражением (3.37). Подстаплпя зrта
чения о и т, прпЕеденныс в 13, и интеrрируя по поверхности слоп, по
J1УЧИМ
W== 80 ( Vn.VVo+Von.VV)dS.
s
(3.38)
еде V о результирующий потенциал на внешней стороне ЭНЕивалентноrо
слоя или поверхности ДИЭЛОНТр1ша. Соrласно условиям (1.48) и (1.49), по
тerщиал на внутренней стороне слоя связан с V u соотношениями
VC==V i И 8 o Ii,VV o ==Ell'VV;,
l'де 8 диэ.пектричесн:ая проницаемость тела. ПодставшlН сuотношения
II (3.38) и ПРИlvrенян теорему Остроrраденоrо raycca (3.2), получим
W== (80Vin.VV 8Vn.VVi)dS (80 E)VV,VVidV,
s v
(3.39)
(3.39)
(3.40)
пбо V 2 V V2V i == О. Пусть напряженность эле1причеL'1{оrо поли, созданаемоrо
пеноторым фиксированным распределением зарядuв в объеме v однородной
изотропной среды с проницаемостью 80' равпа Е, а Е; . напряженность поля
в этом же объеме, заполненном однородным изотропным диэле1ПРИНОМ 8.
Тоrда разность энерrип равна
w == (80 E)E.E; dv.
v
(3.41 )
Момент или СIIла, действующие па тело н направлении О, равны
aw
F== .
дО
(3.42)
s 15. Изменение эле1{тричеCIЮИ энерrии системы при увеличении
диэлеI{тричеСIЮИ ПРOllИцаемости. Если заряды на проводюшах, создаю
щие электрическое поле, сохраняютси постоянными, то при уве:Н1чении
Общие теоремы
69
диэлer{тричеt:RОЙ проницаемости n 1ШRой либо точне среды энерrия все!1
системы уменьшается. Чтобы дон:азать это, введем следующие обозначения:.
W энерrия системы, Qj заряд па j M проводюше, р объемная плотность
заряда, V ПОТСНЦИШI про изволь ноЙ ТОЧ1Ш 11 8 диэлerаричесная проницае
мость. Предположим, что при изменении 8 Qj И Р остаются ПОСТОЯШ1Ыl\Ш,
а V и W меняются. Tor)\a
W == 8Е2 dv == 8 (VV)2 dv,
v v
ЫУ == 08 (VV)2 dv + 8VV' V (oV) dv.
v v
Замеиим в соотношении (3.19)\]J'Ha oV и Фн<i. V, подставим V'(8VV)== p
и предположим, что rраницы раздела различных диэлентринов незаряжены
(соответствующие им поверхностные интеrралы обращаЮТСfI в нуль)
(3.43)
m
8V(oV).VVdv== oV8 . dSj+ oVpdv==
v j 1 Sj J v
m
== oV j о dS j + oVpdv,,,,,
j 1 Sj v .
m
== Qj oV J + о V р dv == 20 W,
j 1 v
потому что
m
W == QjV j + pV dv.
j 1 v
ПодстаВЛfIfI результат в соотношение (3.43) и перенося 20W n левую часть,
находим
oW == 08 (\iV)2 dv.
(3.44)
v
Таюш образом, OW отрицательно при положительном OS.
э 16. Потснциал ar{сиаЛЬНО СИМl\fСТРИЧ1IOrо полн. Путем пепосред
стnенной подстаНОВRИ в уравнение (3.18) и проведении соответствующю-о
интеrpировапил по частям можно убедитьсн, что если 8 постояиная велн
чина и потенциал V не зависит от уrла ер, уравнение Лапласа имеет сло
дующее решение:
2'1<
V(z, P)== 2 Ф(z+jрsiпО)dО,
о
rде Ф (z) деiiствителыщя ФУНRЦИЯ z. Разложение этоii ФУШЩIlП в ряд
Тейлора (см. Двайт, 39) имеет вид
Ф (z, р) == ф (z) + ф' (z) jp sin О + (2!) 1 ф" (z) ир sin О)2 + . .. (3.46)
Подставляя ряд ( .46) в выражение (3.45) и интеrрируя от О до 2.., полу
чим
(3.45)
(х)
( 1)Пд2Пф(z)
V (z, р) == (п!)2 az 2n
,, o
( ) 2n
2 .
(3.47)
70
rлава 111
Отсюда видно, что V (z, О) совпадает с Ф (z). При отсутствии зарядов на оси
решение (3.47) лает значение V, однозначное во всех точнах, не отделенных
от оси заряженной поверхностью.
ЗАДАЧИ
J. I10Ш13ать, что I'омпопеТIТЫ ротора в цилиндричеСIЮЙ систеые ноординат равны
1 аА. аА",
rot. А == ,
р Р д'l' д:;;
аАр аА ,
rot'l'A== ap ,
rot z A [ а (pA'I') аАр ]
р др д,!,
2. Пшшзать, что Rо:\ШОIЮНТЫ ротора в сферичесной системе Rоординат равны
[ a(Sin!JA'I')
rot r A " sin О a!J
аАв ]
а'l' '
1 [ aA r . О а (rA'I') ]
rot o A== a ып. Jr '
. r ЫП u 'f
rot A== [ (а r. aA r ] .
'1' r Jr д!)
: . Поназать, что ДШI эллипеоидалыюй епетемы Rоординат (ем. 2 rл. V) ноэф
ФШlиенты 111> h 2 , h3 В выраЖРНИII (3.10) можно записать в видР
Ml ==(иl и2) (иl из) п1> 4l1 ==(U2 из) (и2 иl) п 2 , 4h ==(иЗ Ul) (иЗ U2) D з ,
rде
Dj, 2, 3 == [(a 2 +ut, 2, з)(ЬЧ иt, 2, з)(с 2 +и j , 2, з.)] l,
приче:\l с> Ь > 0., Ь2 < и 2 < a2, a2 < иl < СО. О чаетных случаях еПJ1Iоснутоrо
1'1 вытянутоrо сфероидов см. Э 28 и 29 rл. V.
4. Пусть три cCMeiicTBll ()ртоrональных поверхностеii заданы I'онцентричееRИМИ сфе
]lа!\1И и ==х 2 +- y2+Z2 и двумн сuмеiiствами I'OllYCon: x2и +у2 (и Ь2) 1 +Z2(и C2) 1 == о
и х2из-2 +у2 (u. b2) 1+Z2 (и c2) 1==0. ПОRазать, что
111 ==1, 11 ==и (u и ) [(и b2) (с2 иШ 1
.и
11 ==и)! (и uЮ [(Ь2 и ) (с2 иШ 1.
5. Три ceMeiieTBa ортоrональных понерхноетей выражаются ураШJCПИIJМИ: х 2 c 2 и 1 2 +
+ y2c 2 (ui 1) 1== 1, x2c 2и22 y2c 2 (1 и ) 1== 1 И z==из. Поназать, что
11 ==c2 (ui иЮ (иj! 1) \
11 == с 2 (и)! uЮ (1 и ) l И 113 == 1.
6: ПOIшзать, что еелИ ортоrональнью поверхности задзны уравпенинми у2 == 4сиl х +
+4C211i, у2== 4Cll2x+4c2и и z==из, то
11 == иi 1 (и 1 + и2)' 11 == 1121 (и 1 + и2)' h з == 1.
7. Поназать, что еслп еем<,йетво ортоrопалыlхx поверхностей 3ЩЩIIО ураВlIеНИЯМJI
Z==C(Ul и2), х2+у2==4с2иlи2 И у==хtguз, то
h1==c["иil(1l1+U2)]1f2, h 2 ==c[и2"I(U 1 +и2)]1f2 И hз 2С(Ulи2)If2.
8. ДОRазатЬ, что в елучае, Horna ОРТОJ'ональные поверхности з:щаиы уравненитш
{x2+y2)1f2==cshltl(chltl eo"и2) 1, у==хt,gиз II z==csinи2(ehиl eosu2) I, I{ОЭффIl
Литература
71
циенты равны
h 1 == о (с h иI cos и2) "
Ь'2 == h 1 И 113 == О sh и} (сЬ и 1 eos и2) 1.
Эта система Iюордипат известна под Нi\звзпием 'rороидальноii. uртоrtшнлыlеe повер)(
ности представляют ('обой тороиды, сферы и ПЛОСIЮСТИ.
9. Доннзать, что для ортоrональных поверхностей, заданных уравнеНИЯМJl
(х2+ у2)1/2 == О sin и2 (еЬ и 1 еОБ и2) " у== х tg из, Z.== С sh и 1 (еЬ и 1 eoS и2) 1, JЮЭффlI
циенты равны
h 1 О (еЬ U 1 eos и2) " 112 == h 1 И h3 С sin и2 (сЬ иl cos и2) 1.
Это БJIПОЛПрНЬЮ ноординаты, тан ню{ еели rl и r2 neJ{TOpbl, направленные 113 точни Р
В ТОЧIШ z==+o п z== o, то и 1 ==ln(r 2 ri 1 ) и 1:()Sи2==(rl.r2)rilr21.
10*. YCTЬ относительная диэлентричесная пронпцаемоеть среды мепяется по за
нону e rla, rде r раестояние от ненотоrой финсирошшной ТОЧJШ. Требуетея убедитьея
13 том, что решеиием диффереПIlиальноrо ур:щнения для потенциала будет фУПIЩИЯ
a2r 2 [e rla 1 ra 1 r2 (2a2) 1] cos 6.
Найти потенциал впутри диэлентричесноrо тара, помещенноrо в однородное поле при
уелошш, что ДJтэдентричесюlН пронипаемоеть шара J1влнеТСJ1 вышеуназанной функцией
раеетояния от центра.
11*. Пусть в элентричееном поле, созданпом еиетемой проводнинов е заданными
потенциалами, диэлентричееная проницаемость среды € произвольным образом измеНlf
лаеь, по таЕ, что в любой ТОЧКf) среды веJIичина € по нрайней мере не уменьшилаеь,
и ее изменении были всюду IvШJIЫ. Доназать, что эперrия поля при этом возр()('ла.
12. Найти уелопие, при ,{отороы из семейства двухмерных энвипотенциальпых
линий V 2 f (z, у) можно путем вращения BOKpyr оси z обl'азонать семейство энви
потенциальных поверхноетей. Поназать, что ееJIИ это возмолшо, выражение для потен
циала будет Юlеть вид
f A (' e SF(V2)dV2dV2 + B, rде F ( V ) == 1 av 2 .
\ 2 У (VV 2 )2 ау
ЛИТЕРАТУРА
А Ь r а h а m М., В е е k е r R., Klassisehe ElеktrizШit uшl Magnetismus, Ber1in,
1932. (См. перевод: А б Р а r а м М., Б е R I{ е р Р., Теория элеJ{тричества,
2 e изд., М. Л., 1939.)
G с i g е r S с h е е 1, Handbuch der Physik, Bd. III and ХЧ, BerIin, 1927, 1928.
J е а n 5 J. Н., ТЬе Mathematieal Theory of Electrieity and Magnetism, Cambridge, 1925.
М а s о n !l1., "V е а v е r \У., ТЬе Eleetromagnetic Field, University of Chicago Press,
1929.
М ах w е 11 J. С., Юееtriеitу and Magnetism, у. 1, Uxford, 1881.
Ре i r с е В. О., Newtonian Potential }<'unetion, Ginn, 1902.
Р 1 а n с k М. К. Е. L., Theorie der Eleetrizitiit tшd Magnetismus, BerIin, 1932.
R а m s е у А. Б., EleetI-iсitу and Magnetism, Cambridge, 1937.
S t r а t t о n J. А., EleetI'omagnetie Тhешу, McGraw Hill, 1941. (См. перевод: С т р э T
Т О Н ДЖ. А., Теория элеRтромаrнеТИ3lvlа, М. Л., 1948.)
\У е Ь s t е r А. G., Eleetricity and Magnetism, Maemillan, 1897.
\У i е n Н а r m s, Handbuch der Experiment,alphysik, Hd. Х, I eipzig, 1930.
r л а в а IV
ДВ YX IEP НОЕ' РАСПРЕДЕЛ ЕПИЕ ПОТЕlJ Ц ИАЛА
1. ДBYX ICPllЫC ПОЛЯ И потеllциа.пы. Задача о нахождении IIОТОIIциа;ш
называетсп двух юрной TorlIa, KorlIa ВСС ::швипоте1JЦиальные поворхности
в поло цилиндричоснио, т. е. все они MorYT быть образованы путем пере
мещенrш бесконечной прямой линии параллельно нен:оторой фиксированной
линии. Под единичным зарядом в этом случае мы будем понимать линей
ный заРЯ,j., равномерно распределенный вдоль неноторой оси и равный но
величине одному кулону на метр. Нан уже было показано [см. формулу
(2.7)], напряженность поля, созданноrо линейным зарядом па расстоянии r
от Hero, в однородном изотропном диэлоктрине имеет лишь раl\иаЛЫ1УЮ co
ставлшощую, равную
E .
21t€r
(4.1)
Отсюда, ШJТCl'рЩJУЯ, получаем выражение длп потонциала
v lnr+C.
. "о1t6
(4.2)
Ясно, что теперь ужо нельзя положить потенциал равным нулю на беск()
не lНОСТИ, так как это приведет к беС1юнечному значению постоянноЙ С.
Нан праШIJJО, мы будем выбирать значения С тю , чтобы по возможности
упростить вычисления.
СТРО1'0 I'ОВUрЯ, задача о двухморных элентростатических полях пе MO
жет возпин:нуть u деЙствительности, тан нан все ПIJОВОl\IlИIП1 имеют конеч
пью размеры. Однако существует очень lIIО1'О важных задач о нахождении
поля n СИt;теl\Ю параллельных цилиндрических ПрОЕОДПШЮВ, длина ноторых
значительно lIревышает расстояния между ними, тю{ что вдали от нраев,
l'де нраепью эффш{ты сказьшаютсн несущеетвенно, такую задачу можно
трантовать нан двухмерную.
2. I{руrовые I'аР ЮIIИI'". Термин «rаРМОНIша» в наиболее общем
смысле этOl'О t;J!OBa употребляется по отношению н любому реПЮIlIIЮ ypaB
венин Лапласа. Обычно. однако, cro примепиют н более узн()му классу
решениЙ, имешю н тан:им решениям, 1юторые можно в опродеЛ 1ШЫХ IЮОр
динаТIJЫХ \;истемах записать в ВИJ1:е произведевия трех фупкций, каждан
из 1ШТОРЫХ зависит только от одной координаты. Решение задачи, удовле
творюощее задаПllЫl\l rраничным условиям, образуется путем суммирования
HOHOTOpOl'O числа таних rармонин:, ЕЗЯТЫХ с надлежащими коэффициентами.
В обычпых цилиндрическиХ коордпнатах, описarшых в 6 rл. III, ци
ЛIпщричееюю l'арl\IОПIШИ записьшаютсн n виде
V == R (р) ф (9) z (z).
(4.3)
13 частнт.! случае, 1{oI'I a фУНI ция Z (z) постоянная величина, задача CBO
ДИТСЯ к двухморноЙ И l'аРМОПИ1Ш назьшаЮ1СЯ I{руl'ОВЫl\lИ. В дадьнейшом
- Двух.ltерное распреаеление поmРНЦZlQла
7.1
!ИЫ будем шюстu р употреБЛilТЬ r, а вместо q;> употреблять В. Н этих обозпаче
НIIНХ уравнение Лапласа (3.18) длн однородной изотропноЙ ;J,иэлентричесн:оЙ
среды, если 01'0 умпоп;;ить на 1.2, примет вид
а ( av ) a2v
r Br r Br + д0 2 == О.
БУ.J:ем: искать е1'0 решении в виде
(4.4)
V ==н (r) (В).
(4.5)
Подставш1П решение (4.5) в урапнение (4.4), получим
1 ( aR ац, ) 1 а2(1
R r ar + r 2 ar2 + е а0 2 == О.
Очевидно, что этому урашюнию удовлетворяют решения следующих ypaB
непий:
d2EJ п 2А (4.6)
d0 2 ,
d 2 R 1 dR 2 R
d,,2 + r dr == п ?i"' (4. 7}
Травнение (4.6) нвлнется уравпением rаРМОНIIчеСКIJrо осци,:шяторэ.; 01'0 pe
шением будет
8 == А cos пВ + В sin пВ.
(4.8}
Леrrю убедиться, что решением уравнения (4.7) при п -=1=- О является фУ1П{
ция
R ==C1'n+Dr 'I1,
(4.9)
а при п == О
8==АО+В,
л==с ln r+D.
(4.1 О)
(4.11 )
Число п называется показателем rармоники. l{pyroBbJe rар:монин:п бывают
с П()RаЗi1телем, раВНЫ:.\1 нулю,
V == (А.О +В) (С ln r + D),
(4.12)
и с ПОRазателем, ОТЛИЧНЬВl от нупн,
V == (А cos пО + в sin пО) (Cr n + п1' 'I1).
(4:13)
Сумыа тан:их rаР:МОНJIП:, взнтых с различными IIПIOШJlтеЛШ\Л1 ДJШ наждоrо lI,
пли IIнтеrрал по п тоже, очеШIДIlU, ЯВJIЯются реШШ1ием уравнения (4.4)
v== в'l1Rn и.;п1 V== f(n)t1nRndn.
n
(4:14)
Следует замеп!ть, '1TO мы не ПaJшадываЛII НIшаких оrраНIIчеппii па зпач('
нпе п.
Если для любых ::шачениii О при п целых чис.:raх, имест место равенство
] (AncosnB+BnsinnB)== L (CncosnB +Dnsin пО), (4.15)
ТО из НО1'О вытен:ает, что
Аn==С n и Bn==Dn
(4.16)
74
r лава IV
Чтобы доказать это утверждение, необходимо помножить правую и левую
части равенства (4.15) на cos т6., а затем проинтсrрировать в пределах от
ЛО 21:, что даст
2" 2"
(А п cos пВ cos тО dO + В п sin пВ C,f)S тО dB ) ==
о . о
2" 2"
== ( Сп cos пО cos тО d6 + п п sin пО cos тО dB ) .
о u
Все ЧJJены, для которых mi= п, равны нушо (см. Два:iiт, стр. 445 и 465).
При т == п (см. Дпайт, 450.1'1 и 858.4) мы имеем
1 1
'2 ",А п == 2" тrC T ,.
При шшощи аналоrичной процедуры, используя толыш sin тВ, леrко ДOHa
зать, что В п == п п .
s 3. IIредставл р ние потенциала поля ЛlшейнOl'О заряда в виде ряда
по rаРМОНИIШМ. При использовании нруrовых rармонин часто бывает
необходимо иметь разложение потенциала поля
R линейноrо заряда, ноординаты HOToporo мы
r 1;, g обозначпм через ro, В(). Пусть R расстояние
О о {}, между линейным зарядом q и точной Р (фиr. 23).
о Tor.'1a , ПОЛaI'ая в выражении (4.2) постоянную С
равнои нулю, для потенциала V в точке Р
Фие. 23. имеем
47tEN == 2q ln R == q ln [r2 + r 2rro cos (О 00)] ==
== 2q ln r q ln [ 1 :0 e j (в вo) ] [ 1 :0 e j (e eo) ]
При ro < r (Два:iiт, 601) получаем
2q ln r+ q f.!:!!. [e j (B Bo)+e j(B eo)] + ( ) 2 [ej2(D eo)+rj2 (e oo)]+. .. } ==
L r 2 r
== 2q [ln r o cos (О во) ( o у cos 2 (О (0) . .. ] .
JIерепишем это в виде суммы, разложив cos п (В Во) (см. Двайт, 401.04),
тш'да
""
v == 2;8 [ ( o J (cos пВо cos пО + SiH пО о si n пО) ln r ] .
п l
(4.17)
Это справедливо для l' > ro' Соответствующее выражение для l' < ro можно
получить из (4.17), если в нем поменять местами r и ro, а именно:
со
V == 2 e [ ( ;0 )п (cos пВо cos пВ + sin пВо sin пВ) ln ro]
п 1
(4.18)
.:JTO И есть ис,номые нами разложения.
s 4. Проводящий или диэлеI,трический цилиндр в однородном поле.
Н 1шчестве примера, в нотором используются rря.ничные условия на поверх
ности металла и на rраниц!:! раздела двух диэлектринов, рассмотрим задачу
.() беС1юнечном проподящем цилиндре радиуса а, ПОНРЫТОМ CJIOeM диэлентрина
ДвУХ.ltерное распределеuие потеuциала
7:'.
а -< r -< Ь с отпосительноii проницаеиостыо К и помещенном в однородное
элентричесное поле Е, перш'нд:rшу.лярное н оси цплиндра. Потенциал этоrо
первоначальноrо поля вне цилиндра можно представить в виде
V == Ех == Er cos В.
Потенциал, обусловленныii индуцированными зарядами в цилиндре, должен
IIсчевать на бесяонечности, поэтому выражепие для Hero не может содержать
членов типа r n . Нроме Toro, ПОС1ШЛЬНУ этот потенциал должен быть сим
метричным относительно оси х, в выражении отt;уТСТВУЮТ члены, содержа
щие sin пВ. ТаЮIМ образом, окончательное выражеIПЮ для потенциала впе
l1илиндра должно иметь вид
со
V(j==ErcosB+ Anr ncosne.
п l
(4.19)
IIотенциал ПО.ля внутри ДI1ЭЛeIпричеСНОl'О слоя танже не может содержать
ЧJ1енов вида sin па, Йо члены ,.п И r n МOJ'ут в НШ'О входить, тан нан зна
чения r == U и r == 00 JIaХОДfIТСЯ вне пределов этоrо слоя
.
со
V о == (Bnr " + Cr,r п) cos пО.
,, 1
(4.20,
Если начало ноординат выбрано на оси цилиндра, то потенциал проводпина
V == о. Таним обравом, мы нашли rешення уравнения Лапласа, удовлетво
ршощие УСJ10ВИЯМ на беснонечности и опладающие симметрией относительно
оси х. Теперь необходимо удовлеТЕОРПТЬ rраничным условиям на поверх
ности металла и на rранице раздела двух l1иэлентринов, что позволит опре-
делить н:оэффициенты А", В п и Сп' rраничпыми условиями пrII r == Ь, СОl'ласно
соотношениям (1.48) и (1.49), будут
.
aV o av;
Ev 7ir" == Е 7ir"
или
aV o ==К aVi
ar ar
и
V O '== V i .
(4.21)
Подстановна выражений (4.19) и (4.20) в урапнение (4.21) дает
Е cos 6 пAпb п l cos пВ ==К п (Bпbп 1 Cnb nr-l) cos пВ,
ЕЬ cos О + Aпb п cos пО == (ВпЬ п + Cпb п) cos пВ.
Для п =/=: 1 ив соотнопюпий (4.16) мы имеем
Aпb п l == КВпЬ ТН KCпb п \
Aпb п == ВпЬ п + Cпb п.
(4.22)
(4.23)
На поверхности проводнина r==a, V i == О, поэтому
0== В,.,а" + Cпa ".
'мпожая уравнение (4.22) на Ь и снладыпая с (4.23), получаем
(К + 1) В п == (К 1) Cпb 2п.
(4.24)
(4.25)
Системе уравнениii (4.24) и (4.25) можно удовлетворить, либо ПОЛaI'ая
В п == Сп О, либо (К + 1)/(K 1)== (a/b)2п. Последнее, однано, невозможно
n силу НGзависимости величин К и а. Поэтому, учитывая первое COOTHO
шение и подстаВJIЯЯ ero в уравнение (4.23), имеем
А п == В п ==С п ==0.
(4.26)
76
r лава IV
Для п == 1 вместо уравнений (4.22) (4.24) получаем
Е Alb 2== KBl KClb 2,
Е + Alb 2 == Bl + Clb 2,
0== Bla + Cla l.
Решая эти урашюнип относительно A l , В 1 И C 1 , имее;v!
А Eb 2 (K+1)a2+(K 1)b2
l (K+1)b2+(K 1)a2'
2ЕЬ 2
Bl == (К +1) b2+(K 1) а 2 '
2Еа 2 Ь 2
C l == (К + 1) Ь 2 +(К 1) а 2 .
Следовательно, потенциалы (4.19) и (4.20) соответственно равпы
V o == (Er+ l ) cos6, V i ==( Blr+ l ) cos(J.
На фиr. 24,а пuназаны линии электрической индукции.
.
а
tf
Фие. 24.
(4.27}
(4.28)
ПО;Н:il'ая Б соотношеНllЯХ (4.27) К == 1, мы получим решение для метал
личеСIЮJ'О uилиндра радиуса а
Al == С 1 == Еа 2 , Bl == Е,
V о 0-== Е (r 2 ) cos 6.
Поле для этOI'О случая поназано на фиr. 24,6.
Решение для диэлеНТРИЧ€С1юrо цилиндра радиуса Ь получим, если
ПОЛОЖИl\I в сuотношениях (4.27) а == О
А к 1 Ь 9 Е В 2Е
1 == К + 1 ", 1 == К + l ' C l == О,
(' K 1 ) т
V (J == Е r К + 1 r cos б, V i == К + 1 r cos О.
(4.29)
( 4.30)
3а еТИJ\f, что внутри диэлентричесноrо цилиндра поле однородно. ЛИПИlI
ИНДУ1ЩИII изображены на фиr. 25 для К == 5.
s 5. Ди:теI{тричеClШЙ цилиндр. Метод изображений. Рассмотрим
теперь, нан влияет диэлентрич сний цилиндр радиуса а на поле линейноrо
Двух_иерное распределеuие потенциала
77
заряда q, раС1IOложепнurо в точке r == ь, в == о (см. фиr. 26). Потенциал,
обусловленный самим линеlIНЫМ зарядом, определяется по формуле (4.18),
в которой нужно положить ro ==: Ь, в о == О. к нему необходимо добавить
потенциал, обусловлеНllЫII поляризацией диэлектрика. Этот потенциал должен
исчезать на бесконечности и быть симметричным относительно осн х. Таким
р
х
q
Фие. 25. Фие. 26.
образом, полный потепциал в области а < l' < Ь равон
ro
V O == 2:E V { [ ( )" + J cos nO lnb+Cl}
,, 1
(4.31)
Тю{ как потенциал внутри цилиндра остается I\онечным при l' == U II сим
метричным относительно оси х, ero можно представить в виде
ro
V i == 2:Е ь ( B"rn cos пО + С 2 ) .
,, 1
(4.32)
ПО:Iarая V 0== V i при r == а, получим
( !!.. ) n + An ==a"B С 1 Ь С
п Ь а" "и /2 == n + 1"
Н:роме TOl'O, ev(aVo/ar) == е (aV;jar) при r==a или (дVо/дr)==[(дVjдl"), что
дает
(4.33)
an 1 п А К "' l B
а n + 1 п== пап.
(4.34)
Решпм уравнения (4.33) и (4.34) ОТПОСИТО;'1ьно Аn 11 Н п :
1 K а 2 "
А" == 1+К пЬ" ,
2
В" == (1+К) пЬ'"
Итar<, для потенциала вне цилиндра имеем
ro
q { 1 [ ( r ) " 1 К ( а2 ) " 1 J }
V O == 21tE v LJп Ь + l+К ь rn cosn(J lnb+Cl ,(4.35)
,, 1
и внутри цилиндра
со
V. == q
" 1tEv (1 +К)
'" 1 ( r ) " q'
LJ п ь cosn(j 21tEv (lnlJ CI)'
( 4.36)
,, 1
ЕСШ1 теперь положить
1 K 1 l K
CJ==O== 1+K n1'+ 1+K lnr,
78
r лава /V
то выражение (4.35) в точности совпадает с формулами раЗJIожения HOTelI
циала (4.17) и (4.18), создаваемоrо тремя линейными зарядами, расположеIl
ными на оси х: зарядuм q' в точне х == а 2 j Ь, зарядом q' в точне х == О
и зарядом q в точне х == Ь. Точно тан же потенциал (4.36) совпадает с потен
циалом линейноrо заряда q", расположеннurо в точне х == Ь, причем
, 1 K
q == 1+K q
и
" 2
q == l+К q.
(4.37)
Таним образом, незаршшJННЫЙ диэлентри'шl'НИЙ цилиндр радиуса а,
помещf'ННЫЙ на расстоянии Ь от параллельноrо ero оси линеиноrо заряда q,
по своему действию на поле вне цилиндра ЭНEIшалентен двум параЛJЮЛЬНЫIН
оси линейным зарядам, один из ноторых ( q') распределен вдоль ОС1l
цилиндра, а ДРУJ'ОЙ (q') находится между линейным зарядом q и осью
П1шиндра па расстоянии a 2 jb от последней. Этот заряд q' можно paCCMa
тривать нан «изображение}) заряда q в ЩJJJИНJ!ре радиуса а. ПотенциаJl
внутри цилиндра с точностыo ди постоянноЙ совпадает с потенциалом пола
в uтсутствие цилиндра при замене линеиноrо заряда q на q". Неноторые
авторы в числителе вырюнешш IJ,ЛЯ q" вместо 2 етавят 2К. Тоrда пuтен
циал внутри цилиндра нужнu ВЫЧИСJШТЬ нан потенuпал липейнOl'О заряда q"
n однородном пространстве, заполненном диэлеНТРJШОМ е uроницаемостыо К.
Отсюда следует, что при внесении J[иэлентрпчесн:Ol'О ЦИ. ИIlдра в Jпобое
элен:тричесн:ое поле, созданное JlIобым ДПУХМР!НIЫМ распределением JшнеЙ
ных зарядов, параллельных оси 1ЦШИIfдра, струн:тура ЭТOJ'О поля ВНУТРИ
цилиндра не меняется, а папрншенrюсть пuш! уменьшается в 2f(K + 1) pa 1.
ПрОJЗодящем ЦИШlllдре. Нз соотношсшш (1.51)
СlJJЮВЬШ ЛИНIJП ПоДХОДЯТ НlIрма.пьно н ШJНерх
ности ДИЭJ1CI{трина, что явпяется l'рarПIЧПЫl\1
условием на поверхнuсти ПрОВ<JIшин:а. II()
этому ЗaIШП изоБРЮJ,ения n проводящем lIе:ш
ряженном цилиндре мтнно получить, нош)
жин В формуле (4.37) J( со; это даст
ч' == q. Тarшм образом, если линейный за
ряд q раСППJlошен пара.плеJJЫЮ оси псза
ршнеIlнurо lJрr,водящCJ'О ЦНШlНдра радиуса
а па раСС10ШIIШ Ь от нее, то допо:]питеJjh
" ный потеllциаJ! вне цишпщра, обусловлеIJ -
пыи прнсутствием цилиндра, СOIшадаf'Т с потенциалом поля, создаваемOJ'()
ДВУМЯ параллельными линейными зарядами, один из ноторых равен q и
раепределеп BДo.тJЬ оси, а друrой равен q и находитен между JJIIIЮЙПЫl\f
:зарядом q и осью на расстuянии а 2 /Ь от последней.
Нан это поназано на фиr. 27, J-(. IЯ опредслеН1ПI ПОJIOЖCJ-ШН изuбраже
ния необходимо из точни q провести насате.пьную н ДИ;:ЩСI\тричесному ИJIИ
проподнщему цилиндру. TorJra перпендину.пяр, опущенпыii нз точнп RaCiJ
пия на линию qq', пересечет пuследнюю в исномоЙ точне q'.
6. Изобршкенис JЗ
следует, что ПJJИ К со
ь
Фuе. 27.
(1
,
I
, I
7. Изображение в ПЛОС1ЩЙ поверхности ИрОRОДlIика или дизлеl,
ТрИIШ. Пересш{зющисся ПРОВОДЯ1цие ПЛОCJЮС']'II. Устремим радиус ЦИJIИН
дра н беенопечности, сохрания постоянным раестонние d == Ь а между
линейным зарядом и 1юверхностью цилинлра. ТOI'да расстояние между изо
бражспием q' и этоЙ поверхностью будет
a a2b-l==ab 1 (b a)------,>d.
Таним образом, полученный нами зннон изображения мошно распро
-странить и па случай линеuнOl'О зарНllа, расположенноrо параллельно
Двух.мерnое расnределеuнс nоmенциала
79
плюсной поверхности полубеснонеЧIIОЙ ДИЭJIентричесной среды ИJIИ проводя
щей пластинни. Изображенный заряд раСПОJIaJ'ается на таном же расстоя
нии от поверхности, что и деiiствитеJIЬНЫЙ, но топьно по друrую сторону
от Нее. Для проводнина q' == q, ДJIЯ ДИЭJIeI,
трина q' и q" олредеJIЯЮТСЯ из выражения (4.37).
Из фиr. 28 очевидно, что две ПJIОСНОСТИ,
пересенающиеся в начаJIе ноординат под уrлом
"'1т, rne m цепое ЧИСJIU, будут ЯВJIЯТЬСЯ ЭIши
потенциальными ПJIUСНОСТЯМИ в по;;ю линейных
зарядов, параJIлельных JIИНИИ пересечения ШIO
еноетей и раСПОJIоженных на поверхности ЦlfЛИН
дра r == ru под уrJIами Во, 2тcт 1 + В(}, 4тcт 1 +
+ВП' ..., 2(т 1)7:т 1+B(1 (заряды +q) и
27:т 1 Вп, 4тcт 1 Во, .. ., 27: Во (заряды q).
+q
1',
I ,
q J ,
/', I '
I '_ '
I ,
I I
I I
+ЧХ(q
Фие.
s 8. Задача о ДИЭЛСI,тричеClЮМ клине. Уравнение (4.4) Ш.юет еще
одно решение, соответствующее ЗllачеНИJlМ п *' О. ДЛЯ полученин 01'0 не()бхо
l. имо в соотношенинх (4.6) (11.9) постоянную п заМOJII1ТЬ па jn. Топ!а
\>jn == А сЬ пВ + В sh пО,
Нn == Ci,2r:f:in== Ci,2 e:l: jn In т==с cos (пlп r) +Dsin (п ln р).
(4.38)
(4.39)
Это решение перИОДИЧJIО не по В, а по lп r, поэтому в IПIТCJ'рале и в риде
(4.14) взаимно ортоrонаЛЬНЫМII будут теперь ФУ1ШЦIШ НN, а пе 8n. Эти
П1РМОII1iliИ мuжно использовать при реше
нии задачи о ДIIэ.пентричесном НЛИ1Ш, orpa
ниченном двумя ПЛОСН:ОСТНМIl е == а. и
0== а., имеющем диэлснтричесную пропи
цаемость 82 и н ходящемся n ПОJIе JJШICi'r
Horo заряда q, раенределенноrо вдоль
линии В =-- 1, r == а в среДе е ДИЭJIенч)Иче
ен:ой проницаемоетью 81 (ем. фllr. 2Н). По
eHOJILHY в таной сиетеме отеутстпуют ци
липдричесние rраницы, на HoTopыx долж
вы иечсзать ЧJЮНЫ, еодержащие синусы
ИJIИ носипусы 1з решении (4.39), пельзн
Оl'рarfИЧИJШТЬО1 1\IJCI,ретными значеппЯ1VШ
п, а следует считать п меННlOЩIIМСН непрерывно, н поэтому решеП1Ю 3aj(аЧИ
dCHaTJэ по форме интеrрала (4.'14). ОбозпаЧШi пеличину (81 82)/(81 +82)
через J[ запишем потенциалы n виде
8,
q...
,
"
"' }'
а "
"
Е,
Lj
Фие. 2.').
"
со
V 1 == ('1 + ) [A(k) еМ+В (k) c hO ] cos [k 111 ( )] dk+ Со,
о
(4.4И)
со
V 2 === [C(k)eh8+D(k)e I'O] cos [kln( : ) ] dk+ СП'
о
(4.41)
со
V з === [Е (k) e hO + F (k) e llB] cos [ k 111 ( ) ] а" Со,
о
{'де V 1 относятся R оБJIасти а. < О < а., V2 H облаеП1 а. < е < 1 и VЗ .
1, ()бласти 1 < е < 27: а.. Пос.тоянную СО можно пыбрать тан, чтобы потен
циал V равнялся нулю в любоЙ задапноii точне. ЕСJIИ n начестпе таной
(4.42)
во r лава IV
ТОЧ1ПI IJыбрать точн:у r == а, (J == О, то постоянная СО будет равна величине
(х)
('1+ ) [A(k)+B(k)]dk.
о
ОН:РУЖНОС'I:L 1" == а проходит через точн:у q И является силовоЙ линиеЙ,
потому что всюду вдоль нее aV jar == И. Отсюда следует, что половина пол
Horo потон:а ИНДУ1ЩИИ приходится на ДОЛЮ силовых линиЙ, уходящих в бес
Jюнечность, ДРУl'ая же половина связана с силовыми линиями, ОRанчиваIO
1
щимися в точн:е r == О, rде, тан:им образом, находится заряд 2 q. По Teo
pe e об ИНТOl'ралах Фурье, если два из интеrралов вида (4.40) (4.42)
равны меЖ)1У собоЙ при любых значенияХ ln (rJa), то равны между собоЙ
н их ПОJ\ИНТOl'раЛЫIЫе Фунн:ции. Иснользуя rраничные условия (1.48) и (1.49)
lIрИ 0== а., после пен:оторых преобразованиЙ нодинтеrральных DыражениЙ
J\ЛЯ V 1 И V 2 получим
С == А+ e 2f'o В,
D === e2f'o. А + В.
(4.43)
Аналоrичпая процеJ\ура для V 1 при f.j == а. и для V 3 нри (J == 2.. а. дает
Е == (А + Be2ko.) c 2k r.;. F == ( Ae :2ho. + В) e 2h7t . (4.44)
Теперь остается удовлетворить еще одному условию при (J == ,. Для этOJ'О
НЮ1Ишеи выражение для п:roтности потон:а индун:ции ен:возь ПЛОС1ЮСТЬ 0==1'
(х)
€ ( дТТ 2 iJV ) € С '- , ( 1' )
==.....!.. k[ ehL De f'Y Ee"Y+FchYJcos kln dk.
,. 00 дО r а
О .
УlvШОЖlШ обе части на eos [t ln (rJa)] dr II нроинтеrрируем в пределах от 1.==0
до r == со. ТOJ'да выражение, стоящее слева, по теореме rayeea равнп q,
тан: нан иптеrральная фуннции отлична от нуля тольн:о вбли:зи r == а;
правая же часть находится по теореме о разложеПИII n интеrрал Фурье.
В ро;!улыате получим
q == 7.E 1 k [(С Е) e hy (п F) e f'Yl.
НрОМС Toro, vf равно Vf при (J ==" поэтому
(С E) ef,y == (п P) e hY.
Исп,-почив D и F ИJ1И С И Е из этих уравнениii, f[О.::IУЧИМ
С ==E + e kY
'/t€l k '
D==F eh...
'/tzl k
(4.45)
Из вырашениii (4.43) (4.45) для А и В имеем
В q [e'ff' (y п) b ',тt e*" (Y 7t) БЬ k (п 2a)]
А, == 2'/t€lk[sh2k'/t p2sh2k('/t 2a)] ,
(/1.46)
01,е верхние Зllапи относятея 1\ А, а lJижние R В. В частном случае, 1ШПЩ
еllСТС Ш симметрична отпоеительно ПЛОС1юетп "( === Т:, потенциал ВНУТРИ ди
элш,тричеСIЮJ'О Н.шша равен
(х)
V == q(1+ ) (' chkOcos[kln(r!a)] 1 dk
1 'It€1 k[shkтt+[1shk(тс Ъ)] .
о
(4.47)
Двух.мериое распределение поmенциала
81
Подинтеrральное выражение остается конечным при k == О и экспоненциально
убывает с ростом k. Пострсив rрафик этой функции в зависимости от k,
можно вычислить интеrрал (4.47) при помощи планиметра. Если существует
только один зарнд: в точн:е l' == а, fJ == 'у, то члены, обусловленные заря
1
дом "2 q, расположенным в начале кuординат, и ВХОДЯЩ1Ю в решение
(4.40) (4.42), можно исключить из Hero путем добавления н V 1 , V 2 И V з члена
1 I r
4" q Па [а (Сl 82) 7tEl] I.
(4.48)
ЕСJIИ на HeH:oTopOlll ци.ТIиндре l' == Ь потенциаJ1 поддерживаuтся равным нулю,
то решение находится в виде суммы двух решениЙ: OllHOl'O для линейноrо
заряда q, расположенноrо в точне r == а, fJ == 'у, а llpyroro для линейноrо
заряда q, расположенноrо в точке l' == Ь 2 / а, fJ == 'у. Если же нулевой потен
циал имеют два цилиндра l' == Ь и l' == С, то необходимо применять дискрет
вый набор величин п в соотношении (4.39) и иснать решение д;IЯ потен
циальной фУННЦИИ не n виде интеrрала, а в виде ряда.
9. RомIIлеI{сные величины. Прежде чем переход:ить 1{ сопряженным
фуннциям и нонформным преобразованиям, напомним вкратце некоторые
наиболее важные свойства компленсных пеличин. .
Если z == х + jY, то очевидно, что наждой ТОЧRе у
плоскости ху, называемой в сшiзи с этим z пло р
скостыо, соответствует одно значение z. В шшяр
ных ноординатах (см. фиr. 30) величина z записы
ваетсн в виде (Двайт, 408.04) :r;
z == х + jy == l' cos fJ + jr SiIl fj == re jB .
(4.49)
Фие. 30.
.J,JIШIa вектора r назьшаетси модулем z И обозначается
называют aprYMeHToM, амплитудой 1), фазой или Уl'ЛОМ
комплексноrо числа z в степень п получается
чеРt.3 I z 1. Уrол е
z. При возведении
zn ==;: рnеРпD,
(4.50)
т. е. модуль величины Zn равен п il степени модуля z, а aprYMeHT Zn равен
apl'YMeHTY z, помноженному па п. Аналоrично и для произведения двух
тюмпленсных чисел
ZZI == rT 1 e j (B+B),
(4.51)
т. е. модуль произведения двух компленсных чисел равен произведению
их модулей, а aprYMeHT произведения равен сумме их aprYMeHTon. Заменив
теперь n фОРМУJте (4.51) ZI на Z l, ПОJтучаем, что модуль частноrо от деле
пия двух номпленсных чисел равен частному от деления их модулей,
а арrумепт равен разности их aprYMeHToB.
Пусть ZI == Х 1 + ;УI == I (z) == I (х + ;у), тоща величина z: == Х 1 jYl ==
== f (х jy) называется номплексно сопряженной z. Последнее соотношение,
имеющее место для апалитичесних фуннций, можно доназать путем раЗJIO
женин фУНЮ JlИ I (х ::1: jy) D степенной ряд с действительными коэффициеп
таl\Ш: ВСЮДу, rjLe ::1:; возводится в четную степенъ, соответстпующий член
1) итот термин ширOlЮ употребанстсл матемаТИRами для обозначсния уrла О.
Однако а шлитудой называют тю_жс ыаН{'ПМ3JJLное отнлонение некоторой перемснной
величины, например н теорпи nCpCMPlJНLIX тонов. В этом случае при ИСПОJJьзоваНlIИ
номпленсных обозначений юш.тпiтуда пран:тпчесни совпадает с модулем соответстпуIOЩ('Й
lШМlIлекеJIOЙ пеличины.
6 В. СмаЙт
Я2
r лава IV
рнда будет действительным и одинановым при любом знане перед j, там же,
rде ::f:: j возводится в нечетную степень, соответствующий член ряда будет
чисто мнимым, а знан перед j остается прежним. Для I Zl12 имеем
I Z11 2 == x + y === ZIZ -== f (х + jy) f (х jy).
Таним образом, для получения модуля фушщии номплеНСБОЙ переменпой
необходимо пuмножить эту фУННЦ1ПО на НОllшленсно r,()приженную ей
и извлечь нвадратный норень.
10. Сопряженные функции. Напишем двухмерное уравнение ЛаПJJaса
в прнмоуrольныХ ноординатах
;ри д 2 и
дх 2 + dy2 == О. (4.52)
Это уравнение BToporo ппрядIШ в частных прuизводных. Ero общ!:)!:) решение
должно содержать две произвольные фунrщии И, нан лсrно убедиться путем
дифференцирования, может быть записано в виде
U ==Ф (х+ jy) + W(x jy).
Заметим, что для Toro, чтобы Ф и W были решенинми уравнения (4.52),
они должны иметь нонечные производные в той области, rде справедливо
это уравнение, и, следовательно, должны являться аналитичесними ФУllI(
цинми, т. е. фушщинми, разлаrаемыми в степенной ряд1). Величина и,
явшпощансн элентростатичесним пuтенциаJ, ом, должна быть дейстnителыюй,
что возмuЖНО толыш, если мниман часть Ф равна по величине и протиnо
положна по зна1i)' мнимой части W, т. е. если Ф (х + jy) == п+ jl',
а W (х jy) == w jl1, rде п, V, w lщйствительные величины. Аналити
чесние функции Ф и W разлаrаютсн в степенной ряд
<ю
со
со
ф (х + jy) == ф (re j8 ) == ArtrnejnB == Anrn cos пе + j Anrn sin пО,
n O n O n O
со <х> <х>
W(x jy)==W(re jB)== Bnrne jnB== Bnrncosne j B n r n sinn6.
n O n O n O
В силу TOrO, что МНIIмые части Ф JI \]! равны по веJlИчине и противоположны
по зпану при любых fJ, мы получаем, что Аn == В 1 ] [см. соотношение (4. Hi)],
и, СJIедовательно, реальные части этих фУНIЩИЙ В точности равны между
собой, т. е. и == w. Поэтому и == 2и.
Пусть V друrая действительнан величина, таная, что V == 2l), топщ
U + jV==2(и+ jv)==2Ф(х+ jy)==f(x+ jy). (4.:i3)
ФУ1ШЦИН 11 танже удовлетворяет ураnнению Лапласа, что можно поназать,
либо воспользовапшись написанным выш!:) разложением, ЯВJШIOЩИМСЯ разлтн!:)
нием в.ряд по круrовым rаРМОНIшам, либо пут(ш умноженин выражении (-4.53)
па J:
V jи== jf(x+jy)==P(x+jy).
Uтсюда ясно, что V равна реальной части функции Р(х+ jy), точно тан ше
нан Й ЯВJшется реальноЙ частью функции f (х + jy). В дальпеiiшем мы
будем и + jV обозначать через W, а х + jy через z, т. е.
W == f (z). (4.[)Q)
ФУ1ШЦ1Ш и (х, у) II V (х, у) называются сопрншенными.
1) \i'i,'hittaker, Watson, Modern AHalysis, СЬ. v. (См. перевод }'Иl'тенер.
В а т с о Н, Н:урс COBpeMeHHoro анализа, 1933, ч. 1, rJI. У.)
Двух.мер1l.0е распределеuие потеuциала
8:}
э 11. Фушщии потOI>3. ПродиффереНЦl1руем вырашенr:е (4.54) по х и у:
aw аи . атт f ' ( ) oz f ' ( )
ах == ах + J ах == z дх == z ,
д;; == + j : == f' (z) ;: == jf' (z).
Vмножим второе соотношение на j и прпбавим н нсму первое, тоrда из
равенства нулю реальной и мнимой частеЙ суммы получим
(4.55)
НО это есть условие Взаимной ортоrонаЛЬНОСТlJ семейств нривых U (х, у) ==
== const и V (х, у) == const. Нак мы уже видели, любое из этих семсйств
можно выбрать в начестве энвипотенциальных линиЙ; тоrда функция, описы
вающая это семейство, называется потенциальной. Друrое же ceMoiicTBO
нривых, ортоrонально пересен:ающееся с первым, будет представлять в этом
СJlучае СИJlовые JJ1IНИИ. Футщия, соответствующая этому семейству, назы
вается фуннцией потона .
атт аи
ах == dii
атт аи
и ау==7)Х'
э 12. Наиряженность электричеСRоrо поля. ЛотOI\ элеl\тричеСIЩП
индукции. Рассмотрим производную
dW dU + idV (aUjax) dx+(aUjay) dу+П(дVjах) dx+(oJ7jay) dy]
dz dx+idy dx+idy
В соответствии с соотношениями (4.55) заменим arJjDx и aUjDy, Torдa
dW == (aVlay)(dx+idY)+i(aVjax)(dx+idy) == +. av == аи . аи (4.56)
dz dx + i dy , ау ] дх ах ] ау .
Таним образом, еСJlИ в начестве потенциальной фуннции выбрана V, то
мнимая часть выражения dW jdz равна х состаВJlяющеЙ напряженности
ЭJlCI\тричесноrо ПОJlЯ, а реальная часть dW jdz равна ero у составляющсЙ.
Независимо от Toro, выбрана ли в начестве потенциальной фунн:ции U ИJlИ V.
амплитуда вентора Е в данной точне определяется модупем фуннции dW jdz
в этой точне. Обозначим через dn ЭJlемент ДJlИНЫ в направлении манси
мальноrо увеличения потенциала, а через ds элемент длины в направлении,
полученном при повороте dn на уrол тс/2 против часовой стрелни, TorAa
из соотношений (4.56) IIОЛУЧИМ
I dW 1 == аи == av или I dfJ7 1 == == аи ( 4.57 ) ,
dz дп OS dz дп as
в зависи ости от Toro, являются JIИ потенциальными фуинциями U ИJIИ V.
Пусть, например, V потенциальная фуннцин. Найдсм потон индунции
снвозь произвольный участон энвипотснциаJJЬНОЙ поверхности, OI'раничсн
ный нривыми и 1 И и 2 . Для этоrо воспользуемся формулой (1.27):
и2 и2
, \ av (' аи
Потон== E J aпdS==E &dS==E(U2 Ul).
иl иl
(4.58)
Таким образом, подобно тому нан разность потенциалов между любыми
двумя точн:ами определяется разностыо значений потенциальных фушщпй
в этих двух точнах, тан и полный потон индунции, проходящиЙ снвозь
линIПО, сосдиншощую две произвольные точни в поле, равен произведснию
диэлентричесн:uй проницаемости Е на разность значений фуннции потона
в этих двух точнах.
(j*
. .
4
r лава IV
Если поверхности V 1 и V 2 ,являются замннутыми и если при этом все
заряды расположены на ОДНОЙ стороне ОДНОЙ И3 поверхностей и на про
ТИВОIIОЛОЖНОЙ стороне друrой поверхности, то в области между V 1 и V 2
все силовью линии проходят ОТ одной поверхности 1\ друrой и, следова
телыш, .та1\ая система, нан это слел:ует И3 2 rл. 11, образует HOHдeH
'сатор. Заряд Q на любой И3 поверхностей равен полному потону снвозь нее
(на единицу длины). И3 выраЖ(JНИrl (4.58) этот потон определяется нан
произведение Е на приращение U за один оборот вдоль 1iРИВОЙ V (обозна
ЧIlМ это приращение через [и]). ПОСНОЛЬ1\У разность потенциалов равна
! V 2 V 11, то емность в рлучае вануума будет
IQI EIUI
C== IV2 Vll IV2 Vll (4.59)
s 13. Функции lJ и V для поля линейноl'О заряда. Прежде чем ПрII
ступатъ н описанию общих методов нахождения фуннции f (х + jy), pac
смотрим один И3 наиболее простых примеров,
р 1юrда вид этой ФУННЦИИ почти очевиден. В ПОJlЯр
HЫX Rоординатах (Двайт, 408.04) для величины z
мы имеем
q
z -=' х + jy == r cos 6 + jr sin 6 == re jB .
(4.60)
х
По формуле (4.2) поте1щиаJI линсйноrо заряда,
раСПOJlОженноl'О в начале ноординат, равен U ==
== ; q ('ltE) 11n r. Псно, что это выражение яв
1
"2 q ('ltE ) I lп z, поэтому ИСRОМуIO нами ФУНRЦИЮ
Фие. 31.
ляется реальной частью
можно записать в виде
w==U+ 'V== qlnz == qlnr iq(j ==
1 2ПЕ 2щ 2ПЕ
qln(x+iY)
2ПЕ
q lп (х2+у2)Ч2
2ПЕ
,"Ч arctg (у!х)
2ПЕ
(4.61)
ДШl проверlШ будем менять уrол (j от О до 2'1t (см. фиr. 31). Тоща
фуннция EV будет пробеrать значения от О до q и, следовательно, полный
потоп инДунции, создаваемый линейным зарядом q, равен q, нан это и Tpe
буется в 12 настоящей I'лавы.
Нетрудно теперъ написать выражение для I (z) в случае линейноrо
заряда, расположснноrо в ПРОИ3ВОЛЬНОЙ точне r o ' 60 ИШ1 zo' Потенциал
TaRoro заряда равсн
1 1
U == 2 q ('ltE(I lnR == 4q ('ltЕ) ЧП [1.2 + r 2rro СОБ (6 (0)] ==
== q ('ltЕ) ЧП [(r сеБ О ro СОБ (0)2 + (r Sil1 (J ro sin 00)2] ==
1 .
== 2q('ltE) Чп(А2+В2)l!2.
Но ИЗ формулы (4.61), заменив в ней х на А 11 У на В, мы видим, что
111 (А2 + В2)Ч2 ЯВШ1ется реальной частью 111 (А + jB), поэтому исноман ФУllК
1 JШ имее вид
j < .' п r == 'l. i. ln (А + jB) == . 2 E lп (l'e jB roe jOo ) == 2 E lп (z zo)' (4.6 )
Двух.мериое распределение потеuциала
85
в случае п .тJинейных зарядов, расположенных в точнах ZJ, Z2' . . ., ZN'
ФУННЦИЯ w будет равна
n
w== 2 E qslп(z zJ.
8 1
(4.63)
э 14. Емк,ОСТЬ между двумя КРУl'лыми цилиндрами. В 6 мы видели,
ЧТО эквипотенциальные поверхности в поде двух одинановых по веJlИчине,
но противоположных по знану линейных зарЯдоВ предстаВJIЯЮТ собой Hpyr
лью цилиндры. Рассмотрим поле, создаваемое двумя линейными зарндами: заря
; OM 2'1tE, расположенным в точке у == а, и зарядом 2'1tE, расположенным
в ТО II{е у о'. Таной выбор величины q упрощает ноэффициенты. Bыpa
жение (4.63) дЛЯ И Т можно неенолыю видоизменить, а именно (Двайт, 601.2
н 505.1):
w == lп z+ !а == 2j arctg.!!:... == 2j arcctg .
z ,а z а
(4.64)
Решая это уравнение относитеJIЫЮ Z (ДваЙт, 408.1 ), имеем
И + 1'V a in (uт+а in V
z==O,(.tg ==
21' cus(U/i) {'osV
Выделим теперь отдельно деiiСТВИТС'JIЬНЫС и мнимые части:
а sin V
х==
chU cos У'
ashU
y {'hU cos V'
(4.65)
ИСКЛЮЧИВ И3 этих уравнений V, получим
х 2 + y2 2O,ycthU + 0,2 == О,
(4.6в)
что можно записать следующим образом:
х 2 + (у а cth и)2 == 0,2 cosech 2 и.
(4.б7)
Нан и слеДОВaJlO ожидать, энвипотенциальные линии образуют семейство
онружностеЙ с центрами на оси у. При у > о значения потенциала ПOJIO
жительны, а при у < о значения пuтенциала отрицательны. Если из ypaBIТe
нии (4.65) ИСНЛЮЧИТЬ и, ТО получим уравнение
x2 2o'xctgV + y2 O,2 == О,
I\оторое можно переписать в виде
(х а ctg V)2 + у2 == 0,2 еОБес 2 V.
(4.в )
Итак, силовые шпши тоже образуют семейство uнружностей, ПРОХО)(ЯЩIlХ
через тоЧJ{И оси У (у == + а и у == o').
Для определения емностн (на единицу длины) между двумя цилиндрами
и == и 1 и U == и 2 необходимо, нан это следует иа формулы (4.59), раздешлъ
заряд 2'itE на раЗ1lOСТЬ потенциалов и 2 U J . Пусть нам заданы радиусы этих
двух цишшдров НI И В 2 Н расстояние [) между их осями. Сначала нуааю
выразить через пих величины а, и 1 и и 2 . II:I уравнения (4.67) имеем Н} ==
==0, I cosech и 1 1, R 2 ==o'lc05echU 2 1 и [J==O,(!rtllU1I::l: IcthU 2 !), причсм IlIIFI{
ниЙ знак относится н сдучаю положительных значений и и] И и 2 , Т. С. ПО1';ta
один ЦИJlиндр находится внутри друrоrо, а верхним знан еоответствует СJtучаю
отрицательноrо значения и 1 , т. е. ноrда ни один из цилиндров не охватывает
Apyroro. РУНО1юдствунеь дадее этим прашшом выбора знана, можно rrаrшrать
(Двайт, 651.02)
t'll (и2 U 1 ) == cll и 2 ch и 1 ::1: I sll и 2 51} и 1 1 == (1 cth и 2 ctll U11 ::1: -1) I sll и 2 БII и 1 1.
86
rлава IV
Подставляя вместо ::i:: 1 равное ей выражение l :!: (ДШ'lllТ, 650.08),
JЮJI учим
Cll(U2 Ul)== [lcthU 1 ctllU 2 1:!: (cth2U2 cosecI12U2):!:
:!: (cth2fJ 1 cosecl1 2 и 1) ] I sh U 1 Sll и 21 ==
+ (cth и 2 + cth U 1 )2 i= СОБссЬ 2 и 1 =t= cOSC 'h2 и 2
21 eosccll и 1 cпscch и 2 1
:У
I
I
I
\
\
\
\
.
I
I
'i r
I '
, ;
\ "
" ' / ,
" '1; '"
...... '" 1/ ...,."
.......... :-«:-,.....
;/1'.....
" I
I
.
I
I
/
а
.....
I
а
I
а
о
Фие. 32.
IIО;J,ставим СЮJl,а значсния Л, В 1 И В2' что даст
D2 вr щ
ch (и 2 и 1) =- :!: 21/11/2 .
емность (на едпницу длины) между двумн цилиндрами равна
[ ( п2 вr B2 ) 1 1
С == 2'1t8 ar cll :!: 2В 1 Н 2 2 ,
Та1ШМ обраЗО!l1,
(4.69)
l"J(C нижниJr 3IШl{ ОТНОСliТСЯ Н СJIучаю, ноrда один ЦШПШIljJ находптСЯ внутри
Др)Тol'О, а перХ1ШЙ 3НШ{ н случаю, ноrпа ни OДIIН ИЗ ЦllЛIIIIДРОВ не охпаты
ВiЩТ l(руrш'о. Оба эти случая пшшзаны па фиr. 32, а JI б.
* 15. Емкость между цилшiдром и ПЛОС1ЮСТЫО. ЕМIЮСТЬ между двумя
()ДШJaКОВЫ1\ПJ цилиндрами. Устремим пеЛIlЧППУ Н 1 :=С D + h, поназанпую
на фиr. 32, а, н беС1шнеЧНОI;ТИ, тоrла он:руШПОСТL Ш1ешпеl'О ЦJIлиндра соппа
даст, по нрайнеЙ мере, в НeIЮТОрОЙ нонечн.:JЙ облаСТII с осыо х. Пренебреrан
ll но сравнению с Н; и D2 И h по сравнению с 2Rl' ПОЛУЧIIМ R 1 + [) ==
==2Rl h 2Н 1 . Поэтому
Щ+Щ D2 (Rl D)(RI+D ) h
2 HJ i " В В H.
12 12 .2
Двух.мерное распределение поmеuциала
87
ТЮ\ИМ образом, емкостъ (на еll.ИI-lИЦУ длипы) между ПРОВОДНЩIlМ цилиндром
радиуса Н и бесн:опечноj:j пршюдящеii плосностью, располuженной парал
Jlелыю оси цилиндра на расстояш,<и h от нее, ранна
С == 27':8 ( ar сl1 ) 1 (4.70)
Два одипаноных цплиндра, расстояние между центрами н:оторых [) == 2h,
имеют емкость (на единицу ll.Л[ШЫ) в дна раза l\lенъшую, чем еМ1ЮСТЪ, OHpe
делнеман по формуле (4.70), тан: 1ШН: их мошно рассматринатъ 1ШН: два таЮIХ
нонденсатора, соеДИНCIIIJЫХ последонательно. U1юнчательное выражение для
емности двух одинаковых ЦИЛИПдI.ов можно получить п непосредственно
па формулы (4.69), ПUЛaI'ан Е 1 == R 2 И D == 2Jt:
( 1) ) 1
С == r.e ar сl1 2В .
(4.71)
16. Конформные преобразовання. Очевидно, что метод сопряженпых
фуннций НШIЯетсн МOJ'уЧПМ средством решенин юзухмерных задач о распре
делении потенциала. НО ДJIН TOI'O чтобы им пользоваться, падо уметь Ha
ходить нужные фунш пи. Прежде чем излю ать общие :методы IIХ отыснанин,
мы сейчас изучим неноторые специфичесние свойства ФУ1ШЦИЙ IшмплеН:СJJЫХ
поременпых. Нанесем на пдну IIЗ плосностеii значения Z == х + jy, а на дру
I'УЮ значения Zl == X 1 + jYJ п предпо;;южим, что Z нв.пнетсн анаЛНТllчеПЮ1i
ФУIшцией Zl' так что каждоЙ то:ше па I1JЮСНОСТИ Zl соотв<лствует по 1,райнеii
мере одпа ТОЧ1Ш на ПЛОСIШСТJJ Z. Еели фупrщин Z f (Zl) пепреrьшная,
то при персмещеНИll ТОЧН:И но ПЛUСIЮСТИ Zl вдоль некоторой нрrrrюЙ COOT
ветстнующая I:)Й точна па плосю;сти Z тоже опишет нен:оторую rч:;ИllУЮ,
Если же фунrЩШ1 f (Zl) не явшются непрерывноЙ фупнциеЙ, то точна на
ПЛОСIЮСТИ Z будет перескаюшать при этом с ОДНOI'О места в друrое. l1усть,
HOI'lla 1'о ша па плосr;:ости Zl' онисав замтшутую Н:рИl3ую, возвращается
в НСРIюначаЛЫIOе положение, сuответстнующая точна на плосr;:ости Z ТaJпне
позпращается: в первоначальное положепие; тоrда в T01i: области ПЛОС;1Юr.1'П Z,
rде это имеет :место, фушщию f (Zl) назьшают однозначноlr. По праШIЛУ
деления днух RОJVIПлеН:СIlЫХ чисел (см. 9) имеем
I dz I I dz I . ds h
dZ 1 ldZ";Т. dS j ,
rrю ds ДJIlша элемента dz дуеи [{РИВОll в ПЛОС1ЮСТИ Z, а dSI' дшша С(JOТ
вететвующеrо элемента dZ 1 СООТНI:)'l'(",ТВУlOщеii дуrп ПРИБОЙ в ПЛОС1\,;СТИ ZJ'
Тан:им образом, модудь dz / dZ I С;IУiШIТ Mepuii пзмеlЮПIlН ЭЛСl\'н'нта ДJШПЫ
вблизи НCIютороЙ ТОЧШI lIЛОСН:ОСТIf Z при преобразоваШIII этоii точн:и в CO()T
ветствующую т(.чну ПЛОС1ЮСТИ Zl'
Пострuим теперь БССНОIIечпо ма.пыЙ треУI'uЛЬПиr" образ(шанныЙ lIере
сечением трех НРИВЫХ па плпскости Zl' И обозначим ДJПIНЫ стерон э1'OI'О Tpe
уrолыl1шш чсрез ds l , ds , ds:. Тоrда длины сторон треУ1'ОЛЫlИиа, тра1J(:ф()Р
мироваППОl'О на IIЛОСIЮСТЬ Z, будут ds == h ds 1 , (/s' , h ds , ds" == h ds , оп,уда
ds l : ds : ds == ds: ds' : ds", т. е. этИ треуrолыпши оназьшаютсн ПОJlобными.
Отсюда исно, что уr.пы, образонанпые при пересечешш соответствующих
I{рИUЫХ, при ТЮНIХ нреоf)раЗ0нашшх не мепяютси. Эти преобраЗО13апп п назы
ваютr.н Н:ОllфОрМПЫМИ.
При делении днух 1ЮМПJIeI,СНЫХ чисел их арrУI\ШН1'Ы вычитаются, по
этому арI'Уl\ШНТ отношения dz / dZ 1 раВЮI уrлу, па 1ЮТОрЫЙ поворачинаетсн
ПрИ преобразовапии элемент крпвuЙ.
(4.72)
17. Уравнение l'раницы в параметричеClШЙ форме. Пусть f (Х, у) == о
является уравнением одноЙ из интересующих пас эн:випотенциальных поверх
88
r ла,ва IV
ностеЙ, причем х и у MOryT быть пред ставлены в виде действительных ава
JJИтичесних фующиЙ HeHoToporo действительноrо параметра t, ноторый Me
няетея IJ таних пределах, что х и у описывают всю поверхность ПрОВОДНЙна.
Тоrда существует очень простой метод получения решения уравнения Лапласа,
удовлетворяющеrо rраничному условию V == о на той поверхности. Действи
тельно, если
х == /1 (t),
то исн:омым решением будет
у == /2 (t),
(4.73)
х + jy == /1 (bW) + j/2 (bW).
(4.74)
На поверхности проводнина V == о, потому что при подстановне этоrо зна
чевия в соотношение (4.74) получаем параметричесн:ое уравнение поверхностЙ.
в 1ЮТОРОМ ТО.llЫЮ вместо параметра t Ilспользуется ЬU.
I\' сожалению, число задач, при решении 1ШТОРЫХ можно примешпъ
этот метод, чрезвычайно оrраниченно. Среди них следует упомянуть задачи
о нахождении поля в системе нонфональных нонусов или в системе провоn
НИНОD с различными ЦIшлоидальными поверхностями. В начестве примера
опр\щелим, наснольно исназится однородное эле1причесн()е поле при внесении
в Hero ВОЛНИСтой металличесной поверхности, образующая но торой описывает
ся уравнением ЦIшлоиды
x==-a(e sinf), Y==a(1 cos ). (475)
Отсюда z == а (ЫУ sin ЬИТ) + а] (1 co bW) == а (ЬИ' + j jc JM1 "), что дает
х == а (ЬU e 1N sin ьи), у == а ( Ь V + 1 е ЬУ cos ИJ). При БолыlIIIx отрицатель
,пых значениях потенциала х == аЬU, у ==: + abV, так что мы действителыю по
JiУ'НЮМ однородное поле, направленное вдоль У, ero напряженность равна Е ==
== + oV / ду == a 1 b l. Отсюда находится ПОСтоянная Ь, и выражение дли z;
принимает вид
z :'a( +j jcj(W/aE»).
ДJrн определения поля в любой ТОЧRе продифференцируем это выражеНlI8,
в результате получим
1 == (!ТУ е З" (IY/aE) dfV
Е dz Е dz '
I ( : I == I Е (1 cj(WiaE» 11 == Е ( 1 2е У / аЕ СОБ a ' + е2У/аЕ ) ч .
На пuверхности проводника V==O и у==а[1 СОБ(и/аЕ)], поэтому JРП
плотности заряда на ней имеем
cr == 8 / d d I == ( 2 а ) Ч2 8Е.
<. Y o \. у
Этот результат отпоrитсн п ПОJJЮ с той стороны поверхности, на которой
пмеютсн острые 1<paH. С друrоii стороны поверхности поле UTCYTCTBYCT, так
'1J'О на поверхности ПрОЪ,СХUДИТ разрыв непрерышIOСТИ.
18. Нахождение сопряженных фУНIщий. В большинстве случаев по
нсю! фУ1ШЦJШ Н", удовлеТВоряющей заданным rраНИЧНЫl\I условиям в пло
С1{ОСТИ z, начинаются с ПОПСНОВ TaHOI'o преобразоваН1Ш, ноторое УПрОСТИJIO
бы формы rраниц. Если и новью l'раНI1ЧIJые условия онажутсн незпаномыми,
нушнп ИС1<ать второе преобразование, еще более упрощающее rраничнью
условин. В конце нонцов можно приЙти н таноЙ системе, D ноторой решение
написать сравнителыю просто. После этоrо неuбходимо про;(слать обратныii
ДвУХJ>wрное распределеuие поmеuциала
89'
путь 1, решению иеходной задачи. Чаето, однано, воЗможно, опуенан
промежуточные этапы, наШ1еать еразу фуннцию f (W, z) == О путем иенлюче
ния промежуточных номплененых переменных. Но даже еели это и невоз
можно, промежуточные переменные елужат в начеетве параметров, СШIзьшarо .
щих между еобой W и Z. .
При еовершении та1ШХ преобразований чаето очень полезно предетавлять
еебе раеематриваемую облаеть плоеноети Zl в виде упруroй мембраны, обла
дающей евойством еохраннть уrлы между любыми нанееенными на ней .;ш
ниями при любых деформациях ее rрающ. При этом мембрана не может
отрыватьея от rраниц, но может еНОЛЬ:1ИТЬ вдоль них, а также бееконечно
раетяrиватьея и ежиматьея.
Преrщоложим, например, что в интерееующеii: нае задаче rраницы прu
IIОДПИI\а предетавлшот еобой две ненонцентричные и неперееекаЮЩllеен
окружноети, или две пересенающиеея онружноети, или же, нанонец, !!,пе
онружноети одноrо типа и одну или две друrоrо типа, перееекаЮЩllеен
ортоrонально. При помощи соотношения (4.64) любую 11:1 :с1тпх ()fiлш',теjI
можно преобраз()вать n прямоуrольную:
1 z + ia
Zl == n
z la
(4.7б)
Мы употребляем здееь Zl == Х 1 + jYI Ш\шсто W == и + jV, чтобы подчерннуп,.
чието rеометричее1ШЙ харантер этоrо преобразования. Из уравнений (4.67)
и (4.68) еледует, что 1юrда Х и У принимают значения CXJ < Х < CXJ,
CXJ < У < CXJ, Х 1 И У 1 меняютея в пределах o < УI < 2'1t И CXJ < Х 1 < CXJ.
Таким образом, функция (4.76) преибразует roрИЗ0нтальную полоену шири
ной 2'1t плое1шrти Zl во вею плоеноеть z. ВеРТ1шальные линии внутри этой
полоени превращаютея, еоrлаено уравнению (4.67), в онружвоети, описы
ваемые уравнением
х2 + (У а eth X 1 )2 == а 2 coseeh 2 Х 1 ,
(4.77)
а rОРИЗ0нтальные линии превращаютеп в онружноети, проходящие через
точни У == ::f: а, Х == О и опиеываемые уравнением (4.68)
(х а etg YI)2 + у 2 == а 2 eosee 2 Уl'
(4.78)
Это преобразоварие можно црсд("тавить себе, вообразив беешшечную rоризон
тальную полоену УПРУI'оii мембраны шириноЙ 2'1t, вращаемую в иаправлешш
против чаеовоii rтреЛIПI ППJЮТЬ дО ДО('ТIIженпя ею веРТIшаJrыюrо ПОЛожении
в плоеноети z' _ При этом ТОЧ1НI Х 1 О, Уl О и ХI == О, У 1 == 2'1t препращаютен
еоответстпенно плинии .1А' и ВВ'. Сожмем тепеР1, эту полое1(У OHOJIO
точек У' == CXJ (С') и У' == + CXJ (С) и начнем еБЛИЖ8ТЬ ТОЧ1Ш С И С', пере
мещая их вдоль оеи У, при этом центральная чаеть ПО.тшеНlJ будет раеТНПI
ватьея в rоризонтальном направлении. Линии СА, СВ и С' А', С' В' подоfiно
вееру Р8звертыпаютел еоответетвенно он:оло точен С и С' дО тех пор, нона
СА не еовпадет е СВ, а С' А' е С' В'. В результате мембрана оназываGТен
раеТfIНУТОЙ на вею плоекоеть Z, а ее бееRоrrечно малые дуrи .1.1' и ВВ'
етановятея бее1юнечно удаленными дуrами, разделяемыми uсью Х на \1Je
рапные части.
Все эти преобразоваНIIН, за И( Rлючением псрвоrо IlOlюрота, шшазаны
на фиr. 33. Еели ВДОЛЬ линий еоединения СА е СВ и С' А' (" С' В' нет
нинаних нарушениЙ непрерывноетrr, '1'0 IlотеНЦJШJl в rоризонтальных ПUЛОСl,ах
на плоеноети Zl должен быть периuдичным по Уl е периодом 2'1t.
Задачи, в IЮТОJ!ЫХ раеематриваютея линейные заряды и прямоуruльпые
rраницы с проводнином или отдельные учаеТI(И ТaI\ИХ rраниц, находящиеен
под разными потенциалами, можно решить методом изоf)ражеШ1ii. n ДРУПIХ
. O
r лава IV
случаях может представиться необходимость развернуть эти прямоуrолъные
rраШЩLI в ПОЛУПЛО(ЯОСТЪ, что осуществляется 1юсредством преобразования
ПIварца, в I\OТOpOM в общем случас используются эллиптичесние фунrщии.
у'
......I
А
I ;4'
............
8
В
Изменение:
от у' = 00 I 00 у = а
от X'= 1Т t c оmх'=п
ао !l = 00 00 у= 00
в'
00' 00
t yt
в А
, Oox= oo:
Х I
,
х
8;
от X'= 1Т
80 y= oo
от y'= 00
у'
,oтx'=1t
f C да y= oo
Во у= a
В' А'
t t
oo oo
Фие. 33.
s 19. Нреобразование IПварца. Одним нз паиболее употребитс.пьиых
Ш1нетсп преобраЗОJJашre, при нотором IЮрХ1ПШ полуплосность Zl' оrраниче1i
ная снизу действпТl:ШЬПОЙ <н:ыо, переходит во внутреннюю область Нl:ш:отороru
l\нют'nуrолыпш:а па плосности Z пли наоборот. Если эта область конечна,
то I'раllИТЩ ее может быть целином образована при помощи деформации
деiiствпте;тьной оси Уl === О ПJЮСIЮСТИ Zl' Если же Ш1УТРСlIНЯЯ областъ про.
'стирается n беснонечность, то соответствующая часть rраницы образуется
путем раr.тнrивапия или сжатия беснонечно удаленной дуrи верхнеЙ пnлу
ПЛОСI,ОСТН Zl'
Чтобы паiiти преобразование, сrибающее деЙстпитеЛЫ1УЮ осъ плосн:ости
Zl В rрашщу заданнOI'О МJIоrОУI'ОЛЬПИIШ на плосности Z, рассмотрим KOl\f
ПJlCНСНУЮ ЛРnIIЗВОДllУI()
d dz == С 1 (Zl Ul) l (Zl a2) 2 . . . (Zl aп) ", (4.79)
Zl
I'}Ie U 1 , a , ..., а п И l' 2' ..., п не1{ОТОРЬЮ деiiетпптельпые числа,
а С 1 НОМlJленепая постоянная, причем а п > aп 1 > . . . .> и 2 .> U 1 " Нан из
BeeTIIO, ajJI'Yl\IeIIT произведешш неСIЮЛЫНТХ 1юмплеН:СIJЫХ чпеел, rюзпедетшых
в наНУllншбудь степень, равен сумме пропзведений ар]'ументов этих чисел
на соответетвуlOЩИЙ ПOIшзателъ степенн. Поэтому
arg d dz ==argCl + larg(ZI Ul)+." + narg(Zl aп)' (4.80)
Zl
Пусть dZ 1 == dx 1 , т. е. является элсментом ДЛШIЫ ВДОЛЬ деЙСТliительной nси
ПJlOС1ЮСТИ Zl' тоrда ap1'YMeHT
ar g ==' ar g dx+ i dy == arc t g dy ( 4.Ы )
dZ 1 dX 1 dx
,рапен Уl'ЛУ. КОТОрЫЙ образует элемент dz, полученный при нреобразовании
,dz l , с деЙетпителытой оеью у == о ПЛОСIЮСТИ Z. ЕСJ1И Zl является действитель
ным числом, находнщимсн междуu 10 и U r +l, то (Zl Ul)' (Zl a2)' "., (Zl al')
Двух.мериое распределеuие поmеuциала
91
деЙСтiзительные положительные ЧИСJIa, ap1'YMeHT н:оторых равен О, а (ZI И r +l),
(ZI и т +2), ...., (ZI И n ) п.ействите;;тьные, но отрицательные числа, apl'YMeHT
I\ОТОРЫХ равен '/t.
Поэтому на основании соотношениЙ (4.80) и (4.81) наЙдем
dy R
В, == arc tg dx == arg С 1 + (['тН + T+2 + . . . + п) '/t.
(4.82)
Итан:, все элементы оси Х 1 , лежащие между точн:ами И r IJ И r + l (фиr. 34),
после преоuразования сохраняют СБое направление и остаются нрямолипей
ными; их на1ШОН н: оси Х определяется формулоЙ (4.82). АнаЛОПIЧНО, те
у,
Плосность z,
dx,
х,
:r:
Ur-t u r U N1 U r +2
Плоскость z
Фие. 34.
:элементы, 1юторые лежат между И rН И И r + 2 ' тан:же остаются прямолинеЙ
ными, но имеют друrой наКЗОll
В тН == arc tg == arg С 1 + ( T+2 + r+з + . .. + n) '/t.
(4.83)
Уrол между этими Л1ШИJIМИ рален
6тн ВТ == '/t TH'
МЫ постропли две стороны мноrОУI'ОЛЬНИ1Ш. Подобным же образом, п()дби
рая значения и И, можно построить и весь мноrОУl'ОЛЬНИН, имеющиЙ пуж
ные длины сторон и нужные уrлы при вершинах.
ПредполтЮllVl, что требуетсп наiiти поле пад лоианой линией в пло
-скости Z, пон:азапноii на фиr. 34. .JlюuоЙ УI'UЛ, например СХ тН , измеренный
между двумя прплеrаюIЦИМИ СТОрОIIа1\П1 мпоrоуrолыпша в области, rпе
ищется поле, называется ВНУТрСНJЛ1М уrлом l\ПlOrоуrОJlЬНИIШ. Тан: нан
7t СХ ТН == '/t )+], то для определении этоrо УI'ла мы имеем
R == ar+1 1
[',+1 1t .
(4.%)
Подставим соотношешш (4.84) в (4.79)
"1
dz 1
d ==Сl(ZI Иl)r.; (ZI
Zl
1 ип 1
И 2 ) '1t . . . (Zl И n ) '1t
(4.85)
Пптеl'РИРУН это выражение, приходим н ИС1ШМОМУ преобразованию
Z == С 1 [ (ZI И 1 ) ": 1 (ZI И 2 ) " 1 . . . ] dZ 1 + С 2 == С 1 ! (Zl) + С 2 . (4.86)
Подбиран дЛЯ С] тот или иной aprYMeHT, можно, н:ан: э'rо видно из
соотношения (4.82), ПРОИЗВОТlьпым образом ориентировать мноrоуrольпин
2
r лава IV
па плосности Z. Размеры мпоrоуrОЛЬПИI,а определяются модулем постоянной С 1 .
ПОМИМО ЭТОI'О, мноrоуrольнин можно без ВСЯНО1'0 вращения, меняя лишь
постоянiIуlO С 2 , раСlIолаrать в любом требуемом направлении.
Чтобы убедиться в правильности выбора стороны l'раницы при отсчете а,.,
пол()жим Zl == W, тоrда действительная ось Уl == 11 == О совпадет с Э1{llИ
потенциальной линией. При а т < 7t напряженность поля dW /dz == dz 1 /dz
должна в вершинах обращаться в нуль, а при а т > 7t становиться там
беснонечной. Полаrая в соотношении (4.85) Х 1 == U -== и т , леrно убедитьсн
в правильности наших результатов.
20. Мноrоуrольнини с одним положительным уrлом. Если действи
тельная ось в ходе преобразования претерпевает излом тольно в одноЙ
точне, то без оrраничения общности эту точну можно принять за начало
ноординат; TOI'Jla, ПОЛОЖJШ в выражении (4.86) и 1 == О И считая а> О,
получим
z == CIZ1 /1t + С 2 .
(4.87)
lIуеть С 2 == О, а С 1 равна неноторой действительной постоянной. Тоrдз
вершина полученноrо мноrоуrольнина будет совпадать с началом ноординат,
а ero стороны с лучами fj === о, е == а. Третья сторона мноrОУJ'ОЛЬНИIШ бес
1юнечно удалена. Модуль z" равен п й степени модуля z (см. 9), по
этому Hpyr радиуса r 1 == ([1 на плuСIЮСТИ Zl переходит в 1{pyr радиуса r == ([
па плоеноети Z. В частноети, задачи, расематривающие область, оrрани
ченпую дуrой OI,ружноети и двумя ее раднусами, можно при помощи пре
образованин (4.87) свеети н задачам, рассматривающим облэ.еть в вищ'
полунруrа.
При а == 27t верхняя ПОЛУПЛОС1ЮСТЬ ZI прео6разуется во вею плосность z.
Разделение дейетвите.тrьных и мнимых чаетей дает у == 2C 1 X 1 Yl И Х == С 1 (.x . y ).
Иенлючив по очереди Уl и X 1 , мы получим уравнения двух взаимно OpTO
rональных еемейств нонфональных парабол у2 == 4С 1 х; (х CIX ) И у 2 ==
== 4CIY (х + С 1 у;). ТаЮIМ образом, однородное поле W === ZI на плоеноети ZI
преобразуетея на плосноети Z в поле полубеснопечной заряженноЙ ПрОIlО
дящей плосности. Поле линойноrо заряда па плосности ZI' расположенноrп
над заземленной rоризонтаJIЬНОЙ проводнщей ПЛОС1,ОСТЬЮ, проходящей
через начало ноординат, преоf)разуется на ПЛОС1ЮСТИ Z в ПОJЮ лннеЙНОJ'п
заряда вБJIИЗИ полубеС1шнечной проволящеЙ плоености, HpalT ноторой
параллелен линейному заряду.
При а == 37t/2, положив W == ZI' мы получим В плосности Z поле заря
жешюrо проводящеrо прямоуrольноrо нлина, образующие 1ютороrо СOlша:
дают с положительной частью оси Х и отрицательной частью оси у. Танвм
же путем, нан и для а === 27t, можпо найти ПОJЮ .ПIlнейноrо заряда, расп()
J10женноrо вблизи прямоуrолыюrо НЛIllШ.
При а == 7t ПЛОСНОСТЬ ZI не претерпевает, очевидно, ВН1Ш1ШХ ИЗМeIТСJшii.
пе считая иамеllений в масштабе за счет множителя С 1 .
1
При а == 27t, положив Н' == ZI' получаем на плосности Z поле внутри
ПрОЕодящеrо прямоуrольноrо уrолв:а, обрааованноr() положительными полу
осямп Х И у. n этом случае C U == x2 у2 И C l1 === 2ху, т. е. энвиrЮТСJl
т иаJrЫ1Ьте и СИ:ЛОВЬЮ линии образуют два взаимно ортоrональных cemvi-iства
равнобочных rипербол. Поле ЛIlнеiiноrо заряца, параллельноrо нраю TaHoro
Уf шша , находится тю, же, нан и в случае а ,=о 27t.
21. Мноrоуrольник с уrлом, paBHbIl\I нулю. n этом очень важн()м
случае ось Х 1 снладывается до тех пор, пона обе стороны уrла а не eTa
пут параллеЛЫIЫМИ друr друrу и, следовательно, верхняя часть полу1IJIО
Двух.мериое распределение nоmенциала
93
(:,lШСТЙ не окажется сжатой между ними. Две параллельные, но пересеRа
JOщиеся линии, MorYT находиться на Rонечном расстоянии друr от друrа,
если их ТОЧRа пересечения беСRоне'пю удалепа. Тоrда вместо преобразо
IШНИЯ (4.87) имеем
Z ,==C1ln ZI + С 2 .
(4.t5S)
Н:ш И раньше, будем считать С 1 действительной величиной, а (''}'== О.
Начало Rоординат Zl ="'- О преобразуется в Z ==о 00, а новое начало HOOp
динат соответствует ТОЧ1 е ZI 1. Запишем Zl в виде Zl == l'le j01 и положим 01 == О,
тоrда Z ==о C 1 ln r l , что соответствует деЙствительной оси ПЛОСRОСТll Z. ЕСJIИ
ЛШ положить 61 == 'lt, то Х ==о C1ln r l и У С 1 'lt, что соотретствует JIИНИИ,
расположенной над действительнuй осью на расстоянии C 1 'lt от нее. ТаRИМ
()бразом, верхняя полуПЛОСRОСТЬ ZI преобразуется на ПJIOСRоети Z II rори
:юнтальную ПОЛОСRу. При этом радиальные линии 61 ==о const етановнтся
rоризонтальными JIИНИЯМИ у == const, а ПОЛУОRРУЖНОСТИ r 1 ==о const переходит
11 веРТИRальные линии, имеющие дш,шу C1'lt. Часто приходитсн встречатьсн
с задачами, в ноторых Rонфиrурацин системы периодична; это означает,
что и поле в системе можно разбить на одинаRовые полосни. Оназьшается,
что при решении таних задач бо:rьшую пользу может оназать преобразова
иие (4.88). Для примера найдем поле в системе, состоящей из зарнженной
нити, находящейся между двумя парашюльными проводящими заземленными
плосностями. Возвращаясь н плосности ZI' мы получаем задачу о поле
нити над параллельной проводищей, заземленноЙ плосностыо. При помоши
метода изображений, рассматриваемоl'O в 7. и формулы (4.63) леrRО
написать требуемую фунrщию
{х! '== q ( 1 Z) ejOo С)
п 2 n 'O + .
п.:. zl e}O
Пусть при Zl ==о + 1 w == О, т. е. С == ln ( ejOo), ТО1'да
q e jOo
Jt' ln )
21t€ 1 z)ejOo
(4.89)
Преобразуем это ПОJIC на ПЛОCIюсть Z, положив С 2 == О, C 1 'lt =- а и C10 0 == Ь
и подставив в выражение (4.89) ZI из фОрМУJIЫ (4.88), в результате получим
q e7tz,a ej7tb/a q e7t(z jb)/2a e 7t(z jb)!2a
Jt' == 2 ln ( 'Ь)/ ==о ln ('Ь)/2 ( , 'Ь)/2 .
. 1t€ 1 e" x ) а L1tS e " х+} a e" Хт} а
Использун (ДваЙт, 654.1, 655.1 и 7()2) , мы JJOJIУЧИМ
т q sh [ ; 1t(z ib)/a 1
Н ==о ln
21ts [ 1 . J
sh 21t(Z+lb)/a
q 1 + i th ( } 1tzja ) etg (j пЬ,-а )
==о ln ( 1 ) I
п 1 ith ;z:7tz/a ctg(21tb/a)
== arc tg [ th ( 1tz/a) eLg ( пь,а) ] .
(4.9и)
'94
r лава /V
После разделения )Jеиствительных и мнимых частеЙ приде..,
t 2пв J7 sin (пЬ/а) sh (пх/а)
g q cos (пЬ/а) сЬ (пх/а) + cos (пу/а) ,
Нl 2пви == sin (пЬ/а) sin (пу/а)
q cos (пЬ/а) cos (пу/а) + сЬ (7txja) .
На фиr. 35 ПОl\азаны ПЛОСI\ОСТИ Zl и Z. Если разность потенциало&
пластин равна и о , то 1\ полученному решению нужно добавить однородное
1\ следующему:
(4.91}
(4.92)
у,
у
/
./
а
:r:
Плосхость Z
Фие. 35. Линейный заряд между зазеМJreННЫj\lИ пластинами.
вертинальное поле, описываемое фУНl\цией W' == jUozfa. Оl\ончатеJIьное
решение тоrда можно записать в виде
W" == w + W' == [ J arctg [ th ( : ) ctg ( : ) ] jU o :, '
rJte U потенциальная фУНI\ЦИЯ. Пусть теперь в однородное поле помещена
ПЛОСl\ая решеТl\а, состоящая из параллельных проводов, отстояmих на pac
стоянии а друr от дрУl'а. Для решения таl\ОЙ задачи нужно поместить
заряды + q в ТОЧI\У Zl == j И В ТОЧI\У Zl == j и продеJIaТЬ преобразования,
аналоrичные преДЫДУllIИМ. На ПЛОСI\ОСТИ Z получится учаСТОI\ интересу
IOщеrо нас поля решеТI\И, содержаmий один ПРОIЗОДПИI\ и оrраниченный.
СИЛИIЗыми JJИНИЯМИ, простираЮЩПМIJСН от этоrо ПрОIЗОДНИl\а до х == + 00.
н заl\лючение заметим, ЧТО если построить на плосности Z силовые.
ЛИНИИ однорОДIIоrо элеl\тричеСl\оrо ПОЛЯ, а затем проделать обратное пре
образованио на ПЛОСI\ОСТЬ Zl' ТО получится поле Линейноrо заряда, уже.
рассмотренное в S 13.
(4.93)
22а. Мноrоуrольники с одним отрицательным уrлом. Двухмерный
диполь. Инверсия. Теперь естественно выяснить смысл преобразованиii
Плосхость z
Плосхость Z
у
Плоскость Z
у
у
Z,=o
X,= oo
х
Z,=+oo
ZI=+OO
z,=o
х
z,=o
а>О
а=D
Фие. 36.
«-<О
ПIварца с отрицательным vrлом. Переход от положительных значений ос
н отрицательным ясно показан на ФИТ. 36. Если IЗ соотношении (4.87)
С 2 == О, то действительные ПОJIУОСИ ПЛОСI\ОСТИ Zl будут выходить из начаJI8
ДвУХ.АlRрuое распределеuие поmеuциала
95,
но()рдинат на пл()сн()сти z, ()бразун между собой уrол а. На этой же фИl'уре:.
лоназан примерный вид нрпвых У1 == const на плосности z.
Наиболее интересным СJIучаем, относящимсн н этой натеrории, являетсн
случай а:== п. Будем исходить из однородноrо поля Н' == Z1' считан фунн:
цию и потенциальной. Это однородное поле мощно представить себе co
зданным бсснонечно большим положительным зарндом, раrП(Jлощепным
в точне Х 1 ==- + со, и беснонечно больппrм отрицательным зарндо:и, распо
ложепным в точн:е Х 1 == со. Из рассмотрения фиr. 36 следует, что при
интересующем нас преобразовании эти два зарЯда беснопечно близн:о под
ходнт ДРУl' Н друrу, оставаясь все же по разные стороны ОСIl У плосности Z.
ПО определению, двухмерным диполем называется система, состоящан
из двух беснонечно больших, одинановых по пеличине и противоположных
по знану линейных зарядов, расположенных беснонечно БЛИЗ1Ю друr
н друrу, тан что произведение величины зарндов (на единицу длины)
на расстонние между ними остается нонечным. Оно называетсн ДИПОJIЬНЫМ
моментом (па единицу длины) и обозначается через т. ,тпомянутое преобра
зование можно получить непосредственно из соотношенин (4.64), заменив
ja на а и устремив а---40 (Двайт, 601.2),
t .!:
W== ln
2па t а
+ z
aq т
пsz == 2пEZ .
(4.94)'
О'l юда
u == т еОБ ()
2пEr '
v m sin О
2п,r'
а танже
тх
x2+y2 ==0
2п€и '
2 2 ту О
Х + у + 2па J7 .
(4.95)-
Энвипотенциальные линии предстаnлнют собой он:ружности, насаюшиеся
осп у в начале ноординат; силовые линии, тоже ЯВЛЯIOщиеся онружностлми,.
насаются в начале ноординат оси Х.
Друrим важным примером, относящимся н случаю а == п, нвляетсн
преобразование, получаемое из соотношенин (4.87) при С 1 == а 2 ,
а 2
Z== . (4.96),
Z]
в полярных ноординатах, раздеJIНН действительпые и мнимые части,
имеем
rr 1 ==a 2 и e== 01.
Наждой точне вне Hpyra радиуса "1 == а на ПЛОС1ЮСТИ Z1 поставлена в с(ют
ветствие определеннан точна впутри 1{pyra радиуса r == а на ПJЮСНОt;тП z.
Если W == f (Z1) есть решение уравнения Л аПJ[аса, то W == f (z;), rдс Z; веДII
чина, номплексно сопряженнан с Z1' тоже будет решением, причем ОШ[
сываемое им поле НВJшется зсрнальным изображением псрвоrо, т. е. r 1 =--= r
и б 1 == е:. Сравниван ПJЮСНОСТЬ z< С плосностыо z;, мы видим, что
п'; == а 2 и 6 == е; .
(4.97).
Точни, УДОВJICтворmощие этому СООТI ()шениIO, назьшаютсн инвертиропаll
ны:ии, а ве.чичина а называетсн радиусом ипверсии. Если суммарныЙ
заряд на плосности Z отличен от пули, то это значнт, что на беснонрч
lЮСТИ должен находитьси заряд, равныЙ ему по ВСJIИЧИНС и противоположныЙ
ПО 3IШRУ, на нотором бы ОRанчивались простирающиеся в беснонечность.
6
r .лава IV
>силовые линии. На плосностях ZI или Z: эти линии онаЖУТСf1 вБJJИЗИ начала
ноординат. Таним образом, мы приходим н следующему правилу инверсии
в цвух измерениях.
Если в ПОJIe зарядов q' и q" и т. д., находящихся в точнах z', z"
11 т. Д., поверхность S является эюзипотенциальной, то инвертированная
1I0верхность будет энвнпотенциаJIЬНОЙ в ПОJШ зарядов q', q" и т. д., Haxo
днщихся в т()чнах z *, Z * и т. д., и заряда q, расположенноrо в Ha
чале ноординат. Этот метод позволяет, исходя из известноrо решения
:!адачи, рассматривающей плосние пересенающиеся rраницы, ПОJIу'raть реше
пия задач, в ноторых рассматриваются rраницы в виде пересенающихся
ЦИШ1Ндров. В полярных ноординатах уравнение онружности на ПJЮСНОСТИ Z
можно записать в виде
,,2 2ur cos (О а) == Н2 а 2 ,
I'де Н радиус онружности, а u и а ноординаты ее центра.
уравнение (4.98) на r;2 и подставим, соrласно соотношениям
вместо О и a вместо а; тоrда
(rr;)2 2rr;ur; cos (6; а:) == (Н2 а 2 ) r;2.
(4.98)
Умножим
(4.97), е:
Учтя, что 1T == а 2 , прлучим
*2 ..L. ? а 2 и * 0* * 24
r 1 R2 и2 r 1 COS ( 1 ( 1 ) == Л2 и2
или
*2 2 *, ( С1* * ) Н 2 2
c r l u 1 r 1 cos \)1 al 1 al'
(4.99)
!'ДС
а 2 и
и 1 == H2 и2
и
a 2 R
Н 1 ==- I ЛZ и21 .
(4.100)
Та.ним образом, при инверсии онружность преобразуется в онружность.
Если же первоначальная онружность проходит через начало ноординат,
то I u I == н и I ull Н 1 == 00, т. е. ПОСJIe инверсии ПОJIучается онружность
беснонечноrо радиуса с центром на беснонечности, или, друrими словами,
ирямая линия. l\ратчайшее расстояние от этой липии до начала ноординат
равно
а 2 а 2
I и 1 I I н 11 == и + R == 2Н '
а уравнение перпеНДИНУJшрноrо н ней радиуса вентора будет о: == at.
Справедливо и обратное, а именно прямая JIИНИЯ в результате инверсии
прообразуется в онружно тъ, пjюходящую через' начало ноординат.
22б. Изображения при двухмерной инверсии. Оставим на ненотор()е
щюмп в стороне обсуждение преобразований Шварца и приведем пример
на применение метода инверсии н двухмерным системам. Используя ТОЛЬКО
что сформулированное правило, найдем выражение для поля бесноне'IНО
большоrо линейноrо заряда + q (на единицу длины), расположенноrо
иараллольно беснонечному ЦИ::Jиндричесному проводнину, внешшш поверх
насть HOToporo образована в результате ортоrональпOI'О пересеченип двух
r,руrовых цилиндров и заряжена зарядом q (на единицу длины). Пло
('кость Z ионазана на фиr. 37, д, JIинейный заряд находится в точно Р,
а н:онтур поверхности проводнина обведен СПJюшноii линиой. Из про
; Ы; УJЦеrо параrрафа известно, что если про извести инверсию относительн()
ТОЧЮI О, то обе проходящие через нее он:ружности превратятся в прнмыс
.;1ППИИ, пересекающиеся в СИJIУ НОНфОрМIIОСТИ отображения ортоrона;;JЬПО.
Двух.мерное распределеЩtе nоmенциала
97.
Для простоты В качестве Kpyra инверсии выберем Kpyr, оrраниченный
ПОЮ13анной на фиr. 37 пунктирной О1,РУШНОСТЬЮ, котuрап явлпется Kaca
тельном окружностью н цилиндру с нarfбольшим диаметром. На фиr. 37, б
приведена система, получаемая в результате инверсии, на ПЛОС1ЮСТИ Z .
3адача о нахождении поля JIинеинOl'О заряда, параJIлельноrо JШНИИ пере
;ечеНIIЯ двух орТOl'онаJIЪНЫХ ПРОЕОДНЩИХ П.посностей, уже рассматриваJIaСЬ
в 7, ['Де бы.по ПOlшзано" что ПОJЮ внутри TaKOr() ПРНМОУl'ольноrо yrOJIKa
{;овпадает с полем n этой об.паети, юч'л.а все проводиики удадены и HorJIIJ
"
\
, /
',. ' /'"
R'.' , /
3 " /
',/
'1
Плоскость z
02
а 2Ь
V
О
Плоскость z,*
а
о
Фие. 37. Двухмерная инверсия,
RpoMe зарН11а, в точне р' имеются еще .JIJшейпые заряды q. + q 11 q
В точнах p , p и Р; соотпетствеюю.
Из правила JlНIЮрСИИ С.Jедует, что поверхность ЦИЛИпдричеснOl'О про
ВОДНИI,а па 11.'ЮСIЮСТИ Z, соответствующая двум проводящим плосностнм
на плоскости Z , СОRпадает с ЭЮЗIшотеНЦJJаJJЫЮИ поперхностыо в поле
зарндов +q, q, +ч и ч, раСlIОJюженных соответственно в точках
Р, Р 1 , Pz ТI Рз, ЯВЛЯЮlЦихсн инвертированными по отношению к р', P ,
.P иР;. Пустъ (,P ,'c И BP==r b , ТOI'да точна Р 1 на шпши ПР будет
находиться на раесТОННIIII [Р/,'" от JJ, точна Рз на .1llIНИП СР на paCCTOH
нии с 2 /"с ОТ С 11, паКОПР1\, P2 H точне переееченип ВРз и СРl' Посно.пьну
точки р', p , p и Р; на п.rlОСН:ОСТИ z; лежат па ОПРУЖJJОСТlI, пересен:аю
щеисн ПОД прнмым YI'.:j()M С ЛИНИШШ Q'Q 11 Q'Q , то и точни Р, Р 1 , Р2
И Р з на плоскости z будут находиться на онружпости, пересенающейсн
род прямым уrлом с окружностями, образующими поверхность проводников.
23. МноrОУl'ОЛЬИИI{ с двумя уrлами. r:реди БОJIЫlюrо числа различ
'ных примеров, ОТllОсюлихен н этому ('.:JучаlO, выберем лишь один, а имсш](),
преобраЗ0ванис деЙСТШIТСJIЫЮЙ оси в прямоуrОЛЬНИI\ шириной 2а, поло
жим R соотношениlТ (4.85) СХ ] == СХ 2 == ; , и 1 == + а 1 , U z == a 1 ; то..rда
dz А
dZ J (zi ai)lJ2
(4.1U1)
Интеrpирование 8TOI'0 выражения (Дваит, 260.01 или 320.01) дает
z == А ar ch ( :: ) + С 1 jA ar-csin ( :: ) + С 2 .
7 8. Смайт
98
. rлава /У
Пусть С 2 == U (исполыуетсн нторан форма записи) и пусть z т()же раВ1Ю ну:
лю ПрИ ZI == О. Кроме Toro, выберем а рапным } jAr., или jA == 20./r.'; ТО1'да
при Zl == ::1:: а}' Z == :f:: а. ИТaJ{,
2а . Zl
Z == arc sш .
1с а,
. 1с
ИJ1И Z) == 0.1 SHl 2а Z.
(4.102)
Наиболее УIIотребитеЛЫlЫll1 НВJlяется применонис преобразоваЮ1fJ (4.102)
1
н однородному пото на пл()сности Z. Вшш о. равным 2 r. 11 3;JмеНИR Z на W.
получим
Z} == а} sin W.
(4.103)
Веvтинальные полосни ПJlOСIЮСТИ Z при отобраiJЮНИl1 на ЛJlOПШСТЬ Z} она
зываются развернутыми в стороны, нан ато п()наааllО на фиr. 38. ЕСJIИ
У Плоскость Z yr Плоскость Z,
\ ,
и +Л \ и=о I
2 \ I
I
fl
U= z
I
и=о
1с
.х,
I
,V=D I
Фие. :18. Преобра:ювание полубеснонечной вертинальной полосы
н верхнюю полуплосность,
в начестве потенциальной Фуннции паять V, то на ПЛОСН()СТJ1 ZI будет и:ю .
бражена верхнЯЯ половина поля зарнжеНlIlIИ полосни ПlИРИIIЫ 20.1; ес.НИ же
за потенци I.flЬНУЮ фуннцию паять и, т() п()лучастсн BepxlНlH /llJJlОRина поля
двух ПОJlубеснонечных нош:шнарных .пистов, ноторые отетонт lIРУ]' от ДРУПl
аа расстоянии 20.1 и ра:нюсть ПОТPlЩllалоп между КОТОJJЫМИ равна". Отделня
в соотношеНIIlТ (/1.103) действительную J1 мнимую чисти (Днийт, 408.16),
получаем
.1:1 == а} sin и сЬ V, У] == 0.1 СОБ и вЬ V.
РаздеJIИМ периое выражение на 0.1 сЬ V. а вт()ро(' на П] вЬ V. 11 :laтем BO:IBe
дем их н ннадрат и С.ТIOжим
X2 1 2
+ Уl
a'leh 2 T' aish2Tr
.
t.
(4.104)
I{риные V ==\juIlSt ННJJНЮТСЯ, таким обра:юм. IЮI1.фшш,тIJ>НЫМII :J.il.rншсами,
большие и J\tаJlые оси ноторых со()твететвенно раппы 20.1 сЬ V и 20.1 нЬ V.
Аналоrично, раздеJlИВ шорное выраженис на 0.1 sin и, а второе lIа а 1 сон ТJ,
, а :штем нозвеня их l{ нпа]{рат и пычтн 01lВ() И3 друтOI'О, lЮ.пучим
, .
2
Xl
(/1 sin" и
у;
a1 C(]s2[
== 1 .
(4.105)
Нривые и == еопн1
еЛИ V принимает
1.
"2 .. IJ нижней 'полуплосностИ,
ЯВJIНIUТСЯ ЮJl1фш{аJIЫiЫМИ ПlIшрбот МII. Заметим, чт()
1 ,!
:значения от О до 00, а и от т.: ]{() i r. и от т; ДО
то получается н:артина
I/О.ПЯ
:заряшенноii
т !.::!
Двух.м,ериое расnреде,мтие потенциа.аа
, "
99
полuсни во всей ШlOсности. При пересечеНJIИ с этой ПОJшенон l'ипербол'Иче--
сние силовые линии терпят разрыв. Если U принимает :lНачения ОТ
1 1
2:" ,'It ДО 2 т.:, а V от О до (Х) в нижнеЙ полуп.flOснuети, ТО по.пучается
полная нартина поля двух плоскостеЙ. ЭJIJIИПТИLJесние r.ИJЮВЫ(' . !Инии
терпят разрыв при прохождении ч(:ре:! пров()]нпцис ПJJOСКОr.ти.
Ллосхость х,
\
\
\
у,
у Ллосхость Z
. х х
I 2й, I и=+ 1J
2b,
и 2 и,
Фи8. 39. ПреобраЗ0вание поля одной заряженной плос!шй полосы В учаСТОR
поля заряженной решетки, состоящей из Rопланарных параллельпых IТJ!ОеlШХ
пщюс.
.и=о I .1 f
I
:r:
Предположим теперь, что мы имеем дело не С одиночно и заряженной
полосной, а с большим числом таних параШIeЛЬНЫХ полосон, ра("IIОJlOжен
ных в одной плосности на одинановых расстояниях друr от ДРУ1'а. Ясно,
что поле в таной, системе будет периодично вдuль оси х И что можно pac
сматривать тольнЬ отде.ш:.ный типичный участон Ю'О, дЛЯ чеrо нужно, н:аи
это понааано на фиr. 39, переrнуть ось Х 1 в точнах и 1 == + Ь 1 , и 2 == b l ,
Ь 1 > аl' и применить преобразование (4.102) к (4.103), наменив D нем 01 на
II} и а на Ь,
1
1tZ
. W Ь . 2
Zl == а 1 Sln == 1 Slll '
rде 2Ь период решетки. По.тю ПOJ анаJlО на фиr. 39. Тан нан х == :::1:: а),
у==О, ноrда V==u, U==:::I::-}Тc. то нужно lloJюжитьаJ==ыliп( ,;щjЬ) ,
11 интересующее нас преобра:юnание МОЖllО ааШIсать в виде
'-
. . [ Sin ( . 1tzjb ) ]
w == 31'C SШ 1 .
sin ('2 тcajb )
(4.106)
Хотя мы нашли поле TOJIbKO в верхней ПО JУ]J Н'СIЮСТИ, однако полученная форма
решения одинаново хорошо описывает поле и при О > У > - 00; причем . Ш}
ТОl'О чтобы V принимало тольно ПОЛОЖИТСЛЬНЫ{J аначепия, нужно меннть Х
т 1 I '
и и в предCJШХ О < х < ь, "2 те < U < тс 11 {) > х > Ь, 1': < U < 2" 1':
1
При У == 00 напряженноеть lЮJJЯ равна 2" т.: j Ь, поэтому ДJJН ПОJI учснин
преобразования ДЛЯ поля Е' необходимо умножить фОрМУJIУ (4.106) на
2ЬЕ' j'lt. Если над решетной про стирается (ДО у == + 00) однородное поле,
(\ под решетной однородное поле' отсутствует, то н полученному решению
7*
100
r лава JV
нужно прибавить Е' == Е, что дает
ПТl Е ( 2Ь .
н == 2" Z + arc sш
r "n ( t по" ) ] \ .
L sш ( 2 7ta j b) f
( 4.107)
IljJИ этом llеШlЧIlна напряжеПЛОСТJ1 поля в любоЙ точне равна
I dW I Е СОБ ( + 7tzjb )
di 2 1:f: [COf'2 ( 7tzjb ) COS2( ; a;b ) J 112
(4.108)
24. IЦель, прореЗ8НII8Я в БСClюнеЧIIОЙ ПЛОСl\ОСТII.
поля вблизп ПЛОСl\Ol'О проводящеrо Эl\раН<i, n IЮТОрОМ
у
;l,JШ ПОJIучепия
ПрорСЗ<iна щель
. , .. I '1 I I f I " II I .
: : :: : : :' I I I 1 : : : : t :
l' III " I I
I I , I I : ' , 1, I I : :: .
I , I I " I I I -, , , I I I I I I
: II I 1, 1,' , , I , " \ \' II II
1111" " \ III l'
111'1, ,",' '- \\\' llllt
," " \Т/ 2а "Jj "'"
:r:
Фие. 40. II.пОСIЮСТЬ со ще.пью, имеющая одну rраницу с однородным полем.
шириноЙ 2а, мотно oTorllYTb учаСТОR дсЙствителыlOЙ оси, JIежащий между
тачн:ами х == + а 11 х == а, и растнпуть ero таи, чтобы он охnатил всю
НИЖIIЮЮ ПОJIУПJЮl'I\ОСТЬ Z, 110IJCPXHOCTb и()тороii на ПJЮСИОСТll Zl протяrи
ваетен СН:ВОЗЬ разрыв в пачаJЮ н:оардинат. Из фиr. 40 видно, что а, == 2'lt,
а 2 == 'lt, аз == 2'lt, и 1 == +,01' и 2 == U, u з == ар поэтому 113 соотношения
(4.85) ПОJJУ"IaСМ
d .).,
== с Zl lll
а'>1 1 Z .
J,3 результаlе ИIJтеrрировашIЯ пыее.м
Z == С 1 ( Zl + ) + с 2'
Необхо)шмо, чтобы IIрИ ZI == :::1:: а I Z == :::1:: а. Э'Ю ПЫПОЛШlCтен при С 2 == О 11
2a I C 1 == а, таи что OIюнчатеJIЬИО имеем
а ( ZI а, )
Z=="7""" + . .
2 а 1 Zl
(4.109)
Если исходить нз ОДlJорОJIН()rо ВСРТИRаJIыюr() ПОЮJ I-J! == EZ 1 на
IIJЮС1ЮСТI1 ZI И 1ЮJIOЖИТЬ 2а l а, то та1ще преобразоваllие остаВJШСТ на
IJЛОС1ЮСТИ Z без иаменсний поле на беснонеЧНОСТIl IJ иеНа/наст 01'0 вб.JJИ3И
знрана со щелью; при этом часть п()л}] ПрОНIlIШСТ CIшозь JЦс.ль. Из c.oOTH()
тенил (4.109), пзнв в начестне 1ютеJщиаJIЫJOii ФУllНЦИИ У, наХfЩIIМ
1
1\1 == EZ 1 == т Е [Z:::I:: (Z2 (J2)Ч2].
(4.1 !О)
ЕСJIИ мнимую Ч<it:ТЬ RОрПЯ llееrда fipaTb
ней ПОJIУПЛОСНОСТИ HOJIН сн.падывались,
в ныраже,IИИ (4.110) выбрать зван плюс.
ПШЮllштеJJыюii, ТО, Ч.'обы н Bepx
а п I-Iижнеii ВЫ'JlIТR.rПfeЬ, I-iУЖНII
Двих.ирриое распред(щеuие поmеuциала
101
ПJIOТНОСТЬ пш:ерхн()стноrо заряда на эирю,е ;!.ается выражением
а == Е I dW I == €,E ( 1 + х ) (4.111}
dz y o 2 \. (х2 а2)Ч '
rде- знан выбираетсн таи, чтобы в верхней полуплосиости ()na члена снла
дываЛIIСЬ, а в нижней вычитаJl11СЬ.
Польаунсь преобразованпем (4.109). л-еrно IЮJIУЧIlТЬ на ШIOС1ЮСТИ Z
ПОJIe заряженной нити, распо;;южснпой вБJШ3И заземленной металличеСIЮЙ
плосности с нрорезанноЙ в нсй щелью, исхо;:щ из ПOJIЯ зартнснвоЙ нити
над аазсмленнuii ПJюrIЮСТЫО на ПJIOСН:ОСТИ Zl'
Запишем правую часть соотношсНI1Я (4.1(;9) В полярных !юординатах
и решим полученнью уравнения относительно х и у:
== СОБе
ri+ar :!.I'\a L l'
(4.112)
у а. е
== 2 . ып l'
r1 al r 1 a 1
(4.113)
Возведем оба ураш евия в н:вадра1' II сложим
х 2 1 у2
И+аf)2 ТИ аr)2 4"rai .
(4.114)
Тан:им образом, еСJIИ r 1 > а 1 , ТО ПОЛУОНРУЖНОСТII ра'lиуса "1 II радиуса
a /r1 пре()nраЗУlOтеи на плосностп Z соотвстствснно В верхнюю и ПИЖШОIО
половины ЭJfЛШI са. описываююrо уравнснием (4.114). По.пУOI l'ужн()стн
радиуеа "1 == а] распрям.пнется, прсвращапсь в отреЗ()Н дсiiстшпсльноii оси
a x<+a.
25. Римановы поверхности. ДШJ более отчст.rtIШOl'() ЩJOl(ставлениri
всех возможностсй, зан:лючающихсн в том Jf.'IИ инuм прсоfiрююнании, часто
IY'
В
Фие. 41. Риманова поверхность.
бывает полезно ПОJlьзоваться понятнем риман()вой поверхности, что мuжно
пон:азать на прпмерu предыдущсr() параrрафа. Хотя вее ТОЧ1ПI плосн:ости Z
уже были испuль:юваны нами для пре;rставленин ПОJIOЖПТUJIЬНЫХ значениЙ
Y 1 , соотношение (4.109) дает танже значении z и при отрицательных Yl'
ДЛЯ н:оторых 'lt < &1 < О. Из уравнения (4.113) следует, что областт:
0< r 1 < а 1 и 'lt < е l < о еоответствует верхней полуплосности Z, а облает).;
a 1 < r 1 < 00 и .'lt < 61 < О нилшей полуплосности. Таним образом, наж
Д{)Й точне на плосности Z соответствуют две ТОЧ1П1 на плосноети Zl' Однан'О
· эту двухзначность можно иснлючить, с елав плосность z из двух листов:
Соединяя эти лиеты между сuбой, нужно ПрUНВJшть нрайнюю осторожность,
слеДИ за тем, чтобы" при прохождении нен:оторой точной непрерывноr{)
102
['лава IV
J{OHTypa на ОДНОЙ из плосностей соответствующая еЙ точна на ДРУI'ОЙ плосно
сти описывала танже JlепреРЫВJIЫЙ нонтур. На фиr. 41, справа, изображен цeH
(rр-а.ньный участон таной поверхности, яазываемой римановой поверхностью.
:Jlинии, относящиеся н нижнему листу, сделаны пуннтирными; нроме Toro,
дли большей наrлядности оба Jrиста поназаны разнесенными. Из А в В и
из С J! D можно перейти толыш через участон х2 < а 2 , а из А в С и из
В n D через участнИ х2 > а 2 . Онружность радиуса r. == 6. при 8. О
становится на плосности z беснонечно удаленной онружностью, лежащей
на поверхности АС. Римановы поверхности можно построить дЛЯ БОЛЬШОI'О
ЧИСJШ различных преобразований.
26. Задача о Rруrлом цилиндре, расположенном внутри зллипти
чеСRоrо. Из двух последних параrрафов следует, что область плосности z..
внешняя по отношению н Hpyry r 1 == а], при помощи преобразоваJIИЯ
z== ( =1 + ) (4.115)
2 a 1 Zl
может быть превращена НО внешнюю (по отношению н участну действитель
ной оси a<:x-<a) область поверхности BD плосности z. ПОСНОJIЬНУ на
ПJIOСНОСТИ Zl мы оqJВНИЧИЛИСЬ областью вне Hpyra радиуса r 1 -== а., то,
tледuвательно, нельзя пересенать ось х] на отрезне al < X 1 < + a 1 .
Поэтому и на плосности Z нельзя перосенать ось т на отрсзне а < Х < + а.
,Линия. соединяющая точни + а и а, называется .i1инией разреза плос
кости Z.
С точн:и зрения ;:шентростатини это ПОЗВOJшеl' нр\:юбршювывать любое
поле на плосности Z.. имеющее в начестве энвипотенциалыюй или силовой
линии онружность радиуса r 1 == а., в поле на п;юсности Z, имеющее в Ha
честве энвиrютенциальной или силовой линии линию соединения точек
i == + а и Х == а. В более общем случае можно получить реШeIlие задачи.
рассматривающей нонфональные эллиптичесние rраницы, исходя из решения
задачи с l'раницами в виде нонцентричных нруrовых цилиндров, тан нак
преобразование (4.114) превращает- .пюбую онружность радиуса r l == b l . rде
Ь] > а.. в эллипс на плосн:ости z. Если же эти OI{ружности на плосности Z]
взять эн:сцентричны;v.и по отношению н: ш{ружности: радиуса r] == а], то после
преобраЗОJ!ания получится профиль са\lюлстноrо н:рыла. Поэтому это преоб
разование используетен. в аэродинамине и называется (шреобразованием
крыла» .
* 27а. УСJIOВИЯ на rранице раздеда двух диэлеRТРИRОВ. При помощи
соотношений (1.48), (1.49) и (4.55) определиМ1раничные условия, ноторым удо
влств()ряют потенциальные фуннции и фунrщии потона. Пусть фунrщии
W.. == и. + jV. == /1 (z) И W 2 O и 2 + jV 2 == /2 (z) опиеывают элеRТростатичс
сн:ис поля по разные стороны от rраницы раздела Л:ВУХ диэлен:трин:ов с про
ницземостями Е] и Е 2 . Обозначим через д/дп и a/as соответственно производ
ные ВДОJJЬ нормали и ВТJ:оль н:асательной к rранице. Тоrда из соотношений
(1.48) и (4.55), приняв U за потенциальную функцию, находим
ди 1 ди 2 aV 1 aV 2
Е]ап==5 2 дп или El7fi ==82 7iS' (4.J16)
I
Если принять, что в нен:от()рой точне rранИцы соединяются между собой
линии нулевоrо потона, описываемые фуннциями W. и W 2 , ТО соотно ения
(4.116) можно проинтеrрировать в пределах от этой точни ДО точки V. или
? V 2 п, следовательно, получить
i{.-
6 1 V. == 6 2 V 2 или K.V. == K 2 V 2'
(4.117)
д вух.ж:рное распределение nоmенциала
103
l'де К t, К 2 111']J()СИТО.JJЫlhЮ диэлеНТРl1чесние ПРОНИl неМОСТJJ. Из условия
(1.49) имеем
и 1 ==и 2 .
Таноны [])8НИ'ШЫО УСJIOJlИЯ ДJШ V И U n СJlучае.
Б начеrтве потенциаJIЫIOЙ ФУННЦИlJ. ЕСJll! ше da
I!ЗЯ'lЪ V, то ЛJaНI1'1НЫМИ ус./IOI!ИЯМИ будут
V t ==V 2 11 SIUt==€2U2 11.JШ K 1 U t ==K 2 lJ 2 .
(4.118)
осли посдедннн выбрана
потенциальную Фуннцию
(4.119)
27б. ЭШIИlIТИЧ('СIШЙ ДlшлеКТРИЧ('('IНlii IJ.ИЛИIIДр. Rонфор:мные пре
()бразования MOl'YT прш\юниты:н но тu.ЛЫ\О Д.JШ решониЯ аадач, рассматрива
юши.х rраницы, ('ОlшаilНЮlllие с ЭНВИ110теНI иаЛЫIЫМИ иди еиловЫМИ линиями
IIОЛЯ, НО И при рошении мноrих друrих заJlач, II ноторых НУЖНО УДOJlJJетво
рить УCJювиям нн J'раНИl О раздеJIa дюmектричсrних сред. Так нан: при
таних преооразоnанинх уrлы ('охраНЯlOтен. то занон прелом.нения еиловых
.пиний (1.51) БУ.'; ет удон.потворен. I1РО;IllО.тIOЖИМ, например, что нужно
решить задачу о нахождонии сопрнжеrшых ФУННЦИЙ, опиеьшаЮЩLlХ поле,
в случае ЭJШИПТl1чесь:ш'о ЦИJJиндра, по!VющеIпюrо н однородное поле, наllрав
JJeние KOToporo cOCTaBJJHeT уrо.п а ( б()лъпюй осью эллипса. Уравнение
диэлектричосн:оii ['рашщы запишом 11 вино
х2 '1I 2
2+'--2=0=1.
т n
(4.120)
ПреоБР(i;jоваНI'С, описанное в 26, ПО31Ю,IЯОТ ПОJJУЧИТh эту ЭJlJlиптичесную
['раницу на П,jJ(JeJЮСТИ Z, исходя И3 Оf\ружноети радиуса r 1 == Ь на плосно
сти Zt. Дли простоты ПOJЮЖI1М n 24 и 26 а 1 == 1, тан что вся ПJЮСНОСТЬ Z
будет соответствовать тои области плосности Zl' нотораи раСПОJJожена вне
единичнШ'О HpYJ'a. Запишем уравнение (4.114) в форме (4.120) и прирав
няем соответствующие НОЗФФlrциенты, в [lрзу;;н,тате П()J[учим
a2 т2 п2 и Ь2== .
т n
(4.121)
в системах с ЭЛJIИIlтичесними J'раницами У;Iобнее ПОЛЬ301Ш'lъси не прямо
уrОЛLНЫМИ ноординатами х и у, а ЭЛЛlштичссними (нонфонаJrhНЫМИ) HOOp
динатами 11 и 1), показанными на фИI'. 38 и 39. Соотношения между пря
моуrольиыми и ЭЛJ1ИптичеСЮIМИ ноординатами можно ПOJ1УЧИТЬ из выраже
нин (4.103):
Z :=: а sin w,
х == а sin u 1'11l"
у == а СОБ 11 sll V.
(4.122)
TorJla преобра:юваНI1С (4.115) аапшпетl'Н в виде
1 ( 1 )
Z == 2 а ZI + Zl
и.пи
Zl == JC -j1J! == je j"+v == [z т (z2 a2)1f2] == а [z (Z2 (2)Ч2] I.
а
,
(4.123)
Отсюда шщно, что на больших расстояниях от начала ноординат (rl co)
1 1
z == Z az 1 . Т. о. однородное поле W == 2 aEz 1 преобразуетси n однородное
цоле W == Ez. Интересующее нас поле может быть, очевидНО, продставле
НО в виде суммы двух полей: Еертинальноrо Е sin а и ruризонталыюrо Е СОБ а..
Эти состаВJIЯJOщие по.ЛЯ поназаны на фиr. 42, а и 6. Оеь, проходищая
lI е рез фонусы, еовпад:lOТ в случае (ш» с ЭНЕИIютенциалыюй линией, а в
случае «6» c силовой линией. Поэтому на плосности Zl нартины силовых
линий будут таними, накими они изображены на фиr. 42, в и е.
Плоскость Z
т
а
Плоскость Z,
8
а
,\}
Плоскость z
,
--т
п
i
m
б
Плоскость Z,
е
Фие. 42. а, 6 Э.ТlJJИПТИ'ЮСКИЙ ЦИПИНДР
(К 9, т 1l 3) соответственно в ПОП!'
lIертпна ьной И rоr J:юнталыюй coeTaB
ляющих ОДНО)ЮJ(НОПJ ПоЛН 2 1!2 Е. Ilреоб
ра:ювание(/1.123) нреuбра:ювьшает случаи
а И б 11 в 11 е, I'A!' J'раницы ,\иэлеНТРИЮl
имсют НИ;( KPYJ','lbJX I(И:IIIЩ(РОН. СупеРllОj.
3lЩИН а Н 6 ЩЮТ д, ";(е осн эллипеа об.
разуют (' llOJlCM Е УI'ОП 450.
ДвУХ'м'рриое распределрние поmеuциала
{05
110 поле, изобрюнerшое на фи!;. 42, в, уже БЫ;;JО вычислено шi.ми' n
R 4. Примем и' за потенциальную фУ1ШЦИЮ и ПОЛОЖИМ и;, == о на единич
вой Оl\рУЖНОСТИ, тоrда
W == jaEsina.( zl+A'Zl.1), (4.124)
W ' 1. В ' Е . ( 1 )
i 2 /а sш а. Zl + Zl ,
(4.125)
rде с учетом (4.121) обозначено
А' == Ь2 [(К +1)+(K 1) Ь 2 ) == (т+п) (Kт п)
(K 1)+(K-т1) Ь 2 (т п) (Кт+п) ,
В' 2Ь 2 т + п
(K 1)+(K+1)b2 Кт+п .
Для случаи, изображенноrо на фиr. 42, е, l\ЮЖНО I1спользопать те же
НИI\И. ПРI[ Zl == e jO Vi' == о, поэтому решение ДО.IЖНО иметь ВlЩ
(4.126)
( 4.127)
rapMO
W " 1 Е ( + А '. 1 )
0== 2 а cos а. Zl Zl'
(4.128)
W '! 1 В " Е ( + 1 )
,. та cos а. Zl Zl .
( 4.129)
Соrлв.снu 27а, при r == Ь и == и,: и V == KVi, поэтому
Ь 2 +А"==В"(Ь 2 +1) и b2 A"==KB"(b2 1).
Решая отпоеительно А" и В", получим
А" == Ь 2 [(К +1) (K 1) Ь 2 ] (т : п) (т Kп)
Ь 2 (К +1) (K 1) (т п) (т+Кп) '
(4.130)
" Ь 2
13" ==
. Ь2(K+1) (K 1)
т+п
т+Нп
(4.131)
Беря суперпозицию этих полей I[ прпменяя преобразопаНllе (4.123), для
области пне цилиндра находим
I
W o == аЕ [rjG( Zl + (А" cos а. + jA' sin а.) Zt 1 ] ==
== ajE [e j <,,+w) (А" cos а. + jA' sin а.) e jW ] ==
== Е {e jG( [z + (Z2 а 2 )Ч2] + (А" cos а. + jA' sin а.) [z (Z2 а 2 )Ч2]} "
(4.132)
Аналоrично и
для области внутри ЦИJlИIIДра
W i == аЕ (В" cos а. jB' sin а.) (Zl + Zt 1 ) ==
Е ( ) ( ('ОБ а . sin а )
= rп + п m + Кп J Кт+п z.
(4.1З:З)
Заметим, что внутри цилиндра поле остается однорО;J,НhJМ. На фиI'. 42, ()
ПОl\азаны линии элеl\тричесн:uй индукции для 1'01'0 е.lучан, I\оrда внешнее
поле наl\лонено на уrол 450 по отношению 1\ оснм ЭЛJlипса.
'"
. 27в. Момент, действуюЩиЙ на ДИЭJlеl\трический цилиндр. Момент Т,
действующий на единицу длины беСl\онечноrо диэлеl\тричеСl\оrо ЦИЛИНд}Jа,
наХОДflщеrося в однородном элеl\тричеСI\ОМ поле, ориентированном перпепди
'108
r лаВа /V
кулярно -к оси ЦИJlиндра и под уrлом (J, к rлавной-
найти, исходя из nеЗУJlьтатон предыдущеrо параrрафа
и (3.42). Таким образом,
т :,,; [ Ev (1 К) ЕЕ; eos <р dv ] '
v
оси эллипса, можно
и из формул (3.41)
-'Н
(4.134)
rде ер YI'OJ1 между ннешним подем Е и однородным ПОJlем внутри ЦИJlИН
дра Ej' Величины Е, Е; И cos ер постоянны внутри у, поэтому их можн()
uын()ети ИЗ 1ЮД интеrрала, ПОСJJе чеrо интеrраJl будет равон ) dv == 7tmn (на
С.J,иницу длины). Относительные нанравJНШИЯ инеличины некторов Е и E i
даются выражением (4.133), в котором при определении Е нало положить
К == 1:
Е == I д ; \ 1 == I Е I e jD ,
Е I aw; \ I E I jD'
> д;:, к i. е '.
(4.135)
110дстаншlН прr.и:шодеНIIО этих веJlИЧИН в (4.134), ПОJlУЧИМ
I Е 11 Е . I cos (6 6 i ) == ReEE == I E(r)E r) I + 1 E(i) E i) I '
" 1 2 д ( СОБ2 rl sin 2 а )
1 == 2 Е.,.в (К 1) 7tmn (т + п) & ..... т+Кп + Кт+ п ==
1t vE2 (К 1)2 тп (п2 т2) sin 2rl
2 (Кт+п) (т+Кп)
(4.136)
(4.137)
Этот момент етремится повернуть rлавнуш OCI, эллипса HJJOJIb поля.
* 28. Мноrоуrольник с закруrJlенным уrлоМ. Существует несколько
методов, позволяющих заменить острые уrлы в преобразовании Шварца на
.1анруrлонные. Один из них состоит в замене множителя z "/'It) l в выражении
" ...:... z "I1t) 1 (Zl U2)("/'It) 1 . .
1
2-
.на lZI + ЧZl 1)lf2]("I1t) 1, ['де Iunl > IUl1 11 > " .lu 2 1>-1 и '. < 1.
Друrой метод заключается н замоне м.нОЖИТШIЯ z "I1t) 1 на
(Zl + 1 )("/'It) 1 + л (Zl 1 )("I1t) l.
В обоих С;Jlучаях aprYMeHT HOBOI'O множителя равен нулю при Zl>- 1 и равен
а.. 7t при Zl -< 1, тан что стороны мноrоуrОJJьнина, соответствующие оБJJа
ети вне 1 < Zl < + 1, обра'Зуют между собой те же уrJJЫ, нан и в СJJучае
примонения множитеJIЯ z "/'It) l. Между точками ZI == + 1 и Zl == 1 ПОJJУ
чается теперь неноторан кривая, ФОРМУ которой можно менять при помощи
мн ;житедн /,.
* 29. IIлоская решетка из Цlшиндрических нроводов БOJ1ьшоrо
диаметра. В 21 мы ириш.ни к выводу, что задача о нахождении ПОJJЯ
OKO.тJO плоской решетки, образованной из ЦИJJиндрических ПрОlJОДОВ MaJJorO
радиуса, может быть сведена J{ задаче, в которой вместо ЦИJJиндрических
поверхностей проводов рассматриваются эквипотенциаJJьные поверхности pe
шетки, состоящей из ;lИнейных зарядов. Если же диаметры проводов, обра
ЗУЮЩIlХ решетку, оизмеримы с расстояниями между ними, то ИСПОJJьзован
ное приf)лижение совершенно несправедливо. Однано в этом СJJучае можно
НОС1юльзоваться методом, ИЗJIOженным в предыдущем параrрафе. Возьмем Б
начестве т шичноrо участка поля lJешетки область, отмечеI! УЮ сплошной
Двух.мерн'ое рас",реiJел.еuие поmСн'lfuала
107
линией на фиr. 43, а. Из эт()й фиrуры с.педует, чт() z И Z1 ДОJ1ЖНЫ быть СВЯ,
З IIЫ между собоЙ следующим дифференциаJIЬНЫМ выражением:
dz С . C Z ] + 1/12 -+ Л(Z, 1)112 .
dz, 1 [(z] 1) (z] + 1) (z] +а])]Ч2
С] 11 + },С, 11 (4.138)
[(z1 1) (Z1 + a l )] 2 [(z. + 1) (z( + а])] 2
Пrpиведем теперь О}JИН ИЗ способов опредешшия п()стшшн()й С 1 , ДО сих пор
,.
,.
Т\:
2Ь
"
\
t--
I
".
У,
у
Плоскость z
/ "
, \
, I
... "
Плоскость Z,
, ....
I \
J, 4
\ ,
'.... ",'
х
а
б
8
Фие. 43.
еще не упоминавшийся. Если r 1 постоянная величина, т(), таи нан
Zl == r le jB ] ,
dZ 1 == j'"1ej6]d61 == j Z 1 d6 1'
Если r 1 00 и 61 меняется от U до '11:, то Z проходит значения от у == о до
у == Ь. Подставляя в соотношение (4.138) dZ 1 == jZl d6 1 И устремляя Z1 00 ,
будем иметь
jb
\ dz==jC 1 (1 +л) d0 1 или jЬ==jС 1 'II:(1+л),
о о
ь
.С]== 1t(1+Л)
(4.139)
. Таиим методом пользуются довольно часто; действитеJIЫЮ, ,J;ля опре
целения постоянной не обязательно прuводить интеrрирование в общем виде,
а'; iдостаточно проинтеrрировать наной нибудь простой частный случай,
обычно r 1 O или r 1 00. Интеrрирование выражения (4.138) [сделаем
замену Z1 == (а 1 и 2 ::1:: 1) (1 и2) 1 И применим формулу (140.02) из справочнина
Двайта] дает
2Ь [ h( "-, 1 ) 112. h( z,+1 ) 1I2 ] С ( 4140
Z""' 1t(1+Л) art z]+a] +лаrt zl+a. + 2' . )
Если z == с, Zl == + 1. т() С 2 не является деЙствительноii пеJlИЧИНОИ и
2Ьл ( 2 ) 1[2 а]+1 , t h2 [ 1tС(1+Л) J 414
С== 1t(1+л) arth 1+а 1 или 2 . с 2Ьл ' (. 1)
"
Е пи Z == jc, Z1 == 1, то С 2 не является чисто мнимой нели чиной И
+2Ь ( 2 ) Ч2 a. 1 == ctg 2 [ 1tС( :Л) J . .,
c 1t(1+л)аrсtg al 1 . или 1
( 4.142)
108
. . ,т:;, Л ,,'iЧ1 о! l' .f{4ea IV
#
Вьiчитая одно из друrОFО, пОЛУЧИМ "
'('
1 ==cth 2 . [ 7tС({+Л) ] 't 2 [ 7tс(1+Л) ]
2Ьл с g '2Ь
, ' , 7tс(1+л) ' h 7tс(1+л)
cosec '2Ь с '2Ьл
Чтобы выразить л через Ь 11 С, IIoc'rpOIJM I'JJафш{ отношения левой части
этоrо уравнения н правой чаети HaIf фУШЩ1l1lJ ',Н найдем те значения л,
npl! которых это отнuшение равно
едr'IНlще. ОпредеJJИВ значениЯ л и tJю
жив выражение (4.141) и (4.142), по
лучим формуду , опредеJIЯЮЩУЮ a l :
a,
О -c .., O
1 -4-- I ..,
................. I If!",..,....
2 .... "1" ..2
8 "'" \ I " ""...... з
/ .........
4 -4-- :'" 1 ... 4
5 +] 5
а
о ! :a, ....o
1 . ..1
2 ... ..2
з ... .... ... ... ..з
........... .".--
4 ... .... 1 "..... ,;", """'4
5 ... +1 "'5
б
a
L
..... ....=--==== 2
. ;,,,,, "'............:.............::.::..=: 4
I / ,..."...... ....
I ;'... ..... 6
' ' /:"' ............:. ....
\ I ...::-:::==.:- 8
.. +1 .=::::..-=. IO
в
Плоскость z
(прuблuженно)
Фие. 44.
Т!:
' } 2 [ 7tС(1+Л)
а l c 1 '2Ьл
+ ' t 2 [ 'Т'С(l+Л) ]
с g '2Ь .
1 +
(4.143)
Ричмонд 1) ИССJIедовал вопрос, Ha
CHOJIbHO точно эта н:ршзая может быть
аllf!uнеl1мироваJJа Ol{ружпостыо r == С,
J1 нон:а:заJI, что расстояние се от иа
чала НООР;:lПнат ОТJПtчаетсн от с не
БOJIeе чем па 2% при 2(' < Ь.
ДJШ лолучешш решения в слу
час, IЮl'l18 решетна образует одну
из 1'рающ ОДflОРРJТНОП) поля
(фие. 44,8), IIУ'Ю-Ю наJНШШТЬ 1iоло,
I1зоfiрашснное на фИI'. 44,а, на по;r.:е,
пзобрашешюе на фиr. 44,6 (на этих
фитурах Э1шипотенциаJJъные линии
(,ПJJOШtlые, а ('иловые JIИНИИ IIУНН ,
тирные). Н елучае (Щ)} интерс!',ующая
лас фУННЦ1!Я па П;JоеноСТИ z]' co
l'лаено соо'rношепшо (4.1U3), равна
W '=' А arc siп Z1'
rде V потенциальная фуннции. Что
бы В одной НOJIOI'}Ю фиr. 38 помеща
1 1
лось тЕЬ, а не 1t си;ловых JIИНИЙ, необходимu положить А ==2 Eb/1t, TorlJa
W== :: arcsillz 1 . (4.144
Аналоrично в случае «6» учаеТОR оси Х] ,,'ежду точнами а 1 и + 1 сдедует
считать находнщимея под нуденым потенциа.ПОМ, Поэтому, смещая начало
ноординат, ПОllУЧИМ
\ .
Пl ЕЬ " 2z1+a, 1
п 2п ar( 'НИ 01+1 .
(4.145)
При наJIожении обоих ПОJJей ПрflХОДИМ }, СJJучаю «8», т. е. н елучаю OДHO,
родноео ПОЮ-l Е при х == + 00 и поля, paBHuro нулю, при х == ..0... 00. . Ra'Ik
у>-
1) Riehтond, Proc. LondoJl Math. 80е., Ser. 2 22, 389 (1923).
Задачи
1.00
и в соотношении (4.103), за потенциальную
нутой выше работе можно найти аккуратно
таних системах.
ФУ1ШЦИЮ выбрана V. в упомя
выполненные rрафини полей в
30. Случай уrлов, нецелокраТНblХ 1t/2. Задачи, в ноторых уrлы
мноrоуrольнина не составляют цеJIOrо HpaTHoro 1С/2 или в ноторых имеется
IЮСИlVlметричный МНOl'оуrолынш с более чем двумя прнмыми уrлами, или. в
н.оторых два или более провопнrша прямоуrольноrо сечешш находятся ПОД
различными потенциалами на нонечном расстоянии Jlpyr от друrа и т. д.,
таюке MorYT быть решены при помощи преобразOJШНИН Шварца, но интеrри
рование в этих случаях принодит R Э.пшштичесним фунrщинм Н1юби.
С этИlVIИ Фуннциями можно манипулировать таним же образом н:ак, напри
ep, с триrонометричесн:и .и IШИ rиперболичесними фуннциями, но Бсе опе
рации значительно осложняются. Мы не приводим здесь примеров, требую
ЩИХ применения эллиптичесн:их Фунн:ций.
3АДАЧII
1. Пусть ПОJюсна y o. О<х<;:а имест потенциал 1;0' а ОСТ3JJЫlап часть ПОJ[У
ПЛОСJ\:ОСТИ xz а < х < 00, а танже вся П,jJОClшсть yz находнТ('я ПОД нулевым потенциа
ДОМ. Поназать, что потеНЦИШJ в любой то'те "> О, у> О определпется выражением
7'У == У О ( are tg 2ю'С tgL+,\I'C tg ) .
x a х х+а
2. IIо.ТIУПЛОСНОСТИ х C О, у::> о и у == О, х::> о представляют собой прош>дпщие
знраны, поверхности ноторых заз,::млены 13l"юду. нроме УЧШ'ТЮI, расположеННОI'О вБJJИЗИ
ЛИНИИ пересечения полуплосностеи и ш'рюшченноrо ЛИIlI1НМИ х==а и у = Ь. Этот учаСТ R
изолиролан И находится -ПОД потенциа:IOМ У. Найти ПЛОТНОСТЬ иоверхностноrо заряда
IШ эн:рапах.
З. Иепользуя МСТGД ИНIJерсии, установить зюнш отображенип Jшнейноrо заряда
1) расположенном параJI.:ШЛЬНIJ сму нруr.,юм ИрОВОДШЦСМ ЦИ;ll1ндре.
4. lIовеРХПf1СТЬ ПРОВОДНJша l1меет форму внешнеj;i поперхно("J'И Te, ]Д, ПОJ1ученноrо
при opTOrOHaJJbHO 1 перееечениrr двух одинаковых IЧJуrлых щrш1НДРОВ радиуса а. Пона
зать, что плотпость повеРХНОСПШl'О зарпда на таном проводнине равна
q (2r2 a2) (4тcar2) 1,
rде q ЗflрЯД на единицу длины, а r расстояние от ОеИ.
5. Попюш.ть, что отношение маш:пма.JJЬНОЙ плотно( ти поверхпоетноrо зарЯДR
1{ минимальной в ел уча!' заряшен]]оrо нроводящеrо Эллиптичесноrо ЦИJ1Индра равно
отношению БОJlьшей f)('И э.пШШl"а l{ мr'ньшей.
6. lIровод, несущиj;i ШJ себе азрнд q (на СДШIИЦУ длины), протннут верТИlШJIЬНО
IJHYTPIf вертиюiЛЫЮЙ ПИШШДрИ'1ееКОЙ. пощ)('ти ра;iиуеа а. наХIJ lнщейен в ерсде с ОТJ]Ol'.И
тельной ДИЭJIш{триче('ной проницаемостью К. ПонаЗ<1ТЬ, что если провод расположен
на расетоянии с от пентра полоети, то на HeI'O дейетвует ('ила. етремлщанеп I1ереме
СТИТЬ провод еще ближе н с теш{(' ПOJЮ('ТИ и равная (на единицу ДJШНЫ)
[(К 1)/(К+l)]сч2
[ ТCE]) (a2 c2) I
7. Две тонние фибровые НИТll натянуты веРТlшаJJЬНО внутри зазеМJJенноп) про
водящеrо нруrЛОJ'О ЦИJII1Ндра радиуеа а. 1l0l,'1зать, что е. ли раестонние между иитнми
РIlI!НО 2 (5Ч2 2)Ч2 а l] еСJIИ ОНИ зарпжены до р:шных по ве..'IИчине и ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ
по знаку потенциалов, то действующая на lШТИ пrла будет равна нулю.
8. БееКОllечнзн ПрОНОДНЩfШ Шl..'lИНДРИЧIet"JШЯ оБО,;IOЧЫJ радиуса а разрР.заШJ ВДОЛЬ
на четыре одипанопых части. Одпа 113 них имеет потепциаJ! + V 1 , друrая, диаметра.тrьно
ПРОТИВОПОЛОЖllаП, потенциа.п У), а две оста,п,ных зазеМJ]ены. 1l0Rазать, '11'0 и{)тен
I\IJал внутри оБОJIOЧЮl равен
;1 У 1 ( 2ау 2а.Т )
'it .-;-ar'сtg а" r2 +aJ'сtg а2 r2 .
9. Рассмотрим область проетраНС1'ва, оrраничеНJlУЮ " ОJ\НОЙ стороны ИЛОС1{ОСТЬЮ
$:&, а е друrОЙ ПОВ('РХJIOСТЫО 'ЦИJJИпдрfi а 2 + у2 == Ь 2 . 1I0BepxHocTb пилиндра Jj чаеть
Но
r лава IV
п)юсlюетв, ,проходнщан через по.rrоеу а <- 1 х I < Ь, находятся ПОД потеициаJfОМ, равным
нулю. Часть шю(',{{uети, .1lежащая в полосе a < х <+а, имеет потенциаJI V o . ПеIOl
аать. что ураRнешrе СИJЮВЫХ JП1.НИЙ при а -< r -< Ь имеет ВИД 'Tf -
,
u 2 o L а: [ r +( ;2 )n ]coSnH,
('де суммирование ЩJOИI ХОДИ>l' но IшчеТНЫ 1 n.
10 . Три Д:lИнных тонких одинаково заряженных параJJJlеJJЬНЫХ ПРОDопа РRеполо.
жены на ОДИllанопом ра('(',тоянии З Ч2 с ДРУI' от друrа. ПOlшзать, что уравнение экви-
потенциальных поверхностей такой системы в ПОJJНрНЫХ координатах а ШИlJ]етен в виде
r 6 + c6 2r3c3 cos Зб == const,
'J'Де на паЧ3JЮ КООрДIIШIТ В3Я'l'а точна, равноудаленная от веех трех IIрШЮДОВ, и в lшче
стве НУJJевой повеРХJ{Оt'ТИ IJзята поверхность, прохО]щщая через один из ПрОDОДОВ,
11 *. Полый ЦllJIиндричеСRИЙ проводник большой длины разделен на две- части
lJJЮСКО('ТЬЮ, IJроходнщей через fП'О ось; эти части отда;'Jепы друr от дрУJ'а на неБОJJьщое
расетоянвр и поддсрживаются ПОД JютеНЦllа:шми V\ и V 2 . Потрнш.ra;1 в любой точке
IJНУТрИ цилиндра рНJ{иуrа а равен
1 ( V I 1/ )+ V\ -IT2 , 2аrсоsб
2 IТ 2 :Hctg a2 r2 '
['де 1' раССТОЯIllЮ от 01"11, а U YI'OJI между ПJюсноетью, проходя щей чррев ось перпен-
ДI1КУЛЯРНО R П,ll()('lюети рззде,пеНИfl. и ШЮ('НО("fЬЮ, проходящей чррез точку, rде ище'fея
по;ш, и ось.
12*. Заряженная JIШIИН, 11меющан 11<\ единипу lлипы зарян е, раеПOJlOшена параJJ
лельно диэлентричеl"НОМ.у I(И,IИНДРУ с ОТНOl'lIтеJIЬНОЙ проницаемостыо К и радиусом а.
Показан" что еСJJИ с rасетояние между ,llИllией и {)('ью ЦИ 1 lИндра, то ('ила. дейет,
нующая на t'динит\у ДJШНЫ прorЮД<1, равна
К 1 а 2 е 2
К + 1 21tE V С (c2 a2) .
13*. Беенонечно ДJJИННЫЙ Цl1JIИНДРllчеСRИЙ проводнин, поперечное сечение HO"foporo
предетавляет собой внешнюю rраницу трех ОДИIШRОВЫХ ортоrОН<1JJЬНО пересеRающихся
окружностей рапиуса а, имеет на единину длины заряд е. Доказать, что плотность
аарнда на раестоннии r от оеи рюша
е (31'2 + а 2 ) (3r 2 a2 пЧ2 ar) (3r 2 a2 +(/12 ar)
б1tQ 1'2 ( r4 3a21'2+ а 4 )
14. Нрай .I'ОРllЗ0нта.IЬНОЙ ПJЮI'НОСТIf, имсющей llулевой 1I0теНЦl1а,l, Р3('ПОJJ жен на
расетоннии с С,Т пара.т1.'l{J,т,ЪНIJЙ ему Iюртинальной п,н\(',ноети, IЮТ('lIциаJJ ноторои paBel1
п. 1100{aa Tb, '11'0 llЛОТНОСТЬ :ШРНДН- на веРТИlш.IIЪНОЙ f1ЛОСR{)СТИ равна Е (у2 + с2) Ч2.
а на I'ОРИЗ0нташ,ной она рн-вна E (х2 с2) Ч2, rде х и у отечитываютея от той JJИНИИ
В веРТlПШJJЬНОЙ ПJЮСНО('ТII, которая раепо.пожена ближе Bcero R краю I'оризонтальной
ПJJоекости -
15. llоказать, '1.1'0 t'МI.юсть IШ епиницу ДJIИны между плоской ПОЛОСНОЙ шириной
2с JI эллиптичееним ЦИJ/IlНJ{РОМ, фш,усы Iютороrо еовпаllают ,. нраями ПОJIO(;RII, равна
" а ) I
2пЕ l 31' сЬ "7" '
I'де большая IJOЛУОСI. а:l,т,ИIIl:а.
16. ПОRазать, что СШIa притяж(шин (на единицv ДJJИНЫ) между двумн одинаш>-
IJЫМИ параллеJIЬНЫМИ ПрОDодаМII радиуса а. неСУЩИМl1 на себе заряды, равные eOOTB()T
('твенно +ч и ч (па е;(иницу длины), равна
ч2
2пЕ (с2 4а2)Ч2 '
I'ne с ,раССТОЯНlJe между центрами IlрОВОДОП. . I
17. ПлоеRая решетка еостоит IIЗ I1ЛОСI,ИХ НOIшанарных пн-раJJЛеJIЬПЫХ ПОJJОСрК
шириной 2а, расетояние между центрами ноторых равно 2Ь. Считан решетку З<1ряжен
НОЙ, показа'fЬ, что ЭJшипотеНЦИaJIьная поверхноl'ТЬ, Рilсположенная в среднем на pac
(:тоянии Ь от реПЮТRИ, отличаете я от плоской поверхности приБJJИЗИ'fеJJЬПО на Dе:JИЧИНУ
.. 0,028 Ь cos 2 ( па/Ь) .
Вада.vu
111
Н!. Найти .приближеннос выражение для поля реПJlJТКИ, еоетаВJJCННОЙ из парал-
льных проводов радиус.а а, от('тоящих друr от друrа на раеетолнии 2'1t, считая, ЧТО
эта решетка имеет потенциал и о и находится на расстоянии Ь (расстояние измеряетея
от центров проводов) от параJшельной ей заземленной н,юскости и что а Ь и а 2'1t,
Т. е. получить
И == иo е2Х 2сеХСОБ у+с 2
111 2 9' ,
и,. се"Х 2сеХ('ОБу+1
"де
.{ \ \
] e2b 2ceb ео" а +с 2
U 1 == n 1;2е2Ь lceb СОБ а . 1
11
с==сЬ ЬеОБа ; (еh2Ьсш;2а 1/12.
3дееь мы ПРИIlЯJJИ, чт 2а маК('Нl\ШJJьiшя ТОJIщина СJJOЯ, содержащеrо замкнутые ЭИНИ-
потенциаJJьные JlИНИИ BOKPYl' линейных зарндов, а Ь рас.стояние между этим слоем
и заземленной ПJЮСКОСТЬЮ.
19. Используя результаты Э 4. и 26, найти преобразование, дающее ПОJlе ОКОJЮ
проводящей зазеМJIенной по.тlOСЮI шириноii 2(;, внееенно:й в однородное поде, пара.:J;IРЛ].
ное ПЛОСRОСТИ ПОJЮПШ. Ес.тIИ за потенциальную ФующиlO ЩJl1НЯТЬ и, ТО
W ==:;:f:: н (Z2 C2)1f2.
20. Добашшя однородное но.пе к решению, полученному IJ зад че 19, найти ире-
образование, дающее ПОJlе пдоской проводящей ПЩI()['Ы ширинои 2с, помещрнной
в однородное электричееRое по,пс, ориентированное перпендикулярно к ос.и lllJЛОСЫ
И под уrJЮМ а К ее шюскости. Найти такжр вращающий момент (на еДИНИllУ д,пипы).
дейетвующий нн ПUЛОСУ
и,. == Е [::1: (Z2 C2)1/2 СОБ а jz sin а),
т 'ltEC 2 Е2 sin 2а.
2
21. При помощи обратноrо преобразования Шварца найти поле, еоздаваемор двумя
полубесконечными lюпланарными П,ПОСКОС'fЯМИ, потенциалы которых равны +и о и иo,
а параллеJJьные края О'fСТОЯТ на рас!.:тоянии 2с друr от дру,'а. []ОRазать. '11'0 сели и
потенциальнан ФУНЮIИЯ, то
1
'ltW
. 2
Z CSIIl .
О
22. Повернув I1реобразовашю, JН'ПОJlьзуемое н задаче 21, на 90" 11 применин
ореобразование Шварца, найти поле свободно заряженной rоризонта.пьнОЙ решеТI{И,
образованной из одинаковых парашJельныx вертикальных I10Jюе шириной 2а, раеполо
женных на расетоянии 2Ь одна от ДРУJ'ОЙ. Пуиь V nотенциа.Тlъная ФУllКПИН. а Еио за
ряп отдеJIЬНОЙ полосы (на еДИНИI\У Д:JИны), Torila
W == и о ,JI'{ Sill sh [nzj(2jb)) .
" sh( 'ltajb)
23. CMecТI;B начаJJO ноорДllнат в задаче 21 и примРIНШ JIOl,э.рифмичесное преобра
80ваllие, найти преобразование, дающее ПОJJе в том СJlучае, коrда решеТJШ, описанная
в задаче 22, образуе'f одну из l'раНIЩ {)днородноl'О I10JlЛ. Пусть V потеНЦ11альнан функ
цин, Н €Uo aapH;I. пол OcЬl , тоr;щ
и о ,. . e"1tzlb eh('ltajb)
Ч n <Il е SIlI Sll ('ltajb) .
24. Положив 11 задаче 21 с=,,1 II взнв U Н Iшчеетве 1I0тепциаJlhНОЙ ФУШШИН. при
",еним JIоrарифмичесное преобра:ювание и ПОЛУЧИj\1 JЮJJе в сие теме, состоящей из набо-
ра IIOJIубесконечных llРОНОДЯЩИХ парашJC.тIЬНЫХ ПJЮСRостей, расе1'ОЯНИР между которыми
{'авно Ь. Ирая ЭТИХ ПЛОСНОl'теii JlШ'1I0.пожены на оси у. а потенциа.пы их 1I0Пl ременно
равны +и о и CТ0'
'lit
z _ с _ ln sin "It .
'It ио
25. IlOl{азать, что можно тш': ви,\оизмеНИ1Ъ форму JЧЮСВ пластин во l\IНОJ'ОIl;ШСТИИ
Q8TOM кондеJl('аторе, состоящем И3 параллельных ппаСТJI11, что поле вдоиь всей cro llО
Щ!
r лава IV
верХlIоети, Ш<JlIOчая и «рая, будет IЮСТОЯННЫМ. Показать, что такой
F,ШJПJется в задаче 24 поверхноеть U ==U o j2, уравнение которой будет
х== :п ln (2 СОБ 2;:1/ ).
26. I30ЗДУШНЫЙ нонденсатор перемеНRОЙ е \lIШСТИ еостоит ИЗ тонних П,:lOених пла
сТИII, перР.мещающихсп между неПОдIJИЖНЫМИ Пl1астипами. Использун решение за
дачи 24, ПOIшзать, что ДОПОJJнительнан еМJЮСТЬ, оБУ!'Jlопленнал изrибом еи.пuвЫХ линий
на краях п.;шстин, ЭIП!Иналентна добан.тн'IIIIЮ к нранм пластин IЮЛUС(Ш шириноЙ (bj1t) ln2,
еде Ь раССТUНllие между соседпими неподвИЖНЫМИ пластинами.
27. Найти поле ШlНейноrо заряда + Q, раШlОложеннOJ'О в начаJlе ноординат:
в центре нривизны ци:шпдричесноrо желоба еДllничпоrо раПllуса, IJСJIИ еекториальный
yroJI жеJlOnа равен 2а, а зарнд на СДИНIlПЦУ длины paneH Q.
повеIJХIЮСТЬЮ
,(
Q . [ /(r 1)e"s( o) (r+1)Si]]( 6 ) ]
W == ап SI]] 1 .
",ТС8 2 1/2 . ( )
r Бlll \,2 а
lIри решении сле,.\ует И!'пользовать преобразоваНllе, приводимое II Э 23, положив в нем
Ь-== 'ТС, повернув ero на ЮО и примеНIIВ I{ нему JIOJ'арифмичсское преобразопание.
28. Добавлпп (, ПOJJЮ, полученному н последней задаче, поле JlИнейноrо заряда
1 .
7f: Q , находящеrося в начале I<оординат, получить выражеНlIС ДJIЯ потеппиала CB,cr
бодно зарпжеНllоrо цилиндрическоrо жеJюба едипичиоrо радиуеа, центр I,РИlJИЗНЫ (ш-
TOpUl'O сnвпадает С нача;JОМ ноординат, а образующий р'од ранен 2а:
Q [ , . l(r 1)eos( 6) (r+ 1)Si]]( O) - 1
y == 2 а!'С SШ - + ,lll r 6 .
41tZ 2 1/" . ( 1 \
r "SIП 2 а )
29. Пnназать, что в предыдущеi'l задаЧе uтношение заряда на ВЫПУIШОЙ етороне
J10IJl'рХ1l0СТИ желоба н заряду на BorHYToii стороне равпо
(1t+a)j(1t a).
30. 1l0l<азать, что плотность поверхнut:ТI-lOrо заряда в задаче 29 равпа
2-.!l.. [ 1 :l:СОБ 6 ( COS2 O coS2 a) 1/2 ]
!iТC -' ';>. '2/ '
l'fЮ II.HUC отноеиl'СН 1. ВЫПУI{JЮЙ стороне.
31. Hp H двух по.JlубеСКШЮЧIIЫХ ТОНЮ1Х прuводящих п.JlОеlПIХ энрашш Ilредетав
JlЯlOТ собой прямые, пара.п.JJелыlеc между со(;ой. Эти ЭJ<раны RаХО,J,нтеп пuд нулевым
110тепцнаJlOМ и образуют одну из rраниц элрктроетатическоrо подя, раСПОJшrаяеь Beel'
да пш. что один из них является отображением JIpyroro в IJJюекоети у. Найти преоб
разоваllИН для следующих елучаев:
а) ЭJIраны пара.плеJlЫIЫ: поле снаружи:
z== . ( Ь; ) иJV2a 2 '21 lп И l п 1 + 21 lп а),
б) уrол меЖi У энранами 900; поле снаружи;
( ЗЬ 3/2 ) ( 2JV3/2 )
z==(J /) O . +2a2W 1f2 +Ib o ,
в) уrол между экранами 9u u ; пош' внутри:.
(1 . ) Ь 1/2 W 3/2 (JV 2 + 2 ) . ь
z -т 1 2 оа а ,о'
:J2. Найти преuбразовапие, дающее поле бе(']ШНСЧПОЙ нити, IIССУЩСЙ ;шрнд q (на
сдиницу ДJiИНЫ) и раl'JЮJlOiЮШНОЙ lIад центром щеJlll, прорезанной в ПJJOI'l{l)!\'! зазем
леином проводящем энране, если ШИРl1па шеJJИ равна 2Ь, а раееТОПНllе от ее центра
)\0 IIИТJ1 d:
q z + (Z2_ Ь2)Ч2 1 [d (d 2 +b 2 )1f2)
w== [п .
2ТС8 "-':!:: (z2 b2/12+/ [d:t (d 2 +b 2 )1f2] .
. ,;
Задачи
113
33. ЭJJCктроекоп ВОJlьфа соетоит из двух одинаково заряженных фибровых нитей
ра;\lIуеа с, раеIЮJЮЖСННЫХ на раестоннии 2d одна от друrой. Эти нити протянуты
внутри зазеМJJCнноrо Цlшиндра радиуса Ь еимметрично относительно ero оси и парал
леJJЬНО ей. IIоказать, что емкоеть на единицу ДJIИНЫ между этими двумя нитями и за
зс \ш()}шым ЦИЛИIIДрО { паходится в пределах
- r [ Ь4 ] 1 1
И С == 8п8 t 1n 4с2 (d2 + -;2) J
C== пE { ln [ 4:2 2 ] } 1
З,(С!'Ь пренеGреrли величипами с 4 и d 4 по сравнению с Ь 4 .
34. Дпа ОДИНaJЮНЫХ параллеЛЬНJdХ провuдпщих ЦИJlиндра, нееущих полный за
рнд q (на единицу ДШ1Ны) , l,аеаютея между собой. Показать, что емкоеть (на едини
цу длины) между этими цилиндрами и третьим большим цилиндром, ось HOToporo
совпадает е лнннсй lшсания двух raJIЫХ, приближенно рашra
2п8
lп (2bj1ta) ,
rде Ь> а.
35. Пластина (толщиной 2А) переменноrо воздушноrо Jюнденсатора перемещаетсн
ВДОJIЬ середины зазора (шириной 2В) между двумя друrими IlJJастинами. IIоказать,
что преобразованпе для поля вблизи края подвижноЙ пластины дается выражением
2'В В tb ( 1tW) 2 (B A) (B A) БЬ ( ; 1tW"' ) "
z==_l. Lar!:b +/ аиЬ
1t [А (2В А)]If2 1t А (2В А)]If2
Показать тю,же, что кажущеесп уве.тJичение ширины ПJшетины, обусловленное нраевым
эффеНТШI, ПРJJБJlИженно равно
д== 2 IВln 2В А
у 1t L B A
[А (2В А)]If2 }
Aln B A .
36. В ТОНКОЙ бескопечной НJlаетюше, находящейся под потенциаJIОМ J7 == 1, проре-
зана бееlюнечно длинная щель шириной 2К. На раеетоянии h от этой пластиНlШ pae .
ПОJюжена ДРУl'ая, параJlJJельная ей, потенциаJJ которой равен нулю. IIоназать, что
поле в ПРОИЗВОJIЫЮЙ точн!] х, У опредеJшется из выражений
x==h [ 2а2 h sh1tU J7 +и ] ,
1t (1 a2) с пИ + eos 1t
[ 2а 2 sin 1tV V 1
y==h 1t (1 а 2 ) сЬ 1lИ+СОБ 1tV + J'
rде и функция потока, а велиqШJa а опредеЛfJетея уравнением
пК == + 2h [ ar tЪ а+ 1 а а 2 ] .
37. Требуетея найти пщlC JJбюl3И ПJJоекой заряженной шшетины ТОJJщиноii 2h,
имеющей закруrленный "рай радиуса h. ПOlшзать, что подходяшим преобразоваПJIC [
для этоrо случая будет
z==ll [ТУ2 + 21t lW (W2 1)If2 +2j-тr 1 are sin ТУ],
rДе У ==0 lJa иопсрхности, orшсьшаеllJОЙ при О < х < 11 урашюнием
2/1
y==
1t
[( х ) Ч2 ( 1 Х ) Ч2 . ( Х ) Ч2 ]
h }; +аrсsш h
и IlрИ Х > h уравнеНИЮJ
у==::!: 11.
ПОllазать, чт() эта кривая отююняетея от окружности радиуса h меньше че 1 на 0,14/1.
38. Поперечное сечение проводящеrо цилиндра предетаВJIяет собой rипоцшшоиду
е 11 тоqJШМИ возврата. цплиндр имеет потенциал V == О и нееет на себе заряд Q (на
единицу длины). IIоказать, что поrенциал поля снаружи IJИ.ТIиндра дается преобразо
ванием
z== : е2.j1t6И!/Q [(п 1)+e 2"j7'O. V/Q],
rде а расстояние от оси ДО ТОЧJШ возврата.
8 В. Смаит
114
r лава IV
39. Показать, что правильная призма, каждая из п еторон которой имеет ширину
2asin( 1t 2 ) [ctg ( 1t 2 )] 1/п [ (1 ) Бес ( : ) 1 ] ,
может быть вписана в эквипотенциальную поверхноеть
( ,"/2'
V == Q ln tg п)
21tEn
поля, полученноrо в предыдущей задаче, таким образом, что каждая сторона будет
насаться поверхности вдоль двух линий, расположенных одна от друrой на расстоянии
2а sin ( 1t 2 ) [ etg ( 1t 2 ) ] 1/п .
Показать, что с увеЛИ'lCJшем п поверхноеть призмы приБJll1жаетсн к эквипотенциаJJЬНОЙ
JJоверхности и, в чаетности, уже при п==5 разница в макеимальных раестояниях от
ос и не превышает 6 %, а в минимальных расстояниях она менР.е 1 % .
40*. Поперечное еечение цилиндра, потенциал KOToporo поддерживается равным
нулю, предетаВJшет еобой одну из ветвей равнобочной rиперБОJIЫ. С воrнутой стороны
rиперболы параллельно ее оси расположен линейный заряд. Доказать, что изображение
этоrо заряда в rиперболе будет состоять из трех таких зарядов. Найти распределение
индуцированных зарядов на цилиндре.
41 *. Даны неRоторая цилиндричееная область, оrраниченная двумя коакеиальными,
конфокальными параболичеСIШМИ цилиндрами, фокальные параметры которых равны 2а
I'J 2Ь, и равномерно заряженная линия, параллельная образующим цилиндра. Эта ли
ния перееекаст оси парабол на расстоянии С от их фонуеов (а > С > Ь). Поназать, что
потенциал поля внутри такой цилиндрической облаети равен
Ч2 1 ( 1 / . 1 1 / )
1tr СОБ 2 6 1t r 2SШ26 с 2
еЬ СОБ
аЧ2 ЬЧ2 а112 Ь Ч2
1tr1f2 еОБ 6 1t ( /12 sin 6 + C l12 а Ч2 Ь Ч2 )
ch 1f ч. + СОБ 1f ЬЧ
а 2 b 2 а 2 2
Aln
rде r, 6 rJOлярные координаты в поперечном сечении, начало ноторых выбрано в фо--
нусе. Выразить А через заряд на единицу длины линии.
42*. БеСI{онечно ДЛИННЫЙ эллиптичеСRИЙ диэлектричесний цилиндр с проницае
I\ШСТЬЮ К, поверхность KOToporo описьшаетея уравнением ==а, rде х + iY==c сЬ ( + iYJ),
помещен в однородное поле Р, параллсльное большой оси эллипеа. Показать, что по
тенциал внутри цилиндра равен
Px (1 + cth а)/(К + cth а).
43*. Два изолированных незаряженных круrлых цилиндра, раеположенных один
вне дрУl'оrо, поверхноети ноторых описываются уравнениями YJ == а И YJ == , rде
х+;у==с t.g ( + jYJ), помещены в однородное поле с потенциалом Fx. Поназать, что
потенциал, обусловленный распредеJICнием зарядов на цилипдрах, равен
ro
eп(1) a} БЬ п +e п(1)+ } sh па .
2FcLJ( 1)n shn(a+ ) sшп .
1
44*. lIоверхноети двух заземленных круrлых цилиндров, расположенных один
вне друrоrо, опиеываются уравнениями YJ==a И YJ== , rде x+iy==c tg ( +iYJ),
Цилиндры помещены в поЛе лпнейноrо заряда q (линия х==О, у==О). ПОRазать, что 1I0
тенциал, обуеловленный индуцированными зарядами, снаружи цилиндров равен
!L ..!. e п" sh п ("I)+ ) +e n!! БЬ п (a YJ) СОБ п;+С.
,"Е LJ п вЬ п (a+ )
СУМl\шрование производится по всем нечетным положительным целым значениям n.
.'Задачи
115
45". Поперечные еечения двух бееRОllечно длинных метаJIЛичееRИХ ЦИЛИНДРЩI пред
ставляют собой Rривые
(х2 + у2+ c2)2 4c2x2 а 4 и (х 2 + у2+ c2)2 4c2x2==b4,
rAe Ь> а > с. ДОRазать, что если потенцпаJJЫ цилиндров поддерживаютея COOTBeTCTBeH
но равными V 1 и V 2' а пространство между ними заполнено воздухом, то плотноети
поверхностных зарядов (на единицу длины) на двух противолежащих еторонах поверх
JlОСТИ еоответственно равны
Ее (Vl V 2 ) (хч...у2)1f2
а 2 ln (bja)
II
Ee(V2 Vl) (х 2 +у2)Ч2
b 2 ln (bja)
46*. Накие задачи можно решить при помощи преобразоваНИR
d (х + ;у)
dt
с (t2 1)1f2
a2 t2
1t (11" +iФ)==ln [ а + { ]
a t
rAea>1?
47". Ню;:ую элентростатичееJ;:УЮ задачу можно решить при ПШlOщи преобразо
вани я
x+jy cn (Ф + jW),
rAe W взята в Rачестве потенциальной фУНRЦИИ, а Ф В Rачестве фУНRЦИИ, сопряжен
НОЙ ей?
48. Однородное поле Ео оrраничено верхней повеРХJJоетыо (у==О) беСRонеqной
проводящей нлаСТИНRП ТОJJЩИНОЙ Ь. Часть этой пластиНI\И, расположенная между
х==а и x ..= a, удаляется, и в плаетинке образуетея беСRонечная щель. ПОJ;:азать, что
сели за потенциальную ФУНRЦИЮ принять и, то преобразование, дающее поле, можно
знписать в одпом из следующих видов:
EoZ (1 Ty2)1/2 ( ;:;:2 1 )Ч2 +(1 т2) F (are sin : ' m )
2E (are sill : ' т) +С 1 Е о ,
. 1 ' (1 lП2 ) 1f2 ( 1 т2 ' ) Ч2 + (1 + 2 ) L' r ,,' (1- тр ' ) 1/2 (1 2 ) Ч2 ]
/ \ o Z " l m .' ЮС Sln \ , т
'- W 2 ,-1 т2
2В[ . . ( 1 W2\1f2 (1 2 ) Ч2 ] . Е
areSlIl 1 т2) ,. т +/а.>о,
(W2 1)1/2 (1 т2) F ( arc sin ' т ) +
+2Е (ют sin ' m )+С 2 Е о ,
( т 2 ,1/ 2
EoZ== 1 W2 )
ri!e li' (р, q) и Е (р, q) элшштичееRие интеrралы первоrо и BToporo рода м()дуля Ч.
Поrтоянпые С 1 , С 2 и m удовлетворяют уравнениям
С + . ь С (1 т2)K(т) 2E(т)
2 а == а / 1 == Во '
ЬЕо == (1 + т2)К[(1 т2)Ч2]+ 2Е [(1 т2)Ч2],
.....
rAe Е и К ПОЛRые ЭЛЛlштичеСRие интеrраJlЫ модуля т.
49. БееRонечный проводящий лист, находящийея под нузювым потенциалом, COB
пндает с Ш-ЮСRоетью х == О всюду, за ИСRлючением выступа или выема, сечение ното--
poro представляет собой ОRрУЖНОСТЬ радиуса Ь е центром в ТОЧRе х с. Эта nOBepx
ность образует одну из rраниц поля Е, простирающеrося до х==со и являющеrосн
неоднородным ТОЛЬRО вблизи выема илл ныетупа. IIОRазатЬ, что потенциал являетсп
мнимой чаетью следующей ФУНRЦИИ:
W (b2 с 2 ) Ч2 пЕ [;; + j (b2 с 2 )Ч2 ]п/ а + [I:: j (b2 с 2 )Ч2 ]1*
а. [Z+j(b2 C2)1f2]1t/" [z j(b2 c2)1f2]1t/rJ'
rде еов с1. == cfb для выступа О < а < 1t И для выема 1t < а. < 2п.
8*
Н6
r лава lV
50. ПОI\азать, qT'O решение ДВУХl\:ICрНOl'О уравнения ':1апласа в прямоуrольных rap
мопичесних ФУНI\ЦИЯХ будет
V==(Asinmx+Bcosтx)(Cshтy+Dchтy), если т =1= О
и
V==(A+Bx)(C+Dy) при т O.
51. rрапи беСI\онечно длинной проводящей прямоуrольной при31\П.I задаю1't'я ypaB
нениями х О, х == а И у == О, У == Ь Jlинейный заряд q (на единицу длины) раСПОlIожен
n ТОЧI\е х==с, y==d, rде О < с < а и 0< d < Ь. 1l0казать, что потенциал внутри ПрI!З
мы равен:
дли О < у < d
00
"
у'== ""]
1tS L..i т
т 1
cosech lппЬ sh тп (Ь d) Б11 тпу Sill l1tC sin m1tx ,
а а а а (1
для d < у < р
00
L q ] 1 m1tb m1td тп . тпс. тпх
V" == co ech Б11 S11 (b y) Бlll ыn .
1tS т а о а .а а
т 1
Показать танще, подьзупсь формулой (3.27), что епла, д('йствующап па едIППЩУ
ДЛИНЫ заряда, раВШ1
00
q2 [ i ,1 тм h т1t(2c a)
.L.J ь СОБе( 1 Ь s ь
rп 1
3ЮICтпм, QTO всюду, за ИСНЛIOчение 1 MilJlblX с И d, ЭТИ I!яды еходятся очень быетро.
52. Показать, QTO поле системы, еостоящей из трех лпнейных зарпдов: q в ZJO'
q В zj} и q JJ начале ноордипат П.iIОСJ{оети zJ (см. 27б), преобразуется в невозму
щенное поле ОДИНОQноrо линейноrо заряда q в Zo на ПJюекости z, rде Zo == ZJO + zJ:01 .
53. ИСПОJJЬЗуя заКОlI изображения, сформулированный в Э 5 для СЛУQая нруrлоrо
ДИЭJlеI\трическоrо цилиндра, и заRОН изображения, уетановлеНlIЫЙ 11 предыдущей задаQе
для единичной окружности, найти сопряженные ФУННЦИИ, дающие поле ЛJшейноrо за
ряда Ч, раеположенноrо параллельно оси эллиптическоrо диэлентричеен:оrо цилиндра
с ПРОЮ1цаемостью К. Заряд llаХОДИТЦJ на ЛIIНПИ и о , V o вне цилиндра. поверхность HOTO
тюrо определяется уравнением V == V 1 (используются Э.:JJШПТIlчеСКIIС ш)()рдипаты Э 27б).
Получить следующие результаты:
в области внутри цилиндра
. 2m1td.i hmт:Ь hтт:(2d Ь) . 2 т т:с ]
sш Т+й cosec a S а sш а .
00
JVi == 1tSv 1) ] С + ) n 1п (2 {siп ('11+ iv) in [ио::!:: i (2nv 1 + vo)))),
п O
IJ облаети впе цилиндра для поля, обусп:овленноrо топыю полпризацн('й ДПЭJIеI,ТРИШJ,
JJ7 == I к .1 1п [1 ej(u t!o) 2Vl VO V]
L1tSv l К + 1 .
00
4К С . К 1 ) n 1п [ 1 + ej(tt:l:tto) (v+vO. 2пVl) ] 1
(К + 1)" L..i К + 1 J '
п 1
rде верхний знак для п четных, а ПИ)fший дтI п печетных,
''', 54. Линейный заряд q расположен параллельно образующим ДИЭJIеlарИQеСI\оrо иа
рnБСУilичеСlюrо ЦИJlИндра. В параболических коордпнатах у == 2 "l), х == e2 "y?, rде
c6.<, < +00 и 0< "l) < 00, ноординаты заряда равны е о н "YJo, а поверхность ци
JllIндра определяется уравнением "YJ == "YJl' Показать, что внутри Дllэлектрика прс()fiрD3(J
JJаппс, ДaJ?щее поле, будет пметь вид
00
vi . 1tSv ( 1) С + ) n 1п (е + j-l)2 [;о::!:: i ("YJo+2п"YJl)] },
п O .' .
Задачи 117
а енаружи ДЛ:! ПОJIЯ, обус.повленноrо только поляризациеи диэшштрика, п()лучим
wo== ( К 1 In [e Eo ; (2YJ1 Y:O YJ)]
21tE V К + 1 I
со
(К 1)2 ( : )n In {Е =+= Ео + i [YJ+ (YJo+ 2nYJ1)]} ),
n 1
"ДС перхнии знак для п четных, а нижний для п нечетных.
55. Цплиндр (xja)2" + (y/b)2n 1 нееет на себе заряд Q (на единицу ДJlИНЫ).
Применип теорему rayccn для поверхности V == О, ПОI{азать, QTO
( 21tEW ) 1/n ( . 2пЕТУ"\ 1/11
z a ('ОБ +/Ь SШ )
ПрШJCJlЯЯ затем теорему raycea '{ ЦИШIНдру "== се, ПОШI3ать, что заряд, содержащийся
IJНУТрИ, равен nQ (на единицу длины). СJJедовательно, окружающее цилиндр проетран
ство может быть свободным от зарядов только при п== 1.
56. Проводюш, rранипы KOTOpOJ'O заданы уравнениями 0==0., О == о. И r 1, несст
на себе заряд пЕ (на единицу д.1JИНЫ). Поназать, что потенциальная фушщия т' опре
деляетен из преобразоваНIIЯ
1 ,, { .. 1t sin ТУ п o. (п a.) sin И' 1
n z == 'Ч arc БIJJ 1 + 31'" (,g 1 I,.
[a.(2п o.)] /2 1t [",(21t o.) 1t2sin2JV] /2 J
57. ВеснонеЧ1Jая проводящая призма ]{вадратноrо сечения ео стороиой шириной а
имеет на единицу длины заряд Q. По]{нзать. что плотность поверхностноru заряда на
призме определяется еледующими уравнениями в параметричеСJЮЙ форме:
'==Q [F ( п, 2 Ч2 ) E( п, 2 Ч2) ] (21/2MeoS'P) 1,
== [F ( ,, 1/2 ) L' ( 2 1/2 )] r F ( " Ч2 '\ E . ( 2 Ч2 ' ) ] 1
х 2 а . ... 1:, 'f, L 2 п, ... ) 2 п, ,
l'Ae х расстояние от центра призмы до точни па JJоверхноети, а F и Е ЭЛЛИПТИQе
ские ИI!теrралы первоrо и BToporo рода.
58.. Две проводящие ленты лежат в ПJIOСlюети у == о 11 занимюот области а < х < Ь
и a > х > b. Поназать, что емкоеть (на сдиницу длины) между нюш равна
ЕК(т)
К (п)
rде К(k) ПОJIНЫЙ эллиптичеекии интеl'рал МОДУJIН k, m==(b2 a2)1/2/b, а п==а/Ь.
59. Показать, что емкость на единицу ддины мРжду двумя проводящими I1ШЮ
снами, JICжащими соответственно в НJIOСIШСТЯХ Х == Ь и х == ь и оrраниченными {тo
сностями у == а и у == а, рапна
EK(k')/K(k),
rHe K(k') и К(k) полные ЭJJЛиптичеrJше ИlJтеrра;IЫ, МОДУJlИ IЮТОРЫХ k' И k==(1 k'2//2
УДОВЗJCтворяют уравнению
а
b
К (k') Е {are СОБ [Е (k')/K (k'H, k'} E (k') F {arc cos [Е (k')jК (k'»), k'}
Е (k') К (k) (klk')2 Е (k) К (k')
Значение k, близкое к дейетвитеJJЬНОМУ, можно найти из rрубой оцсш{и еМIЮСТИ С.
60. Поверхность V == 1t состоит из двух координатных ПОJlуп.тюсностей х == о, у < (}
JI у==о, Х < О, а поверхноrть V ==0 онреде,JЯетея уравнеIlИЮIШ x==h нри у < k и y==k
при х < h. Поназать, что преобразование, опреr\еJlяющее поле n таной системе, будет
иметь вид
+ 1tZ ==h Ю'С tg [k (e W + 1)1/2 (h 2 е ПТ k2) lJ2] k ar t.h [}l (e V + 1)1/2 (I/2 е ПJ k2( 1/2].
Поназать, что дополните;JьнаfJ СМIШ ТЬ (на единицу длины) по <'равнеНlIЮ е той, HOT
рая была бы, еели в области х < О и у < () м 'жду V == О н V == 1t с.уществовало ТОЛЬRО
однородное поле, равна ,
2Е [ }/2 + k 2 k h}/ k ]
lП +hю'сtgk+kаrсtgh .
118
r лава IV
.
ЛИТЕРАТУРА
в а I с m а n II., Partial DШеrепtiаl Equations. СашЬridgе, 1932.
(} е i g !J r S е h е е 1, Handbuch der Physik, Bd. ХН, Berlin, 1927.
J е а n s J. Н., The Mathematieal TheOl'y о! Electricity and Маgпсtism, CamlJl'idge
1925.
М ах w е 11 J. С., Electrieity and Magnetism, v. 1, Oxford, 1881.
М о u 11 i n Е. В., Prineiples о! Eleetrornagnetism, Oxford, 1932.
R о t 11 е R., О 11 е n d о r f f F., Р о h 1 h а u s е n К., Тhешу of I<'unctions, Technology
Press, 1933.
R u s s е 11 А., Alternating Currents, Cambridge, 1914.
S о k о 1 n i k о f f 1. S., S о k о 1 n i k о f f Е. 8., Higher MatllCmatics for Engineers
ашl Physicists, MeGraw Hill, 1934.
т Ь о ш s о n J. J., Reeent Researches in Electricity aHd l\lagJletism, Oxford,
1893.
\N а 1 k е r М., Conjugate Functions for EJlgineers, Oxford, 1933.
\\1" е 11 s t е r А. G., Electrieity and Magnetism, Масшillаn, 1897.
\\1" i е n Н а r ш Б, Handbucl1 der Experiment.alpl1ysik, Бd. Х, I,eipzig, 1930.
.
r л 'а в а V
ТРЕХМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА
1. При RаRИХ условиях поверхности иеRОТОроl'О семейства MOl'yT
быть щвипотенциальными? На первый взrляд l\ажется, что трехмерное
распределение потенциала, обладающее аl\сиальной симметрией, можно по
лучить путем Tal\OrO вращения поперечноrо сечения двухмерноrо распреде
ления потенциала, при 1ЮТОIЮМ rраНИIlЫ трехмернпй области образуются
из rраниц Ilоперечноrо сечения соответствующей двухмерной области.
В общем случае, однаl\О, это оназываетсп несправедливым. Найдем условие,
I\ОТОрОМУ должно удовлетворять семейство непересеl\аЮЩIIXСН поверхностей,
чтобы оно моrло быть семейством поверхностей paBHoro потенциала. Пусть
уравнение поверхностеЙ имеет вид
Р(х, у, z)==C.
(5.1)
посiюлы\y наждому значению С соответствует одна из иоверхностей семей
ства, то, если эта поверхность Эl\вииотенциальная, Rющ:iому значению С
должен соответствовать определенныЙ потенциал
удовлеТВОI>ЯЮIЦИЙ уравнению
aV , дС
дх ::=:'! (С) дх и т. д.,
V::=:. f (С),
Лапласа. Дифференцирование дает
'a 2 V == j" (С) ( дС ) 2 + /' (С) д 2 С И Т. д.
дх 2 '-.. дх дх 2
Подставляя в уравнение Jlапласа, получим
V2V == a 2 V + a 2 V + a 2 V == j" (С) (VC)2 + /' (С ) V2C == О
дх 2 д у 2 az 2 '
оп,уда
v 2 C 1" (С) .
(V C )2 == l' (С) == Ф (С).
(5.2)
Таним образом, поверхность F (х, у, z) == С может быть Эl\випотенциальной
толы\o в том случае, если отношение v 2 Cj(VC)2 ЯВЛЯ!tТСЯ фУНl\цией толы\o С.
Путем интсrрирования уравнения (5.2) можно найти действительное
:значение потенциала. посl\олы\y j"(C)jj' (С) ==d [ln j' (C)]/dC, мы имеем
Ф(С)dС== ln и'(С)] +А',
или
j' (С) == Ае S ф (С) dC .
Повторное интеrрирование дает
V == j(C) ==А e S Ф(С) dC dC +В.
(5.3)
120
r лава У
Постоянные А и В можно определить, если задано значение потенциала на
двух поверхностях, принадлежащих семейству (5.1).
2. Потенциал поверхностей BToporo порядка, определяемых ураБllе
ни ем х 2 / (а 2 + (1) + у2/ (Ь 2 + 6) + z2f (с 2 + 6) == 1. В качестве примера примене
ния полученной выте формулы понажем, что любое из трех семейств He
пересенающихся поверхностей, (Бтороrо порядна, определяемых уравнением
х2 у2 Z2
а 2 +О + Ь 2 +О + с 2 +О == 1, (5.4)
rде с > ь > а и с 2 < 6 < со, можно рассматривать, 1ШI{ семейство ЭIШИ
потенциальных поверхностей. Чтобы представить себе яти поверхности, будем
менять 6 в уназанных пределах. В интервале 02 < О < 00 нашдый член
уравнения (5.4) положителен, тан что соответствующие поверхности суть
эллипсоиды. При 6 == 00 мы имеем сферу с беснонечным р,адиусоМ, а при
е == а 2 ЭЛJJИПСОИД сплющивается в ЭШ1ИПТИЧССНИЙ дисн, лежащий в пл()
сности yz. .
Изменению 6 в пределах от а 2 + () до а 2 о соответствует переход
на ПЛОСIЮСТИ yz из области, лежащей внутри дисна, во внешнюЮ облаr.ть.
Последняя представляет собой предельный случаii ОД1юполостноrо rипер
болоида, описываемоrо уравнением (5.4) при Ь 2 < е < а 2 . Ныда О == Ь 2 ,
ОДНОПОJJОСТНЫЙ rиперболоид сплющивается в участон плосности xz, ВI{лю
чающий ось х и лежащий между rиперболаии, пересенающJtМII ось z в
ТОЧIШХ
z == ::f: (с 2 b 2 Y/2.
Изменению 6 в пределах от Ь 2 + о до Ь 2 О соответствует перехо;: на
плосности xz В область, лежащую по друrую сторону этих rипербол.' Эта
область есть предельнЫй случай двухполостноrо l'иперболоида, описьшае
Moro уравнением (5.4) при . с 2 <:: е < Ь 2 , сплющенноrо в плосность xz.
При 6 == с 2 получается друrой предельный случай: два (<листа)} ЭТОl'О
rиперболоида сливаютСЯ друr с друrом в плоскости ху. Таким образом,
через наждую точну пространства проходит одна Jlоверхноrть наЖДОl'О
семейства. Нетрудно поназать, что <!ти три cCMeiicTBa являются взаимно
ортоrональными, и, следовательно, н ним можно применить теорию, изло
женнун? в 5 rл. III, приводящую н эллипсоидальным l'армонИlЩМ.
Ввиду сложности после.n:них мы не будем здесь рассматривать их в общем
виде и оrраничимся, неснольНО позднее, исслеJIовавием лить частноrо
случая сфероидальных rармонин.
Возвращаясь н натей задаче, положим
х2 у2 Z2
М " == (аЧ...IJ)n + (Ь2+О)" + (с 2 + О)"
и
1 1 1
N == а 2 +О + Ь2+О + с2+О .
В этих обозначениях уравнение (5.4)
цирования будем иметь
2х MдO o
а 2 +О 2 дх , или
сведется н М 1 == 1, и uосле диффереIl
дО 2х
дх М 2 (а2+и) И т. д.,
так что
( 6 ) 2 == ( дО ) 2 + ( дО ) 2 + ( O \2 == 4М2 == .
V дх \. ду az ) M М 2
(55)
Трех.м,ериое распределеuие поmенциала
121
Повторное диффереНЦИРОlJание дает
д 2 е 2 2х де 2х 1 [ 2х де ]
дх 2 М 2 (а 2 +и) М 2 (а 2 +6)2дх а 2 +6 M (а 2 +6)2 2Мз дх ==
2 4х 2 4х 2 8х2Мз
J12(a2,+O) M (a2+6)3 M (a2+и)з + (a2+U)2M II т. д.
Прибав:шн ана:lOrпчные выражения д:ш у и Z, подучим
у 2 6 == 2N 8Мз + 8М 2 М з == 2N
М 2 M M М 2 .
IIодстав:rян ПОJIУЧРНIIЬJe выражения в уравнение (5.2), находим
72!! 2N lИ 2 _ N
(V6)2 М 2 4 2
и, следоnатеJIЪНО,
ф ( О ) 1 ( 1 + l , 1 )
2 а 2 +6 Ь 2 +6 т с2+6 .
(5.6)
Тarшм uбраВШI, поверХНОСТII рассматрипаемоrо семеЙства MOI'YT быть ЭI\ВИПО
тенциальнымп, а их ПОТСIIцпа.П опреде:rяетсн по формуле (5.3):
в
}' == А . [(а 2 + 6)( Ь 2 + 0)(с 2 + 6)] Ч2 d6 + В. (5.7)
ЭллиптичеСRиii lIНТeJ'рал вида (5.7) можно найти в I\НИl'е Пайерса [фОРМУJIЫ
(542) (54Н) при х == 61. Постоянные А и В MorYT быть выбраны деifстви
'l'сльньп\ш П:1II VlIПIМЫМИ, :пппь бы пuтенциал V был дейстпительным.
. s 3. Заряженный ПРОБОДЯЩИЙ ЭЛЛИПСОИД. ЕСЛII выбрать }' == о при
0==-00, Т() форму;:rа (5.7) примет вид
со
v== А [(a2+6)(b2+6)(c2+6)] 1;2dO. (5.t)
Полю'ан fT == 1/0 при О == О и подставляя в формулу (5.8), получим
со
А == V o { [(а 2 + б)(Ь 2 + 6)(с 2 + б)] lJ2 d6 } 1 .
n
Если 1Ю;JJlыii зарн: эллипсоида равен Q, то поле, созданное им на беСI<О
нечности, ДОШЮЮ f)ыть раппо Qj(4тcz1' 2 ). Соrласно уравнению (5.4), при
О OO х 2 + у2 + Z2 == ]"2 -----?- О, и, следовательно, д6 j дl' -----?- 21'. Поэтому
av .... av дО == А 21'== 2A
Jr т.-+со д!) Jr r 3 ,.2 ,
(5.9)
Т81{ чт()
8ТСЕА == Q.
СОrJJасно фl)рМУЛС (5.9), емкость ЭЛJIИПСОИ:Щ равна
(5.10)
со
С == q == 81tzA == 8тcz { r [(а 2 + б) (Ь 2 + 6Нс 2 + О)] Ч2 d6 } 1,
],0 У О .
о
(5.11)
а поверхностная п;:rотность заряда определяется выражением
о == Е I \'V lu o == Е ( J aU T I V61 ') .
/8 O
ИЗ формулы (5.8) следует, что (aVjae)8 O == А (abc) l, а из уравне ия (5.5),
что I у6 I == 2M2 1/2, ()шуда
.0 ( Х 2 у2 Z2 ) Ч2 .
4паЬс а' + Ь' + с' .
(5.12)
122
r лава V
э 4. Эллиптический и КРУl'ЛЫЙ диски. ЕМIЮСТЬ эллиптичесноrо дисна,
получаемая из формулы (5.11) при а==О, выражается при lЮМОЩИ эллип
тичесноr(J интеrрала. Чтобы найти плотность повеРХIIостноrо заряда, запишем
формулу (5.12) в ВИIJ:е
a. ( а2у2 a2Z2 ) 1f2
4пЬс а 2 + Ь 4 + с 4 .
Пусть теперь а U и членами, содержащими у 11 Z, можно пренебречь.
ПОС1ЮЛЬКУ 11 х И а равны нулю, первое СЛaI'аемое необходимо преобразо
вать при помощи уравнения (5.4), полтюш в нем в == о. Для плотности
заряда будем иметь
( у2 Z2 ) Ч2
(j 4пЬс 1 Ь2 с2 .
(5.13)
Пl)лаrая в формуле (5.11) а==О и Ь==с, получим выражение для еМ1ЮСТИ
I\руr;юrо l\ИСIШ (ем. Двайт, 186.11):
[ (' ( 2 1 e1f2 1 CX:» 1
С == 81ts ,е Ч2 (Ь 2 + e) l de] l == 8..е: ь arc tg Ь о == 8е:Ь.
о
(5.14)
.
Если ПОJIOЖИТЬ у2 + Z2 == р2 И С == Ь, ТО из из фОРМУJ1Ы (5.13) следует, что
l1ЛОТНОСТЬ зарпда на каждой из еторон нруrЛОl'О ди('иа равна
0== 4пЬ (b2 P2)1/2 . (5.15)
Llотенциал, созданный таиим ДИСНОМ, дается формулой (;>.8), еСJIИ положить
n ней а == О и Ь == с:
2V o ( п е Ч2 ) 2Vo Ь
V == \ arc t g == arc t g .
п \" 2 Ь п е Ч2
Подставляя сюда значение е, полученное ИЗ соотношения (5.4) при а == О,
Ь == с 11 х 2 + у2 + Z2 == т 2 , находим
v == 2V o arc tg (2lf2 Ь {т 2 Ь 2 + [(1.2 Ь 2 ? + 4b 2 x 2 ]lfJ } Ч2).
п
(5.16)
JTY задачу можно таиже решить при помощи rармонин СПJIюснутоrо сфероида
{см. 28а настоящей rлавы).
э 5. Метод изображений. ПрО80дящне плоскости. Примсненис нри
тсрия, BblBcHeHHoro в 1, поназывает, что для систем, содержащих более
{)дноrо точечноrо заряда, потенциал нельзя получить при lЮМОЩИ днухмерной
аналоrии. Тем не менее два метода, используемые для решения двухмерных
задач, можно использовать в трехмерном случае. Одним из них является
метод изображений. В любом случае, ноrда уравнение заМIШУТОЙ проводя
щей поверхности, находящейся в поле точечноrо заряда q, заппсывается
в виде
п
0== ; + L ;:
B 1
(5.17)
(rде r расстояние от q до точни Р на поверхности, r s расстояние от нClЮ
торой точни s, паходящейсп по друrую сторону поверхности, дО Р), задачу
можно решить методом изображений. Мы рассмотрим тольно простейшие
поверхности сферу и плосность. Из симметрии очевидно, что для решения
задачи о точечном заряде, расположенном в плосности ху вблизи беснонеч
Трех.мериое распределeuие потеuциала
123
ной проводящей плос:кости или вблизи двух та:ких плос:костей, пересе:ка
ющихся вдоль оси z под уrлом те/т, следует поместить ero изображения
в ПЛОС1ЮСТИ ху В тех же точ:ках, что и в двухмерном случае (фиr. 28).
Сложенио потенциалuв точочноrо заряда q и oro изображений дает в области,
ЗaI>люченной между пересе:кающимися ПЛОСIЮСТЯМИ, точно та:кой же потен
циал V, IШIЮЙ соз.паетея зарядом q и равным ему по величине индуциро
ванным зарядом противоположноr() ЗНа!{а, раснределенным по плос:костям.
Поверхностную П.потность этоrо индуцированноrо заряда (j можно найти,
вычислив s aV jan на поверхности металла. В .:лучае точечноrо заряда q,
помещенноrо на расстоянии а от заземлонной проводящей плос:кости,
плотность индуцированноrо заряда в точ:ке Р, соrласно 15 rл. 1 и фор
муле (1.42), равна
aq
о 2nr 3 ,
rде r расстояние o q дО Р. Из 18 rл. II ИЗВ<JСТНО, что ни:канор pac
пределоние истинных зарядов в пространстве, ОТДОJJeННОМ от q заземленной
проводящей ПЛОСНОСТЫО, НО может ПОВ.лиять на величину плотности заря;(ов О,
индуцированную на стороне, обрапrенной :к q.
э 6. Плос:кая I'раница ДВУХ диэлеRТРИRОВ. Однородный линейный
заряд, расположенный параллельно плосной rранице раздела двух диэлент
РИ1ЮВ, можно рассматривать состоящим из равномерно распределенных
вдоль линии ОДИНaIЮВЫХ точечных зарядов, для :которых изображения
строятся та:к же, нан для ЛИНОЙНОl'О заряда. Естественно поэтому пред
положить, что для точечных зарядов справедлив тот же за:кон изображений,
что и для линейных.
Пусть относительные диэлен:тричеСЮ1е проницаемости областей, COOT
ветствующих ПОЛОЖИТОJIЬПЫМ и отрицательным Значениям z, равны соот-
ветственно К 1 и К 2 . Рассмотрим систему зарядов, расположенных в ди
элеl{ТРIше К 1; пусть ПОТOIщиаJJ системы в отсутствие диэле:ктрина равен
V vac == f (х, у, z),
тан что в том случае, ноrда все пространство ;шполнено однородным ди
:тентрином K 1 , потеНUIlал, в соответствии С формулой (1.5), имеет вид
1
V 1 ==х f(x, у, z).
1
Потенциал изображеюJН в плосн:ости z == О будот
V; == C1f (х, у, z).
3аIЮН изображений, ИЗJJOiJШННЫЙ в Б rл. IV, rоворит, что в присутствии
диэле:ктри:ка К 2 поля в областях КI и К 2 записыпаются в виде
1"1 == J (;,;, у, z) + С 1 ! (х, у, z)
(5.18)
и
При z==O
V 2 == С 2 ! (х, у, z).
V 1 ==V 2 И [см. условия (1.48)] K 1 (aV 1 /az)==K 2 (aV 2 /az); поэтому
1 +K 1 C 1 ==К 1 С 2 и 1 KICl ==К 2 С 2 .
уравнения и подставляя результат в выражение (5.18) и (5.19),
(5.19)
Разреmая эти
получим
V 1 == l [f(X, у, z)+ : : f(x, у, z)]
(5.20)
124
r .аава V
и
2 .
V 2 == К 1 +К) (х, у, z).
(5.21)
Пусть заряд q распсложен в диэлектрике К 1 в точне Р 1 ; принимая во вни
мание формулу (1.5), !\Ibl видим, что поле в области К 1 такое, как будто
все пространство заПОJшено диэлентриком К 1> а в отраженной точке Р 2:
находится добавочный зарнд q'. Поле в Qfiлае,ти К 2 совпадает с полем
заряда q", находящеrося в точке Р 1 ; оно ПЫЧИСJICНО в предположении,
что все пространство заполнено диэлектрИlЮМ К п . При этом
, Kl K2
q ==К 1 +К 2 Ч
JI
" 2К".
q == K t+ K 2 Ч.
(5.22)
Для вычисления поля выбор веЛПЧ1IНЫ К п несущественен, но оБЫЧIIО ее при
нимают равной К l' 1 или К 2' Здесь принято К п == К l'
7. Изображение в сферичеClЮМ проводнике. В 6 rл. ]V было
пон:азапо, что ЦИJIИНДР радиуса р == а нвляетсн эквипотенциаJIЬНОЙ поверх
ностью n поле двух линейных зарядов заряда q
при р == ь и заряда q прп р == + a 2 jb. Покажем
теперь, что сфера радиуса r == а имеет нулевОll по
тенциал в поле двух точечных :щрндов: q в точке
r == Ь и ч' в точке r == а 2 / Ь, причем последний, 1Ш:К
будет пона;зано ниже, уже пе равен q. Потенциал
V', созданный зарядом ч' на сфере радиуса r == а,
ню{ это видно из фиr. 45, равен
Фие. 45.
4itEV' == q' (a4b 2 + а 2 :?a3b 1 cos б) 1/2 ==
== ba ] ч' (а 2 + Ь 2 2аЬ cos 6) 1/2 == ba ] R lq' .
Потенциал, созданныii на этой сфvре заРЯJЩМ q, равен qj(4iteR). Для Toro
чтобы результирующий потенциал был равен нулю, эти потенциалы должны
fiыть равны по величине и противоположны по зна1{У, т. е.
, а
q == bq.
(5.23)
СJJeJ(оватеJIЫIO, потенциал II произвольноii тuчке определитсн выражением
V == (4'ite) lq [(r 2 + b2 2br cos e) 1/2 а (b 2 r 2 + а 4 2a 2 br cos e) 1/2], (5.24)
а плотность повеРХНОСТIIоrо заряда на сфере будет равна
(j == e ( OV ) '==2. [ а ЬСОБВ
дT T a 4п RЗ
. ь (Ь a СОБ 6) ] a2 b2
аRЗ .4'7taR3 q.
(5.25)
Потенциал сферы можно, оченидно, едеJJать равным любой заданной вели
чине V, если прибавить 1{ полученному решению потенциал точечноrо
заряда
q == 4т.:еаV,
(5.26)
помещеЮ-IOI'О в центр сферы. Если Трt;буетея найти поле, еозданное тuчеч
ным зарядом q и проводящей сферой, несущеlf заряд Q, дuстаточно при
бавить 1\ формуле (5.24) потенциал заряда Q + aqjb, нахuдящеrося в цtJнтре.
Мошно ПО1\азать, что, в противоположность аналOI'ИЧНОМУ двухмерному
случаю, простым иаображением нельзя построить решение для ди:эле1\ТРИ
125
Tpex.\U!puoe раСl1 ре еле1tис пот/'1 /Ц,uал-а
"1ecf\oro шара в поле точечноrо заряда. ,ЦаiI решения этоЙ задачи требуется
применение сферичесних rармошш.
8. Пример применения метода изображений для нахождения поля
'Точечноrо заряда. В начестве иримера, И;Jлюстрируюrцеrо СЩl;ержание
последних трех па раrрафов , построим
изображения в случае заземленноrо Me
талличесноrо ;Jиста, пежаrцеrо в пло
сности yz И имеющеrо сферичеcr,ую BЫ
ПУ1ШОСТЬ радиуса а с центром в нача;ю
Iюординат; пространство, JIeжащее ниже
плосности XZ, заполнено диэлентрином
с относительной ДIIэлентричеС1ШЙ про
ницаемостью К. Точечныij: заряд q Ha
ходится в ТОЧI{е Х С ' Уо' Zo и X + Y +
+ Z == Ь 2 . Чтобы найти требуемые изо
бражения, ;J,ОПОJПШМ I'раницы ПУНJ{тир
ными 'лининми, нан это поназапо на
фиr. 46. Потенциал над ПЛОСIюсты r .
XZ можно найти нан сумму потенциа
лов caMoro заряда q и ero се:\l:И изо
бражениЙ, расположенных следуЮЩИ:\I
сбразом: _
q в ТОЧ1Ш Х О ' У о ' Zu,
q в точн:е Xo> У о > ;:';0'
у
q.
.q
х
Фие. 46.
q' n точн:е
YC'
:1'0'
"'р
q' II ТОЧJ,С х о , Уо' zo'
; B 1'0'11«) ( ) o, ( )y , ( : ) o, a, вто'те ( : ) o, ( : ) и, ( : ) o,
ач ( а ) 2 ( а ) 2 ( а ) 2
т В ТОЧ1,е т Хо, т Уо' Т, Zu'
rде, ['Ol'ласно соотношению (5.22),
, 1 K
q == [+К q.
ач'
lJ
( а ) 2
{;, :('0'
( а ) 2 ( a' ) J
ь,уо' {;. zc'
н ТОЧJ,е
Потенциа;J в диэлеl{ТРИ1i:C, нише ПЛОС1,ОСТII ,1'Z, можно ПО;JУЧПТЬ, ИСIIОЛЬЗУП
тольно изображения выше ПЛОС1ШСТИ XZ П I10; стаВ;IНП, в соотвотстпии
с выражением (5.18), вместо q заряд
" 2q
q 1+К '
Сеченпе проводнина ПЛОС1ШСТЬЮ ху II ирое1ЩПН п;юuраа;erшii на :эту п;lO
С1ЮСТЬ ПОI\азаны на фш'. 46.
9а. Бесконечная СIIетеl\Ш изображений. Задача о двух сферах.
Часто оназывается" что при помощи 1ЮIЮЧНО1'0 числа точечных зарядов
1ЮЛЬЗЯ получить энвипотенциальные поверхностп нужной формы. В HeHO
торых случаях, однано, можно сначала сделать Э1шипотенциальной одну
поверхность, располаrая внутри нес 'j,'очечные заr'ЯJ(Ы, а зате \I прТI помощп
подходящей системы изображений сделать эншrпотенциаЛЫ1ЫМИ и друrие
поверхности. При этом, одвано, первая поверхность искажается. TorAa прп
помощи третьей системы изображе;нлIr ей ,можно придать опять первона
чальную форму, но за счет иснажешш друrпх поверхностей, II т. д. Есап
i
f
126
r лава V
ЭффОI\Т наждой ПОСJIедующеЙ rРУПIIЫ изображениЙ стромитсн 1{ НУJJЮ
либо в СИJIу уменьшения пеJIИЧИНЫ зарядов, либо 1I3 за их удаJIения,
JIибо за счет тенденции R взаимноЙ I\омпенсации, то при достаточном числе
изображений получается СI{ОЛЬ уrодно БJIизная аПрОНСIlмация точноrо
решения 1) .
Воспользуемсн этим методом для вычисления собственных и взаимных
еМl\о тей двух сфер. Пусть радиусы сфер 1 и 2 суть а и Ь, а расстояние
между их центрами равно с. В соответствии с 17 rJl. II ноэффициент с н
есть за ряд на сфере 1, а С 12 на сфере 2, RorAa сфера 2 заземлена,
а сфера 1 имеет потенциаJI, равныЙ единице. Н:оэффициент С 22 можно полу
чить, поменяв местами а и Ь в св' На фиr. 47,а и 6 приведены COOT
ветственно случаи c«b a) и с>(Ь+а) при значениях ajc т, blc n
у=о
а
6
Фие. 47.
Создадим сначала на сфере 1 потенциал, равный единице, помести
в ее центр О' заряд q == 4'itEa. 3aTel\f, поместив изображение q' == 4'itEabjc ==
== 4'itEna на расстоянии b 2 jc== пЬ вдево от ТОЧ1Ш О [см. формулу (5.23)],
добьемся равенства нушо потенциаJIа сферы 2. Поте1щпаJI сферы 1 можно
опять С;:J.елать равным единице при помощи изображения
" =F ач' :f: 41tzтпa
q == (c пb) == (1 п2)
расположенноrо на расстоянии a2j(c пЬ) ==тaj(1 п 2 ) впрапо от ТОЧI{И 0'-
И опять привести потенциаJI сферы 2 н нулю, поместив изображение
Ь ч " 4пEтп2a
q '"
c mal(1 п2) 1 т2 п2
на соответствующем расстоянии от ТОЧI{И О И т. д. ВеJIичина I{аждоrо после
дующеrо изображения уменьшается, а соответствующее решение приБJIИ
жается н точному. СI\JIаl1ьшая заряды на сфере 1, ПОJIУЧИМ
[ тп т 2 п 2 ]
СП == 4'itEa 1 + 1 п2 + (1 п2)2 т2 + ... , (5.27)
rде верхний зван относится 1{ СJIучаю «6». СI\JIадывая заряды на сфере 2,
ДJIЯ СJIучая «6» будем иметь
[ тп2а
С 12 == 4'itE па 1 " 2
п" т
... ] .
(5.2 )
1) Автор выражаfJТСЯ петочно: недостаточно, чтобы вклад наждой послед) ющей
rруппы изпбражений стремился R нулю, необходима сходимость соответствующеrо
ряда. При.м. перев.
Трех_чериое paenpeJe.ruтиe поmеuцltО.fl,а
127
Б случае (ш)} , СОI'ласно 18 I'Л. П, с 12 == Cl1' В СИJlУ симметрии J(ЛЯ
случая «б)} можно написать
с 22 ===411:ЕЬ [1+ 1 т : 2 + (1 :: 22 п2 +...]
(5.29)
В случае (ш)) емность С 22 не представляет интереса.
Сила притяжения между двумн сферами при V 2 == О, соrласн:о COOTHO
шению (2.56), равна
F === 17i дев == 47tиVi { т 2 п 2 [2 (1 п2) т2] + . . . J
2 де с (1 п2)2 t [(1 п2)2 т2]2 t
(5.30)
Чтобы получить пvтенциал в неНОТОIJОЙ точне Р, сл дует сложить потен
циалы, созданные в этой точне всеми изображениями. Если потенциалы
сфер равны V 1 и V 2 , причем V 2 "* О, ТО В случае «б)} появится вторая си
стема изображений, для получения НОТОРОЙ нужно начинать с зарпдон
ql==411:EaV 1 и q2===411:EbV 2 , расположенных соответственно в центре сфер
1 и 2. Величины зарядов этой системы и их расположение получаются при
перестановне О и О' и а и Ь в соответствующих выражениях для первой
системы изображений.
96. Уравнения в Rонечных разностях. Задача о двух сферах.
Для точных расчетов формулы последнеrо параrрафа не очень удобны,
если толыш т и п не малы. У становив общее соотношение между послс
довательными изображениями и решаi1 полученное разностное уравнение,
можно найти более номпантные выражения, содержащие rиперболичеСЮIe
фуннции. Обозначим п e изображение в сфере 1 через qm тан что перво
начальный заряд в ее центре равен q1 == 411:Еа; изображение qn в сфере 2
обозначим через P r ,. Расстояние от точни О' дО qn равно 8 n , а от точни О
ДО Рn равно r n (фиr. 47). Тоща
bqn
Р1I === с -+ 811 '
Ь 2
(5.31)
r ==
n
с =t= 8и '
=t= а Р11 :f:: abq 11
q1l+1 == e r1l == с (с -=f 811) b2 ,
(5.32)
+ а 2 :f:: а 2 (с =t= 811) а qn; 1 ( )
8 n + l == e r 1l == e(e+8n) b2 ==Ь % C=f8n,
(5.33)
rде нижний знан относится н СJ1учаю «а» , а верхниЙ н случаю
Исилючая с =t= 811 из соотношений (5.32) и (5.33), получим
«6» .
::J::S:!>:.....==...!?... 8
qn41 а 2 qn+l n+1 о'
таи что
...
::!: qn 1 q11 1 8
q1l а 2 q1l 11 а'
(5.34)
ИСИЛIOчив 8n из соотношений (5.32) и (5.34), приведем результат h виду
1 . 1 e2 a2 b2 1
+ ==X .
q1l+1 q1l 1 аЬ q11
(5.35)
Это есть, очевидно, уравнение в конечных разностях lJTOpOrO порядна
с постоянными ноэффициентами. Соrласно общему методу решения таних
уравнений, следует подставить в уравнение (5.35) 1/ qn == и n , разделить результат
128
r лава V
на ип 1 И решить полученное нвадратное уравнение для U алrебраичеснн,
Если два ero решения еуть U 1 и и 2 , то решени:е pa3HOCTHoro уравнения
имеет вид
1 А п В п
== иl + и2,
q"
(5.36)
rде А 11 В определmотся начальными условиями. PaceMaTpllBaeMblii случаЙ
особенно прост, пос:кольну [юэффициенты при 1/qn+l и l/qп 1 ОДllнановы.
Пользуясь формулами (651.03) и (651.04) из справочшП\а Двайта, соrласно
"оторы.м
sh (п + 1) е + sh (п 1) е == 2 с lJ О sh пО,
ch (п + 1) О + ch (п"" 1) в == 2 с 11 Q С lJ пО,
получаем, что решение уравнения (5.35) мощно зarшсать н шце
'1
== А ch пз. + в sh Ш.J.,
qn
(:>.37)
.('с;ш выбрать
c2 a2 b2
cha==:::f:: 2аЬ (5.3 )
Чтобы ВЫЧJ.н',;шть А и В, напишем для первых двух нзоБРШ-Ы'l!lIjj
1
== == А (111. + в sh 1.
'lL 4rт:2a '
c2 Ь2 ( c) , 1 ) I _ h ') B " h 'J.
::1:: Ь 4 '"' с 17. I Ь ' ."1 С 1. + с. '1..
q2 а rт:oa 'l11:оа
Тl\ПIожая первое И3 этих уравнений на 2 cha н заппсынап ero члены через
ch 2а 11 sh 2а, наЙдем величинЫ А II В.
L
A==T
Т 4rт:sb'
в == ь ::1: а eh а
q1[2ab sh а. .
(5.39)
Если подстаВIIТЬ значения.l иВ в решеНllе (5.З7), тО, П("IlО.IЬЗУН (ДнаilТ, 651.u1),
ПОЛУЧIlМ
ь sh па. ::1:: а sh (п 1) 'J.
'111 4rт:oab sh а
(д.4Щ
(:I,;ш;п.шая зарнды на сфере 1, наХ()J1ИМ
со
c ll ==4-;:c:absll1. [bsl1т:::f::ash(Il 1)1.] З.
п 1
(5.41)
l'ДС НI1IIШИЙ зню, ОТJlОСИТСН Н случаю <<а» (фиr. 47, а), а верхниЙ H CJlY
чаю «6» (фШ'. 47, 6). В случае «ш), СОl'ласно 18 l'Л. П, C 12 == Cll'
Чтобы наЙТII C 12 n случае «6», следуеr .опредеJIИТЬ [>". Взяв верхниЙ зню,
п IIСIШЮЧИП И3 СLЮТlIlIШСНl1ii (5.31) и (5.32) с Sn' rrtЫУЧШI
1 а 1 Ь 1
== + .
Рп с '1П+l С q"
I1ЩJ,стаПИ:VI зна'!сния 1/q1l+1 Jf 1/qп И3 СLОТlюшеПIIЯ (5.40) п воеПОЛJ,3УСМСЯ
-формулами (5.38) J1 С вайт, 651.06); ТОI'JЩ
1 С s 11113:
== ( ).4L )
Рп 1!1[2ПЬ b а '
Трехмериое раепределеuие поmеuциала
129
ПН, что сложение зарядов на сфере 2 дает
00
41tиЬ sh а
C l2 == е .L.J cosech па.
п 1
.(5.43)
Емность С 22 В случае «6» в силу симметрии и соотношения (5.41) равна
00
c 22 ==4'1tEabsha ' [ashna+ ЬБЬ(п 1)a] I.
п 1
(5.44)
9 9в. Сфера над плоскостью и две одинаковые сферы. Представляет
интерес частный случай раССl\fОТренной задачи задача о сфере над про
водящей плосностью. Этот случай можно ПО;:IУЧИТЬ, положив d + с == Ь CX)
в случае «а» ИЛJI с d == Ь CXJ В случае «6», если d расстояние от центра
сферы 1 дО ПЛОСIЮСТИ. При этом п 1, т O, т/l1 nl a/d, тан что
. 00
СП == 4'1tEa ( 1 + 2: + 4d 2a2 а 2 + . . . ) == 4'1tEa sh а cosech па, (5.45)
п 1
rде d == а ch а и а беснонечно малая величина по сравнению с Ь. В обоих
случаях «<а» И «6») С 12 == С ll ' Сила, действующая между сферой и пло
СНОСТЫО, будет равна
F vi де н 2 2 V 2 { . 8ad 1
2 ad ..Еа 1 2d 2 + (4d2 a2)2 + . . . J
00
== 2'1tEV; 2; [cosech па (cth а п cth па)].
п 1
(5.46)
Для двух одинановых сфер радиуса а, расположенных на расстоянии с
JJ.pyr ()т друrа, формулы 9б неС1ЮЛЫЮ упрощаются, если ввести пара
метр р==1/ 2а ; тоща при а==Ь имеем (см. Двайт, 652.6)
chp== [ (1 +cha) J1f2== ;a . (5.47)
в этих обозначениях, полаrая в соотношении (5.41) а Ь, имеем
со
c ll ==c 22 ==4'1tEashp L СОБссЬ(2п 1)р
п 1
(5.48)
и из соотношения (5.43) получаем
со
С 12 == 4'1tEa sh Р СОБесЬ Lnp.
1I 1
(5.49)
9 10. Инверсия в пространстве трех измерений. rеометрические
свойства. Если на ПЛОI;1Ю!'.ТИ проведена ОКРУЖНОСТЬ радиуса К с центром
в начале ноординат и rrересенаюшан ее радиальная прямая, то две ТОЧНИ
на этой прямой, расположенные на расстонниях r и r' от центра, н зьшаются,
соrлаСIJО 22а rл. JV, инвертированными 1'(,чнаМJl в том случае, коrда
rr' == К2.
(5.50)
в 22а rл. IV ОНРУЖНОСТЬ предстаВЛЯJra собой сечение цилиндра, но ее
с равным основанием МОЖНU рассматривать ИЮ{ rлавное сечение сферы.
Тarшм образом, наждой точке неноторой поверхности соответствует в про
9 В. Смайт
130
r лава V
странстве инвертированная тuчна; поверхность, обvазованнап IПlвортирuван
ными точнами, носит название шшертиропа:н.ноЙ поверхности. Если уравненир
иеходноЙ поверхноети в сферичесних Iюордннатах было f (r, В, ер) == О,
то уравнение инвертированноЙ поверхностп имеет lJИД f ([(2/ r, в, «) == о.
в 22а Т.Л. IV было показано, что ПfJНМЬШ . IШППI 1шпертпруютсн (преобраз)
ютсн) в онружностн, nсжаrц1!re в тоЙ же плоскости и ПРОХОДНIЦие чере:
центр инверсии, и наоборот, ТОl'да нан ОI\РУЖНОСТ1J, пе проходвщие чере;:
центр, инвертируются танже в ОКРУiJШОСТИ. с.сlCдонателыю, в трехмерПШ1
случае пАОСНОСТII тпшертируются в сферы, прохо:\нщие чере;:t центр rпшеренп,
а сферы, не проходнщие 'шрез центр, инвертиру ются n сферы. Пос}юлы,у
в 22а Т.Л. IV заКОIJЫ инверсии были иолучены при помощи Jют}ЮрМНLlХ
преоf)разопаниii, утлы при иннерrШ1 ТЮ изиентотся. ОТСЮiЩ, очеНIJiJ,llО, ('лр-
дует, ЧТО еслп малыii конус с телееным УТ;'IOм dQ и вершиноЙ в нача.Тlе
Iюордипат вырезает на поверхности S и llннерТlJровашюii еЙ поверхноетн .s'
ЭJ]ементы площадп dS II dS', а уrол (J l\iЮЖДУ оеыо нонуеа н Э.JIе.ментамп
П.шнцади один 1I ТОТ же, Ти
clS r 2 сШ cos {J r 2
dS' == ,-'2 d cos {J == r'2 .
(5.51 )
11а. Инверсия потенциала и заряДов изобраЖСIlИЙ. ПOfшжем, что
зююны инверсии можно еформулироnать ДJJЯ элентричеСRИХ величин ТЮ-aJМ
образом, что И3 решении одной задачи
можно получить решение друrой, в HOTO
роЙ rранпцы раздела являютен поверх
ностями, инвертированными по отношению
}{ соответствующим поверхностнм первой
задачи. Рассмотрим фиr. 48, на нотороЙ
точни Р', R' и Q' инвертированные Пu
отношению R то шам Р, R и Q, а О центр
Фи2. 48. инверсии. Заряд q в точне Р создает потен
циал V == q/(47tEPQ) в точне Q, а зарffД q'
в точне Р' создает потенциал V' == q' /(47tEP'Q') в точне Q'. Треуrольнини OQ' р'
и OPQ подобны, поснольну К2==Ор.Ор' ==OQ.OQ' и уrол С1. общий.
:Исномое соотношение между потенциалом V н точне Q до инвереии и потен
цпалом V' в точне Q' поrле инверсии имеет, следовательно, вид
p
"..... ,
;/ р
'"
/
/
I
I
О
У' q' PQ q' ОР
V qP'Q' qOQ' .
Чтобы иеПОЛЬЗ0вать это соотношение, следует установить подходнщий зююн
инверсии зарндов. В 7 было поназано, что сфера раДПУI:а К имеет lJуле
вой потенциал в поле заряда q, раеположенноrо n точне r == Ь, и заряда
I q' I == + к I rz /1 Ь, расположенноrо в ин верти рованной точне r' == К2! Ь. Если
потенциал сферы после инверсии относительно самоЙ себя (т. е. меннющеii
местами заряды) остается равным нулю, то закон пнверС1IИ зарНДОll должен пыть
L == .!i... == == ор'
q ь ор К
Отношеиию приписан положительный знан:, поеIШЛЬНУ
чтобы инверС11Н сохраняла ЗlfaRИ зарsдов неизменными.
величины в уравнение длн инверсии потенцпала, получим
(5.52)
мы потребовали,
Подстаплнн ЭТIl
соотношение
У' к ОР f( OQ
V Uj>GQ' OQ' K .
(5.53)
Формула (5.53) поназывает, что еСJIИ при НOlшчН()м vаССТОННIIИ OQ потенциал
V == О, ТО V' == о. Это означает, что если неноторап поверхноеть имеет пулевоЙ
Трех. f'р7Юf' расnределениf' nоmенциала
1?)
потенциал в поле точечных зарядов ql' q2' . . ., qп' находящихсн в точна4'
Р l' Р 2' ..., Р п' раСПО.тюженных па I.онечных, ОТЛJJЧПЫХ от пу;тш paceTOH
ниях от центра пнверспи, то ипвеРТlI1юваннан поверюIOСТЬ будет ПI\ЮТЬ
нулевоii потенциа.Н в поле шшертпронавпых зарядов q;, q , .... ч;" пахо;tН
щнхся в ТОЧI.ах Р;, P , ..., Р;,. УПО:ЮШ)Нjое пыше оrранн.юннс необходимо.
посно.пьну еоотношенпе (5..")2) не имеет места, I.оrда ор рашIO нулю IIJIН
бесноне'шостп. П:з Cl,азаннOl'О ВЫI1lC' cJJOJ(yeT танше, что в тех случалх, 1\01';(8.
ПOIюторап задача решаетсн при llOМОЩИ изображений, «шшеРТl1роваНlIаш)
:задача таюне решаетсп П}JlI ПОМОЩИ и:зоnраа>енПЙ.
.
S l1б. IIрПI\Юр юшерсии иаuбраЖl'ШIii. I3ЫЧIIС.ШМ {'.IIЛУ, ,J,еiiс'1ВУЮЩПО
на точечныЙ зарнд q, находящиifсн н ПЛОС1ЮСТП СIIм:vreтрпп двух сопрннасаю.
IЦIIХСЯ за:юмлепных сфер радпуса а; заряд расположен н точне Р на рас".
стоянии !J от ТОЧКИ сонр.ююенопеннн сфер. Очевидно, что дне сферы можно
.,
+q
--+-4a 4a 4а
. ! P't+Q' ..
q' т q'
ь'
/ I'''\
, "I
."",............................
/ ......
/' "-
/ "
/ "
/ \
/ \
I \
.,
+q
'
1\
I ",
I ( ......
I
"
/1
,/ I
'"
...... ...
---........ ...-
Инвертированная система
а
4а
б
I
Фи2. 49.
получить инверс.ией системы плосностей, изображенноЙ на фиr. 49, а. ВЫЧИI'
ленин упрошаются, еСJ1И в Rачеетве сферы инверсип выбрать сферу, насаJO
щуюся обеих lIлосностей (изображенную на фиr. 49, а пуннтиром). Потенциал
в точне р', созданной изображениями до инверсии, равен
00
1 "
V'== ( 1)пL== .JL....ln2.
2пв L.J 4nа 8пва
п l
Точна Р' является точной равновесия (нейтральной ТОЧ1.оii) поля изобра
жений, тан что величина потенциала V' внутри сферы радиуса о' с центром
в точне Р' (Vp) постоянна, еСЮI пренебречь членами порядна от при п > 1.
Занон инверсии _ (5.53) дает для потенциалов, созданных изображеНИЯМJI
в ТОЧ1Ю Р И на расстоянип о над точной Р (изображения лежат на онруж
ности, проходящей через Р и точну насанин), следующие пыражения:
V 2а V ' V 2а V ' V 2ао V '
Ь==Ь р, Ь+I\ Ь+о р b b2 р.
Соrласно соотношенио t5.52), заря;t q' ПрJ1 инверсни преобразуетея h зарн;(
'2.aqj!J, тю{ что сила, действующая на q, OIшзываетен равной
. qиTb TbH\ aq2
F == qE== 11т == ') b In 2. (f).Б4)
I\ O о .c-7k
11 . Инверсия заряженной пронодящеiI IIоверхности. Рассмотрим
провuдящую поверхнuсть S, :заряженную до потенциала 1jK и несущую
u*
132
r лава V
поверхностный заряд плотности о; пусть Q неноторая ТОЧRа на этой по
верхности. Соrласно занону (5.53), потенциал в соответствующей точне Q'
на инвертирuванной поверхности S' равен VQ == 1/OQ'. Поснольну потенциал
в точне Q', созданный отрицательным зарядом 471:10, наХодящимся в точне О,
равен 1jOQ', то очевидно, что при наложении потенциала TaHoro заряда
потенциал инвертированной поверхности обращаетсн в нуль. Обращение
этой онерации дает важное правило, соrласно ноторому, зная решение
задачи для проводнИIШ с нулевым потенциалом в поле ноложительноrо
заряда 471:10, можно при помощи инверсии с центром в тоЙ точке, rде
находится этот заряд, получить решение задачи для инвертированной HpO
воднщей новерхности, заряженной до потенциала K 10 ДЛЯ инверсии
поверхностноЙ плотности заряда в точне Р будем, соrласно соотношениям
.(5.50) (5.52), иметь .
L dS !!..... (ор)2 (ОР)3
а dS' q О? (OJ>')2 Ю (ОУ)3 . (5.55)
111'. Преобразование емкости при инверсии. Н качестве примера
примененин метода, изложенноrо в 11в, найдем емкость проводника,
/"
/" . q '
/ "
/ "
/ "
/ "
/ "
/ '
/ .+q"
Инвертированная система
а
,... \
'"
" ......
/ ......
/ "
/ "
/ \
I 2а \
I \
I \
I I
\ I
\ I
\ I
\ I
/
/
/
/
"'..... "
............... ...,..,/
б
Фие. 50.
образованноrо двумя сферами радиусов а и Ь, пересенающимися по пр}\:!>П,IМ
уrлом. Uчевидно, что инвертированная система имеет вид, и;юfjражеппый
на фиr. 50,а: две заземленные плоскости, пересенающпеся под прнмым
уrлом, находятсЯ в поле точечноrо зарП)l;а q' 4Т:Е. ЭТО поле совпадает
с полем, созданныМ зарядаМИ llзобрашепиями, поназанными на фиrуре. Про
водпин требуемой формы, полученныЙ прI1 помощи инверсии, будет иметь
потенциал V 1/К == 1/2а. Соrласно фОРМУJlе (1.27), заряд па этой
lIоверхпостй равен сумме зарндов изображеIlИЙ ql' q2 И qз, т. е., n с(ют
ветствии с с(ютношением (5.52),
[ а аЬ
Q == ql + q2 + ъ == 4Т:Е + 2а (а2 + Ь2)Ч2
а еl\ШОСТЬ равна
J '
Q [ (а+Ь) (а2+ Ь2)Ч2 аЬ J
С == == 47tE 1/ '
J7 (а 2 + Ь2) 2
(5.56)
Потенциал в пространстве, окружающем проводпик, можно найти непосред
ственно по зарядам изображенинм ql, q2 И qз или при помощи инверс.ии
Трех.мериое распределение поmеuциала
133
пuтенциала, создаваемоrо зарядами изображениями внутри уrла, образо
ванпurо плосностями.
12а. Пространственные I'армоники. Н 1 было поназано, что враще
нием семеЙства ортоrональных нривых, представлнющеrо пuперечное сечение
llByxMepHoro поля, нельзя, вообще rоворя, получить семеЙство трехмерных
эквипотенциальных поверхностеЙ. Однако таним uбразом мошно IIОЛУЧИТЬ
семеЙство поверхностеЙ, нот()рые вместе с плосностнми, пересе1ШЮЩИМИСЯ
вдоль оси вращения и харантеРI зуеl\IЫМИ азпмутальны уrлом, образуют
систему ортоrональных н:риволинеилых НООРJ\ипат; последнюю можно изучить
при помощи метода, изложенноrо в 4 rл. III. Если меридианальное сече
ние поставленноЙ трехмерноЙ нраевоЙ задачи образует двухмерную rраницу,
для ноторой рещение можно получить при помощи нонформноrо IIреобразо
вания, то существует метод, позволяющий построить таную систему ({oop
динат, в ноторой первоначальные нраевью условия имеют весьма простой
вид. 3алача, таним образом, заНJlIочается в наХОЖJ\ении общеrо решения
уравненпя Лапласа в таной системе ноординат.
Пусть и 1 == /1 (х, у) И и 2 == /2 (х, у) сопряженные фуннции в плосности z,
опредеШJeмые соотношением
z==x+iY==/ (u 1 +iu 2 )==/(u).
Тоща, соrласно выражению (4.56),
: == /' (и), или ах + j ау == /' (и) (аи 1 + i аи 2 ).
(5.57)
Умножая это равенство на номпленсно сопряженное, получим
ds == ах 2 + ау2 == I : \2(aи + аи:).
Если эта система вращается относительно оси У,
будем иметь
то для элемента длины
Сравнение с
ds 2 =:' ds + х 2 (dq;)2 == I : 12 (aи + аи;) + х 2 (аср)2.
соотношением (3.10), rlle аер == du з , дает
h 1 == h 2 == I : I и h3 == Х.
(5.58)
тан что уравнение Лапласа, соrласно соотношению (3.13), имеет вид
X l dZ 1 2 [ ( x дy ,+ ( x дY )] + д2У ==0 (5.59)
dи aиl aи 1 ) ди 2 ди2 a'f2'
ПоследниЙ член здесь без труда ОТJ\еляетси, если, IШ1{ было уназано II 2
rл. IV, иснать решение в виде
V==U(u 1 , u 2 )Ф(ер).
(5.60)
Раздешш уравнение (5.59) на V и полаrая Ш1следний член равным т2,
получим, нан и в решении (4.8), фуннцию Ф n виде
Ф == A 1 e jm q> + Bl e }т,!, == А cos тер + в sin тер. (5.61)
ДШi и (u 1 , и 2 ) получаетСIl уравнепие Б частных производных
( Х ди ) + ( х ди ) m2 \ aZ \ 2 U ==0
Х aиl ди( х ди2 ди2 х 2 ди .
(5.62)
Трудности, свизанные с интеrрироuапием этоrо уравнении, определяютси видом
фуннции х (U 1 , и 2 ) и I dz/du 1. Но мноrих важнейших системах ноорд:инат,
Tpex.\tppH(Je распределение nотенцuала
135
IЮОРДIIнаты и] II и 2 так, что
g] (U 1 ) =--..= (А.]I:1I1 + В] e 1I1) == F] (w 1 ),
g2 (и 2 ) ==' (А 2 cos и 2 + 82 sin и 2 ) == Р2 (w 2 ).
(5.71)
(5.72)
ОБОЗНачая через р радиуr 13ращerшн неноторой т()чни, будем, соrласно
соотношению (5.63), иметь
р == gl (и]) {{2 (и 2 ) == Р] (w]) Р 2 (w 2 ).
(5.73)
ЕСJШ положить те == '1 и s == О 13 ура13ненинх (5.66) Il (5.67), '1'0, нак
неТIJУДНО убе;J,И1ЪСН по(',реДСТВШf пидстаНОБКИ, решениями этих уравнений
будут
а] ==С] gf'
(5.74)
(5.75)
If
и 2 == С 2 gr;:.
СООТВОТСТБУЮ1цие ;lифференциа.:JЫIЬЮ уравнения уравныiИЯ llToporo порядна,
поэтому наждое ИЗ пих ДОJШШ() иметь еще одно решение. Поскольну метод
нахождения ВТОРOJ'О решения но одному изuеrтному решению может OHa
:шться иолезным не TOJIbHO в рассматриваемом случае, выводем ero :щесь
JJ общем виде. Предположим, что у == V есть частн()е решение уравнения
d 2 y . dy
dx 2 + J1l dx + Ny == О, (J.76)
I'ДС ,}1 и N фУ1JlЩИИ х. "Нодставлю.. у == vz в это уравнение, обозначая
z' == dz/dx и исключа.I V при помощи уравнения (5.76), получаем
dz' (dv "
V dx + \. 2 ах + 1IJv ) z' == О.
:Умножая на dx/vz' 11 :интеrрIIрУЯ, будем иметь
lnz' +ll1v 2 + 111 ах==С,
.
ИJIИ
, dz В 2 S М dx
Z == {[х == V е .
ИНТCl'рIIрованиf' дает
z == А. + в V 2 е S JJ dx ах,
Т,Ш ЧТО
у == l; ( А. + в V 2 е S м dx (Z.r ) . (5.77)
]J рассматриваемом случае, I3ЫПОJIIJIШ дифференцирование и умножив на и1, 2,
можно привести уравнеНJlЯ (5.66) и (5.67) I. виду (5.76), Torдa М1,2 БУi ет
равно
gi,2 clln g 1,2
Лl12== ==
, g1,2 cLи1,2
]JРJlJlиман v рапным ВЫl'аженшо (5.74) ИJIИ (5.75), ПOJ1учаем при ll(JМОЩИ
ф()рму;rJЬ] (5.77) при l == О вторые решенпн
U 1 == D] gi п \. ": 1 (5.78)
J Ь]
и
U D т \' dU2
2 2g2 J g m+1 '
(5.79)
136
r лава V
Следовательно, решение уравнения Лапласа можно записать в ВИДе
V == gf' (С 1 + п 1 g :1 ) gr (С 2 + D 2 S g 1) Cos (тnep + ).
Решение в таноЙ форме удобно, в частности, KorJIa поверхность зарЮRен
Horo проводнина образована поверхностью вращения и нлином, ребро HOTO
poro лежит на оси вращения.
Применение полученноrо решения можно проиллюстрировать простым
примером. Пусть беС1шнечныi1 проводлщиi1 заряженный 1ШИП, внеШНШI Уl'ОЛ
HOToporo равен а, имеет сферичесную ВЫПУ1ШОСТЬ раДИуса а, пересенающую
обе ero стороны под прямым уrлом. TorJIa, взяв центр сферы за начаJlu HOOp
1
.J:инат и расположив стороны н.пина под уrлаМlI ер == ::1::: 2а, будем иметь
p==rsinO, gl==e UJ ==,., g2==siпu 2 ==siпО. Вее 1'{JаНИчные УС.ловия выпол
няются, если выбрать
(5.80)
тn== : , Dl==( 1+ 2аТС )Сlа1+(21<М, С 2 ==1, Дj==О, ==o.
Таним образом, получаем
V == С 1 r 1t /u, [ 1 ( ; ) 1 +(21</"> J (siп 6)1</" cos "a'f .
(5.tH)
Эта формула дает V == о на поверхности нлпна и сферы, а вдали от начала
ноординат сuвпадет с решением 2u rл. 1 У.
13. СферичеCl,ие rарМОIlИIШ. И(1rда rраничные условия элентростаТl1
чеСRОЙ за.тщчи имеют простой вил n сфсричеСl{ОЙ систоме НООр;J,инат, цеJrесо
образно воспОльзоваться общим реШОI1ием уравнения Лап.паса в этой системр.
Это решение можно получить точно таним же путем, что и в 2 rл. JV.
Пусть r рассто ние от начала RООрЩПJат, О полнрный уrол, отсчиты
ваемый 01' оси Z, 9 азимутальный уrол, отсчитываемый BOHpyr оси z ОТ
плосности zx; В этих переменных уравнение .'1аплаl"а имеет, сиr.JJасно
(3.17), вид
д ( ?о],' ) 1 rl ( . aV ) 1 a 2 V
or r ar + sin О дО SШ О дй- + si1l2 О d'f2 == О.
Будем иснать решение в виде
(5.82)
V == R8Ф == RS,
(5.83а)
l'JIe R ФУНRЦИЯ тольно r, в . фуннция тuльно О, а Ф ФУJl нцин ТОЛЬRО ер
Фунrщия S == Ф8 называется поверхностноЙ сферпч('сной rарм()ниноii, а фУIlR
ция в (при ф == const) зона.ПЫЮЙ rармошшоЙ. ПолстаВИЕ V == RS 13 ypaB
нение (5.82) и разделив на ЛS, будем иметь
(,."!. dR ) ( sinO aS ) + a2S ==O
11. dr" dr / + S Sill.O дО дО S SiIl 2 О д<р2 .
Перный член этоrо уравнении зависит только от r, друrие СOj'.ерiIШТ ТОЛI,l(()
уrловые ноординаты. Травнешю УДОВJIOтворлетен, с.педоватеJIЬНО, в любой
точне толы{() в том случае, если
1 д ( . aS ) 1 д 2 с'>
S sin О дО sш О дij + s SiIl2 О a'i -== К.
(5.83б)
( 2 dR ) == к
R dr r dr .
Трех.мериое расnределеuие nоmенциала
137
Нетруцно видеть, что решением последнеrо уря.внения является
R == Ar n + Br n l,
(5.84)
rдe п (п + 1) == К. Подставляя это значение К в первое уравнение и умныная
на S, получим
1 д ( . aS ) t a 2 S
e д " юпfJ д " + д 2+n(n+1)S==O.
Б1П u u SlIl u <р
(5.85)
Решение (5.83а) приобретаот, таним образом, вид
V == (Arn + Br n l) Sno
(5.86)
Очевидно, что V будет решепием уравнения Лапласа тольио в том случае,
если величины п в обоих членах одипаНОRЫ и равны инденсу фуннции Sn.
Сумма (или интеrрал) по п, состоящая из членов типа (5.86), таиже будет
решениом.
В частном случае
при п == О уравнение (5.85) принимает вид
sin fJ :0 ( sin fJ д o ) + д; o == U.
(5.87)
в 21 rл. VI будет поназано, что или и, пли v удовлетворяют этому
уравнению, если
и + jV == F [ (co ер + j sin ер) tg ; е] .
(5.88)
Таним образом, иаждая сопрнженная: фушщин предыдущей rлавы даот два
решения уравнения Лапласа в трехмерн.ом пространстве после замены х
на cosep tg е, ?! на sin ер tg ; fJ и умножения на (А + Br l). Особенно важ
ные решения, получающиесн при И'Т == zж m И W == ln z, имеют виц
( 1 1 )
V =', (А + Br l) С ctgmTfJ +Dtg m те cos(тep + От),
V == (А + Br l) (с ln tg 6 + Dep) .
(5.89)
(5.90)
14а. Общие свойства поверхностных l'армониК. Преждо чем решать
уравнение (5.85), выведом при пом()щи теоремы rрина важное свойство фунн
ций S". Выпишом еще раз формулу (3.22)
(qrу2Ф ФУ2\If)dv== (W Ф ) dS. (5.91)
v s
Положим W == rmS m и Ф == rnS n , таи что v 2 ф == y2W == О И объемный интеrрал
равен нулю. В начестве поверхности интеrрирования выберем сферу единич
HOro рациуса; обозначив через dQ ЭJIемент телесноrо уrла, будем иметь
aw == д (rmSm) == тrm lS == mS
дn ar m ш
и, аналоrично, дФjдп == nS n . Подстановна в формулу (5.91) дает
(nSnS m тSnS",) dQ == (п т) SnSm dQ == О,
ы
т. е. при п t= т
SnSm dQ == О.
\J
(5.92)
13R
rлшю т.т
146. Потенциал rармоническOl'О распределения заряда. Пусть
на повсрхноети сферы задана l\Онечнан непрерывнан ПЛОТНОСТЬ элеRТРИ
чеспоrо зарнда От тапан, что в Jlюбом месте поверхности можно выбрать
настолько маJ1УЮ п.лощадну !::J.S, что па пей можно преllеоречь величиной
(Оп оп) по сравнению со ере";J:НПМ значение,,! ОП плотности заряда Оп на пло
щаДI{е дS. Этот зарнц создает потенциал V o вне сферы и lIотенциаJl V;
внутри нее. При:мення теорему raycca о Iютоне элентрпчесн:ой IПСlУ1ЩИИ (1.27)
Н маленькому объему, охватывающему ЭЛo:lIeНТ оБОЛОЧ1Ш дS, будем иметь
ОП =о, Е ( д:; :o ) .
. a
(5.93)
Рае смотрим ПJЮТlIOСТЬ оп таную, что
1 a п -r-2,
EV o == 211+1 ynT1 ..s".
(5.9 )
ТOI'да, поскольпу V 0== V;. нри r == а, ; ОJjЖНО иметь юето равенство
1 r"
EV i == 2п+ 1 an 1 Sn. (5.95)
Подстановн:а выражений (5.94) п (5.95) !3 уравнение (5.93) дает
оп == S".
(5.96)
l3последствии будет поназано, что еслп О ВХOl.ит в фУЮЩИl1 S" через Р;: (COS О),
то эти фуннции уд()влетворяют УС.;JОВИfIМ, наложенным на оп в начале
н.астоящеrо параrрафа. Пспользуя найденные выще формулы, а также
формулу (1.8), можно получить два весьма 1I0Jlезных llнтеrрала:
(' Sn dS == r"S"
Hi 2п+1a" 1 ,
s
(' Sn 41t a n +2S"
Но dS == 2п+1 rn+1 .
S
(5.97)
Vl'ЛЫ, входнщие n фуннцшо Sn' суть 1юординаты н:онцов R i IIJJИ Ro. В силу
принципа суперпозиции потенцпал, обуслонленныii некоторым поверхност
ным распределением зарлда, ноторое можно представить в виде
0==8 0 +S 1 +S2+""
(5.98)
даете н ФОРМУJJaМИ
а [ ( /' ) S 1 ( " ) 2 S 2 ]
V; == ('; Sa + ,а 3 + а 5 + '"
IIрН "< а,
V == [ S, + ( ) 2 1 + ( ) 2 + ... ]
о Е У' u r 3 \,1' J
(5.99)
при "> а.
* 15. Дифференциальные уравнения IIoBepXHOCТIlbJX l'аР ЮlIИ1{. IIере
меШJЬЮ О и 9 J3 дифферlшци.аJJЬНUМ уравнении П()}JUРХНОСТНЫХ rаРМОНИI\
S == НФ (5.85) можно разделить обычным 'ютодом. Подсташш tJФ вместо S
в уравнение (5.85) II разделив урашюшш на RФ/siп 2 е, получаем
sin V d ( . dH ) 1 d 2 ф .
(C<) аи Slll О dO + ф d<!J2 + l/. (п + 1) Slll О == О.
,
Э.,О уравненш удовлетворяется )[лн ;нобых значениij fJ н ер ТОJ1ЫЮ В том
с.ттучае, еСJJИ
siJl V d ( . О d8 ) + ( 1 ) ' (, К
аО sш аи п п + SШ" v == 1 П
1 l12ф
Ф d<p2 == к 1 .
I'pex_'tPpUop pltcnpeae"teuue nО11/,rтцuала
1 Ш
Е{'JIИ положить К 1 == т 2 , то решение ВТОРОI'О уравнении имеет, очевидно, вид
ф == с cos тер + Dsin тер,
(5.100)
за lIснлючением случаи т == (), 1юrда
Ф== 1Il 9+ N .
и'>.101)
Полаrая К 1 ,== т 2 в первом ypaBHeHIII1 и умножая ero на 8 jsin 2 е, будем иметь
i d ( . de ) [ 11/,2 ]
sinUdfJ sшВ dо + п(n+l) siJl2U
8==0,
(5.102)
т. е. дифференциа.чьное уравнение лли фУШЩIII1 (j.
s 16а. Зональные l'армошп.и. Уравнение Лежандра. Прежде чем
IIсс,педовать общее решение уравнения (5.102), рассмотрим наиболее важны}.
частный случай, нотда V не зависит от 9. Ф постоннная И, соrласно
решению (5.100), т==О. Если обозначить cosB через fL, то уравнение (5.102)
нримет lШД
а [ dA ]
Ф . (1 fL2) d;' + п (п + 1) 8" == О.
(5.103)
Это уравнение называется уравнением Леж:андра, а ero решения 30HaJJk
ными l'арМОНИ1ШМИ.
166. Решение уравнения .режандра при помощи рядов. Чтобы
поп учить решение уравнении (5.103) в виде рида, положим
8 п == a,.fLT.
ПодстаНОВI,а вырашенrш (5.104) в уравнение (5.103) дает
{r (r 1) arfLT 2 + [п (п + 1) l' (r + 1)] a,'ILT} == О.
(5.104)
Чтобы это равенство удовлетворнлось при любых значениях fL, иоэффи
циенты при ра3ЛИЧНр1Х степенях fL должны порознь равннтьсн нулю, т. е.
(r + 1) (r + 2) а т +2 + [п (п + 1) r (r + 1)] а т == О,
(т+1) (,,+2) (т+1)(т+2)
а т == п(п+1) "(T+1)ay :!,==' (п T)(n+T+l)aT+2.
(5.105)
Отметим, что если а , == О, то aT 2 == a,, !, == . . . == о и, СОl'ШI.СНО соотноше
юно (5.105), a l и a 2 равны нулю при ионечных а о и a l ; таиим оfiразом,
вс,е отрицательные степени fL в решении отсутствуют. Следовательно, ес. Ш
Rыбрать а о == 1 и сохранить четные стененн (J', решение можно записать в виде
1 п(п+1) 2 + п( п )(п+1)(п+З) 4
Рп ! :.1 4! fL. . .
(5.10f1)
Ес.'IИ выбрать а 1 == 1 и сохранить печетные степени 1.1, то решение будет
(п 1) (п+2) 3 (п l) (п 3) (п+2) (п+4) 5
q" == fL 3! (J' + 51 (J' . . .
(5.107)
Обпюе решение ураВIЮНlIfI (5.103) в интервале 1 < (J' < + 1 имеет ВИд
8" == А"р" + B"q"
независимо от Toro, ЯВ;;Iнетсн ли п це:lЫМ ЧИСJIOJVI или дробью, действитель
пым ИДИ RОМШICI,СНЫМ; необходимо JН1ШЬ, чтобы риды былп СХОДИЩИМIIСЯ.
140
r лава V
Ренуррентные формулы дЛЯ Р" И qn можно получить вычитанием Рn+l из Pn l:
[ (п+1)(п+2) п(п 1) 2
pn ' Рn+1 2! fL
(п 1)(п+4) п(п 3)(п 1)(п+2) 4 + ]
4 31 fL. ..
2 ( (п 1) (п+2) 3 )
( п+ l)fL fL 3! fL +... (2n+1)(1qn.
(5.108)
Аналоrично получаем
(п + 1)2 Qn+l n2qn 1 == (2п + 1) fLPn'
(5.109)
.
Дифференцируя jшд (5.107) и прибавляя пdqr' I/Ф и (п+ l)dqn+l/Ф,
будем иметь
' +(+1) ' [2+1 (п 2+п+З)п(п+1)2 +
nQr, 1 п qn+l п 2! fL
+ (п 4+п+5)п(п 2)(п+1}(п+З) 4 ]
4! fL .,.
== (2п + 1) ( 1 п (п 2 t 1) /12 + п (п 2) ( 1) (п+ 3 ) fL4 ...) == (2п + 1) Рп (5.110)
и, аналоrично,
(п + 1) P 1 + пP +1 == п (п+ 1) (2п + 1) qn.
(5.111)
16в. Полиномы Лежандра. Формула Родриrа. Если п четное
положительное целое число, то ряд (5.1U6) имеет, очевидно, нонечное
1
число членов, равное 2" (п + 2). и может быть записан в виде
1
pn==( 1)nJ22n [(+ )!J2 f ( 1)Т (Ч2)n (п+2r)!fJ-2r .
п. T O 2;п [ (п 2T)]! l (п+2Т)]! (2т)!
R этом случае ПОJlИНОМЫ Р" (fL) определнются н:ан
( 1)1/2Тl п!
Pn(fL)== [( l ) J 2Pn'
2 " п!
2
(5.112)
Если п положительное нечет ное целое ЧИСJIO, то ряд (5.107) имеет нонеч
1
пое число членов, равное z(n+ 1), и ето МOi1ШU записать в виде-
1
f r (п 1) l ,t 2 2(n 1)
( 2 п! . J ( 1)r (1J2}(71 I) х
T O
qn == ( 1 )Ч2 (n 1) 2n 1
(п +2т+ 1)! fJ. 2 "rl
Х
2 п l (п 2T 1) J ! [ (п+2т+1)] ! (2т+1)! .
в этом случае полиномы Р,-, (fL) определшотся СJН:щующим образом:
( 1)1f2(n I) п!
Р п (/1)== {[ 1' J 12Qn.
2n 1 2(п 1)! J
(5.113)
Трех.мериое распределеuие поmеuциала
141
При целом положительном п полиномы ЛежаН)1ра Pn(fL), представленные
в виде (5.112) и (5.113) по возрастающим степеням fL, можно записать
в обратном иорндке, если подставить s== n r в (5.112) и s== (n 1) r
в (5.113); подстановка в обоих случаях дает
m
P () == ( 1'"' (2n 2s)! n 28
n fL .LJ '/ "(s!) (n s)! (n 2s)! fL ,
" o
(5.114)
1 1
l'де т равни 2" пили 2" (п 1) в зависимости от тото, которое из этих
чисел цепое.
Из выражения. (5.114) ДJfН Р n (fL) можно получить формулу, известную
под названием формулы Родриrа:
m
Р ( ) == "\,1 ( 1 ) 8 п! (2n 2s)! n 2B ==
'" fL 2"п! .LJ si (n s)! (n 2s)! fL
" o
n
== "\,l ( 1 ) S п! 2n 2B
2nп! фn .LJ s! (n s)! fL .
_ o
Последняя сумма есть разложение бинома (tJ-2 1)n, так что
Р ( ) 1 d n ( 2 1 ) ""
n fL 2пп! d:>-" fL .
(5.115)
ФОрМУJIЫ (5.114) и (5.115) дают решение уравнения Лежандра (5.103) ..
независимо от величины пеРt:Jменноii fL. Для rармоник вытянутоrо сферо
ида О < fL < 00. При очень бuльших значениях fL член с высшей степепью fL
мното больше остальных, поэтому
(2п)! n 5 6
J>n(fL) 2 П ( I ) 2 fL . ( .11 )
lJ.""'""i>OO n.
. э 16т. l\оэффициенты Лежандра. Обратное расстояние. ПОЛИНО\1Ы,
рассмотренные в 16в, известны также под названием коэффициентов
ЛежаН)1ра; чем обусловлепо это название, будет ясно из дальнейшеrо. Если
две точки расположены на раССТОЯНИfJХ а и Ь от начала 1юординат (Ь > а).
а yroJJ между а и Ь равен О (fL == cos О), то величину, обратную расстоянию
между этими точками, можно записать в вице
== (а2 + Ь2 2abfL \ Ч2 == (1 + a2 ;abfL ) Ч2 ==
== [ 1 a2 2abfL ( a2 2abIL ) 2 ] -==
ь 2 1>2 + 2.4 Ь 2 . . .
== [1 !!:... 3:J.2 1 ( !!... ) 2 + 5:J'3 3fL ( !!:... ) 3 . ]
ь +fL Ь + 2 Ь 2 Ь +..
НетруДIIO видеть, что ноэффициеит при (ajb)n совпадает с выраЖl:!иием (5.114)
дЛЯ Р'n (fL), тан что можно записать
;l == [Р О (fL) + ( ) Р 1 (fL) + ( у Р 2 (fL) + ... ] .
(5.117)
в последующем это разложение будет неоднократно использовано при реше
нии задач.
142
r лава J;Т
* 16д. PeRyppeHTHbIe формулы для полиномов Лежандра. Если п
печетное целое число, то, подставив в фОрМyJ1У (5.10 ) Pп l, Рп-{ I П qn
ПЗ фСр IУЛ (5.112) и (5.113) и разде;:JПR получеНIюе равенство па
2 rH {[ +(п l)J!} 2
п! ( 1)1fl (1/+1)
будем lНЮ1Ъ
пPп 1 + (п + 1) Р"+1 == (211. + 1) [LP". (5.1 JS)
ТОЧIlО ташJ(' ше вырашспис' получается lЩЯ четных 11. из формулы (5.109).
Арrу:vюнт П(JЛlIlЮ1\ЮВ в тех случапх, кш'да это пе J\юшет привести 1\: IIР; О
разумению, не выписывается.
ЕСJlИ 11. четное I\Cшое чис.:то, то, ПО;lсташlН в форму"у (5.110) Рп' q;' I,
q ч ИЗ формул (5. j 12) и (:5.113) и раздеJIИВ па
2" (2п + 1) [ ( i п ) ! ] 2
( 1Pыпп!
получаем
P +1 P 1 == (211. + 1) Р п .
(5.119)
Тюше же выражение можно получить при нечетпом 11. из формулы (5.111).
ПНТeI'рированием формулы (5.119) можно получить выражение для
IIнтеrрала от Р п ([L):
\ Р ( ) d Pп+l Pп 1
.) п [L [L== 2п+1 .
IIроизводную полинома Р п ([L) можно получить путем сложения иоследова
т лыlстии уравнений типа (5.119)
(5.120)
P ([L) == (211. 1) Pп 1 + (2п 5) P" 3 + . . .
(5.121)
ЕСJIИ продифференцировать выражение (5.118) и ИСШlIOЧИТЬ из результата
P 1 при помощи выражения (5.119), то получится друrая важная формула
ДJ1Я производной
P;l+1 == [LP + (11. + 1) Р п или Р;l == [LP 1 + 11.Pп l.
(5.122)
Исключая отсюда P 1 II P +1 при помощи выражения (5.119) и ИСЛ(),IЬ
зуя выражения (5.118), (5.119) или (5.120), будем иметь следуюпше
эквиваJюнтные J{pyr друrу формулы:
, (п + 1) (f'.PYI Pn+1) п (fiPYI Pп l)
Р п == == ==
1 fL2 1 fL2
== п(п+1 ) Pп I P"+I == п(п+1) \ Р ( ) du
2п + 1 1 fL2 1 fL2 j ," [L ,.
(5.123)
16е. ИIIтеrрал от произведения полиномов Лежандра. В прилоше
IIИЯХ lIOJIИНОМОВ .пежаНД}Jа весьма важен интстрал от их "РUIIзве)JеIIИН,
вычисленный в пределах от fJ == () до О == т.: или от [L == 1 до [L == + 1.
Соrласно фОРМУJш(5.92),
+1
Р п ([L) Р m ([L) dp_ == О при т *' 11..
1
(5.124)
TpeX.AV'pHoe распределение потенциала
14,3
При m == п можно шщстапить ;Ш3'IOlПI(' ОДIЮI'О 11:'1 1'" по формуле (5. "15)
+1 +1
[P,,(f1)PC!:L== 2' L! P,,(f1) ; (f1: l)"clf1,
1 1
IIротштсrрируси правуш часп. раl,енстла По ЧаСТЯМ п pa;J, выбирая наждыil
раз перпыii член за 11, а второЙ за c/l-. IlОСJЮ.ТIJ"НУ а" (!L 2 1)" fdf1T содержит
JJCCl'll.3 1'vШOiнитс,!ь (f1:J j }'Н', V ncer;ia обращается в llУЮ, пр!r подстанош;с
прсде;rюв, тат, что ПРOJJзвсдсппе т' ныпа;l.аст; шюнчате.пьно ПОJJучаем
1 +1
\' [1 ' (tL)]2C!tL==L) \ d11P,п(f") (tL:J '1)"cl'L.
п L 2 п п ! J (1'1 п I
1 .1
Соrласно фОРМУJJе (.5.114),
d"P1>. (f'.)
clf'-п
(2п)! п!
2 П п! п!
(2п)!
2"п! '
(5.125)
тан что
+1 +1
[Р ( )] 2 d == (2п)! (1 2 ) " d == (2n J)!! . 2 11+1CJ d6
"f1 f1 2" fL -f1 ( ') ) '1 SlП ,
2. (п!)2 п :.
1 1 О
И интеrрирование (см. Двайт, 854.1) дает
(5.126)
1 2
[Р 11 (f1) р ф == 2п + 1 .
1
(5.127)
16 ж. Разложение фушщиЙ по полиномам Лежандра. Функцию,
RОТОРУЮ можно разложить в рЯД Фурье в интервале 1 < fL < + 1, можно
аналоrичным методом разложить в ряд и по ПШ1иномам Лежандра в этом же
интервале. Запишем этот ряд в ВИ;l.е
!(fL) ==a..po(fL) + a1P1(fL) + ... + а"Рп(fL) + ...
(5.128)
Умножим это равенство на Р", (fL) и проинте1'рируем от fL == 1 до fL 0== + 1;
в результате, СО1'ласно формуле (5.92), все члены, нроме т ro, исчезают.
При помощи формулы (5.127) получаем
а т == (2т. + 1) 1 ! (fL) Р т (fL) ф. (;>.129)
1
Отметим, что при !(fL) ==0 в UIIтерпале 1<fL< +1, ат==О. Это означает,
что если ряд по полиномам Лежан;:rра рапей нулю, то должны равпятьсн
нулIO ноэффипиенты при наждuм из e1'o членов. Нан и в случае рядов Фурье,
в точнах разрыва сумма ряда равна полусумме значений! (fL) по обе CTO
роны точки разрыва. Поередством подстановни формулы РОДРИ1'а (5.115)
R формулу (5.129) можно получпть JIpy1'oo, чаио болео удобное, чем (5.129),
выражение ДЛЯ а т . Подстановна дает
+1
т2т+'\ \ dт(1 fJ-2)rtl
а т == ( 1) 21>1+1 т! J ! (fL) df'.тп dfL.
1
ИНТOI'рирун это соотношение несн:олыю раз по частим, принимая наждыii:
раз первый член за и, а второЙ за dv, находим, что I uv I : равно пулю п
1.44
r лава V
+1
и dv мониет знак; в результате остается
1
+1
2т + 1 . dтf (!L) (1 2) m d
а u
т 2т+1 т! du.'" fL, .
!
(5.130)
Если производные f (fL) имеют простой вид, то обычно интеrрирование в COOT
ношении (5.130) не представляет труда.
Э 16 3. Таблица полиномов Лежандра. Таблицу величин Р" (fL) мошно
составить при помощи формул (5.114) или (5.115). При п < 9 имеем
РО (fL) == 1,
1
P 1 (fL)==fL, . P2(fL)==2(3fL2 1),
Рз(fL)== (5fLЗ 3fL),
Р ( ) == (35l'-4 30l'-2+3)
4fL t).,
Р ( ) == (63l'-5 70l'-3+15l'-) Р ( ) ( 231l'-6 315l'-4+105fL2 5)
5 fL . 8 ' 6 fL 16 '
Р ( ) == (429 fJ7 693l'-5 + 315l'-3 35 ['.)
7fL 10 '
Р ( ) == (6435l'-B 12012p.6+5930l'-4 1260l'-2+35 )
8 fL lLt) .
1
1
I
Фие. 51. Полиномы Лежандра от nepBoro норядна до седьмоrо.
Приведем некоторые наиболее важные частные значении Р п (fL):
если п нечетное Р п (О) == О,
» п четное Р ( O ) == ( 1 ) 1f2'n 1.3.5... (n 1)
" 2.4.6... n '
Р п (1) == 1,
Р п ( fL) == ( 1)"P" (fL),
P (0)== (п+1)P,,+t(0) [из формулы (5.116)],
1
P (1)==2п(п+1) [из уравнении (5.103)].
»
п любое
п любое
п любое
»
»
»
п любое
Величины Р п (fL) дли 0-< п -< 7 приведены на фиr. 51.
Трехмерное распределение поmеuциала
145
э 16и. Полиномы Лежандра мнимоrо apl'YMeHTa. При изучении Tap
МШIИI\ СНШОСIIУТОТО сфероида приходитсн иметь де.ПО с Р п (jl), тде j == ( 1)Ч2
И О <.1;, < 00. IIодстаВJIНН jl Ш\Ш(',Тn fL В формулу (5.114), получаем
m
Р ( 'l ) == ( 1 ) Ч2n "\,1 (2n 2s)! C' 2s
n / L.J 2" ( ) , ( ' ) 1 ( 2 ) , '
8 0 S. п ,. п s .
(5.131)
1 1
п!е т == т п ИЛИ т == т (п 1) в заВИСИМlJСТП ОТ тото, KOTOj'Oe из этих чисел
целое. Аналоrllчная нодстановка в фОРМУ;JJУ (5.116) дает
Р (/ '1;, ) (2п)! ( 1 ) Ч п т'. ( 5.132 )
п .....o::> 2" (п!)2
э 17. llотенциал заряженноrо Rольца. Допустим, что потенциал V
симметричен относительно оси х и 01'0 величпна в каЖ:J:ОИ точке ЭТОИ оси
известна и может быть иредставлена n 13иде А
1юпвчноrо ИЛИ беСКOlJeЧНОI'О (но СХОДНЩOJ'ОСН)
ряда, содержащOl'О ТО.ilЫЮ целью степени х.
Тоrла потенциал II .пюбоЙ точке пространства
можно получить умножеН1ЮМ п TO члена на
р n (СОБ е) и заменоЙ' х на r. Полученное Bыpa
жение спрашJДЛИВО, попа r меняется в тех
же пределах, что и х в исходном разло
жении.
Воспользуемся эти м методом ]щя вычисле
нин ПОТeIщиала полыщ,. полный заряд ПОТОрОI'О
равен Q (фш. 52). В этом СJlучае
47tEV А == Q (с 2 + х 2 2с.х СОБ а.) Ч2.
Разлашя V А В ряд, СOl'ласно формуле (5.117), получаОl\1
при х>с
о
Фuе. 52.
..
о::>
V <t==,!L ( ) n+l Рn(СОБа.),
, 'i1tEC L.J х
" O
при х -<. с
о::>
Q ( х ) п
VA== 4 P l1 (t;osa.).
пЕС с .
11 0
Потенциал в JIIобоii точне Р с поординатами r, () OI азываетсн равным
при. r > С иди (] *' а., r == с
о::>
Q ""' ( С \n+1
V р == 4 1tEC .LJ ) Р п (СОБ а.) Р п (СОБ е),
11 0
IlрИ t < с ИJlI1 е 4= а., l' == С
(5.133)
о::>
Q ( r ) п
VP== 4 "\.' Рп(соsа.)Рп(сш (j).
ЛЕС LJ С
11-=0
ДРУI'ие приморы НрИМG1:ения ИЗJIOженпоrо метода будут даны в IЮIШО
настоящеЙ и в послепующих rлавах.
Ю В. СмаЙт
146
r лава V
э 18. Заряженное IЮЛЬЦО в ПрОБодящей сфере. Если внекоторой
области известен потенциал, обусловленный заданным фиксированным pac
пределением заряда, то можно найти и потенциал, обусловленный этим
распределением в присутствии ПрОВuдящей сферической оболочки. Разложим
первоначальный потенциал по сферическим rармоникам и прибавим к нему
второй потенциал, обусловленный индуцированным зарядом и разложенный
по тем же rармоникам. Последний ДОJlжен быть таЕ\ИМ, чтобы сумма lIотен
циалов обращалась в нуль на сфере; он стремится к нулю на бесконеч
ности, если первоначальный заряд находится вне сферы, и конечен в центре
сферы, если заряд расположен внутри.
В качестве примера найдем потенциал в произв")льной точке, находя
щейся внутри сферической ионизаЦИОIПЮЙ намеры радиуса Ь, если коллектор
представляет собой тонное нруrJюе нонцентрическое кольцо радиуса а.
В рассмотренной в предыдущем параrрафе задаче ПОJЮЖИМ (J, == 7t И r > а,
подставим значение Р'11 (О) И3 16 3 и заменим п на 2п, поскольку в реше
нии сохраНЯЮТСfl только четные степени; ll,ЛЯ потенциала, обусловленноrо
только кольцом, находим
00
v == l ( 1 ) '11 1.3.5 ... (2п 1) ( .!:. ) 2'11+1 Р ( . О )
r 4п<Оа 2.4.Б,..2п r 2'11 СОБ .
'1l o
Потенциал индуцированноrо заряда должен быть нонечным в начале KOOp
динат, поэтому он имеет вид
00
V i == 4п a А 2'11 т 2'11 Р 211 (СОБ В).
'1l o
Но V j + Vr==O при т== Ь, поэтому, соrласно формуле (5.129), можно ПОрО3ПЪ
приравнять нулю коэффициенты при каждом Р'11(СОБВ), 'laK что
А .;...... ( 1 ) '11 1.3,5... (2п 1) ( .!:. ) 2'11+1
2'11 2.4.6... 2п Ь 2 '11 Ь
1
н, если а < r <: ь ИJIИ r == а, (J =F --т 7t, потенциал равен
Q '11(2п 1)!! [( a ) 2Тl+1 ( a ) 2'1l+1 ( r ) 2'11 ] p ( В ) ( 5.134 )
V == 4пЕа ( 1) (2п)!! ...-,: ь ь 2'11 СОБ .
'1l o
(J 1
Если т<а или т==а, *27t, то
00
== ",' '11(2п 1)!! ( !....."' ) 2'11 ( .!:. ) 2'11+1 ( !:.. ) 2'11 ] р ( cos(J ) . ( 5.135 )
V 4пЕа ( 1) (2п)!! L а ь Ь 2'11
'11 o
При применении этоrо метода к полям, созданным некоторым распредеJIе
нием заряда на проводниках, следует соблюдать осторожность. В действи
тельности поле индуцированных зарядов влияет, вообще rоворя, на инду
цирующие заряды и вьшывает их 1юрераспределение; по этой причине
результат может оназаться ошибочным.
э 19. Сферическая диэлектрическая оболочка в однородном ПОJlе.
Вычислим поле внутри днэлентрической оболочки, вну'rренний и внешний
радиусЫ которой равны а и Ь и которая помещена в однородное электро
TpeXMJ'pHOe распределеuие поmеuциала
14,7"
статическое поле напряженности Е. Иак и в 110СJIeдней задаче потенциал
снаружи можно рассматривать нак потенциал первоначаJIьноrо поля
Er СОБ 6 плюс потенциал, обусловленный поляризацией диэлентрика. Послед
ний должен стремитьсн к нулIO на бесконечности и, следовательно, coдep
жать только обратные степени r. Нроме Toro, rраничные УСJЮВИЯ на бес
нонечности содержат только одну поверхностную rармоничесную функцию
Р ! ((1.) == СОБ 6, тан: что потенциал снаружи должен иметь вид
Vl==(Er+ ) СОБ6.
В диэлектрике с относитеJIЬНОЙ диэлектрической проницаемостью К ввиду
TOro, что r не обращается ни в нуль, ни в бесн:онечность, сохраняются оба
члена
V 2 == (Br + ) СОБ 6.
В полости потенциал должен быть конечным, так что единственно возможное
решение есть
V з == Dr СОБ 6.
четыIеe rраничных услuвия, необходимые для определения А, В, С и п,
имеют вид
r== Ь,
V 1 """ V 2' или
А С
ЕЬ+ Ь 2 ==ВЬ+ b'i'
2А 2КС
E Ь 3 KB v,
(5.136)
aV 1 ==K aV2 или
or ar '
(5.137)
r' a,
с
V 2 == v з , или Ва +2 ==па,
а
(5.138)
К aV 2 aV з КВ 2К з С п.
== или ==
ar ar' а
(5.139)
Решая эти уравнения, получаем
D 9КЕ
==9К 2(1 К)2[(а/Ь)З 1] .
Из выражения для V з видно, что формула (5.140) представляет собой Ha
пряженность электрическurо поля внутри оболочки.
(5.140)
20. Сферический конденсатор с малым расстоянием между цeH
трами внутренней и внешней обкладон. В качестве примера rраничных
условий, содержащих поверхностные rармонические функции, ВЫЧИСJIИМ
приближенно распределение заряда на внутренней обкладке сферическоrо
конденсатора, предполаrая, что расстояние между центрами внутреннеЙ
и внешней обкладок невелико. (Если внутренний радиус а почти равен
внешнему Ь, то для получения удовлетворитеJIЬНОЙ точности приходится:
учитывать очень MHoro членов в формулах, найденных в 9а методом
изображений.) Выберем началu координат в центре внутренней сферы; тоrда
приближенное уравнение внешней поверхности будет
7== Ь+СР 1 ((1.),
(5.141)
I'де с расстояние между центрами и (1. == СОБ 6. Это соотношение вытекает
из формулы (5.117), так как, если пренебречь ЧJlенами ПОРЯДI<а сп пр"
п> 1, формула (5.117) даст
Ь== r [1 + cr lPl ((1.)] ! == r еР! (1'0).
10.
148
r лава V
Поснольну rраничные условия содержат и РО «(.1) и Р 1 «(.1) и поснольну ТОЧИИ
"== О и r == 00 находятся вне поля, потенциаJI дuлжен иметь вид
v === А + + ( Cr + ) Р 1 «(.1),
(5.142)
I'ДО С И D маJlые попраВI{И порндна е. rраничные условия записываются
('ледующим обраЗ0М:
при r===a
В' ( D )
V 1 === А + --;:+ Са+ а 2 Р 1 «(.1),
lIрИ r == Ь + еР 1 «(.1)
V 2 ==A+ [1 Р 1 «(.1) J + (СЬ + ) P1(!h)
(произведениями Се и пе пренебры'аем). Коэффициенты при РО «(.1) и Р 1 «(.1)
следует, соrласнu формуле (5.129), порознь приравнять нулю, отнуда
ваходим
в
А + Y1 ===0,
а
D
Са+ 2 === о,
а
В ..
A + v o
ь 2 '
Вс D
1J2 + СЬ +"Ь2 === О.
Решая уравненин, получим
в == ab(V. V 2 )
b a '
С аЬс (ТТ I V 2)
=== (b a) (b3 a3) ,
а 4 Ьс (V 1 V 2 )
D === (b a) (b3 a3) .
Можно вычислить таЮI<е. плотность поверхностноrо ;шряда
0=== E ( aV ) == Eab(VI V2) ( СОБ е' )
fJr r a b a а 2 b3 a3
(членами порядна е п пренебреl'аем). Отметим, что при интеrрировании G
по пuверхности сферы поправочныii член выпадает, тан что с точностыо
до членов порядна е MHOCTЬ н:онденсатора получается таноЙ же, наl\
и в случае кuнцентричных сфер.
9 21. Задачи с простой конической rраницей. В 14б было lIоназано,
что потенциал заряда, распределенноrо по поверхности сферы, мошно BЫ
разить через сферичесние rармоничесние фУННЦИII. Мошно танше поназать,
что если потенциал V' на поверхности нруrлоro нопуса, описываемой ypaB
нением {j == 0:, можно представить в Биде
V == (Anr Тl + Bnr ."r1).
{'де п целое число, то потенциал в любой точне пространства будет
V === (AТlrn+Hnr n l) Р п (СОБ О ) . (5.143)
Р п (еОБа)
l:Iетрудно проверить, что это решение уд.:ОВJ,reтворяет уравнению Лапласа
м rрiшичным условиям.
J- 22а. Зональные .rаРМОlIIПШ BToporo рода. Второе решение уравнения
Лежандра, опредеJшемое беС1юнечными рядами (5.106) или (5.107), назы
вается З0нальной rармониной BToporo рода и обозначается Qn«(.1). Эти rap
мони I\И онrедеJlНlOТСЯ П0. формулам; аналоrичным: формулам (5.112) II (5.113):
Трех.мериое расnределеuие nоmеuциала
149
если 12 нечетное число,
f r .!..(n 1) 1!122n 1
Q" «(.1) === ( 1)1ып+1) 2 nl р",
(5.144)
ССJIИ 12 четнuе число,
[ ( 1 .\ ] 2
7"n)1 2"
QТl «(.1) == ( 1)Ч2Тl . 2 n; q".
(5.145)
Определение приrодно при 1 < (.1 < + 1.
ХОТЯ в рассмотренных выше решениях уравнения Jlежандра (.1 == cos О. .
ППОСJЮДСТВИИ при использовании сфероидальных rармuюП\ потребуются
реIlЮПИЯ, в поторых будет (.12> 1. Поэтому неuбходимо распростраНИТJ.
рнд (5.104) на отрицательные степени r. Формулу (5.105) можно записать
в виде
(n T) (п+т+ 1)
а т +2 == (т+ 1)(т+2) а,..
(5.14.б)
Мы видим, что если а,+2 === О, то ОтН === а,+6 == ... == О, а eCJI и а T+1 == О, то
a T+3 == a T+5 ,==" . .. == О. Но а,,+2 рапно нулю, еСJПI Оп JЮ1ЮЧIЮ, И a пH равно
пушо, если a.n 1 1юнечно. Если выбрать 0,,=== 212!/[2" (12!)2], то мы ПОJl)"JИМ
формулу (5.114) для полинома Р п «(.1); но еСJJИ припять a n 1 == 2 " (121)21(212 + 1 )1,
то, ПОJШI'ая в формуле (5.146) r== 12 3, r== 12 5 и т. д., получим
J\оэффициенты ряда .
2 n (n!)2 [ 1 (n+1)(n+2) 1 ]
Qn«(.1)== (Ln+1)! 1'-'1>1 + 2 (2п+::I) I'-n+з + ... C=
()()
2 n (n!)2 (n+r)!(п+2r)!(2п+l)! n 2T 1
(2п+1)! r!(п!)2(2п+2r+l)! (.1 .
T O .
3аменив, COrJIaCHO об0311а<1ешшм Фuрмулы (5.114), r на s, будем имет},
()()
Q ( ) 2" (п+s)! (п+2s) !n 28 1
n (.1 s!(2п+2, +1)! (.1 .
s O
Ряд, очевидно, сходится пр.и (.12 > 1 и определяет в этой оБЛНt;ТИ Qn (1.1)-,
При очень больших (.1 член с наимеНЬШJJМ ()трицательным поназатеJJем
степени в фОРМУJJе (5.147) препышает нсе остальные, таи что
2 " (п!)2
Qn«(.1) 1'-...; (2п+1)!l'-n'l ' (5.14Н)
226. Рекуррентные формулы для функцийЛежандра Бтороrо рода.
Посредством подстановни в фОрМУJJЫ (5.108) и (5.109) величин Рn И (/..'
ОlIредеJЮННЫХ из формул (5.144) и (5.145), можно получить точно та ним ,тю
образом, нан и формулы (5.118).....:. (5.128), следующие соотнuшения, снязы
Бающие Qn «(.1) различных порядноп:
(5.147)
12Qn 1 + (12 + 1) QnH == (212 + 1) (.1Qn,
Q;'+1 Q;' 1 == (212 + 1) Qn,
Qn «(.1) d(.1 == Q,,; n l ,
Q ==(212 1)Qn I+(212 5)Q,, з+ .,. +(.1(1 (.12)1,
Q ' ( п+1) (I'-Q,, Q" l)
п 1 fJ-2, .
(5.НН)
(5.15u)
(5.151)
(;').152)
(5.153)
150
l'лава V
9 22в. Выражение функций Лежандра BToporo рода через полиномы
Лежандра. Полезное выражение для Qn «(.1) можно получить из уравнения
JIежандра, еСJIИ известно; что Рn «(.1) является ero решением. Из уравнений
(5.76) 11: (5.77) следует, что если v является одним из решений дифферен
циальноrо уравнения
а 2 у ау
ах 2 +М dx + Ny==O,
(5.154)
rде М и N фунrщии х, то второе ero решение будет
у== v (А + В v 2e S MdXdx) . (5.155)
Для уравнения Лежандра (5.103) v==Pn«(.1) и М== 2(.1(1 (.12) 1, таи что
Md(.1 == ln (1 (.12), или е s Mdl'- == (1 (.12) \ и фОрМУJIa (5.155) принимает вид
Qn«(.1)==P n «(.1) {А+В) (1 fJ-2) n(fJ-)]2 }.
Чтобы определить постоянные А и В, положим n == О и n == 1. Интеrрируя
при помощи формул (140) и (152.1) справочнииа Двайта и используя при
nеденное там же разложение (601.2), получим
Qo«(.1) ==А + Вlп + ==А+В((.1+ (.1З+ (.15+ ...),
fJ-В 1+fJ- ( fJ-4 1'-6 )
Ql«(.1) А(.1==тlП 1 I'- В==В 1+(.12+T+5+'" .
Из формул (5.144) и (5.145) следует, что Qо«(.1)==q(,И Ql «(.1) == Pl; исполь
ауя для величин qo и Рl выражения (5.106) и (5.107), будем иметь
А==О и В==1.
Таиим образом, общая формула для Qn «(.1) имеет вид
Qn«(.1)==Pn«(.1) (1 1'-2) n(fJ-)]2'
(5.156)
в частности
Q 1 1 1 +1'-
0«(.1) == 2 n 1 fJ-
(5.157)
и
Q 1 1+!-,- 1
1«J-)==2tJ-IП 1 I'- .
Используя формулу (5.149), получим
3 1 1 3 1 1+1'- 31'-
Q2 «(.1) == 2 (.1Ql«(.1) 2 Qo«(.1) == 4"( (.12 1) П 1 fJ- 2==
. 1, 1 1+1'- 3 Р ( )
==2[2«(.1) n 1 fJ- 2. 1 (.1 .
Повторное применение формулы (5.149) дает
Qn «(.1) Рn «(.1) ln 2 .п 1 Pn 1 «(.1) з2(:=- ) Рn з «(.1) ... (5.160)
(5.158)
(5.159)
Это выражение справедливо при (.12 < 1. Общее решение уравнения Лежандра
будет
8 == АРп «(.1) +BQn«(.1).
Трех.мерное .распРl'дl'леuие потенциала
151
1
Если положить A'==A 2 Bln( 1) и под ставить в решение (5.160), то
, [ 1 1 + (J- 2п 1. J
в ==А Рn( (.1)+ в ТРn «(.1) ln (J- 1 тпPn l ((.1) . . . .
Следовательно, при (.12> 1 в качестве формулы, определяющей Qn «1), можно
принять
1 1 (J- + t 2п 1 ) 2п 5
Qn «(.1) == 2 Рn «(.1) n 1 1 Pn 1 «(.1 3 1) Pn 3 «(.1) ."
(J- .n (п
Полаrая п == О и п == 1 и ИСПОJIЬЗуя разложение (Двайт, 601.3), получаем,
что определенные таким образом выражения ДJIН величин Qo «(.1) и Ql «(.1) COB
падают с (5.147).
(5.161)
22['. Некоторые значения функций ЛежаRдра BToporo рода. При
помощи формул (5.160) и (5.161) нетрудно найти численные значения
функций Qn «(.1); ДJIН у;t.обства приведем некоторые важные частные значения
этих функций при дейивительном aprYMeHTe:
если п четное число,
Qn (О) == О,
(5.162)
если n нечетное число,
Qn (О) === ( 1УЫ n + 1) 2.4. ... (п t) ,
1.3.5 ... п
(5.163)
если п любое число,
Qn ( (.1) === ( 1)Чl Qn «(.1),
Qn(1)===oo, Qn(co)===O.
(5 164)
(5.165)
22д. Функции Лежандра второ['о рода мнимоrо aprYMeHTa. При
кенение rармоник сплюснутоrо сфероида связано с использованием ФУИlЩИЙ
Qn иС), rде j " ( . 1 )Ч2 И О <: С < 00. При С > 1 выражение для Qn иС) nOJlY
чается просто подстаповкой jC вместо (.1 в формулу (5.147):
се
Q ( 'C ) == ( . ) nН2n ( 1)S(n+2s)!(n+s)! C n 2s 1
n J J L.J sl (2п+а+1)1 .
s o
Аналоrичная IIодстановка в формулу (5.161) не приводит к однозначному
результату, поскольку лоrарифмический член в формуле (5.161) MHoro
значен. Применяя формулы (601.2) и (506.2) из справочника Двайта, He
трудно получить
1 jC+1 2' ( 1 1 1 ) 2 . r
n iC l === J y+ 3С3 5 5 + ... -== J arc ctgl.,.
Если представить коэффициенты в формуле (5.161) в виде (5.131) и ис
ПОЛЬЗ0вать приведенный выше ряд для .поrарифма, то получится выраже
ние, совпаll.ающее с выражением (5.166). Таким образом, имеет место сле
дующее соотношение:
Qn(jC)=== j arc ctgC Рn (JЧ 2 .п 1 Pn 1 иС) з2(:= ) Рn з (JЧ ..., (5.167)
rде arc ctg меняется в пределах от О до '/t. Это выражение можно исполь
зовать для определения Qn и ) во всем интерваJЮ со < С < 00, по
СRОЛЬКУ оно не имеет особенности при С === 1. Отметим, что при конечных С
функция Qn иС) конечна и что,
если п четное число,
(5.166)
Qn(j.O)=== 2 1 j'/tPn(j.0)===( 1)1f2n [tt 1.3.5... (п l)
2.4'0... п
(5.168)
152
r лава V
если п . нечетное число,
Qn(j.O)==( 1Yf2{11+1) 2.4.6... (п 1)
1.3.5...п
(5.169)
При БОJ1ЬШИХ С тeH с наименьшим отрицательным показатслем степеIШ
в формуле (5.166) MHoro БОJIьше всех остальных, так что
Q ( .C ) "" 2 n (п!)2 ( . ) "Н 1
'1 ] с....оо (2п + 1)1 ] Cn.l '
Несьма полезную формулу можно получить, если продифференцировать
выражение (5.156), а интеrралы, содержащиеен в лайдепном соотношении,
исн:лючить при помощи выражеНIШ (5.156). IlОДСТaJJЛЯН j: вместо 11-, будеJliJ
иметь
(5.170)
Рl1 иС) Q;, (JЧ p иС) Ql1 иС) == (1 + 2) 1.
(5.171)
22е. llрименсние ФУIlIЩ Ji Лежапдра BToporo рода в теории IIO
'fСlIциала. НаиБОJЮС важные примеllенин зональных rармоник BToporo рода
евяэаны с ИСJIOлъзопанием сфероидаJJЬНЫХ rармопик. ПОСКОJIЬКУ функций Qn (11-)
обращаются n бесн:онечность IIрИ 11- == 1, они иеПОЛЬЗУlOтея в н:ачестпе сфериче
ских 1'армопин: 1'лавным образом в тех задачах, в ROTOpJiJX коничеС1ШН rpa
ница исключает ось (11- == 1) из области, 1'де ИIЦетсн ЭJ1е1проетаТlIчесн:ое ПОJIО.
Рассмотрим, например, случай двух н:ою,е1IaJlЫIЫХ нонуеоп. ПУСТI,
потенциал равен нулIO па копуее 8 == и равен 11 и. == 2 (Anr n + Bl1r l) на
нонусе 6 == а. Тоrда в проетраllСТВ(' между конусами потенциал будет
11 == (A'f)r n + B'f)r n l) [Q'f) (СОБ ) Рl1 (fL) Pl1 «('ОБ ) Ql1 (fL)] (5.172)
}Jl1(cosa)Qn(COS;i) Pl1(COS[i)Ql1(cosa) ,
rде 11- == С08 6. Проверна поназывает, что это решение удовлетворяет rpa
ничным условиям.
:Интересен тот частный случай, ноrда один конус имеет потепциа.JI,
рапныЙ нушо, а друrоЙ потенциал, равныЙ 111' Поскольну Po(I1-)==l, ТО
в этом случае
V. == А Qo «('os ) Qo «('ОБ '< ) == А .
0Qo(COSii) Qo(cosa) О
Соrласно формуле (406.2) из справочшша Двайта,
1
Qo (С08 6) ==2"lп [(1 + С08 8) / (1 С08 О)] == ln tg (8/2)
и выражение ДШI потенциала между {{онусами имеет ВИД
( 1 ' j( 1 )
tg2 tg2
V,==V 1 lп 1 ) III "1 .
t g e t g a
2 2
(5.173)
23. Зональные rаРМОIIИl.и нецелоrо порядка. Во мтюrих случаях,
ноrда область, в натороЙ ищется потепциал, имеет конические rраllИЦЫ,
примепенис rapMOllllH тольно с цеJТЫМИ значениями п он:азывается HeДOCTa
тuчным. В этих елучаях необходимо обобщить IЗыражения для rаРМОIlИR
па зпачешIН п, опреLтляемые та1ШМ образом, чтобы Р," (11-) ИJIИ Qn (11-) об
ращзллеь в нуль на соответствующих нонусах. Мноrио пз приведсНIШХ
выше соотношений [например, ренуИJeНТНЬЮ формулы для Р n (11-) и Qn (11-)]
епр<шедливы и при нецеJiЫХ значениях п; одпан:о основные опредеJICНИЯ
НУiНдаютr.я fl соответствующеЙ МОДИф1шаЦИI1. Так, выражением для P n (I1-),
Трех.мериое распределеuие поmенциала
153"
приrодным для любых значений п, будет ряд
со
(п+ 1) (п+2).. .(n+r) ( п) (1 п).. .(r 1 n) ( 1 !L ) r
(1"!)2 2 .
r O
(5.174)
TOT ряд сходится ПрИ любых r == СОБ О, за ИСRJПочснием е == 'It. Пример I'ap
монии таиоrо рода МОЖIlО найти в 27а 27в настоящей пшвы, если при
нять, что заряд расположен на оси полости и, следовательно, т == О.
Если v не является целым числом, т() Р v (r) и р v ( r) будут I1езави
симыми решеНИЯМII уравнен ин Jlежандра и будут пзнзаны с Qv (r) соотно
шением
1t [еОБ "отР ", (fJ') P" ( !L)]
Qv (r) == 2 sinv1t .
(5.175)
ЕСJIИ n целое чпе.по, T фушщия Qn (r), опреДСJIеипая n 22а, явmЮ'IТН
пределом Qv ([1) ПрИ v n.
24а. ПрисоединеНlIЫf' фушщии Лсжандра. G 13 п !5 пастопщеii
пшвы БЫJЮ ПОI\аЗal 10 , чт() решением уравпен IШ JIап..Iaса n еферичесюп,.
1{оордипатах ЯRJШСТСЯ произведспие RНФ, 1'де
R == Ar " ot- Br n 1,
(,'1.176)
(5.177)
Ф == с СОБ тер + D Бiп тер,
..
а е являетсп решением уравнения (5.102), 1ЩТf,рое, еСJIИ ввести r вмее,ТО
СОБ О, принимает ВIlД
d [ ан ] [ т2 ]
dp. (.1 r2) dp. + п(n+1) 1 !L2 8==0.
(5.178}
При нахождеппи решения 8'1'01'0 ураппеШIfl мы ИСХОJШЛИ из урапнепин JIc
жандра, соответствующеrо т == О. Ныпошшя ДI1фференцировюпlO IJрои:шсде
пия в первом члене уравнении JIешандра, МОЖlllJ привести последнее и виду
(1
d 2 y dy
( 2 ) d 2 2r d!L + п (п + 1) У == О.
Решr.нинми 8Toro ураппешш ЯВJJЯJOТСН у == Р" (r) и у == Q" (r). Дифферспци
руя уравнение Лсжатщра т ра:з и оf)означая dmy/(lr т через lJ, получаем
d 2 v dv
(1 ( 2) d 2 2r (т+ 1) d + (п т) (n+т+ 1) v == О.
11 !L
(5.179)
Вводя w == (1 ( 2 ) 1J2m v, или V =- (1 ( 2 )1J2 m W, IIОЛучим уравнение (5.179)
в виде
d 2 [Q) d[Q) [ т,2 ]
(1 r2) d 2 2r 1 + n(n+1) ! 2 w==u.
1'" (р. !L
(5.180)
Это уравнение совпадает с урапнешюм (5.178), n чем нетрудно убедитьсп,
выполнив дифференцировarшс в первом члене (5.178); следователr,по, pe
шения уравнения (5.178) имеют БИД
dmy
е == w == (1 r 2)Ч2 т V == (1 ( 2 )IJ2 rп d!L rп .
Поснольиу У является решешюм урапнеJJИП Лежапдра, то общее реШСfllЮ-
уравнеНИfl (5.178) записывается следующим образом:
е == А' Р';: (r) + B'Q::: (r), (5.181),
154
r лава V
rде Рт.:: «(.1) и Qr;: «(.1) при 1 < (.1 < + 1 определяются по формулам
рт «(.1) == ( 1 IL2 ) 1f2m dтp." (fL)
n r dl'-""
(5.182)
Q m ( ) == ( 1 2 ) Ч2т dтQ." (fL)
n (.1 (.1 d[J-m.
(5.183)
Для 1 < (.1 < + 1 rобсон вводит в правые части множитель ( !)т. в тех
СJlучаях, KorIla (.1. будучи действительной или мнимой величинои, по MO
дулю больше единицЫ, ФУНКЦИИ РТ;: «(.1) и Qr.:: «(.1) определяются следующим
образо :
рт ( ) == ( 2 1 ) Ч2 т dтPТl (1'-)
n (.1 (.1 dl'-'" ,
( 5.184)
Q m ( ) == ( 2 1 ) Ч2 т dтQ." (fL)
n (.1 (.1 dl'-'" .
(5.185)
'Эти ФУНКЦИИ известны нан присоединенные Фуннции Лежандра первоrо и
BToporo рода. Их можно ПОJlУЧИТЬ при помощи формул (5.182) и (5.183)
из уже известных выражений для Рп «(.1) и QТl ((.1).
Для действительных значений (.1, меньших единИЦЫ, формуJIы (5.182)
И (5.183) дают
P «(.1) == (1 (.12) 1f 2 ,
РН(.1) == 15 (1 (.12)8/2,
Р1 «(.1) == 3 (1 (.12)Ч2 (.1,
5
РН(.1) ==l" (1 (.12)Ч2 (7(.13 3(.1),
P «(.1) == 3 (1 (.12),
P «(.1) == 1; (1 (.12) (7(.12 1),
P «(.1) == (1 (.12)Ч2 (5(.12. 1), P ((.1) == 105 (1 (.12)8/2 (.1,
P «(.1) == 15 (1 (.12) (1,
Рl «(.1) == 105 (1 (.12)2,
(5.186)
Q «(.1) == (1 (.12)Ч2 ( ln + + 1 2 )'
Q «(.1) == (1 (.12)Ч2 ( (.11n 1 +1'- + 3p.2 2 ) ,
2 1 1'- 1 !l-2
Q 2 1 2 ( 31 1+1'- 5f1 3fL3 )
2 «(.1) == ( (.1) 2 n 1 1'- + (1 1'-2)2 .
д.ня ббльших значений т и п используются рекуррентные формулы 24r.
При действительных значенияХ (.1, больших единИцы, формулы для
.фующий Рт.:: «(.1) и Qr;: «(.1), определяемых соrласно выражениям (5.184) и
(5.185), можно получить заменой в приведепных выше выражениях (5.186)
-множителя (1 (.12)Ч2т на «(.12 1)Ч2 т И, кроме тош, заменой 1 (.1 на (.1 1
в Jюrарифмичеснсм члене Фуннции Qr;: «(.1). Для ббльших значений т и п
используются ренуррентные формулы 24r.
Трех.мериое распределение nоmенциала
155
Для мнимых значений арl'умента, соrJШСНО
(5.1 84) и (5.185), будем иметь
Р 1 и() 0== j(,
16з, 22д и формулам
P (JЧ == 3 (1 + (2),
Ql ис) == r. arc ctg ( 1,
Ql ис) == (1 +(2)1[2 ( arc ctgr, 1 ;1;,2 )'
Q2Ur.)== j[(3(2+1)arcctg( 3r.], (5.187)
Q (JЧ == j (1 + (2)1[2 [3( arc ctg ( ; ] '
Q и() == j (1 + С 2 ) [3 arc ctg ( (5; :I;, : ] .
Pl ис) == j (1 + С2)Ч2,
Р 2 и'С.) == (3(2 + 1),
P и'С.) == 3( 1 +(2)Ч2(,
в фОрМУJJaХ ДJIЯ Qт.:: и() . arc ctg изменяется от О до те при значении С, И3'dе
няющемся от + сх) до 0::0.
ЕСJIИ f.1 00, то, подставляя формулы (5.116) и (5.148) в (5.184) и
(5.185), ПОJlучаем
Рт ( ) (2n)! n
n f.1 f'....ro 2"n! (n т)! f.1 ,
#
Q m ( ) ( 1 ) т n!(n+т)!2n
n f.1 f' ro (ln+1)I!J.nrl
(5.188)
(5.189)
в случае т == п при подстановке формулы (5.114) в (5.182) сохраняется
только член, соответствующий s == о; в результате получается реШeIiие,
найденное в 126 [формула (5.81)]:
Р:;: (СОБ 6) == (2т 1)11 sin m 6. (5.190)
ДЛЯ Рт.:: (х) можно дать интеrральное представление; приrодное при любых п
и ж:>-1:
тcP (x)==(п+1)(п+2) ..
"
. . . (п + т) [х + (х 2 1)1[2 СОБ ер]n COS тер dep.
о
Подстановна в уравнение (5.178) и двунратное интеrрирование по частям
показывает, что выражение (5.191) УДОВJ1етворяет уравнению Лежандра.
Постоянный множитель нетрудно проверить, если устремить x 00 (инте
rрал при этом вычисляется) и сравнить результат с формулой (5.188).
(5.191)
246. Интеrралы от произведений присоединенных функций. YpaB
нение (5.92) показывает, что при п f= п'
+t 2...
[P (f.1) Р-;:: (f.1) (А cos тер + в sin тер) (А' СОБ т'ер +
! о
+B'sinm'ep)] df.1dep ==0. (5.192)
Блаroдаря наличию произведенИЯ 'l'риrонометричесних фуннций этот инте
rpал равен нулю и в том случае, если т цеД0е число и т 4= т' незави
симо от значений n и n' (см. Двайт, 435, 445 и 465).
Чтобы определить значение интеrрала (5.192) при п == п' и т == т',
необходимn ВЫЧИСJIИТЬ интеrрал от нвадрата Рт.:: (f.1) по поверхности сферы
вдиничноrо радиуса.
156
['лава V
Используя для p (f1) выражения (5.182) и (5.115), ПОJ1УЧИМ при помо
щи интеrрирования по частям
+1 +1
[P (f1)]2 df1 === и dv ==
1 1
+1
( 1)rп ( [ d"..m ] [ d"..m 1 ]
22п(п!)2 (f12 1)т (l:,-пНrt (f12 1)n d d[J-n+r: 1 (f12 1)'J ==
1
+1
( 1)т ( (а r d"H" ] 1 [ dп..m 2 ]
=== :Clп(n!)2 i Ф L(f12 1)m (t:,-п,Jfl (f12 1)" Jd d[J-uнун (f12 1)n .
1
Повторим интеrриропапие НО Ч1J('ТН;\>Т, Jlо.пar'ая на}l\JlЫЙ раа
dS 1 [ ?- '2 m d rt ,- т 2 n J
и d[J-S l f1 1) d[J-1t+Irt (f1 1) ,
,lm+n s 2 ..r
V du.mH' s (f1 1) .
I
l1роизведение zт обращается n ПУJIЬ на rрarпщах интервала, поснолы<у и
содершит МIlOжитеJIЬ f12, 1 при тn >- s, а z' при тn < S. Поэтому ПОСJIC
(тn + п) HpaTHoro ИНТOl'рироваНIIН по частим ПОJJУЧIJlVI
+1 +1
\ ( (1' 2)" { d rtHn [ d,,+m J 1
j [P (f1)]2 df1 == 22 !)2 фпНfl (f12 1)т фптт (f12 1)" J (lf1.
1 1
(5.193)
Тан- нан степень f1 при дифференцировапии 1101шжзется, птороЙ множителъ
в подинтеrральном выражении оназьшается, очешщно, ПОСТОЯННЫМ. Поэтому,
сохраняя лишь па1ШЫСШУЮ етепень f1 и заменив f12 1 па f12, получим,
что этот множитель равен
[2n(2п 1)(2п 2).. (п тn+1)] (п+т)!==- (2n)!(n+ 1 m)1 .
(п т)
Весь интеrраJI с учетом формул (5.126) и (5.127) Olшзывается равным
+1 +1
. \ [ рт ( )] 2d -== (п+т) ! (2п)! ( 1 2 ) "d ==
) п f1 f1 (п т)! 2 Щ (п!)2 f1 f1
1 1
+1
(п+т)! \ . 2 2 (п +т)!
(п т)! . [Р" (f1)] dr- == 2п+1 (п т)1 .
1
(5.194)
При пj= n' из формулы (5.192) следует
+1
P (f1) Р";:. (f1) df1 == О.
1
В случае тn 4: тn' весьма IiОJICЗНЫ:М являетсн следующее интоrральное COOT
ношение:
(5.195)
+1 r т ( \ Р т' ( )
rt j'J 11 [J-
1 2 df1 О.
[J-
1
Для дона:штельства э'тоij формулы заШIIJJем ураннение (5.17t\), обозначив
сначала е -== у и тn == тn, а потом в ==- у' 11 тn == т'; умножим первое ypaBHe
нис на у', BTopue на у, вычтем и проинтer'рируем от 1 до + 1. ДJlЯ
интеrрирования в случае тn == rп' перенесем средниЙ член уравнения (5.205}
(5.196)
Трех.мериое распределеuие поmеuциала
157
н правую часть, возведем в нвадрат, заменим всюду п на п 1, умножим
на п+m и исключпм из результата (iij !/(:<) 11 при помощи уравнения (5.208),
Н03lзеденноrо в 1шадрат 11 умнощеШI01'0 на п - m. При ИНТCl'рировании от
1 до 1 все ч.ТJCIIЫ, lЮ t:одержаЩ1Ю 1 f.12, интеrрпруются сотпасно
формуле (5. Н)4) Jl взаимно УНIlчтожа1UТТЯ; н результате пстается
+1 m +1 m
\" (0 п )2 d[J. _ п + m . (Aп I)2 dfL
1 [J.2 п т) 1 [J.2
1 1
. 1 ( О'n ) 2 d
(п+т)! (\":1 т [J.
( т)! (п т)! 1 [J.2
!
lIодстаплня н;;: по формуле (5.190) и 11НТШ'р1JРУН (см. ДваЙт, 854.1), Ha
"Ходим
+;1 [ рт ,,, ( 11. )] 2
(' ,- d (п+т)!(2т 1)!!
L 1 112 f.1 (п т)! ( т)!!
1
1<
. 2т 1 0 dO 1 (п+т)!
Bln == .
m (п т)!
о
(5.197)
При применении ве1ПОР IIотс.'щиа;;Ia :нам придется пользоватьсн свойствами
ортоroвальности поверхностных nerпорных ф.rнкциЙ сов О, определяемых
('()Отношением
prп / ) о (1 2 ) Ч2 Р т' ( ) ...\.- 'f' (1 2 ) Ч2 Р т ( )
" \f.1 'f' f.1 п f.1 6 т f.1 " f.1.
(5.198)
Интеrрирование скалярноrо произведеиия двух таRИХ фУНRЦИЙ двет
+1
p (f.1) . Р;' (fJ-) dfJ- ==
1
..
+1
( т' тп' 1"n m
== [(1 fJ-2)Р" (fJ-)Рр (fJ-)+m2(1 fJ-2) lР" (fJ-)Рр (fJ-)]df.1.
1
lаменяя втuроЙ член при помоuш уравнения (5.178) и rруппируя члены,
находим
+1 . +1
(" { т' 1/1' d т' т } (' m m
[(1 fJ-2)Р" jPp + d,u. [(1 fJ-2)Р" ]Рр df.1+ п (п+1) J Р"Р р df.1==
I I
+1 +1
==[(1 f.12)P 'P;] : +n(n+1) P 'P; df.1==п(п+1) Р; Рr;:dfJ-'
1 1
Соrласно форму.лам (5.192) и (5.194), резу.льтат рапен нулю при п =1= р
II равен
+1
(' р т ( ) . рт ( ) а == 2п(п+l)(п+т)! .
j п f.1 п fJ- fJ- (2п+1) (п т)!
!
(;;.199)
при п == р.
э 248. ПрисоеДИllСllllые функции ОТ l\шимоrо артумента. Применепие
rармонш\ еплюснутоro сфероида приводит 1\ ПОНВJIепr.ю фУВRЦИЙ P иС)
и Q и ) от мнимоrо артумента, тде t измепяетсн ОТ О до СО. Представлелие
этих фушщпй n вице рядов l\Ю,1ШО получить, примепяя формулы (5.184)
и (5.185) н: (5.131) и (5.166). Следует отметить, что OIюнчательпые рпды
;щя р,:: иС) срдершат ТQЛЫЮ пулевые ИJlИ положите.лLНЬЮ стене ни :, тю,
1.58
r лава V
что Р': (j . О) Rонечны, а p 1 (j . се) беСRонечны. РЯДЫ дЛЯ Qr.:: (jt) coдep
жат ТОЛЬRО отрицательные степени t, таи что Q': (j . со) обращаетси в нуль.
Получим теперь для этих фунrщиЙ важнuе соотношение, анаЛOI'ИЧlIOС
соотношению (5.171). Соrласно выражению (5.155),
Q': (f-1) == Р';: (f-1) { А + в (1 (h2)drj> ' «(h)]2 } .
Продифференцируем это равенство и иСRЛЮЧИМ при помощи полученной
ФОРМУЛЫ интеrрал из правой части; в результате (после замены f-1 на j ),
будем иметь
Р': иС") :. Q';: (jt) Q';: ио Р';: (jt) == 1 2 .
Полаrая r: 00 и учитывая формулы (5.188) и (5.189), находим
(5.200)
B==( 1)m (n+m)l .
(n т)l
(5.201}
24r. Рекуррентные формулы для присоединенных функций Лежандра.
Нан БыJlo ПОRазанu в 16д и 22б, ренуррентные формулы для фУ1ШЦИЙ
Р n (f-1) И Qn (f-1) одинаRОВЫ. Знан в соответствующих формулах дли фуннций
е,: == АР';: (f-1) + BQ': (f-1) зависит от Toro, изменяется ли f-1 в интервале
1 < f-1 < + 1 или f-1 > 1 или же f-1 является величинОЙ мнимой. Ниже
будут получены эти формулы, причем верхний знан будет относиться н слу
чаю f-1==cos6. Продифференцируем выращение (5.122) т раз, умножим на
sinm+1 в или на (f-12 1)Ч2 (т+1); в результате, соrласно формулам (5.182)
и (5.183) или (5.184) и (5.185), будем иметь
е,;::и == (т + n + 1) [:::1:: (1 f-12)]1f2 е,: + f-1e':+1.
(5.202)
Теперь продифференцируем выражение (5.11 т раз и умножим на
[::!: (1 f-12)]1f2(m+1); принимая во внимание формулы (5.182) и (5.183) или
(5.184) и (5.185), получим
е,;::/ fЭ';: / == (2п+ 1) [:1:: (1 f-12)]1f2 е,;:.
(5.203)
Вычтем выр.ажение (5.203) из (5.202), в результате Hai:'rдeM
е';:!/ == (т п) [::!: (1 f-12)]1J2 е,;: + f-1e';:+1.
(5.204)
1 от+1 от
Заменим в формуле (5.202) п на п 11 иСRЛЮЧИМ \Yn 1 И t'/n 1, исполь
зуя для этоrо соотношение (5.204) и соотношение, получающееся из (5.204)
заменоЙ т на т 1. Если разделим результат на (1 f-12), то получим
формулу
е,;:+1 + 2mf-1 [::1: (1 f-12)] 1f2 8';:::!: (т + п) (п т + 1) 8,;: 1 == О, (5.205)
являющуюся ренуррентноЙ относительно т.
Если умножим формулу (5.202) на т п и формулу (5.204) на т + n+ 1,
вычтем одну из друrой и заменим в результате т + 1 на т, то получим
ренуррентную формулу относительно п:
(т n 1) е':+1 + (2п + 1) f-1e';: (т + п) e::' 1 == о.
(5.206)
Трех.мериое распределеuие поmеuциала
159'
Дифференцируя выражения (5.182) и (5.183) или (5.184) и (5.185) и ПОJlЬ
зуясь приведенными выше формулами, нетрудно получить
r:l: (1 (12) ]1J2 e ' == 1= тf1 [:l: (1 (12) ] 1J2 e + e +1 ==
== 1= (т+ п) (п т+ 1) e 1 + e +1 ==
== 1= т(1 [:i: (1 (12)] 1J2 e 1= (т + п) (п т + 1) e 1.
(5.207)
Иноrда желательно выразить [.::1:: (1 f12)] 1J2 e через фушщии Лежапдра.
Для этоrо заменим в формуле (5.202) т на т 1, разделим на [:l: (1 f12)]lJ2,
подставим (1 [:l: (1 f12)] 1J2 e из формулы (5.205) и заменим в онончатель
ном выражении n на п 1; в vезультате будем иметь
2т [:1: (1 (12)] Ч2 e ==:1: e / + (п+ т 1) (т+n) e -=-11. (5.208)
Замена m на m 1 в формуле (5.203) и подстановна в последнее из Bыpa
тений (5.207) дает
(1 f12) e ' == :f: т(1e 1= (т + п)(п т + 1)(2n+ 1) 1 (EJ +f EJ f).
Преобразуя, соrласно формуле (5.206), последний, первый и средний члены
этоrо равенства, получим соответственно
(1 (12) e ' == :i: (п + 1) f1EJ 1= (п т + 1) e +1 ==
==:1: (2п + 1) 1 [(т п 1) e +1 + (n + 1)(т + п) e 1] ==
== =F nf1EJ :1: (т + п) e 1. (5.209)
24д. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра.
При помощи ренуррентных формул преДЫДУЩeI'О параrрафа, а именно (5.205)
и (5.207), совместно с результатами 16з и 221', получаются следующие
соотношения:
если n + m четное число,
рт ( О ) == . 1 ) Ч2 (n т) 1.3.5... (п + т 1)
n \ 2.4. (j ... (п т) ,
еСJiИ n + т нечетное число,
p 1 (О) == О,
если n + m нечетное число,
Qm (О) == ( 1)Ч2(n т+1) 2.4: 6... (п+т 1) .
n 1.3.5...(п т) .
если п + m четное число,
Q (О) == О,
[ d T p (f1) ] \-l О == p +T (О),
[ :;, Q «(1) ] \-l О == Q +r (О),
p ( f1) == ( 1)n+т p (f1),
Q ( (1) == ( 1)n+т+1 Q (f1).
Трех.мериое распреде.леuие потеuциала
НИ
Точно таноl1 же ИНТCI'рал появляется u качестве 1юэффициента при Ь" D BЫ
ращении для потенциада т,' р, создаваемоrо в точне 6' == о, r == Ь зарядом,
распределенныч но поверхности единичной сферы с плотно<;тью 811(6, ер).
;)та задача была решена в 14б, и, еледовательно, искомый интеrрал можно
приравнять коэффициенту при ь п в {:оответствующем решении, приrодном
при любых Ь -< 1. Таким образом,
4r.EI'p== \ ( ;" )(lS== \ 811(0, ep)(1+b2 2b("osO') 1f2d8.
S s
Используя разложеНJlе (5.117) и нринимая но впимание, что интеrраJJЬ1 от
ПРОИЗВl:JдеНИlf типа Р,,(СОБО')811(6, ер) обращаются, соrласно формуле (5.92),
n нуль, получаем ь правой части один член:
47CEV p ==b " \ Р 11 (С08 О') 8." (6, ep)d8.
s
НО потенциал V p бы.:! вычиелен в 14б [форму.Пёl (5.97)]:
47CEV р == :Gп4 1 //' [8" ((J, 9)]р.
В нашем СДУ'1ае 1юординаты точки Р относительно оси О равны О == в
и <р==о, так что 811(0, <p)==p (C08e), и равенство ноэффициентов при Ь"
В двух различных выраженинх для V р означает
\ Р 11 (е08 О') p 1 (С08 6) С08 тер dS == :Gn4 1 P (С08 t<J).
S
(5.215)
Приравнивая ИНТCl'рaJIЫ (5.214) и (5.215), Оllреде.nнем A rп
А (п т)! т
т==2 ( ) ,Р 11 (СО58).
п+т.
Если т == о, то ИНТCl'раJIЫ (5.214) и (5.215) ВЫЧIIСШiЮТСН при помощи фор---
мул (5.127) и (5.97):
А \' (Р ( (j )] 2 d8 4пА о \' 1 )' (,' ) Р ( ' CJ ) d8 4пР." (cos 8)
о J 11 е08 u :Gn + 1 J ." (СОБ 1 ." (;05 u "L,n + 1 .
8 S
(5.216)
Подстановна n соотношеJlие (5.213) дает
1п п
Р ( СО56' ) == "I: l ( 2 00 ) (п т)! рт ( е05 8 ) рт ( С08 б ) СОБ тш
11 L.J m (п+т)! n 11 Т'
1n O
(5.217)
('де o == 1 ври т == О и o п. == О при т =1=- О. Этот СИМВОЛ носит название
символа Нронекера и IЗ бо.nее общем виде запиеываетсн o , причем o == 1
при т == п и =о. О IlрИ т 4= п.
э 26. l{ОШlчсские rраllИЦЫ. Потенциал, еоздаНllЫI1 внутри ионуса :1a
рядом, распределенным ПРОИЗВОJIЬЛЫМ образом по ern поверхности, можно
найти, есЛИ постоянные рааде:ЮНIIН в уравнении (5.821 выбраны таи, что
фующии R и Ф оназываются ОрТОl'онаJIЫJЫМИ. Тш , если п равно jp 1/2'
то К равно р2 + 1;4' и Н, cor.naCHo выражению (5.84), имеет вид
Н р ==- А 'rjp lf2 + B'r jp 1f2 == r 1f2 Л cos (р 111 r + Ор). (5.218)
Произвсдение Rp R p ' dr оказываетсп равным С05 (P'f + Ор) cus (p'ljJ + Ор') dljJ
(rде ljJ == lп r), что приводит н ряду ИJIИ интеrра.nу Фурье по 1111'.
11 В. Смайт
162
r лава V
в множителе в появляются ФУ1ШЦИИ Лежандра порядна jp 1/2' Эти фунн
циИ но ят название ноничесних фуннций; они были рассмотрены fобсоном.
fейне и др. fобсон приводит для них таной ряд:
р ( ..LIt ) 1 + 4р2+12 ( 1=F[J- )+ (4р2+12)(4р2+32) ( 1 =F[J- ) 2 L ' (5 2 1 " ) "
jp 1/2 I. r 22 2 22.42 2 T . . . . и'
Решение, соответствующее верхнему знану и обrащающееся в беснонечность
при (.1. == 1, следует использовать для области, лежащей вне нопуса; нижниЙ
знан соответствует решению для внутренней области. rJTa фУ1ШЦИЯ пе
является llериодичесной. Формула (5.182) была получена без специальных
иредположепий относительно п, поэтому
д т р ( + ,,)
рт ( ..L ) ==- ( 1 2 ) Ч2т jp 1J9 ' ' ( 5.220 . ) ,
JP 1J2 :::L fJ. fJ. д".""
Э 27а. ПрисоединеНllые функции Лсжандра нсцеЛОI'О порядка. На:к
уже было У1шзано в предыдущем иары'рафе, при налпчии ноничесних
I'раниц приходится цользоваться фУ1llЩИЯМИ р,;: (fJ.) или Q';: (fJ.), у ноторых
ипденс п не является целыМ числом. В частности, приходится пользоваться
разложением в ряд по фуннциям Лежандра, порядOI{ ноторых п танов,
что в,;: (fJ.o) == о, ДЛЯ этоrо неоБХОДIШО иметь формулы, ЮIaJIОl'ИЧНЬЮ фор
мулам (5.92) и (5.194). Пусть в,;: (fJ.)== У и 8:'(fJ.)==.I!, решения уравненин
(5.178), ТaIше, что
в (fJ.o) == е';: (fJ.o) == о.
(5.221)
ТОI'да
(1 fJ.2) 2 2u. dY + [ п(п+1) l у==О
d}L 2 I d[J- 1 [J- 2 ·
d2'IJ' dy' [ т2 ]
( 1 1I.2 ) 211. + п' ( п' + 1 ) У' ==0.
r d[J-2 r d[J- 1 [J-2 .
Vмножая первое уравнение на у', второе на У и вычитая одно из дру"
roro, находим
d [ ( du dy' ) ]
ф (1 fJ.2) У' d Y d[J- +(п п')(п+п'+1)yy'==O.
Интеrрируя от fJ.o до 1, будем иметь
( m de';:, m de,;: ) 1
1 (1 [J-2) 8" 8n,
\ вт ( ) вт ( ) d d[J- d[J-
) n fJ. n' fJ. fJ. (п п')(пTп'+1)
)'-0
Отнуда при п =F п',
(5.222)
1'-0
СОI'ласно соотношению (5.221),
1
8;:' (fJ.) в (fJ.) dfJ. == О.
cJ:.CAyeT
(5.223)
1'0
Для п == п' поступим леДУЮIIlИМ образом. Пусть п п' == D.n'. Подсташш
у==у' +(ay'/an')!'J.n' в выражение (5.222), найдем
dif' ' ау ' дц' + дц' ду' /1п' ' ду' ' д 2 у' D.n'
у Ф у Ф У J[J- J[J- дп' У д ,," у J[J- дп' .
ПОСIШЛЬНУ при fJ. == fJ.o У' == О, то при п > п' ПОJIУЧИМ
1 '
(1 2 ) ( дет дет )
\ [ 8 fП ( ) ]2d == ,
) n fJ. fJ. 2п + 1 J[J- дп l'- fLО
1'-0
(5.224),
Трех.мериое распределеuие поmеuциала
10::\
Для ВЫЧИСJIeНИЯ значениЙ аАт;:/ап можно ВОСПОЛЬЗ0ватьсн прецставлснием
функции ет;: в виде ряда [например, ряда (5.104)] или в виде определен
Horo ИНТCI}Jала (последнее можно наЙти в работах, список ноторых при
веден в 1юнце пастоящеЙ I'лавы).
э 276. Функция rрина для конуса. Рассмотрим задачу о точечном
заряде q, JJасположенном внутри заземленноrо нонуса () == а. в точке r == а,
б == , ер == <РО' Под точечным зарядом мы будем понимать такой заряд, раз
меры KOTOpOI'O достаточно малы, но все таки отличны от нуля, тан что
напряженность поля и потенциал в математическом смысле являIOТСЯ фунн
циями оrраниченными 1). rраничные условия (V == о на нонусе) автОмати
чески удовлетворяются, если пользоваться разложением по функциям Лежанд
ра, порндOI< ноторых п подобран тан:им образом, что Р': (f10) == О, тде f10 -== cos а..
Из формул (5.176), (5.177) и (5.182) следует что при таком выборе п pe
тение уравнен.Юl Лапласа. конечное при r == О и r == 00, непрерывное при
r == а и имеющее ДОJПННУЮ симметрию относительно еро, имеет вид
при r < а
00
"" ( Т"nрт
V i == LJ LJ Ат" ) 1t ([L) cos т (<р CPo)'
n т O
(5.225 )
при r > а
11
00
v о == А nт ( ; ) ,,+1 РТ;: (f1) cos т (ер еро)'
n т O
(5.226)
Чтобы определить кuэффициенты A rпn , введем новую 1юременнуlO ер' == ер <Ро'
составим, как в 8 rл. IV, разность iJV.lдt iJVo/iJr, умножим правую и
левую части на Pf ([L) cos р<р' d[L d<p' п проиптеrрируем от ер' == о до <р' == 2т.
и от !1 == [Lo до f1 == 1. ТО1'да (см. ДваЙт, 44Ь) все члены в правоЙ части
обращаются в нуль, кроме членов т == р; последние, СОI'ласно формуле
(5,223), также обращаются в пуль, за исключением членов п == s. После
умножения па а 2 получаем
2.", +1
а 2 .\ Pf (f1) cos р<р'
о flO
( aV i дУ о ) d dIJJ' ==
дт' дт T a [L .
+ 1 2т:
== aA ps (2s + 1) [Pf ([L)]2 Ф \ cos 2 рер' dep'.
flo О
Интеrралы в прапоЙ части вычисляIOтся Прlf JlОМОЩИ формулы (5.224)
. и формулы (ДваЙт, 440.20), проме случан, коrда р == О. ДЛЯ вычисления
левой части заметим, что а 2 df1 d<p' == а 2 SiIl () d() dep' == dS. Поле непре
рывно на сфере радиуса r == а, за исключением бескоНечно малото участив
поверхности bS OIЮ.'IО точни () == , ер == еро (или <р' == О), rде сосредоточен
заряд. Поэтому iJVJiJr == iJVo/iJr и ПОДИНТCI'ральное выражение обращаетсн
вlнуль везде, кроме площадки bS, ноторав выбирается настолько малоЙ,
'JTO под интеl'ралом pf ([L) можно ааменить на Pf ([Ll) (f11 == COS ), а СОБ P'f'
на 1. Поскольку На внутреннеЙ стороне bS iJVi/iJr== iJV/iJn, а на шreш
ней стороне bS iJV o / iJr == iJV /ап, леван часть уравнения (5.227), соrласп()
(5. 27)
1) Здесь и iз дальнейшем (э 28с, 30и и 't. д.) автор фан:тичесни рассматривает точе'j
ный заряд, плотность ROTOpOrQ опиеывается о фушщисй Дирана. Вопрос о сходимости
соотве'J'СТВУЮ ЩИХ рядов не заЧJarивастс.я. При.м. пepeв : .
11*
НИ
r 4ава т:
'щuреме I'aycca о 110тоне элентричесиоi1: ИНДУЮ1ИП (1.27), О1,азьшаетея рашюii
p (fJ-l) \ : dS == p (fJ-l)'
[д'В
Разрешая уравнение \5.227) относитеJlЫЮ А рв и изменяя р на т и s на п
в соответствии с обозначениями в формулах (5.225) и (5.226), получаем
(5.228)
А == (2 o ,)q рт ( )/[ аР '(/J-) D '(/J-) ]
rнn L7rEa (l /J-б> n fJ-I o/J- оп I.LQ'
l'jl,e o == 1 при т == О и o == О при т =1= U.
(5.229)
278. Функция rрllиа для JюничеСIЮЙ полости. I1реДПОЛОЖIIМ, что
заряд q находится между аземленными сферами r == d и r == с и внутри
зазе ленноrо нонуса О == а, таи что с < а < d и О < < а. В этом случае
J{ фУНlщии fрина для нонуса наДО прибавить потенпиал, обращающийся
в нуль на самом нонусе и дающиЙ: при ,. == d и ,. == с суммарный потенциал,
равный нулю. Поснольну точни r == О и r == CXJ иснлючены из области, в
ноторой ищется поле, этот потенциал должен иметь вид (5.225) И.пи (5.226),
"де (r/a)n или (а/,')n+! заменены IJa Cnr'IЪ+ DТ!r n t. Если прибавить полу
ченное выражение к выражению (5.225) и положить r == с. то суммарныЙ
потенциал должен обратиться в нуль, отнуда
( С ) n С П лN О
а + II С + с n ' 1 == .
(5.230)
Приравнивая н пущо суммарпыii потенциал при r == d, подучаем
( )71+1 +Cnd"+ d ::I ===O. (5.231)
Определив Сп н п" из соотношения (5.230) и (5.231) и прибавив новыЙ
потенциал н потенциалу (5.225), найдем для r < а
"
, , а 2n ' 1 ([2n'1 ( n с 2n + 1 "\ т .
V i == LJ LJ А тn a"(c2nH aZп+1) ,. rn,.1 )Рn (fJ-) COSт(9 r.po)'
п т O
(5.232)
Аналоrично, длн '" ;> а, COJ'JI3CHO фОРМУJ1е (5.226), находим
n
, a2nH c2n+l ( n d 2nH ) m
V O == LJ LJ Amn a,n(c2n+1 dZncl) r rn+l Рn (fJ-)соsт(ер сро),
n т O
(5.233)
Если, кроме TOr(), ШlОеноети ер == + -с и r.p == О (-с> 90 > О) имеют нулевой
потенциал и если -с == 7C/S (s целое число), то решение можно получить
при помощи меТо[{а изображениii в sиде суммы потенциалов типа (5.232)
11 (5.233). ЕСJШ -с p. т./s, елсдует ИСПОJJьзовать rармонини fшцеЛОЧИСJICННЫХ
1I0рИДНОВ вида sin (т'iC'f/-f): БЛ31'одари этому в Rоэффициенте Атn ПОЯВ.пяет
си множитель 2т:/-с, а в выражеiптнх (5.232) и (5.233) cos т (ер 1'0) заменнет
сл на sin (m'i':9o/-C) sin (тЧ/I)'
28а. «Сплюснутые» сфероидальные Iюординаты. Обычными I'eoMeT
ричеСRИМИ объентаМI1, вс:тречаlOЩИМИСЯ в элентричесной аппаратуре, являются
ТОJIНИЙ нруr. tЫЙ [{исн и ТОНIШlI лист с Rруrлым отверстием. Ни (,дна из
изученных дО СIJХ пор l{оординатных систем пе образует тан:их eCTeC,TBeH
ных rраниц, за ИСНЛlOчением нонфональной системы, описанной в 2 и 3.
В этой системе" финсируя Значениf' ОJ(НОЙ из ноординат и не оrраНИЧИlJllЯ
TpexJ.tepuoe расnределеuие потенциала
165
пределов И3l\шнения остальных, можно получить поверхность требуемоiI
формы. Наличие аRсиальной симметрии, Rоrда трехосные эллипсоиды
превращаются в сплюснутые сфероиды, СJJJIЬНО упрощает задачу. Ниже
рассматривается решение уравнения JIаПJlаса в таной системе координат;
оно содержит фУНRЦИИ, IJЗвестные под названием rармоню, спщоснутоrо
сфероида.
Положим в уравнеНИll (5.4) БОJIьшие IIОJIУОСИ Ь И С равными друr
друrу и обозначим у == р СОБ ер и z == р sin ер. T01'na уравнение можно записаТf>
в виде
х2 р2
а2+б + Ь 2 +О == 1.
(5.234)
lIоложим В этом уравнении а 2 + 6 == (Ь 2 а 2 ) 6 == C 6 . Torдa при а 2 < О < CXJ
или О < 2 < CXJ (rJJe 6 == 2) мы получаем нонфональные сплюснутые сфе
роиды, а при Ь 2 < fJ < а 2 или О < 2 < 1 (те 6 == Р) RонфонаJlьные
однополостные rиперболоиды. ТретьеЙ RоординатоЙ является. очевидно,
азимутальный yrOJI ер. Уравнение сфероидов имеет пид
х2 р2
Ci 2 + ci«(2 1) 1,
а уравнение rипербо.iIОИДОВ
(5.235)
х2 р2
ci 2 + C (1 2) == 1.
ИСI:\ЛЮЧИБ r И3 этих уравнений, ПОJlУЧИМ
х == Cl '
(5.236)
(5.237)
а исключив х
р== С 1 [(1 + 2) (1 Р)]Ч2.
(5.238)
Координата р всеrда положитеJIьна, а х принимает
+ OJ. Поэтому если выбрать О < < CXJ, то следует
(см. фиr. 54), а если выбрать CXJ < < + CXJ,
O-< ,-< 1 (см. фиr. 53).
Чтобы написать уравнение Лапласа в таной системе
ходимо вычислить ноэффициенты h 1 , h 2 И h3 В уравнении
выражениям (3.10),
3Ш:lчения от CXJ до
принять 1 -< -< + 1
то СJlедует ПРИНЯТl.
Rоординат, Heo6
(3.13). Соrласно
1 д . дО]
h 1 ==: дn == J дn
д дО,
II == ==
1/2 дn дn'
При IIОМОЩИ формулы (5.5) IIОJlучаем
дб) 1 дб I V O I 1
дn 2c 1J1 дn 2cjIJ 1 cr01M /2 .
3аписыван Rоординаты u порядне , ,' н подстаВJlЯН вместо х и р их
значения (5.237) и (5.23R), находим
[ х2 р2 ] Ч2 ( 2+(2 ) 1/2
h 1 == C ( Ci 2)2 + cH1 2)2 ==: С 1 1 2 '
(5.239)
2 [ х2 р2 ] 112 ( 2+ (2 ) ча
Jt 2 == Cl Ci (4 + Сl (1 +(2)2 == (\ 1-т- (2 .
(5.240)
h3 == Р:; === р == С 1 [(1 + 2) (1 2)]Ч2.
(5.241)
166
r лава V
Уравнение Лапласа (3.13) можно записаТJ, 11 виде
а [ 2 aV ] д [ V2 дУ ] Е2+(2 D 2 V
дЕ (1 Е ) д; + д( (1+' ) д( + (1+(2)(1 I;2) дср2 ===U.
(5.242)
286. rармоники сплюснутоrо сфероида. Решение уравнения (5.242),
имеющее вид V == ЗZФ (rne З, Z и Ф соответственно функции толыш
, И <р), наЗЫвается rармоникой crтюснутоrо сфероида. Vмножая ypaB
иение (5.242) на (1 + 2) (1 Е2) [ЗZФ (Р + 1:2H 1, получаем, что последний
член зависит толыш от <р. Чтобы найти решение уравнения, как и в 13.
приравняем этот член т 2 , а остаЛЫ'lые члены + т 2 , Torna
i d 2 ф 2
== т
Ф dcp2
и
(5.243)
1 d [( 1 Е2 ) dЗ ] 1 d [( 1 v2 ) flZ ] т2(Е2+(2) т 2 т 2
3 dE d[ + Z d,: +" d( (1 +(2) (1 E2) == 1 E2 1+(2 '
Последнее уравнение удовлетворяется, еСJIИ
d [ 2 dЗ ] m2З
аl; (1 Е ) dE 1 1;2 + n (n + 1) .!:!. == О
и
:( [ (1 + 1:2) J + 1 f2 n (n + 1) z == О.
Полаrая С == i1:, приподим второе И этих уравнений к виду
d [ '2 dZ ] m2Z
dC' (1 ) d(' 1 ('2+n(n+1)Z 0.
Решение уравнения (5.243), соrласно выражению (5.177), будет
Фm === С cos т<р + D sin т<р.
Уравнения (5.,244) и (5.245) совпадают (5.178), поэтому их
имеет вид "(5.181)
,
Етn == АР':: Щ + BQ":: (Е),
Zmn == А' Р":: (1:') + B'Q":: ( ') === А' Pr;'; и ) + B'Qn::. ич,
IТ, (;.iIедовательно, общее решение будет
V == ЗтnZ mn Фm'
т n
(5.244)
(5.245)
(5.246)
решение
(5.247)
(5.248)
(5.249)
lIоскольку сфера есть частный СJIучай сфероида, естественно ожидать, что
сферичеСЮIe rармоники частный СJ1учай сфероидаJIЬНЫХ. ПрОСJIедим, нан
решение, опреД,еляемое выражениями (5.246) (5.249), переходит в решение
(5.177), (5.181) и (5.176) при стремлении эксцентриситета ЭЛJIипсоида
{{ нулю. При с 1 ........,.. О "диск, соотве'1СТВУЮЩИЙ == О, стяrивается в точку
r==O. Из выражения (5.237) вытенает, что CX) при с 1 ........,..0 (так кан
1 >- Е >- О), и н выражении (5.238) можно пренебречь 1 110 сравнению с С 2
р""""'" Cl (1 Е2)Ч2 === .::.. (1 Е2)Ч2.
Сl--40 Е
ИЗ ЭТО1'О выражения находим :
Е х (х 2 + р2) Ч2 == cos в == fL. (5.250)
сl.....0
l\t«ИМ образом, решение (5.247) переходит в решение (5.181).
Трех.',/,ерное распределеuие поmенциала
lб7
Из выражения (5.237) получаем, чт()
1;, х
сl.... 0 С 1 cos !J
r
(5.251)
С 1
Иr,пользуя формулы (5.188) и (5.189), находим
AIP (]Ч А 2 r п и BIQ и1;,) r 21 . (5.252)
с 1"" О сl.... 0
Отнуда следует, что решение (5.248) переходит в решение (5.176).
Формулы (5.250) и (5.252) во мноrих случаях ПОЗВОJШЮТ сразу найти
1'армонини сплюснутоrо сферои;щ, требуемые для решения данной задачи,
.если известен вид решения соответствующей задачи n сферпчесних rapMo
никах.
s 28в. Проводящии лист С нруrлым отверстием. Раrсмотрим бесно
нечный тонний ПJЮСНИЙ металличеСI\:ИЙ лист с нруrлым отверстием, HOTO
рый либо сам заряжен, либо является rраницей внешнеrо однородноrо
IIIОЛЯ.
-5 (,,?
g 1 G
= ...........
",
р
.... ....
", 1 ,,'
"' = :' 2
.... ... '-:,-:::.
Фие. 53.
Чтобы ноординаты БыJlи непрерывными во всем пространстве, rдс
<существует элентричесное поле, выберем O < <: 1 и со <. 1;,< + 00; при
этом 1;, имеет тот же знан, что и х. Нан поназано на фиr. 53, уравнение
листа имеет вид == О. Рассмотрим случай, ноrда таной лист, имеющий
потенциал, равный нулю, является rраницей ОДнородноrо внешнеrо поля,
При х == 00 поле должно совпадать с невозмущенным однородным полем,
при х == 00 оно должно быть равно нулю. Поснольну IlрИ 1;,2 OO
можно пренебречь 1 по сравнению с 1;" выражения (5.237) и (5.238) дают
r2 == х 2 +p2 c :2 2 + c 1;,2 C 1;,2 2 == C 1;,2,
Т. е. :I: "/С 1 и ==x/(cl1;,) lxl/r lcosel. Vравнение однородноrо поля
при х == 00 имеет вид V == Er СОБ е, т. е. t входит в Hero тольно через СОБ е;
иными словами, решение содержит ТО;;JЬНО Р 1 ( ) и, следовательно, COOT
ReTcTByeT т == О, п == 1. Поэтому с учетом (5.249), (5.247) и (5.248)
168
/'лава V
потенциал равеп
v с==Р] Щ [А' Р 1 и'С.) + }J'QJ (jЩ.
(5.25:Ч
Подставив СIOда ЗIШ'Jения Р] и QI и:] фОрМУJ1 (!1.187), пr..llучat М
V == [jA'r. + В' (r. ar.c ctg 1;. 1)].
(5.254)
Чтобы вычислить А' и В', рассмотрим r. ==, i: со. При 1;. с== + со ноэффи
циент при В' обращаетсн п ИУJIЬ и
Er е08 е с== JA'r С08 О, ОТl\уда ЕС 1 == jA'. (5.255)
С1
При 1: == со постоинным Ч.iJOНОМ мошно пренебре'lЪ, поэтому
O , О ( IA'r r.B'r )
. COB + .
c 1 С,
отну да 7t В' с==
jA',
(5.256)
или
В' == Ес,
те
(5.257)
Если нрай отверетин соответствует р == а, то, IIОСНОЛЬНУ 1;. И равны при
этом нуша, из выражении (5.238) следует, что С 1 с== а. ДЛЯ потенциала,
таним образом, ПОJJучаем
Vc==aE [: (t:arcctg: 1)].
(5.258)
II.ПОТIIОСТ1, заряда на 1I0нерXlJOСТИ JIJICTa дается форму:юй
дУ дУ
о == с д =F Е r д С . (5.259)
х X O а.,.,
Из выражения (5.238) вытеfшет, что a ==:1: (р2 a 2 )1/2 при == о; ПОЭТОl\1
[ (2 2) 1/2 ] 1 ( )
arc ctg .:1: р : == 2 7t + arc С08 :
11, I:оrласно форму.пам (5.258) JI (5.259),
о == сЕ \ f + + [ arr; С08 + . а 1/ ] } ,
те' р (p2 a ) 2
(5.260)
l'Ae знак IlЛЮС соответствует вРрхнеЙ стороне понерХfЮ('ТИ, а минус
нижнсй.
э 28r. Момент, действующий на ДИСI{ в однородном ноле. ЕСJJИ нсзар}{
женный проводящий дисн радиуса а расположен ТaIШМ обр<lЗОМ, что нормаю.
'{ нему образует yrOJ1 а С элентрпчесним полем Е (OТl,HOpOДHЫM до внесения
диска), то внешнее поле Е можно рассматривать нан суперuозпциlO двух OДH()
родных ПОJЮЙ: поля Е СО8 а, перпендинулнрноrо R плосности дисна, и ПОJl}j
Е' с== Е 8in а, параJшеJ1ЬНОl'О плосности дисна. Для решения задачи во втором
случае можно ВОСПOJlьзопаться l'армонинами СПЛIоснутоrо I:фероида. НеlIре
рывность 1юординат достиrаетсп ТОI'да при О 1;. со II . 1 -< -< + 1;
таная система ноординат изображена на фиr. 54. Нан' lf н предьщущем
нараrрафе, при r с== fX) r. rJa 11 ::I::- сов е, причем апа}{ совпадаO'l
(',() знаном х. В беснонечности, I'Jl.e сохраняется неlJозмущснное поле,
V 00 == Е' р С08 <fi == Е' а [( 1 2){ 1 + 2)] Ч2 СО8 ер. (5.261)
ПОСI>ОЛI,НУ ер входит в решение толыш lJ виде 1:089, в решениях (5.246)
{."i.249) т лолжно быть равно единице. НО п >- т, поэт()му наименьшее B03
Трех.лu'рuое распределеuuе потеuциала
1Ф
можное значение п есть п == 1. Далее, при r == со :швисимость V w от t и r
(5.261) соответствует множителю (1 fJ-2}lJ2 т В форму;пах (5.182) и (5..183).
Следовательно, :тачение п > 1 невозможно, тю, ию, n этом случар при
Фие. 54.
дифференцировании в формулах (5.182) и (5.183) и С ПОЯВИJIИСЬ бы в ',:.!
честве множителей. Соrласно фОРМУJJам (5.187).
Q ис) == ( + (2}Ч2 ( are etg : 1-1 С r 2 ') ,
а иа формул (5.186) следует
p т == (1 t 2 }lJ2.
Ввиду конечности потенциала при == :1: 1 мнтюпелн Q ( ) быть не МО)JЮ'!
и потенциал должен иметь вид
V' == p щ [AP ис) + BQ (jЩ СОБ <f ==
== (1 2}Ч2 [ jA (1 + (2)Ч2 + в (1 + r. 2 )lJ2 ( arc eЦ ' r. 1 C2 ) J (,o <f.
(5.2(i2)
При (, === о потенциал V' == О, по;)тому jA == ';СВ. Если же (, === OJ, ТО ПОСJЮД
ние два члена в выраженпи (5.262) :малы по сравнению с первым; поэтом},
приравнивап выражения (5.262) 11 (5.261), ШIХОДНМ
Е'а==
1 2Е'а
z'i:B, ПJШ В== .
После этоrо ДJIН потенциаJIa по.пучаем ОIюнчаТeJlьное lJырашрние
V' == 2'i: 1 Е' а Н1 2)(1 + (,2)]Ч2 ( arr tg' r. + 1 C2 ) cvs<fi.
(5.263)
ПО)J,ставляя значения р И3 фОрМУJIЫ (5.238), аашПIЮМ это выраженир н виде
V' ==2'i: lE'p( arc-tgr.+ 1 2 ) cos<f. (5.264)..
170
r лава V
Внесение незаряженноrо дисна не возмущает номпоненту поля Е cos а,
перпеНДИfiУЛЯРНУЮ н ПЛ"СIЮСТИ дисна; поэтому состветствующий потенциал
имеет вид V" == Ех cosa, а решение в общем случае V == V' + V" можно за
пиеать в виде
V===E [ 2: (arct,g(+ .1 1,;2 )sino:cosep+xcoso: J, (5.265)
rде ( СJшзана с р и х соотношениями (5.237) и (5.238).
Пользуясь формулой (5.265), нетрудно I3ычислить момент, действующий
на ДИС1С опредешш плотность nOBepxHoCTHoro заряда О, мы найдем силу,
действующую на единицу поверхности, равную 02 / е. Чтобы упростить
расчет, заметим, что дейстпие поля Е sin о: на поверхпостный заряд, индуци
рованный полем Е cos 0:, не создает момента, тан ню< плечо соответствующей
силы равно нулю. Следовательно, весь момент обусловлен действием поля
Е cos о: на поверхностный заряд о', индуцированный полем Е sin а. Соrласно
fJыражепию (5.264),
о' e [ av' ] 2EE'p { [ + 1 1,;2 ] !!l. } cosep
ах c o 'It 1+(? (1+'2)2 дх c o .
Но из выражения (5.237) (===x/(a ). тю< что дЧд:r==(а ) l. При \.==0
a2 2==a2 p2 [см. формулу (5.236)], поэтому
, 4sEsina. pcosep
о ==
'It (a2 p2//2
(5.266)
Для силы, действующей на элемент площади р dp dep, плечо равно р cos ер,
отнуда выражение для штноrо момента, учитывая действие поля Е cos а на
заряд на обеих сторонах диена, имеет вид
а +7<
т == 8ЕЕ2 sil1 а. СОБ а. \ r р3 cos 2 ер d d .
'It J ( 2 2 ) Ч2 ер Р
о "':7< а p
11 РИIПlмая во внимание, что 2 sin а cos а == sin 20:, и интеrрируя по формуле
(Двайт, 858.3), находим
а
2' (" р3 dp
Т == 4еЕ sш 2а , 1J .
Ь (a2 p2) 2
Интеl'РИРУЯ еще раз (Двайт, 323.01), получаем для момента
т 4 Е2 . 2 [ 1 ( 2 2 ) 8/2 2 ( 2 2 ) 1/2 ] а 8Еа 3 Е2 sin 20. (5. 2 67)
== е sш о: а р а а р о ;1 .
28д. Потенциал заряда, распределеНllоrо по поверхности сфероида.
Допустим, что на поверхности сплюснутоrо сфероил.а (=== (о задана плотность
'поверхностноrо заряда оп> УДОВJIeтворяющая условиям, сфОРМУJIированным
fj 14б rл. V. Этот заряд создает потенциал V o вне сфероица и V i внутри
иеrо. Применение теоремы rayct:a о потоне э:rентрической индукции (1.27)
.f< маленыюму объему, охватывающему ЭJ1емент поверхности сфероида, дает
С1 n { aVi av o } [ 1 ( aVi av o ) ]
== dn дп в== h; a дP:" C Co'
(5.268)
,l1усть оп такова, что
V . ( 1) т (п т)! (1 + У2 ) Р т ( 'у ) Q m ( 'У ) S m
в 0==/ (п+m)l. "'о n /'..0 n /'" п,
(5,269)
"де
S ==: С тn p ( ) cos т (ер ерт)'
(5.270)
Трехмрриое распределение поmенциала
171
БJшrодаря таному выбору потенциал У О J\онечен при == со. Чтобы VV;
был бы J\онечным при ==o, . о и чтобы У; ==У О при == ()' У, должен
"меть вид
V . ( 1) т (п т)! (1 У2 ) Q m ( 'У ) Р т ( 'У ) Sm
е ; ==! (п +т)! + "'о Тl ! o Тl 1'" п.
Подставляя выражения (5.269) и (5.271) R уравнение (5.268) 11
выражение (5.200), получаем
(5.271)
используя
По,лаrая
{ -t 1 m
оп h; J 'о Sn .
(5.272)
А == ;( -t)m(n m)! ( 1 + 2 )
тn € (п+т)! о '
(5.273)
можно при помощи выражений (5.269), (5.271), (5.272) и (1.8) получить
цnа весьма важных интеrрала:
Sm .
h 2 ;0 dS == Атn р,: и o) Q': и ) S,;:,
'о
sm
Jl 2 ;i dS == Атn Q':: ис о ) р':: и ) S '.
сО
Рассмотрим теперь плотность поверхностноrо заряда, ЯВЛяющуюся суммой
плотностей ВИДа ОВТ' тан что потенциалы будут суммой потенциалов вида
(5.274). ТаRИМ образом,
(5.274)
0== h21 S;== h 2 1 CsrP;тcoss(<p <p,).
Для определения J\оэффициентов С тn умношим о на
Р': ( ) cos т (<р <Рт) hlh3 d d<p
и проинтеrрируем по поверхности сфероида. При этом все члены обратятся
n нуль, нроме тех, для ноторых т == s и п r. Для них, используя фор
мулу (5.214) при т =1= О, получаем
+12"
2п+1 (п т)I 1 \" (' Р т )
Cmn== 1+r2 J Q 11 { r,оsт(<Р <Рm)hlhзd d<р.
ПС1 п тп. ':>0 1 О
(5.275)
Потенциал, создаваемый зарядом, распре}l,еленным по поперхноети (' плот
JЮСТЬЮ о, будет равен
приС< о
00 Тl
У; == MтnP':и ) Р':Щсоsт(<р <Pт)'
n==О т O
(5.276)
при С > o
00 11
V o == N тn Q':: иС) Р': ( ) cos т (<р <Рт),
11 О т O
(5.277)
"де, соrласно формулам (5.275) и (5.271),
о
М == . ( 1 ) т (2 oт)(2п+1) [ (n т)! ] 2 Q m ( 1' ) х
тn ! 4пЕС 1 (п+т)! 11!
+12"
Х оР': ( ) eos т (<р <Рm)ll'lllз d d<p,
1 О
(5.278)
172
r лава V
щееI, == ( при т == О и == о при т =F О. Иа формулы (5.271) вытенает
F ' и'о)
N т " =.= М т1l (5.279)
Q-;: и'о)
Множитель 2 o вошшнетсн потому, что в СJIучае т == О I1нтеrрирование
по при выводе формулы (5.275)' дает множитель 271: ВМ('СТО 71:.
2Se. Представлt'ние lIотенциала точеЧllоrо заряда через rармонини
СlIЛЮСНУТOI'О сфероида. Результатом предыдуЩОI'О пара1'рафа можно вос-поль
:юваться для вычисления потенциала, создаваемоrо точечным зарядом, рас
положенным n точно t o ' [о, СРо' Под точечным зарядом подразумевается заряд,
размеры 1ютороrо слипшом малы, чтобы их МОЖJJO было измерить физичесни,
но математичесн'и они отличны от пуля, блаrодаря чему напряженность
ПOJrя п потопциал являются всюду оrраничонными фунrщиями. Допустим,
'JTO ПJIОТНОСТЬ заряда а равна нулю ве:зде, за ИСНЛlOчони м ПЛОЩадки S,
находящейся в точно ср == СРо' . o' Площарка S предполаrается настолько
малой, что на ней фуннция р-;: ( ) постоянна и равпа p ( o) и cos т (ср СРт) ==
==cosт(cp cp(J)==1. При этом ию'еrрал в формуле (5.278) вычисляетсн
с,ледующим образом:
Р-;: ( o) all 1 h3 dt dep == p ' (to) \ а dS == qP t (t o )
s
и НОЭффI1циенты, опре.цеJIяемыо по формуле (5.278), оказываются
. 1 ( 2 (0 ) ( .1 ) m 2п+1 [ (п m)! ] 2 Q m ( 'r )p m ( ).
' тп == j m q 4пЕС} (п+т)! . 11 J<."o 11 <;0
раВНЫМIt
(5. 28(})
Из формулы (5.279) находим
N == . ( 2 00 ) ( 1 ) т 2п+1 [ (п т)! ] 2 рт ( '[ ) pт ( ) .
т11 J m q 4пЕСl (п+т)! 11 J 'о 11 О
Потенциал точечнOI'О заряда rz имеет вид
при С < t o .
00 "
\/; == S jJ.I тп p ' и ) p ' т cos т (ер СРо)'
rl O т О
(5.281 )
(5.282)
нри [ > (1
00 "
V(J== NmnQ (j )P:;'( )cCi3т( <P()'
11 O т O
(5,283)
При помощи этих фОрМУJJ можно (исполызуя те же методы, что и в случае
. сферичесних rармонин) построить фуннциlO rрина ДJIЯ об.тшстей, rраницы
ноторых образованы координатными поверхностями сплюснутой сфероидаш,
ной системы Iшорднпат.
29а. l'ар ЮНlIRИ вытянутоrо сфероида. 3аКРУI'ленвые нонцы двух
ноансиальных стержней (элентродов), образующих искровой промежутон,
обычно хорошо апроксимируlOТСЯ поверхностями двухполостноrо rиперболои
да вращения. В ноьоторых устройствах встречаются таиже удлиненные про
воднини, похожие по форме на вытянутые сфероиды. Поверхности и).
являются естественными rраницами в «вытянутой» сфероидальной системе
f\оординат, так нан Оllределенному значению одной ноординаты соответствует
одна, и только одна, из поверхнзстей для Bcero интервала изменения OCTaдь
пых ноординат. Решение уравнения Лапласа в этих координатах приводит
Трехмерное распреоедеиие потеuциала
173
,.: появлению фУНl.:циЙ, JJзвестных под названием rармоню,: BhI'l'НIlYTQI'U сфе
роида.
Допустим, что n уравнении (5.4) две норотние полуоси а и Ь равны
друr друrу, и положим х == р sin ер и у == р соВ ер. Тоrда урапнuние примет RИj1.
р2 , Z2
Ь 2 +О ... с 2 +О == 1. (5.284)
LIоложим с 2 + (j (с 2 Ь 2 ) б; === с; б . TorJIa при Ь 2 < fJ < 00 или 1 < Тj2 < со
(rде fj ..= Тj2) получаются нонфональные вытянутые сфероиды, а при
с 2 < fJ < Ь 2 или О < t 2 < 1 (rде fJ === Р) lIОJIУЧaIОТСЯ НОНфOl\3льные
I1. В УХПОЛОСТНЬЮ пшерболоиды. На фиr. 55 изображено сечение этой
,Z
р
Фuе. 55.
-системы плосностыо, llроходящеи через ось (третья ноор;:цшата i1зимуталъ
пыЙ уrол ер). Уравнение сфероидов имеет вид
р2 z2
с 2 ("1:2 1) + с 2 у:2 === 1, (5.285)
2 1. 2 I
.а урапнени() пшерболоидов
р2 z2
2 (1 е9) + ==' 1.
С 2 " C2
(5.286)
Иснлючая из этих уравнениЙ р, получаем
z === С 2 ТjE,
(5.287)
а иснлючая ., имеем
р == С 2 [( 1 t 2 )( Тj2 1 )]Ч2. (5.288)
Если принить J <: тj < СХ', то, IШН И В 28а, нужно ПЗЯТJ, 1 -< -< + 1;
давать тj отрицательные значения не имеет теперь смысла, поснольну HOOp
динаты всюду непрерывны. Располаrая !>()ОDДИf1аты в поря;,.ще Е, тj и ер
174
r лава У
и вычисляя тан же, нан и в 28а, ноэффициенты 11.1' h 2 И h з ,
2 [ р2 Z2 J Ч2 ( "I2 E2 ) lJ2
h l == С 2 С 2 (1 .E2)2 + c E1 == С 2 1 e2 '
находим
(5.289)
2 [ р2 z2 ] Ч2 ( "I2 E2 ) 1f2
h 2 ==C 2 Yj C ("I2 1)2 + C "I4 ==С 2 "i2 1 '
h3 == Р == С 2 [(1 t 2 ) (ч2 1)]Ч2.
(5.290)
(5.291)
Уравнение Лапласа в этом случае имеет вид (5.242), если в последнем
заменить 1 + 2 на 'lj2 1 и Р + t 2 на Yj2 2. Полаrая, что решение равно
ЕНФ, и повторян рассуждения 28б, получаем для Е и Н то же самое
уравнение (5.244). "Уравнение для Ф имеет, нан и ПреЖде, вид (5.246), Ta
Е\ИМ образом,
3 тп == AP (t) + BQ l (О,
Нтn == А' Р': (7j) + B'Q l (Yj),
Фт == С cos тер + D sin mqJ,
а общее решение имеет вид
V == lj ЕmпНтnФт'
т п
(5.292)
(5.293)
(5.294)
(5.295)
296. Вытянутый сфероид в ОДIIОрОДIlО 1 поле. В начестве примера
uрименения результатов предыдущеrо uараrрафа пычислим поле заземлеп
ной IIЛОСНОСТИ, :имеющеЙ проводящую сфероидальную выпунлость nыco
той с и основанием радиуса Ь, при наЛПЧИII внешнеrо однорол.ноrо поля.
Таная ситуация имеет, например, место D том случае, Е\оrда наэлентри
зопанная П;:lOсная rрозовая туча оназьшается над находящимся на земле
монрым CTorOM сена или над елью. Пусть при z == со потенциал равен
Er cos е. Нан и раньше, при \
Yj co
r
7j
С 2
и t == cos е.
r
Принимая во внимание формулу (5.188), мы пидим, что t может входить
в решение тольно через Р 1 (О. Поэтому потенпиаJI, соrласно выражению
(5.161), имеет вид
V == Р 1 Щ [АР 1 (7j) + BQI (-rj)] == Yj [ А + в ( ln + ) ] ==
== :2 [ А + в ( ar сl h 1) ) ]
При z == со 7j == СО, Yj 1 == U И Ю' ctJl1) == U, таи что
Az
Ez ,
С2
или
А == с 2 Е.
Сфероид с полуосями с и Ь можно получить, сели EJ уравнении (5.284)
положить е == о, или C 7j == с 2 . Следовательно,
0== с 2 Е +в ( ar cth 7j() ) , или В == с 2 Е ( ю' cth 7jo ) I
O O
Онончательное вырашение для потенциала имеет вид
, ( Ш' !:Lll "i )
V == Ez 1 1 '
ar сН! "o
, "io
(5.296)
Трехмериое распределеuие nоmеuциала
175,
rAe
с с
110 == С2 == (c2 Ь2) Ч2
И 11, , z связаны соотношениями (5.287) и (5.288).
(5.297)
э 30а. Уравнение Лапласа в цилиидричеСRИХ Rоординатах. 13 тех
случаях, ноrда rраНИЧI-Iые условия выражаются наиболее просто в ци
линдричесной системе ноординат, для нахождения потенциала следует
пользоваться решением уравнепия Лапласа в цилиндричосних ноординатах.
В этой системе ноординат уравнение Лапласа имоет вид
B 2 V 1 BV 1 B 2 V B 2 V
д р 2 + Р ар + р2 B'f2 + Bz2 == о, (5.298)
['JШ х == Р cos ер и у == р sin ер. Частный случай, ноrда потенциал V не зави
сит от z, был уже pacCMUtpeI-I в 2 rл. IV; в связи с этой задачой были
введены нруrовые rармонинп. Будом IIснать теперь решение в виде V == нФz,
[до н, Ф и Z суть cooTBeTCTHI:НIНO фушщип тольно р, ер И z. Это решение
мы будем называть цилиндрпчеС1ШЙ rаРМОНlшоii. Подставив значение V
в уравнепие (5.298) и разделив на НФZр 2, пс,лучим
р d ( dH ) '1 d 2 ф р2 d 2 Z
Н dp Р dP + ф d'f2 + z dz2 == О.
(5.29 )
э 30б. Уравнсние Бесссля и ФУНRЦИИ Бесселя. Положим в уравпе
нии (5.299)
d 2 ф == п 2 (5.300 ) ,
ф d'f2
11
1 d 2 Z
',2
Z dZ2 п .
(5.301)
Тоrда Фупнция R должна удовлетворять уравненшо
d ( dK )
Р dp Рё/Р +(k2p2 n2) н==о.
Если положить kp == v, ТО это уравнение примет вид
,12R dR + ( 1 n 2 ) Н == О
dv 2 +v dvv 2 .
Общие решения уравнений (5.300) и (5.301) будут
Ф == Aejnq> + Be jnq> == А' cos пер + в' sin пер,
Z == Ce kz + Dc kz == С' ch kz + п' sh kz.
(5.302)
(5.303)
(5.304)
Решение уравнении (5. 302) уравнения Бесселя носит название Фующии
Бесселя п ro порядна. ЦИJIИндричссная rармонина, таним образом, запи
сываотся в виде
V == н п (kp) Ф (пер) Z (kz),
(5.305)
за иснлючонием слvчан k == о, HorAa, соrласно уравнению (4.7) и выраже
нию (4.39), .
V o == (М р " + Np n)(Cz + п)(А СОБ пер + В sin пер),
V o == [М cos (пlп р) + N sin (п ln р)] (Cz + п) (А chnrp +В sh n'f).
(5.306)
(5.307)
ЕСJIИ И k и п равны НУJ1Ю, то
V oo == (111 ln р + ЛТ) (Cz + п)(Аер + В).
(5.;Ю )
17u
r лава V
30в. Модифицированное ура нение Бесселя и модифицированные
функции Бесселя. НеСI\ОЛЫЮ инои резу.пьтат получается при замене k
на jk в уравнении (5.301). Вместо уравнения (5.302) тоща по.пучаем
уравнение
d2RO + СШО ( :1 + п ) ' но==о
clv 2 V dv v 2 ,
(5.309)
ноторое носит название модифицированноrо урашюннн Вессели, а ero pe
шенин модифицированных бессе.певых фУНI\ЦИИ. Вместо рршения (5.304)
будем иметь
z == Ce jh1z + De jhlz == С' I:ОБ k 1 z + п' siп k 1 z.
(5.310)
I \и.:тинцричеСl\ие rаРМОНИНII теперь мошно записан> в виде
v == п (kiP) e,,=jn<p е"=Лч z .
(5.311)
jJешения Tal\orO типа будут. рассмотрены в Э 33 37.
30r. Решение уравнения Бесселя. Положим в ураш:ении (5.302)
/ ) ,,., n<-8
'п == asv ; TorAa
l'" [8 (2п + 8) asls 2 + a,v S ] == О
(5.312)
п, с.псдовател[,но,
а . == [8 (2п + 8)] 1 aB 2'
(5.313)
I<:сли ноэффициент a(J нопечен, то }{оэффициенты a 2' a 4 и т. д. равны
ПУJНО. Пусть а О == [2"1' (п + 1)] 1, что сводится 1\ (2пп!) 1 при целых п.
ТOI'да, применяя последовательно формулу (5.313) и заменив RfI(V) на
J l1 (v), получим
v n r v 2
J l1 (v)== 2'Ч'{п+1) -L 1 22(п+1) +
v 1
l
'" I ==
2 4 2! (п + 'l) (п+2)
( v \11+ 2r
== ",' ( 1)Т 2 )
L..J 'rll' (п + r + 1) .
T O
(5.314)
со
ФУНI\ЦИЯ J n (v) носит название фУ1ТfЩИИ Бесселя первоrо рода п ro по
рнДIШ. Очевидно, что при п =F О J l1 (О) == О и, I\аl\ будет поназано в Э З1r,
Jn(c:c)==O.
ПОСI\ОЛЬНУ дифференциаJIьное уравнение (5.3U ) nтop01'O, ПОрЯДl\а, оно
должно иметь еще второе решение. В случае, ноrда п не целое число,
JTIIM решением будет J l1(L), но ноrда п цeдoo число, решения J1J(v) и
J l1(U) не являются неЗ8ВИСИМЫМИ. Чтобы НОl\ааать это, заменим п на п
в выражении (5.314); TorJIa, тан I\аl\ [1' ( п)] I == U, ряды для J 1J (v) И
( 1)" J1J(u.) совпадают. [\orJIa п He целое ЧПСJIО, второе решение дается
формулой
J v (v) eos v-;с J v (v)
Yv(v)== . .
Sln v-;c
(5.315)
Если 'I целое чиело, то формула (3.315) дает О/О. ДЛЯ раС1iрЫТИН неопреде
,енности заменим в ВЫр81н:ении (5.314) п на '1, разобьем сумму по r от
() до CXJ на две суммы от п до (х) и от О до п 1, заменим в первой r
:на п + 8 и во второй {r [1 ('1 T)]} 1 на 1t 1 l' ('1 т) siп 'I1t (Двайт, 850.3).
Трехмерное распределеuие поmеuциала
177
Если под ставить lIОJIученное выражеПIIе в формулу (5.315) вместо J v ('о)
и заменить cos 1tV на ( J)n, то бунем имсТI.
( 1)п [ .', "-; ( 1)' ( vY+2S ] n 1 ( lY ( ; vyr vr (v r)
sinv1t Jv(I) (п+s)!r(п v+s+1) 1t
O T O
Соrласно выражению (5.314), С1шБRа uбращастся в нуль при v == п, таи
'11'0 псрвый член опять дает О/О. Чтобы раСRрыть неопределенность, Про
дифференцируем наждый множитель по v и подставим п вместо ". Boc
пользовавшись справочнином яине и Эмле (СТР. 1(8), находим
z
d [ 1 ] 1 d ln r (z) 1 ( I '" 1 )
dz l' (z) == r (z) dz == r (z) . С т LJ -т '
т 1
rде С == 0,5772157 постоянная Эйлера. При помощи зтой формулы, а
таюие ФОРМУЛЫ (563.3) из справочнина Двайта неопределенность О/О pac '
нрьшается; если обозначить С ln 2 через ln а., то
n 1
У n (о) == : J n (о) ln (a.v)
T O
00 ( 1)T ( vJ+2r
1tr!(п+r)!
T O
( 1 ) 2T n
2v . (п r 1)!
1tr!
r n+т
( +] ).
т 1 т 1
(5.316)
Общее решение уравнения Весселя, ноrда п......: цспос число, имеет, таним
образом, вид
Я п (v) ,== А ; J .. (v) + B'Y n (v).
(5.317)
Отметим, что фуниция У n (О) обращается в бесионечность; в 31r будет
поназано, что фуннция У n (00) обращается в нуль. Для фуниции, определяемой
формулой (5.316), существует MHoro обозначений. В Rниrе Ватсона и British
Association Tables используется У n (v), Ннне и Эмде, IЦелнунов и Стрэт
тон пользуются N n (1)-, rрэй, Метьюз и Маироберт У n (v).
Подстановна М == 1/1' И N == 1 (n/V)2 IЗ уравнение (5.76) приводит и ypaB
нению (5.302), таи что, если J n (v) известное реJ1reние, формула (5.77) дает
Yn(v)==Jп(v) {А+В [vJ (V)J 1 dv} . (5.318)
Дифференцируя ЭТО равенство- и опусная aprYMeHT, П(J.J учаем
a ( Yn' ) Y:'. J:'Yn в
dv J n J n J == vJ .
(5 '319)
СоrлаСЕ:О ренурреН'I;НЫМ формулам::пеличина В не завиеfJТ ни от п, ни от
v и, следоватеJIЬНО, может быть вычислена Д.iIЯ нростеl1нюrо случая п == О
и малых v. В этом случае в выражении (5.316) существенен толыю лоrа
рифмичесний члсн; этим Членом и ero производной мошно замешrть У n (v)
и Y (v) n уравнении (5.319). При подстановие лоrарифмический член
сонращается, и величана В оиазьшается равной 2/тr:, aH что уравнение (5.319)
прirНI1мает вид
У;, (1;) J n (v) J (v) У. n (v) == .
1tV
(5.320)
12 В. Смайт
178
r лава V
Для ЦИ;JиндричеСI\ИХ элеl\тромаrнитных волн пользуются ФУНlщиями
ХаНl\еля
H 1) (v) 0== J 11 (v) + JY 11 (v),
н 2) (v) 0== J п ( v) ] У п ( V ),
(5.321)
I\оторые в Rомбинации с ej!J)t ]тают беrущие волны.
30д. PeI,yppeHTHbIe формулы для функций Бесселл.
выражение (5.314) на v 11 и продифференцируем, то найдем
d['O n J n (1J)] '02n 1 [ '02 '04
d'O :l'Н l' (п) 1 2 п + 2 4 2!п (п + 1)
Если умножим
... ] .
Выделив н правой части множитель v n И сраннив с выражением (5.314),
получим
а [VnJn('O)]
dv
v n Jn l (V).
Выполнив дифференцирование в левоЙ части, разделив на v n И обозначив
дифференцирование по v штрихами, найдем
J -== Jп l : J n . (5.322)
Повторяя ту же операцию с умножением на [' n вместо v n , будем иметь
J o== Jп+1+ : J 11 == (Jn-:-1 Jn+1)'
ПодстаНОВl\а выражени& (5.322) в (5.323) дает
2п
Jn o==Jn 1 + J 11 +1.
(5.323)
(5.324)
Замена в выражениях (5.322) (5.324) Jn(v) на ( 1)nJ n(v) приводит
R ренуррентным формулам дЛЯ J 11(V). Дифференцируя формулу (5.315) и
подставляя J {v) из выражения {5.322) и J:""" y (v) из аналоrичноrо выраже--.
ния, получаем, что при '1 п (I\оrда cos V1t cos ('1 1) 1t И sin V1t
sin(v 1)1t]
J СОБ vтt J:"""y
sin уте y п
Jv 1 cos(y 1)тe J v+1
sin ('J 1) те
v (J v cos yтe J V)
'о sin ",те
Аналоrичную операцию можно применить и 1\ выражению (5.323), там что
У;' 0== У ,, 1 : у 11' (5.325)
Y == Yn+1 +!:.У п . (5.326)
'о
После вычитания одной из ЭТИХ формул из друrой получим
2п
у п == у п 1 + у n+1.
v
(5.327)
Полезные интеrральные формулы получаются путем интеrpирования paBeH
ства, послужившеrо для вывода выражения (5.322), и анаJlОrичноrо ему
равенства, связанноrо с формулой (5.325),
S v n J ,, 1 (v) dv == v n J п (v), (5.328)
S vny n l (v) dv == v n У п (v). (5.329)
Трехмерное распределение поmенциал.а
179
Таное же интеrрирование выражений (5.323) и (5.326) дает
V n J n + 1 (v) dv == v nJn(V),
v nY n+1 (v) dv == v nY n (V).
(5.330)'
(5.331 )
30е. Значения функций Бесселя на бесконечности. Для решения
задач, в ноторых возможны значения р == се, необходимо знать, нан ведут себя
при этом фуннции J n (kp) и У n (kp). Чтобы найти предельные значения фунн
ций, мы воспользуемся приемом, ноторый часто употреблялся 30ммерфельдом.
В начестве первоrо приближения при v се пренебрежем в уравнении (5.302)
членами, содержащими V l и v 2. ПОЛУЧИМ приближенное дифференциаль
ное уравнение
cJ2R
dv2 + R == О,
решение HOToporo имеет вид
(5.332)
R==R'e-:J: Jv . (5.333)
Подставим теперь это (<пробное)} решение в уравнение Бесселя (5.302)
и предположим, что R' меняется с изменением v, но нас-rольно медленно,
что членами d 2 R' /dv 2 , v ldR'/dv и v 2R' можно пренебречь по сравнению
с членами dR'/dv и v lR'. Torдa
dR' R'
2 + ==0 или R'==Cv lJ2.
dv v '
Асимптотичесное решение, таним образом, будет
R == Cv lJ2eHv.
(5.334)
Отсюда видно, что наибольший из членов, !юторым мы пренебреrли, оназы
вается порядна v 8/2. Фуннции J n (v) и У n (v) должны быть действитеJ1Ь;-
ными Jшнейнымн комбинациями двух решений, соответствующих анану
плюс или минус в выражении (5.334), т. е. должны име-rь вид
Jn(V) AV lJ2 CuS(V +а),
".....OD
У n (v) ..... BV lJ2 COS (v + ).
v.....""
(5.335)
(5.336)
Чтобы найти зависимость А и а от п, подставим выражение (5.335) в фор
мулы (5.322) и (5.323), ноторые при v CXJ дают соответственно J;'==J'fI l
и J == J n+1. Подстановна приводит н уравнению ап:l: I == а п =F ' HOTO
1
рое удовлетворяется при а n == 2n'lt+1 и поназывает, что А не зависит
от п. Поснольну п не обязательно целое число, положим Б выражении (5.335)
п == и сравним результат с формулой (5.394). Сравнение поназывае7"
1
что 1== 4'1t, И дает
( 2 ) 1/. ( 1 1 )
Jn(v) тJ cos V 2n'lt 4'1t ,
(5.337)
rде членом V m/2 следует пренебречь, если т> 3 и п действительное число.
Чтобы получить Yn(V), uодставим выражение (5.337) в (5.315), заме
нив предварительно п на v И на ". при целом v получаем в резуль
тате О/О, однано, заменив и числитель и знаменатель их ПрОИ8ВОДНЫМtI
{2'"
JRO
r лава V
по ", находим для v == п
Y11(V) V ;; C:V }/2 siп е v п7: { 1t).
.Таним образом, обе бесселевы фУШЩИИ обращаются в нуль на
JIOСТИ. На основании выражениjj (5.337), (5.338) !1 (5.321) для
Хапнеля будем иметь
H l)(V) ..... ( .3. ) 1J2/(V 11"' "')
v.....oo . 1tV '
(2) е 2 ) Ч2 j ( v ! 11'" ",)
Н п (v) е 2. 4 .
"..........сх::> 1tV
(5.338)
беснонеч
Фуннций
(5.339)
30ж. Интеrралы ОТ бесселевых функций. В S 276 настоящей rлавы
БыJl получен ряд по сферичеCIЩМ rаРМОВИRRМ, удовлетворяющий ва нону се
е == а условию V == о. Для этоrо поря дон i rармонии 8 (cos О) был подобран
таним образом, чтобы 8 (cos а) == о. Для определеНИ}i ноэФФициентов раз
.пожения необходимо было (см. 27а) вычислить интеrрал по О в предеJ1ах
от О ДО а от произведения двух rармонин. Точно таи же для получения
ряда по бесселевым ФуrпщиЮd, удовлетворяющеrо условию V == о и Е == О
1Iа цилиндре Р == а, неьбхоДИМО вы ислить интеrрал от ПРОIlзведевия R" (kpp)
и Rn (kqp) , rде kp и kq подобраны таи, чтобы удовлетворить rраничным
условиям.
Пусть и == Rn (kpp) 11 V == Rn (kчр) два решенин уравнения Бесселя.
Тоща, соrласно 30б, \
; :р е 'Р ; ) +- ( k ;: ) а == о,
:р (р ; ) +- е k: ;: ) Z' == О.
.Умн лщя первое уравнение на pv, второе на ри, вычитая одно И3 друrоrо
и интеrрируя, находим
а а
(k k ) pиvdp ' [z- (р ; ) и (р )Jdр.
о о
При интеrрировапии по частям интеrралы сонращаются и остается
'> . '\
.:" (k k ) ё' v dp "'" е Р!) dи ..:.... ри dv ) а ==
dp dp о
) (j
=== а t kpH11 (kqa) н;, (kpa) kqRn (kpa) R (kqa)].
Это выражение обращается в ПУЛь, если
R11.( !,a) == Rn (kqa) == о,
( .340)
или если
н;, (kpa) == H (kqa) == о,
(5..341)
или есл и
: .
kpaR;' (kpa) +- ВНn (кра) kqaR (kqO;) +- BR l1 (kqa) == О.
при kp =F kq имеем
(5.342)
. ;
1 ОЭТОМУ
а
pRn (kpp)Bn (kqp) d ===0.
о .,. . . ' .
(5. .43),
Трехмерное распределение nотенциал.а
181
Ноrда Rn (kpa) == Rn (k,p) == Rn (kpb) == Н п (kqb) == О, имеет место
ь
pR n (kpp) Rn (kqp) dp == О,
а
(5.344)
поскольку
ь ь "
f (х) dx == f (х) dx f (х) dx.
а о О
Для вычисления интеrрала в случае kp == kq умножим уравнение Вессели
(5.302) на v2(dRn/dv)dv; это даст
2 dR 11 d ( dRn ) + ( dR n ) 2 d + 2 R dRn d 2 Н dR11 d == О
v dv dv v dv v v n dv v п 11 dv v .
Проинтеrрируем это вырюшшие от О до а II прпменим интеrрироnание
по частя.:;.. в первом и третьем членах. В результате получим следующее
выражение, которое равно нулю:
" "
I v; ( d n у /: v ( d:: у dv + v ( n у do +
о о
"
I V2 2 / " (' 2 I n2R2 1 "
+ "2 Нn о l)R n dl' Т о .
о
Второй и третий члены l! нем сокращаются; разрешая это уравнение OTHO
сительно пятоrо члена, имеем
а
V [Rn(v)J2dv== /v 2 [ dR;v(V) J2 +(V2 п2)[Rn(V)J2I:.
о
Подстановка производных из выражения (5.323) дает
(.5.345)
а
{' 1 '
v [Rn (V)]2 dv == 2a2{[Rn (а)]2+ [Н п + 1 (а)]2} пaRn(a) R11+1 (а) ==
о
1
==2" а 2 {[R 11 (а)]2 + I R11 1 (а)]2} пaR n (а) Hrl 1 (а). (5.346)
При применении веКТОР l.отенциала нам представirтся случай ВОСПОJIЬЭII
ваться ортоrональными свойствами оокторных функций
Rn(kpp)==: н;, (kpp) + : k:p Rn(kpp),
(5.347)
Интеrрал от нуля до а от скзлярноrо про изведения этих функций равен
"
Rn (kpp), Rr, (kqp) р dp ==
о
а
== [R;'(kpp)R;'(kqp) + k 2 2 Rп(kpp) R 11 (kqp) J pdp. (5.348)
о р qp
182
r лава V
При помощи формул (5.322) (5.327) это выражение можно записать в виле
суммы двух интсrралов типа (5.343)
а а
, 1 r 1 r
'2 ) Rn+l (kpp) Rn+l (kqp) р ар + 2' Rn 1 (kpp) Rn 1 (kqp) р dp.
Q О
(5.349)
Вычислим наждый из ИНТeI'ралов по приводенной' выше формуле для
pиv dp, сложим результаты и затем ИСRЛIOЧИМ производные посредством
формул (5.322) и (5.323). В полученном выражении члены, не СОJlержащие
фуннций n ro порядна, исчезают; rруппируя в оставшихся членах фуннции
(п 1) ro и (п + 1) ro поряднов, применим н ним те же формулы (5.322)
и (5.323). В результате описанной выше операции, считая v == kpa и v == kqa,
будем иметь
а
Н п (kpp).Rn(kqp)pdp==(k k ) 1 [vRn(v')R (v) v'Rn(v)'R (v')]. (5.350)
о
При kp =F kq интеrрал обращается в нуль, если выполнено одно из усло
пий (5.340) (5.342). В случае kp == kq сумма интеrралов, входящих в Bыpa
жение (5.349) и вычисленных при помощи формулы (5.346), равна
l a2 ( k: У] [Rn(kpa)]2+ [aR (k p a)]2+( :р ) Л;.. (kpa) Rn(kpa). (5.351)
Таним образом, поверхностную венторную фУННЦИЮ р и ер, одна из HOМno
нент НО торой обращается в нуль при р == а, можно представить в виде .суммы
членов вида
Rn (kpp) sin (пер + оп),
30з. Разложеllие в ряд ПО ФУIlКЦИЯМ Бесселя. Рассмотрим фунн
ЦИIо ! (v), удов.четво ряющую в интервале от () == О до v == а условиям, необ
ходимым для разложения в рнд Фурье, и одному из следующих rранич
ных УСЛОВИЙ:
а) ! (а) == О. Этот случай имеет место, если f (v) является потенциаль .
ной фУ1шцией, а потенциал rраницы равен нулю.
б) !' (а) == О. QTOT случай имеет место, если rранице области является
поверхность, насатеЛъная всюду силовым линиям. .
в) а!' (а) +- в! (а) == О. Этот случай сводится н случаю «а» при В == 00
и н случаю «6» при в==о. Пример TaHoro условия ПрИВОДJiJТСЯ в 9 rл. XI.
Фушщию f(v) можно разложить в ряд
00
!(v)== ArJn(r-rv),
T 1
(5.352)
причем величины РОт выбираются таним образом, чтобы в случае (<а»
J n (рота) == О, В случае «6» J (fLra) == О И В случае «6» r-rаJ (fLra) + BJ n «(1-,.а) == о.
Для определения Ат умножим выражение (5.352) на j;Jn (fL,j;) и нроипте
I'рируем от v == О до v == а. Все члены в правой части, соrласно формуле
(5.343), исчезают, за иснлючонием А$ v [J n (fLsV)]2 clv, тан что
а
S vf (v) J n ({J-sV) dv
о
А" == а
S V[J n ({J-sv)]2dv
О
( 5.353)
Трехмерное рас ределение nоmеuциала
183
Интеrpал Б зпаменателе этой фующии можно ВЫЧИСJIИТЬ при помощи COOT
.пошеНИ,1 (5.346)
а .a
v[Jn(V-sV)]2dV==V-;2 x[J n (x)]2dx==
о о
== а2{[Jп(V-sа)Р+ [J n 1:1 (V-.р)]2} Jп(V-sа)Jп1:1 (V-sa). (5.354)
(J-,<
В С;Iучае «а» ПO;:J:становна выражения (5.354) в формулу (5.353) дает
а
Ао== [J 2( )J2 r vf(v)Jп(V-;v)dl). (5.355)
а п1:1 (J-sa
В случае «6» подстановна выражения (5.354) в формулу (5.353) дает
а
Aв== (2 2 2 [J ( )J2 \ vf(v)Jп(v-в-v)dv. (5.356)
а n (J-" п [ьоа J
о
в случае «6» подстановна выражения (5.354) в формулу (5.353) дает
а
Ав == [a2+(B п2) [L;][Jп ([Lsa)J2 v/ (v) J l1 (V-"v) dv.
о
(5.357)
30и. Функция rрина для цилиндра. Обратное расстояние. На основе
1lатериала, И3.jIOженноrо в последних параrрафах, можно решить задачу
-о потенциале точечноrо заря:та q, расположенноrо в точне z == О, р == Ь,
== o внутри заземленноrо проводящеrо цилиндра. ПОД точечным зарядом
мы будем подразумевать таной зарнд, размеры HOToporo хотя и слишном
малы, чтобы их можно было бы измерить физичесни, однано отличны от
.нуля, блаrодаря чему напряженность поля и потенциал фУ1ШЦИИ всюду
оrpаниченные. Из выражения (5.305) вытенает, что решение, обращающееся
в нуль при z== со, симметричное отнuсительно ПЛОСНОLТИ == o' дающее
.v == о при р == а и справедливое для положительных значений z, имеет вид
00 00
v == Атве P.rZ J B (V-rР) cos s ( (),
T 1 B O
(5.358)
l'де значения V-r выбраны тан, что J s (V-ra) == О. Фуннции У. (V-rР) отсутствуют,
'lIОСНОЛЬНУ они беснонечны на оси.
В силу симметрии вся плосность z == О состоит из силовых линий,
-за иснлючением той точни, rде находится точечный заряд. Чтобы сфор
мулировать rраничные условия на этой плосности, примам, что (aVjaz)o
равно нулю всюду, нроме маленьной площадни t1S в точне == O' Р == Ь.
.дифференцируя выражение (5.358) и подставляп z == О, получим
00 00
( :: ) о === L V-rАrsJs (V-rР) cos s ( o).
T 1 B. O
Ноэффициенты Атв этоrо разложения опредешнотся, нан и в 30ж и 30з
настоящей rлавы, посредством умножения па pJ р (v-qp) COS Р ( n) И инте
I'рирования от Р == о дu Р == а и от == о до == 21t. Соrласно формуле (5.343)
и (858.2) И3 справочнина Двайта, все члены 13 правой части выражения, за
иснлючением р == s и q == r, исчезают. В последнем случае, нан видно из
4>ормулы . (858.4) справочнина Двайта, интеrрирование по днет множи
184 r лава V
тель 1t при s> О и 21t при 8==0, поэтому, соrласно формуле (5.355),
о
A"B [(2J O() )]2 (( ( a a V ) pJ.([1,.p)coss(<f' <f'o)dpd<f', (5.359)
пр., а . 4 1 f1r a z о
rде a == 1 при s == О и a == о при 8 =1=- О. ОБJIасть tJS в ПЛОСIЮСТИ Z == О, в
О'I:оро:й (aV jaz)o =1=- О, выбирается настолько малой, что в ней J. «J-rР) имеет
постоянное значение J s «J-rb) и COS S (<f' СРо) == 1. Использун теорему faycca
о потоке электричесн:ой ИНДУRЦIJИ (1.27) и учитывая, что рассматрцваемый
интеrрал дает половину полноrо потона, находим
J, (I1rb) ( : ) о pd<f' dp == J. (fJ-r Ь ) : dS == iE J. «J-"b).
tJS
ПОДСЩВJlRН Il фОРМУJJУ (5.359), ПQлучавм.
о
4. == q (2 o.)J. (f1r b )
"В 2nЕ f1ra2 [J'+ 1 ([Jтa)]2 .
(5.360)
Jl:ля потенциала, таким образом, будем иметь
00 00
V == 2 ] (2 '>0 .) e l1r I z I J. (f1r b ) J s ( PrP 2 ) ( ) (5 361)
2 u J ( COS S .<f' <f'o . .
nЕа р.т[ '+1 р.т а )]
T 1 . o
Это есть фУНRЦИЯ fрина (см. 9 rJ1. III) дЛЯ нруrЛОI'О ЦИJJИIIдра. Если
ноординаты заряда q суть р == Ь, z == Zo и <f' == <ро, то в выражении (5.361}
следует заменить I z I на I z Zo 1. Если заряд раСПОJ10жен на оси, то все
ЧJ1ены суммы по в, кроме nepBoro, исчезают, а J o «J-rb) == 1.
При а ---....;>- 00 выражение (5.361) дает потенциал точечноrо заряда q в
свободном пространстве. При (J-ra -------? 00 функция J n «J-ra) меняется, COrJ1aCHO
выражению (5,337), синусоидалыю, так что ее нули отличаются Apyr от
( 1 ) Ч2
друrа на 1t == fJ-r+1 а (J-ra == аД(J- и J n +1 «J-ra) == "2 1t(J-rа ,коrда J n «J-r a ) == О.
Выражение для потенциала (5.361) принимает вид
00
00
v == 2n a2 (2 a ) cos s (<f' . <Ро) e r.l111 Z Zo I J. (rД(J-Ь) Х
. o r O
х J s (rДI1Р) а 2 Д(J-.
ЕСJIИ rД(J- == k, то при Д(J- ---....;>- О и r ---....;>- 00 это выражение записывается в инте
rраJ1ЬНОЙ форме:
00 00
v == 4:ER == 4 E (2 a ) cos S (<f' <Ро) e k I Z Zo I J s (kb) J" (kp) dk, (5.362}
8 O о
rде R2== (z ZO)2 + р2 + b2 2pbcos (<f' <ро). При Ь== ZO == О получаем
00
(р2 + Z2) 1/2 == e k I z I J o (kp) dk.
о
: Положим z, zo, <Ро равными нулю и замвним в выражении (5.363) р на R;
тоща после сравнения выражений (5.362) и (5.363) найдем
(5.363)
00
Jo[(p2+b2 2pbcoS<f')lJ2]== (2 a )Js(p)J.(b)coS(Sf)'
8 O
(5.364)
Трех.мериое распределеuие поmеuциала
1850
30к. ФУНКЦИЯ rрина для цилиндрической полости. Используя супер
позицию решений вида (5.361), можно np1 помощи метода изображений
( 8 и 11б) получить потенциал, обращающийсн n нуль не толыш на по
верхности цилиндра р == а, но и на плоскостях z == О и z == L. Если ){(юрди
наты ПОЛОЖительноrо заряда q суть z == С, Р == Ь и CF == СРо, то ПОJIOжите.ль
ные изображения следует поместить в точках z == 2nL + с, а отрпцатсль
ные в точках z == 2nL с, rде п целое число, принимающее значения
от 00 до + 00. в результирующем потеНIIиале множите.ПЬ, заВИСflIциii
от Z, при z < с оказывается равным
00 00 00 00
I' r (2пL+c z) + I'r (2пL c+z) I' r (2пL c z) "- I' r (2пL+c+z)
е L..! е . L..! е L..! е
п O п 1 п 1 п O
00 00
== 2 (e l'rC е 2пl'rL el'r C е 2пl'rL) sh f1 r Z ==
п O п 1 .
00
2[(e f1rC e+l'rC) e 2пl'rI'+el'rC]shf1rz.
п O
Суммируя ряды (Двайт, 9.(4), умножая числитель и знаменате.fJЬ суммы на
el'r L и приводя к общему знаменателю, получаем
2 БЬ flr (L (') БЬ !J."z
БЬ flrL
Подетановка этой величины в выражение (5.361) дает ПрИ z < с выражение
для потенциала
00 00
v==L ( 2 oO B) Shflr(L c)shflrZ Js(flrb)J,(flrP) ( )
'It Ea .LJ.LJ shl'-r L I'-r[J s +](I'-,.а)]2 coss CP CPo'
r 1 B O
(5.365)'
в случае z > с в этом выражении следует заменить z на L z и с на
L c. Если заряд находится на оси цилиндрической полости, то сумма [ю
s исчезает и остается лишь член, соответствующий s == о.
Если потенциал должен обращаться в нуль не только на IIеречислен
нщ{ выше поверхностях, но и ла плоскостях CF == О и CF ==СРI (rде 0< СРо < СР1)
и если СР1 == тс/п (rде п целое число), 'То фушщию rрина, соrласно методу
изображений (см. 8), можно построить, I\8R суперпозицшо 2п решеНI!Й
типа (5.365).
31а. Функции Бесселя нулевоrо поряДlШ. В важном случае полей,
симметричных относительно оси z, потенциал не зависит от CF и уравнение
Весселя (5.302) принимает вид
d 2 R + dR + R == О. ( 5.366)-
dv 2 v dv
Ero решение (5.314) можно записать в виде
v 2 v4 j1 6
J o (v) == 1 22 + 24 (2!)2 26 (3!)2 + . ..
(5.367)
Этот ряд сходится, очевидно, для любых v. Так же как и Jn(v), Jo(oo)==O;
однако J o (О) == 1. Формула (5.316) при п == О дает
2 [ v2 V 4 (1+ ; ) V6(1+ ; + ) ]
Yo(V)== Jo(v)lnav+F 2 (2!)2 + 26 (3!)2 ..., (5.368)
rде ln а равен 0,11593.
186
r лава V
31б. .корни и численные значения бесселевых функций нулевоrо
ЛОРЛДIШ. Если построить фуНIЩИИ J o (е) и У О (е), определяемые по форму
..лам (5.367) и (5.368), то получаются кривые, изображенные на фиr. 56 и 57.
Нак видно из фиrур, эти функции осциллируют относительно оси v.
Можно показать, что и J o (v) и У О (v) имеют бесконечно\:' ЧИС:lO действитель
ных положительных корней. То же
самое имеет место и для J n (v) и
для У n (е). При пuстроении функции
fрина для цилиндра мы уже убе
лились, что это обстоятельство весьма
существенно, таи как позволяет най
ти бесконечное число значений k, для
которых функции J n (kp) и У n (kp)
обращаются в нуль при некотором
определенном значении р. Существует
большое число пренрасных таблиц,
дающих численные значения, rpa
10 фини, корни И т. п. для бесселевых
функций. Следует иметь в виду, что
обозначения у разных авторов раз
.личные. Значение функции Весселя при больших aprYMeHTax нетрудно
-ВЫЧИСЛИТЬ при помощи асимптотических представлений.
о
O
({5
о
Фие. 56.
31в. IIроизводные и интеrралы от бесселевых функций нулевоrо
порядка. Полаrая в формулах (5.323) и (5.326) п == О, находим
;а из формул (5.328) и (5.329) имеем
Jo(v)== Jl(l.1) И YO(v) о=: Yl (v),
(5.369)
v
vJ o (v)dv==vJ 1 (v) И
О
v
\ vY o (v)dv==vY 1 (v).
'о
(5.370)
Приведем несколько полезных определенных интеrралов, содержащих' J o (v).
Из выражения,(5.367), ПОЛЬЗУiIСЬ формулой (854.1) из справочника Двайта,
.получаем
Трехмерное распределение поmенциала
187
(J() !:IO
J ( 1.)nV2п п V 2п (2п)!
о (v) LJ 22n(п!)2 .LJ ( 1) (2п)! 22n(nl)2
п O п O
(J()
== ( 1)п2v2n те 1.3... (2п 1)
те (2п)l 22.4...2п
п O
(J() '"
1 v 2n \"
== -;- LJ ( 1)n (2п)1 J
n O о
СОБ 2п t dt.
Изменив ПОрЯДОR суммирования и интеrрирования и воспользовавшись фор
купой (Двайт, 415.02), будем иметь
те (J() те
J ( v ) ==.!. \" ( 1 ) n (v eos ()2n dt == r ( ) d
о те J .LJ (2п)! те j СОБ V СОБ t t,
о п O О
откуда
'" '"
J o (kp) == СОБ (k р СОБ t) dt == СОБ (kp sin t) dt.
о о
Применяя известные триrонометрические формулы для суммы п разности
двух уrлов и интеrрируя по частям, нетрудно показать, что выражения,
удовлетворяющие рекуррентным формулам (5.322) (5.324), имеют вид
(5.371)
'It
J n (v) == СОБ (nt v sin t) dt.
о
При n == О выражение (5.372) сводится, очевидно, к выражению (5.371).
Непосредственная подстановка в уравнение (5.302) и интеrрирование по
частям показывает, что выражение
(5.372)
( +v )п
J...(v)== 1 ) 1
r(T r( п+т)
'It
СОБ (v СОБ В) sin 2п B аВ
о
. (5.373)
1
удовлетворяет уравнению Бесселя при n > "2' Постоянная определяется
путем сравнения значений ( ; v ) п Jп(v) при v O, определяемых COOT
ветственно по формулам (5.373) и (5.314).
Нетрудно показать, чтu соотношение (5.363) сохраняется при замене z
на jz; таким образом,
(J()
e jkz J o (kp) dk ==- (р2 z2) lJ2.
О
ОТБуда, разделяя действительную и мнимую части, находим, что при р2 > Z2
(J()
СОБ kz J o (kp) dk == (р2 z2) lJ2,
О
(5.374)
(J()
sin kz J o (kp) dk == О.
о
(5.375)
188
r лава V
.
При р2 < Z2 будем иметь
00
cos kz JfI (kp) dk ==" О,
о
(5.376)
00
sin kz J o (kp) dk == (Z2 p2) 1/2.
О
Э 311'. Поле точечноl'О заряда, расположенноl'О над дизлеRтричесRОЙ
плаС'l'ИНRОЙ. Применим результаты двух последних параrрафов R вычиспе
нию потенциала, создаваеМОI'О по одну сторону от бесконечной диэлеRТРИ
чеСRОЙ плаСТИНRИ ТОЛЩIIНОЙ с и относительной диэлеRтричеСRОЙ проница
емостью К точечным зарядом q, расположенным с ПРОТIшоположной стороны.
Примем, что точечныЙ заряд находится в начале J\оордипат, а ось z IIерпен
ДИRулярна R плаСТИНRе. Уравнения поверхностей, оrраничиваЮЩИ)tллаСТИ1ШУ,
будут z == а и z == Ь, причем Ь а == с. Соrласно соотношению (5.363), по
тенциал, обусловленный одним лишь точечным зарядом, равен
(5.377)
со
V== 4 : == 4 Ч \ Jo(kp)e klz1dk.
1tc:.vr п8,р .)
О
ПОСRОЛЬRУ это выражение представляет собой решение уравнения Лапласа,
зависящее ТО.IIьно от z И р, очевидно, что в результате внесения под зню,
интеrрала произвольной фУ1ШЦИИ k мы таюне получим решение. Обозначим
через V 1 потенциал в области 00 < z < а и запишем
(5.378)
со со
V 1 == (47tEv) lq [ J o (kp) e -п IZI dk + ф (k) JfI (kp) e+ kz dkJ .
о о
(5.379)
Последний член представляет собой потенциал в области ниже пластинни,
обусловленный ее поляризацией и, следовательно, Rонечный в УRазанной
области. Потенциал внутри плаСТИНRИ можно преJ(ставить в виде
со со
V2==(47tEv) lq [S qr(k)Jo(kp)e k7dk+ 8 (k)Jo(kp)e+Rzdk ]. (5.380)
. о о
Это выражение остается, разумеется, Rонечным при а < z < Ь. Потенциал
над плаСТИНRОЙ, т. е. в области Ь < z < + 00, должен обращаться в нуль
при z == 00 и, следовательно, имеет вид
со
V З == (47ti0v) lq 9 (k) J o (kp) e пT dk.
о
(5.381)
Определим теперь Ф (k), qr (k), 8 (k) и 9 (k) таи, чтобы rраничные условия
удовлетворялись для любых значений р от О до 00. Для этоrо необходимо,
чтобы тем же условиям удовлетворяли соответствующие подинтеrральные
выражения. ПОС21еднее утверждение можно доказать, если воспользоваться
интеrралом Фурье Весселя
со со
! (х) == tJ n (tx) [ \ и! (и) J n (tи) dи ] dt
о о
(неноторые оrраничения, налаrаемые на п, и вид ФУНRЦJIИ ! (х) предпола
Трех.мериое распределение поmенциала
189
rаютсл выполненными). ТаЮ1М обраЗ0М, И3 равенства
а:;
а:;
11 (k) J o (kp) dk == 12 (k) J o (kp) dk
о о
после умножения обеих частей па pJ o (тр) dp, интеrрирования от О до со И
послеДУЮЩeI'О умножении па т получаем
11 (т) == 12 (т).
Применительно к рассматриваемоЙ эадаче это 0значает, что условие Т'l == У 2
при Z == а после ИС1шюченин J o (kp) дает
с/ ш + Ф (k) е'Ш W (k) е lш в (k) e ka == О, (5.382)
.а услОвие aV1/az==K aV 2 /az после иснлючения Jo(kp) сводится l{
e ha + Ф (k) e ka + KW (k) e ka Kf-<J (k) e ka == о.
(5.383)
fочно так же при z == Ь УСЛОElfC У 2 V з даст
W (k) e hb + в (k) e kb g (k) e kb == О,
(5.384)
а из УСJIOВИЯ KaV 2 /az == дVз/дz находим
KW (k) e kb + кв (k) e kb + g (k) e kb == О.
(5.385}
Разрешая соотношения (5.382) (5.385) относитеJIЬНО Q (k), получаем
, g ( k ) === 4К . ( 5 386 )
(K+1)2 (K 1)2e2k(a b) .
Положим, дли простоты, Ь а == с и (К ,1) / (к + 1) == , таи что 1 2 ===
==4К (к + 1) 2; тоrда
1 2
g ( k )
1 p2e 2hc
Подстаноnна в выражение (5.381) приnодит R следующей формуле для v з :
V Ч (1 2) С Jo(kp) e kzdk
:1 41ts v ) 1 2e 2hc .
О
Для предстаВШ'НЮ1 полученной форму,пы в виде ряда раЗJIOШИМ в рнд ее
знамеНil.тель (см. .цвайт, 9.04):
(5.387)
а:;
(х)
47tS"V з == q (1 [32) [ J o (kp) e hzdk + 2 J o (kp) е Я (z+2c) dk + . " ]
о о
Подставляя значения интеrралоn из соотношения (5.363), будем иметь
q (1 rj2) { 1. 2 <I, }
V з == 41tEv (z2"+p2)1/2 + [(Z+2C)2+ p 2]1J2 + (Z+4C)2 + р2]Ч2 т-... .
или
со
q (1 p2) 2n
V з == .
41ts v [(Z+2пC)2+ p2]1/2 .
n==,О
(5.388)
ЭТОТ же резу.пьтат можно получить БОJIее длинным путем при помощи
меТ,ода изобра щ ений. ПотенциаJl. в дру!'их областях можно наЙти, разрешив
190
r .лава V
соотношения (5.382) (5.385) относительно Ф (k), qr (k) и е (k) и подста
вив полученные выражения в формулы (5.379) и (5.380). Этот метод
nрименим и в случае любоrо числа диэлентричеСRИХ плаСТИНОR.
э 31д. Потенциал внутри полоrо цилиндрическоrо кольца. В Rачестве,
друrоrо примера вычислим потенциал в наждой точне области, оrрани
'шнной двум» цилиндрами Р == а и Р == Ь, потенциал ноторых равен нулю,
и двумн liЛОСНОСТИМИ плосностью Z == О с нулевым потенциалом и Z == с-
е потенциалом V ==! (р). ПОСRОЛЬRУ значении Р == О и Р == со ИСRлючены
из рассматриваемой области, в решении будут и J o (kp) и У О (kp). Очевидно,
что, в соответствии с формулами (5.304) и (5.317), решение уравнения
Лапласа, удовлетворяющее rраничным УСJlОВИИМ при Z == О и р == Ь, имеет вид
V k == Ak 8h (rk Z ) [ J o (rkP) : i : У О (rkP) ].
(5.З89}
"Условию V k == О при р.== а можно удовлетворить, если выбрать значения ....1<.
таи, чтобы
J ( Jo (fJ-k Ь ) У ( ) О
о rk a ) Yo «(Lk b ) о ....k a == .
Следовательно, всем rраничным условиим, кроме условии при z == С, yдo
влетворяет и сумма таRИХ решений
ею
V== V k .
k l
(5.390)
Последнее rрацичное условие V ==! (р) при Z == с удовлетворяется, если
выбрать Ah таи, чтобы
ею
!(р)== A k 8h(rk C ) [JO(rkP)
k l
J o «(Lk b ) У ( ) ]
Yo«(Lk b ) о rkP .
Так как выражение в скоБRах удовлетворяет уравнению Бесселя, обозна
чим ero через Ro (....kP). Далее умножим правую и левую части равенства
на pRo (rsp) [rде Ro (rsa) == Ro (rsb) == О] и проинтеrрируем от а дО Ь. Бла
rодаря тому, что RO(rka)==Ro(rkb)==O, все члены в правой части, соrласно
формуле (5.344), обращаются в нуль, за ИСRлючеНИ{JМ одно 1'0 , дЛЯ HOTO
poro k == s. Для этоrо члена, в силу выражения (5.345), мы имеем
ь
р! (р) RO(rkP) dp == [ Ь 2 ( d ;» ) : b а 2 ( d ::P» ) 4] Ak Б J!k c
а
Дифференцируя Ro (rkP) по формуле (5.309), находим
R (rkP) == {J 1 (rkP) : У 1 (rkP) } .
Для A k , таRИМ образом,
получаем
ь
2 S р! (р) Во «(Lkp) dp
а
{Ь 2 (B «(Lkb )I2 a21R «(Lka»)2} БЬ (LkC .
(5.З91}
Ak
Подстановка выражения (5.391) в (5.389) и затем (5.389) в (5.390) дает ИСI{()
мое решение.
Чтобы получить потенциал внутри зазеМЛlшноrо цилиндра Р == а с по
-rенциалои У == О при Z == О и V == ! (Р) при Z == С, следует опустить член
Трехмерное распределение nоmенциала
19f'
с У О в формуле (5.389); Torдa выражение (5.391) примет вид
а
2 S р! (р) J o (flkP) dp
A' о
k а 2 [J 1 (flka)]2 sh flk C '
(5.392)'
32. Функция Бесселя нецелоrо ПОрЯДIШ. Сферические функции
Бесселя. Если п нецелое числu, то общее решение уравнения Бесселя
имеет вид
Фушщия Yn(V) В этом случае не нужна, поснольну она является линей
ной номбинацией J n (l.1) И .т n (v). Формулы ЗОд справедливы и для фунн
ций Бесселя нецелоrо порядна. Особенно простой вид имеют фуннции'
J ( 1 ) (v), rде п целое число; таи, например, если подставить в Bыpa
:l: n+2'
жение (5.314) п==1/ 2 и п== 1/2 и сравнить полученный результат с ря
дами для синуса и носинуса (см. Двайт, 415.01 и 415.02), то получим
( 2 ) 112 ( 2 ) . 112
J 1I2 (v)== 1tV Binv и J 1I2(V)== 1tV COBV.
Подстановка п==1/ 2 и п== 1/2 в формулу (5.324) дает
( 2 ) 112 ( 1 . )
Js/ 2 (v)== 1tV vвшv совv,
( 2 ) 112 ( . 1 )
J S/2(V)== 1tV ВШV vСОSV.
Rn (v) == AJ n (v) + BJ n (t').
в случае п === з /2 И п == з /2 получаем
J5/2(V)==( v Y/2 [( 1)BinV : COBV 1,
( 2 ) 112 [ 3 ( 3 ) ]
J 5/2 (v) == 1tV V Bin v + v 2 1 сов v .
(5.393)-
(5.394)-
(5.395)
(5.396)
(5.397).
(5.398)"
Таким же путем можно получить, очевидно, выражение
1
2n
J ( 2 ) 112 { . [ 1 1 ( 1)8(n+2s)1
:l: (n+ ) (v) == 1tV ВШ V =F 4' (2п + 1 =F 1) 7с . з (2s)1 (n 2s)1 (2V)2S +
1
2." (n 1)
+ сов [ v =F (2п + 1 =F 1)7С ] ( 1)B (n+2s+ 1)! . } , (5.399)
4 LJ (2s+1)! (n 2s 1)! (2v)2s+1
B O
rде верхним пределом каждой из сумм является целое число, наиболее
бливкое 1\ указанному в фпрмуле. Заметим, что, соrласно формуле (5.315),
у 1(v)===( 1)n+1J 1 (v), (5.400)
n+2' (n+2')
ПОСRОЛЪКУ сов (п + ) 7с равен нулю. Заменяя п на (п + ) в формуле.
(5.314), получаем, что при v О
1
n+
V 2 ( 2V ) 1I2 Vn
J n + 2 1 (V)-;:o'" _ 1 == --;t (2n+ 1)11 .
n-т 2' ( 3 )
2 r\.n+ Z .
(5.401
192
r лава V
Сферические бесселевы функции 111 (D) И NN (v) опредеJlЯЮТСЯ следующими
выражениями:
In(v)== ( 2 7t ) lJ2 J I(V)== jn(v),
V n+ v
2
n,,(v)== C 7tv Y/2y 1 (l;')== , Nn(v),
11+""2
l'де Jn(V) и lVn(l') фУНКЦИИ, используемые illеЛJ,УНОВЫМ. Последние появ
.Jшются при изучении сферических электромаrнитных волн и недавно были
.затабулированы. Из выражений (5.402), (5.320), (5.322) и (5.323) следует, что
n (v) in (v) nn (v) i (D) == V 2, (5.403)
(2n + 1) V 1 In == i1! 1 + jnH, I == :::!:: jn c l =F ( n + :f: ) V 1 In. (5.404)
Аналоrичные формулы имеют место и для nn (v). Дифференцирование
формул (5.404) и иснлючение jn 1 (l) Дает дифференциальное уравнение
для фунн:ции In (D) или nn (v):
v d [ v d: In (v) ] + [ V2 (2n + 1)2] jn (v) == О. (5.405)
(5.402)
33а. Модифицированные бесселевы фушщии. Решение модифици
pUBaHHoro уравнения Бесселя (5.309)
d 2 RO +..!. dRO ( 1+ п2 ) HO==0 ( 5.406 )
dv 2 v dv v 2
можно получить подстановноii Iv вместо v в формулу (5.314). При этом
выражение в сн:обн:ах ОRазывается действительным, но llоявляется общий
Rоэффициент In. Иекомое действительное решение дается, таним образuм,
выраженнем
. 00 ( ) v+ 2т
.. v
Iv(V)==J vJv(]v)==] r!r(v+r+1) '
T O
Если нецелое ЧИСJIO, то вторым решением уравнения будет
( 1 ) \I+2T
00 2 v
l \I(v)== rll'( v+r+l) .
т==О
(5.407)
. (5,408)
:Sсли 'у является целым числом, то l' ('у + r + 1) можно заменить на (n + r)!
и убедиться, что Фуннция 1 n (v) совпадает с 1 n (l;). Поэтому второе реше
ние можно определить следующим образом:
Kn(v)== '1t]'1I+1[.ln(jv)+jYn(jv)]. (5.409)
При помощи выражений (5.314), (5.316)'и (5.407) это решение можно
лривести R виду
п 1 ( 1)1' ( 1;) n+2T(п r 1)!
Kn(vY==( l)n+lJ n (v) lп a.v + ] rl +
T O
( 1 ) n+2Т ( )
9J""':""'" r п+т
о V 1 1
+( 1)11 I O 2r! ( +r)1 т 1 rп:+ 1 rп: '
(5.410)
Трех.1!{риое распределение поmеuциала
193
тде ln а == 0,11593. Общее решение ура1Jнения (5.406), [юrl\а п . целое
число, имеет вид
R (v) == АТ n (v) + ВК п (l-).
Соrласно выражениям (5.407), (5.409) и (5.320), имеет место равенство
/ (v) К" (v) K (v)/n (v) ==
== j'1t [y;,(jV)Jn(jV) J (jV)Yп(jV)] ==V 1.
ИЗ выражении (5.409), (5.321) и (5.407) следует, что
С ; ) К" (v) == jп- H H I) (jv) == ( j)n+l H 2) ( jv),
/n (v) == j n J n (jv).
(5.411)
(5.412)
(5.413)
Таблицы этих фунrщиii приведены n пниrе Ннне и Эмде.
Э 3Зб. РеНУРРСlIтные фОр iУJIЫ дин модифицированных бсссеJIевых
ФУIПЩИЙ. Выражение (5.322) можно заШ1сать в виле
dJ n (jv) J ( . ) п J . )
d == ,, 1 JV "(Л)'
/ _v /v
Подставив в нето jп/ п (v) вместо J п (jv) И разделив на jn l, получим
I == / ,, 1 !2-1n. (5.414)
v
АlJaлоrично из выраженпя (5.323) будем IIметь
I ==/n+l+ : /n'
Вычтя выражение (5.414) II3 (5.415), получим
2п
/n==ln 1 /n+l'
V
(5.415)
(5.416)
Преобразун решение (5.4()9) при помощп рен:уррентных формул 30д, IlO
лучаем
K ==Kn 1 + Kn,
v
K ==Kn+l ..!2 Кn,
v
2п
Kп == Kn 1 кn+l.
V
(5.417)
(5.418)
(5.419)
Здесь ИСПOJIьзованы обозначенпя, принятые у Ватсона и у rрэя, Метьюза
и Манроберта. Неноторые авторы опуснают множитель ( 1)n в формуле
(5.410), БЛaIущарн чему ренуррентные формулы для /" И К" оназываются
одинановыми. Путем Ilнтеrрирования выражении (5.414) и (5.417) можно
получить (Hal\ это было сделано R 30д) две полезные интеrральные формулы:
vn/n l(v)dv==vn/n(v), (5.420)
VnKn l(l')dl)== vnKn(v). (5.421)
Аналоrичное интеrрирование выражений (5.415) и (5.418) пает:
V nln+l(v)dv==v n/n(v), (5.422)
v п Кn+l (v) dv == v n К п (v). (5.423)
t3 В. Смайт
194
r лава V
э 33В. Значение модифицированных бессеJIСВЫХ фушщий на БССIюнеч.
ности. 3начения Iп(l;) и Kn(l;) при v CXJ можно подучить из COOTBeTCTBY
ющих значений фушщпй J n (t) (см. 30е) путем замены v на jv. Точность
полученных выражений та же: ОШ1 приrодны, еслн веJlJ1ЧПНОЙ l; З/2 можно
пренебречь по сравнению с V lJ2, 3аменпм в пыражеиrш (5.337) v на jv,
запишем j 1/2 в виде e 1/4j7[; и предсташrм триrонометричесние фушщип через
энспоненциальные (см. Двайт, 408.02); тоrда, пренебреrая членом e ", по
лучим
1 (v) == j n J (jv) .... ( ) Ч2 е" (n elJ2jn7[; .
n n "....00 2ltv
Если п целое число, то, вычислив последний мн()житель (см. Дваит, 409.04
и 409.05), будем иметь
1 ( . ) ( 1"\ Ч2 "
n V ,, ;; . 2rc:v ) е.
(5.424)
Из соотношепий (5.413) и (5.339) получим
Кn (с) ( 2 '1t ) Ч2 e ".
V4'CO v
(5.425)
Хотя приведеНIIые выше формулы БЫЛII получены в предположении, что
п целое число, подставляя их в ураШIC1ше (5.406), убеждаемся, что uни
справедливы при лю-бых п 1).
331'. Интеl'раJI от произведснил модифицированных бесселевых
функций IЮ ШJIеlШlюrо aprY iI IlTa. В I'Л. ХI ДJ1Я определешш мощности,
рассеиваемой в ПРОВОДIJине при протснапии в нем впхрепых тонов, по
Тf'ебуется вычислить интеrрал от произведеНIIЯ МО;:IИфИЦIl рованных бесселевых
фующий R [иР)Ч2 х] И соответствующих номплеНСJlО сопряженных фунrщий
R [( jp)lJ2X], !'Де (j)lJ2==2 lJ2(1+j) и ( j)1f2==2 1f2(1 j). В задачах
с цилипдричесноЙ симметрией числ() п обычно целое, а в задачах со сфери
чесной симметрией п равно половине нечетноrо числа. Используи формулы
30ж, можно ВЫЧИСЛIIТЬ этот иитеrрал дли любых зпаче1шii: п. Uбозпачим
kp == j ир)Ч2 == (- jp)1f2 Il kq == j ( jp)1J2 == (jp)lJ 2 ,
и ==1l n [ ! (jp)1J2 :1:] == ( lY B lиР)Ч2 х],
v == Вn [j( jp)I/2 х] == jn B [( jp)lJ2 х],
R [ j ир)Ч2 х] == ( j)n l R [ир)Ч2 х],
R [j ( jp)lJ2 х] =с jn l R ,' [( jp)1J2 х].
ПодстаВИll эти веJ1ИЧИНЫ в уравнения 30ш, предшествующие условию
(5.340), и изменип р па х, получим
а а
xH [(jp)lJ2 х] R [( jp)lJ2 х] dx == xB (kqx) H (kpx) dx ==
о _ о
== aj 1 р Ч2 иЧ2 R (kpa) B (kqa) ( j)1J2 B (kqa) B (kpa)] ==
== (2p) 1 [kpaR (kpa) B 1 (kqa) т kqaR (kqa) B 1 (kpa)] ==
== (2p) 1 [kраЛ 2 (kpa) B 1 (kqa) + kqаЛ 2 (kqa) B 1 (kpa)
4 (п 1) H l (kpa) B 1 (kqa)]. (5.426)
1) Точнее, не ДЛЯ любых п, а только ДЛЯ п v. Прп.м. перев.
Трех.мериое распределеuпе поmеuциала
195
3Зд. ФУНlЩИН rрина ДИН I\ОJIьцеnой ЦИJПIIJдричеСI\Оll полости.
В начестве прпмера использования модифицированных бесселевых фУНRЦИЙ
вычислим потенциал, обусловленныЙ малеНЬJ{ИМ зарядом q, расположенным
J точне z == С, Р == Ь И ср =>= СРо' внутрп цилпндричесноЙ Польцевой полости
с проводящими стеннами, уравнения ноторых суть z == О, z == L, р ==. а и р == а
(а> а). Частный случаЙ. а == о соответствует цИлнндричеСRОЙ поло(>.ти, для
нотороЙ В 30к было получено решение, содержащее бесселеnы ф !НlЩИИ.
ПОСRОJIЬНУ НИ lт (l"), НИ Кт (l;) не имеют действительных [>арнеЙ, длн
получения фующии, обращающеЙся в нуль при заданном значепии р, по
требуется, очевидно, их Rомбннация. Ясно, что ИСRомая фующия имеет шщ
R (k, s, t) == Кт (ks) lт (kt) /m (ks) Кт (kt).
(5.427)
Таи нан эта фующия обращается в нуль, вообще rоворя, лишь при одном
аначении t (t == s), то в областях вблизи внутреннеЙ и вБJJИ3И внешнеЙ rpa
ниц необходимо пользоватьсн различными фУIJКЦИНМII, ноторые должны,
нонечно, совпадать при р == Ь. Нетрудпо напиеать дnе тarше фующии, обра
щающиеся R нуль на поnерХRоетп НрОnОД1ПIJЮn II со[шадающие друr с друrом
при р == Ь. Они имеют вид
при а <. р < ь или р == Ь, <р cf= СРо
со со
1"== CmпR ( 7 ,a,b)R 1( n; a,p)sin n{Z cosт(cp 1'0)'
n==lт O
при Ь < р<.а ИJJИ p Ь, ср =f= СРа
(5.428)
со со
V" ==] С тn R (!!i:, а, ь) R ( 7 ' а,
n==Jm==O
) . n7tZ
р sш L СОБ т (р. СРи)'
(5.429)
Эти решения пмеJOТ должную симметрию ОТНосптелыю ср == СРо. ДJlЯ определе
ния ноэффициентов С тn можно восполь:юваться теоремоЙ raycca о потоне
элентри'юсноЙ индунции, ПРl1менпв ее R области, он:ружающей заряд.
Д()пустим, что зарнд q еосредоточеп в маленьноii области на поnеРХПОСТff
дилиндра р == ь n ()нрестности точни z == С, ср СРо' Эта область принимаетсн
тrастольно малой, что фпзичесни ее невозможно измерить, одна но математи
чесни она не является точной, блю'одаря чему потенциал и напряженность
поля nсJOДУ Iюнечны. СоrлаСIIО формуле (1.27), I1нтеrрал по дпум сторонам
поверхности цплипдра S2 равен
r oV as == \" ( aV' oV" ) as == 'L .
др 2 .) \. др др Е
82 8
(5.430)
Из выражсниii (5.428) и (5.429) (щсдует
со со
av' av" == "'O;:, С rZ '>o ( а b) RO' ( b )
др др L.J L.J тn L 1т L" т L' а,
n 1 т O
Rr;" ( ' а, Ь ) R ( п; , а, ь) J sin n;z СОБ 111 (ср Cf,,).
При помощи решения (5.409) это выражение можно заШlсать ("JЮДУЮЩJlМ
образом:
со со
дТТ' OV" 1 11 ( 11П ) . n7tZ
== CmnbRт у,а,а БIllтСОБТn(СР сро), (5.431)
р р .
n 1 т O
13*'
196
r лава V
Положим теперь tp tpo == tp', умножим правую и левую части на
sin(p1Cz/ L)cosqtp' bdtp' dz
и проинтеrрируем по поверхности цилиндра р === ь: Все члены в иравой части,
.;за ИС1шючением тех, для ноторых р === п и q === т, обращаются в нуль (см.
Двайт, 858.1 и 858.2). Оставшиеся интеrралы, нроме q ==т == О, ВЫЧИСЛЯЮТСЯ
ПО формуле (Двайт, 858.4). Для вычисления интеrрала в левой части заметим,
'Что если размеры заряда достаточно малы, то СОБ т<р' и sin (пт:z / L) имеют
постоянные значения, равные соответственно единице и sin (п'i:C / L), и MorYT
быть вынесены из под знана интеrрала. Поэтому, учитывая, что dS == Ь dtp' dz,
л левой части получаем интеrрал (5.430). При т 4= О имеем
q . птсс '1 С L R O ( птс d )
БlП L о=; "2 тп тt т L ' , а .
(5.432)
2тс
При т === О ноэффициент 1/2 в правой части отсутствует, поснольну ) dtp == 2'1t.
О
Определяи С тп из соотношения (5.432) и подставляя в выражения (5.428)
м (5.429), находим
00 00 о о ( птс ) о ( пт;; )
11' q (2 oт) В т Т' а, Ь Вт Т' d, Р Х
, ТCEL о ( птс )
. п 1т O Вт L,d, а
. птсс . птcz ( )
х Бlll L sШт СОБ т tp tpo ,
(5.433)
v,, q (2 O )B '(T' а, Ь )B (у, а, р) Х
ТCEL .LJ о ( птс )
n 1 т O Вт Т' а.. а
. птсс . птcz ( )
х sш L sш L СОБ т tp tpl) ,
(5.434)
('де o , == u при т 4= U и o , == 1 прп т == О.
ДЛЯ цилиндричесной полости (случаЙ, рассмотренный в S 30н С при
менением бесселевых фуннций) следует положить d == О, тан что пrиведен
ные выше выражении для потенциаJlа ;примут вид
00 00 ,о о ( птс ) ( nтср )
(2 om)Rт у,а,Ь 1т L
'Т' === q siIl nтсс sin nпz СОБ т ( Ф )
п€L.LJ . ( nпа ) L L . .0,'
n 1 т O 1 т L
(5.435)
00 о::> (2, o ) 1 т ( n L пb ) R , ( п L ТC , а, р '1
У " q '" ./ . nпс . nпz ( )
=== тc€L .LJ k.J ( nпа ) SШ т: sш L cos т tp СРО .
п 1т O 1т L
(5.436)
Нан видно из выражения для потенциала V', последниЙ удовлетворяет всем
rраничпым условиям, нонечен, но не обращается в нуль на оси. Ноrда
.заряд расположен на оси, следует пользоваться формулой (5.436), опустив
суммирование по т и положив т === О.
Трех.мериое распределение поmеuциала 1!П
34а. Модифицированные бесселевы функции нулевоrо порядка.
Щш п == О формула (5.407) дает
v 2 v 4 v 6
1и(и)== 1+22"+ 2 4 (2!)2 + 2"(3!)2 +'" (5.437)
Таким образом, фунrЩ1Ш То (и) дсiiСТШПСJ1ьная (но пе ИМССТ деЙС1.'DIп'е!lЬНLlХ
1юрней) и
1и (O) == 1 и 10 (00) == 00.
Формула (5.410) при п == О принимает ВIIД
,2 V4(1+ ) V6(1+ + )
Ко(и)== l()(v)lllav+ 22 + 24 (2!)2 + 2"(31)2 +... (5.439)
Производные от 10 (2') И Ко (и) определяются выражениями (5.415) и (5.41ь)
и равны
(5.438)
1 ==11 И K == KI'
Из фОрМУJl (5.420) и (5.421) получаем
(5.440)
v
vl o (v)dv=="l,I 1 (v),
о
(5.441)
v
vKJ (v) dv == vK 1 (v).
О
(5.442)
34б. Интеrральное представление модифицированных бесселевых
фУНКЦИЙ BToporo рода. Значение на бесконечности. Подстанuш,:а
00
RO == e V ch 'Р аср в левую часть уравнения (5.406) дает при п == О
о
CIO (х) (х)
cI12cpe vCh"'dcp chcpe vchrpdcp e vch"'dcp.
о о о
Объединяя первый и третий члены (Двайт, 650.01) и интеrрируя по ча
стям, будем иметь
00 (х) (х)
(БЬСР) [e VCh"'d(chcp)] == u dv== \ Б: ер e vcl]<p I + chge Vcb' d<p.
о о о
Полученное выражение совпадает со вторым ЧJ1СНОМ, и, следовательно.
рассматриваемый интеrрал удовлетворяет уравнению (5.406). ПОСIЮЛЫ\)
любое решение уравнения (5 .4U6) должно иметь вид RO == АI о (v) + вк о (v)
и ПОСIЮЛЬНу интеrрал обращается в нуль при v 00, 10 (v) не входит в pe
тение и RO==BKo(v). В 36а буде1' поназано, что в соответствии с Bыpa
шением (5.439) следует принять В == 1, так что
(х)
Ко (и) == e vehrpdcp== j7CHb l ) (jv)== j7CHb2)( jV).
О
(5.443)
Выражение
(х)
и т dn v) == ( 1)n v m сь n cpe vCh;o dcp
о
1198
r лава V
ТaIш,е обращается в пуль при V == со, поснольну V входит в llодинте1'рaJJЬ
ное выражение в виде vme a", I'ДО а> 1. Пз рес,уррентных формул (5.418)
II (5.419) следует. что
Kl== K , отнуда К] (со)==().
Из формулы (5.419) ТО1'Щl ПОЛУЧIIМ
К п (со) == Kп 2 (О?) == .... == Кр (со) == О,
('де р == 1 при п нечетном и р == о при п четном. ФоrМУJlа (5.417) поrшзы
nает, что K (cc)==O и т. }l;.
ДруrОI:) интеrральнuе представление для Ко (v) имеет вид
со
Ko(V)== cos(vsllCp)d'f.
о
Бейтман выводит это соотношение сле}l;уЮЩПМ образом.
Рассмотрим фУ1ШЦИЮ
(5.444)
OD
tV == e xCh'Pcos(ysh1')d'f,
о
тде х r СОБ 6 и у == r sin 6. Дифференцирование ее дает
aw aw aw
== х ду У дэ; ==
со
== e X ch <р [х БЬ 9 sin (у sh ер) у сЬ ер СОБ (у БЬ ер)] dcp ==
о
со со
== [e xch <р sin (у shep)] dep == I e xch rp sin (у sh ер) r == О.
о о
Таним образом T.V не зависит от 6. Полar'ЫI О == О, получаем Х == ",
1
У == О, тап что, соrлаСIIО формуле (5.443), tV == Ко (r). ПО}l;становна 6 == "2 ..
дает Х == О, У == '"; w совпадает в этом случае с инте1'ралом (5.444), что и
доназывает шравед.пuвость формулы (5.444).
Для вывода интеrральнvй фUрМУJlЫ, применяемой при исследовании
диффраНЦШI на щели, подставим формулу (5.443) в формулу (5.442), заме
ним интеrра;;r от О до со половиной ИНТOI'рала от со до со И изменим
лорндон интеrрированин. В реЗУJПпате получим (см. Длайт, 567.1)
со
2vKl(V)==7CVH\2)( jV)== e vch<p(1+vchep)sech2'fd'f, (5.445)
co
35. Интеrралыюе представление бесселевых функциЙ lIулевоrо
ПОрЯДIШ. Подстановна vjj вместо V в формулу (5.443) дает
со со со
КО ( ) ==, e jv eh d'f == cos (v сЬ ер) dep + j sin (v сЬ ср) d'f.
о о о
Сделав аналоrпчную замену в выражении (5.409) и приравняв дойствитель
ные rr мнимые частrr, получим (в обо:шаченrшх, принятых Ватсоном;
Tpex"\lRpuoe распределение па;теuциала
199
СМ. 30r) дЛЯ ФУШЩИЙ Jo(V) и Yo(V) следующие формулы:
<х>
J o (v) == : sin (v сЬ ер) dep,
u
(5.446)
<х>
Yo(V)== : \ cos(z;chep)dep.
о
( 5.447)
36а. Представление обратноrо расстояния через модифицироваlI
lIые бесселеnы функции. НаЙjJем выражение для обраТН01'0 расстояния Me
жду двумя точками с Rоординатами ро' еро, Zo и р, ер, z в цилиндричеСRОЙ
системе I\оординат. Для этоrо можно воспользоваться меТlJДОМ, изложен
ным в 31д; однано проще исходить из выражения для потенциала точеч
ПOJ'О заряда, находящеrося посередине между двумя ПЛОСRОСТЯМИ, распо
ложеннымп па расстояппи L друr от друrа. Потенциал TaRoro заряда можно
получить из выражения (5.435), если положить а == со и сдвинуть начало
l\оординат на Lj2. посRолы\y при этом сохраняются 'l'ОЛЬRО нечетные зна
чения п, для р < Ро будем иметь
<Х> <Х>
v == п;L (2 O ) Кт (Npo) /т (Np) СОБ [N (z zo)] СОБ т (ер еро)'
п O т O
(5,4Ч8)
rдe N == (2п + 1) 7tj L. Полаrая 2n7tj L == а п и 27tj L == /1а, получим
1 <Х> <Х>
q
28 (2 O ) СОБ т (ер ерЙ> L Кт [( а п + Д2 и ) p(JJ Х
т O п O
Х /1]1 [ ( а п + Д2 и ) Р] СОБ [( а п + Д2 и ) z 1 /1и.
Допустим теперь, что L со и, следовательно, /1а""""'" О. При этом сумми
рование по п в пределах 0< п < со переходит, по определению, в интеrри
рование по U в пределах 0< U < со. Следовательно,
<Х>
<Х>
v ==' 4 R == 2:28 (2 o ) [\ Km(U1'o)Iт(up)cosuzdu] СОБт(ер еро). (5.449)
т O о
При р> ро в выражении (5.449) следует поменять местами р и ро' Если
р() == О, то суммирование исчезает и
<Х>
r l == (р2 + Z2) lJ2 == 27t 1 СОБ kz Ко (kp) dk.
о
11 случае z == О и еро == О заменим в выражении (5.450) р на R и сравним
с выражением (5.4.49). Из сравнения следует, что при р < Ро
(5.450)
<Х>
к о [(р2 + p 2рро СОБ ер )1[2] == (2 O ) Кт'(ро) / m (1') СОБ тер.
т O
(5.451)
Для проверRИ выбора произвольной постоянной в выражении (5.443) под
ставим определяемое этой фuрмулой значение Ко (kp) в выражение (5.450).
Интсrрируя сначала по k (см. Дваiiт, 577.2), а зат(>м по ер (см. Двайт,
120.01), убеждаемся, что равенство (5.450) удовлетворяется.
200
r лава V
s 36б. ЦИЛИНДРИЧССI<ИС rраницы раздела двух ДIJ3ЛСI.тричешшх сред.
Полученное выше выражение для обраТlЮ1'О расстояния можно ПСПОJlьзопать
l(ЛЯ решоIПШ задач при наличпп в системо ЦИЛИПДРИЧОСЮ1Х rрапиц, допу
О\аЮЩИХ распространение элентричеСНО1'О поля дп 60С1\ОпеЧНОСТII. В таЮ1Х
эадачах разложение в ряд по ФУННЦИЯМ Вессоля пепозмт1ШО, ПОСI\ОЛЬИУ,
нан нотрудно видеть из аСIlмптотичесиих ПРОl\ставлепиii 30е, ИНТOl'ралы
п S 30з обращаются в боснонечность при а == со. РеШО1ше в этих случаях
получается обычно в ВИДе опредеJlОНII01'О интеrраJlа, чпслоппую величину
l\OTc.poro можно найти rрафичеСЮ1.
В начестве примера найдем поле точечноrо заряда q, расположенноrо
на оси беСl\опечной цилиндричеС1ЮЙ нолости раДИуса а, прорезанной в бес
нонечной диэлентричеСl\ОЙ среде с относительной диэл(;итричосиой прони
цаемостыо К. Пусть потенциаJ1 ВНУТРИ полости будот V, а вне полости
VJ(. ВОСПОJIьзуемся методом, анаЛО1'ПЧНЫМ И3JJOшеннuму в S 31д.
Будем рассматривать Т' ню. сумму потонцпаJlOВ, первый из иоторых обу
словлен одним лишь точочным зарядом п имеот ВIЩ (5.450), а второЙ обу
СJlOвлен поляризацией: диэлен:трина и должен быть ионечным на оси поло
сти. Тан:им образом, потенциал V имеет вид
OD
V== 2 Q2 r [Ko(kp)+\Ji"(k)I(}(kp)]cosk;:;dk.
1t Ev
О
ПотенциаJI в диэлеъ:трине должоп быть RОНОЧНЫМ па больших расстояниях
и, следовательно, должен иметь вид
(5,4:)2)
OD
Т']( == 2 \ ф (k) Ко (kp) СОБ kz dk.
1t EV J
о
Соrласно rрапичному условию V == V к при р == а, необходимо, чтобы
КО (ka) + \Ji" (k) 10 (ka) == Ф (k) КО (ka). (5.454)
rраничное условие av / ар == К av к/др при р == а дает
K (ka) + \Ji" (k) I (ka) == КФ (k) K (ka). (5..455)
Исилючан \]J' (k) IШ Cfютнопюний (5.454) и (5.455) и упрощая ПО.:Iученное
выраш:ение при помощи соотношения (5,412), получим
(5.453)
1
Ф (k) == 1 ka (К 1) 10 (ka) Ко (ka) .
Подставляя выражонпе (5.456) в соотношение (5.454), находим
\Ji" ( k) ka (К 1) Ко (ka) Ко (ka)
1 ka(K 1)10(ka)Ko(ka) .
(5.456)
(5,457)
На фш'. 58 изображоно поле, вычисленное по формулам (5.452) и (5.453)
с ИСПОJIЬЗ0ванием (.5.456) и (5.457); интеrрирование было выполнено ДЛН
случая К == 5 при помощи ПJIaниметра.
S 37. Потенциал внутри IЮЛЬЦСВОЙ ЦИЛИНДРИ'lСCIЮЙ полости. Из
элентродинамичесиих задач, ДJШ решения ноторых применяются модифици
рованные фующии Весселя, наиболее важными являются задачи о иepe
менных тон:ах в цилиндричесиих ПрОВОДнииах. Однано И при решении He
иоторъrх элен:тростатичесиих задач таиже применяются модифицированные
бесселевъr фуниции. Рассмотрим, например, потенциал в области, оrрани
ченной поверхностями р == а, р == Ь, z == О и z == с, потенциал н:оторых, за
Трехмерное распределеuие поmеuциала
201
исключением первоii, равен нулю. Потенциал поверхности р == а пусть будет
V == f (z). Разложим функцию f (z) в ряд Фурье в интервале 0< z < с.
\'=0.10
Фие. 58. Эн:випотенциальные линии точеЧIJоr() заряда, наХОДlIщеrоел
на оеи цилиндричееноrо отперетия IJ диэлен:трине с диэлеНТричесн:ой
ПРОIПщаемоетью К ==5.
Вычисления выполненыI А. Е. rарисоном по формулам (5,1,52) и (5.453).
lIоскольку f (z) == О при z == О или z == с, получается известное разлошение-
(см. Пайерс, 815)
00
f (z) ==з Ak ( т;z ).
k 1
с
А == r f (z) с s ( knz , ) dz.
k с sш с
u
(5.458)
Из выражений (5.310) и (5.311) и (5.411) вытекает, что решение уравнешш
Лапласа, удовлетворяющее всем rраничным условиям, имеет вид
v==
11.==1
со Ak е?Б ( knZ ) r 10 (knpjc) Ко (knpjc) ]
sш с 1 о (knbjc) Ко (knbjc)
1 о (knajc) КО (knajc)
10 (k1tbjc) КО (knbjc)
(5.459)
202
r лава V
Для потенциала в области, лежащей ВНУТРИ цилиндра Р == а, на поверхно
стп rюторor'о задан потенциал V == f (z), и оrраниченной двумя заземлен
НЫМII ПЛОСI\ОСТНМИ Z == О и z == с, выражени<, (5.459) дает
OD
V А . knz 10 (knpjc)
LJ 1< 8Ш 7 10 (knajc) -
1< 1
Для потенциала в области, лежащей вне цилиндра р == а, на поверXlIOСТИ
HOToporo задан потенциал V == f (z), и оrраниченной заземленными ПЛОСI\О
стями z == О И Z == с, будем иметь
(5.460)
OD
l' == А 8in knz Ко (knpjc) .
LJ 1< с Ко (knajc)
k 1
38. Модифицированные бесселевы функции нецелоrо порядка. Об
щ<,е РШl1ение модифицированноrо уравнения Весселя в том случае, lюrда п
не является целым чиелом, мошно получить в результате замены в Bыpa
жении (5.393) / n J n иu) на /n (v)
R (v) == A1n(v) + B/ n (v). (5.462)
(5.461)
Функция КпСс) является линейной номбинацпей [n(v) и / n(v). ДJIЯ этих
ФУННЦИЙ справеДJIИВЫ ПОJIученные выше ренурреНТIIые формулы. Формулы
(5.394) (5.398) дают
/1f2(V)==( v Y/2 8hv, (5.463)
/ 1f2(V)==( v Y!2Chv, (5.464)
/з/ 2 (v) == ( v Y/2 (сЬ V 8hv) . (5.465)
[ З/2 (v) == ( v У/2 (8Ь о сЬ v) , (5.466)
15/2(0)== ( V )1f2 [( 1 + :2 ) 8Ь v сЬ vJ ' (5.467)
/ 5/2 (v) == c v У/2 [ ( 1 + :2 ) сЬ v 8hv ] . (5.468)
Общая фОРМУJIа принимает наиболее ПРОСТОЙ вид, еСШ1 ВОСПОJIьзоваТЬСR
.::JнспоненциаJIЬНЬП\П1 фующиями
n
1 [( 1)Sev=F( 1)ne vJ(п+s)!
1 1 V
:1:( n+ ) ( ) (2nv) 1/2 sl (п s)! (2v)S '
2 B O
( 5.469)
J'де в обеих частях НУЖIIО выбрать JП1бо верХНИI1, JIибо НИЖНИI1 знаR.
{{ан / 1 (и) тю{ и / 1 (v) обращаются в беснонечность при v== СО.
n+ 2 n 2
Решением, обращающимся в нуль при V СО,
является фунrщия К 1 (v).
n+ 2
онредслнеман соотношением (5.109), в нотором следует заменить п на п +{.
Пснлючим ИЗ ЭТО1'О соотношения ФУННЦИЮ У 1 (jv) при помощи формулы
n+ 2
{5.400), введем, соrласно выражению (5.407), фУННЦИИ / ( 1 ) (v) И пред
:1: n+ 2
Трех.\tериое распределеuие поmенциала
203
ставим их в виде (5.469), n результате энспоненциальные фуrпщии с поло
жительпыми понааатеJIfJМИ степени сон:раIl!аютсл и мы получаем
Кп+!.(V)== 7r ( 1)n [ I ,, (V) I,, + (v) J ===
2 .22
Е простейших случаях
KlJ2(V)==( )1/2 e v, кз / 2 (v)==( ;v У/2 (1 + ) e V. (5.471)
При v==o основную роль в сумме (3.470) ИI'рает член n==s, так что
К 1 (v) ..... ( ) If2 (2п 1)!! (5.472)
"+2 ,, o 2v vn'
Сферпчесние 6есселевы фушщии k n (v) можпо определить следующим
'Обрааом:
n
( п"' ) Ч2 (п+s)!e V
== 21) L! s! (п s)! (2v)S
B O
(5.470)
"
k V == ( 2'\1/2 K 1 v == (п+s)!e V..
n () 1tV) ,,+ () v.i.J sl (12 s)! ( 'V)S
2 " o
При помощи выражений (5.409) и (5.400) находпм
k n (jv) == (" и" (v) jn n (v)J.
(5.473)
(5.474)
'Отсюда, принимая во внимание соотношение (5.403), получим
k n (jV) j (v) j1. (jv) j" (v) == .i п+1 V 2. (5.475)
Рассматриваемые фуrпщии свяааны с фунющями К" (v) Шелнунова II
h 1) (v) Стрэттона следующим образом:
k n (v) == v l К" (v) == j" Jl 1) (jV) == jn и" (jV) + jn n (jv)J.
Ренуррептнью фОlJМУЛЫ, в соотв('тствип С 336 и выражением
имеют вид
(5.476)
(5.473),
(2п + 1) v l k " == kп 1 kn+1'
k == k,,'F1 :i: ( п + ; :f: ) l) lkn.
(5.477)
s 39. Приближенные решения. ЭлеI<тростатичеСI<ие линзы. Для цe
JЮ1'О ряда прантлчесиих задач, точные решенпя иоторых получпть HeB03
можно или заТруднительпо, можно найти приблп
женные решения, достаточно (с ТОЧI\И зрения эиспе
римента) близине и точным. Один, часто весьма эф
фентивный, приближенный метод заключается в том,
что при решении задачи добиваются выполненпя rpa
ничных УСJJOВИЙ не всюду, а лишь в нонеЧ1IOМ числе
точек Рамо и Виннери рассматривают в иачестве
примера ансиально симметричную элеRтростатиче
скую элентронную линзу (фиr. 59). Линза состоит
из плосиоЙ проводящеЙ ПJIaСТIШЮI ТОJПЦИНОЙ 2Ь с
отверстием радиуса а; П.rIастиниа имеет потенциал V о
п' помещается пuсереДIIне между парашreльными
заземленными ПЛОСRОСТЮ\JИ, расположенными на pac
стоянии 2с Jlpyr от дрУ1'а. Фоиусирующие своЙства
таной линзы выражаются обычно через поле на оси симметрии. Поэтому
исномоЙ величиной является в данном случае поле на оси. В соответствии с
llыражением (5.311) и 34а решение, обладающее соответствующеЙ симметриеЙ
р
о
о
о
z
.
Фие. 59.
204
['лава V
и обращающееся в нуль на заземленных плосностях, IIме('т вид
со
V == V(j An10 [ (Zп 1) 1'Ор ] Бiп [ (2п 1) l'Oz. ] .
п O
(5.478)
Если пренебречь в этом Быражer-пти всеми члепа:ми, )l}Ш н:оторых п > 4, то
можно добитьсн, чтобы потенциал (5.478) был рапен 170 в четырех точках
rраницы. Пусть эти точни имеют ноординаты z == () и z === Ь при р === а и
р === 1,5а и р === За при z === Ь. Тоrда в случае а === Ь === 0,3с постоянные Аn OHa
зываются равными
11 == 1,15,
А 2 === 0,172,
Аз === 0,0211,
А4 == 0,00098. (5.479)
Эти значения дают, очевидно, у;(ов;rетворительную точность для точен на
оси, rде I f1 (О) === 1.
40. ФУНlЩИИ IШИН8. Фунющи, введенные в Э 30б и 30в, 0I\a3ЫBa
тотся неадэнватными в тех случанх, Iюrда исномыЙ потенциал обращается
в нуль на пuверхности цилиндров р PI' Р == Р2 И на плосностях z === Zl'
Z === Z2 И имеет неноторое ПРОJIзвольное значение на плосностях ср == CPl' ср -= СР2'
Длн решения этоЙ задачи требуются фУШЩIШ, ОРТOI'оттальные по Р и z и
получающиеся заменой п на j'l и k на jk в уравнетПIНХ (5.300) (5.302).
Таним обраЗ0М,
ф ('1СР) === с сЬ '1ср + D Бh '1ср === r' e VP + п' CV'f',
Z (kz) === Е Бiп kz + F СОБ kz,
В'! (kp) === АР v (kp) + ВС ,! (kp),
(5.480)
(5.481 )
(5.482)
rде фУШЩ1JН Rv (v) удовлетворяет дифференциальному уравнению
d 2 R + dR ( 1 ) R===o.
dv 2 V dv v 2
(5,483)
ФУ1ШЦIIЯ Р,! (v).......,.. со при v.......,.. со И определяется формулой
1'0 со
Р,! (v) === СОБе сЬ '1'it e V cos в сЬ '1() dO e V сы Бiп '1t dt.
о о
(5.484)
Фушщин С ,! (v).......,.. О при v.......,.. CXJ И опредеШ1ется следующим l,браЗ0М:
со
Gv(v) == e vcht СОБ '/t dt === K jv (v).
о
(5.485)
Если v :меньше HeHoTopOl'O определенноrо значенrш, увеличrrвающеrосл
с ростом '1, то обе эти фуннции периодичесние и при '1, стремящемся н нулю,
осциллируют' нан sin [ '1 In ( v )] и СОБ [ '1 In ( v ) J. Интеrрал по v от
rrроизведепия этих фушщий, умноженноrо на v, обращается в нуль, за
иснлюченrшм Toro случая, ноrда индеl\СЫ '1 одинановы у обоих сомножитс
леЙ. Поэтому любую фуннцию, допуснающую разложение в рнд Фурье,
молшо разложить и по фуннциям Rv (kp). 3адача о трехмерном диэлентри
чеС1,ОМ нлине решается точно танпм же методом, нан и аналоrичная ДByx
мерная задача в 8 rл. lV.
Задачи
:20,)
ЗАДАЧИ
1. Два одинаl{ОВЫХ точечных заряда помещены на расстоянии 2Ь друr от друrа.
Ноказать, что помещенная посередине между ними :щзеl\шенная про водящая сфера
уничтожает их взаимное отташшвание, еели радиуе еферы равен приблизительсо Ь/8.
2. Пуеть с радиус веI{ТОР проведенный из центра проводящей сферы радиуса а
в ТОЧJ>У, rде находится точечныи заряд Ч. ПОl{азать, что если заряд еферы Q равен
c2 [4пЕЕ( 1+2( ; У) Ч( 7 У ( ;2 ] '
то сила, действующая па заряд q в однородном поле Е, совпадающем по направлению
.с радиуе вентором С, обращаетея в нуль.
3. Бееl{онечная проводящая нлоеJюеть являетея rраницей однородноrо поля, }]a
пряженноеть lютороrо Х неизвестна. На заданный заряд Ч, помещенный на раестоянии r
от плоскости, дейетвует неlюторая (неизвеетная) сила F. Еели прямо под зарядом по
меетить на плоеl{оетп проводящую полуеферу радиуса а, то Оl{азываетея, что еила,
дейетвующая на заряд, не изменяетея. Поназать, что
х== ч;6 ,F== [ 2r 6 , 4 2 ] '
2пЕ (r a4)2 4пЕ (,.4 'a4)2
4. СферичеСl{ая проводящая полоеть радиуса а наполнена до половины дпэ.Т]Ш>
1'рИRОМ. Сила, обуелов.пенная изображениями, не дейетвует на заряд, помрщенный
па оеи симметрии' на расетоянии а/3 01' плоеl{ОЙ поверхности диэлеl{ТРИl{а. ПOl>азать,
чтu проницаемость ДИЭJlеl{ТРJша равна 1,541 Ev.
5*. Заряд раеположен в ТОЧl{е О над беенонечной проводящей плоеностыо, потен
диал ноторой paBell нулю. ПОl{азать, что заряд любоrо учаеТl{а плоеJЮСТIJ пропорцио
нален yrJJY, над ноторым виден этот учаСТОI{ из точни О.
6*. Две бесl{онечные заземленные проводящие плоеl{оети перееекаются ПОД уrлом 600.
Заряд е раеположен на одинаl{ОПОМ раестоянии от обеих плоеl{оетей и на раестоянии r
от JIИНИИ их перееечения. Найти плотноеть поверхноетноrо заряда на ПЛОСRоетях.
ПOl>азать, что n точне, находящейся на раеетоянпи r З Ч2 от вершины уrла в плоеIЮ
сти, проходящей через точечный заряд и перпендИl>УЛЯрной R ЛИJППI пррееечения,
ПJютноеть поверхностноrо заряда равна
е ( 3 1 )
41tr 2 4 + 73/2 .
7*. Точечный заряд е находится вне ПрОВОДящей изолированной еферы на pac
-етоянип r от ее центра. Каl{ОЙ !\IИиимальный НОЛОжительный заряд следует помеетить
на еферу, чтобы поверхноетная плотность заряда была на ней веюду ПОЛОЖИТСJIьна?
8*. Заземленная ПрОБодящая ефера наХОДитея в поле точечноrо заряда, ра..поло
женноrо н точи е Р вне еферы. Найти отношение индуцированноrо заряда, приходящеrоеп
11<1 ту часть поверхноети еферы, I{оторая видна из точки Р, R ИНдуцнрованному заряду
vстальной ее части.
9*. ТО'JeЧНЫЙ заряд е ПОДНОСИТСЯ R ПРОВОДПИI{У, имеющему форму шара радиуеа а.
Заряд ПрОБОДНlша равен Е е. Поназать, что точечный заряд будет отта.тшиватьея от
еферы, если расетоя-ние от HeJ'O до ближайшей точп.и ПOlЮрХIJоети сферы не превоехо
1 1f
дит (приGШlженно) 2 а (е/Е) 2.
10*. Полость в проводнине представляет собой четпорть сферичееIШЙ полости,
J'JJaииченную ДIJУМЯ взаимно перпендииулярными диаметральными плоспостями. ПО
етроить изображения- точечноrо заряда, расположенпоrо внутри полости.
11 *. Проводящан ПОlJерхноеть образована )J,nумя бееl{онеЧRЫМИ ИЛОСl{оеТЯМfl, пере
l,енаlOщимиея под ПРЯМЫМ уrлом, II ЗaJ>лючешlOЙ между ними четвер!ью еферичреl{ОЙ
ПОlJерхноети радиуса а. Потепциал ПОвсрхности равен IlУ.ТlЮ. Точечныи заряд е раепо
ложен еИ!\Jметрично отноеителыlO и;юсностей и сферичеепой поверхности на большом
раеетоянии I от центра ноеледпей. ПОl{азать, что заряд, индуцированный на ефериче
СНОМ участие опиеанной поверхности, равен приБШI3ительно 5ea3/(1t/3).
12*. ТоНJШП плоеl{ая проводящая плаетинна произвольной формы и размера Haxo
дитсл в поле заряда, раепределенноrо с заданной плотноетью по одну еторопу от нее.
Пуеть а 1 плотность индуциропанноrо повррхноетноrо заряда в ТОЧl{е Р на той стороне
плаеТИНI{И, I{оторая обращена 1{ заданному заряду, а a2 плотность поверхноетноrо
sаряда в соответствующей точке ПРОТIШОПОЛОЖНОЙ стороны. .цОl{азать, что
crl cr2==crO'
тде crо плотность поверхноетноrо заряда, Ипдуцированноrо заданным зарядом n точне Р
бесионечной проводящей плоеl{оети, еовпадающей с нлаСТllНIЮЙ.
2()6
r лава V
13*. Проподящая пло(']{ость имеет пыпуклость в виде ПОJJусферы радиуса а. На ее
оси, на расстоянии f от цептра, находится точрчный заряд е. 1l0lшзатJ" что еели ио
теllциаJJ ПЛОСКОСТJ{ ]д ВЫПУНJюети равен НУJJЮ, то заряд, индуцированный па последней,
равеп
,..
( P a2 )
e 1 I (j2+a 2 )1/2 .
14*. Заземленная нроводящая сфера радиуса а находится в поле заряда, paHH()
мерно раепределенноrо с плотностью а ПО внешней поверхности нспроводнщеrо ceJ'MeHTa
радиуса С, J{ОlщеНТРИЧJюrо ео сферой. Поназать, что плотность заряда на понерхноети
сферы, обращенной R cerMeHTY, в точке пересечения А оси cerMeHTa со сферой равпа
ас ( АВ"
( c + a ) 1 )
<:а 2 Ап '
rде В ТОЧJШ пересечения оен С поверхнuетью cerMeHTa н D ТОЧRа на ero краю.
15*. Дна проподящнх дисна радиуеов а и а' расположены иерпендикулнрно J{ нрп,
мой, соединяющей их Цl!НТры. Раестояние между ними r велино по сравнению е а.
Первый дисн имеет нотенциаJl У, а второй заземлен. Поназать, что заряд HepBol'o
дисна равен
81t 2 Ear 2 J7
(1t2r2 4aa')
16*. Тонное ПРОВOJючное RОЛЬЦО радиуса С, несущее заряд Q, расположено в ПJJO
СIЮСти, насательной н заземленной Пронодящей ефере диаметра а, таютм образом, что
центр RО.льца Jlежит Б ТОЧRе Rасания ПJIОСIЮ('ТИ и сфrры. J О1{азать, что lШОТНО('ТJ,
повеРХl1Остноrо заряда, ИНДУЦИРОВ<IIlНоrо на сфере в точке. нанраn.тюшrе на которую
из центра НО.'1ьца образует уrол Ф с нормалью '{ ero П.iJОСIЮ(:ТИ, равна
c 2 Q Бес 3 Ф
4т.;2 а
2
(а 2 + с 2 Бее 2 ф 2ас tg Ф еОБ !J) 3/2 d!J.
U
17. В колбе радиуса а с проводящими стеннами, из RОТОРОЙ выкачан воздух,
па раеетоянии с от ее центра образова.щ'я ненодвижный ион е зарядом q и массой m.
ПОЮJзать, что ион ДОСТИI'нет стеНRИ через ПрОМl!ЖУТOJ{ времени, РRВНЫЙ
t==q lk(41tmЕаз)1f2(К Е), rде k2==(a2 c2)a 2,
к и Е полные ЭJJЛиптичеекие интеrралы модулн k.
18. Центр заземленной проводнщей сферы раДИуеа а нахошrтся па о('и зарнашн
Horo кольца. Радиус вентор С, нронедснный нз Цl!птра сферы R J{ОЛЬЦУ, оfJразуст YJ'OJI "
е eJ'o осью. ПOlшзать, что сила, НТIJI'lшающ,ш ефс-ру в НОЛLЦО, равна
Q2E (c2 a2) k 3 СОБ "
1(:>1t 2 EC 2 a 2 sin 3 а (1 k 2 ) ,
['де k2
4а 2 с 2 sin 2 а
а 4 + c4 2a2c2 СОБ 2" '
Е полвый ЭЛJшптичеСRИЙ иптеJ'раJJ модушr k.
19*. Частица с зарядом е наХОДИТ!'II н средней точне JJИНИИ, соедишнощей центры
двух одинаковых ПРОJJОДНЩПХ сфер, потеrщиал которых рапен ну:rю. Препебреrан BЫC
шпми степепнми m ОТНOJпения радиуса сфер к расстоянию между их центрами, пона
аать, что зарнд, ИllДуцировапный на каждой из IШХ, рапеп
2eт (1 т +т2 3т3 +4т 4 ).
20*. Две изолиронаНJIые ПрОJJодящие сферы раднусон' а и Ь, несущпе заряды Ql
н Q2' раСпо.тюжепы таким образом, 'JТO расс'fОННИС между их центрами с веJНШО по
сравпепIПО с а и Ь. ПонаЗRТЬ, что нотеНЦJШJlьная энерrин СПСТЮIЫ равна приБJIНжеННО 1
(81tE) 1 [(a 1 b3c 4) Qi + 2C ]QIQ2 + (b l аЗс 4) QП.
21 *. Две изолированные rrрОВоднщпе сферы радпу" а а находmся в ОДНОрОI1НО.ll
элеI,ЧJИческом ПОJlе напрлженпоети Е, перпеНДIШУ.iJНрПОМ R прлмой, еоединяющей
центры ефер. Поназать, что СИJ!3 взаИlvlодействил I\ШЖI1У сферами равна
121t E2a6c 4 (1 2а3с З 8a5c 5 + . . .),
rДС с расетояние между их центрами.
Задачи
207
22*. Две незаряженные изолированные сферы радиусов а и Ь вноеятся в OДHOpOД
ное элентричесное ноле, llараJJ ельное прямоii, еоеДИНfJlощей их цеПТРf,J. Расстоянш,
между центрами сфер с MHOJ'O бо.1ьше их радиусов а и ь. ПОНШШТЬ, ЧТО ПJIOТНОСть.
1l0BepXHOeTHOJ'0 заряда в 1'0'11\:13 пересечения сферы а е прныоii, соеДllншощеЙ центры
сфер, нриближенно рашi3
ЕЕ (3 + 6b3c 3+ 1.'iab3c 4+28a2b3c 5 + 57a:<b3c 6+ ...).
23*. Две одинановые Проводпщие сферы радиуса а насшотс!] друr друrа. ПОН8зать,
что еМI{ОСТЬ полученноrо таним образом проводнина рап на 8тсза ln 2.
24*. Радиусы двух насаЮЩJJХСЯ проводищих сфер равны еООТIютственно а п Ь.
причем а ь. Поназать, что если потеНциаJJ сфер равен V, то их заряды будут
( n2Ь2 ) И 27t3ab2s V
4nЕ J7 а 1
6(а,Ь)2 3(а+Ь)2
25*. Проводящаи сфера радиуса а Rасается беснонечноЙ ПрОВодящей плосноети.
На продолжении диаметра, ПрОХодНщеrо через точну н:аеания, на расстоянии с от этой
точки находится единичныЙ точечный заряд. ПОRазать, что заряды, индуцированные
на ПЛОСI{ОСТИ и на сфере, равны еоответственно
па ( тса ..... )
с ctg с
и па ctg ( ) 1.
с . с
26*. Расстояние i\южду пентрами двух ОДинarювых зазеj\шенных проводящих сфер
раДиуса а равно 2с. ПOl{азать, что единичный заряд, находящиЙся Поеередине межд
сферами, индуцирует на наждой из них заряд
(J()
L ( 1)n sech па,
1
rде с== а ch а.
27. Расстоиние между пентрами двух ОДИН31{овых сфер радиуса а равно с. Сферы
соеДИнены тонноЙ проволочн:ой. ПOl{азать, что емноеть таRОЙ сииемы равна
rAe eh ==+ с/а.
28. Две одинановые сферы радиуса а, центры ноторых находится на расстонии с
друr от JIpYJ'a, заряжены до одинаRовоrо потенциала У. llоназать, что сила отталнива-
ния между ними равна
(J()
8nЕа sh ( 1)n+l eosech п ,
n 1
1
rJIe ch ==2 с/а.
29*. Изолированная проводящая сфера раД1Туеа а НШlCщена п()еередине между
двумя бесноне'1НЫМИ нараллеJJЬНЫМИ зазеМ,JТевными ПJЮСJюетям.и, паходшцимиея па
большом расстоянии 2с друr от ДРУI'а. ПрснеfJреrая величинами ПОрЯДJ{3 (а/с)2, Hoн:a
аать, что емноеть такой сферы равна приБШI3ительно
4nЕа [1+ (а/с) ln 2].
(J()
2ТСЕ У2 L ( 1)n+l (eth п cth п ) eoseeh п;;,
n 1
30*. Две еферы радиусоu Т 1 и Т2 Jшсаются друr ДРУJ'а. В TaROM ноложении ИХ
еАшоетв равны соответственно С 1 и r 2 . Поназать, что
(J() (J() (J()
С 1 ==4 ns r 2 ( f2 L п 2+ /3 L п 3 + 14 п 4 + ... ),
1 1 1
fAe / rl(rl+r2) I.
31*. Между двумя нараллельными беСRонечпыми заземленными ПЛОСRОСТЯМlI lJaxo
ДИТся точечный заряд е. Расетолпия от зарнда J(O П.iJоп{t)('тui1 раины с()отвстственно а
11 Ь. Поназать, что нотенциаl1 в ТОЧRе Р на прямой, нерпеJjДIШУ НРНОЙ к ШI0СJЮСтям
I1 проходнщеi1 через заряд, равен
8nЕ (:+ь) [ W ( 2а:2Ь ) + qr ( ;аа;:ь )+ w ( ;ab:;b ) ,( 2a2 bL Z ) ] '
rAe z раестояние от заряда до точн:и Р, qr (z) == r' (z)/f (z),.
208
r лава V
32. Электрон е зарядом е и маt:СОЙ т, летящий псрвоначально н J'орпаопталыJOМ
напраШIеНIШ (;0 СНОРОСТЬЮ v, должен пролететь (в вакууме) над ПЛ05ЖОЙ незарткенной
I'ОРII30нтальной поверхностыо плаСТИНRИ из диэлеКТРИRа длинои d. lIуеть в тот
момепт, Rоrда электрон проходит над краем пластинки, раестошше между ними равно а.
Пренебреrая краевым эффентом, поназать, что под действи()м еил, оБУСJlOllленных
изображением, элеRТРОН будет втннут в ДИЭоПШ,ТРИR, прежде че 1 достиrнет противо
110ложноrо ero нрая, еспи
(К 1) е 2 а 2
аЗ 2m1t"E v (К + 1) v2 .
33 Точечпый заряд расположен над ШЮСНОЙ беСRонечной поверхностью дпэлентри
на. Vr()л между еИJЮВОЙ линией электричесноrо попя в диэпектрине п нормалью к ero
поверхноети равен а; уrол между этими же липиями вблизи точечноrо заряда равен ;3.
Поназать, что а И СВfJзаны соотношением
. 1 ( 2К ) Ч2. t
sш 2t'== П К sш уа.
34*. Заряды е) И е2 расположены на прнмnй, перпепдинулярной к ПЛОСНОlj rранице
раздела двух диэлектрических сред с ()тноситеJIЬНЫМИ диэлектрическими прnницае
моетями К 1 и К2' на равных расетонниях а от l'раницы. Найти еилы, деЙствующие
на заряды, и объяснить, почему эти силы не равны.
35*1). Два проводника, емности н()торых в воздухе равны С 1 и С2' помешепы
на прямой, перпеНДИRулярной к ПЛОСRОй rранице раздела двух диэпеRТРИНОВ е относи
тельными диэлеRтричеСRИМИ проницаемос,тями k) и k 2 . Расстоннин от ПРОВОДНИRОВ
дО l'раНIЩЫ раздела, равные еоответствепно а и Ь, веJПШИ по сравнению е размерами
{;амих проводНJШОв. Проводнини соединены между собой ТОННОЙ проволочкой и заряжены.
ДOIшзать, что заряд раепределяетсн по проводнинам (приБШliненно) в отношении
[ 4п k) k2 2k 2 ] . k [ Е 4п k) k2 2k/ ]
k 1 E V C2 2b(k 1 +k 2 ) (k 1 +k 2 ) (атЬ) . 2 v C1 +2a(k 1 +k 2 ) (k 1 +k 2 ) (а+Ь) .
36*. в воздухе, над плоекой поnерхноетью беенонечпоrо диэлеJ{Т рина, наХОДИТСII
nроводнщая сфера радиуса а. Расетояние между центром сферы и поверхноетью диэлеR
трина равно с. Показать, что ее емкость равна
00
'" [ (К .1) 1 n 1
4пЕ,р sh а. kJ (К + 1) cosech па,
1
rде Cll a==cja.
37. Заземленный проводнИI; соетоит И3 двух одинаRОВЫХ проводящих сфер радиуса а,
перееекаЮЩИХСII ортоrонаJIЬНО. В ПJlОСRОСТИ перееечения на расетnннии 3a2 lf2 от оси
пшметрии находится '1'очечный зарнд Ч. Поназать, что заряд, индуцированный на nро
tЮДПИRе, равен ( 5;/2 ) ч.
38. ПлоениЙ заземленныЙ проnодящий лист имеет круrлое отвореТ'l1е радиуса а.
В ПЛОСRОСТИ листа на расстоянии Ь от центра отверстия находится точрчный заряд Ч.
Пnназать, что пЛотность поверхностноrо заряда, индуцированноrо на Jrиете на paeCTOH
пии С от центра отверетия и на раеетоянии r от зарнда q, равна
q (a2 b2)1/2/[21t2r2 (c2 а2)Ч2].
39. ПОRазать, что еели в предыдущей задаче заряд распределен ]]0 ]{ОJIЬЦУ радиуса Ь,
.нежащему в плоскости листа Rонцентрично е отврретием, то плотноеть индуцирован
Horo поверхноетноrо заряда в ТОЧRе Р равна
q (a2 b2/'2
[2п 2 (c2 b2) (c2 a2//2]
40. Пользуяеь решением преДыДущей заД3Чl1 и теорРмой взаимности rрипа,
ПОRазать (при помощи метода инверсии), что потенциал в 70ЧIЮ Р поверхности сферы,
часть которой поирыта тонкой металлической оБОЛОЧIЮИ, имеющей форму чаши
1) Ввиду ошиБRИ У автора эта задача приведена непосредственно из ШНП'И ДЖНlIса
с соответствующим переводом в прантичееRУЮ еиетему едшшц. При.м. перев.
Задачи
209
и заряженной до потенциаJШ V o , равен
2ТТ о . со:" а
7t arc sш eos О
Здееь О уr.?л между оеью симметрии еистемы и прямой, соединяющей точку пере
сечении этои оеи и поверхноети ,пиета с ТОЧRОЙ Р, а уrол между осью и прямой,
соединнющей ту же ТОЧRу с нраем «чаши».
41. Используя решение предыдущей задачи, найти первый член разложения потен
циала заряженной сферичесной «ч<нли» ПО сферичесним rармонинам. Все ТОЧЮI поверх
IIOСТП «чаши» находится на одннаковом раестоянии а от ннчала Rоординат, а УI'ОЛ
1
между ее осью и прямой, соединюощей начаnо координат е ираем «чаши», равен 2" '
JIользуш'Ь полученпым выражением, поназать, что емкоеть ТaJШЙ еистемы равпа
4Еа ( +sin В).
42. ИеПО;JЬЗуя решение задачи 39 и при меняя метод инверсии, найти плотность
поверхностноrо заряда, индуцироваЮlOrо на зазеМЛРIIНОЙ сферической проводяшей «чаше»
зарпдом, распределенным равномерно (е плотностью аl) по поверхности, дополняющей
«чашу» до сферы. IIутем наложения зарнда, paBHOMepJIO распредрленноrо по всей поверх
НО"ТИ сферы е п:ютноетыо a 1 , J](жазать, что плотности HOBepxHoCTHoro зарпда на BHYT
реннсй и внешней сторонах «чашю), заряженной до потенциала ТТ 0 , равпы соответст'венно
E V O [ sina . Sina ] EVO
ai== -arc Sln , а == а'.
1са (sin2 (j sin2 а)Ч2 SШ (j о а + ,
Обозначения те же, что и в задаче 40.
43*. Поверхность ПрОВОДИИIШ образована внешними поверхностями двух одинаковых
сфер, пересенающихся таким образом, что уrол Iежду их радиусами в точке пересече
нют равен 2п/3. Поназать, что емкость TaHoro проводнина равна
21саЕ (5 з lJ2.4),
rде а раДIIУС сфер.
44*. Изолировапный незаряженный проводпин:, образованный двумп одинаRОВЫМИ
сферами радиуса а, пересеlШЮЩИМИСЯ под прнмым Уl'ЛОМ, ВНОСIIТСЯ В однородное ЭJlеR
трическое ПОJIe напрпжетПlОСТИ Е тан:им оБРсl30М, что прпмая, соеДJШНlощая центры
сфер параJlлеЛЫlа СIШОВЫМ JШНИЯМ. Поназать, что зарпды, ипдуцированные на сферах,
равпы :!:: l1пЕа 2 Е/2.
45*. Поверхность проводпина состоит из б/шьших (внеШТIllХ) частей поверхностей
двух одинановых сфер радиуса а, пересеRающиXl-Я под yrJJOM п/3, и третъей сферы
радиуса С, перес.екающейсп е наждой из одинаковых сфер под прямым yrJIOM. ПОRазать,
что емкость TaKoro НРОВОДНИRа равна
4пЕ {с+а ( з lJ2 ) ac [ 2(a2+c2) 1[2 2(a2+3c2) 1[2+(a2+4c2) 1[2 ] } .
46*. Сферичеенаll оболочка радиуса а е маленьним отверсти м, площадь HOToporo
равна S, заряжена до потенциала У. Доказать, что заряд на внутренней стороне
1
оболочки меньше 2 Е V S / а.
47*. В ТОННОЙ проводпщей сферичесной оболоЧJ{С вырезано отверсти':J. Оболочна
зарпженн. Доказнть, что в JI]обой точке разность плотпоетсй поверхпоетноrо зарлда
на внутреннсй и внешней сторонах обо:roЧJШ постоянна.
48*. Поназать, что СМJЮСТЬ э;rлиптической П:'JаСТИНRП е маJIЫМ энецентриситетом е
П площадьJu А равна приб.пиженно
( А "\ 1[2 ( e е 6 )
8Е -;--) 1 + ь4 +- 64 .
49*. Объем э.плипеоидальноrо проводнИJШ, мало отшrчающеrося от шара, равен
объему шара радиуса r. Оеи эллипсоида равны 2r(1+a), 2r(1+B), 2r t+1'). Прене
бреrая кубами величин а, , 1', показать, что ero е шоеть равна
4rr.Er [ 1 + 125 (а 2 + 2 + 1'2) J .
50. Заряд сплюс,нутоrо сфероидаЛЫlOrо проводника с нолуосями а и Ь (а < Ь)
равен Q. IIоказать, что две ПОJlOВИНЫ, на ноторые сфероид рассенается диаметраJJЬНОЙ
14 В. Смайт
210 r лава V
плоскостью, отталкиваются друr от друrа с силой
Ь
Q2 [161t8 (b2 a2)J 1In .
а
51 *. Заряд вытянутоrо сфероидаЛЬНОJ'О НРОВОДНИRа с полуоеями а и Ь (а > Ь)
равен Q. ПОRаззть, что две половины, на ноторые сфероид раесенается диаметральной
плоеRоетью, оттаЛRиваютея друr от друrа с силой
а
Q2 [161tE (а 2 b2)] 11n ь.
Найти величину этой силы в случае сферы.
52*. 'l'онний RруrJJЫЙ ДИСR радиуr.а а окружен сфероидаJIЬНЫМ ПрОВОДНИl\ОМ, повсрх
_ность Iютороrо ПОJlучается вращением эллипса с фOl,усами S, Jlежащими на краю диеRа.
Эаряд диена равен Q, заряд сферопда Ql' Показать, что энерrин таной сиетемы раНШl
[Q2 L BSC + (Q + Ql)2 L SВСj/(81tЩ),
rде В точна пеРt)reчtшия оси вращенпи е поверхноетью сфероида, С центр диена
( сфероида) .
53*. Конденсатор состоит из двух Rонцентричпых и Rоанr.иальных сплюснутых
сфероидов е ма:lЫМИ ЭRсцентриситетами о и о'. Оси сфероидов, совпадающие по направ
лению е оеью симметрии, равны 2с и 2с'. Пренебреrая нвадратами ЭRсцентриситетов,
поназать, что емкость TaRoro нондевеатора равна
41t€CC'(C' C) 2[ c' c+f(oc' o'c)].
Найти с тоЙ же стененью точноети расвреде.nение зарлдз на каждой из оБRладон HOH
денеатора.
54*. Относительная ДИЭJlектричеСRая нроницаемость среды, Rоторая заполняет
IШнденсатор, состолщнй из двух Rонфональных вытлнутых сфероидов, лвляетсл фунн
цией точки и равна Kljw, rде ii) расстоиние от дюшой тоЧJШ ДО оси вращения.
ПОRазать, что емноеть TaHoro нонД':нсатора равна
21t2 vKl
ln а] + Ь 1 ) ' ,
\ а+Ь
rде а, Ь и ан b 1 ПОJJуоеи эллипсов, вращrнием которых получаются поверхноети
сфероидов.
55*. Тонкаи сфrрическая «чашз» образована частью поверхности сферы X 2 +y2+Z2 == cz,
ложащей внутри конуса (xja)2 + (yjb)2 == (Z;C)2. «Чаша,> соедипена с землей при помощи
тоНJЮЙ ПрОВОJIОКИ. НIJедем обозначения: О I!ачало координат, С ТОЧRа, циаметраJIЬНО
противопо,ттпжная О «<вершина чаши»), Q прои;шольная точка на "раю «чзшю>,
Р то'ша дупт большоrо Kpyra CQ. Доказать, что зарпд Е, помещенныЙ в точку О,
индуцирует на сфере новррхностный заряд, ШlОтность HOToporo в ТОЧRе Р равна
li27f.
I== \' dO l '
J (а 2 sin 2 О + Ь 2 cos 2 О) 12
О
;'6. Зарлд q паходитсн на расстоянии с от центра сфrрической полости радиуса а,
IJЫРШШННОЙ в бескош'чном диэлектрпке с относительноii ДI!ЭJlектричесной ПРОIНщае
мостью К. Поназать, что сила, действующая на заряд, равна
Ес CQ
41tabJ ОР2 (OP2 OQ2)1/2 '
rдr
00
(К 1)ч2 п(п+1) ( ) 2n+t.
41t€vC2 п + к (п + 1) а
n O
57. Проводящая заземленная сфера раднуса а Р:JсположеШI таким образом, что
ее центр находится IШ оси заряженноrо кольца, а радиуr вп,тор с, нропедеппый из
центра сферы к RОЛЬЦУ, образует с осью последнеrо yro.;{ а. Поназать, что еИJJа,
втяrJJвающая сферу в нольцо, равна
00
Q2 ( а ) 2n+!
41t€c 2 LJ (п + 1) Рn+1 (СОБ а) Рn (СОБ а) с-
О .
Задачи
211
58. СферичеСRие RООРДИНI\ТЫ нруr.ноrо нольца равны а, а. Шар радиуса Ь из
ДИЭ.'JеRтрика е ОТНООJТельной диэлеRтричреlШЙ проницаемостью К расположен таи, чтО
ero центр находится в нача.'Jе Rоординат. Принимая плотность линейноrо заряда Rольца
равной т, ПОRазать, что выражение для потенциала между RОЛЬЦОМ и сферой имеет вид
CXJ
;Е " Pn(cosa)sina {( : )n
n o
n (К 1) Ь 2n +1 }
Р {:osO.
a1t[n(K+1)+1}r1tH n( )
59. УчаСТОR поверхности сферы радиуса а, щ'жащпй между уrлами 6==а и 6 тo a,
нееет поверхностный заряд, распределенный е постоянной lIJJOТНОСТЬЮ (1. Доназать,
что выражение для потенциала вне сферы имеет вид
CXJ
аа r а ] 1 ( а ) 2n+1
{ СОБ а+ 4 1 [Р2n+l (СОБ a) P2n 1 (cos а)] Р 2n (eos 6).
Е L r п+ r
1
60. В заземленной фотоэлентричесной намере, представляющей собой сферу радп
уеа Ь, в качестве J{оллентора используется круr.rюе кольцо радиуеа а. НОJ1ЬЦО помеЩЕ'JIO
n центре; заряд ето рапсн Q. Показать, что нанряжепность поля на поверхности t'феры
равна
00
..!L ( 1 ) n 1'3... (2n 1)4n+ 1 ( !!:.. \2n Р ( О )
4ПЕ L.J 2.4...2п Ь2 Ь) 2n c()s .
n o
61. Точечный заряд q находится на расстоянии Ь от центра двух lюпцентричеСJ{ИХ
проводящих зазеМJfенных сфер, радиусы I{ОТОРЫХ равны соответственно а и с (причем
а < Ь < с). ПOlшзать, что }J области а < r < Ь выражепие ДJШ потеНЦИaJJa имеет пид
CXJ
q b2n 1 с2n+1 ( а2nН )
J7 == 4ПЕ ьnн (a2n"l c2nH) r n ;n,.1 Рn (cos О).
n O
62. На беекоиечной проводящей плоскости по;\н"щена ПОJJOВИJЩ ДИЭJJCRтрическоrо
шара радиуса а, прилеrающая к ПЛОСRОСПJ всей ПJющадью бсльшоrо Hpyra. Прямо над
ней, на расстоянии Ь от ПJЮСНОСТИ, находится точечный заряд Ч. ПОRазать, что вне
диэлеRТРИI{а lJЛОТНОСТЬ поверхностноrо заряда, индуцированноrо на ПJIOеRОСТИ, равна
CXJ
q [ ь nн (1 К)(2n+1)(2n+2)1'З...(2n+1 ) а4n+З ]
2п (b2+r2)3/2 +L.J ( 1) 1+(2n+1\(К+1) 2'4... (2n+2)Ь2М2r2n+З .
n o
63. Круrлыii дисн РаДИУСа с :ШРЯЖЕ'н до потенциа.JJа V 1 . IIоназать, что потенцпал,
создаваемый пшим диеRОМ В ш,ружающем I1lJOетраllстве, нри ,- > С равен
2V ... ( С ) 2n+1
( 1)" (2n + 1) 1 7' Р 2n (СОБ О).
Найти знаЧСJше потенциапа в оБJJaСТИ r < с.
64. Дна одинаковых IЮЛЫШ раДИУI,а а распопожены JIpyr против друrа в lIарал
леЛЫIЫХ плоскостях таннм образом, что радиус одното из JШХ виден из центра друrоrо
под уrJЮМ а. Считан заряды нолец раШП,IМП Q и Q', доказать, что сила отталюшания
-Между ними равна
CXJ
QQ' 1.3'5 (2n+1)
4 ( 1)n -'4:6 . (siпа)2n+ЗР 2 n+ 1 (соsа).
ПЕа Z. . . ZN
n O
65. lIроводнщие стенки сфсричесной ПОЛОСТJJ радиуса а понрыты изнутри слоем
однородноrо ДИЭJlеRТРИIШ; RНУТрСЮШЙ раДИуе такой ИЗОJтции равен Ь. IIСНазать, что
на точечный заряд Ч, находнщийся в ПОJЮСТИ на расстоянии с от центра, дейетвует
СИJШ
CXJ
L'\'
41tE v
n O
пc2n 1 НК 1) (п + 1) а 2n +1+ [(К + 1) п + 1] Ь 2nН }
b Oln + 1 {[(К + 1) п + К] а 2n +1 + (К 1) nЬ 2n +1}
14*
212
r лава V
, ' 66. Точечный заряд q находится на расстоянии с от центра заземленной проводя
щей сферы радиуеа а, НОRРЫТОЙ слоем диэлеRтрика, внешний радиус ROToporo равен Ь,
а относительная ДИЭЛeI,тр.ичеСI{ая проницаемость равна К. ПОRазать, что выражение
для потенциала Б диэлеRтрике имеет вид
сх)
q (2п + 1) Ь 2n +1 (rn a2n+1r n 1)
41tE v C сn{[(К+1)п+1]Ь2n"'I+(п+1)(К 1)а2n+1} Рn(СОБО).
" O
67*. в однородное элеRтричееRое поле напряженноети F вносится изолированная
проводящая сфера радиуса а, ПОJ1НЫЙ заряд RОТОРОЙ равен нулю. ПОRазать, что еСJJИ рассечь
еферу на две половины плосностью, перпендинулнрной к направлению по.rJя, то по.ну
9
ченные полуеферы будут стреМИТЬС!J раздвинутьс.я и поrребуется сила, равная 4пЕа2р2,
чтобы удержать их вместе.
68*. Н изо.rшрованном незаряжеНJlОМ сферичеСRОМ nрОВОДШfRе имеетеЯ сферпчеснан
полость радиуса Ь. В полости находится проnодлщий шар радиуса а, зпрнд HOTOpOl'O
равеи Q. Расстояние с между центрами шара и ПQ;ЮСТН очень мало. Пренебреrая чле
нами порядка с 2 найти потенциал внутри полости и поназать, что ПJJOтноеть заряда
в ТОЧRе Р поверхности шара равна
!L ( 3ССОБО )
41t а 2 b3 a3 '
rде (J уrол между радиусом, проходящим через ТОЧRУ Р, и прямой, соеДИНЯIOщей
центры иолоети и шара.
69*. Уралненис поверХности проводнина имеет вид r a (1+0Р,,), причем величина о
очень мала. ПРОВОДНИR вноеитеп в однородное элеRтричеСJюе поле напряжеНJlоети р,
параллельное ОСИ rаРМОНИR Рn' Поназать, что П:lOтноеть индупироваНll0J'0 заряда
н любой точне новррхноети TaRoro нроводнина БО,'Iыпе плотности зарндз, ноторый воз
НИR бы, ссли бы поверхноеть проводника была сферической, на величину
[ 3пЕРО ]
2п+1 [(п+1) Р1>+1 +(n 2) P" l]'
70*. Уравнение поnерхпост:и проводюша, заряжепноrо до потеНIlиала V, имеет
Вид r а (1 + оР ")' Проводнин онружен СJюем диэлеJ{ТРИRа (К), причем поверхность
раздела диэлеНТРИRа с онружающей средой (воздухом) задана уравнепдем r==b (1 +YIP,,).
Пренебреrая Rвпдратами и более ВЫСОЮIМИ степенями величин о и "1, .ПОRазать, что
nотенциаJJ в окружающей среде на расстоянии r от начала ноординат равен
KabV { 1 (2n+1)оаnЬ2п+1+(К 1)'фn[пЬ2n+l+(п+1)а2n+l] Р" 1
(К 1) а+Ь + (1+п+пК) Ь 2nН +(К 1) (п+ 1) а 2nН r n ,1 J
71*. Поверхность заземленнOl'О проводника задапа уравнением
r a (1 + "1 8 n) ,
rде нсличина "1 очень мала. ПОRазать, что точечный заряд, находящийся на раеетоя
НИI; f от начала КООрЮПlат в точке е уrловыми иоордмнатами (J и 9, индуцирует на
ПрОВОДНИRе заряд, равный приближенно
; [ 1+( ; )" "18,,(0, 9)] .
72*. 3аземленпая проводящая сфера радиуса соиружена нонцентричным ей I,pyr-
лым проuо.тючным JШJIЬЦОМ радиуса а. Заряд. ПРИХОДIlШИЙI"II па I'диницу длины Rольца,
равен е. ПOl{азать, что плотпоеть поверхноетноrо заряда на сфере равна
е [ 1 ( сУ 1.3 ( С ) 4 , 1.3.5 /' с '\ 6 1
2C" 1 52 а J Р2*9 2.4 а P4 13 2.4.6 \. а ) Р 6 + ', .1
73*. Диэлснтричест{ий шар онружеп тонким ируrлым проволочным НОЛЬЦШТ, Hecy
1цим заряд Q. Радиус Rольца Ь значите.rJЬНО БОJlьше радиуса шара. ПОRазать, что потен
циал внутри шара имеет вид
Q
41tEvb
сх)
[ n 1+4п 1'3'5... (2п 1) ( ,. ) 2n ]
1+ k.J ( 1) 1+2n(1+К) 2'46... 2п. Ь Р 2n
1
Задачи
213
74*. Проводящая ефера радиуеа а QJ,ружена ионпентричной диэлеRтрической
(е относите.т:ьной проницаемоетью К) оболочкой, внешний радиус RОТОРОЙ равен 2а.
Показать, что, Rоrда такач сиетема вноситси в однородное элеитричеСRое поле напря
тенноети F, на ПрОВОДНИRе появляются .зарнды, противоположные по знану и равные
по величине
361ta2EVF Kj(5K + 7).
75*. Проводтций шар радиуса а ОRружен оболочкой из ОДRородноrо диэлентрина К.
Внешний радиус оболочни равен Ь, а центр ее нах(,дится на малом расстоянии l' от
центра шара. Предполаrая. что потенциал шара равен V, а друrих ПРОВОДНJшов iз OHpy
тающем проетранстве не имеется, поназать, что плотность заряда на поверхноети шара
равна приБJJИжеlJНО
E v KJ7b [ 1 6(K 1)'1a2cosO ]
a[(K 1)a+b] +2(K 1)a"+(K+Z)b3 '
('де б уrол между радиуеО!\f, проведенным в ту точку, rде ищете я плотноеть наряда,
и прямой, соединяющей центры шара и оболочки.
76*. Внутри стеlШШIНОЙ оболочии, оrраниченной Rонцентричесними сферами ради
уеов а и Ь (а < Ь), находитея зарнд q, рае положенный в точие Q на MaJIOM раестоянии с
От центра сфер О. Поназать, что потенциал в точне Р вне оБОЛОЧRИ на расстоянии r
ОТ то'ши Q равен приближенно
q [ 1 2c(b3 a3)(K 1)2 е ОSб ]
41tEV r+2a" (K 1)2 b" (К +2) (2К +1) '
rде К относительная диэлентричеCJ,ая проницаемость еТClша, а U уrол между QP
и OQ.
77. Поназать, что диэлеRтричеений шар радиуса а (относительная нроницаемость
шара равна К) и точечный зарнд q, раеполошенный на расетоянии с от ero цС'нтра,
llритяrиваютеп с еилой
00
(1------'К) q2 п (п+1) r .!!:... ) 2n+1
4nEvC2 Li 1+(К +1) п \ с
n 1
78. Проводящая сфера радиуса а насажС'иа па проводящий нонус, поверхноеть
иотороrо псрееClшется с поверхноетью еферы под прямым yrJIOM, а yrOJI раетвора
равен 2(n a). ПОRазать, что в том случае, ноrда ТaIШЯ еиетема заряжена, выражение для
потеНЦИl!ла имеет вид
А (rn a2nHr n 1) Р п (СОБ б),
1
('де О<п < 1 и Pn(cosa)==O нри а>2 n.
79. Два Iюаксиальпых преnодящих нопуса, уrJIЫ раетвора' ноторых, измеренные
ОТ llоложитепьноrо направлении оси, равны еоответетвенно 2а и 2 , нересеRаются OpTO
rОНaJIЬНО е проводящей СфС'рОЙ радиуеа а. IIоназать, что если такая система заряжС'на,
то потенциал вне сферы в проетранетве между копуса ш равен
А (rn a2nHr n 1) [Q" (СОБ ) Р п (СОБ (J) Pn (еОБ ) Qn (cos (J)),
('де п наименьшее чиело, для ROToporo
Qn (еОБ ) Р п (еОБа) Рп (СОБ ) Qn (СОБ а)==О.
80. Сплюснутый диэлентричеСRИЙ сфероид е поверхноетью :0 вноеится в OДHOpOД
вое элентричееное попе Е, параллельное оси Е 1. Поназать. что ПОJlе внутри сфероида
однородно и ero напряженноеть равна
Е
(К lHo [(1 + ( ) are ctg (o (o] K'
81. СфС'рпид, описанный в предыдущей задаче, вноситен в однородное ПОJlе Е,
перпеНДИRулррное I{ оси Е == 1. Поназать, что поде внутри сфероида однородно и еС'о
вапряжевность равна
2Е
2+ (К 1Ho [(1 +( ) arc ctg(o (o] .
82. Вытянутый диэпеRтричесний сфероид е поверхноетью 110 вноситея в однородное
электричеСRое ноле Е, параJJЛельное оси е == 1. ПОRазать, что поле внутри сфероида
211,
r лава V
однородно и cro ШlПрпжснноеть равна
Е
(К 1) 'ijo [(1 'Ij ) ar cth 'ljo+'ljo] К
8;{. Сфероид, описанный в предыдущей задаче, вноеитея в однородное поле Е, пер
llеНдикулнрное к оси == 1. ПОRазать, что ПОJJе внутри сфероида однородно и ero IЩПРЯ
жеПIJоеть равна _
2Е
2+(K 1) 'ljo l(1 'ljб) Щ' сth'ljо+т.оJ
84. СферОIlД, отноеите:IЫШЯ диэлеI{трическаи проницаемоеть Iютороrо равна К,
вносит сп В однородное элрктричеекое поле Е таким образом, что ero оеь вращения обра
зует уrол а С полем. ПOIшзать, что па ефероид дейетвуст момент, равный
1t€v (K 1) m2пE(El E2) sin 2а,
['де п ПО:Jуоеь n направлснпи оси вращения и' т нолуоеь, перпеНДИКУJшрнан R ней.
Для сплюспутоrо сфРроида Е. и Е2 ПО.1Я, полученные соотnетствешю в реЗУJIьтате
решения задач 80'и 81, причем (о == п (т2 п2) lt2. Дпя вытннутоrо ефероида Еl и E2
поли, иолученные соответственно в результате решения задач 82 и 83, rдс 'ljo ==
== п (п2 т2) lt2.
8:>. Заземленный проводлщиii Дисн радиуса а, ур:шнепие [{OTOPOl'O имеет вид (== О,
находитеп в поле точечноrо заряда q, расположенноrо n точке 1, сО. О. ПШШ31lТЬ, что
ПОТСJН{IШЛ, обуеловленный ипдуциролапньш па диен:е зар:щом, рапен
<х>
V i == ,, (4п + 1) Q2п (;(0) Q2n (/() Р 2п ( ).
п Еа LJ
п O
86. I10льзуяеь теоремой взаимноети rрипа и реЗУJJьтатами, попученпыми в 28е
rл. V, ион:азать, что потенциал, созданный заряженным кольцом, уравнения I{OTOpOro
имеют вид (==(0' == o' равен
<х>
jQ
Vi == 41t€a (2п+1) Р п и(о) Р п ( o) Qп Ы) Р п ( ),
п O
['де (> (о и Q зарнд кольца. Найти выражение для потенциала, справедшшое при ( < (о.
87. 3азеlVшеипый лроводящий дис[{ радиуса а находится в поле заряженноrо кольца,
"равнения Iютороrо имеют вид (==(0, Е == o' Заряд кольца равен Q. IIOJшзать, что потен
i иал, создаваемый индуцированным зарядом, равен
<х>
Vi ==' ) (4п+ 1) Q2n (;(0) Р 2п ( o) Q2п (/() P2п( )'
n: Еа ..LJ
п O
88. Верхнлн и нижнпя половины еПЛJOснутоrо еферОllда (==(0 JlЗОJшрованы ДРУJ'
01' друrа и зарнжены соответственно до потенциалоп + V o и ТТ 0 . ПОRазать, что лыра
женпс для нотенциа:J3 во внешнем проетранетве имеет вид
<х>
п 1.3... (2п+1) (4n+3)Q2п+1 (;() Р
V Vo LJ ( 1) 2.4... [2 (п+ 1)Н2п т 1) Q2п+l и o) 2п+l Щ.
п O
Найти вырашение для потснпиала ннутри сфероида.
89. По поверхноети вытянутоrо ефероида 'Ij == 'ljo расиределен с плотностью CI ( , tp)
поверхностный заряд. Пользуяеь методом, ИЗJJOШeJШЫМ в Э 28д rл. V, показать, что
пыражение для потенциала внутри сфероида имеет вид
<х> п
V МтпР': ('Ij) P ( ) cos т (tp tpm),
п O т O
Задачи
215
еде l\оэффициенты М т » равны
( 1)т(2 o )(2n+1) [ (n т)!
4пЕС2 , (n+т)!
+1 2п
J2Q ("'0) \ ClР (Е)соsm('f 'fm)h]hзdЕd'f,
1 О
БеШIЧИНЫ h], h3 определяются формула:'iIИ (5.289) и (5.290). НаЙти аналоrичное Bыpa
щение для потенциала во внешнем пространстве.
90. Иепопьзул решение предыдущей задачи, пон:азать, что потенциал точечноr()
яаряда q, расиоложениоrо в ТОЧI{е Ео, "10' 'fo при "1 > "10' равен
со n
"5; (2 .oO)( 1)т (2n+ 1) [ (n т)! ] 2 Х
4пЕС2 LJ m (п+т)!
n o т O
х p (Е) Q ("1) p ("10) p (Е о ) СОБ m ('f 'fo)'
1l0пучить еоответетвующее выражение ири "1 < "10'
91. Внутри цилиндрической ПОJIОСТlJ радиуса а, оrраниченпой заземленными IIрОВО
)J,лщими етсНlШМИ, расположено (]{оансиалыю ПOJlOети) зарлженное нольцо раДИУСI\ Ь.
Пользунсь выраЖCIlllем дли ПОТОll\иала внутрн полости, обуеЛОВJЮНIlOl'О точечным заря
)юм q, llаХОДШЛJlмея па оси 1I000lOетп, '1 TCOpCMOii взаlШПОСТJJ l'рина, наЙтп потенпиал,
<;оадаваемыЙ кольцом на оси. Поназать, что при z < С этот потенциал рввеи
со
п:а 2
" 1
sh flhZ БЬ flh (L c) J o (flh b ) J o (l'hP)
shfLh L flh[J 1 (flh a )]2 '
Жlричем ноординаты оснований ПОJюети и ПЛОСRоети lшльца равпы соответственно z == О,
z== L и z== С, а значения flh выбраны так, что J o (flka) 0= О. Поназать', что, еоrласно фор
муле (3.27). HI\ кольцо деЙетвует сила
со
q2
2пЕа 2 LJ
" 1
shflh(IJ 2c) [ JO(l'k b ) J 2
sh flkL J] (flka) ,
;направленная R оеновапию полости.
92. Цилиндрическая по, ;ость оrраничена ПрОJJОДЯЩИМИ стеннамн z ==:1:: С и р == а.
Полость расеечена шюскостью z == о; верхняя и нижшт части ИЗОЛl<рованы друr от друrа
и заряжены соответственно до потенциалон + У 0 и ТТ 0 . Показать, что потенциал
шутри ПОJJоети лается ныражением
со
V ==:1:: V o { 1 .3.. sh rflk (c 1 z 1») J o (flhP) } ,
а LJ flk sh flhC J) (flha)
1, 1
!'де J o (flka) ==О, а Знак совпадает ео ЗН3IЮМ Z. Друrое выражение для потенциала
J<MeeT ВИД
со
V == J7 [ ..:..+.3.. 10 (nпр/с) sin ( nnz ) ] .
о С п LJ n1 о (nпа/с) С
71 1
93. Цилиндричеекая полость оrраНlJчена ПРОВОДЯЩИМИ етеНJ{ами z == :1:: С, р == а.
Стенни полоети заз('млены, за ИСRJlючение!vl площадо]{ на оен()вапнях, имеющих вид
диеRОВ радиуса Ь и заряшенных соответственно до потенциалов + У 0 и V o . ПОRазать,
'Что потенциал внутри полости при р > ь равен
00
2bV o Sh[J-k zJ ] (flhb)Jo(flkP)
а 2 flk sh flh C [J 1 (flk a )J2 '
" 1
«,де J o (flka) ==0, или
со
2bV o ( 1)" Ко (nпа/с) 1 о (nц/c) 10 (nпа/с) Ко (nпр/с) 1 ( nпЬ )
С Jo(nna/c) ) С
п==1
. ( nnz )
Slll С '
216
r лава V
а потенциал в области р < ь равен
со
V o [ Z+2b "" ( 1)n Ко (ппа/с) 11 (ппЫс) + 1() (ппа/с) К 1 (ппЬ/с) 1 ( ппр ) sin ( )]
c.c.J 10 (ппа/с) о с с
'11 1
94. Полубесконечная цилиндрическая труба радиуса а имеет проводящие стеНl{И
и оrраничеlJ3 с одноrо конца плО!жой ПрОJJодшцrй пластинкой, перпеНДIlНУJIЯРНОЙ н ее
оси и имеющей тот же потеНЦllаJl, что и труба. На оси трубы на расстояпии Ь от пла
стинки находится точечный заряд q. Поназать, что на заряд действует сила
2 со [ fLkb ] 2
2;Еа 2 J: (fLka) ,
k 1
rде J o (fLka) ==0.
95. Область, лежащая ниже плосности z == О внутри цилиндра с ПРОJJОДЯЩИМИ степ
лами радиуса а, заполнена диэлектриком с относительной диэлентрической проницае
l\ЮСТЬЮ К. На оси цилиндра в точке z == Ь находится заряд q. Показать, что потенциал
в области z > О определяетсн выражением
со
"" [ e fLkIZ bl K l e fLh(Z+b) ] JO(fLhP)
.2 7tE v a2 .C.J К + 1 fLh [J 1 (fLha)j2 '
h 1
rде J о (fLha) == О. Найти выражение для потенциаJ13 в диэлектрике.
96. Поверхность проводнина образована вращением QJ,ружности радиуса а ВОНРУl'
ОДНОЙ IIЗ ее касательных. Показать, что емкость TaKoro проводника равна
rде J о (fLha) == О.
97. Проводник, описанный в предыдущей задаче, вноситсн, будучи незаряжеIШЫМ,
JJ однородное элентричеСJ{ое ноле Е, параJше.'IЬное оси вращения ПрОВОДНIша. I10казать.
что потенциал результирующеrо поля, выраженный в полярных ноординатах, равен
со со
"" \ fL а sh '1'
87tEa.c.J [J 1 (fLha)] l J е h d'f,
h 1 о
со
2 a2
k 1
rAe J o (fLka) ==0.
98. ПрОJJОДНИН, рассмотренный в предыдущой задаче, повернут так, что внешнее поле Е
стало перпеНДllКУЛЯРПЫl\lН оси вращеlJJШ. Поназать, что при J о (fLha) == О потенциал ранен
l'ha2r 1 cos в J o (fLha2r 1 <;in 6)
е [J 1 (fLh a )j2
со
4Еа 2 f'ha2r 1 cos О
е
r
h 1
J 1 (fLha2r Cl sin 6)
J ? cos<p.
I 2([J<h a )j"
99. Показать, что выражение Д.:JЯ потепциала, созданноrо заряженным КОЛЫ\'J I
радиуса а, имеет вид
при р < а
со
'2 E Ко (ka) 10 (kp) coskzdk
о
или при р > а
со
2 (" 10 (ka) Ко (kp) cos kz dk,
7t Е
О
rде Q зарнд коnьца.
100. КОJIЬЦО радиуса а, несущее заряд Q, расположено так, что ero ось совпадает
с осью беснонечноrо диэлектричесноrо ЦИJlИндра радиуса Ь. Поназать, что потенциаJI
в диэлеКТРИJ{е равен
со
2 2E W (k) 10 (kp) Ко (ka) cos kz dk,
о
rAe 1]J' (k)==[1+kb (К 1) I (kb) Ко (kb)] l.
. Задачи
217
101. Посередине между ПЛОСКоетями z==e и z== e, потенциалы которых равны
соответственно Ее и Ee, расположено заземленное тороидальное НОЛЬЦо, поверхность
Iютороrо получаетсн путем вращении онружности радиуса а с центром в ТОЧJШ Р == Ь
Относительно оси, лежащей в П.JJоекости он:ружности. Пон:азать, что потенциал «н:оль
цевых мультиполей», расположенных на он:ружности р == Ь, z == О, обращающийся в нуль
при z==o и соответствующий полю, пернеНДИI{УJJЯРНОМУ н ПЛОСIЮСТНМ, равен (J2rVljaz2r,
rде V 1 нотенциал «Н:ОЛьценоrо диполю) с моментом М, равный
при р < Ь
00
м
2€e2 .LJ nКО
п 1
( nпЬ "\ 1 ( nпр ) . n7tz
)o sш
е / е е
и при р > Ь
00
1"v1 1 ( nпь ) К ( nп р ) .
2€e 2 .LJ n о е о е sш с '
п 1
Показать далее, что потенциал, обращающийся в нуль не на всей повер;хности н:ольца,
а на 2т он:ружностях P==Ps, z==:f::zs, rДе 0< в-<,т и (ps b)2+.z;==a2, равен
00
( nпЬ ) ( nпр ) . n1tz
V==ЕZ+.L,J(Аln+А2nз+...+Атn2П'1+1)Ко c 10 7 sш .
п 1
Последнее выражение справедливо при р < Ь; для' случая р > ь р и Ь надо поменять
местами. Коэффициенты Ат равны
V H Vr I,l Z. Vr+1,1
Ат==Е V I2 ... Vr 1,2Z2TTr+],2
ТТ нп Vr l, mzтVrH, т
.. . V m1 V l1 V 21 V m1
V т2 V a V 22 V m2
V mm ТТ 1т V 2m V mm
Если р. < Ь, то
00
V 2rHK ( nпЬ ) 1 ( nпр.. ) " n1tz s
rs .L,J n о о :-iШ .
п 1
в области р.. > Ь надо П!Jменять местами Рs'И Ь. Если ВОСПОJIьзоваТЬСff ТОЛЬНО ноэффи
циеНТО 1 Al' то условие V == О будет УДОВJJетворяться на окружностлх р == Ь, z :I- п,
что дает прР.н:расный результат в случае а е и а Ь. Данная задача ЯВляется тинич
ным примером нахождении нриБЮlженноrо решенил .
102. Пользуясь формулами (5.15), (5.375) и (5.377), поназать, что потенциа.JJ, создан
ный в окружающем пространстве ДИСНОМ радиуса а, несущим заряд Q, равен
00
д----.. \ e k I z I J ( k ) sin ka dk.
4п€a ) о Р k
о
103. Потенциал, обус.лОВJШННЫЙ ПЛОСIШМ бссн:онечным проводнщим листом, несущим
на обеих сторонах равномерио распреДС.fJенный (с плотностью 0"0) поверхиостный заряд,
равеи V o . ИСНОJJЬЗУЯ результаты Э 28в И 31в rл. У, пон:азать, что потенциал, создап
вый тан:им J1ИСТОМ при наличии в нем отверстия ралиуса а, равен
00
V . ( e klzIJo(kP) ( sinka ) dk.
о п€ k k2
О
104. цилиндр радиуса Р== а онирается на заземлснпую Н.Посность z==O. Вдоль
цилиндра поддерживается равномерное пад ние потенциа:;rа, причем потенциал цилиндра
в том месте, rJIe он нересен:ается со nторои заземленнои нлосноетью z== е, равен V o .
(цилиндр и вторая П.лосность и:юлированы друr от JIpyra.) Поназать, что ВЪJраженис
для потенциала вне цилиндра между IlJЮСНОСТЯМИ имеет вид
00
V== 2:0 ] ( 1)п'I
п 1
sin (n7tzje) Ко (п7tpje)
n Ко (ппaje)
218
ТJива V
105. Потенциалы стенон нольцевой цилиндричеCl{ОЙ полоети р == а, р == Ь, z==O,
z==c равны еООТВС'Iивенно 11 (z), 12 (z), 1з (р), 14 (р). Понанать, что потенциал внутри
ПО.ЛОСТИ пвляется супернозицней четырех фУНJщий: двух фующий, тина рассмотренных
lJ 3 31д rл. У, и двух, типа расемотренпых в Э 3'7 rл. V.
106. Точечный зарнд q находитсн в точке z==Zo, р==Ь, 'f== . Плосноети 11'==0 и
'f == а, а танже цилиндр радиуса р== а имеют потенциал, равный НУЛI6, причем О < < а
11 () < Ь < а. Поназать, что выражение для потенциала имеет вид
2q J81t/,-,(fl-rb)sin(s7t /a) fJ.rlz zol . S7t'f
V == LJ LJ [J ('2 е J81t/11. (fl-r р) БШ ,
ваа Рт (8п/,-,) + 1 fl-r a)J' а
8 1 T 1
rде J 81t /",(r.1 r a)==0.
107. Полу6еснонечный заряженный ироводящий лист имеет ВЫНУJШОСТЬ в виде
сплю('нутоrо сфероида, ось KOToporo совпадает е кр,шм листа. },/равнение НОl1ерхности
сфероида (== o. Поназап>, что выражение длн потенциала Иl\1('ет ШJД
V ==с { (1 +t 2 )lJ4 (1 + 5)Ч2 [(1 + (2)Ч2 L] } (1 Е2)Ч4 СОБ .
(1+ 2)Ч4 [(1, нюI/2 0] 2 11'
108. В ДИЭJ!СI{тричесн:ом шаре раДПуеа а вырезан сектор: площадью среза шар
ПрПJJеrает к беснонечному нроводящему нюшу с упюм раетнора а, причем ПОIJерхнос,ти
шара и клина пересенаются ортоrоналыlO. Поназать, что если Н.лин заряжен, то потен
циаJIЫ внутри и вне шара равны соотвстетвенно
. с' а + 2п . О '"/" 'ТС'!'
Vt а+п (1+К) (rsш) СОБ а '
1t
V == с [ п/,-, 7t (К 1) ап/" ( .!1'. ' ) ;;+1 ] ( . ) 1t/" 7t'f
о r а+п(1.+.!{) r SШu СОБ а .
109. 3арнженный проводищпй JШИН ео СТОр'онами 11' == + а И 'f == a пересенаетея
НОД прямым УI'ЛОМ С заРf!женной проводшцей ПЛОСJШСТЬЮ z == о.. Показать, что в облас
тп . a < 11' < +а и 0< z потенциаJJ равен
Czpm cos т<р,
rде т наименьшее чиело, ДJJЯ HOToporo cos та == О.
110. Даны три заряженные ортоrональные проводнщие поверхности: IШИН со CTO
ронамп !f==+a и <p== a, п.'lОСКОСТЬ z==o II цилиндр р==а. Поназать, что в области
a < <р < +а, z > О ир> а потенциал равен
Cz (рIЛ а 2т p т) cos т<р,
rде m наименьшее число, ДJШ ROToporo СОБ та ==0.
111. Дапы три заряженные ортоrопальные про водящие
1
ронами <р==+а II !f== a, плоскость 6=="2п И сфера r==a.
a < <р < +а, z > О и r> а потенциал равен
поверхности: НЛИН со eTO
Поназать, что в облаети
с (rm+1 а2m..з r m 2) cos 6 sin m 6 cos т <р,
I;де"'т наименьmее число, для KOToporo cosma==O.
f: 112. Заряженный ПрОlJОДНИН имеет Пlубоное нрямоуrольное уr.лубление, стенки
HOToporo опредеJlНютея уравненинми х==О, х==а, у==О, у==Ь и z==o. Показать, что
потенциал внутри УJ'.тIуБJJения, вдали от отнрытоrо ero конца, равен
V С . пХ . пу h [ ( 2 +Ь 2 ) Ч2 7tZ ]
== SШ а SШ ь s а аЬ '
113. Стенки беснонечной заземленной проводящей трубы прямоуrО.тIьноrо сечения
опредеЛНЮТfН уравнеНИfIМИ х==О, х==а и у==о, y b. В точне х==х о , У==Уо' z==zo
внутри трубы находится точечный заряд. Поназать, что потенциал в такой системе pa
вен
00 00
V == 2q (т2а2+n2Ь2) Ч2е (m2a2+'I12b?)lJ21tlz zollab Х
'ItB.LJ .,LJ
'I1 1т 1
х sin nпхо sin nпх . тпуо . тпу
а аSШ Slllь,
Задачи
219
114. В заземленном проВоднине вырезана полоеть, стеНRИ ноторой определяются
уравнеНIНJМИ х==о, х==а, 1/==>0, у==Ь, z"""o, z==c. В точr,е х о , уо, Zo находится точеч
вый заряд Ч. Поназать, что потепциал внутри полоети будет равен
00 00
J7 4ч '\,1 sh А тn (c zo) БЬ А тn z . nпх о . nпх . тпуо . тnу
€ab .LJ L; AтnshAтnc sш sш sш Бrn ,
n 1 т 1
l'де А тn == n (т 2 а 2 + n2b2)1/2/ab. Эта формула справеДJIива в облаети z < zo; n области
надо поменять меетаМlI z и zo. Поназать, что z н:омпонента дейетвующей на
еилы равна
00 00
Fz== : cose('hAтncShAтn(c 2zo)sin2 n:xO sin 2 т: у о .
n 1 т 1
z > Zo
заряд
Чтобы получить номпоненту РХ, CJIel1.yeT в формулах для р' и А тn замеrШТI, а на с,
с на а, хо на Zo и Zo на хо' Со()твететвенно для Ру следует в выражении длfl Р ' И А тn
заменить Ь на с, с на Ь, Zo на уо и уо на zo'
115. Поназать, что выражение для потенцла.па диполя m, параллельпоrо оеи О и
расположеНН9rо n ТОЧJ<е Ь, а, о, имеет вид
00 n
m 2 о (n т)! ( r ) n рт m
4n€b 2 .LJ .LJ ( Oт)(т n 1) (n+т)! Ь n+l (cosa)Pn (СОБб)СОБт<р.
n O т O
Формула справедшrва при r < Ь. В елучае r> Ь еледует заменить (r/b)n на (b/r)n+l.
116. Центр шара, и;:,rотовлеНIюrо из диэлектрин:а е относительной НРtJшrнаемостью
К и имеющеrо радиуе а, СОJJиадает с нача,;ЮМ ноординат. В точrш r находится диполь
т, причем уrол между m и r равен а. Показать, что на диполь действует мо юнт,
равный
со n
(K 1)т2 (2 O?п)n(т n 1)(n т)! ( ) 2n+1
4nzvr' sin c< .LJ.LJ (nК + n + 1) (n +т) 1 r Х
n O т O
Х [(n+l)p;r+(n m+1)Pii'+I] Р;.,п;1
(apryMeH'f cos а у фуннций Лежандра опущен). Пон:азать, что на диполь действует сила
00 n
(K 1) т 2 СОБс< (2 o ,) n (n+1) (n+2)(т n 1) (n т) I х
.47t€v r4 .LJ.LJ (nК +n+ 1) (n + т) !
n O т O
( а ) 2n+l
Х рт рт
r n+l n'
117. Путем вращении BOI\pyr оси х преобраЗОВflНИЯ, pacCMoTpeHHoro в Э 14 rл. IV,
получпть (ПОJJаrан иl ==и и и2 == V) уравнение (5.62) для этоrо случая. Подетавить в
уравнение (5.62) nмеето U выражение (сЬ и 1 cos и 2 )Ч2 и 1 (U 1 ) и 2 (и2) и показать, что
дифференциальные уравнения для U 2 И U 1 имеют вид
d 2 U 2 2 а 2 и\ + ' h dUl ( 2 1 + т2 ) U O
a 2 == n и 2 , a 2 <t Ul d n 4 b 2 ] .
и 2 и 1 и ! s и]
Последнее совпадает с уравнепием (5.178), еСJJИ n заменить на n и fl. на сЬ иl'
118. Тор, полученный вращением онружности радИуса Ь, заданной уравнением
иl==и O (см. предыдущую задачу), заряжен до потенциала V o . Поназать, что выражение
для потенциала во внешнем пространстве имеет вид
00
Ч2 ( 2)n (2n + 1) Р Ч2 (cth и о ) Р n Ч2 (сЬ и 1 )
2V o (сЬ и ] cos и 2 ) .LJ 1/}> (Ь) cos nи2'
. (2n + 1)11 (Б1! ио) 2 n Ч2 с ио
n o
rде еЬ ио равен с/Ь (с расстоянпе от центра он:ружности ио до прямой и 1 ==0).
220
r лава V
119. Найти полный заряд тора, описанноrо в предыдущей задаче, путем cpaBHe
пия потенциала при и 1 ==0 и и2==0 с потенциалом q/4тc€r. Показать, что емкость тора
равна
00
Ч2 Ч2 ( 2)п(2п+l)Р Ч9 (ct,hиo)
8тc€2 b(shи o ) LJ (2п+1)!!Рп Ч (ehи o ) .
п O 2
120. Тор, описанный в задаче 118, вноситсн в однородное поле Е, параллельное
ero оси вращения. ПОRазать, что потенциаJJ результирующеrо поля равен
00
V==Ex+ (Chиl COSU2)1/2 AпPп I/2 (Chиl)sinnи2'
п l
rде
4 (2п+1) ( 2)п паЕ о Р'2. Ч2 (eth и о )
Aп 1 .
(2п+ 1)!! (sh ио) /2 Р п Ч2 (ch ио)
Значения а опреДСJJЛЮТСЯ из уравнения (4.67) и U ==и о .
121. Тор, описанный в задаче 118, вносится в однородное поле Е, перпендикуляр
ное н ero оси вращения. Показать, что потеНЦllал во внешнем пространстве равен
00
Е СОБ [ Р+ (ch иl СОБ и2)Ч2 А п Р Ч2 (ch и 1 ) СОБ пи2 ] ,
п O
rде
Аn==
(2п 1) (2п + 1)( 2)п+l Ь (sh ио) Ч2 P /2 (eth и о )
(2п + 1)!! Р Ч2 (ch ио)
122. Путем вращения вш,руr оси у преобразования, pacCMoтpeHHoro в Э 1.4 rл. IV,
получить (ПОЛal'ая и 1 == U и и 2 == V) уравнение (5.62) для этоrо случая. Подставить в
уравнение (5.62) вместо U выражение (ChUl COSU2)1j2 U 1 (U 1 ) и 2 (и 2 ) и ПOlшзать, что
диффсреJщиаЛЫПJе уравнения для U 1 И U 2 имеют вид
d 2 U\ ( 1 ) 2
dиi == n+2" U 1 ,
d 2 U 2 dU 2 [ т2 ]
d 2 + ctgи2 d + п(п+l) и 2 ==о.
и 2 и2 Sln и2
Последнее сnвпадаст С уравнением (5.102), если О заменить на и2'
123. Две сферы и\ ==и о и Щ == иo, полученные в предыдущей задаче, вносятся
в однородное поле, lП\юющое потенциал Ez, таким обраЗ0М, что прямая, соединяющая ИХ
центры, пара,плельна полю, а потенциалы сфер оказываются рапными соответственно
V o и V o . Показать, что выражение для потенциала во внешнем пространстве ИМl\ет
вид
00
Ez+(chиl COSи2)lJ2 Ansh (n+ )и 1 Рп(СОБи2)'
п O
rде
А п == 23/2 [Vo (2n+ 1) ЕЬ sh и о ] (e(2п+l)иo 1) 1.
.
в .Пос.педнем выражении ch ио==с/Ь, Ь радиус сфер, с раССТОЯНIlе между их цРнтраl\IИ.
124. Предполаrая в предыдущей задачр, что сферы незаряжены, получить следу
IOщее выражение дия потенциала:
00
2п + 1.
Vo==Ebshи o LJ e(2п+l)иO 1.
п O
00
[ 1 ] 1
e(2п+l)иo 1 .
п O
125. ПOl,азать, что между сферами, рассмотренными в предыдущей задаче, ДСЙ.
ствует сила, определяемая выражением
00
1 " .
p==;[тc€ LJ [(2п + 1) Aп 2 (п + 1) А п + 1] Аn,
п O '
Лиmераmура
221
rде Rоэффициенты А п получаются подстановной V O ИЗ задачи 124 в выражение длн А п
задачи 123.
126. Потенциал внешних ИСТ{)ЧНIшов имеет на поверхности сферы раДиуса а зна
чение f (6), rде 6 полярный уrол. Используя разложение Э 1fiж rл. V и суммируи
ряды ПОД 3НaJЮМ интеrрала (см. Э 17 rJl. У), поназать, что н области r < а
1f '" '" 1/
V(r,O)== ar 2 !!... \ \" r 2f(a)sinadad<p 1
11: ar. .\ la2+r2 2ar(cosacosO+sinasin6cos'f')] /2
п О
JIИТЕРАТVРА
а) Элекmричесmво
G е i g е r S с h е е 1, Handbuch der Physik, Bd. ХН, Berlin, 1927.
G r а у А., Absolute Measurements in Eleetricity and Magnetism, v. 1, МастШап, 1888.
J е а n s J. Н., ТЬе Mathematical Тlшоrу of Electricity and Magnetism, Cambridge, 1925.
М а s о n М.; W е а v е r W., The Electromagnetic Pield, University of Chieago Press,
1929.
М а х w е 11 J. С., Electricity and Magnetism, v. 1, Oxford, 1881.
Ре i r с е В. О., Newtoпiaп Potential l<'uпction, Giпn, 1902.
Р 1 а n с k М. К. Е. L., Theorie der Elektrizitiit und М'Ч 'пеtismus, Borlin, 1932.
R а m s е у А. Б., Electricity and Маgпеtisш, cHmbridge, 1937.
S с h е 1 k u n о f f S. А., Eleetrumagnotic \Vaves, Уап Nostrand, 1943.
S t r а t t о п J. А., Electr:omagnetic Theory, МсGrаw НШ, 1941. (См. перевод: С т р э T
Т О 11 ДЖ. А., Теория элентромаrпетизма, М. Л., 1948.)
Т h о m s о n W., Т а i t Р. G., Treatise оп N atural Philosophy, Cambridge, 1912.
Т h о m s о n W., Papers оп Electrostatics and Magnetism, МаетШап, 1884.
Web s t е r А. G., Electricity and Magnetism, МасmШап, 1897.
W i е n H а r m s, Handbuch der Experimentalphysik, Bd. Х, Leipzig, 1930.
б) 1М аmе.',шmика
В а t е'т а n Н., Electrical and Optical Wave Motion, Cambridge, 1915.
В а t е ш а Il !Н., Partial Differential Equations, Dover, 1944.
British Association, Bessel Punctions, Par't 1. Cambridge, 1937.
В У е r 1 у W. Е., Pourier's Series and Spherieal Harmonics, Ginn, 189З. I
С а r s 1 а w Н. S., Mathematical Theory of tlle Conduction of Heat in Solids, МастШап,
. 1921. (См. перевод: l\:арслоу, Теории теПЛОПРОDодноети, M. Jl., 1947.)
С о р s о n Е. Т., Theory of Punctions, Oxford, 1935.
F 1 е t с h е r А., М i II е r J. С. Р., R о s е n h е а d L., Ап Index of Matheтatical
ТаЫеБ, Scientific Coтputing Service, Condon, 1946.
Geiger Scheel, HaIldbuch derPhysik, Bd. 111, Berlin, 1928.
G r а у А., М а t h е w s G. В., М а с R о Ь е r t Т. М., Bessel Punctions, Macтil
lan, 1922.
IIarvard University Coтputation Laboratory, ТаЫеБ of Bessel Punctions of the Pirst Kind
оС Orders О to 78, Harvar.d University Press, 1946 1950.
Н е i n е Е., Anwendungen der Kllgelfunctionen, Berlin, 1881.
Н о Ь s о n Е. W., Spherical and ЕШрsоidаl Harmonics, СншЬridgе, 1931. (См. перевод:
r{)бсон Е. В., Теория сфеРИ'Jесних и Э.!fJШПСОИДi1ЛЬНЫХ функций, М Л., 1952.)
1 а h n k е, Е 1Jl d е, ТаЫеБ of Functions, Dover, 1943. (См. перевод: Я н 1{ е Е. и
Э м Д е Ф., Таблицы фуннций, М. JI., 1948.)
М а с R о Ь е r t Т. М., SpheI'ical HarlJlonics, Dlltton, 1927.
М ag n u s W., О Ь е r h е t t i ng е r Р., Роrшulаs and TheorelJls for the Special
Punctions of MathelJlatical Pllvsics, Сlшlsоа, 1949.
М с С а с h 1 а n N. W., Bessel Functions for Engineers, Oxford, 1934.
М о r g а n S. Р., Tables оС Bessell<'unctioJ1s оС Imaginary Order and 11Jlaginary Argument,
CaliCornia Institute оС TechJ1ology, Pasadena, 1947.
Р r а s а d G., Spherical Harmonics..., 2 V., Benares, 1930, 1932.
R i е ша n п, Web е r, Differentialgleichungen der Physik, Braunsch\veig, 1925.
W а t s оп G. N., Theory оС Bessel Punctions, C,\mbridge, 1922. (См. перевоц: В а т с о н r.,
ТеОрИF! бессолевых фушщий, 1\1. JI., 1949.)
\V е Ь s t е r А. G., Partial Differential Equations, Leipzig, 1927.
\V h i t t а k е r Е. Т., W а t s о n G. N., Molern Analysis, СЗlJlЬridgе, 1935. (См
перевод: V и т т е к ерЕ. и В а т с о н r., Нурс cOBpeMeHHoro анализа,
М. Л., 1937.)
r л а в а VI
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток
1. IIлотность 3ЛСI,трическurо ТOIШ. Уравнение неиреРЫБНОСТII.
Если лuа ПРОВОД1f1ша А иВ, заряженные соответственно до потенциалов
V А и V в, привести в соприкосновение с двумя точками третьеrо провод
нина, то, нан мы видели в 1 rл. 1. заряд переходит от ollHorp провод
нина н друrому до тех Пор, пона потенциалы проводнинов А и В не cpaB
няются. Можно наблюдать два явления, связанных с переходом заряда:
наrревание проводника и появление маrнитноrо ltOля вблизи проводника,
по ноторому перемещаются электричесние заряды. Второе из этих явлениЙ
будет рассмотрено в следующеЙ rлаве. Скорость перехода заряда от про
водника А к В называется силой элerприческоrо тона. Сила тон:а в любоЙ
системе едиНIЩ определяется, следовательно, выражением
1 == dQ
dt '
(6.1)
rде 1 получается в амперах, если Q выражено в кулонах и t в секундах.
ЕСJIИ при ПОllJОЩИ какоrо нибудь электромеханичесноrо приспособления,
например движущейся изолированноЙ ленты, непрерывно переносить заряд
от точни соприносновения ПрОnОДНJша В с соединительным ПРОВОllНИНОМ
н соответствующеЙ точке проводпина А с тапой скоростыо, что разность
потенциалов V А V в будет оставаться постоянной, П в то же самое время
охлаждать соединительный проnодник так, чтобы ero температура не меня
лась, то окажется, что тон п маrпитно(' ПОЛG также останутся неизмен
ными. Последнее поэтому можно не рассматривать в теории постоянных
токов. Очевидно, что элснтричеrкий тон в любоЙ точне харантеризуется
величиной и направле1П1ем. Если в точке Р проводящеЙ среды взять эле
мент поверхности dS, нормаЛЫ1ЫЙ к напраВJICIJUЮ тока в этоЙ точн:е, и еСJIИ
ток, текущий через dS, равен dI, то ПЛОтность тона n этой точке опреде
ляется выражением
. dI
1 == dS .
(6.2)
в случае постоянноrо тока нолпчеСТlJО 1?леНТРИЧGСТlJa, втекающеrо в тобой
элемент объема, должно равняться количеству электричестuа, вытекающему
из Hero. Следовательно, интеrрал от нормальной состаЛЛEIОЩей плотности
тона, взнтый по поверхности, оrрапичивающеЙ этот объем, должен быть
равен нулю. Отсюда, по теореме ОстрOI'раДСRоrо rаусса (3.2), следуе'1'
i.пdS== V.idv==O.
S v
Таи как это равенство выполннется для всех элементов объема, то
V.i==divi==O.
(6.3)
224
rлава v [
н:оторая обусловлена э. д. с. и для ноторой интеrрал по замннутому
пути отличен, вообще rоворя, от нуля. Компонента Е" полезна при pac
смотрении распределенных э. д. с.; но для э. Ц. с., ЛОRализованных
в поверхностном слое, введение Е" излишне, TaIi нан в этом случае Е"
обращается в беснонечность в самом слое и равна нулю во всем остальном
пространстве. Значение интеrрала от Е" зависпт от выбора пути интеrри
рования. В частности, в примере с лентой интеrрал от Е" равен нулю
по любому замннутому пути, лежащему ЦeJНШОМ на ленте или целнком
вне ее.
Во мноrих случаях можно выбрать rраницы, пересечение которых при
интеrрировании запрещено, тюшм образом иrточшши э. д. с., например
лента в рассмотренном выше примере, оказьшаются иснmоченными. Тоrда
интсrрал от Е по всем разрешенным замннутым путям он:азывается равным
нулlO и в рассматрпвасмой области мuжно пользоваться скалярным потен
циалом. Даже при распределенной э. д. с. MorYT существовать такие rpa
ницы, что для ВСех раарешенных путей интеrрирования интеrрал (6.4)
обращается в нуль. В этом случае невозможно провести различие между
Е' и Е" и термины э. д. с. и потенциал равнозначны. Именно в этом
смысле пспо.пьзуется tt в следующем параrрафе; для напряженности поля
в этом СJIучае можно написать
Е== VV == Vэ.
(6.5)
3. Закон Ома. Удельное сопротивление. Если вэнсперименте,
описанном в 1, все физичесние условия, такие, Ha1i температура и IЮЭф
фициент полезноrо дейсттш, остаются неИЗl\ЮНПЫМИ, а э. д. с. увеличи
вается, то после достищения стационарноrо состояния окажется, что тон
увеЛИЧ1ШСЯ пропорционально э. д. с. Это занон Ома. Для устройства,
в нотором отсутствуют механичесние потери, отношение э. д. с. между
точками А и В н протен:ающему тону называется элентричесним сопрот-"ш
лением R AB между этими точнами, тан что
ТТA YB
[АВ
R AB
AB
l АВ .
(6.6)
Ностроим n точне Р проводшцей среды элементарный цилиндр, основания
HOToporo dS перпеНДИКУJ1ЯрНЫ н тону в точне Р, а боновые стенни, длина
ноторых равна ds, параллельны тону. Э. д. с. между основаниями цилиндра
будет равна (д6/8s) ds V э. ds, и чер з цилпндр будет протенать тон i ./8.
Применяя занон Ома н этому цилиндру, запишем соотношение (6.6) в виде
R v .d I V I cosads
р i dS i dS
rде а уrол между V Е iI ds. СОПРОТИIJление R p цилиндра, у HOToporo ds
численно равно dS, обозначается через 't и называется удельным сопротив
лением среды в точн:е Р. Таним образом,
I V't5 1 (6 7)
't == . cos а.. .
l
Если 't не зависит от направления тока, то уrол а должен равняться нулю,
тан что направлении rраJ(пента потенциала и тон:а "овладают. В этом слу
чае проподящая среда называется изотропной. Величина, обратная удельному
сопротивлению 't, называется проподпмостью. Обозначая ПРОВОДимостъ
через Т, можно записать формулу (6.7) в шще
i== V ==TV6'. (6.8)
't
Элекmрический тоК
225
На основании формул (6.8) и (6.4) для заМRпутоrо пути в про водящей
среде будет иметь место равенство
1: i. ds 10' .
(6.9)
s 4. Тепловое действие :ше1,ТРllчеСRОI'О ТОЕа. В 1 было отмечено,
что ПРОВОДНИR наrревается прохuдЯIПИМ по нему тоном. Температуру про
водниtш можно поддерживать постоянноЙ, удаляя выдеЛЯIOщееся тепло.
Но если в ПрОВОДНИRе пе ПрОИСХОДИ1 н:rшаЮJХ изменеппЙ, то очевидно, что
выделившаяся в нем энерrия I\arшм то способом была внесена в систему
извне. В случае с движущейся лентой, перенося заряды от проводнина
В R А, мы, оч(:видно, совершаем работу против элен:тростатичеСI,ИХ сил.
Из определения потенциала следует, что эта работа W равна Q (1/ А . 1/ в),
тю что подводимая мощность будет выражаться формулоЙ
d V ( dQ \
Р == dt == (V А 1/ в) dt) == (1/ А 1/ в) lf\В'
Отсюда при помощи соотношения (6.6) получим
р 0= IJ..BR AB .
(6.10)
(6.11)
Если 1, 1/ и R выражены в элентростатичесной или абсолютной эле1\ТРО
маrнитной системах единиц, то Р получается в эрrах в сенунду. Если 1
выразить в амперах, 1/ в вольтах и R в омах, т. е. ВОСПОЛЬЗ0ваться
прантичесн()й системой единиц, то Р получится в ваттах. Полная таблица
еДJШ1Щ приведева в прпложении. Тепло выделившееся при прохождении
тона, называется джоулевым теплом.
s 5. ЛИlIСЙllые ПРОВОДIIИRИ. 3arЮIIЫ RИРХl'офа. Последовательные
и параллеЛЫlые соединения "РОВОДНИRОВ. Рас.смотрим задачу о рас.преде
левии T01,a в системе проводнинов, понеречные сечеш1Я которых достаточно
малы по сравнению с их длиной, тан что изменрние потенциала в узлах
(та!> мы будем называть места соединении двух или большеrо числа про
ВОДНИFОВ) мало по сравнению с изменением потенциала между соседНими
узлами. Будем называть таную систему цепью, составленной из .линейных
проводниноЕ. При расчете та них цепей удобнее оперировать не с плот
ностыо тона, а с полным тоном, нроходящим <юрез сечениt, проводнина.
Из 1 и 2 вытенают два очень важных правила, известных под названием
занонов Нирхrофа. Если примеНlJТЬ урапнение непрерынно<;ти н любому
узлу цепи, считая тони, направленные н: у.злу, ПОJIOЖlJТСЛЫ1ЫМИ, а направ
ленные от узла отрицательными, то по.лучаетсн первый заRОН:
1. АлrебраичеСhан сумма тонов, сходшцихся в любом узле, равна нулю.
Из определения э. д. с., данноro в 2, и заRона Ома следует, что,
обходн один за друrим ПрОВОДНIши, образующие замннутый ROHTYP в элен
'rричеС1юii цепи, и считан при этом тuни, теl,ущие н направлении обхода,
и э. д. с., стромнщиесн создать '1'01, в этом направлении, положительными,
а ТОНИ, тенущие n обратном направлении и. соответствующие э. д. С.,
отрицательными, мы получим второй занон:
2. В любом замннутом нон туре алrебраичесная сумма произведений IR
равна алrебраичесноii сумме э. д. с.
Если п проводн:rшов таЕ> поднлючсны дру!' н друrу, что '1'0« ПОСЛf)ДО
вательно проходит один за друrим все прuводни«и, то тан:ое соединение
называетсн последовательным. По закону Ома разность потенциалов между
нонцами таиой цепи будет равна
IR 1 +lR2 + ... + 1Rn.
15 Б. Смайт
22fi
r лава V 1
Если всю цепь'" рассматривать нан ОДИН нроводнин с сопротивлением н.,
то pa HOCTЬ потенциалов будет равна 1 R _ П рираВНIIвая эти выражении,
получаем
R === R) + R 2 + . . . + Нn'
(6.'12)
Та ним образом, [юrда новыЙ проводнин образован 1IрИ помощи послсдо
вательноro соединения проводнинов, ero сопротивление равно сумме сопро
тивлений отдельных проводнинов.
Соединение проводнинов назынастся параллельным, если неСJЮЛЬНО
проводнинов соединены тан, что тон, ПОСТУllающий в систему, разделяется
на отдельные тоюr, наждый пз ноторых прохо; ит не более, чем по одному
проводнину . Разность потенциалов между fНшцами ПРОВОДНIшов будет n этом
случае Ol1.Ha и та же, т. е.
[)НI == 1 2 R 2 === . . - === 1111(,..
Пусть 1 lIО.лныЙ тон И R энвиваJIентное сопротпrшение цепи. Тоrда
J ]RI == 1 2 R 2 === _ . . == InRn === 1R. Тон 1. в проводнине с сопротивлением Rs
будет ранен
R
1. === В. 1.
(6.13)
Составляя 11З выражений вида (6.13) сумму всех ТОI>ОВ, равную общему
тону 1, и разделив ее на 1 R, получим
1 t -[ -L
n == Н 1 + В 2 т . . . + Вn . (6.14)
ТаШ1М образом, ноr;щ новыЙ проводнин образуетсн при помощи параллель
Horo соединения нрснольних проводнинов, величина, обратная ero сонротив
лению, равна сумме величии, обратных {,опротивлениям отдельных прово;{
нинов.
6. Расчет электричеСIШХ цепей. Нонтурные тша]. Мост УИТСТОНа.
Задачу, с ноторой обычно приходится иметь деJЮ при расчете цепей, МОЖIЮ
СФОРМУJIировать тан: паны сопро
тивлеН1IЯ всех ветвей, велпчины
и направления осех э. д. с., Tpe
буетея наiiти тою] но всех BeT
БЯК. Иноrда оназывается возмош
ным разбпть цепь на rруппы пос
следовате.ПЬНО и параллелыю coe
;lИпеннык ПрOlЮДНИI>ОВ и HaiiTll
решешю по формулам предыду
щеrо параrрафа. Общее реше
ние ноставленной задачи можно
ПОJlУ'lПТЬ, вводя Сllециальное обо
значение для тона в наждой BeT
ои 11 написав 1 Й зююн Rирх
rофа для q узлов «по дает q уравнениЙ) и 2 й занон Нирхrофа для п
пезависимых .нон туров (что дает еще п уравнений). Bcero получается (п + q)
уравнений, определяющих (п + q) тоНОВ. Объем работы можно СИJ1ЫЮ co}{pa
тить, введя тан называемые контурные тони, автоматически удовлетворя
roщие 1 MY занону Н:ирхrофа, после чеrо остается рещить систему тольно
из п уравнений. Тон в наждой ветви можно записать нак сумму этих
нонтурных тонов. В качестве примера рассмотрим схему, называемую
мостом Vитстона (фиr. (0). Она часто применяется цля сравнения неизвест
Horo сопротивления с известным. Во' (<внешниЙ» НОНТУР В!шючена э. д. с. G;
.../
r Е5
Фие. 60.
ЭлектрическиЙ ток
227
сопротивление этой ветви равно r. Нонтурныр ТОЮJ можно выбрать
no pa3HOMY. Выбор нонтурных тонов должен допуснать различные тони
в наждой И3 ветвей. Выбрав 1юнтурные тони тан, lШН это показано
на фиr. 60, и написав 2 Й 3ЮЮН Нирхrофа ,щя нонтуров пВА, BCD
и ABC't!, получим
ilRg i2(R) +Нз)+1Rз 0;
i) (Rg +В2 +Rlj) + i 2 (R 2 + R4) IR4 о;
i 1 R 2 +- i 2 (RJ + R 2 ) + Ir .
(о.15)
(6.16)
(6.17)
Если 3а):ача занлючается 13 том, чтобы выразить один тон через друrоii,
наПРИ1Vер ток i 1 через 1, 'То можно обоЙтись ТОJIЫШ двумн И3 этих урап
нении. И3 уравнениЙ (6.15) и (6.16) находим
. . R,R4 R2Rз 1
{1 == Rg (Rl+R2+R3+H.)+(Rl +R з ) (R 2 +R.) .
(0.18)
Если же заданы толыш э. д. r..п сопротивления, то приходится решать
систему I<3 трех уравнениii (6.15) (6.17). Это нетрудно сделать, пользуясь
теориеи определителеЙ. Для i 1 будем иметь
(R) R4 R 2 R з ) С . [Ву (В) + R 2 ) (R з +R 4) + Rgr (RI +
+R2 +R3 TR 4 )+r (R) + R з ) (В 2 +R4) + RIR2 R3 + R2 H 3 В4 +
+R3R4RI +R4RIR2J ). (6.19)
ТОК в JIIобоii ветви равен алrебраичесноЙ сумме протенающих по пеЙ
IШНТУРНЫХ тонов. Например, в ветви ВС тон равен i] + i 2 . На прar{тикс
одно И3 сопротивлений R), В2' R3 И R" моста Уитстона неизвестно,
а остальные, Н3 ноторых, по нраЙнеЙ мере, одно переменное, заданы. Pery
iIИРОВНОЙ переменноrо СОПРО'l'Jшления добиваются отеутствия тона i) в rаЛk
ванометре, ноторыЙ внлючают вместо Rg. При этом уеловии, нан леrно
видеть, соблюдается равенство В 1 R4 В 2 Rз, отнуда II определяется пеИ;J
вестное сопротивление.
э 7. Цепи .И3 одинаIШБЫХ звеньев. Н нен:оторых СJIучаях ПРНХОДlIТСН
иметь дело с цепями, ноторые можно разделить на большое число одина
ковых звеньев, пр;rчем связь наwдоrо звена с соседними одинанова.
Тоrда вместо решения системы, состоящеЙ И3 большоrо числа ураnнениii,
можно сформулировать соотношение между тонами в соседнпх Iюнтурах
в виде pa3HocTHoro уравнения, при решен.ни HOToporo следует учиты
вать условия на iюнцах цепи. В начестло примера примевения это1'о
метода рассмотрим цепь, состоншую из I'CBepaTOpa и ШН'РУЗ0чноru сопро
тивления R, причем TOI{ от ['еператора " HarpY3He подводится по одному
проводу, а обратным .проводом служит земля. Провод подвешен на п оди
наковых ИЗ0ляторах, расположенных на сдипановом расстоянии друr от
друrа. Сопротивления участнов провода между reHepaTopoM и 1 M изоля
тором, между :наждой парой ИЗ0ЛЯТОРОВ и меЖllУ последним ИЗ0ЛЯТОРОМ
и наrрузной одинановы и равны р, а сопротивление земли ничтожно мало.
В сухую поrоду, ноrда НlIнаноЙ утечни через ююляторы нет, ТОН reHepa
тора равен 11' но при влажной поruде для получения Toro жо тона в HarpY3f\e
от reHepaTopa приходится брать тон 12' Определим величину сопротивления
кащдоrо И30iJЯтора r, считая, что утечна во всех ИЗ0ляторах одинановая.
Для решения этой задачи начертим схему цепи (фиr. 61), перенумеруем
И30JIЯТОРЫ от 1 до п и введем нuнтурвые т"ни. 3анон I\ирхrофа дЛЯ HOH
тура s имеет вид
, i l r is (2r + р) + i s +1 r о,
15*
228
rлава У/
или
iS } + iS+1 == ( 2 + ) iS,
Решение уравнения (6.20) (см. Двайт, 651.03) имеет вид
is === А сЬ s6 + в sh sO,
(6.20)
(6.21)
причем
1
chO==1+ 2 P/r,
или
r== Р
2 (сЬ (J 1)
Р
4 БЬ 2 6
(6.22)
Ш I Ш
Фие. 6.1.
Чтобы fШЙТfi А И В, заметим, что в первом н:онтуре
12. == i} == А сЬ О + в sh 6,
а (п+1) M нонтуре T]==Ach(n+1)0+Bsh(n+1)0. И3 этих ypaB
нений определяем А и В:
А /2 БЬ (11. + 1) 6 /, БЬ О
БЬ 11.{J ,
B /2cb(п+1)0+/]cbO
БЬ 11.6 .
Подстановна значений А и В в решение (6.21) дает
. / БЬ (11. s+1) 0+ /] БЬ (s 1) О
ls == БЬ 11.6 .
(6.23)
Для Последнеrо нон тура получим
Il( 1 + P R ) ==i n .
Подставляя r И3 выражения (6.22) и i n И3 выражения (6.23), после упро
щений найдем
2I1RshпOsh 6+ p I}ch [ (2п+1)0] pT2cb 0==0.
(6.24)
Уравнение (6.24) можно решить rрафичесни, цоrтроив ето левую часть нан
фушщию 6 и найдя пересечение этой НРИВО:Й с осыо О. IIодстаповна най
денното значения О в формулу (6.22) дает величину r. Если сопротивление
1
провода мало по сравнению с сопротивлением ИЗ0лятора, то 4 sh 2 2" е 62,
тан что пO n(p/r)1f2. ЕС;;IИ эти величины малы, то можно считать
(см. Двайт, 657.2), что сЬх==:1+ х 2 , shx==x, И тотда реШI:Jние для 6
будет иметь вид
'f
62== 8p(I2 I]) .
, 811.R/ 1 +Р l11 (211. + 1)2 /21
[Jде"mричес"ий то"
229
Ввиду TOrO, что 11 12 мало по сравнению с 11' этой величиной в 3HaM(,
нателе можно пренебречь, и, ПОСRОJIЬRУ, соrлаС1Ю"фОрМУ.:1е (6.22), r===p() 2,
получим
r== пl 1 [2R+(п+1)p) === п(2R+R 1 )l,
2(I2 Il) 2(I2 11)
rде R 1 сопротивление Bcero провода без учета утечни.
(6.25)
э 8. ЛИНИЯ с непрерывно распределеllllOll утечкой. От СJlучая отдеЛk
ных ИЗ0ЛЯТОРОВ леrRО перейти 1\: случаю линии с пепрерывно раСIIределен
ной изоляцией. Расстояние между ИЗ0ляторами 'Iеперь нужно считать бес
Iюнечно малым, тан что, если сопротивления провода и утечни на единицу
длины соответственно равны Т и S, то р === т dx и S === r dx. Следовательно,
имеет место уравнение
(i8+1 iJ (i8 i8 1) === [ ( : )X+dX ( : )X] dx ==
== d 2 i d 2 === ( ) . === ( т ) . d 2
dx2 Х r (8 S l Х.
Разностное уравнение (6.20) переходпт теперь в дифференциа.пьное:
d 2 i ( т ) .
dx2 == S (.
(6.26)
Интеrрирование этоrо уравнения дает
i == А Cll ( )Ч2 Х В sh ( ) Ч2 х.
Предпола1'ая, что rрапичньш условия, кан И прежде, имеют ВИД i == [2 прн
х==о и i == [1 при x===L, получим
[ ( Т "\ Ч2 1 r ( ' т ) Ч2 1
i=== 1 2 БЬ в) (L x) +Ilsh s Х
, [ ( т' Ч2 ]
::;Ь S )L.
(G.27)
ато выражение соответствует выражению (6.23) и позволяе'l' найти тон:
в любоЙ точн:е JIИRИИ. Напряжение на изоляции в любоЙ точне ЛИНИИ по
закону Ома рюшо S (dijd:,;), тан нан тон, протенающиЙ через изоляцИIО
между т()чнами х и х + dx, равен (dijdx) dx, а сопротивлепrrе утеч[,и этот
участна равно S / dx.
Примем, нан и раньше, что изоляция идеальпа при сухом [шбшю J1 Ч10
при влажном набеле приходится брать от l'errepaTopa тон: 12' чтобы rrолу
чить в HarpY3He тон 11' Пусть по этим данным требуетсн ВЫЧllСШIТЬ S.
Если R СОПРОТИВJICние наrрузни, то напряжение на нонце ЛИШПI будет
I) R == S (di/dx)x L' Подставляя сюда значение dijdx 113 выражения (6.27),
найдем
11 R sh [( )Ч2 L J + (TS)lf2 [1 сЬ [ ( //2 L ] (TS) lf2 1 2 == о. (6.2R)
Это уравнение соответствует уравнению (6.24) и точно тю, iIЮ может быть
решено относительно S rрафически. Если S MHoro больше Т, то можно
оrраничиться тем же приближением, что и прп flОлученип выражения (6.25).
В результате получим
S === (2R +LT) L1l
2(l2 1д
(2R+R 1 ) Ll 1
2(12 11)
(6.29)
230
rлаfiQ У1
Выражение (6.29) соответствует выражеШllО (6.25). Оно ПОIшзывает. что
сопротивление равномерно распредеJIOННОИ утечни энвива.пентно cocpeДOTO
'lеIШ о '\f у сопротив.пению утечни S / L, включенному посередине линии.
9. Общая теория цепеЙ. В 6 было отмечено, что выбор контурных
токов можно сделать по разному, лпшь бы они былп но;зависимыми И ДOIlY
скали бы существование различных токов в наждоii отдеJIЬНОЙ ветви цепи.
ЕСJIИ число Y3JlOB цепи q и ЧИСJIО ветвей р, то полное число независимых
IЮНТУРПЫХ тонов п определяется формулой
п === p q + 1. (6.30)
Б мосте Уитстона (см. 6) р===6, ч==4 и п==3. ОбознаЧJIМ сопротивление
ветви, по ноторои протонает ТОJIЫЮ один НОНТУРНЫИ ТОН ip, чер!:;з Rp,
а сопротивленпе веТШ1, по HOTOpOjj протеБ:ают два или бо.пьшее число тонов,
через RplJ (i p и iq два тона из тех, ноторые протенают по данной ветви).
Сумму сопротивлений всех ветвей, по 1ЮТОРЫМ протенает тон i p , обозначим
Rpp, тан что если ни в одной ветви не протенает больше двух токов, ТО
Rpp===Rp+Rpl +... +Rpn. (6.31)
I<:СJlИ тон is ниrде не протеRает по ветви, общей с током lp' ТО В фор
муле (6.31) отсутствует инденс s.
Выбрав независпмые нонтурныо тонн и испольауя введенные выше обо
;шачепия, можно написать законы Кирхrофа для п незаШ1СИМЫХ н:онтуров цtши
в следующей форме:
RIl ii ::1:: R 12 i 2 ::f:: R 1З i3 + . . . ::1:: R 1п i n == ::1:: r l'
+ R 2J i 1 + R 22 i 2 ::1:: R 2З i3 + . . . ::1:: R 2п i п === ::1:: fif 2 , (6.32)
::1:: Rnl i I ::1:: R n2 i 2 ::1:: R пз i3 ::1:: . . . + Rnn i п === ::1:: n'
В ЭТИХ уравнениях Rpp всеrда положительно; в уравнепиях, 1'll,e встречается
Rpp, Rpq следует брать со зню,ом пшос, Rоrда тони ip п iq проходят по
общей ветви в одном и том же направленип, п со знаком минус, ноrда
они тенут навстречу друr друrу. ЭлеКТРОДПl1жущая Сlша Эр берется со
знаком плIOС, еСJIИ щra помоrает TOl;-у ip, и СО 3НaFЮМ МI1НУС, если она ему
ПрОТIIDодействует. ЕСШ1 ТОIШ ij и i h ниrде не проходят по одной и тои же
петвн, то в уравнениях (6.32) член Rjk отсутствует. Заметим, что, по опре
делению,
Rpq == Rqp. (6.33)
Если две ветви не имшuт общеrо узла. то нопт)'рные тони всеr;щ можн()
выбрать та ним обраЗ0М, что n наждои И3 них будет протснать толыю один
ток, хотя для этоrо приходится, вообще rоворя, вводить 'lplf (или БО lьше('
число) тока в некоторых .цруrих ветвях. Выбрав тапим образом тони, обо
.значим через дм алrебраичесн:ое дополнение элемента Rpq попределителе
НН ::f:: R 1q ::1:: R 1n
Д == ::1:: RpI ::1:: Rpq + R pn (6.34)
:f: Rnl ::1:: R"q .. + Rrtn
Заметив, что ВСJ1едствие равенства (6.33)
"
Dopq === Doqp. (6.35)
Найдем И3 системы уравнений (6.32) ток iq для случая, КОI'да еДШIствен
нан э. д. с. '/Эр, действующая в цепи, включена в ветвь, по RОТОРОИ проте
Элепniричеспий топ
231
наот тольк.() один ТОН i p ' и, наоборот, найдем ток
э, Д. с. q внлючепа 11 ветвь, несущую т(ж iq. МЫ
. 'd,рДрq 'd,qДрq
Tq /). II Т р == i:J.
Тр.' ноrда единственная
получим
(6.36)
Из формул (6.35) и (6.36) следует важное соотношение взаимности: если
== q, то "ip==i. Пными С.;ювамп, если э. д. е., ВНЛIоченная в одну из
р q
двух вотвеи, вы3ваетT неноторыи тон lJ друrои ветви: то та жь самая э. д. с.,
будучи вюпоченной во вторую ветвь, вызьшает в первой таной же ток.
Еели э. Д. с. rp. шшючена в r ю ветвь, то вместо форму.,] (6.36) мы будем
иметь
. 'd,r fj.ro
lq == И
. 'd,r !::.rp
[р == .
Отнуда, поделив одно равенство на друrое, находим
iq !::.rQ
ip Cl rp .
(6.37)
Формула (6.37) позволяет выразить отнощеНllе ;пюбых двух 1'Olюв через
{'опр()тивления элементов цепи.
ДО1':ажем теперь теорему Тевенина, КОТОр:iЯ uназыпается иноrда полез
ной при расчете цепеii. Эта теореl\Ш утверждает, что, если напряжение
разOl\НШУТОЙ цепи между двумя ее lюнцами А п В равно 110' а тон, TehY
щиЙ между А и В, прп замынании их паноротко, равен 1, то (:опротивле
Ilие всей цепн, измеренное между точнамп А и В при условии. ЧТО из цепи
удалены все ИСТОЧНИЮf э. Д. с., а все с()противленип остались неизменными,
будет равно R == 110/1. Из теоремы следует, что поднлючение точен А и В
к любой друrой цепи равносильно ПОДJшючению к ней батареи с э. Д. с. V!J
11 внутренним сопротивлением R. Чтобы доназать теорему, предположим,
что к точнам А и В поднлычено очень большое сопротивление Rp' Тоrда
в детерминанте (6.34) все члены, не содержащие Яр, будут пренебрежимо
малы по сравнению с членами, содержащими Лр, тан что, ПРJIнимая во вни
мание выражение (6.31), !::" --;>- Rp !::"рр при Rp со. Разность потенциалов
между А и В, создаваемая всеми э. д. с., вн:люченными в цепь, R:aR видно
из фОрМУ.l1ы (6.36), будет равна
Rp ip == p h q !::"pq , 110 == h q !::"pq.
Rp--'+oo рр
Если точни А И В заМlШУТЫ наноротно. то, сопоставляя это выражение
с формулой (6.36), получаем
1 ::::< i q Дрq == 110 !::. p .
Сравнивая полученную формулу с выраженrrе:vr для СОПРОТ1ШJIения цепи
между точна ми А и В, которое можно 1l0JIУ'ПIТЬ из формулы (6.36), будем
иметь
п== 'f6p == == ТТ 0 .
l Р Д рр l'
(6.38)
'11'0 И доназьшает теорему.
Существует нласс цепей, имеюЩИХ большое пран:тичесное значение,
для ноторых нонтурные ТOI{И можно выбрать тан, что будут удовлетворены
следующие условия: имеется по нрайней мере одна ветвь, через ноторуто
проходит тольно один ток; В ветвях, rде тенут два тона, они направлены
навстречу друr друrу; через любую ветвь протенает не более двух тонов.
Е этом случае в детерминанте (6.34) и в левых частях уравнений (6.32) все
232
r лава УI
члены вида Rpp положительны и члены вида Rpq. отрицательны. Тони мы
имеем право перенумеровать нак нам yrolIHO, ПОЭтому при решении ypaBHe
ний относительно i 1 можно ДОПУСТИТЬ, что в ветви, rIJe включена э. д. с. ",
протекают тони i 2 И i3. В правых частях уравнений (6.32) мы заменим ll2
на 1323' 3 на + 0'23 и llОJIOЖИМ С р == о при р *' 2 или 3. Вместо фор
мулы (6.35) получаем
. 216'2 + 31 't5 з
II ==
I R 12 R 1з R 1n . R 12 R Jз R 1n I
I R32 +R33 Н 3п + R 22 R 2з R2п I
== < R 42 R43 ll4n + R 42 R43 R 4n i 23 .
I . . . . . . . . . . . . I
I Rn2 R пз +R nn , R. 2 ' R З +R-::.n. J
Два определителя в снобнах отличаютсн тольно Своими вторыми строками.
Их сумма равна, следовательно, опреJ еJIителю, вторая строка KOToporo
получается сложением соответствующих элементов вторых строк этих опре
делителей и имеет вид
R 82 + R22'
+ Езз R23'
R34 R21' ..., R311 R2n'
а остальные строки таюre же, [(ак у паждоrо из складываемых опредеJIИ
телей. Величина определителя не меняется, еслл н наждому элементу
накой нибудь СТРОЮJ прпбавить соответ.ствующие элементы любой IJруrой
строки. Заменим поэтому вторую строку суммой всех строк, тап что OKOH
чательное вырашение с учетом соотношений (6.31) и (6.33) примет вид
R12 Rlз R14 '" Rlп
+R2 +R3 +R4 ... +R п
i 1 == R 42 R43 + R и . " . R 4л 23 . (6.39)
. . . . . . . . . .
Rп2 Ilпз Hп4 '. +Н пп
Если обозначить ЭТUТ
получаются формулы,
опредеШIТель черe:J .1123' то ДJIЯ рассматриваемой
аналоrи:чные фориулам (6.36),
. 123 <е . 1\123 <е
ll"'=TI')23 И l23 ==о TOl'
цеПIf
(6.40)
Формулы (6.40) обычно OIШзываютсн более удобными, чем формулы (6.3б),
так нак знани уже приннты во внимание Пр 1 выборе н:онтурных ТOIюв.
10. Сопряженные ПрОВОДНИЮ1. ; воiiноЙ ЮСТ f\ельшrна. ,L1,lJa про
воднина в элептричеС1ЮЙ цепи называются сuпртненными, если источник
э. д. с., будучи ВНЛЮЧtJнным В один из них, не создает тона в IJpyrOM
и наоборот. Если Rp и Rq ItBa сопрнженных проводника, то УСJIOвие их
сопряженности, нак слсдурт из формул (6.36), имеет вид
!J. pq == О.
(6.41)
(6.39), то
ЕСJIИ нонтурные тони выбраны тан, '1ТО справе;rлива формула
условие сопряженности проводнинов R 1 И R 23 принимает вид
Дl23 == И.
(6.42)
Условие баланса для моста Уитстона, описаНIIоrо в 6, МOIIШО получить,
исхопя из сuотношении (6.42), если оБОЗFlачить па фиr. 60 через i 1 тон 1,
Элекmри'lеский топ
2::1:;
а через i 2 11 i3 соответственно тони в треуrОЛЬНIшах Авп и всп. Мост
Уитстона не приrоден ;IЛЯ измерения очень малых сопротивлений, тан нан
сопротивления нонтантов делаются сравнимыми с измеряемым С(JПротивле
нием. Этот недостатон устраняетс» в измерительной схеме, поназанной на
фиr. 62, rде измер»емое СОПРОТIfВление занлючено между точна ми А и В,
а тон н нему попводится через нонтанты С и п. Сuпротивление нонтантов
А и В MHoro меньше СОПРОТИВЛCl]ий R 12 + R 1З и R 2 ,] + R34' Требуется найти,
при НaIШХ условиях ток через rальванометр равен нулю, I1ЛИ, ЧТО то же
самое, найти условие сопряженности сопротивлений Rl и R 2з ' Ввиду Toro,
что тони i 1 И i" не имеют общей ветви, R I4 следует положить равным нулю.
Условие баланса моста, соrласно co С R
отношениям (6.42) и (6.39), имеет вид А 2 В D
R12 RI3 ()
6123 == + R 2 + R3 + R4 == О. (6.43)
- R 42 R43 + R44
Уже отсюда ШЩНО, что исномое усло
вие баланса моста не зависит от Rl
И, значит, от сопротивления HOHTaK
та с; но нужно, чтобы оно таюне R"
не зависело от сопротивления HOHTaH Фие. 62.
та п, т. е. от R4' Таним образом,
в определителе (6.43) коэффициент при ЛО! и коэффициент при членах, ве
содержащих R 4 , lЩЛЖНЫ порознь равиятьсн нулю. Последние, соrласно
еоотношевию (6.31), все входят в R 44 ; следовательпо, минор элемента R44
попределителе (6.43) должен обращаться в нуль, т. е. . R12R3 + R 1з R 2 == О.
I\poMe Toro, должен быть равен нулю минор элемента R 4 , т. е. RI2R43 +
+ Rl3R49 == О. Из этих двух выражений следует
R J2 R24 R 2
R 1з Н З4 Нз '
(6.44)
Ilтак, если тон в ветви R 2З отсутствует, R 2 можно выразить через R3 при
условии, что отношения R 12 /R 1з и R 2J /R 34 известны и равны друr )1pyry.
11. Постоянные ТОЮ1 в провоцящих средах. Н 1 [формула (6.3)]
было показано, что если в установившеl\fСЯ состоннии в проводящей срел:<:
ниrде не происходит нarюплеl1ИН зарядов, то диверrенцпя плотности тона 1
всюду равна нулю. Соrласно ЗaIЮПу Ома [формула (6.8)], п,потность тона i
н изотропной среде пропорциональна J'радиенту потенциала и обратно про
порциональна удельному сопрuтивлению. Пз этих формул СJlCдует, что
V.i V. (+ VV )==0.
(6.45)
ЕСJIИ среда оююро; иан, то -: поеТОНIПIан величпна и уравнение (6.45)
принимает вид
\2V О. (6.46)
.
Сравнивая уравнения (6.45) и (6.46) с уравнениями (3.5) и (3.6), мы видим,
что эти уравнения совпадают с уравнением .лапласа, а величина, обратная
удельному сопротивлению 1:, т. е. проводимость среды, иrрает ту же роль,
что и диэлектричесная проницаемость среды в электростатине. Отсюда BЫTe
нает возможность использования в теории постоянных ТOIюв математичеС1юrо
аппарата элентростатИIШ. Трубни тока находятся в таном же отношении
н энвипотенциальным поверхностям, кан и силовые трубни в элентро
234
rдава VI
статине. На rранице двух Проводящих сред потенциал и нормальная номпо
нента плотности тона должны оставатьсн непрерывными, тан что в COOT
ветrтвии с условиями (1.48) и (1.49) условин на rранице IL'\ШЮТ вид
1 av' 1 av"
't' дп '"t" дп '
V' == V".
(6.47)
(6.48)
ЭТИ СООТНОШОНI1Н полностыо определяют свнзь значerшii rрадиента rютен
циаJJa по обе стороны rранrщы. Поэтому, если относите;1ьные диэлеНТРJJ
чесние проницаемости обеих сред танже различны и не пропорциональны
соответствующим ПРОВUД, имостя!\'! то для удовлетворения добавочному rpa
ничному услuвию неuбхuдимо ввести еще одну переменнуlO. Считая, что
на rранице распределен поверхнuстныiJ заря;!, с ПЛОТIТостыо а, на основании
уравнения (6.45) получаем
cr К aV 1 К дТТ 2 (К К ) .
€v == 1 7Jп -2 дn == 1't 1 2't 2 ln"
(6.49)
Ра(;(;матриuан маrиитные силы, действующие между проводнинами, несущими
ТОНИ (см. сле;'l;УIOЩУЮ rлаву), можно, назалось бы, придти н занлючениlO,
чтс. распределение тонов, вычисленное путем решенин уравнений (6.45) и
(6.46), неправильно, вследствие смещешIЯ элементоп тона, оБУСЛОВJ1енпоrо
маrнитным взаимодействием. В действителыюсти n иаотропных неферромаr
lIИТНЫХ проводнин:ах при на.личии MarHlITHOrO поля всеrда имеет место
уве;Пlчение сопротивления, нааылаемое 1ПЮ1'да «ПРО;Ю.пьным эффентом
Холла>} 1). Вследствие :лоrо в ТОХ оu;шстях l1рОВО;ПIина, п(е напряженность
маrнитноrо поля БОJlьше, сопротивление возрастает относительно сильнее,
чем u обла(;тях сменыпей папряженностыо маrнитноrо ПGЛИ, и относи
тельная плотность тона там уменьшается. Например, в случае постоянноrо
тон:а в цилиндричесном проnоднине плотность тона в6лиаи оси неСRОЛЫЮ
больше, чем на периферии. Если этот ПрОВОДНИ1\: помещен во внешнее OДHO
родное поперечно маrнитное поле, которое снладыnается с собственпым
маrнитным полем тона на одной стороне цплиндра п вычитается из пеrо
на друrой, то появляется боновое смешение тона в направлении, совпа
дающем с направленrюм силы, деiiствyrощей на проводНIП{. При этом поло
жение энвипотенциальных поверхностей не иаменяется II не вознинает
нинаних - дополнптельных поперечных сил, дейстпующих на ПРОВОДНИI" по
ноторому течет тон. Хотя изменение сопротивления ПРОВОДНИI,а можно иа
мерить, однано соответствующее смещение тона при обычных температурах
слишком мало, чтобы ero можно было заметить. Обычный поперечныЙ
эффент Холла вьшывает иаменение положенпя эквипотенциальных поверх
ностей, нависящее от свойств проводника, но распределенпе тока в этом
случае остаотся неизменным. Однюю можно поставить опыт таютм обрааом,
<по распределение тOfШ в нонтуре иаменится; это изменение наблюдаеТСfl
IIРИ ПОМOIци чувствительных прибороn лишь в очень спльных полях. Итю"
изменение распределенля тона n нровоп:шшах, обусловленное маrнитными
взаимодействиями, пренебрешнм:о мало, и результаты. полученные путем
решения уравнений (6.45) и (6.46) прп заданных rраничных условиях.
можно рассматривать, П()СНОЛЬНУ речь И.'1ет о влиянии этоrо взаимодеЙСТВИfl,
нан точные.
Тан нан удельное сопротивление зависит от температуры, а протс
кающий по проводнику ток выделяет тепло, то при сильных тонах найден
ные решения онажутся неточными; наибольшие отклонения будут наблю
1) Классическую теорию эффеI,та Хошш можно найти в нниrе Р. Б е R к ера.
Электронная теория, М. Л., 193G. Прим. перев.
ЭЛel:mрический 'тоК
235
даться там, rде большая плотность то!>а вызваетT сильное наrревание
peды. Поэтому наши результаты будут точны толыю В 10М случае, если
температурный ноэффициент СОПРОТИНJюпия peды и плотность тона малы
или если тони нратновременны.
12. Общие теоремы. Общие теоремы, BblBel1.eHHble в rл. 111 нз Teo
ремы rрина, можно заппсать n форме, удобной для решения рассматривае
мых в настоящей rлаве задач.
1. Если всюду на rрашщах проводника задано значение потенпиала V,
.а таюне заданы величина и местонахождение всех ИСТОЧIIf<rюв или стонов
TOI{a внутри Hero, то потенциал V однозначно определен. во всех точнах
проводнина.
2. Если всюду на поверхности ПРОВОДНИRа задано значение нормальной
J\омпоненты плотности тона, а танжр заданы величина н местонахождение
H( ex источнинов или стонов тона внутри Hero, то тем самым определено
.шачение разности потенциалов между любымп двумя точнами проводнина .
3. Если удельное сопротивление части проводнип:а возрастает, то сопро
тивление Bcero ПрОВОДНИRа возрастает пли остается неизменным.
4. Если удельное СОПРОТ1шление части ПРОВО;J,нина уменьшается, то
опротиплеНIIе Bcero проводшша уменьшается Ш1II остается неизменным.
И этим Teoper\.aM можно l1.0бавить еще одну, доназательство КОТОрОЙ
будет дано ниже.
5. В ПрОВОДТШКС всеrда устанавлпвается та!юе распреl1.еленпе тона,
при нотором выделяется минимальное IЮЛl1ЧРСТБО тепла. .
Чтобы доназать эту теорему, предштожпм, что пмеется отступление
()т распределения, задаваемоrо законом Ома (6,8), и что добавочная плот
ность тона равна j. Тап: нан не ДОJIЖНО быть нанопленют зарядов, эта
добавочная плотность тона j должна уДОВJIетворять уравнению непрерыв
ности v. j == О. Тепло, выделяющеесн в элементе трубни тона в проводнине,
сошасно выражениям (6.8) и (6.11), равно
dP == [ ( VV + j ) dsJ 2,. ( ;; ) == 't ( VV + j) 2 dv.
Здесь dS поперечное сечение элементарной трубин и ds ее длина. Ин
теrрирование дает
р == [ + (VV)2 + 2j. VV + 'tj2 ] dv.
v
(6.50)
Применив теорему rрина (3.21) но второму интеrралу, ПОJIаrая j == VФ и
IJr == V, будем иметь
\ j. VV dv== VV .jdv+ Vn.jdS.
v v S
Первый ЧJIен в правой части равен пулю, та!> иан V. j == О. Второй член
таите равен нуюо, поснольн:у велпчина ПОJIНOl'О тона через электрод
задана. Следовательно, в правой части выражения (6.50) отличны от нуля
тольно первый и третий интеrралы. Первый дает ноличество тепла, Bыдe
ЛЯIOщееся в проводнин:е, в том случае, Коrда ВЫПОЛЮ1ется занон Ома. Tpe
тий интеrрал всеrда положите.лен, поэтому при всяком отнлонении от закона
Ома к.оличество выдеJIенноrо теПJIа увеJIичивается.
13. ДВУХ lерный TOI{. Кан было отмечен() в 1 rл. lV, в электро ·
статшш, CTPOl'O rоворя, не существует пвухмерных задач ввиду Toro, что
любой цилиндрический проводнин' имеет тюнечную длину, а получить
236
rлава УI
резкую rраницу электрическоrо поля на l\онцах цилиндра невозможно, тю.;
как в природе нет сред с нулевой диэлектрической проницаемостыо. Ha
против, мноrие задачи о тонах в ПРUВОll,нинах являются cTporo ДBYXMep
ными, так нан ток можно сосредоточить в н:онечной области, оrраничивая
эту область изолирующей поверхностью. Н этому тппу задач принадлежат
псе задачи о тонах в TOHI.;IIX плоских проnодящих пленнах. Для решения
этих задач применимы все методы, описанные n rл. IV. Наиболее эффек
тивным из них является метод сопряженных фунrщии.
В 10 rл. IV было ПОRазано, что решение уравнении (6.48) в случао
потенциала, зависящеrо толыш от х И У, имеет вид
'*
u (х, у) или V (х, у),
(6.51 )
rде
w == u + jV == f (z) == f (х + jy). (6.52)
Если V потенциальная фующия, то плотность тона n любой точке, co
rласно формулам (4.57) и (6.7), будет равна
i == \ aw I == y == .!. дU . ( 6.53 )
1: oz 1: оп 1: as
Если выбрать в начестве потенциальной функции и, то
i == .!. \ aw I == U == + дУ . ( 6.54 )
1: oz 1: оп 1: as
в формулах (6.53) и (6.54) принято то же самое правило знаков, что
и в формуле (4.57).
Таким образом, если проводНIШ оrраничен ЭН:ВIlПотенциальными лини
ями и 1 JI и 2 И СИJНшыми линиями V 1 И 1-'2' то ток через Hero будет равон
У2 У2 У2
1 == \ i ds ==.!. \ ди ds == \ дТТ ds == Y2 V 1
, 1: .\ дп 1:) as 1:
У.I У.I У]
Сопротивлепие проводника по зarшну Ома раппо
R ==- IU2 Ull == 1: IU2 Uj 1.
11 I I V 2 T.I I
Если в формуле (6.55) Э1ШIIПотенциальные линrпr и 1 и П 2 явлmотся зам
кнутыми крпвыми, то электростатпчесная емн:()сть между элен:тродаШf,
находящимися в ванууме, будет равна (см. 12 rл. IV)
С == 8V [У] , (6.50)
I U2 U.l1
(6.55)
rде через [V] обозначен ИIIтеrрал от V, взятыЙ по замн:нутому н:онтуру nДОiJЪ
и 1 или и 2 . ТаЮJМ образом, зная С, можно найти сопротивление между й'l
и и 2 , если проводящая среда заполняет то же самое пространстnо, что lf
элен:тростатичесиое поле. При помощи формул (6.55) и (6.56) находим
R == 1:8"
С .
(6.57)
Таи, из формулы (4.69) следует, что сопротивление на единицу длины
между двумя параллельными цилиндричесн:ими элен:тродами, оси н:оторых
находятся на расстоянии 1) друr от друrа, равно
1: ( D2 Щ Щ )
Н == 2п ar Cll ::l= 2Н}Н2 '
(6.58)
Элепmричвский топ
237
rne 't удельное сопротивление среды между цилиндрами, а Rl' R 2 их
радиусы. 3нак минус соответствует случаю, Korna один цилиндр располо
жен внутри npyroro, знак плюс случаю, Iюrда ни один из цилиндров не
охватывает npyroro.
14. Длинная лента со снаЧIюобразно меНЯЮПJ;ейся шириной. При
меним изложенную выше теориJO к вычислению распре)Jеленпя тона в длин
ной, однородной по толщине проводящей ленте, полуширина ноторой
меняется сначном от h до k. Оfiласть .лепты вблизи уступа шншзапа на
!J
Плоскость Z,
У,
Плоскость Z
+J":,,,
Z,=Juo
k
и o
v=7!
v= 7(/2
v=o
1
У=7(
a
о
v=o х,
+а +1
а
Z, о;
Joo
б
Фие. 63.
фиr. 63,6. Очевидно, что такая rраница получается, если ДБ.вать действи
тельной оси плосности ZI уrлы нанлона 7С/2, 37С/2, О, 3т:/2 и 7С/2 COOТBeT
ственно в точках 1, а, О, + а и + 1. Чтобы после нанлона получить
между точнами а и + а 1юнечное расстояние, необходимо поместить
начало ноординат плосности ZI Б точне z == joo плосности z. Подставляя
значения всех а и и в выражение (4.85), найдем
dz (zi a2)1f2
==C
dZ 1 Zl (zf 1)Ч2
CZl
[(zi 1) (zi a2))l/2
са 2
Zl [(zi 1) (.zi а2)]Ч2 .
(6.59)
Прежде чем выполняrь интеrриронание, определим входящие Б выражение
(6.59) постоянные а II с по методу, изложенному в 29 rл. IV. Нак и
в 29 rл. IV, dZ 1 == jrlej61dfJI == jz 1 d0 1 при постоянном r 1 . Horna воличина r l
очень мала и 01 изменяется от О До 7с В плосности ZI' У является большой
отрицательной постоянном величиной, а х изменяется в плосности: z от + h
до h. Из выражения (6.59) тоrда находим
ё h . [ ( rie2jBl а 2 ) Ч2 J
) dz jC) 2 в d0 1 ===
+It О rie } l 'l Tl''''O
"
::1:: jc а dO I ,
О
238
Fлава V/
отнуда '! === =F jc7CO,. Аналоrично, У большая IIоложитеJ1ьнаJ1 постоянная
величина при r 1 00, тан что
(k dz== jc [ ( . ( r e2:obl а 2 ) Ч2 dOl ] ==:1: jc ё d6 1 .
r 2 e J l 'l rl oo
+k О 1 О
Отнуда k == =t= jC7C. Решав относительно с и а, будем иметь
h
o'===k и
с === =t= 2jk .
n;
(t5.I:Ю)
I10дставим эти значения в выражение (6.59), заменим z; в первом члене
и O,2/z; BO втором на (u 2 +а 2 )/(1+u 2 ) и ПрОI1F1Тю'рируем (см. Двайт, 120)
В результате получим
2 { [ (Z2 a2) J 1f2 [а (1 z / 1 /2 J}.
z==- karctg (;=Z ) +Itarctg
" (z a2) 12
lIостонннан интеrрирования отсутствует, таи нан: из этой формулы следует,
что, Horna Yl == О И X 1 == :f: а, z === :::!: h, а иоrда Yl === О И Х 1 == ::1:: 1, z == :::!: k.
Физи reСRИ очевидно, что вдоль разных rраниц проводнина ПРОХОДJ1Т
различные Л1ППП1 тона. Если положить И' == lп Zl' пли Zl === e"V, rlIe U
потенциальнан фуннцин, то (см. фиr. 63, а) ЛИНИJ1 тOIШ V === о будет про
ходить от Х 1 == + 00 дО Х 1 == О И .линия тона V == 7с от Х 1 == 00 дО Х 1 == О.
Следовательно (см. фиr. 63,6), эти линии тOIШ будут проходить COOТBeT
ственно по прщюй и левой rраницам ленты, сверху вниз, а полныЙ тон
в ленте будет равен 1 === 7С/!;,. I10дсташшя Zl === e W , получим
2 [ ( 2П7 2 ) Ч2 ( 1 2W ) 1[2 ]
Z == k arc tg е 1 7 + h arc tg а 2 е ,
'It 'l e е a2
(6.61 )
причем действительная часть Z положительна, если положительна действи
тельная часть Zl'
Если ; сопротивление между противоположными. сторонами нвадрата
с площадыо 1 .м 2 , вырезанноrо из Toro же caMoro листовоrо проводнИJШ,
что и лента, то сопротивление широноrо участна ленты (длиной Yk) будет
Rk ==!;, I Yk 1/2k, а уЗRоrо (длиной Yk) R J , == !;, I У" 1/2It. Ноrда два тю<их уча
С1'иа ленты, ШИРОRИЙ и узний, соедпнены между собой тан, нан это пона
зано на фиr. 63,6, сопротивление всей ленты nудет не Rk + R h , а Rk + Rh + t:.R,
rде t:.R добавочное сопротивление, обусловленно<:' деформацией лилиЙ
тона вблизи места соедпнеНИJ1. Если Yk:?> k и YJ, :?> h, то ЭRвипотенциаль
ные линии на фиr. 63,6 параллельны оси. Вычислим для этоrо случая t:.R.
1
На оси У V==T7C, тан что e 2W == e2U и выражение (6.61), еСЛl1 заменить
arc tg jи на j ar tll и и ПОJЮЖIJТЬ Х === О, даст
2 [ ( е2U + а 2 ) 1/2 ( 1 +е 2U ) 1[2 ]
У == k ar th 2U '! ar th а 2и
'It 1+ е е +а 2
(6.62)
Пусть U===Ul +OO, тоща е 2U очень веЛИRО и (см. Д аЙт, 4. I 5.3)
2 ( 2e2Ul+a2 2е 2U1 +1 )
Yk === k ar th . h ar th а .
," 2е2и1+1 2e 2U1 +a 2
3Ju!кmрическиЙ ток
2d\:J
Пользуясь формулой (702) из справочнина Двайта И пренебреrан 1, а И а 2
по сравнению с e и, получим
1 ( 4e2Ul 1+а )
Yh == k III 1 2 h ln 1 ==
'It a a
== 2kU 1 + ( kln h III k+}l ) == 2kU 1 + А.
'It 'It k2 },2 k }2 'It
Если U == 02 00, то е 2е очень мало н, нан п раньше,
2 [ 2а2+е2и2 а2 (2+е2и2) ]
У" == k ar th :ш Jl ar th 2и ==
, 'It а (2+е 2) 2а2+е 2
[ k III 1 + а Jlln 4а 2 ] ==
-;;; 1 a ('1 a2) е 2и2
== 2}1и 2 + ( k ln k+ h Jlln ) == 2hU 2 + В.
'It 'It k l/ k" /12 п
Нычитая иа перВО1'О выражения второе, найдем U 1 и 2
U U пYI, rrYh С А В )
1 2 == '2k 2}) 7t 2k 2}l
11, n силу формулы (6.55),
R==, иl U2 ( A ! )+ 'Yh + ;1.11,,1 ==t:.R + H + 1l
'> 7t 2 k}/ '2k"2h n 1,'
Подставляя значенин А и В, дЛЯ t:.R после упрощенпЙ получим следу
IOщсе выражение:
' [ }/2+k2 k+h k2 }12 ]
1Л == 2'1t III k h + 2111 . (6.63)
;J,руrие примеры применения этOI'О метода мо}ипо найти в ;шдачах, поме
щенных в 1Шнце rлавы.
15. TpCX lepHOC распределение ТОЩl. Если пространство межд}
двумя элентродами целинам заполноно однородноЙ изотропной проводнщей
ередой, то ра пределение тона и сопротивление между элентродами можно
получить, решая элентростатичеСRУЮ задачу о емности между теми же
самыми элентродами, при замене проводящей среды диэлентрином. В обоих
случаях нужно найти решение уравнения
V2V == О. (6.6/1)
в элентростатичесной задаче, еслп элеНТРОДLI находлтся в ванууме, 1'pa
ничные условии, соrласно формуле (1.40), имеют ВIIД
V == V a , Qa == Sv dS n . (6.65)
s
В задаче о тоне СООТllетстпующие условии, соrласно формуле (6.5), можно
записать в виде
V == V a ,
1 дT
1 == . dS .
а 1: дn а
s
(6,66 )
Таи НЮ{ rраничные
в обоих случаях в
будет равно
условия ОДИllаl\ОВЫ, ЭIШИПQтенциалытые поверХН!IСТИ
точности совпадают. Сопротивление, по зarшпу Ома,
л== IVb Val
IIal
== "tE1.i
I Vb Va I
I Qal
1: Е ."
С'
(6.67)
240
Fлава VI
l'де С емкость между элентродами, находящимися в ванууме. Если можно
найти Та!{УЮ элеRтростатичеснуIO задачу, в Н:О'fорой БOfювые стеюш сило
Boii труБЮ1 имеют ту же форму, чтu и 1'раница между ПРОВОДlIИКОМ (с удель
ным сопротивлением 1:) и изолирующей средой и, нроме Toro, ЭlтIIIIотен
циальные поверхности 1ЮНЦОВ силовой трубки совпадают по форме с иде
aJILHO проводящими lюнтш{тами на нонцах ПРОВОДНIII,а, то сопротипление
проводника можно выразить, соrлаС1Ю фОРМУJIе (6.67), через «емносты)
еIШОВОЙ трубки. ПОД емностыо в этом СJIучае подразумепается отношение
заряда на Iшнце труБЮ1 н разности потенциалов между ее концами.
16. Системы элеI{ТРОДОВ. Две сферы. Удаленные электроды. Если
в Оj\НОРОДIlУЮ I1ЗОТРОПНУЮ l1рUВОДЯЩУЮ среду с удельным сопротив.пением 't
помещены п идеально проводящих эленrродов, то ВСР соотношения между
lIоте1щиалаМII элентродов и вытеlШЮЩИМIТ из пих (или втеlШЮЩИМИ в них)
ТOI\8МИ можно найти при помощи методов, ИЗJIоже1ШЫХ в 14 19 rл. IП.
ДЛЯ этоrо НУЖIJО тольно заменить зарнд Qs в элеRтростатичесноii задаче
на тон 18 s ro электрода и умножить емностные коэффициенты на (1:8,,) 1,
а потенциальные на 't8 v '
Например, ;:(ля двух сфер с радиусами а и Ь, одна из ноторых Haxo
j\ИТСЯ внутри или снаружи друrой и расстояние между центрами которых
равно С, из уравнений (2.39), учитывая, что 11 == 12' получим
V 1 V 2 == 't8 v (sll 2S 12 + S22) 11'
'raH что сопротивление между ними равно
Н == I V, V2 1 == 't8 v (S11 2S 12 + S22)'
(6.68)
в 9а rл: V методом изображений были вычислены значения С 11 ' С 12 и C2
ДJ1Я этоrо случая. Используя эти величины, для сопротивления R в COOT
ветствии с определителем (2.41) получаем
1) С 11 +2С I 2+ С22
л 1:8v ., .
Ci2 Cl1 r 22
(6.69)
Формула (6.69) мало ПрИl'одна, если одна сфера находится внутри друrой.
]3 этом случае можно использовать метод, изложенный в 29 rл. V.
Если два Э'-1ентрода находятся в беСl\Онечнои проводящеЙ среде на
большом flасстоннии друr от цру{'а, то из формул (6.6ts) и (6.69) следует, что
R == 1: ( : l .r + ) , (6.70)
rде r расстояние между электродами, а Са И С" элеl{ТРОСl'атические
емности наждоrо из них в отдельности.
17. Задача о ПрО80дящем шаре. Для ИЛJПострации применения
метода Сф3рИЧ Сl ИХ rармоник н реШЭdИЮ задач, в которых рассматриваются
l'раницы между проводником и изолятором, вычислим потенциал во всех
точнах ПрОВОДНЩЭI'О шара , удельным сопротивлением 1:, в том случае,
ноrда ТОК 1 входит в один ero полюс fj == о и вытекает из противоположноrо
(J == 'It. В силу симметрии потенциал экваториальной плосности можно при
ннть равным нулю, та... что в соответствии с 16 и rл. V в разложении
потенциала будут присутствовать толыю нечетные rармонИIШ. Для потеп
циала, ноторый должен быть нонечным в .начале координат, получаем
00
v == A2n+1r2n+tP2n+-t (cos О).
n o
(6.71)
Элекmрический ток
241
Чтобы определить А2nН, продифференцируем выражение (6.71) по r, поло
жим r==a, умножимна Р2m+I([1)d[1ипроинтеrрируе 1 ОТ [1==0 до [1==1. Из
соотношения (5.92) следует, что в правой части останется толыш член,
для liOToporo m == п, тан что, заменив m на п,- получим
1 1
д;; P2n+I([1)d[1==(2n+1)A2n+t a2n [P 2n +t([1)]2d[1. (6.72)
О О
Применим формулу (5.127) н ИН'l'еrралу в правой части. При r == а произ
водная aV j ar равна нулю всюду, за исключением площадни b.S поверхности
электрода, 1'. е. онрестности [1 == .1; эта площадна так мала, что на ней
Р2n+1 ([1) можно заменить на Р 2n + 1 (1) == 1. Соrласно формуле (6.8),
аVjдr==IVэl=='ti r ; ПОС1ЮЛЬНУ dS== 27ta2d[1, для А2n+1 находим
4п+3 a 2n (. "1:1 4п+3 1
А2n+l== 2п+'1 2'1t a 2 't ( lr)dS== 2па2 2п+1 а21& '
f.S
и, следовательно, выражение (6.71) принимает вид
00
"1:1 4п+3 ( . r ) 2n+1
V.== 2м 2п+'l -и Р2n+1 (СОБ 6).
n o
(6.73)
Этот ряд можно разбить на четыре более простых ряда и заменить
2п + 1 на т. Таким образом, получим,
в них
со
V == 2 a [( 1 + )Р m ([1) ( 1 + 2 ) Р m ( (1) ] ( : ) m .
т O
Обозначая расстопния до полюсов через Rr и R.1tf можно, соrласно выраже
нию (5.17), произвести суммирование этих рядов:
V "l:1 ( + (' .!. (' '\ (6.74)
21t Во 2 r Во В"1О 2 r В"1О) .
Пусть Но и R1t образуют с осью шара уrлы а. о И a. 7t , так что Ro СОБ а. о ==
== а r СОБ (J и R1t СОБ a. 7t == а + r СОБ (J. Появляющиеся при интеrрировании
(см. Пайерс, 182) в выражении (6.74) лоrарифмические члены ln r сонраща
ются, и для потенциала V получаем
V == "1: 2 1 { п 1 .!.lll [Ro (1 + СОБ а. о )] В 1 + .!.ln [R1t (1 + СОБ а."1О)] } (6.75)
1t о а а
Очевидно, что
"1:1
V и
Но....о 21tR o
"l:J
V R7t О --+ 21tR '
1t
так что исходное разложение (6.73) остается верным вблизи пuлюсов.
В рассматриваемом случае в силу симметрии rраницы трубон тона
являются поверхностпми вращенип. Уравнение поверхности трубни, по HOTO
рой ПРО'fe1шет тон 11' можно получить, интеrрируя нормальную номпоненту
ШlOтности тона (1j-c) (aVjar) по cerMeHTy, вырезанному трубной на сфере,
и приравнивая результат интеrрирования тону + 11' Для этой цели Bыpa
женис (6.74) более удобно, чем (6.75). Интеrрал от членов, содержащих
величины, обратные расстояниям, был ВЫЧИСJIeН в 11б rл. 1; поснольну
элемент повер ности равен 27tr 2 sin (J d(J, для тона 11 будем иметь
в в
1 ==21 ( 1 rosao + 1 cOSa ) т1 ( \ sin(jd(j (' sin(jd(j )
1 2 2 +-2 J R R .
. о о О 1t
16 Б. Смайт
'242
rлава VI
ПОJIаrаЯ x cose и интеrрируя (см. Двайт, 191.01), ПОJIУЧИМ
11 == 1 [ 2 cosao cosa:'It + 2 1 а (Ro +R'It 2а) J
ЕСJIИ тупой yrOJI между Ro и R7tJ то
R'It 2а cos a 7t Ro cos , Ro 2а cos (х о == R'It cos
И уравнение трубок тона приводится н виду
11 == 1 (1 + Во R7t cos ) .
(6.76)
, Эта фОРМУJIа подтверждает ВЫПОJIнение rраничных УСJЮВИЙ, тан кан на поверх
ности шара второй ЧJIен в снобнах равен НУJIЮ и 11 == 1.
18. Задача о СПЛОШНО I проводящем цилиндре. ДJIЯ ИJIJIIострации
применения бессеJIевых фуннций н задаче о проводнике, vrраниченном
ЦИJIиндричесной ИЗОJIирующей поверхностью, ВЫЧИСJIИМ распредеJIение потен
циаJIа в СПJIОШНОМ проводящем нруrJЮМ ЦIшиндре, ДJIина KOToporo равна 2с,
радиус а, удедьное СОПРОТИВJIение '1:, в том СJIучае, ноrда тон 1 подводится
н нему при помощи ЭJIентродов, имеющих вид узних IЮJIьцевых пояснов, при
жатых н ЦИJIИндру на расстоянии Ь по обе стороны от ero экватора. Ширину
пояска будем считать настодьно маJIОЙ, что физически измерить ее невоз
можно, но в то же время ОТJIИЧНОЙ от НУJIЯ В математическом смысде, так
что {тотность тона и потенциаJI всюду будут нонечпы. Принимая энва
ториаJIЬНYIО ПJIОСКОСТЬ за ПJIОСН()СТЬ HYJIeB()r() П()ТенциаJIа, ПОJIучаем, что
решение уравнения непрерывности, остающееся нонечным на оси, в COOTBeT
ствии с g 33а I'JI. V и фОрМУJIОЙ (5.311), имеет вид
V == An10 (knp) sin knz. (6.77)
n
На rранице z == с ДОJIЖНО быть aV / az == О. Это rраничное условие удовле
творяется, еСJIИ, имеЯ в виду, что cos [(2п + 1) 1t/2] == О, ПОJIОЖИТЬ
k n == (2п to 1 ) Jt . (6.78)
Ч'roбы опредеJIИТЬ Ап, продифференцируем выражение (6.77) по р [используя
соотношения (5.440)], ПОJIОЖИМ Р == а, умножим реЗУJIьтат на sin knz и IIрО
интеrрируем от О дО С. В правой части останется '1'одьно тот член, для
HOToporo kp == k n (см. Двайт, 435), Поэтому, заменив р на п, ПОJIучаем
с knc
: sinknzdz ==An1l (kпa) siп 2 k п zd(k п z).
о о
Применим н интеrралу в правой части выражение (430.20) из справочнина
Двайта. На rранице .р == а, aV /др равно НУJIЮ BC OДY, за ИС1{JJючением поверх-
ности !lS, понрытой элен:тродом и лежащеи в онрестности z == Ь. Эта
поверхность наСТОJIЬКО мала, что на ней sin knz можно принять равным sin knb.
Из фОрМУJIЫ (6.8), ПОJIаrая 2'ita dz == dS, ПОJIУЧИМ дЛЯ интеrраJI3 в JIевой части
sin "п Ь {". d S . k Ь
'1: l 2JШ sш n .
lJS
Постоянные А п будут равны
А ,== 2'[;1 sin knb
п (2n+1}1t2a11(kna)
ФОРМУJIьi (6. 77) (6.79) дают исномое решение.
(6.79)
Эле1:mриtWС1:ий тО1:
243
в рассмотренноЙ задаче rраницы трубон тона являются поверхностнми
вращения. Уравнение поверхности трубии, носущеЙ тои]', можно ПОJIУЧИТЬ,
интеrрируя ПJIOтность тона (1j't) (aVjaz) по поверхности дисна, вырезан
Horo трубноЙ, и приравнивая результат IIнтеrрирования тону 1':
O::J Ь
l' + : 27tknAn Cos knz 10 (knp) р dp.
n O о
Интеrрируя это выражение при помощи фоРМУ.'1ы (5.441) и lIодстаВJIЯЯ
значение Аn из формулы (6.79), ПОJIУЧИМ
O::J
l' == 4Ip SiIl knb cos knzI] (knp)
7ta LJ (2п+1)I](k n a) ,
n O
rде значения k n вычисляются по фuрмуло (6.78).
Э 19. Сопротивление зомли. В rо()физы\е сущестuуст метод исследова
НИil С1РУНТУРЫ зеМ1IOй норы, основанныЙ па изморении распределения
потенцИаJIa на зомной поверхностп при прохождонии тона между двумЯ'
ИJIИ б6JIЬШИМ ЧИСJIOМ поверхностных электродов. Ра :смотрим простеЙший
СJIучаЙ, HorIla до rJIубины а удеJIЬНUО СОПРОТ1ШЛОНИО земли равно 1:1' а на
большеЙ rJIубине оно равно 'С 2 . Примепим метод, ИЗJIOженныЙ в 31r rл. V,
ДJIЯ нахождения распредеJЮНИЯ потенциала оноло точечноrо электрuда.
Решение в случае двух ИJIИ большеrо числа элентродов можно наЙти при
помощи 'суперпозиции. Потенциал, созданныЙ уединенным 1тентродом,
можно ПОJIУЧИТЬ из выражения (5.378), заменяя, COrJIaCHO 15, заРЯI\ q
на 2'tEI. Сдодует иметь в вилу, что В этом случае 21 соответствует тону,
рассмотренному в 15, тан иан весь Тон протенает в нижнем ПОJIynро
странстве. Таним образом, для потеНJ пала o;J.Huro элентрода имеом
(6.80)
O::J
V 't,] 't]I (" J ( k ) hlzl dk
21tr 21t '} ре.
о
Нан и в 31r rJI. V, дЛЯ ПОJIучения решения в области 'С 1 мы должны
учесть добавочныЙ потенциал, оБУСJIOВJIeННЫЙ .разрывом непрерЫВНОС1И при
z==a; этот потенциал может содержа1Ь нак члены e hz, тан и члены e hz
ввиду Toro, что z в данноЙ области является 1юнечноЙ веJIИЧИНОЙ. Таним
образом,
(6.81)
O::J
V 1 == : [ ф (k) J o (kp) e hz dk+
о
O::J O::J
+ W (k) J o (kp) e+ hz dk + J o (kp) e kz dk ] .
о о
На поверхности земли z == О и JlИНИИ тона должны быть
таи наи IlоследниЙ ЧJIен фОрМУJIЫ (6.82) уже УДОВJIOтворяет
то этому же условию ДОJIЖНЫ УДОВJIетворять и остаJIьные
(6.82). СJIедовательно, УСJIOвие aV 1 jaz == О при z О дает
Ф(k)+ W(k) O.
Потенциал в оБJIасти 'С 2 должен обращаться в
следовательно, может име1Ь толыш таноЙ вид:
(6.82)
rоризонтаJIЬНЫ;
этому УСJIOВИЮ,
'шены формулы
(6.83}
нуль на беснонечности и,
O::J
У 2 : в (k) J o (kp) e kzdk.
о
(6.84}
16*
24
rлава v 1
fраничные условия при z ==а, соrласно соотношениям (6.47) и (6.48), запп
сываются следующим образом:
V == v" и av 1 ==.J:... av 2 .
1 't} а z 't2 az
После подстаноВI\И соответствующих выражений из фuрмул (6.82) (6.84)
и иснлючения J o (kp) получаем
e ka + ф (k) (e ka + e ka) 8 (k) (;ka == О, (6.85)
't2e ka + 't 2 Ф (k) (e ka e ka) + 't 1 8 (k) е Iш == О. (6.86)
ИСНJIЮЧИВ 8 (k) из этих уравненпй, обозначив ('t 1 '( 2 )/('t 1 + '( 2 ) через
и подстав в формулу (6.82), находим распределение потенциала на поверх
ности земли (rде z == О)
00
'tl I (" 1 e 2k
V s == 2'/t 1 + pe 2M J о (kp) dk.
о
(6.87)
Разлаrая знаменатель выражения (6.87) в ряд (см. Двайт, 9.04) и меняЯ
поря дон суммирования и интеrрuрования, получим
,
00 00 00
V s == : [ J o (kp) dk + 2 ( 1)n n e 2nka J o (kp) dk] .
о n 1 U
Подстановна интеrрала из выражения (5.372) дает
00
v == 't}I [ 2 ( 1)n n ]
s 2'/t Р + kJ (4n2а2 + р2)Ч2 .
n 1
(6.88)
Если принять теперь поверхность земли за плосность ху, то при тоне 1
между элентродами, находffiЦИМИСЯ в точнах х == + ь и х == Ь, для потен
циала на поверхности (ПОСI\UJIЬНУ р+ == [(х Ь)2 + y2]l{2 и p == [(х +. Ь)2 + y2]l{2)
можно написать
00
v з == i: { р1+ p + 2 ( )n [(4п 2 а 2 + р ) Ч2 (4п 2 а 2 1;- р ) Ч2] }. (6.89)
n 1
СJIучай Jlюбоrо числа слоев был рассмотрен Стефанесно и ШЛIOмберrероМ 1).
э 20. ТОRИ В ТОНRИХ изоrнутых плеНRах. ЕСJIИ тонную однородную
по толщине изоrнутую ПJIенну можно развернуть на ПЛОСНОСТЬ, то, выполнив
эту операцию, мы сведем задачу н двухмерной и СМОЖt:JМ примен.ить ДJШ ее
решения методы 13. ЕСJIИ же развертывание на ПJIОСНОСТЬ невозможно,
то приходится применять друrие методы. Из уравнений (3.13) и (6.46)
следует, что уравнение непрерывности в ортоrонаJIЬНЫХ НРИВОJIинеЙНЫ:J:
ноординатах имеет вид
( h 2 /z з aV '\ + ( h3 h ! av ) + ( hlh2 ) О (6.90)
аи} h} ди'1) ди2 h 2 аи2 диз h3 диз .
Пусть и 1 И и 2 ортоrонаJIьные НРИВОJIинейные координаты на рассматри
ваЕ1МОЙ поверхности, а .а з расстояние, отсчитанное в направлении, нормаль
ном н поверхности. Пленна настольно тонная, что распредеJIение тона
на обеих ее сторонах одинаново и, следоватеJIЬНО, aV / дu з .== О. ТОJIщина
'.
1)Stefanesco, Schlumberger, Journ. d. Phys., 1,132 (1930).
..,
Эле1:mрu-ческий тО1:
245.
цлеНRИ ЕСЮДУ ОДIIнановая, таи что ha не зависит от U 1 и U 2 1 ). При этих
условиях уравнение (6.90) принимает вид
д ( h2 av ) + д ( h 1 av ) О
aиl h; ди} ди2 "h; ди2 .
(6.91)
Это уравнение и следует решить, чтобы наЙти распределение тона.
э 21. Распределение TORa в сферичеСRОЙ плеНRе. Счита}f, что для
сферцчеСRОЙ плеНRИ V не зависит от r, можно на основании уравнения (3.17)
представить уравнение (6.91) в виде
. CJ д ( . fJ av ) + a2V О
sш '} дО Sln дО дср2 == ,
(6.92)
rдe fJ полярныЙ, а !fi азимутаJIЬНЫЙ уrол.
Хотя сферичеснуlO ПJIенну нельзя разве
нуть на ПЛОС1,ОСТЬ, однано наждуro ТОЧRУ
сферичеСRОЙ поверхности можно спрое],ТI РО О
вать на беСJ{онечнуro ПJIОСIЮСТЬ таRИМ обра
зом, что веJIИЧИНЫ уrлов не изменятся. Эта
операция называется стереоrрафичесноЙ про
еlщией и весьма похожа на инверсию. На
одном из нонцов диаметра строят плосность,
RасатеJIЬНУЮ н сфере. Линия, llРОХОДЯЩ<lЯ
через друrой lюнец диаметра О и точну Р
(фиr. 64), llересенает плосность в ТОЧIШ р',
которая называется проенцией точни р. Пусть \)1" решение ураВН('JШЯ
непрерывности для плоскости, rде это уравнение, cпrJIaCHO (4.4), имеет ШIД
д ( aw ) a2W
ra,. ra;.. + дср2 ==0.
Фие. 64.
(6.93)
При проектировании на сферу системы нривых, изображающих \)1", азиму
тальный yroJI не меняется. Из фиr. 64 видно, что r и fJ связаны соотношением
1
r == 2а tg fJ 1 == 2а tg "2 б.
"Vравнение спроентированных нривых можно ПОJIУЧИТЬ, еСJIИ в уравнение (6.93)
нодставить fJ и !fi вместо r и !fi:
д дО д . д
r ar == r ar дО == sш fJ дО ;
тоrда уравнение (6.93) примет вид
. fJ д ( . CJ aw ) + a2W С
sш дО sш идв- дср2 == ,
Это уравнение совпадает с уравнением (6.92). Таним образом, стереоrрафи
ческая проенция решения уравнения цепрерывности дЛЯ ПJIOСIЮСТИ дает
решение этоrо уравнения для тонной опнородной сферической ПJIеНRИ.
В 10 rJI. IV было поназано, что и и v ЯВJIЯЮТСЯ решениями ypaB
нения V 2 V == о, rде
и + jV == f (х + jy) == f (rcos!fi + jr sin!fi),
. 1) Ортоrональные криволинейные Rоординаты и 1 и и 2 всеrда можно выбрать таким
образом, чтобы внутренняя и внешняя поверхноети пленки еовпада:IИ е координатными
поверхноетями из==сопst. ЕСJIИ ПJlеllка тонкая и однородная по толщине, то, очевидно,
при этом коэффициент h з , по крайней мере внутри пленки, не зависит от Щ и и2'
При"". перев.
246
rлава VI
еСJIИ f (z) аналитическая фушщпя. Из сказанноrо выше вытекает. что если
и + jV == f [ 2а tg ; В (cos ер + j sin р) ] ,
(6.94)
то и и и v будут решениями уравнения непрерывности на поверхности
сферы радиуса а, причем, если и потенциальная фУНIщия, то V фуНIЩИII
потона, и наоборот. Из законов инверсии следует, что прямые на ПЛОСIЮСПI
при проентировании на сферу дают онружности, проходящие через точну О,
а окружности на ПЛОСIЮСТИ переходя т в окружности на сфере.
В качестве примера найдем распределение потенциаJIа в сферичесной
пленке радиуса а, имеющей поверхностное удедьное сопротивление .;;, ноrда
ток 1 втенает в нее в точке В == IJ., ер == ; 'It И вытенает в точке В == IJ.,
1
== 2 'It. Заменяя, corJJacHo 15, величину заряда 2'1t€v в соотноше
нии (4.66) на €v.;;I, мы получим для распределения потенциаJIa и в плоской
пленне СJIедующее выражение:
2тси х 2 + у2 + Ь 2 r 2 + Ь2
cth I == 2Ь == 2' .
у Ьr 8Ш '1'
1
Но, IШli видно из фиr. 64, r == 2а tg 2" В, так что
tg2 {J -+ tg2J а
th 2тtU 2 2 -t СОБ а СОБ {J
С I 2 t 1 О t 1 . sin а sin (J sin '1' .
g2" gтаsш'l'
(6.95)
Таним же путе.\l из соотношении (4.68) можно ПОJIУЧИТЬ уравнение JIИНИИ тона:
2тcV r2 ь2 eos а еОБ {J
ctg == , == .. .
I 2ьr СОБ ер sш а sш {J СОБ ер
(6.96)
22. Поверхность вращения. В качестве друrоrо примера найдем
решение уравнении (6.91) для поверхности, образованной вращенпем кривой
у == f (z) BOHpyr оси z [f (z) однозначнан фунr>ция z]. Очевидно, что на такой
поверхности положение JlIобой ТОЧI":И Р можно определить ортоrональными
ноординатами z и ер, rде ер азимутальный уrол, отсчитываемый BOHpyr оси z.
Положим в 20 ноординату и 1 численно равной z, а и 2 "'" ер. в силу сим
метрии h 1 и h 2 не зависят от ер. Тоrда уравнение (6.91) принимает вид
( ov ) + 02V == О. (6.97)
h 1 az h 1 oz оер2
Чтобы найти решение этоrо уравнении, введем новую переменную и, равную
нулю при z == Zo и удовлетвориющую соотношению
!!2 !!..
оп h 1 az
ИJIИ
Z
U == : dz.
ZO
(6.98)
Тоща уравнение (6.97) принимает вид
a 2 V 02V 9 9
оц2 + a'l'2 == О. (6. )
Нан было поназано в 10 rл. 1 У, решениями этоro уравнения нвляются
4fJуНIЩИИ и (и, ер) ИJIИ V (и, ер), причем
и + jV == F (и + jep). (6.100)
Элек rпрический 1!t0K .. . 247
Чтобы выразить и через заданные веJIИЧИНЫ, нужно вычислить h 1 И h 2 .
Уравнение поверхности имеет вид
тан что
р -== f (z), (6.101)
dp == /' (z) dz
и
ds 2 == dp2 + dz 2 + р2 dep2 == {[/' (Z)]2 + 1} dz 2 + [/ (Z)]2 dep2,
отнуда
h 1 == {[/' (z)]2 + 1 }Ч2,
Подставляя эти значения в соотношение (6.98), ПОJIУЧИМ
h 2 == / (z).
(6.102)
2
r Ш' (Z)J2+ 1}Ч2
и J f (z) dz.
ZO
(6.103)
ПОСRОJIЬКУ при увеличении ер на 2п1t мы I30зпращаемся к той же JIИНИИ на
поверхности, ДJIЯ однозначности ПОJIученноrо решения необходимо, чтобы
F (и + jcp) бьша периодической фУНR у
цией ер с периодом 21t. По форме pe
шение совпадает с решением ДJIЯ ци
линдричесной поверхности, н:оторую
можно развернуть в ПJIOСНyrо денту.
Если, нан поназано на фиr. 65, по
верхность вращения заМ1шута на oд
ном нонце, то / (z) == О в точне пере z
сечения поверхности с осью z и, ( o
rласно выражению (6.103), эн:випа
лентный ЦИJIИНДР будет простираться
ПО и == 00. ЕСJIИ один из нонцов
llOверхности не замrшут (Фиr. 65), то
эн:вивалентный цилиндр танже будет
онанчиваться при нснотором, поло
жительном значении и и rраничные Фие. 65.
условия па нраю цилиндра будут
выражаться той же фующией У1'ла ер, что II rраничные условия на краю
поверхности вращения, изображенной на фтп'уре.
э 23. Предельные значения сопротивления. Общие теоремы, и;тожен
ные в 12, частО дают возможность найти предельные значения, между
ноторыми зarшючено сопротивление проводнина, даже в том случае, RorAa
нельзя ВЫЧИСJIИТЬ точное значение. ДJIЯ нахождения нижнеrо предеJIа co
ПРОТИВJIeНИЯ разместим внутри ПрОI30дпина тонние идеально l1роводящие
слои таним образом, чтобы они, с одной стороны, совпадали по возмож
ности точнее с деЙСТВИТeJIЫIЬ1МИ энвипотенциаJIЬНЫМИ поверхностями, а с дpy
l'ой стороны, давали возможность вычислить сопротивление полученноrо
проводнина. Нан: следует из 12, это сопротивление будет равно сопроти
влению исходноrо проводнина ИJIИ будет меньше ero. Чтобы найти верхний
предел, введем внутрь проводнина нан можно ближе н действитеJIЬНЫМ
линиям тона тонние слои ИЗОJIЯтора с ТaIШМ расчетом, чтобы оназалось
возможным вычислить сопротивление измененноrо проводнина. Нан известно
из 12, это СОПРОТИВJIeние будет равно сопротивлению ИСХОДIlоrо провод
нина или будет больше ero.
248
Тлава VI
НаПРИ\\fер, СОПРОТИВJIение между двумя ЭJIентродами данной формы
имеет промежуточное значение между СОПРОТИВJIениями, сортветствующими
ЭJIентродам, поверхности ноторых описаны BOHpyr данных ЭJIентродов
и вписаны в них. В начестве xapaHTepHoro примера рассмотрим сопро
ТИВJIение между идеаJIЬНО проводящими ЭJIен:тродами, прижатыми R нонцам
А и В подновообразноrо проводнина с треуrОJIЬНЫМ поперечным сечением
(фиr. 66). Для ПОJIучения BepxHero предеJIа СОПРОТИВJIения введем в про
воднин бескоеечно тонние СJЮИ И30JIятора и расположим их на очень Ma
лом расстояпии друr от друrа
аним образом, чтобы тон В.
проnодвине протекал ТОJIЫЮ
по прямым JIИПИЯМ И ПОJIУ
онружностям. Длина ТЮЮro
слоя, нан видно И3 фиr. 66,
равпа 2с+ 1t (Ь +х). Площадь
соотnстствующеrо ПOfюречноro
-::ечения равна х dx, и, СJIeДО
вательно, СОПРОТИВJIсние
dR == 't[2c+'1t(b+x)]
и хах .
a
Ы: ТА
T I'
LlL B
I
М
с
Все слои параллеJIЫJЫ, ['Ю.
что, соrлаС1Ю формуле (6.Н),
верхний предел сопротивления (см. ДваЙт, 91.1) будст рапсн
Фие. 66.
а
(\ 1 ) 1 ( 1 \ х dx ) 1
R и == '-- J dЛ и == 7 J 2с + '1tb + '1tX ==
О
2 [ 2c+'1t(a+b) J 1
== 1t 't 1ta (2с + 1tb) lп 2с + пЬ .
(6.104)
Чтобы найти нижний предел СОllрОТИВJIения, ввсдем в сечения Jf и N
проnоднина идеально проnодящие слои. n ПРЯМОJIинейпых частях провод
нина АМ и N В тон распреде.JIИТСЯ равномерно, и сопротивление их будет
равно 4c'tja 2 . В занруrJIенной части 1JJ N проводнин имеет форму треуrоль
ной силовой трубки в двухмерном элен:тростатичесн:ом поле, описываемом
фуннцией W == lп z. Отсюда следует, что фунrщия нотона и потенциальная
фушщия имеют вид
U==lnr и V==8.
(6.105)
СОПРОТИВJ1ение полосни, JIежащеЙ на расстоянии у (см. фиr. 66), в силу
ормулы (6.55), равно
dR " (1 а+Ь d ) 1
1 ==- 't1t n Ь + 2у у
Полоски соединены параЛJЮЛЬНО, СJIедовательно, (см. Двайт, 620),
Ч2 а
RZ == ( d " ) 1 == 1t't (2' ln ьа::у dy ) 1 == Ып (а + Ь;:"ЫП b a '
1 О
Тан кан изоrнутая часть проводнина и обе прямолинейные части соеди
нены ПОСJIедоватеJIЬНО, то нижнее предеJIьное значение сопротивления будет
равно
[ 4с '1t ]
Rt=='t li2 bln(a+b) blnb a
(6.106)
Эле1:mрический ток
249
24. Токи в анизотропных средах. Слои в земной коре. Взяв ди
верrенцию выражения (6.8), мы ПОJ1УЧИМ
V. (IVV)== V' i==O. (6.107)
ЕСJIИ среда не изотропна, '('() ее про-водимость в раЗJIИЧНЫХ направлениях
раЗJIична, и 1 нельзя выносить из под звана v. Однано если среда OДHO
родна, то провопимоеть ее по любому нанраВJIению одинанова. В этом
СJIучае можно, нан это БыJIo сдедано в соотношрниях (1.58) и (3.8), выбрать
систему прямоуrОJIЬНЫХ ноординат тar\Им образом, что уравнение (6.107)
примет вид
a 2 V a 2 V a 2 V
'Х дх2 + 'У д у 2 + 'х az 2 == о. (6.108)
.
ВСJIедствие особенностей образования земной коры часто оказывается, что
ее ПрОБОДИМОСТЬ в rоризонтальном напраВJIении больше, чем в вертикаJIЬНОМ.
ЕСJIИ направить ось z по веРТИIШJIИ, то уравнение (6.108) можно записать
следующим образом:
( д 2 У a 2 V ) a2V == О
1ft" дх2 + д у 2 + Iv az2 .
(6.109)
Если ввести новую переменную, опредеJIяемую соотношением
и == ( : }/2'Z az, (6.110)
то уравнение (6.109) примет вид
a 2 V a 2 V a 2 V
д 2 + a 2 + д 2 ==0. (G.111)
:J. у и
ДШI решения уравнения (6.111) применимы все методы, ИЗJIоженпые в rJI. У,
однан:о необходимо лиБQ выразить rравичные условия в ноординатах х, у, и
и потребовать, чтобы решение уравнения (6.111) им удовлетворяло, Jшбо,
наоборот, перейти в решении уравнения (6.111) н переменным х, у, z.
ПреДПОJIОЖИМ, что сферичесний ЭJШНТРОД радиуса R дО ПОJIUШШЫ поrружен
в земшо. fраничное УСJIовие имеет в этом СJIучае вид V == V o IlрИ х 2 + у2 +
+ Z2 == х 2 + у2 (иja)2 == R2. СJIедователыIO, в системе х, у, и это условие
ДОJIЖНО ВЫПОJIНЯТЬСЯ ДJIЯ сфероида
х 2 + у2 и2
+ а 2 В2 == 1.
Из выражений (5.8) и (5.9), lIолаrая а 2 == Ь 2 == R2 И с 2 == a 2 R2, получаем
решение
00 00
V == V o [ (а 2 +О) :2+ б)Ч2 ] : [ (а2+ О) :2+ О)Ч2 ] .
Полаrая х == а 2 + f) и принимая во внимание, что а > 1, будем
(см. Двайт, 192.11)
иметь
V V ат th [(c2 a2)/(c2 + 6)]Ч2
о ат th [(с2 а2)/с2]Ч2 .
Но из уравнений (5.284) и (5.285) СJIедует, что
с 2 + е == (c2 a2) '1)2,
Jl выражение длн потенциаJIa принимает вид
V V [ th( 'Yh 'YV ) 1f2 J 1 th 1
== о ar ar ==
'Yh
== V o [ arch( : )Ч2 J l arsh('1j2 1) Ч2.
(6.112)
250 rлава v 1
Соrласно соотношениям (5.287) и (5.288),
и aZ == R (а 2 1 )Ч2 '1j ,
х 2 + у2 == R2 (а 2 1) (1 Р) ('lj2 1).
Исшпочая , получим
х2 + у2 ,,2Z2
R2(,,2 1)('Yj2 1) + R2(a2 1)'lJ2 ==1. (6.113)
Наименьшее значение '1j будет на элентроде, rде '1j == aj(a 2 1)Ч2. Поэтому
знаменатель nepBoro члена всеrда больше, чем знаменатель BToporo, таи
что эншшотенциаJIьные поверхности имеют форму неь.онфональных сплюс
нутых сфероидов. На поверхности зеМJШ Z == О и энвипо;енциальные линии
определяются уравнением
V == V o [ ar сЬ ( : Y/2J 1 ar shR [ 1v1(:: "y2) ] Ч2 . (6114)
Для точечноrо'элентрода, ноrда величина R очень мапа, в выражении (6.114)
можно заменить ar БЬ через уroл. Учитывая, что остальная часть выраже
ния (6.114) пропорциональна тону 1, ПОJIУЧИМ
V==CI(x2+y2) 1f2. (6.115)
Нривые, определяемые этим уравнением, имеют тот же вид, что и в СJIучае
изотропноЙ среды.
25. ТОК, обусловленный движением пространственноrо заряда.
Уравнение Чайльда. До сих пор мы рассматривали тони в проводнинах,
-суммарныЙ заряд ноторых был равен НУJIЮ. Рассмотрим теперь тони в про
воднинах, несущих заряды тольно одноrо знана, тан что суммарный заряд
'отличен от ну.J1Я. Движение зарядов сдедует считать настодьно медденным,
''11'0 фОРМУJIЫ ЭJIентростатики остаются Сl1равеДJIИВЫМИ. В этом СJIучае ДОJIЖНО
УДОВJIетворяться уравнение Пуассона (3.6), COrJIaCHO ноторому
PV == ....t ,
8"
(6.116)
тде V потенциал и р плотность заряда. Допустим, чт() все заряды оди
нановы, что 1ШЖДЫЙ из них связан с массой т и что всю свою энерrию
'они ПОJIучают от наложенноrо ПОJIЯ. Тоrда энерrия частицы, снорость HOTO
рой равна v, а заряд q, в точне с потенциалом V будет
mv 2 == 2q (V o V), (6.117)
тде V о потенциаJI в начальной точне. Плотность тона в произвольной
точне будет равна
i == pv.
(6.118)
в простейшем СJIучае заряды в неоrраниченном IЮJшчестве эмиттируются
'ПJIОС1ЮСТЫО Х == О и ускоряются по направлению н ПJIOСНОСТИ х == Ь под дей
ствисм ПРЮIOженноrо напряжения V О. На плоскости х == О эмиссия зарядов
продолжается до тех пор, пона не исчезнет увленающее их ЭJIeнтричеСlюе
поле. Поэтому rраничное УСJIOвие имеет вид
( :: )X O == о. (6.119)
'Снорости всех зарядов направлены по оси х, тан чт(), иснлючая р и v и;r-
.уравнения (6.116) при ПОМОщи фОРМУJI (6.117) и (6.118), ПОJIУЧИМ
a 2 V i [ m ] Ч2 .
дх 2 == -;;; 2q (V o V)
Эле1:mричеС1:UЙ то,;, 251
"Умножая это выражение на dV/dx и интеrрируя от V == V o и dV/dx==O
до V и dV/dx, будем иметь
С dV ) 2 == 4i [ m(Vo V) ] Ч2. (6.120)
dx Е" 2ч
ИЗВJюкая из обеих частей квадратный корень и интеrрируя от V == V o .
:J: == О до V == о и х == Ь, найдем плотность тока
i == 4Е" ( 2 ч ) Ч2 V /2 .
q m _ Ь 2
(6.121)
31'0 выражение известно под названием занона Чайльда. Оно показывает,
что при неоrраниченной эмиссии зарядов из одной пластины тон между
пластинами пропорционален потеЮJ:иаJIУ в степени 3/2' Таной тон называется
{(тоном, оrраниченным пространственным зарядом». Нан видно из формулы
(6.121), оrраничение пространственным зарядом значительно сильнее CHa
jывается на заряженных атомах, чем на элентронах, вследствие их большей
:массы.
На прантине эмиттер часто имеет вид TOHHoro, нруrлоro Ц[JЛИНдра,
8 эмиттированные заряды перемещаются по направлению к большому цилинд
ру, концентричному с эмиттером. В этом случае удобно воспользоваться
цилиндричесними ноординатами, и если 1 ПОJIНЫЙ тон на единицу ДJIИНЫ
цилиндров, то уравнение (6.118) принимает вид
1 == 21trpv. (6.122)
Записав уравнение (6.116) в ЦИJшндричесних ноординатах при помощи ypaB
нения (3.18), ИСНJIIОЧИВ, соrласно формулам (6.117) и (6.122), р и v и за
:менив V о V на V, получим
d 2 V dV 1 ( m ) Ч2
r dr2 + dr == 2'1tE V 2qV .
(6.123)
Непосредственное решение этоrо уравнения затруднительно, если даже вообще
возможно. Можно, однако, ПОJIУЧИТЬ ero решение в виде ряда СJIедующим
-способом: преДПОJIОЖИМ, что q, т и V входят в ИС1юмое решение IЗ таной же
форме, нан и в выражение (6.121), и будем искать решение (6.123) в виде
1 == 8'1tEv ( 2ч ) 112 V 3 /2 .
9 m rp2
(6.124)
Нужно определить 2 так, чтобы удовлетворялось уравнение (6.123). Под
становка выражения (6.124) в уравнение (6.123) дает
3 d2 + ( ) 2 + 4 d + 2 10==0
d1 2 \.dl dl '
(6.125)
rде
1 == ln ( ) .
(6.126)
Решение этоrо уравнения можно найти обычным методом в виде ряда
р. 2 2 11 3 47 4
t'===1 51 + 120 1 3::ЮО I +...
(6.127)
в фОРМУJIе (6.126) через а обозначен радиус BHYTpeHHero цилиндра. Таблица
.значений каи фУНRЦИИ r/a опуБЛИRована Ленrмюром.
.,
252
Тлава V 1
ЗАДАЧИ
1. Некоторый прибор должен работать от 6 вольтовой аКRУМУЛЛТОРНОЙ батареи.
Батарея, хотя и имеет весьма малое сопротивление, но не может давать нужный ток
достаточно долrое время. Чтобы преОДОJlеть это затруднение, reHepaTop nOCToHHHoro
тока, Э. д. с. ROToporo может КО.:Jебатьсп от 100 до 120 в, соединяют последоватеJ1ЫIО
с СОНРОТИВJ1ед,lIем, нодобранным так. что Rоrда reHepaTop е носледоватеJlЬНО иоднлю
ченным сопротивлением llрисоединяется параллелыю R батарее, последпяя не даеТ
тона при наибольшем значении э. д. с. reHepaTopa. :Н:аную часть тока будет давать бата
рея, коrда э. д. с. reHepatCJpa имеет наименьшее значение?
2. Требуется, Ч l'Oбы температура печи не выходила за известные иределы, ие
смотря на то, что наиряжение в линии Rолеблетсн от 100 до 120 в. При наивыешеii
TeMnepDfype иечь потребляет 1,.5 анри 60 Ii И при низшей температуре 1 анри 30 в.
В распоряжении имеется «балластная ламп;»), через которую нрtJходит ток, РDВНЫЙ
точно 2 а при любом напряжении от 30 до 50 в. Поназать, что при ИСПОJтьзовании двух
реостатов существует, по крайней мере, два снособа решения иоставленной задачи и что
требуемые пределы сопротивлений реоетвтов в одном СJJучае будут 70 140 o,n,! и 6,67
40 оМ и в друrом 5 20 оМ и 30 120 ом.
3. Через неRОТОРЫЙ ирибор независимо от веJIИЧИНЫ ПРИJlOженноrо напряжеНJШ
проходит тон i 1 . Напрпжение на прибор подается с нотенциометра. имеющеru сопро
тивление R и llOДRлюченноrо к батарее с э. д. с. 'tj и внутренним сопротивлением т.
Параштельно прибору ВRлючен вольтметр, сопротивление KOToporo R 1 . Найти тон, Te
RУЩИЙ чеlJез батарею, иаи функцию ноказаний вольтметра.
4. Батарея с э. д. с. 'tj] nЮIючена между точками А и В цеии. Ветви AD, АС,
CD, ВС, СЕ и ВЕ имеют сопротивления, соответственно равные т, 2т, r, R, 2R, R.
:Н:оrда R точкам D и Е НОДRлючается вторая батарея, то ОRазывается, что ток через
первую батарею равен нулю. Показзть, что э. д. с. второй батареи равна
(4R+3r) 'tj]/[2(r+R)].
5. Напряжение на стреЛRУ элеRтрометра подаетсл от неПОДllижиоrо 11 ИЩJ,nижиоrо
liOнтантов А и В нрисоединенноrо к батарее потснциометра АС, имшощсrо большое
сопротивление. При помощи вольтметра с БОJJЬШПМ, но неизвестным СОПРОТИПJJснием
измеряются напряжепия V, V] и V 2 соответственно между ТОЧRами АС, ВС и АВ.
Показать, что после Toro иан вольтметр будет ОТК.тlючен, TICTIIHHoe напряжение,
поданное на стреЛRУ элентрометра. будет равно V 2 V/(V 1 +1 1 2 ).
6. :Н: бат рее, имеющей BHy 'peHHee сопротивление r и э. д. с. 'tj, ПОДRлючены
параллельно Apyr дрyrу две проволоки, каждан из которых имеет длину D и COHpO
тивление р (на единицу длины). На каждой из проволон имеется подвижной JЮНТЮ{Т,
расположенный на одной проволоке на расстоянии х от Rf\нца. а на друrой ш' pac
стоянии у от Toro же конца. Между контантами вRлючено сопротивление R. Показать,
что тон через R равен
/
2Dp (y x) 'tj
р2п (x y)2 (2r'r рп) [2pD (х т у) +2HD p (х+у)2)
7. "Уrлы Iшадрата А, В, С, D соединены между собой и с цеитром квадрата про
волоной, сопротивление RОТОрОЙ на единицу длины равно т. В сторону АВ ВНJlючен
rальваномстр, а в диarональ АС, между ТОЧНОЙ С и центром, включена батарея. Ilока
зать, что еСJIИ проволону между точкой В и центром в диаrонали вп з'-\менить
сопротивлением r (2+2Ч23) !, то тон через rальванометр будет равен нулю.
8*. Однородная проволока длиною 4 а corHYTa в квадрат, llротивоположные
верmИIIЫ ROToporo соединены прямолинсйными куеIШМИ такой же прuволOI{И. :Н: точке
пересеченця ДИlU'оналей иодведен тон заданной величины, выходнщий через одну И3
вершин квадрата. Найти силу тона в различных ветнях цепи и показать, что ИОJlное
сопрт'иштение цепи равно сонротивлению нусна ПрОВОJЮКИ, имеющеrо ДJJИНУ
2 Ч2 а/(2 Ч2 2 + 1).
9*. Из однородной проволOIПI изrО'!:ОВJJен Iшркас в виде прямоуrольника со CTO
ронами 2 а и 3 а, РDзделенный ПРОВОЛOlшriи, naралле.;тьными ero сторонам на нвадраты
со сторонами а. Сопротивление контантов во всех точках ирресечения НрОВОJЮК ечи
тается ничтожно малым. ПОRазать, что ДJJЯ тока. входящрrо в один yrол иаркаса
и выходящеrо из протипоположноrо yrJJa, полное сопротивление цепи равно сонротив
лению иуеиа проволоки длиною 121 а/69.
10*. На телсrрафной линии ВОЗНИШJет повреждение, вследствие KOToporo в HPKO
тором месте между линией и земльй появлнетсл соиротивление определен
ной величины. Показать, что нри неизменной батарее на нередающем нонце линии
ток па присмном ее конце будет наименьшим, если поврежение находится посередиве
линии.
11*. Соиротивление трех проволок ВС, СА, АВ одинаRовоrо сечения и материма
равны соответственно а, Ь, с. Четвертая нроволона, имеющая постоянное сопротивле
Задаttи
253
ние d, сое иняет точку А со скользящим контактом на стороне ВС. Поназать, что
.для тона, входящеrо в точку А и IJЫходящеrо из С]ЮJ!ьзящеrо нонтакта, наибольшее
i:опротивление равно (а + Ь+с) d/(a + b+c+4d), и найти наименьшее сопротивление.
12*. rальваничеСRИЙ элемент имеет э. д. с. 0,85 в и внутреннее сонротивление
10 ом. Показать, что наибольший ток, который можно поп учить в ПрОВОЛОRе, имею..
щей СОИРОТИВJIени') 22,5 ом, от батареи, составленной некоторым способом из 5 таких
. злеме1Jтов , равен в точности 0,06 а.
13*. Шесть точек А, А', В, В', С, С' соединены медными проволоками, длины
которых равны (в метрах): АА' == 16; ВС==В'С==1; ВС'==В'С'==2; АВ==А'В'==6;
АС' ==А'С' ==8. Точни В и В' танже соединены ПРОВОJIоками (Rаждая длиной в 1 м)
с зажимами баТl1реи, внутреннее сопротивление RОТОРОЙ ряшю сопротивлению r метров
проволоки. Все ПРОВОЛОRИ имеют одинаковое сечение. ПОRазать, что ток в проволоке
АА' равен току в простом контуре, состоящем из той же батареи, замкнутой проволо
кой длиною (31т + 104) метров.
14*. Две станции А и В соединрны телеrрафной линией, один нонец которой в А
соединен с одним из зажимов батареи, а друrllЙ нонец в B c одним из зажимов
приемноrо аппарата. Вторые зажимы приемноrо аппарата и батареи заземлены. В резуль
'тате повреждения линии в точке С между линией и землей ПОЯВJшется сопротивление т.
Сонротивлениями батареи, приемноrо аппарата и земли можно пренебречь, а сонротив
....!СВие участков АС и СВ линин равны соответственно р и q_ Показать, что при воз
никновении утечки тон в нриемном аппарате уменьшается в отношении r (p+q) : qr+
+тр+ pq.
15*. Два rальванических элемента, э. д. С. ноторых равны СОО'.'ветственно е] и е 2 .
внутренние сопротивления равпы Т] и Т2' uрисоединены параJ..JеJIЬНО друr друrу
к ПРОВОЛOJ<е с сопротивлением Н. Показать, что ток в провопоке равен
(Clr2+e2rl)/(rlR+r2R+r]r2) и найти отношение тонов, протенающих через ЭJJементы.
16*. Цепь имеет форму тетраэдра PQRS; в ветвь PQ включена батарея с э. д. с. Е,
-сонротивление этой ветви вместе с внутренним сонротивлением батареи равно В. Co
противление каждой из ветвей QR и RP равно т, каждой из ветвей PS и RS равно
1 QS 2 H u
зТ, и СОПРОТИВJIение ветви равно 3" т. аити тон в Rаждои ветви.
17*. Пусть А, В, С, D четыре вершины моста Уитстона; СОПРОТИВJIения плечей
:моста АВ, вп, АС, сп равны соответственно с, , Ь,"(. Ток в диаrОНaJIИ ВС, куда
внлючен rальванометр, равен нушо. В эту диаrонаJJЬ ВRшочают батарею с э.д.с. Е,
причем полное сопротивление в цепи rальванометра HOCJJe ВR.i1ючения батареи равно а.
Найти ток через rальванометр.
18*. Нужно найти место повреждения в кабеле АВ длиной 50 км. При включении
на конце А батареи с а.Д.е., равной 200 в, найдено, что если изолировать нонец В,
-ero потенциал будет равен 40 в. Если, наоборот, ИЗОJIировать нонец А, то для полу
"ЮНИIJ на нем потенциала в 40 в нужно подключить к концу В батарею с э. д. с., paB
ной 300 в. ПОRазать, что расстояние от места повреждения до конца А равно 19,05 км.
19*. В контур с заданной величиной э. д. с. и заданным сопротивлением внлю--
чаетея добавочное сопротивление. Найти величину этоrо сопротивления, при которой
в нем будет выделяться наибольшее ноличество тепла.
20*. Сопротивления противолежащих плечей моста Уитстона равны соответственно
.а, а' и Ь, Ь'. Показать, что если поменять меетами диarQнали, содержащие rальвано"
метр и батарею, то будет соблюдзтьея равенство
Е ( )
С С'
(а a') (b b') (С R)
(аа' bb')
rдс С и С' токи через rальванометр в обоих случаях, G и R СОlJротивления ветвей.
.содержащих rальванометр и батарею, и Е э.д.с. батарри.
21*. НеСRОЛЫЮ ламп накаливания (N), каждая из которых имеет СОПРO'Iивление т,
питаютея от reHepaTopa с постоянной э.д.с. и еопротивлением, равным R (включая
>и еопротивление проводов). Считая, что световой поток, излучаемый каждой лампой,
пропорционален квадрату выделяемоrо тепла, показать, что для ПОJIУ'lения максималь..
ной еветовой отдачи при заданном количеиве rорючеrо для двиrатеJIЯ следует соеди
нять лампы в параJшельные rруппы, Rаждан из которых еодержит п JJамп, rде п
целое число, БJIижайшее к числу (2NR/r)1f2. .
22*. К батарее, имеющей э. д. с. Е и внутреннее еопротивление В, подключены
две параллельные ветви. Первая ветвь с полным сопротивлением R содержит вольт
метр, в котором имеется скачон нотенциала такой величины, '11'0 протекающий через
iIero единичный тон совершает в единицу времени работу, равную р еДИНИЦам работы.
Сопротивление второй ветви равно т. Показать, что еСJIИ Е> р (В + Т)/Т, то 1'00 через
батарею равен [Е (R TT) pr)J[Rr + В (R + r}J.
. 23*. Тридцать проводников одинаковоrо сопротивления соединены между собой
'так Же, как ребра додекаэдра. Показать, что сопротивление всей цепи току, подведеIt
254
rл,ава v 1
иому К двум ПРОТИВОJJежащим вершинам, равно 7/6 СОПРОТИВJJения отделыюrо пJIO
водника.
24*. Цепь СОСТОИ1' из проводнИIЮВ РА, РВ, РС, Рп, АВ, ВС, сп, пА с еопро
тивлениями, равными соответственно а, ,'(, о, '(+0, о+а, a+ , +'(. в ветвь Al)
включена батарея с э. д. с. Е. Поназать, что тон в ветви ВС равен
Р (a + -М E/[2P2Q + ( 0 a'r>2J, rдс Р==а+ + ,+0, Q== ,+,a+a +ao + o +, .
25*. Из ПрОВОJJOIШ изrотовлен карнас в виде правильноrо шестиуrольнина, верши
ны ROToporo соединены с центром проволонами, каждая из ноroрых имеет сонротивле
пне, раВlIOР. 1jn сопротивлеНЮI стороны шестиуrольшrnа. Показать, что еопротивленис
иарнаса тону, подведенному н двум ero противоположным вершинам, равно сопротивле
нию стороны шестиуrолышка, умноженному на 2 (п + 3)jf(n + 1) (п+4»).
26*. Концы В и В' двух длинных одинановых nараJJлельных проволон АВ и А' В'
соединены ПРОВОJJОКОЙ пренебрежимо малоrо сопротивления, а нонцы А и А' подклю
чены [{ зажимам элемента, внутреннее сопротивление ROToporo равно сонротивлению
куека проволони ДJIИНОЮ 1'. Длина каждой ПРОВОЛОRИ равна l. Точно таной же элемент
подключается к nеремычне между ПрОВОЛОНaJ\'IИ на расстоянии х от JЮIЩОВ А и А'.
Показать, что после подключения BToporo элемента тон в ПРОВОЛОRе ВВ' увеличитеw
в отношении
2 (21+1')(x+1')
l' (41 + 1') + 2х (21 1') 4x2
27*. На одной и той же телеrрафной JJИНИИ расположены три станции А, В, С.
Оператор, находящийся на станции А, знает, что между А и В ВОЗНИRЛО поврежде
ние, и обнаруживает, что от одной и той же батареи ток на станции А равен i, еели
линия в В изолирована, а в С заземлена, равен i', если линия заземлена в В, и paвeНl
i", если В и С изолированы. Поназзть, что повреждение возникло на расстоянии
ka k'b+(b a)1f2 (ka k'b)1f2
k k'
()т станции А, rде АВ==а, BC==b a, k==i'Jj(i i"), k'==i"j(i' i").
28*. Шесть проводников соединяют попарно четыре точки А, В, С, п. Сопротивле
ния этих проводников равны а, а, Ь, , С. '(, rде а, а означают соответственно соп
тивления проводнинов ВС, AD и т. д. Поназать, что сопротивление таной цепи между
точками А и В лежит в нредедзх от [C l+ (a+b) l+(a+ ) lJ l до
{C l+ [(a l +b l) l+(a l+ i) l) l} l.
29*. Каждая 113 двух одинаRОВЫХ прямых проiЮJЮН An и ВоВn разделена на n
равных участков точнами АlI ..., A1t 1I Bl' . .., Bn 1' Сопротивление каждоrо учасТlШ, а
.также замьшающей нроволоки АпВ п равно R. Соответствевные ТОЧRИ ПРОВ{)ЛОR от 1 й
до п й соединены понеречными ПРОВОЛОRами, 11 н нопuам Bo поднлючева батарея.
Поназать, что еСJJИ через все ноперечные ПРОВОЛОRИ протенает одинановый тон, то cп
ПРОТИВJ1Сние проволони АвВ. ДО;JЖНО быть равно [(n s)2+(n s)+1) R.
30*.. Наждая из п точен соединена со всеми остальными нроволоками, имеющими
одинановые сонротивлеНИfl 1'. :н: двум из этих точен ноднлючена батарея с э. д. с. Е и
внутренним СОПРОТИВJJением R. Поназать, что тон в nрОВОJюке, соединяющей те двс
точnи, н которым подключена батарея, равен 2Ej(21'+nR).
31*. Шесть точек А, В, С, п, Р, Q соединены девятью проводниками АВ, АР,
ВС, BQ, PQ, QC, Рп, пс, AD. В проводник AD внлючена э. д. с., а в проводНшt
РQ rальванометр. Обозначив сопротивление проводника ХУ через 1'XY' показать, что
ток через rальванометр равен нулю, если
(1'BC+1'BQ+1' CQ ) (1' АВ 1'DP 1' АР 1'DC)+1'BC (rBQ 1'DP 1' АР 1'CQ)==O.
32*. Цепь образована нутеМ соединения каждой И3 пяти точек 1, 2, 3, 4, 5 со
всеми остальными. Показать, что УСJJOвие сопряженноети проводников 2 3 и 1 4
имеет вид
(К]5+ К 25 + К З5 + к 45) (К 12КЗ4 K lЗК 24) ==
==К52 (К54КlЗ КЗ4К15)+К5З (K24K51 K54K12)'
rAe через Kpq обозначена проводимость между точш\Ми р и q.
33*. Наждая из двух замкнутых проволон разделена на тп равных частей,
соедин.нных ПрОВОДНИRами. СОПРОТИВJJение каждой из тп частей равно R. В каждый
соединяющий m й проводник внлючена одинаковая батарея; полные сопротивления ЭТIq(
проводников равны между собой. Сопротивление наждоrо из остальных (тп п) соеди
няющих проводников равно h, ДОJ\азать, что ток ЧРрез соединяlOЩИЙ " й проводиик
Задачи'
255
(ечитая от ближайшей батареи) равен
1
"]" С (1 tg а) (tg r а+ tgт r а)
tg a tgт а
rде C ТOH через наждую батарею и.siп2а==hj(h+R).
34*. Длинная телеrрафпая линия AAJA2" . АпAnн подвешена на п равноотстоящих
изоляторах в точнах A J , А2' ..., А п . :н: нонцу А ПОДКJJючен один из полюсов батареи
с э. д. с. Е и внутренним сопротивлением В; друrой полюс батареи, Т3!{ же нак и
нонец линии A n + J , заземлен. Сонротивления отрезков линии AA J , AIA2' . . ., А п An+l
одинаНlJВЫ и равны R. При влажной поrоде вознинает утечна через изоляторы на землю;
СОНРОТИВJICние наждоrо ИЗОЛl'!тора равно r. Показ8.ТЬ, что сила тона на участне линии
Ар Арн равна
Ecb(2п 2p+1)a
В сЬ (2п + 1) а+ (Rr)1f2 БЬ (2п+2) а '
сде 2sha==(Rjr)1f2.
35*. Из п нуснов однородной проволони, наждый из ноторых имест сопротивление
а, изrотовлен нарнас в виде правилыюrо мноrоуrОJJьнина AIA2 . . . An. Вершины MHoro
уrольнина соединены с ero центром О нрямолинейными нуснами той же нроволони.
ПОRазать, что, если точна О имеет поетоянный потенциал, равный нулю, а точка А 1
потенциал V, то тон в проводнине ArAr+l будет равен
2V БЬ а БЬ (n 2r+ 1) а
а сЬ па
сде а определяется уравнением сЬ 2а == 1 + sin (-тcjn).
36*. Из однородной проволони изrотовлен нарнас, имеющий форму нризмы с 2п rpa
иями. Оенования призмы имеют вид нравильных мноrоуrольников с 2п сторонами,.
Raждая из ноторых имеет СОНРОТИВJJение r. Сопротивление наждоrо из ребер призмы
равно R. Поназать, что сопротивление между двумя противоположными вершинами'
равно
сде
nr R th е
4+ 2thnO '
1 r
БЬ 2 О==тв.
37*. Цепь обра:ювана проводнинами, соединяющими каждую из п точен со всем!!
остальными. СОПРОТИВJJения всех нроводнинов один3!ивы, и В ПрОВОДНИR, СОСДИППIOщии
точни А 1 И А2' включена э. д. е. Ilоназать, что тони nротеIШЮТ толыи в НРОВОДНИRах,
проходящих через точни А] и А2' И найти эти тони.
38*. Кажцая предыдущая ТОЧRа из последовате:JЬНОСТИ п точен А], А2' . . ., А"
соединена с последующей проводнином сопротивлением р; 1'9 же имест место для после
довательности точен B J , В2' .. ., В п . Между наждой парой соответствующих точеR обеих
llOследовательностей, например между Ar и Br, внлючсно СОНРОТИВ.i1ение R. К точкам
А 1 и В п нодведен постоянный тон i. Поназать, что в ТОЧRе А 1 тон раf'.пределяется
между вствями А 1 А 2 и А 1 В 1 В отношении
БЬ па БЬ (п 2) a 2 sha
БЬпа+БЬ(п 2)а 2БЬ(п 1)а '
сде cha==(R+p)jR.
39*. Подземный набель длиной а имеет плохую ИЗОЛJIЦИЮ, тан что по всей ero,
ДЛине имеется равномерно распределенная утечка. Проnодимость утечни равна 1jp' на
единицу длины набеля, а сопротивление единицы длины набеля равно р. :н: одному из
нOlЩОВ наБСJ!Н поднлючен полюс батареи, дрyrой нолюс ноторой заземлен. Доназать,
что ток на противоположном нонце набеля имест таную же величину, нан в случае
набеля без утечни, ИМеющеrо полное СОПРОТИJJJrение
(рр')Ч2 БЬ [ а с ; У/2 ]
40. Две прямые проволони сопротивлением r на единицу длины соединены на
одном Нонце. Точни Аl' А2' ..., А т одной НРОВОЛОНИ соединены через сопротивления
R, 2R, ..., mR с точками Вl> В2' ..., Вт друrой проволони. Расстояния точеI{ А п и В п
ОТ соединенных концов проволон равны соответственно п 2 х и п 2 у. Разность потенциа
25fi
rлава v 1
ЛОВ между Ат и Вт равна . Показать, что между ТОЧRами Аn и Вn тР.чет ток
i n
Pn ([1)
(т+ 1) R [J.'m ([1) J.'m+J ([1)]
rде [1==l+r(x+y)/R.
41. Проволока, рассмотренная в предыдущей задаче, неререзана между точками
AS l и As и BS l И Bs. Показать, '11'0 если s < п < т, то ток между Аn и Вn будет
равен
[(QH Pn PS l Qn)]
n== Q '
(т 1) В. [(Pm J.'т+l) Q6 1 + (Qт т+l) J.'S l]
rде aprYMeHT функций Лежандра равен 1+r(x+y)/R.
42. Цилиндрический стержень ДJIИНОЙ l и радиуса а, изrотовленный И3 ВеЩества
с удельным сопротивлением "t, установлен перпендикулнрно к плоским нараллелыJмM
поверхноrтям двух полубесконеЧRЫХ масс Toro же вещества. Показать, что сонротив
ление R между связанными таким образом массами зшшючCJIO в пределах
"tl "t R 1t"t
па 2 + 2а < < 2 [1ta lln (1 + 1tajl)] .
При l ==0 оба предеда дают одно и то же точное зиачение.
43*. ЦИЛИJJдричеений кабель состоит И3 мсдноrо провода, покрытоrо ТОНRИМ изо
лирующим сдоем из материала с заданным удельным сопротивлением. Показать, что
при заданных значениях сечений провода и оболочки сопротивление утечки кабеля
будет наиБОJJЬШИМ в том случае, Rоrда поверхности провода и оболочки представляют
собой прямые круrJJые коанеиальные цилиндры.
44*. Н. однородному крyrлому диску подводится ток при помощи двух идеально
llРОВОДЯЩИХ ПРОВОЛОR нруrлоrо сечения. Радиус ПРОВОJЮК равен а, и расстояние между
их центрами равно d. ПрОВОJJОНИ расположены перпендикуляРНО н краю диска.
Показать, что сопротивление между прооолоками равно 2 ( j1t) ar сЬ (d/2a), rде удель
ное сопротивление.
45. Два ЭJIентрода MaJIOrO радиуса 1) расположены на средней JJИНИИ беСRонечной
ленты, онруженной ИЗОШJТОрО I. Расстояние между электродами равно 2а. Ширина
ленты п, ее удельное сопротивление . Показать, что сопротивление МIcOжду электрода
ми нриближенно равно
ln БЬ 2а .
,"к 1)
46. В отличие от предыдущей задачи элентроды расположены симметрично на
линии, перпендикулярной н Rраям Jlенты. Поназать, что в этом случае сопротивление
ыlждуy ними приближенно равно
1п ( Н; а ) .'
47. элеRтроды раСnОЛQжены так же, H { и в задаче 45, но нрая JJенты оrрани
чены идеальным проводником. Поназать, что сопротивление между элентродаl\lИ IIрИ
БJJИженно равно
lп( Н: а ) .
48*. i\руrлый медный ДИСR с удельным соиротивлением l (на единицу поверх
ности) помещен на очень большой лист ОЛОННННОЙ фольrи с удельным сонротивле-
нием <;0' К такому сложному проводнику нри помощи элентродов подводится ток.
Показать, что функция тока в листе фольrи, СООТllететвующая электроду, через JЮТО-
рый Н фольrе подводится ток е, является мнимой частью функции
<;ое [ 1 ( )+ O <;l l cz ]
........ n z c n ,
2п O+;l cz a
rде а радиус MeJIHoro листа, z комплекснап неременная (нача.по Jюординат в центре
листа, действительная ось проходит через электрод), с расстояние от элеRтропа до
начала координат.
49*. Однородная проводящая плешш имеет вид поверхности, полученной враще
нием цепной JJИНИИ y2+Z2 ==с 2 сЬ 2 (х/с). ДOIшзать, что при протекании тока С через
ЭJJCНТрОД, находящИйся в точке Хо, уо, Zo, потенциал в точке х, у, Z будет равен
const C ln { Cb X XO YYo+zzo }
4п с [(y2+Z2) (Уб+zш1f2
Заоачи
257
50. В круrлый цилиндр рDдиуса R и длины L, изrОТОIJJJCННЫй из ПРОводнщеrо
материала с удельным еОПРОТIшлением ", НСТflвлены два элеRтрода в виде ТОНRИХ пла
СТИНО", края IЮТОРЫХ параллельны о('и пилиндра. Оба электрода и ось цилиндра
лежат в одной П.поскости, НРJlчем расстояние между краем наждоrо из электродов и
оеью цилиндра с мадо по сравнениlO с В. IIш{азать, что 'сопротивление между элеR
тродами приближеНIlО равно
7C'tj2L .
lп L,1(/C .
51. J\ то'ше р бесконсчной плоской Ироводящей плеJШИ ПОДlJОДИТСЯ ток, RОТОРЫЙ
выходит из ире в бесконечности. В ИJJснке вырс:шно круrлое отверстие, не затраrива
ющее точки Р. Показать, что разность потенциа.rтов между двумя любыми точками на
Кр:НО отверстия вдвое больше раЗJIОСТИ потрнциалов, которая существовала между этими
ТОЧRами до Toro, как отверетие БЬJJlО прорезано.
52. ИЗОJlЯТОР и юет форму уеечеННОJ'О конуса с высотою h, радиуrом нижнеrо
оенования а, и радиусом BepXHero основания а2' Нижнее оспование конуеа находится
на мета.тТЛИ'IреJЮЙ пластине. а на ero верхнем основании установлен круrлый lIIеТDЛЛИ
чеекий стержень, ось ROToporo является нродолжением оси конуса. Радиус стеlJЖНЯ
равен аз. 1l0J\азать, что поверхноетное СОIJротивление ИЗОЛЯТОРD между иластиной и
стержнем равно
! [JI2+(a1 a2)2)1/2 In ( ) +In ( а2 ' )} ,
2п t al a2 а2 аз
rде удельное сопротивление новерхности ИЗ0лятора.
53. lf точке е == а, <р == о сферической пронодящей пленки подводится ток, BЫTeKa
JOщий из пее в точке О==а, <р==п (здесь О ПОJjЯРНЫЙ, а <р азимутальный УJ'ОЛ).
I).щ;азать, что расиределение потенциала в пленке дается выражение;\l
А lп ( I ('os а cos () sin а si n е '-ОБ <р ) С.
1 cos а СОБ U + sш а sш U cos <р +
54. В шар радиуса а, изrОтовленный из ИЗ0лятора, встаВЛfты концы двух метал
ЛJlЧССКJlХ стержней радиуса Ь. УдеJIЫJOе СОИРОТИВJlение И30JIНтора очрнь веЛИRО, а по--
верхноетное сопротивление равпо . lIРОДОJIжепия осей обоих стержней ИерС'еекщотся
в центре сферы под yrJIOM а. ПОl{азать, что ПОверхностно,," сонротивление между стерж
нями равно
ь ( а. а )
--;- ar с Ь sщ 2" .
55. Ток протекает по тонной пленке, УрflШJение fЮТОРОЙ имеет вид (zja)2 + (pjb)2==1,
rде p2 x2+y2 и а> Ь. IIоназать. что потеНllиал V на пленке равен либо и(, Jшбо и 2 ,
rде U1+iU2==!(a+i<f), tg<p==yj:J: и
( bz ) (а2 Ь2)Ч2 r z(a2 b2)1f2 ]
а == ar th 1 + Ю'С sin .
[a4 (a2 b2) Z2) ' Ь L а"
Функция j(а+i'f') периодичеf'кая ФУИКllИЯ <р с периодом 2п и, кроме Toro, oVjaa==O
при z :Т а или а ==:!:: а:, I'сли в этих 'IOЧI,ах нет источников или стоков тока; в про
ТИВJIOМ случаедVjд<f==О. .
56. Вме"то вытянутой сфероидальной плеНRИ, о которой шля. речь в предыдущей
задаче, рассмотреть нлеНRУ в виде СНЛЮСНУТОI'О сфрроида, для ROToporo а < Ь. I10КDзать,
что результат будет таRИМ же, каи в предыдущей задаче, за иеl{лючением Toro, что а
yдeT иметь новое значение
, t t ( bz ) ( Ь2 а2)Ч2 h [ Z(b2 ;2)1f2 1.
а ar и 1 ar s
.[a4+(b2 a2) Z2) /2 Ь
57. Будем считать поверхность земли плоской, а ее удельное СОПРОТИВJJCние paB
БЫМ 'о всюду. за исRлючепием облз(-ти внутри полубесконечноrо вертинальиоrо конуса
с вершиной на повррхности. УдеJlьное еОПрОТИIJЛение земли внутри конуса обознаЧИl\l
через ,,\. ТOJ( 1 ПQJШОДИТf' Я 1{ новерхноети земли в точке ep ' о на раССТОЯJlИИ r == а от
вершины конуса. Показать, что потенциал в ПРОИЗВОJlЬНОЙ точке r < а вне ,(Онуса
17 В. Смайт
258
rлава Vl
выражается формулой
со со
Vo==I (ar) lJ2 'lt""""2 cosmrp \ [А т (р) Р: Ч2 (!'-)+В т (р) Р: Ч2 ( !'-)] СОБ (plIl r) dp.
т O о
А () == ('1:1 'l:2) Вт (р)
m Р '1:28' 'I:]8
· '1:, ('I:] 'l:2)(2 o2,)cos(pln(t)
т'
PjP lJ2 (О) ['1:] 'l:2+ ( 1)т ('1:]8 'l:28')]
8'
,,,
д [PjP If2 (cos а))/д (СОБ а)
nt '
д [PjP If2 ( СОБ a)l/a (eos а)
Р '" (
s jp 1f2 \cos а)
Р '" .
jp 1f2 ( СОБ а)
58. Источнин: тока 1, имеющий форму [{руrлой ТОНJюй нетли, находится вн)'три
еплошноrо l1илиндра, изrотопленноrо из (Jроводящеrо материаJJа. Петля расположена
IюансИ1 .ЛЬНО l1И.ТIИНДРУ; длина цилиндрз равна L, lJадиус paueH а. Оенования ЦИ.ТIиндра
имеют оепюнечно бо.ТIЬШУЮ нроводимость и зазеМJJены. Показать, что rаспределеши'
потенциана в цилиндре при z < с выражается формулой
со
'" sh !'-kZ БЬ!'-А (L с) J o (f 1 k Ь) J o (!'-А Р )
м2 .!.J БЬ !'-kL !'-А [J o (!'-А а ))2 .
A 1
rAe !'-А выбраны так, что J] (!'-Аа)-==О, а координаты иетли р==Ь, z==c.
59. Два кольпа, сделанные из тонкой нроволоки радиуса d, раСПОJюжены ноаRСИ
ально с беСIюнечно длинным цилиндром радиуса а, изrотовлеННЫ l из проводящеrо
материала. Кольца ПOl'руженЫ в поверхность Ilилиндра на rлубину d. Пш{азать, что
если I-'.k выбрано так, что J] (f'ka) == О, то еонротИ!шепие между RольпаМJ1 ПрJ1бiПl3И
те.пыю равно
""
R=="":"'" '" [1 e \ik (c 2(JI] e f'kd
теа 2 I-'.k ·
A 1
rAe с расстояние между пентрами Rолеп.
60. В Rруrлом проводящем цилиндре, внутренний и внешпий радиусы IЮТОрOl'О
равны соответственно а и Ь, прорезана во всю длииу узкая иродольная щель. Края
1 1
щели поддерживаются при потенциаllах l {10 И 2 V o , так что тон обтенаст BOHPYl'
цилиндра. ПоказаТh, что электростатическое поле при r < а И r > Ь определя:етел
<;оответственно преобразоваНИ!JМИ
V
W == .....!!..ln (a+z)
1t
и W== VO ln .
те '"+Ь
61. Ток i подведен к полюсам тонкой проводящей еферической пленни rадиуеа а,
имеющей поверхностное удельное СОПРОТlIВ.llение . Показать, что электростатичеекий
потенциал в любой точне внутри пленки даетсЯ фОРМУiЮЙ
со
I '" 4п...! 3 ( r ) 2n+1
Y 2п (2п+1}(2п'1 2) а Р2'l+1(!'-)'
l1 O
62. Ось цилиндрической НрОВОJJОНИ радиуеа а, изrО'Jовленной из провопящеrо
материаJIa е удельным сопротивлением '1:], еовнадает С осЬЮ '". Среда вне nроволокrt
между z== с и z==c имеет удемьное СОНРО'JИВЛClIИР '1:2' Все остальное про\'транстDO
заполненО изолятором. Показать, что отношение ,'опротивления участка, занлюченноro
между z==c и z== c, в случае Шl,еалыю ИЗО;1Ирuванной проволоки R сопротивлению
Toro же участка при наличии конечноrо {'ОПРОТИВJlения среды '1:2 '1:] равно прибшuкенио
00
Roo == 1 + 16c'l:} '"
R 1t 2 a'l:2
n O
KJ +(2п+ 1) 1ta/c 1
(2п+1)2 K o[+(2п+f)1ta/c J
Лиmераmура
259
63. УrJJЫ ШИрОНОЙ пентЫ (фиr. 63, б) срезаны ПОД yrJJOM 450 та", что ПОJ!уширпна
.;юнты линейно возрастает от h ДО k. ПОRазать, что при наличии TaHoro IJерехода сопро
ТИВJJение вблизи середины ДЛИНIЮЙ JJeHfJ,! нрепышает сумму еопротивпений обеих Ре
частР.й (с несрезанными уrлами) на ве:flIЧИНУ
n k [ (l12+k2) ar th +(k2 h2) ап tg +М lп ;;k 4 ] .
ЛИТl<3РАТУРЛ
А Ь 1> а h а ш М., В е с k е J> Н., Klas ische Elektrizatet uшl J\Iаgпеtisшus, Berlin, 1 32.
(См. перевод: А б Р а r а м М., Б е к н е р 1:'., Теория электричества, М. Л.,
1939.)
G е i g е r S с h е е 1, Handbuch der Physik, Bd. XHI, Berlin, 1928.
(;. r а у А., Absolute Measurements in ElectJ>icity and Маgпеtisш, v. I, МасmШап, 1888.
J е а n s J. Н., ТЬе Маthешаtiсаl Theory о! Electricity and Маgnеtisш, СашЬridgе, 1925.
М а s о n М., "V е а v е r W., ТЬс Electromagnetic ИеИ, University о! Chicago Pres .
1929.
М ах w е 11 J. С., ElectJ>icity and Маgl1еtisш, v. I, Oxforcl, 1881.
R а m s е у А. Б., Electricity and Маgпеtisш, СашЬridgе, 1937.
Web s t, е r А. G., Electricity and Маgпеtisш, МасшШаn, 1897.
,V i е n Н а r m s, НашlЬuсh der Experiтentalphysik, Неl. Х, I,eipzig, 1930.
r л а в а VJJ
MAr НИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОВ
s 1. Определение единицы силы тока (ампера) через величину l\1a1'НИТ-
Horo момента. Как уже было упомянуто в предыдущей rлаве, между про
водниками с ТOl,ом возникают силы взаимодействия, известные под назва
иием маrнитных сил. Это маrнитное взаимодействие было тщательно иссле
довано Ампером. В одном из своих экспериментов он обнаружил, что если
два проводника, по которым циркулируют противополо}кно направленные
ТОНИ равной величины, расположить достаточно близко друr 1{ друrу, то
они перестают взаимодействовать с остальными IШНТУРЮvШ. Uозьмем He
,кольно небольших плоских проволочных петель, ток н которым подво.-
дится через два плотно сплетенных изолированных провода, так что
наблюдаемые маrнитные силы будут обусловлены тольно петлями. Pac
полаrая петли на расстояниях, болЬШИХ по сравнению с их размерами,
и пропуская через них постоянный ТОК, можно заметить, что они действуют
Apyr на друrа с такими же силами и моментами, как электрические диполи,
расположенные на месте петель и ориентированные вдоль нормали к их
плоскостям. Рассмотрим три небольшие петли, несущие ПОСТОЯНЮ.Ie тони.
Для наждой выбранной из них пары можно измерить силу взаимодеЙствия
и, зная расстояния между петлями, определить при помощи выражения
(1.18) произведения Ш 1 Ш 2 == А, Ш 1 Ш З В И Ш 2 Ш З С И отсюда найти
ш ==АВjС, ш;==АСjВ и ш;==ВСjА. Считая онружающую среду вануумом
и заменив 1/(3 на fJ-v == 4ос . 10 7, мы получим, что величина «маrнитноrо MO
мента) m отдельноЙ петли равна произведению площади петли (в KBaдpaT
ных метрах) на ток в неЙ (в амперах). Отсюда ампер можно определить
нан такой ток, который, протекая по небольшой плоскоЙ проволочной петле,
создает маrнитный момент, равный по величине площади петли. В среде,
отличающейся от вю{уума, силы и моменты будут друrими. При этом всюду
вместо fJ-v появляется множитель fJ-, называемый маrнитной проницаемостЫо
среды.
s 2. Маrнитная индукция и маrнитная проницаемость. Если на про
водник с током. помещенный в некоторую область, действует маrнитная
сила, то rоворят, что в этой области существует маrнитное поле. Будем
измерять распределение маrнитноrо поля при помощи небольшоЙ петли
пробника точно так же, нак можно было бы измерять распределение элек
тричесноrо поля посредством небольшоrо электрическоrо диполя. ЕСJШ
петля может свободно поворачиваться, то под действием поля она примет
определенную ориентацию. Положительным направлением маrнитноrо поля
УСJIOВИМСЯ считать та1ше нормальное н ПЛОСНОСТИ петли направление,
н котором перемещался бы винт с правой резьБО;I при ero вращении в напра
плении протенания тона по петле. Нак и в электростатине, напряженность
маrнитноrо поля можно найти, измерив величину момента, действующеrо
на петлю. Таким образом, мы определим маrнитную индукцию В или
м аеиитиое езаи.моiJейсmвие токов
2М
плотность маrнитноrо потона нан таной направленный вдоль маrнитноrо поля
вентор, величина HOToporo (в веберах на нвадратный метр) равна вращаю
щему моменту (в ньютон метрах), действующему на пет.шо с единичным
маrнитным моментом, ориентированным перпендинулярно н полю. Этот
вращающий момент, а следовательно, и В зависят от среды; в ноторой про
изводится измерение. Относительную маrнитную проницаемость веще
ства Кт мы определим нан отношение маrнитной индунции в неноторой
точне пространства, полностыо заполненноrо данным веществом, н 3Ha
чению маrнитной индунции в той же точне в ванууме при сохранении HOH
фиrурации проводнинов и величин протенающих в них тонов. Маrнитная
проницаемость fJ. равна про изведению fJ.vKm.
Осуществление энспериментов, на ноторых основываются определе
ния fJ. и В, в случаях жидних и rазообразных сред не вы3ваютT принц и
пиальных затруднений. Но внутри твердоrо тела производить измерения
при помощи проволочной петли, очевидно, уже невозможно. Если все про
странство вне небольшой области, в ноторой находится пеТJIЯ, заполнено
одной жидностью, а эта область заполнена друrой жидностью, то измеряе
мое значение В не будет ависеть от формы II размеров выделенной области
тольно в том случае, 1юrда обе жидности имеют одинаковые маl'нитные
проницаемости. Таним образом, для определения В и fJ. в неноторой точне Р
однородноrо изотропноrо твердоrо тела следует вырезать n нем малепьную
полость, содержащую точну Р, И :заполнить ее таной жидностыо, чтобы
измерение в точне Р не аависело от формы и размера полости. Получснные
значения В и fJ. в ТОЧ1"е Р будут таними же, нан и до созданrrя полости.
В 25 настоящей rлавы, используя rраничные условия, выведенные n 22,
мы опишем энспериментальный метод определения В JI fJ., приrодный
и в случае маrнитно аНIIЗОТРОПНЫХ нристаллов.
Пусть в нашем распоряжешrи пмеется большое число маленьних петеJ1Ь,
в наждой из 1ЮТОРЫХ ЦИР1iулирует тон 1. Не нзменяя площади петель,
составим из них сетну таним образом, чтобы венторы маrнитной ИНДУ1Н1ИИ,
обусловленные двумя близлежащими петлями, всюду оставались парал
дельными друr друrу. Из опыта Ампера следует, что маrнитный эффент
псех внутреннпх петель при этом исчезает п результирующее маrнитное
поле будет таним же, нан если бы тон 1 протенал лишь по rранице, обра
:юванной нрайними петлями независимо от формы самой поверхности сетни.
Но, нан и;шестно, маrнитная индунпия, обусдовленная наждой элементар
ной петлеЙ с площадью dS, совпадает с элентрическим полем, порождае
мым элентричесним дпполем с моментом [181 dS. СлсдопаТСJlЬНО, маrнит
ная индунция, обусловленная нонтуром, иесущим тон 1, будет таной же,
нан напряженность элентричесноrо поля однородноrо ЭЛШiтричесноrо
двойноrо слоя мошпостью fJ.81, опирающеl'ОСЯ на этот 1{OHTYP (см. Э 13
rл. [). Этот маrнитный энвивалент двойноrо слоя называют обычно Mar
НИТНhIМ листом. Одна1Ю еС;;IИ мы в ПUИС1ШХ ЭТО1'0 JlИста будом следо
вать вдоль маrпптной силовой линии, создаваемой ноноторым ЭЛCJ{три
чесним юштуром, то онажется, что наше движение будрт пронсходить
по замннутому пуТII, пиrде не пересенающему маrнитной неоднородности,
соответствующей ЭJlCнтричесному двоЙному СJlOЮ. Таним образом, Mar
нитный лист в действительности не существует и является лишь удобным
понятиом, исполь уемым при вычислении маrнитных полей. Более Toro,
OTcI a следует, что не существует маrнитпых источников или стонов, COOT
ветствующих зарядам в элентростатине, тап: что
div В== V .В== О.
(7.1)
Из формулы (1.32) следует, что работа, затрачиваемая при перемеще
нии единичноrо элентричесноrо заряда с одной стороны ОДНОрОДНО1'0
262
r .f/ШЮ V II
элеRтричесноrо двойнOl'О слоя мощностыо I1Е! на ДРУI'УЮ сторону ПО пути,
Ol'иоающему Rрай слоя, равна I1f, ПОСНО.льну разность между телесными
упшми, под IЮТОРЫМИ виден двойной слой из начальной и нонечной точен
пути, . составляет 41t. Таним образом, если напряженность элентричесноrо
ПОЛИ равна Е, то
ф Е. ds == 111.
rде ds Э.лемеllТ пути. Но, нан мы видели, маrнитная индунция, обуслов
.т!(шная тоном 1, бу;:J.ОТ всюду таная же, нан напряженность элентриче(;l{оrо
ноля, СОЗJrаваемая однородным элонтричеСЮIМ двойным слоем мощностью
!lEI, ОIlирающимся на нонтур, по НО10рОМу протенает тон 1, поэтому в Ba
"'ууме B.ds =-= I1J, а в однородной среде с МaI'НИТНОЙ проницаемuстыо 11
<! В. ds == 111.
(7.2)
,
Но, соrласно фОрМУJЮ (6.2), 1 == \ i.п dS, J')(O i плотность тона, а S
площадь, оrраниченная нривой s; ;аним образом, B.dS==11 i.ndS. Пре
обраЗОIЗRВ левую часть этоrо равенства при ПОl\ЮJЦll теоремы CTOI((;a (3.3),
получим
\ VхВ.пdS==11 \ i.пdS.
s s
.J1епю заметить, что равенство (7 .: ) 13Ы1ЮЛIшется )(JIН Jlюбоrо замннутоrо пу
ти, даже если этот путь Вf\лючает тольно часть lIолноrо тона, ибо в по
следнем случае любая часть поверхности, пронизываемая тонами, HOTO
рые этим путем не охватываются, будут поресеhаться с ними дважды:
один раз в положительном направлении и один раз в отрицательном, или
не будет пересенаться совсем, что в любом СJ1учае не даст нинаноrо ВIша
да в :интеrрал. ТаЮ1М образом, СООТНОШОJ'Jие (7.3) ДОЛЖНО пметь МОСТО и
ДJ1П подинтеrральных выражений; для области с однородной маrнитной
проницаемостью и; (7.3) вытенает
(7.3)
V х В == l1i .
(7.4)
3. Маrнитныи вектор потенциал. Однородное поле. Нан известно,
ДlIверrенция Be1,Topa, являющеrося ротором Jtpyroro вектора, тождественно
равна нулю, и, следоватеJlЬНО, этот вентор удовлетворяет уравнению (7.1).
Таним образом, можно ввести новый вектор А, называемыЙ маrнитостати
ческим вентор потенциалом, такой, ЧТО ero диверrснцин рапна нулю, а po
тор равен В, т. О.
VXA==B,
V.A==u.
(7.5)
Обычная формула JtJIН rot rot А дает
VX[VXA]==V(V.A) (V.V)A== у 2 А.
Нодставлял в соотношение (7.4) для области с однородной ма1'НИТНОЙ про
lJицаемостью, находим
у 2 А == l1 i ,
(7.6)
l(ли, выписывая компоненты векторов,
iV 2 Ах + jv 2 Ау + kv 2 Az == 11 (ii x + jiy + ki z ).
(7.7)
м аеиитиое вааимодействие токов
263
Таним образом, номпоненты Ах, Ау, Az удовлетворяют уравнению Пуас
('она (3.6). Решение этоrо уравнения было найдено в 10 rл. III (3.28):
А == Е:.. \ . ix dv А == Е:.. iy dv А == J: (' i z dv . (7.8)
х 4п. r' у 4п J r' z 4п r
v v v
Сlшадывая номпоненты, получим
А == J.:.. r i dv .
4п) r
v
В области вне проводнина i обращается н ну,ль, а внутри TOHHoro ировода,
поперечное сеч ние HOTOpOl'O рюшо dS, ix dv == i dS dx == 1 dx. Поэтому, снла
лывая компоненты веКТОрОВ, получим
А==..!.:.. Ids . (7.10 )
4п 'j' r
(7.9)
ФlJзичесни таное предстаВJleние является БОJIее удовлетворительным, чем
оперирование с маrнитным диетам, та1\ 1,8H величина А зависит ТОЛЬRО 01
!\онфиrурации нонтура, силы тона и места нахождения точни наблюдения
и тю.. как при этом не шюдится НlшаЮJХ иенусствснных неоднuродностей.
; TO выражение ПрЮЮДliТ н правилыIмуy значению линейноrо IIнтеl'рала
от В по любому пути. Очевидно, вснтор А можно рассматривать lШК CYM
му векторов, наЖДЫЙ из которых обусловлен некоторым элементом тона
;J;нпшутоrо нонту!: а и параллелен этому элементу.
13 декартовых 1\оорл:ипатах вer,ТQр потенциал, описывающиЙ OДHOpOД
н()е маrнитное поле В, папраВJlCнное вдоль О('И :r:, имеет толыш две компо
flенты:
Ay== azB, Az==(1 a)yB, (7.11)
l-де а . произвольноо число. Очевидно, от.личной от нуля будет лишь
:.с номпонента ротора этоrо выражения, равная В. 13 сферических ноордина
тах вентор потенциал однорОПНОl'О полн, параЛJIелыюrо оси 6 == О, равен
A<j>== BrsinO. (7.12)
в цилиндрических 1\00рlIинатах для вектор потенциала однородноrо поля,
параллельноrо оси z, будем иметь
А,!, == Вр. (7.13)
н СПJIIОСНУТЫХ сфероидаJIЬНЫХ l;:оорлинатах ве1{тор потенциал однородноrо
поля, параллельноrо оси == 1, равен
А,!, == C p ( ) p и ), (7.14)
а 11 вытянутых сфероидальных координатах
А,!, == C p ( ) p (14).
(7.15)
Рааумеется, все эти формулы не представляют собой наиболее общую фор
му записи вектор потенциала А, ОПIIсывающеrо данное поле В, ибо это
ноле не изменяется, если К А добавить rрадиент любой скалярной вели
ЧИПЫ.
4. Теоремы единствеНIIОСТИ в маrнитостатике. В 11 l'Л. III
были найдены необходимые условия внутри и на rранице области для
однозначноrо определения электростатическоrо потенциала внутри нее.'
264
rлава VII
Это ДОRазательство без всяких изменепий прпменимо и в МaI'нитостаТИRе
к системам, содержащим маrнитодвижущую силу (см. 29 настоящей rла
вы), при условии, что в рассматриваемой области отсутствуют электриче
ские токи, которые MorYT привести к неоднозначности в определении Mar
нитодвижущей СИJIЫ. НО при ИСПОЛ.ЬЗflвании вектср потенциала требуется
иное доказатеJIЬСТВО единственности. Понажем, что если заданы ПОJIоженш'
и веJIичина всех тонов внутри замннутой поверхности, а также значени('
танrенциаJIЬНОЙ состаВJIяющей вектор r,отенциала или маrнитной индун
ции на са Moii поверхности, то значение маrНИ7НОЙ индукции внутри
рассматриваемой оБJIасти опредеJIяется едипственным образом. Та часть по
JШ, f\оторая оБУСJIовлона внутреннпми источнинами, опредеJIяетсн формула
ми (7.5) и (7.10) однuзначно. Допустим теперь, что одним и тем же внеш
ним источнинам и одинаковым значениям указанных выше величин на rpa
нице оБJIасти соответствуют два раЗJIИЧНЫХ поля В и В' внутри нес. ЕСJIИ
V.A==V.A'==O, то y2(A A') обращается в нудь во всем рассматривае
мом объеме и, СJIедовательно, при подстановке функции
'11.=0. Ф == А А'
в выражение (3.23) мы ПОJIУЧИМ
п
\ (В B')2dv==: \ (А
v j l Sj
\'). [(B B')xn] dS).
(7.16)
Если на поверхности S n хА == n Х А' IШП В Х II == В' Х n, ro ш,верхностныii
интеrрал обращается в нуль, таи что в любом случае В == 8' в наждой
точко внутри объема v, ПОСНО.JIЬНУ величина (В В')2 является полтЮJТеJlьноii_
Но еСJIИ разность В В' равна нушо внутри Bcero объема, то А и А'
MorYT отличаться ДРуr пт JIpyra внутри JlИШJ, на rрадиент сналяра. Однако.
нан было поназано в 11 rл. IIТ, llрИ обращенпл rрадиента скаJIяра
в нуль на поверхности S он оназывается равным нулю JЮ всем объеме У,
поэтому при обращении разности А А' в НУJIЬ на поверхности S она
равна нулю всюду внутри v; тем самым .\ одно:шаЧIJО ОIlредеJшетсн чере:
свое значение на поверхности S.
5. Разложенпе веI.тор потенцпала 110 ортоrонаЛЫIЫМ ФУIШЦIIЯМ.
В ЭJlектростаПIIЮ Ilоr,ле нахожденпя потенциала, обуслопленноrо заданным
распределением зарядов, для тос(), чтобы УJ(овлетворпть условиям на
rраницах с ДИЭ;ЮН:ТРИН:ОМ или ПрОПоднин:ом, н: этому потенцпалу д[)бав
ляIOТ подходящий возмущенный потенциал. ПОJIЬЗУЯСЬ этим методом в с.лу
чае вентор пuтеIIц:иалов, нужно, -найдя по формуле (7.9) ту часть BeHTOp
потенциала, но тора я 09УС.1ЮUJlOпа задапным распределенисм тон:ов, добавить
и ней та1ЮЙ веНТОР IlОТeJщиал ВОЗМУЩOfТНОПJ поля, чтобы их суперпозпцпи
удовлетворяла маrнитным 1'рани'JНЫМ условиям.
Метод пепосредственноrо решении уравнепип .Jlапласа для вентор потен
циала весына СJJOжен, та1l: ию. оператор Лапласа, применяемый н: пerпору,
действует но толыlш иа пелпчипы ( остаПЛЯЮЩllХ вектора, по и на еДИIIПЧ
ные венторы, нан это впдно из выражениii (11.4в) и (11.47). 3а llсключе
нием СJlучая декартовых координат, это ПРПВОl!ИТ к системе трех дифф
ренциалыlхx уравнений в частных ПрОИЗIЮ1 НЫХ, репrенпе rюторых может
он:азаться очень сложным. Сдсдует ПОЭТОМУ попытаться отыскать бо.тrео
простой способ решения. .
Кан мы уже видели [см. формулу (3.4)J, в свободном пространстве.
тде нет электрпчесних зарядов, диверrенция элен:тричеСJюrо поля равна
нулю, и поснольну это ПОJЮ можно представить нак J'радиснт скаляра [см.
.
м аенитиое вааимодействие токов
265
выражение (1.6)J, e1'o ротор танже обращается тождественно в нуль. Алало
rично, пользунсь выражениями (7.1) и (7.4), находнм, что в свободном
пространстве, rде нет элентричесних тонов, диверrенция и ротор маrnит
ной ИНДУ1ЩИИ равны нулю. Сдедует ожидать, что в таних областях для
этих двух полеЙ можно написать разложение по ортоrональным фУНR
циям в одинановой форме. Подобное разложение ужо БыJIo получено в rл. V
при решении уравнения ЛаПJIаса, ЯВJlЯющеrося уравнонием BToporo порнд
на в частных производных. Это уравнение разбиnалось на три дифферOI!цИ
альных уравнеНIIЯ в полных произподных, наждое из ноторых содержало
единственную ноординату и было связано с друrими при помощи двух
инденсов (постоянных раЗДeJ1ения). Таним образом, наждый член в разло
жении содержал два инденса и шесть пОстоянных интеrрации. Нан тодьно
что УJ\азывалось, исходя из математпческоrо JJодобия элентричесноrо и Mar
нитноrо нолей, можно ожидать, что в раЗJIожении вентор потенциала, опре
деляющеrо вен тор маrнитной индунции, будет содержаться то же самое
число инденсов и постояннЫх.
Этот потенциал должен ОПРОДОJIЯТЬСЯ тремя сналярными потенциаJ[Ь
ными функциями, потому что в денартовых ноординатах каждая номпонен
та вектор потенциала удовлетворнет уравнению Лапласа. Однано эти 1Юll1
поненты не Явлнются незаВИСIlМЫМII, а свнзаны соотношением V. А == О,
поэтому можно использовать самое большее дво незаШ1Сflмые сналярныо фунн
ции. Болое Toro, ниже будет поназано, что прп соответствующом их выборе
маrнитостатпчесное поле Может опрелелятьсн толыш одной из этих фуннцпii.
Общее выражение длн вентор потенциаJТа, Прпводшцое 1, равноЙ нулю дивер
rенции, имеет вид
A==VxW,
(7.17)
rде W нвляотся вонтором, (Jпределяемым двумя снаЛЯРНЫМI1 потопциаль
выми фуннциями. В дальнейшем для удовлотворенин rраНIIЧНЫМ условиям
в задачах о вихревых тонах и о элентромаrНIIТНОМ излучении будот удобно
разложить W на две взаимно ортоrоналъныо Jшмпоненты, наждан из ното
рых определнется своей сН'алнрной потенпиалыюЙ фушщиеп, т. о.
W == uH1 l .l U Х VW2'
(7.18)
!'де u "роизвольный вектор, выбираемый таи, чтобы
\2 А . \i2 (V х W) == V х (\,2W) == О,
\iЧУl == О И рИ 1 2 == О.
Леrно проверить путем предстаШlения в дон:артовых ноординатах, что еСJШ
u == i, j, k или r, то
(7.19)
\i 2 uW l == uV2W l UЛIl UV 2 W 1 + 2VW 1 II \i2 (и Х V Y2) == U Х V (\2W 2 ),.
(7.20)
так что выпор u в соотпетrтвии с условном (7.1 ) возможен. Из аналоrии
между В 1, Е вытенает, чт(] В подобно Е можно представить чорез одну сн:аляр
ную потонциальную Фуннцию. Это преДПо.тюшенпе подтверждаетсн нсследо
Jшнием той части А, ноторан СООТ!30тстпует фУЮЩlJИ fY2' Деi:iствитолыю,
u==i,-j, k, VX(UXVW2)==U(PW2) V(U'VW2), (7.21)
u == r, V Х (и Х VТ'V 2) == u (\i 2 W 2) V (и. VW 2 ) . VW 2 . (7.22)
Ilоснолъr,у \i2W 2 == U, то часть вентор потеНЦIfала А, определяемая фунн
цией W 2 , оназывается rрадиентом сналяра, и поэ ому в маrnитостатичеСНО \I
случае она не влияет на значение JЮЛИЧИНЫ В.
266
rлава VII
Пусть U 1 , и 2 , из ортоrональные 1,;:риволинейные ноординаты, а BeH
тор и, Оl1ределенный выше, ориентирован в направлении U 1 ; тоrда, lJыражая W 1
в виде U (u 1 ) F (и 2 , из), будем иметь В. А == О. (Доназательство см. у Ласса,
стр. 48 1'1 57.)
В последующих параrрафах развитая ЗJl,есь теориЯ будет I1рименена
для нахождения решения уравнения
у 2 А == о
(7.23)
н форме
А == U UllUI2UlЗ + U2U2lU22U2З + UЗUЗIUЗ2UЗЗ'
rде иl, и2, uз единичные венторы в направлеНIIИ 1юординат U 1 , и 2 , из,
а U rs функция тольно U s ' Решение должно быть записано в таком виде,
чтобы вентор потенциал можно было вычиl;лить В Лlлбой ТОЧI\е Ш1УТРИ объе
ма, не содержащеrо ИСТОЧНИ1ЮВ и оrраниченноrо семейством поверхностей,
па наждой из ноторых одна координата сохраняете я постоянной и TaHreH
l{Иальные компоненты веНТОР IIотенциала заданы.
6. Вектор потенциал в цилиндрических координатах. В rл. V бы
J10 найдено, что общее решение уравнения Лапласа в цилиндричесних HOOp
J инатах выражается в виде суммы членов, СОfrержащих, за ИСН:ЛIOчением
неноторых частных СJlучаев, фуннции Беl:селя. Найдем тсперь аналоrичное
решение для вент(]р потепциала, который на поверхности llрямоrо I_руrлоrо
I IJлиндра можно разложить по ОРТOl'ональным фунн:циям. Ныражая TaHreH
щ-raльную н:омпоненту uеъ:тор потенциала па поверхности в виде суммы таних
решений, можно тем са:иым определить ero значение в любой внутренней
точне цилиндра. Пользунсь решением уравнения \72W 1 == О, IJЫРroкьНIIOМ
в фушщиях Бесселя (ем. 30б rл. V), и полаrая u ==- k ДJIЯ фунн
J rI[И W, входящей в СООТНОШfшие (7.17), получим
w == kk l (Ae kz + Be kZ) [С] n (kp) +- пУ n (kp)] sin (п + оп),
(7.24)
Тоrда из соотношения (7.17) ДJIЯ lJен:тор потенпиала имеем
Ар == (Ae kz + Be kz) [CJ n (kp) + DY n (kp)] п (kp) l cos (п + оп),
А<р == (Ae kZ + Be kz) [CJ (kp) + DY;' (kp)] sin (пер + Оп),
(7.25)
'ITO совпадает с ортоrональной поверхностной венторной функцией, опреде
.пенной ранее выражением (5.347). Если для данноrо значения z канан либо
из компонент вектора k х А при р -==- а обращается в нуль, то при этом зна
чении z вектор k х А можно представить в виде суммы таних функций.
Редно употребляемая форма записи, содержащая , получается, если ОП
положить равным нулю, п ----..;. О, а произведения пА и пВ сохранить нонеч
ными.
Чтобы получить решение, соответствующее танrенциальной НОМIIоненте
вентора А, заданной на боковой поверхности, воспользуемся фуннциями
(5.311), ортоrональными по z и . Тоrда вмест() выражения (7.24) IIОЛУЧИМ
Ар == [Cl n (kp) + DKn (kp)] п (kp) L cos (kz + Ih) cos (пер + 8 n ),
Aq, === [CI;' (kp) + DK;' (kp)] cos (kz + Ik) sin (пер + оп),
(7.26)
Номпонента z удовлетворяет еналярному уравнению Лапласа; ее
записать в виде
можно
Az == [С' In (kp) + D'K" (kp)] cos (kz + Ih) cos (п + 8 ).
(7.27)
м аеиитиое eaaиMoaeucmd'ue токов
267
Решения, полученные выше, неприrодны при значениях k == О и п =1= О, В этом
t'лучае решения, соответствующие выражениям (7.26) и (7.27), будут
Ар == (apn 1 + Bp n 1) (Cz + п) sin (п + Оп),
Ао == ( Apn 1 + Bp n l)(Cz + п) cos (п + Оп), (7.28)
Az == (А'рП + B'p 71)(C'Z + п') cos (п т o ).
При k == О не существует решениЙ, однqвременнu ортоrональных по р и
J[ приводящих J\ заданному зн-ачению А на торпах цилиндров. ЕСJIИ же
равны нулю k и п, то из соотношения (5.3U8) можно найти некоторые пред
ставляющие интерес формы решениЙ, если положить
w ==k [(Az +B +Cz + п) ln р + (Ez +Р) ],
Ар == Ap l Z ln р + Bp l ln р + Ep l z + Р,
А, == Ap l z Bp l Cp l Z пp 1,
Az == (C + Н) ln р +I .
(7.29)
(7.30)
,J,руrие крайне рею,о треБУЮIЦИIcJСR решения МОЖНо наЙти путем ИСПОJIЬ30
вани я в выражении для фующии W венторов i, j пли r.
7. Вектор потенциал в сферических Iшординатах. 13 I'Jl. V общее
решение ураШ1ения JIапласа в сферичесних ноординатах БыJIo представле1Ю
в виде суммы членов, содержащих сфоричосние l'армонпн:и. Теперь тробуется
нuлучить анаJюrичное рошенrю ДШI вентор потенциала, нотож:оо обладает
r;ПОI1СТВОМ ортоrональности на поверхности сферы, TaR '11'0 можно выразить
ТЮIl'енциальные номнонеН1Ы вентор потенциала на поверхности в виде суммы
тшшх JXJшений и тем самым uпредолпть oro веЛИЧ1ШУ в любой внутренней
ТОЧf,е. Пользуясь решением уравнения \72W 1 ==с О в BIIДe сферичеСI\ИХ rармонин
(ем. 24 rл. V) и полаrая u == r, получим для W и А (см. 5) следушщиf'
выражения:
W == r (Arn + Br n l) [СР:;' (cos О) + DQ:;' (СОБ О)] sin (т + От),
Ав =< (Arn + Br n l) [СР:;' (cos 6) + DQ":: (cos 6)] т cosec 6 cos (т + От),
А'I' == (Ar n + Br п l) [ср,;:' (cos 6) + DQ:::' (cos О)] sin 6 sin (т + от).
(7.31)
(7.32)
Здесь А ортоrональная поверхностная венторная фуннция, упоминаемая
в 24б rл. V. При т == О и От == ",/2 Э10 соотношение принимает вид
А:р == (Ar n + Br ll l) [CP (cos 6) + DQ (cos 0)1.
Часто бывает полезно выражать В через W. При u == r IIОJlУЧИМ
B==Vx(VxrW)== Vx(r)<VW)==r : (VW)+2VW
(7.33)
Н.Ш, вьшисывая l>:омпоне ты ЭТО1'О l!ырюн:еНI1Я, будом иметь
В == д 2 (rW) В == д 2 (rfJ7) В == д 2 (rW)
r дr 2 ' в r ar au ' Р r sin U ar dU
(7.34)
8. Выражение для вектор потенциала через значение маrllИТНОЙ
индукции на ОСII. Примоняемые для фонусирования элентронных пучнuв
маrнитные линзы обычно "онструируются из ноансиальных натушеf( с тоном
или сlНвивалентных им маrпитов, так что веНТОР IIотенциал имеет ТОJIЬНО
l\омпоненту. Для расчета Фон:усирующих характористин тarшх линз удuбно
иметь выражение для веЕ{тор потенциала через значение маrнитной индун
ции и ое ЩJOизводных на uси системы. Пусть W == kW, l'де П' решенио
268
.. rлава VII
уравнения Лапласа [см. (3.45)}, Torдa из выражения (7.17) имеем
"2",
Ap=== == %п Ф(z+jрsiп6)siп6d6, (7.35)
о
rJIe Ф (z) действительная фунrщия, разложение в ряд Тейлора «оторой
имеет вид (ДваЙт, 39)
Ф ( ) Ф ( ) дФ (z). . 6 1 д 2 Ф (z) ( . . 6) 2
z, Р z +az lРSШ + ! az 2 lРSШ + ... (7.30)
Подстановна выражения (7.36) в (7.35) и инт()rрирование от О до 21t дают
00
( 1)n+1 д 2n +l Ф (z) ( Р ) 2n+1
A
п! (n+ 1)! aZ 2n ,1
,, o
Маrпитная индунция V х Ар на оси, rде Р == О, рапна
В (z) == [ д (pAq» ] == дФ (z) .
U Р др р==о az
Теперь, подставляя это в выражение (7.37), можно выразить
индунцию Во (z) и ее uроизводные
(7.37)
(7.38)
А,; (Р, z) через
00
А =='-"' ( 1)" a 2n B o (z) ( .Е.. ) 2n+1
l' -'.J п! (п+1)! az 2n .
n () .
(7 .3 )
ЭлеМШIТЫ тт,а, вu: fjУЖ;IaющеI'() ПО.ля подобноr\J рода, представляют собоЙ
l\OaHCllaJ1LllbIe круruвью 1ЮТЛI1, поэтому знаЧ()НIШ Р и z, в пределах ноторых
справедливо В IражеНlIе (7.39), будут таними же, кан и в случае нруrлых
петель. Для нахождения этих пределов подстаВIIМ Во (z) из формулы (7.55)
в выражение (7.39) и сравним результаты решением задачи 27, справед
ливым при любых значениях Р и z. Для этоrо следует, llоспользоваВШИС1,
выраженнем (5.314), разлuжить функцию J 1 (kp) В рЯД, изменить порядш,
суммирования и интеrрированин и подставить вместо интеI'ралов производ
ные выражения (5.357). Совпадепrю результатов I10называет, '110 выраже
ние (7.39) одпшшачпо uпределнет Jюкт()р п()теНЦllал для всех значений р и z.
ноторые можно достиrнуть, не нересеная иовеРХI!остьi1: с тоном, Последнее
0l'раНИЧС1НШ необходимо потому, что внешние поля любых тонов, цир
I,УJ1ИРУЮЩИХ внутрп заМIШУТОЙ IIоверхнuсти, не изменяются, если Э111
тони заменить соответствующим образом подобранными тонами, теКУЩИМIl
по поверхности.
э 9. Уравнение аксиально СИl\IМ('ТРИЧНЫХ трубок маrнитной индую\ии.
Маrпитное поле можно предстаIJИТЬ наиболее наrшщно путем нане енин
ЛIший потопа или линий Мal'нитноii индунции. При ансиальной симметрии
нартина ПОЮI в любой 1I.ТIОСНОСТИ, проходящеЙ через ось, бу,ет одинановой"
а тони ортоrональными н ЭТIIМ ПЛОСRОСТНМ; в ::этом елучае уравнение ЛИНИIJ
;vrarпитной ппдунции лепю мошно получить па выражения для веНТОр lIO
тенциала, IIмеющеrо лишь Аq> состаВJIЯЮЩУЮ. Путем вращения llOJ,pyr оси
симметрии наждой J1ПНИИ потOIШ образуется поверхность трубни маrнитпоI1:
индунции. .каждую трубну мшюlO охарантеризовать ВeJП1ЧИНОЙ маr итноrо
потOIШ N внутри нее. Эту величину можно получпть путем интеrрпрованин
нормальной составляющей индунции по любому сечению S трубни. Таним
образом, уравнение поверхнuсти таной трубни будет"
N== B'lldS==j(p, z). (7.40)
s
jM аеиитиое еааи.м.одействие токов
269
Пользуясь теоремой Сток са (3.3), преобразуем это выражение к виду
N V х А,н dS== A.ds.
s
(7.41)
Для сечения, расположенноrо в ПЛОСIЮСТИ, перпендикулярной к оси z, путь
интеrрпрования s является окружностью длиной 21tp, на которой величина А'I'
постоянна, поэтому уравнение повеРХ1ЮСТИ силовой трубки будет
,у == 21tpA", (р, z).
(7.42)
в системе ортоrональных криволинейных коордиват
акспаJIЬНОЙ симметрией, расстояние р является
уравнение силовой трубки имеет нид
N =:: 21tp (U 1 , и 2 ) А.'I' (U 1 , и 2 ). (7.43)
10. Вектор потеIlциал и поле
двухпроводной линии. I1рпмоним
сначаJlа формулу (7.10) для нахож:JO
ния маrнитноrо поля токов, один из
ноторых течет в длинном лрямом IIрО
поде в одном направлении, а дpy
l'ОЙ В параЛJlОЛЬНОМ ПрОБоде, Haxo
дящемся от первоrо на расстоянии а,
в обратном направлении. I10СКОЛЬRУ
все элементы проводов напраьлены
вдоль оси х (фиr. 67), вектор А имеет
муле (7.10),
U 1 , и 2 И 1', обладающей
и 1 и и 2 , поэтому
х
Фив. 67.
лпшь компоненту Ах. Соrласно фор
+00 00
Ах == ( :1 12 ) dx == [(a + х2) Ч2 (а; + х2) Ч2] их ===
oo О
fLI 11 r, +х 1 00 [.11 1 а2
n п
21t r2 т х О L:1t а 1 '
(7.44)
Отсюда видно, что поверхности постоянноrо вентор потенциала являются
поверхностями нруrлых цилиндров, совпадающими с эквипотенциальными
поверхностями в элеIiтро(',татине, RorIla заряды двух проводов равны + [1EI
и [1EJ, а V == . q (21tE) 1In (a 2 /a 1 ). При [1/ == 21t уравнением этих цилиндров
будет уравнение (4.67), осли ЗaIVIеНИ<JЪ n нем U па А" и х на z. Маrпитное
поле V Х А нащ:;авлено под прямым уrлом н соответствующему элеI\ТРИ
lеСIЮМУ полю '\'V, а их численные значения одинаковы. Из соотношений
(3.14) (3.16) следует, что НОМ1юнепты маrнитной индунции в ванууме
соответственно равны (так 1ШН h l == h 2 == h3 ,= 1)
В == дА х дА у === О
Х ду д;? '
В == дА"
у az.'
В дА"
X ду.
(7.45)
ВВИIlУ TOro, что a 1 == [ (У а )2 + Z2]1/ 2 и а 2 == [ (У + ; а )2 + z2J Ч2 ,
fIMe.eM
Ву fL 2 I Z. ( '1,
1t а 2 а 1 /
(7.46)
В ( у+ а y а )
. z 2п a . a .
(7.47)
270
r.rюва Vll
11. ВеI{тор потенциал и поле I{руrлоЙ петли. Вычислим BeHTOp
потенциал в точне Р (см. фит. 68), пользуясь сферическими ноординатами.
Вследствие симметрии величина А, очевидно, не зависит от ер. Поэтому ;:щя
простоты выберем точну Р в ПЛОС1ЮСТИ xz, тце ер == О. Объединяя 110парш'
равноотстuящие от Р элементы длиною ds, имеющие координаты + ер и ср,
мы ВИДl М, что результирующиЙ вент()р А направлен нормально J\ плоско
сти pz. Следовательно, вентор А имеет
толыю одну J\омпоненту Ар. Пусть
ds'f! составляющая элемента ds в этом
направлеН1ПI, тотда формулу (7.10)
м()жно записать в виде
р
А:р == fL1 <f lls'f! ==
4/t J l'
х
'It
fL1 (" а СОБ 'f' ll'f'
== 2тс (a2+p2+z2 2apCOS'l')lJ2.
О
Фие. 68.
Для очень маленьной петли r u == (р2 +
-+ Z2)lJ2 а, и поэтому
'It
А" i: J \ а cos 'f' ( 1 -+ ар е?!' ер "\ d a 2 fL 1 р == a 2 fLl "in 6 .
2/t J 1'0 "б ). 41'" 4,.2
О
Введя матнитныЙ момент петли m (см. 1), равный 7ta2J и направленный
вверх, находим
(7.48)
А == f1 (m Х r)(47tr3) 1.
(7.49)
Если это приближение не тодится, то, пола тая q; == 7t + 26, тан '1ТО dcp == 2dO
и cos ер == 2 sin 2 6 1, будем иметь
"1'./2
-1 (l-a1 \ (2sin20 1)d6
" <f' те J (а+ р)2 + <;2 4ap sin2 о]Ч 2 .
О
Введем величину
k 2 == 4ср [(а +р)2 + Z2] 1
(7.50)
и после неноторых преобразований получим
'It/2 "1'./2
kfL . 1 ( .!. ) Ч2 r( 1 ) \' ll6 ("
2те Р L J(2 J (1 k2 sin 2 6/12 J(2 (1 k 2 sin 2 e) 2 d6] ==
о о
,== ( ; У/2 [ ( 1 k 2 ) К Е ] ==
fL1 ( а \ Ч2 k 3 ( 1 3 k2 7 k 4 )
32 р) + т -+ 128 +. . . ,
(7.51)
тде К и Ь полные эллиптичес ие интеrралы первоrо и второто рода.
Для определения маrнитнои ИНДУКЦИИ следует написать, пользуясь
выражениями (3.14) (3.16), номпоненты ротора в цилиндричесних ноорди
натах. Нан известно (см. 6 rл. ПI), в этом случае h l 1, h 2 == р, h з == {,
Маеиитиое вааu.модейсmвuе токов
271
поэтему
В ( А ) (A ) дАср
р Р az р '1' + P?'f z az '
д д
Вр == az (Ар) др (Az) О,
1д 1д 'lд
Bz== д (Ap)+ д (рА.) == д (рА,,).
p'f рр РР
ПрОИЗDОДJJblе от К и Е соответственно равны (см. Двайт, 789.1 и 78!J.2)
(7 52)
дК Е
ak k('l k2) T'
А из соотнuшения (7.50) имеем
ak zk 3 ak k k 3 k 3
дZ == 4ар , др == 2р 4р 4а
Выполнян дифференцирование, rруппируя члены J( заменяя k, соrласно
выражению (7.50), LIОЛУЧИМ
I!-I z [ a 2 + p2 +Z 2 ]
B== K + Е
р 2,,; p[(a+p)2+z2]l'2 (a p)2+z2 J ,
В == I!-I 1 [ К a2 p2 z2 Е ]
z 2,,; [(a+F)2+z2]l{2 +(a p)2+z2 J . (7.54)
Численные значения Вр и В> дЛЯ любых р' и z нахuдятся путем опреде
ления k из выражения (7.50) с последующим отыснанием в таблицах
(ем. Двайт, стр. 2(;8 21и) соответствующих значений К и Е. На оси
симметрии, rде р == О, имеем
к
дЕ Е К
дk T T .
(7.53)
'1
"21!-а 2 1
В==
z (a 2 +z 2 )3/ 2
12. Поле ТОIШБ, теI{УЩИХ по Сфf'ричеСIШЙ плеНl{е. Введем фУННЦIIIО
потона Iji и определим ее значение в неноторой точне Р на тонной сфе
ричесной пленне радиуса а нан полныii тон, протенающий по пленне через
любую нривую, проведенную на пленне между точной Р и точной, rде зна
чение Iji равно нулю. {{омпоненты плотности тона оназываются, таним
образом, связанными с фуннцией Iji уравнением
. I a<jJ . '1 a<jJ
1в == а siIl О d'f ' 1'1' == а . дО .
о
Br==o O
и
(7.55)
(7.56)
Найдем nентор потенпиал и маrнитное поле, обуеловленное этими тонами.
Поснольну любую возможную фующию Iji можно lJыразить в виде суммы
поверхностных rармонин, то доС'.таточно вычиелить поле распределения
Ф;:О = s:' (О, <f), а затем посредетвом суперllО3ИЦИИ найти поле, COOTBeT
ствующее ПРОИ3IJOльной фуннции Iji. Обозначим маrнитную индуНЦИЮ вне
плен ни через Во' а внутри через В;. Применяп соотношение (7.2)
инебольшому нонтуру длиной B, онружшсщему элемент IlлеНhИ и лежа
щему в плосности ер -= COIlst, ПОJJУЧИМ:
f1i'l'aM == [(Тв)о (Ев);] B.
(7.56) и введем снат;рную фующию И'
Воспользуемся
из выражения
соотношениями
(7 .З4), Torpa
a<jJ д 2 (rW o )
f1 дО == ar atJ
д 2 (rWд
ara6
272
r лq.Rа V 1 1
Аналоrично, взяв нонтур в направлении rp, ПОJlУЧИМ
fL д 1 д 2 (rW о) 1 д 2 (rW;)
sin О д'{' == SiIl !J ar д'{' + SiIl ar д1' .
Умножим первое уравнение на dfJ, а второе на 8in е d<p и затем вычтем
оrцю из друrоrо. В результате обе части ОFазываются полными ,Т1,ифферен
циалами, поэтому после интеrрирования, помня, что при r == а И J 0== W;,
будем иметь
д ( дП' aw, )
!J. == ar (rWo rWJ==a '- arO ar' .
Рассматривая Iji в виде s:' (В, <р), мы обязаны, исходя из соотношенин (7.31),
взять решение в форме
(7.57)
fJ. ( а ) n+l m
W o == 2п+1 --;: S" (В, <р),
W i == 2п 1 ( : )n S:'(O, <р),
(7.58)
1"ан нан при этом выполняются требуемые условия, а именно: W o == W i
при r == а, W u нонечная фуннция на БС'снонечности, а W i нонечная
фующия в начале Iщординат. Следовательно, соrласно выражению (7.17),
IleIпор потенциал И.\&еет вид
( А ) == о ( А ) == fJ. С .!!.. ) n+l !... l sm ( В )]
r О , в о (2п + 1) SiIl U r д'{'''' <р ,
fJ. . ( а ) п+l д .
(А;Р)О== 2п+1 \.,7 ao [S:; (е, <р)],
( А ) . == о ( А ) , == fJ. С ) n [ sm ( В )]
r , , в , (2п+ 1) sin!J а д1' .. ,<р,
(Are)i == 2:+1 ( : ) п :и [S:' (О, <р)].
(7.59)
В наждой из этих составляющих множитель, содержащий В, можно Bыpa
зить посредством соотношений (5.2СП) и (5.208) n виде суммы двух при
СОi:диненных фунrщий Лежандра.
13. Зональные ТОI{И в сферичеClЮЙ пленне. Прантически наиболее
nажным является тот случай, HorJIa токи текут в сферичеСfЮЙ ШJенне
по лининм постоннной широты. Вследствие аксиальной СИJ\-lметрии все
величины в этом случае не зависят от <р. Фуннцию потона можно записать
следующим образом:
с;х:>
Iji== 2 СпР п (С08е).
n 1
(7.60)
ПЛОТНОС'fЬ тона имеет тольно <р состаnляющую
со со со
i, ==..!.. дф == '" Сп дР.,., (и) у С'/1 sin!J дР'/1 (и) == '" Сп pl ( и) ( 7.61 )
е а дО L.J а a!J а ди L. а .. ,
n 1 . п 1 n 1
rде u == С08 о. Если маl'нитная проницаемоr.ть во всем пространстве равна f1,
то в соответствии с выражениями (7.58) фующия W примет вид
со со
W == '" pпn ( .!!:... ) n+l р ( и ) W. == '" P'Cn (!.... ,,\п р ( и ) .
о L.J 2n T 1 r n' 1 L;2n+1\.,a) n
n 1 n 1
(7.62)
Вентор потенциал, соrласно соотношениям (7.59), равен
м аеиитиое вааи.модействие токов
273
ДЛЯ r < а
""
Cn (.!.. ) n 1
A rpf1.LJ 2п+1 \.а Р,,(u),
n 1
(7.63)
)l.ЛЯ ,. > а
<XJ
Cn I а ) n+l 1
А==. rpf1.LJ 2п+1 \..7" Р" (и).
Тl 1
(7.64)
Заметим здесь, что поснольну (rp)x ,==. sin ер, (rp)y == COS <р, то величины
Ах и Ау удовлетворяют уравнению (7.7) для свободноrо пространства
(i==O). Леr1Ш видеть, что выражение для А имеет ту же форму, что и (7.33).
Н:омпоненты маrнитной ИНДУИЦИИ получаются из соотношений (7.62) или
(7.63) и (7.64). Таним образом, IIОЛЬЗуясь выражениями (7.34),- имеем
для r<a
со
В == a2(rWi) 1:. п(п+1)Cn ( !.... ) n 1 р ( )
r iJr2 П,.LJ 2п + 1 а n и ,
n .
(7.65)
ДJ1Я r > а
<XJ
В == 82 (rW o ) == 1:. ": п ( + 1) сп ( !.... ) n+2 Р ( и ) .
r д/.2 a.LJ 2.п -т 1 r n
n 1
(7.66)
А из выражений (7.63) и (7.64) получаем
ДЛЯ r < а
со
В == д (rA'I') == + 1:. ( +1)Cп ( .!.... ) n 1 Рl ( и )
. в r д, а L..J 2п + 1 а п'
n 1
(7.67)
для r > а
со
В. с== д (rA'I') == 1:. пС п ( а ) n+2 оl
о r 8, а L..J 2п+1 r ,,,(и).
Тl 1
(7.68)
Эти выражения не тольно позволяют определить маrнитную индунцшо
тона, тенущеrо по проводу , намотанному на t;феру с ПРОЦзвольной плот
ностью. но И поназывают танже, иаким образом следует намотать этот
провод на сферу, чтобы получить заданное поле. Тан, например, в случае
однородноro ПОJiЯ внутри <:феры Br == В cos О и В в == в sin О, поэтому,
соrласно выраженинм (7.65) и (7.67), все Сп == О, за исключением С 1 .
Таним образом, из соотношения (7.61) следует, что плотность намотии
провода пропорциональн а величине d [Р п (cos О)] / dO == sin О. Если BOC
пользоваться выраженинми (7.63) и' (7 .64), o, (\оrласно формуле (7 .42), ypaB
пения поверхности силовых труБОR, Можно записать в виде
N == 2т.:r sin ОА <р'
(7.69)
14. Прсдставление поля I{руrлой пе'l'Л.и через сферичеCIШ rap
МОНИItи. Предположим, что плотность тока 'на поверхности сферы :Всюду
равна нулю, за исилючонием полосы О == а, ширина нотороЙ настольно
мала, что физичесии ее трудно измерить, но все же она отлична от нуля,
тан что плотность тона и вентор nотенциал фуннции всюду оrраничен
пые. Пользуясь выражениями (7.61) и (7.62), можно написать
со
i== h CnP (u).
а '.
n 1" . ,..
. ;
18 В. ОМIIЙТ
274
r.aaea Vll
Будем вычислять величины СП> тан жо нан IJ в {'л. V, путем умножения
обоих частей равенства на P (и) и иптеrрлрования от u == 1 до u == 1.
Соrласно соотношению -(5.92), псе члены справа исчезают, [{роме тех, для
ноторых п == т, п в соответствии с выражением (5.194) имеем
1
С (п. 1)! 2п+t \ . p l ( )J
n (п+1)! 2 .' az "и и.
1
Плотность тона z ОТЩIчна от нулн лишь В полосе 6 == а шириной tJs;
эта полоса настолыю узна, что Фуннцию P, (С08 6) на ней можно считать
постоянной, имеющей значение p (С08 а). Тоrда интеrрал оказывается
равным
Р:,(С08а) ia8in6d6==P (c08a)8ina \ ids==I8inaP (c08a).
s
Та ним образом,
С == (2п+1)lsina P l ( )
n 2п(п+1) " С08а .
Пользуясь выражением (7.63), находим вентор потенциал в области r < а
(7.70)
са
А fLI "" sin а ( r ) п I 1
==rpT LJ п(п+1) -;; P..(1:08a) Р,,(С086),
п 1
(7.71)
а из выражений (7.65) и (7.67) получаем номпоненты маrнитнuii индунции
со
Br== ILI ; Jl а ( : )п 1 P, (С08 а) рп (С08 6),
п 1
(7.72)
со
В в == ILI .sin d. "" 2:.. ( ) п 1 рl ( С08 а ) рl ( С08 6 )
2а LJ па" .. ,
п 1
(7.73)
I'де С08 6 == и. Для области r > а аналоrичные выражения получаются, нан
и прежде, при помощи соотношений (7.66) и (7.68). Пусть начало HOOp
динат находится в центре петли, тоrда a==7tj2, С08а==0 и P (O)==
== (п + 1) Рп+1 (О), тан что четные значения п иснлючаются; пользуНt:Ъ
результатами 16з rл. V, дЛЯ r < а получим
со
В == fLl ( 1)(11+1)/2 1.3.5...п.(п+1) ( ) " 1p (С086)
" :!.akJ L.4.б...(п 1)(п+1),-а п ,
п 1
(п llCчеТIIое)
(7.74)
со
В == fLI "" ( 1){11+1)/2 1.;\.;) ... п.(п+1) ( ) " 1 рl (С08 О)
Q 20 LJ п. .4.b ... (п 1) (п+1) а .. ,.
11 1
(n нсчеТlIое)
(7.75)
Если r больше а, то в выражении (7.74) следует заменить (r/a)n 1 на
(ajr)rt 2, а в выражении (7. 75) (rja)n 1 на п (ajr)"+2j(п + 1).
Соrласно уравнению (7.42) и соотношению (7.71), уравнения поперх
ности силовых трубон будут иметь вид
N == 2'itrsin 6 А '1'.
(7.76)
А-l аеиитиое вааu.модействuе токов
27;)
* 15. 3ЮШII Био И Савара. Поле прямолинейноrо ПрОБода. ПрrrмеНИJ\l,
операциIO ротора н обеим частям выражения (7.1U)
['-/ ,f, ds
В == V х А == 4п 'j' V Х r '
rде
ds 1 ( 1 )
V Х == V х ds + V х ds.
r r r
Поснольну ноординаты ТОЧRИ, д'}н I\ОТОрОИ вычисляется В, не входят в (18.
ибо последниЙ зависит тольно от 1юнфпrурации нонтура, то по отношеШIFJ
R оператору V величина ds является постоянной и
первый член в правой части последнеru выражения
равен нулю. Но V (1Jr) == rJr 3 , таи что
р
в р./ Х. ds х r
4п 'j' r 3 .
(7.77)
а
Если-= О ееть уrол, измеряемый от ds 1\ Т, 1'0 можно
написать
в ==- р1 sin О (ls
4п 'j" r 2 ,
(7.78)
ds
причем В направлено перпендикулярно н плосности, Фие. 69.
содержащей ds и r 1). Если е отсчитывается по часо
вой стрелне, то В направлено от наблюдателя. Био и Савар установили этот
ванон тольно для прямолинейных тонов.
В этом случае, обозначая через а расстояние от ТОЧНИ Р до провО]ш
(фиr. 69), имеем
r 2 ==- а 2 -+ S2,
sin е == ,
,.
тан что выражение ДJJЯ маrниТlЮЙ ИНДУИЦИИ (7.78) принимает вид
(см; Двайт, 200.03)
00
в == ['-1 ( а ds == ['-/ I s / СО == ['-/ .
21t ) (a2+s2)3/2 2па (a 2 +s 2 )lJ2 О 2м
о
(7.79)
* 16. Поле соленоида с произвольным marOM наМОТI\И. В hачестве oд
Horo из элементов элентричесиой цепи очень часто применяется соленоид.
Он состоит из цровода, HaMoTaHHorO в виде спирали, изображенной на
фиr. 70. Пусть уравнение этой спирали имеот вид
х == а cos ер, у == а sin ер, z == аер tg а.,
rде а. шаr намотни, т. е. z возрастает на 2'1ta tg а. при увеличении ер на 2'1t
Напишем z номпоненту вентора В [см. выражение (7.77)]
В == р./ [dsxr]z == , й ,.h rydsx rxdsy
z 4п 'j" ,," 4п ';;у r" .
(7.80)
(7.81)
Компоненты r и ds для точии наблюдения, распuложенной на оси соленои
да, будут равны
r х ==о а cos ер,
ry== аsiпер,
r z == aeptga.+C,
ds x == а siп ер аер,
ds y == а cos ер d'f,
ds z == а tg а. dep.
1) Поснош;ну r и ds в выражевии (7.77) стонт ПОД знаRОМ интеrpала, утверждеnие
автора об их перпендикулярности вентору В лишено смысла (толыю в случае прямо-.
линейных тонов вектор В перпендикулярен r и ds). При.м. перев. .
18'-
..
276
rлава V//
Найдем поле на оси соленоида, имеющеrо N витнов; поле подводящих
ПрОllОДНИR:ОВ не будем принимать во внимание, считая, что erO можно BЫ
числить отдельно. Расположим начало ноординат R точне, rде требуется
вычислит Вр и ПО,lJставим в выражение (7.81) значение r (х2 + у2 + Z2)1f2 =-
== а (1 + ср2 tg 2 а)Ч2. Выбирая пределы ИJIтеrрирования
ro == N71:+ и ro N71: +
Тl atga т2 atga'
находим посло интеrрирования (см. Двайт, 200.03), что номпонента В' на
расстоянии Ь от центра соленоида равна
'1'2
В , 1 \ d'f
' 4па ) (1+'f2tg2a)3/2
'1'1
== fJ-1 { N1tatga+b + NIcatga b }
4па tg а (а2 + (N1ta tg а + Ь)2]Ч2 (а 2 + (aN1t tg а Ь)2]Ч2 .
Обозначая через l и 2 уrлы межл:у осью соленоида и венторами, прове
деннЫМИ из точни Ь н нонцам провода, образую--
щеrо соленоид, полученное выражение можно за..
писать в виде
'1'2
В == , I Х. r z dSy ry ds z == fJ-I \ а 2 tg а ( '? со!' 'f + sill 'f') d'f' .
х 4'Т' ';r r 3 4п ) r 3
\01
.это выражение, вообще rоворя, отлично от нуля.
'1'2
В == fJ-I r x dsz rz ds x ' / r a2 tg а (cos 'f' + 'f sin 'f') d'f' .
у 4п ';r r 3 4п r 3
'1']
Этот интеrрал в общем рлучае таиже не равен нулю. Таf>ИМ образом, сило
вые линии не являются прямыми, а имеют вид спиралей.
В важнОм случае беснонечно длинноrо соленоида выражения (7.82) и
(7 .83 . принимают вил:
Фuе. 70.
существуют танже и
деланным, дают
В,
u.I
4 . t (COS 2 COS 1)'
1tag а
(7.82)
Сиедует заметить, что если точна Ь находится
внутри соленоида, то один из уrлоn ( l или 2)
должен быть больше 71:/2, поэтому один из носи..
нусов всеrда отрицателен. Пусть расстояние меж..
ду нрайними нонцами провода соленоида равно
L, тоrл:а
L == 271:Na tg а
и при наличии п ВИТКОВ на единицу ДJIИНЫ N ==
== Ln, так что
1
В' =="2 f.1n/ (СОБ 2 СОБ 1)' (7.83)
Формулы (7.82) и (7.83) ДJIН ансиальной компо
ненты поля на оси ЯВJIЯЮТСЯ совершенно ctpom--
ми. Однано если а 1= О, то нроме этой компоненты
друrие. Вычисления, аналоrичные тольно что 'про--
(7.84)
(7.85)
В'
fJ-l ==nр./.
2па tg а
(7.86)
м аенитиое вааи.модействие токов
277
При этом х номпонента обращается в нуль, тан нан выражение (7.84)
будет представлять собой интеrрал от нечетной фушщии, а вместо Bыpa
жения (7.85) получаем
со
В == 2'1tn 2 a 1 С СОБ 'f'+'f' sin'f' d .
у f1 J [(2п1ta)2+'f'2]"/2 ер
о
Проинтеrрируем второй член, стоящий под знаном инте1'рала, по частим.
полаrая и == 8in ер, dv == ер [(2n'Ota)2 + ep2] /2 dep, после чеrо получим
со со
В 2 2 1 { \ cos 'f' d'f' ..L СОБ 'f' аЧ' }
'ltn af1 " I 1 .
У . (2ппa)2+'f'2] 12 (2ппа)2 + 'f'2) 12
о о
Если положить ер == 2n'lta 8h Iji, то второй интеrрал оназывается, соrласно
формуле (5.444), равным .ко (2n'lta): эта величина являетсн модифицирован
ной фующией Бесселя BToporo рода, рассматривавшейся в 34б rJ1. V.
Очевидно, значение первоrо интеrрала можно получить посреДСТБОМ диф
ференцирования BToporo пнтеrрала 1J() арrумепту 2п'lta и деления резуль
тата на 2n'lta, тан что в соответствии с формулой (5.444) имеем
Ву == пf1l[2п'ltaK o (2n'lta) +Кl (2п'Ota)]. (7.87)
Если а.==О или п== 00, то Ву==О и поле является ансиальным. При
а. == 'It/2 или п == О соленоид превращается в прямолинойный нровод, парал
лельный оси Z и расположенный от нее на расстоянии а. В этом случае
В' == О и, нан следует из результатов 34а rл. У, Ко""""" ln (2п'lta) v
K 1 ........,.1/ (2n'lta), отнуда
в ........,. fLI
у п-40 2'1ta'
что вполне еоrласуется С выражснием (7.79).
17. Поле в цилиндричсCIШЙ полости внутри ПРОВОДЯЩОI'О l{pYI'JlOrO
стержня. Вычисление маrнитноrо поля, обусловленнurо заданным распре
делением плотности тона, часто силь
но упрощается, если пользоваться
суперпозициеii известных решений.
В начестве примера применения ЭТО
ro метода рассмотрим про водящую
среду (с единичной относительной
маrнитной проницаемостыо), запол
няющую все пространство между
двУ1\Ш бсснонечными цилиндричесни
ми поверхностям . Найдем маrнит
HyrO индунцию внутри малоrо ци
линдра радиуса а, лежащеrо внутри
большоrо цилиндра радиуса Ь, счи
тая расстояние между их осями paH
ным с (см. фиr. 71). Пусть плотность
тона всюду в поперечном сечении
одинан:ова и I1меет лишь z cocTaB
ляющyrо (i z ). В отсутствие полости
значение В в на онружности радиуса r, проведенной через ()чн:у Р, было
бы постоянным и, соrласно формуле (7.2), раннНJroсь бы
f1т:r 2 i == f В' . (18 == 2иВ в , или В' == f1vi Х r.
у
у'
:r
Фu.е. 71.
278
rлава v 11
Добавлешю T8Horo же выражения [(ля тока с плотно стыо l, ПрОТeJШЮ
щоrо толы{О по внутреннему цилиндру, ПрИВОДIIТ 1, тому, что суммарная
ПJJOТНОСТЬ тона во внутронном цилиндре Ol,азывается равной пуJПО, 8 Mar
ПlIтная нндуНЦIJЯ равной
В 1 . ( , ) 1. 1. (k . ) . 1 .
== 2 fJ-v l Х r r == 2 fJ-v 1 Х С == 2 fJ-v lC Х 11 == J ;т fJ-"lС,
(7.88)
I';le il' j 11 k ОДJlНJlЧНЫО lЮI,ТОРЫ В напраплешш
тон 1 равен (тr:b 2 тr:a 2 ) i, 1"1 одпородно поле в
IJыражениом
осей х, у и Z. Полный
полости опредоляется
, c1
Ву == 2тс (b2 a2) .
(7.89)
1S. Ноле ТОНОВ теI{УЩИХ ВДОШ, ЦИJIиндричссноii проводящеii
ШI( НI{И. Предположим, что в бесн:опечной н:руrлой цилиндричсt;I\ОlI пленне
тони тенут параJтлеJIЫIO оси z и что плотность
ТOIШ i можно выразить через нруrОllые поверх
ностные rармонини, т. е.
00
i z -==' (Cncosn(1.+Dnsinпa).
п O
(7.90)
Нан следует из 10, вентор потеНЦ1-1ал в точно
Р, находшцеЙся на расстоянии R от беснонечноrо
ПрО1юда, неСУШ,еrо тон 1, параллолен ому и
рапен ( fJ-I/тr: ) lп R. Та ним образом, сот'ласно
Фие. 72. выражениям (7 .8), вентор потеНЦIJал, обуеловлен
ный всей цилиндричесной шreнной (см. фпr. 72),
(Jпредоляется выражением
2'Jt
Az== fJ-тr: 1 ia lп R da.
о
t 7 .91)
По па выражония (4.1S) с.ледуот
00
lnH==lna , ( : )m(соsтосоsт':1-+SiптОSiпта).
т l
(7.92)
lIодставшLН выражении (7.90) и (7.92) в (7.91), получим интеrралы Jj пре
долах от О до 2тr: от прои;шедениЙ cos тх cos nх, sin тх sil1 n.т н sil1 тх cos пх.
Вее эти ИНТCl'ралы (см. Дпайт, S58.1 1-1 852.2) при т =/= n обращаются
lJ ПУJJh. При т == n интеrрал от sin 2та == 2 sin 11/.':1- cos та тоже равен нушu,
а от sin 2 та и cos 2 та равен т.: (ем. ДваЙт, Я58.4); отеюда пыражотю
(7.91) прииимает вид
00
['-а '\,1 1 ( r \ n . (j
Аz fJ-аСоlпа+2 L п а) (СпсоsпО+D l1 sшпU).
,, 1
(7.93)
* 19. Сила, д( iiствующая на ЭЛСI{тричеСI{ИЙ IЮIIТУР R маrllИТНОМ
поле. Из Эl>спорпмента, ОП1-1санноrо в 1, найдено, что СН.ПЫ, действующие
в :мю'питном поле на небольшую проволочную пет.ШО е ТПI\uм, ЯВЛЯЮТСЯ
точно таПИМJI же, нан и силы, действующие в электричееном поле на
элентричесниii диполь. Мы виделп таюно, что любой элентрпчеСRиi[ ROHTYP
)южно расс:маТР1шать нан rраницу сотни, н:ашдая НЧСЙRа потороii представ
леаенитное вваи,модействир mOl,oe 279
:нют собой одну из тarшх пстель. Используя формулу (1.11), МОШНО, таним
образом, написать выражение для силы, действующсЙ на ЭJЮМСНТ ССТЮI
dS С тоном 1, Подставляя пl dS вместо m и В Ш\юсто Е, ПОJIУЧИМ
dF==/(n.V)BdS. (7.94)
ВОСПОJIьзуемся дапее хорошо IIзвестным соотношением
V (п.В) ==(B.V)n+B х (V х п) +(п. V) В+ n х (V Х В).
(7.95)
ПОС1ЮЛЬН:У опсратор V не деЙСТ13ует на п, ПСjJньre два члена справа обра
щаются n нуль. Соrласно соотношению (7 .4), х В == !1i, а тан 1.31, внутри
петли тотт нет, то V Х В == О. Подстанлня V Х А вместо В [С1\1. формулу
(7.5)], получим следующее выражение для полной силы, деЙствующеЙ на
нонтур:
F /V п. В dS == /V п. V х А dS.
s s
Применим теорему Стонса (3.3) и воспольауомся опять соотношением
(7.95), 1'де заменим n на (ls, а В на А. 3амечая, что оператор V не дей
.ствует на ds, имеем
F == /V А. ds == / [t ds. V) А + ds х (V х А)].
(7.96)
О;(П31Ш
(ds. V)A == (idA); + jdAy +kdAz) == О,
потому что dAx, dAy и dA полные дифференциалы, а Ах, Ау и А
однозначные фуннцип. Помнн, что V х А == В, из выражеНlfЯ (7.96)
находим
F /фdsхВ или /fBsineds== dP, (7.97)
1'де е < '1t Y1'OJI, отсчитываемый от ds н В. Если линия наблюдения пер
пендиnулярна н ds и В, а е отсчитывается по часовоЙ стре,тше, то сила
направлена н сторону от наблюдателя.
Энсперименты Ампера не приводят н однозначному закону для сил,
денствующих между элементами п:онтуров. 13 самом деле, нз выражений
(7.97) и (7.77) следует, что сила взапмодейстВlШ между двумя Iюнтурами
равна
F==/ dsxB== Il'tf... . dsx(ds'xr) I/' (IS'(ds,r) r(dS.<lS') .
'j"' f1 'j"' 'j"' 4пr3 f1 'j"' j-' lтr3
(7. )8)
.:1пнеiiныii IПIТOl'jJaЛ НО н:онтуру S 11 первом члене IJОСJlеднеrо выражеюш
обращается в пуль, потому что r/r3 ЯШIЯетсн 1'ра;щентом сн:аляра 1/r.
Отсюда получаем два выражения длн силы взаимодеЙствия между элемеп
тами контуров
с dsx(ds'xr)
3
r
I1ЛJI
С r (ds.ds')
3 .
r
(7.99)
Сопоrтавлян выражения (7.77) и (7.97), нетрудно видеть, что в случае
двух почти совпадающих нонтуров, по н:оторым циркулируют рапные и про
ТИВОIIОЛОЖНО направленные тони, ноrда. соrласно опытам Ампера, маrнптное
поле обращается почти в нут., основной вклад 13 выраженпе для силы
дают 3!ишь БЛИЗ1Ю расположенные элементы, для ноторых r мало. П рп этом
сила онааьшается направлеНlIоii в сторону IЮJIOжитеЛЫIЫХ значениЙ r.
280
rлава v //
Следовательно, нонтуры отталкиваются, в реЗУJIьтате чеrо ПОЯВJIяется Mar
нитное поде Этот случаЙ состаВJIяет ПОJIНУЮ противоположность СJIучаю
ЭJIентричесноrо ПОJIЯ, rде СИJIа взаимодействия между равными по веJIИЧИ
не и ПРОТИВОПОJIОЖНЫМИ по знану зарядами стремится их сБJIИ3ИТЬ И тем
самым уничтожить имеющееся ЭJIентричесное поде. Таним образом, в при
роде энерrии ЭJIентричесноrо и маrнитноrо ПОJIей имеется норенное раЗJIИ
чие. БОJIее подробно этот вопрос будет рассмотрен в СJ1едующей rлаве,
в связи с законом индукции- Фарадея. Все эти формулы для сил, дей
твующих на .нонтуры в мапIИТНОМ поле, хорошо подтверждаются энспе
р именталыю.
э 20. Примеры на вычисление сил взаи IOДСЙСТВИЯ между элеI,ТРИ
ческими контура 1И. Для двух беснонечных параллельных проводов, нахо
дящихся на расстоянии а друr от друrа и несущих тони ] и ]', соrлаС1Ю
выражениям (7.79) II (7.97), поснольку
sjn е == 1, мы имеем
z
/l-1I' '
Fa== d8 Х [81 ха].
пa
1
Отсюда, очевидно, СИJ1а отталкивания на
единицу длины равна
F :I: (I1/'
1 2па'
(7.100)
Положительный знан берется при lIрОТЮЮ
положном направлении тонов] и ]', а OT
Фие. 73. рицатеЛЫ1ЫЙ при одинаноnом направлении
их.
Вычислим теперь силу взаимодействия двух ноансиальных проволочных
петель радиусов а и Ь, 110 ноторым протенают тони] и 1', нан поназано
на фИl'. 73. Вследствие симметрии очевидно, что сила взаимодействия являет
ся силой притяжения, поэтому, соrлаСIlО выраженшо (7.97), единственной
эффен:тивной номнонентой маrнитноЙ ИНДУНЦП!l оназьшается В р ; веJJичина
этой н:омпоненты одннанова для псех элементов наждоrо из нонтуров.
ПОСI\ОЛЬНУ JЮОрДИНD.ТЫ нонтура с тоном l' раШ1Ы р == Ь, Z == с, то сила
определяется выражением
2"
F==I'Bp(a, Ь, с) \ bdO==27r:bI'B p (a, Ь, с).
о
Подставляя сюда значение Вр из соотношении (7.53), получим
p /l-II'с [ К (а 2 +Ь 2 +с 2 )Е ]
[(а+Ь)2+с2)Ч2 + (a b)2+c2 ,
(7.101)
rде, соrласно выражению (7.50), МО,'J.УЛЬ k равен
k 2 4аЬ
(а+Ь)2+ с 2'
Сила будет иметь обратное напраВЛeFJlШ, если один из тонов направить
в противоположную сторону.
Это выражени(\ для силы нетрудно предстаn:ить в виде ряда. Действитель
но, объединяя вЫражения (7.97) и (7.72), при с 2 + Ь 2 > а 2 будем иметь
00
F ,. '" ( а2 ) Ч2 п 1
== Т:'rI1 Sllla..LJ Ь 2 +с 2 Р п (cosa) Р п (О),
п l
(7.102)
Маеиитиое 6ваи.модействие токов
28!
потому что в выражении (7.72) cosf)==и==O и r==a, а в выражении (7.97)
ds == 27ta.
Друrой более быстро сходящийся ряд можно получить следующим
способом.
Если две петли имеют разные радиусы, то можно выбрать начало
l\оординат в вершине l\pyroBoro НоНуса, Проходящеrо через эти петли
и имеющеrо уrол раствора, равный 2 . Пусть r радиус веl\ТОр малой
петли, s радиус веRТОР большой петли; тоrда сила взаимодействия между
петлями равна
F == 27crI' sin (Br sin + В в cos ),
['де ВТ и Во определены выражениями (7.72) и (7.73). Таl\ИМ образом,
со
F == 7t'rII' sin 3 ( : ) п P (cos ) [пР" (cos ) cos P (cos )].
n 2
Суммирование начинается с п == 2, потому что член, соотnетствующий п => 1,
равен нулrо. Последнее nыраженпе можно упростить, используя результаты
2 ['JJ. IV И соотношение (5.119). Заменим п на п+ 1, ['де 1 <"п < со, и
учитывая, что r/s== а/Ь при Ь > а, получим
со
1 ( а ) п+1 1 1 .
F == 7t'rII' sin 2 .LJ п + 1 Ь Р п + 1 (cos ) Р п (cos ).
п 1
(7.103),
21. ВеI{тор потенциал и вентор памаrничешlOСТИ. Определенне
Беf{тор потенциала, данное выражением (7.9), оназалось достаточным во.
Бсех раvСМотре1ШЫХ выше случаях, ноrда вся _ область предполаrалась
запuлне1ШОЙ средой с постоянной маrнитной прошщаемостью. Если же fl.
изменяется непрерывно или имееТ разрывы непрерывпости, то для OДHO
значноrо определения вентор потенциала необходимо рассмотреть природу
намаrничивашIЯ. В 7 rл. ХН будет приведе1Ю энспериментальное под
тверждение Toro, что намаrниченность обусловливается нруrовыми топами
или вращением элентричес:них зарядов внутри тела. Введем вектор 1\1
маrнитныЙ момент (на единицу объема), обусловленный этими токами (или
спинами), и назовем ero вентором намаrниченности. При помощи выраже
ния (7.49), полаrая 'r == 'r" и измерня r от точки наблюдения, для лентор
потенциала, описывающеl'О поле, создаваемое lraмЮ'ниченностыо М, пБЛУЧIIМ
А == \" Mxr dv==.!!:!!... (' MxV ( ) dV.
м 41t J r 3 41t r
v v
(7.104)
Преобразуем это уравнение, пользуясь венторными тождествами
V xpq==Vp х ч+ pV хч
V х М dv == n Х М dS,
v s
l'де n единичныЙ вентор, направленный вдоль внешней нормали к пuверх
насти S, оrраничивающеЙ объем У. Соотношение (7.106) доказывается при
помощи теоремы Остроrрадсноrо rаусса (3.2), если под ставить n Hee
А == М Ха, ['де а постоянныЙ пектор, так чтu V. (М х а) == а. V Х М и
и
(7.105)
(7.106)
а. V Х М dv == м ха. n dS == а. n Х М dS.
v s s
'282
r лава V 1 1
ПОСНOJIЫ;:У это Сllраве;rлнво для ПРОIl;ШUЛЬПОl'О вектора а, то отсюда BЫTe
наст спраВQJ1ЛИВОСТЬ соотноиrения (7.1Uб). Прнмененпе соотношешrii (7.105)
11 (7.1И6) I;: выражению (7.104) дает
: А м == V;M dv \ V х ( ) dv== \ V M dv+ \ м;п dS. (7.107)
v v v S
I1ри однородноЙ намаrниченности внутри рассматриваемоЙ оrраниченной
оБJIасти выражение (7.1U7) более удобно, чем (7.104), ибо в этом СJIучае
интer'рал по объему в выражении (7.107) обращается в HY,тrJ.. Пусть i
плотность истпнноrо ТОпа, тоrда полныЙ вентор потенциал равен
А == (" i+ V хм dv + \" м х n dS.
4", r 4",.' r
v S
(7.108)
Если заданы ТОJIЫЮ распределения тона и величины МaI'НИТНОЙ про
ницаеМОСТIJ, нан это и имеет место в большинстве случаев, то для примене
пия этоii формулы нужно выразить М через r и в. Для этоrо заметим,
'11'0 на больших расстояниях от замннутых нонтуров нонечных размеров
маrнитная индунцпя и, следовательно, намаrниченность обратно пронор
ЦИOlraJIЫ1Ы нnадрату (ИJIИ более высоним степеням) r, поэтому интеrрал
по поверхности в выражении (7.107) исчезает. ЕСJIИ маrнитная ПрОНIlцаемость
r в этой области постоянна и маrнитный момент М обусловлен лпшь тоном i,
то вентор потенциал дошнен танже определяться выражением (7.9), отнуда,
сраnниnан ero с соотношением (7.108), имеем
ri == rv (i + V хМ). (7.109)
Мы определяем r в изотропной, но не однородной среде таним образом,
чтuбы это уравнение оставалось в силе. При помощи ero исключим ri из
соотношения (7.4) и, принимая во внимание, что ври постоянном значении r
окончатеJIьное уравнение должно сводиться н соотношению (7.4), а танже
учитывая, что в соответствии с энспериментальными данными вектор М про
норционален В и имеет одинановое с ннм направление, получим
VX ( M ) ==i==VX ,
v
(7.110)
М== ( ) B.
v
(7.111)
Аналоrично тому, 1ШН соотношение (7.2) получается И3 (7.4), НСТРУДIlО
вывести иа (7.110) следующее соотношсние:
B:S ==1.
(7.112)
22. rраШ1чные УСJIОВИЯ ДJIЯ МaI'НИТIlЫХ ПОJIей и ДJIЯ веl{тор потен
циалоu. В предыдущсм параrрафе мы определили ВСНТОр IIО1erщиал А ДJIЯ
тех 06ластеii, rде намю'ничеНIЮf:ТЬ не являетсн ОJlНОРОДНОЙ, а тюпне на
поnерхrlOСТЯХ, l'JJ:e она терпит разрыв. Найдем rраНJ1чные УСЛОВJJЯ, поторым
должен удовлетворять Rеl{ТОр IlотеНЦ)J Л А. Нюндан из трех номнонент А
опреДСJJнетсн сналярным выражением, аналитичеСНII tuвпада1ОЩИМ с Bыpa
женнем (1.8) и имеющим в случае вану ума вид
4'ite У == (" р dv + \ cr dS .
v 3 r . , r
v S
Это выражение опрсдсляет ЭJIен:тростатичеснпй потенциал в свободном про
CTraHCTBe, обусловленный распределеНlJем ЭJIеRтричесних зарядов с объемной
Лlаенитное вааи.иодеЙствие токов
283
плотностью р и с поворхностной I1ЛОТНОСТЫО О. ИЗ элентростаТИЮI известно,
'!то значеюю потенциаJIа V; на BHYTpeHHeii стороне ПOJзерхностп S, опре
.делнемое этими ПНТOl'ралами, равно ;шачению потенциаJШ V(I на ]Знешней
{:тороне поверхности S. Дал,UU, примення TU()peMY raycca о П()ТОl>е :шеl,ТРИ
че(:IЮЙ. ИНДУНЦИИ н: неБОJIЬШОМУ ДИСI,ооfiразному элементу объема, примьша
ющему к элементу dS поверхности и настодьно тонкому, что dv можно
.считать пренебрежшvю малым по сравненшо с (dS)"/2, ПОСJ18 СОI{раrценин на dS
получим соотношение
af'o av;
дп дп €v
'Таним образом, мы знаем rраничные УСJlОШШ, 1ЮТОРЫМ удовлетворнют
интеrраJIы внда (1.8), а СJIедоватеJIЬНО, Ir Rаждая Rомпонента выражения
(7.108). 'Сlшадьшая все компоненты и замення 1/8" на 11-", получим
Ао == А;.
:1:1, HaI, следует иа выражеНIIН (7.111),
дА(I дА; ( . .r ) fJ- fJ-v [( 'r! А ) ]
дп дп == I1-v lП Х О == УХ;. Х о .
(7.113)
(7.114)
1<:СJIИ С одной стороны от rраницы имеется намаrниченность М', а с друrоii
-стороны М", то ДJIЯ получения rраничных условий достаточно представить
{:ебе, что rраница ЯВJIяется тонпим сдоем снекоторой маrнитной прони
цаемостыо, ДJIЯ rраниц ROTOp()rO можно написать условия (7.113) и (7.114),
относя их R одной И той же нормали. Псншочая затем Ао и оАо / оп,
найдем
А'==А"
(7.115)
11
дА' дА"
дп ап == 11-" [(М' М") х о].
(7.116)
Чтобы выразить .второе rраничное УСJIовие чере:з величину маrнитной про
llицаемости, вместо d / дп напишем п. V и ВОСПOJ1ьзуемся соотношением
п. V (А' A") == V [п.(А' A")] п х [V х (А' А")]
(A' A")' Vn (A' A") х (V х п).
Вследствие условии (7.113) ПОСJIеДШIe два члена пропадают. Заменяя
V Х (А' А") па В' В" и испопьзуп выражение (7.5), носде неноторых
преобразованиЙ получим
V[o.(A' A")] ==п х (В' 11-"M' B" +l1-v М ").
lIодстаВJIЯЯ :шачение М из соотношении (7.111), найдем
С В' В" )
V (A A;,) ==11-1,0 х 7 [1." .
СоrлаС1IO условию (7 .115), A А;, равно нушо на всей rранице, поэтому
J'рапиент этоrо выражения вдодь rранпцы таиже о(;ращается в ну.пь. Таним
образом, V ( 1;, A ) является вен:тором, нормаJIЬНЫМ п rрашще. Но правая
часть вышенаписанноrо соотношенпя представляет собой лш\тор, паIlrшшен
выЙ вдоль поверхности ['раниды, поэтому
С В' В" )
ох 7 7 ==0.
(7.117)
Теперь можно напнсать l'раничнью уСJlOIШЯ, нarшадьшаемые на Н:OM
поненты нектора .А, в системе ортоrона.пЫ1ЫХ ИРИВОJIинеЙных координат
284
Fлава V]]
и т , и, И U t , рассмотренных в 4, 5 и 6 rJ1. III. Пусть на
дината и Т ЯВ.тшется постоянной, TorIIa, соrласно условию
А; == A; ,
А; == А; и А; == А;.
rранице KOOp
(7.115), имеем
(7.118)
Введем в. 1ЮВУЮ часть выражения (7.117) V х А
используя соотношения (3.14) (3.16), пuлучим
[ a(hr,sA;,s) д (lZt, rAf,r) ] == [ a(hr,sA;,s)
fL' дщ, r ди т . s /J-" дщ, r
вместо В, после чеr() ,
d ( h А" ) ]
(,Т (,Т . (7.119)
дит,э
Соотношения (7.118) и (7.119) являются исномыми rраничпыми услошшми.
Чтоf)ы ПОJIучить rраничные Уt;ЛОВ:ИЯ, накладываемые на В, заметим,
прежде Bcero, что, соrласно условию (7.115), разность вектор потенциалов
в двух точках на rранице раздела двух сред сохраняется при переходе через
rраницу. СJ1едовательно, ПрОИЗЕодные от веПТОР П[lтенциала по обе CTO
роны от rраницы, взятые в одинановом направлении, параЛJIельном rранице,
должны быть танже равны между собой. Вектор n хА JIешит в касательной
плоскости к rранице, поэтому V.N Х А содержит толыш подобные произ
водные. Напишем известное векторное тождество для диверrенции BeHТOp
Horo произведения
V.N Х А== n.V х A+A.V х п.
(7.120)
При подстановке сюда А' А" вместо А последний член, соrласно усло
вию (7.115), исчезает, и мы получаем
n.V Х А' ==n.V хА".
(7.121)
. ПодсташIЯЯ В вместо V Х А, находим
п.В' ==п.В".
(7.122)
Таним образом, нормальные 1юмпоненты маrнитной индукции на rранице
раздела длух сред меняются непрерьшно. Исходя из выражения (7.117),
для танrенциальных номпонент маrнитной пндунции находим следующее
соотношение:
(п Х В') == (п Х В").
fL fL
(7.123)
. Часто, оназывается возможным ввести два вектора а' и а", отличаю
щихся от А' и А" и ЯВЛЯЮЩIIХСЯ более простыми. Роторы этих венторов
всюду дают то же значение МaI'НИТНОЙ индукции, что И роторы А' и А";
одна но эти векторы, нан будет поназано в 5 l'J]. УН 1, удовлетворяют
вместо условия (7.115) следующим rраничным УС.;ювиям:
а; #= а;
и
, "
а в , t == Вв, t.
(7.124)
На примере, разбираемом в следующем параrрафе, будет ясно видно, что
эти венторы являются f)oпee удобными при вычисленип, чем А' и А", Они
не определяются однозначно (нан: А' и А") при помощи интеrралов типа
(7.1И8). Мы будем называть их квазивеl,тор поте1щиаJIами.
23. Пример ИСIIОЛЬЗ0ваlJИЯ веКТОрОВ а и А. В начестне примера
использования rраничных условий, выведенных n предыдущем параrрафе,
рассм()трим бесн:онечный провод с тоном !, простирающийся в z направлении.
Пусть окружающан пропод среда в области иоложительных значений z
обладает МaI'НИТНОЙ ПРОНlIцаемостыо r', а в оf)JШСТИ отрицатеJIЬНЫХ зна
чений z маrнитной пронпцаемостыо r". Нз выражения (7.10) 1атдно, что
простейшими .венторами а' и а", I\оторые удоплетворшот условию (7.119)
м аеиитиое вааи.модействие mOl>oe
285
и не удовлетворяют условию (7.115) и роторы которых дают правильное
значение В' и В", являются
а' k ( 'It tzf1' lп р) It а" == k ( 'It 11f1" lп р ) . (7.125)
Вектор, определяемый выражением (7.108), должен удовлетворять на rpa
иице раздела двух сред условию А' == А" . Часть объемноrо интеrрала
n выражении (7.108), содержащая 1, дается выражением (7.Ю). Н этому
решению необходимо добавить друrой ПОТCIЩИaJI для Toro, чтобы удоnле
творить новому rраничному условию. Рассмотрение решений (7 .30), записан
ных в цилиндрической системе координат, пон-азьшает, что наиболее под
ходящей формой является форма czfp. ПодстаВЛЯI1 это и вводя произволь
ные постоянные С 1 и С 2 , мы ПОJIУЧИМ
А' == 'It 11 { kf1v (lп р + C 1 ) + " [(f1' f1v) Zp 1 + С 2 ]},
1
А" == "2 'it 11 { kf1v (In р + C 1 ) + " [(f1" f1v) ц 1 + С 2 ]}.
(7.126)
(7.127)
Вторые члены соответствуют значениям вентор потенциаJIа, даваемым инте
rралом (7.104). Венторы маrнитной индукции В' и В", ШJJIучаемые из co
отношений (7.126) и (7.127), совпадают с теми, которые ПОJIучаются
из соотношений (7.125).
24. Метод изображений для токов в случае плоской I'раницы.
Сходство rраничных условий дЛЯ В. полученных в 22 настоящей rлавы,
с условинми дЛЯ D. полученными в 18 rл. 1, привоДnт К мысли О том,
что метод изображений, развитый в 6 rл. V, можно применить и при
вычислении маrнитноrо поля, создаваемоrо ЭJIентрическим контуром, pac
положенным вблизи плосной rраницы полупространства, заполненноrо
средой с маrнитной проницаемостыо f1. Пусть rраница раздела совпадает
с плоскостью z == О, нонтур расположен в области положительных значений z,
а среда с проницаемостью f1 в области отрицательных значений z. Обо
значим через А вентор потенциал маrнитноrо поля, создаваемоrо одним этим
нонтуром. По методу изображений ( 6 rл. V) нвазивектор потенциаJ1 над
rраницей можно представить в виде А + а 1, а под rраницей в виде а". rде
A==ifl(X, у, Z)+JJ2(X, у, z)+kfз(Х, у, z), (7.128)
a'==iC fl(,T, у, z)+jC f2(X, у, z)+kС fз(Х, у, z),(7.129)
a"==iC 'fl(x, у, z)+jC 'f2(X, у, z)+kС 'fз(Х, у, z). (7.130)
Исходя из условий (7.124) при z == О, получаем
a z + a * a ' и ах, у + a , у == a : у
или
1 + C == C ' ,
1+C ==C ',
1 + C 'f=C '.
(7.131)
fраничные условия при z == О для производных, опредеJIяемые (:оотноше
иием (7.119), будут удовлетворены, еСJIИ положить
f1 (1 C ) == f1vC ', f1 (1 C ) == f1P;', !1 (1 + C ) == f1"C '. (7.132)
llоснольку а" и А имеют одинаковую форму, ПОJIучим
С' C' C' fL fLv
. . 1 2 З fJ.тfLv'
С " С " С "
1 2 З .
", .. fL+l'-..
(7.133)
286
r лава V 1 1
Таким образом, маrнитная ИНДУКЦИЯ вне среды с проницаемостыо (.1. об
условливается нак бы двумя контурами: первоначаЛЫ1ЫМ контуром с током 1
и нонтур изображением с тоном l' == [((.1. (.I.v)/([1 т (.I.v)] 1. Направление тона l'
таково, что проекции 1 и l' на l'раницу ра:ще.па сред совпадают lIpyr
с lIpyroM и по ПОJюжению и по напрюте1ППО. l3 среде с проннцаемос.тыо (!.
маrнитную индунцию можно представить себе как обусловленную одним
JIИШЬ первоначаЛЫ1ЫМ контуром, по ноторому вместо тока 1 цирнулирует'
тон 1" == 21(.1./((.1. + (.I.v)'
25. Маrнитнал ИНДУКЦИЛ и маrнитнал Проницаемость в кристаллах.
Сходство rраНlIЧНЫХ условий дЛЯ В, выведенных в 22 настоящей rлавы,
и условий дЛЯ D, полученных в 18 rл. 1, подсказывает, что метод
измерения D и Е, описанный в 19 rл. 1, можно применить ДJIЯ В и [1.
Вырежем в исследуемом теле небольшую ДИСI\ообразную полость, толщина
ноторой пусть будет очень малой по ('равнению с ее радиусом, так что'
маrнитная индукция в полости, вдали от ее 1ipaeB, будет определнться
JIИШЬ rраничными условиями на плосних поверхностях. Если полость
ориентировать тarшм образом, чтобы маrнитная индукция внутри оказалась
направленной нормально к плоским rраницам полости, То, соrласно COOT
ношению (7.122), значение В в полости будет равно значению В в среде.
Вырежем теперь полость в виде длинноrо TOHKoro цилиндра. Маrнитная
индунция внутри нее вдали от концов будет полностью определяться
rраничными условиями на боковых стеНIШХ цилиндра. Если полость ориен
тировать таким образом, чтобы маrнитная индукция оказалась направлен
ной ВДОЛl. осп цилиндра, то, пользуясь выражением (7 .123), HeTpYДH
убедиться, что отношение в' /(.I.v внутри полости равно отношению B/(.I. в среде.
Эти два измерения позволяют определить В и [1. Если произвести этот опыт
в маrнитноаНИЗ0ТРОПНОЙ среде; то обнаружится, что, вообще rоворЯ, напра
вления В и В' будут раздичными. Однано в кристалле существуют по крайней
мере три такие ориентации поля, вдоль которых В и В' совпадаJQТ
по направлению. Эти цаправления являются маrнитныии осями кристалла;,
вдоль каждой из них ве.пичина (.1. может принимать разные значения.
В некоторых кристаллах В и В' имеют одинаковое направление для всех
ориентаций поля внекоторой ПЛОС1ЮС'fИ и для поля, перпендикулярноrо
к этой плоскости. Н этому вопросу мы еще возвратимся в 3 и 4 rл. хн.
26. Двухм:ерные маrнитные ИОЛЛ. В прямоуrОЛЫ1ЫХ координатах
rраничные условия для танrенциальной составляющей маППIТостатичесноr()
вентор потенциала совпадают с условиями для электростатичесноrо скаляр
Horo потенциала, если величину 6 заменить на 1/(.1.. В двухмерном случае,
коrда имеются только маrнитные пол.-f, llараллельные ПЛОСRОСТИ ху, ТОНИ
должны протенать лишь в z направлении и, следовательно, вектор иотенциаJ1
может иметь толыш одну компоненту Az, Rоторая с необходимостыo оказы
вается танrенцпальной ко всем поверхностям. Если отношение (.I./(.I.v очень
велико, то, соrласно условию (7.119), все поверхности, на ноторых Az
постоянная величина, т. е. поверхности paBHoro ве1{тор потеНЦИaJra (эrШИ-о
векторпотенциальные поверхности), будут ортоrональными к rраН1ще. Таним
образом, величина А, ведет себя нан электростатичесная функция ПОТОНа
на элентричеСIЮЙ эквипотенциальной поверхности. I3еличина В вычисляется
из А" точно так же, нан электрическое поле вычисляется из функции потона.
ДеЙствительно, в прямоуrолы1ыx шюрдинатах, rде h 1 == h 2 == h3 == 1, поль
зуясь выражением (3.15) и (3.16), имеем
ВХ == д " . Ву == дд ' , (7.134)
что совпадает С' соотношением (4.56).
IИ аеиитное вва иMo8e'Ucmeиe топов
287
При отсутствии тона уравнение (7.7) принимает вид
1;2 Ах == о;
(7.13;)
для решения ero применимы все методы, рассмотренные в rЛ. IV.
27. Маrнитное экранирование двухпроводной линии. Д.ля ИЛЛЮСТрD
ции применения результат()в предыдущеrо параrрафа вычислим величину
маrнитной индунции снаружи цнлин у
дрическоrо экрана с внутреННИМIJ и
внешними радиусами а и Ь, имеющеrо
проницаемость 11- и окружающеrо два
параллельных прямолинейных прово
да, расположенных симметрично OTHO
сительно оси цилиндра и несущих
противоположно направленные токи
(см. фиr. 74). Очевидно, при решении )с
этой задачи следует использовать HPy
roвые rармонини. с JЮТОрЫМИ мы име
ли де;;ю в 2 l'Л. IV. В 10 rл. УII
было показано, что вентор потенциал
двух противоположно направленных TO
ков определяется выражением
А fLvl l
X 2 n .
1t r)
(7.136)
Фие. 74.
Из соотношения (4.17), полаrая там 00==0 и 0o==1t, а также Ро == с, для:
р > С получим следующие ряды:
00
1 ( С ) '1
ln r 1 == _ cos п6 + ln р,
п \. Р
п l
00
. 1 ( С "\п
Inr 2 == ..::::J пр) ( 1)ncosn6+lnp.
п l
Составим их разность, Tor}Ja четные члены сонратятся; заменяя затем п-
на 2п + 1, получим
00
r ] 1 ( С ) 2п+l
ln ==2 2 1 cos(2n+1)e.
r) п + ' Р
п O
(7.137)
Для нахождения потенциала R области, окружаемоЙ эн:раном, НУЖНl)
добавить н полученному выражению потенциал, обусловленный присутствием
энрана и 1юнечный в начаJIe ноординат; тоrда
СО,
IJ. 1 [ 1 ( С ) 2п+l ]
А 1х == ...::::J А2н+l р2п+l + 2п т 1 '-. Р cos (2п + 1) о.
п O
(7.13 )
в оБЛIiСТИ 2, обладающей маrнитной проницаемостью 11-, р не принимает
ни нулевое, ни беснонечное значение, поэтому следует написать
00
А 2х == [1-;] (В 2п + 1 р2п+l + С 2п + 1 p 2п 1) cos (2п + 1) е.
п O
(7.139).
288
rJtaea VII
Снаружи энрана потенциал должен исчезать на бесконечности
00
А зz == ['- I D 2п +1 p 2п 1 СОБ (2п + 1) б.
п O
(7.140)
rраничные условия (7.118) и (7.119) должны удовлетворяться при всех
.значениях б, поэтому каждый член рядов (7 .138) (7 .140) должен удовлетво
рять этим условиям; В результате этоrо после умножения на а 2п + 1 или
[}2п+l при р == а получаются следующие соотношения:
1
А 2 1 а4п+2 + с 2п +1 В 2 1 а 4п+2 + С2 1
п+ 2п + 1 п+ п+
(7.141)
\1
rA2п+l а 4п + 2 "2nEJ.T1 с 2п + 1 == r"B 2п + 1 а 4п + 2 rV C211 +1.
При р == ь получаем
(7.142)
В2п+l Ь 4п + 2 + С2п+l == D 2п + 1
(7.143)
и
rfi2п+1 Ь 4п + 2 r"C2п+1 == r D 2п+l'
Разрешая относительно D 2п + 1 , находим
(7.144)
00
Азz== :I [(Kт+1)2 (Kт 1)2( )4п+2] 1 2пl+1 с : уп+1соs(2п+1)б.
п O
(7.145)
выражениями (3.15) и (3.16), rде,
Поле снаружи экрана опреде;rIЯется
с()rJШСНО 6 rл. 111, h 1 == 1 и h 2 Р
В 1 дА .
P pдU'
ВВ == дА, .
др
(7.146)
s 28. Метод изображений для токов в двух мерных системах. I3ыра
жения для BeH1;opHoro потенциала поля ПРЯМОЛНIlСliноrо тока [ и для
СIШJшрноrо потенциала поля линейноrо заряда q имеют одинановую форму.
Более Toro, нак было показано, двухмерные маrнитный векторный потен-
циал и элш,тростатический скалярный потенциал удовлетворяют одинановым
по форме уравнениям JIапласа и rраничным условиям (если К 'заменить
на 1jK m ). Отсюда следует, что результаты 5 rл. IV применимы к прямо
лииеiiному току 1, параллеJIЬНОМУ оси круrлоrо цилиндра с проницаемостью fJ.
п радиусом а и находящемуся от этой оси на расстоянии Ь. Таким образом,
нен:тор потенциал в области вне цилиндра, обусловленный наличием послед-,
Hero, ПВJшется таким же, как если f)ы вместо цилиндра был помiЭщен
ток изображение [', расположенный между током [ и осью цилиндра
(параллел-Ьно оси и на расстоянии a 2 jb от нее), и ток [', протенающий
вдоль оси. Вектор потенциал внутри цилиндра оказывается таким же, как
при заменс тока / на тон /". Токи /' и /" определяются выражением (4.37),
ссли К заменить на 1jK m , Т. е.
I,=== Kт 1 1 и 1"== 2Кт 1 ( 7.147 )
Кт+1 Кт+ 1 '
Ври Кт 00 l' 1, поэтому законы изображениЙ для тонов на rpa
llицах сред с большой относительной маrнитной проницаемостыо совпадюm
с занонами изображений ДЛЯ электрических JIIIНейных зарядов в провод
нинах,' с тем лишь важным отличием,' что изобрarщшия тока имеют тот же
м аенитиое взаимодействие токов
289
:шан, а изображения заряда противоположный знar.. Таиим образом,
системы изображений, рассмотренные n 5, 6 и 7 rл. IV, можно исполь
;ювать и для тонов. При этом нужно ТОJIЫЮ помнить О знаках и замене К
на 1jK т .
29. МаrнитоДвижущая сила и напряженность маrнитноrо поля.
IIри изучении маrНИТ1юrо поля сразу же поражает наличие мноrих общих
['.войстп у BelaOpa маl'НИТНОЙ: иидунцпи и у элентричесноrо TORa. Прежде
Hcero имеем [соотношения (6.3) и (7.1)]
V.i==O и V.B,==O. (7.148)
Далее, дш! npOCToro заМJшутоrо пути имеем [соотношения (6.9) и (7.112)]
i dS == и B dS ==/.
(7.149)
МаrнитныЙ: веНТUр Потенциал вычисляется на основании соотношения (7.108).
Совершенно ясно, что можно с таннм же успехом, нан это БыJ1o проделано
п rл. VI, провести аналоrичное рассужЛ,ение JI определпть новую сналярную
величину, подобную Е, которую будем назьшать маrнитодвижущей
силоЙ Q (м. д. с.). Тю.им образом, для зю\Пшутоrо пути BOHpyr тока /
l\Шl'нитодвижущая сила равна
Q ==/,
(7.150)
I'де / измеряется в амперах, а Q в ампервитнах. Ввиду Toro, что маrнито
движущая и :теf\тродвижущая силы ЯВЛЯIотся Фунrщиями мноrозначными,
их пеличины зависят от выбранноrо пути lIнтеrрироваНIIЯ. Используя
метод, применепный в 2 rл. УI к tt, часто можно ввести соответствую
щие переrОрОДЮ1 так, чтобы вдоль .1Jюбоru разрешенноrо замннутоrо пути
интеrрал (7.149) обращался в ну,ль, В этом случае Q приобретает xapaH
тер С1шлярноrо потенциаJlа. В простейших случаях танан переrороД!{а из
nестна под названием маrнитноrо листа. Леrко Jlидеть, что в выражении
(7.149) маrнитнан проницаемость r иrрает роль проводимости cr (см. rл. VI),
поэтому для маrнптных контуров можно установить соотношение, анадо-.
ПIчное зююну Ома (6.8), т. е.
В== [1VQ. (7.151)
Для rрадиента маrНИТЩlНижущей силы удобно ввести особое обозна
'!Сние. Введенную таиим ()бразом веЛИЧIIНУ, взятую с обратным знаI\ОМ
( H), мы будем называть напряженностыо маrнитноrо поля:
Н== VQ== .
f'-
(7.152)
в системе MKS Н измеряется в ампервитнах на метр. Выражая интеrрал
(7.149) через Н, получим
H.ds==l.
(7.153)
Это соотношенпе не зависит от М3I'нитной
выражений (7.148) и (7.151) нетрудно получить
спотнЬшению (6.46), а именно:
проницаемости среды. Из
соотношение, аналоrичное
v 2 Q == О.
(7.154)
Исходя из соотношений (6.3), (6.9) и (6.46), были ПОJIучены условия,
ноторым должна удовлетворнть электродвижущая сила на rранице двух
сред с различными проводимостями. Подобным же образом можно было бы,
19 В. Смайт
290
rлава VIl
исходя из соотношений (7.148), (7.149) и (7.154), вывести условия, KOТO
рым должна удовлетворять маrнитодвижущая сила Q на rранице двух
сред с различными маrнитными проницаеМОСТ>IМИ. Проще, однако, обра
титься к соотношениям (7.122) и (7.123) и использовать (7.152). Тоrда
из соотношения (7.122) найдем
(.L'H'.n == (.L"H" .п,
а из соотношения (7.123) получим
Н' х n -== Н" х n
(7.155)
(7.156)
или, вводя маrнитодвижущуЮ СИJIУ, имеем
, д ' " aQ"
(.L &==(.L -дп:
(7.157)
и
Q'==Q".
(7.158)
Следует отметить, что маrнитодвижущая сила удовлетворяет точно таким
же соотношениям [см. (7.154), (7.157), (7.158)], как и электростатичесний
потенциал [см. (3.6), (1.48) и (1.49)]. Однако она отличается от послед
Hero тем, что f[вляется неоднозначной фующией, если в ПОJIе не создавать
переrородок, препятствуroщих обходу по замкнутому пути BOHpyr любоro
тона; при IШJIИЧИИ переrородок маrнитодвижущая СИJIа Q является OДHO
значной функцией в области вне этих переrородон, и ее можно исследо
вать методами электростатини. При таном оrраничении величина Q назы
вается скалярцым маrнитныМ: потенциалом; им мы будем пользоваться
для получения решения маrнитостатических задач по аналоrии с COOTBeT
ствующими электростатическими решениями.
Например, для нахождения экранирующеrо действия сферичесной обо
лочки, вне.шний и внутренний радиусы ноторой равны Ь и а, а маrнитная
проницаемость равна (.L, и которая помещена в однородное маrнитное поле
с индукцией В, можно воспользоваться выражением (5.140). МЫ видим,
что поле внутри оБОJIОЧКИ остается однородНЫМ, а величина маrнитной
индукции внутри оказывается равной
в 9К т В
i 9Kт 2(Kт 1.)2(a3b 3 1)'
(7.159)
Ввиду Toro, что соотношения (7.157) и (7.158) совпадают по форме
с соотношениями (1.48) и (1.49), запон преломления маrнитНЫХ си:rовых
линий на rранице ,lВyx изотропных маrнитнЫХ сред, получаемый из пер
вых соотношений, будет совпадать с законом преломления элентричесни:х
силовых линий, ноторый ВЬШОJТится из вторых соотношений и выражается
формулой (1.51). Таиим образом, на rранице двух сред маrнитные СИ;IO
вые линии резко изменяют свое направление, соrласно занону
(.L' ctga'==(.L"ctga", (7.160)
l'де а' уrол, образуемый силовой линией и нормалью н rранице в среде
с маrнитНОИ проницаемостью (.L', а а" соответствующий уrол в среде
с, маrнитной проницаемостью !.L".
30. Маrнитный контур. Тор. В предыдущем параrрафе была YHa
зана близная математическая аналоrиЯ между МaI'НИТНОЙ индунцией и плот
ностыо элентричесноrо тока. Чтобы при решении маrнитостатичесних задач
можно было пользоваться методами, развитыми в rл. VI дЛЯ решения дина
мических задач, удобно ввести несколЫЮ новых маrнитных веJIИЧИН.
м аеиитиое вааи.модействие топов
291
Маrнитный поток N
току /, что ВИДНО из
через поверхность S соответствует элентрическому
их определений:
/ -== \ i.n dS, N == B.ndS.
s s
Единицей потока в системе MKS является вебер. Маrнитное сопротивление R'
между двумя ТОЧ1.ами в контуре соответствует электрическому сопротив
лению; они определmотся аналоrичными
соотношениями:
(7.161)
I
t+----------- r
I
I
AB , QAB
RAB== , RAB== '
АВ АВ
ДЛЯ ИЛJIюстрации расчета таких HOHTY
ров наiiдем поток в торе, который имеет
маrнитную проницаемость r и на который
намотано п витнов провода. несущеrо
ток /. Пусть радиус сечения тора равен
Ь, а расстояние от центра этоrо сечения
до оси тора равно а. Из определения (7.150) следует, что маrниТодвижу
щая сила для замннутоrо пути вдоль тора (от О до 21t) равна п/. Поснольну,
I3СJIeдствие симметрии, веJIичина Н не зависит от В, то маrнитодвижущая
сила на отрезне пути. заключенном между О и В, будет пропорциональ
на В, т. е.
(7.162)
а
Фие. 75.
Q nIB
21t '
(7.163)
Соrласно выражению (7.152), имеем
д 2 Iп
Н в == raO == 21tr .
Таним образом, при заданном значении r веJIичина Н в явЛяется постоян,,:
ной и тор можно разбить на ряд ЦИJ1lнrдричесних сдоев, нан это ЦOHa
.шно на фиr. 75, не изменяя ero маrнитноrо сопротивления. Маrнит
ное сопротивление одноrо TaKoro слоя будет равно
dR' == ДJlИна == 21tr .
f!-'ПЛОЩ<lДЬ f!-dS
Но dS == 2 [ Ь 2 (а r )2] Ч2 dr, и ввиду Toro, что эти слои соединяются
параллельно, имеем
а+Ь 1
...!...== (' ==.!:.. \ [b2 (a r)2] 12 d
R' d.н' 1t) r r.
a b
Интеrрируя (см. Пайерс, 187) и подставляя пределы, получаем
, == ( ) 1t [a (a2 Ь 2 )Ч2].
Пользуясь выражением (7.162), найдем потон внутри тора
Q
N ==}['== rn/ [а (а 2 Ь 2 )Ч2].
(7.164)
э 31. МаrНJ:lТНЫЙ контур с воздушным зазором. Очевидно, что в случае
непрерывноrо маrНИТОПРО130да с высокой маrнитной проницаемостью и дo
статочно большой всюду ПJIощадыо поперечноrо сечения маrнитный потон
в нонтуре будет почти полностью снонцентрирован внутри маrнитопровода.
19*
292
Тлава V //
Однано если в этом маrнитопроводе имеется разрыв, то потон, про
ходя через зазор, распределится такиМ образом, что маrнитодвижушая сила
будет удовлетворять всюду уравнению (7.154), а на rранице зазора
условиям (7.157) и (7.158). Если мar'нитнiш проницаемость среды IL" очень
велика по сравнению с мar'нитной проницаемостыо зазора IL', то, ню( сле
дует из соотношения (7 .16и), а' О и силовые линии в зазоре подходят
перllендинуЛЯрНО н 1'ранице среды. В случае, 1юrда произведение IL' на
часть длины пути маrнитноrо нонтура, лежащую в среде с высоной Mar
нитной проницаемостью, мало по сравнению с произнедением IL" на длину
nоздуШН01'0 зазора, можно прантичеСRИ считать полное маrнитное COIlpO
тивление сосредоточенным в зазоре при условии, что поперечное сечение
маrнитной среды ниrде не является СJIИШIЮМ малым. Это имеет место,
например, для мноrих электричесних машин. Если r;оnерхности, оrрани
ЧllваlOщие зазор, параллельны и их площадь А пелина по сравнению
с расстоянием d между ними, то поде n зазоре можно считать однородным
и нраевым эффентом пренебречь; ТО1'да маrнитное сопротивление зазора
равно dfA.
Для получения CTpororo решения в ДРУ1'ИХ СJIучаях следует ПОJIЬ30
ваться вентор потенциалом или непосредственно вектором мar'нитной индун
ции, используя занон Био и Савара, а также rраничные условия, paCCMOTpeH
нью в 22. Этот путь, однако, часто бывает сопряжен с ДJIительными
математичесними вычисления .1:И, что не оправдьшается требуемой на пран
тине точностью. В таних случаях достаточно точный результат можно
получить и при помощи сналярноrо маrНИТНО1'0 потенциала, применяя
методы, развитые в 1'Л. IV и V. Как уже упuминалось в 29, при этом
вознинает необходимость создавать иснусственные переrорo)lНИ обычно 1'Ae
нибудь в той части мю'нитноrо нонтура, ноторая обладает БОJIЬШОЙ Mar
нитной проницаемостыо. При большой Мёl1'НИТНОЙ проницаемости мы при
писываем потенциалу в этой' части среды одно значение с одной СТUРОНЬ!
от переrороднИ JI друrое значение с друrой стороны. KorAa нонфиrурация
системы П03lюляет расподожить neperopoAHy вдали от зазора, вносимая
при этом ошибна ничтожно мала.
32. Поле в трансформаторе бронсвurо типа. В начестnе примера
нахождения приближенноrо решения путРм впедеНJIЯ преДIIоложеНIlН о бес
конечной мar'нИтной ПрОНfщаемости вычислим поле тона, протенающеrо
в проводе, намотанном n виде TOHHoro симметрично расноложеННОI'О
ЦИJIиндричесноrо слоя на цилиндрическом сердечнике броневоrо трансфор
матора. Напишем уравнение стенок, образующих (<онно» трансформатора,
в ЦИJIиндрических ноординатах в виде z == h, z + h, р == а и р == Ь.
Равномерная плотная обмотка, намотанная на нарнасе р == с в пределах
от z == k до z == т k, имеет п виткоп на е!J.ИНИЦУ l1ЛИНЫ, по которым
течет TOI{ 1. Эту обмотку можно Рdссматривать как одиночную однородную
обuлоч"у с полным током 10 -= 2пlk, обтекающим сердечнин параллельно
плосности z, нак показано на фиr. 76. Найдем маrнитную ИНДУНЦИI9
в «ОIше». В силу симметрии Бектор потенциал будет иметь лишь одну
Iюмпоненту Ар. Из 6 следует, что в цИЛИНДрIIЧесниХ н:оординатах реше
ние содержит либо обычные, либо модифицированные фуннции Бесселя.
В первом случае применимы методы, изложенные в 30з и 30и rл. V
(окончательнью результаты прпnедспы в задачах 31 и 32 в конце' этой
rлаnы).
Пользуясь методом, рассмотренным Б 37 rл. V, найдем решение,
СО)1ержащее модиф[щированные фующии Бесселн. Если А имеет лишь
qнюмпоненту, ве.:lичина которой не зависит от <р, то решение получается
из выражения (7.26), 1'де. следует положить п == О и 0==1':/2. Пuснольну
м аеиитиое вваимодействие токов
.
293
р == о и р == OJ находятся вне рассматриваемоЙ области, то нел зя ИСJШЮЧИТЬ
ни 11 (kp), ни К 1 (kp), т. е. решение запишется в виде
00
A == [С т 1 1 ( т;р ) + Dm K l ( т/ p ) ] cos m;z ,
т 1
l'де учтено, что Вр == дА I az обращается н нуль при z == :!:: h, а таюне
принята во внимание симметрия относительно ПЛОСRОСТИ z == О. в дальнейшем
/
Фие. 76.
(7.165)
,,-,"' ""'''''.............
, "
( )
, I
I I
I I
I I
I I
I I
I ,
I I
1," .....-.
r I
'.... .,'"
.....--....................... ........-'.,
удобно пользоваться СJIедующими обозначениями [см. формулы (5.441),
(5.442)]:
( mns '\ ( mnt ) ( mns ) ( mnt )
R 1 (m,s, t)==Ko "Т )11 h +10 h К 1 h '
(7.166)
R ( t ) д(tRl) ==К ( ) 1 ( mnt ) 1 ( mns ) K ( mnt ) ( 7167 )
о т, s, mrr.t at о. h о h о /l О h . .
Лer'но видеть, что
Rn (т, s, s) == О. (7.168)
Обозначим вентор потенциал при а < р < с через A и при с < р < ь
через А;. Тоrда три из четырех остающихся 1'раничных условиЙ запишутся
в виде
A == А;, если р == с,
в' д (pA ) == О если
z р др , Р == а,
B" z == .!. д (рА;) О , если Р == Ь.
р др
Из выражений (7.167) и (7.168) очевидно, что вее эти условия будут yдo
влетворены, если положить
00
(7.169)
(7.170)
A. == CmRl (т, Ь, с) Rl (т, а, р) COS m;z ,
т 1
00
(7.171)
А; == CmRl (т, а, с) R 1 (т, Ь, р) cos m;z .
т 1
(7.172)
Определим С т из l'раничноrо условия на поверхности натушни. Для полу
чения этоrо rраНИЧJ:оrо условия заметим, что ;nинейный интеrрал вдоль
пути, онружюощеrо витни и расположеннurо между z == О и z == z, не зави
сит от величины индуцированноЙ нама1'ниченности и что для пути р==с, плотно
294
r,л,ава VII
примьшarощеrо н степне цилиндра, этот интer'рал, соrласно формуле
(7.2), равен
z
B.ds== (B B;)p cdz==f1vп/z.
о
Дифференцируя полученный результа'I' по z, находим
(B B;)F C==f1vп/, если k<z< +k,
(B B;)p c == О,
если k < I z 1< h.
(7.173)
(7.174)
Из выражений (7.169) (7.172) получаем
со
B B; == т; С т [Но (т, а, с) Rl (т, Ь, с) Rl (т, а, с) Ro(т, Ь, с)] cos т:а ,
ffl t .
,(то при помощи соотнощения (5.412) сводитr.я Н следующему:
со
B в; == С ст Ro (т, а, Ь) COS m:z .
m t
Для определения С т умножим обе части этоrо выраженин на cr>s(qitzjh)dz
и проинтеrрируем lJ пределах oT h до+h. Все члены справа (см. Двайт,
858.2) пропадают, за исн:ночением T01'0, ДJIН 1ютороrо т с= q. Из соотноше
,ний(7.173) и (7.174) видно, что интеrрал слева равен нулlO для всех 3Ha
чений z, нроме k < z < + k, отсюда
+k
(' m1tz 2[J."пlh. m1tk С h
f1v п / cos h dz == тп SШ == m С Ro(т. а, Ь).
k
Разрещая это относительно С m И подставляя в выражения (7.171) и (7.172),
получаем
для а < р < с
со
А , 2[J-"пlc 1 Rt (т, Ь. с) Rt (т, а, р) . m1tk т1tZ
:p R ( Ь) sш h C OS I '
1t т о т, а, l
m t
(7.175)
дляс<р<Ь
со
А " 2[J-vпlc R. (т, а, с) Rt (т, Ь, р) . m1tk m7tz
,р R ( Ь) Sln h cos h .
1с m о т, а,
m t
{7.176)
Соrласно выражению (7.43) уравнение силовой трубин имеет вид
N == 2itpA,p.
(7.177)
В случае соприносновепия натущни с внутренним сердеЧН1ШОМ а =' с и BeH
тор потенциал внутри «онню> трансформатора равен А;. При соприносно
вении натушни с внешней стенной с == Ь и Iюнтuр потенцпал внутри (шнна»
трансформатора будет равен A . В обоих случаях выражония (7.175) и
(7.176) значительно упрощаются, ПОCIюльну в силу соотношений (5.412) и
и (5.440)
/1
R1(т,s,s) == .
1111tS
(7.178)
Выражения (7.175) и (7.176) поназывают, что если обмотна занимает всю
высоту Оlша (h == k), потон ра;;сеянин будет отсутствовать, тю.. нан маrнит
нан проницаемость железа предполаrается бесконечной. На фИI'. 77,а, б и в
1
о
о
р=2
р=1
о
'J
1
о
а в
Фuе. 77. ЛИНИИ ИНДУ]{ЦИИ ПОТОRа рассеяния в плос]{ости сечения о]{на трансформатора броневоrо типа, изобра
женноrо на фиr. 76.
a oOMOTHa расположена при p 1, б обМОТRа раеположена при p 1,5. f ОБМО1Rа расположена при p 2. J{ривые вычислены
по формулам (7.175) {7.177) при a 1, Ь 2, h , k 16'1t. IJ. CXJ, IJ.v11I 10.
296
l'лава V 11
изображен ПО1'О1\ рассеяния нри расположении натушни во внутреннем
сердечнине, в середине «онна» и у внешней стении. В наждом CJIY'Jae
число ампеРВИТRОВ нреДlIОJшrается одним и тем же, а оБМОТRа распо;ю
женной в пределах от Z == Il/4 до Z == + Il/4.
33. Полюс с расщепленным нarШн qником. 3ффеI\тивныii воздуш
ный зазор. Предположим, что в одной из ПJlOСIШХ l'раниц воздушноrо
зазора, ширина ROToporo рюша В, продсщаны два параллеJlЬНЫХ паза
шириной 2А, расстояние между серединами 1ЮТОРЫХ рюшо 2.С. Если С А
велико по сравнению с В, то на поле вблизи одноrо l1З пазов наJlичие
друrOI'О паза не ОRазывает практичесни НИRаКОl'О ВJJИяния, поэтому 1 uле
вблизи наждоrо паза можно ВЫЧИСJlЯТЬ совершенно незаВlIСИМО. Пусть
rлубина паза веJlJша по сравнению с 01'0 шириной, ТOI'да БJ1иянием на
ПОJЮ со стороны дна паза можно нренебречь и считать паз беСRонечпо
у,
y Плоскость Z, ,
+1
I Плоскость Z
Х
R S Х"
а б 8
Фие. 78.
rлубоним. Таким образом, учаСТОR RS на фиr. 78, а можно рассматривать
нан участон RS на фиr. 78, б, rде внешние 1'раницы простираются до
беснонечности. Пусть мю'нитная проницаемость материала Н1:lСТОJIЫ{() веJlИIШ,
что м. д. с. полностью падает в воздушном' зазоре, Бак это упоминалось
в 31. Отверстие паза имеет форму мноrоуrольнина с нулевыми BHYTpeH
ними уrлами при Х ==< :1::: со и уrJШМИ 3",/2 при Х == :1::: А, У == В. ТаRПМ
образом, обратное преобразование IПварда переведет эту rраницу в дей
ствительнyrо ось на ПJlОС1{ОСТИ Zl' Пусть вершины уrлов, равных З",/2,
переходят н ТОЧIП1 X 1 == :1::: 1, тоrда УrJIЫ. равные ИУJJТо, перейдут в ТОЧЮI
X 1 == + а, rде а 2 < 1. Соrласно выражению (4.85), 1'ОЧIШ на IlЛОСНОСТЯХ
_ Z И Zl связаны между собой СООТНОIIЮНllем
!!!..... == С' (z 1)Ч2
dZ 1 zi a2
(7.17 )
Маrнитная цепь в ПJ.ОСRОСТИ Zl' сечение которой поназано на фиr. 78, 6,
представляет соf)ой двухпроводнyrо ЛИВНЮ, рассмотренную в 10. ПОСНОЛЬRУ
маПIИтное сопротивление той части цспи, ноторая находится под осью X 1 ,
равно НУJПо, всн:т()r llотенциал над осью X 1 ранен У ДJJоешlOМУ выращепшо
(7.44), т. е.
A. z == ['",,1 ln ( r2 \ ,
"/t r 1 )
(7.180)
что, COrJIaCHO выражению (4.62), является действительной частью ФУШЩl1l1
П1 == р""l lп a+z 1 . (7.181)
7t а Zl
Прежде чем определить W н IJJlOСIЮСТИ Z, следует проипте1"риропать С(ЮТ
ношение (7.179). В реЗУJlьтате получим
С' (' dZ 1 , С' ( 2 1 ) r dZ 1
Z (z 1)Ч2 -т а ) (z a2) И 1)1f2 .
Ма:тuтиое вааи.модействие токов
297
в первом интеrрале выпишем в явном виде j и воспользуемся формулой
(32о.01) из справочнина Двайта, а во втором интеrрало ПОJJOЖИМ Zl-==
==- аи (и 2 1) Ч2 и применим формулу (200.01) из справочника ДБайта.
3аменив С' на jC, можно написать эти IIнтеl'рaJIЫ в неснолы>их Эfшива
лентных формах, причем праШJJJЬНОСТЬ знапа в наждой из этих форм
доллша быть проверена путем дифференцирования и сравнения с выраже
нием (7.179). Эти формулы следующие:
. ,( '1 а 2 )Ч2 { 1 a2 } Ч2
Z == С arc sш ZI + С ar sh ( )2 1 '
а a/z 1
Z == С arc sin Zl + jC (1 02) 1/ 2 arc sin { ZI [ \ а 2 2 1 1 / 2 } ,
а zl a
п. . (1 а2)Ч2 . { 1 a2 } Ч2
Z ТС +]С ar ch Z. +]С а arc sш 1 (a/Zl)2 ,
п(1 02)112 (1 а2)Ч2 { 1 a2 } Ч2
z==Carcsinz1+jC La +С а arch 1 (a/zl)2
Если Zl> 1, то х == + А== Ст. И3 соотношения (7.182в), отнудаС==2А/7t,
А
а если 1 > ZI > а, '1'0 у == в == а (1 а 2 )Ч2 из сОотношения (7.182r), отнуда
а ==А (А2 + В2) Ч2. COrJJaCHO выражению (7.181) (см. Двайт, 702), имеем
W == (J."/ ln.!+(z,/a j == 2'),,1 ar th или h 7tW ../7.183 )
те 1 (zl/a) 7t а' zl==at, 2(J.,,/ ' \
(7.182а).
(7.1826)
(7.182в)
(7.182r)
Тоrда (см. Двайт, 650.08)
Z1 7tW
11 sh .
(zi a2) ,2 .. ,,1
После подстан()]ши ЭТОl'О l!ыражения в соотношение (7.182в) подучим
2 { А . r А h '"'W I +
Z == arcsln 1 / t 1 J
7t (А2+В2) 2 L(J."
+ в ar sh [ в sh .7tW J } .
(А2 + В2)Ч2 2 .,,1
В нашем распоряжении имеются энвиваJJентные формы записи фующии
преобразования (7.182б), (7.182в) и (7. 182r). Для учета влияния паза на
величину маrнитноrо сопротивления ВОЗДУIl1I101'0 зазора следует вычислить.'
потон на участне между R п S при наJJИЧИП паза и в ero отсутствие.
Из выражения (7.183) с.ледует, чт() тuчнам деЙствптеJJЬНОU оси cooTBeТCTBY101
действитеJJЬНЬЮ значения W. ДЛЯ бо.ЛJ ших значениЙ U == Az на оси х, что.
имеет место, ноrда велнчина С А значительно больше В, мы имеем
(7.184),
th пА! 1
21'-,,1
и
h пА, 1 "А /(2[J. 1)
S 2e z v
['-"
И, поснuльну arc sin [А/(А2 + В2)Ч2] == arc tg (А/В)
выр жение (7.184) можно написать в виде
2 { В [ В
х == А + А arc tg A + В ar sh 1/
7t 2 (А2 Т В2) 2
(Тс/2) arc tg (В/А),.
e 7tAz /(2[J.vI) J} ,
или
А 2fJ-,J 1 { . . А 2 +В 2 ) 1/2 h r п(x A) + А t В ] 1
z те n В s L 2В В arc g А J
:298
Тлава VII
'И, В случае (x A) В,
А == fJ.v I 1 ( 1 + А2 ) + 2fJ.vI [ А , t В + (X A)'It ]
,z 'It n В2 'It В arc g А 2В
Так как в начале координат Az==O [см. выражение (7.181)],
-ние в любой точке х, соrласно соотношениям (7.134), равно
(7.185)
то ero значе
х х
Az == a :z dx== Bydx.
о о
Этот интеrрал представляет собоЙ маrнитный потан, выходящий из нижней
\lIЛОСНОСТИ на участие от х == О до х == С. ДЛЯ создания на этом же участне
TaHoro же маrнитноrо потона в отсутствие паза (т. е. ноrда А' == О), но
при прежнем значении маrнитодвижущей силы, ширина воздушноrо зазора
В' должна быть выбрана равной
В' fJ.vI(A + С) 'It(А+С)в
А, пС+2Аате tg (ВjA)+B 1п [1 + (А/В)2] .
(7.186)
Таним образом, зазор шириной В' при отсутствии пазов обладает таним же
маrнитным сопротивлением, нан и зазор шириной В при наличии пазов,
-если ширина последних равна 2А, а расстояние между ними равно 2С.
ЗАДА ЧИ-
1. Показать, что маrнитная пндующя в пентре ПРОВОJJОЧНОЙ петли, по ноторой
-протенает т()к и которая имеет форму пранильноrо ШIOскоrо мноrоуrольника е 2п eTO
jJJOнами и расетоянием 2а между параЛJJельны,1И еторонами, равна
fJ.nI. 'It
мS1ll ;ш ,
rде 1 TOH В петле.
2. Провод протянут по окружности радиуеа а всюду. за ИСКJJIочением дуrи с yr
JIOM 2'Р, rJIe он следует вдоль хорды. ОбраЗ0ванная таким обраЗ0М проволочная петля
подвешивается в ТОЧJ{С. ПРОТИВШIQТIOЖПОЙ центру хорды. тан, что плоскость пеТJJИ при
.этом OJ{азывается перпеНДИНУJШРНОЙ к друrому прнмолинейному проводу, проходящРму
через ее центр. Поназать, что ееJIИ ТОl{И в пеТJJе и в проводе равны i и i', то МОменТ,
дейетвующий на петлю, равеп
..,
!lll а . .
tsш'f tp eos'f).
те
3. Провод образует плосную епираль. уравнение КОТОрОЙ в полярных координатах
имеет вид r==RB/(21tN), rде N число всех ВИТI{ОВ, а R радиус веJ{ТОР, пров('деНIJЫЙ
.И3 центра к наружному JЮJЩУ енирали. ПOJ,азать CTporo, что при протекании IIО СllИ
рали тока 1 аю'иальная <;оетавляющан маrпитнuй индукции вдодь оси на расстоянии z
'01' ПЛОсКОсти спирали равна
1
TfJ. N1
Л ( B (R2+Z2) 1J2+ 1п ([R+(R2+Z2)1f2] z l}).
4. ПJюсноеть круrлой ПРОВОJJОЧНОЙ петлп радиуеа Ь, по которой протенает тон i,
образует с однородным маrнитным нолрм В yroJJ . ПOJ,азать, что е(-ли внутрь петли
поместить концептрично шар радиуса а, обладающий маrнитной проницаемоетью !l.
то действующий момент возрастет па В('ЛИЧИJlУ
Kт 1
2 2'1tBia3b 1 еОБ .
Кш +'
. 5. Две проводящие ПОJJОСЫ шириной А располаrаются параллелыю на рае стоянии В
.друr от друrа, образуя ПрОТИВUl10JJOiЮIЫе стороны прямоуrольной призмы. По этим
'1JOлосам протекает один и тот же ток 1 в противоположных напраВJ1ениях. Показать,
Задачи
299
"'111'0 при равномерном распределении тока сила отталкивания между ПОJJОеами равна
{на единицу длины)
f1J2(7tA2) 1 { А are tg в lп ( А2 t2 B2 ) } .
6. Электродинамометр состоит И3 двух KBaupaTHblx ПРОВОJJОЧНЫХ нотель, длина
-сторовы ЮIЖДОЙ из которых равна а; ОДН'J. из нете.'JЬ МОЖРТ нращаться ВOI,ру!' оси, про
ходящей через l'ер('дину НРОТИВОIlОЛОЖНЫХ сторон обоих петеJJЬ. Считая петли пересе
-«ающимися на этой оеи, показать, что момент, ействующий на подвижную петлm
'U том положении, коrда она образует С неПОДВИЖllOЙ петлей уrол 7tj2, равен
f1!2 a { 2112 (3112 1) +21п [ 5112 (1 -+- 2112) ] +4 are etg (6112 . 2) 2 are СОБ 5 1 } ,
2п 1 + 01/2
,['де 1 TOK, протекающий по обеим пе.тлям.
7. Два круrлых цилиндра, по каждому из которых в z направлеНJ]И протекает
1 1
равномерно раепрепеленныи ток т ,раеПОJJожены так, что их оси имеют Iшординаты
1:== +с и x c. Эти цишшдры находятся внутри круrJIОЙ цишшдрической оболочки
-с осью. проходящей через точку х == о; ПО оБОJJочке протекает в противоположном Ha
4Jравлении равномерно раепреде.JIР.ННЫЙ ток 1. Показать, что сила, направленная
d( центру и дейетвующая на один из внутренних ЦIШИНДРОВ, равна f112j(167tc).
8*. Покязать, что в JJюбой точке ВДОЛЬ силовой линии вектор потенпиал, опиеы
flающий поле тока, протекающеrо но окружности, обратпо пропорциопа.пен расстоянию
между центром окружности и ОсНОВaIшем П рП НДИНУJJяра, опущенноrо из данной
точни на плоскость, в которой раСПОJJожена ОКРУЖНОСТЬ. Пользуяеь этим свойством.
начертить линии ПОсТОЯJIноrо пентор потенциаJJа,
9*. Ток i течет в нонтуре, имеющем форму ЭJJJIИпса, длина KOToporo l, а пл
щадь А. Показать, что маrнитная ИНДУНЦИЯ в центре равна 1 [1iljA.
10*. Ток i протекает по ОI{РУЖНОСТИ радиуеа а, а ток i' B очень длинном пря
мом линейнОМ нроводе, .пежащем п той же ПЛОСI,ОСТИ. Показать, что сила взаимноrо
притяжения между ними равна
f1ii' (Бее a 1),
I['де 2a yroJI, под ноторым видна окружно::ть И3 б.пижайшей к ОНРУЖНОСТИ точки пря
молинейнOJ'О провода.
11*. Дне нроволочные пртли с радиуеами а и Ь, имеющие общий центр, MorYT
свободно вращатьея BOKpyr изолированной о('и, являюшейся общим диаметром обеих
петель. Показать. что при протекании по нетлям токов i и i' ДJJЯ удержания плоеко
стей петель под прямым УJ'ЛОМ требуетея прпложить момент
п" ( 1 9 . "\ и'.
2 r а 10 а 2 )
При этом отношение bja преднолаrается настодько малым, что величиной (bja)4 МОЖно
пренебречь.
12*. ТОКИ i и i' протекают по IшадраТIIЬШ неТJJШI, длина I'тороны каiНДОЙ И3 KOTO
рых равна а; стороны взаимно параJJле.пьны, а плоскости петель раСНОJlOiНены под
прямым уrлом кнрямой ДJJИНОЙ С, соединяющей цен1'РЫ петель. Показать, что петли
притяrиваютея с СИJJОЙ
2f1ii' { С (2а 2 + с 2 )Ч2 а 2 + 2с 2 }
+1
7t а 2 + с 2 с (а2+ с 2 )1/2 .
13*. Ток i IlрОТCJШ Т В нрямоуrольной петле со СТОрОНаМИ длиной 2а и 2Ь; петля
может свободно вращаться llOl{pyr оси, проходящей через ее центр и параJJJJельной
еторонам длипой 2а. Друrой тои i' т('чет в Д,1)ИШJOМ ПРЯМОЛlJIJCЙНОМ проводр-, парал
лелыlOМ оси и раСПОJJоженном от не(' на расстоянии а. Доиазать, что ДJJЯ удержания
петли в положении, при нотором плоеКо,'ТЬ петли образует УI'ОЛ <р С ПJIССRоетью. про
ходящей через центр петли и прямолииейный провод, требуетl'Я нриложить к петле
момент
2f1ii' аьа (Ь 2 + d 2 ) siH ер
7t (Ь 4 + d4 2b 2 d 2 СОБ 2tp) .
300
Fлава V//
14*. KpyrJJaH пронолочная ЩJТJJЯ радиуса а нонпентрична сферической оБОШ,ЧR6
из мяпшrо железа (внутренний радиус оболочки Ь, внешний радиус с). Показать, чт()
при проте[{3нии по петле ПОетоянноrо тока 1 наличие железной оБОJJОЧНИ ПрllВОДИТ
К возрастанию числа линий маrнитной ИНДУI{ЦИИ, нронизывающих петлю, приблизи
тепьно на величину
п/ a 4 fl" (Кт 1) (Кт + 2) (c3 Ь 3 )
2Ь 3 [(К т +:!,) ( Kт + 1) c3 :!' (Kт 1)2 Ь 3 ] .
15*. в жеJJезе, занолняющем псе пространство и имеющем МaJ'НИТНУЮ проницае.
мость 1'-, вырезана иру['лая штиндричf'UШЯ ПО.rJость. Внутри ПОJJоети параллельно ее
оси ПрОХОJl,ит нровод, по иоторому течет постоянный ток 1. Доказать, что провод при
тяrивается н БJJижайшей стенке нолости с еилой (на едиНIЩУ ДJJИНЫ)
flvJ2 (Кт 1)
2nd (Кт+1) ,
rде d раестонни() между проводом и ero Э.'I('нтроетатичесним изоf\ражением в полости.
16*. Показать, что при шшичии в "реде с маrНИТJlОЙ ПРОНИGаемостью !' OДHOpOД
HorO маrнитноrо ПОJJЯ можно удаJIИТЬ любую шаровую оБJJаеть и поместитъ в образо
шшшуюся полость (JШНЦШJТРИЧНО) шар е маrнитной проницаемостью 1'-1 и ефеРllчеекую<
оболочиу с маrвитной ПРОllицаемостью 1-'-2' не исназив внешнеrо поля, при условии,
что !'1 1'- fl2 И что выбрано соответствующее отношение объемов шара н оболочни.
Доказать танже, что ПОJJе внутри шара однородно, а ето напрнжеНl10еть больше или
м('ньше напряженности внешнеrо поля в ЗaJJИ,'ИМОСТИ От T'oro, больше или меньше 1'-
по сраШIРНИЮ с 1'-1'
17*. Шар раДИУС8 а, изrОтовленный из мяrноrо железа. помеЩeIl (J однородное'
маrнитное поле, параЛJJеJJьное Оси Z. Поиазать. что силовые линии вне шара распола
J'аются на поверхностях вращения, уравнения которых имеют ВИД
{ 1+ 2(Kт 1) ( ) 3 } (x2+y2)==eonst,
Кт+2 r
rде r раССТОЯНJlе от центра шара.
18*. Шар из мяrноrо желрза с маrнитной прониuаемостью !' номещается в маrНИТlIОI}e
поле, сналярный потенциал KOToporo ЯВJJяетея оннородным полиномом степени п
ОтНОеительно х, у, z. Поиазать, что сналярный потенциал внутри шара равен перво.
начальному значению, умноженному на (2n+1)j(nK m +п+I).
19*. 1I0И:'lзать, что если вместо шара, описанноrо в нредыдущей задаче, поместить.
оболочку е радиуеаj\?I а, Ь, то п(>ле внутри ПОJlОсти изменится в отношении
( а ) 2n+!
(2п+1)2 Кт: (пК т +п+1) (пKт+п+Kт) п (п+1) (Kт 1)2 Ь
20*. Беснонечно длинный полый желрзный ЦИJJИНДР с маrнитной пронипаемостью 1',
внутренний и пнешний ралиусы HOToporo равны а и Ь, помсщает('я в однородное
\fаrнитное поде, направление ROToporo перпеНДИИУJJЯРIЮ н обрззующим ПИJJиндра.
Пvиазать, что число линий индунции, пронизывающих область, занимаемую цилиндром,
изменнетсн при помещении цилиндра в поле в отнощении
Ь 2 (Кт + 1)2 a2 (Kт 1)2: 2Кт [Ь 2 (Kт+1) a2 (Kт 1)].
21. В СПJJIОСНУТОЙ ефероидальной ПJJешНJ == o тои ИМf'ет ЗОП3:Jj,ьное распределеlJие
ТЮ{ что между Е == 1 и ; ;o фушщия распределения TOJ{a <jJ (;0) == Z; СпР п (Ео). Исполь.
зуя fIOJJученпыi-i IЗ 11 интеrрал, ВЫЧИСJJяемый п() формулам 28д rл. V, показать
что при «СО вектор. потенциал почя этоrо ТОIШ равен
ос)
fll (1+ б)1[2 п( +1) Q (jCo)P (i )P (E).
n .
22. IlОJIЬ3УЯСЬ предыдущей запачей. показать, что для облаети < СО вектор потен
циал, описывающий поле TOI{a 1, цирнуJJирующеrо н прОВОJIОЧНОЙ петле СО, Ео. Bыpa
жается формулой
1'-11 (Н (5)1[2 (1 (5) Ч2 п 2 (п + 1) 2 (2п + 1) Q (;(0) P (;0) P Ы) P (Е),
Получить результат для об.nасти ( > o'
3адачи
301
23. Показать, что если сфероид, онисанный в задаче 21, являетея не еПJJюенутым,
-1'\ вытянутым, то В области yj < Yjo
00
А== I'-(Yj5 1)l[2 п ( 1) Q (Yjo) P (Yj) P (;).
11 I
24. Вытянутые сфероидальные координаты проволочной петли, 110 которой цирку
лирует ток /, равны o, "tjo. Показать, что вектор потенциал поля этой петли равен
1'-1 [(1j5 1) (1 !;5)]Ч22 п 2(п+1) 2(2п+1)P (!;0) Q ("Ijо)Р (-(I)Р (Е).
25. Пусть в систему, описанную в предыдущей задаче, вносится вытянутый сфе--
роид, оБJJадающий маrнитной проницаемоt'ТЬЮ 1'-. Показать, что если поверхность этоrо
сфероида задана в вИде yj 1jl' то изменение вектор потенциала в области yj > Yj},
<Jбуеловленное внесением сфероида, равно
tx:>
J1.v 1 (К 1)( 2 1)Ч2(1 2)Ч2 '" 2п+1 P (!;o)Q (YlO)P (Yll)P,,(Yll)Q (1j)P (E)
Ip 2 т Yio о L п Z (п+1)2 Q (Yjl)r,,\"tjl) Km(Jn{Yj})r ("tjl) .
11 1
26. Показать, что вектор r:отенциал, оБУСJJов.пенный током 1, протенающим в ПJю
оСкой про вол очной пеТJJе радиуеа а, расположенпой в ПЛОСIЮСТИ z==O, опредеJJяетея
IJ области Р. > а фОр IУЛОЙ
00
A<f==l'-аI1t l 1} (ka) К} (kp) coskzdk.
о
ДJШ Р < а следует в этой формуле поменять меетами р и а.
27. Показать, что в{'ктор потенциаJJ, оБУСЛОВJJенный током 1, циркулирующим
IJ ПЛосКОй пrюволочной петле радиуеа а, равен
00
A<f == ; I'-a/ J} (ka) J) (kp) e k Izldk.
о
28. Ток 1 ЦИРКУJJирует по ПРОВОJJОЧВОЙ петле раДИУl"а а, расноложенной коакси
;альво с бесконечным цилиндром раДИУl"а Ь. IIроницаемоr.ть цилиндра равна [L. Пока
aть, что часть ьеRтора потенциала, обусловленная наличием цилиндра, определяетея
вне цилиндра формулой
ro
I'-va/1t } Ф(k)К}(kа)К) (kp)coskzdk,
о
('де
ф k (Km 1)kbIo(kb)/1 (kb)
( ) (Km 1JkbLlo{kb)1}(kb)+1
Написать форму.пу, опредеЛfIЮЩУЮ веКТОР ПОТРПIlIraл во впутренней области.
29. На участке ДJJJШОЙ 2с lJоnерхвоети нруrлоrо ЦИJlIIндра радиуса а ЦИРJ{улирует
Iюкруr оси цилиндра равномерно распределенный ток 1. Показать, что в области р> а
вектор-потенциал опреД{';Jяется формулой
ro
А == /,-'7/ r .i./}(ka) К} (kp)cof<kzsinkcdk.
<f пс' k
о
30. По плоской ируrлой ПРОВОJIOЧПОЙ петле радиуса а, ра{'по.тrошешюЙ параJJ
лельно беСJ{онечпоЙ ПJl3стине то.пщнноЙ t на раестолнии Ь от повсрхпоети ПОС!IСДПРИ, HpO
текает ТОК /. Пrшазать, что если матрриа;J, из "оторото изrотовлеllа пластипа, об:,ада{'т
маrнитноЙ проницасмоетью 1'-, то BCJ{top-ПОтепциал перед Шlаетпной (rде находится
302
Fлава VII
петля), внутри плаетины и за плаетиной опредеJJяетел ссответетвенно формулами
00
....11== ['.,уа! Jl(kp)Jl(ka)[e kIZI+C(K 1)(1 e 2kt)ek{Z 2b)]dk,
о
00
....12 p.vKmal J 1 (kp) J 1 (ka) С {(К т + 1) e kz (Km l) е а [z 2 (ь+t)]} dk,
о
00
Аз==2р.,Дmаl Jl(kp)Jl(ka)Ce kZdk,
о
rде р отечитывается от оси петли, Z OT плосноети петли и
С == [(Кт+ 1)2 (Kт 1)2 e 2kl] I.
31. БеСIiонечный еплошвой IiруrJJЫЙ цилиндр радиуса аl и маrнитной проницас--
мости р. =о С() расположен Rоансиал ьно с бсеНОJlСЧНОЙ Щ:JlИндриче( ной трубой, выпол HeII
ной из тото же материала и имеющей IJнутренний радиус а2' В проетр нетве м( жду
НИМИ помещено ноаНl'иалыюе проводящ('е кольцо, ОJ'раничеЮlOе поверХllO"ТRМИ: р == Ь 1
И р=оЬ 2 , Z==Cl И Z==C2' ПО нольцу цирнулирует тон l, точное значенис плотноети.
KoToporo [см. выражения (6.105)] задано CTporo в виде ip =0/ [р (C2 Cl) ln (b2/bl)] 1.
Поназать, что веIiтор потенциал в облаети z > С2 > Сl при аl < Р < а2 опреДtJляетсн
формулой
00
A-I' Cn(eknC2 eknCl)e knZR1(knp),
n 1
тде В т (knp) == У О (k n a 1 ) J m (knp) Jo (kna]) У m (knp), а k n выбрано тан, что Во (kn а 2 ) ==0 JI;
р.п 2 / [Ro (knb2) Во (knb,)] [То (k 11 a 2)]2
Сп .
4k n (C2 C]) lп (Ь 2 / b t ) {[J о (knal)j2 [J o t k n a 2)J2}
32. Предположим, что жеJJезо в трансформаторе бронево['о типа оБJJадает беенонеч
ной маrнитной проницаемо,'тью, а стенни (ЮНJШ» заданы уравнениями р == а], р == а 2 , Z == о.
z == L. ИСJJОЛЬЗУЯ реЗУJJьтаты предыдущей задачи и реЗУJJьтаты, полученные в 30 к,
rл. V, поназать, ЧТО ПОЛе тона, цирнулирующеrо в проводнщем JЮJJьце, оrраничl'П
ном поверхпоетями р Ь]. Р == Ь 2 , Z == С}, Z == С2' описывается снаружи проводнина B('HTOp
потенциалом следующеrо вида:
п обпаети Z < С] < С2
00
....1 == 2 CnR} (k'l р) {БЬ [k n (L C2)] sh [k n (L Cl)]) еЬ (knz) [БЬ (knL)] l,
n 1
а в облаети Сl < С2 < z
00
A 2 С n Вl (k n р) [БЬ (knC2) sh (knCl)] сЬ [k n (L z)] [вЬ (knL)] l,
n 1
['де поетОЯННЫf) ОJJре)1еляютея тан же, нан и в предыдущей задаче. В области С 1 < Z < С2'
имееМ
А == C2 Z А' + z c] А".
'р C2 Сl Р C2 С 1 Р
33. Стенни беснопечно ДJJИННОЙ трубы, обладающие беенонечной маrliИТНОЙ про
lIицаемостью, заданы уравнениями
х==О, х==а. у==О, у==Ь.
ПараЛJJелыю етеннам вдодь линии х==с, y==d (О < С < а и 0< d < Ь) протянут нровод.
IЮ ноторому течет тон I. Поназать, что lЗентор потенциал внутри трубы равен
в оБJJасти О < у < d
00
2р.! i тт-Ь
А' == совееЬ сЬ
z те m а
1п 1
тп тпц тТСС ттсх
(b d)ch cos cos ,
а а а а
Задачи
303",
в облаети d < у <
00
11 21'-1 1 т1СЬ m1Cd т1С тТ'с ттсх
А == eOBecb cb cb (Ь Y)COB eOB ..
z 1с m а а а а а
т 1
3<&. Показать, что номпоненты силы (на единицу длины) в нредыдущей задаче равны)
00
1'-12 т1СЬ ттс т1СС
Fy == СОБесЬ вЬ (и ь) сов 2 ,
а а а а
т 1
00
1'-12 т1Са
Fx== СОБесЬ БЬ
Ь Ь
т 1
Заметим, что Веюду, за исключеНJ\€М очень малых с и d, ряды сходятся очень быстро.
35. Бес-нонрчно длинный провод, по ноторому течет тон 1, расположен вдоль-
ЛИНИ)I х==а, у==ь между двумя бе,-конечными ШJастинами ('1/==0 и у==с), оБШlДаюшими,
беСJЮН<:'ЧНО большой маrнитной проницаемоетью. Показать, что вектор потенциал между
пластинами определяется ныраЖelшеы
и " 1'- 1 1 [ 1 т.ь 1C(x a) 1С у ) 2 + b 2 1C(x a) . 2 1СУ ]
== n (СОБ cb cos s S)n
4it \. С с с с с
т1С , m1Cd
Ь \2с а) COB2 .
Это выражение представляет собой дейстпительную часть функции
W == Т lп [ cos 1Сь cb 1с (z a) ] .
2it С С
Заметим, что поле является однородным и имеет противоположное направление при;
x a И x a.
36. Бесконечный провод, по которому течет ток 1, расноложен в плоскости z == zo.
еправа от бесконечноrо полупро.', транства занолнеНRоrо всществом е бссконечноЙ
маrнитпой ПРОlНщаемостью. fраница 8Toro полупроетранства нредстапляет собой пло
скость х == о, имеющую круrлый Ilилиндрпчесний буrорок или круrлую цилиндри
чееRУЮ ВЫРIlШУ радиуса Ь с центром в точке х == с. Используя результат задачи 49>
rл. lУ, показать, что вектор потенциал является действительной. чаетыо функции
w== lп {[j (Z) I (zo)] [1 (z)+1 (z{f)]),
['Де
1с (Ь2 с2)Ч2 I[ z+ i (Ь2 c 2 )lJZ]'7t/" + [z i (Ь2 C 2 )lJ2]'7t/")
1 (z)==
а \[z+'- (b2 C2)lJ2]'7tJ" [z i (b2 с 2 )Ч2]"/")
И eosa==clb. Для буrорка О < а < п, а для выемки 1с < 2а < 21С.
00
37. Используя соотношение 1п (z a) == k l [e k (z a) e k] dk, rде дейетви-
О
тельная часть (z a) ноложитеJJьпа, поназать, что поле проnода, но IШТОРОМV течет
ток 1 и который расположен в ПЛО('Jюсти х==а между двумя llJJОllЩМИ rраНИЩJIIШ' (х==о
и х==Ь, rJIe О < а < Ь) двух полубе.с'конечных еред с маrнитной проницаемостью 1'-.
находится посредством следующих преобразоnаний:
11 области О < х < Ь
сх>
W == fJ;vI { ln(z a) 2J3 \' i. { ClI[k(z+a b)]+ e kbCh[k(Z a)] e k 1 dk } .
1 21С J k ehb p2rkb 1 Р J
о
в облаети Ь < х
f1vI
w 2 == 'it (Кт+1)
D области х < О
00
{' Кт ( e kZ eha+ [3e kt!
Т 1 p2e 2hb
О
e k )
1 r1 dk,
I'-v I
w з == 'it (Кт+ 1)
00
\' Кт [ e kZ e ka+pek (a 2Ь)
J k 1 f12e 2hb
О
e k ] dk,
1 p
-304
Fлава VII
rllt! U ВCI{тор потенциал, !,- lV скалярный потенциал, W==U +iV и (Kт 1) х
х (Kт+1) 1.
38. Поназать, что поле провода, по ноторому течрт тон 1 и ноторый рае положен в пдо
(:коети х == d l\Iежду двумя ПJIO! ними rраницами (х == с и х == + с, rде с < d + с) двух
полубееконечных сред е l\Iаrнитной проницаемостью !,-, находится посредством следу-
.ющих преобразований:
в области с < х < с
ro
W !,-"l ( ln z d + сп ln { 1 4nC2+[Z ( 1)nd]2 } )
1 21t 2с L.J Р 4п (п + 1) с2 ·
,, !
11 области с < х
W 2 ==
ro
!'-vКm I ( z d ,Т! { 1 2c+z ( .1)ndl '\
1t(K т +1) In2C+L.J,11n r 2(п+1)с J)'
,, !
'] области х < с
W з ==
ro
!'-vКиJ (1 z d + "r-." l { 2C+Z ( 1)пdl )
1t(K т +1) Н 2с L.J f' n 1+ 2(п+1)с J '
,, 1
'еде iЗ==(Кт 1)(Кт+1) " U ВCI{тор потенциаJJ, !,- ЧТ CJ{ЗЛlJrный ПОТCIщиаJl и W==
== U + jV. Этот результат можно получить неносредеТвеИIIО иутем нримеНСJJИЯ меТОда
изображений ИJJИ путем разложения знаменаТfтя п ФУНIщии преобраЗ0вания, paCCMO
тренной в предыдущей задаче, с ноеледующим интеrрироваIlием и заменой z на z+c,
ь IШ 2с и a c lШ d. Чтобы веJJIJчина U вблизи начала ноординат была конечной, cдe
.дуст l\обавить н ней беснонечно БОJJЬШУЮ поиоянную величину
ro
!'-vКmI[1t(Кm+1)] l pr/l n [2(n+1)c].
,, 1
39. Сравнить псрпый интеrрал в Э 11, определяющий А:р' с выражением (5.191)
.п показать, что вентор потенциал поля, обуеЛОВJJенноrо тоном 1, цирн:улирующим
11 нруrлой ПРОВОJJОЧНОЙ петле радиуеа а, равен
А == 2 Ч2!,-I (ch и] cos и 2 )1/ 2 Р:"'Ч2 (ch и 1 ),
'.'де в соответствии с Э 14 rJJ. JV 2apcthи[==r 2 +a 2 и 2azctgи2==r2 a2.
40. Используя задачу 117 rл. V, реЗУJJьтаты S 14 r.п. IV, выражения (7.32) и
(5.206), добавить к выражению для A'I" дапному в предыдущей задаче, тю{не члены,
чтобы маrнитное поле 6назалось танrепциальным l{ тору (' h и] == с/Ь), полученному
лутем вращения OJ,ружности радиу! а Ь BOHpyr прямой, .лежащей в ПЛОСКОсти этой
<JН:Ружности нв расстоянии с от ее центра. llоназать, что ПОJfученная сумма равна
. рl ( С '\ ro ( 2 O ) Q l ( - С \ рl ( h )
( Chи1 COSU2 ) 1/2 Ч2 ь) Oп ,, 1/2 .Т) " Ч2С и 1
A",==p.I . eosпи2'
, 2 1 {C ) L.J 1 (С )
Q Ч2 \. Т ,, o (2п 1)(2п+l)Рr/ Ч2\. Ь
ЛИТЕРАТУРА
А Ь r а h а ш М., В е е k е r Н., Klassische Elektrizatet und Маgпеtisшus, Berlin, 1932.
(См. перевод: А б Р а r а м М., Б е к к ер Р., Теория элентричества, М. Л.,
1939.)
А t. t, '\v О О d S. S., Electrie and Magnetic Fields, Wiley, 1932.
-с u r t i s Н. С., Eleetrieal Measurements, McGrlw Hill, 1937.
-G с i g е r S с h е е 1, Handbueh der Physik, В. XV, Berlin, 1927.
.с r а у А., Absolute Меаsurешепts in Electricity and Magnetism, v. II, Масшillап, 1888.
Н а g u е В., Еlееtroшаgпеtiс РrоЫешs in Electrical Engineering, Oxford, 1929.
(См. перево.д: Х э r U., Э.пен:тромаrнитные расчеты, M. l., 1934.)
Лиmераmура
305
1 е а n s J. Н., The Mathematieal Theory of Eleetrieit.y and Magnetism, Cambridge, 1925.
L 11 s в, Н а r r у, Vector and Tensor Analysis, MeGraw Hill, 1950.
М а s о n М., W е а v е r W., The Eleet.romagnetic Field, Universit.y of Chieago Press,
1929.
М а х w е 11 J. С., Eleetricit.y and Magnctism, v. 11, Oxford, 1881.
М о u 11 i n Е. В., Prineiples of Eleet.romagnetism, Oxford, 1932.
Ре i r с е В. О., Newtonian Potential РипеНоп, Ginn,' 1902.
Р 1 а n е k М. К. Е. L., Theorie der ElееtrizШit. und Magnetismus, Berlin, 1932.
Р о о r У."С., Eleetrieity and Magnetism, Wiley, 1931.
R а m s е у А. S., Electrieity and Magnetism, Cambridge, 1937.
R u s s е 11 А., Alternating Currents, Cambridge, 1914.
S t. r а t t. о n J. А., Electromagnet.ie Theory, McGraw Hill, 1941. (См. перевод: С т р э T
Т О Н Дж. А., Теория элентромаrнетизма, М. Л., 1948.)
W а 1 k е r М., Conjugate Funktions for Engineers, Oxford, 1933.
Web s t. е r А. G., Eleetrieity and Magnetism, МасmШап, 1897.
W i е n Н а r m в, Handbueh der Experiment.alphysik, В. XI, Leipzig, 1932.
Элекmро.маеuиmuая иuдукция
зО-Т
iI не Иl\Iеет ни источнинов, ни (тонов, то диверrенция Е равна ную():
Если вен тор А получен из формулы (7.10), то ero диверrенция танжс'
равна нулю. Заменим теперь в соотношении (8.3) В на V Х А и переменим
местами d/dt и rot; Torna нетрудно впдеть, что роторы вентпров Е и
dA/dt равны l\ЮЖjl,У собой. Если два вектора обладают всюду одинановыми
роторами и диверrенциями, то они равны npyr npyry; отсюда получаем
СООТ1юшение
dA
Е==
dt '
(8.4)
ноторое связывает напряженность элентрпчеСR:оrо поля или э. д. с. на 1 JIt.
с веRтор потенциалоМ, изменение HOToporo ПОрОЖдает это поле.
Соотношение (8.1) применимо во всех случаях, Ноrда происходит измене
ние потона СRВОЗЬ недеформируемые нонтуры, а танже в тех случанх, ноrда
потон изменяется вследствие деформации нонтура, при условии, что BC€'
элементы нонтура, соединенные вначале, не разъед:иншотся в течение BcerO
процесса. Можно придумать тание эн:сперименты с использованием сноль
знщих н:онтантов, н:оrда возможность применения СООТПQшения (8.1) является
СОМНI'Iтельной или просто неясноЙ. Эти случаи можно было бы рассмотреть,
Iюнцентрируя внимание не на области, охватываемой цепью, а на элементах
самой цепи, и затем уже прилаrая соотношение (8.4).
Друrая фОрМУЛИрОВl а зан:она ИНДУ1ЩИИ дается Б rл. XVI, rде ПОJШ
зьшается, исходя из специальной теории относительности, что если наблro
дате ль перемещается относительно неподвижноrо нонтура, создающеrо
маrпитную индун:цию В, ТО он обнаружит, вообще rоворя, наличие
НCJЮТОРОЙ элентроДвижущей силы. Пусть у снорость движения, Е напря
женность элентричеСRоrо поля, возни:нающеrо блаrодаря движению; Torna
из соотношения (16.93) получим
E==[vxB],
(8.5)
rдe Е измеряется в в/.м, у в .м/се,. и В в веберj.м 2 .
2. Взаимная энсрrия двух IЮIIТУРОВ. Рассмотрим теперь работу,
необходимую для сближения двух нонтуров, в ноторых цирнулируют по
стоянные ТОRИ 1 и 1'. Наждыи нонтур содержит э. Д. с., являющуюся
ИСТОЧНИRОМ или поrлотителем энерrии и обеспечивающую Постоянство тонов
в течение Bcero времени. Для нонтура 1, пользуясь заноном Ома (6.6) и
(8.1), имеем
lR == dN
dt '
rде вышеупомянутая э. д. с. Энерrия, потребляемая в нонтуре 1 Прfl
ero перемещении из беснонечности за время t, равна, соrласно соотнош
нию (6.11).
t t N t
1 2 R dt == 1 dt ::1:: 1 S dN == 1 dt ::1:: Nl,
о о о о
rne N потон через первый :новтур, создаваемый вторым НОНТУрОМ при их
окончательном взаимном расположении. Очевидно, последниЙ член выражает.
работу, совершенную в первом нонтуре блаrодаря наличию маrНИтноrо поля
Bтoporo новтура. В то же время для поддержания во втором нонтуре тона
постоянным в нем затраЧlшается работа ::1:: N' /'. Та:ним образом, общая
эиерrия, затраченная источнинами э. д. с. в двух нонтурах для поддержа '
ния постоянства тонов при сближении этих нонтуров, равна
::1:: (/N +1'N').
2G8
iЮ8
rлава V III
П{)дставляя вентор потенциал в соотношение (7.161) и пользуясь теоремой
СТО1юа и формулой (7.10), получим
N == в' . n dS == v х А' . n dS == А' . ds == ds . r dS '
s S
11 8.налоrично
N' == 11-1 ds . ds'
4п r '
(8.6)
таи что затраченная энерrия представляется в виде
W<8== (IN+I'N')== -l:. 11- ' dS'rdS'
(8.7)
3анон Фарадея поиазывает, что если два нонтура притяrиваются друr н
друrу, то индуцированная э. д. с. приводит I\ вознииновению та1юrо поля,
ROTopoe стреl\IИТСЯ изменить направление тона в наждом нонтуре, поэтому
источнини Э. д. с. должны доставлять энерrию для поддержания постоянства
тонов 1 и 1'. В случае, ноrда нонтуры отталниваются друr от друrа, про
исходит обратное явление.
Рассмотрим механичесную работу, совершаемую против маrнитных сил
при движении днух нонтуров. Соrласно соотношению (7.98), сила, дей
ствующая на нонтур 1, равна (в ньютонах)
F l d B I1-II' C dsx(ds'xr) 11-11' dS'(ds.r) r(dS'dS')
sX 4 1)) 3 4 3'
п.: r 1t r
при интеrрировании по нонтуру 1 первый член пропадает, п()снольну под
интеrральное выражение r/r3 можно представить наи rрадиент сиаляра 1/r.
1'оrда механичесная работа, затраченная толыю на перемещение от r == (х)
ДО r == r, равна
r
r 11-11'
W me := F. dr==
со
r
r ds. ds' r. dr 11-11' ,-\; ds. ds'
) r 3 4п 'j' 'j r
ro
(8.8)
Сравнивая соотношещlЯ (8.7) и (8.8), мы видим, что половина энерrии,
ватрачиnаемой батареей в цепи, идет на совершение механичесиой работы.
Но ПОСИОJlЬИУ единственная разница между начальным и нонечным COCTO
яниями заНЛI01fается в изменении маrнитноrо поля, онружающеrо ионтуры,
1'0 и разница в значениях энерrии должна быть равна IIзменению энерrии
маrнитноrо поля. Та ним обраЗ0М, при относительном перемещении двух
контуров, несущих постоянные тони, механичесиая работа, совершаемая
НОНТУРОМ, возрастает или уменьшается в той же мере, fШН и энерrия
маrнитноrо поля. Это объясняет Rажущийся парпдонс, упоминаемый в
19 rЛ. VH. Отсюда танже следует, что если известна энерrия WB Mar
нитных полей двух нонтуров, то можно вычислить механичесную силу или
момент, стремяЧJ;ЩСЯ увеличить' ноординату О, беря производную этой
энерrии по е, т. е.
Р == + aWB
дб .
(8.9)
,3. Энерl'ИЯ маrнитноrо поля. Найдем энерrию, требуемую дЛЯ CU3
дания маrнитноrо поля одиночноrо нонтура. Воспользуемся результатами,
цолученными в последнем- параrрафе, и будем считать, что все простран
СТJЮ заполнено однорЬдной изотропной средой с проницаемостыо "". Построим
поле, составляя НОНТУР ц3 беснонечно ТOIп\Их нитей тона. Пусть резуль
'tирующая плотность тона ВСЮl;l.У HOHe1fpa. Знаменатель в соотношении (8.8)
",
Элекmро.маеuиmuая иuдукция
309
не может обратиться в нуль, тан HaR. нонечные нити тона расположены
друr от друr-а на нонечном расстоянии. Чтобы получить правильное зн&--
<шние энерrии, в соотношение (8.8) для одиночноrо нонтура необходимо
добавить l\шожитель 1/2' поснольну интеrрирование учитывает не то.тrыю
работу при приближении нити а н Ь, но таюне работу при приближении
нити Ь н а. Введем, нроме Toro, в соотношение (8.8) плотность тонов в
соответствии с формулой (6.2); тоrда оно примет вид
W == 1':. \" \" i dv . i' dv'
в 8nJ.) r '
v v'
(8.10)
rде r расстояние между элементарными объемами dv и dv', i и i' плот
ности тона в этих объемах; интеrрирование по простраrн;тву производнтся
дважды, причем, нан и в 2, мы полаrаем, что в области интеrрирuвания
l'
(J. постоянно. 3аменяя i соrласно выражению (7.4), а (i'/r) dv' соr.пас
v
но выражению (7.8), имеем
W в -== 2 V Х В . А dv.
v
(8.11)
Пользуясь формулой для диверrенции BeHTopHoro произведения
А. VxB==B. (VxA] V. [AxB]==B2 V. [Ах В),
получим
WB== 2 B2dv 2 V . [AXB]dv,
v v
rде интеrрирование распространяется на все пространство. По теореме
OCTporpaAcHoro raycca (3.2) второй интеrрал можно преобразовать в по
верхностный интеrрал по беснонечной сфере. Этот интеrрал исчезает, п
снольну из выражения (7.8) следует, что А стремится н нулю IШ1{ 1/r.
В== V Х А нан 1/r2, а ПЛощадь поверхности возрастает тольно нан r 2 .
тан что
V. [AXB]dv== [Ах В) .ndS O.
v 8 Т.....оо
Таним образом, онончателыюе выражение для энерrии получаем в виде
WB== \B2dv. (8.12)
. 21'- J
v
Энерr: ию можно считать лонализованной в пространстве, rде находится
1
маrнитное поле, онружающее тон; плотность энерrии равна 2" B2/,(J.. Сравни
вая это с выражением (2.18), определяюшим энерппо элентростатичеCl{оru
поля, мы видим, что маrнитное поле тан же, нан и эле.hтростатичеСJ{ое.
можно, для наrлядности, трантовать при помощи системы натяжений.
4. Коэффициент взаимной индуrщии. Ноэффициент взаимной ИI!ДУI{
цИИ М]2 двух нонтуров определяется нан потон N]2 череа нонтур 1, об
условленный единичным тоном n нонтуре 2. В системе единиц MKS едини
цей взаимной индунции является rенри. Математичесная запись ОПрсделе
ния М 12 имеет вид
М]2 == В 2 . ndS],
81
(8.13)
310
Fлaqа V II/
ИJIИ
11112 == , А 2 . ds 1 ,
(8.14)
fде А 2 вентор потенциал ПОJШ, созданноrо еДI1НIlЧНЫМ ТOIl:Oм в нонтуре 2.
Нользуясь выражением (8.6), можно написать
111 == ,t. ds..ds 2 111 (8.15)
12 4110 ';t 'j' r .. 21'
lIOTOI{ через н:онтур 1, обусловленный ТOIЮI\I /2 в н:онтуре 2, будет равен,
IЩI{ TO lJытенает из формулы (8.13),
N 12 == 11112[2' (8.16)
На формулы (8.1) получаем, что Э. д. С. в нонтуре 1, наводимая при изме
вении тона в нон туре 2, равна
1 1I112 d: t2 . . (8.17)
Из соотношения (8.8) видно, что взаимную энерrию двух ЕЮНТУров можно
представить следующим выражениеI\I:
W 12 == 11112[1/2' (8.18)
(:оrласно выражешпо (8.12), общая энерrия двух нантуров равпа
И f 1 == 2 (Вl + В 2 ) . (Bl + В 2 ) dv == 21!,- ( B dv + 2 В 1 . В 2 dv + B dv) .
V V V V
ПерIJЫЙ члеЕ определяет энерrшо, требуемую для установления ТOIШ 11,
<1 последний тона 12; средний член выражает энерrию их взаимодействия.
Следовательно, из выражения (8.18) имеем
11112/1/2== В 1 ' B 2 d v . (8.19)
V
Соrласно формуле (8.9) сила или момент, стремящиеся увеJ1ИЧИТЬ Ш:НЮ
торую ноордннату 6, определяющую ноложение одноrо контура относи
еJIЫЮ ДРУП)l'О, lJыражаетсн соотношением
F 1 / дМ12
== 1 2 '
(8.20)
5. rрапичныс условия для а. В 22 rЛ. VII были использованы усло
lJИН N:ЛЯ произподпых нвазивентор потенциала а на rранице рзздеJfа )l:nYx
Щ:ЮД с различной проницаемостыо. В предыдущем параrрафе мы ШlOjlные
JЮТУЮТИЛНСЬ с соотношеНllеи (t-J.14), содеРЖЮЦIIМ IПIТOl"РЮ1 от <1, поэтому
теперь нужно рассмотреть те I'рarшчпью УСЛОlJИН, ноторые необходимо нало
J-I\'И'l'Ь на пентор а, дли Toro чтобы это соотношепие было приrодно и
11 местах нарушOIПIЯ непрерывности. Возьмем небольшой прямоуrольный
нонтур, )l:ЛИННЬЮ стороны f\OTOp01'O находнтсн БЛIIЗНО друr H друrу, но
ра( пuложены по обе сто рапы от rраницы раздела двух сред с различной
11 роницаемосты.. По мере сближения этих сторон площадь прнмоуrольнин:а
стремится и нулю, таи что потон через этот нонтур, обусловленныЙ тоном [ ,
'I'енущим во втором нонтуре, должен исчезать. Но, соrласно соотношенннм
{8.Н) и (8.16), этот потон равен N == / 2 а 2 . ds. ПОСНОЛЬКУ иоротшю CTO
роны ПРЯМОУI'ольпииа исчезающе малы, основной шшад в интеrрал дадут
;QОJlъшие стороны длиной L, 1юторые, однано, настолыю норотни, что вш{
'тор а вдоль них можно считать постоянным.
Элеr.тро,м,аеuuтная иuдуr.ция
3J1
Но, соrласно выражениям (7.122) п (7.123), танrенциальная lЮМПО
вен та вентора а имеет одпнаковое направление по обе стороны поверхноr,ти
раздела, поэтому, ориентируя прямоуrОЛЬ!iПК вдоль ив и и" мы получим
для соответствующих танrенцпальных компонент вектора а
ац' dss,t == L (a ,t a :t) == О
Таним образо:м,
I 11
а в , t == а в , t.
(8.21)
6. Коэффициент В3ЮП\IIIОИ индукции простеiiших контуров. В наче
стве простоrо примера ВЫЧIIслепия ноэффициента взаимной индунции pac
смотрим две плотно намотанные натуш
ни А иВ, изображенные на фит. 79.
НатyrnЕШ В содержит п витнов и HaMO
'Тана на нольце с проницае:мостью fL. H:a
'Тушна А имеет т витн:ов. Поснольну
nесь потои ПРОХОДIIТ через нольцо, ив
-соотношений ( 7 .164) и (8.16) ПОJ1УЧIIМ
М 12 == fLnт [а (a2 Ь 2 )lf2]. (8.22)
Если а Ь, то а можно выпести из
под норня И остаток разложить в ряд
{Двайт, 5.3), оставляя лишь ква,ТJ,ратич
нью члены. Тоrда
fLптb 2
11112 ==2а .
(8.23)
Если А == 7tb 2 , п 1 == nj(27ta) число вит
нов на единицу длины, то коэффициент
взаимной индунции между бесконечным
соленоидом, намотанным на цилиндр площади А и ПрОНIщаемости (1,
и онружающеii цилиндр натушкой, содержащей т ВИТIЮВ, равен
М 12 == fLn 1 тA.
Фие. 79.
(8.24)
Этот результат можно было бы сразу получить, воспользовавшись непо
средственно выражением (7.86).
7. I\оэффициепт В3ЮIl\IНОИ IIIIДУIЩИИ ДВУХ Iшлец. Используя cooт
ношение (8.14), :можно написать выражение для НОЭффИЦ1юнта взаи:мной
индунции двух ноансиальных проволочных полец. Вентор потепциал
кольца А (см. фиr. 80) Иl\Ieет лишь <р состаLJЛЯЮЩУIO и одинаков для всех
элементов нольца В, поэтому из соотношения (8.14) получим
МВА== АА .dSB== 27tb I АА 1:::.
Таним образом, соrласно выражению (7.51), имеем
jf12==2fLk 1(ab)l[2 [( 1 k 2 J К E] ,
(8.25)
rде, нан видно из выражения (7.50),
k2c 4ab[(a+b)2+c2(1. (8.26)
Численное значение К и Е можно наЙти в справочюше Двайта (1040 и
1041). Точно тarшм же образом, исходя пз соотношеНIIН (7.71), подучается
312
Fлава V III
1
друrое выражение для М 12' Считая а === 2" 'It, 6 == и используя результаты
g 16з rл. V, при Ь 2 + с 2 < а 2 находим
ro
M I2 =='It!1 b ( 1)(n+l)/2 1.3.5...п ( Ь2 а С2 ) Ч2пр (сов ). (8.27}
п.2.4.6...(п+1)
п 1
(п lIечетное)
в случае Ь 2 + с 2 > а 2 следует написать вместо [(Ь 2 + с 2 ) / а 2 ]Ч2 п выражение
[а2/(Ь2 + с 2 )](п+l)/2.
Исходя И3 выражений (8.14), (7.72) и (5.217), можно вычислить вза
имную ИНДУI\ЦИЮ двух произвольно ориентированных нолец, если их ос.
а
б
Фие. 80.
пересеиаlOТСЯ. Таи, в СJlучае, изображенном на фиr. 80, б, при Ь> а, взяв
за начало I\оординат точну пересечения осей и отсчитывая уrол (j между
ними от оси I\ольца а, получим
2",
М 12 == а 2
о
"
[вт]ь sin 6 d6 d<p.
о
(8.28)
Если 6' уrол, отсчитываемый от оси иольца Ь, то, заменяи в соотноше
нии (7.72) величину Р п (сов 6') в соответствии с выражением (5.217), rде
1 == 8, a == r и 1 == 1, будем иметь
ro ""
[вт]ь == fL : L ( ) п P (COB ) (2 o ) :+: : P (COSI)P (cus6) совт<р_
п 1 т O
После подстаН01ШИ этоrо выражении в соотношение
ния по <р остаются лишь члены, содержащие m =. О.
(5.118), интеrрирование по 6 дает
(8.28) и интеrрирова
Соrласно соотношению
cos"
r Pn(cos6)d (cos6) == sin 2 аР;' (СОБ а)
) п (п+1)
1
И для I\оэффициента взаимной ИНДУ1ЩИИ получаем Р.ыражение
sin а P (СОБ а)
п (п + 1)
ro
, M12=='It!1asinasin п(п 1) ( J P (cosa)P (coS )Pn(CoSI)'
п 1
(8.29)
8. Переменная взаимная индуIЩИЯ. На фиr. 81 изображено устрой
СТВО, часто употребляемое для получения переменной взаимной ИНДУI\ЦИИ
(вариометр). :Каждая натушиа содержит один слой провода, намоташюrо
на нарнас со сферичесной поверхностыо. Одна натушн:а вращается относи
Элекmро.маеuиmuая иuдукцuя
313
телыю друrой, находясь с ней на общей оси. Обозначим через 1 уrол
между ПЛОсностя:ми натушен, через а и Ь рациусы двух сферичесних поnерх
ностей и через 2А и 2В уrловую ширину оБМОТОI\ натушен. Допустим, что
натушни СОСтоят из ПJIOСНИХ проволочных r-.:олец, равномерно распределен
ных с Плотностью n нолец на ециницу длины. Число витнов N' на еди
ницу уrла для наждой натушни будет тоща n ==: Па а sin с1. и n;, == nь Ь sin .
соответственно. Взаимная индунция между элементами двух натушен,
соrласно выражению (8.29), равна
dMab=="'a2bfLnanbsin3C1.sin3 ] n(n 1) : P (fLa)P (fLb)Pn(COSI)dC1.d .
Общая взаимная ИНДУ1ЩИЯ получится после интеrриропания ПQ обеим Ha
тушнам, т. е. ,'''' ь
1
a 2п+A
МаЬ ===
a A
2
1
1! 2 1t+B
dMab'
I! 1 п B
2
Обозначая С08 с1. или cos через и, при
ходим при по:мощи соотношения (5.123)
н интеrралам вида
(1 и 2 ) dP:lи(и) dи ==
n(n+1) r
== 2n-t1 )[Pn l(и) Pn+l(и)]dи. (8.30)
Интеrрируя [см. соотношение (5.120)] и
производя упрощения, соrласно выраже
нию (5.118), получаем
/n(А)== (n 1)7n+2) {[(n+1) (n 1)и2]Pn(и) 2иPn l(и)}::i:A. (8.31)
Фuz. 81.
Если n четное число, то оба предельных значения равны и, следо
вательно, исчезают, тан что остаются значения лишь для случая, ноrда
n нечетное число.
Для n == 1 необходи:мо специальное исследование. В этом случае из:
выражения (8.30) имее:м
/1 (А) == [ и ( 1 2 ) ] ::i: А === sin А (3 sin 2 А). (8.32
со
Аналоrичные выражения получае:м для В. В результате находим
МаЬ == "'fLa2bnanb n(п 1) ( J /n (А) /n (В) Рn (С081)'
n 1
(n нечетное)
(8.33)
hоэффициенты, зависящие от заданных раз:меров натушни, можно вычи
слить, после чеrо формула принимает вид
со
] И n Р n (С081),
(8.34)
М аЬ ==
n 1
(n нечстное)
rдe 1 уrол между ПЛОСНОСТЮ\IИ натушен.
314
r лава V II 1
э 9. Самоиндукция. Как следует из выражения (8.12), маrнитная
.энерrия одиночноrо нонтура, по lЮТОрОМУ течет тон 11' пропорциональна
В2; но, поснольну индунция В прuпорциональна 11' имеем
W в == 21fJ- В2 dv == L111 . (8.35)
v
Ноэффициент ПРОПОРЦJfональности L 1P ЯВШIЮЩИЙСЯ величиноii постоянной,
называется ноэффициенто:м еамоиндунцшr или самоиндунцпеЙ нонтура. Друrая
пuлезная формула для вычисления самоиндун:цип получается путеl\I подста
повни вырюн:ения (7.4) в выражение (8.11), а именно:
W B == i.A dv== L ll J2, (8.36)
1')(0 пнтеrРИРOIщние производптся IЮ оf)ласти, в ноторой имеется тон.
В снстеме MKS единицей :индун:тивности является rенри.
Самоиндун:ция нонтура, состоящеrо из беснонечно тонной проволони,
110 н:оторой течет нонеЧlIЫЙ ТОН:, оназывается бесн:онечноЙ, ТаЕ\ нан
величина В вблизи провода обратно пропорциональна расстоянию ДО Hero.
Следовательнu, при конечной длине провода интеrрал в выражении (8.35)
ЛOl'арифмичесни расходится (dv можно представить в виде r dr d6). Это
означает, что при вычислении самоинДуrщии мы обязаны учитывать
rеометричесние размеры провода и ниrде не прпнимать плотность тона i
беснонечной. Будем рассматривать провод lШИ пучон нптей тона, наждая
из поторых оf)ладает беснонечно малым поперечным сечением dS и несет
теш i dS. При установлении тока в тапам проводе маrнитный ПОТОЕ\
нашдой нити ТОЕ\а пересенает соседние нити и по за нону Фарадея (8.1)
возбуждает n них э. д. С. ИНДУЕ\ЦИИ, направленную противоположно тону
и равную l3== dNjdt, rде dNjdt изменение потона, пронизывающеrо
нонтур, в 1 сен. Для поддержания тона 11 источнин эrrерrии должен
кроме работы, затрачиваемой на преодоление сопротивления, совершать
.еще работу, равную (в 1 сен.)
'61 == / dN 1
1 1 dl
(8,37)
ЭнерI'ИЯ, запасаемая мапIПТНЫМ полем в 1 сен., равна dWjdt, поэтому из
выражений (8.35) и (8.37) имеем
/ dNl L 1 dll
1 == 111([l.
Сонращая /1 и интеrрируя от момента времени, ноrда тон отсутствовал
)(0 момента онончательноrо установления тока, получим
Nl1==L11 1 1. (К38)
Тапим обра;зом, можно определить самоиндуrщию 1юитура 1\31, приращение
лотона, пронизьшающеrо нонтур, при изменеиии тона Шl единицу. Элентро
.дШ1жущая сила, наведенная в HOHTY}Je при изменении тона, равна
'6 dN 11 L dI 1
'1 """(jt 11([l
(8.39)
s 10. Вычисление саМОИНДУIЩИИ. ТОIП\ий провод. 1Iз Bcero вышесна
. JЮ1ноrо естественно СЛl:)дует, L1TO при вычислении самоиндунцип нужно
отдельно рассматривать две области: оБJ1аrть вне провода и область внутри
прorюда. Внлад последней бывает часто пренебрежимо малым, однюю если
даже он существенен, но радиус про вода мал по сравнению с остальными
размерами нонтура, то можно допустить, что поле снаружи равно 'полю
Элеr.mро.маеuиmuая zтдуr.ция
315
тона, снонцентрированноrо на оси провода, а ПОJIе внутри идентично с по
лем ДJIиююrо прямоrо провода даююrо попереЧ1юrо сечения, по ноторому
течет тот же самыЙ тон. СИЛОDьre JIПНИП вблизи поверхности являются при
близитеJIЬНО онружностями, нонцентрпчными оси провола, тш, что весь
потон снаружи провода связывает осевую нить с любоЙ JIИНJI,еi-i, проведен
ной параллельно ей на поверхности провода. Чтобы получпть эту часть
самоинДунции, нужно, следовательно, найти нояффпциент взаимноЙ индуи
ции между ДВУМЯ параллельнымп нриnолпнеi-iными Rонтурами, располо
женными друт от друта па расстоянии, равном радиусу про пода.
Внутри провода :111. д. с. щ\оль ОRI>УЖ1ЮСТП радиуса r (с J(eHTpOM на оси)
:-шnисит, соrласно определеНJJЮ (7.150), тольно от тона, протеНRющеrо nHY
три этоЙ оирушности. Таи нан вследствие симметрип В завИ( ит толыю
()Т r, из 15 rл. УII следует, что
в == fJ-1i == fJ-rI
2'11:r 2па 2 '
(8.40)
l'де [ полный тон, а радиус проnода. анерrия nнутри ПрOJюда, нан
видно из выражения (8.35), равна
W 1 \ В 2 d fJ-I2 L r 2 2 d fJ-I2 L 1 L ' [ 2
i == 2fJ- J V == 8п2а4 J r тer r === 16'11: ===2 1], ,
v
l'Дe через L обозначена длина провода. Отсюда внутренняя самоиндукция
на единицу ДJJИНЫ равна
, fJ-'
LIl === 8п '
тде (1' маrНИТ1ШЯ проницаемость про вода.
(8.41 )
э 11. СаМОИIIДУКЦИЯ ируrлоii пеТJIИ. Пользуясь методом, развитым
n предыдущем параrрафе, и результатом рассмотренното Примера, nычис
лим са:1IIОИНДУНЦИЮ ПРОВ()JlОЧНОЙ петли радиуса Ь, пронrщае:мости (1' (радиус
пр'ёinода а). Длина проьода состаВJIяет 2теЬ, поэтому внутренняя самоин
ДУКЦИЯ, сопraсно выражению (8.41), равна
L ' 1 ' ь
11==4(1 .
(8.42)
Нак было поназано в 10, мы l\южем получить остальную часть самоин
дунции, примеНИD соотношение (8.25) к двум замкнутым 1юнтурам, один
из ноторых соnпадает с осью провода, а ЛРУI'ОIl с ето внутренним краем.
Б этом случае, СОТJIасно соотношению (8.26), полаrая с == О и а Ь, получим
1 k 2 1 4b(b a) а 2 ( a ) 2 k'2
(Ь+ b a)2 (2b a)2 '"'" 2Ь .
При k 1 значение Е, соrлаС1Ю соотношению (8.25), равно
7</2 7</2
Е == (1 sin2fJ) If2 dB == cos () d6 == 1.
о о
1
Для получения К положпм 9 === 2 те О и разобьем иитервал интеrрирова
ния на две части:
К==
7</2
(' ао
J (1 k2sin20)If2
о
'о 7</2
(' d'f + r d'f
(1 k2COS2'f)1/2 J (1 k2eos2'f)If2
О "
"о
316
rлава VIII
rде (1 k 2 ) !fo 1. Поэтому положим II обоих интеrралах k == 1, а Б пер
БОМ интеrрале, нроме 1'01'0, заменим sin!f на !f, тоrда
O /2
К == r d'f \
(k'2 + 'f2)1J2 + sin'f'
о С!'о
Далее производим интеrрирование (Двайт, 200.01 и 432.10), полаrае.u
<ро ==, tg!fo и, пренебреrая k'2 по сравнению с !f , находим
K l { ('fO+('f +k'2)1J2] } l t .!. l 2'fo ] l 8Ь
n k' n g 2 !fo n k' 'fo n k' па.
Подставляя значение К в соотношение (8.25) и прибавляя найденное BЫ
ражение для внутренней индуктивности (8.42), получаем онончательно
Ll1 == Ь [ ( ln 2) + ' ] '
rде ' проницаемость внутри провода, снаружи.
(8.43)
э 12. Самоиндукция соленоида. Рассмотрим соленоид в виде цилин
дра, в беснонечно тонном поверхностном СJюе HOToporo течет тон Б напра
.... 2l=L I влении, перпендин:улярном н оси
I I ци индра (см. фит. 82). Для CTpo
1'01'0 вычисления самоиндунции Ta
Horo цилиндра следует ВОСПОЛЬ30
ваться соотношением (8.25), позво
х ляющим найти взаимную индунцию
отдельных элементов оболочни, а
затем проинтеrрировать найденное
выражение по всей оболочне. Одна но
результат получается довольно слож
ным. Но если длина соленоида Be
лина по сравнению с ero диаметром, то поле внутри Hero Б любом
сечении, перпендинулярном н оси, можно приближенно считать OДHO
родным. Для вычисления самоиндунции при помощи соотношения (8.38)
нам нужно знать потон, пронизывающий любой элемент оболочни, после
чеrо проинтеrрировать по поверхности. Соrласно выражению (7.83), ПОТОR
(отнесенный н единице тона) через п dx витнов в интервале dx равен
dN 1 2 2 { 1 х l + х }
1 =="2 'It a п [(l x)2+ а 2 ]Ч2 + (1+x)2+ a 2)1J2 dx.
I I
I I
dx
Фие. 82.
П рОБОДЯ интеrРИРО:f!ание (Двайт, 201.01) от l до + l, имеем
Ll1 == 'It a2п2 [(4l 2 +а 2 )Ч2 a] 'It a2п2 [(Р + а 2 )Ч2 a].
(8.44)
э 13. Самоиндукция двухпроводной линии. ИСПОЛЬ3УЯ соОТношени/;'
(8.36), вычислим cTporo самоиндунцию на единицу ДЛИНЫ двухпроводной
линии. Будем полаrать (см. фиr. 83), что тон одноrо направления paBHO
мерно распределен в прово;те радиуса а, а обратноrо направления в про
воде радиуса с; оси ПРОВОДОD параллеJIЬНЫ и расположены одна от друroй
на рас(;тоянии Ь. Маrнитную проницаемость онружающей среды и проводов
примем равной единице. Вен:тор потенциал и плотность тона имеют, оче
видно, лишь z номпоненту. Если 1 полный ТОН, ТО ПЛОТНОСТИ тонов будут
равны
. 1
l
1 '/ta2 ,
. I
l2 == тсс 2 .
(8.45)
Элекmро.маеuиmuая zтдукция
317
Для нахождения nентор потенциала А' ноля внутри провода, обусловлен
Horo тоном, тенущим по этому проводу, напишем уравнение (7.6) в цилин
дричесних ноординатах [см. уравнение (3.18)] и получим, помня, что А'
ЯВЛяется фуннциеЙ лишь Р,
д ( дА' ) . ['1 ['1
Р др Р iJP == (J-l == 11Оа2 или + 11OC .
Интеrрируя дважды от О до Р, имеем
дА! ['Ip2J А' == С ['Ip 8 4
Р! == 211Оа2 , 1 1 411Оа 2 ' ( . 7)
Вне провода, полаrая i == О в соотношении (8.46), интеrрируя дважды
от внешней rраницы ПрОБода до Р! и замечая, что нижний предел при
иаж.J;ОМ интеrрировании получается подстановной Р! 0= а в выражение
(8.47), имеем
дАх' ['1
Р! ар;- + 2,. == О,
А 11 == С J!:!... :1 lп д .
· 1 4110 2110 а
(8.46)
(8.48)
Аналоrично
А' == С + ['Ip
2 2 411Ос2'
А" ==С + (J-I + (J-I IпЕ. ( 8.49 )
2 2 4110 2110 С
Для Toro чтобы соотношения (8.48) и (8.49)
(7.44), мы должны положить
Фие. 83.
соrласовались с соотношением
С ! == C2.
Соrласно соотношению (8.36), имеем
Ll1/ 2 == i l (А; + A ') dS l + i 2 (A + А;') dS 2 .
8. 82
Сперва вычислим лишь первый интеrрал, а затем, используя симметрию,
сразу напишем значение BToporo интеrрала. Пользуясь формулой (868.4)
из справочнина Двайта и опусная C l , находим
а 2110
( L / 2 ) (J-I2 \ \ [ p 1 1 ( b2+p 2bpICOSCP )] d d
11 1 == 411О2а2 {l2 + + п с2 Р! Р! ер ==
о о
(8.50)
(8.51)
а а а
==' r:a22 ( ! dpl + Р} dpl + ln :: Р! dpl) == 2 ( + 2 ln : ) .
о о о
Аналоrично для BToporo про вода имеем
L 2 (J-I2 ( 1 1 Ь )
( 11/)2 == '2 + 2 n .
Снладывая соотношения (8.52) и (8.53), получаем
Ll1 == ( 1 + 2 lп :: ) .
Если провоца одинановы, т. е. а == С, то
Ll1 == ( 1 + 4lп : ).
(8.52)
(8.53)
(8.54)
_ (8.55)
318
rлава YIII
14. Энерrия n КОНТУРОВ. Пусть имеется п контуров, по в:оторым
ТеВ:УТ тони 11' 12' . . ., ln, и маrнитная индукция, обусловленная этими
тонами, равна Вl' В2' . . ., ВN соответственно. Поскольну результирующая
индунция является их венторной суммuй, общая энерrия поля, сurлаСЮJ
формуле (8.12), будет равна
n n
W == :1' В2 dy == 2 ( B i ) . ( В] ) dy ==
у v i 1 i 1
ппп
== 2 ( Щ + B i .B i )i=Fi dy . (8.56)
у i 1 i 1 i 1
В двойную сумму произведения B i . B i и B i . В; входят тан, что, пользуясь
соотношениями (8.35) и (8.19), выражение (8.56) можно представить в вид!'-
ппп
W == ( LJ2 + lJJi/J i ),=Fi == (Ll1 +2M121/2+L21;+...). (8.57)
' 1 i 1 i 1
Нан мы видели в 2, сила или момент, стремящиеся увеличить IЮОр
динату 6 i ro нонтура, равны производной от энсрrии поля по этой KOOp
динате; таним образом,
n
F 1 I (1 aLi 2 1 aMii )
i 2 i iдi)+ 4.J i--дU j=fi'
i 1
(8.58).
15. Натяжения В маrнитilOМ поле. Мы видели в соотношениях (8.12)-
и (2.18), что плотности энерrии aW jay маrнитноrо и электричесноrо полей
даются выражениями
( Т: )т == ; и ( ddТ: ) е == f: . (8.59)
Из соотношения (7.1) известно, что всюду V. В == О, а из соотношения (3.4)
следует, что в отсутствие элеКТРИЧССRИХ зарядов V. D == О. Поэтому состоя
нию равновесия в маrнитном поле соответствует та же система натяжений,
что и в электричесном поле, если в последнем заменить D на В и е на ).1.
Таним образом, на основании результатов 15 rл. 1 маrнитные силы мошно
представить в'виде натяжения Т, направленноrо вдоль силовых линий,
и давления Р, направленноrо перпендикуЛярно н ним, причем
I - В2
I Т I == Р I == 21' .
(8.60)
в случае, коrда маrнитная проницаемость является фуннцией IIЛОТIIО
сти '1:, можно привести те же рассуждения, нак и в 10 rл. П, учитывая
тольно, что вместо нонденсатора, заполненноrо ДИЭJlектриком, мы имеем
дело с маrнитной цепью, содержащей маrнетик. В реЗУJlьтате мы придем
н выводу, аналоrичному (2.24), что в МaI'нетике, наряду с вышеуназан
ными натяжениями, ДОJlЖНО существовать rидростатичеСIюе давление
В2 д!,
Р" == 21'2 '1: a't . (8.61}
Для нахождения силы, деiiствующей в маrнитном поле на плоскую
rраницу между двумя средами с различными проницаемостями).1' и ).1",
сложим нормальные номпоненты натяжений, определяемых выражениями
(8.60) и (8.61); таним же путем, каким были получены соотношения (1.50)
Задачи
319>
11 (2.25), придем « формуле
F == [ (1' [1" ( в? B 2 ) В'2т' д[1' В"2т" д[1" ]
п 2 [1' [1' + [1" [1'2 дт' + [1"2 дт"
(8.62)
э ra сила действует по нормали н ПОIJерхности и направлена от [1' н [1".
Нормальная и касательная сос:rав.ТJяющие ИНДУНЦИЙ В' и В" в двух средах
имеют соответственно инденсы п и t. Для rраницы среды с проницаемостью [1
и вануума, вводя [1" == [1", [1' == [1" Кт и полаrая afL" ja'C" == О, по.пучаем
}Оп =ос В'22 [ (Кт 1) 'С д д Кт ] + (Kт 1): B 2 (8.63)
2[1"Кт -r 2fLv K m .
rде
В'2 ==B 2 + В? (8.64)
Формулы, выведенные в этом параrрафе, вполне Приrодны для обыч
ных сред, но непрИI'ОДНЫ для ферромаrнитных материалов, ноторые будут
рассмотрены в rл. ХН. В ферромаrнеТ1шах наблюдается MHoro сложных
явлений (например, измененпе формы без изменения объема), I\ОТОРЫС
нельзя учесть никаной простоЙ формулой.
16. Энерrия маrнетина в стаТИ'IеCIЮМ маrНИТIIОМ поле. В ПрС;J,Ы
дущсм параrрафе было поназано, что сила, деЙствующая на тело с прuнн
цаемостью [1, помещенное в среду с проницаемостью 11"0' при наличии
маrнитостатичесноrо поля В, создаваемоrо постоянными тонами, численно
равна силе, ноторая: IJычислялась в 14 rл. IH [см. вырашение (3.42)]
для диэлентрина С " == 11',., помещенноrо в элентричеСН::Jе поле с индунцией
D == В, обусловленное неподвишными элентричесними зарядами. Из ф(Jр
мулы (8.9) явствует, что в случае МaI'нитноrо поля сила или момент, дeЙ
ствующие в направлении 6, равны производной по 6 от энерrии маrнпт
Horo поля, т. е.
о aW B
} == + . (8.65)
Сравнение с выражением (3.41) поназьшает, что если в области с маrнит
ной проницаемостью 11'" создать при помощи системы постоянных тонов
маrнитную ИНДунцию В внутри HeHoToporo объема v и потом заполнить
этот объем средой с проницаеМQСТЬЮ 11' (после чеrо установится ИНДУ1ЩИЯ В;),
то энерrия, затрачиваемая на намаrничивание этой среды, равна следующему
интеrралу по объему:
WB== (' ( ) В.В. dy.
2j [1" [1 1,
У
Здесь среда предполаrается изотропной, а проницаемость J.1 не зависящей
от напряженности поля; при этом в систему не вносится дополнительных
источнинов маrнетизма. При помощи вентора намаrниченности (7.111) это
выражение можно написать в виде
(8.60)
W B == M.Bdy.
у
(8.67),
ЗАДАЧИ
1. Покаsатъ, что Rоэффициент взаимной индукции между длинным прямым пропо
ДОМ и коплапарным е ним прополочным рапно!:торонним треуrолъником равен
317: 1t [ (а+Ь) lп (1+ : ) a ] '
.320
rлава VIII
rде a BЫCOTa треyrольнина, Ь раеетояние от провода до ближайшей параллельной
ему стороны треуrольнина.
2. Н:руrлая проволочная петля радиуса а расположена параллельно плоеной rpa-
нице полубеснонечной средЫ с отноеительной маrнитной проницаемостыo Кт И Haxo
дитея от нее на раестоянии а. Показать, что увеличение еамоиндунции петли из sа
наличии ереды равно
[1v a : [( ; o) K(O) ; Е(О)] ,
rдс введено обозначение c=za (а2+а2) lf2.
3. Шар радиуса Ь, обладающий очень большой маrнитной проницаемоеты,, поме
щается Rонцентрично с проволочной петлей радиуса а. Поназать, что добавочная caMO
индунция, обусловленная приеутствием шара, равна
ro
U. пЬ '" [ 1.3.5... (2n+1) ] 2 ( 2n+2 ) 2 ( !!.. ) 4n+2
. v 2.4.6... (2n+2) 2n+ 1 а
n o
4. Понзsатъ, что ноэффициент взаимной индунции между двумя нонцентричееними
проволочными онружностями радиуеоВ а и Ь, лежащими в одной плосности, равен
ro
,Ь '" [ 1.3.5... (2n+ 1) 1 2 2n + 2 ( .!!.. ) 2(n+1)
[1v 7t 2.4.6... (2n+2) 2n+1 а .
n o
51). Внутри ТОНRОЙ проводящей цилиндричесIШЙ оболочни радиуса а находитея
ноат,сиальный с ней ПрОВ<JД радиуеа Ь. Понаsатъ, чro еамоиндунция таRОЙ ЛИНИИ на
единицу длины равна
[1: [1+41П ( ) ]
6. Плосний нонтур проиsвольной формы лежит на ПЛОСНОй поверхности IIолубеСIШ
печной средЫ с проницаемостыo [1. Пренебреrая полем внутри провода, поназать, что
присутствие среды увеличивает самоиндунцию нонтура в 2[1/([1+[1v) раз.
7*. Длинная прлмолинейная нить ТОЩI перееeI(ает под прямым уrлом диаметр
(или ero продолжение) тонной Rруrлой петли, по ноторой течет тон, и образует
с ее ПЛОСНОСТЫО острый yroJl а. Понаsать, TO ноэффициент взаимной пндунции равен
[1v [о Бес a (02 Бее 2 a a2)1/2]
или
[1v О tg ( п а) ,
11 зависимОсти от Toro, проходит ли прямолинейный тоН вне или внутри HpyroBoro ro
на; здееь а радиус онружноети, о раеетояние прнмолинейноrо тона от центра петли.
8. ЦИШIНдричеений провод е проницаемостью [1, ОRруженный Rопцентрично толстым
сдоем изоляции с проницаемостъю [11' помещен в ЖИДRОСТЪ е проницаемостью 1'-2 пер
пенДlШУЛЯРНО 1{ полю с индунцией В. ПОRазать, что поперечная еила на единицу
длины, дейетвующаlI на поверхнuсть изоляции, равна
[12 fL1 IВ,
[12 + [11
а поперечнан еила, действующая на поверхность ПрОВОДНИI(а, равпа
2fL1 1 В
[11 + [12 '
причем результирующая еила равна 1 В.
9. В неRОТОРОЙ ТОЧRе вблизи нонтура, по ноторому течет едиНИЧНЫЙ тон, создается
маrнитная индукции В. ПОRазать, что еели поместить небольшую еферу радиуса а
и проницаемоети [1 таи, чтобы центр сферы был в этой ТОЧRе, то еаМОИНДУI{ЦИЯ нонтура
упеличивается приблиsитсльно на величину
4na 3 В2 (Kт 1)
I'-v(Кm+ 2 )
1) Ввиду ощибни У автора sадача привсдена в измененном виде. При.м. перев.
Задачи
32t
10. Цплипдричесний елой проницармоети [1 с внутренним II внешним радиусами
а и Ь онружает два параЛJIС.i.ьных проводз. по ноторыы тенут тони В ИРОТИВОIlОЛОЖНЫХ
IНшраDJН'НИЯХ. Эти проводi.l раПJOJJOжеJlЫ параллепьно оси (в ОДI10Й ПЛОсноети е нею)
11 находятся от иvе на ОДIIШШОВОj\; расеТОЯНI1И С. lJш{азать, что паличир елоя увеЛИЧIJ
Ш\t,1' еUМОИПДУJ{ЦИЮ на единицу ДЛIШЫ ДВухпршJOДНОЙ линии па веJШЧИIlУ
00
2flv (K , l) I (a4n+2 b4n+2) (с/а)'Щ2
7t ] (2п + 1) [(Kт 1)2 a4п.2 (Kт + 1)2Ь 41Н2 ] ,
п O
'де [1v==[1/Km. .
11*. Нруrлая петли радиуеа а штцентрична со сферичесним Слоем пропицаемоети [1,
имvющим ВНУТРСНlшй И IJНVПТНИЙ радиусы eOOTBeTCTB<JHHO Ь 11 С. lJrжазать, что наличие
е,JlОП увеличивает С3МОИПДУIЩIПО пртли ПРllБJ1Нзительно на веJJИЧИНу
[1v 7ta4 (Kт 1) (К m+2) ( c3 b")
Lb 3 [(K m +2)(2К т + 1) c3 ( Kт 1)2 2Ь3] ,
l-де f1v [1/Кт, а радиус а ОЧf'нь мал по сраппению с Ь и с.
12. НООРДl1наты J1рОВОJlOЧНОJ'О RОЛЬЩl радиуса а в вытянутоЙ сфероидальной
системе нооршшат IJ3RНЫ == 1 И '11 == Yjl' В НОJIЬЦО Помещаетея вытянутый ефероид
Ilроницземости [1., п()нерхноеть HOToporo определяется ураВIJешICМ '11 == 1)0' 1l0назать, что
ВСJlедетвие этоrо самоиндунция IЮJJьца ВОЦЖстает Шl неличипу
00
п[11)a2(Kт 1) 2п+1 ер!' ( ,)]2 eQ (1),)]2 Pf. (1)0) Р п (1)0)
С 2 LJ n2(n+1)2(J (1)0)J n(1)0) Km(Jn(1)0)l'ri(1)0)'
11 1
['де f1v==[1/Km.
13. Координаты двух ПРОВолочных КОJlец радиуеов а l и а 2 в вытянутоЙ сферо
идальной Системе Координат равны 1)1' 1 И 1)2' 2' }) кольца помещается ВЫтянутый
сфероид проницаf'моети [1, ПОверхность KOToporo опреДf'лястея уравнением 1) == Ylo.
Пшшзатъ. что IlаЛliJчие сфероида приводит I{ увеличению взаимной индунЦfIИ КОJlец на
R!)JШЧИНУ
00
7t[1v a ,a 2 (Km j)
С 2 LJ
п l
2п+ 1
п 2 (п+1)2
Pf ( ,) Q (1)1) p ( 2) Qr (. 2) p (1)0) Р п (1)0)
<t:, (1)0) J п (1)o) liт(Jn (1)0) rA (1)0)
l'де f1v"= [1/ к т.
14. Црнтры двух параJJлеЛЪНБlХ RоаRсиаJJЬНЫХ ПРОполочных петрль радиусов а и с
находятся на расс'JОЯНИи s друr от друrа. 110]{аза'JЪ, что взаимная ИНДУКЦI1Я М!'жду
петлями при внесении Jюаксиально им бес[{онечноrо цилиндра раДиуеа Ь и Проницае
моети f1 rJозраетает на величину
00
2[J.vac Ф (А) К 1 (1са) К 1 (kc) cosks dk,
u
rде '1v=='1/Km. а выражение ДЛЯ Ф (1::) дано n задач!' 28 rл. VП.
{5. IJоназать, Ч'JО самоиндукция ПРОВОJIO'IНОЙ петли радиуса а при внесении
J{оансиально eii беCJюнечноrо ЦИJJИндра радиуса Ь и проницаемости [1 УВСJlИчивается
на величину
00
2[1v a2 \ Ф (k)[K 1 (ka)]2 dk,
Ь
J'де '1v==[1/Km, а выражение для Ф (k) дано в задаче 28 rл. VП.
16. ИМi'ется два нонтура, ОДИН из которых образован участком поверхноети
цилиндра F==a 1 , заЮIЮЧf'ННЫМ между z== +с, и Z Cl' а ДРУJ'оЙ участном поверх
ности IlИЛI1ндра F == а 2 (а 2 - а,), ЗaI{ЛЮЧelШЫМ м('жду Z == + С2 И Z == с 2 . 1J0кю\3тъ,
что РС,1Ти TOIHI В нонтурах (нольцах) распределяются paBHO H'pHO, то взаимная ИJlДУI{ЦИЛ
между ними рюша
00
2ра,а 2 2
k I 1 (ka 1 ) К 1 (Аа 2 ) sin kC 1 sin kC 2 dk.
C 1 C 2
о
17. Используя результат задачи 30 I'Л. VП. JЮJ;аззть, что ес.ПИ ПЛОСRоеть нруrлой
нроволочной петли раДиуса а параллельна беснонрчной плаетине то..'1щиной t И
21 В. Смайт
322
rЛПIifl VTIl
ПРОl1иu.аемости [J. и наХОДIlтеЯ от нее на раестоянии Ь, Т'О саМОИНДУJ{ЦIШ петли
возрастает на величину
00
Hll==HMo (1 p2) )' p2(n 1)Mn],
n 1
rAt)
2fL-,.а [ ( k ) 1
М n == k n 1 2 J{n En.,
p ' 1J.'l)
[J.+[J.v '
k 2
n
а 2
a 2 +t пt + b )2 '
а J{n и Еn полные эллиптичеСRие l'llтеrраlIЫ nepBOl'O и HToporo рода модуля k n .
18. БеСНОJ\!Jчная пластина ТOJIЩИНОЙ t И проницаемоетыо [J. помещастсн I1арал
лелыю между пеТJIШНИ, изображенными па фиr. 80, а. ПОRазать, что взаимная индуR
ция между петлями теперь етаllОПИТСЯ равной
00
1 [_2n r ( k2 ) ]
M 2p.v(ab) /2(1 p2) L .", L 1 . J{n En ,
n 1
rne
p== [J. [J."
[J.+I'-V'
р == 4аЬ
т' (a+b)2Tt c + 2nt )2'
а J{n и Еn ПОЛIJые ЭЛЛIlПтические интеrралы модуля k n -
19. 1l0назатъ, что саМОJlНДУЮЩЯ соленоида е маJJЫМ шаrом наМОТRИ, имеющеrо N
ВИТRОВ, длину С и диаметр d, равна
1
;>; [J.N2 d {СОБес а [(tg 2 a 1) Е + J{] tg2 а),
rде d 'с tg а, а J{ И Е полные ЭЛЛИllтиче('Rие ИJlтеrралы МОДУJJЯ sin а.
20. Проволочное I{ОЛЬЦО радиу,'а а коак!'иаЛI,НО е соленоидом раДиу('а Ь, имеющим n
ВИТRОВ 113 единицу длины. Пуеть наибольшее расетояние от ТОЧIШ на l{ольце ДО ближ
HPro конца солеНОllда равно С, а до дальнеrо нонца равно d. ПОRазать, lIользуяеь
фОР IУJIOti (7.51) (без дальнейшеrо интеrриронаIlИЯ), что сила взаимодсйетвия между
IЮJIЬЦОМ и еОJICНОИДОМ, коrда по ним текут ТОКИ] и ]', определяетея пыражш шеЬ1
2[J.n П' (аЬ)Ч2 {k i1 l (1 ki) J{I El1 k21 [( 1 k ) J{2 E2 ] } ,
. 1 / 1
rде модули полных ЭJlЛпптичееЮIХ интеl'рШlОВ равны k,==2(ab) 2/ с и 1'2==2 (аЬ) /2/d.
21. Два Rоакеиальных СОJJеноида (' маJJЫМ шаrО\l наМОТRИ, имеющие ('оответетвенно
n и m IIИТКОn на единицу ДJlИНЫ 11 диаметр d, раСПОЛОЖ('IIЫ '1аl{. что раСС'lОЛllие между
блиЖJJИМИ КOlщами равно Ь, а между даJlЬНИМИ Rонцами равно с. Дшша OAHoro И3
солеНОJlДОВ равна а. Ilоказать, что их взаимная ИВДУНЦИЯ выражаетея формулой
4
[J.nmd3 ( 1)n Бее аn [(1 tg2 а т ,) Е (k,.) + tg 2 щ; J{ (k n )],
n 1
rде tgal c/d, t.ga2 (c a)/d, tgаз==Ьjd, tga4==(a+b)/d, 1,n==СОБаn.
22. Показать. что если по еOJJеноидам, pae(-МO'I}JClIПЫМ в задаче 21, TeRy'r ТОШI
J 11 ]'. то еила I1заиыодейеТВIIЯ между еОJlеJlоидаМII равпа
4
[J.d2nт]]' ( 1)n siJl!1. n Бее 2 а n [Е (kn) J{ (k n )).
n 1
23. Оеи двух КОJIРЦ радиусов а и Ь параЛJIеЛЫJЫ и раСllолтlIРНЫ на расстоянИИ
с npyr от npyra. Расстоянир ы{:жду НЛОСIЮ!''1ЯЫИ HOJlrll r лшно d. }lОRазать при НОЫОЩIl
соотношения (5.451), что взаимная ИНДУRЦИЯ ыежду НОJJьцаыи опредеJшет("я БЬJра
жением
00
[J.:b . с
,. J] 1 (ka) ]1 (kb) Ко (1,с) СОБ kd dk,
о
еСJJИс>а+Ь.
Задачи
323
24. Пш{азать, что в случар Ь> а+с Езаимнап ИНДУНЦИЯ, ОПIJрделяемая D преды
дущей задаче, равна
со
I'- b \'
'" К] (ka)1] (kb)Io(kc)eoskddl..
о
25. Пользуясь выражением (5.364), показать, что результаты задач 23 и 24 можно
записать в виде
со
1 \'
2"l'-ab J] (ka) J] (kb)Jo (kc) e M dk.
о
26. Два соленоида, радиусы которых равны а и Ь, а длины А и В, имеют COOT
ветственно m и n ВИ1КОВ на сдинипу длины. Оси соленоидов параллельны и Н:lХОДfJтея
на расстоянии с друr от дрУl'а; расстолние между плосноетями цеIJТР:ШЬНЫХ ВИП,ОВ
равно d. ПOI,азать (см. задачу 23), что нри с > а+ ь взаимная индукция соленоидов
равна
со
4f'.abтn
k 2J] (ka) 1] (kb) Ко (kc) sin kA sin kB СОБ kd dk.
7t
О
27. Пусть еОJICНОИД радиуса а (см. задачу 26) расположен внутри солеНоида
раДиуеа Ь. Иеходя из решения задачи 24, ноказать, что
ос,
4 р .а:тn \'
М '" ) k 2K](ka)I](kb)Io(kc)sinkAsinkBcoskddk.
о
28. Иеходя из решения задачи 26, написать выражения ДЛЯ взаимной ИНДукции
11 заДачах 26 и 27 в виде
со
2fLab k 2J](ku)J] (kb)Jo(kc)shkAshkBe hddl,-
о
29. Взаимное положение колец, радиусы которых равны а и Ь, определено, если
заданы величины: С l{ратчайшее раССТОfJIше между осями колец, А и В ра!'стояния
центров КOJюц от JJИНI1И С И yrOJJ между осями. I10КШШТЬ, что взаимная ИIlДУНЦИЯ
определяется в виде
со со .
flab \' r (СОБ 'f еОБ q>' СОБ + sin (9 sin ер') drp dq/
4п ) ) (п2+а 2 + Ь 2 +2аЬ (еОБ q> СОБ 'f' + sin ер sin ер' СОБ p) 21 (ер, ер')]Ч2 '
О О
rne п:= (с 2 + А2 + B2 2AB СОБ )lJ2 раеетояние между центрами колец и
I (ер, ер') == а (с СОБ ер+ в sin ер sin (1) + Ь (с СОБ ер' + А sin ер' sin ).
30. Двухпроводная ШШИЯ ПОМЕщается симметрично между двумн параJТлельными
листами беl НОН!3ЧНОЙ ПРOJ;ицаемоети, находящимисл один от npyrOl'O на расстоянии а,
таи что нлоеность, проведенная через два l1ровода. нерпендикулнрна ], IIЛОСКОСТЯМ
лиетов. Раестопние между проволами равно с. lJОЮI3:1ТЬ, что НРИСУТСТВllе листов YBe
.1Jичивает еаМОИНДУJ{ЦИЮ (на единицу ДJJИIJЫ) двухпроводной линии на величину
{ 2а tg ( 7tcja ) }
ln .
7t 'Т'с
21.
324
rлава У/Н
ЛИТЕРАТ .РЛ
А Ь r а h а m М., В е с k е r R., KlassisellC Elektrizit1it uпd Magnetismus, Berlin,
1932. (СМ. перевод: А б р а [' а М М., Б е к R ер Р., Теория элеRтричества,
2 нзд., М. Л., 1939.)
С u r t i s Н. L., Electrieal Меаsurеmепts, McGraw Hill, 1937.
G е i g е r S с h е е 1, Handbueh der Physik, Bd. XV, Berlin, 1927.
G r а у А., Absolute Measurements in Electricity and Magnetism, v. 11, МаеmШап, 1888.
Н е а v i s i d е О., Electrieal Papers, Boston, 1925.
J е а n s J. Н., The Mathematieal Theory of Eleetrieity and Magnetism, Cambridge.
1925.
М ах w е 11 J. С., Eleetrieity and Magnetism, у. 11, Oxford, 1881.
М о u 11 i n Е. В., Principles of Eleetrolllagnetism, Oxford, 1932.
р 1 а n с k М. К. Е. L., Theorie der Elektrizitit und Magnetismus, Berlin, 1932.
R u s s е 11 А., AHernating Currents, Cambridge, 1914.
S t r а t t о n J. А., Eleetromagnetie Theory, MeGraw Hill, 1941. (См. перевод: С т р в T
, Т О-В ДЖ. А., Теория ЭЛеRтро:иаrнетнзма, М. Л., 1948.)
W е Ь s t е r А. G., Eleetrieity and Magnetism, МаеmШап, 1897.
W i е n Н а r m s, Handbueh der Experimentalphysik, Bd. XI, Leipzig, 1932.
I' л а в а IX
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВJIЕНИ Я
В ЭJIЕRТРИЧЕСRИХ ЦЕПЯХ
1. lIеустановившиеся электричеСIше процессы. Термин (шеустано
БИВШИЙСЮ> (переходный) процесс употребляется для обозначения явлений,
наступающих после внезапноrо изменения в э.пектричесном нонтуре, по HOTO
рому течет ток. CTporo rоворя, эти ЯВJЮНИЯ оназываются llереходными
лишь в том случае, Korrra в нонтуре содержится спнротивление, рассеива
ющее энерrию. Прантически сопротивление Bcerrra имеется, поэтому пере
ходные явления редно продолжаются БОJJее неС;1ЮJIьюrх сенунд, даже в самом
нрайнем СJlучае. В начестве примеров ВОЗНIпшовения переходных явлений
отметим разряд или зарядку нощтенсатпра, внезапное изменение маrнитноrо
нотона, охватывающеrо нонтур, или внезапное вьшлючение или внлючение
источника э. д. с. В этой rJJaBe мы рассмотрим неустановившиеся процессы
в контурах, содерЖащих индунтивность и сопротивление, емность И сопро
тивление илп все три элемента сразу, считая источнин э. Д. с., ес;аи он,
нонечно, имеется, постоянным.
В общем случае, ноrда элентричесная цепь предоставлена caMoii себе,
т. е. она не получает и не птдает энерrию, все процессы в ней можн")
описать при помощи .пинейноrо однородноrо дифференциальноrо уравнения
с постоянными НОЭффИIIиентами, в н<лором в Н8честве независимой пере
менной взято время, а зависимыми переменными ЯВJJЯЮТСЯ заряды и ТОНИ.
Решение этоrо уравнеНI1Я, содержащее ПРОИЗВОJJЫ1ые постоянные, число
которых равно порядку уравнения, называется дополнительной функцией.
Значение ПРОИ3ВОЛЫ1ЫХ постоянных находится из начальных условий. при
наличии источника постоянной э. д. с. дифференциальное уравнение будет
содержать постоянный ЧJlен. Н этом СЛУЧi:\е по прошествии достаточно дли
ТeJlьноrо времени остапутся постоянные тони или заряды на нонденсаторах,
тан нан все члены дополнительной функции обратятся практичесни в нуль.
Эти токи или заряды, не внлючающиеся в Допо.пнительную функцию, COOT
ветствуют стационарному состоянию системы. Они выражаются частным
интеrралом дифференциалыюrо уравнения. Сумма ДOlЮJlНительнсуi! фушщии
и частноrо ПнтеrраJJa или, 1IOЛЬЗУЯСЬ тррминолопreй, принятой в элеЕТРО
технине, сумма нестационарноrп и стационарноrо решений ЯВJшется полным
решением задачи.
2. ЭнерrетичеСIПIС соотношения в ЭJIС1>.тричеснои цени. В ЭJтентри
чесном нонтуре, содержащем емность, СUПРUТI1ЛJюнпе и ИПJ1Уl,ТИШIОСТЬ,
энерrия может наиапливатьсл в элентростаТI1чесr,,:ом поле, с()здаuаемuм
постоянными зарядами на нонденсаторах, а танже в ште юпютичесной
энерrии маrнитноrо поля, возбуждаемоrо движущимися зарядами в индун
тивностнх; ироме Toro, в сопротивлениях происходит рассеивание эrrерl'ИИ
в ВИ)J,е тепла. Без внешних воздействий ЭJЮlйричеСlШН энерпJЯ, в нонечном
счете, излучится или rrревратнтся в Т('ПJJOIJУIO энерrию. Потери вследствие
излучения будут нами рассмотрены ниже в связп с ЭJlентромаrПИТНЫМII
326
rлава IХ
волнами. Там мы увпдим, что. эти патери сильна зависят 0.1' Сlюрасти изме
нения тана в нантуре. Одна на для налебаний с частатай да 100 кец и даже
неснальна выше этими патерями па сравненша с патерями в сопративлении
абычна мажна пренебр(;чь, что. и будет принято. в этай rЖlВе. ПатеНI.(Иаль
ная энерrия :нантура [см. фарму.пу (2.15)] равна W C == qисsджаулей,
rде заряд q. выражен в ну.панах, еМ1ЮСТЬ C s в фарадах. l\инетичесная
энерrия но-птура [см. фармулу (8.35)] равна W 1 >== LД джаулей, rде
самаИНIIУНЦИЯ Lr выражена в rенри, тан i r в aмne
рах. Мащнасть рассеянии [см. фармулу (6.11)] равна
р == i Rq ватт, rде сапративление Rq выражена вамах,
тан i'l В амперах. Тю,им абразам, абщий запас энерrии
R L маrнитнаrа и элентричеснаrа палей равен
и
n 2 m
W == ( : + LД) .
s l r l
(9.1)
Фиt. 84.
Снарасть уменьшения этай энерrии далжна быть равна
снарасти теплаваrа рассеянин, т. е.
р n . m р
'" R '2 dW '" q,q, ,, . .. l '" R '2 О
L.J qlq == ' или L.J + L.J lrlr J r + L.J qlq == ,
q l s l r t q t
rде тачнай обазначена дифференциравание па времени.
(9.2)
3. Контур, состоящий из емкости. индуктивности и сопротивления.
В «антуре, ПOIшзаннам на фиr. 84, L, С и R внлючены паследавательна,
. ...
тан что. q == i, q == i. В этам случае, пасле деления на абщий мнажитель i,
уравнение (9.2) принимает вид
L;j+ Rq + == О.
(9.3)
Саrласна выражепию (8.39), L{== Lq. представляет сабай падение напряже:
пия в натушке самаиндунции. Из занана Ома (6.6) следует, что. Ri Rq
нвляетея падением напряжения на сапративлении. Тачна тан же, саrласна
фармуде (2.1), величина q/c яrтяется падением напряжения на HaHдeH(;a
таре, тан что. уравнение (9.3) выражает просто. занан l\ирхrафа (см. 5,
rл. VI), а именно.: сумма падений напряжения вдаль замннутаrа нантура
равна нулю.
Общим решением уравнения (9.3) будет
q == C1eh1" + C 2 e h2t ,
(9.4)
rде С 1 , С 2 пастаянные иптеrриравания, апреде.пнемые начальными значе
ниями величин q и i, а через k 1 и k 2 абазначены величины
R ( R2 1 ) Ч2 R ( Ю 1 ) Ч2
2L + 4L2 LC ' 2L 4L2 LC .
Если (R/2L) > (LC) 1f2, та k l и k2 ,величины действительные, и изме
нение тана имеет апериадичесний харантер. I3ведем в решение (9.4) величину
I / R2 1 ) Ч2 \
ш == I 4L2 LC .
(9.5)
Пррехоf)uые явлеuия в элекmрических цепях
327
Тоrда
q == e (R/2L) t (С}е юt + C2e "'t) O= e (R/2L) t (А ch шt + В sh шt) ==
== e (R/2L) t D ch (шt + t), (9.6)
rJle А==С} + С 2 , В == С} C2' D == (A2 B2YI2 И th у == BjA.
В случае (R/2L) < (LC) 1f2 k} и k 2 ве.ЛИЧИНЫ компленсные, и измене
ние тона носит нолебательный харантер. Заменяя в решении (9.6) ш на /ш,
получим решение в виде
q == e (R/2L)t (C}ej,vt + C2e 1"'t) == e (R/2I,)t (А СОБ шt +В' sin шt) ==
== c(R/2L)tD' СОБ (шt + ер), (9.7)
1'ДС
A==C 1 +C 2 , B'==-j(С} С2)' п'==(А2+В'2)Ч2 И tgep== B'jA.
Период колебаний Т равен 2тс/ш, а собственная частота нонтура равна
Ф/2тс. Лоrарифмический дш,ремент затухания а, определяемый нан лоrарифм
отношения амплитуд двух последоnатеJJЬНЫХ Н"ОJIеGаний, равен
а == l n [e (R/2L)te+[R(t+T)/2L] ] == RT ==.::.!!... ( 9.8 )
, '2L wL'
Если ш == О, то rоnорят, что нонтур имеет нритичесное затухание. Разложим
в решении (9.7) СОБ и sin в ряд (ДваЙт, 415.01, 415.02), отбросим все
члены, кроме первоrо, и пводя В" BMet:TO шВ', получим решение (9.7)
в виде
q == e Rt/2L (А + B"t).
(9.9)
4. Зарядка и разряд конденсатора. Если нонтур (см. фиr. 84) зам
кнуть при помощи ключа S n момент премеНII t == О, коrда на нонденсаторе
имеется заряд qu' то, полаrая в решеНИflХ (9.6), (9.7) ЮJИ (9.9) q == qo
и t == О, получим
А == qfl'
(9.10)
Паление напряжения в натушке самоиндукции L (dijdt) =r> L (d 2 q /dt 2 ) J{ОЛЖНО
быть нонечным все времи, включая и начальный момент. Таним о(.разом,
при t== О i ==- q == О. Дифференцируя выражения (9.6), (9.7) или (9.9) по
времени и подставляя в них эти значения, получим
, B"
Л В А.
w '2wL
(9.11)
TorJla в любой момент времени t заряд на конденсаторе равен
при ::, > (Lc) 1f2 q == qocRt/2L ( ch шt + 2 L sh шt ) , (9.12)
при 2 == (LC) 1f2 q == qoe Rt/2L ( 1 + :1 t), (9.13)
при 2 < (LC) 1f2 q == qoe Rt/2L ( СОБ шt + 2 L sin шt) . (9.14)
Ток i в каждом случае равен Ч. На фиr. 86, а показаны кривые зави
-симости q от t, rде бунвами А, В, С обозначены соответственно случаи
(9.12) (9.14).
328
I'лава 1 Х
Цепь для зарядни нонденсатора пош\3ана на фпr. 85. Уравнение Н'ирх
l'uфа дЛЯ ЭТО1'0 контура имеет точно таноЙ же ВИД, нан и уравнение (9.3),
TO.ТIЬHO в правую часть теперь будет ВХОДИТЬ lt 3.JI.C. батареи. Мы
можем решить это уралнешю двумя способами: 1) плести новую пере
менную у == q C , сведя тем самым новое ураuнение н форме (9.3);
2) добавпть н общему решению (9.6), (9.7)
и (9.9) OlIHopOlIHuro уравпения частное ре-
шение, соответствующее стационарному co
стояНIПО, ноторое, нан нетрудно убедитьсн.
равно q == C . при ;любом способе, ПОЛaI'ШI
q === о при t == О, получим
8 L
Фие.85. A= C'{;. (9.15)
Дифференциронание дает для i прежнее выращеI-lпе, поэтому, ПОЛaI'ан
i == О при t === О, имеем, нан и раньше,
, В" R
В === В === === А. ( 9.16 )
w '2wL
Полное решение для случаев (9.12) (9.14) нмеет соответственно вид
q === C'f [1 е lЩ2L ( (.]) шt + '2 L БЬ шl ) J ' (9.17)
q==C [1 cRtI2l"(1+ '2 t)], (9.18)
q==Сб [1 е RI12L(('оsшt+ 2 L Sjлшt)] (9.19)
Значение тона в НШ1ЩОМ случае равно i === q. Н:ривые записимости q от
времени t ноназаны на фиr. bfJ, б, l'де БУIШШ\Ш А, В, С обозначены
q
t
а
б
Фие. 86. а разряд нонденсатnра, ВНЛJочснноrо поеШ'i(овательно с aI,ТИJJllЫI\I
сопротивлепие;и и индуюивностью, б заРЯJ(на этоrо же нондепсатора; A B слу
чае большOI'О затуханип JJ ноптурс, B B еJIучас НРl1тнчсекоrо затуханин,
C B случае малоrо затуханип.
соответственно случаи (9.17) ( .1 ). Н случае Н === U выражение (9.14) Д.ТШ
разряда нонденсатора ПрИНJJмает ШЩ
q === qo cos [t (L(') If"], ( }.2()
а Вbl]:Jaжение (9.19) Д.пя зарядни н:онденсатора будет
q===C't {1 cos[t(Lc) If2]},
(9.21 )
Перехоf)uые явд.еuия в элеr.тричеСIШХ цепях
329.
т. е. в обоих с.лучаях имеем незатухаroщие колебания, продолжающиеся
беснонечно ДОЛl'О, r, чаt;тотоii [2", (LC)1121 1.
В случае L == О (j) 00, так что 2 sh шt "'" еЮ/ II 2 ch шt е Ю /. Разлаrая
выражение (9.5) в ряд (ДваЙт, 5.3} и отfiрасьшая члены, содержащие L
в ЧИСJIитеJ1.е, получаем
R ( 4L ) 112 п 1
ш "2L 1 В2С '2.L RO '
так что выраженин (9.12) и (9.17) принимают соответственно вид
q == qoe /IR(',
q C (1 e tjftC).
(9.22)
(9.23)
Таким образом, I>онденсатор разрншается через сопротивление по ЭI\СПО
нендиальному закону.
5а. Нарастание и спадани(' TOI,a в каТУШI,е индуктивности. Если
в контурах, изображенных Hi:l фиr. 84 11 85, нонденсатор отсутствует,
то уравнения, выражающие занон Нпрхr()фi:l, будут иметь впд
: + i == О,
di --L R . '1\
ш I Tt L'
( .24)
(9.25)
Ввелем n урапнение (9.25) повую переменную х == i ('G / R), тоrда оба
уравнения (9.24) и (9.25) можно заппсать в форме
.; + х==о, или :1: dt.
ПОСJIO 1штеrрироваНIШ имеем
R
lnx== Lt+CI' пли х==Ас(ПI L )/.
(9.26)
Таним образом, ес.ЛИ n момент временп t == () i == i o , то n носледующие
моменты премени тон будет уменьшаться но занону
i == ioe (RjL)/. (9.27)
Если же 1ЮНТУР, содержащиЙ ПОСJlедопатеаьно 1шлючеНIIые Сопротивление,
индуНТИВность и батарею, заМНJJУТЬ n м()мент премени t == О (i О), тоrда,
соrласно урапнению (9.25) 11 решению (9.26), получпм нарастание т()на по
занону
i == (1 e (RjL)/).
(9.28)
ПОСТОЯННi:lЯ премепи ( OHTypa рапна, п() определению,
L
}'==н'
(9.29}
Для спадающеrо тона это еСТЬ lI[Jемя, в течение HOToporo величина 1'011:3
уменьшается относпте.ЛЫIO cBoero перпоначалыюrо зпаченпн в е раз.
56. ИНДУI,ТИВНО связанные 1ШНТУРЫ. Нан: было 1I0Rазано в 4 rл. VIП
[см. выражение (8.17)], если маrнитное поле ОДIIоrо Jюнтура охпатыпае'/
второй нонтур, то изменение тона в ()дном из нонтуроп наводит н.
друrом нонтуре Э. д. с. пндунцrш. 1'ан:им образом, написап уравнешю.
:ззо
I'лава 1 Х
Нирхrофа для цепи, изображенной на фиr. 87, мы должны шшючить
в Hero член (8.17), после чеrо получим
[:- :::!: JJl di 2 + R i 0== /'t
1 dt dt 1 1 '
L di 2 :::!: ЛI + R . == О
2 dt dt 212 .
(9.30)
(9.31)
Если маrнитные потони, СОЗ,'Jaваемые токами i 1 и i 2 , складываются, то
r..еред М принято писать знан плюс; если же потони направлены проти
воположно, то пишут знан минус. Исклю
чим из уравнения (9.30) величину i 2 .
Разрешив урявнение (9.30) ОТIIосите.ПЫIO
di 2 /dt, нодстапим полученный результат
в уравнение {9.31), разрешив ноторое OT
Rz носительно R 2 i 2 и умножив затем на М,
найдем
Lz3
Фие. 87.
=F- ЛI R 2i2 == ( L 1 L 2 }/;1 2 ) 1 + L 2 R 1 i l L 2 '1l.
(9.32)
ДJIR по.пучения di 2 fdt продифференцируем
в уравнение (9.30), I\OTUpOe после YMHO
'эт() выражение и нодставим
.жения на R 2 нримет вид
(LIL2 }/;J2) d:: +(R 1 L 2 +R 2 L 1 ) C : +R 1 R 2 i 1 ==R 2 /'t.
(9.33)
'Точно таl\ же, нан и в 4, мы можем сде.пать правую часть этоrо ypaBHe
ния равной нулю, введя новую переменную i i 1 (G fR 1 ), или можем
nрибалить частное решение, соответствующее стационарному режиму,
i 1 == GfRl' 1\ общему решению однородноrо уравнения, получающеrося из
уравнения (9.33), еСЛ I правую часть положить равной нулю. По.пное
решение имеет вид, аналоrичный решению (9.4),
i 1 == C1ek1t C 2 e h2t + R 't5 e "t (Л ch t + в 8h t) + : .
J J
:3десь k 1 . и k 2 деii:стпите.ПЫ1ые ве.пичины, рапные а. :::!: , а
. R 1 L 2 + R 2 L 1
а. ==- :!. (LLL2 M2) ,
[(RIL2 R2Ll)2 + 4M2R}R 2 11f2
2 (LIL2 M2) .
f\'оrда t == О, i] == О, отсюда А == / R l'
Очевидно, общее решение ураппеНI1ii (9.30) и (9.31) будет одинако
.вым, но стационарное значение для i 2 равно нулю, так что решением
для i 2 будет
(9.34)
(9.35)
(9.36)
i 2 == e "! (С cll t + D 8h t).
(9.37)
в нача.ПЬНЫЙ момент времени (t == О) i 2 О, отсюда С == О.
Подстан.пяя решения (9.34) и (9.37) n уравнение (9.31) II учитывая,
что А 0== fj f R 1 И С == О, ПОС.пе сокращения на e "t получим
р 811 t +'Q ch t == О,
..rде
Р == =F м (a.RIB.+ ) + DR 1 (R 2 a.L 2 )
(9.38)
и
Q == :::!: }/;1 ( RIB + a. ) + DRI L2.
(9.39)
п ереходиые явлеuuя в элекmрических цепях
33t
Поснольну уравнение (9.31) у)юв.петворяется для всех значений t,
величины р и Q должны быть приравнены нулю по отдельности. Разрешая
.подученные уравнения относительно В и D и подставляя затем выраже
ния дЛЯ А, В, С и D R решения (9.34) и (9.37), получаем
i == ( 1 e "! ch r.i.[ + (a2 2) L2 aR2 e "tsh rJ. t ) .
1 Rl R2 ,
(9.40)
i 2 == =F (a2 2) M e "! sh l.
pR 1 J{2 .
(9.41 )
Из выражения (9.40) видно, что тон i} асимптотичесни приближается
н своему конечному значению e:jR 1 . Полаrая di 2 /dt==0 и разрешая полу
ченное уравнение относительно t, находим, что i 2 достиrает мансимума
:при
1
t == ar th
р а
(9.42)
и затем асимптотичесни стремится н нулю.
В момент, ноrда i 2 == О И i 1 == tJjR 1 , разомннем цепь (см. фиr. 87) посред
(',твом вьшлючателя и исс.педуем полученный эффент. Если бы мы разомн
нули цепь MrHoBeHHo, пренратпв тон i 1 в ну.пеной промежутон времени, то
производная di 1 /dt в этот момент оназа.пась бы беснонечной, и, соrласно
формуле (8.39), на ВЬШJПочате.пе ВОЗНИf\ЛО бы беснонечно большое напря
жение. Поснолы,у ни одна физичеснан СlIстема пе выдержит TaHoro папря
женин, то это значение ниноrДа не может быть достиrнуто. В дей('твитель
ности, в момент разрыла цепи неб()Льшап еl\-ШОСТЬ, Bcerna существующая
меJfЩУ нонтантами и проводами цепи, заряжается до тех пор, пона потен
циал не упадет" По этоЙ прпчипе очень трудно пайти точные начальные
условии для i l .
В обычных условиих MrHUBeHlIOO пренращенпр тона i 1 до:тшо инду
цировать в ИНДУl{ТИПНОСТП BToporo н()нт) ра беснонечную э. д. с., поро
ждающую иснрение, если распределенная ем,\Ость нонтура пе будет ДOCTa
точно бо.пьшпй. Впрочем, существует важныЙ прантичесниЙ случаЙ, rде
это утверщиение неверно. Предпо.пожим, что вся самоиндунция L 2 BToporo
нонтура равна взаимной индукции 111 и что можно найти такое отношение
тонов i и i , что при протенании тона i ИJIИ i наЖ)1ьп1: ШIТОН самоиндун
ЦИИ L 2 будет охватьшать о)пшанопыЙ: потон. Топта во втором нонтуре можно
MI'НOBeHHO устаповить такой тон i 2 , ЧТО ПОтон L 2 i 2 через этот нонтур будет
()динarю'в с потоном 111ё / RI' существовапшим до Toro, нан пренратп.псн
тон i 1 . В этом случае э. д. с. во втором ноптуре нонечна, а начальное зна
"lение тона i 2 , получаемое приравниванием потонов, равно
( " ) M
12 О == L Н .
2" 1
(9.43)
Этот случай можно приближенно осуществить на праНТ1ше, ес.пи L 1 и L 2
представляют собой ОДНос.пойные соленоиды одинановой длины, плотно
наМотанные на одном I>apHace.
3а1ЮН Нирхrофа для тока i 2 выразится уравнением
L di2 + R . О
2 212 == .
(9.44)
Решением этоrо уравнения, дающим прапилыroе начальное значение i 2 ,
будет, нан JlerKO проверить, следующее выражение:
i M r(R2/ L 2)t (9.45)
2 L2 R l
332
r.лава IХ
6. Кинетическая знерrия и злектрокинетический импульс. Из фор
мулы (8.39) следует, что MrHoBeHHoe изменение потона L l1 i 1 ДОЛЖНО было.
бы привести н ВОЗНIшновению беснонечноЙ э. Д. с. в IШ'l'ушне ИН,!!УhТИВ
ности. Нан было понаЗ8НО в предыдущем параrрафе, это физичесни невоз.
можно, поэтому L l1 i 1 должно иметь одинаRовое з ачение до и после BHe
запноrо изменения в элентричесной пепи. Величина L l1 i 1 называетсн
элентронинетичесним ИМПУ:JЬСОМ, потому что она нахоДИТСЯ в та ной
же связи с нинетичесной энерrией l lli;/2, в наном находится Mexa
ничесниЙ импульс mv с механичесноЙ нинетичесной энерrиеii mt,2. Толыю
что установленный приниип неизмеННОСТII IloToi,a 1jзвестен тан же, нан
прини ип сохранения э.пеНТРOl,инетичесноrо импульса. Посно;льну ДЛЯ pac
сеяния в сопротивлении нонечноrо ноличества энерrии требуется при нали
чии нонечноrо тона НOIшчное время (нан II ДЛЯ зарядНИ нонденсатора на
юшечную величину), то юшетичесная энерrllН I l1i в нонтуре ДОJIж на
таите uставаться постоянной при MrHoBeH
IЮМ изменении в цепи. Эти заноны coxpa
нения часто дают возможность сразу Ha
писать начальные значения перехо,!!ных
тонов. В цепях, rJIe нет раесеяния энер
rии, one величины полный ЭJlе"трони
нетичест иЙ импульс и полная энерrия
остаются поетоянными. П()льзунсь этим,
"'ЮШНО ответить на мноrие вопросы без
решения диффереНЦIlапЫIЫХ уравнений. Рассмотрим, например, систему,
изображенную на фиr. 88. Пусть вначале нонденсатор имеет заряД Qo и BЫ
нлючатель замынает цепь; требуется найти мансимаЛЫ1ые значения тоноп
i 1 и i 2 . ЭлентронинетичеСЮIЙ импу,пьс остается равным нулIO, поэтому
L,
TC !"
Фие. 88.
L 1 i 1 + L 2 i 2 == О. (9.46)-
Общая энерrия остается равной Q /(2C), поэтому, ноrда нонденсатор разря
дится, нинетичесная энерrия будет равна
LI (i;)m + L 2 (i;)rn . <2J . (9.47)
РеШ1iв эти уравнения Т{ЛЯ мансимальнЫх значений 11 и 12' получим
( . Q [ L2 l Ч2
11)rn ==- О L1C (L 1 + L 2 ) ,
. [ L, 1 1f2
(12)т == Qo L 2 C (Ll + L 2 ) .
(9.48)
7. Общий вид ураВfJений переходных процессов в цепях. 130СПОJlЬ
зуемся методом, апа.поrичным методу, ПРIlмененному в 9 и 10 rл. VI при
рассмотрении элентричеС1ШХ цепеЙ, СОСТОf:ЩИХ из анТIШНЫХ сопротив;лениli.
Введем п независимых тонов, нан и в 9 l"П. VI, тан, чтобы в нашдоЙ.
ветви цепи мOl'ЛП протенать различные тони. n этоп связи СJlедует заме
тить, что взаIIМН3Н ИНДУШIИЯ МЕ'ш,!!у двумя нонтурами рассматривается
нан самоиндунпия HeHoTopol'O проподнина, общеrо ДЮI обоих ноптуров.
При этом услnвип, еСЛII I епь содержит q узлоn и р ветвей, величина п
определнетсн формулой
п==p q+1. (9.49)
Антивные сопротивления будут оБОЗНН'IСНЫ тш. же, нан п в 9 r.п.
VI, т. е. Rr., общее сопротивление для нонтуров, ПО Н010рЫМ теНУ1 ТOI\:II
i r и: is; Rr сопротивление, по ноторому течет один тон i r ; R,'r полноо
СОПРОТПБлен'ие нонтура, по JЮТОрОМУ течет тон i).. Сбозначение пндунциii
Переходuые явления в электрических цеn.'!Х'
333
-осложняется из за наличия взаимных ИНДУ1ЩИЙ. Если L;s общая самоин
JIуrщия контуров, по н:оторым тенут тони i r и i" а JY1,s взаимная индун
ция между ними, то, по определению, самоиндуrщия Lrs будет равна
L"s == L;s ::!:: JVI rs ' (9.50)
3нан минус соответствует случаю, коrда взаимная инДунция Jf r . и caMO
индую.(Ин L;s направ.пены в ПРОТИВОПО.пожные стороны. Обозначим через L;
самоиндуицию натушн:и, в ноторой протенает один ток i r , и через Lrr пол
ную самоинлуrщию нонтура, по ноторому lIротен:ает тон i" так что если
ни по одному ИЗ контуров не проходит более чем два тона, то
L"r==L;+L1r+L2r+ ... +L;,r==Lr+ L lr+ L 2r+ ...+L nr . (9.51)
Заметим, что, соrласно этому определению, Lr ВIшючает в себя и взаимную
индунцию.
В нонтурах, rшторые мы будем рассматривать, н:аждыЙ н:онденсатор
может заряжаться и разряжаться одним или более чем одним тон:ом, при
чем будем считать, что данному тону соответствуют только 1I:0нденсаторы,
соединенные последовательно, а не пара.плелыю. Нан известно [см. фор.
MY.ilY (2.4)1, при последоnателыIOМ се единении нескольних конденсаторов
()братная величина результирующей еl\ШОСТИ равна сумме обратных величин
составляющих емностей. С целью упрощения обозначений, введем новую
величину, обратную емности, так назынаемый потенциальный коэффициент 8.
Обозначим через 8rs общи'й потенциальный ноэффициент rюнтуl'ОВ, по ко.
торым протенают тони i r и i" через 8, потенциальный rюэффициент, свя
.ванный с единственным тоном i", и через 8тт сумму потенциальных коэф.
фициентов в контуре, по которому течет тон i r , так что
8тт== 8т + 8 lr + 8 2т + ... + 8 пт ,
Если ни в одном из нонтуров не протен:ает более двух тонов, то
(9.52)
RJ's == Rsr,
Lrs == Lsr и 8т" == 8sr'
(9.53)
Эти величины называютсЯ взаимными параметрами цепи, а Rrr' Lrr и 8тт
называются параметрами нонтура.
Соrласно формуле (9.1), сумма падений напряжений в нонтуре r, за.
висящая от тона i r , равна
( d2 d '\
Lrr dt 2 + Rrr dt + 8тт ) qr a,'rqr' (9.54)
I'де dq./dt == i,., aTT дифференциальный оператор, деЙствующий на qr
тольно В том с.пучае, если он написан впереди q,.. Электродвижущая сила,
наведенная в ! OM нонтуре тоном i" протенающим в обшей с ним ветви, равна
:f: (Lrs ::2 + Rrs c t + 8rs) qs == аrл<. (9.55)
Перед снобной следует взять знан плюс, если токи i r и is имеют в общей
ветви одинаНОRое направление, или минус, еСJIИ их направление проти
воположно.
Н .;лучае, f\orJIa Э.д.С. n цепи отсутствует, уравнение Нирхrофа можно
записать, пользуясь операторным обозначением, в следующей форме:
a l1 ql + a 12 q2 + + a1rtqn О,
_ Q21ql + Q22q2 + t- Q2"qn == О, (9.56)
.......
art1ql + a n2 q2 +
+ annqn == О.
334
r лава 1 Х
s 8. Решение ДЛЯ цепей общеrо вида. Мы видели r см. решения (9.4)
и: (9.6)], что для одной ячеiJНИ с оператором ан решение имеет вид
ql Q I) еР1! + Q 2)eP2t,
t
еде Р1 и Р2 два значения р, получаемые после подстановriИ Qe P в диффе-
ренциалыroе уравнение (9.3) п решения соотпеТСТВУlOшеrо алrебраическоro
уравнения. Амп.тштуды Q 1) и Q 2) это постоянные интеrрации, опреде
ляемые заданными нача.ПЬНЫМИ УI:ЛОрИЯМИ, а именно: по перпых, начальной
энерrией маrнитноrо поля, создаваемоrо токами u натушках индунтипности,
и, BO BTOpЫX, энерrией элш.тричесноrо поля, создапаемоrо зарядами на
конденсаторах. ВПО.пне естественно попытаться сделать подобную же под
станопну в сииему дифференциальных уравнений (9.56). Решение будет
найдено, если в результате этой IIодстановни мы сумеем опрепелить вели
чины р так, чтобы уловлетворить системе диффереНЦИaJIЬНЫХ уравнений и
кроме тоео, получить число произвольпых ностоянных, равное мансималь
ному числу начальных услопий, ноторые мы можем задать. Число нача.ПЬ
ных условий, очевидно, равно чис.пу независимых элеКТFических и Mae
нитных полей, определяюших энерrию системы. Не следует задапать .пишь-
тои, протекающий по сонротивлению, поснольку он не определяет энерrию
и меновенно прекращается, нан тольно вьшлючается э. д. с. Если имеется п
независимых нонтурных тонов, то может существовать самое большее 2п
постоянных интеrрации.. Таиим образом, исномая подстановна имеет вид
qr === Qr ePt . (9.57)
Введем для удобства ноnую алrебраичесную величину С ТВ ' определяемую
соотношением
arsqs === :J:: (Lrsp2 -t- RrsP + Srs) Qse P ! === c,.sQse P !. (9.58)
Тоеда, после сонращения на e Pt , система уравнений (9.56) примет вид
C l1 Ql + C l2 Q2 +
C 21 Ql + C 22 Q2 +
+ C1nQn О,
+ c 2n Qn == О,
(9.59)
Cn1Ql + C n2 Q2 + ... + CnnQn == О.
Кан и в rл. VI, выпишем определиrель
I C l1 C 12 . . . C 1n
й. === C 21 C 22 .. . С 2n
(9.60}
C n1 C n2 . . . С nn
Поснольн:у начаJIьные ус.попил, опредеЛЯIсщие величины Q, не были исполь
зованы в уравнениях (9.5 ), то эти уrавнеЮ1Я нельзя разрешить относи
телыIO Ql' Q2' ..., Qn. Вследствие T01 0, что нсе правые части нули, мы
получим, употребляя обычныЙ метод детерминантов, следующиЙ результат:
О
Qr == 71 . (9.61)
Тривиальное решение Qr == О, очевидно, удовлетворяет системе уравнениЙ
(9.59), но не удовлетворяет начальным условиям. Ясно, что начальные
условия МOl'ут быть удовлетворены совместно с соотношениями (9.61) толы\о
н ТОМ случае, если ..,.., 11
й. ==0.
(9.62)
п рреходиые явлрuия в элекmрических цепях
335-
:Этот детерминант называется харантеристичеCJ,ИМ. Раснрьшая ero. получим
для р алrеf)раичеСh:uе уравнение степени не выше 2п, тан нан р входит
в выражение llЛИ с т , не более, чем 130 второй степени. Решение этоr.J ypaB
нения дает возможные значении р, выраш:енные через параметры эле1\ТРИ
ческой цени. Нашдое значепие р, по.пученное та1\ИМ способом, определяет
собственную частоту и затухание He1\OTOpOro процесса в системе, Подставлии
ero в выражение (9.57), 110ЛУЧИМ дЛИ v й частоты
qr==Q V)ePvt ,
Для этой частоты система уравнений (9.59) принимает вид
c )Q V) + cl;)Q ) + + c Q ') == о,
C ( ) Q (V) + C (o) Q (V) + + С (о ) Q (V) О
21 1 22 2 211 n ,
(9.63)
(9.64)
C (V) Q (V) + C ( ) Q (V) + + С (. ) Q (V) О
111 1 112 2 . . . 1111 n .
:Эти уравнения совпадают по форме (за ИСК.ПIочением Toro, что их правые
части равны ну,пю) с уравнениями (6.32), поэтому соотношения, аналоrичные
соотношениям (6.37), не зависящим от правоЙ части, выполняются и для
этих уравнений. Таним образом, если f,.k ) алrебраическое дополнение ck )
в определителе (9.60), то
Q (V) /!,('Vj
r пт
Q(") /!,( ) '
s /ls
Очевидно, этому уравнению удовлетворяют величины
Q (V) л (V) & (V) И Q (V) л('\,) с (V)
r '"'/lr s '"'/ls ,
rде G(V) постояннап, соответствующая частоте v. Можно положить k равным
любому числу от 1 до п.
Полное выражение для qr представляет собой самое большее сумму 2n.
членов вида (9.63), т. е.
(9.65}
qr =о Q 1)ep1t + Q 2)eP2t + ... + Q 211)eP2nt .
(9.66)
Подставляя выражения (9.65) в (9.66), получим не более п уравнений,
содержащих q" q2' ..., qп. Дифференцируя, получим еще п уравнений,
содержащих i 1 , i 2 , ..., i n . Таним образом, будем иметь
ql == f,. 11)G(1)eP1t + f::,k )G(2)eP2t + . . . + f,. , /)G(2/)eP2nt .
q2== f::,k )G(1} e P1t + f::, =jlG(2) eP2t + + f::, (211)с(211) Р 2n !
. .. /12 е ,
. .'
qn== д c(1) eP1t + /::, c(2) еР2! + + !l (211)с(211) p 2n t
/111 е ,
; Р j (1) G (1) e P1t +p f::,(2)G(2)eP2t +
"1 1 /11 2 /11
l . p f::,(1) G (1) e p1t . p л (2) G (2) e P2t +
2 1 /12 t 2 k2
+ д (211)с(211) P2nt
Р2п /11 е ,
+ Р t:,(211)G(211)eP2nt
2n /12 ,
(9.67)
l . == р л (1) с (1) С Р1t +р t,(2) G (2) С Р2t + +р д(211) с (211) е Р2n!
п 1'"'/111 2 /ln . , . 2n [т .
Полаrая в этих уравнениях t == О и ИСПОJIЬ3УЯ началы1еe значения ДJШ
. . .. С (1) С (2) С (211)
Ql' Q2' ..., q", ll' [2' .... ln> можно паИТII . .. . . , '
:336
Fлава 1 Х
л(1) л(1) л(1) (2) (2) л(l) П
g ыраженные через '"'kl, '-'-k2, ..., '-'kп, t.. k1 , D. k 2, ..., '"'kп И т. д. оследние
.JПределяются через C ), в выражение для ноторых, соrлаrно соотноше--
нию (9.58), входят величины Р'" полученные из уравнения (9.62) и опре
дсляемые, в RОlIeЧНОМ счете, параметраМII цепи. Таким образом, задача
JЮЛНОСТЫО решена.
9. Типы собственных Jшлебаний. n t;лучае npocToro нонтура, pac
'CMoTpeHHoro в 4, мы нашли, что в заШIСIIМОСТИ от параметrов нонтура
JЮ3МСЖНЫ ТрИ. типа собственных но.пебаний. Первый тип, называемый
но.тюбате.пьным, получается при н:омплеf\СНЫХ Ру, ноrда активное сппротивл
ние цепи мало по сравнению с емкостным и ИНДУНТИВНЫМ иrти вовсе OTCYTCT
nует. ПОСНОJ1ЬН:У заряд q", входящпй в выражение (9.66), должен быть
действительной пеJIИЧИНОЙ, хотя Qr и JЮМПJICНСПЫ, необходимо, ЧТI\бы вели
чины Р были НОМIIлеНСlIO сопряженнъrмп, т. е. величины Q i)ePJ + Q k)ePkt
деЙ('ТRительные. Подобные два члена можно объединить и записать в форме
Ае Ь! СОБ at + Ве Ы sin at === Се Ы СОБ (at + ).
Друrой тип собственноrо нолебания соответствует нритичеСf\ОМУ затухашпо
( M. 4); в этом случае неснолыш норней уравнения (9.62) одинаНОБЫ.
Если, например,
Р. === Ps+l === .. > == P21kl == Р2n'
то члены в уравнениях (9.67), содержащие Рв' ..., .Р2n' должны быть за
менены следующим nыраженrrем:
[.1h C(S)+/::, +I)C(s+l)t+ ... +/::'h;'Тl)C(2'11)t2п S]epst,
['де r пробеrает псе значения от 1 до n. Соответствующие изменения должны
.быть сдеnаны и n выражениях для i r .
Третий тип собственных нолебаний можно получить, еСJJИ Р дейст
Бительные величин"J. Это соответствует случаю очень большоrо затухания
(см. 4 ). В этом с.лучае нолебания ОТСУТСlВуют и тон, или заряд, YMeHЬ
;шаеТt:Я, не меняя знан. Это единственныЙ тип, ноторый имеет место,
HorlIa нонтур состоит толыш из индунтивноl',ТИ И сопротивления или из
,еМ1Юt;ТИ и сопротив.ления.
10. Цепь, содержащая постоянную з.Д.с. Если элеl\тричесная
цепь, ноторую мы раСt;матривали, спдержит источнини постоянной э. д. С.,
ТО В праБЫХ 'Шt;ТЯХ неноторых из уравнениЙ (9.56) будут стоять не нули,
.а постоянные P' 'fJ q и Т. д. Полное решение этих уравнений представляет
собой сумму общеrо решения OlIHopolIHoro уравнения (неустановившийся
режим) и частноrо решения (стационарный режим). (,бщее решение дается
выражениями (9.67). Для получения частноrо решения заметим, что в CTa
[{ионарном состоянии все нонденсаторы становятся разрывом цепи, а все
ИНДУI\ТИВНОСТИ коротним замъшанием. Тю.им образом, если вновь из()
бразить цеllЬ, опустив все ветви, содержащие МJнденсаторы, и заменив ИНЛУI,
тивности идеальными ПрОВОДНИf\ами, ТО полученную эюшвалентную схему
можно исследовать методом, описанным в 9 и 10 rл. VI, дающиМ CTa
ционарное значение тон:ов. Зная значения тона и СОПРОТИRления в IШЖДОЙ
ветви, можно найти напряжение, а отсюда и заряд на нонденсаторах в ста
циоиарном режиме. Добавляя теперь н общему ретенИЮ (9.67) стационар
ное значение СООТRетствующеrо тоН'а И.ли заряда, мы IIОЛУЧИМ полное
решение задачи. Постоянные с(1), с(2), ..., C(Тl) определяются попрежнему
из уравнения, ноторое получается из общеrо решения, если положить
-l U, а 1'01\11 и з.аряды считать равными своим начальным значенИЯМ.
ПерехоfJuые явлеuия в алекmрических цепях
33Т
э 11. СQбственные частоты двух индуктивно связанных Контуров.
Примени полученные результаты н системе, поназанной на фиr. 89. Два
контура, по ноторым тенут тони i 1 И i 2 , Ha R
зываются индуктивно связанными. R 1 2
Здесь
Lll == Ll' L l2 == Е 21 == 111, Е 22 == L2'
Rll -== Rl' R 22 == R2'
1 1
811==0; И 8 22 == с 2 ,
Нз соотношении (9.58) имеем Фие. 89.
1 . 1
С 11 '=. L 1 p 2 + R 1 P + С 1 ' CI2' С 21 == Мр2, С 22 == L2P2+ R 2 P +0:; .
Хараюеристичесное уравнение (9.60) будвт иметь вид
C,LL,
L 2
C z
(U.6R)
С l1 С 22 С;2 == О.
Подставляя в Hero значения Сн, С 22 И С 12 И ,:,оотношений (9.68), получим
р 4 +Ар 3 +Вр 2 +Ср +D== О,
['де
А == R]L2+R2LI
LIL2 M2
ВI R 2
С +с
С == 2 ]
LIL2 Л1.2
L] L 2
с+ с +RIR2
В'=" 2 ]
LIL2 M2
D 1
C 1 C 2 (LIL2 M2)
(U.6U)
(9.70)
Собственные частоты системы являются ШJрНЯМИ уравнения (9.69); эт.I1,
норни мы обозначим через Рl' Р2' Р3' Р4' (Подробности решения ypaBHe
нин четвертой степени см. в 1шиrах по теории уравнений и в учеБНИI\аХ
по алrебре.) Значения нор ней равны
1
Р1.2== 4A+PI:!: Р2::!:: Р з ,
1
Рз,4== 4A Pi::l:: Р 2 =F Р 3 '
I'де
[ А ) 2 В ] 1/.,
D I 2 3 == ( tl 2 3 ".
" \.4 6'"
Знан н:вадратноrо 1.орня СJJOдует брать тarшм, чтобы
РIР2РЗР4 == D
и
(Р 1 + Р2) РЗР4 + ([1з + Р4) РIР2 == С.
Если обозначить
1 ( АС В2 )
К -== 12 D Т + 12 '
1 ( BD АВС С2 А2[) В3 )
N== 16 +24 ' 108 '
(9.71)
(9.72)
(9.73)
(9.74)
(!1.75)
(9.76)
то значения t 1 , t 2 и t з , 1ютuрые используются в соотношении (9.72). даются
следующими выражениями:
22 В. Смайт
338
rлава /Х
Если К> О, N { .} О, NZ > К3, то, полаrая ch . {:I::} NK 3/2, имеем
t1o== {:I::} 2 (К)Ч2 ch , t2,3 === ; t 1 :1:: j (3К)Ч2 sh ; . (9.77)
Если К < О, то, считая sh === N ( K) 3/2, получим
t 1 == 2 (- K)l!2 sh ,
12,3 == [1 :1:: j ( 3К)Ч2 ch .
(9.78)
Если К >0, N2< К3, то, полаrая cos ==NK 3/2, имеем
1
'1 === 2.(К)Ч2 cos з ,
(3/( " ) lf2'
'2,з 2'1:1:: sшз ,
(9. 7 )
Тип собственных 1юлеf)аний можно определить без непосредстnенноrо nы
(lисления Rорней PI' Pz, Рз И P'l' При К3> JV2, 48 (К)lf2 > (8В 3AZ) и
t
Фие. 90.
8В> 3AZ норни образуют две RОМПЛeI,сно сопряженные пары, которые
можно записатъ в форме
Р1,2== al:1:: jШ 1 И Рз,4.== az :1:: jш z ,
Таи иак в этом случае в Rажпом нонтуре имеются два затухающих rapMo
нических Rолебания, то возникают биения, подобные наБЛЮJ1ае: ым на воде
i z
t
Фие. 91.
или в ЗВУRОВЫХ волнах. Если эти Rолебания ОRажутся в фазе, то ампли"
туда резу.пътирующеrо нолебания будет мансимальной. Чаrтота биений
равна (Ш 2 ш 1 )/7t. Энерrия переходит с этой частотой от одноrо Iюнтура
R друrоМУ и обратно ЦО тех пор, лона полностыо не рассеется в сопротив
лениях. На фиr. 90 изображен тон во втором контуре системы, поназан
ной на фиr. 89, коrда постте замьшания ВЬШЛЮ(laтелем цепи перnоrо I\OH
тура нонТ(енсатор С 1 разряжается.
При К3 > NZ, а 8В < 3А Z и 48 (К)Ч2 < 8В 3А Z псе норни действи
тельны и отрицательны и тони уменьшаются, не совершая нинанпх ноле
баний.
ПерехоfJuые явлеuия в элекmрических цепях
339
При К < О имеются два действительных порня и пара комплексно со
пряженных [см. соотношения (9.78)]. В этом случае в системе совершается
одно затухаюшее колебание, не сопровождаемое явлением биений. ТакоЙ
тип иолебаний изображен на фиr. 91. Ноrда К == N, то два или неснолыю
норней одинаковы.
12. Амплитуды Rолебаний в двух связанных контурах. Мы опре
делили частоты нолеоаниЙ и ноэффициенты затухания. Остается теперь из
начальных у ловий найти амплитуды Jюлебаний. Нз определителя (9.60)
имеем
Д l1 === С 22 '
Д 12 ==- С 12 === jJ1 р2 И 122 === C l1 .
Таrшм обраЗf,М, при k === 1 полное решение для рассматриваемой системы,
записанное в форме (9.67), будет
ql === c 11c(1)epl! + сИ)G(2)е Р2t + с З;С(3)еРзt + c C(4)eP4t,
q2 == м (p c(1?ePl! + p c(2)ep2! + р С(3)ерзt + p C(4)ePlt),
1 . Р C (1} C (1} e Plt + Р C (2) C (2) e P2t..L Р С (3} С (3) е Рзt , Р С (4} с (4) е Р4!
1 1 22 2 22 . 3 22 '4 22 ,
(9.80)
i 2 == м (prc(1)ep1t + p C(2)ep2t + р G(3)ерзt + p2C(4}ep4t).
Пусть при t === О ql === Q, q2 == О, i 1 == О И i 2 == О. Подставляя эти значения
в уравнения (9.80) и соиращая на М, нетрудно разрешить их относи
тельно с(1) И получить
с(1) с(2) с(3) с(4}
22 22 22 22
Р2 Рз Р1 P P 2 Р;
С(1) == Р2JiЗР,IQ с(2) с(3) с(4) Р з
22 22 22 pA } pA } рзс } pA }
p p Р; Jir p 3 р!
Рз
в числителе умножим верхнюю и нижнюю строни детерминанта COOTBeT
ственно на R 2 и на Е 2 и вычтем их из среднеЙ строии, тоrда все члены ее
станут равными 1/С 2 . После вычитания третьеrо столбца из первоrо и BTO
poro столбцов первые два члена среднеЙ строии обращаются в нуль, по
вижая тем самым порядо!> детерминанта, таи что ero теперь можно пред
ставить в виде произведения сомножителеЙ. Таним образом, чпслитель при
нимает вид
Р2РЗР4 (Р2 Pt) (Рз Р4) (Рз Р2) i 2 .
(9.81)
в знаменателе умножим вторую строну детерминанта на L 2 и вычтем нз
первой, потом УМНОJI\ИМ вторую И четвертую строни соответственно на R2;
и L 2 И вычтем из третьей, после чеrо из этоЙ стрOIПI можно будет вынести
общий множитель 1/С 2 . Vмножим теперь третью строну на R 2 и вычтем
из первой, тоrда все члены этоЙ строни станут равными 1/С2;; эту вели
чину можно танже вынести в начестве общеrо МНОЖ1!ТеJlЯ. После вычпта
ния четвертоrо столбца из первоrо, BToporo и третьеr'о столбцов первые
три члена первой строни обращаются в HYJJb, понижая тем самым порядок
детерминанта. Теперь за знан детерминанта МОЖно вынести множитель
(Р 1 Р4) (Р2 Р4) (Рз Р4)' после чеrо во Второй строне останутся толыю
единицы. Вычитая в полученном детерминанте третий столбец из пеРВ\Jl'O'
и BToporo, опять понижаем иорядон детерминанта и выносим затем МНОЖII
тель (Рl Рз) (Р2 рз). Оставшийся детерминант BToporo IIОрЯДI\3 сводится
22*
340:
rлава /Х
н Р2 Рl' таи что знаменатель принимает вид
(Рl Р4) (P2 Р4) (Рз Р4) (РI Рз' (P2 Рз) (P2 Р. )
C
(9.82)
Таиим образом, дЛЯ С(1) получаем следующий результат:
с(1) == . Р2РЗР4 С 2Q
(P2 Pl) (Рз Pl) (Р4 Pl)
(9.83)
Для получения C(Z) нужно JIИШЬ заменить индеис
(9.81) и изменить знаи в выражении (9.82), тоrда
с(2)== РЗР4РI С 2Q .
(Рз Р2) (P4 Р2)(Рl Р2)
2 на 1 в выражении
(9.84)
Аналоrично
"'
G(З) Р4Р. P2 C 2Q
(P4 Рз) (P. Рз) (P2 Рз) ,
с(4) ==- РIР2РЗ С 2Q
(РI Р4) (P2 Р4) (Рз Р4)
( .85)
(9.86)
При начальных условиях, заданных в наиболее общей форме, т. е.
иоrда величины ql' Q2' i 1 И i 2 В наЧаЛЬНЫй момент t == О не равны нуJПо,
мы получим для наждоrо С выражения, uчень похожие по форме на выше
нанисанные. Способ их получения тот же самый.
13. Колебательныи режим. n этом случае норни уравнения (9.69)
имеют вид
Р1,2== al:!: jw l , Рз.4== a.2:!: jw 2 . (9.87)
Положим
2рА1)с(1) == а' + jb',
2рзс )G(3) == а" + jlJ".
(9.88)
Тоrда, поснольну Plc pc(1) и рзс )с(3) явлmотся номплеНС1ю сопряженными
P24 )c\2) и P4c )c(4) соответственно, мы можем представить тон i 1 (см.
Дnайт, 408.01 и 408.02) n форме, определяемой соотношением (9.80),
i 1 == e (J.lt (а' cos ш/ Ь' sin w1t) + e a2! (а" cos w 2 t Ь" sin w 2 t) ==
== ale (J.lt sin (w 1 t + J + a2P' (J.2t sin ( 2t + 2)'
и
а 1 == (а'2 + Ь'2)Ч2,
\
1t Ь'
1 == 2 + arc tg i? '
а 2 == (а"2 + Ь" 2 )Ч2
I (9.89)
(9.90)
(9.91)
(9.92)
('де
1t Ь"
2 == "7"" + arc tg ." .
L. а
Аналоrично, полаrая
2Mp c(1) == с' + jd' и 2Mp C(3) == с" + jd",
имеем
i 2 == e .lt (с' cos w 1 t d"sin (t)lt) + e .2! (с" cos (t)2t d" sin (t)2t) ==
== cl lt sin «(t)ll + 1Ji1) + c2e .2t sin «(t)2 t + 1Ji2)'
(9.93)
('де
С 1 == «(.:'2+d'2)1f2,
С 2 == (с/ 2 + d"2)lJ2
(9.94)
Переходuые явлеuия в элекmрических цепях
341
и
1t d'
'fI ==2 +ar'c tge' :..
1t d"
'f2 == 2 + arc tg с 11 .
(9.95)
Подставляя п соотношение (9.83) вместо Pl' Р2' Рз, Р4 соответствующие
им выражения (9.87), получим
c(1) . (аl+j"'l)(а +",ЮG2Q
7 "2/"'1 [a2 al+1 ("'1 "'2)] [a2 al+j("'1+"'2)]
(9.96)
П()следние множители в знаменателе :можно наппсать в внде
(a 1 ( 2 )2 + (ш шi) + 2jШ 1 (а 2 ( 1 ).
COrJIaCHO выражению (9.68), имеем
c ) == [L 2 (ai ш'f) R2al + с 2 1 ] + jШ 1 (R 2 2a 1 L 2 ).
(9.97)
Тан нан
с(3 ,4)с(3,4) с о ,2)*с(1 ,2)"
22 - 22 ,
мы получаем
а1.2 == (а',"2 + Ь',"2)Ч2 ==
2(р Р '" С о,з) с о,З)* с (I,3) С (1'3)* ) 1f2 (ai+u'i) (a +"' ) Х
. 1,3 1,3 22 22
"'1,2
Х f [L 2 0 2 (af,2 "' .2) R202al,2 -+ 1]2+"'r,20 (R2 2al.2L2)21lJ2
i [(a2 al)2+("'2 "'1)2] [(a2 al)2+("'2+"'1)21 1 Q,
(9. 8)
rде инденсы перед заПfJтоi1 относятся н U 1 , а инден:сы после запятой
R а 2 .
СОI'ласно соотношению (4.51). выражение для arc tg (Ь' /а'), являющеrо
ся aprYMeHToM а' + jb', :можно получить, если из суммы aprYMeHToB c )
и числителя plC(t) вычесть арl'умеиты множителеЙ знаменателя СО). Пычис
ляя эту разность и ПОЛЬЗУЯСh формулой (9.91), находим
"'1 ,202 (R2 2al,2L2)
1 2 == arc tg 1 R О L О 2 2)
, a1,2 2>2+ 2>2(a1,2 "'1,2
arc tg "'1 "'2 =F arc tg "'1 + "'2
a2 al a2 al
(9.99)
Подобным же образом получаем
С1,2 == (с',1I2+ d',1I2)1/2 == 2М (Рl:зРf зс(1'3)СО'3)"')lJ2 ==
]102,1 (а;,2+"';,2)2 (a ,1 +"' .1) Q
"'1 2 t[(a2 al)2+("'2 "'1)2] [(a2 al)2+(w2+ "'1)2])lJ2 .
Соrласно соотношению (4.51), выражение ДJIЯ aprYMeHTa с' + jd' можно
получить, если из суммы aprYMeHToB Р; и числитеJJЯ P 1 C(I) вычесть apry
менты множите.'lей знамепатоля с(1). n результате после использопанrш
формулы (9.55) имеем
(9.100)
"'12 "' "'2 "'1+"'2
Ф1,2 == 2 8l"С t.g 8l"С tg 1 =F 8l"С tg .
а l ,2 a2 al a2 al
(9.101 )
э 14. ИНДУRТИВНU связанные нонтуры, обладающие малым аRТИR
ным сопротивлением. Если антпвнuе сопротивленпе :мало, т. е. тони
являются в обоих нонтурах сильно ОСЦИЛЛИРУЮЩI1МИ, то собственные
342
rItaea IХ
частоты определяются выражениями Р1,2 0== 0.1 ::1:: jш 1 , рз,,< 0== 0.2 ::1:: jш 2 .
Подставим эти значения в уравнение
(р . Рl) (р Р2) (р РЗ) (р Р4) О,
перемножим скобки и сравним полученные коэффициенты с коэффициента
ми уравнения (9.69). В реЗУJIьтате будем иметь соотношения
А 0== 20.1 + 20.2' (9.102)
В 0== (0.; + ш;) + (a. + ш ) + 40.10.2' (9.103)
С == 20.1 (a. + ш ) + 20.2 (о.; + ш ), (9.104)
D ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 9 1 5
0.1 +- Ш 1 0.2 + Ш 2 . . о )
Сравнивая выражения (9.102) и (9.104) с выражеНIlЯ:\1:И (9.70), мы видим,
что 0.1 И 0.2 TaHoro же порядна маJIOСТИ, JШJ{ Rl И R2' Пf'этому величи
нами a. , a. и 0.10.2 можно пренебречь по сравнению с ш; и ш . Таним обра
зом, имеем
А == 20.1 + 20.2'
в """'ш;+ш1,
С ""'" 2а.1Ш + 2а. 2 ш i,
D шiш .
(9.106)
{ 9.107)
(9.108)
(9.109)
Из соотношений (9.107) и (9.109) получим
1
Шf,2==2" [В ::1:: (B2 4D)1f2].
Пользуясь выражеНИЯl\llИ (9.70) и пренебреrая величиной RIR2'
лу можно привести н виду
2 L 1 C 1 + L 2 C 2 [(L 1 C 1 L2C2)2+4CIC2M2]1f2
Ш1,20== 2C 1 C 2 (LIL2 M2)
эту форму
(9.110)
Из соотношений (9.106) и (9.108) по.пучим пыражения для 0.] и 0.2 и, заме
нив С и А их значениями (9.70). будем иметь
В]С 1 + H2C2 с.с2 (RIL2+R2L]) "'i,2
0.1,2== (9.111)
'2С]С 2 (LIL2 M2) ("'i,2 "' ,I)
['де первый инденс относится к 0.1' а второй к 0.2'
Пренебреrая в выражении (9.98) величинами а 2 , R2 И a.R, находим
"'i"' (1 "'i,2L2C2) (1 "'i.2L2C2) Q
а1,2== 12 21 Qo== Ч2 (9.112)
"'1,2 "'2 "'1 "'1,2 [(LIC1 L2C2)2+4C]C2M2]
Если затухание мало и 0.2 0.1 Ш 1 ш 2 , то последние члены в выраже
нии (9.99) очень везпки, поэтому сумма уrлов f)лизка 1{ 1t, а разность
.., нулю. Чтобы устранить неопределенность, воспользуемся формулой
т.: arc tg А 0== arc tg (A I).
Поскольну все арнтанrенсы малы, заменим arc tg А на А и пренебрежем
величиной АЗ, в результате "181'0 получим
7t (1:t 1) "'1 2 С 2 (H2 2al 2 L 2) 2"'1 2 (a2 al)
([)1 2 2 + . 1 2 I с' + ' 2 2
Т , 0== "'1,2 2 2 "'1 "'2
7t(1:t 1) 2"'1,2CIC2M2(C2B2 CIH1)
0== 2 + (1 "'i,2L2C2)[(LICl L2C2)2 +4С 1 С 2 М2]
(9.113)
Переходuые явлеuия в элекmрических цепях
343
Из выражения (9.100) находим
"
M0 2 ,t"'1,2 ("'1"'2)2 "'1,2M02,1Q
С! ,2 == I 2 2 I Q == 1/
"'2 "'1 [(L101 L202)2+40102M2] 2
tj
r'T
(9.114)
Учитывая, что все уrлы в выражении (9.101) велики, воспользуемся опять
соотношением
71: arc tg А == arc tg (A. l)
и .напишем всюду А вместо ю"е tg А. Можно неС1ЮЛЬНО упростить резуль
тат, добавив 271:, и ПОЛУЧ1J'lЪ
." то (1 + 1) + 2 (a2(j)i a,(,, )
y1,2 2 ( 2 2 )
("1,2 w 1 Ш 2 ;
== то (1,+ 1) + (L,O, L 2 О 2 )(Л,:, В 2 : 2 ) 2 .
2 "'1,2 [(L1C 1 L 2 0 2 )" + 40 1 C 2 M ]
Подставляя эти значения n (9.89) и (9 93), получим О1юнчатеЛЬНОI:J Bыpa
тение дЛЯ ТОIЮВ ё 1 И ё 2 .
(9.115)
15. Настроенные ИНДУI.тивно связанные контуры, обладающие
малым аI.тивным сопротивлением. Пусть дР.а нонтура, рассмотренные
I' предыдущем параrрафе, настроены, н:аждыЙ в отдельности, на одну и ту
же частоту. Тоrда, если пренебречь членами с R2, LI С} == Е 2 С 2 И Быра
жение (9.110) можно записать в Биде
1
!lJf,2
== (02 01)1/2 [(L 2 Ll)1/2 + М] .
В этом случае выражение (9.111) та I>же можно ун ростить
Я 1 О'+В 2 О 2
СХ! 2 ==
, 4 (02 01)1/2 [(L 2 L 1 )1/ 2 М]
После подстаноВfШ в выражения (9.112) (9.115) получим
Q
а1 2 ==
. 2 (О1 0 2)Ч4 [(L}L 2 )1/ 2 211]1/2 I
то (1 1: 1) (О2Я2 О'В}) [(L,L2)1f2 + М]Ч2
ер J. 2 == 2 + 2М (0102)lJ4
(0,02//4 Q
СI 2 ==
, 20 [( I L ) Ч2 .I М ] Ч2 '
1, 2 l 2 ,
(9.116)
(9.117)
(9.118)
(9.119)
(9.120)
'f1,2== 7t(t2=F 1 ) .
(9.121)
16. Цепи из одинюювых звеньев. Иноrда приходится иметь дело
с цепями, которые состоят из одинarювых повторяющихся звеньев (СМ.
фиr. 92). Все ИНДУКТИВНОСТИ равны Е, и пее емкости, за исюпочением пер
БОЙ, равны С. ДЛЯ r ro звена уравнение (9.59) имеет вид
С т , T 1 QT 1 + С т , т Qr + С т , т Н QT+1 == О, (9.122)
:rlIe
1
С т , T 1 == С т , т+1 == о '
L 2 2
С т , Т Р + с .
344
Тлава IХ
Это уравнение можно написать в форме
Qr l + QH1 ==о (2 ЕС(2) Qr 2 cos2ep Q"
(9.123)
1',{Р
р == j(J) == j (LC) 1f2 2 sin ер.
.
(9.124)
Таи нан 1{раевые условия наиболее просто выражаются через напря
жения в узловых точиах (пеРВОI'О и ПОСJ1еДнеrо 1\OHTYPOB), представим ypaB
нение (9.123) также через напряжение. 3аменим в уравнении (9.123) r
на r +'1 и полученное выражение вычтем из уравнения (9.123), тоrда,
поснольну
CV, 1 CO QJ l Qr'
CV, == (J, Qr ,1 и Cllr Н ==с Q'+1 Q,+2,
мы ПОJlУЧИМ
V T 1 + V' ,+1 ==о 2 cos ,2у V r .
(9.125)
'равнения (9.123) и ( .125) аrrалоrичны уравнению (6.20) и имеют своим
о 1
J l
Фие. 92.
решеннем (см. Двайт, 401.05 п 401.06) следующее выраже1ШС>:
V, == А cos 2rep + В sin 2rep.
ПОСJЮЛЬНУ HOHeT линии заземлен, то
(9.126)
о ==о А cos 2пер + В sin 2п9.
(9.127)
в первом нонтуре
V V L di, L .
1 О ==о ([t== Р Т l
и
pV == pQ, ==
о СО СО .
Иснлючая i l и заменяя р2 Lыражением (9.124), а V о И V 1 выражением
(9.126), получим
(1 4 o sin2 )A==oAcos2 +Bsin2cp. (9.128)
3аменим cos2ep и sin2ep выражениями (403.02) и (403.22), n;штыми из
справочнпна Двайта, тоrда получим
в ( 1 2С о ) t
А \ C gep.
Приравнивая найденное выражение н" значеншо В/А, получаемому из COOT
ношения (9.127), приходим l{ следующему уравнению:
С ctg 2 пер ==о (2Co С) tgep. (9.129)
Подстановна норнеЙ .3TOrO трансцендентноrо уравнения в выражение (9.124)
дает собствеН1fТ>!е частоты рассматрпваемой спстемы. Норни урапне
пия (9.1 9) наиболее леrно найти путем rрафпчесноrо ПОf'Троеrrия фующии,
получаемой после переrrесения Есех Ч;Щшов НЗ lJравой части в левую. Тоrда
ПерехоfJuые явлеuия в элекmрических цепя:v
345.-
.
пересечение построенной нривой с осью cf' и даст ИС1юмые зпачения ср.
Вычисление амплитуд, УДOJтетворяющих заданным начальным уr.ловиям,.
до неноторой степени упрощается вследствие болъшоrо числа нулей в ypaB
нениях (9.67).
17. Интеrральный зффеЕТ переходноrо процесса. В неноторых изме
ритеJIЬНЫХ элентричесних схемах, тде употреБJIНЮТСЯ баJIлистичесние rа;IЫJЮЮ
метры, измеряется интеrраЛЫ1ЫЙ эффент переходноrо процесса. Н ТaI\ИХ
случаях для попучеПI1Я 1 УRШOI'О результата
можно проинтеl'РИlJUвать cooTBeTcTBY10I:U,ee
дифференциальное уравнение. Рассмотрим в
качестве примера элентричесную цепь, изо
браженную на фиr. 93. Это устройство иноrда
применяется для сравнения велпчин взаим
ной индунцип и емнщ:ти. Цепь считается
сбалансированной, если заМЫJ,ание или раз
мьшание нлюча не вызьшает отнлонения
стреЛЕИ баллистичеС1юrо rальвапометра. Пе
ред тем нан плюч замьшается в первый раз,
i 1 == i 2 == i3 == ql q2 == qз == О. ПОС.i!Е' тото ню\
установится стационарныЙ режим, i 2 == i3 == О, q2 == i 1 Rl С и, если цепь сба
лансирuвана, q2 qз == О, отнуда qз == i 1 R1C. Пу!:ть LG и RG саМОИIIJIУНЦИЯ
и Сопротивление rальва1юметра, тотда уравнение Нирхrофа для ШJНтура,
по которому проходит Тон i з , будет иметь вид
[1
Фие. 93.
111 di, R ( . . L ( diз di2 ) "di з 1 '3' О ( 9 13 0)
. dt+ G lз l2)+ G dt dt +,} dt + <2 l з== . .
Предположим, что в момент времени t == О lШroч замынает цень, а к MO
менту t == Т достиrается стационарпое состояние. Vмпожая уравнение (9.130)
на dt, ИIIтеrрируя но t между этими преде,jIaМИ и пользуясь УПОМПНУТЫМI
начальными и кf'нечныии значениями для ТOJ,оп и :шрядов, пuлучим
Jfi 1 + О +0+0 +R2i1RI С ==0.
Сонращая на i 1 , приходим н результату
М == RIR2C,
(9.131 }
Это искомое условие баланса схемы. Если значенпя S и 111 не подобраны
специальпым образом, то тон через тальванометр не будет равен НУJIЮ
D ПРОДОJIжение переХОДноrо процесса, а будет протепать спачала в одном
направлении, а затем в ПРОТIШOIIOJIOЖ1IOМ.
18. ПерСХОДIIЫС явления ПрИ и шульсах Iюнечной ПрОДОШI\ИТСЛЬ
JЮСТИ. ДО сих пор в этой rJlane расематривались переходные явленнн,
наСТУПRющие после мпюпеННLIХ изменениЙ в цепи. Обратимся теперь f\ слу
чаю, ТЮПIa ПР1шаrаеман э. д. с. требует для достижения евоето стационар
ното значения Iюнечпоrо лремепи То. Пусть в интерва,'!е U < t < То ее зна
чепие равно I (t). Подстав IНЯ эту фушщию nместо '{{, решаем полученные
уравнепин, I\ar> п прежде, и находим обшее рршеНИt) ОJlНОрОД1ЮЙ системы
и частное решение неодноро;шой системы. Определяем далее произвольныс
постоянные I13 начальных условий (при t == О). Полученное решение будет
справедливо Д.ня иптеРlJaJIa 0< t < То. 3атем будем IIснать решение ypaB
нениii, имеJOЩПХ место поеле мтновенното изменепия в цепи IЗ момент Hpe
мени t == То. При отсутствпи дополнительных 1I3менениii lJnщее решение
будет прежним, а частное решеНlю лруrи:м. Мы определим постоянпые
интеrрации, 1I0лаrая t =='Т о в этом втором решении и подставляя в нето
346
rлава /Х
значения ql' q2' ..., qn И i 1 , i 2 . ..... i n , получаемые из первоrо решения
при t==To' Второе решение имеет место в интервале То < t < со.
В случае, коrда / (t) слошная фуiшция, нахошдение частноrо интеr
рала ДJIЯ первоrо решения мошет оказаться очень трудным или даше He
.возможным, особенно ДJJЯ сложных цепей. Если, однако, импульс Э. д. с.
имеет прямоуrольную форму, то в интервале 0< t < ТО
Э. ;J,. с. постоянна II чаt;ТИЫЙ интеrрал для перво1'О
решеrпш . можно наити методом, рассмотренным в
1(). Если н интервале То < t < со Э. д. с. равна
t нулю, то для ЭТО1'о интервала сохранится лишь об
щее решение однорОДНО1'о уравнения.
Для контура, изображеннOI'О на фиr. 84, co
t;тоящеI'U и:J lfНДУIПИПНОСТИ, емности и сопротиnле
нин, nключенных последовательно, в интервале
O<t<T o вместо уравнения (9.3) будем иметь
s
Фие. 94.
J d 2 q dq q \
, dt2 + R dt + о / (t /.
(9.132)
Если ввести
R ( В2 1 ) Ч2
Л')
I,.. 2L::l:: 4и 1.0 '
(9.133)
TO общее решение в случае, I\оща R2j(4L2) '* 1/(LC), принимает вид
! !
еЛ}! \ еЛ2t \
q == C 1 еЛ}! + С 2 еЛ2! + / (l) e A}! dt / (t) с Л2t dt. (9.134)
I,(л} Л2) . L(л} Л2) .
О О
Если R2j(4L2) == 1/([/;), то 1..==1..1 == 1..2 == Rj(2J,) == 1j(l_C)1f2 И
t !
. q ==(C + C t) еМ + e ! [t / (t) е лt dl t/(t)e i.t dt ]
о о
(9.135)
Пусть в начальный момент (t == О) q == q() 11 i == i(l' тоеда, подставляя
t == О в решение (9.134) и в e1'o производную, получим
qo == С 1 + С 2 ,
io == Л 1 С 1 + л 2 С 2 ,
С Л2qо iо
1 Л2 Лl '
С Л 1 qo io ( 9 136 )
2 Лl Л2' ,
в случае критическо1'О затухания, соrласно соотношению (9.135), имеем
C == qo и C == i;. лqо.
(9.137)
В качестве специальн()1'() примера рассмотрим импулье. показанным на
фиr. 94 и описываемый фуrпщией
/ (t) == : t,
(9.138)
причем q() == io == О при t == О. Пусть этот ИМПУJIЬС ПОСЬШal.JТt;Я в контур
.с критическим сопротивлением. Для TaKo1'o контура справедливы соотноше
ния (9.135) и (9.137), тан что C ==C ==O. Тоща из соотношения (9.135)
получаем
! (' t
q == 1;'0 еМ (t te i.I dt t 2 e J.t dt ) .
() ()
(9.139)
3ада-чи
347
После интеrрирсвания (см. Дпайт, 567.1 и 567.2) получим
== 4L'fio [ t ' 4L + C t . 4L ) Rt/2L J
q 11.2 То 11 . т R е ,
i == dq === 4L'fio [ 1 ( 1 + t ) e Rt/2L J
dt R2To 2L ,
"
.v
(9.140)
(9.141)
:Эти выражении определяют i и q в интервале О <' t < Т". Решение в Интер
вале То < t < 00, определяемое выражением (9.9), имеет вид
q === е lЩ2L (А + 13t), i == -е lЩ2L ( l ) + в ( 1 ::. ) .
Подставляя сюда значения i == i 1 , q == ql при t.== То, находим
q===e R(t To)/2L [ъ +( 12 +i 1 ) (t To) ] ' (9.142)
i === e R (t To)/2L I i !i ( Rq, + i ' ( t Т ) ] ( 9.143 )
L. 1 2L 2L 1 J n
3начения i 1 и ql В ФОРМУJ18Х (9.142) и (9.143) определяются из пыраше
ний (9.140) и (9.141), в которых нужно положить t To. Тоrда Ф()рмулы
-(9.142) И (9.143) определяют заряд и TOf В интервале То < t < 00.
ЗАДАЧИ
1. Звено, состоящее 113 параллельно включенных кондрнсатора r: 2 и индунтив
ноети L2' соР.динено последоватеJJЬНО с конденсатором С 1 . индунтивностью L 1 И ВЫНJ1Ю
, чателем. Вначале С 1 имеет заряд Q. Показать. что в любой момент времени после замы
!шния цепи вын:лючатеJJем величина заряда на нонденсаторе С 1 определяется ФОРМУЛОЙ
Q (P1 ' p ) l [(LIICll p ) cos Plt (L11Cil Р1) cos P2 t ),
тде
PI==(A+B)1f2, Р2==(А В)Ч2
А L]C] + L 2 C] + L 2 C 2 и В == [(L]C] + L 2 C, + L2C2)2 4L]L 2 C 1 C 2 1 1 /2
2L]L 2 C 1 C 2 2L 1 L 2 C 1 C 2
2. В обмот]{е элентромю'нита, индунтивность HOTuporo равна 1 еи, циркулирует
fiостоянныii тон 10 а. ПренебреJ'ая сопротивлением, найти величину емн()сти HOHдeHca
тора, который следует поднлючить н нонцам обм()тни ЭJJентромаrнита для Toro, чтобы
IlрИ внезапном разрыве цепи не произошел проб6й и золяпии , вьщершивающей напря
жение в 10000 е. Используя этот нонденсатор, ПOlшзать, что при сопротивлении обмотки
ЭJlентромаrнита в 1 ом действующая э. д. с. n ней будрт приблизите.тIЬН() равна 9992 е.
3. Катуиша самоиндунции L, нонденсат()р С и батарея, обладающая э. 1\. с. 'f3 и
Бнутренним сопротивлением R, соединены параллельно. П()казать, что через t сен. после
;присоединения батареи ток через нее равен
[1 (шНС) l e t/2RC sin wt),
,а ток через !{аТУШRУ са;\>юиндуюнш равен
{1 e /2RC [(2wRC) 1 sin wt + cos wt)},
тде
W===-[(LC) l (4ЮС2) 1)Ч2.
Написать решение д:ш СJlучая, ноrда веJJичина w l\ШИl\ШЯ ИJIИ Ol'да она равна пу.Т1ю.
4. ПОС1Jе Toro кан.в контуре, рассмотренном в предыдущеи задаче, Уl'7ановилось
<стационарное еостояние, батарея отключается. IIоназать, что через t сен. после отео---
единения батареи заряд на !юндепсаторс, равен
(LC)1J 2 R l 'f3 sin [(Lc) 1/21).
348
rлава / Х
5. Коэффициент взаимной ИНДУЮЩИ двух связанных нонтуров равен JИ. Первы
НОIlТУР состоит IIЗ 'f!" R, L} и вынлючатеШI, соединенных послеltовательпо, авторои
нонтур содержит L 2 и С, танже соеДlIнепныР. последоватедьно. Поназать, что дифферен
циальное уравнение для тока n первом нонтуре будет -
.. .
с (L]L 2 1112) i +СL 2 Лi +Lli + Ri== 'f!"
а для тона во втором HOHType таное же, ТOJJЫ{I) с правой частью, р'lвпой нулю. При
наЮIХ значешrях парэметров нонтура в системе возможны колебапия't
6. Поназать, что если нос.пu УСТЭIНшлення стациопарноrо соrтпяния В еистеме,
рассмотренпой в предыдущей задач"', цепь первоrо I{OHTypa внезапно разрывается, то
через t сон. после разрыва тон во втором ноптуре будет равен
( 2 ) С08 [(L2C) 1f2 t].
7. Основной нонтур состоит ИЗ двух одинаковых ИНДУJ{тивностей L и L и HOH
денсатора С, еоединепных поеледователыю. ПараJJJlеJJЬНО нонденсатору ПОДКlюЧ'аетел-
батарея 'f!, с внутренним сопротивлением Н. Каждая 113 индунтивпоетей L СВЯЗё\на !:
нонтуром, состоящим из последовательно с(,еДИНf'IIВЫХ ипдунтивпости L и нонденсатора
С, причем коэффициент ВЗI\ИМНОЙ индующи равен М. После достижения стациопарноr(}
состояния цеиь батареи разрывается. Поназать, что тон в основном нон туре равен
1 1f
2" 'f!, R 1 [(С08 Pl t + С08 P2t) + (Р+8М2) 2 L (С08 p}t СО8 P2t)],
в то же время тон в наждом из связанных нонтурон равен
'f!, MR 1 (P+8M2) 1/2 (eos p]t С08 P2t),
}'де
P ,2 == [3L =+ (Р + 8М2)Ч2] [4 С ' (Р jvJ2)] I.
8. Сопротивление 11 и нонденсатор С 1 , еоединею,ые Ilараллельно, Пlшючаются по--
следовательно с батареей 'f!" НОJJдеисатором С 2 и вьшлючаТЕ>лем. Вначале нонденсаторы
зарядов не ИМfJIОТ. IIоназатъ, что через t сен. ПОСJJе замьшания пепн заряд па Iюнден I
еаторе С 2 равсн (внутренним сопротивлешюм бятареи можно пренебречь)
C 2 'f!, [1 C2 (О] +C2) 1e mt],
l'де m [R(Cl+C2)] I. Найти танже заряд па IЮЩl,Cнсаторе С}.
9. В обмотне БОЛЫ/I()J'О элеНТ}JOмаПIИТё\, ипдy:rаIШIJОСТf, Iштороrо L, циркулирует
постоянный тон /. Цепь разрывается при помощи I{люча, yeTpOeHJlOrO тан, что разом
ннутые нонцы расходятся с постоЯ/IПОИ CHopOCTЬJO lJ чеjюз 1/10 сен. образуют зазор в
1 СМ. Пробивнос напряжепие иа ЮIЮЧС равно 1 .500 в/мм. П(шазать, что ДЛЯ предотвра
щения иснрrния в нлюче ero сдедует БЛOJнrровать нондепсатором, емность ноторш'о равна
/2L
С"> (15000)2 '
/
или С"> 150 ()ОО ,
в зависимости от Toro, ноторая из величин больще.
10. Три ветви соединяются в двух узлах. Первая вртвь содержит L 1 и Л 1 , вторап
содержит L 2 и Л 2 , а третья содерЖJJТ 'f!" R J-J ВЫНJllOчатель. Поназать, что через t сен.
после вамынанил цепи тон черен батарею рююн
( r [ L L аА 1 I )
'f!, A+e ot{ Ach"'t+ 1 2 БЬШС ,
1 (J)J 1 2 (J) J
rде
A R]+R2 r , R+BL + н+п2 [ 02 J lJ2
) 7 а, J _ . , (j) [J + .
Н 1 f. 2 +R(R 1 +Л 2 ) . и 1 '21>2 L,L2
11. Три ветви соединлJOТСЯ в двух уз;rах: nервап ветвь содерЖИТ НОIlдспеатор С 1 I1
вынтпочатель, вторая нонденеатпр С 2 I! пыприыитсль К, третъя IШД)'1.тивпоrтъ L.
Внача е конденсатор С ] имеет зарид Qo, а ПОJ]НРIIОСТЬ uьшрнмитеJJЯ танева, что сразу
после замыкания цепи (при t == О) Iюпдепсатор С 1 не может раВрЯДIJТЬСЯ через вторую
ветвь. 1I0IШ, зать что тон через ипдунтивность L В уназаНJlые ниже промежутни времени
1 lJ
равrп при 0< t< 2 те (LC]) 2
i ==Qo (LC1) 1/2 8in [(LC]) lJ2t],
3 ада'lи
349'
ПрИ 11: (LC 1 )1f2 < t < 11: {(LC 1 )1f2 + [L (С 1 + С 2 )]Ч2}
i == Qo (LC1) 1f2 sin ([L (С 1 + C2)] 1/2 t + 11: { 1 [ С 1 IC2 J Ч2} ),
1 1f 1/
ПрИ t > 211: {(LC 1 ) 2+[L(C 1 + С 2 )] 2}
i == Qo [L (С 1 + С 2 )] Ч2 sin ( (LC1) 1/2 t + ; 11:
1 1 r с, +С 2 J l/2 } ) .
[ L С 1
12*. КоэффициеIJТ взаимн()й индукций двух свнзанных нонтуров с параметрами L,
п] и N (индуктивностъ), Л 2 равеп JИ. В ОДИН ИЗ I{OIIТypOB ВЮJючается э. д. С. 'f!,.
Поназать, что полное Rоличество элР.нтричества, протекающее через второй нонтур,
равно 'f!,М/Л 1 R 2 .
13*. Коэффициент взаимной ИНДУНЦИИ )JByx евлзапных нонтуров с параметрами С,
R, L и N, S (сопротивление) равен JИ. В начальный момент на Iюнденсаторе находился
.3аряд Q. lIоназать, что если LN ==lIJ2, то начальные тони равны
NQ
С (RlV + SL)
MQ
и С (RlV + SL) .
Найти тони в любой последующий момент времени.
14*. Два изолироваuных провода А и В с одинановыми активными сопротивлениями
и с самоиндукциями L имеют коэффициент взаимной индукции, мало ОТЛИЧRЮЩИЙСН от L.
И ноннам провода В присоединяетсн проволока малоrо aI{тивноrо сопротивления, а к
Iюнцам пронода А батарея с малым внутренни сопротивлением. Через t сек. по,. ле
приеоединения в проводе А наблюдаетсн ТOJ{ i. Доказать, что для не очень малых t
ток приблизительно равен
1 ( . " )
t ==2 to+ t ,
!'де io постоянный ТОН в А, i' тон, который протекал бы через t сек. в А и В при
их последовательном соединении е батареей.
15*. Два зарпженных пр()воднина, еМIЮСТНЬЮ I{оэффичиеl1'l'Ы ноторых равны 11' 12'
", еоедишпотся посредством катушки, имеющей большую самоиuдунцию L и СОПРvТИВ
.ление Л. Показать, что частота собственных нолеuапий сиетемы равна
( 2r+I'I\1'2 .... ) ч2.
211: 1112 Р L 4L2
16*. Две параллельно соединенные наТУШJ\И (Л, S сопротивления, L, М, N
lюэффициенты индукции) расположены так, что постоюшый тон, развеТВЛЯЮЩИЙСf1
.между lJИМИ, создает такие маrНllтные поля, что реЗУlJьтирующая сила. отклоняющая
(;трелку rальванометра, равна нулю. ДUЮl.3ать, что при внезюIНОМ возниюювепии тона
13 цепи, содержащей ЮПУllШИ, начальная сида, дР.йствующая на стрелку, не будет,
вообще rоворя, равна нушо и что В результате получитсн такое отклонение стрелки
1'альванометра, которое вознинает при поетоянном (установившемся) токе, проходящеи
Jj одной первой катушке в течепие вреМtJНИ
M L
M N
S
17*. Конденсатор С разрлжаетсн через две пеuи: первая состоит из еоиротивленип
R и самоиндунции L, друrая из сопротивления Л' и конденсатора С'. ПОRазать, что
зарнд Q на нонденеаторе в любой момент времени удовлетворяет дифференциальному
урruзнению
,d 3 Q ( L L , ) d2Q / R R Л' ) dQ Q
LR dt3 + с + С' + RЛ d"t2+lc+ c' +c dt"+ CC' ==0.
18*. МОСТ Уитстона испольауют для СРRвпения Rоэффициента взаимной ИПДУНЦИИ
М двух Iштушен с коэффициентом самоиндукции L третьей катупши. Одна из llарных
натушек помещается в диаrонапь АС, содержащую батнрею, ДРУj'ая IШТУШl{а присо
единяетея н концам диаrонали BD в J{ачестве ШУНТR к rRльванометру (баллиетичесному)
и третья катушна JJOмеЩё\ется в плечо AD. Моет вначале балаlil'ируется на постоянном
тоне (сопротивления плеч АВ, ВС, CD, DA равны Л j , В2' Л з , Л 4 ); сопротивленир
шунта изменяется до тех пор, пою!. при размын:ании и sамьшании цепи батареи стрелка
rальванометра перестает ОТI{ЛОНЯТСЯ. Пусть в сбалапсированном мосте СОllротив.тrение
шунта равно Л. Доназать, что
LЛR 1 == м (Л 1 + В4)2.
350
rлава IХ
19. Два нонденсат()ра С, и С 2 I1Rлючены последовательно с индунтиВlJOСТЬЮ L..
В начальный момент заряд ШJ С. paJJ('H Q, а на С2 llУЛЮ, Поназать, что через t CCI,.
l!Осле заМЫRания цепи тон через RаТУШRу индyRтивности равен
1 == Q [ LC} (g:+c 2 ) ] Ч2 sin [( C tl : У/2 t] .
ПОRазать, что если С 1 > С 2 , то заряд на первом н()нденсаторе. lIJШОJ'да не изменит
свой знан.
20. Три ветви соединяютея в двух узлах. J{аждая из двух ветвеЙ (:одержит нондеJl
сатор С и ипдуНТИВНОСТЬ L, а третья ветвь толыю нонденсатор С. llшшззть, что HPY
l'овые частоты собственных нолебаний системы равны (Lc) 1f2 и з 1f2 (LC) }/2.
21. Между двумя пластинами желателыю создать ПОJlе, ноторое за время То ли
нейно возрастает до значепия F o , а потом за таное же время линейно уменьшается ДО.
нулн. Емность TaRoru конденсатора равна С, и при наличии поля Fo заряд на Hej\!
равен Qo. В пепи нонденсатора наХОДllТСЯ сопротивление R. Найти форму импульса,
ноторый должен быть приложен для создания вышеописанноrо ПОJlЯ.
22. ЭлентричеСRая цепь представляет собоЙ равносторонний треУI'ОJIЫlИИ, каждаfl
сторона ROToporo содержит еМRuс:rь С, а вершины соединены с общеii центральной Тf)Ч
ной ипдунтивностями L. ПОRазать, что в сиетеме возможны Rолебания с периодом
т == 2п (3Lc)1f2.
23. Два одинаRОВЫХ RондеIJсатора С СО"динены последовательно с солеНОИДО i
ИНДУRТИВНОСТИ L. IIОRазать, что еоедипение средней точки соленоида е ТОЧRОЙ между
Rонденсаторами приводит н появлению новой Rруrовой частоты "'2' определяемой
выражением
(1 2"'IМС) Ч2 "'},
rде "'1 первоначальная Rруrовая частота, а ,);1 пзаимная IIlЩУJЩIШ между двумя
половинами соленоида.
ЛИТЕРАТУРА
В е r g Е. J., Heaviside's Operational Caleulus, McCraw Hill, 1929.
В u s h V., Operational Circuit Ana1ysis, Wi1ey, 1929.
С а r s о n J. R., Electric Circuit Theory and the Operational Caicu1us, McCraw Hill
1920.
С о h е n L., Heaviside's E1ectrieal Circuit Theory, McCraw Hill, 1928.
Cardner М.Р., Barnes J. 1,., Transients in Unear Sуstешs, Wiley, 1942.
(См. перевод: 1 а р Д н ер М. Ф., Бэр н с ДЖ. Л., Переходные процеееы
в линейных системах, М., 1949.)
С (' i g е r S с h е е 1, Handbucll der Physik, Bd. XV, Berlin. 1927.
G u i 11 е ша n Е. А., Сопшшпiсаtiоп Networks, \Niley, 1931, 1935.
Н е а v i s i d е О., Electrical Papers, Boston, 1925.
J е а n s J. Н., ТЬе Mathelllatieal Theory of Electricity and Маgпеtisш, <..:alllbridge, 1925.
К u r t z Е. В., С о r с о r а n С. Р., Introduction to Electrical Transients, Wiley, 1935.
М а х ,у е 11 J. С., Eleetricity and Magnetislll, v. 11, Oxford, 1881.
М с 1 1 ,у а i n К., В r а i n а r d J. С., High Prequency Oscillating Cireuits, Wiley,.
1931.
О 11 е n d о r f Р., Die Crundlagen der Hochfrequenztecbnik, Berlin, HJ26.
Р i е r с е G. W., Electric Oscillations and Electric "УауеБ, McCra,v Hill, 1920.
Р о о r V. С., Electricity and Маgпеtisш, \Viley, 1931.
Н u S s (J 11 А., AHernating Currents, сашыIidgе,' 1914. 11
S h е а Т. Е., Transinission Networks and \\iave Filters, Van Nоstrапd, 1929.
\У е Ь s t (' r А. С., Electricity and Magnetislll, МасmШап, 1897.
" i е n Н а r ш Б, Handbuch der Experimentalphysik, Bd. XI, I,eipzig, 1932.
rлава х
ПЕРЕМЕННЫЕ ТОНИ
s 1. fармонические электродвижущие силы. Частное решение. ЕС.ПIr
в системе все э. д. с. являются периодичесними фУ1ШЦИЯМИ времени, ТО они
создают тон, называемый персменным. Наиболее распространенной и важной
из этих фунrщий является rармоничесная или СинусоидаJ1ьная фуннция.
Элентродвижущая сила та1'>О1'О типа индуцируется J ПЛОСКОЙ проволочной
петле, имеющей форму онружности радиуса а, при ее вращении с постоянной
)'rловой сноростыо (JJ BOKpyr диаметра, КОТОрЫЙ расположен ПОД прямым
уrлом R однородному МaI'НИТНОМУ ПОЛЮ В. Horlfa П.ПОСНОСТЬ петли обра
зует с напраВJlением ПОЛЯ уrол '.l == (JJt, потон через нее равен N == т:а 2 В sin (JJt.
Соrласно формуле (8.1), индуцированная э. д. с. будет равна
dN
== dt== т:а 2 Вш C()S(JJt == o СОБ (JJt.
(10.1)
в случае HeolfHopolfHoro МaI'нитноrо поля ИЛИ неравномерной уrловой CHO
рости нельзя, вообще творя, выразить в таной простой форме; но если
эти ОТRлонения периодичеСRие, ТО э. д. с. можно представить в виде cYtlep
позиции подобных простых J;олебаний с разными частотами. Тание случаи
будут рассмотрены в нонце настоящей rлаuы.
Дифференциальное уравнение, в нотором t ЯВJIЯется независимой пере
менной, будет СОДf'ржать теперь в правой части вместо постоянноrо члена
выражение вида
== о со!" «(JJt + ер) == А СОБ (JJt + В Sill (JJt ==
== Re { o e j (Ш 1 +'!'}} == Re {:!. ej"'I},
(10.2)
rде А == iЗи СОБ ер, В ==- o Sill ер, Полное решение TaRoro уравнения состоит
из общеrо решения однородноrо уравнения, По.пучаемоrо путем rrриравни
Вf\НИЯ правой части нулю, плюс частное решение неоднорОДноrо уравнения,
или стационарное решение. ПерJюе решение неустановившеrося режима
подробно исследовалось в предыдущей l'лаве, rде было установлено, что
при наличии в схеме сопротивления наждыii ЧJЮН решеНIJН содержит MHO
житель, в RОТОрЫЙ времн входит в "rрИl'ательпый ПОJ;азате.ПЬ энспонеп-,-
циальной фУНRЦИИ. С течением времели эта часть общеrо решения CTpe
митсн К нулю И остается ТОJlЫЮ частное решение, ноторое и будет pac
смат}/иваться в наСТuящей rлаве.
s 2. Контур, содержащий сопротивление, еМIЮСТЬ 11 индуктивность.
На фИl'. 84 был поназан наиболее общий шт ЭЛ()I\тричеСJюi:i цепи, Rоторая не
содержит взаимной 11lIIТУf,ТИЛН()СТИ и в НОТОРОЙ R, L и L ВRлючены последова
тельно. д...-,Н простоты выберем t == О в тот момент времени, I,О1'да синусоилаль
нан э. Д, с. ДОСТИl'ла МЯRсимvма. ТOI'да в nыrажении (10.2) <р == о. Уравнение-
352
r лава Х
Нирхrофа для рассматриваемой цепи имеет вид
Lq + Rq + д == Ве {t: o е jшt }.
(10.3)
После Toro нан переходнью процессы, о ноторых шла речь в 3 r;'J. IX,
пренратятся, естественно ожидать, что тон в нонтуре будет иметь ту же
периодичность, что и Э. Д. с. Попытаемея отыска 'ъ частное решение в форме
i == Re {iej(J)t} == Не {Ie j ",,} == Re {1 о e j (п\t+Ф)}.
(10.4)
Вентор 1 является, вообще l'ОВОРЯ, 1ЮJ\шленснпй величиной и называется
номпленсн()й амплитудой, содержащей нан Ю\ШJJИТУДУ [о, таи и фазу Ij! исно
мО1'О тона. Напишем 1 == l' + 1'[//, l'де [' и [// деiiс'Пштельные величины, ТО1'да
(/,2 + J//2)1f2 == [о,
///
t g Ф==
I ]'.
Имея в виду, что i == q, подставим в уравнен 10 (10.3) вместо q ero значение
.п, опустив общий множитель ej(J)t, получим
[ R + l' С шL :С ) ] 1 == o'
(10.5)
"Или
1 [ jф '&0 '&0
ое L+jL(J)L 1/((J)C)I Z .
( 10.6)
:Это выражение по форме полностью спвпадает (: выражснием (6.6), одна но
.вместо сопротивления здесь стоит величина z. известная под названием
н:омпленсноrо импеданса нонтура, помпленсная амплитуда 1) тона l вместо
тона [ и амплитуда '[,0 синусоидальной э. д. с. вместо . При использова
нии этих символов всю теорию ЭЛOl,тричесних цепей, развитую в rл. VI
на базе занонов Ома и н ирхrофа , можно поппостью llрименить н цепям
переменноrо тона в стационарном режиме. АJ\ШЛ!ПУJl:У тона МОЖНQ всеrда
найти, взяв i\вадратный норень из произведения 1 и сопряженной еЙ вели
чины 1*, тан наь: 11* == ['2 + [//2. В l'Л. IV мы уже рассматривали подобные
операции с RОМПJШRСНЫМИ величинами. 13 нашем елучае, в чаетности, имеем
Ч2 Ч2 { [ С 1 ) ] [ С 1 ) ] t Ч2
Jо [о(еjФе jф) ==(11*) ==l"o R'Jj' шL (J)С R j шL (J)С I ==
== o [ R2 + (шL ш ) 2 ) Ч2 == СО (R2 + Х2) IJ2 == O . (10.7)
Бентор Z называется ПОJШЫМ СОПРОТИВJЮНlЮМ нонтура (импедансом), 8
Х == шl 1 / (шС) реантивным СОПРОТИnJюнием, причем первыii член шL
(ИНДУI,тивное реантивцое сопротивление) и второЙ член 1/ (шС) (емностное
реантивное сопротивление) измеряются в тех же единицах, что и сопротивле
ние. Умножим числитель и знаменатель выражения (10.6) на Z*; тоща
_знаменатель будет действительной величиной, а [" / j' будет равно отноше
пию мнимоЙ части Z* н: действительной. Следовательно,
,1. х (J)L 1 / (шС) t (J)2LC
tg 'f R - R шВС .
-Соrласно выражению (10.4), тон равен:
i == O cos (шt + 'Ji).
10.8)
(10.9)
1) См. примечание R 9 rл. IV.
354
r лава Х
Целесообразность введения
формулы (10.16) и (10.17),
этих величин станет очевидной, если, используя
записать в тапой же форме выражение (10.15):
2
p ' се I '2 Z '/!,е . '2 R R fC> .* }
. lc (3е COS q; le COS 'Ji cos 'Ji le e t Ое le .
Z
(10.18)
Мы видим, что 13 случае 7 == о ЭТИ фuрмулы совпапают с соответствующими
формулами для постоянноrо тока Э 4 I'Л. YI. Поэтому ВРЛlIчина lc назы
вается эффентивным топом, а tt e эффоктивной лектродвижущеii силой.
Величина cus ф, называемая поэффициентом мощностп, выражается через
параметры нонтура; используя фuрмулу (400.12) из справочшл;а Двайта
и выражение (10.8), имеем
шRС
cos 'Ji == 1 .
[ш2R2С2+(1 ",2LС)2] 12
Величина ie sin? IН!,зывается реактивной илп безuаттноu составляющей тока,
ПОСНОЛbl У она ничеrо не вносит в среднее значение мощности.
Из соотношения (1U.7) следует, что при ш 2 == (LC) l Z достиrает l\ШШl
мума, а тон принимает мансимальное значение. Част()та, при 1(оТОрОЙ ТШ,
мансимален, называется резонанснuй. Соrласно формуле (9.5), прп малом
сопротивлении в цепи понтура резонансная частота близна н: частоте соб
ственных нолебаний нонтура. Резонанс, нонечно, возможен и в том случае,
ноrда сопротивление настолыю веJ1ИIЮ, что нонтур не может находиться
в нолебате.пьном режиме. Если iЮНТУР настроен в резонанс, то, J,Ю{ вытенает
из соотношений (10.15) и (10.19), ноэффициент мощности равен единице
и цепь потреБJшет маНСlJмальнуIU мощность. В случае контура с очень
малым сопротивлением и емностью, но с большой ИНДУ1{ТИВНОСТЫО ТОН
В нем будет, СOl'ласно выражению (10.12), очень ма.1ЫМ и в то же время
. 1 .
Ф 2 1':, т. е. cos 'Ji О. Таная цепь, не потребляя мощности, препятствует
(10.1\:1)
прохождению переменноrо топа и в то же время ПРОПУС1шет постоянный;
это устройство называется дросселем. С друrой стороны, при внлючении
очень большой емпости постоянный ток будет проходить плохо, но зато
переменный топ, соrласно выражению (10.13), пройдет без всяной потери
1
мощности, потому что п в этом случае 'Ji =="21':.
4. rрафичеCIюе представление. Векторная диаrрамма 1). Нан БЬJJlU
показано в Э 9 rл. IV, значение номпленсноrо числа z == х + 1'y можно
представить точкой на помплепсной плоспости. В полярной системе KOOp
динат это можно записать в виде re jO , rде {) уrол между ОСЬЮ абсцисс
и радиус вентором r, проведенным в эту точну. Вьтражения для э. д. с.
и установившеrося тона (10.3) и (10.4) имеют ту же форму, поэтому их
танже можно представить в полярной системе НООРДl1нат. Эти два вентора
длиноЙ 10 и j!Jo, отложенные из начала ПОvрДIlНат и составляющие между
собой постоянный уrол 'Ji, вращаются с постоянной уrловой СКОРОСТЬЮ ш
BOHPYI' начала поординат. Мrновенные значения i и G в момент времени t
равны проенциям радиус венторов на действительную ось Ох. Вентор е
представляет собоЙ результпрующую э. Д. С. в нонтуре, явлпясь суммоЙ
трех помпонент: 1) э. д. с. 1'UJLl o в натушне ИНJ1УНТИВНОСТИ, опережающей
тон, соrласно выраЖЕНИЮ (10.12), на 90°, 2) номпоненты IoR, находящейся
в фазе с тоном, и 3) э. д. с. 1'10 / (шС) нн нонденсаторе, отстающеЙ от тока,
соrласнu выражению (10.13), на 90°. Венторная диаrрамма э. д. С. II ее
1) Автор не делает различия между вею'орной и нруrопой дпаrраммаыи. При пе
реводе принят термин «в(шторная диаrрамма». При,, . перев.
Пере.меuuые токи
355
компонент изображенЬJ на фиr. 95, слева. В центре фиr. 95 поназаны
осциллоrраммы тона, э. д. с. и мощности. Справа изображена венторная
диаrрамма номпонент мощности.
Фие. 95.
. э 5. Последовательное и параллельное соединение импедансов. Нан
уже упоминалось выше (см. 2), 1юмпленсные обозначения позволяют
написать для переменных тонов запон, аналоrичный запону Ома для по
стоянных топов. Это обстоятельство, совместно с запонами [{ирхrофа, дает
возможность установить для импедансов, соединенных последовательно II
Фие. 96.
параллельно, теже самые правила, поторые были получены в 5 rл. YI дЛЯ
сопротивлениii. Тан, общий импеданс Z цепи, состоящей из неснольних
импедансов Zl' Z2' .... Zn. соединенных последовательно, выражается
следующим образом:
Z==Zl +Z2+ ... + Zr;.
( 10.20)
Поснольпу мы имеем дело с вепторами. следует брать nенторную сумму
23<'
I X
вместо аЛП:Jбраичесноii. Для параллельноrо соединения импедансов имеем
1 1 1 1
Z== Z +Z+"'+Z' (10.21)
1 2 n
ТЮ, J\a1, обратная величина. }';ОМП;;ЮНСНOI'О чпс;ш rej' равна e ifj / 1", то при
параллельном соединении Ш\1педансов нужно оттШJl,ьшать на диаrрамме
венторы, длины ноторых обратные величlТНЫ ДЛJfН Zl' Z2' ..., Zn' а apl'y
менты имеют противоположный знан. Для получения реЗУ;;Iьтирующеrо
вентора Z следует взять обратную веЛIIЧИНУ модуля суммы этих величин
и сменить знан apl'YMeHTa суммы па обратныЙ. На фиr. 96 показаны BeH
торные диаrраммы: сnева для случая последоватеЛЬНОI'О соединения трех
импедансов .Zl' Z2 и Z3 И справа для случая параллельноrо соединения
тех же пмпедансов, НOI'да СI-\ладываютсн обратнью величины И;\lпедансов.
Обратная величина импеданса часто назыпается полной проводпмостыо.
Масштаб дшш BeI{TOpOB на фИI'. 95 задается ОНРУШНОСТЯМf1 единичноrо
радиуса. Следует заметить, что при параллеJIЬПОМ соединении сумма обрат
ных величин конечных импедансов Z;1 может UIшзаться равной нулю. В этом
случае результируюЩИЙ импеданс Zp равен беснонечности, т. е. тон та ноЙ
частоты через цепь проходить пе может.
6. Передача мощности. Предпололшм, что иетuчпиН,
импеданс Zs, rенерирует э. д. С,. '/!.!Jej(J)t, а импедаrrс наrрузни
Тоrда, соrласно выражениям (10.1) и (10.20), тон в цепи равен
. 8
l ..
zs+ZL (Rs+iXs)+(RL+iXr)
...
и, n соответствии с выражением (10.19),
. в
l .
в [(Rs+RL)2+(XS+XL)2]1/2
ПОiIЬ3УЯСЬ выражением (10.19), находим r.реднюю мощноеть, потребляемую
наrрузной,
имеющий
равен ZL'
(10.22)
( 10.23)
R L '&
P r , == i ZL cos 'Ji == (Rs+RL)2+(X s +X r )2 .
Для определения значения ZL, при нотором В ню'рузне ПOl'лощается ианси
мальная мощность, приравниваем частные производные дР / дR L и дР / дХ L
нулю, В результате чеrо найдем
(10.24)
Ri== Щ+(Х S + X L )2
( 10.25)
и
Х. =" X L .
После ПОДСТ8IЮВНИ пыра:нения (10.26) в (10.25) получаем
RL"""R,.
( 10.26)
( 10.27)
Таним образом, МaI{симальная МШЦIIОСТI> передается в том случае, IЮI'да ZL
и Zs являются 1юмплеНС1ю сопряженными величинами. При выполнении
этоrо УСJЮШ:tп
'&
PL="
4H L
7. Мостин импедансов. Точно так же нан мост Уитстона (r.M. фиr. 60)
лужит длн сравнения сопротивлений, мост, изобрашенный па фиr. 97,
(10.28)
Пере.менные токи
357
употребляется для сравнения импедансов. Пусть 10 cos ш[ тон, питающиii
мост, тоща тон через индинатор ZG являетсн [в выражении (6.18) с.чедует
заменить R на Z] действительноЙ частью выражения
. Zl Z 4 Z2 Z 9 1 iwt
II zG (Zl +Z2+ZЗ+Z4)+(Z. +ZЗ) (Z2+ Z 4) ое .
( 10.29)
Если тон равен нулю, то должно выполняться соотношение
Zl Z 4 == Z2ZЗ' (10.30)
Отсюда получаются два условия баланса вместо одноrо, ибо ЭТ9 соотношение
должно ВЫПОЛIIЯТЬСП независимо нан
для деЙствительной, тан и для мнимой
части.
Наиболее распространенными MO
стами TaHoro типа являются: емностный
мост
Zl == C ' ,
w .
ZЗ== L,
шС з
и Z4 ==- R4'
при балансе
Z2 ==- R 2
выполняется
в нотором
УСJювие
C 1 R 2 == С з R J ,
(10.31)
а танже мост, сол:ержащий индунтив
ности,
"--'
Фие. 97.
Zl == R 1 + jшL 1 ,
n нотором при балансе
RIR'l == R2R3 IJ LIH4 == L3R2' (10.32)
8. Цець перемснноrо тока в общем случае. 3адачу о нахождении
ТOlюв в произвольной цепи можно решить точно тан же, IШН и в 9 и 10
rл. VI, если удастся ввести величины Zpq, связь ноторых С номпленсными
э. д. с. и нонтурными тонами будет аналоrична связи Rpq с постоянными
тонами и э. д. с. Выражения (9.50) (9.53) определяют взаимные пара-
метры L,s, R,s и S,s> а танже собственныс параметры Lrr' Rrr и Srr таним
образом, что в стационарном состоянии, ноrда все тони и э. д. с. изменяютСя
с одной и тоЙ же частотой, уравнение (9.54) можно записать в виде
(jшL rr + R rт -':TT ) i,. == Zrr i r == 8,.,., ро.33)
а уравнение (9.55) в виде
::f: (jшL,s + R r < i:,s ) is == ::f: Zrs i"s == 8",. ОИ.34)
Импеданс Zr опреДeJшется соотношением
ZrJ'==Z"+Zlr+Z21'+'" +Zm (10.35)
и, таним образом, содсржит ноэффициснты взаимной инДунции, внлюченные
Б Lrs. Сумма э. д. С. 81' 82' ..., 8" в нонтурах, несущих ТlJНИ i 1 , i 2 , ..., i n ,
имеет лид
Z3 == R3 + jшL з ,
Z2==H 2 И Z4==R4'
Zl1 i 1 ::f: Zl:: i 2::!:: . .. ='= Zln i n == 81'
='= Z21 i l + Z22i2::f: .. . ='= Z2,,in == 82
(1И.36)
='= Z'ol i l .:1:: Zn2 i 2 ::!:: . . . + Znniп == 8п,
358
r лава Х
8ти уравнения по форме совпадают с уравнениями (6.32); знапи опреде
ЛЯlOтся D соответствии с выбранным направлением топов. Решение будет
иметь таl\же прежнюю форму, поэтому, соrласно выражениям (6.36), мы
приходим 1\ выводу, что если единственный источНIШ э. д. с. p находится
н ветви, rде протенает единственный TOI, i p , то амплитуда [1 фаза тона iq
в q й ветви выражаются соотношением
. p!\p:] ( 1 0 .37 )
Iq ' ,
l'де .1pq ат'ебраичеС1{ое дополненпе элемента Zpq в детерминантf'
ZlJ '" :1:: Zln
ь.==
(10.38)
::1:: Znl ...
Zl1n
Отсюда таюпе следует, что стационарный ток в ненотuрой ветви, появля
ющийся при помещении переменной э.Д.с. по вторую ветвь той же цепи,
paB H, по амплитуде и фазе, топу, поторый появится во второй цепи, если
тот же самый источнИI{ э. д. с. поместить в первую ветвь. Если источнИI{
э. д. с. находится JJ i .й ветви, то, соrласно выражению (6.37), отношение
любых двух стационарных ТOIЮВ в эле1{тричеСIЮЙ цепи равно
iq !\сч
ip .1 rp .
Теорема Тевенина для переменных Tr.ROB утверждает, что если при
разомннутом понтуре потенциал на нонцах А и В в рассматриваемоЙ
цени равен fo и если (на той же частоте) при замене всех источнинов
э. Д. с. их внутренними импедансами цепь между нонuами А и В имеет
импеданс Z, то при соединении А и В проводом С нулевым импедансом
тuп через Hero будет равен
. 80
1 == у'
(10.39)
PaBeHCTBU (10.39) ПОJ1у'шется из (10.37) тю;: il{е, нан выражение (6.38)
из (6.36). 81'0 позволяет Вlшючать данную цепь с нuнцами А и В в друrие
цепи нак псточНJШ э. д. с. o' имеющий внутренний импеданс Z.
Нак мы увидим, в большинстве СJIучаев возможно ввести нонтурнью
ТОЮ1 таним образом, что будут выполняться следующие условия: 1) по
меньшей мере в одной ветви протенает толыю один тон i l ; 2) в петвях,
rде протепают лишь два тона, эти тони направлены протипоположно;
3) в любой ветви протеRает не БОJreе двух тонов. Тем самым определяются
псе знани и мошно ПСПО.i1ьзовать выражение (6.39), прпчем теперь в дeTep
мипапте Ь. все сuбственнью имшщансы Zpp берутся со знаном плюс, n вза
имные импедансы Zp'l со знаком .мин с. Пусть n ветви, в котuрой поме
щена э. д. с., протенают два тона 12 и 1з, Torlla
Z12 Z13 Z14
+ Z2 r Z3 + Z4
Z42 Z43 + Z44
Z]11
+Zn
Z4n
8з
Т'
( 10.40)
i 1 ==
Zn2 Znз Zп4 '" + Zпn
Если имеетсн неСIШЛЫЮ э. д. С., то их следует расс.иатривать по ОТДель
ности и полученные результаты сложить, ПРI1Нимая во внимание фазу
наждой из э. д. с.
Пере.меuuые mOl>и
359
Для получения полнOl'О решения с учетом переходных явленнii следует
стационарные решения добавить I\ общему решению (9.67), после чеrо
определить постоянные интеrрированпя из начальных условий.
9. Сопряженные ветви в элентрической цепи. МОСТИН Андерсона.
Две ветви в цепи называются сопряженными, если ИСТОЧНИ1\ Э. д. с., поме
щенный в одну из ветвей, не вызывает тока в друrой ветви. Пусть в каж
дой из рассматриваемых ветвей протенает по одному тону ip и iq; тоrда
условие сопряжения, соr.пасно соотношению
(Hи 7), имеет вид
Дрq===О. (10.41)
ЕСJlИ тони введеныI тан, что применимо co
{)тнuшение (10.40), то, обозначая детерми
нант в этом уравнении через Дl23' будем
IIМеть сл.еДУlOщее условие сопряжения:
Д123 ==={). (10.42)
НаЙдем при помощи этоii: формулы усло
вие балпнса в мостине Андерсона (фиr. 98),
применяемом для сравнения величин eM
НОСТИ и самоиидунцИИ. IIмпедансы, стоя
щие n соотношении (10.4О), в данном
случае равны: Z12 === R з , Z13 == О, Zl4 == R 4 ,
Z2==R 1 +jwL, Zз==R 2 , Z4==0, Z42==R, Z43=== jf(wC) И Z44==RT
+R4 jf(wC). Написав соотношение (10.42) _
Z12ZЗZ44 + Z14Z2Z43 Z14 Z З Z 42 == О,
"-'
Фllе. 98.
являюще(CjСЯ условием баланса мостина, и приравняВ нулю действительную
часть, находим
R3 R 2 (п + R 4 ) + L 4 .....: R4 R 2R === О, плн L ==- CR 2 l (R + 4) R3 + R ] . (10.43)
ПриравнfoIВ нулю мнимую часть, получаем
RзR2 RIR4 0 Т JЛI Х R R R R (10 JJ )
шС шС , -". CL 1 4 3 2' . .LfLf
J3ыполнения условия баланса (1о.44) можно добиться, нспользуя пuстоян
НЫЙ TOl" нан в обычном МОСТИJЮ Уитстоиа; затем, внлючая источнин IIе
ременной э. д. с. и реrуJlИРУЯ величину (',опротивления R, мошно yдo
влетворить условию (10.43).
10. J3ьшужденныс lюлебания в индуктивно связанных I\OIITypax.
Найдем тони i 1 н i 2 В нонтурах, изображенных на фиr. 9 . В этом слу
чае, соrласно соотношениям (10.33) II (10.34), а таиже (9.50) (9.53),
IIмеем
Zl1 == R 1 + j ( wL 1 Ш 1 ) == R 1 + j Х 1; Z 12 == Z21 == jwlJJ ;
Z22 == В 2 + j ( wL 2 Ш 2 ) == R 2 + jX 2 .
Пользуясь соотношением (10.37), получим выражения дЛЯ ТОНОЕ
. Z228 (R 2 +iX 2 ) 80 Z12 8
11 ZI1Z22 Zi2 == D ; 12 == ZllZ22 Zi2
(10.45)
/wMf,o
D
( 10.46)
['де
D ==RIR2 X 1 X 2 + ш 2 l1l 2 + j(R 1 X 2 + R 2 X 1 ).
(10.47)
360
r лава Х
Взяв действительную часть про из ведения i1e jwt , нак это делалось в Bыpa
шении (10.4), находим
( R2 + X2 ) 1f2 'fj
i == 2 2 О СОБ ( шl + (о )
1 I D I т ,
rде
(10.48)
и
ID 1== [(R 1 R 2 X 1 X 2 + ш 2 М2)2 + (R 1 X 2 + R 2 X 1 )2]lf2
(lU.49)
Далее
t ЩХl+Х2(ХJХ2 w2jlj2)
g <р BIX +,B2 (В 1 В 2 + ",2М2)
(10.50)
rде
. w]}l'f!,o ( )
12== СОБ шl+lJi,
(1О.51)
tglJi == + RIR2 X'X2+",2M2 .
R 1 X 2 +R 2 X 1
Исходя из выражения (10.46) или (10.50) и (10.52), получаем
t,g (1Ji <р) == R 2 .
Х 2
Представляет особый интерес найти те значения ш, при иоторых
величины i 1 и i 2 ман:симальны или минимальны. Прелще чем излаrать
обычные приближенные методы, наметим
строrий путь ВЫЧИСJJeНИЯ этих значений.
Приведем выражение I D I и форме, бо
лее удобной для дифференцирования; GpaB
нив соотношение (10.45) с (9.68) и заме
нив р на jш, получим
jШZ lI == С l1 , jШZ 12 == C 12 ' j Ш Z 22 == С 22 .
Таиим образом, при помощи уравнения
(9.69) находим
2
Z Z 72 C"C22 CI2 o
11 22 ....12 ",2
== (ш 4 jАш 3 Вш 2 + jСш + п) LIL2w M2
R,
Rz.
'v
L,
L2
м
С,
Фие. 99.
( 10.52)
(10.53)
У1\шожая эту величину на комплексно сопряженнуIO и извлекая из ПOJ1У
ченноrо результата квадратный корень, будем иметь
I D I L1L2u M2 [ш 8 + (A2 2В) ш n +
+ (B2 2АС + 2]) ш 4 + (С2 2вп) ш 2 + п2]1/2.
(1и.54)
ОпредеJ1ИТЬ маисимальное и минимальное значения амплитуды i 1 без
построения иривой трудно, но для i 2 вычисления упрощаются; дифферен
r ируя выражение амплитуды шJl,1 о/ I D I тока i 2 по ш И приравнивая pe
зулыат нулю, получаем в дополнение l\ ш 2 == О следующее соотношение:
ш8 (В2 2АС +2п) ш 4 2 (C2 2BD) ш2 3D2== О.
( 10.55)
ЭТо уравнение четвертой степени отноеитеJ1ЫЮ ш 2 , корни ero находятся
при помощи фОрМУJJ S 11 rл. IX. Каждому положительному дейст
вительному корню соответствует макснмум или минимум тока 12' Для_
выяснения вопроса о том, l\aKoMY корню соответствует максимум, сдедует
Пере.меuuые токи
361
подставить этот корень в уравнение (10.54). Тем самым определится также
веJIичина аМПJ1ИТУДЫ.
Обычно част'оту переменноrо тока n ЭJJш,тричеС1ЮЙ цопи определяют,
сnязьшая эту цепь с контуром, имеющим откалиброванное реан:тишюе
сопротивление; изменяя реактивное с()пр()тивление, J\южнu ПОJIУЧИТЬ Ma
н:симальную амплитуду тока в нонтуре. Такой контур называется в()лн()ме
ром. Пусть параметры электрическоЙ J1епи RI' Ll' С 1 И частота w зафинси
рованы, тоrда мансимум тока i 2 возниннет, COrJIaCHO выражению (10.51),
при условии
a12C I )==U.
1I0JIучаемпе ПUС.1Ю дифференцирования соотношение разрешим относительн()
x M), тоща
хрп lИ 2 ш 2 Х 1
2 Ri+Xi .
(10.56)
Отсюда, СОrJШСПО выражениям (10.51) и (10.49), находим для TOI.a i 2
.(М) (0111 (Ri+Xr)I/ 2 o
[2 == (02111211'1+(.Hi+ X r)R2 COs(wt+ ).
(1О.57)
При очень Сс1абоЙ связи 11/ О, x M) == О И В соответствии с соотношением
(10.56) irолучаем
w == (L2C2) 1f2.
(10.58)
Эта частота совпадает с собственноЙ частотой BOJIНOMepa, если Rz мало.
Сохраняя частоту постоянноЙ, настроим теперь оба 1юнтура, тоrда н COOT
ношению (10.56) дuбавляется условие
() ( 1 ) U или х(М) .'IJ2(02X 2
аХ 1 IDТ , 1 R + X .
ДЛН УДОВЛl:Jтворения соотношениЙ (10.56) и (10.59) необходимо, чтобы
X 1 ==X 2 ==U (10.60)
( 10.59)
или
х 1 == ::1: [ (lVJ2w2 R R ) Н. ] Ч2
1 2 11'2 '
т [ ' 2 2 R 2 ] 1/2
X2 ::I: (М w R 1 R 2 ) 11'\ .
(10.61)
п e Х 1 и "'"2 имеют ()дипаноный знзн. 110, ПОСI,ОJIЫ,У Х 1 П Х 2 действи
тельные веJIIIЧИНЫ, соотношепио (10.61) не может иметь места, eCJIII
М2ш2 < R 1 R 2 ; поэтому при слабой связи (1j;J мало) справедаиво соотноше
нне (10.60) н мансимум оказывается при
(L]C 1 )1f2 == (Е 2 с 2 )1/ 2 . (10.6 )
(о
ФОРМУJIа (10.57) принимает впд
.(М) ",JИ io .
[2 RIR2+ш2М2 sшwt. (10.63)
При сильн()й связи M 2 w 2 > RIR2 имеет мосто соотношенио (1о.61) и
.(М) 1 'R (R R ) 1/2 ( )
Е2 == 2" ео 1 2 \'os wt + ,
(10.64)
rде
t == + ( R.R2 ) Ч2 == == В 2 ,
g М2ш2 RIR2 Х 1 \ Х 2
,\62
r лава Х
Выражение (10.64) показывает, что при достаточно сильной связи макси
маJ1ЬНЫЙ ток не зависит от М и ш. Следует помнить, что при больших
;значениях L и С выражения дЛЯ Х 1 и Х 2 (10.61) являются положитель
ными, а при малых значениях отрицательными.
11. Индуктивно связанные контуры, обладающие малым антинным
сопротивлением. Тот фант, что R 1 И Н 2 маJIЫ, не ведет к значительному
упрощению полученных выше выражений для тощ!., потому что членами,
содоржащими R2, мошно суверенностыо пренебр.ечь лишь при частотах,
ДОВОJIЬНО далоких от резонансных, ноrда друrие члены но так маJIЫ. Однако
nычис;rЮНИG резонансных частот упрощается, ибо, обращаясь н выражениям
(9.70), .norHO впдеть, что теПОJ;JЬ в уравнонии (10.55) членами АС и С2 можно
ПРОТIобречь и раЗJJOШИТЬ oro JIOВУЮ часть на два МНОЖИТОJIЯ
(ш4 Вш 2 + D) (ш 4 + Вш 2 3D) == о.
( 10.65)
Первый множитель дает два положительных корня:
2 В:+ (B2 4п/'2 L 1 C , +L 2 C 2 :+ [(L,C , L2C2)2+ 4С]С 2 М2]Ч2
(1)1,2 == 2. 2C L C 2 \LIL2 lИ2)
(10.66)
1VIю,симальные значения тока i 2 в этом СJlучае ПОJIучаются точно при HOp
мальных частотах собственных колебаний связанных нонтуроn [см. 1зыра
жение (9.110)]. Второй множитель имеет один положитольный иоронь ш;,
лежащиЙ мелщу ш п ш ,
9 (В2+12п)Ч2 В [(L,C , +L 2 C 2 )2+ 12С'С 2 (L1L2 JI,[2)]lf2 L,C, L2C2 ( 10.67 )
ш;== 2 == 2CIC2(LIL2 1I12) ,
при этоii частото ПОJIучается минимум тона. Замотим, что если 111 О, то
ш (L2C2) 1 И ш (LICl) \
т. о. частоты, при ноторых i 2 максимален, стромятся н парциальным ча
стотам (н резонансным частотам двух отдеJIЬНЫХ нонтуров).
Уравнение, соответствующее (10.55), но относящоеся н мансимуму
и минимуму тона i 1 , можно теперь таиже разложить на МIIожитеJIИ
(ш4 Вш2+D) [1'2LJ)6+(BL2+ J ш4 (3DL2+ gJ ш2 gJ ==о. (10.68)
Порвый множитель совпадает с множитолем в выражении (10.65), поэтому
i 1 имеет мю{симумы при тех жо частотах Ш 1 И ш 2 , нан и i 2 . Второй множи
теJIЬ предстаВJIяет относительно ш 2 нубичеСRое уравнение, ноторое решается
стаНJI,артным мотодом и '1,ает один положительныЙ норень, лежащий между
Ш] и ш 2 , по отличныЙ от ш з . Этому 1ЮРНЮ соответствует МППIlМУМ тона.
12. Настроенные ИНДУI{ТИВНО связанные коитуры, обладающие
малым активным сопротивлением. Если два ТО.IЫЮ что рассмотронные
нонтура настрооны независимо на одну п ту жо частоту, то L 1 C 1 == L 2 C 2 ,
И розультаты продьщущеrо параrрафа неснолько упрощаются. Мансималь
ный тон n обоих нонтурах имеет теперь место при частотах Ш 1 И ш 2 ,
ноторые 1 см. соотпошение (10.66)] определяются выражением
Ш;.2 == (с]с 2 )1/ 2 [(L:L 2 )1/ 2 + М] . (10.69)
Минимум тоrш l2 ПОJIучается [см. соотношенне (10.67)] при частоте
ш2 (4L,L2 31И2)lf2 (L,L2)lf2 (10.70)
3 (с1с2)1/2 (LIL2 l\Il2)
Пере.!'.uтuые токи
363
.3аllleчаем, что еслп 111 О, то
ш ш .......,. ш; (LICl) l == (L 2 C 2 P,
поэтому при слабой СВЯЗII получаем единственный резонансный шш при
>собственной частоте обоих незаВIIСИМЫХ I\OHTypOB.
13. Фильтры. На фиr. 100 пзображен снеЦIIа.'1ЬНЫЙ тип элентриче
.сr,:ой цепи, I\оторая представляет собой fiеt:нонечнуJO цепочну одинан:овых
,
Ф
. "'\."
1,
А
I
В
в'
I
С
I
с'
D
Фие. 100.
зценьев. Цепи TaE\Oro типа весьма вааП1Ы, тю{ нан: они обладают сПособ
;ностыо пропуснать лишь определенные частоты, заДЕс'рживая все осташ.ные;
их называют обычно частотными фильтрами. Цепь, изображенную на фиr. 100,
[ А ' 'в' lB=(1 K)ir+l+Kir lC=(1 K) ir+]{ir 1
......... » .
в' В с
а
6
Фие. 101.
:мuщно, очевидно, разбить на простые одштановые пчеii1{I) двумя спосо
аМII. Сечения А', В', С' и D' расщепляют наждыЙ: Ш\'Iпеданс ZI на две
части; Za kZ 1 И Zb -== (1 k) Zl' соеДпненные пос;;:rедовательно (О < k < 1).
Наждая ячейна в этом случае uбразует тан называемое Т образное звено,
поназанное на фиr. 101, а. При k==1/2 rоворят, что звено имеет середпнно
ПОС.JТОДfНштельные нонцы. Еслп .в начестве rраниu звеньев взять сечения
А, В, С и D, то наждый импеданс Z2 можно представить в виде двух
импедансов Zb == Z2 / k и Z Z2 / (1 k), соединенных параJIлелыI.. Таная
ячеiiна, изображенная на фпr. 101, б, назьшается П образным звеном.
В случае k -== 1/2 rоворят, что звено имеет серединпо параллеЛЫ1ые нонцы.
Используя выражения для импедансов (9.50) (9.53), (10.33) п (1().34),
ПОJIучим уравнение Rирхrофа для ,' ro нонтура (см. фит. 1ОО) в впде
Z2ir 1 + (Zl +2Z 2 ) ir Z2 i "+1 == О. (10.71)
Зто дифференциальное уравнение совпадает по форме с уравнением (6.20)
и поэтому, соrласно выражению (6.21), имеет решение
i,. == А ch,.r + Bsh ,.r, (10.72)
364
r лава Х
1'де
] r 2Z2+Z1
с 1 == 2Z .
2
(10.73)
I{омплексная величина r назьшается I\оэффициентом пропуснания Ю1И
постоянной передачи звена. На фи1'. 100 отсчет числа звеньев производится
от нонца, 1'де расположен приемник. Пусть этот нонец находится беско
нечно далено, ТО1'да ,. стремится н б сконечности, и, поснольну при х со
2 ch х 2 8h х е Х , в соответствии с фи1'. 101, а имеем
i A , ir+l Ach(r+1)r+Bsh(r+1)r l'
== == e
i B , i r А ch rr +В sh rr ' ""
Анало1'ПЧНО в соответстпии с фи1'. 101, б
i B (l k) ir+l+kiJ' l'
:------ === (1 1. ) ' ' k ' е
Ic :" IrT Ir I '.....оо
ИJIИ
r ===]0 i +1 .
lr
(1u.74)
Следовательно, постоянную передачи звена n uеснонечной цепи l1 ш оuразноii
или Т образной структуры можно определить f\a1, натуральный ЛOI'арифм
Jзенторно1'О отношения стационарно1'О тона в звене Ii соответствующему
тону в соседнем звене, более удаленном от источнина э. д. с. При тююм
опреДeJIeНИИ действительная часть r оназьшается положительной п назы
вается постоянной затухания а.., а мнимая часть 9 называется фазопой ПОСТОШI
ной ИЛИ постоянной фазово1'О СДВИ1'а.
Поснольну, СО1'ласно выражению (10.74), в беснонечной цепочне оню ш
шение i p + l / ip не зависит от р, постоянная передачи звена, COCTaВJ1eHHOI'o
И3 n простых одинановых звеньев, рarша
r l ( ip i Р ш l i Р Ш n -fl ) ш ] ( ip ) " r
n О . ... п n,
lршl lрш2 'p n lРшl
(Ю.75)
l'де r постоянная передачи ОДНU1'о ПрОСТО1'0 звена. Представляет ннтерес
определить, наной пмпепанс сле)1ует нрисоединить к нонцу ШППШ ДJШ
To1'o, чт()f)ы получить таной же эффент, нан при беснонечном продоюнеmш
линии. Таной импеданс называется итеративным, характеристичеС1ШМ или
волновым импедансом и обозначается Zk ДJlЯ Т звена или Zk' ДJlЯ Пшзвена.
Очевидно, если добавить ИJlИ убрать одно звено из таной беСRонечноii
цепочни, то fJe импеданс не изменится, например (см. фит. 101, а) IIмпеданс
между А' А" с пмпедансом Z/<, присоединенным h В' В", будет таЮ1М жо,
нан между нонцами одно1'О Zk' ОТСIOда ПОJlУЧ8ется соотношение
Z Zb+ Z /<l
/<1 === Za + Z + Z + Z Z2'
h 2 la
разрешая ноторое относительнu Z/z.1 и помня, ЧТО Za + Zb == Zl' БУil,ем иметь
Z t i Z [ Z Z ( 1 1 Zl ) ] Ч2
h1 =="2 \Za ь) + 1 2 +7; Z2 .
Из соотношения (10.74) следует
(10.76)
[ ( 1 Zl ) J Ч2
Z l Z2 1+L; Z 2 . ===Z2 811r .
(Ш.77)
Пере.меuuые токи
а65
Изменив направление тонов в линии на обратное (что сведется н тому,
что Za П Zb поменшотся местами), получим друrои волновой импеданс
Zk2 == (Zb Za) + [ Z l Z2 ( 1 + ) ] 1/2 .
АН8ппПIЧНО для П звена (фш'. 101, б) имеем
I Z' Z' ( 1+ Zl ) 1f2 J 1
Zk'l == :Z Zba + ZI 2Z2
l Z Zb ( 1+ ) 1/2 J 1
Zk'2 == '2Z Zb + Z l Z2
. (10.78)
(10.79)
( 10.80)
s 14. Условия на концах в частотных фильтрах. Постоянные А и В
п выражении (10.72) определяются из условий в первом и последнем звеньях
цепи.. Рассмотрим Ц!шь Т образных звеньев. Если мы присоединим
н правому нонцу линии (фш'. 101, а) импеданс ZR, то, составляя ypaBHe
ние I\ирхrофа для получивше1'ОСЯ нонтура, пользуясь выражениями (10.72),
(10.73), (10.76) и (10.77) и (;читая r==-O, получим
0== iO(ZR+ Zb + Z2) i 1 Z 2 ==
== А ( ZR + ; Zb ; Za + Z2 ch r ) Z2 (А ch r + в 8h r) ==
==A(ZR+ ; Zb Za ) B (Zkl + ZЬ ; Za). (10.81)
Пусть ZR == Zkl' В этом случае А == В и ВJ,Iражение (10.72) принимает вид
i r == Ае Т !'.
( 10.82)
ЕеJIИ Zt - импеданс reHepaTopa и 8 ero э. д. с., то для первоrо звена
цепи имеем
8 ==- ifl (Zt + Za + Z2) in lZ2 ==
== А [ ( Zt + Za Z. + Za ch r) е"!' Z2e(п 1)r J ==
==A(Zt+ Za Zb+Z28hr)eпr==A(Zt+Zkl)e111'.
'1'01\ :в последнем звене цепи, соrласно выражению (10.82), равен
. А 8e п!'
10 == == Zt +Zkl '
(10.83)
( 10.84)
а тон в l'eHepaTope
. . Ае п!' R
n Z +Z .
t kl
( 10.85)
IIоснольну, нан мы понажем позднее, можно снонструировать цепь тан,
что r будет чисто мнимой величиной для наной либо заданной частоты, то
для этоЙ частоты тон в последнем звене будет иметь таную же амплитуду, нан
и в I'CHepaTope. Это свойство является наиболее желательным, поэтому
вееi'да стремятся I\онструировать фильтры так, чтобы ZR (выходной импе
дане) был равен волновому импедансу фильтра (измеренному в направле
нии н выходу). Из выражений (10.26) и (10.27) следует, что ДJIR Toro, чтобы
в линию поступала наибольшая мощность, Zt доллшо равняться Z 1' Нан
будет поназано в следующем параrрафе, для пропуснаемых частот Zk2 == Z 1'
366
r лава Х
СледоватеJIЫЮ, необходимо, чтобы импеданс reHepaTopa, питающеrо линIOО..
или входной IJмпеданс Zt был бы p;lBeH волновому СОПРОТИlшению филь
тра (измеренному в напраююнии н входу). Точно к таному же выводу
можно было бы прийти в результате аН8JIИза цепи из П звеньев, поэтому
ответ на ВОПРОС, н:аной тип BeHьeB ИСПОJIьзовать, зависит от Toro, JШl\ИС
из водновых импедансов Zkl JI Zk2 или Zk'l И Zk'2 можно наиБОJIее простR.-М:
способом сделать равными заданным входному и выходному и:\шедансаJ\'t
при исследуемых частотах.
15. Llастотные характеристики фильтров. Условие, при HOTOpOJ\I
тон данной частоты проходит через фильтр без потерь, нетрудно шшучиТf>
из выражения (10:72). Деiiствительно, еСJIИ амшш-туда тона i,. одинакuва
при всех значениях ", то ЧJ1СНЫ, содержащие ", должны бiХfЬ триrонометри
чески:ми фУШЩ1ШМП; но, ПОСI\ОJIЬКУ ch 1'6 ==- cos 6 и sh 1'6 ="- l' sin 6, это ПрI1ВО
]ПП К тому, что по топнная переJl,ачи звена r должна быть чпсто мнимоЙ
леличиноii. Следовательно, правая часть выражения (10.73) должнз БЫТJ.
.J:ей твительным числом, зан:люченным между + 1 и 1, т. е. ZI и Z2-
дuлжны быть чи<;тu реа1\ТИВНЫМИ сопротивле;ниями, Эти идеальные УСЛО1НШ
приБШ!1женно осушествляются на прантике. Таним образом, условие IlJl.еаЛI.
ной передачи JЗыражается неравенствами
(10.tю)
ПОСl-\ОЛЬКУ ZI и Z2 чисто мнимые величнны, из выражений (10.86),
(10.76), (1O.78) (1O.80) следует, что ДJlЯ пропуснаемой частоты Zkl==Zt2:
и Zk'l == Z '2. Поэтому при спмметричных звеньях Zk и Zk' для пропу
снаемых частот являются аН:ТИВНЫМII сопротивлениями.
Рассмотрим теперь передачу тона через беснонечный фильтр ПрJI часто
тах, не удовлетворmощих перавенству (10.86). Выражая тон i в S M звене
через 'l'Щ\ i , поступающий в JIИНИЮ, соrласно выражению (10.74), имеем
1 Zl+2Z2 1
-< 'Z -<, Ш1И
2
4-< : <0.
., ., sr
Iв -== loe .
(10.87)
Если отношение ZI / Z2 положительно, то <;h r Jl,ействительное число..
большее единицы, отнуда r действительное число, танже [cOrJIaCHO
выражению (10. 74)] пол жительное. Если
Zl 1.
OO<Z< Lf,
2
то chf< 1 и (см. Двайт, 655.2) f==lfl + 1'1t. Поэтому вместо (10.87)
будем иметь
., ., slrl
ls loe .
(10.88)
ТаНIIМ образом, амплитуда тона при частотах, не удовлетворяющих Hepa
венствам (10.8f1), при прохот:дении тона от reHepaTopa вдоль линии зату
хает экспоненциально.
16. Полосовой фильтр. Фильтры обычно разделяются на четыра-
HJIaCCa, а именно: ..
1) Низночаиuтные фильтры, пропу кающие все частоты, лежащие
ниже определенной частоты 12' и задерживающие все остальные.
2) Нысоночастотнью фильтры, пропуснаЮIЦие Bt;e частоты, лежащие
выше неноторой частоты 11' и задерживающие все остальные.
3) Полосовые фIШЬТРЫ, пропуснаюшие чаt;ТоТы, занлюченные между
значениями 11 и 12' И задерживающие все остаJIьные частоты.
Пере.меuuые токи
367
4) Полосовые заrраждающи
щие между значениями 11 и 12'
частоты.
Рассмотрим в качестве Пр1 ера толыю третиЙ нласс, ПОС1ЮЛЬКУ он
внлючает первые два класса нан. частные случаи и является, ПО видимому ,
наиболее важным. В дальнеЙшем orpa
ничимся рассмотрением лишь СИМJ\ етр ич t]j
Horo Т звена, у HOToporo (см. 13) k L,/2 2С, 2с. l,/2
== 1/2. Простеiiшее устройство TaKoro типа ' с'
поназано на фиr. 102, rде Zl == j lШ['i 1 2
1 / (шС 1 )] и 22 == j / (шС 2 ), тан что
о
фильтры, задерживающие частоты, Леmа
и свободно ПРОПУСl\ающие все остальные
о
Z1 2 L С . С2
Z2 ш 1 2 + С 1 .
( 10.89)
Фие. 102.
Это отношение рюшо ну шо, ноrда
Ш 1 === (LICI) 1J2,
(10,90)
и положитеJIЬНО прп значениях ш < ш 1 , тан что Ш 1 ЯllJНЮТСЯ самоЙ низноЙ
ct
ер
Действительная
ZH часть
Мнимая
ZK часть
Ш, Ш 2
а
Ш, Ш 2
6
Фие. 103.
частотой, н:оторую пропуснает цепочна из таних звеньев. ЕСШ1 Zl/ Z2 == 4,
то
Ш 2 == (С 2 + 4C 1 )1f2 (LICIC2) 1f2.
(10.91)
Частота Ш 2 IВляется наиБOJ1ее высоной частотоЙ, проходящеЙ через фИJIЬТР.
На фиr. 103 а, б, в, и 3 поназана зависимость от частоты ш соответственно
постоянноЙ затухания а, постоянноЙ фазовоrо сдвиrа <р, а танже деЙстви
тельноЙ и мнимоЙ частеЙ BOJIIIOBOrO импеданса Zkl == Zk2 == Zk"
Эти нривые показьшают, что фильтр обладает двумя серьезными Heдo
стаТI\ами. Первый из этих недостатков, отмеченныЙ на фИТ. 103, а, зан.ШО
чается n том, что частоты вне полосы ПРОПУСI\ания (но вблизи ео нраев)
задерживаются недостаточно сильно. ДруrИМII словами, имеется нереЗRое
обрезание частот. ВтороЙ, и часто более серьезный недостаток (см. фИТ. 103, в),
заI\лючается в том, что величина волновоrо :импеданса, ноторый в данном
случае является антивным сопротивлением, для разных частот внутри
полосы пропуснания оназьшается весьма различноЙ. Блаrодаря этому невоз
можно наЙти таноЙ выходноЙ импеданс, ноторыЙ удовлетворял бы BteM
требованиям, указанным в S 14 настоящеЙ rлавы, ДJIЯ Bcero диапазона про
пускаемых частот.
Чтобы избавитьсн от первоrо недостатна, наЙдем тип звена, облада10Jлеrо
следующими двумя своЙствами: 1) все звенья данноrо типа D цспочне имеют
один и тот же харантеристичосний импеданс, хота последниЙ может, вообще
rоворя, изменяться с частотоЙ внутри полосы пропусн:ания; 2) раЗШIЧНЬЮ
звенья iIaHHoro типа имеют раЗJIИЧНЬЮ харантеристини пропуснания для
задерживаемых частот, особенно вблизи rраницы полосы. Вследrтшю
:Зii8
r лава Х
первоrо свойства цепочна из таних последователыiо соединенных звеньев
образует для пропуснаемых' част()т фильтр, приближающиiiся по своим
свойствам н беснонечному однородному фильтру. Пользуясь вторым своЙ
ством, можно сномбинировать различные звенья таи, что одни будут СИЛЬНо
задерживать те частоты, ,Ноторые друпre звеНЫl задерживают слабо, и IOм
самым можно добиться наиболее полноrо задерживания всех частот вне
НOJroсы пропуснания. О1шзьшается, что таи()й фильтр можно ВЫПШIНИТЬ
из звеньев Т образноrо и lJ образноrо Т1ша; это БУJ.ет поиазано в сле
дующем параrрафе.
Хотя llТОРОЙ недостатон изменение величины llолновоrо импеданса
внутри полосы пропуснания нельзя линвидировать ПОJ1НОСТЬЮ, однюю,
нан будет поназано в 18, он в Зlraчительной степени исправляется под
бором соотв!:)тстпующеl'О нонечноrо звена фи.Jьтра.
17. Производные звеньн типа JJI. Под таиим названием известны
наиболее важные звенья, применяемые n qJIшьтрах. Рассмотрим лишь СIlМ
метричное Т образное звено, изображенное
на фиr. 104. Соотношения между Zlm И Z2m
В звене TaHoro типа будут
Zlт === тZ 1 ,
Z Z,(1 m2)
2т rn44 т '
Z l Z2 == k 2 .
(10.92)
(10.93)
( 10.94)
Фие. 104.
Постоянная величина k называется номи
нальным харантеристичесним импедансом
звена и не зависит от частоты. Соrласно
теперь Za == Zb' хараитеристичеСRИЙ импеданс BЫ
выражению (10.76), rде
ражается соотношением
[ ( Z ) 1 1]2 [ ( Z ) J 172
Zk == ZIm Z 2т 1 + 4 : == Z l Z2 1 + !! 2 .
Этот импеданс не зависит ОТ выБОрfl т. Соrласно выражению
ПОСТОЯНlfая передачи r равна
ch r === 1 + т
2т
(10.95)
(10.73),
(10.96)
Из выражений (10.92) и (iO.93) спедует, что
Z,m 4m2( ')
Z2m (1 т2) ( : ) + 4 .
Это отношение обращается в НУJIЬ, ноrда Zl/Z2 равно НУШU, и равно 4,
ноrда Zl/Z2 равно 4, поэтому на основании условия (10.t\6) можно за
НЛlOчить, что поrраН1'fЧпые частоты пuлосы определяются отношением ZI/Z2
и танже не зависят от величины т. Знаменатель выражения (10.97) обра
щается в нуль, если
(10.97)
ZI
z;; 1 т2'
или
т == ( 1 + 4Z 2 ) Ч2 .
, Zl
( 10.98)
Отсюда, выбрав полосу пропуснания и зная величину отношения 7. 1 /Z 2
дш! поrраничных частот, можно найти ero величину на любой частоте вне
полосы и затем, пользуясь выражением (10.98), подобрать т таи, Ч1'оtiы
Пере.меu1tые токи
36
получить на этой частоте почти полное запирание. Тан решается. задача
иснточения нежелатеЛЫ1!>!Х частот.
Для однозвенноrо ПQлосовоrо Т образн()rо фЮIьтра Zl и Z2 мотут
иметь вид
. . ( 1 )
Zl == 1 шL 1 roe l '
Z ;roL 2
2 == 1 ro2L2C2 '
при этом для удовлетворения условия (10.94) необходимо, чтоб!>! L 1 C 1 ='
==; L 2 C 2 . Величины Zl и Z2 представляют собою индунтивность и емность,
внлюченньre соответственно последовательно и параЛJIелыю. При изменении
)
\
rp !
1l
!
I lLJ z ,»
71
1
6
Фие. 105.
Действительная
"ость
Z1( МНl1IYIая часть
'а
,
I
I
.1
1
I
I
,
,Ш, Ш Z
I
,
,
,
Ш UXJ ш, lLJz lLJ zoo
а в
частоты от нуля до беснонечности ch r изменяется от о) до + 1 и опять
до 0), тан" что на поrра ичпых частотах ch r == 1, причем на одrrой
частоте <Рl == 'It, а на друrоii <Pl' + т.:. Таним образом, существует две
частоты, при ноторых выражение (10.98) дает одно и то же значение т
и, следовательно, прuисходит полное запиранrю. На фиr. 105, а, б и в по
I{азаны нривые, выражающие зависимость от частоты соответственно посто
ннной затухания а, постоянной фазовоrо
сдвиrа <fi и деЙствительной и мнимой частей
харантеристичесноrо импеданса.
18. Выходное УСТРОЙСТБО фильтра.
Н последнему Т звену фильтра, имеюrцg,rо
харантеристпчесниЙ импедаrrс Zh' ПОДIШЮ
чим наrрузну таи, нан ПOl\азано на фиr. 106.
Постарасмся найти, еl:JIИ это возмош В
но, тarюе R, при нотором импеданс между
точна ми А и В онажется равным Z h для всех
значений т, тан что тон будет проходить
без отражения от нонца, ню;: в бесн:онеЧIIоIr
между А и В равным Zh и ИСПОJIЬЗУЯ уравнение
шение
222т R
Фие. 106.
линии. Полаrая импеданс
l\ирхrофа, получим COOTHO
Z == ZHn + 2Z2mR
h 2 2Z 2m + н '
разрешая ноторре относительно R, наидем
R 1fZ2mZh 2Z Hn Z 2m
4Z2т+ZHn 2Zh .
Соrласно Lыражению (10.76), для симмеТрИчноrо Т звена имеем
Z [ Z Z ( 1 ZHп ) ] Ч2 .
"'п == . . 1т 2т + 4Z 2m '
(10.99)
( 10.100)
24 в. Смайт
370
r дава Х
а для симметричноrо П звена [ем. 'выражение (10.79)] имеем
Z . == ( Z Z ) 112 ( 1 + Z,m ) 1/2
k 1т 2т \. 4Z 2т '.
Исходя И3 выражений (10.100) и (10.101), получаем
ZkZk' == Z1m Z 2т
(10.101)
Подставляя эти
4Z 2т Z k -== <.4Z 2m + Zlm) Zk' .
выражения в знаменатеJIЬ (10.99),
R == (4Z 2m +Z tm ) Zk' 2Z"Zk'
4Z 2m + Z рп LZh
(10.102)
(10.103)
и
имеем
Zk"
(10.104)
Те же
тении
самые соображения применимы и но входу цепи; поэтому в OTHO
харантеристичесноrо импеданса цепь подобна П образному звену
и имеет постоянную передачи, равную
постоянноЙ передэчИ симметричноrо про
изводноrо T 3BeHa типа т. Соrласно
выражениям (10.102), (10.92) и (Ю.93),
Zh' 4Z Z2 +4 :т2) Z i. (10.105)
Если принять Ri равным Zl Z2 номиналь
ному харантсристичесному импедансу
системы, то в ПОЛОt;е пропуrнания OTHO
тени е Zo/Zh' для различных т будет
1
зависеть от 7; ZI/Z2 тан. нан это поназа
но на фиr. 107. Соrласно изображенным
/, здесь нривым, выбор т == 0,6 дЛЯ HO
h б
О 1 ::= ИЙ3В: I е;а= е : ;Н::IlaI :
Фие. 107. во всей полосе пропусн:ания; тем самым
ЛlIнппдируеТrЯ nторой недостатон: nрОСТО
ro фЮIьтра. n линиях связи употребляются и друrис-, БОJIeе СJюжные фильтры,
НО основные ПРИНЦИIIЫ, на ноторых они построены, аНaJюrичны pac
смотренным выше. Влияние рассеивания энерrии в сопротип;тениях, HOTO
рым МЫ БСЮДУ пренеfiрю'ли, сназывается в том, что все уrлы и острые
пини на нривых фиr. 103, а, б, в и е и фиr. 105, а, б 11 в сrлаживаютсл.
Zo
l{
э 19. ,Пинии передачи. В rл. VI мы леrно перешли от линии с пе
риодичееки повтuряющимися последовательно вк.пюченными антивиыми со
ПРОТИВJюниями и сопротивлениями утеЧЮl н JI11НПИ С раснредеJIeННЫМИ
параметрами. Подобно тому, IШН было проделано в 2 д.пл перехода 0'1
линии передачи на постоянном тоне J. линии передачи на переменном тоне,
8аменим в (6.4) последовате.пьно внлюченное сопротивление т поrлеJJО
BaTe.ТlЬHЫM импедаНI:ОМ ZL на еД1IНИЦУ длины, а СОПРОТИВJIение утечни
S параллеJIЬНЫМ импеданtом Zc (также н'а единицу дшшы). Та ним обраЗ0М,
КОМПЛeF,сная амплитуда тона i в линии у;ювлеТ1юряет дифференциальному
уравнению
d 2 i ZL . Z У . [ '2.
dx 2 z;; 1 L с l 1,
(10.106)
интеrрал HOToporo можно записать в виде суммы экспоненциальных фуннций
i == Ae r'x + Be+r'x. (10.107)
. П"ре.Аu'uuые тощt
371
ДействитеJlьная часть hомпленсной постоянной передачи [' называется по"
стоянной затухания а', а мнимая часть j ' определяет фазовый сдвиr '.
На отреЗl>е ах ток между двумя элементами линии равен (di/dx) dx
и протекает по импедансу Zcldx, поэтому, соrласно занону Ома, на этом
участке создается падение напряжения
di 1 di
Z ( 10108 )
с ах УС dx . .
При малых значениях а' вдали от reHepaTopa, rде х велИl\О, i =: О, так что
в выражении (10.107) В == О. в этом случае хараитеристичесиий импеданс равен
Z I р. I ' Ч2 ( Z/ ) 112
. k ==со == Zcf == (ZcZL) == Y .
1 B O с
Если В не равно нулю, то отношение R i при х == О, получаемое из BЫ
ражений (10.107) (10.109) и называемое обычно входным импедаНСОJ\f, равно
(A тP A B
Z;;= (А+Ь) Ус A + н Zk'
Пусть линия длиною l имеет при х =: l нэrрузиу ZL, тоща из выраже
пий (10.107) и (10.108) СJIeдует, что
I I Ae r'I Ber't
Z Z
L i x t k Ae ."'+Bel"! .
Исключая из соотношений (10.110) и (10.111) величины А и В, ПОJlУЧИМ
для Rходноrо импеданса СJIeдуюmее выражение:
Z Z ZL c hr'I+Zk 8h r'1
; == kZk chI.'l+Zj. БЬ ("[
Если линия на концах разомннута или, наоборот, закорочена, ТО входные
импедансы будут равны соответственьо Zh ct h f'l и Zk th f'l. Заметим, что
ZoZ. == Z . Ток в J1ИНИИ, поступающий от reHepaTopa с внутренним импе
дане ом Zt и э. д. с. В, равен
(10.109)
(10.110)
(10.111)
(10.112)
. R
lx О == Zt +- Zk .
(10.113)
Выражение (10.27) показывает, что ДJlЯ передачи в линиях мансимаJIЬНОЙ
мощности нужно, чтобы Zt == Z'k. Таким образом, наИJlучшие условия пере
дачи получаются 11 том случае, коrда импедансы наrрузки и reHepaTopa
являются величинами, номплеисно сопряженными хаРЮiтеристичесному им
педансу линии. В 9 и 13 rJl. ХПI этот вопрос будет рассмотрен еще
с друrой ТОЧКИ зрения, исходя из уравнений Максве;,ша.
20. Электродвижущие силы несинусоидэлыюй формы. Метод рядов
Фурье. Существует неСКОJIЬИО методов ИССJIедования периодических э. д. с.
частоты Ш 1 , имеющих форму кuлебаний, ОТJIИЧНУЮ от синусоидальноЙ.
В одном из этих методов э. д. с. рассматривается нан суперпозиция He
СIЮЛЫШХ э. д. с. с частотами Ш 1 . 2ш., 3Ш 1 И Т. д., называемых rармониками.
Пользуясь раЗJlOжением фУ1ШЦИИ f (t) в ряд Фурье, нетрудно определить.
амплитуды и фазы состаВJIЯЮЩИХ э. д. с., ноторые н сумме образуют задан
ную фУН1ЩИЮ f (t). Таким образом, имеем
f (t) == Ао + L (Ат СОБ тw 1 t + Вт sin тw1t) ==
m
== Ао + : [(A + В )Ч2 cos ( тw1t arc tg : ) ] ==
m
== Ао + Re {Cmeirnwlt},
т
(10.114)
24.
372
, rлава х
['де
+"'/"'1
Ат == :. \ 1 (а) СОБ тш 1 а аа,
",'/Юl
+"'/Юl
Вт. == :. 1 (а) sin тw1a da
"'/Юl
(10.115)
(10.116)
11
"
"
"
Cm==Am jBm. (10.117)
выражение (10.1Н) имеет нан раз таную форму, ноторая
в этой rлаве с caMoru начала. Таним образом, еСJIИ дей
ствующа» э. д. с. задана в виде фунrщии 1 (t),
мы решаем задачу отделыIO ДJШ Э. д. с. вида
1 == Re {С 1 е iЮ1 f}, 2 == Re {С2еiЮ2t},
з==Rе{Сзеiюзt} и т. д. (10.118)
t
ПОРiIеднее
уuотреБЛЯJШСЬ
Снладьшая действительные части полученных
Фие. 108. решений, получаем исномое решение нашей
задачи.
В нзчестве типичноrо примера paCCMOT
рим Э. д. с. пилообразной формы (фиr. 108), приложенную н нонтуру, им
педанс HOToporo при частоте тЮ1 равен Zт, Соrласно выражению (10.115),
А == О, а из выражения (10.116) нолучим (см. Двайт, 430.11)
+"'/Юl
В ю. o С. d
т== ТtT o aSlnmW 1 a а==
7t/Юl
ю. o '1 I . \ +7t/ Ю1 2 0 ( 1) тн
== T БlптШ1а тШ1аСОБтШlа 1t/Ю1== Т .
тt О m Ю1 ты. о
'riшим' образом, приложенная. э. д. с. представляет собой суперпозициlO
Э. д. с. вида
==Re J ( 1)m2i 0 еimЮlt } ( 10.119 )
т t mю.Т о .
Если в рассматриваемом нонтуре сонротивление, емность и индунтивltость
соединеlIЫ ЦQслер,овател;ьно, то для тона, соrласно соотношениям (10. 7)
(10.9), будем иметь выражение
00
i == 2 0 ( 1)тн sin (m ю .' + <1')
ю1т о k.J {R 2 l L 1
т ! m + т"'1 . (m"'lC)
)2 J 1/2 '
(10.120)
[',де
1 m2",iLC
tg ' == ВС ' (10.121)
mЮL
Наличие j Б выражении (10.119) приводит н тому, что в соотношении (10.9)
RОСИНУС заменяется на синус.
21. Электродвижущие силы несинусоидаЛЬJlОЙ фор"ны. Метод повто
ряющеrося переходноrо режима. ДруruЙ метод исследовашIЯ ст щионарноrо
режима, HorAa ,1). 'д., с. повторяется с периодом Т и ее можно представить
на интервалах (О, t 1 ): (i 1 ; t 2 ), .. .,иn 1' Т) фУНhЦИЯМИ 11(t), 12(t), ..., In(t),
основан на испuльзовании общих решений дифференциальных уравнений
' riраhЬ1МИ частями 11 (t), 12 (t), ..." /'n (t) (см. 18 rл. IX). Постоянные
.интеrри:ровапия дли стациона plloro нроцесса опрс.де.шпотся (при наличии
Пере.м,еuuые токи
З7Э
в контуре самоиндукции и емкости) из условия непрерывности TQKa и за
ряда на rраницах BpeMeHHblx интервалов, а таюке из условия PflBeHCTB8
значений тона и заряда в моменты t == U и t == Т.
В качестве примера решим этим методом задачу, рассмотренную в пре
дыдущем параrрафе. В зависимости от величины постоянной затухания
в нонтуре (большое, маJюе или нритичеСlюе затухание) возможны три Формц
решения, Рассмотрим случай,' ноrда в нонтуре возможны IЮJшбания,
т. е. уrловая частота w == l (LC) l 1 R2L 2 J Ч2 действительная величина.
Уравнения контура записываются в виде
d 2 q R dq q o
dt 2 +1:'" dt + LC == LT t,
d 2 i R di, i o
(ji2+T dt т LC == LT .
(10.122)
(10.123)
Вместо Toro чтобы использовать общий, но rромоздкnй метод (9.134), pe
щим уравнение (10.123) при помощи подстаноВlШ х == i w'o (С/Т). YpaBHe
нне для х имеет вид (9.3), поэтому [см. выражение (9.7)] имеем следующее
решение, описывающее нолебательный процесс:
С .
i== ; +е R!12L(Асоswt+Вsiпwt). (10.124)
Первое rраничное условие it '1' == it '1' дает
А Ь ВТ Т В Ь ВТ. Т
S 2L СОБ w == С 2L SШ w .
Соrласно второму rраничному условию qt '1' == qt T, получим
+'1'
\ i dt == О.
T
(10.125)
( 10.126)
Интеrрируя (см. Двайт, 577.1 и 577.2) и подставляя пределы,
o А ( R Ь вт Т + Ь НТ. Т)
Т == 2L S 2L СОБ w W С '2L SШ w +
В ( в h ВТ. Т + Ь вт Т )
+ '2L с '2L SШW Ш8 '2L СОБШ .
Объединяя это с соотношением (10.125), ПОJIУЧИМ
'f-Io А Ь ВТ. Т В Ь ВТ Т
wL == с '2L SIПW + S "L.L СОБШ .
находим
'i
(10.127)
Разрешая теперь соотношения (10.125) и (10.127) относительно А и В,
будем иметь
ocb( {RT/L )sinwT
А== [ 1 J '
roL .Sh2("2RT/L )+Sin2wT
o sh ( RT/L") coswT
В== .
wL l sh 2 ( RT/L) +sin 2 шТ J
Выражения (10.124), (10.128) и (10.129) определяют стационарный тои
в интервале Т < t < Т. Эти значеНIIЯ TOl\a периодичесни повторяются.
ПОJIученное выражение можно рассматривать нан сумму ряда (10.120).
(10.128)
(10.129)
3.74
r лава Х
22. Контур с отрицателы ым аКТИВI1ЫМ сопротивлением. Переход
яый харантер явлений, рассмотренных в rл. IX, обусловлен тем, что в f\OH
туре содержится ан:тивное сопротивление, рассеивающее энерrию. При обыч
яых температурах невозможно сделать контур без сопротивления. Однако
можно поместить в н:онтур устройство, Iюторое содержит ИСТОЧНИI\ энерrии
и в определенных пределах изменения тона будет проявлять себя нан отри
цательное антивное сопротивление R. Если ero поместить ПОСJ]едоnа
тельно с активным сопротивлением контура R, то результирующее сопро
ТИВJIeние будет
r===R R,
(10.130)
R при параллельном соединении получим
RR
r === Я Н '
в первом случае r === О, если R == R, а во втором с.ттучае если R == О, так
что любые заданные колебания будут продолжаться бескuнечно долro
с постоянной амплитудой. Если, в первом
случае, R < R или, ВО втором случае, R <. R,
I i то r отрицательно и поназатель степени у
f'C экспоненты (см. rл. IX) становится положитель
ным. В этом случае колебания, однажды B03
С никнув, будут возрастать (по амплитуде) энс
поненциально до тех пор, пока ток не
превысит тех пределов, в которых ЭТО устрой
ство д йствует как отрицательное сопротивле
ние. При помощи TaKoro устройства обычно
ОСУjЦествляется rенерация переменноrо тока
при частотах, слишком высоких для враща
ющихся электрических машин.
Мы приведем только один пример TaHoro :контура. Возьмем простой
СJlучай, рассмотренный в задаче 3 rл. XIII, :коrда L, С, R соединены па
раллельно (см. фиr. 109). Если 4R 2 C> L, то в :контуре возможны нолебания
с частотой ш, равной
rv
i
t iR
iL
L
Фие. 109.
(10.131)
R
2 1 1
w lc 4R2C2 ,
(10.132)
И амплитудой, затухающей со временем :жспоненциально. Поместим теперь
цараллельно с R элентронную лампу, ноторая в оrраниченных пределах
ведет себя нан отрицательное сопротив;шние. В цепи, изображенной на
фиr. 109, будем рассматривать тольно переменные тони. Выходной тон i
источника управляется пренебрежимо малой энерrией, поступающей из HO
лебатеЛhноrо нонтура по специальному элементу связи. Например, в случае
злентронной лампы контур в цепи сетки можно индунтивно связать с L.
:rоrда анодный ток i будет неlЮТОРОЙ фунrщией напряжения на сопроти
iтении R, ноторую для малых значений V можно считать линейной.
Таким образом,
i == Ij; (V).
( 10.133)
Соrласно обозначениям, указанным на фиrуре, имеем
L di I R . 1 ( . d V
dt == . lR == С lc t ==
ц
(10.134)
i == i L + i R + ic.
(10.135)
Пере.меuные токи 375
Дифференцируя соотношение (10.135) и подставляя значения производных
тона из (10.133) и (10.134), после преобразований получим
: + c [V R (V)]+ ===O. (10.136)
Допустим, что величина (V) достаточно велина и, следовательно, второй
член при малых V отрицательный. Будем иснать периодичесное стационар
ное решение в виде
00
V == а п сов (пшt + СРп).
n 1
(10.137)
Для нахождения связи между основной частотой и амплитудами rармони:н
умножим уравнение (10.136) на V и проинтеrрируем по всему периоду.
Втuрой член обращаеТt:Я в нуль, и
после интеrрирования по частям пер
Боrо члена получаем
dV 2 1
(ft === LC V2.
Подставляя значение V из выраже
ния (10.137) и разрешая получен
ное соотношение относительно ш, бу
дем иметь
00 00
w ll === (LC п2a ) 1 a . (10.138)
n 1 n 1
O
Q5
20 15 O a5
i 1)
а5
1.0 1.5 2,0 Х
0,5
1.0
Рассмотрим случай, ноrда система
тольно что перешла за пороr caMO
возбуждения. В этом случае второй член в уравнении (10.136) оназы
вается с малой отрицательной величиной и в первом приближении им можно
пренебречь; в результате получаем частоту w == (LC) 1f\ совпадающую
с собственной частотой нонтура в отсутствие антивноrо СОПрОТИВJIeНИЯ.
Исследуя выражение (10.138), мы видим, что амплитуды rармонин в этом
случае танже пренебрежимо малы.
Чтобы определить амплитуду OCHoBHoro нолебания в стационарном
состоянии, необходимо принять определенное выражение для фуннции (V)
В формуле (10.133). Разумно определить i следующим аналитичесним
выражением:
-- i== (V)== R 1 arctga.V, (10.139)
соrласно ноторому при малых V второй член в уравнении (10.136) ()Трица
тельный, если a > 1. На фиr. 110, предстаВЛЯIOщей фуннцию у === arc tg 10 х,
видно, что полученная нривая сильно напоминает сеточную харантерпстику
триода, Rоrда рабочая точна находится в сереДJше харантеристини (в точне
переrиба). При помощи выражения (10.139) можно определить постоянные
а и через параметры харантеристини лампы и веJlИЧИНУ оnратной связи.
После BToro уравнение (10.136) принимает вид
V 1 d V
dt2 --t- CR dt (V arc tg a.V) + LC === о.
1.5
Фив. 110.
( 10.140)
Умножим это уравнение на V dt и проинтеrрируем по t наждый член
по частям (см. Двайт, 79), ПРJiНl1мая в наждом случае и === V dt, тю, что
du==Vdt. После выбора пределов интеrрирования t== 1Сlш и t==1С/Ш
З76 r лава Х
.!I РВЫЙ И третий члены исчезают, а произведение иv от BToporo члена дае'!
+'It/Ю
(Р V arc tg aV) dt == О. (10.141)
'It/Ю
Лодставляя сюда вместо V ero выражение (10.137), полаrая а п == О ДlIЯ
всех n =1= 1 и выбирая начальный момент времени, Rоrда <РI == О, можно
проинтеrрировать по частям второй член, принимая и == arc tg aV и dD ==-V dt.
Произведение иv при подстаНОВRе пределов исч,:зает н, пользуясь форму
ДОЙ (858.3) из справочника Двайта, находим
+'It/ю
1ta 2 а2а2 sin 2 {J)t
dt==O
{J) (l 1 + а2а 2 cos 2 {J)t '
'It/Ю
или
+'"
1ta 2 2п (1+а2а2) \ d({J)t) ==0.
{J) аш аш J 1 + а2а 2 cos 2 {J)t
'It
.
Выполняя интеrрирование (см. Двайт, 460.1, rде следует вмеёто
а вместо а 2 взять 1 + а 2 а 2 ) и умножая на аш/т-, получим
l'
aa2 2 2 (1 +а 2 а 2 ) /20.
Избавляясь от дробш/rо ПОRазателя степени, будем иметь
аа 2 [аа 2 4 (1 + a )] == О.
Ь 2 взять 1,
у 1
,.,JI
.: Tt
(10,142)
,)
Из этоrо выражения следует; что возможна нулевая амплитуда. Это озна
чает, что для оno-луче--Бия 1юлебаний с_ амплиту;юй, _ ОТJIИЧНОЙ: ОТ нуля
необходим начальный ТОЛЧОR, например"разряд конденсатора. Ив выражения
l! квадратных скобках по;лучаем амплитуду стацнанар:в:ых Болебаний- :'>6 "i.
2 4 (1+a ) .. : .:} . _ \:L
а == а (1О' Jз'J
Заметим, что в стационарном состоянии, Rоrда второй член в ypaBHe
HI!K' (10.136) мал, частота зависит тольно от L II С, В то время нан амптr о
туда определяется .толь но величиной R и свойствами rеиератора. Более
сложные системы рассматриваются у Ван дер Поля и в друrих работаХ r
СIIНСЩ ноторых уназан в 1шнце l'лавы. .
ЗАДАЧИ
1 *. Катушка вращается с постоянной уrловой снороетью {J) (BoKpyr оси, лежащей
в плосности катушки) в однородном маrнитном поле, силовьш линии котоrюrо перпен
дикулярны н: оеи вращения. НаЙТJI ток в катушне и поназать, что есо величина будет
наибольшей, ноrда плосность катушки образует с направлением маrнитных силовых
линий уrол, равный
а!'С tg ( L;: ) .
2*. НаТУШJШ обладает сопротивлением R и еамоиндукцией L; ее концы А и В при
помощи провода, сопротивлением KOToporo можно пренсбречь, присоединяются к KOH
денсатору емкоетыо С, В цепи, соединяющей точки А и В, наблюдается ток 1 eos pt,
причем заряд конденсатора изменяется в фазе с током. ПOliазать, что заряд равен
LI
J[ . cos р!
и что
с (R2+ р2 L2) == L.
Найти ток- в катушке, .
'Задачи
377
3*. Н:ОНЦЫ В И D провода, обладающеrо СОПРОТИВJIением П и самоиндукцией L.
приеоединены к плаетинам кондснеатора С, Провод вращаетея BOKpyr вертикальной
прямой вп с УI'ЛСВОЙ екоростью (J) и раеположен так, что в плоекости, в которой ло---
жит провод И прямая вп, между ним и вп 38.КЛIOчаетея площадь величиною А.
Пусть.Н п\ризонтальная еоетавлшощая маrнитноrо поля земли. Поназать, что ДЛff
поддержания вращения требуется затрачивать в ереднем мощность, равную
..!. ,,2 H2A 2 C 2 Rw 4
2 , . "
R2C2w2+(1 CLw2)2
4*. Замкнутый соленоид образован из болыз;r.оrо чиела N катушек, у наждой И3
которых провод равномерно намотан на нруrлыи Цилиндр радиуса а и высотой 2/1.
В центре цилиндра помещается маленькая натушка, ось IЮТОРОЙ еовпадает е осью ци
лилдра, а маrнитный момент изменяется по закону М sin pt. Показать, что сила тока,
протекающеrо через соленоид, равна
PfL"MN [(a 2 +'t 2 ) (Н2+ Рр2)] Ч2 8in (pt+a),
i'де R, L сопротивление и еамоинпукция соленоида и t,g а '== R/ pL.
5*. Круrлая наТУJlша радиуеа а, имеющая N витков и СОПРОТИПJJение R, Bpa
щаетея с у,fловой екороетыо w BOHpyr вертикалыюrо диаметра в rоризонтальном Mar
питном поле земли Н. Показать, что при этом катушка иепытывает противодействие-
величиной
1
fL2 /l2N 2 т. 2 а 4 wR
2 " .
R2+w 2 L2
6*. Ток 1 8in pt, протенающий в натушке А, инлуцирует ток в натупrnе В,
Показать, что ередняя сила,' стремящаяся увеличить любую НОGрдинату натушки О,
равна
}I2p2LM (дМ/дО)
L2p2+R2
rде L, М, N коэффициенты индукции Rатушек, а R сопротивление каТУllШИ В.
7*. Плоекий контур площадью S вращаетея с поетоянной скороетью w BORpyr
оси Z, лежащей в ero плоскоети на раеСТОЯ!lИИ 1I от центра тяжеети площаD,И. На оси . ,
a большом расстоянии а от начала ноординат, УRрепленд проволuчная петля с Mar
I,IИТlJЫМ моментом ш, направленным вдоль оеи Ох. ДОRазать, что в момент времени t
ток прибли}К ино равен
SWf!"ш
21ta 3 (R2 + L2 ( 2)lJ2
/
. 9S W f!"ш/l
eo<;twt e)+ lJ cos(2wt 1j),
41ta" (R2 + 4L2(2) 2
rде 1j, е ПоеТоянные.
8. rCHPpaTop с заданной э. д. е. и импеданеом Zt соединен с наrРУЗRОЙ ZL пере
дающей линией с характеристичееRИМ импедансом Zk' Поназать, что при макеимальном.
токе в наrрузке Z ==ZtZL'
9*. Две точки А и В еоединены проводом с активным еопротивлением R (без
еамоиндунции); точка В еоединяетея с третьей ТОЧRОЙ С двумя проводами, каждый из
которых имеет сопротивление R, а один, нроме Toro, облада('т саМОиндукцией L. Пуеть
между концами А, С поддерживаетея напряжени!! Е С08 pt. ПОRазать, что напряжение.
между точками В и С будет
Е' С08 (pt +"'(),
rде
( R2 + p2L2 ) 1/2
Е'==Е 91i 2 + 4p2L2 '
tg"'(
рЕН
2p2L2 + 3В2
10*. Кондевеатор С приеоединел параллельно катушке с сопротивлением R по
саМОИНДУlщией L при ПОмощи ПрОВОДНИRОВ, обладающих еопротивлением Т. Получен
вый таким образом нонтур внлючаетея в цепь е э. д. е., имеющей период 21t/p. ПОRа
зать, что этот контур эквивалентен проводу без еаМОИНДУIl:ЦИИ, если
( Н2 ) == рЦВ (T2 ) ,
378
r лава Х
11 что сопротивление этоrо провода должно быть равпым
(Rr+ ) (R+r).
11 *. Точки А и В соединены двумя ветвями с еопротивлениями еоответетвенно
R и S, самоиндукциями L и N и коэффициентом взаимной индукции М. Доказать,
что для внешней цепи, которая подключена к точкам А и В и по которой течет ток
частоты р, эти две ветви эквивалентны одпой ветви с самоиндукцией
NR2+LS2+2M RS+ p2(LN M2) (L +N 2M)
(L + N 2 М)2 p2 + (R + S)2
и еопротивлением
RS (S+R)+ р2 [R (N M)2+S (L M)21
(L т 1v M)"p"+ (Н, S)"
12. Три точки а, Ь и с еоединены слепующим образом: между а и с находятся две
веТRи одна содержит сопротивление R, а друrая rенератор nepeMellHoro тока и ип
ДУI{тивноеть; между Ь и с находятся также две вртви одна содержит rальванометр
перрменноr6 тока, а вторая еопротивление Р и инпуктивноеть L; между а И Ь поме-
щаются емкость С и сопротивление S. Между двумя индуктивностями имеется связь
(коэффициент взаимной индукции равен М). Показать, что для Toro, чтобы стрелка
rальванометра не отклонялась, должно выполняться условие
M==CPR==LR(R+S) I.
13. reHepaTop с э. д. с. t5 0 СОБ rot, выключатель, индуктивность L и сопротивление R
,соединены поеледовательно. Показзть, что поел е замыкания цепи в ней не будет Ha
блюдатьея переходных явлений, если в момент замыкания цепи значение э. д. с. было
равно
== i: 'fjoroL (R2+(J)2L2) lJ2.
14. Общая индуктивноеть и сопротивление цепи (включая и вторую обмотку Tp8ТlC-
. форматора) равны соответственно L и R. В первичной обмотке течет ток 10 еОБ rot.
В кашдом полупериоде СУЩРетвует момент времени, коrда разрыв вторичной цепи
может произойти без искры. Показать, что в этот момент ток в пеРВИЧIlОЙ цепи равен
R10 «(J)2L2+R2} lJ2.
15. В контур, состоящий из емкости С и индуктивности L, . включена после;t:ова
тельно периодичеекая э. д. с. прямоуrольнои формы, такая, что V == V о' если 2тr:.jro < t <
< (2n+1)1tjro, и V==o, если (2n+1)1tjro < t < (2n+2)1tj(J), rде n целое положительное
чиело. Показать, что поеnе уетановления стационарноrо состояния токи i 1 или i 2 опр&-
деляются выражеmшми
при 2n1tjro <:: t < (2n + 1) 1tj(J)
i 1 == O ( C L ) 1f2 Бес [ 1t ч ] 5in [ (LC) 1f2 [ t
2ы (LC) 2 l
при (2n+1}1tj(J) < t < (2n+2) 1tjro
i2==il ( Y/2fТoSin {(Lc) 1f2 [t (2n 1)1t J }
(4n+1)1t ] }
lw '
Иееледовать случаи, коrда w == (LC) 1/2 И w == lj2 (Lc) lJ2.
16. Решить предыдущую задачу методом рядов Фурье и ПOI{азать, что ток опре-
дсляетея выражением
00
2шС '\.'
ё V o [(2т+1)2 w2LC 11 lcos [(2т+1) wt].
т O
1
17. Электродвижущая еила, описанная в задаче 15, но с пределами +"'2 V o
1
и "'2 V o , вместо V o и О прикладываетея к катушке Ll' связанной с контуром,
имеющим индуктивность L 2 И емкость С, еоединенные последовательно (Jюэффициент
$заим ой индукции равен М). Показать, что в етационарном режиме заряды Ql и Q2
-Задачи
379
па конденсаторе в интервалах. времени, уназанных в задаче 15, равпы
мУ,.с 1["". 1 ( 1["', ) . 1
Ql,2== ::1: sec ш Бт:т 6 --f sш Z 6,
I'Д('
"'r==
L,
(; (LIL2 M2) ,
0=="'1 (t 2n",+1 т.;).
18. Решая предыдущую задачу методом рядов Фурье, показать, что заряд на
t\оНдеНеаторе равен
00
2МУ о С r-;in (2т+1) ",t
Q 1[ (LmT1)[(Lт+1)2",2(LIL2 M2)C Ll] '
т o
19. Э. д. с. включается в первичную обмот[{у транеформатора, имеющую ипдуктив
НОеть L, и еопротивление В,. Вторичная обмотка трансформатора. имеющая еопроти
вление В 2 и I1НДУКТIJвпоеть L2' наrруженя имш'данеом ZL' Н:оэффициеIJТ взаимной ИН
дующи между обмотками транеформатора равен М. Поназать, что если "'L2 MHoro
больше чем В 2 + RL i/(wC L)' то отношенио токов в пеРВИЧJJОЙ и вторичной обмотках
мо,иет не зависеть от частоты.
20. Показать, что в ПРРДЫДУЩеЙ задаче Отношение э. д. е. D первичной и во BTO
ричной обмотках трянсформатора не зависит от чаетоты в случае, если wL 1 Z L миоrо
больше чем (M2 L1L2) ю 2 И В. (R 2 +Z L ) и w (L 2 R 1 +L 1 R 2 ).
21. Пусть круrовая частота синусоидальной э. д. е., иепользуемой в контуре. опи
санном в Э 2 Jшстояшей rлавы, равна Ю 1 . Поназать, что ОТН()IlIение у среднеrо квадрата
тока при LC == ю 1 2 К среднему квадрату тока при любой величине L и С равно
[ L2wr ( 1 ) 2 ]
У== 1+ .Ш 1 LCwr .
22. Пусть L, С и R в предыдущей зада'Iе заменены lIа L2' С 2 И R2' а М ДОетаточ
но loЩJIO. Показать, что результат предыдущей задачи rодится и для тока в контуре 2,
изобраЖ!ШllОМ на фиr. 99 ("'I круrовая частота э. д. с., включенной в контур 1).
23. Доназать. что электричесную цепь, еоетавленную ЮI импедаllСОВ ZJt Z2' ...
... · Zп, соединяющих точни Р 1 , Р 2 , ... ., Р п С одной общей точкой, можно заменить
денью из импедансов Z12' Z\з, Z2З, ..., еоединяющих попарно точки Р (индексы YKa
зывают номера соединяемых точек), rде
,
n
Zrs==Z"Zs Zj;1.
11=;1
,
24. Можно доказать, что Jlмпедаис любоrо двухпОлюсника, еОДержащеrо толыю
чисто реактивные сонротивления, заПисывается в форме
' А(ш ш2)(ш ш2)... (Ю п., ш2)
Z (2 2) (2 2) ,
fW "'2 W . .. "'2 n '"
"Де А положительная по тояннан и 0-< "', -< Ю2 ... -< Ю 2n +l -< СХ). Пользуяеь ЭТ1JМ,
ноказать, что Z мошно образовать ПОеледоватеJIЫJЫМИ контурами и поеледонателыюй
комбинацией параллельных наетроенпых контуров е антирезонансными круrОDЫМИ часто
'Та ш Ю 2 ' Ю4' ..., "'2n или при помощи параллельной комбинации настроенных нонтуров
с реЗ0нансными нруrовыми частотами ю\, WЗ, ..., "'21'41'
25. Поназать, что если два р()аКТИВIIЫХ импеданеа И IeЮТ ОДИIIaК,)ВУЮ резонансную
и одинаковую антире80нанс-ную частоту, то их птношение ПОСТОянно ДJIЯ веех чаетот.
26. Показать, что реантишю('п, иыпеданса, не еодержащеrо аJпивноrо сонротив
цения, на участне между ре.юнансной и антирезонансной частота"IИ вееrда возрастает
е УIJеЛИ'Iеиие I частоты.
27. Один контур ('остоит из еопротивлепия В" еМКОети С 1 и индуктивноети L 1 .
Второй КОIIТур еод ржит !.ОНРОТИВЛ()IIИ() В2' емкость С 2 и ИПДУНТИВНОСТЬ L 2 . Часть
ИНДуКТинноети flВЛRеТСIl общей обоим КОlIтурам. Показать, что если М опредрлеllО как
поток, IIронизывающий однн контур, НOI'да ЕО втором контуре протекает единичный тон,
то ураВllенил для i, и i 2 будут (ОШJaдать с ураJJнениями S Н) н:!еТОящей rлавы при уело
вии, что элемент, общий обоим контурам, оБЛ1iдает нулевым анпJВПЫМ еопротивдением.
Такал связь между I{OHTypa 1II Юl3ываетеlJ прямой или автотранеформаторной.
28. Пять контуров соединены цепочкой так, что все взаимные импеданеы равны
нулю, за Исключением тех, Iюторые соедиш'ют Сi\JеЖIJые I{ОНТУРЫ. В центральный
380
r лава Х
(т. е. третий) НОНТУР' помещается синусоидальная э. д. е. Ноназать, что номплснсные
IlМНЛИТУДЫ тонов определяются вырижениями
i 1 '; Z12Z]Ji2' i2 Zl1 Z 23 (Zl1Z22 Zi2) 1 i з ,
i з == [Zзз ZнZ з (ZlIZ22 ZЫ 1 Z55Z 4 (Z44Z55 ZЫ 1] 1 ,
i4 == Z55ZЗ4 (Z44Z55 Z 5) 1 i з , is == Z45Z5 j4'
29. Два нонтура еостоят соответетвенно из ИПДУНТИВНОСТОЙ L 1 И L2' еIVшостей С 1
и С 2 И сопротивлений R 1 и В 2 . Часть r сопротив.пений В 1 и В 2 явлнетсf.! общей обоим
нонтурам. В первый нонтур включена периодичеснан э. д. с., изменяющанея с Kpyro
вой частотой "'1. Показать, что 1'01\: во втором нонтуре будет макеимальным при усло
ВИИ, что реаКТИlшоёть наждоrо Iюнтура в отдельно('ти для этой част{)ты равна нулю
И что маНСИМ:ШЬRЫЙ ток pflBeH r (R1R2 r2) 1. ТaJШЯ связь между нонтурами назы
вается свнзью через антивпое сопротивление.
30. Три Iюнтура еоодиняются цепочной так, что ZIЗ==О, а Z12 и Zзз яВЛЯЮТСЯ
МНИМЫМИ величинами.. В первый нонтур включает('я э. д. С. 'шстоты "'1' Сопротивле-
ния контуров равны соответственно В Н R з и R3. Поназать, что еели R 1 R з R з :;;;" I RзZi2
RIZ зl, ТО в третьем нонтуре ток будет макеимальным при чаетоте "'н Horna peaK.l,
тишюеть каждOJ'О контура в отделыюсти обращается в нуль. Это J111шсимальное значе..
ние равно
0.1 ZI2 Z 2З I (R1R2Rз Zi2R:! Z зRl) 1.
31. Ноказать, что еели в предыдущей задаче R1R2R3 -< RзZi2 R1Z 3' то макеи
мальный ток в третьем нонтуре может быть получен при Хн ==0, Х 22 Х з i== Z з I ZЗ 1,
и что амплитуда тока будет равна
I Z I <{! ( R П ) Ч2 (R R Z2 ) Ч2.
2 ,12 00. 1'<'З 1 2 '12 ,
Хн, Х 22 И Хзз реактивные еопротивления.
32. Ноказать, Что если в той же задаче R1R2Rз,<RIZ з RзZi2' то макеимаJIЬный
ток в третьем контуре может быть получен при хзз==о, x22Xll== Zi2IZill, и что
амплитуда тока будет.. равна .
I Z2З I '{!,о (RIRз) lJ2 (R2Rз zы lJ2.
. .
33. Два импеданса называютсн взаимно инвертированными, если Zt Z 2==k2, rne k
действительное число, не зависящее от частоты. Поназать, что еели импсдаllе ZI эквива
лентен Ll и С Н еоединеJlНЫ f ноеледователыiO, то Z2 должен быть энвивалентен L'}:
И С 2 , соединепнt.ш параллельно, т. е. L)Ci 1 L2Ci1 == k 2 .
34. Два импед;шса, УДОJJлетворпющие условию (10.94), называютея взаимно. инвер
тироnа.нными. Пуеть ZIZi Z2Z ==k2. ПОЮ.lзать, что импеданс. полученный параллеЛЬНЫI\I
еоединешrем ZI и Z2' И имнедане, полученный последовательным соединением Z и Z2'
будут взаимно инвертированными и неЧI,чина k 2 останется прежней.
35. Линия передачи (и.'ш фильтр)' имеет наrрузну, совпадающую с выходным
импедансом Zkl' н: началу линии подключен reHepaTop с имнедансоМ, совпадающим
с ВХОДНЫIVf импедансом Zk2 линии. Показать, что при любой заданной частоте ничеr(}
не из юняетсн, еели заменить линию (или фильтр) одним Т звеном, нодобllЫМ IJзобра
женному на фиr. 101, а, при уеловии, что
2Z"1 == (Za + Zb)lf2 (Z а + Zb + 4Z 2 )lf2 + Za Zb
и
2Z k2 == (Za + Zb)lf2 (Za +Zb+ 4Z 2)lf2 Za + Zb.
36. Ноказать, что Т звено (ем. фиr. 101. а) и П звено (ем: фиr. 101, 6) ведут себя
одинаково при веех частотах при условии, что для любой частоты
Za==Z ZI (Z-;'+ZЬ+Zl) I, Zb ZbZl (Z +Zb+Zl) 1,
Z2="" Z Zb (Z + Zb+Zl) 1.
37. Пуеть Z01 и ZSI входные импедансы фильтра при разомнн,Vтом и COOTBeT
ственно заl\ороченном выходе. а Z02 и ZS2 еоответствующие ИJ\Iпеданеы, еели вход
и выход иоменять местами. Поназать, что
.1 2Zk1 ==ZOI Z02+ [(ZOl Z02)2+4Z02ZS1]lJ2,
Лиmераmура
3R1
2Zk2== Z02 ZOl + [(ZOl Zfi2)2+4Z02ZS1]lJ2,
2 еЬ r == (ZOl +Z02) [ZOl (Z02 ZS2}) lJ2.
38. Пусть "'т резонаненая частота контура е импедансом Zl' расематривавшимея
в 9 17 наетоящей rлавы, и пуеть Ll ero эффеRТИШIaЯ ИНДУRТИВНОСТЬ. При помощи
результатов задачи 32 ПOlшзать, что выражение (10.95) примет вид
Zk==k [ 1 Ц"' п ( "'m ) 2 J lJ2 .
4k 2 "'т '"
39. 'Иепользуя предыдущую задачу и расематривая фильтр. о нотором шла речь
11 конце Э 17 наетоящей rлавы, l'ne обе rрашщы оfiрс:щемых частпт получались при
ch r== 1, ПOIшзать, что величину Zk МОЖНО выразить через rраничпую частоту "'2
в виде
Z/,==k [ 1 ( ",т ) 2 ( ) 2 J lJ2.
Ы т (JJ Ы п1 Ы 2
40. Пользуясь предыдущим результатом, поназать, что если (1)1 и (l)2 rpаничные
частоты полосы пропусканил, а (l)т резонаIJспая частота контура с импеданеом Zl' то
. (O == Ы ! (1)2-
41. Сравнивая выражение (10.95) и выражение для Zk, полученное в задаче 39,
показать, что для заданных зпачений т, (1)2 и (l)т чаетоту (l)co, при RОТОР()Й происходит
полное запирание, можно наiiти из уравнения
0000 Ыт ( Ы2 ы т ) 12
== (1 т2) 1.
Ы т ы оо Ы т Ы 2
42. Передающая линия, характериетический имнеданс НОТОРОЙ ранен Bk, Harpy
жена импеданеом B L +jXL ПОRазать, что линия и наrрузка MoryT быть соrласованы,
сели поеледовательно с Harp) ЗRОЙ поместить четверть волновую ЛИНIIЮ, имеющую
харак риетичееRИЙ импеданс (RkBL)lJ2, а в меете еоединения наrpУЗRИ с rлавнои
линией подключить RОРОТIЮЗЮ.шнутый отрезок линии длиной l с хаvаRтеристическим
импеданеом Bk' при этом tg l == R L / Х L" ..
43. Показать, что линия и наrРУЗRа в предыдущей задаче MorYT быть также
соrласованы поередством четверть волновой линии, имеющей характериетичееJПiЙ импе
данс «Bi+XL) Bh/BL]lJ2, путем ПОДRлюченин н месте их еоединения <; наrРУЗRОЙ
КОрОТRозамннутоrо отрезна линии длиной 1 с хараRтеристичесним импеданеом B L , нри
этом
tg l ==
Ri + xi
HkXL
ЛИТЕРАТVРА
в а r t1 е t t А. С., The Theory of Eleetrie Artifieal Liпеs and Filters, vViley, 1930.
ОБ а t е m а n Н., Eleetrical апd Optieal vVave Motion, Cambridge, 1915.
В о d е Н. VV., Net\vork Analysis and Feedbaek Amplifier Design, Уап Nostrand, 1945.
С а r s о n х. п., Electric Cireuit Theory Opera.tional Calculus, Mc3-rаw Нill, 1920.
G е i g е r Б с h е е 1, Handbueh der Physik, B(I. 15, Berlin, 1927.
G u i 11 е m а n Е. А., Communication Networks, vViley, 1931, 1935.
Н е а v i s i d е О., Electrical Papers, Boston, 1925.
J о h n s о n К. Б., Transmission Circuits f(H' TelephoJlic CornmuJlieation, Уап Nostrand,
1925. .
К е n n е 11 у А. Е., Eleetric Lines and Nets, МеGrаw НШ, 1928.
О 11 е n d о r f. Е., Die Gruшllаgеп der Hochfrequenzteehnik, Bel'lin, 1926.
р i е r е е G. W., Electric ОsеШаtiопs and E!eetrie \Vaves, МеGr:l\V НШ, 1920.
R u s s е 11 А., Alternating Currents, CJrnl)l'i(lge, 1914.
S h е а Т. Е., Transmission Net\vorks and vVave Filters, Уаll Nostralld, 1929.
S t а f f М. 1. Т., Eleetrie Circuits, \-Viley, 1940.
S t а r r А. Т., Eleetrie Cireuits ашl \Vave Filters, Pitman, 1934.
V а n d е r Р о 1 В., Non linear ТllCory of Electl'ie Oscillations, Proe. Iпst. Паи.
Еng., 20, 1051 (1934).
W а r е L. А., R е е d Н. R., CommHnication Cireuits, Wiley, 1942.
Web s t е r А. а., Electricity апd Magnetism, МаеmШап, 1897.
W i е n .н а r Щ , Handbueh der ExpeI'irnentalphysik, Bd. XI, Leipzig, 1932.
r л а в а ХI
ВИХРЕВЫЕ ТОНИ
1. Индуцированные токи в ооъемных проводниках. Две последние
rлавы были посвящены применению заI\ОНUВ JI1аrнитноrо взаимодействия
тоиов, а таиЖе заиона Фарадея и системам, СО ТОЯIЦИМ из .линейных про
воднииов. В настоящей rлаве мы получим, опираясь на эти законы,
результаты, относящиеся и системам с объемными проводнинами. Прежде
Bcero следует заметить, что приводимое здесь рассмотрение, нак и все,
предшеСТВУ1шцее ему, является приблпmенным, а именно всюду пред
пuлаrается мrновенность распространенпя электричеСI\ИХ и маrнитных полей,
или, друrими словами, преппuлаrается, что мошно пренебречь максвеллов
t;ким «током смещению). Совершаемая при этом ошибиа .совершенно
ничтожна, если частота процеи:а та КОiЗа , что ДЛ(lна волны нолебанип в
системе 3Imчительно превышает размеры самой сиетемы. В противном слу
чае, т. е. еСJ1И это УСJ10вие оназьшаетсп невьшолненным, необходимо реШI1ТЬ
полную систему уравнений Мансвелла, о f,оторой-будет идти речь в rл. XIII.
3ююн индунции Фарадея устанавливает, что при изменении маrнитной
ИНДУИЦИИ В в проводниие появляется элеитричесиое поле Е, величина
и направление ноторor'о определяются соотношением
dB
VXE== , (11.1)
at
или. пользуясь мar'нитным веI,тор потенциаJJOМ А (8.4), это мо}ино записать
в виде
Е== aA .
at
( 11.2)
Нан тольио в проводниие появляется элеитричесиое поле, в нем по заиону
Ома ВОЗНlшает элеитричссиий тои. Пу(ть 't удельное сопротивлеНI еJ
а i плотность TO!ia; тоrда при помощи соотношения (6.8) уравнения (11.1)
и (11,2) можно переписать в ЕИДt:J
't (\7 х i) == d.B , (11.3)
. ас
'ti== aA . (11.4)
ас
8ти ТОI,И, протеная по проводнииу, имеющему маrнитную проницаемость (1,
создадут в нем маrнитное поле, определяемое уравнениями
\7xB==(J.i,
у 2 А== f1i.
(11.5)
(11.6)
Из уравнений (11.3) (11.6) лешо ПОJJУЧИТЬ уравнения, 1\0ТОрЫМ должны
удовлетворять меняющиеся во времени величины i, В и А внутри провод
нина. Исилючая при помощи уравнения (11.3) величину В, дифференцируя
Вихревые токи
383
уравнение (11.5) по времени, а танже учитывая соотношение (6.з), получим
; == [V х (V х i)] == \7Ч V (V .i) == V2i. (11.7)
ИСНЛIOчив i из уравнений (11.4) и (11.6), имеем
J:.. dA == V'2A.
't at
(11.8)
Аналоrично МОЖно исключить i из уравнений (11.3) и (11.5), после чеrо,
пользуясь выражением (7.1), находим
== [V х (V х В)] == \72B. V (V .В) == РВ. (11.9)
Уравнения (11. 7) (11.9) имеют форму хорошо известноrо уравнения тепло
проводности, с той лишь разницей, что зависимая переменная величина
является вентором, а не сналяром. В прямоу) ольных ноординатах наждая
номпонента, рассматриваемая l,aH сналяр, удовлетворяет тому же самому
уравнению. Однано это не имеет места Д.ЛЯ нпмпонент в любой системе KOOp
дина , за иснлючением неноторых специаJJЬНЫХ СJJучаев.
Задачи о вихревых токах, нан и задачи о тонах в линейных провод
нинах, естественно, раСl1адаются на два нласса: н первому относятся задачи
о неустановившихся, а 1>0 второму об установившихся процессах. Послед
ние проще Bcero рассматрI;Iвать, иеХОДЯ из понятия Rомпленt;НОЙ амплитуды,
нан это делалось в предыдущей )'лаве. Начиная с этой rJrавы, нам придется
иметь дело с номпленсными венторами. Поэтому УСJJOВИМСЯ В дальнейшем
номпленсные и номпленсн<) сопряженные амплитуды обозначать знаном «V)}
и « I\)} соответственно, поставленными сверху над символом. Те величины,
у ноторых уназанные знаки сверху отсутствуют, подразумеваются действи
тельными, хотя в общем СJJучае и зависящими от времени.
Внутри достаточно малоrо элемента объема ток пропорционален при
ложенной э. д. с. и импеданс этоrо объема равен просто ero антивному
сопротивлению 't dxj(dydz). В стационарном состоянии тон в ЭJJементе
равен "{ dy dz. Та ним образом, в соответствии с соотношением (10.15) средняя
мощность, рассеиваемая внутри TaHoro элемента, определится по формуле
1 у" 1...."
dP==;[oi dV==;['ti idv.
(11.10)
2. Решение уравнения для веl,тор потеIЩJшла вихревых ТOIюв.
Решение уравнения (11.8), rде 't *- СО, можно пuлучить точно таним же
путем, I\aR для СJJучая 'с-== со В Э 5 rл. VH. Представим А в виде [см. Bыpa
женин (7.17) и (7.18)]
А == V х (uИ Т ) + u х VИ 1 2 ) ,
(11.11),
rде п== i, j, k или r. Соrласно соотношениям (7.19) и (7.20), имеем
р А == V х [п \7Ч'J' 1 + u х V (\7 2 W 2)] .
Подставив эти два выражения в уравнение (11.8), ПОJJУЧIlМ
Vx [ u ( V2W dWl ) +UXV(\72W ..!.::. dW2 ) J ==0.
} 't at \.. 2 't at /
Если W 1 И W 2 являются решениями уравнения теплопроводности
\72W == dW (11.12)
't at '
З84
r лава ХI
то при по:мощи соотношения (11.11) :можно выразить через них
уравнения для вектор потенциала вихревых токов.
< Пользуясь соотношениями (7.21) и (7.22), найде:м, НaI\ИМ
лыражается поле В через фУНКЦИII W 1 и W 2 :
B==VXA==VX(V Х uW 1 )+VX(Uy'2W 2 ),
в == V Х [ 1':.. ( uW ) П' Х VW ]
't dt 2 1 ,
решенrr
образом
( 11.13)
(11.14)
l'де u == i, j, k или r. Поснольку В и А удовлетворяют одинаковым ypaB
нениям (11.8) и (11.9), то можно было ожидать, что и решения (11.11)
и (11.14) будут иметь сходный между собою вид. Мы видим, что теперь
.3наче е В определяется обеими фушщиям: W 1 и W 2 . Принимая во внима
lIие соотношение (7.22), можно произвестп дальнейшее упрощение написан
ных выше выражений
u==i, j, k,
В fJ. d
== ' d . (UXVW2+UWl)+U,V(VWl)'
"t t
fJ. d
В== d (rx VW 2 +rW 1 )+r.V (VW 1 )+ 2VW 1 .
"t t
(11.15)
u==r,
(11.16)
Если направить u вдоль и 1 и иснать решение уравнения (11.12) в виде
и (и 1 ) F (и 2 , из, t), то, нак и в 5 rл. УН, получе}IНое в результате поле В
будет перпендин:улярно н: А.
3. СЮIН эффект в стационарном случае. Уравнение (11.7) имеет
простое решение в том случае, коrда среда, обладающая проницаемостыо (J.
и удельным сопротивлением 'ё, заполннет по.пупространство z > О. Пусть
плотность тона, частота изменения l\OTOpOro равна ш, IIмеет в плоскости
z == О только компоненту i:, не зависящую ни от Х, ни от у. Тоrда ypaBHe
ние (11.7) дает
v v
jror;. "'t . a 2 i x d 2 i x
lx == J(J)f11lx == az2 == d Z2 ,
( 11 .17)
v
так нан lx является функцией только Z. I;ешением этоrо
( == Ce (j<Ol '01f2z + De(j<OI! 'i)1f2z .
Если ПJlOТНОСТI, ТOIШ ( конечна при z == OJ, то jj == О.
и добавляя временной множитель, получим
[ i"'/ == i е (1f2<Оl'-'i)1f2z ej[<o/ (1/2<Ol'-"()1/2z)
х О '
уравнения будет
(11.18)
Заменяя (2j)1f2 на 1 + j
(11.19)
l'де io значение ix на поверхности z == О. Взяв теперь действительную
часть, будем иметь
ix == ioe (1J2<Ol'- "()1f2z ros [ (J)t ( (J)f11) 1/2 z ] . (11.20)
rан:им образом, амплитуда плотности тока ix экспоненциально уменьшается,
а фаза изменяется линеЙно.
Применяя формулу разложения косинуса и используя формулы (863.1)
11 (863.2) из справочника Д вайта, для полноrо тона 1 cos «(J)t + 1jJ). тенущеro
в полосе шириной 1 м, найдем
00
ixdz==io(2(J)f11) 1f2(Cos(J)t+sin(J)t)==io«(J)f11) 1f2COS( (J)t 1 7t). (11.21)
о
Заметим, что существуют тание значепия z, при которых тон меняет свое
паправлеЮlе на. обратное, и поэтому удаление части про водящей среды,
;пежащеЙ ниже неноторой опредёлёнrIОЙ rлубины, приведет к увеличению
386
rJlава Хl
Отсюда следует, что величиноii Li при ВЫСОКИХ частотах можно полностью
пренебречь.
4. СRин вффеRТ В случае полоrо цилиндричеCIюrо ПрОВОДНИRа.
Если частота насто.r:ы\o веJIика, что rлубина пронинновения мала по
сравнению с радиусом нривизны поверхности ПрОВОДНIша, то результаты
предыдущеrо параrрафа вполне можно применить н обычному цилиндриче
скому проводу или н нруrJЮЙ Ц1-шиндричесной трубе. Если же это условие
не выполняется, то следует решать задачу заново, пользуись цилиндричеСl\И
ми' координатами. В этом С:Jучае в силу ПОЛНUЙ симметрии относительно оси
цилиндра ток lz является фуннцией лишь Р, и уравнение (11.7) принимает вид
v v
i ШfL -:-' . . д 2 ; z 1 д; z
[х == JUJ[1j l z == J plz == д 2 + д .
"t Р Р Р
Введя обозначение v == ир)If2 Р, получим
a 2 t z + 1 дУ с ":" О (11.28) ,
дл2 v dV [x .
Это уравнение является модифицированным ypaBHeH:r:eM Весселя (5.309)
нулевоrо порядка. Ero решение имееr вид [см. (5.411)]
(11.27)
у х == С/О (v) + j)K o (l;) == с.т о [ир)Ч2 р] + DKo [ир)Ч2 р].
( 11.2\J)
Из выражения (7.89) следует, что ВСJlедствие симметрии маrнитное цоле
во внутренней полости трубни существовать не может. Если через а и Ь
обозначить cooTBeTcTBeHHU внешний и внутренний радиусы трубни, то
rраничным условием при р == Ь будет В== (), что в соответствии с ypaBHe
нием (11.3) дает
(V х 1)P b == О или
При р == а имеем следующее rраничное
( aiz ) о
др p b .
условие:
( 11.30)
(i.)p a с== io. (11.31)
Используя соотношение (5.440), из выражений (11.29) 11 (11.30) получим
v v »
О == C/ 1 [ир)Ч2 Ь] DKl [ир)If2[;] ,
а из выражений (11.29) и (11.31) будем иметь
io == С/О [ир)Ч2 а] + ЬКо [(jp)1f2 а].
Отсюда
с == к, [(;р)Ч2 Ь] io
Io [(;р)Ч2 аl К 1 Шр)Ч2 Ь] + Il (/ р)Ч2 Ь] Ко (/ р)Ч2 а] ,
jj I, I ир)Ч2 Ь] ;0
Io[Up)IJ2a]KlLUp)IJ2b]+Ill</P)1J2b]Ko[(ip)1f2a]'
(11.32)
( 11.33)
5. СRин вффект В сплошном цилиндричеCIЮМ ПрОВОДНИI>е. В слу
чае сплошноrо металличесноrо стержня нужно в уравнении (11.3) поло
жить D == О, потому что, соrласно 34а rл. V, при х == О Фуннция Ко (х)
обращается в беСНОН9ЧНОСТЬ. Torдa вместо выражений (11.29), (11.32)
11 (11.33) дли будем иметь следующее:
i == 10rUp):/2 P J io' (11.34)
z Io!Up) 12 а]
Вихревые токи
387
Для получения численных значений необходимо величины [о [(j)1f2 х]
И Ко [(j)1f2 х] разбить на действительную и мнимую части. Это произво
дится при помощи Фующий her, bei, ker и kei, введенных Нельвином; для
этих ФУНКЦИЙ существуют таблицы (см., например, Двайт, 1050). Таким
образом, имеем
[о [(j)1[2 х] == bero Х + j beio х,
К [( . ) Ч2 ] k ..L . k .
о 1 Х === erox I 1 elox.
(11.35)
(11.36)
Подставляя (11.35) и (11.36) в (5.437) и (5.440), можно найти разложение этих
фУНI\ций в ряд. Используя фунrщии Ьа и Ье; в выражении (11.34),
умноженном на ej(J)t, и взяв от Hero действительную часть, получим Bыpa
жение для плотности тона в цилиндрическом проводнине радиуса а в виде
. { ЬеrБ [(р)Ч2 РJ+ЬеiБ [(р)Ч2 р] } Ч2.
lх== Ь 21( )1/9] Ь '2( )Ч2 J loCos(wt+a), (11.37)
er o р "а -т е/о р а
. t bero [(p)I/2 а' beio [(р)I/2 p] bero [(р)Ч2 Р] beio [(р)Ч2 аl
а. arc g ( 11.38 )
. bero [(р)Ч2 а) bero !(р)Ч2 р] -т bei o [(р)Ч2 р] beio [(р)I/2 а)
Полный тон в проводе в любоЙ момент времени можно выразить через
величину маrнитноrо поля на поверхности проводнина, поснольну они
связаны между собоЙ соотношением B==(J-Ij(2rca). Из сuотношений (11.34)
и (5.440) после сокращенйя на ej(J)t имеем
"ш ( В ) == 't ( V Х I ) == 't ( aiz ) == (jp)1/2 I (ир)Ч2 а] 'tio
1 а а др а 10 [{Jp)I/2aJ
или
1 == 27raB == 27r't ир)Ч2 aI [ ;р)Ч2 а) io,
р. jwp.l о Н! р) /2 а]
Средняя рассеиваемая мощность, приходящаяся на единицу длины в нольце
радиуса р и толщины dp, соrласно выражению (11.10), равна
1 V "'......
dP av == 2: 't I i z 12 2'Otp dp == 'Ot'tizizp dp,
(11.39)
rде Т х величина номпленсно сопряженная . Отметим здесь же, что пели
чине (+ пЧ2 == 2 Ч2 (1 + j), часто встречающеЙся в рассматриваемых уравнени
их, соответствует номплексно сопряженная величина.( j)1f2 == 2- Ч2 (1 j) ==
== j тЧ2. Поэтому
/0 [ир)Ч2 р] ==- [о [( jp)1f2 р] ==.т о [ j ир)Ч2 р].
Полная мощность, рассеиваемая в проводе (на единицу ero длины), равна
а а
р == с dP == . 1!'ti С l 1 . (" ) Ч2 ] 1 [ (' )Ч2 ] rJ d .
av ) av Io[(jp)lJ2a]Io[ j(jp)lJ2a]."o 1 lP Р о lP Р I Р
О О
Этот интеrpал является частным случаем интеrрала (5.426) и получается
из последнеrо при п == О, вследствие чеrо результат, записанный через
функции ber o х и beio х, будет иметь вид
Р bero (р)Ч2 а] bei [(р)Ч2 a] bero [(р)Ч2 а] bei o [(р)Ч2 а] i2 (11.40)
av (р)1/2 ЬеrБ ((р)Ч2 а] + bei [(р) 1[2 а] о'
25*
388
Fлава Х/
в соответствии с выражением (11.39) н:вадрат эффентивнOJ'О значения 10
равен
2 2л 2 'С 2 ра 2 [ (ир)1I2 а] I Шр)1I2 а] i 2 ==
Ie == 2 2 11 11 О
11. w 10(ир) 2а] 10 (ир) 2 а]
2п 2 а 2 {ber (р)Ч2 аП2+ {bei (р)1I2 аl1 2 '2
l (11.41)
{Ье,'о (p)112a]J2+{beio (р)1I2 а]}2 О'
ЕСJIИ Н == 'tj(';Ca 2 ) сопротишreние на единицу длины при постоянном TOJ>e,
то высоночастотное сопротивление В' равно
R' .== J j av 1ta2 R == а (р)Ч2 ЬШ' (р)1I2 а] bei' (р)1I2 а] ber' [(р)Ч2 а] bei (р)Ч2 а] R "
'C1 2 {ber' (p)112 aJ}2+{bei' (р)1I2 а]}2 '
(11.42)
l'де, нан и во мноrих таблицах, инденс «нулы) опущен и, соrласно Bыpa
жениIO (11.27),
р == 't I[J-UJ == 1[J-Ш
(11.43)
и а радиус цилиндра.
Энерrиrо МaJлитноrо поля внутри провода можно определить, восполь
З0вавиrись соотношением (11.39):
. В ( ai. z ) Q;'Ci o . д/о (ир)1I2а]
]UJ == !fI't == 1 .
др а 1 0 Hip)/2 a ] па
Тоrда для средней энерrии 1JНУТрИ нровода, соrласно выражению (8.12),
получим
а а
v 1t'C2i2 Р v ,.
2 1t fL B.Bpdp== 11 j'j' p d p
2 21 [( ' ) Ч? ] / ( . ) 112 J О о '
О /1.w О I Р. а. О I Р а О
l'де ввецены сонращенные обозначения 10 вместо 10 [ир)Ч2р] и 1 вместо
810 (x)jfJx. Поснольну, в силу соотношения (5.440), I (х) == 11 (х), этот инте
rрал совпадает с интеrралом (5.4L6), если в ПОС.iIедне'\J ПОJIOЖИТJ, п == 1,
поэтому ero значение через фуннции ber 1 х И bei l х равнп
ар Ч2 [ber 1 (рЧ2а) bei (р1l2а) bel' (рЧ2а) bei I (р I12 а)].
Ври помощи фОрМУJJ (828.1), (828.2), (829.3) и (829.4) из справочнина
Двайта эти фуннции сводятся Н фунrщиям нулевоrо порядна. читыпая,
1
что средняя энерrия равна у LJ и что 1 определяется выражением (11.41),
ДJIЯ Lj внутреннеЙ саМШТПДУНIlИИ па единиuу длины получим
'С (р)Ч2 ber ((р)I/2 а] lier' [(p) :2 aJ+ liei [(р)I!2 0.1 bei' (р)Ч2 а]
L. == lJ . 11 . (11.44)
'2пша . {ber'[(p) 2aJ}2+tbei'[(p) 2al}2
6. Решение в сферичеCI ИХ координатах при aI CIШЛЬНОЙ симметрии.
ПрtЩПОJЮЖИМ, что MarHIlTHoe ПОJЮ, вызывarощее вихревые тони, не запи
сит от <р и не имеет <р состаВЛЯIOщей. Тоrда вентор потеНIIиа.п имеет толыш
<р составляIOЩУIO, т. е. '
А == !fIA:p (r, в, t),
( 11.45)
rдс !fI единичный вентор n направлении <р, равный
!fI == i sin <р + j cos <р.
( 11. 46)
Применим оператор Лапласа (3.17) н выражениям Ах"=" A"sin<p и
.A lI == А:р соз <р по отдельности. После неноторой переrруппировни членов
Вихревые тО1Ш
389
уравнение (11.8) примет вид
J:..ep JA'f' ==V2A==ep [ IJ2Ao . ] ==еру2А +А у 2 "".
"t Jt т 1'2 SJП 2 О 'f' т
(11.47)
Выписыван v2 в t;феричеt;них ноординатах (3.17) и ОПУС1,ая ер, IlOJIУЧИМ
fL dA'f' 1 д ( 2 дАй ) 1 д ( . aA'f' ) A'f'
--:; ([t == д,. r + 1'2 sin (j дб вт 6 дfJ 1'2 sin2 (j ==
=== ( r2 aA", ) (1 1I2)Ч2 a2[(1 и2)1f2A'f'J ,
1'2 д,. д,. + 1,2 ди2
( 11.48)
сде введено обозначение и == сов О.
Рассмотрим теперь стационарные IJlIхреuые тони, предполаrая, что
MarHiITHoe поле осциллирует с нруrовой частотоЙ ш. Нан и в 13 rл. V,
будем иснать решение в виде прои:шедения двух фуннций, одна из HOTO
рых зависит ТОJIЫЮ от Ь, а друrая толыю ОТ ", т. е.
1 == Ве {EJr 1f2 Rej"'t}.
(11.49)
Подставим это н выражение (11.48), умножим все на , 2 и раздеJIИМ на
fЭr 1f2 nej"'t, тоrда получим
,.2 d 2 R + rdR 1 . 2 + (1 1I2)Ч2 d 2 [ . (1 2 ) 1 / а ] () (11.50)
dr2 4 lpr f') аи 2 u 2 \"'} == ,
R Rdl'
!'де
р == 't l[J-Ш == j[J-Ш.
(11.51)
I-\al:\ и при решении уравнения (5.82), прправняем ЧJlены, зависящие от 6,
величине п(п+1), а члены, заВИСИIЦпе от " приравняем п(п+1); тем
самым уравнение (11.50) будет тождествепно удовлетворено. После ДIIф
ференцирования уравнения (11.50) получаем
(1 u 2 ) d;:;, 2u ' 1 А пи2 + п (п + 1) Аn == О, (11.52)
d2Rn dRn r. n (n+l)+f ] v
dt 2 +1' dr t'P+ 1'2 Rn O., (11.53)
Первое из уравнений совпадает с цllфференЦIШЛЬНЫМ ур,шнением (5.180)
для присоединенных фующий ЛежаНl\ра, соответrтuyrощпм значению т == 1,
а второе нвляется модпфицированным уравнением Бесселя (5.4И6), в HOTO
ром Х == ир)Ч2 '. Таним образом, в еООТlJетстшПI с соотношением (5.181)
и 33 rл. V. A'f' нвляется деЙствительной частыо выражении
, Ч2 [AnP (и) + BnQ (и)] (C."II1+1f2 [(j р)1/2/'] + D n K n + 1f2 [ир)Ч2 ']) ej"'t. (11.54)
Если п целое число, а это тан и должно быть для p (и) и Q (и) при
4t
отсутствии ноничесних I'раниц, то МОЖНе) ДJlЯ BToporo решения пместо
Кn+Ч2 использовать 1 (n+Ч2)' 1Шl, В 38 !'л. V.
В области, I'це ПрОВОДИl\ЮСТЬ равна нулю, леван часть выражения (11.48)
обращается в нуль, и еслп положить A'f'ejU\t ==Il'eej"'t, то мы получш\oI, нан
n раньше. уравнение (11.52), но вместо уравнения (11.53) будем иметь
d ( ik )
r2 n(n+1)R'==U.
(11.55)
З9u
Fлава ХI
Решение этоrо уравнении [см. (5.84)] имеет вид
k == .Ar n + fзr n l.
( 11.56)
13 непроводящих областях члены в СОO'l'пошении (11.54), зависящие от r,
следует заменить этим выражением.
7. IIроводяп ий шар в переменном поле. Пусть шар, имеющий
удельное сопротивление 'ё, маrнитную проницаемость (.1. и радиус а, поме
v
щен в однородное переменное маrнитное поле Be jwt , направленное вдоль
{)си Z. Опусная множитель e jwt , получим следующее выражение дЛЯ KOM
пленсноrо вектор потенпиала:
1 " 1
А == ер "2 В, sin е == ер "2 BrP (СОБ е). (11.57)
Это выражение можно леrко про верить , применяя н нему оператор ротора
и учитывая соотношения (3.15) и (3.16). Таким образом, в выраже.-
ниях (11.54) и (11.56) нужно положить п == 1, и, поскольку вектор потенциал
вихревых токов должен в беснонечности обращаться в нуль, снаружи
тара будем иметь
а < r < 00,
" 1'" "
А(.== ер тВ (r+ Dr ) sin е.
(11.58)
При r == О величина А, конечна, поэтому, соrласно выражениям (5.465}
и (5.466), внутри шара остается тольно /3/2 [(jp)1f2 rJ. Таним образом, пола
тая в выражении (11.54) п== 1, находим
() < r < а,
"v 1 ""
А ; == ер '2 BCr 1f213/2 [ир)Ч2 '] sin е.
(11.59)
Из СОО'l'ношений (7.118) и (7.119) следует, что при '==а должны выпол
вяться следующие rраничные условия:
.40 == А ;
д . V д V
и (.I.v Jr (, sin eAi) == (.1. д; (, sin 6Ао).
( 11.60)
lIолаrая в выражениях (11.58) и (11.59) '==а, используя соотношения
(5.414) (5.416) и обознач я для краткости l п [ир)Ч2 а] через /п и ир) Ч2 а
через v, получим
аЗ + D == a 3 / 2 C13/ 2 == а 3 / 2 С [/ Ч2 v 111f2]'
(2аЗ 15) (.1. == (.I.va3/2 [ /3/2 + V/;/2] С == (.I.va3/2 [(v+ V l) /Ч2 1 Ч21 С.
I:Jаорешив эти уравпения относительно С и i5, будем иметь
v 3fJ-vа3/2
с== 2 '
(fJ- fJ-V)VI 1/2+(fJ-1J(1+V ) fJ-] 1 Ч2
" (2fJ-+fJ-v)vI 1f2 [f-'v(1+v2)+2fJ-]I1f2 З
D== (fJ- fJ-V)Vl 1f2+!fJ-1J(1+V2) fJ-J l Ч2 а .
.Jти выражения можно представить также при помощи rиперболичесних функ
ций [см. 38 rл. VИJJИ Двайт, 808.1 и 808.3]. Соrласно уравнению (11.4),
.плотность тока всюду внутри шара определяется следующим образом:
(11.61)
(11.62)
-:: . А " . l А "
1== 1ШТ i== IP(.l. i'
(11.63)
Вихревые токи
391
l'де A i дается выражением (11.59). В соответствии с соотношениями (11.58),
(3.15) и (3.16) маrнитное поле снаружи сферы равно
v 1 д V " ( п )
В ОО == д (rAu)== B 1 .) 3 sin6,
r r \..r..r
v 1 д. V ( п )
BOr == r sin (j дО (sш 6А!) == В 1 + r. СОБ 6.
(11.64)
(11.65)
Подобным же образом из соотпошения (11.59) находятся B io и B ir . Cpa
13нение выражений (11.64) или (11.65) с (7.49) поназывает, что поле вихре
вых тонов подобно полю MarНIITHOl'O диполя, т. е. полю нольца радиуса а,
несущеrо тон 1 e jwt , rде [l-va2.l == 2ВЬ. Если маrнитное поле не является
переменным, то (J) == о и в выражении (11.51) р О. Поэтому [см. 38
I'П. V и Двайт, 657.1 или 657.2] имеем
1 Ч2 (х) ::0 ( 2; )Ч2 (х + х; ) и 1 Ч2 (х) x ( 2; У/2 ( 1 + ) .
Выражения (11.61) и (11.62) упрошаютсн, тан что соотношения (11.58)
и (11.59) принимают вид
(11.67)
Это точные выражения для статичесних полей. Из соотношения (11.63)
в нuчестве первоrо приближения для медленно меняющихся полей имеем
V В [ 2 (К m 1) аЗ ] .
Ao== 2 r+ (Km+ 2 )r 2 sш6,
А " .3КтВ . 6
i == 2(К т +2) rsш .
(11.66)
': 3iwK m "(B . 6
1'1'== 2(Кт+ 2 ) rsш .
(11.68)
н таному же результату мы придем и в том случае, ноrда удельное
сопротивление становится беснонечно БОЛЫ11ИМ.
При очень ВЫСОRИХ частотах
Ai O'
Ao B(r a3r 2)sin6,
(11.6 )
потому что, соrласно результатам 38 rл. V,
I Ч2 (х) 18/2 (х) 1 Ч2 (х) . . . ( ) Ч2 е; ,
X OO Х......,.ОО Х""""7-СО X----tОО x
Т. е. внутри шара маrнитное поле отсутствует, а вихревые тони, нан
и следовало Oiнидать, становятся поверхностными.
Чтобы иметь представление о порядне встречающихся здесь величин,
IЗычислим, пользуясь выражением (11.51), значение р дли переменноrо
поля, изменяющеrося с частотой 60 ец (т. е. (J) == 1207t). Пусть 't И fJ. даны
в единицах MKS, тоrда для меди 't 1,7.10 80м,м,fJ. [l-v==47t.10 7 ен/.м
и р 28000. Для типичных железных образцов 't == 10 7, fJ. 4807t.10 7
(в маrнитном поле напряженностыо 1,5.10 5 j(47t) ампервитнов на метр)
и р == 570000. Для rрафита 't 8 .10 6, [l- 47t. 1 0 7 И Р == 600. Та ним
образом, при этой частоте при расстояниях порядна неснольних санти
метров выражение (11.69) моrло бы быть приrодным для железа или меди,
но не для rрафита. Предположение о том, что А;, == О, а Во танrенциальна
R поверхности, сильно упрощает вычисление.
Тан нан мы оперировали в этом параrрафе с номпленсными ампли
тудами, то полученные результаты позволяют найти и амплитуду и фазу
392
Fлава ХI
исномых величин. АнаJIоrичные 1'рЮНlчные условии и TaHoro же вида
элеf{тродвижущие силы встречаются при решении заl(ачи об экранирующем
деiiСТШIИ ПРОlIЗВОJIьноrо ЧИСJIа концснтричесних толстостенных сферичесних
оболочен, но результаты в этом с.лучае записьшаются JЗ более сложноi1
форме. В частности, OIшзываетсн, что если не1юторое заданное fюличеств()
материала распредCJIИТЬ МЮfЩУ неСНОJIЬНПМП ОТlIельными 1ЮfшентричеСНПМII
оболочнами, то эпранирующее деiiСТ1JИе усиливается. Бо.nее Toro, суще
СТВУlOт оптимальные значения толщин оболоче1, и рас тоянпЙ между ними
. .мОIЦIЮСТЬ, поrЛOlцаемал шаром В перемеНllOlИ MarHIlTHoM поле.
ВЫЧИС.ТJим теперь мощность, ПОl'лощаемую шаром в случае, рассмотренном
в предыдущем параrрафе. l\aH следует из пыращешш (11.10), внутри эле
мента pHoro объ(:)ма d v ]J()l'лuщается мощность
1 ...... /'\. ....... л-
dP ==;[ -r i i rlv ===- ..-ri i т 2 sin (j dl' dб.
Подставляя значешш i и i иа соотношениii (11.6 ) и (11.59) и интеrрпрун
по (j в пределах от О == О до fj == 7С, ПО.пучпм
а
р == 11",;:2 с с 13/2 [ир)Ч2 т] 13/2 [( jp)1f21'] l' d".
О
(11.70)
llрименим последнюю форму.l'lу (5.426) и учтем, что в соответствии
с 38 rл. V
1 Ч2 [(:::I: jp) 1f2 a]== [ 7С(:::I: jp)1f2 а J 1f2f'h [ (2р)Ч2 (1 :f: j)a ] '
I 1/2[(::!:: jp) 1f2 a]== [ 7С(:::I: jp)1f2 а J 1f2ch [ (2рУ/2(1::!:: j)a]. (11.71)
13 результате вычислеюш инте1'рала (ем. ДваЙт, 651.06 651.09) находим
(7Cp3/2a) 1 { (2ра 2 )Ч2 r БЬ (2po2)1f2+sin (2ра 2 )Ч2] cb (2ра 2 )Ч2 + \;os (2ра 2 )Ч2 }
и сншочив 11 роизпедеппе С С из соотношешIЯ (11.70) при помощи Bыpa
жениЙ (11.71), (11.61) и (11.51), получлм
Зт:а,,,,2В2f'-2,с 1 [ u (S+s) c+c "1
(f'- f'-v)2 [(ра 2 + 1)C+(pa2 1) c и (S+s)J+(f'- :-'"v) ра 2 u (S s)+ р 2 а 4 (C c) ,
rде и==(2Р) Ч2 а, С==сЬи, С==СОБи, S==SllU, 8, sinll.
9. ПеРf'ходные ЛВJIеНlIН В ЩЮВОj\НЩСl\l шаре. В двух последних
lIарю'рафах рассматривалась заll.а'lа о шар(:) с УДUJJЬНЫМ СОПРОТИВJIепиС'м 1:
и пронпца(']',юстыо (t, находяшемся в однородном l1срсмеmюм уетановипшемся
l\ШПJИТНОМ поле. РС'шим теперъ заll.ачу в СJJучае llереходнOl'О рсжима, ноrда
та же самая сфера по;vrещсна в однородное маПIИтное поле В, нато рое
n момент uремеIJИ t == О внезапно стано.uитсн равным путо. Совершенно
ясно, что в этом, ню, И п предыдущем, случае А тюоне будет иметь
'I'олыю <р состютнющую. В момент лреМС'НJl t == U поверхностные вихревые
тони воспрепятствуют MrHoBeHHoMY пзменепию внутре1шеп) полн, и посно.тrыч
веl<тор потенциал при псрехо,П.е через rрашщу ДОJlжеп быть непрерывным,
то из выражения (11.67) в мо.мент времени l == () мы будем иметь
'\ ЗК,."В pl ( ) А ?'КтВ аЗ Pl { )
i == 2(Kт+2/ 1 II , o== 2(Кт+ 2 ) J.2 1 и .'
.( 11.72)
Вихревые топи
393
Ввиду TOrO, что вне сферы 't === 00, П()( .;ш)(ушщее поведение вет,тор потен
циа.ла А будРт определяться решением урашшнии
", 2 А == dAf РА == О. ( 11 73\
.. 't dt ' о .. ,
Решение nepBor() уравненип, ЭКСI10нетщиа.льно аависищее от времени, БыJI(
наидено нами в 6. ПОIJытасмсн пшерь УДОНJIСТВОРПТЬ rраничным у('ло
ЕИЯМ, взнв сумму таких vешепиii. HCHU, чт() В j'ассматриваемом с.лучае
колебания Отсутствуют и, СJlедователыIO, пужно jшt :заменить на qst.
Введем величину
k; === 't lIЩ" == II1Q,;'
(11.74)
Тоща в форму,/шх Э 6 следует jp везде заменить на k;. В частности,
Ii Вhфажении (11.54) вместо иР)Ч2 ТlcJперь появляетсн jk s , и' мы приходим
К обычным функциям Бесселя. ПОСНОJJЬНУ веН:тор потенциал A i ДО lЖIcJН
быть нонечным при ,. == О и зависеть от (J тю{ же, нан и в выражении
(11.72), то из выражрнля (11.54), Iюдетавляя siпfiпмеет() P (u), по.пучим
следующее Соотношение:
A i === Asl. 1f2J3/2 (k./') siл О e q-,t. (11.75)
s
Вентор потенциал Ао IШl:lе тен в бесн:онечности и равен A i при r == а !(.,IЯ
Есех значений t. OTCIOl(a, соrласио выражению (11.56), пмеем
Ао == BJ 2 sin 6e q,t. (11.76)
s
Кроме усчовия (11.72); при t == О нужно удовлетворить таюне УСJЮВИ1\!
(11.60), имеющему при ,. == а (после сокращении на sin 6) вид
д ("А;) д (rAo)
Ао== -\i' 11" ==fJ. .
Отсюда при r == а для всех значении t должно выполняться уравнение
A.a312J3/2(k,a)==Bs' fJ.".1,a 2 [a1f2J8/2(k,a)]== fJ.Bs' (11.77)
Продифференцируем второе уравнение, а затем УМ1ЮЖПМ 1Юрlюе ypaBHIcJНI,fe
.на 11 и С.ложим ero со вторым, после чеrо, СОRращая на As, получим
11"a d r J3/ 2 (k,a) 1+ С 11 +} 11,,) J 3/2 (k,a) == О.
(11.78)
Та ним образом, для Toro чтобы удовлетворить rраНJlЧНЫМ услошшм, ПУЖНО
:найти норни ks этоrо уравнения; знание этих норнеи позволит
определить при помощи выраженин (11.74) величины Qs, входшдие в с(ют
ношения (11.75) II (11.76). 3начения ks можно наiiти при помощи выра,
жения (5.395) и таблицы трипшr метричеС1ШХ фупrщиЙ.
Умножая (11.72), (11.75) и (11.76) на "Ч2 и lJОl1аrая t==O, получим
iKтB r3/2 '" А Jз/ ( k ,. ) ( 11.79 )
2(Кт+ 2 ) LJ s 2 ., .
s
Это. ыражение совпадает с последним выражением (5.iЗ52), rде п == 3/2'
и ИЗ I соотношентш (11.78) величина В равна (11/11,,) + . Из выражения
(5.328) имеем
а а
! (v) J3/ 2 (ksv) dl1 == 2 ( :':2)
о о
3К В 512
V 5 / 2 J3/ 2 (kiv) dv == 2ks ( тa+2) J5'2 (ksU).
394
Fлава XI
н соответствии с соотношениями (11.78) и (5.323) получаем
J 6 / 2 (ksa) == J 8/2 (kBa) + 2k 3 J8/2 (kBa) == K +2 J8/ 2 (ksa).
sa sa
ИСlIОЛЬ3УЯ выражение (5.337), находим
?'К т Ва 3 / 2
Ав == Lk:a2+(Km 1)(Km+2)] J 3 / 2 (kBa) .
Подставив 31'0 выражение в (11.75) и (11.76), опреде.пим A i и Ао, Плот
насть тона внутри шара в соответствии с уравнением (11.4) дается Bыpa
жением
(11.80)
1 ==
3Ва 3 / 2 sin fJ
Ч2
t'-v r
2 1
k 2J (k r ) e kB7:1'- t
'" s 3/2 в
k.J L k:а2+(Кm 1)(Кm+2)]Jз / (kBa)'
8 2
(11.81)
10. Вихревые токи в плоских пластинках. Пусть в плосности z == U
расположена очень тонная пластинна, обладающая удельным сопротивле
нием с: (на единицу поверхности). Вычислим вентор потенциал А (х, у, z, t)
поля вихревых тонов, ноторые индуцируются в таной пластинне под дей
ствием переменноrо маrнитноrо поля, описываемоrо вентор потенциалом
А' (х, у, z, t). Будем обозначать плотность этих тонов через i. Появление
элентричесноrо поля д (A + Az)fat внутри пластинНИ ПрИБОДИТ н появле
нию поверхностных элентричесних заря,!J.ОВ, э.пентростатичесное поле ноторых
в точности номпенсирует первоначаJJьное. Тони, сопровождающие это пере
распределение зарядов, насто.ПЫЮ незначптельны, что ими можно вполне
пренебречь и рассматривать лишь танrенцпальные составляющие Ав и А;,
Таним обраЗ0М, используя уравнение (11.4), можно написать
d(A +A.) .
dt C:;;l.
(11.82)
...
Пусть вихревые тони находятся в неноторой конечноЙ области пластинНИ,
последняя может быть нан нонечной, тан и беснонечной. Введем фующию
потона Ф (х, у), опреде.пенную в наждой точне .Р пластинни, нан тон,
протенающий через любое поперечное сечение, проведенное от точни Р
до нрая пластинни. Пользуясь соотношением (7.2), для замннутоro пути,
взятоrо по нонтуру этоrо сечения и не включающеrо поверхность, и
учитывая, что В симметрично относительно пластинни, будем иметь
(х)
(х)
fl-v Ф ==фВ.ds==2 Bxdx==2 Bydy,
х у
(11,83)
rде путь интеrрирования при положительных z проходит в направлении
положительных значений х или у. Дифференцируя выражение (11.83),
получим
. дФ 2Ву
t
х ду fJ-v
венторной форме
2 дА х
lLV дZ'
. дФ 2Вх 2 дА у
t == == ==
у дх lLV lLV az '
или в
. 2 дА,
1 ==
fJ-v az .
( 11.84)
Подставим это выраженир в уравнение (11.82), тоrда для области внутри
пластинни получим
d (А: + Ав) 2 дАв
dt == ;,; дZ .
( 11.85)
Вихревые тOl;и
395
Нне пластинки вектор потенциа.п А состоит И3 двух чаетей: маrнитной
части, порождаемой вихревыми токами, и элентричеекой части, являющейся
J'радиентом ска.пяра и порождаемой электрическим двоЙным слоем, В03НИI{
шим под дейетвиеМ A и А,. Так нак танrенциальная компонента A
Iзектор потенциала возбуждающеrо поля известна и так как А. меняется
непрерывно при переходе через каждую rраницу Двойноrо слоя, то соотноше
ние (11.85) ЯВ.пяетсн д.пя А. rраничным ус.повием на внешней стороне Пuверх
ности пластинки. Это УС.повие вместе с уравнением у 2 А == U определнет А
всюду вне пластинки. Если пластинка обладает конечными равмерами, то rpa
ничным УС.повием на ее крае (в плоскuети пластинни) будет i == О или
ДА./дz == О. Праван часть уравнения (11.85) конечна в любой момент
времени; это означает, что ес.ПИ 01 О, то о (A + А,) О. Поэтому сначко
образное изменение А' MrHOBeHHO индуцирует такие вихревые тони, HOTO
рые сохраняют А + А' и В + В' неизменными внутри пластинки. Та ним
обраЗ0М, при заданном изменении А' начальное значение А известно, и
если дальше никаних изменений не происходит, то последующие значения А
в процессе уменьшения вихревых токов можно найти, полаrая в ypaBHe
нии (11.85) fJA /fJt == О и решая полученное уравнение. Второе внезапное
изменение А' приведет н В03НIшновению второй серии вихревых тонов
и т. д. В любой заданный момент времени поле вихревых токов будет
являться суперпозицией найденных ПОJIей. Еели скачни внешнеrо поля
становятся меньше и интервалы между ними короче, то в пределе мы
ПР!lХОДИМ к непрерывному изменению маrнитноrо поля во времени.
11. Решение задачи о вихревых токах в плоской бесконечной
пластинне методом изображений. Представим себе, что тонная бесконеч
ная ПJIоская проводящая пластинна (z == О) находится в маrнитном поле,
источники HOToporo расположены в области z> U. Пусть в момент времени
t == О поле изменяется так, что если при t < О ero вектор потенциал был
равен A == /1 (х, у, z), то при t> () A == /2 (х, у, z). И3 реЗУJIьтатов преды
дущеrо параrрафа следует, что вихревые тони, ПОЯВЛЯlOщиеся в момент
времени t == О, сохраняют прежней величину вектор потенциала на поверх
ности ПJIастинни, поэтому вначале ПО.пе в отрицательной области z остаетсн
неизменным. Таким обраЗ0М, на отрицательной стороне ПJIастинки началь
ный вектор потенциал, оБУСJIовленный только вихревыми токами, равен
(A)t O == A А; == /1 (х, у, z) /2 (х, у, z).
(11.86)
Это ПОJIе моrло быть еоздано старым источником совместно с н вым источ
нином, если у последнеrо изменить знак на обратный. Эти воображаемые
ИСТОЧНИRи, которые MorYT заменить действительно действующие вихревые
тони, ЯВляются изображениями, подобными изображениям n электростатике.
ПОСКОJIЫ{У А; не зависит от [, то уравнение (11.85) сводится н ypaB
нению
dA 2 дА
dt I1v az '
(11.87)
общим решением KOToporo, УДОВJIетворяющим при 1 == О условию (11.86),
является следующее:
А == /1 (х, у, I z I 2C:;;f.1 lt) /2 (х, у, I z I 2C:;;fl- lt).
( 11.88)
3нан z выбран таким, чтобы сделать А одинаковым при :t z, нан TOro
требует симметрия задачи, и чтобы величина А затухала со временем.
Таним образом, уравнение поназывает, что н полю A , которое существовало бы
IJ отсутствие пластинки, добавляется по обе стороны от плаетинки
396
Fлава ХI
;.lатухающее поле, порождаемое Ш1хревыми тонами, ноторое можно представить
кан поле источников, находящихся сверху и снизу плаСТIIННИ и удали
ющихсн от нее с постояююii сноростью 2с;/ !l-v'
Максвелл предложпл формулу для этоrо закона изображениЙ, KOTOpYll
можнu lIС1l0льзовать при любом характере изменения ноля. ПУl;ТЬ BeHTOp
потепциаJ1 возбуждающеrо поля равен
А' == f (t, Х, У, z).
( 11.89)
За бесконечно малыЙ интервал вре IeIIИ d't это ноле ИRменитсн на вели
чину
дА' д
7ftr1't== at f(t, Х, у, z)r1't.
Н::>рвоначальное поле вихревых тонов, ноявляющеесн IJ тот же интервал
времени, до,шнно быть равно этому изменению по величине и противопо
ложно по направлению. Ию, мы видели, это поле уменьшается со BpeMe
нем тан, н:ак поле воображаемых источнинов, находящихся по обе стороны
пластию,и и уда.ПЯЮЩИХСН от нее с постоянной сноростыо 2c;/!l-,,' Таким
образом, вентор потенциал вихревых тонов в момент времени t, ОПИl;ЫВЮUЩИI1
поле источнинов изображениЙ, возникших до момента времени t, в течение
интервала ('t, 't + d't) будет определяться выражением
dA== J! f( t -r. Х У l z l 2 't ) d't
at ' , , [J.v'
в момент времени t 1I0ЛНЫЙ веКТОР IIотеНl1иал вихревых тонов равен
се
А == :t f (t -r., х, у, I z I » d't.
О
При Z < u величину I z I надо заменить на z, и, IIОСНОЛЬНУ (см. Пайерс,
863) af/a-r. == af/at+ (2r;/!l-v) af/az, IIодстановна этоrо выражения вместо
af/at в соотношение (11.90) и интеrриропаНJlе, при условии, что f == о при
't == со и t == -\" при 't == О. дают полное реRУЛЬПlрующеl' поле
(11.90)
се
:\ +A,== 2 д д \ f ( t -r.,x,y,
tJ"1' )
о
Вычиr лить этот ИНТel'ра.JI часто проще, чем (11.90).
z < О.
2 )
z 't d't.
[J.v
(11.91)
12. МО1иепт, деiiствующиii на вращающуюсн петлю с тоном ИШI
маl'llИтныii диполь. При вращеНИll мапlИТНОЙ системы EOKpyr оси, распо
ЛОЖCIШОЙ перпендинулярпо к ПЛОСКОСТИ проводящеii пластинки, поле
индуцированных Вllхревых тонов создаст, вообще rOBopH, тормозящий
МОМlШТ, ПРOllOРЦIlональныЙ, 1,Ш, мы увидим далее, уrЛОЕоi:i С1ЮрОСТИ пра
щенин системы, ес.ЛИ эта снорость не слишном ве.лика. Намерня этот момент,
можно найти уrловую снорость (на этом принципе работают неlюторые
rипы автомобильных спидометров). ПростейшеЙ маrПJIТНОЙ системой
является диполь или небольшан пеТJШ с ТОIЮМ, которая может Epa
щаться EOHpyr центра, сохраняя направление маrнитноrо момента парал
лелытым пластинне. Дли уяснения построения иаображениЙ мы, не
ПОJIЬЗУНСЬ формулоЙ (11.90), ПОСТУ1ШМ следующим образом: ПрСД(;Т31JИМ
себе, что через равные промежутки времепи 't диполь MrIIoBeHHo поворачи
.вается на уrол {J)'t. Рассмотрен этот с.пучаЙ, мы сумеем затем, устремив
длину интервалов I{ нулю, получить результат и для HenpepblBIIoro
Вихревые тот>и
397
движения. На фиr. 111 ПОlшзаны изоБРЮШШI1Я (нан они выrлядят сверху).
образованные при пuследних четырех сначнах, в то мrновение, коrда диполь
с моментом т занимает уназанное на фиrуре положение. ВращающиЙ
момент, действующий на т, будет являться суммой моментов от ш;ех
изображений. Поскольну Бсе Д1шоли изобрашенин напраллены перпенди
н:уЛЯрНО н оси J3раще1ШЯ, в выражении (1.16) 01 == O == 7t и, соrласно
выражению .(1.1 ) и 1 rл. VH, момент,обуеШJВленныi1 одним изображе
нием, составляющим с т уroл 1jJ, равен
Т aJ.V fJ-v m2 .
== дф == 411Or3 sш 1jJ.
(11.92)
Тоrда, если р == Wf1,j<:" момент от всех из()браже
пий равен
со
т== flvш2 sinп(,)'t sin(п+1)(o1: ==
4110 L..J 12е + (2щ/ flv) 1:]3
n o
со
== flvp 3 m 2 SiIl п "'1: sin п "'1: ('ОБ (1)1: (:ОБ п"'1: siп "'1:
32110 L..J (ре + тО1:)3
n o
(11.93)
При переходе [{ непрерывному движению 't dt,
n'!: t и sin Ш1: Ш'!: wdt, тан что сумма в BЫ
ражении (11.93) превращается в ИПТCl'ра.п
т
с
z=D
с
1 [}
2ат
/lи
'. '
21:п:
, /':и
) Z
ZfJ7:
р'и
,'. 3
"
се
T flt,"'p 3 m 2 \ еОБ"'С dt ( 11.94 )
32110 ) (ре+",с}3 , Фие. 111.
о
Введем х == ре + шt, тан что еОБ wt == соБ (х ре) п, следовательно,
се се
fL"p3 m 2 ( \ СОБ Х . \ sin х '\
Т== 32110 cospe) dх+sшре ) ""X3dx ).
ре ре
или (см. Двайт, 441.13 и 431.13)
со се
r fJ. vp 3 m 2 ( 1 СОБ Х . , siп х )
Т== o cospe dх sш ре dx .
11lO р е х . х
ре ре
(11.95)
Эти интеrралы можно выразить в виде рядов (см. Двайт, 431.11 II 441.11)
или записать в форме известных фушщий интеrральноrо носинуса Ci
И ИIIтеrраЛЫ1оrп синуса Si, определяемых следу1UЩИМ оnразом:
со
r ('ОБ х d С' ( )
) х == 1 ре
ре
и
со
(' sin х d 110 В ' ( )
х == l . 1 ре .
ре
(11.96)
Таблицы и l'рафини интеrралuв Ci II Si даны Е снраВО'lнине НН/,е 11 8мде и
друrих Нниrах по математин:е.
... Если величина ре значительно больше единицы, то, проиитеrрировав
трижды еоотношение (11.94) по частям, мы получим для Т таное Bыpa
жение:
се се
!1l'р 3 ш 2 [ 1 . sin ",t 3 ('ОБ шt 12 sin шt I 60 r ш siJl шt d J
32110 (ре+шt)3 (ре+шt)4 + (ре + "'с)5 . (pe+"'l)6 t
о о
398
Fлава Х/
Если пренебречь величиной 20ш/(ре)2 по сравнению с единицей, то найдем
ре 1, Т == 3 "rn2 (11.97)
321< рс 4 .
Если же пренебречь величиной (J) (рс)2 по сравнению с еДиницей, то полу
чим
ре 1,
Т !'vprn 2
64пс 2 .
(11.98)
Для медной пластинки толщиною 0,1 .м.м с: == 0,00017, так что при частотах
100, 10000 и 10000000 Щ величина р будет соответственно равна 4,67,
467 и 467000. Таким обраЗ0М, при этих частотах при с 0,01 .м нужно
было бы ПОЛЬЗ0ваться соответственно соотношениями (11.98), (11.95) и (11.97)
13. Вихревые тони, возбуждаемые вращающимся диполем. Весьма
поучительно вывести непосредственно выражение для вихревых токов, KOTO
рые будут индуцироваться вращающимся
диполем, описанным в предыдущем пара
rрафе. На фиr. 112 воспроизведено одно
И3 изображений, показанных на фиr. 111.
Обозначим на фиr. 112 буквой Р точку на
пластинке, имеющую координаты р, О, и
FаЙдем в этой точне значение фуннции по
тона Ф. Соrласно выражению (11.83),
rде путь интеrрирования выбран в pa
диальном направлении и принято во внима
ние, что интеrралы вдоль нижнеrо и Bepx
Hero пути равны между собой. На фиr. 112
показано п e положительное изображение.
Очевидно, для Вр важна толы{о р компо
нента этоrо изображения. ИСПОЛЬ3УЯ при
вычислении Вр соотношения (7.52) и (7.49),
прибавляя затем величину, получаемую от
п ro отрицательноrо изображения, и СУМ-
по всем изображениям, найдем
f
мируя результат
со
Ф === 2!1- 1 Вр dp,
р
(11.99)
00
JL rn д ( sin 5' )
Вр===- :1t {cos(п(!)'t+0) cosf(п+1)(J)'t+e]} д.. .(11.100)
'I1 O
Подставляя теперь это выражение в (11.99), интеrрируя и разлаrая второй
.RОСИНУС (см. Двайт, 401.03), имеем
со
Ф == p , cos(пw't+5) СОБ (п'o)'t+ 5) СОБ w't + i (п'o)'t+ 5) sin w't . (11.101)
21t {p2+rc+{2п /JLv)'tJ2} 12
n .o
Переходя R интеrралу точно так же, как это было сделано в предыдущем
параrраф", ПОJlучаем
00
ф ",rnр sin(wt+ 5)
21t {р2+ (с+ (2'/flv) t]2}З/2 .
(11.102)
Вихревые токи
399'
Если р."ш с: [условие, получаемое для выражения (11.98)],
(2c:t/'r,,)3 II знаменателе оказывается уже очень большим, прежде
чина (J)t в числителе станет заметно отличной от нуля, поэтому
то ЧJIен
чем вели
00
ф == ",тр sin (J r dt
'r,,(J) с:, 21t 81
Ь {p2+[c+(2 /!l-,,) с]2} 2
Полаrая х == с + (2c:/'rv) t и ПОJIЬЗуясь формулой (200.03) из справочника
Двайта, имеем
ф == ш "т
4щр
[ 1 С ] sin О.
(р2 + c2/12
(11.103)
На фиr. 113 изображена система вихревых токов, определяемых
уравнением (11.103), для значений 4т..Ф/р.", указанных на фиrуре. Эта
Фие. 113. ЛИНИИ тона вихревых тонов, создаваемых в бесно
нечном тонном про водящем листе маrнитным диштем, располо
женным на расстоянии 1 С.М от Her() и вращающимся с уrловой
сноростью ,о) в плосности, параллельной поверхности листа (Ha
правление вращения поназано на фиrуре).
Пр!'дполаrастся, что наблюдат!'ль расположен в точн!'. rAe находится
диполь. Линии тона соответствуют тоыу моменту, HorAa диполь ориен
тирован слева направо. Приведенные на фиrуре знач!'ния фуннцин
потона Ф вычислены по формуле (11.103) при (J)!'-v rnН4п ) 1.
система линий тока вращается со скоростью вращения диполя, который
расположен на единичном расстоянии (в указанном на фиryре масштабе)
над плоскостыо чертежа парал.пельно прямой Ф ,= О. Поле этих токов будет
направлено под прямым уrлом к диполю. Это приводит К ВОЗниюювению
момента, IJеличина KOToporo вычислена в предыдущем параrрафе.
14. Энранирование круrлой петли посредством тонной проводящей
пластиНIШ. Пользуясь выражением (11.91), исследуем эффект экраниро
вания при помещении бесконечно тонкой проводящей пластинки между
двумя круrлыми коаксиальными петлями раIl.ИУСОВ а и Ь, паходящимися
400
Fлава Х/
{)дна от друrОlr на расстоqнии с, При ()тсутстuи 11 пластинни вен:т()р потен
циал пер130lr петли в месте расположения второЙ петли, в соответствии
<: 1l I'Л. УН, был бы равен
1t
A , == JLv a 1 eos (О) ! ( СОБ ер dep
2п (и2+ с2)Ч2 '
О
(11.104)
l'Де u2==q2+b2 2abeosep. В соотrзетст13ИИ (; выражением (11.91), в случае
наличия эн:рана ну,кно ваить деЙствительную часть следyrощеrо выражения:
1t со .
I aI д ( еJ",(t .-:;) d1: )
А А == СОБ' d
<!' + 'f 1t де ер. {и2 + [с + (2 /fLv) 1:]2} Ч2 ер.
о о
(11.105)
с I\елыо упрощения ВЫЧИСJIOНИЙ рассмотрим лишь СJJучай, 1юrда 2<;f(wf1v) < 1.
Проинтеrрируем по 't неснольн:о раз по частям и после п ro интеrрирования
[l()ЛУЧИМ
( 2 ) n 1 [ 2 ( 2 ) 2 ] Ч2
а n д n 1 U + с + 't ,
/,-" с /'-v_
( . ) n 1
dv == .!.... ei'" (t ,;:).
n ,о)
Н:ОМIIленсная амплиту;щ Вl:Jкт()р потеНЦIIала в месте нахождения второй
петли равна ·
со 1t
А + А I == JLv aI "-1 ( 2j<; ) n дп \" COS 'f' d'f'
<!' <р 2п LJ "'1'1' дсп (и2 + с 2 )Ч2
п l О
(11.106)
в соответствии с 7 1'Л. VIII, отношение HOBOI'O ПОТОIШ сцепления н CTa
рому равно
R 2пЬ (А'Р+А )эфф.
о lr.b (А )эфф.
l<:сли величина 2<;f(wfl'v) мала, ТО в рядах можно оrранпчиться одним пер
пым членом, и ТО1'да
(11.107)
2<; 1 дA 2<; Вр
R
о (o)fLv A де "';;:;; А<р ,
( 11. 108)
I'He Ер н А<р определяются соответственно вырашеНИИМI1 (7.53) и (7.50)
IJ UЫЧИСJIЯЮТСЯ при Р == Ь, Z == с. ЕСJIИ, н:роме TOI'O, а или Ь малы по cpaB
lJешпо с с, то из выражения (7.48) пuлучаем
R == 6;с
о 'o)1'-v (а 2 + Ь 2 + с 2 )
(11.109)
l{aH мы видели 13 S 13, для менной плаСТИНЮ1 ТОJ1lЦIIJЮЙ 0,1 _I-t'м при ча
стоте 1 _1-t22Ц отношение wf1J<; равно 4670и, что ВlIOлпе удовлетворяет Hpeд
положению, сделанному при выводе соотношении (11.108). ОТСIOда при
а==1 C_It, Ь==10 c_1-t и с==10 С.А!, (;urласно соотношеншо (11.109), Ro 0,0006.
i', е. энранирующее деЙствие П.пастИIШИ иесьма значительно.
э 15. Зональные вихревыс токи в сферичсCIЮЙ пленке. Рассмотрим
вихревые тони в тонноЙ сферическоЙ проводящеЙ ПЛl:JIше. При наличии
ансиалыюй симмеТрШl все вихревые токи тенут по lюансиальным онруж
настям. Пусть полныЙ вектор потенuиал равен А' + А, rHe А вентор по
тенциал вихревых тонов. Э. д. с. 'lt, ВЬ13ывающаII ПОЯПЛf'нrrе тонов в нольце
шириною а d6, соответствующем уrлу О, индуцируется, l<aH известно, R pe
Jультате измене;ния веJIИЧ1ШЫ полноrо пuтOIШ сююзь ЭТО НОЛЬЦО. Пользуясь
Вихревые токи 401
соотношениями (8.1) и результатами 8 rл. УН. можно выразить через
А' + А и затем при помощи закона Ома (6.6) через ток
</? dN ' [ 2 . () ( А' + А )] 21tщsinIJ . d B
е' dt dt тr:a Slll <{' <{' а dfJ l<{'a .
Откуда, если вектор потенuиалы равны HYJIlO при () == О, имеем
(A +A<{')== i<{',
(11.110)
l'де i<{' плотность тона, ; уделъное поверхностное еопротив.пение. Пусть
выражение для вихревых, тонов в пленке представлено в виде ряда по
зональным rармоникам, rде in п я rармонин:а тона. Из выражений (7.61)
и (7.64) можно найти простое соотношение между ё п и п M членом разло
жения вектор потенциала этих токов, а именно:
(А ) JL"a.
1''' T a == 2п + 1 ln .
(11.111)
Если A таиже разложить в ряд по сферическим rармоникам, то, подста
l!JШЯ выражение (11.111) в (11.110), мы видим, что разложения А; и А<р
<:вязаны между собой на поверхности пленrш (r == а) уравнением
.:.. ( А' + А ) "'" 2п + 1 А
k.dt n ,, u. а п '
, v
" n
(11.112)
Если при t > О возбуждающее поле Ар постоянно, а в момент времени
t == О поле вихревых токов известно и равно
А<р== СпА n ,
"
(11.113)
то, очевидно, решение уравнения (11.112), опредеЛЯJQщее занон убывания
вихревых токов, имеет вид
А<{' == C n A"r[{2,,+1)!fJ.v a ]<t. (11.114)
n
Предположим, что значение вентор потенциала возбуждающеrо поля
на поверхности сферы можно записать в форме
A B == CnAnJn (t). (11.115)
11
Изменение ЭТOI'О поля, происшедшее за т сен. до момента времени t за
беснонечно малый интерВaJ1 времени d-r:, равно
дA B d С А afl1 (t 't ) d
at T nl1B at Т.
n
Вознинающие за тот же интервал времени d, вихревые тони создают поле,
полностыо неЙтраЛНЗУЮJп:ее это изменение n момент ero вознин:новения;
но с течением времени поле вихревых тонов убывает по за нону (11.114),
и к моменту времени t мы имеем
dA "'" С А iJfn (t 't) e [{2n+1)/fJ.va]<'t d,
<{'в n "В at .
"
Полный вектор потенциал вихревых TOHUU на пuuерхности сферы в момент
времени t равен.
А;в ==
со
C А \ afn (t 't) e [{2n+1)/fJ.v a ] <"' d,
n пв J at .
" о
( 11.116)
26 Б. Смайт
.402
rлава ХI
Заменим allat на af/a't и проинтеrрируем по частям; тоrда, ПОЛЬ3УflСЪ
соотношением (11.115), получим следующее выражение при r == а для &eKTOp
потенциала от всех источников:
(х)
A1'o+A 8== (2п+1)С n А nо С fn(t 't)e [(2n+l)fv.va] "d't. (11.117)
I'"Va L.J J
n о
в случае стационарноrо переменноrо поля величина A , ноторая может
являться результируlOЩИМ потенциалом поля как внешних, так и внутренних
источников, определяется при r == а выражением (11.115), rде
Аn. == p (cos е), f (t) == cos шt. (11.118)
Обозначая величину ('[;; + 1) r,/(!1va) через N и интсrрируя выражение (11.116)
(см. Двайт, 863.1 и 863.2), для ВeI,тор потенциала поля толыш вихревых
токов при r == а получим следующее соотношение:
(х)
Arps == 2' СnАn. ш (ш 2 + N2) 1 (N sin шt ш cos шt) ==
n o
(х) .
== СnА щ cos Фn cos (шt + Фn)'
n o
(11.119)
rде t,gфn==N/ш. Таким обраЗ0М, отставание по фазе 8n равно Фn. .Вели
чина Ау, ноторая обращается в нуль при r == сх: и определяется выраже
нием (11.119) нри r == а, будет являться вентор нотеНIIиалом поля" вне
'. сферы, обусловленноrо толыш вихревыми тонами. Следовательно,
; ( а ) n+l
Ао == .LJ сп r p (cos е) cos 8n cos (шt 8 n ),
n o
(11'.120)
t \2n+1)
g 8n == I'"V aw .
(11.121)
Внутри пленни вентор потенциал ПОJIЯ вихревых тонов А . должен' БЫТh
всюду нонечным, поэтому (а/r)Чl следует замешIТЬ на (r/a)n. Для Внешних
ИСТQЧНИНОВ r входит в выражение дЛН А' В виде (r/a)n. Соrласно COOTHO
mения1Vl (11.115), (11.118) lи (11.119), результирующее внутреннее по.пе
равно (см. Двайт, 401.03)
«>
А . +А' == Cn ( : )n p (cos 6) sin 8 n sin (шt 8n).
n o
(11.122)
Это выражение можно было бы получить непосредственно И3 соотношений
. (11.115), (11.117) и (11.119). Отношение п ro члена в разложении по rap
моникам новой а плитуды н соответствующему члену в разложении по rap
мони нам старой амплитудЫ равно
IAi+A'1 .
ВОn== IA'I ==SШ8 n . (11.123)
И:J выражения (11.120) следует, что если r, очень велико, то отношение
(11.123) близно к единице и поле остается неизменным, но если пленка
является хорошим проводнином, т. е. если r, мало по сравнению с !1v w ,
" то ВОn становится - очень малым происходит почти' полное экраниро
вание.
Вихревые токи " 403
Плотность вихревых тонов в пленне, определяемая вщражеуиями
(1!.111) и (11.119), равна
2 1'=.
i ==!:р CnP (СОБ е) СОБЕ n СОБ (wt Еn). (11.124)
!-,v a
n
Соrласно формуле (6.11), MrHOBeHHoe значение мощности, рассеиваемой на
. элеменiарной площадне dS пленни, равно i 2 <; dS, а для всей пленни, учиты
вая, что и == СОБ 6, получим
"'
j
+1
<; i 2 dS == 2<;7ta 2 i 2 sin е d6 == 2<;7ta 2 i 2 dи.
s о !
Если возвести в нвадрат выражение (11.123) и проинтеrрировать ОТ и == 1
до и == + 1, то все члены, содержащие смешанные произведения, соrласно
соотношению (5.92), исчезнут и ОСтанется сумма интеrралов от нnадратов
величин. Таним образом, наждая rармоничесная составляющая i n СОБ (wt Еn)
тона i ведет себя нан независимый тон, тан что средняя мощность pac
сеяния в соответствии с выражением (10.18) равна
+1 +1
<; i 2 ds == <;7ta 2 [ inJ 2 dll == <;'1ta 2 i da.
s 1 1
Интеrрируя при помощи соотношения (5.194), найдем онончательно МоlП
насть, рассеиваемую в сферической цленне:
ro
Р==2Щf1 2 п(п+ 1)(2п+1)С СОБ2Еn.
n .
(11.125)
16. Вихревые токи в тонкой цилиндрическоii ПЛСlще. НOl'да псе
вихревые тони в тонной беснонечiюй приводящей цилиндричесн()й пленно
радиуса а тенут параллельно ее оси, вентор потенциал поля, инцупируIO
щеrо эти тони, должен танще быть направлен параллельно оси, и маrнит
ное' поле в этом случае является 'Д-вухмерным. При этом, нан мы видели
в 26 rл. VH, вентор потенциал обладает свойством элентростатичеСJiОЙ
фУНlщии потона: ero значение в наждой тЬчне представляет потон МЮНДУ
ЭТОЙ ТОЧНОЙ и неноторой друrой финсированной ТОЧНОЙ. Пусть Az BeHTOp
потенциал поля вихревых тонов, а A + Az ПОЛНЫЙ веНТОР lIотенциал; тоrда
для э. д. с: на единицу длины, Щ1дуцируемой в пол()се а, е шириною а d()
при изменении полноrо потона N, приходящеrося на единицу длины ЭТОЙ
полосы, получим, исп зуя занон ома (6.6), следующе соотношение:
l) == == (A + Аё) == а o iza de, (11.126)
rде i z плотность тона, а <; удельное сопротивление пленни. Если разло
жить тон i в ряд по нруrовым rармонинам, то, соrласно выражениям (7.90)
и (7.93), будет существовать простое соотношение между п M членом этоrо
разложения и п M членом разложения в ряд вентор потенциала Az поля
этоro тона. На поверхности плен ни это соотношение имеет вид
(А ) 1 1 .
n p a == 2" f1v an In,
( 11.127)
Пусть A и A:z разложены по нруrовым rаРМОНИRам; тоrда, подставляя Bыpa
жение (11.127) в (11.126), мы видим, что эти разложения удовлетворяют
2С*
! 404
rдава ХI
следующему уравнению:
( А' + А ) == 2щ А .
dt n п fJ.v a n
п п
( 11.128)
с точностью до постоянноrо множите.пя это уравнение совпадает с ypaB
нанием (11.112), так что, задав возбуждающее по.пе при р == а в виде (11.115),
ro
A B == CnAnsfn (t),
n 1
(11.129)
можно опреде.пить Бектор потенциа.п вихревых токов [см. выражение (11.116)]
следующим обра.З0М:
00 00
А == С А \ afn (t 't) e (2n /l'-va)'t d't. ( 11.130)
n mJ
n 1 О
:1аменяя af/at на (af/a't) и интеrрируя по частям, получим
ro ro
А + l' == " пС А ( ! ( t -С ) е (2п /I'-.,а)'t d't
хв XB fJ-vа n nB n .
п 1 О
(11.131)
Д.пя синусоида.пыrorо возбуждающеrо по.пя [см. выражение (11.118)]
имеем
Ап. == cos (п6 + Оп),
f (t)== cos шt.
(11.132)
...
Ана.поrично выражениям (11.120) и (11.121), вектор потенциал поля вихре
БЫХ токов при р > а опреде.пяется следующим обраЗ0М:
00
Ао == k СпаПр П cos (п6 + оп) cos Еп cos (шt Еп),
n 1
(11.133)
tg Еп == 2щ (Ш(1v а ) 1.
(11.134)
,ЦJlЯ Р < а нужно 3Ю\1енить (а/р)П на (р/а)П и, ес.пи ИСТОЧНИI\И по.пя Haxo
\ дятея вне ци.пиндра, то, так же как и в 15, имеем
ro
А; + А' == k Cnpna n cos (п6 + оп) sin Еп sin (шt Еп).
n 1
(11.135)
Отношение п x rармоник поля при на.пичии п.пенки и соответствующих
{, rармоник поля при отсутствии п.пенки равно
R IA;+A'I .
оп == I А' I == 5111 Еп.
(11.136)
Те аамсчаНlJЯ, lюторые Быl". сделаны относительно выражения (11.123),
по.пностью относятся и l\ ЭТОМУ. П рп раСШJJюшении ИСТОЧНИlюв внутри
ци.пиндра отношение новоЙ амп.ПIrтуды }, иароЙ u области вне пленки
определяется попрежнему соотношением (11.136). СOI'ласно выражениям
I (11.127) и (11.133), п.потнС!сть вихревых TOKOll в п.пенке равна
,
ro
"
. ,
i== k2«(1va) 1 пСпсоs(п6+0п)СОSЕпсоs(шt Еп)'
71 c 1
( 11.137)
r-",J:
Вихревые токи
405
Соrласно соотношению (10.18), средняя рассеиваемая мощность на едк
ницу длины цилиндра равна
2'/t
j5 == а <;i 2 d6.
о
Ес,'1И выражение (11.137) возвести в нвадрат и прorштеrрировать от О до
2 , то все члены, содержащие смешанные произведения, исчезнут и OCTa
нется тольно сумма интеrралов от фУ1ШЦИИ cos 2 (п6 + а п ), каждый из I,OTO
рык (см. Двайт, 854.1) palJeH 'it. Тarшм образом, наждому члену ра;шоженин
можно сопоставить независимI,IЙ контур, поэтому средняя рассеиваеман
энерnия в единицу времени равна
со
Р ==2Щ«(1 а) 1 n2C t;OS28n'
п 1
(11.138\
'.
17. переходныIe ивлении при шранировании с помощью толстой
цилиндрической оболочки. В 3 бьши раt;Сl\ютрены продольные синусо
идально меняющиеся вихревые тони внутри толстостенной цилиндри
ческой оболочки, а D 1.') произвольно измеrшющиеся во времени про
дольные вихревые тою;- в тонкой оболочке. В начестве сравнитеJIЬНО просто
ro примера, содержащеrо нан продольные, тан и поперечные номпоненты TO
нов, рассмотрим бесконечный цилиндр, имеющий маrнитную проницае
мость (1, проводимость l' внутренний радиус а, внешний радиус Ь; ось
цилиндра составляет У1'0.л а С однородным маrнитным полем В. Найдем
поле внутри ЦИJIиндра по прошествии времени t пос.пе исчезновения И.ЛИ
ПОЯВJIения внешнеrо поля. Из выражения (7.28) следует, что решения Д.ля
статичеСlюrо вентор потенциала при р > Ь, Ь > р > а и а > р должны COOTBeT
ственно иметь вид
(А 1 )о == В [ се sin а (р Cop l) + k cos а (р C p l) S in tp ] ' (11.139)
(А 2 )о==В [се ; Sina(Dop Eop l)+kcosa(D p E p l)sintp], (11.140)
(Аз)о===В [се SinaFop+kcosaF PSintp] . (11.141)
Эти выражения опреде.лшот заJ[анное попе при р == 00 и остаются нонечными
при р ==о О. Значение постоянных опредеlJяется из условия непрерывности А] и;
(ВХр)/(1 при р==а и р==Ь; заменив «(1 (1v)/«(1+(1,,) Ha , b2/(b2 2a2).
на С, получим
со == (1 1 «(1 (1v) (Ь 2 а 2 ), Do == (1 1(1, Ео == (1 l «(1 (1,,) Ь 2 , F 0== 1,
C == (a2 b2)C, п ==(1+ )C, E == (1+ )a2C, F ==(1 2)G.
(11.142)
(11.143)
Пос.ле момента времени t == О имеют место те же решения уравнения (11.8),
rде 1 == О, ?а иснлючением Toro, что в А 1 пропадают р члены, тан нан при
р == 00 В == О. в решении для а < р < Ь величина Az должна иметь множи
тель sin tp, а Ач> не зависит от tp. Нан и в 9, попытаемся искать эт()
решение в виде суммы :шспоненциально затухающих фуннций, т. е.
А 2 == В [ceR (р) e PsI + kP (р) sin tpe qst ] .
(11.144)
8
Для Az уравнение (11.8) ЯВJIяется сналярным; из Hero множитель
sin(jle-----<1sf выпадает и оно после подстаноВl\И v 2 == (1IQsP2 переходит
в уравнение (5.302) с п == 1. Для Arp уравнение (11.8) принимает вид (11.47).
406
r лава ХI
П<щставляя J3 последнее epp 2 вместо V 2 ep, отбрасывай e Pst и обозначая
f11PsP 2 через v 2 , мы опять получаем уравнение типа (5.302) при 12 "= 1.
Таним образом, для t> О выражения (11.139) (11.141) заменяются сл&-
л:ующими:
l == в [ер sin a.Csp le Pst + li: СОБ а. Cp l sin <pe M ],
(11.145)
s
А 2 == в {ер sin a.DsRl [(f"IPs)1f2P] e Pst + kсоsа.ДР l [«(1иsУ/2р] sin <pe qst},
(11.146)
Аз == В [ер sin аР Bpe M + k СОБ a.P p sin <pe qst ], (11.147)
s
l'де НI и Р 1 являются фуннциями Бесселя. Приравниван А 1 и А 2 при Р == Ь
обозначая (f"lps)1f2 через ks и «(11Q,J1f2 через [. и опусная sin <р в Az,
будем иметь
ерС. + kC == epbDsRl (ksb) + kbD PI (lsb). (11.148)
lIриравнивая при р :...... Ь танrенциальные составляющие (1 IB == (1 IV хА,
пуСIШЯ sin <р в <р номпоненте и умножая все на Ь 2 , получим
ер(1С; == k(1" bD s [ksbR (ksb) + Rl (ksb)] ер(1JsЬ2Др (lsb). (11.149)
Тан нан k член равен нуто, то, соrласно 30 r r.П. У, R() (ksb) == о, и
в соответствии с соотношением (5.320) пмеем
Rl (ksb) == ; те (ksb) l, R 1 (ksp) == У() (ksb) J l (ksp) JfJ (ksb) У 1 (ksp). (11.150)
Аналоrичным образом из rраничных условий при р == а, вьшисывая Bыpa
tRение для P l (lsa), получаем
epFsa + kF a =о: epD"Rl (ksa) + kD; [E Jl (lsa) + У 1 (lsa)],
k2(1F s epf"F; == kf"vksDsRo (ksa) f"JsD;P (lsa).
(Ц.151)
(11.152)
Исключение Fs, Ds. p и D; из четырех уравнений дает
. ksaRo (ksa) 2 (f" IfJ-) R 1 (ksa) == ksaR (ksa) + (1 2fJ- 1fJ-) R 1 (k"a) == U,
(1vlsbP (lsb) + (1P l (lsb) == О == f"JsaP (lsa) f"Pl (lsa).
( 11.153)
(11.154)
Можно использовать тольно значеНИ9 Ps == k /(fJ-I), удовлетв()рнющие COOTHO ,
тeHlЦO (11.153). Подставляя Y(J(ksb) из соотношения (11.153) в Ri(ksa) и
ПРИМeJШЯ соотношение (5.320), получим
Rl (ksa) == 2f",,Jo (ksb) тe l [(1vksaJo (ksa) 21-'11 (ksa)] l.
(11.155)
Исходя из соотношений (5.323) и (5.324), выразим P и Р 1 через РО и Р!
и.обозначим (fJ- (1v)/(f"+(1v) через ; Torдa выражение (11.154) можно пре
Jбразовать 1\ следующему виду:
" Yo(lsa)+Y2(lsa)
'Es
. J о (lsa) + J 2 (lsa)
Yo(1<b)+ Y2(1,b)
J o tlsb)+ J2 (lsb) .
( 11.156)
Здесь можно использовать тольно значения qs == [;;«(11), удовлетворяющие
второму равенству. Подставляя выражение дЛЯ Е; в P l (lsa) И P l (lsb) и
используя ренуррентные формулы Э 30 r rл. V и соотношение (5.320),
получим
"'P.(l ) 2(1 ) Р (l Ь) 2(1 ) (11 57
>'J .sa, --::- Тclsa[ Jo(lsa) + J 2 (lsa)] J .1. 'lt l 8 b [J o (l.b) + J2(lsb)] . .1)
Заuачи
407'
Остается определить Ds и D тан, чтобы при t == О выражение (11.146)
совпадало с (11.140), l\оrда а < р < Ь. Опусная общие для наждой l\омпоненты
множители, имеем
Ip (Dop Eop l) + k (D p E p l) == ] [IpDsRI (ksp) + kДР 1 (lsp)]. (11.158)
s
Умножим обе части сналярно на p[IpR1(kТlP)+kP1(lnP)]dp и проинтеrри
руем в пределах от а дО Ь, представип этот интеrрал в виде разности двух
интеl'раJЮВ: от О до а и от О дО Ь. В силу со()Тношений (11.146), (11.153),
(11.154) II (5.342) в правой части остается ТОJ1ЫЮ п й ЧJ1ен, а значение Ач>
дается выражением (5.357), rде В == 1 2!1 1!1' Интеl'РИРУЯ JIевую часть при
помощи соотношении (5.328) и (5.329) и разрешая ПОJIученное равенство
()Тносительно D n , дпн Р п из выражения (11.151) найдем
F == 4ЩJI-'-v R , (Тспо)
п Тспа {l;I-'- (41'-2 41-'-I-'-v+ Тc a21-'- ) т;2 [Rl (Тс п а)]2}
(11.159)
Выражение (5.357) при В == !1 1!1 определяет прапую часть соответствую
щеrо выражения ДJШ Az. Интеrрируя JIепую часть при помощи соотноше
нии (5.328) и (5.329) и разрешая полученное равенство относитеJIЬНО D ,
дЛН p П3 выражения (11.143) ПОJIучим
jI" 41-'-I-'-vb (1 ) Р, (lnb)
п == (1'. l b2+1-'-2 t' ) [P 1 (lnЬ)]2 (I-'- l;'а2+1-'-2 1-'- ) [P 1 (ln a )]2 .
(11.160)
lIопное ПОJIе внутри оБОJIОЧНИ В JIIобои момент времени опредеJIяется фор
МУJIами (11.147), (11.159), (11.160), (11.155) и (11.157), l'де k n и [п вычи
сляются из соотношений (11.153) и (11.156). ЕСJIИ при t < О ПОJIЯ не БЫJIO;
а в момент премени t == О ВОЗНИКJIО ПОJIе В, то из выражений (11.141)и
(11.147) следует, что вентор потенциал А; внутри оболочни Оl\ажется
равным
р'<;а,
А; == (Аз)о Аз.
(11.161)
Эти решения были таюне получены друrим методом 1). При ПР()ИЗВОJ1Ь
ном изменении В во времени на основании полученных реЗУJIьтатов попе
можно найти методами, аналоrичными развитым в предыдущем параrрафе.
3А;J:АЧИ
1. Беенонечная железная пластина оrраничена нара.ллельными ПЛОСНОСТЯ IИ х==/!,
х== /l; на пластину раnrюмерно намотап провод в папраВЛCJIIIИ, параллельном оси у.
При прохождении по проводу пеРf';,iClшоrо тона снаружи плаетины возбуждается мапlИТ
ное поле Hu cos pt, паралле.1Jьное оеи Z. Доназать, что папртНСIlНОСТЬ маrНИТIIоrо ноля
Бну:rри плаетины на расеТОЯНИIl х от серРдипы определяет.ея выражениями
Н Н ( ch2mx cos2mx ) Ч2 ( )
== о eh 'Lmh + cos Lml! cos pt + l' ,
fj sh m и, х) sin m (ll x) sh т (li x) sin т (h+x)
tg. == chт (h x) СОБ m(h x)+ehm (h x) cosm (h+x) ,
1
rде т 2 =="21-'-Р/" ИССJJедопать частные случаи, [{OI'да mh мало и Rоrда mh веl!ИНО.
2. Все ТОЧЮI круrлой прополочной петли, несущей тон 1 cos wt, lIaХОДЯТСЯ на
расетоянии с от центра шара радиуса а, проницаемости 1-'- и удельноrо сопротивления 'с;
радиус вентор, нроведенный из центра шара в любую точну пеТ1JИ, образует с нрямой,
. '
1) См. Phil. Mag., 29, 18 (1940).
40Н
Тдава Х/
ПрОХОДlJщей через центры тара и петли, уrол а. ПОЮilзать, что веl{тор потенциал
внутри шара равен действительной части СJJедующеrо выражения:
Ч2 . 00
[L[L"a 1 SШ а 2п + 1 ( а ) п . Ч2 1 ju>t
. 2r1/2 k.. п (п + 1) с; A n l n + 1f2 [(, р) '] Р п (еОБ О) е ,
п l
rде
А п == {([L [L,,) nl n + 1f2 (ир)Ч2 а] + [L" ир)Ч2 aI'1 1f2 (ир)Ч2 a]} 1 Р: 1 (ССБ а)
И p [LU>/'t.
3. Шар радиуса а с прошщаемостыо [L и удеЛЬНЫ I СОПрОТl1lJлениеlll 't помещаеТС1l
в область, rде в момент нремени с==О поянляется поле, тюторое при отсутствии шара
было бы однородным ПОJJем с ИНДУНЦИСЙ В. Пользуяеь оБОЗН:J.ченинми 9. НОl{азать, что
при t >- О потенциалы определяются lJыражениями
А " [ В ([L [L,,) а 3 B В 2 q l ] .
o 2 r 2 ([L+ 2[L,,) , 2 L.J "' е SlD u,
s
А . [ 3[LBr
1 2 ([L + 2[Lt,)
А 1/9 J ( 1 ) q,t ] .
L.J "' 312 '(8 ' е SIn u.
в
4. Беснопечно длинный нруrJJЫЙ пилиндр радиvеа а, оБJJадающий шrнитной пр
вицаемостью [L и удельным СОПРОТИВ-'lенисм ", обмотан проnодом, по ,{оторому проходит
Dеремшшый 1'01{. ПОl{азать, что если на ПОlJерхноети ци.тlИндра поле НХ однородно и ero
величина равна НО СОБ wt, то маПlИтное ПОJJе 13нутри цилиндра определится выраже
ниями (11.37) и (11.38), l'де нмеето ё: и ёо нужно 1I0детаnИТh uеЛИЧИIlЫ В' и Во. Поль
зуясь соотношением (11.5). наЙти плотноетъ и напраВJJенир вихревых TOHQB.
5. Н:РУl'JJaЯ Щюполочная пет.тrя имеет ноординаты r = а, е 0=0 а, а сферичеСI{:J.Я про
водящая плеНI{.а с 1I0верхноетпым УдеJIЫJЫМ СОПРОТИIJJJением сонпадает с HOHepx
востью r == Ь. В петле создаетсн 1'01{, меняющийся по заl{ОНУ i == 1 (1 e Rl/L). ПОl{дзать,
что если за премя, в теченир 1{0TOpOro нихревые ТОIШ затухают, перемещением сферы
и петли можно пренебречь, то сообщаемый петле ИlllПУЛЬС определится выражением
00
7t[L bI2
]
п l
sin 2 а ( Ь ) 2п+l (2п+ 1) L +- 2[LvbR 1 1
(п+1)(2п+1) а (2n+1) L+[LvbR Pn(cosa)Pn+l (cosa).
6. Над беснонечной ТОНI{ОЙ плаетиной, обладающей удельным нонеРХ1l0етным сопро
тивлением , помещаетея небольшая прополочная петлн е маrнитным моментом
М COS wt, напраНJJенным перпеПДИI{УЛЯРНО I{' плоеl{ОСТИ 11 JШСТИНЫ . Поназать, что если
1 w't o ' 'to fLvr, ТО маrнитная индукция на протипоположной стороне пластины равна
[Lv M
Br == 27tr 3
[ [L "wr. ]
cos u СОБ wt+ Slnwt ,
В [LvM.
в == SIn u COS wt.
чп,
7. IIОl{азать, что н преДЫД'ущей задаче ПJJотноеть тона i<p на расстоянии р ОТ оси.
а также средняя рассеиваемая энерrия в единицу времени нриближенно равны
[LvwpM sin wt и
4п (р2+ с 2 )3/2
[L M2W2
64щс 2
8. Маrнитный момент небольшой пеТJJИ с тоном уменьшается линейно от значе
иия М при t 0= О до нуля при t == Т. Петля номещается на расстоннии с над беснонеч
НОЙ ТОННОЙ пластиной, обладающей удельным поверхностным сопротивлением . Mar
нитный момент петли перпендинулярен 1{ плосности нластины. Поназать, что поле В на
оси в точне, находящейся на расстоянии z от плаетипы, блаrодаря присутствию пла
стины возрастает на величину
[L Mt ([L,,(c+z)+ tl
ДB при 0< t < Т
2пТ (C-t-Z)2[[Lv (с -т- z)+2 t]2
и на величину .
[L;M (fLV (c+z) + (2t T))
ДВ при t > Т.
== 2п(р-" (с Т z) + 2 и Т)]2 ([Lv (c+z) + 2 t12
Задачи
409
9. Маrнитный диполь с моментом М расположР.н параллелыю беснонечной тонной
плаетине, обладающей удельным понерхностным сопротинлением <;;, и находится от нее
на расстоянии с. Пусть диполь перемещается с постоянной снороетью v параллельно
пластине в папранлении, перпендинуЛЯРJJОМ оси диполя. Ноназать, что в стационарпом
режиме со стороны нихреных тонов на ДIШОJIЬ будет действонать тормозящая сила.
равная
3 2 2 1 1
2n 11-'-1,M2V<;; (2c) 4 [(4<;;2+l-'-vv 2 ) 2+2<;;J 2.
10. Маrнитный диполь е моментом М движC'fСЯ с постошшой СНОРОСТЪЮ v ПО пря
мой линии на расстоянии с от беснонечной плаетипы, обладающей удельным понерх
ностным сопротинлением <;;. Поназать, что если М и v образуют уrол 'f'. то тормозящая
сила, деЙСТНУlOщан на ДИПОJIЬ, равна
{ 61-'- v2 cos 2 'f' }
F == 1 2 1 2 1 F О,
5 (I-'-vv 2 +4.2) 12 [(l-'-vv2+4;2) 12+2<;;)
rде Fo значение тормозящей силы, полученное n предыдущР.й задаче.
11 *. Через неБОJJЬШУЮ нольцеjjуЮ натушну, оБJJадшощую при прохожден. и е ш
НИЧНОJ'О тона маrнитным .моментом М. пропуснают медленно изменшощиися T.OI{
1 cos шС. I\:атушна оКружена тонной сфР.ричееной оnолочной е радиусом а и удельным
еопротивлением <;;; центр оболочни лежит на оси натушни, 113 расстоянии t от центра
каТУШRИ. Поназать, что индуцируемыf> в обо.Почне ТОЮl тенут по онружностям, лежа
щим n плосностях, перпендинулярных оси Нат:ушн.и, и что плотность тоня ня онруж
воети, радИуе RОТОРОЙ пиден И3 центра пuд уrлом а, определяете я nыражеШlем
М 1 (4nt2a) 1 (2п + 1) (/ la)п р.А (eos а) СОБ Вп eos (ШС Вп),
rде
tg Вп== (2п+ 1) <;; .
I-'-v(JJа
12. Тонная сферичесная ппеНlШ радиуса а, обладающая удельным поверхностным
сопротинлением <;;, нращается с постоянной уrловой СRОрОСТЬЮ (JJ BORpyr оси, перпенди
нулярной однородному маrнитному полю В. ПОRазать, что ПрИ этом ВОЗНИRает TOpMO
ВЯЩИЙ момент, ранный
l3пВ2;ша 4 (9.<;;2 + l-'- а2(JJ2) I.
13. Поназать, что если н предыдущей аадяче сферу поместить н поле В cos шс, то
средняя рассеинаемая мощность в ней будет равна
3щВ2(JJ2 а 4 (9<;;2 + l-'- a2(2) I,
14. Пон.ааать, что поле внутри плеНRИ в предыдущей задаче определяется Bыpa
жением
3<;;
J'де tgE== .
p'1J(JJa
15. ТОНRостенный пилиндр ра.rтиуса а, обладающий удепьнь>м понерхностным co
противлением <;;, помещается в поле В cos шс, нормальное оси цилиндра. ПОИlшать, что
поле внутри цилиндра опредеJlНется выражением
2<;;B (4<;;2+ ш21-'- а2) Ч2 sin (ШС Е),
3B<;; (g;2+I-'- а2(JJ2) l{2 sin (ШС Е),
rде tgE==2<;;/(!-'1J(JJа).
16. Пон.азать, что если в предыдущей задаче цилиндр нращать BORpyr оеи с уrло.
вой сноростью (JJ Н однородном маrнитном поле В, перпеНДИНУJJЯРНОМ н оси нращения.
ТО при этом возниннет тормозящий момент, равный (на единицу ДJIИНЫ)
4пш<;;а 3 В2 (4;2+(JJ21-'- a2) 1.
17. Два параЛJJельных провода, по ноторым тенут противоположно напрапленные
тони, изменяющиеея по ЗaI{ОНУ 1 cos шс, имеют в цилиндричеСRОЙ системе ноординаты:
Ь, О и Ь, п (ось z напраНJJена вдоль проводон). Поназать, что нентор потенциал
в точке т, 6 вне тонной трубы радиуса р ==" а, оБJшдающей удельным понеРХНОСТНЫIll
сопротивлением ;, определяется выражением
со
2I-'-v<;;In 1 [4 (2п+ 1)2 <;;2+ 1-'- (JJ2а2J l{2 (p l Ь)2n+l со!' (2п+ 1)6 sin (ШС €п),
11=='0
41.0
rлава Х1
rtIo
tg Ел ==2 (2п + 1) (f1-v(J)а) "
а> Ь.
18. Толщина ТОННОЙ сплюснутой сфероидальной пленни С == СО изменяется тан"
что удельное поверхностное сопротинление МОЖНО считать равным == h2 0' В момент
нремени ,==О MrHoBeHHO устаНЯНЛlшается однородное маrнитное поле В. llараллельное
Оеи сфероида. Поназать, что плотность возникающих при этом вихревых тонов ранна
. BN(1+C )(1 e2)lJ2e N ot
z ==
'р 2(Е2+С )Ч2
rAe N ==,2 [(1+ф 3 12 QI (jCO)) l.
19. ДJJИНПЫЙ сплошпой цилиндр радиуеа а==(х 2 +у2)Ч2, обладающий мarнитной
нроницаемостью [L и уд('льным сопротивлением '1:, помещается в переменное маrнитное
поле Re {B'?'"t}, направленное DДОЛЬ оси :r. ПOI,азать, что пентор потенциалы Ai и Ао.
направленные НДОJJЬ оси Z. ннутри И снаружи Iшлиндра равны соотнстстненно
A i == Re {l:f 1 [(j р)Ч2 р ] e1"'t sin ер}, Ао ==Re {в (р + Dp l) ei"'t sin ер} .
rAe 10 (ир)Ч2 а] обозначено через 10 и 12 [(;р)1/ 2 а] через 12'
с== 4[LB и D== (f1- [Lv) IO ([L+[Lv) [2 а2.
ир)Ч2 ([L +[Lv) 10 (f1- f1-v) [2] ([L+f1-v) 10 ([L f1-v) 12
20. Показать, что ередпяя рассеинаемая мощность в случае, рассмотренном в пре
дыдущей задаче, определяется выражением
p 41t(J)[La 2 B2 (bero (рЧ2 а \ bei2 (//2a) beio (//2 а ) ber2 (рЧ2 а )l
([L + [Lv) ber o + ([L [Lv) ber2]" + H[L + [Lv) bei o + ([L [Lv) bet2]2 '
rде (ber2x+ jbei 2 x) написаны нмеето 12 иЧ2 х ), а арrументы фуНlщий в знаменателе
тание же, кю, в числпте..'Jе. ПOIшзать, что при малых р это выражение переходит
в следующее:
1
P==21t[L2(J)2a4B2I{[L+[Lv) 2.
21. Длинный сплошной цилиндр радиуса а, О ,ладающий маrнитной нро ицае
юстью f1- и проводимостью l' вращается BOHpyr сноеи оси с ностоянной уrловои СIЮ
ростью (J) В маrНИТНQМ поле В, пr-рпендинулярном к оси цилиндра. По азать. что
вследствие вихревых токов ноявляется тормознщий момент (на единицу длины)
81t[L",a 2 B2 [bero (рЧ2 а ) bei2 i//2a) beio (//2 а ) ber2 (//2 a )1
т
(([L + [Lv) ber u + ([L [Lv) ber2J" + [(fL+ [Lv) bei o + ([L [Lv) bei 2 ]2 '
.
rде P==If1-"', а арrумепты фупнций в знамепателе и чv.слителе одишшовы.
22. Петля радиуса а ноаRспадьна с ЦИЛИllдричrсной полоетью радиуеа Ь и BЫ
соты С . И пахОДИТСЯ от е!' дна на расетоянии d. ПОКЯ . зать, o если скин эффент нястолько
велин, что вектор В почти танrенциален н стеннам пттости, то самоипдунция нетли
уменьшается на величину
nL== { M JТl + 4п д2 [ 11 ( п:а ) у [ C11 ( п;Ь ) T1K] ( п;Ь ) sin 2 ( п:d ) } .
п oo п O
M Iп == 2[La { k 1 1 [ ( 1 ki) К 1 Е 1 ] (1 o ) k l [ ( 1 k 2 ) К Е ] } .
rде модуль k 1 ==а (a2+(пc d)2] lJ2 и модуль k==a (а2+п2с2) Ч2_
23. Пусть rлубипа СЮlН елоя н елучае, ра1:смотренном. в задаче 21, равна о, про
водимость ЦИЛИIJдра 1 и Tor, 1. ПOilЬЗУЯСЬ ныражеl1ием (11.24), 110казать, что еСJ!И k m
выбрано так, что J 1 (kmb) == О, то расееинаемая мощность рапна
00
р== 2пР 1 а 2 [ 11 (ппа/с) siп (п1td/c) ] 2+
10 t Ьс 4J 11 (ппЬ/с)
п l
)
00
а 2 (J I (kma)]2(sb2ktn(c d)+sh2(kтd)]
' +'"Ь 2 L.J ,'(J o (kmb) БЬ (k m C)J2
т 1
Заоачlt
411
24. Тош,ий диск радиуса а, обладающий удельным поверхностным сопротивл
вием , находится в области, rде до llомещения ДИСI,а существоваJJO однородное поле
ВО cos (J)t, щjрпендикулярное плоскоети диск.а. Найти вторичные ток.и исходя из BЫ
ражения для вектор потеllциала НОJJЯ перничных nихреных токов, наведепных полем
ВО сos (J)t. ПОсле зтоrо показать, что суммарная плотность вихревых токов ранна
ю о {psinrot+ 6: [(a p)(2p2+a2)K+(a+p)(2p2 a2)E] cos(J)t+ ...} ,
J'де модуль функций К и Е ранен 2(ap)1/2(a+p) I, а члены, содерЖащие «(J)[La/ )2, OT
брошсны. ПОI<азать, что на частоте 60?ц это выражение нрименимо для пластинки
толщиною О, t мм.
25. Пусть в предыдущей задаче частота нолебаний настолько ве.'1пна, что тол
щина снин сл,JЯ В MHoro меньше толщины дисна и вен тор В можно считать TaHreH
циаЛЫIЫМ н поверхности диска. ПOl,азать, что плотность вихревых тонов, внлючая обе
понерхности, на расстоянии Р от центра диска равна
пВр 2
1 / i
['-а (a2 р2) 2
i==
'1'
Это';i\ыражение для i<p является совершенно строrим при ИДеальной проводимости
диска.
26. Плотность вихревых токов в бесконечно длинной цилиндрической пленке
радиуеа а, обладающей удельным поверхностным сопротивлением и ТОЛЩИIlОЙ, MHoro
меньшей, чем толщина снив слоя, равна и)о при t==O И i<p при t=='I:. Показать, что
еСJIИ тон (irp)O можно запнеать в виде интеrрала Фурье, то
00 00
. r . r т ) r(J.all(ka)Kl(ka)] I 'I:
(Zrp)O == j \]f (Тс) СОБ Тс: dk, Zrp == j '" (Тс СОБ kze ' dk.
о о
27. Пусть в предыдущей задаче вектор потенi\Rал возбуждающеrо поля на поверх
насти пленки равен
00
(A )p a '== ф (Тс, а, t) СОБ kz dk.
о
Пользуясь ретенирм задачи 26 и результатами Э 15, ноказать, что вентор нотенцнал
поля внхревых токов равен
00 00
( А ) == ( \ ф ( Тс а t' '1: ) е [(J.all(ka)Kl(ka)] 1 !: cos kz dk d'l:.
'1' p a j J at ""
о о
28. Петля радиуса Ь, по которой I Иl.шУJJирует ток 1 eos (J)t, нош<сиаJJьна с очень
ДЛИНRОЙ цилиндричесной пленной Р == а, обладающей удельным иоверхностным еопро
тивпением и толщиной, MHoro меньшей толщины СКин еJlОЯ. Показатъ, что ютичие
вленки приводит н возрастанию СОПРОТИЕJJения и индунтинности петли на веJJИЧИНУ
00
I1R==2[Lb 2 (J) Бш 2 6 [R} (ТсЬ)]2 К} (Тса) [11 (ka)J } dk,
о
00
I1L == 2[Lb 2 sin 6 cos О [Rl (ТсЬ)]2 К} (Тса) [1} (ka)J 1 dk,
о
rДе ВI (ТсЬ) == 11 (ТсЬ), если Ь < а, R 1 (ТсЬ) == К 1 (ТсЬ), если Ь > а, и
tg 6 == с} (J)[La1 1 (ka) К 1 (Тса).
29. Исходя из задачи 40 rл. VII и используя результаты Э 5 rл. VII, поназатъ,
ЧТО внешняя саМОИНДУI,ЦИЯ тора, образованноrо вращением окружности радиу. а Ь
BOKpyr прямой, лежащей в одной ПЛОСI,ОСТИ С онружностью на расстоянии с метров от
412
Тла6а ХI
ее центра, при в.ыешшх частотах, коrда ПРОЯНJшется сильный скин зффект, paVHjl
00
( 1)'" Q n l/2 (ctg а)
('lI)n 1) Q 1J2 (ctg а)
L == 2ILc СОБ а СОБ [( 1 ; к 2 )к Е ] [ 1 2 h
rt;;;l
rде tg а == Ь/с, а модуль k фушщий К II Е опреде;lЯетея ныражением
К 2 2 а
==СОБа Бес :[.
30. Прополочная ПСТJrя радиуса а коаш:иальна С беекопечно длипным проводящим
цилиндром радиуса Ь и находится нне 3Toro цилиндра. По петле ЦИРI{улирует перс
менныЙ ток 1 такой НЫСОНОЙ чаетоты, что нознинающие n ЦИJJИндре вихррные токи
можно считать пuверхнОСТНЫМИ. Пользуяеь результатом задач 26 и 28 rл. VlI, пона
зать, что плотноеть нихrеных токов опреде;lНется ныражением
v 00
v аI \ К, (Ка)
'f' == 'Ьп J К 1 (к6) СОБ kz ак.
u
31. Пользуясь ныражением (8.25), поназать, что наличие цилипдра в предьшущей
задаче уменьшает саМОИНДУНl\ИЮ петли на величину
00
I Ll==2ILa2) 11 (кЬ) Kl (ka)dk==lL(a+b) [(1 K2)K E] ,
о
['де К и Е являются ПО,iПlЫМИ ЭШ1ИIlтичесни1.1И ИНТCI'ралами модуля k == 2 (аЬ )Ч2 (а+ b) l.
Показать, что потери па вихревые тшш нриводят п возрастанию СОПРОТИВJJения петли
на величину
00
R== 4а 2 \ [ к, (1са) J 2 dk,
"'(ОЬ Kl (кЬ)
О
rде "'( llрОВОДИМОСТЬ, а о толщина с}шн слоя для цилиндра.
Jl ИТЕРАтъ,'РА
В а t е m а J1 Н., E1ectrica1 аш] Optica1 ''''ауе Motion, Cambridge, 1905.
F r е n k е 1 J., Lehrbuch cler E1ektroclynaJ1Jik, Bd. 11, BerliH, 1928. (Ф Р е н}{ е ль Н. И.,
ЭлеНТРQдинамина, т. 11, М. Л., 1935.)
G е i g е r S е h е е 1, Handbuch der Physik, Вй. XV, Berlin, 1927.
J е а n s J. Н., ТЬе Mathematica1 Theory о! Electricity аш] MagneLism, Cambridge.
1925.
М а с D о па 1 d Н. М., Е1есtrОlllаgпеtisПl, ВеН, 1934.
М а х w е 11 J. С., Electricity and Magnetism, Oxford, 1881.
М о u 11 i Il Е. В., Princip1es о! Electromagnetism, Oxforcl, 1932.
О 11 е n d о r f Р., Die Grund1agen der Hochfrequenztechnik, Berlin, 1926,
R u s s е 11 А., Alternating Currents, Cambridge, 1914.
S с h е 1 k 11 по f f S. А., E1ectromagnetic Waves, Van Nostrand, 1943.
S t r а t t о п J. А., Elесtrоmаgпеtiс Theory, McGraw Hill, 1941. (См. перевод: С т р э T
Т О Н ДЖ. А., Теория электромаrнетизма, М. Л., 1947.)
r л а в а XII
МАrНЕТИ3М
1. Парамаrнетизм и диамаrнетизм. Для большинства веществ,
не считая неноторых особых ИСНJПочений, рассмотренных в 5, маrнитная
проницаемость очень нсзначительно зависит от напряженности поля, и ее
с достаточной етепеныо Точности можно считать поетоянной, нан это и при
нималось до еих пор. В отличие от диэ.пентричее1ЮЙ проницаемоети OTHO .
Сительная маrнитная проницаемость может быть НаН БOJlьше, тан и меньше
единицы.
Вещества е маrнитной проницаемостью больше единицы называютея
парамаrнитными, а е маrнитной проницаемоетыо меньше единицы диама
rнитными. Раеемотрим еилы, дейетвующие на тание тела при помеще
нии их в поле, создаваемое неноторым неподвижнь;м контуром, по ноторому
'сечет поетоянныii: тон. Из Соuтнuшений (8.9) и (8.16) или (8.38) яено, что
если при беСIюнечно MaJIOM емещении или вращении нонтура происходит
возрастание потона индунции через Hero, то, е.педоватрльно, еуществует
сила или момент, стремящиеся J3ызвать это движенпе. Пуеть в поле этurо
нонтура находятся наЮIe нибудь тела, смсщеиие или вращение ноторых
увеJlИчивает потон ИНДУНЦИИ енвозь нонтур. Тоrда, по третьему занону
Ньютона, должны еущеетвовать соотвстетвующие силы ИЛlr моменты, дей
ствующие на эти тела.
Из 30 rл. VII СJIeдует, что маrнитная ИНДУ1ЩИЯ (или плотноеть
нотона ИНДУН:ЦИИ) и проницаемость в маrнитных цепях находится мешду
еобой точно в таной же зависимости, нан ПЛОТНОсть тона и проводимость
в элентричееких цспях. Поэтому теоремы 3 и 4 12 r.п. VI можно еформу
"IИровать применительно п н МaI'НИТНЫМ цспам. ECJJII ПрОНIIцаемость 1ШIЮП)
нибудь элемента в маrнитном полс ТOlШ lюзрастает (или уменьшаетен),
то маrнитное СОПРОТIШJlение цеl1П тоше возрастает (или умсньшастся).
Но, нак мы видеJIИ, сущеетвуют еилы, способствующие вuзрастанию пот она
п, с.'reдовательно, уменьшению маrнитноrо СОПРОТИП.тюпин. Тан, в HeOДHO
родном поле тела, f)олее параМal'НИТНЫС ИJIИ менее диамаrнитные, чем
онружающая их среда, имсют тепденцпю перемсщаться в напра1JЛСНИИ
'{ У'щетнам е большей напрюнентIOСТЬЮ поля. При IIомещении пара И.ПИ
диамаrнитноrо TeJIa УДJIIшенноii формы в однородное поле RО3НIшает момент,
стремнщийея попернуть ось тсла по ПОJПО. ЭТО мошно вил:сть 11 случас
сфероида, paceMoTpeHHoro в задачс 84 н rл. V, замрНIШ там Е на !L, Е"
на tL" и Е на Н П.НИ па В/}1. Формула для НраЩRЮЩCI'О момента содсршит
разность Н 1 Н 2' нуда входит множпте.ПЬ (!L !L,,)2, и знан ero О1шзываетея
одним и тем же как при !L > !L v ' тю, и при !L < !L,,,
В н:вантовой мехаНIIне даетея теорстичеСI\ое обоеновани:е уетановлен
: НOl'О на опыте фанта незавиеимоети маrНIIТНОЙ ПРОНIщаемоети диамаrнитных
веществ от температуры. Для елабо парамаrнIТТНЫХ вещсств проницаемость
, в большинстве случаев таюне не завпеит от температуры. У еи.ПЬНЫХ пара
'маrнеТИRОВ, но не ферромаrнетинов, и;зменение проницаСМоети е темпера
414
r дава ХН
турой оБЬNНО происходит по занону
[I.vO
[J.==[J.V+ T+tJ '
(12.1 )
rде С и О постоянные, а Т абсолютная температура. Это эмпиричесное
соотношение носит название за нона Нюри. Ero обоснование приводится
в нвантовой механине. Для rазов величина О обычно равна нулю.
2. МаrНИТllая восприимчивость. Часто бывает удобно пользоваться
еще одной величиной, а именно маrнитной восприимчивостью, определяемой
для изотропной среды (через уже рассмотренные в 21 и 29 rл. VH
величины) по формуле
')(H==M==B ( ) .
lLv f'-
(12.2)
Восприимчивость и проницаемость связаны между собой соотношением
')t == [J.;1 (р. [J.,o) == Кт 1.( 12.;3)
Парамаrнитное тело при помещении в МaI'нитное поле уменьшает эперrию
последнеrо, а диамаrнитное увеличивает. Соrласно соотношениям (8.12)
и (8.11), это изменение энерrии опреде.лнетсн в виде
t.w == [I."Н2 ..!E... ,== ([I,v fL) Н2 == fLv Н 2
2 2f'- 2 2')('
( 12.4)
. Заметим, что для парамаrнитных тел величина
диамаrнитных отрицательна. д.ля маrнитной
, Нюри можно записать в более простой форме:
О
')(== т+ь а
3. МаrllИТllые свойства Rристаллов. Мноrие вещества, особеНIЮ
нристаллы, обладают неодинановыми маrнитными свойствами в различных
направлениях. Используя неноторые материа.лы, тание, например, нан
rрафит, можно даже изrотовить nещество, ЯВ.ляющееся в одном направлении
диамаrнетином, а в друrом парамаrнетином. Обнаружено, однано, что
в таних случаях для ;Iюбой заданной ориентации маrнитная индунция В
пропорциона:rьна напряженности поля Н и составляет с ней постоянный
уrол а. Подобное же соотношение существует в нристалле и между BeH
торами D и Е. Поэтому для венторов маrнитноrо поля, нан и в 20 rл. 1,
можно написать систему уравнений вида (1.52) и (1.53), а именно считать,
что номпоненты В и Н связаны между собой следующим образом: '
В:;:== [J.l1HX+[J.21Hy + [J.31Hz,
Ву == [J.12Hx+ [J.22 H y + [J.32 H х' (12.6)
ВХ == [J.lЗ Н х + [J.2З Н у + [J.33 H z,
')( положительна, а для
восприимчивости 3НlЮII
( 12.5)
rде
P-12 == [J.21' [J.13 == [J.31' [J.23 == [J.32' (12.7)
И:тан, Rомпоненты В и Н свянаны между собой тремя уравнениями, coдep
жащими девять ноэффициентов, шесть из ноторых различны. Проницаемость
теперь является уже не числом, а симметричным тензором. При COOTBeT
ствующей ориентации осей уравнения (12.6) можно записать в форме,
аналоrичной (1.58),
ВХ == p-IН:с'
By==[J.2Hy,
ВХ == Р-3Нх.
(12. )
м аеиетив,м,
415
Если имеют место соотношения (12.8), то считают, что ИОординатные оси
направлены вдоль маrнитных осей иристалла.
Используя формулу (12.2), можно написать соответствующие уравнения,
,связывающие М и Н,
MX'=='XIHx, МУ==Х2НУ' Лl z ==,х з Н ZI (12.9)
rде [J.v X l == [J.l [J.t' и т. д. При вращении Иоординатных осей получается aHa
лоrичная (12.6) система уравнений для М и Н, содержащая тензор MarHrfТ
ной ВОСПрИJUМчивости.
4. Rристаллический шар в ОДНОрОДном маrнитном поле. В иаче
стве примера использования формул последнеrо параrрафа найдем момент,
действующий на иристаЛJIИчесиий. шар,
помещенный в однородное маrнитное
поле с индуицией В. Пусть yroJl: между
В и осью х равен а И [J.2 =-= [J.з. rраничные
условия, очевидно, будут удовлетворены
суперпозицией двух подей: поля с ин
дуицией В cos а, направленноrо по оси х
и действующеrо на изотропный шар с
проницаемостью [J.l' и подя С индунцией
13 sin а, направленноrо по оси ?I П дей
ствующеrо на изотропный шар с ПРОНIIцае
MocTыo [J.2'
Ес.пи взять поле В в сечении ху
(см. фиr. 114), то из 7 rл. ХI и из
Соотношения (7.49) видно, что вне шара поле в точности равно суперпози
ции первоначат>ноrо поля, поля маrнитноrо диполя с моментом т х , Ha
правленным по оси х, и поля диполя с моментом ту, направленным по
оси У, rде
["1 f'v 4па 3 В COS а
т==
х ["1 + 2!'-" [J.v
у
8sLПU
в
.r;
Фие. 114.
["2 f'v 4па 3 В sin а
и т ==
у [J.2 + 2[J.v [J.v
Суммарное поле этих диполей ЭIшивалентно полю одноrо диполя, момент
HOToporo т образует уrол с .осью х, т. е.
tg == ту == (/'2 /'v) (f'1 + 2['.,,) tg а, (12.1 О)
т х (f'I f',,) ([J.2+2f'-v)
m .== (т; + lli /12 ==
4пВа 3 [(["1 f',,)2 (["2 +2!,-,,)2 (1 sin а) + (["2 ['.,,)2 ([J.l + 2r>.,,)2 sin aJ1f2
f'-tJ ([J.l [J.,,) (["2 + 2[J.v)
(12.11)
Vrол между моментом m и полем Можно найти из выражения
Двайт, 405.02)
L ( a) 3(fL2 ["I)tga
g ([J.l f'-tJ)([J.2+2f'-v)+(["2 f'-v)([J.l+2['.v)tg2а,
Тоrда из 19 rл. VII дЛЯ момента имеем
т == тВ sin ( a).
(см.
(12.12)
(12.13)
Этот момент стремится повернуть сферу таи, чтобы ось [J.l при 1-'-1> [J.2 бы.па
направлена по полю, а при [J.l<[J.2 перпендииулярно и нему"
1М' 5. Ферромаrнетизм. Существует очень важная rрynпа материалов,
у ноторых маrнитная проницаемость изменяется при Изменении намаrни
чивающеrо поля, зависит от предыдущих состояний образца и HaMHoro
416
rлавn ХIl
превышает проницаемость обычных веществ. Тание материалы называются
ферромаrнетинами. l\ ним относятся железо, н:обальт, нинель, сплав rей
слера и, при низних температурах, неноторые метаJIЛЫ редних земель.
Построим из ферромаrнеТ1ша простую маrнитную цепь, подобную тору,
рассмотренному в 30 rл. VH, дЛЯ HOToporo намаrничивающая сила (или
маrнитодвижущая сила на 1 м) леrнО вычисляется. Если исходить из нуле
пых значений В и Н, то В при возрастании Н танже растет, но ноэффициент
пропорциональности между ними, являющийся Мal'НИТНОЙ проницаемостью,
сначала растет, а потом уменъшает.ся. На фиr. 115 приведены типичные
для ферромаrнитноrо материала нривые зависимости В и р. от Н.
в
или
р
в
н
Фие. 115.
При измерении намаrниченности достаточно чувствительным прибором
можно обнаружить, что нрутой участон нривой намаrничивания для боль
шинства ферромаrнетинов имеет ступенчатую струнтуру. Это явление назы
вается эффентом Баркrаузена. Оно свидетельствует о том, ЧТО большая
область, внлючающая в себя множество одинаново ориентированных aTO
марных маrнитов, изменяет свое направление нан нечто целое. Опыты с фер
ромаrнитными мононристаJlлаМl1 поназали. что наиболее леrно памаrпи
чивание происходит в неноторых определенных направ.пенних.
Поскольну большинство ферромаrнетиков, с ноторыми прихuдится
иметь дедо, являются ПО.пикристаллами, то можно считать, что основная
часть намаrниченности обусловлена ориентацней маrнитных областей
в направлении, бли.шо совпадающем с направлением намаrничиваЮIЦеrо
по.пя. I{оrда все облаСТIl онажутся ориентированными тarшм образом,
эффент Барнrаузена пренращается и дальнейшее увеличение намаrничи
вающеrо поля приводит лишь Н постепенному повороту вентора наМal'НИ
ченности I-ШЖДОЙ из об.пастей вп.поть 1(0 полноrо совпадения с направлсннем
НОJIЯ. Об этом свидете.пьствует отсутствие сначнов на полоrой части Кр1IПОЙ,
I'де на:vrаrНl1ченность б.ПIlзна н насыщению. Теоретическое объяснение этоrо
llроцесса основано на своЙствах ЭJIeI\ТIЮННОЙ оf)олочни атома жеJюза.
При расчетах маrнитных по.пеЙ, ИI-IДУНТJlвностей, маrнитодвижущих
сил, Вlпсревых тонов и тому подобных ве.пИЧI1Н до сих пор предполаrалось,
что маrнитная проницаемость вещества не зависит от напряженпости поля.
Из приводпмых здесь нривых ВlЦHO, что для ферромаrНIIТНЫХ материаJIOВ
при БОJIЬШИХ изменениях намаrНИЧlfватощеrо ПО.Ш1 это предпо.пожение ста-
НОВJlТСЯ несправедливым. В тюшх случаях можно взять среднее значение р.
JI рассматрu.паемой об.пасти ИЗl\юнеш1Н 11. Ны. правило, точность, с KOTO
роЙ определены при вые намаrНИЧI1JШНИН отдеJIЬНЫХ образцоп, иеnелина.
Однано ес.ПИ мы имеем дело с uчень однородным J1 тщатеJIЬНО отожженным
ферромапштным материа.пом, то можно определить из ero привой HaMar
чивания величину [J., rодную ДlIН различных областей. Эти сведения
lИ аеnетивм
417
МОжно использовать для БOJюе cTpororo анаЛИтичесноrо решения различных
задач тольно в с.пучае простой rеометрии системы.
6. rистерезис. Пuстолнный маrНf>ТИЗМ. Предположим, что после
Toro, нан поле Н ДОСТИr.ЛО знаЧ\:JНИЯ Нр а индунция В при этом, нан это
описано в 5, возросла до значения Bl' мы уменьшим величину R до Hl'
Тоrда онажется, что Индунция В не будет следоnать по прежней нривой,
lIОRазанной на фиr. 115, а будет изменяться менее быстро, вдоль верхней
H,
в
в
Н п
>,
'п
f
ВТ)
150
Н
B,
а
б
Фие. 116.
нривой фиr. 116, а, и доrтиrпет, п.ля нормальноrо образца, при Н== Hl
значения Bl' Если снова увеличивать по.пе Н дО +H 1 , то индунция В
начнет с.ледовать по нижней ветви нрпвой фиr. 116, а, пона не нересечется
с первоначальной RРИВОй в исходной точне Bl' Hl' Это отставание индунции
называется rистерезисом, а замннутая нривая на фИI'. 116, а петлей rисте
резиса.
.нсно, что, исходя из различных точен нривой намаrничивания, путем
постепенноrо изменения Н от +Hl до Hl И обратно, для данноrо образца
можно получить различные петли rистерезиса, но при MHoroHpaTHoM повто
рении одной и той же операции будет по.тrучаться одна и та же пет.пя rисте
резиса.
Нривые rистерезиса различных ферромаrнитных материа.пов MorYT
различаться очень сильно. Для «мяи,их}) маrнитных образцов ПЛощадь,
охватываемая пет.пей, очень мала (внутренняя нривая на фИI'. 116, 6), в то
время нан Д.ля «тнердых}) маrнитных материалов она очень ве.пrша (см. нри
вую п). В последнем случае при H O имеется бо.льшая остаточная индун
ция Вт, д.пя уничтожения ноторой требуется ПРИЛожить н образцу обратное
поле Не, называемое НОЭрцитивной силой. Здесь мы в первый раз BCTpe
чаемся с наЛичием маrнитных полей при наЖущемся отсутствии э.пеRТРИ
чесних тонов. Маrнитные явления были первоначально оп,рыты па таRИХ
(<постоянных» маrнитах, и на Основе опытов с ними разви.пась вся теория
маrнетизма.
7. Прирuда постолнноrо маrнетизма. До сих пор мы рассматрива.пи
энерrию MarHIJTHOrO пОля нан чисто нинеТllчесную. связывая ее с движе
нием элентричесних зарядов. Посно.льну маrНIIТНЫf? по.пя, создаваемые
ПОСТОЯННЫМII маrнптами, во всех отношениях сходны с по.лями, создаваемыми
27 В. Смайт
418
r лава ХН
тонами, eCTeCTBeH O предположить, что они имеют то же происхождение. При
роду постоянноrо маrнетизма можно раснрыть из анализа ряда явлений,
известных под названием rиромаrнитных эффентов. Поснольну элен
тричесние заряды не поступают извне внутрь постоянноrо маrнита и не
выходят из Hero наружу, движение элентричества внутри маrнита должно
быть цирнулярным, И это вращение должно ПРОПt;ХОДИТЬ оно.по ot;eil, ориен
тированных в среднем оно.по одноrо определенноrо направления, создавая
опреде.пенное внешнее поле. Если, 1\81> это упоминаJlOСЬ в 5 r.п. 1, носи
тели элентричества обладают механпчеСНОI1 инерцией, то при вращении
rю заМ1>НУТЫМ траенториям OНlI обладают вращательным моментом И, слс
J(овательно, подвержены деilСТВИЮ rироснопичесних си.п. ЭТИ СIJJIЫ были
предсназаны еще Мансвеллом, но технина Toro времеНII бы.па СJН1Шi>01\l
несоверrпенна дЛЯ [IX обнаружения. ]3 свяаи с этим можно он{идать двух
эффентов. ПеРВЫII намаПIИЧJJвание при вращеНlIll. ]3 механине хоршпо
известен фант, что \:JСЛИ ПОДВ\:JС I'ИIюенопа uращать тан:ии образом, что ero
ось а может rювораЧ1шаться ТОЛЫ\о n 1I.JIOCHOCTIf, проходящей через ату
ось и ось вращения системы Ь, то а стремится расположиться параллельно Ь.
Таким образом, если ненамаrниченное те.ПО об.падает вращаЮЩlJМИСЯ
Э;;Iен:тричесними ззрядами с - произво.пьно ориентированными осями, то
пращение этоrо тела ВЪШ0вет ориентировку этих осей по оси вращения
и тело намаrН[IТИТСЯ. 3ти явления 13 ферромаrпитных материалах ()ы.пн
обнаружены и измерены Барнетом. ]3торой эффент заюпочается- 13 появле
нин вращеIJИЯ при намаrничивании. Иа за1{ОlШ сохранения юмента Bpa
щения следует, что если пеРВОН<Iчально произволыJo ориентированные осп
располаrаlOТСЯ затем ВДОJТЬ маrнитноrо поля, то, чтобы результирующиЙ
момент был равен НУ.тпо, тело Е це.лом доткно повернуться в ТlрОТИВОПО
ложно;\! направлении. Этот эффент был впервые измерен ЭйнштеЙнш(
и Де I аааО I, а потом уже, с большей точностыо, J(руrИМII ан:сперимента
торами. Оба зффента понааывают, что в ферромаrнитных те.пах происхо;п-тт
пращенпе отрицате,nьных элентричесних зарядов, причем средний маrнитныii .
момент оказывается несно.пьно большим по велпчпне, чем чисто спиновоii
маrнитныIr момент. Считают, что этот иабытон оояаан «орбитальному» BjJ<I
щению элентрона. Таним образом, маrнитпые НOJIЯ постоянных МЮ'Н1IТОВ
не ОТ.пичаются от уже изученных памп подей.
9 8. Равномерно(' намаrпичивarше. ЭlшиваЛСllТIlЫП поверхностныЙ ток.
]3 постоянных маrнитах намаrниченноеть М, по определению, не зависит
от приложенноrо поля. Ее можно опреце.шпь (см. S 21 rл. VH) нан: MaT'
НIIТIJЫЙ момент нруrовых постоянных тонов (или спинов), отнесенный н еди
ПJще объема. Соrласно соотношениям (7.104) и (7 .107), вerпор потенцнаJ
пOJШ, создаваемоrо заданной намаrничснностыо М, выражается в внде
А == \ м х r dv == \ v хМ dv + . 1' \' М х n dS,
1\1 41t) ,,3 41t) r Ш., r
v v S
(12.14)
r;J,c оnъемные пнтеrра.пы берутся по всему объему маrнита, а иоверхност
ныc1юю ero поверхности.
Мы будем называть об.пасть равномерно памаl'IlИчеНIIОЙ, если 13СIOду
внутри нее намаrниченность :м постоннна по не.личине и направ.пению.
Для такой об.пасти второй объемный ИНТCI'рал в выражении (12.4) ра13ен
пулю. Рассмотрим остаЮ1ЦИЙСЯ интеrрал по поверхности. Предиоложим,
что М нанравлёно по оси :/:', т. е. М==- iJ/f. Пусть 6 уrол между i и п,
а дБ и dS 1 ортоrопа.пьные венторы, лежащие на ПО13ерхности маrиита
(дБ HopMa.ТJЬHO н i и п). Тоrда
М Х n dS == Лf sil1:0 dS 1 (Is == iIl d;"t дБ,
м аенетиа,м,
419
таl\ что
А 0== \ ( м dx дБ.
41t ) r
(12.15)
По форме это выражение совпадает с выражением (7.1О), поэтому
маrнит п це.ЛОМ можно замеяить пленноЙ, ноторая совпадает с поверхностью
маrнита и тони ПО ноторой тенут в плосностях, нормальных напраВ:JенIПО
намаrНИЧ1шания х. Плотность тона не завИСИТ от х 11 равна интенсивности
намаrниченности Л1. При рассмотрении систем, содержащих постоянные
маrниты, очень удобно вводить таную п;;rенн:у, называемую Э1шиваJIeНТIш.ii
пленноЙ тона.
s 9. Намаrниченный шар и цилиндр. МаrНИТJIые ПОJIIОСЫ. ДЛЯ
однородно намаrниченнOl'О шара тон, тенущий по энвива.леНТIIОЙ иленне
между е 11 e dO (см. фпr. 117), равен
i dO == i1l dx 0== М а sin 6 dO,
х
rде l уr.лован плотность тона. ТOl'да фуНl;:
цИЯ ПОТOI\а выращается н ви е
в
W == i d6 == М а (сов е 1) ==
о
0== Л/а [Рl (и) Po (и)],
(12.16)
rде и == сш; 6. По форме это выражение cuB .
падает с выраженнем (7.60). Поэтому, пола
rая в соотношениях (7.64) и (7.62) п -.;= О и п 0== 1,
циал во внешнем пространстве:
А fLvl1l аЗ . (i
о,!,== sш[j.
Фие. 117.
мы найдем вентор потен
(12.17)
Из сравнения с выражением (7.48) видно, что ЭТО поле сопrraдает с ПШШМ
маленыюй пеТJIИ с ТOIюм, маrнитныи момент hОТОрОЙ равен
41t1J,1 аЗ
т== .
(12.1t;)
в 1 rJI. VII было поназано, что маrнитное ПОJ1е на ненотором раССТОЯИ1JII
от таной петли совпадает с элеНТJЛIчесним полем ЭJler;:тричеснOl'О ДlIИОJlЯ,
имеIOщеru тот же самыij момент.
Д.ЛЯ праВИJIЬНOl'О [{руr.лоrо цилиндра, иама1'lшчеП1юrо вдоль оси, Э1ШJ[
валентная ПJI('нна тона предстаВJПleТ собой СОJIенопд с пулевым шю'ом
намотни, у ROToporo тон на единицу д;;rины равен Л1. МЮ'Нl1тная ИНДУIЩИН
в любой точн:е Р на оси TaHoro соленоида, COrJ1aCHO 16 rJ1. VП, Bыpa
жаеrся форму.пой
I
В х 0== 2 !Lv J1l х (cos 2 cos 1)'
(12.1 )
rде 1 И 2 УrJ1Ы, образованные с осью JПlНИЯМИ, соединяющими Р с H(}H
цами цилиндра. ЕСJ1И радиу!/ цилиндра а мал по сравненпю с 01'0 ДЛIшоii l,
то в точнах, уда.пенных от нонцоп,
( 1 ) [ ( 1 '., 2 2 ] 1/2
cos ы 0== х::l: 2l х ::1:: 2l ) + а .
. 1
х::l:: 2 1 и разложив в рид
БOJше ПЫСОЮ1Х порядн:ов. Tor,1a
27*
РаздешlВ ЧИСJIИтель и знаменатель на
(Двайт, 9.03), пренебрежем ч;:юнами а 4 , а 6 J[
420
Fлава XII
после подстановни в формулу (12.19) -получим выражение
В == fJ.v a2 J1,l f'.v а2Л1
х ( 1 ) 2 ( 1 ) 2'
4 x+ l 4,-.c 1
ана:Ю1'ичное выражению для вентора 'э;:юнтричесн:оЙ индунции на оси х,
1 Z 2' 1 1 Z
если в точне х =="2 имеется заряд ql == {1v7ta 11' и в точне х == 2 заряд
q2 == {1v7ta211I. Тю" естественно, в опытах с ма1'НИТНОЙ Иl'.ЛОЙ ВОЗНИlша
1'ипотеза о ма1'НИТНЫХ зарядах или полюсах. ОБJШСТЬ, из RОТОрОЙ выходят
МЮ'НlIтные силовые JIИНИИ, называется северным полюсом, а область, в Н:OTO
рую ОНИ входят, южным полюсом. Нан мы уже видели, в действите.ЛЬ
ности ма1'нитные заряды существовать не MorYT, тан нан дипер1'енция
ма1'НИТНОЙ ИНДУ1ЩИИ всюду равна НУJПО.
(12.20)
10. Условия на 1'ранице с постоЛlШЫМ ма1'НИТОМ. Нан видно
из названия, преДIЮJШ1'ается, что поля, в ноторые помещается «постоянный»
ма1'НИТ, не ВЛИЯIот на JIIIтенсивность e1'o нама1'ничивания 1). Это означает,
что если заменить ма1'НИТ энвивалентной ему П.ленной тона, то область
внутри нее будет иметь ма1'НИТНУЮ проницаемость {1v' При помещении
ма1'нита в область с ма1'НИТНОЙ проницаемостыо {1, ['де суще<;твует внешнее
ма1'нитное поле, последнее иснажае"'ся на повеРХIIОСТИ Ma1'HIITa тан, чтобы
удовлетворить rраничным условиям на 1'раНJще двух сред с раз.ЛИЧНЫМИ
ма1'НIIТНЫМИ проницаемостями f.1v и {1. Эти l'рaIшчные уСJЮВИЯ были полу
чены в 22, 23, 29 rл. VII.
э 11. Сферическим постоянны" ма1'НИТ в однородном поле. Вычислим,
ДJIЯ примера, враЩ8rощий. момент, деЙСТПУIОЩИЙ на равномерно намаI'НИ
ченный шар, помещенный в среду с ма1'НИТНОЙ проницаемостыо {1, ма1'нитная
индунция в RОТОрОЙ до внесения шара была всюду однородна. Пусть а У1'ол
между М и В. Очевидно, что момент, действующий на {шенну тона в поле,
создаваемом этим тоном, равен НУJПО, и поэтому достаточно ВЫЧИСЛП1Ъ
индунциIO, обусловленную наЛИЧIlем внешне1'О поля. Вентор потеНЦlШJI,
оиисывающий поле В, в сферичеСЮ1Х н:оординатах равен
AI'== Brsin О.
z
(12.21)
Выражение (7.48) ДJ1Я веНТОР IIотенциала содержит подобную зависимость
от 6, но стремится н нулю на беснонечности. Поэтому JЮ1'ИЧНО выбрать
добавочный член, обязанный присутствию шара с проницаемостью {1" именно
в ТaJЮЙ форме. Итан, вне шара имеем
Аор == (r + 2 ) sin 6.
(12.22)
1) Определение поетопнноrо маrнита, данное автором. пе с()впадает с общепrJJШЯ
тьш. О(iычно (ем., например, нниrу П. Е. Тамма "ОC-lювы теории элентричествз»)
1{ постоянпым маrнитам относит более широкий 1{ласе еред, намаrничеНlJоеть которых
снладывается из постоянной, сторонней (не зависящей от внешнеrо поля) намаrничен
ности Мо И ИПДУIlиропапной намаrничепноети, линейно зависящей от напряжепности
впешнеrо поля Лl п == fJ. [J.v Н. При замене ПОСТОЯННОЙ намаrниченности Лl 0 ЭI\вива.тrент
t'.v .
НОЙ пленной ТOIШ ереду внутри нее следует считать ОТ.IlJIЧН()Й от вануума. Если же
ВНС('ТИ плшщу т()ка, э]{вивалентпую суммарной намапшчснности, то сила и раенреJ(рле
пие TOI{a 13 плеш{е OJ{ажутся зависящими от внешпеrо полн. ПреД.Jfаrаемый аl3ТОром
метод соответствует, следовательн(), е.тrучаю, ноrда индуцироваННОI1 памаrничепностыо
можно пренебречь но е авнению с поетоннпой. При.м. l1ерее.
м аенетиа.м
421
Поснольну A i должно быть нонечным n пачале ноординат и иметь ту же
самую зависимость от е, .1'0
Ai'l' == Dr 8in (). (12.23)
Чтобы определить С и п, испо.пьзуем rраничные условия (7.118) и (7.119)
при r == а. Это дает уравнения
( 1 ) /'-п В ( + С ) D
2 2аЗ /,-" И ;[ а 02 == а.
Решая относительно С и подставляя в выражсние (12.22), ПОJJУЧИМ
А 1 В ( 2 /,- fJ." аз ) . f)
0'1' == ? r 2 + 2 8111.
[1/,-"r
(12.24)
(12.25)
При r == а ЭТО выражение по форме совпадает с выражением (12.21), и,
соr.пасно (12.23), оно представляет однородное поле в направлении В.
Момент, деЙствующим на нолы евоЙ элемент тона, JIeжащий между 61
и 61 + de 1 (rJIe 61 ПОJ.ярный уrол, отсчитываемыЙ от оси намаrничивания),
равен произведению силы тона в RОЛьце, ПJющади Rольца, маrнитноЙ индун
ции и 8in а:
dT 2' Q 6 В[1 ,) /,- fJ." ] . de .
=. -;са 8111" 1 .:. 2 l 1 8Н1 а.
/'- + /,-"
Подставляя из 9 выраженис для i d6 1 И интеrрируя (ДваЙт, 854), найдем
1t
Т 31t/Lva 3 М В sin а \ ' 3 е d6 41tfJ."a 3 М В sin а
2 8Ш 1 1 2 .
[1+/'-" . /,-+fJ.v
О
(12.26)
Можно бы.по бы вы'исJIитьь силу И момент, деЙствующие на шар при
помещении e1'o в неоднородное поле. В этом случае выражение дЛЯ СИ 1Ы
состоя.ПО бы ИЗ двух членов: один относился бы к силе, действующей на
шар с проницаемостью [J.l" а друrоЙ J{ силе, действующеЙ на поверхностный
ток, проходящиЙ по сфере. Эти силы можно вычислить, используя резуль
таты 19 rл. VH и соотношенис (11.69).
э 12а. Подъемная сила ПОДIшвообразноrо MarHIlT8. д.пя подъема фер
ромаrнитных прсдметов часто применяют постоянный маrнит в форме под
ковы. При рассмотрспии 01'0 для простоты IlреДПОJIО
жим, что (ШОrIl» удадены и ()(;талось тольно полу
кольцо, поназанное на фиr. 118. При паличии (ШOl'»
можно было бы использовать приб.пиженный Me
1'0)1, IШН и В 23 rл. VI. Предположим, что это
IIОЗУНОJIЬЦО бы.по намаrничено путсм СОIIРИIюснове
ния с друrим таним же ПОJlУIЮЛЬЦОМ, ДОПОJIНЯЮ
щим ero до ПОJIНоrо Но.пьца; последнее было обмотано
ПрОВОJJOIЮЙ, по RОТОрОЙ пропуснался элентриче
СI(ИЙ тон. В первом приближении намаrниченность
М будет зависеть от r расс.тояния до центра ноль
ца, тю, же, нан зависела маrнитоДвижущая сила
[см. выражение (7.163)]
111 == с . (12.27) Фие. 118.
"
Чтобы найти энвивалентныЙ поверхностныЙ тон, возьмем тонн ий слой тол
щиной dr и радиусом r, в НО тором намаrничсвность Л! можно считать постоян
ной. TorJIa если i упювая плотность тона, то для ТOI,а, тенущеrо между
422
r лава ХН
о и О dO (нан и Б ..9), найдем
i d6 == М dx == ( ) r d6 == С dO.
(12.28)
При СJIOжении 1Юllерхноетных тонов смежные СJIOИ уничтожаются и полу
чается постоянная уrлопая плотность тона С по любому сечению НО.пьца.
Теперь предположим, что наш маrнит приложен н брусну с беснонечно
большой проницаемосты,' причем нонтант между ними идеаJIЬНЫЙ. Внутри
поверхности Эl\вива.пентной Ш1енни тона линпи маrнитнлй ИНДУНЦИИ будут
lIOЛУОНРУЖНОСТЯМИ, тан нан, I OI'ласно соотношению (7.114), они нормально
ЛХО;]J!Т Б брусон и нормально БЫХОДЯТ из Hero. Маrнитодвишущая СИJIa
в цени, в соответстВJШ с соотношением (7.150), равна
'It
9 == С d6 == тсС.
о
МаПIитное сопротивление слоя dr, нан и Б 30 rл. VII, будет опреде
ляться по формуле
(12.29)
aR == Длина
['-"Х IIЛОIПадь
те"
['-,,а d,< ,
1ЮТО IУ что проницаемость внутри энвивалеНТIIоi:i: плюши ТOI.а равна [J.",
Потон ИНДУ1ЩИИ В втом слое равен
ва Q [""С а
а r == dR == r а r.
А дая натяжения Б поперечном сечении с:юя, соrлаrпо выражению (8.60),
IlОДУЧИМ
dT аВ2 d ['."аС2 d
== 2 "== 2 2 r.
v r
Сила притяжения брусна наждым нонтантом равна
с
т == f'-1,аС2 \ == ['." аС 2 (c b)
2 J ,.2 2Ьс'
ь
(12.30)
Верхний предел ;:J,.!IН С можно rрубо оценить по нривой намаrНI1чен
HOeТlI стали. Еели обшее число витков в наТУШIШ при первоначальном
намаПIичивании было равно п, а тон в ней i m , то маrНИТОДВИЖУlцая сила
на 1 J\t была равна, СJtедовательно, пim/(тcr) ампеРВИТНОБ на метр (см. 7.150).
ПреДIЮЛОЖИМ, что исследуемому образцу соответствует широная петля
на фпr. 116, б и что Н D == пirn/(тr:b). Тоrда для всех величин r, б6.пьших Ь,
на:l1аrппчивающая сила онажется меньше, чем Н D, П петли ПIстерезиса
будут JIежать IЗиутри уназанной привой. Пусть отношение Вт н B D (обо
значим ero через Р) одинаНОБО для всех этих петель и отношение B D н Н D
(обозначим ero через. ') танже постоянно. Тоrда из выражения (12.27)
имеем
lJ! == == Вт == пi m ['-' Р
,. ['-. ['."тс,'
т аУ. что
С пiт['-'P
тах .
['-"те
(12.31)
Нто ЯБляется верхней rраницеЙ дЛЯ С, если не принима'fЪ Б расчет Mexa
lIичесние толчни, Б.пияние тепловой обработни, «мю'носты) стали, снижа
м аеиетиам
423
.J
ющие С, особенно после разделения нольца на два мю'нита. ОшиБI{а, COBep
шаемая при предположении, что f1 == СО, не является серьезной, так нан
для большинства мяrних образцов f1/f1v> 500.
126. Поле цилиндрическоrо маrнита. Для создания сильных маrнит
ных полей на маленьних участках постоянные маrниты часто выполняют
в виде колец с маJJЫМ зазором. Эти нолъца намю'ничивюотся, [\аН описано
в предыдущем парю'рафе, путем равномерноЙ обмотки их прuводом И про
ПУС1\анием по нему тона. Чтобы упроrтить расчет поля в этом случае,
предположим, что КОJIЬЦО является сто.ЛЬ
ширOlШМ вдоль оси, чrо ero можно счи
тать длинным цилиндром с внешним и
внутренним радиусами а и Ь (см. фllr. 119).
До создания зазора цилиндр намаrничи
вается тоном, тенущим параллельно оси
ЦИ:Iиндра по обмотне, равномерно HaMO
таrrной вдоль ero стеиш,- I{ан было ш1нс
нено в предыдущем параrрафе, результи
рующая намаrниченность 111 OIшзьшается
обратно пропорциональной расстоянию r о
Посл намаrничивания вырезается зазор
I радиальными стеннами, не нарушающий
намаrниченность М, а именно удаляется
часть метаJlла и остается толы1ю уча
CTOR, лежащий между а == + а и а === а.
Если Ь достаточно мало п() сравнению с длиноi1 цилиндра, задача вдали
от нраев становится двухмерной. n этом случае линии маrнитной индунции
совпадают, кан доназано в 26 rл. VH, с линиями постояшюrо BeHTOp
потенциала, и их можно очень просто найти при помощи метода нруrовых
rармонин, paCCMOTpeHIIoro в 2, 3, 4 rл. IV и' 18 rл. VH.
I{ан п()на:шно в предыдущем параrрафе, ЭRвивалентныi[ поверхностныЙ
слоЙ состоит из той части первоначальной намаrничивающей обмотни, HOTO
рая охватывает неудаленные части нольца и тон в ноторой между а и
а + da равен 1 da. ПОСIЮЛЫЧ все элементы обмuтни параллельны оси и OTдa
ленные торцы цилиндра не влияют на величину вентор потснциала А,
то последниЙ тю,жс В('юду параллелен оси и Э.лементы тона мошно счи
тать беснонечно ДJfИННЫМJf. Считая ВНJIaД внешних элементов положитель
ным, а внутренних отрицательным, находим, что веl\ТОР 1[()тенциал dA
поля в точне Р (r,. а), созданнOl'U элем"снтами тона, расположенными между + 01
и 01' выражается, соrласно соотношению (7.44), следующим образом:
'\.
'\..
"
Фие. 119.
1
dA -== 2ТС lf1J (ln R 1 ln R 2 ln Нз + ln R 4 ) da 1 .
о)
Подставляя вместо ЛOl'арИфМОВl1Х значения из выражения (4.17) и С == f1J /тс,
нолучаем
dA == с ( aп ь п ) СОБ па 1 СОБ па de 1 0
п 1
Интеrрируя от 01 -----:- О до 01 == а, имеем
при ,. > Ь ·
о)
А == с 2 ( a п rп ь п ) sin па СОБ пО.
п l
(12.32)
424
Fлава XII
Точно тю.. же
при Ь > r > а
00
А == С { а Iп : + 1 2 [ ( ; ) n ( ) п ]
,, 1
. LJ 1
Sln па СОБ n'J J '
(12.33)
и при а > r
00
r ь 1 [ ( l' ) " ( r ) n ] 1
А == С t а In а + .LJ п2 а \. ь sin па. СОБ пе J
n 1
(12.34)
Линии ИНДУl\ЦИИ, найденные из соотношений (12.32) (12.34) при С == 1,
a.==Hcj8, а== 1 и Ь==2, изображены на фиr. 120.
Фие. 120. ЛИНИИ маrнитной ИНДУIЩИИ и ПОСТОЯНIIOI'О вентор потенциала 11
ПОСТОЯЩIым маl'ните, представляющем И3 себя длинную толстую намаrни
ченную цилиндричеСRУЮ оболочну с сенториальным воздушным заЗ0рОМ.
7
Вычисления выполнены по фор !улам (12.32) (12.34) при C 1, « 8 п, a 1, b 2.
13. Маrнитные иrлы. Самой известной формоii lIостошпюrо МaI'НИТ8.
является, повидимому, маrнитная иrла. Она предстаВJшет собой ТОНl\ИЙ
стальной стержень, более или монее равномерно намаrниченный вдоль оси.
Нан мы уже видели [см. выражение (12.2И)/, маrнитная индунция TaHoro
MarHJ1Ta по форме, аПРОl\симируется ЭJ1er,тричеСl\ОЙ индунцией двух зарядов
f1"т.:а 2 1Jf и f1"т.:а2i11, помещенных на расстоянинх l друr от друrа (a радиус,
l длина и 111 интенсивность намаrниченности МaI'нита). Эта аналоrия
не rодится, если иrла помещается в среду с f1 4= f1v' Однано если отноше
.11 аенетиам
425
ние длины иrлы R ее диаметру очень велино, то можно воспользоваться
ДРУI'ИМ приближением. n случае иrлы с маrНIIТНОЙ проницаемостыo f1v'
помещаемой в среду f1, поверхность энвивалептнuй пле1ШИ TORa (нан следует
из 25 rл. VH и 19 rл. 1) представляет собой поверхность длинной
узной полости. Аl\сиальный ПОТОR через н.ое от внешнеrо ИСТОЧНIша Bыpa
жается произведением f1vH или f1"B / f1 на "а 2 СОБ 6, rде 6 уrол между В
и осью полости. Нан следует из 8, TOR В эломенте dl ЭRВIIвалонтной
ПЛOIши TORa, охватывающиЙ этот потО1\, равен 111 dl, rде 111 на;vIаrничен
ность. Соrласно соотноше1ШЯМ (8.18) 11 '(7.152), энерrия :жвивалентноrо
поверхностноrо тона равна
'2
W == f11,Л/"а 2 Н СОБ 6 dl == f1"1Il,,a 2 (Q2 QI)'
11
(12.35)
По форме это выражение сходно с 'выражением (1.13), тан ЧТо ТОНRая,
равномерно намаrниченная иrла ведет себя аналоrично двум равным по вели
чине, но противоположным по знану, зарядам f1,,1Ilт.:а 2 , помещенным в элеR
тричеСIюе поле с потенциалом V == Q, ['де Q МaJ'Нитодвижущая сила, или
сналярныii маrнитныii потенциал.
В отсутствие источнинов внешнеrо маrпитнOI'О поля потО1\, пронизы
Бающий эту узную полость, прантичесни не зависит от МaJ'НИТНОЙ прони
цаемости ОRружающей среды, тан I\aR маrнитное сопротивление цепи почти
полностью сосредоточено внутри полости, Rуда не пронинает внешняя среда
и rде проницаемость равна f1v' ТаRИМ образом, ПОТОR маrнитной индунции
от достаточно ТОНRОЙ маrнитной иrлы, Ra!, и потон элеRтричеСRО.й ИНДУRЦИИ
от элеНтричеСRоrо диполя, не зависит от о]{ружающей срЁщы. Поэтому CI\a
лярный маrнитный потенциал, или маrнитодвижущая оеила, ТaJЮЙ иrлы
обратно пропорционален маrнитной проницаемости ОRружающей среды.
Эти величины можно БЫЧИСJIIIТЬ по формулам 7б rл. 1, считая, что маrниты
обладают Бзаимной потенциальной энерrией. Пусть r радиус веRТОр, про
веденный от маrнитноrо диполя с моментом m; н маrнитному Диполю
с MOMeHToryI Ш и составляющий с ними уrлы 61 и 02' а уrол между
m и ш;, а уrол между пересеRаЮЩИМIIСЯ по r плосностями, содержа
щими ш и ш;. Torдa из соотношений (12.35), (1.16) и (1.17) потенциа;;rьпая
энерrия выражается в виде
W т ПJ ( 3 CI (J ,
== 3 СОБ а cos и] COS 2)'
. t:lтc r
W ПJ ПJ ( " (J . (J ,1 '), в ., О )
SIll 1 SIll 2 COS t1J COS 1 (,OS 2 .
'l1t[Lr I
(12.36)
(12.37)
Силы или моменты, действующие со стороны одноrо диполя на ДРУI'ОЙ,
можно найти И:J этих формул путем дифференцирования по соответствующой
Rоординате. В частности, сила оттаJшивания равна
F aW::Im ПJ ( . (J . (J ') О (J )
== == 41tfLr 3 Sln 1 SIll 2 COS tjJ СОБ ] COS 2 .
(12,38)
Потенциальная энерrия иrлы с моментом ш' в поле с индунциеij В Bыpa
жается с.педующей формулой [см. (7.14)]:
w 0== ш' .Н== ш'. Bf1 l,
( 12.39)
отнуда силы определяются путем дифференцирования. В сферичесних 1ЮОр
динатах веRтор потенциал поля МaJ'нитноii иrлы на расстоянии r от нее опре
деляется по формулам 11 rл. VH, Rоторые при r 1 дают
А т' sin fj (12.40 )
41tr 2
Задачи
427
пит, равна
3шщ' (41t1и4) 1 (5 СОБ 2 6 С08 О' СОБ 6' 2 СОБ € СОБ О).
IJшшзать также, что момеит пары СИЛ, прилошеииых к плечу ,. II деЙстпующих СО
стороны одноrо маrнита на друrоЙ, равен
ШШ' (41t!tr4) 1 d 8ill €,
rjJe d кратчаЙlПее раССТОПIlие между их ося,МИ.
11*. Две маrнитные иrлы с момеJfта ш Ш и т' спапны таким обра;Юi\J, что их оеи
соетавляют уrол '1.. IIоказать, что ссли их JЮДJlеСIlТЬ поднородном rОРIfзонта.ТlЬНОМ
шr]JИТНОМ поле таl{ИМ образом, чтобы они снободпо I>ачапI1СЬ, то их осп составпт
УJ'ЛЫ 6 И 6' с силовыми .линиями, нричем
sil1 6 sil1 6' 1' .
== (ш2+ш't+2ШIJl' СО!'! а) /2 8JI1 а.
т' JI1
12*. ДОRазаТf>, что еСJШ центры двух молш{у.тI, пмеЮIЦIIХ маrнитиые моменты m и т',
неподвижно закрешlCНЫ в точках А и В (АВ == r) И одна нз MOJICKYJl можы свободно
вращаться вокру!' cBoero центvа нод действием иенотоrоrо заданноl'О момента сил, ..
обусловленноrо подем второй l\юлеКУJJЫ, так что n состоянии rавновесир ось этой моле
кулы нанлонпетсл относитеJ!ЬНО АВ на yro.Тl О, то в отеУТСТВl1е внешнеrо ПОJт момент
спл ранен
3nlIn' sin 2О
81t!tr3 (3 СОБ 2 6 + 1)1/2
13*. Центры двух одинаковых малеПЬRИХ маrнитоп 4ншсированы, а сами шrшпы
MorYT нращатьсп BOHpvr них. Эта система ваХОДИТСJ1 в однородном маrнитном поде Н,
напраНJJенном псрпеН]Jiшулярно к отрезку длиной r, соедипяющему центры маrнитов.
Показать, ЧТО положение, в котором оба l\Iаrнита ориентированы но СП:JОВЫМ ЛИНИЯМ
однородноrо поля, явлпстсп УСТОЙЧIJВЫМ только при
Н> 3т (41tfJ-r3) 1.
14*. Центры двух частиц с одинаковыми l\Iаrнитными МQ;\юнтамп финсированы в точках
+а, о и a, О. М'оменты этих частиц параплельны оси z и папрапаепы lJ одну сторону.
Показать, что если неноторая друrая МОJrекула (обладаЮЩ<IН МДI'НIIТНЫМ 1O ШНТОМ) I\Ю
жет свободно вращаться 1J0Kpyr cBoero центра, паходпшеrося в ТОЧI,С (О, у, z), то ось ее
будет .тlCжать lJ плоскости х==О И будет нанлонена ОТНОСlJтельно осн z на Yl'O:J
3yz
afC t,g 2 2 2 2 '
Z a y
Иееледовать, каное из двух положениii раштовесип бу;.\ет устойчивьш.
v 15 . Дон3.;!ать, что сущрствует чР.Тыре положеНIШ, при ПШiещеНJ11I в ноторые дaH
ныи маrнитныи стС"ржснь полностью нарушает нозможность ШНlтро.тш маrНИТJJоrо ноля
земли поередством стре.тШII Iю шаса, т. е. етрешш становится Gезраз, lИЧНОЙ по ОТНОПIс
нию Н любому направлению (не J1спытывает деiiствин шшаЕIIХ СIШ). Jlоказать. чтu еелп
размеры стержпн малы по сршшениIO с ра(:стшrние J J\O стре.'ШП, то одна нара ЭТПХ
нопожрниЙ ОТСТОИТ от СТрЫJRИ В 1,25 раза дальше, чем два друrих JJоложенип. .
16*. Три маленьних маrнита, маrНИТJlЫЙ момент IШЖдоrо пз которых равен т,
закреплены в вершинах paBHOCTopoHHPro треуrолынша АВС, тaJ, что их ceBepHЫ€' полюсы
ориентированы еоответетненно в напранлениях 1С, АВ пЕС. ДруrоЙ м,шР.ньний маrнпт
с моменто;и т' находитсп в центре треуrОЛЬНJша, BOHPYl' Jютороrо он может свободно
поворачrшатьсп. Доназать, что при ма.iIЫХ Iш.тlебаниях пС"рно riо;rебаниii центрапьноrо
маrнита равеп периоду но:юбаний маЯТНIша дшшоii
4тc!tlb3g
(351)1/2 mm ' ,
rAe Ь д.тlЮШ стороны трС"уrОЛЬНI1IШ, а [ ilюмент пнерцпп но впщноrо .щпппа OTJIo--
ситспьно центра.
17*. Три частицы с одинанопыми маrНИТНЫМII мшшнтаilШ, раСНОJJОiНепные в верпшнах
paBHOCTopoHHcro треуrольнющ, MorYT вращаться HOKpyr своих центров, остапаrтсь вее
время ориентиронанными в напранлении, лежащРм н ПЛОСКОСТII треуrО:JЬНJша. Доназать,
ЧТО существует четыре, и толы,о четыре, таких по.тlOшенип равнонеспя, в ноторых уr,аы,
отеЧИТЫ!Jаемые н одном нанравпении, между ОСШ\IlI маrШ1ТОВ II биссектрисами COOTBeTCT
вующих уrлов треУl'OJlыпша, равны. Доказать таюне, что два симметричных ПОJЮiНе
ния ранновееия ЯВJIПЮТСЯ IlРУСТОЙЧИВЫМИ. ,
428
rлава хн
18*. Четыре маленьких
и сопершают но.тюбания под
оснонных нолебаннй равны
одинаковых маrнита расноложены по уrлам ннадрата
действием си.тl взаимодействия. ДOI{азать, что периоды
[ 47tfJ-тk2d3 J 1f2
2п ,
Пl23(2+ ; 2 1/2)
{ 4тrfJoll k2d3 } Ч2
It 2 [ <] 1 2 Ч2 J '
Пl cl 2
r 4nfJ-тk 2 d 3 2 (2)Ч2 ] 1/2
211: L 3т2 '
I'де m маrннтпый момепт Мal'нита, mk2 MoMeHT инерции маrнита, а d ДЛИllа CTOpO
ны Iшадрата.
19*. с.истема маrнитов расположена в одной плоскости. При перемещении оси J\Iалень
IЮЙ стреJIRИ по замкнутому IЮНТУРУ, лежащему в ПЛОСIЮСТИ и не содержащему маrнит
ных нолюсов, стрелка совершает ПOJIНЫЙ оборот. ДOIшзать, что этот нонтур включает
по крайней мере одно положенне равновесия.
20*. ДОЮJ3ать, что сналярный потенциал поля, создаваеыоrо телом, раппомерJJО
намаrниченным с интенсивностью 1, в любой внешней точке еоппадает с потенциалоы
ПОJIН, созданаР.моrо двойным слоем, совпадающим с поверхвоетью тела, если маrпитный
момент этоrо слон равен 1 х, I'де х J{оордината, измеряемая параЛJJельно направлению
намаrничипания,
21 *. Шар из твердой сталп ранномерно намаrничен в определе}]НО 1 направлении.
Внекоторой ппешней по отношению к шару точне находитсн Мal'нитная частица, ось
которой нараллельна оси намаrничиванил шара. Найти момепты пар сил, действующих
на шар и на частицу.
22*. Сферическая маrнитная оболочка радиуса а радиально Н<Jмаrничена так, что
мапштный момент некоторой Iiроизвольной точки ее понерхности равен 8 i , rде Si
поверхностная сферичеСIШЯ I'армоника положителыюrо порядка i. IIоказать, что
скалярный ПОТP.Jщиал на расстоннии r от центра оболочни равен
при r < а .
[ 411: и+1) ] S. ( !..... ) i
2i + 1 'а'
при r > а
[ ] . ( ) i+l
2 . 1 8, .
-t r
23*. IIоназать, что если земной шар был бы равномерно намаrничен, то TaHrC}jC
УI'ла СJШОНeIШЯ оказалея бы равным удвоенному TaHreHcy уrла маrнитной широты.
24*. Доказать, что но известной на всей поверхности земли rоризонтальной co
станляющей (в меридианном напранлении) маrнитноrо поля земли можно теоретически
вычислить все друrие комвонР.нты этоrо ПOJIf].
25*. IIсходя из Toro, что интеrрал по замкнутому контулу от папрпжеННОСТI!
маrнитноrо ПОJIН в отсутстпие тонон равеп J УЛЮ, пш,аэать, что I'оризонтаЛЫJУЮ co
етавлНJ()ЩУЮ маrНИТJ!оrо ноля в неноторой произнольной точке можно приближенно
выразить через известные поли н трех друrих точках, расположенных BORpyr перпой.
ПOlщзать, что эти шесть изпествых величин таюне не являются незанисимыми, а СВЯ
заны между собой одним услонием.
26*. ДокаЗ<JТЬ, что если бы зеюlН была шаром и ее маrнетнзм был обуслонлеlJ
двумя. малены{ими прпмыми стержневыми маrнитами, расположенными в полюсах и
имеющими маrнитные моменты, равные по величине и одинаново ориентиронанные вдоль
земной оси, то маrнитное склонение о выражалось бы через уrол маrНIIТНОЙ шпроты -л
следующим образом:
8ctg( 0+ -л) ==ctg { -Л 6tg Л 3tg3 -л.
27*. IIредпол()жим, что зем.тш является шаром радиуса а, а еР. ПОJJе описывастея
сналярным ПОТРlщиалом
Q==8 1 : +82 ( : У +Si( ; у +82 ( ; у.
1I0J{азать, что величину S2 можно JJОЛНОСТЫО определить по значенинм rоризопта.:IЬ
ной напряженности поля, наклонеНИJ() и СJ{лонению, измершlНЫМ н четырех точках,
и 110 значениям еклонения, измеренным дополнительно еще в четырех точках.
28*. Считая, что н разложении маrнитноrо потенциала поля земли можно пре
небречь пятой II высшими.rармонИIШМИ, показать, что из наблюдений реЗУJJьтирующеrо
мапП!тноrо поля в НОСЬМII точках на понерхноети земли можно найти значP.IIИС потен
циала всюду.
29*. ПреДПOJшrан, что земной маrнетизм полностью обусловлен наличием BHYT
ренних ИСТОЧНИIЮН и что сенерная компонента r()ризонта.пьноrо ПО.:IЯ выражается через
л итература
429
широту л наи А cos л ; в СОБ 3 Л, доказать, что веРТIш льная Jюмпонента на данной ши
роте, направленная нниз, зависит от llШрОТЫ следующим образом:
2 (А+ 6: ). iПЛ 4: siп3л.
30*. Маrнитнап чаСТИJ а. имеющая мо юнт т, паходитсп на расстоянии а над
шюской rраницей беснонеЧlJоrо бруска, СJ\еланноrо из МЯI'lюrо же,'Ieза. Ось частицы
иерпендикулнрна к этой I'ранице. Найти СИJIУ, действующую на частицу, и показать,
что потенциальная энерrип системы равна
т 2 (!.L f1v)
Z1tf1vаЗ (f1 + f1v)
31*. Маленький маrпит с моментом m находится вб;сизи большоrо неПО;J;ВIIжноrо
куска мяrкоrо железа с пропицаемостыо f1, имеющсrо очень БОJJЬmyю плоскую поверх
ность. Расстояние от этой поверхности ДО маrнита равно а. а уrол, который СОСТfшляет
ось маrнита с I{ратчайшим расстоянирм до поверхности нуска, равен 6. Показать, что
для Toro, чтобы удержать маrнит в этом положении, необходи:lЮ приложить некоторую
еилу и момент, ранный
«(.L (.Lv) т 2 sin О еОБ О
;121tp v (p + f1v) а 3
ЛИТЕРАТ РА
А Ь r а h а m М., В е с k е r R., Klassische Elektrizitiit uпd Ма пеtisпlUS, Berlin,
1932. (См. перенод: Абраrам М., БеКI{ер Р., Теорин электричества,
2 e изд., M. JI., 1939.)
А t t w о о d S. S., Electrie aI1d Magnetic Ficlcls, \Yiley, 1941.
В i.t t е r F. Т., Introdllction to FеIТоmаgпеtisш, McGraw Hill, 1937.
Е w i n g J. А., MagI1etic Indlletion in Iron and Other Substances, Van N ostrancl, 1900.
G е i g е r S с h е е 1, Handbueh (ler Physik, Bd. ХН, 1927.
1 е а II s J. Н., Thc Mathematical Тlшorу of Electricity and MagI1etism, Cambridge,
1925.
М а s о n М., \У е а у е r W., The Elесtrошаgпеtiс Field, Uniyersity of Chicago Press.
1929.
М о u 1] i n Е. В., PriI1ciples of Electromagnctism, Oxford, 1932.
Р 1 а n с k М. К. Е. L., Тlшоrу of Electricity and Magnetism, Масшillап, 1932.
R а m s Р. У А. S., Electricity and Magnetism, Cambriclge, 1937.
S Р о о n е r Т., Properties and Testing of Magnetic Matcrials, McGraw Hill, 1931.
W i е n Н а r m Б, HaI1dbuch der ЕхреriшеI1tаlрhуsik, Bd. XI, Leipzig, 1932.
\V i 1] i а ш s S. R., MagI1etic Рhепошепа, McGraw- НШ, 1931. .
r л а в а ХН!
ПЛОСНИЕ ЭЛЕНТРОМАrНИТПЫЕ ВОЛНЫ
э 1. Уравнения Максвелла. Мы будсм считать, '1'1'0 в тох об.тIастях
пространства, тде 1), и е ЯВ.;шются непрсрывными фУНКЦИЯМИ КО()РДIIнат и
1'ДС :\юапю ввссти ПОНЯТlIЯ П lОтности электричесних зарядов и 1J.1ЮТНОСТИ
токов проводимостп (ИJП1 1\ОНВСНЦИОННЫХ токов), элонтричесние и мю'нит
ные пе.'1IlЧIIНЫ свяаапы :между собоЙ следующими уравнениями:
VХН==VХ В ==i+ д д D ,
['- t
V Х Е == дВ
дt '
V .D== р,
V.B==O.
(13.1)
(13.2)
(13.3)
( 13.4)
Уравнение (13.2) выражает СООШI запон ПНДУIЩШ1 Фарадея (8.3), а два
послсдних уравнения, (13.3) II (13.4), совпадают, очевидно, с уравнениями
(3.4) и (7.1). Новым является ;;шшь уравнение (13.1), которое без послед
Roro члена представляет собоiI просто закон Ампера (7.4). Этот последнпЙ
член, введснныЙ Мю{свелло:м, ДОJraет при отсутствии зарядов и тонов всю
систему уравнений более симметричноЙ, а уравнение (13.1) СХО;:(ПLЕ\f 1Ю
струнтуре с урапнениеи (13.2).
Еели :затЮII rlJЦУЮ ПИ Фара; Ш1 утuерж;щст, ЧТI, П3l\ЮНСIПН' потона
мапшпюii lJПДУ1ЩIIП CJшоаь пеноторую замннутую НР1ШУЮ вызьшает появ
ление Э.i!Ol,ТРОДВIIЖУЩСЙ силы на этоii нрrшоЙ, то уравнение (13.1) YCTaHaB
Jпшает появлеНIЮ маrнитодвпжущеu силы при измснении потока Э;:JСТ,три
ческоЙ ИНДУКЦИИ. Сам МаксвеЛJI, повидимому, считал пuявленис маrнит
поrо шшя следствием доЙствитеЛЬН01'0 перемещения электрических зарядов,
однако для подтверЖ;J:ения справеДJIИВОСТИ уравнения (13.1) в тarюм пред
ставлении нет неоБХО;:(ИМОСТII. Справедливость всеЙ системы уравнений
Максвелла пuдтверждается правильностыо мноr()численных следствиЙ II BЫ
водов, вытснающих из них. Можст быть, в действительности уравнения
МаНСВeJша являются .шшь приближенными, но в пределах совре:\юпноij
точности измерсниЙ их можно считать точными. ПОСНОJIЬНУ электричсеIШЙ
заряд сохраняетсл, то имеет место уравнение непрерывности (6.3)
V.i+ : ==O. (13.5)
в изотропных cpe; ax i II Е связаны между собоЙ ЗaIЮНОМ Ома (б.8)
Е == 'ti, или i == 1Е. (13.б)
Д.:rя анн;ютропных срем при соответствующе:и выборс ut:uiJ пз ВЫJJ<lrlЮНИЯ
(6.Ю8) I1мсем
i == ilxEx+ ЙуЕу+lilzЕz,
(13.7)
Плоские элекmро.маеuиmuые волuы
431
в изотропных средах D и Е связаны между собой соотношением (1.33)
D == еоЕ. (13.8)
В анизотропных l;penax из соuтношения (1.58) при соответствующем выборе
осей получаем
D==is I Ex+js2Ey+ks 3 Ez. (13.9)
Предположив, что f1 и все пеличины, I3ходящпе 13 уравненпн (13.6)
(13.9), не завпсят от напряженностей ПОJШlI, мы НОС1ЮЛЫЮ Ol'раничим пре
долы применимости ураШ1ений Маю,:вел;:rа, R частноетп, при неl,ОТОрых
частотах это не ПОЗВОJIИТ llрименить их l{ фОРРОМaI'НИТНЫМ пеществам.
2. Волновое Jравнение. Электромю'нитны(' потенциалы. Bel.Top
rерца. с'читая маrнитнуlO проницаемость IL ностояннuй, llРJIмеНIJМ опера
циlO ротора 1. уравнеЮlJО (13.1)
V x(VxB) V(V.B) V2B==f1[i(VXE)+s :t ('" хЕ)].
Подставим сюда значение "'.В нз уравrЮIIIШ (13.4), а ,,".Е пз уравпеш1Я
(13.2), Torna П!JJiУЧИМ
2 дН д 2 В
V В == f1i дt + !J.S iJt 2 .
(13.10)
Ана.поп[чно, взяв ротор от обеих частей уравнения (13.2) и ЗЮlеНlIR "'. Е,
COrJlaCHO уравнению (13.3) (считая р == О), а V Х В, соrлаСIIО ураШЮllШО
(13.1), ПО.пучим
'> дЕ д 2 Е
E == f1i дt + ILs dt2
('13.1'1 )
Мы пришли н ВО.пновым уравнениям ДJ1Я веЕтора IЮ'НИТНОЙ ИRДУ1ЩШ[ П
вентора иапряженноети ЭJЮhтрпчесъ:оrо поля. Ию.; будет ВИJJ.НО пз lIa;TbHeii
шеrо, первый ЧJJCИ в правой части этих уравнений оfiУCJJOвллпает теП.;ювое
рассеивание энерr1Ш поля в среде. В I1епроводпщих средах ('[ === О) этот члеп
отсутствует.
До сих пор:мы ШИрО1Ю ПОJlЬЗ0вались СIШJlЯрНЫМ ЭJ1ентростаТIIче('.I,Ш\I
потенциалом, rрадпент 1ютороrо со знаком минус давад напряженность
электрпческоrо ПОJIН, а танже маrнитоетатичесним вентор потенцпа.;Ю1\l,
диверrенция 1штороrо бы.па равна нулю, а ротор был равен вен тору l\Ш)
нптной ИНДУНЦИII. j\I\елатеЛl>НО теперь обобщить определения потенцпаJIUВ
на t;лучай быпрuпеременных полей. Для этOl'О выбером обuбщенный .\HII'
нитный вентор потенциаJI А ТЮ., чтобы ротор е)'о всеrда бьи равен nel';To
ру маrнитной 1IНДУНЦИJI В и, следовательно, для постоянных 1Ю;lеii Be1,TOp
потенциал А совпадал бы с маrнито('татичеСIШМ. Тar{пм образом,
B == V х А.
( 13.12)
ИСI\JIIочая В 113 уравнения (13.2) II меняя порядон диффереНЦИрОIJаПШ1,
получаем
дА
VxE=== VXдt'
в PC3YJТЬTaTO ИНТCl'рнровarшя. это)'о ypaBHeНI1Н иаоашшеМ('.f[ от ротора, по
при этом ПОЯВШЮТСЯ постоянная ИНТCl'рЩЮВaJШЯ, [,;оторую можно IIpe ((;Ta
вить нан l'радиент нт.;оторOl'О скаляра \jJ, тю. ню.; ротор rрадиента ТОiRде
ственно равен нушо
дА
Е== V Ф
iJt . .
(13.13)
432
Fлава ХIII
Введенная, таюlМ обраЗ0М, скалярная ве.личина \jJ называется элен:тричес
ним потенциалом и совпадает для статических полей с элен:тростатичеСIПIМ по
'l'енциалом, рассмотренным в 7 rл. 1. Предстапляется удобным, хотя, кан
будет поназано в 2 rЛ. XIV, в этом нет необходимости, выбрать вели
чины А и \jJ тан, чтобы они УДОEJЮТВОРЯЛИ тем же уравнениям, что и Beн:
торы Е и В, а пменно:
дА д 2 А
у2А == f1r дt + f1E 7fi2 '
(13.14)
a.l, ij 2 . 1 ,
y2.1, =" H'Y + НЕ
'r , I iJt ' дe2'
( 13.15)
Это нarшадьшает на А и \jJ определенное.
взяв диверrеНЦIПО от обеих частей уравнения
V.E == О [см. уравнение (13.3)], получаем
О1'раничение. Действительно,
(13.13) и положив р == U, т. е.
1;72\jJ == д ;A .
Сравнение этоrо уравнения с уравнением (13.15) пон:азывает, что послед
нее мо}иет иметь место тодько при условии
6
V . А т f1 r\jJ f1E 7h . (13.1 )
Это услошю совместимо также i1 с уравненпем (13.14). Чтобы доназать
после)1.нее, необходимо взять rрадпент от обеих частеЙ уравнения (13.16)
и преобраЗ0вать JIевую часть, снова пользуясь векторным тождеством, при
веденным в начале настояще1'О параrрафа. Произведя замену V Х В в COOT
ветствии с уравнением (13.1) с учетом выражений (13.6) и (13.8), а V\jJ,
соrлаrно уравнеНJIIО (13.13), после соответствующих СОRращений мы придем
н уравненrпо (13.14).
Покажем теперь, что полное электромаrнитнор поле можно описать
при помощи одноrо Ею,тора Z, называемоrо веБТОРОМ rерца, через ноторый
потенциалы А 11 \jJ выражаются следующим образuм:
\ Z iJZ
== f1r + f1Eдt'
\jJ== .V.Z.
(13.17)
Для удовлетворения уравнения (13.16), а таRже 11 (13.13) необходимо
Б3ЯТЬ
2 iJZ ij 2 Z
У Z == f1 r дt + f1E 7fi2 .
(13.18)
(13.19)
Е== V (V .Z) V 2 Z== V Х (V х Z),
Выразим вентор маrнитной индукции, используя выражения (13.12) и
(13.17), q рез вектор rерца Z
д (V х Z)
B==f1rVXZ+f1E де . (13.20)
VравнениС' (13.19) описывает все свойства электромаrнитных волн. Для
непровО!IЯЩИХ сред, I1СЮПОЧИ:В \jJ И3 уравнений (13.13) и (13.16), получим
дА 1 дА'
Е== + VV .Adt ==
де ['-Е iJl '
в == V х А' .
('13.21)
Нак следует И3 уравнения (13.3), ПрИ Р == о ДИ1!еlн'е1ЩИЯ HORoro BeKTOp
IIотенциа,;ш А' равна нулю.
.. Плоские элекmро.иаениmные волны 43:J
3. Вектор Умова ПОЙНТИllrа. }1множим уравнение (13.1) на E, а
уравнение (13.2) Ha В/!1 и сложим результаты
. (V х E) E. ( V х R ) == i.E D. E дН . (13.22)
,... ,... ol ,... iJl
Проинте1'рируем левую часть уравнения (13.22) по неноторому произвольному
объему v и применим теорему Остроrрадпюrо rаусса (3.2), тоrда получим
l . (V х Е) Е.. ( V х ) ] dv == v . ( Е х ) dv== п. ( Е Х ) dS.
v v s
Объемный интеrрал в правой' части оставим без lIзменения, в результате
будем иметь .
, п. (Е х ) dS == [i.E + ( D E + : ) ] dv.
s v
( 13.23)
Первый член, стоящий в правоЙ части. соотношеIфИЯ (13.23), представляет
собой. иан это следует из занона LJl\Ш и из выражения (6.11), мощность,
выделяемую в объеме v в виде тепла. Второй же и третий Ч.пены. соrлас
но выражениям (2.18) и ( .12), предст, ВЛЯЮТ собоЙ спорости изменения
элентричеспой и маrнитной энерrий в этом объеме. В силу занона coxpa
нения энерП1И, е(;ли все эти члены больше нуля, энеРПIЯ, поrлощае
мая в объеме, должна .поступать в Hero извне. Поток энерпш, Проходящей
СJШОЗЬ поверхность, окружающую объем v, должен определяться левой
частью соотношещrFl (13.23). Таю1М образом, взятая в напраВJIении внеш
ней нормали и проинтеrрированная по замкнутой поверхнuсти номпонента
вентора
п== ЕхН
,...
( 13.24)
, представляет собой потоп энерrии, выходящеЙ в единицу времени из объ
ема, оrраниченноrо этои поверхностью. Вектор П называется веl\ТОрОМ
Умова 'ПОЙНТИНI'а. Спедует подчеркнуть, что нами был вскрыт физичесний
Смысл только интеrрала от этоrо вектора по замкнутой поверхности и не
было показано, что вектор П представ;rяет собой поток энеРI'ИИ сквозь
отдельный элемент поверхности 1).
4. Плоские волны в однородном незаряженном ДИБлеКТРИRе.
Элентромаrнитное возмущение называется плоской вол нои в том случае,
если фазы мrновенных значений ве.пичин В, Е, , А и Z постоянны вдоль
любой из взаимно параллельных плосностей. Эти плоскости называются
фронтом волны, а нормаль н ним, задаваемая единичным вентором п,
волновой нормалью. Н диэлектричеСЮIХ средах величина l' равна нулю, и
поэтому первыЙ член в правой чаt\ти уравнения (13.19) исчезает. t\1,ожно
проверить диффереНIIированием. что общее решение будет тоrда иметь вид
Z == /1 (n'r vt)+ /2 (n.r + l)t) ==
== /1 [(n.r+ vt') v (t+ t')] + /2 [(n'r vt') + v (t+t')],
(13.25)
rде v == (!1Е) Ч2. Таким образом, значение фушщии /1 в точке n.r+tt' в
момент времени t + t' совпадает с ее значением в точке п. r в момент t,
т. е. /1 описывает волну, движущуюся СО СКОрОСТhЮ V В направлении п.
1) о локальном значении вектора Умова Пойнтинrа см. книrу И. Е. Т а м м а,
Основы теории электричества, М., 1946. I1 рим. пе рев.
28 в. Смайт
434
r лава ХI Il
Аналоrично, ФУНКЦИЯ /2 описьшает волну, движущуIOСЯ с такой же CRU
ростыо В прuтивоположном направ.пении о. Скорость распространения
электромаrнитной ВОЛНЫ в пустuте C==(f1l"E,) l/2 равна 3.1О 8 м/сек. Отнош('
пие сн:орости с В пустоте к снорости l: В среде называется поназателсм
преломления этой среды п
с
п.== .
v
(13.2б)
IIOCROJILKY уравнения (13.10), (13.11), (13.14), (13.15) и (13.19) ОДИШiJЮВЫ,
то решение для плuснuй волны, распростраНЯIOщейся в напраВ,iЮНИII О.
можно записать в виде
D==Do/(o.... и),
E==Eo/(o'r vt),
В==Во /l(o.r l:t),
(13.27)
(13.28)
( 13.29)
1'де Do, Ео и Bo BeHTopHыe амплитуды"'величин D, Е н В. а /(o.r и)
сналярная ФУНIщия. При плотности заряда р, равной нулю, выражение
(13.27) BM CTe с уравнением (13.3) дает
V .D==o.D o /' (o.r vt) == О.
ОТСIOда либо фуннция /' равна нулю, что Пр1fIЮДИТ Н случаю стаТI1чеСl\О1'О
по.ля, не предстаВЛЯlOщему здеtь интереса, .ппбо
o.Do==O.
(13.; 0)
При помощи анаЛUП1ЧНUЙ подстановни решения (13.29) в уравнение (13.4)
получаем таноЙ же результат:
О'Во==О, (13.31)
:Это означает, что D и В лежат в плосности фронта волны. Далее из pe
шениЙ (13.28), (13.29) и уравнения (13.2) имеем
V х Е==о х Ео /' (o'r vt) == : == l:Bo/ (o.r и).
:Этu справедливо для любоrо момента времени, ПОЭТ(JМУ
быть пропорциональна /, и можно принять
о Х Ео == vBo, или о х Е == vB.
величина /1 ДIIJ1ЖНi\
(13.32)
Точно так же, если величина i равна нулю, то подстановна решений (13.27)
и (13.29) в уравнение (13.1) дает
0)( ВО == (1vDo, или о Х в == (1vD.
( 13.33)
множая сналярно соотношение (13.32) на (13.33) и учитывая, что
11 . Вб == О, ПОЛУЧИl\f
(11 Х Ео), (о х Во) == . (1v2Do, Во == (о. о) (Ео, Во) (о. Во) (о. Ео) =о Ео, Во.
13 силу соотношения (13.33), правая часть этоrо уравнения равна нулю,
поэтому
Е() . Во == О и Do, ВО == О.
(13.34)
Ите.н, векторы Ео и DI) перпендинулярны н вектору ВО' Из выражения
(13.24) для вектора MOBa по.йнтинrа получаем
п == f1 1 Ео Х Во [/ (n.r vt)]2 == по [f (о .r vt)]2,
(13.35)
Плоские элекmро.маеuиmuые волuы
435
тоrда «а« волновая нормаль t:овпадает по напрашICНИЮ с Do х Во, что
очевидно из выражений (1з.30) и (13.31). СледоватеJIЬНО, направление
распространения энерrии П образует с волнов()й нормалью n yroJ1', равный
уrлу между венторами Е и О. ЕСJ1И вен тор В остаl:JТСЯ всюду пара.пле.ль
ным некоторому .фиксированному направлешпо, то II вен тор Е вследствие
соотношенин (13.34) тоже будет обладать этим СВОйством. Таная IЮJша
называется лине'йно или плосно ПОJIяризоваННОI1. В Оптине пол плос1юI;тыо
1I0JIЯризации подразумевают плоскоC'lЪ, n HoTopoii лежат венторы ПиВ.
В радиотехническоЙ ;:rитературе ПЛОС1ЮСТЬЮ ПоЛяризации обычно СЧитаЮl'
плоскость венторов П и Е.
5. Скорость распространения волны в аНИЗОТРОПIIЫХ средах.
Рассмотрим распространение элентромаrнитных BOJIН в однородноЙ аНИ30ТJЮП
ной неПРоВодящей среде с маrнитной Проницае
мостью f1". Совмсстим направления осеЙ НООрдинат
с электрическими осями среды. Тоrда из COOT
ношения (1.58) имеем ,.
п.;;==81 Е х, пу==82Еу, Dz==83Ez. (13.36)
Соrласно 9а rл. II, объемная ПЛОТность элен
трической энерrии равн?
aW 1 D Е 1 ( Е 2 Е 2 Е 2 ) В2
av == 2" . == 2" 81 'х + 82 у + 8з z == 2/-,,, .
( 13.37)
При получении ПОСJIеднеrо соотношештя fСПОЛЬ
зованы выражения (13.9) для вектора D и (13.32)
для n Х Е и изменен порядок следования HeHTOp '
Horo и снаJIЯрноrо произведениЙ. Это соотношение ('видетеJIьствует о paBeH
стве плотнастей электричесной и маrнитноii энерrпЙ. IlJЮТНОСТЬ полной
ЭJIентрома1'НИТНОЙ энерrии равна удвоснному выражению (13.37). Обозначим
направление распространения энсрrии (напраВJIсние луча) через п'.
На фиr. 121 ноказана ориентация векторов В, О, Е, n и п'. Очевидно,
что О, Е, п и п' лежат в одноЙ плоскости, поснольку они ортоrональвы'
к В. Заметим татке, что
Фие. 121.
. о.Е o'.D 3
sIlla==y== . (1 .38)
ДJIЯ нахождения ('корости lJ псремещеНIfЯ фронта волны вдоль n пре()бра
зуем сначала соотношения (13.32) и (13.33) н: виду
f1,,(.,2D == п Х (п Х Е) == Е п (п.Е). (13.39)
Затем введем три характеризующие н:ристалл поиоянные l'1' С 2 и lJ з
f1,,8 1 V; == 1, f1v82b == 1, f1,,8 з l.:; === 1. (1З.4U)
Исключив теперь Е из выражения (13.39) при помощи соотношений (13.36)
и (13.40), ПОJIУЧИМ
f1" (v; ь 2 ) пх == l (п. Е), f1" (l) с 2 ) пу == т (п. Е),
f1" (ь; v 2 ) п, === п (п. Е),
(13.4J)
rде l, т, п состаВЛяющие вектора п, т. е. ero напраВJfЯющие Носинусы.
Соrласно соотношению (13.30), п. D == lDx + тп у + пп , == о. Если СIOда под
ставить пх, пу и Dz Н3 выражения (13.41), то ПОJlУЧИМ
l2 т 2 п 2 == О.
. V2 V + V2 V + V2 V
(13.42),
28"
Плоские элекmро.маеuиmuые волuы
437
координат появилось элентромаrнитное ВШJмущение, тп за j сен. оно пере
местится на расстояние r==z;'. На фю'. j22 изображена форма волны в.пер
вом онтанте для случая V 1 > Ь 2 > V з ' В направлении ОР, а также вдоль
ero зернальнurо изображения в плоскости YZ лучи имеют одинановые СIЮ
рОСТИ. Из уравнения (13.47) вытекает, ЧТU эти направления J1уча связаны
с направленпями оптичесних осей hрИ
сталла соотношениями
ОптичеС1ЮЙ осью на фиr. 122 ШЗJlяется
прямая 00'. Один из листов двухсвяз
ной поверхности, изображенной на
фиr. 122, пересенается с ноординат .
ными плоскостями по окружностям pa
диусов Ь}> Ь 2 или"'v з . Если из трех BC
личин 'l' V 2 И V з две равны между
собой, то один JIИСТ волновой поIiерх
ности образует вытянутый ИJIИ сплю
СНУIЪ1Й сфероид, а друrой сферу,
причем ось сфероида равна диаметру
сферы. Луч, образующий сферическую поверхность, называется uбынповеп
ным лучом, а образующий сфероида.1]ЬНУЮ поверхность необьшновенным.
Будем обозначать два решения уравнения (13.42) через Ja И Ь Ь ' а COOT
ветствующие им значения Iюмпонент элентричесной ИНДУ1щии через п )y, z
и п )y, z. ПтvIJЮЖИМ каждое из уравнений (13.4j), написанное для V == Ь а ,
на ана.поrичное уравнение, написанное ДJfН , Ь Ь ' И сrруппируем резу.пь
таты; тоrда
2D(a) D(b) 2
fl х, у. z х, У, z nх, 11, z
(п.Е)2 (V:.2,з V ) (V ,2.3 V )
Разбивая правую часть на ЭJlементарные дроби и складывая теперь эти три
уравнения, получим
fl2D(a). D(b)
(п.Е)2
1 == lоvя
r v 2 '
тr===тo==O,
п noV.
'
(13.48)
z
у
х
Фие. 122.
( 13.49)
1 2
"" ( nх, 11, z
2 2 L 2 2
l' V b 1\ 2 з 1) а
а Ж.У, z ' , ,
2
nx.1J, z )
2 2'
'/Jl,2,З VЬ
Нан следует из (13.42), наЖJ ЫЙ член суммы, стоящсЙ n правоЙ части,
равен нулю; поэтому
D(a). D(b) ,::: О. (13.50)
Это означает, что лучи Ь а И V b плосно поляризованы. Их плосности ПО.llН
ризации расположены под прямым уrлом.
э 7. Энерrия, давление и импульс плоской волны. Предстаним себе
плосную волну в изотропной среде, падающую нормально на беснонсчныU:
ПЛОСIШЙ лист из IIоrлощающеro материала, и рассмотрим прямоуrольную
призму единичноrо поперечноrо сечения, основания «отороЙ параллельны
поrлощающему листу и расположены по разные стороны от Hcro. Для опреде
ленин потона энерrии, входящей внутрь призмы, необходимо проинтеrрировать
вентор Умова ПОЙНТИНI'а П по поверхности ПРИЗМЫ. Но на боновых повсрх
ностях [см. соотношения (13.30), (13.31)] ЬВ п == Е" === О, т. е. П п == О. Танже
равен нулю потон энерrии снвозь основание, расположенное за поrлощающим
/138
r лав.а ХII 1
листам. Пuэтаму t:)динственным интеrраJlам, атличным ат нуля, будет ин
ТCI'рnл па паверхнасти аснавания, распо.лаженнаrа са ста раны падающей
паJIНЫ. СледаватеJ1ьна, CarJIaCHa выражениям (13.35), (13.32), MrHaBeHHae
:1начение сна расти паrлащенин энерrии в JIlн;те (в ваттах на нвадратный
метр) равна
п == Е х В == IIE2 (n.E) Е .
[J. p.v
в изатраIlНЫХ средах п. Е == О II В == {f1E)lJ2 E [см. выражение (13.32)]; паэтаму
П == -€E2 == В2 ( €E2 )
j n ([L€)1/2 n l' ([J.€)li2 n ([J.€)lJ2 21' + 2' (13.51)
ДЛН ПJютнасти энеРI'IlИ элснтрамаrнитнаrа полн [см. саатнашенин (2.6)
и (8.12)] мы палучили пырюн:ение
дW €E2 В2
дv == + . (13.52)
СI,арасть раСllрастраненпн валны равна {f1E) 1/2; паэта;>'IУ за 1 сен. снвазь
нлащадну, равную 1 .м 2 , прахадит наличества энерl'ИИ, заНJlючающееся
в цилиндре, имеющем единичную ПJющадь аснаванин (1 .м 2 ) и высату,
равную {f1E) lf2 .м.
({ан была паказана выше [см. саатнашения (1.39) и (8.60)], в элентри
чеених и маrнитных палях существует даВJlение, равное саатветственна
ЕЕ2 И B2/ f1 и направ.леннае перпепдиt>у.лнрна н силавым лининмl).
Если плаская вална падает на паl'.лащающий лист, та, паснальку пале
аТJ1ична ат нулн таJIЫЮ с аднай стараны ат листа, паследний далжен испы
тывать давление. равнае (в ньютанах на 1 .м 2 )
Р == Е Е 2 + IL I В2
, .
(13.53)
Сравнивая выражение (13.53) с (13.52), мы видим, что. электрамаrнитнае
даВJIение равна платнасти энерrии Вn.лизи паверхности листа.
Предпалашим теперь, что. IЮl'JIОПЩJ(JЩИЙ .лист мажет свабадна переме
щатьсн; скарасть перемещения JIиста над деiiствием давления Р nудем
считать ачень незначите.льнай, т. е. el'a массу будем считать бальшай 2).
Таrда между J(авлением Р пимпульсам р справедливu саатнашение
p
dt .
( 13.54)
Применим к этому случаю механичесний занан сахранения импульса. Таrда
импульс, получаемый паrлащающим листам, далжен атдаваться валнай.
Сравнивая между сабаЙ саnтнашения (13.54) (13.53) и (13.51), мы прихадим
« вываду, чтп :шектрамаrнитная вална абладает имну.льсам, равным (на еди
шщу абъема) в направ.пении распрастранения n
gn == f1ЕП n . (13.55)
8. Отражение и преломление плоских волн. Рассматрим падение
ПJl\Iснай валны на бесканечную пласкую rраницу раздеJIа двух сред, Mar
нитпые и диэлектрические праницаемасти натарых саптветствепна равны f1, Е
L) Давленне ЭЛСJ{тромаrнитных водн (cneTUBue давление) ппервые было обнаружено
и ИЗЬJерено П. Н. Jlебедевым в 1901 r. При.ч. перев. .
2) При БОJlЬШОЙ массе будет маJЮ ускорение JJиста. ДJJЯ обеепсчения маJЮЙ ск()рости
Jшста необходимо, чтобы интервал времени, n течение KOToporo действует давление Р,
был бы не слиП!КОМ вешш. ПриJlt. перев.
Плоские элекmро.маенитllые волuы
439
и f1", 8". Блаrодаря наличию rраницы раздсда IJ этом случае MorYT воз
НИННУТЬ еще две ВОJIНЫ: отраженная волна, возвращающаяся обратно в пер
БУЮ среду, и преломленная волна, IJходящая во вторую среду. Обозначим
единичные вы,торы в на,правленип распространения падающей, отраженной
и преломленной волн соответственно через 0', 0" И 0'''. Пусть уrлы, обра
;юванные единичными венторами 0', 0''' И 0" С нормалью н плосной поверх
ности раздела равны е, 6" и Ь' cooTBeTCTI?eHBo;
при этом условимся для с.пучая падающей и
преломленной воли НОрl\ШJJЬ направлять во
вторую среду, а для отраженной ВОJIНЫ в пер
вую (см. фиr. 123). Будем подраRумевать под
ПЛОСНОСТЫО падения ПJЮСНОСТЬ, перпендинуляр
иую н rранице раздела и содержащую вентор 0'.
Пусть М и N 'две произвольные точюr в
пространстве, а р вентор, направленный из
М в N. Будем, нан и раньше, под n пони
мать единичный вентор, ориентированный HOp
мально н фронту волны. ТОП(а ВOJIНа, имею
!Цаи снорость l', пройдет череR тuчну N лишь
спустя п'р/с сен. после Toro, нан она пройдет
через точну jJ.J. В рассматриваемом нами слу
чае ()дин и Т()т же фронт волны дважды проii
дет через неноторую задщlНую точну Р в пер
вой среде: один раз до отражения, а друrой
раз после отражения. Если фронт волны в 1\10--
мент времени t О проходит через точну О на
I'ранице раздела, то пн )10лжен бы.л пройти.
через точну Р до отражении IJ момент Bpe
мени t===O'.../v и ПОСJJC отражения н момент времени [c=,O".r/o, 1'ne r
радиус--вентор, направленныii из ТОЧЮI О В точну Р. Считая занон OT
ражения одинановым для всех точен rраНIJЦЫ раздепа, мы получасм, что
промежутон: времени между этими двумя прохождениями будет таl\ИМ же
. и дли любой друrой ТОЧJСИ Q, расположенной на одинан()вом с точной Р
расстоянии от rраницы раздела. Вентор, направленный из точни О Б '1'0'1--
ку Q, равен r + 8 (8 лежит в ПJIOсн:ости раздела). Поэтому, приравнивая эти
ИJlтерва.пы времени и умножая результаты на lJ, получим
ОЕ
р"е"
Фие. 123.
O',r 0" .r== 0'. (r -+ 8) 0". (r+8), или 0"8== 0" '8.
(13.56)
Следовательно, О' II 0" образуют ОДIIнановьн) уrлы с любым вентором, лежа
щим в ПЛОСJЮСТИ раздела двух сред, это ВОRМОЖНО тольн() В том случае,
еСJIИ О' является зернальным отображением 0" в П.ЛОС1ЮСТИ раздела. Таним
()бразом, волновые нормали н падающей и отраженной волнам лежат в пло
сности падения с двух противоположных сторон от норма,пи н rранице
раздела и образуют с этоЙ нормалью равные (оетрые) УI'ЛЫ.
Найдем теперь направление ПрCJЮМЛШIНоrо ЛУLIa. Для прохож;щпия
фронта в()лны из точни Р, находящеЙея в первоЙ ерсде, в ее изображе
нне Р", находящееея во второй ереде, требуетеи определенное 'время. Пусть
r радиуе вентор. направленный из точни О В точну Р, а r" paДl1ye
вентор, направлонныЙ И3 точни U IJ точну Р". Еешr дпе друrие точн:и
(Q И ее изображение Q") раепо.ложены на таном же рас.стоянии от rраницы
раздела, что и точни Р И Р", то время нрохождения фронта волны из Q
н Q" будет одинаково ео временем прохождения из Р в Р". Радиус венторы
'ТОЧeI, Q И Q" равны r+8 и 1" + 8 (8 .пежит в плоеноети раздела). При
'раннивая интерваJIЫ времени ана,пOl'ИЧНО тому, ню, эт() было проделано
440
rлава ХН]
для отраженной волны, мы получим
«(.I."S")1f2 (О'" . r") «(.I.S)1f2 (О" r) == «(.I."E")1f2 r 0''' . (r" + 8)] «(.1.10)1/2 [О'. (r + 8)],
«(.I."S")1f2 (0'''. 8) -=о. «(.1.10)1/2 (О'. 8). (13.57)
Если s направить перпендикулярно к 0', т. е. перпендикулярнu ({ ПЛОС1Ю
сти падения, то правая часть соотношения (13.57) будет равна нулю, и,
слеповательно, вентор 0''' тоже будет перпендикулярен к 8, Это означает,
что волновые нормали отраженной и преломленной ворн лежат в ПЛОСIЮСТИ
падения. Выбрав теперь 8 лежащим в плоскuсти падения и обозначин
через v и v" скорости распространения волн в первой и во второй средах,
мы получим закон преломления Снеллиуса:
( fJ-"€" ) Ч2 == СОБ a
{.LE V" COS "B
sin U
SillU" ==n.
(13.58)
Величина n, равная отношению sin (J 1-\ sin е", называется показателем пре
ломления. Проделанный нами вывод одинаково справедлив и для случая
аншютропных сред, с той лишь разницей, что там v и v" различны дли
разны.х уrлов падения, и поэтому п зависит от е.
s 9. Интенсивности отраженной и преломленной волн. Закон coxpa
пения энерrии требует, чтобы поток энерrии, проходящий через 1 .м 2
поверхности раздела, был равен разно
сти потонов энерrии падаюшей и отражеII
ной волн. Поэтему, нан это очевидно и:
фИl'. 124 и формулы (13.35),
(П П') СОБ (J ==П" СОБ е". (13.59)
В дальнейшем мы будем рассматриваТI
отдельно волны, у ноторых В плосности
падения лежит nентор В, и волны, у KO
Фие. 124. торых в плосности паления лежит вектор
Е. В связи с этим все векторы, относя .
щиеся к первому случаю, будем отмечать
индексом 1, а но BTOPOMY индексом 2.
Ес.ли вентор ВI лежит в плосности падения. то вектор Е 1 параллелен
l'ранице разде.па. Поэтому, исходя из соотношения (1.45), имеем
El+E ==E;. (13.fЮ)
13 этом случае, воспользовавшись формулой (13.51) и положив в ней
(.1. == (.1." == (.I.v' выражение (13.59) можно представить в виде
sЧ2 (E Е?) СОБ е == s"Ч2Е" со:" ()".
Разделив теперь это выражение на выражение (13.60) и учтя соотношение
(13.58), наiiдем
Е E' sin6cos6" Е".
1 1 sin !J" СОБ tJ 1
(13.51)
Решим систему Линейных алrебраических ураllнениi.i (13.60) и (13.61) OTHO
еительно E и E ; в результате получим
Е' == sin (6 6") Е ( 13.62 )
1 sin (tJ+U") 1>
E" 2siJ16"cos6 Е (13.63)
1 sin(!JTU") l'
Плоские .9лекmро.маеuиmные 60ЛUЫ
441
Из соотношений (13.32) и (13.58) следует
В' == sirJ ffJ fJ") В ( 13.64 )
1 siJl ( + ") l'
В " siJl 20 В (13 65)
1 == sin (B+ ") l' .
Используя выражение (13.51), можно опредеJIИТЬ интенсивность отраженной
волны в виде
П' == SiJl2(O fJ") П . ( 13.66 )
1. SiJl"(J+U") 1
Подставив выражение (13.66) в (13.59), для интенсивности преломленной
волны получим
П" == 2 SiI В" СОБ fJ siJl 2В П .
1 sщ" ( +b") 1
( 13.(7)
Рассмотрим теперь тот с.нучай, коrда вектор Е 2 лежит в ПЛОскости паде
нии, а В2' следовательно, параллелен rранице раздела. Полаrая 1\== 1-'-" 1-'-,,,
вместо выражения (13.60) будем иметь
B2+B == В;. (13.68)
Соотношение (13.59), t:Ul'ласно выражению (13.51), можно представить
в ВИде
(О Ч2 (В: B 2) I"IJS 6 == B;2c" 1!2 СОБ е".
Разделив ero на выражение (13.68) и воспОльзовавшись I.:оотношепием (13.58),
получим
В В , sin 2В" В "
2 2== () 2'
SJJl",
( 13.69)
Решим уравнения (13.68) и (13.С9) относительно B и В;; в реЗУJIьтате
найдем
, t. (o В")
В 2 с=о tg (fJ + fJ") В2'
Ь" sin 2В
. 2 sin (Ь +и") СОБ ( fJ")
Из СООтношений (13.32) и (13.58) имеем
, tg (8 6")
Е 2 == tg (Ь + и") Е2'
Е" == 2 siJl 8" еОБ fJ Е .
2 SiIl(U+ ")cos(fJ fJ") 2
(13.70)
В 2 .
(13.71)
(13.72)
(13.73)
Интенсивность отражвнной водны будет равна
, tg 2 (O О")
П2== tg2«(J+(J") П 2 . (13.74)
ПодстаВJIЯЯ это в соотношение (13.59), получим интенсивность преJIомлен
ной волны в виде
П" == 2 sin В" СОБ fJ sin 26 П. (13.75)
2 SiJl2«(J+!J")eos2(fJ 0") 2
При нормальном падении I.:OS (J и СОБ ()" в Соотношении (13.59) равны еди-
Бице, поэтому вместо выражения (13.61) получим
Е E' С Е " ) 1!2 E" E"
Е v" .
442
rлава XlJI
Учитывая выражение (13.60), найдем
Е'==
v v"
'v+v"
Е,
(13.76)
2'v"
Е"== Е.
v+v"
(13.77)
Из соотношения (13.51) определяем интенсивность отраженной волны
п ' ( V V" ) 2п
. v,+v"
и интенсивность прохопящей волны
(13.78)
П"== (v V:')2 Л. (13.79)
Необходимо отметить, что интенсивности, даваемые выражениями (13.66),
(13.67), (13.74), (13.75), (13.78) и (13.79), представляют собой энерrию,
щюходящую в 1 сен. снвозь 1 .м 2 площаДЮ1, параллельной фронту волны.
Чтобы получить плотность элентромаrнитной энерrии в волне, необходимо
разделить П на v снорость распространения волны в среде.
Нан очевидно из выражения (13.70), при f) + (/' ===- 7С/2 B == О. Это озна
чает, что. если вентор Е лежит в плосности падения волны, то существует
таной уroл, при нотором отраженная волна отсутствует. Ero называют
уrлом поляризации, тан нан падающая под этим уrлом неполяризованная
волна отражается от rраницы раздела, линейно поляризованной, а именно,
вентор В в ней лежит в НJюсноспr падения. Уrол поляризации, называе
мый танже «уrлом Брюс.тера)}, можно он:ределитъ из еоотношения (13.58)
в виде
sin ер
8in ( ; ер )
tg ер == v , == п.
(13.80)
10. Частота. Длина волны. Эллиптическая поляризация. До сих
пор при исследовании зан.ОНОВ отражеrпш и преломления JЮЛН мы IlОЛЬЗО
налпсь для онис.ания ПJЮСJЮЙ волны решениt!М ВО.11НOIшrо уравнения в об
щем виде f (о. r и). Теперь же при обсуждеНШI вопросов, связанных
с нруrоnой и эллиптичес.ной поляризациеЙ, удобнее иметь дело с реrуляр
ными периодичесними фуннциями, ноторые можно всш'да представить
в виде ряда Фурье, сос:rоящеrо из синусоидальных членов. ПО::JТОМУ поло
жим
f (o.r vt) == Dcos [ш (t v lo.r) + 91,
(13.8 1)
I'де о единичныЙ ne1{TOp в напраШIeНИП распространения. Все nычисл.и
тельные операции значительно упрощаются, если воспользоваться [см. BЫ
ражение (10.2)] тем, что
jw (t )
D COS [ш (t V l П. r) <р] == Re Dei e ". (13.82)
Нан и в 2 rл. Х, величину Dei<f( обычно принято записывать в виде ном
пленсной амплитуды п. Нруrовая частота (j) связана с цИНJlичеС1{ОЙ 'у COOT
ношением
(j) == 2'it'Y.
(13.83)
Длиной волны Л называется нратчайшее расстояние, ноторое измеряется
I! направлении распространения волны и через Iюторое все ее элентри
чеСJ,ие своЙства повторшотся. Частота, длина полны и снорость распро
Плоские элекmро.иаеuиmuы.е волuы.
443
(;транения 1) связаны между собоЙ \;uотнuшеllИЯМИ
л == == 2nv == 1
v '" v (fJ-€)1f2
2т.; 2т.;
'" (fJ-€)1f2 T'
(13.84)
Рассмотрим теперь суперпозициm двух ПЛОСRИХ элеRтромаrнитных волн
<JдинаRОВОЙ частоты, распространяющихся в одном и том же направлении z.
Пусть обе волны линейно поляризованы, но у одной вентор маrнитной
Фие. 125.
индунции ориентирован вдоль оси у, а у друrой вil.ОЛЬ оси х, та]'; что для
напрнженностей элентричесн:оrо поля будем иметь
Ех == Е 1 cos [ш (t 1) lZ)],
Еу== Е 2 cos [ш (t 1) lZ) + о].
(13.85)
(13.86)
На фиr. 125 пон:азаны зависимости Ех и Еу от z. Для нахождения RрИ
вой, описываемой в ПЛОСRОСТИ ху IЮНЦОМ вен:тора Е, имеющеrо номпоненты
Ех и Еу, положим z == О и ИСн:лючим время t иа уравнений (13.85) и
(13.86). Это приводит R уравнению
E E 2E,E 1J . 2
Н2 + Ь'2 н 1" \;Os О == slП о, (13.87)
Jl 2 2 1
нв.птощемуся уравнением эллипса, н:оторый поназан с.пева на фиr. 125.
Тание волны называются э.плиптичеСRИ поляриаованными. При 0== п7С ypaB
нение (13.87) принимает вид
Е2 Е х :1:: EIEy == О.
(13.88)
Оно описывает две прямые линии и соответствует линейно поляризованной
результирующей во.пне. При 0== (2п + 1) 7с И, нроме ТOI'О, при Е 1 == Е 2 == Е
ypaBHeH e (13:87) дает
E + E == Е2.
(13.89)
3'1'0 уравнение онружности, и, следовательно, результирующая волна будет
поляризована по Hpyry.
444
r лава Xlll.
11. Полное отражение. Первый пример эллиптичесни поляризован
Horo излучения мы приведем в связи с явлением, называемым полным
отражением. Пусть в формуле. (13.58) Е" < Е, Tor,п,a 6" > О. 1:) частности,
6" может равняться 7С/2 IJРИ 6 < 7С/2. Значение О, при нотором 6" == 7С/2,
называется нритичесним' yrJIOM 6 с . Явление полноrо отражения подтверж
даетея энсперименталъно. Ниже будет поназано, нан можно ero иеполь
зовать. Предположим, что 6> ОС и перепишем соотношение (13.58) для
случая (.1. == (.1.", тоrда получим
cos О" == (1 sin 2 6")Ч2 == ( 1 ЕЕ" Sill 2 6) Ч2 == j ( E ' sin 2 О 1) Ч2.
Затем выражение (13.61) запишем в виде
Е E' . [sin20 (E"/E)]1f2 Е"
1 1 J СОБ о l'
(13.90)
Объединяв выражение (13.90) с (13.60), будем иметь
E "'. С08е п П2е=(Е /Е)]1/2 Е jФ1 Е
1 1f 1 е l'
C08e+i!siIl2e (E"/E)] 2
2 е08 е [siIl 2 e (Е" /Е) ]Ч2
tg l==' cos2e 8iIl2e+(E'I/E) .
Соответственно из выражения (13.69) получим
В В' =--= i {(Е/Е")[(Е!Е") SiIl 2 е 1]}Ч2 В"
2 2 СОБ е 2'
(13.91)
(13.92)
Объединяя
ПОСJJеднее выражение с (13.68), найдеМ
еОБ е i {( Е/Е") [( Е/Е") siIl 2 е 1 ]}Ч2 ,
В == е JФ2 В
еОБ (j + i {(Е/Е")[(Е/Е") SiIl 2 o 1]}Ч2 . 2 2'
2СОБе {(Е/Е") [(Е/Е") SiIl2e 1]}1f2
СОБ 2 е (E/E")2 sin 2 е + (E/E'/)
. B
(13.93)
tg 2 ==
( 13.94)
lIuеIЮЛЬНУ, нан это очевидно из соотношений (13.91) и (13.93), I Е; 1== I Е 1 1 11
I B I == I В21, то падающие :и отраженные лучи имеют одинановые интен
сивности. Поэтому из занона сохранения энерrии следует, что преломлен
HЫ луч не переносит НИRаной энерrии. 81'0 подтверждается танже непо
средственным вычислением E и в; и затем П". Сравнивая соотношениtJ
(13.91) и (13.93) с соотношением (13.82), мы ВИДИМ, что при отражении
волны, в ноторой вентор В лежит в плосности падения, фазовый уrол
меняется на величину 1' а при отражении волны, в ноторой вентор В
перпендинулярен н ПЛОСRОСТИ падения, на величину 2' Таним образом,
в случае падения линейно поляризованной волны, имеющей номпонентами
напряженности элентричес<юrо поля Е 1 И Е2' отраженная волна будет по
ляризована по эллипсу. Разность фаз о можно определить, поделив Bыpa
жение (13.91) на (13.93) и учитывая, соrласно соотношению (13.32), чт()
B == «(.I.E)1f2 E и В 2 == «(.I.E)1f2 Е 2 ,
sin 2 е + , ' СОБ е [sin 2 е (Е" /Е ) ]1/2
e jo == e j (Фl Ф2)
sin 2 B i СОБ е [sin 2 е (Е" /Е)]Ч2 .
Отношение мнимой части этоrо выражения н действительноii дает tg О.
Пользуясь формулой (406.02) из спраВОЧНИRа Двайта, для tg '8/2 мо}«н()
получить
t eose[8in20 (E"/E)]1/2
g 2 sin 2 е
(13.95)
Плоские элекmро.маеuиmuые волuы
445
12. Электромаrнитные волны в однородных проводниках. ДJIЯ
сред с отличной ОТ нуля ПрОDОДИМОСТЫО необходимо учитывать все члены
в волновых уравнениях (13.10) и (13.11). При выводе уравнения (13.11)
пре)1полаrалоеь,. что р == О. Чтобы поназать справедливость этоro предполо
жения дЛЯ ПРОВQJ(ЯЩИХ сред, возьмем диверrенцию от уравнения (13.1),
т. е.
д ·
[1Е де (V .Е) + [11V.E "'" О.
Вместо EV.E, соrласно уравнению (13.3), можно написать р и проинте
rрироватъ в пределах от () до t' и от p до р'; в результате получим
р' == p p- )/'/E.
( 13.96)
Таним образом, всяное распределение плотности элентричесноrо заряда
p постепенно убывает до нуля совершенно независимо от элентрома1'НИТНЫХ
возмущений, Если p первоначально было равно нулю) то р' будет все время
равно нулю. Поэтому мы вообще можем положить р == О. Время релансации
т определяется по формуле
т == 'tE == l lE.
(13.97)
Рассмотрим простой периодичесний процесс, для HOToporo венторы В и Е
MOJRHO представить в виде
В == Не Ве jюt == Не Blle j (,,,/+1').
Производная по времени ajat сводится н умножению на J(J); поэтому вместо
уравнения (13.10) и (13.11) получим
(13.98)
(13.99)
По своей форме эти уравнения совпадают с уравнениями (13.10) и (13.11),
написанными для периодичесних процессов в диэлентринах, тольно вместо
е для проводящих сред нужно писать Е ilj(J). Действительная и мнимая
части часто встречающейся номпленсной величины ([1Е)Ч2 соответственно
равны (Двайт, 58.2)
[[1 (Е i(J) 11) ]Ч2 == п + jk, (13.100)
[ 1'Е [ ( 12 ) Ч2 J 1J2 f[J.E [( 1 2 ) 1/2 ]} Ч2
n== (2 ,,1 + ",2 Е 2 +1 J ' k 12 1+ ю2Е2 1 .(13.101)
V 2 B == [1 иШI ш2Е) В,
V2E == [1 иШI ш2Е) Е.
13. Плоские волны в однородных изотропных проводниках. HeHO
торые свойства плосних волн в проводящих средах можно получить He
посредственно при помощи описанной выше подстановни, исходя из свойств
плосних волн В диэлеRтринах, рассмотренных в 4. Действительно, в CДY
чае изотропных сред соотношения (13.30) (13.32) не зависят от харантера
величины Е, поэтому и В однородных ПРОВОДНИRах венторы В и Е парал
леJIЬНЫ фронту волны. Из соотношения (13.33) имеем
Во== (п+ jk) Ео:= (п 2 + k 2 )lJ2 Eoejarctg (klп), (13.102)
т. е. венторы напряженности элентричесноrо поля и маrнитной индунции
сдвинуты по фазе относительно друr друrа на уrол arc tg (kjn). Перепи
сывая Е в форме (13.82) и подстаВJIЯЯ в соотношение (13.102), получим
Ееjюt == вАlеюkа.rеj,,, (t пo'r),
Ве jЮ / := (в Х а) (п 2 + k 2 )lJ2 Аlеюkа.rеj[Ю {t пa.r>+arC tg (k!11)],
(13.103)
(13.104)
446
rлава ХН]
rде е единичный вен то!' вдоль f;, а а единичныJ: пентор, нормальный
15 Ф ()нту волны. Мы видим, что по мере пронинновения ВОJП1Ы в срет\)
Е и Н ЭRспоненциально убывают. :+со свидетельствует о иаJ1ИЧИИ поrJЮЩ('
нил в среде. Поrлощение растет (' уве.тшчением k. ВеJПIЧlпra п называется
поназателем преломления, а k НОЭффИlIиентом затух,arшя.
Иноrда бывает 1ЮJ1езно ':змать поряДI,И этих веJIИЧИН, например, ДJIЯ
неферромаrНIIТПЫХ сред с маrпитной проницаемостью, близноЙ и I-'-v' Точное
зпачение ДIIЭлеитричесной проницаеl':"ОСТИ ПрОnОДИИRОП неизвестно, но,
повидпмому, ПО иорядиу величин она совпадает \; ПРОllицаемостыо ДИЭJIеR
ТРИ1ШВ. В начестве типичноro примера Iюзьмем ;иедъ, ПРUlJOдимо\;ть HOTO
рой нриБJJИЗПТС;;1ЫЮ равна 5,8.107 1/шt. .М.. Оfiозначип длину волны n
BaI{yYMe через )'0 и И\;1lO.lIьауя выражение (13.84), IIОЛУЧИМ дЛЯ меди
(К == Е/Е,,)
.l== ,"OI ",, .З,38.109.
Ш8 2nc€ К
Эта величина. 3Iraчителыю больше единицы всеrда, за иснлючением очень.
IШРОТI{ИХ nолн, поэтому п и k 1J вьфатении (13,101) с большой точностью
равны
( 1 ) Ч2
п",, k ,/;1-'-"01 (т.:С) Ч2.
(13.105)
11 ри помощи
нели чины Е
соотношения (13.104) шщсчитаем расетОШIllС, на IЮТОРОМ
11 В уменьшаются n e 2 'lt == 5 .102 раз. Это расстояние равно
d== 2110 == :.... ( 4n"О ) Ч2м. (13.106)
",k kc . , 1'- У
При "о равном 1 с.и, 1 .11" 100 ..\1, 10 к.м величина d для меди принимает
соответственно значения 0,0025 .И.М, 0,024 .м.м, 0,24 .м.и, 2,4 .м.м. Пред
стапляет танте интерес сравнить среДние значения элентричесной и Mar
J итноii энерrий в волне. Из соотношеЮНI (13.104) и (13.52) имеем
W e Е2 1'-8 2Jt€c
W m == [1Е В2 == п 2 +k 2 "" 1.0'( .
(13.107)
Предположим, что Е == 2Е,,, тоrда дЛЯ TO.ТlЪHO что расемотренных длин ноди
это отношение соответственно рапно Т}'е/П'т == 5, 7 .10 8, 5, 7 .10 10, 5, 7 .10 12,
5,7. 1 O 14, т. е. полная энерrия почти целином маrнитная.
14. Отражение от проводлщеii ПОIiерхности. В 12 было понаЗaJЮ.
что 11 проводящей среде величину (fJ-"Е")1f2 нужно заменить на
[[1" (Е" jш 11)]lJ2 == п + jk.
Таним образом, из СОотношения (13.58) при помощи IJыратения (13.100)
для SiIl В" И СОБ ()" получаем
siI1 ()" == (!J.z)1f2 SiIl (j (3" == [ 1 11.10 sin 2 6 ] 1/2
п+/k ,COS (п+i k )2.
Из предыдущеrо параrрафа следует, что для длин волн порядна 1 см и
более
(13.108)
. k п> 1,4.104.
Поэтому уrол е", определяемый формулоЙ (13.108). оназывается номплеН\;IЮЙ
величиной, очень малой по модулю. Еспи вентор маrнитной индунции
лежит в плосности падения, то, тrJIaCHO выражению (13.66), имеем
(
П' == sin2(0 O") П П
1 sin2(tJ , 6"). 1 6".....0 l'
(13.109)
II лоские але/.mРО.!ttаеuиmuые волuы
447'
Если же в плосн,?сти падения лежит вентор напряженности элентричеСIЮI'О
поля И, нроме Toro, УI'ОЛ падения (J не С.lIИШНОМ близон н 7CJ2, то из Bыpa
жения (13.74) получаем
, tg 2 (O О")
П 2 tg" (I) , О") П2О:=О 1I 2 .
(13.110)
Итан, сравнительно щинные элшпромаrнитные волны полностыо OTpa
жаются от проводящеi.r IIоверхности незаписимо от поляризации и }тла
падения. При меньших значениях ПРОВОДJlмости те же результаты справед
.нивы для более длинных полн. Та незначительная часть поля, ноторая
ПрОНIшает внутрь проводнина, очень быстро затухает в нем по мере yдa
ления от Ю'О поверхности, тан что даже очень ТOJший металличесниЙ лист
почти совершенно неl1розрачен по отношенJПО н Н:ОрОТl\им волнам. Для опре
деления поляризации отрашенноrо луча разделим выражение (13.62) на
выражение (13.72), в результате Чel'О получим
E СОБ(О+О")Е2 (cosO" 5inO"tgO)E2
Е';' СОБ (b O") El (co О" + sin О" tg О) Е\ (1:3.111)
в рассмотренном нами диапазоне длин волн
п + jk п ('[ j).
Если I I1 E J(п+ ik)2 I 1, то cos(J"===l, и из формулы (13.108) имеем
E == [n (Р,Е)Ч2 sin О tg O /n] Е 2 === { [n ({J-8)1f2 sin!J t 0]2 + n 2 } Ч2 ejo Е 2 (13.112)
Е;' [n+({J-8)1/2siпОtgО in]Е\ \[n,({J-8)1/2 s iпОtg!J]2+ n 2 . E 1 '
t 0== ?п(IJ,E)1/2.sinOtgO .
g 2п" {J-8 sш 2 U 192 {J
(13.113)
Поснольну п веШIчина большая при любых уrлах падения в, за ИСRЛlOче
нием близних }, 1t / 2, то
E;' E2
Е! Hl .
При tg (J 00 появляются изменения не TOJIbHO величин E и E , но и
сдвиrа по фазе о. Таним образом, для длин волн порядна 1 см и более
эллиптичесни поляризованное излученле получается тольно при снользящем
падении линейно поляризованной волны.
15. Плоские волны вдоль идеально проводящих цилиндричеСКIlЛ
"роводников. Плосние волны MorYT распространиться не тольно в свобод
ном щ:юстранстпе пли в беснонечно протяженной диэлентричеСi\ОЙ среде
С плосними rраницами, но и вдоль системы идеально про водящих цилиндри
чесних ПрОВОДНИIюв, т. е. в ненотором напраплении z, вдqль HoToporo
lIоперечные сечения ПрОВОДН1ШОП не меняются. COrJIaCHO 3 rл. XI, элентро
маrнитное поле не пронинает пнутрь идеальноrо ПрОПОДНИI,а, а. тони тенут
лцшь в беСRонечно тонном слое по ero поверхности, поэтому с идеальным
проводнином не связано НИl\8НИХ потерь энеРI'ИИ. Интересующую нас задачу
можно решить неснольними способами. При получении результатов 26
rл. VII считалось, что вентор потеIIциал, а следовательно, соrласно 2,
и вентор rерца ориентированы вдоль напраВJ1ения Z, т. е. параллельно
токам. Решение волновоrо уравнения IlШI вектора rерца дает и сналярный
потенциал и вентор потенциал. Если, воспользовавшись уравнением (13.16).
иснлючить сналярный потенциал, TQ полученный вент()р потенциал будет
лежать в плосности, нормальноЙ Z. ТОТ же результат мошно пqлучиТl.
448,
rлава ХПl
непосредств нно, реrrrая сналярное волновое уравнение
[ a2W a 2 W ] I a2W € a 2 f,f' ] == О.
дх 2 + д у 2 +, az 2 [1 Ut"
(13.114)
РеrrrеИllе получается, если наждую из снобон по отдельности приравнятъ
нушо 1). Это реrrrение имеет виц
W == V 1 (х, у) 11 [z «(Jo€) 1[2 t J + V 2 (х, у) 12 [z + ([1€) Ч2 t), (13.115)
1';Ie V 1 и V2 реrrrеиия ДВУХмерноrо уравнения Лапласа. Пусть W 1 и W2
номпленсные потенциальные фуннции, рассмотренные в rл. IV, тоrда
W 1 == и 1 + jV 1 == F 1 (х + jy), W 2 ===U 2 + jV 2 == F 2 (х + jy). (13.116)
Если V 2 V определен нан j (oV /дх) + j(oV /ду), то из 11 rл. JV мы имеем
kXV2 V==V 2 U, kXV 2 U==V 2 v, '\IX[V2UI(z»)==kXV2U!, (z). (13.117)
Из соотноrrrения (11.11) вентор потенциал поперечноrо элентричесноrо поля
равен
А == V xkW == k х V 2 V 1 /1 [z ([1€) 1/2 t) kXV 2 V 2 /2 [z+«(Jo€) lJ2 t) ==
== '\12 и 1 (х, у) 11 [z «(Jo€) lJ2/)'+ V 2 и 2 (х, у) 12 [z+ «(Jo€) 1/2 1). (13.118)
Очевидно, что первый член cooTBeTcTuyeT вnлис, распространяющейся в поло
жительном напрашreнии оси z, а второй в отрицательном направлении
оси z. Поля определяются по формулам
В == V х А == V 2 V (х, у) f' [z =t= ([1€) Ч2 1),
Е == : ===:I: ([1€) Ч2 V 2 U (х, у) l' [z =t= «(Jo€) lJ2 1).
(13.119)
(13.120)
Верхний знан относится R волне, распространяющейся в положительном
направлении. Из уравнений (13.117), (13.119) JJ (13.120) имеем
([1€)lJ2E===FkXB. (13.121)
Будем различать Две rруппы Проводнинов, предполаrая, что тони втенаю'l
в провоцнини одной rруппы И возвращаются по проводнинам друrоЙ rруппы.
ТOl'да из уравнении (13.120) с очеВИДноетью следует, что если при HeHOTO
ром значении z потенциалы проводнинов, относящихся н одной И той же
rрупне, одинановы, то они останутся одинановыми и при любых друrих
значениях z. Для нахождения соотноrrrенин между полным тоном и cyм
марным зарядом в любой из 1'рУПП, состоящей И;1 п проводниУ.ов, нужно
воспользоваться формулой (13.121), уравнением (7.2), а танже при влечь
теорему rayr,ca (1.40). в результате получим
n n
Q == €En ds i == «(Jo€)1[2 23 НI dS i == «(Jo€)lJ2 1.
i 1 ' 1
(13.122)
Обозначим через L самоиндунцию на единицу длины, через С емностъ
на единицу длины, а через S площадь поперечноrо сечения z == const, не
занимаемую ПрОБОднинами. Torдa из соотноrrrений (2.15), (2.47) и (8.35)
имеем
L/2 . В2 еЕ2 Q2 fLE 2
2 == \ -;z:- dS == Т dS == '!.с == 2С 1 .
. fL
S S
(13.123)
1) IIолаrая в уравнении (13.114) постоянную разделения равной нулю, автор orpa
ничивается раесмотрением толыю rлавных волн, не оrоваривая этоrо. При.м. перев.
П.лоские эле/.mро.маеuиmuые волны
449
Таним обf1азом, L и С оназьшаЮТС}1 свнзанными между собой соотношением
LC==tJ-8==V 2. (1з.124)
Произведение LC рюшо веЛИЧlIне, ()братной BaдpaTY снорости распростра
ненин ,тентромаrнитной волны в оНружающеи проводшши среде.
· Если в ненотороi[ ПЛОСности z == () задана зависимость венторов Е и В
от времени, то, пользуясь уравнением (13.118), лелю полУчить выражение
дЛЯ А, приrодное нри любых z,
1
.\. === 2 V 2 и (х, у) [f [t (:1.8)1 2 z 1 + j[t + (fJ-Е)]'2 z] +
+ g [t (118)1/2 z] g [t + (fJ-8 )1/2 z]}.
Пусть и и v даются ф"рмулоЙ (13.116), TorJra выражение
водит н следующим значениям полей в сечении z === о:
(13.125)
(13.125) при
/
Ео == ( )(\ === V 2 и (:!', у) /' (t),
Во === (V х А)о == (fJ-8 )Ч2 V 2 V (х, у) g' (t).
(13.126)
Столь же просто, 1IOЛЬЗУЯСЪ уравнением (13.118), написать выражение дЛЯ
А, если в момент t == О венторы Е и В заданы в виде фуннции от z:
1
== 2 V 2 и (х, у) {f [(!1.8)].'2 z + t] / HfJ-8)1f2 Z t]
g [(118 )Ч2 Z + t] g [(fJ-Е )1/2 Z t]} .
(13.127)
Пусть и и v определены по формуле (13.116), тоrда из выражения (13.127)
для А получим следующие значения полей в момент времени t === о:
Ео == V 2 и (х, у) /' [(fJ-8)1f2 z], Во == (fJ-Е)1f1 V 2 V (х, у) g' [(fJ-Е)1f2 z]. (13.128)
16. Характеристический импеданс среды 1). ЕСJJИ пместо IIдеальнOl'О
диэлектриrш, с которым мы имели дедо в иредыдущем нараrрафе, pac
сматривать среду с ИРОВОДIjМОСТЫО Т, то уравнеНИI:J (13.114) необходимо
переписать в виде
[ a2W J2JJ7 ] [ a2W aW a2W ]
дх 2 + д у 2 + az2 fJ-Т "7ft 118 at 2 === О.
(13.129)
Если теперь вторая снобна равна нулю, то решение уже неJlЪЗЯ записать
через ПРОИЗВОJlьные функции. Поэтому мы ИСПОJlьзуем метод разделения
переменных, описанный в rл. У, СOl'ласно ноторому уравнение в частных
производных разбивается на два уравнения, содержащих полные производ
ные. Решение последних можно представить в виде ЭН:ПlOненциальных
фушщий, иричем 13 зависимости от тш'о, будет ли постоянная разделения
действительноЙ или мнимоЙ веШ1ЧИIIОЙ, решение будет rармоническим в
пространстве (переходный процесс) или rармоничеСЮIМ во времени (YCTaHO
вившийся процесс). Сейчас мы будем рассматривать ТОЛLКО устаношшшиеся
решения, преJJ,ПОJlaI'ая записимость от времени задапной в виде фантора
e jwt (см. 1() Нilстоящеii rланы). Функцию (У, удоплетворнющую ypaBHe
ншо (13.129), можно представить в виде проиэведе1ШЯ двух множителей;
I3Торой множитель УДОllJIeТlЗоряет дифференциалыIOМУ уравнению (10.106),
поэтому фушщии / [z :::f: (Р,8) Ч2 t], входившие в ряд формул предыдущеrо
1) Термин «харю{тсристичеСНlIЙ Иl\ПJCданс>) 3Д2(Ъ и даJ1ее сохранен за отношением
Н/Н, термин (<волнопое СОПРОТИШЮlIие>) за отношением V/I n беrущей ВОЛIJ('.
При.м.. пepe'l.
29 в. СмаilТ
450
rлпtщ Xfll
параrрафа, необходимо теперъ заменить на e:l:rz+J"'t, rде
r 2 == jW[1- (1 + jwc) == (а + j )2, (13.130)
[l == { ( Ш[1- ) [( ш 2 с 2 + 1 2 )Ч2 шс] } 112, == { ( } ш[1- ) [( ш 2 с 2 + 12)1JЧ Шс 1 } Ч2 .
(13.131)
3десь r постоянная распространения, а ноэффициент затухания волны,
а волновое число (или фазовая ПI стоянная). Теперь вместо уравнений
(13.119) и (13.120) для волн, распространяющихся в положительном или
отрицательном направлениях оси z, будем иметь
В == Re [=f I'v 2 V (х, у) e'!'rZ+j,,'t] ==
== =F V 2 V (х, у) e'!'CZ [а СОБ (wt =f z) sin (wt =F z)], (13.132)
Е == Re [ jw V 2и (х, у) е i'Z+j"'I] == wV 2 U (х, у) e Pz sin (wt 1= z), (13.133)
I';E== =F jw (kXH), или l'kXE==:f: jwB. (13.134)
Соrласно формуле (6.57), произведение сопротивления R между провод
нинами на емность С равно 'tc или с/1 (и сопротивление и е?'!ность OTHe
сены н единице длины). Поэтому шунтирующая полная проводимость у-
и последовательный импеданс ZL, фИI'урирующие в 19 rл. Х, равны
у + . с '1 + ;ша I'.а f2
Н ]Ш а L jwL '
ZL jшL.
Тоrда из соотношения (10.109) ДJ!Я волновоrо сопротивления линии получим
( V ) v v
v ZL 112 ;wL V LE jw I'.а
Zk=O ---- == == =-,.....,....-== .
у r I в _ I'C
( 13.135)
Рассмотрим теперь частный случай линии, состоящей из двух бесно
печных параллельных про водящих плосностей, расположенных на paCCTO
янии 1.м друr от JIpYI'a. Емкость на единицу длины участна линии, име
ющеrо площадь поперечнOJ'О сечения R z направлении 1.м 2 , равна с, поэтому
волновое сопротивление будет раюю
v ( jw'!- ) 112 'Ш'!-
Z" =о, у+/ ша == a+irJ '
( 13.136)
.
причем V == Е, В == [1-i (i плотность тона). Мы видим, что k зависит толь
но от свойств среды. Нонфиrурация поля в таной линии совпадает с HOH
фиrурацией поля в ПЛОСно поляризованной волне. Поэтому разумно, следуя
Шелнунову, назвать Z". харантеристичесним импедансом среды. Сравнение
формул (13.136) и (13.58) поназьшает, что для ОПТI1чесни прозрачных сред,
НOl'да 1 =О О, а [1- [1-,,, харантеристичесний импеданс прrнюрционален пона
зателю преломления. Пользуясь выражениями (13.131) и (13.136), можно
определить харантериетичесную постоянную распространения среды II виде
1\ == а+ i == [jШ[1- (1 + jшs)]lJ2=== jШ[1-z;l. (13.137)
17. Отражения от неОДIIорОДIlостеii. Соrласующие сеIЩИИ. Предпо
ЛОЖI1М, что описанная в последнем пара1'рафе П.посная волна, беrущая
в направлении Z, встречает на своем пути плосную rp. ницу раздела
(z == солst) двух сред, причем среда, простирающаяся за этой rраницей,
имеет диэлентричеснуro проницаемость С2' маrнитную [1-2 и проводимость 12.
Соотношения между значениями напряжения и тона, соответствующими
[J ./lOC1iи элеr.mро.мnZUllmныР 110ЛНЫ
4S1
падающеЙ, отраженной и проходящей волнам, соrласно выражению (13.135),.
имеют вид
!\ '= ZI II'
V , v
V == Zli ,
Т\ == .2'2 12'
(13.138),
На самой rранице потенциалы и тони должны быть непрерывны, что дает
vc+ y == У 2 И
" V ,
i 1 + i == i 2 .
( 13.139)
в результате совместнOI'О решения написанных выше уравнениЙ ДJIН
У 1 , Р 2 , i 1 И i 2 получим
V V 1 , ":, . v v v v
Z2 Z, V2 i 2 Z 2 2Z 2
У 1 i 1 22+21 У 1 i 1 .2 1 21 +Z2
Если обе среды непроводящие, то, нан леrно видеть из выражений (13.131),
(13.135) и (13.58), отношение Z2/Z1 можно заменить на отношение l:2/l:11 т. е,.
на отношение сноростей распространения во.лн в двух средах. Следовательно,
ЗaIЮН отражения потенциалов при нормальном падении такой же, как и для
напряженностей электрическоrо поля tCM. выражения (13.76) и (13.77)). Опе
рируя с отдельными компонентами, можно использовать формулы линий
передачи при получении законов отражения для ПРОИЗllОЛЬНЫХ уrлов падения.
Путем введения соrласующей сенции можно избежать отражений при
переходе :?Лектромаrнитной волны из одной непроводящей диэлектрической
среды ([1-1 ( 1 ) в друrуlO ([1-з Е з ). При идеальной передаче входной импеданс
соrласующеrо слоя или секции должен f)ыть равен характеристическому
импедансу пер пой среды. Соrлас о соотношению (13.135), нужно положить
в выражении (10.112)
Z; == L ([1-1 Еl) Ч2, Zk == L ([1-2 (2) IJ2, ZL == L ([1-з Ез) lf2,
l' == jш ([1-2 ( 2 )IJ2 == 2т: jЛ"2 1 .
Для соrласования необходимо удовлеТIЮрИ1Ь следующему уравнению:
( fLl Е1 ) Ч2 _ (,.._з Е з)I/ 2 cos (2"I/л 2 ) + i (fl2 E 2)lf2 sin (2rr.l/л 2 ) (13.141)
fJ-2 Е2 ("'_2Е2)IJ2 cos (2rr.ljл 2 ) + i (,..-зЕз)IJII sin (2rr.lIл 2 ) .
3то уравнение будет иметь место, если положить 1)
1
l =="4 (2п + 1) Л 2 и [1-2 Е 2 == ([1-]E 1 )IJ2 ([1-зЕз)IJ2.
(13.140)
(13.142)
Таним образом, длина сопraсующей секции равна нечетному числу л 2 /4,
а ее харантеристический импеданс среднему I'еометричесному импедансов
пероой и второй сред; польауясь оптиче<;КОll термино.лш'ией, можно сказать,
что понаш'!Тель преломленин соrласующеrо СJЮЯ должен быть равен среднему
rеометрическому поназателей пре.ломления сред, расположенных справа и
слева от соrласующеrо слоя. Четверть волноnые слои широко применяются
для ум:еньшенин отражениЙ от поверхностей линз.
18. RомплеI СНЫЙ вектор Умова ПоiiНТИНl'а. Выражение для nек-
тора Умова Пойнтинrа в номпленсном виде ПОЩJЗНО в тех случаях, ноrда
1) ФОРМУJra (13.142) l!Спрапильная. ОШllБЮI при выводе заключается в том, что
самоиндукция L мш'нстина равна fL, т. е. разная в JJаЗJJИ'1НЫХ ередах. СJJсдоватеJIЫIO;
вместо (13-.142) должно иметь J.!CCTO следующее условие соrласоваllИЯ:
1 ( Ч2 IJ2 )( 1/2 IJ2 ) . 1 1 / (2 +1) '
fL2 E 2 fLl Е I !'-3 3 ' == 4 п "2'
Б оптике обычно fL==fLv, поэтому формула (13.142) дает прnвилыюе соотношение мешду
дщшеJ{ТРЮJесними проницаеМОСТЯJ.1и. П-ри.м,. пе рев.
29*
1152
rлава ХН!
1l0ЛЯ меняютсп со Bpe eHeM синусоида ль но и, следовательно, оператор ajat
нельзя заменить на множитель jш. Перепишем уравнение (13.2) и ypaBHe
ние, номпленсно сопряженное с (13.1). Последняя операции является вполне
занонной, тан нан она не изменяет реальной части уравнения
V х Е== jшВ, V х ]3==[J- (1 jШЕ) Е.
(13.143)
}lмножив первое уравнение на В, а второе на Е и сложив результаты,
получим
B.(VXE) E.(VxB) == [[J-IE .Е jШ([J-ЕЕ.Е В. В)].
Нан и в 3, левую часть этоrо выражения, равную V . (Е х ]3), проинте
I'рируем по объему v и применим теорему raycca. По зю-шну Ома (6.8)
вместо Е можно написать I/I' или 'ti, rде r плотнuсть тона; В результате
;получим
J [J- 1 н. (ExB)dS== 'ti2dv jш (ЕЕ. E [J- 1]3. B)dv. (13.144)
s v v
Из выражения (11.10) следует, что реальная часть члена, стоящеrо в левой
асти, равна удвоенном величине средней энерrии, поrЛОIЦаемой в течение
1 сен. внутри объема интеrрирования. Таним оf)разом, проинтеrрировав
'Нормальную номпоненту вентора
1 ",.. 1 vЛ-д.v
п== Не [2[J- 1 (Е х В)] ==4J" 1 (Е х В+Е х В) (13.145)
(нормаль направлена внутрь объема) по замннутой поверхности, онружаю
щеи этот объем, мы получим С1ЮрОСТЬ поrлощения элентромаrнитной энерrии
внутри Hero. Эту формулу можно ирпользовать, например, для определенип
потона энерrии, ПрОХОДЯIЦеrо снвозь плосность Z == Zo линии передачи, опи
caHHO в 16. Иснлючив при помощи выражения (13.134) Е из выр женин
(1з.145) и используя сооТношения (13.123) и (13.135) для волны, беrущей
iз положительном направлении оси Z, получим
'\ 11 dS == jш v \ (k х В) х В dS 0=0 k B dS == k i шL !2 == k PZ.
': ' 2fLr r s 2fL 2r 2
(13.146)
Нан и в выражении (13.122), потенциал предполаrаетсн положительным
па тех проводнинах, по ноторым тон течет в положительном направлении Z.
Если изменить знан напряжения или тона (наную либо одну величину,
fl не обе сразу), то направление пот она энерrии сменится на обратное.
19. I{ваЗИПЛОСIПIC волны вдоль неидеалыIхx ПрОВОДIIИIЮВ. ДБУХ
ПрОБодная линия Лехера. Если линия передачи, рассмотренная в 15
и 16, образована проводнинами, имеющими нонечную проводимость, то из за
наличия вихревых тонов часть энерrии будет выделяться в виде тепла на
поверхности этих проводнинов. Напряженность элентричесноru поJТЯ будет
иметь z номпоненту, что при водит н пuявлению состаВЛЯЮIЦеЙ вентора
\lMoBa Пойнтинrа, направленной внутрь проnоднина. Очевидно, что теперь
волна уже не будет чисто плосноЙ. В большинстве прю{тичесн:и важных слу
чаев потери мощности на единицу длины малы по сравнению с мощнuстью,
передаваемой вдоль линии, поэтому напранленис ne1HOpa П ш:;значительно
отнлоняется от оси Z. Пuснuльну потери энерrии пропорциональны нвадрату
Iшпряженности поля, то поле энспоненциально убывает вдоль z, что при
\ .
водит н появлению в последоват льном импедансе ZL активной составля
П.аоские элекmро.маеuиmuые волны
453
ющей Rj,. Нроме Toro, БЛaI'одаря ПРОНИlшовению маrнитноrо поля внутрь
проводнина н ZL добавляется еще и внутреннее индунтивное сопротивле
ние jшL j . Учитывая все это, для волновоrо сопротивления, определяемоrо
по формуле (13.135), получаем
Z C ZL ) 1/2 == C L [Rj+i(J){L +.L;)] ) 112
k У . !'-(-У+1ШЕ) .
Для большинства линий передачи В; 1:.. шL, ["; 1:.. L и 11:.. ШЕ, поэтому ДЛЯ
линии в ванууме волновое сопротивление и постоянная распространения
соответственно равны
.
(13.147)
Z/< == L ([J-vЕ,,) 1I2 == 3 . 108 L == (3 . 108C) I,
f2 ZL У == [J-L I (1 + jШЕ)[R; + jш (L + L;)].
(13.148)
(13.149)'
в качестве примера найдем Zk и r для системы Лехера, состоящей
из двух параллельных проводов дпаметра d, расстояние между осями
1\0ТОРЫХ равно Ь. Пользуясь формулами (4.71) и (13.124), можно определить
внешнюю индунтивность в виде
!,-Е!,- Ь
L == с == -;t ar ch d . (13.150)
3аметим, что L зависит тьльно от нонфиrурации и не зависит от отдель
ных размеров. Будем теперь считать частоту и проводимость настольно
большими, чтобы rлубина пронинновения 1) была значительно меньше d.
Torдa для сопротивления В;. (на единицу площади) и для индунтивности
Ц (на единицу площади) можно использовать формулу (11.26), в резуль
тате имеем
RJ2 == 2т } i ds,
LJ2 ==- 2Ц i ds,
(13.151)
rде is тон, тенущиЙ в цилиндричесном поверхнрстном слое, приходящиiiся
на дуrу единичной длины, а множитель 2 обусловлен наличием двух про
ВОДНИКОВ. Соrласно соотношению (13.119), на r илиндре, имеющем потенцtШJJ
U == и 1 , танrенциальная составляющая В равна dV/as. Применяя R элементу
поверхности формулу (7.4), получrrм [J-is == В. Таним образом,
i dS==[J- 2 ( : y ds== [J- 2 C :: )dV.
Из соотношениЙ (7.44), (4.57) и (4.64) имеем
I dW I == av == 1'1 sin п (и 1 + jV) sin п (и 1 jV) =.= 1'1 ( ch2 ",и 1 СОБ2 тcV ,\ ,
dz os 1са 1!,-1 1,!-1 ",а \. 1'.1 !,-1 )
11 1
-2 d ) С h 2 пи 1 2 1t V ) dV h 2тси 1
ls S С 1 СОБ 1 ' <) с l '
!,-1са 1" !'- 1Ш!,-
О
(13.152)
h 2nU1
d c !'-1'
Последнее следует из соотношения (4.66). Подставляя
и (13.153) n (13.151) и разделив все на 12, получим
2Rib 2't'b
B..
· 1td \Ь 2 d 2 / 12 'ТСоа (Ь 2 а2)1I2 '
L. 2Lib 2't'b
t nd (Ь2 d2)1I2 == 1t(J)od (b2 d2)1J2 .
b2 d 2 4a2.
( 13.153)
выражении (13.152)
(13.154)
(13.155)
454
rлава XIIТ
Рассмотрим теперь частный случай, ноrда отношение d/ Ь == 1,5 и линия
находится n пустоте и.ни в воздухе, тан что fJO == f1v 40t . 1 0 7. ТOJ'да caMO
инл:унция 1", определенная по формуле (13.150), равна 3,85 . 10 7 81/. Для
подсч.ета R i и Lj необходимо, помимо d/b, знать еще частоту, удельное сопро
типление, маП1ИТНУЮ проницаемость и один из размеров провол:шшов. Для
одноrо из наиболее важных ПрОВОЦНИН"ОВ '\1еди т' . 1/,с' ::::=5, .10", а [l-==fJov.
Остановимся на частотах 3 .М88Ц, 300 М88Ц И 30000 М88Ц, ноторым COOT
ветствуют Д.липы волн 100 At, 1 м и 1 СА/. Индунтивное СОПРОТIшление (J)L
дЛЯ этих частот соответственно равно 72,5 о.м, 7:!.5 ом и 7250 O.At, а толщина
СН"ИН СJroн 3,82 . 10 5 м, 3,82. 10 6 м, 3,82. 10 7 м. Поэтому В COOTBeT
СТВИИ с формулами (13.152), (13.153) и (13.149) можно составить следую
щую таблицу.
А, м
d, м
R", ом
L.,2'/1,
f!.
f3
0,01 0,001 313,;' 1 ,225.НJ 10 5,1.1() 2 19
0,01 0,01 3,Н5 1 ,22;). 1(;- 11 5, 1 . 1О з 19
1,00 О,ОО1 3,R5 1,225.10-- 9 5,1.1С З 1,9
1,00 r.,01 0,385 1,225.10 10 5, 1 . 10 4 1, !}
100 0,001 0,385 1,225.1(1--8 5, 1.10 4 0.19
100 0,01 0,03R5 1,225.10--9 5,l.10 5 0,19
Очевидно, что во всех случаях R j и (J)L; малы по сравнению С (J)L; поэтому
ВО.лновое сопротивление, определенное по формуле (13.148), будет равно
115,5 ом.
20. rрупповая скорость. Амплитуду любоrо из векторов поля в плос--
НОЙ полне, распростраНЯIOщейся в линии передачи, можно записать в виде
А ( ) == f (u 1 , и 2 ) cos «(J)t Z),
(13.156)
rде U 1 и и 2 ортоrона.льные [{оордпнаты в ПЛОсности, перпендину.лярной к
оси Z, а ВОЛнопое чИ! ло или фазовая постоннная. Если фазован снорость
IЮЛПЫ зависит от частоты, кан это имеет место, например, в 130ЛНОВОll.ах
или дисперrирующих средах, то сиrнал, оfjразованный rруппой вопн раз--
личных частпт (волновым панетом), будет менять свою форму (иснюнаться)
по мере продвижения вдо.:rь Z. Пусть таной панет образован волнами,
ВОЛПОllые числа ноторых расположены в интервале o а и o + а, а ампли
туда волны в интерl3а.rrе d равна А ( ). Тоrда амплитуда СИ1'нала опре--
делится из выражения
о+б
S == А ( ) е; (юt z) d .
о б
31'01' интеrрал можно прецставить в виде произведения двух множителей
oH
S == Се; (шоl Оl), rде С == А ( ) е; [(пнuо)t ( o)z] d ;
о б
ОДИН из них представляет несушую волну, фазовая скорость ноторой
рапна С о '= шо/ ", т. е. рапна средней фаЗО130Й СJ{ОрОСТИ. Друrпй множитель
(модулирующий фантор) является оrибающей панета, перемещающейся со
Задачи
455
снор()стыо (Ш Ш о )! ( o)' Средняя 8МПJ!lпуда Dолнопоrо паrюта равна 1/2 С /'0.
Таним образом, на несуIЦ 'Ю част()ту Ш О Н3I{.Тl 'дьшается еще м()дулирующая
частота Ш Ш о . Пусть теперь мы хотим ()предслнтъ сн()рость пер смешения
плосности, в нот()р()й амп.Пllтуда юду;]!ПIии С, обrазующая СИПIaЛ, постоянна.
По теореме о среднем значении интсrра а
С == 2'ОА ( 1) e j [(Юl "'О) t ( 1 '1>0) '],
... де R ./ R / R + Есл и Д и а пазон част о т , вхо д яптих в 1ЮЛН()DОЙ панст ,
. 1'0 u "'- 1'1 1'0 и.
настольно мал, что 1 o 11 Ш 1 ш о беСН()НСЧIlО малы, то снорость СИ1'нала
будет равна
V =о (J), (J)O I а", \
s [;1 o ""i" at1 13== o.
(13.157)
ЗАДАЧИ
1. Два еаМОJJета летят па высоте /1 над ПЛО('IЮЙ понеРХJlОСТЫО воды на рас.СТОЯI1НИ d
дру" от друrа. С одноrо ('амолета на ДРУl'ОЙ ПОС.нан раДJlосиrнаJl. IIриемная и прре
дающие антеlШЫ на саМО;lCтах представляют ('обой НОРОТIiИР ыетаЛШl'lРСНИР пrоволочки
длиной l, ориентироваПJJЫР ВРРТИЮJ.тJЫЮ. 1I0.'Iarall h,J> 1, d J> 1 и л J> 1 и считаfl дизлеl{-
тричеСI{УЮ Ilроницаемость воды раВIlОЙ Е, ПOlшзать. что отношение мощности сиrнала,
ПIJllllятоrо после отражения от воды, !{ мощности прямоrо сиrнала равно
d; { [(e El') d 2 + 40/;211[2 '2Eo;1[2h 1 2
(d"T4.Jt2) «e Ev) d 2 +4e/z 2 ]l/z + 2Ee; 1JZ h 1 .
2. Плосная ЭJJ('"тр()ыаrпитная волна. по,;шризованная ПОД уrЛО:l-l 450 по ()тношениlO
к ПЛОСIЮСТИ падения, испытывает 1l0.;шое отражснне внутри IlРИЗМЫ, В ноторую она
входит и И3 которой она ВЫХОДИТ ПОД Прfl IЫ 1 yrJIO 1 н ее rраням. [1 Ol{аЗ<lТЬ, что
мощность вОШIЫ. выходящей И3 призмы. равна 10п 2 (1 +п) Ч о' rде п поназатель пре
ЛОМJJeНИЯ. ПОI{азать Т<lЮi,е. что выходящая волна будет ЭJJЛJштичеСЮ1 lJОJJяризованной
с I,а3JIOСТЬЮ фаз Cf', определяемой соотношепие!\J
tg Cf'== cos e (sin e) 2 (sin 2 е =--n 2)Ч] ,1
rде е уrол падения на заднюю rрань ПРП3МЫ. При решении задачи пренебречь мпоrо
кратными отражениями.
З. Плоская ЭJlш,тромаrлитная ВOJша е ДJlИJlОЙ B0 llЫ Л пап ет на БРСlюнечпуlO
диэлектрическую ПЛОСlю параJlЛР';IЬНУЮ ll.!IаСПllШУ ТО.пЩННОll а. Поназать, что IIIITOH-
сивность отраженной ВОJlНЫ, поляризоваННОll нормально ИJJИ параJJлельно П:JOсности
падения, дается выражешнJМ
4Ь2 sin2 ( о) l (I Ь2)2 +4Ь 2 sin 2 ( о) ] 1 10'
fде Ь ОТIJошение ИПТ('ПСИRпоr'тп волны, отраженной т()лько от прррппей rрани пла
СТИНI>И, к интенсивности падающрй l30:ШЫ, о !нr.nал lt'оsо/ уrО:l Прf'.;Jо !лer1НfI, п по
казатрль преЛОМJICНИIl. При решении нробходимо учитывать ф3ЗОllые соотношения и
)шоrонрrТJJые отражения; плаС'ПlIту t'читать I!рпоr.,ЮJШ\ЮЩРЙ.
4. Ilоказать, что дли вент()ра Умова ПоI1нтинrа па rl'<lнице раздела с аНН30ТРОl1ПОll
средой в общем СJrучае не.'IЬЗЯ llOJJЬЗ0вать,:я ЗaIЮН(\ 1 п реJ:ОЛ1JJеНI1 Н, прпврденным
в 7 rл. XIIl.
5. ПОI{эзать. что ПJiOСН()СТЬ, проходящая черрз то'шу п"реrечения ОПТJlчесн()й оси
с лучевой ПОl3ерхностью п\)рнеНДlJНУЛЯРIlО l{ ОПТИЧРСl{ОЙ оrи. являеТСIl П:lfJсНОСТЬЮ,
каеатрльной R ОНРУЖlJОСТИ, проведенпой nOHpyt' оси J'У'Ш (ем. фиr. 1:22).
6. lIлосная полн:! паJlпет под yrJIOM О ни ШIOСI>УЮ JЮIIРрХНОt'ТЪ одпоосноr() кри
сталла, нормаль l{ I{ОТОР()Й of.p33yeT уrо.п (J. е ОIIТИЧIТ"ОЙ осью. Пусть Cf' YJ OJl межпу
шюеностью падения и ИЛОСIЮСТЫО, СО;\f'ржашрй порМf1'nЬ 11 ОПТИ'l!'СНУЮ ось, пусть также
Еl == 1>2 о{= Ез. lJоназать, что наllравления ВОJШОВLJХ п(\рмаJJРЙ 00 и Ое ;шух преломлепных
456 Fлава ХIII
BO:IH определяются из выражеиий
. e,, sin е . 2e" 2P2 MN::I:: 2P(P2 M2 lIfN)1f2
Sln о ЕЧ2' Sln е JV2+4P2 ,
1
M==cos2a+ , P===sinae'osacos '1'.
вЗ 61
N == M2 Е 1 (Е" sin 2 е Ез) .
cos 2 a + Е,,(Ез Еl) Si1l 2 /J
1 . 1
При уrлах 'f' < T 1t необходимо брать знак минус, а при 2"1t < 'f' < 7t знаI{ плюе.
7. Поназать путем непосредственной Пронерни, что нолны, вентор В н ноторых
черпенпикулнрен н оси z, Описываются веКТОР lJотенциалами вида
А C [ . 'р' k( P'2 В 2 ) Ч2 ] ( '2 i)l/2 x+j("'t 'z)
J 1 I/ ...... l-I ,l е ,
А 2 == С 2 {il ' cos [( '2)Ч2х] k ( '2)Ч2 sin [( ['!2)Ч2 х ]} еj(шt 'z).
rде i==ш21'-18], ==ш21'-282 И 2 > I" В связи С этим решить задачу о распространении
ПЛОСI{ОЙ поверхностной ВОJlJlЫ над оееконечпой ПЛОСНОЙ идеально ЛрОВолящей понерх
1I0етыо, покрытой елоем ДIJэлС]{трнна ТОJIЩИНОЙ а. Маrнитная и диэлентричеСI{ая Про
ницаемости диэлеI{трина равны ссответственно [1.2 и 82. а о"ружающеrо пространства
1'-1 и 8). Пfщазать, что СJЮрОСТЬ распроетранения волны определяется из уравнения
82 ( '2 i)1f2 ==81 ( р'2)Ч2 tg [(Р ?'2)Ч2а].
Еели )a==l,OO, [1.2==[1.1 и 82==481'< то приблизительно 1:[3': 2==1:1,636:2. тан что
амплитуда уменьшается в 10 раз относительно eBoero максимаЛЬНОrо значения на pac
стоянии х == 1, 78а о
8. Поназать путем нсносредствеНlЮЙ проnсрни, что волна, вентор Е в ноторой
перпеJlДИНУЛЯРР.Н к оси z, описывается ВCl{ТОР Jlотенциалами вида
А 1 == jCle ( '2 i)1f2x+j (шt 'z). А 2 == jC 2 sill [( [3'2) х] еi(юt 'z).
rде
i == ю 2 1'-1 81. == ю 2 1'-282 И Р2 > l' .....
В связи с этим решить задачу о распространении плоеНf,й поверхностной волны над
бесконечной идеально I!рОВодящей повеРХIJ, остыо понрыт()й слоем ДИЭЛCl{ТРИl{а толщи
пой а. Маrнитпая и диэлентрическая пропицармости ДИ:Jлрнтрина раnны соотвртственно
[1.2 II 82' а онружающей СРРl\Ы P 1 и 21' []оназать, что снuрость распространения волны
онределяется из ураnнеПJ1Я
(J.2 (p'2 f3i)1f2 == f'l (р р'2)Ч2 ctg [(P ?'2) а].
Если )п.== 1,0(), f12==(J.l И 82==42), то приБЛИЗJlтельно PI: ': Р2==1 : 1.03: 2, таи что
аМШIИТУl\а УМСJlыuаетея в 10 раз относителы!О cBoero МaJ{СIlмалыюrо значения на pac
стоянви х= 9,4а.
9. IIусть два одинановых цплиндричеСJ{ИХ ПрОВОДНИIШ, оrрапиченных ПЛОСJ{ОСТЯМИ
z==o и z===l. имР-ющимп диэлентричес]{ую И маrнитную ПРСlJицаемоети, равные НУiIЮ.
несут на себе рапные по величине и rrРОТИl'оположные по зшшу заряды, так что раз
ПОС'JЪ потенциалов между IJПМИ равна V o . В момонт t==O rЮПf>РХНOf'ТИ нло('ностей CTa
новятся НРОВОl\ЯЩПМИ (R ("опротивление между цплипдриче('нпмп проводнинами).
Поназать, что потенциал между ПРОВОДllиками можно записать н виде
V o
V S == v
B+Z k
v v 00
( R Z'I ) В [ D I 4Zk' 1 . (2m+1jтrz , (2m+1)тrt ]
. HT .t... 2 1 юn l cos 1 /
R + Zk 1t т + (f18) 2 1
т O
rде
O<z<l и 8 (po2)1/2l< е< (8+1)(1'-8)1/2[.
10. Однородная линия передачи, имеющая длину l и ПОЛlJовое сопротивление Zk.
поднлючена ОДНИМ нонцом К цепи, еостоящрй из поелеДовательно соединенных батареи
с э. д. с. '{ь, сопротивления R И вьшшочатеЮJ. Пррнсfiреrая llснажениями поля на HOH
пах, ПOlшзать, ,]то ес.тIИ в момент t == О цепь заМЫЮlется, то через сопротивление R
потечет тон
s==п
i== llz;! Z k ( :+ y. (2п+1) (1'-8) If2l < t < (2п+?)(:J. )1/2l.
B O
л итература
457
11. Однородная линия передачи, имеющая длпну l и волновое сопротивленне Zk,
в сечен и z == l закорочена, а в сечении z == О подключена н цепи, ('оеТОящей из после
довательно соединенных батареи с э. д. с. , сопротивленип R и вынлючателя. ПрP.IlC
бреrая иснажениямн поля на Нонце линии, показать, что если в момент t o цепь
замынаетеп, ТО тон, тенущий через батарею, будет равен
n
. ( 2 О П ) (Zk R)S
! L S (Zk+ЩSН'
B O
2п ([J-Е)If2 1 < t < (2п + 2) ([J-E) Ч2 [.
12. Если Вl'нтор repT\a им ет толыш z составляющую, то он удовлетворяет СI{аляр
ному волновому уравнению (13.114). Поназать, что в случае плосной линии передачи
потенциалы имеют вид
ф== V (х, у) IIz ([J-Е) If2t), А k ([J-Е)If2 V (х, у) j[z ([J-Е) If2 tJ.
Поназать танже, что в реЗУЛБтате иенлючения сналярноrо потенциала при помощи
формулы (13.21) мы придем н выражению для результирующеrо вентор потенштала А',
совпадающему с выражением (13.118).
13. Линия передачи состоит из двух не охватывающих друr друrа цилиндров pa
диуrов а и Ь, раестояние между осями I{ОТОРЫХ равно с. Поназа'IЬ, что волновое сопро
ТlТвлеиие таной линии ОПР\!ll:еляется но формулам (13.147) и (13.148), а постоянная pac
пространения в ней по формуле (13.149), rде
[J- c2 a2 Ь 2
L == 21' ar сЬ 2аЬ
R i == mLi
't' (Ь+а) rc2 (b a)2J
2мЬО {(b2 a2)2 2c2 (Ь 2 + а 2 ) + C4J1f2
14. Линия передачи состоит из двух НОНфOl{альных эллиптичесних цилиндров,
rлаШlые оси ноторых равны 2а и 2Ь (а < Ь). Обозначив через 2с расстояние между фо
Rусами, а через К полный эллпптичеr.ний интеl'рал, поназать, что определяетеn
по формулам (1з.147) и (1з.148), а r по формуле (13.149), rде
f1. 1 Ь+ (Ь2 с2)Ч2 't' [ 1 l' С ) 1 ( С ) ]
L== Zl' II a+(a2 c2)1/2' Ri==wLi== n2o ---;;К \..а +ь- К ь
15. Линия передачи состоит из двух параллепьпых ПЛоСIНJХ полосOl{ шириной Ь,
Имеющих удельное сопротивление 't'. Плоrноrти этих HOJJOCOH отстоят одна от друrой
на расетоянии а (а 1:: Ь). Поназать, что поетоянная распространения и волновое сопро
ТlТвление приближенно равны. ,
p== ( + 'w:o ) [ 2 ' ( 1+ ,)+ iwva ] , z [ а[2't',(!+j)+im:що) } 1/2.
а'( 1 Ьо 1 Ь k t b2o('(+/w:o)
16. Липия передачи состоит из двух пара.плельных цилтшдров р:щиусов а и Ь,
расстояние между осями н:оторых равно с; причеj\J один llИЛИlIДР находится внутри
друrоrо. ПОI{азать, что волновое сопротивление определяr,тся по формулам (13.147) и
(13.148), а llостоянная раепроетранения по формуле (13.149), rде
L==J:. ar сЬ а 2 + b2 c2 Н ; =='(Li == 't' (b аН(а+ b)2 с 2 ]
21' 2аЬ 2"аЬо[(Ь2 а2)2 2с2(а2+Ь2)+с4]Ч2
17. В среде е маrнитной проницаемостыо f'- и диэлентричееR()Й прошщаем()етью Е
плосная волна падает вормаJJЬПО на плоеное идеально отражающее зернало. Поназать,
Что можно избежать отражений, поместив IШ расстоянии четверти волны от зерНaJта
ТОННУЮ пластинну (толщиной d) из вещества с диэлеl{тричееной нроницаемостью Е' и
С проводимостью '(', если '('d (E/[J-)1j2 и '(' w;o'.
ЛИТЕРАТУРА
А Ь r а h а m М., В е с k е r П., Klassische Е1еktrizШit ulld Magn, etismu,; Berlin,
1932. (См. перевод: А б р а r а м М., Б е н: к е р Р., Теория элентричеетва,
2 e изд., М. Л., 1939.)
В а t е ша II Н., E1ectrical and Optical 'Vave Моtiоп, Cambridge, 1915.
В i g g s Н. F., ТЬе Electromaglletic Field, Oxford, 1934.
В о r II М., Optik, Ber1ill, 1933. (См. перевод: Б о р н М., Оптина, М. Л., 1935.J,
45R
rлава ХН!
D r u d еР., Theory о! Optics, LOllgmans, 1920. (См. перевод: Д р у д е П., Оптина,
М. Л., 1\)З5.)
}<' о r s t е r 1 i II g К., Lehrbuch dcr Optik. Leipzig, 1928. -
F r е II k е 1 J., Lehrb\Jch der Еlеklrоdупашik, BJ. 2, В Ю'Нll , 1926, 1928. (Ф Р е н R е л ь
Н. 11., Эле]{ТРОДИНШvllта, 1\1. Л., 1935.)
G е i g е r В с h е 11, Handbllcl1 (ler Pl1ysik, Bd. ХН, XV, ХХ, Berlin, 1927, 1927, 1928.
Н е а v i s 1 d с О., Electrical Papers, Boston, HJ25.
Н е r t z П. Н., Electric vVaves, МасmШап, 1893.
J е а II s J. Н., The Matl1emat.ical Tl1eory о! Electricity and Magnetism, Cambridge, 1925.
К 1 n g R. "У. Р., М i ш II О Н. Н., W i II g А. Н., Тrаllsшissiоп Lilles, Alltennas
and \Уауе Guides, McGr<\,v Hi1l, 1945. (См. переnод: :н: и н r Р., М и м н о r.,
v и н r А., ПереД lющие линии, антенны и волноводы, М. Л., 1948.)
L 1 v е II s G. Н., Tl1eory о! Electricity, Cambl'idge, 1926.
М а с D о n а 1 tl Н. М., Electromagnetism, ВеН, 1934.
М а s о n М., vV е а v е r W., ТЬе Eleetromaglletic Field, University о! Chicago Press,
1929.
М ах ,у е 11 J. G., Electricity and l\1agnetism, Oxford, 1881.
Р 1 а n k М. К. Е. L.. Theory of Electricity and Magnctism, l\1аеmШап, 1932.
R а rn о В., \V h i n n е r у J. Н., Fields and Naves in Modern Radio, \Viley, 1944.
(C I. перевод: Р а м о С., В и н н е р и Д., Поля и волны в современной
радиотехшше, 2 изд., T P М. Л., 1948,)
В с h е 1 k u по I r В. А., Eleetromagnetic Waves, Van Nоstrапd, 1943.
В t r а t t о n J. А., Electromagnetic Theory, McGra,v Hill, 1941. (См. перевод: С т р э T
Т О Н Д. А., Теории элеl,тромаrнетизма, М. Л., 1943.)
\Vebster А. а., Elcctricity and M:ignetism, MacllIillan, 1897.
'\V i е n Н а r rn s, Handb\Jch der Experimelltalphysik, Bd. XI, 1932.
r л а в а ХIУ
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕRТРОМАrнитныХ ВОЛН
э 1. Постановка задачи. Любая неэнранированнан полностью система.
rенерирующан э.nентромаrнитные нолебания, теряет чаеть энерrии за счет
волн, расходящихся в онрутаюmее пространство. Еели система не пред
I!азначена специально для излучения, то ЭТИ потери в неЙ рассматриваются
Еан утеЧI{И, и тоrда обычно требуетсн знать тольно МOIцность излучения.
Если /Не излучение составлиет основное назначение системы, нан, например,
IВ случае антенн или рупоров, ТО, помимо этоrо, нужно иметь сведении о
ПОJТяризации излучаемых волн, о распределении излучаемой энерrии в про
странстве, о потерих, не обусловленных излучением, о распределении заря
дов и тонов в системе и, нанонец, о ее входном импедансе. Эти xapal\Te
ристини зависят от прилотенных элентродвитущих сил, частоты, разме
ров системы и ее нонфиrурации, а танте от материала, из HOToporo сделаны
ЭТИ системы, и от свойств онружающеЙ ее среды. Например, для антенны,
находящеЙся в свободном пространстве, полное решение задачи должно
.занлючаться в нахождении поле;:" удовлетворяюших уравнениям Мансвелла "
снаружи антенны и внутри нее, а таюне удовлетворюоших соответствующим
rраничным условиям на поверхности антенны. В частности, полученные
при этом напряжешlOСТЬ элентричесноrо поля и распределение тона должны
быть соrласованы на поверхности соединения антенны с линией перР.дачи
с полями и ТОНЮIИ В э-roii линии. Таное полное решение задачи для
i:уществуюш их систем, повидимому, невозможно.
Существуют, ОДНalЮ, методы, позволяющие с необходимоЙ точно стыо
вычис.лять одну илИ неСIЮЛЬНО из перечисленных выше харантеристин
.антенн. При помощи запаздывающих потенииа.НОВ по заданному раrпреде
лению зарядов и тонов всеrда можно пайти элентромаrнитное ПОJIе. Часто
оназьшается, что вдали от аптенны это поле чувствительно ТОЛЬНО по OTHO
шению н существенным изменениям в распределении ТOIюв или зарядов в
.антенне, и поэтому последнее можно :'Iадавать приблишенно. Приближенное
распределение позволяет с достаточноЙ точностыо опредеJrить и джоулевы
потери, если они малы. Посредством теоремы VMoBa ПоЙнтинrа можно
наЙти деЙствительную (но не мнимую) чаеть входноrо импеданса антенны.
Формулы сН"ин эффеJ{та позво.'JЯIOТ определить омичесние потери, если
известно маrнитпое поле непосредственпо вблизи поверхности металла.
Раепределенио тонов в антеннах, выполненных из идеально проводяш еrо
проподнина простоЙ rеометричесноЙ формы (сфера, сфероид), мткно наЙти
из CTpOl'oro решенин задачи, oeHOBaHIIoro на применепии системы opToro
нальных фуннций, подобных тем, ноторыо встречаЮТСJ1 в ЭJlC1{тростатпне,
но ТОЛЬНО более сложных. Но, за ИСНЛlOчонием случая lюнпчесноЙ антенны,
таное cTporoe решение дает мало сведениЙ относительно входноrо peaH
тивноrо еопротивления. Излучение из отверстиЙ часто сначала вычисля
ют в предположении, ч о поля на отверстии известны, а затем эти поля
.стараются подобрать тан, чтобы удовлетворить rраничным условиям.
460
rлава XIV
в нижеследующих параrрафах будут приведены примеры на применеютс
большинства из этих методов.
* 2. Два типа веI{тор потенциалов. По заданному распределению
тонов источнина можно при помощИ" уравнения непрерывности найти и
распределение ero зарядов. В 4 будет поназано, что запаздывающие
сналярные и венторные потенциалы можно представить в виде интеrралов
соответственно от зарядов и токов, подобно тому, нак это имеет место в
элентростатине И в маrнитостатине. 3апаздывающиЙ вентор rерца, описы
вающий все поля, выражается через тони при помощи одноrо интеrриро
вания, тан нан уравнение непрерывности в источнине предполаrается при
этом удовлетворенным.
В общем случае в унюшнных выше методах имеют депо с BeHTOp
потенциалами, диверrенпия которых не равна нулю и ноторыс) имеют
отличные от нуля танrенциальные составляющие на поверхностях антенн.
Однако в том случае, ноrда :щряды располаrаются на идеально ПРОВО)JЯЩИХ
поверхностях, оrраничивающих 06лас'Ть, rде ищется п()ле, часто бырает
проще пользоваться nентор потенциалом дрУI'оrо типа, обладающим равной
нулю диверrенцией, и тем самым полностыо избавиться от скалярноrо
потенциала, нан это БыJJo Yl\азано выше [см. соотношение (13.21)1. Такой
вентор потенциал всеrда перпендинулярен н поверхности антенны. Если же
существуют заряды вне проводнинов, то целесообразно разбить BeHTOp
потенпиал А на две частп: соленоидалытую А" и потепциальную А'.
В частности, производная по времени от А' рюша rрадиенту сналяра I]f'
Взяв диверrенцию от обеих частей уравнения (13.13) и воспользовавшись
(13.3), получим
. V . Е == V . дА' V . V\]J' == \72 (W' + \]J') == l.. .
. Bt Е
Обозначая \]J' + \]J" через новую сналярную фУ1ШЦИlO Ф, имеем
\72ф == L .
Е
(14.1)
ТаНIIМ образом, единственное осложнение, пноеl1мое зарядами, занлючаетея
в неоБХОДИМОСТIJ решить ураВJlотше Пуассона, что можно сделать методами
элентростатини. 3аметим, что Ф ВСЮ'Д<!. нахопиТСЯ в фазе с р. gTO свиде
тельствует о том, чтО с поле:н, описываемым потенциалом Ф. не СDJ1зан('
пинаноrо распространения энерrии.
. s 3. Сферические злектромаrнитные волны. Диполь. Нак сле)1ует
из результатов 2 rл. XHI, все векторы элентромапrитноrо поля удовлетво
ряют одному и тому же волновому уравнению; поэтому если в изотропной
непроводящей сре)1е наждая номпонента их. У, z является функцией тольно r,
то она должна удовлетворять следующему уравнению в полярпых ноорди
натах:
д2и ,2 д ( ди )
'\С. У, z _ "()2V2ll == r2
Bl2 х, У ,Z r2 ar Br '
(14.2)
rде l.,2 == «(J-e) l. Пусть w == ru x , У, z, тоrда
д 2 lЮ д 2 lЮ
V 2
Bl2 ' ar 2 .
(14.3)
в 4 rл. XHI было поназано, что решением этоrо уравнения будет
w ru x , У, z == 11 [t «(J-s?J2 r] + 12 [t + «(J-S)lJ2 r]. (14.4)
Нан и в решении (13.25), первый член означает расходящуюся волну,
а второй сходящуюсн волну. Дифференцируя уравнение (14.2) послодова
и алучеuие элекmро.маеuиmuы.х волu
.
461
тельно по Х, у и z и меняя ПОрЯДОН дифференцирования. мы придем н ВЫВОДУ,
что производные и по х, у и z таюне являются решенинми уравнения (14.3);
поэтому решение .Уравнения (14.2) можно представить в виде
д rп + п + B r 1 1 }
их. У, z== дх'n ayпazS i 7 11 [t ([1Е)Ч2 r] + 7 12 ['t + ([1Е)Ч2 r] .
(14.5)
Это решение позволяет написать выражение длн поля, создаваемOl'О любым
злентричесним муЛЬТИ1юлем с изменнIOЩИМСЯ во времеНII моментом. При
-r О вблизи начала ноор!(Инат элентричесний потенциал должен СОllпадать
с элентростатическим потенциаJIOМ, пр иве денным в 8а l'Л. 1. Таним ofJpa30M,
сналнрный потенциал вблизи начала НООРJl.инат и соответствующий вентор
rерца для мультиполей е;:I,иничноrо м.омента, описанных в 8а rл. 1,
в частном случае, диполя и линеЙноrо нвадруполя, ориентированных в Ha
правлении z, будут, соrласно соотношениям (14.5) и (13.7), ранны
qr == 1 4 (1) д д ( ) == (V 'Z)T O;' z == 4 k f[t ([1Е)Ч2 r], (14.6)
Л8 z r ЛЕ r
W== I(I) ( ) == (V.Z) o z== д f /[t ([1s)lJ2r] } . (14.7)
4пЕ az 2 r т , 4пЕ ijz l ,.
Поле излучения повеРХ1юстноrо нвадруполя не tJIJределяется однозначно
злентростатичесним потенциалом: оно зависит от направления ТOlЮВ, тенущих
между зарядами. В случае совершенно симметричноrо 1шаJl.РУПОЛЯ получаем
1 (1) д 2 ( 1 ) "
w == 4пЕ дх ду -;- == [V . Z]T O'
Z== i { 1 [t ([1S)lJ2 r] } j { 1 [t ([1s)rlJ2] }
R1tE ду r 8пЕ дх r
Нетрудно заметить, что И3 девяти вторых ЩJOизводных независимыми
между собой ЯВЛЯIоТ( я толыю шееть, тю, нан порядон дифференцирования
можно менять. Наждый И3 ЭТИХ пенторов после умножения на произвольную
постоянную можно рассматривать нан номионенту HeHoToporo ннадруполя
общеrо вида, момент l\OTOpOl'O является симметричным теНЗ0РОМ BToporo
paHra, l\аним, например, являлась диэлентричесная проницаемость среды,
рассМотренная в 20 rл. 1. Аналоrично и моменты мулы'иполей более
ВЫСОНИХ ПОрЯДl\ОВ являются тензорами более пысоних paHroB. Более полное
изложение этих вопросов содержится в нниrе Стрэттона. 3аменяя В на Е
и [1ЕЕ на В, можно И3 поля элентричеСJ{UI'() мультиполя получить поле aHa
лоrичноrо маrнитноrо мультиполя (см. Э 11 rл. УН).
Наиболее важным шщом мультипольноrо излучателя яв:шется элентри
чесний диполь, момент HOToporo мы обозначим через m СОБ шt. И3 соотноше
ний (14.6), (13.17) и (13.18) получим
Z == (r 1 СОБ 6 {} sin ) (:ОБ (шt r),
ч1tЕr
qr =-...= V' Z == J СОБ 2 б [СОБ (шt r) r siIl (шt r)],
L.lпsr
А == [1Е == : (1"1 СОБ 6 {} Sill 6) sin (шt r),
Е дАт дч r ш СОБ О [ ( Р ) Р . ( (-. )]
т == де дr == 21tЕrЗ СОБ шt ['r t Jr sш шt ['r ,
Ев == д д Ав д д == Ш 4 si П з (j [(1 2r2) СОБ (шt pr) Br Sill (шt r)], (14.14)
1 r u 1tsr .
В д (rA o ) дАт "'fJ-П! siJl U [ В ( t "' ) + . ( t (.\ )]
'1' rij(j 41tr 2 r, СОБ ш ['r sш ш ['r ,
== о> ([1Е)Ч2 == шv l == 21'), 1.
(14.8)
(14.9)
(14.10)
(14.11)
(14.12)
( 14.13)
(14.15)
(14.16)
462
rлава XJV
Вторая часть вентор потенrиала, определяемая нан А' == Е dl, танже-
дает маrнитную индуНцию (14.15). Нан уже было унанано в 2, при исп[\ль
зовании потенциала А', ДИЕерrенция HOToporo равна нушо, нет нужды
в сналярном потенциале. Эта форма представления полей получается при
применении соотношения (11.11) н: сналяру 8и / az, определяемому выраже
иием (14.4).
Если представить себе диполь в виде двух проводнпнов, соединенных
между собой тонним проводом длиной 1, тан что зарядом на проводе можно-
было бы пренебречь по сравнению с зарядом на нонцевых проводнинах,
то дипольный момент онажется равным ш == QI, rде Q маНсима.пьная вели
чина заряда на одном из ПрОВОДНИFОВ. Мансимальная величина тона в про
воде 1 равна wQ, а В, при малых r находится в фазе с TOl\OM 1. Поэтому
для получения поля диполя, тон в нотором меняется по занону 1 cos wt,
необходимо в выписанных выше формулах wш заменить на 11, а wl . на
wt ('It/2). На больших расстояниях от излучателя выражения (14.13)
(14.15) принимаю т вид
Ет == О, Ее == (f1E) 1f2 В,,::::.
(J)fLIl !'in {J . ( t )
4 Sln w r.
1cr
(14.17)
MrHoBeHHoe значение потона излучаемой энерrии, соrласно выражению (13.23)..
равно
\ " Е В, f.jЗ [2[2
р== П.пdS== 2'1tR2sin6dO== 6 sin2(wt r).
.!J., пш
S О
Средняя мощность излучения равна половине амплитуды мrновенной мощ
ности, т. е., нан следует из соотношения (13.32), для вануума
1! [2[2 _ ",2[2[2 п[2[2 395[2[2 (14 1 ()
1 пШЕ" 121tE v С З 3Ev сл 2 л 2 , . I)
(14.18)
rде 1 и ).. измеряются в любых, но одних и тех же одиниrах, Р в ваттах,
а 1 амплитуда тона в диполе в амперах. Для реальных антенн эта
фОРМУJIа не явлнется ТОЧНОЙ, даже если не принимать во внимание влияние-
зрмли и друrих близлежащих объонтов, потому что ТОl( вдоль антенны
распределен неравномерно; однано ею можно пользоваться при 1 л, введя
среднюю величину амплитуды 1. Потери мощности на излучение, на.-
и омичесние потери, пропорциональны l\вадрату тона, поэтому обычно вводят
понятие сопротивления излучения, определяя el'o нан нозффириент про
порциональности между мощностью ИЗJJучения и нвадратом эффентивноrо,
значения тона
l' 7ШJ!2
Rr== == ом.
1"
(14.20}
4. Запаздывающие потеНЦlJaЛЫ. Для нахождения решений уравнений
Мансвелла (см. 1 rл. ХIП) часто пользуются методом :Jaпаздываюших
потенциалов. Cor;lacHo уравнениям (13.14) и (13.15), венторные и сна.лярные
потенциалы распространяlOТСЯ в однородной диэлентричесной среде со CHO
ростью (f1E) 1f2. Попытаемся написать решения этих уравнений, аналоrичные
решениям (7.10) и (::J.Lt\). ДЛИ этOI;'О будем считать, что распределение
плотности тона i и плотности заряда р финсировано в пространстве и меняется
тольно во времени, отложив рассмотрение движущихся изолированных зарп
дов до последней rлавы. Нам нужно вычислить значение потенциалов А
и \]J' в точне Р в неноторый момент времени t. СИ1'нал, посылаемый в точну Р
элементом dv, находящимся в ТОЧl\е Х 1 ' Уl' Zl на расстоянии r от р, пройдет
Иалученuе элеJrтро.маенumных волн
463
это расстояние со СНОРОСТЬЮ ([1Е) Ч2 и, СJIe'ювательно, выйдя из dv в момент
времени t ([1Е)Ч2 r, будет определяться усповинми, харантеризовавшими
элемент dv в этот момеlIТ времени. Суммируя сиrналы от всех элементов,
для птенциалов в точне Р в момент времени t, соrласно решениям (7.10)
и (3.28), будем .иметь следующие выражения:
А ( t ) J::.(CCiIXl'Yl'ZJ.t (fJ.E)1f2r]d d d
х, У, Z, 4" J J r Х 1 Y1 Z J'
\]J' ( Х У Z t ) == ( ( \ р [xJ, Уl, Zl' t (f!E)lJ2 ,'] ах d Y dz .
, " 4ТСЕ J r 1 1 1
(14.21)
(14.22)
Поля определяются по этим запаздывающим пuтенциалам тан же, HaR
и в 2 rл. ХШ. Нетрудно убедиться в том, что выражения (14.21) и (14.22)
действительно удовлетворяют волновым уравнениям, тан нан подинтеrраль
ные выражения у Ах, Ау' А. и qr в точности совпадают с общим видом
решения flt ([1E) lJ 2r]jr,' полученным в 3 [см. (14.4)].
В свободном пространстве, нан следует из соотношений (13.17), А==- [1Е ;
ПО:'!тому для запаздывающеrо вснтора rерца непосредственно И3 решения
(14.21) имеем
z == 4 E ij Х 1 ,
( ) Ч2 ]
Уl' zJ. ( fi r dX 1 dY 1 dZ i dt.
r
(14.23),
Но нужно еще убедиться в том, ЧТО это выражение не противоречит реше
нию (14.22), учитывая, что i и р свнзаны между собой уравнением непре
рывности (13.5). Для получения qr и Z возьмем диверrенцию от Z по HOOp .
динатам точни наблюдения, тан что оператор V будет действовать в Bыpa
тении (14.23) тольно на r. ПОС1ЮЛЬНУ r 2 == (х х 1 ? + (У Уl)2 + (z ZI)2,
то любая производная от r по ноординатам точни наблюдения х, У, z равна
взятой со знаном минус соответствующей производной V 1 по ноординатам
точн:и Х1> У1' Zl элемента источнина dv. Вид фУ1ШЦИИ i в выражении
(14.23) поназывает, что
V . ( ) 1 / дl V V . ( ) 1 / Bi V V ,.
'1 == [1Е 2 д ' r; 1'1 == [1Е 27ft' 1 r + 1'1,
rде оператор v; действует толыш на .х!' У1 и ZI И не действует на t или r.
Заменив теперь V lr на V r и применяя уравнение непрерывности I\ элементу
источнина в момент времени t ([1Е)IJ2 r, после подстаноВI И в выражение
(14.23) получим
V .. V . ' . V . др
'1 == 1'1 + у 1.1 == 1'1 dl '
1 . ( i ) 1 1 др
V.Z== \ V. dvdt. \ dvdt.
4"Е J 1 r 41СЕ J r Bt
Первый интеrраJI по объему исчезает, потому что ero можно (по теореме
ОстроrраДСНOI-о rау('.са) преобра;ювать н поьерхностный интеrрал и выбрать
поверхность вне источнина, 1'де i равно нушо. Второй член после интеrри
рования по t принимает вид (14.2::::), т. е. мы поназали, что И3 выражений
(14.23) и (13.5) можно получить (14.21) и (14.22).
Возможность использования выражениЙ (14.21) (14.23) зависит от той
точности, с НОТОРОЙ можно задать распределение нарядов и тонов в источ
нине. Если последниЙ представляет собой очень тонниЙ, идеально проводящий
провод, протянутыЙ вдопь нривоЙ S, то необходимо ПОТРi:бовать, во первых,
чтобы вдоль провода раВНflлась нулю s составляющая напряженности
элентричесноrо поля, определяемая формулой (13.13), и, BO BTOpЫX, чтобь!
Иалу'tеuир алеJrmро.wдеuиmных волu
465
..
rде r 2 == (z' Z)2 + р2. Для определения пеJШЧИНЫ Е, из уравнения (13.13)
положим
sin (wl r)
и== r '
ди ди
о;; == 7h"
l.J 00= cos z',
OV R . R'
(h' == 1"' Slll t Л ,
,
22
BAz wfL/o \ d'
Bl 4п? ), u Ь,
'1
,
'2
иqr wf'.J o . d
4 ' tu.
uZ п ,
21
ТaIШМ образом, из уравнения (13.13) дЛЯ Е, имеем
Е, == WfL о I Ul' l zf == wfL о [ СОБ zf siJl (wl r]) COS z sin (wl ;Зr2) J
47tf1 '1 47tjj r] r2
(14.32)
Вепичины Ер и Вер можно найти, не интеrрируя выражения (14.30) и
(14.31), а подставив в них U == r + z' z и l) == r z' + z, ОТl\уда r du == u dz'
и rdl.:== l.Jdz'. Тоrда эти интеrралы (Дпайт, 401.(1) запишутся в виде
и2 V2
\ siJ1(wl Z ll) d ,. ( s iJl(Wl+ Z v) d
) 2и и " ) 2v Ь,
иl Vl
(14.33)
rде верхний знаl\ относится 1\ выражению (14.30), а нижний 1\ выраже
нто (14.31). 3аметим, что р входит толы\o В пределы интеrрирования и что
ди 1 ,2
др
ди1,2 р
rl,2 '
(14.34)
поэтому дифференцирование этих интеrралов по р дает
[ sin (wl r + z') =f siJl (wt r+ ;Зz') J '
2 "(r+z' z) r\r z'TZ) zf'
( 14.35)
Приводя [{ общему знаменателю, подставляя r 2 (z' Z)2 вместо р2,
используя формулы для синуса суммы и разности aprYMeHToB
z', получаем
а таюне
шt r и
Е дчr wf'-/o [ ( R ) ' R' ( Q ) ' В '
p== д == cos шt 1"'r2 Slll1"'Z2 COS шt 1"'rl Slll. ZI+
Р Ш Р
+ Z Z Siп(шt r2)СОS z zi Z siп(шt rl) cos z J ,
r2 r]
В. == дА , == 1 о [sin (шt r2) cos z; sin (wt rl) cos ?z +
др ""Р
z' z . , z z . ,
+ cos (щt 1'2) sш Z2 cos (шt rl) sш ZI]'
r 2 rl
.( 14.36)
(14.37)
Выражения (14.3 ), (14.36) и (14.37) применимы и 1\ антеннам с отлич
иыми ОТ нуля наrрузнами на концах, но при условии, что излучение от
этих наrpУЗОI\ отсутствует. Последнее можно осуществить при помощи
заземленных Эl\ранов, haK, например, в случае антенны, 0l\аНЧ1шающейся
Rоаl\сиальной линией, изображенной на фиr. 126, а.
На фиr. 126, б и в поназаны два типа иаrрузон на нонце; их действие
учитывается путем добавления н сналярному потенциалу (14.31) запазды
Вающеrо потенциала, обусловленноrо зарядом на Нонце. Если наrрузку
заменить участком антенны, продолженпым )10 ближаЙшеrо узла тока,
то заряд на этом участке будет равен заряду наrру31\И, таи: Kai> в них
тенут одинановые заряжающие ТOl,И. lIроинтеI'рировав выражение (14.29)
для плотности заряда а от б.;1ИжаЙШeI'О узла до z; I1 ОТ точют Z до
30 В. С1ШЙТ
4(',6
l'лава XIV
ближайшеrо н ней узла, мы получим выражения д.;ш зарядов Q1 n ТОЧl.е z:
и Q? в точне z;:
Q"1 == ш lJо sin z: sin шt, Q2 == (O l 10 sin z; sin шt.
Если наrрузни сосредоточены на малом учасТIЮ антенны, то их можн()
расоматривать нан точечные заряды. В эт()м случае к С1ШЛНРНОМУ потен
циалу (14.31) нуЖIЮ добавить соответствующиЙ запаздывающий сналярныЙ
потенциал вида
\]J' == [ SiJ1 Z sin (,ot r2) s in р zl siJ1 (wt p r l ) J (14.38)
411:ws r2 r 1
Соответствующие добавки н полям Ez и Ер онажутсл равными
, Л Е == Шf,,/ о { . в' [ SiJ1 (wt [1r2) ] + . Q' [ siJ1 (wt [ 1r l) ] }
'-' z !. "2 SlП I Z2 а SlП r- Z l ) ,
111:1" z r2 (Z rl.
( 14.39)
Л Е == wfLl o { . r;,' [ SiJ1 (wt r2) ] + . . р. ' [ SiJ1 (wt rl) ] }
'-' р 4 [,2 ЮП \-'Z2 а SlП r- Z l а .
1I:t' Р r 2 . р r1
Маrнитное поле, определяемое выражением (14.37), не претерпевает JТЗI\Ю
нений. Интересно отметить, что при
водимые Стрэттоном вычисления Бех
мана дЛЯ ПОJШ линеЙНОl'О осциллятора
(в них ИС110лиуется вентор rерца) при..
водят н наJПlЧИЮ наrрузни тarюrо типа
на обоих нонцах антенны.
Если RОНЦЫ антенны совпадают с уз
лам и тона, то, нан следует из пыраже
ния (14.28), Z и . Z ДОJIЖНЫ быть
равны т 1 ", 11 т- 2 "" rде т- l и т- 2 поло
жительные или отрицательные целые
числа; соответствующие же НОСllНУСЬ1
будут равны ( 1)rп] и (. 1)rп 2 . В этом
случае поля, ()предеJшемые выражениями
(14.32), (14.36) и (14.37), мошно запи
сзть в более простом виде, а именно:
E z == wf'./o [ ( 1)nЧSin(wt Р"1) ( 1)rп2SiJ1(wt r2) ] (14.41 )
411:[1 . rl r2'
а
F.
Фие. 126.
(14.40)
б
Е == WfLl o [ (Zl Z)Sin(wt pr]) (z Z)Sill(wt pr2) ] (14.42)
р 411: p ( 1)rпlrl ( 1)т2"2'
Вф === ; [( 1)m 1 sin (U)t [31"1) ( 1)rп] sin (шl ;Зl: )]; ('14.43)
здесь т-2 т1 === п число пучностеЙ тона, УRладывающихся вдоль антенны.
Пусть антенна имеет длину 21, один ее нонец (а) находится n точне
z' === 1, а друrой (Ь) в точне z' === 1; возбуждение происходит в центре;
частота нолебаний произвольная, и хотя на нонцах всеrда имеются нули
тона, на самой антенне может не существовать ни одной ПУЧНОСТI1 тона.
По формулам (14.32), (14.36): (14.37) найдем полн, создапаемые т.юндоii
пз половин антенны в отдельности, а затем СЛОЖИМ результаты. При
этом прй вычислении величин, ОТНОСЯЩПХСR н нонцам а и Ь, НОJIOЖI1М
z == О, Z; == 1, 1'1===1'0' 1'2==1", [z z: == 1"1 COS ба' Z Z; == 1'2 COS б;
Z == О, Z; === 1, 1'1 == r b , 1"2===1', Z z: === 1'1 COS Оь, z z == 1"2 cos 6.
и iJлу'Чение але"'!lро.маеuиmных волн
4(;7
Уrлы е, е а и е ь отсчитываются от ПОЛОiНительноrо направления оси z.
Подставляя эти значения в формулы (14.32), (14.36) и (14.37) и учитьшая,
что (j) == C , получим
Е == cf!I о [ sin (wt r n) + siл (wt rb) 2 с()Б l sin. (wt ,-) ]
z 4п ra . rh r'
Ер== o [2соs.f)соs /siп(шt r) cosea:"in (шt rа)
cos ()ь sin (шt rb)]'
В q> == I о [2 cos ! sin (шt r) sin (шt r а) sin (шt r ь)] .
lпр
(14.44)
(14.45)
(14.4Jj)
Заметим, что амплитуда ТOI,а может достиrать ман:симаJIьноrо значения 10
в тобой точке в пределах антенны за исключением ее пuнцов.
6. Поля на больших расстояниях от ЛИНРИIIOП антенны. Получим
теперь диаrрамму направленности излучения на больших расстояниях от
линейной антенны длиной 2/, возбуждаемоii в центре reHepaTopoM IIрОИЗ
вольной частоты. Топ на 1\онцах антенны будем считать равным нулю.
А.
\
.
/
i
\
)(.
-" ........
,,' .. "-
;,' '.,
, l' .. \
\' : I
... \ "
" \ ,;1'
'';(/
i \
\ J
\/
с
', //.....,
,,, / /
, " I /
/ I " "
/ / ,,\
, / , ,
Фие. 127.
Выражение (14.46), положив в нем r а == r + 1 cos О, r b == r 1 ('os О ир==-,' !"iп fJ J
можно записать в виде
В == ( 8 ) Ч2 Е == !L1o [СОБ l cos ( l СОБ В)] sin «Ot ,.)
ер fJ. в 21tr sin В '
Но из соотношения (13.145) следует, что средний по премени ПОТОl\ энерrии,
излучаемой в r направлеНllИ, равен
(14,47)
1 1
П == 21 Ев 11 Н:р I == 2 fJ. 3/2 с 1 / 2 ! В:р 12.
(14.48)
Если антенна является резонансной 1) и имеет n центре пучность TOI,a,
т. е. 2 /== пт.:, то совершенно ясно, что, изобразип П в nиде радиус вентора
в нолярной системе ноординат, мы пuлучим, что число маl\СИМумоI3 и мини
мумов В результирующей кривой соответствует числу узлоn и пучностеЙ
в стоячей волне тона. Пуннтирная нриnая изображенная на фиr. 127,
от нос ится к случаю п == 3. Полная излучаемая :мощность равна ИПТС1'ралу
от П по сфере большOI'О радиуса с центром n начале НООрДIIнат. Вычислим
этот интеrрал толы\o для случая резонанса. Подстапив n1l:j2 lJJ\ШСТО l и
выразив юшдрат знаменателя в выражении (14.47) по фОlJму.ла:м Д130йноrо
1) Резонансной антенной Ш\ЗЫВaJОТ ПJlurда антенну, реаН:ТIIlIное СО1l1JOТНВJеИIIС HOTO
рой равно нулю. В этом случае длина резонансной антенны оназывзется, nообще rоворя,
спеша отличной от плj2. См. далее стр. 472. При.м. перев.
30*
438
Fлава X1V
уrла (Двайт, 404.22), получим
'7t
р === [Lc/ \ 1 ( 1)ncos(n1tCOSe) . eda ( 14.49 )
8п J 1 СОБ 2 е Slll. .
о
Оf}означив теперь cos е через и и разбив при помощи разложения на. эле
lIlС'птарные дроби этот интеrрал на дuа, мы убеж)\аемся, что полученные
ШIТеrралы равны между собой (для этоrо в одном ИЗ них переменную ин
теrрирования и надо замрнить на и):
+1 +1 +1
( 1:t С()Бnпи d + r 1::t СОБ nпи d == \ 1 т С()Б nпи d
) 2(1 и) и 2(1+и) и ) 1+и U.
1 1 1 .
Положим V == nor: (1 + и), тоща выражение (14.49) можно записать в виде
211710
р [Lc/ ( -1 cosv d [L c1 5 [ C + I ( 2 ) С' ( 2 )]
8п ) v v == n пт: 1 п7С ,
о
(14.50)
rде Ci (2п7С) инi-еrральныЙ носинус, таблицы HOToporo имеются у Ннне
и 8мде, а С==- 0,5772. Подставляя численные значения, для сопротивления
излучении получим .
2Р
Rr== == /2 ==72,4+30Inn 30Ci(6,28n).
l р о
(14.51)
При п === 1 оно равно 73,13 ом. В 10 будут получены ФОРМУЛЫ дЛЯ co
противления излучения антенны, у 1ЮТОРОЙ раr-пределение тона не имеет
пучности n точне возбуждения.
Предполощение о беснонечной тонности антенны составляет тольно один
из недостатнов приведенноrо выше рассмотрения задачи. Для поддержания
постулированноrо режима стоячей полны в антенне необходимо в каждый
ее элемент поставлять энерrиlO, 1юмпенсируя расходы на Дjноулевы потери
и на излучение. Причем если первые мансимальны в центре антенны,
rде максимален тон, то, нан нетрудно видеть из выражений (14.41) и (14.43),
ПОСЛlщние достиrают наибольшей величины uБЛИЗJl КОНЦОВ антенны. Таним
образом, очешIДНО, что, во перных, невозможно при помощи возбуждения
в одной точне поддерживать данное распределение тона вдоль всей антенны
и, BO BTOpЫX, ЧТО ДJIИ восполнения потерь энерrии n антенне должна при
сутствовать затухающая беrущая волна, в которой нет узлов и ноторая
излучает соnершенно ПО ДРУ1'ОМУ, чем стоячая волна тока. rрубую начествен
ную оценну влияния уменьшения амплитуды тона вблизи концов антенны
можно получить, например, взяв суперпозицию полеЙ, созданных двумя aH
теннами, в одной из которых возбуждаются колебания первоrо типа (п == 1),
а в друrой нолебания третьеrо типа (п == 3). Если частоты и амплитуды
;Jтих колебаний совпадают, то в результате получится поле, создаваемое
линейноЙ антенноЙ длиной 31../2, в нотороЙ амплитуда тона в центральноЙ
полуволне в два раза превосходит амплитуду тока в нраЙних полуволнах.
.используя выражение (14.47) и считая l == п7С/2, посл(' неноторых' упро
щений (Двайт, 403.23) получим
f'./o СОБ ( 1t С()Б о) СОБ (п СОБ О)
В'" == (fLEY/2 Ее == Щ" sin О sin (wt r). (14.52)
Диаrрамма направленности, ВЫЧИСJшемая путем подстановни выражения
(14.52) в (14.48), IЛюорюнсна на фШ'. 127 сплошно:ii [,ривоЙ. Мы видим,
что, хотя амплитуды I\раЙпих полуволп ТЮ,ИР же, нан и раньше, о)\нано
величина нраiiних лепестнов сильно умеНJ,ШИJlась, а центраЛJ,ноrо лепесп,а
увелич лась в 4 раза.
Иалу!wuие алеlrmрома:титuых волu
469
7. Излучение беrущей волны. Рассмотрим волну тока с постоянной
амплитудой 10 cos (шt z'), беrущую вдоль провода от точки z' == 1 i2
к точке z' === + l/2, rде она полностью без отражений поrлощается. По фор
муле (14.21) поле, создаваемое в точке х, у, z на больших расстояниях
r==(p2+.z2)1f2 от антенны, равно
Ч2 1
В. === . ( Е ) Ч2 Е === дА: === ['-/о \ 1 СОБ [шt (r' + Z')] } dz'
ер!1 е др 4п J др l r' ,
Ч21
rде r' == [(z Z')2 + p2]1f2:::::,r z' cos 6 и р == r sill 6. При r' l членами порядна
r 2 можно пренебречь, и тоща (Двайт, 401.11)
В fL/o siпfJsin(шt r)sill[! l(1 соsО)] .
ер 21tr 1 СОБ fJ
(14.53)
Среднюю излучаемую мощность можно получить путем интеrрирования
выражения (14.48), а именно:
7t
Р /'2/ Sin2fJsiIl2[iBl(1 eos6)] . 6d6
Sln .
4тcs1f2 (1 СОБ 6)2 .
О
( 14.54)
Заменив l (1 cos 6) на и и используя фОрМУJIУ (403.2) из спраВОЧНИI\а
Двайта, получим
/12/0 [
p===
41ts 1f2
2 l 2 l
\ 1 СОБ и 1 r ]
J u du Цl ) (1 cos и) du .
о о
Первый интеrрал выражается через Ci 2 l (см.
так что подстановка численных величин и замена
приводит н следующему выражению:
р === 301 [2,108 + In + Ci 2 l + SiП4 Л) ] .
Янке и Эмде, стр. 98),
на 2 /л онончательно
(14.55)
8. RоничеClШЯ линия передачи. Формулы (14.44) (14.46) дают
поле излучения, создаваемое линеинои антенной, возбуждаемой в центре,
а формула (14.51) определяет СОПРОТIШJIрние ИЗJIучения такой антенны для
случая, коrда пучность тока совпадает с точной возбуждения. Но из pac
смотрения f)есконеЧ1Ю ТОНIЮJ'О пртюда нельзя ПОJIУЧИТ'l:, шшаких сведении
о реантивном сопротивлении антенны, так кан: самоиндукция провада на
единицу длины равна бесконечности. ЕСJIИ же для избежания этой TPYД
I-ЮСТИ радиус провода принять отличным ОТ НУJIЯ, то llЫЧИСJIение реar,тив
Horo сопротив.:тения ВСС же окажется затруднительным ВСJIедстВJЮ появле
ния бесконечной Е'мности в бесконечно узком зазоре на входе антенны.
Шеш{унов сумел преОДОJIеть обе трудности путем рассмотрения бинониче
сной антенны, состоящей из двух нонусов, вершины которых находятся
в точке возбуждения. ДJIЯ простоты ИЗJIожения про;тиснутируем сначала
вопросы, связанные с Iюническои линией передачи.
Волновое уравнение в сферичеСI\ОИ системе ноординат, описьшающее
ВОЛIlУ с круrовой частотоЙ ш, COrJIaCHO 2 rл. XHl и соотношенпям (3.17),
(13.131), имеет вид
1 д ( . 6 дТУ ) 1 a2JV + д ( 2 dИ Т ) ,Ч'Чt' О 14 56 )
sin!J д!! sш дО + sin2!J a'f2 ar r"7fi 1 . ('.
Чтобы разбить это уравнение на Два, приравняем первую и вторую пары
членов по отдеJIЬНОСТИ пушо и ПОJIУЧИМ уравнения (5.87) и (14.2), r,!J,e-
470
rлава XIV
1'2 == v 2 fU)2. Но из решений (5.88) и (14.4) ДJIЯ !J<J.СХUДНЩСЙСН IЮЛНЫ имеем
W == r 1 V (В, ер) e (fr cos (U)t r), (14.57)
l'де 'х коэффициент затухания, а 130JlIIOnUe число
u (О, ер) +- jf 1 (В, ер) == Р( (ej:P 19 (] ).
(14.58)
Вет.ТОР 1юте:rщиа.т( для ВОJlНЫ ПUIIеР!:!'НЮ Э;iIектромаrнитноrо поля т E1J1 равен
А == V х rW == r 1 Х V 2Ve (fr cos (юt r) == V 2и e (fr cos (шt r), (Н,59)
{де V 2 имеет толыю B и ср соетавюпощие. По форме это пыражеНIIе СОВШJ.
щШТ с выражением (13.118); это спидстельствует () том, что при нрИJIO
Jl.еНИII перемшшur() lIuтенциала к вершинам двух илп неerЮJJЬКIIХ идеаJIЫЮ
",....-- ...................
".... "
/ ....
/ ....
I ././
I ....-
I ././
I ..../
, ...../
\ ':::..-:
\ ......,
\ '
\
, r ......
" i "
'...... ,,""'"
...... ........
....
....
2Я,
D
.1
cR 2
Фие. 128.
ПрС)[ШДЯЩIIХ конусов, п()веРХН()СТII которых образованы путем вращения
радиус пе1{тора, в;:;,оль этих конусов будет распространяться сферическан
волна, 3Jшивалентная плосной волне, распространяющеiiея пдоль ЦТlлипдри
чеСIЮЙ JНшшr llf'редачи, задаваемоЙ уравненисм
j r . 1 l\
Х == cos ер tg 2 и, У == SJllCf tg 2 и,
z-==r.
(14.60)
Рассмuтрим теперь частный случай дпух нрулшых т:()пус()п с УI'nаии при
пеРШИНаХ, раштымп 2Xl и 2Х2' оси ноторых rюресепаются, пю. эт() пока
'эано на фиr. 128, ПОД уrлом 2 . СтереОI'рафическая ПРОClщrrя Лlшиlr пере
ееченrш этих конусов со сферой радиуса r на ТапrенциаJJЬНУЮ п неЙ пло
скость (см. 21 rл. Уl) прююдит к энвипа.леПТНf)И JIИншr передачи, c()
стоящеЙ из двух ЦИЛJlНдроп радиусов Rl и Il 2 С расстоянием между
осями п; поперечное сечение JIИНИJ1 поназапо на фиr. 32, б. Из фИI'. 128 следует
; lJ+R 1 ,2==2.rtg ; ( +-Xl,2)' ; D R1,2=='2rtg ; (tjJ X.l,2)'
Берн отношение этих равенств, ПрИIvICнян формулу (ПаЙерс, 6()2) и натем
разреШИЕ относительно Df(2R 1 ,2)' найдем
D sin<fi
2Н 1 ,2 sin Хl,2
(14.61)
ЕМIЮСТЬ (на единицу длины) эквивалснтнuЙ ЦИJ1ипдричесноЙ линии, соrла
еНО'СО()'fношениям (4.71) или (4.69), равна (при X==X.I==X2 или X 1 =l=X2)
.! h sin <fi .! h( :f: 4siJl2<fi sin2Xl .sin2X2 ) (14.62)
С ar с. или С 2 ar с 2 .. .
1t SШ Х 1t SШ Xl SJnX2
Иалучеuие IJлекmро.маениmuых волн
471
Знан минус соответствует двум вложенным друr в ,.!,pyra нонусам, в про
тивном (.;лучае надо употреблять знан плюс. Соrласно выражению (13.135),
волновое сопротивление равно
Z ( l"'fL ) Ч2 j"'fL E
k C "'(тjwз (a+j;i)C ' (14.63)
rдr 1-1' маrнитная НрОПlщаемость, 8 ДИ:ШCIпричесная пронпцаемость, а
Т I1РОВОДИМОСТЬ онружающеЙ нонус среды.
При == 7':/2, берн, ДJ1Я простоты, направление (J о за ось одноrо
11:1 IЮНУСОR, мы получаем, что и не заШ1СИТ от поординаты ер, и, ноложив
Е !зыражС'юш (14.58) F (и) равным С 111 и, из соотношення (5.157) найдем
и == у ln tg (0;2) V Qo «('ОБ В)
о ln tg ("1.1'2) о Qo (еОБ "1.) ,
(14.64)
rде разность потенциалов между понусами и CJ\шость па единицу длины
соответственно равны
v 2Vue (,(r cos (wt r),
( 1 ) 1
r: 7:8 lп L:tg :2 Х
(14.65)
* 9. БиконичеСI,ая антенна. F:сли оба нонуса в БJIноннчеспой линии
передачи имеют нонечнью размеры, то они образуют б1шоничеСI.ую антенну.
НезаВИСlIМО от Toro, замннуты ли концы конусов сферической оболочноЙ,
и:ш отнрыты, целесообра:шо решать задачу. о вычислении поля нан Kpae
вую задачу n сферичеСIЮЙ системе координат (см. 13). Этот метод oco
бенно хорошо использовать дЛЯ IЮНУСОВ с уrлами при вер1шrнах, б;;птзкими
1. U ШШ н: 1800. 13 случае малых уrлон численные результаты можно пайти
JT ;\руrимп методами.
Возьмсм два идеаJlhНО ПрОНОДНЩИХ ПШll{сиалытых понуса одинановоЙ
длины, у ноторых уrол при вершине 2х настолыю J\ШJf, что распределение
тона, соrлаено соотношенням (14.24) и (14.27), можно записать в видf'
i -с== 10 t'.US (l)t Si11 ( l r). (14.6б)
Тоща поля Оllрсделmотся по формулам (14.44) (14.46), а излучаемая мощ
насть находитея путем интеrрирования вш{тора Умова Пойнтинrа по иоверх
НОСТЯJ\I нонуса. Пусть Ха, Х, Хь уrлы, под НОТОРЫМII ШIДен из точен
z == l, z О и z l с.оответственно раJl,ИУС понуса р, онанчивающиЙ:ся
на поверхности нонуса на расс.тоннип ,. от ero вершины. ПUJlЬ3УЯСЬ Bыpa
жоннем д:ш вектора Умова I10ii1IТинта (13.23), а таЕЖО теоремой о цир
нуляции Н (7.2), для МrIювенноЙ мощности, излучаС"моЙ обоими 1юнусами,
птlУЧИМ
1 L
Р==2 ErH ер 2тср dr--== 2 i(EzcosX+Ersi11x)dr.
о u
(14.67)
Подстановна выражений (14.44) для Ez' ('14..45) для Ер и (14.G6) дЛЯ
дает
1
р == ('[11 2 ;:Б ",t [( C :X со; Ха ) Sa + ( e .: "1. + ('O хь ) Sb] Si11 ( l r) dr,
о
rде Sa""'Si11(wt ra) и Sb==Si11(wt rb)' ЧJЮНЫ, содержащие cos l, исче
зают, потому что p rsinx. Поснолы.у yroJl Х выбран малым, то ra и "ь
мошно заменить па l + r и 1 r, а C!JS Ха, COS Z и coS Хь считать раШ1Ы;\)JI
едпнице. Если Sa и Sb разбить на '\ШОШИТС'. II, то при помощи форму.:r
472
r лава XIV
(401. 05) (40'1.07) из справочника Дваита ДЗЯ 2'itP (cr-/ 2) 1 будем иметь
l o
sin 2mt С [ ( 1 1 ) ( . L . R) ( 1 1 ) ]
) l+r r sш sш + l r +r sin(L R) dr
о'
l o
СОБ; mt ) { r (l r (cos R cos L) + r (l r): [ 1 cos (L R) ] } dr,
rде R == 2 r, а L==2 1. Величины о и о' нужно положить равными НУЛJD
всюду, rде это не приводит к появлению бесконечных членов. В Iшиrе
Янке и Эмде MOI HO наити формулы для интеrральных синусов и l\ОСИНУСОВ
а
SinxAx dx==Si (Аа),
о
а
1 С:Б Ах dx == С + ln (Аа) Ci (Аа),
о
rде С == 0,5772. При помощи этих ф()рмул лепю проинтеrрировать выраже
ние для мощности, и поскольку ln о и ln о' выпадают, то все члены ()CTa
ются к'онечными. ТаI<ИМ образом,
Р == с Iб sin 2(j)t {2Si (2 1) Si (4 1) cos (2 1) + [Ci (4 1) С ln ( l)] sin (2 1 ) }
8п
c I Б2 mt {2С + 21n (2 1) 2 Ci (2 1) + [С + Ci (4 1) 2 Ci (2 1) +
+ ln ( l)] cos (2 1)+ [Si (4 1) 2Si (2 1)] sin (2 1)}. (14.68)
Сравнение с выражением (10.14), rде 2 заменяется на / Z}, ПОI<азы
вает, что коэффициент при / sin2wt равен 2Z r sintjJ или 2Х т , rде ){T
реактивное сопротивление излучения, а I<оэффициент при / cos 2 ш! ране.
Zr cos фили Rr, rде Rr сопротивление излучения. Если в точне возбужде
ния находится пучность тона (2 l == n'it, rде п нечетное число), то вели
чина Rr имеет то же значение, что и в выражении (14.51). Если же
в точне возбуждения находится узел тока и п число четное, то резуль
тат ПОJIУЧИТСЯ друrой, потому что при ПОJIучении выражении (14.66)
и (14.67) направление тока в обеих ПОJIовинах антенны предполаrалосI.
одинаковым, в то время как при выводе соотношения (14.50) ТОКИ счита
лись текущими n противоположных направлениях.
Несмотря на то, что мощность потерь в антеннах уже определена,
еще ни еrо не изв стно о том, rде нужно подключить антенну к JIИНИИ,
чтобы получить правильное значение входнOI'О импсданса 1). Из распреде
ления (14.66) СJIедует, что Hr;, а СJIедоватеJIЬНО, и мощность потерь обра
,щаlОТСЯ в нуль в узлах тока; поэтому нельзя подсоединять линию к KOH
цам антенны. Чтобы наити наиболее простым способом место подключения,
нужно рассмотреть случай, коrда идеально проподящая антенна настроена
так, что поступающая в нее мощность расхuдуется ТО;:lЬКО на излучение.
Torдa в ТUЧhС возбуждении находится пучность т(ша [ l == (2п + 1) 'it ] .:
а амплитуда входноrо тона равна /0' Подставлни ее значение в ypanHe
ние (10.106) И полаrая коэффициент затухания равным нулю, для входноrо
1) НепраIJильная Ilоетановна задачи. Вопрое () распррделении мощности потерь
на излучение IJДОJIЬ антенны, CTporo rоворя, не имеет еМЫl;ла. При JJравильной Ilоста
НОШ,е задача занлючается н определении входноrо импеданса антенпы и в соrласовании
последней с соответствующей ливией JJередачи. При.м. перев.
Иалучеuие элекmро.маеuитuых волu
473
импеданса и для средней затрачиваемой мощности получим
v v V
Z; == ZtlZ ,
1 2
р== 2 ZJo,
( 14.69)
rде Zt импеданс нar-рузки. Но фОрМУJJa (14.68) для средней мощности
дает (ZJ )/2, поэтому для настроенной антенны Z,Zt == Z . Попытаемся
использовать это значение в уравнении (10.106) ДJIЯ определения входноrо
импеданса ненастроенноЙ антенны, и для доказательства справедливости этоrо
250
t;:j 200
>Nt..
"-.150
"'><
>N
350
300
100
50
\
\
\
\ I \
\ I
\ \
2 3 4 5 6 7 8 9 10
21tl/:Л
I
I
00
Фие. 129. Зависимоеть действитеJlЬНОЙ чаети и мнимой части
z izr От веJlИЧИНЫ 2тсl/л.
понажем, что в случае тонной антенны нели чина активной мощности соrла
суется с формулой (14.68). Таним образом,
Z v. Z X Zh СОБ l + ;Z,. sin l
1 h .
Zr cos l + Zh sin l
(14.70)
Пусть теперь импульс Z/{ очень велик, что имеет место для очень TOHH:oro
конуса, ВХОДНОЙ тон 1ЮТОрО1'0 ранен 10 sin l, а входная мощность, соrласно
соотношению (14.69), равна
Р . 1 Z 1 2 . 2 " l 1 ( Z 1 ' Z . 2 " l ) 1 2
; 2 ; oSln r' 2 " 2J /{Slll r' о'
I
Отсюда антивная мощность, нан это и должно быть, получается равной
(R/ )/2. 3аметим, что формулу (14.70) можно получить из ypaBHe
ния (10.106), если в пей заменить l на l (,,/2) и ZL на Z,,o НО это
энвивал(штн() унорочению ДЛIlНЫ линии на 1../4 и ИСПОJIЬЗОВЮIИЮ Z" n 1ШЧ(,
стве импеданса на нонце. Таким образом, эффентивное меСТОПОJюженш'
импеданса излучения 1) находится на расстоянии Лj4 от нонца линии.
На фиr. 129 показана величина, обратная импедансу излучения, в том BIJ;J:e,
в наном она приведена Шеш{уновым 2).
(14.71)
1) То Реть та ТОЧJ{а, rде импедапе И3;;IучеНИJ1 антенны ранен ее ПХОДНО IУ JBIIIC
дансу . п ри.м.. пе рев.
2) Sehelkunoff, PJ'OC. Inst. Rad. Епg., SeptemЬel', 493 521 (1941).
47,'1
r.aaea XIV
Из формулы (14. 7О) ясно, что резонансная длина ВОШIЫ, при ноторой Z;,
является чисто деЙствительной величиноЙ, зависит от рею,тивноrо сопро
тивлеш я излучения, но при I Zk I Х Т она находится вблизи 2 l == nТС.
э 10.. сложные aHT IIHЫ. Линейная антенна ll;\юет СЛ:VIметричнуш диа
rpaMMY направленности относителыю uси. ДЛН 1юнцеитрации излучения
n 'одном направлении требуется (<направленная систем3», диаrрамма HOTO
рои формируется при IlОМОЩИ неСНОЛЫПIХ, обычно ОДIIнановых излучателеЙ
длиноii "2l, расположенных парал.пельно друr друrу. Амплитуды и фазы
тонов в антеннах MorYT быть различными. Пусть излучатели расположены
парал юльно оси z п ПОЛOiRИТОЛЬНUМ оптанте прямоуrолъноif системы IЮОр
дипат в шще решеТRИ, расстояния между двумя 6лиз:южаЩИМII элементами
HOTOpoii в направлениях осеЙ .1':, у И Z соответственно равпы а, Ь и с. Pac
стояние от начала Rоор)(инат до излучателя, харантеризуемоrо целыми чис
JШМИ и, L', w, определнется выражением
ruvw == iua + jDb + kwc.
('14.72)
Обuзначим раДI1УС ВСНТОр, проведенный из нача;'Iа ноординат О n ()'шнь
удаJIeННУЮ точну наблюдения Р, через rr 1 ; тоrда раюIOСТЬ nYTeii прохожде
нин сиrналов из точни О п точну Р И от излучателя UDW в ТОЧI_У Р будет
1"1' I'UV1!" Предположим, что размеры системы малы по сравнению с 1" и что
при вычислении аМПЛIlту:rЫ поля в точне Р все ИЗ:1учателп можно pac
сматривать расположеннымп на одинановом расстонюш от точни Р. Если
нолеfJания в антенне utw отстают по фазе от ноле6аниЙ в антенне 000
на фазовыЙ уrол 1!VlV' а тон в неЙ равен 1 н"и" то, соrласно соотноше
нню (14.47), ВIшад этоЙ антенны 13 поле B'f, создаваемое в точне Р, будет
определяться реальной частью следующеrо выражения:
fJ-Iиvш[соs l еоs( lсоs!J)] j["" Ф (r l'.r )]
2nr sin (j е uvw 1 1ШШ .
Обозначая первыi-i: множитель через F щ;ш' )ря всеЙ снетемы в целом,
но.пучим
В:р 0== «(J-S)1f2 Ев ==- e j r PUi>wej( rl.rUVW Ф uuш ) .
u v w
(14.73)
в случае одинarювых излучателей множитель Р постоянен, II эта форму.па
упрощаетсн. Пусть в направлениях х, у и z 1шшдыii посдедующиjj излу
чатель имеет по сравнению с предшествующим постоянный сдвиr фазы,
равный соответственно , 'IJ или r.. Тоща тройная сумма n выражении ('14.73)
распадается на произведение трех сумм:
Р ej[u( rl.ia ;:)+v( rl.jb '1)+W( rl.kc )] 0==
и v w
F "" ju( rl.ia ;) "" j'U( rl.jb '1) '\,1 j1l'( r].kc )
e e e .
u v w
('14.74)
Наждыи ряд представляет собой rеометричесную проrрессшо, и Ш'О можно
просуммировать (см. Двайт, 26):
. 1 1
, 1 ej111A sш ;[ т х 7
еJ"Ф' е jI/2(111х 1)ф
- 1 еjф . 1 I '
SШ ;[ 'i'
(14.75)
тx 1
п O
Иалучеunе эле1>mро.маенnmных волu
475
rде тx IIOMep осциллятора в напраПilении Х. ИЗ выражения (13.146) для
1 1 С 3 ) Ч2 В " B
cpelIHero значеНI1Н пентора Умова lоiiнтию'а имеем "2 (J. 8 _'_'
поэтому .
П :=-. F2 Б 2 ;/2тx ( rl.ia e)] sin 2 [1/211111 ( rl' jb y,)J Si1l 2 [1/ 2 т 2 Orl.kc t)] . (14.76)
. 2:,. 2 Е 2siJ12[1/2(prl.ia E)]siJ12[1/2( r]'.ib ' )]sin2[1/2(prJ.kc OJ
Иar, уже было сна:зано, система ПРOJщазначается для нопцентрацип излу
ченпн в определенiшм напраПJlении. Ноэффициепт напрап.пенпоrо действия
шш выиrрыш систе;VIЫ G определястсн нак отн()шсние манеимальпой иптен
СИlшости излученин ФИ 1>: JIнтеНСИНlюеТII Ф О ' усредненноЙ. по "ферической
lfоверхпости большоrо радиуса, шшцеIlТрИЧНОЙ с ИЗ.JIучаlOщеir системоii.
Ньштрыш, выраженныii в децибеЛJШХ, мы будем обозначать через G d .
Ilтан:. -
фм фи
с== <!: ' G d == 10]g ф . и, .77)
)0 n
Фунн:ция вьшrрыша G се: ер) для люБOl"О напраllлеНIfЯ являете н отношением
Ф (О, ер) к Ф". Например, ДJJН J1()JJУВО.JIповоii антенны, нак следует из COOT
ношениЙ (14.4.8) и (14.50), отношеНIIO мю,СИl\шлыroi1: интенсивности f\
4 С 3 С 2 u;1}!!;1;L)2 З 4
5
5 С
Фnе. 130.
среднеЙ равно 4 [ln (21t) + с Ci (21t) ] 1, что дает для :шваториа IЬНОЙ ПJIOско
сти G == 1,64 или G d == 2,15 дб. Нормированная диаrрамма направленности
есть поверхность
С(О, ep) Ф(А, ер)
r .
СМ фм
(14.78)
Рассмотрим теперь частныЙ случай системы, состоящей 1IЗ т одипа
новых п полуволновых антенн, IЮлеблющихся в фазе и находящихся па pae
стоянии j,/2 одна от друrой. Положим ту == m z == 1, :: О, a == л/2 == 1t
I'I l==п1t/2, тап: что в выражении (14.76) rl.ia==1tcosepsinO, и поэтому
п == [1 lf2I б [ eOS(1/2n1tCos6) ] 2 [ Sin(1f2m1teos'fsinО) ] 2 (14.79)
8rt 2 r 2 ;//2 RiJ1 О siп (1/ 2п СОБ ер siJ1 О)
Таная система назьшаетсн антенной ТИlШ бl'О/\!:iJiiд СЬrоаdsidе array), так
ню. ПрJl ер == 1t/2 второЙ множитель n выражении ("14.79) мar.СИl\шлен, и, сле
довательно, манспму:м диаrраМJ\lЫ направленности антенны лежит в ПJIOСКОСТИ,
перпеНДИН:УШIРНОЙ оси системы. На фиr. 130 ноназаны относительные зна
чения Il в плосности О == О (ДОПОJIНитеЛЫJые rvrансимумы опущены). Оноло
J.ШRсимума синусы, nходящие во второЙ множитель, l\ШJ1Ы, поэтому этот MHO
житель равен т 2 . Однако отеЮ1Щ нельзн сделать вывод, что при равенстве
полных мощностей излучение системы II этом направлении в т раз больше,
чем излучение одиночноrо осциллятора, потому что пзлучате.;rи взаимодеji
СТВУlOт между собой. Для определения деиствительноrо выиrрыша нужно
подсчитать Ф О ' Заметим, что из соотношения ("14.75) следует, что поелеk
ниЙ множитель в выражении ("14.79) можно, введя а. ==1t cos ер sin О, запи
сать в виде
т 1 т 1
I sin 1/ та . 1 2 I . 1 2
: 2 e1f2J(m 1)o: == еJРб == т + l (т р) cos ра..
sш l /2 а
p o p 1
476
Fлава XIV
Преобразуя носинус по формуле (415.02) из справочнина Двайта, интеrрируя
по <f (Дваит, 854.1), а затем объединяя члены, не зависящие от О, получим
.n 1 27<
2m1t + (т р) CoS (p1t COS ер sin О) dcp =='
p 1 О
т 1 со
== 2 [ 2 + (т. р) иртс sin 6)28 ]
1t т 228 1 (8!)2 .
p ls 1
Для определения излучаемой мощности это выражение надо умножить
на оставшиися множитель в выражении (14.79) и на r 2 sinOdO, а затем
проинтеrрировать в пределах от 0== u до О ==1t. Первый член уже был про
интеrрирован в 6. Друrие же интеrралы имеют вид
7< 7<
S COS2( n1tCosO)sin2S 10dO== S [1 +cos(n1tCOsO)]sin2' 10dO.
о о
В результате интеrрирования получим (см. Двайт, 854.1)
[(H 1)!p22B 2 (8 1)! ( 2 ) S 1f2
(28 1)! + 27<S 1 n J8 1/2 (n1t).
Суммирование по s в первом члене при водит (Дваi\т, 442.11) R резу;r1ьта'fУ,
выражаемому через интеrральный Rut;ИНУС (Яю,е и Эмде, стр. 98). Таниы
образом,
со р7<
2 ( 2 ); 7)2B == 2 1 ОБ Х dx == 2С 21n (p7t) + 2Ci (p7t).
s 1 О
ОбъединЯя все члены, для полной излучаемой мощности получим
р == fJ. !c { т2С + m21n (2n 1t ) т 2 Ci (2пт;) +
т 1 со
+ 4 (т р) [ Ci (рт;) с ln (р7"С) + ( 1) пв, JS 1f2 (п1t) ] } . (14.80)
488! (2п)8 2
p l s 1
Из t;оотношении (14.77) и (14.78) выиrрыш в децибеллах 1юлучается равным
101/-{Р/2(J.с/ 2 m 2 j( nР )]. Дли п==1, т==2 отношение ФмjФо равно 3,81, что
более чем в два раза превышает ФмjФо У полуволновой антенны. Вьпп'рыш
равен 5,81 дб.
11. Влияние земли. ДиэлеRтричесние или проводящие теJШ, IIа:Х(1
пящиеся вблизи антенны, оказывают влияние на нее и искажают ее поле.
Чаще псеrо таким телом является поверхность земли. Дли волн, близних
К сферическим, мошно применить заRОНЫ отражения и преломленип на
rранице раздела с проводпщей средой, полученные в 14 1'Л. XHI. Есшт
же антенна расположена вблизи поверхности, то определить уrол падения
очень сложно, и пользоваться этими заRонами затруднителыю. Часто,
однако, поверхность можно считать ПЛОСRОll и идеС\J1ЬНU проводящеii. Топщ
поле наn. ней останется неизменным, ес.ПИ эту ндеалыIO проводящую п.IOС
кость заменить второЙ, антенной, Щ)оДС'lавляющеЙ собоЙ отражение первоЙ
и расположенной и ориентированной таютм образом, чтобы результирующее
ЭЛOlпричесное поле было нормально н ПОВf'рхности земли. Е( ли Бсе перВОllа
чальные антенны располаrались перпендинулирНо или параллелыIO зеМНОlr
поверхности, то результирующее пuле, очевидно, можно вЫЧИСJIIПЬ по фОР .
мулам преДЫ,цущеrо па раrрафа.
IJалучеuпе алекmро.маеuиmuых волн
477
,.
12. Единственность решения. Прежде чем находить решения' волно
вoro уравненин, (;оответеТВУJOщие данной J{раевой задаче, следует опреде
лить, какие величины надо задать, чтобы решение было единственным.
Рассмотрим область, не содержащую ИСТОЧНИШШ и оrраниченпую изнутри
поверхностями 81' ..., 8 т а снаружи поверхностью 8(!. Пусть 8, (J. И 1
являютсн функциями координат, по не зависят от папряжеппостеiI полей.
Предположим, что два решения уравнений Максвелла Е, в и Е', В' совпа
дают между собой в любой точне обпасти при t -== О. Теорема VMoua Пойн
тинrа ( 3 rл. XHI) и закон Ома для разностных полей дЕ === Е Е',
дВ == В В' и т. д. дают следующее соотiюшение:
п
{ (Д/ + :t [ E(d z E)2 + (d2 )2 J}dv== ] dE dB .nd8I'
v i O Sj
Чтобы пuнерхностный ИНТCI'рал равнялсн нулю, должно выполнятьсн paBeH
ство
дЕ х дВ. n == дВ Х п. дЕ === n Х дЕ. ДВ == О.
Таним образом, если n Х дВ или n Х дЕ равны нулю при [> О, то понерх
постные интеrралы исчезают. Член в квадратных С1юбнах либо равен
нулIO, либо положителен, но при t == О он был ранен пулю, поэтому если
он вообще меняется, то он должен стаНОllИТЬСЯ положительным. Но пер
выЙ член в левой части тоже либо равен нулю, либо больше нуля. Сле
довательно, подинтеrральное выражение равно нулю, т. е. дЕ === дЕ == О.
Таким образом, решения Е, В и Е', В' одинаковы и полностью опреде
ляются начальными значениями полей внутри области и таю'енциальными
номпонентами Е или В на поверхности, оrраничипающей эту область, задан
БЫМИ дЛЯ любоrо момента времени t > О. Практически обычно имеют дело
со стационарными решениями задачи; в этом случае значения величин
в какой нибудь момент времени полностью определяют значепия этих величин
по все предшествующие моменты времени.
13. Решения волновоrо уравнения в сферических координатах.
В ИЗ0ТРОПНОЙ непроводнщей среде на расстонниях, значительно превыша
ющих размеры Иt;точника, все волны нвляются сферическими. Поэтому
в задачах об излучении наиnолее 1IOлеЗНIIЙ формой решения 'волновоrо
уравнения является решение в сферических 1юординатах, имеющее вид
суммы произведений ортоrональных фующпи, взятых с коэффициентами,
определяемыми заданными l'рЮIИЧНЫМИ условиями. Нак мы llидели
в 2 rл. XHI, полное поле излучения в этом случае описывается BeHTOp
потенриалом, диверrенция KOToporo равна нулю и который можно Hыpa
зить, как было указано в 2 rл. XI. через два решения W te и W tm
ска;;шрноrо ВОЛНОВО1'0 уравнс НИЯ, т. е. если, соrласно уравнению (11.12),
V'2A === (J.8m 2 A, ,2W te === (J.8m2f Tte' PW tm === (J.8m 2 W tm , (14.81)
то решение первоrо уравнения определяется через решения остальных
по формуле
А== V Х (rW te + rxVW tm ). (14.82)
Заметим, чтu решение, соответствующее П i tе , ПрИВО;:J:IIТ к вентор потен
циалу, а следователыю, и к элеКТРllче(".КIIМУ IlОЛЮ, напраuленному перпен
ДИI{УЛЯРНО к r. Эти поля назьшаютея попсреЧ1IO ЭJre"тричсr,ними ВUJllIами
и отмечаются индексом [е. По ФОРМУJlO (11.14) нентор маrнитнои индунции
будет равен
в == V х ((J.8ш 2 rП'tт + r х VJV tc )'
(Н.Ю)
478
Fлава T/V
Отсюда видпо, что маrпитное поле, определяемое из W tm , ориентировано
нормально к r, поэтому эти волны назьшаются поперечно маrнитными.
Уравнение (14.81) решается тан же, нан И в Э 6 rл. XI, но только ДJIЯ
большей общности мы добш.шм множитель Ф (ер):
йт-== r I/2Й (r) в (О) ф (ер). (14.84)
Подставив выражение ('14.84) в (14.81), получим для R дифференциа;r1ыюе
уравнение (11.53), для е уравнение (5.102),.а для Ф уршшение d 2 Фfdер2 ==
=== m 2 ф. Таким образом, если положить и == cos О, == (J) (!_мо)Ч2, то решение
для W запишется в виде
t T == [.1P (и) + BQ; (и)] [С j" ( r) + ЬХ" (j r)] cos (тер + От)' (14.85)
Сферичесние ФуюПIИИ БессеШ1 обозначены здесь тан: же, IШI, и в 9 32
и 38 I'Л. У, а именно:
i" ( r) == 7':1/2 (2 r) IJ2 J п+IJ2 ( r);
;" 1 ) 1{2 v
h: n (jpr) == ( 2 j7': r {К п +l/ 2 (jf;r). (14.86)
Первая функция в комбинации с МIюжителем ejlJ)t прсдстшшяет ст()ячую
В(ШНУ, а вторая, в зависимости от Toro, является ли п положительным
или отрицательным числом, представляО1 соответственно раСХОДЯЩУЮСfl
или сходящуюся ВОJШУ.
s [4. Разложение ПЛОСIЮЙ волны по ПОЛIIНомам Лежандра. Для
удовлетворения rраничным условиям на сферичеС1\ИХ поверхностях часто
f)ынает необх()дим() иметь разлтнение ПЛОСIЮЙ волны по фУНКЦИЯМ (14.85).
Хота для прос-тоты мы будем рассматривать волну, распространяющуюся
вдоль ОСи 6==0, однако полученные нище результаты можно отнести
11 к волнам, распространНIОЩИМСЯ вдоль любых друrих осей. Из выраже
пий (13.132) и (13.133) можно видеть, что координата z== r.cosО, будучи
умноженной на l', входит в формулы для плосюrх волн только через пона
аатель экспоненциальной ФУНКЦИИ. Поэтому n качестве 1юэффициента нерел
- р" (cos О) при разложении IЗ ряд 110 по;:ппюмам .JIЮlшщ(ра нужно взять
ехр [r 1" cos О]. Нз выражения (5.130)
+1
v ?п+1 v \ v
о. n == ;'+1 п! (l'r)" J erru (1 u 2 )" du.
1
Разложение в ряд экспонеНЦИaJIЫЮЙ фУНКЦИИ (Двайт, 550) дает
о:> v +1
== 2п + 1 ( l'r ) " "" (rr)S r u" ( 1 u 2 ) " du
" 2"+1 пl k.J sl .
" o 1
(14.87)
(-14.88)
При S Нl 'IOтных эт()т интеrрал равен нулю; поэтому заменим s на 2т
н, взяв пределы интеrрированин от О до 1, поставим перед интеrралом
множитель 2. В знаменателе этоrо выражения вместо (2т)! можно написать
2 2т т-! 1t lJ2r (т+ 1 / 2 ) (Двайт, 850.7 и 855.1), тоща при по'lЮЩИ COOTHO
шения (5.407), заменив п! на l' (п + '1), получим
о:> v
v (2п+1)п1/2 "" (l'r)Ш2т r(m+11. 2 )f(n+1)
о."==2 n +11'(п+1) k.J 2 2т т!r(m+ 1 /2) f(mTп+3/2)
т O
о:> v 2
. , ( ) 1/2 (1/21'r)"+ т+Ч2 ') , ( Ч2 ';
(2п+1) --; т!I'(т+n+ 3 /2) ( п+l) --; ) /пp/2(lr). (14.89)
21" ", o 21 r
и алучеuие элекmро.маеUlLтuых волн
479
При отсутствии затухания l' мож:но замеlIIПЬ на j и, учитывая COOTHO
шение (5.407), получить
.
п ==(2п+ 1) jn ( 2;r //2 J n + If2 ( ,.) == jn(2n+ 1) /n( r). (14.90)
Таним образом, исномое раЗJIOЖf'fше будет иметь вид
00
e jBz == е* cos в == j" (2п + 1) jn ( r) Р п (С08 О).
п O
Для волны e jBz надо заменить на , ИJIИ, ЧТО то же самое, С08 е на
С08 (1t е). Это энвивалснтно [см. соотношение (5.314) или 13 rл. V]
Бведению в правую часть МНОЖИТeJШ ( 1)п
(14.91)
00
e jBz == e * cos в == ( j)n (2п + 1) jn ( ,,) Р п (С08 О).
п O
(14.92)
15. Излучение Iюльцевоrо ТOIШ. МаrНИТIIЫЙ диполь. Разложение
решений по ортоrонаJlЬНЫМ фуннциям, данное в 13, обычно применяется
в нраевых задачах, но оно может оназатьсп предпочтительным и для
источнинов С заданным распредеJlением тона. Например, на больших pac
стояниях от нруrлой пеТJ1И, тон вдоль ROTOpoii распределен равномерно,
иоле можно леrно найти при ПО'l1Ощи метода запаздывающих потенциалов
(см, 4), но вблизи петли это сделать довольно трудно. ИЗ соображений
симметрии ЯСНО, что та1ЮЙ источнин создает толыю поперечно элентриче
сние волны, и, соrласно выражениям (14.21) и (14.22), ::Jти волны можно
онисать, не привленая сна.;1Ярноrо потенциаJJa, при помоJЦИ ТОЛЬНО cp HOM
ноненты вен:тор нотенциала. Поэтому из выражения (14.85) нри r > а мы имеем
00
Й'Т tе == АпР п (С08 О) jn ( a) Х " (j r).
п O
(14.93)
При r < а надо перестапить местами r и а. Соrласно выражению (14.82),
Бентор потенциалы равны
r>a
00
А" == AпP (С08 6) in ( a) Х п (j r),
п O
(14.94)
" < а
00
А" == lпp (1:08 О) jn ( r) К п и a).
п O
(14.95)
Ясно, что эти потенциалы равны между собой при " == а. Нроме Toro,
ПОСНОЛЬRУ поле должно быть симметричным относительно ПЛОС1ЮСТИ е == 1t/2,
Б рядах MorYT существовать тольно члены, соответствующие нечетным п,
ПО::JТОМУ п следует заменить на (2т+ 1). Пз выражения (14.27) ясно, что
тон может быть однородным тольно В случае очень малых'ра, для которых
jn( r) ( r)2m+1/(4rп+3)!! II Kпи a) (4т+ 1)!! и a) 2т 2 при r<;,a [см. COOT
ношения (5.401.) и (5.472)]. За ИСНJIIочением BpeMeHHoro множителя, llыpa
жение '(14.95) является чисто деЙствительным II совпадающим по форме
с Быражением (7.71), еСJJИ а == 1t/2, тан что оно, будучи умноженным на
v
С08 IJJt, дает значения А", при r <;, а. Учитывая, что, соrласно 16 rл. V
и соотношению (5.182), 'P m+l(0)==( 1)m(2т+1)!! И подставляя наЙден
вью из выражения (14.95) значення Ат в (14.94), получим
,. > а
00
1 (2т 1)!! (ра)2'Ш2 1 .. v .
A,,==, 2 fL/ (2m+2)!!(4m+1)!! Р2m+l(сш;О)k2т+1(J r). (14.96)
т O
480
. r лава XIV
Для нахождения действительной части от A ej,,'t по формуле (5.474) мошно
заменить
Ве [ejwtk т+I (j r)] == ( 1Y"ln2т+I ( r) cos шt i2т+1 (pr) sin шt].
При больших r, в СИJlУ малости ра, всеми членами, нроме т == О, можно
пренебречь и n I и il определять по формулам (5.395), (5.396), (5.400)
и (5.402). Тоща пыражение для Ас принимает нид
А? === 1 'rI a2r 2 sin Q [cos (шt pr) r sin (и .[ r)].
(14.97)
Если 7':.аЧ заменить на jJ,I, То напряженность элентричесноrо поля aA/at
оназьшается равной маrнитной ИIЩУНЦIlИ, создаваемой элентричесним дипо
лем [см. выражение (14.15)], а номпоненты вектора маrнитноЙ индукции В,.
и ВВ равными умноженным на 'rE соответствующим номпонентам напря
жеиности элентричесноrо поля, создаваемоrо элентричесиим диполем. На
больших расстояниях поле становится равным
",!,- a2 1 sin fJ
Е? == ('rE) 1f2 В в === cos (шt r),
(14.98)
что совпадает с выражением (14.17), умноженным на 'OC a2[ l, тан что излу
чаемая мощность' и сопротивление излучения определяются по форму
лам (14.19) и (14.20) с учетом нвадрата тош iле мнощителя
р == 153 9()ОаЧ2), 4; Rr== 307 800 a4), 4.
(14.99)
Таним оnразом, мошность излучения, будучи выраженной через тон
n антенне, оназывается обратно пропорциональной четвертой степени длины
волны, тоrда нак в случае линейной антенны она обратно пропорционалъна
Hcero лишь второЙ степени ),.
16. Свободные нолебания проводящей сферы. Приводимые в 13
решения ПОJlНOIзоrо уравнении можно с успехом ПРl1мепить для И:1учения
элеНТРО1\шrНИТllЫХ НОJlе6аний сферичесних тел. Ha1{ следует из выраже
ИЮl (14.82), возможны два типа колебаний: поперечно элентричеСЮ1е и по
переЧНО МaI'нитные. Псспедование выражения (14.85) поназывает, что при
Ъ == о снаружи сферы будет существовать стоячая волна [см. соотпоше
ние (5.399)], а при С о расходящаяся волна [см. соотношение (5.473)].
Решение Q'; должно быть исключено, таи нак оно равно беснонеЧIJОСТИ
при (J == О, (J == 7':.. n случае диэлентричеС1юrо или не идеально прово
дящеrо шара поле будет существовать и внутри Hero. Мы восполь
зуемся суммой решений типа (14.85), взятых пона с неопределенными, но
различными для внешней и внутреннеЙ областеЙ 1шэффициентами. ИаЙден
ные при помощи выражения (14.85) по этим решениям значении BeHTOp
потенциала ДОЛiIШJ>I удовлетворять rраничным условиям (7.118) и (7.119),
нан это имело место в 7 rл. XI.
В начестве простоrо и интересноrо при мера рассмотрим случаЙ идеально
ПРОЕО;J,ящеЙ сферы. Если началыюе ПОJlе внутри сферы было равно нулю,
ТО оно будет отсутствовать и lЮ все последующие моменты времеНIJ, тан
что потери энерrии оБУСJlOПЛИВЮОТСЯ ТОЛЫ{О излучением. Входящую в I3ыра
жение (14.85) неизвестную, пообще rоворп, частоту колебаниlr нужно опре
делить из rраничных условиii. Сначала ИСС;;Jедуем но:юf)ашш поперечно
МaI'НИТIюrо типа, МOI'у1цие возниннуть, например, при поромсщеШIlf еферы
в стаТlIчоеном элентричесном поле. Простеiiш€>с I>оnебанпе соотпететвует
Иалучеuие 8лекmро.маеuиmuых волu
481
аначениям т == О и п == 1 в выражении ('14.85), ДJJЯ JЮТОРО1'О, учитывая
соотношение (14,82),
A==VX(rXVW ) == ( s ino jJjVtm ) ii2(1'Wtт) ==
tm r sш О дО \. дО r iir jJfj
== '- А { 2r, СОБ О k ( 'rj ) + fJSiH (J i!..... [ k ': ( .r )] 1
.LJ Р r 1 JI pr ,. iir r 1 Jt'pr j'
р
(14.100)
..
УСJювие равенетва нушо' тантенциаJlЬНО.й номпоненты iJAo/iJt ЭJIeНтриче
cHoro ПОJJЯ при r == а, соrласно соотношению (5.4 73), дает
( 1 1 ) . 1' ' 3 Ч2 ) ". 1 . 31/2 )
1 . --+ e J a == ( 1, ( + I ' e j a == 0. ( 14.101 )
It Д , р 2 а 2 \. a' 2 \. !и 2
lIодстаrJЛЯЯ в выражение (14.85) наЙденные отсюда два значения p ==
==W p (fJ-Е)1j2, ддн Wtmеjюt 1I0JJУЧИМ
2jt( .) Ч2
] е (j+з1/2)а [
+ А 2 Х 1
sin е { А k l 2jr
1 1 (j + з1f2) а
2jt(fJ.E) 1j2 }
2ir ] е (j з1j2)а .
(j з1/2) а
(14.102)
При ПОМОЩJ1 соотношений (5.471), (5.473) и подстаноВIП1
1
ш ==;[ 3Ч2 (fJ-Е) 1j2 а 1,
1
а == 2" (fJ-Е) 1j2 a l,
1
Р ==;[ 3Ч2а ] (14.103)
\,
после объединения произвольных постоянных деЙствительную часть И/ tm е jюt
можно записать в виде
Cr 2a sin О [31/2 (а 7') siIl (шt r q;)
1 1
Qt+ а r
(а + r) СОБ (шt r q;) е 2 1.
(14.104)
Из ф мул (14.103) И (13.84) видно, что длина волны колебаний равна
7,26а и при прохождении волной расстояния, paBHoro диаметру сферы,
ее амплитуда уменьшается в е раз. Таким образом, колебания очень быст
ро затухают, исчезая уже через неснолько периодов. Аналоrичным путем
можно рассмотреть и i>олеf)ания поперечно электричеСНОl'О типа.
ПодобныЙ, но тодыю БОJlее сложныЙ анаJШЗ применим и по отноше
нию к вытянутому. сфероиду. ЕСJlИ энсцентриситет сфероида велин, то он
пренрасно апронсимирует собой прямой про вод нонечной ДJlИНЫ.
17. . Вынужденные нолебания диэлентрическоrо или ПрОБодящеrо
шара. ФОрМУJIЫ, ПОJlученные в 13 и 14, позвuляют cTporo решить задачу
об установившемен процессе дчффранции ПЛОСJЮЙ элентромаrнитной волны
на однородном шаре. Мы оrрани:чимся случаем, ноrда шар явлнется иде
ально диэлентрнчеСRИМ ИЛИ идеально проводящим. Пусть ПJЮСJШЯ вOJПШ
распространяется в направлении z и имеет тольно х номпоненту поля Е.
Тоrда из соотношений (13.132), (13.133) и (13.21) для НОМШIенсной ю\шли
']'уды напряженности элентричесноrо поля, маrнитной индунции и ВOIпор
потенциала, ОТНОСЯЩJ1ХСЯ R этой волне, будем иметь
Еж == (11E) 1j2i\ == Ee j z,
Ах == jш l Ee j z.
(14.105)
и Еж и Ву имеют r состаВЛЯIOщие, поэтому для описания BOJIНbI в сфери
чесних ноординатах потребуются и поля Т Е и поля Т М. Из выражений
31 Б. Смайт
4R2
rлава XIV
(14.82) и (14.83) находим
А т == .Ах Sili (j СОБ ер == [V х (r Х VJ,t';m) ]т'
вт == Ву sin 6 sin == [V х (1' Х vЙr;е)]r'
t
В разложении (14.92) ФУШШИЯ e j Z представлена в виде суммы членов.
типа (14.85). Путсм диффсренцирования по О ввел.см множитель sin О, ВХО
дящий В соотношение (14.106):
со
jf>rsin Oe j z== ( j)"(2n+ 1) i" (pr)p, (cos6),
n 1
со
А т == Е o;<p L ( j)" (2п + 1) jl1 ([37') P, «(;ОБ О),
,, 1
В==
т
со
Е <;iп <р '
. ( j)" (2п + 1) i" ( f>r ) p (СОБ О).
/wr
,, 1
(14.1015)
(14.107)
(14.108)
(14.109)
ПримениJ3 оператор (14.106) н п MY члену в выражении (14.91) с учетом
соотношения (5.85), получаем
[ VX(rXVW )] == [ vx ( iI ,, OVV" )J ==
" т ои ЫJl u оф
" r
== ;n(pr) r ( sin6 as,, ) + 2S" J == n(п+l.) v. (14.110)
," L sш U дО ди sш 2 U iI'f2 r"
ИтаН, те части "У;т и "У;е фУНlЩИЙ Й Т tm и i"'v re , ноторые описывают падаю
щую плоеную волну, можно найти путем умножения n ro члена рядов
(14.108) и (14.109) на r [п (п + 1)1 1. Те же части, ноторые описьшают
диффраrиропанные ВОJIНЫ, должны содержать фуннцию Х" (j[3r) , тан нан
эти волны являются расходящимися. Таним образом, имеем
со
W V == Е С()Б ер 2п + 1
1т ш L.J п{п+l) [( j)"j"( r)+ ,,k.,(j[37')]P (cosO),
,, 1
со
W V Е sin <р 2n + 1 [( . ) ". ( А ) N V I ( '(:\ )1 P l ( 6)
le == jw L.J n(n+l) ] J" t'r + "/1,, ]t>r "СОБ.
n 1
(14.111)
(14.112)
Внутри шара поля должны оставаться нонечнымИ в начале ноординат; no
этому
Приравняв нормальные номпоненты вентора мar'НИТIIОЙ индукции, соrласно
lЗыражениям (14.110) и (14.106), придем Н, СJIсдующему соотношению:
со
ИI , .== ЕСОБер 2n+1 ( j)nAnjn(P"r)P, (Cos6),
т, ш L.J n (п -т- 1)
", 1
со
W Е S . 'in ер 2n +.1 ( . ) " B . ( О' ) P l ( 6)
tci== JW L.J n t n + 1 ) ] "iJn r "СОБ.
1<0 1
Приравняв нормальные [юмпоненты вектора элекrричесной
соrласно выражениям (14.110) и (14.106), наЙдем
e)nJ" ([3' а) == е и" ([3а) + i" 4"k" ира) 1.
iJ"ijn ([3' а) == i" ( a) + jП Впk п ира).
(14.113)
(14.114)
индукции,
(14.115)
(14.116)
и аЛУ'Чl'uие але"mро.маеNитNЫХ вол1/,
483
Танrенпиальиая составляющая вентоr потенциала А в соответствии с BЫ
ражениями (14.110) JI (14.82) равна
4' == о [ df.l\e д 2 ИV tт ) ] [ df.'{'te + . д2 (rит,т) ] 1 1 7
. t sin О d'f ". ди dr ,дО l' SiIl d'f а1' _ . ( 4. 1 ')
Равенство танrеНllиаЛЬНLIХ I\омпопеIIТ Е или А внлючает n себя толыю
производные W tm по r, тан: нан: члены, относящиеся 1\ IV te ,
СИJIУ соотношения (11.11.6). Условия, нанладылаемые па 6
ЛЯIOIЦие, приводят 1\ одному и тому же соотношению
А д [ain ( 'a)] == д [ai" ( a)] + 'пА д [а k" и a)] .
ni да да J n да
уже равны Б
ИJШ <fi CoCTaD
( 14.118)
Сравнение (14.82) с (14.83) поназывает, что W tm входит в выражение для
,4, таким же образом, нан Wtс выражепие для Bt. Равенство 6 или <fi
составляющих вш,тора fJ- В при r == а В1ШlOчает в себя тольно r ПрОИЗВОД
ные от фуш-щии W te , потому чт() члены, с()дерщащие Фунющю i1'tm, уже
равны междусобой,ВClшусоотношениif(14.115), (14.117) и (14.83). Поэтому
J:...Jз. д[пi,,( 'а)] == { arai,,( a}] + 'пв д[аk"И а )] } ( 14.119 )
!Ч '" да fL. да 1 n да .
Приравнивая пеЛИЧlIНЫ A"i в выражениях (14.11.5) и (14.11.8) и разрешая
.
полученное уравнение относптельно А" при помощи соотношениЙ (5.474),
(5.403) и (5.404), получим Аn == (1 jN) \ rде N равно
aE]i" ( ' а) nn 1 ( a) f/азn n ( a) in ] ( ' а) п (8] Е) in ( ' а) Пn ( a) (14 120)
aElin (р' а) in ] ( a) ' aEill ([ja) ill l ([:1' а) п (Е] E) in ( ' а) in (I a) "
Таиие же формулы, но тольН'о С fJ-i И fJ- вместо E i и Е, получаются и дЛЯ
В" путем решения уравнений (14.116) и (14.119). В случае идеально
проводящей сферы для нахождения А п и В" нужно левые части соотноше
ний (14.11.6) и (14.11.8) приравнять нулю, что дает
:r == { 1 . ann ] (ра) ппп (ра) 1 1 В == in ( a) ( 14 121 )
'-n J o;in ] (;"ja) ni" (ра) J' п in ( a) /п " ( a)' . .
Энерrия, рассеянная сфероii в ненот()ром направлении, равна, соrласно выраже
пию (13.143), действительноЙ части НОМПЛeI\сноrо вектора Умова Цоинтинrа
t " л 1 'v' л.1 'v л V л
2 fJ- lЕ х В == 2" fJ- 1 (fJ-Е)lJ2Е Х (1\ х Е) == 21'1fJ- lJ2ЕlJ2 (ЕвЕ в + E E j)' (14.122)
Но из соотношения (5.473) на больших расстояниях, rде при Р> 1 МОЖНО
пренебречь ЧJюнами r P, имеем
v 1 д [1' k " Ыr)] 1'0
k (J 'Br ) == e j r e ,,,T. ( 14.123 )
n' /1'1' ' 1'д,. l'
Подставляя это в БЫРaiнеНllЯ (14.111), (14.11.2) и (14.11.7) для таНI'сющаль,
пой компт!Онты напряженности электричесноro поля, рассоянноrо на шаре,
на больших расстояниях от Hero получим
ro
iE 'Jп + 1 { V ,
Ев,== jшА< == e j r ( + 1) о [А п sin 6P (cos О) +
р,. п п
п 1
1 1
+B Рп ("ОБ е) ] [ A Р" (I'OS И) ] ] }
. n sill U COS <fi n sin U + Вn sin 6Рп' (cos 6) sin <fi
(14.124)
31*
8;(t
l'лава ХН'
Для получения ПОJIНОЙ рассеянной SfHJ!-,l'Иl1 выражение (14.1 ) надо YMHO
ЖИТЬ на r 2 sin fJdO dC!( и проинтеrриронать в пределах 0< С!( <271: и О < 0<: 71:.
flодстаношш выражения (14.1 4) в (14.122) и про ведение интеrрирования
ИР С!(, дающее множитель 71:, приводнт, если опустить арrументы полиномов
.JlеЖ8ндра, к выражению
(х) (х)
Е ЧZ тсЕ2 (2п+1)(2т+1) [ v v , , P P:п )
21i1J2p2r2 ..:::.J ..:::.J п (п.+ 'i) m (т + 1) (AnA Jп + ВпЕт) (sin 2 OP P n + sin 2 U +
'11 1 т 1
+ (A.Jjm + ВnАт) (P::P > + P .P )]. (14.125)
множая на r 2 SiIl fJ dfJ и интеrри!-,уя от О ДU 71:, ПОJJучаем, что первая l'рУП
па полиномов Лежанд!-'а сводитсн к инте1'рaJIУ (5.198), который равен HY
..шо при т1=п, и к (5.199) при т'=' п. .интеrрaJJ от псрвоrо члена второй
сруппы сонращается с интеl'ралом от BToporo члена. U результате полная
рассеянная MOIIIHOCTb получается веЛИЧИНUll действительной и равной
1/2'2 (х)
p == п81 / (2п+1)(IA n I2+IB п I2).
fL 2р2 ..:::.J
n 1
(14.126)
в Rниrах Макдональда и Стрэттона, названия которых при едены в конце
:этой l'лавы, дискутируются некоторыр интересные ( лучаи диффракции
на шаре.
18. Реш ния волновоrо уравнения в цилиндричеСIШХ координатах.
13 15 rл. ХIII был рассмотрен частный случай цилиндрическо.й ВОJIНЫ, распро
_страняющеЙся в направлении z; при этом в волновом уравнении приравни
вались нушо по ОТДeJJЬНОСТИ члены, содержащие z и t. ЕСJJИ теперь вместо
-этоrо первую rруппу членов положить равной :1: ;,щ а вторую равной
=F ;;"n и зависимОСТЬ от времени считать синусоидальной ( 2 == w 2 efJ-), то
получим СJJедующие уравнения:
2'" .......
V 2 U :i: ;;"'1Д == И,
д 2 }, ..
az" + ( 2 =F ;"n) Z == О,
'У == йz.
(14.127)
Сраllнtшие с уравнениями (5.300), (5.304) и (5.317) показывает, что в си
.сте1>Ш ноординат р, С!(, z фуннция W имеет вид
W == (Aej/'mn z +Be jkmnZ) [CJ m ( тl1P) + 15y m ( тnp)] COS (тС!( + От)'
W == (Aejk;"n Z + Ве jk:ппz) [С/т ( тnP) + пК т ( тпP)] cos (тС!( + От),
(14.128)
(14.129)
v v "
тде 1;;;"'11 == 2 ;'n И k;;'n == 2 + ;"n' Если С, п, k тn и k:пn яв.ляютсн дей
-ст:вительными, то обе фующии описывают волны, распространнющиеся вдоль
<оси z. При ;'n > 2 величина k mп становитсн мнимой, II выражение (14.128)
,описывает волны, экспuненциально убьшаЮIIIие в напраВJJeНИИ z. Если С дей
,ствительная, а 15 Rомпленсная величина, то это значит, что выражение
.( 14.128) опредеJJfЮТ также и распрострапение в радиальном направлении.
Если же наконец, а: висимtН'ть от z отсутствует, т. е. k mn и k;"" равны нулю,
ТО выраженин (14.128) и (14.129) описывают волны с ЦИЛИНДрИЧССl{ИМ
,фронтом. ·
Определим IIопереЧНО SJlектричеср;ие и поперечнu маrнитные ВОJJНЫ
как волны, электричесние И, соответственно, маrнитные поля в которых
юриентированы перпендикулярнО R оси z. Тоrда, полаrая в соотноше
Иалучеuие Jлекmро.маеuиmuых волu
4850
ниях (11.11) и (11.15) u==k, получаем
A== JWte JWte [ дЧVtm + J2Wtm +k ( 2W + дЧVtm )]
р д'l' др Fl др д;:, рд'l' д;:, t' tm dz. 2 '
(14.130)'
в == . д 2 И!tе + a2fV te + k ( R2W + J2 te ) 2 JJf.'tm + В2 JWtт . ( 14.131 \.
1'1 др д;:, рд'l' д;:, t' 1" iJz2 1'1 Р д'l' , др /
19. Р.азложение плоеной волны по цилиндричесннм l'армошшам
Для плоской синусоидальн()й волны, распространяющейся в напраВ;<IеНI1И n,
соrласно 16 rл. XIII, имеем
Wej(j)t === f (и 1 , и 2 ) ej«(j)t II'I') == I (и 1 , и 2 ) ej"Jtrjf> .cos(o r),
(14.132).
rде направление n перпендикулярно к оси Z и состав.пяет с плоскостыо
'р == О уrол а, а и 1 и и 2 координаты в ПЛОСRОСТИ, норма.пьной к n. Пло
скую волну можно выразить через цилиндрические rармоники. ДЛЯ ЭТО1'О
нужно последний экспоненциальныЙ множитель в формуле (14.132) разло
жить в комплексный ряд Фурье. Одпано, чтобы использовать уже полу
ченные соотношения, проще ра3ЛaJ'ать в ряд отдельно действи' еЛЬНУJ<
и мнимую части. Разложим снаЧaJIa в ряд Фурье функцию cos (х sin 1jJ):
ro
cos (х sin у) === а n cos п у,
п O
11;
2 о':: \
an== ) cos(xsinljJ)cosпljJdljJ.
(14.133)
11;
Воспользовавшись формулой (401.06) из справочнина Двайта и учитывая,
что в случае четноЙ подинтеrральноЙ фУНКЦИИ вместо интеrрала от 7с
ПО 'It достаточно взять интеrрал от () до 'It И умножить ero на 2, получим
2 00 11; 11;
а n .== 2тс п [ cOS(пljJ xsinljJ)dljJ+ cos(пljJ+XSinljJ)dljJ]
о о
Но, соrласнu соотпошению (5.372), эти интеrралы равны J n (х) и J n ( x) ===
== ( 1)n J n (х); поэтому все а т " соответствующие п нечетным, равны нулю.
и если п обозначить через 2т, то
(14.134)
()()
со
cos(xsinljJ)== 2j ( o )J2m(x)cos mljJ== 2j Jn(x)cosпy
т O п co
(14.135)
Точно таким же путем раЗЛaJ'ается в ряд и функция SiIl (х SiIlIjJ), для K(,
торой вместо суммы J n (х) и J n ( х) получаем их разность
со со
sin(xsiny)== 2J2m+I(x)sin( m+1)1jJ== "2j Jn(х)siIlпф. (14.136}
т O п
Помножив (14.135) на j и спожив С (14.134), мы придем к разложению
экспоненциальной функции, для нот()рuй, n прежних ()бозначениях (х == рр,
ф == +СР а), ряд имеет следующий вид:
со со
eJ PCOs (o ) == jnJ n ( p) e jn (o )==Jo(pp) +2 jnJ n (рр) cos п (a. cp). (14.137}
п co n 1
20. Излучение из отверстий в плоеном проводящем энране. CTpo
1'Ое решение задачи о нахождении пuля, нзлучаемоrо сквозь отверстие.
486
Fлава X/V
чрезвычайно сложно. Поля ДОЛЖНЫ удовлетворять не толыю волновым ypaB
нениям вне отверстия и определенным условиям на ero rраницах, но и непре
рывно соединяться с полями, существующими на самом отверстии. Последние
обычно очень сильно меняются под деЙствием отраженноro излучения, воз
пикающеrо вследствие нали,Чия экрана. Поэтому CTporoe решение задачи воз
можно ЛИШБ В очень Ol'раниченном числе случаев, ноrда математичесни можно
рассматрива:rь все пространство, rде существует поле, нак единую область.
В 12 было доказано, что задание начальных значениЙ полей во всей
области, а танже задание танrенциальных номпонент элентричеС1юrо или Mar---
питноrо полей на поверхности, оrраничивающей эту область, однозначно опреде
ляют поля в любые посщ'дующие моменты времРНИ. Для установившихсн
процессов Имеет смысл тош,но одно пторое условие. В случае идеально про
водящеrо экрана целесообразно оперироваТl,
с элентричесним полем, потому что ero TaH
rенциальная составляющая на поверхности
энрана равна нулю, т. е. известна. В Ha
честве первоro приближения при нахожде
нии неизвестноrо элентричесноrо поля на
отверстии лучше Bcero, повидимому, взять
значения поля, существующеrо в OTCYT
ствие энрана. Приводимое ниже paCCMOTpe
ние ()тносится тольно Н случаю ПЛОСRИХ
проводящих энранов; на форму и ноличе
Экран стпо отверстий, равно нан и на структуру
) : СЕ падающей волны, не будет нанладываться
нинаких оrраничений.
Нам нужно найти источнин, создающий
та1юе поле Е, танrенциа.1Jьная номпонента HO
Toporo исчезает на в еЙ беСlюнечной плоскости,
кроме ее участна S, rде она равна некотор()Й заданной веJIичине. Рассмотрим
тонкий двойной лист с током. Пусть расстояние между слоями ТOlШ очень мало,
а плотности тонов в них равны по величине и противоположны по наIlра}1
лению, нан это поназано на фиr. 131-, а. Если тон ПОСТQfшен вдоль cnoero
направления, то он весь проходит через I-<рая, rJl.e еro направление меняется
на обратное; если же плотность тона в центре больше, чем на нраях, то,
нан это поназано на фиr. 131, б, часть тона возвращается назад еще до
достижения краев. Поснольну лист считаетсl'I очень ТОНЮ1М, то внешнее
маrнитное поле пренебрежимо мало по сравнению с полем между слоями.
Поэтому, примею1Я те()рему о циркуляции Н н прямоуrольному нонтуру abcd,
ориентированному перпендrшуляно i и своей большой стороной плотно при
леrающему н верхнему слою (фиr. 131, а), мы наЙдем, что В; == f1i. ДаJIeе,
под действием изменения потона маrнитной индунции N == B;odl снвозь
площадну нонтура a'h'c'd' в последнем возниннет э.д.с. (dN/dl), равная,
в силу симметрии, 2Edl при о О, тан что напряженность элентричесноro
Е б 1 . .
поля непосредственно над поверхностью листа удет равна 2 fШf101,
Таной двойной слой тона можно, очевидно, выполнить при помощи бесно
печно малых соленоидов длиной dc, имеющих поперечное сечение od/
и маrнитный момент n Х iodldc, равныЙ, если ero выразить через Е, величине
2 (j{J)f1) ln Х EdS. ::)ти элементарные СОJIeНОИДЫ нужно распределить таним
образом, чтобы они создавали требуемое изменение поля Е вдоль поверх
пости. Из симметрии очевидно, что вне rраниц двоЙноrо слоя создаваемое
им по;;rе Е будет нормальным н поверхности энрана. Соrласно выражению
(14.97), вектор потенциал, описывающий поле, создаваемое в неноторой
точне Р маленьной петлей тона, ориентирован перпендинулярно н оси
I
I
\
\
\
'\
"-
.....
.....
.....
.....
.....
..... "
.......... ....
...........
а
Энран
. :
б
Фие. 131.
.
и аЛllчеuие электро.маеuитuых волu
.
487
последней и прнмо пропорционален синусу уrла между этой осью и радиус
вектором r, направленным от петли в точку Р. Подстановна только что
найденной величины момента вмест() момента петли т:аЧ, входящеrо в BЫ
ражение (14.97), дает
А == Aejwt == ejwt (' (j r) (nxE)xr, c*dS (14.138)
2пы.\ ,.2 '
S
\'де r l единичный вектор вдоль направления ... Па больших расстояниях
членом с j в подинтеrраJJЬН()М выра ении можно пренебречь по сравнению
с r. В общем случае амплитуда, направление и фаза Е MorYT меняться
вдоль поверхности отверстия.
Рассмотрим систему источнинов электромаrнитноrо поля, находящихся
над ПЛОСIЮСТЫО ху, а также систему их изображений с противоположными
знаками, находящихся под этой плоскостью. Ясно, что на ПJЮСНОСТИ ху
танrенциальные составлнющие элентричесноrо и нормальные составляющие
маrнитноrо ПОJlей, создаваемых обеими системами, ВЫЧIlтаютсн и исчезают,
тоrда нан нормальные состаВЛffiощие элентрическоrо и танrенциальные
составляющие маrнитнuro полеii снладываются. Поэтому если любую часть
плоскости ху понрыть тонким листом идеально проводпщеrо металла, то
это не приведет н иснажениям поля. Если ПОСJJе этurо изображенные
ИСТОЧНИЮl убрать совсем, то на отверстии н()рмаЛЫ1ые состаВЛffiощие элен
тричесноro и танrенциальные составляюшие маrнитноrо п()лей, создаваемые
истинными ИСТОЧНИIшми, останутся без изменениЙ, тан нан вихревые тони,
текущие в провопящей плосности, оназывают действие тольнu на нормаль
ные составляющис МaI'нитноrо и танrенциальные с()ставляющие Э;;Iентри
. ческоrо полей. ТаЮfМ образом, Horna элентромаrнитная волна произвольноrо
вида падает на плuсний и идеально провопящий лист произвольной формы,
нормальные СОСТalJJlпющие ЭJlснтричесноro и танrенциальные составляющие
маrнитноrо полей остаютсн нсвозмущенными на отверстиях, прорезанных
IJ этом листе. Поэтому из выражения (14.138) И1'vюе",!
[В 1 == [. V х (' (f r)(nxE)xr, e *dS ] . ( 14.139)
() t 211:Ы r 2 t
S
Это интеrральное уравнение можно решить относительнu n Х Е на отверстии.
П()детавив результат в выражение (14.138), мы получим совершенно cTporo
диффраrированное поле n случае беснонечно TOHHoro П.посноrо проводящеrr>
экрана произвольной формы.
Если маrнитное поле в падающей полне ориентированu параллельно
энрану и длина во.лны значитеJIЬНО превосходит размеры отверстия, то часто
можно найти, исходя из теории потенциала, точную величину отношения HOp
маJlЬНОЙ и танrенциальной компонент вентора маrнитной индукции на OT
верстии и отсюда уже определить величину танrенциальной составляющей
напряженности электрическоro ПОJlЯ. Перемещение ПрЯМОУ1'ольнина а' Ь' с' d'
ВДОJIЬ B i уменьшает величину 2Edl ровно настолько, насколько YMeHЬ
mается величина dNfdt. Это уменьшение, в свою очередь, равно снорости
изменения пот она маrнитной индукции, выходящеrо через. обе поверхн()сти
llBoirnoro слоя на участне между двумя соседнимИ IЮJюжениями нонтура
4' Ь' с' d'. Таl\ИМ образом, на отверстии, прорезанном в ПЛОСI\ОСТИ ху, если Е
имеет толы\o у состаВЛffiОЩУЮ, имеем
дЕ у . В
дх == JW z'
(14.140)
Путем интеrрирования этоrо уравнения находим танrенциаJlЬНУЮ COCTaB
ляющую Е, входящую в выражение (14.138). Решение статичеСI\ОЙ задачи
488
rлава XIV
позволяет определить Bz на отверстии через значение тантшшизльноit 1, пло
СIЮСТИ Эl\рана I\омпоненты В вдали от отверстия. Эта nешrчпна относится
н стоячей волне, поэтому она в два раза превышает величину В в падающей
волне, ПОЯВJJЯющейся в отверстии. В lюнце rлавы помещены примеры,
R которые включены результаты Бете о диффра1ЩИИ на малых отверстиях.
21. ДиффраIЩИЯ на прямоуrолыIмM отверстии в проводящем пло
IШМ :жране. Формулы, полученные в предыдущем параrрафе, позволюот
найти диффраrиропашюе поле в случае прямоуrолыюrо отверстия в идеально
проводящем Эl\ране, совпадающем' с ПJЮСI\ОСТЬЮ ху. П;\'"сть маrнитное ПUJIС
направлено вдоль оси х, а вектор Умова П()йнтинrа наl\Jюнен относительно
оси z на уr()л а, наЕ это показюю на фиr. 132. Если через Х 1 и Y 1
обозначить I>оординаты элемента dS
через r радну(' вю,;тор, проведенный
из dS в тuчку Р, а через R радиус
вектор из точки О n точну Р, то при
R »а :и R » ь приближенно будем
z иметь
r "'" R Х 1 cos ер SiIl б у 1 SiIl ер SiIl б.
(14.141)
Тюпенциальная тюмпонента Е, 'в
ПЛОСНОСТJI Z == U l1MeeT непостоянпvю
фазу, а именно: .
х
Фие. 132.
Eteju>t === Е cos aej(u>t fJYIsina). (14.142)
Таl\ кан венторное произведение n Х Е параллельно оси х, то пентор
(п Х Е) х R лежит n плоскости yz и перпеНДИRулярен н пР, а следовательно,
и R, и пропорционален по величине sin О'. ТаRИМ образом, имеем
Ан == cos 6 cosec 6' А,
Az == sin 6 sin ер coscc fj' А,
(14.143)
Ав -== Ан sinep cos 6 Azsin 6, Ар === Av cosep, .1" == О. (14.14/1)
Если теперъ J!ыражение (14.138) подставить в выражение (14.143), то
cosec 6' сонратится с SiIl О'. Пренебрежем x If Y по сравнению с R2, со-
хранив члены Х 1 и Уl В выражении для А ТОJlЫЮ В поназателе. Тоrд&,
переписап выражение (14.142) для Е t И учитьrnая выражение (14.144),
получим
1 1
2"а 2""
А E cos а sin <р e jfJR \ . С ejfJ [х} COS '!J sin 8+11] (sin '!J sin 8. sin а)] dX 1 d Yl ==
0=== 2пшН )
.!. a !"
2 2
2Е СОБ а sin cf sin ( a t:os 9 sin О ) siJl r ВЬ (siJl <р siп О siJl а) 1
е .j П
пр{t)В COS ер Sill О (sin sin fl sin а) ,
А,!! === Ав ctg ер cos fj.
(14.145)
(14.Н6)
Единственное допущение, сделанное при вьшоде этих формул, занлючается
в пrедположении о не возмущенном элентричеСRОМ поле на отверстии. Стрэттон
и" Ч у 1) получили эти формулы путем суперпозиции ИJlИ «отражению) двух
решений vравнениii Мансвелла" при этом элеRТ]JичеСhОI:! и маrнитное ПОJlЯ
на отвеrс;'ии иредполаrались невuзмущенными. Суиерпозиция пеобходима
1) 8trаttоп, СЬи, РЬУБ. Rev., 56, 106.
Иалучеuие але"mро.мД2uитuых воли
489'
для исюпочения таНI'енциалыюй состаВ.пяющей э.лентричесноrо поля на
поверхности ::шрана, и, нан можно видеть из ТОJIЫЮ что полученноrо решения
и из теоремы единственности, это энвиваJlентно отбрасьшанию членов,
отноr.ящихсл н маrнитному ПО.пIO. Дли проверни формул (14.145) и (14.146)
при разных 1) и (J. эти авторы сравнивают величину E + E в IIJIOСНОСТИ у;:,
со строrим решением ДJНI 1цели (а == ос), ПО:Jучепным Морзе и Рубенште:ii
ном 1). Результаты приведены на фиr. 133, а, 6 и в. Апалоrичное сравнени('-
а
в
6
1
'jf
(;
Фие. 133.
ДЛИ ПОЛИ В плосности xz СО шелыо (Ь== (0) при (J. == о поназано на фиr. 133, 2.
Таное пренрасное совпадение свидетельствует () малой величине ошибни,
совершенной при допущении о невозмущенном элентричесном поле на OT
верстии. Ясно, что сналярная теория диффранции Нирхrофа, используемая
в оптине, соrласно ноторой фиr. 133, а и 2 должны совпадать, становится
совершенно непраuильной при размерах отверстия в проводнщем ::)нрапе,
соизмеримых с длиной волны.
22. ОРТОl'ональные фУННЦИИ в задаче о диффранции. Излучение
ОТI(РЫТОI'О нонца ноансиальной ЛИНИИ. Развитый в последних двух
параrрафах метод не применим н неплосюIМ энранам, но даже И для пло
cHoro энрана вычисление интеrрала (14.138) в непосредственной близости
от отверстия часто бывает затруднительным. В этих случаях можно исходип
ин решений сналярноrо волновоrо уравнения, записанных в виде
п m
e;"'t Сmпитп(Ul)Vп(п2)Wmп(Uз),
и тп V пи pq V pdu, dU 2 == о;:; п пт .
l) МОТБе. Rubensteill, РЬУБ. Rev., 54, 895.
490
rлава XIV
Н.оордината из отсчитываеТСfl в направлении, нормальном к экрану, а U 1 . и 2
нвлнются ортоrонаЛf,НЫМИ криволинейными шюрдинатами на eI'o поверх
ности. Интеrрал берется по поверхности экрана и отверстия; O == О при
.lIобых п, т, р, q, кроме р == п и q == т. Тан:ие решения уже встречались
нам [см. (14.85), (14.128) и (14.129)1, мы будем иметь с ними дело танже
и в ряде задач о волноводах. Для ПРОВОIшщеrо экрана величина С тn вычис
ляется по значению танrенциальной состаВJ1lliощей напряженности электри
ческоrо поля нЬ отверстии.
Этим методом можно, например, найти излучение от открытоrо конца
коаксиальной линии. Поле на больших расстоянияХ проще вычислять по
формуле (14.138), но при нахождении поля вб;тизи отверстия используе
мый здесь мет()д предпочтительнее. Область существовании элентромаrнит
Horo поля в линии оrраничена изнутри и снаружи ЦИJIИндрами радиусоВ
р == а и р == Ь. Линия соединена с плоскостыо z == О, ЯВЛlliощейся идеально
про водящей всюду, за исключением а < р < Ь. При вычислении поля излу
чения в области z >0 мы будем предполаrать, что Ь <g: Л, и для отыснания
поли при r < Ь бупем пользоваться методами электростатИI.и. Дли J1юбоrо
радиальноro распределения потенциала оно находится путем интеrрирова
ния послеДН2rо по плосности z == О, потенциал которой считается равным
нулю всюду, нр()ме узкоrо кольца радиуса р и ширины dp, имеющеrо
потенциал V (р). Потенциал V р, созданный этим нпльцом в точке Р на оси,
можно найти при помощи теоремы взаимности fрина, исходя из значенИЯ
: аряда dq, индуцированнш'о заряДОМ q, находящимся в точне Р, на ноль
цевом элементе заземл нной плосности. [lтобы определить dq, надо в фор
муле (5.25) положить Ь а == z и а -----7 Ь -----7 СО. При z> р разложение в ряд
(см. Двайт, 9.05) дает
d zq2тrpdp
q == s '
2rt(p2+z2) /2
dq (2п+1)!! р21'+1
dV р== ч V (р) == V (р) dp .L.J ( 1)1' (Ln)!! ZUH2
п O
00
(14.147)
Для получении dV в точке т, е ппдставим r Ш\!ICСТО z И умножим
Р21,Н (cos О). ПотенциаJ1 J3 пл()скости Z == U будет иметь значении
ln (р/Ь)
V (р) == О, Ь > р > а, V (р) == V o lп ,ajb) ,
а>р>О, V(p)==V o '
сли подставить JTO в выражение (14.147) и проинтеrрировать
--610.9), то
на
р > Ь,
(14.148)
(Двайт,
V o
V == ln (bja)
00
l' b21'+2 a21'+2 (2n+1)!!
h ( 1) (2n+2) r21'r2 (2п+2)!! P 2 1,H.(cos б).
n O
(14.149)
,ЦJШ нахождении поля излучения надо положить в (14.85) А == 1 и
В == С == т == о == О, в результате чеrо получитси расходищаяся волна. Вели
чипы D n опредеJ1lliОТСИ путем приравнивании коэффициентов при Р 21, +1 (cos б)
н выражении для Ев, полученном из W tm , соответствующим коэффициентам
.13 выражении для Ев, даваемом соотношением (14.149), при Т== Ь.
Из выражений (14.85) и (14.82) получим
v со
[ jWa 2 ( rW tm) ] jw '\" V d b V . 1 {;
(EO)T b == r araO T b == b .t.; п.. db l k 21' +I (l b)] Р2n+ 1 (COS и).
п O
Поскольну b мало, то вместо производных в этом выражении можно,
.'Задачи
491
соrласно (5.472) и (5.473), написать; (2п+ 1) (4п+ 1)" и b) (2п+2).
Чтобы найти Ео при r Ь, в выражении .(14.149) вместо Р 2пН (cos В) Ha
пишем 0-18 [Р2п+1 (cos B)]fд(J == b IP n+1 (cos б), а вместо ,.2 п +2 подставим Ь 21Ч2 .
Приравнивая коэффициенты и разрешая относительно п п , находим
v ;V o (2п 1)!! [( b)2n+2 ( a)2п+2]
п п . Ю lп (bja) (2п+2) (2п+2)!! (4п+1)! 1 .
(14.150)
ЭлеитричеСJ\ое и маrнитное поля при т, больших Ь, определяются из COOT
ношений (14.82), (14.85), (14.110) и (14.83) в виде
00 v
Ев jw h n ; [rk2n+1 (j r)] P п+1 (соsб),
п O
(14.151)
00
Е" == '"ш h bnT 1 (2п + 1) (2п + 2) k 2n +1 (j r) Р2пН (cos В),
n O
(14.152)
00
B == 2 Ь)(2n+1 (j r) P п+1 (cos б).
п O.
(14.153)
Эти выражения дают поля в области r> Ь. Если Ь Л, они удовлетво
ряют соВершенно cTporo rраничным условиям (14.148). Пренебреrая высокими
степенями b и a и удерживая только первые члены В рядах, для поля
на больших расстояниях, rде k 2n + 1 и T) можно заменить на (i r) 1 e j ",
получим
Ч2 3 (b2 a2) V o .
Bq>==(fLe) Е в == 4<urln(bja) sшОсоs(wt r).
(f4.154)
Нак ясно из с равнения с выражением (14.17), это поле энвивалсштно полю
на больших расстояниях, создаВi\С:vJОМУ Э.пементом тOIЩ J l SiIl wt, rде
1l==7СШЕ(Ь2 а2) VojIIl(bja), тан что мощность, излучаемая в верхнее полу
пространство, равна половине мощности, опреДeJшемой выражением (14.19)
р == 7tшs 3 (b2 a2)2 V5 27t 2 СЕ (b2 a2)2 V5
24 [[Il (bja)]2 3 [lп (bja)]2 1.4 (14.155)
R == V5 3[IП(Ьjа)]2л 4 (14.156)
l' 2Р 47t 5 СЕ (b2 a2)2 .
Этот же метод применим и в случае неПЛОСRИХ энранов, таних, например,
«ак беснонечный проводяший ноансиальный конус с ПОДНJПоченной н нему
линией. Ход решения здесь тот ще самый, одна но отправным пуннтом ДОJJщен
быть 27б rл. V. в приводимых ниже задачах содержатся друrие иримеры
на применения этоrо метода.
ЗАДАЧИ
t. Линейный ннадруполь состоит из зарядов ч, +2ч и ч, расположенных
соотвеТСтвенно в точнах z == а, О, + а. Квадрупольный момент Q равен а 2 ч sin wt.
"оказать, что ПОЛЯ на расстоянии r а будут равны
Е" Qo(1 3cos2fj) [ 3. cOs({t)t r)+ ( 2 ) SiIl(wt r) J .
4rtE r 3 r 4 ,2
EB Qo :2fJ [( r ; )COs({t)t r)+( : r )sin(wt r) ].
B == Qo : : 26 [( : ;! )COs(<ut r)+ З 2 sin(wt r)] .
492
rлава XJV
2. 110Ю13ать, что средний по времени 1l0ТОН ЭIJсрrии. излучаемой квадруполем
описанным n предыдущей задачР., равен 1{j1t;j('Q (15л6z) I.
3. l1ЛОСRиi-i нваДРУПОJIЬ состоит из зарядов ч, +ч, ч и +ч, расположенных
1/0 уrлам коопрата, стороны KOToporo длиной а нараллельны соответственнО линиям
'f' == О, п, 1t И 7.. I\nадрунольный момснт равеп Q == а 2 ч COS '" t "'" Qo cos ",с. Показать.
что на расетояниях ,,::р а поля будут равны
3Qo sin 2 О sin L'f' [ ( 3 2 ) 33 ]
В,. 8nz 1" f:2 cos("'t 1') '" sin("'t 1') ,
В Qo sin О cos 2'f' [ ( 3 2 ) СОБ (шt r) + ( б 3 ) sin ("'t 1') ]
'1' 8nz 1'2 1'4 1'" l' '
Ео== E{) ('os О tg 2'f" В,.==о, В р Bв еОБ О tg L'f',
Qo sin О cos 2<р [ 332 ( 3 3 ) . ]
В" СОБ ("'t 1') .....,.-- sш (",t f;1')
1] nsUJ r:l. r r 3
4. ПОRазать, что средний по времени поток эперrии, излучаемой описанным \.
предыдущей задаче кпадруполем, равен 4n5cQ (5л6z) I.
5. 8леI,тричесний диполь, лежащий в ПЛОСRОСТИ ху В начале Rоординат, вращается
BOHpyr оси z е уrловой eHopOCTЬJO "', нричем в момент времени (==О ДИlIОЛЬ ориентиро
нан вдоль оси х. Поназать, что составляющие вектора маrllИТНОЙ ИIЩУНЦIlИ будут равны
Ш'JМ
BT O, В в == 41t1' 2 [rpsin ("'t [31' 'P) cos (",t 1' 'f')J,
"'fLM СОБ IJ [ В ( , ) + . ( п )
B'I'''= 41t1' 2 1'1 СОБ шt fJ1' 'f' sш шt fJ1' 'f' J.
71). Две антенны одинаRОВОЙ длины (2п+ 1) л/2 расположены параллельно ОСИ z
и имеют центры n ТОЧRах X О и х==а. Колебания в антенне Х,,=а запаздывают по
фазе относительно нолебаний в антенне х "'" О на 90". IIOIшзать, что интенсивность излу
чения таRОЙ антенны будет
fLс1б СОБ 2
П"'"
1
[ -} (2п + j) 1t СОБ О ] cos 2 r + 1t ( 1 sin 6 СОБ 'f' ") 1
Lт.;2 1' 2 sin 2 О
Изобразить ПРl1близителыю фuрму сердцеUl1ДНОЙ диаrраммы наllравленности при а==л/4
в плоскости 0== п/2.
8. IIоказать, что при а == л/4 выиrрыш двойной антенны, описанной в предыдущей
задаче, в два раза преnышает выиrРЫJТI одиночной антенны. возбуждаемой на том ж('
типе колебаний.
9. Система состоит из р синфазных пар антенн, описанных в задаче 7 и раеполо--
женных вдоль оси у на расстоянии л/2 друr от друrа. IInназать, что диаrpамма ЮJ
правлешюети дл'f ннтенсивности излучения даетсЯ функцией
sin 2 ( рп sin fJ sin <р ")
п==п 1 '
] sin 2 ( i7!sjIlОsiП'f')
rде интенеишюсть П\ равна иптенсивноети в задаче 7 при а== л/4, IIОRаЗIlТЬ, что выит..
рыт в два раза больше, чем у системы, состоящей из р одиночных антенн, располо--
женных вдоль оси у НII раr.r.'J'ОЯНИИ л/2 друr от npyra.
10. Система соетоит .из р полуволновых синфазных антенн, расположенных дру'
за npyroj\f вдоль оеи z. IIОRазать, что интенсивность излучения на больших расстоя
пиях равна
,tcI еОБ 2 ( 1t СОБ О ') sin 2 ( р 1t еОБ IJ ")
п== .
R1t 2 1' 2 in2 е sin 2 ( 1t ros О )
1) Еследе'J'вие непраВИJJЫЮЙ поетановни яадача 1) при переводе опущена.
П ри.м пе рев.
Задачи
493
Заметим, что таиан система соппадает е длинной линейной антенной, наrрvжен
ной через наждые л/2 таним образом, чтобы ликвидировать наJIJlчне переменных' фаз.
11. Раепределение тона в RруrJЮЙ провшю'шой петле радиуса а имеет вид
1 о sin п (('О СОБ (JJt. Иепользун запаЗДЫВ:i.ющие потенциалы и ПРИВJJекая формулы Э 18, по
«а зать , что при БОJJЬШИХ r в точке r, О, ер потенциаJI А<р раш;н
l аr ЧоJ ( аsiпfj)siпп(('siп ( пr.;+(JJt r).
12. 8леI{тромаrнитные волны рассеиваютсн проводящим шаром, радиус KOToporo
мал по срапнению с длиной JJОЛНЫ. IIоназать, что на расстояНIТJIХ от шара. значитель
но превышающих ero радиус, ПОJlе, излучаемое пuд уrJIШI То/3 по отношению к иаIlрав
лениlO падающеrо JJуча, БУТ1ет линеЙно поляризованным.
13. ЛинеЙно полнризованная ЭJшнтромаrнитная BO.'JHa падает на непроводящпй
шар, имеющий диэлеНЧJИчесную прошщаемость 81 и маrнитную /'-1' Радиус этоrо шара
мал по сравпрнию с Д.ТJИНОЙ в()лны. IIоназать, что рассеиваемое излучение равно и:шу
чениlO сиетемы, соетонщей из раеположенных в начале ноординат элентричесноrо ди
поля, ориентированноrо вдоль вентора Е падающей волны, и перпендилулярноrо
к нему маrнитноrо диполя. Поназать, что моменты этих диполей равны
М 47rаЗ (8) 8) 8Е 2 [ 41tаЗ ([-'-1 1 ) Е
') СОБ (JJt и 7rr == ( " ) еОБ ш(.
81т"'8 /'-С[-'-I+Ч
14. IIлосная элш,тромапштная воина, ВРJПОр Е J{ОТО РОЙ ориентиропан вдпJIЬ оси у
и равен Е СОБ t (JJt x), падает на идеально проводящии пилиндр радиуса а с осью
вдоль z. IIоназать, что ПОJIНое пол,!) опредеJIНIJТСf! действительной частью еледующих
Jlыражений:
Ep== ip(JJa te ej(J)/, Ep==i(J) д t" ез"(J)/, Bz== 2]Vteej(J)t;
v JE ( j)n(2 o )[J (fja) У n ( p) Jn( p) y ( a)] ,
Wle r,.L,j J , ( . ) У , ( ,. ) СОБn(('.
ш" n I,a J п I,a
п O
15. В среде /,-8 плuеная элентромаrнитнал волна, элентричеений пек'юр IШТОРОЙ
равен Е СОБ «(J)t x) и ориентирован вдоль о['н у, падает на цилиндр /,-'8' (радиус ци
,"!Индра а, а О('Ь направлена пдоль z). IIOIшзать, что раееенваемое поле опредеJJЯется
цейетвитеJIЬНОЙ частью следующих выражений:
в z 2Иf lecj(J)t ,
Е == !::!.. afVte ej(J)t
r р arp ,
В , . afV te ,"'t
J'P /(J) др (J" ,
ro
..
Wte==«(JJ ) IE h Bl1rJn( P) iYn( p)]cosп((',
n o
( on (2 o ) [([J.'8)1f2J I1 ( a) J ( 'a) (f'8')1f2 J;, (r a) J n ( 'a))
(1-'8') Ч J n ([1' а) [J ( a) J у;' (i a)] (/,-'8 )Ч2 J ( ' а)[ J" ( a) iY" (ра)]
В п
16. IIлоская ЭJJСIпромаrнитная волна, элеl>тричесний вектор НОТОРОЙ ориентиро
IJIШ вдоль Оси z и равен Ecos«(JJt x), падает на идеально проnодящий цилиндр pa
диуса а с оеью вдоль z. По[{азать, что полпое поле опредслнется дейетвителыюй
час,тыо следующих выражений:
В == 2 aJ.Vt'7l ез""'t В == (,2 дИТ!1п 1''''1
р Р дер , р t' др е ,
ro
W V == ( i)n(2 o )[ Jn( a)l'n(Fop) J n( p) Yn( a)]
tm шр2 Jn( a) jYn([1a) cosпrp.
n o
Ez== j(JJ 2Wtm",j(J)t,
17. Вереде /,-8 ПЛОеная элентромаrнитнан полна, ЭJlCнтричес,[шй ПeI{ТОР ноторой
{)риrнтирован вдоль оеи z и равен Е LOS «(JJt x). падает па цилиндр /,-'8' (радиус ци
линдра а, а ось направлена BДO.тJЬ z). ПOIшзать, что рассеиваемое поле определяетсн
цейетвительной частью следующих выражениii:
Е . ,2 W v j(J)t
z==J(JJt' 1т е ,
в о=: 2 д,'i:т,т ej(J)t
р р д((' ,
в Q2 afVtт 1'(J)1
,, t' e ,
-i94
rлава X/V
00
........ .Jty;
Wtт==.............
1(J)f'"
,, o
СП == ( ;)" (2 o ) [(1'8':1/2 .т n (?а) J ( ' а) (:J.' 8 )1/2 .т ([jo) .т п ( ' а)]
([J-'E)1f2 J n (р' а) [J;' ( a) jY (Fa)] ([J-E' )'12 .т;, (р' а) (J n (:,a) jY n (;';а)]
СП [J n ( p) jY n ( p)] cos m'f,
18. Часть идеально J1РОВО!Iящеrо шара paJIIJyca а, расположеннап м('жду 6==1 И
6==7t 1. удалена. а между J;()нуеами поддерЖllвае'JСП разность J:отенциалон V СОБ шl
при r == а. 1JРИIJимап, что раснреJ\еленне ПОТСIЩИL\;Jа 1< зазоре при r == а определяете»
по формуле (14.64), поназать, что поле излучения равно дс,йствптеJJЬНОЙ части еле
цующих выражений:
00
Ев == JТоr 1еjюt СП [(2п+2) k 2n + 1 (j r) j rk2n+2 (j r)] Р nч(СОS О),
n со
00
Ет== Vor 1ej")t (2п + 1) (2п + 2) C n k 2n +] ир,.) Р2n+] (еОБ'О),
,, o
00
В,,== Voj 2(J) leJ(J)t ] C n k 2n +l (i r) Р 2nч (СОБ 6),
,, o
С (J)f! (4п+з) Р 2n + 1 (СОБ1)
n ........ ................
7t Zh (2п+1) (2п+2) [(2п+2) k 2n +] Ыa) пa k 21l + 2 (Jr a)]
"де 2k опррделнетсн по формулам ('14.63) и (-14.65)
19. IIодечитать IJХОДlIOЙ ИМll('дане спстемы, ОПИLШПЮЙ в преДL!ДУЩ('Й :задаче, ДОIШ
зав ее ЭJшиваJJентноеть lшничеСJШЙ JШНИИ передачи, наrруженной при r==o бееI{Qнечны
иножееТIJО:\J параллельно сuединенных импедансов 21> 22' ..., 1'де
1 27taj 2 sin 1 v v .
== С n k 2nч и a ) Р!n+] ( СОБ -у).
Zn ['-'" "1
20. Среда ['-Е :заполпяет пространсТfЮ между беснопечпым диэлентричееним ЦlШИНД
ром fl'Z' радиуса а и идеально НРОlJОДШЦJIМ цилиндром р==Ь. ПOl,азать, что вдоль Цll
линдра MorYT распроетраflНТЬСН попереЧIЮ ЭJJентричосние ВОJJПЫ прн наждом значеНИJl и....
удовлетворпющем урапнениIO
[J-'J,(и n )
uT,J о (и п )
11. таl{же JlрИ уелошш,
[J- [J] ('Оп) У] ('01lb/a) Y] ('On)J] ('Onb/a)]
'От, [J o ('Оп) У) (vnb!a) Yo(Vn)J1 (vnb/a)]
что (J)2a 2 [J-'z' > и;' J-I ",2a 2 f'.z > 'О;. .
[J-R] ('Оп)
'OnRo('O n ) ,
Поназать, что скорость п й волпы равна
ша (ш2а;""Е' и;') Ч2
и что ПОJШ В среде ['-'Е' опредеJJПЮТСJl по формуле
""(, v v ........jknz ...... ........ jk z
knE!,.==(J)Bf'==k1lCne J1(иnp/a); ;",aBz==иnCne n Jo(unp/a),
"де ",2a2[J-'z' u;' ==(J)2a2f!-Е 'O, ==k;lа2.
21. Поназать, что если отражатеJJЬ при р == Ь в последней задаче отеутствует, то
при тех же частотах и значспинх матерпальных копетант плосная волна не может
существовать, ПU IJ('зультаты пр('дыдущеii задачи оетаются в силе, еСJJИ Ro J-I Н] :заме
нить на фушщш! XaIJHe. H Jo jYo и J] jYl' .
22. Бееконечнап cpe;J;a ['-Е OI,рулшет бееконечный диэлентричееlШЙ ци;шпдр ['-'е'
радиуеа а. Псназать, что плоеная попсреЧНО ЭЛeJ{тричеснан ВО.'1на может раеnростра
ннтьея ВДOJJЬ ТaIюrо цилиндра при наждом значении и n , удовлетворяющем уравнениям
[J-'vnК о ('Оп) J 1 (и n ) + ['-иnК 1 ('Оп) J o (и п ) == О, (J)2a 2 fJ.'z' и;l == ",2a 2 fJ.z +v;. == k O!.
а ТRкже при УСJЮllИИ, что (J)2a 2 [J-,Е, > и И Е' > е.
3пдп'lU
495
Попазатъ, что етюроеть полны раппа ша (w 2 ;z2fL'E' и ) Ч2 и что nОJJЯ снаружи опре-
J{еляютея по фОРМУJIaМ
........ .....,. ....... H-{ z
knH == (J)Bp==knCe 11. К 1 (vna lp),
....... ....... jh z
j(J)aB z == vnCe 11. Ко (vna lp)
23. Удоr.товеритьея в том, чт() при Уl (vпbJa)==O условия задачи
удоплетворяются при E==1,99E' 1,99zv, P-==P.'==P-v, ша==1О9, и==1,
зать, что фазовая СIЮрОСТЬ приБЛИ311телыю равпа 3,15.108 .м/се".
24. УдоетOIЮрИТЪСЯ н том, что УСJЮНШI задачи 22 нри6;шжеННIJ
20 приближенно
v==3,46, и ПОl{а-
удовлетворяются
при
€' ,1,72E==:1,72EV' P-==fL'==Р-vl ша==10 9 , и==2,65, v==J,
и П(J[шзать, что фазовая ст,орость n- z-панравленип приБJJИзптельно равна 2,87.108 .м/сек_
25. Среда Р_Е ЗaIlOЛIlНСТ прострннетво м('жду беСJiопечпьш диэлеНТРlJЧССНJJМ ци.1ИНД
ром IJ.'E' радиуса а и ИДЕ'а.flЫJO I1рОlJОДНЩИМ ЦJIЛIIllДРОМ р== Ь. Ilоr,азать, что плоеl{ив
попереЧllO мю-нитные IJОJШЫ bJorYT раСПl,оетраllЯТЬСЯ вдо;ть ЦIJJl1lНЩШ IlрИ любых :ша-
чениях и n , удовлетворяющих уравнению
иnJ o (и п )
E'J j (и п )
v п [J o (1)11.) У О (l1пb/a) Yo (v п ) J o (1'пЬ/а)] vпH o ( 1',,)
Е [J j (V п ) У О (Oпb/a) -Yl (V n ) J o (vnb/a)] ЕВ 1 (V,,)
а также при УСЛОВlIИ, что ш 2 а 2 р.'Е' > u и ш 2 а 2 Р_Е > v .
lIонааать, что еrюростт. п Й во;шы равпа ша (w 2 a 2 fL'E' и ) Ч2 11 что поля В ередв
u.'E' ОПРlщелнются по формулам
v ............... jhnz "'....... jhnz
Ер == k п «(J)fL'E') IBp== jCe J 1 (ипpja) , k"aEz== и"Сnе J o (иnр/а) ,
rде ш2а 2 р.'е:' U L ==ro2a2:J.€ v ==k a26
26. Поназать. что если ()тражателъ при р==Ь в последнеЙ задаче отсутетвует, то
ирн тех же частотах и Зllаченнпх матери1Jлыlхx JЮШ'Т3НТ плос{ая волна не может
существовать, одпано результаты предыдущей заД1JЧIl ОСТ:НОТСН в силр, еели Во и В 1
аамепить на фушщии -Хштеля Jo /Yo и Jl /Y,.
27. Беснопсчпая среда Р_Е О!:ружает 6еСI{OJЮЧIlЫЙ ДНЭЛ!'J{тричеСJПТЙ цилиндр ['-'Е'
радиуса а. Ilонззать, что ПЛОСТЩfl Н()lIереЧJlо шrIlIlТJШН во:ша может раСllрuстранятьея
вдоль цилипдра при каждом значении и т удовл!'творmощем Урl'JJнешшм
VnE' J 1 (и n ) Ко (v,,) + иnEJ o (и n ) К 1 (v n ) == О, (J)2a 2 fL'E' и == ш2а2Р Е + v == k a2,
а Т3I{жв при условии, что
(J)2a 2 fL'E' > и '
Покззать, что скорость n-й вошты раIJна
ыа (ш2а2 '€' u ) Ч2
и что поля снаружи цилиндра определяются по формулам
" " ....... jh z I
Ep== kn«(J)f1E) IB ==Cne 11. Kl(V11a lp),
k Е ? . с " jhrLz Е Т ( 1 )
"а ,== /1)11. n е о vna р.
28, Удостоверитьея в том, что если У О (v"b/a) ==0, условия задачи 25 приближешю
удовлетворяютея нри
Е == 2;0' == 2E V ' Р- == ['-' == P-V: ша == 1,2.109, и" == 1, V n == 3,
u 1I0кааать, что фазовая сксроеть в направлении z nрпБJlИзительно РРовна 3, 1O.1OS MjceK.
29. Vдоетоверитьея в том, что УСЛ()JJИЯ задачи 27 приБЛllженно УДVUJl('творяютея при
E'==1,81E 1,81EV' P-==fL' fLv> ша==0,9 .109, и,,== ,8 и v n ==1,
. ПОН83а1Ъ, что фiшовая скороеть приблизительно равна 2,88.108 .м/се".
.4V6
r лава XIV
30. Бесконечная плоекая идеально прfiводящая поверхноеть IНжрыта слоем ди
ЭJн'нтрика [12Е2 ТОJlЩИIЮЙ а, над которым I1ростираетея бееJ{онечная ДИЭ;lектричеС.J{ан
i;реда [11Е,- ИСПОJlЬЗУЯ реЗульт!'ты 18, ПOJшзать" что раеходящаяея поверхностная
полна ТМ, которая может еущсствовать в танои еистеме, ОJlиеьшается веRТОр ПО
rеllциалами, равными дейетвительным чаетЛ J следующих выражений:
. А 1 == С 1 (р) (rj'2 i)1/2 H 2)' ([1' р) k[ПI 2) ([j' р)] e ( i '2)1f2 Z+ju)t,
A2 C2 {Рl (р р'2)Ч2 sin [(p р'2)Ч2 z] H 2)' Cj'p)
krj' СОБ [(р р'2)Ч2 zJ На 2 ) (р'р)} ej<ot,
I'JIe
pr == ",2[11Еl' p == ш2 2Е2 Jf [j2 > р' > Рl'
Ноказать, что снорость этой полны точно такая же, I{Ю{ у плосной волны, paeeMOTpeH
ной в задаче 7 rл. XIII.
31. Бееконечная плоская идеально нровопящая поверхноеть понрыта слоем диэлен
rрика [12Е2 ТОЛЩИНIJЙ а, над которым lIрnетирается беСfшнечная ДИЭJ]( нтричееная среда [1) Е) .
IIС1l0ЛЬЗУЯ результаты Э 18, 1I0казать, что расходящаяся новррхноетная волна ТЕ,
({оторая может сущеетвовать в 'larшй сиетеме, описывается при _пnмоLЦИ вектор потен
циалов, равных деЙСТВlIТРЛЬНЫМ частям следующих выражений:
Al Cle ( '2 JY/2 ZHi 2 ) (р' р) eju)t, А 2 --=с C2 sin [(p р'2)1/2 z] Hi 2 ) (р' р) e jWl ,
I'He
ri==",2p-IE1' p ==",2!'-2E2 11 Р2>р'>Рl'
!lона;щть, что еJШРОС,ть этой волны равна "fЮРОСТИ ШIOСIШЙ IJOJJHbJ, раесмотренной
в зздаче 8 rл. XHl.
32. БееJ{О1ШЧНЫЙ идеально прОВОДЯЩIlЙ ЦИJПШДр радиуса а покрыт елоем диэлек
трина [12Е2, ШJеШIПJЙ ра!lиуе HOToporo равен ь, 11 паходитея н бееJ{онечной диэщ>ктриче
-сной среде [11Е). 1l0льзуяеь реЗУJ1ьтзтами S 18, ПOJШ3UТЬ, что нозмошными вектор потен
циаJШМИ, опиеывающими поверхноетную волну Т М, явлшотся дейетвитеJJьные части
{'ледующих выражений:
А 1 == С 1 ( Plir' Kl (РIР) +kpIKO (РIР)] ei(,et .z),
А 2 ==С 2 (PJ;P' B (Р2Р) kP2Rg (PIP)] ej(<ot 'z),
['де
i==:(J.)2rlEl' ==w21J.2€2' 2 > [1' > 11 pi==p'2 p , p == i,
ва (Р2Р) ==КО (Р2 а ) 1 о (p2P) Io (Р2 а ) Ко (Р2Р)'
B (Р2Р) == Ко (Р2 а ) 11 (P2P)+I o ([цt) К 1 (Р2Р)'
1l0назать, что снорость можно найти из уравнения
E2PIKo (РIЬ) B (Р2 Ь ) ==Е 1 Р2 К l (РIЬ) вg (Р2 Ь )'
Ilусть а==l, Ь 2, [12==[11' Е2==4Е) и PIb==lOUO; ПОJшзать, что 1:Р';Р2==1:1,16З:2
п что при р==3,445 Ь I{омпонента Во равна 1/10 CBoero значении при р==ь.
33. Получить формулу (14.158), исходя непос.редс-твенпо из выражения (14.-138).
34 Плосность поляризации lJадающе волны, поназаllНОЙ на фиr. 132, вращаетсн
таи, что BeI{TOp Е оетаетея l1араллеJJЪНЫМ оеи Х. Птшзать, что вектор потенциаJI дпф
фраrированной волны на бо.пьших раестоянинх равен
'v СОSФ ,"""
А. с=о '. А.,
" еОБ а БlIl 'f U
А' == eos В А'
" еОБа О,
I'JIe Ав, определяртсн 110 формуле (14.145).
35. Пуrть отверетпе, оноторам Ш.1а речь н 21, имееТ форму не прнмоуrОЛЬНIша,
а Jюльца, внешний и внутренний ра;J:иуеы I{()TOpOJ'O соответетвенно равны а и Ь. Пока
зать, что веНТОР 110тенциаJ1 диффраrироваНJJоrfJ полн на БОJ1ЬШИХ раестоянинх имеет ВИЛ
А. == tg <р Ав == Е СОБ in 'f' (aJ) ( Qa) ЬJ 1 ( Qb)] e j R,
" cos tJ '"
..
Задачи
497
rде
Q == (sin 2 а+ sin 2 О 2 sin а sin В sin 'f )1/3.
36 Пусть плосность ПОJIНризации падающей волны, paccMoTpCHHOii в последней
3Ilда'lе, вращаетея, ("охраняя вектор Е llаралле;IЬНЫМ оеи х. 110н'азать, что неН10р потен
циал диффраr.ироваШlOrо поля на больших расстояниях имеет вид
А == ctg tp А ==
в сОБ tJ
Е ('О'> tp .
Q [bJ 1 ( Qb) aJI (FQa») e J R.
37. Поназать, что если в S 21 илп в последних трех задvчах имеется пе одно, а
два ОДИlJaIЮВЫХ отверетия е центрами в ТОЧJШХ У == с и у == c, то при R с потенциал
для ОДИllочноrо отверсТlШ надо умпожпть на фактор
2 ("ОБ [[:с ( sin а + yjR»).
38. Пусть пентры отверетий, рассмотренных в последней задаче, расположены
в точках х == с и х == c. IIOl,азать, что необходимым l\шошителем в этом случае будет
2 еОБ ( cx/ В).
39 СферичРснан оболочтш ралиуеа а НВJJнется еош'.;->шенно поrлощающсй изнутри
и ПДР3ЛЫЮ IIРОВОДнщей енnружи. Элснтричесний диполь М ('ОБ wt наХОДIlТСЯ в центре,
в Н3ЧaJIC lЮОРДlfпат, и орпентиропан IJДОЛЬ НaJlраплеНI1Я == О. Чаеть оболоч':и, распо
ложеНllан меЖi\У О a' И 0==0", удалена I!ОI,нзать. что выражеJше ДJШ BeKTop H01eH
циала диффраrl1рованноrо поля опреД('ляетея НО формулам Э 13, rДе
со
Wlт==М(1 р2а2+Ла) L АnР" (cosB)k n Ыr),
11 1
А" == e j a [ (2п+ 1) Р" (11) (п+2) и Pn 1 (и) (п 1) и Р l1 " 1 (и) ] и coso. .
81tjU):a 2 (п 1) (п + 2) д [ak n ира)]!да и ocos а'
40. Пуеть в преДЫLlУЩСЙ З[lдачс в Ilептре оБОЛОЧJ,И находится I e элеитричеСJ,ИЙ
диполь, а маJlCны;ая НОа!,сиальная с осью СJВlметрии системы проволочная петля
рапиуеf\ Ь. по которой течет TOI, 1 ei"'t. ПОlтзать, что выражение (14.82) определяет
значение вектор нотенциnла диффраl'И pOBaIllIOI'o ПОJlЯ снаружи, если
со
Wle==",п2(1+j a) .L AnPn(cosB)kn(jpr),
11 1
V 'Q [ (п +2) иPn 1 (и) (п 1) иР l1 . , (и) (2п+ 1) Р" (и) ] и COSo."
А п == e J a .
8a 2 k n (J a) (п 1) (п+2) u cos '
41. МаЛРIJьная прополочная nеТJJЯ р:щиуеа Ь. пеl'ущая тон I ('ОБ U)t, расположена
па РЯС('ТОЯIlИИ с от ЩНJТра но н(rиаJIЫIOI'О :; и!'i-i ОПЮРСТllЯ ра.f\иуса а, прорезапноrо в бес
IюнеЧJЮМ IIЛО('IЮМ IlРОВОJ\fJЩ(Ш ЭЩJ3l1е. ДOI(нзать, что еели а <t Л, Ь <t с и с <t л, то
веЮОР--lIOТCIЩl1[JЛ диффрю"ир('uанноrо ПОiJfJ. рав!'}]
A;ei"'L== f'-р2JЬ 2 (16r) 1 [2с (2с 2 + а2)(с2+а2) Ч2] sin 20 ei(,ol R) .
42. Плосная полна, ВСИ'Юр папряженп(){'ти элентrИЧС('Jюrо поля IЮТОРОЙ равен
Eoei("" Y) и направлен вполь оси z, надает IJОр IRЛЫIO Ш1 беп;онеЧНIJЙ [JJ]O,-ЮIЙ иде
алыю IlрОIlОДЯЩИЙ '10JfI{ИЙ э"Fян. В Эl;рнне прОрР3aIta шеJТЬ ширипой 2а, тякан, что ось z
Дf'ЛllТ Ре 110 jIJJI1lle на ДВе раВIJЫ(' части. llрСНРuрепiЯ разно 'тью фаз на щели, ПОЩI
зить при по ющи реЗУJlыатов Э 24 rJJ. I V и 20 щн толщей rJтавы, '11 О на расстояниях
от щели R а элентричесюJC IЮJJе, прошедшее 'lерез щ('ль, будет равно
V j "юl' i п En ('()'" В
Ее ==
z :::Б1пи
[ 2п j Ч2 J ( . В) j(<ot' R)
1 а БlП е ,
H .
rде t'==t+1t/(4ш2 и В уrол l\ll'ЖДУ R и нормалью. Заметим, чтоамнлитуда B, COOTBeт
ствующая С1'()ячеи ВОJше (см. Э 24 rл IV), в дш\ раза ПРР.ВЫlllает амплитуду беrущеи волны.
43-. Вент()р напряженноети Э!lщ,тричеекоrо подя в стоячеи ВОЛНС, равныи в пуЧНоrти
вепичине Eoei"", ОрПNIтиронаll нормально J{ 6еСRонечной идрально ПрОООДЯщей ПJЮCJ{Q
сти, в которой имс'С'тея щель шириной 2а. nренебрсrая разностью фаз на ще.'lИ,
покаазть нри помощи 24 rл. IV и 20 настоящей rланы, что на расстояниях от щели
32 В. Смайт
498
l'лава X1V
R а прошедшее поле равно
Е " 1<ot' ipaE [ 2п ] Ч2 J ( " . О) j (<ot' R)
-ее рЬ' J ['а БlIl е ,
('де t'==t+1t/(4<o) п e yroJJ между R и нормаJIЬЮ.
44. Оставляя в ПОСJJедней задаче значение Ео нсопреДСJJенным, ВЫ'IИСЛllТЬ из Ав
величину 13z, Взнть выражение для В" в нотором еще не проведено интеrрированне
по х, и вычиелить В' при Х.==О и a 1, т. е. при малом aprYMeHTe ФУННЦИИ ХавкеJJЯ.
Выразить Ео через Boei<o/ и показать, что еСJJИ ПJJОСIШН волна, у JЮТОРОЙ В. == Boej(<ot x),
падает на ТОНЮ1Й ПЛОСIШЙ идеально проводящий экран е прорезанной в нем щелью
шириной 2а II оеью, еовпадаЮщеЙ с х==О, то IIРJl а Л диффраrировашюе поле
равно
В " ;<ot' i 1tB o ( ) 1/2 j(юt' R) J ( О " )
z ff 4 lп lia рВ е ] I,a ып u ,
l'де [' == t + п/( 4",) Н О уrол между R и нормалью. При решении ВОСПО.пьзоnаТЬПI
формулой (5.445). .
45. ПлоеJШН ВОJJl13, Be[{TO маrннтной индукции В [шторой Boe i {(j)t y) ориентировап
вдоль оси z, надает пормально на беенонечный ПЛQC,кий идеально проводяший тошшй
экран, совпадающий с ллоено\ тью у == О. в экране имеется щель шириной 2а, такан,
что. ось. z деJШТ ее по дшше на две равные чаети. Пренебреrая разностЬJО фаз ш\
щели, пон:азать при ПОМОЩИ результатов Э 23 rл. IV и Э 20 настоящей rлавы, что па
расетоянинх от щели R а проходящсе поле равно
Bzei<Ot'== iBo ( ) 1/2 J ('iasiI10)ei(<ot' R),
2 lп lи I'R о I
rде [' t + п/(4",) , е уrол между R п нормаJJЬЮ, а величина В' вычиеJJятся в центре
щели, rде она лриравнивается ВО'
46. Линеi'rно ПОJJяризованная элеJ{тромаrНИТllая волна, фронт которой наШIOнен
на уrол а отноеительно плоскоети yz, падает lJa щель, описанную n задаче 42. Пусть
вектор маrНI1ТНОЙ индукции волны параллелен щели. Покззать, что если ра мапо
и разностью фаз на щели можно пренебр!'чь, то интенсивноеть излучения диффраrи
pOBaHHoro поля на больших раеетояниях R от щели равна
1t ( 1 . . \2
11 == 2[1В (ln ра)2 СОБ а+ 7; пра БlIl е БlIl а) ПО'
47. Пуеть вш{тор напряженности элентричеекоrо поля ВОJfНЫ, раеемотренной в п(}--
следней задаче, параллелен щели. [[оказать, что еели ра очень мало и можно пренебречь
разностью фаз на щели, то [IЗ задачи 42 интенеивность диффраrированноrо излучс--
пия равна
пр 3 а 4 СОБ 2 е СОБ 2 а
п== 8В ПО.
48. OTBepcTfle раДllуеа а прорезано в бееконечном 1lJIOСJЮМ идеально проводящсм
энране, предетавляющем еобой l'paHHllY однородноrо ЭЛCI,тричесноrо ПОJJН типа етоячей
вопны Еое iюt . Пренебреrая раЗJIоетью фаз на отверетии и nОJJьзуяеь выражениями
(5.258) и (14.138), fюказать, '11'0 вентор потенциал на больших раестошшнх от центра
щеJJИ равеп
;Во [sin (ра sin е) a sin е СОБ ( a sin е)] i R
Ав 1t"'i 1 R SiIl2 О е.
49. ПOlшзать, 110льзунеь методами Э 28б rл. У, что если в ОДН()рОДJlОЙ стончей ВОJlН('
J;>13rНllтная ИНДУJЩИЯ равна Вое iюt и направлена вдомь оси х паралле.пыю беСJ\онечному
тонкому идеально llроводящему энрану, совпадаюшему с I1лоеноетЬJО z == О, в HO'I0J10 1
iIMeeTeH небольшое отверетие радиуса а, то z составляющая В на отверстии раВllа
28 ( : ) (а2 х2 у2) Ч .
Задачи
.4H I
При помощи Э 20, пренебреrая разноетью фаз, поназать, что на больших pa'CCTOII
ниях от центра щели вентор потенциал диффраrированноrо полн равен
А " ==2iBosin'P[sin( asinO) asinecos( asine)] e j R А О
" R б ' А в == "' . СОБ ctgcp.
u 1ф2 sin3 .)
J'He Ч' азимутальный yrOJI, отечитываеМЫfi от оеи Х, ft е 1I0ЛЯрныи уrол, измеlШI' lыli
От оеи щели.
50. Линейно полнризованная )юлна падает на тонюrй fJлоений идеШJЫЮ ПрОВОДНЩИ\J
энран Пf)Д уrлом (1; н ero нормали. В экране имеется малое отверстие радиуеа а. Пусть
вентор Ео параллелен плоскоеТIl энрана. Понаэать. что если в задаче 49 a маlЮ, то
интенеивность диффраrированноrо излучения равна I
16 4а6СОБ2а(1 sin2ecos2Cf')
1I 91t 2 R2 110'
Заметим, что ВО в стоячей волне задачи 49 n два ря.за больше, чем u БС1'ущей,
51. lIоназать, что ерРДНЯЯ излучаема н отверетием ыощноеть в последней задаче
равна
64 4a6 С()Б2 а
Р -;; 27п ПО'
....
52. Пуеть вектор Ео, расемотреННЫБ в задаче 50, лежит в JшоеJЮСТИ падеНИJl волны.
110назать, что если в задачах 48 и 49 a очень маJЮ, то интенеивность диффраrироваII
Horo излучения равна
4В 4 а 6
11== 9 2R2 [4 sin 2 'р еОБ 2 е + (2 СОБ 'р sin е sina)2) ПО'
Заметим, что амплитуда СТОЯЧРЙ HOJJНbl в задачах 48 [] 49 в два раза превышает аМШllI
туду в ПО'
53. Показать, что средняя ИЗJJучаемая отверетием мощноеть п последней задаЧе раппа
16 4a6 (4+sin2 а)
р== 27п ПО.
54. Элентродвижущая сила приложена в середине очепь узкой ЩI'ЛИ, ПрОl
резанной в беснонечном ПЛОСКОМ проводящем экране у == о и IIмеющей rраницы х == :l::: о,
z==::I: l. Предполаrан, что ПОlJе в щели в плоености у== О равно Eo==io l sin [ (l z»),
поназать при пом()щи выражшшн (14.138), что напряженность элентричесноrо JJO.ПЯ Шll'
щели при у > о равна
Il2(tH)
Е== ; 1t l (iy jx) R 3(1+i R)siп[р(l=fZl)]еj(Ю/ R)dZJ'
:!: 1f2(I'Fl)
I'He R2==X2+y2+(z z )2. П()наззть путем сравнения е ротором от (14.138). что
[Е)щели 0= . 2 (р1 O) l [В)антеш;ы'
тан что поле одинаново по виду е полем антенны, возбуждас JOЙ IJ Iюптре, если llOмеJIНТЬ
меетаМII В и Е. Следовательно, из (14.45)
. Е_== (пp) 1 [2СОБ l sin«(J)t pr) sin «(J)t. ra) sin «(J)t rl»),
rHe ra и rl> раестояния между нонцами щели и точной наблюдения.
55. Применить результаты предыдущей вадачи н елучаю резонансной щели 1 == Jj 41,
и поназать при помощи (14.50), что сопрОТИШIение излученин щели при излучении D обt1
етороны равно 363 ом. ,
За.мечаuие. Содержание нижеследующих задач базируется на т{'ории диффраицtпi.
Нирхrофа, ноторая не тольно ПОJJе3JШ ври решснии онтичеених ЗDдач, по с неlЮТОРОЙ
Qеторожноетью может быть при reшша и в друrих случаях. :
56. Пусть фуннция и == <jJ (х, у, z) '"! является состав.'шющей IJeHTOpa rерlЩ в HC
проводящей срf'де, т. е. удовлетворяет урапнению (13.19) при "t==CXJ. Пусть тэН/не
V==r l (,"t r)==tp(x, у, z)ej(J)/
аналоrичная соетавляющая для Сфl'рИЧеСJШЙ волны, вознипающей D точне Р, нан ОJЩ
опреДРJlена в (14.5). Подетя.вив <jJ и 'f в формулу rрина (:3.22) 11 выбрав объем интеrрll
ровашш между очень малеНЬНОfl еферой, онружающей р, и неJШТОрой очень 60ЛJ,ШОЙ
ПОверхностью S, с()держащей внутри себя e<tepy, поназать, чт()
41t<jJp== [,. lе j rvф фv (r le j r»).ndS,
S
32'"
500
rлава XIV
('де <jJр значение <jJ в Р. Эта формула, лежащая в ОСНОве теории диффратщии Rирхrофа,
выражает эффеRТ в точне Р через иптеrрал по поверхности, окружающей TO'lrry Р.
57. lIус.ть поперхность S имеет отверстие. а и явлиетсн сфрричесной вOJШОЙ,
вознтшающей в ТОЧJ{е Q, расноложенной вне S. Предполап\Н, что фvпнцил и им ет на
отверс.тии те же зпачCJJИЛ, кание опа имела бы llрИ отсутствии S,' и считая и равной
нулю на остальной части S, ПOIйзать, что
'<jJp==1!. (' ( п.r t ) e j (r+rl) dS',
41t 'rrl r r 1
В'
rде 1'1 и r радиус. вCI{ТОры из Q н Р в пеноторую точну на (пверстии; веJJlJЧJПJЫ обоих
радиус. веJ{Т()РОIJ знэчитрльно больше p T; S' площадь отверстии.
58. Hyl'ТЬ в ПОDерхности IIMeeTCH отверстие S'. ОбознаЧIlМ через R и Rl средние
ра'.;С'fОПJlИЯ I1З Ц Н1pa отверсти О до точек Р и Q, а через х' и у' НООрДИШJТЫ HeHOT
рои точ"и ОТlюрстия, отсчитываемые от центра О. Разложить r II r l в ряды по степе-
ням х' и у' и 1l0наЗIlТЬ, что
.!, == ( п.R П'R, ) 21tj(R+Rl)/A r e 21tjF (Х', У', 1<1, Rt 1 )/), dS' ,
'fp 'L.лRН 1 R Л 1 е ,
В'
сде ==21tл l.
59. Ра("смотрпм плосную волну с интепсивностыо 10' падающую нuрмально на Hpyr
лое отвсретие радиуса а, тан что Вl ==ех>, И выберем R а, а Р в то'ше х==х, у==о;
тоrда
F(x', у', B 1, Ril) xx'R l==p'Cose'sina,
rде а уrол, под ноторым шщно х из точни О. При lНJМОЩИ (5.370) и (5.371) подсчитать
интеrрал и поназать, что иптенеивность диффраrJ'р(шанноrо излучения равна
Id== 1 IoR 2ctg2 ( а) [J 1 (21tал lsiпа)J2.
60. Бзив Q И Р IIa оси !{руrлоrо отвррстия радиуеа а и ечитая, что В. JJ R MHoro
бодьше а, пuназать, что если интепеивность падающей волны 10' то интенс.ишюсть в 1'0'1-
не р равна
4ВЦо (R 1 +B) 2 sin 2 [па 2 (2Л) 1 (R l+Ril)].
ЛИТЕРАТУРА
в i g g s Н. F., ТЬе Electromagnetic Field, Oxford, 1934.
F l' е n k е L J., Lchrbllcll der ELektrodynamik, 2 B.l., Ber1in, 1926, 1928. (Ф Р е Н-
'{ е л ь Н. И., 8лектро:щнамика, l\-1. Л., 1935.)
G е i g е r S с h е е 1, HandblJeh der Physik, Bd. ХН, ХУ, ХХ, Ber1in, 1927, 1927, 1928.
Н е r t z Н. R., Electric \"-'aves, l\1аеПIillап, 1893.
К i n g п'. \У. Р., М i m n о Н. R.,. W i n g А. Н., Transmission Lines, Antennas,
and V,'ave Guides, I\1cGra\v Hill, 1945. (См. перевод: К и н r Р., М и 1\1 Н О r.,
v и н r А., Передающие линии, антенпы и ВОЛНОIJОДЫ, М., 1948.)
1\1 а с D о ri а 1. d Н. 1\1., Еlесtrошаgпеtism, ВеН, 19Ч.
1\1 а s о n 1\1., W е а v е l' W., ТЬе Elесtrошаgпеtiс FieId, University оС Chicago
Press, 1929.
М ах w е 11 J. 'G., Electricity and l\1agnetism, Oxford, 1881.
page L.,.Adams N. 1., JJ'., Elесtrоdупаmiсs,УапNоstrапd,1940.
S с h е 1 k u n о f f S. А., Electromagnetic \"-'aves, Vап Nostrand, 194 .
S i 1 v е l' S., l\1ierowave Antenna Thuory and Design, l\1cGra\v Hill, 1949. (См. перевод:
С и л ь в е'р С., Антенны еантиметрОI!ЫХ ВОЛН, ч. 1 и Il, \1., 19:10.)
S t l' а t t о n J. А., Electromagnetic Theory, I\1cGra\v-Нill, 1941. (См. перевоД:
С т р э т т о н ДЖ. А.. Теория элеl1:тромаrнетиз ш, 1\1. .Л., 1948.)
W.i е п Н.а l' m Б, Han!ibuch der Experimentalphysik, Вd. XI, 1932. .
r л а в а ХУ
ВОЛНОВОДЫ И ПОЛЫЕ РЕЗОНА ТОРЫ
1. Волны в полых цилиндрических трубах. В 15 19 rл. ХIII
было поназано, что вдоль двух или больше1'О числа идеально ПРОВОJlЯIЦИХ ци
линдров, расположенных один внутри oдpyroro, MorYT распространяться плос
Rие элентрш.lаrнитные волны. ЕСJIИ эти ПИЛIlНДРЫ онружить еще одним, внеш
ним, идеально ПРОВОДЯЩllМ ЦИЛIJПДрОМ, то на очень БЫСОНИХ частотах внутри
таной системы появятся незатухающие полны друrих типоп; в частности,
внутри одиночноrо проводящеrо цилиндра простые плосние волны не MorYT
существовать 1). Любую, нан внутреннюю, тан и внешнюю, rраницу цилин
дричесноrо волновода можно получить путем перемещения образующей
параллельно оси z. Часто рассматривают волноводы, замннутые в сечении
z == О и простирающиеся от z == О до z со. Нан было доназано раньше
[см. выражение (13.21)], любую волну можно описать при помощи BeHTOp
потенциала А, ноторый в соответствии с 15 rл. XIII выражается через
решение И 1 сналярноrо волновоrо уравнения двумя способами, один из
которых при водит Н волне поперечно элентричесноrо типа (ТЕ), а друrой н
волне поперечно маrНИТlIоrо типа (ТМ). Соответствующие дифференциальные
. уравнения имеют вид
(РА
V 2 A ==!J-€ дt2 '
Q 2 W
V 2 И 1 =-= 'L€
te . ot2'
t"7 2 И 1 Q2W tm
v tm==(J-Е. .
(15.1)
Нас будут интересовать установившиеся решения, соответствующие процес
сам, происходящим с нруrовой частотой ы. В этом случае, нан следует
из 2 rл. Xl, вентор потенциал, удов.петпоряющий первому уравнению,
а танже ротор этоrо вентор потенциала можно выразить через решения
сналярных уравнений следующим образом:
А== V х (kW te +k х VЙ 1 tm ), :8== V х (k 2fVtm +k х VW te ), (15.2)
rде 2==W2€!J-' В формулах (14.130) и (14.131) эти выражения даны в цилин
дричесних ноординатах. Нан и в 18 предыдущей rлавы, W МОЖнО Пред
ставить в виде произведения двух фуннций, одна из ноторых зависит
тольно от z, а друrая тольно от поперечных ноординат. Тоrда сналярное
уравнение (15.1) распадается на дпа
w == UZ,
V:U :1: пи о=. О,
д 2 ;':
oz 2 + ( 2 =f п) Z == О.
(15.3)
Здесь и зависит толыю от поперечных ноординат и 1 и и 2 , а тn опре
деляется rраничными условиями и симметрией системы. Обозначим через n
1) l\лаССИфИJ{ация волн, RОТОрОЙ придррживается здесь автор, не совпадает с обще
принятой. В чаетности, волны в волноводе принято называть плоеними HeOДHOpoд
ными. При.м. перев.
502
r лава XV
единичный вектор, нормальный н поверхности rраницы, т. е. совпадающий
по направле ию с А. Соrласно соотношениям (15.2), rраничные условия
можно записать в ШIде
O==nXAte== n.V(kWte) или oJ:,:e ==o, (15.4)
0== n Х [V Х (k Х VW tm )] == n Х [kV 2 W tт k. V (VW tm )] ==
д v
== R2n Х k W / ( п Х V W t ) ==
t' m OZ m
[ R2 W v. o2JVtm ] k a2Wtm R2 W k a2Wton
Бl . t' tm + os az Slt'mn tm OS az .
Ядс(;ь fJ Jюордината, измеряемая на Ци.Т1индрической поверхности вдоль
.линии пересеченин ее ПЛОСКОСТЫО, перпендинулярной R оси Z, таЕ что
Вl == k Х п. ТаRИМ образом, фУНRЦИЯ U на rранице должна удовлетворять
УС.JIовинм
U U И Л И R == и И aUtem == o
tm == ['тn as'
. Второе и третьс условия в (;оотношениях (15.5) совпадают с теми,
I,оторые встречались нам при рассмотрении rлавных волн (см. 15
и 19 rл. XIII), т. е. волн, скорость распространения ЕОТОРЫХ не зависит
от частоты. ТаRие волны возможны толыю при наличии двух или более
ПрOJюдящих цилиндров.
Поскольку дифференциальные уравнения (15.3) являют(;я уравнениями
BTOpOI'O порядна, то наждое из них имеет два независимых решения, а их
qбщес решение можно записать в виде
(15,5)
t-V == [Аи 1 (и}, и 2 ) + ви 2 (и 1 , и 2 )] (Ce rm?>Z + iJim?'Z) ,
. r v . ( R2 R2 ) Ч2 + 'R'
тn J j' ['тn а тn Jt'mn'
(15.6)
(15,7)
JJри > тn постоннная распространения r тn является чисто мнимой вели
чиной (а == О), и энспоненциальные множители в выражении (15.6) свиде
тельствуют о наличии двух незатухаlOЩИХ волн, распространяющихся COOT
JJетствепно JJ положительном и отрпцателыIOМ направлениях оси z. Если те
< тn' то, поснольну ПОЛЯ должны оставаться Iюнечными, необходимо
ноложить С == О при z > О, а при z < О положить jj == (). Тоrда в оставшемся
члене r тn величина чисто действительная ( n == О), что приводит R энспо
цснциальному убыванию поля вдоль z. l\ритичесная частота '1тn И нрити
чесная длина волны типа тп соответственно равны
тn ( ) Ч2 "'т п ) 211:
'1т?> == r- IO == 2 ' 'тn == .
'<::11: 11: I'mn
(15.8)
Чтобы распространить на ВОJ1НОВОДЫ понятие харантеристичеСRоrо
импеданса, подстаlJИМ в определение (13.136) значения Е и в из COOTHO
шения (13.134). Это дает,
I z I ==::r I1- E te == :::1:: i"'1'-IV xkWtel == :!: i"'1'-IV XkWte I == + i"'f'- ( 15.9 )
h lе т ....... 'v V 'v ,
. kXBte Ikx[Vx(VXkWte)] I I o(VXkWte)fazl Ттn
IZhltm ==:::1:: 11-1 k XEtm I == i I kX[VX(kX;Wtm)] I
I Btm I ШЕ I V х kW tm 1
== :): ilo(VXkWtm)fazl == =+ irmn . (15.10)
. (J.H I VxkW tm I u>з
Волноводы и полые реаонаторы
503
Выражая эту же величину через нритическую частоту, получаем
.У т . Ч2Е Ч2 v
I Z I fJ. I Z I == + fJ.1f26 1f211 (11 /11)2]1f2.
h le [1 (Vmniv)2]1/2' h tm тn
(15.11)
Нак и в соотношении (13.134), зню, выбирается в зависимости от напраВЛе
ния распространения волны: верхний знак соответствует волне, распростра
няющейся в положительном направлении оси z, а нижний волне, pac
пространяющеЙся в отрицательном напраВJ!еНИИ оси Z. Заметим, что при
частотах выше критическоЙ харантеристическиЙ импеданс для обеих волн
представляет действитеJIЬНУЮ веJIИЧИНу, что свидетельствует о передаче энер
I'ИИ вдоль волновода; при частотах ниже нритичесной характеристиче
сний импеданс является чисто мнимым. В этом имеется отличие от Toro
(JпредеJIeНИЯ линии передачи, ноторое было дано в 17 rл. XIII.
Из соотношений (15.6) и (15.7) получаем выражение для фазовой
(;IЮРОСТИ распространения волны при > тn
w w V
l)
т.. ;"n ( 2 l11)1/2 [1 (vmn/v)2]1/2
V
[1 (лЛ'тn)2J1j2 '
(15.12)
"де V скорость раснространения света в среде, заполняющеЙ волновод.
rрупповая CKOpOC Ь на основании соотношений (13.157) и (15.12) равна
( ) == ;"..
V s тn' 11' 11 .
д;3тn (fLE) 2 д;3пт (fLE) 2 fLEVmn V mn
( 15.13)
Нтан, V mn > V > (V,)mn' При очень ВЫСOI\Их частотах фазовая 11 l'рупповая
(:норости приближаются н снорости волн В свободном пространстве. Выразим
Jзенторы элентричесноrо и маI'НИТНOI'О ПОJ1еЙ Е и В через и при помощи
('оотношений (15.2) и (15.3):
v . v . . V j ;"..z
.:'te ](j)Ate Jwk х Utee ,
(15.14)
" ) . V . v - . В ' V т 2 j lпZ
-J lc Х Ate ( ]. тn 2 И te + k mnUte) е ,
(15.15)
(15.16)
(15.17)
Е/ rл == j(j)A tm (Ш ;пn v 2и 1т + kj(j) тUtm) e j ;"nZ,
в == v хА == B 2 k х vu e j lпz
1rл /т. /т .
Эдесь и/е и U tm УДОВJ1етворяют уравнению (15.3); нан видно из соотноше
лиЙ (15.2), размерность их различна.
2. Учет затухания в волноводах. Волноводы применяIOТСЯ для
передачи Rысоночастотноп энерrии из одной ТОЧI\И В друrую. Поэтому очень
важно знать величину потерь в волноводах. В случае заполнения волновода
неидеальнЫJИ диэлентрююм в последнем будет поrлощаться часть энерrии.
но R обычных волноводах с воздушным заполнением эти потери редно
имеют значение, и поэтому расчет их отнесен нами в задачи, помещенные
fj нонце rлавы. Помимо этих потерь, в стеннах волновода неизбежно
Jюзнинают потери, обусловленные наличием вихревых тонов, 1юторые, кан
правило, следует учитывать. Во всех прю{тичесних случаях проводимость
-стенон столь велина, что при вычислении Р можно в начестве очень xo
рошеrо приближения использовать решение, полученное для случая идеаль
лых проводнинов. ЕСJJИ уменьшение неноторой величины пропорционально
;щачению самой величины, то n таних случаях всеrда имеет место ЭНСПО1iеII
504
r лава xv
циальное затухание. Нак видно из формулы (11.24), мощность потерь
в проводяп еи поверхности пропорциональна квадрату танrенциальной
составляющей маrнитноrо поля на поверхности. Поэтому поля при распро
странении вдоль трубы затухают экспонеНliиально, и если ноэффипиент затуха
нин для поля равен а, то для вентора Умова ПОЙНТИнrа он равен 2а. При
усреднении по времени мощности Р, передаваемой ВДОЛЬ RОЛНОВ' да, множи"
1. 2az
тели, периодичесни зависящие от времени, исчезают, и мы имеем re .
ВЫЧИСJIИВ производную от jJ по z при помощи выражения (11.24)
и подеJIИВ ее на Р, получим
1 дР 't v л
2асс= p l5Z== 2?2Ро y B.Bds,
(15.18)
rде aP/az средняя мощность потерь на единицу длины, B вентор Mar
нитноЙ индунции непосредственно вблизи cTeHOI>, 't удельное сопротивление
материала стенон, 1) Т()J]щина СJ{ИН СЛОЯ. На стенне V 2Ute == 81 i5Ute/os,
поэтому из выражений (15.15) и (15.17) имеем
v л ( ди ) 2 v л
Вlе'Вlе==( 2 :п11) as fe + ;'11Uie, Btm.Btm== 4V2Utm,V2Utm' (15.19)
.
Но, соrласно соотношению (13.145), среднее значение эперrии, проходящей
в z направлении через единичную плошадну в одну секунду, равно
( 1 Л )
Не T(1- 1E х В , ИЛИ, пользуясь выражениями (15.14) (15.17), получаем
I П tе Iz == (1- 1ш ' [(k х VU te ) Х V 2 U 1e ]z === (1- 1ш ( 2 :п11)Ч2 V 2 U te . V 2 U te ,
( 15.20)
I П tm Iz === (1- 1ш ' 1' [V 2Utm Х (k х VU1m)]z ==
1 1 R2 ( R2 R2 ) Ч2 V ТТ V U
"2 (1- ш[' [' ['т11 2(.) tm' 2 t111'
(15.21)
Для упрощения поверхностноrо интеrрала представим ска;аярное произведе
ние, входящее в выражения (15.20) и (15.21), в развернутом виде и, нроме
Toro, воспользуемся соотношением (15.3), тоrда получим
\ V 2 U.V 2 UdS== [V2.(иV2U) Uv;U]ds=== :п11 U 2 dS. (15.22)
s s s
Первый интеrрал по поверхности, т. е. \ V 2' (UV 2И) dS, равен нушо, в чем
s
можно убедиться, преобразовав ero в линейный интеrрал по нонтуру rраницы
и ВОСПОЛЬЗ0вавшись соотношениями (15.4) или (15.5), соrласно которым
на rранице или и, или V 2 U равно нулю. Из выражений (15.18) (15.20)
находим ноэффициент затухания поперечно электричесной волны
;;:;;; [1 (Vmn/v)2] (aU te /aS)2 ds+ (Vmn/v)2 Uie ds
а ,
е 2f'-Vo. [1 (Vmn/v)2]lJ2 Uie dS .
s
(15.23)
Здесь 1).== ( Ш(1-'1) Ч2 r луб ина проникновения, (1-' маrнитная проницае
мость стенон, '1 частота, '1тn критичесная частота, v снорость света в cpe
де с маrнитной проницаемостью (1- и диэлентричесной проницаемостью 8.
130лuоводы и полые реаоиаторы
505
а mn==2 lJ 11/mn'.
то на основании
Посн:ольн:у вентор V и ортоrонален поверхностям степон:,
выражений (15.1t\), (15.19) и (15.21) можно написать
't (aU tm /an)2 ds
a tm == f'-vб 11 [1 ('IImn/'II)2]lJ2 ul m dS .
s
( 15.24)
Эта формула пон:азывает, что затухание поперечно маrнитных волн
с увеличением частоты возрастает одинан:ово при любой форме поперечноrо
сечения во.ПНОI!ода. Затухание попоречно элонтричесн:их волн, нан: видно
из формулы (15.23), зависит от формы Поперечноrо сечении трубы и увели
чивается с ростом частоты ТОЛЬЩJ в том случае, ноrда первый член
в ЧИС.:1ителе выражения (15.23) не равен нулю (первый член равен нулю
для неI<ОТОрых типов н:руrлых волноводов).
3. Прямоуrольный ВОлновод. Рассмотрим трубу, оrраничонную
ПЛОСН:ОСтями х == О, х == а, у О, У == Ь. Леrн:о ВИДеть, что решениями ypaB
нения (15.3), уДовлетворяющими rраничпым условиям (15.4) и (15.5), будут
U С тт:х пт:!!
te == mnCOS COSb'
ТТ С . mn:x , ппу
U tm==- тn Sln Slnb'
(15.25)
2 ( т2 п 2 ) 2 1 С т2 п 2 ) '02
тn == 1t 2 а2 + Ь2 ИЛИ 1/тn == Tl;2 (l2 + [j: == Л;"11 '
(15.26)
если т и п целые числа. СоrЛ<tСНО выражениям (15.14) и (15.15), поля
Т Е можно записать в виде
Е " . C С . п тпх. пtcy . m . ттr:x птсу ) j ' z
t == j UJ1t 1 СОS .. SШ ) Slп соs е т11
е Ь а Ь 'а а Ь '
(15.27)
B C { . А' [ . m . ттr:x ппу . п mrx. пп1/ ]
'е== j1i.t'm11 1 SШ СОВт + J7) COS SШь +
+ k 2 тёх пТС1/ I j :п11Z
тn COB C OS b е .
а' J
(15.28)
На ОСНовании Соотношений (15.23), (15.25) и (15.26) затухание
равно
этих волн
I I 't а+2Ь ('II mo /'II)2
a te то == [Ц;О аЬ [1 ('IImo/'II)2]lJ2 '
l a I .== [ (m2b+n2a)[1 (Vmn/v)2]lJ2 + (а+Ь) (v m ,,/v)2 1
te тn !'-vo t т 2 Ь 2 +п 2 а 2 ab[1 ('IImn/v)2IlJ2 J
(15.29)
(15.30)
Наибольшая н:ритичесн:ая длина волны для полей ТЕ 13 волноводе,
у RoToporo а == 2 С.М И Ь == 4 СМ, соrласно выражению (15.26), соответствует
значениям т == О и п == 1 и равна "01 == 8 СМ. Величина "01 не зависит от а.
Следующая по длине волна соответствует т == 1 и п ''''' О и равна 1.10"== 4 С.М.
Величина )'1 о не зависит от Ь. Нан: мы увидим в ДaJIьнеЙШfМ, волновод
Можно выполнить таним оf)разом, чтобы в нем возбуждались тольн:о волны
Вполне определенноrо типа. Для пятисантиметровой волны, распространяю--
щейся 13 волноводе ТОЛЬН:О 13 виде волны типа Т Е 01 , толщина сн:ин слоя
0"",8,5 .10 7 м (для меди). Поэтому н:оэффициент затухания a te , определяемый
по формуле (15.2.9), приблизительно равен 0,005, тан: что (см. Двайт, 55И.2)
на 1 ом длины волновода напряженность поля убывает на 1/2 %, а энер
rия на 1 %. Из соотношения (15.12) н:оэффициент затухания при" == "10 рапен
а10 == j 10 == 0,31t == 0,94,
506
r лава XV
или в 200 раз больше, чем для "01' rрупповая снорость волны, Hal\ следует
из выражений (15.12) и (15.13), составляет лишь 78% от сн:орости элеl\Тр()
маrнитных волн. На фИI'. 134 предстаплен вид полей для волн ТЕlf, И TEll'
ТЕ,о Е лuнuu. CeIJeHUe АВ
ТE i1 Е ЛШШU. Сечение АВ
А [ l B
С .. D
ТЕIO В линии. Вид сверху
TElI В линии. Вид сверху
; T :
J
TM II В линuи. Сечение АВ ТМ " Е линuи. ЦентральноесецеНllе I
Фие. 134.
Соrласно выражениям (15.16) и (15.17), поля дЛЯ ПОШI типа ТМ можно
записать в виде
С " { R' [ . m ,тпх. ппу . п . тпх ппу ' j
.tm == . UJ1t['mll 1 а cus SlI1 Ь + .1 ь SlI1 COS Ь +
. 2 . тпх. пп у } jB' z
+ k J UJB SHI Slll е т1l
,тn" - а Ь '
(15,31)
v ( . п . тпх ппl/ . m ттсх. пп у ) jB' z
Btm == 7t 2C 1 Slll COS + J cos SlI1 е т1l.
Ь а Ь а а Ь
( 15.32)
(15.24)
Ноэффициент затухания для этих nOJIН на основании соотношений
(15.26) определится выражением
2.. т 2 Ь 3 + п 2 а 3
а./ т == f'-Vo аЬ (т 2 Ь 2 + п 2 а 2 ) [1 ('Imn/'I)2]1f2 .
Наибольшая н:ритичесная длина полны для полей Т 111 в полно воде , у HO
Toporo а == 2 см, Ь == 4 см, соrласно пыражению (15.26), соответствует ;ша ,
чеНIIЯМ т == п 1 и равна 1.11 == 3,58 см; следующая н:ритичесная длина
волны равна 1.12 == 2,83 c.tn. На фиr. 134 предстаШIeН вид полей для
волны ТМ 11 .
Суперпозиция двух полей в нвадратном волноподе дает поле в Tpe
Уl'().'1ЬН()М в()лноводе, сечение HOToporo представляет собоЙ равнобедренныЙ
прямоуrольныЙ треуroЛЬНИl\ (см. фиr. 135). Н'ритичесн:ая частота остается
прежней.
(15.:33)
Волuоводы и nо.лые реаоиаторы
507
4. Rруrлый волновод. Рассмотрим КРУI'ЛЫЙ волновод радиуса а.
Нак следует И3 g 18 I'Л. XIV, решение уравнения (15.3), конечное на оси,
будет иметь вид
Й(р, ер) == J m ( тn р) (С тп () тff + n'пп sin тер), (15.34)
I'де, исходя И3 соотношениЙ (15.4) II (15.5), тп надо выбрать таким, чтобы
I aJ m b '."n а) /te == О, I J m ( тn а) Itm == О. (15.35)
А
Е ЛUlши. Сечение АВ
в
В лш/Uи. ВlIа справа
ТЕ ю ТЕOI
А
iL ))!
и-:-:: :J
в
В Лl1Нии. Сечение АВ Е линии.ВертШЮЛЫfOесе"ение
ТМ 2Т + ТМ Т2
Фие. 135.
Ниже приведены наиболее важные нулевые точки этих фушщий:
J (3,832) == J (7,016) == J (1,841) == J (5,331) == О,
J o (2,405) == J o (5,520) == J 1 (3,832) == J 1 (7,016) == О.
(15.36)
( 15.37)
Поля для волн Т Е, СОI'ласно соотношениям (15.4) и (15.15), определяются
следующим образом:
[E]te == jw ["'1 тp 1 J m ( тn р) (С тп f'in тер D mn COS т ер) +
+ ff mn J;" ( тn р) (С тn СОБ тер + ьтn sin тер)] е j 'mnZ,
( 15.38)
[B]te == и ;"n [ "'1 тn J;" ( тn р) (С тn СОБ тер + птn sin тер) +
+ ffmp 1 J m ( тn р) (С тn sin т:р Ь тп cos тер)] +
...... '" j('.mпz
+ k n J m ( тn р) (С тn СОБ тер + lJ тn sin тер)} е .
И3 соотношений (15.34), (15.35), (15.23) и (5.337) находим
для Rоэффициента затухания волн Т Е
"t [ ( '1mn ) 2 J 1f2 [ т2 ( '1 тn ) 2 1
ate -== fLvao 1 7 fj;;'n a2 т2 + 7 .
(15.39)
выражение
(15.40)
508
r лава xv
МЫ видим, что волны с нруrовой симметриеi1, для ноторых т == О, обладают
необычным свойством: с ростом частоты их ноэффициент затухания YMeHЬ
шается. Из волн типа Т Е наибольшую нритичесную длину волны имеет
волна типа ТЕ l1 , у HOTOPO.lJ, соrласно выражениям (15.35), (15.36) иJ15.8),
А С
g
в . D
ТЕ ю волна. [лавное сечение
трубок равносо потока Maa
нитной индунции
AIrb?
В D
ТЕII вОЛllа. В линии в zлавном
сечении, дающие одинаНО6ые
приращенил мштитной
индукции на центrюЛЬНОЙ линии
А С
ТЕйI волна. Е лиНl1U в сечении Д В,
дающие одинаковые приращения
напряженности поля
ТЕ,, волна. Е лиН/JuвсеченииАВ,
дающие одиНQ1Ю6ые приращенuя
напряженности тюля
на центральной линии
в D
TMOI волна. [лавное сечение
трубок равНО20 потоказлект
рuческой индукции
А С
! !
I I
!( \!
в D
ТМ,, волна. Е лuнUU в 8лавном
сечении, дающие одинаковые
прuращенuя напряше!:'ности (
поля на центральноu линии-,.
ТМ о / волна. В линuи в сечении А В,
дающие одUНQtЮ6ые приращеНlIЯ
ма2нитной индУК1Jии
ТМOI волна. В линии в сечении АВ,
дающие одинаковые приращеНllЯ
маанитной индукции на централь
ной линии
Фие. 136.
Л Н === 3,42 а; следующая н:ритичесн:ая длина волны 1.01 == 1,64 а. Положим
а == 2,34 сом, тоrда Ан == 8 см, т. е. равна н:ритичесн:ой длине волны прямо
уrольноrо волновода, У HOToporo а == 2 см, а Ь === 4 см (см. предыдущИЙ па
раrраф). Для пятисантиметровых волн ноэффициент затухания а равен
0,0028 .м 1, т. е. он меньше, чем н:оэффициент затухания в соответствую
щем прямоуrольном волноводе, rде он равен 0,005 .м 1. Вид полей для
неlЮТОРЫХ типов ТЕ волн представлен на фиr. 136.
Волuоводы и полые ревоиаторы
509
Поля для ВОЛН ТМ, соrласно соотношениям (15.16) и (15.17),
ляются, по формулам
Б/т == {w n [P1 тn J;"n ( тn Р)(С тп cos тrp + Ьтп sin тrp)
т p 1 J m ( тn р) (С тn sin тrp ьтn COS mf)] +
. 2 v "'. j 'mnz
+ kJw mn J m ( тn Р)(С тn cos тrp + DтnSlll mrp)} е ,
В/т [P1 2mp IJm (l31]>nР) (Cт.-,sin mrp D mп cos тер) +
v . v j ' Z
+ 2 тn J;" ( тn р) (С тn COS mrr + птn sin тер)] е тn .
Ноэффициент затухания BOJfН Т lvl на основании СООТНQшений
(15.35), (15.24) и (5.337) равен
а, == [ 1 ( "тn ) 2 J lJ2. ( 15.43)
tm v ato v
Наибольшими значениями "тn являются "С1 == 2,61 а, )'11 == 1,64 а и "02 == 1,14 а.
опреде
( 15.41)
(15.42)
( 15.34),
5. RоаксиалыIйй ВОЛНОВОД. Линии передачи, образованные двумя
про водящими цилиндрами внутренним (радиуса а) и внешним (радиуса Ь),
относятся \{ R:лассу линий, по ноторым МOl'ут распространяться ВОЛНЫ
любых частот (таR:ие линии рассмотрены в 15 rJI. XJV). Сопротивление
линии на единицу длины равно [см. соотношение (13.151)]
R /2 R ( tf- '2d + '2d ) 12Ri ( + ) 'tJ2(a+.b) L /2
i ; 'j -;) s 1' Ь а '2мhO W i .
а Ь
( 15.44)
ХараR:теристичеСR:ИЙ импеданс, определенный выражением
Z 1 LIR;+i w (L+L;)J I1/2
h t v t l' + I wz ) t,
(13.147), равен
(15.45)
rде
L u. Ь
-=о ;;---- ln .
",1' а
Формула ДЛЯ R:оэффициента саМОИНДУR:ЦИИ на единицу длины была полу
чена, исходя из соотношения I C == fJ-Е И из выражения (2.9). Если самоин
дуН,ция L;, обуслов.пеннан СR:ин эффеR:ТОМ, и проводимость ДИЭ:ШR:ТРИR:а l'
малы, то при Q(R;/L)jO(bja), равном нулю, R:Qэффициент затухания имеет
тупоп, минимум. Значение минимальноrо Iюэффициента затухаЮ1l1, получаю...
шееся при Ь == 3,6 а, Bcero пишь на 5 % меньше значения R:оэффициентов
затухания при Ь == 2,5 а и при Ь 5,Оа.
При достаточно R:ОРОТR:ИХ длинах волн В R:оан:сиаЛhНОЙ линии MorYT
существовать волны ВЫСШИХ ПОрЯДR:ОВ, подобные описанным в предыдущем
параrрафе. Эти волны появляются I'лавным образом при удовлетворении
rраничных условиЙ на неоднородностях. ПОСН:ОЛЬR:У область вблизи оси в
этом случае ИСR:ЛlOчена из поля, необходимо в решении писать обе функ
ции Бесселя. Таким образом, в соответствии с выражением (14.128) имеем
и == (С тn COS mrp + ьтn sin тср) Rm ( mItP)' (15.46)
[Rm ( mnP)]le ==J m ( тn р) У;" ( тna) Y m (Ртп р) J;"( mna), (15.47)
[Rm ( тn Р)]tщ ==J m ( тn р) У m ( тп а) У m ( т'1 р) J m ( тn а), (15.48)
rде, соrласно СОотношениям (15.4)
чтобы вьшолнялись условия
iJ r Нт ('1".,,, Ь)1,. О
дЬ . ,
и (15.5), тn нужно ыбирать таким,
[R m ( 7nn Ь) ]lm == о.
(15.49)
510
l'лава XV
Из выражений (15.47) (15.49) видно, что при р==а и р==Ь rраничные
условия, определяемые соотношениями (15.4) и (15.5), удовлетворяются.
Выражения для полеи, ноэффициентов затухания и т. д. можно опреде
JIИТЬ тан же, кан и в предыдущем параrрафе, но для l\оансиальноrо ВОЛНО
Бода ОШ1 представляют меньший прar{тический иптерес. . "
6. Плоские неоднородности Б Iюакспальной линии. При решении
Нl:шоторых аадач о распространении элентромаrнитных волн в ряде случаев
можно получить достаточно точные результаты, воспользовавшись MeToдa
'\IИ электростатики. Действительно, введя в уравнение (15.1) длину волны j"
мы видпм, что
V 2 E == (J)2fJ-ЕЕ == 4тc2j, 2E -----7 О.
}. :XJ
( 15.50)
Таним образом, ссли длина волны внаЧIlтеJJЬНО превышает размеры обла
сти, то мrновенные значения полей н последнем не отличаются от полеii,
описываемых решени ми уравнения Лапласа, удовлетворяющими тем Жl-
I'рarIИЧНЫМ условиям. .
Рассмотрим две коанс.иальные ;fИНИИ, коансиальнu соединенные между
собой в плосности z == О, которая является идеально про водящей ВСЮДУ,
за ИСl\лючением отверстий, соединяющИх области распространения ВОЛН
в линиях. Пусть длина волны настолько велика, что в ноаисиальных
линиях может распространяться только rJIaвная водна. Нсно, что если она
имеет характер стоячей водны и узеJ1 элен:тричеснOJ'О поля совпадает
с плоскостью z == О, то неоднородность не будет оназьшать нинакоrо nJIIlЯ
ния, таи кан в этом плосности отсутствует радиаJIьная составляющая
ЭЛCl{тричесноrо поля, а JIИНИИ маrнитнОЙ индукции вподу насательны н э'юii
плосности. В JlIоЕо J1ИНИИ передачи нартина распредеJ1ения стоячей волны
вдоль линии не арушается тольно в том случае, если. в узел электри
ческOI'О поля помещают шунтирующий элемент. Поэтому действие pac
сматриваемой нами неоднородности эквивалентно действию шунтирующеrо,
элемента в плоскости z == О.
Рассмотрим теперь частный СJ1учай коаксиалыiоrо кольцевоrо отвер
стия и предположим, что, плоскость z == О находится точно посередин('
между двумя соседними узлами стоячей волны электричесноr() полн.
Очевидно, что радиальная состаВJ1яющая ПОJШ rлавной волны не перпенди
}{улярна н плоскости z О, поэтому ДJ1Я УДОВJ1етворения rраничных усло
вий здесь необходимо присутствие местных полей высших ПО ряДIiO В , НИj
которых определяется соотношениями (15.47) или (15.48). Все они coдep
жат фактор e l o"zl [см. соотношение (15.38)], т. е. поля существенно OT '
личны ОТ нуля лишь вблизи сечения z == О, в оБJ1асти, значительно
меньшей, чем длина водны. Таким образом, местные ПОJ1Я находятся в
фазе. Соrласно выражению (15.5(), мrновенпое значение электрическоrо
ПОJ1Я в сечении совпадает со статическим полем между внутренним п
внешним проводниками, а емкость линии в сечении z == О равна разности
между действительной емностью этоrо сечения и суммой емностей HOHцeH
тричесних цилиндрических нонденсаторов по обе стороны сечения.
В начестве простеЙШeI'О примера может служить случай, ноrда ОТIЮ
шение внешнеrо радиуса но впутреннему БШ1ЗНО l\ единице. НеБОJIЬШОЙ
участок цилиндричеСНОI'О нонденсатора можно заменить узной пластишюЙ
плоскоrо нонденсатора и решить задачу при помощи нонформных преоб
разований. Тююе решение ДШI случая 1lJIOCl\Oro конденсатора с параллеJ1Ь
ными пластинами, имеющими уступ с одной стороны, изображено на
фиr. 63,6 (линии V == о и V == тcj2) и рассмотрено в 14 rJ1. V[. Полови
на вCJIИЧИНЫ дополнительноrо сопротивления (на единицу длины) опреде
ляетея по формуле (6.63), а соответствующая добавочная емность (на единицу
Вол,Н,оводы и полые реаоиаторы
511
длины), соrласно соотношению (6.67), будет равна 2Ej('t!JR). Емность
неоднородности определяется нан произведение этnй емности на периметр
2тcr области, в 1\0ТОрnЙ распространяются волны. Таиим образом, из COOT
ношения (6.63) имеем
') .( h 2 +k 2 k+Jl k2 h2 )
r: 2тcrC 1 E! \. М ln k }l + 2ln 2Jlk .
(:15.51)
Виннери и Джемисон 1) эмпиричесн:и ПОl\азали, что если имеется уступ
тольно в одной стенне, то нужно умножать добавочную еМI\О(;ТЬ на пери
метр дру.'ой стении. При отношении BHYTpeHHero радиуса н внешнему,
равном 5, этот епособ дает ошибl\У тольно О1\ОЛО 10%. Отражения от
таних препятствий вычислены в S 17 rл. XIII [см. выражение (13.140)],
rДе Zkl и Zk2 волновые сопротивления JJИНИЙ пn разные стрроны от пре
пятствия (ступеньии)
1. . r: 1 2ТC1C I 1
== ]UJ , + == .T .
Z2 Zk2 Л Zh2
7. Возбуждение волноводов. CTporoe решение задачи о возбуждении
волновода посредством петли евязи или штыря представляет иснлючитель
ные трудности. Одпан:о в этом случае, нан и для антенн (см. S 4 7
rл. XIlI), можно получить приближенные решения, если принять онредеJlен
ное распределение тона вдоль про вода и считать, что весь тон CHOHцeH
трирован вдоль оеи провода. Тем саJylЫМ задается маrнитное поле вблизи
ПрОБода, которое затем можно представить в виде суперпозиции нолей различ
ных типов волн. Если ПРИНllтое распределение тона является правильным,
то элентричееное ноле сторонних э. д. с. на поверхности нровода будет
полностыо еномпенсировано . танrенциальной составляющей элентричесноrо
поля, создаваемоrо данным тоном. Поэтому импеданс излучения HeHOTOpo
ro участна про вода будет равен взятой СО знаном минус сумме линейных
интеrралов от элентричесних полей различных типов (интеrралы берутся
вдоль провода в направлении тона), деленной на пеJ1ИЧИНУ тона. Таним
образом, поле наждоI'O типа действует нан неноторый независимый
нонтур, подключенный н Iюнцам этоrо участна провода. Данный элемент
тона возбуждает тание типы BOJfН, у iшторых имеется составляющая
элентричесноrо поля вдоль провода, что подразумевает танже наличие
маmитноrо потона, сцепленноrо с проводом. Рассмотрим элемент тона,
лежащий в плосности Z == Zo беснонечноI'O волновода, простирающеrося от
z == 00 до Z == 00. Составляющую В, танrенциаJ1ЬНУЮ н этому сечению,
(Bt), можно записать в виде беСl\онечной суммы, наждый член но торой
ОТНОСИТСЯ 1\ определенному типу волны и имеет вид А тп U т' (U 1 ) V m (и 2 ),
rде и т' (и 1 ) и V m (и 2 ) ортоrональные Фуннции поперечных ноординат и 1 и
и 2 . Умножим это равенство на U pq (и 1 ) V р (и 2 ) dU 1 dU 2 и проинтеrрируем но
всему сечению. Тоrда с одной стороны равенства останется толыш член,
соответствующий pq. Величина В, всюду равна нулю, за иснлючением
малой области (и , и;), в НОТОрОЙ U pq (и:) V р (и ) можно заменить средним
значением U pq (и ) V р (и;). Соrласн() занону о цирнуляции маrнитноrо поля
[см. выражение (7.2)], интеrрал от В, в направлении, перпендинулярном
1
{{ направлению элемента тона, равен 2" v-I. С этим методом мы уже BCT'pe
'шлись в маrнитостатичесних задачах в S 12, 14 и 32 1'Л. VIl. ОБЫЧllО
такой элемент возбуждает и волны Т Е и волны TJl. Если поместить
в точну Z == Zo второй элемент тона, равный первому по величине и про
тивоположный по знану, то суммарное элентричесное поле будет перпенди
нулярно н ПЛОСRССТИ Z == О и, следовательно, будет ('овпадать с ПШ1Ш\J,
Z. == Zhl'
( 15.52)
1) W h i n n e.r у, J а m.i 5 о п, Proc. IJlst. Ra(l-. Eng., 32, 98..
512
r .лава xv
возбуждаемым в волноводе, замннутом в сечении Z == О идеально проводя
щей ПЛОСНОСТЫО.
Элемент тона, ориентированный . вдоль оси Z, возБУil\дает тольно
волны Т ivl. Метод, описанный в 3 rл. XIV, оставляет неопределенными
и длину и фазу дипольноrо источнина, полученноrо путем дифференциро
вания поля точеЧНО1'О источника по ноординате Z, совпадающей с направ
леЮfем распространении. Поэтому лучше ш!нть дипольнып источнин, распо
ложенный в ПЛОСНОСТИ постоянной фазы, нан это и было сделано в 22
rл. XIV [см. выражение (14.147)1, rде плосность Zo была всюду заземлена,
за иснлючением беснонечно малOI'О отверстия, на котором поддерживался
потенциал V ое jюt . Электричесний ДИПОЛЬНЫЙ м('мент этоrо ИСТОЧНИl\а, нан
и МaI'НИТНЫЙ дипольный момент маленьной петли с тоном, пропорциона
лен e1'o площади dS o ' Таким образом, формула (14.154) для элемента тона
с моментом 1 dz o cos (J)t дает
1 d ;шпЕ (b2 a2) V o 2 . V 2 2 . V dS
о Zo == Ь ) lШ u'lta == J(J)8 О О'
III { ,а a b
( 15.53)
Выпишем выражение для танtенциалI>НОЙ составляющей Etm в плосности Zo
В виде беснонечной суммы членов вида Атпи тп (U 1 ) V т (и 2 ) и определим
коэффициент Ар?, умножив эту сумму на U pq (U 1 ) V р (и 2 ) dU 1 du И проинте
rрировав по сечению. Тоrда в правоЙ части останется толыш член, coдep
жащий Apq' а в левой части MJ,>I возьмем dS o в виде криволинейноrо
нвадрата, OI'раниченноrо линиями и;, и; + и;, и , и + ди;. На элементе .iS o
и внс ero Е 'т равно нулю, но интеl'рал от E tm при переходе через ['pa
IIИЦЫ элемента dS() равен ::!: V o ' ЕСJIИ элемент тона несет на себе еще
и свободные заряды, нан это должно быть в случае штыря, введенноrо
внутрь волновода, то, соrласно выражению (14.1), СI<алярный rютенциаJI будет
совпадать по фазе с зарядом, что УДОВJlетворяет элентростатическим условиям
и не оказывает влияния на распространяющиеся водны. Это местное ПОJIе
приводит н наJIИЧИЮ еМJЮСТНOIО реантивноrо сопротивления. Н случае произ
вольной ориентации элемента тона е1'О можно разложить на продольную 11
поперечную состаВJIяющие и рассматривать каждую из них в отдельности.
lIри возбуждении волновода черсз отверстие метод, изложенный в 22
rл. XIV, часто позволяет получить приближенное решение, если постули
ровать, что на отверстии сохраняется таю'енциаJIьная состанляющая невоз
мущенноrо поля.
8. Возбуждение gруl'ЛОI'О волновода элементом тока. Применим
метод, описанный в преil:ьпущем параrрафе, Д.ТIя вычисления волновоrо
режима внутри нруr.поrо волнов()да, возбужденноrо радиальным или про
дольным элементом тока. Для эле:vrента тока, ориентир()ванноrо нормально
к указанным двум направлениям, вычисления сходны с вычислениями
в случае радиальноrо тока, и поэт()му они помещены (вместе с аналоrич
ными ПРl1мерами для прямоуrольиых волноводов) в за.1ачи, находящиеся
в конце rлавы.
Рассмотрим элемент ТOf(а /ei..)t, длина KOToporo в точке Ро' О в пло
сности Zo равна dpo' Если бы этот элемент находился не в точке ер с==. О,
а 13 точке ер == еро' то n ф()рму.пах 4 достаточно было бы заменить ер на
ер еро' Полное п()ле типа Т Е равно дв()йной сумме по т и п членов, опре
деляемых соотношениями (15.38) и (15.39). Чтобы найти амплитуду члена pq,
положим в выражении (15.39) t О, Z ==' Zo и с тn == О, а затем, учитывая,
что Ер четная фуннция ер, умножим ero сналярно на величину
[ l pqJ ( pop) sin тер + lPp IJp ( pqp) cos рер] pdp dep
Волuоводы и полые реаоиаторы
513
и проинтеrрируем в пределах от 'f' ''''' т: до ер == т: И от р == О до р а.
В результате перlюrо интеrрирования в сумме по т исчезнут все члены,
нроме p ro, а интеrрaJJЫ от siп 2 рер и cos 2 рер будут равны т:. Обозначим
pпP через l;l' а рчР через l" 2' тоrда остаВlliИЙСЯ интеrрал по р примет вид
pпa
1 ..
Т:; Р'1 ;п
О
r 2 ]
L J (l;l) J (l'2) +L J р (V 1 ) J p (V 2 ) v1dl' 1 .
V 1 V 2
(15.54)
Но, соrласно соотношению (5.350), этот интеrрал равен нулю для JПобых п,
нроме п == q, ь:оrда он tCM. соотношение (5.351)] равен
(Р '1а2 р2) J ( рча).
в ПJЮСI\ОСТИ Zo поле Ер всюду ,равно нулю, а попе Вер отлично ОТ нуля
только на ЭJюменте ilpo вблизи точни ро' О. На основании (;оопюшения (7.2)
B'fp d9 === f11 при р === РО' Решая QТНОСJIтеJIЬНО Dp'1' имеем
t i5 ] === Р:.LldроJр(Риро) e; '1ZO ( 15.55 )
"'1 te " ' ( 2 2 2 ) [] ( " ' ] 2 . .
т.ро! l"p'1 I Р'1а Р р ['рча)
Для полей TlIl, возбуждаемых радиальным элементом тона, в выражении
(15.42) .положим t == О, Z == Zo и 1J тn == U и помножим ero сналярнu на величину
[р lPp lJ Р ( p p) siJ1 Р9 + pJ ( рчР) cos рер 1 р dp dep,
а затем проинтеrрируем в пределах от ер === т: до ер -== т:; и от р == о до р == а.
Полученные интеrра.тJЫ совпадают с рассмотренными выше, за ИСНЛlOче-
нием МНОЖИ1еJJЯ (4 ;) ), а интеl'рал, входящий в выражение (15.54), равен
: t p'1aJ ( pqa)]2, потому что Jp( pqa)==O. Таним образом, получаем
У" fLldpoJ (РР7РО) (2 (. ) j qZo
[Cp'1ltm . , е.
2r.P P7 [r-аJ р ( P1aH2
(15.56)
в случае продольноrо элемента тона, используя источник, харантеризуемый
6 v
соотношением (15.53), положим в выражении (15.41) Z == Zo, Ртп == О и YMHO
жим сна.1ЯРНО обе части Ы'О на ВeJlИЧИНУ
[PIP P'/ ( рчР) cos рер pJ р ( рчР) siп рер] dp dep == Rpq dp d'f,
а затем проинтеrрируем в пределах U < Р < а и О < ер < 2т:. В результате
интеrриров<!,ния по ер правой части, используя соотношения (5,35И) и (5.351)
и помня, что J p ( pcp) == О, получаем
а 2п r I С
\ \" Е. R dp dep .== 1:W 1 ,p'1 рч а 2 t J' ( а)]2 e jL! qZO. (15.57)
) J Рч 'L б рч р Рч
о U
1 1
Площадна dS o оrраничена дуrами с + l;) и с 7 О и радиальными линиями
1 1
T.lCP и т .l'f. Интеrрал вдоль дуr, rде подинтеrральная фующия не зависит
от ер, равен
рч { (с + О ) J [ pq ( с + ;) ) ] ( с ;) ) J [ рч ( с о) J } х
х V01ep > рч t pqcJ;: ( рчС) +J ( рчС)] Voo 6ер. (15.58)
0.....0
зз в Смайт
514
r лава xv
На радиальных сторонах о настолько малq, что можно положить р:;: С,
тоrда получим
opc lJp( pqc) [sin ( ; рД<р ) Sin( ; рДср) ] V o ==
== p2 <pOC lVOJ р ( pqc). (15.59)
Сумма выражений (15.58) и (15.59) равна левой части выражения (15.57).
Заменив сМ<р на dS o , подставив VodS o из выражения (15.53) и комбинируя
фушщии Бесселя при помощи уравнения Бесселя (5.314), для C pq получим
[Cpq]tfII == 1 (2 o ) 1 dz J р ( P1c) ' ejf', qZO. (15.60)
21фрqw2е [a.J р (p pq a)]2 '.
Следует отметить, что в выражениях (15.56) и (15.60) функцию J ( pqa)
можно в силу соотношения (5.134) заменить на JJ.+l ( pqa), потому что
J p ( pqa) == о.
9 9. Возбуждение круrлurо волновода иетлей с током. Применим
фОрМУJIЫ предыдущеrо параrрафа н плосной квадратной петле, располо
женнОЙ в ПЛОСНОСТИ <р == о нруrлоro вол
новода радиуса а, заМНПУТОl'О в сечении
z == О ПрОБодяшей степкой, rрапичные yc
ловия на н:оторой удовлетворmотся, если
взять зсрнальное изображение петли, IШК
ЕТО поназано на фИJ'. 137. Будем предпо
Jшrать., что распределение тона в петле
однородно, хотя инте1'ралы можно вычи
слить для любоrо заданноrо распределе
ния. Волны Т Е возбуждаются тольно pa
диальными участнами петли. СУММИРУfl прирост амплитудЫ D mn за счет
элементов 1 dpo в точне Ро' d, 1 dpo в ТОЧI\е Р/)' Ь, 1 dpo в точне Ро' Ь
и 1 dpo в точне Ро' d [см. соотнсшение (15.55)] и интеrРИfУЯ в пре
делах от Ро == С до Ро == а, для области I z I >- d получим
v 2 u.I [sin (P;"'nd) sin (P;"'nЬ)] B т na J,,, (v)
I Dmnlte == , 2 , d,
1tРmn(f:mТ!а2 т2)[Jm(Рmпа)]2 V
I\mп c \
rдe rnn определяется выражением (15.35), а ;;п == 2 f п' Интеrрал в COOTHO
шении (15.61) можно вычислить путем разложения Jm(L) в ряд [см. (5.314)],
в нотором обычно б 1Вает достаточно взять лишь неснольНО членов. Поля
волн т Е определяются выражениями (15. 8) и (15.39), в ноторые необхо
димо подстаВить выражение для Dтп> а С тn положить равным нулю.
Из предыдущеrо парar'рафа следует, что волны ТМ возбуждаются всеми
участнами петли. Действуя так же, нан и при нахождении в()лн Т Е, но
применяя соотношение (15.56) вместо соотношения (15.55), находим, что
боноnые стороны петли для области z> d дают
[С' ] , jfJ.lo(2 o )[sin(p;"'пd) sinC ;"'llЬ)lJт( тпC)
тn tm 1t [PPmn aJ ;" ([jmп a )]2 .
Для продольноrо участна, нан видно из фиr. 137, нужно просуммировать
действие элементов в Zo и zo' а затем проинтеrрировать в проделах от
Zu == Ь до Zo с=. d, что приводит н следуюшему:
d . [С " ] (2 o )fJ.lo[sinC;"nd) sin('!;"nЬ)]Jт( ,,c) (15.63)
z > , . V тn tm ' ,
[те [ PmпdJm \ тna}]2
Фие. 137.
(15.61)
( 15.62)
Волuоводы и полые реаоиаторы
51!)
Суммируя выражения (15.62) и (15.63) и учитывая, что на основании
соотношения (15. ) 2.== ;;n + ;"11" для волн Т М, возбуждаемых петлей,
окончательно получаем
[С " ] == i(2 o )/Llo[sin( ;"nd) sin( ;"l1b)]Jт( т"c) (15 6 )
11111 tm I I . . q
1t [ тl1rjт"aJm ( тl1a)]2
Поля определяются путем подстаноnви этой величины в выражения (15.41)
и (15.42). Для распространяющихся волн ;"11 величина действительная,
так что входящие, в ЧИl;J1итель триrонометричесние члены можно записать
(см. Двайт, 401.09) в виде
sin ( :пnd) sin ( ;"nb) -== 2 sin [п (d Ь) ). 1] cos [п (d + Ь) л:;;"1]. (15.(5)
Совершенно очевидно, что если длина петли d Ь равна целому числу
1
длин волн в волноводе или если расстояние 2 (d + Ь) от центра петли
до замынающей стенни равно нечетному числу полуволн, то COOTBeTCTBY
IOщий тип волны не будет возбуждаться. Если же нижняя часть петли
лежит на оси волновода, то возбуждается тольно симметричная волна TJ1,
потому что J m (О) == О при т *" О.
10. Возбуждение НРУl'лоrо волновода через отверстие. В последнем
параrрафе решалась задача о возбуждении волновода в случае заданноrо
распределения тона в антенне или в петле. Теперь решим ее для задан
Horo значения танrенциальной соетавшпощей элентричесноrо поля на OT
nерстии. Рассмотрим lюансиальную линию, состоящую из двух цилиндров
радиусuв р Ь и р е (е> Ь) и OI'раниченную с одноrо нонла идеально
про водящей ПЛОСIЮСТЬЮ z == О, в 1\0ТОрОЙ прорезано нольцевое отверстие.
Эта ПЛОСНОСть замынает нруrлый ПОJlуuеснонечный волновод р == а, z'== О,
z == (Х). Из симметрии ясно, что в волноводе может возбуждаться тольво
не зависящая от ер волна ТМ, а -из соотношений (15.49) и (15.41) J.fЫ
получаем
J o ( na) == О,
00
Ер == (J) Cn nJI ( "p) e j z.
n 1
(15.66)
Кан и в выражении (14.148), мы принимаем для плосности z == О СЛеду
ющие rраничные условия:
о < р < Ь,
Ер == о;
ь < р < е, Ер== V o [pln( ) J 1;
е < р < а,
Ер == о.
(15.67)
v
Подставляя эти значения для Ер в Соотношение (15.66), умножая затем
обе чаС1И на Р.[l (fnP) dp и инrеrрируя в пределах от р == о до р == а, для Сп
получим
С == 2У о [J o ( '1b) Jo ( пc)J
n ", a2In (bjc) (J} ( na)J2
Для вычисления Входноrо импеданса волновода, подсоединенноrо к коанси
альной линии, проинтеrрируем вектор Умова Пойнтинrа по площади ()TBep ,
стия. На основании формулы (13.97), используя отношение EpjBp опреде;
ляекое выражениями (15.41) и (15.42), имеем
(15.(8)
с .
1 V - 2 2 Vб
1I == ЕрВ<& dS == Ер2пр dp == .
"'1'. "''''I''Еn Ь 2Z i
{15.69j,
33*
16
F.пава XV
13 0зве дем выражение (15.66) в квадрат и произведем интеrрирuвание при
помощи соотношения (5.354):
1
со
. 4r:w=: . ' . [JQ(;iпb) Jo(Snc)]2 ([cJ 1 ( nc)]2 [bJ1 ( пb)]2}
a 4 1п 2 (Ь/С) kJ [J l ( na)]2 .
п l
(15.70)
Zi
Таким образом, волновод эквивалентен цепи, состоящей из параJIЛельно
включенных импеJЩНСОВ, 1\аждый из ноторых соответствует опре!lеленному
типу ВOJшы. Для распространяющихся волн действительная величина
и импеданс получается чисто 'aI\ТИВНЫМ. ДЛЯ ДРУI'ИХ B тH мнимая
еличина, т. е. .импеданс реактивен. Точное решение требует СOI'ласоnания
полеЙ на отверстии со стороны ВОJJНовода II со стороны ноансиалыlOЙ линии
с ИСПОJIьзованием соотношения (15.4t).
.\'
: . Э 11. IIЛОCI ие нсодноро'Дности в ПРНМОУl'ОЛЫ1ЫХ волноводах. П.ПОСIШЯ
неоднородность может быть образована путем соеДИНСIlиа Д13ух Ilрямоуrоль
иых ВOJпroводов, расположенных с T BYX сторон от перпендинулнрноjj 1\ ним
идеально проводнщей ПЛОСКоt;ТИ z == d, в которой прорезаны отверстии,
соединяющие внутренние об.пасти водновода. Пусть в обоих ВОJIНOJюдах
распространяется только волна типа TEIO' ТOl'да можно создать такую
1f1'ОЯЧУЮ волну, у которой узел ЭJJектричесноrо поля (см. 6) будет ('овпа
А\ать с плосностыо z d. СледоватеЛhНО, ПО тем же [JРИЧIlнам, что и в 6,
Т/щое сочленение должно деЙСТВО13ать, нан неноторыЙ шунтирующий эле
меНт Zs, помещенный в линию в сечение z =ос d. Рассмотрим теперь частный
случаЙ, считая ДJШНУ волны Л Jо одинаковой д,пя обоих волноводов и пред
положив, что стоячан волна Т Е\о имеет узлы ЭJlCнтричеснOI'О поля в точках
z == U и z == 2d. Напряженность :сще1\тричесноrо поля для волны TE 10 ' В COOT
ветствии с t;оотношением (15.L.7), равна
Е Е . т.х . R'
у == О sш а sш t-'10 z cos wt,
(15.71)
rJie О < z < d. Поскольку это поле дает отличную от нуля таю'енциаJJЬНУЮ
лаrаlOЩУIO па металлических поверхностях в сечении z == d, в волноводе
ДОЛJ,нны присутствовать ТaI же и волны высших типов, которые ее 1\OM
пенсируют. Как видно из соотношения (15.27), содержащеrо множитель
e P :пn(Z d)t, при достаточно большой величине 1.10 поля высших типов лока
лизованы в очень неболыпом интервале z. С.педоваТeJIЬНО, их КОJIебания
совпадают по фазе, что позволяет, учитывая соотношение (15.50), опре
делить Rонфиrурацию этих полей статическим методом.
Отрезок волновода U < z < 2d энвиваJIентен Т 06разному звену (изо
браженному на фИl'. 1О1), замкнутому накоротко в сечениях А' А" (z с= О)
и 'В'В" (z == 2d), причем Za == Zb' Z2 == Z.,; в этом звене происходят колебания
1 v " "
акоrо типа, при которых ёт+l == ё т и Za + Zs == О. Обычно при paCCMO
-rрении неоднородностей в волноводе ПОJIьзую-rся понятием «нормированноrо»,
или ОТВОСlfтельноrо импеданса, который мы бунем обозначать чероз zo.
Нормированный на единицу импеданс равен действите.чьному импедансу,
отнесенному н характеРИС1'ичеСRОМУ импедансу волновода. Для волны
т E 10 ' распространяющейся без затухания, соотно ение (10.112) дает
v
....0 Z1 cos O 1 + i sin o l
Z.==
cos pio l + jz1 SiH io l . .
(15.72)
Волuоводы и полые реаоиаторы
517
в случае норотно замннутоrо Т образноrо звена z2 == о и l == а, поэтом
при резонансе
Z O .1 Z O 1. R' d
s == т i 0:== "2 1 tg 1"'10 .
(15.73)
Остановимся теперь на специальном случае., ноrда rеометрия ВО.пноводц
Б любом сечении, параллельнш.l плосности х == О, а следовательно, и
элентричесному полю, одинанова. В сечении z == d это MOl'YT быть YCTY
пы В стеннах, или l1иафраrмы, ИJJИ номбинаl1И'И и тех и IIруrих. Элен
тричесное поле ориентировано параллельнu ПЛ(JСНОСТИ х -0..= О, тан что на
участне вблизи z'== d, rде можно пренебречь изменениями фазы, вентор Е
при любых значениях х должен быть непрерывен по у и z и должен
выражаться через потенциал, удовлетвор-яrсщий двухмерному уравнению
Лапласа, записанному в 1юuрдинатах у и z. В любых узлах ЭJJентричесноrо
поля тон одинанов, поэтому ПОJJНЫЙ заряд на верхней и нижнеЙ стеннах
волновода между узлами Е таиже одинанов. Пусть в интерваJJе 0<, z < '2d
заряд на единицу ширины стеНI\И (вдоль х) при х == ХО равен QIO для
волны Т Е 10 И Qu д:lЯ всех друrих типов волн. Обозначим статичесную
емность неоднородности (на еДИIlИl'У' ширины) через C 1 . Разность потен
циалов между верхней и нижней стеНIЮ водновода при х == ХО и z == d
равна V d == bEd' Тоrда на основании выражения (15.71) имеем
1 '
I;А1О d
С Qo Q.o 2 ( ('Е d (". Е d '\ 2Е ('lg ;na
1 ЬЬd ЬЬ'd Е y Z Е y z) b lo
1) о
(15.74)
Подстановка этой веJJИЧИНЫ н
Zo Е
s...::=:. -иЗ' п
I t 10 '-'1
выражение (15.73) дает
iw O или СО == b :o C 1 .
(15.75)
Таним образом, '[аная неоднородность имеет емкостный харarпер.
В начестве примера рассмотрим такую диафраr.му в ПОЛJlOводе, HOТ()
рая образует в нем онно ВЫСОТОI1 С (вь;сота сечения ВОЛJювода равна Ь),
нан это IlзображCIЮ на фиr. 39, rде все ЭНВИIlотенпиальные поверхности,
за ис[{лючением l'раничных поверхностей, на которых U == о и U == 7':,
Ilоказаны пунктирными линиями. Подставляя в выражение (14.106) а == с,
W == jV, z == jd, для V (при d оо) получим
V пd 1 . т.с 7((1, 1 пс
== '2Ь n sш :Lb ==2f) I n cosec 2f)'
(15.76),
Заряд на единипу длины на раССТОf1НИИ от U до d равен t:>V. Ilослелниi
член, умноженный на Е, равен половине ДОПОЛШlтельноrо заряда па етенне
волновода, оБУСJlопленноrо приеутствием диафраrмы, при условии, еСJIИ
разность потенциалов равна 7[/2. Поэтому для получения С 1 нужнп птпрой
член умножить на 2 и на 2Е/7[. lIодстановка С 1 в Т'ыражение (15.75) п
замена ;o па 27[1.;1 дает для нормированной реантитшоЙ нроводпмоеТII ВО
еледующее выражение:
В О С О 8Ь' l пс
== W Ау n cosec 2Ь .
(15.77)
в случае симметричноЙ диафраrмы, 01 раничснной поверхностями
и == 7[/2 и U == 7[/2 (ем. фиr. 39), €динетвенная разница будет занлючатьсй
в том, что разность потеJJuиаJIОВ равна не 7[/2, а 7[, и, следопательно, выра:--'
тение (15.77) нужно разделить на 2. Поскольну ближайшая экспоненциаЛЬН0
спадающая волна Т Ев ИС1шючается теперь в силу симметрии, то результаты
,)-18
r лава XV
QJ\азываются неСJ\ОЛЬJ\О более точными. Из фиr. 39 ясно, что eMJ\ocT
ная ПОЛОСJ\а в центре ведет себя в точности тан же, J\aJ\ и симметричная
диафраrllfа.
Друrой интересный случай имеет место тоrда, J\оrда rеометрия BOk
повода в любом сечении, параЛJIельном ПЛОСJ\ОСТИ У == О, а следовательно,
и МaI'НИТНОМУ полю, одинаJ\ова.
Соrласно выражению (15.28), амплитуды составляющих В в ПЛОСJ\ОСТИ
Z == d равны
(х)
В ж A] o cos ( od) sin +"'" тА I :пo I ch I :поd I sin тпх ,
а а
", 2
(15.78)
. ro
В 7tA 1 . ( R' d) 7tX m27t A h\ R' d\ m7tx
'== Sln 1'10 cus m S t'тО cos ,
а. а а а
т 2
(15.79)
. - х'
d
T
с xNP
i
(15.78) на sin ('iCxja) dx, а выражение
: k ,
b, 1 О, 1 Ь, Х,
б
х
.--де тo == mтr:fa. Умножив выражение
о' z
а
Фие. 138.
(15.79) на cos (-Jtx/a) dx, произведем интеrрирование в пределах от х == О
до х == а и иснлючим A 1 ; это дает
а
oa В' СОБ (7txja) ах
tg ( od) == а О
1t S Вх SiJl (1tx/a) ах
о
Здесь требуется статичесная аПрОJ\симация высших типов волн ТОЛЬJ\О
В плосности Z == d, а не во всей области их существования, поэтому это
выражение может привести J\ более точным результатам, чем выражс
ние (15.74).
На фиr. 138, а ПОJ\азан частный случай симметричной диафраrм:ы
с зазором, равным с. Очевидно, чтu маПIИтные силовые линии проходят
по обе стороны от центра онна в противоположных направлениях. Приве
денные на фиr. 138, а и 6 схемы связаны между собой тан же, J\aJ\ схемы
на фиr. 39. Поле, изображенное на фиr. 138,6, получается ОТ щели, шири
на J\ОТОрОЙ равна 2 и J\оторая вырезана в беснонечной плосности, имеющей
нулевую маrнитную проницаемость. Эта ПJЮС1ЮСТЬ юшяется l'раницей раз
дела двух равных ПО величине, но противоположно направленных OДHOpOД
ных маrнитных полей. На фиr. 40 поназана верхняя часть поля при а == 1.
Суперпозиция двух полеЙ в соответствиИ с с()отношением (4.11 О) приводит
н полю, изображенному на фиr. 138, 6. ПримеПИll J\ последнему преобра
зопание (4.107), УJ\азанное на фиr. 39, но неснольно и;!мененное (начало
ноординат .помещается у основания диафраrмы), получаем поле, IIОJ\азанное
(15.80)
Волuпводы и полые реаонаторы
519
на фиr. 138, а. Та ним обраЗ0М,
w == С' (Z 2 1)Ч2,
% ( z' а ')
z == b 1 sin
а
(15.81)
Иснлючая z и требуя выполнения равенства z' == (а с) при z == 1, Ha
ходим
в сечениИ волновода
(4.56) дает
W с( 2%Z' . 2%С"\Ч2
== СОБ Sln .... I .
а 'Laj
плосностью z d у' == О, что
(15.82)
с учетом выражения
l . в С д ( 2 %Х . 2 %с ) Ч2
)х+ ] z :I: дх cos а sш 2а .
(15.83)
Таним оБР З0М, Вх является четной фушщией относительно оси волновода,
равной нулю при. (а с) < х < (а + с), а Bz яв.цяется нечетной фУНl\
цией, равной нулю при 0< х < (x с) и при (а + с) < х < а. Инте
J'ралы в выражении (15.80) можно В3ЯТЬ ПО частям, еСJJИ в одном ИЗ них
положить dv =.; Вх dx и и == sin (r.x/a), а в друп)м dv.== Bz dx и и == cos (Тсх/а).
Цроизведение uv равно нулю, и если в одном ИНТО1'рале sin (1txja) заме
нить на t cos ( Тсс/а), а в друrом cos (r.x/a). на t sin ( r.cja ), ТО они CBe
дутся н интеrраJlУ (350.01), приведенному в спраВОЧНИl\е Двайта. Под
становка их значений fl выражения (15.80) и (15.73) дает
.
Z "l .а 2%С . L O
== ] Л g tg 'La == jW В'
(15.84)
Рассматриваемая диафраrма является индуктивной, и соответствующая ей
пормированная шунтирующая реЮ{ТИflная проводимость равна
l O в 1 Л g t 2 т.:с
) 7""""" c g .....
Yk wL а
( 15.85)
II конце rлавы имеются задачи на расчет друrих видов диафраr.м.
12. Полые резонаторы. Собственные I{олебанин. При В03НИIшовении
. :электромаrнитноrо возмущения внутри замкнутой полости с идеально про
ВОДЯЩИМИ стенками волны будут беснонечное число раз отражаться от
-стенон, так нан n системе отсутствует рассеяние энеРI'ИИ. Поскольну на
{:теннах танrенциальная составляющая электричесноrо ПОЛЯ обращается
в нуль, волна произвольной формы должна быть образована И3 элементар
ных стоячих волн, соответствующих таl\ИМ частотам, при :которых на CTeH
«ах создаютсн узлы элентричеСl\оrо ПОЛН. ::Jти стоячие волны образуют
-собственные (нормальные) колобания полости. Ясно, что если две непре
рывные волны с одинацовой частотой, поляризацией и амплитудой распро
-страняются в линии передачи или волноводе в противоположных направ
лениях, то через наждые полволны образуется узел поперечноrо элентри
<IeCKOrO поля. Если в Jlюбых двух узлах элеl\ТрИЧССНО1'О ПОЛЯ пересечь
.волновод двумя идеально проводнщими lIJЮСКОСТЯМИ, перпендинулярными
R ero оси, и образовать таким образом полость, то часть «пойманной)} между
ними волны будет описываться одной И3 собственных фушший КОJIебания этой
полости. Очевидно, при произвольном расстоянии между плосностями собст
венные частоты будут харантеризопаться тем, что для них на длине волновода
между ПЛОСНОСТЯМИ будет у:кладываться целое число полуволн. Это сооб
520
Тлава XV
ражение МОЖF[О использовать при нахождении частот собственных (HOp
мальных ИJJИ свободных) иолебаний полости, образованной из отрезиа
волновода описанным выше путем.. Амплитуды двух волн, распр,!стра
няющихся в волноводе в ПРОТИВОПOJIOжных направлениях, равны меш
ду собой, т. е.В выражении (15.6) (; == :::1:: Ь. Если рассеяние энерrии
в полости отсутствует, а ее торцевые степи и совпадают с ПJlOСRОСТЯМИ
Z ==- О и z ==:d, то для p ro поперечно элеRтричеС1{Оrо типа нолебаний,
;взяв действительную часть выражения (15.6), ПОJIУЧИМ
W t . e . [AU 1 (и}, и 2 ) + ви 2 (и}, ll 2 )]te sin p;z cos (Шрt + IJ!p)te,
а для p ro попе еЧНО 1\шrнитноrо типа иолебаНИII имеем
W tm [AU 1 (u 1 , 112)+ви 2 (и}, ll 2 )JtmCOS p;z cos(Wpt + IJ!p)tm.
(15.86)
(15.87)
I'де ?:пп выбрано равным рт:/d, что обеспечивает исчезновение танrеНЦIIаль
ной составляющей элеИТрИЧССRоrо поля на торцевых стениах полости. rpa
пичные УСJIОВИН (15.4), (15.5) и (15.7), из ноторых находится величина тп',
остarотся при этом вь-'полненными. аменив теперь j на ?mпр и ;"п на
pтe/d и решив выражение (15.7) относительно собственных частот lю,rюбаний
типа тпр для эваиуированной полости, найдем
( '" ) Ч2 Q ,.R ,. ( Р2 + р'2 ) Ч2 V [ Р2 + Р 2 2 d 2 ] If2 (15 88)
Ш mпр [.L,' c r'mпp vt'mпp == <t'mп r'1пп , t'mп те . . '
Для ПрЯМоуrольноJ'O ВОJIJJовода тп дается формулой (15.26), для }\pyr
Jюrо . формулой (15.35), а значения ?тп' соотвстствующие ВО.пнам высших
типов в ноаксиальном волноводе, ОП}J€'ДСJIЯIOТСЯ по формуле (15.49). В слу
чае l'лавноЙ волны в ноансиальноii линии, соrласно выражению (15.5),
?тп'== о.
13. Тииы независимых собственных колсuаннй п()лоrти. Обычно
электромаrнитпое ВОdмущение возбуждает в полости ОJlновремепно неСJ;О.пы,о
типов собственных колебаний. Мы ДОJ(аже J, что мrноnептН'е значенис пол
ной энерrии равно СУММС м}'нове1ШЫХ значсний элrрrпи собстl3СПНЫХ НО:I{)
баний наждоrо типа, СО( ТaI3ЛНJOЩИХ :Jаl{аIПlOе нозмущение, т. е" что
п
\ Е2 dv == \ Еу dv 11
v i 1 v
11
\ B dv== ,Щdv.
v i 1 v
(1.5.89)
ДЛЯ ЭТО1'О подставим n формулу (3.24). ЯRJJНЮЩУЮСЯ венторным анаЛОI'01\1
теоремы I'рина, Е;, или В; вместо ЧI 11 Е; И:111 В; нместо Ф и заменим
оператор rot rot, еоrласно соотношениям (13.10) и '(13.11) на ш 2 fLЕ. Тт'да
!.1Е (Ш] Шf) \ E;,.Ej dv == \ [Ej Х (' Х Е;) Е;, Х ('" х Е)] . 11 dS. (15.90)
v S
Н ' Е ;, И Е ! имеют на rраттrшах JJИШЬ нормальные соr.тавляюшие, поэтому
оба нентора, стоящие n прямых стшбн-ах, танrенпиаJIЬНЫ R поверхности
rраниl',Ы, и, следовательно, их скалярное проиавеДСНI1е на LДIшичныii
Bel{T()p н()рмали n равно нулю. Таним образ()м, поверхностный ИНТCl'ра.ТI
обращается в нудь И В силу соотношенпя Е == jwA мы получаем
W i =1= W j '
E..E.dv=== (" B..Bdv== ) A..Adv==O.
'1 \'} '}
. .
v v v
(15.91)
Итан, внутри пrоизвольной полости с идеаJIЬНО про водящими стеннами.
заполненной непоrлощающим диэлентрином, собственны!' н:олсбания, име
Волuоводы и полые реаоиаторы
521
ющие разные частоты, являются совершенно независимыми. Но если потери
в полости настолыю веJПШИ, что ,резонансные нривые, соответствующие
lюлr:,оаниям двух типов, перенрываются, то этот вывод оназывается
несправедливым, потому что первый множитель в левой части Bыpa
жения (15.90) может тоrда быть равен нулю в отдельные моменты
времени.
Используемый здесь вентор потенциал всеrда определяется нан ротор
W, тан что ero диверrенция pa Ha НУJlIО. Нан было поназано в 2 rл. XIV.
при отсутствии зарядов тапой вектор п(\тенциал описывает все поля,
удовлеТЕоряющие уравнениям МаНСЕелла. Если ж:е внутри полости Haxo
дится элеI,ТРОД, несущий изменяюшийся во времени заряд, то в COOTBeT
ствии с выражением (14.1)' н: решению необходимо добавить еше сналяр
ный потенr:иал поля, колебания HOToporo во всей полости совпадают по
фазе с н:олебаниями зарнда. Этот сналярный потенциал удовлстворяет
уравнению Пуассона. Чтобы дон:азать независимость энерп1И полн VФ
от энеРI'ИИ поля jшА ИШI jшV Х ", нужно воспользоваться форму
лой (3.2):
(Vwx W)..VФdv== Vw'(WХVФ)dV== \ п.(WхVФ)dS==О. (15.92)
V v s
Поверхностный интеrрал равен нулю, поснольну VФ параллелен п.
1ч. FМIЮС'tЬ и I1ПДУf\ТIIВIIOСТЬ ЦПЛIII1ДрIlчеСI\ОЙ полО( ти. В общем
случае распределение зарядов, тонов и потенциалов вдоль стенон полости
тан:ово, что невозмтfiНО дать cTporo последовательное определенне этих
величин, исходя из представления о нонтуре с сосредоточенными постоян
ными, эНвивалептном рассматриваемой полости. Чтобы эти определения
были полезны, они должны приводить Н значениям тона, самоиндукции,
емности, ЭНt!рrии и резонансной частоты, ИМCJсшим такой же порядок
величины, что и IЗ энвивалеНТIIОМ нонтуре с сосредоточенными постоянными.
Мы будем определять энuивалептныЙ тон: полос:ти ;:тн наНCI'о нибудь типа
колебаний нан эфф нтишюе значение объемной ПЛОТI{Ости тона смещения,
умноженное на ПJlOщадь среднеrо поперечноrо сечения полости SC C = 2 1f2Sf)
. ( 1 ) Ч2
для волн Т ЛI или на площаJ(Ь cpenHero продольноrп сечеНИfi S с == у S 1} d
для волн ТЕ. Лсно, что тarюе опредоление совпадает с обычным опреде
лением тона в линейном нонтуре LC с поперечно маrнитным полем,
если 1 оле I:J нонденсаторе однородно. а площаJ(Ь ern пластин равна Sc,
Таним образом, из первоrо уравнения Мансuелла (13. J) МПЮ13енное :ПIа
чение тока в i M типе 1юлебаниii, учитывая, что (JJ2[LcA == 'v х V х А, равн.,
Ii=:Sc [ ( B i' Ydv Jl/2== c [ (VXBi).(V x B ;)d"J 1J 2==
V v
[ 1 \ ] lf2
==о ш 2 ",S А..А dy
с у. 1, 1. ,
V
(15.93)
rne y объем полости. Па соотношений (8.11), (13.'1) и (8.12) получаем
MrHoBeHHoe значение маrнитной энерrии
j 7! (o s
Wllf ф (VXB),Adv , 2 +
v i t v
v 7! Ir
А . А- dv == L 2
1, 1. 288;; Ш.
i t t
(15.9 )
.522
r .лава xv
Из соотношения (15.93) и (1.39) находим l',i1'HOBeHHoe значение эле«три
чес«ой энер1'ИИ
п
WE== ;E D2dV== 2 { [( д Y dv J Ч 2 dt } 2 == 2E:' ( /;dtY (15.95)
v 1
Если теперь вместо _ /i dt написать Ч;,> то выражения (15.94) и (15.95)
будут представлять энерrию в п -M независимом э:нвивалентном :нонтуре
I"С [см. соотношение (9.1)]; при этом веJ1ИЧИНЫ 1,,; и С; определятся сле
ДУЮЩИМ образом:
['-у 2IJД 2и. (15.96)
l"i == S2 Ltm ==j2S , l"te == l '
)i о . .(
t с 1
. ES 2 С eS o Ed
C.== , C te ==2' (15.97)
t v tm == 2d '
Заметим, во первых, что резонансное соотношение (!) 2 == ЕС удовлетворяется
11, BO BTOpЫX, что для всех :нолебаний одноrо типа (например, типа Т Е
или ТМ) величина ем«ости для даннuй полости одинакова.
15. Затухание собственных ({олебаний. Активное сопротивление
полости. До сих пор при вычислении нормальных частот мы считали
стен:ни полости идеально проводящими. Большинство применяемых металлов
являются настоль:но хорошими проводни:нами, что затухание свободных
lюлебаний начинает с:называться толь:но после значительно1'О числа ноле
баний. Поэтому при определении мощности, ПО.1'лощаемой стен:нами, можно
пользоваться уже полученными нами в 3 rл. ХI формулами с:нин эффента.
Та«им образом, СOI'ласно выражению (11.26),
P==(2(J.21'0) 1 \ Bt.BtdS, (15.98)
s
l'де l' и о соответственно проводимость стении и тuлщина с:нин слоя,
н В, амплитуда таН1'енциальной составляющей ве:нтора маrнитной инду:н
ции на поверхн()сти стен:ни. Поrлощающие свойства полоrо резонатора
обычно принято выражать через e1'o добротность Q, величина :ноторой опре
деляется из соотношения
ВТ, == Woe "'tIQ,
(15.99)
..
{'де W t энеРI'ИЯ в момент времени t. Разделив это выражение на 01'0
производную по времени, получим
( aW ) 1 ",W
Q== шW дt == р .
(15.100)
Заметим, что, соrласно выражениям (15.94) и (15.95), энерrия периоди
чес:ни изменяется. от чисто эле:нтричес:ной до чието маrнитнuй, но еумма
ма1'НИТНОЙ и эле:нтричее:ной энерrий вее время оетаетея поетоянной е точ
ноетыо до множителя, определяющеro затухание. Поэтому полную энер1'ИЮ
можно ечитать равной ма:неимальной маПП1ТНОЙ энер1'ИИ, опредеЛJ}емой
выражением (15.94), та:н что
",3,...2Е'(0 А.А dv
Q == S Ht. Bt dS
"' ЧО S B.Bdv
S Bt:Bi dS
2[1 S В2 dv
!1'о В2 dS
(15.101)
ВолНо80ды и по./!'ые реаонаторы
523
в выражении (9.7) ПОl\азатель, хараl\теризующий затухание, и для q и для
i был равен (Rj[j)t, т. е. (Rj[j)t дЛЯ W. Отсюда, польз 'ясь фор
мулами (15.100) и (15.96), находим аl\тивное сопротивление полости, име
IOщей объем У, при I\олебании i ro типа:
I R.== w;Li == [ 2d ] == [ ') ] (15.102)
i t Qi wiESoQi tm WiEaQi. te
При наличии потерь в стеНl\ах резонансная частота будет меньше, чем
W o == ([jC) l. Заменив в дифференциальном уравнении I\олебаний полости
djdt на j(J) и предполаrая R настолы\o малым, что (J) + (!)о 2шо и шшо ш ,
мы придем к следующему результату ]):
1
[j(J)2+j(J)R+C 1==0 или Д(J)==I(J)о (J)1 T(J)oQ 1. (15.103)
16. Собственные нолебания цнлиндричесной ПОЛОСТИ. Выражения
для собственных частот свободных I\олебаний цилиндричеСI\ОЙ полости были
получены нами в 12 [см. выражение (15.99)], а для Эl\внвалентной емкости и
.еаМОИНДУI\ЦИИ в 15 [см. соотношения (15.96) и (15.97)]. Теперь найдем Bыpa
жения для Эl\вивалентноrо тока, добротности Q И для напряженностей полей
через величины, характеризующие размеры полости. В целях упрощения
ЭТИХ вычислений можно воспользоваться следующей формулой, справедли
:lJОС.ТЬ 1\0ТОрОЙ доказ'ьJВается при помощи соотношения (15.22):
(V х kW). (V х kW) dv == \ (V 2f1;T)2 dv ==
v v
d
== \ , (V U)2dS \ ( sin ) 2 Pпz dz == R;""d
. 2 J СОБ d б
80 о
\. и2 dS.
Во
(15.104)
(15.2) и (15.93),
Применяя ЭТУ формулу, а таl\же учитывая соотношения
для Эl\вивалентноrо тока в полости получим
It e ==(J)2Es,c l \ A.Adv ]Ч2== ;"11 m'.d [ (Ute)2dS]1f2cOs«(J)t+qJ). (15.105)
v 80
Для I\олебаний типа Т М выразим объемный интеrрал не через А, а через В,
наl\ ЭТО было сдеJШНО в соотношении (15.101). Тоуда, воспользовавшись
выражениями (15.104) и (15.2), придем 1\ следующему:
1 =о тnp r 8() \" В. В d ] 1/2 ==
tm f'- L d , V
V
=-- . r::'n"p тn r 80 \ ( и ) 2 dS ] Ч2 СОБ «(J)t + ) .
f'- L 2(2 o ) J tm qJ
80
В соответствии с соотношениями (15.2), (15.86) и (15.87) поля в полом
резонаторе можно записать в виде
(15.106)
Е aAte (k VU ) ' Pпz . ( )
te== ==Шр Х te SIll SШ (J)pt+qJp,
(15.107)
( рп Pпz 2 . Pпz )
Bte == d V 2 U te COS"(t"" + k mпUte Slll"(t"" СОБ «(J)pt+r.pp),
(15.108)
1) Следует иметь в виду, что aUTпp при оценне изменения чаетоты не учитывает.
влияние самоиндунции енин эффента, енавывающееся в том же порядне. П рим. пе рев.
524
l'лава xv
. Е ( рте V U . p1tZ k P2 U p1tZ "' ) . ( . )
tm='=Ш р ,d 2 tmSШd t'mn tтCOST SШ (fJpt+'f p "
(15.109)
Btm == "'P (k х VU tт ) СО Б p;z СОБ «(fJpt -+ <рр),
(15.110)
Для определения Q нужно вычислить поверхностный интеrрал, входящий
в выражение (15 1О1). ДЛЯ одной торцевой поверхности из соотношений
(15.105), (15.108) и (15.22) находим
\ в .В dS== p2 1t 2 r ( V U ) 2dS== p2п2? lп r и 2 dS== 4p 2 1t 2 !,2 j2 ( 15.111 )
, te te d2) 2 te а2 te '.' (J4' te'
80 80 Во ртnр.
ПодстаВI1М теперь в пырашенпе (15.101) объемныЙ иптеrрал из соотпошения
(15.105); тоrда получим :.
4 4
Q ..== тпpaз,o ( 1 -+ . mпp(f4 ) В2 dS '\ 1 ( 15.112 )
te 41t2шЕ р 2 8 2 2 2 1 2 te ) .,
р l' fJ.. te 81 '
rде Sl боновая поперхность ПОJIОСТИ. В случае нолебаний типа Т М для
одной торцевой поверхности из соотношений (15,11U), (15.22) и (15.20)
имеем
r в в d S rJ.4 р2 r и 2 dS 2[L2 (2 o ) ] 2
, 1т' tm == t'тпp1"mп' tm == 2 . 1т.
В . S Fmпp.5 0
о 'о
ПодстаНО1!на объемноrо иптеrрала из соотношения (15.93)
(15.101) дает
(15.113)
в выраженш'
Q == Шl'.-'оd [ 1 17IPSO \ ' В2 dS J l ( 15.114 )
tm 2 (2 о;) -+ 4fJ.2 (2 0 ) 11т В] tm .
В последуJCЩИХ параrрафах подробно разбираются свойства прнмоуrоль
Horo, нруrлоrо и ноансиальноrо ЦИЛИН)Jричесних резонаторов. Результаты,
относящиеся 1\ рсзонаторам друпrх форм, поме1ЩШЫ в задачах в нонце
rлавы.
* 17. CnoiiCTBa прямоуrольнOl'О резонатора. Собственные частоты
нолебаний прямоуrОJIЬНОЙ нолоети, COrJJaCHo lJырюнею1ЯМ (15.88) и (15.26),
равны
2 v 2 1 j 2 ( 11/.2 п 2 2 ) '(12
'I mпp == Л lпР -== 1; u2 + ь2 -+""(t2 == 41,2 ;'",p .
(15.115)
н соответствии с соотношениями (15.25) и (15.107) (15.110) поля в таном
резонаторе определmотся по формулам
Е С [ . п. тп:r-. ппу
"'fe == ТСШ тпр 1 Ь СОБ SlП -+
. 11/. . 11/.ltХ ппу ] . pтez . ( '1 )
-+ J Бll1 СОБ SlП sш (fJt т 'r т"р'
(15.116)
1 ) 2 С { Р l . m . тltХ п1СУ . п тТХ. ппу 1 p1CZ i
)te==1t d lаSШ СОS -+JьСОS SIl1 СОБ т
k ( 11/.2 I п 2 ) UI.;;:Х птеу. рт;z) (1 5 117 )
-+ "I.l" т {;2 СОБ СОБ S1Л j СОБ (шt,. q; )тпр, .
J<: t == тс 2 (J) С' I L [ i!!!... ('ОБ sin п1СУ -+ J . sin СОБ птеу ] sin Pпz
m тnj> t d а а Ь Ь а Ь d
( т2 п 2 "\. тпх . nпц pr,z } .
k -+(2)SШ SШЬ('ОS sш (шt-+ q;)m"1?\. (15.11t)
Волноводы и полые ревоиаторы
525
В (:(2 С , [ . п . тr.:r пТС1/
tm == "t'mпp 1 Ь Sln СОБ Ь
. m ттrx. nr. y ] pr.z ( )
J аСОS SШ СОБ d СОБ шt+ q; тnр.
(15.119)
Если один из индеf'СОП т, п :цли р равен нулю, то вентор Е будет ориен
тирован вдоль соотпеТСТВУlCщей оси, а '1 не будет зависеть от длины резо
натара 13 этом напраПJJении. G этом наиболее распроетраненном случае, если
принять р == о и заменить ,,2 (т2a 2, п2b 2) С' на СО, поля можно записать
ледYIОЩИМ образом:
Е С . т1!Х . n"tY . ( ". )
z Ш mп о.ыl1 юп Sln шt l' тп'
(15.120)
в == "с ( i sin т7.Х СОБ п'Т'lI i!!2.. СОБ sin п1!У ) СОБ ( шt + ". ) . ( 15.121 )
(1 Ь а Ь а а tJ '(тn
Если же ЭЛCl,тричесное поле ориентировано вдоль друrой оси, то поля
можно найти при помощи цинличе(;ной перестанов\,и Х, у, z, а, Ь, с и
т, п, р. Для опредеJЮНИЯ значений Lj' С; и /j' близких н значениям
в СООТI3етстпующем ЭJШJшаJlенТlЮМ ноптуре с сосредоточеННЫМlf параметрами,
последний нужно расематривать ню, систе:\JУ с \юлебаниями типа Tj l.
На фиr. 133 предстаПJJ JШ струн:тура поля в полом резонаторе, соuшщающал
(; соотпетствующей структурой поля n ВОJ1lюподе за ис\,лючением uepXHero
рисунна: Ю'О надо ра(;('матрипать нан вил в сечении сп, а не АВ. l{pPMe
Toro, nсл нартина 'уже не изменяется по времени. а flВJIЯется стационарной,
причем там, rде Е обращается в нуль, В достиrает мансимума и наоборот.
Поперечные rраницы ДОШhНЫ стаnиться тан,. чтuбы JШНИИ Е пересCIШЛИ их
ортоншально. Если исключить ДJIЯ колебаний Т Е случай т == U и п с О,
то для Эlшипалептных тоноn ПрЯМОУl'О:lьноrо резонатора на основании COOT
ношаний (15.105) и (15.106) будем иметь
I le ;ппp тr (ab)1f2dC соs(шt+.,.), 1 . p ппp rппabC! с оs(шtт"' ) . (15.122)
. 1-'- l' tm 2!,-[2 (l o )]lf l'
Доf'iротность Qte при отличных от нуля т, п, р, соrласно'выражениlO (15.112),
рапна
1 . 3/
4' v!,-'(01! (т 2 Ь 2 т п 2 а 2 ) (m 2 b 2 d 2 + n 2 a 2 d 2 + р 2 а 2 Ь 2 ) 2
Qte р"адЬ"lп2а(а+d)тm2Ь(Ь+d)!тd"(а+Ьj(т2Ь2. n 2 a 2 j2 ' (15.123)
Поенольку при т=== О или п О, A tm == О, то для Qtт из соотношения (15.1 (4)
получим
'/.'!'-"(Отс (т 2 Ь 2 +п 2 а 2 ) (m 2 b 2 d 2 + п 2 a 2 d 2 I р211 2 Ь 2 )Ч2
Qtm == 2 (аЬ (Z ot) (т 2 Ь 2 т п 2 а 2 ) + 2d (п 2 а 3 + т 2 Ь 3 )]
(15.124)
Нан видно из формулы (15.115), наименьшую возможную частоту колеба
ний резонатор аможно получить, еСJ1И инденс, соответствующий НaJ1меньшему
размеру рез натора, равен нулю, а два остальных рапны еДИНИце. Пусть,
например, р == О, а d наименьший размер резонатора, Тоrда
'C!'-i oтcd (а2 + Ь 2 )3/2
Qtm [ab(a2+b2) r d!a" t Ь")l (15.125)
Для полости с нвадратным сечением (а == Ь) и для нубичесной полости
(а == Ь == d) соответственно получим
Q 1'!,- )'01!d
'т 2 Ч2 (а т 2d) ,
v!'-"(o'/t
Qtm 21/2.3 '
(15.126)
526
r лава xv
rде v енорость распространения волны в свободном пространстве, маrнит
ная проницаемость HOToporo равна (.1-, l' проводимость стенон, а 1) толщина
снин слоя. В задачах в нонце rлапы приведены числовые примеры.
18. Свойства резонатора, имеющеrо форму I_руrлоrо цилиндра.
Собственные частоты НОJlебаний TaHoro полоrо резонатора, нан следует
из 12, выражаются через снорость V. И длину волны Л mrlр элентромаrнит
ных волн, распространяющихся в среде, заполняющей резонатор, следуюшим
образом:
,,2 == ( 2 p2тr.2 ) 2 ( 15127
т-'!'Р Л;'тр 4тr.2 тrl -+ а2 4тr.2 mrlP' .)
Здесь волновое число тrl выбрано таI\ИМ образом, чтобы удовлетворялись
усло,Вия (1 .35). Из выражений (15.34) .11 (15.11U), положив
Sill (т:р -+ \jim) == S (q;'), cos (т:р -+ \jiт) == с (:р), J m ( mrlP) == J т'
sin«(j)t-+a)==s(t) и Cos«(j)t+a)==c(t),
получим .следующие выражения для полей:
Ete==(j)mrlpC [Pl 7 Jтs(:р)-+ тrlJ с( )J Sill p;z s(t), (15.128)
Bte == С { тr. [Pl mrlJ C (:р) 7 J ", S (q;')] cos p;z -+
+ k rlJmc('r)sill P;Z } c(t), (15.129)
Etm =ос Шт11РС' { Pdтr. [PI mnJ c (:р) 7 J mS (:р) ] Sill р;:;;
k nJmc(:p)cos p;z } s(t), (15.130)
Btm== 11PC' [Рl 7 JтS(:Р)-+ mnJ:пс(cr) ]СОБ p;z с (t). (15.131)
Соrласно соотношениям (15.105), (15.106) и (5.350), энвивалентные тони
полоrо . резонатора рапны .
1,. == (2(.1-) 1 dC np ['It ( na2 т 2 )]Ч2 (2 o'in) lf2J m ( тna) СОБ «(j)t + а), (15.132)
1 1т == (.I- I'ltа2с' :п11Р тn [2 (2 O ) (2 O )] 1f2J:п ( тna) СОБ «(j)t -+ а). (15.133)
Поснольну р 1= О для волн ТЕ, то из выражений (15.112) и (15.114) имеем
3 2
Q '(1.load3 m11p ( тna2 т 2 )
te 2 {p2тr.2 [т 2 (a 2a) 2 na3]+ mna2d3}'
(15.134)
Q 1'(1.ioad'iтnYJ
tm == 2 [а (2 0 )+d]
(1.ad
(1.'0 [(2 0 ) а + а]
(15.135)
Числовые примеры приведены в 26.
19. МНOl'освязные цилиндрические полые резонаторы. В мноrосвяз,
пой полости всеrда мошно провести таную замннутую нривую, ноторую
нельзн сжать в ТОЧI_У без пересечения rраниц IIОЛОСТИ. ЕСЩI полость orpa
ничена с.наружи двумя параллельными плосностями и нормальной н ним
цилиндричесноii поверхностью, а изнутри одной или более цилиндричесниии
поверхностями, таюне нормальными н этим плосностям, то внутри полости
возможны тание типы RQлебаний, ч'астота ноторых определяется тольно
Волuоводы и полые реаоиаторы
527
расстоянием между ПЛОСIЮСТЯМИ. ЭТИ типы нолебаний называются OCHOn
ными (rлавными). Они удовлетвортот вт()рой системе I'раничных условий,
определяемых выражениями (15.5), причем ти == О, И представляют с()бой
стоячую волну типа тех волн, ноторые существуют в линиях передачи
(см. 14 19 rл. XIII). На основании соотношения (15.88) резонансные
частоты, соответствующие rлавным типам нолебаний, для таной мноrосвяз
ной полости равны
v VPp '" pv
V p == Ар == 2п == == 2d .
(15.136)
Поля МОЖНО записать при помощи выражений (13.119) и (13.120) в видР
E::CpViJ(x,y)sin P;Z siПШрt, B==Cp'(r-S)lJ2V 2 V(Х,у)соs p;z СОSШрt, (15.137)
rде и (х, у) и V (х, у) сопряженные фуннции, рассмотренные в rл. IV,
причем и (х, у) на одном семействе цилиндричесних поверхностей прини
мает значение U 1 , а на друrом значение и 2 1). Соrласно соотношению (4.55),
интеrрал от "и или VV по замннутому НОНТУРУ, на нотором и.== const,
равен приращению [V] вешI'lИНЫ V. Обычно эта величина равна 21t, нан,
например, для эллиптичесних цилиндров (см. фиr. 38, rде вместо V HY HO
подставить и). Пусть MrHoBeHHoe значение заряда па метр для p ro rлав
Horo типа колебаний в сечении z равно ар. Определим энвивалентный заряд
полоrо резонатора через среднее значение a при помощи соотношения (1.40)
следующим образом:
d d
'р:=О (d a dz У/2 == [ s2d (1 Ер ds У dz ] Ч2 ==
О О
0-= 2 1/2S(l[V] С р sin ш/. (15.138)
Пусть MrHoBeHHoe значение тона в p M rлавном типе нолебаний на поверх
ностях с потенциалами U 1 и и 2 В сечении z равно Ip. Определим> энви
валентный тон полоrо резонатора через среднее значение I при помощи
выражении (7.2) следующим образом:
ip == ( P 2 п dz) Ч2 == [ ::v ( Bp ds) 2 dz ] 112 ==
Q О
== 2 [V] СрШ р cos Шрt == p . (15.139)
Тоrда МrIювенные значения элентричеСIЮЙ и МЮ'НlIТНОЙ энерrий будут
равны
d d .
(We)p == 2 1 a dz == 2 :d ' (W т)р == l I dz :=о 2 2 i , (15.140)
о о
rде C 1 и Ll емность и самоиндунция на единицу длины. Если Lp и С
эквивалентные самоиндунция и емность пол()сти, то на основании Bыpa
жевий (13.124) и (15.136) ОIfИ связаны между собой следующим образом:
1
LpC== ,
"'р
L L,d
p ' р 2 п 2 ,
С == C1d,
L1C 1 == r- s .
(15.141)
t) Автор Не учитывает, что rлавная вол а (N l) RpaTHo вырождена. ПРIL.>l-l
nе,ев.
.528
r лава ХУ
Если V o максимальная разность потенциалов между стенками полости
в некоторый момент времени, то элш,тричес!\ая энерrия в полости равна
d
W 1 \" С V 2 . 2 pnz d 1 С V 2 1 CV 2
е J 1 О sш Z 4" 1 О У р,
о
(15.142)
rде V р == 2 1f2VO' Сш'довательно, при таком опре;rелении V р все соотноше
ния между [" С, i, q и V, имеющие место для нонтуров с сосре,юточенными
параметрами, сохраняют силу и для rлаrшых типоп !\uлебаний. ,ЦЛН оп ределе
вия потерь вычислим поверхностный интеrрал n выражении (15.91:). На TOp
цевых ПЛUСJЮСТЯХ на основании соотношениЙ (15.137) и (15.140) имеем
2 r в. BdS == (' В.В dv== ( W ) == 4p.L p i 2
, d J cl m Р d р'
80 v
(15.143)
Та!\ !\aR величины Y, дV/дs и I 81-'V/дz 1 I тание же, нан для соотноше
ния (15.137), то на двух семеЙСТIJах цилиндричесних поверхностей, име
ющих потенциаJ1Ы и 1 и и 2 , имеем
В. В dS ttE dC (VV)2dscos 2 Ш р t ==
81,2 1,2
1 (' \ iHV I
=== ttE dC d:. dV cos 2 Ш р t.
1,2
. (15.144)
Подстаповна выражений (15.140), (15.143) и (15.144) в формулы (15.98)
(15.1ОО) дает
Q == . ! d" [ 1 + d
р .: Ор 4lVj tU2 Ul)
( I aZ' I 1 I aZ, ' 1 '\ ] 1
d.( dV+';Y arJl dV) .(15.145)
1 2
ДJlЯ вычисления линейноrо интеrрала необходимо выразить ZI кан фунн
цИЮ W, нан это было сделанО в выражении (4.10:1), O'Jнуда ясно, что
дz l /8И/ Фуннция u И V. 13 первом интш'ра.пе U нужно положить paB
пым U 1 , а во втором равным и 2 , а область интш"рирования в обоих слу
чаях необходимо распространить на все значения V, понрьшающие ПОlJерх
ность U == const.
20. Отрезок коаКСIlальноrо кабеля как резонатор. Простейшим
СJ1учаем мноrосвязноrо IIолоrо резонатора с НРИВОJlинейными поверхностями
является полость, образованная дву ш ноансиа.;rьными КРУI'ОВЫМИ цилинд
рами. rJlавный тип колебаний в ней опредеJlяется таним Ihe образом, нак
и в предыдущем параrрафе. Из 13 rл. IV иr.lеем
(15.146)
Следовательно, поля, определяемые по формулам (15.136) и (15.137), будут
равны
I-'V ln ZI'
ZI === e W , U === ln р,
V == В.
Е С р . pnz .
r'==рSШт SШШрt,
В Ср pnz
e==pv СOS d cos Ш р t.
(15.147)
Приращение V, обозначаемое нами через [V], равно 21t. По .тому, если b
внешний радиус, а а внутренНИЙ, то
' I 1 dV == e Ul 1< dV == 21te иl == 2п . (15.148)
';У arJl J а
1 О
(U2 U 1 ) =о ln ,
а
Волuоводы и полые реаоиаторы
529
Аналоrичным путем дЛЯ ДРУ1'01'О линейноrо интеrрала IIОЛУЧИМ 21t/b. IIoд
ставляя эти результаты в соОтношение (15.145), получаем для p ro rлавноro
типа нолебаний
== [ 1 (a+b)d ] 1
Qp 2(>' о + 4аЬ ln (IJja) .
(15.149)
На соотношений (15.1: 6), (15.139) и (15.141) имеем
1 (Jcl Ь ( Ь ) I
ip==2/21tIJJpEdCpcoSlJJpt, Ер == 2р"п" ln , C==21tEd\.ln . . (15.150)
Тои ip равен радиальному тону смещеНIlЯ 1 [см. ПЫРЮI-;ешю (15.93)J, если
средняя площадь попереЧНОI'О сечения определяется пыращеНl1ем
[ 2(b2 a2) ] 1/2 .
Sc == 1td ln (IJja) --;;:;-ь 21t ad.
(15.151)
ПОМИМО НОJшбаний rлавных типов в ноанеиальном резонаторе сущеетвуют
танже и нолебания друrих типов, Ноторые выражаются через ФУННЦИИ Бес
селя перВоrо и BToporo родов [см. соотношения (15.46) (15.49)1. Если d
3lшчитеJIЬНО больше Ь а, то колебания этих типов имеют частоты, зна
чительно превышающие чаетоту r.павнOI'О типа lю.пебаний р == 1. Эти частоты
можно Вычислить методами, рассмотренными в 16.
21. Собственные Iшлебания сферической полости. Решение вол
новоro уравнения, paccMoTpeHHoro в 13 rл. XIV, Состоит из произведе
ний сферичесних rармоник на сферичеСRие функции Бесселя. В соотноше
нии (14.85) в членах (j и R необходимо сохранить толыш Р" (cos В) и in ( r),
потому что Qn (cos В) обращается в беСI\онечность на оси, а k n (j r) пред
ставляет волну, беrущую в радиальном направлении, тоrда нан в случае
Rолебаний полости с идеально проводящими стеЮ\аМИ MorYT существовать
тольно стоячие полны. Из еоотношений (14.85), (14.83), (14.110) и (14.117),
полаrая sin(тr.p+lJim)C==s(r.p), cos(тr.p+lJim)==c(r.p) и in( pnr)==in> ПОJIУЧИМ
следующие выражения ДJIЯ напряженности элеитричесиOl'О поля и маrнит
ной ИНДУНЦИИ:
Ete == IJJС [ (} si: () Р': (cOs В) s (r.p) 8in (j P " (С08 В) С (r.p) J in sin (шt + т), (15.152)
[ п(п+J) m (j . sinO т' ( О д ( '
Bte == С r l r Р п (cos ) С (r.p) 1" (} Р" cos )с (r.p) д,- rJ,,)
rn '': fj P '(cos(J)s(r.p) d G (rin) ] COS(IJJl+T), (15.153)
т r S!ll r
[ п(п+1\ m (j . SiIlfJ т' ) д . )
E tm == IJJС' r l 1 ' Р" (С05 ) С (r.p) 1" (} Р" «(;oS В) С (r.p а;. (rl"
fJ Р': (cos В) s (r.p) д д (rin) ] sin (IJJt + т), (15.154)
r SlH r
B tm == IJJ2 (.1ЕС' [(} Б;: fJ Р': (cos (j)s(r.p.) sin О р,:' (\:os6) (' (r.p) ] in С08 (шl+т).
(15.155)
На rранице полости (r == а) таНI'енциальная еостащшющая Е должна обра '
щаться в нуль, таи чт() pn необходимо выбрать тан, чтобы удов.петворялись
l'раничные уеловии
иn ( Pп )]IC == О,
д .;
да [аl" ( pп a)]tm == О.
(15.156)
34 в. СмаЙт
530
['лава ХУ
ЭививалентныЙ тои полости можно представить в виде выражения,
аналоrичноrо выражению (15.93), т. е. IШИ эффеитивное значение объем
Horo тоиа смещения при средней площади попсречноrо сечения, равной
'lta 2 . Это значение является точным для иолuбаНИII типа ТЕОl' при иото
рых тои смещения течет воируr оси, но оно приемлемо таюие и для ноле
бания типа ТМ 10 . Возводя выражение (15.152) в 1шадрат и ПрОИНТСI'рИ
ровав по объему У, получим в результате интеrрирования по ер 2'1t/(2 Br;,.),
а. в результате интеrрирования по ДРУI'ИМ Rоординатам, соrласно COOTHO
шениям (5.198), (5.402) и (5.346), наiiлем
1 2 2 . [ 3п(п+1) (п+т)! J 1f2
[tе==2: Ш E'lta Cln l( pna) 2(2 o .)(2п+1)(п т)! .
(15.157)
Для определения эививалентноrо тои а , соответствующеrо иолебаниям типа
Til1, выразим W m через А и В. "Учитывая, что объемный интеrраJl от А2
равен объемному интеrралу от В\ деленному на n' и, пользуясь выраже
нием (15.155), мы u:ридем и таиому же интеrралу, что и раньше, но тольио
входящая в НШ'О величина pn должна удовлетворять второму условию
(15.156). Таиим образом,
[tm== fIJ2E'ltaC'jn( pna) { зп(п+1)(п+m)![f nа2 (2m+1)2J } 1f2. (15.158)
. 2 (2 o:J,) (2п+ 1) (п т)!
Из щ.rражений (15.94) и (15.100) находим самоиндуицию и емИоСТь:
L 8f! С 3пЕа ( 15 159 )
3fJ n7ta ' 8 . .
Вычисление Q по формуле (15.101) упрощается блаrодаря тому обстоятель
ству, что, соrласно выражениям (15.152) и (15.153), интеrрирование по (J
и ер при водит И появлению одинаиовых множителей в объемном и ПОlJерх
ностном интеrралах, иоторые соиращаются; поэтому достаточно тольио про-
вести в объемном интеrрале интеrрирование по r. Используя в случае
волн ТЕ первое выражение (15.101), а в случае волн ТМ второе Bыpa
жение (15.101) и выполняя ИНТeI'рирование при помощи соотношений (5.402)
и (5.346), после упрсщений, связанных с выполнением условия (15.156),
получаем
Q fLa
te== '
!'-и
Q == Е [ 1 (2п + 1 )2 ]
t rn, 4 ' 2 2 .
fL u iJpn a
(15.160)
22. Собственные колебания реальных полых резонаторов. До t их
пор мы рассматривали полости, образованные заМIШУТЫМИ идсально про
водящими поверхностями. Если же в cTeHRax имслись потери, то они
определялись по формуле (15.103). На праИТИRе для введения энерrии
в полость в ее стениах проделываются отверстия или внутрь полости BBO
дятся элеитроды. Обычно стремятся лишь незначительно исиазить поля
в резонаторе, и поэтому отверстия и элеитроды делают по возможности
небольшими. Обозначим вентор потенциал и резонансную частоту идеаJ]Ь
поЙ полости соответственно через Ао и ш о ' а реальной полости через А
и ш. Полаrая в соотношении (3.24) \If == А, Ф == Ао и учитывая, что YMnO
тение на (lJ2 r-E равносильно применению оператора rotrot, получим
r-Е«(IJ2 (IJ ) A.Aodv == \ [Ах (VX AIJ) Аох (V хА)] .ndS. (15.161)
v S
Пусть y объем идеальноЙ полости, а S ee поверхность, и КОТОрОЙ
Волноводы и nольiе реаоnаторы
531
вектор Ао ортоrонален. Тоrда второй член в поверхностном интеrрале равен
нулю. Если отверстие мало, то Ш Ш о , ш + Ш" 2ш о и А Ао в БОJlьшеи
части. объема v, так что
S Ехnо," dS
Ш ш
О 2jw]{J-е S A.Adv
i S Etxno.ndS
4: Wm
(15.162)
rде W т' Е, И Во соответственно мrновенные значения маrнитной энерrии
в ПОJIОСТИ и танrенциальные номпоненты деЙствительноrо поля Е и ПОJ1Я BI)
в СJlучае отсутствия отверстия. Часть поля Et, обусловленную полем Во'
можно найти путем решения маrнитостатичесной задачи о беснонечнои
плосност (с нулевой мar'нитной проницаемостью), в ноторой проделан::о
отверстие заданной формы и ноторая является rраницей поля Во, OДHOpOД
Horo и параллельноrо плосности всюду, за иснлючением области вБJ1ИЗИ
отверстия, rде имеются иснажения. ИЗ этой задачи определяется связь
между нормальноЙ составляющей В п на отверстии и полем Во. Влияние
отверстия можно полностью сномпенсировать, если занрыть ero двойным
слоем тона (см. 20 rл. XIV), излучение HOToporo в точности равно поrло
щению энерrии в нем.
Поля В п и Et, создаваемые этим двойным слоем тона, равны по вели
чине, но противоположны по знану соответствующим полям. отверстия,
а поле В, дополняет поле отверстия до поля стоячей волны Во. Если o
верстие прорезано в плоснос'Ти ху, а поле Во направлено вдоль х, то (Et)JI
можно найти путем интеrрирования выражения (14.140), зная величину Вn.
В задаче 49 rл. XIV дана величина В п для нруrлоrо отверстия в тонной
мет.алличесной стенне. Если в отсутствие отверстия элентричеснuе поле,
перпендинулярное н поверхности, было равно Ео,. то для определения co
ставляющей Е, на отверстии, об словленной наличием поля Ео, необходимо
найти реIllение элентростатичесной задачи о плосной поверхности с OTBep
стием, ноторая ЯВJIЯется I'раницей поля Ео, однородноrо вдали от OTBep
стия. В 28в rл. V рассматривается случай нрупюrо отверстия в тонном
энране. При опреде[Iении добротности Q нужно н потерям в стеннах доба
вить еще потери на излучение снпозь отверстие.
23. Полые резонаторы сложной формы. Одним из наиболее важных
видов полых резонаторов является сложныЙ резонатuр, сuстоящий из н&-
снольних ПРОСТJ,Jх соединенных меж
ду собоЙ полостей, rраницы ноторых I (
толыш частично совпаДaIОТ с 'ноорди
натными поверхностями. Нан прави
ло, в Rаждом таном отдельном слу
чае требуется специальное решение
. задачи. Рассмотрим в начестве при
мера полость, предстаВЛЯЮIllУЮ ('o
бой прямой нруrлый цилиндр радиу
са Ь и длины С, внутри HOToporo с
одной стороны вставшш друrой, бо
лее норотниЙ прямоЙ нруrлый заМIШУТЫЙ Цилиндр (радиуса а), HOaf(CffIl.тj:r.
ный с первым. Между основаниями цилиндров с друrой стороны об
разуется при этом зазор с высотоЙ, равной d. Полость танои формы
(ее сечение поназано на фиr. 139) нельзя отнести н натеrории уже pa
смотренных нами полых резонат()ров. Сначала мы унажем путь OTЫCKa
нил точноrо решения задачи по методу Хана 1); затем приведем менее точ
ное реIllение, справедливое в том важном для праRТИRИ с,пучае, Rоrда d
2Ь
20
м
N
Фие. 139.
1) н а h ", Journ. Лррl РЬув. 12, 62.
34"
532
r лава xv
MHoro меньше а, Ь или Л. И, нанонец, в ЗaIшючение нами будет paCCMOT
рена rрубан апронсимацин, использующая аналоrию с линиеЙ передачи.
Будем интересоваться толыю пuлямrr в полости и наименьшей собственной ..
частотой нолоfiаний. Соrласно 16 и 1S rл. ХУ, номпоненты вен торов
JIO;;JH 1'М В областях 111, УДОВJlетворяющие rраничному условию Е ! == О
ври р == Ь, z == О и z == с можно записать в 13идf'
00
f;; == С Во ( o Р) + С Но{РтР) mnz
! о Во (Во а) т Ho(fima) СОВ с '
111 1
2 У, 00 V ,
В == [ СО Во (ВоР) + С т Ro ( т Р) тп.. ]
'"'" o Ro (?оа) т Но (['1т а) СОВ с '
т 1
Ro( op) == J o ( ob) У о ( op) Уо ( ob) J o ( op),
Ro( mP) == /0 ( nlb) Ко ( тP) Ко ( тb) /0 ( тP),
22т2 п 2
111 == o с2 '
п 2 п 2
== d2 '
2 4",2
R == 1<2 == ш 2 "Е ==
o . л2'
(15.163)
(15.164)
(15.165)
(15.166)
в области N поля, остаЮIЦиеся нонечными при р == о и удовлетворяющие
условию Е == О при z == О и z == d, равны
t со
Е' А J o ( ill + А 10 ( n.P) nnz
z oJo(poa) L.J nlo( na)COB d'
п 1
со
B == 5 [ AoJ ( oP) + AnI ( пP) nnz ]
у fW oJo( oa) L.J nl0( na) СОВ7 .
. n 1
(15.167)
(15.168)
Приравниван между собой В<!( и B при Р == а и умножая обе чаети paBeH
<:тва на сов (p7tz/d) dz, а затем ИНТel'рИрУЯ 13 пределах от z == d до z == d,
мы получим выражение для ноэффициента Ар через все lюэффициенты С т .
АНaJюrично, полar'ая Ez == й; при О :::: I z I < d и Ez == U при d < I z I < с,
а затем умножая обе части равенства на сов (q7tz/c) dz и интеrрируя в пре
дешiх от z == с до z == С, мы найдем выражение для C q через все ноэффи
циенты .А n ' Иснлючая из этих уравнений ноэффициенты.А и поделив на СО,
v ...' .., у п
выразим НCJJИчину CqjC o через щношение Ст/С о . Таних уравнений мож
o написать беснонечное число (по одному для наждоrо значения q), по
этому для определения Cm/C J нужно вычислить беснонечный детерминант.
Нодстановна этих значений Cq/C o n уравнение, соответствующео q == О, при
.водит J{ следующему соотношению:
00
1 J u ( o а) [ С щ ( o а) + ['10 с С т B (Рт а) ,' тnd ]
J ( o а) о Но (Ро а) nd L.J m[im Но (,1т а) SШ, {; .
т 1
(15.169)
НаимеНЬШaJf всличиrrа o, УДО13.'ТСТllорншщан этому уравнению, определяет
величину o, входящуIO в выраженrrо (5.166). Амп.питуду J{олебаний всш'да
можно выбрать тarюй, ЧТобы Ао fiыло равно единице.
Осушествление изложенноrо выше способа рошения, очевидно, пред
ставляет собой основную трудность всей задачи. Таним образом, намечен
вый путь тольно теоретичесни дает точное решение, прантичесни же он
иеприемлем, тан ню, решение боснонечноЙ системы уравнениii требуют.
f)ольшой затраты времени. Однано для оfiлеrчения этой операции Хан
Волuоводы и полые реаопаторы
53:!
Составил специальные таблицы. Если d MHOI'O меньше, чем а, Ь и Л, то можно
предложить друrой метод, позволяющий найти л с бо.льшей точностью,
чем та, с которой обычно измеrяются велпчины а, Ь и с. Нроме Toro, при
помощи этоrо метода МШfШО подсчитать п Q. В случае достаточно малых-d
танrепциальная состаВ,1Jяющая ЭJIеRтрическOl'О поля между Лl и N при
р == а не зависит от а и Ь, а определяется ТОЛЬRО размерами d и с и раз
ностыо потенциалов в зазоре. Взяв а и Ь f)еснонечно большими, мы придем
н двух мерной задаче, решенной в 14 I'JI. VI (в этом решении пместо d
и с входят h и k). При с d задача еще более упрощается (на фнr. 63, а
следует при этом убрать полосы при Х 1 ===:1: 1). Из 14 rл. VI имеем
2dr . 1 ]
z === l (z; 1)Ч2 + arc sш z;-- , (15.17U)
Ex==I :: I Iml aa: I==Iml d(z J7 1)lJ2 1,
rде z и ZI КОМПJIенсные переменные, а 2V o разность нотеНЦl1алов на
зазоре. Для определения Ех на оси х, нан фуннции х, найдем такие KOM
1шенсные значения веJ1ИЧИНЫ Zl' которые соответствуют в выражении (15.170)
значению у === U. Подстановка этих значений в выражение (15.171) позво
ляет получить связь х и Ех. С точностью до 1/"000 выражение ДJIЯ Ех будет
иметь вид
(15.171)
Еж == V o d l {А + ВСОБ (1tXd I)+ С (Xd 1)2 + D [ secC 1txd l) ] 0,355} ,
(15.172)
!'де А === 0,34091, В === 0,00656, С == 0,07785 и D == U,4ШJ10. В peзyдь
тате интеrрирования выражения (15.167) в пределах от Z U до Z d при
р =- а получим, что V o == Ао, Подставив эту величину V o в выражение (15.172)
и заменив х на Z, приравняем между собоЙ выражения (15.172) и (15.163)
при d < Z < d и потребуем равенства нулю выражения (15.163) при
d < I Z I < с, а затем, умножив обе части равенства на cos (P1tzjc) dz, про
интеrрируем в пределах от z === с до z === с. Решим теперь последнее
уравнение относительно С р и подстапим найденные значения С р в выра';:
жение (15.169), ноторое после этоrо методом подбора можно решить OTHO
сительно . Морено J) приводит нривые ДJIЯ таних ПОJIостеи. Очевидно;
подстановна в выражения (15.164) и (15.168) значений А п и С т дает
Бентор маrнитной Индунции, и, следовательно, Q можно подсчитать п(.
формуле (15.101).
Приближенное значение резонансной частоты можно найти, исходя
из аналоrии с линией передачи. При d с область ПОЛОI'О резонатора М
напоминает отрезон ноансиальной линии, норотно замкнутой в сечении
z==c, входной импеданс HOToporo, соrласно соотношениям (10.112) и (15.51),
равен j (1tЕш) l tg C. Область N представляет собой нонденсатор, шунти
рующий линшо И имеющий импеданс (jшСо) l. При резонансе оба ::JТИ
импеданса должны быть равны по величине и противоположны по знану.
поэтому приближенное значение находится из соотношения
21'в
tg C == СО ln (bja) . (15.17З}
Мы можем толыю оценить Со. Рассматривая область N кан плосниЙ
конденсатор и пренебреrая нраевым эффентом, мы определим нижнюю
1) м о r е Il о Т., Microwave Тrаnsшissiоn Design Data, McGraw Hill, 1948.
Ъ34
r ла"riа XV
J'ранипу величины емности СО c:rca 2 /d. В частном случае, ноrда d «:: а,
d «:: с и а Ь, величину СО можпо найти довольно точно, I\aH это, напри
мер, сделано в зад че 65.
s 24. Возбужденне полоrо резонатора петлеЙ с тоном. В наиболее
общсм случае нолебанпя в полости представляJOТ собоЙ суперпозициJO
раССl\ilотренных выше нолебаний отдельных типов. При этом не толыю
колебания наждоrо типа сопершаlOТСЯ IIсзаШ1симп, кан в отдельных Лlшей
tlых нонтурах, но и отношение возбуждаlOЩCI'О тона н энвивалентному
тону полости для нолебаниЙ наноrо либо типа зависит толыю от I'eoMeT
ричесноЙ НОНфИJ'урации системы, нан это имеет место и в случае линейных
rюнтуров с сосредоточснными параметрами. Нондон 1) для упрощения вычис
тлIИЯ взаимной индунции предлuжил разбить вент()р потенциал, COOTBeT
<;тпующий i MY типу нолебанпЙ, на два множителя: C i и A . Первый,
сr;:алярный, . множитель определяет зависимость от времени и интенсив
ность; величина ero подбирается таним образом, чтобы интеrра.п по объему
llOJIOСТИ от нвадрата BToporo, BeHTopHoI'O, множителя был равен v. Венторы
A , зависящие тольно от rеометрии системы, являются (шормированнымю)
безразмерными вентор потенциалами. Из 13 следует, что они обладают
свойством взаимной ортоrональности, а из выражения (15.1), в нотором
нужно положить Ш -==. Ш и таи что остается тольно член A , видно, что они
удовлетворяют слеДУЮЩ{jМУ уравнению:
PA '=' lA . (15.174)
Из соотношения (15.93) можно пыразить C i чсрез энвивалентный
резuнатора 1;. и, следовательно, записать А нан фуннцию A и I i :
\ ] 2 2 ] 2 ("
A..A.dv== == ==C? \ А О AOd С 2
. .... (J)i(;2S iS 1. J i' i V == V i,
v v .
тон
(15.175)
1,
00 00
A(r.. t)== Ci(t)M(r)== ХС ] AY.
"i O i O 1.
Задача занлючается в определении входящих в это раз.пожение ноэффи
циентов через плотность возбуждающеrо тона i' (r, t). При отсутствии
зарядов диверrенция i' (r, t) равна нулю, и поэтому плотность тона можно
представить в виде ряда
(15.176)
00
i' (r, t) =: D i (t) AY(r).
i O
(15.177)
Иоэффициенты D i (t) находятся путем умножения сотношения (15.177)
на A (r) dv и ИНТel'рирования по объему v. Пусть полный возбушдающий
.'9Н ]'" течет по таному тонному проводнину , что на ero поперечном сече
нии B€HTOP Ар можно считать постоянным. Тоrда, обозначая через ds
элемент длины провода, мы сведем интеrрал, стоящий в левой части,
н линеЙному интеrралу вдоль s. В правоЙ же части равенства все члены,
нроме p ro, будут равны нулю, т. е.
i' (r, t). A (r)ldv == l' A ds ==
v
'(
?" ] ' A .ds ?"
== == M ]'==vD.
[J. lр [J. р р
(15.178)
1) С о n d оп Е. U., Rev. Mod. Phys., 14, No 4. [См. перевод: Уеп. Физ. Наун,
27, 211 (f945). П рu,м. перео. J"
Волuоводы и полые реаоиаторы
535
Заметим, что взаимная инлунция Л/ р между но.пебанием p ro типа и про
водом определяется совершенно тан же, нан в фпрмуле (8.14), rде Ар/ / р
вентор потенциал, отнесенный Н единичному тону. ПОСRОЛЬRУ А И i' иред
ставлены в виде ряда ПО одноЙ. и той же полной системе ортоrональных
фуннциii, то уравнения МаJ\сnелла (13.10), сnязывarощие между собой
выражения (15.176) и (15.177), можно иримеШIТЬ R наждому из членов
в отдельности. Тан:им образом, выражая В и D через А и учитывая, что
V. А ==о О, получим
fi-/;. y'2A9 р.2Е; дЧ; 9 . D O
8cpf ' f8c dt ' , (J. ;' i.
(15.179)
Подстановпа v2 А
обеих частей на A
и D i из соотношений (15.174) и (15.178)
при водят R следующему уравнению:
S c 211li
. /' ( t )
!,-2ev .
и деление
a2Ji + Ш?/.
де 2 "
(15.180)
Приведенное уравнение получено при предположении, что стенки резона
тора яВляются идеально проводящими, и, следовательно, Qi беспонечно
пелико. Чтобы учесть небольшое поrлощение, ноторое обычно и имеет
место на праНТине, необходимо добавить }( левой части уравнения член
вида (ш;/QJ a/Jat, 3fменить Шi 2 на LjC i [значения LjC i определяются
по формулам (15.96} и (15.97)] и ввести СОпротивление R;, опр()де
ляемое СОотношением (15.102). ТаRИМ образом, уравнение (15.180)
примет nид
L. a2J i R. a/i + /i Mi/' == дЧ' .
" де 2 + 'dt С ; LiCi w2LiCi де2
(15.181)
ПОСПОJIЬRУ [' является периодической функцией времени, меняющейся
с КРУI'ОВОЙ частотой ш, то Rолебание RаЖдоrо типа будет подчиняться
уравнению вынужденных Rолебаний ОСциллятора (10.3). Для определения
8МПЛИТУДы установившеrося процесса нужно записать [i в виде /1;., ej(!)t,
а [' B виде 1['1 ej(J)t, разделить уравнение на ej{ot и решить ero относи
тельно I I; 1. Резонанс наступает приблизительно при ш == Ш;, тап что
V M;II'I
1[;1== Li (1 w2L1Ci+/wRiCi) '
' /. / == Ш;М; I /' I == M i I /' I Qi ( 15 182 )
t ре:). jR i jL i .'
При резонансе эпвивалентный ток Полости I 1;. Iрез. Отстает от [' на фа;зо
Бий уroл 900. _
Суммарное маrнитное поле в резонаторе определяется из BeRTopHoro
потенциала А, paBHoro сумме венторных потенциалов, описывающих Iюле
бания отдельных типов. Из соотношения (15.178) следует, что полное
lIаrнитное поле, пронизьшающее петлю, равно 2Jl1IJi' т. е. члены, дающие
()Тдельно самоиндукцию, здесь не выделены. ЭлеНТРодвижущая сила в петле,
И!-fеющей сопротивление R, равна
со
'i == R[' + 2i jшМ;I;.
i O
(1.5.183)
ПОJ!:ставляя сюда из Соотношения (15.182) выражение для J i через [', для
импеданса петли получим
v . М2 . 2М2
Z== ==R + . 'Ш i ==R+'" /WW i i. .(15.184)
[' .::? Li(1 w2L;Ci+/wRiCi) Li(wf w2+/wwi/Qi)
, t
536
r лава XV
Таи иаи Q; обычно очень большая величина, то перные члены в знамена
те;!ш велиии по сравнению с послеДНИМИ,.за иенлючением значений Ш Ш..
' r ·
е 1юлеf)ания, для ноторых Ш;. > Ш, дают индунтиннуro чаеть реаитивнOI'О
сопротпвления, а Rо.пебания, для ноторых Ш i < Ш, еМRОСТНУЮ часть peaH
тивноrо сопротивления. Эта формула позволяет н:ачественно судить об изме
нениях реактивнOl'О сопротнвления петли, возбуждаЮ1цей резонатор. Если же
неС1ЮЛЬНО видоизмеНIIТЬ выражение для 111 i' ТО можно получить И н:оли
чественные данные. Основная трудность определения 111; заН:JlIочаеТС f
в предположении о бесн:онечноii тонн:ости провода, TaR иан при этом вблизи
пеrо поле В беснонечно веЛИRU, а следовательно, и L таиже обращается
в беснонечность. В действительности, если толщина про вода значительно
меньше длины волны, то поля в резонаторе будут таними же, иан: если
бы возf)уждающиii TOR был снонцентрирован на оси про вода , а поверхность
последнеrо совпадала бы с I'раницеЙ силовой трубни ИНДУИЦИИ. Пра
вильное значение потоиа сцепления можно, следовательно, найти путем
ИНТeI'рирования А от одноro Iiшша петли до друrоrо вдоль любой из иривых,
J!ежащих на поверхности про вода . Соответственно необходимо видоизменить
и опредеJ!ение 1J;J р' данное в соотношении (15.178). Заметим, что путь
интеrрирования в выражении (15.178) можно заминуть, возвратившись
11 начальную точиу на rранице полости, что НИIШR не сиюлется на вели
чине 111 р' таи н:аи вентор А перпендину.пярен и riанице. Этот интеrрал
будет равен, очевидно, поверхностному интеrралу от В по }1лощади петли.
25. Возбуждение КРУI'лоrо ЦИЛИllдрическоrо резонатора петлей
с током. Развитую теорию можно пояснить на примере полоrо резонатора,
имеющеrо форму ИРУ1'ЛOI'0 цилиндра. Пусть возбуждение ПРОИСХОДит
на наИнизшей собственной частоте, ноторая соответствует иолебаниям
типа т Е ц (см. фИТ. 135) и для иоторой цa == 1,84. Соrласно соотноше
ншо (15.127),
== C fl + ) Ч2 == 1 5.108 ( 0,343 + ) li2
"11 2 '/t2 d 2 , а2 d2 .
(15.185)
Из соотношения (15.129) находим, что амплитуда веитора маrнитной индун
ции пропорциональна величине
[PI J; ( p) СОБ rp J 1 P) sin rp ] СОБ :; + k 2 J 1 ( p) СОБ rp sin '/t; , (15.186)
rде заменили ц на . Для возбуждения ЭТОI'О типа Rолебаний необходимо
ввести сн:возь стенну внутрь резонатора маленьн:ую петлю. Из выраже.
ния (15.186) с очевидностыо следует, что потои индуиции сивозь тан:ую
петлю D поле Т Е ц будет мансимальным (а следоватеJlЬНО, будет иан:си
мальной и связь петли с резонатором), если петлю поместить вблизи
плосиих стенон резонатора в центре (перпендинулярно и линиям В р ), или
на ираю (перпендииулярно и линиям В"), или же если поместить петлю
вблизи БOIЮВЫХ цилиндричесиих поверхностей в пентре (перпеНДllИУЛЯРПО
R линиям Bz), или оиоло основания (перпендинулнрно и линиям B'fJ)'
1
Отношение потоиов в направлении z при р а, rp == О, z 2" d и в направ
лении р при р О, rp == О, z "'" О равно
M z I Bz Iшах dJl ( a) 0,682d (15.187)
М I в I '/t J ] ' ( О ) а
== р шах
Тан:им образом, при 0,682 d > а максимальная связь петли, имеющей задан
ные размеры, с полостью осуществляется вблизи бшювой поверхности
Волuоводы и полые реаоиаторы
537
цилиндра на середине расстояния между ero основаниями. Предполошим,
что маhеньная петля площади S расположена n плосности z == ; d (ер == О)
настольно близно от стеJШИ, что значение В, на протяжении всей петли
можно считать равным значению Bz на поверхности стеНI\И. Чтобы :vбе
Диться в этом, ;щметим, что при р == 0,95а, J 1 ( p) == 0,997 J 1 ( a). Ноэффи
цйент взаимной ИНДУ1ЩИИ равен ПРОНIlзьшающему петлю потону индунции.
обусловленному единичным ЭНЕипа.пентным тоном полости, т. С., В (",ООТ
ветствии с выражениями (15.129) и (15.132),
1J! == I Bz I S 2p;IS 1 ,3.1O 6Sd
Ii '2 d[ 1 ( r,2 1)] 1f2 d2+2,92a2'
li l1 ] "2 п I)Jla
(15.188)
Из соотношений (15.134) и (15.184) для резонатора с медными стеннами
(. == 5,7.107) добротность Q и Допuлнительное сопротивление петли при
резонансе определшотся следующим uбразом:
. 9,92(ad)1/2(d2+2,V2a2)5/,] 4
Q 4,На З +О,S6а 2 d+d З .10,
R ' 12.53S 2 Q
1/ .
аЗ (d2+2,92a2) ,2
{15.189}
МаисимаJIьная разность потенциалов в полости имеет
1 1
z =="2d и ер ==2ТС' Поэтому иа Соотношении (15.128),
и используя формулу (5.314), имеем
место вдоль JIИНИИ
пола1'ая т р == 1
.
а (х) 1,84
v== 2шС r J 1 (рр) dр==шС ( 1Y \ V2rdl)==
J р 4 r r! (r+1)! J
О r O О
== 1 ,60шС == 582aI I (d 2 + 2,92а2) Ч2. (15.190)1
Из соотнuшениii (15.185), (15.188), (15.190) и (15.183) можно найти коэф
фициент усиления по напряжению, а из соотношениЙ (15.188), (15.189)
и (15.183) энвивалентныЙ тон Полurо резонатора
1 1 0,812a2
'tf, wMI '
I 1 I == fR ' I 1, 7 SQ I l' I .
(15.191)'
Входящая сюда величина 'tf, является тоЙ частью элеНТРОДВИiиущеЙ СИ:iЫ'
в петле, ноторая совпадает по фазе с 1'.
Представляет интерес привести неноторые числовые величины. Пусть
площадь петли S == 1 с.м 2 , радиус цилиндричесной полости а == 10 с.м, а' длина
d;::::: 20 с.м. В начестве заполняющеЙ полость среды возьмем вануум. Тоrда
Ш 7,25.109 радиан/сп;;., v 1,15.109 2Ц, Л 26,0 с.м,
М 3,76 . Hr IO т, Q 36000, R' == 1 715 ом.
Rоэффициенты самоиндунции и взаимноЙ ИНДУНЦИИ полости, соrлаено-
соотноmециям (15.96) и (15.97), равны
Ll1 == 2,15 .нт в 2Н, сП == 8,85 .1O I2 фарад.
Если пиновое значение элентродвижущеЙ силы, совпадающеЙ по фазе с 1',
равно 1000 в, то o 1000 в, I == 0,583 а, V шах == 81200 в, I() == 367 а
и Р == 292 вт. Расчеты неноторых друrих способов возбуждения отнесены
Б задачи, помещенные в нонце rлавы.
26. Возбуждение Полоrо резонатора при помощи злеRтрода. Если
поJIЫЙ резонатор возбуждается неравномерно распределенцым тоном, нак
538
r лава XV
это имеет место в случае электрода, введеННО1'О в полость, то диверrенцин
плотности тона i отлична от нуля, и, с.педователыю, в резонаторе при
YTCTByeT электричеснип заряд, плотность ноторото мы обозначим через а.
13 таних случаях, нан было поназано в 2 rJI. XIV, поля можно описать
прн помощи суммы СОЛРНОIJдаЛЬНО1'0 нектор потепциала и сналярноrо потен
циала, УДОБлетворшоще1'О уравнению Пуассона. Коэффициенты взаимной
индукции для наждоrо типа колебаний попрешне IУ определяются форму
лоЙ (15.178), потому что, нан было дrжазано при помп щи соотношения
(15.92), наличие потенциальноii части у i не вносит нинаних изменениЙ
ни II объемный интеrрал, ни в значение энвивалеНТНО1'О тона полости.
ПОJЮ, описываемое сналярным потенциалом, приводит н появлению допол
НJIТС'nЫЮЙ элентрической энеР1'ИИ, меняющеiiтн в фазе с зарядом на элен
'Троде, т. е. н появлению дополнитеЛЫЮ1'0 реантивноrо сопротивления
чисто емностното харантера. Здесь вознинает трудность, подобная той,
ноторая имеет место в антенных задачах, а именно наким образом опре
делить распределение зарядов и тонов на элентроде. Если электрод очень
тонкий, то емность e1'o ничтожна, а коэффициент сампиндукции почти
полностью определяется ето радиусом 1), та[\ что, следуя результатам
4 rл. XIV, мы получим синусоидальное распределение, описываемое
выражением (14.27). С увеличением радиуса реактивное сопротивление
пплпсти начинает сказываться относительно сильнее и распределение тока
меняется. Почти точные результаты получаютсн в том случае, котда резо
натор возбуждается при помощи тонной проволоки, имеющей на конце
метаJIЛичесниЙ электрод. Тотда можно считать, что ток в тонком проводе
распределен равномерно и что заряд полностыо сосредоточен на элентроде
и ето можно определить методами' электро татини. При этом формулы
(15.174) (15.182) 24 остаются без изменениЙ, а к выражению (15.183)
нужно будет только добавить q'jC o , тде ]' == jшq', а СО емность элен
трода:
v ; i(J)(J) M
Z R + ' ,
(J)C o ,t.,JLi«(J) (J)2+i(J)(J)i/Qi)
. ,
,
(15.192)
При ш -== <:!i из за наличия СО импеданс i уже не будет действительной
величинои, но если ш ш и то существенное значение будет иметь только
. i й член суммы, поэтому, приравнивая реактивное сопрОТИВJIeние нулю,
получаем
QfL i (шf ш2)2 ш2ШIQrМIСо (шI ш 2 ) + ш 2 ш;L i == о. .
(15.193)
Часто ноэффициент при шr ш 2 значительно больше ноэффициента при
(ш ш 2 )2, поэтому, удерживая только два последних члена. и считая
. ш + ш i == 2ш i' получим
(J)j (J) Li 1
2(J)IMIC o Qf 2(J)i R 'C o Qi
(15.194)
в начестве примера рассмотрим шар радиуса r, центр ноторото Haxo
.,J,ится на расстоянии l от стенки. Шар поддеРlышается при помощи тонкоЙ
проволони. Пусть вся эта система предназначается для возбуждения
1\олебания типа Т Еll' рассмотренното в предыдущем параrрафе. Кан
видно из со.отношения (15.92), мансимальная связь резонатора с проподом
будет осуществляться при помещении последнеrо вдодь максимальной
составляющей вентор потенциала. Наилучшим таким положени.ем будет
1) Ноэффициент самоиндукции почти полностью определяется радиусом и ДJJННОЙ
...электрода. Прим. перев.
Волноводы и полые реаонаторы
539
1 1
z --:- -т d , tpO=Z'lt [см. соотношение (15.128)]. Нан и при вычислении Bыpa
жения (15.188), для небольших расстояний от rраницы можно заменить
J] (kp) на J] (ka). Таf\ИМ образом, формулы (15.128), (15.132) и (15.178)
приподят к следующему соотношению:
.. r Ap.ds 21L\p 1dp 3,84.10 7a2 d а
1I1 i == == .2 dl 1 . ( 1'-<22 1)J 1f2== d2+2,92a2.1n a l ' (15.195)
a 1 ['111 211: ['11 а
Соrласно выражению (15.184), ДОПОJIНительное антивное сопротивление
нонтура связи равно
R' == 109,2 aQ (d 2 + 2,92а2) Ч2 {ln [а (а [) ]]}2.
(15.196)
Бсли шар очень мал и находится вблизи стенни, т() .вх()дящая в Bыpa
жение (15.192) емность СО приблизительно равна емности между шаром
и IIЛОСНОСТЬЮ, ноторую на основании соотношения (5.45) можно предста
вить в виде
СО == 47tE [r + r 2 (2[) ] + r 3 (4[2 r2) ] + . . .].
(15.197)
При любом разумном Ю:,lборе соответствующих веJlИЧИН условия примени
мости уравнения (15.194) выполняются очень хорошо, тан что ш очень
близна н Ш]' ИЗ соотношений (15.192), (15.190) и (15.182) отношение
мансимальной раЗlЮс.ти потенциалов в полости и разности потенциалов
вдоль провода, обусловленной наличием R' и Со, а таюне величина энви
валентноrо тона полости равны
v 1.6б4. 10 11 C o Q а
== d (1 + w2Jl'2Сб) lп a l '
1 == 0,517 QI' ln a l .
(15.198)
При подсчете не учтено реактивное сопротивление, соответствующее
нqлебаниям высших типов. Если же им пренебреrать нельзя, то ero можно
найти по формуле (15.192). Рассмотрим нолебания Toro же типа, что и в
предыдущем параrрафе, предполаrая значения (1), v, А, Q, L i . И C i равными
приведенным там, а [ и r положим равными соответственно 1 см и 1 мм:
СО 1,17 .10 13 фарад,
м 3,08 . 10-....-10 т,
R' 16560 ом,
Wi W == 0,99 . 10 6.
Ш.
t
'{!
При шшовом наПР iжении на штыре, равном 1000 6, пренебреrая влия
нием высших типов нолебаний, получаем
V шах 27 НЮ 6, 10 :.:::о 0,0604 а,
1(1 118,4 а, Р :.:::о 30,2 вт.
-(.
s 27. Возбуждение полоrо реЗ0натора через отверстие. Если полыIй
резонатор соединен через отверстие в ero стенне с волноводом, то для по
лучения cTpororo реr:gения необходимо соrласовать значения вентор потен
циала на отверстии. ПОСНОЛЬНУ выражение для вентор потенциаJJа с обеих
сторон от отверстия имеет вид беск()нечных рядов, то эта задача аналоrична
задаче, решенной в 23 при помощи метода Хана. Часто, однако, можно
получить хорошее приБJJижение, задаваясь распредеJJен.ием поли на OTBep
{:ТИИ, подобным приведенному в 10. Среди приводимых ниже задач можно
найти примеры таких решений.
540
r лава XV
ЗАДАЧИ
1. При даннnй час.тоте двишение электромаrнитноrо возмущен ин вдоль волновода
мnщно представить себе нак IJеремещение серии одинаковых ВОЛНОВЫХ ячеен со CKO
роетью, равной фазопоЙ СIЮрОСТИ попны. ВСJJедствие Torn, что П. V х П = О. нашдая иа
этих нчеен содержит замкнутые полнопые поверхности. обладающие тем свойством, '11"
в пюбой то'ше Е и n напраппсны 110 насательпой н IШМ, Дпн ПО.ПН ТЕ можно нри
ПОМОЩИ таких поверхностей разбить каждую ячейну на труБЮI маrнитной ИНДУКЦИIl
ОДИНaJЮВuЙ величины. ПOlшзать, что дПЯ ВОШI ТЕ то , опиеаНRЫХ н 3. урапнение вол
новых пnверхноетей в ячейне е цРнтром в Z == О при t О имеет Ш1Д
С ' ' . ( т'ТСх )
СОБ тo Z Sln '
rne С часть полноrо потока маrнитноЙ индунции, приходлщаяся на площадку, ра('
положенную между сиповой трубкой, ПРОХОДЯ щей через х, Z, 11 стенкой fJ'ЮЙНИ. Пока
зать, что эти поверхности яв!lлются rИllерболичеСIПП\lИ вб.ШIЗII уrлов нчейни и ЭJIЛИП
тическими около центра нчеики.
2. Показать, что уравнение водновых поверхностей дпя полн Т Е I! lIрямоуrольном
ВОЛНОВОДе имеет вид
С == [Е к СОБ 2 (тпxa 1) СОБ 2 (n'ТCyb l}) СОБ р щ Z,
rде С чаеть по.шюrо потока маrнитной индукции в волновой ячейке, IJриходящаясlТ
на площадку, распопоженную между волновоЙ поверхностью, проходнщей через точну
х, у, Z, и rраницей ячейки, а Е и К нолные эллиптичеСJше интеrра.пы МОДУJIЯ
[1 СОБ 2 (m1tXa l) СОБ 2 (n'ТСуЬ 1})Ч2.
3. Показать, что уравнение волновой поверхности вопны ТIИ В IJрнмоуrольном
волноводе имеет вид
С == [Е K sin 2 (т'ТCxa l) sin 2 (n'ТCyb l)) sin p nz,
rде С та часть полноrо потока всктора Е, нотnрая находится впутри ВО1Пювой поверх
ности, проходящей через точку х, У, z, 11 Е и К nолные эллиптичеекие интеrралы
модуля
[1 sin2 (m'ТCxa ]) sin 2 (n'ТCyb 1})1/2.
4. Волновые нчейни для аКСllально симметричных ВОмН в нруrлом цилиндричесКОМ
ВОЛНО130де имеют, вообще rоворя, форму нолец. Для вопн ТЕ первая r я ячейка оrрани
1
чена поверхностями Р==Рт, Р==РТ+l И Z==::!::t;Л n , rде r -целое число, О<:т<n; Jl( onPr)='
<==J 1 (Роn Ртн)==О, Показать, что вопновые поверхноети В ячейке еовнадают с вихревыми
нольцами маrнитноrо поля
С == pJ] (Роn Р) [Рм J} ( on PM}) l СОБ n Z,
rде Jo( onPM)==O, рт< РМ<Р"+l и С чаеть потока маrнитной индуrщии в r МJюльце,
проходнщем между Рт И р, z. Сделать эекиз.
5. В цилиндрическом KpyrJIOM волноводе аксиа.пьно симметричные волны Т М обра
зуют кольцеобразные ячейки, штючая и половинную ячейку, rраничащую СО стенками
1
ВОЛ НОВОДII, причем для r й ячейни Рт < Р < РТ+l И 0< z < 2" л, rде r целое ЧИС1Ю.
0<: r < n; J 1 (Роn Рт) ==J 1 ( on РТ+l) == О. Показать, что волновые поверхности, за исключе
нием ближайшей l{ стеlше волновода, представлнют собой вихревые нопьца электриче
cHoro поля
с == pJ] (Роn р) [РМ J 1 (Роn PM)] l sin n z,
rде Jo( onPM)==O, РТ<РМ<РТ+l' а С часть полноrо потока Веl{1'ора Е в r й ячейке.
приходящаяся на площадну между Р и РТ' ДЛЯ по.повинной ячейки, rраничащей со CTell
ками, PM a.
6. Исходя из выражения (15.7) и из результатов Э 16 rл. XIII, ПОl{азать, что ('сли
IJроводимоеть диэлектричеСIЮЙ среды, заполннющей волновод, равна 1', то волновое число
и коэффициент затуханий можно заJJисать СОО'l'вететвенно в виде
' 2 1/2 {(( 2 ;')2 + w2[L2j2]lJ2 + 2 ;'}Ч2,
0.' == 2 Ч2 {(( 2 )2 + (J)2[L2j2]1f2 2 + ;.} Ч2.
Эти ФОРМУЛЫ одинаиово снраведливы для частот ниже и выше критичееl{ОЙ.
Задачи
541
7. По"азать, что если в ВОЛНОВОДе отношение проводимости н диэле"тричесной
проницаемости MaJIO но сравнению с разностью между чаетотой сиrнала '1, раr:пространя
ющеroся в ВИДе волны m ro типа, и нритичесной частотой '1т, то ноэффициент затухания
' и фазOJJ3Я снорость V;п прибпиженно равны
1 [ ( '1 ) 2 1 ч.,
а' 2fL'/)1 1 п ,
v;,, и т [1 (fLl V!: )2] '
{'де V СFороеть распроетраншlИН IЮ.ппы в с ноБОДНЩI пространстве, а Vm фазовая CHO
рость при равной нулю ПРОВОДJJМОСТИ.
8. Между двумн пара.тJЛ..,льньши идшльно нроводящими поверхностями раепо.пожен,
ПСРl1ендш{улнрно н JIX ПОперхноети, идеально проводящий ци.пиндр р == а, вдоль HOTOpOI'O
течет равномерно распределенпый по нему тон 1 СОБ ыС. Поназать. что номпленсная
амплитуда llентор потенциала, описывающеrо элентромаrнитное поле Между плосностями
('наружи r\ИЛИНДР{l, равна
I
А =со fL1 [Jо( Р) lУо([-jР)] ,
z 2па [J] ( a) iYl ( a)]
l'де 2==(I)2р. И, с()rлаеllО выражению (.5.316), при a, стремящемсн н нулю, У] ( a)
2/(п а). Наметим, 'ПО, еоrласно таблицам Лнне и Эмдс, при а < 0,0181 л
[J] ( a)] < 0,01 [У, ( a)].
9. Поназать, что в предыдущрй задаче антивная и реа"тивная чаr:ти JJходноrо
импеданеа. цилиндричееIЮJ'О l1ронода еоответственно равны
!J-1f2[
Ri == 1f '
п2['!а2МЕ 2
Х. //ч [J o ( a) J] ( a) + У О ( a) У] ( a)]
1 21tаlИЕ 1 / 2 '
l'iIe M==LJl( a)]2+[Y]( a)]2, а l расстояние между п.посностями.
10. Пусть плосности, раеемотренные в задаче 8, соединены между еобой идеально
I1рОВОДЯЩИМ ци.пиндром р==Ь. Поназать, Что НОмпленсная амп.питуда вентор-потенциала
:\fежду плос"остями равна
А, == (J-I [У О ( b) J o ( p) Jo ( b) У О ( p)] .
2па [J o (рЬ) У] (:ja) У О ( b)Jl ([ja)]
Вычислить входное реантивпос СОПРОТИlзлепиt'.
11. Элентромаrнитная волна распро('ч,юшеТОI II радиаJIЫIOМ направлении между
двумя параллеJJЬНЫМИ идеально проводнщими плоеностнми, иерпендикулярпыми н оеи z.
JIользуясь выражениями (14.128), (14.130), (14.131), поназать, что если элентричесное
поле этой волны имеет тодь"о z-составляющую и не записит от ноординаты 'f' и если
Ez/ Н<р Za при Р == а. то llрИ р = ь :это отнопюние равно
I > I == Zb ILV Jo ( a) Уо (;jlJ) Jo (рЬ) У о ( a)] + iZ" [J, ( a) У О (;jb) J o ( b) У. ( a) ] .
Н<р ь EVZ a [J 1 ( a) У] Ob) Jl( b) 1'1 (ра)]+! [J o ( a) У] ( b) J 1 ( b) У О ( a)]
12. В нруrлом нолноводе раj(иуса Ь при '1 > '101 ра( нрострапнРтсн lЮJша типа Т Мо!
(t:M. фиr. 135). Чтобы элснтромаl'нитпая волна Mor.тra lIрОЙТII через участон волно
пода, имеющий НОлы ев()й :зазор (J{ОJlьцевую щеJJЬ) н боновой ПОвнрхности, необходимо,
'JТобы JJ зазоре сущеетвова,JЮ отличное от нуля элентричесное ИОЛе. Исходя из pe
аультатов предыдущей задачи, ноназать, что на пеlШТОрой Ч'JI т()те "с > V Ol можно дo
биться полноrо отражения JJОЛНМ от щели, Щ'.JТИ ПРИНрЫТЬ щеJJЬ сверху ЦИJlИНДРИ
чесной, "оаю:иальноii {' JJОJIIЮJJОДШl l{()робкой, плосние ОСlIованпя н()торой совпадают С
нраями щеJIИ, а радиуе определяете н из соотношенин
J 1 [2п (fLE )1/2 VсЬ] У о [2п (fLE )]/ vса J == J о [2п (fLE {12 "са] У 1 [2п (fLE )1, 2 "с Ь ]'
13. Предположим, что ДIШ учar'ТЮJ ШJСIIПlей обо,;точки ноансиаJIыIпJJ волновода
радиуса Ь необходимо IIROJIИj1()вать друr от дрУJ'а по постопнному тону. ИеХ()jlН из :за
дачи 11, поназать, что это можно осуществить без нарушения УОIOJJИЙ распространенип
волны С частотой V с , если между ЭТИМIТ учаетнаМlI оставить неfiО.;тьшоii зазор, н r,ЮJЩОМу
l,palO ROToporo нрисоеДllНlIТЬ ПО н"ансиа.iJЬП()МУ е JJОJШОВОДОJ>! JJЛ()СКО IУ парал.пеJIЫIOМУ
фЛШЩУ, имеющему радиус а, ()ПРСДСJшемыi'I из ео()тношеJНIЯ
J о [2п (fLE )Ч2 VсЬ] У 1 [2п (t'-E )1/2 vса] J 1 [2п (t'-E )Ч2 "са] У О [2п (f'.E )Ч2 v bJ.
Ifри решении считать, что на нранх ф.тшнца Jlмеетсн узсл маЛlИтн"rо 1l0JIН ШJll Пn,il.
542
r лава XV
.... 14. Пусть в предыдущей задаче 1 TOK в коаксиальной линии, t lПИрИ]Jа зазора.
а (fLE)l/2 == V. Показать, что разность потснциа.пов на внешних краях фJlЯнца равна
1t
п 2 щаЬ [J 1 «(JJajv) У ! «(JJbjV) Jl «(JJbjv) У 1 «(JJajv)] .
15. СеRториаJJЫIЫЙ рупор, образованный Нлоскостями z == О, z == Ь и 'f' == О, 'f' == а' .
возбуждается тоном k1 СОБ (JJt, равномерно распределенным вдоль TOHHoro провода р== с.
fI'==a. В беСIЮJЮЧllOСТИ (р==оо) BOlIНa полностью поrлощается. Найти, пользуясь COOT
ношениями (14.128) и (14.130), ПОДХОДНJЦий длн этоrо случая вид записи веНТор потеll
циалов: A при р < с и А> при р> С. ]lоназать, приравнивая A и А> нри р==с И инте
rрируя разность В '1' B по поверхности р == с, а затем применян закон о цнрнуляции
вектора В (см. выражение (7.173)], что A и А> можно представить в виде следующих
рядов Фурье:
при О < р < С
У 0
()()
j, 1tfLI ( R' J ( R' ттra . тпЧ'
Z== I ,[JmТt / o.' "c) /Y m'lt / o.' ( C)] тТt / o.' "р) Sln SШ ,
/а .а а
m t
при с < р < 00
()()
v 1tfL1 . . ттra . тпЧ'
Az /а' ,Ц [J m1t/o.' ( p) / У т1t/o.' ( p)] J m1t/ o ! ( C) SШ а' SШ а' .
т 1
16. Используя предыдущую формулу, проинтсrрировать вш,тор Умова Пойнтинr
(см. выражение (13.146)] но сечению рупора нри бо.пьших р и показать, что сопротив
ление излучения равпо
()()
R (JJ/L1tb [J 'R )] 2 . 2 ттra
r == m'lt / o.' \"С SlП .
а 'а
т 1
17. Пусть уrол растнора рупора, рассмотренпоrо в задаче 15, а' ==1tjп, r}(e n целое-
число, а рндиус нровода равен а. Считая а аС И а [(тrjп) а] С, ПOlшзать, что rpa
ничные условия будут удовлетворены суперпозицией ПOJlей типа Опиеанных в задаче 8,
если воспользоваться методом изображения (см. фиr. .28). Показать также, Что при
полном ноrлощении волны на бесконечности (р ==-0:;) входной импеданс при а А DрИ
близительно равен
n 1
R + Ш Ь {1 2: lп a+ [J o ( 2 сsiп в: ) jYo (ЦСSiП в: )]
s t
7l 1
[J o ( 2 c sin (8+ 1 п na ) jY o ( 2 c sin (8 + 1)пп na ) ] },
з о >1
rде Л аRТивное сопротивление провода. Обычно сумма членов, содержащих Уо.-
ничт()жно мала по еравнеиию с JlOrарифмичееним ч.пеном. i.
18. ПОRазать, что э.пектромаrнитная волпа, имеющая в z направлении n маRСИИУ
мов Эllектричесноrо поля, может распространяться в радиаJIЫJOМ направлении внутри
рупора, оrраниченпоrо идеально I1рОВОДЯЩИМИ ПЛОCIшетями z==O, z==b, 'f'==0 и 'f'==a
при условии
'1 > ; n(fLE) l/2b l.
19. В нрупюй проволочной 1Jетле р == С, лежащей в ПЛОСRоети z == d между двумя
бесконечными идеально проводящими ПЛОCJшетями z == О и z == а, течет равномерно pac
пределенный по I1РОВОДУ тон Ч'1е j (JJt. Показать (см. Э 18 rл. XIY), что при А> 2а энер
rия между плоскостю.iи не распространяется, а веКТОР 110тенциал, описывающий полс-
'в области р > С, В ЭТОм случае имеет вид
()()
v 2CfL1 . птtd . п1tZ
А", == 11 ( nc) К 1 (t3np) SШ SШ ,
т . а а
7l 1
2тt [ ( ПА ) 2 ] Ч2
rде t3n == Т 2а 1 .
Задачи
543',
20. Если в предыдушей задаче а < л < 2а, то между ПЛОСНОСТЯМИ будет распр<r
странятьея волна одноrо типа. Поназать, что тоrда в облаети р > с номпленсная ампли
туда вентор потенциала имеет вид
<JO
ic [ { Н (2) ( R ) ( R ) ' пd . пz 2 . R ) ( ) . nпd . nпz l
п п "IР J 1 "I С Бlllи SШ-и-+ J k.J К 1 ("пР. [1 nc SШ SШ а J '
п 2
"де H 2) ( IР) ФУННЦИЯ Ханнеля [см. соотношение (5.321)],
[ ( 1 ) 2 J 1f2
1 == (2п/Л) 1 - 2 л/а .
[( 1 ) 2 1 1f2
n (2п/Л) тn"л/а 1 .
21. СенториаJlЫJЫЙ рупор, Оl'раниченный ПJIOПЮСТЯМИ z == О, z == а и 'f' == О. ер == а,
возбуждается при помощи Т()НJ\ОЙ изоrнутой проволони р==с, z==d, вдоль RОТОрОЙ
течет равномерно распределенный '1'он 'f'[ ('ОБ wt. Понааать, что еслн а < "л < 2а и радиус
провода r значительно меньше с, то из задачи 20 при условии полноrо поrлощении-
излучения в бесJ\онечноети (р==оо) следует
пыac2 [ . пd ] 2
R T == J 1 ( IC) sш u .
XT 2ыac2 { [ 1 а ] r.;d
а 2пJl( IС)Уl( IС)+ 2пс sin 2 +
<JO
+ ' [ Kl( пC)[I( пC) .)a ] sin2 nтr:d + 4 a [ lПSiп r.;d +lп 2а ] } .
k.J nc а а
п 2
Написанные выше ряды сходятся очень быстро.
22. Поназать, что еСJJИ в лредыдущей задаче л==1,5а, с==а, а ==-о 180, d==a/2, то
реаJ\тивное сопротивление будет равно нулю при радиусе провода 0,0114 а, а сопротив
пение излучения при этом будет равно 274,5 О.'ot.
23. lIрямоуrОJJЬНЫЙ волновод вовбуждается при помощи петли, наХОдящейсл
в плоеR()СТИ x==d. Поназать, ирименяя метод изображений, что все J\омпоненты BeH
тор--потенциала параллрлыlы этой llЛОСRОСТИ. и. следОfJaтельно, ВОJIНЫ, возбуждаемые
петлей, можно найти, ИСХОДЯ из результатов Э 1 rл. XV, т. е.
W V С "; . тпх nпу j ;"п Z
== тп Бlll СОБ ь е .
A==V х iW.
':; v ( " nпу . nт. . nпу ) . тпх j :ппZ
E== ЫCтп J mпсоsь+kJьSШь sш е .
v v {
В '='С тп i
[ 2 2' [
R2 m п J . тпх nr.;y тп . nт. . nr.;y +
" .Q2 Бlll СОБЬ а J тБlllт
rде ( :пп)2 == 2 -т'
типа ТЕ и ТМ.
24. прямоуrолыJый волновод в()збуждается при ПОМощи штыря, тон в нотором
иаправлен BДO.тJЬ оси у. Поназать. ПОЛЪЗУНlь методом изображений. что B.j==O и, сле
довательно, волны, возбуждаемые штырем, cor.тJacHO Э 1 rл. Х \', ДОЛЖНЫ описываться
следующими выражениями:
. , nп у ] mr.;x } j ' Z
+kJ mпcOsb СОБ е тп.
Заметим, что эти волны предетавляют собой
Iшмбинацию волн
v v . mr.;x nr.;y j ' Z
W == Cтп SШ "'"(; СОБ Ь е тп
А == V х (j х VW),
[ . Jmnr.; тпх. nr.;y .. ( R2 n r.; ) . тпх nпу +
Е==ЫС тп I СОS SШь JJ " ;22 sш соsь
( , nт. ] '
k "тn . тпх . nr.;y j mпz
+ ь Slll SШЬ е .
v v [ " . mr.;x тп mr.;x J
в == 2Cтп li ;"n SШ + k СОБ
а а а
( :"It)2 == ы2 E (тп/a)2 (nп/Ь)2== 2 ;"п'
nr.;y . '
еОБ e ) тn Х .
Ь
rде
';:;44
rл,ава XV
25. Пользуяеь методом, приведенным D Э 8 rл. ху, поназать, Ч'Ю ве"тор п()тен
I\ИПЛ. опиеывающий поле элемента тона kI dzoej(J)t, раеположепноrо в ТОЧНе Х О , Уо. Zo
13 прямоуrольном Во.Пllоводе, при z> Zo имеет ВИ)l
v 00 00
v 21 dz o " тl'Хо'. nпуо ( . mп тl'Х " nl'У
Atm == ",2 Еа Ь kJ kJ SШ SlП ) а СОБ SШ Ь +
т 1 п 1 .
'02
. n1' . тl'Х nl'У k II'т11 . тl'Х . . nl' У ) е j :п11 (z zo) .
+J SШ СОS + SШ Ш ,
Ь а Ь т11 а Ь
26. Исходя из задачи 24, ПOJшзать, что вентор потеНJщал. описывающий поле
.;:темента ТOIШ j/ dyoej(J)t, находящеrося в ТОЧJ{е Х О , Уо. Zo в прямоуrольном волноводе,
при z> Zo имеет ВИД
v
А
ifJ-/ dyo : B . тl'Х о . nl'Уо [ . тn1' 2 , Jnl'x " nl'У
2ab kJ "'-.J :п11 SlП а "ОБ Ь ) аЬ СОБ а sш Ь
т I11 O
. ( [,<2 п21'2 ) . тl'Х ,n1ty k '(., n1' " тl'Х . nl'У ] j :п11 (x xo)
J t' b2 SШ'"ll ('.Оsт;: II m11 Ь SШ SШ Ь е .
27. Исходя из задач 25 и 26, поназать, что при возбуждении ирямоу)'ольноrо
НОШJOвода маленъной ПРОВО.1l0ЧНОЙ петлей, по ноторой течет то!{ / ш! (площадь петли
dS, петля ЛРЖИТ в ПНОеНОСТИ ХО В точне У==Уо, z==zo, ее маrнитный М(1мент направ.ттен
IJДОЛЬ оси х), вентор потенциал, описывающий поле, при z> Zo имеет ВЕД
со 00
А f11 dS , , ( 2 вО ) ' m1tx o n1tyo [ . nl'У +
== L.J L.J 11 SlП cos J СОБ Ь
т 111 O
+k ,"n1' . nl' У ] . ТJi1tX jl" (x xo)
SJП Sln е тп
:ппb ь . а .
28. Исходя из задачи 26, llоназать, что при возбуждении прямоуrольноrо волновода
маленьной петлей, по ноторой течет то!{ lej(J)t (площадь петли dS, петля лежит в пло
екоети Zo в точне Х == х о , у == уо, ее маrнитный момент llапраJJJIeН JJДОЛЬ оси z), вeHTOp
lIOТCJЩlIaJI, описывающий пОле, при z > Zo имеет вИ):r
00 00
А == ifJ- ьdS
т O 11 O
.т1' . m1tx n1ty ] jl" 11 (z zo).
J Sln СОБ е m
а а . Ь
2. B o тпх о n1t y o [
cos ('os j
:п11
n1t . nl'У mпх
Sln СОБ
Ь Ь а
29. ПрямоуrOJIЬНЫЙ ВОПIювод, коротно за шнутый в сечении Z == о, возБУЖ)i;аеТСll
ЩJИ помощи одной половины прямоуrольной петли, два вертннальньiх провода HOTO
рой перпендинулярны н оси у, а rОРllзонтальный ПрОRОД ДJJИНЫ С протянут ВДОЛЬ
. JИНИИ х==х о . Z==zo. Предполаrая, что JJ вnлнnвnдс раСllроетрапнются ТОJJЫЮ волны
ТЕ,о. пnназать. что сопротивление изл 'чения равно
2(t)r c2 . 2 пх о . 2 '
ВТ == b Sln Sln lOZO'
"10а а
rде
R' == 2п [ 1 ( ) 2 J Ч2
1'10 Л 2а .
30. lIрямоуrольный BOJIНOJJOn, НОРОТJЮ заМJШУТЫЙ n сечепии Z == о, JJозбуждаетс я
поЛу[{руrлой тонной прnnолочной петлей радиуса е, тон вдо"ь нnтnрой раепределеll
равномерно. Петля Лf;ЖИТ в плосности x==d, а ее центр и [юнцы находятся в ПЛОСJШ
сти z==O. Предполаrая, что при заданной частоте в волноводе может р:кнространяТI>СЯ
1'ОЛЫ,О вонна TElO' показать, ПО.1lьзуя('ь рсзу.lIьтатами задачи 25, что еопротивлсние
иалучения раJJПО
2fш1t 2 с 2 l'd
вт== [1' Ь [J 1 ( oc)]2 sin 2 ,
10a а
, 21' [ . . ( ) 2 ] 1ft
l'де 10 л 1 2ri .
31. Применяя метод изображений и ПО.1lьзуяеь реЗУJJь'/'атом задачи 20, а таНЖе
У'lJIтывая еоотношепие (5.451), п()назать, что в задаче 30 реШПИll}юе сопротив
Задачи
545
ЛСJlие излучешш равно
со
2nf'.wc2 , {
xo+ L.J .nУо ( ]lIf})
71 1
со
r ' . nd J 2 , . [ . pnd ] 2 }
L J I (11,C) SIJ] а +2 L.J Ко ( pпЬ) /1 ( pc) SШ '
p 2
"Де Хо значеНIIС реаНТИВlIоrо '(ШРОТИВJ1еннн, ОllредеJJеJJНЩ'О н задаче 21, ПрИ а n И
== [ ( ,\2 J 1f2. Р == 2n l( пЛ ) 2 1 J l{2
1 Л. 1 :La ) 'l'n Л:Lа .
::Ja и('нлючением ('JIY'JaH БОJIЫШIХ раЗ IСI)(}Н лспIИ, перный ЧJlен MHoro больше суммы
'1.11eHoB, оБУ"J!ОШlенных ОТ[JЮf\I'/НJС:И.
32. НРУI'.пыЙ бееlшпеЧIiЫЙ ВOJшовод радиуса а возбуждастсп элементом тока
:;1 0 fo d 'f ej "'t, Н<1ХО}{ЯЩI1М('Н В точн:е Ро, О, Zo. I10нааать, что амплитуды волн Т Е в фор
c\IYJlaX (15.38) и (15.39) равпы
I (2 O ) 1'1 о d'f'rmnfoJ;' (РтnРо) . ' "
е} т..ZO. I DтnJte == U,
2Ч';I111 (r;Ylna2 т 2 ) [.1т (rтna)}2
(C 17т ]tc
"де J;' ( тna) ==0, а аМП;IИТуды IJOJJН TJ}J, НХО;lНlцие в фОрМУJIЫ (15.41) и (15.42), ранны
[1J o (['{'от Т'" (РтnРо) e j ",Zo , С
lUтn]tm== ( тnJtm' ,О,
1t Il' rtl11aJ;' ([1 тn а)]2
'"де J m ( n:na)==O.
33. НРУJ"JIJ Й БЕ'снонечный волнонод радИуса а uоабуждаР.тсн маленьной петлей
с током, имеющей МaJ'НI1ТНЫЙ момент kl dSej"'t 11 лржащ('й н ПJIOСJЮ('ТИ Z==Zo В точке
Ро, О. Поназать, 'I'f() при этом JI BOJIНOHOlIe вознинают толыю волны ТЕ, амплитуды
fЮТОрЫХ, Jlходящне в фОРМУJIЫ (15.38) И (15.39), равны
(С '; J i (2 o ) 1-'-/ ds :пnJ m ( mrIPo) / "'ZO D
тn te 2т::p n (p;;"na2 т2) (J m ( тna)]2 ' ( mnJte==O.
34. КРУJ"JIЫЙ бесконечный JlОЮЮЛОД Р,lДиуса а возбуждаетсн при 1J0Ь10ЩИ малень
f{ОЙ петли с тоном, ИМЕ'ющей маJ'НИТНЫЙ момент i[[Sej"'t и Jlежащей в ПJIOClЮСТИ
tp== О н точне z== zo, Р == fo. lJоназать, что u об.паf'ТИ Z > '<0 амплитуды ВОJШ ТЕ, входпщие
В фОрМУJJhl (15.3 ) и (1[J.39), и волн ТМ, входящне в формулы (15.41) и (15.42), COOT
lIeTCTBeJJHO равны
(Cmn]tт==
т".I dSJ m ( т"po) e j ;n11Zo С
ПРо (lc;;"na2 т2) (J m ( шnа)J2 ,(" mnJte==O;
ir L / dS (2 o ) J;' ( тnPo) j ;"nzo
е ,(])тn]tт==O,
21ti'mniO;"11 [aJ;" ( mna)j2
1 1 )",n]to ==
35. Коащ'иальная линия, внутренний и внешний Р,lДиу{'ы ноторой pllHH!.! {'OOT
BCTeTBCJII.O r] и 1'2, 10еДIlнена е llрямоуrOJIЬНЫМ но,.IJOНОДОМ через нольцевую щель
в ero Шl1р<ШОЙ {'тенне. Центр ЩСJJИ находится н ТОчне x d, у==О, z==c. lIрямоуrоль
ный ВО.IШОВОД зш,орочен iJ СС'Iении z==O. 1I0назать, что если частота такова. что
в волноводе может раl пространятыя тольно волна TBlO' то сопротивление изпучснин,
оБУСJJOJJJJеНJlOе Э'IОЙ волной, равно
R w l-'-ab ' lп 2 (l'2/ r l)
" 8п2 siH 2 (hd/a) SiH 2 'c (Jo (2r.J"2/л) Jо (2пr]/Л)J2'
J'де р' == (2п/л) [ 1 ( {./а ) 2 J Ч2. При расчете возбужденин волновода воеJlОJIЬЗО
ватьсн метОДОМ двойвоro СJIOЯ тона. описанным в S 20 rл. ХIУ, считая, что кольцо
'Юна имеет ПрЯl\lОуrОJIЫlOе {'ечение (r2 r l )"1j И УСТРСМ.пян затем 11 I{ нулю IlрИ ПОСТО
янном Щ:Ю lзведении . на ШJOТlJО ть тона.
36. Прпмоуrолышй ВОJ1НОВО;J, « м. S 3), замннутый В сечрНJfИ z==O идеально про--
воДящей ПJJОс, ностью возбуждает< н при 'помощи провода радиуса 1', раСПОJJоженноrо
нараЛJlельно оси у вдоль х == а, Z"" с и Не ущщ'о равномерно распределснный тон
j/ 108 wt. Считая l' а, r Л, l' С И r а. поназать, ПОJJьзунеь суш рпозицией РСШРJIИЙ,
35 В Смайт
541\
r лава xv
типа nриведрнных в задаче 8, что реактивное сопротивление равпо
00
00
. ",р.ь { С 2 ln ( T) + 2
4 L 'It Li У О (2п a) Li
YO(2[1Iпa al>
" !
71== OO
00
+00
(2 o ) У О {2 (п2а2+с2)Ч2]+ Уn(Ц [(па а)2+С2]Ч2)}
,, o " oo
37. Пусть в нредыдущей задаче С пмеет тот же порядок величины, что и r, но
пропод все Же не Iшсастся торцовой етсшш, ПОЮJзать, что пренебреrая членами
4c4, 6c6 И Т. д. И .комбинируя оетавпшеея члены понарно, для реaItтивпоrо сопротив
леllJlЯ можно пuлучить следующее выражение:
00
х W:J.b f h С R 2 У, (2Sna) + в 2
== l ar с 'It"c Li па 'ltj С Li
11===1 n=== co
+00
Y 1 (2[11 rю d 1)
21 пa (L I
},
.
1
принимающее при d ==2 а вид
00
X wfl-b r h С +2 R 2 Vl (n[jo,) 1
{ ar с п"с }
2п l l' па J'
" !
38. Прпмоyrольuый волновод (см. Э 3), замннутый н ССЧСIlJШ z== О идеально про
водящей плосностью, возбулщастсн при помощи IIРОIJода раДllуса r. расположепноrо
парал.пельно оси у вдоль x==d, z==c и прсущсr() т()н jlcuswt. ПOlшзать, что нри
t,laJlOM r 110Л,Я В области z > С МОЖНО записать в виде
00
J 2Шfl-I "1 . 1 . m1Cd h 'с, . mЖХ j ,z
== L..J J ----, Sln s J ",c SlП е ,
ар",' а а
т !
т !
rДе ==(ш2[J-Е; 1t2т2а 2)lJ2. Для 'получения п()лей в области z < С еледует поменять
местами z и с.
39. 3адаваясь D предыдущей задаче чаето'fОЙ ">/, удовлетворяющей неравенстну
nv < 2а">/ < ({! + 1) v, тде v снорость света в среде, заполпяющей вuлновод, показатъ
путем шпеrрированин вентора Умова Пойнтинrа по сечению трубы при больших z.
что сопротипление излучения раппо
00
B V 211- 0, / . т1Cd h '(,' [ . . т1СХ k Jm'lt, m'ltX ] jfl:nz
SlП а s /"",с I Sln .СОБ е
а !' a а
Rr == 2Шf1Ь
а
11
1 . 2 R' . 2 mт.:d
Li !O SШ "",С SШ а'
т 1
.
40. В прямоуrОJlЫЮМ волноводе (а == 10 с,м, Ь==2 с,м), за пшутом в сечении z==('),
распростр:шястсп волна; соответствующап ей длина волны п свободном пространстве
равна 15 см. Во.пна возбуждаетсн прп помощи ировода радиуса 0,5 .ICM, IJротянутоrо
поперек волновода ПДО.:Jь лпнпи z==c, х==5 с,м. Jlоназпть, что для получения еопро
ТИВJlения излучения 100 о,м нужно выбрать С равным 2,62 C.At ИJiИ 14,0 с,м и т. д.
Ilоказать, что фазовая и rруппона СIШРUСТИ волны соотпетстнснно равпы 1,521) и 0,66 v.
8 реaJпивное СОПРОТИВJICНИС, имеющее JJНДУНТИВНЫЙ харю{тер, рашш 261 0_11.
41. Пусть волновод. ОIJи"анный в за)lдчах 38 и 39, замнпут наноротко при помощи
идеально проподящеrо провода, протянутоrо вдоль линии х == d 2 , Z == с 2 . Импедансы
z'1 и 22' определяемые для наждоrо из прrшодов, помещаемых по отдельности в волно
ПОД, можно найти из задач 38 и 39. ПоназаТJ>, что при помещении в волповод OДHO
временно обоих проводов JJмпрданс Z первоrо провода OJшжстея равным
-/
"
Z , Й lZ2 + ':'2М2)
l
22
Задачи
547
/'де
М= 2fJ.lJ
а
00
1 . lп1Cd 1 . ттrd 2 . r-' jfl:"c2
.LJ Р:" sш sш SШ I}m ce
т ]
Для распространяющихсн нолн , действительная величина.
42. Пусть в ('истеме, описанной в задачР. 40, требуется упичтошить реантивное
сопротивление. Показать, ПОJ/ЬЗУЯСЬ рf"ЗУJlЪтатпми задачи 41, что это можпо осуще
м"вить без изменения активноrо СОПРОТIIВJlенин путем замын:анин ВОЛНОВОДа при ПОМf\ЩИ
- 'l'ОНJюй провnлоки, расположенной вдопь центральной J/ННИИ на раССТОf1НJlИ С 2 == 11 ,39 с.м
от конца. -Величина М будет дейетвителыюй, если радиус провода равен 3,45.м.м
и если, конечно, ll}JCДПОЛОЖНТЬ снраведливость выведенных формул для проводов TaHoro
радиуса.
- 43. Прямоуrольный волнопод (а==1, Ь==2), заыrшутый в сечении z==O, возбу
шдается прп помощи расположенной n ПJlOеJ{Оети x lj2 прямоуrольпой петли, R нонцам
н:оторой ирнлолюиы равные по величине и противоположные rlO зиану потенциалы.
Вертиналыiые стороны петли раеполvжепы вдоль линий у == 1 j 2 И У == 3 j 2; длина этих
стороп неизвестна. )Je'fJ'H возбуждается на частоте, соответетвующей длине ВОЛНЫ
!I своаОДJlОМ llрострапетве, равной 0,5 с.И. Показать, что в волш:'вuде будут рас про
страиятьсн толыю волны следующих типов:
TlJJ] 2' ТЛI 32 , ТЛ1 16 , (ТЕ 10 ), ТЕ] 2' TE16' (ТЕ зо ), ТЕ з2 .
llояснить, lючему исключены волны ДРУП1Х ТIНЮЕ.
44. Поперечное сечение волновода (Jредеташщет еобой ПРЯМОУJ'ОЛЫJЫЙ равнnбедрен
ный треуrольнин:, длина н:аждой из f\дипан:оных сторон HoToporo равна а. Показать.
что нритичеClЩЯ чаСтота "с' соотпеТСТНУlOщан лервой раСПросТраняющейся волпе ТЕ,
1
равпа 2" vja и что
a== [( 1 ";' ) (1 +2Ч2)+ (3 + 2 Ч2 2) " ] ( 1 "5 ) Ч2
(J-jvao ,,2 ,,2 ,,2 '
/'де V СIЮIЮСТЬ распростраllCНИН спета в среде, заполняющей волновод.
45. Поперечное сечение ПОJlJIOвода предетавляет собой пршюуrольный равнобедрен
ный треуrОЛЫIИJ{, длина J{3ЖДОЙ IIЗ одинановых сторон HOToporo рапна а. Поназать.
что нриiичеПiан частота "с, соответетвующая нервой распространяющейсн волне l' М,
1 5 Ч2 I
paBHa :l v а и что
а (2+2 1J2 )'t [ 1 ( 2 ) 2 J 1J"2.
f'-vao '\1
l'де v СJШРОСТЬ света в среде, заполняющей волновод. .
46. В круrлом ЦJlJlипдричесном ВО:JlJOводе ПЛОСНОсть ер == о IIредставляет собой
бесконечно ТОПlП1й нроводящий лист. llоказать, что нанменьшая критичеСJШП частота,
соотвеТСТВУ I 9щая волнам ТЬ', определяется по формулам
1,
1/2a 1,1(j56 или tg (21t"cav 1)==41C"cav 1.
47. ]]онавать, что наимеiIьшая НРИТllчеснан частота, соответствующая ВОлиам ТМ
tJ задаче 46.., равна vja.
48. В одном из сечений прямоуrОJlьноrо волновода (ем. Э З) помещена тонкая Ilри
.водящая диаrrамма, 'в ноторой от :/""==0 до х==а прорезапд щель шириной d, с центром
в точке у==с. ПOJшзать, что длн вОлны TE 10 нuрмированпая шунтирующая ПрОВОДJl
мостъ,(см. выражение (15.77)] равна '
",С 4Ь С . пс . 7td )
BO==",co== y _ == -x;ln, sш Ь sш 2Ь .
k "
49. Пусть половина диафраПVJbl [ем. выраЖlJние ('15.82)], еиммеТРИЧIlОЙ отн()си
orельно начала Координат, удалена таи, что зазор ме1НДУ 9етавшейсп половипnй и CTeH
ной волновода стал раНен d: Показать, что lIоле н этом СJlучае дается преобразованием
1tZ' ( 1Cd . 1CZ' ) 1[2
W==ССОБ соs2 SIП2
2а . 2а - 2а / .'
З .*
,)
548
Тлава xv
'1'де Шlчало отсчета находится на llеРl'сечснии диафраrмы со стешюй ВОЛJlовода.
Поназать далее, что НОРМl1роваНllая реш,тиВlШН ПрОllОДl1l\IОСТЬ диафраrмы будет ОПР('
деЛfцьея не выражением (15.85), а llыражеIJием
1 л тcd ( 1Cd )
ВО== == .JLctg2 1+СОБес 2
шLО а. 2а \. 2а
50.' ИНДУКТИВlШЯ диафраrма (см. 11) IJредставлнет собой 110ЛОСl,У шириной С,
расположенную в центре. Из сообран\ений СИМ lетрии сл('дует, что одинаковые учаетки
на верхней lf ЮIжней стенках НОJJНОIJода буду'!' иметь ОДИПШЮllые по IJеличине,
но ПРОТИНОПОJJOжные по знапу зарЯl{Ы, таи что IJO!{PYJ' 01013 не будут ЦИРI,УJlИровать
ТОRИ, И, следоватеJlЫJO, ФУI1НЦИЯ I10TOI{a будет иринимаТL одинаноное значсние (V ==0)
JИ на Iюлоске 11 на cTeIII;ax. 1I0Jшзать, что в плоскости lЮJ10еlНI
Bx+iBz==C (СОБ 2 1С : Z ) (sin2 : СОБ2 1С: ) Ч2.
J!'JIe Е и К liОJшые эллиптичссние ИНТ()J'раJIЫ МОДУJlЯ k==cos ( 1Сс/а). Ноказан,
J'аКЖе, что IJормированная шунтирующан ПрОНОДl1МОСТЬ рашш
I E (1 k2)K ]
O В Л g z
15 Yk alE l1 k 2 )K .
.
51. В().JНЮIЮДЫ, описанные в задаЧ1!Х 1 5, ПревращеНLJ н 1l0Jlые реЗOl атпры путем
IIшедения в них lJрОВОДЯЩИХ нлосностей z =. О и z== d. lIоназать, что ураннения вол
IIЮВЫХ поверхностей останутся нреЖНJlМJI, еCJШ в них заменить дли волн ТЕ
СОБ 'z на sin ( P;z ) ,
а ДJIЯ волн ТМ
siJl 'z на СОБ ( P;z ) .
52. IIОRазатъ, что аНСJlалыю симметричнью волновые lIOВРРХНОСТИ н сферической
полости совнадают с вихревыми НОJlьцами маrнитнOI'О 110.'IЯ и что они находятся в ячей
ax, оrРaJшченных сферами r==rs, r==rS+ 1 и нонусами 6==Ор, O==Op+I; 8 и p целые
числа 0-<8<t, О-<р<п, in( oпrs)==O и sinOpJ';'tcosOM)==O' Ураппепие IJОЛIIОflЫХ
rюверхностеii имсет вид
C rin (po"r) iJl OP (eos О)
rMlnt on'M)siIlUM (cosOM) ,
I'де
rg < r M < r s + lt
d d [rMin([3oпrM)]==U, Op<(JM<(JP+1 и Рn(СОБIJм)==О,
r M
.... acTь ПОТOl{а маrнитной ИНДУНЦИll сквозь llлощаДRУ, оrрапиченпую rранипей ячейю!
IИ r, О, равна С, а радиус llOЛОl'ТИ rt равен а,
53. 1l0l{азать, что волновыр новеРХIJОСТИ aI,СИRЛЫlO СИJ\lмеТРИЧIJЫХ НOJIСЙ ТМ
D ефеРllчеСI{ОЙ полости нредставляют собой вихревые RоJlыщ элентричеСЮJJО поля,
:уравнения "оторых совпадают с уравнениями, полученными в предыдущей задаче,
но l"ОЛЫ{О [310 имеет u этом случае ДРУl'ое значение и вБJJИЗИ етеноК нолости нuянляются
юоловинные ЯЧСЙН:И.
54. llJlOСJЮСТИ х==О, у==О, х+у==а, z==O и z==d fШЛЯЮТСЯ rраницами полоrо
.резонатора. Ноназать, что собственная чаетота нростейшCl"О НОJ]ебания ТЕ равна
v (а 2 + d 2 )lJ2
v == 2nd
и что
1'-ad (аЧ а 2 )
Q== ,
(J-'o [2а- ' + (1 + 21/ ) a 2 d + (3 + 2Ч 2) d 3 )
,"де v скорость света в среде, заполинющей резонатор.
3адш!U
54!1
55. Плоскости х == О, у == О, х + у == а, z == О и z == d являются l'раницзми полоrо
резонатора. П(жазать, что собстленная частота простейтuеrо колебания ТМ равна
5 1f2 v
'I==
"20
и что
Q идd
== /,-'0 [(2 + "2Ч2) d+a] ,
rде V CH()POC1'" света в среде, заполняющей ПОлость.
56. lIол()сть оrраничена плоп{остями х==о и х==а и пОверхностью призмы y==u.
у==Ь, y==z, z y==2b. ПРРДПОЛal'ается. что напряженность fJ.ПРRтричеСRоr() ПОЛfJ имеет
толыю х составляющую и что еДИШ'ТВСJШОР. периодичеСI{ое решение, даЮЩее значенпе-
Ах==О при у==о и х==у, имеет вид
Ах==С [sin р (z y) sin q (z--t y) sin q (z. y) sin р (z + у)],
rде р и Ь неравные между собой Пр()изп(),Льные ПОСТОПllные. Поназать, что наибо,ЛыпаR
1f . 3
резонансная длина волны полости равнз 2,.Ь/5 2 и онределяетея ЗlIaЧIЧJИЯМИ р== "2 1t/b
1
и ч==тп/Ь.
57. Исследование в последнс>й задаче уз.попых ЛИНИЙ паЩfИзшеrо ноле(,ания
типа тм ПOl{азывзет, что НОЛе можно разбить на четырр ячейни, пмеющие форму
равнобедренных треуrольников. ИСХf\ДЯ из этnrо и ПОЛЬЗУIlСЬ шщачей 55, lЮЮJзать
(путем суммирования потерь на четырех СТ()}Jопах, двух диаrоналях и восьми стенках).
что
Q==/'-o (/,-') l bd [(2+2Ч2) d+2b] 1.
Это преnышзет добротность Q простейшеrо l{олебаюш типа т М Rвадратн()й и l{руrлой
полости с плоскими ОСнованипми.
58. Полый резонат()р образован из короТlЩ замкнутой бинониче,иой линии Hl'pe
дачи и оrраничен двумя к()нусаЩf О==а и f)==It. a И сферой r==d. Поназать, ч'ю рсзо
нанспан длина волны rлавноrо типа l{()лебания равна
4([
2р+1
и что
2/,-а siп а )п ctg{ а
/,-'0 { С+lп [(2р + 1) 1t] Ci [(2р+ 1) 1t] + 2 sin а In ctg а} ,
rде С постоянная Эйлера, равная 0,5772. .
59. ОпредРЛИМ ЭI{вивалеНТJ\ЫЙ тон нолоrо резонатора, paccMOTpeHHoro в нредыдущеw
задаче, l{aR ТOl{, теRУЩИЙ по внешней оболочке, и выберем Sc ТaIШМ образом, чтобы
выполнялось соотношениf' (15.93). ПОI{азать, что для rлавноrо l{nлебания коэффипиен"Ii'
самоиндукции и емность полости соответственно равны
Q
(ld 1
L== 41t Iп ctg та,
c 16Ed
1
(2р+ 1)2 1t Iп ctg;[ а
60. Полый резонатор оrраничен ДnУI\!Я ПЛОСИОСТЯМИ z==O, z==d и ДВУМJJ HOH
фокальными ЭЛЛJПJтичеСI{ИМИ цилиндрами, ортоrона.льными к этим ПЛОСИОСТЯj\i, причем
большие и малые оси ЭJJЛИПСОВ равны М" т, И М2' т2' ПOlщзать, воспользовавшись
результатами Э 23 rл. IV и Э 19 rл. ХУ, что для p ro rлавноr() колебания "laI{oro
полоrо резонатора
Q r 1 d(M,K2+M2K,) } l
P 2:>-'op \ +2ItМlШ2[lП(М2+т2) ln(Мl+ml)] ,
rде М 2 > Ml' а Kl и К2 полные ЭЛЛIJптичесние ИИl'еrралы, модули ноторых eOOTBeT
стnенно равны (M m )1f2/Ml и (М т )Ч"/М2'
61. II()лый резонатор оrраничен двумя ПЛОСНОСТЯМИ z==O И z d и ДНУМЯ ируr
лыми цилиндрами, Оси ноторых нернеНДИI{УЛЯРНЫ н ПЛОСНОетям и находятся на
,150
l'дава xv
расстоянии с друr от друrп, приче I а > Ь+ о, rде а и Ь раДИУСI,I цилиндров, llш{азать.
используя результаты 14 r.п. IV и 19 rл. ХУ, что для p ro rлаuноrо типа Jюлебпния
Q== { 1+ a(a b) [(a+b)2 02J } l
2р.'ор 4аЬ [(a2 b2)2 2 (а 2 + Ь 2 ) 02 + 04)Ч2 nr ch [(а 2 + b2 02);'(2аЬ))
62. Прямоуrольный резонатор ('IIИРИНОЙ а, высотой Ь, длиноп d> 2а) чпетично
переrорожеп в цептре от у==а до у==Ь при ПО;\IOЩП ТОНJюй пропо;.(нщеп диафрпrмы.
В резонаторе возбуждается тюлебапие типа ТЕIО' Рассматрпвап ero IШН Т образное зве
но волновода, шунтированное на НОIlцах еМIЮСТЬЮ, п.одсчитанной в Э 11, ноназать, что
длину волны в свободном про транстве, соответстuующую IЩИllIеныш'й резонансной
частоте полости, можно найти из формулы '
2аЛ т 8Ь ( ПО ) ( . 2nd )
л == lJ 1 == )"""" lи СОБеС 2Ь tg \""'""" .
(4а 2 + Ч) 2 1\] 1\1
63. НуеТБ в предыдущей задаче а == 2, Ь == '1, 0== 1/2 и d == 4. Поназать, что Л == 4,692.
64. Пусть в задаче 62 нлосность z==O является стенной резонатора. Поназать.
используя [езультаты задачи 23 и формулу (4.10f\) и нрименяя интеrрал :Мелерп Ди
рихле для фушщий Лежандра. что вентор потенциал, ОПlIсыnающий поле в области
О < Z < ,d, имеет вид
со
А==Ао siи :Х [ j ::::: +] Сп (j СОБ п;у +k I :I ь sin п;у ) sS::/i::,';: ] ,
п !
если длина волны в свободном пространстве, входшцан u задачу 62, удовлетворяет
неравенству
а 2 Л 2 > 4а 2 Ь 2 л 2 Ь 2 > О
и
Cп== O [Р п ( COS T ) Pn l (СОБ О) 1 '
(п2п2 Ь2)Ч2
Ь
flo
7t (4a2 л 2 )1f2
аЛ
I n I
65. ИСJЮ,IЬ3УН jJезультаты задачи 60 rл. lV, поназать, что ееJШ в полом реЗОIJа
торе, описаПНОlvl в Э 2: , d а, d о и а Ь. то емность СО, входящая II формулу
(15.173). приблизителыю равна
[ d2 + k 2 2ak rl '2ad k 2nad ]
С о =="- па 2 +2аlп 4kd+7 aпtg k+Taretg d k '
I'де k==b i1. llри а е 0,1; Ь==(),0l5; и==О,()()1; 0==(1,02; uеличппа ==42,7. rрафшш M
рено дают 11 этом случае ==41,0. Точность унеJlИчиш\ется с уменьшением разности b a.
66. ПрямоуrольныЙ полый резонатор имеет в направлениях Х, у, Z размеры а, Ь, а.
В резонаторе прп помоши ТОlПюrо проuода, протяпутоrо параллельно оси Z вдоль ли
пии x==--a 1 , y==b 1 , возбуждается RолебашIC ТМ ll0 . Провод поднлючен н источшшу Ta
"им образом, что тон вдоль учаСТR[\ провод[\, паходнщсrося внутри полости и имею-
щеrо СОПРОТИDJJение R, распределен равномерно. Считая, что разМер d зпачитеJlЬН()
меньше, чем а или Ь, ПОRавать, что входное сопротивлР.ние равно
Н ' 2j0f12v2d2 (а 2 + Ь 2 ) . 2 7t 'l] . 2 пЬ .
==R+ аЬ (a2+b2)+2d (а3+Ь3) sш il sш ь'
1l0Rазать тат\'же. ч ro усиление по панряжению в таной епстР.ме будР.т равно
СОБее па. СОБес 7tb 1 .
а Ь
67. ПОЛI,зунсь меТОДDЛI изображениЙ и результатами задачи 8, ПОRазать, что если
в предыдущей заДlltIe провод имеет радиус о, то входное рею\'тивное сопротивление
ПРОllода равно
со со
Шd:c d 1п 0+ Ш d ] «('1 О О )Уо[2 (п2а2+т2Ь2)Ч2)
co O::;I
Yo{2 [(na al)2+m2b2)1f2} У О {2 [п 2 а 2 + (тb Ь])2)Ч2} +
+ У О {Ц [(пa al)2+(mb bl)2)1f2}).
Литература
551
,!аметим, '11'0 ПрIТ 11ааых с нерпый член напиеаНflоrо ныше ныратения значительно
прево,.ходит ОСтаJJьнЬ!е. из JЮТ()РЫХ lJаrrболее сушестuепиыми J1вллютея m == 11 ==0.
68. Пусть СТШШ/f Jlо.тюrо ре юиат()ра, paCCMf1TpeHHOI'o в задаче {jб, сделаны из меди
(-r==!'i,8.10 7 ) и пу"ть nопо"ть имеет размеры а==. 10 СМ, Ь==20 с,м, ([==2 см. Поназать,
'JTO резопапснан частота, соотвеТСТВУЮЩ'IН ПО.rJебашпо TlLl 110 , равна 1,Н7Н.10 9 Щ, а доб
ропюсть Q Прl1бпиженпо равна 9100. ПОШ13ать, что Щ,ТIШ1юе пхошюе СОJlРОТИВJJенпе
будет равняться 100 ОМ, еепlI Jюзбуждшощиii ПрОlЮД имеет нопрдинаты x==0,0:J12 c_ t,
у==10 СМ IIJШ х==5 СМ, у==0,"1О24 см или если оп расположен rде JIИбо па [;ривоЙ
sin (lta 1 j10) SiH (т:Ь.j20) == О,оню. П<жазать тшшш, что при )ющности на входе 1 вт
эффентивпое значение ШШрЯЖСlJ1Ш в центре равно 625 в.
69 Прниоуrопьныif резонатор возбужпается ПОЛУJiруrлой JJeТJЮЙ радиуса r, Jlежа
щей в нло['[юсти y bl т1 lIмш()щеii центр в то'ше z==d J , х==о. ПOl,авать, '11'0 I{ОЭффИ
циент взаимной ИПДУIНЩИ между петлей 11 ПОJlРМ типа Т Е тnр равен
11-1 == 8Т: (l-рпrJ. ( тpr) . . п1СЬ 1 · p1Cd.
" . 1f sш соs
;;"пp mr,;:jmpbd2 (аЬ) 2
70. прямоуrоJJыIйй резонатор возбуждается 1I0ЛУJ,руrJJОЙ петлей радиуеа r, лежа
щей в плосности у==Ь. 11 имеющеЙ центр н точке Z dI' х==О. Показать, что ноэффи
циент взаш\пюй ИНДУЮ\JIИ между этой петлей и полем типа TM тТLp равен
М 2т: 2 (l-mr [2 (2 о )]Ч2 J ( О ) . птсЬ. p1Cd J
, о (_. 2 Ь 1 t'mpr БIIl b СОБ d .
PтnPiJтn!"'тpa
71. Сферическая пшюсть с медньши етеннами радиуса ( нозбушдаетсн IIрИ иомощи
маJJеныюй ПЛОСIЮЙ нет.тJИ площади S, ра('ПOJlOжеппой настолыю близко I{ стенне ПО--
ЛОСТII, что знаЧСllие IvшrНИТJlОЙ ИНДУJ,ЦИП В па протяжении )Jесй иетли можно считать
равным зпачеllИIO В на СТCJше полости. По"азать, что при возбуждении этOI'О полоrо pe
зонатора на резонапсной частоте, соответствующей Jюлебапию TMOI' входное сопротиu
ление будет равно
R' R 3w2(l-218(4 бlа2 9)S2 R+ 1,85/I.1()5)'8S 2
, + 41Са 2 e1 12 а 2 1) а 4
I 01
И 'ПU еСJJИ Ola == 2,744, а H аНТИВJlое СОНРОТИВ;IеJlие петли, то Jшэффнциент усиления
110 напряжению будет равеп
V . 2 [ Si ( Ola)
W== [151 S il (i 1 01 a )
L l 7,42
;j lS .
72. lIусть полый резонатор, рассмотреппыii ]] llре]\ыдущей задаче, имеет радиус
10 см, а СТCJШИ ero сдеианы из Меди. Поназать, что длн получеНIIJ1 входноrо аI{ТИВlIО
['о СОllротивлепия в 100 ом площадь llеТJIИ дошшш быть ириближешю равна 0,225 с.м 2
и что ири этом ПОЛУЧJlтея усиление по напрншеНIIЮ в 436 раз.
jJ и т Е Р А Т У Р А
к 1 Il g R. W. Р., м i ш п о Н. Н., \У i п g А. Н., Тrапsшissiоп L,iues, АJ1terшаs апd
\;Vave GlIides, McGra\v Hill, 1945. (См. перевод: К и JJ r Р., М и м н о r.,
у и н " А., Передающие линии, антенпы и волноводы, М., 1947.)
М а r с u v i t z N., \Vaveguide Halldbook, МсGI'а\v IJШ, 1950. (См. перевод: Сllра
вочник по lЮJlНоводам, М., '1952.)
М о Jl t g о ш е r у С. G., D i с k е R. Н., Р u r с е 11 Е. М., Рriпсiр1еs о! l\Jicro\vave
Circuits, МсGrа\v НШ, 1948.
М о r е п о Т., MicJ'o\vave ТrаJ1sшissiоп Design Dп.{(J., McGI'a\v Hill, 1948.
Radio Research LaboratOI'Y StаП, Very Нigll 1 J'equency Тесlшiquеs, McGra\v НШ, 1947.
R а g а Jl G. L., MicJ'owave TransIllissioJ1 Сirспits, McGra\v Hill, 1948.
R а ш о S., W Ь. i Jl n е r у Х. Н., l"ields ани \Vaves in ModerIl Radio. \Viley, 1944. (См.
перепод: Р о м о С., В и н е р и Д ж., Полн И ВОЛНЫ В современной радиотех
нине, изд. 2, :М. Л., 1950.)
=-' а r Ь а с Ь. е r R. 1., Е d s о II
\Vi1ey, 1943. (См. нереиод:
высоних частот, 1\1., 19/17.)
S с Ь. е 1 k u п о f f S. А., ELectroIllagJ1etic \Vaves, VaIl Nostrand, 1943.
S 1 а t е r Х. С., Mierowave Electronics, Van Nostrand, 1950.
31 а t е r Х. С., Microwave Transmission, МсGrа\v НШ, 1942. (См. перевод:
С л э т е р ДЖ. Н:., Передача ультраRОРОТЮ1Х радиоволн, М. Л., 1946.)
::; t r а t t о п Х. А., Еlееtrошаgнеtiс Тlюоrу, McGraw Hill, 1941. (См. перевод: С т р э T
Т О Н ДЖ. А., Теория элеI{тромаrнетизма, М. Л., 1948.) ,
\У а t s о n W. Н". Wave Guide Transmission ашl AnteJlna Sуstеш, Oxfor!I, 1947.
\У. А., Hyper апd U!tI'alIigb Frеqпепсу Еиgiпееriиg,
Сар бах ер Р., Эдсон В., Тсхника CBepx
r л а н а ХУl
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
И ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
.
* 1. Постулаты специаJIыfйй ТСОрШI относительности. Н предыдущих
rлавах при рассмотрении элеl\тричеспО1'О п МaI'НИТJюrо взаимодействия
зарядоп n ТOJюв предпо.паrалось, что ве.iIИЧIlJ1Ы пое.JlеННIlХ MorYT меняться
со временем, но их ВЗaJппюе распшюшение, а танте IЮ.пожение относительно
IIel\OTOporo наблю:rателя остается IICJпменным. J1р'И трантовне попросон, .
связанных со взаимодеиствием сиетем, прямолипеJ1IЮ перемешающихся в
пространстве относитеJJЬНО ДРУl' PPYJ'a или относитслыю наблюдате.пя,
специальная теория ОТНОСИТ()ЛhНОСТИ ОПllрастся, ПОПИJ{IlI\;ЮМУ, па наиболее
твердо установленную энспериментальнуlO f)a:IY. _
В основу специалыroЙ теории ОТНО('.ИТСJIЫroсти положены ;{ва постулатCi.
1. Нсе физичеСНJЮ :ЩН:ОПЫ, JlJШ описьшающис их ураН/юния, имеют
одинаПОВЬП1 вид в пустото по всех денартовых системах ноординат, COBep
mающих относительно npyr npYJ'a ратншерНlЮ поетупательное движение.
2. Снорость света н пустоте ОДинанова Л.iТЯ JПобш'о наблюдателя, нез.а
висимо от относительноЙ спорости источпИJШ енета и наблюдателя.
Исследование большоrо НОШ1чества доступных наблюдению явлениij
механичеСlюrо, оптическоrо и электричеСlюrо харантера, существование
:которых было предсназано на основе этих постулатов, поназаJЮ, чтu ВО
всех случаях результаты опытоп, ПрОВОДП:\1ЫХ на :юм.тю. нодтвсржцают ;ПII
постулаты.
s 2. Преобразование Лоренца. РCiССI\ЮТjJИМ Д1l0 сиетемы ноординат
(см. фиr. 140), оси х и х' ноторых совпадают. Пусть систе:\ш S' движется
относительно системы S вдоль
направления х с постоянной CKO
ростыо V. ДJJЯ нахождения co
отношсний, СВЯЗЫВCiЮIЦИХ Х, у, Z
и t с х', у', z' 1[ t' и удовле
х'
ТJ.ОРЯЮЩJlХ двум постулатам спо
циаJrьиоii теорни ()тносительно
сти, проделаем мысленно слеДУJ()
щий простоЙ опыт. Предположим,
что R момент времени t == t' == О
оба начала ноординат О и О'
совпадали и что в этот момент ИЗ общеrо длн обеих систем начала HOOpДJl
нат был послан световой импульс. Сш';rшсио посту:штам 1, IJ наждой си
стеме S и S' должна наблюдаться сферичеснан волна, расходнщанся из
начала ноординат со сноростыо С. Поэтому 11 любой ПОСJJедующий момент
времени уравнение, описывающее фронт BUJlНbI II системе S, будет иметь
вид
у
у'
х
v
с'
,
Фи:!. 140.
х 2 + у2 + Z2 c2t2,
(16.1)
Специальuая тпеория отUосиmельuосmи
55;{
а в системе S'
х'2 + у'2 + Z'2 == сЧ'2.
(16.2)
в СИJIУ симметрии фронта волны при наблlOДUНИИ в системах S и S' можно
положить z==z' и у==у'. Тоrда для удовлетворения уравнений (16.1) и
(16.2) ДОШIШО выполняться следующее равенство:
х 2 c 2 t 2 == х'2 c 2 t'2.
(16.:i)
в системе S в момент времени t точна О' будет liMeTI, Rоординату и, а
в системе S' в момент времени t' точна О имеет ноординату vt'. Наиболее
простыми соотношениями 1), приводящими Н этому резу.пьтату, будут
х' == ')1. (x l:t), х == ')1.' (х' + l"t'). (16.4)
ИСНЛJOчение х' ЩICт
, [ х( 1 )]
[===')I. [ \1 .
v '- "1.7..'
( 16.5)
Подставляя значения х' и [' из lJыражепии (1б.4) и (16.5) в (16.3) полу..
чаем соотношение, содержащее поременные x 2 ,:rt и [ 2 , НО поснольну оно
должн') выполняться при любых ПО.ТJOжrlТельных значениях t и любых
значенинх х, то ноэффипиенты при х 2 , :Tt И [ 2 дотЮIЫ IJОрОЗПЬ равняться
нулю, Приравпивая их н нулю и решая ОТlЮСJlтелыш х И ')1.', находим
., [ (V ) 2 J lf2
')I. Y. L \.c .
(16.6)
Таним образом, из выражений (16.4) и (16.5) получаuм исномые форму;;JЫ
нреобразования
х' == х (х l:t),
у' == у, z' ==Z,
t' == х ( t х'и )
с 2 ,
Х.==')I. (х' +vt');
у==у', z==z';
t ( t " :C'1J )
==х\ T .
'\.. (''''
(16.7)
3. Преобразование скорости и ускорения. Будем определять снорости
Движения относительно с.истемы Ноординат S следующим образом:
dx dy dz
и х == dt ' uJI "-== dt ' и х == dt' (1fi.R)
а относительно системы S'
, ах'
и х == ёil' '
, dy'
llу == dl' ,
, dz'
и х == di' .
(16.9)
Дифференцируя первые три уравнения первой I'рУИПЫ (16.7) по t', а второй
rpуипы по t и иснлючая из правых частей соответственно dtfdt' и dt' /dt
путем дифференцирования четвертOI'О уравнении противоположной rруппы.
получим
1 иxv
с 2
и х == "
1+ UxV
с 2
и +v
(16.LO)
, иx v
иx
и
и ,x == ( y,zи'<V ) '
')(, 1
с'2
,
Иу,х
Иу,х == I ' ) .
')(, " 1+ r
(16.11)
1) Проет()та не является, очевидно, доетаroчно убедительным apryMeHToM. Автор не
вводит IIонятие интервала, хотя фантичесни JlОСТУЛJ1рует ИIJвариаllТНОI;ТЬ IIоеnеднеrо.
При.м. перев.
554
Fлава XVJ
Это уравнения преобразования скорости. :Интересно отметить, что еСJIИ
даже системы движутся с относительной скоростью v 0== С и НOlюторая
ТОЧI{а в системе S' имеет снnрос;ть и' == С, то ве:тичина и, определнемая
формулой (16.10), равна с. Таним образом, сиорость света можно paCCMa
тривать нан верхний предел возможной СIЮрОСТИ.
При номощи аналоrи'IНЫХ операциЙ, дифференцируя выражения (16.9)
и (16.10), получим дли усн{)рениЙ следующие соотношения:
dи x == [ 11: ( 1 + и v ) ] 3 dll . ( 16.12 )
dt с 2 dt' ,
duy,z == [ Х ( 1+ и V )J 2 dи;,.z и;"zV ( 1+ и V ) 3 dи ( 16.13 )
dt с 2 dt' .", c с 2 dt' .
Соответствующие уравнения ДJIЯ du /dt' И du .z jdt' можно получить из
выражений (16.12) и (16.13) путем hepectahoBf-И веШIЧИН, отмеченных
штрихами, и величин, не отмеченных штрихами, и замены + v на v.
3аметим, что постоянное усиорение в системе S' в общем случае не
обусловливает постоянноrо ускорения в системе S.
4. 3авIIсиыотьь ъшссы от скорости. По первому постулату З3lюн
( охранения энерrии и импульса должен выполняться для всех наблюдателей.
у s у' s'
v в'
u
v
u Х х'
А
Фие. 141.
Чтобы выяснить результат, н ноторому приводит это требование, paCCMO
трим простоir энсперимент, предложенный Толманом и проиллюстрирован
ный на фЮ'. 141. ПусТl, в тот момент, коrда оба начала координат совпа
дают, из точки В' в системе S' по направлению к точне О' начинает дви
rаться шар со сноростыо и, а из точии А в спс'!,ме S ДРУI'ОЙ шар,
перемещюощийся параллельно у таиже со скорnстыо и.
Dыберем отреЗRИ ОА и ОВ таиими, чтобы в момент соударения центры
шаров раСПОJlаrаЛIIСЬ ВДОJIЬ направления У. На фиr. 141 поназано, нан
дТО соударение БУ,'J,ет паблюдаться из систем S и S'. Будем считать, что
u состоянии покоя ПО отношению н любому наблюдателю масса наждоrо
из шаров равна то, и предположим, что масса является фуннцией велп
чипы снорости
:По формулам
т 0== t (и 2 ) И
преДЫДУЩeI'О параrрафа
Для системы S
а ах == О, и ау == и,
то == t (О).
(16.14)
начальные снорости равны
Для системы S'
,
иах == v,
, и
и ау == '
(16.15)
и
аьх 00= V, иьу == ;
иЬх==О, иьy== и.
Специальuая mеория отuосиmелыюсmи
5j5
Будем отличать снорости ПОСJIе удара при помощи черточен cnel-'xy. По
занонам соударения ДВУХ rлаДЮIХ шаров их импульс по оси;.с должеп
сохраняться ОТНОсительно любоrо наблюдателя. Тан:им образом, в системе
S для составляющей в паправлении х имеем т"v == fft b v . или
vt( v 2 + : ) r=vt (V 2 + x : )
Это приводит Н требованию
Иь=== и и, следuнателыю, rпь==тn". ('16.16)
3нан минус выбран из преде.rrьпOI'О случая маJIЫХ СНоростеи, lШl'да 1( === 1
В системе S для составляющей n напраплении у Получим
тьи <, т" и"
и! (и 2 ) == и а ! Cи ) .
Принимая во внимание соотношение (16.16) и учитывая извест}{ыrй peзyдь
тат при v === О, МЫ видим, что это урапнение удовлетворяется TOJIbH(), еСJIИ
па == и. Разделив ero на и, найдем
т ь
! (и 2 ) === та === . (16.17)
"-
Если снорость и мала, то
mb==!(v2 + : ) !(V2)
и
та ===! (и 2 ) 1(0) === т о -
(16.1 )
Итан, масса тела, движущеrося со сноростью v ОТноситеJIЫЮ дашIOf'() Ha
блюдателя, нажется п()следнему упеличиr.пrеiiся n 1( раз по еравнению с
мас:сой понон, ['де
1( === [ 1 ( : ) 2 ] 1/2 .
(16.19)
Для даJIьнейшеrо удобно ввестп величины 1(1 и 1( . LJlJреДeJшемые c.,Je
дующим образом:
1(1 === ( 1
2 Q 2
их + иу + ИZ ) Ч2
Q .
С"
(16.20)
'2 '2 '2 ) Ч2
, (1 их +и1l ' иx
1(1 === с 2
(16.21)
['де их, И у и иz номпоненты сноrости частпцы в систшvrс S, <1 и;', и , и;
номпоненты снорости тоЙ: же частицы в системе s'. :ИСПОJIЬЗУЯ выражения
(16.10) и (16.11), можно получить тание соотношения:
11:1 === 11:11:1 ( 1 + И ) . (16.22)
1(1 =-= 1(1(1 ( 1 и;: ) .
.
s 5. Преобразование сил. Харантер ураннении, снязьшаlOЩНХ СИJIЫ Б
системах S и S', зависит от Toro, определяется JIИ сила ны{ произведение
массы на УСlюрение или нан ПРОизводная импульса по времени. Мы будем
придерживаться последнеrо определения; поэтому. учитывая выражение
(16.18), запишем
(16.23)
F == d (mu) === то d ("-I U )
dt dt
(16.24)
5fJ6
rлава XVI
3аписьшая это уравнение в номпонентах, можно видеть, что при таном
опредеJleIIИИ в общем случае сила и усноренrю не совпадают по направлр
юно. Въшолнян дифференцирование, получим
du dm du 3 и du
F == т dt + U dt == fnO>':l dt + т о У.l U с 2 dt ==
== У." [( 1 и2 ) dU + IlUdи ]
то 1 с2 dt с 2 dt
(16.25)
Пусть сила прилqа.шI3 в направлении U1> а U == U1U И
ао о, dи
dt "'""dt
тоrда
о ао du
Ft == тоУ.I == т 1
dt dt
(16.26)
Если dujdt==O, т. е. еСJIИ t;НОРОСТЬ меняется ТОЛЬКО по направлению, а не
по пе:rичине, то из соотношения (16.25) следует, что сила снова будет
совпадать по направлению с УСlюрением, перпендинулярНЫМ н снорости и,
du ао
Ft == тОУ. 1 di == т , dt (16.27)
ВеличинЫ т ; fnoy.I и т( == тОУ. 1 принято называть соотиетственно продоль
ноЙ и поперечной массой частИЦЫ.
СИЛЫ, наблюдаемые в системе S', должны записьшатьсн в той же
форме, что и в системе S,
F ' (l (% o')
== то dt' .
Нодставим n уравнение (16.24) для х номпоненты силы вместо у,1 и х соот-
ветствующие выражения из соотношений (16.10) и (16.22) и вместо dt'/dt
выражение, получаемое путем дифференцирования формулы (16.7); тоща
F == d (%,и х ) == ( 1 + f.{ ;V ) l d [% (и + v)] ==
х то dt то с 2 dt'
== р' + (1 + и;7) ) 1 [ п d (% и ) + d% _ } ==
х fnov с2 с 2 dt' dt'
I 12, l' ,
== р' + ( 1 + UxV ) 1 [ ( 1 их \ d%l %lиX аих 1 ]
х fnov с2 с 2 ) dt' с 2 dt'
Но
'2 12 '2
1 иx Иу +иz
с2 с 2
+
. '1..12
u
1" ," , ' а '
%lиXdиX == %luj,du1/ + %]и! иz
c2dt' c2dt' c 2 dt'
1 d'Y
%? di' '
тан
что, производя llOдстановну, получим
F p' + lпOV [ , ( , dи;J + ' d% ) ...L , ( , dи: +
х х 2 ' и1/ у,1 dt' и1/ dt' I U z у,1 dt'
с + иxv
. , d%l ) ]
U z dt'
,
== p + U1/V,
c 2 +иxV
,
р" иzv Р '
1/+ , Z'
с 2 + uxv
(16.28)
АналоrИЧRые операции для F 1/ И F z дают
F с 2 F'
y,z %(C2+и V) 1/,z'
Это и есть уравнение преобразования СИJI.
(16.29)
Специальuая теория отuосиmельuости
557
6. Сила, действующая на заряд, ДБИЖУЩИЙСЯ Б шrlIИТНOlН ноле.
Первый постулат специальной теории относительности требует, чтобы заноны
электростатики были одинаковыми для JlIобоrо наблюдателя. Если пред
положить дополнительно н этому неизменность в' личины заряда, то отсюда
будет следовать, что в системе S силы взаимодействия движущихся в ней
зарядов отличаются от элентростатичесн:их. Нан будет ясно из дальнейшCl'О
(см. 14), инвариантность зарнда является СJlедстнием инвариантности
уравнений Мансвелла. Эти дополните.;IЬНЬЮ силы мошно было бы назвать
.. элентронинетичесrшми, НО всноре мы унидим, что они совпадают с силами,
тюторые мы назвали мar'нитными.
ПреДПОЛОЖИl\i!, что в системе S' имеется два точечных заряда q и Чl'
расположенные па плосности х'у' соответственно в точнах х' == О, у' == y и
х' == х', у' == О. По заышу 1\улона, НОМIIоненты силы, действующей па заряд q
в системе S', будут равпы
L" qqIX' Р ' qq,y } " ()
р х , у 3 / ' ' z == .
4ItZv(X'2+y 2)3/2 Iincv(x'2+1I?) 2
( 16.30)
13 системе S эти заряды будут дшп'аться в 1I0ЛОЖИ'j'еJlЫЮМ напрашteнии
оси х со сноростыо l:, поэтому силы, ваБШ{Jдаемые в системе S, можно
получить путем подстановни соотношениЙ (16.7) и (16.30) в выражение
(16.28). Для обоих наблюдателеЙ 13 системах ,S' и S' СИJlа не будет зависеть
от времени, и, с.llедонатеJlЫЮ, ее можно рассматривать в момент t == О,
[' == x'vc 2. lIОСJЮШЖУ и 0= и == и; == И, Х' == хх И т. Д., это дает
р qql"'X
Х 41tz v ('l.2x2+y )8/2'
F qq'YI .
У 4ncv'l. (%2х 2 + y )8/2 '
Fz==-O.
(16.31)
Теперь посмотрим, нание силы наблюдаются в системе S, если вместо
заряда Чl имеется бесшшечная линия зарядов, равномерно распределенных
вдоль х и движущихся со сноростью l:. Заряд любоrо элемента оси, co
l'ласно принятоЙ I'ипотезе, одинанов для любоrо наблюдателя, тан что
сила, обусловленная этим элементом, получается при ПОМОIЦи подстановни
n выражение (16.31) веJШ<lИНЫ
ql ==. а dx == а' dx'. (1{j.32)
Заметим, нстати, что тан н:ан в силу соотношения (16.7) dx' == х dx, то
из утверждения об одинанопостИ заряда Чl для обоих наб.]юдателей с He
обходимостью вытенает, что
,
а 0= ха ,
(16.33)
т. е. плотность заряда для систем S и S' оназывается разной. Подс':'ав
ляя соотношение (16.32) в формулу (16.31) и интеl'РИРУЯ в пределах от
х о=: O::J до х == + со, мы полу<,им для силы, с I\ОТОрОЙ действует движу
щаяся заряженная лента на заряд Ч, следуюшие выражения (см. Двайт,
200.03 и 201.03):
рх== О, Fz == О,
р == ч(1 р2)а
у 'L,"ZVYl'
( 16.34)
rде ==- vfc. 110лаrая == И, можно определить наблюдаемую в системе S
элентростатичесную силу, равную q о f('LЛС8"у) , тан что дополнительная сила,
обусловленная движением, будет
А р ql,2cr ['.,, 1)
Ll ; У == 'L, о 2 qv,
7, vC Уl 'L,1LY.
(15.35)
<1 измеренный в системе S тон i 0/:. Нан вытенает из формулы (7.79),
в системе S с этим тоном связано маrНИТIюе ПОJlе, направленное по оси z
558
Fлава XVl
и имеющее в точне х == О, У ==?/1 значение В' \J.,.i/(2Т:?/l). Подставляя это
значение в формулу (16.35), мы IJИДИМ, что обусловленная движением
допол.нительная сила, действующая на Ч, равна
6Ft/ == Bzqv. (16.36)
Таним образом, на то'ючный заряд Ч, движущийся с постоянной CHO
ростыо 'v поднородном маrнитном поле В, действует сила, направленная
перпендинулярно н v и В I1 равная
Fm==q[vxB). (16.37)
в прямоуrольных lюордипатах это можно записатъ в виде
I т "'" q [i (VyBz v z BlI) + j(vzВх vт.ВZ> + k(vXBy v ll BJ].
( 16.38)
13 14 будет ноназаво, что соuтношеiПIе (16.37) таюне является след-
ствием инвариантности уравнения Манrвелла. Если положить vq == 1 (18,
ТО получится в точности занон, определяющий силу, действующую на
помещенныЙ в l\Шl'нитное поле В элемент (18, по ноторому течет тон 1.
Из опытов Ампера, описанных в 19 I'Л. VII, этот занон можно БЬJJlО
вывести '!'олыю нан интеrральныii занон для замннутых нонтуров .
Теперь мы распространим ero и на случай изоЛlIрованных движущихся
зарядов. Следует заметить, что ФОР!VIУJla (16.37) остается совершенно
точной и дЛЯ ПОЛOJI В, меНЯЮЩIIХСЯ 130 времени и в пространстве, при
услошш, что эти изменения настольно медленны, что llНДУНЦИЮ В на HpO
тяжеНИII ()бласти, занимаемоЙ зарядо:Н, можно считать однородной и посто
янной. Можно ожидать, что выражение (16.37) ОIшжется неверным для
наних нибудь действительных заряженных частиц, если прнменять ero для
субатомных раССТОЯННll и частот.
7. Движение зарядов в однородном маrнитном поле. Предположим,
что частица, имеющая заряд q и массу т, движется в маrнитпом поле В
со сноростыо v. Пусть единиЧный ВР}:ТОР 81' направленный вдоль v (v == V8 1 ),
составляет с полем В уrол а. Тоr-да из соотношения (16.37) имеем
d (mv) d (mv) + ds( [ В )
dt == 81 dt mV at == qv 81 Х .
(16.39)
Или, записывая это уравненпе в номпонентах, получим
d(mv) O
Sldt ' ,
(16.40)
т. е v постоянная lЗеличина 11
I!'" dS 1 [ В )
mdI==q 81 Х ,
(16.41)
т. е. вентор d8 1 перпендинуллрен 1\ 81 И В в, соrласно выражению (16.27),
M CCY т нужно брать равной поперечной :массе. ОБО3Iiачим черсз d«
УI'ОЛ между веI\торами 81 и 81 + d8 1 , измсряемыЙ в ПЛОСIЮСТИ, перllенди
нулярной н В, а через р радиус НРИВИ3IlЫ траентории на участне d'.!(,
Тоrда, раскрывая вснторное произведение в выражении (16.41) и раз
делив обе части этоrо уравнения па 81 sin а, :мы придем R следующе-му
юотн()шению:
mtdSl rn,d'f' m(/J sin а В
81 sin а dt == dl == Р q .
(16.42)
'fаним образом, тра:ентория частицы представляет собой СПИрЫIЬ с уrловЫМ
Специuльuая mеория оmnосиmельuосmи
559
1
шаrом, равным 2" 71: а; эта спираль охватывает Нруrлый цилиндр, радиус
HOTOpOI'O равен
I movsina I
р== ,
qB 11 (v/c)2]l/2
(1 б.4 )
а ось параллельна В. Л частном случае, если вентор v перпендинулярсн
В 1 v б
f{ , то уrол а =="271:, И заряд ДВИ1Н:ется по нруrовои ор ите.
8. Энерrия ДВllжущеiiся заряженной частицы. Энерrию, сообщаемую
частице ПОД дuйствием силы, мы определим ню работу, совершаемую этой
силой. В течение беСIюнечно Ma.noro промежутна времени dt частица прой
дет расстояние (lr == u dt. Тоrда, соrласно выражению (16.16). совершаемая
работа будет равна
dW ==F. dr == FLdr == тox dr == тox п da. (16.44)
подставляя значение х) из. выражения (16.16) и интеrрируя от О до п,
получим
W == (т/ то) с 2 == (11.) 1) т о с 2 .
(16А.5)
Отсюда вытенает, что увеличение энерrии ('вязано с увеличением массы.
:Этот запон представляет собой теперь один из наиболее точных и пол
иостыo шщтвержденных занонов физики. Он был подтвержден rлавным
образом БОЛЫJJИМ Jшличеством данных о ядерных распадах. Тarшм обра
зом, мы имеем достаточные Эf{спериментальные основания, чтобы YTBep
Ждать, что
boW == с2(1т.
( 16.46)
Соrласно выражениям (16.44) и (16.37), зарющ;шная частица не получает
эперrии от маrнитостатичесной части статичесноrо элеIпромаrнитноrо поля.
Поэтому. она пе может попасть в область, элентростаТlIчесний потенциал
«отороЙ превышает сумму потенциала точни вылета частицы и потенn:иаJIа,
необходимоrо для сообщения частице ее начальной скорости.
9. Критическое маrнитное поле в MarHeTpoHe. В начестве примера
расчета движения заряда при наличии электричеСlюrо и маrнитноrо пелей.
рассмотрим устройство, известное под а ванием MarHeTpOHa. В простран
стве между двумя концентрическими Нруrовыми проводящими ПИЛИНл'раМИ
создан вануум. С поверхности BHYTpeHHero ЦИЛИНдра вылетают заряженные
частицы, обычно элентроны, причем начальная снорость их ничтожно мала,
Между цилиндрами поддерживается разность потенциалов TaKoro зпюш,
';ITO заряженные частицы приобретают ускорение в направлении от BHYT
peHHero цилиндра радпуса а к внешнему цилиндру Ь. Маrнитное поле.
ориентировано вдоль оси цилиндров, а ИНДУЮЩЯ В является фУНJщией
тольно расстояние от оси р. Найдем, при наном значении В Частицы пере
стают достиrать внешнеrо ЦИЛиндра, если принять потенциал rюследнеrо
равным V. Если через <р обозначить азимутальный уrол, то частицы еще
достиrают анода, но уже перестают попадать на Hero в том случае, ноrда
на аноде dp/dt == Р == О, тан что
d", .
ь d; == Ь<р == V m .
МИ
rлава xv 1
Приравнивая производную момента импульса частицы моменту действую
щих на нее сил, получим
d. .
dt ( тp 2 f ) =0,- qpBp.
(16.47)
н начале пути === О, а в lюнт\е р == Ь, p == (), и т == Х 1 1п о , поэтому В резуль
тате интеrрировании уравнения (16.47) вдоль пути получпм
ь
y. 1 rrt o lm == q рЕ dp. (16.48)
а
Uбозначим через N полный ПОТОК МaI'НИТНОЙ индунции между цилиндрами
ь
N == 2тс рВ dp, ТOl'да
а
N'l
x 1 т o bv == .
ТC
(16.49)
lIоскольну энерrия :шряда определяется толыю потенциалом V в точке,
rAe этот заряд находится, то, соrласно пыражению (16.45), имеем
V q == (Х 1 1) т о с 2 .
Исключая при помощи тотпошенин (16.50) Х 1 и V
полу им
(16.50)
из формулы (16.49),
N== '2тcbc [ ( 2то + t ) ] Ч2. (16.51)
с" q с"
ЕСJIИ потенциал достаточно мал, то вторым членом 13 I1l'авой части можнu
пренебречь. Решая выражение (16.51) относительноV, получаем
V ==- т о с 2 [ ( 1 + . 2q2 ) Ч2 1 ] . (16.52)
q 4п"c"b"т
10. Траектория космическои частицы в однородном поле. n наче
стве примера вычисления траентории заряженной частицы, на которую
действуют элеI,тричеСI{ие Il механичесюю силы, pacCMOTplI:\f частицу, ДllИ
i'нущуюся В ПЛОСКОСТИ, перпепдин:у.нярпоii J{ однородному ПОJIЮ В,. считая,
что сила торможения частицы в среД,е пропорциональна скорости. ЭI{спе
римент показывает, что заряженные частицы иосмическOI'О проиrхожде
ния, обладающие' большпми СIЮрОСТЯМИ, рассеивают свою энерrию
почти рюзномерно вдоль BceI'O пути, таи что предположение о характере
тормозящих сил соответствует действительности. 110ЛЬЗУЯСЬ выражениями
(16.24) и (16.37), напишем урапнения движения в проекциях на оси х и у:
d . . .
d!(т O x 1 y) == qBx Ky,
d . . .
dt (тOx1x) === qBy Кх.
(16.53)
( 16.54)
Проинтеrрируем теперь эти два уравненин в пределах от Н()ИОТОРОЙ точни
на траеитории до начала иоординат, rде х == у о и ;; ==?i == о, и возьмем
uтношение полученны результатов:
у ау qBx Ку
х dx qBy J(x
(16.55)
lIолаrая у == r sin (j и х == r cos е, имеем
dr == de.
r qB
(16.56)
Специальuая mеория оmuосиmельnосmи
5б1
Выбрав в о при r == 1 11 ПРОllнтеrрировав от этоЙ точки до ненО'!'ороЙ
точки на траенторпи, ПОЛУ'IНМ
к
lп r ==' qB в, или r e KO / qB .
Таним образом, траСl{ТОрИЯ представляет собоlr СШlраЛЬ с постоянным
шаrом. Для космических элентронов, ДЕИЖУЩИХСЯ <: БОЛЬШIlМИ сноростямИ, К
примерно равно 3qP.10 4, rдс p давление воадуха в атмосфере.
(16.57)
11. МaI'нитиое поле движущеrося заряда. Вернсмся снова к силе
взаимодеЙствия двух движущихся зарядов, определяемоЙ формулами (16.31).
В соответствии с вьнюдаМJI 6 можно СЧJlтать, что наблюдатсль в системе S,
рассматривая силы, действующuе на зарЯД, пересенающий ось у, СО CTO
роны JJpyrOI'o ааряда, движущеrося ВДОJIЬ оси Х, приписывает их номЕиниро
ванному деЙствию элеI{тричесноr() и ма у
rнитнOI'О полей BToporo заряда. COCTaB-
ляющая сипы по оси Х, т. е. вдоль Ha
правления движения заряда q, должна
быть чисто элентростатичеснOI'О xapaHTe
ра, тоrда нан составляющая силы по
оси у содержит и элентричеСI,УЮ и Mar
нитную части. Таним образом, им сем
РХ +РеСОБ6, Ру == FesinB F т' (16.58)
Fm +FxtgB Fy px Py' (16.59)
s
у
х
х
Фие. 142.
Здесь мы ввели УПJJI 6 (фиr. 142), учи
тывап, что, нан будет нонааано в 17, аберрация сиrнала, посланноrо
из ql в q, равна нулю. Подставляя значения сил из соотношения (16.31),
ПОJlУЧИМ
Р""" qq,'I/('X.2 1)
m 411: z v'X. (-z. 2 x 2 + у2)3/2
qq,'X. v2 -ч
4nzvc2 (-z. 2 x 2 + у2)3/2
(16.60)
в системе S эта СИJIа не меняется со временем, и ПОСI-ЮЛЬНУ q предста
I3Jlяет собой точечный заряд, то наблюдатель, находящийся в системе S,
может считать, что заряд движется в однородном маrнитном поле, индун
цИЮ HOTOP()rf) вполне занонно вычислять но формулам (16.37) и (16.38).
Таним образом, маrнитное ПОJIе, создаваемое зарядом ql' отшзыва(;тся равным
в == fJ."q,V1/'X.
z 411: (-z.2x2;- у2)В/2
(16.61)
Радиальная составляющая напряженности элентричеСIюrо поля по опреде
лен ию и в силу соотношения (16.58) равна
Е == Fe Fx!" q,-z.r .
q qx 411: z v (-z. 2 x 2 f у2)В/2
(16.62)
Используя ф()рмулы 2 rл. XIII, находим
Вх ==; (У х Ах)х k д y; ,
Е v ( dA
т dt'
E l ( дЧ' +v дА х ) 2 +( a'f ) 2 ] 1f2.
дх дх . .. ду
- . .
36 В. СмаЙт
562
rлава Xl 7 j
Леrно убедиться в том, что венторный и сналярный потенциалы, COOTBeT
ствующие выражениям (16.61) 11 (16.62), определятся следующим образом:
А == f'-vq , %'Vх
Х 4п(%2 х 2+ у 2)Ч2 '
(16.63)
q,%
<р .
41tEv (%2х2 + у2)Ч2
(16.64)
Следует заметить, что формулы (16.61) (16.64) применимы н случаю
точечноrо заряда, движущеrося равномерно и пrямолинейно. Вхолящие
в них пространственные величины ()пределmот действительное положение
заряда в момент измерения.
12. Запаздывающие полл и потенциалы движущеrосл зарлда.
Поснольну элентромаrнитные поля распространяются с нонечной снор()стыо с,
то сиrнал, полученный в точне Q в момент времени [, ноrда пославший
ero заряд ql находится уже в точне Р,
будет в действительности представлять
собой сиrнал, посланный зарядом ql из
неноторой предшествующей точни [Р]
на траентории заряда. Если даже после
про хождения через точну [Р] заряд из
менил свое движение, то поле в ТОЧJ>е Q
в момент времени t останется все же
прежним. ТаI\ИМ образом, в случае He
Х равномерн<то движения поле в момент
времени t целесообразнее описывать нан
фуннцию движения заряда в момент
t (tr]/c), rде (tr]/c) время запаздьша
ния, а [r] радиус вентор, проведенный
из точни [Р] В точну набтодения Q. НО
тан нан поле в точне Q не зависит от пути заряда ql после прохождсния
им точни [Р], то MЬi будем предполаrать, что движение заряда ql после
прохождения точни [Р] остается неизменным, т. е. он движется прямоли
н, йно с постоянной сноростью [l;] по направлению н неноторому финтив
ному положению Р'. Тоrда поле в точне Q можно вычислить методом, опи
саннЫМ в предыдущем параrрафе. Напйшем необходимые соотношения
между финтивными и запаздывающими величинами (см. фиr. 143)
(16.65)
(16.66)
:J
ФUВ. 143.
р'
р
r 2 == [r]2 (1 + [ ]2 2 [ ] cos [6]),
у2== [у]2== [r]2 in2 [О],
rде черен [ ] обозначено [v] / с. Член, входящий в знаменатель выражения
(1:6.60), можно теперь переписать в вИ'(е
х 2 х 2 + у2 == [х]2 (r 2 [ 12 у2) == [1(]2 [r]2 (1 [ ] СОВ [е])2. (16.67)
Подставляя соотношения (16.66) и (16.67) в формулу (16.61), получаем
выражение для маrнитной ИНДУНЦИll движущеrося заряда через запаздываю
щие величины
в f'-vQl [иl [у]
z 4п (%]2 (rJ3 [1 ( ] cos [ ]}3'
(16.68)
Это выражение, очевидно, можно применять для медленно меняющихся
скоростей при условии, что значения [ ] и [v] берутся в точне [Р]. В BeK
Специалъuая mеория оmuосиmелъuосmu 563
торных обозначениях соотношение (16.68) будет иметь вид
в !l-vql(1 [ ]2)([V] х [r) ( 1669 )
411[,']3(1 [ ]coS[0])3 . . .
Электричесное поле, определенное в 11, направлено вдоль r. Как
видно из фЮ'. 142,
.'== [r] [,,]]у] == [r] ([r l ] [;] ),
['де [r 11 единичный вектор, направленный вдоль [r]. Таним образом, вводя
в выражение (16.62) запаздывающие величины [ ] и [v], для электричесноrо
поля найдем
Е ql (1 [ ]2) ([rl] )
4ТСЕ " [,']2 (1 [\"] cos [0)3 .
Подстановна соотношений (16.65) и (16.66) в выражения (16.63) и (16.64)
позволяет определить запаздывающие потенциалы поля, создаваемоrо дви
жущимся точечным зарядом
А == !l-vQI [v]
411 [,'] (1 [p) cos [О)'
== 4ТСЕ .: [,') (1 [ ) cos [О)} . (16.72)
Для малых [ ] эти выражения, очевидно, совпадают с выражениями (14.21)
и (14.22), если в последних считать размеры заряда малыми. При больших
[ ] можно из выражений (14.21) и (14.22) получить соотношения (16.71)
и (16.72), если принять по внимание изменения времени запаздывания
.Н пределах беснонечноrо .малоrо оnъема зарнда. Этим изменением нельзя
пренебреrать, даже если заряд сжимается в точну. Более полная диснуссия
этих вопросов дана Мэз?но .и Уивером.
(16.70)
(16.71)
13. Излучение равномерно YCKopeHHoro, прлмолинейно движущеrосл
электроиа. Результаты прсдыдущеrо параrрафа можно применить н случаю
yCHopeHHoro движения реальноrо заряда, например элентрона, при условии,
что уснорение достаточно мало и, следовательно, можно пренебречь измене
нием времени запаздыван я на протяжении размеров элентрона. В противном
случае для нахождения поля необходимо было бы знать конфиrурацию
элентрона, что при современном уровне знаний неосуществимо. Предnолаrая
УСf\орение достаточно малым, чтобы можно было воспользоваться формулам:р
(16.71) и (16.72), подсчитаем поле излучения прямолинейно движущеrося
элентрона на больших расстояниях от Hero, если элентрон испытывает
постоянное торможение (постоянное отрицательное уснорение). Такая ситуа
ция имеет место, например, внутри антинатода в рентrщювсной трубне.
Для нахождения В проще оперировать с веI{тор потенциалом А. Соrласнр
'выражению (16. 71), пентор потенциал А имеет толыю х состаВJlmощую, а
следовательно, В имеет толыю составляющую, ['де ер азимутальный уrол,
€)тсчитываемый вокрур оси движения. Мы знаем зависимость [t] от [t1
и хотим найти зависимость А от р в неноторой удаленной точне. Так нан В
равен ротору А, то
В == дA", дА", [ ] [at) дА", д[x) дА", д[р] (16.73 )
<fi др д [v) dt др д [х] др д [р] др .
ПОСКОЛЬКУ СОБ [е] можно записать в виде [х] ([х]2+ [р]2) Ч2, то все члены.,
нроме nepBoro, имеют в знаменателе величину [r]2, поэтому на больших
расстояниях можно сохранить ТОЛhRО первый член, в ноторЬМ неизвестным
Зб*
5114
rлава xv 1
является множитель [at] / др. Для ero вычисления воспользуемся диаrраммой,
поназывающей, что возмущение, пrюизведенное элен:троном в момент времени
[t] в точне [с] [dt]., достиrнет точни [х], р + dp в тот же момент времени,
в наной и возмущеНИ,е, вышедшее из точни О В момент t [] + [dt], придет
в точну [х1, р. Если' принять, . что это последнее возмущение проходит
путь C't, то, пользуясь фиr. 144, а, можно написать следующие соотношения:
C2't2 tXj2+[p]2, (16.74)
с 2 ('!: + [dt])2 == ([ х] + [v] [dt])2 + ([р] + dp)2. (16.75)
Учитывая, что [р] == р, и предполаrая, что [с ] несущественно меняется в ин
тер вале [dt], иснлючим при помощи выражения (16.74) [х]2, [р]2 и 't 2 из
90'
600
х
х
а
о
8
Фие. 144.
соотношенця (16.75) и пренебрежем членами [dt]2 и dp2 по сравнению с [dt]
и dp, Тоrда, введя [r] == C't, получим
[dt] [р] sin [6] ( 6 6
dp == с [r] lxllv) с (1 [р) cos [6) . . 1 .7 )
Подставляя в первый член выражения (10.73) соотношения (16.71) и (16.76)
и помня, что при вычислении дА! d [v] надо дифференцировать и , найдем
в r-vQl [v) sin [6]
<fi 4r.c [1'] (1 [ ] cos [6])3 '
(16.77)
Если расстояние до точни наблюдения значительно превышает расстояние,
на нотором происходит торможение элентрона цо полной ero остановни,
то это возмущение представляет собоЙ сферичесную волну, в ноторой
В силу соотношения (13.32) сВ) == Ев. Е этом можно было бы убедиться,
вычислив Ев непосредственно из выражений (16.71) и (16.72).
Воспользуемся теперь формулой (16.77), чтобы определить распределе
ние в пространстве ПОJJНОЙ энерrии, излучаемой при остановне элентрона.
В любой момент времени интенсивность излучения дается вентором Умова
Пойнтинrа (13.23)
п == Е х В == r-vq2 [ ]2 sin 2 [6] n
r-v 16r. 2 c 1,,]2 (1 [f') l"DS [U)6 .
(16.78)
Полное излучение, проходящее через данную точну, равно интеrралу от
вентора Умова Пойнтинrа в Этой точне по времени, в течение HOToporo
длится импульс. Но снорость ЯRляется фуннцией времени запаздывания
у элентрона, поэтому нужJtо наЙти соотношение между этим временем
и временем в точне наблюдения. Из фиr. 144, б видно, что если импульс,
вознинший от э ентрона в момент времени [t] == О, достиrает ТОЧIШ Р в момент
Сnециалъuая mеория оmuосиmелъuосmи
565
1:, а импульс, вознинший от элентрона в момент [dt], попадает
1: + dt, то справедливы следующие соотношения:
р2 + [х]2 == с 2 1: 2 ,
р2 + ([х] [l.'] [dt])2 == с 2 (1: [dt] + dt)2.
в Р в момент
(16.79)
(16.80)
Иснлючая при помощи соотношения (16.79) р2, [х]2 и 1:2 И3
(16.80), опусная члены с [dt]2 и dt 2 , малые пu сравнению с
и введя СОБ [Oj вместо [Х]/С1:, получим
dt == (1 [ l СОБ [О]) [dt].
выражения
[dt] и dt,
(16.81)
Таним образом, для ПОЛНОli энерI'ИИ, излученной в направлении О, найдем
v o
Т в == IIdt== II(1 [ ]СОБ[0])[dt].
v==v
Или учитывая, что [v] [dt] == [dv], получаем (см. Двайт, 90)
. [v] .
т == /l 1Jq 2[v]sin 2 [e] (' d[v] /lvq 2 vsin 2 e [ l 1 ]
в 167t2cl"J2 (1 [r,]cosl!JJ)5 blнc 2 1. 2 COS!J (1 l1COSe)4
о
. (16.82)
.
в последнем члене опущены обозначения запаздывания, тан нан, по
предположению, расстояние, на нотором вuзнинает Iюзмущение, мало
но сравнению с расстоянием дО 'ЮЧIШ набшодения. ФОрМУJIa (16. 2), нолу
ченная 3uммерфеJ!ЬДОМ, дает хорошее совпадение с измеренным распределе
нием интенсивности «белых» рентrеНОВСI{ИХ лучей, если принять во внима
ние поrлощение излучения антинатодом. На фиr. 144, 6 изображены eoOT
ветствующие I{ривые при раЗlli1Х .
14. Преобразованне уравнений МаRсвелла. По первому ностулату
специальной теории относительности уравнения Мансвелла должпы иметь
одинановую форму n системах S и S'. 3;:lПlIшем их теперь в неснолыю
болес общем виде, про ведя обобщение на случай движущихея изuлиропан
ных зарядов. ПпеJ(ем рп вместо i в соотношениях (13.1). ТOI'да для свобод
Horo пространетпа будем иметь следующую систему уравнениЙ:
В дЕ В' дЕ'
V x ==pu+eV vt ' Vx ==p'u'+ev v "
/lv fLV t
дВ , дН'
V Х Е == дt ' V х Е == vt' ,
, р'
V.E
Е '
v
V.B'==O.
(16.83)
V.E == L
Е '
V
V .В== О,
Из фО{JМУЛЫ (16.7) получаем следующие дифференциальные соотношения:
дх'
"'7iX == )(,
vt' v
== )(
дх с 2 ,
дх'
== )(1',
d!'
дt == '1..
(16.84)
Поэтому
д д д.'/;' д vt' ( д v д )
дх == д.,/;' дх + Dl' ах == )( д.,/;' с2 vt' ,
д д дх' д vt' / д д )
дl == дх' 7ft + at' д-i == )( l vt' v дх' ,
д д д д
ду ду' , VZ -= vz' .
Меняя теперь прп помощи соотношениii (16.R5) независимые иеременные
в перnой rруппс уравнений (16.83), т. е. переходя от C[rCTeMLI S I{ S',
(16.85)
5бб
r лава ХУ 1
и используя соотношение между сноростями, полученное в 3, мы находим
исномые уравнения преобразования ДJIН Е, В 11 р, Ноторые, нан можно
убедиться, приводят но второй rруппе уравнений (16.83),
Ex==E , Ey.x==x(E ,x::l: vB .y),
Вх == B ,
By.x==x(B .x =F c I E .y),
( и' V )
р==р'х 1+ ;2 ,
(16.86)
(16.87)
(16.88)
l'де нижний ЗНаЕ, соответствует второму инденсу, Эти уравнения поназывают,
что разделение ЭJIeнтромаrнитноrо поля на элентричеСI,УЮ и маrнитную
части зависит от харантера движения наблюдателя. Чтобы получить Bыpa
жения для Е', В' и р' через Е, В и р, необходимо тольно поменять местами
величины со штрихами и величины без штрихов и изменить ЗНaI, перед и v.
Мы можем теперь поназать, что предполаrавшаяся в 6 инвариантность
элентричесноrо зарflда непосредственно следует из соотношения (16.88).
Иснлючая: последний множитель в соотношении (16.88) при помощи Быра
. жения (16.22), получаем p)( == р')(р rде )(1 и )( определяются по формулам
(16.20), (16.21). Таним образом, в системе Sc, неподвижной относительно
заряда, имеем
РО == Р [ 1 ( у ] Ч2 == р' [ 1 ( У] Ч2 .
(16.89)
Но, соrласно выражению (16.84), элементы объема в системах S и S'
сжимаются., тан что
[ . ( и ) 2 ] Ч2 [ ( и' ) 2 J 1f2'
ds o == 1 ds == 1 ds .
с с
(16.90)
Объединяя выражения (16.89) и (16.90), мы видим, что в системах S и S'
величина заряда будет одинанова, ПОСНОJIЬНу
ро ds o == р ds === р' ds' == q. (16.91)
Можно поназать танже, что уравнения (16.86) и (16.87) прив()дят
({ уже ПОJ!ученному нами выражению ДJ!Н силы, действующей на заряд,
движущийся в маrнитном поле [см. выражение (16.37)]. Предположим,
что в системе S' заряд поноится и поле имеет элентростатичесний харантер.
Тоrда
p , у. z == q' E . у. х.
(16.92)
Используя уравнения преобразования для сил (16.28) и полаrая и х == v,
и у == О и и х == О, из соотношений (1'6.86) и (16.87) получим, учитывая, что
q == q' ,
РХ == qEx,
Или в венторной форме
F у. z == q (Еу. z =F ихВх. у).
(16.93)
F== q [Е+(и х В)],
(16.94)
что совпадает (; выражением (16.37).
15. Определение скорости самолета относительно земли. Одной из
наиболее трудных энспериментальных проблем в авиации является опре
деление снорости самолета относительно земли в условиях плохой види
мости. Поснольну при rоризонтальном полете самолет пересенает верти
нальную составляющую земноrо маrнитноrо поля, то на ero rоризонталь
ных проводнинах должна вознинать элентродвижущая сила, величина
IЮТОРОЙ пропорциональна снорости движения. Идея опредеJfения снорости
Специальная meopиJt оmносиmельносmи
567
самолета относительно земли при помощи измерений величины этой э. Ц. с.
была предложена и даже запатентована. Можно fiривести неСIЮЛЫЮ спо
собов осушествления этой идеи, из ноторых наиболее очевидным является
вращение вытянутоrо проводнина в rоризонтальной ПЛОСIЮСТИ. Если caMO
лет неподвижен, то при равнuмерноЙ снорости вращения индуцированные
заряды пuстоянны. При движении самолета э. д. с. индунции В северном
пuлушарии всеrда направлена справа налево, что при водит н перемеще
нию зарядов с одноrо нонца проводнина на друrой, т. е. н появлению
перемеННОl'О тона, частота HOToporo равна частоте вращения проводнина,
а амплитуда пропорциональна снорости самолета относительно земли.
Величина этоrо тона очень мала, но все же в ХОрОПlО энранированной
Jlаборатории ero можно иамерить достаточно чувствительными приборами.
Вознинает вопрос, исчезнет JIИ этот эффш{т В случае применения на caMO
лете ЭJIeнтричесни энранированной аппаратуры. Известно, что маrнитное
поле пронинает снвозь немаrнитные металличесние проводнини, но известно
танже и то, что индуцированная в энране э. д. с. со:щает тание элентри
чесние поля, ноторые противодействуют полям, пронинающим внутрь
энрана. До сих пор мы рассматривали эту задачу с точни зрения непо
движноrо наблюдателя в системе S, связанной с землей, и прищли J( выводу,
что эта задача довольно сложная. Посмотрим теперь на нее с ТОЧJ(И зре
ния наблюдатеЮ-J в системе S', находящеrося на самолете и производящеrо
измерения. Обозначим вертинальное направление через z, направление
движения через х, а rюмпоненты маrнитноrо поля земли через В ж , Ву и Bz.
Обычно существует танже и вертинальное элентричесное поле, напряжен
ность HOToporo мы будем считать равной Ez Это поле определим в системе S,
а затем при помощи соотношений (16. 7) определим маrнитное поле, наблю
даемое в системе S',
B == В ж ,
B , z == х (Ву, z :f: C l Ez, у) 'By, z.
(16.95)
Тан нан снорость самолета значительно. меньще снорости света, то о
и х 1 и, следовательно, маrнитное поле в системе S' равно маrнитному
полю в системе s. Что же наl:аетсп элентричесноr? поля, то
E == О, E == xvBz vB z ' E == xEz + xvB y Ez.
(16.96)
Таним образом, наблюдатель в системе S' обнаружит, что самолет Haxo
дится в поперечном элентричесном поле vB z , поэтому он не может приме
нить металличесное энранирование своей аппаратуры. Кроме Toro, это
ПОJlе значительнu меньше нормалыюrо атмосферноrо элентричесноrо пол}! Ez,
и при малейщем нрене самолета ре:зультаты измерений онажутся совершенно
неверными.
16. Движение заряженной частицы в переRрещивающихся элеRТРИ
чеСRОМ и маI'НИТНОМ полях. В предыдущем парю'рафе был приведен при
мер, поназывающий, наснольно упрощается задача, если при помощи
уравнений преобразования (16.86) (16.88) ввести в рассмотрение новое
поле, появляющееся в движущейся системе ноординат. Теперь мы приме
ним эти уравненин для ИСЕшючения одной из номпонент поля путем пере
хода н новой системе отсч('та. Рассмотрим заряженную частицу, выле
тающую из начаJIа ноординат е номпонентами начальной снорости v"" v y
И V z и находящуюся под деЙствием однородноrо элентричесноrо по
ля, направленноrо вдоль оси у, и одноро.цноrо маrнитноrо поля, направ
деннOl'О вдолъ осп Z. ДЛЯ наблюдателя, движущеrося вдоль оси х с
5БR
rла8а ХУl
постоянной сиороетьiо v, эти поля, соrласно соотношениям (16.86) и (16.87),
будут равны
E == о, E == хЕу xvB, , E- == о;
B ==O, B ==O, B;==x(Rz C lpEy),
Если Еу < cBz и если выбрать сиорость движения S' таишr, что
Еу == vB ,
( 1 б. 97)
(16.98)
(16.99)
то наблюдатель в системе S' обнаружит толыш ОДНородное маrЮIтное поле,
направленное вдоль оси z и определяемое выражением (16.98). Пусть
заряд вылетел в тот момент, иоrда начала ИО()РДIПIaТ систем S и S' совпа
даJIИ, Torna начальными условиями будут t == t' == х =о ,1;' == у == у' == z == z' == О.
В системе S' иомпоненты начальной скорости заряда равны L , {' и;>;;.
Наи видно из соотношения (16.43), в системе S' заряд будет двиrаться
с уrловой сиоростыо ш' по траеитории, имеющей вид спирали с уrловым
шаrом -(, заиручивающейся BOIiPyr ируrлоru цилиндра радиуса а, rДf>
а == I х;'то (V 2 + , V;J2)1f I t' == V;
qBz и g '1 (V 2 , V 2)lJ2 (16.100)
Воспользовавшись соотношениями (16.20), (16.21) И (16.23) для х;, мощно
написать
( '2 + '2 + '2 ) . Ч2 ( 2 + 2 -+ 2 ) lJo ( )
'''1.; == 1 Vx { Vz == (1 2) Ч2 1 {х 1 VZ 1 :'" ==
. ( 1 В ) """", (с 2 В vxE) (1 { .101)
. ;l:X 1 \. I С с2В' U
Подставляя выражения (16.98) и (16.101) в формулу (16.100), получим
""lтOC [с 2 (vxB E) +(c2B2 E2) V )1f2
а == q (c2B2 E2) (16.102)
Vrловая СIЮрОСТЬ вращения BUHpyr оси ЦИШ1Ндра будет равна
'2 '2 Ч, .
, (Vx +r'1/) 2 B2 Ь2)
Ш == а ""l т о (r:"B vxb) ,
(16.1 O 1)
rne, если CMOTVI:JTb в положительном направлении оси z, уrловая снорость
вращения Ш' ДJШ положительноrо ;заряда q на1Jранлена против часовой стреЛJ<И.
В большинстве случаев Е> vxB, так что величина l. отрицаТeJlьна.
Тоrда линия, перпендинулярная и оси z и танrенциаJIьная и поверхности
цилиндра, образует в начале иоординат с отрицательным напраВJIением
оси х' острый уrол ф(р TaHreHc ИUТllроrо на основании формул (16.10)
и (16.11) равен
{, v y Vy (c2B2 E2)1/2
tg фu == v == '1. (v vJ == H vxB) .
Мы можем написать теперь I{оордипаты заряда в системе S' в зависимости
от времени
х' == а [ sin ш't' cos фо+ (1 cos ш't') :oin Фи] а [sin фо sin (ш't' + фо)],
у' == а [sin ш't' sin фо + (1 cos ш't') cos Ф(J == а [со:,; tjJ'} (;()s (ш't' + фо].
(16.104)
Введем величины tjJ и Ь, определив их следующим образом:
, , + ' (t 'tE )
ф==ш t Фu==Ш "1. с"В +tjJu'
ь == == ""l т о Е (с 2 В {'",Е)
w' qB (c2B2 Ь2)
(16.105)
(16.106)
СпециалъuаJt mеория оmuосиmелъuосmи
5б!)
Выразив х и у через х', у' и [' [си. формулы (16.7) J и [' через и b
получии
( Е2 ) Ч2
Х L с 2 В2 ==b b o+asin o asin ,
у == а cos !1 а cos .
(16.107)-
(16.108)
Мы получили точные уравнения траен:тории частицы l3 параиетричеснои
виде. 3аметим, что при значении == 2п'1ё .../.. o частица находится в ТОЧЕЮ
Х п == 2п'1ёЬ ( 1 c :2 ) Ч2 , Уп ,== О.
,
Таним образом, траентории всех частиц, вылетающих из начаJlа ноорди
нат и харантеризуемых одним и тем же значением Ь, будут периодиче(;н:и
в одних и тех же ТО ll{ах пересен:ать ось z. 11з соотношения (16.1С6) нидно
далее, что если начаJIьные сноро(;ти значительно меньше сн:орости света,
а>Ь
а=Ь
а<Ь
х'
Фие. 145.
'10 расстояние между точнами пересечения зависит толыш от напряжен
ностей полей и от отношения заряда частицы н ее массе. Это об(;ТОЯТeJlЬ
("1'130 использовано в однои из типов 1\шсс спентроrрафа.
Пусть, например, напряженность элентричесноrо по.пя равна 100000 в/.м,
а иаrнитная индун:цпя спстаEJшет И,1 вебер/.м 2 , тоrда входящая в 13ыраше
ние (16.107) величина EJ/(cB)2 будет равна 1/90000. R этом случае фор
мулы (16.107) и (16.108) превращаются в параметричеСlюе уравнение
трохоиды (пинлопды), описываемой точной, лежащей на радиусе Hpyra,.
натящеrося без сн:ольжения по прямоii линии. Выберем начало НООрЮIНат
тан:, чтобы этот }{pyr натился вдоль оси х' в илосности у' х', тоrда
,r' == Х + b o а sin o и у' == у а ccs o + Ь.
Найденпые нами траеI{ТОрИИ изображены на фиr. 145, rде Ь раЛИУt; катя
щеrося HpYI'a, а а расстояние ВДОJIЬ радиуса от центра Hpyra дО ТОЧJШ Р,
описывающеЙ искомую НРИВУЮ. ЦllRлоидальные траенторпп при а == Ь БЬJJJИ
использовапы Дж. Дж. Томсоном в 1899 r. ДJIН определения отношения
е/то у Фото:тентроно13.
17. Аберрация I1 эффеI\Т Допплера. Нан БЬJJlО ноназапо в 2 rл. XHI,
псе свойства элеНТРОМЮ'НИТIIЫХ водн можно описать при помоши ПOl{тора
repua Z, удовлетворяющеrо в свободном ПРОf',транстве волновому yvaBHe-
НИЮ (13.20),
V2Z d 2 Z
с 2 dt 2 .
(1б.1() )
Uбщее решение этоrо уравненля для случая плосноЙ волны дается 13ыpa
женнем (13.25). Для монохромаТllчесноЙ волны с частотоЙ '1 это решение,.
-570 r .аава ХТТ 1
учитывая выражение (13.84), а таl\же то, что l) == С, можно записать в виде
Z 27tv
== А С08 (n . r ct). (16.110)
с
Таl\ая волна будет наблюдаться в системе S. Но эта же волна из
системы S' будет наблюдаться распространяющейся вдоль направления n',
.а частота ее будет равна v'
27tv'
Z' == А' C08 (n' . r' ct'). (16.111)
с
По второму постулату 1 СI\ОрОСТИ распространенин в обеих системах S
и S' должны быть одинановыми. Уравнения преобразования (16.7) должны
преобразовыватъ формулу (16.111) в (16.110), а это, нан можно видеть,
приводит н требованию равенства aprYMeHToB, стоящих под знаном I\ОСИ
нуcnв в формулах (16.110) и (16.111), если выразить их через v, n, r и t.
Чтобы полученные соотношения были справедливы при всех значениях
величин х, у, z и t, ноэффициенты ПрИ l>алщом из них должны быть
'соответственно равны для обоих aprYMeHToB. Мы можем написать
n.r ct == [х+ту+ пz ct. (16.112)
Используя преобразование (16.7) и производя rруппировну членов, получим
n'. r' ct' == ['х' + т'у' + п,z' ct' ==
== х ([' + : ) х +т'у+ п,z х (с+ ['v) t.
Приравнивая I\оэффициенты, найдем
(16.113)
(l'+ )
1
==.!!!!.....== == (c+l't')
тп n с
v
7-
(16.114)
Эти соотношения ПОЗВОJJЯЮТ обнаружить движение ИСТОЧНИl\а элеl\ТрО
маrнитноrо излучения относительно наблюдателя путем измерения излу
чения в точне наблюдения. Эффент изменения направления называется
.аберрацией, а эффент изменения частоты эффеl\ТОМ Допплера. Предполо
JНИМ, что источнпн неподвижен относительно системы S', а наблюдатель
неподвижен относительно системы S. Тоrда наблюдателю находящемуся
в системе S, будет назаться. что свет распространяется в направлении
1, т, п, а для наблюдателя, находящеrося в системе S', направление
распространения света будет [', т', п'; причем связь между [, т, п и [',
т', п' даетсл соотношением (16.114). Приравнивая в соотношении
(16.114) первый и четвертый члены и полаrая [==С086 и ['==С086', будем
иметь
cos О' + R
C086== 1+ eos " (16.115)
I'де == v/c. ЭТО СТРОl'ая формула аберрации. Приравнивая в соотноще
нии (16.114) два последних члена, получим
1 + cos О' ,
v== v . (16.116)
(1 р2)Ч2
:1то cTporoe выражение для изменения наблюдаемой частоты элентро
маПIитноrо излучения при движении источнина относительно наблюдателя.
Если источния приближается 1\ наблюдателю, то cos 6' положителен, если
же источнин удаляется, то С086' отрицатеnен и, следовательно, в первом
елучае частота увеличиваетсл, а во втором случае уменьшается. Соrласно
. )CHOBHЫM постулатам, аберрация и эффеl\Т Допплера ПОЯllJiЯЮТСЯ толыю
Задачи
571
при относительном движении наблюдателя и источнина. ТariИМ образом,
формулы (16.115) и (16.116) остаются справедливыми и Е случае, Ноrда
источнин поноится, а наблюдатель перемещается. Можно было бы ожидать
отнлонений от этих формул для астрономичесних расстояний, тан нан
-специальная теория относительности полностью подтверждена тольно
на опытах, производившихся на земле, однано. по видимому , ЭТИ формулы
-являются точными и Е астрономии.
ЗАДАЧИ
1. Длинный прямой катод радиуса а, по ноторому течет ток 1, испускает элеI{
троны е ничтожной начальной снороетью. Под дейс.твием потенциала V эти ЭЛе!{ТРОНЫ
приобретают уенорение по направлению R длинному нонцрнтричееному ЦИllиндrичеено
МУ аноду Рlщиуса Ь. Пренебреrая зависимоетью масеы от снороети, показать, что напря
жени е, при нотором элентропы перестают попадать на анод, равно
2 [ 2 Ь
V== ln2
8л 2 т а
2. Решить предыдущую задачу cTporo для СJIучая, коrдз Ер> сВ:р' путем перехо
да I{ системе координат, движущейея параллеJIЫЮ оси дилиндра с тююй еноростью,
'ЧТО в этой сиетеме маrнитное поле исчезает. Показать таним же образом, что вылетев
ший из катода элентрон не может вернутьея на Hero обратно.
3. Решить зада'IУ 1 cTporo при Ер < сВ р путем перехода к системе ноординат,
движущейся оараллельно оеи цилиндра со сиороетью, при иоторой элеитричесиое поле
в этой Сиетеме иечезает. Поназать, что ЭJIеитропы переетают попадать на анод при
ус ловии
2лтос (АЧ2 иi) == fl[q (c2 А)Ч2 (1 )1f2In ,
. а
{'де A==vi2+v 2, а vi. и выражаются через начальные сиороети и 1 и и2 В направле.-
ниях х и р слеТ!ующим образом:
и ::=:
Vl C I
1 (Vl l!C)
, и2 (1 rj )1/2
V 2 == 1 (Vl l!C)
I'де и 1 ==Ер/В о' Начальная енорuеть v р пренобрешимо мала.
4. В ваиуумной лампе имрется ПИЛИJJДричесний ю\тод рапиуеа r o , онруженный
lюанеиаorьным с ним анодом радиуеа "1' Jlампа раеПОJIожена ТIШИМ образом, что ее
о(;ь совпадает е осью вращения ионФоиа.ТJЬНЫХ rиперБОЛИЧОСRИХ поверхноетей полюсов
элеитромаrнита. Показать, что если маrнитное поле в плоскоети симметрии равно
ВОЬ (,,2+Ь2) Ч2, то для Toro, чтобы ЭJJеитропы МOJ'ли в ЭТОЙ ПJю:'ноети доетичь анода,
необходимо приложить напряжение, точпое значение KOToporo равно
тоС 2 ({ 1+ B:q:b: [И+Ь2)1/2 (" +b2)1f2J2 } 1f2 1 ) .
q тос r 1
5. ПараШJельный пучои электронов, ускоряемый напряжонием У, создает тон,
равный /, Сечение пучна представляет собой ируr радиуеа а. Поназать, что величина
нормалыюrо к пучиу усиорения, приобретешюrо ЭJIеИТРОJJОМ на 1l0верхно(;ти пучиа
под дейетвием элеитричееиих и маrнитных СИJJ, выражаетея следующим образом:
Vп== ( ) Ч2 r ( 1 ) Ч2 ( 1 TTq, ) 2 J 1
4л€vа m V L + 2тс 2 + тс 2
6. Точечный заряд q двиrается в поле друrоrо неподвижноrо точечноrо заряда Q.
Ilрименяя занон сохранения момента иоличесша движения р и закон сохранения 3HPp
I'ии и используя выражение (Ш.45) для иинетической энерrии, показать, что ypaBHe
иие траекторий будет име ь вид
,, l==A+B eos 'У<Р,
"де
(2== 1 ( 4 ;cp )
572
r лава ХТТ 1
7. в каждом из днух плоских листов. находншихся в ванууме па раеСТОЯlllIИ а
дру!' от дpyra, имеется отверстие диаметра Ь. Отверстия расположены таким образом,
что линия, сординяющая их пентры. перпендикулярпа обеим плоскостям. Сквозь первое
отверстие испускается внутрь поток заряженных частиц, имеющих одинаковую эперrию,
причем МaI,сима.ПЬНЫЙ уrол расхождения частиц в пучке, отсчитьшаемыIr от нормали,
равен а. ПренебреJ'ая величиноIr а по сравнению с единицеIr, наIrти зпачения маrнит
Horo поля, приложенноrо перпендикулярно листам, ЩJИ которых пучOI, частиц пройдет
и через второе отверстие. Пшшзать, что мш,спмальныIr диаметр пучка между OTBep
стиями равен
2а. Ь
-SIJlа+ ,
птt
rAe п цe;тoe число.
8. Поназать, что если пучок. рассмотренный в предыдущей задаче, имеет вид
Jюнуса, т. е. все 'JaСТИЦЫ иеходят из Oll,lюIr и той же точни оси, и если эта точна
т:щже ШIХОДИТСЯ в маrНИТНО:Vl поле, то МИJПI1\НIЛЫlOе ЗШI'Jение посЛеДJlеl'О, пеобходимое-
ДJiя сведения пучка 'Jастиц в фот,ус, рRсположенный за вторым отверетием в точке,
представляюшей собой зерка:lьное изображение источника, равно
2тtmva [q (aa+b)] l,
J'Ae а уrол, под шлорым виден РRДИУС первоrо отверстия пз точки, rде находится
исТОЧНИК. Покющть также, что это поле увеличивает число ионов, проходящих чере
первое отверстие, в чиелО раз, РRВJюе
[ ь ] 2 [ тtb ] 2
2 (а: + Ь) sin a --тb
9. Две ОДИlJaJювые паlJaЛJШ;ТЫIЬЮ "руrлые цилиндрические Ilровод я ш ие оболочки
имеют заряд на единпцу JJ:JIJIНЫ, равпый соответственно + Q и Q. Внутри наждоIr
IIЗ них протянут ПРlJВОП. Р3СПОJIOжепный так, что если ток J течет в проводах в проти
воположных НRправлепиях, то иоверхности оболочек СОВПRД3ЮТ с силовыми ЛИНIIЯl'vШ
маrнитноrо по,'Jя. Найти, в кю{ой движущейся системе координат при cQ < 1 будет
сушес.твовать ТО:JЬКО маПJИтное поле.
10. 11 оказать, что если заряженные частицы вылетают с поверхности одноrо }тз Пl\
юшдров (см. продыдущую ЗRДRЧУ), rпе дО ЭТUJ'О они 110КОИЛИСЬ, то составляющая их
СIЮрОСТИ, ПRраЛJlельная цилиндру. в точке "1> r2' рап на
Il r]r20 ( / Ql r,r?O 27tmo ) 1
VX п Il + ,
r2r]O r 2 r]O ['-ч
J'Ae "]0 и r20 расстояпия ОТ точки вылета до lшждоrо из ПрОI30ДОВ.
11. ВеКТОР П(Jтенциал IIJlVXl\lepHorO маrl1итостаПlчеСJ;()J'О поля имеет толыю Z c()
ставляющую. Пусть ион с З:Jj)ЯДОМ q и массой покоя то имеет снорость V. В точне
rде веНТОР ПОТ"JJЦlIал равен Аl' составляющая этой СНОРОСТII по оси z рзвна V z . Пона
зать, что в ТОЧJШ, rде вектор потеНЦIlал равен .12' состаВJlНюш ая Clшрости по оси z
определяется выраЖШJИСj\1 .
Vl q (тoc) 1 (C2 V2)1f2 (A2 Al)'
12. Пона, ЗilТЬ что в случас любых двухмР.рных Э.ТIснтрп'юеНlIХ J/ маrlIИТНЫХ полей,
пересснаЮШlIХСЯ ортоrонапьно, всеrда можно перейти J, танпй движущейся систрме
IЮОрДlIнат, п ноторой Е или сВ (в заВИСИi\lОСТИ от 1'010, Iюторое пз них меньше) будут
иснлючепы. ...
13. Ilпложение заряда q задано уравнением 8 == а СОБ wt. ПОКRзать. пользуясь пыра
шениями (16.71) И (16.77), что ПрIl "'ac 1 1 1I а r ПРрИОДJlческая еоставлшощаll
полеlr Е JI В, создапаемых зарядом Ч, описыпартся с.оотношешlЯМИ (14.13). (14.15),
rAc r расстонние ОТ среднеrОПOJюжения заряда дО ТОЧJШ на.блюдеНIIЯ, {J уrол между r
И 8, а ш==ча.
14. Положения 81 п 82 двух ОДJJНШШВЫХ заряцов q заданы уравнениями 81 == 82==
== 2а СОБ ( ; wt) . с'llедуя предыдущей заДilче и еЧlIтая al, 1 :Uac 1 1, Qo == ча2
ПOlшзать. что тщ больших расетояниях периодичеснан r,остапляюшаll поля равпа
w 3 Qo sin 20. ( r )
8 3 SJn w t .
ПЕvС r с
cB E8==
СР31JТшть С полем линейноrо нвадруполя, lJacCl\lOTpeHHoro n задаче 1 rJl. XIV.
Лиm('раmура
573
15. Электрон движется в 3Rсиально симметричном маrнитостатическом поле, для
HOToporo
А", (р, z) "4= U,
Ар == о,
Az==O.
Поназать, что если уrловая СIЮрОСТЬ вращения элентрона BORpyr оси в точне Р == Рl'
.z ZI равна "'1' а в точне Р==Р2' Z==Z2 равна "'2' то
mpi"'l mp "'2==e [FI A ",(Pl' ZI) P2A,p(P2' Z2)]'
16. Частица, летящая в направлении оси х со скоростью и о и имеющая заряд q
1
IИ массу покоя то, в момент BpeMeH t==t o входит в то'ше х==О, Y 2b, z==O внутрь
эвануированноrо прямоуrольноrо волновода, вдоль KOToporo распространяется волна Т ЕО!.
ПОIiазать, что уравнение Дl3ижсния частицы в системе, движущейся со скоростью,
равной rрупповой скорости ВОЛJiЫ, имеет вид
d (ти') Е . ( В ' )
dt' == q 'osln C,Ol t ,
!'де Ео максимальное зна'1ение напряженности ЭJlектричрскоrо поля в поноящейся
-системе координат. Показать, что при и х с ПОЛШfн'ние чаетицы в произвольный
момент времени t в Этой системе будет описываться уравнением
x==qE o (",2тo) 1 ['" (t to) сов "'to sin ",t + Bin "'to] + и о (t to),
j
у == '2 ь,
z== О.
ЛИТЕРАТУРА
в i g g в Н. F., ТЬе Electromagnetic Field, Oxfortl, 1934.
G е i g е r S с h е е 1, Handbuch der PhYBik, Вп.. ХН, Berlin, 1927.
J е а n в J. Н., ТЬе Mathematica1 Theory of Electricity and MagnetiBm, Cambridge, 1925.
T i v е n в G. Н., ТЬеOJ'У of Electricity, Cambridge, 192fJ.
L о r е n t z Н. А., Theory of Electrons, Leipzig, 1916. (См. перзвод: Л о р е н т п,
Теория электронов, М. 1\134.)
М а S о n М., W е а v е r W., ТЬе Electromagnetic Field, University of Cbicago PresB,
1929.
S L r а t t о n J. А., Electromagnetic Theory, МсGrаw НШ, 1941. (См. перевод: С т р э T
Т О Н ДЖ. А., Теория элентромаrнетизма, М. Л., 1948.)
Т о] m а n R. С., Rplativity, Тhеrпюdупашil s and СUSПlоlоgу, Oxford, 1934.
W i е п Н а r m Б, ПапdЬuс11 der Experimeпtalphysik, Bd. Х1, 1932.
Zwоrуkiп V.K., Моrtоп G.A., RашЬеrg E.G., Hil1ier J., Van
с е А. W., Electron ОрНсв and the Electron Microscope, Wlley, 1945.
ПРИЛОЖЕНИЕ
СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ
Сущеетвует три епоеоба нлаесифинации абеолютных еиетем электричеених еДИНИЦ
В еоответствии е употребляемыми механич{:скими единицами системы электричеени:х
единиц MorYT при надлежать н системе сэнтиметр rpaMM eeHYHAa (С(,Б) или н сиетеме
метр НИЛOJ'рамм секунда (МКБ). В занисимости от принятых величин оеновных
единиц измерений система называетея класеичеснОЙ или прантичееной. И, Н3Iюнец,
по Сllособу введеиия МНОЖИТeJlЯ 4т. различают рационализированные и нерационализиро
ванные системы единиЦ. Применяемая в этой нниrе сиетема МКБ принадлежит к rруппе
прантичесних рационализированных еистем МКБ. Приведенные в приложении таблицы
содержат соотношения между этими единицами, практичесниМи перационализирован
ными СОБ единищши и нлассическими нерационализированными СОБ едииицами.
Во всех рационализированиых системах эквивалентные фОрМУ.rJы имеют очень
еходный вид. ОДllатю споеоб введения множителя 4т. n определение единиц в сиетем
Джорджи МКБ отличается от Toro способа, ноторый принят в соответствующей клас
еичееной систР.ме, а именно, система строитея таким образом, чтобы рационалнзапия
не влияла на наиболе{' распространенные прантичеСlще единицы нулон и вольт. Это
оеуществляется путем введения множителя 4т. в диэлектричееную и маrнитную про
lJицэемоеть. Поснольку во всех табпицах, в ноторых ПРI1ВОДЯТСЯ чиеловые значеШIЯ
элеJtтричесних и маrни'!'ных свойетв матрриаЛОJ!, припято употреблять отноеительную
диэлентричесную проницаР.мость К == Е/Е" И относительную маrнитную проницэемость
К m == r-!r-", то часто в прантических сиетемах единиц предпочитают применять величины
КЕ" и Km[lv, rAe Е" И ['-" диэлектрическая и маrнитняя проницаемоети для: вакуума.
. Если формула дана в одной наной либо системе единиц, то ее всеrда можно напи
caТI, и \1 любой друrой еистеме, выражая ВХОПflщие в нес величины в требуемых сди
ницах и подетавляя их в формулу. Чт()nы пояснить это, для примера выразим закон
«улона о силе ВЗЮНlOдt:ЙСТВl1Я дяух зарядов u нлассичесной нерапионализироваНlIОЙ
системе ССБ электростаТИ'1еСIШХ единИЦ. Физичесние величины, выраженные в единИ
цах CuSE, мы будем оБОЗНАчать бунвами без инпекс{)в, а аналоrичным величинам,
выраженным в единицах ДжорДЖIl МКБ, будем приписывать индекс 1. В соответетнии
с 'шбл. 2
q.==3 1.1O Dq И Еl==(36л) 1.1О lЕ.
Из табл. 1. для механичесних единиц мы видим, что
Fl==10 5F и rl==10 2r.
Формула (1.1) для закона Кулопа в системе MKS имест вид
F q,q q,q;
1 41tElr 41tKEvr
Подставляя сюда значения F., q.. Е. И r. из фОрМУJ! (1) И (2) и упрощая, получаем
qq'
F == Er 2 . ( ).
(1)
(2)
(3)
Аналоrичную процедуру, разумеется, можно произвести и при преобразовании ФОРМУ:J,
Qодержащих МaI'иитпые величины. Подробнор рассмотрение этоrо вопроса содержится
в e aTьe Ненелли .). Заметим, что если в формулах (3) и (4) Е положить равной еДИ
нице, то формулы все же будут отличаться одна от друrой. Таким образом, ДАже'
в тех случаях, коrдэ результат относится к процессам в нанууме, формула, которую
нужно выразить в еистеме CGSE или CGSM, должна быть написана для среды е ОТШIЧ
пыми от еДИШIЦЫ (J. или Е.
1) Кеппеllу, Amer. РЫ]. Вое. Proe., 76, 3 3 (1936).
Системы элекmрических едиииц
575>
А. Чтобы формулу, написанную в сиrте
ме единиц C B, lJыразить в единицах
МКВ, нужно заменить входящие Е эту
формулу символы F1a еоответствующие
значения n крайнем правом столбце
таблицы.
Таблuца 1
Б. Чтобы формулу, напиеанную в раllИОJlали
зированной сиетеме единиц МКВ. выразить
в единицах cr; В, нужно замР.нить пходящиq
в эту формулу символы на соответствующио'
значения в нрайнем правом столбце таблицы.
Длина 1 М 102 1 СМ Длина. 1 СМ 1O 2 1 М
Масса m ке 103 m е Масса те 10 3 m ке
Мощноеть Р вт 107 Р эре/сек Мощность Р эре/сек 10 7 Р вт
Сила F uьюmонов 105 F дин Сила F дии 10 5 F uьюmонов
Энерrия . W дж:оулей 107 W эре Энерrия . W эре 1O 7 W дж;оулей
Таблица 2
Для Toro чтобы формулу, написанную в рационашшированной сиетеме МКБ, Bыpa
ЗJТть в еДИJlицах системы сеВЕ или н единицах rаусrовой системы, нужно заменить
входящие D эту формулу СИМВОЛЫ lJЭ cooTBeTrTBYK щи!! значения н крайнем пrавом
столбпе таблицы. C 3.1010. IIри очень точных вычислениях множитель 3 надо каждый
р з заменять на 2,9978
Физичесная величина I CGSE I CGSM
Прантичесная система
Диэлентричесная про
ницаемость Е c 2E 9 ЧО 11Е41t фарад/с"", (36л) 1 . 1O 9E фа рад / J.t:
Емкоrть . С c 2C 9 1 . 1O 11С фа рад
3аряд, величина q c lq 3 1.1O 9q КУЛОN
Импеданс Z c 2 Z 9.10 11 Z ОМ
Напряженноеть элек
тричесноrо поля. Е сЕ 300Ев/см ЗООООЕв/м
Потенциал элентриче
сний СШlЛярный. V сУ зооv в
ПОТС1ЩИЯ,JIЬНЫЙ ноэф
фициент . S c 2 S 9.10 11 S 1/фарад
ПРОВl)димоеть . G c 2C 9 110 l1G 1/0М
Проводимоеть удельнап
объемная )' c 2)' 9 ч<r11)' 1/(ом,см) 9 1.1O 9)' 1/(OM'J. }
Проводимость. удельная
поверхностная. )" c 2)" 9 1.1O 11)" 1/0М
Ре-энтивное сопропш
ление . Х с 2 Х 9 .10 11 Х ОМ
Самоиндунция . L c 2 L 9.10 11 L е"
СОПРОТИВJIeние R c 2 R 9..10 11 R ОМ
Сопротивление удель
ное объемное . 't c 2 't 9.10 11 't ОМ, СМ 9.1()9't ом. М
СОНРОТИНlIение удель
ное поверхноrтное c2 9.1011. ОМ
ТОК, объемная плот
ность с ч 3 1.10 9i а/с.м 2 3 1.1<r5i а/м 2
Ток, поверхностная
плотность . i' C li' 3 1.1<r9i' а/с-м 3 1.1О Ч' а/м
ТОК 1 c lI з ч<r91 а
Элш,тричесная индун
ция. D c lD 3 1.10 9D41t КУЛОN/с.м 2 (121t) ЧО 5D кулон/м"а
ЭJIe[{1'родпижуща.ll епла '6 C ЗОО в
Таблица .)
.Для Toro чтобы формулу, напиеанную в раJ<иовзлизированной систрме, выразить в РДивицах системы CGS l или в рдишщах
rауссовой системы (отмеченных звездой), нужво заменить входящие в эту формулу симво;ты на соответствующие значения
в крайнем праВО:>'1 етолбце ТDблицы.
с==2,9978 . 1010 3 . 1010
Физичесная величина
CGSM
CGSE
ПрантичеСНlIе единицы
Емкость
Заряд, величина
Импеданс .
Мапштная индукция .
МаrНlIтная проницаемость
Маrнитное сопротивление.
Маrпитный З3}lЯД (IIолюе)
Маrпитный момент (диполь)
Маrнитный момент (ПСТЛЯ)
Маrнитный []ОТОК.
Маrвитодвижущая сила
Намаrничещюсть (ДИПОЛЬ)
Намзrниченноеть (петля) .
Напряженность маrНИТlIоrо поля
Напряженность электричесJюrо поля
с с 2 С* 109 С фарад
q сч* 10ч кулоu
Z C 2Z* 1O 9 Z ОМ
В* c IB В еаусс 10 4B вебер/м 2
1'-* C 21'- 1'- еаусс/эрсmед 4л . 1O 71'- т/м
R'* c 2 R' R' еильбе рт/ максqелл (109/ 4л) R' ампе р-витков / вебер
т* c lт 4лт максвелл 4л1О 8 m вебер
IIl'* c ll.n' 4лт' максвелл . см 4л10 10 т' вебер. м
lll* ст 10т а . см 2 'Ю 3 m а. м 2
N* c IN N максвелл 10 8N вебер
Q* cSl Q еильбе рт (1 Oj4л) Q aMпep витKoв
111'* c IM' . 4лМ' максвелл/см 2 4л . 10 4 М' еебер/м 2
М* сМ 10М а/с..." 1000 М а/м
Н* сН Н э рстед ( 1.03/ 4т.)Н амnе p витKoв / .м
Е c IE* 10 8 Е в/см 10"'6 Е в/м
N
"
Ш 6 11 "е6е р,'.н
О llотенциал маl'llJ1 ТIIЫЙ вш,торныЙ А* c lA 1 2ау"" . ('.It
:е:
ро 1I0ТeIЩllал Э Jl'l,триче(:J,ий СRалярныil.. ш , У7 в
::;, т' c. lTr*
'"'
ПотеНЦИЗ;JЬНЫЙ lюэффпциент S C 2S* 10 9 S l/фараd
1Троводимость . , с 2 С* 1U 9 С 1,"0,'"
r;
J Iроводимость удсльнан O()'Ы M Ila l. I (.2 /* 10 9 'j 1/(0.1(,' e.ll) l()lI j 1';(0.'" . .' t)
. I
llровоДШIOСТЬ УДСЛhная [JvвеРХllОСТЩШ l' c"I'* 1 U9 r' 1, И.l"
Рею,тивное .
сопротивлепие Х c: 2X* 10 9 Х (М!
СаМОИНДУRЦИЯ Е c 2L* '10 9 L 2н'
Сопротивление R c 2B* 10 9 R олt
СОПРОТНВJIeние удельное объемное 1: c 21:* ,Ш 91: О.И . с.и 10 11-;: ОМ . .И
Сопротивленпе удельное поверхностное c 2 * 10 9; и.'(,
Тон, объемная плотность ci* l\Ji а/с.м 2 l()5i a/.\1 2
Тон, поверхноет'ная плотность i' ci'* 1Oi' а/с.м 1.0"i' а/.м
1'01, 1 cI* 10] а
Элентродвижущая сила. '1/; c l'1/;* 1O 8'1/; в
578
п рило:нссuu!!
Таблица 4
ДJJЯ 1'01'0 чтоflы ф()рмулу, написанную в О;J,lПlIщах CGSM, CGSE или в единипах rayc
совой сиетемы, выразить а) в праJ\тичеrних единицах неращюпализированной системы
CGS или б) в рационализированных единицах сиетемы MKS, нушно заменить входящие
в эту формулу еимволы соответственно на ЗJJaчения, помощенные в столбце CGSM, CGSE.
или на значшпш, отме'IeJшые звеЗДОЧIЮИ.
(l)П3I'lчеснан JJеЛПЧlIна
CGS";
а) Прантичесная
система CGS
б) Рационализированная
систе Ia МК,;
св SlIl
8'
ДJ1элш,чтчссщщ lIpO
пицаемость
а) Е 41': фарад!с.41
б) Е фарад/.м
С фарад
Е шость .
Заряд, веJШЧПll3 '
Ifмпеданс . . . .
q кулоu
ZOM
1\IarJlf-lТJl3Я IПlДУIЩJJЯ
а) В еаусс
б) В себер/.м 2
lVlf\J"llIlтпан ПРОНlщас
jO('H> а) jL еаусс/арстед
б) IL т/.м
МаrШПIlОС еОПРОПТlJле
ние а) R' еи.1Ьберт/.нn"с
вел,
б) R' а.ltпер сит1..и/вебер
М Ю'}(ll тны Й зарпд (по
ЛJOс) а)
lп ./НПli('t:С.1.,,1
б) т 8Рб!! l'
}IаrllНПJЫИ 1O юнт (ДH
JЮJIЬ) . а) 111' .мrЫ;Сtзе.t,.1 . С.Н
б) ll1' вебер. м
ЫаППlТJJЫИ MтleIJT (пст
1IП) . . . .
а) 111 а . С,М"
fi) Пl n . .п"
3) '\ .максвел,',
б) N вебер
а) еUЛvберт
б) n.lt1IP p вит".o
J!,Iлrнитныii лото" . .
МНl'нитодшннущан 1"II,:1:J
НfЩaI'НllчеНiЮСТh (дп
ПОЛJ.) а) if.I.иаl<СGСЛЛ;СМ"
б) 1Y! вебер'.и"
ПаМaI'ШI'lfШНОСТЬ (ист/ш) а) 1".1 а/еЛI
б) JJf п 'л!
10 9€
41t . to llz
1O 9C
1O lq
10 9 Z
В*
10 1 B*
р.*
(4т:) 1 . 10 ' :L*
R'*
I': . 1O 9H'*
(41':) lт*
(41':) 1 . 1О Ч т.*
(41':) 1т'*
(4л) 1 . 1О 1О т'*
10 lш*
103111*
l\Т*
10"N*
l*
1;: . 1 () ч!*
(-'t1t) Чl*
\- т;) l . 10 1 M*
10 IM*
1 () 31"I*
9 . 'JOl1€*
31)1': . 109$0*
9 . 10 11 С*
3 . 10 9 q*
9 1 . 1O llZ*
:1 1 . 10 10B
3 1 . JO 6В
9 1 . 10 201L
(3б1tJ 1 . 1O 131L
9 . 10?OR'
:161': . 1О 11 Н'
('121':) 1 . LO 10,,.
(12001t) lm
(121t)' 1 . 1O 1t)m.'
(121t) lm '
. 1()Dш
:) . 1013111
:} 1 . 1O 10N
(:J()O) IN
;). HII0!,!
121t . H)D !
(121t) 1 . 1O 10M
(121t) 1 . 10 6M
3. 10 9 J)
3.10 ' М
579
Системы элекm рических единиц
Таблица 4 (продол:жеuие)
Физичссная величина
CGSM
CGSE
а) Прантичесная
система CGS
б) Рационализированная
система MKS
Напряженность маrIlИТ
Horo поля. . а) Н эрсmед
б) Н a.lтep eи1JH;'OH/.lt
Напряженность элеп
ТРИЧЕ!СRоrо поля. .. а) Е в/с,м.
б) Е в/.м.
Потенциал маrпитпый
веRТОРНЫЙ. . . . .. а) А еаусс . С.М
б) Авебер/.м.
ПотенциаJI ЭЛCI,триче
сний СRалярный. . .
Потенциальный ноэффи
циент . .
lIроводимость
Проводимость
объемная .
УДeJIЫШЯ
Проводимость удеJJЫlа я
поверхностная. . . .
РеаRтивное сопротивле
нис . . . . .
СаМОИIlДУRЦl1Н .
Сопротивление.
Сопротивление удель
ное объемное
Сопротивление удель
ное поверхностпое . О.М
TOI . . . . . . . 1 а
Тон, объемная. ПJJОТ
ноеть
Тон, поверхностная
плотность . .
3леRтричеекая lIНДУJ\
ция (смещение)
ЭлеI{тродвижущая сила
Ve
s 1/фарад
G 1/0.1!
а) 11/(о.м..см)
б) 11/(O.M."\t)
l' 110.м.
х О.м.
L еn
Ло,м
а) 't оМ . С.М
б) 't о.м. . ,.\t
а) i а/с,.\!2
б) i а/ .lt 2
а) i'a/c.lt
б) i' a/,.\t
а) D 4т; кулоujс.lz 2
б) D кулон/.м. 2
'1/; в
Н* 3 . 10 10 H
41t . 1О з Н* 12т; . 107 Н
Ш 8 Е (300) lE
10 В Е 3 1 . 10 1E
А* 3 1 . 10 lOA
106 А* 3 1 . 1O 4A
Ш 8 V (30U) Чl*
1()9S !) l . lO l1S*
1O 9G 9 . lO 11 G*
10 91 9 . 10111*
10 l11 9 . 1()91*
1O 91' 9 . 10111'*
1()9Х 9 1 . lO llX*
10 9 L 9 1 . 1O l1L*
10 9 Н 9 1 . lO l1R*
10 9 't 9 1 . 10 11't*
10 11 't 9 1 . 1U 9't*
109 9 1 . 10 l1 '"
1О ч 3. 1091*
1О ч 3 . 1()9i'"
1O 5i 3 . 10 5 i'"
10 Ч' 3.10 9 i'*
Ю 5i' 3. 10Ч'*
Hr1D 3 . 10 9 D*
4т; . 1O 5D 12т; . Ю 5 D*
108'1/; (300) 1&* :'
37*
580
Пр ило:исеuие
Таблица 5
В ЭТОЙ таблице прпведены физические размерности элеК1рllчеСJа!Х единип: l ДЛII
на, т Maeca, t время, q заряп, Е диэлеЕтрическая проницаемость, I'- маrнитпаf]
проницаемоеть. Д.:ш определения размРрIюети п любоЙ системе рдиНJЩ МОЖПО по"ьзо
наться любым столбцом таблицы, но проще Bcero в систеые СОБЕ пользоваться значе
ниями, помещенныыи в первоы столбце, ПО"ОЖИIJ Е== 1, lJ систrме CGS2\1 ЗJIaче]JИПj\IИ
во втором етолбце (1'-== 1) и, нююнец, в систе:\Ie l\lKS ЗlIачеIПШЫИ, ПОllещепными
в третьем СТО.:Iбце.
ФIl3I1ЧССI,ап веЛПЧlIна
:VП S
Диэлектричесная прошщаемоеть
Емкость
:3аряд, веJlJIчина
Импедане
J\Iаrнитная индунция .
Маrнитная ПРОJlицаемость
Маrнитное сопрОТИlJлепие .
J\Iаrнитный заряд
J\Iю'нитный момент (диполь)
J\IаrнитныЙ ыомент (петля)
J\Iаrнитный ПОТОН
J\Iаrнитодвижущая сп"а
НамаrничеIJНОСТЬ (диполь)
Намаrниченность (петля).
Напряженность маrнитнOl'О ПОJIЯ
Напряженность электричесноrо
поля
Потенциал маrнитный ВСJ{ТОРНЫЙ
Потенциал электричесний CHa
JШРНЫЙ
Потенциальный ноэффициент
Пронодимоеть
Пронодимоеть удеJIьная объемная
Проводимость удельная поверх
ноетная
Реантивное сопротивление
Самоиндунция
СопротивлеШIe
Сопротивление удельное объемное
Сопротивление удель ое поверх
ностное
ТОК
Тон, объемная плотноет
Ток, поверХНQетная плотность
ЭлентричеСI{ая индукция (CMe
щение)
Электродвижущая еила .
\ СJIМ I
ВОД
CGSE (. 1)
Е
с
q, Q
z
в
1'-
В'
sl
/'2 т 1j2lЗ/2t 1
сч 1t
Е 1j2m1f2l З/2
а Ч 2t2
Elt 2
E I/2mIf2l1j2
Е 1/2mlf2lЗ!2
а Ч2 т Ч2 z7/2t 2
E 1j2ml/2l1/2
Е1f2m1j2IЗ/2t 2
Е. If2mIf2l З/2
EIf2m1j211/2t 2
E1f2ml/2l1/2t 2
т
ш'
ш
N
и
lИ'
111
fI
Е
А
s 1/2т 1f2[ 1f2t 1
E 1/2ml/2l 1f2
t'
S
G
1
Е Ч2т lJ2[If2t 1
Е Ч l
E.lt l
ц 1
l'
Х
L
R
Elt 1
сЧ 1t
сЧ 1t2
Сl! Ч
Е Ч
"t
с1[ Ч
Е1/2mlJ21З/2t 2
Е Ч2 т 1f2[ lJ2t 2
ElJ2mlJ2[1f2t 2
1
i'
D
'1/;
Е. Ч2 т lJ2[ lJ2t 1
Е lJ2mlJ211f2t 1
C(}S 1 (fJ- 1)
fL 1[ 2t2
1'- 1[ lt2
[J. -l/2mIf2IlJ2
I'-lt l
[,1 12т lJч Ч2с 1
1'-
1'- 1[ 1
[J.1f2m 1/2['f2L 1
1'1 12т lJ2[5/2t 1
[1 lJ2mlJ2[5f2t 1
[1 Ч2 т If2[З/2t 1
[1 Ч2т If2[1f2t 1
fL Ч2 т If2[ 1/2t 1
[1 .1f2т1fч 1/2t 1
1'- 1j2m lJ2[ lJ2t 1
J.1f'2,п I/2[Ч 2t 2
[/f2m1f2[If2t 1
//2 т Ч2[ Зf2с2
I'-lt 2
[с1[ Ч
I'- Ч 2t
I'- Ч 1t
[1It 1
[11
[1lt 1
[112t 1
I'-lt 1
1'- 1f2m1f2[lJ2t 1
1'- lJ2mlJ2[ З/2t 1
l'- lJ2mIf2[ 1f2t 1
l'- lJ2mlJ2l З/2
I'-lJ2"/I2[З/2t 2
m Ч 3t2q2
m 1[ 2L2q2
q
mI2t lq 2
mt lq 1
mlq 2
fn 1[ 2q2
ml2t lq 1
m[3t lq 1
[2t lq
ml2t lq 1
C 1 q
mt lq 1
l ч 1'1
1 ч 1'1
J//lt 2q 1
mlt lq '
ml2c2q 1
mI2t 2q 2
т Ч 2tq2
т Ч 3tq2
fn 1[ 2tq2
ml2t lq 2
m12q 2
ml2t lq 2
т[3tq 2
ml2t lq 2
t lq
1 2t lq
l 1t lq
l 2q
ml2t 2q 1
581
Систе..IIЫ Э,tект ри'Ч,еских едиииц
Таб"щца 6
ЧlIс:юпые ве:ШЧIIНЫ, харантеризующие вануум
в раЦIJ[шал!3ирпванпой снстеме MKS
снорость спета . . , . . . . . .
ДиэлеНТРИ'lесная ПjJОJlпца(щость
J\1аrНIlтная нрошщаемоиь
Харюпсристичесний импеданс
Харан:теристичеен:ая ПрОRОДИ
IOCTЬ . . . . . . . . .
с
(р.и Е ,т 1 /2==2,99776.10 8 .м/се,.
8,85525.1O 12 "'" (3бr..109) 1 фарад/.м
4r..1O 7 1,25б64.10 6 ен/.и
37б,707 О.и
Е.о
:J. v
(p.,,/Ev)1f2
(E"/: V)1f2
2,65458.1O 3 1/0.\
Таблица 7
Значении атомных J,OIJCT3HT в Р3ЦlIона. l1IзироuаН}JОЙ CllCTe:l/e J\1KS *
. F==9б 522 1: 7 r.улон/ера.м,иЭJ,висалеюп
N == ((\,0251 1: n.ОО(4).10 23 l/Л ОJtъ
h == (б,б234 1: 0,0011) .10....34 дж:оуш,. ceJ,
е==(1,БО199::1:: O,00016).1 19 КУЛОU
. е/т == (1, 75Ю6 ::1:: O,OQU18).1.0 1l r.улоН/r.
IIоСТОПJшаи Фарадея (016== 16) .
Чис:ю i\воrадро (016==16) .
1I0СТОЯl\паи IJпюша. . . .
Знр}]д Э.:ICJ,тропа. . . . .
УДС;JЫIЫЙ ззрнд Э;Jеи'ропu
. DuMoIld J. ,V. 1\1., (;OllCIl Е. Н., Hev. Mod. f'llYS., 20, 82 (1948). (В табл. 6 и 7 lIрИ
ведеНllые данные относнтсн н 1U48 r. Данные на ;(енабрь 1950 "о см. Du MOIld J. ,V. М.,
с О h е Il 1<3. Н., !'lIYS. Rev., 82, 85 (1951), а таюне Усп. ФИВ. Наук 45, 458 (1951). Специально
относительно CHOpOCTII спета см. Усп. Физ. Наун, 42, 485 (1950) и 48, 599 (1952). При"'t. l1ерее.)
д о п о л Н И Т Е Л Ь П А Н J1 И Т l<3 Р А Т У Р А 1)
а) По общим вопросам э.аеliтродиuа.«Лlки
А б Р а r а м М., Б е к к е р Р., Теория электричеетва, М. Л., 1936.
Б е н к р р Р., Электронная теория, М. Л., 1936.
В У л ь Ф А. А., Сборник упражнений по теории элентромаrнитноrо поля, М., 1939.
l' о в о р н о в В. А., Электричеение и маrнитные поля, М., 1951.
r о л ь Д ПI Т е й н Л. Д., Электромаrнитные колебания и волны, Л., 1951.
l' о л ь Д ш т е й н Л. Д., З е р н о lJ Н. В., ЭлеКТРОМaI'нитные нолебания и НОЛIlЫ,
ч. ll, Jl., Н)53.
r р и н б е р r [. А., Избранные вопросы математической теории электрических и Mar
нитных ямений, М. Л., 1948.
Il в а н е н '{ о Д. Д. и С о {, о л о в А. А., КлассичеСJ{ая теория поля, М. Л., 1951.
1{ а л а н т а р о в П. Л. и Н е й м а н JI. Р., Теоретические оеновы электротсхнИlШ,
ч. llI, M. Д., 1948.
JI а н п а у JI. н JI и в ш и Ц Е., Теория иоля, М. Л., 1948.
J1 о Р е н т Ц r. А., Теория электромаrнитноrо поля, М. Л., 1933.
М а [{ с в е л л Д. Н., ПзбранныеСОЧIlнения по теории ЭЛ(JI{тромаrнитнOJ'ОПО;Ш, ;\1., 1952.
М а lJ Д е ль ш т а м Л. И., Полное собрание трудов. т. V, 1\1., 1950.
М и т [{ е в и ч В. Ф., J\Iаrнитный поток и ero преобрнзовашш, 1\1. Л., 1(:)46.
Пап а л е н е и Н. Д. (ПО)\ редющией), Нурс физики, т. 1I, 1\1. Л., 1947.
С т Р э т т о н ДЖ. А., Теория ЭЛCIпромаrнетизма, )\I. .JI., 1948.
Т а м м И. Е., Основы теории эщштричеетва, М. Л., 1949.
Фре н к е л ь Я. Н., Электродинамика, т. 1 и 1I, М. Л., 1934.
Эй х е н в а л ь Д А. А., Теоретичеекая физика, ч. VI, М. Л., .1931.
б) По трории быстроперемеuuых полей и ее прило;)tсеuиям
В а й н ш т е й н Л. А., Диффракция электромаrнитных и звуковых волн на ОТНРЫТШI
конпе волновода, М., 1953. '
В в е Д е н с к ий Б. А. н А Р е н б е р r А. r., Радиоволноводы, ч. 1, М. Л., 19411.
l' У Р е в и ч А. r., Полые резонаторы и волноводы, М., 1952.
Д е Б рой л ь Л у и, ЭлеJ{тромаrнитные волны в волноводах и полых резонаторах,
М., 1948.
К и с. у JI Ь J, О [. В., Элш;:тродииами[{а полых еисТоеМ, Л., 19-'19.
К У JI Р а д з е П., ()еповные задачи математичеСIЮЙ теории диффракции, М. Л., 1953.
:1 е о н т о в и ч М. А., О приближенных rраничных уеловиях для электромаrнитноrо
поля на поверхности хорошо проводящих тел (етаТЬfI в сборнике «Исследование по
распроетранению радиоволн», под ред. BBeneHcKoro Б. А., М. Л., 1(48).
Л е о н т о в и ч М. и JI е в и н М., О возбуждении вибраторов в антеннах, Изв.
АН СССР, еерия фпзич., 8, 3, 156 (1944).
М а л о в Н. Н., О раечете IЮНТУРОВ, энвивалентных ПОЛО;\IУ резонатору, "}КТФ, 18, 4,
421 (1948.)
Н е й м а н Н. С., Выдуклые эндовибраторы, ИЭСТ, 9, 1 (1939).
П о т е х и н А. Н., Некоторые задачи диффрющии элеКТрО:\lаrпитНЫХ волн, М., 1948.
П и с т о л ь к о р е А. А., Антенны, М., 1947.
Р а м о С. и В и п 11 е р и Дж., Поля и волны в СОIJре lCШЮЙ радиотехнике J\I. Л.,
1948. '
Рыт о в С. М., Н раечету ПOJ'.:ющения элекч)шшrнитных волп в трубах, ЖТФ, 10,
17() (1940).
С а 1\1 а р с 1{ и Й А. А. и Т и х о н о в А. Н., п возбуждепии радиоволноводов, JНТФ,
17, 11, 1283, (1947); 17, 12, 1431 (1947); 18, 8, 971 (1948).
С JI CI Т е р ДЖ. Н., Передача ультраКОРОТJ{ИХ волн, М. Л., 1\146.
Ф е J1 ь Д Н. Н., Основы теории щелевых антенн, М., 1948.
Ф о н В. А., Диффракция радиоволн вонру!' зеМJЮЙ поверхности, М. Л., 19'Ш.
Антенны, Сов. радио, М., 1951.
J1инии передачи сантиметровых волн, т. 1, Сов. pa;I:llo, Ы., 1951.
Справочник по волноводам, Сов. рацио, М., 1952.
Теория линий передачи еверхвысоких чаетот, т. 1 и П, Сов. радпо, Ы., 19;)1.
Технина сверхвысоних частот, т. 1, Сов. радио, }Н., 1952.
1) ,Тl,ополннте.'lЬПШ1 литература еоетавлепа переподчш,ами.
llРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
IJO ШРА ЗАДАЧ НАПЕЧАТАНЫ НУРСИВОМ И ЗАНJIЮЧЕНЫ В СНОБНИ ПОСЛЕ НОМЕРА
СТРАНИЦЫ, НА НОТОРОЙ ОНИ НАХОДЯТСЯ
А
АGбсрация элеНТРШJarнитных БОШI 5(;\), 570
А 1шер, единица еилы тона 222, 2(10
Ампера опыт 260, 279
Андерсона моетин: 359
АШfзотропнап среда, ДИЭЛeJ.тричсс[,ан 11] o
lIицаемоеть 33, 43()
маrнитная прошщаемость 28(;, <i [<i,
<i: 6
нлотность эперпш 42
уравнение JIаплас.а 60
элентричееI>ие оеи 33
элентромаrнитные ВОШIЫ <i:)5 <i:J7
Антенна 464 476
биноничеекая 471 473, 493 (.18), -Шi (19)
в полом резонаторе 537 539
влияние зе IЛИ 476
входной импеданс 473
Dыиrрыш .475
кольцевая (петля) 479 48(), <i\J2 (11)
коэффициент нанраВJЮННOJ'О I(СЙСТВIIIl
473 '
линейная 464 '{69
нозбуждаемая в цснтрс М"
ДИ3I'рамма направлеННОСТII 4Ы, 47:J,
.{92 (7, 9, .10)
излучаемая Мощноеть 468, 47Н
излучение беrущей волны H!')
наrрузна на НОнце 466
плотность зарядов 465
поля вблизи 464, 46
вдали 467, 468
потенциалы поля 464
нотери на излучение 467
сонротивление излученин 1(j7
епетемы 474 476, 492 (7, .10)
сопротивление излучешш 468, ;jП, .П::,
480
щ['левая 500 (59, 60)
.\pJ'YMeHT JюмплекснOl'О числа 8-1
Б
I;аркrаузена эффект ,{16
l;apHeTTa опыт 15
<Jффент 418
ber и bei функции 387 3 Щ 41() (20, 21)
]Jеееелев фуннции 175 192
беенонечноrо apJ'YMeHTa 17Н.
венторные поверхноетные -j 81, 2tн;,
512, 513, 526
Б(ч;еелевы фунн ЦIlИ IJТOpOI'O рода 17 6 1 7!)
185, 186, 191 19:1
JштеJ'ралы 178, 179 182, 187, 188
ПУШ'JЮJ'О ПОрПДlШ 185 190
J'раqJJЩ 18(;
IЮjJШI 1I ЧIIСJIСIШЫС :'НШ'lI'ШIН
186
обратное раССТОНllие Н):)
П]JOlIЗПОДПЫС 11 JlНТCJ'раJJЫ 18(;
llepBOrO рода 176
нецелOJ'О НОРЯJ(I.а 1!J1
отрицательнOJ'О ПОРПД1Ш 191
полуце.пО1'О НОРЛЩШ 191, :188
:)\)4, 407 (2), 408 (3)
нредставление в IJиде опрсде
леJlНOl'О интеrрала 187, 198
ПDпменения 1Ю 185. 187 190,
215 ип 93), 216 (94 98), 242, 258(58),
2(Щ :Ю2 (27, 30, Ю, 32), : 92 393, 405,
4(Jtj, 1108 (3), 478 485, 492 (П), 493 (14
17), 4Я4 (20 22), 495 (23),496 (35, 36),
1[!J7 (12 15), 500 (59), 508 510, 512 515,
5:12, 535, 5.{0 (4, 5, 8, 9), 541 (.1O .16),
542 (17, 20, 2.1), 544 (30 32), 545 (33 37),
:,:,() (67), 551 (69, 70).
РШJЛоженне в рнды 182
ренуррентные фОрj\ ЛЫ 178
сферичеение 191, 192, 20 , 478 484.
4ЯО, 493 (.18, .19), 1t97 (39, Ш), 530, 537
548 (52) 551 (7.1)
теорема сложенип 184
]3еес('пн lOдифицироваШIOе уравнеппе 17(;,
192
решение 192
МО;\lнIНЩИРОШlНные фушщии 192, 203
Ьа и bei фушщип 38(; 388,
НО (20, 2.1)
беСIЮНСЧJЮl'О ilIH'YMe1!T11 19/[
ВТОрО1'О рО;(11 H)2 194
IIJJТеrралы 193, 194 199
IШШIЛенснО1'О а prYMeHTa 194
интеrралы 194, 386 3
мнимоrо порядка 204
нецелоrо порядна 202
. нулевоrо ПОРН!(I,а 1!)7 202
интеJ'ралы 197, 199
представлении н виде Ollpe
J\СЛСПНЫХ ИНТCJ'раJlОВ 1\:'7. 199
обратнос растошше 199
полуцелоrо порлдна 202, 203,
:)88 398, 477, 478 (см. танже БессеЩ'вы
ФУПlЩJJИ сферичееШ1е)
187
584
п ред.l!етныЙ у"ааатель
13ссселя !vfодиФИЦИJ!ОlJaIШЬЮ Фушщни прп
менения 194 196, НJ9 202, 215 (92,
93), 216 (99, 100), 217 (101), 242, 24: ,
292 291, 301 (28, 29), 321 (14 16),
\86 390, 407 (2), 410 (19, 22, 23),
411 (26, 28, 3(), 31), 478, 479, 483, 494 (22),
495 (27, 32), 542 (19 21), 541 (31)
РCl,уррентные формулы 193
сферичещие 203, 477 480, 482,
490, 491, 493 (1Я, Н) (см. т;шж(' Бессс
.'1СПЫ фУНJщии сферичесшre; Хшшеля, фуНJ,
I\ИИ)
теоремы С.'10iНешш 199
уравнсние 175
решепис 176, 177
!,ио и Сапарра зшшн 275
БНlIоштрные J{оорпипаты 71 (2), 2 0 (l22
124)
Бртостера yrOJI 442
п
Bl'fJcp, еДИПlща ШПIllТIЮl'О JlО'IОLШ !)'!
Вl'l,,:торпые ноперхноеТllые l'ар ЮJllШИ 1;)7,
1В!
])сеес,;т 18'1. 266, 267, 51: , 52(j
J1СЖaJщра [57, 21i7, 52Н
Бшпорпыii ШШJIOJ' теорсмы J'pJlHa !):3
ВСl{тор потенциал 2Н2 .
Вааимная е шость It7 4!), 12!) 12Я, 240
ВзаимныЙ П(jтенциальныЙ НОЭФФИJ\lIC1LТ
4(j 49, 240
ВааИМOJш,\УJЩШТ зоя, 534. 5: 5
Вllхреные ТОНИ 382 412
в IШОСJШХ ппастишшх :3!)5 40()
мсто)\ изображений 3Я5
3Щ)
момент, дсЙетнующиii на
пращающийся ДИПОЛЬ : HH, :397
ПО.,юм ЦLl.rrJIП;(РНЧ('СIЮ 1 JlJЮВО;\
ПШ,l' :\НН. :1Ю, 405 407
JlО.'lУU('СL>ОНСЧILоii СРС;Т[' е ПJюеlЮП
Т'Р,IТПЩСЙ :\84, 385
С1L,:lOШНОМ ЦlТштндре 38(j \1')1')
lПаре :188 :394
то.пстоЙ 1\Н';НШ;ЦJJ1ЧССIЮIl обо
ЛОЧJЮ 385, 38(i, 4.()5 407
ТOJJl,оi1еф..рIТЧС('JЮЙ IТДСIll,Р :J!J9
403
/j03
I\ПJШIЩРllЧССl;оii НJШJше 40;3
В('I:ТОР JI()тенциа.п ПOJШ :{82 \84,
;J88 ;1!)(j, 40И 407
мощность раСССИJJасмаи 382, 31'>:1,
40;{, 405
раСlJрсделепне п НрО]]ОДШIЮ ;\8;\
Вихрь 5!1, 61 (C I, Ротор)
ВОЗJ\УВШЫЙ аазор п маПIIIТПОЙ цcrш 2\)1,
2!Ю 2!)8
IЮ,:lЫLСШНI j\IШ'ШIТl' 4.23, '.:и
Во,ша, оттре;\сш'нне 4:\3
ВОЛlТовод 501 51!)
поаб\'ждение 511 5Hi, 5/,з (2.3), 547 (1.3)
через отuерстие '512, 515, 516
поапопые 1l()]j('РХН()СТИ 510 (1, 2), ;;10
(.3 5)
в()пны, СIЮрОСТЬ СППШJJа 503
фазопан зоз
ПОJlНОIlОД затухание 503 505, 507, 510 (6, 7)
но аксиальный 509, 510
нзлученис пз открытоrо ШJJща 489
491
51!)
впутрь ПРУПJOl'О UОJПIOВО;Щ 515,
прнмоуrОJJЫШl'О ПО:ШОJJода
5q5 (35)
н:ритичеСI,аи ДJJИIШ ПОJПIЫ 502
нруrлыЙ цишпщрпчесютй 5()7 :JO )
nозБУiНпение ДИПОЛсм 512 :J1 ,
545 (32 34)
тюаксиальной линней 514
затухание 503
с продольной переrОрОДlюii 547
(-16, 17)
ПОjншроuаппый (ОТНОСIIтельпым) Il ше
нанс 51б
ПОЛИ n общем пнде 503
н частных СJJУ'JШJХ 505, 507 509
потторочн() мапштiiые во;;шы '178, 501
нопеРСЧJJO элеJ,чшчеСJше BOJJllbI 477,
501
НРЮЮУJ'ОJIын,rЙ .505. 5Шj
ПО;Jбуаще\JIЮ дшroJН' L ;'1\:3 (2.1, 2С),
;;111 (25)"
r,от,Сllа:lышii тШI!l'Й 51:! (-13)
ШI.1JРНЫ{ОЙ петлей 34:3 (23, 27),
514 (28)
попеРСЧIIЬШ lIрО]jО; ШI :!4.5 (3Ь,
3-7, 88)
затухаппе 5ОЗ 505_
ПJЮСЮЮ неОJ\ПОРО;\IШСТJI '5t{j 519,
547 (48, 49, 5()
шшостные 517, 511'), 547 (48)
IТндутПВllые 518, 51\), 54!)
(ЛJ, 50)
евпзь с JJШJJШВО;\IШ 51'1 51 В, ;'4;{ J:11
(2.3 13)
треУl'О;LЫТОП) НОЩ'j""ШОI'О Сl"Il'ШIН ,OH,
;'',7 (Ц 43)
хаjlш,теРПСТJJ ']ее ЮIМ JШПР;\ШIС 5(1
ВО,JJlОМСjl ; (H
Волны, форма llеСlllТУI'OIца,'IЫТДН JJС'1)]10,Щ
чеСIШЯ :171 :П:J
пи.пообразпап. раа.)ЮFl;('IIIIС'. JI ра.'
фуры :\ 72
МРТО;( IIOВТОjJНЮЩС1'ОСН Hppexok
1I0J'O режима :\72, 37;
прпмоуr'ОJJЫJНЯ :178 (15 18)
СIIII\еОИ;Щ:JЫНIН :)51 : 82
а:lшп-рсшаrшпные (01: JJJCЬ:ТРШШПIf1Т
Jlые полиы)
l'
j'а, IЫШНО1ШТР баJ],lШСТllЧССlшii 345
l'щнLOНlШИ БJJш{сиа.пьные НЮ, Н\1
:ЮllаJJЫlые 139 (см, таюне lJОJJl'рХПОСТ
Jlые J'армоНlПШ)
J;Рут овые 72 80
;\;;IН I\ВУХIljЮПО;\IЮЙ :шшш С Ial-
Ш1ТlIЬШ J\НЛl1ПДРJlчеСЮПI э"раШНl 287.
288
лпнейпш'о зарпда 74
ТОТЮIJ в 1\IIЛl'lНдричеСIЮЙ н:н'rш('
278
поnеРХllОСТНЫU 138, 152, 164
п ред.метный укааатель
585
l'армоники пространственные 133 204
сфероидальные 164 175
Ци.линдричеснпе 72, 133 (си. также
ВесселеlJЫ фУНJщии)
вен:торные поперхностные [82, 266,
267
l'aycca теорема о нотою) ClJIен:тричеСIЮЙ
IШДУJЩlIИ 22 24, 28, Ю, 137, 184, 195
[ауссова система единиц 575, 579
]'ерца вен:тор 432, 461, 463
абберащш 569, 570
волновое уравнешrc 431, 432
l\ЛП сфернчеСJЮЙ волиы 1с60, 4Оl
Допнлер эффCJ{Т 569 571
запаздывающий 463
J'lIрОМ3I'НИТIlЬШ эффеш'ы 417, 418
l'нстерезис 417
J'ра;(lIl'ПТ п I{риволинейных ноордипа:rах 61
I'рrпщ теорема 45, 62 65, 137
векторный ШШЛШ' 63
взаимиоспr 45, 64
при наЛИЧlJll пеОДПОРОl\lЮI'О ди
э-'!(' Н:ТРИI{а 64
ФУIlIЩИЯ 64, 65
Д,НJ ДIJСJШ 214
I;олы а JfО.!Юl'О l плиН)\рпчееJЮI'О
195 1!}6
Iюпуса 161, 1 в2
ПОЛОсти НОП;РIССIЮЙ 163
ПРШЮУI'ОJJЬНОЙ 219 (114)
ЦИЛIшдричесн:оi1: 185, I J5
нрпзмы ПРШlOуrо.льпой 218 (713)
сферы [24
J ИЛIПJДра 183 185
ЭЮНllщлеНТШJЙ слой 67, 68
д
Дакюппе J'lr;llюстаТlР]РCJ,О<' IJ l\JJ;),,'[('J,ТРП
ке 43
ПЛОСJЮЙ элсн:тршrarнптной lJОШIЫ 4:\R
Двойной ЛIlСТ ТOl'Э 4R(j
слой МaI'НИТНЫЙ 2Ы, 21')\)
электричесюrй 25, 26, 67
Декремент лоrариф шчеСJШЙ 327
Детерминант харaI{теристичеСJШЙ 335
Джорджи система единиц 574 580
Джоуля ЗaJЮН 225
Диамю'нетизм 413
Диамаrнитная воспршпrЧJJВОСТЬ 414
ДивеРI'енция 58 61
в криволинейпых Jюордипатах 61
Диполь маl'НИТНЫЙ (см. Маrнитный диполь)
вектор потенпиал поля 270, 425, 426
взаимодействие диполей 425
вращающийсн 396 399
Jюлеблющийся, излучение 479
момент, определение 424, 425
петли, определение 424, 425
электрический 17 21, 460
взаимодействие диполей 18
Iюлеблющийся, излучение 460
;':lИнейный 95, 911
момент, ,J;ействующий на диполь, 18
потенциал поля 17
силы, дейетвующие на диполь, 18
ДИСК нруrлый в ОДНОРОl\НШI поле 168, 169
еi\ШОСТЪ 122
Диш Rрvrлып и кольцевой заряд 214 (87)
точечный заряд 2'1'1 (85)
поверхно тпая плотность :шрнда 122
1I0тенциал 122
в выражении через бесее-тювы
ФУIПЩПП 217 (102)
Э.;I:I11 ILТИЧССКIIЙ, е пюеть 122
lIовсрхностная плотпоеТI, заряда 122
Т(IICI;':IСl;ТРЮ{, l'раничпые условнн 29 31
102, 103
;(IIЭ"lCнтрическая пронпшю юсть 14, 16,
2:\, 26, 32, 33, 68, б\J
Добротность ПОЛOl'О резонатора 522 529,
5:10, 537, 548 (54, 55, 57, 58, 60, 61)
l(OIю:пштельная Фушщия 325, 3:)6
;(()IIII",ер эфф('ю' :i(j\) ;J71 .
1fJ
Е;\ишщы взаПМОIIJЩУJЩJШ З(1!l
l'ayccoBIU 575 57U'
емкости 37
заряда 14
маI'НИТНOl'О сопротивления 28!} 29 t
маrнитной индукции 260
проницасмости 260
НII'ннтодвижущей силы 28H 2Hl
мощноетп 225
папряжеШlOСТII поля маПlИТПОrо 21')V
элентрическоl'О 16
плотности маrНПТJlOJ'О потона (И
потенциала 1fi
ПОТОJШ мю'нитпOl'О 291
размерности 580
самоиндунции 314
сопротивлепин 224
сеБЕ 14
таблицы переход а 575 57H
ТQ]Ш 222, 261
ЭЛCI,ТРОДШJжущей еи.ТJЫ 223, 22/1
ЭJJCJ\трШШI'НIIтные 574 57H
Е;lнпственности теорема ДJШ распр('пеле
нин токов 235
элеКТРО:\1аrнитньiх волн 477
l\Iю'питостатИIН! 263
элентрО4:;татики 36, 66, 67
Емкостные КО<Jффициенты. 47 49
ЕМIiОСТНЫЙ мост 357
Е шость в электрических цепях '327
взаимная 47 49, 126, 128, 129, 240
выражение через сопряженные фУJШ
ции 84
двух полосOI{ копланарных 117 (59)
диафраl'МЫ I! ВОЛllовопе 516, 547
(48, 49)
диска круrлоrо и эллиптичесноrо 122
кольца 207 (26), 220 (119)
опредеJIШlИе 3б
переменноrо воздушноrо I{онденсатора,
поправка на краевой эффект 112 (26),
113 (35)
плоскOl'О конденсатора с кристалли:че
Ским диэлектрином 42
прямоуrольпьш изrибоы 117
(60)
полоrо резонатора 522
по.тrОСЮl и IЮНфШ{ЗЛЬНОI'О ЦI1ЛП1Jдра 11 О
(16)
п ред.метный ,II"аiJаmель
5R7
Импульс плосной волны 437, 438
элеRтронинетичесний 332
Инверсия 96 97, 129 132
в пространстве двух измерений 96,97, 9Р>
трех измерений 129 131
плосностей пересекающихся 132
поверхностей про водящих заряженных
131, 132
сфер пересенающихся 132
Индунтивная связь 329 331, 337 34; ,
359 363, 536, 537
Индуктивноереантивноесопротивление352
ИНДУRТИВНОСТЬ 309 318
в аимная в элентрических цепях в об
щем случае 332 336, 357
ноаксиальных катушек 311, 312, 322
(21), 323 (26)
нонтуров :Ю9 313, 329 331, ::\::\з
344, 357, 359, 362
измерение 345
RруrлыхнолецкоаксиальныхЗН, 31.2
нопланарных 320 (4)
. неноан:сиальных 311, 312, 322
(23), 323 (25)
распо.поженных BOKPYI' цилИJ[
,\ра из мю'нетика 321 (14)
определение и единицы 309, 310
переменная 312, 313
СОЛI'НОlща бесконечноrо и петли 31 l
тороидалыlOЙ наТУШНJl и охнатывюо
ЩeI'О ее IЮ.пьна ;\1 1
;шer,трода и резонатора 5,\5 5:19
соnственная (самоиндунция) ;:114
в цепнх оБЩeI'О вида :1;:l2 33ff, 357
IJыражеJlпе 'Юрl'з неl{тор потенциал
314, ::\17
ДIJУХПрОВОДНОЙ линии 316, 317
собственная днухнронодной линии :шра
нированной 321 (10)
нонтура персменнOJ'О ТОJШ ::l5::\ 375
tЮНТУР С самоиндукцией :126 38'I
I"РУI'ЛОЙ JЮТJШ 315, 316
ВОКРУl' цилиндра нз МaI'нети
на 321 (15)
на векторной дию'рамме 354, 35;'
определение и единицы 314
соленоида 3Н;
TOllНoro провода 314, 315
Ци.пиндра сплошноrо на высOJШХ
'шстотах 387
Индунцин .\шrнитная 2бl, 2HZ
<Dарадея закон 306, 314, 351
Э,'lш{трическая 15, 26, 27, 29, 31, 430
:тСRтромаrнитная в линейных цепях
:Ю6 324
объемных проводнинах 31:)2 412
Индуцированный заряд 14
Интеrрал частный 325, 328, 336, 351 372
J.fрншоу теореl>Ш 25
Li
КlIадруполь ЭШ)l{тричесний 17, 4(Н, 491
(1 3), 492 (4)
Нельвина мост 232, 233
К er н ltei фующии 387
в теории ДИффРЮЩIIН 499
(56 60)
ltИРХl'офа законы 225 227, z;ю, ::l26 3:\;\,
::152, 355, 363, 365, 369
Б.'Jаузиуса Мозотти формула 44
К:ПIН диэ.пентричеСRИЙ 78, 79
ортоrональный к поверхности f!раЩt'НИfJ
134 135
пр водящий 92
J,О.\ШЛCJ{с){ые амплитуды :\;,2 :{72
числа 81, 82 .
J{ онденсатор, емность 3Н
зарядна 327 329
защитные КОЛЬЦ1i 40
опреде.ТJCние 36
персменный воздушныЙ, 'JOнраВ"<l на
l,раеной эффект Н2 (26), Н3 (35)
НЛОСJШЙ 39
с f,РJfста.iIличес!П<м диэ.пеI>ТРИНОМ 42
щIя:иоуrолыlмM И31'ибом 117 (60)
энеРJ'IШ 41
Jlоеледонательное и параJIлельное eo
I';шнения 37, 38
разрядна 327 29
сферический 38
неконцентричеСRИЙ 125 '129, 147, 1118
цилиндрический 39, 86, 87
НeJюаксиа.:Jьныii 86, 87
энерпш 41
JiонИ'юсная ПО':IOсть, фующия l'ринаl (;::1,
[tl4
l,ониче('юн J'раниn.ы 1'18, Iбl Н;"
lЮОР;\flШПЫ 70 (4)
h'OHTYP маl'НИТJJЫЙ 28П 292
поздушный зазор 291, 292
rarнитное сопротивление 2!Il
мш'нитодвижущан сида 289
потOJ, II маrнитных "онтурах 291
тороида.'IЬНЫЙ 290, 291
э.пш,чшчеСJШЙ 329 3;;1, : П 34::1
l,о;тебанпя :l40, :141
ПССТ1ЩJНlIН\рНЫЙ 1'01.. ;\25 ::\5()
эне)н'еТ1fческиР СООТНОflЮНИН
:125, 320
переЖ'ШЮl'О ТOlШ 351 : (П
электричсеI>ИЙ ПlJреi\JеНIЮl'О ТUШ\, lЮ:Jф
фициент ПО.'Jезноrо дейстшfЯ 354
МОIЦRОСТЬ нередаваеМ8Я 356
мощность потребляемая 35: .
;\;'4
НССИНУСОllдальная э д.С. 371.
373, 378 (15 18)
отрипате,'Jьное СОПрОТlПJЛNIИIJ
;\74 376
: S6
устаношшшииен реШflМ З51
ПОС. 1 1С;lОвательный : 26 ;12!1
:шрядн:а "онденеатора ;:27, 328
:t8туханис ;127
lЮ('ТОlПшая вреl\Н'НИ ::129
ра:ЧJЯДRа конденсатора : 21, 328
чаСтота колебаний 327
lюеТОЯНJЮI'О тока
1fзобрашениu 285, 288
fаrнитное но.пе 261) 305
си, 13 В:JaJfмодеiiствия НII'lПlТ
нан 278 281, 308, 310, 318
деЙСТВУЮlцая на КОНТУР
н IaJ'НИТJJОМ ноле 278 281
энерrин взаИМН1IН ;J,B\ X ЕОН-
ТПОII ;101:), :\10, 318
588
п pea.l"eтHbIil укаfютель
Конус, фУНIЩИЯ [рина lШ 164
1\ОНфОJ{альные J{оординатЫ 104, 1(И 17!1
(01. таюке Эллинтичесюш координаты)
сфероиды сплюснутые [G4 17:\
вытннутые 1.72 , 174
нилиндры rшшрбо;шчесюrc !18, В\!
параболическпе 92
ЭЛ.,lИПТI1ческие 98, 99 ..
Э...IЛинсоиды 120, 121, 1б4 174
Нонфорыные преобразования 87 10B
пшерБО;J нонфокальных 98, \1\1
равнобочных 92
l'раницы в пара;\штрической ФОlше 88
двух цилиндров 85 87, 89, \)()
крыла CaMO.:IeTa 102
мпоrоуrО::Jьнина с заКРУI'ЛСНIIЫ 1 YJ-
лом 10f)
парабол Rонфокальных 92 .
ПЛОСJЮСТП В плоскость со щелью [()()
с круrлым цилиндричеСRИМ BыeTY
пом И.ClИ выеМJЮЙ 115 (49)
полосни в биполярные ортоrонаЛh
. llые окружности 89
применения, двухмерный дипо.:IЬ 94
инверсия 9б, 97
к к:шну 92
;ltarнитным полям 29f) 298;
: Щ 304 (35 38)
ТОJШ 1235 2:Щ 246 247
Э;Н НТРllческим полям 88, 92 '
109
элш,тромаrнитным ВОJlнам 45:J,
;)18
на рпмановой поверхности 10[
решетии 94, 99, 106 108, 111 (22)
сопряженных функций 88 90
ЦИЮIOидальной волнистой поверх
ности 88
цилиндра КРУI'лоrо в эллиптиче
ский 102
Шварца \)() 1()9
;:\нухмерный ДИПОЛЬ \14, 9;)
:rHYx УI'ЛОВ 97 99
инверсия 94, 97
Rлина 92
крыла самолета 102
на римановой поверхности Н)]
lю.,УПЛОСКОСТll n полоску 98
lo()
)т.па нецелон:ратноrо '[CJ2 109
отрицате;JЬНOI-О 94, 95
ПОЛОЖИ'l'елыюrо 92
paBHoro нулю 92
электрических токов 235 23\), 24fl
247
э:r,ClIШСОВ нонфокальных \18, ЩJ, 10;2
НОЭРЦИТИlшая СИ:Jа 41б
Н:РИНО,'IIJнейные Iшордииаты IЮ ()2
Н:ристал.:I, элеJ{трпческие свойства :И, :12
I-\:РУI'лые петли с ТOIюм, вш,тор потеНl(Jш.1
поля 270, 271, 273, 274
взаlШUJJНДУJЩИЯ 311. 312
коаксиальные, сила взar1;\IO '
дейстштн при постоянных тонах 280, 281
маrнитное поле ПОСТОЯНПЫХ
тонов 270, 271. 273, 274
переменныii 1'01;:, нзлучеНIIС
479 481
самоиндукции 315, 316
I руrлые пеТ.IИ с TUROIIl ЭI,ранированпе
при помощи НЛОСJЮI'О листа 399, 400
КрУI'овые rармоникп 72 78
Нулона заRОН 13, 27, 28
OI'раничепия 14
J юри ЗaJЮН 414
.1
.:Jапласа оператор (lIапласпан) 60........-vз
применительно к векторам 262, 265
267, 382 384, 387, 388, 393, 431, 455,
501, 510
уравнение GO 62, ()9,. 82, 133, 137, 166,
175, 176, 233, 510
в анизотропном диэлеКТРИI{(j 61
неоднородном диэлеКТРИRе 60 62
ортоrональных r;:риво.пиноlrных
IЮОjJДинатах 61
прямоуrОJIЬНЫХ Iюордннатах 60
сферических координатах 62, 134,
136
сферuидаЛЫIЫХ координатах 134,
1М, 172 ..
цилиндрических координатах б2,
175
при nрilщении сопряженных фунн
пиЙ [33
применительно н токам 233
решения в двух измерениях 72 117
трех измерениях 131 221
Jlежандра ноэффициенты 141
полиномы 140
l'раф}]]{ 144
интеrра.тIЫ 142, 143
м:нимоrо aprYMeHTa 145
и беСRоне'lliOl'О 145
примененип 145 148, 210 213 (57
79), 240, 241, 267, 273, 274, 280, 281,
:И2, 313
производньJC 140
разложение 141 .
рекуррентные формулы 142
Родриrа формула 140
таблипа 144
уравнение 139
решенне'в пиде рядов 139
рш;:уррентные формулы 13u, 140
фушщии 148 174
nтoporo рО:1а 148 153
выражеНllС черса ПОЛИIШМЫ
150, 151
j\JНШlOrо apJ'YMeH!a. 151, 152
П}JIIмененне к теории ,потен
Щlзла 152 .
pel YPpCIITlIblC формулы 149,
158, 159
ридЫ 149, 151
чис:rеппые значения 151
робноrо ПОрllДRа 153
ном:плекспоrо порядна 162
перnоrо рода 153
I'ИПСРI'еометричесние ,ряды -15
пrпr()сДиненные (см. ПlJИ оединен
НЫР ФУШЩШI Jlежандра)
JIинзы электроетатичесние 203, 204
;;Тнния передачи пеРРМeIШЫХ тонов, ДBYX
ПРОJ]о ная 452 45!r
,,'
п редметиый укааатель
589
Линия передачи нере:Vlенных ТOlюв, ДBYX
проводная неидеальные ПРОВОДIПJКИ
452 45.4
ДиэлектричеСIШЯ 494 (20, 21),
.ж, (26 29)
коаксиа.пьная 509, 510, 515
излучение OTHpblToro KOH
IЩ 18\1, 4\10
(12, 13)
не отражающие уступы 541
.
.'i'iO, 511
плоская
неоднородность
457 (14)
коническая 469 471
Iюнфокальная эллиптическая
450, 451
отражение от неодпородности
переход от сосредоточенных
параметров к распределенным :370, 371
полые трубы 501 5H!
рупор секториальный 549 (15,
16), 542, 543 (17, 18, 21, 22)
с диэлектрическим покрытием
496 (30 32)
цилиндричесная 447 450, 457
(13, 16)
ЛOl'арифмический декремент затуханин 327
потенциа.п 72 74, 84
Лорентца преобразование 552, 553
м
Мю'нетрон 559, 560
критическая частота 559, 560
Мю'нит, иша 420, 424, 425
Jюльцевой с воздушдым зазором 422,
424 '
подковообразный 421 423
IIОСТОЯННЫЙ 417 42б
I'раНИЧНЫе условна 420
сферический 420, 421
в среде из маl'нетика 421
цилиндрический 419, 423, 424
энвива.пентная lJленка тока 418, 419
lапштная воспр.киычивость 414, 415
Иl'ла 419, 420, 424, 425
индукция 260 262
антеШIЫ 465 (с:и. тю,же АНТf'нпа)
Био и Савара зшюн 274
Jj анизотропноЙ среде 28Н, 4:)5, 4:Ю
двухмерных полях 286 288
ПОJIЫХ резонаторах 519
. шаре 39 394
элентромаl'НИТНЫХ нолнах 434
IJихrевых ТOIЮВ n ПЛОСКО:V1 листе ;)94
внутри ЦИ1IИlцрической ПОJJОСТП в
lЩJПШДРИЧЩ,НОМ стерлше 277, 278
выражение через Bel,Top rерца 4:32
веКТОIНlOтенциал 383, :184
две СJ,а. IЯрные фушщтш :183,
;;84
l'рЮШЧНЬJе УСJ10ШТЯ 283 284
ДВlIжущеJ'ОСН зарн;щ 561, 5б3, 5(;/1
двухпроводной юпшп 2б9
ЭJiраннровзпной 287, 288
ДИВСРl'еJЩИН 2(j2
диполи l'ОJlеблющеJ'ОСП М:Ю'lШТНOl О
479
Iliаrнитная индуНЦIШ диполя нолеблюще .
rося электрическOI'О 460, 461
единственность 263, 2б4
ИНТCl'рал по замннутому I,ОllТУру
262, 279, 282
контура линейноrо 275
определение 2БО, 2б'l
оста точная 417
переменнOI'О тока при экранировании
в ПРОВОДНИJ;ах 386 394, 403
:)ЩJ
4()7
петли КРУl'лоii 27U, 271, 273, 274
распространение 383, 431, 432
в проводшше 382, 445, 446
ротор 2А2, 382
сила, действующая па движущийся
заряд 557 559
соленоида с произвольпым шаrом: oo
мотки 275 277
ТОНОВ В сферической П.iIенне 271
273
цилиндрической пленке 278
элентрона, движущеl'ОСН ПРЯ;ИО1IИ
нейно ускоренно 563 565
проницаемость 261, 413, 414
анизотропной среды 286, 414
в цени маrнитной 289, 290
выражение через нам:аrничеиие 281
l'раничные условия 281 284
зависимость от температуры 41/1
и энерп1Я ПО1IЯ 309, 31 )
относительная 261
переменшlН 282
ферромапштных сред 415 418
l\fЮ'ШIтное взаимодействие тонов 260 304
ПО,lе, ШШтор потенциал 262
действие на контуры 310, 318, 378-----
:181
папряженность 289 2H1, 415 417
l'раШIчные уеЛОВИJf 290
единица, эрст('д 28\1
натяжения 318, 3'lH
плотность энерпIИ 309
потенциал скалярный 289 291 (см.
таЮRе МЮ'ШJтодвишущая сила)
еопротипление 289 292, 296 298, 422
МlIШИТНЫЙ П1стерезис 417
ДlШОЛЬ 260, 261, 270, 424, 425, 42б
11 волноводе 544 (28). 545 (33, й4)
'I,Omyp 289 292
,шет 261
)юмент 2(1), 419, 425
lИЛЮС 420
lЮТClЩlШ,I векторный 262
СIЩ.iIярныii 289, 290
110ТОК труБШI 268
МаПIИтодвижущая сила 289 2 J1, 421, 422
I'рЮIИчпые условин 2 Ю
I\lансвелла l'иро:vrarнитные нффекты 418
)[ртод изображениЙ для пнхррвых токов
;\H5 ;)99
тон с:vrещеНIJЯ :382, 4: 0
уравнения 4:)0
IlllНlIриаптность Прll JI!Jl"оuразоваНIIII
.lорентца 557, 565, 5G6
l\Iacca, изменение со енороетью 554, 556
продопьнан п иоп('речш\Я 556
l\Iезон 15
590
п редметuый укааатель
МИ.ПЛИlшна опыт 15
Модуль IЮМПЛеЕСНOl'О числа 81
Момент, действующий на диамю'пнтньш Te
ла 319, 413
диполь мю'нитный 424, 425
вращающийся над ирово
дящим листом 398 400
элеЕтричесний 17
вблизи диэлеЕтричеСЕоrо
шара 219 (116)
ДИСI{ в элш,тричесном поле 168
170
диэлеЕтричеСЕИЙ сфероид 214 (84)
эллиптичеСЕИЙ цилиндр 1 03
106
диэлентричеСЕое тело 68
заряженные прОВОДНИI{И 49, 111
168, 169
нристалличеСI{ИЙ шар мапlИТНЫЙ
(20),
415
МЮ'Ш1тные Иl'ЛЫ 425
парамаrнитные тела 318, 319, 413
петлю с ТОЕОМ 2БО
ПОЛОСЕУ В однородном элеЕТРИ
чеСЕОМ: поле 111 (20)
сферичеСЕИЙ маrнит (шар) в OДHO
родном мю'нитном поле 420, 421
неодпородном маrнит
ном поле 420
сферичесную оБОЛОЧЕУ, вращаю
щуюся в маrнитном иоле 409 (12)
цидиндричеСЕУЮ плеНЕУ, Bpa
щающуюся в мю'нитНОМ поле 409 (16)
Мощности Еоэффициент 354
Мощность 353
веЕтррная дию'рамма 355
излучаемая антенной 467 469
минимальная 235
проходнщая через отверстие 491
рассеиваемая в волноводе 503 505
полости 522 523
по.пупространстпе с ПЛОСIЮЙ rpa
ницей 385
сопротивлении 225, 235
сплошном цилиндре 387
ТОНЕОЙ сферичеСЕОЙ плеНЕе 403
цилиндричеСIЮЙ пленне 405
шаре 392
вихревыми ТОЕами 383, 385, 387,
392, 403, 405, 503 505, 522, 523
при СШJН эффенте 385, 387, 392
эффеЕтивная 353, 354
Мультипо.пь 17, 461
излучение 461, 479, 480, 491 (1 3)
н
НаМaI'ниченность 281 283, 413, 414, 418,
419
в нриста.пле 415
III'ЛЫ 419, 420, 424, 425
интенсивность 281 283, 413, 418, 419
нольцевOI'О маПJИта 423, 424
Еривая намю'ничивания ферромаrне
ТИRа 416
ПОДЕовообразноrо мю'нита 421, 422
при вращении 418
рапномерная 418, 419
н амю'ничивающее поле 415
n ИОДЕовообразном маrните 421, 422
Напряженность маrнитноrо поля 289, 290
I'раничные УСЛОIJИЯ 290
единица 289
элеЕтричеСЕоrо поля 16, 30, 8<:1
в анизотропной среде 31 33 40,
435 437 '
диэлеЕТРШШ 30
ПЛОСЕОЙ во;ше 433 437
поле излучения 431 4з.з
выражение через веЕТОР l'ерца
432
веЕтор потенциал 307, 382
элеЕтродинамичеСIП1е по
тенциалы 431
rраничные У словия 29 31 102 ,
103 ' ,
ротор 306, 382
Натяжения в диэлеЕТРИЕе ЖИДЕОМ 4:1, 44
сжимаемом 43
маrнитном поле 318, 319
элентричеСЕОМ по.пе 27, 28
на rранице диэлеЕтрина 30, 43
с проводшпюм 29, 30, 42, 43.
силовых труБОЕ 27, 28
Непрерывности уравнепие 223, 225 245,
249, 430, 4б4 '
в анизотропной среде 249
двух из reрениях 235 239
ТОlJRОЙ пленне 244
трех измерениях 223, 233, 2-'19
Обратное расстояние 141
о
Однородная на:иаrниченность 417, 418
Однородное lJOJЮ МШ'IJитостатичеСЕое, BeK
тор потенциа.п 2б3
в цилиндричеСЕОЙ по.пости 277
внесение в поле тел различной
формы 290, 300 (17, 20), 415, 418, 419, 425
движение заряда 558, 559, 5f)7
569
релятивистсное преобразоuанир
565 569
ЭЕранирование оБОЛОЧЕОЙ из Mar
неТИЕа 290
энерпш 309
релятИВИСТСЕое преобразование 567
569
элеЕтричеСJюе, внесеНIЮ в поле тел
различной формы 76 78, 103, 105, 111
(18, 20), 125 (123, 124), 168 170, 172,
174, 175, 209 (44), 212 214 (69, 74, 80
84), 21б (97), 220 (120, 121)
движение заряда 567 569
оrраниченное 88, 94, 99 101,
10б 108, 111 (22, 23), 115 (48, 49), 167,
168,174,175
Ома зююн 224, 225, 352, 4:12
Операторы 11 общей теории цепей 333 335
ОптичеСЕие оси нристалла 436
ОртоrоналыlOСТЬ сопряженных Фуннций 83
Ортоrональные и ЭЕвипотенциальные по
верхности 120
ОРТOl'ональные Еоординаты 60 62
l'радиепт 61
п peo.Memublii у"ааатель
5.91
ОРТОI'ональные J;сордипаты диверl'енцин
61
Лапласа урапнеппе 61
при вращешlИ СОПрПШl'нпых ФУНКЦИЙ
133 134
'Пуассона уравпение 61
ротор 61
OCTaTO"!IHaH МaI'питная IJlJЛУJЩИН 416
ОстрOl'раДСКOl'о rаусса теорема 58, 59,
64, 222, 281, 309
Относительности специальнан теория 552
571
ипвариантность зарпда 557, 558,
566
уравнений Максвелла 557,
565, 56б
Лорентца нреобразование 552,
553
МlIсса зависимость от скорости
554, 555
попереЧlJан и продольнан 556
постулаты 552
применение 5б1 56
п
П араболичесште ПИЛJlllДlJl1чесние J{ООрДJ[
наты 70 (6)
IIарам:аl'нетизм 414
ПереХОДПJJО процессы в линейных пепях
325 350
пихревые тони 392 394, 400, 401,
405 407
Плоскан решеша 94, 99, 10б 108
ПЛОСlше волны 430 458
Плоско параллельные про Водящие пласти
ны 39, 40, 93, 94, 112 (26, 31), 113, 207
(31, 35, 36)
бесконечный набор 111 (24)
длн созданин однороднOl'О ПОЛн
Ц1 (25) .
Плоскость диэлектрическая, изображение
линейноrо зарнда 78
точечноrо заряда 122, 123
проводmцая 39,40,78,79,94,97, 115 (49)
изображенин линейноrо заряда 78,
79
точечноrо зарнда 122, 123
и сфера 129
пилиндр 85, R6
по.лубесжонечная со ще.лью 100
преобразованне 93
с отверстием 167, 168
Поверхностнан плотность заряда 17
ПовеРХНОСТШ,Jе rаРМОНИЮ1 137, 138, 152
вш{торные, сферические 157, 2б7
цилиндричесние 182, 266, 2б7
дифференциальное уравнение 13б
зональные 139, 148 (см:. также Ле
жандра полиномы)
BToporo рода 148 152
lJыражение через полиномы
Лежандра 150, 151, 152
МШIМOl'О apl'Y reHTa 151,152
ренуррентные формулы
149
рпды 148, 149
численные значенин 151
Поперхностные rармонини ЗОНllЛЫlые IШМП
лексноrо порядна 1б1
нецелоrо порядка 152, 153
ОРТOl'ональность 137
110ЗИТРОН 15
Пойнтинrа Умова вентор 433
в волноводе 504, 515
нристалле 436
проводнике 446
диффрю'иропаннOl'О полп 49Н (46,
47), 499 (50, 52)
для .линейной антенны 467
комплексный 451
определение 433
отраженный и преломленпыii 44и
442
От проводника 446 447
УI'ОЛ с фронтом волны 434
энерпш плотность 437, 438
]10казатель преломления 439
Полый резонатор 519 539
биконический 549 (58, 59)
возбуждение 534 539, 550, 551
(66 70)
волновые поперхности 548 (51 53)
длина волны резонанснан 519
добротность Q 522 530, 537; 548,
549 (54, 55, 57, 58, 60, 61)
е шость 521
поля 523 52б, 529, 532
призматичесшп1: 549 (56, 57)
ПРЯМОУI'ОЛЬНЫЙ 524
с диафрю'мой 550 (62 64)
резонанснан частота 520, 523, 524
526, 527, 530 534, 53б 538, 548, 54У
(54 56, 60)
с отверстиями 530
влинние затухания 522
самоиндукция 5'21, 522, 527 529
сложной формы, метод Хана 531
533
собственные колебания 519 53 J
сопротивление активное 52:1
сферичеСJШЙ 529, 551 (71, 72)
ток эквивалентный 521, 523, 525
530, 534 539
треУI'ОЛЬНЫЙ 548, 549 (54, 55)
цилиндричесний 519 521, 523, 524
мноrосвя3JIый 526 528
ноансиальный 528
НОНфOIшльный эллиптичеСlшii
549 (60)
некопцентричесшrй н:руrлый
549 (61)
Поляризации уrол 442
Поляризация элентро:наrнитной волны 4:15,
440 443, 447
n анизотропной среде 436, -137
волноводе 501 519
поле антенны 465 469
диполя 4б2, 479
НРУI'овая 443
при диффракции 481 484
отражении от проводника 446,
447
полном 444
ЭЛЛиптическая 442
Потенциал векторный ансиалыш симме
тричноrо поля 268
592
п ред.метный указатель
П()Тенц ал векторный вихревых ТOIшв,
метод изображений 394 399
волновое урапнение в nРОВОДНИI;:е 383
выражение для электричееlшrо поля
через потенциалы 307
через две сналярные функции
383, 384
J'рЮIИчные условия 282 284
сдинственность 264
неустановившийся режим в сфериче
cHoii пленне 402
толстой ЦИ;'lиндрической
оболочне 405 407
шаре 392 394
поля диполя 270
двухмсрноrо 286 288, 296
298
ИJ'лы маrнитно!-i 425
линии двухпроводной 269
экранированной 287, 288
маrнита нольцевоrо 423, 424
однороднOI'О 263
переменнOI'О тона в нроводниках
383 385, 388 390
сферичесной пленне
400 403
шаре 390 394
петли RрУШОЙ 270, 271, 273
llыражения 300 (22), 301
(24, 26, 27)
плснки сферической с тоном
271 2.74
тона линейноrо 285
перпендикулярноrо J'рани
це раздела 285
ТОНОВ В цилиндричесной оболочне
(пленне) 278
трансформатора броневOI'О типа
423 424
' TpexMepHoro 262 288, 292 295
экранирование ТОНJ;:им плоеJППI ли
СТОМ 395, 398 400
тонкой сферичесной пленкой 400,
401
цилиндрической ПЛСПhОЙ
403 405
элентродинамичесний 431, 432
_ в резонансной полости 519 539
волн в трубах 501 519
ПЛОСI{ИХ 440 460
сферичесних 460 500
волновое уравнение 431
выражение через вш{тор rep
диверrенция 432
единственность 477
запаздывающий 462, 563
ДВИЖYIЦCJ'ося заряда 561, 562
поля антенны 64
ноничесной лпнии передачи 4(j\)
нормированный в полости 534,
ца 432
535
перпендинулярный В 384
петли с тоном 479, 480
_ решение в сферичеСIШХ IЮОрДИ
натах 477
цилиндричеСIШХ КООрДИIJа
тах 484
спойство ортоrональностп 534
Потенциал векторный элеI,тродинамиче
ский, связь со скалярным потенциалом
432, 460
квазивCJ{ТОР 284, 285, 310
rраничны!с) условия 284, 310
лин йнOl'О 1'01\3, псрпендикулярноrо
J'ранице раЗ;:J;ела 285
распрсделения тока 224
в проподящих средах 234 244
слоистой Rсмле 24: , 244
сплошнтl цилиндрс 242, 243
сферичеекой пленке 245, 246
ТОНJшй плеJше 244
J'рШIИчные условия 234
двухмерный 235 239
- на поперхности вращения 246,
247
СJШЛЯРНЫЙ маrнитостатичесшrй 289 291
элентродинамичесний 431, 432, 462
ВОJJновое уравнение 432
выражение через вектор rерца
432, 457 (12) .
движущеJ'ОСН заряда 561 563
диполя 460, 461
заназдывающий 462
снязь с векторным потенциалом
'lЗ2
электростатичссн:ий 16 221
ш{сиально симметричнOl'О поля 69
в lшльце полом цилиндрическом
190, 218 (105)
системе с ноничссними rpa
[JИЦЮШ 148, 152, 160 162, 213 (78, 79)
сферичесной оболо'же 146,
147
вб.'IИЗИ нейтральных (paBHOBec
ных) точеI{ 160
- rармоничеСlюе распред!с)ление за
}JII]Щ 138, 171, 172. 214, (89)
rрадиент 16, 61
I'ранпчные условия 30 32, 102,
1и3
двоi-iноrо слоя 25, 26, 67
двух шрнOl'О пою] 72 118
диполя 17, 219 (115)
диска проводящеJ'О 122, 167
17И, 211 (63), 214 (85 87), 217 (102)
дифференциальное уравнение 61,
62. (см. также Лапласа уравнение)
сдинственность 36, 66
. варяда линсйнOl'О 72, 74. 84 (см.
тю-;а;е RрУJ'овые rармошп{и)
11 диэлентрическOl'О I\ЛИ
на 78 R1
оБЪСМНОJ'О 17, 65, 66
HOBepxHocTHoro 17, 64
[1 функция ПОТОIШ 83, 84, 102
I;:вадруполя 17
Iшина с ВЫПУIШОСТЫО 134, 135
l;ольцевоrо заряда 145, 214 (86),
2.1(j (99), 217 (1m)
.:lOrариф;\шчееJШЙ 72, 74, 84
макепмумы и минимумы 25
шюrОУl'ольника 90 (см. танж()
I ОllфОР)lНые преобравования)
НV;'lь 16
пiш пзоGражениях 78, 79, 122
128, 130. 131
инверсии 96, 97, 130, 131
п ред.метnый указатель
593
Потенциал сналярный элентростатичеСI\ИЙ
НрОВОДНИl\а в однородпом поле 76
78, 167 169, 174, 175, 220 (120, 121,
12.З)
суперпозиция 17, 45, 46, 78, 79,
96, 100, 103 105, 108, 123, 145, 146,
169, 185, 188, 200
тора заряженноrо 219 (118)
незаряженноrо между I!ЛОСНО
СТШНI 217 (101)
точечноrо заряда 16, 172, 18::1,
199
в цилиндричесной поло
стп внутри диэлеНТРИl\а 200 202
вблизи диэлентричеСI\ОЙ
пластины 188, 189
выражение 136, 138, 145
148, 158, 163, 164, 166 172, 183, 199,
215 (90)
TpeXMepHOJ'O поля 119 132
Фуннция потенциальная 82 84
энвипотенциальные линии 20, 21,
22, 90, 100, 104
элеl\тростатичеСI\ОЙ линзы 203
1I0тенциальнан энериш диполей МaJ'НИТ
НЫ:Х 425
элентричеСНlIХ 18
нонденсатора зарнженноrо 41
Потенциальный ноэффициент 47 49
взаимный 47 49, 240
собственный 47 49, 240
Поток маrнитной ИНДУI\ЦИИ в воздушиом
зазоре 291, 296 298 .
торе 290, 291
единица, вебер 291
переменный 306, 351
рассеяния в трансформаторе 292
296
ПОТОl\а плотность маиштноrо 261 (см.
танже l\1аrнитная индунция)
IIостошшая времепи I\онтура 329
распространения 3R3 371
Преломление маиштных силовых ЛИНИЙ
290
оптичееное 438 442
элентрпчеСI\ИХ силовых линий 31
IIреоб}Jазование Д0рентца 552, 553 (см.
тш>же Относительностп специальная Te
ория)
Прпсоединенные Фушщии .:1ежаидра 153
164, 167 174
биar,сиальные J'армонИJ,И 1ои,
на
большOl'О
apJ'YMeHTa 155,
167,
174
выражение через Фунющи Лежан
дра 153 _
деЙСТПIIтельнOI'О aprYMe!ITa 153
174
дифференциалыше у}JавнешlC
1;):1
интеrрал Лапласа 155
от произведения 155, 157
МНИМОrО aprYMeHTa 155, 157, 166
173, 263, 300 (21, 22)
нецелоrо порядна 161, 162, 219
(18), 220 (119 121), 257 (57)
поверхностные веIпорные "ap
МОНИJШ 157
38 В. СмаЙт
Присоединенные фушщии Лежандра, при
менения 159, 163, 164, 168 175, 214
(89), 215 (90), 263, 267, 272 274, 300
(21 24), 301 (25), 312, 321 (12, 13),
389, 392, 402, 403, 408 (2, 5), 409'
(11, 18), 411 (29), 478, 479, 482 484,
491, 493 (18, 19), 497 (39, 40), 529
реиуррентные формулы 158, 159
специальные значения 159
таблицы 154, 155
11 роводимость 224
IIроводник, rраничпые условия для тонов
234
в электростатине 29, 30, 44
емкость 36
заряды внутри 15
на поверхности 29 (см. танже Заряд;-
Заряда плотность)
линейный, токи 225 233
момент, действующий на зарнжеНIlыii
проводнин 49, 50
натяжения на rранице с диэлеRТрШЮМ
43
поверхности проводнина 29, 43
объемный (массивный), распределение
тонов 233
определение 13
сила, действующая на зс:.ряженный про
воднин 30, 44, 49, 50
элеНТРОМaJ'нитные волны в проводнинС'
445, 446 .
энериш системы заряженных провод
ников 49
Пуассона уравнение 61, 65 67, 230, 251,
460
в ортоrоналыlыx нриволинейных
ноординатах 61
решение 65, 66
IJ
РаВНDмерная нам:аJ'ничеIШОСТЬ 418, 419.
Разностные уравнения 127, 227, 228
Распространения постоянная 363 371
в линии пер()дачи 370, 371
свободном npocTpaHCTlJe 450
фильтре простом 363 370
тииа М 368 3()9
Реан:тивная проводнмость 355
РеаI,тивпое сопротивление 352
Резопатор нолый (см. Полый резонатор)
Релансации время 445
Релятивиетсние прсобразовашш для СИ lЫ
555, 556
скороети 553, 554
уснорения 554
l'eHTreHoBcHoe излучеиие УСlюреппOI'О ЭЛСI,
трона 563 565
Решетна заряженная 94, 98, 99, 106 108'
Риманова поверхность 101
Родриrа формула 140, 141
Ротор 61, 62
в ОРТOI'ональных Iшординатах 61, 62
сферичесних ноординатах 70 (2)
цилиндрических ноординатах 70 (1)
,rрина вен:торная теорема 63
Рупор сенториальный 542 (15, 16), 542-
(17, 18, 21, 22)
594
п реа,l/еmный указатель
с
Самоиндунция 314 317, 32U 331 , 337
344, 359 363
Связанные нонтуры 329 331, 337 344,
359 363
Сила, выражешIC через ФУНIЩИЮ rрина 65
действующая на диамаrнитные тела 319,
413
диполь маrнитный со стороны ви
хревых токов 398, 399
элентричесний 18
диэлентричесние тела 68
заряды, движущиеся 557 559.
5ББ
liOHтypbl электрические 278 281,
298 (5), 299 (6, 7, 1O 13), 300 (15), 308,
310, 318, 323 (8)
нарамаrнитные тела 413
поетоянные маrниты 421 425
проводники заряженные 49, 127
сферы 127, 131, 220 (125)
Iюэрцитивная 417
между МaJ'НИТНЫМИ ИJ'лами 425
сферой и ПЛОСIЮСТЫО 129
преобразованип сил 555, 556
Силовые линии МaJ'НИТlюrо поля 295, 433
(см. таЮI\е МaJ'нитная индукция)
электрическOI'О поля 20, 21, 22, 76,
77, 86, 94, 97, 98, 99, 100, 104, 108, 201
диполя 19, 21
диффереJЩIшдьное уравпение
19, 20
зарядов 19
КОЛЛJJнеарных 24
на бесконечности 25
rранице диэлектрИIШ 30
проводника 29
натяжения 27, 28
Синусоидальная Э.д.с. 351 376
Сюш слой, ТО,JЩИIШ 384, 504, 521
Скин эффе]{Т 384 388
II цилиндре полом круrлом 386
сплошном 386 388
шаре 390 394 (с,,{, таЮI\е Вихревые
токи)
на плоской поверхности 384
Смещение электрическое 22, 26, 29, 30
(СМ. таюне Электрическая ИНДУIЩIШ)
Собственная еМlЮСТЬ 47 49, 126, 127, 240
Соленоид 275 277 (см. также JIндунтив
ность; МaJ'нитная индую ия)
Сопротивление биконической антенны 473
в цепях переМleнноrо ТOJ,а 352 (см. тш{
же Импеданс)
выражение через емность 236, 239
ВЫСOJючастотное цилиндра 386, 387
земной норы 243, 244
излучения 462, 4Н8, 473, 480, 491
коансиальной линии, соединенпой с
прямоуrольным волноводом 516
ленты переменной ширины 237 239,
259 (63)
линии нередачи 370
М3I'нитное 291, 292, 296 298, 422, 424
ВОЗДУШНОJ'О зазора 292, 296 298
тора 291, 292
между ЭJJектродами удаленными 236, 240
Сопротивление на векторной дию'ра ше
354, 355
определение 224
отрицательное 374 ;П6
петли в полос.ти 537
полш'о резонатора 523
нредельные значения 247, 248
нри неустановившихся процессах 325
;150
резонансной щели 499 (55)
удельпое 224
анизотропной среды 249, 250
штыря в полости 538
Сопряженные ветви в ценях переменноrо
тона ;j57 359
ПОСТОЯННОJ'О ТOIШ 232
фУНIЩИИ для двухмернOI'О диполя V4
инверсии 94 96
клина 92
линейноrо заряда 84
вблизи плоскости со щелью
100, 101
между плоскостями 86
маrнитнOI'О поля 296, 297
НЛОСJЮСТИ со щелью 100, 101
НОЛОСI{И заряженпой 99
проводпиков В линии передачи 452
реuштки из КРУJ'ЛЫХ цилиндров
10б 108
ПЛОСIШХ полоеок 99
тонких проводов 94
цилиндра 85, 86, 98, 102 10Б
на римаНОВfJll поверхности 101, 102
нахождение 88, 89
ортоrонаЛЬНОUfЬ 83
применение в задачах 110 117 (17
60), 256 257 (43 50), 257 (55), 303 (35
38), 457 (13, 14, 16), 547 (48 55)
теОрИII токов 236 239
1, нолоеке переменной ШИРИНЫ
237 239
Статичесюю маппшы 14, 222, 223
Стационарный процесс в контуре перемен
поrо тона 351 381
после переходноrо 328, 330, 331
СтереOJ'рафическая прошшия 245, 246
CTOI{Ca теорема 59, 308
Сферичесние J'армонИlШ 136 164 (см. Т,Ш
же Поверхностные J'армонини)
вихревых токов 38в........-391, 400 403,
Ю7 (2, 5), 409 (11)
в линейных контурах 273, 274, 280,
;И2, 313
теории электромю'нитных волн
477 479, 480, 493, 500, 504 (18, 19),
506 (39, 40), 538
электроетатине 138, 145 147,
1БО, 162 164, 212 (70), 213 (79)
разложение вентор потенциала 268
распределение токов 341
координаты диверrепция 61
оператор Лапласа 62
ротор 70 (2)
Сфероидальные J'армоники вытянутоrо сфе
роида 172 174
выражение для взаимной ин
дунции 321 (13)
дпэлектрический сфероид 214
(82, 83, 84)
п ред.меmный укаааmель
595
Сфероидальные rармоники вытянутоrо
сфероида, обратное расстояние 215 (90)
потенциал векторный поля пе
ТЛИ с током 301 (24)
rармоничесноrо распреде
ления зарядов 214 (89)
нрименения n элентростатине
214 (82 84, 89), 215 (90)
I{ линейным цепям 301
(24, 25), 321 (12, 13)
самоиндукция 321 (12)
сфероид в однородном поле
174
сплюспутOJ'О сфероида 133, 134, 164
172
300 (22)
векторные поля ш"тли с током
диска lIотеициал 168 171
диэлектричеСIШЙ сфероид 213
(80, 81), 214 (84)
обратное расстояние 172
илоскости С КРУJ'ЛЫМ OTBep
СЦIем 167
применения в линейных цепях
300 (22)
. ЭJJш,тростаТИl{е IБ7
172,213 (80, 81),214 (84 88)
ноординаты 164, 165, 172, 173
т
Тевенина теорема 358
для постояпноrо тока 231
Тензор диэлентричееной проницаемостп 33
Ток в земной норе 249, 250
вихревой 382 412
неустановившийся 325 331, 341 343,
:345 347
в цепях общеrо вида 332 336
IIeременпый 351 381
безваттная составлпющая 354
в антенне 464 476
ветвях цепи 356, 357
контурах, ИНДУНТIШНО связан
пых 359 363
нолом резонаторе 521
проводниках объемных (массив
пых) 385 412
rрафИЧР.СJше представление 354
комнлеI,сные обозначения 352
мощность 153 35Б, 383
па векторной Дllаrрамме 354
резонанс 353
1I.'lCJша, ЭКВlшалептная м3J'НИТУ 418, 4Н!
1I0СТОЯННЫЙ 222 259
n анизотропных средах 249, 250
ветвях цепи 231
ироетрапстве двухмерном 235
23V 286 288
' трехмерном 233 235, 239
244, 249, 250
IЮJ{тор потеIЩIШJJ 262, 263
rраничные условия 234, 239, 244
единица 222, 260
изображения в пове!JХНОСТИ мш'не
'1'11 ка 285 288
Н:ИР J'офа законы 225, 226, 227, 230,
326 333, 352, 360, 367
ТО!{ постоянный, MarHnTHoe поле 260 305
(см. таюне Маrнитная индунция)
непрерывность 223, 225, 245
плотность 222, 225, 233 236
пространственноrо заряда 250, 251
расиределение в ленте переменной
ширины 237 239
объемных проводнинах 233
247
247
поверхности вращения 46,
С.iIоистой земле 249, 250
сплошном цилиндре 242, 243
шаре 24 242
сферической пленке 245 246
общие теоремы 235
тепловой эффент 225, 235
С JCщения 430
TOI{a функция для вихревых токов 394,
398, 399
установившихся процессов 236,
246
Тор в однородном поле 220 (120, 121)
емность 220 (119)
незаряженный между плоскостями 217
(101)
свободно заряженный 219 (118)
Тороидальные ноординаты 70 (8), 214 (117)
Трансформатор 359, 363
броневоrо типа, утечна 292 296
Трубни маrнитной ИНДУIЩИИ 268, 269
тока 233, 234, 241
)Т
Уитстона МОСТНI, 226'
Умова Пойнтинrа вектор (см. ПОЙНТИ]J
"a У мова Bel,TOp)
ф
Фаза перемеННОJ'О тона
Фазопая постоянная в
370, 371
М производном
352 354
линии передачи
368
звене фильтра
фильтрах 363 3Б8
электромаrнитных волнах
450,
451
Фарадея закон ипдукции 306, 314, 351
в линейных цепях 306, 314, 351
объемных проводннках 382,
430
поверхностях 401, 40
уравнениях МаксвеЛJI3 430
Фильтры, ИМIICданс 363 370
полосовые 366 368
постоянная затухания 363 368
распространения 363 368
производпое М звено 368, 369
простые т и П звенья 363 368
серединно параллельное звено 363
серединно последовательное звеlЮ 363
сложные 368, 369
выходное устройство 369, 370
условие на конце 365, 366, 369
частотные характеристини 366 369
38*
п ред,лtетный указаmе.zь
597
ЭлеI>ТРIlчеспое ноле при внесении ДIlэлеп
ТрИIШ 6fi, 68
суперпозиция 46, 78, 94, 99,
103 105, 107 109, 125, 145, 146, 169,
185, 200
фушщия ПОТОIШ 83, 84, 102, 10З-
Электродвижущая сила перемеШ!ОJ'О тона
: 51 381
взаимоиндупции 310
rармоническая (синусоидальнап)
351 371
J'радиент 306, 430
комплексная 351 371
определение 223, 224
переходный процесс n нонтуре 345
:.147
периодичеснап, несинусоидальная
;т 373, 378 (15, 17, 18)
постоянноrо тока 223, 224
самоипдукции 314
ЭJJШ,ТРОМaJ'нитная индунция ;;U(j 323,
;;82 412
ЭлеНТРОМaJ'нитные волны 430
аберрация 569, 570
в анизотропной среде 435 437
волноводе 502 503
линиях нередюш 370, 371, 447
4.5-'1, 456 (10 16)
в полых резонаторах 519 53rJ
проводнике 445, 446
трубах 501 519
волнопое уравнение 431, 432
решение 477, 478, 484
число 450
l'рупповая скорость 454
давление 438
диффракцпя, Иирхrофа формулы
"\jrJ 500 (56 60)
на отверстип 485 489, 496 499
(.и 36, .З9 53), 500 (59, 60)
сфере 481 484, 493 (13)
цилиндре 493 (и 17)
длина волны 442
Допплер эффект 569 571
ивлvчаемыр из lюнпа Rоанспальной
лшии 489 491
импульс 437
ИJJтенсишlOСТЬ 433
меЖJ(У ПЛОСJЮСТШШ 540 (6 8), 54!
(10, 11)
отраженне 438 442, 441., 446, 447,
450, 451, 45 (3)
Э:1С1,тромаrнитные волны плоские 447
450, 452, 453, 456 (7, 8), 485, 494 (20
25). 496 (29 32)
поляризация 435, 442, 443
постоянная распространения450, 451
преломление 438 442
скорость 454, 503
сферические 457 (12), 460, 461, 464
477, 479, 480, 562
теорема динственности 477
фазовая постоянная 442, 450
характеристический импсданс 449,
450
частота 442
эллиптическая поляризация 442, 443
энериш, илотность 437, 438
направление распространения 433,
434, 437
Электрон 15
спин 418
Электростатическая линза 203, 204
Электрострпкпия 43
Эллипеоид заряженный 121, 122
Эллипеоидальные ноординаты 120
Эллиптические Rоординаты 99
цилиндрические координаты 70 (5)
Эиерrия в цепях тока 326
взаимная двух контуров 307 311
МaJ'НИТНЫХ иrл 425
п KOHтypOB 318
элентрических диполей 17
ДИССИПaJ ИЯ 225, 235
диэлентричеекоrо тела в поле 6
заряда движущеrося ;::59
и диэлектричеСIШЯ пронипаюJOСТЬ 69'
излучаемая линейно ускоренньш элек
троном 563 565
осцпллятором 461
кииетическая, в нонтуре 326, 332
понденсатора зарmпеиноrо 41, 326
моrнетика n полn 319
плотность в МaJ'НIIТПОl\1 поле 3ШI, 31U
электрическом поле 41, 42
полоrо резонатора 520, 521
потенпиальпая в понтуре 41, 326, 332
ПрОВОJ(JППЮП заряжепных 41, 49
распространенне 363 371
в волноводах 501 519
ЛИНИЯХ передачн 363 370
фильтрах 363 370
сохранение 332, 40, 554, 559
оrЛАВ:lЕIIllЕ
Предисловие переводчинов
3
п редисловис автора ко второму ИЗДЮIllЮ . 5
IIрсдисловпс автора ]{ первому пзданию о
ОБО3Iшчешш . . . . . . . . 9
Fлава J, UClюпные положения электростатИlШ . . . . . . . . . . . . , . .. 13
Э 1. Электризация. ПроводнИ1Ш и изолпторы (13). Э 2. Положительное
11 отрицательное электричество (13). Э 3а. Закон Н:улона, едииица заряда,
диэлентрИJШ (13). Э 3б. Пределы нрименимоети закона Н:улопа (14),
Э 4. Электростатическая индукция (14). Э 5. Элементарные элентричеекие
заряды (15). Э 6. Напряженность электричеснOJ'О ноля (15). Э 7. Электро
статический потенциал (16). Э 8а. ЭлС!прические диполи и мультиполи
(17). Э 8б. Взаимодействие динолей (18). Э 9. Силовые шшии (19),
Э 10. Эквинотенциальные новерхности (21). Э 11а. Теорема l'aveca о no
токе элС]причеСIЮЙ индунции (22). Э l1б. СЮJOвыr линии системы нол
линеарных зарлдов (24). Э 11в. Силовые линии па беСIюнечности (25).
12. МaI{СИМУМЫ и минимумы потенциала. Теорема Ирншоу (25).
Э 13. Потенциал двоiiIIOJ'О элрнтричеСROJ'О слоя (25), Э 14. Вектор электри
чеСI{QЙ индунции и силовые трубки (26). Э 15. Натлжения в ЭJlеJи'риче
ском поле (27). Э 16. Теорема raycca о []отоне элеКТРJIчеСJ{(Jii ИНДУКЦJIII
длп неоднородпых сред (28). Э 17. rраничные УСЛОВИIl и натяжения на 110
верхпости прово; шшов (29). Э 18. rраничвые условия и натяжения на
понерхности диэлептршш (30). Э 1!). ЭлектричеСIШЯ ИНДУJЩИЯ и папря
шепность пош! в твердых диэлектриках (31). Э 20. НриеталличееюIC ди
элентрики (32).
Задачи . . 33
.J1итература . . . . 35
[лава J J. Копденсаторы, дщ)ЛектрИIШ, снстемы IIрОВОДНlIIЮl1 . 36
Э 1. Теорема единственности (36). Э 2. Е п{()еть (36). 3. llОСJюД()ватель
пое п параллельное соединение нонденсаторов (37). S 4. Сферичеекий HOH
денсатор (38). Э 5. Цилиндрический нонденсатор (39). Э 6, ПЛОСКИl! HOH
денсатор (39). Э 7. Защитные кольца (40). Э 8. ЭнеРJ'ИЯ заряженноrо
нондепсатора (41). Э 9а. Энерпш элеКТРl1чеекOJ'О поля (41). Э 9б. Пло
сний конденсатор с I{ристаллическим диэлектриком (42). Э 10. Натяженин
в случае зависимости диэ.аентричеекой проницаемости от плотноети cpe
ДЫ (42). Э 11. Элентростршщия в жидких диэлектринах (43). Э 12. Силы,
действующие па проводник в диэлектри!НJ (44). S 13, Теорема nзаИМНОСТJI
l'рина (45). Э 14. Супернозиция полей (4;'). Э 15. Индуцированные заря
ды на заземленных ПРОВОДIlJшах (46). Э 16. Потенциальные ноэффициен
ты (47). Э 17. Собетвенная и взаимная емкоети (47). Э 18. Электростати
чееная энрапировна (48). Э 19. Потепциальные и емкостные Iшэффициеп
ты в случае двух отдаленных проводников (48). Э 20. ЭнеРJ'ИП системы
зарядов (19). Э 21. Силы и моменты сил, действующие па заряженные
IIрОВUДНИIП! (49).
Задачи . .
'литература . . . .
.
51
57
Оелавлеuие 599
['лава 111. Общие теореlllЫ. .................... 58
Э' 1. Теорема ОстроrраДСКOJ'о fауеса (58). Э 2. Теорема Стокса (59).
s 3. УрапнеНl1Я Пуассона и JIапласа (59). Э 4. Ортоrональные криволи
нейные координаты (60). Э 5. Представление ротора в ОРТOJ'онаЛЫIЫХ кри
полинейных координатах (61). Э 6. Представление онератора V. (EV)
13 различных СИl;темах координат (62). Э 7. Теорема fрина (62). Э 8. Teo
рема взаимности fрина для диэлектрических сред (64). Э 9. Фушщии
fрl1па (64). Э 10. Решение урапнения Пуассона (65). 11. Теорема еДl1Н
ственности при наличии диэлектрич.ееIШХ сред (66). Э 12. Внесение пово
]'0 нроводника (66). Э 13. 8IшиваJIентный слой fрива (67). Э 14. 8неРJ'ИЯ
диэлсктричееROJ'О тела в электрическом поде (68). Э 15. Изменение элек
тричеСRОЙ энерrии еистемы при увели'lCЮШ диэлентрической проницаемо
f:ТИ (68). Э 16. lIотенциаJJ акеиаJIыю еиммеТРИЧIЮJ'О ПОJJА (69).
,Задачи . . 70
Литература . 71
l'лава IV. ДIIухмерное распредеJJенне потенцнал . 7'2
S 1. Двухмерные поля и нот('нциалы (72). Э 2. Н:РУJ'овые l'армоники (72).
S 3. Предетавление потепциала нOJШ JJинеЙНОJ'О заряда в llиде ряда ПО I'ap
J\lOIlИкам (74). Э 4. Проnоднщий ИJIИ диэлектричеений цилиндр в OДHOpOД
ном поле (74). Э 5. Диэлектричесний цилиндр. Метод изображений (76).
. 6. Изображение в проводлщем цилиндре (78). Э 7. Изображение в шю
СJЮЙ поверхности проводника или диэлектрика. ПересС!шющиеся проводя
щие плоскости (78). Э 8. Задача о диэлснтричесном Iшине (79). Э 9. Н:OM
ш]енсные величинЫ (81). Э 10. Сопряженные фушщии (82). Э 11. ФУНI,-
цИИ нот она (83). Э 12. Напряженноеть электричесноrо поля. Поток элен
тричесной индунции (83). Э 13. Фуннции П и V для поля линейпOJ'О за
ряда (8,'1). Э 14. Емкость между двумя нруrJIЫМИ цилиндрами (85).
s 15. Емность между цилиндром п ПЛОСJ{ОСТЬЮ. Е;\шость между двумя
одинановыми цилиндрами (86). Э 16. Н:онформные преобразовапия (87).
S 17. Уравнение rрашщы в параметричееIШЙ форме (87). Э 18. Нахожде
иие СОПРЯЖeIШЫХ фующий (88). 19. Преобразование Шварца ( Ю).
S 20. МноrоуrОЛЬНl1НИ содпим полощителы!мM уrлом (92). Э 21. МНOJ'О
)ТОЛЬНЮ{ с уrлом, равным нулю (92). Э 22а. МноrоуJ'ОЛЬНИКИ с одним
отрицательным УI'ЛОМ. Двухмерный ДИПОJJЬ. IIНllерсиЯ (94). Э 22б. Изобра
жешШ нри двухмерной инверсии (96). Э 23. МНl)rоуrольнин с двумя
уrлзми (97). Э 24. IЦе;IЬ, нрорезанная в бееIюнечной ПЛОСRОСТИ (100).
S 25. Римановы поверхноетм (101). Э 26. Задача о НРУJ'ЛО!V! цилиндре, pac
положенном пнутри эллиптичссноrо (102). Э 27а. Условия на I'ранице раз
дела BYX диэпентрИlЮВ (102). Э 276. 8лшштичеекий диэш'нтричеений ци
:IИНДР (103). Э 27н. Момснт, деЙСТВУЮЩИЙ на диэлектричеСIШЙ цилиндр (105).
28. МноrОУJ'ОЛЬНИI{ с заНРУJ'ЛСНlIЫМ УJ'ЛОМ (106). Э 29. Плоеная решетна
из ЦИШIlIДРИЧССШ!Х прOJЮДОn большоrо диаметра (106). Э 30. Случай
уrлов, нецеЛOI,ратных 1tj2 (109).
Задачи 109
Литсратура . . . . . . 118
1 лава V. Трехмерное раснреде:ICIШС llOтеНЦlШШI . . . . . . . . . . . . . ., 119
Э 1. При RaIШХ УСJJ DlШХ IIоперхности lIeHOTOpiJI'O семейства MorY1' f}ыть
энвипо-rенциальньши? (119). !i 2. Потенциал поверхностей BTOpOl'O ПОрПДJШ,
онредеJJяемых уравнение:VJ x,2j(a 2 + В) + y2j(b 2 + О) + z2j(C 2 + О) == 1 (120).
S 3. Заряженный проводпщий ЭЛЛИПС:oIJД (121). Э 4. 8ллиптичесний и Hpyr
.'1ый диски (122) Э 5. Мстод изображений. Провоцящие ШI0СНОСТИ (122).
S 6. Плоская "раНllЦЯ двух диэлrлприков (12 \). Э 7. IIзображепие в сфери
чеСIЮМ ПрОВОЦНllне (124). Э 8. П)Jимер применснил метода изображений
ДЛИ нахождении ноля точечпоrо заряда (125). Э 9а. Бесконечная система
IIзобращений. Задача о двух сферах (125). Э 9б. Уравнения в конечных
разностях. Задача о дпух сферах (127). Э 9в. Сфера над ПЛОСIЮС'Iъю и две
'ЩИIшновые сферы (129). Э 10. Инверсия в IJpOCTpaHcTBe трех измерений.
I'сометричесш!С свойетва (129). Э 11а. Инверсия потенциала и зарядов изо
бражений (130). Э 11б. IIример инверсии изображепий (131). Э 11в. Пнвер
еия заряженноЙ проводящей поверхности (131). Э 11r. Преобразование
еАШОСТИ при ипверсии (132). Э 12а. Пространетвенные rармонини (133).
S 12б. Задача о ншше, ОРТOJ'онально нересенающемся с поверхностью Bpa
щения (134). Э 13. Сферичесю!е l'армоНИНИ (136). Э 1.4а. Общие свойства
JlOвсрхноетных rармоНlШ (137). Э 14б.. Потенциал rармопическоrо распре- .
600
Оелавмuие
деления зарпда (138). Э 15. Дифферепциа.пьные уравнения поверхностных
rармоНIШ (138). Э 16а. Зональные rаРМОНl1КИ. Уравнение Л()жандра (139).
Э 16б. Решение уравнения Лежандра при номощи ридов (139). Э 16в. По
линомы Лежандра. Форыула Родриrа (140). Э 16r. Коэффициенты Лежанд
ра. Обратное расстояние (141). Э 16д. Рекуррентные форыулы для полино
мов Лежандра (142). Э 16е. ИНТeJ'рал от произведения полиномов Лежанд
ра (142). Э 16ж. Разложение фУНЮIИй по полиномам Лежандра (14:1).
16з. Таблица ПОЛIПIOмон Лежандра (144). Э 16и. Полиномы JIеЛНfндра
мнимоrо aprYMeHTa (145) Э 17. lIотенциал заряженноrо кольца (145).
Э 18. Заряженное кольцо в НрОllОДfJщей сфере (146). Э 19. СферичеСJ{ая Дl1
электричесJ{1.Я оБОЛОЧJ{а в однородном поле (146). Э 20. Сферический HOH
денсатор с малым расстоянием между J ентрами внутренней и внешней
обнладок (147). Э 21. Задачи е простой нонической rраницей (148)_
Э 22а. Зональные J'армонИIШ В'Ioporo рода (148). 22б. Рекуррентные фор
{улы для фуННПИЙ Лежандра EТoporo рода (149). 22в. Выражение фуш, ,
ЦИЙ Лежандра BToporo рода через полиномы Лежандра (150). Э 22r. HeJ{o
торые значения фушщий Лежандра вторorо рода (151). Э 22д. Фунrщии
Лежандра BToporo рода мнимоrо aprYMeHTa (151). Э 22е. Применение фУIШ
ций Лежандра ВТОРOJ'О рода в' теории нотенпиала (152). Э 23. Зональные
raрмонини нецелOJ'О норядиа (152). Э 243. Присоединенные функции Ле
жандра (153). Э 24б. ИнтеJ'ралы от произведений нриеоединенных фунн
ЦИЙ (155). Э 24в. Присоединепные фунюпш от мнимоrо apJ'YMeHTa (157).
Э 24т. РеI,уррептные формулы для присоединенных фуннций Лежандра (158).
24д. Непоторые значения присоединенных функций Лежандра (159).
Э 24е. Равновееные (нейтральные) тощ,и и линии (160). Э 25. Биаксиальные
rаРМОIlИJ'Ш (160). Э 26. Ионические J'раницы (161). Э 27а. Приеоединенпые
функпии Лежандра непеЛОJ'О ПОРЯДJ{а (162). Э 27б. ФУНIщия rрина дли
конуса (163). Э 27в. ФУНJщия rрина для ионической полости (НИ).
Э 28а. «Сшпоснутые» сфероидальные ююрдинаты (164). Э 28б. rармонш;и
сплюснутоrо сфероида (166). Э 28в. Проводящий лист С НРУJ'ЛЫМ отверети
еы (167). 28r. Момент, дейстпующий на диск в однородном поле (168).
28д. Потенциал заряда. распределеJШOJ'О по поверхноети с,фероида (170).
Э 28е. Представление потенциала точечноrо заряда через rармошши СПЛJOс
HYTOI'O сфероида (172). Э 29а. rармоники ВЫТЯНУТОJ'О сфероида (172)..
29б. ВЫТЯНУТЫЙ сфероид в однородном поле (174). Э 30а. Уравнение
.iIапласа в пилиндричеСRИХ Iшординатах (175). 30б. Ъ7рюшение Бесселя:
IJ ФУШЩИИ Бессели (175). Э 30в. Модифицированное уравнение Бесселя J-f
модифицированные функции Бесселя (176). Э 30r. Решепие уравнения Б('с
сели (176). Э 3Од. Ренуррентные формулы для фушщий Б\'ссспи (178).
Э 30е. Значения фушщий Бесее.'IЯ на бесконечности (179). Э 30ж. lI]Jтcrpa
ль! от беесеJЮПЫХ функ пий (180). Э 30з. Разложение в рид по фУШЩЮЩ
IJееееШI (182). Э 30и. Фушщия rрипа дли цилиндра. Обратное расстои
ние (183). Э 30J{. ФУНlшия rрина для ЦJJЛиндричрсноii полоети (1R5).
31а. Фушпшп Бесселя нулевOJ'О порядка (185). 31б. Иорни и числен
ные значения бесселевых фУНИЦИЙ нулевоrо поридна (186). Э 31в. llропз
водные и интеJ'ралы' от бееселевых фующий нулеВОJ'О порядка (18Н).
Э 31r. Поле точечноrо заряда, расположеннпrо над диэ.пентрической ш:ш
СТИJIКОЙ (188). 31д. ПотеНIIШ\Л внутри ПОЛQJ'О цилиндричеСКGrо IЮJ1Ь
на (1!JO) Э 32. Фуннция Бееселя HelleJJOro порядка. Сферические функции
Бессрля (191). Э 33а. Модифицированные бес.селевы фУНRЦИП (192).
Э 33б. Ренуррентные формулы JIJIЯ модифюшрованных бесселевых фУНН
ций (193). Э 33в. Значения модифицированных бесеелевых фующий на бес
конечности (194). Э 33r. Интеrрал от произведеНJ7fЯ модифициропанных бес
селевых Функцнй комнлскеноrо арJ'у юнта (194). Э 33д. Функция rрина
для нольцевоii lIилиндричеекой полости (195). 34а. !\10дифицирl'llюпlыc
бееселевы функции нудепOJ'О ПОРЯДJШ (197). Э 34fi. Интеrра.;Jьное представ
ление 'модифицированных бесселевых фУНlщий BToporo рода. ЗНi\чепие ва
бесконечноети (Н17). Э 35. И:нтеJ'ралыюе представление бессеЛРБЫХ фуш,
ций нулевоrо поряДJШ (198). 3Ga. Представление обратнOJ'О расстоянии
через модифицированные бесселевы фунrщии (199). Э 36б. Цилиндрнческие
rраницы р'аздела двух диэл('нтрических сред (200). 37. IJ()ТеНЦИaJl BHY
три кольцевой цилиндрической полоети (200). Э 38. Модифицированные
бесселевы фушщии нецелOJ'О поридка (202). Э 39. Приближенные реш\'ния.
Элеитростатичесние ливзы (203). Э 40. Фуннции IШl1па (204).
& U
Лшература 221
Оелавлеuие 601
r лаtЗа V 1. Электрический ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 222
1. Плотность элеI,трпческоrо тока. Уравнение непреРЫВ!Юt:ТII (222)
Э 2. Эде[продвижущап с.ила (223). Э 3. Зюшн ОМа. Удельное сопротиnле
вие (2 4). Э 4. Тепловое действие элентричес.lшrо тока (225).' Э 5. JIИJJеi1
Ilые IlР()ВОДНИЮI. Законы Н:ИРХJ'рфа. lIuеледовательпые и параллелыlеc
1СоеДИIJеIIИН НРОВОДНИIшв (225). Э б. Расчет электричрских цепей. KOBTyp
ные 1'OJШ. Моет Уитстона (22fi). 7. Цепи из одипаковых звеньев (227)
Э 8. Jlиния с. непрерывно раепределепноЙ утечкой (229). 9. Общая Teo
рия цепей (230). Э 10. Сонрнженные проводнини. Двойной мост I\ельви
па (232). 11. Постоянные токи в проводящих средах (233). Э 12. Общие
теоремы (235). 13. Двухмерный тон (235). S 14. Длинная леНТ11 со СIШЧ
кообравно меннющейея шириной (237). Э 15. Трехмерное распределепие TO
ка' (23В). S 16. Системы ЭЛlжтродов. Две сферы. Удаленные ЭJIекТрОДЫ (240).
17. Вадача о нроводлщем шаре (240). 18. Задача о шлошном проводя
щем цилиндре ( '12). S 19. С()противление земли (243). 20. Токи в TOH
ких И3OJ'нутых плеНRах (244). Э 21. Распределение тона в сферичеClШЙ
пленне (245). 22. Поверхность вращения (246). Э 23. Предельные значрния
сонрuтивлешш (247). Э 24. Токи n анизuтропных средах. Слои в земной
норе (249). 25. Ток, обусловленпый движенирм проетранствеШJOJ'О заряда.
YpaBHeНIH' Чай;rьда (2.50).
Задачи 252
Литература . 25В
r ла а V 11. MarHHTHue В3aJIмодеЙСТl1ие токов ZuO
Э 1. Онредрление единицы силы тока (ампера) через величину мапштнOl'О
момента (2fЮ). Э 2. l\'Iаrнитная индукция и маrнитная проницаемость (260),
Э 3. Маrнитный веКТL)р нотенциал. Однородное поле (262). Э 4. Теоремы
единственности в маrнит()стаТlше (263). Э 5. Разложение вектор потенциала
JЮ ОРТОJ'ональным функциям (264). Э 6. Вентор нотенциал в цилиндриче
ских координатах (266). Э 7. ВеКТОр Пtvrенциал в сферичеСRИХ координа
тах (267). Э 8. Выражение для вектор потеНJ иала через значение МaJ'НИТ
IЮЙ индукции на оси (267). Э 9. УравнеIiие аксиально симметричных TPy
бок I\ШJ'НИТНОЙ ИНДУIЩИИ (268). 10. Вектор п()Тенциал и поле lIВУХПрО
водной линии (269). Э 11. Вектор потенциал и поле КРУJ'ЛОЙ петли (270).
12. Поле токов, тркущих по сферичешой ПJJеJше (271). Э 13. Зональпые
ТOJШ в сферической пленне (272). Э 14. Представление поля RРУJ'ЛОЙ пет
ли через сферичеекие J'армоники (273). Э 15. Закон Био и Савара. Поле
ирямолинейноrо провода (275). Э 16. Поле соленоида с нроизвольным ша
rOM памот"и (2n). э 17. Поле в цилиндрической полоети внутри проводн
щеrо круrлоr() стержня (277). Э 18. Поле токов, текущих ВДОJ[Ь цилиндри
чеекой ПрОRодящей пленни (278). Э 19. Сила, действующая на Э.lеl,тр[]че
сний контур в М3J'нитном поле (278). Э 20. При меры на вычнсление СИЛ
взаимодействия между элентричесними Rонтурами (280). Э 21. Вектор по
тенциал и вектор намаrниченности (281). Э 22. fраничные уеловия для
маrнитных полей и для вектор потенциалов (282). Э 23. Пример использо
вания векторов а и А (284). Э 24. Метод изображений для токов в случае
нлосной rраницы (285). Э 25. Маrнитнан индукция и МaI'нитнал проницае
мость в нристаJшах (286). Э 26. Двухмерные I\ШJ'нитные поля (286).
Э 27. МaI'нитное экранирование двухпроводной линии (287). Э 28. Метод
изображеппй ДJШ токов в ДВУХj\ЮРНЫХ еистемах (288). Э 29. Маrниl'ОДВП
жущая сила и напряженность МaI'нитноrо поля (289). Э 30. МаПlИтиыii
контур. Тор (290). Э 31. МаrRИТНЫЙ JШНТУР с воздушным зазором (2а1).
э 32. Поле в трансформаторе броневOJ'О типа (292). Э 33. Полюс с расщрп
ленным П3JшпеЧНИJ{ОМ. Эффективныi'r воздушный зазор (296).
Задачи 298
.lитература . . . 304
r .lава V 111. ЭлектромаrЮIтнан ИНДУIЩИН ; :Ю6
э 1. Закон ИНДУIЩИИ Фарадел (30(). Э 2. Взаимная ЭJlСрПШ двух lШJl1У
ров (З07). Э 3. ЭнеРJ'ИЯ маrИIlТноrо ПОJJН (З08). S 4. I\оэффициснт взаШllluii
индукции (309). Э 5. fраПИЧJlые условия для а (310)_ Э 6. I\ОЭффllциеIП
взаимной индуRЦИИ НР(lстеi'шшх нон туров (311). 7. I\оэффициент взаим
пой ШJДукции двух колец (3Н). Э 8. llеременпал взаимная иидующи и И2 ).
э 9. Самоиндукцил (;114). Э 10. Вычисление сююиндуIЩИИ. ТоНIШЙ про
вод (314). Э 11. Самоиндуrщия КРУJ'лоii петли (315). 12. СаМОJJНДУIЩIlЛ
соленоида (3-16\. Э 13. СЮЮШЩУЮllIЯ ДВУХПРОВО;J;поi1 лиНlШ (316). Э Н. Энерrпн
602
Оелавл.еuие
п нонтуроп (318). Э 15. Натяжения н маrпитном поле (:118). Э 16. Эн<'рrил
маrнетИJШ в статическом МaJ'НИТНОМ поле (319).
Задачи . . 319
J!итература . . 324
r лава 1 Х. Переходные явления в элеI{тричеСIШХ цепях. . . . . . . . . . .. 325
1. НеустаНОВIшшиеея электричесние процеесы (Я25). Э 2. Энерrетичесние
соотношения в элентричссной цени (325). Э 3 Нонтур. соетолщий из еМIЮ
сти, индуктивности и сопротивления (Я2f1). Э 4. 3артща и разряд JШНДШlеа
тора (327). Э 5а. Нараетание и епаданИе тока в натушке ИНДУНТIШIЮ
сти (.:\29). Э 5б. Индунтивно евязанные нонтуры {329). Э 6. Иинетическап
энерrия и элентронинетический импульс (Я32). Э 7" Общий вид уравнений
переходных ПрОllесеов в цепях (332). Э 8. Решепие д.ття цепей общеJ'О НИ
да (334). Э 9. Типы еобетвенных НО.ТJPбаний (336). Э 10. Цепь. содержаIЦ'afl
поетоянпую Э.Д.е. (336). Э 11. Собственные чаетоты двух индуктивно еПf
запных J<OHTypOB (337). Э 12. Амплитуды нолебаний в двух евязанпых HOH
турах (339). Э 13. Нолсбательный режим (340). Э 14. ИПДУНТИВНО СБязаJl
ные контуры, обладающие малым антивным еОПРОТIшлением (:И1). э 15. Нп
етроепные индуктивно связанные контуры, об.ттадающие малым aJаиппым
еопротив.ттепием (343). Э 16. Цепи из одинановых звеНЬРR (34: ). 17. Ипте
rралыlйй эффент переХОДНОJ"О процееса (345). Э 18. ПереХОДIlые ЯП':1СНllЯ при
импульсах нопечпой ПРОДОJ]жительноети (345).
JадаЧIJ " . Зf,7
Литература 3 )()-
1 лаqа Х. Пере IеIШЫ(' ТОШI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3:)1.
1. rаРМ('НIJчеСIше элентродвижущие силы. Частное решение (: 51).
2. Ионтур, еодержащий СОПРОТИВJIение, ешшсть И ИНДУНТИВНОСТЬ (351).
3. Мощность, эффентивные значения, ре:юппнс (353). Э 4. rрафИЧССJше
представление. Венторпая диаrрамма (354). 5. I!оеледовательное и парал
лель ное соединение импедансов (355). Э 6. Передача мощности (356).
Э 7. !\10СТИI, импедансов (356). Э 8. ЦeТlЬ переменноrо тона в общем слу
чае (357). Э 9. Сопряженные ветви в элентричееJЮЙ цепи. Мостин AHдepeo
на (359). Э 10. Вынужденные колебания в индунтивно связанных HOHTY
рах (359). Э 11. Индунтивно связанные нонтуры, обладающие малым аНТИIl
ным сопротивлением (362). Э 12. Настроенные ИНДУIПИВНО связанные IЮН
туры, обладающие малым антивным сопротивленнем (362). Э 13. Филь
1'РЫ (363). Э 14. Уеловия на Jюнцах в частотных фильтрах (365). Э 15. Ча
СТОТJIые харантерисТJШИ филЫ"рпв (: e6). э 16. Полоеовой фильтр (366).
17. Производные звенья типа М (: 6S). э 18. Выходное уеТРОЙСТIJО фильтра (369).
Э 19. Jlинии передачи (370). Э 20. Элентродвижущие силы несииусоипаш.
ной формы. Метод рядов Фурье (:171). Э 21. ЭлентраДВЮJ\ущие силы нсеи
llуеоидальной формы. Метод ПОJJторяющеrоея переходноrо режима (372).
Э 22. Ионтур с отрицательным антивным еопротивлением (374).
Задачи . 371'
Литература 381
rлава XI. Вихревые ТOIШ. ЗR2
Э 1. Индуцированные ТОRИ n объемных проподнинах (:\1)2). э 2. Решение
урашJCНИЯ для Бf)J,тор потеициала вихревых ТOIЮВ (383). Э 3. Снин эффент
в стю ионарном елучае (384). Э 4. Снин эффект в случае полоr(' цилн}]дри
чеСlюrо ПрОllОДНIша (386). * 5. СJШН Эффf){{Т В еплоIUНОМ ЦИЛJшдричеСJШIvI
ПрОllоднике (386). !\ 6. Решешrе в сферичеених RООРДlшатах при а{{сиаль
ПОЙ I'имметрии (388). Э 7. Проводящий шар в пеJlе lCННОМ поле С Ю).
* 8. М,)llЩОСТЬ, поrлощаемая ша ром в переменном lvIаrниТlIOМ поле (392).
Э 9. Пррехuдные ЯВJ!ения- JJ проводящем шаре (392). Э 10. Вихревые тони
в IJЛоеЮfХ lI асти}]нах (; !)4). S 11. Решение задачи о вихревых ТOJшх в пло
СJЮЙ бееJюнеЧl-ЮЙ шtaетинне методом изображений (395). Э 12. Момент,
дейетвующий на вращающуюся петлю с ТОJЮМ или маrнитный диполь (396).
Э 13. Вихревые ТОШ-I, возбуждаемые вращающиlvIСЯ диполем (: 98). э 14. Энра
нирование нруrлой Пе1'ЛИ носреДС1'ВОМ тоиной проnодящей пластиНJШ ('199).
Э 1.5. Зональные вихревые ТОJШ в сферичесной плеНJШ (4()0). Э 16. Вих
ревые ТOJШ в 1'OJЩОЙ цилиндричеСJЮЙ плеНI,е (403). Э 17. Переходные-
Оелавлеuие
60:3
явления при энраниропанип с помощью ТОЛСТОЙ цилиндричееной обо
лочни (405).
Задачи . . .. 407
Литература 41 Z
r лава Х 11. МаrнеТИ31\f 413
Э 1. Парамаrнетизм 11 диамю'нетизм (413). Э 2. Маrнитнан восприим'lИ
воеть (414). Э 3. l\fаrнитные свойства нристаллов (414). Э 4. J{риеталличе
еJШЙ шар в однороДНОМ маrнитном поле (415). Э 5. Ферромаrнетизм (415).
S 6. rистерезие. Постоянный маrнетизм (417). Э 7. Прпрода постоянноrо
маrнет'изма (417). Э 8. Равномерное намаrничивание. Эт{вивалент'ный по
веРХНОСТIJЫЙ тон (418). Э 9. НамаrllИченный шар и цилиндр. Маrнит'ные
полюсы (419). Э 10. Условия па rранице с поетоянным маrНИТfJМ (420).
Э 11. Сферичеший постоянный маrнит в однородном ноле (1120). Э 12а. Ilодъ
емная сила подновообразноrо маrнита (421). Э 12б. Поле цилиндричееЕоrо
маrнита (423). S 13. 1\1аrнитпые иrлы (424).
Задачи . . 4:Ш
,;Iитература . . 4L(j
т лава Х 1 1 1. ПЛОСlше эле"тромаrНИ1ные волны . . . . . . . . . . . . . . .. 430
S 1. Уравнения Мансвелла (430). Э 2. Волновое уравнение. ЭЛeJ{тромаrнит
ные потенциалы. Веюор rерца (431). э 3. Всктор Умова ПОЙНТИНl'а (433).
Э 4. Плосние ВОJJlIЫ в однородном незаряженном диэлектрине (43з). Э 5. CHO
роеть распространения волны R анизотропных ередах (4 5). Э 6. Поперх
ноеть, образоnанная JJУЧОМ, п пошrрпзацИlТ в анизотропныХ средах (436).
Э 7. Энерrин, давлрние и импулье ПЛОСJШЙ полны (437). Э 8. Отражение
и преломление плосних волн (438). Э 9. Интенеивноети отраженной и
преломленной ВОЛН (440). Э 10. Чаетота. ДЛИRа волны. ЭллиптичеСJШЯ поля
ризация (442). Э 11. Полное отражение (444). Э 12. Элеюромаrнитные волны
в однородных ПРОВОДНИJШХ (445). Э 13. Плост{ие волны n однороДНЫХ
изотропных проводнинах (445). Э 14. Отражение от ПРОRодящей поверх
JЮСТИ '(446). Э 15. Пш-.ение волны вдоль идеально проводлщих цилиндриче
ених проnодников (447). Э 16. ХарантериетичеСJШЙ импеданс ереды (449).
Э 17. Отражения от неоднородноет'ей. Соrлаеующие сртщии (450). Э 18. HOM
пленсный вентор Умова Пойнтинrа (451). Э 19. Квазиплоеf{ие волны вдоль
неидеальных проводвшшв. Двухпроводная линия Jlexepa (452). Э 20. rруп
повая шороеть (4!l4)
Зада чи . . 435,
ЛllТература . . . 457
т лава Х IV. Излучение ;ще"тромаrRИТНЫХ волн 459
Э 1. Пестановна задачи (459). Э 2. Два типа BeF.ТOp потенциалов (460).
S 3. Сферичеекие электромаrнитные волны. Диполь (460). Э 4. Запазды
вающие потенциалы (462). Э 5. Излучение линейной антенны (464).
Э 6. lIоля на больших расстояниях от линейной антенны (467). S 7. Излу
чение беrущей lЮЛНЫ (469). Э 8. Коничееная линия Передачи (469). Э 9. Uи
fшничееная антенна (471). Э 10. Сложные антенны (474). Э 11. ВЛИfПШf!
земли (47б). Э 12. ЕдинсТВРПНОСТЬ решения (477). S 13. Решония BOJIНOТ!OТ'O
уравнения в сферичеСJШХ Jюординатах (477). 14. Разложение ПЛОСJ{ОЙ
волны по полиномам Лежандра (478). Э 15. Излучение КОilы.\евоrо 'i'ОТШ.
Маrнит'НЫЙ диполь (47!J). Э 16. Свободные Jшлебания проподящей сфе
ры (480). Э 1.7. Вынужденные l{олебания диэлентричееRоrо иди проводяще
ro шара \481). S 18. Решения волнавоrо уравнения в пилиндричееIШХ KOOp
динатах (4Р4). 19. Разложение плоеной волны по пилиндричееНlIlvI rap
МОНИRаlvI (485). Э 20. Излучение из отвер тий R плоеном нроводяшем ЭI{рl\
не (485). Э 21. Диффратщия на ПРЯМОУJ'ОЛЫIOМ ОТВfJРСШИ Е проводящем
ШIOСJЮМ энране (488). Э 22. Ортоrональные фУlПЩIIИ в задаче о диффрат,
I\ИИ. Излучение отирытоrо конца нош{сиальпой ЛИПИИ (48!:J).
Задачи . . 491
Литература 500-
Т.шва XV. Волноnоды и полые резонаторы 501-
1. Волны в полых цилиндричеСRИХ трубах (501). Э 2. Учет затухания
n волноводах (503). Э 3. Прямоуrольный волноnод (505). Э 4. Нруrлый вол.
Оелавлеuие
r:-
604
ПОВОД (507), Э 5. Коаксиальный волновод (509). Э 6. Плосние HeOДHopOДHO
сти в IЮ3i,сиальной ЛИНИН (510). .э 7. Возбуждение ВОЛНОВОДОВ (511)..
Э R. Возбуждение l,pyrJ10ro волновода элементом ТOlЩ (512). Э 9. Возбуж
пение круrлоrо волновода 'петлей с током (514). Э 10. Возбуждение Hpyr
лоrо волновода через отверстие (515). Э 11. Плосние Неоднородности в пря
моуrО.iIЫJЫХ волноводах (516). Э 12. Полые резонаторы. СобствеНные JЮ.тJC
бания (519). Э 13 Типы независимых соБСJ'JJенных нолебаний полости (520).
Э 14. Еj\ШОСТЬ и индуктивность ЦЮТИRдричесной полости (521). Э 1.5. Зату
хапне собственпых колебаний. АНТIшное сопротивление полости (522).
Э lб. (;обственныр Jюлебания цилиддрической ПОЛОсти (523). Э 17. Свой
сша прямоуrольноrо резонатора (524). Э 18. Свойства резона1'ора, пмею
ЩСJ'О форму нруrлоrо цилиндра (52() Э 19. МпоrОСJJязные ЦИJIИНДРИЧССRие
ПOJJЫР. резопаторы (.526). Э 20. Отрезон Rоансиальноrо набеля нан резона
тор (528). Э 21. Собетненные нолебания в СфРРИ<JCСJЮЙ полоети (529).
Э 22. Собетвснные lюлебания реальных ПО;IЫХ резонаторов (530). Э 23. IIО
дые резонаторы сложной формы (531). Э 24. Возбуждение полоrо резона
тора петлей с ТОНО:И (534). Э 25. Возбуждение нруrлоrЬ цилиндричесноrо
резонаТuра петлей с тоном (53(). Э 26. Возбуждение полоrо резонатора прп
помпщи элентрода (537). Э 27. Возбуждение полоrо рр.З1IНаТ01'<I Чf>рез OT
lIерстие (539).
Задачп . .
JllITepaTypa . .
540
551
l'лшю XI'- 1. Специазьная 'J'еория отнОсительности 11 ДШlжение зарлженных
частиц. . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . .
э 1. Постулаты епецпальной теории относительности (552). Э 2. Прf!образо
вание JTopeHJIa (552). Э 3. IIреобразоnаниР. скорости и ушорения (553).
Э 4. Зависимость маееы от енорости (554). Э 5. Преобразование сил (555).
Э 6. Сила, дейетвующап на заряд, движущийся D маrнитном поме (557).
Э 7. Двишение заряда в однородном маrнитном поле (558). Э 8. Эперrия
двишущейся заряженной частицы (559). Э 9. Rритичеен:ое маrнитное поле
lJ MarHeTpolle (559). Э 10. Траентория ноемичееной частицы в OДHOpOДHO l
ПО.пе (560). S 11 Маrнитное поле ДRижущеrоея заряда. (561). Э 12. Запазды
лающие поля и Потснциа.'lЫ движущеrося заряда (562). Э 13. Излучение
рашюм('рно yeHopeHHoro, прямолинейно движущеrоея электрона (563).
S 14. Преобразованпе уравнений Мю,евеJJла (565). Э 15. Определение eKO
lJOСТИ самолета относителыlO земли (566). Э 16. Движение заряженной ча
стицы в перенрещивающихся элентричеСJЮМ и маrнитном полях (567).
S 17. Аберрации и эфф('нт Тiопплера (569).
Задачи . .
lитер тура . . . . . . . .
;;52
57!
573
п рило:нсеuие. Системы здеI>тричсrшп: еДlll1llЦ
Доноjшительнап литература
574
582
IIРС;J:метный уназаТС;JЬ
58;)
В. С м а й т, ЭлентроетаТJша и Э.'IектродипамИIШ
Р<'дантор Е. П. ИАйr;:ОВА. ХУДО1f<НИН Н. А. ЛШ1U'Н. 'I'еХНlIчеСниf! рсдантор Б. Ы. Ильu'Н
Е-':орренторы Н. И. Ива'Нова и А. Н. О'Коро'Кова
С"аио в производство 2ПХ 1V53 r. Подписано н печати 28/ХП 1953 r. '1' 09f)87. Бу..аrа
70>.108lf16 1 .O бум. Jl. 52.1 И<'ч. л. Уч. I1ЗД. Л. 55.1. Изд.;М 2/1642. Цена 40 р. 55 н. 3зн.1216.
И 3 Д 3 Т e. ь с т u о II И О С Т Р а 1I н о й л н т е р а т у р ы. МОСННа, Ново Апснсеевсная, 52.
16 л ТIIПOl'рафllFl СОIOЗПОЛlIl'рафпрома rлаВlIздата МИlll1стерства нуш.туры СССР.
МОСЕва, ТреХПРУДlIЫЙ пер., 9 .
о П Е Ч А Т 1, И
стр.1 Сmртш
391 Формула (11.65)
445 Фор"'ула (1:1.102)
48:1 10 сп.
49е 1 СП.
IInnечап1Q:НО
СлеcJуеrn ч'нтаrnЬ
525 Формула (15.121)
В. СмаЙт
== " si (Т :rJ (sin ОА о )
Во
, нан rJ7tе ПЫР:1ЖСНl!С
t <р v
A A
о СОБ О в
. m
l
а
1 д ( . О AV )
== ln .cJo
l'SШО дО
Во
, нан rVtc в выражение
,
V tg '1
Ав == . O Ав
СОБ
. п
Ja
в С М АИТ
. ' -.
ЭАЕI<ТРОСТА ТИКА
и
Э КТРО. НАМИК ·
.. ....